ควอร์ไทล์

ในทางสถิติศาสตร์ **ควอร์ไทล์** () เป็นชนิดของควอนไทล์ ซึ่งแบ่งจำนวนข้อมูลออกเป็น 4 ส่วน ประมาณเท่า ๆ กัน ข้อมูลต้องเรียงจากน้อยไปมากเพื่อคำนวณหาควอร์ไทล์ ควอร์ไทล์คือรูปแบบหนึ่งของสถิติเชิงอันดับ มีควอร์ไทล์ 3 ตัวที่แบ่งข้อมูลเป็นสี่ส่วนดังนี้

* ควอร์ไทล์ที่ 1 (*Q*1) เป็นตัวเลขตรงกลางระหว่างจำนวนที่น้อยที่สุด (ค่าต่ำสุด ) และมัธยฐานของชุดข้อมูล อาจเรียกควอร์ไทล์นี้ได้ว่า*ควอร์ไทล์ล่าง* (lower quartile) หรือ *ควอนไทล์เชิงประจักษ์ที่ 25* (25th empirical quantile) เพราะ 25% ของข้อมูลทั้งหมดอยู่ไต้จุดนี้
* ควอร์ไทล์ที่ 2 (*Q*2) เป็นมัธยฐานของชุดข้อมูล ดังนั้น 50% ของข้อมูลอยู่ใต้จุดนี้
* ควอร์ไทล์ที่ 3 (*Q*3) เป็นตัวเลขตรงกลางระหว่างมัธยฐานและจำนวนที่มากที่สุด (ค่าสูงสุด  ) ของชุดข้อมูล อาจเรียกควอร์ไทล์นี้ได้ว่า*ควอร์ไทล์บน* (upper quartile) หรือ *ควอนไทล์เชิงประจักษ์ที่ 75* (75th empirical quantile) เพราะ 75% ของข้อมูลทั้งหมดอยู่ไต้จุดนี้
รวมถึงค่ามากสุด และค่าน้อยสุดของข้อมูล (ซี่งก็เป็นควอร์ไทล์ด้วย) ทั้ง 3 ควอร์ไทล์ที่ได้กล่าวไว้ข้างบนบอกการสรุปตัวเลข 5 ตัวของข้อมูล การสรุปนี้เป็นสิ่งสำคัญในสถิติศาสตร์ เพราะสามารถบ่งบอกข้อมูลได้ทั้งจุดศูนย์กลาง และการกระจาย การรู้ควอร์ไทล์ที่ 1 และควอร์ไทล์ที่ 3 บ่งบอกข้อมูลให้ทราบว่าข้อมูลมีการกระจายตัวมากแค่ไหน และชุดข้อมูลจะเบ้ไปทางไหนทางหนึ่ง เพราะว่าควอร์ไทล์นั้นแบ่งจำนวนข้อมูลเท่า ๆ กัน พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ข้าง ๆ โดยปกติจะไม่เท่ากัน (ต.ย. โดยปกติ *Q*3-*Q*2 ≠ *Q*2-*Q*1) พิสัยระหว่างควอร์ไทล์(IQR) ถูกนิยามไว้ว่าผลต่างระหว่างเปอร์เซนต์ไทล์ที่ 75 และ 25 หรือ *Q*3-*Q*1 ขณะที่ค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดก็บอกการกระจายข้อมูล ควอร์ไทล์ที่ 1 และควอร์ไทล์ที่ 3 สามารถให้ข้อมูลที่ละเอียดขึ้นกับตำแหน่งของข้อมูลนั้น ๆ การมีอยู่ของค่าผิดปกติในข้อมูล และผลต่างของการกระจายระหว่างข้อมูลตรงกลาง 50% กับข้อมูลรอบนอก

## นิยาม
[thumb|[แผนภาพกล่อง (โดยมีควอร์ไทล์ และพิสัยระหว่างควอร์ไทล์) และ ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (pdf) ของประชากรปกติ N (0,1σ2)]]

