ผลคูณคาร์ทีเซียน

thumb|ผลคูณคาร์ทีเซียน <math>\scriptstyle A \times B</math> ของเซต <math>\scriptstyle A=\{x,y,z\}</math> และ <math>\scriptstyle B=\{1,2,3\}</math>

ในวิชาคณิตศาสตร์ **ผลคูณคาร์ทีเซียน** เป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ซึ่งดำเนินการกับเซตหลายเซตได้ผลเป็นเซต (หรือ **เซตผลคูณ**) นั่นคือสำหรับเซต *A* และ *B* ผลคูณคาร์ทีเซียน  เป็นเซตของทุกคู่อันดับ  ที่  และ 

กรณีที่ง่ายที่สุดของผลคูณคาร์ทีเซียน คือ **จัตุรัสคาร์ทีเซียน** ซึ่งดำเนินการกับเซตสองเซตได้เซตหนึ่งเซต เราสามารถสร้างตารางได้โดยหาผลคูณคาร์ทีเซียนของ *เซตของแถว* กับ *เซตของหลัก*  ถ้าหาผลคูณคาร์ทีเซียน  เซลล์ของตารางจะประกอบด้วยคู่อันดับในรูปแบบ 

ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต *n* เซตสามารถแสดงในรูปทูเพิล *n* มิติ โดยสมาชิกแต่ละตัวคือค่าของสมาชิกจากแต่ละเซตที่นำมาหาผลคูณคาร์ทีเซียน

ผลคูณคาร์ทีเซียนตั้งชื่อตามแนวคิดของ เรอเน เดการ์ต ผู้ริเริ่มวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์

## ตัวอย่าง
### สำรับไพ่
ตัวอย่างที่ทำให้เห็นภาพคือไพ่ป๊อก เซตเลขไพ่ {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} มีสมาชิก 13 ตัว และเซตหน้าไพ่  มีสมาชิก 4 ตัว ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตทั้งสองคือเซตคู่อันดับ 52 คู่ ซึ่งสัมพันธ์กับไพ่ทั้ง 52 ใบ 

 ทำให้เกิดเซต {(A, ♠), (A, ♥), (A, ♦), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦), (2, ♣)} หรือ

 ทำให้เกิดเซต {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}

### ระบบพิกัดสองมิติ
ตัวอย่างจากวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์คือระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นผลลัพธ์จากการหาผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซต *X* และ *Y* ที่หมายถึงจุดบนแกน x และแกน y ตามลำดับ ผลคูณคาร์ทีเซียนสามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  ผลคูณนี้เป็นเซตของคู่อันดับทั้งหมดที่เป็นไปได้ แต่ละคู่อันดับมีสมาชิกอันดับที่หนึ่งเป็นสมาชิกของ *X* และสมาชิกอันดับที่สองเป็นสมาชิกของ *Y* (แต่ละคู่อันดับประกอบเป็นระนาบ x–y ทั้งระนาบ) ในทางกลับกัน ผลคูณคาร์ทีเซียนอาจเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  โดยสมาชิกของผลคูณนี้มีสมาชิกอันดับที่หนึ่งจากเซต *Y* และสมาชิกอันดับที่สองจากเซต *X* ผลคูณคาร์ทีเซียนจึงไม่มีสมบัติการสลับที่

:X\times Y = \{\,(x,y)\mid x\in X \ \land \ y\in Y\,\} 
:Y\times X = \{\,(y,x)\mid y\in Y \ \land \ x\in X\,\}
:X\times Y \neq Y\times X

## การประยุกต์ใช้ทั่วไปในทฤษฎีเซต

นิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนตามหลักการของทฤษฎีเซตเป็นผลของนิยามของคู่อันดับ นิยามของคู่อันดับที่ใช้โดยทั่วไป คือนิยามของ Kuratowski ดังนี้ (x, y) = \{\{x\},\{x, y\}\} ข้อสังเกตภายใต้นิยามนี้ X\times Y \subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y)) โดย \mathcal{P} เป็น เพาเวอร์เซต เพราะฉะนั้น การมีอยู่ของผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตใดๆ ใน ZFC เป็นผลจากสัจพจน์แห่งการจับคู่ ยูเนียน เพาเวอร์เซต และ การเจาะจง เพราะว่าฟังก์ชัน มักนิยามเป็นกรณีพิเศษของ ความสัมพันธ์ และความสัมพันธ์มักนิยามเป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียน นิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซตสำคัญมากกว่านิยามอื่น ๆ เป็นส่วนใหญ่
### การคูณคาร์ทีเซียนไม่มีสมบัติการสลับที่และเปลี่ยนหมู่

ให้ A B และ C เป็นเซต ผลคูณคาร์ทีเซียน  A \times B ไม่สามารถสลับที่ได้ นั่นคือ  A \times B \neq B \times A เพราะคู่อันดับถูกสลับอันดับ เว้นแต่เงื่อนไข 
* A = B
* Aเป็นเซตว่าง
* Bเป็นเซตว่าง
เป็นจริงอย่างน้อย 1 ข้อ

