ความยาวคลื่นคอมป์ตัน

**ความยาวคลื่นคอมป์ตัน** (Compton wavelength) เป็นความยาวคลื่นของคลื่นเฉพาะตัวของสสาร ถูกเสนอโดยอาร์เทอร์ คอมป์ตัน (Arthur Compton) นักฟิสิกส์ชาวอเมริกัน ซึ่งเป็นผู้อธิบายการกระเจิงของโฟตอน (แสง) โดยอิเล็กตรอน (หรือการกระเจิงคอมป์ตัน) ความยาวคลื่นคอมป์ตันเป็นปริมาณของสสารที่เทียบเท่ากับความยาวคลื่นของโฟตอน ทำนองเดียวกับสมมูลพลังงานและมวลของไอน์สไตน์

ความยาวคลื่นคอมป์ตัน *λ* ของอนุภาค กำหนดตามสมการ
:  \lambda = \frac{h}{m c} \ 
โดยที่ *h* แทน ค่าคงตัวพลังค์ *m* แทน มวลของอนุภาคขณะนิ่ง (มวลนิ่ง; rest mass) และ *c* แทน อัตราเร็วแสง 

ข้อมูลของคณะกรรมการข้อมูลวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (CODATA) พ.ศ. 2553 ระบุว่า ความยาวคลื่นคอมป์ตันของอิเล็กตรอนมีค่า . ส่วนอนุภาคอื่นมีค่าแตกต่างกันออกไป

## ความสำคัญ
### ความยาวคลื่นคอมป์ตันลดทอน (Reduced Compton wavelength)
หาได้โดยหารความยาวคลื่นคอมป์ตันด้วย {2 \pi}

:  \frac{\lambda}{2 \pi} = \frac{\hbar}{m c} \ 

ความยาวคลื่นคอมป์ตันลดทอน ในระดับควอนตัมนิยมใช้ความยาวคลื่นคอมป์ตันลดทอน โดยเฉพาะในสมการไคลน์-กอร์ดอน (Klein–Gordon equation) ของอนุภาคอิสระ

: \mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi = \left(\frac{m c}{\hbar} \right)^2 \psi 

รวมถึงสมการดิแรก (Dirac equation) (สมการต่อไปนี้เขียนในรูปโคแวเรียนต์ (covariant) โดยอาศัยข้อตกลงไอน์สไตน์ (Einstein summation convention)):

:-i \gamma^\mu \partial_\mu \psi + \left( \frac{m c}{\hbar} \right) \psi = 0 \,

นอกจากนี้ยังปรากฏในสมการชเรอดิงเงอร์ (Schrödinger's equation) แม้จะไม่ได้เขียนอย่างชัดเจนไว้ในสมการของเดิมก็ตาม สมการต่อไปนี้เป็นสมการชเรอดิงเงอร์ของอะตอมคล้ายไฮโดรเจน

: i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Ze^2}{r} \psi

เมื่อหารตลอดด้วย \hbar c และเขียนในรูปของค่าคงตัวโครงสร้างละเอียด (fine structure constant) จะได้ว่า

: \frac{i}{c}\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{1}{2} \left(\frac{\hbar}{m c} \right) \nabla^2\psi - \frac{\alpha Z}{r} \psi

### ข้อจำกัดในการวัดค่าความยาวคลื่นคอมป์ตัน
เนื่องจากข้อจำกัดการวัดในทางกลศาสตร์ควอนตัมและสัมพัทธภาพพิเศษ ทำให้การวัดค่าความยาวคลื่นไม่แม่นยำสมบูรณ์ ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดคือ การวัดตำแหน่งของอนุภาคด้วยแสง หากต้องการเห็นตำแหน่งชัดเจน ก็ต้องใช้แสงความยาวคลื่นน้อย ๆ ซึ่งมีโฟตอนพลังงานสูง หากพลังงานของโฟตอนเกินกว่า *mc*2 อาจก่อให้เกิดอนุภาคใหม่ได้จากหลักการสมมูลมวล-พลังงาน

กำหนดให้ความไม่แน่นอนของตำแหน่งเป็น Δ*x* จากนั้นจากหลักความไม่แน่นอนของตำแหน่งและโมเมนตัม  
:\Delta x\,\Delta p\ge \frac{\hbar}{2}
ทำให้ได้ว่า
:\Delta p \ge \frac{\hbar}{2\Delta x}
ใช้สมการโมเมนตัม-พลังงานแบบสัมพัทธภาพ  จะได้ว่า เมื่อ  Δ*p* มีค่ามากกว่า *mc* จะได้ว่าความไม่แน่นอนของพลังงานจะต้องมากกว่า  *mc*2 ซึ่งเป็นพลังงานที่สมมูลกับมวลที่มากพอจะสร้างอนุภาคตัวใหม่ ดังนั้นจะได้ว่าความไม่แน่นอนของความยาวคล
Using the relativistic relation between momentum and energy , when Δ*p* exceeds *mc* then the uncertainty in energy is greater than *mc*2, which is enough energy to create another particle of the same type.  It follows that there is a fundamental limitation on Δ*x*:
:\Delta x \ge \frac{1}{2} \left(\frac{\hbar}{mc} \right)
ความยาวคลื่นคอมป์ตันต่างจาก ความยาวคลื่นเดอบรอย (de Broglie wavelength) ซึ่งขึ้นกับโมเมนตัมของอนุภาค และเป็นตัวบ่งชี้ระหว่างความเป็นอนุภาคและสสาร

### ความสัมพันธ์กับค่าคงตัวอื่น
ความยาวอะตอมปกติ เลขคลื่น และพื้นที่ในฟิสิกส์มีความสัมพันธ์กับความยาวคลื่นคอมป์ตันของอิเล็กตรอน (\bar{\lambda}_e \equiv \tfrac{\lambda_e}{2\pi}\simeq 386~\textrm{fm}) และค่าคงตัวโครงสร้างละเอียด (\alpha\simeq\tfrac{1}{137})

รัศมีโบร์ (Bohr radius) มีความสัมพันธ์กับความยาวคลื่นคอมป์ตันดังนี้

:a_0 = \frac{1}{\alpha}\left(\frac{\lambda_e}{2\pi}\right)\simeq 137\times\bar{\lambda}_e\simeq 5.29\times 10^4~\textrm{fm} 

รัศมีอิเล็กตรอนแบบฉบับ (classical electron radius) มีขนาดสามเท่าใหญ่กว่ารัศมีโปรตอน และสามารถเขียนเป็นสมการได้ว่า

:r_e = \alpha\left(\frac{\lambda_e}{2\pi}\right)\simeq\frac{\bar{\lambda}_e}{137}\simeq 2.82~\textrm{fm}

ค่าคงตัวริดเบิร์ก (Rydberg constant) เขียนได้ดังนี้

:R_\infty=\frac{\alpha^2}{2\lambda_e}

ในอนุภาคเฟอร์มิออน ค่าคงตัวคอมป์ตันลดทอนและพื้นที่ตัดขวางอันตรกิริยามีความสัมพันธ์แก่กัน ยกตัวอย่าง พื้นที่ตัดขวางของการกระเจิงทอมสันของโฟตอนจากอิเล็กตรอน มีค่า

:\sigma_T = \frac{8\pi}{3}\alpha^2\bar{\lambda}_e^2 \simeq 66.5~\textrm{fm}^2 

ซึ่งมีค่าใกล้เคียงกับพื้นที่ตัดขวางของนิวเคลียสเหล็ก-56

ในทฤษฎีเกจ (Gauge theory) ความยาวคลื่นคอมป์ตันของโบซอนมีความสัมพันธ์กับพิสัยของอันตรกิริยายุกะวะ (Yukawa interaction)  ในส่วนของโฟตอนซึ่งไม่มีมวลนิ่ง พิสัยมีค่าเป็นอนันต์ 

ความยาวและพื้นที่ในทางฟิสิกส์แรงดึงดูด สัมพันธ์กับความยาวคลื่นคอมป์ตันและค่าคงตัวแรงดึงดูดระหว่างมวล (gravitational coupling constant) \alpha_G (เทียบได้กับค่าคงตัวโครงสร้างละเอียด)

มวลพลังค์ (Planck mass) เมื่อคำนวณเป็นค่าความยาวคอมป์ตันแล้วหารด้วยสองจะได้เท่ากับรัศมีชวาร์ซชิลด์ (Schwarzschild radius) หรือความยาวพลังค์ Planck length) \ell_P 

:\ell_P=\lambda_e\,\frac{\sqrt{\alpha_G}}{2\pi}

## อ้างอิง


## แหล่งข้อมูลอื่น
* Length Scales in Physics: the Compton Wavelength

ค
ค