ลวดลายในธรรมชาติ

[thumb|338x338px|ลวดลายทางธรรมชาติเกิดขึ้นเมื่อลมพัดทรายบนเนินทรายของ[ทะเลทรายนามิบ เนินทรายรูปพระจันทร์เสี้ยวและรอยริ้วคลื่นปรากฏบนพื้นผิวครั้งแล้วครั้งเล่าเมื่อมีสภาวะที่เหมาะสม]]
[thumb|225x225px|ลวดลายของ[เวลล์คามิเลียน (veiled chameleon) หรือ *Chamaeleo calyptratus* ซึ่งวิวัฒนาการมาเพื่ออำพราง และเพื่อบอกอารมณ์ และสถานะทางการผสมพันธุ์]]
**ลวดลายในธรรมชาติ **คือ รูปแบบที่มีความสม่ำเสมออย่างชัดเจนซึ่งพบได้ในโลกธรรมชาติ ลวดลายเหล่านี้เกิดขึ้นซ้ำ ๆ ในบริบทที่ต่างกัน และบางครั้งสามารถถูกกำหนดรูปแบบโดยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ลวดลายทางธรรมชาติ ได้แก่ ความสมมาตร ต้นไม้ เกลียว ลำน้ำโค้งตวัด คลื่น โฟม เทสเซลเลชัน รอยแตก และ รอยริ้ว นักปรัชญากรีกได้ศึกษาลวดลายเช่นเดียวกัน โดยมีเพลโต พีทาโกรัส และเอมเพโดคลีส พยายามจะอธิบายอันดับในธรรมชาติ การเข้าใจเรื่องลวดลายซึ่งมองเห็นได้นั้นได้รับการพัฒนาตามกาลเวลา 

ในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 19 นักฟิสิกส์ชาวเบลเยี่ยม โยเซป พลาโตได้ทำการทดลองกับฟิล์มฟองสบู่ทำให้เขาได้วางเกณฑ์แนวความคิดของพื้นผิวที่น้อยที่สุด นักชีววิทยาและศิลปินชาวเยอรมัน แอร์นสต์ เฮคเคล ได้วาดรูปสัตว์น้ำกว่าร้อยชนิดเพื่อให้ความสำคัญเรื่องความสมมาตร นักชีววิทยาชาวสก๊อต D'Arcy Thompson ริเริ่มการศึกษาลวดลายในทั้งในพืชและสัตว์และแสดงให้เห็นว่าสามารถใช้สมการง่าย ๆ เพื่ออธิบายการโตแบบวงก้นหอยได้ ในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ แอลัน ทัวริง ทำนายกลไกของการเกิดสัณฐานซึ่งทำให้เกิดลายจุดและรอยริ้ว นักชีววิทยาชาวฮังการี Aristid Lindenmayer และนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสอเมริกัน เบอนัว มานดัลบรอ แสดงว่าคณิตศาสตร์ของแฟร็กทัลสามารถสร้างลวดลายในการเจริญเติบโตของพืช

คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และ เคมี สามารถอธิบายลวดลายในธรรมชาติในระดับที่ต่างกัน ลวดลายในสิ่งมีชีวิตอธิบายได้โดยวิธีทางชีววิทยาด้านการคัดเลือกโดยธรรมชาติ และ การคัดเลือกทางเพศ การศึกษาของการเกิดลวดลายแบบจำลองทางคอมพิวเตอร์เพื่อจำลองลวดลายในแบบต่าง ๆ 

