สมการการเคลื่อนที่

ในฟิสิกส์ **สมการการเคลื่อนที่** () คือสมการที่อธิบายพฤติกรรมของระบบทางกายภาพให้การเคลื่อนที่เป็นรูปพจน์ฟังก์ชันของเวลา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการการเคลื่อนที่ใช้อธิบายพฤติกรรมของระบบทางกายภาพเป็นรูปของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ชุดหนึ่ง ซึ่งเขียนในรูปของตัวแปรพลวัต โดยทั่วไปตัวแปรเหล่านี้มักเป็นพิกัดเชิงพื้นที่และเวลา แต่อาจรวมถึงองค์ประกอบของโมเมนตัมด้วย ทั้งนี้ ในกรณีทั่วไปที่สุดคือเลือกใช้พิกัดนัยทั่วไป (generalized coordinates) ซึ่งเป็นตัวแปรใด ๆ ที่สะดวกและเหมาะสมต่อการอธิบายระบบทางกายภาพนั้นได้ ฟังก์ชันเหล่านี้ถูกนิยามอยู่ในปริภูมิแบบยุคลิดในกลศาสตร์ดั้งเดิม แต่จะถูกแทนที่ด้วยปริภูมิแบบโค้งในสัมพัทธภาพ หากทราบพลวัตของระบบแล้ว สมการเหล่านี้คือคำตอบสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ที่ใช้อธิบายการเคลื่อนที่ของพลวัตนั้น

## ประวัติ

จลนศาสตร์ พลศาสตร์ และแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเอกภพถูกพัฒนาขึ้นอย่างค่อยเป็นค่อยไป ตลอดระยะเวลาสามสหัสวรรษ ด้วยผลงานของนักคิดจำนวนมาก ซึ่งเรารู้จักชื่อเพียงบางส่วนเท่านั้น ในสมัยโบราณ นักบวช นักโหราศาสตร์ และนักดาราศาสตร์สามารถทำนายการเกิดอุปราคาของดวงอาทิตย์และดวงจันทร์ อายันและวิษุวัตของดวงอาทิตย์ รวมถึงคาบการโคจรของดวงจันทร์ได้ แต่พวกเขาไม่มีสิ่งใดนอกจากชุดของขั้นตอนวิธีมาใช้เป็นแนวทาง สมการการเคลื่อนที่ยังไม่ถูกเขียนขึ้นจนกระทั่งอีกหนึ่งพันปีต่อมา

นักวิชาการยุคกลางในช่วงคริสต์ศตวรรษที่สิบสาม — ตัวอย่างเช่น ที่มหาวิทยาลัยที่เพิ่งก่อตั้งขึ้นในขณะนั้นทในออกซฟอร์ดและปารีส — ได้นำผลงานของนักคณิตศาสตร์โบราณ (ยูคลิดและอาร์คิมีดีส) และนักปรัชญา (อาริสโตเติล) มาพัฒนาเป็นชุดองค์ความรู้ใหม่ ซึ่งในปัจจุบันเรียกว่า ฟิสิกส์

ที่มหาวิทยาลัยออกซฟอร์ด วิทยาลัยเมอร์ตัน (Merton College) เป็นศูนย์รวมของกลุ่มนักวิชาการที่อุทิศตนแก่วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ โดยเฉพาะฟิสิกส์ ดาราศาสตร์ และคณิตศาสตร์ ผู้ซึ่งมีความสามารถทัดเทียมกับผู้ทรงคุณวุฒิที่มหาวิทยาลัยปารีส โทมัส แบรดวาร์ดีน (Thomas Bradwardine) เคลอจี นักคณิตศาสตร์ และนักฟิสิกส์ชาวอังกฤษได้ขยายแนวคิดของอาริสโตเติลเกี่ยวกับปริมาณต่าง ๆ เช่น ระยะทางและความเร็ว และกำหนดแนวคิดเรื่องความเข้มและขอบเขตให้กับปริมาณเหล่านั้น แบรดวาร์ดีนเสนอกฎเลขชี้กำลังที่ว่าด้วยแรง แรงต้าน ระยะทาง ความเร็ว และเวลา ในเวลาต่อมา นีโกล โอแร็ม (Nicole Oresme) นักปรัชญาชาวฝรั่งเศสได้ขยายแนวคิดของแบรดวาร์ดีนออกไป สำนักเมอร์ตันได้พิสูจน์ว่าปริมาณการเคลื่อนที่ของวัตถุภายใต้การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอเท่ากับปริมาณของการเคลื่อนที่สม่ำเสมอ ซึ่งมีความเร็วเท่ากับความเร็ว ณ ครึ่งทางช่วงของการเร่งนั้น

