ฟังก์ชันพื้นและฟังก์ชันเพดาน

thumb|right|กราฟของฟังก์ชันพื้น
thumb|right|กราฟของฟังก์ชันเพดาน
ในทางคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ **ฟังก์ชันพื้น** () คือฟังก์ชันที่จับคู่จำนวนจริงไปยังจำนวนเต็มที่อยู่ก่อนหน้า นั่นคือ floor (*x*) เป็นจำนวนเต็มมากที่สุดที่ไม่มากกว่า *x*

ส่วน **ฟังก์ชันเพดาน** () คือฟังก์ชันที่จับคู่จำนวนจริงไปยังจำนวนเต็มที่อยู่ถัดจากจำนวนนั้น นั่นคือ ceiling (*x*) คือจำนวนเต็มน้อยที่สุดที่ไม่น้อยกว่า *x*

กราฟของฟังก์ชันพื้นและเพดานทั้งหมด มีลักษณะคล้ายฟังก์ชันขั้นบันได แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันขั้นบันได เนื่องจากมีช่วงบนแกน *x* เป็นจำนวนอนันต์

## สัญกรณ์
เกาส์ได้แนะนำสัญกรณ์วงเล็บเหลี่ยม [*x*] สำหรับแทนฟังก์ชันพื้น ในการพิสูจน์การแลกเปลี่ยนกำลังสอง (quadratic reciprocity) ของเขาเมื่อ ค.ศ. 1808 สิ่งนี้เป็นบรรทัดฐานในคณิตศาสตร์เรื่อยมา จนกระทั่งอิเวอร์สัน (Kenneth E. Iverson) ได้แนะนำให้ใช้ชื่อ "floor" และ "ceiling" พร้อมกับทั้งแนะนำสัญกรณ์ ⌊*x*⌋ และ ⌈*x*⌉ สำหรับฟังก์ชันทั้งสองตามลำดับ เพื่อเขียนโปรแกรมภาษาเอพีแอลเมื่อ ค.ศ. 1962 ปัจจุบันสัญกรณ์ทั้งสองแบบก็ยังมีการใช้กันอยู่ในคณิตศาสตร์ สำหรับบทความนี้จะอธิบายด้วยสัญกรณ์ของอิเวอร์สัน

ฟังก์ชันพื้นอาจเรียกว่าเป็น **ฟังก์ชันจำนวนเต็มมากสุด** (greatest integer function) หรือ *อองเทียร์* (entier หมายถึงจำนวนเต็มในภาษาฝรั่งเศส) และสำหรับฟังก์ชันพื้นของจำนวนที่ไม่เป็นลบ *x* อาจเรียกว่าเป็น **ภาคจำนวนเต็ม** (integral part) ของ *x* ในภาษาโปรแกรมอื่นที่นอกเหนือจากภาษาเอพีแอล มักจะใช้สัญกรณ์ว่า `ENTIER (''x'') ` (ภาษาอัลกอล), `floor (''x'') `, หรือไม่ก็ `int (''x'') ` (ภาษาซี/ซีพลัสพลัส) ในทางคณิตศาสตร์ สัญกรณ์สำหรับฟังก์ชันนี้สามารถเขียนเป็นวงเล็บเหลี่ยมตัวหนาหรือซ้อนสองก็ได้ [\![x]\!]

ส่วนฟังก์ชันเพดานอาจเรียกว่าเป็น **ฟังก์ชันจำนวนเต็มน้อยสุด** (least integer function) ในภาษาโปรแกรมอื่นมักจะใช้แทนด้วย `ceil (''x'') ` หรือ `ceiling (''x'') ` ในทางคณิตศาสตร์ มีสัญกรณ์อีกแบบหนึ่งคือวงเล็บเหลี่ยมตัวหนาหรือซ้อนสองที่หันออก ]\!]x[\![ หรือใช้เพียงแค่วงเล็บเหลี่ยมธรรมดาหันออกก็ได้ *x*

