ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ

thumb|400px|ค่า π(n) สำหรับจำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 60

ในทางคณิตศาสตร์ **ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ** () มีค่าเท่ากับจำนวนของจำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนจริง *x* หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะเป็นฟังก์ชันที่หาว่า *x* เป็นจำนวนเฉพาะลำดับที่เท่าไร เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ π(*x*)

## ประวัติศาสตร์
หัวข้อที่เป็นที่สนใจอย่างยิ่งในทฤษฎีจำนวนคืออัตราการเจริญเติบโต ของฟังก์ชันการนับจำนวนเฉพาะ ในช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 18 คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ และโดย เสนอว่าข้อความคาดการณ์ว่า π(*x*) จะมีค่าใกล้เคียงกลับ

: \frac x {\log(x)} 

เมื่อฟังก์ชันลอการิทึมข้างต้นเป็นฟังก์ชันลอการิทึมฐานธรรมชาติ ในความหมายที่ว่า

:\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\pi(x)}{x/\log(x)}=1 

ข้อความข้างต้นรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ (prime number theorem) โดยสมมูลกันกับ

:\lim_{x\rightarrow\infty}\pi(x) / \operatorname{li}(x)=1

เมื่อ li(x) คือฟังก์ชันอินทิกรัลลอการิทึม ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะพิสูจน์ได้ครั้งแรกในปี ค.ศ. 1896 โดย ฌัก อาดามาร์ และโดย ชาร์ล เดอ ลา วัลเล-ปูแซ็ง อย่างอิสระต่อกัน โดยใช้สมบัติของฟังก์ชันซีตาของรีมันที่ แบร์นฮาร์ท รีมัน เสนอขึ้นในปี ค.ศ. 1859 บทพิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะที่ไม่ใช้ฟังก์ชันซีตาหรือไม่ใช้การวิเคราะห์เชิงซ้อนมีขึ้นในราวปี ค.ศ. 1948 โดย อัตเลอ เซลแบรก์ และโดย พอล แอร์ดิช (โดยงานเกือบทั้งหมดเป็นอิสระต่อกัน)

ในปี ค.ศ. 1899 ชาร์ล เดอ ลา วัลเล-ปูแซ็ง ได้พิสูจน์ว่า

: \pi(x) = \operatorname{li} (x) + O \left(x e^{-a\sqrt{\log x}}\right) \quad\text{as } x \to \infty

สำหรับค่าคงที่บวก  บางจำนวน โดยที่  คือ สัญกรณ์โอใหญ่

ตอนนี้ทราบค่าประมาณของ \pi(x)\! ที่แม่นยำยิ่งขึ้นแล้ว ตัวอย่างเช่น ในปี ค.ศ. 2002 เควิน ฟอร์ด ได้พิสูจน์ว่า

:\pi(x) = \operatorname{li} (x) + O \left(x \exp \left( -0.2098(\log x)^\frac35 (\log \log x)^{-\frac 1 5} \right) \right)

จากการพิสูจน์ของ Mossinghoff และ Trudgian ขอบเขตบนชัดแจ้งสำหรับผลต่างระหว่างฟังก์ชัน \pi(x) และ \operatorname{li}(x) เป็นไปตามสมการ
:\big| \pi(x) - \operatorname{li}(x) \big| \le 0.2593 \frac{x}{(\log x)^{3/4}} \exp \left( -\sqrt{ \frac{\log x}{6.315} } \right)
สำหรับ x \ge 229

สำหรับค่าส่วนใหญ่ของ x ที่เราสนใจ (เช่น เมื่อ x ไม่มีค่ามากเกินไป) \operatorname{li}(x) จะมีค่ามากกว่า \pi(x) อย่างไรก็ตามฟังก์ชัน  \pi(x) - \operatorname{li}(x) เป็นที่ทราบกันว่ากลับค่าระหว่างบวกและลบเป็นอนันต์ครั้ง สำหรับการพิจารณาในเรื่องนี้ โปรดดูที่ จำนวนสกีว

### รูปแบบแม่นตรง
สำหรับ x>1 ให้ \pi_0 (x)=\pi(x)-1/2 เมื่อ x เป็นจำนวนเฉพาะ มิฉะนั้นแล้ว \pi_0 (x)=\pi(x) บทพิสูจน์ของแบร์นฮาร์ท รีมันที่มีความสำคัญอย่างยิ่งคือการพิสูจน์ค่าสมมูลกับ \pi_0(x)

:\pi_0(x) = \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho) 

เมื่อ

:\operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \operatorname{li}(x^{1/n} )

โดยที่  คือ ฟังก์ชันเมอบิอุส,  คือ ฟังก์ชันปริพันธ์ลอการิทึม, *ρ* เป็นดรรชีสำหรับทุกรากของฟังก์ชันซีตาของรีมัน และ  ไม่ได้หาค่าจากการสร้าง branch cut แต่หาค่าจาก  โดยที่  คือฟังก์ชันปริพันธ์เลขชี้กำลัง 

ถ้าหากไม่พิจารณารากชัดแจ้งของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ และพิจารณาผลรวมจากรากที่ไม่ชัดแจ้ง แล้ว \pi_0(x) สามารถประมาณค่าได้โดย
:\pi_0(x) \approx \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho) - \frac{1}{\log{x}} + \frac{1}{\pi} \arctan{\frac{\pi}{\log{x}}} .

สมมติฐานของรีมันน์เสนอว่าทุกรากที่ไม่ใช่รากชัดแจ้งจะสอดคล้องกับ 

## ตารางของ (''x''), ''x'' / log ''x'' และ li(''x'')

ตารางแสดงฟังก์ชัน (*x*), *x* / log *x* และ li(*x*) เปรียบเทียบที่ตัวแปร *x* ยกกำลัง 10 ดูเพิ่มเติม และ

:

## อ้างอิง

หมวดหมู่:จำนวนเฉพาะ