อนุพันธ์

[thumb|[กราฟของฟังก์ชันแสดงด้วยเส้นสีดำ และเส้นสัมผัสแสดงด้วยเส้นสีแดง ความชันของเส้นสัมผัสมีค่าเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดสีแดง]]

ในวิชาคณิตศาสตร์ **อนุพันธ์** () ของฟังก์ชันของตัวแปรจริง เป็นการวัดการเปลี่ยนแปลงของค่าของฟังก์ชันเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์ (ค่าที่ป้อนเข้าหรือตัวแปรต้น) อนุพันธ์เป็นเครื่องมือพื้นฐานของแคลคูลัส ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของตำแหน่งของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่เมื่อเทียบกับเวลา คือ ความเร็วของวัตถุนั้น ซึ่งเป็นการวัดว่าตำแหน่งของวัตถุมีการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วเพียงใดเมื่อเวลาผ่านไป

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตัวแปรเดียวที่ตัวแปรต้นใด ๆ คือความชันของเส้นสัมผัส (tangent) ที่สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น เส้นสัมผัสคือการประมาณเชิงเส้นของฟังก์ชันที่ใกล้เคียงที่สุด (best linear approximation) กับค่าตัวแปรต้นนั้น ด้วยเหตุนี้ อนุพันธ์มักอธิบายได้ว่าเป็น "อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง" ซึ่งก็คืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งของตัวแปรตามต่อตัวแปรต้นหรือตัวแปรอิสระ

กระบวนการหาอนุพันธ์เรียกว่า **การหาอนุพันธ์** (differentiation หรือ การดิฟเฟอเรนชิเอต) ส่วนกระบวนการที่กลับกันเรียกว่า *[[ปฏิยานุพันธ์|การหาปฏิยานุพันธ์]]* (antidifferentiation) ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสกล่าวว่าการหาปฏิยานุพันธ์เหมือนกันกับการหาปริพันธ์ (integration หรือ การอินทิเกรต) การหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์เป็นตัวดำเนินการพื้นฐานในแคลคูลัสตัวแปรเดียว

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นมโนทัศน์ (concept) หนึ่งในสองมโนทัศน์หลักของแคลคูลัส (อีกมโนทัศน์หนึ่งคือปฏิยานุพันธ์ ซึ่งคือตัวผกผันของอนุพันธ์)

## นิยาม

### โดยใช้ลิมิต
ฟังก์ชัน f:\R\to\R ของตัวแปรจริงจะหาอนุพันธ์ได้ที่จุด a ในโดเมนของฟังก์ชัน ถ้าโดเมนมีสับเซตเป็นช่วงเปิดที่มี a เป็นสมาชิก และลิมิต

L = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

หาค่าได้ หรืออีกนัยหนึ่ง สำหรับทุกจำนวนจริงบวก \varepsilon จะมีจำนวนจริงบวก \delta ที่ทำให้ ทุกจำนวนจริง h ที่ |h|  และ h \ne 0 แล้วจะได้ว่า f(a+h) หาค่าได้และอสมการด้านล่างนี้เป็นจริง 

\left| L-\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \right| 

โดยเส้นแนวตั้งในสมการข้างต้นแทนฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ นี่เป็นตัวอย่างหนึ่งของนิยาม (ε, δ) ของลิมิต

ถ้าฟังก์ชัน f หาอนุพันธ์ได้ที่ a นั่นคือถ้าลิมิต L จากข้างต้นหาค่าได้ แล้วลิมิตนี้เรียกว่า *อนุพันธ์* ของ f ที่ a  การเขียนอนุพันธ์เขียนได้หลายแบบ อนุพันธ์ของ f ที่ a สามารถเขียนเป็น f'(a) อ่านว่า "f ไพรม์ของ a" หรือเขียนเป็น \frac{df}{dx}(a) อ่านว่า "อนุพันธ์ของ f เทียบ x ที่ a" หรือ "ดีเอฟบายดีเอ็กซ์ที่เอ" ดู  ข้างล่าง

ตัวอย่าง ให้ f เป็นฟังก์ชันกำลังสอง f(x) = x^2  แล้วผลหารในนิยามของอนุพันธ์คือ

\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h} = 2a+h

การหารในขั้นตอนสุดท้ายถูกต้องก็ต่อเมื่อ h \ne 0 ยิ่ง h เข้าใกล้ 0 มากเท่าไร ค่าของผลหารก็จะเข้าใกล้ 2a มากเท่านั้น พบว่าลิมิตหาค่าได้ และสำหรับทุก a ลิมิตจะมีค่าเป็น 2a ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสองคือ f'(x) = 2x

