E (ค่าคงตัว)

****** เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ ที่เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ มีค่าประมาณ 2.71828 สามารถนิยามได้หลายวิธี เช่น e เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า ฟังก์ชัน e^x มีค่าเท่ากับความชัน (derivative) ของตัวเองสำหรับทุกจำนวนจริง x หรือกล่าวได้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวมีค่าเท่ากับตัวมันเองเสมอ ซึ่งฟังก์ชันที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้จะอยู่ในรูป ke^x เมื่อ k เป็นค่าคงตัวใด ๆ  นอกจากนี้ e ยังมีค่าเท่ากับ \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n ซึ่งเป็นสมการที่พบในการคำนวณเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น (Compound interest) นอกจากนี้ e สามารถคำนวณได้โดยสูตรอนุกรมอนันต์นี้ :

e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{1\cdot2\cdot3} + ...

ค่าคงที่ e สามารถทำให้อยู่ในรูปสมการได้หลายรูปแบบ ยกตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน f(x) = e^x เรียกว่า ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function) เป็นฟังก์ชันที่มีค่าเท่ากับอนุพันธ์ (Derivative) ของตัวเอง มีเอกลักษณ์แตกต่างจากฟังก์ชันอื่น

ส่วนลอการิทึมธรรมชาติ (Natural logarithm) หรือ ลอการิทึมฐาน e (Logarithm to base e) คือ ฟังก์ชันที่ผกผันกับฟังก์ชันเอ็กโพเนเนเชียล ลอการิทึมธรรมชาติของเลขที่มากกว่า 1 (k>1) สามารถหาได้โดยตรงจากพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน f(x)=\frac{1}{x} ระหว่าง x=1 และ x=k ยกตัวอย่างเช่น เมื่อ k = e พื้นที่ใต้กราฟระหว่าง 1 และ e จะเท่ากับ \ln(e) (ลอการิทึมธรรมชาติของ e) หรือ 1

[thumb|กราฟสมการ ''y'' = 1/''x'' ในที่นี้ e คือตัวเลขเดียวจากเลขหนึ่ง ที่ทำให้[ปริพันธ์|พื้นที่ใต้กราฟมีค่าเท่ากับ 1|209x209px]]

e มักเรียกกันว่า **จำนวนของออยเลอร์** (Euler's number) (ระวังสับสนกับ γ, ค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี) ตามนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler) ผู้ริเริ่มการใช้สัญลักษณ์ e เพื่อแทนจำนวนนี้ และเป็นคนแรกที่ศึกษาสมบัติของจำนวนนี้อย่างละเอียด e ยังมีอีกชื่อหนึ่งว่า **ค่าคงตัวเนเปียร์** ตามจอห์น เนเปียร์ (John Napier) นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตผู้ค้นพบลอการิทึม อนึ่ง ค่า e ถูกค้นพบครั้งแรกโดย ยาค็อบ แบร์นูลลี (Jacob Bernoulli) นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส ในการศึกษาเรื่องดอกเบี้ยทบต้น

*e* เป็นจำนวนที่มีความสำคัญมากในคณิตศาสตร์ โดย e เป็นจำนวนอตรรกยะ และ จำนวนอดิศัย เหมือนกับค่า \pi โดยค่าคงตัวทั้งสองนี้ ประกอบกับ 0 1 และ <math>i</math> มีบทบาทที่สำคัญมากในวิชาคณิตศาสตร์ และมักปรากฏตัวในสมการทางคณิตศาสตร์ โดยมีสมการหนึ่งที่รวมค่าคงตัวทั้งห้านี้เอาไว้ในสมการเดียว เรียกว่า เอกลักษณ์ของออยเลอร์ อันได้ชื่อว่าเป็นสมการที่สวยงามที่สุดในคณิตศาสตร์ 

ค่า *e* ที่ปัดเป็นเลขทศนิยม 50 หลัก เท่ากับ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995... (ลำดับ  ใน )

## การประยุกต์ใช้ e
### การคิดดอกเบี้ยทบต้น
ยาค็อพ แบร์นุลลี (Jacob Bernoulli) ค้นพบค่า e ในปี 1683 ในการศึกษาปัญหาเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น ลักษณะดังนี้:

หากทบทุก 6 เดือน จะได้สองครั้ง ครั้งละ 50% นั่นคือ 1 บาท ตอนแรกจะคูณ 1.5 สองครั้ง ได้  1.52 = 2.25 บาท หากทบทุก 3 เดือนก็จะคูณ 1.25 สี่ครั้ง ได้ 1.254 = 2.44140625 บาท หากทบรายเดือนก็จะได้ (1+1/12)12 = 2.613035... บาท และยิ่งถี่ขึ้นก็จะได้เงินมากขึ้นไปอีก โดยถ้าทบต้น n ครั้งต่อปี จะได้ดอกเบี้ยครั้งละ \frac{100\%}{n} และเมื่อจบปีก็จะมีเงิน (1+\frac{1}{n})^n บาท

แบร์นูลลีสังเกตว่าการเพิ่มขึ้นเมื่อทบต้นถี่ขึ้นนี้มีขีดจำกัด โดยเมื่อทบต้นอย่างต่อเนื่องจะมีเงินเมื่อจบปีมากที่สุดที่เป็นไปได้ด้วยดอกเบี้ยอัตรานี้ ก็คือ ค่า e นั่นเอง ในทำนองเดียวกัน บัญชีใด ๆ ที่เริ่มต้นด้วยเงิน Nบาท และได้ดอกเบี้ยอย่างต่อเนื่องด้วยอัตรา R ต่อปี จะมีเงินจำนวน Ne^{Rt} เมื่อเวลาผ่านไป t ปี (ในที่นี้ R เป็นจำนวนทศนิยมของอัตราดอกเบี้ย เสมือนการใช้ % ยกตัวอย่างเช่น ดอกเบี้ยเงินกู้ 5%, R = 0.05)

### '''การแจกแจงปรกติมาตรฐาน (สถิติศาสตร์)'''
การแจกแจงปรกติ (Normal distribution) ที่มีค่า *μ* = 0 และ *σ* 2 = 1 จะถูกเรียกว่า **การแจกแจงปรกติมาตรฐาน** (standard normal distribution) โดยใช้ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (Probability density function):

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

เมื่อ \sigma เป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและ \mu  เป็นค่าเฉลี่ย

### ความน่าจะเป็น
ในวิชาความน่าจะเป็น พบ *e* ในปัญหาเกี่ยวกับการสลับคู่ ดังนี้: สมมุติว่ามีแขกร่วมงานเลี้ยง n คน เดินเข้าประตูมาแล้วฝากหมวกของตนเองไว้กับคนใช้ ซึ่งนำหมวกเหล่านี้ไปใส่ในกล่อง n ใบ โดยหมวกและกล่องแต่ละใบมีชื่อของแขกแต่ละคน แต่คนใช้ไม่ทราบชื่อของแขกแต่ละคน จึงนำหมวกเหล่านี้ใส่ในกล่องอย่างสุ่ม ความน่าจะเป็นที่***ไม่มี***หมวกใบไหนเลย ที่อยู่ในกล่องที่ถูกต้อง คิดเป็น

p_n = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + ... = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}

ซึ่งเมื่อจำนวนแขก n เพิ่มสู่อนันต์แล้ว ความน่าจะเป็นนี้จะลู่เข้าหา \frac{1}{e}

### การประมาณของสเตอร์ลิง
e ใช้ในการประมาณค่าของแฟกตอเรียลของจำนวนค่ามากได้ตามสูตร

n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n

ซึ่งแปลว่า

e = \lim_{n \to \infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}

## แคลคูลัส
thumb|250px|กราฟแสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) = ''e<sup>x</sup>'' ที่จุด x = 0
หนึ่งในความสำคัญของการนิยามค่า e คือการนำไปใช้ในการหาอนุพันธ์หรือปริพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม โดยเมื่อพยายามคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = a^x จากนิยามของอนุพันธ์

\begin{align}
  \frac{d}{dx}a^x
    &= \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h} - a^x}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{a^x a^h - a^x}{h} \\
    &= a^x \cdot \left(\lim_{h\to 0}\frac{a^h - 1}{h}\right)
\end{align}

