ปัญหาคอนกรูเอนซ์ของจำนวนเต็มยกกำลังสองมอดุโลเอ็น

**ปัญหาคอนกรูเอนซ์ของจำนวนเต็มยกกำลังสองมอดุลโลเอ็น** () ในเรื่องทฤษฎีจำนวนนั้นได้ถูกนำมาใช้บ่อยครั้งในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็ม  โดยเริ่มต้นจากปัญหาที่ว่า "จงหาจำนวนเต็ม x, y ที่ทำให้สมการดังกล่าวเป็นจริง เมื่อกำหนดจำนวนเต็ม n" โดย
:x^2 - y^2 = n\,\!  
ซึ่งการใช้ขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มของแฟร์มาต์ () โดยการพยายามแยกตัวประกอบของ n ในรูปแบบ *n*&nbsp;=&nbsp;*x*2&nbsp;−&nbsp;*y*2&nbsp;=&nbsp;(*x*&nbsp;+&nbsp;*y*)&nbsp;(*x*&nbsp;−&nbsp;*y*) นั้น ต้องใช้เวลาที่ยาวนานมากในการค้นหาคำตอบ เพราะต้องค้นหาคำตอบที่เป็นไปได้เป็นจำนวนมาก และมีตัวเลขที่อาจเป็นคำตอบได้จริงน้อยมาก ในทางปฏิบัติจึงไม่นิยมใช้ แต่จะอาศัยการแยกตัวประกอบจากปัญหาที่ง่ายกว่า ซึ่งคือ ปัญหาคอนกรูเอนซ์ของจำนวนเต็มยกกำลังสองมอดุลโลเอ็น ซึ่งสามารถเขียนเป็นสมการได้ดังนี้ 

:x^2 \equiv y^2 \pmod{n}       
และเพิ่มข้อกำหนดว่า   x \not\equiv \pm y \pmod{n} เพื่อจำกัดปริมาณชุดคำตอบที่ได้ให้อยู่ในขอบเขตที่ต้องการ

## ขั้นตอนวิธีการแก้ปัญหา
จากสมการ x^2 \equiv y^2 \pmod{n}  จะได้ว่าเราสามารถเปลี่ยนรูปของปัญหาดังนี้    
::x^2 - y^2 \equiv 0 \pmod{n}  
:: (x + y)(x - y) \equiv 0 \pmod{n}  
ซึ่งหมายความว่า (x+y)(x-y)  สามารถหาร n ลงตัว แต่ด้วยข้อกำหนดที่ว่า x \not\equiv \pm y \pmod{n} จึงจะได้ว่า (x+y)หรือ (x-y) ไม่สามารถหารด้วย n ลงตัวได้เพียงตัวใดตัวหนึ่ง โดยอาจใช้วิธีการแก้ปัญหา ดังนี้         
                                                                                                                                                              
:1. ใช้วิธีการหาตัวหารร่วมมากโดยวิธีการของยูคลิด ซึ่งในที่นี้ (a, b) แทนตัวหารร่วมมากของ a และ b จากที่กล่าวไปดังข้างต้น จึงสามารถอธิบายได้ว่า (x+y, n) และ (x-y, n) ต้องมีตัวประกอบทุกตัวของ n หรือสามารถอธิบายได้ว่า (x+y, n)\cdot (x-y, n) = kn  โดย k คือจำนวนเต็มบวกตัวหนึ่ง โดยเราจะพิจารณา x ที่เป็นจำนวนเต็มบวกมีค่าอยู่ระหว่าง \left\lceil\sqrt{n} \right\rceil  ถึง n และค้นหา y ที่เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่ทำให้ x+y เป็นตัวประกอบ และตรวจสอบว่าค่าของ (x-y, n) ว่ามีค่าสอดคล้องตามที่ต้องการหรือไม่ โดยวิธีการหาตัวหารร่วมมากโดยขั้นตอนวิธีการของยูคลิด () ดังนี้

ในการหาตัวหารร่วมมากระหว่าง a และ b โดยกำหนด a > b จะมีวิธีการหาตัวหารร่วมมากดังนี้ โดยมีข้อกำหนดว่า ทุก ๆ ขั้นตอนที่ k ใด ๆ (k คือ 0 หรือ จำนวนเต็มบวกใด ๆ)    *r**k*−2 = *q**k* *r**k*−1 + *r**k* ซึ่ง (0≤ *r**k*,         *q**k* = ±  \lfloor \frac{|a| }{|b| } \rfloor  โดย *q**k* จะมีเครื่องหมายเป็นลบเมื่อ a เป็นจำนวนเต็มบวก และ b เป็นจำนวนเต็มลบ หรือ a เป็นจำนวนเต็มลบ และ b เป็นจำนวนเต็มบวก) โดยจะมีขั้นตอนการดำเนินการดังนี้

: *a* = *q*0 *b* + *r*0 
: *b* = *q*1 *r*0 + *r*1
: *r*0 = *q*2 *r*1 + *r*2
: *r*1 = *q*3 *r*2 + *r*3
: …
:*r*n-2 = *q*n *r*n-1 

จากสมการข้างต้นจะได้ *q*n = (a,b) ซึ่งจะเห็นได้ว่า จะสามารถตรวจคำตอบได้อย่างรวดเร็วซึ่งใช้เวลาไม่เกิน O(h) โดย h เป็นจำนวนหลักของ b ที่เป็นจำนวนที่น้อยกว่า a จากข้อกำหนด ซึ่ง h = \lfloor k \rfloor + 1 (โดย k= log10(b))

:2. ทำการค้นหา x^2 \equiv z \pmod{n}  โดยค้นหา x ที่มีค่าระหว่าง  \lceil \sqrt{n} \rceil  ถึง n แล้วทำการตรวจสอบค่า z ที่ได้ว่า  \sqrt{z}  เป็นจำนวนเต็มหรือไม่ ถ้าเป็นจำนวนเต็มก็จะกำหนดให้  \sqrt{z} = y  แล้วทำการตรวจสอบตัวหารร่วมมากระหว่าง (x-y) และ (x+y) ว่าตรงตามเงื่อนไขที่กำหนดหรือไม่ ตัวอย่างเช่น กำหนดให้ n = 35 จงหาจำนวนเต็มบวก x,y ที่ทำให้ x^2 - y^2 \equiv 0 \pmod{n}  จะได้ว่าทำการค้นหาค่า x ตั้งแต่ 6 ถึง 35 แต่ได้พบว่าเมื่อ x = 6 จะได้ว่า
\textstyle 6^2 = 36 \equiv 1 \equiv 1^2 \pmod{n} เพราะฉะนั้นจะได้ว่า x = 6, y = 1 เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ ซึ่งจากการตรวจสอบ (6-1, 35) = 5 และ (6+1, 35) = 7 ซึ่งจะพบว่าตรงตามเงื่อนไขที่ได้กำหนดไว้ จึงถือว่า x=6, y=1 เป็นคำตอบหนึ่งของสมการนี้

## รหัสเทียมและประสิทธิภาพการทำงาน
จากแนวคิดขั้นตอนวิธีการแก้ปัญหาข้างต้น จะพบว่า ถ้าจะทำการเขียนรหัสเทียม () เพื่อแสดงขั้นตอนการทำงานที่เกิดขึ้น หรือเป็นการแสดงขั้นตอนเบื้องต้นที่เกิดขึ้นในการใช้คอมพิวเตอร์ในการดำเนินการแก้ไขปัญหานั้น จะสามารถแสดงขั้นตอนต่าง ๆ เป็นรหัสเทียมได้ดังนี้

::รหัสเทียมเพื่อการค้นหาตัวหารร่วมมาก
:function gcd(a, b)
::while b ≠ 0
::begin
:::t := b
:::b := a mod b
:::a := t
::end
::return a
จากรหัสเทียมข้างต้น function gcd จะทำการหาค่าของตัวหารร่วมมากระหว่าง a และ b แล้วทำการคืนค่าตัวหารร่วมมากกลับมาจากการเรียกใช้ function โดยจะเสียเวลาทำงานไม่เกิน O(h)  โดย h เป็นจำนวนหลักของ b ที่เป็นจำนวนที่น้อยกว่า a จากข้อกำหนด ซึ่ง h = \lfloor k \rfloor + 1 (โดย k= log10(b)) ตามที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น ซึ่งเมื่อนำไปใช้ต่อไปในขั้นตอนการแก้ปัญหาต่อไปในรูปแบบที่นำเสนอไปดังข้างต้น ซึ่งอาจเขียนเป็นรหัสเทียมได้ดังนี้ 

สำหรับรหัสเทียมต่อไปนี้จะเป็นการนำไปใช้ต่อเพื่อหาผลลัพธ์ในรูปแบบที่ 1.
:function csquare(n)
::x = ceil(sqrt(n))    
:::while x  1)
:::::  begin
::::::  if (gcd(x-y,n) * gcd(x+y,n) mod n == 0)  
::::::  begin   
:::::::  print(x)        print(y)  break
::::::  end
::::: end
::::: y:=y+1
::::  end
:::x := x+1
::: end
จากรหัสข้างต้น สามารถอธิบายได้ดังนี้ โดยเริ่มต้นนั้นกำหนดค่าให้ x=  \lceil \sqrt{n} \rceil  เพื่อจะได้ทำการค้นหาในช่วง  \lceil \sqrt{n} \rceil  ถึง n  ตามต้องการ แล้วจึงทำการทดสอบค่า y ที่เป็นไปได้ทั้งหมดซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวก (ตั้งแต่ 1 ถึง x) ซึ่งถ้าพบว่าตรงตามเงื่อนไขที่ต้องการก็จะแสดงคำตอบและหยุดการทำงานทันทีเมื่อพบคำตอบชุดหนึ่งแล้ว ซึ่งจะทำให้เสียเวลาการทำงานรวมทั้งสิ้นจากการทำวงวนภายนอก Θ (n) และกระบวนการทำงานภายในที่ต้องวิ่งแปรผันตามค่า x รวมทั้งสิ้น O(x) จึงเสียเวลา O(n^2) และเมื่อคำนึงถึงการเรียกใช้ function gcd ที่มีภาระเป็น O(log n) แล้ว จึงได้ว่ากระบวนการทำงานตามรหัสเทียมดังกล่าวจะใช้เวลาในการทำงานรวมทั้งสิ้น O(n^2 log(n)) 

สำหรับรหัสเทียมต่อไปนี้จะเป็นการนำไปใช้ต่อเพื่อหาผลลัพธ์ในรูปแบบที่ 2.
:function csquare(n)
::x = ceil(sqrt(n))    
:::while x  \lceil \sqrt{n} \rceil  เพื่อจะได้ทำการค้นหาในช่วง  \lceil \sqrt{n} \rceil  ถึง n ตามต้องการ เช่นเดียวกับรูปแบบที่ 1. แล้วจึงทำการหาค่า z โดย x^2 \equiv z \pmod{n}  โดยทำการทดสอบว่า  \sqrt{z}  เป็นจำนวนเต็มหรือไม่ โดยถ้าเป็นจำนวนเต็มจะกำหนดให้ y =  \sqrt{z} แล้วจึงทำการตรวจคำตอบโดยการตรวจสอบตัวหารร่วมมากของ (x+y, n) และ (x-y, n) ว่าเป็นไปตามเงื่อนไขที่ได้กำหนดหรือไม่ ซึ่งถ้าพบว่าตรงตามเงื่อนไขที่ต้องการก็จะแสดงคำตอบและหยุดการทำงานทันทีเมื่อพบคำตอบชุดหนึ่งแล้ว ซึ่งจะทำให้เสียเวลาการทำงานรวมทั้งสิ้นจากการทำวงวน Θ (n) และเมื่อคำนึงถึงการเรียกใช้ function gcd ที่มีภาระเป็น O(log n) แล้ว จึงได้ว่ากระบวนการทำงานตามรหัสเทียมดังกล่าวจะใช้เวลาในการทำงานรวมทั้งสิ้น O(n log(n)) ซึ่งจะเห็นได้ว่าอาจทำงานเร็วกว่ารูปแบบที่ 1. แต่ก็จะใช้หน่วยความจำที่มากกว่าเพราะต้องคำนวณ  x^2  mod n

## ปัญหาที่เกี่ยวข้อง
สำหรับ **ปัญหาคอนกรูเอนซ์ของจำนวนเต็มยกกำลังสองมอดุลโลเอ็น** นั้น โดยวิธีการแก้ปัญหาที่ได้นำเสนอนั้น เป็นวิธีการพื้นฐานเท่านั้น ซึ่งได้มีผู้พัฒนาวิธีการแก้ปัญหาดังกล่าวเพื่อให้มีประสิทธิภาพยิ่งขึ้นในทางปฏิบัติ เช่น วิธีการแยกตัวประกอบแบบดิกซ์ซัน () รวมถึงเป็นพื้นฐานในการแก้ไขปัญหาอื่น ๆ อีกมากที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีจำนวน เช่น ปัญหาตะแกรงกำลังสอง (), ปัญหาตะแกรงของจำนวนเต็มใด ๆ () เป็นต้น

## เพิ่มเติม
สำหรับนิยามสัญกรณ์เชิงเวลาที่ได้ใช้เพื่อประเมินประสิทธิภาพเชิงเวลา เช่น สัญกรณ์โอใหญ่ () รวมถึง ความรู้เกี่ยวกับสัญกรณ์เชิงเวลาในรูปแบบภาพยนตร์เพื่อการศึกษาภาษา ซึ่งสามารถค้นคว้าเพิ่มเติมได้ทั้งในรูปแบบของภาพยนตร์เพื่อการศึกษาและบทความเพื่อความเข้าใจ รวมถึงข้อมูลอื่น ๆ เพื่อประกอบการแก้ปัญหานั้น เช่น บทความทางด้านความรู้ต่าง ๆ เกี่ยวข้องกับทฤษฎีจำนวน เช่น ความรู้ที่เกี่ยวข้องกับเลขคณิตมอดุลาร์ () รวมถึงความสัมพันธ์ในรูปแบบคอนกรูเอนซ์ () และสัญลักษณ์ต่าง ๆ ที่ใช้ในการเขียนรหัสเทียม รวมถึงหลักภาษาในการเขียนรหัสเทียมเพื่อบรรยายขั้นตอนวิธีเพื่อการทำงานตามความต้องการ สามารถอ่านเพิ่มเติมได้ในบทความ  How to write Pseudocode  (ในรูปแบบ .doc) รวมถึง รวมถึงความรู้เพื่อประกอบความเข้าใจอื่น ๆ ซึ่งสามารถพบได้ในส่วนของ**อ้างอิง**

## อ้างอิง

หนังสือประกอบการอ้างอิง
# .
# .

หมวดหมู่:ขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม
หมวดหมู่:เลขคณิตมอดุลาร์