เส้นสัมผัส

ในเรขาคณิต **เส้นสัมผัส**เส้นโค้ง (**tangent line**) ที่จุด ๆหนึ่ง หมายถึงเส้นตรงที่ "แตะ" หรือ "สัมผัส" เส้นโค้งที่จุดนั้นโดยไม่ตัดผ่าน ไลบ์นิทซ์ นิยามว่าเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดที่อยู่ใกล้กันมาก ๆ อย่างกณิกนันต์บนเส้นโค้งนั้น นิยามที่แม่นยำขึ้นคือ เส้นตรงจะเป็นเส้นสัมผัสเส้นโค้ง  ที่จุด  หากเส้นนั้นผ่านจุด  บนเส้นโค้งและมีความชัน เท่ากับ  ซึ่ง *f* คืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน *f* นิยามที่คล้ายกันนี้สามารถใช้กับเส้นโค้งในปริภูมิและเส้นโค้งในปริภูมิยูคลิด *n*-มิติได้เช่นกัน

จุดที่เส้นสัมผัสและเส้นโค้งจวบกันหรือตัดกันเรียกว่า***จุดสัมผัส*** อาจกล่าวได้ว่าเส้นสัมผัสโค้งไป*ในทิศทางเดียวกัน*กับเส้นโค้งที่มันสัมผัสอยู่ ดังนั้นเส้นสัมผัสจึงเป็นการประมาณด้วยเส้นตรงที่ดีสของเส้นโค้งที่จุดนั้น เส้นสัมผัสที่จุดใด ๆ บนเส้นโค้งที่หาอนุพันธ์ได้สามารถถือได้ว่าเป็นการประมาณเส้นโค้งด้วยเส้นสัมผัส ซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นที่ประมาณฟังก์ชันเดิมได้ดีที่สุดที่จุดที่สัมผัส

ในทำนองเดียวกัน **ระนาบสัมผัส**กับพื้นผิวที่จุดหนึ่งคือระนาบที่*สัมผัส* พื้นผิวนั้นที่จุดนั้น แนวคิดของวัตถุสัมผัสเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานที่สุดในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ และสามารถวางนัยทั่วไปได้เป็นปริภูมิแทนเจนต์

## ประวัติ

ยูคลิด ได้กล่าวถึงเส้นสัมผัส (ἐφαπτομένη ephaptoménē) ของวงกลมหลายครั้งในหนังสือ III ของ Elements (ประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช) ในงาน Conics ของอะพอลโลเนียส (ประมาณ 225 ปีก่อนคริสต์ศักราช) เขาได้กำหนดว่าเส้นสัมผัสเป็นเส้นตรงที่ไม่มีเส้นตรงอื่นใดสามารถผ่านระหว่างมันกับเส้นโค้งได้

อาร์คิมิดีส (ประมาณ 287–212 ปีก่อนคริสต์ศักราช) พบเส้นเวียนก้นหอยอาร์คิมิดีส โดยพิจารณาจากเส้นทางของจุดที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งนั้น

ในช่วงทศวรรษ 1630 แฟร์มาต์พัฒนาเทคนิคการคำนวณเส้นสัมผัสและปัญหาอื่น ๆ ในการวิเคราะห์ โดยใช้วิธีการที่เรียกว่า "adequality" ซึ่งคล้ายกับการหาค่าความแตกต่างระหว่าง f(x+h) และ f(x) แล้วหารด้วยกำลังของ h เรอเน เดการ์ตค้นพบวิธีของตนเองที่เรียกว่า *method of normals* โดยอิงจากการสังเกตว่ารัศมีของวงกลมจะตั้งฉากกับวงกลมเสมอ

