แฟกทอเรียล

ในทางคณิตศาสตร์ **แฟกทอเรียล** () ของจำนวนเต็มไม่เป็นลบ *n* คือผลคูณของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ *n* เขียนแทนด้วย *n*! (อ่านว่า *n* แฟกทอเรียล)
:n! = n  \cdot  (n-1)  \cdot (n-2)  \cdot  (n-3) \cdot \cdots \cdot  3 \cdot  2 \cdot  1 \,. 
ตัวอย่างเช่น
::5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\;
สำหรับค่าของ 0! ถูกกำหนดให้เท่ากับ 1 ตามหลักการของผลคูณว่าง

การดำเนินการแฟกทอเรียลพบได้ในคณิตศาสตร์สาขาต่าง ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งคณิตศาสตร์เชิงการจัด พีชคณิต และคณิตวิเคราะห์ การพบเห็นโดยพื้นฐานที่สุดคือข้อเท็จจริงที่ว่า การจัดลำดับวัตถุที่แตกต่างกัน *n* สิ่งสามารถทำได้ *n*! วิธี (การเรียงสับเปลี่ยนของเซตของวัตถุ) ข้อเท็จจริงนี้เป็นที่ทราบโดยนักวิชาการชาวอินเดียตั้งแต่ต้นคริสต์ศตวรรษที่ 12 เป็นอย่างน้อย นอกจากนี้ คริสเตียน แครมป์ (Christian Kramp) เป็นผู้แนะนำให้ใช้สัญกรณ์ *n*! เมื่อ ค.ศ. 1808 (พ.ศ. 2351)

นิยามของแฟกทอเรียลสามารถขยายแนวคิดไปบนอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้โดยยังคงมีสมบัติที่สำคัญ ซึ่งเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงยิ่งขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งเทคนิคต่าง ๆ ที่ใช้ในคณิตวิเคราะห์

## นิยาม
ฟังก์ชันแฟกทอเรียลได้นิยามเชิงรูปนัยไว้ดังนี้
:: n!=\prod_{k=1}^n k \!
หรือนิยามแบบเวียนเกิดได้ดังนี้
:: n! = \begin{cases}
1 & \text{if } n = 0 \\
(n-1)!\times n & \text{if } n > 0
\end{cases}


นิยามด้านบนทั้งสองได้รวมกรณีนี้เข้าไปด้วย
::0! = 1\;
ตามหลักการว่าผลคูณของจำนวนที่ไม่มีอยู่เลย (ผลคูณว่าง) มีค่าเท่ากับ 1 สิ่งนี้เป็นประโยชน์เนื่องจาก
* การเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุศูนย์สิ่ง มีเพียงหนึ่งวิธีเท่านั้น (ไม่มีสิ่งใดเรียงสับเปลี่ยน "ทุกสิ่ง" ยังคงอยู่ที่เดิม)
* ความสัมพันธ์เวียนเกิด  ซึ่งสามารถใช้ได้เฉพาะ *n* > 0 จะทำให้ใช้กับกรณี *n* = 0 ได้ด้วย
* นิพจน์ของสูตรต่าง ๆ ที่มีแฟกทอเรียลสามารถใช้งานได้ อย่างเช่นฟังก์ชันเลขชี้กำลังในรูปแบบอนุกรมกำลัง
*: e^x = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
* เอกลักษณ์ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดสามารถใช้งานได้ สำหรับขนาดของวัตถุที่ประยุกต์ใช้ได้ทั้งหมด จำนวนวิธีที่จะเลือกสมาชิก 0 ตัวจากเซตว่างเท่ากับ \tbinom{0}{0} = \tfrac{0!}{0!0!} = 1 หรือโดยนัยทั่วไป จำนวนวิธีที่จะเลือกสมาชิก (ทั้งหมด) *n* ตัวจากเซตที่มีขนาด *n* เท่ากับ \tbinom nn = \tfrac{n!}{n!0!} = 1

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลสามารถนิยามให้กับค่าที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้โดยใช้คณิตศาสตร์ขั้นสูง ดูรายละเอียดด้านล่าง ซึ่งนิยามโดยนัยทั่วไปมากขึ้นเช่นนี้มีใช้ในเครื่องคิดเลขระดับสูงและซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์อาทิเมเพิลหรือแมเทอแมติกา

