สูตรของเฮรอน

thumb|198x198px| รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน ''a'' ''b'' และ ''c''
ในทางเรขาคณิต **สูตรของเฮรอน** หรือ **สูตรของเฮโร** () จะจัดรูปให้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม อยู่ในรูปของความยาวด้านของทั้งสามด้าน ⁠a,&#x2060;⁠ b&#x2060; และ c&#x2060; โดยกำหนดให้ ⁠s&#x2060; เป็นครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม (semiperimeter) จะได้ว่า s =\tfrac12(a + b + c) ทำให้ได้พื้นที่ ⁠A&#x2060; เป็น 

: A =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

สูตรข้างต้นถูกตั้งชื่อตามวิศวกรในคริสต์ศตวรรษที่ 1 ซึ่งมีชื่อว่าเฮรอนแห่งอะเล็กซานเดรีย (หรือเฮโร) ซึ่งผลงานของเขามีชื่อว่า *เมตริกา* (*Metrica*) ถึงแม้ว่าสูตรนี้จะรู้จักกันมานานหลายศตวรรษแล้วก็ตาม

## ตัวอย่าง
กำหนดให้ ⁠\triangle ABC&#x2060;  มีด้านทั้งสามยาว a=4 b=13 และ c=15 โดยครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม (semiperimeter) เป็น s = \tfrac12(a + b + c) = \tfrac12(4+13+15)=16 จะได้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนี้เป็น

: \begin{align}
A &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{16 \cdot (16-4) \cdot (16-13) \cdot (16-15)} \\
&= \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{576} = 24
\end{align}

จากตัวอย่างนี้ ความยาวด้านและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นจำนวนเต็มทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียน ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวของด้านและพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะทั้งหมด อย่างไรก็ตามสูตรของเฮรอนจะใช้ได้ดี ในกรณีที่ความยาวด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมขึ้นไปไม่ใช่จำนวนเต็ม

## การเขียนสมการในรูปอื่น ๆ
สูตรของเฮรอนยังสามารถเขียนในรูปของความยาวด้านเพียงอย่างเดียว แทนที่จะใช้ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมนั้นสามารถทำได้ในหลายวิธี ดังนี้

: \begin{align}
A &=\tfrac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \\[6mu]
&=\tfrac{1}{4}\sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)} \\[6mu]
&=\tfrac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)} \\[6mu]
&=\tfrac{1}{4}\sqrt{4(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^2+b^2+c^2)^2} \\[6mu]
&=\tfrac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}
\end{align}

หลังจากจัดนิพจน์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายแล้ว พจน์ที่อยู่ในรากที่สองจะเป็นพหุนามกำลังสองของความยาวด้านแต่ละด้านยกกำลังสอง ได้แก่ a^2 b^2 และ c^2   

ความสัมพันธ์ที่คล้ายกันนี้ สามารถจัดรูปได้โดยใช้ฟังก์ชันดีเทอร์มิแนนต์เคย์ลีย์–เมงเงอร์

:  -16A^2 = \begin{vmatrix}
 0 & a^2 & b^2 & 1 \\
a^2 & 0  & c^2 & 1 \\
b^2 & c^2 & 0  & 1 \\
 1 &  1 &  1 & 0
\end{vmatrix} 

## ประวัติ
สูตรข้างต้นนั้นได้ยกย่องให้เป็นสูตรของเฮรอน (หรือเฮโร) แห่งอะเล็กซานเดรีย ( ค.ศ. 60) และหลักฐานนั้นสามารถพบได้ในหนังสือชื่อ *เมตริกา* (*Metrica*) ซึ่งนักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ โทมัส ฮีธ ได้เสนอว่า อาร์คิมิดีสรู้สูตรนี้มาก่อนถึงสองศตวรรษ และเนื่องจาก *เมตริกา* คือหนังสือที่เป็นการรวบรวมความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ในโลกยุคโบราณ จึงเป็นไปได้ที่สูตรดังกล่าวอาจมีอายุก่อนการอ้างอิงที่ให้ไว้ในผลงานนั้น

สูตรที่คล้ายกับของเฮรอน คือ

: 
A = \frac1{2}\sqrt{a^2 c^2 - \left(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2}\right)^2}


สูตรนี้ถูกค้นพบโดยชาวจีน ได้รับการตีพิมพ์ใน *[[Mathematical Treatise in Nine Sections]]* (ฉิน จิ่วฉาว, 1247)

## บทพิสูจน์
มีหลายวิธีในการพิสูจน์สูตรของเฮรอน เช่น การใช้ตรีโกณมิติดังด้านล่าง หรือการใช้วงกลมที่แนบในและแนบนอกรูปสามเหลี่ยม หรือเป็นกรณีพิเศษในทฤษฎีบทของเดอ กวา (เฉพาะสำหรับกรณีที่สามเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม) หรือใช้ในกรณีพิเศษในสูตรของพรหมคุปต์ (สำหรับกรณีของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม)

### การพิสูจน์ด้วยตรีโกณมิติโดยใช้กฎของโคไซน์
จากข้อพิสูจน์สมัยใหม่ซึ่งใช้พีชคณิตมีความแตกต่างจากหลักฐานที่เฮรอนให้ไว้ มีดังนี้ โดยกำหนดให้ ด้าน a b  และ c ของสามเหลี่ยม มีมุมตรงข้ามเป็น \alpha \beta และ \gamma ตามลำดับ เมื่อนำมาใช้กับกฎของโคไซน์ จะได้ว่า

: \cos \gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

thumb|รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน   และ
จากการพิสูจน์นี้เราจะได้สมการว่า

: \sin \gamma = \sqrt{1-\cos^2 \gamma} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}

โดยความสูงของสามเหลี่ยมที่มีฐานเป็น a มีความยาวเป็น b\sin\gamma และจะได้ดังนี้

: \begin{align}
A
&= \tfrac12 (\mbox{base}) (\mbox{altitude}) \\[6mu]
&= \tfrac12 ab\sin \gamma \\[6mu]
&= \frac{ab}{4ab}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2} \\[6mu]
&= \tfrac14\sqrt{-a^4 - b^4 - c^4 + 2 a^2 b^2 + 2 a^2 c^2 + 2 b^2 c^2} \\[6mu]
&= \tfrac14\sqrt{(a + b + c)(- a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)} \\[6mu]
&= \sqrt{
  \left(\frac{a + b + c}{2}\right)
  \left(\frac{- a + b + c}{2}\right)
  \left(\frac{a - b + c}{2}\right)
  \left(\frac{a + b - c}{2}\right)} \\[6mu]
&= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{align}

### การพิสูจน์ด้วยพีชคณิตโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
thumb|270x270px|สามเหลี่ยมที่มีความสูงยาว  ซึ่งลากตัดฐานยาว  ทำให้ c เป็น
หลักฐานข้างต้นนี้คล้ายกับหลักฐานที่ Raifaizen ให้ไว้มาก จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ b^2 = h^2 + d^2 และ a^2 = h^2 + (c - d)^2 ตามรูปด้านขวา หลังจากนั้นนำสมการทั้งสองสมการมาลบกันจนได้ผลลัพธ์ดังนี้ a^2 - b^2 = c^2 - 2cd ทำให้สามารถแสดงนิพจน์ของ d ในรูปของด้านของรูปสามเหลี่ยมได้ว่า

: 
d = \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2c}


โดยสำหรับความสูงของสามเหลี่ยม จะได้ h^2 = b^2 - d^2 จากนั้นทำการแทนค่า d จากสมการข้างต้นเข้าไปและจะใช้สูตรเอกลักษณ์ผลต่างของกำลังสอง จะได้

: 
\begin{align}
 h^2 &= b^2-\left(\frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2c}\right)^2 \\
     &= \frac{(2bc - a^2 + b^2 + c^2)(2bc + a^2 - b^2 - c^2)}{4c^2} \\
     &= \frac{\big((b + c)^2 - a^2\big)\big(a^2 - (b - c)^2\big)}{4c^2} \\
     &= \frac{(b + c - a)(b + c + a)(a + b - c)(a - b + c)}{4c^2} \\
     &= \frac{2(s - a) \cdot 2s \cdot 2(s - c) \cdot 2(s - b)}{4c^2} \\
     &= \frac{4s(s - a)(s - b)(s -c )}{c^2}
\end{align}


จากนั้นใช้ผลลัพธ์ที่มาใช้กับสูตรคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจากความสูง เป็น

: 
\begin{align}
 A &= \frac{ch}{2} \\
   &= \sqrt{\frac{c^2}{4} \cdot \frac{4s(s - a)(s - b)(s - c)}{c^2}} \\
   &= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}
\end{align}


### การพิสูจน์ด้วยตรีโกณมิติโดยใช้กฎของโคแทนเจนต์
[right|thumb|270x270px| นัยสำคัญทางเรขาคณิตของ   และ  ตาม[กฎของโคแทนเจนต์]]
ถ้า r เป็นรัศมีของวงกลมที่แนบในรูปสามเหลี่ยม ทำให้สามารถแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็น 3 รูปที่มีความสูงเท่ากับ r และมีฐานยาว a, b และ c จะได้ผลรวมของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมทั้งสามเป็น

: A = \tfrac12ar + \tfrac12br + \tfrac12cr =rs

โดยที่ s = \tfrac12(a + b + c + d) คือความยาวครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยมสามารถแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยม 6 รูป ที่เป็นคู่ที่เท่ากันทั้งหมด 3 คู่ ที่มีความสูง r และมีฐานยาว s-a s-b และ s-c จะได้ผลรวมของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมทั้งหกรูปเป็น (จากกฎของโคแทนเจนต์)

