ลำดับพรือเฟอร์

**ลำดับพรือเฟอร์** () เป็นหนึ่งในสาขาคณิตศาสตร์เชิงการจัด, ลำดับพรือเฟอร์ ของต้นไม้ คือลำดับการเข้าร่วมกับต้นไม้ ลำดับพรือเฟอร์ สำหรับต้นไม้ที่มี n จุดยอด จะมีขนาด n-2 ตัว เสมอ และสามารถสร้างต้นไม้ได้โดยใช้ขั้นตอนวิธีที่จะกล่าวในส่วนต่อไป ลำดับพรือเฟอร์ ถูกใช้ครั้งแรกสำหรับการพิสูจน์ Cayley's formula โดยไฮนซ์ พรือเฟอร์ (Heinz Prüfer) ใน ค.ศ. 1918

## นิยาม
ลำดับพรือเฟอร์ n ลำดับ คือลำดับของเลขจำนวนเต็ม (integers) :
 ( a1,a2,…,an−2) 
 ดังนั้น ∀i : 1 ≤ i ≤ n−2 : 1 ≤ ai ≤n
 ซึ่งจะเป็นลำดับที่มีขนาด n−2 ตัวและมีค่าระหว่าง 1 ถึง n
 แนวคิดนี้กำหนดไว้เพื่อจุดประสงค์ในการพิสูจน์ Cayley's formula

## ขั้นตอนวิธีที่ใช้ในการแปลงต้นไม้ไปเป็นลำดับพรือเฟอร์
กำหนด ต้นไม้ T ซึ่งสามารถนำมาสร้าง ลำดับพรือเฟอร์ ที่สามารถใช้แทนกันได้
ต้นไม้ T มี n จุดยอด ซึ่งแต่ละจุดยอดจะมีค่า 1 ถึง n ไม่ซ้ำกันในแต่ละจุดยอด
# ถ้าต้นไม้ T มีจุดยอดทั้งหมดน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2 ( n ≤ 2 ) จะหยุดการทำงาน ,ถ้าไม่ใช่ ทำขึ้นตอนที่ 2 
# เลือกใบของต้นไม้ที่มีค่าต่ำที่สุด
# นำค่าจากใบที่ติดกับใบที่เราเลือกใส่ลงใน ลำดับพรือเฟอร์
# ลบใบที่เราเลือกออกจากต้นไม้ แล้ววนกลับไปทำขั้นตอนที่ 1 ใหม่

* ความจำกัด () : ทุกครั้งที่ผ่านขั้นตอนที่ 4 จุดยอดจะหายไป 1 จุดเสมอ เมื่อผ่านไป n-2 รอบ จะเหลือจุดยอดเพียง 2 จุด ขั้นตอนวิธีก็จะหยุดทำงาน
* ข้อมูลนำเข้า () : ต้นไม้ T
* ข้อมูลนำออก () : ลำดับพรือเฟอร์ ซึ่งมีขนาด n-2 ตัว

## ขั้นตอนวิธีที่ใช้ในการแปลงลำดับพรือเฟอร์ไปเป็นต้นไม้
### Pseudocode
กำหนด ลำดับพรือเฟอร์ ขนาด n ตัว {a[1], a[2], ..., a[n]} จะแปลงได้ต้นไม้ที่มีจุดยอด n+2 จุด
  **Convert-Prüfer-to-Tree** (*a*)
  1 *n* ← *length*[*a*]
  2 *T* ← a graph with *n* + 2 isolated nodes, numbered 1 **to** *n* + 2
  3 *degree* ← an array of integers
  4 **for** each node *i* in *T*
  5     **do** *degree*[*i*] ← 1
  6 **for** each value *i* in *a*
  7     **do** *degree*[*i*] ← *degree*[*i*] + 1

ทำการสร้างเส้นเชื่อม (edge) ระหว่างจุดยอดโดยเลือกจากใบที่อยู่ล่างสุดของ tree
  8 **for** each value *i* in *a*
  9     **for** each node *j* in *T*
 10         **if** *degree*[*j*] = 1
 11             **then** Insert *edge*[*i*, *j*] into *T*
 12                  *degree*[*i*] ← *degree*[*i*] - 1
 13                  *degree*[*j*] ← *degree*[*j*] - 1
 14                  **break**

