พลศาสตร์ของไหล

**พลศาสตร์ของไหล** () เป็นสาขาวิชาการย่อยของกลศาสตร์ของไหล ที่ศึกษาการเคลื่อนที่ของของไหล ซึ่งหมายรวมถึงของเหลวและแก๊ส โดยพลศาสตร์ของไหลยังแบ่งแยกย่อยออกเป็นหลายสาขาวิชา เช่น อากาศพลศาสตร์ ที่ศึกษาการเคลื่อนที่ของอากาศ และพลศาสตร์ของเหลวที่ศึกษาการเคลื่อนที่ของของเหลว เราใช้พลศาสตร์ของไหลในหลายวิธี เช่นในการคำนวณแรงและโมเมนต์บนอากาศยาน ในการหาอัตราการไหลของมวลของปิโตรเลียมผ่านท่อ คาดคะเนแบบรูปของสภาพอากาศ ทำความเข้าใจเนบิวลาและสสารระหว่างดาว ตลอดจนงานคอมพิวเตอร์กราฟิกส์

## โมเดลของของไหลในอุดมคติ (Ideal Fluid Model)
ของไหลในอุดมคติ คือ ของไหลที่มีความสมบูรณ์แบบที่ทำให้วิเคราะห์ง่าย แต่เป็นของไหลที่หายากในความเป็นจริงจึงเป็นของไหลในอุดมคติโดยการประมาณเท่านั้น ของไหลในอุดมคติมีคุณสมบัติต่อไปนี้คือ 

#เป็นของไหลที่ใช้ความดันกดให้ปริมาตรลดลงไม่ได้ ทั้งนี้หมายความว่าความหนาแน่นของของไหลไม่ขึ้นอยู่กับความดัน และของเหลวแทบทั้งหมดมีความหนาแน่นที่ไม่เปลี่ยนค่าไปตามความดัน
#การไหลเป็นไปอย่างสม่ำเสมอ หมายความว่าความเร็วของของไหลที่จุดใด ๆ ภายในของไหลมีค่าคงที่ ณ จุดนั้น ๆ แต่ถ้าเราเปลี่ยนที่จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดภายในของไหล ความเร็วอาจเปลี่ยนไปได้ แต่ความเร็วที่จุดใด ๆ ก็ตามจะต้องมีค่าคงที่สม่ำเสมอ
#การไหลไม่หมุนวน หมายความว่าของไหลไม่มีความเร็วเชิงมุม
#ของไหลไม่มีความหนืดระหว่างชั้นของไหลที่ติดกัน

## สมการต่อเนื่อง (Equation of continuity)
การเคลื่อนที่ของของไหลด้วยวิธีการเขียนเวกเตอร์ความเร็วของของไหลที่แต่ละจุด มีความยาวของเวกเตอร์แทนอัตราเร็วของการไหลและทิศทางของเวกเตอร์แทนทิศทางการไหล หรืออีกวิธีหนึ่งคือการเขียนที่เราเรียกว่า สายกระแส ซึ่งคือเส้นสัมผัสกับทิศทางของความเร็ว ระยะช่องไฟระหว่างแต่ละเส้นในสายกระแสเป็นตัวระบุความมากน้อยของอัตราของการไหล ถ้าช่องไฟแคบแสดงว่าอัตราเร็วของการไหลมีค่าสุง และช่องไฟระหว่างเส้นห่างกันมากแสดงว่ามีอัตราการไหลต่ำ สำหรับการไหลแบบสม่ำเสมอ เส้นในสายกระแสจะไม่เปลี่ยนแปลง

สมการต่อเนื่องนี้เป็นผลสืบเนื่องของอนุรักษ์มวล สำหรับการไหลที่มีค่าความหนาแน่นคงที่ และไม่เปลี่ยนแปลงไปตามค่าความดัน
:  \rho_1\, = \rho_2\,   
 
สมการทอนลงมาเป็น
: V_1A_1= V_2 A_2
: VA  คงที่

## สมการแบร์นูลี (Bernoulli’s Equation)

การใช้หลักการของการอนุรักษ์มวลวิเคราะห์การไหลของของไหลในท่อทำให้เราเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็วและพื้นที่หน้าตัด และเราได้ความสัมพันธ์ที่เรียกว่าสมการต่อเนื่อง ในหัวข้อต่อไปเราจะใช้หลักการอนุรักษ์พลังงานวิเคราะห์การไหลของของไหล เพื่อที่จะใช้หลักการอนุรักษ์พลังงานคือ 
: W = \Delta K\, + \Delta U\, 

ซึ่งมีความหมายว่าการถ่ายโอนพลังงานคิดได้จากงาน w ซึ่งมีค่าเท่ากับผลบวกของการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ของของไหลที่ไหลในท่อ 
thumb|ของไหลเคลื่อนที่ไปตามท่อตามแนวราบที่ปลายล่างและปลายบน
ตามรูปข้างบนแรงภายนอกที่กระทำต่อของไหลที่อยู่ระหว่าพื้นที่หน้าตัดในระนาบ x และ y มีสองแรงคือ แรง F1 จากของไหลที่อยุ่ทางด้านซ้ายมือ และ แรง F2 จากของไหลที่อยุ่ทางด้านขวามือ  
:  F_1 =  \frac{\Rho_1\,}{A_1}

เมื่อ ρ1 เป็นความดันของของไหลที่กระทำต่อพื้นที่ A1 ทางด้านซ้ายมือ และ
:  F_2 =  \frac{\Rho_2\,}{A_2}

เมื่อ ρ2 เป็นความดันของของไหลที่กระทำต่อพื้นที่ A2 จากทางด้านขวามือ แรงภายนอกที่ว่านี้ทำให้ของไหลซึ่งอยุ่ระหว่างพื้นที่หน้าตัดที่ x และ y ย้ายไปอยู่ระหว่างพื้นที่หน้าตัด x’ และ y’ ตามลำดับ
ภายในช่วงเวลา∆t 

แรง F1 ดันของไหลที่พื้นที่ A1 ให้ปลายล่างของไหลเคลื่อนที่ตามแนวระดับได้เป็นระยะสูงสุด ∆L1 ดังนั้น งานหรือพลังงานที่ถ่ายโอนให้ของไหลในช่วงที่พิจารณาเท่ากับ
:  W_1 =  F_1 \Delta L_1\,= \Rho_1\, A_1 \Delta L_1\,

ภายใน ∆t เดียวกัน ของไหลในท่อถูกดันทำให้ส่วนปลายด้านบนเคลื่อนที่ ตามแนวระดับได้เป็นระยะทางสุงสุด ∆L2 ดังนั้นพลังงานที่ถ่ายโอนมีค่าเท่ากับ
:  W_2 =  F_2 \Delta L_2\,= \Rho_2\, A_2 \Delta L_2\,

แต่เนื่องจาก F2 มีทิศทางตรงกันข้ามกับ ∆L2 งาน W2 จึงมีเครื่องหมายลบ หมายความว่าของไหลในช่วงที่เราพิจารณามีการสูญเสียพลังงาน

ดังนั้นของไหลในช่วงที่เราพิจารณาการเปลี่ยนแปลงพลังงาน W มีค่าเท่ากับ
:  W = W_1 - W_2 
:  W =\Rho_1\,A_1\Delta L_1\, - \Rho_2\,A_2\Delta L_2\, 

เนื่องจากความหนาแน่นไม่ได้เปลี่ยนไปเนื่องจากความดัน ดังนั้น
:  A_1\Delta L_1\, = A_2\Delta L_2 = \Delta V\, 

เมื่อ ∆V เป็นปริมาตรของของไหลระหว่างระนาบ X และ Y’
ดังนั้น
:  W = (\Rho_1\, - \Rho_2\,)\Delta V

ถ้า ∆m เป็นมวลของปริมาตร ∆V
:V2 เป็นค่าความเร็วของมวล ∆m ที่เคลื่อนที่ออกจากท่อผ่านพื้น A2
:V1 เป็นค่าความเร็วของมวล ∆m ที่เคลื่อนที่ผ่านออกจากท่อผ่านพื้น A1
ดังนั้น พลังงานจลน์ที่เปลี่ยนไปของของไหลในท่อคือ ∆k 
และ
:  \Delta K\, = \left ( \frac{1}{2} \right )\Delta m\,V_2^2 - \left ( \frac{1}{2} \right )\Delta m\,V_1^2  

และ พลังงานศักย์ที่เปลี่ยนไป
:  \Delta U\, =(\Delta m)gh_2 - (\Delta m\,)gh_1 

ในเมื่อ h1และ h2 เป็นความสุงสุดของจุดศูนย์กลางของพื้นที่ A2 และ A1 วัดจากระดับพื้นตามแนวราบพลังงานที่ถ่ายโอนนี้มีค่าเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานรวม (พลังงานจลน์+พลังงานศักย์)
เราสามารถจัดรูปได้ใหม่เป็น
: (\Rho_1\, - \Rho_2\,) \Delta V\, =\left ( \frac{1}{2} \right )\Delta m\,V_2^2 - \left ( \frac{1}{2} \right )\Delta m\,V_1^2 + (\Delta mgh_2\, - \Delta mgh_1\,)
:  (\Rho_1\, - \Rho_2\,) =  \left ( \frac{ \Delta m\,}{2 \Delta V\,} \right )(V_2^2 - V_1^2) + \left ( \frac{ \Delta m\,}{ \Delta V\,} \right )g(h_1 - h_2)
: \Rho_1\, + \left ( \frac{1}{2} \right )\rho V_1^2 + \rho gh_1\, = \Rho_2\, + \left ( \frac{1}{2} \right )\rho V_2^2 + \rho gh_2\,

สมการมีชื่อเรียกว่า สมการแบร์นูลี เพื่อเป็นเกียรติแก่ Daniel Bernoulli นักวิทยาสตร์ชาวสวิสผู้ก่อตั้งสมการนี้เป็นคนแรกซึ่งช่วยให้เราเข้าใจปรากฏการณ์ธรรมชาติ และหลักการบินของเครื่องบินแบบต่าง ๆ ตลอดไปจนถึงการบินของนก

### การบินและแรงยก (Flight and Lift)
เครื่องบินทั่ว ๆ ไปรวมทั่งเครื่องบินเฮลิคอร์ปเตอร์ตลอดไปจนถึงนก อาศัยแรงดันบรรยากาศที่ได้มาจตาหลักการของสมการแบร์นูลี หรือตามหลักการของปรากฏการณ์แบร์นูลี นอกจากเครื่องบินและนก เรือต่าง ๆ เช่น เรือไฮโดรฟอยล์ เรือฮเวอร์คราฟท์ หรือแม้แต่เรือใบหาปลายังได้อาศัยยังได้อาศัยปรากฏการณ์แบร์นูลีที่เป็นการทำกิริยาระหว่างเรือกับน้ำ อีกทั้งวัตถุโปรเจกไตล์ เช่น ลูกกอล์ฟลูกฟุตบอลที่สามารถเลี้ยวโค้ง หรือ ไซ้โค้ง ได้อย่างน่าประหลาด สามรถอธิบายตามสมการแบร์นูลีได้ว่า การที่ปีกของเครื่องบินถูกออกแบบให้พื้นที่ผิวด้านบนเป็นผิวโค้งออก ทำให้กระแสอากาศเหนือปีกเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสูงกว่ากระแสอากาศใต้ปีก 

ในรูปแสดงสายกระแสด้านบนอยู่ชิดกันมากกว่ากระแสอากาศใต้ปีก ตามหลักของสมการแบร์นูลีความดันใต้ปีกมีค่ามากว่าทำให้เกิดแรงยกที่ปีกและเครื่องบินทั้งลำลอยตัวอยู่ในอากาศได้ทั้งนี้สอดคล้องกับหลักการณ์ และทฤษฏีกฎข้อสามของนิวตัน กล่าวคือ จากการทำกิริยาระหว่างปีกเครื่องบินกับอากาศ กระแสอากาศผลักปีนขึ้นด้านบนยกเครื่องบินให้ลอยอยู่ในอากาศได้

## กลศาสตร์ของของไหล (Fluid mechanic)
### คุณสมบัติของของไหล (Fluid property)
**	กลศาสตร์ของไหล** เป็นสาขาหนึ่งของกลศาสตร์ประยุกต์ที่เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมของของเหลวและก๊าซสาขาวิชานี้สามารถสามารถแบ่งออกได้เป็น
#สถิตศาสตร์ของไหล (Fluid Statics) คือของไหลที่ไหลอยู่กับที่ ได้แก่ การศึกษาความดันในของไหล หลักของปาสกาล หลักของอาร์คีมีดิส ความดึงผิว
#พลศาสตร์ของไหล (Fluid Dynamics) คือของไหลที่มีการเคลื่อนที่ ได้แก่ การศึกษาสมการต่อเนื่อง สมการของแบร์นูลลี ความหนืด การศึกษาทางด้านนี้สามารถประยุกต์ใช้ในการออกแบบ และแก้ไขปัญหาต่าง ๆ เช่น การไหลของน้ำดีและน้ำเสียการไหลของน้ำในระบบท่อดับเพลิง การระบายอากาศ การดูดควันหรือสารเคมีอันตรายออกจากพื้นที่ทำงาน เป็นต้น

