ลอการิทึม

[thumb|300px|กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมในฐานต่าง ๆ คือฐาน e คือฐาน 10 คือฐาน 1.7 กราฟทุกเส้นผ่านจุด (1, 0) เนื่องจากจำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ เมื่อยกกำลัง 0 แล้วได้ 1 และกราฟทุกเส้นผ่านจุด (''b'', 1) สำหรับฐาน ''b'' เพราะว่าจำนวนใด ๆ ยกกำลัง 1 แล้วได้ค่าเดิม เส้นโค้งทางซ้ายเข้าใกล้แกน ''y'' แต่ไม่ตัดกับแกน ''y'' เพราะมี[ภาวะเอกฐาน (คณิตศาสตร์)|ภาวะเอกฐานอยู่ที่ *x* = 0 (เส้นกำกับในแนวดิ่ง)]]

**ลอการิทึม** () เป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ค่าลอการิทึมของจำนวนหนึ่งโดยกำหนดฐานไว้ให้ จะมีค่าเทียบเท่ากับ การเอาฐานมายกกำลังค่าลอการิทึม ซึ่งจะให้คำตอบเป็นจำนวนนั้น ตัวอย่างเช่น
* ลอการิทึมของ 1000 ในฐาน 10 มีค่าเป็น 3 เพราะว่า 10 คูณกัน 3 ตัวแล้วได้ 1000 นั่นคือ 
* ลอการิทึมของ 32 ในฐาน 2 มีค่าเป็น 5 เพราะว่า 2 คูณกัน 5 ตัวแล้วได้ 32 นั่นคือ 
ถ้าเขียนด้วยสัญลักษณ์ยกกำลังจะได้ว่า
* 103 = 1000 ดังนั้น log10 1000 = 3
* 25 = 32 ดังนั้น log2 32 = 5

ลอการิทึมของ *x* ในฐาน *b* เขียนแทนด้วย log*b* *x* หรือถ้าฐานมีค่าใด ๆ เป็นปริยาย จะเขียนเพียงแค่ log *x* (ไม่จำเป็นต้องใส่วงเล็บรอบ *x*) ดังนั้นสำหรับจำนวน *x* ฐาน *b* และเลขชี้กำลัง *y* ที่สามารถเป็นไปได้
::x = b^y \,\Rarr\, y = \log_b x\!

คุณลักษณะหนึ่งที่สำคัญของลอการิทึมคือการลดทอนการคูณไปเป็นการบวกดังนี้
::\log xy = \log x + \log y\!
หมายความว่า ลอการิทึมของผลคูณของสองจำนวน จะเท่ากับผลรวมของลอการิทึมของแต่ละจำนวน การใช้ลอการิทึมเพื่อลดทอนการคำนวณที่ซับซ้อนเป็นหนึ่งในแรงผลักดันอย่างมีนัยสำคัญในการพัฒนาที่มีมาแต่เดิม มีการใช้งานลอการิทึมอย่างกว้างขวางทั้งในงานสถิติศาสตร์ เคมี ฟิสิกส์ ดาราศาสตร์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ เศรษฐศาสตร์ ดนตรี และวิศวกรรมศาสตร์

## สมบัติ

เมื่อ *x* และ *b* ถูกกำหนดให้เป็นจำนวนจริงบวก log*b* *x* จะให้ผลเป็นจำนวนจริงเพียงหนึ่งเดียว ขนาดหรือค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนของฐาน *b* จะต้องไม่เป็น 0 หรือ 1 แต่โดยทั่วไปฐานของลอการิทึมจะเป็น 10, e หรือ 2 มีการนิยามลอการิทึมสำหรับทั้งจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนด้วย 

สมบัติหลักของลอการิทึมคือการลดทอนการคูณไปเป็นการบวก ซึ่งพัฒนาจากเอกลักษณ์ของการยกกำลัง
::b^x \times b^y = b^{x+y}\!
เมื่อใส่ลอการิทึมเข้าไปจะได้ว่า
::\log_b \left( b^x \times b^y \right) = \log_b b^{x+y} = x + y = \log_b b^x + \log_b b^y\!

