แมนิโฟลด์

ในคณิตศาสตร์ **แมนิโฟลด์** () เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ใกล้ ๆ แต่ละจุดจะเหมือนปริภูมิยูคลิเดียน หรือให้รัดกุมกว่านั้นคือแมนิโฟลด์มิติ n หรือเรียกว่า  *<math>n</math>-แมนิโฟลด์*  เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่แต่ละจุดมีย่านใกล้เคียงที่สมานสัณฐานกับเซตเปิดในปริภูมิยุคลิเดียนมิติ n

ตัวอย่างแมนิโฟลด์หนึ่งมิติ เช่น เส้นตรงและวงกลม แต่ไม่รวมเส้นโค้งที่ตัดตัวเอง เช่น รูปเลข 8 ในขณะที่แมนิโฟลด์สองมิตินิยมเรียกว่าพื้นผิว (surface) ตัวอย่างพื้นผิว เช่น ระนาบ ทรงกลม ทอรัส และรวมไปถึงขวดไคลน์ และระนาบจริงเชิงภาพฉาย

แนวคิดเรื่องแมนิโฟลด์เป็นหัวใจหลักของเรขาคณิตและฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ทั้งนี้เพราะแมนิโฟลด์สามารถใช้อธิบายปริภูมิหรือโครงสร้างที่สลับซับซ้อนในเทอมของทอพอโลยีของปริภูมิที่ง่ายกว่าได้ นอกจากนี้อาจมองแมนิโฟลด์ว่าผลเฉลยของระบบสมการ หรือกราฟของฟังก์ชันได้ ซึ่งมีประยุกต์ใช้ในงานคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ที่ต้องสร้างภาพจากระบบพิกัด เช่น ระบบซีทีสแกน 

แมนิโฟลด์อาจมีโครงสร้างเพิ่มขึ้นมาได้อีก ตัวอย่างชั้นของแมนิโฟลด์ที่สำคัญ ได้แก่ แมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้ (differentiable manifold) ซึ่งมีโครงสร้างหาอนุพันธ์ได้ทำให้สามารถใช้แคลคูลัสบนแมนิโฟลด์ได้ การระบุเมทริกรีมันเนียนบนแมนิโฟลด์สามารถใช้วัดระยะทางและมุมได้ แมนิโฟลด์ซิมเพลคติกเป็นปริภูมิเฟสในกลศาสตร์ดั้งเดิมรูปแบบแฮมิลโทเนียน และแมนิโฟลด์ลอเรนเซียนสี่มิติใช้จำลองปริภูมิ-เวลาในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

## ตัวอย่างของแมนิโฟลด์

### วงกลม

วงกลมเป็นตัวอย่างของแมนิโฟลด์ที่ง่ายที่สุดถัดจากเส้นตรง ในวิชาทอพอโลยีไม่สนใจการบิดงอ ดังนั้นชิ้นส่วนเล็ก ๆ ของวงกลมจึงมีสมบัติเชิงทอพอโลยีเหมือนกันกับเส้นตรง พิจารณาส่วนของวงกลมหนึ่งหน่วย  *x*2&nbsp;+&nbsp;*y*2&nbsp;=&nbsp;1 เฉพาะส่วนท่อนบนที่ค่าพิกัด *y* เป็นค่าบวก (แสดงด้วยส่วนสีเหลืองในรูป 1) ทุกจุดบนส่วนนี้สามารถระบุได้เพียงแบบเดียวโดยอาศัยค่าพิกัด *x* เท่านั้น  

ดังนั้นการฉายส่วนของวงกลมนี้ลงบนแกน x จะเป็นการส่งที่ต่อเนื่องและหาอินเวอร์สได้จากส่วนโค้งบน (top) ไปยังช่วงเปิด (−1, 1)

