การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

thumb|250px|วิถีการเคลื่อนที่ของน้ำแบบพาราโบลา
thumb|250px|ส่วนประกอบของความเร็วต้นของการโยนแบบพาราโบลา

**การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์** () เป็นรูปแบบหนึ่งของการเคลื่อนที่ที่เกิดขึ้นจากวัตถุหรืออนุภาค (โพรเจกไทล์) ซึ่งอยู่ในสนามโน้มถ่วง เช่น จากพื้นผิวโลก วัตถุเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางโค้ง ภายใต้การกระทำของแรงโน้มถ่วงเท่านั้น การคำนวณส่วนใหญ่มักจะละเว้นผลกระทบของแรงต้านอากาศเป็น
right|thumb|320px|วิถีของโพรเจกไทล์ที่ลอยขึ้นไปในอากาศในความเร็วต้นที่แตกต่างกัน (พิจารณาแรงต้านอากาศ)

## ความเร็วเริ่มต้น
เมื่อปล่อยให้โปรเจกไทล์เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเริ่มต้น  \mathbf{v} (0) \equiv \mathbf{v}_0  ซึ่งสามารถแยกเป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ความเร็วได้ดังต่อไปนี้
: \mathbf{v}_0 = v_{0x}\mathbf{i} + v_{0y}\mathbf{j} 
องค์ประกอบ  v_{0x}  และ  v_{0y}  สามารถหาได้เมื่อทราบมุมเริ่มต้น \theta ดังนี้
: v_{0x} = v_0\cos\theta  และ
: v_{0y} = v_0\sin\theta 

## ปริมาณจลนพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
ในปี ค.ศ. 1638 กาลิเลโอ กล่าวในหนังสือ Two New Sciences ว่าสำหรับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์นั้น การเคลื่อนที่ทั้งในแนวดิ่งและแนวราบจะเป็นอิสระต่อกัน
### ความเร่ง
สำหรับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จะเกิดความเร่งเฉพาะการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งเท่านั้น ส่วนแนวราบความเร็วจะคงตัวมีค่าเท่ากับ  \mathbf{v}_0 \cos\theta  การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งของวัตถุจะเป็นการเคลื่อนที่แบบตกอิสระ โดยมีความเร่งคงตัว g องค์ประกอบของความเร่งคือ

: a_x = 0  และ
: a_y =- g 

### ความเร็ว
องค์ประกอบของความเร็วในแนวราบของวัตถุจะไม่เปลี่ยนแปลงตลอดการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของความเร็วในแนวตั้งจะเพิ่มขึ้นแบบเชิงเส้นเพราะมีความเร่งเนื่องจากความโน้มถ่วงที่มีค่าคงที่ องค์ประกอบของความเร็วทั้งในทิศทาง x และ y สามารถรวมกันเพื่อแก้ปัญหาองค์ประกอบของความเร็ว ณ เวลา t ได้ดังนี้
: v_x = v_0 \cos(\theta)  และ
: v_y = v_0 \sin(\theta) - gt 
ขนาดของความเร็ว (ภายใต้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)
: v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 \ } 

### การกระจัด
thumb|250px|การกระจัดและพิกัดของการโยนแบบพาราโพลา
ณ เวลา  t  ใด ๆ การกระจัดของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ในแนวราบและแนวดิ่งคือ
: x = v_0 t \cos(\theta)  และ
: y = v_0 t \sin(\theta) - \frac{1}{2}gt^2 
ขนาดของการกระจัดคือ
: \Delta r=\sqrt{x^2 + y^2 \ } 
พิจารณาสมการ
: x = v_0 t \cos(\theta) และ
: y = v_0 t\sin(\theta) - \frac{1}{2}gt^2 
ถ้า  t  ถูกกำจัดออกระหว่างทั้งสองสมการ จะได้
: y = \tan(\theta) \cdot x-\frac{g}{2v^2_{0}\cos^2 \theta} \cdot x^2 
เมื่อ g \theta  และ v_0 เป็นค่าคงที่ สมการข้างต้นจะอยู่ในรูป
: y=ax+bx^2 
ซึ่ง a และ  b  เป็นค่าคงที่ สมการนี้เป็นสมการพาราโบลา ดังนั้นเส้นทางการเคลื่อนที่ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จึงเป็นรูปพาราโบลา ถ้าทราบตำแหน่ง (x,y) ของโพรเจกไทล์ และมุมยิง (\theta  หรือ  r ) ความเร็วเริ่มตั้น v_0  สามารถหาได้จากการแก้สมการพาราโบลาข้างต้น ได้เป็น 
: v_0 = \sqrt 

## เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่
เวลาทั้งหมดที่วัตถุลอยอยู่ในอากาศหาได้จากสมการ
: y = v_0 t \sin(\theta) - \frac{1}{2}gt^2 
หลังจากที่วัตถุถูกยิงออกไปและตกกลับลงมาบนพื้นอีกครั้ง (แกน x) ดังนั้น  y=0 
: 0 = v_0 t \sin(\theta) - \frac{1}{2}gt^2 
: v_0 t \sin(\theta) = \frac{1}{2}gt^2 
: v_0 \sin(\theta) = \frac{1}{2}gt 
: t = \frac{2 v_0 \sin(\theta)}{g} 

ในที่นี้จะไม่สนใจแรงต้านของอากาศที่กระทำต่อวัตถุ

ถ้าจุดเริ่มต้นอยู่ที่ตำแหน่ง  y_0  เมื่อเทียบกับจุดตก เวลาที่วัตถุลอยอยู่ในอากาศ คือ 
:  t = \frac{d}{v \cos\theta} = \frac{v \sin \theta + \sqrt{(v \sin \theta)^2 + 2gy_0}}{g} 
สมการข้างต้นสามารถลดรูปเป็น
:  t = \frac{v\sin{\theta} + \sqrt{(v\sin{\theta})^{2}}}{g} = \frac{v\sin{\theta} + v\sin{\theta}}{g} = \frac{2v\sin{\theta}}{g} = \frac{2v\sin{(45)}}{g} = \frac{2v\frac{\sqrt{2}}{2}}{g} = \frac{\sqrt{2}v}{g}
ถ้า  \theta = 0 และ  y_0 = 0

## ระยะสูงสุดของการเคลื่อนที่
thumb|250px|ความสูงที่สูงที่สุดของโพรเจกไทล์
จุดที่วัตถุเคลื่อนที่ขึ้นไปได้เป็นระยะสูงที่สุดก่อนที่จะตกกลับลงมา เรียกว่า จุดสูงสุดของการเคลื่อนที่ของวัตถุ ณ จุดนี้ องค์ประกอบของความเร็วในแนวดิ่ง  v_y=0  นั้นคือ
: 0=v_0 \sin(\theta) - gt_h 
เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ไปถึงจุดสูงสุด
: t_h = \frac{v_0 \sin(\theta)}{g} 
จากการกระจัดที่สูงที่สุดของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
: h = v_0 t_h \sin(\theta) - \frac{1}{2} gt^2_h 
: h = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g} 
## ความสัมพันธ์ระหว่างระยะไกลสุดกับระยะสูงสุด
ความสัมพันธืระหว่างระยะไกลสุดบนแนวราบ R กับระยะสูงสุด h ที่  \frac{t_d}{2}  เป็น 
: h = \frac{R\tan\theta}{4} 

### พิสูจน์

 h = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g} 
: R = \frac{v_0^2\sin2\theta}{g} 
: \frac{h}{R} = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}  ×  \frac{g}{v_0^2\sin2\theta} 
: \frac{h}{R} = \frac{\sin^2\theta}{4\sin\theta\cos\theta} 
 h = \frac{R\tan\theta}{4} 

## พิสัยของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

thumb|250px|ระยะทางที่ไกลที่สูงของโพรเจกไทล์
ในการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มวลของวัตถุจะไม่ส่งผลต่อระยะไกลสุดตามแนวราบและระยะสูงสุดของการเคลื่อนที่ เมื่อขว้างวัตถุออกไปด้วยความเร็วและทิศทางเดียวกัน ระยะไกลสุดตามแนวราบของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เรียกว่า "**พิสัย**" d คือ ระยะทางตามแนวราบจากจุดที่ขว้างวัตถุออกไปจนถึงจุดที่วัตถุตกกลับลงมาที่ตำแหน่งความสูงเริ่มต้น (y=0)
: 0 = v_0 t_d \sin(\theta) - \frac{1}{2}gt_d^2 

เวลาเมื่อตกถึงพื้น
: t_d = \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} 

จากการเคลื่อนที่ในแนวราบ ระยะทางของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เป็น
: d = v_0 t_d \cos(\theta) 

ดังนั้น

: d = \frac{v_0^2}{g}\sin(2\theta) 

d จะมีค่าสูงสุดเมื่อ
: \sin 2\theta=1 

ซึ่งสอดคล้องกับ
: 2\theta=90^\circ 

หรือ
: \theta=45^\circ 
thumb|350px|Trajectories of projectiles launched at different elevation angles but the same speed of 10 m/s in a vacuum and uniform downward gravity field of 10 m/s<sup>2</sup>. Points are at 0.05 s intervals and length of their tails is linearly proportional to their speed. ''t'' = time from launch, ''T'' = time of flight, ''R'' = range and ''H'' = highest point of trajectory (indicated with arrows).

ระยะทางในแนวราบ d ที่เคลื่อนที่ได้
:  d = \frac{v \cos \theta}{g} \left( v \sin \theta + \sqrt{(v \sin \theta)^2 + 2gy_0} \right) 

เมื่อพื้นเรียบ (ความสูงเริ่มต้น (y_0 = 0)) ระยะทางที่เคลื่อนที่ได้
:  d = \frac{v^2 \sin(2 \theta)}{g} 

ดังนั้นวัตถุจะเคลื่อนที่ได้ระยะทางไกลที่สุด เมื่อ \theta มีค่าเท่ากับ 45 องศา
:  d = \frac{v^2}{g} 

## การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทงานและพลังงาน
ตามทฤษฎีงานและพลังงาน  องค์ประกอบของความเร็วในแนวดิ่งคือ
: v_y^2 = (v_0 \sin \theta)^2-2gy 

สมการเหล่านี้จะไม่พิจารณาแรงต้านของอากาศ และถือว่าพื้นเป็นพื้นราบเรียบ

## อ้างอิง

หมวดหมู่:กลศาสตร์