แก๊สอุดมคติ

**แก๊สอุดมคติ** () เป็นแก๊สทางทฤษฎีที่ประกอบด้วยอนุภาคจุดจำนวนมากที่เคลื่อนที่แบบสุ่มและไม่มีอันตรกิริยาระหว่างอนุภาค แนวคิดแก๊สอุดมคติมีประโยชน์เนื่องจากเป็นไปตามกฎแก๊สอุดมคติ สมการภาวะแบบง่าย และสามารถวิเคราะห์ได้ภายใต้กลศาสตร์สถิติ ข้อกำหนดเรื่องอันตรกิริยาเป็นศูนย์นั้นสามารถผ่อนปรนได้บ่อยครั้ง หากตัวอย่างเช่น อันตรกิริยาระหว่างกันนั้นเป็นการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์หรือถือเป็นการชนแบบจุด

ภายใต้สภาวะอุณหภูมิและความดันที่หลากหลาย แก๊สจริงจำนวนมากมีพฤติกรรมเชิงคุณภาพเหมือนกับแก๊สอุดมคติโดยที่โมเลกุลของแก๊ส (หรืออะตอมสำหรับแก๊สโมโนอะตอม) ทำหน้าที่เป็นอนุภาคในอุดมคติ แก๊สหลายชนิด เช่น ไนโตรเจน ออกซิเจน ไฮโดรเจน แก๊สมีสกุล แก๊สที่หนักกว่าบางชนิด เช่น คาร์บอนไดออกไซด์ และสารผสม เช่น อากาศ สามารถถือเป็นแก๊สอุดมคติได้ภายใต้ความคลาดเคลื่อนที่ยอมรับได้ ในช่วงตัวแปรเสริมที่กว้างพอสมควรที่อยู่รอบ ๆ อุณหภูมิและความดันมาตรฐาน โดยทั่วไปแล้ว แก๊สจะประพฤติตัวใกล้เคียงกับแก๊สอุดมคติมากขึ้นที่อุณหภูมิสูงขึ้นและความดันต่ำลง เนื่องจากพลังงานศักย์อันเนื่องมาจากแรงระหว่างโมเลกุลมีความสำคัญน้อยลงเมื่อเทียบกับพลังงานจลน์ของอนุภาค และขนาดของโมเลกุลก็มีความสำคัญน้อยลงเมื่อเทียบกับพื้นที่ว่างระหว่างพวกมัน แก๊สอุดมคติหนึ่งโมลมีปริมาตร 22.71095464... L (เป็นค่าแน่นอนตามการปรับปรุงระบบหน่วยเอสไอ ค.ศ. 2019) ที่อุณหภูมิและความดันมาตรฐาน (อุณหภูมิ 273.15 K และความดันสัมบูรณ์ 105 Pa อย่างแน่นอน)

แบบจำลองแก๊สอุดมคติมักใช้ไม่ได้ที่อุณหภูมิต่ำกว่าหรือความดันสูงกว่า ซึ่งแรงระหว่างโมเลกุลและขนาดโมเลกุลกลายเป็นสิ่งสำคัญ นอกจากนี้ยังใช้ไม่ได้สำหรับแก๊สหนักส่วนใหญ่ เช่น สารทำความเย็นหลายชนิด และสำหรับแก๊สที่มีแรงระหว่างโมเลกุลสูง โดยเฉพาะไอน้ำ ที่ความดันสูง ปริมาตรของแก๊สจริงมักจะใหญ่กว่าปริมาตรของแก๊สอุดมคติอย่างมาก ที่อุณหภูมิต่ำ ความดันของแก๊สจริงมักจะน้อยกว่าความดันของแก๊สอุดมคติอย่างมาก ณ จุดใดจุดหนึ่งของอุณหภูมิต่ำและความดันสูง แก๊สจริงจะเกิดการเปลี่ยนสถานะ เช่น เป็นของเหลวหรือของแข็ง อย่างไรก็ดี แบบจำลองแก๊สอุดมคติไม่สามารถอธิบายหรืออนุญาตให้เกิดการเปลี่ยนสถานะได้ สิ่งเหล่านี้จะต้องถูกจำลองโดยสมการภาวะที่ซับซ้อนกว่า การเบี่ยงเบนจากพฤติกรรมแก๊สอุดมคติสามารถอธิบายได้ด้วยปริมาณไร้มิติ ซึ่งคือแฟกเตอร์สภาพอัดได้ (compressibility factor) 

