พีชคณิตเชิงเรขาคณิต

ในทางคณิตศาสตร์ **พีชคณิตเชิงเรขาคณิต** () (และรู้จักในชื่อพีชคณิตคลิฟฟอร์ด) เป็นส่วนขยายของพีชคณิตมูลฐานเพื่อใช้กับวัตถุทางเรขาคณิต เช่น เวกเตอร์ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตสร้างขึ้นจากการตำเนินการมูลฐานสองตัวคือการบวกและผลคูณเชิงเรขาคณิต การคูณเวกเตอร์ให้ผลลัพธ์ในมิติที่สูงขึ้นเรียกมัลติเวกเตอร์ เมื่อเทียบกับรูปนัยนิยมอื่นที่กระทำกับวัตถุทางเรขาคณิต น่าสังเกตว่าพีชคณิตเชิงเรขาคณิตมีการหารเวกเตอร์ (แต่โดยทั้วไปไม่ทุกสมาชิกที่ทำได้) และการบวกของวัตถุต่างมิติ

แฮร์มัน กรัสมันได้อธิบายผลคูณเชิงเรขาคณิตนี้ไว้สั้น ๆ โดยมากสนใจพัฒนาพีชคณิตภายนอกที่คล้ายกัน จากนั้นใน ค.ศ. 1878 วิลเลียม คิงดอน คลิฟฟอร์ดได้ขยายผลงานของกรัสมันได้สร้างสิ่งที่ตอนนี้โดยทั่วไปเรียกกันว่าพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดเพื่อเป็นเกียรติแก่เขา (แต่คลิฟฟอร์ดเองเลือกที่จะเรียกว่าพีชคณิตเชิงเรขาคณิต) คลิฟฟอร์ดได้นิยามพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดกับผลของมันไว้ว่าเป็นการรวมกันของพีชคณิตแบบกรัสมันและพีชคณิตควอเทอร์เนียน การเพิ่มคู่ของผลคูณภายนอกกรัสมันยอมให้การใช้พีชคณิตแบบกรัสมัน-เคย์ลี และแบบคงรูปของอันหลังรวมกับพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดแบบคงรูปผลให้เกิดพีชคณิตเชิงเรขาคณิตแบบคงรูป (อังกฤษ: conformal geometric algebra: CGA) ให้โครงร่างสำหรับเรขาคณิตแบบฉบับ ในทางปฏิบัติ การตำเนินการเหล่านี้และอนุพันธ์ยอมให้เกิดการสมนัยกันของสมาชิก ปริภูมิย่อยและการตำเนินการของพีชคณิตที่มีความหมายทางเรขาคณิต เป็นเวลาหลายทศวรรษที่พีชคณิตเชิงเรขาคณิตค่อนข้างถูกละเลย ถูกบดบังไปมากโดยแคลคูลัสเวกเตอร์แล้วพัฒาขึ้นใหม่เพื่ออธิบายแม่เหล็กไฟฟ้า คำว่า"พีชคณิตเชิงเรขาคณิต"เป็นที่นิยมอีกครั้งในช่วงทศวรรษ1960 โดยเฮสเทเนส ผู้บอกความสำคัญต่อฟิสิกส์สัมพัทธภาพ

สเกลาร์และเวกเตอร์มีความหมายเหมือนปกติ และประกอบเป็นปริภูมิย่อยที่เด่นชัดในพีชคณิตเชิงเรขาคณิต  ไบเวกเตอร์เป็นตัวแทนที่ธรรมชาติกว่าของปริมาณเวกเตอร์เทียมของแคลคูลัสเวกเตอร์ โดยปกติจะนิยามโดยใช้ผลคูณเชิงเวกเตอร์ เช่น พื้นที่กำหนดทิศ มุมหมุนกำหนดทิศ ทอร์ค โมเมนตัมเชิงมุม และสนามแม่เหล็ก ไทรเวกเตอร์สามารถแทนปริมาตรกำหนดทิศ และอื่น ๆ สมาชิกตัวหนึ่งเรียกว่าเบลดอาจใช้แทนปริภูมิย่อยของ V และภาพฉายเชิงตั้งฉากบนปริภูมิย่อยนั้น การหมุนและการสะท้อนจะแสดงเป็นสมาชิก ต่างจากพีชคณิตเวกเตอร์ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตโดยธรรมชาติจะรองรับมิติจำนวนเท่าไหร่ก็ได้ และรูปกำลังสองใด ๆ เช่นในสัมพัทธภาพ

