บทนำกลศาสตร์ควอนตัม

**กลศาสตร์ควอนตัม** () เป็นการศึกษาเกี่ยวกับสสารและปฏิสัมพันธ์ระหว่างสสารกับพลังงานในระดับอนุภาคอะตอมและอนุภาคย่อยของอะตอม ต่างจากฟิสิกส์ดั้งเดิมที่จะอธิบายสสารและพลังงานในระดับที่ประสบการณ์ของมนุษย์คุ้นเคยเท่านั้น ซึ่งรวมถึงพฤติกรรมของวัตถุทางดาราศาสตร์เช่น ดวงจันทร์ ฟิสิกส์ดั้งเดิมยังคงมีการใช้งานในวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีสมัยใหม่ อย่างไรก็ตาม ในช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 19 นักวิทยาศาสตร์ได้ค้นพบปรากฏการณ์ทั้งในโลกขนาดใหญ่ (มหทรรศน์) และโลกขนาดเล็ก (จุลทรรศน์) ที่ไม่สามารถใช้ฟิสิกส์ดั้งเดิมอธิบายได้ ความปรารถนาที่จะแก้ไขความไม่สอดคล้องกันระหว่างปรากฏการณ์ที่สังเกตได้กับทฤษฎีคลาสสิกได้นำไปสู่การปฏิวัติทางฟิสิกส์ที่ทำให้กระบวนทัศน์ทางวิทยาศาสตร์ดั้งเดิมเปลี่ยนไปอย่างสิ้นเชิงนั่นคือการพัฒนาของ *กลศาสตร์ควอนตัม*

กลศาสตร์ควอนตัมหลายแง่มุมนั้นขัดกับสัญชาตญาณ และอาจดูขัดแย้งกันเอง เพราะแง่มุมเหล่านั้นอธิบายพฤติกรรมสิ่งที่ค่อนข้างแตกต่างจากที่เห็นเมื่อมองในระดับที่ใหญ่กว่า นักฟิสิกส์ควอนตัม ริชาร์ด ไฟน์แมน ได้กล่าวว่ากลศาสตร์ควอนตัมเกี่ยวข้องกับ "ธรรมชาติในทางที่ไร้เหตุผล" คุณลักษณะของกลศาสตร์ควอนตัมมักท้าทายการอธิบายง่าย ๆ ในภาษาประจำวัน ตัวอย่างหนึ่งคือ หลักความไม่แน่นอน เมื่อเราไม่สามารถวัดตำแหน่งและความเร็วที่แม่นยำพร้อมกันได้ ยิ่งวัดค่าใดค่าหนึ่งให้แม่นยำมากขึ้น อีกค่าจะประพฤติตัวให้มีความแม่นยำน้อยลงเท่านั้น โดยไม่เกี่ยวกับความละเอียดของอุปกรณ์วัดแต่อย่างใด อีกตัวอย่างหนึ่งคือ การพัวพันเชิงควอนตัม ในบางสถานการณ์ อนุภาคสองตัวที่มีปฏิสัมพันธ์กันมาก่อนสามารถ "พัวพันกัน" ได้ การวัดค่าที่ทำต่ออนุภาคหนึ่ง (เช่น อิเล็กตรอนที่ถูกวัดว่ามีค่าสปินขึ้น) จะมีความสัมพันธ์ทางสถิติกับผลลัพธ์ของการวัดที่เท่ากันบนอนุภาคอีกตัว (ซึ่งมีแนวโน้มที่จะมีค่าสปินลง) ปรากฏการณ์นี้ยังคงเกิดขึ้นแม้ว่าอนุภาคทั้งสองอาจอยู่ห่างไกลกันมากจนเป็นไปไม่ได้ที่ผลการวัดครั้งแรกจะถูกส่งไปยังอนุภาคที่สองได้ทันเวลาก่อนที่การวัดครั้งที่สองจะเกิดขึ้น

กลศาสตร์ควอนตัมช่วยให้เราเข้าใจเคมี เพราะมันอธิบายว่าอะตอมมีปฏิสัมพันธ์ต่อกันอย่างไรและก่อตัวเป็นโมเลกุลได้อย่างไร ปรากฏการณ์ที่น่าทึ่งหลายอย่างสามารถอธิบายได้โดยใช้กลศาสตร์ควอนตัม เช่น ภาวะของไหลยวดยิ่ง ฮีเลียมเหลวในภาชนะซึ่งเย็นจัดจนมีอุณหภูมิใกล้ศูนย์สัมบูรณ์จะสามารถไหลต้านแรงโน้มถ่วงขึ้นเองจนพ้นเหนือขอบภาชนะ ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่ฟิสิกส์ดั้งเดิมไม่สามารถอธิบายได้

## ทฤษฎีควอนตัมทฤษฎีแรก: มัคส์ พลังค์และการแผ่รังสีของวัตถุดำ
thumb|upright|พลังค์ในวัยผู้ใหญ่ตอนต้น (ค.ศ. 1878)

รังสีความร้อนคือรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าที่ปล่อยออกมาจากพื้นผิวของวัตถุเนื่องจากพลังงานภายในของวัตถุ หากวัตถุนั้นได้รับความร้อนมากพอมันจะเริ่มเปล่งแสงสีแดงของสเปกตรัมออกมา

เมื่อวัตถุนั้นได้รับความร้อนต่อไปจะทำให้สีเปลี่ยนจากแดงเป็นเหลือง ขาว และน้ำเงินตามลำดับ เนื่องจากแสงที่วัตถุปล่อยออกมามีความยาวคลื่นสั้นลงเรื่อย ๆ (และความถี่สูงขึ้นเรื่อย ๆ) ตัวปล่อยแสงที่สมบูรณ์แบบคือตัวดูดซับที่สมบูรณ์แบบ เมื่อวัตถุดังกล่าวเย็นลงจะดูเป็นสีดำสนิท เพราะมันดูดซับแสงที่ตกกระทบไว้ทั้งหมดและไม่เปล่งแสงออกมาเลย ตัวปล่อยรังสีความร้อนในอุดมคติจึงถูกเรียกว่าวัตถุดำ และรังสีที่ถูกปล่อยออกมาเรียกว่ารังสีของวัตถุดำ

ช่วงปลายศตวรรษที่ 19 นักวิทยาศาสตร์สามารถอธิบายการแผ่รังสีความร้อนค่อนข้างดีตามการทดลอง อย่างไรก็ตาม ฟิสิกส์ดั้งเดิมที่นำไปสู่กฎของเรย์ลีห์-ยีนส์ดังที่แสดงในรูปกราฟด้านล่าง สามารถทำนายผลการทดลองได้อย่างถูกต้องเมื่อคลื่นของรังสีมีความถี่ต่ำ แต่ไม่ถูกต้องเลยกับคลื่นที่มีความถี่สูง นักฟิสิกส์จึงต้องค้นหาทฤษฎีเดียวที่จะอธิบายผลการทดลองได้ทั้งหมด

แบบจำลองแรกที่สามารถอธิบายสเปกตรัมของการแผ่รังสีความร้อนทั้งหมดได้รับการเสนอโดยมัคส์ พลังค์ ในปี ค.ศ. 1900 เขาเสนอแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ให้การแผ่รังสีความร้อนอยู่ในสภาวะสมดุลด้วยชุดของตัวแกว่งกวัดฮาร์มอนิก (harmonic oscillator) เพื่อให้ผลการทดลองทำซ้ำได้ เขาต้องตั้งสมมุติฐานว่าตัวแกว่งกวัดแต่ละตัวปล่อยพลังงานเป็นจำนวนเต็มหน่วยที่ความถี่เฉพาะความถี่เดียวแทนที่จะปล่อยพลังงานออกมาตามใจชอบ กล่าวอีกนัยหนึ่ง พลังงานที่ปล่อยออกมาจากตัวแกว่งกวัดนั้นถูก*แจงออกเป็นหน่วย* ค่าควอนตัมของพลังงานของตัวแกว่งกวัดแต่ละตัวตามข้อมูลของพลังค์นั้นเป็นสัดส่วนกับความถี่ของตัวแกว่งกวัด ค่าคงตัวของสัดส่วนถูกเรียกกันในปัจจุบันว่า ค่าคงตัวของพลังค์ มักแทนด้วยสัญลักษณ์ h มีค่า  ดังนั้นพลังงาน E ของตัวแกว่งกวัดที่ความถี่ f จึงถูกกำหนดว่า
:E = nhf\quad โดยที่ \quad n = 1,2,3,\ldots

หากเราต้องการเปลี่ยนสีของวัตถุที่แผ่รังสีเราจำเป็นต้องเปลี่ยนอุณหภูมิของมัน กฎของพลังค์ได้อธิบายว่าการเพิ่มอุณหภูมิให้กับวัตถุทำให้วัตถุนั้นปลดปล่อยพลังงานโดยรวมออกมามากขึ้น และสัดส่วนของพลังงานที่มากขึ้นจะเลื่อนไปยังปลายสีม่วงของสเปกตรัม

กฎของพลังค์เป็นทฤษฎีควอนตัมทฤษฎีแรกในฟิสิกส์ พลังค์ได้รับรางวัลโนเบลในปี ค.ศ. 1918 "ให้ไว้เพื่อความระลึกถึงผลงานที่เขาได้มอบให้เพื่อความก้าวหน้าของฟิสิกส์ด้วยการค้นพบพลังงานที่ไม่ต่อเนื่อง (energy quanta)" อย่างไรก็ตาม ในเวลานั้นพลังค์มีมุมมองว่า*การแจงเป็นหน่วย* (quantization) เป็นเพียงโครงสร้างของคณิตศาสตร์แบบศึกษาสำนึกมากกว่าที่จะเป็นการเปลี่ยนแปลงในระดับรากฐานต่อความเข้าใจโลกของมนุษย์อย่างที่เชื่อกันในปัจจุบัน

## โฟตอน: การทำแสงให้เป็นควอนตัม
[thumb|upright|[อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ประมาณปี 1905]]

ในปี 1905 อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ เสนอว่าวิธีคิดแบบการแจงหน่วยไม่ได้เป็นเพียงภาพสร้างทางคณิตศาสตร์ หากแต่เป็นสิ่งที่เกิดขึ้นจริงในธรรมชาติ พลังงานได้เกิดขึ้นเป็นกลุ่มก้อนในลำแสงจริง ซึ่งกลุ่มก้อนของพลังงานแสงถูกเรียกกันในปัจจุบันว่า โฟตอน (photon) พลังงานของโฟตอนเดี่ยวที่ความถี่ f มีค่าเท่ากับความถี่คูณกับค่าคงที่ของพลังค์ h (ซึ่งเป็นจำนวนบวกที่น้อยมาก) เขียนเป็นสมการว่า
:E = hf

เป็นเวลาหลายศตวรรษที่นักวิทยาศาสตร์ถกเถียงกันเรื่องธรรมชาติของแสงที่เป็นไปได้สองทฤษฎี ฝั่งหนึ่งกล่าวว่าแสงเป็นคลื่น อีกฝั่งกล่าวว่าแสงคือกระแสของอนุภาคขนาดเล็ก เมื่อถึงคริสต์ศตวรรษที่ 19 การถกเถียงโดยส่วนใหญ่แสดงการยอมรับทฤษฎีคลื่น เพราะทฤษฎีดังกล่าวสามารถอธิบายปรากฏการณ์ของแสงที่สังเกตได้ เช่น การหักเห การเลี้ยวเบน การแทรกสอด และโพลาไรเซชัน นอกจากนี้ เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ ได้แสดงให้เห็นว่าไฟฟ้า แม่เหล็ก และแสงล้วนเป็นการแสดงของปรากฏการณ์เดียวกันนั่นคือสนามแม่เหล็กไฟฟ้า สมการของแมกซ์เวลล์ ซึ่งเป็นชุดของกฎที่สมบูรณ์ของแม่เหล็กไฟฟ้าดั้งเดิม อธิบายว่าแสงเป็นคลื่นหรือเป็นผลมาจากการรวมกันของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กที่แกว่งไปมา จากหลักฐานที่ สนับสนุนทฤษฎีคลื่นของแสงมีมากกว่า ทำให้แนวคิดของไอน์สไตน์ในขณะนั้นจึงถูกตั้งข้อสงสัยเป็นอย่างมาก อย่างไรก็ตามภายหลังแบบจำลองโฟตอนจึงได้รับความนิยม หลักฐานสำคัญที่สุดชิ้นหนึ่งที่สนับสนุนแบบจำลองนี้คือความสามารถในการอธิบายคุณสมบัติที่ทำให้ฉงนหลายประการของปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริกซึ่งจะอธิบายในหัวข้อถัดไป อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีคลื่นยังคงถูกใช้อธิบายคุณสมบัติอื่น ๆ ของแสงซึ่งได้แก่ การเลี้ยวเบน การหักเห และการแทรกสอด อย่างขาดไม่ได้

### ปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริก
thumb|เมื่อมีแสงส่องกระทบพื้นผิวโลหะ (ซ้าย) หากความถี่ของแสงนั้นสูงพอ กล่าวคือถ้าแสงให้พลังงานแก่อิเล็กตรอนเพียงพอ อิเล็กตรอนจะถูกปลดปล่อยออกจากโลหะ (เม็ดสีแดง)

ปี ค.ศ. 1887 ไฮน์ริช แฮทซ์สังเกตว่าเมื่อแสงที่มีความถี่เพียงพอกระทบพื้นผิวโลหะ พื้นผิวจะปลดปล่อยอิเล็กตรอนออกมา ต่อมาในปี ค.ศ. 1902 ฟิลิปป์ เลนาร์ดค้นพบว่าพลังงานสูงสุดที่เป็นไปได้ของอิเล็กตรอนที่หลุดออกมานั้นสัมพันธ์กับความถี่ของแสง ไม่ใช่ความเข้มของแสง หากแสงมีความถี่ต่ำเกินไป จะไม่มีอิเล็กตรอนถูกปลดปล่อยออกมาไม่ว่าแสงจะมีความเข้มมากเพียงใด ลำแสงที่มีความเข้มสูงจากปลายสีแดงของแถบสเปกตรัมอาจไม่สร้างศักย์ไฟฟ้าเลย ในขณะที่ลำแสงความเข้มต่ำเมื่อยิ่งเข้าใกล้ปลายสีม่วงของแถบสเปกตรัมจะยิ่งสร้างแรงดันไฟฟ้าสูงขึ้น ความถี่แสงที่ต่ำสุดที่ทำให้อิเล็กตรอนถูกปลดปล่อยออกมาได้เรียกว่า *ความถี่ขีดเริ่มเปลี่ยน* (threshold frequency) ซึ่งมีค่าแตกต่างกันไปตามโลหะแต่ละชนิด การสังเกตนี้ขัดแย้งกับแม่เหล็กไฟฟ้าแบบดั้งเดิม ซึ่งทำนายว่าพลังงานของอิเล็กตรอนควรเป็นสัดส่วนกับความเข้มของรังสีที่ตกกระทบ ดังนั้น เมื่อนักฟิสิกส์ประดิษฐ์อุปกรณ์ที่แสดงปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริกได้เป็นครั้งแรก พวกเขาคาดว่าความเข้มของแสงที่สูงขึ้นจะสร้างแรงดันไฟฟ้าที่สูงขึ้น

ไอน์สไตน์อธิบายปรากฏการณ์นี้โดยตั้งสมมติฐานว่าลำแสงเป็นกระแสของอนุภาค (โฟตอน) และถ้าลำแสงมีความถี่ f แล้วแต่ละโฟตอนจะมีพลังงานเท่ากับ hf  อิเล็กตรอนมีแนวโน้มที่จะถูกชนด้วยโฟตอนเพียงตัวเดียว ซึ่งส่งพลังงานให้กับอิเล็กตรอนมากที่สุดที่ค่า hf  ดังนั้นความเข้มของลำแสงจึงไม่มีผล และมีเพียงความถี่เท่านั้นที่กำหนดพลังงานสูงสุดที่สามารถส่งให้กับอิเล็กตรอนได้

ในการอธิบายความถี่ขีดเริ่มเปลี่ยน ไอน์สไตน์แย้งว่าต้องใช้พลังงานปริมาณหนึ่งที่เรียกว่า *[[ฟังก์ชันงาน]]* (work function) แทนด้วยสัญลักษณ์ \varphi ในการดึงอิเล็กตรอนออกจากโลหะ พลังงานปริมาณนี้แตกต่างกันไปตามโลหะแต่ละชนิด ถ้าพลังงานของโฟตอนมีค่าน้อยกว่าฟังก์ชันงาน พลังงานจะไม่เพียงพอที่จะดึงอิเล็กตรอนออกจากโลหะ ความถี่ขีดเริ่มเปลี่ยน f_0 คือความถี่ของโฟตอนที่สร้างพลังงานเท่ากับฟังก์ชันงาน:
:\varphi = h f_0

ถ้าหาก f มีค่ามากกว่า f_0 พลังงาน hf ก็เพียงพอที่จะดึงอิเล็กตรอนออก อิเล็กตรอนที่ถูกปลดปล่อยออกมาจะมีพลังงานจลน์ E_K ซึ่งมีค่ามากที่สุดเท่ากับพลังงานของโฟตอนลบด้วยพลังงานที่จำเป็นในการดึงอิเล็กตรอนออกจากโลหะ:
:E_K = hf - \varphi = h(f - f_0)

คำอธิบายของไอน์สไตน์เกี่ยวกับแสงที่ประกอบด้วยอนุภาคได้ขยายแนวคิดของพลังค์เกี่ยวกับพลังงานเชิงการแจงหน่วย ซึ่งก็คือโฟตอนเดี่ยวที่มีความถี่ f จะให้ปริมาณของพลังงานที่ไม่แปรผันที่ค่า hf กล่าวอีกนัยหนึ่ง โฟตอนแต่ละตัวจะมีพลังงานมากหรือน้อย ขึ้นอยู่กับความถี่เท่านั้น โฟตอนเดี่ยวแทบไม่เคยถูกพบในธรรมชาติ ดวงอาทิตย์และแหล่งกำเนิดรังสีทั้งหลายจากศตวรรษที่ 19 ปล่อยโฟตอนจำนวนมหาศาลออกมาทุก ๆ วินาที ทำให้ความสำคัญของพลังงานที่โฟตอนเดี่ยวแต่ละตัวมีไม่ชัดเจน แนวคิดของไอน์สไตน์ที่ว่าพลังงานที่บรรจุอยู่ในหน่วยแสงแต่ละหน่วยขึ้นอยู่กับความถี่ของแสงทำให้เราอธิบายผลการทดลองที่ดูขัดกับสัญชาตญาณได้ อย่างไรก็ตาม แม้ว่าโฟตอนจะเป็นอนุภาค มันก็ยังคงได้รับการอธิบายว่ามีคุณสมบัติของความถี่คล้ายคลื่น สุดท้ายแล้ว การอธิบายว่าแสงเป็นอนุภาคจึงยังไม่เพียงพอ และยังจำเป็นต้องมีคำอธิบายต่อธรรมชาติที่เหมือนคลื่นของมัน

### ผลของแนวคิดแสงเป็นควอนตัม
ความสัมพันธ์ระหว่างความถี่ของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าและพลังงานของโฟตอนแต่ละตัวสามารถนำมาอธิบายได้ว่าเพราะเหตุใดแสงอัลตราไวโอเลตทำให้เกิดอาการผิวไหม้จากแสงอาทิตย์ได้ แต่แสงที่ตามนุษย์มองเห็นหรือแสงอินฟราเรดไม่สามารถทำให้เกิดอาการเดียวกันได้ โฟตอนของแสงอัลตราไวโอเลตบรรจุพลังงานปริมาณมากเพียงพอที่จะทำให้เซลล์เสียหาย อย่างเช่นการถูกแดดเผา โฟตอนของแสงอินฟราเรดให้พลังงานน้อยกว่า เพียงพอที่จะทำให้ผิวหนังรู้สึกอุ่นเท่านั้น เพราะฉะนั้น หลอดอินฟราเรดจึงสามารถอุ่นพื้นผิวขนาดใหญ่ บางทีอาจมากพอที่จะทำให้มนุษย์รู้สึกสบายในห้องที่เย็น แต่ไม่สามารถทำให้ผิวหนังของใครไหม้ได้

โฟตอนทุกตัวที่มีความถี่เดียวกันจะมีพลังงานเท่ากัน และโฟตอนทุกตัวที่มีความถี่ต่างกันจะมีพลังงานต่างกันตามสัดส่วน (ลำดับชั้นที่ 1,  ) อย่างไรก็ตาม แม้ว่าพลังงานที่โฟตอนให้จะไม่แปรผัน ณ ความถี่ใดความถี่หนึ่ง สถานะพลังงานเริ่มต้นของอิเล็กตรอนในอุปกรณ์โฟโตอิเล็กทริกก่อนการดูดกลืนแสงไม่จำเป็นต้องเหมือนกันเสมอไป ผลลัพธ์ที่ผิดปกติอาจเกิดขึ้นในกรณีของอิเล็กตรอนแต่ละตัว ตัวอย่างเช่น อิเล็กตรอนที่อยู่ในสถานะกระตุ้นเหนือระดับสมดุลของอุปกรณ์โฟโตอิเล็กทริกอาจถูกดึงออกทันทีที่มันดูดซับแสงที่มีความถี่ต่ำกว่าความถี่ปกติมาก อย่างไรก็ตาม ในทางสถิติแล้วพฤติกรรมลักษณะเฉพาะของอุปกรณ์โฟโตอิเล็กทริกจะสะท้อนถึงพฤติกรรมของอิเล็กตรอนส่วนใหญ่ซึ่งอยู่ในระดับสมดุล ประเด็นนี้ช่วยอธิบายความแตกต่างระหว่างการศึกษาอนุภาคเดี่ยวขนาดเล็กในพลศาสตร์ควอนตัม (quantum dynamics) และการศึกษาอนุภาคเดี่ยวขนาดใหญ่ในฟิสิกส์ดั้งเดิม

## การทำสสารให้เป็นควอนตัม: แบบจำลองอะตอมของโปร์
เมื่อถึงต้นศตวรรษที่ 20 มีการค้นพบว่าอะตอมประกอบด้วยหมอกของอิเล็กตรอนที่มีประจุลบล้อมรอบนิวเคลียสที่มีประจุบวกซึ่งมีขนาดเล็กและหนาแน่น จึงจำเป็นต้องมีแบบจำลองอะตอมเพื่อมาอธิบาย ข้อเสนอแบบจำลองแรกอธิบายว่าอิเล็กตรอนหมุนรอบนิวเคลียสเหมือนที่ดาวเคราะห์โคจรรอบดาวฤกษ์ตามทฤษฎีฟิสิกส์ดั้งเดิม อย่างไรก็ตาม เป็นที่ทราบกันดีว่าอะตอมในแบบจำลองนี้จะไม่เสถียร อิเล็กตรอนที่โคจรอยู่รอบนิวเคลียสจะตกอยู่ภายใต้ความเร่งสู่ศูนย์กลางเนื่องจากการหมุนและปล่อยรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าออกมาอยู่ตลอดเวลา ทำให้มันสูญเสียพลังงานและค่อย ๆ หมุนวนเข้าหานิวเคลียสและชนกันโดยใช้เวลาเพียงเสี้ยววินาที

ปริศนาข้อสองที่เกี่ยวข้องคือสเปกตรัมที่อะตอมเปล่งออกมา เมื่อแก๊สได้รับความร้อน มันจะเปล่งแสงที่มีความถี่เฉพาะและไม่ต่อเนื่องเท่านั้น ตัวอย่างเช่น แสงที่มองเห็นได้ซึ่งปล่อยออกมาจากอะตอมไฮโดรเจน จะประกอบด้วยสีที่ต่างกัน 4 สี ดังที่แสดงในภาพด้านล่าง ความเข้มของแสงที่ความถี่ต่าง ๆ ก็ต่างกันด้วย ในทางตรงกันข้าม แสงสีขาวจะมีสเปกตรัมเปล่งออกที่ต่อเนื่องตลอดช่วงความถี่ที่มองเห็นทั้งหมด ช่วงปลายศตวรรษที่ 19 มีกฎง่าย ๆ ที่เรียกว่าสูตรของบัลเมอร์ อธิบายว่าความถี่แต่ละเส้นสัมพันธ์กันอย่างไร หากแต่ไม่ได้อธิบายว่าเพราะเหตุใดจึงเป็นเช่นนี้ และไม่สามารถใช้ทำนายความเข้มได้ สูตรดังกล่าวยังได้ทำนายเส้นสเปกตรัมเพิ่มเติมในช่วงแสงอัลตราไวโอเลตและอินฟราเรดที่ยังไม่เคยมีการทดลองในขณะนั้น ต่อมาจึงมีการทดลองและสามารถสังเกตเห็นเส้นสเปกตรัมเหล่านี้ได้จริง สูตรนี้จึงได้รับการยอมรับมากขึ้น

เมื่อปี 1885 โยฮัน บัลเมอร์ นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสได้ค้นพบว่าสเปกตรัมที่มองเห็นได้ของไฮโดรเจนมีความยาวคลื่น  (แลมบ์ดา) ที่สัมพันธ์กับจำนวนเต็ม  บางตัวด้วยสูตร
:\lambda = B\left(\frac{n^2}{n^2-4}\right) \qquad\qquad n = 3,4,5,6
โดย  คือค่าคงตัวหนึ่งที่เขากำหนดให้เท่ากับ 364.56 นาโนเมตร (nm)

ต่อมาในปี 1888 ยูฮันเนิส รีดแบร์ย ได้ปรับสูตรของบัลเมอร์ให้มีลักษณะทั่วไปและเพิ่มความสามารถในการอธิบายได้อย่างมาก เขาทำนายว่า  สัมพันธ์กับจำนวนเต็มสองตัวคือ  และ  ตามสูตรที่รู้จักกันในปัจจุบันในชื่อสูตรของรีดแบร์ย:
: \frac{1}{\lambda} = R \left(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}\right),
โดย *R* คือค่าคงตัวรีดแบร์ย มีค่าเท่ากับ 0.0110&nbsp;nm−1 และ *n* ต้องมีค่ามากกว่า *m*

สูตรของรีดแบร์ยสามารถอธิบายความยาวคลื่นของไฮโดรเจนที่มองเห็นได้ทั้ง 4 ความยาวคลื่นโดยกำหนดให้  และ  นอกจากนี้สูตรดังกล่าวยังทำนายความยาวคลื่นเพิ่มเติมในสเปกตรัมเปล่งออก โดยเมื่อ  และ  สเปกตรัมเปล่งออกจะมีความยาวคลื่นในช่วงอัลตราไวโอเลต และเมื่อ  และ  จะมีความยาวคลื่นในช่วงอินฟราเรด การทดลองเพื่อสังเกตความยาวคลื่นในช่วงดังกล่าวเกิดขึ้น 20 ปีหลังจากนี้ โดยเมื่อปี 1908 Louis Paschen ได้ค้นพบความยาวคลื่นที่มีการทำนายไว้ในช่วงอินฟราเรดบางตำแหน่ง และในปี 1914 Theodore Lyman ได้ค้นพบความยาวคลื่นในช่วงอัลตราไวโอเลตบางตำแหน่ง

สูตรทั้งสองนี้มีตัวแปรที่เป็นจำนวนเต็ม หากใช้ศัพท้ปัจจุบันอาจกล่าวได้ว่าสูตรดังกล่าวได้บอกเป็นนัยถึงสมบัติบางประการของอะตอมว่าเป็นควอนตัม การศึกษาทำความเข้าใจคุณสมบัติเหล่านี้เป็นส่วนสำคัญต่อการพัฒนากลศาสตร์ควอนตัม

[thumb|[แบบจำลองของโปร์|แบบจำลองอะตอมของโปร์ ในภาพแสดงการย้ายตำแหน่งวงโคจรของอิเล็กตรอนโดยการปล่อยโฟตอน]]

ในปี 1913 นิลส์ โปร์ได้เสนอแบบจำลองใหม่ของอะตอมที่มีการเพิ่มวงโคจรของอิเล็กตรอนแบบแจงหน่วย นั่นคือ อิเล็กตรอนยังคงโคจรรอบนิวเคลียสเสมือนที่ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์ แต่อิเล็กตรอนแต่ละตัวจะอยู่ในวงโคจรเฉพาะของมันเองเท่านั้น ไม่สามารถโคจรได้ที่ระยะต่าง ๆ ได้ตามอำเภอใจ เมื่ออะตอมปล่อยหรือดูดซับพลังงาน อิเล็กตรอนจะไม่เปลี่ยนวงโคจรจากวงโคจรหนึ่งไปยังอีกวงหนึ่งในแนวโค้งเป็นเกลียวที่ต่อเนื่องอย่างที่คาดกันไว้แต่เดิม หากแต่อิเล็กตรอนจะกระโดดทันทีจากวงโคจรหนึ่งไปยังอีกวงหนึ่ง ในขณะเดียวกันมันก็ปล่อยพลังงานออกมาในรูปของโฟตอน พลังงานที่เป็นไปได้ของโฟตอนที่ปล่อยออกมาจากธาตุแต่ละชนิดถูกกำหนดโดยความต่างของพลังงานของทั้งสองวงโคจร ดังนั้นสเปกตรัมของธาตุแต่ละชนิดที่เปล่งออกมาจึงประกอบด้วยเส้นสเปกตรัมจำนวนหนึ่ง

thumb|left|upright|นิลส์ โปร์ในวัยหนุ่ม

การเริ่มจากสมมติฐานง่าย ๆ เพียงข้อเดียวที่กล่าวว่าวงโคจรต้องเป็นไปตามกฎ แบบจำลองของโปร์จึงสามารถเชื่อมโยงระหว่างเส้นสเปกตรัมที่มองเห็นได้ในสเปกตรัมเปล่งออกของไฮโดรเจนกับค่าคงตัวที่รู้จักก่อนหน้านี้ได้ แบบจำลองของโปร์อธิบายว่าอิเล็กตรอนไม่สามารถปล่อยพลังงานออกมาอย่างต่อเนื่องและทำให้มันชนนิวเคลียส แต่อิเล็กตรอนจะโคจรอยู่ในวงโคจรที่ใกล้ที่สุดที่มันอยู่ได้และจะอยู่อย่างเสถียรตลอดไป แบบจำลองของโปร์ไม่ได้อธิบายว่าทำไมวงโคจรจึงถูกแจงเป็นหน่วยด้วยวิธีนั้น และยังไม่สามารถทำนายอะตอมที่มีอิเล็กตรอนมากกว่าหนึ่งตัวได้อย่างแม่นยำ หรือแม้กระทั่งอธิบายว่าทำไมเส้นสเปกตรัมบางเส้นจึงสว่างกว่าเส้นอื่น

สมมติฐานพื้นฐานบางประการในแบบจำลองของโปร์ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าผิดไม่นานหลังจากนี้ แต่ผลลัพธ์หลักที่ว่าเส้นที่ไม่ต่อเนื่องในสเปกตรัมเปล่งออกนั้นเกิดจากคุณสมบัติบางอย่างของอิเล็กตรอนในอะตอมที่ถูกแจงเป็นหน่วยนั้นถูกต้อง ธรรมชาติที่แท้จริงของอิเล็กตรอนนั้นแตกต่างจากแบบจำลองของโปร์อย่างมากรวมถึงโลกที่เราสังเกตได้ในชีวิตประจำวัน แบบจำลองเชิงกลศาสตร์ควอนตัมของอะตอมในยุคใหม่จะกล่าวถึงอีกครั้งด้านล่าง

นิลส์ โปร์ได้ตั้งทฤษฎีว่าโมเมนตัมเชิงมุม  ของอิเล็กตรอนหนึ่งตัวถูกแจงเป็นหน่วยตามสมการ
:L = n\frac{h}{2\pi}=n\hbar
โดย  คือจำนวนเต็ม และ  กับ  คือค่าคงตัวของพลังค์กับค่าคงตัวลดรูปของพลังค์ตามลำดับ เมื่อเริ่มจากสมมติฐานดังกล่าวแล้ว กฎของคูลอมบ์และชุดสมการการเคลื่อนที่แบบวงกลมจะแสดงให้เห็นว่าอิเล็กตรอนตัวหนึ่งที่มีโมเมนตัมเชิงมุม  หน่วยจะโคจรรอบโปรตอนตัวหนึ่งด้วยระยะห่าง  ตามสมการ
:r = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 k_e m e^2},
โดย  คือค่าคงตัวคูลอมบ์,  คือมวลของอิเล็กตรอน และ  คือประจุของอิเล็กตรอนหนึ่งตัว

ซึ่งสามารถเขียนลดรูปได้ว่า
:r = n^2 a_0,\!
โดย  คือรัศมีของโปร์ เป็นรัศมีวงโคจรที่เล็กที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ มีค่าเท่ากับ 0.0529&nbsp;nm

นอกจากนี้ยังสามารถคำนวณพลังงานของอิเล็กตรอนได้จาก
:E = -\frac{k_{\mathrm{e}}e^2}{2a_0} \frac{1}{n^2}.

ดังนั้นสมมติฐานของโปร์ที่โมเมนตัมเชิงมุมถูกแจงเป็นหน่วยคือการที่อิเล็กตรอนตัวหนึ่งสามารถอยู่ในวงโคจรเฉพาะของมันเองรอบนิวเคลียสและมีพลังงานได้ค่าเฉพาะค่าหนึ่งเท่านั้น สิ่งที่ตามมาคืออิเล็กตรอนจะไม่ชนเข้ากับนิวเคลียส มันจะไม่ปลดปล่อยพลังงานต่อเนื่องออกมาและไม่อยู่ใกล้นิวเคลียสในระยะห่างที่น้อยกว่ารัศมีของโปร์ *a*0

อิเล็กตรอนตัวหนึ่งจะปล่อยพลังงานออกมาโดยกระโดดอย่างทันทีจากวงโคจรเดิมไปสู่วงโคจรที่มีระดับต่ำกว่า (เข้าใกล้นิวเคลียส) พลังงานจะถูกปล่อยออกมาในรูปโฟตอน ส่วนอิเล็กตรอนที่ดูดซับโฟตอนจะได้รับพลังงานและกระโดดจากวงโคจรเดิมไปสู่วงโคจรที่ห่างออกไปจากนิวเคลียส

โฟตอนแต่ละหน่วยที่มาจากอะตอมไฮโดรเจนเปล่งแสงเกิดขึ้นเมื่ออิเล็กตรอนย้ายตำแหน่งจากวงโคจรที่ระดับสูงกว่า (รัศมี ) ไปยังวงโคจรที่ระดับต่ำกว่า (รัศมี ) พลังงานของโฟตอนหน่วยนี้  คือผลต่างระหว่างพลังงานของอิเล็กตรอนที่วงโคจรระดับสูง  กับวงโคจรระดับต่ำ :
:E_{\gamma} = E_n - E_m = \frac{k_{\mathrm{e}}e^2}{2a_0}\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right)
สมการของพลังค์แสดงความสัมพันธ์ของพลังงานของโฟตอนกับความยาวคลื่นจากสมการ  ความยาวคลื่นของแสงที่ปล่อยออกมาจึงเป็น
:\frac{1}{\lambda} = \frac{k_{\mathrm{e}}e^2}{2 a_0 h c}\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right).
สมการดังกล่าวมีรูปเหมือนกับสูตรของรีดแบร์ย และได้ทำนายว่าค่าคงตัว  ควรมีค่าเท่ากับ
:R = \frac{k_{\mathrm{e}}e^2}{2 a_0 h c} .
กล่าวโดยสรุปคือแบบจำลองอะตอมของโปร์สามารถทำนายสเปกตรัมเปล่งออกของอะตอมไฮโดรเจนได้โดยใช้ตัวแปรค่าคงตัวพื้นฐาน แต่แบบจำลองดังกล่าวยังคงไม่สามารถใช้กับอะตอมที่มีอิเล็กตรอนหลายตัวได้อย่างแม่นยำ รวมทั้งยังไม่สามารถอธิบายว่าเพราะเหตุใดเส้นสเปกตรัมบางเส้นจึงสว่างกว่าเส้นอื่น

## ทวิภาคของคลื่น–อนุภาค

[thumb|upright|[หลุยส์ เดอ เบรย (เมื่อปี 1929) ได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์จากการทำนายว่าสสารประพฤติตัวเป็นคลื่นจากวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกในปี 1924]]

นอกจากแสงที่มีคุณสมบัติเหมือนเป็นทั้งคลื่นและอนุภาคแล้ว สสารก็มีคุณสมบัติเป็นเหมือนคลื่นเช่นเดียวกัน เราเรียกคุณสมบัตินี้ว่า "ทวิภาคคลื่น–อนุภาค" (wave-particle duality)

พฤติกรรมความเป็นคลื่นของสสารได้รับการสาธิตครั้งแรกโดยใช้อิเล็กตรอน ลำแสงของอิเล็กตรอนสามารถแสดงการเลี้ยวเบนได้เช่นเดียวกับลำแสงหรือคลื่นน้ำ ต่อมาจึงมีการค้นพบปรากฏการณ์ของคลื่นที่คล้ายกันเกิดกับอะตอมหรือแม้แต่โมเลกุล

ความยาวคลื่น  ของวัตถุใด ๆ มีความสัมพันธ์กับโมเมนตัม  ผ่านค่าคงที่ของพลังค์ :

: p = \frac{h}{\lambda}

ความสัมพันธ์นี้เรียกว่าสมมติฐานของเดอ เบรย ปรากฏอยู่ในสสารทุกประเภท สสารทั้งหมดแสดงคุณสมบัติของทั้งอนุภาคและคลื่น

แนวคิดทวิภาคของคลื่นและอนุภาคกล่าวว่าแนวคิดดั้งเดิมไม่ว่าจะเป็นของ "อนุภาค" หรือ "คลื่น" ไม่สามารถอธิบายพฤติกรรมของวัตถุระดับควอนตัมได้อย่างสมบูรณ์ ไม่ว่าจะเป็นโฟตอนหรือสสาร ทวิภาคของคลื่นและอนุภาคเป็นตัวอย่างหนึ่งของหลักการเติมเต็มในฟิสิกส์ควอนตัม ตัวอย่างการทดลองหนึ่งที่แสดงถึงสภาพคู่กันของคลื่นและอนุภาคที่มีความงดงามคือ "การทดลองช่องแคบคู่" ซึ่งจะกล่าวในหัวข้อถัดไป

### การทดลองช่องแคบคู่

left|upright=1.5|thumb|เมื่อฉายแสงผ่านช่องแคบเดี่ยวจะเกิดการเลี้ยวเบนขึ้น (ภาพบน) และเมื่อฉายแสงผ่านช่องแคบคู่จะเกิดการแทรกสอดขึ้น (ภาพล่าง) การแทรกสอดของแสงแสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติที่เหมือนคลื่นของแสง
thumb|right|วิดีโอแสดงการทดลองช่องแคบคู่สำหรับอนุภาคตามกฎดั้งเดิม คลื่น และอนุภาคควอนตัม แสดงสมบัติทวิภาคของคลื่น–อนุภาค

การทดลองช่องแคบคู่ทำขึ้นครั้งแรกโดยโทมัส ยัง เมื่อ ค.ศ. 1803 และโอกุสแต็ง-ฌ็อง แฟรแนล ในหนึ่งทศวรรษหลังจากนั้น นักวิทยาศาสตร์ทั้งสองคนได้ส่องลำแสงผ่านช่องแคบสองช่องที่อยู่ใกล้กัน เกิดรูปแบบการแทรกสอดของแถบสว่างและแถบมืดบนฉากตรวจจับที่แสงส่องกระทบ และคาดว่าหากปิดช่องแคบช่องใดช่องหนึ่งไว้ ความเข้มของการแทรกสอดนั้นก็ควรจะลดลงไปครึ่งหนึ่งในทุกบริเวณ แต่ในความเป็นจริงแล้วเกิดปรากฏการณ์การเลี้ยวเบนซึ่งซับซ้อนน้อยกว่านั้นมาก โดยเกิดขึ้นบนฉากตรงข้ามกับช่องแคบเดี่ยวที่เปิดไว้ และแสงมีการกระจายออกเป็นรัศมีเหมือนกับพฤติกรรมของคลื่นน้ำ การทดลองช่องแคบคู่นี้จึงถือว่าเป็นการสาธิตธรรมชาติความเป็นคลื่นของแสง

นักวิทยาศาสตร์ยังได้ทำการทดลองช่องแคบคู่โดยใช้อนุภาคอื่น ๆ นอกจากแสง ได้แก่ อิเล็กตรอน อะตอม หรือแม้กระทั่งโมเลกุลขนาดใหญ่ และได้เห็นรูปแบบการแทรกสอดเหมือนกับแสงทั้งหมด จึงเป็นการสาธิตและพิสูจน์ว่าสสารทั้งหมดมีคุณสมบัติของทั้งอนุภาคและคลื่น

หากลดความเข้มของแหล่งกำเนิดลงจนแม้จะเหลืออนุภาค (โฟตอนหรืออิเล็กตรอน) ที่เคลื่อนผ่านช่องแคบเพียงอนุภาคเดียวในแต่ละครั้ง  เมื่อทำซ้ำไปเรื่อย ๆ ก็จะเกิดรูปแบบของการแทรกสอดขึ้นเหมือนเดิม อนุภาคควอนตัมจะประพฤติตัวเป็นคลื่นเมื่อเคลื่อนผ่านช่องแคบคู่ แต่จะประพฤติตัวเป็นอนุภาคเมื่อมีการตรวจจับ ซึ่งสิ่งนี้เองเป็นคุณสมบัติทั่วไปของ "การเติมเต็มกันทางควอนตัม" (quantum complementarity) โดยอนุภาคควอนตัมอนุภาคหนึ่งจะประพฤติตัวเป็นคลื่นในการทดลองที่ทำเพื่อวัดคุณสมบัติคลื่น และจะประพฤติตัวเป็นอนุภาคในการทดลองที่ทำเพื่อวัดคุณสมบัติอนุภาค จุดบนฉากตรวจจับแต่ละจุดที่เกิดขึ้นจากอนุภาคแต่ละตัวนั้นเป็นผลลัพธ์ของกระบวนการสุ่ม และรูปแบบการกระจายตัวของอนุภาคแต่ละตัวนั้นก็เลียนแบบรูปแบบของการเลี้ยวเบนที่เกิดจากคลื่น

### การประยุกต์ใช้กับแบบจำลองของโปร์
การทดลองที่ทำให้เกิดการค้นพบทวิภาคของคลื่น–อนุภาค ทำให้เดอ เบรยปรับแบบจำลองอะตอมของโปร์โดยแสดงให้เห็นว่าอิเล็กตรอนในวงโคจรรอบนิวเคลียสอาจถูกมองว่ามีคุณสมบัติเหมือนคลื่นได้ และเราจะตรวจจับอิเล็กตรอนหนึ่งตัวได้ก็ต่อเมื่อเกิดสถานการณ์ที่อนุญาตให้มีคลื่นนิ่งรอบนิวเคลียส ตัวอย่างของคลื่นนิ่งคือสายไวโอลินที่ถูกตรึงไว้ที่ปลายทั้งสองด้านและทำให้สั่นได้ คลื่นที่ถูกสร้างขึ้นโดยเครื่องสายนี้ดูเหมือนจะสั่นอยู่กับที่และเคลื่อนที่จากยอดคลื่นไปยังท้องคลื่นในลักษณะขึ้นและลง ความยาวคลื่นของคลื่นนิ่งสัมพันธ์กับความยาวของวัตถุที่สั่นและลักษณะของปลาย ตัวอย่างเช่น สายไวโอลินที่ปลายทั้งสองด้านถูกตรึงไว้จะมีคลื่นนิ่งที่มีความยาวคลื่นเท่ากับ \frac{2l}{n} โดย l คือความยาวของสาย และ n คือจำนวนเต็มบวก เขายังเสนอว่าวงโคจรของอิเล็กตรอนที่เกิดขึ้นได้คือวงเดียวกันกับวงโคจรที่มีเส้นรอบวงเป็นจำนวนเต็มใดจำนวนเต็มหนึ่งของความยาวคลื่น ความยาวคลื่นของอิเล็กตรอนจึงเป็นตัวกำหนดว่าวงโคจรของโปร์ที่มีระยะห่างแน่นอนจากนิวเคลียสเท่านั้นที่จะเกิดขึ้นได้ ในทางกลับกันที่ระยะห่างใด ๆ จากนิวเคลียสที่มีค่าเล็กกว่าที่กำหนดไว้ก็จะไม่มีวงโคจรของอิเล็กตรอนเกิดขึ้น ระยะห่างจากนิวเคลียสที่ต่ำสุดที่เป็นไปได้เรียกว่า "รัศมีโปร์"

คำอธิบายปรากฏการณ์ควอนตัมของเดอ เบรยกลายเป็นจุดเริ่มต้นที่ชเรอดิงเงอร์เริ่มคิดค้นสมการคลื่นสมการหนึ่งขึ้นมาเพื่ออธิบายเหตุการณ์เชิงทฤษฎีควอนตัมต่าง ๆ

## สปิน

thumb|การทดลองของสเติร์น-เกอร์แลคแสดงพฤติกรรมของสปินเชิงควอนตัมเมื่อเทียบกับแม่เหล็กธรรมดา
ในปี 1922 อ็อทโท ชแตร์นและวัลเทอร์ แกร์ลัค ได้ทำการทดลองโดยยิงอะตอมของธาตุเงินผ่านสนามแม่เหล็กที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน เมื่อโยนแท่งแม่เหล็กผ่านสนามแม่เหล็กดังกล่าว มันจะถูกแรงแม่เหล็กเบี่ยงเบนให้ขึ้นไปข้างบนหรือลงข้างล่างด้วยระยะมากหรือน้อยขึ้นอยู่กับทิศของแท่งแม่เหล็กนั้นว่าชี้ขึ้นลงหรืออยู่ระหว่างกลางเมื่อเทียบกับขั้วเหนือ กลุ่มของอะตอมที่ชแตร์นและแกร์ลัคได้ยิงผ่านสนามแม่เหล็กนั้นก็ได้เบี่ยงเบนไปเหมือนกับแท่งแม่เหล็ก แต่สิ่งที่ต่างกันคือ แท่งแม่เหล็กถูกเบี่ยงเบนได้หลายรูปแบบขึ้นอยู่กับทิศของมันตามที่ได้กล่าวไว้ แต่อะตอมจะถูกเบี่ยงเบนเป็นระยะทางคงที่ระยะทางหนึ่งไม่ว่าขึ้นหรือลง สิ่งนี้บอกเป็นนัยว่าคุณสมบัติของอะตอมที่สอดคล้องกับทิศทางของแม่เหล็กจะต้องถูกแจงออกเป็นหน่วย โดยใช้ค่าใดค่าหนึ่งจากสองค่า เช่น ขึ้นหรือลง แทนที่จะเลือกได้อย่างอิสระจากมุมใด ๆ

Ralph Kronig ได้เริ่มเสนอทฤษฎีที่ว่าอนุภาคเช่นอะตอมหรืออิเล็กตรอนมีพฤติกรรมราวกับว่าพวกมัน "หมุน" (สปิน, spin) รอบแกน ทฤษฎีสปินนี้อาจสามารถอธิบายถึงโมเมนต์แม่เหล็กที่หายไปได้ และยังยอมให้อิเล็กตรอนสองตัวในออร์บิทัลเดียวกันมีสถานะควอนตัมที่แตกต่างกันได้หากมัน "หมุน" ในทิศทางตรงกันข้ามกัน ซึ่งเป็นไปตาม "หลักการกีดกัน" (exclusion principle) เลขควอนตัมแสดงลักษณะของสปิน (บวกหรือลบ)

ชแตร์นและแกร์ลัคได้เลือกทิศทางของสนามแม่เหล็กในการทดลองตามอำเภอใจ ในวิดีโอแสดงสนามแม่เหล็กในแนวตั้งซึ่งจะทำให้อะตอมถูกเบี่ยงขึ้นหรือลง หากหมุนสนามแม่เหล็กไป 90° หรือทำให้สนามแม่เหล็กอยู่ในแนวนอน อะตอมที่ยิงเข้าไปก็จะเบี่ยงไปทางซ้ายหรือขวา สิ่งที่ต่างกันคือ เมื่อใช้สนามแนวตั้ง สปินตามแนวแกนตั้งก็จะถูกแจงออกเป็นหน่วย เมื่อใช้สนามแนวนอน สปินตามแนวแกนนอนก็จะถูกแจงออกเป็นหน่วย

หากปรับการทดลองโดยแทนที่จะให้อะตอมทั้งหมดชนเข้ากับฉากตรวจจับหลังสนามแม่เหล็ก แต่ส่งอะตอมหนึ่งในสองกลุ่มที่ออกมาจากสนามแม่เหล็กชุดแรกให้ผ่านเข้าไปในสนามแม่เหล็กใหม่ชุดที่สอง (ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน) โดยสนามแม่เหล็กชุดที่สองนี้มีตำแหน่งหมุนไป 90° เมื่อเทียบกับสนามแม่เหล็กชุดแรก แล้วจึงสังเกตการเบี่ยงเบนของอะตอมในกลุ่มนั้นอีกครั้ง ผลปรากฏว่าอะตอมครึ่งหนึ่งถูกเบี่ยงเบนไปในทางหนึ่งและอีกครึ่งถูกเบี่ยงเบนไปอีกทาง ทำให้ทราบว่าสปินของอะตอมตามแนวแกนนอนและแกนตั้งนั้นเป็นอิสระต่อกัน และถ้าหากส่งกลุ่มอะตอมหนึ่งในสองกลุ่มที่ออกมาจากสนามแม่เหล็กชุดที่สองผ่านเข้าไปในสนามแม่เหล็กชุดที่สามอีกครั้ง โดยที่สนามแม่เหล็กชุดที่สามวางตัวเหมือนกับสนามแม่เหล็กชุดแรก จะพบว่าอะตอมครึ่งหนึ่งถูกเบี่ยงเบนไปทางหนึ่งและอีกครึ่งไปอีกทาง แม้ว่าอะตอมทั้งหมดนี้จะได้เบี่ยงเบนไปในทางเดียวกันมาก่อนในตอนที่ผ่านสนามแม่เหล็กชุดแรก ทำให้ทราบว่าการกระทำเพื่อวัดค่าสปินของอะตอมตามแกนนอนจะส่งผลให้ค่าสปินของอะตอมตามแกนตั้งเปลี่ยนแปลงด้วย

การทดลองของชแตร์นและแกร์ลัคแสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติที่สำคัญหลายประการของกลศาสตร์ควอนตัม ได้แก่

* คุณลักษณะของโลกธรรมชาติได้รับการพิสูจน์ว่ามีการแจงเป็นหน่วย และยินยอมให้ใช้ค่าเฉพาะที่ไม่ต่อเนื่องบางค่าเท่านั้น
* อนุภาคต่าง ๆ มีโมเมนตัมเชิงมุมในตัวเอง (intrinsic angular momentum) ที่ทำหน้าที่คล้ายกับโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุหมุนแบบคลาสสิก
* การวัดในกลศาสตร์ควอนตัมจะเข้าไปเปลี่ยนระบบที่วัดด้วย เราสามารถรู้ค่าสปินของวัตถุได้เพียงทิศทางเดียว และการวัดสปินในทิศทางอื่นจะทำลายข้อมูลสปินที่เราทราบอยู่เดิม
* กลศาสตร์ควอนตัมคือศาสตร์ของความน่าจะเป็น ค่าสปินของอะตอมแต่ละตัวที่แสดงให้เห็นในอุปกรณ์วัดว่าเป็นบวกหรือลบนั้น เกิดขึ้นโดยสุ่ม

## การพัฒนากลศาสตร์ควอนตัมสมัยใหม่
ในปี 1925 แวร์เนอร์ ไฮเซินแบร์คพยายามแก้ปัญหาหนึ่งที่แบบจำลองของโปร์ไม่ได้รับคำตอบ ซึ่งคือการอธิบายความเข้มของเส้นต่าง ๆ ในสเปกตรัมที่ไฮโดรเจนเปล่งออกมา เขาได้ใช้การอุปมาระหว่างควอนตัมและกลศาสตร์เพื่อคำนวณความเข้มตามแบบดั้งเดิมโดยใช้ชุดแนวเทียบเชิงคณิตศาสตร์ หลังจากนั้นไม่นาน มัคส์ บอร์นซึ่งเป็นเพื่อนร่วมงานของเขาก็ตระหนักว่าวิธีที่ไฮเซินแบร์คใช้คำนวณความน่าจะเป็นสำหรับการเปลี่ยนระหว่างระดับชั้นพลังงานที่ต่างกันนั้น สามารถใช้แนวคิดคณิตศาสตร์เรื่องเมทริกซ์เพื่อแสดงผลได้ดีที่สุด

ในปีเดียวกัน แอร์วีน ชเรอดิงเงอร์ได้พัฒนาสมการที่อธิบายพฤติกรรมของคลื่นเชิงกล-ควอนตัมขึ้นโดยใช้สมมติฐานของเดอ เบรย เป็นพื้นฐาน แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า "สมการชเรอดิงเงอร์" ซึ่งตั้งตามชื่อของเขา ถือเป็นหัวใจของกลศาสตร์ควอนตัม สมการนี้ได้นิยามสถานะนิ่งของระบบควอนตัมที่ยินยอมให้เกิดได้ และได้อธิบายว่าสถานะควอนตัมของระบบกายภาพเปลี่ยนแปลงตามเวลาอย่างไร ส่วนคลื่นนั้นมีการอธิบายโดยฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า "ฟังก์ชันคลื่น" ชเรอดิงเงอร์กล่าวว่าฟังก์ชันคลื่นเป็น "วิธีการทำนายความน่าจะเป็นของผลการวัดเชิงควอนตัม"

ชเรอดิงเงอร์สามารถคำนวณระดับพลังงานของไฮโดรเจนได้โดยถือว่าอิเล็กตรอนของอะตอมไฮโดรเจนประพฤติเหมือนคลื่นแบบคลาสสิกที่เคลื่อนไปในหลุมศักย์ไฟฟ้าที่โปรตอนสร้างขึ้น การคำนวณนี้ให้ผลเหมือนกับระดับพลังงานตามแบบจำลองโปร์อย่างแม่นยำ

ในเดือนพฤษภาคม ค.ศ. 1926 ชเรอดิงเงอร์ได้พิสูจน์ว่ากลศาสตร์เมทริกซ์ของไฮเซินแบร์คและกลศาสตร์คลื่นของเขาเองทำนายคุณสมบัติและพฤติกรรมของอิเล็กตรอนได้เหมือนกัน ทฤษฎีทั้งสองมีรูปแบบพื้นฐานร่วมกันในทางคณิตศาสตร์ แต่ชายทั้งสองไม่ได้มีความคิดเห็นที่สอดคล้องกันในเรื่องการตีความทฤษฎีร่วมกันของพวกเขา เช่น ไฮเซินแบร์คยอมรับการทำนายทางทฤษฎีของการกระโดดของอิเล็กตรอนระหว่างออร์บิทัลในอะตอม แต่ชเรอดิงเงอร์คิดว่าทฤษฎีที่มีพื้นฐานจากคุณสมบัติคล้ายคลื่นที่มีความต่อเนื่องจะสามารถหลีกเลี่ยงสิ่งที่เขาเรียกว่า "เรื่องไร้สาระเกี่ยวกับการกระโดดทางควอนตัม" (ซึ่งถอดความโดยวิลเฮ็ล์ม วีน) สุดท้ายแล้วไฮเซินแบร์คก็ชนะและการกระโดดควอนตัมก็ได้รับการยืนยัน

## การตีความโคเปนเฮเกน

[thumb|right|สถาบันนิลส์ โปร์ในกรุง[โคเปนเฮเกน ศูนย์รวมนักวิจัยด้านกลศาสตร์ควอนตัมและวิชาที่เกี่ยวข้องในช่วงทศวรรษที่ 1920 ถึง 1930 นักฟิสิกส์ทฤษฎีที่มีชื่อเสียงมากที่สุดในโลกส่วนใหญ่ใช้เวลาอยู่ที่นี่]]

นิลส์ โปร์, ไฮเซินแบร์คและนักฟิสิกส์คนอื่น ๆ พยายามอธิบายว่าผลการทดลองและแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เหล่านี้แท้จริงแล้วมีความหมายเป็นเช่นไร คำอธิบายของพวกเขาซึ่งรู้จักในชื่อ "การตีความโคเปนเฮเกนทางกลศาสตร์ควอนตัม" (Copenhagen interpretation) มีวัตถุประสงค์เพื่ออธิบายธรรมชาติของความเป็นจริงที่ได้รับการพิสูจน์แล้วโดยการตรวจวัดและมีการอธิบายโดยใช้สูตรทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัม

หลักการสำคัญของการตีความโคเปนเฮเกนคือ
# ระบบหนึ่งถูกอธิบายได้อย่างสมบูรณ์ได้โดยฟังก์ชันคลื่นหนึ่ง ปกติจะแสดงด้วยอักษรกรีก \psi ("พไซ") (ไฮเซินแบร์ค)
# สมการชเรอดิงเงอร์อธิบายว่า \psi เปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป
# คำอธิบายของธรรมชาตินั้นคือความน่าจะเป็นเป็นหลัก ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ เช่น ตำแหน่งที่อนุภาคจะปรากฏขึ้นบนฉากในการทดลองช่องแคบคู่สัมพันธ์กับค่าสัมบูรณ์ยกกำลังสองของแอมพลิจูดของฟังก์ชันคลื่น (กฎของบอร์นโดยมัคส์ บอร์น ผู้ให้ความหมายเชิงกายภาพแก่ฟังก์ชันคลื่นในการตีความโคเปนเฮเกน: แอมพลิจูดของความน่าจะเป็น)
# เราไม่สามารถทราบค่าคุณสมบัติทั้งหมดของระบบได้ในเวลาเดียวกัน คุณสมบัติที่ไม่ทราบด้วยความแม่นยำเหล่านั้นจะต้องอธิบายด้วยความน่าจะเป็น (หลักความไม่แน่นอนของไฮเซินแบร์ค)
# สสารแสดงความเป็นทวิภาคของคลื่นและอนุภาคเหมือนกับพลังงาน การทดลองสามารถแสดงคุณสมบัติคล้ายอนุภาคของสสาร หรือคุณสมบัติคล้ายคลื่นของสสาร แต่ไม่สามารถแสดงคุณสมบัติทั้งสองอย่างได้ในเวลาเดียวกัน (หลักการเติมเต็มของโปร์)
# อุปกรณ์วัดโดยพื้นฐานแล้วเป็นอุปกรณ์แบบคลาสสิกและวัดคุณสมบัติแบบคลาสสิก เช่น ตำแหน่งและโมเมนตัม
# คำอธิบายทางกลศาสตร์ควอนตัมของระบบที่มีขนาดใหญ่ควรมีค่าประมาณใกล้เคียงกับคำอธิบายตามฟิสิกส์แบบดั้งเดิม (หลักการปฏิภาคของโปร์และไฮเซินแบร์ค)

รายละเอียดเพิ่มเติมของหลักการเหล่านี้จะกล่าวถึงในหัวข้อย่อยถัดไป

### หลักความไม่แน่นอน

[upright|thumb|right|[แวร์เนอร์ ไฮเซินแบร์คในวัย 26 ปี เขาได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ในปี 1932 จากผลงานที่เขาทำในช่วงเวลาดังกล่าว]]

สมมุติว่าเราต้องการวัดตำแหน่งและความเร็วของวัตถุ เช่น รถที่แล่นผ่านเครื่องตรวจจับความเร็ว เราสามารถสันนิษฐานได้ว่ารถมีตำแหน่งและความเร็วที่แน่นอน ณ ช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง ค่าเหล่านี้จะวัดได้แม่นยำเพียงใดขึ้นอยู่กับคุณภาพของอุปกรณ์ที่วัด หากมีการปรับปรุงความแม่นยำของอุปกรณ์ที่วัดก็จะให้ผลลัพธ์ที่ใกล้เคียงกับค่าความเป็นจริงมากขึ้น อาจสันนิษฐานได้ว่าเราสามารถกำหนดและวัดความเร็วของรถและตำแหน่งของรถได้พร้อม ๆ กันได้อย่างแม่นยำเท่าที่ต้องการ

ในปี 1927 แวร์เนอร์ ไฮเซินแบร์คได้พิสูจน์ว่าข้อสันนิษฐานข้อสุดท้ายไม่ถูกต้อง กลศาสตร์ควอนตัมแสดงให้เห็นว่าคู่คุณสมบัติทางกายภาพที่แน่นอนบางคู่ เช่น ตำแหน่งและความเร็ว ไม่สามารถวัดหรือกำหนดได้พร้อมกันที่ความแม่นยำใด ๆ ก็ตามที่ต้องการ ยิ่งวัดหรือกำหนดคุณสมบัติอย่างใดอย่างหนึ่งให้แม่นยำมากขึ้น คุณสมบัติคู่อีกอย่างหนึ่งก็จะมีความแม่นยำน้อยลงไป ข้อความดังกล่าวเป็นที่รู้จักกันในชื่อ "หลักความไม่แน่นอน" (uncertainty principle) หลักความไม่แน่นอนนี้ไม่ได้เกี่ยวข้องกับความแม่นยำของอุปกรณ์การวัดของเราเท่านั้น หากแต่ลึกซึ้งกว่านั้น มันยังเกี่ยวกับธรรมชาติเชิงแนวคิดของปริมาณที่วัดได้ การสันนิษฐานที่ว่ารถมีตำแหน่งและความเร็วที่กำหนดไว้พร้อม ๆ กันนั้นใช้ไม่ได้ในกลศาสตร์ควอนตัม ในสเกลของรถยนต์และผู้คน ความไม่แน่นอนของสิ่งเหล่านี้ถือว่าเล็กน้อยจนละเว้นได้ แต่ในสเกลของอะตอมและอิเล็กตรอน ความไม่แน่นอนจะชัดเจนจนกลายเป็นค่าวิกฤต

หลักความไม่แน่นอนจะมีข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ในโดเมนของตำแหน่งและความเร็ว การที่จะทำให้เส้นโค้งในโดเมนของตำแหน่งมีความชันมากขึ้น (ซึ่งหมายถึงแม่นยำมากขึ้น) จะต้องทำให้เส้นโค้งในโดเมนของความเร็วราบลงไป (แม่นยำน้อยลง) และกลับกัน โดเมนของตำแหน่งที่มีความชันมากขึ้นต้องการส่วนประกอบจากความถี่ที่มากขึ้นในโดเมนของความเร็วเพื่อสร้างเส้นโค้งที่แคบลงและในทางกลับกันก็เช่นเดียวกัน ถือเป็นการประนีประนอมในระดับมูลฐานที่มีอยู่ในการวัดที่เกี่ยวข้องหรือเติมเต็มกัน เราจะสังเกตเห็นปรากฏการณ์นี้ได้อย่างชัดเจนในสเกลที่เล็กที่สุดเท่านั้น (สเกลพลังค์) ในขนาดของอนุภาคมูลฐาน

ในทางคณิตศาสตร์หลักความไม่แน่นอนแสดงให้เห็นว่าผลคูณของความไม่แน่นอนในตำแหน่งและโมเมนตัมของอนุภาคหนึ่ง (โมเมนตัมคือความเร็วคูณกับมวล) จะไม่มีทางน้อยกว่าค่าหนึ่ง และค่านี้สัมพันธ์กับค่าคงตัวของพลังค์

### การยุบตัวของฟังก์ชันคลื่น
"การยุบของฟังก์ชันคลื่น" (wave function collapse) คือการวัดได้บังคับหรือแปลงสถานะควอนตัมหนึ่ง (ความน่าจะเป็นหรือศักย์) ให้เป็นค่าที่วัดได้แน่นอน ปรากฏการณ์นี้มีให้เห็นเฉพาะในกลศาสตร์ควอนตัมและไม่เห็นในกลศาสตร์คลาสสิก

ตัวอย่างคือ ก่อนที่โฟตอนจะ "ปรากฏ" บนฉากตรวจจับจริง ๆ เราจะอธิบายได้โดยใช้ชุดความน่าจะเป็นที่โฟตอนอาจปรากฏขึ้นเท่านั้น เมื่อมันปรากฏ เช่นในอุปกรณ์ถ่ายเทประจุ (CCD) ของกล้องอิเล็กทรอนิกส์ เราจะทราบเวลาและพื้นที่ที่โฟตอนได้มีปฏิสัมพันธ์กับอุปกรณ์ในขอบเขตจำกัดมาก อย่างไรก็ตาม โฟตอนได้หายไปในกระบวนการตรวจจับ (นั่นคือการวัด) และฟังก์ชันคลื่นควอนตัมของมันก็หายไปด้วย จากนั้นการเปลี่ยนแปลงทางกายภาพในระดับมหภาคจึงปรากฏขึ้นบนฉากการตรวจจับ เช่น จุดที่เผยให้เห็นในแผ่นฟิล์มถ่ายภาพหรือการเปลี่ยนแปลงของศักย์ไฟฟ้าในเซลล์บางส่วนของ CCD

### สถานะเฉพาะและค่าเฉพาะ
หลักความไม่แน่นอนทำให้ตำแหน่งและโมเมนตัมของอนุภาคสามารถระบุได้ด้วยความน่าจะเป็นเท่านั้น ซึ่งในการคำนวณเราต้องการค่าตำแหน่งหรือโมเมนตัมที่เป็นตัวเลข ดังนั้นจึงจำเป็นต้องกำหนดความแตกต่างอย่างชัดเจนระหว่างสถานะของบางสิ่งที่มีค่าไม่แน่นอน เช่น อิเล็กตรอนในหมอกของความน่าจะเป็น และสถานะของบางสิ่งที่มีค่าแน่นอน เช่น เมื่อเราสามารถ "ตรึง" วัตถุลงที่ค่าใดค่าหนึ่งได้อย่างแน่นอน เราเรียกวัตถุนั้นว่ามี "สถานะเฉพาะ" (eigenstate)

ในการทดลองของสเติร์น-เกอร์แลคที่กล่าวมาแล้ว สปินของอะตอมรอบแกนตั้งจะมี "สถานะเฉพาะ" สองสถานะได้แก่ขึ้นและลง ก่อนทำการตรวจวัดเราสามารถบอกได้เพียงว่าอะตอมแต่ละตัวมีความน่าจะเป็นเท่า ๆ กันที่จะถูกพบว่ามีสปินขึ้นหรือสปินลง เมื่อทำการวัดจะทำให้ฟังก์ชันคลื่นยุบลงกลายเป็นเพียงหนึ่งในสองสถานะ

สถานะเฉพาะของสปินรอบแกนตั้งไม่ใช่สถานะเฉพาะของการหมุนรอบแกนนอนโดยพร้อมกัน ดังนั้นอะตอมหนึ่งจึงมีความเป็นไปได้เท่ากันที่จะมีค่าสปินรอบแกนนอนค่าใดค่าหนึ่ง ตามที่อธิบายไว้ในหัวข้อสปินด้านบน การวัดสปินรอบแกนนอนสามารถทำให้อะตอมที่เคยมีสปินขึ้นกลายเป็นมีสปินลงได้ การวัดสปินรอบแกนนอนจะทำให้ฟังก์ชันคลื่นของมันยุบตัวลงเป็นค่าสถานะเฉพาะค่าหนึ่งของการวัดนี้ ซึ่งหมายความว่าอะตอมนี้จะไม่ได้อยู่ในสถานะเฉพาะของสปินรอบแกนตั้งอีกต่อไป ทำให้เป็นค่าใดค่าหนึ่งในสองค่าก็ได้

### หลักการกีดกันของเพาลี
[right|thumb|upright|[ว็อล์ฟกัง เพาลี]]

ในปี 1924 ว็อล์ฟกัง เพาลีได้เสนอระดับขั้นความเสรี (degree of freedom) ทางควอนตัมใหม่ (หรือเลขควอนตัม) ประกอบด้วยค่าที่เป็นไปได้สองค่า เพื่อแก้ไขความไม่สอดคล้องกันระหว่างสเปกตรัมของโมเลกุลที่สังเกตได้กับการทำนายของกลศาสตร์ควอนตัม โดยเฉพาะอย่างยิ่งสเปกตรัมของอะตอมไฮโดรเจน มีดับเลต (doublet) หรือคู่ของเส้นที่แตกต่างกันเล็กน้อย โดยก่อนหน้านี้ทำนายว่าจะมีเพียงเส้นเดียว เพาลีจึงกำหนดหลักการกีดกันขึ้นมาโดยระบุว่า "ไม่มีอะตอมใดในสถานะควอนตัมที่อิเล็กตรอนสองตัวภายในนั้นจะมีเลขควอนตัมชุดเดียวกัน"

ปีต่อมา Uhlenbeck และ Goudsmit กำหนดระดับขั้นความเสรีที่เพาลีได้เสนอไปด้วยคุณสมบัติที่เรียกว่า สปิน ที่ได้มีการสังเกตผลลัพธ์ไปในการทดลองของสเติร์น-เกอร์แลค

### การประยุกต์ใช้กับอะตอมของไฮโดรเจน

แบบจำลองอะตอมของโปร์โดยพื้นฐานแล้วเคยถูกเปรียบว่าเป็นระบบดาวเคราะห์ที่มีอิเล็กตรอนโคจรรอบนิวเคลียสที่เป็นเสมือนดวงอาทิตย์ อย่างไรก็ตาม หลักความไม่แน่นอนระบุว่าอิเล็กตรอนไม่สามารถมีตำแหน่งและความเร็วที่แน่นอนได้ในเวลาเดียวกันเหมือนกับที่ดาวเคราะห์มี แทนที่อิเล็กตรอนจะมีวงโคจรแบบดั้งเดิม อิเล็กตรอนกลับถูกอธิบายว่าอาศัยอยู่ใน "ออร์บิทัลอะตอม" ออร์บิทัลคือ "หมอก" ของตำแหน่งที่เป็นไปได้ที่อาจพบอิเล็กตรอน ซึ่งเป็นการกระจายของความน่าจะเป็นรูปแบบหนึ่งมากกว่าตำแหน่งที่แน่นอน ออร์บิทัลแต่ละอันมีรูปร่างเป็นสามมิติมากกว่าที่จะเป็นวงโคจรแบบสองมิติ และเรามักอธิบายว่าออร์บิทัลเป็นพื้นที่สามมิติที่มีความเป็นไปได้ร้อยละ 95 ที่จะพบอิเล็กตรอน

ชเรอดิงเงอร์สามารถคำนวณระดับพลังงานของไฮโดรเจนโดยถือว่าอิเล็กตรอนของอะตอมไฮโดรเจนเป็นคลื่น ซึ่งแทนด้วย "ฟังก์ชันคลื่น"  ในหลุมของศักย์ไฟฟ้า  ซึ่งสร้างขึ้นโดยโปรตอนในนิวเคลียสของไฮโดรเจน คำตอบของสมการชเรอดิงเงอร์ คือการกระจายความน่าจะเป็นสำหรับตำแหน่งของอิเล็กตรอน ออร์บิทัลมีรูปร่างในสามมิติที่แตกต่างกัน เราสามารถคำนวณพลังงานของออร์บิทัลต่าง ๆ ได้ และสอดคล้องกับระดับพลังงานตามแบบจำลองโปร์อย่างแม่นยำ

ภายในภาพของชเรอดิงเงอร์ อิเล็กตรอนแต่ละตัวมีคุณสมบัติสี่ประการดังนี้
# การกำหนด "ออร์บิทัล" ระบุว่าอนุภาค–คลื่นนั้นอยู่ใกล้นิวเคลียสซึ่งจะมีพลังงานน้อยกว่าหรืออยู่ไกลจากนิวเคลียสซึ่งจะมีพลังงานมากกว่า
# "รูปร่าง" ของออร์บิทัล เป็นทรงกลมหรือทรงอื่น ๆ
# "ความเอียง" ของออร์บิทัล ซึ่งกำหนดโมเมนต์แม่เหล็กของออร์บิทัลรอบแกน 
# "สปิน" ของอิเล็กตรอน

ชื่อเรียกรวมของคุณสมบัติทั้งหมดนี้คือ "สถานะควอนตัม" ของอิเล็กตรอน เราสามารถอธิบายสถานะควอนตัมได้โดยการระบุตัวเลขให้กับคุณสมบัติแต่ละอัน หรือที่เรียกว่า "เลขควอนตัม" ของอิเล็กตรอน สถานะควอนตัมของอิเล็กตรอนอธิบายได้จากฟังก์ชันคลื่นของมัน หลักการกีดกันของเพาลีกล่าวว่าไม่มีอิเล็กตรอนสองตัวภายในอะตอมเดียวกันที่ค่าทั้งสี่ค่าเท่ากัน
right|thumb|upright=1.5|รูปร่างของออร์บิทัลเชิงอะตอม จากบนลงล่าง: 1''s'', 2''p'', 3''d'' และ 4''f'' จากซ้ายไปขวา: <math>m=-l,\ldots, l</math> สีต่าง ๆ แสดงเฟสของฟังก์ชันคลื่น

คุณสมบัติแรกหรือเลขควอนตัมแรกที่อธิบายออร์บิทัลคือ "เลขควอนตัมหลัก" (principal quantum number) แทนด้วยอักษร  ซึ่งเหมือนกับในแบบจำลองของโปร์ที่  คือระดับพลังงานของแต่ละออร์บิทัล ค่าที่เป็นไปได้สำหรับ  คือจำนวนเต็ม:
:n = 1, 2, 3\ldots

เลขควอนตัมถัดไปคือ "เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม" (azimuthal quantum number) แทนด้วยอักษร  อธิบายรูปร่างของออร์บิทัล รูปร่างเป็นผลมาจากโมเมนตัมเชิงมุมของออร์บิทัล โมเมนตัมเชิงมุมแสดงถึงความต้านทานของวัตถุที่กำลังหมุนเพื่อเร่งความเร็วหรือลดความเร็วลงภายใต้อิทธิพลของแรงภายนอก เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุมนี้แสดงโมเมนตัมเชิงมุมออร์บิทัลของอิเล็กตรอนที่โคจรรอบนิวเคลียส ค่าที่เป็นไปได้สำหรับ  คือจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง  (โดยที่  คือเลขควอนตัมหลักของอิเล็กตรอน):
:l = 0, 1, \ldots, n-1.
อย่างไรก็ตามรูปร่างของออร์บิทัลแต่ละออร์บิทัลมักถูกแทนด้วยตัวอักษรแทนที่จะใช้ค่าของเลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม รูปร่างแรก (=0) แทนด้วยอักษร  (ตัวช่วยจำคือ "*s*phere" – ทรงกลม) รูปร่างถัดไปแสดงด้วยตัวอักษร  ซึ่งมีรูปร่างคล้ายดัมเบล ออร์บิทัลอื่นมีรูปร่างที่ซับซ้อนกว่าและจะแสดงด้วยตัวอักษร , ,  เป็นต้น (ดูเพิ่มที่ออร์บิทัลของอะตอม)

เลขควอนตัมลำดับที่สามคือ "เลขควอนตัมแม่เหล็ก" (magnetic quantum number) อธิบายโมเมนต์แม่เหล็กของอิเล็กตรอน แทนด้วยตัว  (หรือแค่ *m*) ค่าที่เป็นไปได้สำหรับ  จำนวนเต็มตั้งแต่  ถึง  (โดยที่  คือเลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุมของอิเล็กตรอน):
:m_l = -l, -(l-1), \ldots, 0, \ldots, (l-1), l.
เลขควอนตัมแม่เหล็กวัดองค์ประกอบของโมเมนตัมเชิงมุมในทิศทางเฉพาะ การเลือกทิศทางเป็นไปตามใจชอบ แต่ตามธรรมเนียมแล้วจะเลือกทิศทาง z

เลขควอนตัมลำดับสี่คือ "เลขควอนตัมสปิน" (spin quantum number) เกี่ยวข้องกับ "การวางแนว" ของสปินของอิเล็กตรอน แทนด้วยตัว  มีค่าเป็น + หรือ −

นักเคมี ไลนัส พอลิงได้กล่าวถึงโดยยกตัวอย่างดังนี้

มันเป็นโครงสร้างพื้นฐานและความสมมาตรของออร์บิทัลของอะตอมและวิธีการจัดเรียงอิเล็กตรอนในแต่ละออร์บิทัล สิ่งนี้นำไปสู่การจัดระเบียบตารางธาตุ วิธีที่ออร์บิทัลอะตอมของอะตอมชนิดต่าง ๆ รวมกันเป็นออร์บิทัลของโมเลกุลจะเป็นตัวกำหนดโครงสร้างและความแข็งแรงของพันธะเคมีระหว่างอะตอม

## สมการคลื่นของดิแรก

[upright|thumb|right|[พอล ดิแรก (1902–1984)]]

ในปี ค.ศ. 1928 พอล ดิแรก ได้ขยายสมการของเพาลีที่อธิบายถึงอิเล็กตรอนที่หมุนรอบตัว เพื่อใช้อธิบายทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ผลลัพธ์คือทฤษฎีใหม่ที่สามารถอธิบายปรากฏการณ์ต่างๆ ได้อย่างเหมาะสม เช่น ความเร็วที่อิเล็กตรอนโคจรรอบนิวเคลียส ซึ่งมีค่าเป็นสัดส่วนกับความเร็วแสง เขาใช้ทฤษฎีปฏิสัมพันธ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้าที่ง่ายที่สุด จนสามารถทำนายค่าของโมเมนต์แม่เหล็กที่เกี่ยวข้องกับการหมุนของอิเล็กตรอนและพบค่าที่ตรงกับค่าที่สังเกตได้จากการทดลอง ซึ่งมากเกินกว่าค่าของทรงกลมมีประจุที่หมุนอยู่หากอธิบายด้วยฟิสิกส์คลาสสิก เขาสามารถแก้ปัญหาเส้นสเปกตรัมของอะตอมไฮโดรเจนและทำซ้ำได้โดยใช้หลักทางกายภาพหลักที่หนึ่ง ซึ่งเป็นสูตรของ Sommerfeld สำหรับโครงสร้างละเอียดของสเปกตรัมไฮโดรเจนที่ประสบความสำเร็จ

บางครั้งสมการของดิแรกให้ค่าพลังงานเป็นลบ เขาจึงได้เสนอวิธีแก้ปัญหาใหม่โดยเสนอการมีอยู่ของแอนติอิเล็กตรอนและสุญญากาศเชิงพลวัต สิ่งนี้นำไปสู่ทฤษฎีสนามควอนตัมของหลายอนุภาค

## การพัวพันเชิงควอนตัม

left|thumb|upright=1.5|การซ้อนทับกันของคุณลักษณะควอนตัมสองแบบ (ซ้าย) และความเป็นไปได้ของผลลัพธ์สองแบบ (ขวา)

หลักการกีดกันของเพาลีกล่าวว่าอิเล็กตรอนสองตัวในระบบเดียวไม่สามารถอยู่ในสถานะเดียวกันได้ ในขณะเดียวกันธรรมชาติเปิดโอกาสให้อิเล็กตรอนสองตัวสามารถมีสถานะทั้งสอง "ซ้อนทับ" (superimpose) อยู่เหนือแต่ละตัวได้ เรากล่าวไปแล้วว่าฟังก์ชันคลื่นที่เกิดขึ้นพร้อม ๆ กันจากช่องแคบคู่จะมาถึงฉากตรวจจับในสถานะซ้อนทับ (superposition) ไม่มีอะไรแน่นอนจนกว่ารูปคลื่นที่ซ้อนทับจะ "ยุบตัว" ลง (collapse) ถึงตอนนั้นอิเล็กตรอนจะปรากฏขึ้น ณ ที่ใดที่หนึ่งในสนามความน่าจะเป็นที่มีค่าเท่ากับยกกำลังสองของค่าสัมบูรณ์ของผลรวมของแอมพลิจูดที่มีค่าเชิงซ้อนของรูปคลื่นทั้งสองที่ซ้อนทับกัน นั่นถือเป็นสถานการณ์ที่เป็นนามธรรมมากแล้ว จากนี้จะแสดงวิธีคิดที่เป็นรูปธรรมของโฟตอนที่พัวพันกัน (entangled) โดยที่โฟตอนดังกล่าวมีสถานะตรงกันข้ามสองสถานะซ้อนทับกันในเหตุการณ์เดียวกัน

ลองนึกภาพว่าเรามีโฟตอนที่มีรหัสสีสองสถานะ สถานะหนึ่งมีป้ายกำกับว่า *สีน้ำเงิน* และอีกสถานะหนึ่งมีป้ายกำกับว่า *สีแดง* และเราให้สถานะที่ทับซ้อนกันของสถานะสีแดงและสีน้ำเงินปรากฏ (อยู่ในจินตนาการ) ว่าเป็นสถานะ *สีม่วง* เราพิจารณาให้มีโฟตอนสองตัวถูกสร้างขึ้นมาจากเหตุการณ์อะตอม (atomic event) เหตุการณ์เดียวกัน ซึ่งอาจเกิดจากการกระตุ้นคริสตัลที่มีความสามารถในการดูดซับโฟตอนที่ความถี่หนึ่งและจากนั้นก็ปล่อยโฟตอนสองตัวที่มีความถี่เป็นครึ่งหนึ่งของความถี่ดั้งเดิม ในกรณีนี้โฟตอนจะเชื่อมโยงถึงกันผ่านต้นกำเนิดร่วมกันในเหตุการณ์อะตอมเดียวกัน กระบวนการนี้ส่งผลให้เกิดสถานะซ้อนทับกันของโฟตอน โฟตอนทั้งสองจึงออกมาเป็น *สีม่วง* ตอนนี้หากผู้ทดลองได้ลงมือทำการทดลองเพื่อระบุว่าโฟตอนตัวใดเป็น *สีน้ำเงิน* หรือ *สีแดง* การทดลองนี้จะเปลี่ยนคุณสมบัติของโฟตอนที่แต่เดิมมีสถานะซ้อนทับกันระหว่าง *สีน้ำเงิน* และ *สีแดง* ให้กลายเป็นสถานะสีใดสีหนึ่งเท่านั้น วิธีคิดแบบนี้ได้กลายเป็นปัญหาเมื่อไอน์สไตน์จินตนาการต่อไปว่า ถ้าหากเราเก็บโฟตอนตัวหนึ่งไว้ในห้องทดลองบนพื้นโลกและปล่อยให้มันเต้นไปมาระหว่างแผ่นกระจกที่นั่น และนำโฟตอนอีกตัวหนึ่งเดินทางไปยังดาวฤกษ์ที่อยู่ใกล้โลกที่สุด พอนำไปได้ครึ่งทางจึงทำการระบุสถานะของโฟตอนที่อยู่บนโลกว่าเป็นสีน้ำเงินหรือสีแดง นั่นจะทำโฟตอนอีกตัวที่อยู่ไกลออกไปจากโลกมาก ๆ จะต้องสูญเสียสถานะ *สีม่วง* ไปและต้องแสดงสถานะตรงกันข้ามกับสถานะของโฟตอนฝาแฝดที่ปรากฏออกมาเมื่อใดก็ตามที่มีการวัดค่าสถานะ

ไอน์สไตน์ไม่เชื่อและพยายามแสดงให้เห็นว่ากลศาสตร์ควอนตัมไม่ใช่ทฤษฎีที่สมบูรณ์ เขาตั้งต้นจากแนวคิดที่ว่าอนุภาคตั้งแต่สองตัวขึ้นไปที่มีปฏิสัมพันธ์กันมาก่อน แม้แยกทางกันไปแล้ว เมื่อวัดคุณสมบัติต่าง ๆ ของมันภายหลังอาจมีความสัมพันธ์กันอย่างมาก เขาพยายามอธิบายปฏิสัมพันธ์นี้ด้วยหลักการฟิสิกส์แบบดั้งเดิม มากกว่าที่จะเป็น "การส่งผลถึงกันในระยะไกลแบบเหนือธรรมชาติ" (spooky action at a distance) แนวคิดและการโต้แย้งนี้ปรากฎในบทความชื่อดังของไอน์สไตน์, โพดอลสกี้ และโรเซน (1935) ที่เรียกกันว่าปฏิทรรศน์ EPR ซึ่งย่อมาจากชื่อของผู้เขียนทั้งสามคน บทความนี้ใช้หลักการที่ในปัจจุบันมักเรียกกันว่า สัจนิยมเฉพาะที่ (local realism) ซึ่งแสดงให้เห็นจากทฤษฎีควอนตัมว่าอนุภาคมีทั้งตำแหน่งและโมเมนตัมพร้อมกัน ในขณะที่การตีความโคเปนเฮเกน มีเพียงหนึ่งในสองคุณสมบัติเท่านั้นที่มีอยู่จริงและมีอยู่เฉพาะในขณะที่มันกำลังถูกวัดเท่านั้น พวกเขาสรุปว่าทฤษฎีควอนตัมไม่สมบูรณ์ เพราะปฏิเสธที่จะยอมรับคุณสมบัติทางกายภาพที่จริง ๆ แล้วมีอยู่จริงในธรรมชาติ (ในปัจจุบันบทความนี้เป็นสิ่งตีพิมพ์ที่มีการอ้างอิงถึงมากที่สุดของไอน์สไตน์ในวารสารฟิสิกส์) ในปีเดียวกันนั้น แอร์วีน ชเรอดิงเงอร์ เสนอคำว่า "entanglement" (การพัวพัน) และประกาศว่า "ฉันจะไม่เรียกแบบนั้น (เหมือนที่ไอน์สไตน์เรียก) แต่จะเรียกว่าเป็นคุณลักษณะเฉพาะของกลศาสตร์ควอนตัม" ต่อมาจอห์น สจวร์ต เบลล์ นักฟิสิกส์ชาวไอริช นำแนวคิดการพัวพันเชิงควอนตัมไปวิเคราะห์ต่อ และได้อนุมานว่าถ้าเราแยกอนุภาคที่เคยพัวพันออกจากกัน แล้ววัดคุณสมบัติของมันแบบแยกเดี่ยว หากผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับตัวแปรที่ซ่อนอยู่ภายในแต่ละอนุภาค มันจะต้องมีข้อจำกัดทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับความสัมพันธ์ของผลการวัดทั้งสองจุด ข้อจำกัดนี้ต่อมาถูกเรียกว่า ความไม่เท่ากันของเบลล์ (Bell inequality) แสดงให้เห็นว่ากลศาสตร์ควอนตัมทำนายความสัมพันธ์ที่ละเมิดความไม่เท่ากันนี้ ดังนั้น วิธีเดียวที่ตัวแปรที่ซ่อนอยู่สามารถอธิบายการทำนายของกลศาสตร์ควอนตัมได้ก็คือ เมื่อตัวแปรเหล่านั้นเป็นแบบ "ไม่ใช่เฉพาะที่" (nonlocal) ซึ่งก็คืออนุภาคทั้งสองสามารถมีปฏิสัมพันธ์กันได้ทันทีไม่ว่าจะอยู่ห่างกันไกลแค่ไหนก็ตาม การทดลองตามแนวคิดของเบลล์ นักฟิสิกส์พบว่าธรรมชาติทำตามกลศาสตร์ควอนตัม และขัดแย้งกับความไม่เท่ากันของเบลล์ กล่าวอีกทางหนึ่งคือ ผลการทดลองขัดแย้งกับทฤษฎีตัวแปรซ้อนเร้นแบบเฉพาะที่ (local hidden variable theory)

## ทฤษฎีสนามควอนตัม

แนวคิดเรื่องทฤษฎีสนามควอนตัมเริ่มขึ้นในช่วงปลายทศวรรษ 1920 จากพอล ดิแรก นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ โดยการทำพลังงานของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าให้เป็นควอนตัม เช่นเดียวกับการทำพลังงานของอิเล็กตรอนในอะตอมไฮโดรเจนให้เป็นควอนตัมในทฤษฎีควอนตัม การทำให้เป็นควอนตัม (quantization) เป็นกระบวนการสร้างทฤษฎีควอนตัมขึ้นจากทฤษฎีคลาสสิกที่มีอยู่แล้ว

*[[เมอร์เรียม-เว็บสเตอร์]]* นิยามคำว่า *สนาม * (field) ในฟิสิกส์ว่าเป็น "บริเวณหรือพื้นที่ซึ่งมีผลกระทบของสิ่งที่กำหนด (เช่น ความเป็นแม่เหล็ก)" ปรากฏการณ์อื่นที่มีสนามได้แก่ ความโน้มถ่วงและไฟฟ้าสถิต ในปี 2008 นักฟิสิกส์ริชาร์ด แฮ็มมอนด์ กล่าวว่า

บางครั้งเราแยกความแตกต่างระหว่างกลศาสตร์ควอนตัม (QM) และทฤษฎีสนามควอนตัม (QFT) โดย QM หมายถึงระบบที่มีจำนวนอนุภาคคงที่ และสนามพลังงานต่าง ๆ (เช่น สนามแม่เหล็กไฟฟ้า) จะเป็นแบบต่อเนื่อง คล้ายกับฟิสิกส์ดั้งเดิม ส่วน QFT&nbsp;... ไปอีกขั้นหนึ่ง โดยยอมให้มีการสร้างและการหายไปของอนุภาค&nbsp;...

อย่างไรก็ตามเขาเสริมว่า *กลศาสตร์ควอนตัม* มักใช้เพื่ออ้างถึง "แนวคิดทั้งหมดของมุมมองเชิงควอนตัม"

ในปี ค.ศ. 1931 พอล ดิแรกเสนอการมีอยู่ของอนุภาคซึ่งต่อมากลายเป็นที่รู้จักในชื่อปฏิสสาร (antimatter) เขาได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ประจำปี 1933 ร่วมกับชเรอดิงเงอร์สำหรับ "การค้นพบทฤษฎีอะตอมรูปแบบใหม่ที่มีประสิทธิผล"

### พลศาสตร์ไฟฟ้าควอนตัม

พลศาสตร์ไฟฟ้าควอนตัม (quantum electrodynamics, QED) เป็นชื่อทฤษฎีควอนตัมของแรงแม่เหล็กไฟฟ้า การทำความเข้าใจ QED เริ่มต้นด้วยการทำความเข้าใจเกี่ยวกับทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า แม่เหล็กไฟฟ้าเรียกได้อีกชื่อว่า "พลศาสตร์ไฟฟ้า" (electrodynamics) เพราะเกี่ยวกับปฏิสัมพันธ์พลวัตระหว่างแรงไฟฟ้าและแรงแม่เหล็ก ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าเริ่มต้นด้วยประจุไฟฟ้า

ประจุไฟฟ้าเป็นแหล่งกำเนิดสนามไฟฟ้า สนามไฟฟ้าคือสนามที่ออกแรงกระทำต่ออนุภาคที่มีประจุไฟฟ้า ณ จุดใด ๆ ในปริภูมิ ประจุไฟฟ้าก็คืออิเล็กตรอน โปรตอน หรือแม้กระทั่งควาร์ก ฯลฯ เมื่อมีแรงกระทำ ประจุไฟฟ้าจะเคลื่อนที่ กระแสไฟฟ้าจะไหล และเกิดสนามแม่เหล็กขึ้น ในทางกลับกันเมื่อสนามแม่เหล็กเปลี่ยนแปลงจะทำให้เกิดกระแสไฟฟ้าเช่นเดียวกัน (มักเป็นอิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่) คำอธิบายทางฟิสิกส์ของปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคมีประจุ กระแสไฟฟ้า สนามไฟฟ้า และสนามแม่เหล็กเราเรียกรวมกันว่าแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetism)

ในปี 1928 พอล ดิแรก ได้สร้างทฤษฎีควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพของแม่เหล็กไฟฟ้าขึ้น ซึ่งเป็นต้นกำเนิดของพลศาสตร์ไฟฟ้าควอนตัมสมัยใหม่ เนื่องจากมีส่วนประกอบสำคัญของทฤษฎีสมัยใหม่ แต่ในทฤษฎีควอนตัมเชิงสัมพัทธ์นี้ก็ยังมีปัญหาเรื่องความอนันต์ที่คำนวณไม่ได้อยู่ ต่อมาแนวคิดเรื่อง renormalization ช่วยแก้ปัญหานี้ได้ แม้ในตอนแรกจะถูกมองว่าเป็นวิธีชั่วคราวหรือเป็นวิธีที่น่าสงสัยโดยเหล่าผู้สร้างเอง แต่สุดท้ายก็ได้รับการยอมรับเป็นเครื่องมือสำคัญใน QED และสาขาฟิสิกส์อื่น ๆ ช่วงปลายทศวรรษ 1940 มีการใช้แผนภาพไฟน์แมน (Feynman diagram) เพื่อทำนายผลลัพธ์ของ QED ด้วยการหาแอมพลิจูดของความน่าจะเป็นสำหรับแต่ละวิธีที่เป็นไปได้ที่ปฏิสัมพันธ์ใด ๆ อาจเกิดขึ้น แผนภาพไฟน์แมนแสดงให้เห็นโดยเฉพาะว่าแรงแม่เหล็กไฟฟ้าเกิดจากการแลกเปลี่ยนโฟตอนระหว่างอนุภาคที่มีปฏิสัมพันธ์กัน

การเลื่อนของแลมบ์ (Lamb shift) เป็นตัวอย่างหนึ่งของการทำนายพลศาสตร์ไฟฟ้าควอนตัมที่ได้รับการตรวจสอบจากการทดลองแล้ว อธิบายว่าผลกระทบจากธรรมชาติเชิงควอนตัมของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าส่งผลให้ระดับพลังงานในอะตอมหรือไอออนเบี่ยงเบนไปเล็กน้อยจากสิ่งที่จะเป็น เป็นผลให้เส้นสเปกตรัมอาจเลื่อนหรือแยกออก

ในทำนองเดียวกัน ภายในคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่แพร่กระจายอย่างอิสระ กระแสไฟฟ้ายังสามารถเป็นเพียงกระแสการกระจัดที่เป็นนามธรรม แทนที่จะเป็นส่วนหนึ่งของตัวนำประจุ คำอธิบายแบบเต็มในทฤษฎี QED จำเป็นต้องใช้อนุภาคเสมือนที่มีอายุสั้น ทำให้แนวคิดก่อนหน้าที่ค่อนข้างลึกลับมีความสมบูรณ์ขึ้นมาอีกครั้ง

### แบบจำลองมาตรฐาน

แบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์อนุภาคก็คือทฤษฎีสนามควอนตัมที่อธิบายแรงพื้นฐาน 3 ใน 4 แรงที่เรารู้จักในเอกภพ ได้แก่ แรงแม่เหล็กไฟฟ้า แรงอย่างอ่อน และแรงอย่างเข้ม ไม่นับรวมแรงโน้มถ่วง และจำแนกอนุภาคมูลฐานที่เรารู้จักทั้งหมด แบบจำลองถูกพัฒนามาเป็นระยะตลอดครึ่งหลังศตวรรษที่ 20 จากผลงานของนักวิทยาศาสตร์จำนวนมากทั่วโลก หน้าตาของแบบจำลองในปัจจุบันได้รับการสรุปมาตั้งแต่กลางทศวรรษที่ 1970 จากการยืนยันการทดลองที่พิสูจน์การดำรงอยู่ของควาร์ก ต่อมามีการค้นพบท็อปควาร์ก (1995), เทานิวตริโน (2000) และฮิกส์โบซอน (2012) สิ่งเหล่านี้เพิ่มความน่าเชื่อถือให้กับแบบจำลองมาตรฐานมากขึ้น นอกจากนี้แบบจำลองมาตรฐานยังได้ทำนายคุณสมบัติต่าง ๆ ของกระแสเป็นกลางอย่างอ่อน และโบซอน W และ Z ด้วยความแม่นยำสูง

แม้จะเชื่อกันว่าแบบจำลองมาตรฐานมีความคงรูปในตัวมันเองทางทฤษฎี และยังแสดงความสำเร็จจากการทำนายการทดลอง แต่ก็ยังคงมีปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์บางอย่างที่ไม่สามารถอธิบายได้ ทำให้ยังไม่สามารถใช้แบบจำลองนี้เป็นทฤษฎีที่สมบูรณ์ของแรงพื้นฐานได้ แบบจำลองไม่สามารถอธิบายความไม่สมมาตรของแบริออนได้ครบถ้วน ไม่สามารถรวมทฤษฎีความโน้มถ่วงที่สมบูรณ์ตามทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเข้าด้วยได้ หรืออธิบายการขยายตัวด้วยความเร่งของเอกภพ ที่อาจอธิบายได้ด้วยแนวคิดของพลังงานมืด แบบจำลองนี้ยังไม่แสดงอนุภาคของสสารมืดใด ๆ ที่น่าจะเป็นตัวเก็บคุณสมบัติจำเป็นทั้งหมดที่ได้อนุมานไว้ในจักรวาลวิทยาเชิงสังเกต และยังไม่ได้รวมปรากฏการณ์การแกว่งของนิวตริโนและมวลที่ไม่เป็นศูนย์ของมันเข้าด้วย ดังนั้นแบบจำลองนี้จึงถูกใช้เป็นหลักเพื่อสร้างแบบจำลองที่แปลกใหม่ขึ้นไป ที่รวมเอาอนุภาคสมมุติ มิติพิเศษ และสมมาตรซับซ้อน (เช่น สมมาตรยิ่งยวด) เพื่ออธิบายผลการทดลองที่ขัดแย้งกับแบบจำลองมาตรฐาน เช่น การมีอยู่ของสสารมืดและการแกว่งของนิวตริโน

## การตีความ

การวัด ผลการคำนวณ และการทำนายทางกลศาสตร์ควอนตัมล้วนมีความสอดคล้องกันและมีการพิสูจน์ว่าถูกต้องในระดับสูงมาก แต่คำถามที่ว่าโมเดลเชิงนามธรรมเหล่านี้สื่อถึงธรรมชาติของโลกที่แท้จริงอย่างไรยังคงเป็นที่ถกเถียง การตีความเหล่านี้มีความแตกต่างกันอย่างมากและบางครั้งก็ค่อนข้างจะเป็นนามธรรม ตัวอย่างเช่น การตีความแบบโคเปนเฮเกน บอกว่าก่อนการวัด เราไม่สามารถฟันธงคุณสมบัติของอนุภาคได้เลย ในขณะที่การตีความหลายโลก (many-worlds interpretation) เสนอว่ามีจักรวาลคู่ขนานจำนวนมากเกิดขึ้นจากทุกความเป็นไปได้ที่เกิดขึ้น

บางครั้งแสงแสดงพฤติกรรมเหมือนอนุภาค และบางครั้งเหมือนคลื่น สสารซึ่งเป็น "วัสดุ" ของจักรวาลที่ประกอบด้วยอนุภาค เช่นอิเล็กตรอนและอะตอม ก็สามารถแสดงพฤติกรรมคล้ายคลื่นได้เช่นกัน แหล่งกำเนิดแสงบางชนิด เช่นไฟนีออน ปล่อยแสงออกมาเฉพาะความถี่บางความถี่เท่านั้น ซึ่งเป็นชุดสีบริสุทธิ์ต่างกันชุดเล็ก ๆ ที่กำหนดโดยโครงสร้างอะตอมนีออน กลศาสตร์ควอนตัมแสดงให้เห็นว่าแสงและรูปแบบของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้ารูปแบบอื่นทั้งหมดประกอบด้วยหน่วยพลังงานที่ไม่ต่อเนื่องกันเรียกว่า โฟตอน กลศาสตร์ควอนตัมยังทำนายพลังงานสเปกตรัมของมัน (ซึ่งสอดคล้องกับสีบริสุทธิ์) และความเข้มของลำแสงของมัน โฟตอนเดี่ยวคือ *[[ควอนตัม]]*หนึ่งหน่วย หรือเป็นอนุภาคที่เล็กที่สุดที่สังเกตได้ภายในสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ไม่เคยมีผู้ใดเห็นโฟตอน "กึ่งตัว" หรือโฟตอนเฉพาะส่วนจากการทดลองเลย กลศาสตร์ควอนตัมยังแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติหลายประการของวัตถุ เช่น ตำแหน่ง ความเร็ว และโมเมนตัมเชิงมุม ซึ่งดูเหมือนมีความต่อเนื่องในมุมมองฟิสิกส์ดั้งเดิม กลายเป็นสมบัติแบบ "ควอนตัม" (หรือ "แจกแจงเป็นหน่วย" หรือ "ขั้นบันได") ในโลกที่เล็กมาก ๆ ในมุมมองกลศาสตร์ควอนตัม คุณสมบัติดังกล่าวของอนุภาคมูลฐานจึงมีค่าที่เป็นไปได้เฉพาะบางค่าเท่านั้น และเนื่องจากช่องว่างระหว่างค่าเหล่านี้มีขนาดเล็กเช่นกัน ความไม่ต่อเนื่องจึงปรากฏให้เห็นในระดับที่เล็กมาก (อะตอม) เท่านั้น

## การประยุกต์
### ในชีวิตประจำวัน
ความสัมพันธ์ระหว่างความถี่ของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าและพลังงานของโฟตอนแต่ละตัวสามารถใช้อธิบายสาเหตุที่ว่าทำไมแสงอัลตราไวโอเลตทำให้เกิดอาการผิวไหม้แดดได้ ในขณะที่แสงที่ตามองเห็นหรือแสงอินฟราเรดไม่สามารถทำได้ โฟตอนของแสงอัลตราไวโอเลตให้พลังงานในปริมาณมาก มากพอที่จะทำความเสียหายต่อเซลล์ เช่น จากแดดเผา ส่วนโฟตอนของแสงอินฟราเรดให้พลังงานน้อยกว่า พอที่จะทำให้ผิวหนังรู้สึกอุ่นเท่านั้น ฉะนั้นเราสามารถใช้หลอดอินฟราเรดเพื่ออุ่นพื้นผิวขนาดใหญ่ได้ ซึ่งอาจพอที่จะทำให้มนุษย์ในห้องที่เย็นรู้สึกสบาย แต่ในขณะเดียวกันก็จะไม่มีผิวใครไหม้

### ในเชิงเทคโนโลยี
การประยุกต์ใช้กลศาสตร์ควอนตัม ได้แก่ เลเซอร์ ทรานซิสเตอร์ กล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอน และการถ่ายภาพด้วยคลื่นสนามแม่เหล็ก การใช้งานทางกลควอนตัมประเภทพิเศษเกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์ควอนตัมระดับมหภาค เช่น ฮีเลียมเหลวยิ่งยวดและตัวนำยิ่งยวด การศึกษาสารกึ่งตัวนำพามนุษย์ไปสู่การประดิษฐ์ไดโอดและทรานซิสเตอร์ ซึ่งเป็นส่วนประกอบสำคัญที่ขาดไม่ได้ในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์สมัยใหม่

แม้แต่ในสวิตช์ไฟธรรมดา หากไม่มีปรากฎการณ์อุโมงค์ควอนตัม (quantum tunneling) อิเล็กตรอนในกระแสไฟฟ้าจะไม่สามารถกระโดดข้ามขั้นออกไซด์ที่อาจเกิดขึ้นบนตัวสวิตช์ได้ ชิปหน่วยความจำแฟลชที่พบใน USB ไดรฟ์ ยังใช้ปรากฏการณ์อุโมงค์ควอนตัมเพื่อลบเซลล์หน่วยความจำ

## อ้างอิง

## บรรณานุกรม
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* *Scientific American Reader*, 1953.
* 
* ; cited in: 
* 
* Van Vleck, J. H.,1928, "The Correspondence Principle in the Statistical Interpretation of Quantum Mechanics", *Proc. Natl. Acad. Sci.* 14: 179.
* 
* 
*