จำนวนเชิงซ้อน

**จำนวนเชิงซ้อน** () ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อมาจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน i ซึ่งทำให้สมการ i^2+1=0 เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่น ๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติการปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน z ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป x + iy โดยที่ x และ y เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก x และ y ว่าส่วนจริง (real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ z ตามลำดับ

เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ \mathbb{C} จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใด ๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติการปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต

นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า "เชิงซ้อน" ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น

## นิยาม
### ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน
ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน \mathbb{C} ประกอบด้วยเซตของคู่อันดับ  (a, b)  ทั้งหมดโดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ + (การบวก) และ \cdot (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้

ให้  (a, b)  และ  (c, d)  เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ
:  (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) \, 
:  (a, b) \cdot (c, d) = (ac-bd, ad+bc) \, 
เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง

เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ
* การบวกและการคูณมีสมบัติการปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง
* มีเอกลักษณ์การบวกคือ  (0, 0) 
* มีเอกลักษณ์การคูณคือ  (1, 0) 
* อินเวอร์สการบวกของ z= (a, b)  (เขียนแทนด้วย -z) คือ (-a, -b)
* ถ้าหาก z = (a, b) \neq (0, 0)  อินเวอร์สการคูณของ z (เขียนแทนด้วย z^{-1}) คือ \left (\frac{a}{a^2 + b^2}, \frac{-b}{a^2 + b^2} \right) 

### จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม
อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้

: c (a, b) = (ca, cb) = (a, b) c \,  เมื่อ c เป็นจำนวนจริงและ  (a, b)  เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

ด้วยเหตุนี้เราได้ว่าฐานหลักหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์  (1, 0)  และ  (0, 1)  กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:

:  (a, b) = a (1, 0) + b (0, 1) \, 

ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ  (a, 0) = a (1, 0)  ว่าเป็นจำนวนจริง a (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ i แทน  (0, 1)  จำนวนเชิงซ้อน  (a, b)  จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า a+bi ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ

จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า i^2 = (-1, 0) = -1 นั่นคือ i เป็นคำตอบของสมการ x^2 + 1 = 0 ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม x^2 +1 อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร (quotient ring) ของริงพหุนาม \mathbb{R}[x] กับไอดีล  (x^2+1)  เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า

: \mathbb{C} = \mathbb{R}[x]/ (x^2+1) 

## สัญลักษณ์และคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง
### ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ
ถ้า z = a+bi \,  เราเรียก a ว่า *ส่วนจริง* ของ z เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ \Re (z)  และเราเรียก b ว่า *ส่วนจินตภาพ* ของ z เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ \Im (z)  เราเรียกจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 ว่าจำนวนจินตภาพ (imaginary number)

### สังยุคเชิงซ้อน
ถ้า z=a+bi\,  เป็นจำนวนเชิงซ้อน สังยุคของ z คือ a-bi\,  เราเขียนแทนสังยุคของ z ด้วย \bar{z} สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญ ๆ ดังต่อไปนี้
# \overline{z_{1}+z_{2}}=\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}
# \overline{z_{1}z_{2}}=\bar{z}_{1}\bar{z}_{2}
# z + \bar{z} = 2\Re (z) 
# z - \bar{z} = 2\Im (z) 
เมื่อ z, z_1, z_2 เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

### ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน
*ขนาด*ของจำนวนเชิงซ้อน z=a+bi \,  เขียนแทนด้วย |z| คือจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ \sqrt{a^2 + b^2} เราอาจแปลความหมายของขนาดของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่าเป็นความยาวของเส้นตรงที่ลากจากจุด (0, 0) ไปยังจุด (a, b) บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญ ๆ ดังต่อไปนี้

# \left|z\right\vert=\left|\bar z\right\vert
# 
# \left|z_1z_2\right\vert=\left|z_1\right\vert\left|z_2\right\vert
# \left|z_1+z_2\right\vert\le\;\left|z_1\right\vert+\left|z_2\right\vert (อสมการสามเหลี่ยม)
# \left|z_1-z_2\right\vert\ge\;\big|\left|z_1\right\vert-\left|z_2\right\vert\big|
# \left|z\right\vert=0 ก็ต่อเมื่อ z=0\, 

เมื่อ z, z_1, และ z_2 เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ จากสมบัติข้อที่สองและการแทนจำนวนจริง a ด้วยจำนวนเชิงซ้อน  (a, 0)  ทำให้เราได้ว่าถ้า z \neq 0
: z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}

### ระนาบเชิงซ้อน
right
เรายังสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดหรือเวกเตอร์บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติ และมักจะเรียกระนาบนี้ว่า*ระนาบเชิงซ้อน* (complex plane) หรือ*ผังของอาร์กานด์* ตามชื่อของ ชอง-โรแบร์ต อาร์กานด์ ผู้ค้นพบ

