สมบัติการสลับที่

right|thumb|400px|ตัวอย่างแสดงสมบัติการสลับที่ของการบวก (3 + 2 = 2 + 3)
ในคณิตศาสตร์ **สมบัติการสลับที่** () คือกระบวนการเปลี่ยนลำดับของบางสิ่ง โดยไม่ทำให้ผลลัพธ์สุดท้ายเปลี่ยนแปลง เป็นสมบัติเบื้องต้นของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์หลายชนิด และการพิสูจน์หลายอย่างก็ขึ้นอยู่กับสมบัตินี้

สมบัติการสลับที่ของการดำเนินการพื้นฐาน เช่น การบวก หรือ การคูณของจำนวน ถูกสมมติขึ้นโดยไร้ข้อกังขามาเป็นเวลายาวนาน และสมบัตินี้ไม่เคยมีการตั้งชื่อหรือการให้เหตุผลจนกระทั่งคริสต์ศตวรรษที่ 19 ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่นักคณิตศาสตร์เริ่มจัดระเบียบแบบแผนของทฤษฎีต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์

## การใช้ทั่วไป
สมบัติการสลับที่ (หรือกฎการสลับที่) เป็นสมบัติที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการทวิภาคและฟังก์ชัน และในทางเดียวกัน ถ้าสมบัติการสลับที่มีอยู่สำหรับสมาชิกคู่หนึ่ง ภายใต้การดำเนินการทวิภาคที่แน่นอนแล้ว เราจะกล่าวได้ว่าสมาชิกสองตัวนั้นสามารถสลับที่ (commute) บนการดำเนินการดังกล่าว

ในทฤษฎีกรุปและทฤษฎีเซต เราจะเรียกโครงสร้างเชิงพีชคณิตว่าเป็นโครงสร้างสลับที่ได้ (commutative) เมื่อมีตัวดำเนินการที่แน่นอนทำให้เกิดสมบัติการสลับที่ ในสาขาทางคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นไป เช่น คณิตวิเคราะห์หรือพีชคณิตเชิงเส้น สมบัติการสลับที่ของการดำเนินการที่รู้จักเป็นอย่างดี (อย่างการบวกและการคูณของจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน) มักจะมีการใช้งานมาก (หรือสมมติขึ้นมา) ในการพิสูจน์ต่าง ๆ

## นิยาม
คำว่า *สลับที่* (commute) หรือ *สลับที่ได้* (commutative) มีการใช้งานในหลายประเด็นดังนี้

# กำหนดการดำเนินการทวิภาค  บนเซต *S* เราจะกล่าวว่าการดำเนินการนั้น *สลับที่ได้* ถ้าหาก
#: \forall x,y \in S: x * y = y * x \, 
#: ส่วนการดำเนินการที่ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขด้านบน จะถือว่าเป็นการดำเนินการที่ *สลับที่ไม่ได้* หรือ *ไม่สลับที่* (non-commutative)
# เราอาจกล่าวได้ว่า *x* สามารถ *สลับที่* กับ *y* ภายใต้การดำเนินการ  ถ้าหาก
#:  x * y = y * x \,  
# กำหนดฟังก์ชันทวิภาค f : *A*×*A* → *B* เราจะกล่าวว่าฟังก์ชันนั้น *สลับที่ได้* ถ้าหาก
#: \forall x,y \in A: f (x, y) = f(y, x) \,

## ตัวอย่าง
### การดำเนินการสลับที่ได้ในชีวิตประจำวัน
* การใส่รองเท้าก็เหมือนกับการดำเนินการสลับที่ได้ เพราะไม่สำคัญว่าจะใส่รองเท้าข้างซ้ายหรือข้างขวาก่อน ผลสุดท้ายก็เหมือนกันคือได้ใส่รองเท้าทั้งสองข้าง
* ในการแลกเปลี่ยนเงินตรา เราสามารถใช้ประโยชน์จากสมบัติการสลับที่ของการบวก ซึ่งไม่สำคัญว่าเราจะแลกเปลี่ยนอะไรก่อน ผลลัพธ์สุดท้ายก็จะรวมกันได้เท่าเดิม