### ตัวอย่าง

สำหรับนิยามของภาคเศษส่วน ดูในหัวข้อถัดไป

## นิยามและสมบัติ
ในสูตรคณิตศาสตร์ต่อไปนี้ สมมติให้ *x*, *y* เป็นจำนวนจริง *k*, *m*, *n* เป็นจำนวนเต็ม และ \mathbb{Z} คือเซตของจำนวนเต็ม (อันประกอบด้วยจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ และศูนย์)

ฟังก์ชันพื้นและเพดานสามารถนิยามได้ด้วยเซตดังนี้
::\lfloor x \rfloor = \max\, \{ n \in \mathbb{Z} \mid n \le x \}

::\lceil x \rceil = \min\, \{ n \in \mathbb{Z} \mid n \ge x \}

เนื่องจากช่วงครึ่งเปิดความยาวหนึ่งหน่วย จะมีจำนวนเต็มเพียงหนึ่งตัวในช่วงนั้น ดังนั้นสำหรับจำนวนจริง *x* ใด ๆ จะมีจำนวนเต็ม *m* และ *n* ที่ทำให้
::x - 1 
เราจะได้ \lfloor x \rfloor = m และ \lceil x \rceil = n ซึ่งก็ถือว่าเป็นนิยามอย่างหนึ่งเช่นกัน

นอกจากนี้ก็ยังมี \{x\} = x - \lfloor x \rfloor และ x \,\bmod\, y = x - y \left\lfloor \frac{x}{y} \right\rfloor

### การเทียบเท่า
สูตรเหล่านี้สามารถใช้ถอดฟังก์ชันพื้นและฟังก์ชันเพดานออกจากนิพจน์
::
\begin{align}
\lfloor x \rfloor = n &\iff &n &\le x 

และสำหรับอสมการ
::
\begin{align}
x 

สูตรเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงผลจากการบวกด้วยจำนวนเต็ม *n* ภายในฟังก์ชัน
::
\begin{align}
\lfloor x + n \rfloor &= \lfloor x \rfloor + n \\
\lceil x + n \rceil &= \lceil x \rceil + n \\
\{ x + n \} &= \{ x \} \\
\end{align}


อย่างไรก็ตาม สูตรด้านบนอาจไม่เป็นจริงเสมอไปถ้า *n* ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่จะได้ผลดังนี้แทน
::
\begin{align}
&\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor &\leq \; \lfloor x + y \rfloor \; &\leq \; \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1 \\
&\lceil x \rceil + \lceil y \rceil - 1 &\leq \; \lceil x + y \rceil \; &\leq \; \lceil x \rceil + \lceil y \rceil \\
\end{align}


### ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชัน
จากนิยามเราสามารถสรุปได้ว่า
::\lfloor x \rfloor \le \lceil x \rceil กรณีที่มีค่าเท่ากันคือเมื่อ *x* เป็นจำนวนเต็ม
::\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = \begin{cases}
0 &\mbox{ if } x \in \mathbb{Z} \\
1 &\mbox{ if } x \notin \mathbb{Z} \\
\end{cases}

สำหรับจำนวนเต็ม *n* ประโยคนี้จะเป็นจริง
::\lfloor n \rfloor = \lceil n \rceil = n

สลับเครื่องหมายในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันพื้นและเพดาน
::\lfloor x \rfloor +\lceil -x \rceil = 0

::\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = \begin{cases}
0 &\mbox{ if } x \in \mathbb{Z} \\
-1 &\mbox{ if } x \notin \mathbb{Z} \\
\end{cases}

::\lceil x \rceil + \lceil -x \rceil = \begin{cases}
0 &\mbox{ if } x \in \mathbb{Z}  \\
1 &\mbox{ if } x \notin \mathbb{Z} \\
\end{cases}

สลับเครื่องหมายในอาร์กิวเมนต์ของภาคเศษส่วน
::\{ x \} + \{ -x \} = \begin{cases}
0 &\mbox{ if } x \in \mathbb{Z} \\
1 &\mbox{ if } x \notin \mathbb{Z} \\
\end{cases}

ฟังก์ชันพื้น ฟังก์ชันเพดาน และภาคเศษส่วน เป็นฟังก์ชันนิจพล
::
\begin{align}
\Big\lfloor \lfloor x \rfloor \Big\rfloor &= \lfloor x \rfloor \\
\Big\lceil \lceil x \rceil \Big\rceil &= \lceil x \rceil \\
\Big\{ \{ x \} \Big\} &= \{ x \} \\
\end{align}