### ความหนาแน่น (Density)
ความหนาแน่น (Density) ของไหลนิยมใช้สัญลักษณ์ ρ หมายถึงมวลต่อหนึ่งหน่วยปริมาตร
: \rho\, = \frac{m}{V}

เมื่อ 
:ρ คือ ความหนาแน่นของของไหล
:m คือ มวลของของไหลหน่วยเป็น kg
:v คือ ปริมาตรของของไหลหน่วยเป็น m3

### ค่าปริมาตรจำเพาะ
ค่าปริมาตรจำเพาะ (Specific volume, Vs) คือ ค่าปริมาตรต่อหน่วยมวล ดังนั้นค่านี้จึงเทากับส่วนกลับของความหนาแน่น
: V_s = \frac{1}{\rho\,}

เมื่อ 
:Vs = ปริมาตรจำเพาะของของไหลหน่วยเป็น m3/kg
:ρ = ความหนาแน่นของของไหลหน่วยเป็น kg/m3

### ค่าน้ำหนักจำเพาะ
ค่าน้ำหนักจำเพาะ (Specific weight) นิยามโดยใช้สัญลักษณ์ γ หมายถึง น้ำหนักต่อหน่วยปริมาตร
: \gamma\, = \rho\,g 

เมื่อ 
:γ = น้ำหนักจำเพาะของของไหลหน่วยเป็น N/m3
:g = ค่าความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลกมีค่าเท่ากับ 9.81 m/s2

### ค่าความถ่วงจำเพาะ
ค่าความถ่วงจำเพาะ (Specific Gravity, SG) หมายถึง อัตราส่วนระหว่างระหว่างความหนาแน่นของของไหลต่อความหนาแน่นของน้ำ ณ อุณหภูมิเดียวกัน และเนื่องจากเป็นอัตราส่วนค่าของ GS จึงไม่ขึ้นกับระบบหน่วยที่ใช้
: SG = \frac{\rho\,}{\rho_w\,}

เมื่อ  
:SG = ค่าความถ่วงจำเพาะ ไม่มีหน่วย
:ρw = ค่าความหนาแน่นของน้ำ หน่วยเป็น kg/m3 = 1,000 kg/m3

### ความดันและกฎของปาสกาล
ความดัน (Pressure, P) เมื่อของไหลถูกบรรจุในภาชนะ ของไหลจะมีแรงกระทำในแนวตั้งฉากกับภาชนะ โดยอัตราส่วนระหว่างแรงดัน (force of pressure, F) และพื้นที่ตั้งฉาก (normal area, A) กับแรงดัน
:P = \frac{F}{A}

หน่วยของความดันในระบบเอสไอ คือ N/m2 แต่อาจจะมีหน่วยอื่น
ๆ ได้

#### ความดันในของไหลที่อยู่นิ่ง
ของไหลอยู่นิ่งจะมีคุณสมบัติ 4 ข้อที่เราต้องทำความเข้าใจ
	
:ก. แรงดันจะตั้งฉากกับพื้นผิว ถ้าแรงดันไม่ตั้งฉากหรือทำมุมใด ๆ กับพื้นที่ผิวของก้อนของไหล ให้แยกองค์ประกอบของแรงในแนวตั้งฉาก และขนานกับพื้นที่ดังรูป 9.1 ในกรณีแรงที่ตั้งฉากกับพื้นที่ของของเหลวจะทำให้เกิดทอร์คและเกิดการหมุน อย่างไรก็ตามเนื่องจากของไหลอยู่นิ่งแรงลัพธ์ที่กระทำที่ผิวจะมีค่าเป็นศูนย์

:ข. แรงดันต่อหน่วยพื้นที่มีค่าเท่ากันทุก ๆ จุดบนผิวนั้น พิจารณาก้อนของเหลวดังรูปที่ 9.2 จากกฎข้อสองของนิวตัน

:ค. ความดันในของไหลจะขึ้นอยู่กับความลึกเพียงอย่างเดียว

#### ความดันของเหลวขึ้นอยู่กับความลึกของของเหลว
เมื่อเราเจาะรูภาชนะที่บรรจุของเหลวที่ระดับต่าง
ๆ รอบ ๆ ภาชนะ จะเห็นว่ามีของเหลวพุ่งออกจากรูที่ระดับต่าง ๆ ได้ไกลไม่เท่ากัน ดังรูปที่ 9.4

พิจารณาของเหลวที่มีความหนาแน่น ρ อยู่นิ่งในภาชนะปิด โดย สังเกตส่วนของเหลวรูปทรงกระบอกที่มีพื้นผิวด้านบนและล่างมีค่า A หนา dy อยู่ลึกจากผิวของเหลว y = h ดังรูปที่ 9.5 ที่ผิวของของเหลวมีความดันบรรยากาศ Pa ถ้าให้ความดันที่พื้นที่ผิวด้านบนของส่วนของเหลวนี้เป็น P กดลง PA ความดันที่พื้นที่ผิวด้านล่างของส่วนของเหลวนี้เป็น P+dP จะเกิดแรงดันขึ้น (P+dP)A ส่วนแรงดันลัพธ์ด้านข้างมีค่าเป็นศูนย์เพราะมีขนาดเท่ากับทิศทางตรงข้าม และน้ำหนักของส่วนของเหลวนี้มีค่า 
:  mg = \rho Agdy \, เมื่อของเหลวอยู่ในสภาพสมดุลจะได้ว่า

:\sum\,F = 0 
:P.A + {\rho Agdy\,} - (P.A+dP).A = 0 
:P.A + {\rho Agdy\,} - P.A-AdP = 0 
:∴dP= P.A + {\rho gdy\,}
:\int_Pa^h (dP) = \int_0^h (\rho gdy\,) 
: P - Pa = \rho g\, \int_0^h 
: P = Pa +  \rho gh \,
             
:เมื่อ Pa = ความดันบรรยากาศ (N/m2)
:ρ = ความหนาแน่นของเหลว
:g = ความเร่งของแรงโน้มถ่วง (m/s2)
:h = ความลึกของของเหลว (m)
:P = ความดันสัมบูรณ์ (absolute pressure) ที่ความลึก h (N/m2)
นั้นคือ ที่ระดับความลึกเดียวกันในของเหลวชนิดเดียวกัน จะมีความดันเท่ากัน กำหนดให้ความดันเนื่องจากน้ำหนักของของเหลว เรียกว่าความดันเกจ (Gauge pressure: Pw) เป็นความดันเนื่องจากของเหลว ขึ้นกับความลึกและความหนาแน่นของของเหลว มีค่าเป็น
:  P_w = Pa +  \rho gh \,        
เมื่อมีความดันเนื่องจากของเหลว จะทำให้เกิดแรงดันทุกทิศทุกทางและตั้งฉากกับผนังภาชนะหรือผิววัตถุที่สัมผัสกับของเหลวเสมอ และระดับที่ระดับความลึกเท่ากันในของเหลวชนิดเดียวกันที่อยู่นิ่งและอุณหภูมิคงที่ จะมีความดันเท่ากันเสมอ และของเหลวในภาชนะเดียวกันที่ระดับเดียวกันย่อมมีความดันในของเหลวมีค่าเท่ากัน

#### หลักการและเครื่องมือวัดความดัน
ความดันเป็นคุณสมบัติที่สำคัญมากอันหนึ่งของของไหล จึงมีอุปกรณ์อย่างถูกออกแบบและพัฒนามาเพื่อทำหน้าที่ในการตรวจวัดความดัน เครื่องมือวัดความดันอย่างง่าย ๆ ซึ่งใช้ปรอทวัดความดันบรรยากาศ (Atmospheric pressure) เรียกว่า บารอมิเตอร์ (barometer) ดังแสดงในรูปที่ 9.6 อุปกรณ์ดังกล่าวจะมีปลายปิดข้างหนึ่ง เติมปรอทให้เต็มแล้วกลับหลอดให้ด้านปลายเปิดจุ่มลงในอ่างที่มีปรอท ปรอทจะไหลลงไปจากหลอดส่วนหนึ่ง แต่จะมีอีกส่วนหนึ่งยังคงค้างอยู่ โดยความดัน P_1 ที่ด้านบนของหลอดจะมีค่าประมาณ 0 และเราจะได้ว่าความดันที่จุด A เนื่องจากความสูงของปรอทในหลอด จะเท่ากับความดันที่จุด B ซึ่งเป็นความดันบรรยากาศ ดังสมการ 
:  P_1{atm} =  \rho gh \,
thumb|429x429px|บารอมิเตอร์
thumb|มานอมิเตอร์
เมื่อ h คือความสูงของปรอทในหลอด และเนื่องจากเราสามารถคำนวณความดันบรรยากาศได้จากความสูงของปรอทในบารอมิเตอร์ ดังนั้นในบางครั้งจึงมีการใช้หน่วยของความดันเป็น
มิลิเมตรปรอท หรือบางครั้งเรียกว่า ทอร์ (torr) ความดันบรรยากาศที่ระดับน้ำทะเลจะมีค่าประมาณ 1×105  N/m2 หรือ 760 มิลลิเมตรปรอท หรือ 760 ทอร์
เครื่องมือวัดความดันอีกชนิดหนึ่งเรียกว่า มานอมิเตอร์ (Manometer) ซึ่งเป็นหลอดรูปตัว U ที่มีของเหลวบรรจุอยู่ (โดยมากจะเป็นปรอท) ปลายด้านหนึ่งต่อเข้ากับภาชนะซึ่งมีความดัน P2
ส่วนปลายอีกข้างหนึ่งเปิดให้อากาศเข้า ซึ่งมีความดันเป็น 
:P1= Patm ดังรูป 9.7 
ถ้า P2>P1 จะทำให้ของเหลวด้านปลายเปิดสูงกว่าด้านปลายปิดถ้าจุด B เป็นจุดบนผิวของของเหลวที่อยู่ด้านปลายปิดและ จุด A เป็นจุดที่อยู่ในแนวระดับเดียวกับจุด B ดังนั้น PA=PB เราจะได้ความสัมพันธ์ดังนี้
:PA=PB
:   P_1 +  \rho gh \, = P_2  
:   P_{atm} +  \rho gh \, = P_2
:   P_2 - P_{atm}  =  \rho gh \, 
ความสูง h จะมีค่าเป็นสัดส่วนกับ ซึ่งค่า นี้เราเรียกว่า ความดันเกจ (Gauge Pressure) ส่วนค่า P2 ซึ่งเป็นค่าความดันเกจ บวกกับความดันบรรยากาศ เราเรียกว่า ความดันสัมบูรณ์ (absolute pressure)

## หลักการของปาสคาล (Pascal’s principle)
 
“เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงความดันเกิดขึ้นที่ส่วนหนึ่งส่วนใดของไหล ความดันที่เปลี่ยนแปลงนั้นจะถ่ายทอดไปยังของไหลโดยรอบทั่ว ๆ ทุกส่วนของของไหลด้วยค่าที่เท่ากันตลอด” 

จากหลักการนี้ทำให้เราทราบว่า เมื่อเราเพิ่มความดันที่จุดไหนของภาชนะปิดก็ตาม ของเหลวทุกจุดภายในภาชนะปิดนี้ก็จะมีความดันเพิ่มขึ้นตามไปด้วย ดังแสดงตัวอย่างในรูปที่ 9.6 ถ้าเราออกแรง F1 กระทำต่อพื้นที่ A1 ทำให้เกิดความดัน P1 ทุก ๆ จุดในภาชนะปิดก็จะมีความดันเพิ่มขึ้นอีก P1 ถ้าเช่นกัน และถ้า P2 เป็นความดันที่เกิดขึ้นกับพื้นที่ A2 ซึ่งอยู่ในระดับความสูงเดียวกันกับ A1 
:ดังนั้น P1 = P2
:และ
: \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2} 
:และ 
: \frac{F_1}{F_2} = \frac{A_1}{A_2} 
thumb|ระบบไฮโดรลิค
จากหลักของปาสคาลทำให้เรารู้ว่า ถ้า A1 มีขนาดเล็กกว่า A2 เมื่อเราออกแรก F1 จะทำให้เกิดแรงดัน F2 ที่มีขนาดมากกว่า F1 เราใช้หลักการนี้สร้างเครื่องกลผ่อนแรงที่เรียกว่า ไฮโดรลิค (Hydraulic) ดังแสดงในรูปที่ 9.9 ความดันภายนอกที่กระทำต่อของไหลซึ่งกักตัวอยู่ในภาชนะจะทำให้ความดันเพิ่มขึ้นที่จุดทุกจุดในของไหลด้วยจำนวนเท่ากับความดันที่ใช้นั้น ข้อสรุปนี้อาศัยพื้นฐานบนข้อเท็จจริงที่ว่า ของเหลวอัดตัวไม่ลงดังนั้นแรงใด ๆ จะถ่ายทอดโดยตรงไปยังผิวภาชนะทุกส่วนกฎข้างต้นนี้รวบรวมขึ้นในกลางคริสต์ศตวรรษที่ 17 โดย ปาสกาลซึ่งการค้นพบนี้ทำให้ปาสกาลร่ำรวยขึ้น เนื่องจากปาสกาลท้าพนันกับชาวพื้นเมืองฝรั่งเศส ว่าเขาสามารถระเบิดถังเหล้าองุ่นที่แข็งแรงที่สุดด้วยการเทเหล้าองุ่นลงไปเพียงถ้วยเดียว ไม่มีใครเชื่อว่าเขาจะทำได้ ดั้งนั้นการต่อรองจึงสูงมาก ปรากฏว่าเขาสามารถทำถึงเหล้าองุ่นให้แตกได้จริงด้วยการเทเหล้าองุ่นเติมเข้าไปในหลอดเล็กและยาวที่สอดไว้กับถังเหล้าในแนวดิ่ง เพราะว่านักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้นี้ทราบดีว่า ความสูง h ของเหล้าในหลอดจะทำให้ความดันเพิ่มขึ้นจนถึงแตกได้ ประโยชน์สมัยใหม่ของหลักของปาสกาล คือ เบรกไฮดรอลิกและเครื่องอัดไฮดรอลิก  เป็นต้น รูปที่ 9.10 แสดงเครื่องอัดไฮดรอลิกซึ่งประกอบด้วยกระบอกสูบ 2 อัน (พื้นที่ภาคตัดขวาง A1 และ A2) บรรจุของเหลวไว้ ออกแรง F1 น้อย ๆ จะได้แรก F2 ออกมาขนาดมาก 
: F_2 = (\frac{A_2}{A_1})F_1 

