ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว

thumb|สัญลักษณ์ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว

ในตรรกศาสตร์เชิงพิสูจน์ **ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว** () หรือ **ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด** เป็นหนึ่งในตัวบ่งปริมาณ ซึ่งใช้แทนคำว่า "สำหรับ...ใด ๆ" หรือ "ฟอร์ออล" หมายความว่าภาคแสดงนั้นเป็นจริงสำหรับสมาชิกใด ๆ ในโดเมน หรือก็คือ สมาชิกทุกตัวในโดเมนนั้น ๆ สอดคล้องกับเงื่อนไขที่กำหนด

การบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∀ ร่วมกับตัวแปร เช่น "∀x", "∀(x)" หรือบางทีเขียน "(x)" แบบโดด ๆ จะแทนข้อความที่ว่า **สำหรับ x ใด ๆ** หรือ **สำหรับทุก x **

ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัวแตกต่างจากตัวบ่งปริมาณสำหรับตัวมีจริง ซึ่งจะใช้เฉพาะสมาชิกในโดเมนอย่างน้อยที่สุดหนึ่งตัวเท่านั้น (ดูหัวข้อใหญ่ที่ตัวบ่งปริมาณ)

รหัสของสัญลักษณ์นี้ในระบบยูนิโคดคือ  และ `\forall` ในระบบ LaTeX

## พื้นฐาน
เราทราบกันดีว่าข้อความด้านล่างนี้จริง

"2\cdot0=0+0 และ 2\cdot1=1+1 และ 2\cdot2=2+2 เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ"

ข้อความนี้ดูเหมือนจะประพจน์ที่อาศัยการเชื่อมเชิงตรรกศาสตร์เชื่อมประพจน์เข้าด้วยกัน เพราะมีการใช้ "และ" แบบซ้ำ ๆ แต่อย่างไรก็ดี วลีที่ว่า "เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ" ไม่มีความหมายในระบบตรรกศาสตร์รูปนัยได้ ข้อความดังกล่าวจะต้องเขียนใหม่เป็น:

"\forall n :n\in\mathbb{N};2\cdot n=n+n"

ข้อความที่เขียนใหม่ข้างต้นเป็นสูตรที่จัดดีแล้วในระบบตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง อีกนัยหนึ่งคือ สูตรที่เขียนนั้นมีความหมาย

รูปประโยคข้างต้นจะรัดกุมมากกว่าประพจน์แรก เพราะว่า ถึงแม้เราอาจตีความวลี "เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ" ว่ารวมเอาเฉพาะจำนวนธรรมชาติเท่านั้น แต่ทำให้เกิดความกำกวมและไม่รัดกุม การใช้ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัวร่วมกับการระบุเอกภพสัมพัทธ์เจาะจงถึงจำนวนธรรมชาติโดยเฉพาะจะรัดกุมกว่า 

ประพจน์นี้เป็นจริง เพราะว่า เมื่อเราแทนค่า n ด้วยจำนวนธรรมชาติใด ๆ แล้ว ภาคแสดง "2\cdot n = n+n" จะเป็นจริง

ตัวอย่างถัดไป พิจารณาประพจน์

\forall n : n\in\mathbb{N};2\cdot n>2+n

ซึ่งเป็นเท็จ เพราะถ้า n ถูกแทนที่ด้วย 1 ภาคแสดงด้านหลังก็จะกลายเป็น 2\cdot 1>2+1 ซึ่งเป็นเท็จ จำนวนธรรมชาติ*ส่วนใหญ่*เป็นไปตามเงื่อนไขนี้ก็จริง แต่แค่มีตัวใดตัวหนึ่งทำให้เงื่อนไขนี้เป็นเท็จ (สำหรับตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด) ก็มากพอที่จะพิสูจน์ว่าเงื่อนไขดังกล่าวเป็นเท็จ

แต่ในทางตรงกันข้าม หากพิจารณาเฉพาะ n ใด ๆ ที่เป็นจำนวนประกอบ ประพจน์ข้างต้นจะกลายเป็นจริงทันที นี่แสดงให้เห็นว่าการระบุเอกภพสัมพัทธ์ที่ใช้ในการพิจารณาเป็นเรื่องสำคัญ อนึ่ง เราสามารถใช้เงื่อนไขเชิงตรรกศาสตร์เข้ามาเพื่อเปลี่ยนเอกภพสัมพัทธ์ของประพจน์ได้ ตัวอย่างเช่น ข้อความที่ว่า

"สำหรับจำนวนประกอบ n ใด ๆ เราจะได้ว่า 2\cdot n > 2+n"

สมมูลกับ

"สำหรับจำนวนธรรมชาติ n ใด ๆ ถ้า n เป็นจำนวนประกอบ แล้วเราจะได้ว่า 2\cdot n > 2+n"

### ดูเพิ่ม
ในตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง สัญลักษณ์ตัวบ่งปริมาณ \forall (ตัว "A" กลับหัวในฟอนต์ตระกูล Sans-Seri, ยูนิโคด U+2200) ใช้แทนตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว เกอร์ฮาร์ท เกนท์เซนเป็นคนแรกที่ใช้สัญลักษณ์นี้ในปี ค.ศ. 1935

ตัวบ่งประมาณสำหรับทุกตัว จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อระบุตัวแปรของตัวบ่งปริมาณ และตามหลังด้วยภาคแสดงเท่านั้น นั่นคือ ถ้า  P(n)  เป็นภาคแสดง และ  x   เป็นตัวแปร แล้ว  (\forall x )(P(x))  จะเป็นสูตรที่จัดดีแล้วในระบบตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง ในหลาย ๆ ครั้งเราละการเขียนวงเล็บเหลือเพียง  \forall x P(x)  แทน

นอกจากนี้ เราสามารถระบุเอกภพสัมพัทธ์ของตัวแปรได้โดยกำหนดให้  (\forall x \in A)(P(x))   หรือ  (\forall x\colon x \in A)(P(x))   แทนประพจน์  (\forall x )(x \in A \implies P(x))   

ตัวอย่างเช่น หากกำหนดให้ P(n) แทนภาคแสดง "2\cdot n > 2 + n" และ \mathbb{N} เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ แล้ว

 (\forall n \in \N)(P(n))   ซึ่งก็คือ (\forall n\in\mathbb{N}) (2\cdot n>2+n)

จะเป็นสูตรที่จัดดีแล้ว (ซึ่งเป็นเท็จ)

เช่นกัน หากกำหนด Q(n) แทนภาคแสดง "n เป็นจำนวนประกอบ" แล้ว

 (\forall n \in \N)( Q(n) \rightarrow  P(n)) 

เป็นสูตรที่จัดดีแล้ว (ซึ่งเป็นจริง)

## สมบัติ

### การนิเสธ
ฟังก์ชันประพจน์หรือภาคแสดงเมื่อระบุตัวบ่งปริมาณพร้อมกับตัวแปร แล้วจะเป็นประพจน์ ดังนั้น ฟังก์ชันที่มีตัวบ่งปริมาณก็มีนิเสธได้ ส่วนใหญ่สัญลักษณ์แทนการนิเสธใช้  \neg อนึ่ง อาจใช้ตัวหนอน (~) แทน

ตัวอย่างเช่น ถ้า P(x) เป็นภาคแสดงแทนประโยคที่ว่า "x แต่งงานแล้ว" และกำหนดเอกภพสัมพัทธ์ \mathbf{X} คือเซตของมนุษย์ทุกคน 

ข้อความที่ว่า "มนุษย์ทุกคนแต่งงานแล้ว" จะสามารถเขียนแทนได้ด้วย 

\forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x)

ซึ่งจะเห็นได้ชัดว่าประพจน์นี้เป็นเท็จอย่างแน่นอน เพราะฉะนั้นนิเสธของประพจน์นี้ต้องเป็นจริง ซึ่งก็คือ

"\lnot (\forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x))" เป็นจริง

ถ้าข้อความที่ว่า "มนุษย์ทุกคนแต่งงานแล้ว" ไม่จริง และเมื่อเอกภพสัมพัทธ์ไม่ใช่เซตว่าง จะต้องได้ว่ามีคนอย่างน้อยหนึ่งคนที่ยังไม่แต่งงาน ซึ่งทำให้ภาคแสดงเป็นเท็จ ดังนั้น นิเสธของ \forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x)  จะสมมูลกับ "มี x เป็นมนุษย์บางคนที่ยังไม่ได้แต่งงาน" ซึ่งก็คือประพจน์ที่ว่า