ใช้ฟังก์ชันพื้นและเพดานซ้อนกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือฟังก์ชันที่อยู่ในสุด
::
\begin{align}
\Big\lfloor \lceil x \rceil \Big\rfloor &= \lceil x \rceil \\
\Big\lceil \lfloor x \rfloor \Big\rceil &= \lfloor x \rfloor \\
\end{align}


กำหนดให้ *y* มีค่าคงตัว *x* mod *y* จะเป็นนิจพล
::(x \,\bmod\, y) \,\bmod\, y =  x \,\bmod\, y

และจากนิยาม
::\{x\} = x \,\bmod\, 1

### ผลหาร
ถ้า *n* ≠  0 แล้ว
::0 \le \left \{\frac{m}{n} \right\} \le 1-\frac{1}

ถ้า *n* เป็นจำนวนเต็มบวก
::\left\lfloor \frac{x + m}{n} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{\lfloor x \rfloor + m}{n} \right\rfloor

::\left\lceil \frac{x + m}{n} \right\rceil = \left\lceil \frac{\lceil x \rceil + m}{n} \right\rceil

ถ้า *m* เป็นจำนวนเต็มบวก
::n = \left\lceil \frac{n}{m} \right\rceil + \left\lceil \frac{n - 1}{m} \right\rceil + \dots + \left\lceil \frac{n - m + 1}{m} \right\rceil

::n = \left\lfloor \frac{n}{m} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n + 1}{m} \right\rfloor + \dots + \left\lfloor \frac{n + m - 1}{m} \right\rfloor

ซึ่งเมื่อ *m* = 2 จะทำให้เกิดสมบัตินี้
::n = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor + \left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil

กรณีทั่วไปสำหรับจำนวนเต็มบวก *m*
::\lceil mx \rceil = \left\lceil x \right\rceil + \left\lceil x - \frac{1}{m} \right\rceil + \dots + \left\lceil x - \frac{m-1}{m} \right\rceil

::\lfloor mx \rfloor = \left\lfloor x \right\rfloor + \left\lfloor x + \frac{1}{m} \right\rfloor + \dots + \left\lfloor x + \frac{m-1}{m} \right\rfloor

สูตรต่อไปนี้สามารถเปลี่ยนระหว่างฟังก์ชันพื้นกับฟังก์ชันเพดาน เมื่อ *m* เป็นจำนวนเต็มบวก
::\left\lceil \frac{n}{m} \right\rceil = \left\lfloor \frac{n + m - 1}{m} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{n - 1}{m} \right\rfloor + 1

::\left\lfloor \frac{n}{m} \right\rfloor = \left\lceil \frac{n - m + 1}{m} \right\rceil = \left\lceil \frac{n + 1}{m} \right\rceil - 1

ถ้า *m* และ *n* เป็นจำนวนเต็มบวกและเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จะได้
::\sum_{i=1}^{n-1} \left\lfloor \frac{im}{n} \right\rfloor = \frac{1}{2}(m - 1)(n - 1)

เนื่องจากสูตรข้างต้น *m* และ *n* มีความสมมาตรต่อกัน จึงสามารถกระจายฝั่งซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับได้ดังนี้
::\left\lfloor \frac{m}{n} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2m}{n} \right\rfloor + \dots + \left\lfloor \frac{(n - 1)m}{n} \right\rfloor = 
\left\lfloor \frac{n}{m} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2n}{m} \right\rfloor + \dots + \left\lfloor \frac{(m - 1)n}{m} \right\rfloor

และสำหรับกรณีทั่วไป เมื่อ *m* และ *n* เป็นจำนวนเต็มบวก

::\left\lfloor \frac{x}{n} \right\rfloor +
\left\lfloor \frac{m+x}{n} \right\rfloor +
\left\lfloor \frac{2m+x}{n} \right\rfloor +
\dots +
\left\lfloor \frac{(n-1)m+x}{n} \right\rfloor&nbsp;&nbsp;
= \left\lfloor \frac{x}{m} \right\rfloor +
\left\lfloor \frac{n+x}{m} \right\rfloor +
\left\lfloor \frac{2n+x}{m} \right\rfloor +
\dots +
\left\lfloor \frac{(m-1)n+x}{m} \right\rfloor

