เกรเดียนต์

thumb|300px|ในสองภาพข้างบนได้แสดงแทนฟังก์ชันสเกลาร์ด้วยสีดำและสีขาว สีดำแทนตำแหน่งที่ฟังก์ชันมีค่าสูงกว่า และเกรเดียนต์ที่แต่ละจุดแสดงโดยลูกศรสีฟ้า สังเกตว่าเกรเดียนต์ชี้ไปทิศทางที่ฟังก์ชันมีค่ามากขึ้น

ในแคลคูลัสเวกเตอร์ **เกรเดียนต์** () คือการดำเนินการกับฟังก์ชันหลายตัวแปร f ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ซึ่งมีค่าเป็นสเกลาร์ ผลลัพธ์ที่ได้คือสนามเวกเตอร์ \nabla f ที่ค่าที่แต่ละจุดจะชี้ไปในทิศทางที่ f มีค่ามากขึ้นที่สุด และขนาดของเวกเตอร์เท่ากับอัตราการเพิ่มขึ้นในทิศทางนั้น ๆ เรียกสนามเวกเตอร์นี้ว่า **เกรเดียนต์**ของ fสัญลักษณ์ \nabla เรียกว่า*สัญลักษณ์นาบลา* (nabla) หรือ *เดล* (del)

เนื่องจากเกรเดียนต์ระบุทิศทางที่ฟังก์ชันมีค่าเพิ่มขึ้นมากที่สุด และทิศทางตรงกันข้ามของเกรเดียนต์ฟังก์ชันจะมีค่าน้อยที่สุด เกรเดียนต์จึงมีความสำคัญในวิชาการหาค่าเหมาะที่สุด เพื่อหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน f ด้วยขั้นตอนวิธีการเคลื่อนลงตามความชัน (gradient descent)

## แนวคิดจูงใจของเกรเดียนต์
thumb|500x500px|เกรเดียนต์ของฟังก์ชันสองมิติ  ถูกพล็อตโดยใช้ลูกศรเหนือค่าของฟังก์ชันซึ่งแสดงโดยใช้สี
พิจารณาห้องที่อุณหภูมิภายในกำหนดด้วยฟังก์ชันค่าสเกลาร์ T นั่นคือที่จุด (x, y, z) อุณหภูมิที่ตำแหน่งนั้นคือ T(x, y, z) และเป็นอิสระจากเวลา 

เกรเดียนต์ของ T ที่จุด (x, y, z) จะบอกทิศทางที่อุณหภูมิเพิ่มขึ้นเร็วที่สุดเมื่อเดินทางออกจากจุด (x, y, z) และขนาดของเกรเดียนต์จะระบุอัตราเร็วที่อุณหภูมิเพิ่มขึ้นในทิศทางนั้น

พิจารณาพื้นผิวที่ความสูงจากระดับน้ำทะเลที่จุด (x, y) กำหนดโดยฟังก์ชัน H(x,y ) เกรเดียนต์ของ H ที่จุด (x, y) จะเป็นเวกเตอร์ที่ชี้บอกทิศทางที่ชันมากที่สุดจากจุดนั้น และความชันจะเท่ากับขนาดของเวกเตอร์เกรเดียนต์ 

นอกจากนี้ เกรเดียนต์ยังสามารถใช้วัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันค่าสเกลาร์ในทิศทางอื่นนอกเหนือไปจากทิศทางของเกรเดียนต์เอง โดยการหาผลคูณจุด สมมติว่าความชันสูงสุดที่จุด ๆ หนึ่งบนเนินเขาเท่ากับ 40% ถนนขึ้นเนินที่ทำมุมอื่น ๆ ย่อมจะมีความชันน้อยกว่า เราสามารถหาความชันได้โดยหาผลคูณจุดระหว่างเกรเดียนต์ที่จุดที่สนใจ และเวกเตอร์หน่วยที่ชี้ไปตามทิศทางของถนน 

โดยทั่วไปกว่านั้น ถ้าฟังก์ชัน H ที่ระบุความสูงของเนิน เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ แล้วเกรเดียนต์ของ H คูณสเกลาร์กับเวกเตอร์หน่วยจะเท่ากับความชันของเนินในทิศทางนั้น หรือก็คืออนุพันธ์ระบุทิศทางของ H ในทิศทางของเวกเตอร์หน่วยนั้น

## สัญลักษณ์ที่ใช้
เกรเดียนต์ของฟังก์ชัน f ที่จุด a นิยมเขียนแทนด้วย \nabla f (a) แต่อาจจะมีสัญลักษณ์อื่น ๆ เช่น

* \vec{\nabla} f (a) : เพื่อเจาะจงความเป็นเวกเตอร์ของเกรเดียนต์
* \operatorname{grad} f
* \partial_i f and f_{i} : โดยใช้สัญกรณ์ของไอน์ชไตน์ (Einstein notation) โดยดรรชนีที่ซ้ำให้ถือว่าถูกบวกอยู่ ()

## นิยาม
thumb|350x350px|เกรเดียนต์ของฟังก์ชัน  แสดงผ่านสนามเวกเตอร์ที่ถูกฉายลงบนระนาบด้านล่าง
**เกรเดียนต์** ของฟังก์ชันสเกลาร์ f(x_1, \dotsc, x_n) เขียนแทนด้วย \nabla f หรือ \vec{\nabla} f นิยามให้เป็นสนามเวกเตอร์ซึ่งมีเพียงแบบเดียวที่ผลคูณจุดกับเวกเตอร์ \mathbf{v} ที่จุด x จะเท่ากับอนุพันธ์ระบุทิศทางของ f ไปตาม \mathbf{v} นั่นคือ \big(\nabla f(x)\big)\cdot \mathbf{v} = D_{\mathbf v}f(x)

เมื่อพจน์ทางขวามือคืออนุพันธ์ระบุทิศทางของฟังก์ชัน f ในทางรูปนัยเราจะกล่าวว่าการหาอนุพันธ์เป็น *ดูอัล* ของเกรเดียนต์ มีวิธีการหาค่าของเกรเดียนต์หลายวิธีซึ่งเสนอไว้ด้านล่าง

สัญลักษณ์ \nabla เรียกว่าตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์สำหรับเวกเตอร์

ขนาดและทิศทางของเกรเดียนต์ไม่ขึ้นกับระบบพิกัดที่ใช้

### ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน
ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติพร้อมกับเมตริกแบบยูคลิด เกรเดียนต์ถ้ามีค่าจะเป็นไปตามสมการ

\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k}

เมื่อ , ,  เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยมาตรฐานในทิศทางของระบบพิกัด ,  และ  ตามลำดับ ตัวอย่างเช่น เกรเดียนต์ของฟังก์ชัน f(x,y,z)= 2x+3y^2-\sin(z) คือ \nabla f(x, y, z) = 2\mathbf{i}+ 6y\mathbf{j} -\cos(z)\mathbf{k} หรือเขียนแทนด้วย\nabla f(x, y, z) = 
\begin{bmatrix}
 2 \\
 6y \\
 -\cos z
\end{bmatrix}


ในบางการใช้งานนิยมเขียนเกรเดียนต์เป็นเวกเตอร์แถวหรือเวกเตอร์หลัก

## อ้างอิง

### บรรณานุกรม

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

หมวดหมู่:แคลคูลัสเวกเตอร์