ยุคลิด

**ยุคลิด** ( ;  – *Eukleídēs*; fl. 300 BC) บางครั้งถูกเรียกว่า **ยุคลิดแห่งอะเล็กซานเดรีย** (, เพื่อแยกเขาออกจากยุคลิดแห่งเมการา) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณที่มีชีวิตอยู่ในช่วง 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช ผลงานที่มีชื่อเสียงที่สุดของยุคลิดคือหนังสือ*เอเลเมนส์* (The Elements) ซึ่งเป็นหนังสือรวบรวมทฤษฎีบทในคณิตศาสตร์ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งทางเรขาคณิต) และการพิสูจน์โดยวิธีแบบสัจพจน์ ซึ่งได้รับความนิยมอย่างยิ่งจนเป็นตำราเรียนคณิตศาสตร์เล่มสำคัญในอดีตจนถึงศตวรรษที่ 19 ในหนังสือดังกล่าวยุคลิดพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเรขาคณิตที่ในปัจจุบันเรียกว่า เรขาคณิตแบบยุคลิด จากสัจพจน์พื้นฐานเท่านั้น

## ประวัติ
มีหลักฐานเกี่ยวกับชีวประวัติของยุคลิดน้อยมาก พรอคลัสที่มีชีวิตราว ค.ศ. 450 หรือ 800 ปีหลังยุคลิด เขียนถึงยุคลิดว่าสอนคณิตศาสตร์ที่อะเล็กซานเดรียในรัชสมัยของทอเลมีที่ 1 ซึ่งปกครองอียิปต์โบราณในช่วง 323-285 ปีก่อนคริสต์ศักราช  หลักฐานอีกอย่างของพรอคลัสคือเรื่องเล่าว่าพระเจ้าทอเลมีที่ 1 พระองค์มีรับสั่งถามยุคลิดว่า ‘มีทางลัดสำหรับการเรียนวิชาเรขาคณิตไหม?’ ยุคลิดทูลตอบว่า ‘ไม่มีลาดพระบาทสำหรับการเรียนเรขาคณิต’ (There is no royal road to geometry.) อย่างไรเสียเรื่องดังกล่าวคล้ายกับเรื่องเล่าเหตุการณ์ระหว่าง เมไนคมัส และ อเล็กซานเดอร์มหาราช ทำให้หลักฐานอ่อนลง

หากเชื่อตามพรอคลัส ยุคลิดได้รับอิทธิพลทางปรัชญาจากเพลโต และจะต้องมีอายุอ่อนกว่ายูโดซัสและตีอิตีตัสเพราะได้เขียน *เอเลเมนส์* ที่รวมทฤษฎีบทของยูโดซัสและตีอิตีตัสจำนวนหนึ่งไว้ด้วย แต่ต้องมาก่อนอาร์คิมิดีสเพราะชื่อของยุคลิดปรากฏในงานของอาร์คิมิดีส ในภายหลังมีผู้เสนอและบางส่วนยอมรับว่าชื่อของยุคลิดถูกเพิ่มมาภายหลังในงานของอาร์คิมิดีส แต่ปัจจุบันยังเชื่อกันว่ายุคลิดมีชีวิตอยู่ก่อนอาร์คิมิดีส

ชื่อของยุคลิดถูกล่าวถึงอีกครั้งโดยปัปปุสแห่งอะเล็กซานเดรีย (ประมาณ ค.ศ. 320) โดยกล่าวถึงผ่าน ๆ ว่า อะพอลโลเนียส "ใช้เวลาสักพักร่วมกับลูกศิษย์ของยุคลิดแห่งอะเล็กซานเดรีย ด้วยเหตุนี้เขาจึงได้นิสัยช่างคิดค้นคว้า"

จากการขาดชีวประวัติที่ชัดเจนของยุคลิดในหลักฐานยุคกรีกนั้นผิดปกติ (นักคณิตศาสตร์คนอื่นทั้งก่อนและหลังยุคลิดมีชีวประวัติที่สมบูรณ์กว่านี้) ทำให้มีนักประวัติศาสตร์สันนิษฐานว่ายูคลิดไม่มีตัวตนจริง แต่เป็นกลุ่มนักคณิตศาสตร์ที่อาศัยอยู่ที่อะเล็กซานเดรีย อย่างไรก็ดียังขาดหลักฐานสนับสนุนแนวคิดดังกล่าวและนักประวัติศาสตร์ส่วนใหญ่เชื่อว่ายูคลิดมีตัวตนจริง

## ผลงาน
[thumb|200px|รูปปั้นยุคลิดแห่งอเล็กซานเดรียที่พิพิธภัณฑ์ประวัติศาสตร์ธรรมชาติใน[มหาวิทยาลัยออกซฟอร์ด]]ผลงานที่สำคัญของยุคลิดคือการเขียนตำราทางคณิตศาสตร์และดาราศาสตร์ ผลงานที่ยังคงเหลืออยู่ในปัจจุบัน 5 ชิ้นด้วยกัน คือ

* *Data*  เนื้อหาเกี่ยวกับธรรมชาติและผลจากข้อมูลในโจทย์ปัญหาเรขาคณิต คล้ายกับใน *เอเลเมนส์* 4 เล่มแรก
* *On Divisions of Figures* เกี่ยวข้องกับการแบ่งรูปในระนาบให้ได้ตามสัดส่วนที่กำหนด ประกอบด้วยทฤษฎีบท 36 บท เช่น ทฤษฎีบทที่ 1 ว่าด้วยการสร้างเส้นตรงให้ขนานกับฐานของสามเหลี่ยมและแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วนโดยมีพื้นที่เท่ากัน เป็นต้น ต้นฉบับหลงเหลือเฉพาะฉบับแปลเป็นภาษาอาหรับ
* *Phaenomena* กล่าวถึงดาราศาสตร์ทรงกลม
* *Optics* ว่าด้วยทัศนมิติและการมองเห็น เป็นงานเขียนภาษากรีกเล่มแรกสุดที่ยังหลงเหลือถึงปัจจุบันเกี่ยวกับเรื่องดังกล่าว 
* *Elements* หรือ *เอเลเมนส์* ** **เป็นตำราทางเรขาและคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดของยุคลิด  
นอกจากนี้ยังมีงานของยุคลิดที่ปัจจุบันสูญหายไปแล้ว เช่น *Conics* ซึ่งภายหลังอะพอลโลเนียสได้เขียนแต่งเติมจนเป็นตำราที่มีชื่อเสียงที่สุดของเขา

## ''เอเลเมนส์'' ของยุคลิด
thumb|หนังสือรวมผลงานที่เหลืออยู่ของยุคลิด (''Euclidis quae supersunt omnia'', 1703)

*เอเลเมนส์* เป็นผลงานที่มีชื่อเสียงที่สุดของยุคลิด ถึงแม้ว่าหลายทฤษฎีบทใน *เอเลเมนส์* จะเป็นที่รู้จักมาก่อนแล้ว แต่ยุคลิดนำเสนอทฤษฎีบทจำนวนมากอย่างรัดกุมและเป็นระบบ ระบบพิสูจน์ทฤษฎีบทใน เอเลเมนส์ ยังเป็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน  *เอเลเมนส์* มีหลายฉบับ เพราะได้รับการเขียนแต่งเติมโดยนักคณิตศาสตร์หลายท่าน ฉบับที่เป็นที่นิยมที่สุดโดยเธออนแห่งอะเล็กซานเดรีย ถึงแม้พรอคลัสเป็นผู้ระบุว่ายุคลิดเขียน *เอเลเมนส์* แต่ไม่มีคำกล่าวถึงยุคลิดในต้นฉบับแรก ๆ ที่ยังหลงเหลืออยู่ของ *เอเลเมนส์* เกือบทุกฉบับเขียนว่า "from the edition of Theon" (จากฉบับของเธออน) หรือ "lectures of Theon" (จากคำบรรยายของเธออน) ฉบับของหอสมุดวาติกันเป็นฉบับที่ไม่ได้มาจากฉบับที่แต่งเพิ่มโดยเธออน แต่ก็ไม่มีชื่อผู้แต่งว่าเป็นยุคลิด

หนังสือ *เอเลเมนส์* แบ่งออกเป็นหนังสือได้ 13 เล่ม ใน 6 เล่มแรกเป็นผลงานเกี่ยวกับเรขาคณิต เล่ม 7, 8 และ 9 เป็นเรื่องราวเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน เล่ม 10 เป็นเรื่องราวเกี่ยวกับทฤษฎีที่ว่าด้วยจำนวนอตรรกยะ เล่ม 11, 12 และ 13 เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตในสามมิติและเรขาคณิตทรงตัน เรขาคณิตในหนังสือ *เอเลเมนส์* เป็นเรขาคณิตบนระนาบซึ่งเชื่อกันมานานว่าเป็นเรขาคณิตแบบเดียวที่เป็นไปได้ จนกระทั่งการค้นพบเรขาคณิตนอกแบบยุคลิดในศตวรรษที่ 19

นอกจากเรขาคณิตแล้ว ทฤษฎีจำนวนก็เป็นหัวข้อสำคัญใน  *เอเลเมนส์* ตัวอย่างทฤษฎีบทที่มี เช่น ทฤษฎีบทที่ว่าจำนวนเฉพาะมีมากมายนับไม่ถ้วน ความสัมพัทธ์ระหว่างจำนวนสมบูรณ์กับจำนวนเฉพาะแมร์แซนน์ บทตั้งของยุคลิดเกี่ยวกับการหาตัวประกอบ และขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดที่ใช้หาตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองจำนวน

## ลักษณะสำคัญของ ''เอเลเมนส์''
1. หนังสือ Elements ถือว่าเป็นต้นแบบของระบบคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน กล่าวคือในหนังสือ Elements ยุคลิดได้กำหนดข้อตกลงขึ้น 10 ประการ ยุคลิดเรียกข้อตกลง 5 ประการแรกว่าสัจพจน์ (Axioms) หรือคอมมอนโนชั่น (Common Notions) ซึ่งหมายถึงสิ่งที่เห็นได้จริงโดยไม่ต้องมีการพิสูจน์ในคณิตศาสตร์ทุกแขนง ส่วนข้อตกลง 5 ประการหลังยุคลิดเรียกว่าพอสจูเลต (Postulates) หมายถึงสิ่งที่เห็นได้จริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ในทางเรขาคณิต ข้อตกลงดังกล่าวมีดังนี้

A1  สิ่งทั้งหลายที่เท่ากับสิ่งเดียวกัน สิ่งเหล่านั้นย่อมเท่ากัน

A2  สิ่งที่เท่ากัน เมื่อถูกเพิ่มด้วยสิ่งที่เท่ากัน ผลย่อมเท่ากัน

A3  สิ่งที่เท่ากัน เมื่อถูกหักออกด้วยสิ่งที่เท่ากัน ผลย่อมเท่ากัน

A4  สิ่งที่ทุกอย่างร่วมกันย่อมเท่ากัน

A5  ส่วนรวมย่อมใหญ่กว่าส่วนย่อย

P1  ลากเส้นตรงจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งได้

P2  ต่อเส้นตรงที่มีความยาวจำกัดออกไปเรื่อย ๆ

P3  เขียนวงกลมได้เมื่อกำหนดจุดศูนย์กลางและระยะทางใด ๆ

P4  มุมฉากทุกมุมย่อมเท่ากัน

P5  ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่ง ผ่านเส้นตรง 2 เส้น ทำให้มุมภายในที่อยู่ด้านเดียวกันรวมกันน้อยกว่า 2 มุมฉาก แล้วเส้นตรงสองเส้นจะตัดกันทางด้านที่มีมุมรวมกันน้อยกว่า 2 มุมฉาก ถ้าลากเส้นนั้นต่อไปเรื่อยๆ[2]

จากข้อตกลงทั้ง 10 ประการนี้ ยุคลิดสามารถนำไปสร้างทฤษฎีบทได้ 465 ทฤษฎี โดยใช้วิธีการที่เรียกว่า “การสังเคราะห์” ด้วยการนำบทนิยามหรือทฤษฎีที่รู้แล้ว ประกอบกับการให้เหตุผลเชิงตรรกศาสตร์ ไปสร้างข้อสรุปหรือทฤษฎีบทใหม่ที่มีความซับซ้อนมากขึ้น ต่อจากนั้นจึงได้ใช้วิธีการวิเคราะห์พิสูจน์ข้อสรุปหรือทฤษฎีบทเหล่านั้นว่าเป็นจริง

2. ยุคลิดให้นิยามคำศัพท์ทุกคำที่ต้องใช้ในหนังสือ Elements เช่น คำว่าจุด เส้น ระนาบ เป็นต้น

3. การพิสูจน์ที่ปรากฏในหนังสือ Elements ยุคลิดได้พยายามใช้หลักเกณฑ์อย่างเคร่งครัด นอกจากนี้การพิสูจน์ทฤษฎีบทบางบท จัดได้ว่าเป็นวิธีการให้เหตุผลเชิงคณิตศาสตร์ที่สละสลวยและสวยงาม จนถือเป็นแบบฉบับมาจนทุกวันนี้ เช่น การพิสูจน์ว่า จำนวนเฉพาะมีจำนวนไม่จำกัด เป็นต้น[3]

หนังสือ Elements มีทั้งหมด 13 เล่ม ซึ่งมีเนื้อหาส่วนใหญ่เกี่ยวกับเรขาคณิต แต่ก็มีการกล่าวถึงพีชคณิต เรขาคณิตเชิงพีชคณิตเบื้องตน และทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น เนื้อหาส่วนใหญ่เป็นผลงานของคนอื่น แต่ทว่ายุคลิดได้นำผลงานของนักปราชญ์คนอื่น ๆ ในสมัยก่อน ๆ มารวบรวมเข้าด้วยกันอย่างมีระบบ และเป็นลำดับเหตุผลต่อเนื่องกัน ซึ่งเนื้อหาของทั้ง 13 เล่ม มีรายละเอียดโดยสังเขปดังนี้

**เล่ม 1**  ประกอบไปด้วยบทนิยาม 13 นิยาม สัจพจน์ 10 ข้อ ยุคลิดเรียกสัจพจน์ 5 ข้อแรกว่า Postulates และ 5 ข้อหลังเรียกว่า Common notion และทฤษฎีบทอีก 48 ทฤษฎีบท ซึ่งรวมถึงทฤษฎีปีทาโกรัสและบทกลับเอาไว้ด้วย

**เล่ม 2**  เกี่ยวกับการเปลี่ยนรูป พื้นที่ของรูปต่าง ๆ และพีชคณิตเชิงเรขาคณิตของปีทาโกรัส

**เล่ม 3**  เป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับวงกลม คอร์ด เส้นสัมผัสวงกลมและการวัดมุมต่าง ๆ

**เล่ม 4**   เป็นการอภิปรายผลงานของโรงเรียนปีทาโกเรียน เรื่อง การสรางรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าโดยใช้วงเวียนและสันตรง

**เล่ม 5** ยุคลิดนำแนวคิดของยูโดซุสมาอธิบายเรื่องทฤษฎีสัดส่วนได้อย่างดีเยี่ยม และนำการประยุกต์ในการหาขนาด ซึ่งแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นจากการค้นพบจำนวนอตรรกยะ

**เล่ม 6** นำทฤษฎีสัดส่วนของยูโดซุสมาใช้กับเรขาคณิตในระนาบเกี่ยวกับทฤษฎีบทของรูปสามเหลี่ยมคล้าย

**เล่ม 7** ทฤษฎีจำนวน: การจำแนกจำนวนเป็นจำนวนคู่ จำนวนคี่ จำนวนเฉพาะ และจำนวนนสมบูรณ์ (Perfect Number) ตัวหารร่วมมาและตัวคูณร่วมน้อย

**เล่ม 8** สัดส่วนต่อเนื่อง

**เล่ม 9**   เกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนต่อจากเล่ม 7 และ 8 ทฤษฎีที่มีชื่อเสียงของเล่มนี้คือ จำนวนเฉพาะมีจำนวนไม่จำกัด

**เล่ม 10**    เกี่ยวกับเรขาคณิตที่เกี่ยวกับจำนวนอตรรกยะ

**เล่ม 11**    ความรู้เกี่ยวกับเรขาคณิตสามมิติที่สมนัยกับเล่ม 1

**เล่ม 12**    เรื่องปริมาตรและทฤษฎีบทของยูโดซุสเกี่ยวกับระเบียบวิธีเกษียณ (Method of exhaustion) ซึ่งเป็นพื้นฐานนำไปสู่เรื่องลิมิต (Limit)

**เล่ม 13**    เกี่ยวกับการสร้างรูปทรงสามมิติ 

## อ้างอิง

## บรรณานุกรม
* 
* Artmann, Benno (1999). *Euclid: The Creation of Mathematics*. New York: Springer. ISBN 0-387-98423-2.
* 
* 
* 
* Heath, Thomas L. (1908), "Euclid and the Traditions About Him ", in Euclid, *Elements* (Thomas L. Heath, ed. 1908), **1**:1–6, at Perseus Digital Library .
* Heath, Thomas L. (1981). *A History of Greek Mathematics*, 2 Vols. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-24073-8 / ISBN 0-486-24074-6.
* Kline, Morris (1980). *Mathematics: The Loss of Certainty*. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-502754-X.
* O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Euclid of Alexandria", *MacTutor History of Mathematics archive*, University of St Andrews
* Proclus, *A commentary on the First Book of Euclid's Elements*, translated by Glenn Raymond Morrow,  Princeton University Press, 1992. ISBN 978-0-691-02090-7.
* 

## หนังสืออ่านเพิ่ม
* 
* 
* 
* 
* 
*มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ บางเขน. ภาควิชาคณิตศาสตร์. (2530). ประวัตินักคณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ: สมาคมคณิตศาสตร์แห่งประเทศไทย ในพระบรมราชูปถัมภ์.
*มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราช. สาขาศึกษาศาสตร์. (2543). เอกสารการสอนชุดวิชาคณิตศาสตร์ 4 หน่วยที่ 1–8 = Mathematics 4. พิมพ์ครั้งที่ 7. นนทบุรี: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราช.
*สมพร เรืองโชติวิทย์. (2523). รากฐานเรขาคณิต. กรุงเทพฯ: ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ บางเขน.
*อัควีร์ มัธยมจันทร์. (2544, พฤศจิกายน). “เปิดปูมประวัติคณิตศาสตร์,” อัปเดต. 17(171): 34–37.

## แหล่งข้อมูลอื่น

* Euclid's Elements, All thirteen books, with interactive diagrams using Java. Clark University
* Euclid's Elements , with the original Greek and an English translation on facing pages (includes PDF version for printing). University of Texas.
* Euclid's Elements, books I-VI, in English pdf, in a Project Gutenberg Victorian textbook edition with diagrams.
* Euclid's Elements, All thirteen books, in several languages as Spanish, Catalan, English, German, Portuguese, Arabic, Italian, Russian and Chinese.
* ''Elementa Geometriae'' 1482, Venice. From Rare Book Room.
* ''Elementa'' 888 AD, Byzantine. From Rare Book Room.
* Euclid biography by Charlene Douglass With extensive bibliography.
* Texts on Ancient Mathematics and Mathematical Astronomy PDF scans (Note: many are very large files). Includes editions and translations of Euclid's *Elements*, *Data*, and *Optica*, Proclus's *Commentary on Euclid*, and other historical sources.

หมวดหมู่:นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก
หมวดหมู่:ชาวกรีกโบราณ