สมการเชิงเส้น

thumb|ตัวอย่างกราฟของสมการเชิงเส้น
**สมการเชิงเส้น** คือสมการที่แต่ละพจน์มีเพียงค่าคงตัว หรือเป็นผลคูณระหว่างค่าคงตัวกับตัวแปรยกกำลังหนึ่ง ซึ่งจะมีดีกรีของพหุนามเท่ากับ 0 หรือ 1 สมการเหล่านี้เรียกว่า "เชิงเส้น" เนื่องจากสามารถวาดกราฟของฟังก์ชันบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้เป็นเส้นตรง รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงเส้นในตัวแปร *x* และ *y* คือ
::y = mx + c \!
โดยที่ *m* คือค่าคงตัวที่แสดงความชันหรือเกรเดียนต์ของเส้นตรง และพจน์ *b* แสดงจุดที่เส้นตรงนี้ตัดแกน *y* สำหรับสมการที่มีพจน์ *x*2, *y*1/3, *xy* ฯลฯ ที่มีดีกรีมากกว่าหนึ่งไม่เรียกว่าเป็นสมการเชิงเส้น

## ตัวอย่าง
สมการเหล่านี้ล้วนเป็นสมการเชิงเส้น
::

::3a + 472b = 10b -
 37 \!

::2x + y -5 = -7x + 4y +3 \!

## รูปแบบของสมการเชิงเส้นในสองมิติ
สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน อย่างเช่นตัวอย่างข้างบน สามารถเขียนใหม่โดยใช้กฎเกณฑ์ของพีชคณิตมูลฐานให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายขึ้น 

ในสิ่งที่จะอธิบายต่อไปนี้ อักษรตัวใหญ่ใช้แทนค่าคงตัว (ที่ไม่ระบุจำนวน) ในขณะที่ *x* และ *y* คือตัวแปร

### รูปแบบทั่วไป
::Ax + By + C = 0 \!
เมื่อ *A* กับ *B* ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน สมการในรูปแบบนี้มักเขียนให้ *A* ≥ 0 เพื่อความสะดวกในการคำนวณ กราฟของสมการจะเป็นเส้นตรง และทุก ๆ เส้นตรงสามารถนำเสนอให้อยู่ในรูปแบบข้างต้นนี้ได้ เมื่อ *A* ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน *x* จะอยู่ที่ระยะ −*C*/*A* และเมื่อ *B* ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน *y* จะอยู่ที่ระยะ −*C*/*B* ส่วนความชันของเส้นตรงนี้มีค่าเท่ากับ −*A*/*B*

### รูปแบบมาตรฐาน
::Ax + By = C \!
เมื่อ *A* และ *B* ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และทั้ง *A*, *B*, *C* จะต้องเป็นจำนวนเต็มที่มีตัวหารร่วมมากเท่ากับ 1 และมักเขียนให้ *A* ≥ 0 เพื่อความสะดวกเช่นกัน รูปแบบมาตรฐานนี้สามารถแปลงให้เป็นรูปแบบทั่วไปได้ไม่ยากนัก

เช่น
#2x - 3 = y
#2x - 3y = 14
#-2x + 2y = 10
#6x + 4y = 14
#3x + 2y = 8

### รูปแบบความชันและระยะตัดแกน
::y = mx + b \!
เมื่อ *m* แทนความชันของเส้นตรง และ *b* คือระยะตัดแกน *y* ซึ่งเป็นพิกัด *y* ของจุดที่เส้นตรงนั้นตัดผ่านแกน *y* ถ้าหากให้ค่า *x* = 0 เราจะเห็นสมการนี้อยู่ในรูปแบบ *y* = *b*

