การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

ในวิชากลศาสตร์และฟิสิกส์ **การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย** ( : SHM) หมายถึง การเคลื่อนที่โดยที่วัตถุจะเคลื่อนที่ตามเส้นทางเดิมกลับมาเริ่มต้นที่เดิมซ้ำแล้วซ้ำอีก ผ่านจุดสมดุล เป็นการเคลื่อนที่เป็นคาบประเภทหนึ่ง โดยที่แรงดึงกลับจะแปรผันตรงกับการกระจัด และมีทิศทางตรงข้ามกับการกระจัด

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับการเคลื่อนที่หลายอย่าง เช่น การสั่นของสปริง นอกจากนี้ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายยังประมาณปรากฏการณ์อื่นได้ ซึ่งรวมการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มอย่างง่าย ตลอดจนการสั่นของโมเลกุล การเคลื่อนที่ของมวลบนสปริงเมื่ออยู่ภายใต้แรงดึงกลับยืดหยุ่นเชิงเส้นตามกฎของฮุกเป็นตัวอย่างของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย การเคลื่อนที่นี้มีความถี่พ้องเดียว ในการเกิดการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย แรงลัพธ์ของวัตถุที่ปลายลูกตุ้มต้องเท่ากับการกระจัด

## ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
# แอมพลิจูด (Amplitude) คือ การกระจัดสูงสุดของการเคลื่อนที่วัดจากจุดสมดุลไปยังจุดปลาย หรือบางครั้งเรียกว่า ช่วงกว้างของคลื่น
# คาบ (Period) คือ ช่วงเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่ครบหนึ่งรอบ นับจากจุดปลายด้านหนึ่งไปยังจุดปลายอีกด้านหนึ่ง แล้วเคลื่อนที่กลับมายังจุดปลายเดิม โดยมีหน่วยเป็น วินาที / รอบ หรือ วินาที
# ความถี่ (Frequency) คือ จำนวนรอบบที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในหนึ่งหน่วยเวลา มีหน่วยเป็น รอบ / วินาที หรือ เฮิรตซ์ (Hz)
# การกระจัด (Displacement) คือ ระยะทางการกระจัดที่วัตถุเคลื่อนที่โดยนับจากจุดสมดุล
# ความถี่เชิงมุม (Angular frequency) คือ การกระจัดเชิงมุมที่เปลี่ยนแปลงไปในหนึ่งหน่วยเวลา มีหน่วยเป็น เรเดียน / วินาที หรือ rad/s

## พลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
ในกลศาสตร์นิวตัน สมการการเคลื่อนที่ของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายอยู่ในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นอันดับสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงตัว ซึงหาได้จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันและกฎของฮุกสำหรับมวลติดสปริง

: F_\mathrm{net} = m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -kx
เมื่อ  คือ มวลของวัตถุที่มีการสั่น  คือ การกระจัดจากตำแหน่งสมดุล และ  คือ ค่าคงตัวหรือค่านิจของสปริง (สำหรับมวลติดสปริง)

ดังนั้น

: \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -\frac{k}{m}x

ผลเฉลยของสมการอนุพันธ์นี้จะอยู่ในรูปของฟังก์ชันไซน์ (sinusoidal function)

: x(t) = c_1\cos\left(\omega t\right) + c_2\sin\left(\omega t\right)
สามารถเขียนให้อยู่ในรูป

: x(t) = A\cos\left(\omega t - \varphi\right)
เมื่อ

: \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad A = \sqrt

และเนื่องจาก  เมื่อ  คือ คาบ จะได้ว่า

:T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}

สมการเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดและเฟสเริ่มต้นของการเคลื่อนที่

## พลังงาน
แทนค่า  ด้วย  พลังงานจลน์  ของระบบที่เวลา  มีค่าเท่ากับ

: K(t) = \tfrac12 mv^2(t) = \tfrac12 m\omega^2A^2\sin^2(\omega t - \varphi) = \tfrac12 kA^2 \sin^2(\omega t - \varphi)
และพลังงานศักย์ของระบบมีค่าเท่ากับ

:U(t) = \tfrac12 k x^2(t) = \tfrac12 k A^2 \cos^2(\omega t - \varphi)
เมื่อไม่มีแรงเสียดทานและไม่มีการสูญเสียพลังงาน ผลรวมของพลังงานกล (mechanical energy) จะมีค่าคงตัว

:E = K + U = \tfrac12 k A^2

## ตัวอย่าง
right|frame|ระบบสปริง–มวลที่ไม่หน่วงมีการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
ระบบทางฟิสิกส์ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างหนึ่งของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

### มวลติดสปริง
มวล  ก้อนหนึ่งติดอยู่กับสปริงที่มีค่าคงที่ของสปริง  อธิบายการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายในปริภูมิปิด สามารถอธิบายได้ด้วยสมการ

: T= 2 \pi\sqrt\frac{m}{k}
สมการข้างบนนี้แสดงให้เห็นว่าคาบของการแกว่ง  ไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดและความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง สมการข้างบนนี้ยังคงใช้ได้เมื่อมีแรงคงที่กระทำต่อมวล กล่าวคือ แรงคงที่ที่เพิ่มขึ้นไม่ได้ทำให้คาบของการแกว่งเปลี่ยนไป

## อ้างอิง

*
*
*
*

หมวดหมู่:กลศาสตร์ดั้งเดิม
หมวดหมู่:ลูกตุ้ม