ระบบพิกัดเชิงขั้ว

thumb|250px|จุดในระบบพิกัดเชิงขั้วกับขั้ว ''O'' และแกนเชิงขั้ว ''L'' ในเส้นสีเขียว จุดกับพิกัดรัศมี 3 และพิกัดมุม 60 องศาหรือ (3, 60°) ในเส้นสีฟ้า จุด (4, 210°)
ในทางคณิตศาสตร์ **ระบบพิกัดเชิงขั้ว** () คือ ระบบค่าพิกัดสองมิติ ในแต่ละจุดบนระนาบถูกกำหนดโดยระยะทางจากจุดตรึงและมุมจากทิศทางตรึง 

จุดตรึง (เหมือนจุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน) เรียกว่า **ขั้ว** ลากรังสี จากขั้วเข้ากับทิศทางตรึง คือ **แกนเชิงขั้ว** ระยะทางจากขั้วเรียกว่า **พิกัดรัศมี** หรือ **รัศมี** และมุม คือ **พิกัดมุม**, **มุมเชิงขั้ว** หรือ **[[มุมทิศ]]**

## ประวัติ

มีการนำแนวคิดเรื่องมุมและรัศมีมาใช้ตั้งแต่สมัยโบราณในหนึ่งสหัสวรรษก่อนคริสต์ศักราช นักดาราศาสตร์ชาวกรีกที่ชื่อฮิปปาร์คอส (190-120 BCE) สร้างตารางฟังก์ชันคอร์ดที่ให้ความยาวของคอร์ดสำหรับแต่ละมุม และมีการอ้างอิงว่าเขาใช้ระบบพิกัดเชิงขั้วในการพิสูจน์ตำแหน่งของดวงดาว
ใน *[[On Spirals]] (ว่าด้วยเส้นเกลียว)* อาร์คิมิดีสบรรยายถึงวงก้นหอยอาร์คิมิดีสว่ารัศมีของฟังก์ชันขึ้นกับมุม อย่างไรก็ตามสิ่งที่ชาวกรีกเหล่านี้ทำก็ยังไม่ขยายออกไปถึงระบบพิกัดเชิงขั้วที่สมบูรณ์

ในคริสต์ศตวรรษที่ 9 นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียที่ชื่อ ฮะบัซ อัล-ฮะซับ อัล-มาร์วะซิ (Habash al-Hasib al-Marwazi) ใช้วิธีตรีโกณมิติเชิงทรงกลมและการฉายแผนที่เพื่อที่จะแปลงผันพิกัดเชิงขั้วไปเป็นระบบพิกัดที่แตกต่างโดยมุ่งความสนใจไปยังจุดจำเพาะบนรูปทรงกลม ในที่นี้คือกิบลัตมีทิศทางสู่มักกะหฺ นักภูมิศาสตร์ชาวเปอร์เซียที่ชื่อ อะบู รอย์ฮาน บิรูนี (Abū Rayhān Bīrūnī) (973-1048) พัฒนาแนวคิดซึ่งดูเหมือนจะใกล้เคียงกับระบบพิกัดเชิงขั้ว ราว ๆ คริสต์ศตวรรษ 1025 เขาเป็นคนแรกที่บรรยายถึงการฉายที่ระยะห่างเท่ากันของแอซมัทเท่ากับขั้วของทรงกลมท้องฟ้า

มีรายงานที่ต่างกันของการเริ่มต้นของพิกัดเชิงขั้วตามส่วนหนึ่งของรูปนัยระบบพิกัด *Origin of Polar Coordinates (กำเนิดพิกัดเชิงขั้ว)* ประวัติของพิกัดนี้ถูกบรรยายโดย จูเลียน คูลิดจ์ (Julian Lowell Coolidge) ศาสตราจารย์ฮาร์วาร์ด เกรกัวร์ เดอ แชง-แวงซอง (Grégoire de Saint-Vincent) และ โบนาเวนตูรา คาวาลิเอริ (Bonaventura Cavalieri) ต่างเริ่มนำแนวคิดมาใช้ในกลางคริสต์ศตวรรษที่ 7 แชง-แวงซองเขียนถึงพิกัดเชิงขั้วโดยการส่วนตัวในปี ค.ศ. 1625 และตีพิมพ์งานของเขาในปี ค.ศ. 1647 ขณะที่คาวาลิเอริตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1635 และฉบับที่ถูกต้องในปี ค.ศ. 1653 คาวาลิเอริเป็นบุคคลแรกที่ใช้พิกัดเชิงขั้วแก้ปัญหาเกี่ยวกับพื้นที่ในวงก้นหอยอาร์คิมิดีส ต่อมาแบลซ ปัสกาลได้ใช้พิกัดเชิงขั้วคำนวณหาความยาวของส่วนโค้งของรูปพาราโบลา