สิ่งนี้เรียกว่า กฎการแลกเปลี่ยน

### ผลหารซ้อน
สำหรับจำนวนเต็มบวก *m* และ *n* และจำนวนจริง *x*
::\left\lfloor \frac{\lfloor x / m \rfloor}{n} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{x}{mn} \right\rfloor

::\left\lceil \frac{\lceil x / m \rceil}{n} \right\rceil = \left\lceil \frac{x}{mn} \right\rceil

### ความต่อเนื่อง
ฟังก์ชันทั้งหมดที่กล่าวมาไม่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แต่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นช่วง ซึ่ง ⌊*x*⌋ กับ ⌈*x*⌉ เป็นฟังก์ชันคงตัวในแต่ละช่วง และไม่ต่อเนื่องที่จำนวนเต็ม {*x*} ก็ไม่ต่อเนื่องที่จำนวนเต็มเช่นกัน แต่ไม่ได้เป็นฟังก์ชันคงตัว ส่วน *x* mod *y* เป็นฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องที่พหุคูณของ *y* ถ้าให้ *y* มีค่าคงตัว

⌊*x*⌋ ถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน (upper semi-continuous function) และ ⌈*x*⌉ กับ {*x*} เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง (lower semi-continuous function) ส่วน *x* mod *y* จะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างเมื่อ *y* เป็นจำนวนบวก และเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนเมื่อ *y* เป็นจำนวนลบ

### การกระจายอนุกรม
เนื่องจากฟังก์ชันทั้งหมดที่กล่าวมาไม่ต่อเนื่อง จึงไม่มีฟังก์ชันใดที่เขียนแทนด้วยการกระจายอนุกรมกำลังได้ และเนื่องจากฟังก์ชันพื้นและเพดานไม่เป็นคาบ (periodic) สองฟังก์ชันนี้จึงไม่มีการกระจายอนุกรมฟูรีเย

สำหรับ *x* mod *y* โดยที่ *y* มีค่าคงตัว มีการกระจายฟูรีเยดังนี้ 
::x \,\bmod\, y = \frac{y}{2} - \frac{y}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin\left(\frac{2 \pi k x}{y}\right)} {k}

ด้วยสมบัติที่ว่า {*x*} = *x* mod 1 ดังนั้นจะได้
::\{x\} = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)} {k}

ในจุดที่เกิดความไม่ต่อเนื่อง อนุกรมฟูรีเยจะลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งที่เป็นค่าเฉลี่ยของลิมิตทางซ้ายและทางขวา สำหรับ *x* mod *y* ซึ่ง *y* มีค่าคงตัว อนุกรมฟูรีเยจะลู่เข้า *y* / 2 ที่ตำแหน่งพหุคูณของ *y* ส่วนในจุดอื่น ๆ ที่มีความต่อเนื่อง อนุกรมจะลู่เข้าค่าจริง

จากสูตรที่ว่า {*x*} = *x* − ⌊*x*⌋ จึงสรุปได้ว่า
::\lfloor x \rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}

## การประยุกต์ใช้
### ภาคเศษส่วน
**ภาคเศษส่วน** (fractional part) เป็นฟังก์ชันฟันเลื่อย เขียนแทนด้วย {*x*} สำหรับทุกจำนวนจริง *x* ซึ่งนิยามโดยสูตรนี้
::\{x\} = x - \lfloor x \rfloor

ภาคเศษส่วนของ *x* จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 กับ 1 นั่นคือ
::0 \le \{x\} 

ถ้า *x* เป็นจำนวนบวก ฟังก์ชันพื้นของ *x* สามารถสรุปได้อย่างง่ายว่า เป็นค่า *x* ที่ตัดตัวเลขหลังจุดทศนิยมออกไป ดังนั้นภาคเศษส่วนของ *x* ก็คือค่า *x* ที่ตัดตัวเลขหน้าจุดทศนิยมออกไป

