ตัวบ่งปริมาณสำหรับตัวมีจริง

ในตรรกศาสตร์เชิงพิสูจน์ **ตัวบ่งปริมาณสำหรับตัวมีจริง** () เป็นตัวบ่งปริมาณ ค่าทางตรรกศาสตร์ที่เท่ากับว่า "มี...บางตัว" หรือ "ฟอร์ซัม" หมายความว่า ฟังก์ชันของประพจน์นั้น&nbsp;ๆ&nbsp;สามารถใช้ได้กับบางตัวในโดเมน หรือก็คือ ฟังก์ชันของประพจน์นั้นมีความสัมพันธ์กับสมาชิกแค่เพียงบางตัวในโดเมนนั้น&nbsp;ๆ&nbsp;ซึ่งเงื่อนไขที่ใช้ เพียงเป็นจริงกับสมาชิกตัวใดตัวหนึ่ง ค่าความจริงจะเป็นจริงได้ทันที (เนื่องจากเป็นตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว)

ใช้สัญลักษณ์ ∃ วางไว้กับตัวแปร ("∃x" หรือ "∃(x)") ตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวนั้นตรงข้ามกับตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด (สำหรับ...ใด&nbsp;ๆ) ซึ่งจะใช้สมาชิกในโดเมนทุกตัว (ดูหัวข้อใหญ่ที่ตัวบ่งปริมาณ)

รหัสของสัญลักษณ์นี้คือ U+2203 ∃ THERE EXISTS (HTML `&#x26;#8707;` **·** `&#x26;exist;` ) และ U+2204 ∄ THERE DOES *NOT* EXIST (HTML `&#x26;#8708;`) (ไม่มี...ใด&nbsp;ๆ&nbsp;เลย)
thumb|สัญลักษณ์ตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว

## พื้นฐาน
ให้เงื่อนไขเป็นจำนวนธรรมชาติใด&nbsp;ๆ&nbsp;ที่คูณด้วยตัวมันเองแล้วมีผลลัพธ์เป็น 25

0\cdot 0=25 หรือ 1\cdot 1=25 หรือ 3\cdot 3=25 หรือ 4\cdot 4=25 ฯลฯ

ประโยคนี้ เป็นแบบการเลือกเชิงตรรกศาสตร์ เพราะมีการใช้ "และ" แบบซ้ำ&nbsp;ๆ&nbsp;แต่อย่างไรก็ดี "ฯลฯ" ไม่สามารถเขียนแบบตรรกศาสตร์มาตรฐานได้ จากประโยคดังกล่าวข้างต้น อาจนิยามได้อีกทีว่า:

\exist n\in\mathbb{N}\rightarrow n\cdot n=25

ประโยคข้างต้น ใช้ตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวเข้ามาช่วย

จากรูปประโยคข้างต้น จะมีความแม่นยำกว่าอันที่หนึ่ง ในขณะที่ "ฯลฯ" ไม่ได้เจาะจงว่ารวมจำนวนธรรมชาติทั้งหมด และไม่ได้บอกอะไรเพิ่ม เพราะไม่ได้กำหนดโดเมนอย่างชัดเจน ประโยคก็อาจจะไม่ได้เป็นการตีความอะไรมากนัก หรือจะพูดอีกอย่างก็คือ จำนวนธรรมชาตินั้นได้กำหนดไว้อย่างชัดเจน

ประโยคข้างต้นเป็นจริง เพราะ 5 เป็นจำนวนธรรมชาติ และเมื่อแทน 5 ด้วย n แล้ว จะได้สมการว่า  5\cdot 5=25 ซึ่งเป็นจริง ไม่สำคัญว่า n\cdot n=25 จะเป็นจริงกับเฉพาะจำนวนธรรมชาติ 5 เท่านั้น เพราะหากมีแค่สมาชิกตัวเดียวที่มาทำให้เงื่อนไขเป็นจริงได้ สำหรับตัวบ่งปริมาณบางตัวแล้ว ประโยคนั้นจะเป็นจริงทันที ในทางตรงกันข้าม หากเป็นประโยค:

\exist n\in\mathrm{even\ number}\rightarrow n\cdot n=25

เป็นเท็จ เนื่องจากไม่มีจำนวนคู่ใดคูณกันด้วยตัวมันเองแล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับ 25

