รูปสี่เหลี่ยม

ในเรขาคณิตแบบยูคลิด **รูปสี่เหลี่ยม** คือรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านสี่ด้าน (หรือขอบ) และมุมสี่มุม (หรือจุดยอด)

รูปสี่เหลี่ยมมีทั้งที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมอย่างง่าย (ไม่มีด้านที่ตัดกันเอง) และรูปสี่เหลี่ยมซับซ้อน (มีด้านที่ตัดกันเอง หรือเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมไขว้) รูปสี่เหลี่ยมอย่างง่ายอาจเป็นรูปสี่เหลี่ยมนูน (convex) หรือรูปสี่เหลี่ยมเว้า (concave) อย่างใดอย่างหนึ่ง

มุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมอย่างง่ายรวมกันได้ 360 องศา ส่วนรูปสี่เหลี่ยมซับซ้อน เนื่องจากมุมภายในที่ด้านตรงข้ามเป็นมุมกลับ ทำให้รวมกันได้ 720 องศา 

รูปสี่เหลี่ยมนูนทุกรูปสามารถปูเต็มปริภูมิโดยการหมุนรอบจุดกึ่งกลางที่ด้านของมัน

## การจำแนกชั้น
thumb|right|300px|การจำแนกชั้นของรูปสี่เหลี่ยม รูปแบบที่ต่ำกว่าเป็นกรณีพิเศษของรูปแบบที่สูงกว่า
การจำแนกชั้นของรูปสี่เหลี่ยมสามารถแสดงได้ตามแผนภาพทางขวามือ รูปแบบที่ต่ำกว่าเป็นกรณีพิเศษของรูปแบบที่สูงกว่า คำว่า trapezium ในภาพเป็นชื่อแบบบริเตน (ชื่อแบบอเมริกันคือ trapezoid) คือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูทั่วไป และ kite นอกจากจะหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าวแล้ว ยังหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมหัวลูกศรด้วย

## รูปสี่เหลี่ยมนูน: กลุ่มด้านขนาน
* รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกันสองคู่ เทียบเท่ากับเงื่อนไขว่าด้านตรงข้ามมีความยาวเท่ากัน หรือมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน หรือเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรวมไปถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก และรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนด้วย
* รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน หรือรูปสี่เหลี่ยมข้าวหลามตัด หรือรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่า คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน เทียบเท่ากับเงื่อนไขว่าด้านตรงข้ามขนานกันและมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน หรือเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งและตั้งฉากซึ่งกันและกัน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนรวมไปถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
* รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมุมไม่ฉาก คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งด้านที่อยู่ติดกันยาวไม่เท่ากันและมุมทั้งสี่ไม่เป็นมุมฉาก มีความหมายตรงข้ามกับรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
* รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมทั้งสี่เป็นมุมฉาก นั่นคือมุมเท่ากันทุกมุม เทียบเท่ากับเงื่อนไขว่าเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากรวมไปถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
* รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือรูปสี่เหลี่ยมปรกติ หรือรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านทั้งสี่ยาวเท่ากันและมุมทั้งสี่เป็นมุมฉาก เทียบเท่ากับเงื่อนไขว่าด้านตรงข้ามขนานกัน และเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งและตั้งฉากซึ่งกันและกัน และด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน รูปสี่เหลี่ยมจะถือว่าเป็นจัตุรัสก็ต่อเมื่อถูกจัดว่าเป็นทั้งรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
* รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า คือรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากซึ่งด้านที่อยู่ติดกันยาวไม่เท่ากัน นั่นคือไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

