การหารสังเคราะห์พหุนาม

thumb|189x189px|ภาพเคลื่อนไหวแสดงการหารสังเคราะห์ เพื่อหาผลหารของ <math>2x^4 + 3x^2 + 5x + 1</math> หารด้วย <math>x-2</math>  สังเกตได้ว่าไม่มีพจน์ <math>x^3</math> ดังนั้นหลักที่ 4 จากทางขวาจึงเป็นศูนย์
ในพีชคณิต **การหารสังเคราะห์พหุนาม** หรือ**การหารสังเคราะห์** (อังกฤษ: synthetic division) เป็นการคำนวนโดยใช้วิธีการหารพหุนามยุคลิด และเป็นวิธีที่สั้นกว่าการหารยาวพหุนาม 

ส่วนใหญ่จะสอนใช้กับแค่พหุนามโมนิกเชิงเส้น (กฎของรัฟฟินี) แต่สามารถวางนัยกับพหุนามทั่วไปได้

ข้อดีของการหารสังเคราะห์คือ สามารถทดได้โดยไม่ต้องเขียนตัวแปร คำนวนน้อย และใช้พื้นที่น้อยกว่าการหารยาว อีกทั้งการลบในการหารยาวเปลี่ยนเป็นการบวกแทนโดยเปลี่ยนเครื่องหมายตอนแรก ๆ ช่วยป้องกันการเขียนเครื่องหมายผิด

## การหารสังเคราะห์ปกติ
ตัวอย่างแรกคือการหารสังเคราะห์ที่มีตัวส่วนเป็นโมนิกเชิงเส้น x-a

\frac{x^3-12x^2-42}{x-3}

ตัวเศษเขียนใหม่ได้เป็น P(x)=x^3-12x^2+0x-42

รากของตัวส่วน g(x) คือ 3

สัมประสิทธิ์ของ P(x) เรียงได้ดังนี้ โดยเขียนรากของ g(x) ไว้ทางซ้าย

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{r} \\ 3 \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} \ 
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &     &   &     \\
        \hline 
    \end{array}
\end{array}

หลังเส้นกั้น ถูกดึงลงมาแถวสุดท้าย

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{r} \\ 3 \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr}  
        \color{blue}1 & -12 & 0 & -42 \\
          &     &   &     \\
        \hline 
        \color{blue}1 &     &   &     \\
    \end{array}
\end{array}

คูณกับ วางทแยงไปขวาบนในหลักถัดไป

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{r} \\ \color{grey}3 \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr}  
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &   \color{brown}3 &   &     \\
        \hline 
        \color{blue}1 &     &   &     \\
    \end{array}
\end{array}

กันภายในหลักถัดไป

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{c} \\ 3 \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr}  
        1 & \color{green}-12 & 0 & -42 \\
          &   \color{green}3 &   &     \\
        \hline 
        1 &  \color{green}-9 &   &     \\
    \end{array}
\end{array}

ทำสองขั้นตอนที่แล้วไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงหลักสุดท้าย

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{c} \\ 3 \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr}  
        1 & -12 &   0 & -42 \\
          &   3 & -27 & -81 \\
        \hline 
        1 & -9 & -27 & -123 
    \end{array}
\end{array}

ที่นี้ หลักสุดท้าย (-123) คือเศษเหลือ ที่เหลือจะเป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร

เขียนดีกรีจ่ากน้อยไปมากโดยเริ่มจากด้านขวา โดยเริ่มจากดีกรีศูนย์ทั้งเศษเหลือและผลหาร

	\begin{array}{rrr|r} 
    1x^2 &  -9x & -27 & -123 
\end{array}

ผลหารและเศษเหลือจะเป็นดังนี้

q(x) = x^2 - 9x - 27 


r(x) = -123

### การประยุกต์ใช้จากทฤษฎีบทเศษเหลือ
รูปแบบการหารสังเคราะห์ข้างต้นมีประโยชน์ในการหาเศษเหลือจากพหุนามตัวแปรเดียวจากทฤษฎีบทเศษเหลือ โดยสรุป ค่าของ P(x) ณ a จะเท่ากับเศษเหลือจากการหาร P(x) ด้วย x-a

ข้อดีจากการใช้วิธีนี้ตือการคูณน้อยลงประมาณครึ่งหนึ่งจากการแทนค่าเข้าไปตรง ๆ อีกวิธีทางเลือกคือวิธีของฮอร์เนอร์