\exists{x}{\in}\mathbf{X}\, \lnot P(x)

โดยนัยทั่วไปแล้ว นิเสธของตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด คือตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว และสมมูลกันตามเงื่อนไขดังนี้

\lnot\ \forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x) \equiv\ \exists{x}{\in}\mathbf{X}\, \lnot P(x)

ข้อควรระวังคือ ประโยค "ทุกคนยังไม่ได้แต่งงาน" (หรือ "ไม่มีใครเลยที่แต่งงานแล้ว") มีความหมายแตกต่างจาก "ไม่ใช่ทุกคนที่แต่งงานแล้ว"  (หรือ "มีคนที่ยังไม่ได้แต่งงาน") หรือก็คือ

 \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)\not \equiv\ \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)

### ตัวเชื่อมอื่นๆ
ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด (และบางตัว) เมื่อใช้ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ ∧, ∨, →, และ↚  เมื่อสลับตำแหน่ง ตัวบ่งปริมาณจะไม่เปลี่ยนไป อาทิ :

P(x) \land (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \land Q(y))

P(x) \lor  (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \lor Q(y)),~\mathrm{provided~that}~\mathbf{Y}\neq \emptyset

P(x) \to   (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \to Q(y)),~\mathrm{provided~that}~\mathbf{Y}\neq \emptyset

P(x) \nleftarrow (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \nleftarrow Q(y))

P(x) \land (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \land Q(y)),~\mathrm{provided~that}~\mathbf{Y}\neq \emptyset

P(x) \lor  (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \lor Q(y))

P(x) \to   (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \to Q(y))

P(x) \nleftarrow (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \nleftarrow Q(y)),~\mathrm{provided~that}~\mathbf{Y}\neq \emptyset

ในทางตรงกันข้าม เมื่อเป็น ↑, ↓, ↛, และ ← ตัวบ่งปริมาณจะเปลี่ยนไป

P(x) \uparrow (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \uparrow Q(y))

P(x) \downarrow  (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \downarrow Q(y)),~\mathrm{provided~that}~\mathbf{Y}\neq \emptyset

P(x) \nrightarrow (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \nrightarrow Q(y)),~\mathrm{provided~that}~\mathbf{Y}\neq \emptyset

P(x) \gets (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \gets Q(y))


P(x) \downarrow  (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \downarrow Q(y))


P(x) \nrightarrow (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \nrightarrow Q(y))


P(x) \gets (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \gets Q(y)),~\mathrm{provided~that}~\mathbf{Y}\neq \emptyset

### กฎการอนุมานของตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว
กฎการอนุมานเป็นกฎใช้สรุปผลจากเหตุหรือจากสมมติฐาน มีกฎการอนุมานอยู่หลายกฎที่ใช้กับตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว

*[[การกำหนดเฉพาะจากการอ้างทั้งหมด]]*  () กล่าวไว้ว่า ถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆเป็นที่ทราบกันทั่วไปว่าเป็นจริง ดังนั้น ตัวนั้นจะต้องเป็นจริงกับสมาชิกใด ๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ หรือเขียนได้ในรูป :

 (\forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x) )\to\ P(c)

เมื่อ  c เป็นสมาชิกใด ๆ ในเอกภพสัมพัทธ์

*[[การสรุปทั้งหมดจากการกำหนดเฉพาะ]]* () กล่าวไว้ว่า ถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆจะต้องเป็นจริงอย่างแน่นอน ถ้ามันเป็นจริงต่อสมาชิกใดๆ หาก c แทนสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ใด ๆ  จะเขียนได้ในรูป :

 P(c) \to\ (\forall{x}{\in}\mathbf{X}\,( P(x)))

สมาชิก c ต้องเป็นสมาชิกไม่เจาะจงใด ๆ ของเอกภพสัมพัทธ์

### เซตว่าง
โดยปกติแล้ว รูปแบบ  (\forall{x}{\in}\emptyset)( P(x))  นั้นจะเป็นจริงเสมอ ไม่ว่า P(x) จะเป็นภาคแสดงใด : *ดูที่[[ค่าความจริงว่าง]]*

