ผลคูณอนันต์

ในคณิตศาสตร์ **ผลคูณอนันต์** () ของลำดับ *a*1, *a*2, *a*3, ... ซึ่งเขียนแทนด้วย 

:\prod_{n=1}^\infty a_n = a_1a_2a_3... 

นิยามเป็นลิมิตของผลคูณย่อย *a*1*a*2...*a<sub>n</sub>* เมื่อ *n* เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัด ผลคูณนี้เรียกว่า *ลู่เข้า* เมื่อลิมิตนี้มีอยู่และไม่เป็นศูนย์ มิฉะนั้นจะกล่าวว่าผลคูณนี้*ลู่ออก* โดยปกติแล้ว กรณีที่ลิมิตเป็นศูนย์ถูกพิจารณาเป็นพิเศษ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เทียบเคียงได้กับอนุกรมอนันต์ มีแหล่งข้อมูลบางแหล่งที่อนุญาตให้ผลคูณลู่เข้าเป็น 0 หากมีตัวประกอบในลำดับเพียงจำนวนจำกัดที่เป็นศูนย์และผลคูณของส่วนที่ไม่เป็นศูนย์นั้นไม่ใช่ศูนย์ แต่สำหรับความเรียบง่าย ในบทความนี้จะไม่นับกรณีแบบนี้ หากผลคูณลู่เข้า ลิมิตของลำดับ *a<sub>n</sub>* เมื่อ *n* เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัดจะต้องเป็น 1 เสมอ แต่บทกลับของทฤษฎีบทนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นจริง 

ตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดของผลคูณอนันต์ เช่นสูตรสำหรับค่า &#x3C0; เช่น ผลคูณต่อไปนี้ เป็นของ Viète (ซึ่งเป็นผลคูณอนันต์ที่ค้นพบเป็นอันแรกในวิชาคณิตศาสตร์) และของ Wallis ตามลำดับ: 

\frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot\frac\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}...

\frac{\pi}{2} 
= \frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}...
= \prod_{n=1}^\infty \left(\frac{4n^2}{4n^2-1}\right)

## เกณฑ์ในการลู่เข้า
ผลคูณของจำนวนจริงบวก 

:\prod_{n=1}^\infty a_n 

จะลู่เข้าสู่จำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม 

:\sum_{n=1}^\infty \log(a_n) 

ลู่เข้าเช่นเดียวกัน ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้สามารถแปลงเกณฑ์ในการลู่เข้าสำหรับอนุกรมอนันต์เป็นเกณฑ์การลู่เข้าสำหรับผลคูณอนันต์ได้ เกณฑ์เดียวกันอาจนำไปใช้กับผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน (รวมถึงจำนวนจริงลบ) โดยการใช้กิ่ง (branch) ของฟังก์ชันลอการิทึมซึ่งเป็นไปตามข้อบังคับว่า ln(1) = 0 โดยมีเงื่อนไขว่าผลคูณลู่ออกหากมี *a<sub>n</sub>* เป็นจำนวนอนันต์ที่ตกอยู่นอกเหนือโดเมนของ ln แต่หากมีเพียงจำนวนจำกัดสามารถข้ามได้ 

สำหรับผลคูณของจำนวนจริงที่แต่ละ a_n \ge 1 หรือเขียนเป็น a_n = 1 + p_n,\ p_n \ge 0 จะได้อสมการ 

:1 + \sum_{n=1}^N p_n 
\le \prod_{n=1}^N (1+p_n)
\le \exp\left(\sum_{n=1}^N p_n\right) 

ซึ่งแสดงว่าผลคูณจะลู่เข้าถ้าอนุกรมอนันต์ของ *p**n* ลู่เข้า ทฤษฎีบทนี้ต้องอาศัย ทฤษฎีบทการลู่เข้าทางเดียว (Monotone convergence theorem) สำหรับบทกลับสามารถเห็นได้จากการสังเกตว่า ถ้า p_n \to 0  แล้ว 

:\lim_{n\to\infty} \frac{\log(1+p_n)}{p_n}
= \lim_{x\to0}\frac{\log(1+x)}{x}
= 1 

ดังนั้นโดยการทดสอบโดยการเปรียบเทียบลิมิต (limit comparison test) จะได้ว่าอนุกรมทั้งสองคือ 

:\sum_{n=1}^\infty \log(1+p_n) และ \sum_{n=1}^\infty p_n 

เทียบเท่ากัน นั่นคือทั้งสองจะลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่เสมอ 

บทพิสูจน์เดียวกันยังแสดงให้เห็นว่า หาก a_n = 1 - q_n,\ 0\le q_n  แล้ว \prod_{n=1}^\infty (1-q_n) ลู่เข้าหาจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม \sum_{n=1}^\infty q_n  ลู่เข้า 

