การนำความร้อน

**การนำความร้อน** (; มักแทนด้วย *k*, *λ* หรือ *κ*) เป็นการถ่ายโอนพลังงานภายใน (Internal energy) ผ่านการชนของอนุภาคในระดับจุลทรรศน์และการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนภายในวัตถุ ๆ หนึ่ง อนุภาคที่มีการชนกันนี้ซึ่งรวมถึงโมเลกุล อะตอม และอิเล็กตรอนถ่ายโอนพลังงานศักย์และจลน์อย่างไม่เป็นระเบียบในระดับจุลทรรรศน์ซึ่งรวมกันเรียกว่าพลังงานภายใน การนำเกิดขึ้นในทุกสถานะ (phase (matter)) ของสสาร ได้แก่ของแข็ง ของเหลว แก๊ส และคลื่น

ความร้อนไหลจากวัตถุที่ร้อนกว่าไปสู่วัตถุที่เย็นกว่าตามธรรมชาติ ตัวอย่างเช่นความร้อนจะถูกนำจากแผ่นให้ความร้อนของเตาไฟฟ้าไปหาด้านใต้ของกระทะที่วางไว้ด้านบน หากไม่มีแหล่งพลังงานจากภายนอก ภายใน หรือระหว่างวัตถุซึ่งคอยขับเคลื่อนอยู่ ความแตกต่างของอุณหภูมิก็จะสลายลงเมื่อเวลาผ่านไปและเข้าสู่สภาวะสมดุลทางความร้อน (thermal equilibrium) นั่นก็คืออุณหภูมิมีความเป็นเอกรูปหรือสม่ำเสมอ

ในการนำนั้นความร้อนไหลอยู่ภายในและไหลผ่านตัววัตถุเอง ในทางกลับกันความร้อนที่ถูกถ่ายเทผ่านการแผ่รังสีความร้อนนั้นถูกถ่ายเทระหว่างวัตถุที่อาจอยู่ห่างกัน หรือความร้อนอาจถูกถ่ายเทได้ด้วยทั่งสองวิธีผสมกัน ส่วนการพาความร้อนนั้น (convection) พลังงานภายในถูกขนส่งระหว่างวัตถุด้วยวัสดุที่เป็นพาหะเคลื่อนที่ การนำความร้อนภายในของแข็งเป็นการรวมกันระหว่างการสั่นและการชนกันของโมเลกุล การแผ่และการชนกันของโฟนอน กับการแพร่และการชนกันของอิเล็กตรอนอิสระ (free electron model) การนำความร้อนภายในของไหลเช่นแก็สและของเหลวเกิดจากการชนกันและการแพร่ของโมเลกุล (molecular diffusion) ระหว่างที่เคลื่อนไหลแบบสุ่ม โฟตอนในบริบทนี้ไม่ชนกันและดังนั้นความร้อนที่ถูกถ่ายเทผ่านรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าจึงแตกต่างในทางแนวคิดจากการนำความร้อนโดยการแพร่และการชนกันของอนุภาคและโฟนอนในระดับจุลทรรศน์ แต่ความแตกต่างนั้นไม่สามารถสังเกตได้ง่ายเว้นแต่วัสดุนั้นกึ่งโปร่งใส

ในศาสตร์ทางด้านวิศวกรรม การถ่ายเทความร้อนรวมกระบวนการการแผ่รังสีความร้อน การพาความร้อน และการถ่ายเทมวลในบางครั้ง แต่โดยทั่วไปแล้วในสถานการณ์ใด ๆ ก็มักจะเกิดกระบวนการเหล่านี้อย่างน้อยมากกว่าหนึ่งแบบ

สัญลักษณ์สัญนิยมของสภาพนำความร้อน (thermal conductivity) คือ *k*

## ภาพรวม

การนำความร้อนในระดับจุลทรรศน์ถือว่าเกิดขึ้นในวัตถุที่นิ่ง หมายความว่าพลังงานศักย์และจลน์จากการเคลื่อนที่ของวัตถุจะนำมาพิจารณาแยกกัน พลังงานภายในแพร่ไปผ่านการปฏิสัมพันธ์ระหว่างอะตอมหรือโมเลกุลที่เคลื่อนที่อย่างรวดเร็วกับอนุภาคใกล้เคียงซึ่งเป็นการถ่ายเทพลังงานจลน์และศักย์ระดับจุลทรรศน์ให้กัน และปริมาณเหล่านี้ถูกนิยามสัมพัทธ์กับวัตถุซึ่งเราถือว่าอยู่นิ่ง การถ่ายเทความร้อนผ่านการนำเกิดจากการชนกันของอะตอมหรือโมเลกุลที่อยู่เคียงกัน การเคลื่อนที่ไปมาอย่างไม่เป็นระเบียบระหว่างอะตอมของอิเล็กตรอนซึ่งไม่ก่อให้เกิดกระแสไฟฟ้าในระดับมหทรรศน์ หรือการชนและการกระเจิงของโฟตอน 

ความนำของสัมผัสทางความร้อน (Thermal contact conductance) เป็นการศึกษาการนำความร้อนระหว่างวัตถุแข็งซึ่งสัมผัสกัน อุณหภูมิมักจะมีความต่างกันที่หน้าสัมผัสระหว่างผิวทั้งสอง ปรากฏการณ์นี้เป็นผลมาจากความต้านทานของสัมผัสทางความร้อนที่มีอยู่ระหว่างผิวสัมผัส ความต้านทานความร้อนระหว่างผิว (Interfacial thermal resistance) เป็นการวัดความต้านทานของหน้าสัมผัสต่อการไหลของความร้อนและต่างจากความต้านทานของสัมผัสเพราะยังมีอยู่แม้ในหน้าสัมผัสที่สมบูรณ์แบบแล้วในระดับอะตอม การทำความเข้าใจความต้านทางทางความร้อนที่หน้าสัมผัสระหว่างวัสดุสองอย่างเป็นส่วนที่มีความสำคัญหลักในการศึกษาสมบัติทางความร้อนของวัสดุนั้น หน้าสัมผัสมักส่งผลต่อสมบัติของวัสดุที่เราจะสังเกตเห็นอย่างมีนัยสำคัญ 