 \chi_{\mathrm{top}}(x,y) = x  \,

ฟังก์ชันแบบดังกล่าว และบริเวณเปิดที่ส่งไปหาเรียกรวมกันว่า ชาร์ท (charts, *แผนที่*) ในทำนองเดียวกันมีชาร์ทสำหรับส่วนล่าง (bottom) ส่วนซ้าย (left) และส่วนขวา (right) ของวงกลม 

\begin{align}
  \chi_\mathrm{bottom}(x, y) &= x \\
    \chi_\mathrm{left}(x, y) &= y \\
   \chi_\mathrm{right}(x, y) &= y
\end{align}

รวมกันแล้วชาร์ททั้งหมดคลุมวงกลมทั้งวง และชาร์ททั้งสี่ประกอบกันเป็นแอตลาส (atlas) ของวงกลม

ชาร์ทบน \chi_\mathrm{top} และชาร์ทขวา  \chi_\mathrm{right} ต่างมีส่วนทับกันบนโดเมนของมัน จะเห็นว่าเป็นบริเวณซ้อนทับระหว่างสีเหลืองและสีเขียว ซึ่งเป็นส่วนของวงกลมที่พิกัด x และ y เป็นบวกทั้งคู่ ชาร์ททั้งสองส่งส่วนซ้อนทับนี้ไปบนช่วง (0,1) แต่ว่าส่งต่างกัน ดังนั้นเราอาจพิจารณาฟังก์ชัน  T:(0,1)\rightarrow(0,1)=\chi_\mathrm{right} \circ \chi^{-1}_\mathrm{top} ได้

ให้ *a* เป็นจำนวนจริงใด ๆ ในช่วง (0,1) แล้ว:
\begin{align}
 T(a) &= \chi_\mathrm{right}\left(\chi_\mathrm{top}^{-1}\left[a\right]\right) \\
      &= \chi_\mathrm{right}\left(a, \sqrt{1 - a^2}\right) \\
      &= \sqrt{1 - a^2}
\end{align}

ฟังก์ชัน T แบบข้างต้นเรียกว่า ''transition map''

ชาร์ททั้งสี่ไม่ใช่แอตลาสเดียวที่เป็นไปได้สำหรับวงกลม พิจารณาชาร์ท
\chi_\mathrm{minus}(x, y) = s = \frac{y}{1 + x}
และ
\chi_\mathrm{plus}(x, y) = t = \frac{y}{1 - x}

ในที่นี้ *s* คือความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (*x*,&nbsp;*y*) และจุด (−1,&nbsp;0) ในทำนองเดียวกัน *t* เป็นค่าลบของความชันของเส้นตรงที่ผ่านพิกัด (*x*,&nbsp;*y*) และ (+1,&nbsp;0) จะได้การส่งอินเวอร์สจาก *s* ไปยัง (*x*,&nbsp;*y*) นั้นกำหนดโดย
\begin{align}
  x &= \frac{1 - s^2}{1 + s^2} \\[5pt]
  y &= \frac{2s}{1 + s^2}
\end{align}

สามารถตรวจสอบได้ว่า *x*2&nbsp;+&nbsp;*y*2&nbsp;=&nbsp;1 สำหรับทุกค่า *s* และ *t* ชาร์ททั้งสองเป็นแอตลาสอันที่สองสำหรับวงกลม โดยมี transition map คือ
t = \frac{1}{s}
(สำหรับทุกจุดที่ทั้ง *s* และ *t* ไม่เป็นศูนย์)

แต่ละชาร์ทจะไม่มีจุดอยู่หนึ่งจุด ได้แก่ (−1,&nbsp;0) สำหรับ *s* หรือ (+1,&nbsp;0) สำหรับ *t* ตามลำดับ ฉะนั้นชาร์ทเดียวจึงไม่สามารถคลุมวงกลมทั้งวงได้ และสามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่มีชาร์ทเดียวอันใดสามารถคลุมวงกลมได้ทั้งหมด

