กึ่งแกนเอก

[thumb|right|200px|กึ่งแกนเอกของ[วงรี]]
**กึ่งแกนเอก** () เป็นตัวแปรสำคัญค่าหนึ่งที่แสดงสมบัติของวงรีหรือไฮเพอร์โบลาใน เรขาคณิต และใช้กับวงโคจรของวัตถุท้องฟ้าในทางดาราศาสตร์ด้วย

## วงรี
สำหรับวงรี กึ่งแกนเอกคือรัศมีตามแนวแกนเอก เส้นตรงที่ลากผ่านกึ่งแกนเอก จะลากผ่านจุดศูนย์กลางและจุดโฟกัสทั้ง 2 จุด และยังตัดจุดที่มีความโค้งมากที่สุด 2 จุดบนเส้นรอบวงวงรี สำหรับในกรณีของวงกลม ค่ากึ่งแกนเอกจะเท่ากับรัศมี

ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวกึ่งแกนเอก a คือ กึ่งแกนโท b, ความเยื้องศูนย์กลาง e และ กึ่งเลตัสเรกตัม \ell เป็นดังต่อไปนี้
: 
\begin{align}
b   &= a \sqrt{1 - e^2} \\
\ell &= a(1 - e^2) \\
a\ell &= b^2
\end{align}

ถ้าให้จุดโฟกัสและ \ell คงที่ และจุดโฟกัสอีกจุดหนึ่งเคลื่อนห่างไกลออกไปมาก ๆ ในทิศทางหนึ่ง ในที่สุดจะได้เป็นพาราโบลา ในกรณีนี้ a และ b จะเข้าใกล้อนันต์ แต่ a จะเพิ่มขึ้นเร็วกว่า b 

กึ่งแกนเอกคือค่าเฉลี่ยของระยะทางต่ำสุดและสูงสุดจากจุดโฟกัสจุดหนึ่งไปยังจุดหนึ่งบนเส้นรอบวงของวงรี ถ้าเขียนในระบบพิกัดเชิงขั้ว โดยจุดโฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่จุดกำเนิด และอีกจุดหนึ่งอยู่ในทิศทางบวกตามแกน x จะได้ว่า
: 
r = \frac{\ell}{1 - e\cos\theta}

และค่าเฉลี่ยของค่าต่ำสุด r = \dfrac{\ell}{1 + e} และค่าสูงสุด r = \dfrac{\ell}{1 - e} จะเป็น
: 
r = a = \dfrac{\ell}{1-e^2}


## ไฮเพอร์โบลา
[thumb|กึ่งแกนเอก (a), [กึ่งแกนโท (b) และ เรตัสเรกตัม (p) ของไฮเพอร์โบลา]]
ในไฮเพอร์โบลา กึ่งแกนเอกคือระยะครึ่งหนึ่งของระยะห่างระหว่างเส้นโค้งทั้งสองข้าง ในกรณีที่แกนเอกอยู่ในแนวแกน x จะได้ว่า
: 
 \frac{\left( x - h \right)^2}{a^2}
- \frac{\left( y - k \right)^2}{b^2}
= 1

หรืออาจเขียนในรูปของเลตัสเรกตัม \ell และความเยื้องศูนย์กลาง e เป็น
: 
a = \frac{\ell}{e^2 - 1}


## ดาราศาสตร์
ในกลศาสตร์ท้องฟ้า คาบการโคจร T ของวัตถุท้องฟ้าขนาดเล็กในวงโคจรเป็นวงกลมหรือวงรีรอบดาวฤกษ์สามารถแสดงได้ด้วยสูตรต่อไปนี้

: 
T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}


ในที่นี้
* a คือกึ่งแกนเอกของวงโคจร
* \mu เป็นผลคูณของค่าคงที่ความโน้มถ่วงและมวล

จากสูตรนี้ จะเห็นได้ว่าคาบการโคจรของวงโคจรวงรีที่มีกึ่งแกนเอกวงโคจรเท่ากันจะมีค่าเท่ากันโดยไม่คำนึงถึงค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร

ในทางดาราศาสตร์ กึ่งแกนเอกเป็นหนึ่งในองค์ประกอบของวงโคจรที่สำคัญที่สุดพร้อมกับคาบการโคจร ในระบบสุริยะ กึ่งแกนเอกของวงโคจรมีความสัมพันธ์กับคาบการโคจรตามกฎข้อที่สามของเค็พเพลอร์
: 
T^2 = a^3

โดยที่ T คือคาบการโคจรในหน่วยปี และ a คือกึ่งแกนเอกในหน่วยดาราศาสตร์ สมการนี้ได้จากการสมการปัญหาวัตถุสองชิ้นของไอแซก นิวตัน โดยลดความซับซ้อนของพจน์ความโน้มถ่วงลง
: 
T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M + m)}a^3

ในที่นี้
* G คือค่าคงตัวความโน้มถ่วง
* M คือมวลของดาวปฐมภูมิ
* m คือมวลของดาวทุติยภูมิ

เนื่องจากโดยปกติแล้ว M จะมีค่ามากกว่า m มาก ผลกระทบจากค่า m จึงถูกละเว้น ซึ่งนำไปสู่สมการของเค็พเพลอร์

### การคำนวณกึ่งแกนเอกของวงโคจรจากเวกเตอร์ตำแหน่ง
ในกลศาสตร์ท้องฟ้า กึ่งแกนเอกของวงโคจร a สามารถคำนวณได้จากเวกเตอร์ตำแหน่งของวัตถุท้องฟ้า ถ้าวงโคจรเป็นวงรีจะได้ว่า
: 
a = -\frac{\mu}{2\epsilon}

ถ้าเป็นไฮเพอร์โบลาจะได้ว่า
: 
a = \frac{\mu}{2\epsilon}

โดยที่
: 
\begin{align}
\epsilon &= \frac{\,v^2}{2\,} - \frac{\mu}{\left | \mathbf{r} \right |} \\
\mu &= GM
\end{align}

ถ้ารู้มวลของดาวฤกษ์และพลังงานศักย์โดยรวมแล้วก็จะหาค่ากึ่งแกนเอกได้โดยไม่ต้องคำนึงถึงความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร

ในที่นี้
* v เป็นความเร็ววงโคจรที่ได้จากเวกเตอร์ความเร็ว
* \mathbf{r} เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของดาวหลัก
* G เป็นค่าคงที่ความโน้มถ่วง
* M เป็นมวลของดาวหลัก

## ตัวอย่าง
สถานีอวกาศนานาชาติมีคาบการโคจร 91.74 นาที และกึ่งแกนเอกของวงโคจรเป็น 6738 กม.

## ดูเพิ่ม
* กึ่งแกนเอกและกึ่งแกนโท

หมวดหมู่:กลศาสตร์
หมวดหมู่:วงโคจร