สำหรับนักเขียนด้านจลนศาสตร์ก่อนยุคของกาลิเลโอ เนื่องจากยังไม่สามารถวัดช่วงเวลาที่สั้นมากได้ ความสัมพันธ์ระหว่างเวลาและการเคลื่อนที่จึงยังไม่ชัดเจน พวกเขาใช้เวลาเป็นฟังก์ชันของระยะทางและในการตกอิสระ ความเร็วที่มากขึ้นถูกมองว่าเป็นผลจากระดับความสูงที่เพิ่มมากขึ้น มีเพียงโดมิงโก เด โซโต (Domingo de Soto) นักเทววิทยาชาวสเปนเท่านั้น ในความเห็นของเขากับงาน *[[ฟิสิกส์ (อาริสโตเติล)|ฟิสิกส์]]* ของอาริสโตเติล ซึ่งตีพิมพ์ใน ค.ศ. 1545 หลังจากนิยามการเคลื่อนที่แบบ "เปลี่ยนแปลงสม่ำเสมอ" หรือ "uniform difform" (ซึ่งคือการเคลื่อนที่แบบความเร่งสม่ำเสมอ) – โดยในขณะนั้นยังไม่มีการใช้คำว่าความเร็ว – ว่าแปรผันตามเวลา เขาได้ระบุอย่างถูกต้องว่าการเคลื่อนที่ประเภทนี้สามารถระบุได้กับการตกอิสระและการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ แม้ว่าจะไม่ได้พิสูจน์ข้อเสนอนี้ หรือเสนอสูตรที่เชื่อมโยงเวลา ความเร็ว และระยะทาง ความเห็นของเด โซโตนั้นถือว่าแม่นยำอย่างน่าประหลาด โดยเฉพาะในเรื่องนิยามของความเร่ง (ซึ่งคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของการเคลื่อนที่ (ความเร็ว) ตามเวลา) และการสังเกตว่าความเร่งจะเป็นค่าลบในช่วงการเคลื่อนที่ขึ้น

แนวคิดลักษณะนี้ได้เผยแพร่ไปทั่วยุโรป มีอิทธิพลต่อผลงานของกาลิเลโอ กาลิเลอี และผู้อื่น อีกทั้งยังช่วยวางรากฐานของจลนศาสตร์ กาลิเลโอได้อนุมานสมการ  ในงานของเขาด้วยวิธีทางเรขาคณิต อาศัยกฎเมอร์ตัน ซึ่งในปัจจุบันเป็นที่รู้จักว่าเป็นกรณีพิเศษของหนึ่งในสมการจลนศาสตร์

กาลิเลโอเป็นคนแรกที่แสดงให้เห็นว่าวิถีการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เป็นรูปพาราโบลา กาลิเลโอมีความเข้าใจเกี่ยวกับแรงหนีศูนย์กลางและให้คำนิยามของโมเมนตัมได้อย่างถูกต้อง การเน้นว่าโมเมนตัมเป็นปริมาณพื้นฐานในพลศาสตร์นั้นมีความสำคัญอย่างมาก เขาวัดโมเมนตัมจากผลคูณของความเร็วกับน้ำหนัก ส่วนมวลนั้นเป็นแนวคิดที่เกิดขึ้นภายหลัง โดยถูกพัฒนาขึ้นโดยเฮยเคินส์และนิวตัน ในการแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่าย กาลิเลโอได้กล่าวไว้ในหนังสือ *[[วาทกรรมและการพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์เกี่ยวกับสองศาสตร์ใหม่]]* ว่า "โมเมนตัมทุกค่าที่ได้มาระหว่างการเคลื่อนที่ลงตามส่วนโค้ง จะเท่ากับโมเมนตัมที่ทำให้วัตถุเดียวกันเคลื่อนที่ขึ้นไปตามส่วนโค้งเดียวกันนั้น" การวิเคราะห์ของเขาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์บ่งชี้ว่า กาลิเลโอเข้าใจกฎการเคลื่อนที่ข้อที่หนึ่งและข้อที่สองแล้ว แต่เขาไม่ได้ทำให้แนวคิดเหล่านี้เป็นหลักทั่วไปหรือทำให้สามารถใช้กับวัตถุที่ไม่อยู่ภายใต้ความโน้มถ่วงของโลก ซึ่งเป็นก้าวที่นิวตันเป็นผู้ทำให้สำเร็จ

