ทฤษฎีระบบควบคุม

thumb|300px|ระบบควบคุมมีความสำคัญอย่างมากในการปล่อยจรวดและยานอวกาศ

**ทฤษฎีระบบควบคุม** () เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ ในที่นี้ การควบคุมหมายถึง การควบคุมระบบพลศาสตร์ ให้มีค่าเอาต์พุตที่ต้องการ โดยการป้อนค่าอินพุตที่เหมาะสมให้กับระบบ ตัวอย่างที่เห็นได้ทั่วไป เช่น ระบบควบคุมอุณหภูมิห้องของเครื่องปรับอากาศ หรือ แม้แต่ลูกลอยในโถส้วม ที่เปิดน้ำปิดน้ำโดยอัตโนมัติเมื่อน้ำหมดและน้ำเต็ม

การควบคุมการขับเคลื่อนยานพาหนะ เช่น รถยนต์ ก็ถือเป็นการควบคุมชนิดหนึ่ง โดยผู้ขับขี่เป็นผู้ควบคุมทิศทางและความเร็ว ซึ่งระบบควบคุมประเภทที่ต้องมีคนเข้ามาเกี่ยวข้องนี้ถือว่าเป็น **ระบบควบคุมไม่อัตโนมัติ** (manual control) แต่ทฤษฎีระบบควบคุมจะครอบคลุมเฉพาะการวิเคราะห์และออกแบบ **ระบบควบคุมอัตโนมัติ** (automatic control) เท่านั้น เช่น ระบบขับเคลื่อนอัตโนมัติ (cruise control)

ระบบควบคุมยังอาจแบ่งออกได้เป็น **[[ระบบควบคุมแบบวงวนเปิด]]** (open-loop control) คือ ระบบควบคุมที่ไม่ได้ใช้สัญญาณจากเอาต์พุต มาบ่งชี้ถึงลักษณะการควบคุม ส่วนระบบควบคุมแบบวงวนปิด (closed-loop control) หรือ ระบบป้อนกลับ (feedback control) นั้นจะใช้ค่าที่วัดจากเอาต์พุต มาคำนวณค่าการควบคุม นอกจากนี้ยังอาจแบ่งได้ตามลักษณะเฉพาะของระบบ เช่น เป็นเชิงเส้น (linear) / ไม่เป็นเชิงเส้น (nonlinear), แปรเปลี่ยนตามเวลา (time-varying) / ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา (time-invariant) และเวลาต่อเนื่อง (Continuous time) / เวลาไม่ต่อเนื่อง (Discontinuous time)

## ประวัติศาสตร์และการพัฒนาของทฤษฎีระบบควบคุม
### ระบบควบคุมในยุคโบราณ
[thumb|250px|ภาพแสดงหลักการทำงานของ[ลูกเหวี่ยงหนีศูนย์กลางที่เมื่อเครื่องจักรหมุนเร็วเกินกว่าค่าที่ต้องการลูกตุ้มจะเบนออกจากแกนกลางส่งผลให้ลิ้นควบคุมไอน้ำปล่อยไอน้ำน้อยลง ในทางกลับกันถ้าเครื่องยนต์หมุนช้าเกินไปลูกตุ้มจะหุบเข้าหาแกนกลางส่งผลให้ลิ้นควบคุมไอน้ำปล่อยไอน้ำเข้าสู่เครื่องจักรมากขึ้น]]

[thumb|left|[ลูกลอย (ballcock) การป้อนกลับเชิงลบรูปแบบหนึ่งที่ใช้ในการควบคุมระดับน้ำในถังเก็บน้ำ เช่น ถังเก็บน้ำบนชักโครก]]

การใช้ระบบควบคุมแบบวงวนปิด นั้นมีมาแต่โบราณกาล ตัวอย่างเช่น นาฬิกาน้ำของกรีก ซึ่งมีการใช้ลูกลอยในการควบคุมระดับน้ำในถัง อุปกรณ์ที่ถือว่าเป็นจุดเริ่มต้น ของการใช้ระบบควบคุมป้อนกลับในวงการอุตสาหกรรม ก็คือ ลูกเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง (centrifugal governor หรือเรียก fly-ball governor) ในการควบคุมความเร็วในการหมุน เครื่องจักรไอน้ำที่ประดิษฐ์ขึ้นโดย เจมส์ วัตต์ ในปี ค.ศ. 1788

### จุดกำเนิดของทฤษฎีระบบควบคุม
; แบบจำลองคณิตศาสตร์ของระบบควบคุม :
ในยุคก่อนหน้านี้ การออกแบบระบบควบคุมต่าง ๆ นั้น เป็นไปในลักษณะลองผิดลองถูก ไม่ได้มีการใช้คณิตศาสตร์ในการวิเคราะห์ ออกแบบแต่อย่างใด จนกระทั่งในปี ค.ศ. 1840 นักดาราศาสตร์ชาวอังกฤษ จอร์จ แอรี ได้ประดิษฐ์อุปกรณ์ควบคุมทิศทางของกล้องดูดาว โดยอุปกรณ์นี้จะหมุนกล้องดูดาว เพื่อชดเชยกับการหมุนของโลกโดยอัตโนมัติ ในระหว่างการออกแบบ แอรีได้สังเกตถึงความไม่เสถียร (instability) ของระบบป้อนกลับ จึงใช้สมการเชิงอนุพันธ์ในการจำลองและวิเคราะห์พฤติกรรมของระบบ การวิเคราะห์เสถียรภาพของระบบนี้เป็นหัวใจสำคัญของทฤษฎีระบบควบคุม

; ทฤษฎีเสถียรภาพ :
ในปี ค.ศ. 1868 เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ เป็นบุคคลแรก ที่ทำการศึกษาถึงเสถียรภาพของ ลูกเหวี่ยงหนีศูนย์กลางของ เจมส์ วัตต์ โดยใช้แบบจำลองสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น ทฤษฎี**เสถียรภาพของระบบเชิงเส้น**ของแมกซ์เวลล์นี้ พิจารณาเสถียรภาพของระบบจาก รากของสมการลักษณะเฉพาะ (characteristic equation) ของระบบ ต่อมาในปี ค.ศ. 1892 เลียปูนอฟได้ทำการศึกษาถึง**เสถียรภาพของระบบไม่เป็นเขิงเส้น** และสร้างทฤษฎีเสถียรภาพของเลียปูนอฟ (Lyapunov stability) แต่ทฤษฎีของเลียปูนอฟนี้เป็นทฤษฎีที่สำคัญที่ไม่ได้รับความสนใจ จนกระทั่งหลายสิบปีต่อมา

### ระบบควบคุมแบบดั้งเดิม

: **ระบบควบคุมแบบดั้งเดิม** () หมายถึง ระบบควบคุมที่ออกแบบและวิเคราะห์บนโดเมนความถี่ (หรือโดเมนการแปลงฟูรีเย) และโดเมนการแปลงลาปลัส โดยการใช้แบบจำลองในรูปของ ฟังก์ชันถ่ายโอน (transfer function) โดยไม่ได้ใช้ข้อมูลรายละเอียดของพลวัตภายในของระบบ (internal system dynamic)

พัฒนาการของทฤษฎีระบบควบคุมในช่วงนี้นั้น ส่วนใหญ่พัฒนาขึ้นเพื่อประยุกต์ใช้งานในทางทหารและทางระบบสื่อสาร อันเนื่องมาจากสงครามโลกครั้งที่สอง และ การขยายตัวของโครงข่ายสื่อสารโทรศัพท์

