จำนวนจริง

right|thumb|120px|สัญลักษณ์สำหรับแสดงเซตของจำนวนจริง
thumb|250px|การแสดงจำนวนจริงบนเส้นจำนวน
ในทางคณิตศาสตร์ **จำนวนจริง** คือจำนวนที่มีลักษณะเป็นปริมาณที่สามารถแสดงให้เห็นภาพด้วยจุดบนเส้นตรงที่มีความยาวไม่สิ้นสุด (เส้นจำนวน) ได้ จำนวนจริงทั้งหมดประกอบด้วยจำนวนตรรกยะ (จำนวนเต็ม เช่น 4,0,-2048 และเศษส่วน เช่น \frac{3}{4}) และจำนวนอตรรกยะ (เช่น <math>\sqrt{2}</math> หรือ <math>\pi</math>) คำว่า*จำนวนจริง*นั้นบัญญัติขึ้นเพื่อแยกความแตกต่างจาก*[[จำนวนจินตภาพ]]* จำนวนจริงสามารถเขียนออกมาได้ในรูปของทศนิยมที่อาจไม่รู้จบ

เซตของจำนวนจริงมีสัญลักษณ์ที่นิยมใช้แทนคือ **R** หรือ ℝ ซึ่งเซตของจำนวนจริงนี้มีลักษณะเป็นเซตอนันต์ที่นับไม่ได้ จำนวนจริงเป็นศูนย์กลางการศึกษาในสาขาการวิเคราะห์เชิงจริง (real analysis)

## คุณสมบัติและการนำไปใช้
มีหลักเกณฑ์ในการแบ่งจำนวนจริงอยู่หลายเกณฑ์ เช่น จำนวนตรรกยะ หรือ จำนวนอตรรกยะ; จำนวนพีชคณิต (algebraic number) หรือ จำนวนอดิศัย; และ จำนวนบวก จำนวนลบ หรือ ศูนย์

จำนวนจริงแทนปริมาณที่ต่อเนื่องกัน โดยทฤษฎีอาจแทนได้ด้วยทศนิยมไม่รู้จบ และมักจะเขียนในรูปเช่น 324.823211247\ldots ซึ่ง จุดสามจุด แทนความหมายว่ายังมีหลักต่อ ๆ ไปอีก ไม่ว่าจะยาวเพียงใดก็ตาม

การวัดในวิทยาศาสตร์กายภาพเกือบทั้งหมดจะเป็นการประมาณค่าสู่จำนวนจริง การเขียนในรูปทศนิยม (ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะที่สามารถเขียนเป็นอัตราส่วนที่มีตัวส่วนชัดเจน) ไม่เพียงแต่ทำให้กระชับ แต่ยังทำให้สามารถเข้าใจถึงจำนวนจริงที่แทนได้ในระดับหนึ่งอีกด้วย

จำนวนจริงจำนวนหนึ่งจะกล่าวได้ว่าเป็น*[[จำนวนคำนวณได้|จำนวนที่คำนวณได้]]* (computable) ถ้ามีขั้นตอนวิธีที่สามารถให้ได้ตัวเลขแทนออกมา เนื่องจากมีจำนวนขั้นตอนวิธีนับได้ (countably infinite) แต่มีจำนวนของจำนวนจริงนับไม่ได้ จำนวนจริงส่วนมากจึงไม่เป็นจำนวนที่คำนวณได้ กลุ่มลัทธิเค้าโครง (constructivists) ยอมรับการมีตัวตนของจำนวนที่คำนวณได้เท่านั้น เซตของจำนวนที่ให้นิยามได้นั้นใหญ่กว่า แต่ก็ยังนับได้

