จานแอรี

thumb|300px|ภาพเคลื่อนไหวสามมิติแสดงความเข้มแสงของจานแอรีเมื่อปรับขนาดรูรับแสงต่างกันไป
thumb|จานแอรีและแบบรูปแอรีที่ได้จากการคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์ สีขาวดำแสดงค่าความเข้มเทียบกับใจกลาง
[thumb|จานแอรีและแบบรูปแอรีที่เกิดจาก[เลเซอร์สีแดง]]
[thumb|จานแอรีที่เกิดจาก[เลนส์ถ่ายภาพ 2000 มม. f/25]]
**จานแอรี** (Airy disc) และ **แบบรูปแอรี** (Airy pattern) เป็นปรากฏการณ์ทางแสงอย่างหนึ่ง เนื่องจากโดยธรรมชาติเชิงคลื่นของแสงแล้ว แสงที่ผ่าน รูเปิดวงกลมจะเกิดการเลี้ยวเบน แล้วเกิดเป็นรูปล่างแถบมืดสว่างเหมือนแผ่นจานกลมที่มีวงแหวนล้อม

แสงที่ปล่อยออกมาจากแหล่งกำเนิดแสงที่สม่ำเสมอผ่านรูรับแสงวงกลมทำให้เกิดแบบรูปการเลี้ยวเบนบนพื้นผิว และพื้นที่สว่างกลม ณ ใจกลางนั้นได้รับการตั้งชื่อเรียกว่า "จานแอรี" และจานแอรีนี้ถูกล้อมรอบด้วยวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางเดียวกันหลายวงซึ่งเรียกว่า "แบบรูปแอรี" ชื่อจานและวงแหวนนี้ได้รับการตั้งชื่อตาม จอร์จ บิดเดิล แอรี เส้นผ่านศูนย์กลางของจานนี้ขึ้นอยู่กับความยาวคลื่นของแสงที่ปล่อยออกมาจากแหล่งกำเนิดแสงและขนาดของรูรับแสงวงกลม

จานแอรีเป็นแนวคิดที่สำคัญในด้าน ฟิสิกส์ ทัศนศาสตร์ และ ดาราศาสตร์

สำหรับในกล้องถ่ายภาพและกล้องโทรทรรศน์แล้ว จานแอรีถือว่ามีนัยสำคัญ ภาพโฟกัสของลำแสงที่ส่องผ่านเลนส์ที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางจำกัดค่าหนึ่งนั้นจะไม่ใช่เป็นจุด แต่จะเป็นจานกลมที่มีขนาดเท่ากับจานแอรี เนื่องจากเกิดการเลี้ยวเบน แม้จะใช้เลนส์แบบไม่มีความคลาดทางทัศนศาสตร์ก็ตาม ความละเอียดเชิงแสงของภาพโฟกัสที่สร้างขึ้นได้โดยเลนส์นี้ก็ยังมีขีดจำกัด โดยอาจกล่าวได้ว่าความละเอียดเชิงแสงของระบบเชิงแสงจะถูกกำหนดโดยขีดจำกัดการเลี้ยวเบน การที่เวลาถ่ายภาพโดยใช้รูรับแสงขนาดเล็กเกินไปแล้วเกิดภาพเบลอก็สามารถอธิบายได้ด้วยจานและแบบรูปแอรีนั่นเอง

## ขนาดของจานแอรี
รัศมีของจานแอรี  \theta นิยามโดยมุมระหว่างวงแหวนมืดด้านในสุดกับแกนเชิงแสงเมื่อมองจากจุดตัดของระนาบของรูรับแสงวงกลมและแกนเชิงแสง คำนวณได้โดยสมการต่อไปนี้

:  \sin \theta = 1.22 \frac{\lambda}{d}

โดยที่ \lambda คือความยาวคลื่นของแสง และ d คือเส้นผ่านศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลม

ขีดจำกัดของความละเอียดเชิงแสงของภาพตามเกณฑ์ของเรย์ลี พิจารณาจากสถานะที่จุดกึ่งกลางของจานแอรีของภาพที่โฟกัสจุดหนึ่ง ไปซ้อนทับกับวงแหวนมืดวงแรกของจานแอรี (วงแหวนมืดที่ล้อมรอบจานแอรี) ของอีกจุด เมื่อใช้เกณฑ์นี้ค่าความละเอียดเชิงมุมจะหาได้จากสูตรเดียวกันนี้