## การประยุกต์
แม้ว่าฟังก์ชันแฟกทอเรียลมีที่มาจากคณิตศาสตร์เชิงการจัด แต่สูตรที่เกี่ยวข้องกับแฟกทอเรียลก็ปรากฏในคณิตศาสตร์หลายสาขา

* การเรียงสับเปลี่ยน (permutation) โดยพื้นฐานคือการเรียงลำดับวัตถุ *n* สิ่งที่แตกต่างกัน ซึ่งสามารถทำได้ *n*! วิธี
* บ่อยครั้งที่แฟกทอเรียลปรากฏเป็นตัวส่วนในสูตรเพื่ออธิบายว่า การเรียงลำดับของวัตถุไม่มีความสำคัญและถูกเพิกเฉย ตัวอย่างตามแบบฉบับเช่น การจัดหมู่ (combination) วัตถุ *k* สิ่งจากเซตของวัตถุ *n* สิ่ง เราอาจจัดหมู่โดยการเรียงสับเปลี่ยนวัตถุ *k* สิ่ง หมายความว่าเลือกวัตถุสิ่งหนึ่งออกจากเซตทีละครั้งเป็นจำนวน *k* ครั้ง กระทั่งได้จำนวนวิธีรวมเท่ากับ
::n^{\underline k}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)
:อย่างไรก็ตาม การเรียงลำดับของวัตถุที่ถูกเลือกในการจัดหมู่ไม่มีความสำคัญ และเนื่องจากการเรียงลำดับวัตถุ *k* สิ่งสามารถกระทำได้แตกต่างกัน *k*! วิธี เพราะฉะนั้นจำนวนวิธีของการจัดหมู่วัตถุ *k* สิ่งจากเซตของวัตถุ *n* สิ่งที่ถูกต้องจึงควรเท่ากับ
::\frac{n^{\underline k}}{k!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots1}
:ผลลัพธ์ดังกล่าวเป็นที่รู้จักในชื่อสัมประสิทธิ์ทวินาม \tbinom n k เพราะว่ามันเป็นสัมประสิทธิ์ของพจน์ *X**k* ในการกระจาย 
* แฟกทอเรียลปรากฏในพีชคณิตด้วยเหตุผลหลายประการ ตัวอย่างเช่นสัมประสิทธิ์ของสูตรทวินามดังที่กล่าวแล้ว หรือการเฉลี่ยบนการเรียงสับเปลี่ยนเพื่อการทำให้สมมาตร (symmetrization) ของการดำเนินการเฉพาะอย่าง
* แฟกทอเรียลก็มีใช้ในแคลคูลัส ตัวอย่างเช่นตัวส่วนของพจน์ในอนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor series) เพื่อชดเชยข้อเท็จจริงโดยพื้นฐานว่าอนุพันธ์ชั้นที่ *n* ของ *x**n* คือ *n*!
* แฟกทอเรียลก็มีใช้อย่างกว้างขวางในทฤษฎีความน่าจะเป็น
* แฟกทอเรียลมีประโยชน์ทำให้การจัดดำเนินการนิพจน์สะดวกขึ้น ตัวอย่างเช่นจำนวนวิธีของการเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุ *k* สิ่งจากวัตถุ *n* สิ่ง สามารถเขียนได้เป็น
::n^{\underline k}=\frac{n!}{(n-k)!}
:มันอาจถูกใช้เพื่อพิสูจน์สมบัติสมมาตรของสัมประสิทธิ์ทวินาม ในกรณีที่ไม่มีประสิทธิภาพเพียงพอที่จะคำนวณจำนวนเช่นนั้นได้
::\binom nk=\frac{n^{\underline k}}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n^{\underline{n-k}}}{(n-k)!}=\binom n{n-k}

## ทฤษฎีจำนวน
แฟกทอเรียลมีการใช้งานหลายอย่างในทฤษฎีจำนวน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง *n*! สามารถหารด้วยจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ *n* ได้ลงตัว ผลสรุปที่ตามมาคือ *n* > 5 จะเป็นจำนวนประกอบก็ต่อเมื่อ
::(n-1)!\ \equiv\ 0 \pmod n

ทฤษฎีของวิลสัน (Wilson's theorem) ได้กล่าวถึงผลสรุปที่เคร่งครัดมากกว่าดังนี้
::(p-1)!\ \equiv\ -1 \pmod p
ก็ต่อเมื่อ *p* เป็นจำนวนเฉพาะ

