กฎของโลปีตาล

thumb|upright=1.5|ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ของกฎของโลปีตาล เมื่อ <math>{\color{orange}f(x)} = \color{orange}\sin(x)</math> และ <math>{\color{red}g(x)} = \color{red} -0.5x</math> ของฟังก์ชัน <math>{\color{brown}h(x)} = {\color{orange}f(x)}/{\color{red}g(x)}</math> จะไม่นิยาม ณ ตำแหน่ง  แต่สามารถทำให้ฟังก์ชันนั้นต่อเนี่องใน <math>\mathbb{R}</math> โดยนิยามให้ <math>{\color{brown} h(0)} = {\color{teal} f'(0)}/{\color{blue}g'(0)} = -2</math>
ในแคลคูลัส **กฎของโลปีตาล** () หรือ **กฎของแบร์นูลลี** () เป็นทฤษฎีบทคณิตศาสตร์ที่ว่าด้วยการหาค่าลิมิตที่อยู่ในรูปแบบยังไม่กำหนด () ด้วยการใช้อนุพันธ์กฎนี้มักนำมาใช้ในการเปลี่ยนรูปแบบยังไม่กำหนด เป็นรูปแบบกำหนด เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณลิมิตโดยการแทนค่าเข้าไปตรง ๆ กฎนี้ถูกตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสกีโยม เดอ โลปีตาล ถึงแม้กฎนี้มักถูกพิจารณาว่าถูกเขียนโดยเดอ โลปีตาล แต่ทฤษฎีบทนี้แบร์นูลลีเป็นคนเสนอให้กับเขา

## ประวัติ
กีโยม เดอ โลปีตาลเผยแพร่กฎนี้ในปี พ.ศ. 2239 (ค.ศ. 1696) ในหนังสือชื่อ *[[Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes]]* เป็นหนังสือเล่มแรกที่เขียนเกี่ยวกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ถึงอย่างไรก็ตาม เชื่อกันว่ากฎนี้ถูกค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสชื่อโยฮันน์ แบร์นูลลี

## รูปทั่วไป
รูปทั่วไปของกฎของโลปีตาลครอบคลุมหลากหลายกรณี ให้ c และ L เป็นจำนวนจริงส่วนขยาย (ต.ย. จำนวนจริง อนันต์บวก อนันต์ลบ) ให้ I เป็นช่วงเปิดที่มี c อยู่ (สำหรับลิมิตสองข้าง) หรือช่วงเปิดที่มี c เป็นจุดปลาย (สำหรับลิมิตข้างเดียว หรือลิมิตที่อนันต์ ถ้า c เป็นอนันต์) สมมติให้ฟังก์ชันค่าจริง f และ g หาอนุพันธ์ได้บน I อาจยกเว้นที่ c และ g'(x) \ne 0 บน I อาจยกเว้นที่ c ด้วย ยังสมมติให้ \lim \limits_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L  ดังนั้นกฎนี้สามารถใช้ได้ในสถานการณ์เมื่ออัตราส่วนของอนุพันธ์มี่ค่าจำกัดหรือไม่จำกัด แต่ใข้ไม่ได้ในสถานการณ์อัตราส่วนแปรปรวนตลอดที่ x มีค่าเข้าไกล้ c

ถ้า
:\lim_{x\to c}f(x) = \lim_{x\to c}g(x) = 0
หรือ
:\lim_{x\to c} |f(x)| = \lim_{x\to c} |g(x)| = \infty 
อย่างใดอย่างหนึ่งแล้ว
:\lim_{x\to c}{f(x)\over g(x)}=L

ถึงแม้ว่าเราจะเขียนในรูป x\to c  ตลอด ลิมิตนั้นอาจเป็นลิมิตข้างเดียว (x\to c^+  หรือ x\to c^-  ) เมื่อ c เป็นจุดปลายจำกัดของ I

ในกรณีที่สองนั้น สมมุติฐานให้ f ลู่ออกไปอนันต์จะไม่ได้ถูกใช้ในบทพิสูจน์ (ดูหมายเหตุตรงท้ายหัวเรื่อง*บทพิสูจน์*) ดังนั้นโดยปกติเงื่อนไขของกฎจะกล่าวไว้ตามข้างบน เงื่อนไขที่เพียงพอที่สองที่จะทำให้กระบวนการของกฎนี้ถูกต้องสามารถกล่าวได้อย่างสั้น ๆ ว่า \lim_{x \to c} |g(x)| = \infty  