### รูปแบบจุดและความชัน
::y - y_1 = m \cdot (x - x_1) \!
เมื่อ *m* คือความชันของเส้นตรงและ (*x*1, *y*1) คือจุดใด ๆ บนเส้นตรงนั้น ซึ่งสามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปแบบความชันและระยะตัดแกนได้โดยง่าย รูปแบบจุดและความชันแสดงให้เห็นถึงระยะทางระหว่างจุดสองจุดบนเส้นตรงนั้นในแนวแกน *x* และแกน *y* โดยมีจุด (*x*1, *y*1) เป็นจุดยืน 

ในบางโอกาสเราอาจเห็นรูปแบบจุดและความชันอยู่ในรูปแบบนี้

::\frac{y - y_1}{x - x_1} = m
แต่อย่างไรก็ตาม ถ้าหาก *x* = *x*1 สมการนี้จะไม่มีความหมาย

### รูปแบบระยะตัดแกน
:: \frac{x}{E} + \frac{y}{F} = 1
เมื่อ *E* และ *F* ต้องไม่เป็นศูนย์ทั้งคู่ กราฟของสมการนี้จะมีระยะตัดแกน *x* เท่ากับ *E* และระยะตัดแกน *y* เท่ากับ *F* รูปแบบระยะตัดแกนสามารถแปลงให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้โดยกำหนดให้ *A* = 1/*E*, *B* = 1/*F* และ *C* = 1

### รูปแบบจุดสองจุด
::y - k = \frac{q - k}{p - h} (x - h)
เมื่อ *p* ≠ *h* กราฟนี้จะเป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (*h*, *k*) และจุด (*p*, *q*) โดยมีความชันเท่ากับ *m* = (*q* − *k*) / (*p* − *h*) รูปแบบจุดสองจุดสามารถแปลงให้เป็นรูปแบบจุดและความชันได้ โดยการคำนวณหาค่าที่เจาะจงของความชันมาแทนที่ตำแหน่งของ *m*

### รูปแบบอิงพารามิเตอร์
::\begin{align} x & = Tt + U \\ y & = Vt + W \end{align}
รูปแบบนี้เป็นสมการหลายชั้น (simultaneous equations) สองสมการในพจน์ของตัวแปรพารามิเตอร์ *t* ที่มีความชัน *m* = *V*/*T* โดยมีระยะตัดแกน *x* อยู่ที่ (*VU*−*WT*) / *V* และระยะตัดแกน *y* อยู่ที่ (*WT*−*VU*) / *T*

สมการรูปแบบนี้มีความสัมพันธ์กับรูปแบบจุดสองจุด เมื่อ *T* = *p*−*h*, *U* = *h*, *V* = *q*−*k*, และ *W* = *k* จะได้

::\begin{align} x & = (p - h)t + h \\ y & = (q - k)t + k \end{align}
ซึ่งในกรณีนี้ค่าของ *t* จะแปรผันตั้งแต่ 0 ที่จุด (*h*, *k*) ไปยัง 1 ที่จุด (*p*, *q*) ค่าของ *t* ที่อยู่ระหว่าง 0 กับ 1 ทำให้เกิดการประมาณค่าในช่วง (interpolation) ส่วนค่าอื่นของ *t* จะทำให้เกิดการประมาณค่านอกช่วง (extrapolation)

### รูปแบบเส้นแนวฉาก
::y \sin \phi + x \cos \phi - p = 0 \!
เมื่อ *φ* คือมุมเอียงของเส้นแนวฉาก และ *p* คือความยาวของเส้นแนวฉาก เส้นแนวฉากนี้คือระยะทางของส่วนของเส้นตรงที่สั้นที่สุด ที่เชื่อมระหว่างกราฟเส้นตรงของสมการเชิงเส้นกับจุดกำเนิด รูปแบบเส้นแนวฉากสามารถแปลงจากรูปแบบทั่วไปได้โดยหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย \sqrt{A^2 + B^2} และถ้าหาก C > 0 ให้คูณสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย −1 เพื่อให้ค่าคงตัวตัวสุดท้ายติดลบ รูปแบบนี้เรียกว่า *รูปแบบมาตรฐานเฮสส์* ซึ่งตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแด่นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ลุดวิก ออตโต เฮสส์ (Ludwig Otto Hesse)