## ประวัติ
[thumb|ลวดลาย[เลโอนาร์โด ฟีโบนัชชี|ฟีโบนัชชีพบได้ทั่วไปในโครงสร้างของพืชรวมถึงต้น Queen sago (*[[:en:Cycas_circinalis|Cycas circinalis]])* เหล่านี้]]
นักปรัชญากรีกในยุคแรกได้พยายามอธิบายอันดับในธรรมชาติ และคาดการแนวคิดสมัยใหม่ เพลโต (ประมาณ 427 – 347 ปีก่อนคริสต์ศักราช) โดยดูจากผลงานเกี่ยวกับลวดลายทางธรรมชาติของเขา เขาได้สนับสนุนการมีอยู่ของสิ่งสากล เขาเชื่อในการมีอยู่ของรูปแบบในอุดมคติ (εἶδος *eidos*: "form") ซึ่งกล่าวว่าวัตถุที่จับต้องได้ทุกอย่างนั้นไม่มีทางเป็นอะไรได้มากกว่าสำเนาที่บกพร่อง ดังนั้น ดอกไม้อาจมีรูปทรงกลม ทว่าไม่อาจเป็นวงกลมที่สมบูรณ์แบบทางคณิตศาสตร์ได้ พีทาโกรัส อธิบายลวดลายในธรรมชาติเสมือนการประสานเสียงในเสียงดนตรีซึ่งมาจากตัวเลขที่เขาเชื่อว่าเป็นองค์ประกอบพื้นฐานของการมีอยู่ เอมเพโดคลีสได้คาดการคำอธิบายทางวิวัฒนาการของสำหรับโครงสร้างสิ่งมีชีวิตของดาร์วินไว้ระดับหนึ่ง

ในปีค.ศ. 1202 เลโอนาร์โด ฟีโบนัชชี (ประมาณปี ค.ศ. 1170–1250) ได้แนะนำลำดับจำนวนฟีโบนัชชีสู่โลกตะวันตกด้วยหนังสือของเขา *[[:en:Liber_Abaci|Liber Abaci]]* ฟีโบนัชชีได้ให้ตัวอย่าง (ซึ่งเกินจริง) ทางชีววิทยาเกี่ยวกับการเติบโตของจำนวนประชากรกระต่ายในเชิงทฤษฎี ในปีค.ศ. 1917 D'Arcy Wentworth Thompson (ปีค.ศ. 1860–1948) ตีพิมพ์หนังสือ *[[:en:On_Growth_and_Form|On Growth and Form]] *คำบรรยายเกี่ยวกับการจัดเรียงของใบไม้และลำดับฟีโบนัชชีของเขา หรือ ความสัมพันธ์เชิงคณิตศาสตร์ในการเติบโตแบบวงก้นหอยในพืช ได้รับการยกย้องว่ามีคุณภาพสูง เขาทำให้เห็นว่าสมการง่าย ๆ สามารถอธิบายการเติบโตแบบวงก้นหอยที่ซับซ้อนของเขาสัตว์และเปลือกของสัตว์ในไฟลัมมอลลัสกาได้

นักฟิสิกส์ชาวเบลเยียม โยเซป พลาโต (ปี ค.ศ. 1801–1883) ได้สร้างปัญหาทางคณิตศาสตร์เรื่องการมีอยู่ของพื้นผิวที่น้อยที่สุดในพื้นที่ เขาศึกษาฟิล์มฟองสบู่และคิดค้นกฎของพลาโตซึ่งอธิบายเกี่ยวกับโครงสร้างของฟิล์มในฟองสบู่

นักจิตวิทยาชาวเยอรมัน อดอล์ฟ ไซซิง (ปี ค.ศ. 1810–1876) อ้างว่าอัตราส่วนทองถูกแสดงในการเรียงตัวของส่วนของพืช ในโครงกระดูกของสัตว์และรูปแบบในการแตกออกของเส้นเลือดดำและเส้นประสาท รวมไปถึงในเรขาคณิตของผลึก

แอร์นสต์ เฮคเคล (ปีค.ศ. 1834–1919) ได้วาดรูปอันสวยงามของสิ่งมีชีวิตทางทะเลที่มีชื่อว่าแรดิโอลาเรียนโดยมุ่งเน้นไปที่ความสมมาตรเพื่อสนับสนุนทฤษฎีวิวัฒนาการดาร์วินอันผิดพลาดของเขา

