การจำกัดฟังก์ชัน

[thumb|ฟังก์ชัน <math>x^2</math> ที่มีโดเมนบน <math>\mathbb{R}</math> ไม่มี[ฟังก์ชันผกผัน ถ้าเราจำกัดฟังก์ชัน x^2 บนจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ จะมีฟังก์ชันผกผันซึ่งคือรากที่สองของ x]]
ในคณิตศาสตร์ **การจำกัด[[ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)|ฟังก์ชัน]]** f เป็นฟังก์ชันใหม่ เขียนว่า f\vert_A หรือ f {\restriction_A}, ได้มาโดยการเลือกโดเมน A ที่เล็กกว่าโดเมนของฟังก์ชันเดิม f
  แล้วสามารถกล่าวได้ว่าฟังก์ชัน f **ขยาย** f\vert_A


## นิยามแบบรูปนัย
ให้ f : E \to F เป็นฟังก์ชันจากเซต E ไปยังเซต F  ถ้าเซต A เป็นเซตย่อยของ E แล้ว**การจำกัดฟังก์ชัน** f **ไปยัง**A เป็นฟังก์ชัน  {f|}_A : A \to F โดยที่ {f|}_A(x) = f(x) สำหรับ x \in A ในแบบอรูปนัย การจำกัดฟังก์ชัน f ไปยังA เป็นฟังก์ชันเดียวกันกับ f แต่ได้นิยามไว้เฉพาะบน A

หากมองฟังก์ชั่น f เป็นความสัมพันธ์ (x,f(x)) บนผลคูณคาร์ทีเซียน E \times F แล้วการจำกัดฟังก์ชัน f ไปยัง A สามารถใช้กราฟแทนได้โดย

: G({f|}_A) = \{ (x,f(x))\in G(f) \mid x\in A \} = G(f)\cap (A\times F)

ที่คุ่ (x,f(x)) แทนคู่อันดับในกราฟ G.

### ส่วนขยาย
ฟังก์ชั่น F เป็นฟังก์ชันส่วนขยาย f หากเมื่อใดก็ตาม x อยู่ในโดเมนของ f แล้ว x ก็อยู่ในโดเมนของ F และ f(x) = F(x)  นั่นคือถ้า \operatorname{domain} f \subseteq \operatorname{domain} F และ F\big\vert_{\operatorname{domain} f} = f

*[[ส่วนขยายเชิงเส้น]]* (หรือ*[[ส่วนขยายต่อเนื่อง]]* ฯลฯ ตามลำดับ) ของฟังก์ชัน f เป็นส่วนขยายของ f ซึ่งเป็นการส่งเชิงเส้นเช่นกัน (หรือการส่งต่อเนื่อง ฯลฯ ตามลำดับ)

## ตัวอย่าง

# การจำกัดฟังก์ชันที่ไม่เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ x \mapsto x^2 ไปยังโดเมน \mathbb{R}_{+} = [0,\infty) คือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งf:\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}, \ x \mapsto x^2
# ฟังก์ชันแฟกทอเรียล คือการจำกัดฟังก์ชันแกมมาไปยังจำนวนเต็มบวก โดยมีการเลื่อนอาร์กิวเมนต์ไปหนึ่ง {\Gamma|}_{\mathbb{Z}^+}\!(n) = (n-1)!

## คุณสมบัติของการจำกัดฟังก์ชัน

* การจำกัดฟังก์ชัน f:X\rightarrow Y ไปยังทั้งโดเมน X คืนค่าฟังก์ชันเดิม ซึ่งคือ f|_X = f
* การจำกัดฟังก์ชันสองครั้งก็เหมือนกับการจำกัดฟังก์ชันเพียงครั้งเดียว นั่นคือ ถ้า A \subseteq B \subseteq \operatorname{dom} f แล้ว \left(f|_B\right)|_A = f|_A
* การจำกัดฟังก์ชันเอกลักษณ์ บนเซต X ไปยังเชตย่อย A ของ X เป็นเพียงการส่งโดยเป็นเซตย่อยจาก A ไปยัง X 
* การจำกัดฟังก์ชันต่อเนื่องยังคงต่อเนื่อง  