## รูปสี่เหลี่ยมนูน: กลุ่มอื่น ๆ
* รูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว คือรูปสี่เหลี่ยมซึ่งด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากันสองคู่ เป็นนัยว่าถ้าลากเส้นทแยงมุมหนึ่งเส้นแบ่งรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าวออกเป็นรูปสามเหลี่ยมคล้ายสองรูป จะได้ว่ามุมที่อยู่ตรงข้ามเส้นทแยงมุมมีขนาดเท่ากัน และเส้นทแยงมุมทั้งสองตั้งฉากซึ่งกันและกัน (สมบัติเหล่านี้อาจหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมเว้าที่เรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมหัวลูกศร ในบริบทของเทสเซลเลชัน แต่ในแนวคิดทั่วไปหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมนูนอย่างเดียว)
* รูปสี่เหลี่ยมเส้นทแยงมุมตั้งฉาก คือรูปสี่เหลี่ยมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตั้งฉากซึ่งกันและกัน หมายรวมถึงรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว และรูปสี่เหลี่ยมหัวลูกศร
* รูปสี่เหลี่ยมคางหมู คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันหนึ่งคู่
* รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน มีขนาดเท่ากัน เป็นนัยว่าด้านอื่นอีกสองด้านยาวเท่ากัน และเส้นทแยงมุมยาวเท่ากัน คำนิยามอื่นคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีแกนสมมาตรแบ่งครึ่งด้านคู่ขนานหนึ่งคู่
* รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม คือรูปสี่เหลี่ยมที่จุดยอดทั้งสี่อยู่บนรูปวงกลมแนบนอก รูปสี่เหลี่ยมจะเป็นวงกลมล้อมก็ต่อเมื่อมุมตรงข้ามรวมกันได้ 180 องศา
* รูปสี่เหลี่ยมวงกลมสัมผัส คือรูปสี่เหลี่ยมที่ด้านทั้งสี่สัมผัสกับรูปวงกลมแนบใน
* รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมและสัมผัส คือรูปสี่เหลี่ยมที่เป็นทั้งรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมและรูปสี่เหลี่ยมวงกลมสัมผัส
* รูปสี่เหลี่ยมด้านไม่ขนาน หรือรูปสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า หรือรูปสี่เหลี่ยมไม่ปรกติ คือรูปสี่เหลี่ยมที่ไม่มีด้านใดขนานกันเลย แต่บางกรณีบางด้านและบางมุมอาจมีขนาดเท่ากันก็ได้

## รูปสี่เหลี่ยมอื่น ๆ
* รูปสี่เหลี่ยมหัวลูกศร คือรูปสี่เหลี่ยมเว้าซึ่งด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากันสองคู่ สมบัติเหมือนรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว แต่มีมุมภายในมุมหนึ่งเป็นมุมกลับ
* รูปสี่เหลี่ยมไขว้ หรือรูปสี่เหลี่ยมผีเสื้อ หรือรูปสี่เหลี่ยมหูกระต่าย คือรูปสี่เหลี่ยมซับซ้อนซึ่งมีด้านที่ตัดกันเอง 
* รูปสี่เหลี่ยมเบ้ คือรูปสี่เหลี่ยมที่จุดยอดไม่อยู่บนระนาบสองมิติ สูตรสำหรับคำนวณมุมระหว่างหน้าบนขอบ และมุมระหว่างขอบที่อยู่ติดกัน ได้รับทอดมาจากการศึกษาสมบัติของโมเลกุลเช่นไซโคลบิวเทน ซึ่งมีวงแหวนที่ประกอบด้วยอะตอมสี่ตัวร่นเข้าหากัน 

## พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนูน

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนูนทั่วไปสามารถคำนวณได้หลายสูตรดังต่อไปนี้

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม *ABCD* สามารถคำนวณโดยใช้เวกเตอร์ กำหนดให้เวกเตอร์ *AC* และเวกเตอร์ *BD* เป็นเส้นทแยงมุมจาก *A* ไปยัง *C* และจาก *B* ไปยัง *D* ตามลำดับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้คือ
::Area = \frac{1}{2} |{AC}\times{BD}|

ซึ่งเป็นขนาดของผลคูณไขว้ระหว่างเวกเตอร์ *AC* กับเวกเตอร์ *BD* ถ้าเขียนแทนเวกเตอร์เหล่านี้ด้วยเวกเตอร์ลอยตัวในปริภูมิสองมิติแบบยูคลิด นั่นคือเวกเตอร์ *AC* เขียนเป็น (x_1, y_1) และเวกเตอร์ *BD* เขียนเป็น (x_2, y_2) พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้คือ
::Area = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมก็ยังสามารถเขียนด้วยพจน์ตรีโกณมิติได้เป็น  
::Area = \frac{1}{2} pq \cdot \sin \theta

