สมการของตอร์รีเชลลี

ในฟิสิกส์ **สมการของตอร์รีเชลลี** หรือ **สูตรของตอร์รีเชลลี** เป็นสมการที่ถูกสร้างขึ้นโดยนักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีเอวันเจลิสตา ตอร์รีเชลลี เพื่อหาความเร็วสุดท้ายของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่ตามแนวแกน (ตัวอย่างเช่น ตามแนวแกน *x*) โดยไม่ต้องรู้ช่วงเวลาที่ใช้

โดยมีสมการดังที่แสดงต่อไปนี้


 v_\text{f}^2 = v_\text{i}^2 + 2a\Delta x


โดยที่
: v_\text{f} เป็นความเร็วสุดท้ายตามแนวแกน *x* ของวัตถุที่มีความเร่งคงที่
: v_\text{i} เป็นความเร็วเริ่มต้นตามแนวแกน *x* ของวัตถุ
: a เป็นความเร่งตามแนวแกน *x* ของวัตถุที่ซึ่งกำหนดให้คงที่
: \Delta x เป็นการเปลี่ยนตำแหน่งตามแนวแกน *x* ของวัตถุ หรือเรียกว่าการกระจัด

ในสมการนี้และสมการถัดไปทั้งหมดในบทความนี้ ตัวห้อย x (เช่นใน {v_\text{f}}_x) นั้นเป็นที่เข้าใจโดยปริยาย ที่จะไม่ได้แสดงไว้เป็นเบื้องต้นเพื่อความชัดเจนในการนำเสนอสมการ

สมการนี้สามารถนำไปใช้ได้ในทุกแกนที่ซึ่งมีความเร่งคงที่หรือสม่ำเสมอ

## การพิสูจน์หรือที่มา

### โดยไม่ใช้การหาอนุพันธ์และปริพันธ์

เริ่มต้นด้วยความสัมพันธ์สำหรับความเร่งสม่ำเสมอ ดังต่อไปนี้

นำสมการ  มาคูณเข้าทั้งสองข้างด้วยความเร่ง a

การจัดรูปนิพจน์ด้านขวาใหม่เพื่อให้เห็นการแทนค่าที่จะเกิดขึ้นได้ง่ายขึ้น ดังต่อไปนี้

นำสมการ  ไปแทนค่าในผลคูณ at

ทำการคูณเข้า

ตัดพจน์ v_\text{i}v_\text{f} ออกไป เหลือเพียงพจน์กำลังสอง

จัดรูปสมการ  ให้อยู่ในรูปสมการของตอร์รีเชลลี ดังที่ได้นำเสนอไว้พอสังเขป ณ เริ่มต้นของบทความ ดังนี้

### โดยใช้การหาอนุพันธ์และปริพันธ์
เริ่มต้นด้วยนิยามของความเร็ว ซึ่งคืออนุพันธ์เทียบเวลาของตำแหน่ง และความเร่ง ซึ่งคืออนุพันธ์เทียบเวลาของความเร็ว ดังนี้

ตั้งการหาปริพันธ์จากตำแหน่งเริ่มต้น x_\text{i} ถึงตำแหน่งสุดท้าย x_\text{f}

^{x_\text{f}}a\,dx |}}

จากสมการ  เราสามารถแทนค่า dx ด้วย v\,dt พร้อมกับเปลี่ยนขอบเขตของการหาปริพันธ์ที่สอดคล้องกัน

^{t_\text{f}} a\,v\,dt |}}

จากนั้นสลับตำแหน่งของ a และ v เพื่อให้เห็นการแทนค่าที่จะเกิดขึ้นได้ง่ายขึ้น
^{t_\text{f}} v\,a\,dt |}}

จากสมการ  เราสามารถแทนค่า a\,dt ด้วย dv พร้อมกับเปลี่ยนขอบเขตของการหาปริพันธ์ที่สอดคล้องกัน

^{v_\text{f}} v\,dv |}}

ดังนี้ เราจะได้

^{x_\text{f}} a\,dx=\int_{v_\text{i}}^{v_\text{f}}v\,dv |}}

เนื่องจากความเร่งเป็นค่าคงที่ เราสามารถแยกออกจากการหาปริพันธ์ได้

^{x_\text{f}}dx=\int_{v_\text{i}}^{v_\text{f}}v\,dv |}}

คำนวณหาค่าของปริพันธ์

^{x=x_\text{f}} = \tfrac{1}{2} v^2 \Big|_{v=v_\text{i}}^{v=v_\text{f}} |}}

ตัวประกอบ x_\text{f}-x_\text{i} เป็นการกระจัด แทนด้วย \Delta x จะได้

จัดรูปสมการ  ให้อยู่ในรูปสมการของตอร์รีเชลลี ดังที่ได้นำเสนอไว้พอสังเขป ณ เริ่มต้นของบทความ ดังนี้

## การประยุกต์

รวมสมการของตอร์รีเชลลีเข้ากับกฎข้อที่สองของนิวตัน F=ma จะได้ทฤษฎีบทงาน-พลังงาน

สมการของตอร์รีเชลลีและข้อสรุปทั่วไปสำหรับความเร่งไม่สม่ำเสมอมีรูปแบบเดียวกัน ดังนี้

จากสมการ 

^{x_\text{f}}a\,dx=\int_{v_\text{i}}^{v_\text{f}}v\,dv |}}

หาค่าของปริพันธ์ด้านขวามือ

^{x_\text{f}} a\,dx=\tfrac{1}{2}v_\text{f}^2 - \tfrac{1}{2}v_\text{i}^2 |}}

เพื่อเทียบกับสมการของตอร์รีเชลลี และจากสมการ  จะได้

ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทงาน-พลังงาน เริ่มต้นจาก F=ma และตั้งหาปริพันธ์เทียบพิกัดตำแหน่งของทั้งสองข้าง ถ้าทั้งสองข้างสามารถหาปริพันธ์ได้ แสดงว่านิพจน์ที่ได้นั้นถูกต้อง

^{x_\text{f}} F\,dx = \int_{x_\text{i}}^{x_\text{f}} ma\,dx |}}

จากสมการ  จะได้นิพจน์ด้านขวามือเป็น

^{x_\text{f}} F\,dx = \tfrac{1}{2}mv_\text{f}^2 - \tfrac{1}{2}mv_\text{i}^2 |}}

เหตุที่ด้านขวามือของ  และ  เหมือนกันนั้นคือ

ประการแรก ให้พิจารณากรณีที่มีสองสถานะต่อเนื่องกันที่มีความเร่งสม่ำเสมอต่างกัน จาก s_0 ถึง s_1 และจาก s_1 ถึง s_2

จะได้ แต่ละนิพจน์สำหรับทั้งสองสถานะ ดังนี้

a_1(s_1-s_0) = \tfrac{1}{2}v_1^2 - \tfrac{1}{2}v_0^2
a_2(s_2-s_1) = \tfrac{1}{2}v_2^2 - \tfrac{1}{2}v_1^2

เนื่องจากนิพจน์เหล่านี้ใช้สำหรับช่วงเวลาที่ต่อเนื่องกัน จึงสามารถนำมาบวกกันได้ และผลลัพธ์ที่ได้จึงเป็นนิพจน์ที่ถูกต้อง

เมื่อนำมาบวกกันแล้ว พจน์กลาง \tfrac{1}{2}v_1^2 จะหายไป เหลือเพียงพจน์นอก \tfrac{1}{2}v_2^2 และ \tfrac{1}{2}v_0^2 ดังนี้

ผลลัพธ์ข้างต้นสามารถสรุปได้โดยทั่วไปว่า ระยะทางทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นส่วนย่อยได้เป็นจำนวนใด ๆ หลังจากนำทุกส่วนมารวมกันแล้ว จะเหลือเพียงพจน์นอกเท่านั้น ส่วนพจน์กลางทั้งหมดจะหายไป

ข้อสรุปทั่วไปของสมการ  ไปยังจำนวนที่ไม่เจาะจงของส่วนย่อยใด ๆ ของช่วงทั้งหมดจาก s_0 ถึง s_n สามารถแสดงได้ในรูปผลรวม ดังต่อไปนี้

## ดูเพิ่มเติม
* สมการการเคลื่อนที่

## เชิงอรรถและอ้างอิง

## แหล่งข้อมูลอื่น
* Torricelli's theorem

หมวดหมู่:จลนศาสตร์
หมวดหมู่:สมการ