สัญญาณค้างอันดับศูนย์

**สัญญาณค้างอันดับศูนย์** (zero-order hold, **ZOH**) เป็นวิธีการสร้างสัญญาณโดยการแปลงจากสัญญาณดิจิทัลเป็นสัญญาณแอนะล็อกแบบอย่างง่าย เทคนิคนี้จะรักษาค่าเดิมของสัญญาณระหว่างช่วงการชักตัวอย่าง มีการนำมาประยุกต์ใช้มากมายในการสื่อสารทางอิเล็กทรอนิกส์

## แบบจำลองโดเมนเวลา
thumb|รูป 1: ฟังก์ชันสี่เหลี่ยมมุมฉากในการวิเคราะห์โดเมนเวลาของสัญญาณค้างอันดับศูนย์
thumb|รูป 2: สัญญาณที่ถูกแปลงแล้วมีค่าคงที่เป็นช่วง ๆ ''x''<sub>ZOH</sub>(''t'')
สัญญาณค้างอันดับศูนย์สามารถสร้างขึ้นจากอันดับ *x*[*n*] ที่ได้จากการชักตัวอย่างโดยมีช่วงเวลาของแต่ละการชักตัวอย่างเป็น *T* ได้ดังนี้:

: x_{\mathrm{ZOH}}(t)\ = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\cdot \mathrm{rect} \left(\frac{t-T/2 -nT}{T} \right) \,

: โดยในที่นี้ \mathrm{rect}() หมายถึงฟังก์ชันสี่เหลี่ยมมุมฉาก

ฟังก์ชัน \mathrm{rect} \left(\frac{t-T/2}{T} \right) ดังที่แสดงในรูป 1 x_{\mathrm{ZOH}}(t)\, สามารถสร้างเป็นฟังก์ชันขั้นบันไดแบบแบ่งเป็นช่วง ๆ ได้ดังที่แสดงในรูป 2

## แบบจำลองในโดเมนความถี่
สมการสำหรับค่าขาออกของ ZOH สามารถแสดงเป็นค่าขาออกของ ตัวกรองแบบไม่แปรเปลี่ยนตามเวลาเชิงเส้น ซึ่งผลตอบสนองอิมพัลส์เป็นฟังก์ชันค่าคงที่เป็นช่วง ๆ (ฟังก์ชันสี่เหลี่ยม) โดยค่าป้อนเข้าเป็นลำดับสัญญาณอิมพัลส์ที่สร้างขึ้นโดยการคูณ ฟังก์ชันเดลตาของดิแรกเข้ากับค่า ณ จุดที่ชักตัวอย่าง ตัวกรองสามารถทำการวิเคราะห์ในโดเมนความถี่และเปรียบเทียบกับวิธีการสร้างสัญญาณใหม่อื่น ๆ เช่น สัญญาณค้างอันดับหนึ่ง ซึ่งเติมค่าด้วยการประมาณเชิงเส้นระหว่างจุดตัวอย่างสองจุด

ด้วยวิธีการนี้ สามารถทำให้ลำดับสัญญาณอิมพัลส์จากฟังก์ชันเดลตาของดิแรก *x<sub>s</sub>*(*t*) กลายเป็นสัญญาณต่อเนื่อง *x*(*t*) โดยผ่านตัวกรองผ่านต่ำ

แม้ว่าตัวแปลงดิจิทัลเป็นแอนะล็อก (DAC) จริง ๆ จะไม่ได้ทำงานในลักษณะนี้ แต่ลักษณะเฉพาะของตัวแปลงสามารถจำลองได้ว่าเหมือนกับที่ได้จากการกรองลำดับสัญญาณอิมพัลส์สมมุติ *x*s(*t*) ด้วยตัวกรองเชิงเส้น ลักษณะเฉพาะของตัวกรองนี้คือจะสร้างสัญญาณที่มีค่าเหมือนกับสัญญาณอิมพัลส์แต่ละครั้งก่อนหน้า ต่อเนื่องไปจนกว่าจะถึงการชักตัวอย่างครั้งถัดไป

พิจารณาการชักตัวอย่างสัญญาณและสร้างสัญญาณต่อเนื่องซึ่งแสดงเป็นฟังก์ชันเดลตาดังนี้

