เซตกำลัง

[right|thumb|250px|สมาชิกของเซตกำลังของเซต {''x'', ''y'', ''z''}  [ทฤษฎีการเรียงลำดับ|เรียงลำดับตามการมีสมาชิกในอีกเซตหนึ่งทั้งหมด]]
ในวิชาคณิตศาสตร์ **เซตกำลัง** หรือ **เพาเวอร์เซต** () ของเซต *S* ใด ๆ เขียนแสดงด้วยสัญลักษณ์ \mathcal{P}(S), *P*(*S*), ℙ(*S*), &weierp;(*S*) หรือ 2<sup>''S''</sup> เป็นเซตของเซตย่อยทั้งหมดของ *S* รวมทั้งเซตว่าง และเซต *S* เอง ตามหลักทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ (เช่นสัจพจน์ ZFC) สัจพจน์แห่งเซตกำลังรองรับการมีอยู่ของเซตกำลังสำหรับเซตใด ๆ

เซตย่อยใด ๆ ของ \mathcal{P}(S) เรียกว่า *[[ครอบครัวของเซต]]* บน *S*

## ตัวอย่าง
ถ้า  เป็นเซต  แล้วเซตย่อยของ  ได้แก่:

*  (อาจเขียนแทนด้วย \varnothing เรียกเซตว่าง)
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
ดังนั้นเซตกำลังของ  คือ 

## สมบัติ

ถ้า S เป็นเซตจำกัดที่มีสมาชิก |S| = n ตัว แล้วจำนวนของเซตย่อยของ S คือ |\mathcal{P}(S)| = 2^n ทำให้เกิดสัญกรณ์ 2^S สามารถพิสูจน์ได้ดังนี้
: เขียนเซตย่อยใด ๆ ของ S ในรูปแบบ \{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n\} ซึ่ง \omega_i , 1 \le i \le n มีค่า 0  หรือ  1 ถ้า  \omega_i = 1 สมาชิกตัวที่ i ของ S อยู่ในเซตย่อย มิฉะนั้นสมาชิกตัวที่ i ไม่อยู่ในเซตย่อย ดังนั้นจำนวนของเซตย่อยที่แตกต่างกันทั้งหมดที่สามารถสร้างโดยวิธีนี้คือ 2^n

การอ้างเหตุผลแนวทแยงของคันทอร์ แสดงว่าเซตกำลังของเซต (ทั้งเซตจำกัดและเซตอนันต์) มี ภาวะเชิงการนับ มากกว่าเซตนั้น ๆ เสมอ (กล่าวคือเซตกำลังของเซตใด ๆ ต้องใหญ่กว่าเซตนั้น ๆ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทของคันทอร์แสดงว่าเซตกำลังของเซตอนันต์นับได้เป็นเซตอนันต์นับไม่ได้ ตัวอย่าง เช่น เซตกำลังของเซตของจำนวนธรรมชาติมีความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงกับเซตของจำนวนจริง (ดูหน้า cardinality of the continuum)

เซตกำลังของเซต *S* และการดำเนินการหายูเนียน อินเตอร์เซกชัน และ ส่วนเติมเต็ม สามารถมองเป็นตัวอย่างต้นแบบของพีชคณิตแบบบูล ที่จริงแล้วยังสามารถแสดงว่าพีชคณิตแบบบูลขนาดจำกัดใด ๆ เป็นสมสัณฐานกับพีชคณิตแบบบูลของเซตกำลังของเซตจำกัดบางเซต สำหรับพีชคณิตแบบบูล*ขนาดอนันต์* ข้อความนี้ไม่เป็นจริง แต่พีชคณิตแบบบูลขนาดอนันต์ทุกโครงสร้างสามารถแทนด้วยโครงสร้างพีชคณิตย่อย ของเซตกำลังของพีชคณิตแบบบูล (ดูหน้า Stone's representation theorem)

เซตกำลังของเซต *S* ก่อให้เกิด อาบีเลียนกรุป เมื่อพิจารณาด้วยการดำเนินการหาผลต่างสมมาตร (โดยมีเซตว่างเป็นสมาชิกเอกลักษณ์และแต่ละเซตเป็นตัวผกผันกับเซตนั้น ๆ) เซตกำลังของเซต *S* ยังก่อให้เกิดโมนอยด์สลับที่ เมื่อพิจารณาด้วยการดำเนินการหาอินเตอร์เซกชัน การพิสูจน์กฎการแจกแจงสามารถแสดงว่าเซตกำลังกับการดำเนินการทั้งสองนี้สร้างริงแบบบูล

## แสดงเซตย่อยในรูปฟังก์ชัน
ในวิชาทฤษฎีเซต ''X''<sup>''Y''</sup> เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก *Y* ไป *X*  เพราะว่า "2" อาจนิยามเป็น {0,1} (ดูหน้า จำนวนธรรมชาติ) ดังนั้น 2*S* (นั่นคือ {0,1}*S*) เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก *S* ไปยัง {0,1} เมื่อจำแนกฟังก์ชันตัวใดตัวหนึ่งใน 2*S* กับบุพภาพที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันนั้น จะเห็นว่ามีความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่าง 2*S* กับ \mathcal{P}(S) โดยแต่ละฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันบ่งชี้ของเซตย่อยที่เป็นสมาชิกของ\mathcal{P}(S) กับสิ่งที่ฟังก์ชันบ่งชี้บ่งชี้  ฉะนั้น 2*S* และ \mathcal{P}(S) ถือว่าเท่ากันทุกประการเชิงทฤษฎีเซตได้ (ดังนั้นจึงมีมูลเหตุสำหรับการเขียนแทนเซตกำลังด้วย 2*S* สองประการ ได้แก่ การเขียนสับเซตแทนด้วยฟังก์ชันเป็นกรณีพิเศษของสัญกรณ์ *X**Y* และสมบัติของเซตกำลังข้างต้นว่า |2S| = 2|S|)

สัญกรณ์สามารถประยุกต์ใช้กับตัวอย่างข้างต้นที่ S = \{x, y, z\} เพื่อให้เห็นสมสัณฐานกับจำนวนฐานสองตั้งแต่ 0 จนถึง 2n−1 โดย n เป็นจำนวนสมาชิกของเซต 
*1* ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันกับตำแหน่งสมาชิกที่ปรากฏใน *S* บ่งชี้ถึงการมีสมาชิกตัวนั้น
ๆ ดังนั้น {*x*, *y*} = 110

สำหรับเซตกำลังทั้งหมดของ *S* จะได้

* {&nbsp;} = 000 (ฐานสอง) = 0 (ฐานสิบ)
* {*x*} = 100 = 4
* {*y*} = 010 = 2
* {*z*} = 001 = 1
* {*x*, *y*} = 110 = 6
* {*x*, *z*} = 101 = 5
* {*y*, *z*} = 011 = 3
* {*x*, *y*, *z*} = 111 = 7

## ความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม
เซตกำลังมีความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม จำนวนของเซตที่มีสมาชิก k ตัวในเซตกำลังของเซตที่มีสมาชิก n ตัวจะเท่ากับการจัดหมู่ C(n,k)  เรียกอีกชื่อว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม

ตัวอย่าง เซตกำลังของเซตขนาด 3 มี:

*เซตขนาด 0 C(3, 0) = 1 เซต
*เซตขนาด 1 C(3, 1) = 3 เซต
*เซตขนาด 2 C(3, 2) = 3 เซต
*เซตขนาด 3 C(3, 3) = 1 เซต

## อ้างอิง

## บรรณานุกรม
* 
* 
* 
* 
* 

ซเซต
หมวดหมู่:มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์