ขั้นตอนวิธีของเบลแมน-ฟอร์ด

**ขั้นตอนวิธีของเบลแมน-ฟอร์ด** () เป็นขั้นตอนวิธีที่ใช้ในการแก้ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียวสำหรับเส้นเชื่อมที่มีน้ำหนักใดๆ นอกจากนี้ขั้นตอนวิธียังสามารถตรวจพบวัฏจักรที่มีน้ำหนักรวมของเส้นเชื่อมเป็นลบ หรือที่เรียกว่า**วัฏจักรเชิงลบ** () ซึ่งทำให้ปัญหาวิถีสั้นสุดไม่นิยาม ขั้นตอนวิธีนี้ถูกคิดค้นโดยนักพัฒนาชื่อริชาร์ด เบลแมน (Richard Bellman) และเลสเตอร์ ฟอร์ด จูเนียร์ (Lester Ford Jr)

## แนวคิด
ขั้นตอนวิธีของเบลแมน-ฟอร์ดนั้นมีแนวคิดดังนี้
* ใช้ได้กับกราฟที่มีน้ำหนักของเส้นเชื่อมทั้งบวกและลบ แต่ไม่สามารถใช้ได้กับกราฟที่มีวงจรเชิงลบ
* กรณีที่ในกราฟนั้นมีวงจรเชิงลบจะแจ้งให้ผู้ใช้ทราบ
* ใช้กำหนดการพลวัต
* วิถีสั้นสุดจาก s ไป t ต้องไม่ผ่านปมซ้ำ และมีเส้นเชื่อมในวิถีอย่างมาก |v|-1 เส้น เมื่อ v แทนเส้นเชื่อมทั้งหมดในกราฟนั้น

## ขั้นตอนวิธี

ขั้นตอนวิธีของเบลแมน-ฟอร์ดนั้นอยู่ในโครงสร้างพื้นฐานที่คล้ายกับขั้นตอนวิธีของไดค์สตรา โดยมีอัตราการเติบโตของการทำงานเป็น "O(|V||E|)" เมื่อ |V| และ |E| คือจำนวนปมและเส้นเชื่อมของกราฟนั้นๆ ตามลำดับ

เริ่มต้นพิจารณาจากแนวคิดพื้นฐานง่ายๆว่าเส้นทางที่สั้นที่สุดที่ไปยังปมทั้งหมดนั้นเป็นอนันต์ จากนั้นทำสัญลักษณ์ว่าได้ความยาวของเส้นทางเป็นศูนย์ ดังภาพ


ไฟล์:Bf2.png


จากนั้นพยายามเดินไปตามเส้นทางในทุกเส้นเชื่อมของกราฟระบุทิศทาง ถ้าพบว่าเมื่อไปตามเส้นเชื่อมนั้นแล้วตึงก็ให้พยายามที่จะผ่อนมัน


ไฟล์:Bf3.png


การผ่อนเส้นเชื่อมของกราฟ หมายถึง การตรวจสอบเพื่อดูว่าเส้นทางที่ไปยังปมนั้นไม่สามารถสั้นลงได้(เมื่อดูจากน้ำหนักของแต่ละเส้นเชื่อม) จากตัวอย่างกราฟข้างต้น เริ่มแรกเมื่อตรวจสอบที่เส้นทางจากปมที่ 1 ไปยังปมที่ 2 พบว่ามีน้ำหนักเส้นเชื่อมคือ 6 ซึ่งเป็นความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดจากปมที่ 1 ไปยังปมที่ 2 ที่มีค่าน้อยกว่าอนันต์ ดังนั้นจึงแทนค่าอนันต์ในปมที่ 2 ด้วย 6 และเมื่อพิจารณาเส้นทางจากปมที่ 1 ไปยังปมที่ 4 พบว่ามีน้ำหนักเส้นเชื่อมคือ 7 ซึ่งเป็นความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดจากปมที่ 1 ไปยังปมที่ 4 ที่มีค่าน้อยกว่าอนันต์ ดังนั้นจึงแทนค่าอนันต์ในปมที่ 4 ด้วย 7

ทำตามขั้นตอนนี้ไปเรื่อนๆเป็นจำนวน n - 1 ครั้ง เมื่อ n แทนจำนวนปมทั้งหมดในกราฟที่พิจารณา ดังนั้นในตัวอย่างนี้จะต้องใช้ขั้นตอนดังกล่างนี้ 4 ครั้ง ดังภาพ


ไฟล์:Bf4.png
ไฟล์:Bf5.png
ไฟล์:Bf6.png


## รหัสเทียม

ข้อมูลนำเข้า คือ กราฟระบุทิศทางที่เส้นเชื่อมมีน้ำหนักที่มี v ปม

ข้อมูลส่งออก คือ ป้าย D[u] สำหรับปม u ใดๆบนกราฟ โดย D[u] คือระยะทางจากปม v ถึงปม u บนกราฟ ซึ่งกราฟนี้ต้องไม่มีวงจรเชิงลบ