## บทประยุกต์

### ฟังก์ชันผกผัน
เพื่อให้ฟังก์ชันมีฟังก์ชันผกผัน ฟังก์ชันนั้นจะต้องเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง หากฟังก์ชัน f ไม่ใช่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง อาจสามารถกำหนด**ฟังก์ชันผกผันบางส่วน**ของ f โดยการจำกัดโดเมน ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน f(x) = x^2 ที่ได้นิยามไว้โดยทั้ง \R จะไม่ใช่แบบหนึ่งต่อหนึ่งเพราะ x^2 = (-x)^2 สำหรับ x \in \R ใด ๆ  อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันจะกลายเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งหากเราจำกัดบนเฉพาะโดเมน \R_{\geq 0} = [0, \infty) ในกรณีนั้น f^{-1}(y) = \sqrt{y} 

(หากเราจำกัดเฉพาะโดเมน (-\infty, 0] แทน แล้วค่าผกผันคือค่าลบของรากที่สองของ y) อีกวิธีหนึ่งคือไม่จำเป็นต้องจำกัดโดเมนหากเราอนุญาตให้ฟังก์ชันผกผันเป็น ฟังก์ชันหลายค่า

### ตัวดำเนินการการเลือก

ในพีชคณิตเชิงสัมพันธ์ การเลือก (บางครั้งเรียกว่าการจำกัดเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับการใช้ SELECT ของ SQL) เป็นการดำเนินการเอกภาคที่เขียนด้วย \sigma_{a \theta b}(R) หรือ \sigma_{a \theta v}(R) ที่

* a และ b ชื่อลักษณะประจำ
* \theta เป็นการดำเนินการทวิภาคบนเซต \{\}
* v เป็นค่าคงที่
* R เป็นความสัมพันธ์ (ฐานข้อมูล)

การเลือก \sigma_{a \theta b}(R) จะเลือกหลายสิ่งอันดับทั้งหมดใน R ซึ่งสำหรับ \theta เป็นจริงระหว่างลักษณะประจำ a และ b

ดังนั้นตัวดำเนินการเลือกจะจำกัดไปยังเซตย่อยของฐานข้อมูลทั้งหมด

### บทตั้งการเชื่อม

บทตั้งการเชื่อมเป็นผลในโทโพโลยี ซึ่งโยงความต่อเนื่องของฟังก์ชันกับความต่อเนื่องของการจำกัดไปยังเซตย่อย

ให้ X,Y เป็นเซตย่อยปิดสองเซต (หรือเซตย่อยเปิดสองเซต) ของปริภูมิโทโพโลยี A เช่นนั้น A = X \cup Y และให้ B เป็นปริภูมิโทโพโลยีด้วย ถ้า f: A \to B ต่อเนื่องเมื่อจำกัดไปยังทั้ง X และ Y แล้ว f ต่อเนื่อง

ผลนี้ทำให้สามารถใช้ฟังก์ชันต่อเนื่องสองฟังก์ชันที่นิบามไว้บนเซตย่อยที่ปิด (หรือเปิด) ของปริภูมิโทโพโลยีและสร้างฟังก์ชันใหม่ได้

### ชีฟ

ชีฟให้วิธีวางนัยทั่วไปในการจำกัดให้กับวัตถุอื่นนอกเหนือจากฟังก์ชัน

ในทฤษฎีชีฟเราจะกำหนดวัตถุ F(U) ในแคทิกอรีของแต่ละเซตเปิด U ของปริภูมิโทโพโลยี และกำหนดให้วัตถุต้องเป็นไปตามเงื่อนไขประการต่าง ๆ  เงื่อนไขที่สำคัญที่สุดคือต้องมี*[[มอร์ฟิซึม]]จำกัด* ระหว่างวัตถุทุกคู่ที่เชื่อมโยงกับเซตเปิดซ้อน นั่นคือถ้า V\subseteq U แล้วก็มีมอร์ฟิซึม \operatorname{res}_{V,U} : F(U) \to F(V) ที่สอดคล้องคุณสมบัติต่อไปนี้ ซึ่งนิยามมาเพื่อเลียนแบบการจำกัดฟังก์ชัน

