กราฟของฟังก์ชัน

[350px|thumb|(1) กราฟของฟังก์ชัน  บนช่วง [−2,+3] ซึ่งแสดงรากที่เป็นจำนวนจริงและจุดต่ำสุดของกราฟภายในช่วงนี้ด้วย](https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%84%E0%B8%9F%E0%B8%A5%E0%B9%8C:X%5E4_-_4%5Ex.PNG)
**กราฟของฟังก์ชัน** *f* () ในทางคณิตศาสตร์ คือการรวบรวมคู่อันดับ  ทั้งหมด ถ้าฟังก์ชันรับค่า *x* เป็นสเกลาร์ กราฟนี้จะเป็นกราฟสองมิติ และจะกลายเป็นเส้นโค้งสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง ถ้าฟังก์ชันรับค่า *x* เป็นคู่อันดับของจำนวนจริง  กราฟนี้จะเป็นการรวบรวมสามสิ่งอันดับ  ทั้งหมด หรือเป็นกราฟสามมิติ และจะกลายเป็นพื้นผิวสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง

หากกล่าวอย่างไม่เป็นทางการ ถ้า *x* เป็นจำนวนจริง และ *f* เป็นฟังก์ชันค่าจริง *กราฟ* อาจหมายถึงตัวแทนเชิงภาพ (graphical representation) ของการรวบรวมเหล่านี้ในรูปแบบกราฟเส้น นั่นคือเส้นโค้งบนระนาบคาร์ทีเซียน และแกนคาร์ทีเซียนเป็นต้น การวาดกราฟบนระนาบคาร์ทีเซียนบางครั้งก็อาจเรียกว่า *การร่างเส้นโค้ง* (curve sketching) กราฟของฟังก์ชันจำนวนจริงอาจลงจุดได้โดยตรงบนตัวแทนเชิงภาพของฟังก์ชันนั้น สำหรับฟังก์ชันทั่วไป ตัวแทนเชิงภาพไม่จำเป็นว่าจะต้องสามารถหาได้ และนิยามของกราฟของฟังก์ชันก็เพียงพอต่อความต้องการในประโยคคณิตศาสตร์ต่าง ๆ แล้ว ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทกราฟปิด (closed graph theorem) ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

มโนทัศน์ของกราฟของฟังก์ชันสามารถวางนัยทั่วไปเป็นกราฟของความสัมพันธ์ (graph of a relation) สังเกตว่าถึงแม้ฟังก์ชันหนึ่ง ๆ สามารถระบุได้ด้วยกราฟของมันเสมอ แต่ฟังก์ชันสองฟังก์ชันที่มีโคโดเมนต่างกันก็อาจมีกราฟเหมือนกันได้ ฟังก์ชันเหล่านั้นจึงไม่ใช่ฟังก์ชันเดียวกัน ยกตัวอย่าง ฟังก์ชันพหุนามกำลังสามในตัวอย่างเป็นฟังก์ชันทั่วถึง (surjection) ถ้าโคโดเมนเป็นจำนวนจริง แต่จะไม่ใช่ฟังก์ชันทั่วถึงถ้าโคโดเมนเป็นจำนวนเชิงซ้อน

การทดสอบว่ากราฟเส้นโค้งหนึ่ง ๆ เป็นฟังก์ชันของ *x* หรือไม่ ให้ใช้การทดสอบเส้นแนวยืน (vertical line test) ในทางกลับกัน การทดสอบว่ากราฟเส้นโค้งหนึ่ง ๆ เป็นฟังก์ชันของ *y* หรือไม่ ให้ใช้การทดสอบเส้นแนวนอน (horizonal line test) ถ้าฟังก์ชันนั้นมีฟังก์ชันผกผัน กราฟของฟังก์ชันผกผันจะหาได้จากเงาสะท้อนในกระจกของกราฟของฟังก์ชันเดิม โดยมีเส้นตรง  เป็นแกน

ในทางวิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ เทคโนโลยี การเงิน และอื่น ๆ กราฟถูกใช้เป็นเครื่องมืออเนกประสงค์ กรณีง่ายสุดคือตัวแปรหนึ่ง ๆ จะถูกลงจุด (plot) เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอื่น โดยใช้แกนที่ตัดกันเป็นมุมฉากตามปกติ

ในรากฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่อันเป็นที่รู้จักกันว่าทฤษฎีเซต ฟังก์ชันและกราฟของฟังก์ชันโดยพื้นฐานถือว่าคือสิ่งเดียวกัน

right|thumb|250px|(2) กราฟของฟังก์ชัน

## ตัวอย่าง
### ฟังก์ชันตัวแปรเดียว
right|thumb|250px|(3) กราฟของฟังก์ชัน

กราฟของฟังก์ชัน
:: f(x)=
        \left\{\begin{matrix}
              a, & \mbox{if }x=1 \\ d, & \mbox{if }x=2 \\ c, & \mbox{if }x=3
        \end{matrix}\right.
  
คือ
::{ (1,a), (2,d), (3,c) }

กราฟของพหุนามกำลังสามบนเส้นจำนวนจริง
:: f(x) = x^3 - 9x
คือ
:: { (*x*, *x*3 − 9*x*) : *x* เป็นจำนวนจริง }
ถ้าลงจุดเซตนี้บนระนาบคาร์ทีเซียน ผลลัพธ์จะได้เส้นโค้งตามภาพ (2)

### ฟังก์ชันสองตัวแปร
thumb|250px|(4) การลงจุดของกราฟของฟังก์ชัน  และแสดงภาพฉายเกรเดียนต์บนระนาบข้างล่าง

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
:: *f*(*x*, *y*) = sin(*x*2) · cos(*y*2)
คือ
:: { (*x*, *y*, sin(*x*2) · cos(*y*2)) : *x* และ *y* เป็นจำนวนจริง }
ถ้าลงจุดเซตนี้บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ ผลลัพธ์จะได้พื้นผิวตามภาพ (3)

บางครั้งการใส่เกรเดียนต์ของฟังก์ชันและเส้นโค้งระดับไว้บนกราฟก็อาจมีประโยชน์ เส้นโค้งระดับสามารถวาดบนกราฟพื้นผิวของฟังก์ชันหรือฉายลงบนระนาบข้างล่าง

ภาพถัดมา (4) แสดงการวาดกราฟของฟังก์ชัน

:: *f*(*x*, *y*) = −(cos(*x*2) + cos(*y*2))2

### แนวฉากของกราฟ
กำหนดให้ฟังก์ชัน *f* รับค่าตัวแปร *n* ตัว ได้แก่  x=x_1, \dotsc, x_n  แนวฉากของกราฟคือ
:: (\nabla f, -1) 
(ขึ้นอยู่กับการคูณด้วยค่าคงตัว) สิ่งนี้สามารถพบได้โดยพิจารณากราฟว่าเป็นเซตระดับ (level set) ของฟังก์ชัน g(x,z) = f(x) - z และการใช้ \nabla g  เป็นแนวฉากของเซตระดับ

## การวางนัยทั่วไป
กราฟของฟังก์ชันเป็นส่วนหนึ่งของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต ตัวอย่างเช่น ระนาบ *xy* เป็นผลคูณคาร์ทีเซียนระหว่างเส้นตรงสองเส้นคือแกน *x* กับแกน *y*, ผิวทรงกระบอกเป็นผลคูณคาร์ทีเซียนระหว่างเส้นตรงกับรูปวงกลม ซึ่งความสูง รัศมี และมุมเป็นตัวกำหนดตำแหน่งที่แน่นอนของจุดต่าง ๆ มัดเส้นใย (fiber bundle) ตามปกติไม่เป็นผลคูณคาร์ทีเซียน แต่ถ้าหากมองเข้าไปใกล้ก็อาจเห็นเป็นผิวชนิดหนึ่งและนับเป็นผลคูณคาร์ทีเซียนได้ สัญกรณ์ที่สอดคล้องของกราฟบนมัดเส้นใยเรียกว่า ภาคตัด (section)

## ดูเพิ่ม

* เส้นกำกับ
* แผนภูมิ
* ฟังก์ชันคองเคฟ
* ฟังก์ชันคอนเวกซ์
* เส้นชั้นความสูง

* จุดวิกฤต
* อนุพันธ์
* เอพิกราฟ
* กราฟ (คณิตศาสตร์)
* ทฤษฎีกราฟ

* ความชัน
* สมการ
* เททระวิว
* การเลื่อนขนานแนวยืน
* ระยะตัดแกน y

## อ้างอิง

## แหล่งข้อมูลอื่น

* Graph of function, derivative and antiderivative plotter 
* Weisstein, Eric W. "Function Graph." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.

หมวดหมู่:แผนภูมิ
หมวดหมู่:ฟังก์ชันและการจับคู่