ริง (คณิตศาสตร์)

ในทางคณิตศาสตร์ **ริง** (ring) เป็นโครงสร้างเชิงพีชคณิตประเภทหนึ่ง ซึ่งประกอบด้วยการดำเนินการทางพีชคณิตที่เหมือนกับจำนวนเต็ม โดยในริงมีการดำเนินการสองอันที่มักเรียกว่า *การบวก* กับ *การคูณ* และมีสมบัติคล้ายกับระบบจำนวนเต็ม

## นิยามทั่วไป
ริงหนึ่ง ๆ ของเซต *R* ที่มีการดำเนินการทวิภาคของการบวก **+** : *R* × *R* → *R* และการคูณ **·** : *R* × *R* → *R* (ในขณะที่เครื่องหมาย × หมายถึง ผลคูณคาร์ทีเซียน) มีส่วนประกอบต่อไปนี้
* กรุป (*R*, +) ที่เรียกว่าอาบีเลียนกรุป (abelian group) พร้อมกับสมาชิกเอกลักษณ์ **0** ดังนั้นสำหรับ ∀(*a*, *b*, *c*) ∈ *R* จะทำให้เกิดสัจพจน์ต่อไปนี้
** *a* + *b* ∈ *R*
** (*a* + *b*) + *c* = *a* + (*b* + *c*)
** 0 + *a* = *a*
** *a* + *b* = *b* + *a*
** ∃(−*a*) ∈ *R* ซึ่งทำให้ *a* + (−*a*) = (−*a*) + *a* = 0
* กรุป (*R*, ·) ที่เรียกว่าโมนอยด์ (monoid) พร้อมกับสมาชิกเอกลักษณ์ **1** ดังนั้นสำหรับ ∀(*a*, *b*, *c*) ∈ *R* จะทำให้เกิดสัจพจน์ต่อไปนี้
** *a* · *b* ∈ *R*
** (*a* · *b*) · *c* = *a* · (*b* · *c*)
** 1 · *a* = *a* · 1 = *a*
* กฎการกระจายการคูณบนการบวก ได้แก่
** *a* · (*b* + *c*) = (*a* · *b*) + (*a* · *c*)
** (*a* + *b*) · *c* = (*a* · *c*) + (*b* · *c*)

ในเรื่องของกรุป เครื่องหมาย · มักจะถูกละทิ้งไป แล้วนำตัวแปรสองตัวเขียนติดกันแทนการคูณ เรียกวิธีการนี้ว่า *[[:en:wikt:juxtaposition|juxtaposition]]* นอกจากนั้นริงมีการใช้ลำดับของการดำเนินการอีกด้วย ซึ่งการคูณสำคัญกว่าการบวก ดังนั้น *a* + *bc* จึงมีความหมายเหมือนกับ *a* + (*b* · *c*)

ถึงแม้ว่าการบวกในริงจะมีสมบัติการสลับที่ นั่นคือ *a* + *b* = *b* + *a* แต่สำหรับการคูณนั้นไม่จำเป็นต้องมีคุณสมบัตินี้ หมายความว่า *a* · *b* ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ *b* · *a* ตัวอย่างริงที่ไม่มีสมบัติการสลับที่ของการคูณเช่น ริงของเมทริกซ์จัตุรัส เป็นต้น สำหรับริงที่มีคุณสมบัติการสลับที่ของการคูณ (เช่นริงของจำนวนเต็ม) จะเรียกว่า *[[ริงสลับที่]]* (commutative ring)

ริงไม่จำเป็นต้องมีตัวผกผันการคูณเช่นกัน สมาชิก *a* ในริงหนึ่ง ๆ จะเรียกว่า *[[หน่วย (ทฤษฎีริง)|หน่วย]]* (unit) ถ้าสมาชิกนั้นมีตัวผกผันภายใต้การคูณของริงนั้น จากตัวอย่าง สมมติให้ *b* เป็นสมาชิกอีกตัวหนึ่งในริงซึ่งทำให้ *a* · *b* = *b* · *a* = 1 (**1** ในที่นี้หมายถึงสมาชิกเอกลักษณ์) ดังนั้น *a* มีตัวผกผันเป็น *b* หรือเขียนแทนได้ด้วย *a*−1 = *b* จะได้ว่า *a* นั้นเป็นหน่วยหนึ่งของริงดังกล่าว เซตของหน่วยทั้งหมดในริง *R* สามารถสร้างเป็นกรุปใหม่ภายใต้การคูณของริง เขียนแทนด้วย *U*(*R*) หรือ *R**

### นิยามแบบอื่น
ริงมีการนิยามแบบอื่นอีกซึ่งผู้ศึกษาควรระมัดระวัง
* ผู้แต่งตำราบางท่านได้เพิ่มเงื่อนไขว่าจำเป็นต้องให้ 0 ≠ 1 แต่บน *[[ริงชัด]]* (trivial ring) หรือ *ริงศูนย์* (zero ring) มีสมาชิกเพียงแค่ตัวเดียวเท่านั้น
* ผู้แต่งตำราบางท่าน เช่น I. N. Herstein ไม่ได้ระบุว่าริงจำเป็นต้องมีเอกลักษณ์การคูณ แต่เรียกริงที่มีเอกลักษณ์การคูณว่า *ริงเอกลักษณ์* (unital/unitary ring) ส่วน Nicolas Bourbaki ระบุไว้แล้วว่าจำเป็นต้องมี แต่เรียกริงที่ไม่มีเอกลักษณ์ว่า *ริงเทียม* (pseudo-ring) หรือ *rng* (มาจาก ring ที่ตัดตัว i ออกไป) ตัวอย่างหนึ่งของริงเทียมคือ ริงของจำนวนคู่
* การคูณในริงจำเป็นต้องมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ซึ่งบางครั้งก็ถูกละเลยไป ริงที่ยังคงสมบัติการเปลี่ยนหมู่เรียกว่า *ริงเปลี่ยนหมู่* (associative ring) ในทางตรงข้าม ริงที่ไม่จำเป็นต้องมีสมบัตินี้เรียกว่า *[[ริงไม่เปลี่ยนหมู่]]* (nonassociative ring)
* ริงนั้นไม่จำเป็นต้องมีสมบัติการสลับที่ของการคูณ แต่ในบางขอบเขตของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและพีชคณิตสลับที่ใช้ริงสลับที่เป็นหลัก นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาในสาขาดังกล่าว อาทิ Alexander Grothendieck ผู้เขียนตำรา *[[Éléments de géométrie algébrique]]* มักใช้คำว่า *ริง* แทนความหมายของริงสลับที่ และใช้คำว่า *ริงที่ไม่จำเป็นต้องมีสมบัติการสลับที่* แทนความหมายของริง

หมวดหมู่:ทฤษฎีริง