อาเดรียง-มารี เลอฌ็องดร์ (Adrien-Marie Legendre) พบว่าการคูณของจำนวนเฉพาะ *p* ที่ปรากฏในการแยกตัวประกอบเฉพาะของ *n*! สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำเป็น
::\sum_{i=1}^{\infty} \left \lfloor \frac{n}{p^i} \right \rfloor
ข้อเท็จจริงนี้มีพื้นฐานบนการนับจำนวนตัวประกอบ *p* ของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง *n*; จำนวนพหุคูณของ *p* ในจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง *n* สามารถพิจารณาได้จากสูตร \textstyle \left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะนับตัวประกอบ *p* เพียงครั้งเดียว ยังคงมีตัวประกอบจำนวน \textstyle \left \lfloor \frac{n}{p^2} \right \rfloor ตัวของ *p* ที่จะต้องนับอีก และยังมีที่คล้ายกันอีกในกำลังสาม สี่ ห้า จนถึงอนันต์ ผลรวมดังกล่าวเป็นจำนวนจำกัดเนื่องจาก *p**i* สามารถมีค่าได้แค่น้อยกว่าหรือเท่ากับ *n* สำหรับ *i* หลายค่าอย่างจำกัด และฟังก์ชันพื้นจะให้ผลลัพธ์เป็น 0 เมื่อใช้กับ *p**i* > *n*

แฟกทอเรียลที่เป็นจำนวนเฉพาะด้วยมีจำนวนเดียวคือ 2 แต่ก็มีจำนวนเฉพาะจำนวนมากที่อยู่ในรูปแบบ *n*! ± 1 เรียกว่าจำนวนเฉพาะเชิงแฟกทอเรียล (factorial prime)

แฟกทอเรียลที่มากกว่า 0! และ 1! เป็นจำนวนคู่ทั้งหมด เพราะว่าเป็นพหุคูณของ 2 นอกจากนี้แฟกทอเรียลที่มากกว่า 5! ก็เป็นพหุคูณของ 10 (และทำให้มีศูนย์ลงท้ายในหลักสุดท้ายเป็นต้นไป) เนื่องจากเป็นพหุคูณของ 5 กับ 2

อนุกรมที่มีแต่ละพจน์เป็นส่วนกลับของแฟกทอเรียล ทำให้เกิดอนุกรมลู่เข้าและมีค่าเท่ากับ e
::\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24}  + \frac{1}{120} + \ldots = e

## อัตราการเติบโตและการประมาณเมื่อ ''n'' มีขนาดใหญ่
300px|thumb|right|การลงจุดของลอการิทึมธรรมชาติของแฟกทอเรียล
เมื่อ *n* มีค่าเพิ่มขึ้น ค่า *n*! จะมีอัตราการเติบโตมากกว่าพหุนามและฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมดที่มี *n* ประกอบอยู่ (แต่ก็ยังน้อยกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น)

การประมาณค่าที่ใกล้เคียงที่สุดของ *n*! ใช้พื้นฐานบนลอการิทึมธรรมชาติดังนี้
::\log n! = \sum_{x=1}^n \log x

กราฟของฟังก์ชัน *f*(*n*) = log *n*! แสดงไว้ในภาพด้านขวา ลักษณะของกราฟดูเหมือนเป็นเส้นตรง (ฟังก์ชันเชิงเส้น) สำหรับทุกค่าของ *n* ที่เป็นไปได้ แต่ความจริงมันไม่ใช่เส้นตรง เราอาจประมาณค่า log *n*! อย่างง่ายโดยกำหนดขอบเขตบนและล่างด้วยปริพันธ์
::\int_1^n \log x \, dx \leq \sum_{x=1}^n \log x \leq \int_0^n \log (x+1) \, dx
ซึ่งจะได้การประมาณค่าดังนี้
::n\log\left(\frac{n}{e}\right)+1 \leq \log n! \leq (n+1)\log\left( \frac{n+1}{e} \right) + 1

เนื่องจากการคำนวณ log *n*! มีประสิทธิภาพเป็น Θ(*n* log *n*) สิ่งนี้จึงมีบทบาทหลักในการวิเคราะห์ความซับซ้อนในการคำนวณของขั้นตอนวิธีการเรียงลำดับ (ดูเพิ่มที่การเรียงลำดับแบบเปรียบเทียบ)

