จำนวนธรรมชาติ

[right|thumb|upright|เครื่องหมาย[ตัวหนากระดานดำ ℕ มักใช้เพื่อแสดงเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด (ดูเพิ่มที่ รายการสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์)]]
thumb|จำนวนธรรมชาติสามารถใช้สำหรับการนับ<br>(แอปเปิล 1 ผล 2 ผล 3 ผล ...)
ในทางคณิตศาสตร์ **จำนวนธรรมชาติ** อาจหมายถึง **[[จำนวนเต็ม]][[จำนวนลบและจำนวนไม่เป็นลบ|บวก]]** หรือ **จำนวนนับ** (1, 2, 3, 4, ...) หรือ **จำนวนเต็ม[[จำนวนลบและจำนวนไม่เป็นลบ|ไม่เป็นลบ]]** (0 1 2 3 4 ...) ความหมายแรกมีการใช้ในทฤษฎีจำนวน ส่วนแบบหลังได้ใช้งานใน ตรรกศาสตร์ เซตและวิทยาการคอมพิวเตอร์

จำนวนธรรมชาติ มีการใช้งานหลักอยู่สองประการ กล่าวคือสามารถใช้จำนวนธรรมชาติในการนับ เช่น มีส้มอยู่ 3 ผลบนโต๊ะ หรืออาจใช้สำหรับการจัดอันดับ เช่น เมืองนี้เป็นเมืองที่มีขนาดใหญ่เป็นอันดับที่ 3 ในประเทศ เป็นต้น

คุณสมบัติของจำนวนธรรมชาติที่เกี่ยวกับการหารลงตัว เช่น การกระจายของจำนวนเฉพาะ เป็นเนื้อหาในทฤษฎีจำนวน ปัญหาที่เกี่ยวกับการนับ เช่น ทฤษฎีแรมซี นั้นถูกศึกษาในคณิตศาสตร์เชิงการจัด

## ประวัติของจำนวนธรรมชาติและจำนวนศูนย์
สันนิษฐานว่าจำนวนธรรมชาติ มีแหล่งกำเนิดอยู่ที่การนับ เริ่มด้วยเลขหนึ่ง
จำนวนธรรมชาติในนามธรรมได้เกิดขึ้นครั้งแรกจากการใช้ตัวเลข เพื่อแสดงให้ค่าจำนวน จนพัฒนาขึ้นมาในการบันทึกจำนวนที่มากขึ้น ยกตัวอย่างเช่น ชาวบาบิลอนสร้างระบบหลักจำนวนขึ้นมาซึ่งจำเป็นมากในระบบเลขหนึ่งถึงสิบ ชาวอียิปต์ได้สร้างระบบจำนวนอย่างแตกต่างในภาษาเฮียโรกริฟต์ สำหรับหนึ่งถึงสิบและเลขยกกำลังตั้งแต่หลักสิบถึงหลักล้าน ตั้งแต่ที่ถ้ำหินของคาร์หนัก (เคหกรรมของชาวอียิปต์) ก่อนคริสต์ศักราช 1500 ปี จนถึงลูฟฟ์ที่ปารีส แสดงจำนวน 276 โดย 2 แทนที่หลักร้อย 7 แทนที่หลักสิบ 6 แทนที่หลักหน่วย และดังเช่นการเขียนจำนวน 4,622 ด้วย

## นิยามอย่างเป็นรูปนัย
นิยามอย่างเป็นรูปนัยเชิงคณิตศาสตร์ของจำนวนธรรมชาติพัฒนาตลอดช่วงประวัติศาสตร์โดยมีอุปสรรคบางประการ สัจพจน์ของเปอาโนกำหนดเงื่อนไขที่นิยามสมบูรณ์ใด ๆ ต้องสอดคล้อง การสร้างบางประการแสดงว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เมื่อกำหนดทฤษฎีเซต ต้องมีอยู่
## คุณสมบัติพีชคณิตของจำนวนธรรมชาติ
การดำเนินการบวก (+) และการคูณ (×) กับจำนวนธรรมชาติมีคุณสมบัติทางพีชคณิตหลายประการ:
*การปิดภายใต้การบวกและการคูณ: สำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด a และ b, a + b และ a × b เป็นจำนวนธรรมชาติ
*สมบัติการสลับที่ : การคูณ และ บวก จำนวนธรรมชาติ สามารถสลับที่ได้ เช่นเดียวกัน จำนวนจริง และ จำนวนเชิงซ้อน
### สัจพจน์ของเปอาโน

