อินเตอร์เซกชัน

**อินเตอร์เซกชัน** () หรือ **ส่วนร่วม** คือการดำเนินการของเซต เป็นการสร้างเซตใหม่ซึ่งเป็นผลจากการหาสมาชิกทั้งหมดที่เหมือนกันในเซตต้นแบบ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ \cap (คล้ายอักษรตัวใหญ่ U กลับหัว)

## นิยาม
200px|right|thumb|สมมติให้วงกลมสองวงเป็นเซต ''A'' กับ ''B'' พื้นที่สีม่วงคือการอินเตอร์เซกชันของเซตทั้งสอง
สมมติว่าเอกภพสัมพัทธ์ **U** ได้นิยามแล้ว กำหนดให้เซตสองเซต *A* และ *B* เป็นเซตย่อยของ **U** การอินเตอร์เซกชันจะให้ผลเป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกทั้งหมดที่ปรากฏอยู่ใน *A* **และ** *B* โดยไม่มีสมาชิกอื่นนอกเหนือจากนี้ นั่นคือ
::A \cap B = \{ x \in \mathbf{U} \, | \, x \in A \land x \in B \}

ตัวอย่างเช่น กรณีที่มีสมาชิกบางส่วนเหมือนกัน ดังนั้นผลของการอินเตอร์เซกชันจึงเป็นเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เหมือนกันเหล่านั้น
::
\begin{align}
A &= \{ 1, 2, 3 \} \\
B &= \{ 2, 3, 4 \} \\
A \cap B &= \{ 2, 3 \} \\
\end{align}


หากทั้งสองเซตมีสมาชิกที่แตกต่างกัน คือไม่มีสมาชิกตัวใดเหมือนกันเลย ผลของการอินเตอร์เซกชันจะได้เซตว่าง เราจะกล่าวว่าทั้งสองเซตนั้น **ไม่มีส่วนร่วม** (disjoint) ต่อกัน
::
\begin{align}
A &= \{ 1, 2, 3, 4 \} \\
B &= \{ 5, 6, 7, 8 \} \\
A \cap B &= \varnothing \\
\end{align}


## สมบัติ
อินเตอร์เซกชันมีสมบัติต่าง ๆ ทางพีชคณิตดังต่อไปนี้
* อินเตอร์เซกชันมีสมบัติการสลับที่ ดังนั้นลำดับในการอินเตอร์เซกชันเซตจึงเป็นอย่างไรก็ได้
** A \cap B = B \cap A
* อินเตอร์เซกชันมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ จากตัวอย่างนี้
** (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) = A \cap B \cap C
* สมาชิกเอกลักษณ์ของการอินเตอร์เซกชัน คือ เอกภพสัมพัทธ์ (หรือเซตของเซตทั้งหมด)
** \mathbf{U} \cap A = A \cap \mathbf{U} = A
* เซตใด ๆ ที่อินเตอร์เซกชันกับเซตว่าง จะได้เซตว่าง
** \varnothing \cap A = A \cap \varnothing = \varnothing
* อินเตอร์เซกชันกับยูเนียน มีสมบัติการแจกแจงซึ่งกันและกัน
** A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \Longleftrightarrow (B \cup C) \cap A = (B \cap A) \cup (C \cap A)
** A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \Longleftrightarrow (B \cap C) \cup A = (B \cup A) \cap (C \cup A)
* อินเตอร์เซกชัน ยูเนียน และส่วนเติมเต็ม มีความสัมพันธ์กันในกฎเดอมอร์แกน
** (A \cap B)^\mathrm{C} = A^\mathrm{C} \cup B^\mathrm{C}
** (A \cup B)^\mathrm{C} = A^\mathrm{C} \cap B^\mathrm{C}