คำว่า "ความเฉื่อย" ถูกใช้โดยเค็พเพลอร์ ผู้ซึ่งนำไปใช้กับวัตถุที่หยุดนิ่ง (กฎการเคลื่อนที่ข้อที่หนึ่งในปัจจุบันมักเรียกว่า กฎของความเฉื่อย)

กาลิเลโอยังไม่ได้เข้าใจเกี่ยวกับกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สามโดยสมบูรณ์ ซึ่งคือกฎของความเท่ากันของแรงกิริยาและแรงปฏิกิริยา แม้ว่าเขาจะได้แก้ไขข้อผิดพลาดบางประการของอาริสโตเติลก็ตาม ร่วมกับสตีวิน (Simon Stevin) และผู้อื่น กาลิเลโอยังได้เขียนงานเกี่ยวกับสถิตยศาสตร์ เขาได้วางหลักรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานของแรง แต่ยังไม่ได้ตระหนักถึงขอบเขตของหลักการนี้อย่างเต็มที่

กาลิเลโอยังให้ความสนใจในกฎของลูกตุ้ม โดยการสังเกตครั้งแรกของเขาเกิดขึ้นตั้งแต่ยังเป็นชายหนุ่ม ใน ค.ศ. 1583 ขณะที่เขากำลังสวดมนต์อยู่ในอาสนวิหารที่เมืองปิซา ความสนใจของเขาถูกดึงดูดด้วยการแกว่งของโคมไฟขนาดใหญ่ที่ถูกจุดและปล่อยให้แกว่งไปมา เขาใช้ชีพจรของตนเองเป็นตัวอ้างอิงเวลา สำหรับเขาแล้ว คาบการแกว่งนั้นเท่ากัน แม้ว่าการแกว่งจะค่อย ๆ ลดลงอย่างมากก็ตาม ซึ่งนำไปสู่การค้นพบสมบัติคาบเท่ากันของลูกตุ้ม

การทดลองที่ละเอียดและรอบคอบขึ้นซึ่งเขาได้ดำเนินการในภายหลัง และบรรยายไว้ใน*วาทกรรม*ของเขา แสดงให้เห็นว่าคาบการแกว่งแปรผันตามรากที่สองของความยาว แต่ไม่ขึ้นกับมวลของลูกตุ้ม

ดังนั้น เราจึงมาถึงผลงานของเรอเน เดการ์ต, ไอแซก นิวตัน, ก็อตฟรีด ไลบ์นิซ และนักคิดผู้อื่น ซึ่งเป็นจุดที่รูปแบบของสมการการเคลื่อนที่ได้พัฒนาขึ้นจนเริ่มได้รับการยอมรับว่าเป็นรูปแบบสมัยใหม่

ต่อมา สมการการเคลื่อนที่ยังปรากฏในพลศาสตร์ไฟฟ้า เมื่อในการบรรยายการเคลื่อนที่ของอนุภาคประจุในสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก แรงลอเรนซ์เป็นสมการทั่วไปที่มีหน้าที่กำหนดสิ่งที่เรียกว่าสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก เมื่อสัมพัทธภาพพิเศษและสัมพัทธภาพทั่วไปเกิดขึ้น การแก้ไขเชิงทฤษฎีของปริภูมิ-เวลาทำให้สมการการเคลื่อนที่แบบดั้งเดิมต้องถูกแก้ไขเช่นกันเพื่อคำนึงถึงอัตราเร็วที่จำกัดของแสงและความโค้งของปริภูมิ-เวลา ในทุกกรณีเหล่านี้ สมการเชิงอนุพันธ์จะถูกเขียนในรูปของฟังก์ชันที่บรรยายแนววิถีของอนุภาคในพิกัดปริภูมิและเวลา ซึ่งอยู่ภายใต้อำนาจของแรงหรือการเปลี่ยนรูปพลังงาน

