ความเร่ง

ในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ **ความเร่ง** (, สัญลักษณ์: *a*) คือ อัตราการเปลี่ยนแปลง (หรืออนุพันธ์เวลา) ของความเร็ว เป็นปริมาณเวกเตอร์ (ตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ที่มีหน่วยเป็น ความยาว/เวลา&sup2; ในหน่วยเอสไอกำหนดให้หน่วยเป็น เมตร/วินาที&sup2;ยกตัวอย่างเช่น เมื่อรถเริ่มเคลื่อนที่จากจุดหยุดนิ่ง (ความเร็วเป็นศูนย์) เคลื่อนที่ไปตามแนวเส้นตรงด้วยความเร็วที่เพิ่มขึ้น ความเร่งจะมีทิศทางเดียวกันกับการเคลื่อนที่ ถ้ารถเปลี่ยนทิศทาง ความเร่งก็จะเปลี่ยนทิศทางตามไปด้วย เราจะเรียกการความเร่งที่ไปตามทิศทางของรถนี้ว่า "อัตราเร่งที่เป็นเส้นตรง (Linear Acceleration)" ซึ่งผู้โดยสารบนยานพาหนะบางคนอาจจะถูกดันลงไปกับเบาะ เมื่อเปลี่ยนทิศทางไป เราจะเรียกว่า "อัตราเร่งที่ไม่เป็นเส้นตรง (Non-Linear Acceleration)" ซึ่งผู้โดยสารบนยานพาหนะจะถูกแรงเหวี่ยง (Sideway Force) ออกไปlang=th|frame|ความเร่ง คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วของวัตถุในช่วงเวลาหนึ่ง ที่จุดใด ๆ บนกราฟ v-t ความเร่งจะเท่ากับความชันของเส้นสัมผัสจุดนั้นถ้าความเร็วของรถลดลง ทิศทางของความเร่งจะตรงกันข้ามกับการเคลื่อนที่ (ความเร่งมีค่าติดลบ) หรือ **ความหน่วง** ซึ่งผู้โดยสารบนยานพาหนะจะถูกผลักไปด้านหน้าหากมีความหน่วง ตามหลักการทางคณิตศาสตร์แล้ว ความหน่วงจะไม่มีสมการเฉพาะแบบความเร่ง แต่จะเปลี่ยนไปตามความเร็วเท่านั้น

## คำนิยามและสมบัติ

### ความเร่งเฉลี่ย
ความเร่งเฉลี่ยของวัตถุใดวัตถุหนึ่งในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งคืออัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็ว (\Delta\mathrm{v})ต่อช่วงเวลา (\Delta\mathrm{t}) เขียนได้ว่า :

:
 \mathbf {\vec{a}} ={\frac {\Delta \mathbf {\vec{v}} }{\Delta t}}

:thumb|ปริมาณทางคิเนเมติกส์ที่ประกอบด้วย มวล (m) ตำแหน่ง (r) ความเร็ว (v) ความเร่ง (a)

### ความเร่ง ณ ขณะใดขณะหนึ่ง
ความเร่ง ณ จุดใดจุดหนึ่ง คือลิมิตของความเร่งเฉลี่ยบนเวลากณิกนันต์ ในเชิงแคลคูลัส ความเร่ง ณ จุดใดจุดหนึ่งคืออนุพันธ์ของความเร็วตามเวลา :

\mathbf {a} =\lim _={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}
thumb|อัตราความเร่งที่เปลี่ยนไปตามความเร็ว ณ จุดใด ๆ องศาของความเร่ง ถูกกำหนดโดยอัตราการเปลี่ยนความเร็วสองที่และทิศทาง ความเร่งจริง ณ เวลา t หาได้จากช่วงเวลา ''Δt'' → 0 ของ ''Δ'''''v'''/''Δt''

(ในที่นี้ หากการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ปริมาณเวกเตอร์สามารถแทนที่ได้โดยสมการของปริมาณสเกลาร์)

จะเห็นได้ว่าอินทริกัลของฟังก์ชันความเร่ง a(t) คือฟังก์ชันของความเร็ว ν(t) ซึ่งก็คือพื้นที่ใต้กราฟความเร่ง/เวลา (กราฟ a-t) :