## วิธีการคำนวณ
### การกระจายข้อมูลแบบไม่ต่อเนื่อง
สำหรับการกระจายข้อมูลแบบไม่ต่อเนื่อง ไม่มีวิธีหาควอร์ไทล์ที่ตายตัว

#### วิธีที่ 1
# ใช้มัธยฐานในการเแบ่งข้อมูลที่เรียงแล้วเป็นครึ่ง ๆ 
#* ถ้าข้อมูลที่เรียงแล้วจำนวนข้อมูลเป็นจำนวนคี่ **ไม่นับ**มัธยฐาน (ค่าที่อยู่ตรงกลางในข้อมูลที่เรียงแล้ว) ทุกข้าง
#* ถ้าข้อมูลที่เรียงแล้วจำนวนข้อมูลเป็นจำนวนคู่ ให้แบ่งข้อมูลเป็นครึ่งเท่า ๆ กัน
# มัธยฐานของข้อมูลครึ่งล่างคือควอร์ไทล์ล่าง มัธยฐานของข้อมูลครึ่งบนคือควอร์ไทล์บน

วิธีนี้ถูกใช้โดย เครื่องคิดเลขแผนภาพกล่อง TI-83 และฟังก์ชัน "1-Var Stats" อีกทั้งสสวท. ก็นำวิธีนี้ไปใช้ในการสอนแผนภาพกล่อง

#### วิธีที่ 2
# ใช้มัธยฐานในการเแบ่งข้อมูลที่เรียงแล้วเป็นครึ่ง ๆ 
#* ถ้าข้อมูลที่เรียงแล้วจำนวนข้อมูลเป็นจำนวนคี่ **นับ**มัธยฐาน (ค่าที่อยู่ตรงกลางในข้อมูลที่เรียงแล้ว) ทุกข้าง
#* ถ้าข้อมูลที่เรียงแล้วจำนวนข้อมูลเป็นจำนวนคู่ ให้แบ่งข้อมูลเป็นครึ่งเท่า ๆ กัน
# มัธยฐานของข้อมูลครึ่งล่างคือควอร์ไทล์ล่าง มัธยฐานของข้อมูลครึ่งบนคือควอร์ไทล์บน

ค่าที่หาจากวิธีนี้สามารถเรียกได้ว่า "Tukey's hinge" ดูเพิ่มที่มิดฮินจ์

#### วิธีที่ 3
# ถ้าจำนวนข้อมูลที่มีเป็นจำนวนคู่ แล้ววิธีที่สามก็ทำเหมือนทั้งสองวิธีก่อนหน้า
# ถ้าจำนวนข้อมูลที่มีเป็นจำนวนคี่ (4*n* + 1) แล้วควอร์ไทล์ล่างคือ 25% ของค่าจำนวนที่*n* บวก 75% ของค่าจำนวนที่ (*n*+1) และ ควอร์ไทล์บนคือ 75% ของค่าจำนวนที่ (3*n*+1) บวก 25% ของค่าจำนวนที่ (3*n*+2) 
# ถ้าจำนวนข้อมูลที่มีเป็นจำนวนคี่ (4*n* + 3) แล้วควอร์ไทล์ล่างคือ 75% ของค่าจำนวนที่ (*n*+1) บวก 25% ของค่าจำนวนที่ (*n*+2) และ ควอร์ไทล์บนคือ 25% ของค่าจำนวนที่ (3*n*+2) บวก 75% ของค่าจำนวนที่ (3*n*+3) 

#### วิธีที่ 4
ถ้าเรามีชุดข้อมูลที่เรียงแล้ว x_1,x_2,...,x_n เราสามารถคำนวณเพื่อหาควอนไทล์เชิงประจักษ์ที่ p ได้ถ้า x_i อยู่ในควอนไทล์ที่ i/(n+1) ถ้าเรากำหนดให้ส่วนจำนวนเต็มของ a โดย [a] แล้วฟังก์ชันควอนไทล์เชิงประจักษ์คือ 

q (p) =x_{(k)}+\alpha (x_{(k+1)}-x_{(k)})

เมื่อ k = [p (n+1)] และ \alpha=p (n+1) -[p (n+1)]

เพื่อที่จะหาควอร์ไทล์ที่ 1, 2, 3 ของชุดข้อมูล เราก็หา q (0.25), q (0.5) และ q (0.75) ตามลำดับ

#### ตัวอย่างที่ 1
ข้อมูลที่เรียงแล้ว: 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49

#### ตัวอย่างที่ 2
ข้อมูลที่เรียงแล้ว: 7, 12, 36, 39, 40, 41

จะสังเกตว่า ถ้าจำนวนข้อมูลเป็นจำนวนคู่ ทั้ง 3 วิธีแรกจะให้ผลที่เหมือนกัน

## อ้างอิง

หมวดหมู่:คณิตศาสตร์
หมวดหมู่:สถิติศาสตร์
หมวดหมู่:4 (จำนวน)