แฮร์มัน กึนเทอร์ กรัสมัน

**แฮร์มัน กึนเทอร์ กรัสมัน** () เป็นผู้รอบรู้ชาวเยอรมัน มีชื่อเสียงเป็นที่รู้จักในฐานะนักภาษาศาสตร์ในยุคของเขา ปัจจุบันได้รับการยกย่องว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ เขายังเป็นนักฟิสิกส์ นักมนุษยวิทยาสมัยใหม่ นักวิชาการทั่วไป และนักหนังสือพิมพ์ แต่งานทางคณิตศาสตร์ของเขาไม่เป็นที่น่าสังเกตหรือน่าจดจำจนกระทั่งเขาอายุหกสิบปี

## ประวัติ
กรัสมัน เป็นลูกคนที่สามจากสิบสองคนของยุสทุส กึนเทอร์ กรัสมัน () ยุสทุสเป็นพระนักบวชที่สอนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ที่โรงเรียนชเต็ททีน () และแฮร์มันก็เรียนที่นั่นด้วย แฮร์มันมักทำงานร่วมกับพี่ชายชื่อโรแบร์ท ()

กรัสมันเป็นนักเรียนธรรมดาจนกระทั่งเขาทำคะแนนได้สูงมากในการสอบเข้ามหาวิทยาลัยต่าง ๆ ในปรัสเซีย () เขาศึกษาเทววิทยาที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลิน เมื่อต้นปี ค.ศ. 1827 และยังเรียนภาษาวรรณคดีโบราณ (เช่น กรีกโบราณ ละติน ฯลฯ) ปรัชญา และวรรณคดี แต่ไม่พบว่าเขาเรียนคณิตศาสตร์หรือฟิสิกส์

แม้ว่าเขาจะไม่ผ่านการเรียนคณิตศาสตร์ในมหาวิทยาลัย แต่เขาสนใจคณิตศาสตร์มากที่สุดเมื่อเขากลับมาที่ชเต็ททีนเมื่อปี ค.ศ. 1830 หลังจากเขาจบการศึกษาที่เบอร์ลิน หลังจากนั้นเขาเตรียมตัวหนึ่งปีเพื่อเข้าสอบเพื่อเป็นครูสอนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน แต่ก็ได้รับอนุญาตให้ทำการสอนคณิตศาสตร์แค่ในระดับต้นเท่านั้น เขาได้เป็นผู้ช่วยที่โรงเรียนชเต็ททีนเมื่อฤดูใบไม้ผลิปีค.ศ. 1832 ระหว่างนั้นเขาได้ค้นพบคณิตศาสตร์แบบใหม่เป็นครั้งแรก ซึ่งนำไปสู่ความคิดทีสำคัญ ซึ่งเขาได้ตีพิมพ์เป็นเอกสารเผยแพร่เมื่อปี ค.ศ. 1844

กรัสมันเริ่มสอนที่โรงเรียนพาณิชย์ในเบอร์ลิน เมื่อปี ค.ศ. 1834 อีกหนึ่งปีต่อมาเขากลับมาที่ชเต็ททีน สอนคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เยอรมัน ละติน และศาสนาที่โรงเรียนอ็อทโท (Otto) แต่เขาก็ได้สอนแค่ในระดับต้นเท่านั้น สี่ปีต่อมาเขาผ่านการสอบและได้รับอนุญาตให้สอนคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี และวิทยาแร่ ในระดับมัธยมศึกษา

กรัสมันค่อนข้างเสียใจว่า เขากำลังสร้างนวัตกรรมใหม่ทางคณิตศาสตร์แต่เขาสอนได้แค่ระดับมัธยมศึกษา แต่เขาก็ได้เลื่อนตำแหน่งแม้ไม่เคยออกจากชเต็ททีน เขาได้เป็นครูใหญ่เมื่อปี ค.ศ. 1847 เขาได้รับตำแหน่งสืบต่อจากพ่อที่ล่วงลับที่โรงเรียนชเต็ททีน และได้เป็นศาสตราจารย์เมื่อปี ค.ศ. 1852 เขาได้ขอให้รัฐมนตรีกระทรวงศึกษาธิการของปรัสเซียหาตำแหน่งให้เขาที่มหาวิทยาลัยเมื่อปี ค.ศ. 1847 แอ็นสท์ คุมเมอร์ () ได้เขียนตอบกลับมาว่า เรียงความชิงรางวัลเมื่อปี ค.ศ. 1846 ของกรัสมันมีเนื้อหาที่ดีแต่อยู่ในรูปแบบยังไม่ดีพอ รายงานฉบับนี้ของคุมเมอร์ทำให้กรัสมันหมดโอกาสที่จะได้รับตำแหน่งที่มหาวิทยาลัย ซึ่งแสดงถึงบรรทัดฐานของคนในยุคนั้น ทำให้สมัยนั้นไม่มีใครได้จดจำคุณค่าทางคณิตศาสตร์ของกรัสมัน