สมมุติฐานที่ว่า g'(x) \ne 0 จะพบเห็นได้บ่อยตามงานเขียน แต่บางผู้เขียนละสมมุติฐานนี้โดยการเขียนสมมติฐานอื่น วิธีหนึ่ง คือการนิยามลิมิตของฟังก์ชันนั้นโดยเพิ่มข้อกำหนดทีฟังก์ชันที่ใช้หาลิมิตนั้นต้องถูกนิยามทุกที่บนช่วงที่เกี่ยวข้อง I อาจยกเว้นที่ c อีกวิธี คือให้ทั้ง f และ g จำเป็นที่จะต้องหาอนุพันธ์ได้ทุกที่บนช่วงที่มี c อยู่

## ตัวอย่าง

* ตัวอย่างพื้นฐานที่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ในรูปแบบยังไม่กำหนด \frac{0}{0}  ที่ x=0
\begin{align}
  \lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{x^2+x} &= \lim_{x\to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^x - 1)}{\frac{d}{dx}(x^2+x)} \\[4pt]
  &= \lim_{x\to 0} \frac{e^x}{2x+1} \\[4pt]
  &= 1 
\end{align}

* ตัวอย่างที่ซับซ้อนขึ้นที่เป็น \frac{0}{0}  การใช้กฎของโลปีตาลเพียงครั้งเดียวผลลัพท์ยังคงเป็นรูปแบบยังไม่กำหนดอยู่ ในที่นี้ ลิมิตอาจหาค่าได้โดยการใชกฎของโลปีตาลสามครั้ง

\begin{align}
\lim_{x\to 0}{\frac{2\sin(x)-\sin(2x)}{x-\sin(x)}}
& =\lim_{x\to 0}{\frac{2\cos(x)-2\cos(2x)}{1-\cos(x)}} \\[4pt]
& = \lim_{x\to 0}{\frac{-2\sin(x)+4\sin(2x)}{\sin(x)}} \\[4pt]
& = \lim_{x\to 0}{\frac{-2\cos(x)+8\cos(2x)}{\cos(x)}} \\[4pt]
& ={\frac{-2+8}{1}} \\[4pt]
& = 6 
\end{align}
* ตัวอย่างที่เป็น \frac{\infty}{\infty} 
\lim_{x\to\infty}{\frac{x^n}{e^x}}
=\lim_{x\to\infty}{\frac{nx^{n-1}}{e^x}}
=n\cdot \lim_{x\to\infty}{\frac{x^{n-1}}{e^x}} 
ใช้กฎของโลปีตาลซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าเลขชี้กำลังจะเป็นศูนย์ (ถ้า n เป็นจำนวนเต็ม) หรือติดลบ (ถ้า n เป็นเศษส่วน) ถีงจะสรุปได้ว่าลิมิตมีค่าเป็นศูนย์
* ตัวอย่างที่เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด 0\cdot\infty (ดูข้างล่าง) ซึ่งเขียนใหม่ได้ในรูป \frac{\infty}{\infty} \lim_{x\to 0^+}x \ln x =\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}
  = \lim_{x\to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}
  = \lim_{x\to 0^+} -x = 0.
* สามารถใช้กฎของโลปีตาลในการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ว่า ถ้า f หาอนุพันธ์ได้สองครั้งในบริเวณใกล้เคียงกับ x และอนุพันธ์อันดับสองต่อเนื่องในบริเวณใกล้เคียงนี้ แล้ว\begin{align}
    \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}
    &= \lim_{h\to 0}\frac{f'(x+h)-f'(x-h)}{2h} \\[4pt]
    &= \lim_{h\to 0}\frac{f*(x+h) + f*(x-h)}{2} \\[4pt]
    &= f*(x)
  \end{align}</math>
* บางครั้งมีวิธีพลิกแพลงที่ใช้กฎของโลปีตาล เช่นสมมติให้ <math> f(x) + f'(x)</math> ลู่เข้าเมื่อ <math>x\to \infty </math> และ <math>e^x\cdot f(x)</math> ลู่เข้าหาอนันต์บวกหรืออนันต์ลบ แล้ว<math display="block">
\lim_{x\to\infty }f(x)
= \lim_{x\to\infty}\frac{e^x\cdot f(x)}{e^x}
= \lim_{x\to\infty}\frac{e^x\bigl(f(x)+f'(x)\bigr)}{e^x}
= \lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)+f'(x)\bigr)
</math>ดังนั้นถ้า <math display="inline">\lim_{x\to\infty}f(x)</math> หาค่าได้ แล้ว <math display="inline">\lim_{x\to\infty}f'(x) = 0 </math>

