เรขาคณิตวิเคราะห์

thumb|ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสำหรับระนาบ
**เรขาคณิตวิเคราะห์** (analytic geometry, coordinate geometry หรือ Cartesian geometry) เป็นคณิตศาสตร์แขนงหนึ่งที่ศึกษาเรขาคณิต ผ่านระบบพิกัด ซึ่งแตกต่างจากเรขาคณิตสังเคราะห์ที่ไม่ใช้ระบบพิกัด แต่ใช้ความสัมพันธ์ระหว่างรูปร่างรูปทรงเรขาคณิตแทน

เรขาคณิตวิเคราะห์เป็นพื้นฐานของฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์ ในการเดินอากาศ วิศวกรรมการบินและอวกาศ นอกจากนี้ยังเป็นพื้นฐานของเรขาคณิตสมัยใหม่เกือบทั้งหมด ซึ่งรวมไปถึงเรขาคณิตเชิงพีชคณิต เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ เรขาคณิตวิยุต และเรขาคณิตเชิงคณนา 

โดยทั่วไปแล้วเรขาคณิตวิเคราะห์ใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเพื่อให้ได้สมการของระนาบ เส้นตรง และวงกลมในสองหรือสามมิติ ในหนังสือแบบเรียนทั่วไป เรขาคณิตวิเคราะห์ยังหมายรวมไปถึงการศึกษาเส้นโค้งภาคตัดกรวย เหตุผลที่พีชคณิตของจำนวนจริงสามารถพิสูจน์ผลลัพธ์ในเรขาคณิตได้เป็นผลจากสัจพจน์ของคันตอร์-เดเดคินด์ 

## ระบบพิกัด

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ เราระบุระบบพิกัดให้แก่ระนาบ ซึ่งทำให้จุดแต่ละจุดบนระนาบมีพิกัดระบุด้วยคู่อันดับของจำนวนจริง ในทำนองเดียวกัน ปริภูมิสามมิติแบบยูคลิดสามารถให้ระบบพิกัดเป็นสามสิ่งอันดับของจำนวนจริงได้ พิกัดของจุดขึ้นอยู่กับการเลือกให้จุดได้เป็นจุดกำเนิด ต่อไปนี้เป็นระบบพิกัดที่นิยมใช้

### ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

ระบบพิกัดที่นิยมใช้มากที่สุดคือระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ซึ่งแต่ละจุดจะมีพิกัดตามแนวแกน *x* ที่ระบุตำแหน่งตามแนวนอน และพิกัดตามแนวแกน *y* ซึ่งระบุตำแหน่งตามแนวตั้งเมื่อวัดจากจุดกำเนิด โดยทั่วไปจะเขียนพิกัดเป็นคู่อันดับ (*x*,&nbsp;*y*) และระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามารถใช้ในสามมิติได้ และพิกัดจะเป็นสามสิ่งอันดับ (*x*,&nbsp;*y*,&nbsp;*z*)

### ระบบพิกัดเชิงขั้ว

ในระบบพิกัดเชิงขั้ว ทุกจุดบนระนาบจะมีพิกัดระบุโดยระยะทาง *r* ว่าห่างจากจุดกำเนิดเท่าใด และมุม *θ* ซึ่งวัดในแนวทวนเข็มนาฬิกาจากแกน *x* บวก ในระบบพิกัดเชิงขั้วเราเขียนแทนพิกัดด้วยคู่อันดับ (*r*, *θ*)

เราสามารถเปลี่ยนระบบพิกัดจากระบบพิกัดคาร์ทีเซียน และระบบพิกัดเชิงขั้วได้ด้วยสูตรดังนี้x = r\, \cos\theta,\, y = r\, \sin\theta; \, r = \sqrt{x^2+y^2},\, \theta = \arctan(y/x). ระบบพิกัดเชิงขั้วสามารถขยายไปยังปริภูมิสามมิติได้โดยใช้ระบบพิกัดทรงกระบอก และระบบพิกัดทรงกลม

### ระบบพิกัดทรงกระบอก

ในระบบพิกัดทรงกระบอก จุดแต่ละจุดจะแทนด้วยความสูง *z*, รัศมี *r* ที่วัดจากแกน *z* และมุม *θ* ที่วัดว่าภาพฉายของจุดลงบนระนาบ *xy* ทำมุมกับแกน *x* เท่าใด

### ระบบพิกัดทรงกลม

ในระบบพิกัดทรงกลม จุดแต่ละจุดจะแทนด้วยระยะห่าง *ρ* วัดจากจุดกำเนิด, มุม *θ* ที่วัดว่าภาพฉายของจุดลงบนระนาบ *xy* ทำมุมกับแกน *x* เท่าใด และมุม *φ* ที่วัดว่าจุดนั้นทำมุมเท่าใดกับแกน *z* ชื่อตัวแปรของแต่ละมุมอาจต่างออกไปในวิชาฟิสิกส์