ตัวอย่าง 
:A = \{1,2\} และ B = \{1,3\}

:: A \times B = \{1,2\} \times \{1,3\}= \{ (1,1), (1,3), (2,1), (2,3) \}

::B \times A = \{1,3\} \times \{1,2\} = \{(1,1), (1,2), (3,1), (3,2) \} 

:: A \times B \neq B \times A 

:A = B = \{1,2\}

:: A \times B = B \times A = \{1,2\} \times \{1,2\}= \{ (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) \}

: A = \{1,2\}  และ B = \{ \}

:: A \times B = \{1,2\} \times \{ \} = \{ \}  

:: B \times A = \{ \} \times \{1,2\} = \{ \} 

:: A \times B = B \times A 

ผลคูณคาร์ทีเซียนโดยทั่วไปไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เว้นแต่เซตใดเซตหนึ่งเป็นเซตว่าง เพราะการเปลี่ยนหมู่เปลี่ยนลำดับการสร้างคู่อันดับ

: ตัวอย่าง

:: A = \{a\}  B = \{b\} และ C= \{c\}

:: (A \times B) \times C = ( \{a\}  \times  \{b\} )  \times  \{c\} =  \{(a,b)\}\times  \{c\} = \{((a,b),c)\} 

::  A \times (B \times C) = \{a\}  \times ( \{b\}  \times  \{c\} ) = \{a\} \times  \{(b,c)\} = \{(a,(b,c))\} 

::  (A \times B) \times C \neq A\times ( B \times C) 

### สมบัติเกี่ยวกับอินเตอร์เซกชันและยูเนียน

ให้ A B C และ D เป็นเซต

การหาผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนหาอินเตอร์เซกชัน ได้ผลลัพธ์เท่ากับการหาอินเตอร์เซกชันก่อนหาผลคูณคาร์ทีเซียน

:(A \times C) \cap (B \times D) = (A \cap B) \times (C \cap D)

แต่การหาผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนหายูเนียน ได้ผลลัพธ์ไม่เท่ากับการหายูเนียนก่อนหาผลคูณคาร์ทีเซียน

:(A \times C) \cup (B \times D) \neq (A \cup B) \times (C \cup D)

:(A \times C) \cup (B \times D) \subseteq (A \cup B) \times (C \cup D)

มีกฎเกี่ยวกับการแจกแจงอื่น ๆ ดังนี้:
:A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)
:A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)
:A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C)
:(A \times B)^c = (A^c \times B^c) \cup (A^c \times B) \cup (A \times B^c)

สมบัติเกี่ยวกับเซตย่อยได้แก่:
:ถ้า  A \subseteq B  แล้ว  A \times C \subseteq B \times C
:ถ้าทั้งAและB ไม่เป็นเซตว่าง แล้ว  ( A \times B \subseteq C \times D \iff A \subseteq C \land B \subseteq D )

### ภาวะเชิงการนับ
ภาวะเชิงการนับของเซตคือจำนวนสมาชิกของเซต เช่น กำหนดเซตสองเซต A = \{m, n\} และ B = \{0, 1\} ทั้งเซต A และเซต B ต่างประกอบด้วยสมาชิกเซตละสองตัว ผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตนี้ที่เขียนแทนด้วย A \times B เป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกดังนี้:
: A \times B = \{(m,0), (m,1), (n,0), (n,1)\}

สมาชิกแต่ละตัวของ A จับคู่กับสมาชิกแต่ละตัวของ B แต่ละคู่เป็นสมาชิกตัวหนึ่งของเซตผลลัพธ์
จำนวนของค่าในแต่ละหลายสิ่งอันดับเท่ากับจำนวนเซตที่นำมาหาผลคูณคาร์ทีเซียน สำหรับกรณีตัวอย่าง ค่านี้เป็น 2
ภาวะเชิงการนับของเซตผลลัพธ์เท่ากับผลคูณของภาวะเชิงการนับของทุกเซตที่นำมาดำเนินการ นั่นคือ
:|A \times B| = |A||B|
และสามารถแสดงโดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ว่า
:|A_1 \times A_2 \times A_3 \times ... \times A_n| = |A_1||A_2||A_3|...|A_n|

ภาวะเชิงการนับของ A \times B เป็นอนันต์ถ้าเซต A หรือเซต B เซตใดเซตหนึ่งมีสมาชิกอนันต์และอีกเซตหนึ่งไม่ใช่เซตว่าง

## จัตุรัสคาร์ทีเซียนและกำลังคาร์ทีเซียน
**จัตุรัสคาร์ทีเซียน** (หรือ **ผลคูณคาร์ทีเซียนเชิงคู่**) ของเซต *X* คือผลคูณคาร์ทีเซียน 
ตัวอย่างคือระนาบ  เมื่อ **R** เป็นเซตของจำนวนจริง ซึ่งหมายถึงทุกจุด ที่ *x* และ *y* เป็นจำนวนจริง (ดูหน้า ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน)

## อ้างอิง

หมวดหมู่:มโนทัศน์เบื้องต้นในทฤษฎีเซต
หมวดหมู่:การดำเนินการทวิภาค