วิธีการเหล่านี้นำไปสู่การพัฒนาของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ในศตวรรษที่ 17 หลายคนมีส่วนในการพัฒนา เช่น โรแบวาล ซึ่งค้นพบวิธีการทั่วไปในการวาดเส้นสัมผัสโดยการพิจารณาเส้นโค้งเป็นเส้นทางของจุดที่เคลื่อนที่ ซึ่งเป็นผลลัพธ์ของการเคลื่อนไหวที่ง่ายกว่าหลายแบบรวมกัน เรอเน-ฟรองซัวส์ เดอ สลูส และโยฮันเนส ฮุดเด ค้นพบอัลกอริทึมทางพีชคณิตในการหาค่าเส้นสัมผัส การพัฒนาเพิ่มเติมรวมถึงผลงานของจอห์น วอลลิส และไอแซก บาร์โรว์ ซึ่งนำไปสู่ทฤษฎีของไอแซก นิวตันและกอทท์ฟรีด ไลบ์นิซ

ในปี 1828 เส้นสัมผัสถูกนิยามว่า "เส้นตรงที่แตะเส้นโค้ง แต่เมื่อขยายออกไปจะไม่ตัดเส้นโค้ง" นิยามนี้ป้องกันไม่ให้จุดเปลี่ยนเว้า มีเส้นสัมผัส ซึ่งถูกยกเลิกไปในภายหลัง นิยามสมัยใหม่ที่เทียบเท่ากับของไลบ์นิซคือ เส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุด  บนเส้นโค้ง เส้นสัมผัสเป็น ลิมิต ของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดบนเส้นโค้งเมื่อจุดทั้งสองนี้เคลื่อนที่เข้าใกล้จุด 

## เส้นสัมผัสต่อเส้นโค้งในระนาบ

แนวคิดเชิงสัญชาตญาณที่ว่าเส้นสัมผัส "สัมผัส" กับเส้นโค้งสามารถทำให้ชัดเจนขึ้นโดยการพิจารณาลำดับของเส้นตรง (เส้นสัมผัส) ที่ผ่านจุดสองจุด *A* และ *B* ซึ่งตั้งอยู่บนเส้นโค้งของฟังก์ชัน เส้นสัมผัสที่จุด *A* คือขีดจำกัดเมื่อจุด *B* เข้าใกล้หรือมุ่งสู่ *A* การมีอยู่และเอกลักษณ์ของเส้นสัมผัสขึ้นอยู่กับความเรียบง่ายทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันในชื่อ "การอนุพันธ์" (differentiability) เช่น ถ้าส่วนโค้งของวงกลมสองส่วนมาบรรจบกันที่จุดคม (vertex) จะไม่มีเส้นสัมผัสที่กำหนดอย่างชัดเจนที่จุดยอด เพราะการประมาณค่าของเส้นสัมผัสขึ้นอยู่กับทิศทางที่ "จุด *B*" เข้าใกล้จุดยอด

ที่จุดส่วนใหญ่ เส้นสัมผัสจะสัมผัสเส้นโค้งโดยไม่ข้ามมัน (แม้ว่าเมื่อเส้นสัมผัสยืดออกไปอาจจะข้ามเส้นโค้งในที่อื่น ๆ ห่างจากจุดสัมผัส) จุดที่เส้นสัมผัส (ที่จุดนี้) ข้ามเส้นโค้งเรียกว่า *[[จุดเปลี่ยนเว้า]]* วงกลม พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา และ วงรี ไม่มีจุดเปลี่ยนรูป แต่เส้นโค้งที่ซับซ้อนมากขึ้นมี เช่น กราฟของ ฟังก์ชันกำลังสาม ที่มีจุดเปลี่ยนรูปหนึ่งจุด หรือเส้นไซน์ (sinusoid) ที่มีจุดเปลี่ยนรูปสองจุดต่อแต่ละ ช่วงเวลา ของ ไซน์

ในทางกลับกัน อาจเกิดกรณีที่เส้นโค้งอยู่ทางด้านเดียวของเส้นตรงที่ผ่านจุดบนมัน และเส้นตรงนี้ไม่ใช่เส้นสัมผัส ตัวอย่างเช่น เส้นที่ผ่านจุดยอดของ สามเหลี่ยม และไม่ตัดกับมันที่อื่น ๆ ซึ่งเส้นสัมผัสไม่สามารถมีได้จากเหตุผลที่กล่าวไว้ข้างต้น ใน เรขาคณิตนูน เส้นตรงเหล่านี้เรียกว่า ไฮเปอร์เพลนรองรับ