== รูปแบบยังไม่กำหนดอื่น ๆ ==
รูปแบบยังไม่กำหนดอื่น ๆ เช่น <math>1^\infty</math> <math>0^0
</math> <math>\infty^0</math> <math>0\cdot\infty</math> และ <math>\infty-\infty</math> สามารถหาค่าโดยใช้กฎของโลปีตาลได้ เช่นการหาลิมิตทีมี <math>\infty-\infty</math> โดยการเปลี่ยนสองฟังก์ชันที่ลบกันเป็นการหาร

<math>
\begin{align}
\lim_{x\to 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac1{\ln x}\right)
& = \lim_{x\to 1}\frac{x\cdot\ln x -x+1}{(x-1)\cdot\ln x} & \quad (1) \\[6pt]
& = \lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{\frac{x-1}{x}+\ln x} & \quad (2) \\[6pt]
& = \lim_{x\to 1}\frac{x\cdot\ln x}{x-1+x\cdot\ln x}     & \quad (3) \\[6pt]
& = \lim_{x\to 1}\frac{1+\ln x}{1+1+\ln x}     & \quad (4) \\[6pt]
& = \lim_{x\to 1}\frac{1+\ln x}{2+\ln x} \\[6pt]
& = \frac{1}{2}\\
\end{align}
</math>

กฎของโลปีตาลถูกใช้ในขั้นตอนจาก (1) ไป (2) และอีกครั้งในขั้นตอน (3) ไป (4) 

กฎของโลปีตาลใช้ได้กับรูปแบบยังไม่กำหนดที่มี[[การยกกำลัง|เลขยกกำลัง]]โดยใช้[[ลอการิทึม]]ช่วย"ตบเลขยกกำลังลงมา" ตัวอย่างเช่น

<math>
\lim_{x\to 0^+}x^x
= \lim_{x\to 0^+}e^{\ln (x^x)}
= \lim_{x\to 0^+}e^{x\cdot\ln x}
= e^{\lim\limits_{x\to 0^+}(x\cdot\ln x)} 
</math>

ย้ายลิมิตเข้าไปใน[[ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง]]ได้เพราะฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และการที่เลขชี้กำลัง <math>x</math> "อยู่ข้างล่าง" ลิมิต <math>\lim_{x\to 0^+}x\cdot\ln x</math> อยู่ในรูปแบบยังไม่กำหนด <math>0\cdot\infty</math> แต่จากที่ได้แสดงในตัวอย่างข้างบนมา กฎของโลปีตาลยังสามารถบอกได้ว่า

<math>\lim_{x\to 0^+}x\cdot\ln x = 0 </math>  ดังนั้น <math>\lim_{x\to 0^+}x^x = e^0 = 1 </math>

ตารางต่อไปนี้คือรายการรูปแบบยังไม่กำหนดที่พบบ่อย กับการแปลงโดยใช้กฎโลปีตาล


== บทพิสูจน์กฎโลปีตาล ==

=== กรณีพิเศษ ===
การพิสูจน์กฎโลปีตาลนั้นง่ายในกรณีที่ <math>f</math> และ <math>g</math> ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ที่จุด <math>c</math> และหลังหาอนุพันธ์ครั้งแรกจะเจอลิมิตจำกัด จึงไม่ใช่การพิสูจน์กฎโลปีตาลทั่วไปเพราะมีความจำกัดกว่านิยาม ฟังก์ชันทั้งสองต้องต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ และ <math>c</math> เป็นจำนวนจริง เนื่องจากฟังก์ชันทั่วไปต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ (ต.ย. [[พหุนาม]] [[ไซน์]]และ[[โคไซน์]] [[ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง]]) จึงเป็นกรณีที่สมควรแก่การสนใจ

