ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

thumb|200px|right|กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง <math>y = e^x</math>
**ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง** หรือ **ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล** () หมายถึงฟังก์ชัน *e**x* เมื่อ ''e'' คือจำนวนที่ทำให้ฟังก์ชัน *e**x* เท่ากับอนุพันธ์ของมันเอง (ซึ่ง *e* มีค่าประมาณ 2.718281828) ฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกใช้เพื่อจำลองความสัมพันธ์ เมื่อการเปลี่ยนแปลงคงตัวในตัวแปรอิสระ ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วนเดียวกันในตัวแปรตาม (เช่นการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของอัตราร้อยละ) ฟังก์ชันนี้มักเขียนเป็น exp(*x*) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตัวแปรอิสระเขียนเป็นตัวยกไม่ได้

กราฟของฟังก์ชัน *y* = *e**x* มีลักษณะตั้งชันขึ้นและมีอัตราเพิ่มค่าเร็วยิ่งขึ้นเมื่อ *x* เพิ่มขึ้น กราฟจะวางตัวอยู่เหนือแกน *x* เสมอ แต่เมื่อ *x* เป็นลบกราฟจะลู่เข้าแกน *x* ดังนั้นแกน *x* จึงเป็นเส้นกำกับแนวนอน (horizontal asymptote) เส้นหนึ่งของกราฟนี้ ความชันของกราฟแต่ละจุดมีค่าเท่ากับพิกัด *y* ของจุดนั้น ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือลอการิทึมธรรมชาติ ln(*x*) ด้วยเหตุนี้ตำราบางเล่มจึงอ้างถึงฟังก์ชันเลขชี้กำลังว่าเป็น *แอนติลอการิทึม* (antilogarithm)

ในบางกรณีคำว่า *ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง* ก็มีใช้ในความหมายทั่วไปยิ่งขึ้น สำหรับฟังก์ชันต่าง ๆ ที่อยู่ในรูปแบบ *cb**x* เมื่อ *b* คือฐานที่เป็นจำนวนจริงบวก ไม่จำเป็นต้องเป็น *e* ดูเพิ่มที่การเติบโตแบบเลขชี้กำลังสำหรับความหมายนี้

โดยทั่วไปตัวแปร *x* สามารถเป็นจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน หรือแม้แต่วัตถุทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ ที่ต่างชนิดกันอย่างสิ้นเชิงก็ได้ ดูรายละเอียดที่ นิยามเชิงรูปนัย

## ภาพรวม
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเกิดขึ้น เมื่อใดก็ตามที่ปริมาณอย่างหนึ่งเติบโตหรือเสื่อมสลายในอัตราที่ได้สัดส่วนกับค่าปัจจุบัน ตัวอย่างสถานการณ์นี้เช่นดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง เมื่อ ค.ศ. 1683 ยาคอบ แบร์นูลลี (Jocob Bernoulli) พบว่ามันเป็นเช่นนั้นโดยข้อเท็จจริง และนำไปสู่จำนวน *e* ที่ไม่ทราบค่าดังนี้
::\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
ต่อมา ค.ศ. 1697 โยฮันน์ แบร์นูลลี (Johann Bernoulli) ก็ได้ศึกษาแคลคูลัสของฟังก์ชันเลขชี้กำลังดังกล่าว

ถ้ามีเงินต้นจำนวน 1 และได้รับดอกเบี้ยในอัตรารายปี *x* โดยทบต้นรายเดือน ดังนั้นอัตราดอกเบี้ยที่ได้รับต่อเดือนจึงเป็น *x*/12 เท่าของมูลค่าปัจจุบัน แต่ละเดือนจึงมียอดรวมของเดือนก่อนหน้าคูณด้วย (1+*x*/12) ในที่สุดมูลค่าที่ได้เมื่อสิ้นปีจึงเท่ากับ (1+*x*/12)12 ถ้าคิดดอกเบี้ยทบต้นรายวันแทน มูลค่าจะกลายเป็น (1+*x*/365)365 และถ้ากำหนดให้จำนวนช่วงเวลาต่อปีเพิ่มขึ้นโดยไม่จำกัด จะนำไปสู่นิยามของลิมิตของฟังก์ชันเลขชี้กำลังดังนี้
::\exp(x) = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}
นิยามนี้กำหนดไว้โดยออยเลอร์ สิ่งนี้เป็นการอธิบายลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันเลขชี้กำลังวิธีหนึ่ง ส่วนวิธีการอื่นจะเกี่ยวข้องกับอนุกรมและสมการเชิงอนุพันธ์

