เรเดียน

thumb|357px|right|มุมปกติทั่วไปบางมุม วัดในหน่วยเรเดียน

**เรเดียน** () คือหน่วยวัดมุมชนิดหนึ่งบนระนาบสองมิติ ใช้สัญลักษณ์ "rad" หรืออักษร c ตัวเล็กที่ยกสูงขึ้น (มาจาก *circular measure*) ซึ่งไม่เป็นที่นิยมนัก ตัวอย่างเช่น มุมขนาด 1.2 เรเดียน สามารถเขียนได้เป็น "1.2 rad" หรือ "1.2c"

เรเดียนเคยเป็น *หน่วยเสริม* ของหน่วยเอสไอ แต่ถูกยกเลิกใน พ.ศ. 2538 และปัจจุบันนี้เรเดียนได้ถูกพิจารณาให้เป็น *หน่วยอนุพัทธ์* ในหน่วยเอสไอ สำหรับการวัดมุมในวัตถุทรงตัน ดูที่สเตอเรเดียน

ทุกวันนี้เรเดียนเป็นหน่วยพื้นฐานของการวัดมุมในวิชาคณิตศาสตร์ และสัญลักษณ์ "rad" มักจะถูกละไว้ในการเขียนนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ เมื่อใช้หน่วยองศาจะใช้สัญลักษณ์วงกลมเล็ก ° เพื่อให้เห็นความแตกต่างระหว่างองศากับเรเดียน

## นิยาม
หนึ่งเรเดียน คือ ขนาดของมุมที่วัดจากจุดศูนย์กลางของวงกลม ที่กางออกตามส่วนโค้งของวงกลม ซึ่งส่วนโค้งนั้นมีความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลมพอดี

## ประวัติ
คำว่า *radian* ปรากฏครั้งแรกในงานพิมพ์เมื่อวันที่ 5 มิถุนายน พ.ศ. 2416 ในข้อสอบของวิทยาลัยควีนส์คอลเลจ เมืองเบลฟาสต์ ไอร์แลนด์เหนือ สหราชอาณาจักร โดยเจมส์ ทอมสัน (พี่ชายของลอร์ด เคลวิน) เขายังเคยใช้คำนี้ใน พ.ศ. 2414 ซึ่งก่อนหน้านี้ 2 ปีในขณะที่เซอร์ทอมัส มิวร์ แห่งมหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์ ลังเลที่จะใช้คำว่า *rad*, *radial* หรือ *radian* แทนนิยามดังกล่าว และเมื่อทอมสันใช้คำว่า *radian* เซอร์มิวร์จึงรับรองการตัดสินใจของเขา

อย่างไรก็ตาม แนวความคิดของการวัดมุมในหน่วยเรเดียน เพื่อให้แตกต่างจากการวัดมุมเป็นองศา ริเริ่มมาจากความคิดของรอเจอร์ โคตส์ ใน พ.ศ. 2257 เขามีทุกอย่างที่เกี่ยวกับแนวความคิดนี้ยกเว้นเพียง "ชื่อ" และเขายอมรับว่าการวัดมุมนี้เป็นหน่วยธรรมชาติอีกด้วย

## การอธิบาย

เรเดียนมีประโยชน์ในการแยกแยะระหว่างปริมาณของความแตกต่างในธรรมชาติ แต่ยังอยู่ในมิติเดียวกัน ตัวอย่างเช่น ความเร็วเชิงมุมสามารถวัดได้ในหน่วยเรเดียนต่อวินาที (rad/s) เป็นการใช้หน่วยเรเดียนเพื่อเน้นว่า ความเร็วเชิงมุมมีค่าเท่ากับ 2π คูณด้วยความถี่ของการหมุน

ในทางปฏิบัติ สัญลักษณ์ "rad" จะถูกใช้ในที่ที่เหมาะสม แต่โดยทั่วไปแล้วหน่วยเรเดียนมักจะถูกละเลยไปเมื่อเขียนรวมกับจำนวนอื่น ๆ 

ในวงกลมหนึ่งหน่วย จะมีมุมรอบจุดศูนย์กลางเท่ากับ 2π เรเดียน ดังนั้น

::2\pi\mbox{ rad} = 360^\circ
::1 \mbox{ rad} = \frac {360^\circ} {2 \pi} = \frac {180^\circ} {\pi} \approx 57.29577951^\circ 

หรือ

::360^\circ=2\pi\mbox{ rad}
::1^\circ=\frac{2\pi}{360}\mbox{ rad}=\frac{\pi}{180}\mbox{ rad} \approx 0.01745329\mbox{ rad}

โดยทั่วไป เราสามารถบอกได้ว่า

::x \mbox{ rad} = x \frac {180^\circ} {\pi}

ตัวอย่างเช่น เมื่อเราต้องการแปลงค่า -1.570796 เรเดียนไปเป็นหน่วยองศา สามารถทำได้ดังนี้

