กฎของแก๊สอุดมคติ

**กฎของแก๊สอุดมคติ** () บ้างก็เรียกว่า **สมการแก๊สทั่วไป** เป็นสมการของสภาวะ (equation of state) ของแก๊สอุดมคติ (ideal gas) สมมุติและเป็นการประมาณพฤติกรรมของแก๊สที่ดีภายใต้สภาวะต่าง ๆ แม้ยังมีข้อจำกัดอยู่หลายข้อ ถูกกล่าวถึงเป็นครั้งแรกโดย เบอนัว ปอล เอมีล กลาแปรง ในปี ค.ศ. 1834 เป็นการรวมกันของกฏของบอยล์ (Boyle's law), กฎของชาร์ล (Charles's law), กฎของอาโวกาโดร และกฎของแก-ลูว์ซัก (Gay-Lussac's law) ซึ่งเป็นเชิงประจักษ์ กฎของแก๊สอุดมคติมักถูกเขียนอยู่ในรูปเชิงประจักษ์:

:PV = nRT

โดย P, V และ T คือ ความดัน, ปริมาตร และอุณหภูมิ (Thermodynamic temperature) n คือ จำนวนของสสาร (amount of substance) และ R คือ ค่าคงตัวของแก๊สซึ่งมีค่าเท่าเดิมไม่ว่าเป็นแก๊สชนิดใด เราสามารถอนุพัทธ์สมการนี้ได้จากทฤษฎีจลน์ของแก๊สในระดับจุลทรรศน์ดังเช่นที่ได้กระทำแล้ว (โดยอิสระจากกัน) โดย เอากุสต์ เครอนิค (August Krönig) ในปี ค.ศ. 1856 และ รูด็อล์ฟ เคลาซีอุส ในปี ค.ศ. 1857

## สมการ

สภาวะ (state function) ของแก๊สปริมาณหนึ่งถูกกำหนดโดยความดัน, ปริมาตร และอุณหภูมิ สมการรูปแบบปัจจุบันแสดงความสัมพันธ์เหล่านี้เป็นสองรูปแบบอย่างง่าย อุณหภูมิในสมการของสภาวะเป็นอุณหภูมิสัมบูรณ์ซึ่งมีหน่วย SI เป็นเคลวิน

### รูปแบบสามัญ

รูปแบบที่พบได้บ่อยที่สุด คือ:

:pV = nRT = nk_\text{B}N_\text{A}T

โดย:
* p คือ ความดันของแก๊ส
* V คือ ปริมาตรของแก๊ส
* n คือ ปริมาณของสสารของแก๊ส (หรือจำนวนโมล)
* R คือ ค่าคงตัวของแก๊สอุดมคติหรือสากลซึ่งเท่ากับผลคูณของค่าคงตัวบ็อลทซ์มันกับค่าคงตัวอาโวกาโดร
* k_\text{B} คือ ค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน
****<math>N_{A}</math>*** คือ ค่าคงตัวอาโวกาโดร
*T คือ อุณหภูมิสัมบูรณ์ของแก๊ส

ในหน่วย SI *p* ถูกวัดเป็นปาสกาล *V* ถูกวัดเป็นลูกบาศก์เมตร *n* ถูกวัดเป็นโมล และ *T* ถูกวัดเป็นเคลวิน (มาตราวัดเคลวินคือมาตราวัดเซลเซียสที่ถูกเลื่อนซึ่งอุณหภูมิที่ต่ำที่สุด 0.00 K = −273.15&nbsp;°C) *R* มีค่าเท่ากับ 8.314 J/(K·mol) ≈ 2 cal/(K·mol) หรือ 0.0821 l·atm/(mol·K)

### รูปแบบโมลาร์
เราสามารถระบุปริมาณแก๊สที่มีอยู่ได้จากมวลแทนปริมาณทางเคมีได้ ดังนั้นจึงมีประโยชน์หากเรามีกฎของแก๊สอุดมคติอีกรูปแบบหนึ่ง ปริมาณทางเคมี (*n*) (หน่วยเป็นโมล) เท่ากับมวลรวมของแก๊ส (*m*) (หน่วยเป็นกิโลกรัม) หารด้วยมวลโมลาร์ (molar mass) (*M*) (หน่วยเป็นกิโลกรัมต่อโมล):
:  n = \frac{m}{M} 
เมื่อแทน *n* ด้วย *m*/*M* แล้วใส่ความหนาแน่น *ρ* = *m*/*V* ลงไปในสมการ เราจะได้:
:  pV = \frac{m}{M} RT 
:  p = \frac{m}{V} \frac{RT}{M} 
:  p = \rho \frac{R}{M} T 
ให้นิยามค่าคงตัวของแก๊สจำเพาะ *R*specific(r) เป็นอัตราส่วน *R*/*M*
:  p = \rho R_\text{specific}T 
กฎของแก๊สอุดมคติรูปแบบนี้มีประโยชน์อย่างมากมาก เพราะสามารถเชื่อมโยงความดัน ความหนาแน่น และอุณหภูมิเข้าด้วยกันในสูตรที่เป็นเอกลักษณ์ซึ่งไม่พึ่งพาปริมาณของแก๊สที่เราพิจารณา กฎนี้สามารถเขียนเป็นอีกแบบได้โดยใช้ค่าปริมาตรจำเพาะ *v* ซึ่งเป็นส่วนกลับของความหนาแน่น:
:  pv = R_\text{specific}T 

ในการใช้งานทางวิศวกรรมและอุตุนิยมวิทยา ค่าคงตัวของแก๊ส **จำเพาะ** มักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ *R* และค่าคงตัวของแก๊ส **สากล** จะใช้สัญลักษณ์ต่างจากเดิมเป็น \bar R หรือ R^* เพื่อแยกแยะทั้งสองค่าจากกัน อย่างไรก็ตาม บริบทและ/หรือหน่วยของค่าคงตัวของแก๊สจะเป็นตัวบอกให้กระจ่างเองว่าสัญลักษณ์นั้นแทนค่าคงตัวของแก๊สแบบจำเพาะหรือสากล

### กลศาสตร์สถิติ
ในกลศาสตร์สถิติ (statistical mechanics) เราสามารถอนุพัทธ์หาสมการเชิงโมเลกุลได้จาก p ในสมการแรก

โดย  คือ ความดันสัมบูรณ์ของแก๊ส,  คือ ความหนาแน่นเชิงจำนวนของโมเลกุล (กำหนดเป็นอัตราส่วน  =  ซึ่งต่างจากรูปสมการก่อนที่  เป็น *จำนวนโมล*),  คือ อุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์ และ  คือ ค่าคงตัวบ็อลทซ์มันซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานและอุณหภูมิ กำหนดว่า:

:  k_\text{B} = \frac{R}{N_\text{A}} 

โดย  คือ ค่าคงตัวอาโวกาโดร

จากนี่เราพบว่าแก๊สมวล  มีมวลอนุภาคเฉลี่ยเท่ากับ  คูณค่าคงตัวมวลอะตอม  (หรือเท่ากับ  u) จำนวนของโมเลกุลเท่ากับ:

: N = \frac{m}{\mu m_\text{u}} 

เนื่องจาก  เราจึงสามารถเขียนกฎของแก๊สอุดมคติอีกแบบได้เป็น

: P = \frac{1}{V}{N}k_\text{B} T = \frac{1}{V}\frac{m}{\mu m_\text{u}} k_\text{B} T = \frac{k_\text{B}}{\mu m_\text{u}} \rho T 