ใน *Method of Fluxions (วิธีการไหล)* (เขียนขึ้นในปี ค.ศ. 1671, ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1736) เซอร์ไอแซก นิวตันพิเคราะห์การแปลงระหว่างพิกัดเชิงขั้วซึ่งเขาได้อิงตาม "รูปแบบที่ 7 สำหรับวงก้นหอย" และพิกัดอื่นๆอีกเก้าพิกัด ในวารสาร *Acta Eruditorum* (1691), เจคอบ เบอร์โนลลี (Jacob Bernoulli) ใช้ระบบร่วมกับจุดบนเส้นที่เรียกว่า *ขั้ว* และ *แกนเชิงขั้ว* ตามลำดับ พิกัดเป็นระยะทางจากขั้วและมุมจากแกนเชิงขั้ว งานของเบอร์โนลลีครอบคลุมไปถึงการพบรัศมีความโค้งของเส้นโค้งที่อยู่ในพิกัดนี้

คำว่า *พิกัดเชิงขั้ว* โดยแท้จริงแล้วน่าจะมาจากเกรโกรีโอ ฟอนตานา (Gregorio Fontana) นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีในสมัยคริสต์ศตวรรษที่ 18 และคำนี้ปรากฏเป็นภาษาอังกฤษในงานแปลของ จอร์จ พีค็อก (George Peacock) ที่ชื่อ *แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์* ของลาครัว (Lacroix) ในปี ค.ศ. 1816 อาแล็กซี แกลโรเป็นคนแรกที่คิดพิกัดเชิงขั้วในรูปแบบสามมิติ และเลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์เป็นคนแรกที่นำมาใช้งานจริง

## สัญนิยม
thumb|right|250px|เส้นกริดขั้วและแถบบอกมุมในแต่ละองศา
พิกัดรัศมีมักใช้ *r* แสดงแทนและพิกัดมุมใช้ θ หรือ *t* แสดงแทน 

มุมในเครื่องหมายขั้ว ทั่วไปถูกแสดงอยู่ในรูปแบบองศาหรือเรเดียน (2π rad เท่ากับ 360°) องศาถูกใช้ในการเดินเรือ, การสำรวจ และมีการนำไปประยุกต์ใช้ในหลายสาขา ขณะที่เรเดียนโดยทั่วไปอยู่ในคณิตศาสตร์และคณิตศาสตร์ฟิสิกส์

ในหลาย ๆ บริบท พิกัดมุมบวกหมายความว่ามุม θ ถูกวัดในทิศทวนเข็มนาฬิกาจากแกนและมีค่าพิกัดมุมลบเมื่อวัดในทิศตามเข็มนาฬิกา ในเอกสารทางคณิตศาสตร์ บ่อยครั้งแกนเชิงขั้วถูกลากในแนวนอนและไปทางทางขวา

### ความพิเศษของพิกัดเชิงขั้ว
ทุกตัวเลขของการหมุนครบรอบ (360°) พิกัดมุมจะไม่เปลี่ยนทิศทาง และพิกัดรัศมีลบแสดงถึงระยะทางซึ่งได้จากการวัดเหมือนพิกัดรัศมีบวกแต่มีทิศทางตรงข้าม ดังนั้นในจุดเดียวกันสามารถแสดงด้วยตัวเลขไม่สิ้นสุดที่มีพิกัดเชิงขั้วต่างกัน  หรือ  เมื่อ *n* คือจำนวนเต็มใด ๆ ยิ่งไปกว่านั้น ขั้วเองสามารถแสดงแทนด้วย (0,&nbsp;θ) สำหรับมุม θ ใด ๆ

เมื่อต้องการแสดงแทนจุดใด ๆ ปกติใช้ *r* เป็นจำนวนไม่เป็นลบ () และ θ ในช่วง [0,&nbsp;360°) หรือ (−180°,&nbsp;180°] (ในเรเดียน,  [0,&nbsp;2π) หรือ (−π,&nbsp;π])   และต้องเลือกแอซิมัทสำหรับขั้ว เช่น θ&nbsp;=&nbsp;0

## ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนกับพิกัดเชิงขั้ว
right|thumb|200px|แผนภาพความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดเชิงขั้วและพิกัดคาร์ทีเซียน
ค่าของพิกัดเชิงขั้ว *r* และ θ สามารถแปลงเป็นพิกัดคาร์ทีเซียน *x* and *y* โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติไซน์และโคไซน์:
:x = r \cos \theta \,
:y = r \sin \theta \,

ขณะที่ค่าของพิกัดคาร์ทีเซียน *x* และ *y* ก็สามารถแปลงเป็นพิกัดเชิงขั้ว *r* โดย
:r = \sqrt{y^2 + x^2} \quad (ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส)  และ
:\theta =
\begin{cases}
0 & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0\\
\arcsin (\frac{y}{r}) & \mbox{if } x \geq 0 \\
-\arcsin (\frac{y}{r}) + \pi & \mbox{if } x 
ทุกสูตรเหล่านี้สมมุติว่าขั้วคือจุดกำเนิดคาร์ทีเซียน (0,0) แกนเชิงขั้ว คือ แกนคาร์ทีเซียน *x* และทิศทางของแกนคาร์ทีเซียน *y* มีแอซิมัท +π/2 rad = +90° (แทนที่ −π/2) ฟังก์ชันอาร์กไซน์คือส่วนกลับของฟังก์ชันไซน์ซึ่งสมมุติแทนที่ด้วยมุมในพิสัย [−π/2, +π/2] = [−90°, +90°]

สูตรสำหรับ θ นอกเหนือจากการแทนที่ด้วยมุมในพิสัย [-π/2, +3π/2) = [−90°, +270°)

θ ในช่วง [0, 2π) อาจใช้
:\theta =
\begin{cases}
\arctan (\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan (\frac{y}{x}) + 2\pi & \mbox{if } x > 0 \mbox{ and } y  0\\
\frac{3\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y 
ฟังก์ชันอาร์กแทนเป็นส่วนกลับของฟังก์ชันแทนเจนต์ ซึ่งสมมติแทนที่ด้วยมุมในพิสัย (−π/2, +π/2) = (−90°, +90°)

θ ในช่วง (−π, π] อาจใช้
:\theta =
\begin{cases}
\arctan (\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0\\
\arctan (\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x  0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y 

ในภาษาโปรแกรมสมัยใหม่มีฟังก์ชันที่จะคำนวณหาพิกัดมุม θ เพียงให้ค่า *x* และ *y* โดยไม่ต้องให้อะไรเพิ่มเติม เช่น ฟังก์ชัน `atan2` (*y*, *x*) ในภาษาซี และ `atan` (*y*, *x*) ในคอมมอน ลิซ์ป (Common Lisp) ในทั้งสองกรณีนั้น ผลที่ได้เป็นมุมในเรเดียนในพิสัย (−π, π]

## สมการเชิงขั้วของเส้นโค้ง
สมการที่นิยามเส้นโค้งพืชคณิตแสดงในพิกัดเชิงขั้วหรือที่เรียกว่า **สมการเชิงขั้ว** ในหลายกรณี สมการสามารถถูกกำหนดง่าย ๆ โดยนิยาม *r* ตามฟังก์ชันของ θ (*r*  *f(θ)* หรือ *F(r, θ)*  *0*) เส้นโค้งที่ได้ประกอบด้วยจุดในรูปแบบ (*r*(θ), θ) และสามารถถือว่าเป็นเส้นกราฟของฟังกชันขั้ว *r*

รูปแบบสมมาตรที่ต่างกันสามารถอนุมานจากสมการของฟังกชันขั้ว *r* ถ้า  เส้นโค้งจะสมมาตรกับรังสีแนวนอน (0°/180°) ถ้า  จะสมมาตรกับรังสีแนวตั้ง (90°/270°) และถ้า  จะสมมาตรแบบหมุน α° ทวนเข็มนาฬิกา รอบขั้ว

เพราะธรรมชาติของวงกลมที่มีอยู่ในระบบพิกัดเชิงขั้ว เส้นโค้งหลาย ๆ เส้นสามารถอธิบายโดยสมการเชิงขั้วง่าย ๆ เพราะว่ารูปแบบในพิกัดคาร์ทีเซียนของเส้นเหล่านั้นเป็นเรื่องที่ซับซ้อนมาก เส้นโค้งที่เรารู้จักกันดีได้แก่ กลีบกุหลาบ, วงก้นหอย, ริบบิ้น, ลีมาซอง และ หัวใจ