การถ่ายเทพลังงานระหว่างโมเลกุลอาจเกิดขึ้นจากการชนกันแบบยืดหยุ่นเช่นแบบของไหล หรือผ่านการแพร่ของอิเล็กตรอนอิสระแบบในโลหะ หรือผ่านการสั่นโฟนอนแบบในฉนวน การไหลของพลังงานความร้อน (ฟลักซ์ความร้อน) ในฉนวนความร้อนเกิดขึ้นจากการสั่นโฟนอนเกือบทั้งหมด

โลหะ (เช่น ทองแดง ทองคำขาว ทองคำ ฯลฯ) ส่วนใหญ่นำพลังงานความร้อนได้ดีเนื่องเพราะลักษณะของพันธะเคมีของโลหะ: พันธะโลหะ (ตรงข้ามกับพันธะโคเวเลนต์หรือพันธะไอออนิก) มีอิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่ได้อิสระซึ่งสามารถถ่ายเทพลังงานความร้อนผ่านโลหะได้อย่างรวดเร็ว *อิเล็กตรอนเหลว*ของโลหะแข็งที่เป็นตัวนำเป็นตัวที่นำฟลักซ์ความร้อนผ่าน ฟลักซ์โฟนอนยังมีอยู่แต่ถ่ายเทพลังงานน้อยกว่า นอกจากนั้นอิเล็กตรอนยังเป็นสิ่งที่นำกระแสไฟฟ้าผ่านตัวนำของแข็ง ตัวนำไฟฟ้าที่ดีเช่นทองแดงก็นำความร้อนได้ดีเช่นกัน ไฟฟ้าจากความร้อน (Thermoelectricity) เกิดจากปฏิสัมพันธ์ของฟลักซ์ความร้อนกับกระแสไฟฟ้า การนำความร้อนภายในของแข็งเทียบได้โดยตรงกับการแพร่ของอนุภาคในของเหลวที่ไม่มีกระแสการไหล 

การถ่ายเทความร้อนภายในแก็สเกิดจากการชนกันของโมเลกุลแก็ส ในกรณีที่ไร้การพาความร้อนซึ่งปกติแล้วข้องเกี่ยวกับเฟสแก็สหรือของไหลที่เคลื่อนที่ การนำความร้อนผ่านเฟสแก็สขึ้นอยู่กับองค์ประกอบและความดันของเฟสเป็นหลัก กล่าวโดยเฉพาะคือมันขึ้นอยู่กับเส้นทางอิสระเฉลี่ยของโมเลกุลแก็สเมื่อเทียบกับขนาดของช่องว่างของแก็สตามที่ถูกกำหนดโดยเลขคนุดเซน (Knudsen number) K_n

วิศวกรนำสภาพนำความร้อน *k* มาใช้เพื่อบ่งบอกความสามารถในการนำของสื่อกลาง นิยามของ *k* คือ "ปริมาณความร้อน *Q* ที่ถ่ายเทตามเวลา (*t*) ผ่านความหนา (*L*) ในทิศแนวฉากกับพื้นที่ผิว (*A*) ซึ่งเกิดจากความแตกต่างของอุณหภูมิ (Δ*T*) [...]" สภาพนำความร้อนเป็น*[[สมบัติทางกายภาพ|สมบัติ]]*ของวัสดุที่ขึ้นอยู่กับเฟส อุณหภูมิ ความหนาแน่น และพันธะโมเลกุลของสื่อกลางตัวนั้นเป็นหลัก สภาพแลกเปลี่ยนความร้อนเป็นจำนวนซึ่งหาได้จากสภาพนำความร้อนและถูกนำมาใช้เพื่อวัดความสามารถในการแลกเปลี่ยนพลังงานความร้อนกับภาวะแวดล้อมของวัตถุนั้น

### การนำความร้อนในสภาวะคงที่
การนำความร้อนในสภาวะคงที่ () เป็นการนำความร้อนรูปแบบหนึ่งซึ่งเกิดขึ้นเมื่อความแตกต่างของอุณหภูมิซึ่งก่อให้เกิดการนำความร้อนนั้นมีค่าคงตัว โดยหลังเวลาสมดุล (Equilibration time) ผ่านไปการกระจายตัวเชิงพื้นที่ของอุณหภูมิ (สนามอุณหภูมิ) ในวัตถุซึ่งนำความร้อนนั้นไม่เปลี่ยนแปลงอีก ดังนั้นอนุพันธ์ย่อยของอุณหภูมิ*เทียบกับปริภูมิ*นั้นสามารถมีค่าได้ทั้งที่เป็นศูนย์หรือไม่เป็นศูนย์แต่อนุพันธ์ของอุณหภูมิ*เทียบกับเวลา*นั้นเท่ากับศุนย์โดยทั่วกัน ปริมาณของความร้อนซึ่งเข้าสู่บริเวณใด ๆ ของวัตถุนั้นเท่ากับปริมาณความร้อนซึ่งออกไปในการนำความร้อนในสภาวะคงที่ (ไม่เช่นนั้นแล้วอุณหภูมิของวัตถุอาจสูงขึ้นหรือต่ำลงขณะที่พลังงานถูกนำออกหรือกักไว้ในบริเวณนั้น)

ตัวอย่างเช่น วัตถุแท่งหนึ่งอาจเย็นที่ปลายหนึ่งและร้อนที่อีกปลาย และหลังจากอยู่ในสภาวะของการนำความร้อนในสภาวะคงที่แล้วเกรเดียนต์เชิงพื้นที่ของอุณหภูมิตามแนวของแท่งนั้นก็จะไม่มีการเปลี่ยนแปลงอีกแม้เวลาผ่านไปและอุณหภูมิที่หน้าตัดตามแนวฉากของการถ่ายเทความร้อน ณ จุดใด ๆ ของแท่งนั้นก็จะมีค่าคงตัว โดยอุณหภูมินี้มีการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นตามตำแหน่งในปริภูมิในกรณีที่ไม่มีการผลิตความร้อนในแท่งนั้น