ตัวอย่างการใช้งานพีชคณิตเชิงเรขาคณิตในฟิสิกส์ได้แก่ พีชคณิตกาลากาศ (และพีชคณิตของปริภูมิกายภาพที่ไม่พบบ่อย) และพีชคณิตเชิงเรขาคณิตแบบคงรูป แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต ส่วนขยายของพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่รวมอนุพันธ์และปริพันธ์ สามารถใช้กำหนดทฤษฎีอื่น ๆ เช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ต.ย. โดยใช้พีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดแทนรูปแบบเชิงอนุพันธ์  พีชคณิตเชิงเรขาคณิตได้รับการสนับสนุนจากโดยเฉพาะเดวิด เฮสเทเนส และคริส ดอรัน ให้เป็นกรอบทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการสำหรับฟิสิกส์  ผู้เสนออ้างว่าให้คำอธิบายที่กระทัดรัดและเข้าใจง่ายในหลายสาขารวมทั้งกลศาสตร์แบบฉบับและควอนตัม ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า และสัมพัทธภาพ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตยังสามารถใช้เป้นเครื่องมือในการคำนวนในคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ และวิทยาการหุ่นยนต์

## นิยามและสัญกรณ์
มีหลากหลายวิธีที่นิยามระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิต วิธีดั้งเดิมของเฮสเทเนสเป็นเชิงสัจพจน์ "เต็มไปด้วยความสำคัญทางเรขาคณิต" และสมมูลกับพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดสากล

ให้ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด  บนฟีลด์  ด้วยรูปแบบเชิงเส้นคู่สมมาตร (*การคูณภายใน*) ตัวอย่าง ยูคลิเดียนหรือลอเรนต์เซียนเมตริก)   **พีชคณิตเชิงเรขาคณิต**ของปริภูมิกำลังสอง  นั้นเป็นพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ด  สมาชิกในนั้นเรียกว่ามัลติเวกเตอร์ พีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดโดยทั่วไปแล้วจะกำหนดนิยามเป็นพีชคณิตผลหารของพีชคณิตเทนเซอร์ แต่การกำหนดนิยามแบบนี้นามธรรม ดั้งนั้นนิยามดังต่อไปนี้จะเสนอโดยไม่ต้องใช้พีชคณิตนามธรรม

; คำนิยาม : พืชคณิตการเปลี่ยนหมู่เอกลักษณ์  ที่มีรูปแบบเชิงเส้นคู่  เป็นพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดของปริภูมิกำลังสอง  ถ้า
:*มี  และ  เป็นปริภูมิย่อยแยกกัน
:*  สำหรับ  
:*  ก่อกำเนิด  เป็นพีชคณิต
:*  ไม่ได้ถูกก่อกำเนิดโดยปริภูมิย่อยแท้ของ 

เพื่อปกปิดรูปแบบเชิงเส้นคู่สมมาตรลดรูป เงื่อนไขสุดท้ายต้องได้รับการแก้ไข สามารถแสดงได้ว่าเงื่อนไขนี้บอกได้ว่าเป็นผลคูณเชิงเรขาคณิตเพียงอย่างเดียว

สำหรับที่เหลือของบทความนี้ จะพิจรณาแต่กรณีจริงที่  สัญกรณ์  ( ตามลำดับ) จะใช้แสดงระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่มีรูปแบบเชิงเส้นคู่  มีซิกเนเจอร์เป็น  ( ตามลำดับ)

