กฎการหาอนุพันธ์

บทความนี้เป็นการสรุปสูตรและ**กฎการหาอนุพันธ์** หรือกฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันในแคลคูลัส

## กฎการหาอนุพันธ์เบื้องต้น
ฟังก์ชันทั้งหมดเป็นฟังก์ชันของจำนวนจริง ('''R''') ที่ให้ค่าจริง เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น แม้ว่าโดยทั่วไปแล้ว สูตรด้านล่างนี้จะใช้ได้ทุกเมื่อที่มีการนิยามไว้อย่างรัดกุม รวมถึงกรณีของจำนวนเชิงซ้อน ('''C''') ด้วย

### กฎพจน์ค่าคงที่
สำหรับฟังก์ชั่น f และ g และจำนวนจริง a และ b ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน h(x) = af(x) + bg(x) ในส่วน x คือ h'(x) = a f'(x) + b g'(x)

#### การพิสูจน์
: \begin{align}
f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{(c) - (c)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} 0 \\
&= 0
\end{align}

บทพิสูจน์แสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ใดๆ เป็น 0

#### คำอธิบายททางเรขาคณิต
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด ๆ หนึ่งคือความชันของเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุดนั้น ความชันของฟังก์ชันคงที่เป็นศูนย์ เนื่องจากเส้นสัมผัสของฟังก์ชันคงที่เป็นแนวนอนและมุมเป็นศูนย์

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือค่าของฟังก์ชันคงที่ y จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อค่าของ x เพิ่มขึ้นหรือลดลง
[right|frame| ในแต่ละจุด[อนุพันธ์คือความชันของเส้นตรงที่สัมผัสกับเส้นโค้งที่จุดนั้น หมายเหตุ อนุพันธ์ที่จุด A เป็นค่าบวก โดยแสดงเป็นเส้นสีเขียวประ–ค่าลบเป็นเส้นสีแดงประ และ เป็นศูนย์ เมื่อเป็นเส้นสีดำทึบ]]

### การหาอนุพันธ์เป็นเชิงเส้น

สำหรับฟังก์ชันf และ g และจำนวนจริง a และ b ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน h(x) = af(x) + bg(x) ที่ส่วน x คือ  h'(x) = a f'(x) + b g'(x)

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป 

 \frac{d(af+bg)}{dx} = a\frac{df}{dx} +b\frac{dg}{dx}

กรณีพิเศษต่าง ๆ ได้แก่

* *กฎตัวประกอบค่าคงที่* (af)' = af' 
* *กฎผลรวม* (f + g)' = f' + g'
* *กฎผลต่าง* (f - g)' = f' - g'.

### กฎผลคูณ

สำหรับฟังก์ชั่น f และ g ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน h(x) = f(x) g(x) ในส่วน x คือ 

 h'(x) = (fg)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป 

\frac{d(fg)}{dx} = g \frac{df}{dx} + f \frac{dg}{dx}

 
ไปที่แนวคิดของการจับคู่ และอนุพันธ์ที่เป็นการจับคู่ \text{D} ซึ่งเขียนได้กระชับยิ่งขึ้นได้ดังนี้

 [\text{D} (f\circ g)]_x = [\text{D} f]_{g(x)} \cdot [\text{D}g]_x\,

### กฎลูกโซ่

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน h(x) = f(g(x)) คือ h'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x).

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป \frac{d}{dx}h(x) = \left.\frac{d}{dz}f(z)\right|_{z=g(x)}\cdot \frac{d}{dx}g(x)

มักจะย่อเป็น \frac{dh(x)}{dx} = \frac{df(g(x))}{dg(x)} \cdot \frac{dg(x)}{dx}

สำหรับค่า c ใด ๆ เมื่อ c \in \mathbb{R}, ถ้า f(x) คือฟังก์ชันคงที่ โดยที่ f(x) = c แล้ว \frac{df}{dx} = 0  

### กฎฟังก์ชันผกผัน

ถ้าฟังก์ชัน  มีฟังก์ชันผกผัน  ซึ่งหมายความว่า g(f(x)) = x และ f(g(y)) = y แล้ว g' = \frac{1}{f'\circ g}

เมื่อ r = 1 จะเป็นกรณีพิเศษถ้า f(x) = x แล้ว f'(x) = 1

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป  \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}

## กฎยกกำลัง พหุนาม ผลหาร และส่วนกลับ

### กฎพหุนามหรือกฎยกกำลังเบื้องต้น

ถ้า f(x) = x^r สำหรับจำนวนจริงใดๆ r \neq 0 แล้ว

: f'(x) = rx^{r-1}

การรวมกฎยกกำลังเข้ากับกฎผลรวมและกฎการคูณด้วยค่าคงที่ ทำให้สามารถคำนวณอนุพันธ์ของพหุนามใด ๆ ได้

### กฎส่วนกลับ

อนุพันธ์ของ h(x)=\frac{1}{f(x)} สำหรับฟังก์ชัน **' (ไม่เป็นศูนย์ที่จุดใด) ใด ๆ คือ

: <math> h'(x) = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}</math> โดยที่ **' ไม่เป็นศูนย์

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป 

:  \frac{d(1/f)}{dx} = -\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}

กฎส่วนกลับสามารถได้มาจากกฎผลหาร หรือจากการรวมกันของกฎยกกำลังและกฎลูกโซ่

### กฎผลหาร

ถ้า **' และ **' เป็นฟังก์ชัน แล้ว

: \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}\quad โดยที่ **' ไม่เป็นศูนย์

ซึ่งสามารถได้มาจากกฎผลคูณและกฎส่วนกลับ

=== กฎยกกำลังวางนัยทั่วไป ===


: <math>(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right) \quad</math>

ที่ซึ่งเมื่อทั้งสองฝั่งได้นิยามไว้อย่างรัดกุม

กรณีพิเศษ

* ถ้า <math display="inline">f(x)=x^a\!</math> แล้ว <math display="inline">f'(x)=ax^{a-1}</math> เมื่อ **' เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ และ **' เป็นบวก
* กฎส่วนกลับเป็นกรณีพิเศษโดยที่ <math display="inline">g(x)=-1\!</math> 

== อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม ==
<math> \frac{d}{dx}\left(c^{ax}\right) = {ac^{ax} \ln c } ,\qquad c > 0</math>

สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุก  แต่อนุพันธ์เมื่อ <math display="inline">c<0</math> ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน
: <math> \frac{d}{dx}\left(e^{ax}\right) = ae^{ax}</math>

: <math> \frac{d}{dx}\left( \log_c x\right) = {1 \over x \ln c}, \qquad c > 1</math>

สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุก **' แต่ให้ผลเป็นจำนวนเชิงซ้อนหาก c -

:  \frac{d}{dx}\left( \ln x\right) = {1 \over x} ,\qquad x > 0

:  \frac{d}{dx}\left( \ln |x|\right) = {1 \over x} ,\qquad x \neq 0

:  \frac{d}{dx}\left( W(x)\right) = {1 \over {x+e^{W(x)}}} ,\qquad x > -{1 \over e}.\qquad เมื่อ W(x) คือฟังก์ชันดับเบิลยูลัมแบร์ท

:  \frac{d}{dx}\left( x^x \right) = x^x(1+\ln x).

:  \frac{d}{dx}\left( f(x)^{ g(x) } \right ) = g(x)f(x)^{g(x)-1} \frac{df}{dx} + f(x)^{g(x)}\ln{( f(x) )}\frac{dg}{dx}, \qquad \text{if }f(x) > 0, \text{ and if } \frac{df}{dx} \text{ and } \frac{dg}{dx} \text{ exist.}

:  \frac{d}{dx}\left( f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left ( ... \right )^{f_{n}(x)}}} \right ) = \left [\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{\partial }{\partial x_{k}} \left( f_{1}(x_1)^{f_{2}(x_2)^{\left ( ... \right )^{f_{n}(x_n)}}} \right ) \right ] \biggr\vert_{x_1 = x_2 = ... =x_n = x}, \text{ if } f_{i 0 \text{ and }  \frac{df_{i}}{dx} \text{ exists. }