กฎต่าง ๆ ซึ่งเกี่ยวข้องกับการนำไฟฟ้ากระแสตรงนั้นสามารถนำมาประยุกต์ใช้กับ "กระแสความร้อน" ในการนำความร้อนในสภาวะคงที่ได้โดยตรง เราจึงสามารถเทียบ "ความต้านทานความร้อน" ได้กับความต้านทานไฟฟ้า อุณหภูมิทำหน้าที่คล้ายแรงดันไฟฟ้าและความร้อนที่ถูกถ่ายเทต่อหน่วยเวลา (กำลังความร้อน) สามารถเทียบได้กับกระแสไฟฟ้า ระบบสภาวะคงที่สามารถถูกจำลองเป็นเครือข่ายของความต้านความร้อนที่ต่อกันแบบอนุกรมและขนานซึ่งสามารถเทียบได้กับเครือข่ายของตัวต้านทานกระแสไฟฟ้า สำหรับตัวอย่างของเครือข่ายแบบนี้ ดูวงจรความร้อนความต้านทานบริสุทธิ์ (Lumped-element model)

### การนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่

*การนำความร้อนชั่วครู่* () คือวิธีการไหลของพลังงานความร้อนซึ่งเกิดขึ้นเมื่ออุณหภูมิเปลี่ยน*ตามเวลา* ณ บริเวณใด ๆ ของวัตถุ การนำความร้อนชนิดนี้มีชื่อเรียกอีกอย่างว่า "การนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่" ซึ่งหมายถึงสนามอุณหภูมิของวัตถุที่เปลี่ยนแปลงขึ้นกับเวลา สภาวะไม่คงที่เกิดขึ้นหลังจากที่อุณหภูมิตรงขอบของวัตถุมีการเปลี่ยนแปลง หรือยังสามารถเกิดขึ้นจากการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิภายในวัตถุซึ่งเป็นผลจากแหล่งกำเนิดหรือแหล่งระบายความร้อนที่ถูกใส่เข้าไปในวัตถุและทำให้อุณหภูมิที่อยู่รอบแหล่งนั้นเปลี่ยนแปลงตามเวลา

เมื่อมีการรบกวนของอุณหภูมิในลักษณะนี้ อุณหภูมิในระบบก็จะเปลี่ยนแปลงตามเวลาและเคลื่อนไปหาสมดุลใหม่พร้อมกับเงื่อนไขใหม่ หากไม่มีการเปลี่ยนแปลงอีกครั้งหลังถึงจุดสมดุลแล้ว ความร้อนที่ไหลเข้าระบบและไหลออกจากระบบจะเท่ากันและอุณหภูมิที่จุดใด ๆ ของวัตถุก็ไม่เปลี่ยนแปลงอีก เมื่อกระบวนการทั้งหมดเกิดขึ้นแล้ว การนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่จะจบลงแต่การนำความร้อนในสภาวะคงที่อาจเกิดขึ้นต่อไปได้หากมีการไหลของความร้อนต่อไป

หากอุณหภูมิภายนอกหรือการผลิตความร้อนภายในมีการเปลี่ยนแปลงที่ฉับไวมากเกินไปจนสมดุลของอุณหภูมิไม่สามารถเกิดขึ้นได้แล้ว ระบบนั้นก็จะไม่มีวันกลับไปสู่สภาวะที่การกระจายตัวของอุณหภูมิไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาและจะคงอยู่ในสภาวะไม่คงที่

การติดเครื่องยนต์ในยานพาหนะเป็นตัวอย่างอันหนึ่งของแหล่งของความร้อนที่ "ถูกเปิด" ภายในวัตถุซึ่งก่อให้เกิดการนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่ และจะเปลี่ยนจากการนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่เป็นการนำความร้อนในสภาวะคงที่เมื่อเครื่องยนต์ถึงอุณหภูมิทำงาน (Operating temperature) แล้ว อุณหภูมิในเครื่องยนต์และส่วนอื่นของยานพาหนะต่างกันอย่างมากในสมดุลสภาวะคงที่ แต่ไม่มีบริเวณใดในยานพาหนะที่อุณหภูมิจะมีการเปลี่ยนแปลง การนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่จบลงหลังจากได้เกิดสภาวะนี้แล้ว

ภาวะภายนอกแบบใหม่สามารถทำให้กระบวนการนี้เกิดขึ้นได้ ตัวอย่างเช่น แท่งทองแดงซึ่งมีการนำความร้อนในสภาวะคงที่ก็จะกลายเป็นการนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่ทันทีที่ปลายข้างหนึ่งมีอุณหภูมิที่ต่างจากเดิม เมื่อเวลาผ่านไปสนามของอุณหภูมิภายในแท่งก็จะอยู่ในสภาวะคงที่ใหม่ซึ่งมีเกรเดียนต์ของอุณหภูมิที่คงตัว โดยปกติแล้วก็จะเข้าใกล้เกรเดียนต์ของสภาวะคงที่อันใหม่ในแบบชี้กำลังตามเวลา เมื่อเฟสของ "การนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่" จบลง ความร้อนยังสามารถไหลด้วยแรงสูงได้ตราบใดที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิ

ตัวอย่างของการนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่ซึ่งไม่จบด้วยการเปลี่ยนเป็นการนำความร้อนในสภาวะคงที่แต่จบด้วยการไม่มีการนำความร้อนต่อเช่น ลูกบอลทองแดงร้อน ๆ ที่ปล่อยลงในหม้อนำมันที่มีอุณหภูมิต่ำ สนามของอุณหภูมิภายในวัตถุเริ่มเปลี่ยนแปลงตามเวลาขณะที่ความร้อนถูกนำออกไปจากโลหะ และความสนใจอยู่ที่การวิเคราะห์การเปลี่ยนแปลงเชิงพื้นที่ของอุณหภูมิภายในวัตถุตามเวลาจนเกรเดียนต์ใด ๆ หายไปทั้งหมด (หรือก็คือลูกบอลมีอุณหภูมิเดียวกันกับน้ำมัน) ในทางคณิตศาสตร์ภาวะนี้ก็จะเข้าใกล้ในแบบชี้กำลัง (approached exponentially) ในทางทฤษฎีก็ต้องใช้เวลาเป็นอนันต์ แต่ในทางปฏิบัติถือว่าจบลงแล้วด้วยระยะเวลาที่สั้นกว่าอย่างมาก ที่จุดจบของกระบวนการไม่มีแหล่งระบายความร้อนอื่นนอกจากส่วนในของลูกบอล (ซึ่งมีอยู่จำกัด) จึงไม่มีการนำความร้อนในสภาวะคงที่เกิดขึ้นต่อ สภาวะนี้ไม่มีวันเกิดขึ้นในเหตุการณ์แบบนี้และกระบวนการจะจบลงเมื่อไม่มีการนำความร้อนใด ๆ เลย

