อนุพันธ์อันดับสอง

[right|thumb|200x200px| อนุพันธ์อันดับสองของ [ฟังก์ชันกำลังสองมีค่าคงที่]]
ในแคลคูลัส **อนุพันธ์อันดับสอง** () ของฟังก์ชัน  คือ อนุพันธ์ของอนุพันธ์ของ  อนุพันธ์อันดับสองสามารถกล่าวในลักษณะไม่เป็นทางการได้ว่าเป็น "อัตราการเปลี่ยนแปลงของอัตราการเปลี่ยนแปลง" ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่งของวัตถุเทียบกับเวลาคือความเร่งขณะหนึ่งของวัตถุ หรืออัตราที่ความเร็วของวัตถุเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา 

ในสัญกรณ์ไลบ์นิซa = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 x}{dt^2}โดยที่  คือ ความเร่ง,  คือ ความเร็ว,  คือ เวลา,  คือ ตำแหน่ง และ d คือ "เดลตา" หรือการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง นิพจน์สุดท้าย \tfrac{d^2 x}{dt^2} คือ อนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่ง () เทียบกับเวลา

บนกราฟของฟังก์ชัน อนุพันธ์อันดับสองสอดคล้องกับความโค้ง หรือความเว้าของกราฟ กราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะเว้าบนในขณะที่กราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะโค้งในทิศตรงกันข้าม

## กฎยกกำลังอนุพันธ์อันดับสอง
กฎยกกำลังสำหรับอนุพันธ์อันดับหนึ่ง หากกระทำสองครั้งจะสามารถสร้างกฎยกกำลังอนุพันธ์อันดับสองได้ดังนี้\frac{d^2}{dx^2} x^n = \frac{d}{dx}\frac{d}{dx} x^n = \frac{d}{dx} \left(n x^{n-1}\right) = n \frac{d}{dx} x^{n-1} = n(n - 1)x^{n-2}

## สัญกรณ์
อนุพันธ์อันดับสองของ f(x) โดยมากจะเขียนเป็น f*(x)</math> ซึ่งคือ
*'f* = \left(f'\right)' </math>*'

เมื่อใช้สัญกรณ์ของไลบ์นิซสำหรับอนุพันธ์ อนุพันธ์อันดับสองของตัวแปรตาม  เทียบตัวแปรอิสระ  จะเขียนได้ว่า\frac{d^2y}{dx^2} ที่มาของสัญกรณ์นี้คือ\frac{d^2y}{dx^2} \,=\, \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)  

## ตัวอย่าง
เมื่อพิจารณาฟังก์ชัน

f(x) = x^3

อนุพันธ์ของ f คือ ฟังก์ชัน

f'(x) = 3x^2

อนุพันธ์อันดับสองของ f คือ อนุพันธ์ของ f' กล่าวคือ

f*(x) = 6x</math>

== ความสัมพันธ์กับกราฟ ==
[[ไฟล์:Animated_illustration_of_inflection_point.gif|thumb|500x500px| กราฟของ <math>f(x) = \sin(2x)</math> จาก <math>-\pi/4</math> ถึง <math>5\pi/4</math> - เส้นสัมผัสเป็นสีน้ำเงินตรงที่เส้นโค้งเว้าขึ้น สีเขียวตรงที่เส้นโค้งเว้าลง และเป็นสีแดงที่จุดเปลี่ยนเว้า (0, <math>\pi</math> /2, และ <math>\pi</math>)]]

=== ความเว้า ===
อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน  สามารถใช้เพื่อกำหนด *'ความเว้า** ของกราฟของ <math>f</math> ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นบวกเรียก ''[[เว้าบน]]'' (หรือ นูน) ซึ่งมีความหมายว่าใกล้จุดที่สัมผัสกับฟังก์ชัน [[เส้นสัมผัส]]จะอยู่ใต้กราฟของฟังก์ชัน ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะเรียกว่า ''[[เว้าล่าง]]'' (หรือ เว้า) และเส้นสัมผัสใกล้กับจุดที่สัมผัสจะอยู่เหนือกราฟของฟังก์ชัน

=== จุดเปลี่ยนเว้า ===
ถ้าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย กราฟของฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากเว้าล่างไปเป็นเว้าบนหรือกลับกัน จุดที่ทำให้เครื่องหมายเปลี่ยนนี้เรียกว่า **จุดเปลี่ยนเว้า** (inflection point) หากอนุพันธ์อันดับสองเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้วอนุพันธ์อันดับสองต้องมีค่าเป็นศูนย์ที่จุดเปลี่ยนเว้าใด ๆ แม้ว่าไม่ใช่ทุกจุดที่อนุพันธ์อันดับสองเป็นศูนย์จะต้องเป็นจุดเปลี่ยนเว้าก็ตาม

=== การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง ===
ความสัมพันธ์ระหว่างอนุพันธ์อันดับสองกับกราฟสามารถใช้เพื่อทดสอบว่า[[จุดนิ่ง]]ของฟังก์ชัน (คือ จุดที่ <math>f'(x) = 0</math>) ว่าใช่[[ค่าสูงสุดเฉพาะที่]]หรือ[[ค่าต่ำสุดเฉพาะที่]]ไหม

* ถ้า <math>f''(x) < 0</math>, แล้ว <math>f</math> มีค่าสูงสุดเฉพาะที่ที่ <math>x</math> 
* ถ้า <math>f''(x) > 0</math>, แล้ว <math>f</math> มีค่าต่ำสุดเฉพาะที่ที่ <math>x</math>
* ถ้า <math>f''(x) = 0</math> การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองใช้ไม่ได้กับจุด <math>x</math> นี้ อาจเป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้

เหตุผลที่อนุพันธ์อันดับสองให้ผลลัพธ์เหล่านี้สามารถเห็นได้จากการเปรียบเทียบในชีวิตจริง พิจารณารถคันหนึ่งวิ่งไปข้างหน้าด้วยความเร็วสูงในตอนแรกแต่มีความเร่งเป็นลบ เห็นได้ชัดว่าตำแหน่งของรถ ณ จุดที่ความเร็วถึงศูนย์จะมีระยะทางเป็นค่าสูงสุดจากตำแหน่งเริ่มต้น หลังจากเวลานี้ ความเร็วจะกลายเป็นลบและรถจะถอยหลัง การเปรียบเทียบนี้ใช้ได้เช่นเดียวกับค่าต่ำสุด โดยทำให้รถในตอนแรกมีความเร็วเป็นลบมากแต่มีความเร่งเป็นบวกตรงกันข้ามกับกรณีของค่าสูงสุด

== ลิมิต ==
สามารถเขียน[[ลิมิตของฟังก์ชัน|ลิมิต]]เพียงลิมิตเดียวแทนอนุพันธ์อันดับสองได้ดังนี้<math display="block">f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}</math>ลิมิตนี้เรียกว่า[[อนุพันธ์สมมาตร|อนุพันธ์สมมาตรอันดับสอง]] อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองอาจหาค่าได้ แม้ว่าอนุพันธ์อันดับสองโดยนิยามปกติจะหาไม่ได้ก็ตาม

นิพจน์ทางขวาสามารถเขียนเป็น[[ผลหารเชิงผลต่าง]]ของผลหารเชิงผลต่างได้ดังนี้<math display="block">\frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} = \frac{\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} - \dfrac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h}</math>ลิมิตนี้สามารถมองได้เป็นรูปแบบที่ต่อเนื่องของ[[ผลต่างอันดับสอง]]ของ[[ลำดับ]]

อย่างไรก็ตาม การที่ลิมิตข้างต้นหาค่าได้ไม่ได้หมายว่าฟังก์ชัน <math>f</math> นั้นมีอนุพันธ์อันดับสอง ลิมิตข้างต้นให้ความเป็นไปได้ในการคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง แต่ไม่ใช่นิยาม ตัวอย่างค้าน เช่น [[ฟังก์ชันเครื่องหมาย]] <math>\sgn(x)</math> ซึ่งนิยามว่า<math display="block">\sgn(x) = \begin{cases}
-1 & \text{if } x < 0, \\
0 & \text{if } x = 0, \\
1 & \text{if } x > 0 
\end{cases}</math>ฟังก์ชันเครื่องหมายไม่ต่อเนื่องที่ศูนย์ ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสองที่ <math>x = 0</math> หาค่าไม่ได้ แต่ลิมิตข้างต้นหาค่าได้ที่ <math>x = 0</math><math display="block">\begin{align}
\lim_{h \to 0} \frac{\sgn(0+h) - 2\sgn(0) + \sgn(0-h)}{h^2}
&= \lim_{h \to 0} \frac{\sgn(h) - 2\cdot 0 + \sgn(-h)}{h^2} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{\sgn(h) + (-\sgn(h))}{h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h^2} = 0
\end{align}</math>

== การประมาณกำลังสอง ==
เช่นเดียวกับอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับ[[การประมาณเชิงเส้น|การประมาณเส้นตรง]] อนุพันธ์อันดับสองก็เกี่ยวข้องกับ[[การประมาณกำลังสอง]]ที่ดีที่สุดของฟังก์ชัน   เป็น[[ฟังก์ชันกำลังสอง]]ซึ่งมีอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองที่เหมือนกับของ  ที่จุดหนึ่ง ๆ  สูตรของการประมาณกำลังสองที่ดีที่สุดของ  รอบ ๆ จุด  คือ<math display="block">f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac{1}{2} f''(a)(x-a)^2</math>การประมาณกำลังสองคือ[[พหุนามเทย์เลอร์]]อันดับที่สองสำหรับฟังก์ชันที่มีจุดศูนย์กลางที่ 

== ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง ==
[[เงื่อนไขขอบเขต|เงื่อนไขขอบ]]จำนวนมากสามารถหาสูตรสำหรับ[[ค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง|ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง]]ออกมาได้โดยชัดแจ้ง สมมติให้ <math>x \in [0,L]</math> และ[[เงื่อนไขขอบเขตดิริชเลต์|เงื่อนไขขอบดิริชเลต์]]เอกพันธ์ุ (เช่น <math> v(0) = v(L) = 0</math> โดยที่  เป็นเวกเตอร์เฉพาะ) [[เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ|ค่าเฉพาะ]]เป็น <math> \lambda_j = -\tfrac{j^2 \pi^2}{L^2}</math> และ[[เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ|เวกเตอร์เฉพาะ]]ที่สอดคล้องกัน (เรียกอีกอย่างว่า [[ฟังก์ชันไอเกน|ฟังก์ชันเฉพาะ]] ) คือ <math> v_j(x) = \sqrt{\tfrac{2}{L}} \sin\left(\tfrac{j \pi x}{L}\right) </math> จะได้  เมื่อ 

สำหรับกรณีอื่น ๆ ที่เป็นที่รู้จัก ดูที่[[ค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง|ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง]]

== การวางนัยทั่วไปสู่มิติที่สูงขึ้น ==

=== **เมทริกซ์**เฮสเซียน ===

อนุพันธ์อันดับสองวางนัยทั่วไปในมิติที่สูงกว่าผ่านแนวคิดของ[[อนุพันธ์บางส่วน|อนุพันธ์ย่อย]]อันดับสอง สำหรับฟังก์ชัน  อนุพันธ์ย่อยอันดับสองประกอบด้วยอนุพันธ์ย่อยดังนี้

<math display="block">\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} </math>

และอนุพันธ์ย่อยผสม

<math display="block">\frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}, \; 
\frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial z}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial z}</math>

ในบางกรณี เช่นเมื่ออนุพันธ์อันดับสองทุกตัวเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เราสามารถนำอนุพันธ์อันดับสองทั้งหมดประกอบกันเป็น[[เมทริกซ์สมมาตร]] เรียกว่า **เมทริกซ์เฮสเซียน** [[เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ|ค่าเฉพาะ]]ของเมทริกซ์นี้สามารถใช้ทดสอบอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันหลายตัวแปร (ดูเพิ่มที่ [[การทดสอบอนุพันธ์ย่อยครั้งที่สอง|การทดสอบอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง]])

=== ตัวดำเนินการลาปลาส ===

การวางนัยทั่วไปอีกรูปแบบหนึ่งของอนุพันธ์อันดับสอง คือ **ตัวดำเนินการลาปลาส''' ซึ่งเป็นตัวดำเนินการดิฟเฟอเรนเชียล \nabla^2 (หรือ \Delta) ที่กำหนดโดย

\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}

ลาปลาเซียนของฟังก์ชันเท่ากับไดเวอร์เจนซ์ของเกรเดียนต์ และเท่ากับรอยของเมทริกซ์เฮสเซียน

## ดูเพิ่ม

* ความเชิร์ป อนุพันธ์อันดับสองของเฟสขณะหนึ่ง
* ผลต่างอันตะ ใช้ในการประมาณอนุพันธ์อันดับสอง
* การทดสอบอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง
* ความสมมาตรของอนุพันธ์อันดับสอง

## อ้างอิง

## อ่านเพิ่มเติม

### สิ่งพิมพ์

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

### หนังสือออนไลน์

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## แหล่งข้อมูลอื่น

* อนุพันธ์อันดับสองแบบไม่ต่อเนื่องจากจุดที่เว้นระยะไม่เท่ากัน
หมวดหมู่:ฟังก์ชันและการจับคู่
หมวดหมู่:แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์
หมวดหมู่:คณิตวิเคราะห์
หมวดหมู่:หน้าที่ใช้แถบข้างที่มีพารามิเตอร์ child