## รูปแบบ
### อินเตอร์เซกชันไม่จำกัดทั่วไป
หากเราพิจารณาแนวคิดว่าอินเตอร์เซกชันกระทำบนกลุ่มของเซต ถ้าให้ **M** คือเซตที่มีสมาชิกเป็นกลุ่มของเซตเหล่านั้น (เซตของเซต) และไม่เป็นเซตว่าง *x* จะเป็นสมาชิกของการอินเตอร์เซกชันของ **M** ก็ต่อเมื่อ ทุก ๆ เซต *A* ซึ่งเป็นสมาชิกของ **M** และ *x* ก็เป็นสมาชิกของ *A* เขียนแทนด้วย \bigcap \mathbf{M} หรือ \bigcap_{A\in\mathbf{M}} A ดังนี้
::x \in \bigcap\mathbf{M} \iff \forall A \in \mathbf{M},\ x \in A
การอินเตอร์เซกชันของ **M** ในลักษณะนี้ไม่สำคัญว่า **M** จะมีจำนวนสมาชิก (จำนวนเซต) มากเท่าใด

สัญกรณ์ \bigcap_{i \in I} A_{i} หมายถึงการอินเตอร์เซกชันของกลุ่มเซต *A<sub>i</sub>* ทั้งหมด โดยที่ *i* เป็นสมาชิกของเซตดัชนี *I* ซึ่งเป็นสัญกรณ์แบบเดียวกับการเขียนอนุกรม สำหรับ **อินเตอร์เซกชันไม่จำกัด** (หรืออินเตอร์เซกชันอนันต์) เซตดัชนี *I* จะเป็นเซตไม่จำกัด เช่น จำนวนธรรมชาติ สามารถเขียนได้ดังนี้
::\bigcap_{i=1}^{\infty} A_{i} = A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap \dots

### อินเตอร์เซกชันไม่จำกัดซึ่งกลุ่มของเซตนั้นว่าง
ในหัวข้อก่อนหน้านี้ได้ยกเว้นไว้ในกรณีที่ **M** เป็นเซตว่าง ซึ่งจะได้อธิบายเหตุผลต่อไป ถ้าให้อินเตอร์เซกชันของกลุ่มของเซต **M** ได้ถูกนิยามไว้แล้วดังนี้
::\bigcap \mathbf{M} = \{x : x \in A\; \mbox{ for all } A \in \mathbf{M}\}

ในกรณีที่ **M** เป็นเซตว่าง นั่นหมายความว่าไม่มีเซต *A* ใด ๆ อยู่ใน **M** เลย จึงทำให้เกิดคำถามขึ้นว่า "จะมี *x* ค่าไหนที่ตรงตามเงื่อนไขที่ระบุบ้าง" คำตอบจึงดูเหมือนว่าเป็น "ทุกค่าของ *x* ใด ๆ ก็ได้" เพราะว่าเมื่อ **M** เป็นเซตว่าง เงื่อนไขข้างต้นเป็นตัวอย่างหนึ่งของความจริงว่างเปล่า (vacuous truth) ซึ่งจะเป็นจริงเสมอ ดังนั้นการอินเตอร์เซกชันเช่นนี้จึงควรมีคำตอบเป็นเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งไม่มีในทฤษฎีเซตมาตรฐาน (ZFC)

การแก้ปัญหานี้คือการยอมรับว่าเซตทุกเซตเป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์ **U** แล้วปรับแต่งการนิยามเพื่อให้สามารถใช้กับ **M** ที่เป็นเซตว่าง
::\bigcap \mathbf{M} = \{x \in \mathbf{U} : x \in A\; \mbox{ for all } A \in \mathbf{M}\}
แล้วคำตอบของการอินเตอร์เซกชันจึงจะเป็นเอกภพสัมพัทธ์ **U**

## อ้างอิง
* วัชรี กาญจน์กีรติ, *พีชคณิตนามธรรม*. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2551. ISBN 978-974-03-2114-9

## ดูเพิ่ม
* ผลต่างสมมาตร
* ยูเนียน
* ส่วนเติมเต็ม
* การดำเนินการทวิภาควนซ้ำ

## แหล่งข้อมูลอื่น

หมวดหมู่:พีชคณิตนามธรรม
หมวดหมู่:พีชคณิต
หมวดหมู่:ทฤษฎีเซต
หมวดหมู่:การดำเนินการทวิภาค