แบบจำลองแก๊สอุดมคติได้รับการศึกษาทั้งในพลศาสตร์นิวตัน (เช่นใน "ทฤษฎีจลน์") และในกลศาสตร์ควอนตัม (เป็น "แก๊สในกล่อง") แบบจำลองแก๊สอุดมคติยังถูกนำมาใช้เพื่อจำลองพฤติกรรมของอิเล็กตรอนในโลหะ (ในแบบจำลองดรูดและแบบจำลองอิเล็กตรอนอิสระ) และเป็นหนึ่งในแบบจำลองที่สำคัญที่สุดในกลศาสตร์สถิติ

หากความดันของแก๊สอุดมคติลดลงในกระบวนการธรอตทลิง (throttling process) อุณหภูมิของแก๊สจะไม่เปลี่ยนแปลง (หากความดันของแก๊สจริงลดลงในกระบวนการธรอตทลิง อุณหภูมิของมันจะลดลงหรือเพิ่มขึ้น ขึ้นอยู่กับว่าสัมประสิทธิ์จูล–ทอมสันของมันเป็นบวกหรือลบ)

## ชนิดของแก๊สอุดมคติ

แก๊สอุดมคติมีสามประเภทพื้นฐาน:
* แก๊สอุดมคติดั้งเดิม หรือแมกซ์เวลล์–บ็อลทซ์มัน
* แก๊สควอนตัมโบสอุดมคติ ประกอบด้วยโบซอน และ 
* แก๊สควอนตัมเฟอร์มิอุดมคติ ประกอบด้วยเฟอร์มิออน

แก๊สอุดมคติดั้งเดิมสามารถแยกออกเป็นสองประเภท ได้แก่ แก๊สอุดมคติทางอุณหพลศาสตร์ดั้งเดิม (classical thermodynamic ideal gas) และแก๊สบ็อลทซ์มันควอนตัมอุดมคติ (ideal quantum Boltzmann gas) ทั้งสองโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกัน ยกเว้นว่าแก๊สอุดมคติทางอุณหพลศาสตร์ดั้งเดิมนั้นมีพื้นฐานมาจากกลศาสตร์สถิติดั้งเดิม และตัวแปรเสริมทางอุณหพลศาสตร์บางอย่าง เช่น เอนโทรปี ถูกระบุได้เพียงแค่ค่าคงที่บวกที่ไม่กำหนดค่าที่แน่นอนเท่านั้น แก๊สบ็อลทซ์มันควอนตัมอุดมคติเอาชนะข้อจำกัดนี้ได้โดยการใช้ขีดจำกัดของแก๊สควอนตัมโบสและแก๊สควอนตัมเฟอร์มิในขีดจำกัดของอุณหภูมิสูงเพื่อกำหนดค่าคงที่บวกเหล่านี้ พฤติกรรมของแก๊สบ็อลทซ์มันควอนตัมเหมือนกับแก๊สอุดมคติดั้งเดิม ยกเว้นการระบุค่าคงที่เหล่านี้ ผลลัพธ์ของแก๊สบ็อลทซ์มันควอนตัมถูกนำไปใช้ในหลายกรณี รวมถึงสมการแซกเคอร์-เทโทรดสำหรับเอนโทรปีของแก๊สอุดมคติ และสมการการแตกตัวเป็นไอออนของซาฮาสำหรับพลาสมาที่แตกตัวเป็นไอออนอย่างอ่อน

## แก๊สอุดมคติทางอุณหพลศาสตร์ดั้งเดิม
คุณสมบัติทางอุณหพลศาสตร์ดั้งเดิมของแก๊สอุดมคติสามารถอธิบายได้ด้วยสมการภาวะสองสมการ:

### กฎของแก๊สอุดมคติ

กฎของแก๊สอุดมคติคือสมการภาวะสำหรับแก๊สอุดมคติ โดยกำหนดโดย:PV = nRTโดยที
*  คือความดัน
*  คือปริมาตร
*  คือปริมาณสารของแก๊ส (เป็นโมล)
*  คืออุณหภูมิสัมบูรณ์
*  คือค่าคงตัวของแก๊ส ซึ่งต้องแสดงในหน่วยที่สมนัยกันกับหน่วยที่เลือกใช้สำหรับความดัน ปริมาตรและอุณหภูมิ ตัวอย่างเช่น ในหน่วยเอสไอ ค่า  = 8.3145&nbsp;จูล⋅เคลวิน−1⋅โมล−1 เมื่อความดันแสดงในหน่วยปาสกาล ปริมาตรในหน่วยลูกบาศก์เมตร และอุณหภูมิสัมบูรณ์ในหน่วยเคลวิน

กฎของแก๊สอุดมคติเป็นการต่อยอดของกฎของแก๊สที่ค้นพบจากการทดลอง นอกจากนี้ยังสามารถอนุพันธ์ได้จากการพิจารณาจุลภาค

ของไหลจริงที่ความหนาแน่นต่ำและอุณหภูมิสูงจะมีพฤติกรรมใกล้เคียงแก๊สอุดมคติดั้งเดิม อย่างไรก็ดี ที่อุณหภูมิต่ำลงหรือความหนาแน่นสูงขึ้น ของไหลจริงจะเบี่ยงเบนอย่างมากจากพฤติกรรมของแก๊สอุดมคติ โดยเฉพาะเมื่อมันควบแน่นจากแก๊สเป็นของเหลวหรือเมื่อมันตกสะสมจากแก๊สเป็นของแข็ง การเบี่ยงเบนนี้แสดงออกมาเป็นแฟกเตอร์สภาพอัดได้

สมการนี้ได้มาจาก
* กฎของบอยล์: V\propto\frac{1}{P};
* กฎของชาลส์: V\propto T;
* กฎของอาโวกาโดร:  V \propto n
หลังรวมกฎทั้งสามเข้าด้วยกัน จะได้
: V \propto \frac{nT}{P}
นั่นคือ:
: V = R\left(\frac{nT}{P}\right)
: PV = nRT

### พลังงานภายใน
สมการภาวะอีกสมการของแก๊สอุดมคติจะต้องแสดงกฎข้อที่สองของจูล ที่ว่าพลังงานภายในของแก๊สอุดมคติที่มีมวลคงที่เป็นฟังก์ชันของอุณหภูมิเท่านั้น โดยที่ U = U(n,T) สำหรับวัตถุประสงค์ในปัจจุบันเป็นการสะดวกที่จะตั้งสมมติฐานถึงรูปแบบตัวอย่างของกฎนี้โดยการเขียน:
: U = \hat{c}_V nRT 
โดยที่
*  คือพลังงานภายใน
*  คือความจุความร้อนจำเพาะไร้มิติที่ปริมาตรคงตัว มีค่าโดยประมาณเป็น  สำหรับแก๊สอะตอมเดี่ยว  สำหรับแก๊สอะตอมคู่ และ 3 สำหรับโมเลกุลที่ไม่เป็นเชิงเส้น หากถือว่าการเลื่อนที่และการหมุนเป็นแบบดั้งเดิมและละเลยส่วนสนับสนุนจากการสั่นแบบควอนตัมและการกระตุ้นทางอิเล็กทรอนิกส์ สูตรเหล่านี้มาจากการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทการแบ่งเท่าแบบดั้งเดิมกับระดับขั้นความเป็นอิสระของการเลื่อนที่และการหมุน

การที่  สำหรับแก๊สอุดมคติขึ้นอยู่กับอุณหภูมิเท่านั้นเป็นผลลัพธ์ของกฎแก๊สอุดมคติ แม้ว่าในกรณีทั่วไป  จะขึ้นอยู่กับอุณหภูมิและจำเป็นต้องใช้ปริพันธ์ในการคำนวณ 