หากอนุกรม \sum_{n=1}^\infty \log(a_n) ลู่ออกไปสู่ - \infty แล้วลำดับของผลคูณย่อยของ *a<sub>n</sub>* จะลู่เข้าหาศูนย์ แต่ผลคูณอนันต์นั้นจะเรียกว่า **ลู่ออกไปสู่ศูนย์** 

สำหรับ p_n \  ที่ไม่บังคับเครื่องหมาย การลู่เข้าของ \sum_{n=1}^\infty p_n ไม่เพียงพอต่อการสรุปว่าผลคูณ \prod_{n=1}^\infty (1+p_n) ลู่เข้าหรือไม่ แต่หาก \sum_{n=1}^\infty |p_n| ลู่เข้า แล้วจะบอกได้ว่าการลู่ของอนุกรม (ที่ไม่มีค่าสัมบูรณ์) กับผลคูณจะเป็นแบบเดียวกัน คือลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่ และหาก \sum_{n=1}^\infty|p_n|^2 ลู่เข้าก็จะบอกได้เช่นเดียวกัน

## รูปผลคูณของฟังก์ชัน
ผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาผลคูณอนันต์ คือฟังก์ชันทั่ว (entire function) *f*(*z*) ทุกฟังก์ชัน (นั่นคือ ทุกฟังก์ชันที่เป็นโฮโลมอร์ฟิกในระนาบเชิงซ้อน) สามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณอนันต์ของฟังก์ชันทั่วที่แต่ละตัวมีรากอย่างมากที่สุดหนึ่งค่า โดยทั่วไปถ้า *f* มีรากอันดับ *m* ที่จุดกำเนิดและมีรากเชิงซ้อนอื่น ๆ ที่ *u*1, *u*2, *u*3, ... (แต่ละค่าไล่ซ้ำจำนวนครั้งเท่ากับอันดับของราก) แล้ว 

:f(z) = z^m e^{\phi(z)} \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z}{u_n}\right) 
\exp\left\{\frac{z}{u_n} + \frac{1}{2} \left(\frac{z}{u_n}\right)^2 + ... + \frac{1}{\lambda_n} \left(\frac{z}{u_n}\right)^{\lambda_n} \right\} 

เมื่อ *λ**n* เป็นจำนวนเต็มไม่ลบที่สามารถเลือกเพื่อให้ผลคูณลู่เข้า และ *φ(z)* เป็นฟังก์ชั่นทั่วบางฟังก์ชัน (ซึ่งแปลว่าพจน์หน้าผลคูณจะไม่มีรากในระนาบเชิงซ้อน) การแยกตัวประกอบข้างต้นทำได้หลายแบบ เนื่องจากขึ้นอยู่กับการเลือกค่าสำหรับ *λ**n* อย่างไรก็ตามสำหรับฟังก์ชั่นส่วนใหญ่จะมีจำนวนเต็มไม่ลบต่ำสุด *p* ที่เมื่อ *λ**n* = *p* แล้วผลคูณลู่เข้า เราเรียกผลคูณนี้ว่า รูปผลคูณบัญญัติ (canonical product representation) *p* นี้เรียกว่า *อันดับ* (rank) ของผลคูณบัญญัตินั้น ในกรณีที่ *p* = 0 จะได้เป็น 

:f(z) = z^m e^{\phi(z)} \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z}{u_n}\right) 

ซึ่งถือได้ว่าเป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต โดยในกรณีพหุนาม ผลคูณมีพจน์จำกัด และ *φ* (*z*) เป็นค่าคงที่ 

นอกเหนือจากตัวอย่างเหล่านี้ รูปผลคูณของฟังก์ชันต่าง ๆ เช่น: 

โดยลำดับสุดท้ายไม่ใช่รูปผลคูณแบบที่กล่าวถึงข้างต้นเนื่องจาก *ζ* ไม่ใช่ฟังก์ชันทั่ว โดยรูปผลคูณนี้ *ζ* (*z*) ลู่เข้าเฉพาะเมื่อในขอบเขต Re (*z*) &#x3E; 1 ซึ่งเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ โดยเทคนิคการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ฟังก์ชันนี้สามารถขยายไปเป็นฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่เป็นเอกลักษณ์ (ซึ่งยังเรียกว่า *ζ* (*z*)) บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดยกเว้นที่จุด *z* = 1 ซึ่งมีขั้วอย่างง่าย

## ดูเพิ่ม

* อนุกรมอนันต์ 
* เศษส่วนต่อเนื่อง 
* การดำเนินการทวิภาควนซ้ำ 

## อ้างอิง

หมวดหมู่:การคูณ
หมวดหมู่:คณิตวิเคราะห์
หมวดหมู่:ลำดับและอนุกรม