สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส

thumb| ชีวลักษณ์ (Animation) สาธิตค่าสามค่าที่น้อยที่สุดของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส คือ
**สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส** (อังกฤษ: Pythagorean triple) ประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกสามจำนวน คือ ,  และ  โดยที่  สามสิ่งอันดับดังกล่าวนี้มักถูกเขียนเป็น  ซึ่งตัวอย่างที่รู้จักกันดี คือ  ถ้า  เป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส แล้วจะได้  ซึ่งจะมี  เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ โดยถ้ารูปสามเหลี่ยมมีความยาวด้านเท่ากับค่าของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสแล้วจะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งเรียกว่า **รูปสามเหลี่ยมพีทาโกรัส**

**ปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส** (primitive Pythagorean triple) คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน ,  และ  เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ (coprime) ซึ่งกล่าวคือ ไม่มีตัวประกอบร่วมนอกจาก 1 และ -1 เช่น  เป็นปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส ซึ่งในขณะที่  ไม่เป็นเนื่องจากมีตัวประกอบร่วมนอกจาก 1 คือ 2 และสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสทุกอันสามารถย่อ/ขยาย ให้เป็นปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสที่มีเอกลักษณ์ได้ โดยการหาร  ด้วยตัวหารร่วมมาก (greatest common divisor) ซึ่งในทางกลับกัน สามสิ่งอันดับพีทาโกรัสทุกอันสามารถหาได้โดยการคูณองค์ประกอบของปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสด้วยจำนวนเต็มบวก

ชื่อของสามสิ่งอันดับของพีทาโกรัสนั้นมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagorean theorem) ซึ่งอธิบายว่ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากทุกรูปนั้นมีความความสัมพันธ์ระหว่างด้านประกอบมุมฉากทั้งสองด้านและด้านตรงข้ามมุมฉาก ตามสูตร a^2+b^2=c^2 ดังนั้นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสสามอธิบายความยาวด้านทั้งสามที่เป็นจำนวนเต็มของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม จะไม่อยู่ในรูปของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว a=b=1 และ c=\sqrt2 ซึ่งรูปสามเหลี่ยมนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่ (1,1,\sqrt2) ไม่เป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสเนื่องจากรากที่สองของสองไม่เป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะ อีกเหตุผลหนึ่งคือ 1 และ \sqrt2  ไม่มีตัวคูณร่วมที่เป็นจำนวนเต็มเพราะ \sqrt2 เป็นจำนวนอตรรกยะ

สามสิ่งอันดับพีทาโกรัสนั้นเป็นที่รู้จักกันตั้งแต่ยุคโบราณ รายงานที่เก่าที่สุดที่มีการบันทึกมาจาก Plimpton 322 ซึ่งเป็นแผ่นจารึกดินเหนียวของชาวบาบิโลเนียที่มีอายุประมาณปี 1800 ก่อนคริสตกาลที่ถูกเขียนด้วยระบบเลขฐานหกสิบ (sexagesimal)

เมื่อหาคำตอบในรูปของจำนวนเต็ม สมการ  คือ สมการไดโอเฟนไทน์ (Diophantine equation) ดังนั้นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในการหาคำตอบที่เก่าแก่ที่สุดที่รู้จักกันในชื่อของ สมการไม่เชิงเส้นไดโอเฟนไทน์ (nonlinear Diophantine equation)

## ตัวอย่าง
มีค่าของปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสจากจำนวนนับถึงเลข 100 มีทั้งหมด 16 ค่า ได้แก่

ค่าของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสอื่น ๆ เช่น (6, 8, 10) ไม่อยู่ในรายชื่อ เนื่องจากไม่เป็นค่าปฐมฐาน เพราะ (6, 8, 10) เป็นพหุคูณของค่าของปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส (3, 4, 5)

และค่าเหล่านี้คือค่าของปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสจากจำนวนนับถึงเลข 300 ได้แก่

## เชิงอรรถและรายการอ้างอิง

### เชิงอรรถ


### รายการอ้างอิง
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## แหล่งข้อมูลอื่น

* Clifford Algebras and Euclid's Parameterization of Pythagorean triples
* Curious Consequences of a Miscopied Quadratic
* Discussion of Properties of Pythagorean triples, Interactive Calculators, Puzzles and Problems
* Generating Pythagorean Triples Using Arithmetic Progressions
*  
* Interactive Calculator for Pythagorean Triples
* The negative Pell equation and Pythagorean triples
* Parameterization of Pythagorean Triples by a single triple of polynomials
* 
* Pythagorean Triples and the Unit Circle, chap. 2–3, in "A Friendly Introduction to Number Theory" by Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 
* Pythagorean Triples at cut-the-knot Interactive Applet showing unit circle relationships to Pythagorean Triples
* Pythagorean Triplets
* The Remarkable Incircle of a Triangle
* Solutions to Quadratic Compatible Pairs in relation to Pythagorean Triples
* Theoretical properties of the Pythagorean Triples and connections to geometry
* The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples at cut-the-knot
* Weisstein, Eric W., "Pythagorean Triple", MathWorld
หมวดหมู่:ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
หมวดหมู่:รูปสามเหลี่ยม
หมวดหมู่:สมการ