## สมการและเส้นโค้ง
ในเรขาคณิตวิเคราะห์ คำตอบทั้งหมดของสมการที่มีตัวแปรเป็นพิกัดจะเป็นสับเซตของระนาบ ซึ่งเรียกว่าเซตผลเฉลย หรือทางเดินของจุด ตัวอย่างเช่นสมการ *y*&nbsp;=&nbsp;*x* จะได้เป็นเซตของจุดทั้งหมดบนระนาบที่พิกัด *x* และพิกัด *y* มีค่าเท่ากัน จุดเหล่านี้ประกอบกันเป็นเส้นตรง และเรากล่าวว่าสมการ *y*&nbsp;=&nbsp;*x* เป็นสมการของเส้นตรงดังกล่าว โดยทั่วไปแล้วสมการกำลังหนึ่งจะให้เส้นตรงทั้งหมด และสมการกำลังสองจะให้ภาคตัดกรวย

โดยทั่วไปแล้วสมการหนึ่งสมการจะได้เป็นเส้นโค้งหนึ่งเส้นบนระนาบ แต่อาจจะไม่เป็นจริงเสมอไป อาทิ สมการ  *x*&nbsp;=&nbsp;*x* ได้ระนาบทั้งหมด และสมการ *x*2&nbsp;+&nbsp;*y*2&nbsp;=&nbsp;0 มีเพียงจุด (0,&nbsp;0) จุดเดียวเท่านั้น ในสามมิติ สมการหนึ่งสมการมักจะให้ผิว และเส้นโค้งจะเป็นรอยตัดระหว่างผิวสองผิว หรืออาจระบุด้วยระบบสมการอิงตัวแปรเสริม 

### เส้นตรงและระนาบ

เส้นตรงในระนาบที่ให้พิกัดคาร์ทีเซียนทุกเส้นได้จาก*สมการเส้นตรง* หรือสมการกำลังหนึ่ง ในสองมิติ สมการของเส้นตรงทุกเส้นที่ไม่ใช่เส้นในแนวตั้งจะนิยมเขียนในรูปความชันและจุดตัด (slope-intercept form):
 y = mx + b 
เมื่อ:
* *m* เป็นความชันของเส้นตรง
* *b* คือจุดตัดแกน *y* ของเส้นตรง
* *x* เป็นตัวแปรอิสระของฟังก์ชัน *y* = *f*(*x*)

ในสามมิติ เราสามารถระบุระนาบได้ด้วยวิธีที่คล้ายกันกับในสองมิติ ด้วยการระบุจุดหนึ่งจุดที่อยู่บนระนาบ และเวกเตอร์หนึ่งเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบ (เรียกว่า เวกเตอร์ปรกติ) ที่ระบุความชันของระนาบ 

### ภาคตัดกรวย

ในระบุพิกัดคาร์ทีเซียน กราฟของสมการกำลังสองในสองมิติจะเป็นภาคตัดกรวยเสมอ แต่มีกรณีที่อาจจะได้ภาคตัดกรวยลดรูป สมการทั่วไปที่สุดของภาคตัดกรวยคือ

Ax^2 + Bxy + Cy^2 +Dx + Ey + F = 0 

โดยที่ A, B, C ไม่เป็น 0 พร้อมกัน

เนื่องจากเราสามารถคูณสมการข้างต้นด้วยจำนวนจริงไม่เป็นศูนย์ แล้วยังได้สมการที่มีทางเดินของจุดเป็นแบบเดิม เราสามารถมองภาคตัดกรวยว่าเป็นจุดในปริภูมิเชิงภาพฉาย \mathbf{P}^5 ใน 5 มิติได้

สมการภาคตัดกรวยสามารถจำแนกได้โดยพิจารณาดิสคริมิแนนต์

B^2 - 4AC

ถ้าภาคตัดกรวยไม่ใช่ภาคตัดกรวยลดรูป (คือไม่ใช่จุดหรือไม่ใช่เซตว่าง) แล้ว
* ถ้า B^2 - 4AC , สมการที่ได้คือสมการของวงรี
** ถ้า A = C  และ B = 0 , สมการที่ได้คือสมการของวงกลม ซึ่งเป็นกรณีเฉพาะของวงรี
* ถ้า B^2 - 4AC = 0 , แล้วสมการที่ได้คือสมการของพาราโบลา
* ถ้า B^2 - 4AC > 0 , แล้วสมการที่ได้คือสมการของไฮเพอร์โบลา
** และถ้า A + C = 0 , แล้วสมการที่ได้คือสมการของไฮเพอร์โบลามุมฉาก


## อ้างอิง