#### คำอธิบายที่เข้าใจได้ง่าย
สมมุติว่าเส้นโค้งกำหนดโดยกราฟของฟังก์ชัน *y* = *f*(*x*) เพื่อหาค่าของเส้นสัมผัสที่จุด *p* = (*a*, *f*(*a*)) ให้พิจารณาจุดใกล้เคียงอีกจุดหนึ่ง *q* = (*a* + *h*, *f*(*a* + *h*)) บนเส้นโค้ง ความชันของเส้นตัด ที่ผ่านจุด *p* และ *q* จะเท่ากับค่าของสัดส่วนต่าง (difference quotient) ซึ่งเป็น:
: \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

เมื่อจุด *q* เข้าใกล้ *p* มากขึ้น (ซึ่งสอดคล้องกับการทำให้ *h* เล็กลงเรื่อย ๆ) ค่าของสัดส่วนต่างนี้จะเข้าใกล้ค่าจำกัดที่แน่นอน *k* ซึ่งเป็นความชันของเส้นสัมผัสที่จุด *p* หากทราบว่า *k* คือค่าความชัน สามารถหาสมการของเส้นสัมผัสได้ในรูปแบบสมการจุด-ความชัน:

:  y-f(a) = k(x-a)\,

#### More rigorous description
เพื่อทำให้เหตุผลข้างต้นเป็นทางการ ต้องอธิบายว่าการคำนวณความแตกต่าง (difference quotient) เข้าใกล้ค่า *k* อย่างไร การกำหนดทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำถูกให้โดย โกชี ในศตวรรษที่ 19 และอิงจากแนวคิดของ ลิมิต
สมมุติว่าเส้นกราฟไม่มีการขาดหรือขอบคมที่จุด *p* และไม่เป็นแนวดิ่งหรือมีการแกว่งมากเกินไปใกล้ *p* ดังนั้นจะมีค่า *k* เฉพาะที่ทำให้เมื่อ *h* เข้าใกล้ 0, ความแตกต่างของการคำนวณความแตกต่างจะเข้าใกล้ *k* มากขึ้นเรื่อย ๆ และระยะห่างระหว่างพวกมันจะไม่สำคัญเมื่อเปรียบเทียบกับขนาดของ *h* ถ้า *h* เล็กพอ

นี่นำไปสู่การนิยามของความชันของเส้นสัมผัสที่กราฟว่าเป็นลิมิตของความแตกต่างของการคำนวณสำหรับฟังก์ชัน *f* ลิมิตนี้คือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน *f* ที่ *x* = *a* ซึ่งเขียนว่า  *f*&nbsp;′(*a*) ใช้อนุพันธ์ สมการของเส้นสัมผัสสามารถแสดงได้ดังนี้:

:  y=f(a)+f'(a)(x-a)\,

แคลคูลัสให้กฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ถูกกำหนดโดยสูตร เช่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล, ลอการิทึม, และการรวมกันต่าง ๆ ดังนั้น สมการของเส้นสัมผัสที่กราฟของฟังก์ชันเหล่านี้ รวมถึงฟังก์ชันอื่น ๆ สามารถหาได้โดยวิธีการของแคลคูลัส

#### วิธีการที่อาจล้มเหลว
คณิตศาสตร์การวิเคราะห์แสดงให้เห็นว่ามีฟังก์ชันและจุดบนกราฟของมันที่ลิมิตที่กำหนดความชันของเส้นสัมผัสไม่เป็นที่มีอยู่ สำหรับจุดเหล่านี้ ฟังก์ชัน *f* ถือว่าเป็น *non-differentiable* หรือไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ มีสาเหตุสองประการที่ทำให้วิธีการหาค่าของเส้นสัมผัสตามลิมิตและอนุพันธ์ล้มเหลว: คือ เส้นสัมผัสเชิงเรขาคณิตมีอยู่ แต่เป็นเส้นแนวตั้ง ซึ่งไม่สามารถแสดงในรูปแบบจุด-ความชันได้เนื่องจากมันไม่มีความชัน หรือกราฟมีลักษณะหนึ่งในสามประเภทที่ไม่สามารถมีเส้นสัมผัสเชิงเรขาคณิตได้

