การหมุนควงลาร์เมอร์

thumb|ทิศทางการหมุนควงรอบแกนของอนุภาคที่มีประจุเป็นลบ

**การหมุนควงลาร์เมอร์** (Larmor precession) เป็นการหมุนควงของเวกเตอร์โมเมนต์แม่เหล็กรอบเส้นสนามแม่เหล็กจากภายนอก พบได้ในอิเล็กตรอน มิวออน และอะตอม จากทฤษฎี เมื่อมีสนามแม่เหล็กจากภายนอกมากระทำกับโมเมนต์แม่เหล็ก จะทำให้เกิดทอร์ก

:\vec{\Gamma} = 
\vec{\mu}\times\vec{B}=
\gamma\vec{J}\times\vec{B}

โดยที่ \vec{\Gamma} แทนทอร์ก \vec{\mu} แทนโมเมนต์ขั้วคู่แม่เหล็ก \vec{J} แทนโมเมนตัมเชิงมุม \vec{B} แทนสนามแม่เหล็กภายนอก และ \ \gamma แทนอัตราส่วนไจโรแมกเนติกซึ่งเป็นอัตราส่วนที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัมเชิงมุมและโมเมนต์แม่เหล็ก

## ความถี่ลาร์เมอร์
เวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุม \vec{J} จะหมุนควง (คือ มีจุดหนึ่งยันกับแกนอ้างอิง ที่เหลือหมุนไปรอบ ๆ ในลักษณะกวาดเป็นรูปทรงกรวย) รอบเส้นสนามแม่เหล็กจากภายนอกด้วยความถี่เชิงมุมค่าหนึ่ง เรียกความถี่นี้ว่า **ความถี่ลาร์เมอร์** (Larmor frequency) ความถี่ลาร์เมอร์กำหนดตามสมการ

:\omega = -\gamma B

หรือ 

: \omega = \frac{egB}{2m}

โดยที่ \omega แทนความถี่ลาร์เมอร์ \gamma = -\frac{e g}{2m} แทนอัตราส่วนไจโรแมกเนติก อัตราส่วนใจโรแมกเนติกคำนวณจากตัวแปรต่อไปนี้คือ m แทนมวล -e แทนประจุมูลฐาน  B แทนขนาดของสนามแม่เหล็ก และ g เป็นตัวประกอบจี ซึ่งปกติอยู่ที่ 1 สำหรับอนุภาคเดี่ยว แต่จะเป็นค่าอื่นเมื่ออนุภาครวมตัวเป็นนิวเคลียส ค่าจีไม่สามารถคำนวณได้โดยตรง แต่สามารถวัดได้ ซึ่งสมบัติในข้อนี้เป็นส่วนสำคัญของสเปกโทรสโคปีด้วยวิธีการสั่นพ้องของนิวเคลียสโดยใช้สนามแม่เหล็ก (NMR spectroscopy)

## การหมุนควงลาร์เมอร์แบบซับซ้อน
สมการข้างต้นเป็นสมการความถี่ของการหมุนควงลาร์เมอร์แบบที่ใช้โดยทั่วไป ซึ่งยังไม่ได้คิดการหมุนควงโทมัส (Thomas precession) ซึ่งกำหนดตามสมการ
:\omega_s = \frac{geB}{2mc} + (1-\gamma)\frac{eB}{mc\gamma}
โดยที่ \gamma  เป็นตัวประกอบลอเรนซ์ (Lorentz factor) ซึ่งเป็นค่าที่คำนวณในสัมพัทธภาพพิเศษ Lorentz factor (ระวังสับสนกับอัตราส่วนไจโรแมกเนติก) มีข้อสังเกตอย่างหนึ่งคือ  ถ้าค่า g = 2 แล้วความถี่ของการหมุนควงจะได้เป็น
:\omega_{s(g=2)} = \frac{eB}{mc\gamma}

## สมการบาร์กมันน์-มิเชล-เทเลกดิ
การหมุนควงลาร์เมอร์ของอิเล็กตรอนโดยสนามแม่เหล็กไฟฟ้าจากภายนอก อธิบายได้ตามสมการบาร์กมันน์-มิเชล-เทเลกดิ หรือสมการบีเอ็มที (Bargmann–Michel–Telegdi equation; BMT equation) ซึ่งเขียนได้ว่า
:\frac{da^{\tau}}{ds} = \frac{e}{m} u^{\tau}u_{\sigma}F^{\sigma \lambda}a_{\lambda} 
+ 2\mu (F^{\tau \lambda} - u^{\tau} u_{\sigma} F^{\sigma \lambda})a_{\lambda}
โดยที่ a^{\tau}, e, m และ \mu แทนเวกเตอร์สี่มิติแทนโพลาไรเซชัน, ประจุ, มวล และโมเมนต์แม่เหล็ก u^{\tau} เป็นความเร็วสี่มิติของอิเล็กตรอน a^{\tau}a_{\tau} = -u^{\tau}u_{\tau} = -1, u^{\tau} a_{\tau}=0 และ F^{\tau \sigma} แทนเทนเซอร์ขนาดของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ต่อไป จากสมการการเคลื่อนที่ 
:m\frac{du^{\tau}}{ds} = e F^{\tau \sigma}u_{\sigma}
ทำให้ได้ว่า พจน์แรกของด้านขวาสมการบีเอ็มที สามารถเขียนใหม่ได้เป็น (- u^{\tau}w^{\lambda} + u^{\lambda}w^{\tau})a_{\lambda}โดยที่ w^{\tau} = du^{\tau}/ds เป็นเวกเตอร์สี่มิติของความเร่ง อนึ่ง พจน์แรกด้านขวาสมการบีเอ็มที แสดงถึงปรากฎการณ์ขนส่งแฟร์มี-วอล์กเกอร์ (Fermi–Walker transport) ซึ่งทำให้เกิดการหมุนควงโทมัส ส่วนพจน์ที่สองแสดงถึงการหมุนควงลาร์เมอร์

หากสนามแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นแบบสม่ำเสมอ (ขนาดเท่ากัน ทิศทางเดียวกันตลอด) หรือในกรณีที่ต้องการไม่คิดถึงผลของแรงจากความต่างศักย์ \nabla({\boldsymbol\mu}\cdot{\boldsymbol B}) การเคลื่อนที่แบบเลื่อนตำแหน่งของอนุภาคสามารถอธิบายได้โดยสมการ
:{du^\alpha\over d\tau}={e\over m}F^{\alpha\beta}u_\beta\;

จากนั้น สมการบีเอ็มทีสามารถเขียนได้เป็น
:{\;\,dS^\alpha\over d\tau}={e\over m}\bigg[{g\over2}F^{\alpha\beta}S_\beta+\left({g\over2}-1\right)u^\alpha\left(S_\lambda F^{\lambda\mu}U_\mu\right)\bigg]\;

## การประยุกต์ใช้
เลฟ ลันเดา และเอฟเกนี ลิฟชิตซ์ (Evgeny Lifshitz) ได้พยากรณ์การค้นพบการหมุนควงลาร์เมอร์ในสารเฟอร์โรแมกเนติก เมื่อปี พ.ศ. 2478 ซึ่ง 11 ปีต่อมาได้มีการทดลองเพื่อพิสูจน์ยืนยันข้อความดังกล่าว

ความถี่ลาร์มอร์เป็นสมบัติของนิวเคลียสซึ่งใช้ในการศึกษาการสร้างภาพด้วยการสั่นพ้องผ่านสนามแม่เหล็ก อิเล็กตรอนพาราแมกเนติกเรโซแนนซ์ และมิวออนสปินสเปกโทรสโคปี

## เชิงอรรถ

## แหล่งข้อมูลอื่น
* Georgia State University HyperPhysics page on Larmor Frequency
* Larmor Frequency Calculator
* here รายการไอโซโทปที่พบในการสั่นพ้องนิวเคลียสโดยใช้แม่เหล็ก 
ม
ม