Lagged Fibonacci Generator

**Lagged Fibonacci generator** (LFG) เป็นตัวอย่างของ pseudo-random number generator (หนึ่งในคลาสของ random number generator) ในคลาสของ random number generator นั้นมีเป้าหมายเพื่อที่จะปรับปรุงและพัฒนาบนพื้นฐานของ linear congruential generator ซึ่งทั้งหมดเหล่านี้ก็อยู่บนพื้นฐานของลำดับของ Fibonacci (Fibonacci Sequence)

ลำดับของ Fibonacci สามารถเขียนอยู่ในรูปแบบของความสัมพันธ์แบบเวียนเกิด (recurrence relation) ได้ดังนี้

*S<sub>n</sub> = S<sub>n − 1 </sub>+ S<sub>n − 2</sub>*

จากความสัมพันธ์ที่เขียนอยู่ในรูปสมการข้างต้นนั้น เห็นได้ว่าพจน์ใหม่เกิดขึ้นจากผลรวมของสองพจน์ก่อนหน้าในลำดับ ซึ่งสามารถทำให้อยู่ในรูปแบบของลำดับทั่วไปได้ดังนี้

*S<sub>n</sub> = S<sub>n-j</sub> * S<sub>n-k</sub> ( mod m ), 0<j<k*

จากลำดับที่แสดงนี้เห็นได้ว่าพจน์ใหม่ที่เกิดขึ้นจากสองพจน์ใด ๆ ก่อนหน้ามากระทำการทางคณิตศาสตร์
อธิบายจากสมการของลำดับทั่วไปด้านบน
- m คือตัวแปรที่ โดยส่วนใหญ่จะอยู่ในรูปของยกกำลังของ 2 (m = 2m; ตัวอย่างเช่น 232 หรือ 264)
- * คือเครื่องหมายตัวกระทำการที่ใช้ในระบบของเลขฐานสอง ซึ่งอาจจะเป็นเครื่องหมาย การบวก การลบ การคูณ หรือเครื่องหมายทางตรรกศาสตร์เช่น XOR ( Exclusive-OR)

จะเห็นได้ว่าจากทฤษฎีนี้ค่อนข้างซับซ้อนและการเลือกค่าสุ่มของ j และ k ก็ไม่ใช่เรื่องง่ายและยังมีแนวโน้มที่จะเกิดความยุ่งยากได้อีกด้วย

ถ้าเครื่องหมาย * เป็นการบวกก็จะเรียกว่า Additive Lagged Fibonacci Generator หรือ ALFG
ถ้าเครื่องหมาย * เป็นการคูณก็จะเรียกว่า Multiplicative Lagged Fibonacci Generator หรือ MLFG
ถ้าเครื่องหมาย * เป็น XOR ก็จะเรียกว่า Two-tap generalised feedback shift register or GFSR ( ซึ่ง Mersenne twister algorithm ก็ใช้ GFSR ในขั้นตอนของการแก้ปัญหา )

## คุณสมบัติของ lagged Fibonacci generators
**Lagged Fibonacci generators** นั้นมีข้อจำกัดของค่าที่มากที่สุดคือ (2k - 1)*2M-1 ถ้าเป็นในกรณีของการบวกและการลบ และ (2k-1)*k ถ้าเป็นการ XOR กันของค่าใด ๆ ก่อนหน้า ส่วนช่วงของการคูณนั้น คือ (2k - 1)*2M-3 หรือ 1/4 ของการบวก

เพื่อความง่ายต่อการเข้าใจ สามารถเขียนอยู่ในรูปพหุนามได้ดังนี้

: y = xk + xj + 1

จากสมการพุนามเบื้องต้นต้องเป็นเลขจำนวนเต็มที่ mod ด้วยสอง ส่วนค่าของ j และ k ที่เป็นที่นิยมใช้กันและถูกตีพิมพ์ลงในตำราทางวิชาการเช่น
: {j = 7, k = 10}, {j = 5, k = 17}, {j = 24, k = 55}, {j = 65, k = 71}, {j = 128, k = 159} , {j = 6, k = 31}, {j = 31, k = 63}, {j = 97, k = 127}, {j = 353, k = 521}, {j = 168, k = 521}, {j = 334, k = 607}, {j = 273, k = 607}, {j = 418, k = 1279} 