ในหน่วย SI  มีหน่วยเป็นปาสกาล,  มีหน่วยเป็นลูกบาศก์เมตร,  มีหน่วยเป็นเคลวิน และ 

### กฎรวมของแก๊ส
นำกฎของชาร์ล กฎของบอยล์ และกฎของแก-ลูว์ซักมารวมกันแล้วได้ **กฎรวมของแก๊ส** ซึ่งมีรูปแบบการใช้งานแบบเดียวกับกฎของแก๊สอุดมคติ หากแต่ไม่ระบุจำนวนโมลของแก็สและสมมุติว่าอัตราส่วน PV ต่อ T เป็นค่าคงตัว (nR = k):

:\frac{PV}{T}=k,

โดย P คือ ความดันของแก๊ส, V คือ ปริมาตรของแก๊ส, T คือ อุณหภูมิสัมบูรณ์ของแก๊ส และ k เป็นค่าคงตัว เมื่อเราต้องการเปรียบเทียบสสารเดียวกันภายใต้สภาวะที่ต่างกันสองสภาวะ สามารถเขียนกฎนี้ได้เป็น 

: \frac{P_1 V_1}{T_1}= \frac{P_2 V_2}{T_2} 

## พลังงานซึ่งสัมพันธ์กับแก๊ส
ตามสมมติฐานจากทฤษฎีจลน์ของแก๊ส เราสามารถสมมุติได้ว่าโมเลกุลของแก๊สอุดมคตินั้นไม่มีแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุล หรือพูดอีกแบบคือไม่มีพลังงานศักย์ พลังงานทั้งหมดที่แก๊สมีจึงเป็นเพียงพลังงานจลน์ของแก๊สแต่ละโมเลกุล

: E=\frac{3}{2} n RT 

คือสูตรสำหรับพลังงานจลน์ของแก็สอะตอมเดี่ยวจำนวน *n* โมลซึ่งมีองศาเสรี 3 องศา; *x*, *y*, *z*

## การประยุกต์ใช้ในกระบวนการทางอุณหพลศาสตร์
ในตารางด้านล่าง สมการของแก๊สอุดมคติถูกทำให้ง่ายลงสำหรับการนำไปใช้กับกระบวนการเฉพาะต่าง ๆ และทำให้สามารถแก้ปัญหาด้วยวิธีเชิงตัวเลขง่ายยิ่งขึ้น

กระบวนการทางอุณหพลศาสตร์ (thermodynamic process) มีนิยามเป็นระบบซึ่งเคลื่อนจากสภาวะที่ 1 ไปสู่สภาวะที่ 2 โดยเลขซึ่งบอกสภาวะแทนด้วยตัวห้อย โดยกระบวนการพื้นฐานถูกแบ่งออกเป็นแต่ละชนิดตามคุณสมบัติของแก๊สที่ถูกตรึงให้คงที่ไว้ตลอดกระบวนการ (*P*, *V*, *T*, *S* หรือ *H*) ดังที่แสดงในสดมภ์แรกของตาราง

จะต้องมีการระบุ (ไม่ว่าโดยตรงหรือโดยอ้อม) หนึ่งในอัตราส่วนระหว่างคุณสมบัติ (ซึ่งมีการจัดรายการไว้ในสดมภ์ที่ชื่อว่า "อัตราส่วนที่รู้จัก") เพื่อระบุขอบเขตของกระบวนการทางอุณหพลศาสตร์ชนิดหนึ่ง และคุณสมบัติซึ่งปรากฎอยู่ในอัตราส่วนจะต้องต่างจากคุณสมบัติที่คงที่ (ไม่เช่นนั้นแล้วอัตราส่วนก็จะเป็นเอกภาพ และเราจะไม่มีข้อมูลมากพอที่จะสามารถทำให้สมการง่ายลงได้)

ส่วนในสามสดมภ์สุดท้าย เราสามารถหาค่าของคุณสมบัติ (*p*, *V* หรือ *T*) ของสภาวะที่ 2 ได้จากการนำค่าของคุณสมบัติเหล่านั้นในสภาวะที่ 1 มาคำนวณในสมการซึ่งถูกจัดไว้อยู่ในรายการ 