จากขอบเขตของ log *n*! ที่ได้ สามารถลดรูปจนเหลือเพียง
::e\left(\frac ne\right)^n \leq n! \leq e\left(\frac{n+1}e\right)^{n+1}

การใช้สูตรดังกล่าวในทางปฏิบัติบางครั้งสามารถประมาณได้ง่ายกว่าแต่ไม่เคร่งครัด สูตรดังกล่าวสามารถแสดงให้เห็นได้ว่า สำหรับทุกค่าของ *n* จะได้ (n/3)^n  และสำหรับ *n* ≥ 6 จะได้ n!  เป็นต้น

เมื่อ *n* เป็นจำนวนขนาดใหญ่ เรามีวิธีการประมาณค่า *n*! ที่ดีกว่าโดยใช้การประมาณของสเตอร์ลิง (Stirling's approximation)
::n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
ในความเป็นจริง สำหรับทุกค่าของ *n* สูตรดังกล่าวสามารถพิสูจน์ได้ว่า
::n! > \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n

การประมาณค่า log *n*! ที่ดีกว่าอีกสูตรหนึ่ง กำหนดไว้โดย ศรีนิวาสะ รามานุจัน ดังนี้
::\log n! \approx n\log n - n + \frac {\log(n(1+4n(1+2n)))} {6} + \frac {\log(\pi)} {2}

## การขยายแฟกทอเรียลไปยังอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม
### ฟังก์ชันแกมมาและฟังก์ชันพาย

thumb|right|325px|ฟังก์ชันแฟกทอเรียลที่วางนัยทั่วไปบนจำนวนจริงทุกจำนวนยกเว้นจำนวนเต็มลบ ตัวอย่าง 0!&nbsp;=&nbsp;1!&nbsp;=&nbsp;1, (−0.5)!&nbsp;=&nbsp;&radic;''&pi;'', (0.5)!&nbsp;=&nbsp;&radic;''&pi;''/2
นอกเหนือจากจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบแล้ว ฟังก์ชันแฟกทอเรียลสามารถนิยามให้กับค่าอื่นที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้ แต่การทำเช่นนี้จำเป็นต้องใช้เครื่องเครื่องมือขั้นสูงจากคณิตวิเคราะห์ ฟังก์ชันอันหนึ่งที่ "เติมเต็ม" ค่าต่าง ๆ ของแฟกทอเรียล (แต่มีค่าเลื่อนไป 1 ในอาร์กิวเมนต์) เรียกว่าฟังก์ชันแกมมา (Gamma function) เขียนแทนด้วย Γ(*z*) ซึ่งนิยามบนจำนวนเชิงซ้อน *z* ทุกจำนวนยกเว้นจำนวนเต็มลบ และส่วนจริงของ *z* เป็นจำนวนบวก ดังนี้
::\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\, \mathrm{d}t
ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันแกมมากับแฟกทอเรียลเมื่อ *n* เป็นจำนวนธรรมชาติ เป็นดังนี้
::n!=\Gamma(n+1)\,
สูตรดั้งเดิมของออยเลอร์สำหรับนิยามฟังก์ชันแกมมาคือ
::\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\displaystyle\prod_{k=0}^n (z+k)}

ยังมีสัญกรณ์อีกอย่างหนึ่งซึ่งเกาส์เป็นผู้คิดค้นและบางครั้งก็ถูกใช้เช่นกัน นั่นคือ *ฟังก์ชันพาย* (Pi function) เขียนแทนด้วย Π(*z*) นิยามไว้สำหรับจำนวนจริง *z* ที่ไม่น้อยกว่า 0 ดังนี้
::\Pi(z)=\int_0^\infty t^{z} e^{-t}\, \mathrm{d}t
หากเทียบกับฟังก์ชันแกมมาจะได้ว่า
::\Pi(z) = \Gamma(z+1)\,
ฟังก์ชันพายเป็นการขยายแนวคิดแฟกทอเรียลอย่างแท้จริงดังนี้
::\Pi(n) = n!\text{ for }n \in \mathbf{N}\,