ผลคูณในพีชคณิตนี้เรียกว่า*ผลคูณเชิงเรขาตณิต* และผลคูณในพีชคณิตภายนอกที่มีอยู่เรียกว่าผลคูณภายนอก (บ่อยครั้งเรียกว่า*ผลคูณลิ่ม*) โดยมาตรฐานจะแสดงการคูณเหล่านี้โดยการเขียนติดกัน (โดยไม่เขียนสัญกรณ์การคูณ) และสัญกรณ์  ตามลำดับ

นิยามที่ได้กล่าวไปนั้นยังค่อนข้างเป็นนามธรรม ดังนั้นจะสรุปสมบัติของผลคูณเชิงเรขาคณิตที่นี่  สำหรับมัลติเวกเตอร์ :

*  (สมบัติการปิด)
*  เมื่อ  เป็นสมาชิกเอกลักษณ์ (การมีอยู่ของสมาชิกเอกลักษณ์)
*  (สมบัติการเปลี่ยนหมู่)
*  และ  (สมบัติการแจกแจง)
*  สำหรับ 

ผลคูณภายนอกมีสมบัติเหมือนกัน ยกเว้นสมบัติสุดท้ายได้รับการแทนที่โดย  สำหรับ 

สังเกตว่าในสมบัติสุดท้ายข้างบน จำนวนจริง  ไม่จำเป็นต้องไม่เป็นลบ ถ้า  ไม่เป็นบวกแน่นอน  สมบัติที่สำคัญหนึ่งของผลคูณเชิงเรขาคณิตคือการมีอยู่ของสมาชิกที่มีตัวผกผันการคูณ  สำหรับเวกเตอร์  ถ้า a^2 \neq 0 แล้ว a^{-1} มีเท่ากับ  สมาชิกที่ไม่ใช่ศูนย์ของพีชคณิตนี้ไม่จำเป็นว่าจะมีตัวผกผันการคูณเสมอ  ตัวอย่างเช่น ถ้า u เป็นเวกเตอร์ใน V เมื่อ  แล้วสมาชิก \textstyle\frac{1}{2} (1 + u) จะเป็นทั้งสมาชิกนิจพลไม่ชัดและตัวหารของศูนย์ ดังนั้นจึงไม่มีตัวผกผัน

โดยปกติจะระบุ \R และ V กับเรนจ์ภายใต้การซ้อนธรรมชาติ \R \to \mathcal{G} (p,q) และ   ในบทความนี้ การระบุนี้จะได้รับการสมมติ คำว่าสเกลาร์และเวกเตอร์จะอ้างถึงสมาชิกของ \mathbb{R} และ V ตามลำดับเสมอ (และเรนจ์ภายใต้การซ้อนนี้)

### <span class="anchor" id="ผลคูณเชิงเรขาคณิต"></span> ผลคูณเชิงเรขาคณิต

200px|right|thumb|ให้เวกเตอร์สองตัว <math>a</math> และ  ถ้าผลคูณเชิงเรขาคณิต <math>ab</math> คือแบบต่อต้านการสลับที่; ผลคูณนั้นจะตั้งฉาก (บน) เพราะ  ถ้าสลับที่ได้ ผลคูณนั้นจะขนาน (ล่าง) เพราะ

สำหรับเวกเตอร์  และ  เราสามารถเขียนผลคูณเชิงเรขาคณิตสองเวกเดอร์ใด ๆ ของ  และ  เป็นผลบวกของผลคูณสมมาตรและผลคูณอสมมาตร
: ab = \frac{1}{2} (ab + ba) + \frac{1}{2} (ab - ba) .

จึงกำหนดนิยามของการคูณภายในเป็น
: a \cdot b := g (a,b),
ทำให้ผลคูณสมมาตรสามาตรเขียนได้เป็น
: \frac{1}{2} (ab + ba) = \frac{1}{2} \left ((a + b) ^2 - a^2 - b^2\right) = a \cdot b .

