กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์

thumb|300px|ภาพแสดงกฎ 3 ข้อของเค็พเพลอร์ที่มีวงโคจรดาวเคราะห์ 2 วง (1) วงโคจรเป็นวงรีด้วยจุดโฟกัส ''f1'' และ ''f2'' สำหรับดาวเคราะห์ดวงแรกและ ''f1'' และ ''f3'' สำหรับดาวเคราะห์ดวงที่ 2 ดวงอาทิตย์อยู่ที่จุด ''f1'' (2) ส่วนแรเงา 2 ส่วน ''A1'' และ ''A2'' มีผิวพื้นเท่ากันและเวลาที่ดาวเคราะห์ 1 ทับพื้นที่ ''A1'' เท่ากับเวลาที่ทับพื้นที่ ''A2'' (3) เวลารวมของวงโคจรสำหรับดาวเคราะห์ 1 และดาวเคราะห์ 2 มีสัดส่วนเท่ากับ <math>a1^{3/2}:a2^{3/2}</math>

**กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์** () คือ กฎทางคณิตศาสตร์ 3 ข้อที่กล่าวถึงการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ในระบบสุริยะ นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ โยฮันเนิส เค็พเพลอร์ (พ.ศ. 2114–2173) เป็นผู้ค้นพบ

**เค็พเพลอร์** ได้ศึกษาการสังเกตการณ์ของนักดาราศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงชาวเดนมาร์ก ชื่อทือโก ปราเออ โดยประมาณ พ.ศ. 2148 เค็พเพลอร์พบว่าการสังเกตตำแหน่งของดาวเคราะห์ของบราห์เป็นไปตามกฎง่าย ๆ ทางคณิตศาสตร์

กฎของเค็พเพลอร์ท้าทายดาราศาสตร์สายอริสโตเติลและสายทอเลมีและกฎทางฟิสิกส์ในขณะนั้น เค็พเพลอร์ยืนยันว่าโลกเคลื่อนที่เป็นวงรีมากกว่าวงกลม และยังได้พิสูจน์ว่าความเร็วการเคลื่อนที่มีความผันแปรด้วย ซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงความรู้ทางดาราศาสตร์และฟิสิกส์ อย่างไรก็ดี คำอธิบายเชิงฟิสิกส์เกี่ยวกับพฤติกรรมของดาวเคราะห์ก็ได้ปรากฏชัดเจนได้ในอีกเกือบศตวรรษต่อมา เมื่อไอแซก นิวตัน สามารถสรุปกฎของเค็พเพลอร์ได้ว่าเข้ากันกับกฎการเคลื่อนที่และกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตันเองโดยใช้วิชาแคลคูลัสที่เขาคิดสร้างขึ้น รูปจำลองแบบอื่นที่นำมาใช้มักให้ผลผิดพลาด

## กฎ 3 ข้อของเค็พเพลอร์
# วงโคจรของดาวเคราะห์ทุกดวงเป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์เป็นจุดโฟกัสทจุดหนึ่ง วงรีเกิดจากการมีจุดศูนย์กลาง 2 ศูนย์ ดังภาพ ดังนั้นเค็พเพลอร์จึงคัดค้านความเชื่อในแนวของอริสโตเติล ปโตเลมีและโคเปอร์นิคัสที่ว่าวงโคจรเป็นวงกลม
# ในขณะที่ดาวเคราะห์เคลื่อนไปในวงโคจร เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์กวาดพื้นที่เท่า ๆ กันในระยะเวลาเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าดาวเคราะห์โคจรเร็วกว่าเมื่ออยู่ใกล้ดวงอาทิตย์และช้าลงเมื่ออยู่ห่างดวงอาทิตย์ ด้วยกฎข้อนี้ เค็พเพลอร์ได้ล้มทฤษฎีดาราศาสตร์อริสโตเติลที่ว่าดาวเคราะห์เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่
# กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของกึ่งแกนเอก (ครึ่งหนึ่งของความยาววงรี) ของวงโคจร ซึ่งหมายความว่า ไม่เพียงแต่วงโคจรที่ใหญ่กว่าเท่านั้นที่มีระยะเวลานานกว่า แต่อัตราความเร็วของดาวเคราะห์ที่มีวงโคจรทีใหญ่กว่านั้นก็โคจรช้ากว่าวงโคจรที่เล็กกว่าอีกด้วย

กฎของเค็พเพลอร์ได้แสดงไว้ข้างล่าง และเป็นกฎที่มาจากกฎของนิวตันที่ใช้ระบบพิกัดเชิงขั้วศูนย์สุริยะ \ (r,\theta) อย่างไรก็ตาม กฎของเค็พเพลอร์ยังสามารถเขียนอย่างอื่นได้โดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียน

## รายละเอียดทางคณิตศาสตร์
### กฎข้อที่ 1
thumb|right|กฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 1
กฎข้อแรกกล่าวว่า “วงโคจรของดาวเคราะห์ทุกดวงเป็นรูปวงรีที่มีดวงอาทิตย์เป็นจุดโฟกัสจุดหนึ่ง“

**คณิตศาสตร์ของวงรีเป็นดังนี้**

สมการคือ
: r=\frac{p}{1+\epsilon\cdot\cos\theta}
โดยที่ *p* คือ กึ่งเลตัสเรกตัม (semi latus rectum), *ε* คือ ความเยื้องศูนย์กลาง (eccentricity) ซึ่งมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ และน้อยกว่าหนึ่ง, *r* คือระยะทางจากดวงอาทิตย์จนถึงดาวเคราะห์ และ *θ* คือมุมที่วัดจากตำแหน่งดาวเคราะห์ปัจจุบันไปถึงจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุดของดาวเคราะห์นั้น

เมื่อ *θ*=0° ดาวเคราะห์จะอยู่ที่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด
: r_\mathrm{min}=\frac{p}{1+\epsilon}

เมื่อ *θ*=90°: *r*=*p* และเมื่อ *θ*=180° ดาวเคราะห์จะอยู่ที่จุดไกลดวงอาทิตย์ที่สุด:
: r_\mathrm{max}=\frac{p}{1-\epsilon}

กึ่งแกนเอกของวงรี *a* คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตระหว่าง *r*min และ *r*max:
: a=\frac{p}{1-\epsilon^2}
กึ่งแกนโทของวงรี *b* คือ ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตระหว่าง *r*min และ *r*max:
: b=\frac p{\sqrt{1-\epsilon^2}}
นอกจากนี้ยังเป็นมัชฌิมเรขาคณิตระหว่างกึ่งแกนเอกกับกึ่งเลตัสเรกตัม
: \frac a b=\frac b p

### กฎข้อที่ 2
right|thumb|ภาพแสดงกฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 2

กฎข้อที่ 2 “เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์ กวาดพื้นที่เท่า ๆ กันในระยะเวลาเท่ากัน” 

กฎนี้รู้จักในอีกชื่อหนึ่งที่ว่ากฎพื้นที่เท่า ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
โปรดดูการการอนุพัทธ์ดังภาพ

การคำนวณมี 4 ขั้นดังนี้
: 1. คำนวณ **มุมกวาดเฉลี่ย** (mean anomaly) *M* จากสูตร
:: M=\frac{2\pi t}{P}
: 2. คำนวณ **[[มุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง]]** eccentric anomaly *E* โดยการแก้ **สมการของเค็พเพลอร์**:
:: \ M=E-\epsilon\cdot\sin E
: 3. คำนวณ **[[มุมกวาดจริง]]** (true anomaly) *θ* โดยใช้สมการ:
:: \tan\frac \theta 2 = \sqrt{\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}}\cdot\tan\frac E 2
: 4. คำนวณ **ระยะห่างศูนย์สุริยะ** (heliocentric distance) *r* จากกฎข้อแรก:
:: r=\frac p {1+\epsilon\cdot\cos\theta}

### กฎข้อที่ 3
กฎข้อที่ 3 “กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของกึ่งแกนเอกของวงโคจร” ดังนั้น ไม่เพียงความยาววงโคจรจะเพิ่มด้วยระยะทางแล้ว ความเร็วของการโคจรจะลดลงด้วย การเพิ่มของระยะเวลาการโคจรจึงเป็นมากกว่าการเป็นสัดส่วน
: P^2 \propto a^3
: P = คาบการโคจรของดาวเคราะห์
: a = กึ่งแกนเอกของวงโคจร

ดังนั้น *P*2*a*–3 มีค่าเหมือนกันสำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะรวมทั้งโลก เมื่อใช้งานหน่วยใดหน่วยหนึ่ง เช่น ถ้าเลือกใช้หน่วยของ *P* เป็นปีดาราคติ และ *a* เป็นหน่วยดาราศาสตร์ *P*2*a*–3 จะมีค่าเป็น 1 แต่ถ้าเลือกใช้หน่วยเอสไอ: \frac{P^{2}}{a^{3}} = 3.00\times 10^{-19} \frac{s^{2}}{m^{3}} \pm \ 0.7\%\,