### โดยใช้กณิกนันต์
อีกวิธีคิดหนึ่งของอนุพันธ์ \frac{df}{dx}(a) คือเป็นอัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงกณิกนันต์ของฟังก์ชัน f ต่อการเปลี่ยนแปลงกณิกนันต์ของฟังก์ชัน x  การทำให้แนวคิดนี้รัดกุม จะต้องมีระบบกฎเกณฑ์ในการจัดการกับกณิกนันต์ ระบบจำนวนไฮเพอร์เรียลสามารถจัดการกับปริมาณอนันต์และกณิกนันต์ได้ ไฮเพอร์เรียลเป็นส่วนขยายของจำนวนจริงที่มีจำนวนที่มากกว่าทุกสิ่งในรูป 1+1+\cdots+1 สำหรับทุกพจน์จำกัด  จำนวนดังกล่าวเป็นอนันต์ และส่วนกลับของมันเป็นกณิกนันต์ การประยุกต์ใช้ของจำนวนไฮเพอร์เรียลในรากฐานแคลคูลัสเรียกว่า การวิเคราะห์ที่ไม่มาตรฐาน เป็นการเปิดช่องให้นิยามแนวคิดพื้นฐานของแคลคูลัส เช่น อนุพันธ์ และปริพันธ์ ในรูปของกณิกนันต์ ให้ความหมายที่รัดกุมกับ d ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ ดังนั้นอนุพันธ์ของ f(x) จะกลายเป็น

f'(x) = \operatorname{st}\left( \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \right)

สำหรับทุกกณิกนันต์ dx เมื่อ \operatorname{st} หมายถึงฟังก์ชันส่วนมาตรฐาน ซึ่งปัดทุกไฮเพอร์เรียลจำกัดเป็นจำนวนจริงที่ใกล์ที่สุด เอาฟังก์ชันกำลังสอง f(x) = x^2  เป็นตัวอย่างอีกครั้ง

 \begin{align}
 f'(x) &= \operatorname{st}\left(\frac{x^2 + 2x \cdot dx + (dx)^2 -x^2}{dx}\right) \\
 &= \operatorname{st}\left(\frac{2x \cdot dx +  (dx)^2}{dx}\right) \\
 &= \operatorname{st}\left(\frac{2x \cdot dx}{dx} + \frac{(dx)^2}{dx}\right) \\
 &= \operatorname{st}\left(2x + dx\right) \\
 &= 2x
\end{align}

## การหาอนุพันธ์และอนุพันธ์
*การหาอนุพันธ์* เป็นการคำนวณเพื่อที่จะได้มาซึ่งอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน  ของตัวแปร  คืออัตราที่ค่า  ของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงไปต่อการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร  เรียกว่า *อนุพันธ์*ของ  เทียบกับ  ถ้า  และ  เป็นจำนวนจริง และถ้ากราฟของฟังก์ชัน  ลงจุดเทียบกับ  อนุพันธ์ก็คือความชันของเส้นกราฟในแต่ละจุด

right|thumb|250px|ความชันของฟังก์ชันเชิงเส้น: <math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>
กรณีที่ง่ายที่สุด นอกเหนือจากกรณีของฟังก์ชันคงตัว คือเมื่อ  เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของ  ซึ่งหมายถึงกราฟของ  จะเป็นเส้นตรง ในกรณีนี้  สำหรับจำนวนจริง  และ  และความชัน  ซึ่งกำหนดโดยการเปลี่ยนแปลงของ  หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ  ดังสมการ
:m = \frac{\Delta y}{\Delta x}
เมื่อสัญลักษณ์  (เดลตา) แทนคำว่า "การเปลี่ยนแปลง" สูตรนี้เป็นจริง เพราะว่า
:y+\Delta y=f\left( x+\Delta x\right)
=m\left( x+\Delta x\right) +b 
=mx +m\,\Delta x +b
= y + m\,\Delta x 
เพราะฉะนั้น จะได้
:y+\Delta y=y+m\,\Delta x 
ทำให้ได้
: \Delta y=m\,\Delta x 

ซึ่ง  เป็นค่าที่ถูกต้องของความชันของเส้นกราฟ ถ้าฟังก์ชัน  ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (กล่าวคือ กราฟของมันไม่เป็นเส้นตรง) แล้วการเปลี่ยนแปลงของ  หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ  จะมีค่าแตกต่างกันออกไป การหาอนุพันธ์จึงเป็นวิธีการที่จะหาค่าที่ถูกต้องของอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ค่าตัวแปรต้น  ใด ๆ

