การแปลงโคไซน์ไม่ต่อเนื่อง

**การแปลงโคไซน์ไม่ต่อเนื่อง** () เป็นการแปลงออทอโกนัล ที่เป็นจำนวนจริง และมีฟังก์ชันโคไซน์ เป็นฐาน มีทั้งหมด 8 ชนิด คือ DCT-1 ถึง DCT-4 ความยาวคู่ (หรือ DCT-IE ถึง DCT-IVE) และ DCT-5 ถึง DCT-8 ความยาวคี่ (หรือ DCT-IO ถึง DCT-IVO)

การแปลงโคไซน์ ที่รู้จักกันมากที่สุด คือ DCT ชนิดที่สองความยาวคู่ ซึ่งมักจะเรียกสั้น ๆ ว่า "การแปลง DCT" และ เรียกการแปลงกลับ ซึ่งเท่ากับการแปลง DCT-III ว่า "การแปลงกลับ DCT" หรือ "IDCT (Inverse DCT)"

## การประยุกต์ใช้งาน
**DCT** และ การแปลงที่สัมพันธ์ที่ใกล้ชิดกันคือ การแปลงไซน์ไม่ต่อเนื่อง(DST) นั้นมีการประยุกต์ใช้งานที่รู้จักกันดีใน การประมวลผลสัญญาณ และ การประมวลผลภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการเข้ารหัสแบบแปลง (transform coding) เพื่อการบีบอัดข้อมูลแบบมีการสูญเสีย ทั้งตามมาตรฐานการบีบอัดภาพนิ่ง JPEG และ มาตรฐานการบีบอัดภาพเคลื่อนไหว MPEG ทั้งนี้เนื่องมาจากคุณสมบัติของ DCT ที่เรียกว่า *energy compaction* ที่ดี คือ สามารถอัดพลังงานส่วนใหญ่ของสัญญาณ โดยเฉพาะภาพ ไปไว้ในสัมประสิทธิ์ย่านความถี่ต่ำในโดเมนของการแปลง และ การคำนวณการแปลงในทางปฏิบัติสามารถกระทำได้อย่างมีประสิทธิภาพ

นอกจากการอธิบายด้วยเหตุผลข้างต้นแล้ว สาเหตุที่ การใช้ DCT เป็นที่นิยมในการบีบอัดข้อมูลสารสนเทศกว่าการใช้ DFT นั้น เป็นเพราะว่า เมื่อตัดสัมประสิทธิ์ของการแปลงที่มีค่าใกล้ศูนย์ออกไปเป็นจำนวนเท่า ๆ กัน ผลของการทำผกผันหรือ IDCT จะให้ข้อมูลสารสนเทศมีความใกล้เคียงกับข้อมูลต้นแบบ (orignal sequence) มากกว่า การตัดสัมประสิทธิ์จากการแปลง DFT

สำหรับ DCT-4 นั้นมักจะนิยมนำมาใช้เพื่อคำนวณ การแปลงที่มีความสัมพันธ์กันกับ DCT-4 เช่น Malvar Wavelet และ MDCT ซึ่งเป็นที่นิยมใช้ในการบีบอัดข้อมูลเสียง และด้วยเหตุที่ DCT-4 นั้นสามารถเป็น การแปลงผกผันได้โดยตรง (ไม่จำเป็นต้องคูณด้วยค่าชดเชยในบางรูปแบบของ DCT-1) จึงทำให้ลดความซับซอนในการออกแบบกระบวนการในทางปฏิบัติ

## คำจำกัดความมาตรฐาน
การแปลงในรูปเมทริกซ์ :
:  \mathbf{X}^{DCT}= [C]\mathbf{x} 

* *'หมายเหตุ** : ความยาวคี่(คู่) ของการแปลงในที่นี้หมายถึงส่วนความยาวของข้อมูล รวมกับส่วนขยายเสมือน ไม่ใช่ความยาวของตัวข้อมูลเอง ซึ่งในที่นี้ความยาวของข้อมูลสามารถเป็นได้ทั้งคู่ และคี่ ขึ้นกับ N''
=== การแปลงความยาวคู่ ===
การแปลงโคไซน์มาตรฐาน ความยาวคู่ ในรูป[[เมทริกซ์ (คณิตศาสตร์)|เมทริกซ์]] ให้ <math>m,n = 0,\ldots,N-1</math>
==== DCT-1 ====
: <math>\left[ C^{IE}_{N} \right]_{mn} = \sqrt{\frac{2}{N-1}} \left[ k_{m}k_{n} \cos \left( mn \frac{\pi}{N-1} \right) \right] </math>