## การหารสังเคราะห์ส่วนขยาย
วิธีนี้วางนัยได้กับการหารพหุนามโมนิกทั่วไปได้ ข้อแตกต่างจากวิธีปกติจะทำ**เส้นหนา** ใช้ขั้นตอนเหมือนกับวิธีปกติกับการหารพหุนามต่อไปนี้

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x^2 + x - 3}

ดูเฉพาะสัมประสิทธิ์ของตัวเศษ เขียนสัมประสิทธิ์ของพหุนามตัวตั้งข้างบน

	\begin{array}{|rrrr} 
\     1 & -12 & 0 & -42 
\end{array}

กลับเครื่องหมายตัวหาร

	\begin{array}{rrr} 
     -1x^2 &-1x &+3
\end{array}

เขียนทุกตัวยกเว้นตัวแรกทางซ้ายก่อนเส้นกั้น **เขียนทแยงไปทางขวาบน** (ดูภาพถัดไป)

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rr} \\ &\color{grey}3 \\ \color{grey}-1& \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} \ 
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &     &   &     \\
          &     &   &     \\
        \hline 
    \end{array}
\end{array}

สังเกตการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมาย**จาก 1 เป็น -1 และจาก -3 เป็น 3** ดึงหลังเส้นกั้นลงมาแถวสุดท้าย

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} 
        \color{blue}1 & -12 & 0 & -42 \\
          &     &   &     \\
          &     &   &     \\
        \hline 
        \color{blue}1 &     &   &     \\    
    \end{array}
\end{array}

คูณกับ**** วางทแยงไปขวาบน**จนกว่าจะคูณครบทุกเลขหน้าเส้นกั้น**ในหลักถัด ๆ ไป

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rr} \\ &\color{grey}3 \\ \color{grey}-1& \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} 
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &     & \color{brown}3 &     \\
          &  \color{brown}-1 &   &     \\
        \hline 
        \color{blue}1 &     &   &     \\    
    \end{array}
\end{array}

กันภายในหลักถัดไป

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} 
        1 & \color{green}-12 & 0 & -42 \\
          &     & 3 &     \\
          &  \color{green}-1 &   &     \\
        \hline 
        1 & \color{green}-13 &   &     \\    
    \end{array}
\end{array}

ทำสองขั้นตอนที่แล้วซ้ำไปเรื่อย ๆ **จนกว่าเส้นทแยงผลคูณจะเลยหลักสุดท้าย**

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} 
        1 & -12 &  0 & -42 \\
          &     &  3 & -39 \\
          &  -1 & 13 &     \\
        \hline 
        1 & -13 & 16 &     \\    
    \end{array}
\end{array}

แล้วก็บวกหลักที่เหลือ

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} 
        1 & -12 &  0 & -42 \\
          &     &  3 & -39 \\
          &  -1 & 13 &     \\
        \hline 
        1 & -13 & 16 & -81 \\    
    \end{array}
\end{array}

นับจำนวนตัวเลขหน้าเส้นกั้น เนื่องจากมีสองตัว เศษเหลือจึงมีดีกรีเป็นหนึ่ง สังเกตได้ว่าหลักที่ไม่ได้ถูกคูณจะเป็นเศษเหลือ ซึ่งเป็นสองหลักใต้เส้นกั้นที่นับจากทางขวา เขียนเส้นกั้นลงไป 

	\begin{array}{rr|rr} 
    1 &  -13 & 16 & -81 
\end{array}

เขียนดีกรีจ่ากน้อยไปมากโดยเริ่มจากด้านขวา โดยเริ่มจากดีกรีศูนย์ทั้งเศษเหลือและผลหาร

	\begin{array}{rr|rr} 
    1x &  -13 & 16x & -81 
\end{array}

ผลลัพท์จากการหารจะได้ดังนี้

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x^2 + x - 3} = x - 13 + \frac{16x - 81}{x^2 + x - 3}

### สำหรับตัวหารที่ไม่เป็นโมนิก
วิธีนี้ยังสามารถวางนัยทั่วไปให้สามารถใช้ได้กับพหุนามทั่วไป ไม่ใช่แค่พหุนามโมนิกโดยการดัดแปลงเล็กน้อย โดยปกติจะหารตัวหาร g(x) ด้วยสัมประสิทธิ์นำ a

h(x) = \frac{g(x)}{a}

แล้วหารสังเคราะห์โดยใช้ h(x) เป็นตัวหาร แล้วหารผลหารที่ได้ด้วย a ถึงจะได้ผลหารจากการหารด้วย g(x) (เศษเหลือยังคงเดิม) แต่วิธีนี้ผิดพลาดได้ง่ายเนื่องจากตัวคูณในการหารสังเคราะห์เป็นเศษส่วน