::-1.570796 \mbox{ rad} = -1.570796 \cdot \frac {180^\circ} {\pi} \approx -90^\circ

ในวิชาแคลคูลัส มุมต่าง ๆ จะต้องใช้เป็นหน่วยเรเดียนในฟังก์ชันตรีโกณมิติ เพื่อให้สามารถสร้างเอกลักษณ์ แสดงผลลัพธ์อย่างง่าย และเป็นธรรมชาติให้มากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ ตัวอย่างการใช้เรเดียนปรากฏในเอกลักษณ์ต่อไปนี้

::\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}=1

ซึ่งเป็นพื้นฐานของเอกลักษณ์อื่น ๆ ในทางคณิตศาสตร์ รวมทั้งเอกลักษณ์นี้ด้วย

::\frac{d}{dx} \sin x = \cos x

## การวิเคราะห์เชิงมิติ
ถึงแม้ว่าเรเดียนจะเป็นหน่วยในการวัดอันหนึ่ง แต่สิ่งใดก็ตามที่วัดเป็นเรเดียนจะไร้มิติ โดยความไร้มิติสามารถเห็นได้จาก อัตราส่วนระหว่างความยาวของส่วนโค้งกับความยาวรัศมี ที่ทำมุมกันแล้วใส่หน่วยเป็นเรเดียน ซึ่งผลหารดังกล่าวนั้นไร้มิติ (ไม่มีหน่วย)

เราสามารถเห็นความไร้มิติของเรเดียนได้อีกทางหนึ่งโดยพิจารณาจากอนุกรมเทย์เลอร์ สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ ไซน์ ของตัวแปร *x*

::\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots

หากตัวแปร *x* นั้นมีหน่วย (มีมิติ) ผลรวมของอนุกรมนี้จะไร้ความหมาย เนื่องจากพจน์ *x* ที่มีหน่วยเป็น "เรเดียนกำลังหนึ่ง" จะไม่สามารถบวกกับพจน์ x^3/3! ที่มีหน่วยเป็น "เรเดียนกำลังสาม" ได้ รวมทั้งพจน์ถัด ๆ ไปของอนุกรมด้วย เมื่อเป็นเช่นนี้แล้ว *x* จะต้องไร้มิติเพื่อให้ผลรวมของอนุกรมมีความหมาย

## พหุคูณเอสไอ
คำอุปสรรคของหน่วยเอสไอมีการใช้อย่างจำกัดในหน่วยเรเดียน หน่วยมิลลิเรเดียน (0.001 rad หรือ 1 mrad) หรือเรียกสั้น ๆ ว่า "มิล" (angular mil) ถูกใช้ในวิชาอาวุธปืนและการเล็งระยะเป้าหมาย เนื่องจากในระยะ 1,000 เมตร มุมที่เปลี่ยนไปเพียง 1 มิลลิเรเดียน จะทำให้เป้าหมายคลาดเคลื่อนไปถึง 1 เมตร (ในมุมที่เล็กเช่นนั้น ความโค้งของส่วนโค้งของวงกลมไม่มีนัยสำคัญ) ความแตกต่างของลำแสงเลเซอร์ก็สามารถวัดได้ในหน่วยมิลลิเรเดียน สำหรับหน่วยที่เล็กกว่านี้เช่น ไมโครเรเดียน (µrad) และนาโนเรเดียน (nrad) จะถูกใช้ในทางดาราศาสตร์ และยังสามารถใช้วัดคุณภาพของลำแสงเลเซอร์ที่แตกต่างกันน้อยมาก ในทำนองเดียวกัน คำอุปสรรคที่เล็กกว่า มิลลิ - มีประโยชน์ในการวัดค่ามุมที่เล็กอย่างยิ่งยวดได้อย่างมีศักยภาพ อย่างไรก็ตาม คำอุปสรรคที่ใหญ่กว่านี้ไม่ปรากฏว่ามีประโยชน์เท่าใดนัก โดยสาเหตุหลักเนื่องจากค่ามุมที่เกิน 2π เรเดียน จะกลับไปเริ่มต้นวัดมุมในวงกลมวงเดิมอีกรอบหนึ่ง

## ดูเพิ่ม
* ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
* การวิเคราะห์ฮาร์โมนิก
* ความถี่เชิงมุม
* แกร็ด
* องศา
* สเตอเรเดียน "เรเดียนกำลังสอง"

หมวดหมู่:หน่วยวัด
หมวดหมู่:หน่วยธรรมชาติ
หมวดหมู่:หน่วยอนุพัทธ์เอสไอ
หมวดหมู่:หน่วยมุม
หมวดหมู่:พาย (ค่าคงตัว)