; พัฒนาการเพื่อใช้งานในระบบโครงข่ายโทรศัพท์ :
ในช่วงยุคที่มีการขยายตัวของระบบสื่อสารโทรศัพท์นั้น ระบบสื่อสารทางไกลมีความจำเป็นต้องใช้อุปกรณ์ขยายสัญญาณด้วยหลอดสุญญากาศ ในปี ค.ศ. 1927 แนวความคิดและประโยชน์ของ**ระบบป้อนกลับแบบลบ** ได้ถูกนำเสนอในรูปของ อุปกรณ์ขยายสัญญาณป้อนกลับแบบลบ (negative feedback amplifier) โดย เอช. เอส. แบล็ก แต่การวิเคราะห์เสถียรภาพของระบบขยายสัญญาณตามทฤษฎีของแมกซ์เวลล์ โดยใช้วิธีของ เราท์-ฮัวร์วิทซ์ (Routh-Hurwitz) นั้นเป็นไปได้ยาก เนื่องจากความซับซ้อนของระบบ วิศวกรสื่อสารของ Bell Telephone Laboratories จึงได้นำเสนอ**การวิเคราะห์บนโดเมนความถี่** โดยในปี ค.ศ. 1932 ฮารี นือควิสต์นำเสนอ เกณฑ์เสถียรภาพของนือควิสต์ (Nyquist stability criterion) ซึ่งใช้วิธีการพล็อตกราฟเชิงขั้ว ของผลตอบสนองความถี่ตลอดวงรอบ (loop frequency response) ของระบบ ต่อมาในปี ค.ศ. 1940 เฮนดริก โบเดได้นำเสนอวิธีการวิเคราะห์เสถียรภาพโดยขอบเขตอัตราขยาย (gain margin) และขอบเขตมุม (phase margin) จากกราฟระหว่างขนาดและมุม (phase) ของผลตอบสนองความถี่ เรียกว่า แผนภาพโบเด (Bode plot)

; พัฒนาการเพื่อการใช้งานทางด้านการทหาร :
ปัญหาหลายปํญหาในทางหทาร เช่น ปัญหาการนำร่องการเดินเรืออัตโนมัติ ปัญหาการเล็งเป้าโดยอัตโนมัติ นั้นเป็นแรงผลักดันสำคัญให้เกิดการพัฒนาการทางทฤษฎีระบบควบคุมที่สำคัญหลายอย่าง ในปี ค.ศ. 1922 มินอร์สกี (N. Minorsky) ได้กำหนดและวิเคราะห์กฎของ **[[ระบบควบคุมพีไอดี]]** หรือ สัดส่วน-ปริพันธ์-อนุพันธ์ (proportional-integral-derivative) ซึ่งยังเป็นที่นิยมใช้อย่างกว้างขวางในปัจจุบัน เพื่อใช้ในการนำร่องการเดินเรือ ปัญหาที่สำคัญในช่วงนั้นคือ การเล็งเป้าของปืนจากเรือหรือเครื่องบิน ซึ่งในปี ค.ศ. 1934 ฮาเซน (H.L. Házen) ได้บัญญัติคำสำหรับประเภทปัญหาการควบคุมกลไกนี้ว่า **[[กลไกเซอร์โว]]** (servomechanisms) การวิเคราะห์และออกแบบนั้นก็ใช้วิธีการบนโดเมนความถี่ จนกระทั่งในปีค.ศ. 1948 อีแวนส์ (W. R. Evans) ซึ่งทำงานกับปัญหาทางด้านการนำร่องและควบคุมเส้นทางบิน ซึ่งส่วนใหญ่นั้นเป็นระบบที่ไม่เสถียร ได้ประสบกับปัญหาการวิเคราะห์เสถียรภาพบนโดเมนของความถี่ จึงได้หันกลับไปศึกษาถึงรากของสมการลักษณะเฉพาะ ซึ่งเป็นวิธี**การวิเคราะห์บนโดเมนการแปลงลาปลัส** และได้พัฒนาวิธี ทางเดินราก (root locus) ในการออกแบบระบบ

### ระบบควบคุมสมัยใหม่

[thumb|left|200px| แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของ[ลูกตุ้มผกผันสามารถประยุกต์ใช้กับระบบควบคุมการทรงตัวของพาหนะอย่าง เซกเวย์ (Segway) ได้]]
[thumb|left|200px| อุปกรณ์ที่ต้องการความแม่นยำและความละเอียดสูงอย่างหัวอ่านข้อมูลของ[ฮาร์ดดิสก์ จำเป็นที่จะต้องมีการออกแบบตัวควบคุมที่มีประสิทธิภาพ ทนทานต่อการรบกวนต่าง ๆ ได้เป็นอย่างดี อาทิเช่น การสั่นสะเทือน, ผลกระทบจากกระแสไฟฟ้าในระบบเกิน เป็นต้น]]
**ระบบควบคุมสมัยใหม่** () หมายถึง ระบบควบคุมที่ไม่ได้ใช้เทคนิคในการออกแบบแบบดั้งเดิม คือ จากรากของสมการลักษณะเฉพาะ และอยู่บนโดเมนความถี่ แต่เป็นการออกแบบ โดยมีพื้นฐานจากแบบจำลองสมการอนุพันธ์ของพลวัตของระบบ และเป็นการออกแบบอยู่บนโดเมนเวลา

แรงผลักดันของพัฒนาการจากระบบควบคุมแบบดั้งเดิม มาสู่ระบบควบคุมสมัยใหม่นี้ มีอยู่หลัก ๆ สองประการคือ

**ข้อจำกัดของระบบควบคุมแบบดั้งเดิมต่องานด้านอวกาศยาน : **
จากความสำเร็จในการส่งดาวเทียมสปุตนิก 1 ของสหภาพโซเวียตในปี ค.ศ. 1957 นั้นกระตุ้นให้เกิดความตื่นตัวของการประยุกต์ใช้งานทางด้านอวกาศยาน ความสำเร็จของโซเวียตนั้นเนื่องมาจากพัฒนาการทางด้านทฤษฎีระบบควบคุมแบบไม่เป็นเชิงเส้น ซึ่งไม่ได้รับความสนใจมากนักจากประเทศตะวันตก เนื่องจากความล้มเหลวในการใช้เทคนิคต่าง ๆ ของระบบควบคุมแบบดั้งเดิม กับงานด้านอวกาศยาน ซึ่งระบบส่วนใหญ่นั้น เป็นระบบหลายตัวแปรแบบไม่เป็นเชิงเส้น (nonlinear multivariable system) จึงมีการหันกลับมาพิจารณาการวิเคราะห์จากปัญหาดั้งเดิม ในรูปของแบบจำลองสมการอนุพันธ์ของระบบ

**การประยุกต์ใช้คอมพิวเตอร์กับงานระบบควบคุม : **

พัฒนาการของคอมพิวเตอร์ มีส่วนสำคัญในการพัฒนาทฤษฎีต่าง ๆ ของระบบควบคุม เนื่องจากทำให้สามารถสร้างอุปกรณ์ควบคุมที่สามารถทำงานซับซ้อนได้ รวมทั้งการใช้คอมพิวเตอร์ช่วยคำนวณในการออกแบบกฎของการควบคุม ดังนั้นจึงมีการพัฒนาระบบควบคุมแบบต่าง ๆ ขึ้นอย่างมากมาย