นี่คือหลักพื้นฐานของการทำงานของแม่แรงไฮดรอลิกที่ใช้รถยนต์ตามสถานีบริการน้ำมัน ซึ่งในที่นี้ความดัน
: P_1 = \frac{F_1}{A_1} 
:ได้จากการอัดอากาศ เบรกไฮดรอลิกของรถยนต์ก็ได้หลักการเดียวกัน

## แรงลอยตัวและหลักของอาร์คิมิดิส (Buoyant  force and Archimedes’ principle)
สมบัติอย่างหนึ่งของของไหล คือ เมื่อวัตถุจมในของไหล น้ำหนักของวัตถุจะลดลง และบางครั้งวัตถุสามรถลอยบนของไหลได้ นั้นแสดงว่ามีแรงที่ของไหลกระทำต่อวัตถุในทิศทางที่ตรงข้ามกับทิศของน้ำหนักของวัตถุซี่งปรากฏการณ์ดังกล่าวจะสังเกตเห็นได้ชัดในกรณีที่ของไหลกลายเป็นของเหลว และอาร์คิมิดิส (Archimedes) เป็นผู้พบสมบัตินี้ของของไหล และแถลงออกมาเป็น หลักของอาร์คิมิดิส ซึ่งกล่าวว่า

“เมื่อวัตถุจมหรือหลอยอยู่ในของเหลว จะถูกแรงเนื่องจากของเหลวกระทำต่อวัตถุ มีทิศทางตรงข้ามกับน้ำหนัก ขนาดเท่ากับน้ำหนักของเหลวที่มีปริมาตรเท่าส่วนที่วัตถุจมในของเหลว หรือเท่ากับน้ำหนักของของเหลวที่ถูกแทนที่ด้วยวัตถุ”

เรียกแรงนี้ว่า แรงลอยตัว (Buoyant force: FB) ซึ่งแรงนี้เป็นแรงที่เกิดจากแรงดันลัพธ์เนื่องจากของเหลวกระทำต่อวัตถุที่อยู่ในของเหลว
พิจารณาวัตถุทรงกระบอกที่มีพื้นที่หน้าตัด A สูง h จมอยู่ในของเหลวที่มีความหนา p พื้นที่หน้าตัดด้านบนและด้านล่างอยู่ลึกจากผิวของเหลวเป็นระยะ h1 และ h2 ตามลำดับ (จากรูปตัวอย่าง) แรงดันที่ผนังด้านข้าง F3 และ F4 มีขนาดเท่ากันตามทิศทางตรงข้าม 
แรงดันกดลงบนที่ผิวด้านบน
: F_1 = \rho\,g(h_1)A  
แรงดันพิ้นที่ผิวด้านล่าง 
: F_2 = \rho\,g(h_2)A
ซึ่งมีค่ามากกว่าแรงดันด้านบน  (F1) ทั้งนี้เนื่องมาจากความดันที่มีค่ามากกว่า จะได้ว่า แรงลัพธ์มีค่าเป็น
thumb|แรงที่กระทำต่อวัตถุที่จมอยู่ในของเหลว
จากรูป			     
: \sum F_y\, = F_2 - F_1  มีทิศขึ้น			   
:\rho gA\,(h_2 - h_1) = \rho gAh\,
: \rho gV_{jom}\, = F_2 - F_1			
:เท่ากับ mg เมื่อ m = \rho V_{jom}\, เมื่อ mg = น้ำหนักของของเหลวที่ถูกแทนที่ด้วยวัตถุ

:จาก FB = น้ำหนักของของเหลวที่ถูกแทนที่ด้วยวัตถุ และ Vjom = ปริมาตรของวัตถุที่จมในของเหลว (m3) นั่นคือ

: F_B = \rho\,gV
	
### ความตึงผิว (Surface Tention)
ในธรรมชาติเราเคยเห็นแมลงยืนหรือเดินบนผิวน้ำได้ บางครั้งเราสามารถทำให้เข็มเย็บผ้า หรือใบมีดโกนที่มีความหนาแน่นมากกว่าน้ำ ลอยอยู่บนน้ำได้เช่นกัน และถ้าสังเกตหยดของเหลวเล็ก ๆ ที่มักมีลักษณะเป็นทรงกลมหรือหยดน้ำค้างบนใบไม้ก็มีลักษณะเป็นทรงกลม แม้แต่ฟองสบู่ก็มีลักษณะเป็นทรงกลม  การที่เป็นเช่นนี้เป็นเพราะว่าผิวของของเหลวจะมีแรงยึดเหนี่ยวระหว่างโมเลกุลของของเหลวด้วยกัน  พยายามยึดผิวของของเหลวให้ตึง (ให้มีพื้นที่น้อยที่สุด) เรียกว่า “แรงตึงผิวของของเหลว”

### แรงตึงผิวของของเหลว (Surface force : Fγ)
เป็นแรงที่ผิวของของเหลวพยายามยึดผิวหน้าไม่ให้ขาดออกจากกัน มีทิศขนานกับผิวของของเหลว และตั้งฉากกับเส้นขอบภาชนะหรือวัตถุที่ของเหลวสัมผัส ดังรูป
thumb|ทิศทางของแรงตึงผิว
แรงตึงผิวเกิดจากแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุล ถ้าเป็นแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุลชนิดเดียวกันเรียกว่า แรงเชื่อมติด (Cohesive force, โมเลกุลของเหลวกับของเหลว) แต่ถ้าเป็นแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุลต่างชนิดกันเรียกว่า แรงยึดติด (adhesion > cohesion) ดังรูปตัวอย่าง ผิวน้ำจะเว้าลงไป ทำให้มุมสัมผัส คือ θ กางน้อยกว่า 90o เมื่อแรงยึดติดมากกว่าแรงเกาะติด เช่น ผิวของปรอท (cohesion > adhesion) ดังรูปตัวอย่าง ผิวปรอทจะโค้งนูนขึ้น ทำให้มุมสัมผัส คือ θ กางมากกว่า 90o แรงตึงผิวของของเหลวจะมีทิศขนานกับผิวของของเหลวและตั้งฉากกับเส้นขอบที่ของของเหลวสัมผัส ดังแสดงในรูป
ความตึงผิว เป็นสมบัติของของของเหลวที่พยายามยึดผิวหน้าของเหลวให้มีพื้นที่ผิวน้อยที่สุด มีค่าเท่ากับอัตราส่วนระหว่างแรงตึงผิว ความยาวเส้นขอบของรอยฉีกที่ผิวซึ่งสัมผัสกับอากาศ (1) ดังรูปตัวอย่าง

โดยมี γ เป็นความตึงผิว F คือแรงดึงผิว 1 คือ ความยาวเส้นขอบ
จากรูปภาพตัวอย่าง เมื่อใช้แรง F ดึงขอบลวดซึ่งยาว  l ซึ่งเลื่อนได้ ทำให้ผิวของเหลวที่เป็นแผ่นฟิล์มฉีกขาด เนื่องจากผิวที่สัมผัสอากาศมีสองหน้า ดังนั้น รอยฉีกยาวรวม 21 ดังนั้นจะได้ความตึงผิวเป็น
: \gamma\, = \frac{F}{l}
ความตึงผิวจะขึ้นอยู่กับชนิดและอุณหภูมิของของเหลว ดังภาพ สำหรับความตึงผิวของของเหลวชนิดหนึ่งจะมีค่าเปลี่ยนไปเมื่อมีสารอื่นเจือปน เช่น น้ำเกลือ น้ำฟองสบู่ จะมีค่าความตึงผิวน้อยกว่าน้ำ
**การซึมตามรูเล็ก (Capillarity)** เป็นปรากฏการณ์เนื่องจากความตึงผิวของของเหลว เมื่อจุ่มหลอดเล็กหรือท่อเล็ก (Capillarity)  ลงในของเหลวทำให้ของเหลวในหลอดมีระดับสูงกว่าหรือต่ำกว่าผิวของเหลว ดังรูปตัวอย่าง ทั้งนี้เป็นผลเนื่องมาจากแรงตึงผิวของของเหลว ปรากฏการณ์นี้ที่เกิดในธรรมชาติได้แก่ การลำเลียงน้ำของราก, น้ำใต้ดิน การซับน้ำของกระดาษชำระ

จากรูปภาพ แรงตึงผิว Fγ ทำมุม θ กับผนังชนะจะได้องค์ประกอบของแรง Fγ ในแนวดิ่ง Fγ cosθ ซึ่งมีขนาดเท่ากับน้ำหนักของของเหลวในหลอดเหนือผิวของเหลวเพราะของเหลวอยู่ในสภาพสมดุล
:\sum F\, = 0 
:F ขึ้น = F ลง
: ∴ FγCosθ = mg = \rho\,Ahg				
:Fγ = mg = \rho\,Ahg/Cosθ = (ρπR2 hg)/Cosθ
:ความตึงผิว 
:\gamma\, = \frac{F}{d}
:=  (\frac{\rho\,\pi\,R^2 hg}{2 \pi\,R\cos \theta}) = (\frac{\rho\,Rhg}{2\cos \theta})

### การหาความดันภายในฟองสบู่หรือหยดของเหลวจากความตึงผิวของของเหลว
พิจารณาฟองสบู่มีรัศมี R ความตึงผิว γ ความดันอากาศภายในฟองสบุ่ P และความดันภายนอกคือ ความดันอากาศ Pa ดังรูป

เมื่อผ่าฟองสบู่ แรงตึงผิวมีทิศขนานกับผิวฟองสบู่มีผิวสัมผัสกับอากาศ 2 ผิว คือ ผิวนอกและผิวใน ความยาวของผิวสัมผัสเป็นรูปวงกลม จะได้
:Fγ = rd = r2(2\pi\,R) = 4r\pi\,R
แต่แรงดัน            
:FP = (P - Pa)A = (P - Pa)πR2
เมื่อฟองสบู่อยู่ในสภาพสมดุลแรงทั้งสองมีขนาดเท่ากันแต่ทิศตรงข้าม จะได้
:(P - Pa)πR2 = 4\gamma\,\pi\,R 
:P - Pa = \frac{4\gamma\,}{R}
สำหรับหยดของเหลว ผิวที่ขาดจะมีผิวนอนเพียงผิวเดียว 
:d = 2\pi\,R  
: P-Pa = \frac{2\gamma\,}{R}
:เมื่อ P = ความดันภายในของของเหลวทรงกลม (Pa)
:Pa = ความดันบรรยากาศ (Pa)
:γ = ความตึงผิวของเหลว (N/m)
:R = รัศมีของหยดของเหลวหรือฟองสบู่ (m)

## สมบัติทางอุณหพลศาสตร์ของของไหล
### ความสัมพันธ์ของสมบัติในระบบวัฏภาคเนื้อเดียว
จากกฎข้อที่หนึ่ง สำหรับระบบปิดที่มีสาร n โมล
:d(nU) =dQ + dW
ในกรณีพิเศษสำหรับกระบวนการที่ผันกลับได้ จะเขียนสมการข้างต้นได้ว่า
:d(nU)=dQrev+dWrev
จากสมการนิยามของงานและเอนโทรปี จะได้
: dWrev= -Pd(nV)       และ         
:dQrev=Td(nS)
เมื่อผนวกเข้ากับสมการข้างต้น จะได้
:d(nU)=Td(ns) - Pd(nV)				(1)
โดยที่ U , S และ V คือ ค่าพลังงานภายใน เอนโทรปี และปริมาตรซึ่งเป็น intensive property (มีหน่วยต่อโมล)
จะเห็นได้ว่าสมการนี้เป็นความสัมพันธ์ระหว่างสมบัติทางอุณหพลศาสตร์ และสมบัติเหล่านี้มีค่าขึ้นอยู่กับสภาวะเพียงเท่านั้น โดยไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางของกระบวนการ ดังนั้น ถึงแม้ว่าสมการนี้จะพัฒนามาจากกระบวนการที่ผันกลับได้ แต่เราสามารถใช้สมการนี้กับกระบวนการใด ๆ ก็ได้ตราบเท่าที่ระบบเป็นระบบปิดซึ่งมีมวลสารคงที่                                                                  