\mathbf {v} =\int \mathbf {a} \ dt
thumb|'''ตามลำดับ :''' ฟังก์ชันระยะทาง s(t) คือค่าอินทริกัลของความเร็ว, ฟังก์ชันความเร็ว v(t) คือค่าอินทริกัลของความเร่ง, ความเร่งของฟังก์ชัน a(t)

เมื่อความเร่งถูกนิยามไว้ว่าเป็นการเปลี่ยนแปลงความเร็ว (v) ต่อเวลา (t) และความเร็วถูกนิยามไว้ว่าเป็นการเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุ (x) ต่อเวลา (t) ความเร่งจะเขียนเป็นอนุพันธ์อันดับสองของ x ต่อ t ได้ว่า :

\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}

### หน่วย
ความเร่งมีมิติของความเร็ว (L/T) ส่วนด้วยเวลา

### ในรูปแบบอื่น ๆ
วัตถุที่เคลื่อนที่เป็นแนวเส้นโค้ง (เช่น ดาวเทียมซึ่งโคจรอยู่รอบโลก) มีความเร่งซึ่งเปลี่ยนไปตามทิศทางการเคลื่อนที่ ซึ่งจะเป็นความเร่งสู่ศูนย์กลาง

ความเร่งสัมพัทธ์ เป็นความเร่งเมื่ออยู่ในสถานะตกแบบเสรี ซึ่งวัดโดยเครื่องวัดความเร่ง

สำหรับเรื่องกลศาสตร์ดั้งเดิม กฎข้อที่สองของนิวตันกล่าวไว้ว่า ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยผลรวมของเวกเตอร์ของแรง **F** บนวัตถุมีค่าเท่ากับมวล *m* ของวัตถุนั้นคูณด้วยความเร่ง **a** ของวัตถุ :

\mathbf {F} =m\mathbf {a} \quad \to \quad \mathbf {a} =\mathbf {F} /m

เมื่อ :

*F คือ แรงทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุ
*m คือ มวลของวัตถุ
*a เป็นความเร่งศูนย์กลางมวล

หากความเร็วเป็นค่าความเร็วที่ใกล้เคียงความเร็วแสง ตามหลักการทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษ มันจะมีขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อย ๆ

## ความเร่งสู่ศูนย์กลางกับความสัมพันธ์แทนเจนต์
left|thumb|การแกว่งของลูกตุ้ม ด้วยความเร็วและความเร่งที่ทำเครื่องหมายไว้ ซึ่งสัมพันธ์กับความเร่งสู่ศูนย์กลางกับความสัมพันธ์แทนเจนต์
ความเร็วของการเคลื่อนที่บนเส้นโค้งของฟังก์ชันเวลาจะเขียนได้ว่า :

\mathbf {v} (t)=v(t){\frac {\mathbf {v} (t)}{v(t)}}=v(t)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(t)

เมื่อ v(t) เท่ากับความเร็วทั้งหมด และ

\mathbf {u} _{\mathrm {t} }={\frac {\mathbf {v} (t)}{v(t)}}\ 

คือหน่วยของเวกเตอร์แทนเจนต์ที่มุ่งไปยังทิศทางการเคลื่อนที่ในแต่ละช่วงเวลาต่าง ๆ thumb|ส่วนประกอบของความเร่งส่วนโค้ง ตัวประกอบเชิงแทนเจนต์ a<sub>t</sub> ''ซึ่งเปลี่ยนไปตามอัตราเร็วเฉลี่ย และจุดที่ไปตามเส้นโค้ง เป็นเวกเตอร์ของความเร็ว (หรือในทิศทางตรงกันข้าม) ตัวประกอบปกติ (หรือเรียกว่าตัวประกอบสู่ศูนย์กลางของการเคลื่อนที่แบบเส้นโค้ง)'' ส่วน a<sub>c</sub> เปลี่ยนไปตามทิศทางเวกเตอร์ของความเร็ว และการเคลื่อนที่โพรเจกไทล์ปกติ  จะมีทิศทางออกจากศูนย์กลางของเส้นโค้ง

โดยจะอธิบายได้ว่า การเปลี่ยนแปลงของทั้งอัตราเร็ว v(t) และทิศทางของ ut สามารถแสดงถึงการเคลื่อนที่แบบเส้นโค้ง โดยใช้ความแตกต่างของกฎลูกโซ่ ผลลัพธ์ของฟังก์ชันเวลาทั้งสองฟังก์ชันจะได้ว่า :