จากการสังเกตจากการหารยาวพหุนามด้วยตัวหารที่ไม่เป็นโมนิก สัมประสิทธิ์ P(x) จะถูกหารด้วยสัมประสิทธิ์นำของ g(x) หลังถูกดึงและก่อนคูณ

โดยแสดงจากการหารพหุนามดังต่อไปนี้

\frac{6x^3+5x^2-7}{3x^2-2x-1}

ใช้ตารางที่ถูกดัดแปลงเล็กน้อย

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rrr} \\ &1& \\ 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array}
    \begin{array}{|rrrr} 
        6 & 5 & 0 & -7 \\
          &     &  &     \\
          &    &   &     \\
        \hline
          &     &   &     \\ 
          &     &   &     \\   
    \end{array}
\end{array}

สังเกตว่ามีแถวเพิ่มขึ้นข้างล่าง ใช้เพื่อเขียนค่าหลังจากหารตัวที่ถูกดึงด้วยสัมประสิทธิ์นำของ g(x) (ในที่นี้คือ /3 สังเกตว่าตัวเลขนี้ไม่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย ต่างจากสัมประสิทธิ์ตัวอื่น ๆ ของ g(x))

ของ P(x) ถูกดึงลงมาตามเดิม

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rrr} \\ &1& \\ 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array}
    \begin{array}{|rrrr} 
        \color{blue} 6 & 5 & 0 & -7 \\
          &     &  &     \\
          &    &   &     \\
        \hline
        \color{blue} 6 &     &   &     \\ 
          &     &   &     \\   
    \end{array}
\end{array}

ลงมาหารด้วย 3 แล้วเขียนลงไปในแถวถัดไป

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rrr} \\ &1& \\ 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array}
    \begin{array}{|rrrr} 
        6 & 5 & 0 & -7 \\
          &     &  &     \\
          &    &   &     \\
        \hline
        \color{blue}6 &     &   &     \\ 
        \color{blue}2 &     &   &     \\   
    \end{array}
\end{array}

**ที่ถูกหารนี้** ไปคูณกับเลขหน้าเส้นกั้นและเขียนในแถวที่เป็นพหุคูณของ  ดังที่ได้อธิบายไว้ในวิธีส่วนขยายที่กล่าวไป

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rrr} \\ &\color{grey} 1& \\ \color{grey} 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array}
    \begin{array}{|rrrr} 
        6 & 5 & 0 & -7 \\
          &   & \color{brown} 2 &     \\
          & \color{brown} 4 &   &     \\
        \hline
        6 &     &   &     \\ 
        \color{blue} 2 &     &   &     \\   
    \end{array}
\end{array}

ถูกดึงและบวกกับ 4 ผลลัพท์จะถูกหารด้วย 3

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rrr} \\ &1& \\ 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array}
    \begin{array}{|rrrr} 
        6 & \color{green}5 & 0 & -7 \\
          &   & 2 &    \\
          & \color{green}4 &  &     \\
        \hline
        6 & \color{green}9 &   &     \\ 
        2 & \color{green} 3 &   &     \\   
    \end{array}
\end{array}

ทำเข่นเดียวกันกับ

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rrr} \\ &\color{gray}1& \\ \color{gray} 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array}
    \begin{array}{|rrrr} 
        6 & 5 & 0 & -7 \\
          &   & 2 &  \color{brown}3  \\
          & 4 & \color{brown}6 &     \\
        \hline
        6 & 9 &   &     \\ 
        2 & \color{blue}3 &   &     \\   
    \end{array}
\end{array}

ณ จุดนี้หลัวจากได้ผลบวกตัวที่สาม เส้นทแยงผลคูณจะ "ตกขอบขวา" ดังนั้นผลบวกตัวนี้จะเป็นสัมประสิทธิ์ตัวแรกของเศษเหลือ เหมือนในวิธีส่วนขยายที่ได้กล่าวไป แต่ค่าของเศษเหลือจะ**ไม่**ถูกหารด้วยสัมประสิทธิ์นำของตัวหาร

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rrr} \\ &1& \\ 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array}
    \begin{array}{|rrrr} 
        6 & 5 & 0 & -7 \\
          &   & 2 &  3  \\
          & 4 & 6 &     \\
        \hline
        6 & 9 & 8 & -4  \\ 
        2 & 3 &   &     \\   
    \end{array}
\end{array}