### ตำแหน่งในฟังก์ชันของเวลา
lang=th|right
ปัญหาเค็พเพลอร์อนุมานการโคจรวงรีและจุด 4 จุด:
* *s* ดวงอาทิตย์ (ณ โฟกัสหนึ่งของวงรี);
* *z* จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด
* *c* ศูนย์กลางของวงรี
* *p* ดาวเคราะห์
และ
: \ a=|cz| **[[กึ่งแกนเอก]]** ระยะจากศูนย์กลางถึงจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด นั่นคือกึ่งแกนเอก
: \ \varepsilon={|cs|\over a} **[[ความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร|ความเยื้องศูนย์กลาง]]**
: \ b=a\sqrt{1-\varepsilon^2} **[[กึ่งแกนโท]]**
: \ r=|sp|  ระยะจากดวงอาทิตย์ถึงดาวเคราะห์
: \nu=\angle zsp, ตำแหน่งดาวเคราะห์ตามที่เห็นจากดวงอาทิตย์ นั่นคือ **[[มุมกวาดจริง]]**

ปัญหาคือการคำนวณพิกัดเชิงขั้ว (*r*,*ν*) ของดาวเคราะห์จาก**เวลานับตั้งแต่ดาวเคราะห์ผ่านจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด**, *t*

|zsx|=\frac a b \cdot|zsp|
\ |zcy|=|zsx|
และ
: M=\angle zcy, *y* จากที่เห็นจากศูนย์กลาง นั่นคือ**[[มุมกวาดเฉลี่ย]]**

\ |zcy| = \frac{a^2 M}2:|zsp|=\frac b a \cdot|zsx|=\frac b a \cdot|zcy|=\frac b a\cdot\frac{a^2 M}2 = \frac {a b M}{2} 

: M={2 \pi t \over T},
โดย *T* คือคาบการโคจร

: \ |zcy|=|zsx|=|zcx|-|scx|
: \frac{a^2 M}2=\frac{a^2 E}2-\frac {a\varepsilon\cdot a\sin E}2
Division by *a*²/2 gives **Kepler's equation**
: M=E-\varepsilon\cdot\sin E
: E\approx M+\left(\varepsilon-\frac18\varepsilon^3\right)\sin M+\frac12\varepsilon^2\sin 2M+\frac38\varepsilon^3\sin 3M+ \cdots

: a\cdot\cos E=a\cdot\varepsilon+r\cdot\cos \nu.
: \ \frac r a =\frac{1-\varepsilon^2}{1+\varepsilon\cdot\cos \nu} 
to get
: \cos E
=\varepsilon+\frac{1-\varepsilon^2}{1+\varepsilon\cdot\cos \nu}\cdot\cos \nu
=\frac{\varepsilon\cdot(1+\varepsilon\cdot\cos \nu)+(1-\varepsilon^2)\cdot\cos \nu}{1+\varepsilon\cdot\cos \nu}
=\frac{\varepsilon +\cos \nu}{1+\varepsilon\cdot\cos \nu}

: \tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}
จะได้
: \tan^2\frac{E}{2}
=\frac{1-\cos E}{1+\cos E}
=\frac{1-\frac{\varepsilon+\cos \nu}{1+\varepsilon\cdot\cos \nu}}{1+\frac{\varepsilon+\cos \nu}{1+\varepsilon\cdot\cos \nu}}
=\frac{(1+\varepsilon\cdot\cos \nu)-(\varepsilon+\cos \nu)}{(1+\varepsilon\cdot\cos \nu)+(\varepsilon+\cos \nu)}
=\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}\cdot\frac{1-\cos \nu}{1+\cos \nu}=\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}\cdot\tan^2\frac{\nu}{2}
คูณด้วย (1+ε)/(1−ε) และใส่รากที่สอง จะได้ผลลัพธ์
: \tan\frac \nu2=\sqrt\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\cdot\tan\frac E2

ในขั้นที่สามนี้เราจะได้ความเชื่อมโยงกันระหว่างเวลากับตำแหน่งในวงโคจร

ขั้นที่สี่คือการคำนวณระยะห่างศูนย์สุริยะ r จากมุมกวาดจริง ν ด้วยกฎข้อแรกของเค็พเพลอร์:

: \ r=a\cdot\frac{1-\varepsilon^2}{1+\varepsilon\cdot\cos \nu}

## การอนุพัทธ์ (Derivation) กฎของนิวตัน

### การอนุพัทธ์ของกฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 2

:  m\cdot\ddot\mathbf{r} = \frac{M\cdot m}{r^2}\cdot(-\hat{\mathbf{r}})\cdot G

:  \dot\hat{\mathbf{r}} = \dot\theta \hat{\boldsymbol\theta}
where  \hat{\boldsymbol\theta} is the tangential unit vector, and
:  \dot\hat{\boldsymbol\theta} = -\dot\theta \hat{\mathbf{r}}.

So the position vector
: \mathbf{r} = r \hat{\mathbf{r}}
is differentiated twice to give the velocity vector and the acceleration vector
: \dot\mathbf{r} =\dot r \hat\mathbf{r} + r \dot\hat\mathbf{r}
=\dot r \hat{\mathbf{r}} + r \dot\theta \hat{\boldsymbol\theta},
: \ddot\mathbf{r}
= (\ddot r \hat{\mathbf{r}} +\dot r \dot\hat{\mathbf{r}} )
+ (\dot r\dot\theta \hat{\boldsymbol\theta} + r\ddot\theta \hat{\boldsymbol\theta}
+ r\dot\theta \dot\hat{\boldsymbol\theta})
= (\ddot r - r\dot\theta^2) \hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta) \hat{\boldsymbol\theta}.

Note that for constant distance, \ r, the planet is subject to the centripetal acceleration, r\dot\theta^2, and for constant angular speed, \dot\theta, the planet is subject to the coriolis acceleration, 2\dot r \dot\theta.

Inserting the acceleration vector into Newton's laws, and dividing by *m*, gives the vector equation of motion
:  (\ddot r - r\dot\theta^2) \hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta) \hat{\boldsymbol\theta}= -GMr^{-2}\hat{\mathbf{r}}

Equating component, we get the two ordinary differential equations of motion, one for the radial acceleration and one for the tangential acceleration:
: \ddot r - r\dot\theta^2 = -GMr^{-2},
: r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta = 0.

\ r \dot\theta:
: \frac{\ddot\theta}{\dot\theta} +2\frac{\dot r}{r}=0
and integrate:
: \log\dot\theta +2\log r = \log\ell,
where \log\ell is a constant of integration, and exponentiate:
:  r^2\dot \theta =\ell .
This says that the specific angular momentum  r^2 \dot \theta is a constant of motion, even if both the distance \ r and the angular speed \dot\theta vary.

The area swept out from time *t*1 to time *t*2,
: \ \int_{t_1}^{t_2}\frac 1 2 \cdot base\cdot height\cdot dt = \int_{t_1}^{t_2}\frac 1 2 \cdot r\cdot r\dot \theta\cdot dt=\frac 1 2 \cdot\ell \cdot(t_2-t_1) 
depends only on the duration *t*2−*t*1. This is Kepler's second law.

### การอนุพัทธ์ของกฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 1

: p=\ell ^2 G^{-1}M^{-1}

: \ u =pr^{-1}
and get
: -GMr^{-2}=-\ell^2 p^{-3}u^{2} 
and
: \ \dot \theta =\ell r^{-2}=\ell p^{-2}u^2. 

: \ \dot X=\frac {dX}{d \theta}\cdot \dot\theta=\frac {dX}{d \theta}\cdot\ell p^{-2}u^2. 

Differentiate
: \ r =pu^{-1}
twice:
: \dot r = \frac{d(pu^{-1})}{d\theta}\cdot\ell p^{-2}u^{2} = -pu^{-2}\frac{du}{d\theta}\cdot\ell p^{-2}u^{2}= -\ell p^{-1}\frac{du}{d\theta}
: \ddot r = \frac{d\dot r}{d\theta}\cdot\ell p^{-2}u^{2}= \frac{d}{d\theta}(-\ell p^{-1}\frac{du}{d\theta})\cdot\ell p^{-2}u^{2}= -\ell^2 p^{-3}u^{2}\frac{d^2 u}{d\theta^2}
Substitute into the radial equation of motion
: \ddot r - r\dot\theta^2 = -GMr^{-2}
and get
: (-\ell^2 p^{-3}u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}) - (pu^{-1})(\ell p^{-2}u^2)^2 = -\ell ^2 p^{-3} u^2
Divide by -\ell^2 p^{-3}u^2

: \frac{d^2u}{d\theta^2} + u = 1 . 

: \ u = 1.

: \frac{d^2u}{d\theta^2} + u = 0
These solutions are
: \ u = \epsilon\cdot\cos(\theta-A) 
where \ \epsilon  and \ A  are arbitrary constants of integration. So the result is
: \ u = 1+ \epsilon\cdot\cos(\theta-A) 

Choosing the axis of the coordinate system such that \ A=0, and inserting \ u=pr^{-1}, gives:

: \ pr^{-1 } = 1+ \epsilon\cdot\cos\theta . 