 **a.** ในกระบวนการเอนโทรปีคงที่ เอนโทรปี (*S*) ของระบบมีค่าคงที่ และ *p*1 *V*1*γ* = *p*2 *V*2*γ* ภายใต้เงื่อนไขนี้ โดย *γ* คืออัตราส่วนความร้อนจำเพาะ (heat capacity ratio) ซึ่งในแก๊สสมบูรณ์แบบทางพลังงาน (calorically perfect gas) มีค่าคงที่ ค่าของ *γ* ที่ปกติใช้กับแก๊สสองอะตอม (diatomic gas) เช่นแก๊สไนโตรเจน (N2) และแก๊สออกซิเจน (O2) (และอากาศ ซึ่งประกอบไปด้วยแก๊สสองอะตอม 99%) มีค่าเท่ากับ 1.4 ส่วนค่าที่ใช้กับแก๊สอะตอมเดี่ยวเช่นแก๊สมีสกุล ฮีเลียม (He) และอาร์กอน (Ar) มีค่าเท่ากับ 1.6 ค่า *γ* ในเครื่องยนต์เผาไหม้ภายในมีค่าระหว่าง 1.35 และ 1.15 ซึ่งขึ้นกับองค์ประกอบของแก๊สและอุณหภูมิ

 **b.** ในกระบวนการเอนทาลปีคงที่ เอนทาลปี (*H*) ของระบบมีค่าคงที่ ในบริบทของการขยายตัวอิสระ (free expansion) ของแก๊สอุดมคติ อุณหภูมิมีค่าคงที่และโมเลกุลไม่มีปฏิกิริยาระหว่างกัน กลับกันในแก๊สจริงนั้น โมเลกุลมีปฏิกิริยาระหว่างกันผ่านการดึงดูดหรือผลักไสขึ้นกับความดันและอุณหภูมิ และสามารถร้อนหรือเย็นลงได้ นี่เป็นที่รู้จักว่าปรากฏการณ์จูล-ทอมสัน (Joule-Thomson effect) สำหรับการอ้างอิง สัมประสิทธิ์จูล-ทอมสัน μJT สำหรับอากาศที่อุณหภูมิห้อง ณ ระดับน้ำทะเลเท่ากับ 0.22&nbsp;°C/bar

## การเบี่ยงเบนจากพฤติกรรมในอุดมคติของแก๊สจริง
สมการของสภาวะที่กำหนดมานี้ (*PV=nRT*) สามารถนำไปใช้กับแก๊สอุดมคติหรือนำไปใช้เพื่อประมาณพฤติกรรมของแก๊สจริงซึ่งมีความคล้ายกับแก๊สอุดมคติพอสมควรได้เท่านั้น ความจริงแล้ว สมการของสภาวะสมการนี้มีรูปแบบอยู่หลายรูปแบบ กฎของแก๊สอุดมคติไม่สนใจขนาดโมเลกุล (molecular size) และแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุล (inter molecular attraction) จึงสามารถนำไปใช้ได้อย่างแม่นยำที่สุดกับแก๊สอะตอมเดี่ยว (monatomic) ที่อุณหภูมิสูงและความดันต่ำ ยิ่งความหนาแน่นลดลงหรือยิ่งปริมาตรสูงขึ้นและความดันต่ำลง ความสำคัญของขนาดโมเลกุลก็ยิ่งลดลงเช่นเดียวกัน เพราะระยะทางความห่างระหว่างโมเลกุลโดยเฉลี่ยจะมีค่าสูงกว่าขนาดของโมเลกุลอย่างมาก และยิ่งพลังงานจลน์ทางความร้อนสูงขึ้นหรือยิ่งอุณหภูมิสูงขึ้น ความสำคัญของแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุลก็ยิ่งลดลงโดยสัมพัทธ์ *[[สมการของสภาวะ]]*ที่มีรายละเอียดสูงกว่า เช่น สมการวานเดอร์วาลส์ (van der Waals equation) จะมีการแก้ไขการเบี่ยงเบนจากอุดมคติซึ่งเกิดจากขนาดของโมเลกุลและแรงระหว่างโมเลกุล