ส่วนมากคอมพิวเตอร์เพียงประมาณค่าของจำนวนจริงเท่านั้น โดยทั่วไปแล้ว คอมพิวเตอร์สามารถแทนค่าจำนวนตรรกยะเพียงกลุ่มหนึ่งได้อย่างแม่นยำโดยใช้ตัวเลขจุดลอยตัวหรือตัวเลขจุดตรึง จำนวนตรรกยะเหล่านี้ใช้เป็นค่าประมาณของจำนวนจริงข้างเคียงอื่น ๆ เลขคณิตกำหนดความเที่ยงได้ (arbitrary-precision arithmetic) เป็นขั้นตอนในการแทนจำนวนตรรกยะโดยจำกัดเพียงหน่วยความจำที่มี แต่โดยทั่วไปจะใช้จำนวนของบิตความละเอียดคงที่กำหนดโดยขนาดของรีจิสเตอร์หน่วยประมวลผล (processor register) นอกเหนือจากจำนวนตรรกยะเหล่านี้ ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์สามารถจัดการจำนวนอตรรกยะจำนวนมาก (นับได้) อย่างแม่นยำโดยบันทึกรูปแบบเชิงพีชคณิต (เช่น  \sqrt{2} ) แทนค่าประมาณตรรกยะ

นักคณิตศาสตร์ใช้สัญลักษณ์ **R** (หรือ  \mathbb{R}  - อักษร *R* ในแบบอักษร blackboard bold) แทนเซตของจำนวนจริง สัญกรณ์ **R***n* แทนปริภูมิ n มิติของจำนวนจริง เช่น สมาชิกตัวหนึ่งจาก **R**3 ประกอบด้วยจำนวนจริงสามจำนวนและระบุตำแหน่งบนปริภูมิสามมิติ

### การสร้างจากจำนวนตรรกยะ
จำนวนจริงสามารถสร้างเป็นส่วนสมบูรณ์ของจำนวนตรรกยะ สำหรับรายละเอียดและการสร้างจำนวนจริงวิธีอื่น ๆ ดูที่ construction of real numbers (การสร้างจำนวนจริง)

### วิธีสัจพจน์
ให้ **R** แทนเซตของจำนวนจริงทั้งหมด แล้ว
* เซต **R** เป็นฟีลด์ หมายความว่ามีการนิยามการบวกและการคูณ และมีคุณสมบัติตามปกติ
* ฟีลด์ **R** เป็นฟีลด์อันดับ หมายความว่ามีอันดับเชิงเส้น (total order) ≥ ซึ่งสำหรับทุกจำนวนจริง *x* *y* และ *z*:
** ถ้า *x* ≥ *y* แล้ว *x* + *z* ≥ *y* + *z*
** ถ้า *x* ≥ 0 และ *y* ≥ 0 แล้ว *xy* ≥ 0
* อันดับนั้นมีความบริบูรณ์เดเดคินท์ (Dedekind-complete) กล่าวคือทุกสับเซตที่ไม่ใช่เซตว่าง *S* ของ **R** ซึ่งมีขอบเขตบน ใน **R** มี ขอบเขตบนน้อยสุด ใน **R**

คุณสมบัติสุดท้ายนี้เป็นตัวแบ่งแยกจำนวนจริงออกจากจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนตรรกยะที่มีกำลังสองน้อยกว่า 2 มีขอบเขตบน (เช่น 1.5) แต่ไม่มีขอบเขตบนน้อยสุดที่เป็นจำนวนตรรกยะ เพราะว่ารากที่สองของ 2 ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ

จำนวนจริงนั้นมีคุณสมบัติข้างต้นเป็นเอกลักษณ์ พูดอย่างถูกต้องได้ว่า ถ้ามีฟีลด์อันดับที่มีความบริบูรณ์เดเดคินท์ 2 ฟีลด์ **R**1 และ **R**2 จะมีสมสัณฐานฟีลด์ที่เป็นเอกลักษณ์จาก **R**1 ไปยัง **R**2 ทำให้เราสามารถมองว่าทั้งคู่เป็นวัตถุเดียวกัน