### อนุพันธ์เชิงลอการิทึม
อนุพันธ์เชิงลอการิทึมเป็นอีกวิธีหนึ่งในการระบุกฎสำหรับการหาอนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชัน (โดยใช้กฎลูกโซ่):

:  (\ln f)'= \frac{f'}{f} \quad โดยที่ ** เป็นบวก

อนุพันธ์เชิงลอการิทึม เป็นเทคนิคที่ใช้ลอการิทึมและกฎการหาอนุพันธ์เพื่อทำให้นิพจน์บางอย่างง่ายขึ้นก่อนที่จะนำอนุพันธ์ไปใช้จริง&#x5B; *[[วิกิพีเดีย:ต้องการอ้างอิง|<span title="This claim needs references to reliable sources. (October 2021)">จำเป็นต้องอ้างอิง</span>]]* &#x5D;

ลอการิทึมสามารถใช้เพื่อลบเลขยกกำลัง แปลงการคูณเป็นการรวม และแปลงการหารเป็นการลบ ซึ่งแต่ละค่าอาจนำไปสู่นิพจน์ที่ง่ายขึ้นในการหาอนุพันธ์

## อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

{| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;"
| width="50%" | \frac{d}{dx} \sin x = \cos x 
| width="50%" | \frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} 
|-
| \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x
| \frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} 
|-
| \frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x 
| \frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1 + x^2} 
|-
| \frac{d}{dx} \csc x = -\csc{x}\cot{x} 
| \frac{d}{dx} \operatorname{arccsc} x = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}} 
|-
| \frac{d}{dx} \sec x = \sec{x}\tan{x} 
| \frac{d}{dx} \operatorname{arcsec} x = \frac{1}
ค่าสัมบูรณ์ในตารางด้านบนมีไว้สำหรับเมื่อช่วงของซีแคนต์ผกผันเป็น [0,\pi]\! และเมื่อช่วงของโคซีแคนต์ผกผันเป็น \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]

เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดฟังก์ชันแทนเจนต์ผกผันที่มีอาร์กิวเมนต์สองตัว \arctan(y,x)   ค่าของฟังก์ชันอยู่ในช่วง [-\pi,\pi] และสะท้อนจตุภาคของจุด (x,y) สำหรับจตุภาคที่หนึ่งและสี่ (เช่น x > 0 ) มี \arctan(y, x>0) = \arctan(y/x) อนุพันธ์ย่อยขอฟังก์ชันคือ

:  \frac{\partial \arctan(y,x)}{\partial y} = \frac{x}{x^2 + y^2} \qquad และ \qquad \frac{\partial \arctan(y,x)}{\partial x} = \frac{-y}{x^2 + y^2}.

## อนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก
{| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;"
| width="50%" |\frac{d}{dx} \sinh x = \cosh x
| width="50%" |\frac{d}{dx} \operatorname{arsinh}x = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}
|-
|\frac{d}{dx} \cosh x = \sinh x
|\frac{d}{dx} \operatorname{arcosh} x = {\frac {1}{\sqrt{x^2-1}}}
|-
|\frac{d}{dx} \tanh x = {\operatorname{sech}^2 x} = 1 - \tanh^2 x
|\frac{d}{dx} \operatorname{artanh} x = \frac{1}{1 - x^2}
|-
|\frac{d}{dx} \operatorname{csch} x = -\operatorname{csch}{x}\coth{x}
|\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch} x = -\frac{1}
ดูฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกสำหรับข้อจำกัดเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้

## อนุพันธ์ของฟังก์ชันพิเศษ

; ฟังก์ชันแกมมา
: \Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\, dt
: \begin{align}
\Gamma'(x) & = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \ln t\,dt \\
& = \Gamma(x) \left(\sum_{n=1}^\infty \left(\ln\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) - \dfrac{1}{x + n}\right) - \dfrac{1}{x}\right) \\
& = \Gamma(x) \psi(x)
\end{align} กับ \psi(x) เป็น ฟังก์ชันไดแกมมา ซึ่งแสดงโดยนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บทางด้านขวาของ \Gamma(x) ในบรรทัดด้านบน
; ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์
: \zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x}
: \begin{align}
\zeta'(x) & = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^x}
=-\frac{\ln 2}{2^x} - \frac{\ln 3}{3^x} - \frac{\ln 4}{4^x} - \cdots \\
& = -\sum_{p \text{ prime}} \frac{p^{-x} \ln p}{(1-p^{-x})^2} \prod_{q \text{ prime}, q \neq p} \frac{1}{1-q^{-x}}
\end{align}

## อนุพันธ์ของปริพันธ์

สมมติว่าจำเป็นต้องหาอนุพันธ์ในส่วน *x* ของฟังก์ชัน

: F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt

ที่ฟังก์ชั่น f(x,t) และ \frac{\partial}{\partial x}\,f(x,t) ต่อเนื่องทั้ง t และ x ในบางบริเวณของระนาบ (t,x) รวมทั้ง a(x)\leq t\leq b(x), x_0\leq x\leq x_1 และฟังก์ชัน a(x) และ b(x) ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ต่อเนื่องได้สำหรับ x_0\leq x\leq x_1 - แล้วเมื่อ \,x_0\leq x\leq x_1 -

:  F'(x) = f(x,b(x))\,b'(x) - f(x,a(x))\,a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x}\, f(x,t)\; dt\, 

สูตรนี้เป็นรูปแบบทั่วไปของ กฎอินทิกรัลของไลบ์นิซ และสามารถหาได้โดยใช้ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

## อนุพันธ์อันดับดับที่ ''n''
มีกฎบางกฎมีขึ้นสำหรับการคำนวณอนุพันธ์อับดับที่  ของฟังก์ชัน โดยที่  เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งรวมถึง

### สูตรของฟาอาดิบรูโน
ถ้า  และ  สามารถหาอนุพันธ์ได้  ครั้ง  \frac{d^n}{d x^n} [f(g(x))]= n! \sum_{\{k_m\}} f^{(r)}(g(x)) \prod_{m=1}^n \frac{1}{k_m!} \left(g^{(m)}(x) \right)^{k_m} เมื่อ  r = \sum_{m=1}^{n-1} k_m และเซต  \{k_m\} ประกอบด้วยคำตอบจำนวนเต็มไม่เป็นลบทั้งหมดของสมการไดโอแฟนไทน์  \sum_{m=1}^{n} m k_m = n -

### กฎทั่วไปของไลบ์นิซ
ถ้า  และ  สามารถหาอนุพันธ์ได้  ครั้ง  \frac{d^n}{dx^n}[f(x)g(x)] = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{d^{n-k}}{d x^{n-k}} f(x) \frac{d^k}{d x^k} g(x)

## ดูเพิ่ม

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## อ้างอิง


## ที่มาและอ่านเพิ่มเติม
กฎเหล่านี้มีอยู่ในหนังสือหลายเล่ม ทั้งแคลคูลัสพื้นฐานและขั้นสูง ในวิชาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ สิ่งที่อยู่ในบทความนี้ (นอกเหนือจากอ้างอิงข้างต้น) สามารถพบได้ใน

* *คู่มือคณิตศาสตร์ของสูตรและตาราง (ฉบับที่ 3)*, S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, .
* *คู่มือสูตรฟิสิกส์ของเคมบริดจ์*, G. Woan, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010, .
* *วิธีทางคณิตศาสตร์สำหรับฟิสิกส์และวิศวกรรม*, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010, .
* *คู่มือ NIST ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์*, FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010, .

## แหล่งข้อมูลอื่น

* เครื่องคำนวณอนุพันธ์พร้อมการทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

หมวดหมู่:ตารางทางคณิตศาสตร์
หมวดหมู่:รายชื่อเกี่ยวกับคณิตศาสตร์
หมวดหมู่:แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์
หมวดหมู่:หน้าที่ใช้แถบข้างที่มีพารามิเตอร์ child

หมวดหมู่:ทฤษฎีบทในการวิเคราะห์
หมวดหมู่:ทฤษฎีบทในแคลคูลัส
หมวดหมู่:เอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์