พิกัดคาร์ทีเซียนของจำนวนเชิงซ้อน z = a+bi \,  คือ  (a, b)  ในขณะที่พิกัดเชิงขั้วคิอ  (r, \varphi) \,  เมื่อ r = |z| และ \varphi \,  เป็นมุมที่เวกเตอร์  (a, b)  ทำกับแกน x ในหน่วยเรเดียน เราเรียก \varphi \,  ว่า *อาร์กิวเมนต์*ของ z และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ \arg (z)  สังเกตว่าจำนวนเชิงซ้อนที่มีอาร์กิวเมนต์ต่างกันเท่ากับผลคูณของจำนวนเต็มกับ 2\pi จะมีค่าเท่ากัน

สูตรของออยเลอร์ช่วยแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว อีกทั้งยังช่วยให้เราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังต่อไปนี้
: z = a+bi = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = re^{i\varphi}\, 
และเรายังสามารถพิสูจน์ได้ว่า
: r_1 e^{i\varphi_1} \cdot r_2 e^{i\varphi_2} = r_1r_2e^{i (\varphi_1 + \varphi_2)} = r_1r_2 (\cos (\varphi_1+\varphi_2) + i\sin (\varphi_1+\varphi_2) ) 
และ
: \frac{r_1 e^{i\varphi_1}}{r_2 e^{i\phi_2}} = \frac{r_1}{r_2}e^{i (\varphi_1 - \varphi_2)} = \frac{r_1}{r_2} (\cos (\varphi_1-\varphi_2) + i\sin (\varphi_1-\varphi_2) ) 
เมื่อ r_2 \neq 0 ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถมองการคูณจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่ง ๆ ว่าเป็นการหมุนและการยืด (หรือหด) เวกเตอร์ด้วยอาร์กิวเมนต์และขนาดของจำนวนเชิงซ้อนตัวนั้นตามลำดับ

การคูณด้วย i = e^{i\pi/2} จึงสมมูลกับการหมุนเวกเตอร์ 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา สมการ ฉะนั้นเราสามารถเข้าใจความหมายของสมการ i^2 = -1 ได้อีกนัยหนึ่งว่า "การหมุน 90 องศาสองครั้งมีค่าเท่ากับการหมุน 180 องศา" หรือ "เมื่อหมุนเวกเตอร์  (0, 1) ไป 90 องศา ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์ (-1, 0)"

## สมบัติต่าง ๆ
### การเรียงลำดับ
\mathbb{C} ไม่เป็นฟีลด์อันดับ กล่าวคือเราไม่สามารถเรียงลำดับจำนวนเชิงซ้อนโดยที่การเรียงลำดับนั้นสอดคล้องกับการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อนได้เลย

### ปริภูมิเวกเตอร์
อย่างที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น \mathbb{C} เป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบน \mathbb{R} เราได้ว่าการแปลงเชิงเส้นบน \mathbb{R}  (\mathbb{R}-linear map) ทุกตัวจะสามารถเขียนได้ในรูป
: f (z) = az + b\bar{z}
เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ เราได้ว่าฟังก์ชัน f_1 (z) = a (z)  เป็นการหมุนและการยืดเวกเตอร์ ส่วนฟังก์ชัน f_2 (z) = b\bar{z} นั้นประกอบด้วยการหมุน การพลิก และการยืดเวกเตอร์ในฟังก์ชันเดียว สังเกตว่า f_1 เท่านั้นที่เป็นการแปลงเชิงเส้นบน \mathbb{C} และเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก เราสามารถหาอนุพันธ์ของ f_2 ได้ในเซตของจำนวนจริง แต่อนุพันธ์นั้นไม่สอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์

### สมบัติเชิงพีชคณิต
\mathbb{C} (หรือฟีลด์อื่นที่สมสัณฐานกับ C) จะมีลักษณะจำเพาะสามประการ ดังนี้
* มีแคแรกเทอริสติก 0
* มีดีกรีอดิศัยเมื่อเทียบกับฟีลด์เฉพาะใด ๆ เท่ากับขนาดของเซตจำนวนจริง
* มีสมบัติการปิดเชิงพีชคณิต (ดู ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต)
ด้วยเหตุนี้ \mathbb{C} จึงมีฟีลด์ย่อยแท้ที่สมสัณฐานกับตัวมันเองอยู่เป็นจำนวนมาก นอกจากนี้กาลอยด์กรุปของ \mathbb{C} บนเซตของจำนวนตรรกยะมีขนาดเท่ากับเซตกำลังของเซตของจำนวนจริง

หมวดหมู่:คณิตศาสตร์มูลฐาน