การยกกำลัง

**การยกกำลัง** เป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ที่มีการเขียนอยู่ในรูป *<math>b^{n}</math>* ซึ่งเกี่ยวข้องกับตัวเลขสองจำนวน คือ *[[ฐาน (การยกกำลัง)|ฐาน]]* b และ *เลขชี้กำลัง* หรือ *กำลัง* n ซึ่งอ่านว่า "b ยกกำลัง n" เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก  การยกกำลังจึงเป็นการคูณซ้ำ ๆ กันของฐาน ซึ่งก็คือ *<math>b^{n}</math>* เป็นผลคูณจากการคูณฐานซ้ำกันเป็นจำนวน n ครั้ง

:b^n = \underbrace{b \times b \times \dots \times b \times b}_{n \text{ times}}

เลขชี้กำลังมักจะแสดงเป็นตัวยก ซึ่งอยู่ทางด้านขวาของฐานในกรณีที่ *<math>b^{n}</math>* เรียกว่า "*<math>b</math>* ยกที่ *<math>n</math>* กำลัง" "*<math>b</math>* (ยก)กำลัง *<math>n</math>*" "*<math>n</math>* ที่กำลัง *<math>b</math>*" "*<math>b</math>* ที่ *<math>n</math>* กำลัง" หรือที่มีการเรียกโดยสั้นที่สุดว่า "*<math>b</math>* ที่ *<math>n</math>*"

เริ่มต้นจากข้อเท็จจริงพื้นฐานที่ระบุไว้ข้างต้นว่า จำนวนเต็มบวก n ใด ๆ ซึ่ง b^n คือจำนวน n ครั้งของ b ที่คูณกัน คุณสมบัติอื่น ๆ ของการยกกำลังจะตามมาโดยตรง โดยเฉพาะ


\begin{align}
b^{n+m} & = \underbrace{b \times \dots \times b}_{n+m \text{ times}} \\[1ex]
& = \underbrace{b \times \dots \times b}_{n \text{ times}} \times \underbrace{b \times \dots \times b}_{m \text{ times}} \\[1ex]
& = b^n \times b^m
\end{align}


กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อมีการคูณฐานที่ยกกำลังเป็นเลขชี้กำลังจำนวนหนึ่ง โดยคูณกับฐานที่มีค่าเท่ากันที่ยกกำลังเป็นเลขชี้กำลังอีกจำนวนหนึ่ง การคูณนั้นจะเป็นการนำเลขชี้กำลังของทั้งสองมาบวกกัน จากกฎพื้นฐานที่สามารถนำเลขชี้กำลังมาบวกกันได้ จึงสามารถสรุปได้ว่า b^0 จะต้องมีค่าเท่ากับ 1 เนื่องจาก n ใด ๆ ที่ b^0 \cdot b^n = b^{0+n} = b^n และเมื่อนำ b^n ไปหารทั้งสองข้าง จะได้ b^0 = b^n / b^n = 1

ข้อเท็จจริงที่ว่า b^1 = b สามารถได้ผลลัพธ์ที่เหมือนกันจากกฎเดียวกันได้ ยกตัวอย่างเช่น  (b^1)^3 = b^1 \cdot b^1 \cdot b^1 = b^{1+1+1} = b^3  เมื่อเอารากที่สามออกทั้งสอง ข้างจะได้ b^1 = b

คำจำกัดความของการยกกำลัง สามารถขยายเพื่อใช้กับเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนจริง หรือจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ ได้ ส่วนการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็ม ก็สามารถกำหนดโครงสร้างพีชคณิตที่มีความหลากหลายได้ ซึ่งรวมไปถึงเมทริกซ์ด้วย

การยกกำลังมีการใช้งานในความรู้สาขาอื่น ๆ อย่างกว้างขวางในหลายด้าน เช่น เศรษฐศาสตร์ ชีววิทยา เคมี ฟิสิกส์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ในการใช้ในงานคำนวณ เช่น ดอกเบี้ยทบต้น การเพิ่มประชากร จลนพลศาสตร์เคมี พฤติกรรมของคลื่น และการเข้ารหัสลับแบบกุญแจอสมมาตร เป็นต้น

thumb|315px|กราฟของสมการ ''y'' = ''a''<sup>''x''</sup> ในฐาน ''a'' ต่าง ๆ : ฐาน 10 (<span style="color:green">สีเขียว</span>), ฐาน ''e'' (<span style="color:red">สีแดง</span>), ฐาน 2 (<span style="color:blue">สีน้ำเงิน</span>), และฐาน ½ (<span style="color:cyan">สีฟ้า</span>) เส้นโค้งแต่ละเส้นผ่านจุด (0, 1) เนื่องจากจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ใด ๆ ยกกำลัง 0 จะได้ 1 และที่ ''x'' = 1 ค่าของ ''y'' จะเท่ากับฐาน เนื่องจากจำนวนใด ๆ ยกกำลัง 1 จะได้จำนวนเดิม

## เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม
การดำเนินการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็ม เป็นข้อกำหนดที่จำเป็นของพีชคณิตมูลฐานเท่านั้น

### เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก
นิพจน์ *a*2 = *a*·*a* เรียกว่า square หมายถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ดูเพิ่มที่การยกกำลังสอง) เพราะรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวด้านละ *a* หน่วย มีพื้นที่เท่ากับ *a*2 ตารางหน่วย

นิพจน์ *a*3 = *a*·*a*·*a* เรียกว่า cube หมายถึงทรงลูกบาศก์ (ดูเพิ่มที่การยกกำลังสาม) เพราะทรงลูกบาศก์ที่มีด้านยาวด้านละ *a* หน่วย มีปริมาตรเท่ากับ *a*3 ลูกบาศก์หน่วย

เลขชี้กำลังเป็นตัวบ่งบอกว่าจะนำฐานมาคูณกันกี่ตัว (ไม่ใช่คูณกันกี่ครั้ง) ตัวอย่างเช่น 35 = 3·3·3·3·3 = 243 ดังนี้ฐาน 3 ปรากฏ 5 ครั้งในการคูณเพราะเลขชี้กำลังเป็น 5; ค่า 243 เป็น *กำลัง* ของ 3 คือผลลัพธ์ที่ได้จาก 3 ยกกำลัง 5

การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก อาจนิยามได้จากความสัมพันธ์เวียนเกิด *a**n*+1&nbsp;=&nbsp;*a*·*a**n* โดยให้เงื่อนไขเริ่มต้นเป็น *a*1&nbsp;=&nbsp;*a*

### เลขชี้กำลังเป็น 0 หรือ 1
เนื่องจาก *a*1 หมายถึงผลคูณของ *a* เพียง 1 ตัว ซึ่งถูกนิยามให้มีค่าเท่ากับ *a*

จากความสัมพันธ์เวียนเกิดอีกรูปแบบหนึ่ง *a**n* − 1 = *a**n*/*a* เมื่อสมมติให้ *n* = 1 จะได้ *a*0 = 1

หรือกล่าวอีกทางหนึ่งว่า กำหนดให้ *n*, *m*, และ *n*−*m* เป็นจำนวนเต็มบวก (โดยที่ *a* ไม่เท่ากับศูนย์) จะได้ความสัมพันธ์
::  \frac{a^n}{a^m} = a^{n - m}
ในกรณีที่ *n* และ *m* มีค่าเท่ากัน สมการดังกล่าวจะกลายเป็น
::  1 = \frac{a^n}{a^n} = a^{n - n} = a^0 
เนื่องจากตัวเศษและตัวส่วนมีค่าเท่ากัน ดังนั้นจึงสามารถนิยามค่าของ *a*0 = 1 นำไปสู่กฎสองประการ
* จำนวนใด ๆ ยกกำลัง 1 จะได้ตัวมันเอง
* จำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ ยกกำลัง 0 จะได้ 1 ซึ่งเป็นการตีความมาจากผลคูณว่าง สำหรับกรณี 00 ดูเพิ่มที่หัวข้อ 0 ยกกำลัง 0

### ความหมายทาง[[คณิตศาสตร์เชิงการจัด]]
สำหรับ *n* และ *m* ที่เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ (จำนวนเต็มบวกรวมทั้งศูนย์) เลขยกกำลัง *n<sup>m</sup>* จะหมายถึงภาวะเชิงการนับ (cardinality) ของเซตของ  (*m*-tuple) ที่ได้จากเซตที่มีสมาชิก *n* ตัว หรือพูดอีกนัยหนึ่งคือ เป็นจำนวนของคำที่มีตัวอักษร *m* ตัว จากชุดตัวอักษร *n* ตัว

ดูเพิ่มเติมที่หัวข้อการยกกำลังบนเซต

### เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ
จากนิยาม จำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ เมื่อยกกำลังด้วย −1 จะทำให้เกิดส่วนกลับหรือตัวผกผันการคูณ
:: a^{-1} = \frac{1}{a}
จึงสามารถนิยามว่า
:: a^{-n} = (a^n) ^{-1} = \frac{1}{a^n}
เมื่อ *a* เป็นจำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์และ *n* เป็นจำนวนเต็มบวก แต่สำหรับจำนวน 0 ยกกำลังจำนวนลบ จะทำให้เกิดกรณีการหารด้วยศูนย์ จึงไม่มีการนิยาม

นิยามของ *a*−*n* สำหรับค่า *a* ใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ทำให้เอกลักษณ์ *a**m**a**n*&nbsp;=&nbsp;*a**m+n* เป็นจริงบนทุกช่วงจำนวนเต็มของ *m* กับ *n* (ทั้งบวก ลบ และศูนย์) จากเดิมเป็นจริงเฉพาะเมื่อ *m* กับ *n* เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการใช้เอกลักษณ์นี้โดยกำหนดให้ *m*&nbsp;=&nbsp;*−n* จะทำให้
:: a^{-n} \, a^{n} = a^{-n\, +\, n} = a^0 = 1
เมื่อ *a*0 ได้นิยามเช่นนั้นแล้ว เป็นเหตุให้นำไปสู่การนิยาม *a*−*n*&nbsp;=&nbsp;1/*a**n* ดังที่ได้กล่าวแล้ว

การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ อาจสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการหารซ้ำ ๆ จาก 1 ด้วยฐานก็ได้ ตัวอย่างเช่น
:: 3^{-4} = ( ( (1/3) /3) /3) /3 = \frac{1}{81} = \frac{1}{3^{4}}

### เอกลักษณ์และสมบัติ
เอกลักษณ์สำคัญที่สุดของการยกกำลังที่สอดคล้องกับกรณีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มคือ
:: a^{m + n} = a^m \cdot a^n
เอกลักษณ์นี้จึงเป็นผลที่ตามมา
:: a^{m - n} = \frac{a^m}{a^n};\;a \ne 0
และ
::  (a^m) ^n = a^{m \cdot n}
เอกลักษณ์พื้นฐานอีกอันหนึ่งคือ
::  (a \cdot b) ^n = a^n \cdot b^n

ในขณะที่การบวกและการคูณมีสมบัติการสลับที่ เช่น  และ  แต่การยกกำลังไม่มีสมบัติการสลับที่ เช่น  แต่ 

และเช่นเดียวกัน ในขณะที่การบวกและการคูณมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เช่น  และ  แต่การยกกำลังไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ตัวอย่างเช่น "23 ยกกำลัง 4" จะได้ผลลัพธ์เป็น 84 หรือเท่ากับ  แต่ "2 ยกกำลัง 34" จะได้ผลลัพธ์เป็น 281 หรือ  ถ้าหากเขียนเลขยกกำลังซ้อนกันโดยไม่ใส่วงเล็บ ลำดับของการคำนวณจะทำจากตัวบนสุดมาก่อน นั่นคือ
:: a^{b^c} = a^{ (b^c)} \ne (a^b) ^c

### กำลังของ 10

ในระบบเลขฐานสิบ กำลังจำนวนเต็มของ 10 สามารถเขียนแทนได้ด้วยเลข 1 ตามด้วยหรือนำโดยเลข 0 จำนวนหนึ่ง ซึ่งพิจารณาจากเครื่องหมายและขนาดของเลขชี้กำลัง ตัวอย่างเช่น 103 = 1,000 และ 10−4 = 0.0001 เป็นต้น

การยกกำลังด้วยฐาน 10 ถูกใช้ในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ เพื่อใช้อธิบายจำนวนขนาดใหญ่หรือเล็กมาก ตัวอย่างเช่น จำนวน 299,792,458 เมตรต่อวินาที (ความเร็วแสงในสุญญากาศ) สามารถเขียนได้เป็น 2.99792458 m/s หรือเท่ากับประมาณ 2.998 m/s

คำอุปสรรคในหน่วยเอสไอที่มีพื้นฐานบนกำลังของ 10 ก็ถูกใช้อธิบายปริมาณที่ใหญ่หรือเล็กมากได้เช่นกันเช่น คำอุปสรรค *กิโล* หมายถึง 103 = 1,000 ดังนั้น 1 กิโลเมตรจึงเท่ากับ 1,000 เมตร

### กำลังของ 2
กำลังจำนวนเต็มบวกของ 2 เป็นสิ่งที่สำคัญในวิทยาการคอมพิวเตอร์ และ คณิตศาสตร์ประยุกต์ เพราะว่าตัวแปรฐานสองขนาด *n* บิต จะมีค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด 2*n* ค่า (1 บิต จะเป็นไปได้ 2 สถานะ คือ 1. ปิด หรือ 2. เปิด)

กำลังของ 2 ก็เป็นสิ่งสำคัญในทฤษฎีเซต เนื่องจากเซตเซตหนึ่งที่มีสมาชิก *n* ตัว จะมีเซตกำลังที่มีสมาชิก 2*n* ตัว (เซตกำลังคือเซตของเซตย่อยทั้งหมดจากเซตต้นแบบ)

กำลังจำนวนเต็มลบของ 2 ก็ใช้กันทั่วไป เช่น 2−1 =  หมายถึงครึ่ง (half), 2−2 =  คือหนึ่งในสี่ (quarter) เป็นต้น

ในระบบเลขฐานสอง กำลังจำนวนเต็มของ 2 ก็สามารถเขียนแทนได้ด้วยเลข 1 แล้วตามด้วยหรือนำโดยเลข 0 ซึ่งพิจารณาจากเครื่องหมายและขนาดของเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง 23 เขียนในเลขฐานสองว่า 10002 เป็นต้น

### กำลังของ 1
กำลังจำนวนเต็มของ 1 ทุกจำนวนมีค่าเท่ากับ 1 นั่นคือ 1*n* = 1

### กำลังของ 0
ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนบวก เลขยกกำลังของ 0 จะได้ 0 นั่นคือ 0*n* = 0; *n* > 0

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบ เลขยกกำลังของ 0 จะไม่นิยาม เนื่องจากทำให้เกิดการหารด้วยศูนย์

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ ผู้แต่งตำราบางท่านได้นิยามว่า 00 = 1 ในขณะที่บางท่านก็คงไว้ว่าไม่นิยาม ดูที่หัวข้อ 0 ยกกำลัง 0

### กำลังของ −1
ถ้า *n* เป็นจำนวนคู่ จะได้ (−1) *n* = 1

ถ้า *n* เป็นจำนวนคี่ จะได้ (−1) *n* = −1

จากสมบัติดังกล่าว กำลังของ −1 จึงมีประโยชน์ในการแสดงลำดับที่มีการสลับเครื่องหมาย ส่วนกรณีที่คล้ายกันสำหรับจำนวนเชิงซ้อน *i* ดูที่หัวข้อกำลังของจำนวนเชิงซ้อน

### เลขชี้กำลังขนาดใหญ่
ลิมิตของลำดับของกำลังของจำนวนที่มากกว่า 1 จะลู่ออก หมายความว่าจะมีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ โดยไม่จำกัด
:: *a**n* → ∞ เมื่อ *n* → ∞ ถ้า *a* > 1
อาจเรียกได้ว่า *a* ยกกำลัง *n* จะมีค่าเข้าใกล้อนันต์ถ้า *n* มีค่าเข้าใกล้อนันต์ เมื่อ *a* มีค่ามากกว่า 1

สำหรับกำลังของจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 1 ลิมิตของลำดับจะลู่เข้าค่า 0
:: *a**n* → 0 เมื่อ *n* → ∞ ถ้า |*a*| *n* = 1 สำหรับทุกค่าของ *n* ถ้า *a* = 1

แต่หากฐาน *a* มีค่าเข้าใกล้ 1 พร้อมกับเลขชี้กำลังมีค่าเข้าใกล้อนันต์ ลิมิตของมันไม่สำคัญว่าจะต้องเท่ากับ 1 ตัวอย่างกรณีหนึ่งที่สำคัญคือ
:: (1 + *n*−1) *n* → *e* เมื่อ *n* → ∞
ดูเพิ่มในกำลังของ ''e''

## กำลังจำนวนจริงของจำนวนจริงบวก
การยกกำลังจำนวนจริงบวก ด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม สามารถคำนวณได้สองวิธีนั่นคือ
* เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ สามารถนิยามให้เป็นรากที่ ''n'' และเลขชี้กำลังที่ไม่เป็นศูนย์สามารถนิยามได้จากความต่อเนื่อง
* เลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง สามารถนิยามให้เป็นลอการิทึมธรรมชาติโดยใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

เอกลักษณ์และสมบัติที่แสดงไว้ด้านบนซึ่งนิยามไว้สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ก็ยังคงเป็นจริงอยู่สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนจริงบวกที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม อย่างไรก็ตามเอกลักษณ์นี้
::  (a^r) ^s = a^{r\cdot s}
ไม่สามารถขยายแนวคิดได้อย่างคงเส้นคงวาถ้า *a* เป็นจำนวนจริงลบ ดูเพิ่มที่หัวข้อรากที่ ''n'' ที่เป็นลบ ความผิดพลาดของเอกลักษณ์นี้เป็นมูลฐานของปัญหาที่เกี่ยวกับกำลังของจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งได้อธิบายไว้แล้วที่หัวข้อความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม

### รากที่ n มุขสำคัญ
right|thumb|300px|จากบนลงล่าง: ''x''<sup>1/8</sup>, ''x''<sup>1/4</sup>, ''x''<sup>1/2</sup>, ''x''<sup>1</sup>, ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>4</sup>, ''x''<sup>8</sup>

รากที่ *n* ของจำนวน *a* คือจำนวน *x* ที่ซึ่ง *x**n* = *a*

ถ้า *a* เป็นจำนวนจริงบวกและ *n* เป็นจำนวนเต็มบวก จะมีคำตอบสำหรับ *x**n* = *a* ที่เป็นจำนวนจริงบวกหนึ่งจำนวนอย่างแน่นอน คำตอบดังกล่าวเรียกว่า รากที่ *n* มุขสำคัญของ *a* (principal *n*-th root) เขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ \sqrt[n]{x} เมื่อ \sqrt{\, \, } คือกรณฑ์ หรือเขียนอีกรูปแบบหนึ่งเป็น *a*1/*n* เช่น 41/2 = 2, 81/3 = 2

เมื่อพูดถึงรากที่ *n* ของจำนวนจริงบวก *a* มักจะหมายถึงรากที่ *n* มุขสำคัญของ *a* ดังที่ได้กล่าวแล้ว

### เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ
กำลังของจำนวนจริงบวก *a* ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ *m*/*n* ในพจน์น้อยที่สุด สอดคล้องกับ
:: a^{m/n} = \left (a^m\right) ^{1/n} = \sqrt[n]{a^m}
เมื่อ *m* เป็นจำนวนเต็มและ *n* เป็นจำนวนเต็มบวก

### กำลังของ e

e หรือค่าคงตัวของออยเลอร์ เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญค่าหนึ่ง มีค่าประมาณ 2.718 และเป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ ใช้เป็นแนวทางนำไปสู่การนิยามการยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังไม่เป็นจำนวนเต็ม ค่าคงตัวนี้นิยามโดยลิมิตต่อไปนี้ ซึ่งเลขชี้กำลังมีค่าเข้าใกล้อนันต์ในขณะที่ฐานมีค่าเข้าใกล้ 1
:: e =\lim_{n \rightarrow \infty} \left (1+\frac 1 n \right) ^n

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งนิยามโดยลิมิตต่อไปนี้
:: e^x =\lim_{n \rightarrow \infty} \left (1+\frac x n \right) ^n
มี *x* เป็นเลขชี้กำลังเพิ่มเข้ามา และสอดคล้องกับเอกลักษณ์การยกกำลัง
:: e^{x+y} = e^{x} \cdot e^{y}

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังนิยามขึ้นสำหรับ *x* ที่เป็นจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด นอกจากนี้ก็สามารถขยายการยกกำลังไปบนสิ่งอื่นที่ไม่ใช่จำนวนได้เช่นเมทริกซ์จัตุรัส อย่างไรก็ตามเอกลักษณ์การยกกำลังที่ยกมาจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ *x* และ *y* สามารถสลับที่กันได้เท่านั้น

การพิสูจน์อย่างสั้นว่า *e* ยกกำลังจำนวนเต็มบวก *k* เหมือนกับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง *e**k* แสดงได้ดังนี้
:: \begin{align}
(e) ^k &= \left[\lim_{n \rightarrow \infty} \left (1+\frac{1}{n} \right) ^n\right]^k = \lim_{n \rightarrow \infty} \left[\left (1+\frac{1}{n} \right) ^n\right]^k \\
&= \lim_{n \rightarrow \infty} \left (1+\frac k {n\cdot k} \right) ^{n \cdot k} = \lim_{n \cdot k \rightarrow \infty} \left (1+\frac k {n\cdot k} \right) ^{n \cdot k} \\
&= \lim_{m \rightarrow \infty} \left (1+\frac k m \right) ^m = e^k
\end{align}
แสดงให้เห็นว่า *e**x*+*y* สอดคล้องกับเอกลักษณ์การยกกำลังเมื่อ *x* และ *y* เป็นจำนวนเต็มบวก ผลจากการพิสูจน์ยังคงสอดคล้องสำหรับจำนวนทุกจำนวนด้วย ไม่เพียงแค่จำนวนเต็มบวก

### เลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง
เนื่องจากจำนวนจริงสามารถประมาณค่าได้ด้วยจำนวนตรรกยะ การยกกำลังด้วยจำนวนจริง *x* ทุกจำนวนจึงสามารถนิยามได้ด้วยความต่อเนื่องด้วยกฎดังนี้
::  b^x = \lim_{r \to x} b^r\quad (r\in\mathbb Q, \, x\in\mathbb R) 
ลิมิตดังกล่าวซึ่ง *r* ที่มีค่าเข้าใกล้ *x* ถูกนำมาแทนที่เฉพาะจำนวนตรรกยะ *r*

ยกตัวอย่าง ถ้า
:: x \approx 1.732
ดังนั้น
:: 5^x \approx 5^{1.732} = 5^{433/250} = \sqrt[250]{5^{433}} \approx 16.241

การยกกำลังด้วยจำนวนจริงโดยปกติก็สามารถทำให้สำเร็จได้ด้วยลอการิทึม แทนที่จะใช้ลิมิตของจำนวนตรรกยะ

ลอการิทึมธรรมชาติ ln (*x*) เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง *e**x* ซึ่งนิยามไว้สำหรับ *b* > 0 และสอดคล้องกับเงื่อนไข
:: b = e^{\ln b}\, 
ถ้า *b**x* ถูกนิยามขึ้นโดยยังคงรักษากฎต่าง ๆ ของลอการิทึมและการยกกำลัง จะได้ว่า
:: b^x = (e^{\ln b}) ^x = e^{x \cdot\ln b}
สำหรับจำนวนจริง *x* แต่ละจำนวน

