หลายสิ่งอันดับ

**หลายสิ่งอันดับ** หรือ **ทูเพิล** () เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง โดย **<math>n</math>-สิ่งอันดับ** เป็นลำดับของสิ่ง n สิ่ง (เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ) โดยที่อันดับของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้นมีความสำคัญและไม่สามารถสลับที่ได้ คุณสมบัติดังกล่าวนี้เองทำให้หลายสิ่งอันดับแตกต่างจากเซต การเขียนหลายสิ่งอันดับมักเขียนระบุสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้น คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค และครอบด้วยเครื่องหมายวงเล็บ เช่น  (2, 7, 4, 1, 7)  เป็นห้าสิ่งลำดับ ซึ่งแตกต่างจากห้าสิ่งอันดับ  (7, 7, 1, 2, 4)  หากหลายสิ่งอันดับนั้นมีสองสิ่ง จะมีชื่อเรียกเฉพาะว่าคู่อันดับ

ในคณิตศาสตร์ หลายสิ่งอันดับสามารถนำไปใช้อธิบายวัตถุทางคณิตศาสตร์ชนิดอื่น ๆ ได้ เช่น เวกเตอร์ ส่วนในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ โดยเฉพาะการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชัน หลายสิ่งอันดับเป็นชนิดของตัวแปรที่มีความสำคัญ นอกจากนี้แล้วยังพบการใช้หลายสิ่งอันดับในศาสตร์อื่น ๆ เช่น ภาษาศาสตร์ และปรัชญา

## คุณสมบัติ
โดยทั่วไปแล้ว จะกำหนดให้ n-สิ่งอันดับเท่ากัน ก็ต่อเมื่อสิ่งที่อยู่ในตำแหน่งตรงกันนั้นเท่ากันทั้งหมด นั่นคือ
: (a_1, a_2, \ldots, a_n) = (b_1, b_2, \ldots, b_n) ก็ต่อเมื่อ a_1=b_1, \text{ }a_2=b_2, \text{ }\ldots, \text{ }a_n=b_n

คุณสมบัติดังกล่าวทำให้หลายสิ่งอันดับมีความแตกต่างจากเซต ด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้
# หลายสิ่งอันดับอาจมีแต่ละสิ่งเป็นจำนวนมากกว่าหนึ่งก็ได้ และจำนวนของสิ่งที่แตกต่างกันทำให้หลายสิ่งอันดับเปลี่ยนไป เช่น หลายสิ่งอันดับ  (1, 2, 2, 3) \neq (1, 2, 3)  แต่เซต \{1, 2, 2, 3\} = \{1, 2, 3\}
# อันดับของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้นมีความสำคัญและไม่สามารถสลับที่ได้ เช่น หลายสิ่งอันดับ  (1, 2, 3) \neq (3, 2, 1)  แต่เซต \{1, 2, 3\} = \{3, 2, 1\}
# หลายสิ่งอันดับจะมีจำนวนสิ่งไม่เป็นอนันต์ ส่วนเซตนั้นจะมีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์หรือไม่ก็ได้

## นิยาม
หลายสิ่งอันดับนั้นสามารถกำหนดนิยามได้หลายแบบโดยที่ยังสอดคล้องกับคุณสมบัติที่ต้องการข้างต้น ดังต่อไปนี้

### นิยามด้วยฟังก์ชัน
ในเชิงทฤษฎีเซต อาจนิยาม n-สิ่งอันดับเป็นฟังก์ชัน *F* ที่มีโดเมนเป็นเซต *X* ของตำแหน่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับ และโคโดเมนเป็นเซต *Y* ของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับ นั่นคือ นิยามให้ n-สิ่งอันดับ คือ
:  (a_1, a_2, \dots, a_n) \equiv (X, Y, F) 
เมื่อ
: 
\begin{align}
X & = \{1, 2, \dots, n\} \\
Y & = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \\
F & = \{ (1, a_1), (2, a_2), \ldots, (n, a_n) \} \\
\end{align}

หรืออาจเขียนในรูปลำลองได้เป็น
:  (a_1, a_2, \dots, a_n) := (F (1), F (2), \dots, F (n) ) 

### นิยามด้วยคู่ลำดับซ้อน
ในเชิงทฤษฎีเซตสามารถนิยาม n-สิ่งอันดับได้อีกวิธีหนึ่ง นั่นคือ การใช้คู่อันดับซ้อน วิธีการนี้สมมติว่ามีการกำหนดนิยามคู่อันดับไว้เรียบร้อยแล้ว จากนั้นนำมาขยายเป็นนิยามของ n-สิ่งอันดับ โดยนิยามแบบเวียนเกิดดังนี้
# 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง \emptyset
# n-สิ่งอันดับ เมื่อ n > 0 นิยามให้เป็นคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหน้าเป็นสิ่งสิ่งแรก และสมาชิกตัวหลังเป็น  (n-1) -สิ่งอันดับของสิ่งที่เหลือ นั่นคือ
#:  (a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) = (a_1, (a_2, a_3, \ldots, a_n) ) 
เมื่อใช้นิยามนี้แบบเวียนเกิดจะได้ว่า
:  (a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) = (a_1, (a_2, (a_3, (\ldots, (a_n, \emptyset) \ldots) ) ) ) 