ยิ่งไปกว่านี้ ฟังก์ชันพายมีการเวียนเกิดเหมือนกับแฟกทอเรียล แต่ใช้กับจำนวนเชิงซ้อน *z* ทุกจำนวนที่นิยาม
::\Pi(z) = z\Pi(z-1)\,
โดยข้อเท็จจริงความสัมพันธ์เวียนเกิดไม่มีอีกต่อไปแล้ว เว้นแต่ในสมการเชิงฟังก์ชัน เมื่อแสดงในพจน์ของฟังก์ชันแกมมา สมการดังกล่าวจะเปลี่ยนเป็น
::\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)\,

เนื่องจากแฟกทอเรียลถูกขยายโดยฟังก์ชันพาย สำหรับจำนวนเชิงซ้อน *z* ทุกจำนวนที่นิยาม เราจึงสามารถเขียนว่า
::z! = \Pi(z)\,

ค่าของฟังก์ชันเหล่านี้ที่จำนวนเต็มครึ่ง (half-integer) สามารถพิจารณาได้จากสูตรต่อไปนี้ โดยพื้นฐานเราทราบว่า
::\Gamma\left (\frac{1}{2}\right )=\left (-\frac{1}{2}\right )!=\Pi\left (-\frac{1}{2}\right ) = \sqrt{\pi}

เมื่อ *n* เป็นจำนวนธรรมชาติ จะได้สูตร
::\Gamma\left (\frac{1}{2}+n\right ) = \left (-\frac{1}{2}+n\right )! = \Pi\left (-\frac{1}{2}+n\right ) = \sqrt{\pi} \prod_{k=1}^n {2k - 1 \over 2} = {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi} = {(2n-1)! \over 2^{2n-1}(n-1)!} \sqrt{\pi}
ตัวอย่าง
::\Gamma\left (4.5 \right ) = 3.5! = \Pi\left (3.5\right ) = {1\over 2}\cdot{3\over 2}\cdot{5\over 2}\cdot{7\over 2} \sqrt{\pi} = {8! \over 4^4 4!} \sqrt{\pi} = {7! \over 2^7 3!} \sqrt{\pi} = {105 \over 16} \sqrt{\pi} \approx 11.63

และอีกสูตรหนึ่ง
::\Gamma\left (\frac{1}{2}-n\right ) = \left (-\frac{1}{2}-n\right )! = \Pi\left (-\frac{1}{2}-n\right ) = \sqrt{\pi} \prod_{k=1}^n {2 \over 1 - 2k} = {(-4)^n n! \over (2n)!} \sqrt{\pi}
ตัวอย่าง
::\Gamma\left (-2.5 \right ) = (-3.5)! = \Pi\left (-3.5\right ) = {2\over -1}\cdot{2\over -3}\cdot{2\over -5} \sqrt{\pi} = {(-4)^3 3! \over 6!} \sqrt{\pi} = -{8 \over 15} \sqrt{\pi} \approx -0.9453

ฟังก์ชันพายไม่ได้เป็นเพียงฟังก์ชันเดียวที่ขยายแฟกทอเรียล ไปเป็นฟังก์ชันสำหรับจำนวนเชิงซ้อนเกือบทุกจำนวน และไม่ได้เป็นเพียงฟังก์ชันเดียวที่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic function) เมื่อใดก็ตามที่มันถูกนิยาม แต่ไม่ว่าด้วยเหตุผลอันใด ฟังก์ชันพายมักเป็นตัวแทนโดยปริยายเมื่อต้องการหาค่าแฟกทอเรียลของจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทบอร์-โมลเลอรัประบุว่า ฟังก์ชันแกมมาเป็นฟังก์ชันเดียวที่รับค่า 1 แล้วให้ผลลัพธ์เป็น 1, สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน Γ(*n* + 1) = *n*Γ(*n*), เป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิก (meromorphic function) บนจำนวนเชิงซ้อน, และเป็นฟังก์ชันคอนเวกซ์เชิงลอการิทึม (logarithmically convex function) บนแกนจำนวนจริงบวก เงื่อนไขที่คล้ายกันนี้ก็ปรากฏในฟังก์ชันพาย โดยเปลี่ยนสมการเชิงฟังก์ชันเป็น Π(*n*) = *n*Π(*n* − 1)

