กฎผลคูณ

ในคณิตศาสตร์ **กฎผลคูณ**ของแคลคูลัส หรือเรียกว่า **กฎของ[[กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ|ไลบ์นิซ]]** เป็นสูตรสำหรับหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันหรือมากกว่า ซึ่งอาจเขียนในสัญกรณ์ของลากร็องฌ์ได้ดังนี้

: \,\! (fg) '=f'g+fg'

หรือด้วยสัญกรณ์ไลบ์นิซดังนี้

: {d\over dx} (uv) =u{dv\over dx}+v{du\over dx}

กฎผลคูณสามารถขยายไปยังผลคูณของฟังก์ชันสามตัวหรือมากกว่าก็ได้ หรือในกรณีอื่น ๆ ที่ไม่ใช่การหาอนุพันธ์โดยตรง

## การค้นพบโดยไลบ์นิซ
ไลบ์นิซได้ชื่อว่าเป็นผู้ค้นพบกฎนี้ ซึ่งพิสูจน์โดยใช้คณิตศาสตร์ดิฟเฟอเรนเชียล แต่ J. M. Child ผู้แปลผลงานของไลบ์นิซ์เสนอว่า ไอแซค บาร์โรว์ เป็นผู้ค้นพบกฎผลคูณก่อน การพิสูจน์ของไลบ์นิซ์เริ่มต้นโดยสมมติให้ *u*(*x*) และ *v*(*x*) เป็นฟังก์ชันซึ่งหาอนุพันธ์ได้ของ *x* ดิฟเฟอเรนเชียลของ *uv* คือ

: 

แต่เนื่องจากเทอม (*du*) (*dv*) มีค่าน้อย ไลบ์นิซสรุปว่า

: d (uv) = (du) v + u (dv) \,

และนี่คือกฎผลคูณในรูปของดิฟเฟอเรนเชียล ถ้าเราหารตลอดด้วยดิฟเฟอเรนเชียล *dx* เราจะได้

: \frac{d}{dx} (uv) = \left ( \frac{du}{dx} \right) v + u \left ( \frac{dv}{dx} \right) 

ซึ่งสามารถเขียนอีกรูปหนึ่งได้เป็น

:  (uv) ' = u' v + u v' \,

## ตัวอย่าง

* สมมติว่าคุณต้องการหาอนุพันธ์ของ *f*(*x*) = *x*2sin(*x*) โดยการใช้กฎผลคูณจะได้คำตอบ *f*(*x*) = 2*x* sin(*x*) + *x*2cos(*x*) (เนื่องจากอนุพันธ์ของ *x*2 คือ 2*x* และอนุพันธ์ของ sin(*x*) คือ cos(*x*))
* กฎการคูณด้วยค่าคงที่ (Constant Multiple Rule) ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของกฎผลคูณ กล่าวไว้ว่า: ถ้า *c* เป็น จำนวนจริง และ *f* (*x*) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า *cf* (*x*) ก็หาอนุพันธ์ได้เช่นกัน และมีอนุพันธ์เป็น (*c* × *f*) (*x*) = *c* × *f*'(*x*) (นี่เป็นผลจากกฎการคูณ เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่ มีค่าเป็นศูนย์) เมื่อนำผลที่ได้นี้รวมเข้ากับกฎผลบวกจะได้ว่า การหาอนุพันธ์เป็นกระบวนการเชิงเส้น
* กฎผลคูณสามารถใช้พิสูจน์การหาปริพันธ์ทีละส่วน และกฎผลหารแบบ "อ่อน" (เพราะกฎผลคูณไม่ได้พิสูจน์ว่าผลหารของฟังก์ชันสองฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ แต่พิสูจน์ว่า *หากอนุพันธ์หาได้* จะมีค่าเท่าใดเท่านั้น)

## การพิสูจน์กฎผลคูณ
กฎผลคูณสามารถพิสูจน์ได้โดยอาศัยคุณสมบัติของลิมิต นิยามของอนุพันธ์ และทฤษฎีบทที่ว่าฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง:

## นัยทั่วไป

### ผลคูณมากกว่าสองฟังก์ชัน
กฎผลคูณสามารถวางนัยทั่วไปให้กับกรณีที่มีตัวประกอบคูณกันมากกว่าสองตัวได้ อย่างเช่น หากมีตัวประกอบสามตัวจะได้

\frac{d(uvw)}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}

และสำหรับเซตของฟังก์ชัน f_1, \dots, f_k จะได้ว่า

\frac{d}{dx} \left [ \prod_{i=1}^k f_i(x) \right ]
 = \sum_{i=1}^k \left(\left(\frac{d}{dx} f_i(x) \right) \prod_{j=1,j\ne i}^k f_j(x) \right)
= \left(  \prod_{i=1}^k f_i(x) \right) \left( \sum_{i=1}^k \frac{f'_i(x)}{f_i(x)} \right)

### พีชคณิตนามธรรม
ในพีชคณิตนามธรรม กฎผลคูณใช้เป็น*นิยาม*ของการดำเนินการอนุพันธ์

### แคลคูลัสเวกเตอร์
กฎผลคูณขยายไปยังการคูณด้วยสเกลาร์ ผลคูณจุด และผลคูณไขว้ของฟังก์ชันเวกเตอร์ดังต่อไปนี้

สำหรับการคูณด้วยสเกลาร์: (f \cdot \mathbf g)' = f'\cdot \mathbf g + f \cdot \mathbf g' 

สำหรับผลคูณจุด: (\mathbf f \cdot \mathbf g)' = \mathbf f' \cdot \mathbf g + \mathbf f \cdot \mathbf g' 

สำหรับผลคูณไขว้: (\mathbf f \times \mathbf g)' = \mathbf f' \times \mathbf g + \mathbf f \times \mathbf g' 

นอกจากนี้ยังมีกฎผลคูณสำหรับกระบวนการอื่นที่คล้ายคลึงกับการหาอนุพันธ์: ถ้า *f* และ *g* เป็นฟีลด์สเกลาร์แล้วเกรเดียนต์จะสอดคล้องกับกฎผลคูณ 

\nabla (f \cdot g) = \nabla f \cdot g + f \cdot \nabla g 

## อ้างอิง


## ดูเพิ่ม
* กฎผลหาร
* การหาปริพันธ์เป็นส่วน
* ดิฟเฟอเรนเชียล

หมวดหมู่:แคลคูลัส