{\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\&={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }+v(t){\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {t} }}{dt}}\\&={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }+{\frac {v^{2}}{r}}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }\ \\\end{alignedat}}

เมื่อ ut เป็นหน่วย (สู่ศูนย์กลาง) เวกเตอร์แนวฉากต่อส่วนของเส้นโคจร (หรือแนวฉากมุขสำคัญ) และ r คือเส้นเฉียดโค้ง (instantaneous radius of curvature) ซึ่งอิงวงกลมความโค้ง (osculating circle) ณ เวลา t ตัวประกอบของสมการพวกนี้เรียกว่า **ความเร่งเชิงแทนเจนต์**, ความเร่งปกติ และความเร่งของวัตถุในแนวรัศมี

## กรณีพิเศษ

### ความเร่งสม่ำเสมอ
*ความเร่งสม่ำเสมอ* หรือความเร่งคงที่เป็นการเคลื่อนที่ที่ซึ่งความเร็วของวัตถุนั้น ๆ เปลี่ยนแปลงอย่างสม่ำเสมอกับเวลา 

ตัวอย่างที่ถูกใช้กับความเร่งสม่ำเสมอมากที่สุดก็คือการตกของวัตถุแบบเสรีภายใต้สนามแรงโน้มถ่วงซึ่งไม่คิดแรงต้านอากาศโดยใช้ค่าความโน้มถ่วงมาตรฐาน (หรือจะเรียกว่า *ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง*) ตามกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันข้อที่สอง แรงที่ F กระทำต่อวัตถุ จะได้ว่า

\mathbf {F} =m\mathbf {g} 
thumb|การหาค่าความเร่งเฉลี่ยจากค่าความต่างของความเร็ว

ตามสมการค่าความเร่งคงตัว จะมีสมการอยู่หนึ่งสมการซึ่งเกี่ยวข้องกับการกระจัด, ความเร็วต้นและความเร็วปลาย และความเร่งต่อเวลาที่ใช้ไป :

\mathbf {s} (t) =\mathbf {s} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2} =\mathbf {s} _{0}+{\frac {\mathbf {v} _{0}+\mathbf {v} (t)}{2}}t

{\displaystyle \mathbf {v} (t)=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t}

{\displaystyle {\mathbf{v}^{2}}(t)={\mathbf{v}_{0}}^{2}+2\mathbf {a\times } [\mathbf {s} (t)-\mathbf {s} _{0}]}

เมื่อ

* t คือเวลาที่ใช้ไป
* \mathbf {s} _{0} คือการกระจัดเริ่มต้น
* {\displaystyle \mathbf {s} (t)} คือระยะห่างระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้าย ณ เวลา t
* \mathbf {v} _{0} คือความเร็วต้น
* \mathbf {v} (t) คือความเร็วปลาย ณ เวลา t
* \mathbf {a}  คือความเร่งเฉลี่ย

ในบางกรณี การเคลื่อนที่แบบความเร็วคงตัวและอื่น ๆ จะเป็นไปตามสมการดังกล่าว ดังที่กาลิเลโอได้เขียนไว้ ผลรวมของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ ซึ่งจะมาช่วยอธิบาย (เส้นการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ซึ่งจะเข้าสู่พื้นโลก)

### การเคลื่อนที่แบบวงกลม

การเคลื่อนที่แบบวงกลมคงที่ที่มีค่าอัตราเร็วตามเส้นโค้งเป็นตัวอย่างของผลความเร่งในขณะที่ขนาดของความเร็วมีค่าคงตัว ในกรณีนี้ เนื่องจากทิศทางการเคลื่อนที่ของวัตถุมีการเปลี่ยนแปลงอย่างสม่ำเสมอ โดยจะทำมุม \tan\mathrm{\theta} กับวงกลม เส้นเวกเตอร์ความเร็วของวัตถุจะเปลี่ยนแปลงไป แต่อัตราเร็วจะไม่เปลี่ยนไป ความเร่งนี้เรียกว่า*ความเร่งเชิงรัศมี* เนื่องจากมีทิศทางไปข้างหน้าตามจุดศูนย์กลาง :