ด้วยเหตุดังกล่าว จึงมีการพัฒนาทฤษฎีระบบควบคุม จากหลายแง่มุม

จากความพยายามในการใช้คอมพิวเตอร์ซึ่งเป็นดิจิทัล เพื่อการควบคุมระบบซึ่งโดยส่วนใหญ่จะเป็นระบบอนาล็อก จึงส่งผลให้มีการพัฒนาทางทฤษฎี**ระบบควบคุมดิจิทัล** () โดยในปี ค.ศ. 1952 จอห์น รากัซซีนี (J.R. Ragazzini) , แฟรงคลิน (G Franklin) และ ซาเดห์ (L.A. Zadeh ผู้คิดค้นฟัซซี่ลอจิก) ที่มหาวิทยาลัยโคลัมเบีย ได้พัฒนาทฤษฎีระบบแบบชักข้อมูล (sampled data systems) ขึ้น การใช้คอมพิวเตอร์ในการควบคุมกระบวนการในอุตสาหกรรมนั้น ครั้งแรกในปี ค.ศ. 1959 ที่ โรงกลั่นน้ำมัน พอร์ต อาเธอร์ (Port Arthur) ในรัฐเท็กซัส

นอกจากนั้นแล้วแนวความคิดของการควบคุมที่ซับซ้อนขึ้นโดยมีการรวม ข้อกำหนดความต้องการทางด้านประสิทธิภาพ (performance) ในการออกแบบระบบควบคุม ซึ่งเรียกว่า **[[ระบบควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด]]** (optimal control) รากฐานของทฤษฎีระบบควบคุมแบบเหมาะสมที่สุดนี้มีมายาวนานตั้งแต่ปี ค.ศ. 1696 จาก *[[หลักของความเหมาะสมที่สุด]]* (principle of optimality) ในปัญหา บราคิสโตโครน (Brachistochrone curve) และ แคลคูลัสของการแปรผัน (Calculus of variations) ในปีค.ศ. 1957 ริชาร์ด เบลแมน ได้ประยุกต์ใช้วิธีการกำหนดการพลวัตของเขาในการแก้ปัญหาระบบควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง ต่อมาในปีค.ศ. 1958 พอนเทรียกิน (L.S. Pontryagin) ได้พัฒนา *หลักการมากที่สุด* (maximum principle หรือบางครั้งก็เรียก minimum principle) สำหรับแก้ปัญหาในรูปของแคลคูลัสของการแปรผัน แบบเวลาต่อเนื่อง

[thumb|right|200px|[ตัวกรองคาลมานนำร่อง ลูนาร์โมดูล ของ อพอลโล่ 11 สู่พื้นผิวดวงจันทร์]]

การสังเกตถึงผลกระทบของสัญญาณรบกวนต่อประสิทธิภาพของระบบควบคุมนั้นมีมาตั้งแต่ในช่วงระบบควบคุมยุคดั้งเดิม เช่นในช่วงสงครามโลกครั้งที่สอง ในการพัฒนาระบบควบคุมสำหรับเรดาร์ติดเครื่องบิน เพื่อควบคุมการยิง ที่ ห้องทดลองเรดิเอชัน (Radiation Lab) ที่ เอ็มไอที, ฮอลล์ (A.C. Hall) ได้ประสบปัญหาในการออกแบบ เขาได้สังเกตถึงผลกระทบจากการออกแบบที่ไม่ได้คำนึงถึงสัญญาณรบกวนต่อประสิทธิภาพของระบบ ถึงแม้ว่าจะมีการคำนึงถึงผลกระทบของสัญญาณรบกวน แต่ก็ไม่ได้มีการใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสัญญาณรบกวนในการวิเคราะห์แต่อย่างใด จนกระทั่ง นอร์เบิร์ต วีนเนอร์ ได้จำลองสัญญาณรบกวน โดยใช้แบบจำลองกระบวนการสตอแคสติก หรือ แบบจำลองทางสถิติ แบบเวลาต่อเนื่อง ในการพัฒนาระบบเล็งเป้าและควบคุมการยิงปืนต่อต้านอากาศยาน โดยใช้ข้อมูลจากเรดาร์ ซึ่งงานของเขาได้ถูกเก็บเป็นความลับ จนถึงปี ค.ศ. 1949 ในช่วงเดียวกันในปี ค.ศ. 1941 คอลโมโกรอฟ ก็ได้ทำการพัฒนาแบบจำลองสำหรับระบบเวลาไม่ต่อเนื่องขึ้น ระบบควบคุมที่ใช้แบบจำลองสคอแคสติกนี้ในการวิเคราะห์ จะเรียกว่า **[[ระบบควบคุมสตอแคสติก]]** (Stochastic control)

การวิเคราะห์และควบคุมระบบบนโดเมนเวลา โดยใช้แบบจำลองตัวแปรสถานะ หรือ แบบจำลองปริภูมิสถานะ (state space) นั้นเป็นหัวใจของทฤษฎีระบบควบคุมสมัยใหม่ รูดอล์ฟ อีมิว คาลมาน และ Bellman นั้นถือได้ว่าเป็นบุคคลที่มีส่วนสำคัญในการพัฒนาทฤษฎีระบบควบคุมโดยใช้แบบจำลองตัวแปรสถานะนี้ โดยที่ในปี ค.ศ. 1960 คาลมานได้นำทฤษฎีเสถียรภาพของเลียปูนอฟมาใช้ในการออกแบบระบบ ซึ่งเป็นผลให้ผลงานของเลียปูนอฟกลับมาได้รับความสนใจ นอกจากนี้แนวทางใหม่นี้ยังสามารถตอบคำถามเกี่ยวกับลักษณะเฉพาะของตัวระบบได้ ได้แก่ สภาพควบคุมได้ (controllability) สภาพสังเกตได้ (observability) ผลสัมฤทธิ์เล็กสุดเฉพาะกลุ่ม (minimal realization) และยังนำไปสู่การออกแบบตัวควบคุมแบบใหม่ เช่น การวางขั้ว (pole placement) ตัวควบคุมอิงตัวสังเกต (observer-based controller) และตัวควบคุมกำลังสองเชิงเส้นเหมาะที่สุด (optimal linear quadratic regulator)  คาลมานได้พัฒนาวิธีการออกแบบระบบควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด จากแบบจำลองปริภูมิสถานะ ในรูปของปัญหาระบบเชิงเส้นคงค่าแบบเหมาะสมที่สุดตามสมการกำลังสอง หรือ **LQR** (linear quadratic regulator) ในปีเดียวกันนี้ คาลมานได้นำเสนอผลงานของเขาในการประยุกต์ใช้แบบจำลองตัวแปรสถานะนี้เข้ากับแนวความคิดทางด้านสตอแคสติกของวีนเนอร์ และคิดค้นสิ่งที่เรารู้จักกันในชื่อ ตัวกรองคาลมาน (Kalman filter) ขึ้นมา โดยการใช้งานจริงครั้งแรกของตัวกรองคาลมาน นั้นได้ถูกประยุกต์เป็นส่วนหนึ่งของระบบนำร่องในโครงการอพอลโล ตั้งแต่นั้นมาตัวกรองคาลมานก็ได้ถูกประยุกต์ใช้งานอย่างกว้างขวางในปัจจุบัน

ในปัจจุบันแนวทางการวิเคราะห์และควบคุมระบบบนโดเมนเวลา โดยใช้แบบจำลองตัวแปรสถานะสามารถประยุกต์ใช้ได้กับงานวิศวกรรมห้วงอากาศอวกาศ (aerospace engineering) การควบคุมกระบวนการ (process control) และเศษฐมิติ (econometrics) 