สัจพจน์ของเปอาโนเป็นที่มาของทฤษฎีอย่างเป็นรูปนัยของจำนวนธรรมชาติ 
สัจพจน์ของเปอาโนมีดังนี้:
*0 เป็นจำนวนธรรมชาติ
*ทุกจำนวนธรรมชาติ a  มีตัวตามหลัง เขียนแทนด้วย S(a)  จริง ๆ แล้ว S(a)  คือ a + 1 
*ไม่มีจำนวนธรรมชาติที่ตัวตามหลังเป็น 0 
*S เป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง กล่าวคือจำนวนธรรมชาติที่ต่างกันมีตัวตามหลังที่ต่างกัน: ถ้า a \neq b   แล้ว S(a) \neq S(b)
*ถ้า 0 มีสมบัติอย่างหนึ่ง และ ตัวตามหลังของทุก ๆ จำนวนนับที่มีสมบัตินั้น ก็มีสมบัตินั้น แล้วทุกจำนวนธรรมชาติจะมีสมบัตินั้น (สัจพจน์นี้ยืนยันว่าการพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ถูกต้อง)

หมายเหตุ 0 ในนิยามข้างต้นไม่ได้หมายถึงเลขศูนย์เสมอไป 0 หมายถึงบางจำนวนที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของเปอาโน เมื่อพิจารณาร่วมกับ"ฟังก์ชันตัวตามหลัง"ตามเหมาะสม ทุกระบบที่สอดคล้องกับสัจพจน์เหล่านี้สมมูลกันตามรูปแบบเชิงตรรก อย่างไรก็ตาม มีแบบจำลองสัจพจน์ของเปอาโนที่นับไม่ได้ ซึ่งเรียกว่าแบบจำลองเลขคณิตแบบไม่มาตรฐาน และยืนยันโดยUpward Löwenheim-Skolem Theorem ชื่อ 0 ใช้ในที่นี้สำหรับสมาชิกตัวแรก (มีการเสนอชื่อ"สมาชิกตัวที่ศูนย์" เพื่อให้ใช้ "สมาชิกตัวแรก" เรียก 1 ใช้ "สมาชิกตัวที่สอง" เรียก 2 ฯลฯ) ซึ่งเป็นสมาชิกที่ไม่มีตัวนำหน้า เช่นจำนวนธรรมชาติที่เริ่มด้วย 1 ก็สอดคล้องสัจพจน์ ถ้าสัญลักษณ์ 0  ถือเป็นจำนวนธรรมชาติ 1 สัญลักษณ์ S(0) ถือเป็น 2 ฯลฯ ที่จริงแล้วในต้นฉบับของเปอาโน จำนวนธรรมชาติจำนวนแรก*คือ* 1

### การสร้างบนพื้นฐานทฤษฎีเซต
#### การสร้างมาตรฐาน
การสร้างมาตรฐานในวิชาทฤษฎีเซต เป็นกรณีพิเศษของการสร้างเรียงลำดับแบบวอน นิวมันน์ กำหนดนิยามของจำนวนธรรมชาติดังนี้:
:กำหนด 0 := {&nbsp;} เป็นเซตว่าง
:และนิยาม *S*(*a*) = *a* ∪ {*a*} สำหรับทุกเซต *a* *S*(*a*) คือตัวตามหลัง *a* และเรียก *S* ว่า ฟังก์ชันตัวตามหลัง
:โดยสัจพจน์ของอนันต์ เซตของจำนวนธรรมชาติทุกจำนวนมีอยู่ เซตนี้คืออินเตอร์เซกชันของทุกเซตที่มีสมบัติปิดภายใต้ฟังก์ชันตัวตามหลัง จึงสอดคล้องสัจพจน์ของเปอาโน
:ทุกจำนวนธรรมชาติเท่ากับเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่น้อยกว่าจำนวนนั้น ๆ นั่นคือ
:*0 = {&nbsp;}
:*1 = {0} = 
:*2 = {0, 1} = {0, {0}} = } ={{&nbsp;}, , 
:**n* = {0, 1, 2, ..., *n*−2, *n*−1} = {0, 1, 2, ..., *n*−2,} ∪ {*n*−1} = {*n*−1} ∪ (*n*−1) = *S*(*n*−1)
: ฯลฯ

## อ้างอิง

* Edmund Landau, Foundations of Analysis, Chelsea Pub Co. ISBN 0-8218-2693-X.
* Richard Dedekind, Essays on the theory of numbers, Dover, 1963, ISBN 0-486-21010-3 / Kessinger Publishing, LLC , 2007, ISBN 0-548-08985-X
* N. L. Carothers. *Real analysis*. Cambridge University Press, 2000. ISBN 0-521-49756-6
* Brian S. Thomson, Judith B. Bruckner, Andrew M. Bruckner. *Elementary real analysis*. ClassicalRealAnalysis.com, 2000. ISBN 0-13-019075-6
* 

## ดูเพิ่ม
* รายชื่อจำนวน

## แหล่งข้อมูลอื่น
* Axioms and Construction of Natural Numbers
* Essays on the Theory of Numbers by Richard Dedekind at Project Gutenberg

หมวดหมู่:จำนวนเชิงการนับ
หมวดหมู่:คณิตศาสตร์มูลฐาน
หมวดหมู่:จำนวนเต็ม
หมวดหมู่:ทฤษฎีจำนวน
หมวดหมู่:จำนวน