จากนิยามใด ๆ เหล่านี้สามารถแสดงได้ว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นไปตามเอกลักษณ์การยกกำลังพื้นฐาน

::\exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)....
จึงเป็นที่มาว่าเหตุใดฟังก์ชันเลขชี้กำลังจึงสามารถเขียนในรูปแบบ *e**x* ได้

อนุพันธ์ (อัตราการเปลี่ยนแปลง) ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง คือฟังก์ชันเลขชี้กำลังโดยตัวมันเอง หรืออีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันที่มีอัตราการเปลี่ยนแปลงได้สัดส่วนกับฟังก์ชันตัวเอง (แทนที่จะหมายถึงเท่ากับตัวเอง) สามารถแสดงได้ในรูปแบบฟังก์ชันเลขชี้กำลัง สมบัติของฟังก์ชันข้อนี้นำไปสู่การอธิบายการเติบโตและการเสื่อมสลายแบบเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังขยายแนวคิดเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) ชนิดหนึ่งบนระนาบเชิงซ้อน สูตรของออยเลอร์เกี่ยวข้องกับค่าของฟังก์ชันเมื่อส่งค่าอาร์กิวเมนต์ส่วนจินตภาพไปยังฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็มีสิ่งที่คล้ายกันสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นเมทริกซ์ หรือแม้แต่สมาชิกของพีชคณิตแบบบานัค (Banach algebra) หรือพีชคณิตแบบลี (Lie algebra)

## นิยามเชิงรูปนัย

right|thumb|ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (สีน้ำเงิน) และผลบวกของ ''n''&nbsp;+&nbsp;1 พจน์แรกของอนุกรมกำลัง (สีแดง)
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง *e**x* สามารถอธิบายลักษณะเฉพาะได้เทียบเท่ากันหลายวิธีการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันเลขชี้กำลังอาจนิยามด้วยอนุกรมกำลังต่อไปนี้ 
::e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots
การใช้นิยามวิธีอื่นของฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็จะให้ผลลัพธ์เหมือนกันเมื่อขยายเป็นอนุกรมเทย์เลอร์

*e**x* อาจถูกนิยามให้เป็นคำตอบ *y* ของสมการนี้ ซึ่งเป็นรูปแบบที่พบได้น้อยกว่า
::x = \int_1^y {dt \over t}

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็อาจหมายถึงลิมิตดังนี้ ดังที่ได้กล่าวไว้ในตอนต้น
::e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n

## อนุพันธ์และสมการเชิงอนุพันธ์
thumb|250px|right|อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีค่าเท่ากับค่าของฟังก์ชัน; จากจุด ''P'' ใด ๆ บนเส้นโค้ง (สีน้ำเงิน) ถ้ามีเส้นสัมผัส (สีแดง) และเส้นตรงตามแนวดิ่งจากจุดสัมผัส (สีเขียว) ตามลักษณะดังรูป จะเกิดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากบนฐานแกน ''x'' (สีเขียว) ที่มีความยาว 1 หน่วย ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัส (อนุพันธ์) ที่จุด ''P'' จึงเท่ากับความสูงของรูปสามเหลี่ยม (ค่าของฟังก์ชัน)
ความสำคัญหลักของฟังก์ชันเลขชี้กำลังในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ เกิดจากสมบัติของอนุพันธ์ของมัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง
::{d \over dx} e^x = e^x

