เซต (คณิตศาสตร์)

[right|thumb|[อินเตอร์เซกชันของเซตสองเซต คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในเซตทั้งสองเซต ดังแสดงในแผนภาพเวนน์ ]]

ในทางคณิตศาสตร์ **เซต** () เป็นกลุ่มหรือหมู่ของสิ่งต่าง ๆ ซึ่งเรียกว่า *สมาชิก*  สมาชิกในเซตอาจเป็นวัตถุในคณิตศาสตร์ใดก็ได้ เช่น จำนวน สัญลักษณ์ จุดในปริภูมิ เส้นตรง หรือแม้กระทั่งเซตอื่น ๆ เราสามารถดำเนินการกับเซตได้  เช่น ยูเนียนของเซตสองเซตเป็นการรวมสมาชิกของเซตสองเซตเข้าด้วยกัน อินเตอร์เซกชันของเซตสองเซตเลือกเอาเฉพาะสมาชิกที่ปรากฏในเซตสองเซต และยังมีความสัมพันธ์ระหว่างเซตอื่น เช่น การเป็นสับเซต เป็นพื้นฐานสำคัญของเซตทั้งสิ้น

เซตถูกกล่าวถึงเป็นครั้งแรกในศตวรรษที่ 19 พร้อมกับทฤษฎีเซตซึ่งเป็นการศึกษาเซตโดยใช้ระบบสัจพจน์ที่รัดกุม แนวคิดเกี่ยวกับเซตนั้นมีความสามารถพอจนทำให้วัตถุในคณิตศาสตร์สามารถนิยามผ่านเซตได้แทบทั้งหมด และบทพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนให้อยู่ในภาษาของเซตได้อย่างรัดกุม ดังนั้นเซตจึงพบได้ทั่วไปในคณิตศาสตร์ปัจจุบัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลซึ่งเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์แทบทุกสาขา

## ต้นกำเนิดของเซต

แนวความคิดเกี่ยวกับเซตปรากฏเริ่มต้นในช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 19 แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโนใช้คำว่าเซต (*Menge*) ในภาษาเยอรมันเป็นคนแรกในงานชื่อ *Paradoxien des Unendlichen* (ปฏิทรรศน์ของอนันต์)

ในส่วนเริ่มแรกของ *Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre* โดย เกออร์ก คันทอร์ (Georg Cantor) ผู้สร้างทฤษฎีเซตคนสำคัญ ให้นิยามของเซตเซตหนึ่งดังต่อไปนี้

### ทฤษฎีเซตอย่างง่าย
แนวความคิดพื้นฐานคือ เซตเป็นสิ่งที่มีสมาชิก (elements หรือ members) เซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อมีสมาชิกเดียวกัน หรืออีกนัยหนึ่ง เซต *A* และ *B* จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวที่อยู่ในเซต *A* เป็นสมาชิกของเซต *B* และ สมาชิกทุกตัวที่อยู่ในเซต *B* เป็นสมาชิกของเซต *A* เรียกคุณสมบัติของเซตนี้ว่า *extensionality* นอกจากนี้เราอาจกำหนดเงื่อนไขของสมาชิกที่จะอยู่ในเซตได้

แนวคิดอย่างง่ายของเซตนี้ถึงแม้จะมีประโยชน์มากในคณิตศาสตร์ แต่นำไปสู่ปฏิทรรศน์ทางตรรกศาสตร์หากไม่กำหนดขอบเขตของการระบุเงื่อนไข เช่น 
* ปฏิทรรศน์ของรัสเซิลล์ กล่าวว่า *เซตของเซตทุกเซตที่ไม่บรรจุตัวมันเอง* จะมีไม่ได้
* ปฏิทรรศน์ของคันทอร์ กล่าวว่า *เซตของเซตทุกเซต* จะมีไม่ได้

ทฤษฎีเซตอย่างง่าย (naïve set theory) แก้ปัญหาด้วยการนิยามเซตให้เป็นกลุ่มหรือหมู่ของสมาชิกที่นิยามดี แต่คำว่า นิยามดี นั้นขอบเขตกว้างจนเกินไป

### ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์
เพื่อแก้ไขปฏิทรรศน์ข้างต้น จึงมีความพยายามนิยามเซตให้รัดกุมโดยใช้สัจพจน์ ในทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ถือว่าเซตเป็น อนิยาม (primitive notion)

## การเขียนอธิบายเซต
ในคณิตศาสตร์นิยมแทนเซตด้วยใช้อักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่แบบตัวเอียง เช่น *A, B, C* นอกจากนี้แล้วอาจใช้คำว่า *คอลเลกชัน* *วงศ์* หรือ *แฟมิลี* แทนเซตที่มีสมาชิกเป็นเซต

### การเขียนระบุสมาชิก
วิธีการระบุเซตโดยการกำหนดสมาชิกของมันโดยเจาะจง ด้วยการใช้กฎหรือการอธิบายด้วย ภาษาทางคณิตศาสตร์ เช่น

:*A* เป็นเซตซึ่งสมาชิกของมันเป็น เลขจำนวนเต็มบวกสี่ตัวแรก
:*B* เป็นเซตของสีของธงชาติฝรั่งเศส

### การแจกแจงสมาชิก
วิธีที่สองคือโดย การแจกแจง นั่นคือ การแจกแจกสมาชิกแต่ละตัวของเซต การนิยามเซตด้วยการแจกแจง สมาชิกจะถูกเขียนแทนด้วยการแจกแจงสมาชิกของเซตภายในวงเล็บปีกกา:

:*C* = {4, 2, 1, 3}
:*D* = {น้ำเงิน, ขาว, แดง}

ในตัวอย่างข้างต้น จะเห็นว่า *A* = *C* และ *B* = *D*

ลำดับที่สมาชิกของเซตถูกเรียงในการนิยามแบบแจกแจกสมาชิกไม่มีความสำคัญ เช่นเดียวกันกับจำนวนสมาชิกที่ซ้ำกันในรายการแจกแจง ตัวอย่างเช่น
:{6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}
เป็นเซตที่เหมือนกันทุกประการ เพราะว่าการแจกแจงสมาชิกเซตมีความหมายเพียงว่าองค์ประกอบแต่ละตัวในรายการแจกแจงเป็นสมาชิกตัวหนึ่งของเซตนั้นแค่นั้นเอง 

สำหรับเซตที่มีสมาชิกจำนวนมาก การระบุของสมาชิกสามารถเขียนอย่างย่อได้ ตัวอย่างเช่น เซตของเลขจำนวนเต็มบวกหนึ่งพันตัวแรกสามารถเขียนแบบแจกแจงได้เป็น:

:{1, 2, 3, ..., 1000}

ที่ซึ่ง การเว้นถ้อยคำไว้ให้เข้าใจเอาเอง (อิลิปซิส, "...") ระบุว่ารายการแจกแจงดำเนินต่อไปในทางที่เห็นได้ชัด อิลิปซิสอาจถูกใช้ในที่ซึ่งเซตมีสมาชิกไม่จำกัด ดังเช่น เซตของเลขจำนวนเต็มคู่บวก เขียนแทนได้ว่า {2, 4, 6, 8, ... }

### การใช้สัญลักษณ์การสร้างเซต
เราอาจใช้สัญลักษณ์การสร้างเซต (set-builder notation) เพื่อระบุสมาชิกในเซตได้  ตัวอย่างเช่น

:*E* = {*x* | *x* เป็นสัญลักษณ์หน้าไพ่}

เครื่องหมายขีดคั่นหมายถึง “โดยที่” และมีเงื่อนไขเขียนด้านหลัง ดังนั้นสัญลักษณ์ข้างต้นจึงหมายถึง “เซตของ *x* ทั้งหมดโดยที่ *x* เป็นสัญลักษณ์หน้าไพ่” ดังนั้น *E* คือเซตซึ่งสมาชิกสี่ตัวของมันคือ ♠, ♦, ♥, และ ♣ ผู้เขียนบางคนอาจใช้สัญลักษณ์โคลอน (:) แทนเครื่องหมายขีดคั่น 

เราสามารถเปลี่ยนสมการด้านหน้าเครื่องหมายขีดคั่นได้ เพื่อให้ได้เซตที่เกิดจากการดำเนินการกับสมาชิกที่กำหนดโดยเงื่อนไขที่ตามหลัง ตัวอย่างเช่น เซต *F* ของจำนวนที่ได้จากการยกกำลังสองแล้วลบด้วยสี่ ของจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดยี่สิบตัวแรกสามารถเขียนได้เป็น:

:*F* = {*n² - 4* **:** *n* เป็นจำนวนเต็ม และ 0 ≤ *n* ≤ 19}

ซึ่งมีสมาชิกเป็น -4, -3, 0, 5, …, 357

## คำศัพท์และสัญลักษณ์ของเซต
# เซตที่เท่ากัน เซตจะแตกต่างกันหรือไม่ขึ้นอยู่กับว่าสมาชิกต่างกันหรือไม่ โดยเซตสองเซตจะเท่ากันเมื่อมีสมาชิกเหมือนกัน
# เซตจำกัดและเซตอนันต์ เซตจำกัดคือเซตที่เราสามารถระบุได้ว่ามีสมาชิกกี่ตัว เซตอนันต์คือเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด
# เซตว่างคือเซตที่ไม่มีสมาชิกเลย
# เอกภพสัมพัทธ์ คือเซตที่ใช้กำหนดขอบเขตของสิ่งที่กำลังพิจารณา แทนด้วย U
# เซตของจำนวนบางชนิด เช่น \mathbb{N} = เซตของจำนวนนับ, \mathbb{Z} = เซตของจำนวนเต็ม, \mathbb{Q} = เซตของจำนวนตรรกยะ, \mathbb{R} = เซตของจำนวนจริง, \mathbb{C} = เซตของจำนวนเชิงซ้อน
# สับเซต A เป็นสับเซตของ B หมายความว่าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B 
# เพาเวอร์เซต ของ A คือเซตที่ประกอบด้วยสับเซตทั้งหมดของ A เขียนแทนโดย P(A)

## การดำเนินการของเซต
# ยูเนียน ของ A และ B คือเซตที่เกิดจากการรวบรวมสมาชิกของ A และ B เข้าไว้ด้วยกัน
# อินเตอร์เซกชัน ของ A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เหมือนกันของ A และ B
# ผลต่าง A – B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของ A ที่ไม่ใช่สมาชิกของ B
# คอมพลีเมนต์ ของ A เขียนแทนด้วย A' คือสับเซตของ U ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่ไม่อยู่ ใน A

## การนับจำนวนสมาชิกของเซต
ถ้า A เป็นเซตจำกัด เราใช้สัญลักษณ์ n(A) หรือ |A| แทนจำนวนสมาชิกของ A
### สูตรการนับจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด
* n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)
* n(A - B) = n(A) - n(A \cap B)
* n(A \cup B)' = n(U) - n(A \cup B)
* n(A)' = n(U) - n(A)

## สมบัติของเซตที่ควรทราบ
ให้ *A*, *B*, *C* เป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์ *U* สมบัติต่อไปนี้จะเป็นจริง

# กฎการสลับที่
#* A \cup B = B \cup A
#* A \cap B = B \cap A
# กฎการเปลี่ยนกลุ่ม
#* (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)
#* (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)
# กฎการแจกแจง
#* A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
#* A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
# กฎการเอกลักษณ์
#* \emptyset \cup A = A
#* \emptyset \cap A = \emptyset

## หลักการเพิ่มเข้าและตัดออก

หลักการเพิ่มเข้าและตัดออกเป็นหลักการนับที่สามารถใช้หาจำนวนสมาชิกของยูเนียนของเซตตั้งแต่สองเซตขึ้นไปได้ หากรู้จำนวนสมาชิกในอินเตอร์เซคชั่น สำหรับเซตสองเซต จะได้สมการเป็น

:\left\vert A \cup B \right\vert = \left\vert A \right\vert + \left\vert B \right\vert - \left\vert A \cap B \right\vert

และสำหรับรูปแบบทั่วไปของเซตมากกว่าสามตัวจะได้ว่า
:\begin{align}
\left|A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup\ldots\cup A_{n}\right|=& \left(\left|A_{1}\right|+\left|A_{2}\right|+\left|A_{3}\right|+\ldots\left|A_{n}\right|\right) \\
&{} - \left(\left|A_{1}\cap A_{2}\right|+\left|A_{1}\cap A_{3}\right|+\ldots\left|A_{n-1}\cap A_{n}\right|\right) \\
&{} + \ldots \\
&{} + \left(-1\right)^{n-1}\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap\ldots\cap A_{n}\right|\right)
\end{align}

## อ้างอิง

## บรรณานุกรม

* 
* 
*

หมวดหมู่:วัตถุทางคณิตศาสตร์
เซต
หมวดหมู่:มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์