สมบัติตกค้าง (residual property (physics)) มีนิยามเป็นความแตกต่างระหว่างสมบัติของแก๊สจริง (real gas) และสมบัติของแก๊สอุดมคติภายใต้ความดัน อุณหภูมิ และองค์ประกอบเดียวกัน

## การอนุพัทธ์

### เชิงประจักษ์
กฎเชิงประจักษ์ซึ่งนำไปสู่การอนุพัทธ์กฎของแก๊สอุดมคติถูกค้นพบผ่านการทดลอง โดยใช้การเปลี่ยนตัวแปรสภาวะของแก๊สเพียงสองอย่างและตรึงตัวแปรที่เหลือให้คงที่ 

กฎของแก๊สทั้งหมดที่สามารถค้นพบได้ด้วยการจัดเตรียมการทดลองแบบนี้มี:

: {PV}=C_1  หรือ P_1V_1=P_2V_2   (1)        เรียกว่ากฏของบอยล์

: \frac{V}{T} = C_2  หรือ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}           (2)        เรียกว่ากฎของชาร์ล

: \frac{V}{N}=C_3  หรือ \frac{V_1}{N_1}=\frac{V_2}{N_2}         (3)        เรียกว่ากฎของอาโวกาโดร

: \frac{P}{T}=C_4  หรือ \frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}            (4)        เรียกว่ากฎของแก-ลูว์ซัก

: NT=C_5  หรือ N_1T_1=N_2T_2   (5)

: \frac{P}{N}=C_6  หรือ \frac{P_1}{N_1}=\frac{P_2}{N_2}         (6)

โดย "P" แทนความดัน, "V" แทนปริมาตร, "N" แทนจำนวนอนุภาคของแก๊ส และ "T" แทนอุณหภูมิ โดย C_1, C_2, C_3, C_4, C_5, C_6  ไม่ใช่ค่าคงตัวของจริง แต่เป็นค่าคงตัวในบริบทนี้ เพราะแต่ละสมการต้องการตัวแปรที่ระบุไว้อย่างชัดเจนให้เปลี่ยนเท่านั้น

เราไม่จำเป็นต้องรู้กฎของแก๊สทั้งหกสูตรเพื่ออนุพัทธ์กฎของแก๊สอุดมคติ เพียงรู้แค่สามกฎเราจะสามารถอนุพัทธ์กฎที่เหลือได้ และเราต้องรู้แค่สี่กฎเพื่อที่จะสามารถอนุพัทธ์กฎของแก๊สอุดมคติได้

ในเมื่อสูตรแต่ละสูตรจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อตัวแปรสภาวะที่อยู่ในสูตรเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลงในขณะที่ตัวแปรที่เหลือมีค่าคงที่ เราไม่สามารถใช้พีชคณิตเพื่อรวมสูตรโดยตรงได้ เราต้องพิจารณาถึงการทดลองของบอยล์ว่าเขาทำการทดลองโดยตรึงค่า *N* และ *T* ไว้ให้คงที่

เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ เราจำเป็นต้องจินตนาการว่าแก๊สเปลี่ยนสถาวะผ่านกระบวนการทีละกระบวนการเพื่อให้อนุพัทธ์ได้อย่างถูกต้อง การอนุพัทธ์ซึ่งใช้สูตรสี่สูตรเป็นดังนี้:

ในตอนแรก แก๊สมีพารามิเตอร์ P_1,V_1,N_1,T_1 

ให้เริ่มเปลี่ยนเฉพาะความดันและปริมาตรตามกฎของบอยล์ แล้ว:

: P_1V_1=P_2V_2     (7) เมื่อจบกระบวนการนี้ แก๊สจะมีพารามิเตอร์เท่ากับ P_2,V_2,N_1,T_1 

