การทดสอบการลู่เข้า

ในทาง คณิตศาสตร์ **การทดสอบการลู่เข้า**เป็นวิธีการทดสอบหาการลู่เข้า การลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ช่วงลู่เข้า หรือลู่ออกของอนุกรมอนันต์ \sum_{n=1}^\infty a_n 

## รายการการทดสอบ

### [[การทดสอบโดยพจน์|ลิมิตของส่วนของผลบวก]]
ถ้าลิมิตของส่วนของผลบวกหาค่าไม่ได้หรือไม่ใช่ศูนย์ นั่นคือ \lim_{n \to \infty}a_n \ne 0 แล้วอนุกรมจะลู่ออก ในแง่นี้ ผลบวกย่อยจะเป็นแบบโคชี เฉพาะในกรณีที่ลิมิตหาค่าได้และมีค่าเท่ากับศูนย์เท่านั้น การทดสอบจะสรุปไม่ได้ ถ้าลิมิตของส่วนของผลบวกเป็นศูนย์ สามารถเรียกอีกอย่างได้ว่า **การทดสอบด้วยพจน์ที่ n**  **การทดสอบการลู่ออก** หรือ **การทดสอบอนุกรมลู่ออก**

### [[การทดสอบด้วยอัตราส่วน]]
สามารถเรียกอีกอย่างได้ว่า **เกณฑ์ของดาล็องแบร์**

: พิจารณาลิมิตสองลิมิต \ell=\liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| และ L=\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|  ถ้า \ell>1 อนุกรมจะลู่ออก ถ้า L อนุกรมจะลู่เข้าโดยสัมบูรณ์  ถ้า \ell\le1\le L การทดสอบจะสรุปไม่ได้ และอนุกรมอาจลู่เข้าแบบสมบูรณ์ แบบมีเงื่อนไข หรือลู่ออกได้

### [[การทดสอบโดยราก]]
สามารถเรียกอีกอย่างได้ว่า **การทดสอบโดยรากที่ ''n*** หรือ *'เกณฑ์ของโคชี**

: ให้
:: <math>r=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]</math>
: เมื่อ <math>\limsup</math> หมายถึงลิมิตซูพีเรียร์ (อาจได้ <math>\infty</math> หากมีลิมิตก็จะมีค่าได้เดิม)
: ถ้า ''r'' < 1 แล้วอนุกรมนั้นจะลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ หาก ''r'' > 1 แล้วอนุกรมนี้จะลู่ออก ถ้า ''r'' = 1 การทดสอบโดยรากจะสรุปไม่ได้ และอนุกรมอาจลู่เข้าหรือลู่ออกจากกัน

การทดสอบรากจะเข้มกว่าการทดสอบอัตราส่วน เมื่อใดที่การทดสอบด้วยอัตราส่วนกำหนดการลู่เข้าหรือลู่ออกของอนุกรมอนันต์ การทดสอบรากก็จะกำหนดการลู่เช่นกัน แต่บทกลับอาจไม่เป็นจริงเสมอไป 

=== [[การทดสอบด้วยปริพันธ์]] ===
อนุกรมสามารถเปรียบเทียบกับปริพันธ์เพื่อกำหนดการลู่เข้าหรือลู่ออก ให้ <math>f:[1,\infty)\to\R_+</math> เป็น [[ฟังก์ชันทางเดียว|ฟังก์ชันไม่เป็นลบและลดลงทางเดียว]] โดยที่ <math>f(n) = a_n</math> ถ้าให้ <math display="block">\int_1^\infty f(x) \, dx=\lim_{t\to\infty}\int_1^t f(x) \, dx<\infty,</math> แล้วอนุกรมนี้ก็จะลู่เข้า แต่ถ้าปริพันธ์ลู่ออก อนุกรมก็จะลุ่ออกด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คืออนุกรมของ <math>{a_n}</math> ลุ่เข้า[[ก็ต่อเมื่อ]]ปริพันธ์ลู่เข้า

