โครงข่ายสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยม

**โครงข่ายสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยม** (อังกฤษ:Polygon Triangulation) คือการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมเป็นเซ็ทของสามเหลี่ยมที่มากกว่า 1 รูป ซึ่งไม่ทับกันเลย สำหรับขั้นตอนวิธีที่ใช้ในการแบ่งนั้นสำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่มีและไม่มีรูภายในจะแตกต่างกัน
## โครงร่างสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมแบบไม่มีจุดยอดเพิ่มเติม
### วิธีการตัดหู (Ear Clipping Method)
thumb|หูของรูปหลายเหลี่ยม
วิธีที่ได้รับความนิยมและง่ายในการเขียนวิธีหนึ่งคือการตัดสามเหลี่ยมที่เป็น “หู” สามเหลี่ยมที่เป็นหูคือสามเหลี่ยมที่มีด้าน 2 ด้านอยู่ที่ขอบของรูปหลายเหลี่ยมและด้านที่เหลืออยู่ในด้านในทั้งหมด ซึ่งวิธีนี้จะใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่มีรูภายในเท่านั้น โดยรูปหลายเหลี่ยมเหล่านั้นที่มีมุมมากกว่า 4 มุมขึ้นไป จะมี 2 หูเป็นอย่างน้อย หลังจากตัดทิ้งไปแล้วก็จะได้รูปหลายเหลี่ยมใหม่ที่มีจุดยอดมากกว่าเท่ากับ 3 ให้ทำต่อไปเรื่อย ๆ จนหมดก็จะได้เซ็ทของสามเหลี่ยมทั้งหมด ซึ่งเวลาที่ใช้จะเป็น O(n^2) วิธีในการหาหูนั้นถูกค้นพบโดย Hossam ElGindy, Hazel EverettHazel Everett และ Godfried Toussaint โดยในการหาหูจะใช้เวลาเป็น O(n)

#### รหัสเทียม
กำหนดให้ GSP คือรูปหลายเหลี่ยมย่อยของ P ที่เกิดจากการลากเส้นทแยงมุมจากมุมหนึ่งไปสู่อีกมุมหนึ่งเพียงเส้นเดียว

 Function FindAnEar (GSP, pi)
  if pi is an ear then
   return pi
   Find a vertex pj such that (pi, pj) is a diagonal of GSP.Let GSP' be the good sub-polygon of GSP formed by (pi, pj). Re-label the         vertices of GSP' so that pi = p0 and pj = pk-1 (or pj = p0 and pi = pk-1 as appropriate) where k is the number of vertices of GSP'.
   FindAnEar (GSP', floor (k/2))
 End FindAnEar

### วิธีรูปหลายเหลี่ยมทางเดียว (Monotone Polygons Method)
thumb|การแบ่งรูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมทางเดียว
เราสามารถแบ่งรูปหลายเหลี่ยมให้กลายเป็นรูปหลายเหลี่ยมทางเดียวได้

#### ขั้นตอนวิธี
##### 1. แยกรูปหลายเหลี่ยมให้กลายเป็นสี่เหลี่ยมคางหมู
กำหนดให้ S คือเซ็ทของเส้นขอบของรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ใช่เส้นแนวนอนและไม่ตัดกัน ขั้นตอนวิธีแบบสุ่ม () จะถูกใช้เพื่อสร้างสี่เหลี่ยมคางหมูจากเส้นตรงใน S ซึ่งจะทำโดยจะดึงเส้นตรงใน S ออกมาทีละเส้นแบบสุ่มเพื่อสร้างเป็นสี่เหลี่ยมคางหมู วิธีนี้จะแบ่งรูปหลายเหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูจำนวนหนึ่งตัวสี่เหลี่ยมคางหมูนี้สามารถลดรุปเป็นสามเหลี่ยมได้ถ้ามีขอบด้านใดด้านหนึ่งมีความยาวด้านนอนเป็นศูนย์ สำหรับเงื่อนไขที่ว่าเส้นในเซ็ทจะต้องไม่เป็นเส้นนอนนั้นมีขึ้นเพื่อจำกัดจำนวนที่ต้องทำให้ลดน้อยลง แต่ก็ไม่ได้ส่งผลอะไรต่อผลลัพธ์ที่จะได้ ซึ่งจากที่ Siedal ได้พิสูจน์ไว้เราสรุปได้ว่าขั้นตอนนี้ใช้เวลาในการทำงานเป็น O (nlog n)