### แบบจำลองจุลภาค
ในการเปลี่ยนจากปริมาณมหภาค (ด้านซ้ายของสมการต่อไปนี้) ไปเป็นปริมาณจุลภาค (ด้านขวาของสมการต่อไปนี้) เราใช้:
: nR=N k_\mathrm{B}
โดยที่
* N คือจำนวนอนุภาคแก๊ส
* k_\mathrm{B} คือค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน ()

การแจกแจงความน่าจะเป็นของอนุภาคตามความเร็วหรือพลังงานกำหนดโดยการแจกแจงอัตราเร็วของแมกซ์เวลล์

แบบจำลองแก๊สอุดมคติขึ้นอยู่กับข้อสมมติฐานดังต่อไปนี้:
* โมเลกุลของแก๊สไม่สามารถแยกความแตกต่างกันได้ เป็นทรงกลมแข็งขนาดเล็ก
* การชนทั้งหมดเป็นการชนแบบยืดหยุ่นและการเคลื่อนที่ทั้งหมดไม่มีแรงเสียดทาน (ไม่มีการสูญเสียพลังงานในการเคลื่อนที่หรือการชน)
* กฎของนิวตันสามารถนำมาใช้ได้
* ระยะทางเฉลี่ยระหว่างโมเลกุลมีขนาดใหญ่กว่าขนาดของโมเลกุลมาก
* โมเลกุลเคลื่อนที่อย่างต่อเนื่องในทิศทางสุ่มด้วยการแจกแจงอัตราเร็ว
* ไม่มีแรงดึงดูดหรือแรงผลักระหว่างโมเลกุลนอกเหนือจากแรงที่กำหนดการชนแบบจุดของพวกมัน
* แรงเดียวที่กระทำระหว่างโมเลกุลแก๊สกับสภาพแวดล้อมคือแรงที่กำหนดการชนแบบจุดของโมเลกุลกับผนัง
* ในกรณีง่ายที่สุด ไม่มีแรงระยะไกลระหว่างโมเลกุลของแก๊สกับสภาพแวดล้อม

ข้อสมมติฐานของอนุภาคทรงกลมมีความจำเป็นเพื่อไม่ให้มีแบบการหมุนที่อนุญาต ต่างจากในแก๊สอะตอมคู่ ข้อสมมติฐานสามข้อถัดไปมีความเกี่ยวข้องกันมาก: โมเลกุลมีความแข็ง การชนเป็นแบบยืดหยุ่น และไม่มีแรงระหว่างโมเลกุล ข้อสมมติฐานที่ว่าช่องว่างระหว่างอนุภาคมีขนาดใหญ่กว่าตัวอนุภาคเองมากมีความสำคัญสูงสุด และอธิบายว่าเหตุใดการประมาณแก๊สอุดมคติจึงล้มเหลวที่ความดันสูง

## ความจุความร้อน
ความจุความร้อนไร้มิติ (dimensionless heat capacity) ที่ปริมาตรคงที่ตัวโดยทั่วไปถูกนิยามโดย
: \hat{c}_V=\frac{1}{n R}T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V=\frac{1}{n R}\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V 
โดยที่  คือเอนโทรปี ปริมาณนี้โดยทั่วไปเป็นฟังก์ชันของอุณหภูมิเนื่องจากแรงระหว่างโมเลกุลและแรงภายในโมเลกุล แต่สำหรับอุณหภูมิปานกลาง มันจะมีค่าประมาณคงตัว โดยเฉพาะทฤษฎีบทการแบ่งเท่าที่ทำนายว่าค่าคงตัวสำหรับแก๊สอะตอมเดี่ยว &nbsp;=&nbsp; ในขณะที่สำหรับแก๊สอะตอมคู่คือ &nbsp;=&nbsp; หากละเลยการสั่น (ซึ่งมักเป็นค่าประมาณยอดเยี่ยม) เนื่องจากการวัดความจุความร้อนขึ้นอยู่กับธรรมชาติของอะตอมหรือโมเลกุลของแก๊ส ดังนั้นการวัดมหภาคเกี่ยวกับความจุความร้อนจึงให้ข้อมูลที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับโครงสร้างจุลภาคของโมเลกุล