ในช่วงความวุ่นวายทางการเมืองในประเทศเยอรมนี ช่วงปี ค.ศ. 1848–1849 แฮร์มันและโรแบร์ท กรัสมัน ตีพิมพ์บทความลงในหนังสือพิมพ์ชเต็ททีนเพื่อเรียกร้องการรวมประเทศเยอรมนีและปกครองในระบอบราชาธิปไตยภายใต้รัฐธรรมนูญ (ซึ่งสำเร็จเมื่อปี ค.ศ. 1872) หลังจากกฎหมายรัฐธรรมนูญเขียนเสร็จ แฮร์มันได้ขัดแย้งกับหนังสือพิมพ์ และพบว่าตัวเขาเองขัดแย้งกับทิศทางทางการเมืองของมันมากขึ้นเรื่อย ๆ 

กรัสมันมีลูกสิบเอ็ดคน แต่มีแค่เจ็ดคนที่ได้โตเป็นผู้ใหญ่ ลูกชายคนหนึ่งของเขา แฮร์มัน แอ็นสท์ กรัสมัน () ได้เป็นศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยกีเซิน

## นักคณิตศาสตร์
กรัสมันเข้าร่วมสอบหลายครั้ง การสอบครั้งหนึ่งของเขาบังคับให้เขาต้องส่งบทความเกี่ยวกับทฤษฎีกระแสน้ำ เมื่อปี ค.ศ. 1840 เขาได้ใช้ทฤษฎีพื้นฐานจากกลศาสตร์ท้องฟ้าของปีแยร์ ซีมง ลาปลัส และจากกลศาสตร์วิเคราะห์ของโฌแซ็ฟ หลุยส์ ลากร็องฌ์ แต่แสดงการใช้ทฤษฎีนี้กับกระบวนการทางเวกเตอร์ที่เขาได้พัฒนาขึ้นเมื่อปี ค.ศ. 1832 เขาได้การตีพิมพ์บทความนี้เป็นครั้งแรกในงานสะสมแห่งปี ค.ศ. 1894–1911 มีเนื้อหาถึงเรื่องที่เพิ่งรู้จักเป็นครั้งแรกซึ่งปัจจุบันเราเรียกมันว่า พีชคณิตเชิงเส้นและปริภูมิเวกเตอร์ เขาพัฒนากระบวนการเหล่านี้ต่อไปในงานของเขา **A1** และ **A2** (ดู อ้างอิง)

เมื่อปี ค.ศ. 1844 กรัสมันตีพิมพ์ผลงานชิ้นเอกของเขาคือ *ทฤษฎีส่วนขยายเชิงเส้น คณิตศาสตร์สาขาใหม่* () [The Theory of Linear Extension] ตั้งชื่อว่า **A1** และเป็นที่รู้โดยทั่วไปว่าหมายถึง *Ausdehnungslehre,* ซึ่งแปลว่า *ทฤษฎีส่วนขยายเชิงปริมาณ* เนื่องจาก **A1** เสนอรากฐานใหม่ทั้งหมดของคณิตศาสตร์ งานนี้จึงเริ่มต้นด้วยคำนิยามทั่วไปของธรรมชาติเชิงปรัชญา แล้วกรัสมันก็ได้แสดงว่า เมื่อใส่เรขาคณิตลงไปในพีชคณิต ตัวเลขสามไม่ได้มีบทบาทพิเศษอะไรในฐานะตัวเลขของมิติแห่งปริภูมิ ในความเป็นจริงแล้วตัวเลขที่เป็นไปได้ของมิตินั้นไม่จำกัด

เฟิร์นลีย์ แซนเดอร์ (Fearnley-Sander) (1979)  อธิบายถึงรากฐานของพีชคณิตเชิงเส้นของกรัสมันไว้ดังต่อไปนี้