นั่นคือ *e**x* เป็นอนุพันธ์ของตัวเอง และเป็นตัวอย่างพื้นฐานอันหนึ่งของฟังก์ชันแบบพฟัฟฟ์ (Pfaffian function) ฟังก์ชันต่าง ๆ ที่อยู่ในรูปแบบ *ce**x* ซึ่ง *c* เป็นค่าคงตัว เป็นฟังก์ชันกลุ่มเดียวที่มีสมบัติเช่นนี้ (จากทฤษฎีบทปิการ์-ลินเดเลิฟ (Picard–Lindelöf theorem)) หรือกล่าวให้เจาะจงได้ว่า กำหนดให้  *k*  เป็นค่าคงตัวจำนวนจริงใด ๆ ฟังก์ชัน *f* : **R**→**R** จะสอดคล้องกับเงื่อนไข *f* ′ = *kf* ก็ต่อเมื่อ *f*(*x*) = *ce**kx* สำหรับค่าคงตัว *c* บางจำนวน การอธิบายด้วยวิธีอื่นที่ให้ผลเหมือนกันเช่น
* ความชันของกราฟ ณ จุดใด ๆ เท่ากับความสูงของฟังก์ชันที่จุดนั้น
* อัตราการเพิ่มของฟังก์ชันที่จุด *x* เท่ากับค่าของฟังก์ชันที่จุด *x*
* ฟังก์ชันที่เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ *y* ′ = *y*
* exp เป็นจุดตรึง (fixed point) ของอนุพันธ์ในฐานะฟังก์ชันนัล (functional)

โดยข้อเท็จจริงแล้ว สมการเชิงอนุพันธ์หลายชนิดทำให้เกิดฟังก์ชันเลขชี้กำลัง รวมทั้งสมการชเรอดิงเงอร์ (Schrödinger equation) สมการลาปลัส (Laplace's equation) และสมการที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกเชิงเดียว (simple harmonic motion)

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังในฐานอื่นคือ
::{d \over dx} a^x = a^x \ln a
ดังนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลังใด ๆ จึงเป็นพหุคูณค่าคงตัวของอนุพันธ์ของตัวเอง

สำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลังในฐานอื่นที่มีค่าคงตัวประกอบในเลขชี้กำลัง
::\left(a^{cx}\right)' = {a^{cx} \ln a \cdot c }, \qquad c > 0
สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับค่า *c* ทุกจำนวน แต่ผลลัพธ์ของอนุพันธ์เมื่อ *c* {d \over dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}

## เศษส่วนต่อเนื่องของ ''e''<sup>''x''</sup>
เศษส่วนต่อเนื่องของ *e**x* สามารถนำมาจากเอกลักษณ์ข้อหนึ่งของออยเลอร์
::e^x=1+\cfrac{x}{1-\cfrac{x}{x+2-\cfrac{2x}{x+3-\cfrac{3x}{x+4-\cfrac{4x}{x+5-\cfrac{5x}{x+6-\ddots}}}}}}

เศษส่วนต่อเนื่องนัยทั่วไปของ *e*2*x*/*y* ต่อไปนี้ มีค่าลู่เข้าอย่างรวดเร็ว
::e^{2x/y} = 1+\cfrac{2x}{y-x+\cfrac{x^2}{3y+\cfrac{x^2}{5y+\cfrac{x^2}{7y+\cfrac{x^2}{9y+\cfrac{x^2}{11y+\cfrac{x^2}{13y+\ddots}}}}}}}

สำหรับกรณีพิเศษเมื่อ *x* = *y* = 1 จะได้
::e^2 = 7+\cfrac{2}{5+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{9+\cfrac{1}{11+\cfrac{1}{13+\ddots}}}}}

## ระนาบเชิงซ้อน
[thumb|right|กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังบนระนาบเชิงซ้อน การเปลี่ยนสีจากมืดเป็นสว่างแสดงให้เห็นถึงขนาดของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้นไปทางขวา แถบสีในแนวราบที่ซ้ำเป็นช่วงแสดงว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็น[ฟังก์ชันเป็นคาบในส่วนจินตภาพของอาร์กิวเมนต์]]
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสามารถนิยามบนระนาบเชิงซ้อนได้หลายรูปแบบเทียบเท่ากัน เช่นเดียวกับกรณีของจำนวนจริง การนิยามเหล่านี้บางอย่างเหมือนสูตรต่าง ๆ ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริง หากกล่าวโดยเฉพาะเจาะจง เรายังสามารถใช้นิยามอนุกรมกำลังซึ่งค่าจริงถูกแทนที่ด้วยค่าเชิงซ้อน
::e^z = \sum_{n = 0}^\infty\frac{z^n}{n!}
จากการใช้นิยามนี้ทำให้ง่ายต่อการแสดงว่า \textstyle {d \over dz} e^z = e^z ยังคงเป็นจริงบนระนาบเชิงซ้อน