ในทางกลับกัน  ได้รับการกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยพีชคณิตนี้  ผลคูณอสมมาตรคือผลคูนภายนอกของสองเวกเตอร์ ผลคูณของพีชคณิตภายนอกที่อยู่ภายใน:
: a \wedge b := \frac{1}{2} (ab - ba) = - (b \wedge a) .

แล้วโดยการบวกตรง ๆ:
: ab=a \cdot b + a \wedge b  คือรูปไม่ทั่วไปหรือรูปเวกเตอร์ของผลคูณเชิงเรขาคณิต

ผลคูณภายในและภายนอกมีความสัมพันธ์กับแนวคิดในพีชคณิตเวกเตอร์ ในทางเรขาคณิต a และ b จะขนานก็ต่อเมื่อผลคูณเชิงเรขาคณิตเท่ากับผลคูณภายใน ในทางกลับกัน a และ b จะตั้งฉากก็ต่อเมื่อผลคูณเชิงเรขาคณิตเท่ากับผลคูณภายนอก ในระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตซึ่งกำลังสองของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เป็นบวก ผลคูณภายในของเวกเตอร์ทั้งสองสามารถระบุได้ว่าคือผลคูณจุดในพีชคณิตเวกเตอร์ ผลคูณภายนอกสามารถระบุได้ว่าคือพื้นที่มีเครื่องหมายที่โดนล้อมโดยสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยมีด้านเป็นเวกเตอร์  ผลคูณไขว้ของสองเวกเตอร์ใน 3 มิติที่มีรูปแบบกำลังสองเป็นบวกแน่นอนดกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับผลคูณภายนอก

ระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่สนใจส่วนใหญ่มีรูปแบบกำลังสองไม่ลดรูป  ถ้ารูปแบบกำลังสองลดรูปโดยสมบูรณ์แล้ว ผลคูณภายในระหว่างสองเวกเตอร์ใด ๆ จะมีค่าเป็นศูนย์ และระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตนั้นจะเป็นเพียงแค่ระบบระบบพีชคณิตภายนอก  บทความนี้จะพูดถีงระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่ไม่ลดรูป เว้นแต่จะระบุไว้

ผลคูณภายนอกโดยธรรมชาติจะขยายเป็นตัวดำเนินการทวิภาคเชิงเส้นคู่เปลี่ยนหมู่ได้ของสองสมาชิกในระบบพีชคณิต สอดคล้องกับเอกลักษณ์
: \begin{align}
                          1 \wedge a_i &= a_i \wedge 1 = a_i \\
  a_1 \wedge a_2\wedge\cdots\wedge a_r &= \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_r} \operatorname{sgn} (\sigma) a_{\sigma (1)}a_{\sigma (2)} \cdots a_{\sigma (r)},
\end{align}

เมื่อผลบวกรวมทุกการสับเปลี่ยนของเลขดัชนี ที่มี \operatorname{sgn} (\sigma) เป็นเครื่องหมายของการสับเปลี่ยน และ a_i เป็นเวกเตอร์ (ไม่ใช่สมาชิกทั่วไปของระบบพีชคณิต)  เนื่องจากทุกสมาชิกของระบบพีชคณิตสามารถเขียนในรูปของผลบวกของผลคูณในรูปนี้ สามารถนิยามผลคูณภายนอกสำหรับทุกคู่ของสมาชิกระบบพีชคณิต มาจากนิยามของผลคูณภายนอกก่อระบบพีชคณิตสลับ

### เบลด เกรด และฐานหลัก
มัลติเวกเตอร์ที่เป็นผลคูณภายนอกของ r เวกเตอร์ที่อิสระเชิงเส้นเรียกว่า*เบลด* และมีเกรด r  มัลติเวกเตอร์ที่เป็นผลบวกของเบลดเกรด r เรียกว่ามัลติเวกเตอร์ (เอกพันธุ์) เกรด r  จากสัจพจน์สมบัติการปิด ทุกมัลติเวกเตอร์ที่เป็นผลบวกของเบลด