ตัวอย่างเช่น
::4 = 2^2 \,\Rarr\, \log_2 4 = 2\!
::8 = 2^3 \,\Rarr\, \log_2 8 = 3\!
::\log_2 32 = \log_2 (4 \times 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5\!

สมบัติที่เกี่ยวข้องคือการลดรูปยกกำลังไปเป็นการคูณ โดยใช้เอกลักษณ์นี้
::c = b^{\log_b c}
ซึ่งเมื่อนำ *c* ไปยกกำลัง *p* จะได้ว่า
::c^p = \left( b^{\log_b c} \right)^p = b^{p \log_b c}
กล่าวโดยนัยได้ว่า การหาค่าจำนวนหนึ่งที่ยกกำลัง *p* ก่อนอื่นให้หาค่าลอการิทึมฐาน *b* ของจำนวนนั้นแล้วคูณด้วย *p* แล้วใส่ผลคูณเป็นเลขชี้กำลังกลับไปยังฐาน *b* นั่นคือ *จำนวนที่ยกกำลัง* = *b* (*ผลคูณ*)

หรือใส่ลอการิทึมเข้าไปจะได้ว่า
::\log_b c^p = p \log_b c\!

ตัวอย่างเช่น
::\log_2 64 = \log_2 4^3 = 3 \log_2 4 = 6\!

นอกจากการลดรูปการคูณเป็นการบวก และการยกกำลังเป็นการคูณแล้ว ลอการิทึมยังสามารถลดรูปการหารเป็นการลบ และรากเป็นการหาร เช่น
::\log_2 16 = \log_2 \tfrac{64}{4} = \log_2 64 - \log_2 4 = 6 - 2 = 4
::\log_2 \sqrt[3]4 = \tfrac{1}{3} \log_2 4 = \tfrac{2}{3}

ลอการิทึมทำการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อันยืดยาวให้คำนวณง่ายขึ้นโดยการแปลงเป็นการคูณหรือการบวก สำหรับการคำนวณด้วยมือโดยประมาณ สามารถทำได้โดยการเทียบค่าจากตารางลอการิทึม หรือใช้สไลด์รูล สำหรับลอการิทึมสามัญ มีสมบัติหนึ่งที่ปรากฏในการใช้ตารางที่ว่า ลำดับตัวเลขใด ๆ ที่มีค่าเดียวกัน แต่มีค่าประจำหลักต่างกัน จะยังคงให้ *แมนทิสซา* (mantissa) ค่าเดียวกัน และต่างกันเพียงแค่ *แคแรกเทอริสติก* (characteristic)

## ฟังก์ชันลอการิทึม
[thumb|right|200px|สารานุกรมบริตานิกา ค.ศ. 1797 ให้ความหมายลอการิทึมว่า "ชุดของจำนวนใน[การก้าวหน้าเลขคณิต ซึ่งสอดคล้องกับการก้าวหน้าเรขาคณิต นั่นหมายความว่า การคำนวณเลขคณิตสามารถทำให้ง่ายและรวดเร็วมากขึ้นกว่าวิธีอื่น"]]
ถึงแม้ว่าลอการิทึมเป็นแนวคิดดั้งเดิมของลำดับเลขคณิตของจำนวน ที่สอดคล้องกับลำดับเรขาคณิตของจำนวนอื่น (จำนวนจริงบวก) ดังเช่นที่ให้ความหมายไว้ในสารานุกรมบริตานิกา ค.ศ. 1797 ลอการิทึมยังเป็นผลลัพธ์จากการใช้ฟังก์ชันวิเคราะห์ ฟังก์ชันนั้นสามารถมีความหมายที่ขยายออกไปบนจำนวนเชิงซ้อนได้