เหมือนในการหารสังเคราะห์แบบขยาย สองหลักสุดท้ายจะเป็นสัมประสิทธิ์เศษเหลือ (ดีกรีของตัวหารเป็น 2) ส่วนค่าที่เหลือจะเป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร

	\begin{array}{rr|rr} 
    2x &  +3 & 8x & -4 
\end{array}

ผลลัพท์จะได้ดังนี้

\frac{6x^3+5x^2-7}{3x^2-2x-1} = 2x + 3 + \frac{8x - 4}{3x^2-2x-1}

### การหารสังเคราะห์ส่วนขยายแบบย่อ
แต่ว่าการเขียน**แนวทแยง**จากที่ได้กล่าวมานั้น จะกินพื้นที่เมื่อดีกรีตัวหารเกินครึ่งหนี่งของตัวตั้ง พิจารณาได้จากการหารต่อไปนี้

\dfrac{a_7 x^7 + a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0}{b_4 x^4 - b_3 x^3 - b_2 x^2 - b_1 x - b_0}

จะเห็นได้ว่าจะเขียนผลคูณไว้ที่บรรทัดไหนก็ได้ ขอให้แค่ถูกหลักก็พอ โดยใช้**กลยุทธ์แบบละโมบ**ใน**การย่อ**ขั้นตอนวิธี ดังการหารต่อไปนี้

\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} \\ \\ \\ \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ &&&&/b_4 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr|rrrr} & & & & q_0 b_3 & & & \\ & & & q_1 b_3 & q_1 b_2 & q_0 b_2 & & \\ & & q_2 b_3 & q_2 b_2 & q_2 b_1 & q_1 b_1 & q_0 b_1 & \\ & q_3 b_3 & q_3 b_2 & q_3 b_1 & q_3 b_0 & q_2 b_0 & q_1 b_0 & q_0 b_0 \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & q_2' & q_1' & q_0' & r_3 & r_2 & r_1 & r_0 \\ q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & & & & \\ \end{array} \end{array}

ต่อไปนี้คือขั้นตอนวิธีของการหารสังเคราะห์ส่วนขยายแบบย่อ สามารถใช้ได้กับพหุนามไม่เป็นโมนิกอีกด้วย