ติดตามความคิดของพ่อของกรัสมัน **A1** ยังได้นิยามผลคูณภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซ์ทีเรียร์โพรดักต์ exterior product) ที่เรียกอีกอย่างว่าผลคูณเชิงการจัด "combinatorial product" ด้วย ( หรือ *kombinatorisches Produkt*) สาขาหลักสาขาหนึ่งของพีชคณิตที่ปัจจุบันเราเรียกว่า พีชคณิตภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซ์ทีเรียร์อัลจีบรา exterior algebra) (เราควรระลึกไว้ในใจว่าในสมัยของกรัสมัน ทฤษฎีที่ยอมรับกันโดยทั่วไปมีแค่เรขาคณิตแบบยูคลิด (Euclidean geometry) และยังต้องนิยามกรอบความคิดทั่วไปของพีชคณิตเชิงทฤษฎีอยู่) เมื่อปี ค.ศ. 1878 วิลเลียม คิงดอน คลิฟฟอร์ด (William Kingdon Clifford) เชื่อมพีชคณิตเชิงเส้นนี้เข้ากับควาเทอร์เนียน (quaternions) ของวิลเลียม โรวาล ฮามิลทัน (William Rowan Hamilton) โดยการเปลี่ยนกฎของกรัสมัน *e<sub>p</sub>e<sub>p</sub>* = 0 ด้วยกฎ *e<sub>p</sub>e<sub>p</sub>* = 1. (สำหรับ ควอเทอร์เนียน, เรามีกฎ *i*2 = *j*2 = *k*2 = −1.) รายละเอียดเพิ่มเติมดู พีชคณิตภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซ์ทีเรียร์อัลจีบรา)

**A1** เป็นตำราที่ปฏิวัติคณิตศาสตร์ ล้ำหน้ากว่าสมัยของมันมากเกินไปที่จะเป็นที่ยอมรับ กรัสมันนำเสนอมันในฐานะของวิทยานิพนธ์ดุษฎีบัณฑิตสาขาปรัชญา (Doctor of Philosophy) แต่เอากุสท์ แฟร์ดีนันท์ เมอบีอุส () พูดว่าเขาไม่สามารถประเมินค่าของมัน และส่งต่อให้แอ็นสท์ คุมเมอร์ แต่คุมเมอร์ไม่ยอมรับมันโดยที่เขายังไม่ได้อ่านเนื้อหาอย่างถี่ถ้วน สิบกว่าปีต่อมากรัสมันได้เขียนงานหลายรูปแบบโดยประยุกต์ใช้ทฤษฎีส่วนขยายของเขา รวมถึงผลงานของเขาเมื่อปี ค.ศ. 1845 ทฤษฎีพลศาสตร์ไฟฟ้า () และเอกสารหลายฉบับเกี่ยวกับเส้นโค้งและพื้นผิวเชิงพีชคณิตด้วยความหวังว่าการประยุกต์ใช้งานเหล่านี้จะนำพาผู้คนอื่น ๆ ให้หันมาสนใจทฤษฎีของเขาอย่างจริงจัง

เมื่อปี ค.ศ. 1846 เมอบีอุสได้เชิญกรัสมันเข้าร่วมการแข่งขันแก้ปัญหาที่เสนอโดยก็อทฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์ เป็นครั้งแรก: เพื่อที่จะคิดค้นแคลคูลัสเชิงเรขาคณิตโดยไม่มีระบบพิกัดและคุณสมบัติเชิงเมทริกซ์ (ซึ่งไลบ์นิทซ์เรียกว่า *แบบโครงสร้างการวิเคราะห์* (*analysis situs*) การวิเคราะห์เชิงเรขาคณิตของกรัสมัน () เป็นผู้ชนะการแข่งขัน (เป็นผู้เข้าร่วมเพียงผู้เดียวอีกด้วย) ยิ่งไปกว่านั้นเมอบีอุสในฐานะผู้ตัดสินคนหนึ่งได้วิจารณ์วิธีที่กรัสมันเสนอกรอบความคิดเชิงทฤษฎีโดยไม่ช่วยให้ผู้อ่านเข้าใจว่าทำไมกรอบความคิดนั้นจึงมีคุณค่า