จากนั้นใช้สมการที่ (5) เพื่อเปลี่ยนจำนวนอนุภาคและอุณหภูมิของแก๊ส

: N_1T_1=N_2T_2   (8) เมื่อจบกระบวนการนี้ แก๊สจะมีพารามิเตอร์เท่ากับ P_2,V_2,N_2,T_2 

จากนั้นใช้สมการที่ (6) เพื่อเปลี่ยนความดันและจำนวนอนุภาค

: \frac{P_2}{N_2}=\frac{P_3}{N_3}         (9) เมื่อจบกระบวนการนี้ แก๊สจะมีพารามิเตอร์เท่ากับ P_3,V_2,N_3,T_2 

จากนั้นใช้กฎของชาร์ลเพื่อเปลี่ยนปริมาตรและอุณหภูมิของแก๊ส

: \frac{V_2}{T_2}=\frac{V_3}{T_3}         (10) เมื่อจบกระบวนการนี้ แก๊สจะมีพารามิเตอร์เท่ากับ P_3,V_3,N_3,T_3 

จากนั้นใช้พีชคณิตรวมสมการที่ (7), (8), (9) และ (10) จะได้:

: \frac{P_1V_1}{N_1T_1}=\frac{P_3V_3}{N_3T_3}  หรือ \frac{PV}{NT}=K_B  โดย K_B  แทนค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน

ในทางเดียวกัน ในเมื่อ nR=NK_B  โดย "n" คือจำนวนโมลของแก๊ส และ "R" คือค่าคงตัวของแก๊สสากล เราจะได้:

: PV=nRT,  ซึ่งเป็นที่รู้จักในชื่อว่ากฎของแก๊สอุดมคติ

หากเราทำการทดลองและพบสูตรเพียงสามสูตรจากทั้งหกสูตร เราสามารถอนุพัทธ์สูตรที่เหลือได้ผ่านวิธีการที่เขียนอธิบายไว้ด้านบน แต่เพราะแต่ละสมการมีตัวแปรแค่สองตัวเท่านั้น เราไม่สามารถใช้สูตรสามสูตรสูตรใดก็ได้  เช่นหากเรามีสมการที่ (1), (2) และ (4) เราไม่สามารถอนุพัทธ์สมการอื่นได้ เพราะการรวมสมการสองสมการใด ๆ จะให้ผลเป็นสมการอันที่สามที่เราเลือกมา แต่หากเรามีสมการที่ (1), (2) และ (3) เราจะสามารถหาสมการทั้งหกสมการได้โดยไม่จำเป็นต้องทำการทดลองอื่นอีก เพราะการรวมสมการที่ (1) และ (2) จะให้ผลเป็นสมการที่ (4), (1) และ (3) จะได้สมการที่ (6), (4) และ (6) หรือ (2) และ (3) จะได้สมการที่ (5) ตามที่มีการอธิบายให้เห็นเป็นรูปภาพที่แสดงความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

โดยเลขแต่ละตัวแทนกฎของแก๊สตามที่เรียงเลขที่ไว้ด้านบน

หากเราทำตามวิธีการด้านบนกับกฎสองกฎจากเลขที่อยู่บนมุมสองมุมจากทั้งสามมุมของสามเหลี่ยมที่มีเลข "O" อยู่ภายใน เราจะได้ผลออกมาเป็นกฎตามเลขที่ปรากฏบนมุมที่สาม 

ตัวอย่างเช่น:

เปลี่ยนแค่ความดันและปริมาตรก่อน:  P_1V_1=P_2V_2     (1´)

จากนั้นเปลี่ยนแค่ปริมาตรและอุณหภูมิ:  \frac{V_2}{T_1}=\frac{V_3}{T_2}                  (2´)