อย่างไรก็ตาม ก็ยังมีฟังก์ชันเชิงซ้อนอื่นที่เรียบง่ายกว่าฟังก์ชันวิเคราะห์และสอดแทรกแฟกทอเรียลเข้าไป ตัวอย่างเช่น "ฟังก์ชันแกมมา" ของฌัก อาดามาร์ (Jacques Hadamard) ต่างจากฟังก์ชันแกมมาปรกติตรงที่มันเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function)

ออยเลอร์ยังได้สร้างสูตรสำหรับการประมาณค่าด้วยผลคูณลู่เข้าสำหรับแฟกทอเรียลที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ซึ่งเทียบเท่ากับสูตรของฟังก์ชันแกมมาที่ได้กล่าวไว้แล้ว
::\begin{align}
n! = \Pi(n) &= \prod_{k = 1}^\infty \left(\frac{k+1}{k}\right)^n\!\!\frac{k}{n+k} \\
&= \left[ \left(\frac{2}{1}\right)^n\frac{1}{n+1}\right]\left[ \left(\frac{3}{2}\right)^n\frac{2}{n+2}\right]\left[ \left(\frac{4}{3}\right)^n\frac{3}{n+3}\right]\cdots
\end{align}
อย่างไรก็ดี สูตรนี้ไม่ได้ให้วิธีการคำนวณเชิงปฏิบัติของฟังก์ชันพายหรือฟังก์ชันแกมมา เนื่องด้วยอัตราการลู่เข้าของมันนั้นช้า

### การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันแกมมา
ปริมาตรของทรงกลม ''n'' มิติที่มีรัศมี *R* หน่วย คำนวณได้จากสูตร
::V_n=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma((n/2)+1)}R^n

## ฟังก์ชันที่มีลักษณะคล้ายกับแฟกทอเรียล
### มัลติแฟกทอเรียล
**มัลติแฟกทอเรียล** เป็นฟังก์ชันที่เขียนอยู่ในรูปแบบ n!, n!! หรือมีเครื่องหมายแฟกทอเรียลมากกว่านั้น

*n*!! หมายถึง **ดับเบิลแฟกทอเรียล** ของ *n* ซึ่งนิยามโดย

:
  n!!=
  \left\{
   \begin{matrix}
    1,\qquad\quad\ &&\mbox{if }n=0\mbox{ or }n=1;
   \\
    n (n-2) !!&&\mbox{if }n\ge2.\qquad\qquad
   \end{matrix}
  \right.
 

ตัวอย่างเช่น 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 and 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945 ลำดับของดับเบิลแฟกทอเรียล สำหรับ *n* = 0, 1, 2,... ได้แก่
:1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

จากนิยามดังกล่าวทำให้สามารถหาดับเบิลแฟกทอเรียลของจำนวนเต็มลบได้คือ

: (n-2) !!=\frac{n!!}{n}

ลำดับของดับเบิลแฟกทอเรียลสำหรับ *n* = -1, -3, -5, -7,... คือ
: 1, -1, , , ...

เอกลักษณ์ของดับเบิลแฟกทอเรียลได้แก่

:n!=n!! (n-1) !! \,

: (2n) !!=2^nn! \,

: (2n+1) !!={(2n+1) !\over (2n) !!}={(2n+1) !\over2^nn!}

:\Gamma\left (n+{1\over2}\right) =\sqrt{\pi}\,\,{(2n-1) !!\over2^n}

:\Gamma\left ({n\over2}+1\right) =\sqrt{\pi}\,\,{n!!\over2^{(n+1)/2}}

ฟังก์ชันมัลติแฟกทอเรียลอื่นๆ ที่มีเครื่องหมายแฟกทอเรียล k เครื่องหมาย มีนิยามโดย

:
  n!^{(k)}=
  \left\{
   \begin{matrix}
    1,\qquad\qquad\ &&\mbox{if }0\le n

### ซูเปอร์แฟกทอเรียล
ซูเปอร์แฟกทอเรียล มีรูปแบบคือ

:
  \mathrm{sf} (n)
  =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1}
  =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots (n-1) ^2\cdot n^1.
 

เช่น ซูเปอร์แฟกทอเรียลของ 4 คือ

: \mathrm{sf} (4) =1! \times 2! \times 3! \times 4!=288 \,

## อ้างอิง

ฟแฟกทอเรียล
ฟแฟกทอเรียล
ฟแฟกทอเรียล