  1 กำหนดให้ D[v] มีค่าเท่ากับ 0
  2 **ตั้งแต่** แต่ละปม u ไม่เท่ากับปม v ในกราฟ G
  3     กำหนดให้ D[u] มีค่าเป็นอนันต์
  4 **ตั้งแต่** i := 1 ถึง n-1
  5     **ตั้งแต่** ทุกเส้นเชื่อมที่ออกจากปม z
  6         **ถ้า** (D[u]+w(u,z))<D[z]
  7             จะให้ D[z]เก็บค่า D[u]+w(u,z) *//w(u,z) คือการดำเนินการของการผ่อนเส้นเชื่อมกราฟ*
  8         **ถ้า**ไม่มีเส้นเชื่อมใดเลยที่ถูกผ่อน
  9             จะคืนค่าระยะทางจากปม v ถึงปม u ของแต่ละปม u
 10        **ไม่เช่นนั้น**
 11            จะคืนกลับมาว่า"กราฟนี้มีวงจรเชิงลบ"

## การวิเคราะห์อัตราการเติบโต
จากรหัสเทียมข้างต้นจะพบว่าการดำเนินการของขั้นตอนวิธีของเบลแมน-ฟอร์ดนั้นจะมีการทำงานอยู่ 2 ส่วนหลัก คือ

# วงวนที่มีการวนเพื่อตรวจสอบความตึงของน้ำหนักเส้นเชื่อมในกราฟ ซึ่งจะทำงานเป็นเวลานานเท่าจำนวนเส้นเชื่อมที่มี ดังนั้น จะใช้เวลาในการทำงานส่วนนี้เป็น *O(|E|)* เมื่อ E คือจำนวนเส้นเชื่อมของกราฟหนึ่งๆ
# ส่วนการทำงานที่ต้องผ่านปมทุกปมในกราฟจะใช้เวลาทั้งหมดเป็น *O(|V|)* เมื่อ V คือจำนวนปมของกราฟหนึ่งๆ

**เพราะฉะนั้น**จึงสรุปได้ว่าชั้นตอนวิธีของเบลแมน-ฟอร์ดมีอัตราการเติบโตเท่ากับ **O(|V||E|)**

## การนำไปใช้งาน
* วิถีสั้นสุดในกราฟมีทิศทาง
* โพรโตคอลเลือกเส้นทางแบบตารางระยะทาง (RIP)

## ตัวอย่างรหัสในภาษาต่างๆ
* C
* C++ 
* Java 
* PHP 
* Python

## ดูเพิ่ม
* ULearn การออกแบบอัลกอริทึม (สมชาย ประสิทธิ์จูตระกูล)
* ภาพเคลื่อนไหว ขั้นตอนวิธีของเบลแมน-ฟอร์ด
* Bellman-ford Algorithm E-leaning(Introduction to Algorithms)
* ขั้นตอนวิธีของไดค์สตรา เป็นขั้นตอนวิธีที่ใช้ในการหาระยะทางเส้นทางสั้นสุดของคู่ปมใดๆ สำหรับกราฟที่มีความยาวของเส้นเชื่อมไม่เป็นลบ
* ขั้นตอนวิธีของจอห์นสัน เป็นขั้นตอนวิธีที่ใช้หาเส้นทางสั้นที่สุดระหว่างทุกคู่จุด ในกราฟระบุทิศทางที่มีเส้นเชื่อมน้อย ขั้นตอนวิธีนี้สามารถใช้น้ำหนักของเส้นเชื่อมเป็นจำนวนลบได้ แต่ต้องไม่มีวงรอบที่น้ำหนักติดลบอยู่ด้วย
* ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล เป็นขั้นตอนวิธีการวิเคราะห์กราฟเพื่อที่จะหาระยะทางของเส้นทางสั้นสุดในกราฟที่มีน้ำหนักของเส้นเชื่อมเป็นบวก หรือ น้ำหนักของเส้นเชื่อมเป็นลบ แต่ไม่สามารถหาได้ถ้ามีวงจรลบ

## อ้างอิง

* การออกแบบและวิเคราะห์อัลกอริทึม สมชาย ประสิทธิ์จูตระกูล 
* Algorithm Design นัทที นิภานันท์  
* Bellman-Ford_algorithm 
* Computer Programming WebBlog 
* Introduction to Algorithms
* Algorithm Design

## แหล่งข้อมูลอื่น
* การออกแบบอัลกอริทึม (สมชาย ประสิทธิ์จูตระกูล)
* ULearn การออกแบบอัลกอริทึม (สมชาย ประสิทธิ์จูตระกูล)
* Algo Wiki

หมวดหมู่:ขั้นตอนวิธีกราฟ
หมวดหมู่:ปัญหาฟังก์ชันพหุนาม
หมวดหมู่:กำหนดการพลวัต