สัจพจน์การเลือก

thumb|250x250px| ภาพตัวอย่างสัจพจน์การเลือก โดย ''S''<sub>''i''</sub> และ ''x''<sub>''i''</sub> แสดงแทนด้วยโถและลูกแก้วสีต่าง ๆ ตามลำดับ
ในคณิตศาสตร์ **สัจพจน์การเลือก** หรือ **สัจพจน์ของการเลือก** () หรือเรียกโดยย่อว่า **AC** เป็นสัจพจน์ของทฤษฎีเซตที่กล่าวว่า *[[ผลคูณคาร์ทีเซียน]]ของคอลเลกชั่นของเซตไม่ว่างเป็นเซตไม่ว่าง* กล่าวโดยให้เห็นภาพว่า หากมีถุงใส่ของจำนวนหนึ่ง ที่ถุงแต่ละใบมีของอย่างน้อยหนึ่งชิ้น จะสามารถเลือกหยิบของออกมาหนึ่งชิ้นจากถุงแต่ละใบได้ แม้ว่าจะมีถุงเป็นอนันต์ก็ตาม ในเชิงตรรกศาสตร์ สัจพจน์การเลือกกล่าวว่า สำหรับทุกวงศ์ของเซตไม่ว่าง (S_i)_{i \in I} จะมีวงศ์ของสมาชิก (x_i)_{i \in I} ที่มีคุณสมบัติว่า x_i \in S_i สำหรับทุก i \in I เอิร์นส์ แซร์เมโลเป็นผู้เสนอสัจพจน์การเลือกเป็นคนแรกในปี ค.ศ. 1904 เพื่อใช้พิสูจน์ทฤษฎีบทจัดอันดับดี

เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์เสนอคำอธิบายไว้ดังนี้: ถ้ามีรองเท้าเป็นคู่ ๆ อยู่จำนวนหนึ่ง (อาจเป็นอนันต์คู่ก็ได้) คุณสามารถเลือกรองเท้าข้างซ้ายจากแต่ละคู่ได้ และนี่เป็นฟังก์ชันการเลือกที่นิยามได้โดยตรง แต่หากมี*ถุงเท้าจำนวนไม่จำกัดคู่* (สมมติว่าถุงเท้าไม่มีลักษณะที่จะแยกสองข้างออกจากกันได้) จะเห็นว่าไม่มีวิธีที่ชัดแจ้งว่าจะเลือกถุงเท้าอย่างไรจากแต่ละคู่ โดยไม่ต้องใช้สัจพจน์การเลือก

นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ใช้สัจพจน์การเลือกโดยไม่มีข้อโต้แย้ง สัจพจน์การเลือกรวมอยู่ในทฤษฎีเซตมาตรฐานที่เรียกว่า ทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลรวมสัจพจน์การเลือก (ZFC) ซึ่งเป็นทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์มาตรฐานในคณิตศาสตร์ เหตุผลประการหนึ่งที่สัจพจน์นี้ถูกยอมรับเป็นเพราะว่าผลลัพธ์ในคณิตศาสตร์ที่ยอมรับโดยทั่วไปจำนวนหนึ่ง เช่น ทฤษฎีบทของไทโคนอฟ นั้นต้องใช้สัจพจน์การเลือกพิสูจน์ นักทฤษฎีเซตร่วมสมัยยังศึกษาสัจพจน์ที่ขัดแย้งกับสัจพจน์การเลือก เช่น สัจพจน์ของการกำหนด 

ในคณิตศาสตร์บางรูปแบบ เช่นคณิตศาสตร์เชิงการสร้างบางประเภท อาจมีการหลีกเลี่ยงไม่ใช้สัจพจน์การเลือก แม้ว่าจะมีคณิตศาสตร์เชิงการสร้างบางส่วนที่ยอมรับสัจพจน์ของการเลือกก็ตาม

## ข้อความ
ฟังก์ชันการเลือก (choice function) หรือเรียกอีกอย่างว่าตัวเลือก (selector) หรือการเลือก (selection) คือฟังก์ชัน f ซึ่งนิยามบนคอลเลคชัน X ของเซตที่ไม่เป็นเซตว่าง โดยมีเงื่อนไขว่า สำหรับแต่ละเซต A ใน X จะได้ว่า f(A) เป็นสมาชิกของ A จากนิยามดังกล่าว สัจพจน์การเลือกจะมีรูปแบบเป็น

ในรูปแบบรูปนัย สามารถเขียนสัจพจน์การเลือกได้ดังนี้

: \forall X \left[ \varnothing \notin X \implies \exists f \colon X \rightarrow \bigcup X \quad \forall A \in X \, ( f(A) \in A ) \right]

ดังนั้นนิเสธของสัจพจน์การเลือกจึงกล่าวว่า จะมีคอลเลคชันของเซตไม่ว่างที่ไม่มีฟังก์ชันการเลือก

## ความเป็นอิสระ
ในปี ค.ศ. 1938 ควร์ท เกอเดิลพิสูจน์ว่า*นิเสธ*ของสัจพจน์การเลือกไม่ใช่ทฤษฎีบทของระบบ ZF โดยสร้างโมเดลภายใน (inner model) เรียกว่าเอกภพที่สร้างได้ (constructible universe) ที่สอดคล้องกับ ZFC จึงเป็นการพิสูจน์ว่า ZFC ต้องกัน (consistent) ก็ต่อเมื่อ ZF ต้องกัน และในปี ค.ศ. 1963 พอล โคเฮนใช้เทคนิคที่เรียกว่า forcing พิสูจน์ว่าสัจพจน์การเลือกไม่ได้เป็นทฤษฎีบทของ ZF ภายใต้เงื่อนไขว่า ZF ต้องกัน โดยสร้างโมเดลขึ้นมาที่สอดคล้องกับ  ZF¬C (คือ ZF รวมกับนิเสธของสัจพจน์การเลือก) จึงเป็นการพิสูจน์ว่า  ZF¬C ต้องกัน ผลลัพธ์ทั้งสองแสดงว่าสัจพจน์การเลือกเป็นอิสระเชิงตรรกะจาก ZF

## ข้อความที่สมมูลกับสัจพจน์การเลือก
ข้อความด้านล่างสมมูลกับสัจพจน์การเลือกภายใต้ ZF 

* ทฤษฎีบทการจัดอันดับดี
* บทตั้งของซอร์น
* ทฤษฎีบทของไทโคนอฟ

## ดูเพิ่ม

* สัจพจน์ของการกำหนด

## อ้างอิง

## บรรณานุกรม
* 
* Per Martin-Löf, "100 years of Zermelo's axiom of choice: What was the problem with it?", in *Logicism, Intuitionism, and Formalism: What Has Become of Them?*, Sten Lindström, Erik Palmgren, Krister Segerberg, and Viggo Stoltenberg-Hansen, editors (2008). 
* 
* 

## แหล่งข้อมูลอื่น

* Axiom of Choice ใน Encyclopedia of Mathematics ของ Springer
* Axiom of Choice and Its Equivalents ที่ ProvenMath ซึ่งรวมเอาข้อความเชิงรูปนัยของสัจพจน์การเลือก, หลักการมากสุดของเฮาส์ดอร์ฟฟ์, บทตั้งของซอร์นและบทพิสูจน์ความสมมูลระหว่างข้อความดังกล่าว
* Consequences of the Axiom of Choice , based on the book by Paul Howard  and Jean Rubin.
* .

หมวดหมู่:ทฤษฎีเซต
หมวดหมู่:สัจพจน์ทางคณิตศาสตร์