### การดำเนินการสลับที่ได้ในคณิตศาสตร์
ตัวอย่างการดำเนินการทวิภาคที่มีสมบัติการสลับที่ ซึ่งเป็นที่รู้จักกันดี ได้แก่
* การบวกของจำนวนจริง สลับที่ได้เนื่องจาก
*:  y + z = z + y \quad \forall y,z\in \mathbb{R} 
*: ตัวอย่างเช่น 4 + 5 = 5 + 4 ซึ่งนิพจน์ทั้งสองข้างมีค่าเท่ากับ 9
* การคูณของจำนวนจริง สลับที่ได้เนื่องจาก
*:  y z = z y \quad \forall y,z\in \mathbb{R} 
*: ตัวอย่างเช่น 3 × 5 = 5 × 3 ซึ่งนิพจน์ทั้งสองข้างมีค่าเท่ากับ 15

ตัวอย่างการดำเนินการอื่น ๆ เช่น การบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน การบวกของเวกเตอร์ อินเตอร์เซกชันและยูเนียนของเซต เป็นต้น

### การดำเนินการสลับที่ไม่ได้ในชีวิตประจำวัน
[thumb|240px|right|[การต่อสายอักขระ (concatenation) ไม่สามารถสลับที่ได้]]
* การซักผ้าและการตากผ้าก็เหมือนกับการดำเนินการสลับที่ไม่ได้ เพราะถ้าหากเราตากผ้าก่อนซักผ้า ผลลัพธ์จะต่างไปจากที่เราซักผ้าก่อนแล้วค่อยตาก คือผ้าเปียกหรือไม่เปียกน้ำ
* ลูกบาศก์ของรูบิคไม่สามารถสลับที่ได้ เช่น ถ้าหากบิดส่วนหน้าตามเข็มนาฬิกา ส่วนบนตามเข็ม และส่วนหน้าทวนเข็ม (FUF') หน้าบนลูกบาศก์จะให้ผลไม่เหมือนกับการบิดส่วนหน้าตามเข็ม และบิดทวนเข็มกลับ ตามด้วยส่วนบนตามเข็ม (FF'U) ลำดับการบิดลูกบาศก์ของรูบิคจึงสลับที่ไม่ได้ เป็นกรณีหนึ่งที่มีการศึกษาในทฤษฎีกรุป

### การดำเนินการสลับที่ไม่ได้ในคณิตศาสตร์
ตัวอย่างการดำเนินการทวิภาคที่ไม่มีสมบัติการสลับที่เช่น
* การลบ เพราะว่า 0 − 1 ≠ 1 − 0
* การหาร เพราะว่า 1 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 1
* การคูณของเมทริกซ์ เพราะว่า
*: 
\begin{bmatrix}
0 & 2 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\neq
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}


## โครงสร้างทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ
* อาบีเลียนกรุป คือกรุปที่มีการดำเนินการของกรุป ที่สลับที่ได้
* ริงสลับที่ คือริงที่มีการคูณ ที่สลับที่ได้ (สำหรับการบวกนั้นสลับที่ได้อยู่แล้วตามนิยาม)
* ในฟีลด์หนึ่ง ๆ ทั้งการบวกและการคูณสามารถสลับที่ได้

## อ้างอิง

## ดูเพิ่ม
* สมบัติการสลับที่กลับเครื่องหมาย (anticommutativity)
* สมบัติการเปลี่ยนหมู่
* สมบัติการแจกแจง

หมวดหมู่:พีชคณิตนามธรรม
หมวดหมู่:พีชคณิตมูลฐาน
หมวดหมู่:สมมาตร
หมวดหมู่:การดำเนินการทวิภาค
หมวดหมู่:หลักการสำคัญของฟิสิกส์
หมวดหมู่:การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน