เรขาคณิตเชิงพีชคณิต

thumb| พื้นผิวตอกเกลียตติ (Togliatti surface) เป็นพื้นผิวพีชคณิตที่มีดีกรีเท่ากับห้า รูปนี้จำลองส่วนหนึ่งของโลคัสค่าจริงของพื้นผิวดังกล่าว

 **เรขาคณิตเชิงพีชคณิต** () เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เริ่มแรกศึกษารากของพหุนามหลายตัวแปร โดยอาศัยวิธีการทางพีชคณิตนามธรรม โดยเฉพาะอย่างยิ่งเครื่องมือจากพีชคณิตสลับที่เพื่อใช้การแก้ปัญหาทางเรขาคณิตเกี่ยวกับเซตของรากของพหุนามดังกล่าว

วัตถุพื้นฐานของการศึกษาในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคือวาไรตีเชิงพีชคณิต (Algebraic variety) ซึ่งเป็นผลเฉลยของระบบสมการพหุนามเมื่อมองว่าเป็นวัตถุเรขาคณิต ตัวอย่างวาไรตีเชิงพีชคณิตที่ได้รับการศึกษามากที่สุด เช่น เส้นโค้งเชิงพีชคณิตระนาบ ซึ่งรวมถึง เส้นตรง วงกลม พาราโบลา วงรี ไฮเพอร์โบลา, เส้นโค้งคิวบิก เช่น เส้นโค้งเชิงวงรี และเส้นโค้งควอร์ติก เช่น เลมนิสเคต และ วงรีแคสสินี เส้นโค้งข้างต้นมีจุดบนเส้นโค้งบางจุดที่มีความสำคัญและมีทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง เช่น จุดเอกฐาน จุดเปลี่ยนเว้า และจุดที่ตำแหน่งอนันต์ ส่วนทฤษฎีขั้นสูงของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสนใจทอพอโลยีของเส้นโค้งต่าง ๆ และความสัมพันธ์ระหว่างเส้นโค้งแต่ละเส้น

เรขาคณิตเชิงพีชคณิตเป็นหัวใจสำคัญของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ และมีความเชื่อมโยงไปยังสาขาต่าง ๆ จำนวนมาก เช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน ทอพอโลยี และ ทฤษฎีจำนวน ตลอดจนมีบทประยุกต์ในการออกแบบการทดลองในสถิติเชิงคณิตศาสตร์

## แนวคิดพื้นฐาน

### รากของระบบพหุนาม
right|thumb| ทรงกลมและวงกลมเอียง
ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต นักคณิตศาสตร์ศึกษารากของระบบสมการพหุนาม ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นเซตของจุดในปริภูมิมิติต่าง ๆ ตัวอย่างเช่น ทรงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ 1 ในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ **R**3 เป็นเซตของจุด (*x,y*,*z*) ∈ **R**3 ทั้งหมดที่ทำให้

: x^2+y^2+z^2-1=0

อีกตัวอย่างหนึ่ง *วงกลมเอียง* ใน **R**3 ซึ่งเกิดจากเซตของจุด (*x*,*y*,*z*) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับระบบสมการพหุนามสองสมการ

: \begin{cases} x^2+y^2+z^2-1=0 \\ x + y + z = 0 \end{cases}

### วาไรตีเชิงพีชคณิต

วาไรตีเชิงพีชคณิต (Algebraic variety) เป็นวัตถุพื้นฐานที่ศึกษาในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ในที่นี้เราสนใจวาไรตีในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคลาสสิค ซึ่งมีนิยามดังนี้

วาไรตี *V* เหนือ **R**n  (หรือ **C**n) เป็นเซตของจุด (*x<sub>1</sub>,...,x<sub>n</sub>)* ที่สอดคล้องกับระบบสมการพหนุม *f<sub>i</sub> (x<sub>1</sub>,...,x<sub>n</sub>)* สำหรับแต่ละ *i = 1, 2, ...*

เส้นโค้งเชิงพีชคณิตคือวาไรตีเชิงพีชคณิตที่มี *n = 2*  วาไรตีเชิงพีชคณิตที่พื้นฐานที่สุด ได้แก่ วาไรตีสัมพรรค (Affine variety) และวาไรตีเชิงภาพฉาย หรือวาไรตีโพรเจคทีฟ (Projective variety)

