ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

thumb|300px|ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมสองรูปบนด้านประชิดมุมฉาก (''a'' และ ''b'') เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมบนด้านตรงข้ามมุมฉาก (''c'')
ในวิชาคณิตศาสตร์ **ทฤษฎีบทพีทาโกรัส** แสดงความสัมพันธ์ในเรขาคณิตแบบยุคลิด ระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ ในแง่ของพื้นที่ กล่าวไว้ดังนี้

ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถเขียนเป็นสมการสัมพันธ์กับความยาวของด้าน *a*, *b* และ *c* ได้ ซึ่งมักเรียกว่า *สมการพีทาโกรัส* ดังด้านล่าง
:a^2 + b^2 = c^2\!\, (อาจแทนด้วยตัวแปรอื่นเช่น x, y, z, ก, ข, ค)

โดยที่ *c* เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก และ *a* และ *b* เป็นความยาวของอีกสองด้านที่เหลือ
 
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสตั้งตามชื่อนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก พีทาโกรัส ซึ่งถือว่าเป็นผู้ค้นพบทฤษฎีบทและการพิสูจน์ แม้จะมีการแย้งบ่อยครั้งว่า ทฤษฎีบทดังกล่าวมีมาก่อนหน้าเขาแล้ว มีหลักฐานว่านักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนเข้าใจสมการดังกล่าว แม้ว่าจะมีหลักฐานหลงเหลืออยู่น้อยมากว่าพวกเขาปรับให้มันพอดีกับกรอบคณิตศาสตร์

ทฤษฎีบทดังกล่าวเกี่ยวข้องกับทั้งพื้นที่และความยาว ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถสรุปได้หลายวิธี รวมทั้งปริภูมิมิติที่สูงขึ้น ไปจนถึงปริภูมิที่มิใช่แบบยูคลิด ไปจนถึงวัตถุที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก และอันที่จริงแล้ว ไปจนถึงวัตถุที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมเลยก็มี แต่เป็นทรงตัน n มิติ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสดึงดูดความสนใจจากนักคณิตศาสตร์เป็นสัญลักษณ์ของความยากจะเข้าใจในคณิตศาสตร์ ความขลังหรือพลังปัญญา มีการอ้างถึงในวัฒนธรรมสมัยนิยมมากมายทั้งในวรรณกรรม ละคร ละครเพลง เพลง สแตมป์และการ์ตูน

## รูปอื่น
ตามที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น หาก *c* แทนความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก และ *a* และ *b* แทนความยาวของอีกสองด้านที่ประกบมุมฉาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะสามารถเขียนในรูปสมการพีทาโกรัสได้ดังนี้

: a^2 + b^2 = c^2\, 

หรือ
 
:  c = \sqrt{a^2 + b^2} \,

ถ้าทราบความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก *c* และด้านประชิดมุมฉากด้านใดด้านหนึ่ง (*a* หรือ *b*) แล้ว ความยาวด้านที่เหลือสามารถคำนวณได้ดังนี้ 

: a = \sqrt{c^2 - b^2} \,

หรือ 

: b = \sqrt{c^2 - a^2} \,

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกำหนดความสัมพันธ์ของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากอย่างง่าย เพื่อที่ว่าถ้าทราบความยาวของด้านสองด้าน ก็จะสามารถหาความยาวของด้านที่เหลือได้ อีกบทแทรกหนึ่งของทฤษฎีบทพีทาโกรัสคือ ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ด้านตรงข้ามมุมฉากจะยาวกว่าสองด้านที่เหลือ แต่สั้นกว่าผลรวมของทั้งสอง

ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถกล่าวโดยสรุปได้เป็นกฎของโคซายน์ ซึ่งเมื่อให้ความยาวของด้านทั้งสองและขนาดของมุมระหว่างด้านนั้นมา จะสามารถคำนวณหาความยาวด้านที่สามของสามเหลี่ยมใด ๆ ได้ ถ้ามุมระหว่างด้านเป็นมุมฉาก กฎของโคซายน์จะย่อลงเหลือทฤษฎีบทพีทาโกรัส

## การพิสูจน์

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจเป็นทฤษฎีบทที่รู้จักกันว่ามีการพิสูจน์มากกว่าทฤษฎีบทอื่น หนังสือ *The Pythagorean Proposition* มีการพิสูจน์มากถึง 370 แบบ



ไฟล์:Pythagoras-2a.gif|ภาพเคลื่อนไหวแสดงการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ไฟล์:Pythag anim.gif|การพิสูจน์โดยการจัดเรียงรูปสามเหลี่ยมใหม่
ไฟล์:Pythagorean theorem rearrangement.svg|การพิสูจน์โดยการจัดเรียงพื้นที่



## บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส
บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสนั้นเป็นจริง โดยกล่าวไว้ดังนี้

กำหนด *a*, *b* และ *c* เป็นจำนวนจริงบวกที่ a^2+b^2=c^2 จะมีสามเหลื่ยมมุมฉากหนึ่งรูปที่มีความยาวด้านเท่ากับสามจำนวนนั้น และสามเหลี่ยมนั้นจะมีมุมฉากระหว่างด้าน *a* และ *b* 


ชุดของสามจำนวนนี้เรียกว่า สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส อีกข้อความหนึ่งกล่าวว่า 

สำหรับสามเหลี่ยมใด ๆ ที่มีด้าน *a*, *b* และ *c* ถ้า a^2+b^2=c^2 แล้วมุมระหว่าง *a* กับ *b* จะวัดได้ 90°  


บทกลับนี้ยังปรากฏอยู่ในหนังสือ *Euclid's Elements* ของ ยุคลิดด้วย

ถ้าในสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง สี่เหลี่ยมบนด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมบนอีกสองด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมแล้ว แล้วมุมที่รองรับด้านทั้งสองที่เหลือของสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นมุมฉาก   


บทกลับนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ กฎของโคไซน์ หรือตามการพิสูจน์ดังต่อไปนี้

กำหนดสามเหลี่ยม ABC มีด้านสามด้านที่มีความยาว a, b และ c และ a^2+b^2=c^2 เราจะต้องพิสูจน์ว่ามุมระหว่าง a และ b เป็นมุมฉาก ดังนั้น เราจะสร้างสามเหลื่ยมมุมฉากที่มีความยาวของด้านประกอบมุมฉาก เป็น a และ b แต่จากทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราจะได้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ของสามเหลื่ยมรูปที่สองก็จะมีค่าเท่ากับ c เนื่องจากสามเหลี่ยมทั้งสองรูปมีความยาวด้านเท่ากันทุกด้าน สามเหลี่ยมทั้งสองรูปจึงเท่ากันทุกประการแบบ "ด้าน-ด้าน-ด้าน" และต้องมีมุมขนาดเท่ากันทุกมุม ดังนั้นมุมที่ด้าน a และ b มาประกอบกัน จึงต้องเป็นมุมฉากด้วย

จากบทพิสูจน์ของบทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราสามารถนำไปหาว่ารูปสามเหลี่ยมใด ๆ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม, มุมฉาก หรือ มุมป้าน ได้ เมื่อกำหนดให้ c เป็นความยาวของด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม
* ถ้า a^2+b^2=c^2 สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
* ถ้า a^2+b^2>c^2 สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม 
* ถ้า a^2+b^2 สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน

## อ้างอิง

หมวดหมู่:มุม
หมวดหมู่:ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์
หมวดหมู่:รูปสามเหลี่ยม
หมวดหมู่:สมการ
หมวดหมู่:เรขาคณิตบนระนาบยุคลิด
หมวดหมู่:พีทาโกรัส