การวิเคราะห์ระบบของการนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่นั้นซับซ้อนกว่าระบบในสภาวะคงที่อย่างมาก หากวัตถุนำความร้อนมีรูปร่างแบบง่าย แล้วการแสดงออกและคำตอบทางคณิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์จะสามารถทำได้อย่างแม่นยำ (ดูสมการความร้อนสำหรับแนวทางเชิงวิเคราะห์) อย่างไรก็ตามเรามักจำเป็นต้องนำทฤษฎีแบบประมาณมาใช้หรือต้องพึ่งพาการวิเคราะห์เชิงตัวเลขของคอมพิวเตอร์เนื่องด้วยสภาพนำความร้อนที่มีความแตกต่างกันเองภายในวัตถุรูปร่างซับซ้อน (นั่นคือ วัตถุที่ซับซ้อนส่วนใหญ่ กลไก หรือเครื่องต่าง ๆ ของวิศวกรรม) วิธีการทางกราฟที่เป็นที่นิยมแบบหนึ่งคือการใช้แผนภูมิไฮสเลอร์ (Heisler Chart) 

บางครั้งปัญหาเกี่ยวกับการนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่จะง่ายลงอย่างมากถ้าสามารถระบุบริเวณที่ร้อนขึ้นหรือเย็นลงได้ เพราะสภาพนำความร้อนในบริเวณนั้นมีค่ามากกว่าของวิถีความร้อนที่เข้าบริเวณนั้น บริเวณที่มีสภาพนำสูงจึงสามารถถูกปฏิบัติเป็นแบบจำลองความจุแบบก้อน (lumped capacitance model) ได้ โดยถือได้ว่าเป็น "ก้อน" ของวัสดุที่มีความจุความร้อนแบบง่ายซึ่งประกอบไปด้วยความจุความร้อน (heat capacity) รวมของมัน บริเวณนี้ร้อนขึ้นหรือเย็นลงระหว่างกระบวนการแต่ไม่มี*การแปรผัน*ของอุณหภูมิที่มีนัยสำคัญภายในขอบเขตของบริเวณ (เมื่อเทียบกับส่วนอื่น ๆ ของระบบ) นี่เป็นเพราะความนำที่สูงกว่าอย่างมาก ดังนั้นระหว่างการนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่อุณหภูมิตลอดบริเวณที่นำความร้อนจะเปลี่ยนแปลงอย่างสม่ำเสมอในปริภูมิและใช้เวลาแบบชี้กำลังง่าย ๆ ตัวอย่างของระบบเหล่านี้คือระบบที่ปฏิบัติตัวตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน (Newton's law of cooling) ระหว่างการเย็นลงในสภาวะไม่คงที่ (หรือในทางกลับกันระหว่างการทำความร้อน) วงจรความร้อนที่สมมูลกับระบบนี้ประกอบไปด้วยตัวเก็บ (capacitor) ที่ต่อแบบอนุกรมกับตัวต้านทาน ส่วนที่เหลือของระบบซึ่งมีความต้านทานความร้อนสูง (สภาพนำที่ต่ำกว่าเมื่อเทียบกัน) ทำหน้าที่เป็นตัวต้านทานในวงจรนั้น

### การนำความร้อนเชิงสัมพัทธภาพ
ทฤษฎีการนำความร้อนเชิงสัมพัทธภาพ () เป็นแบบจำลองที่เข้ากันกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ตลอดเวลาส่วนใหญ่ของศตวรรษที่ผ่านมา สมการฟูริเอร์เป็นที่รู้จักว่าขัดกับทฤษฎีสัมพัทธภาพเพราะมีการยอมรับถึงความเร็วของการแพร่สัญญาณความร้อนที่มีค่าเป็นอนันต์ ตัวอย่างตามสมการฟูริเอร์เช่น จุดที่อยู่ไกลเป็นอนันต์จะสามารถรู้สึกถึงพัลส์ของความร้อนที่จุดกำเนิดได้ทันที อัตราเร็วของการแพร่ข้อมูลเร็วกว่าอัตราเร็วของแสงในสุญญากาศซึ่งไม่สามารถยอมรับได้ในกรอบของสัมพัทธภาพ

### การนำความร้อนเชิงควอนตัม
เสียงที่สอง (Second sound) เป็นปรากฏการณ์ทางกลศาสตร์ควอนตัมที่การถ่ายเทความร้อนเกิดขึ้นผ่านการเคลื่อนที่คล้ายคลื่นแทนการแพร่ซึ่งเป็นกลไกปกติ ความร้อนแทนตัวเป็นความดันในคลื่นเสียงปกติ นี่นำไปสู่สภาพนำความร้อนที่สูงมาก "เสียงที่สอง" มีชื่อเรียกเป็นอย่างนี้เพราะการเคลื่อนที่แบบคลื่นของความร้อนนั้นคล้ายกับการแพร่ของคลื่นเสียงในอากาศ

## กฎของฟูริเอร์
กฎของฟูริเอร์ () หรือกฎของการนำความร้อนกล่าวว่าอัตราการถ่ายเทความร้อนผ่านวัสดุเป็นสัดส่วนกับเกรเดียนต์ลบของอุณหภูมิและพื้นที่ตั้งฉากกับเกรเดียนต์ที่ความร้อนไหลผ่าน เราสามารถแสดงกฎนี้เป็นรูปแบบสมมูลสองรูปแบบ: รูปปริพันธ์ซึ่งเราดูที่ปริมาณของพลังงานที่ไหลเข้าหรือออกกจากวัตถุรวมทั้งหมด และรูปอนุพันธ์ซึ่งเราดูที่อัตราไหลหรือฟลักซ์ของพลังงานเฉพาะบริเวณ (local)

กฎการเย็นตัวของนิวตันเทียบได้เป็นกฎของฟูริเอร์แบบวิยุต (discrete) ในขณะที่กฎของโอห์มเทียบได้เป็นกฎของฟูริเอร์สำหรับไฟฟ้า และกฎการแพร่ของฟิค (Fick's laws of diffusion) ก็เทียบได้เป็นแบบสำหรับเคมี 

### รูปอนุพันธ์
กฎการนำความร้อนของฟูริเอร์รูปอนุพันธ์แสดงให้เห็นว่าความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อน (heat flux) เฉพาะบริเวณ \mathbf{q} เท่ากับผลคูณของสภาพนำความร้อน k และเกรเดียนต์ลบเฉพาะบริเวณของอุณหภูมิ -\nabla T ความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนคือปริมาณของพลังงานที่ไหลผ่านหน่วยพื้นที่ต่อหน่วยเวลา 

: \mathbf{q} = - k {\nabla} T

โดย (รวมหน่วย SI)
* \mathbf{q} คือ ความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนเฉพาะบริเวณ W·m−2
* \big.k\big. คือ สภาพนำความร้อนของวัสดุ W·m−1·K−1
* \big.\nabla T\big. คือ เกรเดียนต์อุณหภูมิ K·m−1
สภาพนำความร้อน k มักถูกถือว่าเป็นค่าคงตัวแต่ก็ไม่เป็นจริงเสมอไป ถึงแม้สภาพนำความร้อนของวัสดุโดยทั่วไปแล้วจะแปรผันกับอุณหภูมิ การแปรผันมีขนาดเล็กแม้อุณหภูมิจะเปลี่ยนไปอย่างมีนัยสำคัญสำหรับวัสดุทั่ว ๆ ไป ส่วนสภาพนำความร้อนของวัสดุแอนไอโซทรอปิก (Anisotropy) โดยปกติเปลี่ยนแปลงตามทิศทางของวัตถุ ในกรณีนี้ k ถูกแทนเป็นเทนเซอร์ (tensor) อันดับสอง ส่วน k ในวัสดุไม่สม่ำเสมอ (non-uniform) เปลี่ยนแปลงตามตำแหน่งในปริภูมิ

สำหรับการใช้งานแบบง่าย กฎของฟูริเอร์ในรูปมิติเดียวมักถูกนำมาใช้ ในทิศทาง *x*

: q_x = - k \frac{d T}{d x}

ในวัสดุไอโซทรอปิก กฎของฟูริเอร์นำไปสู่สมการความร้อน:

\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\left(\frac{\partial^2T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2T}{\partial y^2}+\frac{\partial^2T}{\partial z^2}\right)

และมีผลเฉลยหลักมูล (fundamental solution) ซึ่งเป็นที่รู้จักในชื่อเคอร์เนลความร้อน (heat kernel)

### รูปปริพันธ์
เมื่อปริพันธ์กฎของฟูริเอร์รูปอนุพันธ์ตามพื้นผิวทั้งหมดของวัสดุ S เราจะได้กฎของฟูริเอร์รูปปริพันธ์:

:

โดย (รวมหน่วย SI):
* \big. \frac{\partial Q}{\partial t}\big. คือปริมาณของความร้อนที่มีการถ่ายเทต่อหน่วยเวลา (หน่วย W) และ
* dS คือส่วนประกอบพื้นที่ผิวที่มีทิศทาง (หน่วย m2)
เมื่อเราปริพันธ์สมการเชิงอนุพันธ์ด้านบนระหว่างจุดปลายสองจุดสำหรับวัสดุเอกพันธุ์ (homogeneous) หนึ่งมิติที่อุณหภูมิคงตัว จะได้อัตราไหลของความร้อนเป็น:
:  \big. \frac{Q}{\Delta t} = -k A \frac{\Delta T}{\Delta x} 
โดย
* \Delta t คือ ช่วงเวลาที่ความร้อนปริมาณ Q ใช้ไหลผ่านหน้าตัดขวางของวัสดุ
* A คือ พื้นที่หน้าตัด
* \Delta T คือ ความแตกต่างของอุณหภูมิที่จุดปลาย
* \Delta x คือ ระยะทางระหว่างจุดปลาย
กฎนี้เป็นรากฐานสำหรับการอนุพัทธ์หาสมการความร้อน

## ความนำความร้อน
กฎของฟูริเอร์สามารถเขียนได้เป็น:

: \big. \frac{\Delta Q}{\Delta t} = U A\, (-\Delta T)

เมื่อ
: \big. U = \frac{k}{\Delta x} \quad
โดย *U* คือความนำความร้อน (conductance) หน่วยเป็น W/(m2 K)

ส่วนกลับของความนำคือความต้านทาน (resistance) \big. R โดยกำหนดว่า:
:  \big. R = \frac{1}{U} = \frac{\Delta x}{k} = \frac{A\, (-\Delta T)}{\frac{\Delta Q}{\Delta t}}

ความต้านทานบวกรวมกันเมื่อมีชั้นนำความร้อนหลายชั้นอยู่ระหว่างบริเวณร้อนและเย็นเพราะ *A* และ *Q* ของทุก ๆ ชั้นมีค่าเท่ากัน 
:\big. R = R_1+ R_2 + R_3 + \cdots 
ในทางเดียวกัน ความสัมพันธ์ระหว่างความนำรวมกับความนำของแต่ละชั้นคือ:
:\big. \frac{1}{U} = \frac{1}{U_1} + \frac{1}{U_2} + \frac{1}{U_3}+ \cdots

ดังนั้นสูตรดังต่อไปนี้มักถูกนำมาใช้เมื่อเผชิญกับการนำความร้อนผ่านผนังหลายชั้น:

: \big. \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{A\,(-\Delta T)}{\frac{\Delta x_1}{k_1} + \frac{\Delta x_2}{k_2} + \frac{\Delta x_3}{k_3}+ \cdots}

ในส่วนของการนำความร้อนจากของไหลสู่ของไหลผ่านผนังกั้นชนิดหนึ่ง บางครั้งจำเป็นที่จะต้องพิจารณาความนำความร้อนของฟิล์ม (thin film) ของไหลบาง ๆ ที่อยู่นิ่งข้างแผ่นกั้น ของไหลที่เป็นฟิล์มบางนี้จำกัดปริมาณได้ยากเพราะลักษณะต่าง ๆ นั้นขึ้นอยู่กับเงื่อนไขที่ซับซ้อน เช่น ความปั่นป่วน (turbulence) และความหนืด แต่บางครั้งเมื่อต้องจัดการกับผนังกั้นที่มีความนำสูง แผ่นฟิล์มของไหลนี้ก็สามารถส่งผลต่อคุณสมบัติความนำได้อย่างมีนัยสำคัญ

