กฎลูกโซ่

ในวิชาแคลคูลัส **กฎลูกโซ่** () คือสูตรสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันคอมโพสิต

เห็นได้ชัดว่า หากตัวแปร *y* เปลี่ยนแปลงตามตัวแปร *u* ซึ่งเปลี่ยนแปลงตามตัวแปร *x* แล้ว อัตราการเปลี่ยนแปลงของ *y* เทียบกับ *x* หาได้จากผลคูณ ของอัตราการเปลี่ยนแปลงของ *y* เทียบกับ *u* คูณกับ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ *u* เทียบกับ *x*

สมมติให้คนหนึ่งปีนเขาด้วยอัตรา 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง อุณหภูมิจะลดต่ำลงเมื่อระดับความสูงเพิ่มขึ้น สมมติให้อัตราเป็น ลดลง 6&nbsp;°F ต่อกิโลเมตร ถ้าเราคูณ 6&nbsp;°F ต่อกิโลเมตรด้วย 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จะได้ 3&nbsp;°F ต่อชั่วโมง การคำนวณเช่นนี้เป็นตัวอย่างของการประยุกต์ใช้กฎลูกโซ่

ในทางพีชคณิต **กฎลูกโซ่** (สำหรับตัวแปรเดียว) ระบุว่า ถ้าฟังก์ชัน *f* หาอนุพันธ์ได้ที่ *g(x)* และฟังก์ชัน *g* หาอนุพันธ์ได้ที่ *x* คือเราจะได้ f \circ g = f(g(x)) ดังนั้น

: 
 \frac {df} {dx} = \frac {d} {dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)


นอกจากนี้ ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ กฎลูกโซ่เขียนแทนได้ดังนี้:
: 
\frac {df}{dx} = \frac {df} {dg} \frac {dg}{dx}

เมื่อ \frac {df} {dg} ระบุว่า *f* เปลี่ยนแปลงตาม *g* เหมือนเป็นตัวแปรหนึ่ง

ในการหาปริพันธ์ ส่วนกลับของกฎลูกโซ่คือการหาปริพันธ์โดยการแทนค่า

## กฎเลขยกกำลังทั่วไป

กฎเลขยกกำลังทั่วไปสามารถนำมาใช้กับกฎลูกโซ่ได้

### ตัวอย่างข้อที่ 1
พิจารณา  f(x) = (x^2 + 1)^3 .  f(x)  เทียบได้กับ  h(g(x))  โดยที่  g(x) = x^2 + 1  และ  h(x) = x^3  ดังนั้น

: 

### ตัวอย่างข้อที่ 2
ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
: f(x) = \sin(x^2)
เราสามารถเขียน f(x) = h(g(x)) ด้วย h(x) = \sin x และ g(x) = x^2 จากกฎลูกโซ่ จะได้
: f'(x) = 2x \cos(x^2)
เนื่องจาก h'(g(x)) = \cos (x^2) และ g'(x) = 2x

## กฎลูกโซ่สำหรับหลายตัวแปร
กฎลูกโซ่ใช้ได้กับฟังก์ชันหลายตัวแปรเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีฟังก์ชัน f(u(x, y), v(x, y)) โดยที่
:  u(x, y) = 3x + y^2  และ  v(x, y) = \sin(xy) 
ดังนั้น
:  {\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial f \over \partial v}{\partial v \over \partial x}=3 + \cos(xy)y 

## บทพิสูจน์กฎลูกโซ่
ให้ *f* และ *g* เป็นฟังก์ชัน และให้ *x* เป็นจำนวนที่ *f* สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ *g(x)* และ *g* หาอนุพันธ์ได้ที่ *x* ดังนั้น จากนิยามของการหาอนุพันธ์ได้ จะได้

:  g(x+\delta)-g(x)= \delta g'(x) + \epsilon(\delta) \, ซึ่ง  \frac{\epsilon(\delta)}{\delta} \to 0 \, ขณะที่ \delta\to 0

ในทำนองเดียวกัน
:  f(g(x)+\alpha) - f(g(x)) = \alpha f'(g(x)) + \eta(\alpha) \, ซึ่ง \frac{\eta(\alpha)}{\alpha} \to 0 \, ขณะที่ \alpha\to 0 \,

จะได้

: 

ซึ่ง \alpha_\delta = \delta g'(x) + \epsilon(\delta) \,
จะเห็นว่าขณะที่ \delta\to 0 นั้น \frac{\alpha_\delta}{\delta}\to g'(x) และ \frac{\eta(\alpha_\delta)}{\delta}\to 0 ดังนั้น

:  \frac{f(g(x+\delta))-f(g(x))}{\delta} \to g'(x)f'(g(x)) ขณะที่ \delta \to 0

## กฎลูกโซ่พื้นฐาน

กฎลูกโซ่นั้นเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของนิยามของอนุพันธ์ทั้งหมด เช่น ถ้า *E* *F* และ *G* เป็น ปริภูมิบานาค (รวมไปถึงปริภูมิยูคลิดด้วย) และ *f* : *E* &rarr; *F* และ *g* : *F* &rarr; *G* เป็นฟังก์ชัน และถ้า *x* เป็นสมาชิกของ *E* ซึ่ง *f* หาอนุพันธ์ได้ที่ *x* และ *g* หาอนุพันธ์ได้ที่ *f*(*x*) แล้ว อนุพันธ์ (อนุพันธ์เฟรเชต์) ของฟังก์ชันคอมโพสิต *g* o *f* ที่ *x* จะเป็นดังนี้

: \mbox{D}_x\left(g \circ f\right) = \mbox{D}_{f\left(x\right)}\left(g\right) \circ \mbox{D}_x\left(f\right)

สังเกตว่าอนุพันธ์นี้เป็นการแปลงเชิงเส้น ไม่ใช่ตัวเลข ถ้าการแปลงเชิงเส้นแทนด้วยเมทริกซ์ (จาโคเบียนเมทริกซ์) การรวมทางด้านขวาจะกลายเป็นการคูณเมทริกซ์

การกำหนดกฎลูกโซ่ที่ชัดเจนสามารถทำได้จากวิธีที่เป็นทั่วไปมากที่สุด คือ ให้ *M* *N* และ *P* เป็นแมนิโฟลด์ *C**k* (หรือบานาคแมนิโฟลด์) และให้

: *f* : *M* &rarr; *N* และ *g* : *N* &rarr; *P*

เป็นการแปลงที่หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของ *f* แทนด้วย d*f* จะเป็นการแปลงจากปมสัมผัสของ *M* ไปยังปมสัมผัสของ *N* และสามารถเขียนแทนด้วย

: \mbox{d}\left(g \circ f\right) = \mbox{d}g \circ \mbox{d}f

ด้วยวิธีนี้ รูปแบบของอนุพันธ์และปมสัมผัสจะถูกมองเห็นในรูปฟังก์เตอร์บน Category ของแมนิโฟลด์ *C*&infin; โดยมีการแปลง *C*&infin; เป็นสัณฐาน

## เทนเซอร์กับกฎลูกโซ่

ดู สนามเทนเซอร์ สำหรับคำอธิบายเกี่ยวกับบทบาทพื้นฐานของกฎลูกโซ่ในธรรมชาติทางเรขาคณิตของเทนเซอร์

หมวดหมู่:แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์