ตัวหาร

ในคณิตศาสตร์ **ตัวหาร** () ของจำนวนเต็ม *n* หรือเรียกว่า **ตัวประกอบ** (factor) ของ *n* คือจำนวนเต็มที่หาร *n* ได้โดยไม่มีเศษเหลือ

## คำอธิบาย

ตัวอย่างเช่น 7 เป็นตัวหารของ 42 เพราะว่า 42 ÷ 7 = 6 เราจะเรียกว่า *42 หารด้วย 7 ลงตัว* หรือ *42 เป็น[[พหุคูณ]]ของ 7* หรือ *7 หาร 42 ลงตัว* และเราจะเขียนว่า 7 | 42 ตัวหารสามารถเป็นจำนวนบวกหรือจำนวนลบได้ ตัวหารที่เป็นบวกของ 42 คือ 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

ในกรณีทั่วไป เรากล่าวว่า *m* | *n* (อ่านว่า *m* หาร *n* ลงตัว) สำหรับจำนวนเต็ม *m* และ *n* ที่ไม่เท่ากับ 0 ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม *k* ที่ทำให้ *n* = *km*

กรณีพิเศษ: 1 และ −1 เป็นตัวหารของจำนวนเต็มทุกจำนวน และจำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นตัวหารของ 0 จำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัวเรียกว่า จำนวนคู่ จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนคู่เรียกว่าจำนวนคี่

สำหรับชื่อของการหารในเลขคณิต ถ้า *a* ÷ *b* = *c* แล้ว *a* คือตัวตั้งหาร, *b* คือตัวหาร และ *c* คือผลหาร

## หลักเกณฑ์ของตัวหารที่มีค่าน้อย

มีหลักเกณฑ์ที่ช่วยให้หาตัวหารที่มีค่าน้อย ๆ ของจำนวน โดยดูจากเลขโดดได้

หลักเกณฑ์การหารคือหลักที่ช่วยในการหาว่าจำนวนนี้หารด้วยจำนวนอื่น ๆ ลงตัวหรือไม่ ในเลขฐานสิบ มีหลักเกณฑ์การหารคือ:

* จำนวนหารด้วย 2 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ เลขโดดหลักสุดท้าย หารด้วย 2 ลงตัว
* จำนวนหารด้วย 3 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลบวกของเลขโดดทุกหลัก หารด้วย 3 ลงตัว
* จำนวนหารด้วย 4 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนที่เป็นเลขโดด 2 หลักสุดท้าย หารด้วย 4 ลงตัว
* จำนวนหารด้วย 5 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ เลขโดดหลักสุดท้ายคือ 0 หรือ 5
* จำนวนหารด้วย 6 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนนั้นหารด้วย 2 และ 3 ลงตัว
* จำนวนหารด้วย 7 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลลัพธ์ของการนำ 2 เท่าของเลขโดดหลักสุดท้าย ไปลบจำนวนที่นำหลักสุดท้ายทิ้งไป หารด้วย 7 ลงตัว (เช่น 364 หารด้วย 7 ลงตัว เพราะ 36-2×4 = 28 หารด้วย 7 ลงตัว)
* จำนวนหารด้วย 8 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนที่เป็นเลขโดด 3 หลักสุดท้าย หารด้วย 8 ลงตัว
* จำนวนหารด้วย 9 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลบวกของเลขโดดทุกหลัก หารด้วย 9 ลงตัว
* จำนวนหารด้วย 10 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ เลขโดดหลักสุดท้ายคือ 0
* จำนวนหารด้วย 11 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลบวกสลับของเลขโดดทุกหลัก หารด้วย 11 ลงตัว (เช่น 182919 หารด้วย 11 ลงตัวเพราะ 1-8+2-9+1-9 = -22 หารด้วย 11 ลงตัว)
* จำนวนหารด้วย 12 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนนั้นหารด้วย 3 และ 4 ลงตัว
* จำนวนหารด้วย 13 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลลัพธ์ของการนำ 9 เท่าของเลขโดดหลักสุดท้าย ไปลบจำนวนที่ลบหลักสุดท้ายทิ้งไป หารด้วย 13 ลงตัว (เช่น 858 หารด้วย 13 ลงตัว เพราะ 85-9×8 = 13 หารด้วย 13 ลงตัว)
* จำนวนหารด้วย 14 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนนั้นหารด้วย 2 และ 7 ลงตัว
* จำนวนหารด้วย 15 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนนั้นหารด้วย 3 และ 5 ลงตัว

## ข้อเท็จจริง

หลักพื้นฐาน:
* ถ้า *a* | *b* และ *a* | *c* แล้ว *a* | (*b* + *c*)
* ถ้า *a* | *b* และ *b* | *c* แล้ว *a* | *c*
* ถ้า *a* | *b* และ *b* | *a* แล้ว *a* = ±*b*
* ถ้า *a* | *bc* และ ห.ร.ม. ของ *a* กับ *b* = 1 แล้ว *a* | *c*

เราเรียกจำนวนที่หาร *n* ลงตัวและมีค่าไม่เท่ากับ *n* ว่า "ตัวหารแท้" (proper divisor) ของ *n*

เราเรียกจำนวนที่มีค่ามากกว่า 1 และมี 1 เป็นตัวหารแท้เพียงตัวเดียวว่า "จำนวนเฉพาะ"

จากทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต จำนวนเต็มใด ๆ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลคูณของกำลังของจำนวนเฉพาะได้

เราเรียกจำนวนใด ๆ ว่าเป็น "จำนวนสมบูรณ์" (perfect number) เมื่อจำนวนนั้นมีค่าเท่ากับผลบวกของตัวหารแท้ทั้งหมดของมัน จำนวนใด ๆ ที่ไม่สมบูรณ์มีความเป็นไปได้คือ "ขาด" (deficient) ไม่ก็ "เกิน" (abundant)

ฟังก์ชันหลายฟังก์ชันเกี่ยวกับการการหารจำนวนเต็มเป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ (multiplicative function) ยกตัวอย่างเช่น
* ฟังก์ชัน d:N \rightarrow N กำหนดโดย d (n) = จำนวนของตัวหารบวกทั้งหมดของ *n*
* ฟังก์ชัน \sigma: N \rightarrow N กำหนดโดย \sigma (n) = ผลบวกของตัวหารบวกทั้งหมดของ *n*

## ดูเพิ่ม
* ตารางตัวประกอบเฉพาะ — ตารางของตัวประกอบเฉพาะตั้งแต่ 1-1000
* ตารางตัวหาร — ตารางของตัวหารที่เป็นจำนวนเฉพาะและไม่เป็นจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 1-1000

หมวดหมู่:ทฤษฎีจำนวนมูลฐาน
หมวดหมู่:เลขคณิตมูลฐาน