การแปลงเชิงปริพันธ์

**การแปลงเชิงปริพันธ์** () ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง การแปลง *T* ใด ๆ ที่อยู่ในรูป

:  (Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} f(t)\, K(t, u)\, dt

โดยส่งผ่านฟังก์ชัน *f* เข้าสู่การแปลง และได้ผลลัพธ์ออกมาในรูป *Tf* การแปลงเชิงปริพันธ์นี้เป็นตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง

การแปลงเชิงปริพันธ์ที่มีประโยชน์นั้นมีอยู่หลายชนิด ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันสองตัวแปร *K* ที่เลือกใช้ ฟังก์ชัน *K* นี้เรียกว่า **[[เคอร์เนลของการแปลง]]** (kernel of the transform) หรือ **นิวเคลียส** ของการแปลง

เคอร์เนลบางตัวนั้นมี *เคอร์เนลอินเวอร์ส* K^{-1}(u,t) ซึ่งให้การแปลงกลับ:

:  f(t) = \int_{u_1}^{u_2} K^{-1}(u,t)\, (Tf)(u)\, du

*เคอร์เนลที่สมมาตร* (symmetric kernel) คือ เคอร์เนลที่มีหน้าตาเหมือนกัน เมื่อสลับที่ตัวแปรทั้งสอง

## สิ่งจูงใจ

หากไม่กล่าวถึงเรื่องประโยชน์ที่ได้จากการใช้รูปแบบเครื่องหมาย สิ่งจูงใจของการใช้การแปลงเชิงปริพันธ์ที่เห็นได้ชัดเจนก็คือ ในบางปัญหาทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีรูปแบบดั้งเดิมยากแก่การแก้ปัญหา การใช้การแปลงเชิงปริพันธ์เพื่อทำการแปลง รูปแบบของสมการจากในโดเมนดั้งเดิม ไปยังอีกโดเมนหนึ่งนั้น จะช่วยทำให้การจัดรูปและแก้ปัญหาสมการนั้นง่ายขึ้น หลังจากแก้ปัญหาสมการในโดเมนของการแปลงแล้ว ก็ทำการแปลงกลับให้มาอยู่ในโดเมนดั้งเดิมได้

การแปลงเชิงปริพันธ์ ใช้หลักการของการแยกองค์ประกอบสเปกตรัม (spectral factorization) ตาม ฐานเชิงตั้งฉากปรกติ (หรือ หมายความง่าย ๆ ว่า เราสามารถเขียนฟังก์ชันที่ซับซ้อน ให้อยู่ในรูปผลบวกของฟังก์ชันที่ซับซ้อนน้อยกว่านั่นเอง

## ประวัติ

การแปลงเชิงปริพันธ์ นั้นมีประวัติความเป็นมาเริ่มต้นจากการเขียนแทนฟังก์ชันในช่วงจำกัด ในรูปอนุกรมฟูรีเย และพัฒนาต่อมาเป็นการแปลงฟูรีเย เพื่อใช้สำหรับฟังก์ชันในช่วงไม่จำกัด

การเขียนฟังก์ชันในรูปอนุกรมฟูรีเย ฟังก์ชันจะถูกเขียนอยู่ในรูปผลบวกของฟังก์ชันไซน์ และ โคไซน์ ที่มีขนาด และ ตำแหน่งต่าง ๆ โดยฟังก์ชันไซน์ และ โคไซน์ นี้ก็เป็นตัวอย่างของฐานเชิงตั้งฉากปรกติ

## ความสำคัญของฐานที่ตั้งฉาก

ฟังก์ชันฐานที่ตั้งฉาก (orthogonal) นั้นหมายถึง ปริพันธ์ของผลคูณของสองฟังก์ชันฐานที่ต่างกัน ตลอดทั้งช่วงโดเมนของมันจะต้องมีค่าเป็นศูนย์ การแปลงเชิงปริพันธ์นั้นเพียงเป็นการเปลี่ยนรูปฟังก์ชันจากที่แสดงโดยฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่ง เป็นอีกฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่งเท่านั้น ค่าที่แต่ละจุดของฟังก์ชันในโดเมนของการแปลงคือ ค่าขนาดของฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่ง ๆ ที่เป็นองค์ประกอบของการกระจายฟังก์ชันจากการแปลง กระบวนการกระจายฟังก์ชันจาก*รูปแบบมาตรฐาน* เป็นผลบวกของฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติ ซึ่งอาจถูกปรับขนาด และ ตำแหน่ง เรียกว่า *การแยกองค์ประกอบสเปกตรัม* (spectral factorization) กระบวนการนี้คล้ายกับหลักการของการแทนจุดใด ๆ ในปริภูมิ 3 มิติ ด้วยค่าตามแกน *x*, *y*, *z* ซึ่งค่าแต่ละแกนจะตั้งฉากกัน และเป็นอิสระไม่ขึ้นแก่กัน ในการหาขนาดองค์ประกอบในการแยกองค์ประกอบสเปกตรัมของฟังก์ชัน *F* ตามฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่ง ๆ นั้นจะใช้คำว่า *โพรเจกชัน* (projection) ของ *F* ไปบนฟังก์ชันฐานนั้น เช่นเดียวกับในกรณีของเวกเตอร์

