กฎไลบ์นิทซ์ทั่วไป

ใน แคลคูลัส **กฎไลบ์นิทซ์ทั่วไป** ตั้งชื่อตาม ก็อทฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์ วางนัยทั่วไปให้กับกฎผลคูณของอนุพันธ์ของผลคูณฟังก์ชันสองฟังก์ชัน (เรียกอีกอย่างได้ว่า "กฎของไลบ์นิทซ์") ระบุไว้ว่าถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้  ครั้ง แล้วผลคูณ fg สามารถหาอนุพันธ์ได้  ครั้ง และอนุพันธ์อันดับที่  จะได้ว่า (fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(n-k)} g^{(k)} เมื่อ {n \choose k}={n!\over k! (n-k)!} เป็นสัมประสิทธิ์ทวินามและ f^{(j)} หมายถึงอนุพันธ์อันดับที่ *j* ของ *f* (และโดยเฉพาะ f^{(0)}= f)

กฎดังกล่าวสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้กฎผลคูณและการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

## อนุพันธ์ลำดับที่สอง
ตัวอย่างเช่น เมื่อ  กฎจะให้นิพจน์สำหรับอนุพันธ์อันดับสองของผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน(fg)*(x)=\sum\limits_{k=0}^{2}{\binom{2}{k} f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f*(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g*(x).</math>

== มากกว่าสองฟังก์ชัน ==
สูตรนี้สามารถวางนัยทั่วไปเป็นผลคูณของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ *m* ฟังก์ชัน *f*<sub>1</sub>,...,*fm* <math display="block">\left(f_1 f_2 \cdots f_m\right)^{(n)}=\sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}
 \prod_{1\le t\le m}f_{t}^{(k_{t})}\,,</math> โดยที่ผลรวมขยายไปทั่ว *m*-สิ่งอันดับ (*k*<sub>1</sub>,...,*k*<sub>*m*</sub>) ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบด้วย <math display="inline">\sum_{t=1}^m k_t=n,</math> และ <math display="block"> {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!}</math> เป็น[[สัมประสิทธิ์อเนกนาม]] คล้ายกับ[[สูตรอเนกนาม]]ในพีชคณิต

== บทพิสูจน์ ==
บทพิสูจน์กฎไลบ์นิทซ์ทั่วไปโดยการใช้อุปนัย ให้ <math>f</math> และ <math>g</math> เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ <math>n</math> ครั้ง กรณีฐานเมื่อ <math>n=1</math> อ้างว่า<math display="block"> (fg)' = f'g + fg'</math> ซึ่งเป็น[[กฎผลคูณ]]และทราบว่าเป็นจริง ต่อไปให้ถือว่าข้อความนั้นถือเป็นจริงเมื่อ <math>n \geq 1
</math> นั่นก็คือว่า <math display="block"> (fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k} f^{(n-k)}g^{(k)} </math>

แล้ว <math display="block">\begin{align}
  (fg)^{(n+1)} &= \left[ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)} g^{(k)} \right]' \\
  &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n+1-k)} g^{(k)} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)} g^{(k+1)} \\
  &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n+1-k)} g^{(k)} + \sum_{k=1}^{n+1} \binom{n}{k-1} f^{(n+1-k)} g^{(k)} \\
  &= \binom{n}{0} f^{(n+1)} g^{(0)} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} f^{(n+1-k)} g^{(k)} + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k-1} f^{(n+1-k)} g^{(k)} + \binom{n}{n} f^{(0)} g^{(n+1)} \\
  &= \binom{n+1}{0} f^{(n+1)} g^{(0)} + \left( \sum_{k=1}^n \left[\binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} \right]f^{(n+1-k)} g^{(k)} \right) + \binom{n+1}{n+1} f^{(0)} g^{(n+1)} \\
  &= \binom{n+1}{0} f^{(n+1)} g^{(0)} + \sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k}  f^{(n+1-k)} g^{(k)} + \binom{n+1}{n+1}f^{(0)} g^{(n+1)} \\
  &= \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} f^{(n+1-k)} g^{(k)} 
 \end{align}</math> และการอ้างดังกล่าวก็เป็นจริงสำหรับ 

== ความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม ==
กฎของไลบ์นิทซ์มีความคล้ายคลึงอย่างมากกับ[[ทฤษฎีบททวินาม]] และในความเป็นจริง ทฤษฎีบททวินามสามารถพิสูจน์ได้โดยตรงจากกฎของไลบ์นิทซ์โดยการใช้ <math>f(x) = e^{ax}</math> และ <math>g(x) = e^{bx}
</math> ซึ่งทำให้

: <math>(a + b)^n e^{(a+b)x} = e^{(a+b)x}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k</math>

แล้วหารทั้งสองข้างด้วย <math>e^{(a+b)x}</math> 

== แคลคูลัสหลายตัวแปร ==
โดยใช้สัญกรณ์[[อเนกดัชนี]]สำหรับ[[อนุพันธ์ย่อย]] ของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว กฎของไลบ์นิทซ์ระบุไว้โดยทั่วไปว่า <math display="block">\partial^\alpha (fg) = \sum_{ \beta\,:\,\beta \le \alpha } {\alpha \choose \beta} (\partial^{\beta} f) (\partial^{\alpha - \beta} g)</math>

สูตรนี้สามารถนำมาใช้เพื่อหาสูตรที่คำนวณ[[สัญลักษณ์ของตัวตำเนินการอนุพันธ์|สัญลักษณ์]]ขององค์ประกอบของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ได้ ในความเป็นจริงให้ *P* และ *Q* เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ (โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้เพียงพอหลายครั้ง) และ <math>R = P \circ Q</math> เนื่องจาก *R* เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ สัญลักษณ์ของ *R'' จึงกำหนดโดย: R(x, \xi) = e^{-{\langle x, \xi \rangle}} R (e^{\langle x, \xi \rangle})

การคำนวณโดยตรงให้R(x, \xi) = \sum_\alpha {1 \over \alpha!} \left({\partial \over \partial \xi}\right)^\alpha P(x, \xi) \left({\partial \over \partial x}\right)^\alpha Q(x, \xi)

โดยทั่วไปสูตรนี้เรียกว่าสูตรไลบ์นิทซ์ ใช้เพื่อกำหนดองค์ประกอบในพื้นที่ของสัญลักษณ์ ทำให้เกิดโครงสร้างวงแหวน

## ดูเพิ่มเติม

* ดีริเวชัน
* แคลคูลัสเงามืด

## อ้างอิง


หมวดหมู่:ทฤษฎีบทในแคลคูลัส
หมวดหมู่:ทฤษฎีบทในการวิเคราะห์
หมวดหมู่:เอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์
หมวดหมู่:กฎการหาอนุพันธ์
หมวดหมู่:หน้าที่ใช้แถบข้างที่มีพารามิเตอร์ child