## ประเภทของปัญหาระบบควบคุม
ปัญหาของทฤษฎีระบบควบคุมนั้น สามารถแยกออกได้เป็นประเภทใหญ่ 2 ประเภท คือ
# ปัญหา**ระบบคุมค่า** (regulator system) คือ ปัญหาที่มีจุดประสงค์ของการควบคุมค่า ให้เอาต์พุตของระบบมีค่าคงที่ ต้านทานการรบกวน (disturbance) ที่เข้ามาในระบบ และมีผลทำให้ระบบเปลี่ยนแปลง
# ปัญหา**ระบบปรับค่าตาม** (tracking system) หรือ **ระบบเซอร์โว** (servo system) คือ ปัญหาที่มีจุดประสงค์ของการควบคุม ให้เอาต์พุตมีค่าเท่ากับสัญญาณอ้างอิง เมื่อสัญญาณอ้างอิงเปลี่ยนไป ระบบควบคุมจะทำการปรับให้ สัญญาณเอาต์พุตมีค่าตามสัญญาณอ้างอิง

## ประเภทของระบบ

เราอาจจะสามารถจำแนกประเภทของระบบได้หลายแบบตามแต่เงื่อนไขในการจำแนกระบบที่ใช้ แต่ในบริบทของทฤษฎีระบบควบคุมนั้น เรามักจำแนกระบบตามภาวะเชิงเส้น, การแปรเปลี่ยนตามเวลา และความต่อเนื่องโดเมนเวลา ดังต่อไปนี้ คือ

### จำแนกตามภาวะเชิงเส้น
#### ระบบเชิงเส้น
**ระบบเชิงเส้น** (Linear Systems) คือระบบที่มีภาวะเชิงเส้น (Linearity) กล่าวคือ ถ้าให้ x_1 (t), x_2 (t)  เป็นสัญญาณขาเข้าของระบบ และ y_i (t) = H \left \{ x_i (t) \right \} โดยที่ i \in \{1, 2\}เป็นสัญญาณขาออก ถ้าระบบมีภาวะเชิงเส้นแล้วจะต้องสอดคล้องกับคุณสมบัติดังนี้
: \alpha y_1 (t) + \beta y_2 (t) = H \left \{ \alpha x_1 (t) + \beta x_2 (t) \right \} 
\forall \alpha, \beta \in \mathbb R \, 

หมายเหตุ: เราเรียกหลักการข้างต้นว่าหลักการซ้อนทับ (superposition) 

#### ระบบไม่เชิงเส้น
**ระบบไม่เชิงเส้น** (Nonlinear Systems) คือระบบที่ไม่มีสมบัติภาวะเชิงเส้นดังกล่าว

### จำแนกตามการแปรเปลี่ยนตามเวลา

#### ระบบไม่แปรเปลี่ยนตามเวลา

**ระบบไม่แปรเปลี่ยนตามเวลา** (Time-invariant system) คือระบบที่คุณสมบัติของระบบไม่เปลี่ยนไปเมื่อเวลาเปลี่ยนไป กล่าวคือ สมมุติว่าไม่มีความล่าช้าเกิดขึ้นในระบบ (ระบบรับสัญญาณขาเข้าแล้วสามารถให้สัญญาณขาออกได้ในทันที) ถ้าป้อนสัญญาณขาเข้า x (t)  ที่เวลา t จะได้สัญญาณขาออกเป็น y (t)  ที่เวลา t ดังนั้นหากป้อนสัญญาณขาเข้าเดิมที่เวลา t + \delta นั้นคือ x (t + \delta)  สัญญาญาณขาออกผลลัพธ์ก็ต้องเป็น ค่าเดิม คือ y (t + \delta) เพียงแต่จะปรากฏที่เวลา t + \delta ตามเวลาที่ป้อนสัญญาณขาเข้า x (t + \delta) 

#### ระบบแปรเปลี่ยนตามเวลา
**ระบบแปรเปลี่ยนตามเวลา** (Time-variant system) คือระบบที่จะปลี่ยนแปลงคุณสมบัติไปตามเวลา กล่าวคือ ถ้าป้อนสัญญาณขาเข้า x (t)  ที่เวลา t แล้วจะได้สัญญาณขาออกเป็น y (t)  ที่เวลา t ดังนั้นหากป้อนสัญญาณขาเข้าเดิมที่เวลา t + \delta นั้นคือ x (t + \delta)  สัญญาณขาออกผลลัพธ์ จะไม่ได้ค่าเดิม คือ y (t + \delta)  แต่จะเป็นค่าอื่นเพราะในช่วงเวลา \delta นั้นระบบได้เปลี่ยนคุณสมบัติไปแล้ว

### จำแนกตามความต่อเนื่องโดเมนเวลา

#### ระบบเวลาต่อเนื่อง
**ระบบเวลาต่อเนื่อง** (Continuous time systems) คือระบบที่มีโดเมนเวลาเป็นสมาชิกเซตของจำนวนจริง กล่าวคือ  t \in \ \mathbb R \, 

#### ระบบเวลาวิยุต
**ระบบเวลาวิยุต หรือ ระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง** (Discontinuous time systems) คือระบบที่มีโดเมนเวลาเป็นสมาชิกเซตของจำนวนเต็ม (แม้ในบางครั้ง อาจจะไม่ใช้จำนวนเต็ม แต่ ถ้ากล่าวโดยไม่เสียนัยยะความเป็นทั่วไป เราสามารถแทนจำนวนเหล่านั้นที่แม้ไม่ใช้จำนวนเต็มได้ด้วย ดัชนีเวลา (time index) ที่เป็นจำนวนเต็มได้เสมอ) กล่าวคือ  t \in \ \mathbb Z \, 

:หมายเหตุ เรามักจะใช้อักษร n หรือ  k  แทน t ในกรณีที่เป็นเวลาวิยุต

#### ระบบผสม
**ระบบผสม** (Hybrid systems) คือระบบที่โดเมนของเวลาต่อเนื่องเป็นช่วง ๆ กล่าวคือ มีทั้งช่วงที่ต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่องในโดเมนของเวลา ตัวอย่างของระบบที่ศึกษากันคือ ระบบเชิงเส้นกระโดดแบบมาร์คอฟ (Markovian jump linear system : MJLS)

ในกรณีที่เป็น ระบบเชิงเส้นกระโดดแบบมาร์คอฟและเวลาไม่ต่อเนื่อง ระบบจะมีแบบจำลองดังต่อไปนี้

x (k + 1) = A_{r (k)}x (k) + B_{r (k)}u (k) + F_{r (k)}w (k) 

y (k) = C_{r (k)}x (k) + G_{r (k)}v (k) 

: โดยที่
r (k) \in \{ 1, 2, 3, ...m\}  เป็นตัวแปรสถานะของกระบวนการมาร์คอฟ (Markov process) ที่มีความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนสถานะเป็น Prob (r (k + 1) = j|r (k) = i) = q_{ij}
และเมทริกซ์ของระบบแปรเปลี่ยนขึ้นกับ r (k) 

w (k)  เป็นสัญญาณรบกวนที่มีต่อตัวระบบ

 v (k)  เป็นสัญญาณรบกวนที่มีการสังเกต (สัญญาณขาออก)

ส่วน x (k), y (k), A, B, C, D, F  จะนิยามในส่วนของแบบจำลองปริภูมิสถานะ ต่อไป

## ทฤษฎีระบบควบคุมแบบดั้งเดิม

### ระบบควบคุมแบบวงวนปิด

เนื่องจากระบบควบคุมแบบวงวนเปิดมีปัญหาด้านเสถียรภาพของระบบเพราะไม่มีการป้อนกลับของสัญญาณขาออก ซึ่งไม่เหมาะกับการใช้งานหลายอย่าง จึงมีความต้องการที่จะออกแบบระบบควบคุมที่สามารถตรวจจับความคลาด

