ตัวดำเนินการในกลศาสตร์ควอนตัม

การคำนวณทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัม ถูกสร้างขึ้นตามแนวคิดของตัวดำเนินการ กล่าวคือ ปริมาณที่สังเกตหรือที่วัดได้ในทางกายภาพของอนุภาคจากการทดลอง เช่น ตำแหน่ง โมเมนตัมเชิงเส้น พลังงาน โมเมนตัมเชิงมุม เป็นต้น สามารถแทนได้ด้วยตัวดำเนินการ A ใด ๆ ในกลศาสตร์ควอนตัม หากต้องการทราบข้อมูลหรือปริมาณดังกล่าวจะต้องใช้ตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์มากระทำกับฟังก์ชันไอเกนของอนุภาคนั้น ๆ ดังนั้น ผลของการวัดจะทำให้ฟังก์ชันไอเกนของอนุภาคกลายเป็นฟังก์ชันไอเกนที่สอดคล้องกับตัวดำเนินการ ตามสมการ 

\hat{A} \psi = a \psi 

เมื่อ    \hat{A}   เป็นตัวดำเนินการ

*a*     เป็นค่าไอเกน (Eigenvalue) ของตัวดำเนินการ

*ψ*    เป็นฟังก์ชันไอเกน

## ฟังก์ชันคลื่น
ให้ *ψ* เป็นฟังก์ชันคลื่นสำหรับระบบควอนตัม โดยฟังก์ชันคลื่นจะต้องมีสมบัติ square-integrable functions คือวิธีการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสอง เมื่อฟังก์ชันคลื่นคูณแบบสเกลาร์กับตัวมันเองแล้วสามารถหาค่าได้ กล่าวคือ

\iiint_{\mathbb{R}^3} |\psi(\mathbf{r})|^2 {\rm d}^3\mathbf{r} = \iiint_{\mathbb{R}^3} \psi(\mathbf{r})^*\psi(\mathbf{r}){\rm d}^3\mathbf{r} 

ตัวอย่างฟังก์ชันกำลังสองที่สามารถหาปริพันธ์ได้ คือ ฟังก์ชันคลื่นแบบกลศาสตร์ควอนตัม: \Psi(\mathbf{r},t)

ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตำแหน่งของอนุภาคที่เวลา t ใด ๆ ในปริมาตร ซึ่งอยู่ในช่วง r ถึง r+dr (ช่วงที่จำกัด) หาได้จากสมการ

:\rho\left(\mathbf\mathbf{r},t \right ) =  \left | \Psi\left (\mathbf(\mathbf{r},t \right ) \right |^2

ซึ่งโอกาสที่จะพบอนุภาคในระบบมีค่าสูงสุดเท่ากับ 1 นั่นหมายความว่า อนุภาคต้องอยู่ที่ใดที่หนึ่ง 

\iiint_{\mathbb{R}^3} |\psi(\mathbf{r})|^2 {\rm d}^3\mathbf{r} = 1 

เราเรียกวิธีการทำให้ฟังก์ชันคลื่นเป็นไปตามสมการข้างต้นว่า **การแจกแจงแบบปกติ (normalized)** 

สรุปคือ ฟังก์ชันคลื่นเป็นฟังก์ชันกำลังสองที่สามารถหาปริพันธ์ได้ ฟังก์ชันคลื่นใด ๆ ที่ไม่สามารถยกกำลังสองแล้วหาปริพันธ์ได้จะไม่มีความหมายในกลศาสตร์ควอนตัม

## ตัวดำเนินการกับสถานะทางควอนตัม
แบ่งได้เป็น 2 กรณี ได้แก่

### กรณีสถานะแบบไม่ต่อเนื่อง
ในกรณีที่สถานะไอเกนเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete eigenstates) ซึ่งเกิดจาก basis |\phi_i\rangle* *ที่เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง จะได้สถานะไอเกนอยู่ในรูปผลรวม (sum)

|\psi\rangle = \sum_i c_i|\phi_i\rangle

เมื่อ *c<sub>i</sub>* = \langle\phi_i |\psi\rangle เป็นจำนวนเชิงซ้อนและเป็นปริมาณที่เกิดจากการ projection ค่า  |\psi\rangle ลงบน |\phi_i\rangle  ซึ่ง |*c<sub>i</sub>*|2 = *c<sub>i</sub>***c<sub>i</sub>* คือ โอกาสในการพบอนุภาคในสถานะ |\phi_i\rangle

