ภาวะเชิงการนับ

ในทางคณิตศาสตร์ **ภาวะเชิงการนับ** ของเซต () คือการวัดปริมาณว่ามีสมาชิกจำนวนเท่าไรในเซต ตัวอย่างเช่น เซต *A* = {2, 4, 6} มีสมาชิก 3 ตัว ดังนั้น *A* มีภาวะเชิงการนับเป็น 3 เพื่อทำความเข้าใจถึงภาวะเชิงการนับสามารถทำได้สองแนวทาง หนึ่งคือการเปรียบเทียบเซตโดยตรงด้วยฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงหรือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และอีกทางหนึ่งคือการใช้จำนวนเชิงการนับ

ภาวะเชิงการนับของเซต *A* เขียนแทนด้วย |&thinsp;*A*&thinsp;| โดยใช้ขีดตั้งเขียนล้อมรอบในลักษณะเดียวกับค่าสัมบูรณ์ ดังนั้นความหมายจึงขึ้นอยู่กับบริบท ภาวะเชิงการนับของเซตอาจแสดงด้วยสัญกรณ์อื่น เช่น ''A''.<span style="border-top: 3px double black;">''A''</span> หรือ #&thinsp;*A*

## การเปรียบเทียบเซต
### กรณีที่ 1: |&thinsp;''A''&thinsp;| = |&thinsp;''B''&thinsp;|
เซต *A* กับเซต *B* จะมีภาวะเชิงการนับเท่ากัน ถ้ามีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection) นั่นคือเป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injection) และทั้งฟังก์ชันทั่วถึง (surjection) จาก *A* ไป *B* อย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชัน

ตัวอย่างเช่น กำหนดให้เซต *E* = {0, 2, 4, 6, …} เป็นเซตของจำนวนคู่ที่ไม่เป็นลบ และเซต **N** = {0, 1, 2, 3, …} เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ (ซึ่งรวม 0 เข้าไปด้วย) ภาวะเชิงการนับของ *E* จะเท่ากับภาวะเชิงการนับของ **N** เนื่องจากมีฟังก์ชัน *f*(*n*) = 2*n* เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งแบบทั่วถึงจาก **N** ไป *E* และในทางกลับกันก็มีฟังก์ชัน *f*(*n*) = *n* / 2 เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งแบบทั่วถึงจาก *E* ไป **N** ด้วย

### กรณีที่ 2: |&thinsp;''A''&thinsp;| ≥ |&thinsp;''B''&thinsp;|
เซต *A* จะมีภาวะเชิงการนับมากกว่าหรือเท่ากับเซต *B* ถ้ามีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injection) จาก *B* ไป *A* อย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชัน

### กรณีที่ 3: |&thinsp;''A''&thinsp;| > |&thinsp;''B''&thinsp;|
เซต *A* จะมีภาวะเชิงการนับมากกว่าเซต *B* อย่างแท้จริง ถ้ามีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injection) จาก *B* ไป *A* อย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชัน โดยที่ฟังก์ชันนั้นไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (non-bijection)

ตัวอย่างเช่น กำหนดให้เซต **R** เป็นเซตของจำนวนจริง และเซต **N** เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ เนื่องจากความสัมพันธ์โดยเซตย่อย *i* : **N** → **R** เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (จำนวนธรรมชาติใด ๆ ถือว่าเป็นจำนวนจริง) และสามารถแสดงได้ว่าความสัมพันธ์นี้ไม่ได้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (ยังมีจำนวนจริงอีกมากที่ไม่ได้เป็นจำนวนธรรมชาติ) ดังนั้นภาวะเชิงการนับของ **R** จึงมากกว่าภาวะเชิงการนับของ **N** อย่างแท้จริง

## จำนวนเชิงการนับ

จากหัวข้อข้างต้น "ภาวะเชิงการนับ" ได้นิยามโดยการอธิบายด้วยฟังก์ชัน นั่นคือ "ภาวะเชิงการนับ" ของเซตไม่ได้ถูกนิยามว่าเป็นวัตถุอย่างหนึ่งอย่างใดโดยเฉพาะ อย่างไรก็ตาม วัตถุเช่นนั้นอาจสามารถนิยามขึ้นมาใหม่ได้

ความสัมพันธ์ของการมีภาวะเชิงการนับที่เท่ากันเรียกว่า ภาวะเท่ากันของจำนวน (equinumerosity) และสิ่งนี้เป็นความสัมพันธ์สมมูล (equivalence relation) บนคลาสของเซตทั้งหมด ดังนั้นคลาสที่สมมูลกับเซต *A* ภายใต้ความสัมพันธ์นี้ จะประกอบขึ้นจากเซตทั้งหมดที่มีภาวะเชิงการนับเท่ากับของเซต *A* จึงมีสองวิธีการที่จะนิยาม "ภาวะเชิงการนับของเซต"
# ภาวะเชิงการนับของเซต *A* จะถูกนิยามเป็น คลาสที่สมมูลกันภายใต้ภาวะเท่ากันของจำนวน
# เซตตัวแทนซึ่งออกแบบไว้เพื่อคลาสที่สมมูลกันแต่ละคลาส ทางเลือกปกติสามัญที่ใช้กันคือการกำหนดจำนวนเชิงอันดับที่ในคลาสนั้น สิ่งนี้มักจะใช้เป็นการนิยามของจำนวนเชิงการนับในทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์

ภาวะเชิงการนับของเซตอนันต์เขียนแทนได้เป็น
::\aleph_0 
สำหรับแต่ละจำนวนของ α ในจำนวนเชิงอันดับที่ (ที่ 0, ที่ 1, ที่ 2, …) ℵα + 1 จะเป็นจำนวนเชิงการนับอย่างน้อยที่สุดที่มากกว่า ℵα

ภาวะเชิงการนับของเซตจำนวนธรรมชาติเขียนแทนด้วยอะเลฟศูนย์ (ℵ0) ในขณะที่ภาวะเชิงการนับของเซตจำนวนจริงเขียนแทนด้วย **c** ซึ่งหมายถึงภาวะเชิงการนับของความต่อเนื่อง (cardinality of the continuum)

## เซตจำกัด เซตนับได้ และเซตนับไม่ได้
ถ้าสัจพจน์การเลือก (axiom of choice) และกฎไตรวิภาค (trichotomy law) มีอยู่สำหรับภาวะเชิงการนับ ดังนั้นเราจะสามารถสร้างนิยามทางเลือกเหล่านี้ได้
* เซต *X* ใด ๆ ที่มีภาวะเชิงการนับน้อยกว่าของจำนวนธรรมชาติ นั่นคือ |&thinsp;*X*&thinsp;| 0 เซตนั้นจะเป็นเซตอนันต์ที่นับได้
* เซต *X* ใด ๆ ที่มีภาวะเชิงการนับมากกว่าของจำนวนธรรมชาติ นั่นคือ |&thinsp;*X*&thinsp;| > |&thinsp;**N**&thinsp;| ตัวอย่างเช่น |&thinsp;**R**&thinsp;| = **c** > |&thinsp;**N**&thinsp;| เซตนั้นจะเป็นเซตอนันต์ที่นับไม่ได้

## เซตอนันต์
แนวความคิดดั้งเดิมที่ใช้กับเซตจำกัดพังทลายลงเมื่อพบกับเซตอนันต์ ในช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 19 เกออร์ก คันทอร์ กอทท์ลอบ เฟรเกอ ริชาร์ด เดเดคินด์ และอีกหลายท่านไม่ยอมรับมุมมองของกาลิเลโอ (ซึ่งสืบทอดมาจากยูคลิด) ที่ว่า สิ่งทั้งหมดทั้งมวลไม่สามารถมีขนาดเท่ากับสิ่งที่เป็นบางส่วน ตัวอย่างหนึ่งคือปฏิทรรศน์โรงแรมใหญ่ของฮิลเบิร์ต (Hilbert's paradox of the Grand Hotel)

เหตุผลของการไม่ยอมรับแนวคิดดังกล่าว เนื่องจากมีลักษณะเฉพาะหลายอย่างที่อาจทำให้เซต *A* ใหญ่กว่าเซต *B* หรือมีขนาดเท่ากับเซต *B* ซึ่งสมมูลกันในเซตจำกัด แต่จะไม่สมมูลกันในเซตอนันต์อีกต่อไป ลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันอาจสามารถทำให้ผลออกมาต่างกันก็ได้ ตัวอย่างเช่น ลักษณะเฉพาะของขนาดที่เลือกโดยคันทอร์ เซตอนันต์ *A* จะใหญ่กว่าเซตอนันต์ *B* ในบางโอกาส ส่วนลักษณะเฉพาะอย่างอื่นสรุปว่า เซตอนันต์ *A* จะมีขนาดเท่ากับเซตอนันต์ *B* เสมอ ด้วยเหตุผลว่าเป็นอนันต์เหมือนกัน

สำหรับเซตจำกัด การนับก็ถือเป็นการสร้างความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ระหว่างเซตที่ถูกนับกับส่วนหนึ่งของจำนวนเต็มบวกโดยเริ่มจากหนึ่งเป็นต้นไป ดังนั้นจึงไม่มีรูปแบบที่เพียงพอเพื่อการนับเซตอนันต์ เพราะการนับจะให้ผลที่เป็นหนึ่งเดียวบนเซตจำกัด ในขณะที่เซตอนันต์จะถูกแทนที่ด้วยความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งกับจำนวนเชิงอันดับที่ที่แตกต่างกันได้หลายแบบ ซึ่งขึ้นอยู่กับว่าเราจะนับ (หรือเรียงลำดับ) เซตนั้นอย่างไร

นอกจากนั้น ลักษณะเฉพาะของขนาดที่แตกต่างออกไปซึ่งใช้กับเซตอนันต์ จะทำให้เกิดการละเลย "กฎ" ต่าง ๆ ที่มีอยู่ในเซตจำกัด เช่นลักษณะเฉพาะของคันทอร์อันสงวนกฎไว้ว่า เซตหนึ่ง ๆ จะมีขนาดใหญ่กว่าเซตอื่นในบางโอกาส ได้ละเลยกฎการตัดสมาชิกออกจากเซตเพื่อทำให้ขนาดของเซตเล็กลง ในขณะที่ลักษณะเฉพาะแบบอื่น อาจสงวนกฎการตัดสมาชิกออกจากเซต แต่ละเลยกฎอย่างอื่นอีกก็ได้ ยิ่งไปกว่านั้น ลักษณะเฉพาะบางอย่างอาจไม่ได้ละเลยกฎ "โดยตรง" แต่ก็ไม่ได้รักษากฎนั้นไว้ "โดยตรง" เช่นกัน ขึ้นอยู่กับสัจพจน์ที่นำมาโต้แย้ง อาทิสัจพจน์การเลือกหรือสมมติฐานความต่อเนื่อง ซึ่งจะทำให้เกิดความเป็นไปได้สามข้อดังที่อธิบายไว้ข้างต้น ความเป็นไปได้แต่ละอย่างอาจละเลยกฎบางข้อ รักษากฎบางอย่าง ทำให้ไม่อาจตัดสินได้

ถ้าแนวคิดนี้ขยายไปถึงมัลติเซต กฎอย่างอื่นซึ่งใช้กับมัลติเซตจำกัดจะถูกละเลยมากยิ่งขึ้นไปอีก (สมมติว่าใช้แนวคิดของคันทอร์) เช่นกำหนดมัลติเซตอนันต์ *A* กับ *B* เมื่อ *A* ไม่ใหญ่กว่า *B* และ *B* ก็ไม่ใหญ่กว่า *A* แต่เราไม่สามารถสรุปได้ว่า *A* กับ *B* จะมีขนาดเท่ากัน แต่กฎนี้จะยังคงอยู่สำหรับมัลติเซตจำกัด กฎไตรวิภาคก็ถูกละเลยในกรณีที่เป็นมัลติเซตเช่นกัน

เดเดคินด์ได้นิยามเซตอนันต์ว่ามีขนาดอันหนึ่งที่เหมือนกัน โดยอย่างน้อยก็เท่ากับเซตย่อยแท้ของมันเอง สัญกรณ์อนันต์ในลักษณะนี้เรียกว่าเซตอนันต์เดเดคินด์ การนิยามนี้สามารถใช้งานได้กับสัจพจน์การเลือกในบางรูปแบบเท่านั้น อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์บางท่านก็สรุปว่าแนวคิดนี้ใช้งานไม่ได้

คันทอร์ได้แนะนำจำนวนเชิงการนับที่สูงขึ้นไปกว่านั้น เพื่อแสดงให้เห็นว่าเซตอนันต์บางเซต มีขนาดใหญ่กว่าเซตอนันต์อื่น ซึ่งจำนวนที่น้อยที่สุดก็คือภาวะเชิงการนับของจำนวนธรรมชาติ (ℵ0)

### ภาวะเชิงการนับของความต่อเนื่อง

ผลลัพธ์ที่สำคัญที่สุดอันหนึ่งของคันทอร์คือการแสดงว่าภาวะเชิงการนับของความต่อเนื่อง (\mathfrak{c}) มีค่ามากกว่าภาวะเชิงการนับของจำนวนธรรมชาติ (ℵ0) นั่นคือยังมีจำนวนจริง **R** อื่น ๆ อีกที่มากไปกว่าจำนวนธรรมชาติ **N** คันทอร์ได้แสดงไว้ว่า
::\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0} > {\aleph_0} (ดูเพิ่มที่ การอ้างเหตุผลแนวทแยงของคันทอร์)

สมมติฐานความต่อเนื่อง (continuum hypothesis) ระบุไว้ว่า ไม่มีจำนวนเชิงการนับใดที่มีค่าอยู่ระหว่าง ภาวะเชิงการนับของจำนวนจริงกับภาวะเชิงการนับของจำนวนธรรมชาติ นั่นคือ
::\mathfrak{c} = \aleph_1 = \beth_1 (ดูเพิ่มที่ เบ็ทหนึ่ง)
อย่างไรก็ตาม สมมติฐานนี้ยังไม่สามารถพิสูจน์หรือปฏิเสธได้ภายใต้ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์แบบ ZFC ซึ่งเป็นทฤษฎีที่ยอมรับกันอย่างกว้างขวาง

เลขคณิตเชิงการนับก็สามารถใช้แสดงได้ว่า ไม่เพียงแค่จำนวนจุดบนเส้นจำนวนจริงจะเท่ากับจำนวนจุดบนส่วนของเส้นตรงเท่านั้น แต่ยังเท่ากับจำนวนจุดบนระนาบสองมิติ ปริภูมิสามมิติ หรือแม้แต่ปริภูมิมิติจำกัดใด ๆ ผลลัพธ์เหล่านี้อาจขัดกับสามัญสำนึกอยู่บ้าง เพราะมันเป็นการสรุปว่าเซตย่อยแท้และเซตใหญ่แท้ของเซตอนันต์ *S* มีขนาดเท่ากันกับ *S* ถึงแม้ว่า *S* จะมีสมาชิกหลายตัวที่ไม่มีอยู่ในเซตย่อยของมัน และเซตใหญ่ของ *S* จะมีสมาชิกหลายตัวที่ไม่มีอยู่ใน *S* ก็ตาม

ผลลัพธ์อย่างแรกของสิ่งเหล่านี้ปรากฏโดยการพิจารณาฟังก์ชันแทนเจนต์เป็นตัวอย่าง ซึ่งทำให้เกิดความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างช่วง (−½π, ½π) กับ **R** (ดูเพิ่มที่ ปฏิทรรศน์โรงแรมใหญ่ของฮิลเบิร์ต)

ผลลัพธ์อย่างที่สองแสดงไว้โดยคันทอร์เมื่อ ค.ศ. 1878 (แต่ปรากฏสู่สาธารณชนเมื่อ ค.ศ. 1890) ในตอนที่ จูเซปเป เปอาโน นำเสนอเส้นโค้งเติมเต็มปริภูมิ (space-filling curve) ซึ่งเส้นโค้งจะบิดเลี้ยวไปจนกว่าจะเติมเต็มพื้นที่ว่างในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือทรงลูกบาศก์ หรือไฮเพอร์คิวบ์ หรือที่ว่างในมิติจำกัดใด ๆ อย่างเพียงพอ ซึ่งเส้นโค้งเหล่านี้ไม่ได้เป็นข้อพิสูจน์โดยตรงว่า จำนวนจุดในเส้นตรงหนึ่งเส้นจะเท่ากับจำนวนจุดในปริภูมิมิติจำกัดอันหนึ่ง แต่ก็เป็นตัวอย่างหนึ่งที่ใช้พิสูจน์ได้

คันทอร์ยังได้แสดงไว้อีกว่า เซตที่มีภาวะเชิงการนับมากกว่า \mathfrak{c} อย่างแท้จริงก็ยังมีอยู่อีก อาทิ
* เซตของเซตย่อยทั้งหมดของ **R** เช่น เซตกำลังของ **R** เขียนแทนด้วย *P* (**R**) หรือ 2**R**
* เซต **R****R** ของฟังก์ชันทั้งหมดจาก **R** ไป **R**
ซึ่งทั้งคู่มีภาวะเชิงการนับเป็น
::2^\mathfrak{c} = \beth_2 > \mathfrak{c} (ดูเพิ่มที่ เบ็ทสอง)

และทำให้เกิดภาวะเท่ากันระหว่าง \mathfrak{c}^2 = \mathfrak{c} \;;\; \mathfrak{c}^{\aleph_0} = \mathfrak{c} \;;\; \mathfrak{c}^{\mathfrak{c}} = 2^{\mathfrak{c}} ซึ่งสามารถแสดงโดยใช้เลขคณิตเชิงการนับดังนี้
::\mathfrak{c}^2 = \left(2^{\aleph_0}\right)^2 = 2^{2\times{\aleph_0}} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c}
::\mathfrak c^{\aleph_0} = \left(2^{\aleph_0}\right)^{\aleph_0} = 2^ = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c}
:: \mathfrak c ^{\mathfrak c} = \left(2^{\aleph_0}\right)^{\mathfrak c} = 2^{\mathfrak c\times\aleph_0} = 2^{\mathfrak c}

## ดูเพิ่ม
* จำนวนอะเลฟ
* จำนวนเบ็ท
* ภาวะเชิงอันดับที่

## แหล่งข้อมูลอื่น

* ความหมายของ cardinality 
* Cardinality and Power set?

หมวดหมู่:จำนวนเชิงการนับ
หมวดหมู่:ทฤษฎีเซต
หมวดหมู่:อนันต์