สมการเค็พเพลอร์

[thumb|260px|ผลเฉลยของสมการเค็พเพลอร์สำหรับวงโคจรที่มีค่า[ความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร|ความเยื้องศูนย์กลาง  e  ต่างกันไปตั้งแต่ 0 จนถึง 1]]
**สมการเค็พเพลอร์** () เป็นสมการอดิศัยในทางกลศาสตร์วงโคจร ที่ใช้อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างมุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง *<math> E </math>*, มุมกวาดเฉลี่ย *<math> M </math>* และ ความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร *<math> e </math>* ในปัญหาเค็พเพลอร์ที่ใช้ในกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์
:
 M = E  - e \sin E

เมื่อแทนค่าความเยื้องศูนย์กลาง  e  ที่กำหนดโดยวงโคจรในสมการนี้ ตำแหน่งของดาวเคราะห์ในวงโคจรสามารถระบุได้โดยการหาค่ามุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง *<math> E </math>* ในรูปของฟังก์ชันของค่ามุมกวาดเฉลี่ย *<math> M </math>*

## ประวัติศาสตร์
[200px|thumb|จุด M คือตำแหน่งของดาวเคราะห์ จุด N คือตำแหน่งดวงอาทิตย์ (อยู่ที่จุดโฟกัสของ[วงโคจรวงรีของดาวเคราะห์) จุด A คือจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด]]
ในหนังสือ อัสโตรโนเมีย โนวา (, *ดาราศาสตร์ใหม่*) ในปี ค.ศ. 1609 โยฮันเนิส เค็พเพลอร์ได้อธิบายถึงสิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อว่า กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์ โดยกฎข้อที่หนึ่ง "ดาวเคราะห์โคจรด้วยวงโคจรวงรีโดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัสหนึ่ง" และกฎข้อที่สอง (กฎพื้นที่กวาดคงที่) ได้ถูกอธิบายไว้ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากในยุคสมัยของเค็พเพลอร์นั้นยังไม่มีแคลคูลัส การอธิบายทางคณิตศาสตร์จึงเป็นในทางเรขาคณิตเป็นหลัก โดยตัวเค็พเพลอร์เองได้เขียนอธิบายเป็นคำพูด ไม่ใช่เป็นสูตรทางคณิตศาสตร์ แต่หากเขียนเป็นสมการก็จะได้แบบนี้ (ดูรูปทางขวาประกอบ)
: t \propto  สามเหลี่ยม * KHN + * เซกเตอร์ * KHA *  = \frac{ 1 }{ 2 } ( E - e \sin E)

โดยที่ *<math> t </math>* คือเวลานับจากที่ดาวเคราะห์โคจรผ่านจุดใกล้,  e  คือความเยื้องศูนย์กลาง และ *<math> E </math>* คือมุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง

ต่อมาสูตรนี้ถูกเขียนใหม่ในภายหลังโดยเลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์ โดยอ็อยเลอร์ได้แสดงได้โดยใช้คาบการโคจร *T* เขียนเป็น
:  \frac{ t }{ T } = \frac{ E - e \sin E }{ 2 \pi }

หรือใช้ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ย  n = 2 \pi / T  แล้วแสดงด้วยค่าที่เรียกว่ามุมกวาดเฉลี่ย ซึ่งนิยามโดย M = nt เขียนสมการใหม่ได้ในรูป
:  M = E - e \sin E

ซึ่งสมการในรูปแบบนี้เองที่ได้กลายมาเป็นที่รู้จักโดยทั่วไปในชื่อว่า **สมการเค็พเพลอร์**

ในยุคปัจจุบันเราสามารถระบุตำแหน่งของดาวเคราะห์ในแต่ละช่วงเวลาได้โดยการแก้สมการการเคลื่อนที่ด้วยวิธีการวิเคราะห์เชิงตัวเลข แต่ในยุคของเค็พเพลอร์นั้นยังไม่มีวิธีการแบบนั้น รวมถึงยังไม่มีการค้นพบกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตันด้วย ดังนั้นในการระบุตำแหน่งของดาวเคราะห์ในแต่ละช่วงเวลานั้น จึงต้องทำโดยเริ่มจากกำหนดรูปร่างของวงโคจรวงรี (กล่าวคือตัวแปร  e  และ  l  ของระบบพิกัดเชิงขั้วของวงรี  r = l / ( 1 + e \cos \theta ) ) แล้วก็แก้สมการของเค็พเพลอร์ นั่นคือเมื่อได้ค่ารู้ค่า *<math> M </math>* และ  e  เราต้องแก้หาว่า  E  สามารถเขียนเป็นฟังก์ชันของ *<math> M </math>* และ  e  ได้อย่างไร อย่างไรก็ตาม เนื่องจากสมการนี้เป็นสมการอดิศัย จึงต้องใช้เทคนิคที่มีความซับซ้อนในการหาผลเฉลย

## การแก้
วิธีแก้สมการเค็พเพลอร์ที่เป็นที่รู้จักดีมีอยู่ 2 วิธี โดยวิธีหนึ่งคือการใช้ทฤษฎีบทของลากร็องฌ์ และอีกวิธีคือการแสดงด้วยฟังก์ชันเบ็สเซิล

เมื่อใช้ทฤษฎีบทของลากร็องฌ์ เราสามารถเขียนสมการเค็พเพลอร์ในรูปของอนุกรมกำลังได้เป็น
: E = e \sin M + \frac{ e^{ 2 } }{ 2 } \sin 2 M + \cdots

โดยจะใช้ได้ดีเมื่อ e มีขนาดเล็ก

ส่วนวิธีการแสดงด้วยฟังก์ชันเบ็สเซิลนั้นใช้ได้ดีแม้ในกรณีที่ e ไม่ได้มีขนาดเล็ก ทำโดยแจกแจงเป็นอนุกรมฟูรีเย ซึ่งผลสุดท้ายแล้วจะได้ว่า
:  E = M + \sum^{ \infty }_{ n = 1 } \frac{ 2 }{ n } J_{ n } (  n e ) \sin n M

โดยในที่นี้ J_n คือฟังก์ชันเบ็สเซิลอันดับที่ n
:  J_{ n } ( z ) = \frac{ 1 }{ \pi }\int^{ \pi }_{ 0 } \cos ( z \sin \theta - n \theta) d \theta

## อ้างอิง

หมวดหมู่:วงโคจร
หมวดหมู่:กลศาสตร์ท้องฟ้า
หมวดหมู่:กลศาสตร์ดั้งเดิม
หมวดหมู่:โยฮันเนิส เค็พเพลอร์