สมการข้างต้นแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง P, V, T, U และ S ซึ่งนอกจากสมการนี้แล้ว ยังมีสมการในลักษณะเดียวกันที่พัฒนาขึ้นมาสำหรับสมบัติอื่น ๆ ทางอุณหพลศาสตร์ โดยเริ่มจากนิยามของพลังงานในรูปแบบอื่น ๆ ดังนี้

เอนทัลปี
:H=U + PV

พลังงานเฮล์มโฮลทซ์ (Helmholtz energy) 
:A\equiv\,U-TS                   (2)	
		
พลังงานกิบส์ (Gibbs energy)
:G \equiv\,H-TS	             (3)		
      
พิจารณาสมการ 
:H\equiv\,U+PV 
เมื่อคูนด้วย n ตลอดทั้งสมการ จะได้
:nH=nU+P(nV)
เมื่อดิฟเฟอเรนชิเอทสมการข้างต้นจะได้
:d(nH)=d(nU)+Pd(nV)+(nV)dP		
หากแทน d(nU)ด้วยค่าสมการที่ 1 จะได้
:d(nH)=Td(nS)+(nV)dP				(4)
ในทำนองเดียวกันถ้ากำจัด d(nU) ออกจากสมการที่ 2 (ภายหลังจากที่คูณด้วย n แล้วทำการดิฟเฟอเรทชิเอท)โดยใช้สมการที่ 1 จะได้
: d(nA)=-Pd(nV)-(nS)dT		          (5)
และในลักษณะเช่นเดียวกันนี้ หากทำการดิฟเฟอเรนชิเอทสมการที่ 3 ที่คูณด้วย n ตลอดทั้งสมการ แล้วกำจัดพจน์ d(nU) ออกโดยใช้ค่าจากสมการที่ 4 ข้างต้น จะได้
:d(nG)=(nV)dP-(nS)dT				(6)
สมการที่ 1, 4, 5 และ 6 สามารถเขียนให้อยู่ในรูปต่อหน่วยโมลหรือหน่วยมวลสารได้ ดังต่อไปนี้
:dU=TdS-PdV					          (7)
:dH=TdS+VdP					          (8)
:dA=-PdV-SdT				                      (9)
:dG=VdP-SdT					          (10)
สมการที่ 7-10 เรียกว่าเป็นสมการความสัมพันธ์ของสมบัติพื้นฐาน (fundamental property relation) ซึ่งใช้สำหรับของไหลเนื้อเดียวที่มีองค์ประกอบคงที่ สมการกลุ่มนี้สามารถใช้ในการพัฒนาสมการความสัมพันธ์ของสมบัติทางอุณหพลศาสตร์ที่สำคัญอีกชุดหนึ่ง โดยพิจารณาสมการกลุ่มนี้ในลักษณะเดียวกันกับการดิฟเฟอเรนชิเอทฟังก์ชัน F=F(x,y) ดังนี้
:df \equiv\,(\frac{\partial F}{\partial x})_y dx+ (\frac{\partial F}{\partial y})_x dy			
หรือ 
:dF=Mdx+Ndy				(11)
โดยที่                           
:M\equiv\,(\frac{\partial F}{\partial x})        และ         
:N \equiv\,(\frac{\partial F}{\partial y})_x
			
ถ้าดิฟเฟอเรนชิเอทสมการข้างต้นอีกครั้ง จะได้
:(\frac{\partial M}{\partial y)})_x=(\frac{\partial_2F}{\partial y\partial x}) (\frac{\partial N}{\partial x})_y = (\frac{\partial_2F}{\partial x\partial y})	  
พจน์ทางขวามือของสมการทั้งสองนี้มีค่าเท่ากัน ดังนั้นจะได้ว่า
:(\frac{\partial M}{\partial y})_x = (\frac{\partial N}{\partial x})_y (12)
ดังนั้น หากเราเทียบรูปสมการที่ 7-10 กับสมการที่ 11 จะสามารถเขียนความสัมพันธ์ในลักษณะเดียวกันกับสมการที่ 12 สำหรับสมบัติทางอุณหพลศาสตร์ต่าง ๆ ได้ดังนี้ 
:(\frac{\partial T}{\partial V})_s = - (\frac{\partial P}{\partial S})_V (13)

:(\frac{\partial T}{\partial P})_s =  (\frac{\partial P}{\partial S})_V(14)

:(\frac{\partial P}{\partial T})_s = (\frac{\partial S}{\partial V})_T (15)

:(\frac{\partial V}{\partial T})_P = - (\frac{\partial S}{\partial P})_T (16)

สมการที่ 13-16 นั้นเรียกว่า สมการแมกซ์เวลล์ (Maxwell’s equations)

โดยสรุปจะเห็นว่า สมการความสัมพันธ์ของสมบัติพื้นฐานทางอุณหพลศาสาตร์สามารถนำมาใช้ในการพัฒนาสมการความสัมพันธ์แมกซ์แวลล์ สมการทั้งสองชุดนี้มีความสำคัญต่อการคำนวณหาสมบัติทางอุณหพลศาสตร์ที่ไม่สามารถวัดค่ได้โดยตรงจากการทดลอง ซึ่งจะได้กล่าวถึงต่อไป

## เอนทัลปีและเอนโทรปีในรูปฟังก์ชันของอุณหภูมิและความดัน
ค่าเอนทัลปีและเอนโทรปีเป็นสมบัติของอุณหพลศาสตร์ที่ไม่อาจวัดได้โดยตรงจากการทดลองแต่สามารถหาได้จากข้องมูลที่วัดได้อื่น ๆ เช่น อุณหภูมิและความดัน ดังนั้นจึงจำเป็นต้องทราบรูปแบบความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างเอนทัลปี เอนโทรปี กับอุณหภูมิและความดัน ซึงความสัมพันธ์เหล่านี้สามารถพัฒนาขั้นมาได้หากทราบว่าค่าเอนทัลปีและเอนโทรปีเปลี่ยนแปลงไปตามอุณหภูมิและความดันอย่างไร หรือพัฒนามาจากข้อมูล 
:(\frac{\partial H}{\partial T})_P
:(\frac{\partial S}{\partial T})_P
:(\frac{\partial S}{\partial T})_T
:(\frac{\partial S}{\partial P})_T นั้นเอง
:ค่า(\frac{\partial H}{\partial T})_P นั้นหาได้จากนิยามของ CP
:(\frac{\partial H}{\partial T})_P = C_P

หรืออาจหาได้จากการหารสมการที่ 8 ด้วย dT แล้วกำจัดให้ความดันคงที่ ซึ่งจะได้
:(\frac{\partial H}{\partial T})_P = T(\frac{\partial S}{\partial T})_P

เมื่อรวมสมการข้างต้นทั้งสองเข้าด้วยกัน จะได้
:(\frac{\partial S}{\partial T})_P = C_P T(17)
                                                          
สำหรับค่าดิฟเฟอเรนเชียลของเอนโทรปีเทียบกับความดันนั้น สามารถหาได้โดยตรงจากสมการแมกซ์เวลล์ (สมการที่ 16) 
:(\frac{\partial S}{\partial P})_T = - (\frac{\partial V}{\partial T})_P                                                               (18)
และจากสมการที่ 8 เมื่อหารด้วย dP ที่อุณหภูมิคงที่ จะได้
:(\frac{\partial H}{\partial P})_T = T (\frac{\partial S}{\partial P})_T + V    
 	 
เมื่อรวมกับสมการที่ 18 จะได้ค่าดิฟเฟอเนเชียลของเอนทัลปีเทียบกับความดันที่เป็นฟังก์ชันของตัวแปรที่สามารถวัดค่าได้ทั้งหมด
:(\frac{\partial H}{\partial P})_T = V - T (\frac{\partial V}{\partial T})_P  (19)

เมื่อเรากำหนดให้ Hกับ S เป็นฟังก์ชันของอุณหภูมิและความดัน (สำหรับระบบที่เป็นสารบริสุทธิ์ในวัฏภาคเดียว ซึ่งมีค่า degree of freedom เท่ากับ 2 นั้น เราสามารถคำนวณสมบัติต่าง ๆ ของระบบได้จากตัวแปร 2 ตัว ซึ่งในที่นี้จะเลือกใช้อุณหภูมิและความดัน) ดังนี้        
:H=H(T,P) และ        
:S=S(T,P)    
เราสามารถเขียนให้อยู่ในรูปดิฟเฟอเรนเชียว ได้โดยตรงจากสมการแมกซ์เวลล์ (สมการที่ 16) 
:dH = (\frac{\partial H}{\partial T})_P dT + (\frac{\partial H}{\partial P})_T dP 
และ     
:dS = (\frac{\partial S}{\partial T})_P dT + (\frac{\partial S}{\partial P})_T 

เมื่อแทนสมการที่  17 และ 19 ลงในสมการข้างต้น จะได้
:dH = C_P dT + dT ((V - T (\frac{\partial V}{\partial T})_P)dP(20)
และ
:dS = C_P (\frac{\partial dT}{\partial T}) -  (\frac{\partial V}{\partial T})_P)dP(21)

สมการข้างต้นนี้คือสมการแสดงความสัมพันธ์ของเอลทัลปีและเอนโทรปีในรูปของอุณหภูมิและความดันความสัมพันธ์เหล่านี้มีประโยชน์ต่อการวิเคราะห์ทางอุณหพลศาสตร์ของกระบวนการต่าง ๆ ทั้งนี้การประยุกต์ใช้สำหรับกระบวนการไหลอย่างต่อเนื่องและคงตัวจะได้อธิบายได้อย่างละเอียดในบทต่อไป

## พลังงานภายในในรูปฟังก์ชันของความดัน

เมื่อดิฟเฟอเรนชิเอทสมการ 
:U=H-PV  จะได้
:(\frac{\partial U}{\partial P})_T  =  (\frac{\partial H}{\partial P})_T-P(\frac{\partial V}{\partial P})_T - V
	
และจากสมการที่  19 สามารถเขียนสมการข้างต้นให้อยู่ในรูปสมการความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานภายในกับความดัน ดังนี้
:(\frac{\partial U}{\partial P})_T  = -T (\frac{\partial V}{\partial T})_P - P(\frac{\partial V}{\partial P})_T(22)

## เอนทัลปีและเอนโทรปีที่สภาวะอุดมคติ
ค่าสัมประสิทธิ์ของ dT และ dP ในสมการที่ 20 และสมการที่ 21 นั้น หาได้จากค่า CP  และจากข้อมูล PVT ซึ่งในกรณีของแก๊สอุดมคติความสัมพันธ์ของ PVT เป็นดังนี้
:PV^{ig} = RT
:(\frac{\partial V^{ig}}{\partial T})_P  = \frac{R}{ P}               

เมื่อแทนค่าสมการเหล่านี้ลงในสมการที่ 20 และสมการที่ 21 จะได้
:PH^{ig}  =C_P^{ig}dT (23)
:ds^{ig} = C_P^{ig}\frac{dT}{ T -R }\frac{dP}{ P}  (24)

โดนสัญลักษณ์ ig หมายถึงค่าสำหรับแก๊สในอุดมคติ

## เอนทัลปีและเอนโทรปีสำหรับของเหลว
จากสมการที่ 18-20 เมื่อเปลี่ยนพจน์
:(\frac{\partial V}{\partial T})_P  
ให้อยู่ในรูปของ volume expansivity (β) และเปลี่ยน
:(\frac{\partial V}{\partial T})_T  
ให้อยู่ในรูปของ isothermal compressibility (K) ตามนิยามในสมการ จะได้
:(\frac{\partial S}{\partial P})_T = -\beta V\,  (25)

:(\frac{\partial H}{\partial P})_T = (1-\beta T\,V  (26)
:(\frac{\partial U}{\partial P})_T = (KP-\beta T\,V  (27)

และเมื่อแทนพจน์ (∂V⁄∂T)P ในสมการที่ 20 กับสมการที่ 21 ให้อยู่ในรูปของ volume expansivity จะได้
:dH =C_P dT + (1-\beta T\,VdP  (28)
:dS =C_P dT\frac{ dT}{T} - \beta VdP\,  (29)

