มัชฌิม

**มัชฌิม** () ในทางสถิติศาสตร์มีความหมายได้สองทางคือ
* มัชฌิมเลขคณิต (ซึ่งแตกต่างจากมัชฌิมเรขาคณิตและมัชฌิมฮาร์มอนิก) ในบางบริบทมีการใช้คำว่า *ค่าเฉลี่ย* แทนความหมายของมัชฌิมเลขคณิต แต่ค่าเฉลี่ยนั้นมีหลายประเภทที่แตกต่างกัน อาทิ มัฌชิม มัธยฐาน ฐานนิยม ตัวอย่างเช่น ราคาเฉลี่ยของบ้านและอาคาร จะใช้มัธยฐานเป็นค่าเฉลี่ยเสมอ
* ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม บางครั้งก็เรียกว่า *ค่าเฉลี่ยประชากร* สำหรับตัวแปรสุ่ม *X* ที่มีค่าอยู่จริง มัชฌิมคือการคาดหมายค่าของ *X* แต่การแจกแจงความน่าจะเป็นบางอย่างไม่มีการนิยามมัชฌิม (หรือความแปรปรวน) ดูกรณีตัวอย่างในการแจกแจงโคชี (Cauchy distribution)

สำหรับชุดข้อมูลหนึ่ง ๆ มัชฌิมคือผลบวกของสิ่งที่สังเกตการณ์ หารด้วยจำนวนครั้งที่สังเกตการณ์ มัชฌิมดังกล่าวมักจะมาคู่กันกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซึ่งมัชฌิมใช้อธิบายตำแหน่งกึ่งกลางของข้อมูล ในขณะที่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานใช้อธิบายความกระจัดกระจายของข้อมูล

นอกเหนือจากทางสถิติศาสตร์ มัชฌิมมักใช้ในเรื่องเรขาคณิตและคณิตวิเคราะห์ ซึ่งมัชฌิมหลายชนิดถูกสร้างขึ้นมาเพื่อจุดประสงค์ต่าง ๆ ในวงกว้าง แต่มีที่ใช้น้อยในสถิติศาสตร์ ดังรายชื่อต่อไปนี้

## ตัวอย่าง
### มัชฌิมเลขคณิต
มัชฌิมเลขคณิต เป็นค่าเฉลี่ยแบบมาตรฐานทั่วไป ซึ่งมักเรียกกันว่าเป็น *ค่าเฉลี่ย* หรือ *มัชฌิม* เฉย ๆ
:: \bar{x} = \frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n{x_i} 
ตัวอย่าง มัชฌิมเลขคณิตของ 34, 27, 45, 55, 22, 34 (จำนวนหกค่า) คือ (34 + 27 + 45 + 55 + 22 + 34) / 6 = 217 / 6 ≈ 36.167

มัชฌิมชนิดนี้มักเป็นที่สับสนกับค่าเฉลี่ยอย่างอื่นที่คล้ายกัน เช่น มัธยฐานหรือฐานนิยม มัชฌิมเลขคณิตจะเป็นการคำนวณเลขคณิตของผลเฉลี่ยจากค่าหลาย ๆ ค่า หรือการแจกแจง หรือแม้แต่การแจกแจงเบ้ (skewed) ซึ่งไม่เหมือนกับค่ากึ่งกลาง (มัธยฐาน) หรือค่าที่ซ้ำกันมากที่สุด (ฐานนิยม)

### มัชฌิมเรขาคณิต
มัชฌิมเรขาคณิต เป็นค่าเฉลี่ยที่มีประโยชน์สำหรับกลุ่มของจำนวนที่เกี่ยวข้องกับผลคูณ ไม่ใช่ผลบวก เช่น อัตราการเติบโต (เป็นเท่า หรือ ทวีคูณ) เป็นต้น
:: \bar{x} = \left ( \prod_{i=1}^n{x_i} \right ) ^{1/n}
ตัวอย่าง มัชฌิมเรขาคณิตของ 34, 27, 45, 55, 22, 34 คือ (34 × 27 × 45 × 55 × 22 × 34)1/6 = 1,699,493,4001/6 ≈ 34.545

