สมการจรวดซีออลคอฟสกี

**สมการจรวดของซีออลคอฟสกี** () หรือ **สมการจรวดอุดมคติ** () อธิบายถึงการเคลื่อนที่ของยานพาหนะที่เป็นไปตามหลักการพื้นฐานของจรวด: จรวดเป็นอุปกรณ์ที่สามารถประยุกต์ความเร่งของตัวมันเอง (แรงขับดัน) โดยการขับไล่ส่วนหนึ่งของมวลของมันด้วยความเร็วที่สูงออกมาและทำให้เกิดการเคลื่อนที่ไปได้เนื่องมาจากกฏการอนุรักษ์โมเมนตัม สมการนี้มีความเกี่ยวข้องสัมพันธ์กันโดยค่าเดลต้า-วี (การเปลี่ยนแปลงสูงสุดของความเร็วของจรวดถ้าไม่มีแรงภายนอกอื่น ๆ มากระทำ) กับประสิทธิภาพความเร็วไอเสียและมวลเมื่อเริ่มต้นและครั้งสุดท้ายของจรวด (หรือจะเป็นเครื่องยนต์แห่งแรงปฏิกิริยาอื่น ๆ ก็ตามแต่)

สมการคือ:

:\Delta v = v_\text{e} \ln \frac {m_0} {m_1}

เมื่อ:
:m_0 คือ มวลรวมตอนเริ่มต้น, รวมทั้งมวลของเชื้อเพลิงจรวด,
:m_1 คือ มวลรวมตอนสุดท้าย,
:v_\text{e} คือ ประสิทธิภาพความเร็วไอเสีย (v_\text{e} = I_\text{sp} \cdot g_0 เมื่อ I_\text{sp} คือ การดลจำเพาะ มีค่าตามช่วงเวลา, g_0 คือ ค่าความเร่งโน้มถ่วงมาตรฐาน),
:\Delta v\  คือ เดลต้า-v - การเปลี่ยนแปลงสูงสุดของอัตราเร็วของยานพาหนะ, (เมื่อไม่มีแรงภายนอกมากระทำ),:\ln หมายถึงฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ,

หน่วยที่ใช้สำหรับมวลหรือความเร็วนั้นไม่สำคัญตราบเท่าที่พวกมันยังมีความสอดคล้องกัน

สมการถูกตั้งตามชื่อของคอนสแตนติน ซีออลคอฟสกี ซึ่งเป็นผู้ที่คิดขึ้นมาและผลงานของเขาได้รับการตีพิมพ์ในปี 1903 

## ประวัติ

สมการนี้มีที่มาอย่างอิสระโดย คอนสแตนติน  ซีออลคอฟสกี (Konstantin Tsiolkovsky) ในช่วงปลายของศตวรรษที่ 19 และเป็นที่รู้จักกันอย่างกว้างขวางในนามภายใต้ชื่อของเขาหรือเป็น 'สมการจรวดในอุดมคติ' อย่างไรก็ดีหนังสือเล่มเล็ก ๆ ที่เพิ่งค้นพบเมื่อไม่นานมานี้คือ "ตำราเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของจรวด" (A Treatise on the Motion of Rockets) โดยวิลเลียม มัวร์ (William Moore)  ได้แสดงให้เห็นว่าแหล่งที่มาของสมการนี้ที่รู้จักกันเป็นครั้งแรกในข้อเท็จจริงคือมาจากโรงเรียนนายร้อยทหารบกแห่งวูลวิช (Royal Military Academy at Woolwich) ในประเทศอังกฤษในปี 1813, และได้ถูกนำมาใช้สำหรับการวิจัยอาวุธ

สมการดังกล่าวได้รับการอนุมานมาก่อนหน้านี้โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ วิลเลียม มัวร์ ในปี ค.ศ. 1810  และต่อมาได้รับการตีพิมพ์ในหนังสือแยกต่างหากในปี ค.ศ. 1813 

โรเบิร์ต ก็อดเดิร์ด ชาวอเมริกัน ได้พัฒนาสมการนี้ขึ้นเองในปี ค.ศ.1912 เมื่อเขาเริ่มการวิจัยเพื่อปรับปรุงเครื่องยนต์จรวดสำหรับความเป็นไปได้ในการบินไปในอวกาศ

## ที่มา

พิจารณาระบบดังต่อไปนี้: 
ภาพ:Var mass system.svg

ในแหล่งที่มาดังต่อไปนี้ คำว่า "จรวด" จะถูกนำไปใช้ในความหมายว่า "จรวดและเชื้อเพลิงจรวดที่ยังไม่ถูกเผาไหม้ทั้งหมด"

กฎข้อที่สองของนิวตันของการเคลื่อนที่เกี่ยวข้องกับแรงภายนอก (F_i\,) ไปสู่การเปลี่ยนแปลงในโมเมนตัมเชิงเส้นของระบบดังต่อไปนี้:

:\sum F_i  = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{P_2-P_1}{\Delta t}

เมื่อ P_1\, คือ โมเมนตัมของจรวดที่เวลา *t=0*:

: P_1  = \left( {m + \Delta m} \right)V

และ P_2\, คือ โมเมนตัมของจรวดและโมเมนตัมของมวลไอเสียที่เวลา t=\Delta t\,:

:P_2  = m\left(V  + \Delta V \right) + \Delta m V_e

และเมื่อเทียบกับผู้สังเกต:

:

ความเร็วของไอเสีย V_e อยู่ในกรอบของผู้สังเกตการณ์ที่สัมพันธ์กับความเร็วของไอเสีย v_e ในกรอบของจรวดโดย (เนื่องจากความเร็วของไอเสียเป็นไปในทิศทางที่เป็นลบ)