เนื่องจากค่า β และ κ ไม่ขึ้นกับความดันของของเหลวมากนัก การอินทิเกรตสมการที่ 28 และ 29 จึงสมารถสมมุติให้ค่าเหล่านี้เป็นค่าคงที่ได้ โดยนิยมใช้ค่าเฉลี่ยตลอดช่วงความดันมาใช้ในการคำนวณ

## พลังงานภายในและเอนโทรปีในรูปของฟังก์ชันอุณหภูมิและปริมาตร

พลังงานภายในและเอนโทรปีอาจเขียนให้อยู่ในรูปของฟังก์ชันอุณหภูมิและปริมาตรได้ เมื่อทราบค่า
:(\frac{\partial U}{\partial T})_V 
:(\frac{\partial U}{\partial V})_T 
:(\frac{\partial S}{\partial T})_T   และ
:(\frac{\partial S}{\partial V})_T   

สำหรับพจน์ 
:(\frac{\partial U}{\partial T})_V    และ
:(\frac{\partial U}{\partial V})_T 
นั้นสามารถหามาได้จากสมการ 7
:(\frac{\partial U}{\partial T})_V = T(\frac{\partial S}{\partial T})_PV และ  
:(\frac{\partial U}{\partial V})_T = T(\frac{\partial S}{\partial V})_T - P 
จากนิยามของความจุความร้อนเมื่อปริมาตรคงที่ตามสมการที่ 2 จะสามารถเขียนสาการแรกได้เป็น
:(\frac{\partial S}{\partial T})_V = C_\frac{V}{T})     (30)
และจากสมาการที่ 15 จะเขียนสาการที่สองได้เป็น
:(\frac{\partial U}{\partial V})_T = T(\frac{\partial P}{\partial T})_V - P (31)                             
ถ้าเขียนพลังงานภายในและเอนโทรปีในรูปฟังก์ชันของอุณหภูมิกับปริมาตร หรือ  U = U(T,V) และ S = S(T,V) และทำการดิฟเฟอเรนชิเอทจะได้
:dU = (\frac{\partial U}{\partial T})_V dT + (\frac{\partial S}{\partial T})_V dV และ	
:dS = (\frac{\partial S}{\partial T})_V dT + (\frac{\partial S}{\partial V})_T dV
เมื่อทราบพจน์ partial derivative ในสมการข้างต้นด้วยค่าจากสมการที่ 2, 30, 31 และ 15 จะได้
:dU = C_V dT + ((\frac{\partial P}{\partial T})_V - P) dV (32)

:ds = C_V (\frac{dT}{T}) + (\frac{\partial P}{\partial T})_V dV   (33)

ซึ่งสมการทั้งสองสมการนี้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานภายในและเอนโทรปีกับอุณหภูมิและปริมาตรของของไหล

จากสมการที่ 3 ในกรณีที่การเปลี่ยนแปลงสภาวะเกิดขึ้นที่ปริมาตรคงที่จะเขียนได้ว่า
:(\frac{\partial P}{\partial T})_V =\frac{\beta\,}{T})  (34)
ดังนั้น จึงสามรถเขียนสมการที่ 32 และ 33 ได้เป็นอีกรูปแบบหนึ่งคือ
:dU = C_V dT + (\frac{\beta\,}{k}T - P)dV (35)                                          
:dU = C_V dT + (\frac{\beta\,}{k})dV (36)

## การใช้พลังงานกิบส์เป็นเจนเนอเรตติงฟังก์ชัน (Generating Function)
ความสัมพันธ์ของสมบัติพื้นฐานดังแสดงด้วยสมการที่ 7-10 นั้นใช้ได้สำหรับของไหลเนื้อเดียวที่มีองค์ประกอบคงที่ ซึ่งจากสมการเหล่านี้จะเห็นว่าสมบัติทางอุณหพลศาสตร์ เช่น U, H, A และ G มีความสัมพันธ์กับตัวแปร 2 ตัวแปรที่วัดค่าได้ เช่น กรณีของสมการที่ 10 ต่อไปนี้
:dG = V dP - SdT (10)
จากสมการนี้จะเห็นว่า พลังงานกิบส์เป็นฟังก์ชันของอุณหภูมิกับความดัน G = G(P,T) และเนื่องจากอุณหภูมิและความดันเป็นตัวแปรที่สามารถวัดค่าได้โดยง่าย ดังนั้นพลังงานกิบส์จึงเป็นคุณสมบัติทางอุณหพลศาสตร์ที่น่าจะมีประโยชน์ต่อการนำไปใช้งานต่อไป

นอกจากสมการที่ 10 แล้ว สมการพื้นฐานของพลังงานกิบส์อาจพัฒนาได้จากคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ (ตามนิยามของดิฟเฟอเรนเชียลผลหาร) ดังนี้
:d(\frac{G}{RT}) =  \frac{1}{RT}dG -  \frac{G}{RT}^2 dT  

เมื่อแทนค่า dG จากสมการที่ 10 และค่า G จากสมการที่ 3 แล้วจัดรูปสมการใหม่ จะได้สมการดังต่อไปนี้
:d(\frac{G}{RT}) =  \frac{V}{RT}dP -  \frac{H}{RT}^2 dT (37)
ซึ่งจะพบว่าทุกพจน์ของสมการข้างต้นเป็นปริมาณที่ไม่มีหน่วยนอกจากนี้ สมการข้างต้นยังต่างกับสมการที่10 ตรงที่ปริมาณทางด้านขวามือของสมการเป็นค่าเอนทัลปี แทนที่จะเป็นเอนโทรปี ซึ่งทำให้สมการนี้ใช้งานได้ง่ายขึ้น
:(\frac{V}{RT}) =   (\partial (\frac{G/RT}{\partial T}))_T (38) และ
:(\frac{H}{RT}) =  T (\partial (\frac{G/RT}{\partial T}))_P (39)
ซึ่งจะเห็นว่า เมื่อทราบค่าของ G/RT ในรูปของฟังก์ชันของ T และ P จะทำให้คำนวณหาค่า V/RT และ H/RT เช่นเดียวกันกับสมบัติอื่น ๆ เช่น
:(\frac{S}{R}) = \frac{H}{RT} - \frac{G}{RT} และ
:(\frac{U}{RT}) = \frac{H}{RT} - \frac{PV}{RT} 
กล่าวโดยสรุปได้ว่า เมื่อเราทราบสมการ G/RT=g(T,P) แล้ว จะทำให้สามารถหาสมบัติทางอุณหพลศาสตร์อื่น ๆ ได้จากการคำนวณอย่างง่าย ดังนั้นจึงเรียกพลังงานกิบส์ว่าเป็น เจนเนอเรตติงฟังก์ชัน (Generating Function)

## สมบัติรีซิดวล (Residual Properties)
แม้ว่าจะสามารถหาสมบัติต่าง ๆ ได้จากข้อมูลเกี่ยวกับพลังงานกิบส์ แต่การหาค่า G หรือ G/RT อาจไม่สามารถทำได้โดยง่ายจากการทดลอง ดังนั้น ในการหาสมบัติต่าง ๆ อาจทำได้โดยการนิยามสมบัติขึ้นมาอีกชนิดหนึ่ง ได้แก่ พลังงานกิบส์รีซิดวล (Residual Gibb Energy) ซึ่งมีนิยามดังนี้
:G^R \equiv\, G - G^{ig} 
โดยที่ G และ Gig คือ ค่าพลังงานกิบส์จริง ๆ ของระบบ และค่าพลังงานกิบส์ของแก๊สอุดมคติที่อุณหภูมิและความดันเดียวกัน

ในทำนองเดียวกัน สามารถนิยามปริมาตรรีซิดวลได้ด้วยสมการต่อไปนี้
:V^R \equiv\, V - V^{ig} 
ดังนั้น จะได้
:V^R = V - \frac{RT}{P}
เมื่อแทน 
:V = \frac{ZRT}{P}
ในสมการข้างต้น จะได้ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรรีซิดวล กับ Compressibility factor ดังนี้
:V^R =\frac{RT}{P} (Z -1) (40)
สมบัติรีซิดวลนั้นมีนิยามในรูปทั่วไป ดังนี้
:M^R \equiv\, M - M^{ig}  (41)
โดยที่ M  คือสมบัติเชิงมวลทางอุณหพลศาสตร์ เช่น V, U, H, S หรือ G
จากสมการที่ 37 ถ้าเขียนสำหรับกรณีของแก๊สอุดมคติ จะได้
:d(\frac{G^{ig}}{RT}) = \frac{ V^{ig} }{RT}dP - \frac{ H^{ig} }{RT^2} dT
เมื่อลบสมการนี้ออกจากสมการที่ 37 จะได้
:d(\frac{G^R}{RT}) = \frac{ V^R} {RT}dP - \frac{ H^R}{RT^2} dT(42)                                                                              
ซึ่งสมการข้างต้นนี้ก็คือ สมการความสัมพันธ์พื้นฐานของสมบัติรีซิดวลของของไหลที่มีองค์ประกอบคงที่ และจากสมการนี้ จะได้ว่า
:\frac{V^R}{RT} =  (\partial( \frac{G^R}{RT}))_T(43)                และ
:\frac{H^R}{RT} =  T(\partial( \frac{G^R/RT}{\partial T}))_P (44)	
และจากสมการนิยามของพลังงานกิบส์ G≡ H-TS ในกรณีพิเศษของแก๊สอุดมคติ จะได้
:G^{ig}=  H^{ig} - TS^{ig}
ซึ่งผลต่างระหว่างสองสมการข้างต้น ก็คือ
:G^R=  H^R - TS^R
และจากสมการข้างต้น จะได้เอนโทรปีรีซิดวลดังนี้
:\frac{S^R}{R}= \frac{ H^R} {RT} - \frac{G^R} {RT}

จะเห็นว่าพลังงานกิบส์รีซิดวลเปรียบเสมือนเป็น Generating function สำหรับค่าสมบัติรีซิดวลอื่น ๆ โดยค่าพลังงานกิบส์รีซิดวลนี้สามารถหาได้จากข้อมูลการทดลอง และเมื่อพิจารณาสมการที่ 43 เราอาจเขียนสมการนี้ใหม่ได้เป็น
:d(\frac{G^R}{RT}) = \frac{ V^R} {RT}dP 
ถ้าทำการอินทิเกรตสมการข้างต้นจากค่าความดันเท่ากับ 0 ไปจนถึงความดัน P ใด ๆ จะได้				
:\frac{G^R}{RT} = \frac{ G^R} {RT}_{P = 0} + \int_{0}^{P}\frac{V^R}{RT} (อุณหภูมิคงที่)                               
เพื่อความสะดวก จะนิยาม
:(\frac{G^R}{RT})_{P = 0}  \equiv\, J 
ซึ่ง J เป็นค่าคงที่ และไม่ขึ้นกับอุณหภูมิ ดังจะได้อธิบายต่อไป และเมื่อแทนค่า VR ตามสมการที่ 40 ลงไปในสมการข้างต้นจะได้ว่า
:\frac{G^R}{RT}_{P = 0} = J + \int_{0}^{P} (Z - 1)\frac{dP}{P}  (45)
เมื่อดิฟเฟอเรนชิเอทสมการที่ 45 เทียบกับอุณหภูมิแล้วแทนค่าลงไปในสมการที่ 44 จะได้
:\frac{H^R}{RT} = -T \int_{0}^{P}\frac{\partial Z}{\partial T}_P \frac{dP}{P}  (46)
จากสมการนิยามของพลังงานกิบส์ 

:G= H-TS       

สามารถเขียนได้สำหรับกรณีของแก๊สอุดมคติได้เป็น 

:G^{ig}= H^{ig} - (TS)^{ig} 

ซึ่งผลต่างของสมการทั้งสองคือ 

:G^R= H^R - (TS)^R 

หรือตามที่กล่าวไปแล่วข้างต้นเราสามรถเขียนเอนโทรปีรีซิดวลได้เป็น

:\frac{S^R}{R}= \frac{H^R}{RT} - \frac{G^R}{RT} 
และเมื่อนำค่าจากสมการที่ 6.45 และ 6.46 มาแทนลงในสมการนี้จะได้
:\frac{S^R}{R} =\int_{0}^{P} \frac{\partial  Z}{\partial T}_P \frac{dP}{P} - J -\int_{0}^{P}  (Z - 1)\frac{dP}{P}  (48)

เนื่องจาก 
:Z= frac{PV }{RT} 
ดังนั้น ค่าของ Z และค่าของ 
:\frac{\partial Z}{\partial T}_P  
จึงสามารถคำนวณได้จากค่าข้อมูล PVT จากการทดลอง ทั้งค่าอินทิกรัลในสมการที่ 6.45 – 6.48 สามารถคำนวณได้โดยวิธีนิวเมอริคอล (numerical method) หรือวิธีกราฟิคอล (graphical method) หรืออาจสามารถอินทิเกรตโดนตรงจาก Equation of state ที่อยู่ในรูปของ Z จะได้  Z ก็ได้ ดังนั้นถ้าทราบข้อมูล PVT หรือรูปสมการ Equation of state ก็จะสามารถคำนวณหาค่า HR กับ SR และค่าสมบัติรีซิดวลอื่น ๆ ได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้