กราฟ *y* = *x*1/3 แสดงตัวอย่างแรก: ที่นี่คำต่างต่างที่ *a* = 0 เท่ากับ *h*1/3/*h* = *h*−2/3 ซึ่งมีค่ามากเมื่อ *h* เข้าใกล้ 0 เส้นโค้งนี้มีเส้นสัมผัสที่จุดกำเนิดที่เป็นแนวตั้ง

กราฟ *y* = *x*2/3 แสดงอีกตัวอย่างหนึ่ง: กราฟนี้มี *[[Cusp (singularity)|cusp]]* ที่จุดกำเนิด ซึ่งหมายความว่า เมื่อลิมิต *h* เข้าใกล้ 0, คำต่างต่างที่ *a* = 0 จะเข้าใกล้อนันต์บวกหรือลบ ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของ *x* ดังนั้นทั้งสองสาขาของเส้นโค้งอยู่ใกล้กับเส้นครึ่งหนึ่งแนวตั้งที่ *y* = 0 แต่ไม่มีสาขาใดใกล้กับส่วนลบของเส้นนี้ โดยพื้นฐานแล้วไม่มีเส้นสัมผัสที่จุดกำเนิดในกรณีนี้ แต่ในบางบริบทอาจถือว่าเส้นนี้เป็นเส้นสัมผัส และใน เรขาคณิตเชิงพีชคณิต อาจเรียกว่า *double tangent*

กราฟ *y* = |*x*| ของฟังก์ชัน ค่าสัมบูรณ์ ประกอบด้วยเส้นตรงสองเส้นที่มีความชันต่างกันเชื่อมต่อที่จุดกำเนิด ขณะที่จุด *q* เข้าใกล้จุดกำเนิดจากขวา เส้นสัมผัสจะมีความชันเท่ากับ 1 เสมอ ขณะที่จุด *q* เข้าใกล้จุดกำเนิดจากซ้าย เส้นสัมผัสจะมีความชันเท่ากับ -1 เสมอ ดังนั้นจึงไม่มีเส้นสัมผัสที่ชัดเจนที่จุดกำเนิด การมีความชันที่แตกต่างกันสองค่า (แต่เป็นค่าที่จำกัด) เรียกว่า *corner*

สุดท้าย เนื่องจากการมีอนุพันธ์หมายถึงความต่อเนื่อง การแย้งสลับที่ กล่าวว่า *ความไม่ต่อเนื่อง* หมายถึงการไม่สามารถมีอนุพันธ์ได้ การมีจุดกระโดดหรือการหยุดชะงักที่จุดใดจุดหนึ่งจะไม่มีเส้นสัมผัส ซึ่งรวมถึงกรณีที่ความชันเข้าใกล้อนันต์บวกในขณะที่อีกค่าหนึ่งเข้าใกล้อนันต์ลบ ซึ่งนำไปสู่การกระโดดที่ไม่สิ้นสุด

### สมการ
เมื่อเส้นโค้งถูกกำหนดโดย *y* = *f*(*x*) ความชันของเส้นสัมผัสคือ dy/dx ดังนั้นตาม สูตรจุด-ความชัน สมการของเส้นสัมผัสที่จุด (*X*, *Y*) คือ

:y-Y=\frac{dy}{dx}(X) \cdot (x-X)
โดยที่ (*x*, *y*) เป็นพิกัดของจุดใด ๆ บนเส้นสัมผัส และการอนุพันธ์จะถูกประเมินที่ x=X

เมื่อเส้นโค้งถูกกำหนดโดย *y* = *f*(*x*) สมการของเส้นสัมผัสยังสามารถหาจาก การหารพหุนามแบบยาว โดยการหาร f , (x) ด้วย (x-X)^2; หากเศษที่เหลือคือ g(x) สมการของเส้นสัมผัสคือ