*[[เอกภพสัมพัทธ์]]* ใช้กำหนดว่าค่าตัวแปร n ใดบ้างที่จะนำมาใช้กับเงื่อนไข แต่ยังมีเรื่องของความเป็นจริงและเท็จของแต่ละประโยคนั้น&nbsp;ๆ&nbsp;ในบางครั้งตัวเชื่อมเชิงตรรกศาสตร์มาใช้กับเอกภพสัมพัทธ์เพื่อพิสูจน์ เช่น

\exist n\in\mathrm{positive\ odd\ number}\rightarrow n\cdot n=25

สมมูลกับ

\exist n\in\mathbb{N}, n\in\mathrm{odd\ number}\land n\cdot n=25

จากตัวอย่างข้างต้น เราจะเติมการเชื่อมเชิงตรรกศาสตร์มาด้วย

สัญลักษณ์ "∃" (ตัว E กลับหัวในตระกูลฟอนต์ Sans-Serif) ใช้แทนตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว *(หรือบางทีอาจเขียนเฉพาะตัว V โดด&nbsp;ๆ)*

ถ้า \mathrm{P}(a,b,c)  แทน a\cdot b=c และ \mathbb{N} คือเซตของจำนวนธรรมชาติ แล้ว:

\exists {n}{\in }\mathbb {N} \mathrm{P}(n,n,25)

เป็นประโยค (ซึ่งเป็นจริง):

{\displaystyle \exists n\in \mathbb {N} \rightarrow n\cdot n=25}  

ในทำนองเดียวกัน ถ้า \mathrm{Q}(n) แทน n\in\mathrm{odd\ number} แล้ว :

\exists {n}{\in }\mathbb {N} \,{\big (}Q(n)\;\!\;\!{\wedge }\;\!\;\!P(n,n,25){\big )}

เป็นประโยค (ซึ่งเป็นเท็จ)

{\displaystyle \exists n\in \mathbb {N} ,n\in \mathrm {odd\ number} \land n\cdot n=25}  

ในเชิงคณิตศาสตร์ การพิสูจน์ตัว "บางตัว" อาจทำได้ในรูปแบบอื่น ซึ่งใช้แทนกันได้ หรือจะพิสูจน์โดยไม่ต้องแสดงเลยว่ายังไงผลลัพธ์ต้องเป็นอย่างนั้นแน่นอน

## สมบัติ

### การนิเสธ
ฟังก์ชันประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณก็นับเป็นประโยค ดังนั้น ฟังก์ชันที่มีตัวบ่งปริมาณก็มีนิเสธได้ ส่วนใหญ่สัญลักษณ์แทนการนิเสธใช้ \neg

ตัวอย่างเช่น ถ้า P(x) เป็นฟังก์ชันประพจน์ว่า "0 \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)

ประโยคนี้อาจะเป็นเท็จได้ เพราะจริง&nbsp;ๆ&nbsp;ควรใช้ว่า "ไม่มีจำนวนธรรมชาติใด&nbsp;ๆ&nbsp;ที่มากกว่า 0 และน้อยกว่า 1" จะเขียนได้ในรูป:

\lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)

ไม่มีสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ใด&nbsp;ๆ&nbsp;ซึ่งจะทำให้เงื่อนไขนี้เป็นจริงได้ ดังนั้น สมาชิกทุกตัวจะขัดกับเงื่อนไข ซึ่งก็คือนิเสธ

\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)

สมมูลกับ "สำหรับจำนวนธรรมชาติ x ใด&nbsp;ๆ&nbsp;ซึ่ง x ไม่ได้มากกว่า 0 หรือน้อยกว่า 1"

\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)

โดยปกติแล้ว นิเสธของตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวคือตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด หรือนิยามได้ว่า:

\lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)

เช่น กำหนดให้ว่า "ทุกคนยังไม่ได้แต่งงาน" (หรือ "ไม่มีใครเลยที่แต่งงานแล้ว") คือ "ไม่ใช่ทุกคนที่แต่งงานแล้ว (หรือ "มีคนที่ยังไม่ได้แต่งงาน") จะหมายความว่า

\lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)

นิเสธของตัวบ่งปริมาณบางตัวยังรวมถึง "ไม่มีเลย":

\nexists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)

ซึ่งไม่เหมือนกับตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด ตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวจะกระจายหากเป็นการเลือกเชิงตรรกศาสตร์ได้

