ความเครียด (กลศาสตร์)

**ความเครียด** () คือปริมาณการเปลี่ยนแปลงขนาดของวัตถุเทียบกับขนาดตั้งต้น

การเปลี่ยนแปลงรูปร่างของวัตถุสามารถเขียนได้ด้วยการเขียนตำแหน่งสุดท้ายของวัตถุ  โดยที่  คือตำแหน่งตั้งต้นของวัตถุ การเขียนสมการแบบนี้จะไม่แยกระหว่างการเคลื่อนที่ของวัตถุ (การเปลี่ยนตำแหน่งและหมุน) และการเปลี่ยนรูปร่างและขนาดของวัตถุ

เราสามารถนิยามความเครียดได้จาก

: 

\boldsymbol{\varepsilon} \doteq \cfrac{\partial}{\partial\mathbf{X}}\left(\mathbf{x}-\mathbf{X}\right)

= \boldsymbol{F}'- \boldsymbol{I}



โดยที่  คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์ ดังนั้นความเครียดจึงไม่มีหน่วย และมักจะนิยมเขียนเป็นจุดทศนิยม เปอร์เซ็นต์ หรือ ร้อยละ ความเครียดบอกถึงการเปลี่ยนรูปร่างที่ตำแหน่งใด ๆ ในวัตถุจากการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด

ความเครียดเป็นปริมาณเทนเซอร์ ความเครียดสามารถแบ่งองค์ประกอบเป็นความ *เครียดตั้งฉาก* (normal strain) และ *ความเครียดเฉือน* (shear strain) เมื่อวัตถุถูกเปลี่ยนรูปร่าง ความเครียดตั้งฉาก บอกถึงอัตราส่วนการเปลี่ยนขนาดหรือความยาวของวัตถุ ในขณะที่ความเครียดเฉือนบอกถึงมุมที่วัตถุถูกเบือนจากทิศทางตั้งต้น โดยความเครียดทั้งสอบแบบนี้บอกถึงการเปลี่ยนรูปร่างในทิศตั้งฉากกัน 

ถ้าความยาวของวัตถุเพิ่มขึ้น ความเครียดเฉือนตั้งฉากจะเรียกว่า *ความเครียดดึง* (tensile strain) ในทางกลับกันถ้าความยาวลดลง เราจะเรียกว่า *ความเครียดอัด* (compressive strain)

นอกเหนือจากนิยามที่กล่าวมายังมีการนิยามความเครียดหลายแบบ เช่น *ความเครียดทางวิศวกรรม* (engineering strain) ซึ่งมักจะใช้กับวัสดุที่ใช้ในเคลื่องกลและโครงสร้างทางวิศวกรรมซึ่งจะเปลี่ยนรูปร่างได้เพียงเล็กน้อย ในขณะที่วัสดุบางประเภท อาทิ อีลาสโตเมอร์และพอลิเมอร์สามารถเปลี่ยนรูปร่างได้เยอะ การใช้นิยามความเครียดทางวิศวกรรมนั้นอาจจะไม่เหมาะสมเมื่อวัตถุขยายขนาดมากกว่า 1% จึงต้องใช้นิยามแบบอื่น เช่น อัตราส่วนการยืด หรือ ความเครียดจริง

## นิยามความเครียด

### ความเครียดทางวิศวกรรม
**ความเครียดทางวิศวกรรม** (engineering strain หรือ Cauchy strain) คืออัตราส่วนระหว่างขนาดที่เปลี่ยนไปต่อขนาดตั้งต้น สำหรับวัตถุขนาดยาวตั้งต้น  ที่เปลี่ยนความยาว  สามารถเขียนได้ว่า



\ e=\frac{\Delta L}{L}=\frac{l -L}{L}



โดย  คือความเครียดตั้งฉากทางวิศวกรรมและ  คือความยาวสุดท้าย ถ้าความเครียดนี้เป็นบวกหมายความว่าความยาวเพิ่มขึ้น แต่ถ้าเป็นลบแสดงว่าความยาวลดลง

ส่วนความเครียดเฉือนทางวิศวกรรมนิยามจากค่า tan ของมุมเฉือน ซึ่งเท่ากับอัตราส่วนระหว่างความยาวที่เปลี่ยนไปในทิศของแรงเฉือนต่อความยาวตั้งฉากกับแรงเฉือน

การคำนวณความเครียดทางวิศวกรรมนั้นคำนวณได้ง่าย แต่บอกได้ถึงการเปลี่ยนแปลงขนาดโดยรวมเท่านั้น ไม่สามารถบอกถึงว่าวัตถุถูกเปลี่ยนแปลงรูปร่างผ่านขั้นตอนอะไร

### อัตราส่วนความยืด
**อัตราส่วนความยืด** (stretch ratio หรือ extension ratio) คือ ปริมาณที่บอกว่าวัตถุเปลี่ยนความยาวไปแค่ไหน ซึ่งนิยามจจากอัตราส่วนระหว่างความสุดท้าย  ต่อความยาวตั้งต้น 

: \ \lambda=\frac{l}{L}

ซึ่งสัมพันธ์กับความเครียดทางวิศวกรรมโดย

: \ e=\frac{l-L}{L}=\lambda-1

ถ้าความเครียดเป็นศูนย์ซึ่งแปลวาสวัตถุไม่เปลี่ยนความยาว อัตราการยืดจะเท่ากับ 1 

อัตราส่วนความยืดนั้งมักถูกใช้ในการวิเคราะห์วัสดุที่เปลี่ยนรูปร่างขนาดใหญ่ เช่น อีลาสโตเมอร์หรือยาง ซึ่งสามารถเปลี่ยนขนาดได้ที่อัตราส่วน 3 หรือ 4 เท่า ก่อนที่มันจะเสียหาย ในทางตรงกันข้ามวัสดุทางวิศกรรม เช่น คอนกรีต หรือ เหล็กกล้า จะเสียหายที่อัตราส่วนที่ต่ำกว่ามาก

### ความเครียดจริง
**ความเครียดจริง** (true strain or logarithmic strain) คำนวณจากการพิจารณาการเปลี่ยนแปลงความยาวเล็กน้อย  จากความยาว  ซึ่งทำให้เกิดความเครียดตั้งฉาก

: \ \delta \varepsilon=\frac{\delta l}{l}

เนื่องจากความยาวนั้นเปลี่ยนเรื่อย ๆ ความเครียดโดยรวมจึงหาได้จาก

: \ \begin{align}

\int\delta \varepsilon &=\int_{L}^{l}\frac{\delta l}{l}\\

\varepsilon&=\ln\left(\frac{l}{L}\right)=\ln (\lambda) \\

&=\ln(1+e) \\

&=e-\frac{e^2}{2}+\frac{e^3}{3}- \cdots \\

\end{align}



โดย  คือความเครียดทางวิศวกรรม ความเครียดจริงบอกถึงการเปลี่ยนแปลงรูปร่างของวัตถุโดยนำขั้นตอนการเปลี่ยนขนาดมาพิจารณาด้วย

ส่วนความเครียดเฉือนจริงนั้นคำนวณได้จากมุม (ในหน่วยเรเดียน) ของวัตถุที่เปลี่ยนไปหลังจากการเปลี่ยนรูปร่าง

## ความเครียดตั้งฉากและความเครียดเฉือน
อย่างที่กล่าวมาว่าความเครียดแบ่งเป็นสองแบบคือความเครียดตั้งฉากซึ้งตั้งฉากกับหน้าตัดของวัตถุและความเครียดเฉือนที่ขนานกับหน้าตัดของวัตถุ โดยนิยามเหล่านี้สอดคล้องกับความเค้นตั้งฉาก (normal stress) และความเค้นเฉือน (shear stress)

### ความเครียดตั้งฉาก
สำหรับวัสดุที่สม่ำเสมอและมีพฤติกรรมตามกฎของฮุค ความเค้นตั้งฉากจะทำให้เกิดความเครียดตั้งฉาก 

485x485px|2D geometric strain 

พิจารณา element สี่เหลี่ยมในสองมิติมีขนาด  ซึ่งเมื่อถูกเปลี่ยนรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน การเปลี่ยนรูปร่างสามารถบรรยายโดยใช้สนามกระจัด (displacement field) จากรูปเราสามารถเขียนความยาวด้าน

: 
   \mathrm{length}(AB) = dx \,
 

และ

: \begin{align}
\mathrm{length}(ab) &= \sqrt{\left(dx+\frac{\partial u_x}{\partial x}dx \right)^2 + \left( \frac{\partial u_y}{\partial x}dx \right)^2} \\
&= dx~\sqrt{1+2\frac{\partial u_x}{\partial x}+\left(\frac{\partial u_x}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_y}{\partial x}\right)^2} \\
\end{align}\,\!

