สมการแฟรแนล

[thumb|270x270px|คลื่นที่เกิดการสะท้อนและการหักเหเมื่อแผ่จากตัวกลางที่มี[ดรรชนีหักเหต่ำไปสูง]]
**สมการแฟรแนล** (, ) หรือ **สัมประสิทธิ์แฟรแนล** () เป็นชุดของสมการในทางทัศนศาสตร์ซึ่งค้นพบและอธิบายโดยนักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศส โอกุสแต็ง-ฌ็อง แฟรแนล เพื่ออธิบายการสะท้อน และ การหักเห ของแสงเมื่อแผ่ผ่านตัวกลางสองชนิดที่มีค่าดรรชนีหักเหต่างกัน การสะท้อนที่อธิบายโดยสมการนี้อาจเรียกอีกอย่างว่า "การสะท้อนแบบแฟรแนล"

## ภาพรวม
เมื่อแสงเดินทางจากตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหเป็น n_1\,ไปยังตัวกลางอีกตัวที่มีดรรชนีหักเหเป็น n_2\,จะเกิดการสะท้อนและหักเหของแสงขึ้นพร้อมกันที่จุดรอยต่อของตัวกลางทั้งสอง สมการแฟรแนลสามารถอธิบายว่าองค์ประกอบต่าง ๆ ของคลื่นแสงจะถูกหักเหและสะท้อนอย่างไร และยังอธิบายถึงการเปลี่ยนแปลงเฟส เมื่อคลื่นสะท้อนกลับ

เงื่อนไขสำหรับสมการคือ: ผิวจุดเปลี่ยนเป็นระนาบเรียบ (ไม่ขรุขระ) และแสงที่ตกกระทบเป็นคลื่นระนาบ

### โพลาไรเซชัน s และ p
ผลการคำนวณขึ้นอยู่กับสถานะโพลาไรเซชัน ของแสงที่ตกกระทบ โดยจะแบ่งออกเป็นสองกรณี คือ

# เมื่อองค์ประกอบสนามไฟฟ้าของแสงตกกระทบโพลาไรซ์ตั้งฉากกับระนาบที่เกิดจากแสงตกกระทบและแสงสะท้อน สถานะของแสงที่ตกกระทบในที่นี้เรียกว่า "คลื่น s" โดย s มาจากภาษาเยอรมัน "*senkrecht* " แปลว่า "ตั้งฉาก"
# เมื่อองค์ประกอบสนามไฟฟ้าของแสงตกกระทบโพลาไรซ์ขนานกับระนาบที่เกิดจากแสงตกกระทบและแสงสะท้อน สถานะของแสงที่ตกกระทบในที่นี้เรียกว่า "คลื่น p" โดย p มาจากคำว่า "*parallel* " ในภาษาเยอรมัน แปลว่า "ขนาน"

อนึ่ง ตั้งฉากและขนานในที่นี้กล่าวถึงทิศทางขององค์ประกอบสนามไฟฟ้าเท่านั้น ส่วนองค์ประกอบสนามแม่เหล็กจะถูกกำหนดตามมาโดยกฎมือขวา 
right|thumb|300x300px| ภาพประกอบแสดงตัวแปรที่ใช้ในสมการแฟรแนล ผิวรอยต่อ (interface) แสดงในแนวตั้ง ส่วนแนวฉาก (normal) เป็นแนวนอน

## สมการความเข้มแสง
ในภาพด้านขวา เมื่อแสงตกกระทบ **PO** มาถึงจุด **O** บนส่วนรอยต่อระหว่างตัวกลางทั้งสอง แสงส่วนหนึ่งจะสะท้อนไปทาง **OQ** ในขณะที่อีกส่วนหักเหไปทาง **OS** ให้มุมระหว่างเส้นแนวฉากกับรังสีตกกระทบ, รังสีสะท้อน และรังสีหักเหเป็น \theta_i\,, \theta_r\, และ \theta_t\,ตามลำดับ

มุมของรังสีตกกระทบจะเท่ากับมุมของรังสีสะท้อนตามกฎการสะท้อน:

\theta_\mathrm{i} = \theta_\mathrm{r}

และความสัมพันธ์ระหว่างมุมตกกระทบกับมุมของรังสีหักเหเป็นไปตามกฎของสแน็ล คือ:

\frac{\sin\theta_\mathrm{i}}{\sin\theta_\mathrm{t}} = \frac{n_2}{n_1}

อัตราส่วนของความเข้มของแสงที่สะท้อนต่อแสงที่ตกกระทบบนพื้นผิวคือค่า ความสะท้อน R\, ส่วนอัตราส่วนของการแสงที่หักเหคือค่า ความส่งผ่าน T\, การคำนวณค่าความสะท้อนและความส่งผ่านต้องใช้ทฤษฎีการแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ในวิชาพลศาสตร์ไฟฟ้า  รายละเอียดอาจอ่านได้ที่ "หลักการทางทัศนศาสตร์: ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของการแผ่ของแสง การแทรกสอด และการเลี้ยวเบน" ของ มัคส์ บอร์น หรือ "กลศาสตร์ไฟฟ้าพลศาสตร์แบบคลาสสิก" ของแจ็กสัน

รูปแบบเฉพาะของการสะท้อนแสงและการส่งผ่านยังเกี่ยวข้องกับโพลาไรเซชันของแสงที่ตกกระทบ ถ้าเวกเตอร์องค์ประกอบสนามไฟฟ้าของแสงที่ตกกระทบตั้งฉากกับระนาบของภาพ (คือคลื่น s) ความสะท้อนจะเป็น

: R_s = \left[ \frac{\sin (\theta_t - \theta_i)}{\sin (\theta_t + \theta_i)} \right]^2
=\left(\frac{n_1\cos\theta_i-n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i+n_2\cos\theta_t}\right)^2
=\left[\frac{n_1\cos\theta_i-n_2\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i\right)^2}}{n_1\cos\theta_i+n_2\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i\right)^2}}\right]^2

ในที่นี้มุมของรังสีหักเห \theta_t\, ถูกแทนด้วยมุมของรังสีตกกระทบ \theta_i\, โดยกฎของสแน็ล แล้วแปลงด้วยเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

ถ้าเวกเตอร์องค์ประกอบสนามไฟฟ้าของแสงที่ตกกระทบขนานกับระนาบของภาพ (คือคลื่น p) ความสะท้อนจะเป็น

: R_p = \left[ \frac{\tan (\theta_t - \theta_i)}{\tan (\theta_t + \theta_i)} \right]^2
=\left(\frac{n_1\cos\theta_t-n_2\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_t+n_2\cos\theta_i}\right)^2
=\left[\frac{n_1\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i\right)^2}-n_2\cos\theta_i}{n_1\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i\right)^2}+n_2\cos\theta_i}\right]^2

ไม่ว่าในกรณีใด ค่าความส่งผ่านจะได้เป็น T = 1 - R\,

หากแสงที่ตกกระทบเป็นแสงไม่โพลาไรซ์ (ประกอบด้วย ส่วน s และ ส่วน p ในปริมาณที่เท่ากัน) ค่าความสะท้อนโดยรวมคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของทั้งสอง

R = \frac{R_s + R_p}{2}\,

อัตราส่วนของแอมพลิจูดของคลื่นแสงที่สะท้อนและหักเหต่อแอมพลิจูดของคลื่นแสงที่ตกกระทบ จะหาได้จากสมการที่คล้ายกัน แอมพลิจูดการสะท้อนและแอมพลิจูดการส่งผ่านมักจะเขียนด้วยตัวพิมพ์เล็ก r\, และ t\, โดยมีความสัมพันธ์กับค่าความสะท้อน R\, และความส่งผ่าน T\, คือ:

: R=r^2
: และ
: T=\left(\frac{n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i}\right)t^2&nbsp;

สำหรับแสงตกกระทบที่เป็นคลื่น p ค่า R_p\,จะเป็นศูนย์ที่มุมตกกระทบเป็นค่าจำเพาะค่าหนึ่ง ในกรณีนี้คลื่น p จะถูกส่งผ่านอย่างสมบูรณ์โดยไม่มีการสะท้อนออกมา มุมนี้เรียกว่า มุมบริวสเตอร์ สำหรับกรณีที่ตัวกลางเป็นแก้วในอากาศหรือในสุญญากาศมุมนี้จะมีค่าประมาณ 56° อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความนี้ใช้ได้สำหรับตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหเป็นจำนวนจริงเท่านั้น สำหรับวัสดุที่ดูดกลืนแสง เช่น โลหะ และ สารกึ่งตัวนำ ดรรชนีหักเหจะเป็นจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้น R_p\, โดยทั่วไปไม่เป็นศูนย์

เมื่อแสงแผ่จากตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหสูงไปยังตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหต่ำกว่า (คือ n_1\ > n_2\,) จะมีค่ามีมุมตกกระทบวิกฤต ซึ่งแสงที่ตกกระทบมากกว่ามุมตกกระทบนี้จะถูกสะท้อนโดยพื้นผิวอย่างสมบูรณ์ทั้งคลื่น s และ p นั่นคือ R_s = R_p = 1\, ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า การสะท้อนกลับทั้งหมด ค่ามุมวิกฤตนี้มีค่าประมาณ 41° สำหรับแก้วในอากาศ

ไฟล์:Fresnel2.png

เมื่อรังสีตกกระทบทำมุมเกือบตั้งฉาก (\theta_i \approx \theta_t \approx 0\,) ความสะท้อนและความส่งผ่านจะเป็น:

: R = R_s = R_p = \left( \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} \right)^2
: T = T_s = T_p = 1-R = \frac{4 n_1 n_2}{\left(n_1 + n_2 \right)^2} 

สำหรับแก้วธรรมดา ค่าความสะท้อนจะอยู่ที่ประมาณ 4% อย่างไรก็ตาม การสะท้อนของคลื่นแสงข้างหน้าต่างรวมถึงชั้นด้านหน้าและชั้นด้านหลัง ดังนั้นคลื่นแสงจำนวนเล็กน้อยจะสะท้อนไปมาระหว่างชั้นทั้งสองก่อให้เกิดการแทรกสอดขึ้น หากละเลยผลของการแทรกสอดนี้ ความสะท้อนรวมของทั้งสองชั้นคือ

: \frac{2R}{1 + R}\,

หมายเหตุว่า คำอธิบายทั้งหมดในข้างต้นนี้ถือว่าค่าสภาพให้ซึมผ่านได้ทางแม่เหล็กของตัวกลาง \mu\, มีค่าเท่ากับสภาพให้ซึมผ่านได้ของสุญญากาศ \mu_0\, ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะเป็นจริงสำหรับวัสดุไดอิเล็กตริกส่วนใหญ่ แต่ไม่ใช่สำหรับสสารโดยทั่วไป ดังนั้น รูปแบบของสมการแฟรแนลที่ใช้จริงจึงซับซ้อนยิ่งกว่านี้

## อ้างอิง

## ดูเพิ่ม
* 
* 
หมวดหมู่:สมการ
หมวดหมู่:ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต
หมวดหมู่:โพลาไรเซชัน
หมวดหมู่:ทัศนศาสตร์เชิงฟิสิกส์