รูปสี่เหลี่ยมคางหมู

ในทางเรขาคณิต **รูปสี่เหลี่ยมคางหมู** คือรูปสี่เหลี่ยมชนิดหนึ่งที่มีด้านตรงข้ามขนานกันจำนวนหนึ่งคู่ รูปสี่เหลี่ยมคางหมู *ABCD* เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ที่สำเนียงอังกฤษและออสเตรเลียเรียกว่า trapezoid

## นิยาม
มีข้อถกเถียงกันเกี่ยวกับจำนวนด้านที่ขนานกันในรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ปัญหาอยู่ที่ว่ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งมีด้านขนานกันสองคู่ควรจัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหรือไม่ ผู้แต่งตำรากลุ่มหนึ่ง  นิยามว่ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกัน *เพียงหนึ่งคู่เท่านั้น* โดยไม่นำรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมารวม ราชบัณฑิตยสถานได้ให้นิยามของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูไว้ว่า รูปสี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านขนานกันเพียงคู่เดียว  และพจนานุกรมศัพท์วิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ และเทคโนโลยี ของสถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ได้ให้คำนิยามไว้ว่า รูปสี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ ที่มีด้านตรงข้ามขนานกันคู่หนึ่ง และคู่เดียวเท่านั้น 

ผู้แต่งตำราอีกกลุ่มหนึ่ง  นิยามว่ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกัน *อย่างน้อยหนึ่งคู่* ซึ่งทำให้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นกรณีพิเศษของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู (รวมไปถึงรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วย) นิยามอย่างหลังสอดคล้องกับการใช้งานในคณิตศาสตร์ระดับสูงกว่าเช่นแคลคูลัส แนวคิดการประมาณด้วยหลักเกณฑ์เชิงสี่เหลี่ยมคางหมู (trapezoidal rule) ของปริพันธ์จำกัดเขตจะไม่สมบูรณ์หากใช้นิยามอย่างแรก

## พื้นที่
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูใด ๆ สามารถคำนวณได้จาก 
::\mathrm{Area} = \frac{a + b}{2} \cdot h
เมื่อ *a*, *b* คือความยาวของด้านคู่ขนานและ *h* คือความสูงระหว่างด้านคู่ขนาน เมื่อประมาณ ค.ศ. 499 นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอินเดียชื่อ อารยภฏะ ได้ใช้วิธีการคำนวณนี้ในศาสตรนิพนธ์ *[[อารยภฏียะ]]* (ตอนที่ 2.8)  สูตรนี้เป็นผลได้มาจากกรณีพิเศษของสูตรพื้นที่รูปสามเหลี่ยมอันเป็นที่รู้จัก โดยพิจารณาว่ารูปสามเหลี่ยมคือภาวะลดรูปของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ซึ่งด้านที่ขนานกันด้านหนึ่งยุบลงจนกลายเป็นจุด

ส่วนของเส้นตรงกึ่งกลางรูปสี่เหลี่ยมคางหมู คือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดกึ่งกลางของด้านที่ไม่ขนานกัน ความยาวของส่วนของเส้นตรงนี้ *m* เท่ากับค่าเฉลี่ยความยาวของด้านคู่ขนานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
::m = \frac{a + b}{2}
เป็นผลให้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู เท่ากับความยาวของส่วนของเส้นตรงกึ่งกลางรูปสี่เหลี่ยมคางหมูคูณด้วยความสูง
::\mathrm{Area} = mh\,

ถ้าให้ *a*, *b* เป็นด้านที่ขนานกันและ *c*, *d* เป็นด้านที่ไม่ขนานกัน ในกรณีที่ด้านคู่ขนานยาวไม่เท่ากัน (*a* ≠ *b*) จะสามารถคำนวณหาความสูง *h* ได้จากสูตรนี้
::h= \frac{\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}{2(b-a)}
และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูนี้เท่ากับ
::\mathrm{Area} = \frac{a+b}{4(b-a)}\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}
เมื่อด้านคู่ขนานด้านหนึ่งยุบลงจนกลายเป็นจุด (*a* = 0) สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของเฮรอนสำหรับคำนวณพื้นที่รูปสามเหลี่ยม

สูตรพื้นที่อีกสูตรหนึ่งที่เทียบเท่า ซึ่งดูคล้ายสูตรของเฮรอนมากกว่าคือ
::\mathrm{Area} = \frac{(a+b)}{b-a}\sqrt{(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)}
::s = \frac{a + b + c + d}{2}
โดยที่ *s* คือครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู แม้สูตรนี้จะดูคล้ายสูตรของพรัหมคุปตะแต่ก็มีบางจุดที่ต่างไป เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยมคางหมูอาจไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (บรรจุภายในรูปวงกลมพอดีไม่ได้) สูตรนี้ก็ยังเป็นกรณีพิเศษของสูตรของเบรทชไนเดอร์สำหรับรูปสี่เหลี่ยมทั่วไป

หากใช้สูตรของเบรทชไนเดอร์จะได้
::\mathrm{Area}= \sqrt{\frac{(ab^2-a^2 b-ad^2+bc^2)(ab^2-a^2 b-ac^2+bd^2)}{(2(b-a))^2} - \left(\frac{b^2+d^2-a^2-c^2}{4}\right)^2}

จุดกึ่งกลางของพื้นที่ (ศูนย์กลางมวลของแผ่นเอกรูป) อยู่บนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมโยงระหว่างจุดกึ่งกลางของด้านที่ขนานกัน ในระยะห่างตั้งฉาก *d* จากด้านที่ยาวกว่า *b* ดังนี้
::d = \frac{h}{3} \cdot \left( \frac{2a+b}{a+b} \right) 

## สมบัติ
* รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูชนิดหนึ่ง มีสมบัติเพิ่มเติมว่ามุมที่ฐานมีขนาดเท่ากัน และด้านที่ไม่ขนานจะยาวเท่ากัน
* รูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ก็ต่อเมื่อมุมที่อยู่ติดกันรวมเป็นมุมประกอบสองมุมฉาก (180 องศา) จำนวนสองคู่ เงื่อนไขอีกอย่างหนึ่งที่สำคัญและเพียงพอคือ เส้นทแยงมุมตัดกันด้วยอัตราส่วนของความยาวเท่ากัน (ค่านี้เป็นค่าเดียวกับอัตราส่วนระหว่างด้านคู่ขนาน)
* เส้นตรงที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของด้านคู่ขนานทั้งสองแบ่งครึ่งพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
* 200px|right ถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมู *ABCD* แบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมสี่รูปด้วยเส้นทแยงมุม *AC* และ *BD* (ดังภาพด้านขวามือ) ซึ่งตัดกันที่จุด *O* ดังนั้นพื้นที่ของ  เท่ากับพื้นที่ของ  และผลคูณของพื้นที่ระหว่าง  กับ  เท่ากับผลคูณของพื้นที่ระหว่าง  กับ  อัตราส่วนของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมแต่ละคู่ที่อยู่ติดกันจะเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ขนาน
* ความยาวของเส้นทแยงมุม *p*, *q* เท่ากับ (*a*, *b* คือความยาวของด้านคู่ขนาน)
*: p= \sqrt{\frac{ab^2-a^2b-ac^2+bd^2}{b-a}}
*: q= \sqrt{\frac{ab^2-a^2b-ad^2+bc^2}{b-a}}
* กำหนดให้ *ABCD* เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีจุดยอด *A, B, C, D* เรียงตามลำดับและมีด้านคู่ขนาน *AB* กับ *DC* ; ให้ *E* เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม และให้ *F* กับ *G* เป็นจุดจุดหนึ่งที่อยู่บนด้าน *DA* กับ *BC* ตามลำดับซึ่งทำให้ *FEG* ขนานกับด้านคู่ขนาน *AB* กับ *DC* ; จะได้ว่า *FG* คือมัชฌิมฮาร์มอนิกของ *AB* กับ *DC* นั่นคือ
*: \frac{1}{FG}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{AB}+ \frac{1}{DC} \right)

## สถาปัตยกรรม
right|250px|thumb|วิหาร Dendur ซึ่งจัดแสดงในพิพิธภัณฑ์ศิลปะนิวยอร์ก
ในสถาปัตยกรรมแบบอียิปต์โบราณ มีการเจาะช่องหน้าต่าง ประตู และการก่อสร้างตัวอาคารเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโดยมีด้านฐานกว้างกว่าด้านยอด

## ดูเพิ่ม
* polite number หรือในอีกชื่อหนึ่งคือ *จำนวนเชิงสี่เหลี่ยมคางหมู*
* หลักเกณฑ์เชิงสี่เหลี่ยมคางหมู

## อ้างอิง

## แหล่งข้อมูลอื่น
* Trapezoid definition &nbsp; Area of a trapezoid &nbsp; Median of a trapezoid With interactive animations
* Trapezoid (North America) at elsy.at: Animated course (construction, circumference, area)
* http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/trapezoidal_rule.html on *Numerical Methods for Stem Undergraduate*
* Autar Kaw and E. Eric Kalu, *Numerical Methods with Applications*, (2008) http://www.autarkaw.com/books/numericalmethods/index.html

คางหมู