ความจุความร้อนไร้มิติที่ความดันคงตัวของแก๊สอุดมคติคือ:
: \hat{c}_P =\frac{1}{n R}T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P= \frac{1}{n R}\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P = \hat{c}_V+1
โดยที่  คือเอนทาลปีของแก๊ส

บางครั้ง มีการสร้างความแตกต่างระหว่างแก๊สอุดมคติ ซึ่ง  และ  อาจแปรผันตามอุณหภูมิ และแก๊สสมบูรณ์ ซึ่งค่าเหล่านี้ไม่แปรผันตามอุณหภูมิ

อัตราส่วนระหว่างความจุความร้อนที่ความดันคงตัวและความจุความร้อนที่ปริมาตรคงตัวคือดัชนีอะเดียแบติก
: \gamma = \frac{c_P}{c_V} 

สำหรับอากาศ ซึ่งเป็นของผสมของแก๊สที่ส่วนใหญ่เป็นอะตอมคู่ (ไนโตรเจนและออกซิเจน) อัตราส่วนนี้มักถือว่าเป็น 7/5 ซึ่งเป็นค่าที่ทำนายโดยทฤษฎีบทการแบ่งเท่าแบบดั้งเดิมสำหรับแก๊สอะตอมคู่

## เอนโทรปี
โดยใช้ผลลัพธ์จากอุณหพลศาสตร์เท่านั้น เราสามารถดำเนินการไปได้ไกลในการกำหนดนิพจน์สำหรับเอนโทรปีของแก๊สอุดมคติ นี่เป็นขั้นตอนสำคัญ เนื่องจากตามทฤษฎีของศักย์ทางอุณหพลศาสตร์ หากเราสามารถแสดงเอนโทรปีเป็นฟังก์ชันของ  ( คือศักย์ทางอุณหพลศาสตร์) ปริมาตร  และจำนวนอนุภาค  เราก็จะมีข้อความที่สมบูรณ์เกี่ยวกับพฤติกรรมทางอุณหพลศาสตร์ของแก๊สอุดมคติ เราจะสามารถอนุพันธ์ทั้งกฎแก๊สอุดมคติและนิพจน์สำหรับพลังงานภายในจากมันได้

เนื่องจากเอนโทรปีเป็นผลต่างแม่นตรง (exact differential) เมื่อใช้กฎลูกโซ่ การเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีเมื่อเปลี่ยนจากสถานะอ้างอิง 0 ไปยังสถานะอื่นที่มีเอนโทรปี  อาจเขียนได้เป็น
: \Delta S = \int_{S_0}^S dS
= \int_{T_0}^T \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V dT
+ \int_{V_0}^V \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T dV,

โดยที่ตัวแปรอ้างอิงอาจเป็นฟังก์ชันของจำนวนอนุภาค  เมื่อใช้นิยามของความจุความร้อนที่ปริมาตรคงตัวสำหรับส่วนต่างตัวแรกและความสัมพันธ์ของแมกซ์เวลล์ที่เหมาะสมสำหรับส่วนต่างตัวที่สอง เราจะได้
: \Delta S
= \int_{T_0}^T \frac{C_V}{T}\,dT + \int_{V_0}^V \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V dV.


เมื่อแสดง  ในรูปของ  ตามที่พัฒนาไว้ในส่วนด้านบน การหาอนุพันธ์ของสมการสถานะแก๊สอุดมคติ และการปริพันธ์ จะได้ผลลัพธ์เป็น
: \Delta S
= \hat{c}_VNk\ln\frac{T}{T_0} + Nk\ln\frac{V}{V_0},

หมายความว่าเอนโทรปีสามารถแสดงได้เป็น
: S = Nk\ln\frac{VT^{\hat{c}_V}}{f(N)},

โดยที่ค่าคงตัวทั้งหมดได้ถูกรวมเข้าไว้ในลอการิทึมเป็น  ซึ่งเป็นฟังก์ชันบางอย่างของจำนวนอนุภาค  ที่มีมิติเดียวกันกับ  เพื่อให้ตัวที่อยู่ภายในลอการิทึมเป็นปริมาณไร้มิติ ตอนนี้เรากำหนดข้อจำกัดว่าเอนโทรปีเป็นเอกซ์เทนซิฟ หมายความว่าเมื่อตัวแปรเอกซ์เทนซิฟ ( และ ) ถูกคูณด้วยค่าคงตัว เอนโทรปีจะถูกคูณด้วยค่าคงที่เดียวกัน ทางคณิตศาสตร์:
: S(T, aV, aN) = a S(T, V, N).