{\textrm {a}}= \over {r}}

เมื่อ v คือเส้นอัตราเร็วของวัตถุตามส่วนของเส้นโค้ง ซึ่งสมมูลกับ เวกเตอร์ความเร่งเชิงรัศมี a ซึ่งจะหาจากความเร็วเชิงมุม {\displaystyle \omega }   :

{\displaystyle \mathbf {a} ={-\omega ^{2}}\mathbf {r} }  

เมื่อ r คือเวกเตอร์จากจุดศูนย์กลางและมีขนาดเท่ากับรัศมี ส่วนค่าลบแสดงถึงเวกเตอร์ความเร่งซึ่งเคลื่อนที่ไปตามจุดศุนย์กลาง  (ตรงข้ามกับรัศมี)

ความเร่งและแรงรวมที่กระทำต่อวัตถุในการเคลื่อนที่แบบวงกลมคงที่มีทิศทาง*ไปข้างหน้า*จากจุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งก็คือแรงสู่ศูนย์กลาง และยังมีแรงหนีศูนย์กลาง ซึ่งจะกระทำต่อวัตถุ ซึ่งจริง ๆ แล้ว แรงหนีศูนย์กลางนั้นเป็นเพียงแรงเทียมจากกรอบอ้างอิงหมุนของวัตถุ จากโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุ

หากเป็นการเคลื่อนที่วงกลมไม่คงที่ (อัตราเร็วระหว่างส่วนของเส้นโค้งเปลี่ยนไป) ความเร่งตามขวางจะเปลี่ยนไปตามอัตราการเปลี่ยนแปลงของอัตราเร็วเชิงมุมตามเส้นโค้งตามรัศมีของวงกลม :

a=r\alpha 

ความเร่งตามขวาง (หรือความเร่งซึ่งทำมุม tanθ) มีทิศทางทำมุมกับเวกเตอร์รัศมี ใช้สัญลักษณ์ความเร่งเชิงมุม (\alpha)

## ความเร่งกับทฤษฎีสัมพันธภาพ

### ทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษ

ทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษอธิบายถึง "พฤติกรรม" ของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่สัมพันธ์กับวัตถุอื่นในความเร็วใกล้ความเร็วแสงในสถานะสุญญากาศไว้ กลศาสตร์ดั้งเดิมได้อธิบายไว้ใกล้เคียงความเป็นจริงมาก แต่หากเป็นความเร็วที่เพิ่มขึ้นเป็นความเร็วแสง ความเร่งจะไม่เป็นไปตามสมการธรรมดาอีก

หากความเร็วของวัตถุใดวัตถุหนึ่งมีค่าเข้าใกล้ความเร็วแสง ความเร่งจะเพิ่มขึ้นในขณะที่แรงลดลง และจะมีขนาดเป็นกณิกนันต์ หากวัตถุมีความเร็วเท่ากับแสง

หากเป็นวัตถุที่มีมวล ความเร็วจะเข้าใกล้ความเร็วแสงอย่างเป็นเส้นกำกับ (Asymptote) (ลู่เข้าหากัน แต่ไม่บรรจบกัน) 
### ทฤษฎีสัมพันธภาพทั่วไป

จากการเคลื่อนที่ของวัตถุที่เป็นที่รู้จักกัน จะสามารถแยกได้ว่าแรงที่ถูกสังเกตอยู่ (Observed Force) นั้นมาจากความโน้มถ่วง หรือจากความเร่ง ความโน้มถ่วงและความเร่งเฉื่อยจะทำให้เวลาเดินช้าลง อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ เรียกปรากฏการณ์นี้ว่าหลักแห่งความสมมูล (Equivalence Principle) และบอกว่าผู้สังเกตการณ์จะไม่รู้สึกถึงแรง รวมไปถึงแรงโน้มถ่วง แค่เพียงสรุปได้ว่าวัตถุนั้นไม่มีความเร่ง

## การแปลงหน่วย

## ดูเพิ่ม

* ความเฉื่อย
* เวกเตอร์สี่มิติ
* ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง
* อันดับของขนาด (ความเร่ง)
* ช็อก (กลศาสตร์)
* แรงจำเพาะ

## อ้างอิง
หมวดหมู่:หลักการสำคัญของฟิสิกส์
หมวดหมู่:การเคลื่อนที่
หมวดหมู่:ปริมาณทางกายภาพ
หมวดหมู่:พลศาสตร์
หมวดหมู่:ฟิสิกส์คณิตศาสตร์