สัญกรณ์หลายดัชนี

**สัญกรณ์หลายดัชนี** เป็นสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ลดความซับซ้อนของสูตรที่ใช้ในแคลคูลัสหลายตัวแปร สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย และทฤษฎีการแจกแจง ด้วยการวางนัยทั้วไปแนวคิดของดัชนี จำนวนเต็มให้เป็นหลายสิ่งอันดับของดัชนี

## นิยามและสมบัติพื้นฐาน
**หลายดัชนี** *n* มิติ คือ n สิ่งอันดับ

: \alpha = (\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n)

ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ (กล่าวคือสมาชิกของเซต *<math display="inline">n</math>* มิติของจำนวนธรรมชาติ เขียนด้วย \mathbb{N}^n_0)

สำหรับหลายดัชนี \alpha, \beta \in \mathbb{N}^n_0 และ x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n นิยามว่า

; ผลรวมและผลต่างตามส่วนประกอบ 
: \alpha \pm \beta= (\alpha_1 \pm \beta_1,\,\alpha_2 \pm \beta_2, \ldots, \,\alpha_n \pm \beta_n)
; อันดับบางส่วน 
: \alpha \le \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha_i \le \beta_i \quad \forall\,i\in\{1,\ldots,n\}
; ผลรวมของส่วนประกอบ (ค่าสัมบูรณ์) 
: | \alpha | = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n
; แฟกทอเรียล 
: \alpha ! = \alpha_1! \cdot \alpha_2! \cdots \alpha_n!
; สัมประสิทธิ์ทวินาม 
: \binom{\alpha}{\beta} = \binom{\alpha_1}{\beta_1}\binom{\alpha_2}{\beta_2}\cdots\binom{\alpha_n}{\beta_n} = \frac{\alpha!}{\beta!(\alpha-\beta)!}
; สัมประสิทธิ์พหุนาม 
: \binom{k}{\alpha} = \frac{k!}{\alpha_1! \alpha_2! \cdots \alpha_n! } = \frac{k!}{\alpha!}  เมื่อ k:=|\alpha|\in\mathbb{N}_0
; การยกกำลัง 
: x^\alpha = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \ldots x_n^{\alpha_n}
; อนุพันธ์ย่อยอันดับสูง 
: \partial^\alpha = \partial_1^{\alpha_1} \partial_2^{\alpha_2} \ldots \partial_n^{\alpha_n} เมื่อ \partial_i^{\alpha_i}:=\partial^{\alpha_i} / \partial x_i^{\alpha_i} (ดูเพิ่มที่เกรเดียนต์สี่มิติ) บางครั้งสัญลักษณ์ D^{\alpha} = \partial^{\alpha} ก็ใช้ได้เช่นกัน 

## การประยุกต์ใช้บางบท
สัญกรณ์หลายดัชนีช่วยให้สามารถขยายสูตรต่างๆ จากแคลคูลัสเบื้องต้นไปยังกรณีที่มีตัวแปรหลายตัวที่สอดคล้องกันได้ ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างบางส่วน ในกรณีต่อไปนี้ x,y,h\in\Complex^n (หรือ \R^n)  \alpha,\nu\in\N_0^n และ f,g,a_\alpha\colon\Complex^n\to\Complex (หรือ \R^n\to\R)