เมื่อปี ค.ศ. 1853 กรัสมันได้ตีพิมพ์ทฤษฎีการผสมสีของแสง เรียกว่า กฎของกรัสมัน (Grassmann's law (optics)) ซึ่งยังคงมีการสอนกันอยู่ งานของกรัสมันในเรื่องนี้ไม่สอดคล้องกับงานของแฮร์มัน ฟ็อน เฮ็ล์มฮ็อลทซ์ กรัสมันยังได้เขียนเรื่องผลิกศาสตร์ (crystallography) วิชาแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetism) และกลศาสตร์ (mechanics)

เมื่อปี ค.ศ. 1861 กรัสมันได้แถลงถึงหลักฐานที่เป็นจริงเสมอทางเลขคณิต ทำให้เกิดการใช้หลักของการเหนียวนำอย่างอิสระ เปอาโนและลูกศิษย์ของเขาสนับสนุนงานชิ้นนี้อย่างอิสระเมื่อช่วงปี ค.ศ. 1890 ลอยด์ ซี. คานเนนเบิร์ก (Lloyd C. Kannenberg) ได้ตีพิมพ์ทฤษฎีส่วนขยาย () และผลงานอื่น ๆ ของกรัสมันเป็นภาษาอังกฤษเมื่อปี ค.ศ. 1955 (ISBN 0-8126-9275-6. -- ISBN 0-8126-9276-4)

เมื่อปี ค.ศ. 1862 กรัสมันได้ตีพิมพ์ **A1** ที่ถูกเขียนขึ้นใหม่ทั้งหมดเป็นครั้งที่สอง โดยหวังที่จะให้ทฤษฎีส่วนขยายของเขาได้รับการยอมรับ และบรรจุคำอธิบายที่น่าเชื่อถือที่สมบูรณ์ที่สุดของพีชคณิตเชิงเส้น (linear algebra) ของเขา ผลที่ตามมาคือทฤษฎีส่วนขยายในรูปแบบที่ขัดเกลามาแล้วอย่างเข้มข้น () ที่เรียกว่า **A2** มีอาการก็ไม่ดีกว่า **A1** แม้ว่ารูปแบบของคำอธิบายของ **A2** ได้ถูกเตรียมไว้เพื่อเป็นตำราของคริสต์ศตวรรษที่ 20

## การยอมรับ
นักคณิตศาสตร์คนแรก ๆ ที่ชื่นชมความคิดของกรัสมันตอนที่เขายังมีชีวิตคือ แฮร์มัน ฮังเคิล (Hermann Hankel) เจ้าของทฤษฎีระบบจำนวนเชิงซ้อน () เมื่อปี ค.ศ. 1867

:... ได้พัฒนาบางส่วนของพีชคณิตของกรัสมัน และบางส่วนของควอเทอร์เนียน (quaternion) ของฮามิลทัน ฮานเคิลเป็นคนแรกที่รู้ถึงความสำคัญของงานเขียนของกรัสมันที่ถูกทอดทิ้งมายาวนาน ...

เมื่อปี ค.ศ. 1872 วิคทอร์ ชเลเกิล (Victor Schlegel) ได้ตีพิมพ์ส่วนแรกของระบบของวิทยาศาสตร์อวกาศ () ของเขาซึ่งใช้วิธีของกรัสมันเพื่อที่จะหาผลคูณโบราณและสมัยใหม่ในระนาบเรขาคณิต เฟลิคส์ ไคลน์ (Felix Klein) ได้เขียนบทวิจารณ์เชิงลบถึงตำราของชเลเกิลอ้างถึงความไม่สมบูรณ์และการขาดมุมมองของกรัสมัน ชเลเกิลได้ออกส่วนที่สองของระบบของเขาตามออกมาเมื่อปี ค.ศ. 1875 ให้สอดคล้องกับมุมมองของกรัสมัน คราวนี้เขาพัฒนาเรขาคณิตที่สูงขึ้น ขณะเดียวกันนั้นไคลน์ก็กำลังพัฒนาโครงการแอร์ลังเงิน (Erlangen Program) ของเขาซึ่งได้ขยายขอบเขตของเรขาคณิตเช่นเดียวกัน

ความสามารถในการเรียนรู้ของกรัสมันได้รอคอยกรอบความคิดของปริภูมิเวกเตอร์ ซึ่งสามารถแสดงพีชคณิตเชิงหลายเส้น ของทฤษฎีส่วนขยายของเขา บทความของเอ.เอ็น. ไวต์เฮด (A. N. Whitehead) *เรื่องพีชคณิตครอบจักรวาล* (*Universal Algebra*) เมื่อปี ค.ศ. 1898 ได้รวมคำอธิบายอย่างเป็นระบบเป็นภาษาอังกฤษของทฤษฎีส่วนขยายและพีชคณิตภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซฺทีเรียร์อัลจีบรา) ไว้เป็นครั้งแรก ด้วยการเกิดขึ้นของอนุพันธ์เชิงเรขาคณิต (differential geometry) ทำให้พีชคณิตภายนอกถูกนำมาประยุกต์ใชักับรูปแบบเชิงอนุพันธ์ (differential form) ของมัน