แนวคิดนี้ ซึ่งแสดงดังรูปที่ 1 ถึงรูปที่ 3 คือการคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงจากค่าลิมิตของอัตราส่วนของผลต่าง  เมื่อ  เข้าใกล้ค่าที่น้อยมาก

### สัญกรณ์

มีสัญกรณ์สำหรับอนุพันธ์สองแบบที่ใช้กันโดยทั่วไป แบบหนึ่งมาจากไลบ์นิซ และอีกแบบหนึ่งมาจากลากรางจ์ อนุพันธ์อีกแบบหนึ่งซึ่งคิดขึ้นโดยนิวตันมีใช้บ้างในสาขาฟิสิกส์

ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ การเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากของ  แสดงได้เป็น  และอนุพันธ์ของ  เทียบกับ  เขียนได้ดังนี้
:  \frac{dy}{dx} \,\!
แสดงถึงอัตราส่วนของปริมาณที่น้อยมากสองปริมาณ (ข้างบนอ่านว่า "อนุพันธ์ของ *y* เทียบกับ *x*" หรือ "d y บาย d x" รูปแบบ "d y d x" นี้ใช้กันในการสนทนาอย่างบ่อยครั้ง แต่มันอาจทำให้สับสนได้)

ส่วนสัญกรณ์ของลากรางจ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน  เทียบกับ  แสดงได้เป็น  (อ่านว่า "f ไพรม์ของ of x") หรือ  (อ่านว่า "f ไพรม์ x ของ x")

และในสัญกรณ์ของนิวตัน อนุพันธ์ของฟังก์ชันเขียนแทนด้วยจุดบนตัวแปรตาม นั่นคือ ถ้า *y* เป็นฟังก์ชันของ *t* แล้วอนุพันธ์ของ *y* เทียบกับ *t* จะเขียนแทนด้วย \dot{y} ในขณะที่อนุพันธ์อันดับที่สูงขึ้นจะเพิ่มจำนวนจุด เช่น \ddot{y}, \overset{...}{y} สัญกรณ์นี้นิยมใช้สำหรับตัวแปรตามที่ขึ้นกับเวลา

### อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน
thumb|250px|เส้นตัดเข้าใกล้เส้นสัมผัสเมื่อ <math>\Delta x \to 0</math>
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน *f* ที่ *x* ในเชิงเรขาคณิต คือ ความชันของเส้นสัมผัสของกราฟ *f* ที่ *x* เราไม่สามารถหาความชันของเส้นสัมผัสจากฟังก์ชันที่กำหนดให้โดยตรงได้ เพราะว่าเรารู้เพียงจุดบนเส้นสัมผัส ซึ่งก็คือ (*x*, *f* (*x*)) เท่านั้น ในทางอื่น เราจะประมาณความชันของเส้นสัมผัสด้วยเส้นตัด (secant line) หลาย ๆ เส้น ที่มีจุดตัดทั้ง 2 จุดอยู่ห่างกันเป็นระยะทางสั้น ๆ เมื่อหาลิมิตของความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ เราจะได้ความชันของเส้นสัมผัส ดังนั้น อาจนิยามอนุพันธ์ว่าคือ ลิมิตของความชันของเส้นตัดที่เข้าใกล้เส้นสัมผัส

เพื่อหาความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ ให้ *h* เป็นจำนวนที่มีค่าน้อย ๆ *h* จะแทนการเปลี่ยนแปลงน้อย ๆ ใน *x* ซึ่งจะเป็นจำนวนบวกหรือลบก็ได้ ดังนั้น ความชันของเส้นที่ลากผ่านจุด (*x*,*f (x) *) และ (*x+h*,*f (x+h) *) คือ
:{f (x+h) -f (x) \over h}
ซึ่งนิพจน์นี้ก็คือ อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน (Newton's difference quotient) อนุพันธ์ของ *f* ที่ *x* คือ ลิมิตของค่าของผลหารเชิงผลต่าง ของเส้นตัดที่เข้าใกล้กันมาก ๆ จนเป็นเส้นสัมผัส:
:f' (x) =\lim_{h\to 0}{f (x+h) -f (x) \over h}