เมื่อ *p* และ *q* เป็นความยาวของเส้นทแยงมุมและ θ คือมุมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตัดกัน (มุมใดก็ได้เมื่อผ่านฟังก์ชันไซน์จะได้ค่าเดียวกัน) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมเส้นทแยงมุมตั้งฉาก อาทิรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว สูตรนี้จะลดรูปกลายเป็น \tfrac{1}{2} pq เนื่องจาก θ เท่ากับ 90°

สูตรของเบรทชไนเดอร์ (Bretschneider's formula)  คำนวณพื้นที่ด้วยขนาดของด้านและมุมดังนี้
::
\begin{align}
Area &= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{2} abcd \; [ 1 + \cos (\gamma + \lambda) ]} \\
&= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \left[ \cos^2 \left( \tfrac{\gamma + \lambda}{2} \right) \right]} \\
s &= \frac{1}{2} (a+b+c+d) \\
\end{align}


เมื่อ *a*, *b*, *c*, *d* คือความยาวของด้านทั้งสี่ *s* คือครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป และ γ, λ คือมุมที่อยู่ตรงข้ามคู่ใด ๆ สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของพรัหมคุปตะ (Brahmagupta's formula) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมเมื่อ γ + λ = 180°

อีกสูตรหนึ่งสำหรับคำนวณพื้นที่ด้วยขนาดของด้านและมุม เมื่อ γ อยู่ระหว่างด้าน *b* กับ *c* และ λ อยู่ระหว่างด้าน *a* กับ*d* (ด้านคู่ประชิดของมุมนั้น)
::Area = \frac{1}{2}bc \cdot \sin \gamma + \frac{1}{2}ad \cdot \sin \lambda

ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม สูตรนี้จะกลายเป็น
::Area = \frac{1}{2}(bc+ad)\sin \gamma

และสำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เนื่องจากด้านตรงข้ามมีขนาดเท่ากันและมุมตรงข้ามก็มีขนาดเท่ากัน สุดท้ายแล้วสูตรจะลดรูปเหลือเพียง ab \cdot \sin \gamma

สูตรต่อไปนี้เป็นสูตรคำนวณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้วยขนาดของด้านและเส้นทแยงมุม 
::
\begin{align}
Area &= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)} \\
&= \frac{1}{4} \sqrt{4p^{2}q^{2}- \left( a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2} \right) ^{2}} \\
\end{align}


เมื่อ *p* และ *q* เป็นความยาวของเส้นทแยงมุม สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของพรัหมคุปตะสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมเช่นเดียวกัน เมื่อ pq=ac+bd

นอกจากนี้ยังมีสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่คำนวณจากด้านทั้งสี่ และมุมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตัดกันเท่ากับ θ ซึ่งไม่เท่ากับ 90° 
::Area = \frac{4} \cdot \left| a^2 + c^2 - b^2 - d^2 \right|

ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สูตรนี้จะกลายเป็น
::Area = \frac{2} \cdot \left| a^2 - b^2 \right|