## การจำลองทางเรขาคณิต

## ความหมายทางเรขาคณิตในแบบจำลองปริภูมิเวกเตอร์

### การฉาย และรีเจกชัน
right|300px|thumb|ในปริภูมิ 3 มิติ ไบเวกเตอร์ <math>a \land b</math> นิยามปริภูมิย่อยระนาบ 2 มิติ (สีน้ำเงินอ่อน ขยายไปอย่างไม่สิ้นสุดในทิศทางที่บ่งชี้) เวกเตอร์ <math>c</math> ใด ๆ ในปริภูมิ 3 มิติสามารถแตกเป็นภาพฉาย <math>c_\Vert</math> บนระนาบและรีเจกชัน <math>c_\perp</math> จากระนาบนี้

สำหรับเวกเตอร์ a ใด ๆ และเวกเตอร์  ใด ๆ ที่หาตัวผกผันได้ 
:  a = amm^{-1} = (a\cdot m + a \wedge m) m^{-1} = a_{\| m} + a_{\perp m} ,
เมื่อ**ภาพฉาย**ของ a บน m (หรือส่วนขนาน) คือ
:  a_{\| m} = (a \cdot m) m^{-1} 
และ**รีเจกชัน**ของ a จาก m (หรือส่วนที่ตั้งฉาก) คือ
:  a_{\perp m} = a - a_{\| m} = (a\wedge m) m^{-1} .

ใช้แนวคิดว่า -เบลด  เป็นตัวแทนปริภูมิย่อยของ  และทุกมัลติเวกเตอร์มารถเขียนในรูปของพจ์ของเวกเตอร์ สามารวางนัยการฉายของมัลติเวกเตอร์ทั่วไปบน -เบลด  ที่หาตัวผกผันได้ ให้อยู่ในรูปทั่วไปได้เป็น
:  \mathcal{P}_B (A) = (A \;\rfloor\; B) \;\rfloor\; B^{-1} ,
และรีเจกชันสามารถนิยามได้เป็น
:  \mathcal{P}_B^\perp (A) = A - \mathcal{P}_B (A) .

การฉายและรีเจกชันสามารถวางนัยทั่วไปได้กับเบลดศูนย์ B โดยการเปลี่ยนตัวผกผัน B^{-1} ด้วยตัวผกผันเทียม B^{+}เทียบกับผลคูณย่อ ผลลัพธ์ของการฉายทับกันสนิททั้งสองกรณีสำหรับเบลดไม่เป็นศูนย์ สำหรับเบลดศูนย์  นิยามของการฉายที่ได้ให้มานี้ด้วยผลคูณย่อตัวแรกแทนที่จะเป็นตัวที่สองที่ซึ่งควรใช้ตัวผกผันเทียม เพราะเมื่อนั้นผลลัพท์จะจำเป็นต้องอยู่ในปริภูมิย่อยที่มี  เป็นตัวแทน
การฉายวางนัยทั่วไปผ่านสภาพเชิงเส้นไปยังมัลติเวกเตอร์ทั่วไป  การฉายจะไม่เป็นเชิงเส้นที่  และไม่สามารถวางนัยทั่วไปกับวัตถุ  ที่ไม่ใช่เบลดได้ 

### การสะท้อน
การสะท้อนอย่างง่ายในระนาบเกินเขียนได้ง่ายในพีชคณิตนี้ผ่านการคอนจูเกตด้วยเวกเตอร์ สามารถก่อกำเนิดกรุปของการหมุนและการหมุนไม่ตรงแบบทั่วไป
link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:GA_reflection_along_vector.svg|left|thumb|200x200px|การสะท้อนของเวกเตอร์ <math>c</math> ตามเวกเตอร์ <math>m</math>  มีแค่เวกเตอร์ประกอบของ <math>c</math> ที่ขนานกับ <math>m</math> จะติดลบ
ภาพสะท้อน c' ของเวกเตอร์ c ตามเวกเตอร์  หรือโดยสมมูล ในระนาบเกินตั้งฉากกับ  ผลลัพธ์ของการสะท้อนจะเป็น 
:  c' = {-c_{\| m} + c_{\perp m}} = {- (c \cdot m) m^{-1} + (c \wedge m) m^{-1}}
= {(-m \cdot c - m \wedge c) m^{-1}}
= -mcm^{-1} 