เคลื่อนระหว่างสัญญาณขาออกและสัญญาณอ้างอิงได้ จึงได้มีการคิดค้นระบบควบคุมแบบป้อนกลับ (Feedback control system) หรือระบบควบคุมแบบวงวนปิด (Closed loop control system) ขึ้นมาเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาที่เกิด

ขึ้นกับระบบควบคุมแบบวงวนเปิด โดยมีโครงสร้างดังในรูป

center|thumb|500px|'''หลักการควบคุมป้อนกลับ''' (Feedback control system) เป็นหลักการพื้นฐานที่ใช้ในการควบคุมระบบพลวัตอย่างแพร่หลาย ในภาพเป็นการป้อนกลับแบบลบ (Negative feedback) เพราะสัญญาณจากเซนเซอร์ (Measured error) จะถูกนำไปหักล้างจากสัญญาณอ้างอิง (Reference input) เพื่อที่จะทำไปสร้างสัญญาณความคลาดเคลื่อน (Measured error) (ผลต่างระหว่างค่าที่ผู้ออกแบบต้องการและสัญญาณจากตัวตรวจจับ (Sensor) ) ซึ่งจะนำไปป้อนสู่ตัวควบคุม (Controller) และตัวควบคุมจะสร้างสัญญาณควบคุม (System input หรือ Control signal) ป้อนสู่ระบบพลวัต (Plant, Dynamic system) หลังจากนั้นจะนำสัญญาณขาออกของระบบพลวัต (ที่วัดได้จากตัวตรวจจับ) มาป้อนสู่ระบบป้อนกลับต่อไปเช่นนี้เรื่อย ๆ

ระบบควบคุมแบบป้อนกลับมีความได้เปรียบเหนือกว่าระบบควบคุมแบบวงวนเปิด ดังต่อไปนี้
* สามารถกำจัดการรบกวนได้ (เช่น ผลจากแรงเสียดทานที่ไม่ได้รวมอยู่ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบ)
* สามารถรับประกันสมรรถนะได้มากขึ้นแม้กับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่มีตัวแปรที่มีความไม่แน่นอนอยู่ด้วย (เช่น กรณีที่ผลจากการที่แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ไม่สามารถอธิบายระบบได้อย่างสมบรูณแบบ)
* ระบบที่ไม่มีเสถียรภาพโดยธรรมชาติอยู่แล้วสามารถทำให้มีเสถียรภาพได้หากติดตั้งตัวควบคุมที่เหมาะสม
* ระบบมีความคงทนต่อความเปลี่ยนแปลงมากขึ้นแม้ในกรณีที่พารามิเตอร์ของระบบมีการเปลี่ยนแปลง
* ระบบสามารถปรับค่าสัญญาณขาออกตามสัญญาณอ้างอิงได้ดีมากขึ้นในปัญหาระบบปรับค่าตาม

ในบางระบบ ระบบควบคุมแบบวงวนปิดและแบบวงวนเปิดจะใช้ควบคู่กัน โดยที่ในกรณีนี้ระบบแบบวงวนเปิดจะเรียกว่า feedforward

### ฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบแบบวงวนปิด
center|A simple feedback control loop
**[[ฟังก์ชันถ่ายโอน]]** (transfer function) คือความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้แสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณขาออก (output signal) ต่อสัญญาณขาเข้า (input signal)
โดยฟังก์ชันถ่ายโอนสามารถหาได้จากความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้
สมมุติให้ ตัวควบคุม **<math>C</math>**, ระบบพลวัต **<math>P</math>**, ตัวตรวจจับ **<math>F</math>** เป็นเชิงเส้น และ ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา (ฟังก์ชันถ่ายโอนของ **<math>C (s) </math>**, **<math>P (s) </math>**, and **<math>F (s) </math>** ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา) และในที่นี้เราจะพิจารณาผลการแปลงลาปลัสของฟังก์ชันถ่ายโอนย่อย ๆ กล่าวคือ ฟังก์ชันถ่ายโอนของ **<math>C (s) </math>**, **<math>P (s) </math>**, and **<math>F (s) </math>** ซึ่งการหาฟังก์ชันถ่ายโอนหาได้ดังนี้

[thumb|300px|left|การแปลงโดเมนเวลาเป็นโดเมนความถี่โดยใช้การแปลงลาลาส ซึ่งสัญญาณขาออกในโดเมนเวลาจะเป็นการ[สังวัตนาการ (Convolution) ระหว่าง สัญญาณขาเข้าและผลตอบสนองอิมพัลส์ (impulse response) เมื่อผ่านการแปลงลาลาส จะได้สัญญาณขาออกในโดเมนความถี่ ที่จะอยู่ในรูปการคูณกันระหว่าง ผลการแปลงลาลาสของผลตอบสนองอิมพัลส์ (ฟังก์ชันถ่ายโอน) และผลการแปลงลาลาสของสัญญาณขาเข้า ซึ่งทำให้การวิเคราะห์ง่ายลงไปได้มาก ]]

: Y (s) = P (s) U (s) \, \!
: U (s) = C (s) E (s) \, \!
: E (s) = R (s) - F (s) Y (s).\, \!

แก้หา **<math>Y (s) </math>** ในรูปของ **<math>R (s) </math>** จะได้ว่า:

: Y (s) = \left (\frac{P (s) C (s)}{1 + F (s) P (s) C (s)} \right) R (s) = H (s) R (s).

โดยที่ H (s) = \frac{P (s) C (s)}{1 + F (s) P (s) C (s)} เราจะเรียกว่า ฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบแบบวงวนปิด (closed-loop transfer function) ของระบบ

### ตัวควบคุมพีไอดี

[thumb|400px| [ระบบควบคุมพีไอดี|ระบบควบคุมแบบสัดส่วน-ปริพันธ์-อนุพันธ์ (PID controller) เป็นระบบควบคุมแบบป้อนกลับที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง ซึ่งค่าที่นำไปใช้ในการคำนวณเป็นค่าความผิดพลาดที่หามาจากความแตกต่างของตัวแปรในกระบวนการและค่าที่ต้องการ ตัวควบคุมจะพยายามลดค่าผิดพลาดให้เหลือน้อยที่สุดด้วยการปรับค่าสัญญาณขาเข้าของกระบวนการ ค่าตัวแปรของ PID ที่ใช้จะปรับเปลี่ยนตามธรรมชาติของระบบ]]

**ตัวควบคุมพีไอดี** หรือ **ตัวควบคุมแบบสัดส่วน-ปริพันธ์-อนุพันธ์** เป็นตัวควบคุมที่ได้รับความนิยมเป็นอย่างสูงและใช้งานอย่างแพร่หลาย โดยในปัจจุบันยังมีการใช้งานในแวดวงอุตสาหกรรม จนไปถึงยานอวกาศ ทั้งนี้เพราะเป็นตัวควบคุมที่มีใช้งานกันมานานและจนได้รับความไว้วางในแง่ของประสิทธิภาพ อีกทั้งแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของมันก็เรียบง่ายและง่ายต่อการนำไปติดตั้ง
ตัวควบคุมพีไอดีมีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้

กำหนดให้ u (t)  คือสัญญาณควบคุมที่จะส่งให้ตัวระบบ

และ y (t)  คือสัญญาณขาออกที่ถูกวัดมาได้

และ r (t)  คือสัญญาณอ้างอิง

สัญญาณความคลาดเคลื่อนคือ e (t) =r (t) - y (t)  ดังนั้น

: u (t) = K_P e (t) + K_I \int e (t) \text{d}t + K_D \frac{\text{d}}{\text{d}t}e (t).

