สัญกรณ์บรา-เค็ท

ในกลศาสตร์ควอนตัม **สัญกรณ์บรา-เค็ท** () คือ สัญกรณ์พื้นฐานที่ใช้ในการอธิบายสถานะควอนตัม แทนด้วยสัญลักษณ์ angle bracket ("\langle", และ "\rangle") และ vertical bar ("\mid") สัญกรณ์นี้สามารถแทนได้ทั้งเวกเตอร์และเมทริกซ์ ซึ่งถูกนำเสนอโดยพอล ดิแรก (Paul Dirac) ในปี 1939 และเป็นที่รู้จักกันในชื่อ สัญกรณ์ดิแรก (Dirac notation)

ในรูปผลคูณเชิงสเกลาร์ สามารถแสดงได้ดังนี้

: \langle\phi\mid\psi\rangle

ประกอบด้วยส่วนทางขวา |\psi\rangle เรียกว่า เวกเตอร์เค็ท (ket vector)

และส่วนทางด้านซ้าย \langle\phi| เรียกว่า เวกเตอร์บรา (bra vector) ซึ่งเป็นสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (complex conjugate) ของเค็ท

## สมบัติ
สัญกรณ์บรา-เค็ทถูกคิดค้นมาเพื่อความสะดวกในการแสดง state function หรือ state vector สามารถหาสมบัติบางประการ โดยกำหนดให้ 

* และ  แทน จำนวนเชิงซ้อนใด ๆ  
* แทน สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน  
* แทน  แทน ตัวดำเนินการเชิงเส้นใด ๆ 

### ความเป็นเชิงเส้น
เนื่องจากบรา เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (Linear functional)
: \langle\phi| \; \bigg( c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle \bigg) = c_1\langle\phi|\psi_1\rangle + c_2\langle\phi|\psi_2\rangle 
จากนิยามการบวกและการคูณสเกลาร์ของฟังก์ชันเชิงเส้น
: \bigg(c_1 \langle\phi_1| + c_2 \langle\phi_2|\bigg) \; |\psi\rangle = c_1 \langle\phi_1|\psi\rangle + c_2 \langle\phi_2|\psi\rangle 

### สมบัติการเปลี่ยนหมู่
เป็นการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเชิงซ้อน, บรา, เค็ท, ผลคูณภายใน (inner product), ผลคูณภายนอก (outer product) และตัวดำเนินการเชิงเส้น โดยสามารถเขียนในรูปสัญกรณ์บรา-เค็ทได้ดังนี้
:  \lang \psi| (A |\phi\rang) = (\lang \psi|A)|\phi\rang \, \stackrel{\text{def}}{=} \, \lang \psi | A | \phi \rang 
:  (A|\psi\rang)\lang \phi| = A(|\psi\rang \lang \phi|) \, \stackrel{\text{def}}{=} \, A | \psi \rang \lang \phi |

### สังยุคเอร์มีเชียน
สังยุคเอร์มีเชียน (Hermitian conjugation) แทนด้วยสัญลักษณ์  มีกฎต่าง ๆ ดังนี้
* สังยุคเอร์มีเชียนของบรา คือ เค็ท
* สังยุคเอร์มีเชียนของจำนวนเชิงซ้อน คือ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน 
* สังยุคเอร์มีเชียนของสังยุคเอร์มีเชียนใด ๆ คือ ตัวมันเอง ยกตัวอย่างเช่น :
จากกฎต่าง ๆ สามารถแสดงสมบัติบางประการของสังยุคเอร์มีเชียนได้ดังนี้
* เค็ท

\left(c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle\right)^\dagger = c_1^* \langle\psi_1| + c_2^* \langle\psi_2| ~

* ผลคูณภายใน (Inner products)
\langle \phi | \psi \rangle^* = \langle \psi|\phi\rangle ~

(\langle \phi | \psi \rangle เป็นสเกลาร์ ดังนั้น สังยุคเอร์มีเชียน ก็คือ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน \langle \phi | \psi \rangle^* = \overline{\langle \phi | \psi \rangle})
* เมทริกซ์
\langle \phi| A | \psi \rangle^* = \langle \psi | A^\dagger |\phi \rangle

\langle \phi| A^\dagger B^\dagger | \psi \rangle^* = \langle \psi | BA |\phi \rangle ~
* ผลคูณภายนอก (Outer products)
\left((c_1|\phi_1\rangle\langle \psi_1|) + (c_2|\phi_2\rangle\langle\psi_2|)\right)^\dagger = (c_1^* |\psi_1\rangle\langle \phi_1|) + (c_2^*|\psi_2\rangle\langle\phi_2|)~