### ทรงกลม
ทรงกลมเป็นตัวอย่างของพื้นผิว ทรงกลมหนึ่งหน่วยที่กำหนดโดยสมการโดยปริยาย
:
สามารถใช้ชาร์ทหกอันคลุมได้ดังนี้ ระนาบ  จะตัดทรงกลมออกเป็นสองครึ่ง ( และ ) ซึ่งสามารถส่งไปยังดิสก์  ด้วยการฉายลงบนระนาบ   ทำให้ได้ชาร์ทสองอัน และอีกสี่ชาร์ทที่เหลือนั้นทำคล้าย ๆ กัน

เช่นเดียวกันกับวงกลม เราอาจหาชาร์ทที่เกือบคลุมทั้งทรงกลมเว้นแต่เพียงจุดหนึ่ง ฉะนั้นสองชาร์ทนั้นเพียงพอในการคลุมทรงกลม แต่ไม่สามารถทำได้ด้วยชาร์ทเดียว

ตัวอย่างนี้สำคัญในทางประวัติศาสตร์ และเป็นที่มาของคำว่าชาร์ทและแอตลาส พื้นผิวของโลกไม่สามารถทำออกมาเป็นแผนที่ระนาบเพียงอันเดียวได้ ฉะนั้นต้องใช้แอตลาสหรือสมุดแผนที่ (atlas) เพื่อครอบคลุมพื้นผิวของโลกทั้งหมด

### เส้นโค้งอื่น ๆ

แมนิโฟลด์ไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิเชื่อมโยง (ติดกันเป็นชิ้นเดียว) ตัวอย่างเช่น วงกลมสองวงเป็นแมนิโฟลด์ และแมนิโฟลด์ไม่จำเป็นต้องเป็นเซตปิด ฉะนั้นส่วนของเส้นตรงที่ไม่มีจุดปลายก็เป็นแมนิโฟลด์ 

ตัวอย่างของแมนิโฟลด์ เช่น  พาราโบลา, ไฮเพอร์โบลา และทางเดินของจุดบนเส้นโค้งกำลังสาม  ซึ่งมีสองส่วน

ตัวอย่างของปริภูมิที่ไม่ใช่แมนิโฟลด์เช่น รูปเลข 8 ซึ่งไม่มีชาร์ทที่เหมาะสมสำหรับจุดตัดของวงกลมทั้งสองได้

## นิยามทางคณิตศาสตร์

ถ้าจะกล่าวโดยง่าย แมนิโฟลด์คือปริภูมิที่จำลองมาจากปริภูมิยูคลิเดียน แมนิโฟลด์อื่นที่ศึกษาเกิดจากการระบุโครงสร้างเพิ่มเติมไปบนแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีซึ่งจะได้นิยามด้านล่าง

### แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี
ให้ X เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี จะกล่าวว่า X เป็น**แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี** (topological manifold) หากมีสมบัติดังต่อไปนี้

# X เป็นปริภูมิเฮาสดอร์ฟฟ์ (Hausdorff space) 
# X เป็นปริภูมินับได้อันดับสอง (second countable)
# X สมานสัณฐานเฉพาะที่กับปริภูมิยูคลิเดียนมิติ n (locally homeomorphic to \R^n)

เงื่อนไขการเป็นเป็นปริภูมิเฮาสดอร์ฟฟ์และการเป็นปริภูมินับได้อันดับสองเป็นเงื่อนไขทางทอพอโลยีที่ตัดกรณีที่ "ไม่เหมาะ" จะพิจารณาเช่น เส้นตรงยาว (long line) หรือเส้นตรงที่มีจุดกำเนิดสองจุด (line with two origins) 

เงื่อนไขที่เสนอว่าแมนิโฟลด์จำลองมาจากปริภูมิยูคลิเดียน คือการที่ X *สมานสัณฐานเฉพาะที่* กับปริภูมิยูคลิเดียนมิติ n นั่นคือแต่ละจุดจะมีย่านใกล้เคียงที่สมานสัณฐานกับปริภูมิยูคลิเดียนมิติ n สำหรับบางจำนวนนับ n ภาวะสมานสัณฐานสื่อถึงการมีคุณสมบัติเชิงทอพอโลยีเหมือน ๆ กันระหว่างปริภูมิยูคลิเดียนและย่านใกล้เคียงรอบแต่ละจุด