## สมบัติของรูปสี่เหลี่ยมชนิดพิเศษ
* เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมไขว้หรือรูปสี่เหลี่ยมเว้า ไม่ตัดกันภายในรูปสี่เหลี่ยม
* เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแบ่งครึ่งมุมภายในพอดี
* กำหนดให้ *ABCD* เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีจุดยอด *A, B, C, D* เรียงตามลำดับและมีด้านคู่ขนาน *AB* กับ *DC* ; ให้ *E* เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม และให้ *F* กับ *G* เป็นจุดจุดหนึ่งที่อยู่บนด้าน *DA* กับ *BC* ตามลำดับซึ่งทำให้ *FEG* ขนานกับด้านคู่ขนาน *AB* กับ *DC* ; จะได้ว่า *FG* คือมัชฌิมฮาร์มอนิกของ *AB* กับ *DC* นั่นคือ
*: \frac{1}{FG}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{AB}+ \frac{1}{DC} \right)
* รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีเส้นทแยงมุมยาวเท่ากันคือรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
* รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมที่มีด้าน *a, b, c, d* เรียงตามลำดับและมีเส้นทแยงมุม *p, q* จะมีสมบัติว่า pq = ac + bd
* รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมที่มีจุดยอด *A, B, C, D* เรียงตามลำดับ มีด้าน *a=AB, b=BC, c=CD, d=DA* และมีเส้นทแยงมุม *p=AC, q=BD* จะมีสมบัติว่า
*: \frac {p}{q}= \frac{ad+cb}{ab+cd}
*: p^{2}= \frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}
*: q^{2}= \frac{(ac+bd)(ab+dc)}{ad+bc}
* รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมที่มีด้าน *a, b, c, d* เรียงตามลำดับและครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป *s* ; รัศมีของรูปวงกลมแนบนอกคำนวณได้จาก 
*: \frac{1}{4} \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}
* รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้าน *a, b, c, d* เรียงตามลำดับโดยที่ *d=b, c=a* และมีเส้นทแยงมุม *p, q* จะมีสมบัติว่า
*: p^{2}+q^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}
* กำหนดให้ *P* เป็นจุดใด ๆ ที่อยู่ภายในรูปสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอด *A, B, C, D* เรียงตามลำดับ จะมีสมบัติว่า
*: (AP)^{2}+(CP)^{2}=(BP)^{2}+(DP)^{2}
* เส้นตรงใด ๆ ที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะแบ่งครึ่งพื้นที่เสมอ
* รูปสี่เหลี่ยมเส้นทแยงมุมตั้งฉากที่มีด้าน *a, b, c, d* เรียงตามลำดับ จะมีสมบัติว่า a^{2}+c^{2} = b^{2}+d^{2} 
* ไม่มีรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ที่มีด้านยาวไม่เท่ากันเป็นจำนวนตรรกยะในการก้าวหน้าเลขคณิตและมีพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะ 
* ไม่มีรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ที่มีด้านยาวไม่เท่ากันเป็นจำนวนตรรกยะในการก้าวหน้าเรขาคณิตและมีพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะ 

## สมบัติของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ
* ความยาวของเส้นทแยงมุมที่อยู่ตรงข้ามกับด้าน *a* และ *b* ที่อยู่ติดกันและทำมุม θ คือ \sqrt{ a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta } ซึ่งกลายมาจากกฎของโคไซน์
* เมื่อเชื่อมจุดกึ่งกลางบนแต่ละด้านของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ เข้าด้วยกัน จะได้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเสมอ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานภายในเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมภายนอก และเส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานภายในก็ยาวเท่ากับผลบวกของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมภายนอก
* สมมติให้รูปสี่เหลี่ยมใด ๆ รูปหนึ่ง มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสประกอบอยู่บนด้านทั้งสี่ ซึ่งมีขนาดเท่ากับแต่ละด้านของรูปสี่เหลี่ยมนั้น ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ตรงข้าม จะยาวเท่ากันและตั้งฉากซึ่งกันและกัน
* ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามจำนวนสองคู่ และส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม รวมทั้งสามเส้นจะตัดกันที่จุดเดียว และแบ่งครึ่งของส่วนของเส้นตรงนั้น ๆ ด้วย  
* ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ เท่ากับสองเท่าของผลรวมของกำลังสองของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามจำนวนสองคู่ 
* เส้นแบ่งครึ่งมุมภายในทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ เมื่อประกอบกันจะทำให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม 

## อ้างอิง

## แหล่งข้อมูลอื่น

* 
* Compendium Geometry Analytic Geometry of Quadrilaterals
* Quadrilaterals Formed by Perpendicular Bisectors, Projective Collinearity and  Interactive Classification of Quadrilaterals from cut-the-knot
* Definitions and examples of quadrilaterals and Definition and properties of tetragons from Mathopenref
* Venn Diagram of Quadrilaterals
* An extended classification of quadrilaterals  at Dynamic Math Learning Homepage 
* The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals  by Michael de Villiers


4