### การแทนด้วยคุณสมบัติที่ไม่ขึ้นกับปริมาณ
สมการที่ให้นิยามความนำไว้ด้านบนด้วยคุณสมบัติที่ขึ้นกับปริมาณ (extensive properties) สามารถถูกนำมาจัดรูปใหม่ให้ใช้นิยามจากคุณสมบัติที่ไม่ขึ้นกับปริมาณได้ (intensive properties) สูตรสำหรับความนำความร้อนในอุดมคตินั้นควรผลิตค่าที่มีมิติซึ่งเป็นอิสระจากระยะทาง อย่างเช่นสูตรของความต้านทานไฟฟ้า R = V/I\,\! และความนำไฟฟ้า  G = I/V \,\! ในกฎของโอห์ม

จากสูตรเรื่องไฟฟ้า R = \rho x / A \,\! โดย *ρ* คือสภาพต้านทาน, *x* คือความยาว และ *A* คือพื้นที่หน้าตัด กับ G = k A / x \,\! โดย *G* คือความนำ, *k* คือสภาพนำ, *x* คือความยาว และ *A* คือพื้นที่หน้าตัด

ในส่วนของความร้อนนั้น

: \big. U = \frac{k A} {\Delta x} \quad

โดย *U* คือความนำความร้อน

เราสามารถเขียนกฎของฟูริเอร์ได้เป็นอีกแบบ:

: \big. \dot{Q} = U \, \Delta T \quad

ซึ่งเทียบได้กับกฎของโอห์ม  I = V/R \,\! หรือ  I = V G \,\!

ส่วนกลับของความนำคือความต้านทาน *R* ซึ่งถูกกำหนดเป็น:
: \big. R = \frac{\Delta T}{\dot{Q}} \quad

เทียบได้กับกฎของโอห์ม  R = V/I \,\!

กฎของการรวมความต้านแทนและความนำของการไหลของความร้อนและกระแสไฟฟ้า (ต่อกันแบบอนุกรมหรือขนาน) เป็นแบบเดียวดัน

### เปลือกทรงกระบอก
การนำความร้อนผ่านเปลือกทรงกระบอก (เช่น ท่อ) สามารถคำนวณได้จากรัศมีภายใน r_1, รัศมีภายนอก r_2, ความยาว \ell และความแตกต่างของอุณหภูมิระหว่างผนังภายในและภายนอก T_2 - T_1

พื้นที่ผิวของทรงกระบอกคือ A_r= 2 \pi r \ell

เมื่อเรานำมาใส่ในกฎของฟูริเอร์:

:\dot{Q} = -k A_r \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r} = -2 k \pi r \ell \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}

และจัดรูปใหม่:

:\dot{Q} \int_{r_1}^{r_2} \frac{1}{r} \mathrm{d}r = -2 k \pi \ell \int_{T_1}^{T_2} \mathrm{d}T

อัตราการถ่ายเทความร้อนจะเท่ากับ:

:\dot{Q} = 2 k \pi \ell \frac{T_1 - T_2}{\ln (r_2 /r_1)}

ความต้านทานความร้อนคือ:

:R_c = \frac{\Delta T}{\dot{Q}}= \frac{\ln (r_2 /r_1)}{2 \pi k \ell}

และ \dot{Q} = 2 \pi k \ell r_m \frac{T_1-T_2}{r_2-r_1} โดย r_m = \frac{r_2-r_1}{\ln (r_2 /r_1)} เป็นรัศมีเฉลี่ยแบบล็อก

### เปลือกทรงกลม
เราสามารถคำนวณการนำความร้อนผ่านพื้นผิวทรงกลมได้ในลักษณะเดียวกันจากรัศมีภายใน r_1 และรัศมีภายนอก r_2

พื้นที่ผิวของทรงกลมคือ: \!A = 4\pi r^2

และเมื่อแก้สมการในลักษณะเดียวกันกับที่ทำสำหรับเปลือกทรงกระบอก (ดูข้างบน) แล้วจะได้:
\dot{Q} = 4 k \pi \frac{T_1 - T_2}{1/{r_1}-1/{r_2}} = 4 k \pi \frac{(T_1 - T_2) r_1 r_2}{r_2-r_1}

## การนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่

### การถ่ายโอนความร้อนระหว่างผิว
การถ่ายเทความร้อนที่ผิวสัมผัสถือว่าเป็นการไหลของความร้อนในสภาวะไม่คงที่ เลขบิโอต์ (Biot number) เป็นสิ่งสำคัญในการทำความเข้าใจพฤติกรรมของระบบสำหรับการวิเคราะห์ปัญหานี้ โดยเลขบิโอต์ถูกกำหนดเป็น:
 \textit{Bi}= \frac{hL}{k} 
หากเลขบิโอต์ของระบบมีค่าน้อยกว่า 0.1 วัสดุนั้นจะประพฤติตามการเย็นตัวแบบนิวตันหรือเราสามารถเพิกเฉยต่อเกรเดียนต์ของอุณหภูมิภายในวัสดุได้ หากเลขบิโอต์มีค่ามากกว่า 0.1 ระบบนั้นจะประพฤติตามผลเฉลยแบบอนุกรม โปรไฟล์อุณหภูมิเทียบกับเวลาสามารถอนุพัทธ์มาได้จากสมการ

: q=-h \, \Delta T 

ซึ่งกลายเป็น

:  \frac{T-T_f}{T_i - T_f} = \operatorname{exp} \left [ \frac{-hAt}{\rho C_p V} \right ]

สัมประสิทธิ์การถ่ายเทความร้อน (heat transfer coefficient) *h* มีหน่วยเป็น  \mathrm{\frac{W}{m^2 K}}  และแทนการถ่ายเทของความร้อนที่ผิวสัมผัสระหว่างวัสดุสองอย่าง ค่านี้ต่างกันไปตามแต่ละผิวสัมผัสและเป็นสิ่งที่สำคัญในการทำความเข้าใจการไหลของความร้อนที่ผิวสัมผัส

เราสามารถวิเคราะห์ผลเฉลยแบบอนุกรม (series solution) ได้ด้วยโนโมแกรม (nomogram) ในโนโมแกรมมีอุณหภูมิสัมพัทธ์เป็นพิกัด *y* และเลขฟูริเอร์ (Fourier number) ซึ่งคำนวณจาก

: \textit{Fo}= \frac{\alpha t}{L^2}

ยิ่งเลขบิโอต์มีค่ามากขึ่น เลขฟูริเอร์จะมีค่าน้อยลง เพื่อหาโปรไฟล์ของอุณหภูมิเทียบกับเวลาเราต้องทำตามห้าขั้นตอนดังต่อไปนี้
# คำนวณหาเลขบิโอต์
# กำหนดว่าความลึกสัมพัทธ์อันไหนส่งผลมากที่สุด *x* หรือ *L*
# แปลงเวลาเป็นเลขฟูริเอร์
# แปลง T_i เป็นอุณหภูมิสัมพัทธ์พร้อมกับเงื่อนไขขอบเขต
# เปรียบเทียบจุดต่าง ๆ ที่กำหนดและตามรอยหาเลขบิโอต์ที่กำหนดไว้บนโนโมแกรม

## การประยุกต์ใช้การนำความร้อน

### การชุบแข็งแบบสาด

การชุบแข็งแบบสาด () เป็นวิธีการทำให้ละอองของวัสดุหลอมเหลวขนาดเล็กเย็นตัวลงอย่างรวดเร็วผ่านการสัมผัสพื้นผิวเย็นอย่างฉับพลัน อนุภาคของวัสดุนี้ผ่านกระบวนการเย็นตัวลงที่มีลักษณะพิเศษ โดยมีโปรไฟล์อุณหภูมิที่ t=0 เป็นอุณหภูมิเริ่มต้นและอุณหภูมิสูงสุดที่ x=0 และที่ x = -\infin และ  x = \infin  อุณหภูมิ T = 0 และมีโปรไฟล์ความร้อนที่ t=\infin  ของ -\infin \le x \le \infin เป็นเงื่อนไขขอบเขต การชุบแข็งแบบสาดจบลงที่อุณหภูมิในสภาวะคงที่ และมีรูปแบบคล้ายกับสมการการแพร่แบบเกาส์ (Gaussian diffusion equation) โปรไฟล์ของอุณหภูมิเทียบกับตำแหน่งและเวลาของการเย็นตัวแบบนี้แปรผันกับ:

 T(x,t) - T_i = \frac{T_i \Delta X}{2\sqrt{\pi \alpha t}} \operatorname{exp} \left ( -\frac{x^2}{4 \alpha t} \right ) 

การชุมแข็งแบบสาดเป็นแนวคิดพื้นฐานที่มีการนำไปใช้ในทางปฏิบัติในรูปของการพ่นเคลือบด้วยความร้อน เราสามารถเขียนสัมประสิทธิ์สภาพแพร่ความร้อน (thermal diffusivity) ซึ่งแทนด้วย \alpha เป็น  \alpha =\frac{k}{\rho C_p}  ได้ ซึ่งแปลว่าค่านี้เปลี่ยนแปลงไปตามชนิดของวัสดุ

### การชุบแข็งโลหะ
การชุบแข็งโลหะ () เป็นกระบวนการถ่ายเทความร้อนในสภาวะไม่คงที่แบบหนึ่งซึ่งแสดงด้วยแผนภาพเวลา-อุณหภูมิ-การเปลี่ยนเฟส (Isothermal transformation diagram) (TTT) เราสามารถควบคุมกระบวนการเย็นตัวได้เพื่อปรับเปลี่ยนเฟสของวัสดุที่เหมาะสม ตัวอย่างเช่น การชุบแข็งเหล็กกล้าอย่างเหมาะสมสามารถแปลงสารออสเทไนต์ (austenite) เป็นมาร์เทนไซต์ (martensite) ในสัดส่วนที่ต้องการได้ซึ่งทำให้ได้ผลเป็นวัสดุที่แข็งและทนทานมาก เพื่อให้ได้ผลดังนี้เราจำเป็นต้องชุบแข็งที่ "จมูก" (หรือ ยูเทกติก (Eutectic)) ของแผนภาพ TTT เวลาที่วัสดุต่าง ๆ ใช้ชุบแข็งหรือเลขฟูริเอร์นั้นต่างกันไปในทางปฏิบัติเพราะวัสดุต่าง ๆ มีเลขบิโอต์ต่างกัน อุณหภูมิชุบแข็งของเหล็กกล้า (steel) มีค่าตั้งแต่ 200&nbsp;°C ถึง 600&nbsp;°C เราจำเป็นต้องกำหนดเลขฟูริเอร์จากเวลาการชุบแข็งที่ต้องการ อุณหภูมิลดสัมพัทธ์ (temperature drop) ที่ต้องการ และเลขบิโอต์เพื่อให้สามารถควบคุมเวลาชุบแข็งและเลือกสื่อในการชุบแข็งที่เหมาะสมได้ เราสามารถหาของเหลวที่เหมาะสมต่อการเป็นสื่อในการชุบแข็งได้ผ่านการคำนวณสัมประสิทธิ์ของการถ่ายเทความร้อนจากเลขบิโอต์

## กฎข้อที่ศูนย์ของอุณหพลศาสตร์

กฎข้อที่ศูนย์ของอุณหพลศาสตร์ () สามารถถูกกล่าวในแบบที่มุ่งความสนใจในเรื่องของการนำความร้อนโดยตรง เบลิน (1994) เขียนว่า "... กฎข้อที่ศูนย์สามารถถูกกล่าวเป็น:

::ผนังไดอะเทอร์มัลทุกอันสมมูลกัน"

ผนังไดอะเทอร์มัล (diathermal wall) คือการเชื่อมต่อทางกายภาพซึ่งให้ความร้อนเคลื่อนระหว่างวัตถุสองวัตถุได้ ในที่นี้ผนังไดอะเทอร์มัลของเบลินหมายถึงผนังที่เชื่อมต่อวัตถุสองวัตถุเท่านั้นเข้าด้วยกัน โดยเฉพาะผนังนำ (conductive wall)

'กฎข้อที่ศูนย์' ซึ่งถูกกล่าวแบบนี้เป็นข้อความเชิงทฤษฎีในอุดมคติ และผนังทางกายภาพของจริงนั้นอาจมีความผิดปกติซึ่งทำให้ไม่ประพฤติตามความทั่วไป

ตัวอย่างเช่น วัสดุของผนังนั้นจะต้องไม่เปลี่ยนเฟสที่อุณหภูมิซึ่งนำความร้อนไม่ว่าเป็นการระเหยหรือการหลอมละลาย แต่ก็ต่อเมื่อพิจารณาเพียงสมดุลความร้อนและไม่เร่งรีบกับเวลาเท่านั้น แล้วสภาพนำความร้อนของวัสดุต่าง ๆ ก็ไม่มีความสำคัญมากนักและตัวนำความร้อนใด ๆ ก็ดีพอกัน กลับกัน อีกแง่มุมของกฎข้อที่ศูนย์คือผนังไดอะเทอร์มัลหนึ่งจะเมินเฉยต่อสภาวะและลักษณะของอ่างความร้อน (heat bath) เมื่อกำหนดข้อจำกัดที่เหมาะสม เช่นหลอดแก้วของปรอทวัดอุณหภูมิทำหน้าที่เป็นผนังไดอะเทอร์มัลไม่ว่าจะใช้ในแก๊สหรือของเหลว แต่ก็ต่อเมื่อแก้วไม่ละลายหรือถูกกัดกร่อน

ความแตกต่างเหล่านี้เป็นหนึ่งในลักษณะพิเศษซึ่งเป็นนิยามของการถ่ายเทความร้อน ในแง่หนึ่ง มันเป็นสมมาตร (Symmetry (physics)) ของการถ่ายเทความร้อน

## อุปกรณ์ซึ่งเกี่ยวข้องกับการนำความร้อน

### เครื่องวิเคราะห์สภาพนำไฟฟ้า
คุณสมบัติการนำความร้อนของแก๊สใด ๆ ภายใต้ความดันและอุณหภูมิภาวะมาตรฐานเป็นค่าคงที่ เราขึงสามารถนำคุณสมบัตินี้ของแก๊สหรือส่วนผสมของแก๊สอ้างอิงที่รู้จักชนิดหนึ่งมาใช้ในการรับรู้ (sensor) เช่นเครื่องวิเคราะห์สภาพนำไฟฟ้า (Thermal conductivity analyzer)

เครื่องนี้ทำงานบนหลักการของวงจรสะพานแบบวีตสโตน (Wheatstone bridge) ซึ่งประกอบด้วยเส้นใยสี่เส้นที่มีความต้านทานไฟฟ้าเท่ากัน เมื่อใดที่มีแก๊สไหลผ่านเครือข่ายเส้นใยนี้แล้วความต้านทานของพวกมันจะเปลี่ยนตามสภาพนำความร้อนที่เปลี่ยนไป ดังนั้นจึงทำให้เอาต์พุตความต่างศักย์สุทธิของวงจรสะพานเปลี่ยนไป และเราสามารถนำเอาต์พุตความต่างศักย์ที่ได้ไปเทียบกับฐานข้อมูลเพื่อระบุว่าแก๊สตัวอย่างนั้นเป็นแก๊สชนิดใด

### ตัวรับรู้แก๊ส
หลักการของสภาพนำความร้อนของแก๊สยังสามารถนำมาใช้วัดความเข้มข้นของแก๊สชนิดหนึ่งในส่วนผสมระหว่างแก๊สสองชนิดได้

หลักการทำงานของตัวรับรู้แก๊ส (Gas sensor) คือ หากแก๊สชนิดเดียวกันมีอยู่ตลอดทั้งเส้นใยของวงจรสะพานแล้ว เส้นใยทุกเส้นจะคงอุณหภูมิไว้เท่ากันและจึงคงความต้านทานไฟฟ้าไว้เท่าเดิม วงจรสะพานจึงสมดุล แต่ทว่าหากตัวอย่างแก๊สที่ต่างกัน (หรือส่วนผสมของแก๊ส) ถูกปล่อยให้เคลื่อนที่ผ่านเส้นใยสองเส้นชุดหนึ่งและแก๊สที่เรานำมาใช้อ้างอิงถูกปล่อยผ่านเส้นใยอีกชุดหนึ่งแล้ว วงจรสะพานจะเสียสมดุลและเอาต์พุตความต่างศักย์สุทธิที่ได้ออกมาจากวงจรก็จะสามารถนำไปเทียบในฐานข้อมูลเพื่อระบุส่วนประกอบของแก๊สตัวอย่างได้

ด้วยกลวิธีนี้ เราสามารถระบุตัวอย่างแก๊สที่ไม่รู้จักหลายชนิดได้ด้วยการเปรียบเทียบสภาพนำความร้อนของพวกมันกับแก๊สอ้างอิงอื่น ๆ ที่เรารู้สภาพนำความร้อนของมัน แก๊สอ้างอิงที่ถูกใช้บ่อยที่สุดคือแก๊สไนโตรเจนเพราะสภาพนำความร้อนของแก๊สที่พบเจอได้ทั่วไปส่วนใหญ่ (ยกเว้นแก๊สไฮโดรเจนและฮีเลียม) มีค่าใกล้เคียงกับของแก๊สไนโตรเจน

## ดูเพิ่ม
* รายการของสภาพนำความร้อน (List of thermal conductivities)
* การนำไฟฟ้า 
* สมการการแพร่-การพา (Convection diffusion equation)
* ค่า R (ฉนวน) (R-value (insulation))
* ท่อความร้อน
* กฎการแพร่ของฟิค (Fick's law of diffusion)
* การนำความร้อนเชิงสัมพัทธภาพ (Relativistic heat conduction)
* สมการเชอร์ชิล-เบิร์นสไตน์ (Churchill–Bernstein equation)
* เลขฟูริเอร์ (Fourier number)
* เลขบิโอต์ (Biot number)
* การแพร่เท็จ (False diffusion)

## อ้างอิง

*Dehghani, F 2007, CHNG2801 – Conservation and Transport Processes: Course Notes, University of Sydney, Sydney
* John H Lienhard IV and John H Lienhard V, 'A Heat Transfer Textbook', Fifth Edition, Dover Pub., Mineola, NY, 2019 http://web.mit.edu/lienhard/www/ahtt.html

## แหล่งข้อมูลอื่น

* Heat conduction – Thermal-FluidsPedia
* Newton's Law of Cooling โดย Jeff Bryant อิงจากโปรแกรมโดย Stephen Wolfram, Wolfram Demonstrations Project.

หมวดหมู่:การนำความร้อน
หมวดหมู่:ปริมาณทางกายภาพ
หมวดหมู่:หลักการสำคัญของฟิสิกส์
หมวดหมู่:การถ่ายเทความร้อน