{\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor Q(x)\to \ (\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,Q(x))}

### กฎอุดมคติ
กฎอุดมคติเป็นกฎซึ่งใช้พิสูจน์ขั้นตอนจากสมมุติฐานสู่การสรุปออกมา มีกฎอุดมคติอยู่หลายกฎ ซึ่งนำไปใช้กับตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว

*ปริทัศน์ของตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว (∃I)* กล่าวไว้ว่าถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้น ๆ เป็นที่ทราบกันทั่วไปว่าเป็นจริง ดังนั้น จะต้องมีสมาชิกของฟังก์ชันของประพจน์ที่เป็นจริง หรือเขียนได้ในรูป:

P(a)\to \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)

*การตัดทิ้งแบบตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว (∃E)* กล่าวไว้ว่า เมื่อดำเนินการหักล้างแบบฟิตช์ โดยการเติมนิพจน์ที่ได้จากการหักล้างย่อยเข้าไป โดยการเติมตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว (ที่ติดตัวแปร) เข้าไปช่วย ซึ่งตัวบ่งปริมาณนี้ไม่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการใด ๆ ของนิพจน์ที่นำมาเติม ถ้าผลได้ภายในการดำเนินการของตัวนิพจน์จากการหักล้างย่อยซึ่งไม่มีตัวบ่งปริมาณแบบบบางตัวนั้น ดังนั้นจะมีสมาชิกหนึ่งตัวซึ่งสามารถหักล้างตัวใดตัวหนึ่งของนิพจน์ที่ได้จากการหักล้างย่อยนั้น โดยเหตุผลของการตัดทิ้งแบบตัวบ่งปริมาณแบบางตัวคือ: 

ถ้ากำหนดว่ามีสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งที่ทำให้ฟังก์ชันของประพจน์นั้น ๆ เป็นจริง ถ้าผลใช้แทนกับการกำหนดชื่อเจาะจง (Arbitary Name) ได้ ผลนั้นจะเป็นจริงอย่างแน่นอน ตราบใดที่มันยังไม่มีชื่อ 

เขียนได้ โดย: 

ให้ชื่อเจาะจงเป็น c แล้ว Q เป็นประพจน์ซึ่งไม่มี c 

\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to \ ((P(c)\to \ Q)\to \ Q) 

ค่า c จะต้องเป็นจริงทุกตัวบนโดเมนเดียวกันกับ X หรือหากประพจน์ไม่เป็นไปตามตรรกะ จะได้ว่า: 

หาก c ไม่ใช่ชื่อเจาะจง แล้วเป็นเพียงสมาชิกเฉพาะ (Specific Element) ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว P(c) จะไม่สามารถให้เหตุผลแก่ประโยคนั้น ๆ ได้อีก

### เซตว่าง
รูปแบบ \exists {x}{\in }\emptyset \,P(x) จะเป็นเท็จเสมอ หากไม่ขึ้นกับ P(x) เนื่องจากเซตว่างจะไม่มีค่าอะไรกับ x

ให้ x โดด&nbsp;ๆ&nbsp;แสดงกับเงื่อนไข P(x) = "มี x ใด&nbsp;ๆ&nbsp;ในเซตว่าง": *ดูเพิ่มที่[[ค่าความจริงว่าง]]*

## จุดเชื่อม
*หัวข้อหลัก : [[ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด)#จุดเชื่อม|ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด) § จุดเชื่อม]]*

ในทฤษฎีประเภท และทฤษฎีทอพอโลยีพื้นฐาน ตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว เป็นที่เข้าใจโดยทั่วไปว่าเป็นจุดเชื่อม (Adjoint) ด้านซ้ายของฟังก์เตอร์ (Functor) ระหว่างสองพาวเวอร์เซต ภาพผกผันฟังก์เตอร์ของฟังก์ชันระหว่างสองเซต ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมดเป็นจุดเชื่อมด้านขวา

## ดูเพิ่ม

* รายการสัญลักษณ์ที่ใช้กับตรรกศาสตร์
* ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด)
* ตัวบ่งปริมาณ (หนึ่งตัว)
* ตัวบ่งปริมาณ

## อ้างอิง



หมวดหมู่:ตัวบ่งปริมาณ
หมวดหมู่:ตรรกศาสตร์
หมวดหมู่:คณิตตรรกศาสตร์
หมวดหมู่:ภววิทยา