### มัชฌิมฮาร์มอนิก
มัชฌิมฮาร์มอนิก เป็นค่าเฉลี่ยที่มีประโยชน์สำหรับกลุ่มของจำนวนที่กำหนดความสัมพันธ์กับบางหน่วย เช่น ความเร็ว (ระยะทางต่อหน่วยเวลา) เป็นต้น
:: \bar{x} = n \cdot \left ( \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \right ) ^{-1}
ตัวอย่าง มัชฌิมฮาร์มอนิกของ 34, 27, 45, 55, 22, 34 คือ
::\frac{6}{\frac{1}{34}+\frac{1}{27}+\frac{1}{45} + \frac{1}{55} + \frac{1}{22}+\frac{1}{34}}\approx 33.0179836

### มัชฌิมทั่วไป
#### มัชฌิมกำลัง
มัชฌิมทั่วไป (generalized mean) หรือรู้จักกันในชื่อ *มัชฌิมกำลัง* (power mean) หรือ *มัชฌิมเฮิลเดอร์* (Hölder mean) คือภาวะนามธรรมของมัชฌิมกำลังสอง เลขคณิต เรขาคณิต และฮาร์มอนิก ซึ่งนิยามโดย
:: \bar{x}(m) = \left ( \frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{x_i^m} \right ) ^{1/m} 
โดยการเลือกค่า *m* ที่ต้องการเป็นพารามิเตอร์
* *m* → ∞ จะได้ ค่าสูงสุด
* *m* = 2 จะได้ มัชฌิมกำลังสอง
* *m* = 1 จะได้ มัชฌิมเลขคณิต
* *m* → 0 จะได้ มัชฌิมเรขาคณิต
* *m* = −1 จะได้ มัชฌิมฮาร์มอนิก
* *m* → −∞ จะได้ ค่าต่ำสุด

#### มัชฌิมกึ่งเลขคณิต
มัชฌิมกึ่งเลขคณิต (quasi-arithmetic mean หรือ generalized f-mean) เป็นมัชฌิมที่มีความทั่วไปมากขึ้นไปกว่ามัชฌิมกำลัง นิยามโดย
:: \bar{x} = f^{-1}\left({\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right) 
โดยการเลือกฟังก์ชัน *f* ที่มีอินเวิร์ส เป็นพารามิเตอร์
* f(x) = x \! จะได้ มัชฌิมเลขคณิต
* f(x) = \frac{1}{x} \! จะได้ มัชฌิมฮาร์มอนิก
* f(x) = x^m \! จะได้ มัชฌิมกำลัง
* f(x) = \ln x \! จะได้ มัชฌิมเรขาคณิต

### มัชฌิมถ่วงน้ำหนัก
มัชฌิมถ่วงน้ำหนัก หรือ *ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก* (โดยปกติจะเป็นมัชฌิมเลขคณิตที่ถ่วงน้ำหนัก) จะใช้ในกรณีที่ต้องการผสานค่าของน้ำหนักข้อมูลเข้ากับค่าเฉลี่ย จากตัวอย่างสุ่มในประชากรเดียวกันด้วยขนาดที่แตกต่างกัน
:: \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n{w_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^n {w_i}} 
ซึ่ง *w**i* แทนค่าน้ำหนักของข้อมูลของแต่ละตัว

## อ้างอิง
* สาขาวิชาวิทยาการจัดการ มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราช. "9.1 การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง". *เอกสารการสอนชุดวิชาคณิตศาสตร์และสถิติเพื่อธุรกิจ หน่วยที่ 8-15*. พิมพ์ครั้งที่ 23. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราช, 2552. หน้า 472–488. ISBN 974-613-367-5


หมวดหมู่:การศึกษาคณิตศาสตร์