อย่างไรก็ตาม สมการของกลศาสตร์ควอนตัมก็สามารถถือได้ว่าเป็น "สมการการเคลื่อนที่" เช่นกัน เนื่องจากต่างเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ของฟังก์ชันคลื่น ซึ่งใช้อธิบายสถานะควอนตัมว่ามีพฤติกรรมอย่างไร โดยอาศัยพิกัดปริภูมิและเวลาในเชิงอุปมานของอนุภาค นอกจากนี้ ยังมีสมการเชิงอุปมานของสมการการเคลื่อนที่ในสาขาอื่นของฟิสิกส์ สำหรับกลุ่มปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์ที่สามารถมองว่าเป็นคลื่น ของไหล หรือสนาม

## ประเภท
มีคำอธิบายการเคลื่อนที่หลักสองแบบคือพลศาสตร์และจลนศาสตร์ โดยในเชิงพลศาสตร์มีความครอบคลุมมากกว่า เนื่องจากคำนึงถึงโมเมนตัม แรง และพลังงานของอนุภาค ในบริบทนี้ คำว่า *พลศาสตร์* บางครั้งอาจหมายถึงสมการเชิงอนุพันธ์ที่ระบบนั้นเป็นไปตามกฎ (เช่น กฎข้อที่สองของนิวตัน หรือสมการอ็อยเลอร์–ลากร็องฌ์) และบางครั้งอาจหมายถึงคำตอบของสมการนั้น

อย่างไรก็ตาม ในเชิงจลนศาสตร์นั้นเรียบง่ายกว่า โดยว่าด้วยเฉพาะตัวแปรที่ได้มาจากตำแหน่งของวัตถุและเวลาเท่านั้น ในกรณีที่ความเร่งคงที่ สมการการเคลื่อนที่แบบง่ายเหล่านี้มักเรียกว่าสมการ SUVAT ซึ่งมีที่มาจากการกำหนดปริมาณทางจลนศาสตร์ ได้แก่ การกระจัด () ความเร็วต้น () ความเร็วปลาย () ความเร่ง () และเวลา ()

สมการการเคลื่อนที่เชิงอนุพันธ์มักระบุว่าเป็นกฎฟิสิกส์บางประการ (ตัวอย่างเช่น F = ma) และเมื่อใช้กับการกำหนดปริมาณทางกายภาพ จะถูกนำมาตั้งสมการเพื่อแก้ปัญหาในเชิงจลนศาสตร์ การแก้สมการเชิงอนุพันธ์นี้จะนำไปสู่คำตอบทั่วไป ซึ่งมีค่าคงตัวไม่เจาะจงอยู่ โดยความไม่เจาะจงนี้สอดคล้องกับชุดของคำตอบหลายแบบ จากนั้นสามารถหาคำตอบที่เจาะจงได้โดยการกำหนดค่าเริ่มต้น ซึ่งจะทำให้ค่าคงที่เหล่านั้นถูกกำหนดค่าที่แน่นอน

กล่าวอย่างเป็นทางการ โดยทั่วไปแล้ว สมการการเคลื่อนที่  เป็นฟังก์ชันของตำแหน่ง  ของวัตถุ ซึ่งมีความเร็ว (อนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งของ  หรือ ) และความเร่ง (อนุพันธ์ลำดับที่สองของ  หรือ ) ของวัตถุนั้น และเวลา  เวกเตอร์แบบยุคลิดในสามมิติจะเขียนแทนด้วยตัวหนาตลอดทั้งบท ซึ่งเทียบเท่ากับการกล่าวว่า สมการการเคลื่อนที่ใน  เป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับที่สอง (ODE) ใน 

M\left[\mathbf{r}(t),\mathbf{\dot{r}}(t),\mathbf{\ddot{r}}(t),t\right]=0\,

โดยที่  คือเวลา และจุดเหนือตัวแปรแต่ละจุดหมายถึงการหาอนุพันธ์เทียบเวลาหนึ่งครั้ง เงื่อนไขเริ่มต้นจะถูกกำหนดโดย *ค่าคงที่* ของตัวแปรต่าง ๆ ที่ 

