คู่อันดับ

ในคณิตศาสตร์ **คู่อันดับ** (*a*, *b*) เป็นคู่ของวัตถุทางคณิตศาสตร์ โดย *a* เรียกว่า **สมาชิกตัวหน้า** และ *b* เรียกว่า **สมาชิกตัวหลัง** คู่อันดับอาจจะมองเป็นพิกัดก็ได้ สำหรับคู่อันดับนั้น **อันดับ**มีความสำคัญ นั่นคือคู่อันดับ (*a*, *b*) แตกต่างจากคู่อันดับ (*b*, *a*) ยกเว้นกรณีที่ *a* = *b* ลักษณะนี้ไม่เหมือนกับคู่ไม่อันดับ ซึ่งคู่ไม่อันดับ {*a*, *b*} เท่ากับคู่ไม่อันดับ {*b*, *a*}

คู่อันดับยังอาจมองเป็น ทูเพิล, เวกเตอร์ 2 มิติ หรือ ลำดับความยาว 2 ก็ได้ เนื่องจากคู่อันดับสามารถมีสมาชิกเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ก็ตาม สมาชิกของคู่อันดับก็อาจจะเป็นคู่อันดับด้วยเช่นกัน ทำให้สามารถนิยาม n สิ่งอันดับ โดยนิยามแบบเวียนเกิดได้ ตัวอย่างเช่น สามสิ่งอันดับ (*a*,*b*,*c*) สามารถนิยามโดย (*a*, (*b*,*c*)) หรือก็คือการนำคู่อันดับซ้อนกันไปเรื่อย ๆ

ผลคูณคาร์ทีเซียน และ ความสัมพันธ์ทวิภาค (ซึ่งรวมถึงฟังก์ชัน) สามารถนิยามด้วยคู่อันดับได้ด้วยเช่นเดียวกัน

## หลักโดยทั่วไป
กำหนดคู่อันดับ (a_1, b_1) และ (a_2, b_2) เป็นคู่อันดับใด ๆ **คุณสมบัติ**ของคู่อันดับคือ

:(a_1, b_1) = (a_2, b_2) ก็ต่อเมื่อ a_1 = a_2 และ b_1 = b_2\!

เซตของคู่อันดับทั้งหมดที่สมาชิกตัวหน้ามาจากเซต *X* และสมาชิกตัวหลังมาจากเซต *Y* เรียกว่าผลคูณคาร์ทีเซียนของ *X* และ *Y* หรืออาจเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า *X*×*Y* ซึ่งความสัมพันธ์ทวิภาคจากเซต *X* ไปเซต *Y* ใด ๆ จะเป็นเซตย่อยของ *X*×*Y*

ในกรณีที่วงเล็บได้นำมาใช้เพื่อจุดประสงค์อื่นแล้ว เช่นใช้แทนช่วงเปิดบนเส้นจำนวน ก็อาจใช้สัญลักษณ์วงเล็บ \left \langle a,b\right \rangle แทน (a, b) ตามปกติได้

## การนิยามคู่อันดับโดยใช้ทฤษฎีเซต
เนื่องจากทฤษฎีเซตอาจถือได้ว่าเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ ดังนั้นวัตถุทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ก็จะต้องสามารถนิยามภายใต้เซตได้ รวมถึงคู่อันดับด้วย โดยได้มีนิยามหลากหลายรูปแบบในการนิยามคู่อันดับขึ้นมาจากเซต

### นิยามของ Wiener
Norbert Wiener ได้เสนอนิยามคู่อันดับโดยใช้ทฤษฎีเซตเป็นคนแรกในปี 1914

:\left( a, b \right) := 
\left\{\left\{ \left\{a\right\},\, \emptyset \right\},\, \left\{\left\{b\right\}\right\}\right\}

เขายังสังเกตว่าด้วยนิยามนี้สามารถนำไปใช้กับการนิยามประเภทให้อยู่ในรูปของเซตได้อีกด้วย 

Wiener ใช้ *b*}} แทนที่ {*b*} เพื่อให้นิยามนี้เข้ากันได้กับทฤษฎีประเภท ซึ่งมีข้อกำหนดว่าสมาชิกทุกตัวในคลาสต้องเป็น "ประเภท" เดียวกัน หรือนั่นก็คือเพื่อทำให้ \{\{b\}\} เป็นประเภทเดียวกันกับ \{\{a\}, \emptyset\}

### นิยามของ Hausdorff
ในเวลาใกล้เคียงกันกับการเสนอนิยามคู่อันดับของ Wiener ในปี 1914 Felix Hausdorff ก็ได้นำเสนอนิยามด้วยเช่นกัน
: (a, b) := \left\{ \{a, 1\}, \{b, 2\} \right\}
โดยที่ 1 และ 2 ต้องแตกต่างจาก a และ b

### นิยามของ Kuratowski
ในปี 1921 Kazimierz Kuratowski ได้เสนอนิยามคู่อันดับซึ่งปัจจุบันเป็นที่ยอมรับกันอย่างแพร่หลาย ว่า

:(a, \ b)_K \ := \  \{ \{ a \}, \ \{ a, \ b \} \}

มีการใช้นิยามนี้แม้ในกรณีที่สมาชิกตัวหน้ากับสมาชิกตัวหลังเหมือนกัน

: (x,\ x)_K = \{\{x\},\{x, \ x\}\} = \{\{x\},\ \{x\}\} = \{\{x\}\}

เมื่อกำหนดคู่อันดับ *p* การทดสอบว่า *x* เป็นสมาชิกตัวหน้าของ *p* หรือไม่ สามารถหาได้จากค่าความจริงของ

:\forall{Y}{\in}{p}:{x}{\in}{Y}

ในกรณีที่ต้องการทดสอบว่า *x* เป็นสมาชิกตัวหลังของ *p* หรือไม่ สามารถหาได้จากค่าความจริงของ

:(\exist{Y}{\in}{p}:{x}{\in}{Y})\land(\forall{Y_{1},Y_{2}}{\in}{p}:Y_{1}\ne Y_{2}\rarr ({x}{\notin}{Y_{1}}\lor{x}{\notin}{Y_{2}}))

สังเกตว่าเงื่อนไขนี้สามารถใช้ได้ในกรณีที่สมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังเหมือนกันด้วย เพราะประพจน์เชื่อม (conjunct)

:(\forall{Y_{1},Y_{2}}{\in}{p}:Y_{1}\ne Y_{2}\rarr ({x}{\notin}{Y_{1}}\lor{x}{\notin}{Y_{2}}))

จะเป็นจริงเสมอจากการที่ *Y*1 ≠ *Y*2 ให้ค่าความจริงเป็นเท็จ ส่งผลให้เหลือแต่การทดสอบว่ามีสมาชิกตัวหลังในสมาชิกของเซตหรือไม่

หากต้องการจะนำค่าสมาชิกตัวหน้าออกมาจากคู่อันดับ *p* สามารถหาได้จาก

:\pi_1(p) = \bigcup\bigcap p

และหากต้องการจะนำค่าสมาชิกตัวหลังออกมาจากคู่อันดับ *p* สามารถหาได้จาก

:\pi_2(p) = \bigcup\{x \in \bigcup p \mid \bigcup p \not= \bigcap p \rarr x \notin \bigcap p \}

## อ้างอิง

หมวดหมู่:มโนทัศน์เบื้องต้นในทฤษฎีเซต
หมวดหมู่:ทฤษฎีอันดับ
หมวดหมู่:ทฤษฎีแบบชนิด