นิยามอีกตัวอย่างหนึ่งเป็นการขยายแนวคิดของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริง ขั้นแรกระบุถึงสมบัติที่ต้องการ e^{x + iy} = e^x e^{i y} ส่วนแรก *e**x* จะใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริงตามปกติ ส่วนหลังใช้สูตรของออยเลอร์นิยาม e^{i y} = \cos(y) + i \sin(y) ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้การนิยามที่เกี่ยวข้องกับจำนวนจริงอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ 

เมื่อพิจารณาฟังก์ชันที่นิยามบนระนาบเชิงซ้อน ฟังก์ชันเลขชี้กำลังยังคงมีสมบัติที่สำคัญดังนี้
* e^{z + w} = e^z e^w\,
* e^0 = 1\,
* e^z \ne 0
* {d \over dz} e^z = e^z
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน *z* และ *w* ทุกจำนวน

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) ชนิดหนึ่ง เนื่องจากมันเป็นสาทิสสัณฐาน (holomorphic) บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ทุกจำนวนยกเว้นค่า 0 สิ่งนี้เป็นตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทเล็กของปิการ์ (Picard's little theorem) ซึ่งกล่าวว่า ฟังก์ชันทั่วที่ไม่เป็นค่าคงตัวใด ๆ ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ทุกจำนวน โดยอาจยกเว้นค่าใดค่าหนึ่ง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีลักษณะเป็นคาบ (periodic) ซึ่งมีคาบบนจำนวนจินตภาพเป็น 2π*i* และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสูตร
::e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b)\,
เมื่อ *a* และ *b* เป็นค่าจริง (ดูเพิ่มที่สูตรของออยเลอร์) สูตรนี้เป็นตัวเชื่อมโยงฟังก์ชันเลขชี้กำลังเข้ากับฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันไฮเพอร์บอลิก ดังนั้นฟังก์ชันมูลฐาน (elementary function) ทั้งหมดยกเว้นพหุนาม เป็นผลมาจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง

การขยายแนวคิดของลอการิทึมธรรมชาติไปยังจำนวนเชิงซ้อน ทำให้ ln(*z*) เป็นฟังก์ชันหลายค่า (multi-valued function) การยกกำลังสามารถเขียนให้อยู่ในรูปทั่วไปมากขึ้นดังนี้
::z^w = e^{w \ln z}\,
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน *z* และ *w* ทุกจำนวน การยกกำลังนี้จึงเป็นฟังก์ชันหลายค่าตามไปด้วย กฎการยกกำลังที่ระบุไว้ข้างต้นยังคงเป็นจริง ถ้าตีความว่าเป็นประโยคที่เกี่ยวกับฟังก์ชันหลายค่าอย่างถูกต้อง อย่างไรก็ตามกฎการคูณเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริงบวก ไม่สามารถใช้ได้ในบริบทของฟังก์ชันหลายค่า นั่นคือ
::(e^z)^w \ne e^\left(z w\right)
ดูเพิ่มที่ความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึมเกี่ยวกับปัญหาของการผสานรวมการยกกำลัง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นการจับคู่ (map) เส้นตรงบนระนาบเชิงซ้อน ไปยังเส้นเวียนก้นหอยเชิงลอการิทึม (logarithmic spiral) บนระนาบเชิงซ้อนที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด มีกรณีพิเศษสองกรณีได้แก่ เมื่อเส้นตรงขนานกับแกนจริง เส้นเวียนก้นหอยจะไม่เวียนใกล้เข้ามาหาตัวเอง และเมื่อเส้นตรงขนานกับแกนจินตภาพ เส้นเวียนก้นหอยจะกลายเป็นรูปวงกลมที่มีรัศมีขนาดหนึ่ง


