ลิมิตของฟังก์ชัน

ถึงแม้ว่าฟังก์ชัน (sin&nbsp;*x*)/*x* จะไม่นิยามที่ 0 แต่เมื่อ *x* มีค่าเข้าใกล้ 0 มาก ๆ แล้ว (sin&nbsp;*x*)/*x* มีค่าเข้าใกล้ 1 หรืออีกนัยหนึ่ง ลิมิตของ (sin&nbsp;*x*)/*x* เมื่อ *x* เข้าใกล้ 0 มีค่าเท่ากับ &nbsp;1




ในวิชาคณิตศาสตร์ **ลิมิตของฟังก์ชัน** เป็นแนวคิดพื้นฐานในคณิตวิเคราะห์และแคลคูลัส ซึ่งเกี่ยวข้องกับพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้กับจุดที่สนใจจุดหนึ่ง

นิยามที่รัดกุมซึ่งนิยามเป็นครั้งแรกในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 ระบุไว้ด้านล่าง สำหรับแนวคิดอย่างไม่รัดกุมมากนัก ฟังก์ชัน  จะรับค่า  แล้วคืนค่าออกมาคือ  เราจะกล่าวว่า ฟังก์ชัน  มีลิมิต  ที่จุด  ก็ต่อเมื่อ ค่าของฟังก์ชัน  จะเข้าใกล้  มากขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อกำหนดค่า  ที่เข้าใกล้ค่า  ให้กับฟังก์ชันมากขึ้นเรื่อย ๆ

แนวคิดเรื่องลิมิตเป็นหัวใจหลักของแคลคูลัสสมัยใหม่ โดยเฉพาะแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชันอาศัยแนวคิดเรื่องลิมิตเป็นพื้นฐาน กล่าวคือ ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องถ้าสำหรับแต่ละจุดค่าของมันจะเท่ากับค่าของลิมิตที่จุดนั้น นอกจากนี้แนวคิดเรื่องลิมิตยังปรากฏในนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชันอีกด้วย

แนวคิดเกี่ยวกับลิมิตยังขยายนัยทั่วไปออกไปบน ปริภูมิอิงระยะทาง และปริภูมิทอพอโลยี อีกด้วย
## ประวัติ

## นิยามเป็นทางการ
### นิยามแบบ (ε, δ) ของลิมิต
กำหนดให้ f\colon (a,b) \to \R เป็นฟังก์ชันบนช่วงเปิดที่เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง และ p, L \in\R เป็นจำนวนจริงโดยที่ p \in (a,b) เราจะกล่าวว่า**ลิมิตของ <math>f</math> เมื่อ <math>x</math> มีค่าเข้าใกล้ <math>p</math> คือ <math>L</math>** ก็ต่อเมื่อ 

สำหรับทุกค่า \varepsilon > 0 จะมีจำนวนจริง \delta > 0 ที่ทำให้สำหรับทุกค่า x ถ้า 0  แล้ว \left\vert f(x) - L \right\vert  

ถ้าลิมิตของ f เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ p คือ L แล้วเราจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 

\lim_{x \to p} f(x) = L 

หรืออีกแบบหนึ่งได้เป็น 

f(x) \to L เมื่อ x \to p (อ่านว่า "f(x) มีค่าเข้าใกล้ **<math>L</math>** เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ p") 

สังเกตว่านิยามลิมิตไม่ขึ้นอยู่กับค่าของ f ที่จุด p ยิ่งไปกว่านั้น f(p) ไม่จำเป็นต้องหาค่าได้ 

## ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง
กำหนดให้ *f* : (*M*,d*M*) -> (*N*,d*N*) เป็นการส่งค่าระหว่าง (เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน) ปริภูมิอิงระยะทาง สองปริภูมิ, และกำหนดให้ *p* &isin;*M* และ *L* &isin;*N*, เราจะกล่าวว่า "ลิมิตของ *f* ที่ *p* คือ *L*" และเขียนว่า: \lim_{x \to p}f(x) = L ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ &epsilon; > 0 จะมี &delta; > 0 ที่ *สำหรับทุก ๆ* *x* &isin;*M* *และ* d*M*(*x*, *p*) *N*(*f*(*x*), *L*)  \lim_{x \to p}f(x) = L  เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง ที่มีทั้ง *M* และ *N* เป็นเซตของจำนวนจริง และ *d(x,y) = |x-y|*

หรือเราจะเขียน
 \lim_{x \to p}f(x) = \infty ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่าของ *R* > 0 (ไม่ว่าจะใหญ่เท่าใด) จะต้องมี &delta; > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ *สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง* *x* *ที่*  0  *R*;

หรือจะเขียนว่า
 \lim_{x \to p}f(x) = -\infty ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่าของ *R*  0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ *สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง* *x* *ที่* 0  \lim_{x \to p^+} และถ้าใช้ *p*-*x* แทน ก็จะได้ *ลิมิตซ้าย* เขียนแทนโดย : \lim_{x \to p^-}