### มอดุโล
การดำเนินการมอดุโล (modulo) เขียนแทนด้วย *x* mod *y* สำหรับจำนวนจริง *x* และ *y* โดยที่ *y* ≠ 0 นิยามโดยสูตรนี้
::x \,\bmod\, y = x - y \left\lfloor \frac{x}{y} \right\rfloor

ผลลัพธ์ของ *x* mod *y* จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง *y* นั่นคือ
::y > 0 \Rightarrow 0 \le x \,\bmod\, y 

::y  y

ถ้า *x* เป็นจำนวนเต็มและ *y* เป็นจำนวนเต็มบวก
::(x \,\bmod\, y) \equiv x \pmod{y}

ฟังก์ชัน *x* mod *y* โดยที่ *y* เป็นค่าคงตัว จะเป็นฟังก์ชันฟันเลื่อยเช่นกัน

### การแลกเปลี่ยนกำลังสอง
การพิสูจน์การแลกเปลี่ยนกำลังสอง (quadratic reciprocity) ของเกาส์ครั้งที่สาม ซึ่งปรับปรุงแก้ไขโดยไอเซนสไตน์ (Ferdinand Eisenstein) มีสองขั้นตอนพื้นฐานดังนี้ 

กำหนดให้ *p* และ *q* เป็นจำนวนเฉพาะที่เป็นจำนวนคี่คนละตัวกัน และกำหนดให้
::m = \frac{p - 1}{2},\;\; n = \frac{q - 1}{2}

ขั้นตอนแรก สัญลักษณ์เลอช็องดร์ถูกนำมาเขียนอธิบายด้วยบทตั้งของเกาส์
::\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\left\lfloor\frac{q}{p}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2q}{p}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor\frac{mq}{p}\right\rfloor } 
::\left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^{\left\lfloor\frac{p}{q}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2p}{q}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor\frac{np}{q}\right\rfloor }

ขั้นตอนที่สองคือใช้การให้เหตุผลทางเรขาคณิตเพื่อที่จะแสดงว่า
::\left\lfloor\frac{q}{p}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2q}{p}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor\frac{mq}{p}\right\rfloor 
+\left\lfloor\frac{p}{q}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2p}{q}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor\frac{np}{q}\right\rfloor 
= mn

จากนั้นจึงเอาสูตรทั้งสองมารวมกัน ทำให้เกิดการแลกเปลี่ยนกำลังสอง
::\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{mn} = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}

สูตรต่อไปนี้เป็นการใช้ฟังก์ชันพื้นเพื่อแสดงลักษณะกำลังสองของจำนวนขนาดเล็ก มอดุโลกับจำนวนเฉพาะ *p* 
::\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\left\lfloor\frac{p+1}{4}\right\rfloor}
::\left(\frac{3}{p}\right) = (-1)^{\left\lfloor\frac{p+1}{6}\right\rfloor}

### การปัดเศษ

การปัดเศษจำนวนบวก *x* ไปยังจำนวนเต็มที่อยู่ใกล้ที่สุด จะใช้วิธีการปัดเศษโดยครึ่งหนึ่งให้ปัดขึ้นโดยปกติ สามารถเขียนได้เป็น \lfloor x + 0.5 \rfloor

### จำนวนหลัก
จำนวนหลักของจำนวนเต็มบวก *k* ในฐาน *b* คำนวณได้จาก \lfloor \log_{b}{k} \rfloor + 1

### ตัวประกอบของแฟกทอเรียล
กำหนดให้ *n* เป็นจำนวนเต็มบวกและ *p* เป็นจำนวนเฉพาะ (ซึ่งเป็นบวกเช่นกัน) กำลังสูงสุดของ *p* ที่สามารถหาร *n*! (แฟกทอเรียลของ *n*) ได้ลงตัว คำนวณได้จากสูตรนี้ 
::\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{p^2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{p^3}\right\rfloor + \dots
ผลรวมของอนุกรมนี้จำกัด เนื่องจากฟังก์ชันพื้นจะให้ผลลัพธ์เป็นศูนย์เมื่อ *p**k* > *n*