ช่างภาพชาวอเมริกัน วิลสัน เบนท์ลีย์ (ปี ค.ศ. 1865–1931) ถ่ายรูปภาพระดับจุลภาคของเกล็ดหิมะในปึค.ศ.1885
[thumb|[:en:D'Arcy_Thompson|D'Arcy Thompson ริเริ่มการศึกษาของการเติบโตและรูปร่างในหนังสือของเขาซึ่งตีพิมพ์ในปีค.ศ.1917]]
ในปีค.ศ.1952 แอลัน ทัวริง (ปีค.ศ. 1912–1954) เป็นที่รู้จักจากงานเกี่ยวกับการคำนวณและการถอดรหัสหรือแปลข้อเขียนลับ ได้เขียน*[[:en:The_Chemical_Basis_of_Morphogenesis|พื้นฐานเคมีของการเกิดสัณฐาน]]* ซีงเป็นบทวิเคราะห์ของกลไกที่อาจจำเป็นในการสร้างลวดลายในสิ่งมีชีวิตในกระบวนการที่เรียกว่าการเกิดสัณฐาน เขาได้ทำนายปฏิกิริยาแกว่งทางเคมีที่เรียกว่าปฏิกิริยาเบลูซอฟ–จาโบทินสกี ทัวริงเสนอว่า กลไกตัวเร่ง-ตัวยับยั้งเหล่านี้ สร้างลวดลายทางและลายจุดในสัตว์ และมีส่วนช่วยให้เกิดรูปแบบในการเรียงใบของพืช

## การเกิด
[left|thumb|[คอมโพสิตแพตเทิร์น เพลี้ยอ่อน และลูกที่พึ่งเกิดในรูปแบบของกลุ่มคล้ายอะเรย์บนใบ Sycamore แบ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมโดยเส้นแบ่งใบ]]
สิ่งมีชีวิตเช่นกล้วยไม้ นกฮัมมิ่งเบิร์ด และหางของนกยูงมีการออกแบบที่เป็นนามธรรม โดยมีความงดงามของรูปแบบ ลวดลาย และสีซึ่งทำให้ศิลปินนั้นยากที่จะลอกเลียน ความงดงามซึ่งผู้คนเห็นในธรรมชาติเกิดได้จากหลายอย่างด้วยกัน ทฤษฎีที่โดดเด่นได้แก่ คณิตศาสตร์ซึ่งควบคุมการเกิดของลวดลาย และในหมู่สิ่งมีชีวิตในผลของการคัดเลือกตามธรรมชาติซึ่งควบคุมวิธีซึ่งรูปแบบค่อยๆ พัฒนา
[thumb|รูปแบบการเติบโตของต้นไม้คล้ายรูปแบบของแฟร็กทัล[:en:L-system|ระบบแอล]]

## รูปแบบของลวดลาย

### สมมาตร

ไฟล์:Tiger-berlin-5 symmetry.jpg|สัตว์มักแสดงการสมมาตรสองด้าน เช่นในเสือตัวนี้
ไฟล์:Starfish 02 (paulshaffner) cropped.jpg|สัตว์ในไฟลัมเอไคโนเตอร์มาตา เช่นปลาดาวตัวนี้มีความสมมาตรห้าพับ (fivefold symmetry)
ไฟล์:Medlar 5-symmetry.jpg|ความสมมาตรห้าพับพบได้ในดอกไม้และผลไม้ เช่นผลพิกุลนี้
ไฟล์:Schnee2.jpg|ผลึกหิมะมีความสมมาตรหกพับ
ไฟล์:Schnee1.jpg|ผลึกหิมะแต่ละอันนั้นมีลักษณะเฉพาะแต่สมมาตร
ไฟล์:Aragonite-Fluorite-cflu02c.jpg|	ฟลูออไรต์ซึงมีรูปแบบของผลึกสี่เหลี่ยม
ไฟล์:Water splashes 001.jpg|น้ำกระจายซึ่งมีรูปแบบสมมาตรรัศมี
ไฟล์:GarnetCrystalUSGOV.jpg|	การ์เนตซึ่งเป็นผลึกสี่เหลี่ยมข้าวหลามตัดสิบสองหน้า
ไฟล์:Mikrofoto.de-volvox-8.jpg| วอลวอกซ์มีรูปแบบสมมาตรรัศมี
ไฟล์:Two Oceans Aquarium03.jpg|ดอกไม้ทะเลรูปแบบสมมาตรการหมุน