## การปิดแบบทั้งหมด
**การปิดแบบทั้งหมด** () ของสูตร \phi
  เป็นสูตรที่ไม่มีตัวแปรอิสระที่ได้จากการเติมตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมดให้แก่ตัวแปรอิสระใด ๆ ใน \phi  ตัวอย่างเช่น การปิดแบบทั้งหมดของ

P(y) \land \exists x Q(x,z)

คือ

\forall y \forall z ( P(y) \land \exists x Q(x,z))

## นัยทั่วไปของตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด
ในทฤษฎีแคทิกอรี และทฤษฎีทอพอพื้นฐาน ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด เป็นที่เข้าใจโดยทั่วไปว่าเป็นแอดจอยน์ทางขวา (Right adjoint) ของฟังก์เตอร์ระหว่างสองพาวเวอร์เซต ฟังก์เตอร์ภาพผกผันของฟังก์ชันระหว่างสองเซตมองได้คล้ายกันว่าเป็นตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวเป็นแอดจอยน์ทางซ้าย

ให้  X เป็นเซตใดๆ และ \mathcal{P}X แทนพาวเวอร์เซตของ X 

สำหรับฟังก์ชัน f:X\to Y ใด ๆ ระหว่างเซต  X และ Y จะมีฟังก์เตอร์ภาพผกผัน f^*:\mathcal{P}Y\to \mathcal{P}X ระหว่างพาวเวอร์เซต ที่ส่งซับเซตของโคโดเมนของ f  คืนให้ซับเซตของโดเมนของตัวมันเอง แอดจอยน์ทางซ้ายของฟังก์เตอร์นี้คือตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว (\exists _{f}) ส่วนแอดจอยน์ด้านซ้ายเป็นตัวบ่งปริมาณแบบทุกตัว (\forall_f)

นั่นคือ ฟังก์เตอร์ \exists_f\colon \mathcal{P}X\to \mathcal{P}Y เป็นฟังก์เตอร์ที่สำหรับเซต S \subset X ใด ๆ จะคืนค่าเป็นซับเซต \exists_f S \subset Y กำหนดโดย

{\displaystyle \exists _{f}S=\{y\in Y\;|\;\exists x\in X.\ f(x)=y\quad \land \quad x\in S\}}

นั่นคือ y อยู่ในอิมเมจของ S ภายใต้ f 

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์เตอร์ \forall_f\colon \mathcal{P}X\to \mathcal{P}Y เป็นฟังก์เตอร์ที่สำหรับแต่ละเซต S \subset X จะคืนค่าเป็นสับเซต \forall_f S \subset Y กำหนดโดย

{\displaystyle \forall _{f}S=\{y\in Y\;|\;\forall x\in X.\ f(x)=y\quad \implies \quad x\in S\}}

นั่นคือ y เป็นสมาชิกที่พรีอิมเมจภายใต้ f อยู่ใน X ทั้งหมด

เราสามารถทำกลับให้ได้ตัวบ่งปริมาณแบบปรกติที่ใช้ในตรรกศาสตร์อันดับแรก  โดยให้ f  ข้างต้นเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์ {\displaystyle !:X\to 1} ที่ทำให้ {\displaystyle {\mathcal {P}}(1)=\{T,F\}} เป็นเซตที่มีสมาชิกสองตัวแทนจริงและเท็จตามลำดับ แล้วซับเซต S เป็นซับเซตที่ทำให้ S(x) เป็นจริง และ

{\displaystyle {\begin{array}{rl}{\mathcal {P}}(!)\colon {\mathcal {P}}(1)&\to {\mathcal {P}}(X)\\T&\mapsto X\\F&\mapsto \{\}\end{array}}}

{\displaystyle \exists _{!}S=\exists x.S(x)}

จะเป็นจริง หาก S ไม่ใช่เซตว่าง และ

{\displaystyle \forall _{!}S=\forall x.S(x)}

จะเป็นเท็จ หาก S ไม่ใช่ X

ตัวบ่งปริมาณสามารถขยายออกไปใช้กับแคทิกอรีพรีชีฟได้
## ดูเพิ่ม

* รายการสัญลักษณ์ที่ใช้กับตรรกศาสตร์
* ตัวบ่งปริมาณสำหรับตัวมีจริง

## อ้างอิง



## บรรณานุกรม

* 
หมวดหมู่:แคลคูลัสเชิงประพจน์