ฟังก์ชันบ่งชี้

right|thumb|ฟังก์ชันบ่งชี้ของเซต ''A'' ซึ่งเป็นเซตย่อยของเซต ''X'' แสดงค่าด้วยสีแดง
**ฟังก์ชันบ่งชี้** () หรือบางครั้งเรียกว่า **ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ** () คือฟังก์ชันที่นิยามบนเซต *X* ซึ่งบ่งชี้ว่าสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งจะเป็นสมาชิกของเซตย่อย *A* ใน *X* หรือไม่ โดยให้ค่าเป็น 1 ถ้าสมาชิกตัวนั้นอยู่ในเซต *A* หรือให้ค่าเป็น 0 ถ้าสมาชิกตัวนั้นไม่อยู่ในเซต *A* แต่ยังคงอยู่ในเซต *X*

## นิยาม
ฟังก์ชันบ่งชี้ของเซตย่อย *A* ของเซต *X* คือฟังก์ชัน
::\mathbf{1}_A : X \to \{ 0,1 \}
นิยามโดย
::\mathbf{1}_A(x) = 
\begin{cases} 
1 &\mbox{if}\ x \in A \\
0 &\mbox{if}\ x \notin A
\end{cases}


สัญกรณ์ที่ใช้อาจพบเป็นอย่างอื่นเช่น
* [*x* ∈ *A*] เป็นสัญกรณ์วงเล็บเหลี่ยมของอิเวอร์สัน
* χ*A* (*x*) อักษรกรีก ไค (χ) เป็นอักษรตัวแรกจากรากศัพท์ภาษากรีกของคำว่า characteristic (ลักษณะเฉพาะ) แต่การใช้สัญกรณ์นี้อาจทำให้สับสนกับฟังก์ชันลักษณะเฉพาะในการวิเคราะห์คอนเวกซ์
* **I***A* (*x*) อักษรละติน ไอ (I) ใช้แทนความหมายของ indicator (ตัวบ่งชี้) แต่การใช้สัญกรณ์นี้หรือ **1***A* (*x*) อาจทำให้สับสนกับฟังก์ชันเอกลักษณ์ (โปรดสังเกตว่าเป็นตัวหนา)
* หรือแม้แต่เขียนเพียงแค่ *A* (*x*)

## สมบัติพื้นฐาน
การจับคู่ที่เกี่ยวข้องกับเซตย่อย *A* ของ *X* ไปยังฟังก์ชันบ่งชี้ของมัน **1***A* มีลักษณะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ซึ่งเรนจ์คือเซตของฟังก์ชัน *f* : *X* → {0, 1}

ถ้า *A* และ *B* ต่างก็เป็นเซตย่อยของ *X* จะได้ว่า (จุด · หมายถึงการคูณ)
::\mathbf{1}_{A\cap B} = \min\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} = \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B 
::\mathbf{1}_{A\cup B} = \max\ (-1)^ \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|+1} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k}
เมื่อ | *F* | คือภาวะเชิงการนับของ *F* สูตรนี้คือรูปแบบหนึ่งของหลักการการเพิ่มเข้า-ตัดออก

ฟังก์ชันบ่งชี้เป็นเครื่องมือสำคัญอย่างหนึ่งที่มีประโยชน์ในเรื่องคณิตศาสตร์เชิงการจัด ดังที่ให้ตัวอย่างไว้แล้วก่อนหน้านี้ สัญกรณ์นี้ถูกใช้ในแขนงวิชาอื่นเช่นกัน ตัวอย่างเช่นในทฤษฎีความน่าจะเป็น ถ้าให้ *X* เป็นปริภูมิความน่าจะเป็นที่มีเมเชอร์ความน่าจะเป็น **P** และ *A* เป็นเซตหาเมเชอร์ได้แล้ว **1***A* จะกลายเป็นตัวแปรสุ่มซึ่งมีค่าคาดหมายเท่ากับความน่าจะเป็นของ *A* ดังนี้
::\operatorname{E}(\mathbf{1}_A)= \int_{X} \mathbf{1}_A(x)\,d\mathbb{P} = \int_{A} d\mathbb{P} = \operatorname{P}(A)
เอกลักษณ์นี้ใช้ในการพิสูจน์อย่างง่ายในอสมการของมาร์คอฟ

ในกรณีอื่นเช่นทฤษฎีอันดับ ตัวผกผันของฟังก์ชันบ่งชี้อาจมีการนิยามขึ้นได้ สิ่งนี้มักเรียกว่า ฟังก์ชันโมเบียสทั่วไป ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของตัวผกผันของฟังก์ชันบ่งชี้ในทฤษฎีจำนวนมูลฐาน (ฟังก์ชันโมเบียส)

## มัชฌิม ความแปรปรวน และความแปรปรวนร่วมเกี่ยว
กำหนดให้ปริภูมิความน่าจะเป็น (Ω, \mathcal F, **P**) ซึ่ง *A* ∈ \mathcal F และกำหนดตัวแปรสุ่มบ่งชี้ **1***A* : Ω → **R** ซึ่งนิยามโดย **1***A* (ω) = 1 เมื่อ ω ∈ *A* สำหรับกรณีอื่น **1***A* (ω) = 0

## ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะในทฤษฎีเซตวิภัชนัย
ตามคณิตศาสตร์แบบฉบับ ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเซตให้ค่าเป็น 1 (เป็นสมาชิก) หรือ 0 (ไม่เป็นสมาชิก) เพียงเท่านั้น แต่ในทฤษฎีเซตวิภัชนัย ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะจะถูกทำให้เป็นการวางนัยทั่วไป โดยให้ค่าเป็นจำนวนจริงที่อยู่ในช่วง [0, 1] หรือยิ่งไปกว่านั้นในพีชคณิตหรือโครงสร้างบางชนิด ฟังก์ชันเช่นนี้มักจะเรียกว่า ฟังก์ชันภาวะสมาชิก (membership function) ซึ่งเกี่ยวข้องกับเซตวิภัชนัย (fuzzy set) เซตวิภัชนัยเป็นการจำลองการเปลี่ยนแปลงเป็นระดับชั้นของดีกรีความเป็นสมาชิกในภาคแสดงซึ่งพบเห็นได้ในชีวิตจริงเช่น สูง-กลาง-ต่ำ ร้อน-อุ่น-เย็น-หนาว เป็นต้น

## อ้างอิง
* Folland, G.B.; *Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications*, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
* Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. *[[Introduction to Algorithms]]*, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp.94-99.
* Martin Davis ed. (1965), *The Undecidable*, Raven Press Books, Ltd., New York.
* Stephen Kleene, (1952), *Introduction to Metamathematics*, Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company, Netherlands, Sixth Reprint with corrections 1971.
* George Boolos, John P. Burgess, Richard C. Jeffrey (2002), *Computability and Logic*, Cambridge University Press, Cambridge UK, ISBN 0-521-00758-5.
* Lotfi A. Zadeh, 1965, "Fuzzy sets". *Information and Control* **8**: 338–353. http://www-bisc.cs.berkeley.edu/zadeh/papers/Fuzzy%20Sets-1965.pdf 
* Joseph Goguen, 1967, "*L*-fuzzy sets". *Journal of Mathematical Analysis and Applications* **18**: 145–174

หมวดหมู่:ทฤษฎีเมเชอร์
หมวดหมู่:แคลคูลัสเชิงปริพันธ์
หมวดหมู่:การวิเคราะห์เชิงจริง
หมวดหมู่:วิยุตคณิต
หมวดหมู่:คณิตตรรกศาสตร์
หมวดหมู่:ทฤษฎีเซต
หมวดหมู่:ทฤษฎีความน่าจะเป็น
หมวดหมู่:ฟังก์ชันและการจับคู่