## ตัวอย่าง
### กล้องถ่ายภาพ
หากถ่ายภาพด้วยกล้องถ่ายภาพ ในขณะที่ค่อยลดระยะห่างระหว่างแหล่งกำเนิดแสงแบบจุด 2 จุด (ซึ่งก็จะทำให้มุมระหว่างแหล่งกำเนิดแสงแบบจุด 2 จุดเมื่อมองจากกล้องค่อย ๆ เล็กลงด้วย) จานแอรีของแหล่งกำเนิดแสงแบบจุด 2 จุดนั้นจะเริ่มซ้อนทับกันเมื่อเข้าใกล้กันมากจนถึงในระดับหนึ่ง และในที่สุดภาพจากจุดกำเนิดแสงทั้งสองที่ปรากฏจะซ้อนทับกันจนทำให้เริ่มเห็นภาพพร่ามัว ไม่สามารถเห็น 2 จุดนั้นแยกออกจากกันเป็น 2 จุดได้อย่างชัดเจน นั่นเพราะเมื่อจุดศูนย์กลาง (ส่วนที่สว่างที่สุด) ของแบบรูปแอรีของแหล่งกำเนิดแสงจุดหนึ่ง ซ้อนทับวงแหวนมืดวงแรกของแบบรูปแอรีของอีกจุด จะทำให้เริ่มไม่สามารถแยกแยะ 2 จุดนั้น ทำให้เห็นเหมือนเป็นจุดเดียว

ตามเกณฑ์ของเรย์ลี ขีดจำกัดของมุมที่จะพอมองแยกแหล่งกำเนิดแสงสองจุดดังกล่าว (ความละเอียดเชิงแสงของเลนส์) อาจคำนวณได้จากรัศมีของจานแอรีดังที่กล่าวมาข้างต้น
:  \sin \theta = 1.22\ \frac{\lambda}{d}

โดยที่ θ มีค่าน้อยพอที่จะให้ค่าประมาณได้ดังนี้
:  \frac{x}{f} = 1.22\ \frac{\lambda}{d}

ในที่นี้ x คือช่วงระยะห่างระหว่างจุดกำเนิดแสงบนฟิล์ม f ระยะทางระหว่างเลนส์ถึงฟิล์ม คำนวณจากความยาวโฟกัสของเลนส์คือ

:  x = 1.22\ \frac{\lambda f}{d}

ในที่นี้ \frac{f}{d} คือค่าเอฟของเลนส์ ตัวอย่างเช่น ในช่วงวันที่มีแดดจัดมักใช้ f/16 ส่วนค่าความยาวคลื่น \lambda ต่างไปตามสีของแสง เช่น ถ้าพิจารณาที่ค่าประมาณ 450 นาโนเมตร ในช่วงแสงที่มองเห็นได้ จะได้ว่า x มีขนาดประมาณ 0.01 มิลลิเมตร เมื่อถ่ายภาพด้วยกล้องดิจิทัลที่ f/16 ต่อให้เพิ่มความหนาแน่นพิกเซลของเซนเซอร์รูปภาพให้หนาแน่นขึ้น ความละเอียดเชิงแสงจริง ๆ ของกล้องนั้นก็จะไม่ได้มากขึ้นไปกว่านี้

### ตาของมนุษย์
ค่าเอฟของดวงตามนุษย์อยู่ที่ประมาณ 2.1 เมื่อรูม่านตาขยายมากที่สุด กำลังการแยกบนจอตาอยู่ที่ประมาณ 1 ไมโครเมตร ซึ่งคำนวณจากระยะห่างของเซลล์รับแสงในจอตาของมนุษย์ โดยความหนาแน่นของเซลล์ที่รอยบุ๋มจอตาอยู่ที่ประมาณ 170,000 เซลล์ต่อตารางมิลลิเมตร นั่นคือระยะห่างระหว่างเซลล์อยู่ที่ประมาณ 2.5 ไมโครเมตร

### ลำแสงเลเซอร์
เมื่อฉายลำแสงเลเซอร์วงกลมที่มีความเข้มสม่ำเสมอทั่วทั้งวงผ่านเลนส์รวมแสงจะก่อตัวเป็นจานแอรีที่จุดโฟกัส ความเข้มของลำแสงเลเซอร์ที่ตำแหน่งโฟกัสจะขึ้นอยู่กับขนาดของจานแอรี