จากสมการที่ 6.41 เมื่อเขียนสำหรับเอลทัลปี และ เอนโทรปี จะได้
:H= H^{ig} - H^R และ
:S= S^{ig} - S^R
ดังนั้น ค่า H และ S จึงสามารถหาได้จากสมการแก๊สอุดมคติและสมบัติรีซิดวลโดยสมการของ Hig และ Sig นั้นหาได้จากการอินทิเกรตสมการที่ 23 และ 24 
:H^{ig}=H_0^{ig} + \int_{T_0}^{T} C_P^{ig}dT   และ 
:S^{ig}=S_0^{ig} + \int_{T_0}^{T} C_P^{ig} \frac{dT}{T}-R \ln{\frac{P}{P_0}}  (49)
โดยอินทิเกรตจากสภาวะแก๊สอุดมคติที่สภาวะอ้างอิง (reference condition, T0 และ P0) ไปถึงสภาวะแก๊สอุดมคติที่ T และ P ใด ๆ และเมื่อแทนค่าลงไปในสมการข้างต้นจะได้
:H=H_0^{ig} + \int_{T_0}^{T} C_P^{ig}dT + H^R    (50)				                       และ
:S=S_0^{ig} + \int_{T_0}^{T} C_P^{ig} \frac{dT}{T}-R \ln{\frac{P}{P_0}} +S^R  (51)
สมการข้างต้นสามารถเขียนในรูปที่ง่ายขึ้นโดยใช้ค่าความจุความร้อนเฉลี่ย (และสมมติให้ค่าความจุความร้อนเฉลี่ยเป็นค่าคงที่) จะได้
:H=H_0^{ig} +(C_P^{ig})_H (T -T_0) + H^R  (52) และ
:S=S_0^{ig} +(C_P^{ig})_S\ln{\frac{T}{T_0}} - R \ln{\frac{P}{P_0}}+ S^R  (53)

โดยที่ HR และ SR ในสมการที่ 50-53 นั้นสามารถคำนวณได้จากสมการที่ 46 และ 48 ทั้งนี้ถึงแม้ว่าสมการทั้งสองนี้จะใช้สำหรับแก๊สเพียงเท่านั้น แต่สมบัตรีซิดวลนั้นสามารถใช้ได้กับทั้งแก๊สและของเหลวอย่างไรก็ตามสมบัติรีซิดวลจะมีประโยชน์มากกว่าในกรณีที่ใช้กับแก๊ส เนื่องจากพจน์รีซิดวล HR และ SR ซึ่งเป็นพจน์ที่รวมการคำนวณซับซ้อนเอาไว้ จะมีค่าร้อยเมื่อเทียบกับพจน์ Hig และ Sig แต่สำหรับของเหลวแล้วค่านี้จะมีค่ามากกว่าในกรณีของแก๊สมาก เนื่องจากจะต้องรวมค่าการเปลี่ยนแปลงเอนทัลปีและเอนโทรปีของการกลายเป็นไอไว้ด้วย ดังนั้น สำหรับในกรณีของของเหลว จึงนิยมใช้สมการที่ 28 และสมการที่ 29 ในการคำนวณค่าการเปลี่ยนแปลงของสมบัติ

## การหาสมบัติรีซิดวลโดยใช้ Equation of state
ทางเลือกอีกทางหนึ่งในการหาค่าอินทิกรัลในสมการที่ 45-48 ก็คือ การหาจาก equation of state ซึ่งแสดงว่าค่า Z (หรือ V) ในรูปฟังก์ชันของ P และ T โดยเนื้อหาในส่วนนี้จะกล่าวถึงวิธีการคำนวณหาค่าสมบัติของแก็สและไอ โดยใช้สมการไวเรียลและสมการ cubic equation of state ดังต่อไปนี้
### การหาสมบัติรีซิดวลจาก Equation of State ในรูปสมการไวเรียล
ถ้าพิจารณากรณีของแก๊สหรือไอ ณ สภาวะที่ความดันไม่สูงนัก (ต่ำกว่า 5 bar) เราสามารถเขียนค่า compressibility factor ในรูปสมการไวเรียลที่ประกอบไปด้วยสองพจน์ได้ ดังนี้
:Z - 1= \frac{BP}{RT} 
เมื่อแทนค่านี้ลงไปในสมการที่ 45 (โดยกำหนดให้ J=0) จะได้
:\frac{G^R }{RT} = \frac{BP }{RT}  (54)
ดังนั้น สมการที่ 44 จะกลายเป็น
:\frac{H^R}{RT} =T (\frac{G^R RT}{\partial T})_{P,x} = -T (\frac{P}{R})(\frac{1}{R} \frac{dB}{dT} - \frac{B}{T^2}) 
หรือ
:\frac{H^R }{RT} = \frac{P }{R}(\frac{B }{T} - \frac{dB }{dT})  (55)
เมื่อแทบสมการที่ 54 และ 55 ไปในสมการที่ 47 จะได้
:\frac{S^R }{R} = -\frac{P }{R}\frac{dB }{dT}  (56)        
จะเห็นได้จากสมการที่ 55 และ 56 ว่าถ้ามีข้อมูลเพียงพอที่จะหาค่า B และ dB/dT จะทำให้สามารถหาค่าของเอลทัลปีรีซิดวลและเอนโทรปีรีซิดวลได้ ณ สภาวะอุณหภูมิ ความดัน และองค์ประกอบที่กำหนดใด ๆ

จะเห็นได้ว่าเราไม่สามารถใช้ equation of state ที่อยู่ในรูปฟังก์ชันของปริมาตรในการแก้สมการที่ 45-48 ได้โดยตรง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเปลี่ยนรูปสมการที่ 45-48 ให้มีปริมาตรเป็นตัวแปรสำหรับการอินทิเกรดเสียก่อน อย่างไรก็ตาม สมการที่สะดวกต่อการใช้งงานมากกว่าสมการในรูปปริมาตรก็คือ สมการในรูปของความหนาแน่น ในกรณีเช่นนี้สมการ PV=ZRT  จึงจะเขียนได้เป็น
:PV =ZRT (57)
เมื่อดิฟเฟอเรนซิเอทสมการข้างต้นที่อุณหภูมิคงที่ จะได้
:dP = RT(Zd\rho\,+\rho\,dZ) (T คงที่)
ซึ่งเมื่อรวมกับสมการที่ 56 จะได้
:\frac{dP}{P} = \frac{dP }{p} + \frac{dz }{(Z)}  (T คงที่)

เมื่อแทนค่า dP/P ที่ได้นี้ลงไปในสมการที่ 6.45 จะได้
:\frac{G^R}{RT} = \int_0^\rho\, (Z - 1) \frac{d\rho\,}{\rho\,} + Z - 1 - \ln {Z}   (58)
โดยการประเมินค่าพจน์อินทิกรัลของสมการข้างต้นจะทำที่สภาวะอุณหภูมิคงที่เท่ากับ T นอกจากนี้ ควรสังเกตว่า เมื่อ P→0 จะได้ว่า ρ→0 เช่นกัน

สำหรับ H^R สามารถหาได้จากการรวมสมการที่ 42 และ 40 เข้าด้วยกัน ได้เป็น
:\frac{H^R}{RT}^2 dT = (Z - 1) \frac{dP}{P - d} - \frac{G^R}{RT}  
เมื่อหารด้วย dT โดยกำหนดให้ความหนาแน่นคงที่ จะได้
:\frac{H^R}{RT}^2 =  \frac{ (Z - 1)}{P }(\frac{\partial P}{\partial  T})_\rho\, - (\partial(\frac{G^R/RT}{\partial T}))_\rho\,    
ค่าอนุพันธ์ในพจน์แรกทางด้านขวามือของสมการข้างต้นนั้น คำนวณได้จากการดิฟเฟอเรนชิเอทสมการที่ 57 ส่วนค่าอนุพันธ์ในพจน์ที่สองนั้นหาได้จากการดิฟเฟอเรนชิเอทสมการที่ 58 และเมื่อแทนค่าทั้งสองลงไปในสมการข้างต้น จะได้
:\frac{H^R}{RT}^2 dT = -T\int_0^\rho\, (\frac{\partial P}{\partial  T})_\rho\,\frac{d\rho\,}{\rho\,} + Z - 1   (59)
สำหรับค่าเอนโทปีรีซิดวล สามารถหาได้จากสมการที่ 47
:\frac{S^R}{R} = \ln{Z - T} \int_0^\rho\, (\frac{\partial Z}{\partial })_\rho\,\frac{d\rho\,}{\rho\,} - \int_0^\rho\, (Z - 1) \frac{d\rho\,}{\rho\,}   (60)
ถ้าใช้สมการไวเรียลที่มีสามพจน์ในการพัฒนาความสัมพันธ์ของสมบัติรีซิดวล นั่นคือ ใช้สมการ
:Z -1 = B\rho\, + C\rho\,^2  
เมื่อแทนในสมการที่ 58-60 จะได้
:\frac{G^R}{RT} = 2B\rho\, + \frac{3}{2} C\rho\,^2 - \ln{Z}  (61)
:\frac{H^R}{RT} = T(( \frac{B}{T} -  \frac{dB}{dT})\rho\, + ( \frac{C}{T} -  \frac{1}{2}  \frac{dC}{2cT})\rho\,^2)  (62)
:\frac{S^R}{R} = \ln{Z - T} ((\frac{B}{T} + \frac{dB}{dT})\rho\, + \frac{1}{2} (\frac{C}{T} + \frac{dC}{dT}\rho\,^2 (63)

สมการข้างต้นนี้ใช้สำหรับแก๊สที่มีความดันปานกลาง โดยจำเป็นต้องทราบข้อมูลสัมประสิทธิ์ตัวที่สองและสามของสมการไวเรียล

### การหาสมบัติรีซิดวลจาก Cubit Equatoin of State
ค่าสมบัติอาจหาได้โดยใช้สมการสภาวะกำลังสาม (cubit equation of state) ในรูปทั่วไปดังนี้
:\frac{G^R}{RT} = 2B\rho\, + \frac{3}{2} C\rho\,^2 - \ln{Z} 
:P= \frac{RT}{(V - b)} - \frac{a(T)}{(V+\epsilon\,b)(V +\sigma\,b) }(53)
สมการนี้ใช้งานได้สะดวกมากขึ้นถ้าเขียนในรูปของ Z โดยมีความหนาแน่น ρ เป็นตัวแปรอิสระ ดังนั้นเมื่อหารสมการข้างต้นด้วย ρRT และแทนค่า V=1⁄ρ จะได้สมการดังต่อไปนี้
:Z= \frac{1}{1\rho\,b} -q \frac{\rho\,b}{(1+\epsilon\,\rho\,b)(1 +\sigma\,\rho\,b) }

โดยนิยมค่า q ดังนี้
:q \equiv\, \frac{a(T)}{bRT}
ปริมาณที่ต้องใช้ในการหาค่าอินทิกรัลในสมการที่ 58-60 คือ Z-1 และ (∂Z⁄∂T)_ρ ซึ่งสามารถหาได้จากสมการข้างต้น ดังต่อไปนี้
:Z= \frac{1}{1\rho\,b} -q \frac{\rho\,b}{(1+\epsilon\,\rho\,b)(1 +\sigma\,\rho\,b) }(64)

:\ (\frac{\partial Z}{\partial  T})_\rho\, = - (\frac{dg}{dT})\frac{\rho\,b}{(1+\epsilon\,\rho\,b)(1 +\sigma\,\rho\,b) } 
จากค่าทั้งสองนี้ ทำให้คำนวณค่าอินทิกรัลในสมการที่ 58 และ 60 ได้ดังนี้
: \int_0^\rho\,  (Z - 1) \frac{d\rho\,}{\rho\,} =  \int_0^\rho\, (\frac{\rho\,b}{(1-\rho\,b)}) \frac{d\rho\,b}{\rho\,b} - q\int_0^\rho\, \frac{d(\rho\,b)} {(1+\epsilon\,\rho\,b)(1 +\sigma\,\rho\,b) }
: \int_0^\rho\,   (\frac{\partial Z}{\partial T})_\rho\,\frac{\rho\,d}{\rho\,}  =  -\frac{dg}{dT}\int_0^\rho\,  \frac{d\rho\,b}{\rho\,b}\frac{d(\rho\,b)} {(1+\epsilon\,\rho\,b)(1 +\sigma\,\rho\,b) } 
ซึ่งสมการทั้งสองนี้สามารถเขียนในรูปที่ง่ายขึ้นได้เป็น
: \int_0^\rho\,  (Z - 1) \frac{d\rho\,}{\rho\,} =  \int_0^\rho\, (\frac{\rho\,b}{(1-\rho\,b)}) - gI    และ 

: \int_0^\rho\,   (\frac{\partial Z}{\partial T})_\rho\,\frac{\rho\,d}{\rho\,}  =  -\frac{dg}{dT} I 