==== การทดสอบโดยใช้อนุกรมพี ====
บทย่อยที่ใช้กันบ่อยของการทดสอบด้วยปริพันธ์คือการทดสอบโดยใช้อนุกรมพี ให้ <math>k > 0</math> แล้ว <math>\sum_{n=k}^{\infty} \bigg(\frac{1}{n^p}\bigg)</math> จะลู่เข้า ถ้า <math>p > 1</math>

กรณีที่ <math>p = 1, k = 1</math> จะได้อนุกรมฮาร์มอนิกที่ลู่ออก กรณีที่ <math>p = 2, k = 1</math> คือ[[ปัญหาบาเซิล]] และอนุกรมจะลู่เข้าหา <math>\frac{\pi^2}{6}</math> โดยทั่วไปแล้ว สำหรับ <math>p > 1, k = 1</math> อนุกรมนี้จะเท่ากับ[[ฟังก์ชันซีตาของรีมัน|ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์]]ที่นำไปใช้กับ <math>p</math> นั่นก็คือ <math>\zeta(p)</math>

=== [[การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรง]] ===
ถ้าอนุกรม <math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math> เป็นอนุกรม[[การลู่เข้าสัมบูรณ์|ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์]] และ <math>|a_n|\le |b_n|</math> สำหรับ ''n'' ที่มากพอ แล้อนุกรม <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> จะลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

=== [[การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิต]] ===
ถ้า <math>\{a_n\},\{b_n\}>0</math> (นั่นคือทุกสมาชิกของลำดับทั้งสองเป็นค่าบวก) และลิมิต <math>\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}</math> หาค่าได้ เป็นจำนวนจำกัดและไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นอนุกรมทั้งสองจะลู่เข้าหรือลู่ออกทั้งคู่

=== [[การทดสอบด้วยการควบแน่นโคชี]] ===
ให้ <math>\left \{ a_n \right \}</math> เป็นลำดับที่ไม่เป็นลบและไม่เพิ่ม แล้วผลรวม <math>A = \sum_{n=1}^\infty a_n</math> จะลู่เข้า [[ก็ต่อเมื่อ]]ผลรวม <math>A^* = \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n}</math> ลู่เข้า ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าลู่เข้าแล้ว <math>A \leq A^* \leq 2A</math> จะเป็นจริง

=== [[การทดสอบของเอเบล|การทดสอบของอาเบล]] ===
สมมุติให้ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง

# <math>\sum a_n </math> เป็นอนุกรมที่ลู่เข้า
# <math>\left\{b_n\right\}</math> เป็นลำดับทางเดียวและ
# <math>\left\{b_n\right\}</math> มีขอบเขตจำกัด

แล้ว <math>\sum a_nb_n </math> ก็จะลู่เข้าด้วย

=== [[การลู่เข้าสัมบูรณ์|การทดสอบการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์]] ===
อนุกรม[[การลู่เข้าสัมบูรณ์|ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์]]ทุกอนุกรมจะลู่เข้า

=== [[การทดสอบอนุกรมสลับ]] ===
สมมุติให้ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง

* <math> (a_n)_{n=1}^\infty </math> เป็นลำดับทางเดียว
* <math> \lim_{n \to \infty} a_n = 0 </math>

แล้ว <math> \sum_{n = 1}^\infty (-1)^{n} a_n </math> และ <math> \sum_{n = 1}^\infty (-1)^{n+1} a_n </math> เป็นอนุกรมลู่เข้า การทดสอบนี้เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า **เกณฑ์ของไลบ์นิทซ์*'

=== [[การทดสอบของดิริชเลต์]] ===
ถ้า <math>\{a_n\}</math> เป็น[[ลำดับ]]ของ[[จำนวนจริง]] และ <math>\{b_n\}</math> ลำดับของ[[จำนวนเชิงซ้อน]]ที่สอดคล้องกับ

:* <math>a_n \geq a_{n+1}</math>

:* <math>\lim_{n \rightarrow \infty}a_n = 0</math>

:* <math>\left|\sum^{N}_{n=1}b_n\right|\leq M</math> สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก *N*