โดยที่ <math> k_i = \left \{ \begin{matrix} 1/ \sqrt{2}, & \mbox{if }i=0\mbox{ or }N-1 \\ 1, & \mbox{otherwise } \end{matrix} \right. </math>

==== DCT-2 ====
: <math>\left[ C^{IIE}_{N} \right]_{mn} = \sqrt{\frac{2}{N}} \left[ k_{m} \cos \left( m( n+\frac{1}{2}) \frac{\pi}{N} \right) \right] </math>

==== DCT-3 ====
: <math>\left[ C^{IIIE}_{N} \right]_{mn} = \sqrt{\frac{2}{N}} \left[ k_{n} \cos \left( (m+\frac{1}{2})n \frac{\pi}{N} \right) \right] </math>

โดยที่ <math> k_i = \left \{ \begin{matrix} 1/ \sqrt{2}, & \mbox{if }i=0 \\ 1, & \mbox{otherwise } \end{matrix} \right. </math> สำหรับกรณี DCT-2, DCT-3

==== DCT-4 ====
: <math>\left[ C^{IVE}_{N} \right]_{mn} = \sqrt{\frac{2}{N}} \left[ \cos \left( (m+\frac{1}{2})(n+ \frac{1}{2}) \frac{\pi}{N} \right) \right] </math>

=== การแปลงความยาวคี่ ===
การแปลงโคไซน์มาตรฐาน ความยาวคู่ ในรูปเมทริกซ์ ให้ <math>m,n = 0,\ldots,N-1</math>
==== DCT-5 ====
: <math>\left[ C^{I0}_{N} \right]_{mn} = \sqrt{\frac{2}{N-1/2}} \left[ k_{m}k_{n} \cos \left( mn \frac{\pi}{N-1/2} \right) \right] </math>

==== DCT-6 ====
: <math>\left[ C^{II0}_{N} \right]_{mn} = \sqrt{\frac{2}{N-1/2}} \left[ k_{m}l_{n} \cos \left( m( n+\frac{1}{2}) \frac{\pi}{N-1/2} \right) \right] </math>

==== DCT-7 ====
: <math>\left[ C^{III0}_{N} \right]_{mn} = \sqrt{\frac{2}{N-1/2}} \left[ l_{m}k_{n} \cos \left( (m+\frac{1}{2})n \frac{\pi}{N-1/2} \right) \right] </math>

โดยที่
<math> k_i = \left \{ \begin{matrix} 1/ \sqrt{2}, & \mbox{if }i=0 \\ 1, & \mbox{otherwise } \end{matrix} \right. </math>
และ
<math> l_i = \left \{ \begin{matrix} 1/ \sqrt{2}, & \mbox{if }i=N-1 \\ 1, & \mbox{otherwise } \end{matrix} \right. </math>

สำหรับกรณี DCT-5, DCT-6 และ DCT-7

==== DCT-8 ====
: <math>\left[ C^{IV0}_{N} \right]_{mn} = \sqrt{\frac{2}{N+1/2}} \left[ \cos \left( (m+\frac{1}{2})(n+ \frac{1}{2}) \frac{\pi}{N+1/2} \right) \right] </math>

=== การแปลงกลับ ===
การแปลงกลับ DCT หรือ IDCT นั้น สามารถหาได้จาก ทรานสโพส ของการแปลง เนื่องมาจากคุณสมบัติ unitary ของเมทริกซ์การแปลง DCT
ซึ่งการแปลงทั้งความยาวคู่ และ คี่ นั้นมีคุณสมบัติดังกล่าว เมทริกซ์การแปลงด้านล่างจึงใช้หมายถึงทั้งความยาวคู่ และ คี่



== รายละเอียดอื่น ๆ ==
การแปลงโคไซน์ ไม่ต่อเนื่องนั้นถูกค้นพบครั้งแรกในปี ค.ศ. 1974 [1] โดย[[เวกเตอร์ฐาน]] DCT-2 ได้ถูกพัฒนาขึ้นมาเพื่อใช้ในการประมาณ[[ไอเก้นเวกเตอร์]] ของ[[เมทริกซ์โทปลิทซ์]] (Toeplitz) โดยฐาน DCT นี้ จะมีค่าเข้าใกล้ (asymptotically) ไอเก้นเวกเตอร์จริง (หรือ เวกเตอร์ฐาน Karhunen-Loève) ของเมทริกซ์โควาเรียนซ์ (covariance matrix) ของ first-order stationary Markov process เมื่อค่า[[สัมประสิทธิ์โครีเลชัน]] (correlation coefficient) มีค่าเข้าใกล้ 1 ดังนั้น ฐาน DCT นี้จึงเหมาะที่จะใช้แทนไอเก้นเวกเตอร์ซึ่งเป็นฐานที่ดีที่สุดในการบีบอัดสัญญาณประเภทนี้