สมรรถนะและเสถียรถาพของระบบจะถูกกำหนดโดยการปรับแต่งค่าพารามิเตอร์สามตัว คือ  K_P,  K_I และ  K_D นอกเหนือจากการปรับแต่งค่าเหล่านี้หลังจากการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของตัวระบบแล้ว ในทางปฏิบัติ ยังนิยมปรับแต่งค่าโดยใช้หลักการของ Ziegler–Nichols หรือใช้ประสบการณ์ของวิศวกร โดยที่เสถียรภาพของระบบมักขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์  K_P แต่เพียงอย่างเดียว ส่วน  K_I มักส่งผลในแง่ของความคงทนต่อการเปลี่ยนแปลงฉับพลันต่อตัวระบบ และ  K_D มักเกี่ยวกับรูปร่างของผลตอบสนอง
เมื่อพิจารณาบนโดเมนการแปลงลาปลัส จะได้ว่า
: u (s) = K_P e (s) + K_I \frac{1}{s} e (s) + K_D s e (s) 
: u (s) = (K_P + K_I \frac{1}{s} + K_D s) e (s) 
โดยจะเห็นได้ว่าฟังกชั่นถ่ายโอนของตัวควบคุมพีไอดีคือ
: C (s) = (K_P + K_I \frac{1}{s} + K_D s).
แม้ระบบควบคุมแบบดั้งเดิมที่ใช้ตัวควบคุมพีไอดีจะมีความสามารถที่ถูกปรับปรุงดีขึ้นมากกว่าระบบควบคุมแบบเปิดมาก แต่ก็ยังเหมาะแค่กับระบบที่มีสัญญาณเข้าทางเดียวและสัญญาณขาออกทางเดียว (Single-Input and Single-Output or SISO) และยังไม่สามารถใช้ควบคุมระบบที่มีความซับซ้อนสูงได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งระบบที่มีสัญญาณขาเข้าหลายทางและสัญญาณขาออกหลายทาง (Multiple-Input and Multiple-Output or MIMO)

## ทฤษฎีระบบควบคุมสมัยใหม่

ระบบพลวัตส่วนใหญ่มักมีพฤติกรรมที่สามารถใช้สมการอนุพันธ์อันดับใด ๆ มาอธิบายได้ ในขณะเดียวกันสมการเชิงอนุพันธ์อันดับใด ๆ ก็สามารถลดอันดับให้เหลือเพียงสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งได้ จากความจริงตรงนี้จึงได้มีการเสนอวิธีการใหม่ในการวิเคราะห์และควบคุมระบบ ซึ่งจะวิเคราะห์บนโดเมนเวลาและได้มีการนำแบบจำลองปริภูมิสถานะ (state space) มาใช้ซึ่งจะอยู่ในรูปของสมการอนุพันธ์อันดับหนึ่งและแตกต่างจากระบบควบคุมแบบดั้งเดิมที่นิยมวิเคราะห์พฤติกรรมของระบบบนโดเมนความถี่ นอกจากนี้การนำแบบจำลองปริภูมิสถานะมาใช้ทำให้เราสามารถสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับระบบแบบสัญญาณขาเข้าหลายทางสัญญาณขาออกหลายทาง (MIMO) ได้โดยการกำหนดมิติของตัวแปรในสมการปริภูมิสถานะอย่างเหมาะสม

### แบบจำลองปริภูมิสถานะ([[:en:State space (controls)|state space]])

#### กรณีระบบเชิงเส้น
กำหนดให้ระบบพลวัตมี p สัญญาณขาเข้า q สัญญาณขาออก และ n ตัวแปรสถานะ

สมการปริภูมิสถานะคือ:
: \dot{\mathbf{x}} (t) = A (t) \mathbf{x} (t) + B (t) \mathbf{u} (t) 
: \mathbf{y} (t) = C (t) \mathbf{x} (t) + D (t) \mathbf{u} (t) 
โดยที่:
: \mathbf{x} (\cdot)  คือ เวกเตอร์ของตัวแปรสถานะ (state vector) , &nbsp; \mathbf{x} (t) \in \mathbb{R}^n;
: \mathbf{y} (\cdot)  คือ เวกเตอร์ของสัญญาณขาออก (output vector) , &nbsp; \mathbf{y} (t) \in \mathbb{R}^q;
: \mathbf{u} (\cdot)  คือ เวกเตอร์ของสัญญาณขาเข้า หรือ เวกเตอร์ของสัญญาณควบคุม (input vector, control vector) , &nbsp; \mathbf{u} (t) \in \mathbb{R}^p;
: A (\cdot)  คือ เมทริกซ์ของตัวแปรสถานะ หรือ เมทริกซ์พลวัต (state matrix, dynamics matrix) , &nbsp; \operatorname{dim}[A (\cdot)] = n \times n,
: B (\cdot)  คือ เมทริกซ์ขาเข้า (input matrix) , &nbsp; \operatorname{dim}[B (\cdot)] = n \times p,
: C (\cdot)  คือ เมทริกซ์ขาออก (output matrix) , &nbsp; \operatorname{dim}[C (\cdot)] = q \times n,
: D (\cdot)  คือ เมทริกซ์ป้อนผ่าน (feedthrough (or feedforward) matrix) (ในกรณีที่ระบบไม่มีการป้อนสัญญาณขาเข้า, D (\cdot)  เป็นเมทริกซ์ศูนย์), &nbsp; \operatorname{dim}[D (\cdot)] = q \times p,
: \dot{\mathbf{x}} (t) := \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t} \mathbf{x} (t) .

โดยทั่วไปแล้ว เมทริกซ์ข้างต้นจะเป็นเมทริกซ์แปรผันตามเวลาได้ แต่ในกรณีเฉพาะที่ระบบไม่แปรผันตามเวลา (LTI) มักจะถูกนำมาศึกษาอยางแพร่หลายเพราะมีความซับซ้อนน้อยกว่าและเหมาะต่อการศึกษาในระดับพื้นฐาน นอกจากนี้ตัวแปรเวลาสามารถมีได้ทั้งแบบเวลาต่อเนื่อง (continuous time : t \in \mathbb{R}) และแบบเวลาวิยุต (ไม่ต่อเนื่อง) (discrete time : t \in \mathbb{Z}) โดยในกรณีของเวลาไม่ต่อเนื่องมักนิยมใช้ตัวแปร k นอกเหนื่อจากระบบแบบที่กล่าวมาแล้วยังมีระบบผสมซึ่งเป็นระบบที่มีโดเมนของเวลาอยู่ทั้งบนแกนเวลาต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่อง

สมการปริภูมิสถานะ(state space equation)ข้างต้นหากพิจารณาตามโดเมนของเวลาจะมีรูปแบบต่าง ๆ กันดังต่อไปนี้ :

#### กรณีระบบไม่เชิงเส้น
: \mathbf{\dot{x}} (t) = \mathbf{f} (t, x (t), u (t) ) 
: \mathbf{y} (t) = \mathbf{h} (t, x (t), u (t) ) 