:y=g(x)

เมื่อสมการของเส้นโค้งถูกกำหนดในรูปแบบ *f*(*x*, *y*) = 0 ค่าของความชันสามารถหาได้จาก ฟังก์ชันโดยนัย ซึ่งให้

: \frac{dy}{dx}=-\frac{\partial f}{\partial x} \bigg/ \frac{\partial f}{\partial y}

สมการของเส้นสัมผัสที่จุด (*X*, *Y*) ซึ่ง *f*(*X*, *Y*) = 0 คือ

: \frac{\partial f}{\partial x}(X,Y) \cdot (x-X) + \frac{\partial f}{\partial y}(X,Y) \cdot (y-Y) = 0

สมการนี้ยังคงเป็นจริงหาก

:\frac{\partial f}{\partial y}(X,Y) = 0,\quad \frac{\partial f}{\partial x}(X,Y) \neq 0

ในกรณีนี้ความชันของเส้นสัมผัสจะเป็นอนันต์ หากอย่างไรก็ตาม

: \frac{\partial f}{\partial y}(X,Y) = \frac{\partial f}{\partial x}(X,Y) = 0

เส้นสัมผัสจะไม่ได้รับการกำหนดและจุด (*X*, *Y*) ถือเป็น จุดพิเศษ

 สำหรับ เส้นโค้งพีชคณิต การคำนวณอาจถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยการแปลงเป็น พิกัดเอกพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้สมการเชิงโฮโมจีนีของเส้นโค้งเป็น *g*(*x*, *y*, *z*) = 0 ซึ่ง *g* เป็นฟังก์ชันโฮโมจีนีของระดับ *n* ดังนั้นหาก (*X*, *Y*, *Z*) อยู่บนเส้นโค้ง ฟังก์ชันเอกพันธ์ กล่าว

\frac{\partial g}{\partial x} \cdot X +\frac{\partial g}{\partial y} \cdot Y+\frac{\partial g}{\partial z} \cdot Z=ng(X, Y, Z)=0

ซึ่งนำไปสู่สมการเชิงโฮโมจีนีของเส้นสัมผัสคือ

: \frac{\partial g}{\partial x}(X,Y,Z) \cdot x + \frac{\partial g}{\partial y}(X,Y,Z) \cdot y + \frac{\partial g}{\partial z}(X,Y,Z) \cdot z = 0 

สมการของเส้นสัมผัสในพิกัดคาร์ทีเซียนสามารถหาจากการตั้ง *z*=1 ในสมการนี้

เพื่อใช้กับเส้นโค้งเชิงพีชคณิต ให้เขียน *f*(*x*, *y*) เป็น

:f=u_n+u_{n-1}+\dots+u_1+u_0

โดยที่แต่ละ *u**r* เป็นผลรวมของทุกคำที่มีระดับ *r* สมการเชิงโฮโมจีนีของเส้นโค้งคือ

:g=u_n+u_{n-1}z+\dots+u_1 z^{n-1}+u_0 z^n=0

การใช้สมการข้างต้นและตั้ง *z*=1 จะให้

:\frac{\partial f}{\partial x}(X,Y) \cdot x + \frac{\partial f}{\partial y}(X,Y) \cdot y + \frac{\partial g}{\partial z}(X,Y,1) =0

เป็นสมการของเส้นสัมผัส สมการในรูปนี้มักจะใช้ง่ายกว่าเนื่องจากไม่ต้องทำการปรับปรุงเพิ่มเติมหลังจากที่มันถูกใช้

หากเส้นโค้งถูกกำหนด parametrically โดย

:x=x(t),\quad y=y(t)

ความชันของเส้นสัมผัสคือ

: \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \bigg/ \frac{dx}{dt} 

ทำให้สมการของเส้นสัมผัสที่ t=T, X=x(T), Y=y(T) เป็น

:\frac{dx}{dt}(T) \cdot (y-Y)=\frac{dy}{dt}(T) \cdot (x-X)

