กฎของรุฟฟีนี

ในคณิตศาสตร์ **กฎของรุฟฟีนี**คือวิธีการคำนวณการหารแบบยุคลิดของพหุนามด้วยทวินามในรูป x-r ได้รับการอธิบายไว้โดยปาโอโล รุฟฟีนี ใน ค.ศ. 1809 กฎนี้เป็นกรณีพิเศษของการหารสังเคราะห์เมื่อตัวหารเป็นตัวประกอบเชิงเส้น

## ขั้นตอนวิธี
กฎนี้กำหนดวิธีการหารพหุนาม 

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0

ด้วยทวินาม

Q(x)=x-r

เพื่อจะได้พหุนามผลหาร

R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0

ขั้นตอนวิธีนี้เทียบได้กับการหารยาว P(x) ด้วย Q(x)

การหาร P(x) ด้วย Q(x)

# เอาสัมประสิทธิ์ของ P(x) แล้วเขียนลงตามลำดับ แล้วเขียน r
  ขอบซ้ายล่างเหนือเส้น

\begin{array}{c|c c c c|c}
 & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\
r & & & & & \\
\hline
 & & & & & \\
\end{array}

# ดึงสัมประสิทธิ์ซ้ายสุด (a_n) ลงมาใต้เส้น

\begin{array}{c|c c c c|c}
 & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\
r & & & & & \\
\hline
 & a_n & & & & \\
 & =b_{n-1} & & & &
\end{array}

# คูณจำนวนที่ถูกดึงใต้เส้นด้วย r
 แล้วเขียนผลคูณบนเส้นภายในหลักถัดไปทางขวา

\begin{array}{c|c c c c|c}
 & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\
r & & b_{n-1} \cdot r & & & \\
\hline
 & a_n & & & & \\
 & =b_{n-1} & & & &
\end{array}

# บวกกันภายในหลักที่ได้เขียนตัวเลขไป

\begin{array}{c|c c c c|c}
 & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\
r & & b_{n-1}\cdot r & & & \\
\hline
 & a_n & b_{n-1}\cdot r+a_{n-1} & & & \\
 & =b_{n-1} & =b_{n-2} & & &
\end{array}

# ทำขั้นตอนที่ 3 และ 4 ซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงขอบขวาสุด

\begin{array}{c|c c c c|c}
 & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0 \\
r & & b_{n-1}\cdot r & \dots & b_1\cdot r & b_0 \cdot r \\
\hline
 & a_n & b_{n-1} \cdot r+a_{n-1} & \dots & b_1 \cdot r+a_1 & a_0+b_0 \cdot r \\
 & =b_{n-1} & =b_{n-2} & \dots & =b_0 & =s \\
\end{array}


ค่า b
 ต่าง ๆ คือค่าของสัมประสิทธิ์พหุนามผลหาร (R(x)) ที่มีดีกรีน้อยกว่า P(x) อยู่หนึ่ง ค่าสุดท้าย s
 คือเศษเหลือ ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามบอกไว้ว่าเศษเหลือจะมีค่าเท่ากับ P(x)  ที่ r
 หรือ P(r)

## ตัวอย่าง
นี่เป็นตัวอย่างการหารพหนามตามที่ได้อธิบายไว้

ให้

P(x)=2x^3+3x^2-4\,\!

Q(x)=x+1\,\!

P(x) จะถูกหารด้วย Q(x) โดยใช้กฎของรุฟฟีนี ปัญหาคือ Q(x) ไม่ได้อยู่ในรูปทวินาม x-r แต่อยู่ในรูป x+r จึงต้องเปลี่ยนรูปโดยการ

Q(x)=x+1=x-(-1)\,\!

ตอนนี้สามารถใช้ขั้นตอนวิธีได้

# เขียนสัมประสิทธิ์และ r
 ลงไป สังเกตว่า  P(x) ไม่มีพจน์ x
 จึงเขียน 0 ลงไปทดแทน

\begin{array}{c|c c c|c}
 & 2 & 3 & 0 & -4\\
-1 & & & & \\
\hline
 & & & & \\
\end{array}

# ดึงสัมประสิทธิ์ตัวแรกลง

\begin{array}{c|c c c|c}
 & 2 & 3 & 0 & -4\\
-1 & & & & \\
\hline
 &2 & & & \\
\end{array}

# คูณค่าที่ได้ด้วย r


\begin{array}{c|c c c|c}
 & 2 & 3 & 0 & -4\\
-1 & & -2 & & \\
\hline
 & 2 & & & \\
\end{array}

# รวมค่าด้วยกัน

\begin{array}{c|c c c|c}
 & 2 & 3 & 0 & -4\\
-1 & & -2 & & \\
\hline
 & 2 & 1 & & \\
\end{array}

# ทำซ้ำขั้นตอนที่ 3 และ 4 จนกว่าจะเสร็จ

\begin{array}{c|c c c|c}
 & 2 & 3 & 0 & -4\\
-1 & & -2 & -1 & 1\\
\hline
 & 2 & 1 & -1 & -3\\
\end{array}


จาก P(x)=Q(x)R(x)+s\,\! เมื่อ

R(x) = 2x^2+x-1 และ s=-3; \quad \Rightarrow 2x^3+3x^2-4 = (2x^2+x-1)(x+1) - 3\!

## การประยุกต์ใช้ในการแยกตัวประกอบ
กฎของรุฟฟีนีใช้ได้เมื่อต้องการจะหาผลหารระหว่างพหุนาม P(x) กับทวินามในรูป x-r (ถ้าตองการหาแค่เศษเหลือ ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามจะเป็นวิธีที่ง่ายกว่า)

ตัวอย่างทั่ว ๆ ไปเมื่อต้องการหาผลหาร คือการแยกตัวประกอบ p(x) เมื่อทราบคำตอบ r

เศษเหลือของการหารแบบยุคลิดของ p(x)ด้วย r คือ 0 และถ้าผลหารคือ q(x) การหารแบบยุคลิดจะเขียนได้ดังนี้

p(x)=q(x)\,(x-r)

เป็นการแยกตัวประกอบ (อาจจะบางส่วน) ของ p(x) ซึ่งสามารถคำนวณโดยใช้กฎของรุฟฟีนี แล้วสามารถแยกตัวประกอบ p(x) ต่อโดยการแยกตัวประกอบ  q(x)

ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิตบอกไว้ว่าทุกพหุนามที่มีดีกรีเป็นบวกจะมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระบวนการข้างบนยังแสดงได้ว่าทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิตส่อให้เห็นว่าทุกพหุนามในรูป p(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} +\cdots +a_1x + a_0  สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น

p(x)=a_n (x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)\cdots(x-r_n) 

เมื่อ r_1,r_2,r_3,\ldots,r_n เป็นจำนวนเชิงซ้อน

## ประวัติ
ผู้คิดค้นวิธีนี้คือปาโอโล รุฟฟีนี เขาได้เข้าร่วมการแข่งขันที่บัณฑิตยสถานวิทยาศาสตร์แห่งชาติอิตาลีจัดขึ้น โดยปัญหาท้าทายคือหาวิธีในการหาคำตอบของพหุคูณทั่วไป ใน ค.ศ. 1804 คำตอบที่รุฟฟีนีที่ส่งไปได้อันดับที่หนึ่งจาก 5 ฉบับที่มีผู้ส่งไป และวิธีของเขาได้รับการตีพิมพ์ เขาได้ปรับแต่งงานของเขาและตีพิมพ์ใน ค.ศ. 1807 และอีกครั้งใน ค.ศ. 1813

## ดูเพิ่ม

* วิธีของลิลล์ การหารโดยใช้ภาพ
* วิธีของฮอร์เนอร์

## อ้างอิง


## แหล่งข้อมูลอื่น

* 
* 

หมวดหมู่:พหุนาม
หมวดหมู่:การหาร