### การหมุน
right|200px|thumb|โรเตอร์ที่หมุนเวกเตอร์ในระนาบหมุนเวกเตอร์ผ่านมุม  นั่นคือ <math>x \mapsto R_\theta x \widetilde R_\theta</math> เป็นการหมุนของ <math>x</math> ผ่านมุม  มุมระหว่าง <math>u</math> และ <math>v</math> คือ  การตีความที่คล้ายกันก็สมเหตุสมผลกันกับมัลติเวกเตอร์ <math>X</math> ทั่วไป แทนเวกเตอร์
ถ้ามีผลคูณเวกเตอร์ R = a_1a_2 \cdots a_r แล้วจะเขียนการผันกลับได้เป็น
: \widetilde R = a_r\cdots a_2 a_1.

ให้เป็นตัวอย่าง สมมติว่า  R = ab  เราจะได้
: R\widetilde R = abba = ab^2a = a^2b^2 = ba^2b = baab = \widetilde RR.

ปรับขนาด R เพื่อที่ R\widetilde R = 1 แล้ว
:  (Rv\widetilde R) ^2 = Rv^{2}\widetilde R = v^2R\widetilde R = v^2 
ดังนั้น Rv\widetilde R ไม่เปลี่ยนแปลงขนาดของ v  ยังสามารถแสดงได้ว่า
:  (Rv_1\widetilde R) \cdot (Rv_2\widetilde R) = v_1 \cdot v_2

ดังนั้นการแปลง Rv\widetilde R ทำให้ทั้งขนาดและมุม (ระหว่างเวกเตอร์) คงสภาพ จึงสามารถระบุได้ว่าเป็นการหมุนหรืแการหมุนไม่ตรงแบบ เรียก R ว่าโรเตอร์ ถ้าเป็นการหมุนแท้ (ตามที่เป็นอยู่ถ้าสามารถเขียนได้อยู่ในรูปผลคูณของเวกเตอร์คู่ตัว) และเป็นตัวอย่างของสิ่งใน GA ที่เรียกว่าเวอร์เซอร์

มีวิธีทั่วไปในการหมุนเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับมัลติเวกเตอร์ในรูป  R = e^{-B \theta / 2}  ที่ก่อให้เกิดการหมุน  \theta  ในระนาบและทิศทางกำหนดโดย -เบลด 

โรเตอร์เป็นรูปทั่วไปของควอเทอร์เนีนรบนปริภูมิ -มิติ

## ตัวอย่างและการประยุกต์ใช้

### ปริมาตรเกินของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยเวกเตอร์
สำหรับเวกเตอร์  และ  ที่แผ่เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานจะได้ 
:  a \wedge b = ((a \wedge b) b^{-1}) b = a_{\perp b} b 

## แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต
*บทความหลัก [[แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต]][[พีชคณิตของปริภูมิกายภาพ]]* 

แคลคูลัสเชิงเรขาคณิตขยายรูปนัยนิยมเพื่อรวมการอนุพันธ์และการปริพันธ์รวมถึงเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และรูปแบบเชิงอนุพันธ์

โดยพื้นฐาน อนุพันธ์เวกเตอร์ได้นิยามเพื่อให้ทฤษฎีบทของกรีนในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตเป็นจริง
: \int_A dA \,\nabla f = \oint_{\partial A} dx \, f

จึงสามารถกล่าวได้ว่า 
: \nabla f = \nabla \cdot f + \nabla \wedge f

เป็นผลคูณเชิงเรขาคณิต วางนัยทั่วไปได้กับทฤษฎีบทของสโตรกส์อย่างมีผล (รวมทั้งในรูปแบบเชิงอนุพันธ์ด้วย)

