รายการเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

[300px|thumb|right|โคไซน์และไซน์รอบ[วงกลมหนึ่งหน่วย]]

ในวิชาคณิตศาสตร์ **เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ** เป็นสมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ และเป็นจริงสำหรับทุกค่าของตัวแปรมุม เมื่อแต่ละข้างของสมการสามารถหาค่าได้ ในทางเรขาคณิต เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ คือ เอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของมุมหนึ่งมุมขึ้นไป แตกต่างจากเอกลักษณ์รูปสามเหลี่ยม ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับมุมเช่นกัน แต่จะรวมถึงความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมด้วย

เอกลักษณ์เหล่านี้เป็นประโยชน์ เมื่อใดที่มีปัญหาที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ การประยุกต์ที่สำคัญ คือ การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งเป็นวิธีการที่ต้องใช้การแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นลำดับแรกก่อน แล้วจึงหาผลลัพธ์ของปริพันธ์โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

## สัญกรณ์
### มุม
บทความนี้จะใช้อักษรกรีก เช่น แอลฟา (), บีตา (), แกมมา (), และทีตา () เพื่อใช้แทนมุม และมีหน่วยในการวัดขนาดของมุมที่แตกต่างกันที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง ได้แก่ องศา เรเดียน และแกรเดียน (แกร็ด หรือก็อน)

1 รอบเต็มของวงกลม &nbsp;=&nbsp;360&nbsp;องศา&nbsp;=&nbsp;2&nbsp;เรเดียน&nbsp;=&nbsp;400&nbsp;ก็อน

ตารางต่อไปนี้แสดงการแปลงหน่วยและค่าของมุมทั่วไป

### ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ได้แก่ ไซน์และโคไซน์ของมุม บางครั้งสามารถเขียนย่อได้เป็น  และ  ตามลำดับ เมื่อ  เป็นขนาดของมุม แต่เราสามารถเขียนละวงเล็บที่อยู่หน้าและหลังขนาดของมุมได้เป็น  และ 

ฟังก์ชันไซน์ของมุมได้นิยามไว้ในบริบทของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไว้ว่า เป็นอัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมนั้นต่อความยาวด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมนั้น (ด้านตรงข้ามมุมฉาก)

ฟังก์ชันโคไซน์ของมุมได้นิยามไว้ในบริบทของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไว้ว่า เป็นอัตราส่วนของความยาวด้านประชิดมุมนั้นต่อความยาวด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมนั้น (ด้านตรงข้ามมุมฉาก)

ฟังก์ชันแทนเจนต์ () ของมุม คือ อัตราส่วนของไซน์และโคไซน์
:\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
และสุดท้าย ฟังก์ชันส่วนกลับ ได้แก่ เซแคนต์ (), โคเซแคนต์ (), และโคแทนเจนต์ () ซึ่งเป็นส่วนกลับการคูณของโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ ตามลำดับ
:\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta},\quad\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta},\quad\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}
นิยามเหล่านี้บางครั้งเรียกว่าเอกลักษณ์อัตราส่วน

## ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ยกตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันผกผันของไซน์ เรียกว่า **อินเวอร์สไซน์** () หรือ **อาร์กไซน์** ( หรือ ) โดยที่
:\sin(\arcsin x) = x\quad\text{for} \quad |x| \leq 1 
และ
:\arcsin(\sin x) = x\quad\text{for} \quad |x| \leq \frac{\pi}{2} 

บทความนี้จะใช้สัญกรณ์ข้างล่างนี้สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

## รายการเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
เมื่อกำหนด A เป็นขนาดของมุมใด ๆ จะได้
:\sin A \cdot \csc A = 1

:\cos A \cdot \sec A = 1

:\tan A \cdot \cot A = 1

:\cos A \cdot \tan A = \sin A

:\sin A \cdot \cot A = \cos A

:\sin^2 A + \cos^2 A = 1\,

:\sec^2 A - \tan^2 A = 1\,

:\csc^2 A - \cot^2 A = 1\,

เมื่อกำหนด x และ y เป็นขนาดของมุมใด ๆ จะได้
:\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y

:\sin \left(x-y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y

:\cos \left(x+y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y

:\cos \left(x-y\right)=\cos x \cos y + \sin x \sin y

:\tan \left(x+y\right)=\frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}

:\tan \left(x-y\right)=\frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}

:\sin x+\sin y=2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right) 

:\sin x-\sin y=2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) 

:\cos x+\cos y=2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right)

:\cos x-\cos y=-2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right)\sin \left( \frac{x-y}{2} \right)

:\tan x+\tan y=\frac{\sin \left( x+y\right) }{\cos x\cos y}

:\tan x-\tan y=\frac{\sin \left( x-y\right) }{\cos x\cos y}

:\cot x+\cot y=\frac{\sin \left( x+y\right) }{\sin x\sin y}

:\cot x-\cot y=\frac{-\sin \left( x-y\right) }{\sin x\sin y}

:2\sin x \cos y=\sin \left(x+y\right) + \sin \left(x-y\right)

:2\cos x \sin y=\sin \left(x+y\right) - \sin \left(x-y\right)

:2\cos x \cos y=\cos \left(x+y\right) + \cos \left(x-y\right)

:2\sin x \sin y=\cos \left(x-y\right) - \cos \left(x+y\right)

:\sin 2x=2\sin x \cos x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}

:\cos 2x=\cos^2 x - \sin^2 x=1-2\sin^2 x=2\cos^2 x-1=\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}

:\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}

:\sin 3x=3\sin x - 4\sin^3 x

:\cos 3x=4\cos^3 x - 3\cos x

:\tan 3x=\frac{3\tan x - \tan^3 x}{1-3\tan ^2x}

หมวดหมู่:ตรีโกณมิติ
หมวดหมู่:เอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์