ค่าของฟังก์ชัน log*b* *x* ขึ้นอยู่กับ *b* และ *x* ทั้งสองตัว แต่สำหรับ**ฟังก์ชันลอการิทึม**ในการใช้งานตามปกติคือฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ log*b* (*x*) โดยที่ฐาน *b* เป็นค่าเดียวคงที่ (ซึ่งต้องเป็นจำนวนบวกและไม่เท่ากับ 1) และมี *x* เป็นอาร์กิวเมนต์เท่านั้น ด้วยเหตุนี้จึงทำให้ฟังก์ชันลอการิทึมของแต่ละค่าบนฐาน *b* ให้ผลลัพธ์เพียงค่าเดียว ด้วยมุมมองนี้จึงทำให้ฟังก์ชันลอการิทึมฐาน *b* เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง *b**x* บ่อยครั้งที่คำว่า "ลอการิทึม" หมายถึงฟังก์ชันลอการิทึมโดยตัวมันเองหรือหมายถึงค่าที่ออกมาจากฟังก์ชัน

## ลอการิทึมของจำนวนลบหรือจำนวนเชิงซ้อน

มีเพียงจำนวนจริงบวกเท่านั้นที่ให้ผลลัพธ์ของลอการิทึมเป็นจำนวนจริง ฟังก์ชันลอการิทึมสามารถขยายไปได้บนจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งครอบคลุมจำนวนลบด้วย และให้ผลเป็นจำนวนเชิงซ้อน แต่ค่าของมันอาจมีมากกว่าหนึ่ง ตัวอย่างเช่น e2πi = e0 = 1 ซึ่งจะทำให้ลอการิทึมฐาน e ของ 1 มีผลลัพธ์เป็นทั้ง 2πi และ 0

เมื่อ *z* เป็นจำนวนเชิงซ้อนจำนวนหนึ่งซึ่งเขียนได้ในรูปแบบ *x* + i*y* โดยที่ *x* และ *y* เป็นจำนวนจริง ลอการิทึมของ *z* สามารถหาได้จากการแปลงเป็นรูปแบบเชิงขั้ว นั่นคือ
::z = r \mathrm{e}^{i \theta} = r (\cos \theta + i \sin \theta)\!
โดยที่ *r* และ *θ* มาจาก
::r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}
::\theta = \arg (z)\! คือมุมใดก็ได้ที่ทำให้ *y*/*x* = tan *θ* ซึ่งอาจมีมากกว่าหนึ่งค่า

ถ้าฐานของลอการิทึมถูกเลือกเป็นค่า e นั่นคือใช้ loge หรือ ln อันหมายถึงลอการิทึมธรรมชาติ ดังนั้นลอการิทึมเชิงซ้อนของ *z* คำนวณได้ดังนี้
::\log (z) = \ln |z| + i \arg (z) = \ln r + i (\theta + 2 \pi k)\!

แต่เนื่องจาก arg เป็นฟังก์ชันที่มีผลลัพธ์หลายค่า ดังนั้นจึงมีการนิยามฟังก์ชันใหม่ของลอการิทึมคือ Log (ขึ้นต้นอักษรตัวใหญ่) ซึ่งจะให้ค่าเพียงค่าเดียวดังนี้
::\operatorname{Log} (z) = \ln |z| + i \operatorname{Arg} (z) = \ln r + i \varphi\!

โดยที่ *φ* จะให้ค่าเพียงค่าเดียวในช่วง (−π, π] ซึ่งมีความหมายเหมือนกับ *φ* ≡ *θ* (mod 2π) และ Arg คือฟังก์ชันที่ให้ค่ามุมเพียงค่าเดียวในช่วงดังกล่าว ซึ่งเป็นการนิยามเพิ่มเติมจากฟังก์ชัน arg ฟังก์ชัน Arg นี้เมื่อใช้กับจำนวนจริงจะคืนค่าเป็น 0 ออกมา ซึ่งส่งผลให้พจน์ที่เป็นจำนวนจินตภาพถูกตัดทิ้งไป เหลือแต่ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนจริงเท่านั้น

ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนจริงลบ *r* หาได้จากสูตร
::\operatorname{Log} (r) = \ln |r| + i \pi\!