จากนี้เราพบสมการสำหรับฟังก์ชัน :
: af(N) = f(aN).

เมื่อหาอนุพันธ์สมการนี้เทียบกับ  กำหนดให้  เท่ากับ 1 แล้วแก้สมการเชิงอนุพันธ์ จะได้
: f(N) = \Phi N,
โดยที่  อาจแตกต่างกันไปสำหรับแก๊สต่างชนิดกันแต่เป็นอิสระจากสถานะทางอุณหพลศาสตร์ของแก๊ส มันมีมิติของ  เมื่อแทนค่ากลับเข้าไปในสมการสำหรับเอนโทรปี
: \frac{S}{Nk} = \ln\frac{VT^{\hat{c}_V}}{N\Phi},
และเมื่อใช้นิพจน์สำหรับพลังงานภายในของแก๊สอุดมคติ เอนโทรปีอาจเขียนได้เป็น
: \frac{S}{Nk} = \ln\left[\frac{V}{N}\,\left(\frac{U}{\hat{c}_V k N}\right)^{\hat{c}_V}\,\frac{1}{\Phi}\right].

เนื่องจากนี่คือนิพจน์สำหรับเอนโทรปีในรูปของ ,  และ  จึงถือเป็นสมการพื้นฐาน ซึ่งคุณสมบัติอื่น ๆ ทั้งหมดของแก๊สอุดมคติสามารถอนุพันธ์ได้

นี่คือขีดจำกัดที่เราสามารถไปถึงได้โดยใช้อุณหพลศาสตร์เพียงอย่างเดียว สังเกตว่าสมการด้านบนมีข้อบกพร่อง – เมื่ออุณหภูมิเข้าใกล้ศูนย์ เอนโทรปีจะเข้าใกล้ค่าลบอนันต์ ขัดแย้งกับกฎข้อที่สามของอุณหพลศาสตร์ ในการพัฒนา "อุดมคติ" ข้างต้น มีจุดวิกฤตสำคัญ (critical point) ซึ่งไม่ได้อยู่ที่ศูนย์สัมบูรณ์ ซึ่งตัวที่อยู่ภายในลอการิทึมมีค่าเป็นหนึ่ง และเอนโทรปีกลายเป็นศูนย์ นี่เป็นสิ่งที่ไม่เป็นไปตามหลักฟิสิกส์ สมการข้างต้นเป็นค่าประมาณที่ดีเมื่อตัวที่อยู่ภายในลอการิทึมมีค่ามากกว่าหนึ่งอย่างมากเท่านั้น – แนวคิดของแก๊สอุดมคติจะล้มเหลวที่ค่า  ต่ำ ๆ อย่างไรก็ดี จะมีค่า "ดีที่สุด" ของค่าคงที่ในแง่ที่ว่าเอนโทรปีที่คาดการณ์ไว้จะใกล้เคียงที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้กับเอนโทรปีจริง ภายใต้สมมติฐานที่ผิดพลาดของความเป็นอุดมคติ การอนุพันธ์ทางกลศาสตร์ควอนตัมของค่าคงตัวนี้ได้รับการพัฒนาในที่มาของสมการแซกเคอร์–เทโทรด ซึ่งแสดงเอนโทรปีของแก๊สอุดมคติอะตอมเดี่ยว () ในทฤษฎีแซกเคอร์–เทโทรด ค่าคงตัวขึ้นอยู่กับมวลของอนุภาคแก๊สเท่านั้น สมการแซกเคอร์–เทโทรดยังมีปัญหาเรื่องเอนโทรปีที่ลู่ออกที่ศูนย์สัมบูรณ์ แต่เป็นค่าประมาณที่ดีสำหรับเอนโทรปีของแก๊สอุดมคติอะตอมเดี่ยวสำหรับอุณหภูมิที่สูงเพียงพอ

อีกวิธีหนึ่งในการแสดงการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีคือ
 \frac {\Delta S}{Nk\hat{c}_V}
 = \ln\frac{P}{P_0} + \gamma \ln\frac{V}{V_0} = \ln\frac{PV^\gamma}{P_0V_0^\gamma} \implies PV^\gamma = \text{const.}\ \text{สำหรับกระบวนการไอเซนโทรปิก}


## ศักย์ทางอุณหพลศาสตร์

เมื่อแสดงเอนโทรปีเป็นฟังก์ชันของ ,  และ :
: \frac{S}{kN}=\ln\left( \frac{VT^{\hat{c}_V}}{N\Phi}\right)

ศักย์ทางเคมี (chemical potential) ของแก๊สอุดมคติคำนวณจากสมการสถานะสมนัยกัน (ดูศักย์ทางอุณหพลศาสตร์):
: \mu=\left(\frac{\partial G}{\partial N}\right)_{T,P}
โดยที่  คือพลังงานเสรีกิบส์และเท่ากับ  ดังนั้น:
: \mu(T,P)=kT\left(\hat{c}_P-\ln\left(\frac{kT^{\hat{c}_P}}{P\Phi}\right)\right)

ศักย์ทางเคมีมักถูกอ้างอิงถึงศักย์ที่ความดันมาตรฐานบางค่า *P<sup>o</sup>* ดังนั้น เมื่อ \mu^o(T)=\mu(T,P^o):
: \mu(T,P)=\mu^o(T)+ kT\ln\left(\frac{P}{Po}\right)

สำหรับสารผสมของแก๊สอุดมคติ (*j*=1,2,...) ซึ่งแต่ละชนิดมีความดันย่อย *P<sub>j</sub>* สามารถแสดงได้ว่าศักย์ทางเคมี *&mu;<sub>j</sub>* จะถูกกำหนดโดยนิพจน์ข้างต้น โดยแทนที่ความดัน *P* ด้วย *P<sub>j</sub>*

ศักย์ทางอุณหพลศาสตร์สำหรับแก๊สอุดมคติสามารถเขียนเป็นฟังก์ชันของ ,  และ  ได้ดังนี้:
: 
โดยที่ เช่นเคย
: \hat{c}_P=\hat{c}_V+1

วิธีการแสดงศักย์ที่ให้ข้อมูลมากที่สุดคือการแสดงในรูปของตัวแปรธรรมชาติ เนื่องจากแต่ละสมการเหล่านี้สามารถนำไปใช้เพื่อหาตัวแปรทางอุณหพลศาสตร์อื่น ๆ ทั้งหมดของระบบได้ ในรูปของตัวแปรตามธรรมชาติ ศักย์ทางอุณหพลศาสตร์ของแก๊สอุดมคติชนิดเดียวคือ:
: U(S,V,N)=\hat{c}_V N k \left(\frac{N\Phi}{V}\,e^{S/Nk}\right)^{1/\hat{c}_V}
: A(T,V,N)=NkT\left(\hat{c}_V-\ln\left(\frac{VT^{\hat{c}_V}}{N\Phi}\right)\right)
: H(S,P,N)=\hat{c}_P Nk\left(\frac{P\Phi}{k}\,e^{S/Nk}\right)^{1/\hat{c}_P}
: G(T,P,N)=NkT\left(\hat{c}_P-\ln\left(\frac{kT^{\hat{c}_P}}{P\Phi}\right)\right)

ในกลศาสตร์สถิติ ความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานเสรีเฮล์มโฮลทซ์และฟังก์ชันการแบ่งส่วนเป็นพื้นฐานสำคัญ และใช้ในการคำนวณสมบัติทางอุณหพลศาสตร์ของสสาร ดูปริพันธ์การจัดตัว สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม
## อัตราเร็วของเสียง
อัตราเร็วของเสียงในแก๊สอุดมคติกำหนดโดยสูตรของนิวตัน-ลาปลา:
: c_\text{sound} = \sqrt{\frac{K_s}{\rho}}=\sqrt{\left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_{s}}, 
โดยที่โมดูลัสเชิงปริมาตรไอเซนโทรปิกคือ K_s=\rho \left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_{s} .