* สำหรับทุกเซตเปิด U ของ X  มอร์ฟิซึมจำกัด \operatorname{res}_{U,U} : F(U) \to F(U) คือมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์บน F(U)
* ถ้ามีเซตเปิดสามเซต W \subseteq V \subseteq U แล้วได้การประกอบคือ \operatorname{res}_{W,V} \circ \operatorname{res}_{V,U} = \operatorname{res}_{W,U}.
* (ความเฉพาะที่) ถ้า \left(U_i\right) เป็นเซตปกเปิดของเซตเปิด U และถ้าs, t \in F(U) โดยที่ s\big\vert_{U_i} = t\big\vert_{U_i} สำหรับทุกเซต U_i ของเซตปกแล้ว s = t  และ
* (การเชื่อม) ถ้า \left(U_i\right) เป็นเซตปกเปิดของเซตเปิด U และถ้าสำหรับทุก i จะมีภาคตัด s_i \in F\left(U_i\right) ที่ให้มาโดยที่สำหรับทุกคู่ U_i, U_j ของเซตปก การจำกัด s_i และ s_j ต้องกันบนส่วนซ้อนเหลื่อม s_i\big\vert_{U_i \cap U_j} = s_j\big\vert_{U_i \cap U_j} แล้วมีภาคตัด s \in F(U) ที่ทำให้ s\big\vert_{U_i} = s_i สำหรับทุก i

พวกวัตถุทั้งหมดดังกล่าวเรียกว่า **ชีฟ** หากตรงตามแค่คุณสมบัติสองข้อแรก ก็จะเรียกว่า **ก่อนชีฟ**

## การจำกัดทางซ้ายและขวา
โดยนัยทั่วไปแล้วการจำกัด (หรือ**การจำกัดโดเมน** หรือ**การจำกัดทางซ้าย**) A \triangleleft R ของความสัมพันธ์ทวิภาค R ระหว่าง E และ F อาจกำหนดให้เป็นความสัมพันธ์ที่มีโดเมน A โคโดเมน F และกราฟ G(A \triangleleft R) = \{(x, y) \in F(R) \mid x \in A\} ในทำนองเดียวกัน เราสามารถกำหนด **การจำกัดทางขวา** หรือ**การจำกัดเรนจ์** R \triangleright B แท้จริงแล้วสามารถกำหนดการจำกัดความสัมพันธ์ได้ n ภาค เช่นเดียวกับเซตย่อยที่เป็นความสัมพันธ์ เช่น ความสัมพันธ์ของผลคูณคาร์ทีเซียน E \times F สำหรับความสัมพันธ์ทวิภาค กรณีเหล่านี้ไม่สอดคล้องกับรูปแบบของชีฟ

## การปฏิจำกัด
**การปฏิจำกัดโดเมน** (หรือ **การลบโดเมน**) ของฟังก์ชันหรือความสัมพันธ์ทวิภาค R (ที่มีโดเมน E และโคโดเมน F ) โดยเซต A อาจนิยามได้ว่าเป็น (E \setminus A) \triangleleft R เป็นการลบสมาชิกทั้งหมดของ A จากโดเมน E  บางครั้งเขียนว่า A&nbsp;⩤&nbsp;R.  ในทำนองเดียวกัน **การปฏิจำกัดเรนจ์** (หรือ **การลบเรนจ์**) ของฟังก์ชันหรือความสัมพันธ์ทวิภาค R โดยเซต B ถูกกำหนดให้เป็น R \triangleright (F \setminus B) เป็นการลบสมาชิกทั้งหมดของ B จากโคโดเมน F บางครั้งเขียนว่า R&nbsp;⩥&nbsp;B

## ดูเพิ่มเติม

* 
* 
* 
* 
* 
* 

## อ้างอิง

หมวดหมู่:ทฤษฎีชีฟ