## คุณสมบัติ

### ความบริบูรณ์

เหตุผลหลักในการแนะนำจำนวนจริงก็เพราะว่าจำนวนจริงมีลิมิต พูดอย่างเป็นหลักการแล้ว จำนวนจริงมีความบริบูรณ์ โดยนัยของ ปริภูมิอิงระยะทาง หรือ ปริภูมิเอกรูป ซึ่งต่างจากความบริบูรณ์เดเดคินท์เกี่ยวกับอันดับในส่วนที่แล้ว มีความหมายดังต่อไปนี้

ลำดับ (*x**n*) ของจำนวนจริงจะเรียกว่า *[[ลำดับโคชี]]* ถ้าสำหรับ ε&nbsp;>&nbsp;0 ใด ๆ มีจำนวนเต็ม *N* (อาจขึ้นอยู่กับ ε) ซึ่งระยะทาง |*x**n*&nbsp;−&nbsp;*x**m*| น้อยกว่า ε โดยที่ *n* และ *m* มากกว่า *N* และอาจกล่าวได้ว่าลำดับเป็นลำดับโคชีโคชีถ้าสมาชิก *x**n* ของมันในที่สุดเข้าใกล้กันเพียงพอ

ลำดับ (*x**n*) *ลู่เข้าสู่ลิมิต* *x* ถ้าสำหรับ ε&nbsp;>&nbsp;0 ใด ๆ มีจำนวนเต็ม *N* (อาจขึ้นอยู่กับ ε) ซึ่งระยะทาง |*x**n*&nbsp;−&nbsp;*x*| น้อยกว่า ε โดยที่ *n* มากกว่า *N* และอาจกล่าวได้ว่าลำดับมีลิมิต *x* ถ้าสมาชิกของมันในที่สุดเข้าใกล้ *x* เพียงพอ

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าทุกลำดับลู่เข้าเป็นลำดับโคชี ข้อเท็จจริงที่สำคัญหนึ่งเกี่ยวกับจำนวนจริงคือบทกลับของมันก็เป็นจริงเช่นกัน :

: **ลำดับโคชีทุกลำดับของจำนวนจริงลู่เข้า**

นั่นก็คือ จำนวนจริงนั้นบริบูรณ์

สังเกตว่าจำนวนตรรกยะนั้นไม่บริบูรณ์ เช่น ลำดับ (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) เป็นลำดับโคชีแต่ไม่ลู่เข้าสู่จำนวนตรรกยะจำนวนใดจำนวนหนึ่ง (ในทางกลับกัน ในระบบจำนวนจริง มันลู่เข้าสู่รากที่สองของ 2)

การมีอยู่ของลิมิตของลำดับโคชีทำให้แคลคูลัสใช้การได้ รวมไปถึงการประยุกต์มากมายของมันด้วย การทดสอบเชิงตัวเลขมาตรฐานเพื่อระบุว่าลำดับนั้นมีลิมิตหรือไม่คือการทดสอบว่ามันเป็นลำดับโคชีหรือไม่ ถ้าเราไม่ทราบลิมิตเหล่านั้นล่วงหน้า

ตัวอย่างเช่น อนุกรมพื้นฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

: \mathrm{e}^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}

ลู่เข้าสู่จำนวนจริงจำนวนหนึ่งเพราะว่าสำหรับทุกค่าของ *x* ผลรวม

: \sum_{n=N}^{M} \frac{x^n}{n!}

สามารถทำให้มีค่าน้อยลงเพียงพอโดยเลือก *N* ที่มีค่ามากเพียงพอ นี่พิสูจน์ว่าลำดับนี้เป็นลำดับโคชี ดังนั้นเรารู้ว่าลำดับลู่เข้าแม้กระทั่งเราไม่รู้ว่าลิมิตคืออะไร


หมวดหมู่:คณิตศาสตร์มูลฐาน
หมวดหมู่:เรโทรนิม