ทำการสร้างเส้นเชื่อม (edge) กับจุดยอดที่เหลืออันสุดท้ายเข้ากับต้นไม้
 15 *u* ← *v* ← 0
 16 **for** each node *i* in *T*
 17     **if** *degree*[*i*] = 1
 18         **then** **if** *u* = 0
 19             **then** *u* ← *i*
 20             **else** *v* ← *i*
 21                  **break**
 22 Insert *edge*[*u*, *v*] into *T*
 22 *degree*[*u*] ← *degree*[*u*] - 1
 23 *degree*[*v*] ← *degree*[*v*] - 1
 24 **return** *T*

## Cayley's formula
ลำดับพรือเฟอร์ ของต้นไม้ที่มี n จุดยอดนั้น จะชัดเจนแล้วว่าลำดับพรือเฟอร์ จะมีขนาด n − 2 และค่าในแต่ละลำดับจะอยู่ระหว่าง 1 ถึง n แต่สิ่งที่ชัดเจนน้อยกว่าคือ ถ้าให้ลำดับพรือเฟอร์ ขนาด n-2 ช่อง และค่าในแต่ละลำดับจะอยู่ระหว่าง 1 ถึง n
จะมีต้นไม้ที่แปลงจาก ลำดับพรือเฟอร์ นั้นออกมาเป็นต้นไม้ได้  **ผลที่ได้ตามมา**ก็คือ ลำดับพรือเฟอร์ ให้ bijection  ระหว่าง กลุ่มของต้นไม้ที่มี n จุดยอด กับ กลุ่มของลำดับพรือเฟอร์ ที่มีขนาด n-2 ตัว และค่าในแต่ละลำดับจะอยู่ระหว่าง 1 ถึง n ซึ่งในกลุ่มของลำดับพรือเฟอร์ มีขนาด nn-2 ดังนั้นการมี bijection  นี้แสดงถึงการพิสูจน์ Cayley's formula เช่น จะมีต้นไม้ที่มี n จุดยอด nn-2 ต้น

## ตัวอย่างการประยุกต์ใช้
* Cayley's formula สามารถนำไปพิสูจน์เรื่องต่อไปนี้: จำนวน spanning tree ใน complete graph Kn ที่มีชั้น d1,d2,...,dn จะเท่ากับ  การพิสูจน์จะเห็นได้ว่าในลำดับพรือเฟอร์ ลำดับที่ i จะปรากฏตรงกับ (di − 1) ครั้ง
* Cayley's formula ทั่วไป : ต้นไม้ที่เป็น spanning tree ใน complete graph โดยจำกัดการนับ ลำดับพรือเฟอร์ ซึ่งวิธีการคล้ายกับการหาจำนวน  spanning tree ของ  complete bipartite graph ถ้ากราฟ G เป็น  complete bipartite graph ที่มีจุดยอด 1 ถึง n1 ในส่วนแรก และ n1+1 ถึง n ในส่วนที่สอง แล้ว จำนวนของ spanning tree ของกราฟ G เท่ากับ n1n2-1n2n1-1 เมื่อ n=n1+n2

## อื่นๆ
* ตัวอย่าง ลำดับพรือเฟอร์ จาก ต้นไม้ 
* ตัวอย่าง ต้นไม้ จากลำดับพรือเฟอร์ 

## อ้างอิง
* ขั้นที่ใช้ในการแปลงต้นไม้ไปเป็นลำดับพรือเฟอร์ http://www.proofwiki.org/wiki/Pr%C3%BCfer_Sequence_from_Labeled_Tree#Finiteness
* bijection ระหว่างลำดับพรือเฟอร์กับต้นไม้  http://www.proofwiki.org/wiki/Bijection_between_Pr%C3%BCfer_Sequences_and_Labeled_Trees 
* นิยามของลำดับพรือเฟอร์ http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Pr%C3%BCfer_Sequence 
* Prüfer, H. (1918). "Neuer Beweis eines Satzes über Permutationen". Arch. Math. Phys. 27: 742–744.
* Jens Gottlieb, Bryant A. Julstrom, Günther R. Raidl, and Franz Rothlauf. (2001). "Prüfer numbers: A poor representation of spanning trees for evolutionary search" . Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO-2001) : 343–350.

หมวดหมู่:ต้นไม้ (ทฤษฎีกราฟ)
หมวดหมู่:คณิตศาสตร์เชิงการจัดในการแจกแจง