### ต้นไม้ แฟร็กทัล

ไฟล์:Anthriscus sylvestris - Köhler–s Medizinal-Pflanzen-162.jpg|ใบของพลาสลี่ (*Anthriscus sylvestris*) เรียงแบบขนนก 2 ถึง 3 ชั้น
ไฟล์:Fractal Broccoli.jpg|แฟร็กทัลวงก้นหอย โรมาเนสโก้บรอกโคลีมีรูปแบบคล้ายตัวเอง
ไฟล์:Angelica flowerhead showing pattern.JPG|Angelica flowerhead ทรงกล้มสร้างจากทรงกลม (คล้ายตัวเอง)
ไฟล์:Square1.jpg|ต้นไม้ รูปลิคเต็นเบิร์ก ไดอิเล็กทริกความแรงสูงทำลายบล็ออะคริลิค โพลิเมอร์ค
ไฟล์:Dendritic Copper Crystals - 20x magnification.jpg|ต้นไม้ ผลึกทองแดงที่แตกแขนง (ใต้กล้องจุลทรรศน์)
ไฟล์:Fractal defrosting patterns on Mars.jpg|รูปแบบการละลายน้ำแข็งแบบแฟร็กทัลบนดาวอังคาร


### วงก้นหอย

ไฟล์:Fibonacci spiral 34.svg|วงก้นหอยฟีโบนัชชี
ไฟล์:Ovis canadensis 2 (cropped).jpg |แกะเขาใหญ่ (*Ovis canadensis*)
ไฟล์:Aloe polyphylla spiral.jpg|วงก้นหอย การจัดเรียงใบของ *Aloe polyphylla*
ไฟล์:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|การเติบโตแบบลอการิทึมของเปลือกหอยนอติลุสเป็นวงก้นหอย
ไฟล์:Pflanze-Sonnenblume1-Asio (cropped).JPG|วงก้นหอยเฟอร์แม็ท หัวเมล็ดทานตะวัน (*Helianthus annuus*)
ไฟล์:Red Cabbage cross section showing spirals.jpg|วงก้นหอยฟีโบนัชชีซ้อนกัน กะหล่ำแดงผ่ากลาง
ไฟล์:Trochoidea liebetruti (Albers, 1852) (4308584755).jpg|เปลือกหอยทาก (*Trochoidea liebetruti*) แสดงให้เห็นถึงรูเปิดซึ่งขยับวนไปมา ไปข้างนอก และด้านล่าง เมื่อโตขึ้น

ไฟล์:Textile cone (cropped).JPG|เปลือกหอยทากคล้ายกฎข้อที่ 30 ของ cellular automaton
ไฟล์:Vortex-street-1.jpg|Chaos: คลื่นวนของก้อนเมฆ
ไฟล์:Rio Negro meanders.JPG|ทางน้ำโค้งตวัด และ ทะเลสาบรูปแอก (Oxbow lake) ใน Rio Negro เห็นได้จากอวกาศ 
ไฟล์:Rio-cauto-cuba.JPG|ทางน้ำโค้งตวัดที่ Rio Cauto ประเทศคิวบา
ไฟล์:Jiangxia-snake-9704 (cropped).jpg|งูเลื้อยตวัด
ไฟล์:Diplora strigosa (Symmetrical Brain Coral) closeup.jpg|ปะการังสมอง (*Diploria strigosa*)


### คลื่น เนิน

ไฟล์:Boelge stor.jpg|คลื่นในน้ำจากเรือ
ไฟล์:Taklimakanm.jpg|เนินทรายในทะเลทรายทากลามากันจากอวกาศ
ไฟล์:Barchan.jpg|เนินทรายทรงจันทร์เสี้ยว
ไฟล์:1969 Afghanistan (Sistan) wind ripples.tiff|รอยคลื่นลมใน Sistan ประเทศอัฟกานิสถาน


### ฟอง โฟม

ไฟล์:Foam - big.jpg|โฟมของฟองสบู่ ขอบทั้งสี่ด้านพบกันที่จุดเดียว ทำมุมใกล้เคียงกับ 109.5° เช่นเดียวกับพันธะ C-H ของ มีเทน
ไฟล์:Haeckel Cyrtoidea.jpg|แรดิโอลาเรียนวาดโดยเฮคเคลใน Kunstformen der Natur (ปีค.ศ. 1904)
ไฟล์:Haeckel Spumellaria.jpg|Haeckel's Spumellaria ของเฮคเคล โดยกระดูกของแรดิโอลาเรียนเหล่านี้มีรูปแบบคล้ายโฟม
ไฟล์:C60a.png|Buckminsterfullerene C60: Richard Smalley  และคณะได้สังเคราะห์ฟูลเลอรีนในปีค.ศ.1985
ไฟล์:3D_model_of_brochosome.jpg|Brochosomes (ไมโครพาติเคิลซึ่งผลิตโดยเพลี้ยจักจั่น) มักเรียนแบบรูปทรงทางเลขขาคณิตของฟูลเลอรีน
ไฟล์:CircusTent02.jpg|เต้นท์ละครสัตว์ใกล้เคียงกับพื้นผิวที่น้อยที่สุด 
ไฟล์:National Aquatics Center Construction (cropped).jpg|สระว่ายน้ำฟองน้ำสำหรับโอลิมปิกฤดูร้อน 2008 
ไฟล์:Equal spheres in a plane.tif|ทรงกลมขนาดเท่ากัน (ฟองแก๊ส) ในพื้นผิวของโฟม