สำหรับการแนะนำถึงบทบาทร่วมสมัยของผลงานของกรัสมันทางคณิตศาสตร์ของฟิสิกส์ (mathematical physics) ดู *[[ถนนสู่ความจริง]]* (*The Road to Reality*) โดยรอเจอร์ เพนโรส (Roger Penrose)

อาเดมาร์ ฌ็อง โกลด บาเร เดอ แซ็ง-เวอน็อง (Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant) ได้พัฒนาแคลคูลัสของเวกเตอร์ขึ้นมาเมื่อปี ค.ศ. 1845 แคลคูลัสเวกเตอร์ของเขาเหมือนกับของกรัสมัน เขาจึงโต้เถียงกับกรัสมันว่าใครคิดได้ก่อน กรัสมันได้ตีพิมพ์ผลงานเมื่อปี ค.ศ. 1844 แต่แซ็ง-เวอน็องอ้างว่าเขาได้พัฒนาความคิดเหล่านี้เป็นคนแรกเมื่อปี ค.ศ. 1832

## นักภาษาศาสตร์
ด้วยความผิดหวังกับความไร้สามารถของผู้อื่นในการตระหนักถึงความสำคัญของคณิตศาสตร์ของเขา กรัสมันหันไปทางภาษาศาสตร์เชิงประวัติ (historical linguistics) เขาเขียนหนังสือเกี่ยวกับไวยากรณ์ภาษาเยอรมัน เก็บรวบรวมเพลงพื้นบ้าน และเรียนรู้ภาษาสันสกฤต พจนานุกรมและการแปลภาษาฤคเวทของเขายังคงได้รับการตีพิมพ์และได้รับการจดจำท่ามกลางนักภาษาศาสตร์ เขาประดิษฐ์กฎของเสียงของตระกูลภาษาอินโด-ยูโรเปียน และตั้งชื่อว่า กฎของกรัสมัน เพื่อเป็นเกียรติแก่เขา

ผู้คนยกย่องเขาในด้านความสำเร็จทางภาษาศาสตร์เหล่านี้ในช่วงชีวิตของเขา สมาคมอเมริกันโอเรียนทัล (American Oriental Society) เชิญให้เขาเข้าร่วมสมาคม และมหาวิทยาลัยทือบิงเงิน ได้มอบปริญญาดุษฎีบัณฑิตกิตติมศักดิ์ให้กับเขาเมื่อปี ค.ศ. 1876

## ดูเพิ่ม
* สัญกรณ์บรา-เค็ท 
* Grassmann number
* Grassmannian
* Grassmann's law 
* Grassmann's law (optics)

## อ้างอิง
;แหล่งข้อมูลปฐมภูมิ:
* **A1**: 1844. *[http://www.archive.org/details/dielinealeausde00grasgoog Die lineale Ausdehnungslehre]*. Leipzig: Wiegand. English translation, 1995, by Lloyd Kannenberg, *A new branch of mathematics*. Chicago: Open Court.
* 1847. *[http://books.google.com/books?id=cHGrfrQVq1oC&printsec=frontcover&cad=2#v=onepage&q=&f=false Geometrische Analyse geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik.]*. Available on quod.lib.umich.edu
* 1861. *Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten, Band 1*. Berlin: Enslin.
* **A2**: 1862. *[http://www.archive.org/details/dieausdehnungsl05grasgoog Die Ausdehnungslehre. Vollständig und in strenger Form begründet.]*. Berlin: Enslin. English translation, 2000, by Lloyd Kannenberg, *Extension Theory*. American Mathematical Society.
* 1873. *Wörterbuch zum Rig-Veda*. Leipzig: Brockhaus.
* 1876–1877. *Rig-Veda*. Leipzig: Brockhaus. Translation in two vols., vol. 1 published 1876, vol. 2 published 1877.
* 1894–1911. *[http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABW0785 Gesammelte mathematische und physikalische Werke,]* in 3 vols. Friedrich Engel ed. Leipzig: B.G. Teubner. Reprinted 1972, New York: Johnson.