### ลำดับบีตตี
ลำดับบีตตี (Beatty sequence) ได้แสดงไว้ว่าจำนวนอตรรกยะที่เป็นบวกทุกจำนวน เมื่อผ่านฟังก์ชันพื้นแล้วจะเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนธรรมชาติซึ่งเป็นสมาชิกของลำดับสองลำดับคู่กัน

### ค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี
สูตรที่ใช้แสดงค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี γ = 0.57721 56649 … ที่เกี่ยวกับฟังก์ชันพื้นและเพดาน ตัวอย่างเช่น

::\gamma = \int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx

::\gamma = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\, \sum_{k=1}^n \left ( \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil - \frac{n}{k} \right )

::
\gamma = \sum_{k=2}^\infty (-1)^k \frac{ \left \lfloor \log_2 k \right \rfloor}{k}
= \tfrac12-\tfrac13
+ 2\left(\tfrac14 - \tfrac15 + \tfrac16 - \tfrac17\right)
+ 3\left(\tfrac18 - \dots - \tfrac1{15}\right) + \dots


### ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์
ฟังก์ชันภาคเศษส่วนปรากฏในการแจกแจงปริพันธ์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้อย่างตรงไปตรงมาด้วยการหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน โดยสมมติว่า φ (*x*) คือฟังก์ชันใด ๆ ที่มีความต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ในช่วงปิด [*a*, *b*]
::{ \sum_{a

กำหนดให้ φ (*n*) = *n*−*s* สำหรับส่วนจริงของ *s* ที่มากกว่า 1 และกำหนดให้ *a*, *b* เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง *b* มีค่าเข้าใกล้อนันต์ จะได้
::\zeta(s) = s\int_1^\infty\frac{\frac12-\{x\}}{x^{s+1}}\;dx + \frac{1}{s-1} + \frac12

สูตรนี้สามารถใช้ได้กับทุกค่าของ *s* ที่มีส่วนจริงมากกว่า −1 (ยกเว้นเมื่อ *s* = 1 เพราะจุดนั้นเป็นโพล) และเมื่อรวมเข้ากับการกระจายฟูรีเยของ {*x*} จะทำให้สามารถใช้ฟังก์ชันซีตาได้กับทั้งระนาบเชิงซ้อน และใช้สำหรับพิสูจน์สมการเชิงฟังก์ชัน 

สำหรับ *s* = σ + *i t* ภายในแถบวิกฤต (critical strip) เช่น 0 \zeta(s)=s\int_{-\infty}^\infty e^{-\sigma\omega}(\lfloor e^\omega\rfloor - e^\omega)e^{-it\omega}\,d\omega

### สูตรเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ

*n* จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ
::\sum_{m=1}^\infty \left(\left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n-1}{m}\right\rfloor\right) = 2

กำหนดให้ *r* > 1 เป็นจำนวนเต็ม, *p**n* คือจำนวนเฉพาะตัวที่ *n* และ α ซึ่งนิยามโดย
::\alpha = \sum_{m=1}^\infty p_m r^{-m^2}

เราจะได้ว่า 
::p_n = \left\lfloor r^{n^2}\alpha \right\rfloor - r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^2}\alpha\right\rfloor

มีจำนวน θ = 1.3064… ซึ่งมีสมบัติว่า จำนวนทั้งหมดในลำดับ \left\lfloor \theta^3 \right\rfloor, \left\lfloor \theta^9 \right\rfloor, \left\lfloor \theta^{27} \right\rfloor, \dots เป็นจำนวนเฉพาะ 

และมีจำนวน ω = 1.9287800… ซึ่งมีสมบัติว่า จำนวนทั้งหมดในลำดับ \left\lfloor 2^\omega\right\rfloor, \left\lfloor 2^{2^\omega} \right\rfloor, \left\lfloor 2^{2^{2^\omega}} \right\rfloor, \dots เป็นจำนวนเฉพาะ

π (*x*) เป็นฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ คือนับว่ามีจำนวนเฉพาะอยู่เท่าไรที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ *x* ซึ่งเป็นการลดทอนมาจากทฤษฎีบทของวิลสันที่ว่า 
::\pi(n) = \sum_{j=2}^n\left\lfloor\frac{(j-1)!+1}{j} - \left\lfloor\frac{(j-1)!}{j}\right\rfloor\right\rfloor