# เขียนสัมประสิทธิ์ตัวตั้งบนเส้นกั้น
\begin{array}{cc} \begin{array}{|rrrrrrrr} \ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline \end{array} \end{array}
# กลับเครื่องหมายสัมประสิทธิ์ของตัวหาร ยกเว้นสัมประสิทธิ์ตัวนำ แล้วเขียนลงทางซ้ายของเส้นกัั้น
\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrrrrrr}\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline \end{array} \end{array}
# นับจำนวนสัมประสิทธิ์ตัวหารให้เท่ากับสัมประสิทธิ์หน้าเส้นกั้น โดยเริ่มจากหลักขวาสุด แล้วเขียนเส้นกั้นลงทางซ้ายเพื่อแบ่งหลักที่เป็นสัมประสิทธิ์ผลหารกับเศษเหลือ
\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr|rrrr} a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline & & & & & & & \\ \end{array} \end{array}
# ดึงสัมประสิทธิ์หลักแรกลงใต้เส้นกั้น
\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr|rrrr} a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & & & & & & & \\ \end{array} \end{array}
#* หารจำนวนที่ถูกดึง/บวกมาด้วยสัมประสิทธิ์นำของตัวหาร แล้วเขียนผลหารลงแถวข้างล่าง (ขั้นตอนนี้ไม่จำเป็นถ้าสัมประสิทธิ์ตัวนำตัวหารเป็น 1) ในที่นี้ q_3 = \frac{a_7}{b_4} ซึ่งดัชนีของ q เป็น 3=7-4 นั้นเกิดจากการลบดัชนีของตัวตั้งกับตัวหาร
#* คูณจำนวนที่ถูกดึง/บวกหรือที่ถูกหาร ด้วยสัมประสิทธิ์ตัวหารที่ถูกกลับเครื่องหมายหน้าเส้นกั้น (เริ่มจากซ้ายสุด) ข้ามขั้นตอนนี้ถ้าจำนวนที่ถูกดึง/บวกหรือที่ถูกหารเป็นศูนย์ เขียนผลคูณในหลักถัด ๆ ไปตามลำดับ\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ &&&&/b_4 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr|rrrr} & q_3 b_3 & q_3 b_2 & q_3 b_1 & q_3 b_0 & & & \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & & & & & & & \\ q_3 & & & & & & & \\ \end{array} \end{array}
# ทำการบวกภายในหลักถัดไป ในที่นี้ q'_2=q_3b_3+a_6
\begin{array}{cc}\begin{array}{rrrr} \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ &&&&/b_4 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr|rrrr} & q_3 b_3 & q_3 b_2 & q_3 b_1 & q_3 b_0 & & & \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & q_2' & & & & & & \\ q_3 & & & & & & & \\ \end{array} \end{array}
# ทำสองขั้นตอนที่แล้วซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงเลขหน้าเส้นกั้น i. ให้ q_2 = \frac{q_2'}{b_4}
\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} \\ \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ &&&&/b_4 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr|rrrr} & & q_2 b_3 & q_2 b_2 & q_2 b_1 & & & \\ & q_3 b_3 & q_3 b_2 & q_3 b_1 & q_3 b_0 & q_2 b_0 & & \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & q_2' & q_1' & & & & & \\ q_3 & q_2 & & & & & & \\ \end{array} \end{array} ii.ให้ q_1 = \frac{q_1'}{b_4}
\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} \\ \\ \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ &&&&/b_4 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr|rrrr} & & & q_1 b_3 & q_1 b_2 & & & \\ & & q_2 b_3 & q_2 b_2 & q_2 b_1 & q_1 b_1 & & \\ & q_3 b_3 & q_3 b_2 & q_3 b_1 & q_3 b_0 & q_2 b_0 & q_1 b_0 & \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & q_2' & q_1' & q_0' & & & & \\ q_3 & q_2 & q_1 & & & & & \\ \end{array} \end{array} iii.ให้ q_0 = \frac{q_0'}{b_4}
\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} \\ \\ \\ \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ &&&&/b_4 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr|rrrr} & & & & q_0 b_3 & & & \\ & & & q_1 b_3 & q_1 b_2 & q_0 b_2 & & \\ & & q_2 b_3 & q_2 b_2 & q_2 b_1 & q_1 b_1 & q_0 b_1 & \\ & q_3 b_3 & q_3 b_2 & q_3 b_1 & q_3 b_0 & q_2 b_0 & q_1 b_0 & q_0 b_0 \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & q_2' & q_1' & q_0' & r_3 & & & \\ q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & & & & \\ \end{array} \end{array}
# ทำการบวกหลักที่เหลือ (เพื่อคำนวนหาเศษเหลือ)
\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} \\ \\ \\ \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ &&&&/b_4 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr|rrrr} & & & & q_0 b_3 & & & \\ & & & q_1 b_3 & q_1 b_2 & q_0 b_2 & & \\ & & q_2 b_3 & q_2 b_2 & q_2 b_1 & q_1 b_1 & q_0 b_1 & \\ & q_3 b_3 & q_3 b_2 & q_3 b_1 & q_3 b_0 & q_2 b_0 & q_1 b_0 & q_0 b_0 \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & q_2' & q_1' & q_0' & r_3 & r_2 & r_1 & r_0 \\ q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & & & & \\ \end{array} \end{array}
# ในแถวล่างสุดใต้เส้นกั้เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม ส่วนหน้าเส้นกั้นเป็นของผลหาร ส่วนหลังเส้นกั้นเป็นเศษเหลือ สัมประสิทธิ์เหล่านี้มีดีกรีเพิ่มขึ้นจากขวาไปซ้าย โดยเริ่มที่ศูนย์ทั้งผลหารและเศษเหลือ
\dfrac{a_7 x^7 + a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0}{b_4 x^4 - b_3 x^3 - b_2 x^2 - b_1 x - b_0} = q_3 x^3 + q_2 x^2 + q_1 x + q_0 + \dfrac{r_3 x^3 + r_2 x^2 + r_1 x + r_0}{b_4 x^4 - b_3 x^3 - b_2 x^2 - b_1 x - b_0}

## ดูเพิ่ม

* โดเมนแบบยุคลิด
* ตัวหารร่วมมากของสองพหุนาม
* ฐานหลักเกริบเนอร์
* แบบแผนฮอร์เนอร์
* ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม
* กฎของรัฟฟินี

## อ้างอิง

* 
* 

## แหล่งข้อมูลอื่น

* 
* 

หมวดหมู่:พหุนาม
หมวดหมู่:การหาร