สำหรับลอการิทึมฐานอื่นที่ไม่ใช่ e ลอการิทึมเชิงซ้อน log*b* (*z*) สามารถนิยามได้จาก ln (*z*) / ln (*b*) ซึ่งแต่ละพจน์ได้นิยามวิธีการคำนวณไว้แล้ว

ในกรณีที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน log *z**p* อาจมีค่าไม่เท่ากับ *p* log *z* เสมอไป

## ทฤษฎีสรุป
จากมุมมองขั้นต้นทางคณิตศาสตร์ เอกลักษณ์นี้
::\log cd = \log c + \log d\!
เป็นพื้นฐานของสองเรื่อง ประการแรกคือสมบัติเชิงเลขคณิตทั้งสาม เช่น สมบัติการสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม การแจกแจง จะยังคงมีอยู่ ประการที่สองคือเอกลักษณ์นี้แสดงให้เห็นสมสัณฐาน (isomorphism) ระหว่างกรุปการคูณของจำนวนจริงบวกกับกรุปการบวกของจำนวนจริงทั้งหมด ฟังก์ชันลอการิทึมเท่านั้นที่เป็นสมสัณฐานอย่างต่อเนื่องระหว่างกรุปดังกล่าว

## ฐาน
ปกติแล้วฐานของลอการิทึมที่ใช้กันอย่างกว้างขวางได้แก่ 10, e ≈ 2.71828… และ 2 เมื่อเราเขียนว่า "log" โดยไม่ปรากฏฐาน (*b* ที่หายไปจาก log*b*) ความหมายของฐานที่ใช้ขึ้นอยู่กับบริบทดังนี้

* ลอการิทึมธรรมชาติ (loge, ln, log, Ln) ในทางคณิตวิเคราะห์ สถิติศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ และบางแขนงวิชาของวิศวกรรมศาสตร์ เหตุผลเป็นเพราะว่า e ถูกพิจารณาว่าเป็นฐานที่ "ธรรมชาติ" สำหรับลอการิทึม ถึงแม้ว่าอาจจะมีตัวเลขมากหรือเป็นการบังคับ (เอกลักษณ์ของออยเลอร์เป็นสิ่งที่สำคัญในแขนงวิชาที่ต้องต่อกรกับส่วนประกอบแบบวัฏจักร)
* ลอการิทึมสามัญ (log10, log, lg) ในหลายแขนงวิชาของวิศวกรรมศาสตร์ โดยเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับระดับกำลังหรืออัตราส่วนกำลังเช่นความดันเสียง และตารางลอการิทึมซึ่งใช้สำหรับการคำนวณด้วยมือ ใช้สำหรับการประมาณค่า เช่น 210 ≈ 103 นำไปสู่การประมาณค่า 3 เดซิเบลต่ออ็อกเทฟ อันเป็นผลมาจากการใช้ log10
* ลอการิทึมฐานสอง (log2, lg, lb, ld) ในวิทยาการคอมพิวเตอร์และทฤษฎีสารสนเทศ การคำนวณทฤษฎีสารสนเทศใช้ log2 อันนำไปสู่หน่วยบิต (bit) ซึ่งเป็นความหมายแรกเริ่ม เทียบกับกับการคำนวณโดยใช้ loge อันนำไปสู่หน่วยแนต (nat) ซึ่งไม่ได้เป็นความหมายดั้งเดิม แม้ว่าหน่วยทั้งสองนี้จะมีฟังก์ชันเทียบเท่ากัน ต่างกันที่มาตราส่วนเท่านั้น เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนในการใช้ ควรระบุฐานลงไปด้วยเพื่อไม่ให้เกิดความเข้าใจผิด
* ลอการิทึมไม่จำกัด (Log, [log ], log) ซึ่งฐานของมันไม่เกี่ยวเนื่องกัน ตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีความซับซ้อนที่อธิบายเกี่ยวกับพฤติกรรมของขั้นตอนวิธีในสัญกรณ์โอใหญ่ ซึ่งใช้อธิบายลักษณะของขั้นตอนวิธี อาทิ "พฤติกรรมเชิงลอการิทึม" ไม่ได้เป็นการวัดประสิทธิภาพอย่างเจาะจงของขั้นตอนวิธีในสถานการณ์ที่กำหนด
*ลอการิทึมสงวนฐาน (logv, li, log, Li) คล้าย ๆ ลอการิทึมฐานธรรมชาติ ต่างที่การกำหนดให้ค่าที่ได้เป็นจำนวนจินตภาพแท้แทน โดยที่ li(x) = (-i/pi)[ln(x)] โดยที่ X เป็นจำนวนจริงบวก และ antilog ก็ถูกกำหนดให้เขียนเป็น Vi(x) โดยที่ x เป็นจำนวนจินตภาพแท้เท่านั้น 