### สภาพควบคุมได้

**สภาพควบคุมได้** () จะบ่งบอกถึงความสามารถที่สัญญาณขาเข้าที่เป็นไปได้ (admissible inputs) จะสามารถขับเคลื่อนตัวแปรสถานะให้ไปถึงค่าใด ๆ ได้ในช่วงเวลาจำกัด (เวลาอันตะ) ไม่ว่าค่าเริ่มต้น (initial value) ของตัวแปรสถานะนั้น ๆ จะเป็นค่าอะไร ในกรณีระบบพลวัตเชิงเส้นเวลาต่อเนื่องไม่แปรผันตามเวลานั้นเงื่อนไขที่จะทำให้มีสภาพควบคุมได้ **ก็ต่อเมื่อ**
: \operatorname{rank}\begin{bmatrix}B& AB& A^{2}B& ...& A^{n-1}B\end{bmatrix} = n
 หมายเหตุ : **ค่าลำดับขั้น** (Rank) คือ ค่าซึ่งแสดงถึงจำนวนแถว (หรือหลัก) ในเมทริกซ์ที่มีความอิสระเชิงเส้น (linearly independent) ต่อกัน 

### สภาพสังเกตได้

**สภาพสังเกตได้** () เป็นสภาพที่บ่งบอกว่าระบบพลวัตมีความสามารถที่จะส่งผ่านข้อมูลของตัวแปรสถานะได้ดีแค่ไหนเมื่อพิจารณาจากสัญญาณขาออก สภาพควบคุมได้ และ สภาพสังเกตได้ เป็นสภาพคู่กันทางคณิตศาสตร์ (Duality) กล่าวคือ ในขณะที่ สภาพควบคุมได้ หมายถึง สภาพที่แสดงออกว่าสัญญาณขาเข้าสามารถขับเคลื่อนตัวแปรสถานะไปที่ค่าใด ๆ ที่ต้องการได้ แต่ สภาพสังเกตได้ จะเป็นสภาพที่แสดงออกถึงสัญญาณขาออก (output trajectory) จะให้ข้อมูลเพียงพอต่อการคาดคะเนค่าเริ่มต้นของตัวแปรสถานะของระบบได้
ในกรณีระบบพลวัตเชิงเส้นเวลาต่อเนื่องไม่แปรผันตามเวลานั้น เงื่อนไขที่จะทำให้มีสภาพสังเกตได้ได้ **ก็ต่อเมื่อ**
: \operatorname{rank}\begin{bmatrix}C\\ CA\\ ...\\ CA^{n-1}\end{bmatrix} = n

### การแยกตัวประกอบคาลมาน

**การแยกตัวประกอบคาลมาน** () เป็นกระบวนการแยกส่วนประกอบของเมทริกซ์ในสมการปริภูมิสถานะของระบบเชิงเส้นไม่เปลี่ยนตามเวลา linear time-invariant (LTI) ให้อยู่ในรูปแบบที่สามารถจำแนกได้ว่าส่วนใดในเมทริกซ์ของระบบ มีผลต่อ สภาพสังเกตได้ และสภาพควบคุมได้ ทำให้ง่ายต่อการวิเคราะห์ลักษณะเฉพาะของระบบ

จากสมการปริภูมิสถานะของระบบข้างต้น จะเห็นได้ว่าพารามิเตอร์ที่กำหนดลักษณะของระบบ LTI สามารถเขียนโดยย่อได้เป็นเวกเตอร์ \, (A, B, C, D)  ในที่นี้จะสมมุติว่าระบบมีมิติเป็น \, n.

การแยกตัวประกอบคาลมาน มีนิยามว่า เป็น การแปลงเวกเตอร์ \, (A, B, C, D)  ให้เป็น \, (\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, \hat{D})  โดยคูณเมทริกซ์การแปลง \, T ดังต่อไปนี้

: \, {\hat{A}} = {T^{-1}}AT
: \, {\hat{B}} = {T^{-1}}B
: \, {\hat{C}} = CT
: \, {\hat{D}} = D

โดยเมทริกซ์การแปลง \, T มีมิติ \, n \times n เป็นเมทริกซ์ผกผันได้ ได้รับการนิยามดังต่อไปนี้:

: \, T = \begin{bmatrix} T_{r\overline{o}} & T_{ro} & T_{\overline{ro}} & T_{\overline{r}o}\end{bmatrix}

โดยที่
* \, T_{r\overline{o}} เป็นเมทริกซ์ที่หลัก span ปริภูมิย่อย ของตัวแปรสถานะที่มีสถาพเข้าถึงได้ (reachable) และ ไม่มีสภาพสังเกตได้ (unobservable)
* \, T_{ro} ถูกเลือกโดยที่หลักของ \, \begin{bmatrix} T_{r\overline{o}} & T_{ro}\end{bmatrix} เป็นฐานหลักของปริภูมิย่อยที่มีสภาพเข้าถึงได้ (reachable)
* \, T_{\overline{ro}} ถูกเลือกโดยที่หลักของ \, \begin{bmatrix} T_{r\overline{o}} & T_{\overline{ro}}\end{bmatrix} เป็นฐานหลักของปริภูมิย่อยที่ไม่มีสภาพสังเกตได้ (unobservable)
* \, T_{\overline{r}o} ถูกเลือกโดยที่ \, \begin{bmatrix} T_{r\overline{o}} & T_{ro} & T_{\overline{ro}} & T_{\overline{r}o}\end{bmatrix} ยังสามารถผกผันได้
จะเห็นได้ว่าโดยการสร้างเมทริกซ์ \, T ในลักษณะข้างต้น เมทริกซ์ \, T จึงผกผันได้ เป็นที่น่าสังเกตว่าเมทริกซ์ย่อยในเมทริกซ์ \, T นั้นสามารถเป็นเมทริกซ์ศูนย์ได้ ยกตัวอย่างเช่น กรณีที่ระบบมีสภาพสังเกตได้และควบคุมได้ เมทริกซ์ \, T ลดรูปเหลือ \, T = T_{ro} โดยที่ เมทริกซ์ย่อยอื่นเป็นเมทริกซ์ศูนย์

#### รูปแบบมาตรฐาน
ระบบที่ได้รับการแปลงแล้ว \, (\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, \hat{D})  จะมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

: \, \hat{A} = \begin{bmatrix}A_{r\overline{o}} & A_{12} & A_{13} & A_{14} \\
0 & A_{ro} & 0 & A_{24} \\
0 & 0 & A_{\overline{ro}} & A_{34}\\
0 & 0 & 0 & A_{\overline{r}o}\end{bmatrix}

: \, \hat{B} = \begin{bmatrix}B_{r\overline{o}} \\ B_{ro} \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}

: \, \hat{C} = \begin{bmatrix}0 & C_{ro} & 0 & C_{\overline{r}o}\end{bmatrix}

: \, \hat{D} = D

โดยที่
* ระบบย่อย \, (A_{ro}, B_{ro}, C_{ro}, D)  มี สภาพเข้าถึงได้ และ สภาพสังเกตได้
* ระบบย่อย \, \left (\begin{bmatrix}A_{r\overline{o}} & A_{12}\\ 0 & A_{ro}\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}B_{r\overline{o}} \\ B_{ro}\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 & C_{ro}\end{bmatrix}, D\right)  มี สภาพเข้าถึงได้
* ระบบย่อย \, \left (\begin{bmatrix}A_{ro} & A_{24}\\ 0 & A_{\overline{r}o}\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}B_{ro} \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}C_{ro} & C_{\overline{r}o}\end{bmatrix}, D\right)  มี สภาพสังเกตได้