ไฟล์:ExponentialRe.png| *z* = Re(*e**x*+*iy*)
ไฟล์:ExponentialIm.png| *z* = Im(*e**x*+*iy*)
ไฟล์:ExponentialAbs.png| *z* = |*e**x*+*iy*|


### การคำนวณ ''a''<sup>''b''</sup> เมื่อทั้ง ''a'' และ ''b'' เป็นจำนวนเชิงซ้อน

การยกกำลังเชิงซ้อน *a**b* สามารถนิยามได้จากการแปลง *a* เป็นพิกัดเชิงขั้วและการใช้เอกลักษณ์ (*e*ln(*a*))*b* = *a**b* นั่นคือ
::a^b = (re^{{\theta}i})^b = (e^{\ln(r) + {\theta}i})^b = e^{(\ln(r) + {\theta}i)b}\,
อย่างไรก็ตาม เมื่อ *b* ไม่ใช่จำนวนเต็ม ฟังก์ชันนี้จะเป็นฟังก์ชันหลายค่า เพราะ θ ไม่ได้มีเพียงหนึ่งเดียว

## เมทริกซ์และพีชคณิตแบบบานัค
นิยามอนุกรมกำลังของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นเมทริกซ์จัตุรัส (สำหรับฟังก์ชันที่เรียกว่าเมทริกซ์เลขชี้กำลัง) และเป็นแนวคิดทั่วไปยิ่งขึ้นในพีชคณิตแบบบานัค *B* ในการกำหนดเช่นนี้ *e*0 = 1 และ *e**x* จะมีตัวผกผันนั่นคือ *e*−*x* สำหรับ *x* ใด ๆ ใน *B*; ถ้า *xy* = *yx* ดังนั้น e^{x+y} = e^x e^y แต่เอกลักษณ์นี้อาจใช้ไม่ได้ถ้า *x* และ *y* ไม่สามารถสลับที่ได้

การนิยามแบบอื่นก็นำไปสู่ฟังก์ชันเดียวกัน ตัวอย่างเช่น *e**x* สามารถนิยามเป็น \textstyle \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{x}{n} \right)^n หรือนิยามเป็น *f*(1) เมื่อ *f* : **R**→*B* เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ *f* ′(*t*) = *xf*(*t*) โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้นว่า *f*(0) = 1

## ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น
*[[ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น]]* (double exponential function) อาจมีความหมายหนึ่งในสองอย่างดังต่อไปนี้
* ฟังก์ชันที่ประกอบด้วยพจน์เชิงเลขชี้กำลังสองพจน์ ซึ่งมีเลขชี้กำลังต่างกัน
* ฟังก์ชัน f(x) = a^{a^x} ฟังก์ชันนี้มีอัตราการเติบโตเร็วกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังธรรมดา เช่นกำหนดให้ *a* = 10 จะได้ *f*(−1) = 1.26, *f*(0) = 10, *f*(1) = 1010, *f*(2) = 10100 = กูกอล, …, *f*(100) = กูกอลเพลกซ์

แฟกทอเรียลก็เติบโตเร็วกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลัง แต่ช้ากว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น ตัวอย่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้นเช่น จำนวนแฟร์มาต์ (Fermat number) ที่ได้จากสูตร F(m) = 2^{2^m} + 1 และจำนวนแมร์แซนสองชั้น (double Mersenne number) ที่ได้จากสูตร MM(p) = 2^{(2^p-1)}-1 เป็นต้น

## ดูเพิ่ม
* e (ค่าคงตัว)
* การเติบโตแบบเลขชี้กำลัง
* การเสื่อมสลายแบบเลขชี้กำลัง
* การยกกำลัง
* เทเทรชัน

## อ้างอิง

## แหล่งข้อมูลอื่น
* 
* 
* Derivative of exponential function interactive graph 
* 
* Taylor Series Expansions of Exponential Functions at efunda.com
* Complex exponential interactive graphic

หมวดหมู่:ฟังก์ชันพิเศษมูลฐาน
หมวดหมู่:การวิเคราะห์เชิงซ้อน
หมวดหมู่:การยกกำลัง
หมวดหมู่:ฟังก์ชันไฮเพอร์จีออเมตริก