และในเมื่อเราสามารถให้ V_3  แทนค่าใดก็ได้ เราจะให้ V_1=V_3  และสมการที่ (2´) จะกลายเป็น: \frac{V_2}{T_1}=\frac{V_1}{T_2} (3´)

การรวมสมการที่ (1´) และ (3´) จะได้ผลเป็น \frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}   ซึ่งก็คือสมการที่ (4) โดยเราไม่เคยรู้จักสมการนี้มาก่อนจนกระทั่งเราได้อนุพัทธ์มันออกมา

### เชิงทฤษฎี

#### ทฤษฎีจลน์

เราสามารถอนุพัทธ์กฎของแก๊สอุดมคติได้จากหลักการแรก (first principle) โดยใช้ทฤษฎีจลน์ของแก๊สซึ่งมีสมมติฐานที่ทำให้ง่ายลงหลายข้อ เช่นการสมมติว่าโมเลกุลหรืออะตอมของแก๊สเป็นมวลจุดหรือมีมวลแต่มีปริมาตรที่น้อยจนไม่มีนัยสำคัญ และชนกับผนังของภาชนะและชนกันอย่างยืดหยุ่นเท่านั้น โดยอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้นและพลังงานจลน์ 

สมมติฐานพื้นฐานของทฤษฎีจลน์ของแก๊สบอกเป็นนัยว่า

:PV=\frac{1}{3}Nmv_{\text{rms}}^2

จากนั้น ตามการกระจายตัวแบบแมกซ์เวลล์-บ็อลทซ์มัน (Maxwell-Boltzmann distribution) โมเลกุลส่วนหนึ่งที่มีอัตราเร็วอยู่ในช่วง v ถึง v+dv เท่ากับ f(v) \, dv โดย

:f(v)=4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}v^2 e^{-\frac{mv^2}{2kT}}

และ k คือค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน ค่าเฉลี่ยกำลังสองหาได้จากการคำนวณดังนี้

:v_{\text{rms}}^2=\int_0^\infty v^2 f(v) \, dv=4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}\int_0^\infty v^4 e^{-\frac{mv^2}{2kT}} \, dv

ด้วยสูตรของปริพันธ์

:\int_0^\infty x^{2n}e^{-\frac{x^2}{a^2}} \, dx=\sqrt{\pi} \, \frac{(2n)!}{n!}\left(\frac{a}{2}\right)^{2n+1},

เราจึงได้

:v_{\text{rms}}^2=4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}\sqrt{\pi} \, \frac{4!}{2!}\left(\frac{\sqrt{\frac{2kT}{m}}}{2}\right)^{5}=\frac{3kT}{m},

และจากนั้น เราก็จะได้กฎของแก๊สอุดมคติ:

:PV=\frac{1}{3}Nm\left(\frac{3kT}{m}\right)=NkT

#### กลศาสตร์สถิติ

ให้ **q** = (*q*x, *q*y, *q*z) และ **p** = (*p*x, *p*y, *p*z) แสดงถึงเวกเตอร์ตำแหน่งและเวกเตอร์โมเมนตัมของอนุภาคแก๊สอุดมคติตามลำดับ ให้ **F** แสดงถึงแรงสุทธิที่กระทำบนอนุภาคนั้น แล้วพลังงานจลน์เฉลี่ยกับเวลาของอนุภาคเท่ากับ:
: 
\begin{align}
\langle \mathbf{q} \cdot \mathbf{F} \rangle &= \Bigl\langle q_{x} \frac{dp_{x}}{dt} \Bigr\rangle +
\Bigl\langle q_{y} \frac{dp_{y}}{dt} \Bigr\rangle +
\Bigl\langle q_{z} \frac{dp_{z}}{dt} \Bigr\rangle\\
&=-\Bigl\langle q_{x} \frac{\partial H}{\partial q_x} \Bigr\rangle -
\Bigl\langle q_{y} \frac{\partial H}{\partial q_y} \Bigr\rangle -
\Bigl\langle q_{z} \frac{\partial H}{\partial q_z} \Bigr\rangle = -3k_{B} T,
\end{align}

