เซนทรอยด์

thumb|right|เซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง
ในทางเรขาคณิต **เซนทรอยด์** () หรือชื่ออื่นเช่น **ศูนย์กลางเรขาคณิต** (geometric center), **แบรีเซนเตอร์** (barycenter) ของรูปร่าง *X* บนระนาบ คือจุดตัดของเส้นตรงทั้งหมดที่แบ่งรูปร่าง *X* ออกเป็นสองส่วนตามโมเมนต์เท่า ๆ กัน หรือเรียกได้ว่าเป็นแนวโน้มสู่ส่วนกลางของจุดทั้งหมดที่อยู่ภายในรูปร่าง *X* นิยามนี้ขยายออกไปยังวัตถุใด ๆ ที่อยู่ในปริภูมิ *n* มิติด้วย นั่นคือเซนทรอยด์คือจุดตัดของระนาบเกิน (hyperplane) ทั้งหมดที่แบ่งรูปร่าง *X* ออกเป็นสองส่วนตามโมเมนต์เท่า ๆ กัน

ในทางฟิสิกส์ เซนทรอยด์อาจหมายถึงศูนย์กลางเรขาคณิตของวัตถุดังที่กล่าวไปแล้ว หรืออาจหมายถึงศูนย์กลางมวลหรือศูนย์ถ่วงของวัตถุ ขึ้นอยู่กับบริบท หรือเรียกได้ว่าเป็นแนวโน้มสู่ส่วนกลางของจุดทั้งหมด ซึ่งชั่งน้ำหนักตามความหนาแน่นหรือน้ำหนักจำเพาะตามลำดับ

ในทางภูมิศาสตร์ เซนทรอยด์ของบริเวณหนึ่งบนพื้นผิวโลก ซึ่งเป็นภาพฉายตามแนวรัศมีไปบนพื้นผิว คือจุดกึ่งกลางโดยสมมติของพื้นที่บริเวณนั้น เรียกว่าศูนย์กลางภูมิศาสตร์ (geographical centre)

## สมบัติ
เซนทรอยด์ของวัตถุทรงนูน (convex) จะอยู่ในวัตถุนั้นเสมอ สำหรับรูปสามเหลี่ยมจะเป็นจุดที่เส้นมัธยฐานทั้งสามตัดกันพอดี ส่วนวัตถุที่ไม่เป็นทรงนูน เซนทรอยด์อาจอยู่นอกวัตถุก็ได้ ตัวอย่างวัตถุเช่น แหวนหรือถ้วย เซนทรอยด์จะอยู่กึ่งกลางช่องว่างระหว่างวัตถุ

ถ้าหากเซนทรอยด์ได้ถูกนิยามขึ้นมาแล้ว จุดนั้นจะเป็นจุดตรึง (fixed point) สำหรับสมมิติ (isometry) ทั้งหมดในกรุปสมมาตร (symmetry group) โดยเฉพาะเซนทรอยด์ของวัตถุที่อยู่บนจุดตัดของระนาบเกินทั้งหมดของความสมมาตร เซนทรอยด์ของรูปทรงหลายชนิด (เช่น รูปหลายเหลี่ยมปรกติ ทรงหลายหน้าปรกติ ทรงกระบอก รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปวงกลม ทรงกลม รูปวงรี ทรงรี superellipse superellipsoid ฯลฯ) สามารถอธิบายได้ด้วยหลักการข้างต้น

ด้วยเหตุผลเดียวกัน เซนทรอยด์ของวัตถุที่สมมาตรเคลื่อนที่ (translational symmetry) จะไม่ถูกนิยาม (หรือวางอยู่นอกปริภูมิที่โอบล้อม) เพราะว่าการเคลื่อนที่นั้นไม่มีจุดตรึง

## เซนทรอยด์ของเซตจำกัดของจุด
เซนทรอยด์ของเซตจำกัดของจุด x_1,x_2,\ldots,x_k ในเซต \mathbb{R}^n คือ
:C = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_k}{k}

## เซนทรอยด์จากการแยกทางเรขาคณิต
เซนทรอยด์ของรูปร่าง *X* บนระนาบ สามารถคำนวณได้จากการแบ่งรูปนั้นออกเป็นรูปร่างที่ง่ายกว่าเป็นส่วนๆ X_1, X_2, ..., X_n เป็นจำนวนจำกัด *n* ส่วน แล้วคำนวณหาเซนทรอยด์ย่อย C_i กับพื้นที่ย่อย A_i ของแต่ละส่วน เพื่อเข้าสูตรนี้
: C = \frac{\sum C_i A_i}{\sum A_i}

สูตรนี้ก็สามารถใช้ได้บนวัตถุสามมิติ เว้นแต่เพียงว่า A_i ควรจะเป็นปริมาตรของวัตถุย่อย X_i แทนที่จะเป็นพื้นที่ และสูตรนี้ก็ยังใช้ได้บนเซตย่อยของ \R^d สำหรับวัตถุ *d* มิติ โดยที่ A_i จะถูกแทนที่ด้วยเมเชอร์ (measure) ของส่วนย่อยนั้น