### สัญกรณ์ของฐานและฐานโดยนัย
บ่อยครั้งที่ฐานไม่ได้ระบุไว้อย่างชัดเจนในสัญกรณ์ log (*x*) ซึ่งในแต่ละสาขาวิชาก็มีธรรมเนียมการใช้ต่างกัน เราสามารถเข้าใจได้โดยนัยในสาขาวิชาหรือภาวะแวดล้อมนั้น
* นักคณิตศาสตร์กำหนดให้ log (*x*) หมายถึงลอการิทึมธรรมชาติ loge (*x*)
* วิศวกร นักชีววิทยา และนักดาราศาสตร์กำหนดให้ log (*x*) หมายถึงลอการิทึมสามัญ log10 (*x*)
* นักวิทยาการคอมพิวเตอร์กำหนดให้ log (*x*) หมายถึงลอการิทึมฐานสอง log2 (*x*)
* บนเครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์ ปุ่ม "log" หมายถึง log10 (*x*) และปุ่ม "ln" หมายถึง loge (*x*)
* ในภาษาโปรแกรมของคอมพิวเตอร์ที่ใช้งานอย่างแพร่หลาย ฟังก์ชัน "log" จะคืนค่าเป็นลอการิทึมธรรมชาติ

มาตรฐานที่ต่างกันเกิดขึ้นจากสมบัติที่ต่างกันอันเป็นที่นิยมใช้ในสาขาวิชานั้น ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมธรรมชาติมีสมบัติหลายอย่างที่เป็น "ธรรมชาติ" (เช่น อนุพันธ์ของมันเท่ากับ 1/*x* เป็นต้น) ทำให้เป็นที่น่าสนใจของนักคณิตศาสตร์ ในขณะที่เราเขียนจำนวนต่าง ๆ เป็นเลขฐานสิบ การคิดเลขในใจจึงง่ายขึ้นด้วยลอการิทึมสามัญ และเป็นที่น่าสนใจของวิศวกร และสุดท้าย คอมพิวเตอร์เก็บข้อมูลในหน่วยพื้นฐานเป็นบิต เทียบได้กับเลขฐานสอง เราสามารถทราบว่าจำนวนเต็ม *n* ใช้เนื้อที่เก็บกี่บิตอย่างคร่าว ๆ โดยใช้ลอการิทึมฐานสอง log2 (*n*)  สมบัติเช่นนี้ปรากฏซ้ำ ๆ ในวิทยาการคอมพิวเตอร์และทำให้ลอการิทึมฐานสองเป็นที่นิยมในสาขานี้ เป็นต้น

บ่อยครั้งที่ประเทศในแถบยุโรปใช้สัญกรณ์นี้ *b*log (*x*) แทนที่จะเป็น log*b* (*x*)

#### สัญกรณ์ ln
ลอการิทึมธรรมชาติของ *x* เขียนได้อีกอย่างหนึ่งว่า ln (*x*) แทนที่จะเป็น loge (*x*) โดยเฉพาะในสาขาอื่นที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์