โดยสมการแรกคือกฎข้อที่สองของนิวตัน บรรทัดที่สองใช้สมการของแฮมิลตันและทฤษฎีบทการแบ่งเท่า (equipartition theorem) ผลบวกรวมทั้งระบบของอนุภาค *N* อนุภาคเท่ากับ

:
3Nk_{B} T = - \biggl\langle \sum_{k=1}^{N} \mathbf{q}_{k} \cdot \mathbf{F}_{k} \biggr\rangle


ตามกฎข้อที่สามของนิวตันและสมมติฐานของแก๊สอุดมคติ แรงสุทธิที่กระทำบนระบบคือแรงที่ผนังของภาชนะกระทำ และแรงนี้ถูกกำหนดโดยความดัน *P* ของแก๊ส ดังนั้น

:
-\biggl\langle\sum_{k=1}^{N} \mathbf{q}_{k} \cdot \mathbf{F}_{k}\biggr\rangle = P \oint_{\mathrm{surface}} \mathbf{q} \cdot d\mathbf{S},


โดย d**S** คือองค์ประกอบพื้นที่ขนาดกณิกนันต์รอบผนังของภาชนะ ในเมื่อไดเวอร์เจนซ์ (divergence) หรือความลู่ออกของเวกเตอร์ตำแหน่ง **q** เท่ากับ

:
\nabla \cdot \mathbf{q} =
\frac{\partial q_{x}}{\partial q_{x}} +
\frac{\partial q_{y}}{\partial q_{y}} +
\frac{\partial q_{z}}{\partial q_{z}} = 3,


ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ (divergence theorem) บอกเป็นนัยว่า

:P \oint_{\mathrm{surface}} \mathbf{q} \cdot d\mathbf{S} = P \int_{\mathrm{volume}} \left( \nabla \cdot \mathbf{q} \right) dV = 3PV,


โดย *dV* คือปริมาตรขนาดกณิกนันต์ภายในภาชนะ และ *V* คือปริมาตรทั้งหมดของภาชนะ

เมื่อนำสมการทั้งหมดมารวมกัน จะได้ผลเป็น

:
3Nk_{B} T = -\biggl\langle \sum_{k=1}^{N} \mathbf{q}_{k} \cdot \mathbf{F}_{k} \biggr\rangle = 3PV,


ซึ่งแสดงถึงกฎของแก๊สอุดมคติของอนุภาค *N* อนุภาค:

:
PV = Nk_{B} T = nRT,\,


โดย *n* = *N*/*N*A คือจำนวนโมลของแก๊ส และ *R* = *N*A*k*B คือค่าคงตัวของแก๊ส

## ในมิติอื่น
ความดันของแก๊สอุดมคติในระบบ *d* มิติเท่ากับ:
:P^{(d)}=\frac{N k_B T}{L^d}, 
โดย L^d คือปริมาตรของขอบเขต *d* มิติที่มีแก๊สอยู่ สังเกตว่ามิติ (หรือหน่วย) ของความดันเปลี่ยนตามมิติที่เปลี่ยนไป

## ดูเพิ่ม

*  (Van der Waals equation)
* 
*  (Partition function (statistical mechanics))
*  (Dynamic pressure)
*  (Internal pressure)

## อ้างอิง

## แหล่งข้อมูลอื่น
* 
* Configuration integral (statistical mechanics) where an alternative statistical mechanics derivation of the ideal-gas law, using the relationship between the Helmholtz free energy and the partition function, but without using the equipartition theorem, is provided. Vu-Quoc, L., Configuration integral (statistical mechanics), 2008. this wiki site is down; see this article in the web archive on 2012 April 28.
* Gas equations in detail
* 

หมวดหมู่:กฎของแก๊ส
หมวดหมู่:แก๊สอุดมคติ 
หมวดหมู่:สมการสภาวะ