### ตัวอย่าง
thumb|ฟังก์ชันกำลังสอง
ฟังก์ชันกำลังสอง  หาอนุพันธ์ได้ที่  และอนุพันธ์ของมันที่ตำแหน่งนั้นเท่ากับ 6 ผลลัพธ์นี้มาจากการคำนวณลิมิตของอัตราส่วนของผลต่างของ  เมื่อ  เข้าใกล้ศูนย์:

:
\begin{align}
f'(3) & = \lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{(3+h)^2 - 3^2}{h} \\[10pt]
& = \lim_{h\to 0}\frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{6h + h^2}{h} = \lim_{h\to 0}{(6 + h)}
\end{align}


นิพจน์สุดท้ายแสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนของผลต่างเท่ากับ  เมื่อ  และไม่นิยามเมื่อ  เนื่องจากนิยามของอัตราส่วนของผลต่าง อย่างไรก็ตาม นิยามของลิมิตกล่าวว่าอัตราส่วนของผลต่างไม่จำเป็นต้องนิยามเมื่อ  ลิมิตก็คือผลลัพธ์จากการให้  เข้าสู่ศูนย์ ซึ่งหมายถึงแนวโน้มของค่า  เมื่อ  มีค่าน้อยลงมาก ๆ

: \lim_{h\to 0}{(6 + h)} = 6 + 0 = 6 

ดังนั้น ความชันของกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่จุด  คือ 6 และอนุพันธ์ของมันที่  คือ 

ต่อไปนี้เป็นการคำนวณในทำนองเดียวกันในกรณีทั่วไป ซึ่งแสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสองที่  คือ :

:\begin{align}
f'(a) & = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} \\[0.3em]
& = \lim_{h\to 0}\frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{2ah + h^2}{h} \\[0.3em]
& = \lim_{h\to 0}{(2a + h)} = 2a
\end{align}

### ความต่อเนื่องและการหาอนุพันธ์ได้
ถ้า *f* เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ ณ *a* ได้ *f* จะต้องต่อเนื่องที่ *a* เสมอ ถ้า *f* ไม่ต่อเนื่องที่ *a* จะหาอนุพันธ์ไม่ได้ ตัวอย่างเช่น เลือกจุด *a* และให้ *f* เป็นฟังก์ชันขั้นบันไดที่มีค่า 1 สำหรับ *x* ทั้งหมดที่น้อยกว่า *a* และมีค่า 10 สำหรับ *x* ทั้งหมดที่มากกว่าหรือเท่ากับ *a* แล้ว *f* ไม่สามารถมีอนุพันธ์ได้ที่ *a* โดยหาก *h* เป็นค่าลบ *a + h* จะอยู่ที่ส่วนล่างของขั้นบันได ดังนั้นเส้นตัดจาก *a* ถึง *a + h* นั้นสูงชันมากและเมื่อ *h* มีแนวโน้มเป็นศูนย์ความชันจะไม่มีที่สิ้นสุด หาก *h* เป็นค่าบวก *a + h* จะอยู่บนส่วนสูงของขั้นบันได ดังนั้นเส้นตัดจาก *a* ถึง *a + h* มีความชันเป็นศูนย์ ดังนั้นเส้นตัดจึงไม่ได้เข้าใกล้ความชันเดียว และลิมิตของอัตราส่วนของผลต่างจึงไม่สามารถหาได้

อย่างไรก็ตาม ถึงแม้ว่าฟังก์ชันจะต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง ก็ยังอาจไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ *f(x) = |x|* ต่อเนื่องที่ *x =* 0 แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ หาก *h* เป็นค่าบวกความชันของเส้นตัดจาก 0 ถึง *h* จะเท่ากับ 1 ในขณะที่ถ้า *h* เป็นลบความชันของเส้นตัดจาก 0 ถึง *h* จะเป็น -1 จุดที่หาอนุพันธ์ไม่ได้นี้สามารถเห็นได้ชัดเจนว่าเป็นมุมในกราฟที่ *x* = 0 แต่แม้ฟังก์ชันที่กราฟไม่หักมุมก็ยังอาจจะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดที่ความชันเป็นแนวตั้ง: ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันที่กำหนดโดย *f(x) = x<sup>1/3</sup>* ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ x = 0

สรุปว่า ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์นั้นต่อเนื่อง แต่มีฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่มีอนุพันธ์