สิ่งนี้สามารถใช้เป็นนิยามทางเลือกของการยกกำลังด้วยจำนวนจริง *b**x* และสอดคล้องกับวิธีการใช้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะกับความต่อเนื่อง นิยามดังกล่าวเป็นวิธีการปกติสามัญในบริบทของจำนวนเชิงซ้อนอีกด้วย

## รากที่ n ที่เป็นลบ
กำลังของจำนวนจริงบวกจะมีค่าเป็นจำนวนจริงบวกเสมอ อย่างไรก็ตาม คำตอบของสมการ *x*2 = 4 อาจเป็น 2 หรือ −2 ก็ได้ ค่ามุขสำคัญของ 41/2 คือ 2 แต่ −2 ก็เป็นรากที่สองที่ถูกต้องอีกค่าหนึ่งด้วย หากนิยามของการยกกำลังของจำนวนจริงขยายแนวคิดให้มีผลลัพธ์เป็นจำนวนลบได้ ผลของการยกกำลังอาจลักลั่น

ถ้า *n* เป็นจำนวนคู่ จากสมการ *x**n* = *a* ถ้า *a* เป็นบวกจะมีสองคำตอบ ได้แก่รากที่ *n* ที่เป็นบวกและลบ แต่ถ้า *a* เป็นลบจะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง

ถ้า *n* เป็นจำนวนคี่ จากสมการ *x**n* = *a* จะมีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงหนึ่งจำนวน ถ้า *a* เป็นบวกก็จะได้คำตอบนั้นเป็นบวก และถ้า *a* เป็นลบก็จะได้คำตอบนั้นเป็นลบ

สำหรับเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนตรรกยะ *m*/*n* ในพจน์น้อยที่สุด ถ้า *m* เป็นจำนวนคู่ ผลลัพธ์จะเป็นบวก; ในกรณีที่ *a* เป็นลบ ถ้า *m* กับ *n* เป็นจำนวนคี่ ผลลัพธ์จะเป็นลบ; ในกรณีที่ *a* เป็นบวกและ *n* เป็นจำนวนคู่ ผลลัพธ์อาจเป็นบวกหรือลบอย่างใดอย่างหนึ่ง ตัวอย่างเช่น (−27) 1/3&nbsp;=&nbsp;−3, (−27) 2/3&nbsp;=&nbsp;9, 43/2 มีสองคำตอบคือ 8 กับ −8 และเนื่องจากไม่มีจำนวนจริง *x* ที่ทำให้ *x*2&nbsp;=&nbsp;−1 ดังนั้นนิยามของ *a**m*/*n* ในกรณีที่ *a* เป็นลบและ *n* เป็นจำนวนคู่ จึงจำเป็นต้องใช้หน่วยจินตภาพ *i* เข้ามาเกี่ยวข้อง

ไม่ว่าวิธีการใช้ลอการิทึมหรือเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ ก็ไม่สามารถนิยาม *a**r* ให้เป็นจำนวนจริงได้ สำหรับ *a* ที่เป็นจำนวนจริงลบและทุกช่วงค่าของจำนวนจริง *r* และทำนองเดียวกัน *e**r* ให้ผลลัพธ์เป็นบวกสำหรับทุกช่วงค่าของจำนวนจริง *r* ดังนั้น ln (*a*) ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันจึงไม่อาจนิยามให้เป็นจำนวนจริงได้สำหรับ *a* ≤ 0 (ในทางตรงข้าม กำลังเชิงซ้อนของจำนวนลบ *a* สามารถนิยามได้ด้วยลอการิทึมเชิงซ้อนของ *a*)

วิธีการใช้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะไม่สามารถใช้ได้กับค่า *a* ที่เป็นลบ เพราะวิธีการนี้ขึ้นอยู่กับความต่อเนื่อง หมายความว่า ฟังก์ชัน *f* (*r*) = *a**r* เป็นการขยายจำนวนตรรกยะไปเป็นจำนวนจริงอย่างต่อเนื่องเพียงหนึ่งเดียวเมื่อ *a* > 0 แต่ในกรณี *a*  (*m*/*n*)  = −1 เมื่อ *m* เป็นจำนวนคี่, (−1)  (*m*/*n*)  = 1 เมื่อ *m* เป็นจำนวนคู่ ดังนั้นเซตของจำนวนตรรกยะ *q* ที่ทำให้ (−1) *q* = 1 เป็นเซตหนาแน่น (dense set) ในจำนวนตรรกยะ เช่นเดียวกับเซตของ *q* ที่ทำให้ (−1) *q* = −1 สิ่งนี้หมายความว่าฟังก์ชัน (−1) *q* ไม่ต่อเนื่องที่จำนวนตรรกยะ *q* ใด ๆ ที่กำหนดไว้แต่ละค่า

เมื่อใช้เอกลักษณ์การยกกำลังกับรากที่ *n* ที่เป็นลบ จำเป็นต้องระมัดระวังเป็นพิเศษ ตัวอย่างเช่น −27&nbsp;=&nbsp; (−27)  ( (2/3) × (3/2) ) &nbsp;=&nbsp; ( (−27) 2/3) 3/2&nbsp;=&nbsp;93/2&nbsp;=&nbsp;27 ซึ่งผิดอย่างชัดเจน ปัญหาอยู่ที่การใช้รากที่สองที่เป็นบวก แทนที่จะใช้รากที่สองที่เป็นลบในขั้นตอนสุดท้าย แต่โดยทั่วไปปัญหาที่คล้ายกันนี้มักเกิดขึ้นกับจำนวนเชิงซ้อน ดังที่ได้อธิบายไว้ในหัวข้อความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม

## กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก
### กำลังจำนวนจินตภาพของ e
[300px|thumb|right|ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ''e''<sup>''z''</sup> สามารถนิยามโดย[ลิมิตของ  เมื่อ *N* มีค่าเข้าใกล้อนันต์ และเมื่อเป็นเช่นนั้น *e**iπ* ก็จะเป็นลิมิตของ  ในภาพเคลื่อนไหวนี้ *N* มีค่าเพิ่มขึ้นจาก 1 ถึง 100 การคำนวณ  แสดงเป็นผลร่วมที่เกิดจากการคูณซ้ำ ๆ *N* ตัวในระนาบเชิงซ้อน ซึ่งจุดสุดท้ายเป็นค่าที่แท้จริงของ  แสดงให้เห็นว่าเมื่อ *N* มากขึ้น  จะมีค่าเข้าใกล้ −1 ดังนั้น  ซึ่งเป็นที่รู้จักในชื่อเอกลักษณ์ของออยเลอร์]]

การทำความเข้าใจ *e**ix* สำหรับจำนวนจริง *x* ต้องทราบถึงการแปลความหมายเชิงเรขาคณิตของการดำเนินการบนจำนวนเชิงซ้อน และนิยามกำลังของ ''e'' ดังที่กล่าวไว้แล้วข้างต้น พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก  สำหรับจำนวน *n* ที่มีขนาดใหญ่มาก ๆ รูปสามเหลี่ยมนั้นจะมีลักษณะเข้าใกล้เซกเตอร์ของรูปวงกลมมากยิ่งขึ้น โดยมีมุมที่จุดศูนย์กลางเท่ากับ *x*/*n* เรเดียน และรูปสามเหลี่ยมอื่น ๆ  ก็เป็นรูปสามเหลี่ยมคล้ายร่วมกันสำหรับ *k* ทุกค่า เพราะฉะนั้น สำหรับจำนวน *n* ขนาดใหญ่ จุดที่เป็นขอบเขตของ  ก็คือจุดที่อยู่บนรูปวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งมุมที่วัดจากแกนจำนวนจริงบวกเท่ากับ *x* เรเดียน พิกัดเชิงขั้วของจุดนี้คือ  และพิกัดคาร์ทีเซียนคือ  ดังนั้นในท้ายที่สุด  เรียกว่าสูตรของออยเลอร์ ซึ่งเชื่อมโยงพีชคณิตกับตรีโกณมิติด้วยความหมายของจำนวนเชิงซ้อน

คำตอบของสมการ *e**z* = 1 คือพหุคูณจำนวนเต็มของ 2π*i*
:: \{ z : e^z = 1 \} = \{ 2k\pi i : k \in \mathbb{Z} \}
ในกรณีทั่วไป ถ้ากำหนดให้ e*b* = *a* ดังนั้นคำตอบของสมการ *e**z* = *a* หาได้โดยการบวก *b* เข้ากับพหุคูณจำนวนเต็มของ 2π*i*
:: \{ z : e^z = a \} = \{ b + 2k\pi i : k \in \mathbb{Z} \}
ดังนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนเป็นฟังก์ชันเป็นคาบ (periodic function) ซึ่งมีคาบเท่ากับ 2π*i*

นอกจากนี้ก็ยังมีสูตรอื่น ๆ อีกเช่น *e**iπ* = −1; *e**x* + *iy* = *e**x* (cos *y* + *i* sin *y*)

### ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

จากการแปลงสูตรของออยเลอร์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ โคไซน์และไซน์ถูกแปลงเป็น
:: \cos (z) = \frac{e^{i\cdot z} + e^{-i\cdot z}}{2}; \qquad \sin (z) = \frac{e^{i\cdot z} - e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}

โคไซน์และไซน์ถูกนิยามขึ้นโดยทางเรขาคณิตก่อนมีการประดิษฐ์จำนวนเชิงซ้อนในประวัติศาสตร์ สูตรทั้งสองด้านบนเป็นการลดรูปสูตรที่ซับซ้อนของฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกเป็นสูตรการยกกำลังอย่างง่ายว่า
:: e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}
การใช้การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเชิงซ้อน อาจช่วยลดรูปปัญหาในตรีโกณมิติไปเป็นพีชคณิตได้

### กำลังจำนวนเชิงซ้อนของ e
การยกกำลัง *z* = *e**x*+*i*·*y* สามารถคำนวณได้จาก *e**x* · *e**i*·*y*; ตัวประกอบส่วนจริง *e*
### กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก
กำหนดให้ *a* เป็นจำนวนจริงบวก และ *z* เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ การยกกำลัง *a**z* นิยามโดย *e**z*·ln (*a*)  เมื่อ *x* = ln (*a*) เป็นคำตอบจำนวนจริงเพียงหนึ่งเดียวของสมการ *e**x* = *a* ดังนั้นวิธีการเดียวกันที่ใช้กับเลขชี้กำลังจำนวนจริงก็ยังคงใช้ได้กับเลขชี้กำลังจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น
:: 2*i* = *e* *i*·ln (2)  = cos (ln (2) ) + *i*·sin (ln (2) ) ≈ 0.76924 + 0.63896*i*
:: *e**i* ≈ 0.54030 + 0.84147*i*
:: 10*i* ≈ −0.66820 + 0.74398*i*
:: (*e*2&pi;) *i* ≈ 535.49*i* ≈ 1

## กำลังของจำนวนเชิงซ้อน
กำลังจำนวนเต็มของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์นิยามโดยการคูณหรือการหารซ้ำ ๆ เช่นเดียวกับที่ได้กล่าวแล้ว ถ้า *i* คือหน่วยจินตภาพและ *n* คือจำนวนเต็มแล้ว *i**n* จะมีค่าเท่ากับ 1, *i*, −1 หรือ −*i* ขึ้นอยู่กับค่า *n* ว่าสมภาคกับ 0, 1, 2 หรือ 3 มอดุโล 4 ตามลำดับ (หรืออีกนัยหนึ่งคือ *n* หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษเท่าใด) ด้วยสาเหตุนี้ กำลังของ *i* จึงมีประโยชน์ในการเขียนแทนลำดับที่มีคาบแบ่งเป็น 4 ช่วง

กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวกได้นิยามผ่านทาง *e**x* ตามที่อธิบายไว้ในหัวข้อกำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก ซึ่งเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