### กรณีสถานะแบบต่อเนื่อง
ในกรณีที่สถานะไอเกนเป็นแบบต่อเนื่อง (Continuum of eigenstates) ซึ่งเกิดจาก basis |\phi_i\rangle ที่เป็นแบบต่อเนื่อง จะได้สถานะไอเกนอยู่ในรูปปริพันธ์ (Integral) 

|\psi\rangle = \int {\rm d}\phi c(\phi) |\phi\rangle 

เมื่อ  c(\phi)  คือ \langle\phi_i |\psi\rangle และเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน ซึ่ง | c(\phi) |2 =  c(\phi)  * c(\phi)   เป็น โอกาสในการพบอนุภาคในสถานะควอนตัม |\phi_i\rangle

## ค่าคาดหวังของตัวดำเนินการ สำหรับสถานะ ψ
ค่าคาดหวัง คือ ค่าเฉลี่ยของข้อมูลการสังเกตปริมาณ A ใด ๆ สำหรับอนุภาคในปริภูมิ R 

ค่าคาดหวัง \langle \hat{A} \rangle  ของตัวดำเนินการ  \hat{A}  จะหาได้จาก

\langle \hat{A} \rangle = \int_R \psi^{*}\left( \mathbf{r} \right ) \hat{A} \psi \left( \mathbf{r} \right ) \mathrm{d}^3\mathbf{r} = \langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle

และสามารถเขียนให้อยู่ในรูปทั่วไปสำหรับฟังก์ชัน F ใด ๆ ของตัวดำเนินการ ได้เป็น

 \langle F ( \hat{A} ) \rangle = \int_R \psi(\mathbf{r})^{*} \left [ F ( \hat{A} ) \psi(\mathbf{r}) \right ] \mathrm{d}^3 \mathbf{r} = \langle \psi | F ( \hat{A} ) | \psi \rangle , 

**ตัวอย่าง** ฟังก์ชัน F เป็น 2 เท่าของ A ในสถานะ *ψ*

\begin{align}
& F(\hat{A}) = \hat{A}^2 \\
& \Rightarrow \langle \hat{A}^2 \rangle = \int_R \psi^{*} \left( \mathbf{r} \right ) \hat{A}^2 \psi \left( \mathbf{r} \right ) \mathrm{d}^3\mathbf{r} = \langle \psi \vert \hat{A}^2 \vert \psi \rangle \\
\end{align}\,\!

## ตัวดำเนินการเอมิตเชียน
ตัวดำเนินการเฮอร์มิตเชียน เป็นตัวดำเนินการที่มีนิยาม คือ   

\hat{A} = \hat{A}^\dagger

เมื่อ  \hat{A}^\dagger เป็น คอนจูเกตและทรานสโพทของตัวดำเนินการ (Conjugate Transpose Operator) ของ  โดยเครื่องหมายที่เพิ่มขึ้นมา “ \dagger” เรียกว่า แด็กเกอร์ (dagger) 

จากนิยามตัวดำเนินการเฮอร์มิตเชียนข้างต้น สามารถเขียนในรูปของสัญลักษณ์ บรา (bar) - เค็ท (ket) ได้ดังนี้  

\langle \phi_i | \hat{A} | \phi_j \rangle = \langle \phi_j | \hat{A} | \phi_i \rangle^*

### คุณสมบัติสำคัญของฟังก์ชันไอเกนของตัวดำเนินการเฮอร์มิตเชียน
#ค่าไอเกนของตัวดำเนินการเฮอร์มิตเชียนเป็นจำนวนจริงเสมอ
#ฟังก์ชันไอเกน (สถานะไอเกน) ที่มีค่าไอเกนแตกต่างกันจะมีสมบัติ Orthogonality
#ฟังก์ชันไอเกน สามารถเป็น Orthonormal basis

หมวดหมู่:ฟิสิกส์ทฤษฎี