#### ลิมิตของฟังก์ชันค่าจริง ณ อนันต์
thumb|300px|จะมีลิมิตของฟังก์ชัน ณ อนันต์ ถ้า สำหรับ &epsilon; > 0 ใดๆ มี S > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ทำให้  < &epsilon; สำหรับ x > S ใดๆ

ให้ *f*(*x*) เป็นฟังก์ชันค่าจริง เราจะพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ *x* เพิ่มขึ้น หรือลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

เราจะเขียน
: \lim_{x \to \infty}f(x) = L

### ฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน

ระนาบเชิงซ้อน ที่มีตัววัด (metric) เป็น d(x, y) := |x-y| จะเป็นปริภูมิอิงระยะทาง (metric space) ด้วยเช่นกัน
จะมีลิมิตสองประเภทเมื่อเราพูดถึงฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน

#### ลิมิตของฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่ง

สมมติให้ *f* เป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน แล้วเราจะเขียนว่า
: \lim_{x \to p}f(x) = L 
ได้ ก็ต่อเมื่อ
:สำหรับ &epsilon; > 0 ใด ๆ จะมี &delta; >0 อย่างน้อย 1 ค่า ซึ่งสำหรับจำนวนจริง *x* ใด ๆ ซึ่ง 0 \lim_{x \to \infty}f(x) = L
ได้ ก็ต่อเมื่อ
:สำหรับ &epsilon; > 0 ใด ๆ จะมี *S* >0 ซึ่งสำหรับจำนวนเชิงซ้อน |*x*|>*S* ใด ๆ เราจะได้ |*f*(*x*)-*L*|\lim_{x \to 3}x^2=9
|ลิมิตของ x2 เมื่อ x เข้าใกล้ 3 คือ 9 ในกรณีนี้ ฟังก์ชันนั้นต่อเนื่อง และค่าของมันมีนิยามที่จุดนั้น ค่าลิมิตจึงเท่ากับการแทนค่าฟังก์ชัน
|-
|\lim_{x \to 0^+}x^x=1
|ลิมิตของ xx เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทางขวาคือ 1
|-
|\lim_{x \to 0}{1 \over x} = \mbox{Undefined}\lim_{x \to 0^+}{1 \over x} = +\infty
|ลิมิตสองด้านของ 1/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 นั้นไม่มีนิยามลิมิตของ 1/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทางขวาคือ +&infin;
|-
|\lim_{x \to 0^+}{|x| \over x}=1\lim_{x \to 0^-}{|x| \over x}=-1
|ลิมิตด้านเดียวของ &#124;x&#124;/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 คือ 1 จากด้านบวกและคือ -1 จากด้านลบ สังเกตว่า &#124;x&#124;/x = -1 เมื่อ x เป็นลบ และ &#124;x&#124;/x = 1 เมื่อ x เป็นบวก
|-
|\lim_{x \to 0}x \sin {1 \over x} = 1
|ลิมิตของ x sin(1/x) เมื่อ x เข้าใกล้ 0 คือ 0
|-
|\lim_

### ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง
* ถ้า *z* เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ |*z*| 2, *z*3, ... ของจำนวนเชิงซ้อนจะลู่เข้าโดยมีลิมิตเป็น 0 โดยเรขาคณิตแล้ว จำนวนเหล่านี้จะ "เวียนเป็นก้นหอย" เข้าสู่จุดกำเนิด ตามเส้นก้นหอยลอการิทึม
* ในปริภูมิอิงระยะทาง C[a,b] ของฟังก์ชันต่อเนื่องใด ๆ ที่นิยามบนช่วง [a,b] โดยมีระยะทางเพิ่มขึ้นจาก Supremum norm สมาชิกทุกตัวสามารถเขียนในรูปของลิมิตของลำดับของ ฟังก์ชันพหุนาม ได้ นี่คือเนื้อหาของ ทฤษฎีบทสโตน-ไวแยร์สตราสส์ (Stone-Weierstrass theorem)

### คุณสมบัติ
ประโยค "ลิมิตของฟังก์ชัน *f* ที่ *p* คือ *L*" เหมือนกับประโยค
:"สำหรับลำดับลู่เข้า (*x**n*) ใน *M* ซึ่งมีลิมิตเท่ากับ *p*ลำดับ (*f*(*x**n*)) ลู่เข้าสู่ลิมิต *L*"
ในกรณีที่ *f* เป็นฟังก์ชันค่าจริง จะได้ว่า ประโยคนั้นเหมือนกับ "ทั้งลิมิตซ้ายและลิมิตขวาของ *f* ที่ *p* คือ *L*"

หมวดหมู่:คณิตวิเคราะห์ 
หมวดหมู่:แคลคูลัส

ฟังก์ชัน *f* ต่อเนื่อง ที่ *p* ก็ต่อเมื่อ เราสามารถหาค่าของลิมิตของ *f*(*x*) เมื่อ *x* เข้าใกล้ *p* และค่านั้นเท่ากับ *f*(*p*)
หรืออีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชัน *f* แปลงลำดับใด ๆ ใน *M* ซึ่งสู่เข้าหา *p* ไปเป็นลำดับ *N* ซึ่งลู่เข้าหา *f*(*p*)