;แหล่งข้อมูลทุติยภูมิ:
* Crowe, Michael, 1967. A History of Vector Analysis, Notre Dame University Press.
* Fearnley-Sander, Desmond, 1979, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra, " *American Mathematical Monthly 86*: 809–17.
* Fearnley-Sander, Desmond, 1982, "Hermann Grassmann and the Prehistory of Universal Algebra," *Am. Math. Monthly 89*: 161–66.
* Fearnley-Sander, Desmond, and Stokes, Timothy, 1996, "Area in Grassmann Geometry ". *Automated Deduction in Geometry*: 141–70
* Ivor Grattan-Guinness (2000) *The Search for Mathematical Roots 1870–1940*. Princeton Univ. Press.
* Roger Penrose, 2004. *The Road to Reality*. Alfred A. Knopf.
* Petsche, Hans-Joachim, 2006. *Graßmann* (Text in German). (Vita Mathematica, 13). Basel: Birkhäuser.
* Petsche, Hans-Joachim, 2009. *Hermann Graßmann – Biography*. Transl. by M Minnes. Basel: Birkhäuser.
* Petsche, Hans-Joachim; Kannenberg, Lloyd; Keßler, Gottfried; Liskowacka, Jolanta (eds.), 2009. *Hermann Graßmann – Roots and Traces. Autographs and Unknown Documents. Text in German and English*. Basel: Birkhäuser.
* Petsche, Hans-Joachim; Lewis, Albert C.; Liesen, Jörg; Russ, Steve (eds.), 2010. *From Past to Future: Graßmann's Work in Context. The Graßmann Bicentennial Conference, September 2009*. Basel: Springer Basel AG.
* Petsche, Hans-Joachim and Peter Lenke (eds.), 2010. *International Grassmann Conference. Hermann Grassmann Bicentennial: Potsdam and Szczecin, 16–19 September 2009; Video Recording of the Conference*. 4 DVD's, 16:59:25. Potsdam: Universitätsverlag Potsdam.
* Rowe, David E. (2010) "Debating Grassmann's Mathematics: Schlegel Versus Klein", Mathematical Intelligencer 32 (1) :41-8.
* Victor Schlegel (1878) Hermann Grassmann: Sein Leben und seine Werke on the Internet Archive.
* Schubring, G., ed., 1996. *Hermann Gunther Grassmann (1809–1877) : visionary mathematician, scientist and neohumanist scholar*. Kluwer.

Extensive online bibliography, revealing substantial contemporary interest in Grassmann's life and work. References each chapter in Schubring.
* Paola Cantù:* [http://air.unimi.it/handle/2434/62423 La matematica da scienza delle grandezze a teoria delle forme. L’Ausdehnungslehre di H. Grassmann]* [Mathematics from Science of Magnitudes to Theory of Forms. The Ausdehnungslehre of H. Grassmann]. Genoa: University of Genoa. Dissertation, 2003, s. xx+465.

;ข้อมูลอ้างอิงในเอกสารสิทธิบัตร

## แหล่งข้อมูลอื่น
* The MacTutor History of Mathematics archive:
** 
** Abstract Linear Spaces. Discusses the role of Grassmann and other 19th century figures in the invention of linear algebra and vector spaces.
* Fearnley-Sander 's home page.
* Grassmann Bicentennial Conference (1809 – 1877), September 16 – 19, 2009 Potsdam / Szczecin (DE / PL) : From Past to Future: Grassmann's Work in Context
* "The Grassmann method in projective geometry" A compilation of English translations of three notes by Cesare Burali-Forti on the application of Grassmann's exterior algebra to projective geometry
* C. Burali-Forti, "Introduction to Differential Geometry, following the method of H. Grassmann" (English translation of book by an early disciple of Grassmann)
* "Mechanics, according to the principles of the theory of extension" An English translation of one Grassmann's papers on the applications of exterior algebra

หมวดหมู่:บุคคลที่เกิดในปี พ.ศ. 2352
หมวดหมู่:บุคคลที่เสียชีวิตในปี พ.ศ. 2420
หมวดหมู่:บุคคลจากชแชชิน
หมวดหมู่:นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน
หมวดหมู่:นักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน
หมวดหมู่:ศิษย์เก่าจากมหาวิทยาลัยฮุมบ็อลท์แห่งเบอร์ลิน