หาก

:\frac{dx}{dt}(T)= \frac{dy}{dt}(T) =0 

เส้นสัมผัสจะไม่ได้รับการกำหนด อย่างไรก็ตาม อาจเกิดขึ้นว่าเส้นสัมผัสมีอยู่และสามารถคำนวณได้จากสมการเชิงพีชคณิตของเส้นโค้ง

### เส้นสัมผัสต่อเส้นโค้ง

เส้นที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุดสัมผัสเรียกว่า *เส้นปกติ* ที่จุดนั้น ความชันของเส้นที่ตั้งฉากมีผลคูณเป็น -1 ดังนั้นหากสมการของเส้นโค้งคือ *y* = *f*(*x*) ความชันของเส้นปกติคือ -1 \bigg/ \frac{dy}{dx} และตามนั้น สมการของเส้นปกติที่จุด (X, Y) คือ :(x-X)+\frac{dy}{dx}(y-Y)=0 ในทำนองเดียวกัน หากสมการของเส้นโค้งมีรูปแบบ *f*(*x*, *y*) = 0 สมการของเส้นปกติคือ :\frac{\partial f}{\partial y}(x-X)-\frac{\partial f}{\partial x}(y-Y)=0

หากเส้นโค้งถูกกำหนดตามพารามิเตอร์โดย :x=x(t),\quad y=y(t) สมการของเส้นปกติคือ :\frac{dx}{dt}(x-X)+\frac{dy}{dt}(y-Y)=0

### มุมระหว่างเส้นโค้ง
มุมระหว่างเส้นโค้งที่จุดที่พวกเขาตัดกันถูกกำหนดเป็นมุมระหว่างเส้นสัมผัสของพวกมันที่จุดนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นโค้งสองเส้นกล่าวว่ามีการสัมผัสที่จุดหากพวกมันมีเส้นสัมผัสเดียวกันที่จุดนั้น และมีลักษณะเป็นออร์โธโกนัลหากเส้นสัมผัสของพวกมันตั้งฉากกัน

### เส้นสัมผัสหลายเส้นที่จุดเดียว

สูตรที่กล่าวถึงข้างต้นล้มเหลวเมื่อจุดเป็น จุดเอกพจน์ของเส้นโค้ง ในกรณีนี้อาจมีหลายสาขาของเส้นโค้งที่ผ่านจุดนั้นแต่ละสาขามีเส้นสัมผัสของตนเอง เมื่อตรงที่เป็นจุดกำเนิด สมการของเส้นเหล่านี้สามารถหาจากการแยกสมการที่กำจัดทุกอย่างที่มีระดับต่ำสุดจากสมการดั้งเดิม โดยเปลี่ยนจุดใด ๆ ให้เป็นจุดกำเนิดโดยการเปลี่ยนตัวแปร (หรือโดยการ การแปลง เส้นโค้ง) วิธีนี้ช่วยให้หาค่าของเส้นสัมผัสที่จุดพิเศษได้

ตัวอย่างเช่น สมการของ ไตรเซกทริกซ์แบบลิมาซอน ที่แสดงทางขวาคือ (x^2+y^2-2ax)^2=a^2(x^2+y^2) การขยายและการกำจัดคำที่มีระดับต่ำสุดจะให้ a^2(3x^2-y^2)=0 ซึ่งเมื่อแยกจะกลายเป็น y=\pm\sqrt{3}x ดังนั้นนี่คือสมการของเส้นสัมผัสสองเส้นผ่านจุดกำเนิด