สำหรับการเปลี่ยนแปลงขนาดเล็ก พจน์ยกกำลังสองนั้นมีขนาดเล็กและสามารถละทิ้งได้ ดังนั้น

: 
  \mathrm{length}(ab)\approx dx +\frac{\partial u_x}{\partial x}dx
 

ความเครียดตั้งฉากในทิศ x ของสี่เหลี่ยมนั้นนิยามว่า

: 
  \varepsilon_x = \frac{\text{extension}}{\text{original length}} = \frac{\mathrm{length}(ab)-\mathrm{length}(AB)}{\mathrm{length}(AB)}
     = \frac{\partial u_x}{\partial x}
 

ในทิศ y และ ทิศ z ก็เขียนได้ในลักษณะเดียวกัน

: \varepsilon_y = \frac{\partial u_y}{\partial y} \quad , \qquad  \varepsilon_z = \frac{\partial u_z}{\partial z}\,\!

### ความเครียดเฉือน
ความเครียดเฉือนทางวิศวกรรม () นิยามจากมุมที่เปลี่ยนไประหว่างส่วนของเส้นตรง  และ   ดังนั้น

: 
  \gamma_{xy}= \alpha + \beta\,\!
 

จากรูปเราสามารถคำนวณมุมได้

: 
  \begin{align}
    \tan \alpha & =\frac{\tfrac{\partial u_y}{\partial x}dx}{dx+\tfrac{\partial u_x}{\partial x}dx}=\frac{\tfrac{\partial u_y}{\partial x}}{1+\tfrac{\partial u_x}{\partial x}} \\
    \tan \beta & =\frac{\tfrac{\partial u_x}{\partial y}dy}{dy+\tfrac{\partial u_y}{\partial y}dy}=\frac{\tfrac{\partial u_x}{\partial y}}{1+\tfrac{\partial u_y}{\partial y}}
  \end{align}


สำหรับการเปลี่ยนแปลงขนาดเล็ก

: 
   \cfrac{\partial u_x}{\partial x} \ll 1 ~;~~ \cfrac{\partial u_y}{\partial y} \ll 1
 

สำหรับการเปลี่ยนมุมขนาดเล็ก ( และ  ≪ 1) เราสามารถประมาณ ,  

: 
   \alpha \approx \cfrac{\partial u_y}{\partial x} ~;~~ \beta \approx \cfrac{\partial u_x}{\partial y}
 

ดังนั้น

: \gamma_{xy}= \alpha + \beta = \frac{\partial u_y}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial y}\,\!

โดยการสลับสัญลักษณ์  กับ  และ  กับ  ดังนั้น จึงเขียนได้อีกว่า 

ในทางเดียวกัน  สามารถคำนวณความเครียดเฉือนในระนาบ  และ  ได้

: \gamma_{yz}=\gamma_{zy} = \frac{\partial u_y}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial y} \quad , \qquad \gamma_{zx}=\gamma_{xz}= \frac{\partial u_z}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial z}\,\!

เราสามารถเขียนความเครียดในรูปแบบเทนเซอร์ซึ่งจะรวมทั้งความเค้นตั้งฉากและเฉือนเข้าด้วยกัน

: \underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}} = \left[\begin{matrix}
\varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\
   \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\
   \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} \\
  \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}
\varepsilon_{xx} & \tfrac12\gamma_{xy} & \tfrac12\gamma_{xz} \\
   \tfrac12\gamma_{yx} & \varepsilon_{yy} & \tfrac12\gamma_{yz} \\
   \tfrac12\gamma_{zx} & \tfrac12\gamma_{zy} & \varepsilon_{zz} \\
  \end{matrix}\right]\,\!

## อ้างอิง

หมวดหมู่:กลศาสตร์ภาวะต่อเนื่อง