 \mathbf{r}(0) \,, \quad \mathbf{\dot{r}}(0) \,

คำตอบ  ของสมการการเคลื่อนที่ เมื่อกำหนดค่าเริ่มต้นแล้ว จะใช้อธิบายระบบสำหรับทุกเวลา  ภายหลังจาก  ตัวแปรเชิงพลวัตอื่น เช่น โมเมนตัม  ของวัตถุ หรือปริมาณที่ได้จาก  และ  เช่น โมเมนตัมเชิงมุม สามารถใช้แทน  เป็นปริมาณที่ต้องแก้หาจากสมการการเคลื่อนที่ได้ อย่างไรก็ตาม ตำแหน่งของวัตถุ ณ เวลา  ใด ๆ ยังคงเป็นปริมาณที่ต้องการทราบมากที่สุด

ในบางกรณี สมการจะเป็นเชิงเส้นและมักสามารถหาคำตอบได้อย่างแม่นยำ แต่ในกรณีทั่วไปแล้ว สมการจะเป็นแบบไม่เชิงเส้น และไม่สามารถหาคำตอบที่แน่นอนได้ จึงต้องใช้วิธีการประมาณค่า คำตอบของสมการไม่เชิงเส้นอาจแสดงพฤติกรรมแบบอลวนได้ ขึ้นอยู่กับว่าระบบมีความ*ไว*ต่อเงื่อนไขเริ่มต้นมากเพียงใด

## สมการเชิงจลน์สำหรับอนุภาคเดียว

### ปริมาณเชิงจลน์

จากตำแหน่งบัดดล  บัดดลนั้นหมายถึง ณ ชั่วขณะเวลา  มีความเร็ว  และความเร่งขณะหนึ่ง  ซึ่งมีการกำหนดโดยทั่วไปที่ไม่ขึ้นกับพิกัด

 \mathbf{v} = \frac{d \mathbf{r}}{d t} \,, \quad \mathbf{a} = \frac{d \mathbf{v}}{d t} = \frac{d^2 \mathbf{r}}{d t^2} 

ตระหนักว่าความเร็วชี้ไปในทิศเดียวกับการเคลื่อนที่เสมอ กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับวิถีที่โค้งความเร็วนั้นคือเวกเตอร์สัมผัส กล่าวโดยรวมคือ การหาอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งเกี่ยวข้องกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งนั้น และยังคงสำหรับวิถีที่โค้ง ความเร่งมีทิศพุ่งเข้าหาจุดศูนย์กลางความโค้งของวิถีนั้น กล่าวโดยรวมคือ การหาอนุพันธ์ลำดับที่สองเกี่ยวข้องกับความโค้งนั้น

ปริมาณเชิงอุปมานสำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุน ได้แก่ "เวกเตอร์เชิงมุม" (มุมที่อนุภาคหมุนรอบแกนใดแกนหนึ่ง)  ความเร็วเชิงมุม  และความเร่งเชิงมุม 

\boldsymbol{\theta} = \theta \hat{\mathbf{n}} \,,\quad  \boldsymbol{\omega} = \frac{d \boldsymbol{\theta}}{d t} \,, \quad \boldsymbol{\alpha}= \frac{d \boldsymbol{\omega}}{d t} \,

โดยที่  เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศของแกนการหมุน และ  เป็นมุมที่วัตถุหมุนรอบแกนการหมุน

ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ใช้ได้กับจุดอนุภาคซึ่งโคจรรอบแกนใดแกนหนึ่งด้วยความเร็วเชิงมุม 

 \mathbf{v} = \boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r} 

โดยที่  เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของจุดอนุภาค (รัศมีจากแกนหมุน) และ  เป็นความเร็วเชิงเส้นของจุดอนุภาค สำหรับการหมุนแบบต่อเนื่องของวัตถุแข็งเกร็ง ความสัมพันธ์เหล่านี้ใช้ได้กับทุกจุดในวัตถุแข็งเกร็ง

### ความเร่งสม่ำเสมอ

สมการการเคลื่อนที่เชิงอนุพันธ์สำหรับอนุภาคที่มีความเร่งคงที่หรือสม่ำเสมอในแนวเส้นตรงนั้นเป็นรูปแบบอย่างง่าย กล่าวคือ ความเร่งมีค่าคงที่ ดังนั้น อนุพันธ์อันดับที่สองของตำแหน่งวัตถุจึงเป็นค่าคงที่ ผลลัพธ์ของกรณีนี้สรุปได้ดังต่อไปนี้