### ฟังก์ชันพหุนามและเซตเชิงพีชคณิต

ให้ k เป็นฟิลด์ ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคลาสสิกนิยมใช้ฟิลด์จำนวนเชิงซ้อน **C** แต่เราสามารถเปลี่ยน **C** เป็นฟีลด์ที่มีสมบัติปิดเชิงพีชคณิตใด ๆ ได้ (นั่นคือทุกพหุนามดีกรีมากกว่า 1 ในฟิลด์ k มีรากเสมอ) โดยที่ทฤษฎีทั่วไปยังคงเป็นจริง 

เราสนใจปริภูมิสัมพรรค (Affine space) มิติ *n* เหนือฟิลด์ *k* ซึ่งเขียนแทนด้วย \mathbf{A}^n(k) (บางครั้งเขียน \mathbf A^n เมื่อ k ชัดเจนจากบริบท) สังเกตว่า หากเรากำหนดระบบพิกัดฉากให้ \mathbf{A}^n(k) แล้ว \mathbf{A}^n(k) จะกลายเป็นปริภูมิเวกเตอร์ k^n เหตุผลที่เราไม่พิจารณา k^n โดยตรงก็เพื่อ "ลืม" ว่า k^n มีโครงสร้างเป็นปริภูมิเวกเตอร์

ฟังก์ชัน f\colon \mathbf{A}^n \to \mathbf{A}^1 จะเป็น *ฟังก์ชันพหุนาม* (หรือ *ฟังก์ชันปกติ*) หากสามารถเขียนเป็นพหุนามได้ นั่นคือถ้ามีพหุนาม p \in k[x_1,\dotsc,x_n] ที่ทำให้ f(M) = p(t_1, \dotsc,t_n) สำหรับทุกจุด M ที่มีพิกัด (t_1,\dotsc,t_n) ใน \mathbf A^n ในกรณีที่ฟีลด์ของเราเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต (หรือโดยทั่วไปกว่าเมื่อฟิลด์เป็นฟิลด์อนันต์) จะมีความสัมพันธ์ 1-1 ทั่วถึงระหว่างฟังก์ชันพหุนามและพหุนามใน k[x_1,\dotsc,x_n] ซึ่งทำให้เซตของฟังก์ชันพหุนามทั้งหมดเป็นริง เรียกว่า ริงของฟังก์ชันพหุนาม และเขียนแทนด้วย k[\mathbf{A}^n]

ให้ S เป็นเซตของพหุนามใน k[\mathbf{A}^n] *เซตศูนย์* หรือ *เซตแวนิชชิง* (Zero set หรือ Vanishing set) ของ S คือเซต V(S) ของจุดทั้งหมดใน \mathbf A^n ที่ทำให้พหุนามทุกตัวใน S เป็นศูนย์ที่จุดนั้น ตามนิยามด้านล่าง

: V(S) = \{(t_1,\dots,t_n) \mid p(t_1,\dots,t_n) = 0 \text{ for all } p \in S\}

จะเรียกสับเซต W ใด ๆ ของ \mathbf A^n ว่าเป็น *เซตเชิงพีชคณิต* (Algebraic set) ถ้าหาก W สามารถเขียนได้ในรูป V(S) สำหรับบางเซต S \subseteq k[\mathbf{A}^n] 

#### ความสมมูลระหว่างเรขาคณิต-พีชคณิต
เราสนใจปัญหาที่ว่า หากระบุสับเซต W ใด ๆ ของ \mathbf{A}^n มา สามารถหาเซตของพหุนาม S\subseteq k[\mathbf{A}^n] ที่ก่อกำเนิด W (หรือก็คือ V(S) = W) ได้หรือไม่ 

นิยามเซต I(W) แทนเซตของพหุนามทั้งหมดที่เซตศูนย์ของมันมี W เป็นสับเซต สัญลักษณ์ I มาจากสมบัติที่ว่าเซตดังกล่าวเป็นไอดีลของ \mathbf{A}^n

จากนิยามข้างต้น ทำให้เกิดคำถามต่อไปนี้

* กำหนดเซต W \subseteq \mathbf{A}^n ใด ๆ เมื่อไรที่ W = V(I(W))
* กำหนดเซตของพหุนาม S เมื่อไรที่ S = I(V(S))

คำตอบของคำถามแรกได้จากการกำหนดทอพอโลยีบน \mathbf{A}^n เรียกว่า ทอพอโลยีซาริสกี (Zariski topology) ซึ่งเซตปิดบนทอพอโลยีดังกล่าว ได้แก่เซตเชิงพีชคณิตทั้งหมด และทอพอโลยีนี้สะท้อนโครงสร้างพีชคณิตของ k[\mathbf{A}^n] แล้วจะได้ว่า W = V(I(W)) ก็ต่อเมื่อ W เป็นเซตเชิงพีชคณิต หรือเซตปิดในทอพอโลยีซาริสกี ส่วนคำถามที่สองนั้นเป็นผลจากทฤษฎีบทที่เรียกว่า ฮิลแบร์ทนูลสเต็ลเลินซาต์ส หรือ *ทฤษฎีบทโลคัส-ศูนย์ของฮิลแบร์ท* (Hilbert's Nullstellensatz) ซึ่งกล่าวว่า I(V(S)) เป็นราดิคัลของไอดีลที่ก่อกำเนิดโดย S ผลลัพธ์จากทฤษฎีทั้งสองระบุว่า ไอดีลใน k[\mathbf{A}^n] และเซตเชิงพีชคณิตใน \mathbf A^n เป็นอย่างเดียวกัน

### วาไรตีสัมพรรค

เซตเชิงพีชคณิตจะเป็น *เซตลดรูปไม่ได้* (Irreducible set) หากมันไม่เป็นยูเนียนของเซตเชิงพีชคณิตที่เล็กกว่าสองเซตได้ เราพบว่า เซตเชิงพีชคณิตใด ๆ อยู่ในรูปยูเนียนจำกัดของเซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้ และการแยกส่วนแบบดังกล่าวมีได้แบบเดียว ดังนั้นส่วนประกอบหรือเซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้ดังกล่าวจึงถูกเรียกว่า *ส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดรูปได้* (Irreducible components) ของเซตพีชคณิต เซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้เรียกอีกอย่างว่า วาไรตี หรือ วาไรตีสัมพรรค เพื่อระบุเจาะจงว่าเราทำงานอยู่ในปริภูมิสัมพรรค 

มีทฤษฎีบทว่า เซตเชิงพีชคณิตจะเป็นวาไรตีก็ต่อเมื่อ มีไอดีลเฉพาะ I ของ k[\mathbf{A}^n] ที่ทำให้เซตเชิงพีชคณิตนั้นเป็นเซตศูนย์ของไอดีล I 

## ประวัติ

### คริสต์ศตวรรษที่ 20
วาน เดอร์ วาร์เดน, ออสการ์ ซาริสกี และ อองเดร์ แวย์ พัฒนารากฐานสำหรับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตโดยอาศัยพีชคณิตสลับที่ รวมถึง ทฤษฎีแวลิวเอชัน (Valuation theory) และทฤษฎีของไอดีล เป้าหมายประการหนึ่งเพื่อสร้างกรอบโครงร่างที่รัดกุมเพื่อใช้พิสูจน์ผลงานของนักคณิตศาสตร์ด้านเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสกุลอิตาลี ทั้งนี้เพราะว่า นักคณิตศาสตร์ในสกุลนี้ใช้แนวคิดเรื่อง จุดทั่วไป (Generic points) ในงานคณิตศาสตร์โดยไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน นิยามจุดทั่วไปกำหนดเป็นครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ข้างต้นในช่วงทศวรรษ 1930

ในช่วงทศวรรษที่ 1950 และ 1960 ฌ็อง-ปิแยร์ แซร์ และ อเล็กซองดร์ โกรเธนดีก สร้างรากฐานใหม่โดยใช้ ทฤษฎีชีฟ (Sheaf theory) ในภายหลังโกรเธนดีกได้ริเริ่มเสนอแนวคิดเกี่ยวกับ สกีม (Scheme) ร่วมกับวิธีการทางฮอมอโลยี

วาไรตีที่สำคัญรูปแบบหนึ่งคือ วาไรตีอาบีเลียน ซึ่งเป็นวาไรตีเชิงภาพฉายที่มีจุดบนวาไรตีนี้เป็นกรุปอาบีเลียน ตัวอย่างต้นแบบของวาไรตีอาบีเลียนคือ เส้นโค้งเชิงวงรี ซึ่งมีทฤษฎีที่เกี่ยวข้องมากมาย เส้นโค้งเชิงวงรีเป็นเครื่องมือในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ และยังใช้ใน การเข้ารหัสเส้นโค้งเชิงวงรีอีกด้วย

## อ้างอิง

## ดูเพิ่ม

* 
* 
* 
* ''The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry'' โดย Ravi Vakil
* *[https://stacks.math.columbia.edu/ The Stacks Project]* หนังสือโอเพินซอร์สสำหรับอ้างอิงเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

หมวดหมู่:สาขาของคณิตศาสตร์
หมวดหมู่:เรขาคณิตเชิงพีชคณิต