รากที่ n

ในทางคณิตศาสตร์ **รากที่ ''n*** ของจำนวน *x* คือจำนวน *r* ที่ซึ่งเมื่อยกกำลัง *n* แล้วจะเท่ากับ *x* นั่นคือ
::<math>r^n = x\,</math>
ตัวแปร *n* คือจำนวนที่ใส่เข้าไปเป็น[[ดีกรี]]ของราก โดยทั่วไปรากของดีกรี *n* จะเรียกว่ารากที่ *n* เช่นรากของดีกรีสองเรียกว่า[[รากที่สอง]] รากของดีกรีสามเรียกว่า[[รากที่สาม]] เป็นอาทิ

ตัวอย่างเช่น
* 2 คือรากที่สองของ 4 เนื่องจาก 2<sup>2</sup> = 4
* −2 ก็คือรากที่สองของ 4 เช่นกันเนื่องจาก (−2)<sup>2</sup> = 4
รากที่ *n* ของจำนวนหนึ่งอาจมีหลายคำตอบก็ได้และไม่จำเป็นต้องเป็น[[จำนวนจริง]]

รากเหล่านี้โดยปกติเขียนแทนด้วยเครื่องหมาย*'กรณฑ์** ซึ่งมีลักษณะดังนี้ <math>\sqrt{\,\,}</math> โดยส่วนบนจะยาวคลุมตัวถูกดำเนินการโดยตลอด (เสมือนเป็น[[วงเล็บ]]ในตัว) รากที่สองของ ''x'' เขียนแทนด้วย <math>\sqrt{x}</math> รากที่สามเขียนแทนด้วย <math>\sqrt[3]{x}</math> รากที่สี่เขียนแทนด้วย <math>\sqrt[4]{x}</math> เช่นนี้เรื่อยไป เมื่อจำนวนหนึ่งเขียนอยู่ภายใต้กรณฑ์ มันต้องให้ค่าออกมาเพียงค่าเดียวเหมือน[[ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)|ฟังก์ชัน]] ดังนั้นรากที่เป็นจำนวนจริงไม่เป็นลบ ซึ่งเรียกว่า **รากที่ *n* มุขสำคัญ** (principal ''n''-th root) จะเป็นจำนวนที่ถูกเลือกมากกว่ารากอื่น จำนวนติดกรณฑ์ที่ไม่ได้แจงค่าหรือหาค่ามิได้ บ่อยครั้งที่ถูกเรียกว่า**เสิร์ด** (surd) หรือ**ราก** (radical) ไปอย่างนั้น ในภาษาไทยนิยมเรียกสั้น ๆ ว่า**รูต*' (root)

ใน[[แคลคูลัส]] รากต่าง ๆ ถือว่าเป็นกรณีพิเศษของ[[ยกกำลัง]]ซึ่งมี[[เลขชี้กำลัง]]เป็น[[เศษส่วน]]ดังนี้
::<math>\sqrt[n]{x} \,=\, x^{(1/n)}</math>

รากต่าง ๆ มีความสำคัญโดยเฉพาะกับทฤษฎีของ[[อนุกรม]]อนันต์ ซึ่ง[[การทดสอบโดยราก]]เป็นตัวพิจารณา[[รัศมีของการลู่เข้า]]ของ[[อนุกรมกำลัง]] รากที่ *n* อาจสามารถนิยามสำหรับ[[จำนวนเชิงซ้อน]]และรากเชิงซ้อนของ 1 ([[รากปฐมฐาน]]) ซึ่งมีบทบาทสำคัญในคณิตศาสตร์ชั้นสูง [[ทฤษฎีกาลัว]]จำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับการพิจารณาว่า[[จำนวนเชิงพีชคณิต]]สามารถเขียนแทนในรูปของกรณฑ์ได้ นำไปสู่[[ทฤษฎีบทอาเบล-รัฟฟินี]]ที่ว่า[[พหุนาม]]ดีกรีห้าขึ้นไปโดยทั่วไปไม่สามารถหาคำตอบได้โดยใช้รากเพียงอย่างเดียว