#### การเคลื่อนที่เชิงเส้นในแนวเส้นตรงที่มีความเร่งคงที่

สมการเหล่านี้ใช้กับอนุภาคที่เคลื่อนที่เชิงเส้น ในสามมิติ ในแนวเส้นตรงด้วยความเร่งคงที่ จากตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่งอยู่ในแนวเส้นเดียวกัน (ขนานกันและอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน) จึงพิจารณาเพียงขนาดของเวกเตอร์เหล่านี้ก็เพียงพอ และเพราะเป็นการเคลื่อนที่เกิดขึ้นตามแนวเส้นตรง ปัญหาจึงลดรูปจากสามมิติให้เหลือเพียงหนึ่งมิติได้อย่างมีประสิทธิภาพ

\begin{align}
v & = v_0 + a t & [1]\\
r & = r_0 + v_0 t + \tfrac12 {a}t^2 & [2]\\
r & = r_0 + \tfrac12 \left( v+v_0 \right )t & [3]\\
v^2 & = v_0^2 + 2a\left( r - r_0 \right) & [4]\\
r & = r_0 + vt - \tfrac12 {a}t^2 & [5]\\
\end{align}

โดยที่
* เป็นตำแหน่งเริ่มต้นของอนุภาค
* เป็นตำแหน่งสุดท้ายของอนุภาค
* เป็นความเร็วเริ่มต้นของอนุภาค
* เป็นความเร็วสุดท้ายของอนุภาค
* เป็นความเร่งของอนุภาค
* เป็นช่วงเวลา

สมการ [1] และ [2] มาจากการหาปริพันธ์ของนิยามความเร็วและความเร่ง ซึ่งขึ้นกับเงื่อนไขเริ่มต้น  และ 

\begin{align}
\mathbf{v} & = \int \mathbf{a} dt = \mathbf{a}t+\mathbf{v}_0 \, & [1] \\ 
\mathbf{r} & = \int (\mathbf{a}t+\mathbf{v}_0) dt = \frac{\mathbf{a}t^2}{2}+\mathbf{v}_0t +\mathbf{r}_0 \, & [2] \\
\end{align}

ในขนาด

\begin{align}
v & = at+v_0 \, & [1] \\ 
r & = \frac{d t^2} + 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{d^2 \mathbf{r}}{d t^2} = - \frac{GM}{|\mathbf{r}|^2} \mathbf{\hat{e}}_r + \mathbf{A} 

โดยที่  เป็นค่าคงตัวความโน้มถ่วงสากล  เป็นมวลของโลก และ  คือความเร่งของวัตถุที่เกิดจากกระแสอากาศ ณ ตำแหน่ง  และเวลา 

ปัญหา  วัตถุแบบดั้งเดิมสำหรับอนุภาค  ตัว ซึ่งแต่ละตัวมีปฏิสัมพันธ์กันด้วยแรงโน้มถ่วงเป็นระบบของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับที่สองแบบไม่เชิงเส้นจำนวน  สมการที่เชื่อมโยงกัน

\frac{d^2\mathbf{r}_i}{dt^2} = G\sum_{i\neq j}\frac{m_j}{|\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_i|^3} (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_i)

โดยที่  ใช้ระบุปริมาณต่าง ๆ (เช่น มวล ตำแหน่ง ฯลฯ) ที่เกี่ยวข้องกับอนุภาคแต่ละตัว

## ดูเพิ่มเติม

*สเกลาร์ (ฟิสิกส์)
*เวกเตอร์
*ระยะทาง
*การกระจัด
*อัตราเร็ว
*ความเร็ว
*ความเร่ง
*การกระจัดเชิงมุม
*อัตราเร็วเชิงมุม
*ความเร็วเชิงมุม
*ความเร่งเชิงมุม
*แนววิถีเชิงพาราโบลา
*พิกัดเชิงเส้นโค้ง
*พิกัดเชิงตั้งฉาก
*กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน
*การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
*สมการของตอร์รีเชลลี
*สมการอ็อยเลอร์–ลากร็องฌ์
* กฎการเคลื่อนที่นิวตัน–อ็อยเลอร์สำหรับวัตถุแข็งเกร็ง

## เชิงอรรถและอ้างอิง

หมวดหมู่:กลศาสตร์ดั้งเดิม
หมวดหมู่:สมการ
หมวดหมู่:หลักการสำคัญของฟิสิกส์