การขยายแนวคิดของฟังก์ชันเหล่านี้ไปเป็นกรณีทั่วไปคือ กำลังที่ไม่เป็นจำนวนเต็มของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวก ทำให้เกิดความยุ่งยาก นั่นคือต้องนิยามฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องหรือฟังก์ชันหลายค่าอย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ไม่ว่าทางเลือกใดก็ไม่สามารถนิยามให้สอดคล้องเพียงพอทั้งหมดได้

กำลังจำนวนตรรกยะของจำนวนเชิงซ้อนต้องเป็นคำตอบของสมการเชิงพีชคณิตสมการหนึ่ง ดังนั้นมันจึงมีคำตอบที่เป็นไปได้จำนวนจำกัดหนึ่งเสมอ ตัวอย่างเช่น *w* = *z*1/2 ต้องเป็นคำตอบของสมการ *w*2 = *z* แต่เมื่อ *w* เป็นคำตอบแล้ว −*w* ก็เป็นคำตอบด้วยเช่นกันเพราะว่า (−1) 2 = 1 คำตอบเพียงหนึ่งเดียวที่ถูกเลือกโดยค่อนข้างปราศจากเหตุผลเรียกว่าค่ามุขสำคัญ (principal value) สามารถเลือกโดยใช้กฎทั่วไปซึ่งใช้กับกำลังที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะด้วย

กำลังและลอการิทึมเชิงซ้อนโดยธรรมชาติถือว่าเป็นฟังก์ชันค่าเดียวบนผิวรีมันน์ (Riemann surface) รูปแบบค่าเดียวถูกนิยามขึ้นโดยการเลือกผิวขึ้นมาอันหนึ่ง ค่าของมันไม่มีความต่อเนื่องตามแนวส่วนตัดกิ่ง (branch cut) การเลือกหนึ่งคำตอบจากหลายคำตอบเป็นค่ามุขสำคัญก็ยังคงได้ฟังก์ชันที่ไม่มีความต่อเนื่อง และกฎต่าง ๆ ที่ใช้จัดการกับการยกกำลังตามปกติอาจนำไปสู่ความผิดพลาดได้

กำลังจำนวนอตรรกยะของจำนวนเชิงซ้อนมีคำตอบที่เป็นไปได้ไม่จำกัด เพราะธรรมชาติของลอการิทึมเชิงซ้อนสามารถมีคำตอบได้หลายค่า ค่ามุขสำคัญคือค่าค่าหนึ่งที่ถูกเลือกด้วยกฎอย่างหนึ่งท่ามกลางคุณสมบัติอื่น ๆ ที่ทำให้แน่ใจว่า กำลังของจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นบวกและส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ จะมีค่าเหมือนกับกำลังของจำนวนจริงที่เกี่ยวข้อง

การยกกำลังจำนวนจริงด้วยจำนวนเชิงซ้อนเป็นการดำเนินการที่แตกต่างจากการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนที่เกี่ยวข้อง อย่างไรก็ตามในกรณีของจำนวนจริงบวก ค่ามุขสำคัญนั้นเหมือนกัน

กำลังของจำนวนจริงลบนั้นไม่ได้ถูกนิยามเสมอไป และไม่ต่อเนื่องแม้ว่าจะได้นิยามแล้ว ดังนั้นเมื่อพบกับจำนวนเชิงซ้อน ควรใช้การดำเนินการสำหรับจำนวนเชิงซ้อนแทน

### กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนเชิงซ้อน
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน *a* และ *b* ซึ่ง *a* ≠ 0 สัญกรณ์ *a**b* เกิดความกำกวมในคำตอบเหมือนกับ log *a*

เพื่อหาค่าของ *a**b* ขั้นตอนแรกจะต้องเลือกลอการิทึมของ *a* ขึ้นมาค่าหนึ่ง ทางเลือกนั้นอาจเป็น Log *a*  (คือค่ามุขสำคัญของ log *a* โดยปริยายหากมิได้กำหนดเงื่อนไขอื่นเพิ่ม) หรืออาจเป็นค่าหนึ่งจากกิ่งอื่นของ log *z* ที่กำหนดตายตัว ดังนั้นจึงสามารถนิยามโดยใช้ฟังก์ชันลอการิทึมเชิงซ้อนดังนี้
:: a^b = e^{b \log a}\!
เพราะนิยามนี้สอดคล้องกับนิยามที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้ ในกรณีที่ *a* เป็นจำนวนจริงบวกและค่ามุขสำคัญของ log *a* (ซึ่งเป็นจำนวนจริง) ได้ถูกเลือก

ถ้า *b* เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นค่าของ *a**b* จะไม่ขึ้นอยู่กับตัวเลือกของ log *a* เพราะสอดคล้องกับนิยามการยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม

ถ้า *b* เป็นจำนวนตรรกยะ *m*/*n* ในพจน์น้อยที่สุดโดยที่ *n* > 0 ดังนั้นจะมีตัวเลือกของ log *a* เป็นจำนวนไม่จำกัดให้ค่าที่แตกต่างกัน *n* จำนวนสำหรับ *a**b* ซึ่งค่าเหล่านี้คือจำนวนเชิงซ้อน *z* ที่เป็นคำตอบของสมการ *z**n* = *a**m*

ถ้า *b* เป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้นจะมีตัวเลือกของ log *a* เป็นจำนวนไม่จำกัด นำไปสู่ค่าของ *a**b* ที่แตกต่างกันเป็นจำนวนไม่จำกัดเช่นกัน

การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยการแปลงฐาน *a* เป็นรูปแบบเชิงขั้ว ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง การสร้างที่คล้ายก็สามารถใช้ควอเทอร์เนียน (quaternion) ได้ด้วย

### รากเชิงซ้อนของ 1 (รากปฐมฐาน)
thumb|right|รากที่สามของ 1 ทั้งสามราก

จำนวนเชิงซ้อน *a* ที่ทำให้ *a**n* = 1 สำหรับจำนวนเต็มบวก *n* เรียกว่า *รากที่ n ของ 1* (*n*th root of unity) หรือเรียกสั้น ๆ ว่า *รากของ 1* (root of unity) รากเหล่านี้มี *n* คำตอบและวางตัวคล้ายจุดยอดของรูป *n* เหลี่ยมปรกติ บนรูปวงกลมหนึ่งหน่วยบนระนาบเชิงซ้อน ซึ่งมีจุดยอดจุดหนึ่งอยู่ที่จำนวนจริง 1

ถ้า *z**n* = 1 แต่ *z**k* ≠ 1 สำหรับจำนวนธรรมชาติ *k* ตามเงื่อนไข 0 2*πi* (1/*n*)  คือรากปฐมฐานที่ *n* ที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นบวกน้อยที่สุด (บางครั้งอาจเรียกว่า รากปฐมฐานที่ *n* "มุขสำคัญ" ถึงแม้ว่าการใช้คำนี้จะไม่แพร่หลายและอาจทำให้สับสนกับ ค่ามุขสำคัญของรากที่ *n* ของ 1 ซึ่งหมายถึงค่า 1 )

ส่วนรากของ 1 จำนวนอื่น ๆ คำนวณได้จาก
:: \left (e^{ 2 \pi i / n } \right) ^k = e^{2 \pi i k / n}
สำหรับ 2 ≤ *k* ≤ *n*

### รากของจำนวนเชิงซ้อนโดยทั่วไป
แม้ว่าลอการิทึมเชิงซ้อนมีค่าที่เป็นไปได้มากมายไม่จำกัด แต่ก็มีค่าเป็นจำนวนจำกัดเท่านั้นที่เป็นคำตอบของ *a**z* โดยเฉพาะในกรณีที่ *z* = 1/*n* และ *n* เป็นจำนวนเต็มบวก ค่าเหล่านี้คือรากที่ *n* ของ *a* ซึ่งเป็นคำตอบของสมการ *x**n* = *a*

ในทางคณิตศาสตร์ เราอาจทำให้การคำนวณสะดวกขึ้นโดยนิยาม *a*1/*n* ให้เป็นค่ามุขสำคัญของราก ถ้า *a* เป็นจำนวนจริงบวก จะสามารถเลือกคำตอบเป็นจำนวนจริงบวกเป็นค่ามุขสำคัญได้อย่างง่ายดาย สำหรับจำนวนเชิงซ้อนโดยทั่วไป รากที่ *n* ที่มีอาร์กิวเมนต์น้อยที่สุดมักจะถูกเลือกเป็นค่ามุขสำคัญของราก เช่นเดียวกับค่ามุขสำคัญของรากของ 1

เซตของรากที่ *n* ของจำนวนเชิงซ้อน *a* หาได้จากการคูณค่ามุขสำคัญของ *a*1/*n* ด้วยรากที่ *n* ของ 1 แต่ละจำนวน ตัวอย่างเช่น รากที่สี่ของ 16 ได้แก่ 2, −2, 2*i* และ −2*i* เพราะว่าค่ามุขสำคัญของรากที่สี่ของ 16 คือ 2 และรากที่สี่ของ 1 ได้แก่ 1, −1, *i* และ −*i*

### การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อน
การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำได้ง่ายขึ้นโดยเขียนเป็นการยกกำลังในรูปแบบเชิงขั้ว จำนวนเชิงซ้อน *z* ทุกจำนวนสามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบเชิงขั้วดังนี้
:: z = re^{i\theta} = e^{\ln (r) + i\theta} \, 
เมื่อ *r* คือจำนวนจริงไม่เป็นลบและ θ คืออาร์กิวเมนต์ของ *z* (ซึ่งเป็นจำนวนจริง) รูปแบบเชิงขั้วมีการแปลความหมายเชิงเรขาคณิตว่า ถ้าจำนวนเชิงซ้อน *u* + *iv* แทนได้ด้วยจุด (*u*, *v*) บนระนาบเชิงซ้อนโดยระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ดังนั้น (*r*, θ) ก็คือจุดเดียวกันในระบบพิกัดเชิงขั้ว นั่นหมายความว่า *r* คือ "รัศมี" ที่มีค่าตาม *r*2 = *u*2 + *v*2 และ θ คือ "มุม" ที่มีค่าตาม θ = atan2 (*v*, *u*) (ฟังก์ชัน atan2 มาจากฟังก์ชัน arctan ที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม) มุมเชิงขั้ว θ มีความกำกวมเนื่องจาก θ สามารถบวกด้วยพหุคูณใด ๆ ของ 2π แล้วไม่ทำให้จุดเปลี่ยนตำแหน่งไปจากเดิม ตัวเลือกแต่ละค่าของ θ โดยทั่วไปจะให้ผลการยกกำลังที่แตกต่างกัน ส่วนตัดกิ่งส่วนหนึ่งสามารถนำมาใช้เพื่อเลือกค่าที่เจาะจง ค่ามุขสำคัญ (ส่วนตัดกิ่งที่สามัญที่สุด) สอดคล้องกับ θ ที่ถูกเลือกในช่วงค่า (−π, π] สำหรับจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นบวกและส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ซึ่งใช้ค่ามุขสำคัญเช่นนั้น จะให้ผลลัพธ์เดียวกับการใช้จำนวนจริงที่เกี่ยวข้อง

เพื่อที่จะคำนวณกำลังเชิงซ้อน *a**b* ขั้นแรกเขียน *a* ในรูปแบบเชิงขั้ว
:: a = r e^{i\theta} \, 
ดังนั้น
:: \log a = \log r + i \theta \, 
และจะได้
:: a^b = e^{b \log a} = e^{b (\log r + i\theta)} \, 
ถ้า *b* ถูกแบ่งออกเป็น *c* + *di* ดังนั้นสูตรสำหรับ *a**b* จึงเขียนให้ชัดเจนยิ่งขึ้นได้เป็น
:: \left (r^c e^{-d\theta} \right) e^{i (d \log r + c\theta)} = \left (r^c e^{-d\theta} \right) \left[ \cos (d \log r + c\theta) + i \sin (d \log r + c\theta) \right]