อย่างไรก็ตามนักคณิตศาสตร์บางคนไม่ยอมรับการใช้สัญกรณ์นี้ อาทิ พอล ฮาลมอส (Paul Halmos) นักคณิตศาสตร์ชาวยิว ได้วิจารณ์ไว้ในอัตชีวประวัติของเขาเมื่อ ค.ศ. 1985 ว่า ln เป็น "สัญกรณ์แบบเด็ก ๆ" และเขายังกล่าวอีกด้วยว่าไม่มีนักคณิตศาสตร์คนไหนเคยใช้
ข้อเท็จจริงคือสัญกรณ์นี้คิดค้นขึ้นโดย เออร์วิง สตริงแฮม (Irving Stringham) ศาสตราจารย์จากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์ เมื่อ ค.ศ. 1893

#### วิทยาการคอมพิวเตอร์
ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ ลอการิทึมฐานสองบางครั้งก็เขียนในรูปแบบ lg (*x*) ซึ่งเสนอโดย เอดเวิร์ด เรนโกลด์ (Edward Reingold) และทำให้แพร่หลายโดย โดนัลด์ คนูธ (Donald Knuth) อย่างไรก็ตามสัญกรณ์นี้ก็มีการใช้เป็นลอการิทึมสามัญ และใช้ lb (*x*) สำหรับลอการิทึมฐานสองแทน ในตำราของรัสเซีย สัญกรณ์ lg (*x*) มีการใช้แทนลอการิทึมฐานสิบโดยทั่วไป รวมทั้งในเยอรมนี ในขณะที่ ld (*x*) หรือ lb (*x*) ใช้เป็นลอการิทึมฐานสอง ภาษาโปรแกรมพีแอล/วันใช้สัญกรณ์ log2 (*x*) สำหรับลอการิทึมฐานสอง

ฐาน *b* ของฟังก์ชันลอการิทึมที่ทำงานเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรม ถูกละทิ้งหรือทำให้ไม่ทราบค่า เพื่อความสะดวกต่อการใช้ในการเปลี่ยนฐาน ซึ่งเป็นเอกลักษณ์อย่างหนึ่งสำหรับการคำนวณฐานใด ๆ ไปเป็นลอการิทึมฐาน *r* ของ *x* ดังนี้
::\log_r(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(r)} สำหรับฐาน *b* ใด ๆ หรือเขียนเพียงแค่ \log_r(x) = \frac{\log(x)}{\log(r)}

ฐาน *b* ของฟังก์ชันลอการิทึมสามารถกำหนดโดยเจาะจงลงไปได้ เช่นการคำนวณความผิดพลาดของความคลาดเคลื่อน ด้วยเอกลักษณ์ต่อไปนี้
::b = n^\frac{1}{\log_{b}(n)} หรือเขียนเพียงแค่ \text{base} = n^\frac{1}{\log(n)} สำหรับค่า *n* ใด ๆ ที่เหมาะสม

#### การแนะนำและมาตรฐาน
สถาบันมาตรฐานและเทคโนโลยีแห่งชาติ กระทรวงพาณิชย์สหรัฐอเมริกา ได้แนะนำไว้ว่าควรปฏิบัติตามมาตรฐานไอเอสโอเรื่อง *ISO 31-11:1992 เครื่องหมายและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์สำหรับใช้ในวิทยาศาสตร์กายภาพและเทคโนโลยี* ซึ่งได้แนะนำสัญกรณ์ไว้สามแบบ ดังนี้
* สัญกรณ์ ln (*x*) หมายถึง loge (*x*)
* สัญกรณ์ lg (*x*) หมายถึง log10 (*x*)
* สัญกรณ์ lb (*x*) หมายถึง log2 (*x*)

## ดูเพิ่ม
* ลอการิทึมสามัญ
* ลอการิทึมธรรมชาติ
* มาตราส่วนเชิงลอการิทึม
* ลอการิทึมซ้อน (iterated logarithm)
* ลอการิทึมเชิงซ้อน (complex logarithm)

## อ้างอิง

## แหล่งข้อมูลอื่น

* Log Calculator for all bases. 
* Logarithm on MathWorld
* Jost Burgi, Swiss Inventor of Logarithms
* Logarithm calculators and word problems with work shown, for school students
* Translation of Napier's work on logarithms 

หมวดหมู่:ฟังก์ชันพิเศษมูลฐาน