ให้ <math>f</math> และ <math>g</math> ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ที่จำนวนจริง <math>c</math> โดย <math>f(c)=g(c)=0</math> และ <math>g'(c)\neq 0</math> แล้ว <math display="block">
\begin{align}
& \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f(x)-0}{g(x)-0} = \lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)} \\[6pt]
= {} & \lim_{x\to c}\frac{\left(\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\right)}{\left(\frac{g(x)-g(c)}{x-c} \right)} = \frac{\lim\limits_{x\to c}\left(\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\right)}{\lim\limits_{x\to c} \left(\frac{g(x)-g(c)}{x-c}\right)}= \frac{f'(c)}{g'(c)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)} 
\end{align}
</math>มาจากนิยามอัตราส่วนเชิงผลต่างของอนุพันธ์ การเท่ากันครั้งสุดท้ายเกิดจากความต่อเนื่องของอนุพันธ์ที่ <math>c</math> ลิมิตทีสรุปมาได้เป็นรูปแบบกำหนดเพราะ <math>g'(c)\neq 0</math>

บทพิสูจน์ทั่วไปของกฎโลปีตาลได้รับการอธีบายไว้ข้างล่างนี้

=== บทพิสูจน์ทั่วไป ===
บทพิสูจน์ต่อไปนี้เป็นของ ซึ่งพิสูจน์รูปแบบยังไม่กำหนดทั้ง <math display="inline">\frac{0}{0} </math> และ <math display="inline">\frac{\pm\infty}{\pm \infty} </math> เทย์เลอร์ยังทราบว่ามีบทพิสูจน์อื่นอยู่ใน และ

ให้ <math>f</math> และ <math>g</math> เป็นฟังชันที่สอดคล้องกับสมมติฐานที่ตั้งไว้ในหัวข้อ*รูปทั่วไป* ให้ <math>\mathcal{I}</math> เป็นช่วงเปิดในสมมติฐานที่มีจุดปลาย <math>c</math> พิจรณาให้ <math>g'(x)\ne 0</math> บนช่วงนี้ และ <math>g</math> ต่อเนื่อง สามารถเลือก <math>\mathcal{I}</math> ที่เล็กกว่าที่ทำให้ <math>g</math> ไม่เป็นศูนย์บน <math>\mathcal{I}</math> ได้

สำหรับทุก <math>x</math> ในช่วง นิยามให้ <math>m(x)=\inf\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}</math>และ <math>M(x)=\sup\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}</math> โดยที่ <math>\xi</math> มีค่าอยู่ระหว่าง <math>x</math> และ <math>c</math> (ฟังก์ขัน <math display="inline">\inf</math> กับ <math display="inline">\sup</math> คือ[[อินฟิมัม]]กับ[[ซูพรีมัม]]ตามลำดับ)

จากการหาอนุพันธ์ได้ของ <math>f</math> และ <math>g</math> บน <math>\mathcal{I}</math> [[ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยของโคชี]]ยืนยันได้ว่าสำหรับจุดสองจุดใด ๆ <math>x</math> และ <math>y</math> ใน <math>\mathcal{I}</math> จะมี <math>\xi</math> ระหว่างค่า <math>x</math> และ <math>y</math> ที่ทำให้ <math>\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} </math>  ส่งผลให้ <math>m(x)\leq \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)} \leq M(x)</math> สำหรับทุกตัวเลือกค่า <math>x</math> และ <math>y</math> ที่แตกต่างในช่วง

ค่า <math>g(x)-g(y)</math> ไม่เป็นศูนย์เมื่อ <math>x</math> และ <math>y</math> แตกต่างกันในช่วง เพราะถ้ามีค่าเป็นศูนย์ [[ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย]] จะนิรนัยได้ว่ามี <math>p</math> ที่อยู่ระหว่าง <math>x</math> และ <math>y</math> ที่ทำให้ <math>g'(p) = 0 </math>

