ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

**ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส** () เป็นทฤษฎีบทที่กล่าวว่าอนุพันธ์และปริพันธ์ซึ่งเป็นการดำเนินการหลักในแคลคูลัสนั้นผกผันกัน 

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสสามารถแบ่งได้เป็นสองส่วน **ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสส่วนแรก** (First fundamental theorem of calculus) กล่าวว่าสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง f ใด ๆ ปฏิยานุพันธ์ของ f สามารถหาได้จากการอินทิเกรต f เหนือช่วงสักช่วง แล้วให้ขอบเขตบนของการอินทิเกรตเป็นตัวแปรของฟังก์ชัน

**ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสส่วนที่สอง** (Second fundamental theorem of calculus) กล่าวว่าปริพันธ์ของฟังก์ชัน f เหนือช่วงสักช่วง จะเท่ากับผลต่างของค่าของปฏิยานุพันธ์ของ f ที่จุดขอบของช่วง 

ทฤษฎีบททั้งสองเป็นหัวใจสำคัญของแคลคูลัส ผลสืบเนื่องสำคัญของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสทำให้เราสามารถคำนวณหาปริพันธ์โดยใช้ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน

## ภาพโดยทั่วไป
โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยยิ่ง ในปริมาณในช่วงเวลา (หรือปริมาณอื่น ๆ) นั้นเข้าใกล้การเปลี่ยนแปลงรวม

เพื่อให้เห็นด้วยกับข้อความนี้ เราจะเริ่มด้วยตัวอย่างนี้ สมมติว่าอนุภาคเดินทางบนเส้นตรงโดยมีตำแหน่งจากฟังก์ชัน *x*(*t*) เมื่อ *t* คือเวลา อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เท่ากับความเปลี่ยนแปลงที่น้อยมาก ๆ ของ *x* ต่อช่วงเวลาที่น้อยมาก ๆ (แน่นอนว่าอนุพันธ์ต้องขึ้นอยู่กับเวลา) เรานิยามความเปลี่ยนแปลงของระยะทางต่อช่วงเวลาว่าเป็นอัตราเร็ว *v* ของอนุภาค ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ

:\frac{dx}{dt} = v(t) 

เมื่อจัดรูปสมการใหม่จะได้

:dx = v(t)\,dt 

จากตรรกะข้างต้น ความเปลี่ยนแปลงใน *x* ที่เรียกว่า \Delta x คือผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยมาก ๆ *dx* มันยังเท่ากับผลรวมของผลคูณระหว่างอนุพันธ์และเวลาที่น้อยมาก ๆ

ผลรวมอนันต์นี้ คือ ปริพันธ์ ดังนั้นการหาปริพันธ์ทำให้เราสามารถคืนฟังก์ชันต้นของมันจากอนุพันธ์เช่นเดียวกัน การดำเนินการนี้ผกผันกัน หมายความว่าเราสามารถหาอนุพันธ์ของผลการหาปริพันธ์ ซึ่งจะได้ฟังก์ชันอัตราเร็วคืนมาได้

## เนื้อหาของทฤษฎีบท
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสมีสองส่วน

### ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสส่วนแรก
ให้ f เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด [a,b] และ F เป็นฟังก์ชันบนช่วง [a,b] นิยามโดย
:F(x) = \int_a^x f(t)\, dt       สำหรับทุก a \leq x \leq b
แล้ว F ต่อเนื่องบน [a,b] ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน [a,b] แล้ว F หาอุนพันธ์ได้ทุกจุดบน [a,b] และ F'(x) = f(x)\, สำหรับทุก x ในช่วง [a,b]

### ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสส่วนที่สอง
ให้ f เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้บนช่วงปิด [a,b]  ถ้า f' หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด [a,b] แล้ว

: f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t) \, dt

สำหรับทุก a \leq x \leq b

## บทพิสูจน์

### ส่วนที่ 1
กำหนดให้
:F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt

ให้ *x*1 และ *x*1 + Δ*x* อยู่ในช่วง [*a*, *b*] จะได้
:F(x_1) = \int_{a}^{x_1} f(t) dt
และ
:F(x_1 + \Delta x) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt

นำทั้งสองสมการมาลบกันได้
:F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt - \int_{a}^{x_1} f(t) dt \qquad (1)

เราสามารถแสดงได้ว่า
:\int_{a}^{x_1} f(t) dt + \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt 
:(ผลรวมพื้นที่ของบริเวณที่อยู่ติดกัน จะเท่ากับ พื้นที่ของบริเวณทั้งสองรวมกัน)
ย้ายข้างสมการได้
:\int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt - \int_{a}^{x_1} f(t) dt = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt 

นำไปแทนค่าใน (1) จะได้
:F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt \qquad (2)

ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยสำหรับการอินทิเกรต จะมี *c* อยู่ในช่วง [*x*1, *x*1 + Δ*x*] ที่ทำให้
:\int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt = f(c) \Delta x 

แทนค่าลงใน (2) ได้
:F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = f(c) \Delta x \,

หารทั้งสองข้างด้วย Δ*x* จะได้
:\frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = f(c) 
:สังเกตว่าสมการข้างซ้าย คือ อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน (Newton's difference quotient) ของ *F* ที่ *x*1

ใส่ลิมิต Δ*x* → 0 ทั้งสองข้างของสมการ
:\lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(c) 

สมการข้างซ้ายจะเป็นอนุพันธ์ของ *F* ที่ *x*1
:F'(x_1) = \lim_{\Delta x \to 0} f(c) \qquad (3) 

เพื่อหาลิมิตของสมการข้างขวา เราจะใช้ทฤษฎีบท squeeze เพราะว่า *c* อยู่ในช่วง [*x*1, *x*1 + Δ*x*] ดังนั้น *x*1 ≤ *c* ≤ *x*1 + Δ*x*

จาก \lim_{\Delta x \to 0} x_1 = x_1 และ \lim_{\Delta x \to 0} x_1 + \Delta x = x_1

ตามทฤษฎีบท squeeze จะได้ว่า
:\lim_{\Delta x \to 0} c = x_1

แทนค่าลงใน (3) จะได้
:F'(x_1) = \lim_{c \to x_1} f(c)

ฟังก์ชัน *f* มีความต่อเนื่องที่ *c* ดังนั้น เราสามารถนำลิมิตแทนในฟังก์ชันได้ ดังนั้น
:F'(x_1) = f(x_1) \,
จบการพิสูจน์

(Leithold et al, 1996)

### ส่วนที่ 2
ต่อไปนี้คือบทพิสูจน์ลิมิตโดย ผลรวมของรีมันน์-ดาบูต์
thumb|ภาพแสดงแนวคิดของ '''ผลรวมรีมันน์-ดาบูต์''' ซึ่งใช้ในการประมาณพื้นที่ภายใต้กราฟใด ๆ ด้วยกราฟแท่งจำนวนมาก
ให้ *f* เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [*a*, *b*] และ *F* เป็นปฏิยานุพันธ์ของ *f* พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้
:F(b) - F(a)\,

ให้ a = x_0  จะได้
:F(b) - F(a) = F(x_n) - F(x_0) \,

แล้วบวกและลบด้วยจำนวนเดียวกัน จะได้

:\begin{matrix} F(b) - F(a) & = & F(x_n)\,+\,[-F(x_{n-1})\,+\,F(x_{n-1})]\,+\,\ldots\,+\,[-F(x_1) + F(x_1)]\,-\,F(x_0) \, \\
& = & [F(x_n)\,-\,F(x_{n-1})]\,+\,[F(x_{n-1})\,+\,\ldots\,-\,F(x_1)]\,+\,[F(x_1)\,-\,F(x_0)] \, \end{matrix}

เขียนใหม่เป็น
:F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n [F(x_i) - F(x_{i-1})] \qquad (1)

เราจะใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ซึ่งกล่าวว่า

ให้ *f* เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [*a*, *b*] และมีอนุพันธ์บนช่วง (*a*, *b*) แล้ว จะมี c อยู่ใน (*a*, *b*) ที่ทำให้ 
:f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

และจะได้
:f'(c)(b - a) = f(b) - f(a) \,

ฟังก์ชัน *F* เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ในช่วง [*a*, *b*] ดังนั้น มันจะหาอนุพันธ์และมีความต่อเนื่องบนแต่ละช่วง *x**i*-1 ได้ ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย จะได้
:F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(c_i)(x_i - x_{i-1}) \,

แทนค่าลงใน (1) จะได้
:F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n [F'(c_i)(x_i - x_{i-1})]

จาก F'(c_i) = f(c_i)\,
และ x_i - x_{i-1} สามารถเขียนในรูป \Delta x ของผลแบ่งกั้น i

:F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n [f(c_i)(\Delta x_i)] \qquad (2)

สังเกตว่าเรากำลังอธิบายพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีความกว้างคูณความสูง และเราก็บวกพื้นที่เหล่านั้นเข้าด้วยกันจากทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย สี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละรูปอธิบายค่าประมาณของส่วนของเส้นโค้ง
สังเกตอีกว่า \Delta x_i ไม่จำเป็นต้องเหมือนกันในทุก ๆ ค่าของ i หรือหมายความว่าความกว้างของสี่เหลี่ยมนั้นไม่จำเป็นต้องเท่ากัน สิ่งที่เราต้องทำคือประมาณเส้นโค้งด้วยจำนวนสี่เหลี่ยม n รูป เมื่อขนาดของส่วนต่าง ๆ เล็กลง และ n มีค่ามากขึ้น ทำให้เกิดส่วนต่าง ๆ มากขึ้น เพื่อครอบคลุมพื้นที่ เราจะยิ่งเข้าใกล้พื้นที่จริง ๆ ของเส้นโค้ง

โดยการหาลิมิตของนิพจน์นี้เป็นเมื่อค่าเฉลี่ยของส่วนต่าง ๆ นี้ เข้าใกล้ศูนย์ เราจะได้ปริพันธ์แบบรีมันน์ นั่นคือ เราหาลิมิตเมื่อขนาดส่วนที่ใหญ่ที่สุดเข้าใกล้ศูนย์ จะได้ส่วนอื่น ๆ มีขนาดเล็กลง และจำนวนส่วนเข้าใกล้อนันต์

ดังนั้น เราจะใส่ลิมิตไปทั้งสองข้างของสมการ (2) จะได้
:\lim_{\| \Delta \| \to 0} F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n [f(c_i)(\Delta x_i)]\,dx

ทั้ง *F*(*b*) และ *F*(*a*) ต่างก็ไม่ขึ้นกับ ||Δ|| ดังนั้น ลิมิตของข้างซ้ายจึงเท่ากับ *F*(*b*) - *F*(*a*)
:F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n [f(c_i)(\Delta x_i)]

และนิพจน์ทางขวาของสมการ หมายถึง อินทิกรัลของ *f* จาก *a* ไป *b* ดังนั้น เราจะได้
:F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx
จบการพิสูจน์

## ตัวอย่าง
ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณต้องการคำนวณหา

:\int_2^5 x^2\;\mathrm{d}x 

ให้ f(x)=x^2 เราจะได้ F(x)=\frac{x^3}{3} เป็นปฏิยานุพันธ์ ดังนั้น

:\int_2^5 x^2\;\mathrm{d}x = F(5) - F(2) = {125 \over 3} - {8 \over 3} = {117 \over 3} = 39

ถ้าเราต้องการหา

จะได้ \int_1^3 \frac{dx}{x}=\big[\ln|x|\big]_1^3 =\ln 3-\ln1=\ln 3

## นัยทั่วไป
เราไม่จำเป็นต้องให้ f ต่อเนื่องตลอดทั้งช่วง ดังนั้นส่วนที่ 1 ของทฤษฎีบทจะกล่าวว่า ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกบนช่วง [a, b] และ x_0 เป็นจำนวนในช่วง [a, b] ซึ่ง f ต่อเนื่องที่ x_0 จะได้

:F(x) = \int_a^x f(t)\;\mathrm{d}t

สามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับ x=x_0 และ F(x_0)=f(x_0) เราสามารถคลายเงื่อนไขของ f เพียงแค่ให้สามารถหาปริพันธ์ได้ในตำแหน่งนั้น ในกรณีนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าฟังก์ชัน F นั่นสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ และ F'(x)=f(x) จะเกือบทุกที่ บางทีเราเรียกทฤษฎีนี้ว่า **ทฤษฎีบทอนุพันธ์ของเลอเบก**

ส่วนที่ 2ของทฤษฎีบทนี้เป็นจริงสำหรับทุกฟังก์ชัน f ที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกได้ และมีปฏิยานุพันธ์ F (ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้)

ส่วนของทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ซึ่งกล่าวถึงพจน์ที่เกิดข้อผิดพลาดเป็นปริพันธ์สามารถมองได้เป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

มีทฤษฎีบทหนึ่งสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อน: ให้ U เป็นเซตเปิดใน \mathbb{C} และ f:U\to\mathbb{C} เป็นฟังก์ชันที่มี ปริพันธ์โฮโลมอร์ฟ F ใน U ดังนั้นสำหรับเส้นโค้ง \gamma : [a,b] \to U ปริพันธ์เส้นโค้งจะคำนวณได้จาก

:\oint_{\gamma} f(z) \;\mathrm{d}z = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสสามารถวางนัยทั่วไปให้กับ ปริพันธ์เส้นโค้งและพื้นผิวในมิติที่สูงกว่าและบนแมนิโฟลด์ได้ผ่านทฤษฎีบทของสโตกส์

## อ้างอิง

* Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In *Calculus: early transcendentals*. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
* Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. *Calculus of a single variable*. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
* Leithold, L. (1996). *The calculus 7 of a single variable*. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.

หมวดหมู่:แคลคูลัส
หมวดหมู่:ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์