จำนวนสมบูรณ์

thumb|280px|ภาพแสดงสถานะจำนวนสมบูรณ์ของเลข 6
**จำนวนสมบูรณ์** () คือ จำนวนเต็มที่มีผลบวกของตัวหารแท้ เท่ากับตัวมันเอง

หก (6) เป็นจำนวนสมบูรณ์ตัวแรก เพราะว่า 6 มีตัวหารแท้คือ 1, 2, 3 และ 1&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;+&nbsp;3&nbsp;=&nbsp;6 จำนวนสมบูรณ์ตัวถัดไปคือ 28&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;+&nbsp;4&nbsp;+&nbsp;7&nbsp;+&nbsp;14 จำนวนสมบูรณ์ตัวถัดไปอีกคือ 496 และ 8128 

จำนวนสมบูรณ์สี่ตัวแรกนั้นถูกค้นพบโดยชาวกรีกโบราณ

## จำนวนสมบูรณ์คู่

ยุคลิดได้ค้นพบว่า จำนวนสมบูรณ์สี่ตัวแรกนั้นสามารถหาโดยใช้สูตร 2*n*−1(2*n*&nbsp;−&nbsp;1) ได้

:สำหรับ *n* = 2: &nbsp; 21(22 − 1) = 6
:สำหรับ *n* = 3: &nbsp; 22(23 − 1) = 28
:สำหรับ *n* = 5: &nbsp; 24(25 − 1) = 496
:สำหรับ *n* = 7: &nbsp; 26(27 − 1) = 8128

สังเกตว่าในแต่ละตัวอย่างที่ยกมา 2*n*&nbsp;−&nbsp;1 จะเป็นจำนวนเฉพาะเท่านั้น ยุคลิดได้พิสูจน์ว่า ถ้า 2*n*&nbsp;−&nbsp;1 เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว สูตร 2*n*−1(2*n*&nbsp;−&nbsp;1) จะให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนสมบูรณ์คู่เสมอ 

นักคณิตศาสตร์สมัยก่อน ได้ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับจำนวนสมบูรณ์จากจำนวนสมบูรณ์ที่เขารู้เพียง 4 ตัว ซึ่งสมมติฐานที่เขาได้ตั้งส่วนใหญ่จะผิด เช่น สมมติฐานที่ว่า เพราะว่า *n* = 2, 3, 5, 7 เป็นจำนวนเฉพาะ 4 ตัวแรก ที่นำไปแทนในสูตรแล้วได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนสมบูรณ์ ดังนั้น *n* = 11 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะตัวที่ 5 จะทำให้ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนสมบูรณ์เช่นกัน อย่างไรก็ตาม 211&nbsp;−&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;2047&nbsp;=&nbsp;23&nbsp;·&nbsp;89 ซึ่งไม่เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น สมมติฐานนี้จึงผิด **สมมติฐานที่ผิด**อีกสองข้อ ได้แก่
* จำนวนสมบูรณ์ตัวที่ 5 จะต้องมี 5 หลัก เพราะว่าจำนวนสมบูรณ์ 4 ตัวแรกมี 1, 2, 3, 4 หลัก ตามลำดับ
* จำนวนสมบูรณ์จะลงท้ายด้วยเลข 6 หรือ 8 สลับกันเสมอ

จำนวนสมบูรณ์ตัวที่ห้า (33550336=2^{12}(2^{13}-1)) มี 8 หลัก ดังนั้นสมมติฐานข้อแรกจึงผิด. สำหรับสมมติฐานข้อสองนั้น แม้ว่าจำนวนสมบูรณ์ตัวที่ห้า จะลงท้ายด้วยเลข 6 แต่จำนวนสมบูรณ์ตัวที่หก (8&nbsp;589&nbsp;869&nbsp;056) ไม่ได้ลงท้ายด้วยเลข 8 สมมติฐานข้อสองจึงผิด เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าจำนวนสมบูรณ์จะมีเลขหลักสุดท้ายเป็น 6 หรือ 8 เสมอ (แต่ไม่จำเป็นต้องสลับกัน)

คุณสมบัติของจำนวนสมบูรณ์อันหนึ่งที่น่าสนใจก็คือ ส่วนกลับของตัวประกอบของจำนวนสมบูรณ์ จะรวมกันได้ 2 เสมอ เช่น
* สำหรับ 6, จะได้ 1/6 + 1/3 + 1/2+ 1/1 = 2
* สำหรับ 28, จะได้ 1/28 + 1/14 + 1/7 + 1/4 + 1/2 + 1/1 = 2

## จำนวนสมบูรณ์คี่

ยังไม่มีใครรู้ว่าจำนวนสมบูรณ์คี่นั้นมีอยู่จริงหรือไม่ เมื่อไม่นานมานี้ Carl Pomerance และ Joshua Zelinsky ได้แสดงฮิวริสติกว่าไม่มีจำนวนสมบูรณ์คี่อยู่จริง

สมมติว่ามีจำนวนสมบูรณ์คี่ *N* อยู่จริงแล้ว มันจะต้องมีคุณสมบัติต่อไปนี้
* *N* จะอยู่ในรูป
::N=q^{\alpha} p_1^{2e_1} \ldots p_k^{2e_k}  
:เมื่อ *q*, *p*1, …, *p**k* คือ จำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน และ *q* ≡ α ≡ 1 (mod 4) (ออยเลอร์)
* *N* จะมากกว่า 10300
* *N* จะอยู่ในรูป 4*j* + 1 (A. Stern, 1896) 
* *N* จะมีตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกันอย่างน้อย 8 ตัว (และอย่างน้อย 11 ตัว ถ้ามันหาร 3 ไม่ลงตัว) (Peter Hagis)
* *N* จะมีตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดอย่างน้อย 75 ตัว, รวมที่นับซ้ำด้วย (Kevin Hare, 2005)
* *N* จะมีตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อย 1 ตัวที่มากกว่า 107, ตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อย 2 ตัวที่มากกว่า 104, ตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อย 3 ตัวที่มากกว่า 100
* *N* จะน้อยกว่า 2^{4^{n}} เมื่อ *n*=*k*+1 คือ จำนวนตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกัน
* *N* จะอยู่ในรูป 12*j* + 1 หริอ 36*j* + 9 (Jacques Touchard) (วิธีพิสูจน์พื้นฐานถูกค้นพบโดย Judy A. Holdener)

## อ้างอิง

* Kevin Hare, *New techniques for bounds on the total number of prime factors of an odd perfect number.* Preprint, 2005. อ่านได้จากเว็บเพจของเขา 

หมวดหมู่:ลำดับจำนวนเต็ม
หมวดหมู่:ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยังแก้ไม่ได้