### วงกลม
thumb|right|วงกลมตามสมการ
โดยทั่วไปสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่  และรัศมี *a* คือ

:r^2 - 2 r r_0 \cos (\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2\, 

สมการนี้สามารถทำให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายขึ้นได้หลายทางโดยปรับเปลี่ยนให้เข้าสู่กรณีเฉพาะ เช่นสมการ

:r (\theta) =a \,

สำหรับวงกลมที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่ขั้วและรัศมี *a*

### เส้นตรง
เส้น*รัศมี* (ที่วิ่งผ่านขั้ว) แทนด้วยสมการ
:\theta = \varphi \,
เมื่อ φ คือมุมของการยกตัวของเส้น;  เมื่อ *m* คือความชันของเส้นในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เส้นตรงที่ไม่ใช่รัศมีที่ตัดกับรัศมี  ตั้งฉากที่จุด (*r<sub>0</sub>*, φ) มีสมการดังนี้
:r(\theta) = {r_0}\sec(\theta-\varphi) \,

### กลีบกุหลาบ
thumb|right|กลีบกุหลาบตามสมการ
กลีบกุหลาบเป็นเส้นโค้งทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันดี ที่มองดูเหมือนกลีบดอกไม้ สามารถแสดงแทนในรูปสมการเชิงขั้วทั่วไปดังนี้
:r(\theta) = a \cos (k\theta + \phi_0)\,
สำหรับทุก ๆ ค่าคงที่ φ0 (รวมถึงค่า 0) ถ้า *k* คือจำนวนเต็ม สมการจะสร้างกลีบดอกไม้ *k* กลีบถ้า *k* คือ จำนวนคี่ หรือ 2*k* กลีบถ้า *k* คือจำนวนคู่ ถ้า *k* คือ เลขเศษส่วนแต่ไม่ใช่จำนวนเต้ม เส้นโค้งจากสมการอาจเป็นรูปกลีบดอกไม้แต่กลีบอาจจะซ้อนทับกัน จากที่กล่าวมาข้างต้นทำให้สมการนี้ไม่สามารถกำหนดกลีบดอกไม้เป็นเป็น 2, 6, 10, 14, และอื่น ๆ กลีบได้ ตัวแปร *a* จะแทนความยาวของกลีบดอกไม้

### วงก้นหอยแบบอาร์คีมีดีส
thumb|right|แขนมุมของวงก้นหอยแบบอาร์คีมีดีสตามสมการ  เมื่อ
เส้นโค้งก้นหอยแบบอาร์คีมีดีสเป็นวงก้นหอยที่ถูกค้นพบโดยอาร์คิมิดีส ซึ่งสามารถแทนได้ด้วยสมการเชิงขั้ว
:r(\theta) = a+b\theta \,

## จำนวนเชิงซ้อน
thumb|right|200px|ภาพแสดงเลขเชิงซ้อน ''z'' ลงจุดบนระนาบเชิงซ้อน
[thumb|right|200px|ภาพแสดงเลขเชิงซ้อนลงจุดบนระนาบเชิงซ้อนเมื่อใช้[สูตรของออยเลอร์]]
ทุก ๆ จำนวนเชิงซ้อนสามารถแทนได้ด้วยจุดในระนาบเชิงซ้อน ดังนั้นจึงสามารถแสดงด้วยจุดในพิกัดคาร์ทีเซียน (เรียกว่า แบบมุมฉากหรือแบบคาร์ทีเซียน) หรือจุดในพิกัดเชิงขั้ว (เรียกว่า แบบเชิงขั้ว)

เลขเชิงซ้อน *z* สามารถแทนในรูปแบบมุมฉากดังนี้
: z = x + iy
เมื่อ *i* คือ หน่วยจินตภาพ หรือสามารถเลือกเขียนในแบบเชิงขั้ว (ตามสูตรการแปรผันข้างบน) ดังนี้
:z = r\cdot(\cos\theta+i\sin\theta)
และลดรูปเป็น
: z = re^{i\theta} \,
เมื่อ *e* คือ ตัวเลขของออยเลอร์ซึ่งสมมูลตามที่แสดงโดยสูตรของออยเลอร์ (มุม θ ถูกแสดงในหน่วยเรเดียน)

สำหรับการคูณ, การหาร และการยกกำลังของเลขเชิงซ้อน ทั่วไปแล้วจะกระทำในแบบเชิงขั้วมากกว่าแบบมุมฉาก จากกฎของการยกกำลัง:

* การคูณ:
:: r_0 e^{i\theta_0} \cdot r_1 e^{i\theta_1}=r_0 r_1 e^{i(\theta_0 + \theta_1)} \,
* การหาร:
:: \frac{r_0 e^{i\theta_0}}{r_1 e^{i\theta_1}}=\frac{r_0}{r_1}e^{i(\theta_0 - \theta_1)} \,
* การยกกำลัง (สูตรของเดอ มัวฟ์):
:: (re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta} \,

## แคลคูลัส
แคลคูลัสสามารถประยุกต์สมการไปใช้พิกัดเชิงขั้วได้

พิกัดมุม *θ* ถูกแสดงในเรเดียนตลอดจนภาคตัดนี้ ซึ่งเป็นทางเลือกหนึ่งในการทำแคลคูลัส

### แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์
ให้  และ  ซึ่งได้จากความสัมพันธ์ของพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว ให้ฟังก์ชัน *u*(*x*,*y*) ตามสมการ
:r \tfrac{\partial u}{\partial r} = r \tfrac{\partial u}{\partial x}\tfrac{\partial x}{\partial r} + r \tfrac{\partial u}{\partial y}\tfrac{\partial y}{\partial r},
:\tfrac{\partial u}{\partial \theta} = \tfrac{\partial u}{\partial x}\tfrac{\partial x}{\partial \theta} + \tfrac{\partial u}{\partial y}\tfrac{\partial y}{\partial \theta}
หรือ
:r \tfrac{\partial u}{\partial r} = r \tfrac{\partial u}{\partial x} \cos(\theta) + r \tfrac{\partial u}{\partial y} \sin(\theta)  = x \tfrac{\partial u}{\partial x} + y \tfrac{\partial u}{\partial y}
:\tfrac{\partial u}{\partial \theta} = - \tfrac{\partial u}{\partial x} r \sin(\theta) + \tfrac{\partial u}{\partial y} r \cos(\theta) = -y \tfrac{\partial u}{\partial x} + x \tfrac{\partial u}{\partial y}

เพราะฉะนั้น จะได้สมการ:

:r \tfrac{\partial}{\partial r}= x \tfrac{\partial}{\partial x} + y \tfrac{\partial}{\partial y} \,
:\tfrac{\partial}{\partial \theta} = -y \tfrac{\partial}{\partial x} + x \tfrac{\partial}{\partial y} 

หาความชันคาร์ทีเซียนของเส้นสัมผัสเส้นโค้งเชิงขั้ว *r*(θ) ในทุก ๆ จุดที่ให้ เส้นโค้งนั้นอยู่ในรูประบบสมการอิงตัวแปรเสริม
:x=r(\theta)\cos\theta \,
:y=r(\theta)\sin\theta \,

ทำอนุพันธ์ในเทอมของ θ ทั้งสองสมการ
:\frac{dx}{d\theta}=r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta \,
:\frac{dy}{d\theta}=r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta \,

หารสมการที่สองด้วยสมการแรกให้ความชันคาร์ทีเซียนของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด :
:\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta}

### แคลคูลัสเวกเตอร์
แคลคูลัสเวกเตอร์สามารถใช้กับพิกัดเชิงขั้วได้ด้วยเช่นกัน ให้ \mathbf{r} เป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง , *r* และ θ ขึ้นกับเวลา *t*

ใช้เวกเตอร์หนึ่งหน่วย
:\hat{\mathbf{r}}=(\cos(\theta),\sin(\theta))
ในทิศทางของ **r** และ
:\hat{\boldsymbol\theta}=(-\sin(\theta),\cos(\theta))
ที่มุมฉากถึง **r** อนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองของตำแหน่งเป็น
:\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \dot r\hat{\mathbf{r}} + r\dot\theta\hat{\boldsymbol\theta},
:\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta)\hat{\boldsymbol\theta} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} +
 \frac{1}{r}\quad \dot {\overbrace{r^2\dot\theta}}\quad \hat{\boldsymbol\theta}

## การเชื่อมโยงกับพิกัดทรงกลมและกระบอก
ระบบพิกัดเชิงขั้วสามารถขยายออกไปถึงสามมิติกับระบบพิกัดที่แตกต่งกันอีกสองระบบได้คือระบบพิกัดทรงกลมและระบบพิกัดกระบอก

## การประยุกต์

## ดูเพิ่ม
* ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

## อ้างอิง

หมวดหมู่:ระบบพิกัด