การหาปริพันธ์โดยใช้สูตรลดทอน

ในแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ **การหาปริพันธ์โดยใช้สูตรลดทอน** เป็นวิธีการที่ใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด ใช้เมื่อนิพจน์ที่มีตัวแปรเสริมเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งโดยปกติอยู่ในรูปของเลขยกกำลังของฟังก์ชันเบื้องต้น หรือผลคูณของฟังก์ชันอดิศัย และพหุนามที่มีดีกรีใด ๆ ไม่สามารถหาปริพันธ์โดยตรงได้ แต่การใช้วิธีการหาปริพันธ์อื่น ๆ สามารถกำหนดสูตรลดทอนเพื่อให้ได้ปริพันธ์ของนิพจน์เดียวกันหรือคล้ายกันที่มีตัวแปรจำนวนเต็มเสริมที่ต่ำลง โดยจะลดความซับซ้อนของปริพันธ์ลงทีละน้อยจนกระทั่งสามารถหาค่าได้  วิธีหาปริพันธ์นี้เป็นหนึ่งในวิธีแรก ๆ ที่ใช้กัน

## วิธีการหาสูตรลดทอน
สูตรลดทอนสามารถหาได้โดยใช้วิธีการหาปริพันธ์ทั่วไป เช่น การหาปริพันธ์โดยการแทนค่า การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน การหาปริพันธ์โดยการแทนค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ การหาปริพันธ์โดยการหาเศษส่วนย่อย ฯลฯ แนวคิดหลักคือให้ปริพันธ์ที่มีตัวแปรเสริมจำนวนเต็ม (เช่น เลขยกกำลัง) ของฟังก์ชันเป็น In ปริพันธ์ที่มีกับค่าตัวแปรเสริมที่ต่ำลง (เลขยกกำลังต่ำกว่า) ของฟังก์ชันนั้นให้เป็น เช่น *I**n* -1 หรือ *I**n* -2 ซึ่งทำให้สูตรลดทอนเป็นประเภทหนึ่งของความสัมพันธ์เวียนเกิด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สูตรลดทอนจะทำให้ปริพันธ์

: I_n =\int f(x,n) \,\text{d}x

อยู่ในรูปของ

: I_k = \int f(x,k) \,\text{d}x 

เมื่อ

: k 

## วิธีการคำนวณหาปริพันธ์
ในการคำนวณหาปริพันธ์ เราให้ *n* เป็นค่าของตัวแปรเสริม และใช้สูตรลดทอนเพื่อแสดงอยู่ในรูปของปริพันธ์ของ (*n* – 1) หรือ (*n* – 2) ปริพันธ์ที่มีเลขยกกำลังต่ำกว่าสามารถนำมาใช้คำนวณปริพันธ์เลขยกกำลังสูงกว่าได้ โดยกระบวนการนี้ทำต่อไปซ้ำ ๆ จนกว่าจะถึงจุดที่สามารถหาปริพันธ์ฟังก์ชันได้ โดยปกติเมื่อเลขยกกำลังของฟังก์ชันดังกล่าวเป็น 0 หรือ 1 จากนั้นเราทำการแทนค่าผลลัพธ์ก่อนหน้านั้นอีกครั้งจนกระทั่งเราหา *I<sub>n</sub>* ได้

### ตัวอย่าง
ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของวิธีการใช้สูตรลดทอน

#### ปริพันธ์ของฟังก์ชันโคไซน์
โดยทั่วไปปริพันธ์เช่น

: \int \cos^n x \,\text{d}x, \,\!

สามารถหาค่าได้โดยการใช้สูตรลดทอน
thumb| <math>\int \cos^n (x) \,\text{d}x\!</math>, สำหรับ ''n'' = 1, 2 ... 30
เริ่มต้นโดยการตั้งให้

: I_n = \int \cos^n x\,\text{d}x . \,\!

สามารถเขียนใหม่ได้เป็น

: I_n = \int \cos^ {n-1} x \cos x \,\text{d}x, \,\!

หาปริพันธ์โดยการแทนค่าดังนี้

: \cos x \,\text{d}x = \text{d} ( \sin x), \,\!

: I_n = \int \cos^{n-1} x \,\text{d}(\sin x) . \!

สามารถหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน

:  \begin{align} \int \cos^n x \,\text{d}x & = \int \cos^{n-1} x \,\text{d}(\sin x) \! = \cos^{n-1} x \sin x - \int \sin x \,\text{d}(\cos^{n-1} x) \\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \sin x \cos^{n-2} x\sin x \,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \sin^2 x \,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x (1-\cos^2 x )\,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \,\text{d}x - (n-1)\int \cos^n x \,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n ,
\end{align} \,

: I_n \ + (n-1) I_n\ = \cos^{n-1} x \sin x\ + \ (n-1) I_{n-2}, \,

: n I_n\ = \cos^{n-1} (x) \sin x\ + (n-1) I_{n-2}, \,

: I_n \ = \frac{1}{n}\cos^{n-1} x \sin x\ + \frac{n-1}{n} I_{n-2}, \,

ดังนั้นสูตรลดทอนคือ

: \int \cos^n x \,\text{d}x\ = \frac{1}{n}\cos^{n-1} x \sin x + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \,\text{d}x . \!

ตัวอย่างเพิ่มเติมจากตัวอย่างด้านบนสามารถนำมาใช้หาปริพันธ์สมมติให้ *n* = 5

:  I_5 = \int \cos^5 x \,\text{d}x . \,\!

คำนวนหาปริพันธ์ที่มีเลขดัชนีต่ำกว่า

: n=5, \quad I_5 = \tfrac{1}{5} \cos^4 x \sin x + \tfrac{4}{5} I_3, \,

: n=3, \quad I_3 = \tfrac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \tfrac{2}{3} I_1, \,

แทนค่ากลับได้

: \because I_1\ = \int \cos x \,\text{d}x = \sin x + C_1,\,

: \therefore I_3\ = \tfrac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \tfrac{2}{3}\sin x + C_2, \quad C_2\ = \tfrac{2}{3} C_1,\,

: I_5\ = \frac{1}{5} \cos^4 x \sin x + \frac{4}{5}\left[\frac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \frac{2}{3} \sin x\right] + C,\,

โดยที่ *C* เป็นค่าคงที่

#### ปริพันธ์ของเลขชี้กำลัง
ตัวอย่างทั่วไปอีกอันคือ

: \int x^n e^{ax} \,\text{d}x . \,\!

เริ่มโดยการตั้งให้

: I_n = \int x^n e^{ax} \,\text{d}x . \,\!

หาปริพันธ์โดยการแทนค่า

:  x^n \,\text{d}x = \frac{\text{d} ( x^{n+1})}{n+1}, \,\!

: I_n = \frac{1}{n+1} \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n+1}), \!

สามารถหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน

: \begin{align} \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n+1}) & = x^{n+1}e^{ax} - \int x^{n+1} \,\text{d}(e^{ax}) \\
& = x^{n+1}e^{ax} - a \int x^{n+1} e^{ax}\,\text{d}x ,
\end{align} \!

: (n+1) I_n = x^{n+1}e^{ax} - a I_{n+1}, \!

เลื่อนดัชนีกลับไป 1 (*n + 1* → *n* และ *n* → *n* – 1)

: n I_{n-1} = x^ne^{ax} - a I_n, \!

แก้หา *I<sub>n</sub>* 

:  I_n = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n I_{n-1} \right ), \,\!

ดังนั้นสูตรลดทอนคือ

:  \int x^n e^{ax} \,\text{d}x = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right ). \!

วิธีทางเลือกอื่นในการหาสูตรลดทอนทำได้โดยเริ่มจากการแทนค่า e^{ax} 

หาปริพันธ์โดยการแทนค่า

 e^{ax} \,\text{d}x = \frac{\text{d} ( e^{ax})}{a}, \,\!

I_n = \frac{1}{a} \int x^{n} \,\text{d}(e^{ax}), \!

สามารถหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน

\begin{align} \int x^{n} \,\text{d}(e^{ax}) & = x^{n}e^{ax} - \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n}) \\
& = x^{n}e^{ax} - n \int e^{ax} x^{n-1}\,\text{d}x ,
\end{align} \!

ซึ่งให้สูตรลดลดทอนเมื่อแทนค่ากลับ

 I_n = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n I_{n-1} \right ), \,\!

ซึ่งเท่ากับ

:  \int x^n e^{ax} \,\text{d}x = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right ). \!

อีกทางเลือกหนึ่งในการหาสูตรลดทอนได้โดยการบูรณาการแบบแยกส่วน

: I_n = \int x^{n} x e^{ax} \,\text{d}x, \!

:  u = x^{n} \text{, }\ dv = e^{ax} ,

:  \frac{du} {dx}\ = nx^{n-1} \text{, }\ v = \frac{e^{ax}}{a}\ 

:  I_n = \frac{x^{n}e^{ax}}{a}\ - \int nx^{n-1}\ \frac{e^{ax}}{a}\ \text{d}x\ 

:  I_n = \frac{x^{n}e^{ax}}{a}\ - \frac{n}{a}\ \int x^{n-1} e^{ax} \ \text{d}x\ 

จำไว้ว่า

:  I_{n-1} = \int x^{n-1} e^{ax} \ \text{d}x\ 

: \therefore\ I_n = \frac{x^{n}e^{ax}}{a}\ - \frac{n}{a}\ I_{n-1}

ซึ่งให้สูตรลดทอนเมื่อแทนค่ากลับ

:  I_n = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n I_{n-1} \right ), \,\!

ซึ่งเท่ากับ

:  \int x^n e^{ax} \,\text{d}x = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right ). \!

## รายการสูตรลดทอนจำนวนเต็ม

### ฟังก์ชันตรรกยะ
ปริพันธ์ต่อไปนี้ ประกอบด้วย

* ตัวประกอบของรากเชิงเส้น \sqrt{ax+b}\,\!
* ตัวประกอบเชิงเส้น {px+q}\,\! และรากเชิงเส้น \sqrt{ax+b}\,\!
* ตัวประกอบกำลังสอง x^2+a^2\,\!
* ตัวประกอบกำลังสอง x^2-a^2\,\!, สำหรับ x>a\,\!
* ตัวประกอบกำลังสอง a^2-x^2\,\!, สำหรับ x
* ตัวประกอบกำลังสอง (ลดทอนไม่ได้) ax^2+bx+c\,\!
* รากที่สองของตัวประกอบกำลังสองที่ลดทอนไม่ได้ \sqrt{ax^2+bx+c}\,\!

: I_{n+\frac{1}{2}} = I_{\frac{2n+1}{2}} =\int \frac{1}{(ax^2+bx+c)^{\frac{2n+1}{2}}}\,\text{d}x = \int \frac{1}{\sqrt{(ax^2+bx+c)^{2n+1}}}\,\text{d}x\,\!

### ฟังก์ชันอดิศัย
ปริพันธ์ต่อไปนี้ ประกอบด้วย

* ตัวประกอบของไซน์
* ตัวประกอบของโคไซน์
* ตัวประกอบของผลคูณและผลหารของไซน์และโคไซน์
* ผลคูณ/ผลหารของตัวประกอบเลขชี้กำลังและกำลังของ *x*
* ผลคูณของตัวประกอบเลขชี้กำลังและไซน์/โคไซน์

## อ้างอิง


## บรรณานุกรม

* Anton, Bivens, Davis, Calculus, 7th edition.

หมวดหมู่:แคลคูลัสเชิงปริพันธ์