และถ้าหาก *n* ≥ 2 จะได้
::\pi(n) = \sum_{j=2}^n \left\lfloor \frac{1}{\sum_{k=2}^j\left\lfloor\left\lfloor\frac{j}{k}\right\rfloor\frac{k}{j}\right\rfloor}\right\rfloor

แต่สูตรในส่วนนี้ที่กล่าวมาทั้งหมด ไม่มีการนำไปใช้จริงในทางปฏิบัติ

### ข้อปัญหาที่แก้ได้
รามานุจันได้ส่งข้อปัญหาที่เกี่ยวกับฟังก์ชันพื้นเหล่านี้ลงใน *Journal of the Indian Mathematical Society*

ถ้า *n* เป็นจำนวนเต็มบวก จงพิสูจน์ว่า
# \left\lfloor\tfrac{n}{3}\right\rfloor + \left\lfloor\tfrac{n+2}{6}\right\rfloor + \left\lfloor\tfrac{n+4}{6}\right\rfloor = \left\lfloor\tfrac{n}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\tfrac{n+3}{6}\right\rfloor 
# \left\lfloor\tfrac12 + \sqrt{n+\tfrac12}\right\rfloor = \left\lfloor\tfrac12 + \sqrt{n+\tfrac14}\right\rfloor
# \left\lfloor\sqrt{n}+ \sqrt{n+1}\right\rfloor = \left\lfloor \sqrt{4n+2}\right\rfloor

### ข้อปัญหาที่แก้ไม่ได้
จากการศึกษาข้อปัญหาของวาริง ได้นำไปสู่ปัญหาที่ยังไม่สามารถแก้ได้จนปัจจุบัน นั่นคือ

จริงหรือไม่ที่จำนวนเต็มบวก *k* ใด ๆ โดยที่ *k* ≥ 6 ทำให้เงื่อนไขนี้เป็นจริง
::3^k-2^k\left\lfloor \left(\tfrac32\right)^k \right\rfloor  > 2^k-\left\lfloor \left(\tfrac32\right)^k \right\rfloor -2

เคิร์ต มาห์เลอร์ เคยพิสูจน์และสรุปว่า มีเพียงจำนวนจำกัดจำนวนหนึ่งเท่านั้นสำหรับ *k* ที่ตรงตามเงื่อนไขข้างต้น นอกเหนือจากนั้นยังไม่สามารถสรุปได้

## การใช้งานในคอมพิวเตอร์
thumb|right|กราฟของการแปลงเป็นจำนวนเต็ม (int)
### ภาษาโปรแกรม
ภาษาซี ภาษาซีพลัสพลัส และภาษาอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง (เช่นภาษาซีชาร์ป ภาษาจาวา) มีฟังก์ชันมาตรฐาน `floor () ` สำหรับฟังก์ชันพื้น และ `ceil () ` สำหรับฟังก์ชันเพดาน

นอกจากนี้ยังมีอีกวิธีการหนึ่งคือการแปลงจำนวนจุดลอยตัว (floating point) ไปเป็นจำนวนเต็มโดยการกำกับชนิดข้อมูล ` (int) ''value''` ซึ่งจะทำให้ตัวเลขที่อยู่หลังจุดทศนิยมถูกตัดออกไปทั้งหมด ไม่ว่าจำนวนนั้นจะเป็นบวกหรือลบ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถูกปัดเศษไปยังค่าศูนย์


## เชิงอรรถ

## อ้างอิง

* 
* 
* 
* 
* Nicholas J. Higham, *Handbook of writing for the mathematical sciences*, SIAM. ISBN 0898714206, p. 25
* ISO/IEC. *ISO/IEC 9899::1999 (E) : Programming languages — C* (2nd ed), 1999; Section 6.3.1.4, p. 43.
* 
* 
* 
* 
* Michael Sullivan. *Precalculus*, 8th edition, p. 86
* 

## ดูเพิ่ม
* ฟังก์ชันจำนวนเต็มใกล้สุด
* ฟังก์ชันขั้นบันได

หมวดหมู่:ฟังก์ชันพิเศษมูลฐาน
หมวดหมู่:สัญกรณ์คณิตศาสตร์