ช่องว่างจำนวนเฉพาะ

**ช่องว่างจำนวนเฉพาะ** () หมายถึงผลต่างระหว่างจำนวนเฉพาะสองจำนวนที่อยู่ติดกัน ช่องว่างจำนวนเฉพาะในตำแหน่งที่ *n* เขียนแทนด้วย *g<sub>n</sub>* คือผลต่างระหว่างจำนวนเฉพาะตัวที่ *n*+1 กับ *n* ดังนี้
:g_n = p_{n + 1} - p_n\ 

ดังนั้นเราจะได้ *g*1 = 1, *g*2 = *g*3 = 2, และ *g*4 = 4 เป็นต้น

ลำดับของช่องว่างจำนวนเฉพาะ 30 ตัวแรกมีดังนี้
::1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, ... 

## ข้อสังเกตเบื้องต้น
สำหรับจำนวนเฉพาะ *P* ใด ๆ เราสามารถเขียน *P*# แทนความหมายของไพรมอเรียลของ *P* ซึ่งเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่มากกว่า *P* และกำหนดให้ *Q* เป็นจำนวนเฉพาะที่อยู่ถัดจาก *P* ดังนั้น ลำดับนี้
::P\# + 2, P\# + 3, ..., P\# + (Q - 1)

คือลำดับของจำนวนประกอบที่อยู่ติดกัน *Q*−2 จำนวน ซึ่งหมายความว่ามีช่องว่างจำนวนเฉพาะอย่างน้อยที่เท่ากับ *Q*−1 ดังนั้น เราสามารถสร้างช่องว่างจำนวนเฉพาะให้มีขนาดใหญ่เท่าใดก็ได้ นั่นคือ สำหรับจำนวนเฉพาะ *P* ใด ๆ จะมีจำนวนเต็ม *n* ซึ่ง *g**n* > *P* (เลือก *n* ที่ทำให้ *p**n* มีค่ามากที่สุด และน้อยกว่า *P*# + 2)

ในความเป็นจริง ช่องว่างจำนวนเฉพาะที่เท่ากับ *n* อาจปรากฏเป็นค่าที่น้อยกว่า *n*# อย่างมาก ตัวอย่างเช่น ลำดับจำนวนประกอบที่เล็กที่สุด มี 71 จำนวนที่อยู่ระหว่าง 31398 และ 31468 ในขณะที่ 71# มีค่ามากถึง 27 หลัก นั่นคือ 557940830126698960967415390

ถึงแม้ว่าช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะจะเฉลี่ยเพิ่มขึ้นแบบลอการิทึมธรรมชาติบนจำนวนเต็ม อัตราของ *ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด* ก็จะแปรผันเพิ่มขึ้นไปตามความมหาศาลของจำนวนด้วย

ในทางตรงข้าม ข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝดกล่าวว่า มี *n* ที่ทำให้ *g**n* = 2 อยู่ไม่จำกัด

## ผลลัพธ์เชิงตัวเลข
กระทั่งถึง พ.ศ. 2550 ช่องว่างจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดที่มีการค้นพบ มีขนาด 2,254,930 หลัก ระบุจากจำนวนเฉพาะน่าจะเป็น (probable prime) ขนาด 86,853 หลักสองจำนวน ค้นพบโดย H. Rosenthal และ J. K. Andersen ส่วนช่องว่างจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว มีขนาด 337,446 หลัก จากจำนวนเฉพาะขนาด 7,996 หลักที่ค้นพบโดย T. Alm, J. K. Andersen และ François Morain

เราจะกล่าวว่า *g<sub>n</sub>* เป็น *ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด* (maximal prime gap) ถ้าหาก *g<sub>m</sub>* n* สำหรับทุกค่าของ *m* < *n* เมื่อเดือนเมษายน พ.ศ. 2550 *ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด* ที่มากที่สุดค้นพบโดย Siegfried Herzog และ Tomás Oliveira e Silva มีขนาด 1,442 หลัก ซึ่งเป็นช่องว่างมากสุดลำดับที่ 74 ที่เกิดขึ้นหลังจากจำนวนเฉพาะ 804212830686677669

อัตราส่วน (จำนวนหลักของ *gn*) / ln(*pn*) เรียกว่าเป็นอัตรา *merit* ของ *gn* ซึ่งมีค่าขึ้นลงไม่เท่ากัน มีค่ามากที่สุดเท่ากับ 1442 / log(804212830686677669) = 34.98



== ผลลัพธ์ต่อ ๆ ไป ==
ผลลัพธ์ของช่องว่างจำนวนเฉพาะต่อ ๆ ไป เป็นไปตาม[[สัจพจน์ของเบอร์แทรนด์]] ซึ่ง *gn* < *pn*

[[ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ]]กล่าวว่า "ความยาวเฉลี่ย" ของช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะ *p* กับจำนวนเฉพาะถัดไป มีค่าเท่ากับ ln *p* ซึ่งความยาวจริงของช่องว่างอาจมากกว่าหรือน้อยกว่านี้ก็ได้ อย่างไรก็ตาม จากทฤษฎีบทดังกล่าวเราสามารถคาดคะเนขอบเขตบนสำหรับความยาวของช่องว่างนั้น นั่นคือ ทุกค่าของ ε > 0 จะมีจำนวน *N* ที่ทำให้ *gn* < ε*pn* สำหรับทุกค่าของ *n* > *N*

