พาย (ค่าคงตัว)

thumb|สัญลักษณ์ของพาย
**พาย** หรือ **ไพ** (อักษรกรีก: ; ) เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ ที่เกิดจากความยาวเส้นรอบวงหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ค่า π มักใช้ในคณิตศาสตร์, ฟิสิกส์ และวิศวกรรม π เป็นอักษรกรีกที่ตรงกับตัว "p" ในอักษรละติน มีชื่อว่า "pi" (อ่านว่า *พาย* ในภาษาอังกฤษ แต่อ่านว่า *พี* ในภาษากรีก) บางครั้งเรียกว่า **ค่าคงตัวของ[[อาร์คิมิดีส]]** (Archimedes' Constant) หรือ**จำนวนของลูดอล์ฟ** (Ludolphine number หรือ Ludolph's Constant)

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด π มีนิยามว่าเป็นอัตราส่วนของเส้นรอบวงหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม หรือเป็นอัตราส่วนของพื้นที่วงกลม หารด้วย รัศมียกกำลังสอง ในคณิตศาสตร์ชั้นสูงจะนิยาม π โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น π คือจำนวนบวก *x* ที่น้อยสุดที่ทำให้ sin (*x*)&nbsp;=&nbsp;0
360px|thumb|การเกิดค่าพาย

ค่า π โดยประมาณ 125 ตำแหน่งคือ

: 
:ส่วนมากจะใช้ค่าประมาณ คือ 3.14159...

แม้ว่าค่านี้มีความละเอียดพอที่จะใช้ในงานวิศวกรรมหรือวิทยาศาสตร์แล้ว ปัจจุบันมีการคำนวณค่า π ได้หลายตำแหน่ง ซึ่งหาได้ทั่วไปจากอินเทอร์เน็ต คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลโดยทั่วไปสามารถคำนวณค่า π ได้พันล้านหลัก ขณะที่ซูเปอร์คอมพิวเตอร์คำนวณค่า π ได้เกินล้านล้านหลัก และไม่พบว่ามีรูปแบบที่ซ้ำกันของค่า π ปรากฏอยู่

## สูตรที่เกี่ยวข้องกับ π

[alt=An complex black shape on a blue background.|thumb|สามารถคำนวณไพได้จาก [เซตม็องแดลโบรต, โดยการคำนวณจำนวน iterations required before point  diverges.]]
### เรขาคณิต

π มักปรากฏในสูตรที่เกี่ยวกับวงกลมและทรงกลม

### การวิเคราะห์

* François Viète, 1593:
:\frac2\pi=
\frac{\sqrt2}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots

* สูตรของไลบ์นิซ:
:\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
:หรือเขียนอีกแบบได้เป็น:
:\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{\pi}{4}

* ผลคูณของ Wallis:
: \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} 
: \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n)^2-1} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{\pi}{2}

* สูตรปริพันธ์จากแคลคูลัส:
:\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}

* ปัญหาของBasel, ถูกแก้เป็นครั้งแรกโดย ออยเลอร์ (ดูเพิ่มเติม ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์):
:\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}
:\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}

* ฟังก์ชันแกมมา เมื่อหาค่า 1/2:
:\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}

* สูตรของสเตอร์ลิง:
:n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n

* เอกลักษณ์ของออยเลอร์ (เรียกโดย ริชาร์ด ไฟน์แมน):
:e^{i \pi} + 1 = 0\;

### เศษส่วนต่อเนื่อง
π เขียนในรูปเศษส่วนต่อเนื่องได้หลายแบบ เช่น

: \frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}} 

### ทฤษฎีจำนวน
* ความน่าจะเป็นในการสุ่มจำนวนเต็มขึ้นมา 2 จำนวน แล้วเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน เท่ากับ 6/π2                    ...

### ฟิสิกส์
* หลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก:
: \Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi} 
* สมการสนามของไอน์สไตน์ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป:
: R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik} 
* กฎของคูลอมบ์ สำหรับแรงไฟฟ้า:
: F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \epsilon_0 r^2} 

## สูตรที่นอกเหนือจากคณิตศาสตร์
### การอธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพ
แม้ว่า  จะไม่เป็นค่าคงตัวทางฟิสิกส์ แต่ก็มีปรากฏในสมการที่ใช้อธิบายเกี่ยวกับหลักการพื้นฐานของจักรวาลอยู่บ่อยครั้ง เนื่องจากความสัมพันธ์ของ  กับวงกลม และระบบพิกัดทรงกลม จากสูตรง่าย ๆ จากกลศาสตร์ดั้งเดิม เช่น ให้ระยะเวลาโดยประมาณเป็น   ของลูกตุ้มที่มีความยาว  แกว่งด้วยแอมพลิจูดขนาดเล็ก ( คือ ความเร่งโน้มถ่วงของโลก)
:T \approx 2\pi \sqrt\frac{L}{g}
หนึ่งในสูตรสำคัญของกลศาสตร์ควอนตัมคือหลักความไม่แน่นอนของไฮเซนแบร์ก ซึ่งแสดงให้เห็นความไม่แน่นอนในการวัดตำแหน่งของอนุภาค (Δ) และโมเมนตัม (Δ) ซึ่งไม่สามารถมีขนาดเล็กโดยปราศจากเหตุผลในเวลาเดียวกันได้ (เมื่อ  เป็นค่าคงตัวของพลังค์)
: \Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}
ความจริงที่ว่า  มีค่าประมาณเท่ากับ 3 นั้น มีบทบาทในอายุการใช้งานที่ยาวนานของออร์โธโพสิโทรเนียม ซึ่งอายุการใช้งานนั้นจะผกผันไปสู่ลำดับต่ำสุดในค่าคงที่โครงสร้างละเอียด  คือ
:\frac{1}{\tau} = 2\frac{\pi^2 - 9}{9\pi}m\alpha^{6},
เมื่อ  คือมวลของอิเล็กตรอน

## ดูเพิ่ม
* แคลคูลัส
* เรขาคณิต
* ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

## อ้างอิง


หมวดหมู่:อนุกรม
หมวดหมู่:การวิเคราะห์เชิงซ้อน