สูตรนี้ก็ยังคงใช้ได้ถึงแม้ว่าจะมีบางส่วนทับซ้อน และ/หรือขยายออกไปนอกเซต *X* ซึ่งจะทำให้เมเชอร์ A_i มีค่าเป็นบวกหรือลบ ในทางเช่นนั้นผลรวมทุกส่วนของ A_i ที่โอบล้อมจุดที่กำหนด *x* จะเท่ากับ 1 เมื่อจุด *x* อยู่ในรูปร่าง *X* ส่วนกรณีอื่นจะเป็น 0

## สูตรปริพันธ์
เซนทรอยด์ของเซตย่อย *X* ในเซต \R^d สามารถคำนวณได้ด้วยปริพันธ์
:C = \frac{\int x f(x) \ dx}{\int f(x) \ dx}
เมื่อปริพันธ์นั้นครอบคลุมปริภูมิ \R^d ทั้งหมด และ *f* คือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ (characteristic function) ของเซตย่อยนั้น ซึ่งให้ค่าเป็น 1 หากอยู่ภายใน *X* และเป็น 0 หากอยู่ภายนอก (อย่างไรก็ตาม สูตรนี้ไม่สามารถใช้ได้ถ้าวัตถุนั้นมีเมเชอร์เป็นศูนย์ หรือถ้าปริพันธ์ลู่ออก อย่างใดอย่างหนึ่ง)

## เซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยมและทรงสี่หน้า

เซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยม คือจุดตัดของเส้นมัธยฐาน (ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดยอดกับจุดกึ่งกลางของด้านที่อยู่ตรงข้าม) เซนทรอยด์จะแบ่งเส้นมัธยฐานออกเป็นอัตราส่วน 2:1 ซึ่งเรียกได้ว่าเซนทรอยด์อยู่ที่  ของส่วนสูง (ระยะตั้งฉากระหว่างด้านและมุมตรงข้าม) ดังรูปที่แสดงไว้ทางขวา

เซนทรอยด์จะเป็นศูนย์กลางมวลของรูปสามเหลี่ยม ถ้าหากรูปสามเหลี่ยมนั้นสร้างขึ้นบนแผ่นวัสดุบาง ๆ เช่น แผ่นกระดาษหรือแผ่นโลหะ พิกัดคาร์ทีเซียนของเซนทรอยด์ คือมัชฌิมเลขคณิตของพิกัดของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม นั่นคือ ถ้าให้จุดยอดทั้งสามอยู่ที่ a = (x_a, y_a), b = (x_b, y_b), และ c = (x_c, y_c) ดังนั้นเซนทรอยด์จะอยู่ที่
:C = \frac13(a+b+c) = \Big( \frac13 (x_a+x_b+x_c), \ \frac13(y_a+y_b+y_c) \Big)

ผลที่คล้ายกันนี้ก็มีเช่นกันในทรงสี่หน้า เซนทรอยด์ของทรงสี่หน้าคือจุดตัดของส่วนของเส้นตรงทั้งหมดที่เชื่อมต่อจุดยอดกับเซนทรอยด์ของหน้าที่อยู่ตรงข้าม (ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม) ส่วนของเส้นตรงนี้จะถูกแบ่งโดยเซนทรอยด์ด้วยอัตราส่วน 3:1 ด้วยผลเช่นนี้สามารถเกิดกับกรณีทั่วไปของซิมเพล็กซ์ *n* มิติ ถ้าเซตของจุดยอดของซิมเพล็กซ์คือ {v_0, v_1, ..., v_n} เราจะพิจารณาว่าจุดยอดเหล่านี้เป็นเวกเตอร์ และเซนทรอยด์จะอยู่ที่
:C = \frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^n v_i

isogonal conjugate ของเซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยม คือ symmedian point

## เซนทรอยด์ของรูปหลายเหลี่ยม
เซนทรอยด์ของรูปหลายเหลี่ยมที่ด้านไม่ตัดกัน ซึ่งนิยามโดยจุดยอด (x_i, y_i) จำนวน *n* จุด สามารถคำนวณได้ ดังนี้

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมคือ
:A =3 \frac{1}{2}\sum_{i=4}^{n-1} (x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)

และเซนทรอยด์จะอยู่ที่ C =3 (C_x,C_y) เมื่อ
:C_x = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(x_i+x_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)
:C_y = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(y_i+y_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)

สำหรับสูตรเหล่านี้ จุดยอด (x_n, y_n) จะถูกกำหนดให้เป็น (x_0, y_0) ซึ่งก็หมายถึงจุดเดียวกัน

## แหล่งข้อมูลอื่น
*''Encyclopedia of Triangle Centers'' by Clark Kimberling. The centroid is indexed as X(2).
* Triangle centers by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
* Characteristic Property of Centroid at cut-the-knot
* Barycentric Coordinates at cut-the-knot
* Online Tool to Compute Center of Mass bounded by f(x) and g(x) 
* Interactive animations showing Centroid of a triangle and Centroid construction with compass and straightedge

หมวดหมู่:เรขาคณิตสัมพรรค
หมวดหมู่:มัชฌิม
หมวดหมู่:รูปสามเหลี่ยม