การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรง

ในคณิตศาสตร์ **การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบ** ซึ่งบางครั้งเรียกว่า **การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรง** เพื่อแยกความแตกต่างจากการทดสอบที่คล้ายคลึงกัน (โดยเฉพาะการทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิต) เป็นวิธีการอนุมานว่าอนุกรมอนันต์หรือปริพันธ์ไม่ตรงแบบ ลู่เข้าหรือลู่ออก ด้วยการเปรียบเทียบอนุกรมหรืออินทิกรัลนั้นกับอนุกรมหรืออินทิกรัลลู่เข้าที่ทราบ

## สำหรับอนุกรม
ในแคลคูลัส การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบสำหรับอนุกรมโดยทั่วไป ประกอบด้วยประพจน์สองประพจน์ เกี่ยวกับอนุกรมอนันต์ที่มีพจน์ที่ไม่เป็นลบ (ค่าจริง) 

* ถ้ามีอนุกรมอนันต์ \sum b_n มาลู่เข้าและ 0 \le a_n \le b_n สำหรับทุก *n* ที่ใหญ่เพียงพอ (นั่นคือสำหรับทั้งหมด n>N สำหรับค่าคงที่ *N* บางค่า อนุกรมอนันต์ \sum a_n ลู่เข้าด้วย
* ถ้ามีอนุกรมอนันต์ \sum b_n ลู่ออกและ 0 \le b_n \le a_n สำหรับทุก *n* ที่ใหญ่เพียงพอ ดังนั้นอนุกรมอนันต์ \sum a_n ก็ลู่ออกด้วย

ให้ทราบว่า อนุกรมที่มีพจน์ที่โตเร็วกว่ามักจะ *ครอบงำ* อนุกรมที่มีพจน์ที่โตช้ากว่า 

นอกจากนี้ การทดสอบอาจระบุได้ในรูปของการลู่เข้าสัมบูรณ์ ซึ่งในกรณีนี้ การทดสอบยังใช้กับอนุกรมที่มีพจน์เชิงซ้อนได้ด้วย

* ถ้าอนุกรมอนันต์ \sum b_n ลู่เข้าสัมบูรณ์และ |a_n| \le |b_n| สำหรับทุก *n* ที่ใหญ่เพียงพอ ดังนั้นอนุกรมอนันต์ \sum a_n ก็ลู่เข้าสัมบูรณ์เช่นกัน
* ถ้ามีอนุกรมอนันต์ \sum b_n ไม่ลู่เข้าสัมบูรณ์และ |b_n| \le |a_n| สำหรับทุก *n* ที่ใหญ่เพียงพอ ดังนั้นอนุกรมอนันต์ \sum a_n ก็ไม่ลู่เข้าสัมบูรณ์

ให้ทราบว่า ในประพจน์สุดท้าย อนุกรม \sum a_n ยังสามารถลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขสำหรับอนุกรมค่าจริง อาจเกิดขึ้นได้ถ้า a*<sub>n</sub>* ไม่เป็นค่าที่ไม่เป็นลบหมด

คู่ประพจน์ที่สองนั้นเทียบเท่ากับคู่ประพจน์แรกในกรณีของอนุกรมค่าจริงเนื่องจาก \sum c_n ลู่เข้าสัมบูรณ์ก็ต่อเมื่อ \sum |c_n| อนุกรมที่มีพจน์ไม่เป็นลบ ลู่เข้า

### การพิสูจน์
บทพิสูจน์ประพจน์ทั้งหมดที่กล่าวไว้ข้างต้นมีความคล้ายคลึงกัน นี่เป็นบทพิสูจน์ของประพจน์ที่สาม

ให้ \sum a_n และ \sum b_n เป็นอนุกรมอนันต์ เมื่อ \sum b_n ลู่เข้าสัมบูรณ์ (ดังนั้น \sum |b_n| ลู่เข้า) และโดยไม่สูญเสียนัยทั่วไป ให้ว่า |a_n| \le |b_n| สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก *n* พิจารณาผลรวมย่อย

: S_n = |a_1| + |a_2| + \ldots + |a_n|,\ T_n = |b_1| + |b_2| + \ldots + |b_n|. 

เนื่องจาก \sum b_n ลู่เข้าสัมบูรณ์ \lim_{n\to\infty} T_n = T สำหรับบางจำนวนจริง *T* สำหรับทุก *n*

:  0 \le S_n = |a_1| + |a_2| + \ldots + |a_n| \le |a_1| + \ldots + |a_n| + |b_{n+1}| + \ldots = S_n + (T-T_n) \le T.

S_n เป็นลำดับที่ไม่ลดลงและ S_n + (T - T_n) ไม่เพิ่ม ให้ m,n > N แล้วทั้ง S_n, S_m อยู่ในช่วง [S_N, S_N + (T - T_N)] ซึ่งยาว T - T_N ลดเหลือศูนย์เมื่อ N วิ่งไปอนันต์ แสดงให้เห็นว่า (S_n)_{n=1,2,\ldots} เป็นลำดับโคชี และจะต้องลู่เข้าหาลิมิต ดังนั้น \sum a_n ลู่เข้าสัมบูรณ์

## สำหรับปริพันธ์
การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบสำหรับปริพันธ์อาจเขียนได้ดังนี้ โดยถือว่าฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่อง *f* และ *g* บน [a,b) ด้วย *b* ที่เป็น +\infty หรือจำนวนจริงอย่างใดอย่างหนึ่งซึ่ง *f* และ *g* แต่ละตัวมีเส้นกำกับแนวดิ่ง 

* ถ้าปริพันธ์ไม่ตรงแบบ \int_a^b g(x)\,dx ลู่เข้าและ 0 \le f(x) \le g(x) สำหรับ a \le x  แล้วปริพันธ์ไม่ตรงแบบ \int_a^b f(x)\,dx ลู่เข้าด้วยและ \int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx.
* ถ้ามีปริพันธ์ไม่ตรงแบบ \int_a^b g(x)\,dx ลู่ออกและ 0 \le g(x) \le f(x) สำหรับ a \le x  แล้วปริพันธ์ไม่ตรงแบบ \int_a^b f(x)\,dx ลู่ออกด้วย

## การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้อัตราส่วน
การทดสอบอื่นสำหรับการลู่เข้าของอนุกรมค่าจริง ซึ่งคล้ายกับการทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรงข้างต้น และการทดสอบด้วยอัตราส่วน เรียกว่า**การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้อัตราส่วน** 

* มีอนุกรมอนันต์ \sum b_n ลู่เข้าและ a_n>0   b_n>0 และ \frac{a_{n+1}}{a_n} \le \frac{b_{n+1}}{b_n} สำหรับทุก *n* ที่ใหญ่เพียงพอ แล้วอนุกรมอนันต์ \sum a_n ลู่เข้าด้วย
* ถ้ามีอนุกรมอนันต์ \sum b_n ลู่ออกและ a_n>0  b_n>0 และ \frac{a_{n+1}}{a_n} \ge \frac{b_{n+1}}{b_n} สำหรับทุก *n* ที่ใหญ่เพียงพอ แล้วอนุกรมอนันต์ \sum a_n ลู่ออกด้วย

## ดูเพิ่มเติม

* การทดสอบการลู่เข้า
* การลู่เข้า (คณิตศาสตร์)
* ทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบครอบงำ
* การทดสอบด้วยปริพันธ์สำหรับการลู่เข้า
* การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิต
* ทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบทางเดียว

## หมายเหตุ


## อ้างอิง

* 
* 
* 
* 
* 
*  

หมวดหมู่:หน้าที่ใช้แถบข้างที่มีพารามิเตอร์ child
หมวดหมู่:การทดสอบการลู่เข้า