: \begin{align}
 A &= r(s-a) + r(s-b) + r(s-c) \\[2mu]
   &= r^2\left(\frac{s - a}{r} + \frac{s - b}{r} + \frac{s - c}{r}\right) \\[2mu]
   &= r^2\left(\cot{\frac{\alpha}{2}} + \cot{\frac{\beta}{2}} + \cot{\frac{\gamma}{2}}\right) \\[3mu]
   &= r^2\left(\cot{\frac{\alpha}{2}} \cot{\frac{\beta}{2}} \cot{\frac{\gamma}{2}}\right)\\[3mu]
   &= r^2\left(\frac{s - a}{r} \cdot \frac{s - b}{r} \cdot \frac{s - c}{r}\right) \\[3mu]
   &= \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r}
\end{align}

ขั้นตอนต่อจากข้างต้น คือ \cot{\tfrac{\alpha}{2}} + \cot{\tfrac{\beta}{2}} + \cot{\tfrac{\gamma}{2}} = {}\cot{\tfrac{\alpha}{2}}\cot{\tfrac{\beta}{2}}\cot{\tfrac{\gamma}{2}} ตามเอกลักษณ์ของโคแทนเจนต์ (triple cotangent identity) ซึ่งนำมาใช้ได้เนื่องจากผลรวมของครึ่งหนึ่งของมุมคือ \tfrac\alpha2 + \tfrac\beta2 + \tfrac\gamma2 = \tfrac\pi2

เมื่อรวมทั้งสองเข้าด้วยกัน จะได้

: A^2 = s(s - a)(s - b)(s - c)

ซึ่งทำให้ได้ผลลัพธ์ของพื้นที่ตามมา

## ความเสถียรเชิงตัวเลข
สูตรของเฮรอนที่ให้ไว้ข้างต้นมีความไม่เสถียรในเชิงตัวเลข (numerically unstable) สำหรับสามเหลี่ยมที่มีมุมเล็กมาก เมื่อใช้เลขแบบจำนวนจุดลอยตัว (floating-point arithmetic) เพื่อทำให้มีความเสถียรทางตัวเลขจะการจัดเรียงความยาวของด้านเพื่อให้ a \ge b \ge c จากการคำนวณได้ว่า

: A = \tfrac14 \sqrt{\big(a + (b + c)\big) \big(c - (a - b)\big) \big(c + (a - b)\big) \big(a + (b - c)\big)}

จำเป็นต้องมีวงเล็บในสูตรข้างต้นเพื่อป้องกันความไม่เสถียรของตัวเลขในการหาค่า

## สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมคล้าย
อีกสามสูตรของสูตรพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทั่วไป จะมีโครงสร้างคล้ายกับสูตรของเฮรอน แต่จะแสดงในรูปของตัวแปรที่ต่างกัน

ขั้นตอนแรก กำหนดให้ m_a, m_b และ m_c⁠ คือเส้นมัธยฐาน (medians) ของด้าน a, b และ c ตามลำดับ และครึ่งหนึ่งของผลรวมความยาวเส้นมัธยฐาน คือ \sigma = \tfrac12(m_a + m_b + m_c) จะได้

: 
A = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma - m_a)(\sigma - m_b)(\sigma - m_c)}


ถัดไป ให้ h_a, h_b และ h_c คือความสูงจากด้าน a, b และ c ตามลำดับ และครึ่งหนึ่งของผลรวมส่วนกลับความสูง คือ H = \tfrac12\bigl(h_a^{-1} + h_b^{-1} + h_c^{-1}\bigr) จะได้ 

: 
A^{-1} =4 \sqrt{H\bigl(H-h_a^{-1}\bigr)\bigl(H-h_b^{-1}\bigr)\bigl(H-h_c^{-1}\bigr)}


จะได้ว่า ให้ \alpha, \beta และ \gamma เป็นมุมทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยม และครึ่งหนึ่งของผลรวมของไซน์ของรูปสามเหลี่ยมคือ S = \tfrac12(\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma) จะได้

: \begin{align}
A &= D^{2} \sqrt{S(S-\sin \alpha)(S-\sin \beta)(S-\sin \gamma)} \\[5mu]
 &= \tfrac12 D^{2} \sin \alpha\,\sin \beta\,\sin \gamma
\end{align}

โดย D คือ เส้นผ่านศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมวงกลมล้อม (circumcircle) D =a/{\sin \alpha} = b/{\sin \beta} = c/{\sin \gamma} สูตรสุดท้ายนี้สอดคล้องกับสูตรในรูปมาตรฐานของเฮรอน เมื่อวงกลมล้อมรูปสามเหลี่ยมมีความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลาง

## การสรุปโดยทั่วไปจากกรณีเฉพาะ
right|thumb|192x192px| รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (Cyclic quadrilateral)
สูตรของเฮรอนเป็นกรณีเฉพาะของสูตรของพรหมคุปต์ สำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (cyclic quadrilateral) สูตรของเฮรอนและสูตรของพรหมคุปต์ ทั้งสองสูตรเป็นกรณีเฉพาะของสูตรของเบรทช์ไนเดอร์ สำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม สูตรของเฮรอนสามารถหาได้จากสูตรของพรหมคุปต์หรือสูตรของเบรทช์ไนเดอร์ โดยให้ด้านใดด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมให้เป็นศูนย์

จากสูตรของพรหมคุปต์ให้พื้นที่ K เป็นพื้นที่ของ⁠รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (cyclic quadrilateral) ที่มีความยาวด้านเป็น a b c และ d ทำให้ได้

: K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

โดย s = \tfrac12(a + b + c + d) คือ ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยม

สูตรของเฮรอนยังเป็นกรณีเฉพาะของสูตรพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโดยพิจารณาจากด้านเท่านั้น สูตรของเฮรอนได้มาโดยการกหนดให้ด้านขนานที่เล็กกว่าความยาวเป็นศูนย์

สามารถแสดงสูตรของเฮรอนด้วยฟังก์ชันดีเทอร์มิแนนต์เคย์ลีย์–เมงเงอร์ ในรูปของกำลังสองของระยะทางระหว่างจุดยอดทั้งสามที่กำหนดให้

:  A = \frac{1}{4} \sqrt{- \begin{vmatrix}
 0 & a^2 & b^2 & 1 \\
a^2 & 0  & c^2 & 1 \\
b^2 & c^2 & 0  & 1 \\
 1 &  1 &  1 & 0
\end{vmatrix} } 

แสดงให้เห็นถึงความคล้ายกับสูตรของตาร์ตาเญีย สำหรับปริมาตรของ 3-ซิมเพล็กซ์หรือทรงสี่หน้า

ข้อสรุปทั่วไปของสูตรของเฮรอนของรูปห้าเหลี่ยมและรูปหกเหลี่ยมวงกลมล้อมถูกค้นพบโดย เดวิด พี. ร็อบบินส์ 

### สูตรการหาปริมาตรของทรงสี่หน้าแบบเฮรอน
ให้  U, V,  W, u, v และ w เป็นความยาวขอบของทรงสี่หน้า (สามด้านแรกนำมาประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยม โดย u ตรงข้ามกับ U และต่อไปตามลำดับ) จะได้

: \text{volume} = \frac
  {\sqrt {\,( - a + b + c + d)\,(a - b + c + d)\,(a + b - c + d)\,(a + b + c - d)}}
  {192\,u\,v\,w}

โดยที่

: \begin{align}
a &= \sqrt {xYZ} \\
b &= \sqrt {yZX} \\
c &= \sqrt {zXY} \\
d &= \sqrt {xyz} \\
X &= (w - U + v)\,(U + v + w) \\
x &= (U - v + w)\,(v - w + U) \\
Y &= (u - V + w)\,(V + w + u) \\
y &= (V - w + u)\,(w - u + V) \\
Z &= (v - W + u)\,(W + u + v) \\
z &= (W - u + v)\,(u - v + W)
\end{align}

### สูตรของเฮรอนในเรขาคณิตนอกแบบยุคลิด
นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมตามความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมในเรขาคณิตทรงกลม (Spherical geometry) หรือเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา (hyperbolic plane) อีกด้วย สำหรับรูปสามเหลี่ยมในเรขาคณิตทรงกลมที่มีความยาวด้าน a b และ c และครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปเป็น s=\tfrac12(a+b+c) และมีพื้นที่เป็น S ตามสูตรดังกล่าวจะได้

: 
\tan^2 \frac S 4 = \tan \frac s2 \tan\frac{s-a}2 \tan\frac{s-b}2 \tan\frac{s-c}2


ตามเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา จะได้

: 
\tan^2 \frac S 4 = \tanh \frac s2 \tanh\frac{s-a}2 \tanh\frac{s-b}2 \tanh\frac{s-c}2 


## ดูเพิ่มเติม

* สูตรพื้นที่ของเกาส์

## เชิงอรรถและรายการอ้างอิง


## แหล่งข้อมูลอื่น

* A Proof of the Pythagorean Theorem From Heron's Formula ที่ cut-the-knot
* Interactive applet and area calculator using Heron's Formula
* J. H. Conway discussion on Heron's Formula
* "Heron's Formula and Brahmagupta's Generalization"
* A Geometric Proof of Heron's Formula 
* An alternative proof of Heron's Formula without words
* Factoring Heron
หมวดหมู่:พื้นที่
หมวดหมู่:ทฤษฎีสามเหลี่ยม