ตัวอย่างเช่น
: 
\begin{align}
(1, 2, 3) & = (1, (2, (3, \emptyset) ) ) \\
(1, 2, 3, 4) & = (1, (2, (3, (4, \emptyset) ) ) ) \\
\end{align}


หรืออาจกำหนดนิยามในทิศทางตรงข้ามก็ได้ ดังนี้
# 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง \emptyset
# n-สิ่งอันดับ เมื่อ n > 0 นิยามให้เป็นคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหลังเป็นสิ่งสิ่งสุดท้าย และสมาชิกตัวหน้าเป็น  (n-1) -สิ่งอันดับของสิ่งที่เหลือ นั่นคือ
#:  (a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) = ( (a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{n-1}), a_n) 
เมื่อใช้นิยามแบบเวียนเกิดจะได้ว่า
:  (a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) = ( (\ldots ( ( (\emptyset, a_1), a_2), a_3), \ldots), a_n) 

ตัวอย่างเช่น
: 
\begin{align}
(1, 2, 3) & = ( ( (\emptyset, 1), 2), 3) \\
(1, 2, 3, 4) & = ( ( ( (\emptyset, 1), 2), 3), 4) \\
\end{align}


### นิยามด้วยเซตซ้อน
เมื่อนำนิยามข้างต้นมาประกอบกับ นิยามคู่อันดับของคูระทาวสกี จะได้นิยามของ n-สิ่งอันดับ ที่เป็นนิยามในรูปทฤษฎีเซตแท้ ดังนี้
# 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง \emptyset
# กำหนดให้ x เป็น n-สิ่งอันดับ  (a_1, a_2, \ldots, a_n)  และกำหนดให้ x \rightarrow b \equiv (a_1, a_2, \ldots, a_n, b)  จะได้ว่า x \rightarrow b \equiv \{\{x\}, \{x, b\}\} (เรียกว่า x เชื่อมกับ b)

ตัวอย่างเช่น
: 
\begin{array}{lclcl}
() & & &=& \emptyset \\
& & & & \\
(1) &=& () \rightarrow 1 &=& \{\{ () \}, \{ (), 1\}\} \\
& & &=& \{\{\emptyset\}, \{\emptyset, 1\}\} \\
& & & & \\
(1, 2) &=& (1) \rightarrow 2 &=& \{\{ (1) \}, \{ (1), 2\}\} \\
& & &=& \{\{\{\{\emptyset\}, \{\emptyset, 1\}\}\}, \\
& & & & \{\{\{\emptyset\}, \{\emptyset, 1\}\}, 2\}\} \\
& & & & \\
(1, 2, 3) &=& (1, 2) \rightarrow 3 &=& \{\{ (1, 2) \}, \{ (1, 2), 3\}\} \\
& & &=& \{\{\{\{\{\{\emptyset\}, \{\emptyset, 1\}\}\}, \\
& & & & \{\{\{\emptyset\}, \{\emptyset, 1\}\}, 2\}\}\}, \\
& & & & \{\{\{\{\{\emptyset\}, \{\emptyset, 1\}\}\}, \\
& & & & \{\{\{\emptyset\}, \{\emptyset, 1\}\}, 2\}\}, 3\}\} \\
\end{array}


## อ้างอิง

* 
* Keith Devlin, *The Joy of Sets*. Springer Verlag, 2nd ed., 1993, ISBN 0-387-94094-4, pp.&nbsp;7–8
* Abraham Adolf Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Lévy, *[http://books.google.com/books?q=Foundations+of+set+theory&btnG=Search+Books Foundations of set theory]*, Elsevier Studies in Logic Vol. 67, Edition 2, revised, 1973, ISBN 0-7204-2270-1, p.&nbsp;33
* Gaisi Takeuti, W. M. Zaring, *Introduction to Axiomatic Set Theory*, Springer GTM 1, 1971, ISBN 978-0-387-90024-7, p.&nbsp;14
* George J. Tourlakis, *[http://books.google.com/books?as_isbn=9780521753746 Lecture Notes in Logic and Set Theory. Volume 2: Set theory]*, Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-75374-6, pp.&nbsp;182–193

หมวดหมู่:มโนทัศน์เบื้องต้นในทฤษฎีเซต
หมวดหมู่:ทฤษฎีอันดับ
หมวดหมู่:ทฤษฎีแบบชนิด