การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง

**การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง** () เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบหนึ่งซึ่งทำการแมพฟังก์ชันหนึ่งไปยังอีกฟังก์ชันหนึ่ง อีกนัยหนึ่งการแปลงฟูรีเยนั้นเป็นการแยกองค์ประกอบของฟังก์ชัน ตามสเปกตรัมของความถี่ที่มีค่าต่อเนื่อง และใช้หมายถึง ค่าสัญญาณใน "โดเมนของความถี่" ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม

## นิยาม
สมมุติ *f* เป็นฟังก์ชัน ที่มีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน และสามารถหาปริพันธ์ลูเบกได้ การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง *F* และการแปลงกลับ จะกำหนดโดย

โดยที่ จำนวนจริง *ω* คือค่าความถี่เชิงมุม และมีค่าของการแปลง *F(ω)* เป็นจำนวนเชิงซ้อน ประกอบด้วย ขนาด และ มุม ขององค์ประกอบของฟังก์ชัน *f(t)* ที่แต่ละความถี่

สัมประสิทธิ์ของการปรับขนาด (normalization factor) 1/\sqrt{2\pi} ที่อยู่ในส่วนการแปลง และ การแปลงกลับนั้น สามารถเปลี่ยนแปลงได้ โดยมีเงื่อนไขที่ผลคูณของสัมประสิทธิ์การแปลงไปและกลับ จะต้องเท่ากับ \,1/2\pi\, เช่น อาจเลือกสัมประสิทธิ์ของการแปลงเท่ากับ 1 และสัมประสิทธิ์ของการแปลงกลับเท่ากับ \,1/2\pi\, (ซึ่งเป็นค่าที่นิยมใช้ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม ส่วนค่าสัมประสิทธิ์ที่ใช้ในนิยามด้านบนนั้นนิยมใช้ในทางคณิตศาสตร์เนื่องจากความสมมาตร) เหตุผลของเงื่อนไขผลคูณของสัมประสิทธิ์นี้ เพื่อให้การแปลงครบรอบนั้นเป็นการแปลงเอกลักษณ์ เช่น เมื่อทำการแปลง *f(t)* ไปเป็น *F(ω)* และแปลงกลับ จะได้ *f(t)* โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงขนาด เรียกคุณสมบัติว่า ยูนิแทรี (unitary)

ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม อาจใช้การแปลงไปเป็นฟังก์ชันของความถี่ แทนที่จะเป็นความถี่เชิงมุม *ω* นิยมใช้สัญลักษณ์ *f* หรือ \nu แทนความถี่โดยที่ f = 2\pi\omega

ตารางต่อไปนี้สรุปการแปลงฟูรีเยต่อเนื่องแบบต่าง ๆ ที่นิยมใช้ เพื่อป้องกันความสับสน ในตารางข้างล่างนี้ *f* หมายถึงความถึ่ ส่วนฟังก์ชัน ใช้ *x(t)* แทน *f(t)* ส่วนเนื้อหาในหัวข้อถัด ๆ ไป จะใช้การแปลงแบบแรกในตารางเป็นหลัก

### รูปทั่วไป
คู่ของการแปลงไปกลับดังกล่าวข้างต้น จึงสามารถเขียนอยู่ในรูปทั่วไปดังนี้

โดยที่ ค่าคงที่ *a* และ *b* เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่สามารถเลือกได้โดยอิสระตามบริบท ของการประยุกต์ใช้งาน ตามบริบทของบทความนี้ในนิยามข้างต้นเลือก (a,b) = (0,1) สำหรับการแปลงไม่เป็นยูนิทารี (a,b) = (1,1)

ค่า *a* และ *b* ที่นิยมใช้ใน การประมวลผลสัญญาณคือ (a,b)=(0,2\pi) ซึ่งในกรณีนี้ \omega จะหมายถึงความถี่ (แทนที่จะเป็นความถี่เชิงมุม) และมักจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ \nu หรือ *f* ในกรณีที่ *a* และ *b* เป็นค่าที่มีหน่วย ผลคูณของทั้งสองจะต้องเป็นค่าทีไม่มีหน่วย เช่น หาก *a* มีหน่วยเวลา *b* จะมีหน่วยเป็น เฮิรตซ์ หรือ เรเดียนต่อวินาที

## การแปลงในมิติที่สูงขึ้น
สำหรับฟังก์ชัน *f*(**x**) ของ เวกเตอร์ **x** ซึ่งเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิมิติ N และ **k** (หรือเรียก เวกเตอร์คลื่น) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิของการแปลง การแปลงฟูรีเยต่อเนื่องจะกำหนดโดย

: F(\mathbf{k})= 
\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^N
\int_{\mathbb{R}^N} f (\mathbf{x})\,e^{-i\,\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}\,d\mathbf{x}


โดยที่ d**x** เป็นอนุภาคของปริมาตรในมิติ N และสัญลักษณ์การคูณในค่ายกกำลัง หมายถึง การคูณภายใน (dot product) และจากคุณสมบัติ ออทอโกนัล ในมิติ N:

: \delta(\mathbf{k})=\left(\frac{1}{2\pi}\right)^N
\int_{\mathbb{R}^N} e^{\pm i\,\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}\,d\mathbf{x}


เราจะได้การแปลงกลับ ดังนี้:

: f(\mathbf{x})= 
\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^N
\int_{\mathbb{R}^N} F (\mathbf{k})\,e^{+i\,\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}\,d\mathbf{k}


## คู่ของการแปลง
ตรารางแสดงคู่ของการแปลงที่สำคัญ โดยใช้การแปลงตามนิยามในตอนต้นของบทความ
โดยที่สัญลักษณ์ f(t)\,\iff\,F(\omega) หมายถึง \mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega)

หมายเหตุ : * คือ คู่ของการแปลง ที่อาจมีสัมประสิทธิ์ 1, 2\pi, \sqrt{2\pi} แตกต่างไป ขึ้นกับสัมประสิทธิ์ของการปรับขนาดที่ใช้ในนิยามของการแปลง

หมวดหมู่:คณิตศาสตร์