### เทสเซลเลชัน

ไฟล์:Halite-249324.jpg|ผลึกทรงเหลี่ยมของแร่เฮไลท์
ไฟล์:Buckfast bee.jpg| รังผึ้งในเทสเซลเลชัธรรมชาติ 
ไฟล์:Wismut Kristall und 1cm3 Wuerfel.jpg|ผลึก Bismuth hopper แสดงถึงรูปแบบผลึกแบบขั้นบันได
ไฟล์:Fritillaria-meleagris-blomst.JPG|ดอกของ *Fritillaria meleagris* ซึ่งถูกเทสเซลเลชัน 
ไฟล์:Scale Common Roach.JPG| เกล็ดที่ซ้อนกันของ *Rutilus rutilus*
ไฟล์:Salak fruits Salacca zalacca.jpg| เกล็ดซ้อนกันของสละ (*Salacca zalacca*)
ไฟล์:Tessellated Pavement Sunrise Landscape.jpg|ทางลาดยางเทสเซลเลชัน การจัดเรียงของหินที่หายากบนคาบสมุทรทัสมัน

### รอยแตก

ไฟล์:Old Pottery surface with 90 degree cracks.jpg|พื้นผิวของเครื่องปั่นดินเผาโบราณซึ่งมีรอยแตก 90° องศา
ไฟล์:Cracked earth in the Rann of Kutch.jpg|โคลนแห้งซึ่งมีรอยแตก 90° เป็นส่วนใหญ่
Veined Gabbro with 90 degree cracks, Sgurr na Stri, Skye.jpg|หินแกบโบร ซึ่งมีรอยแตก 90°
ไฟล์:Drying mud with 120 degree cracks, Sicily.jpg|โคลนแห้งซึ้งมีรอยแตก 120° เป็นส่วนใหญ่
ไฟล์:Causeway-code poet-4.jpg|หินบะซอลต์เย็น ซึ่งมีรอยแตก 120° เป็นส่วนใหญ่
ไฟล์:Palm tree bark pattern.jpg|ต้นปาล์มซึ่งมีรอยแตกแขนงแนวตั้ง (รอยแผลเป็นใบไม้แนวนอน) 


### ลายจุด ลายทาง

ไฟล์:Dirce Beauty Colobura dirce.jpg|ผีเสื้อ (*Colobura dirce*)
ไฟล์:Equus grevyi (aka).jpg|ม้าลาย (*Equus grevyi*)
ไฟล์:Angelfish Nick Hobgood.jpg|ปลาสินสมุทรบั้งเหลือง (*Pygoplites diacanthus*)
ไฟล์:Leopard africa.jpg|เสือดาว (*Panthera pardus pardus*)
ไฟล์:Georgiy Jacobson - Beetles Russia and Western Europe - plate 24.jpg| แมลงเต่าทอง โดย G.G. Jacobson
ไฟล์:Sepia officinalis Cuttlefish striped breeding pattern.jpg|รูปแบบในการผสมพันธุ์ของหมึกกระดอง (*Sepia officinalis*)


### การเกิดลวดลาย
แอลัน ทัวริง และนักชีวคณิตศาสตร์ เจมส์ เมอร์รี ได้อธิบายกลไกซึ่งสร้างลายจุดหรือรอยริ้วได้โดยธรรมชาติ ที่เรียกว่าระบบปฏิกิริยา การแพร่ (reaction-diffusion system) เซลล์ของสิ่งมีชีวิตระยะแรกเริ่มมียีนซึ่งสามารถสลับเปลี่ยนได้ด้วยสัญญาณทางเคมี หรือ  มอร์โฟเจน (morphogen) ทำให้เกิดการเติบโตของรูปแบบเฉพาะ เช่นรอยสารสีเข้มบนผิวหนัง หากมอร์โฟเจนมีอยู่ทุกที่ ผลที่ได้คือการเกิดสีที่เสมอกัน เช่นในเสือดาวสีดำ ทว่าการกระจายไม่เสมอกันอาจทำให้เกิดจุดและลายทางได้ ทัวริงเสนอว่าอาจมีการควบคุมสัญญาณป้อนกลับ (feedback control) สำหรับการผลิตของตัวมอร์โฟเจนเอง สิ่งนี้อาจก่อให้เกิดความผันผวนอย่างต่อเนื่องในปริมาณมอร์โฟเจนขณะที่กำลังแพร่ทั่วร่างกาย กลไกที่สองเป็นที่ต้องการเพื่อสร้างลวดลายคลื่นนิ่ง (เพื่อให้เกิดลายจุดหรือลายทาง) 	ตัวยับยั้งทางเคมีซึ่งหยุดการทำงานของมอร์โฟเจน และซึ่งแพร่ผ่านร่างกายเร็วกว่ามอร์โฟเจน ทำให้เกิดแผนที่ประกอบด้วยตัวกระตุ้นและตัวยับยั้งและ ปฏิกิริยาเบลูซอฟ–จาโบทินสกีเป็นตัวอย่างที่ไม่เกี่ยวข้องทางชีววิทยาของแผนแบบนี้ หรือเรียกได้ว่าเป็น ตัวแกว่งทางเคมี (chemical oscillator)

ต่อมา งานวิจัยได้สามารถสร้างแบบจำลองที่น่าเชื่อถือของลวดลายซึ่งครอบคลุมหลายอย่างเช่น ลายเส้นของม้าลาย แต้มบนยีราฟ จุดบนเสือจากัวร์ (แต้มสีเข้มปานกลางซึ่งล้อมรอบด้วยวงแหวนสีเข้มแตก ๆ)  และลวดลายบนกระดองของแมลงเต่าทอง (รูปแบบทางเรขาคณิตต่าง ๆ ของลายจุดและลายทาง) แบบจำลองการกระตุ้น-การยับยั้งของริชาร์ด พรัม ซึ่งพัฒนามาจากผลงานของทัวริง ใช้ตัวแปรหกตัวเพื่ออธิบายลวดลายพื้นฐานทั้งเก้า:6

รูปแบบสามารถเกิดได้จากเหตุผลอื่นในภูมิภาพของพุ่มเสือ andคลื่นต้นเฟอร์ ลายเส้นพุ่มเสือเกิดขึ้นบนที่ลาดเอียงที่มีความเอียงซึ่งการโตของพืชนั้นถูกจำกัดด้วยปริมาณฝน เส้นลายแนวนอนแต่ละเส้นที่พืชโตรวบรวมน้ำฝนจากพื้นที่ว่างข้างบนที่ติดกัน คลื่นต้นเฟอร์เกิดขึ้นในป่าบนที่ลาดเอียงของภูเขาหลังการรบกวนของลมขณะกำลังเจริญทดแทน เมื่อต้นไม้ล้ม ต้นไม้ซึ่งต้นไม้ซึ่งเคยถูกปกป้องมีโอกาศที่จะถูกทำลายมากขึ้น ดังนั้นช่องว่างมีแน้วโน้มจะขยายตามทางลม ในขณะเดียวกัน บนด้านต้านลม ต้นกล้าโตและได้รับการปกป้องจากลมโดยต้นไม้ใหญ่ บางครั้ง ลวดลายทางธรรมชาติอาจเกิดจากสัตว์ เช่นในเนินมิมาในภาคตะวันตกเฉียงเหนือของสหรัฐอเมริกา และพื้นที่อื่น ซึ่งซึ่งสร้างโดย ตัวตุ่นดำดิน (gophers) โดยใช้เวลาหลายปี

