ควอเทอร์เนียน

ในคณิตศาสตร์ **ควอเทอร์เนียน** () เป็นระบบจำนวนที่เพิ่มเติมออกมาจากจำนวนเชิงซ้อน เป็นจำนวนที่เขียนได้ในรูป w+ix+jy+kz โดยที่ w, x, y และ z เป็นจำนวนจริง และ i^2 = j^2 = k^2 = -1, ij = k = -ji ซึ่งแสดงว่าควอเทอร์เนียนไม่มีสมบัติการสลับที่

ควอเทอร์เนียนมีบทบาททั้งในคณิตศาสตร์ทฤษฎีและคณิตศาสตร์ประยุกต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการคำนวณที่มีการหมุนในสามมิติ เช่น คอมพิวเตอร์กราฟฟิกสามมิติ ในการใช้ประโยชน์เชิงปฏิบัติ ควอเทอร์เนียนสามารถใช้ควบคู่กับวิธีอื่น ๆ เช่น มุมออยเลอร์ และเมทริกซ์การหมุน หรือใช้แทนไปเลยโดยขึ้นอยู่กับการใช้ประโยชน์

พีชคณิตควอเทอร์เนียนมักใช้ตัวอักษร **H** (จากชื่อ *Hamilton*) หรือ ℍ (Unicode U+210D)

## ความเป็นมา
ควอเทอร์เนียน ถูกสร้างขึ้นโดย วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน (Sir William Rowan Hamilton) ซึ่งมีชีวิตอยู่ในปี ค.ศ. 1805-1865 นักคณิตศาสตร์ชาวไอร์แลนด์ มีผลงานในด้านพีชคณิต ดาราศาสตร์ และฟิสิกส์ 

วันที่ 16 ตุลาคม ปี ค.ศ. 1843 แฮมิลตันได้สร้างจำนวนชนิดใหม่ขึ้นเรียกว่า ควอเทอร์เนียน ระหว่างทางที่เขากำลังเดินทางไปยัง Royal Irish Academy แฮมิลตันตื่นเต้นมากจนถึงขั้นสลักสมการต่อไปนี้ของควอเทอร์เนียนเอาไว้

\mathbf{i}^2 = \mathbf{j}^2 = \mathbf{k}^2 = \mathbf{i\,j\,k} = -1

## นิยาม
ควอเทอร์เนียน **H** คือเซตที่เท่ากับปริภูมิเวกเตอร์ 4 มิติของจำนวนจริง (**R**4) การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในควอเทอร์เนียนมี 3 แบบคือ การบวก, การคูณด้วยปริมาณสเกลาร์ และการคูณด้วยควอเทอร์เนียน ผลรวมระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนจะมีค่าเท่ากับการรวมของจำนวนสองจำนวนในปริภูมิ **R**4 และเช่นเดียวกัน การคูณควอเทอร์เนียนด้วยจำนวนจริงจะใช้นิยามเดียวกันกับการคูณเวกเตอร์ใน **R**4 ด้วยจำนวนจริง สำหรับการคูณระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนนั้น ก่อนอื่นจะต้องนิยามฐานหลัก (basis) ของ **R**4 ก่อน โดยปกติพื้นฐาน ฐานหลักที่นิยมใช้ก็คือ 1, *i*, *j* และ *k* ดังนั้นสมาชิกใด ๆ ก็ตามใน **H** ย่อมสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของฐานหลักเหล่านั้นได้เสมอโดยไม่ซ้ำแบบกัน ยกตัวอย่างเช่น ควอเทอร์เนียน *a*1 + *bi* + *cj* + *dk* เป็นการเขียนในรูปฐานหลัก โดยที่ *a*, *b*, *c* และ *d* เป็นจำนวนจริง และมี 1, *i*, *j* และ *k* เป็นฐานหลัก เป็นต้น ควอเทอร์เนียนมีเอกลักษณ์การคูณ คือ 1 ดังนั้นการคูณควอเทอร์เนียนด้วย 1 จึงไม่เปลี่ยนแปลงควอเทอร์เนียน ด้วยเหตุนี้จำนวนควอเทอร์เนียนใด ๆ มักเขียนในรูป *a* + *bi* + *cj* + *dk* ดังนั้นนิยามการคูณระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนจึงประกอบไปด้วยการคูณกันระหว่างสมาชิก และการใช้กฎการแจกแจง

### การคูณระหว่างฐานหลัก
ฐานหลักของควอเทอร์เนียนมีสมบัติ คือ i^2 = j^2 = k^2 = i j k = -1\  โดย *i*, *j* และ *k* เป็นจำนวนจินตภาพ เราสามารถหาผลคูณระหว่างฐานหลักแต่ละคู่ได้ ยกตัวอย่างเช่น หากต้องการแสดงว่า k = i j \  สามารถทำได้โดยเริ่มจากพิจารณาสมการ

-1 = i j k \ 

จากนั้นคูณทั้งสองด้านของสมการด้วย *k* จะได้


\begin{align}
-k & = i j k k \\
-k & = i j (-1) \\
 k & = i j
\end{align}


สำหรับผลคูณระหว่างฐานหลักคู่อื่น ๆ สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีการเดียวกัน ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ ดังนี้
: \begin{alignat}{2}
ij & = k, & \qquad ji & = -k, \\
jk & = i, & kj & = -i, \\
ki & = j, & ik & = -j
\end{alignat}

### ผลคูณฮามิลตัน (Hamilton product)
สำหรับจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวน *a*1 + *b*1*i* + *c*1*j* + *d*1*k* และ *a*2 + *b*2*i* + *c*2*j* + *d*2*k* ผลคูณฮามิลตัน (*a*1 + *b*1*i* + *c*1*j* + *d*1*k*)(*a*2 + *b*2*i* + *c*2*j* + *d*2*k*) สามารถหาได้โดยการใช้สมบัติการแจกแจง จากนั้นหาผลรวมระหว่างผลคูณของฐานหลักแต่ละคู่ ดังต่อไปนี้
: a_1a_2 + a_1b_2i + a_1c_2j + a_1d_2k + b_1a_2i + b_1b_2i^2 + b_1c_2ij + b_1d_2ik + c_1a_2j + c_1b_2ji + c_1c_2j^2 + c_1d_2jk + d_1a_2k + d_1b_2ki + d_1c_2kj + d_1d_2k^2
เมื่อจัดหมู่ ผลลัพธ์ที่ได้คือ
: (a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2) + (a_1b_2 + b_1a_2 + c_1d_2 - d_1c_2)i + (a_1c_2 - b_1d_2 + c_1a_2 + d_1b_2)j + (a_1d_2 + b_1c_2 - c_1b_2 + d_1a_2)k

หมวดหมู่:คณิตศาสตร์