โดยที่ *M* เป็นค่าคงที่ ดังนั้นอนุกรม

: <math>\sum^{\infty}_{n=1}a_n b_n</math>

ลู่เข้า

=== [[การทดสอบการลู่เข้าของโคชี]] ===
อนุกรม <math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> จะลู่เข้าก็ต่อเมื่อสำหรับทุก <math>\varepsilon>0</math> มีจำนวนนับ *N* ที่

: <math>|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}|<\varepsilon</math>

เป็นจริงสำหรับทุก  และทุก  

=== [[ทฤษฎีบทสโตลซ์–เชซาโร]] ===
ให้ <math>(a_n)_{n \geq 1}</math> และ <math>(b_n)_{n \geq 1}</math> เป็นลำดับของจำนวนจริงสองลำดับ สมมติว่า <math>(b_n)_{n \geq 1}</math> เป็นลำดับลู่ออก[[ฟังก์ชันทางเดียว|ทางเดียวโดยแท้]] และลิมิตต่อไปนี้หาค่าได้

: <math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l\ </math>

แล้วลิมิต

: <math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=l\ </math>

=== [[การทดสอบแบบเอ็มของไวเออร์ชตราสส์]] ===
สมมติให้ (*fn*) เป็นลำดับของฟังก์ชันค่าจริงหรือค่าเชิงซ้อนที่ถูกกำหนดบนเซต *A* และมีลำดับของจำนวนไม่เป็นลบ (*Mn*) ที่สอดคล้องเงื่อนไข

* <math>|f_n(x)|\leq M_n</math> สำหรับทุก <math>n \geq 1</math> และทุก <math>x \in A</math> และ
* <math>\sum_{n=1}^{\infty} M_n </math> ลู่เข้า

แล้วอนุกรม

: <math>\sum_{n=1}^{\infty} f_n (x)</math>

ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์และ[[ลู่เข้าแบบเอกรูป|เอกรูป]]บน *A*

=== ส่วนขยายของการทดสอบด้วยอัตราส่วน ===
การทดสอบด้วยอัตราส่วนอาจไม่ชัดเจนเมื่อลิมิตของอัตราส่วนเท่ากับ 1  อย่างไรก็ตาม ส่วนขยายของการทดสอบด้วยอัตราส่วนบางครั้งช่วยให้สามารถจัดการกับกรณีนี้ได้

==== [[การทดสอบด้วยอัตราส่วน|การทดสอบของราเบ-ดูอาแมล]] ====
ให้ {*a*<sub>*n*</sub>} เป็นลำดับของจำนวนบวก

กำหนดให้

: <math>b_n=n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right)</math>

ถ้า

: <math>L=\lim_{n\to\infty}b_n</math>

มีความเป็นไปได้สามทาง

* ถ้า *L* > 1 อนุกรมลู่เข้า (รวมถึงกรณี *L* = ∞)
* ถ้า *L* < 1 อนุกรมจะลู่ออก
* และถ้า *L* = 1 การทดสอบไม่สามารถสรุปผลได้

สูตรทางเลือกสำหรับการทดสอบนี้สามรถเขียนได้ดังนี้ ให้ } เป็นลำดับของจำนวนจริง แล้วถ้า *b* > 1 และ *K* (จำนวนธรรมชาติ) มีอยู่ได้ว่า

: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le 1-\frac{b}{n} </math>

สำหรับทุก *n* > *K* ดังนั้นอนุกรม {*a*<sub>*n*</sub>} จะลู่เข้า

==== [[การทดสอบของเบอร์ทรานด์]] ====
ให้ {*a*<sub>*n*</sub>} เป็นลำดับของจำนวนบวก นิยามให้

: <math>b_n=\ln n\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right)-1\right)</math>

ถ้า

: <math>L=\lim_{n\to\infty}b_n</math>

มีอยู่สามความเป็นไปได้

* ถ้า *L* > 1 อนุกรมจะลู่เข้า (รวมถึงกรณี *L* = ∞)
* ถ้า *L* < 1 อนุกรมจะลู่ออก
* และถ้า *L* = 1 การทดสอบนั้นไม่สามารถสรุปผลได้