ใน 1 มิติ เมื่อ  เป็นเส้นโค้งที่มีจุดปลายเป็น  และ  แล้ว
: \int_A dA \,\nabla f = \oint_{\partial A} dx \, f
จะย่อลงเป็น
: \int_a^b dx \, \nabla f = \int_a^b dx \cdot \nabla f = \int_a^b df = f(b) -f (a)
หรือทฤษฎีมูลฐานของแตลคูลัสเชิงปริพันธ์

และที่ได้รับพัฒนาคือแนวคิดของแมนิโฟลด์เวกเตอร์และทฤษฎีการปริพันธ์เชิงเรขาคณิต (ที่วางนัยทั่วไปกับรูปแบบเชิงอนุพันธ์)

## ประวัติ

## ดูเพิ่ม

* เปรียบเทียบระหว่างพีชคณิตเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเรขาคณิต
* พีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ด
* พีชคณิตแบบกรัสมัน-เคย์ลี
* พีชคณิตปริภูมิ-เวลา
* สปิเนอร์
* ควอเทอร์เนียน
* พีชคณิตของปริภูมิกายภาพ
* พีชคณิตเชิงเรขาคณิตสากล

## หมายเหตุ

## อ้างอิง

## แหล่งข้อมูลอื่น

: *จัดเรียงตามลำดับเวลา*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* . Chapter 1 as PDF
* 
* 
* 
* 
* 
*  Extract online at https://davidhestenes.net/geocalc/html/UAFCG.html #5 New Tools for Computational Geometry and rejuvenation of Screw Theory
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## แหล่งข้อมูลอื่น

* A Survey of Geometric Algebra and Geometric Calculus Alan Macdonald, Luther College, Iowa
* Imaginary Numbers are not Real – the Geometric Algebra of Spacetime . Introduction (Cambridge GA group)
* Geometric Algebra 2015, Masters Course in Scientific Computing, from Dr. Chris Doran (Cambridge)
* Maths for (Games) Programmers: 5 – Multivector methods – comprehensive introduction and reference for programmers, from Ian Bell
* IMPA Summer School 2010 Fernandes Oliveira Intro and Slides
* University of Fukui E.S.M. Hitzer and Japan GA publications
* Google Group for GA
* Geometric Algebra Primer Introduction to GA, Jaap Suter
* Geometric Algebra Resources curated wiki, Pablo Bleyer
* Applied Geometric Algebras in Computer Science and Engineering 2018 Early Proceedings
* bivector.net Geometric Algebra for CGI, Vision and Engineering community website
* AGACSE 2021 Videos
**คำแปลภาษาอังกฤษของหนังสือและวิจัยก่อนหน้า**
* G. Combebiac, "calculus of tri-quaternions" (Doctoral dissertation)
* M. Markic, "Transformants: A new mathematical vehicle. A synthesis of Combebiac's tri-quaternions and Grassmann's geometric system. The calculus of quadri-quaternions"
* C. Burali-Forti, "The Grassmann method in projective geometry" A compilation of three notes on the application of exterior algebra to projective geometry
* C. Burali-Forti, "Introduction to Differential Geometry, following the method of H. Grassmann" Early book on the application of Grassmann algebra
* H. Grassmann, "Mechanics, according to the principles of the theory of extension" – one of his papers on the applications of exterior algebra

**กลุ่มวิจัย**
* Geometric Calculus International. Links to Research groups, Software, and Conferences, worldwide
* Cambridge Geometric Algebra group. Full-text online publications, and other material
* University of Amsterdam group
* Geometric Calculus research & development (archive of Hestenes's website at Arizona State University)
* GA-Net blog and newsletter archive. Geometric Algebra/Clifford Algebra development news
* Geometric Algebra for Perception Action Systems. Geometric Cybernetics Group (CINVESTAV, Campus Guadalajara, Mexico)

พีชคณิตเชิงเรขาคณิต