; ทฤษฎีบทพหุนาม
:  \left( \sum_{i=1}^n x_i\right)^k = \sum_{|\alpha|=k} \binom{k}{\alpha} \, x^\alpha
; ทฤษฎีบทหลายหวินาม
:  (x+y)^\alpha = \sum_{\nu \le \alpha} \binom{\alpha}{\nu} \, x^\nu y^{\alpha - \nu}สังเกตว่า เพราะ  เป็นเวกเตอร์ และ  เป็นหลายดัชนี นิพจน์ทางซ้ายจึงเป็นการเขียน  โดยย่อ
; สูตรไลบ์นิทซ์
: สำหรับฟังก์ชันปรับเรียบ f และ g\partial^\alpha(fg) = \sum_{\nu \le \alpha} \binom{\alpha}{\nu} \, \partial^{\nu}f\,\partial^{\alpha-\nu}g
; อนุกรมเทย์เลอร์
: สำหรับฟังก์ชันวิเคราะห์ f ที่มีตัวแปร *<math display="inline">n</math>* ตัวจะได้ว่า f(x+h) = \sum_{\alpha\in\mathbb{N}^n_0} {\frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha !}h^\alpha} สำหรับฟังก์ชันที่ปรับเรียบเพียงพอ จะมี**การกระจายเทย์เลอร์**ที่คล้ายคลึงกัน f(x+h) = \sum_{|\alpha| \le n}{\frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha !}h^\alpha}+R_{n}(x,h) ที่พจน์สุดท้าย (เศษเหลือ) จะขึ้นอยู่กับสูตรจริง ๆ ของเทย์เลอร์ เช่น สำหรับสูตรโคชี (มีเศษเหลือปริพันธ์) ได้ว่า  R_n(x,h)= (n+1) \sum_{|\alpha| =n+1}\frac{h^\alpha}{\alpha !} \int_0^1(1-t)^n\partial^\alpha f(x+th) \, dt
; ตัวดำเนินการอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นวางนัยทั่วไป
: ตัวดำเนินการอนุพันธ์ย่อยอันดับที่ N เชิงเส้นรูปนัยที่มีตัวแปร n ตัวเขียนได้ว่า P(\partial) = \sum_{|\alpha| \le N} {a_{\alpha}(x)\partial^{\alpha}}
; การหาปริพันธ์ทีละส่วน
: สำหรับฟังก์ชันปรับเรียบที่มีส่วนค้ำจุนกระชับในโดเมนมีขอบเขต \Omega \subset \R^n จจะได้ว่า \int_{\Omega} u(\partial^{\alpha}v) \, dx = (-1)^ \int_{\Omega} {(\partial^{\alpha}u)v\,dx} สูตรนี้ใช้ในนิยามของการกระจายและอนุพันธ์อ่อน

## ทฤษฎีบทตัวอย่าง
ถ้า \alpha,\beta\in\mathbb{N}^n_0 เป็นหลายดัชนีและ x=(x_1,\ldots, x_n) แล้ว  \partial^\alpha x^\beta = \begin{cases} 
\frac{\beta!}{(\beta-\alpha)!} x^{\beta-\alpha} & \text{if}~ \alpha\le\beta,\\
0 & \text{otherwise.}
\end{cases}

### บทพิสูจน์
บทพิสูจน์ดังกล่าวเป็นไปตามกฎกำลังของอนุพันธ์สามัญ ถ้า *α* และ *&#x3B2;* อยู่ใน \{0, 1, 2,\ldots\} แล้ว

สมมติให้ \alpha=(\alpha_1,\ldots, \alpha_n), \beta=(\beta_1,\ldots, \beta_n) และ x=(x_1,\ldots, x_n) แล้วเราจะได้ว่า \begin{align}\partial^\alpha x^\beta&= \frac{\partial^{\vert\alpha\vert}}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_n^{\alpha_n}} x_1^{\beta_1} \cdots x_n^{\beta_n}\\
&= \frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial x_1^{\alpha_1}} x_1^{\beta_1} \cdots
\frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n}} x_n^{\beta_n}.\end{align}

สำหรับแต่ละ i ใน \{ 1, \ldots, n\}, ฟังก์ชัน x_i^{\beta_i} ขึ้นอยู่กับเพียง x_i  การหาอนุพันธ์ย่อยแต่ละอนุพันธ์ \partial/\partial x_iในข้างต้นนี้ จึงลดเหลืออนุพันธ์สามัญที่สมนัยกัน d/dx_i ดังนั้น จากสมการ (1) จะเห็นได้ว่า \partial^\alpha x^\beta หายไป ถ้า \alpha_i > \beta_i อย่างน้อยหนึ่ง i ใน \{ 1, \ldots, n\}  หากไม่เป็นเช่นนั้น เช่น หาก \alpha \leq \beta โดยที่เป็นหลายดัชนีแล้ว  \frac{d^{\alpha_i}}{dx_i^{\alpha_i}} x_i^{\beta_i} = \frac{\beta_i!}{(\beta_i-\alpha_i)!} x_i^{\beta_i-\alpha_i} สำหรับแต่ละ i และทฤษฎีบทก็เป็นไปตามนี้ ซ.ต.พ.

## ดูเพิ่ม
* สัญกรณ์ไอน์สไตน์
* สัญกรณ์ดัชนี
* แคลคูลัสริชชี

## อ้างอิง

* เซนต์เรย์มอนด์, เซเวียร์ (1991). *บทนำเบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เทียม* บทที่ 1.1 สำนักพิมพ์ CRC ไอเอสบีเอ็น&nbsp;

หมวดหมู่:สัญกรณ์คณิตศาสตร์
หมวดหมู่:คณิตศาสตร์เชิงการจัด
หมวดหมู่:หน้าที่ใช้แถบข้างที่มีพารามิเตอร์ child
หมวดหมู่:บทความที่มีบทพิสูจน์