==== [[การทดสอบของเกาส์]] ====
ให้ {*a*<sub>*n*</sub>} เป็นลำดับของจำนวนบวก ถ้า <math>\frac{a_n}{a_{n + 1}} = 1+ \frac{\alpha}{n} + O(1/n^\beta)</math> สำหรับบาง β > 1 แล้ว <math> \sum a_n</math> ลู่เข้าถ้า  และลู่ออกถ้า 

==== [[การทดสอบของคุมเมอร์]] ====
ให้ {*a*<sub>*n*</sub>} เป็นลำดับของจำนวนบวกแล้ว

(1) <math> \sum a_n</math> ลู่เข้าก็ต่อเมื่อมีลำดับ <math>b_{n}</math> ของจำนวนบวกและจำนวนจริง *c* > 0 โดยที่ <math>b_k (a_{k}/a_{k+1}) - b_{k+1} \ge c</math> -

(2) <math> \sum a_n</math> จะลู่ออกก็ต่อเมื่อมีลำดับ <math>b_{n}</math> ของจำนวนบวกที่ทำให้ <math>b_k (a_{k}/a_{k+1}) - b_{k+1} \le 0</math>

และ <math> \sum 1/b_{n}</math> ลู่ออก

=== การทดสอบของอาบู-มุสตาฟา ===
ให้ <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> เป็นอนุกรมอนันต์ที่มีพจน์จริงและให้ <math>f:\R\to\R</math> เป็นฟังก์ชันจริงใด ๆ ที่ <math>f(1/n)=a_n</math> สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก *n* และอนุพันธ์อันดับสอง <math>f* หาค่าได้ที่ x=0 แล้ว \sum_{n=1}^\infty a_n ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ถ้า f(0)=f'(0)=0 และลู่ออกในกรณีอื่น 

### หมายเหตุ

* สำหรับอนุกรมเฉพาะแบบบางประเภทจะทดสอบการลู่เข้าที่เจาะจง เช่น สำหรับอนุกรมฟูเรียร์ จะมีการทดสอบดินี

## ตัวอย่าง
พิจารณาอนุกรม
 
การทดสอบด้วยการควบแน่นโคชี บอกว่า (i) ลู่เข้าแบบจำกัดถ้า
 
เป็นลู่เข้าแบบจำกัด เนื่องจาก

: \sum_{n=1}^\infty 2^n \left( \frac 1 {2^n} \right)^\alpha = \sum_{n=1}^\infty 2^{n-n\alpha} = \sum_{n=1}^\infty 2^{(1-\alpha) n} 

(ii) เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วน  2^{(1-\alpha)}  (ii) จะลู่เข้าแบบจำกัดถ้าอัตราส่วนน้อยกว่าหนึ่ง (กล่าวคือ  ดังนั้น (i) จะลู่เข้าแบบจำกัดก็ต่อเมื่อ 

## การลู่เข้าของผลคูณ
แม้ว่าการทดสอบส่วนใหญ่จะเกี่ยวข้องกับการลู่เข้าของอนุกรมอนันต์ แต่ก็สามารถใช้แสดงการลู่เข้าหรือการลู่ออกจากกันของผลคูณอนันต์ ได้เช่นกันสามารถทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ให้ \left \{ a_n \right \}_{n=1}^\infty

เป็นลำดับของจำนวนบวก แล้วผลคูณอนันต์

\prod_{n=1}^\infty (1 + a_n) จะลู่เข้าก็ต่อเมื่ออนุกรมนี้ \sum_{n=1}^\infty a_n ลู่เข้า

ในทำนองเดียวกัน ถ้า 0 เป็นจริง แล้ว \prod_{n=1}^\infty (1 - a_n) จะเข้าใกล้ลิมิตที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม \sum_{n=1}^\infty a_n ลู่เข้า

สามารถพิสูจน์ได้โดยการใช้ลอการิทึมของผลคูณและใช้การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิต

## ดูเพิ่มเติม

* กฎของโลปิตาล
* กฎการเลื่อน

## อ้างอิง


## อ่านเพิ่มเติม

* 
หมวดหมู่:หน้าที่ใช้แถบข้างที่มีพารามิเตอร์ child