## เงื่อนไขในการสังเกตเห็นจานแอรี
แสง (หรือคลื่นราบสม่ำเสมอ) ที่ลอดผ่านรูรับแสงวงกลมที่ส่องสว่างสม่ำเสมอจะแสดงแบบรูปการเลี้ยวเบนแอรีบนระนาบที่ห่างจากรูรับแสงวงกลม กรณีที่แหล่งกำเนิดแสงและระนาบอยู่ที่ระยะอนันต์จากรูรับแสงวงกลมจะเรียกว่า การเลี้ยวเบนเฟราน์โฮเฟอร์ และกรณีที่แหล่งกำเนิดแสงหรือตัวระนาบอยู่ในระยะทางจำกัดเรียกว่าการเลี้ยวเบนแฟรแนล

ถ้าจะเห็นแบบรูปแอรีโดยไม่ใช้เลนส์จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้

#แสงที่ส่องผ่านรูรับแสงวงกลมเป็นคลื่นราบ
#ความเข้มของแสงที่กระทบรูรับแสงวงกลมสม่ำเสมอเท่ากันตลอดทั้งวง
#ระยะห่าง R จากรูรับแสงวงกลมมากพอ และรัศมีของรูเปิด a ไม่ใหญ่มากเมื่อเทียบกับความยาวคลื่นของแสง \lambda นั่นคือ R > a^2 / \lambda

## คำอธิบายด้วยสมการ
right|thumb|220x220px| การเลี้ยวเบนจากรูรับแสงวงกลม แบบรูปแอรีจะเห็นได้เมื่อ  <math>R > a^2 / \lambda </math>
right|thumb|220x220px| การเลี้ยวเบนโดยใช้เลนส์ที่มีรูรับแสงเป็นวงกลม ภาพระยะไกลจะสังเกตได้เฉพาะบนระนาบการโฟกัสที่ระยะ R=f (โดยที่ f=ความยาวโฟกัส)
[right|thumb|300x300px|ความเข้มแสงบนแบบรูปแอรีในช่วง ''ka''sin''θ'' = −10, 10]
ความเข้มของการเลี้ยวเบนเฟราน์โฮเฟอร์ที่เกิดจากรูรับแสงวงกลมคำนวณได้โดย
: I(\theta) = I_0 \left ( \frac{2 J_1(ka \sin \theta)}{ka \sin \theta} \right )^2 = I_0 \left ( \frac{2 J_1(x)}{x} \right )^2

ในที่นี้ I_0 คือความเข้มของแสงที่จุดกึ่งกลางของแบบรูปการเลี้ยวเบน J_1 เป็น ฟังก์ชันเบ็สเซิลประเภทที่หนึ่ง k = {2 \pi}/{\lambda} คือเลขคลื่น a คือรัศมีของรูรับแสงวงกลม \theta คือมุมที่พิจารณา (มุมที่เส้นที่เชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลมกับจุดบนระนาบ ทำกับแกนเชิงแสง) และ
: x = ka \sin \theta = \frac{2 \pi a}{\lambda} \frac{q}{R} = \frac{\pi q}{\lambda N} 

โดยที่ q คือระยะห่างของระนาบที่สังเกตการณ์ (หรือระนาบโฟกัส) จากแกนลำแสง และ N =R/d คือ ค่าเอฟของระบบเชิงแสง (โดย d=2a คือเส้นผ่านศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลม และ R คือระยะห่างระหว่างรูรับแสงวงกลมกับระนาบการสังเกต) การวางเลนส์ประกบหลังรูรับแสงวงกลมจะสร้างแบบรูปแอรีบนระนาบโฟกัสของเลนส์ โดยที่ R = f (โดยที่ f คือความยาวโฟกัสของเลนส์) ขีดจำกัดของ \theta \rightarrow 0 (หรือ x \rightarrow 0) คือ I(0) = I_0

J_1(x) จะมีค่าเป็น 0 เมื่อ x = ka \sin \theta \approx 0, 3.8317, 7.0156, 10.1735, 13.3268, 16.4706...   วงแหวนมืดวงแรกของแบบรูปการเลี้ยวเบนแสดงด้วยสมการต่อไปนี้
: \sin \theta = \frac{3.83}{ka} = \frac{3.83 \lambda}{2 \pi a} = 1.22 \frac{\lambda}{2a} = 1.22 \frac{\lambda}{d} .