สูตรสุดท้ายนี้ช่วยคำนวณการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนได้โดยง่าย จากการแบ่งฐานกับเลขชี้กำลังออกเป็นรูปแบบเชิงขั้วกับรูปแบบคาร์ทีเซียนตามลำดับ สูตรดังกล่าวแสดงผลลัพธ์ทั้งรูปแบบเชิงขั้วและรูปแบบคาร์ทีเซียน (ผ่านทางเอกลักษณ์ของออยเลอร์)

ตัวอย่างต่อไปนี้จะใช้ค่ามุขสำคัญคือส่วนตัดกิ่งที่ทำให้ θ อยู่ในช่วงค่า (−π, π] กำหนดโจทย์ *i*&nbsp;*i* ขั้นแรกเขียน *i* ในรูปแบบเชิงขั้วและรูปแบบคาร์ทีเซียนดังนี้
:: i = 1 \cdot e^{i \pi/2}\, 
:: i = 0 + 1i\, 
จากการแปลงด้านบน จะได้ว่า *r* = 1, θ = π/2, *c* = 0 และ *d* = 1 ดังนั้น
:: \ i^i = \left (1^0 e^{-\pi/2} \right) e^{i (1\cdot \log 1 + 0 \cdot \pi/2)} = e^{-\pi/2} \approx 0.2079

เช่นเดียวกันสำหรับโจทย์ (−2) 3 + 4*i* หารูปแบบเชิงขั้วของ −2 ได้เป็น
:: -2 = 2e^{i \pi}\, 
แล้วใช้สูตรด้านบนคำนวณจนได้คำตอบ
::  (-2) ^{3+4i} = \left (2^3 e^{-4\pi} \right) e^{i (4\log (2) + 3\pi)} \approx (2.602 - 1.006 i) \cdot 10^{-5}

ค่าของการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนขึ้นอยู่กับกิ่งที่เลือก ตัวอย่างเช่น ถ้าเลือกรูปแบบเชิงขั้วของ *i* = 1*e**i*&nbsp; (5π/2)  เพื่อคำนวณ *i*&nbsp;*i* คำตอบจะกลายเป็น *e*−5π/2 แต่ค่ามุขสำคัญของ *i*&nbsp;*i* คือ *e*−π/2 ดังตัวอย่างที่แสดงไว้แล้ว เซตของค่าทั้งหมดที่เป็นไปได้สำหรับ *i*&nbsp;*i* สามารถหาได้จากเงื่อนไข 
:: i = 1 \cdot e^{i \pi/2 + i 2 \pi k}
:: i^i = e^{i \left (i \pi/2 + i 2 \pi k\right)} = e^{-\left (\pi/2 + 2 \pi k\right)}

เมื่อ *k* เป็นจำนวนเต็มจำนวนหนึ่ง ดังนั้นคำตอบที่เป็นไปได้ของ *i*&nbsp;*i* จึงมีจำนวนไม่จำกัดสำหรับค่า *k* แต่ละค่า คำตอบทั้งหมดมีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ ดังนั้นเราจึงอาจกล่าวได้ว่า *i*&nbsp;*i* มีค่าเป็นจำนวนจริงและมีเป็นอนันต์

### ความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม
เอกลักษณ์การยกกำลังและลอการิทึมบางอย่างที่ใช้กับจำนวนจริงบวก ใช้งานไม่ได้กับจำนวนเชิงซ้อน ไม่ว่าการยกกำลังเชิงซ้อนและลอการิทึมเชิงซ้อนถูกนิยามขึ้นอย่างไร ยกตัวอย่าง

* เอกลักษณ์ log (*a**b*) = *b* · log&thinsp;*a* เป็นจริงเมื่อ *a* เป็นจำนวนจริงบวกและ *b* เป็นจำนวนจริง แต่สำหรับกิ่งมุขสำคัญ (principal branch) ของลอการิทึมเชิงซ้อนจะได้ว่า
* :: i\pi = \log (-1) = \log ( (-i) ^2) \, \neq\, 2\log (-i) = 2 (-i\pi/2) = -i\pi
* : ไม่ว่ากิ่งใดของลอการิทึมจะถูกเลือก ความผิดพลาดดังกล่าวก็ยังคงมีอยู่ แนวทางที่ดีที่สุด (เมื่อต้องการใช้ผลลัพธ์เท่านั้น) คือการกำหนดให้
* :: \log (a^b) \equiv b \cdot \log (a) \pmod{2 \pi i}
* : เอกลักษณ์นี้ก็ไม่เป็นจริงหากพิจารณาว่าลอการิทึมเป็นฟังก์ชันหลายค่า ค่าที่เป็นไปได้ของ log (*a**b*) จะมีค่า *b* · log&thinsp;*a* เหล่านั้นเป็นเพียงเซตย่อยเซตหนึ่ง ค่าที่เป็นไปได้ทั้งสองข้างของเอกลักษณ์ซึ่งแสดงด้วย Log (*a*)  แทนค่ามุขสำคัญของ log (*a*) และ *m* กับ *n* เป็นจำนวนเต็มใด ๆ จะได้ว่า
* :: \left\{\log (a^b) \right\} = \left\{ b \cdot \operatorname{Log} (a) + b \cdot 2 \pi i n + 2 \pi i m \right\}
* :: \left\{b \cdot \log (a) \right\} = \left\{ b \cdot \operatorname{Log} (a) + b \cdot 2 \pi i n \right\}

* เอกลักษณ์ (*ab*) *c* = *a**c**b**c* และ (*a*/*b*) *c* = *a**c*/*b**c* ใช้ได้เฉพาะเมื่อ *a* กับ *b* เป็นจำนวนจริงบวกและ *c* เป็นจำนวนจริง แต่การคำนวณโดยใช้กิ่งมุขสำคัญแสดงให้เห็นว่า
* :: 1 = (-1\times -1) ^{1/2} \not = (-1) ^{1/2} (-1) ^{1/2} = -1
* : และ
* :: i = (-1) ^{1/2} = \left (\frac{1}{-1}\right) ^{1/2} \not = \frac{1^{1/2}}{ (-1) ^{1/2}} = \frac{1}{i} = -i
* : ในทางตรงข้าม เมื่อ *c* เป็นจำนวนเต็ม เอกลักษณ์เหล่านี้จะใช้ได้กับจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ทุกจำนวน
* : ถ้าการยกกำลังถูกพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันหลายค่า ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ของ (−1×−1) 1/2 คือ {1, &nbsp;−1} เอกลักษณ์ยังคงเป็นจริง แต่การกล่าวว่า {1}&nbsp;=&nbsp;{ (−1×−1) 1/2} นั้นผิด

* เอกลักษณ์ (e*a*) *b* = e*ab* เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง *a* และ *b* แต่การสมมติให้เอกลักษณ์นี้เป็นจริงสำหรับจำนวนเชิงซ้อนนำไปสู่ปฏิทรรศน์ต่อไปนี้ ซึ่งค้นพบโดยโทมัส คลาวเซน (Thomas Clausen) เมื่อ ค.ศ. 1827 
* : สำหรับจำนวนเต็ม *n* ใด ๆ จะได้ว่า
* :# e^{1 + 2 \pi i n} = e^{1} e^{2 \pi i n} = e \cdot 1 = e \, 
* :# \left (e^{1+2\pi i n} \right) ^{1 + 2 \pi i n} = e \, 
* :# e^{1 + 4 \pi i n - 4 \pi^{2} n^{2}} = e \, 
* :# e^1 e^{4 \pi i n} e^{-4 \pi^2 n^2} = e \, 
* :# e^{-4 \pi^2 n^2} = 1 \, 
* : แต่สิ่งนี้เป็นเท็จเมื่อจำนวนเต็ม *n* ไม่เท่ากับศูนย์
* : การให้เหตุผลดังกล่าวมีปัญหาเกิดขึ้นหลายปัญหา ความผิดพลาดหลักคือการเปลี่ยนอันดับของการยกกำลัง จากบรรทัดที่สองไปยังบรรทัดที่สาม ได้เปลี่ยนค่ามุขสำคัญที่จะถูกเลือกใช้
* : จากมุมมองของฟังก์ชันหลายค่า ความผิดพลาดอย่างแรกเกิดขึ้นก่อนหน้านั้นซึ่งเห็นได้โดยปริยายจากบรรทัดแรกแต่ไม่เด่นชัด คือ *e* เป็นจำนวนจริงในขณะที่ผลลัพธ์ของ *e*1+2π*in* เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งควรเขียนแทนด้วย *e*+0*i* มากกว่า การแทนที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนสำหรับจำนวนจริงในบรรทัดที่สอง ทำให้การยกกำลังมีคำตอบที่เป็นไปได้หลายค่า การเปลี่ยนอันดับของการยกกำลังจากบรรทัดที่สองไปยังบรรทัดที่สาม จึงส่งผลต่อค่าที่เป็นไปได้ของผลลัพธ์ว่ามีเป็นจำนวนเท่าใดด้วย

## 0 ยกกำลัง 0
right|thumb|300px|กราฟของ ''z'' = abs (''x'') <sup>''y''</sup> ซึ่งเส้นโค้งสีแดงมีลิมิตต่างกันเมื่อ (''x'', ''y'') มีค่าเข้าใกล้ (0, 0) ในขณะที่เส้นโค้งสีเขียวทุกเส้นมีลิมิตเท่ากับ 1
ผู้เขียนตำราส่วนมากเห็นพ้องกับประโยคที่เกี่ยวข้องกับ 00 ในรายการสองรายการด้านล่าง รายการแรกไม่เกี่ยวกับความต่อเนื่อง ส่วนรายการถัดไปเกี่ยวกับความต่อเนื่อง แต่ "ตัดสินใจ" ไม่เหมือนกันเพื่อที่จะนิยาม 00 หรือไม่นิยาม (ดูรายละเอียดที่มุมมองที่แตกต่างในอดีต)

ในการกำหนดที่ไม่เกี่ยวข้องกับความต่อเนื่องของเลขชี้กำลัง การตีความว่า 00 คือ 1 ช่วยให้สูตรต่าง ๆ ง่ายขึ้นและไม่จำเป็นต้องนำเอาทฤษฎีบทอื่นมาอธิบายเป็นกรณีพิเศษ ตัวอย่างเช่น
* การพิจารณา *a*0 ให้เป็นผลคูณว่างซึ่งมีค่าเป็น 1 แม้ว่า *a* จะเท่ากับ 0
* การตีความทางคณิตศาสตร์เชิงการจัดถือว่า 00 คือจำนวนของศูนย์สิ่งอันดับของสมาชิกจากเซตว่าง ดังนั้นจึงมีศูนย์สิ่งอันดับหนึ่งตัว
* ในทางเดียวกัน การตีความทางทฤษฎีเซตของ 00 คือจำนวนฟังก์ชันจากเซตว่างไปยังเซตว่าง ซึ่งมีเพียงหนึ่งฟังก์ชันเท่านั้นนั่นคือ ฟังก์ชันว่าง (empty function) 
* สัญกรณ์ \textstyle \sum a_nx^n สำหรับพหุนามและอนุกรมกำลังขึ้นอยู่กับการนิยามให้ 00 = 1 เอกลักษณ์อย่างเช่น \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n และ e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} และทฤษฎีบททวินาม  (1+x) ^n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} x^k จะใช้งานไม่ได้เมื่อ *x* = 0 ถ้าไม่กำหนดให้ 00 = 1 
* ในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ กฎการยกกำลัง \textstyle\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} จะใช้ไม่ได้สำหรับ *n* = 1 ที่ *x* = 0 ถ้าไม่กำหนดให้ 00 = 1