ค่า n ที่ปรากฏเรียกว่า *มิติเฉพาะที่* (local dimension) ของแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี โดยทั่วไปเรากำหนดให้แมนิโฟลด์จะต้องมีมิติเฉพาะที่เท่ากันทุกจุด ซึ่งเป็นจริงสำหรับแมนิโฟลด์เชื่อมโยง แต่หนังสือบางเล่มอาจยอมให้แมนิโฟลด์ไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิเชื่อมโยง และแต่ละจุดอาจจะมีมิติที่แตกต่างกัน 

ในมุมมองทางทฤษฎีชีฟ แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีเป็นปริภูมิมีริงเฉพาะที่ (locally ringed space) ที่มีชีฟโครงสร้างที่สมสัณฐานเฉพาะที่กับชีฟของฟังก์ชันต่อเนื่องบนปริภูมิยูคลิเดียน นี่เป็นมุมมองสำหรับแมนิโฟลด์ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

## หมายเหตุ

## อ้างอิง

* Freedman, Michael H., and Quinn, Frank (1990) *Topology of 4-Manifolds*. Princeton University Press. .
* Guillemin, Victor and Pollack, Alan (1974) *Differential Topology*. Prentice-Hall. . Advanced undergraduate / first-year graduate text inspired by Milnor.
* Hempel, John (1976) *3-Manifolds*. Princeton University Press. .
* Hirsch, Morris, (1997) *Differential Topology*. Springer Verlag. . The most complete account, with historical insights and excellent, but difficult, problems. The standard reference for those wishing to have a deep understanding of the subject.
* Kirby, Robion C. and Siebenmann, Laurence C. (1977) *Foundational Essays on Topological Manifolds. Smoothings, and Triangulations*. Princeton University Press. . A detailed study of the category of topological manifolds.
* Lee, John M. (2000) *Introduction to Topological Manifolds*. Springer-Verlag. . Detailed and comprehensive first-year graduate text.
* Lee, John M. (2003) **'. Springer-Verlag. . Detailed and comprehensive first-year graduate text; sequel to ''Introduction to Topological Manifolds''.
* [[William S. Massey|Massey, William S.]] (1977) ''Algebraic Topology: An Introduction''. Springer-Verlag. .
* [[John Milnor|Milnor, John]] (1997) ''Topology from the Differentiable Viewpoint''. Princeton University Press. . Classic brief introduction to differential topology.
* [[James Munkres|Munkres, James R.]] (1991) **'.  Addison-Wesley (reprinted by Westview Press) . Undergraduate text treating manifolds in \R^n.
* Munkres, James R. (2000) *Topology*. Prentice Hall. .
* Neuwirth, L. P., ed. (1975) *Knots, Groups, and 3-Manifolds. Papers Dedicated to the Memory of R. H. Fox*. Princeton University Press. .
* Riemann, Bernhard, *Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass*, Sändig Reprint. .
** *[http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Grund/ Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse.]* The 1851 doctoral thesis in which "manifold" (*Mannigfaltigkeit*) first appears.
** *[http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom/ Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen.]* The 1854 Göttingen inaugural lecture (*Habilitationsschrift*).
* Spivak, Michael (1965) **. W.A. Benjamin Inc. (reprinted by Addison-Wesley and Westview Press). . Famously terse advanced undergraduate / first-year graduate text.
* Spivak, Michael (1999) *A Comprehensive Introduction to Differential Geometry* (3rd edition) Publish or Perish Inc.  Encyclopedic five-volume series presenting a systematic treatment of the theory of manifolds, Riemannian geometry, classical differential geometry, and numerous other topics at the first- and second-year graduate levels.
* . Concise first-year graduate text.

## แหล่งข้อมูลอื่น

* 
* Dimensions-math.org (A film explaining and visualizing manifolds up to fourth dimension.)
* The manifold atlas  project of the Max Planck Institute for Mathematics in Bonn

หมวดหมู่:แมนิโฟลด์