เมื่อเส้นโค้งไม่ข้ามตัวเอง เส้นสัมผัสที่จุดอ้างอิงอาจยังไม่ถูกกำหนดอย่างชัดเจนเนื่องจากเส้นโค้งไม่สามารถหาค่าของอนุพันธ์ที่จุดนั้นแม้ว่ามันจะสามารถหาค่าของอนุพันธ์ที่จุดอื่นได้ ในกรณีนี้ อนุพันธ์ซ้ายและขวา จะถูกกำหนดเป็นลิมิตของอนุพันธ์เมื่อจุดที่มันถูกประเมินเข้าใกล้จุดอ้างอิงจากทางซ้าย (ค่าต่ำกว่า) หรือจากทางขวา (ค่าที่สูงกว่า) ตัวอย่างเช่น เส้นโค้ง *y* = |*x* | ไม่สามารถหาอนุพันธ์ที่ *x* = 0: ความชันของเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามีค่าเป็น -1 และ 1 ตามลำดับ เส้นสัมผัสที่จุดนั้นที่มีความชันเหล่านี้เรียกว่าเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวา

บางครั้งความชันของเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามีค่าเท่ากัน ดังนั้นเส้นสัมผัสจึงเหมือนกัน นี่เป็นจริงสำหรับเส้นโค้ง *y* = *x* 2/3 ซึ่งทั้งความชันของเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามาที่ *x* = 0 เป็นอนันต์ ทั้งสองเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามามีสมการ *x* = 0

## วงกลมสัมผัส

วงกลมสองวงที่แตกต่างกันในระนาบเดียวกันจะกล่าวว่าสัมผัสกันหากพวกมันพบกันที่จุดเดียวเท่านั้น

หากจุดในระนาบถูกอธิบายโดยใช้ พิกัดคาร์ทีเซียน, วงกลมสองวงที่มี รัศมี 
r_1, r_2 และ (x_1, y_1) และศูนย์กลางที่  (x_2, y_2) จะสัมผัสกันเมื่อ:

:\left(x_1 - x_2\right)^2 + \left(y_1 - y_2\right)^2 = \left(r_1 \pm r_2\right)^2

วงกลมทั้งสองจะถูกเรียกว่า *สัมผัสภายนอก* หาก ระยะทาง ระหว่างศูนย์กลางของพวกมันเท่ากับผลรวมของรัศมีของพวกมัน:

:\left(x_1 - x_2\right)^2 + \left(y_1 - y_2\right)^2 = \left(r_1 + r_2\right)^2

หรือ *สัมผัสภายใน* หากระยะทางระหว่างศูนย์กลางของพวกมันเท่ากับความแตกต่างของรัศมี:

:\left(x_1 - x_2\right)^2 + \left(y_1 - y_2\right)^2 = \left(r_1 - r_2\right)^2

## ระนาบสัมผัสกันกับพื้นผิว
แผ่นสัมผัส (Tangent Plane) ต่อพื้นผิวที่จุดกำหนด *p* ถูกกำหนดในลักษณะคล้ายกับเส้นสัมผัสในกรณีของเส้นโค้ง มันเป็นการประมาณที่ดีที่สุดของพื้นผิวโดยแผ่นที่จุด *p* และสามารถหามาได้จากตำแหน่งจำกัดของแผ่นที่ผ่านจุดสามจุดที่แตกต่างกันบนพื้นผิวที่ใกล้เคียงกับ *p* เมื่อตำแหน่งของจุดเหล่านี้เข้าใกล้ *p* ในทางคณิตศาสตร์ หากพื้นผิวถูกกำหนดโดยฟังก์ชัน z = f(x, y) สมการของแผ่นสัมผัสที่จุด (x_0, y_0, z_0) สามารถเขียนได้ว่า:

z-z_0 = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0)

ในที่นี้ \frac{\partial f}{\partial x} และ \frac{\partial f}{\partial y} คือ อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชัน f ตาม x และ y ตามลำดับ, ที่ประเมินที่จุด (x_0, y_0) โดยพื้นฐานแล้ว แผ่นสัมผัสจับพฤติกรรมท้องถิ่นของพื้นผิวที่จุดเฉพาะ *p* เป็นแนวคิดพื้นฐานที่ใช้ในแคลคูลัสและเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ซึ่งมีความสำคัญในการเข้าใจการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันในท้องถิ่นบนพื้นผิว

## ดูเพิ่มเติม
* แนวฉาก
* เส้นตั้งฉาก

## อ้างอิง

หมวดหมู่:แคลคูลัส