ดีเทอร์มิแนนต์

ในสาขาพีชคณิต **ดีเทอร์มิแนนต์** () คือฟังก์ชันหนึ่งที่ให้ผลลัพธ์เป็นปริมาณสเกลาร์ ซึ่งขึ้นอยู่กับค่าของ *n* ในมิติ *n*×*n* ของเมทริกซ์จัตุรัส *A* ส่วนความหมายทางเรขาคณิตเบื้องต้น ดีเทอร์มิแนนต์คือตัวประกอบมาตราส่วน (scale factor) ของปริมาตร เมื่อ *A* ถูกใช้เป็นการแปลงเชิงเส้น ดีเทอร์มิแนนต์ถูกใช้ประโยชน์ในเรื่องพีชคณิตเชิงหลายเส้น (multilinear algebra) และแคลคูลัสซึ่งใช้สำหรับกฎการแทนที่ (substitution rule) ในตัวแปรบางกลุ่ม

สำหรับจำนวนเต็มบวก *n* ที่กำหนดขึ้น ฟังก์ชันดีเทอร์มิแนนต์จะมีเพียงหนึ่งเดียวบนเมทริกซ์มิติ *n*×*n* เหนือริงสลับที่ใด ๆ (commutative ring) โดยเฉพาะเมื่อฟังก์ชันนี้นิยามไว้บนริงสลับที่ที่เป็นฟีลด์ของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ *A* สามารถเขียนแทนได้ด้วย det (*A*) หรือ |*A*| ซึ่งสัญกรณ์แบบขีดตั้งอาจเกิดความกำกวม เนื่องจากมีการใช้สัญกรณ์เดียวกันนี้สำหรับค่าประจำเมทริกซ์ (matrix norm) และค่าสัมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม ค่าประจำเมทริกซ์มักจะเขียนด้วยสัญกรณ์แบบขีดตั้งสองขีด (เช่น ‖*A*‖) เพื่อไม่ให้เกิดความสับสนกับดีเทอร์มิแนนต์

ตัวอย่างการใช้งาน กำหนดให้ *A* เป็นเมทริกซ์ดังนี้
::A = \begin{bmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{bmatrix}
ดีเทอร์มิแนนต์ของ *A* สามารถเขียนเป็น
::\det (A) = |A| = \begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{vmatrix}
ซึ่งวงเล็บเหลี่ยมนอกเมทริกซ์จะถูกแทนที่ด้วยเส้นตั้งเพียงอย่างเดียว

## เมทริกซ์มิติ 2×2
thumb|รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจากเมทริกซ์มิติ 2×2 เพื่ออธิบายค่าของดีเทอร์มิแนนต์
กำหนดให้เมทริกซ์มิติ 2×2
::A = \begin{bmatrix} a & b\\c & d \end{bmatrix}
จะมีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ
::\det (A) = ad-bc \,
ซึ่งแปลความหมายได้ว่า เป็นการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ (0, 0), (*a*, *b*), (*a*+*c*, *b*+*d*), และ (*c*, *d*) เมื่อเมทริกซ์นั้นมีสมาชิกเป็นจำนวนจริง พื้นที่ที่คำนวณได้จากดีเทอร์มิแนนต์เหมือนกับพื้นที่ในเรขาคณิต แต่ต่างกันตรงที่ผลลัพธ์จากดีเทอร์มิแนนต์สามารถเป็นค่าติดลบได้ ถ้าจุดยอดดังกล่าวเรียงลำดับตามเข็มนาฬิกา

## เมทริกซ์มิติ 3×3
กำหนดให้เมทริกซ์มิติ 3×3
::A = \begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{bmatrix}
ด้วยการกระจายลาปลัส (หรือการกระจายโคแฟกเตอร์) บนแถวแรกของเมทริกซ์ เราจะได้
::\begin{align}
\det (A) &= a\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}
-b\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}
+c\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix} \\
&= aei-afh-bdi+cdh+bfg-ceg \\
&= (aei+bfg+cdh) - (gec+hfa+idb)
\end{align}


ซึ่งสูตรนี้สามารถจำได้จากผลบวกของผลคูณของสมาชิกสามตัวในแนวเฉียงลง ลบด้วยผลบวกของผลคูณของสมาชิกสามตัวในแนวเฉียงขึ้น (ลงบวก ขึ้นลบ) โดยคัดลอกสองหลักแรกไปต่อท้ายเมทริกซ์เดิม ดังที่แสดงไว้ดังนี้
::
\begin{matrix}
\color{blue}a & \color{blue}b & \color{blue}c & a & b \\
d & \color{blue}e & \color{blue}f & \color{blue}d & e \\
g & h & \color{blue}i & \color{blue}g & \color{blue}h
\end{matrix}
\quad - \quad
\begin{matrix}
a & b & \color{red}c & \color{red}a & \color{red}b \\
d & \color{red}e & \color{red}f & \color{red}d & e \\
\color{red}g & \color{red}h & \color{red}i & g & h
\end{matrix}

โปรดทราบว่าวิธีลัดนี้ไม่สามารถใช้กับเมทริกซ์ที่มีมิติสูงกว่านี้ได้

## เมทริกซ์จัตุรัสทั่วไป
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จัตุรัสทั่วไปสามารถคำนวณได้จากการกระจายลาปลัสบนแถวหรือคอลัมน์หนึ่ง ๆ ซึ่งมีประสิทธิภาพสำหรับเมทริกซ์มิติน้อย ดีเทอร์มิแนนต์จากสูตรของลาปลัสโดยพิจารณาบนแถวที่ *i* คำนวณได้จาก
::\det (A) = \sum_{j=1}^n A_{i,j}C_{i,j} = \sum_{j=1}^n A_{i,j} (-1) ^{i+j} M_{i,j}
เมื่อ M_{i,j} คือ ไมเนอร์ (minor) บนแถวที่ *i* หลักที่ *j* ของเมทริกซ์ *A* นั่นคือ ค่าของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยที่ตัดสมาชิกแถวที่ *i* หลักที่ *j* ออกไปทั้งหมด ส่วน C_{i,j} คือ โคแฟกเตอร์ (cofactor) บนแถวที่ *i* หลักที่ *j* ของเมทริกซ์ *A* ซึ่งมีค่าเท่ากับ  (-1) ^{i+j} คูณด้วยไมเนอร์ ดังเช่นที่ปรากฏอยู่ในสูตร

## คุณสมบัติ
คุณสมบัติทั่วไปของดีเทอร์มิแนนต์มีดังนี้
* \det (AB) = \det (A) \det (B) \,
* \det (rI_n) = r^n \,
* \det (rA) = \det (rI_n \cdot A) = r^n \det (A) \,
* \det (A^{-1}) = \det (A) ^{-1} \, เมื่อเมทริกซ์ *A* มีเมทริกซ์ผกผัน
* \det (A^\mathrm{T}) = \det (A) \, เมื่อ *A*T แทนเมทริกซ์สลับเปลี่ยน ของ *A*
* \det (A^*) = \det (A) ^* \, เมื่อ *A** แทนเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค ของ *A*


หมวดหมู่:ทฤษฎีเมทริกซ์
หมวดหมู่:พีชคณิตเชิงเส้น
หมวดหมู่:พหุนามเอกพันธุ์
หมวดหมู่:พีชคณิต