ในทางตรงข้าม เมื่อ 00 เกิดจากลิมิตในรูปแบบ \lim_{ (x, y) \rarr (0, 0)} x^y ซึ่งเป็นการกำหนดที่เกี่ยวข้องกับความต่อเนื่อง จะถูกพิจารณาให้เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด (indeterminate form)
* ลิมิตที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการเชิงพีชคณิต มักจะสามารถประเมินค่าได้ด้วยการแทนที่นิพจน์ย่อยด้วยลิมิตของมัน ถ้านิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์ไม่สามารถกำหนดลิมิตดั้งเดิมได้ นิพจน์นั้นจะเรียกว่าเป็นรูปแบบยังไม่กำหนด  หาก *f* (*t*) และ *g* (*t*) ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง มีค่าเข้าใกล้ 0 ทั้งคู่ (เมื่อ *t* มีค่าเข้าใกล้จำนวนจริงจำนวนหนึ่งหรือ ±∞) โดยที่ *f* (*t*) > 0 แล้วฟังก์ชัน *f* (*t*) *g* (*t*)  ไม่จำเป็นต้องมีค่าเข้าใกล้ 1 เสมอไป; ลิมิตของ *f* (*t*) *g* (*t*)  อาจให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่ไม่เป็นลบหรือ +∞ หรืออาจไม่นิยาม ขึ้นอยู่กับ *f* และ *g* ว่านิยามไว้อย่างไร ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันด้านล่างนี้อยู่ในรูปแบบ *f* (*t*) *g* (*t*)  ซึ่ง *f* (*t*), *g* (*t*) &nbsp;→&nbsp;0 เมื่อ *t*&nbsp;→&nbsp;0+ แต่ลิมิตของมันมีค่าต่างกันดังนี้
* ::  \lim_{t \to 0^+} {t}^{t} = 1, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t^2}) ^t = 0, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t^2}) ^{-t} = +\infty, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t}) ^{at} = e^{-a}
* : ดังนั้น 00 จึงเป็นรูปแบบยังไม่กำหนดชนิดหนึ่ง พฤติกรรมนี้แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันสองตัวแปร *x**y* แม้ว่าจะต่อเนื่องบนเซต { (*x*, *y*) : *x* > 0} ไม่สามารถขยายเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตใด ๆ ที่รวม (0, 0) อยู่ด้วย ไม่ว่า 00 จะถูกนิยามขึ้นอย่างไร  อย่างไรก็ตาม ภายใต้เงื่อนไขเฉพาะเช่นเมื่อ *f* กับ *g* เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic function) ทั้งคู่และ *f* ไม่เป็นลบ ลิมิตทางด้านขวาจะเท่ากับ 1 เสมอ 
* ในโดเมนเชิงซ้อน ฟังก์ชัน *z**w* ถูกนิยามขึ้นสำหรับ *z* ไม่เท่ากับศูนย์ โดยเลือกกิ่งหนึ่งของ log *z* และกำหนดให้ *z**w* := *e**w*&nbsp;log&nbsp;*z* แต่ไม่มีกิ่งของ log *z* ที่นิยามไว้สำหรับ *z* เท่ากับศูนย์ จึงทิ้งไว้เป็นไม่นิยาม 

### มุมมองที่แตกต่างในอดีต
ผู้แต่งตำราหลายคนตีความสถานการณ์ข้างต้นในวิธีที่แตกต่างกันเช่น
* กลุ่มหนึ่งให้เหตุผลว่าค่าที่ดีที่สุดของ 00 ขึ้นอยู่กับบริบท และการนิยามครั้งหนึ่งเพื่อใช้กับทุกกรณีเป็นต้นไปทำให้เกิดปัญหา  เบนสัน (Benson) กล่าวว่า "ทางเลือกว่าจะนิยาม 00 หรือไม่นิยาม ขึ้นอยู่กับความสะดวก ไม่ใช่ความถูกต้อง" 
* อีกกลุ่มหนึ่งแย้งว่า 00 ควรจะเท่ากับ 1 คนูธบอกว่าจำนวนนี้ "ต้องเป็น 1" แม้เขาก็ได้กล่าวต่อไปอีกว่า "โคชีก็มีเหตุผลที่ดีในการพิจารณา 00 ให้เป็น *รูปแบบลิมิต* ที่ไม่นิยาม" และกล่าวอีกว่า "ในความรู้สึกที่แรงกล้าอย่างมาก ค่าของ 00 ได้ถูกนิยามไว้น้อยกว่าค่าของ 0+0 เป็นต้นเสียอีก" 

การถกเถียงเกิดขึ้นในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 เป็นอย่างน้อย ในเวลานั้นนักคณิตศาสตร์ส่วนมากยอมรับว่า 00 = 1 จนกระทั่งโคชี (Cauchy) ได้แสดงรายการ 00 พร้อมกับนิพจน์อื่น ๆ เช่น  ในตารางรูปแบบที่ไม่นิยาม 
ในช่วงคริสต์ทศวรรษ 1830 ลิบรี (Libri) ได้เผยแพร่เกี่ยวกับการให้เหตุผลที่ทำให้ไม่น่าเชื่อว่า 00 = 1  กล่าวคือ การอ้างว่า \lim_{t \to 0^+} f (t) ^{g (t)} = 1 เมื่อใดก็ตามที่ \lim_{t \to 0^+} f (t) = \lim_{t \to 0^+} g (t) = 0 เป็นการสันนิษฐานที่ผิด และเมอบิอุส (Möbius) ก็เห็นด้วยกับเขา  ผู้ออกความเห็นคนหนึ่งที่ใช้ชื่อว่า "S" ได้ให้ตัวอย่างของการโต้แย้ง (*e*−1/*t*) *t* ตัวอย่างนี้ทำให้การถกเถียงสงบเงียบลงชั่วระยะเวลาหนึ่ง ผลสรุปที่ปรากฏของเรื่องนี้คือ 00 ไม่ควรนิยาม 

### การปฏิบัติในคอมพิวเตอร์
#### มาตรฐานจำนวนจุดลอยตัว IEEE
มาตรฐานจำนวนจุดลอยตัว IEEE 754-2008 ใช้ในการออกแบบไลบรารีเกี่ยวกับจำนวนจุดลอยตัวเป็นส่วนมาก มาตรฐานดังกล่าวได้แนะนำฟังก์ชันที่แตกต่างกันสำหรับคำนวณการยกกำลังต่อไปนี้ 
* pow ให้ค่า 00 เป็น 1 ฟังก์ชันนี้เป็นรุ่นที่นิยามไว้เก่าที่สุด ถ้ากำลังเป็นจำนวนเต็มอย่างแน่ชัด ผลลัพธ์จะเหมือนกับ pown หากไม่เป็นเช่นนั้นผลลัพธ์จะเหมือนกับ powr (ยกเว้นกรณีพิเศษบางกรณี)
* pown ให้ค่า 00 เป็น 1 กำลังต้องเป็นจำนวนเต็มอย่างแน่ชัด ฟังก์ชันนี้ได้นิยามสำหรับฐานที่เป็นลบด้วยเช่น pown (−3, 5)  ให้ผลลัพธ์ −243
* powr ให้ค่า 00 เป็น ค่าไม่ใช่จำนวน () ฟังก์ชันนี้ก็ยังให้ผลลัพธ์เป็นค่าไม่ใช่จำนวน ในกรณีฐานมีค่าน้อยกว่าศูนย์เช่น powr (−3, 2)  ค่าของมันนิยามขึ้นจาก *e*&nbsp;*เลขชี้กำลัง*×log (*ฐาน*) 

#### ภาษาโปรแกรม
ภาษาโปรแกรมส่วนใหญ่ที่มีฟังก์ชันการยกกำลังถูกนำมาทำให้เกิดผลโดยใช้ฟังก์ชัน pow ของ IEEE ดังนั้นมันจึงให้ค่า 00 เป็น 1 มาตรฐานภาษาซีและภาษาซีพลัสพลัสในเวลาต่อมาได้อธิบายสิ่งนี้ว่าเป็นพฤติกรรมเชิงบรรทัดฐาน (normative)  มาตรฐานภาษาจาวาก็ประกาศให้ใช้พฤติกรรมนี้  `System.Math.Pow` ในดอตเน็ตเฟรมเวิร์ก ก็ให้ค่า 00 เป็น 1 เช่นกัน 

#### ซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์
* เซจ ลดรูป *a*0 เป็น 1 ถ้า *a* ไม่กำหนดเงื่อนไข  ไม่ลดรูป 0*a* และให้ค่า 00 เป็น 1
* เมเพิล ลดรูป *a*0 เป็น 1 และ 0*a* เป็น 0 ถ้า *a* ไม่กำหนดเงื่อนไข (แต่รูปแบบอย่างหลังสามารถใช้งานได้เฉพาะเมื่อกำหนดค่า *a* > 0) และให้ค่า 00 เป็น 1
* แมกซิมา ก็ลดรูป *a*0 เป็น 1 และ 0*a* เป็น 0 ด้วยเช่นกัน ถ้า *a* ไม่กำหนดเงื่อนไข แต่จะเกิดข้อผิดพลาดสำหรับ 00
* แมเทอแมติกาและวุลแฟรมแอลฟา ลดรูป *a*0 เป็น 1 ถ้า *a* ไม่กำหนดเงื่อนไข  แมเทอแมติกาไม่ลดรูป 0*a* ในขณะที่วุลแฟรมแอลฟาให้ผลลัพธ์สองอย่างคือ 0 และรูปแบบยังไม่กำหนด  ทั้งแมเทอแมติกาและวุลแฟรมแอลฟาให้ค่า 00 เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด 
หมายเหตุ "ลดรูป" หมายถึง ให้ค่าผลลัพธ์โดยอัตโนมัติ แม้จะไม่ระบุค่าของ *a*

## ลิมิตของการยกกำลัง
หัวข้อ 0 ยกกำลัง 0 ได้แสดงตัวอย่างลิมิตของรูปแบบยังไม่กำหนด 00 ไว้จำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเหล่านี้มีลิมิตต่าง ๆ แต่มีค่าแตกต่างกัน แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันสองตัวแปร *x**y* ไม่มีลิมิตที่จุด (0, 0) จึงอาจเกิดคำถามว่าฟังก์ชันนี้มีลิมิตที่จุดไหนบ้าง

เพื่อความถูกต้องยิ่งขึ้น พิจารณาฟังก์ชัน *f* (*x*, *y*) &nbsp;=&nbsp;*x**y* ที่นิยามบนโดเมน *D*&nbsp;=&nbsp;{ (*x*, *y*) &nbsp;∈&nbsp;**R**2&nbsp;:&nbsp;*x*&nbsp;>&nbsp;0} ดังนั้น *D* อาจถูกมองว่าเป็นเซตย่อยของ 2 (นั่นคือเซตของคู่อันดับ (*x*, *y*) ทั้งหมด ซึ่ง *x*, *y* อยู่บนเส้นจำนวนจริงขยาย &nbsp;=&nbsp;[−∞, &nbsp;+∞] โดยสร้างขึ้นจากทอพอโลยีผลคูณ) ซึ่งจะรวมจุดต่าง ๆ ที่ทำให้ฟังก์ชัน *f* มีลิมิต

โดยข้อเท็จจริง *f* จะมีลิมิตที่จุดสะสม (accumulation point) ต่าง ๆ ของ *D* ยกเว้น (0, 0), (+∞, 0), (1, +∞) และ (1, −∞)  ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถนิยามการยกกำลัง *x**y* ด้วยความต่อเนื่องเมื่อใดก็ตามที่ 0&nbsp;≤&nbsp;*x*&nbsp;≤&nbsp;+∞, −∞ ≤&nbsp;y&nbsp;≤&nbsp;+∞ โดยยกเว้น 00, (+∞) 0, 1+∞ และ 1−∞ ซึ่งเหลือเป็นรูปแบบยังไม่กำหนด

ภายใต้การนิยามโดยความต่อเนื่องนี้ จะได้
* *a*+∞ = +∞ และ *a*−∞ = 0 เมื่อ 1 +∞ = 0 และ *a*−∞ = +∞ เมื่อ 0 ≤ *a* *b* = 0 และ (+∞) *b* = +∞ เมื่อ 0 *b* = +∞ และ (+∞) *b* = 0 เมื่อ −∞ ≤ *b* *y* สำหรับค่า *x* ที่เป็นบวก วิธีการนี้ไม่อนุญาตให้นิยาม *x**y* เมื่อ *x*&nbsp;*n* มีความหมายอยู่แล้วสำหรับ *x* ทุกค่าซึ่งรวมทั้งค่าลบด้วย สิ่งนี้อาจทำให้การนิยาม 0*n*&nbsp;=&nbsp;+∞ ที่ได้มาข้างต้นสำหรับค่า *n* ที่เป็นลบเกิดปัญหาเมื่อ *n* เป็นจำนวนคี่ เนื่องจากกรณีนี้ *t**n*&nbsp;→&nbsp;+∞ เมื่อ *t* มีค่าเข้าใกล้ 0 ทางบวก แต่ไม่ใช่ทางลบ