ในชั้นดินเยือกแข็งคงตัวซึ่งชั้นบนนั้นเกิดการแข็งตัวและละลายในทุกๆ ปี พื้นดินซึ่งมีลวดลายอาจเกิดขึ้น เป็นรูปทรงกลม ตาข่าย  รูปหลายเหลี่ยมจากลิ่มน้ำแข็ง ขั้นบันได และลายทาง การหดตัวโดยความร้อนทำให้เกิดรอยแตก น้ำเติมเต็มรอยแตกเหล่านั้นขณะละลายและขยายตัวเมื่อแข็งเป็นลิ่ม รอยแตกเหล่านี้อาจเชื่อมกันเป็นรุปทรงหลายเหลี่ยหรือรูปทรงอื่น ๆ
ไฟล์:Giant Puffer fish skin pattern.JPG|ปลาปักเป้ายักษ์ (*Tetraodon mbu*)
ไฟล์:Giant Pufferfish skin pattern detail.jpg|รายละเอียดบนผิวหนังปลาปักเป้ายักษ์
ไฟล์:Belousov-Zhabotinsky Reaction Simulation Snapshot.jpg|รูปถ่ายของการจำลองปฏิกิริยาเบลูซอฟ–จาโบทินสกี
ไฟล์:Pintade de Numidie.jpg|ไก่ต๊อก (*Numida meleagris*) ซึ่งขนมีการเปลี่ยนรูปแบบจากแถบสีเป็นจุดทั้งบนเส้นขนและทั่วตัว
ไฟล์:Tiger Bush Niger Corona 1965-12-31.jpg|มุมบนของพุ่มเสือในประเทศไนเจอร์ 
ไฟล์:Fir waves.jpg|คลื่นต้นเฟอร์ในภูเขาขาวรัฐนิวแฮมป์เชียร์
ไฟล์:Melting pingo wedge ice.jpg|ดินบนน้ำแข็งที่กำลังละลายรายล้อมไปด้วยลิ่มน้ำแข็งใกล้รัฐ Tuktoyaktuk ประเทศแคนนาดา 


## ดูเพิ่ม
* Emergence
* Evolutionary history of plants
* Mathematics and art

## อ้างอิง

## บรรณานุกรม

### ผู้เขียนที่ริเริ่ม
* Fibonacci, Leonardo. *[[:en:Liber_Abaci|Liber Abaci]]*, 1202.
** ----- translated by Sigler, Laurence E. *Fibonacci's Liber Abaci*. Springer, 2002.
* Haeckel, Ernst. *[[:en:Kunstformen_der_Natur|Kunstformen der Natur]]* (Art Forms in Nature), 1899–1904.
* Thompson, D'Arcy Wentworth.  *[[:en:On_Growth_and_Form|On Growth and Form]]*. Cambridge, 1917.

### หนังสือทั่วไป
* Adam, John A. ''Mathematics in Nature: Modeling Patterns in the Natural World''. Princeton University Press, 2006.
* Ball, Philip. *Nature's Patterns: a tapestry in three parts. 1:Shapes. 2:Flow. 3:Branches.* Oxford, 2009.
* Murphy, Pat and Neill, William. *By Nature's Design*. Chronicle Books, 1993.
* Rothenburg, David. *Survival of the Beautiful: Art, Science and Evolution*. Bloomsbury Press, 2011.
* Stevens, Peter S. *Patterns in Nature*. Little, Brown & Co, 1974.
* Stewart, Ian. *What Shape is a Snowflake? Magical Numbers in Nature*. Weidenfeld & Nicolson, 2001.

### ลวดลายจากธรรมชาติ (เชิงศิลปะ)
* Edmaier, Bernard. *Patterns of the Earth*. Phaidon Press, 2007.
* Macnab, Maggie. *Design by Nature: Using Universal Forms and Principles in Design*. New Riders, 2012.
* Nakamura, Shigeki. *Pattern Sourcebook: 250 Patterns Inspired by Nature.*. Books 1 and 2. Rockport, 2009.
* O'Neill, Polly. *Surfaces and Textures: A Visual Sourcebook*. Black, 2008.
* Porter, Eliot, and Gleick, James. *Nature's Chaos*. Viking Penguin, 1990.

## แหล่งข้อมูลอื่น
* Fibonacci Numbers and the Golden Section 
* Phyllotaxis: an Interactive Site for the Mathematical Study of Plant Pattern Formation 

หมวดหมู่:คณิตศาสตร์ประยุกต์
หมวดหมู่:ธรรมชาติ
หมวดหมู่:คณิตศาสตร์นันทนาการ