เคิร์ล

ในแคลคูลัสเวกเตอร์ **เคิร์ล** () เป็นตัวดำเนินการเวกเตอร์ที่อธิบายการหมุนของสนามเวกเตอร์ ในสามมิติ เคิร์ลที่แต่ละจุดในสนามเวกเตอร์จะเป็นเวกเตอร์ซึ่งความยาวและทิศทางแสดงถึงลักษณะการหมุนที่จุดนั้น 

ทิศทางของเคิร์ลคือแกนของการหมุนตามที่กำหนดโดยกฎมือขวา และขนาดของเคิร์ลคือขนาดของการหมุน เช่น ถ้าสนามเวกเตอร์แทนความเร็วการไหลของของไหลที่กำลังเคลื่อนที่ แล้วเคิร์ลจะเป็น **ความหนาแน่นของการไหลเวียน** ของของไหล สนามเวกเตอร์ที่เคิร์ลเป็นศูนย์เรียกว่าสนามไร้การหมุน (irrotational) เคิร์ลเป็นการหาอนุพันธ์รูปแบบหนึ่งสำหรับสนามเวกเตอร์ และทฤษฎีบทที่สอดคล้องกับทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสสำหรับเคิร์ลคือ ทฤษฎีบทของสโตกส์ ซึ่งเชื่อมโยงปริพันธ์ตามผิวของเคิร์ลของสนามเวกเตอร์กับปริพันธ์ตามเส้นของสนามเวกเตอร์รอบเส้นโค้งขอบเขตของพื้นผิวนั้น 

สัญกรณ์ของเคิร์ล เขียนเป็น  หรือ  ซึ่งใช้ตัวดำเนินการเดลและผลคูณไขว้ บางครั้งอาจเรียกเคิร์ลว่า *โรเตชัน* (rotation) หรือ *โรเตชันนอล* (rotational) เขียนเป็นสัญกรณ์ว่า  

เคิร์ลแตกต่างจากตัวดำเนินการเกรเดียนต์และไดเวอร์เจนซ์ เนื่องจากวางนัยทั่วไปไปยังมิติอื่น ๆ ได้ยากกว่า มีการวางนัยทั่วไปอยู่หลายวิธี แต่จะมีเพียงในสามมิติเท่านั้นที่เคิร์ลของสนามเวกเตอร์จะยังได้ผลลัพธ์เป็นสนามเวกเตอร์เหมือนเดิม ปรากฏการณ์นี้คล้ายกับ ผลคูณไขว้ ซึ่งนิยามในสามมิติและขยายไปใช้ในมิติอื่นได้ยากเช่นเดียวกัน ความสัมพันธ์นี้สะท้อนในสัญกรณ์ ∇× สำหรับเคิร์ล 

ชื่อ "เคิร์ล" เสนอเป็นครั้งแรกโดย เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ ใน ค.ศ. 1871 แต่แนวคิดนี้มีการใช้งานตั้งแต่ ค.ศ. 1839 ในทฤษฎีสนามเชิงแสงของเจมส์ แมกคัลลัค 
[thumb|300x300px| องค์ประกอบของ '''''' ที่ตำแหน่ง '''''' ในทิศปกติและทิศสัมผัสกับเส้นโค้งปิด  ในระนาบแบน ที่ล้อมรอบ[พื้นที่เชิงเวกเตอร์  ]]

## นิยาม
เคิร์ลของสนามเวกเตอร์  (แทนด้วย  หรือ  หรือ ) ที่จุดหนึ่ง ๆ นิยามจากภาพฉายของมันลงบนเส้นต่าง ๆ ที่ผ่านจุดนั้น ถ้า  เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยใด ๆ ภาพฉายของเคิร์ลของ  ไปบน  นิยามโดยลิมิตของปริพันธ์ตามเส้นปิดในระนาบที่ตั้งฉากกับ n̂ หารด้วยพื้นที่ที่ถูกล้อมรอบ เมื่อเส้นทางการหาปริพันธ์ลดขนาดลงสู่จุด 

ตัวดำเนินการเคิร์ลส่งฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง  ให้ได้ฟังก์ชันต่อเนื่อง  และโดยทั่วไปแล้วจะแปลงฟังก์ชัน  ใน  เป็นฟังก์ชัน  ใน  
right|thumb|200x200px|แบบแผนสำหรับการวางแนวเวกเตอร์ของปริพันธ์ตามเส้น
โดยปริยาย นิยามของเคิร์ล เขียนเป็นสมการได้เป็น

(\nabla \times \mathbf{F})(p) \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lim_{A \to 0}\left( \frac{1}\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\right)\mathbf{\hat{n}} 

โดยที่  คือ อินทิกรัลตามเส้น ตามขอบเขตของพื้นที่รอบจุดและ  คือขนาดของพื้นที่ ถ้า  เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ตั้งฉากกับระนาบ และ  เป็นเวกเตอร์ปกติที่ในระนาบที่ชี้ออกไปด้านนอกพื้นที่ (ดูภาพขวา) แล้ว ทิศทางของ ** จะเลือกให้เวกเตอร์สัมผัส  ของ C ทำให้  เป็นชุดเวกเตอร์ที่เป็นไปตามกฎมือขวา

## การใช้งาน
ในทางปฏิบัติ นิยามข้างต้นไม่ค่อยได้ใช้เพราะในเกือบทุกกรณี ตัวดำเนินการเคิร์ลสามารถนำมาใช้ในกรอบของระบบพิกัดเชิงเส้นโค้งบางระบบ ที่มีการคำนวณหาสูตรที่ง่ายกว่าเอาไว้แล้ว 

สัญกรณ์  มีต้นกำเนิดในความคล้ายคลึงกับผลคูณไขว้สามมิติ และมีประโยชน์ในการช่วยจำสูตรหาเคิร์ลในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน โดย  แทนตัวดำเนินการเดล สัญกรณ์เช่นนี้ถือเป็นปกติใน ฟิสิกส์ และ พีชคณิต 

เมื่อกระจายสูตร  ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ (ดู *[[เดลในพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม]]* สำหรับสูตรในระบบพิกัดทรงกลม และทรงกระบอก พิกัด) สำหรับ  ที่มีองก์ประกอบเวกเตอร์เป็น  จะได้เป็น 

: 

\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[5pt]
 {\dfrac{\partial}{\partial x}} & {\dfrac{\partial}{\partial y}} & {\dfrac{\partial}{\partial z}} \\[10pt]
 F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}

โดยที่ i, j, และ k เป็น เวกเตอร์หน่วย สำหรับ แกน x y และ z ตามลำดับ สิ่งนี้จะขยายออกดังนี้: 

:

\left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \mathbf{k} 

แม้ว่าจะแสดงในรูปแบบของพิกัด ผลลัพธ์นี้จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุนที่เหมาะสมของแกนพิกัด แต่จะพลิกด้านภายใต้การสะท้อน

## อ้างอิง
หมวดหมู่:เรขาคณิตวิเคราะห์
หมวดหมู่:แคลคูลัสเวกเตอร์