จะเห็นได้ว่าจำนวนที่มีขนาดเล็กจะมีช่วงที่สั้น และจะมีเพียงไม่กี่จำนวนที่เป็นจำนวนสุ่มที่สร้างขึ้น ก่อนจำนวนสุ่มตัวแรกที่จะนำมาใช้อีกในลำดับใหม่

มันคือสิ่งจำเป็นอย่างน้อยหนึ่งค่าของค่า k ตัวแรกที่ถูกเลือกเพื่อเป็นค่าเริ่มต้นเป็นจำนวนคี่

ค่าอัตราส่วนระหว่าง j และ k ที่ควรจะอยู่ในช่วงของอัตราส่วนทอง (golden ratio).

## ปัญหาของ LFGs
การเริ่มต้นของปัญหา LFG นั้นค่อนข้างซับซ้อน และช่วงของค่าสูงสุดใดๆของ LFG มีจำนวนของลำดับที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกันมากมาย แต่การทำเช่นนี้อาจเป็นผลเสียต่อผลที่เกิดขึ้นตามมา อีกประการหนึ่งค่าผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นของลำดับ LFG ค่อนข้างจะไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้นรวมถึงข้อบกพร่องทางสถิติที่อาจเกิดขึ้นแต่ก็เกิดขึ้นเป็นบางช่วงของผลลัพธ์ของลำดับ เว้นแต่มีการรองรับที่จะแก้ไขปัญหาที่อาจเกิดขึ้น อีกปัญหาที่อาจเกิดขึ้นกับ LFGs เป็นที่ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่ไม่สมบูรณ์ทำให้จำเป็นที่จะต้องพึ่งพาการทดสอบทางสถิติมากกว่าประสิทธิภาพทางทฤษฎี ด้วยเหตุผลเหล่านี้ รวมทั้งมีขั้นตอนวิธีของ Mersenne twister ( Mersenne twister algorithm ) ที่มีประสิทธิภาพจึงมีแนวโน้มที่ขั้นตอนวิธีอื่นที่เหนือกว่าจะถูกเลือก

## รหัสเทียมของ LFGs

ตัวอย่างของรหัสในภาษา C++

 sub lfib{
    my ($m, $r, $k, $op, $seed) = @_;
    my (@x, $i);
    srand($seed ||time); #initialise state with rand
    for (0 .. $r){
        push @x, int(rand($m));
    }
    my $fn = "sub {
        \$i = (\$i + 1) % $r;
        \$x[\$i] = (\$x[\$i]  $op  \$x[(\$i-$k) % $r]) % $m;
        (shift || 1.0) * \$x[\$i] / $m;
    }\n";
    return eval($fn);
 }

 $rand = lfib(2**48, 607, 273, '+');  #additive LFib, period 2 ** 638
 $rand2 = lfib(2**64, 1279, 861, '*');#multiplicative LFib, period 2 ** 1340

 print &$rand(100) . "\n" . &$rand2() ."\n";

ตัวอย่างของรหัสในภาษาจาวา

 public int getRandom(){
      Random generator = new Random();
        int j = generator.nextInt(90);
        int k = generator.nextInt(90);
        int max = Math.max(j, k);
        int min = Math.min(j, k);

   //Fibo is an array that contain Fibonacci's serie
      long rnd = (fibo[min] + fibo[max])%6 + 1;
      return (int)rnd;
 }

## การนำไปใช้
* Freeciv ใช้ lagged Fibonacci generator โดยใช้ค่า {j = 24, k = 55} ในการ random number generator
* The Boost library กล่าวถึงการใช้และการดำเนินการของ lagged Fibonacci generator
* The Oracle Database ได้นำ LFG ไปใช้ใน DBMS_RANDOM package (available in Oracle 8 and newer versions)
* .NET CLR ได้นำ lagged Fibonacci generator ไปใช้ใน System.Random generator (http://msdn.microsoft.com/en-us/library/system.random.aspx)

## แหล่งข้อมูลอื่นๆ
* Linear congruential generator
* Mersenne twister
* FISH (cipher)
* Pike
* VIC cipher

## อ้างอิง

http://neohumanism.org/l/la/lagged_fibonacci_generator.html

หมวดหมู่:ตัวสร้างเลขสุ่มเทียม
หมวดหมู่:จำนวนฟีโบนัชชี