ฟังก์ชันส่วนใหญ่ที่พบในทางปฏิบัติมีอนุพันธ์ทุกจุดหรือเกือบทุกจุด เพราะเหตุนี้ ในช่วงแรกของประวัติศาสตร์ของแคลคูลัส นักคณิตศาสตร์หลายคนสันนิษฐานว่าฟังก์ชันต่อเนื่องมีอนุพันธ์ที่จุดส่วนใหญ่ ซึ่งภายใต้เงื่อนไขที่ไม่รุนแรงมาก เช่นถ้าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันโมโนโทนหรือฟังก์ชันลิปชิตส์ สิ่งนี้จะเป็นจริง อย่างไรก็ตามในปี 1872 ไวเออร์ชตราส พบตัวอย่างแรกของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องได้ทุกที่ แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ไหน ตัวอย่างนี้เรียกว่าฟังก์ชันไวเออร์ชตราส ในปี 1931 สเตฟาน บานาค พิสูจน์ว่าเซตของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ในบางจุดเป็นเพียงส่วนเล็ก ๆ ของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมด หมายความว่าการสุ่มฟังก์ชันต่อเนื่องใด ๆ แทบไม่มีโอกาสเลยที่จะหาอนุพันธ์ได้แม้จุดเดียว

## อนุพันธ์ในฐานะฟังก์ชัน
ถ้าฟังก์ชัน *f* สามารถหาค่าอนุพันธ์ได้ในทุกจุดในโดเมนของมัน เราสามารถนิยามฟังก์ชันที่พาค่า *x* ทุกค่าในโดเมนนั้นไปหาค่าของอนุพันธ์ของ *f* ที่ *x* ได้ ฟังก์ชันนี้เขียนแทนด้วย *f*' และเรียกว่า *ฟังก์ชันอนุพันธ์* ของ *f* 

ในกรณีที่ *f* ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ครบทุกจุดในโดเมน ฟังก์ชันที่มีค่าเท่ากับอนุพันธ์นี้สำหรับจุดที่หาได้ และไม่นิยามสำหรับจุดอื่น ๆ ก็สามารถเรียกว่าอนุพันธ์ของ *f* ได้เช่นกัน ซึ่งอนุพันธ์นี้ยังคงเป็นฟีงก์ชัน แต่มีโดเมนเล็กกว่า *f*

จากมุมมองนี้ เราสามารถมองการหาอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันของฟังก์ชัน นั่นคือ อนุพันธ์เป็นตัวดำเนินการที่มีโดเมนเป็นเซตของฟังก์ชันทุกฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุกจุดบนโดเมนของตัวมันเอง และมีเรนจ์เป็นเซตของฟังก์ชัน หากเราแทนตัวดำเนินการนี้ด้วย *D* แล้วจะได้ *D(f) = f*' เนื่องจาก *D(f)* เป็นฟังก์ชัน สามารถหาค่าที่จด *a* ใด ๆ ได้ว่า *D(f)(a) = f'(a)*thumb|250px|แสดงความชันในแต่ละจุดของฟังก์ชัน <math>\scriptstyle f(x)=1 + x\sin x^2</math> ซึ่งจะสังเกตเห็นได้ว่าเส้นที่แสดงความชันที่จุดใด ๆ จะสัมผัส (tangent) กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น ๆ ความชันในที่นี้ก็คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเอง หมายเหตุ สีเขียว คือ ความชันเป็นบวก สีแดง คือ ความชันเป็นลบ สีดำ คือ ความชันเป็นศูนย์

## อนุพันธ์อันดับสูง
หาก *f* เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ โดย *f'<nowiki/>* เป็นอนุพันธ์ของ *f* แล้วอนุพันธ์ของ *f*' อีกทีหนึ่ง (ถ้าอนุพันธ์นี้หาได้) เขียนแทนด้วย *f* และเรียกว่า *อนุพันธ์อันดับสอง* ของ *f* ในทำนองเดียวกัน อนุพันธ์ของ *f* (ถ้าหาได้) เขียนแทนด้วย *f* และเรียกว่า *อนุพันธ์อันดับสาม* ของ *f*  เมื่อทำเช่นนี้ซ้ำไปเรื่อย ๆ เราก็จะได้นิยามของ *อนุพันธ์อันดับที่* *n* ว่าเป็นอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ *n - 1* อนุพันธ์อันดับตั้งแต่สองขึ้นไปนี้โดยรวมเรียกว่า *อนุพันธ์อันดับสูง* ()

อนุพันธ์อันดับสูงมีนัยสำคัญในวิชาฟิสิกส์ กล่าวคือ ถ้า *x(t)* แสดงตำแหน่งของวัตถุที่เวลา *t* แล้วอนุพันธ์อันดับหนึ่งของ *x* แสดงความเร็วของวัตถุ และอันดับสองแสดงความเร่ง

ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ไม่จำเป็นต้องมีอนุพันธ์อันดับสูงกว่านั้น เช่น หาก

f(x) = \begin{cases} +x^2, & x\ge 0 \\ -x^2, & x \le 0\end{cases}

แล้วจะสามารถพิสูจน์ได้ว่า *f* หาอนุพันธ์ได้เท่ากับ

f'(x) = \begin{cases} +2x, & x\ge 0 \\ -2x, & x \le 0\end{cases}

เท่ากับสองเท่าของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ ซึ่งไม่มีอนุพันธ์ที่ *x = 0* ดังนั้น *f* ไม่มีอนุพันธ์อันดับสองที่ค่า *x* นี้

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันสามารถมีอนุพันธ์ขึ้นไปถึงอันดับที่ *k* แต่ไม่มีอนุพันธ์อันดับที่ *k + 1* ซึ่งเรียกว่าฟังก์ชันที่*หาอนุพันธ์ได้ k ครั้ง* และถ้าอนุพันธ์อันดับที่ *k* นี้ต่อเนื่องด้วย จะเรียกฟังก์ชันนั้นว่าอยู่ในคลาส *C<sup>k</sup>* ฟังก์์ชันที่หาอนุพันธ์ได้เรื่อย ๆ โดยไม่จำกัดครั้งเรียกว่า *ฟังก์ชันปรับเรียบ* ()

ฟังก์ชันพหุนามทุกฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัดครั้ง โดยถ้าพหุนามดีกรี *n* ถูกหาอนุพันธ์ *n* ครั้งจะได้ฟังก์ชันค่าคงที่เสมอ และอนุพันธ์อันดับถัดจากนั้นก็จะเป็นศูนย์ทุกอันดับ ดังนั้นฟังก์ชันพหุนามทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันปรับเรียบ

### จุดเปลี่ยนเว้า

จุดที่อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย (จากจำนวนจริงลบเป็นจำนวนจริงบวก หรือในทางกลับกัน) เรียกว่า *จุดเปลี่ยนเว้า* ที่จุดเปลี่ยนเว้า อนุพันธ์อันดับสองอาจเป็นศูนย์ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่  ของฟังก์ชัน  หรืออนุพันธ์อันดับสองอาจหาค่าไม่ได้ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่  ของฟังก์ชัน  ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากฟังก์ชันเว้าไปเป็นฟังก์ชันนูนหรือในทางกลับกันที่จุดเปลี่ยนเว้า

## รายละเอียดสัญกรณ์

### สัญกรณ์ของไลบ์นิซ

สัญลักษณ์ dx, dy และ dx/dy เสนอโดยกอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ ใน ค.ศ. 1675 สัญลักษณ์นี้ใช้กันอย่างทั่วไปเมื่อสมการ  ซึ่งแสดงถึงความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างตัวแปรต้นและตัวแปรตาม อนุพันธ์อันดับหนึ่งเขียนได้ดังนี้

: \frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x),\;\;\mathrm{or}\;\; \frac{d}{dx}f(x)

อนุพันธ์อันดับสูงจะแสดงโดยใช้สัญลักษณ์

: \frac{d^ny}{dx^n},
\quad\frac{d^n f}{dx^n}(x),
\;\;\mathrm{or}\;\;
\frac{d^n}{dx^n}f(x)

สำหรับอนุพันธ์อันดับที่ *n* ของ  (เทียบกับ *x*) ข้างบนเป็นสัญลักษณ์ย่อของการใช้ตัวดำเนินการอนุพันธ์หลายตัว ยกตัวอย่างเช่น
:\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)

ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ เราสามารถเขียนอนุพันธ์ของ *y* ที่จุด  ในรูปที่แตกต่างกันสองแบบ:

: \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} = \frac{dy}{dx}(a)

สัญกรณ์ของไลบ์นิซช่วยให้สามารถระบุตัวแปรในการหาอนุพันธ์ได้ (ในตัวส่วน) โดยเฉพาะในเรื่องการหาอนุพันธ์ย่อย และยังทำให้ง่ายต่อการจำกฎลูกโซ่อีกด้วย:

: \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

### สัญกรณ์ของลากรางจ์
ในบางครั้งเราเรียกว่า *สัญกรณ์ไพรม์* หนึ่งในสัญกรณ์ยุคใหม่ที่ใช้กันมากที่สุดสำหรับการหาอนุพันธ์ ซึ่งมาจากโฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์ โดยใช้เครื่องหมายไพรม์ กล่าวคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน *f*(*x*) เขียนได้ในรูป *f*′(*x*) หรือ *f*′ ในทำนองเดียวกันอนุพันธ์อันดับสองและสามก็เขียนได้ในรูปดังนี้
:(f')'=f*\,</math> &emsp; และ &emsp; <math>(f*)'=f*'</math>
เพื่อที่จะเขียนอนุพันธ์อันดับที่สูงกว่านี้ ผู้เขียนบางคนก็จะใช้เลขโรมันเป็น[[ตัวยกและตัวห้อย|ตัวยก]] หรือบางคนอาจใช้จำนวนนับในวงเล็บ:
:<math>f^{\mathrm{iv}}\,\!</math> &emsp; หรือ &emsp; <math>f^{(4)}</math>
สัญกรณ์ด้านหลัง ถ้าอยู่ในรูปทั่วไปก็คือ *f*<sup> (*n*)</sup> สำหรับอนุพันธ์อันดับ *n* ของ *f* สัญกรณ์นี้มีประโยชน์มากที่สุดเมื่อเราต้องการจะกล่าวถึงอนุพันธ์ในอยู่ในรูปฟังก์ชันของมันเอง ดังเช่นในกรณีนี้ สัญกรณ์ไลบ์นิซอาจกลายเป็นเรื่องยุ่งยาก

=== สัญกรณ์ของนิวตัน ===
สัญกรณ์ของนิวตันสำหรับการหาอนุพันธ์ เรียกได้อีกอย่างหนึ่งว่าสัญกรณ์จุด โดยการเขียนไว้เหนือชื่อฟังก์ชันเพื่อแทนจำนวนครั้งของอนุพันธ์ ถ้า  แล้ว
:<math>\dot{y}</math> &emsp; และ &emsp; <math>\ddot{y}</math>
หมายถึง อนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองของ *y* เทียบกับ *t* ตามลำดับ สัญกรณ์นี้นำไปใช้อย่างเฉพาะทางอย่างเช่น อนุพันธ์เทียบกับเวลา หรือเทียบกับ[[ความยาวส่วนโค้ง]] ซึ่งใช้กันทั่วไปใน[[ฟิสิกส์]] [[สมการเชิงอนุพันธ์]] และ[[เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์]] โดยสัญกรณ์นี้ไม่สามารถที่จะเขียนได้เมื่ออนุพันธ์มีอันดับที่สูงขึ้น ในทางปฏฺบัติ จะใช้เพียงอนุพันธ์ไม่กี่อันดับที่จำเป็นเท่านั้น

=== สัญกรณ์ของออยเลอร์ ===
สัญกรณ์ของ[[เลออนฮาร์ด ออยเลอร์|ออยเลอร์]]จะใช้[[ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์]] *D* ซึ่งจะใช้กับฟังก์ชัน *f* เพื่อที่จะได้อนุพันธ์อันดับหนึ่ง *Df* ส่วนอนุพันธ์อันดับสองเขียนได้ในรูป *D*<sup>2</sup>*f* และอนุพันธ์อันดับ *n* เขียนได้ในรูป *D*<sup>*n*</sup>*f*

ถ้า  เป็นตัวแปรตาม แล้ว *x* จะเป็นตัวห้อยอยู่ใต้ *D* เพื่อบ่งบอกว่ากำลังเทียบกับตัวแปรต้น *x* ดังข้างล่าง
:<math>D_x y\,</math> &emsp; หรือ <math>D_x f(x)\,</math>
แต่ตัวห้อย *x* มักจะถูกละไว้ในฐานที่เข้าใจเพื่อความรวดเร็ว เมื่อมีตัวแปรต้นนี้อยู่ตัวเดียว

สัญกรณ์ของออยเลอร์มีประโยชน์ในการแก้[[สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น]]

== กฎการคำนวณ ==

=== กฎสำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน ===
* *การหาอนุพันธ์ของเลขยกกำลัง*: ถ้า

:<math> f(x) = x^r</math>

เมื่อ *r* เป็น[[จำนวนจริง]]ใด ๆ แล้ว

:<math> f'(x) = rx^{r-1}</math>

เมื่อไรก็ตามที่ฟังก์ชันนี้สามารถหาค่าได้ ตัวอย่างเช่น ถ้า <math>f(x) = x^{1/4}</math> แล้ว

:<math>f'(x) = (1/4)x^{-3/4}</math>

และฟังก์ชันอนุพันธ์สามารถหาค่าได้เฉพาะสำหรับค่า *x* ที่เป็นบวก ไม่ใช่  เมื่อ  กฎนี้จะให้ค่า *f*′(*x*) เป็นศูนย์สำหรับ  ซึ่งกรณีนี้ก็คือกฎค่าคงที่

* *กฎค่าคงที่*: ถ้า *f*(*x*) คือค่าคงที่ แล้ว
:<math>f' = 0</math>

* *ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม*:
:<math> \frac{d}{dx}e^x = e^x</math>

:<math> \frac{d}{dx}a^x = a^x\ln(a)</math>

:<math> \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x},\qquad x > 0</math>

:<math> \frac{d}{dx}\log_a(x) = \frac{1}{x\ln(a)}</math>

* *ฟังก์ชันตรีโกณมิติ*:
:<math> \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)</math>
:<math> \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)</math>
:<math> \frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x)</math>
จากกฎผลคูณและกฎผลหารทำให้ได้
:<math>\frac{d}{dx}\csc (x) = -\csc x\cot x</math>
:<math>\frac{d}{dx}\sec (x) = \sec x \tan x</math>
:<math>\frac{d}{dx}\cot (x) = -\csc^2 x</math>

* *ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน*:
:<math> \frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, -1<x<1</math>
:<math> \frac{d}{dx}\arccos(x)= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, -1<x<1</math>
:<math> \frac{d}{dx}\arctan(x)= \frac{1}</math>

=== กฎสำหรับฟังก์ชันหลายฟังก์ชันรวมกัน ===
ในหลายกรณี การใช้วิธีอัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตันแบบตรง ๆ จะทำให้การคำนวณลิมิตยุ่งยากได้ ซึ่งหลีกเลี่ยงโดยการใช้กฎการหาอนุพันธ์เหล่านี้

* *กฎผลรวม*:
:<math>(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' \,</math> สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด *f* และ *g* และจำนวนจริงทั้งหมด *\alpha* และ *\beta*
* *กฎผลคูณ*:
:<math>(fg)' = f 'g + fg' \,</math> สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด *f* และ *g* ในกรณีพิเศษ กฎนี้รวมถึงข้อเท็จจริงที่ว่า <math>(\alpha f)' = \alpha f'</math> เมื่อไรก็ตามที่ <math>\alpha</math> เป็นค่าคงที่ เพราะว่า <math>\alpha' f = 0 \cdot f = 0</math> จากกฎค่าคงที่
* *กฎผลหาร*:
:<math>\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}</math> สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด *f* และ *g* ของตัวแปรต้นทั้งหมดโดยที่ 
* *กฎลูกโซ่*: ถ้า <math>f(x) = h(g(x))</math> แล้ว
:<math>f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x) \,</math>

=== ตัวอย่างการคำนวณ ===
อนุพันธ์ของ
: <math>f(x) = x^4 + \sin (x^2) - \ln(x) e^x + 7\,</math>

คือ

: <math>
\begin{align}
f'(x) &= 4 x^{(4-1)}+ \frac{d\left(x^2\right)}{dx}\cos (x^2) - \frac{d\left(\ln {x}\right)}{dx} e^x - \ln(x) \frac{d\left(e^x\right)}{dx} + 0 \\
      &= 4x^3 + 2x\cos (x^2) - \frac{1}{x} e^x - \ln(x) e^x
\end{align}
</math>

ในพจน์ที่สองของ  คำนวณโดยใช้[[กฎลูกโซ่]] และพจน์ที่สามใช้[[กฎผลคูณ]] นอกจากนี้ยังใช้กฎการหาอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน ได้แก่ *x*<sup>2</sup>, *x*<sup>4</sup>, sin(*x*), ln(*x'') และ  รวมถึงค่าคงที่ 7 ในพจน์สุดท้าย

## ทั่วไป

## ดูเพิ่ม

* กณิกนันต์
* คณิตวิเคราะห์
* ปฏิยานุพันธ์
* ปริพันธ์
* ตัวผกผันการคูณ

## หมายเหตุ

## อ้างอิง

## แหล่งข้อมูลอื่น
*
*Khan Academy: "Newton, Leibniz, and Usain Bolt"
*
*Online Derivative Calculator from Wolfram Alpha.

หมวดหมู่:แคลคูลัส
หมวดหมู่:ฟังก์ชันและการจับคู่
หมวดหมู่:คณิตวิเคราะห์