[[Guido Hoheisel]] ได้แสดงเป็นครั้งแรก ว่ามีค่าคงตัว θ < 1 ที่ทำให้
::<math>\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim x^\theta / \log(x)\,\!</math>
เมื่อ *x* มีค่าเข้าใกล้[[อนันต์]] ซึ่งแสดงให้เห็นว่า
::<math>g_n < p_n^\theta</math>
สำหรับจำนวน *n* ที่มีขนาดมากเพียงพอ เราสามารถคาดคะเนว่าช่วงว่างจะดูเล็กลงเมื่อเทียบกับขนาดของจำนวนเฉพาะ นั่นคือ *gn* / *pn* จะมีค่าเข้าใกล้ศูนย์ เมื่อ *n* มีค่าเข้าใกล้อนันต์

Hoheisel เลือกค่าที่เป็นไปได้คือ 32999/33000 สำหรับแทนค่าของ θ ต่อมาก็ได้พัฒนาเป็น 249/250 โดย [[Hans Heilbronn]] และเปลี่ยนเป็น 3/4 + ε สำหรับค่าใด ๆ ของ ε > 0 โดย [[Čudakov]]

การพัฒนาครั้งหนึ่งที่สำคัญโดย [[Albert Ingham]] ผู้ซึ่งกล่าวว่า ถ้าหาก
::<math>\zeta(1/2 + \mathbf{i} t) = O(t^c)</math>
จะมีค่าคงตัว *c* ที่เป็นจำนวนบวก ที่ทำให้
::<math>\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim x^\theta / \log(x)\,\!</math>
สำหรับค่าใด ๆ ของ θ > (1 + 4*c*)/(2 + 4*c*) เมื่อ ζ คือ[[ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์]] และ π คือ[[ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ]] ในเมื่อเราทราบว่าค่าของ *c* > 1/6 เป็นค่าที่ยอมรับได้ ดังนั้น θ จึงสามารถเป็นจำนวนใด ๆ ก็ได้ที่มากกว่า 5/8

จากความรู้ของ Ingham ส่งผลให้สามารถทราบได้ว่า จะมีจำนวนเฉพาะแทรกอยู่ระหว่าง *n*<sup>3</sup> และ (*n* + 1)<sup>3</sup> เสมอ ถ้า *n* มีขนาดใหญ่เพียงพอ ไม่เว้นแม้แต่[[สมมติฐานของ Lindelöf]] ซึ่งกล่าวว่าเราสามารถให้ค่า *c* เป็นจำนวนบวกใด ๆ แล้วทำให้มีจำนวนเฉพาะแทรกอยู่ระหว่าง *n*<sup>2</sup> กับ (*n* + 1)<sup>2</sup> ด้วยเงื่อนไขเดียวกัน (ดูเพิ่มที่ [[ข้อความคาดการณ์ของเลอช็องดร์]]) และเพื่อที่จะยืนยันคำกล่าวนี้ ผลลัพธ์ที่มีน้ำหนักอย่างเช่น[[ข้อความคาดการณ์ของเครเมอร์]]อาจเป็นที่ต้องการ

[[Martin Huxley]] กล่าวว่าเราอาจสามารถใช้ค่า θ = 7/12 ก็ได้ และจากผลลัพธ์เมื่อเร็ว ๆ นี้ Baker, Harman และ Pintz ได้แสดงให้เห็นว่า θ สามารถเท่ากับ 0.525 ก็ได้

== ข้อความคาดการณ์เกี่ยวกับช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะ ==
ถึงแม้ว่าผลลัพธ์ที่ดีกว่าจะสามารถเป็นไปได้ ถ้าหากให้[[สมมติฐานของรีมันน์]]เป็นจริง [[Harald Cramér]] ได้พิสูจน์แล้วว่า ช่องว่างจำนวนเฉพาะ *g*(*p*)
::<math>g(p) = O(\sqrt{p} \ln p)</math>
ตรงตามเงื่อนไขภายใต้สมมติฐานนี้ อย่างไรก็ตาม เขาได้คาดการณ์ว่าอาจจะมีช่องว่างที่มีขนาดเล็กกว่านี้อีก โดยคาดการณ์อย่างหยาบ ๆ ว่า
::<math>g(p) = O\left((\ln p)^2\right)</math>
และปัจจุบันดูเหมือนว่าแนวโน้มของตัวเลขจะเข้าสู่แนวทางนี้ ดูเพิ่มที่ [[ข้อความคาดการณ์ของเครเมอร์]]

[[ข้อความคาดการณ์ของแอนดริกา]]ได้ระบุว่า
::<math>g(p) < 2\sqrt{p} + 1</math>

== อ้างอิง ==


== อ่านเพิ่ม ==
* 
* 

== แหล่งข้อมูลอื่น ==
* [[Thomas R. Nicely]], [https://faculty.lynchburg.edu/~nicely/ Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory]. This reference web site includes a list of all first known occurrence prime gaps.
* 
* 
* Armin Shams, [https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs11253-008-0034-7 Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture], does not involve an 'arbitrarily big' constant as some other reported results.
* [[Chris Caldwell (mathematician)|Chris Caldwell]], [http://primes.utm.edu/notes/gaps.html *Gaps Between Primes*]; an elementary introduction
* [[Andrew Granville]], [http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/CEBBrochureFinal.pdf *Primes in Intervals of Bounded Length'']; overview of the results obtained so far up to and including James Maynard's work of November 2013.

หมวดหมู่:จำนวนเฉพาะ