โดยนิยมให้ I มีค่า 
:I =\int_0^\rho\,\frac{d(\rho\,b)} {(1+\epsilon\,\rho\,b)(1 +\sigma\,\rho\,b) } (T คงที่)                                                                                                   
ทั้งนี้การคำนวณหาค่าอินทิกรัลอาจแบ่งได้แป็นสองกรณีคือ
กรณีที่ 1 เมื่อ ϵ≠σ
:I =\frac{1} {(\epsilon\,-\sigma\,) }\ln{((1+\epsilon\,\rho\,b)(1 +\sigma\,\rho\,b)) } (65a)
สมการนี้จะใช้ง่ายขึ้นเมื่อกำจัด ρ ออกไปโดยทำให้อยู่ในรูปของ Z โดยใช้สมการที่ 3 และจากนิยามของ:
:\beta\, \equiv\,  \frac{bP} {RT}
:Z \equiv\,  \frac{P} {\rho\,RT}
จึงได้
:\frac{\beta\,} {\rho\,b} 
ดังนั้นจะได้
:I =\frac{I} {(\epsilon\,-\sigma\,) }\ln{\frac{Z +\sigma\,\beta\, } {(Z + \epsilon\,\beta\,) }}(65b)
กรณีที่ 2 เมื่อ ϵ=σ
:I =\frac{\rho\,b} {(1 + \epsilon\,\rho\,b) } = \frac{\beta\,}{Z +\epsilon\, \beta\, }
ตัวอย่างของกรณีนี้ได้แก่ สมการแวนเดอร์วาลล์ ซึ่งจะได้ว่า I= β/Z
เมื่อหาค่าอินทิกรัล ลัวแทนลงในสมการที่ 58 จะได้
:\frac{G^R}{RT} = Z - 1 - \ln({(1-\rho\,b)Z-gI}) (66a)
หรือ
:\frac{G^R}{RT} = Z - 1 - \ln({(Z-\beta\,)-gI}) (66b)
:\frac{H^R}{RT} = Z - 1 +T \frac{dg}{dT} I 

และจากสมการที่ 60 จะได้
:\frac{S^R}{RT} = \ln({(Z-\beta\,) + q + T_r \frac{dq}{dT}} I 

และค่า
:T_r (\frac{dq}{dT}_r นั้นสามารถหาได้จากสมการที่ 
:T_r \frac{dq}{dT}_r =(\frac{ d\ln{a(T_r)}}{d \ln{(T_r)}}-1)_q 
เมื่อแทนค่าไปในสมการข้างต้นจะได้
:\frac{H^R}{RT} = Z - 1 +(\frac{ d\ln{a(T_r)}}{d \ln{(T_r)}}-1)-1(67)
:\frac{S^R}{R} = \ln({(Z-\beta\,)} + (\frac{ d\ln{a(T_r)}}{d \ln{(T_r)}}gI(68)
ซึ่งการใช้สมการเหล่านี้จะต้องคำนวณหาค่า Z จากสมการที่ 3.62 สำหรับสถานะไอ และสมการที่ 3.66 สำหรับสมการสถานะของเหลวก่อน

## ระบบที่ประกอบไปด้วยสองวัฏภาค (Two-Phase Systems)
แผนภาพ P-T ในรูปที่ 3.2 ของบทที่ 3 นั้นได้แสดงเส้นแบ่งขอบเขตของสถานะของสารบริสุทธิ์กระบวนการใด ๆ ที่ดำเนินผ่านเส้นแบ่งขอบเขตนี้จะมีการเปลี่ยนแปลงของสถานะเกิดขึ้น พร้อมกันนั้นจะเกิดการเปลี่ยนแปลงสมบัติทางอุณหพลศาสตร์เกิดขึ้นอย่างฉับพลัน นั่นคือที่อุณหภูมิและความดันเดียวกันปริมาตรต่อมวลของของเหลวอิ่มตัวจะแตกต่างจากปริมาตรต่อมวลของแก๊สอิ่มตัวมาก และในทำนองเดียวกัน ค่าพลังงานภายในเอนทัลปีและเอนโทรปีของสารในต่างสถานะก็จะแตกต่างกันมากเช่นกัน  อย่างไรก็ตาม สมบัติชนิดหนึ่งที่ถือเป็นข้อยกเว้น คือ ค่าของพลังงานกิบส์ ซึ่งจะมีค่าเท่ากันในทั้งสองสถานะ (ในขณะที่ทั้งสองสถานะอยู่ในสภาวะสมดุลต่อกัน) กล่าวอีกนัยหนึ่งได้ว่า การเปลี่ยนสถานะจะไม่ส่งผลไห้ค่าพลังงานกิบส์มีการเปลี่ยนแปลง ไม่ว่าจะเป็นการระเหิด การหลอมเหลว หรือการกลายเป็นไอ ทั้งนี้เมื่อได้พิจารณาของเหลวบริสุทธิ์ซึ่งอยู่ในสภาวะสมดุลกับแก๊สในกระสูบที่อุณหภูมิ Tsat และความดัน Psat ถ้ามีของเหลวในปริมาณน้อย ๆ ที่ถูกเปลี่ยนกลายเป็นไอภายใต้สภาวะอุณหภูมิและความดันคงที่ จากสมการที่ 6.6 จะได้ว่า d(nG)=0 โดยกระบวนการที่เกิดขึ้นในระบบปิดนี้ ค่า n จะเป็นค่าคงที่ ดังนั้นจะได้ dG=0 ซึ่งหมายความว่า ค่าพลังงานกิบส์ของแก๊สจะต้องมีค่าเท่ากับพลังงานกิบส์ของของเหลว กล่าวคือ 
:G^\ alpha\, = G^\beta\,(69) 
โดยที่ G^α และ G^β คือ พลังงานกิบส์ของแต่ละสถานะ

สมการข้างต้นสามารถใช้พัฒนาสมการแคลปิรอน (Clapeyron equation) ซึ่งได้กล่าวถึงในบทเรียนที่ผ่านมา โดยทราบว่าในระบบที่อยู่ในสภาวะสมดุลระหว่างสถานะ ถ้าอุณหภูมิของระบบเปลี่ยนไป ความดันก็จะเปลี่ยนตามไปด้วยตามความสัมพันธ์ระหว่างความดันไอและอุณหภูมิโดยจะเป็นไปตามสมการที่ 6.69
:dG^ \alpha\,=d G^\beta\,

แทนค่าสำหรับ dG^α และ dG^β โดยใช้สมการที่ 6.10 จะได้
:V^a (dP)^\alpha\,= G^\beta\,
:V^a (dP)^{sat} - S^\alpha\, dT= V^\beta\,(dP)^{sat} - S^\beta\, dt
ค่าการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปี ∆S^αβ และการเปลี่ยนแปลงของปริมาตร ∆V^αβ คือการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นเมื่อปริมาตรหนึ่งหน่วยของสารบริสุทธิ์เกิดการถ่ายโอนจากสถานะ α ไปเป็น β เช่นนี้ จะได้ ค่าความร้อนแฝงอันเนื่องมาจากการเปลี่ยนสถานะ
:\Delta\,H^{\alpha\,\beta\,}=(T\Delta\,S^{\alpha\,\beta\,}(70)
ซึ่งหลังจากจัดรูปแล้วจะได้สมการดังต่อไปนี้
: \frac{(dP)^{sat}}{dT}=\frac{( S^\beta\,- S^\alpha\,)}{( V^\beta\,- V^\alpha\,)} เท่ากับ
:\frac{(\Delta\, S^{\alpha\,\beta\,}}{\Delta\,V^{\alpha\,\beta\,}}  
ดังนั้น
:\frac{(\Delta\, S^{\alpha\,\beta\,}} = (\Delta\,H)^\alpha\,\beta\,/T   
และเมื่อแทนค่านี้ลงไปในสมการข้างต้นสำหรับ 
: \frac{(dP)^{sat}}{dT}จะได้
: \frac{(dP)^{sat}}{dT} =\frac{(\Delta\,H)^{\alpha\,\beta\,}}{T\Delta\,V^{\alpha\,\beta\,}} (71)
ซึ่งก็คือสมการ แคลปิรอน (Clapeyron equation) นั่นเอง

สำหรับกรณีการเปลี่ยนแปลงสถานะจากของเหลวเป็นแก๊ส สมการข้างต้นจะเขียนได้เป็น
: \frac{(dP)^{sat}}{dT} =\frac{(\Delta\,H)^{lv}}{T\Delta\,V^{lv}}(72) แต่ 
: \Delta\,V^{lv} =\frac{RT}{P^{sat}}\Delta\,Z^{lv}
โดยที่ 
:\Delta\,Z^{lv} คือ ค่าการเปลี่ยนแปลงของ compressibility factor จากการกลายเป็นไอ เมื่อรวมสมการสองสมการข้างต้นเข้าด้วยกัน จะได้
: \frac{d\ln{P}^{sat}}{dT} =\frac{(\Delta\,H)^{lv}}{(RT^2\Delta\,Z^{lv})}(73)
หรือ
: \frac{d\ln{P}^{sat}}{(d(1/T)} =\frac{(\Delta\,H)^{lv}}{(R\Delta\,Z^{lv})}(74)

## สมการ Corresponding-States สำหรับการหาค่าความดันไอ
สมการ Corresponding-States หลายสมการสามารถใช้ในการหาค่าความดันไอสำหรับของเหลวไม่มีขั้วและของเหลวประเภท non-associating โดยสมการที่ง่ายที่สุดได้แก่สมการ Lee/Kesler ซึ่งเป็นสมการในประเภท Pitzer ที่มีรูปสมการดังนี้
		
:\ln{P_r^{sat} }(T_r) = \ln{(P_r^0)} (T_r) +\omega\,\ln{P_r^1}(T_r) (75)
โดยที่
:\ln{P_r^{0} }(T_r) = \frac{5.92714-6.09648}{T_r} - 1.28862\ln{T_r} + 0.169347T_r^6    (76)

:\ln{P_r^{0} }(T_r) = \frac{5.92714-6.09648}{T_r} - 1.28862\ln{T_r} + 0.43577T_r^6   (77)
:Lee และ KesLer 
แนะนำว่าค่า ω นั้น สามารถหาโดยอาศัยสมการข้างต้นที่สภาวะจุดเดือดปกติ
โดยแทนค่า Tr ด้วยอุณหภูมิขิงจุดเดือดที่ความดัน 1 บรรยากาศ หรือนั่นคือ ω สำหรับสารใด ๆ จะคำนวณได้จาก
:\omega\, = \frac{\ln{P_{r_n}^{sat} - \ln{P_r^0}T_{r_n}}}{\ln{P_r^1 T_{r_n}}}   (78)
โดยที่ 
:T_{r_n}  คือ อุณหภูมิลดของจุดเดือดที่ความดัน 1 บรรยากาศ และ 
:P_{r_n}^{sat} คือ ความดันไอลด ที่สอดคล้องกับความดัน 1 บรรยากาศมาตรฐาน (1.01325 bar)

## สมการรูปทั่วไปของความสัมพันธ์อุณหพลศาสตร์ของแก๊ส
ดังที่ได้บรรยายมาข้างต้น จะเห็นว่าในการประมาณค่าสมบัติทางอุณหพลศาสตร์นั้นจำเป็นต้องทราบข้อมูลอันได้แก่ ค่าความร้อนและข้อมูล PVT ของสารในระบบ สำหรับข้อมูล PVT นั้นในบางครั้งอาจมีข้อมูลที่ไม่ครบหรือไม่สมบูรณ์ จึงจำเป็นต้องมีการพัฒนาความสัมพันธ์รูปทั่วไปเพื่อเป็นทางเลือกในการคำนวณหาสมบัติจากข้อมูลที่จำกัดนี้ ความสัมพันธ์ในรูปทั่วไปนี้จะเริ่มจากการจัดรูปสมการที่ n 46 และสมการที่ 48 โดยการแทนค่าด้วยสมการต่อไปนี้
:P=P_c P_r 
:T=T_c T_r 
:dP = P_c dP_r 
:dT = T_c dT_r 
จะได้
:\frac{H^R}{RT_c} = -T_r^2 \int_{0}^{P_r} (\frac{\partial Z}{\partial T_r }) \frac{dP_r}{P_r}  (79)