สำหรับกระบวนการไอเซนโทรปิกของแก๊สอุดมคติ

PV^\gamma=\mathrm{const} \Rightarrow P \propto \left(\frac{1}{V}\right)^\gamma\propto \rho ^\gamma ดังนั้น
: c_\text{sound} = \sqrt{\left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_{s}} = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}=\sqrt{\frac{\gamma R T}{M}} 

ในทีนี้
*  คือดัชนีอะเดียแบติก ()
*  คือเอนโทรปีต่ออนุภาคของแก๊ส
*  คือความหนาแน่นมวลของแก๊ส
*  คือความดันของแก๊ส
*  คือค่าคงตัวสากลของแก๊ส
*  คืออุณหภูมิ
*  คือมวลโมลาร์ของแก๊ส
## ตารางสมการแก๊สอุดมคติ

## แก๊สควอนตัมอุดมคติ
ในสมการแซกเคอร์–เทโทรดที่กล่าวถึงข้างต้น การเลือกค่าคงตัวเอนโทรปีที่ดีที่สุดพบว่าแปรผันตรงกับความยาวคลื่นความร้อนควอนตัมของอนุภาค และจุดที่ตัวถูกดำเนินการของลอการิทึมกลายเป็นศูนย์จะเท่ากับจุดที่ระยะห่างเฉลี่ยระหว่างอนุภาคเท่ากับความยาวคลื่นความร้อน ในความเป็นจริง ทฤษฎีควอนตัมเองก็ทำนายสิ่งเดียวกัน แก๊สใด ๆ จะมีพฤติกรรมเป็นแก๊สอุดมคติที่อุณหภูมิสูงพอและมีความหนาแน่นต่ำพอ แต่เมื่อถึงจุดที่สมการแซกเคอร์–เทโทรดเริ่มใช้ไม่ได้ แก๊สจะเริ่มมีพฤติกรรมเป็นแก๊สควอนตัม ซึ่งประกอบด้วยโบซอนหรือเฟอร์มิออน (ดูบทความแก๊สในกล่องสำหรับที่มาของแก๊สควอนตัมอุดมคติ รวมถึงแก๊สบ็อลทซ์มันอุดมคติ)

แก๊สมีแนวโน้มจะมีพฤติกรรมเป็นแก๊สอุดมคติในช่วงความดันที่กว้างขึ้นเมื่ออุณหภูมิถึงอุณหภูมิบอยล์

### แก๊สบ็อลทซ์มันอุดมคติ
แก๊สบ็อลทซ์มันอุดมคติให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับแก๊สอุณหพลศาสตร์ดั้งเดิม แต่กำหนดค่าคงที่  ที่ไม่ระบุค่าที่แน่นอนไว้ดังนี้:
: \Phi = \frac{T^\frac32 \Lambda^3}{g}
โดยที่  ความยาวคลื่นเดอบรอยล์เชิงความร้อน (thermal de Broglie wavelength) ของแก๊สและ  คือภาวะเสื่อม

### แก๊สโบสและเฟอร์มิอุดมคติ
แก๊สอุดมคติที่ประกอบด้วยโบซอน (เช่น แก๊สโฟตอน) จะถูกควบคุมโดยสถิติโบส–ไอน์สไตน์และการแจกแจงพลังงานจะอยู่ในรูปของการแจกแจงโบส–ไอน์สไตน์ แก๊สอุดมคติที่ประกอบด้วยเฟอร์มิออนจะถูกควบคุมโดยสถิติเฟอร์มิ–ดิแรกและการแจกแจงพลังงานจะอยู่ในรูปของการแจกแจงเฟอร์มิ–ดิแรก

## ดูเพิ่ม
* 
*  – ลูกบิลเลียดเป็นแบบจำลองของแก๊สอุดมคติ
* 
* 

## อ้างอิง
; หมายเหตุ :

; อ้างอิง :