### กรณีพิเศษ
::y = F \!
สมการนี้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเมื่อ *A* = 0 และ *B* = 1 หรือในรูปแบบความชันและระยะตัดแกนเมื่อความชัน *m* = 0 กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นตรงในแนวนอนโดยที่มีระยะตัดแกน *y* เท่ากับ *F* ถ้า *F* ≠ 0 กราฟนี้จะไม่มีระยะตัดแกน *x* แต่ถ้า *F* = 0 กราฟนี้จะมีระยะตัดแกน *x* เป็นจำนวนจริงทุกจำนวน

::x = E \!
สมการนี้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเมื่อ *A* = 1 และ *B* = 0 กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นตรงในแนวดิ่งโดยที่มีระยะตัดแกน *x* เท่ากับ *E* ส่วนความชันนั้นไม่นิยาม ถ้า *E* ≠ 0 กราฟนี้จะไม่มีระยะตัดแกน *y* แต่ถ้า *E* = 0 กราฟนี้จะมีระยะตัดแกน *y* เป็นจำนวนจริงทุกจำนวน

::y = y \! และ x = x \!
ในกรณีนี้ทั้งตัวแปรและและค่าคงตัวทั้งหมดถูกตัดออกไป เหลือไว้เพียงประพจน์ที่เป็นจริงอย่างชัดเจน สมการเหล่านี้จะเรียกว่าเป็นเอกลักษณ์ และไม่จำเป็นที่จะพิจารณาในรูปแบบกราฟ (เนื่องจากหมายถึงจุดทุกจุดบนระนาบ *xy*) ดังตัวอย่าง 2x + 4y = 2(x + 2y) นิพจน์ทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับนั้นเท่ากันเสมอ ไม่ว่าค่าของ *x* และ *y* จะเป็นค่าใด

โปรดสังเกตว่าการปรับเปลี่ยนทางพีชคณิต อาจทำให้ประพจน์เกิดความเป็นเท็จ อาทิ **1 = 0** ซึ่งเราจะเรียกสมการนั้นว่าเป็น *สมการที่ขัดแย้งกัน* หมายความว่า ไม่ว่าค่าของ *x* และ *y* จะเป็นค่าใด สมการก็ยังเป็นเท็จอยู่เสมอและไม่สามารถวาดกราฟได้ ดังเช่นสมการนี้ 3x + 2 = 3x - 5

## สมการเชิงเส้นที่มากกว่าสองตัวแปร
สมการเชิงเส้นสามารถมีตัวแปรได้มากกว่า 2 ตัว สมการเชิงเส้นทั่วไปที่มีจำนวนตัวแปร *n* ตัวสามารถเขียนได้ในรูปแบบ
::a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b
ซึ่ง a_1, a_2, ..., a_n เป็นสัมประสิทธิ์ x_1, x_2, ..., x_n คือตัวแปร และ *b* คือค่าคงตัว เมื่อเราต้องการเขียนสมการตัวแปรน้อย ๆ เช่น 3 ตัว เราอาจแทนที่ x_1, x_2, x_3 ด้วยชื่อตัวแปรอื่น ๆ เช่น x, y, z ได้ตามต้องการ

สมการดังกล่าวจะเป็นการนำเสนอระนาบเกิน *n*–1 มิติ (hyperplane) ในปริภูมิแบบยุคลิด *n* มิติ เช่นระนาบสองมิติในปริภูมิสามมิติ เป็นต้น

## ดูเพิ่ม
* เส้นตรง
* สมการกำลังสอง
* สมการกำลังสาม
* สมการกำลังสี่
* สมการกำลังห้า

## แหล่งข้อมูลอื่น
* Algebraic Equations at EqWorld.

หมวดหมู่:พีชคณิตมูลฐาน
หมวดหมู่:สมการ