และ
:\frac{S^R}{R} = -T_r \int_{0}^{P_r} (\frac{\partial Z}{\partial T_r })_{P_r} \frac{dP_r}{P_r} - \int_{0}^{P_r} (Z - 1) \frac{dP_r}{P_r} (80)
ค่าทางขวามือของสมการจะขึ้นอยู่กับความดันลด P_r  และค่าอุณหภูมิลด T_r เท่านั้น ดังนั้น H^R/R และ S^R/R จึงสามารถหาได้โดยการคำนวณจากข้อมูล P_r และ T_r หรือจากข้อมูล compressibility factor
จากสมการรูปทั่วไปที่แสดงค่า compressibility factor Z
:Z = Z^0 + \omega\, Z^1
เมื่อดิฟเฟอเรนชิเอทสมการนี้ จะได้
:(\frac{\partial Z}{\partial T_r })_{P_r} = (\frac{\partial T^0}{\partial T_r })_{P_r} + \omega\,(\frac{\partial Z}{\partial T_r })_{P_r}
เมื่อแทนค่า Z และ
:(\frac{\partial Z}{\partial T_r })_{P_r}
ในสมการที่ 82 และสมการที่ 83 จะได้
:\frac{H^R}{RT_c} = -T_0^2 \int_{0}^{P_r} (\frac{\partial Z^0}{\partial T_r })_{P_r} \frac{dP_r}{P_r} - \omega\,T_0^2  \int_{0}^{P_r} (\frac{\partial Z^1}{\partial T_r})_{P_r} \frac{dP_r}{P_r}  
และ
:\frac{H^R}{RT_c} = - \int_{0}^{P_r} (T_r(\frac{\partial Z^0}{\partial T_r })_{P_r} +Z^0 -1)  \frac{dP_r}{P_r} - \omega\,\int_{0}^{P_r} (T_r(\frac{\partial Z^1}{\partial T_r})_{P_r} + Z^1) \frac{dP_r}{P_r}  
พจน์อินทิกรัลพจน์แรกทางด้านขวามือของสมการข้างต้นสามารถหาได้ด้วยวิธีนิวเมอริเคิลหรือวิธีกราฟิคอลโดยใช้ข้อมูลของ Z0 จากตาราง E.1 และตาราง E.3 ในภาคผนวก ส่วนอินทิกรัลที่อยู่หลังค่า ω ในต่ละสมการนั้นก็หาได้ในทำนองเดียวกันจากข้อมูล Z1 ในตาราง E.2 และตาราง E.4 เมื่อแทนพจน์แรกทางขวามือของสมการข้างต้นด้วย 
:\frac{(H^R)^0}{RT_c}   และ
:\frac{(S^R)^0}{R}  
และแทนพจน์หลังด้วย 
:H^R\frac{1}{RT_c} 
และ
:S^R\frac{1}{R} 
จะสามารถเขียนสมการข้างต้นได้เป็น
:\frac{H^R}{RT_c} =  frac{(H^R)^0}{RT_c} + frac{(H^R)^1}{RT_c}  (81)
และ
:\frac{S^R}{R} =  frac{(S^R)^0}{R} +\omega\,\frac{(S^R)^1}{1/R} (82)

ค่า
:\frac{(H^R)^0}{RT_c} , \frac{(S^R)^0}{R} , \frac{(H^R)^0}{1/RT}และ\frac{(S^R)^1}{R}	
นั้นสรุปไว้ในตาราง E.5 ถึง E.12 ฉะนั้นเมื่อทราบค่าเหล่านี้แล้ว จะสามารถประมาณค่าเอนทัลปีรีชิดวลและเอนโทรปีรีชิดวลได้จากสมการ ที่ 6.84 และสมการที่ 6.85 โดยเรียกสมการข้างต้นว่าหลักการสภาวะสอดคล้อง (correaponding state principle) และสมการนี้มีจำนวนพารามิเตอร์ทั้งหมด 3 ตัว

การประมาณค่าสมบัติใบบางกรณีนั้น อาจสามารถใช้สมการที่มีพารามิเตอร์เพียงแค่สองตัว ซึ่งก็เพียงพอที่จะให้ผลที่ใกล้เคียงความเป็นจริง โดยใช้ข้อมูลในตาราง E.5 และตาราง E.6 เท่านั้น

โดยปกติแล้ว ฟังก์ชันของ 
:\frac{(H^R)^0}{RT_c} , \frac{(S^R)^0}{R} , \frac{(H^R)^0}{1/RT}และ\frac{(S^R)^1}{R}	
จะเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนและไม่สามารถแสดงค่าเหล่านี้ด้วยสมการง่าย ๆ ได้ อย่างไรก็ตาม ที่สภาวะความดันต่ำ ๆ เราอาจใช้สมการไวเรียลสำหรับคำนวณค่า Z เพื่อที่จะหาค่าสมบัติรีชิดวลต่อไปได้

สมการไวเรียลแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง Z กับ B^0 และ B^1 ดังแสดงในบทที่ 3.6 ดังนี้
:Z =  1 + B^0  \frac{P_r}{T_r} +\omega\,B^1\frac{(P_r)^1}{T_r} 		
จากสมการนี้ จะได้
:(\frac{\partial Z}{\partial T_r })_{P_r} = P_r (\frac{(dB^0/dT_r)}{T_r } - (\frac{ B^0 }{T_r^2 })+\omega\,P_r (\frac{(dB^1/dT_r)}{T_r } - (\frac{ B^1 }{T_r^2 }) (83)
เมื่อแทนค่าจากสมการที่ 86 ไปในสมการที่ 82 และสมการที่ 83 จะได้
:\frac{(H^R)^0}{RT_c} = -T_r \int_{0}^{P_r} ((\frac{dB^0}{dT_r }) - \frac{B^0}{T_r}  +  \omega\,(\frac{dB^1}{dT}) - \frac{B^1}{T_r}) dP_r
และ
:\frac{S^R}{R} = - \int_{0}^{P_r} ((\frac{dB^0}{dT_r }) - \omega\,(\frac{dB^1}{dT_r})dP_r) 
เนื่องจากค่า B^0 และ B^1 เป็นฟังก์ชันของอุณหภูมิเท่านั้น การอินทิเกรตสมการข้างต้น ณ อุณหภูมิคงที่จะได้
:\frac{(H^R)^0}{RT_c} = P_r( \int_{0}^{P_r} ((\frac{dB^0}{dT_r }) - \frac{B^0}{T_r}  +  \omega\,(\frac{dB^1}{dT}) - \frac{B^1}{T_r}) dP_r (84)		
และ
:\frac{S^R}{R} = -P_r ((\frac{dB^0}{dT_r })+  \omega\,(\frac{dB^1}{dT_r})(85)
เนื่องจาก B0 และ B1 เป็นฟังก์ชันของอุณหภูมิเท่านั้น จึงสามารถหาค่าดิฟเฟอเรนเชียล
:\frac{dB^0}{dT_r} 
และ 
\frac{dB^1}{dT_r}
ในสมการข้างต้นนี้ได้ ดังนั้นโดยสรุปแล้ว สมการอีก 4 สมการที่จะต้องใช้ในการหาค่าสมบัติรีชิดวลจากสมการที่ 87 และสมการที่ 88 คือ
จากสมการที่ 3.73		
:B^0 = 0.083 - \frac{0.422}{T_r^1.6}
:\frac{dB^0}{dT_r}  = \frac{0.675}{T_r^2.6}(86)
จากสมการที่ 3.74		
:B^1 =\frac{0.139-0.172 }{T_r^4.2}
:\frac{dB^1}{dT_r}  = \frac{0.722}{T_r^5.2}(87)

เมื่อทราบสมการรูปทั่วไป (generalized correlation) สำหรับ H^R และ S^R และความจุความร้อนของแก๊สอุดมคติ (ideal gas heat capacity) แล้ว จะทำให้สามารถคำนวณหาเอนทัลปีและเอนโทรปีสำหรับแก๊สที่อุณหภูมิและความดันต่าง ๆ ได้โดยใช้สมการที่ 50 และสมการที่ 51

สำหรับการเปลี่ยนแปลงจากสภาวะที่ 1 ไปยังสภาวะที่ 2 นั้น สามารถเขียนสมการที่ 50 สำหรับสภาวะทั้งสองได้ดังนี้

:H_2 =H_0^{ig} + \int_{T_0}^{T_2} (C_P^{ig} dT + H_2^R) และ H_1 =H_0^{ig} + \int_{T_0}^{T_1} (C_P^{ig} dT + H_1^R)

ดังนั้น ค่าการเปลี่ยนแปลงเอนทัลปีของกระบวนการนี้ คือ
:\Delta\,H = \int_{T_2}^{T_1} (C_P^{ig} dT + H_2^R -H_1^R)	(88)	

และในทำนองเดียวกัน ค่าการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีจะมีค่าเท่ากับ 
:\Delta\,H = \int_{T_2}^{T_1} (C_P^{ig}\frac{dT}{T} -R \ln{\frac{P_2}{P_1}} + S_2^R - S_1^R) (89)
		
ทั้งนี้ เราสามารถเขียนสมกรทั้งสองนี้ในอีกรูปหนึ่งได้ดังนี้

:\Delta\,H = (C_P^{ig})_H (T_2 - T_1) + H_2^R - H_1^R(90)
และ
:\Delta\,H = (C_P^{ig})_S \ln{\frac{T_2}{T_1}} - R\ln{\frac{P_2}{P_1}} + S_2^R - S_1^R(91)   

พจน์ทางขวามือของสมกรที่ 91-94 นั้นไม่มีความเกี่ยวโยงกับขั้นตอนของเส้นทางที่ใช้ในการคำนวณ (calculational path) จากสภาวะเริ่มต้นไปสู่สภาวะสุดท้ายของระบบ ดังนั้น เส้นทางของกระบวนการที่เกิดขึ้นจริงจากสภาวะที่ 1 ไปยังสภาวะที่ 2 (เส้นประ) จึงสามารถแทนได้ด้วยขั้นตอนย่อย 3 ขั้นตอน ดังแสดงในรูปที่ 3 โดยขั้นตอนแรก คือ 1→lig ซึ่งแทนกระบวนการสมมติที่เปลี่ยนจากแก๊สจริงไปแก๊สอุดมคติที่ Tl และ Pl โดยค่าการเปลี่ยนแปลงเอนทัลปีและเอนโทรปีสำหรับกระบวนการนี้คือ
:H_l^{ig} - H_l = -H_l^R 
และ 
S_l^{ig} - S_l = -S_l^R
สำหรับขั้นตอนที่สอง (lig→2ig) เป็นการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นในสภาวะแก๊สอุดมคติ (T1, P1) ไปยัง (T2, P2) โดยสำหรับกระบวนการนี้
:\Delta\,H^{ig} = H_2^{ig}-H_1^{ig} =\int_{T_1}^{T_2} C_P^{ig} dT(92)
และ
:\Delta\,S^{ig} = S_2^{ig}-S_1^{ig} =\int_{T_1}^{T_2} C_P^{ig} dT\frac{dT}{T} - R\ln {\frac{P^2}{P_1}} (93)

## การคำนวณสำหรับของผสมสำหรับของแก๊ส (Gas Mixtures)
แม้ว่าจะไม่มีพื้นฐานทางทฤษฎีใด ๆ ที่ใช้สำหรับสมการทั่วไปของของผสม แต่เราอาจประมาณได้จากการคำนวณโดยใช้พารามิเตอร์ชนิด pseudocritical ซึ่งได้จากกฎเชิงเส้นของการผสม (linear mixing rule) ตามนิยามต่อไปนี้
:\omega\, \equiv\, sum_i (y_i \omega\,_i)(94)
:T_{pc}\equiv\, sum_i y_i T_{ci}) (95)				
:P_{pc}\equiv\, sum_i (y_i P_{ci}) (96)
ค่าที่ได้จะเป็น ω, อุณหภูมิ pseudocritical Tpc และความดัน pseudocritical Ppc สำหรับของผสม ซึ่งจะใช้ แทนค่า Tc และ Pc ในการคำนวณหาพารามิเตอร์ในรูปสภาวะลดดังนี้
:T_{pr} =\frac{T}{T_{pc}}   (97)
:T_{pr} =\frac{P}{P_{pc}}   (98)

เราจะใช้ค่าเหล่านี้แทน Tr และ Pr ในการอ่านค่าต่าง ๆ จากตารางในภาคผนวก E เพื่อคำนวณหา Z โดยใช้สมการที่ 3.67 จากนั้นจึงคำนวณค่า 
:\frac{H^R}{RT_{pc}}
จากสมการที่ 85 และคำนวณค่า \frac{S^R}{R} จากสมการที่ 86

## อ้างอิง

* ผศ.ดร.วรงค์ ปวราจารย์,ผศ.ดร.อาทิวรรณ โชติพฤกษ์. “หนังสือหลักเทอร์โทไดนามิกส์ สำหรับวิศวกรรมเคมี (Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics)”,หน้า.163.193,2552
* จุติพร ช่วยบำรุง คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีอุตสาหกรรม มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์ วิทยาเขตสุราษฎร์ธานี. “ฟิสิกส์ทั่วไป 1 ภาคกลศาสตร์ สำหรับนักศึกษาเทคโนโลยีอุตสาหกรรม”,กลศาสตร์ของไหล (Fluid mechanic),หน้า.206.225,2551

## แหล่งข้อมูลอื่น

* National Committee for Fluid Mechanics Films (NCFMF), containing films on several subjects in fluid dynamics (in RealMedia format)
* Gallery of fluid motion, "a visual record of the aesthetic and science of contemporary fluid mechanics," from the American Physical Society
* List of Fluid Dynamics books

## ดูเพิ่ม
*เนื้อหาที่เกี่ยวข้องและเชื่อมโยงกัน
* ของไหล

หมวดหมู่:กลศาสตร์ของไหล
หมวดหมู่:อากาศพลศาสตร์
หมวดหมู่:ฟิสิกส์