ความสัมพันธ์ระหว่างรัศมีของวงแหวนมืดดวงแรกบนระนาบ q_1 และมุม \theta คือ
: q_1 = R \sin \theta

โดยที่ R คือระยะห่างจากรูรับแสงวงกลม ระยะห่างจากจุดกึ่งกลาง x ที่ความเข้มแสงของจานแอรีเหลือครึ่งนึง (คือที่ J_1(x)=1/2) คือ x = 1.61633...  ส่วนที่ความเข้มเหลือเป็น 1/e2  (J_1(x)=1/e^2) คือ x = 2.58383...  ส่วนที่สว่างที่สุดของวงแหวนสว่างวงแรกคือ x = 5.13562... 

ความสัมพันธ์ของความเข้มของแสงที่จุดกึ่งกลางของแบบรูปการเลี้ยวเบน I_0 กับความเข้มของแสงที่ผ่านรูรับแสงวงกลม P_0 แสดงโดยสูตรต่อไปนี้

: I_0 = \frac{\Epsilon_A^2 A^2}{2 R^2} = \frac{P_0 A}{\lambda^2 R^2}

ในที่นี้ \Epsilon คือความเข้มของแสงต่อหน่วยพื้นที่ของรูรับแสงวงกลม *A* คือพื้นที่ของรูรับแสงวงกลม (A=\pi a^2) *R* คือระยะห่างจากรูรับแสงวงกลม ความเข้มแสงบนระนาบโฟกัสของเลนส์เป็น I_0 = (P_0 A)/(\lambda^2 f^2) ความเข้มสูงสุดของวงแหวนสว่างวงแรกคือประมาณ 1.75% ของค่าที่ตรงกลางของจานแอรี

ความเข้มแสงรวมทั้งหมดภายในวงที่อยู่ในบริเวณในมุม \theta ที่กำหนดคำนวณได้เป็น
: P(\theta) = P_0 [ 1 - J_0^2(ka \sin \theta) - J_1^2(ka \sin \theta) ]

ซึ่งจะได้ว่าความเข้มแสงภายในวงแหวนมืดที่ 1, วงแหวนมืดที่ 2, วงแหวนมืดที่ 3 (ที่ซึ่ง J_1(ka \sin \theta)=0) เป็น 83.8%, 91.0% และ 93.8% ตามลำดับ

## แบบรูปแอรีที่มีการบังแสงตรงกลาง
การเลี้ยวเบนในลักษณะเดียวกันนี้ยังเกิดขึ้นในกรณีที่รูรับแสงมีการบดบังเป็นวงกลมที่ส่วนใจกลางด้วย โดยแบบรูปการเลี้ยวเบนของแสงรูปวงแหวนที่เกิดจากรูรับแสงที่มีตัวบังแสงเป็นวงกลมที่ศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลมจะแสดงได้ดังสูตรนี้
: I(\theta) = \frac{I_0}{ (1 - \epsilon ^2)^2} \left ( \frac{2 J_1(x)}{x} - \frac{2 \epsilon J_1(\epsilon x)}{x}\right )^2

ในที่นี้ \epsilon คืออัตราส่วนที่รูรับแสงวงกลมถูกบดบัง กล่าวคือ อัตราส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลางของแผ่นบังต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลม  \left( 0 \le \epsilon  และ x นิยามเป็น x=ka sin(\theta) \approx \frac {\pi R}{\lambda N} โดยที่ R คือเส้นผ่านศูนย์กลางบนแกนเชิงแสงของระนาบโฟกัส \lambda คือความยาวคลื่น และ N คือ ค่าเอฟของระบบเชิงแสง พลังงานแสงที่โฟกัส (อัตราส่วนของพลังงานทั้งหมดที่รวบรวมได้ในวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง R ที่มีจุดกึ่งกลางอยู่บนแกนเชิงแสงของระนาบโฟกัส) คำนวณโดย
: E(R) = \frac{I_0}{ (1 - \epsilon ^2)^2 }
 \left( 1 - J_0^2(x) - J_1^2(x) + \epsilon ^2 \left[ 1 - J_0^2 (\epsilon x) - J_1^2(\epsilon x) \right] - 4 \epsilon \int_0^x \frac {J_1(t) J_1(\epsilon t)}{t}\,dt \right)


เมื่อ \epsilon \rightarrow 0 จะได้สูตรออกมาเหมือนกับสูตรที่กล่าวไปข้างต้นในกรณีที่ไม่มีการบังตรงกลาง

## อ้างอิง

หมวดหมู่:การเลี้ยวเบน
หมวดหมู่:คลื่น
หมวดหมู่:แสง
หมวดหมู่:ปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์
หมวดหมู่:ทัศนศาสตร์