อนุพันธ์สมมาตร

ในคณิตศาสตร์ **อนุพันธ์สมมาตร**เป็นการดำเนินการที่วางนัยทั่วไปกับอนุพันธ์สามัญ

นิยามว่า\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}

นิพจน์ภายในลิมิตบางทีเรียกว่า**[[ผลหารผลต่าง]]สมมาตร** ฟังก์ชันที่**หาอนุพันธ์สมมาตรได้**ที่จุด *x* ถ้าอนุพันธ์สมมาตรหาค่าได้ที่จุดนั้น

ถ้าฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ (ในความหมายทั้วไป) ที่จุดนั้น จุดนั้นก็จะหาอนุพันธ์สมมาตรได้ แต่ไม่จำเป็นจะเป็นจริงในทางกลับกัน ตัวอย่างค้านที่พบบ่อยคือฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ f(x) = |x| จะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ x=0 แต่สามารถหาาอนุพันธ์สมมาตรได้ 0  สำหรับฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ผลหารผลต่างสมมาตรให้การประมาณทางตัวเลขของอนุพันธ์ได้ดีกว่าผลหารผลต่างปกติ

อนุพันธ์สมมาตร ณ จุด ๆ หนึ่งเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอนุพันธ์ทางซ้ายและทางขวาที่จุดนั้น ถ้าหาค่าสองอย่างนั้นได้

ทั้งทฤษฎีบทของโรลล์และทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยไม่จำเป็นจะเป็นจริงสำหรับอนุพันธ์สมมาตร บางประพจน์ที่คล้ายกันแต่อ่อนกว่าได้รับการพิสูจน์

## ตัวอย่าง

### ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์
สำหรับฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ f(x) = |x| ใช้สัญกรณ์ f_s(x) สำหรับอนุพันธ์สมมาตร ที่ x = 0 จะได้

\begin{align}
  f_s(0)
&= \lim_{h \to 0}\frac{f(0 + h) - f(0 - h)}{2h} = \lim_{h \to 0}\frac{f(h) - f(-h)}{2h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{2h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{2h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{0}{2h} = 0 \\
\end{align}

ดังนั้นอนุพันธ์สมมาตรจึงหาค่าได้ที่ x = 0 แล้ามีค่าเป็น 0 แม้ว่าอนุพันธ์สามัญจะหาค่าไม่ได้ที่จุดนั้นก็ตาม (เนื่องจากการหักมุมในกราฟที่ x = 0)

สังเกตว่าในตัวอย่างนี้ทั้งอนุพันธ์ทางซ้ายและทางขวาที่ 0 หาค่าได้เป็น -1 และ +1 ตามลำดับ ต่าเฉลี่ยจึงได้ 0 ตามที่คาดไว้

### ฟังก์ชัน ''x''<sup>−2</sup>
สำหรับฟังก์ชัน f(x) = 1/x^2 ที่ x = 0 จะได้

\begin{align}
f_s(0)
&= \lim_{h \to 0}\frac{f(0 + h) - f(0 - h)}{2h}
 = \lim_{h \to 0}\frac{f(h) - f(-h)}{2h} \\[1ex]
&= \lim_{h \to 0}\frac{1/h^2 - 1/(-h)^2}{2h}
 = \lim_{h \to 0}\frac{1/h^2 - 1/h^2}{2h}
 = \lim_{h \to 0}\frac{0}{2h} = 0
\end{align}

สำหรับฟังก์ชันนี้อนุพันธ์สมมาตรหาค่าได้ที่ x = 0 ส่วนอนุพันธ์สามัญจะหาค่าไม่ได้ที่ x = 0 เนื่องจากความไม่ต่อเนื่องในส่วนโค้งที่จุดนั้น  นอกจากนี้ทั้งอนุพันธ์ทางซ้ายและทางขวาเป็นอนันต์ที่ 0 เป็นตัวอย่างของภาวะไม่ต่อเนื่องสำคัญ

### ฟังก์ชันดิริชเลต์
ฟังก์ชันดิริชเลต์ นิยามว่าf(x) = \begin{cases}
  1, & x\in\Q \\
  0, & x\in \R-\Q
\end{cases}

สามารถหาอนุพันธ์สมมาตรได้ที่ทุก x \in \Q แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์สมมาตรได้ที่ x \in \R-\Q ใด ๆ หรือสามารถหาอนุพันธ์สมมาตรได้ที่จำนวนตรรกยะแต่ไม่ได้ทีจำนวนอตรรกยะ

## การวางนัยทั่วไป

แนวคิดนี้สามารถการวางนัยทั่วไปยังอนุพันธ์สมมาตรอันดับสูงอื่น ๆ และทั้งปริภูมิยุคลิด n-มิติ

### อนุพันธ์สมมาตรอันดับสอง
อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองสามารถนิยามได้ดังนี้\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - 2f(x) + f(x - h)}{h^2}

ถ้าอนุพันธ์สามัญอันดับสองหาค่าได้ แล้วอนุพันธ์สมมาตรอันดับสองหาค่าได้ และจะมีค่าเท่ากัน  อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองอาจหาค่าได้ แม้ว่าอนุพันธ์สามัญอันดับสองจะหาค่าไม่ได้ก็ตามดังตัวอย่าง พิจารณาฟังก์ชันเครื่องหมาย \sgn(x) ซึ่งได้นิยามไว้ว่า\sgn(x) = \begin{cases}
  -1 & ,x  0
\end{cases}ฟังก์ชันเครื่องหมายไม่ต่อเนื่องที่ศูนย์ ดังนั้นอนุพันธ์สามัญอันดับสองสไหรับ x = 0 จะหาค่าไม่ได้ แต่อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองหาค่าได้สำหรับ x = 0\lim_{h \to 0} \frac{\sgn(0 + h) - 2\sgn(0) + \sgn(0 - h)}{h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{\sgn(h) - 2\cdot 0 + (-\sgn(h))}{h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h^2} = 0.

## ดูเพิ่ม

* แบบแผนผลต่างกลาง
* จุดความหนาแน่น
* การวางนัยทั่วไปต่าง ๆ กับอนุพันธ์
* ฟังก์ชันต่อเนื่องแบบสมมาตร

## อ้างอิง


## แหล่งข้อมูลอื่น

* 
* Approximating the Derivative by the Symmetric Difference Quotient (Wolfram Demonstrations Project)

หมวดหมู่:แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์