=== ความสัมพันธ์ของ DCT ทั้ง 8 ชนิด ===
เช่นเดียวกับ[[การแปลงฟูริเยร์ไม่ต่อเนื่อง]](DFT) DCT นี้ก็เป็นการวิเคราะห์[[ฮาร์โมนิก]] เพียงแต่ฐานที่ใช้ในการวิเคราะห์นั้นเป็นจำนวนจริง [2]ได้แสดงถึงชุดที่สมบูรณ์ทั้ง 8 ของ DCT และ DST โดยการวิเคราห์ฮาร์โมนิกที่เป็นจำนวนเต็ม (integer harmonics) และ ครึ่งจำนวนเต็ม (half integer harmonics) ของสัญญาณ

ในลักษณะเดียวกับที่ [[เมทริกซ์เซอร์คิวแลนท์]](circulant matrix) ซึ่งมี เมทริกซ์ DFT เป็นไอเก้น เมทริกซ์ที่มีเมตริกซ์ DCT เป็นไอเก้นนั้นจะอยู่ในรูปของ [[เมทริกซ์โทปลิทซ์]] (Toeplitz matrix)+[[เมทริกซ์เฮงเคิล]] (Hankel matrix) (หรือ ใกล้เคียง) และคูณด้วยค่าสเกล ซึ่งแทนการกระทำ [[คอนโวลูชันแบบสมมาตร]] (symmetric convolution) จาก การ[[คอนโวลูชัน]] และ เงื่อนไขความสมมาตรที่ขอบ (ในลักษณะเดียวกับ เซอร์คิวแลนท์เมทริกซ์ แทนการกระทำ[[คอนโวลูชันเป็นวงรอบ]] (circular convolution)) ค่าสเกลนั้นใช้ในการจัดเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปสมมาตร เพื่อจะได้ไอเก้นเวกเตอร์ ที่ออทอโกนัล :ดูเพิ่ม [4]

ภาพด้านล่างเป็นการแสดงสัญญาณเสมือน (ซึ่งเป็นการต่อสัญญาณดั้งเดิมออกไป เป็นสัญญาณคาบที่มีความยาวไม่จำกัด) ของสัญญาณดั้งเดิมซึ่งมีความยาวจำกัด **N** (จาก **0** ถึง **N-1**) และเป็นไปตามเงื่อนไขขอบ ที่ **จุด (midpoint)** หรือ **กึ่งกลางระหว่างจุด (meshpoint)*' โดยเงื่อนไขขอบด้านซ้าย หรือ จุดต้น นั้นจะเป็นเงื่อนไขความสมมาตร และ เงื่อนไขขอบด้านขวา หรือ จุดปลาย นั้นจะเงื่อนไขเพื่อสร้างสัญญาณคาบ (เป็นได้ทั้ง สมมาตร (symmetry) และ สมมาตรกลับ (antisymmetry)) ซึ่งจะมีทั้งหมด 8 รูปแบบดังแสดงในรูป



== อ้างอิง ==


* N.Ahmed, T. Natarajan, K. R. Rao, "Discrete cosine transform," *IEEE Trans. Comput.*, C-23(1974), pp. 90-93.
* Z. Wang and B. Hunt, "The discrete W-transform," *Appl. Math. Comput.*, 16 (1985), pp. 19-48.
* S. A. Martucci, "Symmetric convolution and the discrete sine and cosine transforms," *IEEE Trans. Sig. Processing*, SP-42, 1038-1051 (1994).
* G. Strang, "[http://epubs.siam.org/sam-bin/dbq/article/33674 The Discrete Cosine Transform]," *Siam Review'', vol. 41, no.1, pp. 135-147.

## แหล่งข้อมูลเถื่อน
* discrete cosine transform ที่ PlanetMath

หมวดหมู่:การประมวลผลสัญญาณดิจิทัล
หมวดหมู่:คณิตศาสตร์
หมวดหมู่:การแปลง
หมวดหมู่:เอช.26x