ทรงกลม

**ทรงกลม** (อังกฤษ : sphere จากกรีกโบราณ , ) เป็นวัตถุทางเรขาคณิตซึ่งอาจมองว่าเป็นวงกลมในสามมิติ นิยามที่รัดกุมของทรงกลม คือเซตของจุดในสามมิติที่อยู่ห่างจากจุดกำหนดจุดหนึ่งเป็นระยะทาง  เสมอ จุดกำหนดจุดนั้นเรียกว่า **จุดศูนย์กลางทรงกลม** (centre) และค่า  เรียกว่ารัศมีของวงกลมนั้น ทรงกลมปรากฏขึ้นเป็นลายลักษณ์อักษรครั้งแรกในงานคณิตศาสตร์ยุคกรีกโบราณ

ทรงกลมเป็นวัตถุพื้นฐานในคณิตศาสตร์หลากหลายสาขา ทรงกลมและรูปทรงที่เกือบเป็นทรงกลมปรากฎทั้งในธรรมชาติและในกิจกรรมของมนุษย์ อาทิ ฟองสบู่ มีในภาวะสมดุลจะเป็นทรงกลม ในทางภูมิศาสตร์นิยมถือว่าโลกมีสัณฐานเป็นทรงกลม และทรงกลมท้องฟ้าเป็นแนวคิดสำคัญในดาราศาสตร์

## สมการของทรงกลม
ในเรขาคณิตวิเคราะห์ ทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่  และรัศมี  คือทางเดินของจุด  ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ

:  (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2

เนื่องจากสูตรข้างต้นเป็นพหุนามกำลังสอง ทรงกลมจึงเป็นพื้นผิวกำลังสอง ซึ่งเป็นพื้นผิวเชิงพีชคณิตประเภทหนึ่ง

ให้  เป็นจำนวนจริงที่ซึ่ง  และกำหนด

: x_0 = \frac{-b}{a}, \quad y_0 = \frac{-c}{a}, \quad z_0 = \frac{-d}{a}, \quad \rho = \frac{b^2 +c^2+d^2 - ae}{a^2}.

แล้วจะได้ว่าสมการ

: f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0

ไม่เป็นคำตอบเป็นจำนวนจริงถ้า \rho  และเราเรียกสมการนี้ว่าเป็นสมการของ**ทรงกลมจินตภาพ** (imaginary sphere) ถ้า \rho = 0 แล้วผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ f(x,y,z) = 0 คือจุด P_0 = (x_0,y_0,z_0) และสมการในรูปแบบนี้เรียกว่าเป็นสมการของ**ทรงกลมจุดเดียว** (point sphere) และในกรณีที่ \rho > 0 สมการf(x,y,z) = 0 เป็นสมการของทรงกลมที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่ P_0 และมีรัศมีเท่ากับ \sqrt \rho

ถ้า  ในสมการข้างต้นเป็นศูนย์ แล้ว f(x,y,z) = 0 เป็นสมการของระนาบ ฉะนั้นเราอาจมองว่าระนาบคือทรงกลมที่มีรัศมีเป็นอนันต์และจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่อนันต์

## สมบัติของทรงกลม

### ปริมาตร
thumb|Sphere and circumscribed cylinder
ในสามมิติ ปริมาตรภายในทรงกลมมีค่าเท่ากับ

: V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{\pi}{6}\ d^3 \approx 0.5236 \cdot d^3

เมื่อ  คือรัศมี และ  คือความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของทรงกลม อาร์คิมิดีสเป็นคนแรกที่ได้สูตรนี้โดยแสดงให้เห็นว่าปริมาตรของทรงกลมมีค่าเป็นสองเท่าของปริมาตรของพื้นที่เปล่าในทรงกระบอกที่ทรงกลมนั้นบรรจุอยู่ข้างใน เราเรียกทรงกระบอกนั้นว่า *[[ทรงกระบอก]]ล้อมรอบของทรงกลม* (circumscribed cylinder) ซึ่งมีความสูงและความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของฐานเท่ากับทรงกลมนั้น

เราสามารถพิสูจน์ข้อความข้างต้นได้ โดยสร้างกรวยกลับหัวภายในครึ่งทรงกลม แล้วสังเกตว่าพื้นที่ภาคตัดขวางของกรวยบวกกับพื้นที่ภาคตัดขวางของทรงกลมเท่ากับพื้นที่ภาคตัดขวางของทรงกระบอก แล้วใช้หลักการของคาวาเลียรี (Cavalieri's principle) นอกจากนี้อาจใช้แคลคูลัสเชิงปริพันธ์พิสูจน์สูตรนี้ได้ เช่นด้วยการอินทิเกรตแบบจานเพื่อหาปริมาตรปิดล้อม

### พื้นที่ผิว
พื้นที่ผิวของทรงกลมรัศมี  คือ

: A = 4\pi r^2

อาร์คิมิดีสเป็นบุคคลแรกที่พิสูจน์สูตรนี้ โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าการฉายภาพทรงกลมไปยังทรงกระบอกล้อมรอบนั้นรักษาพื้นที่ 

ทรงกลมเป็นรูปทรงที่มีพื้นที่ผิวน้อยที่สุดในบรรดารูปทรงที่มีปริมาตรเท่ากัน และมีปริมาตรมากที่สุดในบรรดารูปทรงที่มีพื้นที่ผิวเท่ากัน ดังนั้นทรงกลมจึงปรากฎในธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น ฟองสบู่หรือฟองอากาศ และหยดน้ำขนาดเล็กจะมีรูปทรงเกือบเป็นทรงกลมเพราะแรงตึงผิวพยายามบังคับให้พื้นที่ผิวมีค่าน้อยที่สุด

### สมบัติทางเรขาคณิตอื่น ๆ
ทรงกลมสร้างได้จากการหมุนวงกลมครึ่งรอบผ่านเส้นผ่านศูนย์ผ่านของมัน มีทรงกลมเพียงหนึ่งเดียวที่ผ่านจุดที่กำหนดให้สี่จุดที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน

หมวดหมู่:เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์
หมวดหมู่:เรขาคณิตมูลฐาน
หมวดหมู่:พื้นผิว
หมวดหมู่:ทอพอโลยี
หมวดหมู่:ทรงกลม

## หมายเหตุและอ้างอิง

### หมายเหตุ

### อ้างอิง

### ดูเพิ่ม

* .
* 
* .
* .
* .
*