## ตัวดำเนินการเชิงเส้น

### ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำต่อเค็ท
ตัวดำเนินการเชิงเส้น (linear operators) ที่กระทำต่อเค็ทและได้ผลเป็น เค็ท เราจะสามารถกล่าวได้ว่าตัวดำเนินการนั้นเป็น “เชิงเส้น” ได้ เมื่อตัวดำเนินการนั้นมีสมบัติที่แน่นอน กล่าวอีกนัยหนึ่งได้ว่า ถ้าให้ A เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นและ |\psi\rangle เป็นสถานะทางควอนตัมที่เรียกว่าเค็ท จะได้ว่า เมื่อ A กระทำต่อ |\psi\rangle จะทำให้ได้ A|\psi\rangle เป็นสถานะใหม่ขึ้นมา

ตัวดำเนินการเชิงเส้นถูกใช้อย่างมากในวิชากลศาสตร์ควอนตัม ใน Hilbert space ที่มีจำนวน N มิติ สถานะ |\psi\rangle สามารถเขียนในรูปของคอลัมน์เวกเตอร์ N\times1 มิติ ส่วนตัวดำเนินการ A จะอยู่ในรูปเมริกซ์ N\times N มิติ โดยที่ A|\psi\rangle สามารถคำนวณด้วยวิธีการคูณแบบเมทริกซ์

### ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำต่อบรา
ตัวดำเนินการจะกระทำจากทางด้านขวาของบรา ถ้าให้ *<math>A</math>* เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นและ \langle\psi| เป็นสถานะทางควอนตัมที่เรียกว่าบรา ซึ่ง \langle\psi|A จะเป็นสถานะใหม่ที่ถูกนิยามตามสมการ
:\bigg(\langle\phi|A\bigg) \; |\psi\rangle = \langle\phi| \; \bigg(A|\psi\rangle\bigg)
ใน Hilbert space ที่มีจำนวน N มิติ สถานะ \langle\psi| สามารถเขียนในรูปของแถวเวกเตอร์ 1\times N มิติ ส่วนตัวดำเนินการ ***<math>A</math>*** จะอยู่ในรูปเมริกซ์ N\times N มิติ โดยที่ \langle\psi|A สามารถคำนวณด้วยวิธีการคูณแบบเมทริกซ์ และถ้าสถานะของเวกเตอร์อยู่ในรูปของสัญกรณ์บราและเค็ทจะเขียนได้เป็น
:\langle\phi|A|\psi\rangle
ผลที่ออกมาจะแสดงผลของปริมาณที่เรียกว่า ค่าคาดหวัง หรือค่าเฉลี่ย

### Outer products
วิธีที่จะนิยามตัวดำเนินการเชิงเส้นใน Hilbert space จะใช้ outer product โดยถ้าให้ \langle\psi| และ |\psi\rangle เป็นสถานะที่เรียกว่าบราและเค็ทตามลำดับ จะเขียน outer product เป็น |\psi\rangle\langle\psi| ซึ่งจะแสดงตัวดำเนินการที่เรียกว่า rank-one operator เป็นไปตามสมการ
: (|\phi\rang \lang \psi|)(x) = \lang \psi | x \rang |\phi \rang
สำหรับ vector space มิติจำกัดสามารถเขียนในรูปของการคูณแบบเมทริกซ์ได้ดังนี้
: |\phi \rangle \, \langle \psi | {\doteq \!\,}
\begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \vdots \\ \phi_N \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \psi_1^* & \psi_2^* & \cdots & \psi_N^* \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\phi_1 \psi_1^* & \phi_1 \psi_2^* & \cdots & \phi_1 \psi_N^* \\
\phi_2 \psi_1^* & \phi_2 \psi_2^* & \cdots & \phi_2 \psi_N^* \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\phi_N \psi_1^* & \phi_N \psi_2^* & \cdots & \phi_N \psi_N^* \end{pmatrix}

ซึ่ง outer product ของตัวดำเนินการจะได้ออกมาเป็นเมทริกซ์ N× N มิติ

หมวดหมู่:กลศาสตร์ควอนตัม
หมวดหมู่:ทฤษฎีสารสนเทศ
หมวดหมู่:สัญกรณ์คณิตศาสตร์
หมวดหมู่:พีชคณิตเชิงเส้น