## บุคคลสำคัญในวงการทฤษฎีระบบควบคุม
* อะเลคซันดร์ เลียปูนอฟ (ค.ศ. 1857 – ค.ศ. 1918) ในคริสต์ทศวรรษ 1890 นำเสนอเรื่องทฤษฎีเสถียรภาพของเลียปูนอฟ (Lyapunov stability) ซึ่งใช้วิเคราะห์ได้ทั้งระบบเชิงเส้นและไม่เชิงเส้นและเป็นทฤษฎีเสถียรภาพหลักในแขนงวิชาระบบควบคุมที่ยังใช้กันจนถึงถูกวันนี้
* แฮโรลด์ สตีเฟน แบล็ก (ค.ศ. 1898 – ค.ศ. 1983), นำเสนอแนวคิดเรื่องการป้อนกลับแบบลบ (negative feedback amplifiers) ในปี ค.ศ. 1927 และพัฒนาตัวขยายสัญญาณป้อนกลับแบบลบที่เสถียร์ได้สำเร็จในคริสต์ทศวรรษ 1930
* ฮารี นือควิสต์ (ค.ศ. 1889 – ค.ศ. 1976) นำเสนอเกณฑ์เสถียรภาพของนือควิสต์ (Nyquist stability criterion) ในปี ค.ศ. 1932
* ริชาร์ด เบลแมน (Richard Bellman) (ค.ศ. 1920 – ค.ศ. 1984) ได้ประยุกต์ใช้วิธีการ กำหนดการพลวัตของเขา ในการแก้ปัญหาระบบควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง ในปี ค.ศ. 1957
* อันเดรย์ คอลโมโกรอฟ (ค.ศ. 1903 – ค.ศ. 1987) พัฒนา Wiener-Kolmogorov filter ในปี ค.ศ. 1941 (ช่วงเวลาเดียวกับนอร์เบิร์ต วีนเนอร์)
* นอร์เบิร์ต วีนเนอร์ (Norbert Wiener) (ค.ศ. 1894 – ค.ศ. 1964) พัฒนา Wiener-Kolmogorov filter และนำเสนอศัพท์คำว่า cybernetics ในคริสต์ทศวรรษ 1940
* จอห์น รากัซซีนี (ค.ศ. 1912 – ค.ศ. 1988) นำเสนอระบบควบคุมแบบดิจิทัล และการแปลง z (z-transform) ในคริสต์ทศวรรษ 1950
* เลฟ พอนเทรียกิน (L.S. Pontryagin) (ค.ศ. 1908 – ค.ศ. 1988) *หลักการมากที่สุด* (maximum principle หรือบางครั้งก็เรียก minimum principle) สำหรับแก้ปัญหาในรูปของแคลคูลัสของการแปรผัน แบบเวลาต่อเนื่อง หลักการ แบง-แบง (bang-bang principle)
* รูดอล์ฟ อีมิว คาลมาน (ค.ศ. 1930 – ปัจจุบัน) ผู้พัฒนาตัวกรองคานมานและเป็นผู้นำเสนอแบบจำลองปริภูมิสถานะ และนำเสนอแนวคิดเรื่องสภาพควบคุมได้และสภาพสังเกตได้ มาใช้ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบ อันเป็นการนำองค์ความรู้ของทฤษฎีระบบควบคุมไปสู่ยุคใหม่ ที่เรียกว่า ทฤษฎีระบบควบคุมสมัยใหม่

## สาขาของทฤษฎีระบบควบคุม
* ระบบควบคุมเชิงเส้น (linear control system)
* ระบบควบคุมไม่เป็นเชิงเส้น (nonlinear control system)
* ระบบควบคุมดิจิทัล (digital control system)
* ระบบควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด (optimal control system)
* ระบบควบคุมสตอแคสติค (stochastic control system)
* ระบบควบคุมแบบคงทน (robust control system)
* ระบบควบคุมแบบปรับตัวได้ (adaptive control system)
* ระบบควบคุมแบบชาญฉลาด (intelligent control system)

## ดูเพิ่ม

; ตัวอย่างการประยุกต์ทฤษฎีระบบควบคุม
* ระบบอัตโนมัติ
* Deadbeat Controller
* Distributed parameter system
* Fractional order control
* H-infinity loop-shaping
* Hierarchical control system
* Model predictive control
* Process control
* Robust control
* Servomechanism
* ปริภูมิสถานะ (state space)
* ลูกตุ้มผกผัน (Inverted pendulum)
* ลูกตุ้มผกผันแบบฟุรุตะ (Furuta pendulum)
* หุ่นยนต์
* อาซิโม
* คิวริโอ
* วิทยาการหุ่นยนต์
* หุ่นยนต์ฮิวแมนนอยด์
* เมคคาทรอนิกส์

; หัวข้อที่น่าสนใจในทฤษฎีระบบควบคุม
* Dual control theory
* การประมาณค่าตัวแปรสถานะ
* Filtering problem (stochastic processes)
* linear-quadratic-Gaussian (LQG) control problem
* Coefficient diagram method
* Control reconfiguration
* Feedback
* H infinity
* Hankel singular value
* Krener's theorem
* Lead-lag compensator
* Minor loop feedback
* Radial basis function
* Root locus
* Signal-flow graphs
* Stable polynomial
* Underactuation
* ระบบควบคุมพีไอดี
* การแปลงลาปลัส
* การแปลง Z ขั้นสูง
* ฟังก์ชันเลียปูนอฟ
* สมการเลียปูนอฟ
* การป้อนกลับสถานะแบบเต็ม
* ดับเบิลอินทิเกรตเตอร์

; ดูเพิ่มเติม
* Automation and Remote Control
* Bond graph
* วิศวกรรมระบบควบคุม (Control engineering)
* Controller (control theory)
* Cybernetics
* Perceptual Control Theory
* Intelligent control
* Mathematical system theory
* Systems theory
* People in systems and control
* Time scale calculus
* Negative feedback amplifier
* Control-Feedback-Abort Loop

## อ้างอิง

## แหล่งข้อมูลอื่น
* สื่อการสอนเกี่ยวกับทฤษฎีระบบควบคุม  ของ มหาวิทยาลัยคาร์เนกีเมลลอน
* หนังสือ Robust Adaptive Control  โดย Petros A. Ioannou
* Franklin, G.F., Powel, J.D., and Emami-Naeini, A. ''Feedback Control of Dynamic Systems'', 4<sup>th</sup>ed., Prentice Hall 2002 
* Astr&ouml;m, K.J. *Control System Design* chap.1 preprint 2002
* Lewis, F.L. *Applied Optimal Control and Estimation* Prentice Hall 1992
* Bellman, R. "Eye of The Hurricane: an autobiography" World Scientific Publishing Co Pte Ltd. 1984
* A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems, by R. E. Kalman, 1960
* Katsuhiko Ogata, Modern control engineering (Edition 5), Prentice Hall, 2010, ISBN 0136156738,9780136156734
* M.W. Spong and M. Vidyasagar. Dynamics and Control of Root Manipulators. John Wiley, 1989
* เดวิด บรรเจิดพงศ์ชัย, ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "ระบบควบคุมพลวัต การวิเคราะห์ การออกแบบ และการประยุกต์ (Dynamical Control Systems Analysis, Design and Applications) " สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2551 (ISBN 978-974-03-2205-4)
* วิบูลย์ แสงวีระพันธุ์ศิริ, ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "การควบคุมระบบพลศาสตร์ (Control of Dynamic Systems) " สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2548 (ISBN 974-13-3393-5)
* Kansas State University Control Lab  
* MIT Lecture Note on Dynamic Systems and Control by Munther Dahleh, Mohammed Dahleh, and George Verghese 

หมวดหมู่:การจัดการไซเบอร์เนติกส์
รทฤษฎีระบบควบคุม
หมวดหมู่:ทฤษฎีระบบควบคุม
หมวดหมู่:วิศวกรรมศาสตร์
หมวดหมู่:คณิตศาสตร์