จะสังเกตได้ว่าลิมิตในวงเล็บไม่ขึ้นกับ x แต่ขึ้นกับฐาน a เพียงอย่างเดียว โดยที่ e คือจำนวนที่ทำให้ลิมิตนี้เป็น 1 สอดคล้องกับสมบัติที่ว่า

\frac{d}{dx}e^x = e^x

e จึงเป็นฐานที่เหมาะสมต่อการทำแคลคูลัส เพราะเมื่อเลือกใช้เป็นฐานแล้วทำให้ง่ายต่อการคำนวณอนุพันธ์

ในทำนองเดียวกัน หากพยายามคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = \log_{a}x จะได้

\begin{align}
  \frac{d}{dx}\log_a x
    &= \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(x + h) - \log_a(x)}{h} \\
    &= \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(1 + h/x)}{x\cdot h/x} \\
    &= \frac{1}{x}\log_a\left(\lim_{n\to 0}(1 + \frac{1}{n})^n\right) \\
    &= \frac{1}{x}\log_a e,
\end{align}

โดย n = \frac{x}{h}

ดังนั้นถ้าแทน a เป็น e จะได้ว่าลอการิทึมในผลเป็น 1 ดังนั้น

\frac{d}{dx}\log_{e}x=\frac{1}{x}

ลอการิทึมฐาน e นี้เรียกว่าลอการิทึมธรรมชาติและตามปกติเขียนแทนด้วย \ln ดังนั้นจึงเห็นได้เช่นเดียวกันว่า e เป็นฐานที่สะดวกต่อแคลคูลัส

จากคุณสมบัติที่ \ln x มี \frac{1}{x} เป็นอนุพันธ์ นำไปสู่วิธีนิยาม e อีกวิธีคือ

\int_0^e \frac{dt}{t} = 1

### ทฤษฎีจำนวน
e เป็นจำนวนอตรรกยะและอดิศัย นั่นแปลว่า e ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนที่เศษและส่วนเป็นจำนวนเต็มได้ และไม่เป็นคำตอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ออยเลอร์เป็นคนแรกที่พิสูจน์ว่า e เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยการแสดงว่า e เขียนเป็นเศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ได้ สำหรับการที่ e เป็นจำนวนอดิศัยนั้นเป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทลินเดอมาน-ไวเออร์ชตราส โดยผู้พิสูจน์ครั้งแรกว่า e เป็นจำนวนอดิศัยคือชาลส์ แอร์มิต

### จำนวนเชิงซ้อน
ในระบบจำนวนจริง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล e^x สามารถเขียนเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ได้เป็น

e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...

ซึ่งอนุกรมนี้คงคุณสมบัติหลายประการของ e^x ไว้ในระนาบเชิงซ้อน จึงถือเป็นนิยามของฟังก์ชัน e^x สำหรับจำนวนเชิงซ่อนใด ๆ

จากการเทียบเคียงสมการนี้กับอนุกรมของ \sin x และ \cos x นำไปสู่สูตรของออยเลอร์ e^{ix} = \cos x + i\sin x (ซึ่งมีเอกลักษณ์ออยเลอร์ e^{i\pi}+1=0 เป็นกรณีพิเศษที่ x = \pi) เมื่อนำสูตรของออยเลอร์ไปยกกำลังจะได้ทฤษฎีบทเดอมัวร์ (\cos x + i\sin x)^n = (e^{ix})^n = e^{inx} = \cos{nx} + i\sin{nx}

## ดูเพิ่ม
* การพิสูจน์ว่า e เป็นจำนวนอตรรกยะ

## อ้างอิง

หมวดหมู่:ค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์
หมวดหมู่:จำนวนอตรรกยะ