เราสามารถมองกราฟของฟังก์ชันบนพิกัดคาร์ทีเซียน เหมือนกับเป็นการกระจายบนฐานเชิงตั้งฉากปรกติเช่นกัน โดยแต่ละจุดบนกราฟจะเป็นองค์ประกอบของแต่ละฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติ เช่นจุด (3,5) บนกราฟ หมายถึง องค์ประกอบ ของฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติ δ(x-3) โดยที่ "δ" คือ ฟังก์ชันครอเนกเคอร์เดลต้า (Kronecker delta function) ที่มีขนาดเท่ากับ 5 หากมองเช่นนี้แล้ว กราฟต่อเนื่องของฟังก์ชันจำนวนจริงบนระนาบ ก็คือผลรวมของฟังก์ชันฐานจำนวนไม่จำกัด เพราะหากฟังก์ชันฐานมีจำนวนจำกัด เส้นกราฟก็ควรจะมีรูปร่างเป็นจุด ๆ แทนที่จะเป็นเส้นต่อเนื่อง

## ตารางการแปลงเชิงปริพันธ์

ตารางการแปลงเชิงปริพันธ์


การแปลง
สัญลักษณ์
K
t1
t2
K^{-1}
u1
u2



การแปลงฟูรีเย (Fourier transform)
\mathcal{F}
\frac{e^{-iut}}{\sqrt{2 \pi}}
-\infty\,
\infty\,
\frac{e^{+iut}}{\sqrt{2 \pi}}
-\infty\,
\infty\,



การแปลงฮาร์ทลีย์ (Hartley transform)
\mathcal{H}
\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}
-\infty\,
\infty\,
\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}
-\infty\,
\infty\,



การแปลงเมลลิน (Mellin transform)
\mathcal{M}
t^{u-1}\,
0\,
\infty\,
\frac{t^{-u}}{2\pi i}\,
c\!-\!i\infty
c\!+\!i\infty



การแปลงลาปลาสสองด้าน (Two-sided Laplace<br>transform)
\mathcal{B}
e^{-ut}\,
-\infty\,
\infty\,
\frac{e^{+ut}}{2\pi i}
c\!-\!i\infty
c\!+\!i\infty



การแปลงลาปลาส (Laplace transform)
\mathcal{L}
e^{-ut}\,
0\,
\infty\,
\frac{e^{+ut}}{2\pi i}
c\!-\!i\infty
c\!+\!i\infty


การแปลงแฮงเคิล (Hankel transform)

t\,J_\nu(ut)
0\,
\infty\,
u\,J_\nu(ut)
0\,
\infty\,



การแปลงอาเบล (Abel transform)

\frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}}
u\,
\infty\,
\frac{-1}{\pi\sqrt{u^2\!-\!t^2}}\frac{d}{du}
t\,
\infty\,



การแปลงฮิลเบิร์ต (Hilbert transform)
\mathcal{H}il
\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}
-\infty\,
\infty\,
\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}
-\infty\,
\infty\,



การแปลงเอกลักษณ์ (Identity transform)

\delta (u-t)\,
t_1
t_2>u\,
\delta (t-u)\,
u_1\!
u_2\!>\!t




ในการแปลงกลับ ค่า c เป็นค่าคงที่ซึ่งขึ้นกับฟังก์ชันของการแปลง เช่น สำหรับการแปลงลาปลาสด้านเดียว และสองด้าน c จะต้องมีค่ามากกว่า ค่าส่วนจำนวนจริงที่มากที่สุดของค่าศูนย์ (zero) ฟังก์ชันของการแปลง

## ดูเพิ่ม
* รายชื่อการแปลง (คณิตศาสตร์)

การแปลงเชิงปริพันธ์
หมวดหมู่:คณิตวิเคราะห์