## การคำนวณกำลังจำนวนเต็มอย่างมีประสิทธิภาพ
วิธีการคำนวณที่ง่ายที่สุดของ *a**n* คือการคูณเป็นจำนวน *n*−1 ครั้ง แต่มันก็อาจคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้นดังตัวอย่างต่อไปนี้ เช่นโจทย์ให้คำนวณ 2100 แต่เราทราบว่า 100 = 64 + 32 + 4 เราอาจคำนวณตามลำดับดังนี้
# 22 = 4
# (22) 2 = 24 = 16
# (24) 2 = 28 = 256
# (28) 2 = 216 = 65,536
# (216) 2 = 232 = 4,294,967,296
# (232) 2 = 264 = 18,446,744,073,709,551,616
# 264 232 24 = 2100 = 1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376
ขั้นตอนเหล่านี้จำเป็นต้องใช้การคูณเพียงแค่ 8 ครั้ง (ผลคูณในขั้นตอนสุดท้ายใช้การคูณ 2 ครั้ง) แทนที่จะต้องคูณถึง 99 ครั้ง

จำนวนครั้งของการคูณที่จำเป็นสำหรับคำนวณ *a**n* โดยทั่วไปสามารถลดให้เหลือ Θ (log *n*) โดยใช้การยกกำลังด้วยกำลังสอง (exponentiation by squaring) หรือโดยนัยทั่วไปขึ้นอีกคือ การยกกำลังด้วยลูกโซ่การบวก (addition-chain exponentiation) การหาลำดับของการคูณ *น้อยที่สุด* ของ *a**n* (ลูกโซ่การบวกสั้นที่สุดของเลขชี้กำลัง) เป็นข้อปัญหาที่ยากข้อหนึ่ง เพราะขั้นตอนวิธีอันมีประสิทธิภาพยังไม่เป็นที่ทราบในปัจจุบัน (ดูเพิ่มที่ปัญหาผลรวมเซตย่อย) แต่ขั้นตอนวิธีแบบศึกษาสำนึก (heuristic) ที่มีประสิทธิภาพอย่างสมเหตุสมผลก็มีให้ใช้มากมาย 

## สัญกรณ์ยกกำลังสำหรับชื่อฟังก์ชัน
การใส่ตัวยกจำนวนเต็มถัดจากชื่อหรือสัญลักษณ์ของฟังก์ชัน ซึ่งดูเหมือนว่าฟังก์ชันนั้นกำลังถูกยกกำลัง โดยทั่วไปจะหมายถึงการประกอบฟังก์ชัน (function composition) มากกว่าจะเป็นการคูณซ้ำ ๆ ดังนั้น *f*&nbsp;3 (*x*) จึงอาจหมายถึง *f* (*f* (*f* (*x*) ) ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง *f*&nbsp;−1 (*x*) ตามปกติใช้แสดงถึงฟังก์ชันผกผันของ *f*; ฟังก์ชันซ้อน (iterated function) ที่เกิดจากการประกอบฟังก์ชันเป็นประโยชน์ในการศึกษาแฟร็กทัลและระบบเชิงพลวัต (dynamical system) ชาร์ลส แบบเบจ เป็นคนแรกที่เริ่มศึกษาปัญหาการหาค่าของรากที่สองเชิงฟังก์ชัน *f*&nbsp;1/2 (*x*)

อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็ใช้สัญกรณ์พิเศษเช่นนั้นด้วยเหตุผลทางประวัติศาสตร์ กล่าวคือ เลขชี้กำลังที่เป็นบวกถูกวางไว้หลังชื่อย่อของฟังก์ชัน หมายถึงผลลัพธ์ของการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังนั้น ในขณะที่เลขชี้กำลัง −1 แสดงถึงฟังก์ชันผกผัน ตัวอย่างเช่น sin2*x* เป็นการเขียนอย่างย่อแทน (sin&nbsp;*x*) 2 โดยไม่ใช้วงเล็บ แต่ในขณะเดียวกัน sin−1*x* หมายถึงฟังก์ชันผกผันของไซน์คือ arcsin&nbsp;*x* เพราะมันไม่จำเป็นต้องมีส่วนกลับของฟังก์ชันตรีโกณมิติเนื่องจากมันมีชื่อและชื่อย่อของมันเองอยู่แล้ว เช่น 1/ (sin&nbsp;*x*) = (sin&nbsp;*x*) −1 ก็คือ csc&nbsp;*x* เป็นต้น สัญนิยมที่คล้ายกันนี้ก็ใช้กับลอการิทึมด้วย เช่น log2*x* หมายถึง (log&nbsp;*x*) 2 ไม่ใช่ log&nbsp;log&nbsp;*x*

## การวางนัยทั่วไป
### พีชคณิตนามธรรม
การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม สามารถนิยามขึ้นสำหรับโครงสร้างที่ค่อนข้างทั่วไปในพีชคณิตนามธรรม

กำหนดให้ *X* เป็นเซตที่มีการดำเนินการทวิภาคอย่างหนึ่ง ซึ่งมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ของกำลัง (power associativity) และเขียนอยู่ในรูปแบบการคูณแล้ว *x**n* ถูกนิยามให้เป็นผลคูณของ *x* จำนวน *n* ตัว สำหรับสมาชิก *x* ใด ๆ ของ *X* และจำนวนธรรมชาติ *n* ใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งนิยามแบบเวียนเกิดได้ว่า
: x^1=x\;
: x^n=x^{n-1}x; \quad\hbox{for }n>1

จะมีสมบัติต่าง ๆ ดังต่อไปนี้
*  (x^i x^j) x^k = x^i (x^j x^k) \; (สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของกำลัง)
* x^{m+n} = x^m x^n\;
*  (x^m) ^n = x^{mn}\;

ถ้าการดำเนินการนี้มีสมาชิกเอกลักษณ์ทั้งสองด้านเป็น 1 (มักแสดงด้วย *e*) ดังนั้น *x*0 จะถูกนิยามให้เท่ากับ 1 สำหรับค่า *x* ใด ๆ
* x1 = 1x = x\; (เอกลักษณ์สองด้าน)
* x^0 = 1\;

ถ้าการดำเนินการนี้ก็มีสมาชิกผกผันทั้งสองด้านและการคูณเปลี่ยนหมู่ได้ จะทำให้แม็กม่า (magma) กลายเป็นกรุป ตัวผกผันของ *x* สามารถแสดงได้ด้วย *x*−1 และเป็นไปตามกฎปกติทั้งหมดของเลขชี้กำลัง
* x x^{-1} = x^{-1} x = 1\; (ตัวผกผันสองด้าน)
*  (x y) z = x (y z) \; (การคูณเปลี่ยนหมู่ได้)
* x^{-n} = \left (x^{-1} \right) ^n\;
* x^{m-n} = x^m x^{-n}\;

ถ้าการคูณสามารถสลับที่ได้ (ตัวอย่างเช่นในอาบีเลียนกรุป) จะทำให้การดำเนินการมีสมบัตินี้ด้วย
*  (xy) ^n = x^n y^n\;

ถ้าการดำเนินการทวิภาคนั้นเขียนอยู่ในรูปแบบการบวก ซึ่งมักใช้กับอาบีเลียนกรุป ดังนั้นวลี "การยกกำลังคือการคูณซ้ำ ๆ" จึงสามารถตีความได้เป็น "การคูณคือการบวกซ้ำ ๆ" เพราะฉะนั้นกฎแต่ละข้อของการยกกำลังข้างต้นก็เทียบเคียงได้กับกฎต่าง ๆ ของการคูณ

เมื่อเรามีการดำเนินการหลายอย่างแล้ว การดำเนินการใด ๆ อาจถูกกระทำซ้ำโดยใช้การยกกำลัง การแสดงว่าการดำเนินการกำลังถูกกระทำซ้ำ โดยปกติจะใส่สัญลักษณ์กำกับตัวยก อาทิ *x*∗*n* หมายถึง  หรือ *x*#*n* หมายถึง  ไม่ว่า ∗ กับ # จะเป็นการดำเนินการอะไรก็ตาม

สัญกรณ์ตัวยกก็มีใช้เช่นกัน โดยเฉพาะในเรื่องทฤษฎีกรุป เพื่อแสดงการสังยุค (conjugation) อาทิ *g**h* = *h*−1*gh* เมื่อ *g* และ *h* เป็นสมาชิกของกรุปบางกรุป แม้ว่าการสังยุคจะปฏิบัติตามกฎของการยกกำลังเหมือนกัน แต่ไม่ใช่ตัวอย่างของการคูณซ้ำในกรณีใด ๆ ; ควอนเดิล (quandle) เป็นโครงสร้างเชิงพีชคณิตชนิดหนึ่งที่มีกฎของการสังยุคเหล่านี้เป็นบทบาทหลัก

### เซต

ถ้า *n* เป็นจำนวนธรรมชาติและ *A* เป็นเซตใด ๆ นิพจน์ *A**n* มักถูกใช้เพื่อแสดงเซตของ *n* สิ่งอันดับของสมาชิกของ *A* สิ่งนี้เทียบเท่ากับการกำหนดให้ *A**n* หมายถึงเซตของฟังก์ชันจาก {0, &nbsp;1, &nbsp;2, &nbsp;..., &nbsp;*n*−1} ไปยัง *A*; *n* สิ่งอันดับ (*a*0, &nbsp;*a*1, &nbsp;*a*2, &nbsp;..., &nbsp;a*n*−1) เป็นตัวแทนของฟังก์ชันที่ส่งค่าจาก *i* ไปยัง *a**i*

กำหนดให้จำนวนเชิงการนับ κ ที่ไม่จำกัดและเซต *A* เซตหนึ่ง สัญกรณ์ *A*κ ก็ยังใช้แสดงถึงเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจากเซตที่มีขนาดเท่ากับ κ ไปยัง *A* บางครั้งก็เขียนในรูปแบบ κ*A* เพื่อทำให้แตกต่างจากการยกกำลังเชิงการนับ ดังที่จะได้กล่าวต่อไป

การยกกำลังแบบนัยทั่วไปสามารถนิยามขึ้นได้สำหรับการดำเนินการบนเซต หรือสำหรับเซตที่มีโครงสร้างพิเศษเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่นในพีชคณิตเชิงเส้น เราสามารถแจกแจงดัชนีผลบวกตรงของปริภูมิเวกเตอร์บนเซตดัชนีใด ๆ หรืออาจกล่าวได้ว่า
:: \bigoplus_{i \in \mathbb{N}} V_{i}
เมื่อ *V**i* แต่ละตัวคือปริภูมิเวกเตอร์ปริภูมิหนึ่ง ดังนั้นถ้า *V**i* = *V* สำหรับแต่ละค่า *i* แล้ว ผลลัพธ์จากผลบวกตรงสามารถเขียนให้อยู่ในสัญกรณ์ยกกำลังเป็น *V*⊕**N** หรือเขียนเพียงแค่ *V***N** โดยทำความเข้าใจว่าเป็นผลบวกตรงโดยปริยาย นอกจากนี้เราอาจแทนที่เซต **N** ด้วยจำนวนเชิงการนับ *n* เพื่อให้ได้ *V**n* แม้ว่าไม่ต้องเลือกเซตมาตรฐานเจาะจงที่มีภาวะเชิงการนับเป็น *n* สิ่งนี้สามารถนิยามโดยขึ้นอยู่กับสมสัณฐาน (isomorphism) เพียงเท่านั้น เมื่อนำเอา *V* มาเป็นฟีลด์ **R** สำหรับจำนวนจริง (เทียบได้กับปริภูมิเวกเตอร์บนตัวเอง) และ *n* เป็นจำนวนธรรมชาติบางจำนวน จะได้ปริภูมิเวกเตอร์สามัญที่สุดที่ศึกษากันในพีชคณิตเชิงเส้น นั่นคือปริภูมิแบบยุคลิด **R***n*