:V_e=V-v_e

ดังนั้น จะได้

:P_2-P_1=m\Delta V-v_e\Delta m\,

และ, โดยใช้ dm=-\Delta m, เนื่องจากขณะดันออก เป็นบวก \Delta m จึงส่งผลให้เกิดการลดลงของมวล,

:\sum F_i=m\frac{dV}{dt}+v_e\frac{dm}{dt}
ถ้าไม่มีแรงภายนอกแล้ว \sum F_i=0 และ

:m\frac{dV}{dt}=-v_e\frac{dm}{dt}

สมมติว่า v_e\, เป็นค่าคงที่, นี่อาจจะทำการอินทิเกรทให้ได้ผลเป็น:

:\Delta V\ = v_e \ln \frac {m_0} {m_1}

หรือสมมูลกับ

:m_1=m_0 e^{-\Delta V\ / v_e} &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;หรือ&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; m_0=m_1 e^{\Delta V\ / v_e} &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;หรือ&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; m_0 - m_1=m_1 (e^{\Delta V\ / v_e} - 1)

เมื่อ m_0 คือ มวลรวมเริ่มต้นรวมทั้งเชื้อเพลิงจรวด, m_1 คือ มวลรวมสุดท้าย และ v_e คือ ความเร็วของไอเสียจรวดส่วนที่เกี่ยวกับจรวด (แรงดลจำเพาะ, หรือหากวัดในเวลาจะคูณด้วยอัตราเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก)

ค่า m_0 - m_1 เป็นมวลรวมของเชื้อเพลิงจรวดที่ถูกใช้, และด้วยเหตุนี้:

:M_f = 1-\frac {m_1} {m_0}=1-e^{-\Delta V\ / v_\text{e}}

เมื่อ M_f เป็นเศษส่วนมวลของเชื้อเพลิงจรวด (ส่วนหนึ่งของมวลรวมเริ่มต้นที่ใช้เป็นมวลปฏิกิริยา)

(เดลต้า v) คือการอินทิเกรทในช่วงเวลาของขนาดของความเร่งที่ผลิตโดยใช้เครื่องยนต์จรวด (สิ่งที่จะเป็นความเร่งที่เกิดขึ้นจริงถ้าแรงจากภายนอกไม่มี)  ในพื้นที่ว่าง (หรือ อวกาศอิสระ), สำหรับกรณีของความเร่งในทิศทางของความเร็ว, นี้คือการเพิ่มขึ้นของความเร็ว  ในกรณีที่มีความเร่งในทิศทางตรงข้าม (ชะลอความเร็วลง) มันคือการลดลงของอัตราเร็ว แน่นอนว่าแรงโน้มถ่วงและแรงฉุดก็คือตัวทำให้เกิดความเร่งต่อจรวด, และสามารถเพิ่มหรือลดลงได้ในการเพื่อที่จะเปลี่ยนแปลงความเร็วของมันโดยการได้รับประสบการณ์จากการควบคุมอากาศยานลำนั้น ๆ นั่นเอง  ดังนั้น เดลต้า-v มักจะไม่ได้มีการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นจริงในอัตราเร็วหรือความเร็วของอากาศยาน

ถ้าทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษถูกนำมาพิจารณา, สมการดังต่อไปนี้จะสามารถได้มาจากการเคลื่อนที่แบบจรวดเชิงสัมพัทธ (relativistic rocket),  ด้วย \Delta v อีกครั้งโดยถูกกำหนดให้เป็นความเร็วสุดท้ายของจรวด (หลังจากการเผาไหม้เชื้อเพลิงออกไปหมดและมีการลดลงของมวลส่วนที่เหลือ m_1) ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยเมื่อจรวดเริ่มต้นเคลื่อนที่ที่จุดหยุดนิ่ง (ที่มีมวลส่วนที่เหลือรวมทั้งเชื้อเพลิงที่เป็น m_0 ในตอนเริ่มต้น) และ c ถูกกำหนดให้เป็นค่าสำหรับอัตราเร็วของแสงในสูญญากาศ:

:\frac{m_0}{m_1} = \left[\frac{1 + {\frac{\Delta v}{c}}}{1 - {\frac{\Delta v}{c}}}\right]^{\frac{c}{2v_e}}

การเขียน \frac{m_0}{m_1} ให้เป็น R, ด้วยพีชคณิตเล็ก ๆ น้อย ๆ แบบนี้จะช่วยทำให้สมการนี้ได้รับการปรับปรุงใหม่เป็น

:\frac{\Delta v}{c} = \frac{R^{\frac{2v_e}{c}} - 1}{R^{\frac{2v_e}{c}} + 1}

จากนั้นใช้เอกลักษณ์ R^{\frac{2v_e}{c}} = \exp \left[ \frac{2v_e}{c} \ln R \right] (ในที่นี่ "exp" หมายถึงฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (exponential function); *ดูเพิ่มเติม* ลอการิทึมธรรมชาติ มีค่าเช่นเดียวกับ "ยกกำลัง" ของเอกลักษณ์ของเอกลักษณ์ลอการิทึม (Logarithmic identities) และเอกลักษณ์ \tanh x = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} (*ดู* ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก (Hyperbolic function)) นี้จะเทียบเท่ากับ

:\Delta v = c \cdot \tanh \left(\frac {v_e}{c} \ln \frac{m_0}{m_1} \right)

## ดูเพิ่ม

* Delta-v
* Delta-v budget
* Oberth effect 
* Specific impulse
* Spacecraft propulsion
* Mass ratio
* Working mass
* Relativistic rocket
* Reversibility of orbits
* Variable-mass systems

## อ้างอิง

หมวดหมู่:สมการ