จากนิยามของ <math>m(x)</math> และ <math>M(x)</math> ทำให้ค่าเป็นจำนวนจริงขยาย และอาจสามารถมีค่าเป็น <math display="inline">\pm\infty </math> ได้  ในกรณีต่อไปนี้ <math>m(x)</math> และ <math>M(x)</math> จะเป็นขอบเขตของอัตราส่วน <math display="inline">\frac fg</math>

*'กรณีที่ 1 \lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0**

สำหรับทุก <math>x</math> ในช่วง <math>\mathcal{I}</math> และจุด <math>y</math> ระหว่าง <math>x</math> และ <math>c</math>

<math>m(x)\le \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(y)}{g(x)}}{1-\frac{g(y)}{g(x)}}\le M(x)</math>

และเมื่อ <math>y</math> มีค่าเข้าใกล้ <math>c</math>  ทั้ง <math>\frac{f(y)}{g(x)}</math> และ <math>\frac{g(y)}{g(x)}</math> จะมีค่าเท่ากับศูนย์ ทำให้

<math display="inline">m(x)\leq\frac{f(x)}{g(x)}\leq M(x)</math>

**กรณีที่ 2 \lim_{x\to c}|g(x)|=\infty**

สำหรับทุก <math>x</math> บนช่วง <math>\mathcal{I}</math> นิยาม <math>S_x=\{y\mid y </math> อยู่ระหว่าง <math>x</math> และ <math>c\}</math>  สำหรับทุกจุด <math>y</math> ระหว่าง <math>x</math> และ <math>c</math>

<math>m(x)\le \frac{f(y)-f(x)}{g(y)-g(x)}=\frac{\frac{f(y)}{g(y)}-\frac{f(x)}{g(y)}}{1-\frac{g(x)}{g(y)}} \le M(x) </math>

โดยที่เมือ <math>y</math> มีค่าเข้าใกล้ <math>c</math> ทั้ง <math>\frac{f(x)} {g(y)}</math> และ <math>\frac{g(x)}{g(y)}</math> จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้น

<math>m(x)\le \liminf_{y\in S_x} \frac{f(y)}{g(y)} \le \limsup_{y\in S_x} \frac{f(y)}{g(y)} \le M(x).</math>

[[ลิมิตอินฟิเรียร์]] และ[[ลิมิตซูพีเรียร์]]นั้นจำเป็นเนื่องจากการมีอยู่ของลิมิต <math display="inline">\frac fg</math> ยังไม่ได้รับการยืนยัน

แบ่งได้เป็นสองกรณีได้แก่

<math>\lim_{x\to c}m(x)=\lim_{x\to c}M(x)=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L </math>

และ

<math>\lim_{x\to c}\left(\liminf_{y\in S_x}\frac{f(y)}{g(y)}\right)=\liminf_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}</math> และ<math>\lim_{x\to c}\left(\limsup_{y\in S_x} \frac{f(y)}{g(y)}\right)=\limsup_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} </math>

ในกรณีแรก [[ทฤษฎีบทการบีบ]]บอกได้ว่า <math>\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}</math> หาค่าได้และเท่ากับ <math>L</math>  ในกรณีที่สอง [[ทฤษฎีบทการบีบ]]ยังบอกได้ว่า <math>\liminf_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\limsup_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math> ดังนั้น <math>\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}</math> หาค่าได้และเท่ากับ <math>L</math> นี่เป็นผลลัพท์ที่ต้องพิสูจน์

ในกรณีที่สอง สมมติฐานที่ว่า <math>f(x)</math> ลู่ออกไปหาอนันต์ไม่ได้ถูกใช้ในบทพิสูจน์ หมายความว่าถ้า **|g(x)|''' ลู่ออกหาอนันต์เมื่อ x เข้าใกล้ c และทั้งf และ g สอดคล้องกับสมมติฐานของกฎของโลปีตาล แล้ว f(x) ไม่จำเป็นที่ต้องมีสมมติฐานเพิ่ม ลิมิตของ f(x) อาจไม่มีก็ได้ ในกรณีนี้ทฤษฎีบทของโลปีตาลเป็นผลสืบเนื่องจากทฤษฎีบทสโตลซ์-เชซาโร

## อ้างอิง


### แหล่งข้อมูล

* 
* 
* 
* 
* 

หมวดหมู่:แคลคูลัส