ถ้าหากฐานของการดำเนินการยกกำลังเป็นเซต การดำเนินการนั้นจะเรียกว่าผลคูณคาร์ทีเซียนเมื่อไม่มีเงื่อนไขอื่นเพิ่มเติม เนื่องด้วยผลคูณคาร์ทีเซียนต่าง ๆ ให้ผลเป็น ''n'' สิ่งอันดับ (*n*-tuple) ซึ่งสามารถแสดงแทนด้วยฟังก์ชันบนเซตที่มีภาวะเชิงการนับที่เหมาะสม ดังนั้น *S**N* จึงหมายถึงเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก *N* ไปยัง *S* ในกรณีนี้
:: S^N \equiv \{ f\colon N \to S \}
สิ่งนี้เข้ากันได้กับการยกกำลังของจำนวนเชิงการนับในแง่ที่ว่า |*S**N*| = |*S*||*N*| เมื่อ |*X*| หมายถึงภาวะเชิงการนับของ *X*; เมื่อ "2" ถูกนิยามเป็นเซต {0, 1} เราจะได้ |2*X*| = 2|*X*| เมื่อ 2*X* ซึ่งโดยปกติแสดงด้วย **P** (*X*) คือเซตกำลังของ *X*; เซตย่อย *Y* แต่ละเซตของ *X* สอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับฟังก์ชันบน *X* ที่ให้ค่า 1 สำหรับ *x*&nbsp;∈&nbsp;*Y* และค่า 0 สำหรับ *x*&nbsp;∉&nbsp;*Y*

### ทฤษฎีประเภท

ในเรื่องของประเภทปิดคาร์ทีเซียน (Cartesian closed category) การดำเนินการยกกำลังถูกใช้เพื่อกำหนดให้อ็อบเจกต์ใด ๆ เป็นกำลังของอ็อบเจกต์อีกอย่างหนึ่ง สิ่งนี้เป็นการวางนัยทั่วไปของผลคูณคาร์ทีเซียนในประเภท (category) ของเซต ถ้า 0 เป็นอ็อบเจกต์เริ่มต้น (initial object) ในประเภทปิดคาร์ทีเซียน ดังนั้นอ็อบเจกต์เลขชี้กำลัง (exponential object) 00 จะสมสัณฐานกับอ็อบเจกต์ปลายทาง 1 ใด ๆ

### จำนวนเชิงการนับและจำนวนเชิงอันดับที่

ในทฤษฎีเซต ก็มีการยกกำลังสำหรับจำนวนเชิงการนับและจำนวนเชิงอันดับที่เช่นกัน

กำหนดให้ κ และ λ เป็นจำนวนเชิงการนับ นิพจน์ κλ หมายถึงภาวะเชิงการนับของ เซตของฟังก์ชันจากเซตใด ๆ ที่มีภาวะเชิงการนับ λ ไปยังเซตใด ๆ ที่มีภาวะเชิงการนับ κ  ถ้า κ และ λ เป็นจำนวนจำกัด นิพจน์นี้จะคล้อยตามการดำเนินการยกกำลังเชิงเลขคณิตธรรมดา ตัวอย่างเช่น เซตของสามสิ่งอันดับ ของสมาชิกจากเซตของสองสิ่งอันดับ จะมีภาวะเชิงการนับเท่ากับ 8 = 23

การยกกำลังของจำนวนเชิงการนับแตกต่างจากการยกกำลังของจำนวนเชิงอันดับที่ ซึ่งนิยามโดยกระบวนการลิมิตที่เกี่ยวข้องกับอุปนัยเชิงอนันต์ (transfinite induction)

## การยกกำลังซ้อน
เนื่องจากการยกกำลังของจำนวนธรรมชาติมีเหตุมาจากการคูณซ้ำ ๆ จึงมีความเป็นไปได้ที่จะนิยามการดำเนินการที่มีเหตุมาจากการยกกำลังซ้ำ ๆ เช่นเดียวกัน การดำเนินการนี้บางครั้งเรียกว่า เทเทรชัน (tetration) และเทเทรชันซ้ำ ๆ ก็สามารถนำไปสู่การดำเนินการอีกอย่างหนึ่งเช่นกัน เป็นเช่นนี้ต่อไปเรื่อย ๆ ลำดับของการดำเนินการเหล่านี้ได้ถูกแสดงไว้ด้วยฟังก์ชันอัคเคอร์มันน์ (Ackermann function) และสัญกรณ์ลูกศรของคนูธ (Knuth's up-arrow notation) และเนื่องด้วยการยกกำลังมีอัตราเพิ่มขึ้นมากกว่าการคูณ การคูณก็มีอัตราเพิ่มขึ้นมากกว่าการบวก ดังนั้นเทเทรชันก็มีอัตราเพิ่มขึ้นมากกว่าการยกกำลัง ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดค่า (3, 3) ให้กับฟังก์ชันการบวก การคูณ การยกกำลัง และเทเทรชัน จะได้ผลลัพธ์ออกมาเป็น 6, 9, 27 และ 7,625,597,484,987 ตามลำดับ

## ในภาษาโปรแกรม
สัญกรณ์ตัวยก *x**y* สะดวกในการเขียนด้วยมือ แต่อาจไม่สะดวกในการกดบนเครื่องพิมพ์ดีดหรือคอมพิวเตอร์เทอร์มินัล ซึ่งจัดอักขระทุกตัวอยู่บนเส้นบรรทัดเดียวกัน ภาษาโปรแกรมหลายภาษามีวิธีการอย่างอื่นในการแสดงการยกกำลังโดยไม่ใช้ตัวยก อาทิ

* `x ↑ y`: อัลกอล, คอมโมดอร์เบสิก
* `x ^ y`: เบสิก, เจ, แมตแล็บ, อาร์, ไมโครซอฟท์ เอ็กเซล, เทกซ์ (TeX และตัวต่อยอดอื่น ๆ), ทีไอ-เบสิก, บีซี (เลขชี้กำลังจำนวนเต็ม), แฮสเกลล์ (เลขชี้กำลังจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ), ลัว (Lua), เอเอสพี และระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่
* `x ^^ y`: แฮสเกลล์ (ฐานเศษส่วน เลขชี้กำลังจำนวนเต็ม), ดี
* `x ** y`: เอดา, แบช, โคบอล, ฟอร์แทรน, ฟอกซ์โพร, กนูพล็อต, โอแคเมล, เพิร์ล, พีแอล/วัน, ไพทอน, เรกซ์ (REXX), รูบี, แซส (SAS), ทีซีแอล, อาบัป, แฮสเกลล์ (เลขชี้กำลังจำนวนจุดลอยตัว), ทัวริง, วีเอชดีแอล
* `x⋆y`: เอพีแอล
* `Power (x, y) `: ไมโครซอฟท์ เอ็กเซล, เดลฟี/ปาสกาล (ประกาศในยูนิต Math)
* `pow (x, y) `: ซี, ซีพลัสพลัส, พีเอชพี, ทีซีแอล
* `math.pow (x, y) `: ไพทอน
* `Math.pow (x, y) `: จาวา, จาวาสคริปต์, มอดูลา-3, เอ็มแอลมาตรฐาน
* `Math.Pow (x, y) ` หรือ `BigInteger.Pow (x, y) `: ซีชาร์ป (และภาษาอื่นที่ใช้บีซีแอล)
* ` (expt x y) `: คอมมอนลิสป์, สกีม
* `math:pow (x, y) `: เออร์แลง

สัญลักษณ์ ^ ที่ไม่เกี่ยวกับการยกกำลังเช่น ในแบช ซี ซีพลัสพลัส ซีชาร์ป จาวา จาวาสคริปต์ เพิร์ล พีเอชพี ไพทอน และรูบี หมายถึงการดำเนินการ XOR ระดับบิต; ในปาสกาล หมายถึงการอ้างถึงทางอ้อม (indirection); ในโอแคเมลและเอ็มแอลมาตรฐาน หมายถึงการต่อสายอักขระ (concatenation)

## ประวัติของสัญกรณ์
คำว่า *กำลัง* (power) ถูกใช้โดยยุคลิด นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก สำหรับยกกำลังสองเส้นตรง ในคริสต์ศตวรรษที่ 9 มุฮัมมัด อิบน์ มูซา อัลคอวาริซมีย์ (Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī) ใช้คำว่า *มัล* (mal) สำหรับยกกำลังสองและ *กับ* (kab) สำหรับยกกำลังสาม ในเวลาต่อมานักคณิตศาสตร์ชาวอิสลามได้ใช้ m และ k เป็นสัญกรณ์คณิตศาสตร์ตามลำดับ ดังเห็นได้จากงานเขียนของ อะบู อัลฮะซัน อิบน์ อะลี อัลเกาะละศอดี (Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī) ในคริสต์ศตวรรษที่ 15

นีโกลา ชูว์เก (Nicolas Chuquet) ใช้รูปแบบสัญกรณ์ยกกำลังในคริสต์ศตวรรษที่ 15 ต่อมาในคริสต์ศตวรรษที่ 16 เฮนรีคุส กรัมมาทอยส์ (Henricus Grammateus) และมีคาเอล ชตีเฟิล (Michael Stifel) ก็ใช้เช่นกัน แซมวล จีก (Samuel Jeake) ได้แนะนำให้ใช้คำว่า *ดัชนี* (index) ในปี ค.ศ. 1696 ในคริสต์ศตวรรษที่ 16 โรเบิร์ต เรคอร์ด (Robert Recorde) ใช้คำว่า *สแควร์* (square), *คิวบ์* (cube), *เซนซิเซนซิก* (zenzizenzic), *เซอร์ฟอไลด์* (surfolide), *เซนซิคิวบ์* (zenzicube), *เซเคินด์เซอร์ฟอไลด์* (second surfolide) และ *เซนซิเซนซิเซนซิก* (zenzizenzizenzic) สำหรับการยกกำลังสองถึงแปดตามลำดับ นอกจากนี้ก็มีการใช้คำว่า *ไบควอเดรต* (biquadrate) เพื่ออ้างถึงการยกกำลังสี่อีกด้วย

นักคณิตศาสตร์บางคน (เช่น ไอแซก นิวตัน) ใช้เลขชี้กำลังเฉพาะเมื่อมีกำลังมากกว่าสอง และนิยมแสดงกำลังสองเป็นการคูณซ้ำสองตัว ดังนั้นเมื่อพวกเขาเขียนพหุนาม พวกเขาจะเขียนเป็นรูปแบบดังตัวอย่าง *ax* + *bxx* + *cx*3 + *d* เป็นต้น

คำอีกคำหนึ่งที่มีความหมายเหมือนการยกกำลังในอดีตคือ *อินโวลูชัน* (involution) แต่ในปัจจุบันความหมายที่สามัญกว่าของคำนี้คือ อาวัตนาการ (involution) คือฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันผกผันของตัวเอง

## ดูเพิ่ม

* ลอการิทึม
* ลอการิทึมเชิงซ้อน
* การเสื่อมสลายแบบเลขชี้กำลัง
* การเติบโตแบบเลขชี้กำลัง
* ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
* การยกกำลังมอดุลาร์
* รากที่ n
* เทเทรชัน

## อ้างอิง

## แหล่งข้อมูลอื่น
* sci.math FAQ: What is 0<sup>0</sup>?
* 
* Laws of Exponents with derivation and examples
* What does 0^0 (zero to the zeroth power) equal? on AskAMathematician.com
* เลขยกกำลังพื้นฐาน 

การยกกำลัง
หมวดหมู่:การดำเนินการทวิภาค