If \ \epsilon this is Kepler's first law.

### กฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 3

: T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} \cdot r^3

where:
* *T* = planet's sidereal period
* *r* = radius of the planet's circular orbit
* *G* = the gravitational constant
* *M* = mass of the sun

: T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M + m)} \cdot a^3

โดย:
* *T* = object's sidereal period
* *a* = object's semimajor axis
* *G* = the gravitational constant = 6.67 × 10−11 N • m²/kg²
* *M* = mass of one object
* *m* = mass of the other object

: \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1-\epsilon)a\cdot V_A\,dt= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B\,dt

: (1-\epsilon)\cdot V_A=(1+\epsilon)\cdot V_B

: V_A=V_B\cdot\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}

: \frac{mV_A^2}{2}-\frac{GmM}{(1-\epsilon)a} =\frac{mV_B^2}{2}-\frac{GmM}{(1+\epsilon)a}

: \frac{V_A^2}{2}-\frac{V_B^2}{2} =\frac{GM}{(1-\epsilon)a}-\frac{GM}{(1+\epsilon)a}

: \frac{V_A^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left ( \frac{1}{(1-\epsilon)}-\frac{1}{(1+\epsilon)} \right ) 

: \frac{\left ( V_B\cdot\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}\right ) ^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left ( \frac{1+\epsilon-1+\epsilon}{(1-\epsilon)(1+\epsilon)} \right ) 

: V_B^2 \cdot \left ( \frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}\right ) ^2-V_B^2=\frac{2GM}{a}\cdot \left ( \frac{2\epsilon}{(1-\epsilon)(1+\epsilon)} \right ) 

: V_B^2 \cdot \left ( \frac{(1+\epsilon)^2-(1-\epsilon)^2}{(1-\epsilon)^2}\right )=\frac{4GM\epsilon}{a\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)} 

: V_B^2 \cdot \left ( \frac{1+2\epsilon+\epsilon^2-1+2\epsilon-\epsilon^2}{(1-\epsilon)^2} \right) =\frac{4GM\epsilon}{a\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)} 

: V_B^2 \cdot 4\epsilon =\frac{4GM\epsilon\cdot (1-\epsilon)^2}{a\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)} 

: V_B =\sqrt{\frac{GM\cdot(1-\epsilon)}{a\cdot(1+\epsilon)}}.

: \frac{dA}{dt}=\frac{\frac{1}{2}\cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B \,dt}{dt}= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B 
:: = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\epsilon)a\cdot \sqrt{\frac{GM\cdot(1-\epsilon)}{a\cdot(1+\epsilon)}} = 
 \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}

: T\cdot \frac{dA}{dt}=\pi a \sqrt{(1-\epsilon^2)}a

: T\cdot \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}=\pi \sqrt{(1-\epsilon^2)}a^2

: T=\frac{2\pi \sqrt{(1-\epsilon^2)}a^2}{\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}} =\frac{2\pi a^2}{\sqrt{GMa}}= 
\frac{2\pi}{\sqrt{GM}}\sqrt{a^3}

: T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3.

: T^2=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3.

ซ.ต.พ.

## อ้างอิง

## ดูเพิ่ม
* ปัญหาเค็พเพลอร์
* การเคลื่อนที่แบบวงกลม
* ความโน้มถ่วง
* ปัญหาวัตถุสองชิ้น
* การตกอย่างอิสระ

## แหล่งข้อมูลอื่น
* Crowell, Benjamin, *Conservation Laws*, http://www.lightandmatter.com/area1book2.html , an online book that gives a proof of the first law without the use of calculus. (see section 5.2, p.112)
* David McNamara and Gianfranco Vidali, *Kepler's Second Law -JAVA Interactive Tutorial*, http://www.phy.syr.edu/courses/java/mc_html/kepler.html , an interactive JAVA applet that aids in the understanding of Kepler's Second Law.
* University of Tennessee's Dept. Physics & Astronomy: Astronomy 161 page on Johannes Kepler: The Laws of Planetary Motion http://csep10.phys.utk.edu/astr161/lect/history/kepler.html
* Equant compared to Kepler: interactive model http://people.scs.fsu.edu/~dduke/kepler.html 
* Kepler's Third Law:interactive modelhttp://people.scs.fsu.edu/~dduke/kepler3.html 

หมวดหมู่:กลศาสตร์ท้องฟ้า
หมวดหมู่:สมการ
หมวดหมู่:โยฮันเนิส เค็พเพลอร์