กฎโคไซน์ของลัมแบร์ท

**กฎโคไซน์ของลัมแบร์ท** (Lambert's cosine law) ในทางทัศนศาสตร์ คือกฎที่กล่าวว่าความเข้มของการส่องสว่างหรือความเข้มของการแผ่รังสีที่สังเกตได้จากพื้นผิวสะท้อนแสงพร่าในอุดมคติจะแปรตามค่าโคไซน์ของมุม *θ* ระหว่างลำแสงตกกระทบกับแนวฉากผิวของวัตถุ เรียกอีกอย่างว่า **กฎการแผ่รังสีโคไซน์** (cosine emission law) หรือ **กฎการแผ่รังสีของลัมแบร์ท** (Lambert's emission law) ตั้งชื่อตามโยฮัน ไฮน์ริช ลัมแบร์ท จากหนังสือ Photometria ของเขาที่ตีพิมพ์เป็นภาษาละตินในปี 1760

พื้นผิวที่เป็นไปตามกฎโคไซน์ของลัมแบร์ทเรียกว่าเป็น **ผิวลัมแบร์ท** (Lambertian surface) และมีคุณสมบัติการสะท้อนแบบลัมแบร์ท พื้นผิวลัมแบร์ทจะมีความแผ่รังสีเท่ากันไม่ว่าเมื่อมองจากมุมใด และในสายตาของมนุษย์ก็จะมองว่ามีความสว่างเท่ากันในทุกมุม เหตุผลที่พื้นผิวลัมแบร์ทมีความส่องสว่างเท่ากันคือ แม้ว่าความส่องสว่างที่ปล่อยออกมาจากพื้นที่ที่พิจารณาจะลดลงตามโคไซน์ของมุมการแผ่รังสี แต่ขนาดที่ปรากฏของพื้นที่ที่ผู้สังเกตมองเห็นก็จะลดลงตาม ดังนั้นค่าความแผ่รังสี (= ฟลักซ์รังสี/มุมตัน/พื้นที่การฉาย) จึงเท่ากัน

## แสงพร่าและการแผ่รังสีบนผิวลัมแบร์ท
หากพื้นที่หนึ่ง ๆ ปล่อยรังสีออกมาเนื่องจากถูกส่องสว่างโดยแหล่งกำเนิดแสงภายนอก ความรับอาบรังสี (พลังงาน/เวลา/พื้นที่) ที่ตกบนพื้นที่นั้นจะแปรตามค่าโคไซน์ของมุมระหว่างแนวฉากของผิวกับมุมที่แสงตกกระทบ การกระเจิงบนผิวลัมแบร์ทนั้นจะเกิดขึ้นกับแสงที่ตกกระทบ โดยเกิดการกระเจิงในลักษณะเดียวกับกฎโคไซน์ในการแผ่รังสีบนผิวลัมแบร์ท ซึ่งหมายความว่าแม้ว่าค่าความแผ่รังสีของผิวลัมแบร์ทจะขึ้นอยู่กับมุมระหว่างแนวฉากของผิวกับทิศทางไปแหล่งกำเนิดแสง แต่ก็ไม่ได้ขึ้นอยู่กับมุมมองของผู้สังเกต

หากเรามองว่าพื้นผิวของดวงจันทร์เป็นผิวลัมแบร์ท ความสว่างควรจะลดลงอย่างมากที่บริเวณใกล้ขอบของดวงจันทร์ เนื่องจากมุมตกกระทบของแสงที่ตกกระทบจากดวงอาทิตย์เพิ่มขึ้น อย่างไรก็ตาม ในความเป็นจริงแล้วความสว่างไม่ได้ลดลง จึงกล่าวได้ว่าผิวดวงจันทร์ไม่ได้เป็นผิวลัมแบร์ท นอกจากนี้ ในทางปฏิบัติแล้ว แสงที่มุมตกกระทบเอียงจะกระเจิงมากกว่า เมื่อเทียบกับพื้นผิวลัมแบร์ท

การแผ่รังสีจากผิวลัมแบร์ทนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับปริมาณรังสีรวมที่ตกกระทบ แต่ขึ้นอยู่กับการแผ่รังสีจากตัวแหล่งกำเนิดเอง ตัวอย่างเช่น สมมติว่าดวงอาทิตย์เป็นแหล่งกำเนิดรังสีแบบลัมแบร์ท อาจกล่าวได้ว่าพื้นผิวของดวงอาทิตย์มีความสว่างเท่ากันตลอดพื้นผิว อย่างไรก็ตาม ในความเป็นความจริงแล้วดวงอาทิตย์ไม่ใช่แหล่งกำเนิดรังสีแบบลัมแบร์ทเนื่องจากมีการมืดคล้ำที่ขอบ ตัวอย่างแหล่งกำเนิดรังสีแบบลัมแบร์ทคือวัตถุดำ

## การพิสูจน์ความเท่ากันของความสว่าง


การเกิดการสะท้อนบนผิวลัมแบร์ทแสดงดังในรูปที่ 1 และ 2 ในที่นี้เพื่อให้เห็นภาพชัดเจนขึ้น จะอธิบายในรูปของจำนวนโฟตอน แทนพลังงานการส่องสว่างหรือความแผ่รังสี พื้นที่รูปลิ่มแต่ละช่องภายในวงกลมล้วนมีมุมขนาด *dΩ* เท่ากัน และจำนวนโฟตอนต่อวินาทีที่ฉายรังสีไปยังพื้นที่รูปลิ่มคงที่เท่ากันตลอดผิวลัมแบร์ท

ความยาวของลิ่มแต่ละอันสามารถมองว่าเป็นผลคูณของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมและ cos(*θ*) นอกจากนี้ โฟตอนที่ปล่อยออกมาต่อหน่วยมุมตันจะมีค่าสูงสุดที่แนวฉาก และจะเป็นศูนย์ที่ *θ* = 90° ในทางคณิตศาสตร์ ความแผ่รังสีที่แนวฉากแสดงเป็น "ต่อวินาที ต่อตารางเมตร ต่อสเตอเรเดียน" (s·cm2·sr) โดยจำนวนโฟตอนที่ปล่อยออกมาจากพื้นที่ลิ่มแนวตั้งต่อวินาทีจะเป็น */ dΩ dA* ส่วนจำนวนโฟตอนที่ปล่อยออกมาต่อวินาทีที่มุม *θ* จากลิ่มแนวตั้งก็จะเป็น /cos(*θ*) *dΩ dA*

รูปที่ 2 เป็นแผนภาพแสดงมุมมองจากจุดสังเกต เมื่อมองจากด้านบนพื้นที่หน่วยหนึ่งโดยตรง จะมองเห็นพื้นที่ *dA* ที่มีมุมตันเป็น *dΩ*0 ผ่านรูรับแสงพื้นที่ *dA*0 อาจสรุปได้ว่า รูรับแสงดังกล่าวจะทำให้เกิดมุมทึบขนาด *dΩ* ในกรณีเมื่อมองจากพื้นที่หนึ่งหน่วย จุดสังเกตการณ์ของค่าที่แนวฉากนี้จะบันทึกได้เป็น /*dΩ* *dA* โฟตอน/วินาที และความแผ่รังสีที่วัดได้จะกลายเป็น

: 
I_0=\frac{I\, d\Omega\, dA}{d\Omega_0\, dA_0}
 /(s·cm2·sr)

เมื่อมองจากจุดสังเกตการณ์ที่ทำมุม *θ* กับแนวฉาก จะสังเกตการณ์พื้นที่หน่วยขนาด *dA* ผ่านรูรับแสงเดียวกันที่พื้นที่ *dA*0 แล้วมีขนาดมุมตันเป็น *dΩ*0 cos(*θ*) ที่จุดสังเกตการณ์นี้ค่าที่ถูกบันทึกจะเป็น /cos(*θ*) *dΩ* *dA* โฟตอน/วินาที และค่าความแผ่รังสีที่วัดได้จะเป็น

: 
I_0=\frac{I \cos(\theta)\, d\Omega\, dA}{d\Omega_0\, \cos(\theta)\, dA_0}
=\frac{I\, d\Omega\, dA}{d\Omega_0\, dA_0}
 โฟตอน/(s·cm2·sr)

ซึ่งมีค่าเท่ากับเมื่อมองจุดสังเกตการณ์บนแนวฉาก ดังนั้นจึงได้ข้อสรุปว่าความแผ่รังสี (หรือความสว่าง) จะไม่ขึ้นอยู่กับมุมที่สังเกตการณ์

## ฟลักซ์ส่องสว่างและความเข้มของการส่องสว่างสูงสุด
โดยทั่วไปความเข้มของการส่องสว่าง ณ จุดหนึ่ง ๆ บนพื้นผิวหนึ่ง ๆ จะแตกต่างกันไปตามทิศทาง บนพื้นผิวลัมแบร์ท การกระเจิงของรังสีถูกกำหนดโดยกฎโคไซน์ โดยขึ้นกับค่าสูงสุดของการส่องสว่างที่แนวฉาก สมมติว่าถ้าพื้นผิวเป็นผิวลัมแบร์ท ให้ฟลักซ์ส่องสว่างรวมเป็น F_{tot} และความเข้มของการส่องสว่างสูงสุดเป็น I_{max} จากกฎโคไซน์แล้วได้ว่า

: F_{tot} = \int\limits_0^{\pi/2}\,\int\limits_0^{2\pi}\cos(\theta)I_{max}\,\sin(\theta)\,\operatorname{d}\phi\,\operatorname{d}\theta 
::: = 2\pi\cdot I_{max}\int\limits_0^{\pi/2}\cos(\theta)\sin(\theta)\,\operatorname{d}\theta 
::: = 2\pi\cdot I_{max}\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sin(2\theta)}{2}\,\operatorname{d}\theta 

ดังนั้น

: F_{tot}=\pi\,\mathrm{sr}\cdot I_{max}

ในที่นี้ \sin(\theta) คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ยาโคบีสำหรับทรงกลมหนึ่งหน่วย และ I_{max} คือฟลักซ์ส่องสว่างต่อสเตอเรเดียน ในทำนองเดียวกัน ความเข้มสูงสุดจะเท่ากับค่าฟลักซ์ส่องสว่างที่แผ่มาคูณด้วย 1/(\pi\,\mathrm{sr})

ตัวอย่าง: พื้นผิวที่มีความสว่าง cd/m<sup>2</sup> (=100 nt, จอภาพ PC ทั่วไป) หากเป็นผิวลัมแบร์ทโดยสมบูรณ์แบบ จะมีความเข้มของการแผ่รังสีที่ 314 lm/m<sup>2</sup> สำหรับพื้นที่ 0.1 m2 (≒ จอภาพ 19 นิ้ว) ปริมาณแสงที่ปล่อยออกมา หรือฟลักซ์ส่องสว่างทั้งหมดจะเป็น 31.4 lm

## อ้างอิง


## ดูเพิ่ม
* ความส่งผ่าน
* ความสะท้อน

หมวดหมู่:ทัศนศาสตร์
หมวดหมู่:คอมพิวเตอร์กราฟิกส์สามมิติ
หมวดหมู่:การวัดรังสี