ทฤษฎีบทญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม

right|300px|thumb|'''โดยไม่เสียนัยยะทั่วไป''' หากแบ่ง <math> \square ABCD </math> ตามเส้นทแยงมุมของมัน เราจะได้รูปสามเหลี่ยมสี่รูปซ้อนกันอยู่ (เส้นทแยงมุมแต่ละเส้นทำให้เกิดสามเหลี่ยมขึ้นมา 2 อัน นั้นคือ <math> \triangle ABD, \triangle  ABC, \triangle BCD, \triangle ACD </math> ) จะรูปจะเห็นว่าจุดศุนย์กลางของวงกลมที่อยู่บรรจุอยุ่ภายในสามเหลี่ยมทั้งสี่ เป็นจุดยอดของสีเหลี่ยมผื้นผ้าอีกทีหนึ่ง

ใน เรขาคณิต **ทฤษฎีบทญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม** () คือทฤษฎีที่ระบุว่า จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่บรรจุในสามเหลี่ยมหนึ่งๆได้ (incircle of a triangle) และสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมที่อยู่ภายในรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม  (Cyclic quadrilaterals) ได้อีกทีหนึ่ง  จุดศูนย์กลางของวงกลมดังที่กล่าวมาจะเป็นคือจุดยอด (Vertex) ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า   

## พิสูจน์
right|400px|thumb|รูปที่ใช้ในการอธิบายการพิสูจน์
**โดยไม่เสียนัยยะทั่วไป** กำหนดให้  \square ABCD  คือรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (ดังภาพ) และกำหนดให้ M_1,M_2,M_3,M_4 เป็นวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถสัมผัสด้านประกอบสามเหลี่ยมใดๆทั้งสามด้านได้ (ดังภาพ) ในที่นี้ M_1,M_2,M_3,M_4 คือวงกลมที่สอดคล้องกับสามเหลี่ยม  \triangle ABD, \triangle  ABC, \triangle BCD, \triangle ACD  ตามลำดับ

:จากรูปจะเห็นว่า  \angle ACD = \angle ABD   เพราะเป็นมุมด้านตรงข้ามส่วนของวงกลม AD อันเดียวกัน และกำหนดให้  \angle C = \angle B  = \alpha = \frac{AD}{2}

:จาก  \triangle ACD  จะพบว่า  \angle AM_4D = 90 + \frac{\alpha}{2}  
 
:จาก  \triangle ADB  จะพบว่า  \angle AM_1D = 90 + \frac{\alpha}{2}  

:เนื่องจาก  \angle AM_4D = \angle AM_1D = 90 + \frac{\alpha}{2}   ดังนั้น   \square AM_1M_4D  เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ซึ่งในที่นี้คือวงกลมสีเขียว 

:เนื่องจาก    \square AM_1M_4D  เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมแล้วดังนั้นจะได้ว่า  \angle M_1  (มุมสีแดงทึบ) มีค่าเท่ากับ 

: \angle ADM_4 = \angle \frac{ADC}{2}  เพราะเป็นคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม    

:ในทำนองเดียวกัน   \square AM_1M_2B  เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมของวงกลมสีส้มดังรูป 

:เนื่องจาก  \square AM_1M_2B  เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม แล้วดังนั้นจะได้ว่า  \angle M_1  (มุมสีฟ้าทึบ) มีค่าเท่ากับ 

: \angle ABM_2 = \angle \frac{ABC}{2}   ด้วยเหตุผลเดียวกับที่อ้างข้างต้นกับมุม  \angle M_1 

:เนื่องจาก    \square ABCD  เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ดังนั้นมุมด้านของจุดยอดตรงข้ามกันมีผลรวมเป็น 180 องศา   

:\angle ABC + \angle ADC = 180  

:จากข้อมูลทั้งหมดข้างต้นเราจะได้ว่ามุม   \angle M_1  ที่รวมทั้งมุมแดงทึบและมุมฟ้าทึบ มีค่าเท่ากับ  \angle ABM_2 + \angle ADM_4 = \angle \frac{ABC}{2} + \angle \frac{ADC}{2} = \frac{\angle ABC + \angle ADC}{2} = \frac{180}{2} = 90  ซึ่งจะได้ว่ามุม  \angle M_1  ที่รวมทั้งมุมแดงทึบและมุมฟ้าทึบเป็นมุมฉาก

:ในทำนองเดียวกับการพิสูจน์ข้างต้นเราจะพบว่า มุม  \angle M_2 ,  \angle M_3  และ  \angle M_4  เป็นมุมฉากเช่นเดียวกัน

:ดังนั้นแสดงว่า   \square M_1M_2M_3M_4  เป็นสี่เหลี่ยมผื่นผ้า **ซตพ.**

## หมายเหตุ

:**<small>ก</small>.**   ศัพท์บัญญัติราชบัณฑิตยสถาน คณิตศาสตร์ ๑๙ ก.ค. ๒๕๔๗

:**<small>ข</small>.**   รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (Cyclic quadrilaterals) คือรูปสี่เหลี่ยมใดๆที่มีจุดยอดทั้งสีอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม 

:**<small>ค</small>.**  จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถสัมผัสด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม (Incircle center) นั้นมีคุณสมบัติคือ 
:*เป็นจุดเดียวกับจุดตัดของเส้นแบ่งมุมของสามเหลี่ยมแต่ละด้าน (Bisector) 
:*จะอยู่ภายในสามเหลี่ยมที่วงกลมนั้นถูกบรรจุอยู่ตลอด 



## ดูเพิ่ม
* Carnot's theorem
* Sangaku
* Wasan

## อ้างอิง

ญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม
ญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม
ญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม