ผลคูณไขว้

thumb|ผลคูณไขว้ '''a''' × '''b''' มีทิศตรงข้ามกับ '''b''' × '''a'''
**ผลคูณไขว้** หรือ **ผลคูณเชิงเวกเตอร์** ในทางคณิตศาสตร์ คือ การดำเนินการทวิภาคบนเวกเตอร์สองอันในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์อีกอันหนึ่งที่ตั้งฉากกับสองเวกเตอร์แรก ในขณะที่ผลคูณจุดของสองเวกเตอร์จะให้ผลลัพธ์เป็นปริมาณสเกลาร์ ผลคูณไขว้ไม่มีการนิยามบนมิติอื่นนอกจากสามมิติ และไม่มีคุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม เมื่อเทียบกับผลคูณจุด สิ่งที่เหมือนกันคือผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับปริภูมิอิงระยะทาง (metric space) ของปริภูมิแบบยุคลิด แต่สิ่งที่ต่างกันคือผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับการกำหนดทิศทาง (orientation)

## นิยาม
[thumb|การหาทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์ด้วย[กฎมือขวา ]]
ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองอัน **a** และ **b** ในปริภูมิสามมิติ เขียนแทนด้วย **a** × **b** (อ่านว่า *เอ ครอสส์ บี*) คือเวกเตอร์ **c** ที่ตั้งฉากกับทั้ง **a** และ **b** โดยมีทิศทางตามกฎมือขวาและมีขนาดเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์สองอันนั้นครอบคลุม

ผลคูณไขว้สามารถคำนวณได้จากสูตร
::\mathbf{a} \times \mathbf{b} = a b \sin \theta \ \mathbf{\hat{n}}
เมื่อ *θ* คือขนาดของมุม (ที่ไม่ใช่มุมป้าน) ระหว่าง **a** กับ **b** (0° ≤ *θ* ≤ 180°) *a* กับ *b* ในสูตรคือขนาดของเวกเตอร์ **a** และ **b** ตามลำดับ และ \mathbf{\hat{n}} คือเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ **a** และ **b** ถ้าหากทั้งสองเวกเตอร์นั้นร่วมเส้นตรงกัน (คือมีมุมระหว่างเวกเตอร์เป็น 0° หรือ 180°) ผลคูณไขว้จะได้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ศูนย์ **0**

ทิศทางของเวกเตอร์ \mathbf{\hat{n}} ถูกกำหนดโดยกฎมือขวา ซึ่งให้นิ้วชี้แทนทิศทางของเวกเตอร์ **a** และนิ้วกลางแทนทิศทางของเวกเตอร์ **b** ทิศทางของเวกเตอร์ \mathbf{\hat{n}} จะอยู่ที่นิ้วโป้ง (ดูรูปทางขวาประกอบ)

## วิธีคำนวณผลคูณไขว้
### สัญกรณ์พิกัด
กำหนดให้ **i**, **j**, **k** เป็นเวกเตอร์หน่วยในระบบพิกัดมุมฉาก ที่ตั้งฉากซึ่งกันและกันตามคุณสมบัติต่อไปนี้
:: \begin{array}{lcl}
\mathbf{i} \times \mathbf{j} &=& \mathbf{k} \\
\mathbf{j} \times \mathbf{k} &=& \mathbf{i} \\
\mathbf{k} \times \mathbf{i} &=& \mathbf{j} \\
\end{array}

โดยเวกเตอร์ **a** และ **b** สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบของ **i**, **j**, **k** ได้ดังนี้
:: \begin{align}
\mathbf{a} &= a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k} = (a_1, a_2, a_3) \\
\mathbf{b} &= b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k} = (b_1, b_2, b_3) \\
\end{align}

ผลคูณไขว้ **a** × **b** สามารถคำนวณได้จากสูตรนี้ โดยไม่ต้องพิจารณาขนาดของมุม
:: \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k} = (a_2b_3 - a_3b_2, \ a_3b_1 - a_1b_3, \ a_1b_2 - a_2b_1)

### สัญกรณ์เมทริกซ์
สัญกรณ์พิกัดข้างต้นสามารถเขียนได้อีกอย่างหนึ่งเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดังนี้

::
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix} =
\mathbf{i}(a_2b_3) + \mathbf{j}(a_3b_1) + \mathbf{k}(a_1b_2) - \mathbf{i}(a_3b_2) - \mathbf{j}(a_1b_3) - \mathbf{k}(a_2b_1)


## ดูเพิ่ม
* ผลคูณจุด

## แหล่งข้อมูลอื่น
*  Z.K. Silagadze (2002). Multi-dimensional vector product. Journal of Physics. A35, 4949  (it is only possible in 7-D space)
* Real and Complex Products of Complex Numbers
* Vector Product Calculator  Online application to calculate the vector product of 3 element vectors
* An interactive tutorial  created at Syracuse University - (requires java)
* W. Kahan (2007). Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space. University of California, Berkeley (PDF).
* Multiplication of Vectors

หมวดหมู่:พีชคณิตนามธรรม
หมวดหมู่:พีชคณิตเชิงเส้น
หมวดหมู่:การดำเนินการทวิภาค