ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

**ฟังก์ชันตรีโกณมิติ** () เป็นฟังก์ชันของมุม ซึ่งมีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและปรากฏการณ์ในลักษณะเป็นคาบ ฟังก์ชันอาจนิยามด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย หรือนิยามในรูปทั่วไปเช่น อนุกรมอนันต์ หรือสมการเชิงอนุพันธ์ รูปสามเหลี่ยมที่นำมาใช้จะอยู่ในระนาบแบบยุคลิด ดังนั้น ผลรวมของมุมทุกมุมจึงเท่ากับ 180º เสมอ นอกเหนือจากการใช้งานทั่วไปในคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติยังถูกใช้งานอย่างกว้างขวางในสาขาวิชาเชิงปริมาณ ตัวอย่างเช่น ฟิสิกส์หรือวิทยาการคอมพิวเตอร์

ในปัจจุบัน มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ 6 ฟังก์ชันที่นิยมใช้กันดังตารางข้างล่าง (สี่ฟังก์ชันสุดท้าย*นิยาม*ด้วยความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอื่น แต่ก็สามารถนิยามด้วยเรขาคณิตได้)





ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันเหล่านี้ อยู่ในบทความเรื่อง เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

## นิยามจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

right|framed|รูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีมุมหนึ่งมีขนาด 90&deg; (&pi;/2 เรเดียน) ในที่นี้คือ C ส่วนมุม A กับ B นั้นเปลี่ยนแปลงได้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านและมุมภายในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุม *A* เราจะกำหนดให้มุมใดมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นมุม *A*

เรียกชื่อด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมตามนี้

* ด้าน*ตรงข้ามมุมฉาก * (hypotenuse) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก หรือเป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในที่นี้คือ **h**
* ด้าน*ตรงข้าม* (opposite side) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่เราสนใจ ในที่นี้คือ **a**
* ด้าน*ประชิด* (adjacent side) คือด้านที่อยู่ติดกับมุมที่เราสนใจและมุมฉาก ในที่นี้คือ **b**

จะได้

#**ไซน์** ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ
#:sin(*A*) = ข้าม/ฉาก = **a**/**h**
#**โคไซน์** ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ
#:cos(*A*) = ชิด/ฉาก = **b**/**h**
#**แทนเจนต์** ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านประชิด ในที่นี้คือ
#:tan(*A*) = ข้าม/ชิด = **a**/**b**
#**โคซีแคนต์** csc(*A*) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ sin(*A*) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านตรงข้าม
#:csc(*A*) = ฉาก/ข้าม = **h**/**a**
#**ซีแคนต์** sec(*A*) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ cos(*A*) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านประชิด
#:sec(*A*) = ฉาก/ชิด = **h**/**b**
#**โคแทนเจนต์** cot(*A*) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ tan(*A*) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้าม
#:cot(*A*) = ชิด/ข้าม = **b**/**a**

## นิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย

[thumb|right|300px|[วงกลมหนึ่งหน่วย]]

ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้ง 6 ฟังก์ชัน สามารถนิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเป็นวงกลมที่มีรัศมียาว 1 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยในการคำนวณ และหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกและลบได้ ไม่ใช่แค่ 0 ถึง &pi;/2 เรเดียนเท่านั้น สมการของวงกลมหนึ่งหน่วยคือ:
: x^2 + y^2 = 1 \,

จากรูป เราจะวัดมุมในหน่วยเรเดียน โดยให้มุมเป็นบวกในทิศทวนเข็มนาฬิกา และมุมเป็นลบในทิศตามเข็มนาฬิกา ลากเส้นให้ทำมุม &theta; กับแกน *x* ด้านบวก และตัดกับวงกลมหนึ่งหน่วย จะได้ว่าพิกัด *x* และ *y* ของจุดตัดนี้จะเท่ากับ cos &theta; และ sin &theta; ตามลำดับ เหตุผลเพราะว่ารูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นนั้น จะมีความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวเท่ากับรัศมีวงกลม นั่นคือยาวเท่ากับ 1 หน่วย เราจะได้ sin &theta; = *y*/1 และ cos &theta; = *x*/1 วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยให้เราหากรณีที่สามเหลี่ยมมีความสูงเป็นอนันต์ (เช่น มุม &pi;/2 เรเดียน) โดยการเปลี่ยนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก แต่ด้านตรงข้ามมุมฉากยังยาวเท่ากับ 1 หน่วย เท่าเดิม

right|thumb|300px|ฟังก์ชัน f(x) = sin(x) และ f(x) = cos(x) ที่วาดบนระนาบคาร์ทีเซียน
สำหรับมุมที่มากกว่า 2&pi; หรือต่ำกว่า −2&pi; เราสามารถวัดมุมได้ในวงกลม ด้วยวิธีนี้ ค่าไซน์และโคไซน์จึงเป็นฟังก์ชันเป็นคาบที่มีคาบเท่ากับ 2&pi;:

:\sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right)
:\cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right)

เมื่อ &theta; เป็นมุมใด ๆ และ k เป็นจำนวนเต็มใด ๆ

คาบที่เป็นบวกที่*เล็กที่สุด*ของฟังก์ชันเป็นคาบ เรียกว่า *คาบปฐมฐาน*ของฟังก์ชัน คาบปฐมฐานของไซน์, โคไซน์, ซีแคนต์ หรือโคซีแคนต์ จะเท่ากับวงกลมหนึ่งวง นั่นคือเท่ากับ 2&pi; เรเดียน หรือ 360 องศา คาบปฐมฐานของแทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ จะเท่ากับครึ่งวงกลม นั่นคือเท่ากับ &pi; เรเดียน หรือ 180 องศา

จากข้างบนนี้ ค่าไซน์และโคไซน์ถูกนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยโดยตรง แต่สี่ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เหลือจะถูกนิยามโดย

:\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
:\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}
:\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
:\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

right|thumb|333px|ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน''ทั้งหมด'' สามารถนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยได้โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด ''O''
ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน*ทั้งหมด* สามารถนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยได้โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด *O* (ตามรูปทางขวา) ซึ่งคล้ายกับการนิยามเชิงเรขาคณิตที่ใช้กันมาในสมัยก่อน ให้ *AB* เป็นคอร์ดของวงกลม ซึ่ง &theta; เป็นครึ่งหนึ่งของมุมที่รองรับคอร์ดนั้น จะได้
* sin(&theta;) คือ ความยาว *AC* (ครึ่งหนึ่งของคอร์ด) นิยามนี้เริ่มใช้โดยชาวอินเดีย
* cos(&theta;) คือระยะทางตามแนวนอน *OC*
* versin(&theta;) = 1 − cos(&theta;) คือ ความยาว *CD*
* tan(&theta;) คือ ความยาวของส่วน *AE* ของเส้นสัมผัสที่ลากผ่านจุด *A* จึงเป็นที่มาของคำว่า*[[แทนเจนต์]]*นั่นเอง (tangent = สัมผัส)
* cot(&theta;) คือ ส่วนของเส้นสัมผัสที่เหลือ คือความยาว *AF*
* sec(&theta;) = *OE* และ
* csc(&theta;) = *OF* เป็นส่วนของเส้นซีแคนต์ (ตัดวงกลมที่จุดสองจุด) ซึ่งสามารถมองว่าเป็นภาพฉายของ *OA* ตามแนวเส้นสัมผัสที่จุด *A* ไปยังแกนนอนและแกนตั้ง ตามลำดับ
* exsec(&theta;) = *DE* = sec(&theta;) − 1 (ส่วนของซีแคนต์ด้านนอก)
ด้วยวิธีสร้างเหล่านี้ ทำให้เห็นภาพฟังก์ชันซีแคนต์และแทนเจนต์ลู่ออก เมื่อ &theta; เข้าใกล้ &pi;/2 (90 องศา) และโคซีแคนต์และโคแทนเจนต์ลู่ออก เมื่อ &theta; เข้าใกล้ศูนย์ (เราสามารถพิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติด้วยรูปภาพได้)

## นิยามด้วยอนุกรม

thumb|right|300px|ฟังก์ชันไซน์ (สีแดง) มีค่าใกล้เคียงกับพหุนามเทย์เลอร์ดีกรี 7 ของมัน (สีเขียว) สำหรับวงกลมที่อยู่บนจุดกำเนิด

โดยการใช้เรขาคณิตและคุณสมบัติของลิมิต เราแสดงได้ว่าอนุพันธ์ของไซน์คือโคไซน์ และอนุพันธ์ของโคไซน์คือค่าลบของไซน์ เราสามารถใช้อนุกรมเทย์เลอร์สำหรับแสดงเอกลักษณ์ต่อไปนี้สำหรับทุกจำนวนจริง *x*:

:\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}

:\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}

เอกลักษณ์เหล่านี้มักใช้เป็น *นิยาม* ของฟังก์ชันไซน์ และโคไซน์
ซึ่งนำไปใช้เป็นจุดเริ่มต้นแบบเข้มของฟังก์ชันตรีโกณมิติ และการประยุกต์ของมัน (เช่น อนุกรมฟูรีเย) เพราะว่ามันมีพื้นฐานอยู่บนระบบจำนวนจริง ไม่ขึ้นกับการตีความทางเรขาคณิตใด ๆ การหาอนุพันธ์ได้และความต่อเนื่องของฟังก์ชันก็มาจากนิยามนี้

## เอกลักษณ์
:*ดูบทความหลักที่ [[เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ]]*

:\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y

:\sin \left(x-y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y

:\cos \left(x+y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y

:\cos \left(x-y\right)=\cos x \cos y + \sin x \sin y

:\sin x+\sin y=2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right) 

:\sin x-\sin y=2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) 

:\cos x+\cos y=2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right)

:\cos x-\cos y=-2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right)\sin \left( \frac{x-y}{2} \right)

:\tan x+\tan y=\frac{\sin \left( x+y\right) }{\cos x\cos y}

:\tan x-\tan y=\frac{\sin \left( x-y\right) }{\cos x\cos y}

:\cot x+\cot y=\frac{\sin \left( x+y\right) }{\sin x\sin y}

:\cot x-\cot y=\frac{-\sin \left( x-y\right) }{\sin x\sin y}

## ดูเพิ่ม
* ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก
* ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
* เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

## ประวัติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ที่ใช้ในปัจจุบันพัฒนามาจากยุคกลาง แต่การศึกษาตรีโกณมิติในยุคแรก ๆ 

สามารถย้อนไปถึงคอร์ดฟังก์ชัน ที่ค้นพบโดย ฮิปปาร์คัส (180 - 125 ก่อนคริสตกาล) และ ปโตเลมี (ค.ศ. 90-165) 

หนังสือฉบับแรกที่มีการใช้ 'sin' 'cos' 'tan' ปรากฏในศตวรรษที่ 16 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส อัลเบิรต์ จีลาด

ในฉบับที่พิมพ์ในปี ค.ศ. 1682 กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ ได้พิสูจน์ว่า sin x ไม่ใช่ ฟังก์ชันพีชคณิต ของ x

## อ้างอิง

หมวดหมู่:ตรีโกณมิติ
หมวดหมู่:ฟังก์ชันพิเศษมูลฐาน