: 
\begin{align}
x_s(t) & = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\cdot \delta\left(\frac{t - nT}{T}\right) \\
& {} = T \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\cdot \delta(t - nT)
\end{align}


ในที่นี้อัตราส่วนของ *T* ได้จากอัตราส่วนของขนาดฟังก์ชันเดลตาที่เปลี่ยนไปตามเวลา ซึ่งหมายความว่าค่าเฉลี่ยของ *x<sub>s</sub>*(*t*) จะเท่ากับค่าที่ชักตัวอย่าง ดังนั้นค่าอัตราขยายกระแสตรงของตัวกรองผ่านต่ำจึงถูกตั้งเป็น 1
thumb|รูป 4 ผลตอบสนองอิมพัลส์ของสัญญาณค้างอันดับศูนย์ ''h''<sub>ZOH</sub>(''t'') เป็นฟังก์ชันสี่เหลี่ยมมุมฉากเหมือนกันกับในรูป 1 แต่พื้นที่ของฟังก์ชันคือ 1 ดังนั้นค่าอัตราขยายกระแสตรงของตัวกรองคือ 1
วงจรกรองหรือระบบเชิงเส้นสมมุติที่ใช้สัญญาณค้างอันดับศูนย์จะทำการแปลงสัญญาณอิมพัลส์ *x<sub>s</sub>*(*t*) ไปเป็นสัญญาณต่อเนื่อง (ดูรูป 2)

: x_{\mathrm{ZOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\cdot \mathrm{rect} \left(\frac{t - nT}{T}-\frac{1}{2} \right) \ 

ได้ผลตอบสนองอิมพัลส์ (ดังที่แสดงในรูป 4) เป็น:

: h_{\mathrm{ZOH}}(t)\,=  \frac{1}{T} \mathrm{rect} \left(\frac{t}{T}-\frac{1}{2} \right)
 = \begin{cases}
\frac{1}{T} & \mbox{if } 0 \le t 

ผลตอบสนองเชิงความถี่ที่เทียบเท่าคือการแปลงฟูรีเยของผลตอบสนองอิมพัลส์

: H_{\mathrm{ZOH}}(f)\, = \mathcal{F} \{ h_{\mathrm{ZOH}}(t) \} \,= \frac{1 - e^{-i 2 \pi fT}}{i 2 \pi fT} = e^{-i \pi fT} \mathrm{sinc}(fT) \ 

: โดยในที่นี้ \mathrm{sinc}(x) \  เป็นฟังก์ชัน sinc มาตรฐาน \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} นิยมใช้ในระบบประมวลผลสัญญาณดิจิทัล

การแปลงลาปลัสของฟังก์ชันถ่ายโอนของ ZOH สามารถทำได้โดยการแทนที่ *s* ด้วย *i*2π*f*

: H_{\mathrm{ZOH}}(s)\, = \mathcal{L} \{ h_{\mathrm{ZOH}}(t) \} \,= \frac{1 - e^{-sT}}{sT} \ 

ตัวแปลงดิจิทัลเป็นแอนะล็อก (DAC) ที่แท้จริงไม่ได้ให้ค่าลำดับฟังก์ชันเดลตาของดิแรก *x*s(*t*) (ดังนั้น ถ้าเป็นตัวกรองผ่านต่ำในอุดมคติ จะได้สัญญาณที่มีช่วงกว้างความถี่จำกัดเฉพาะก่อนการชักตัวอย่าง) แต่จะให้ลำดับคลื่นสี่เหลี่ยมมุมฉาก *x*ZOH(*t*) (ฟังก์ชันขั้นบันได) ดังนั้น ZOH จึงมีผลโดยตรงต่อผลตอบสนองเชิงความถี่ของ DAC โดยที่ความถี่สูงจะเกิดการลดลงของสัญญาณ (ที่ความถี่นือควิสต์ลดลง 3.9224 dB เทียบเท่ากับ sinc(1/2) = 2/π)

## อ้างอิง

หมวดหมู่:การประมวลผลสัญญาณ
หมวดหมู่:ทฤษฎีระบบควบคุม
หมวดหมู่:วิศวกรรมไฟฟ้า
หมวดหมู่:การประมวลผลสัญญาณดิจิทัล
หมวดหมู่:หน้าที่มีการแปลที่ยังไม่ได้ตรวจทาน