== ประวัติ ==
ต้นกำเนิดเกี่ยวกับเครื่องหมายกรณฑ์ (radical symbol, root symbol) <math>\sqrt{\,\,}</math> นั้นยังเป็นที่สงสัยอยู่ โดย[[เลออนฮาร์ด ออยเลอร์]] เชื่อว่ามันมีที่มาจากอักษรตัว *r* ซึ่งเป็นตัวอักษรขึ้นต้นของคำว่า *radix* ในภาษาลาตินอันมีความหมายเช่นเดียวกับการกระทำทางคณิตศาสตร์ที่เหมือนเดิม ซึ่งเครื่องหมายนี้ถูกตีพิมพ์ครั้งแรกโดยไม่ปรากฏเส้นลากข้างบนในปี ค.ศ. 1525 ในหนังสือ *Die Coss* โดย [[คริสตอฟ รูดอล์ฟ]] นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน

== คุณสมบัติทั่วไป ==
# ค่าในกรณฑ์ต้องไม่เป็นจำนวนจริงลบจึงจะยังคงเป็นจำนวนจริง แต่หากค่าในกรณฑ์ติดลบ ถือว่าเป็น[[จำนวนจินตภาพ]]
# ค่าในกรณฑ์หากเป็นทศนิยมไปเรื่อย ๆ อย่างเช่น <math>\sqrt{2} =  1.414213562373095048... </math> จะไม่พบตำแหน่งที่เริ่มมีการซ้ำได้
# <math>\sqrt[n]{a} \cdot\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} </math>
# <math>\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}</math>
# <math>\sqrt[n]{a\sqrt[n]{a\sqrt[n]{a\sqrt[n]{...}}}} = \sqrt[n-1]{a}</math>
# <math>\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{+...}}}} = \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}</math>
# <math>\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{-...}}}} = \frac{1+\sqrt{4a-3}}{2}</math>
# <math>\sqrt{a}^2   \neq </math>  <math>   \pm \left| a \right| </math> เมื่อ  <math> a < 0 </math>

== ปฏิบัติการมูลฐาน ==

* การใช้งานเครื่องหมายกรณฑ์นั้นมีดังนี้:

:<math>
\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad ; a \ge 0, b \ge 0
</math>

:<math>\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad ; a \ge 0, b > 0</math>

:<math>
\sqrt[n]{a^m} = \left (\sqrt[n]{a}\right) ^m = \left (a^{\frac{1}{n}}\right) ^m = a^{\frac{m}{n}},
</math> ; a > 0, b > 0
* ขณะที่ *a* และ *b* ต่างเป็นจำนวนบวก 

และทุก ๆ *a* เป็น[[จำนวนเชิงซ้อน]]ที่ไม่ใช่[[ศูนย์]] จะทำให้มี b เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่แตกต่างกัน n จำนวนซึ่ง *b*<sup>*n*</sup> = *a'', ดังนั้นการใช้ \sqrt[n]{a} จึงไม่อาจใช้อย่างกำกวมได้ รากที่ n ของ รากของเอกภพ จึงมีความสำคัญยิ่ง

จำนวนสามารถเปลี่ยนไปอยู่ในรูปเอกซ์โปเนนเชียลได้ โดยให้รากที่ต้องการอยู่ในรูปของส่วนในเศษส่วนเลขยกกำลังได้ ดังนี้

:a^m a^n = a^{m+n} \,

:\left ({\frac{a}{b}}\right) ^m = \frac{a^m}{b^m}

: (a^m) ^n = a^{mn} \,

ตัวอย่าง:
:\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^\frac{5}{3} a^\frac{4}{5} = a^\frac{25 + 12}{15} = a^\frac{37}{15}
:\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}} = a^\frac{1}{2}a^\frac{-1}{4}= a^\frac{4 - 2}{8} = a^\frac{2}{8} = a^\frac{1}{4}

* การที่จะรื้อออกเครื่องหมายกรณฑ์นั้นมีความสำคัญ โดยจะต้องยึดหลักดังต่อไปนี้
:\sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{aaaaa} = \sqrt[3]{a^3a^2} = a\sqrt[3]{a^2}

เมื่อเข้าใจหลักการพื้นฐานในการนำตัวเลขเข้าและออกเครื่องหมายกรณฑ์แล้ว ก็จะสามารถจัดกลุ่มพหุนามได้ เช่น

:\sqrt[3]{a^5}+\sqrt[3]{a^8}
:=\sqrt[3]{a^3a^2}+\sqrt[3]{a^6 a^2}
:=a\sqrt[3]{a^2}+a^2\sqrt[3]{a^2}
:= ({a+a^2}) \sqrt[3]{a^2}

## อ้างอิง

หมวดหมู่:พีชคณิตมูลฐาน