##### 2. แยกสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นรูปหลายเหลี่ยมทางเดียว
รูปหลายเหลี่ยมทางเดียวคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีสายโซ่ทางเดียวในแกน y 2 สาย รูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้จะถูกคำนวณจากการแบ่งรูปเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูโดยการตรวจสอบว่ามุม 2 มุมหนึ่ง ๆ ของรูปหลายเหลี่ยมเดิมนั้นอยู่บนฝั่งเดียวกันหรือไม่ ขั้นตอนนี้ใช้เวลาเป็นเชิงเส้น O(n)

##### 3. แยกรูปหลายเหลี่ยมทางเดียวเป็นสามเหลี่ยม
รูปหลายเหลี่ยมทางเดียวสามารถแยกเป็นสามเหลี่ยมได้โดยใช้ขั้นตอนวิธีเชิงละโมบ โดยให้ตัดมุมเว้าไปเรื่อย ๆ ซึ่งในส่วนนี้จะใช้เวลาเป็น O(n) 

#### รหัสเทียม

 Input: Monotone polygon P
 Output: Set of triangles
      
 Sort the n vertices belonging to polygon P with respect to x-coordinate and store them in V.
 Initialize sweep-line active list L
  L = a list with the first two points of V
 WHILE V is not empty DO
  /* Extract the next vertex from V */
  p = MIN (V)
  IF (p is opposite to points in L) THEN
   WHILE |L| > 1 DO
    Output Triangle {First (L), Second (L),p}
    REMOVE (FIRST (L)) 
   Add p to L
  ELSE
   WHILE (Angle{Last (L), Previous (Last (L)), p}is convex .AND. |L| > 1) DO
    Output Triangle {last (L), Previous (last), p}
    REMOVE last (L) 
   /*  The angle is reflex or cardinality of L is 1 */
   Add p to L

### ความซับซ้อนในการคำนวณ
โครงข่ายสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมนั้นเป็นปัญหาที่มีการคิดกันมานานแล้วว่าจะสามารถทำให้ได้ไวกว่า O(n log n) ได้หรือไม่ ในปี 1990 นั้น David G. Kirkpatrick, David G. Kirkpatrick, Robert E. Tarjan ได้ค้นพบขั้นตอนวิธีที่ใช้เวลาเพียง O(n log log n) สำหรับวิธีใช้ขั้นตอนวิธีแบบสุ่มนั้นเช่นขั้นตอนวิธีของ Seidel's or Clarkson et al.'s ใช้เวลาเป็น O(n log* n) ซึ่งในความเป็นจริงแล้วแทบไม่ต่างอะไรกับ O(n) เลย

นอกจากวิธีการข้างต้นแล้ว Bernard Chazelle ยังได้แสดงให้เห็นว่าโครงข่ายสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมนั้นสามารถหาได้ด้วยเวลาเชิงเส้น แต่ขั้นตอนวิธีนั้นมีความซับซ้อนมาก
ต่อมาในปี 1998 ขั้นตอนวิธีที่ใช้เวลาเฉลี่ยเป็น O(n) ก็ได้ถูกค้นพบและตีพิมพ์โดย Alexey V. Skvortsov และ Yuri L. Kostyuk โดยขั้นตอนวิธีนี้จะใช้หลักการของกำหนดการพลวัตในการจำรูปสามเหลี่ยม

ส่วนความซับซ้อนทางด้านเวลาของขั้นตอนวิธีในการหาโครงข่ายสามเหลี่ยมของรูปสามเหลี่ยมที่มีรูภายในนั้นจะใช้เวลาเป็น \Omega(n log n)

## เนื้อหาอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องหรือใกล้เคียง
* http://sigbjorn.vik.name/projects/Triangulation.pdf , An Implementation of a Near-Linear Polygon 
Triangulation Algorithm for General Polygons
* Demo as Flash swf ,  A Sweep Line algorithm.

## อ้างอิง
*  Chapter 3: Polygon Triangulation: pp.45–61.
* 
* Toussaint, Godfried T. (1984), "A new linear algorithm for triangulating monotone polygons," *Pattern Recognition Letters*, **2** (March) :155–158.
* Meisters, G. H., "Polygons have ears." American Mathematical Monthly 82 (1975). 648–651
* ElGindy, H., Everett, H., and Toussaint, G. T., (1993) "Slicing an ear using prune-and-search," *Pattern Recognition Letters*, **14**, (9) :719–722.
* 
* 
*  
* 
* http://cgm.cs.mcgill.ca/~godfried/teaching/cg-projects/97/Ian/cutting_ears.html 
* http://www.personal.kent.edu/~rmuhamma/Compgeometry/MyCG/PolyPart/polyPartition.html
* http://www.cs.unc.edu/~dm/CODE/GEM/chapter.html

สโครงข่ายสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยม