แบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์

thumb|วงโคจรของเรเดียม (แผ่นปลายถึง )

thumb|อิเล็กตรอน 5 ตัวที่มีเลขควอนตัมหลักและเลขควอนตัมเสริมเท่ากัน โคจรไปพร้อมกัน ( หน้า 364)

[thumb|310px|ส่วนขยายของ ซอมเมอร์เฟลด์ ของระบบสุริยะปี ค.ศ. 1913 แบบจำลองของโปร์ของ[อะตอมไฮโดรเจนของโบร์ แสดงให้เห็นการเพิ่มวงโคจรรูปวงรีเพื่ออธิบายโครงสร้างละเอียดของสเปกตรัม]]

**แบบจำลองโปร์-ซอมเมอร์เฟลด์** (เรียกอีกอย่างว่า **แบบจำลองซอมเมอร์เฟลด์** หรือ **ทฤษฎีโปร์-ซอมเมอร์เฟลด์**) เป็นการขยายแบบจำลองของ นิลส์ โปร์ เพื่อให้วงโคจรของอิเล็กตรอนรอบนิวเคลียสของอะตอมเป็นวงรีได้ ทฤษฎีโปร์-ซอมเมอร์เฟลด์ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์ชาวเดนมาร์ก นิลส์ โปร์ และนักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน อาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ให้เหตุผลว่าหากวงโคจรของอิเล็กตรอนสามารถเป็น วงรี แทนจะเป็นวงกลม พลังงานของอิเล็กตรอนก็จะเท่ากัน ยกเว้นในกรณีที่มีสนามแม่เหล็ก ซึ่งนำไปสู่สิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าการเสื่อมของควอนตัม

แบบจำลองโปร์-ซอมเมอร์เฟลด์เพิ่มเงื่อนไขของโมเมนตัมเชิงมุมควอนตาในแบบจำลองของโปร์ โดยเพิ่มการควอนตาเชิงรัศมี (เงื่อนไขที่เสนอโดย วิลเลียม วิลสัน เป็นที่รู้จักในชื่อเงื่อนไขการควอนตาแบบวิลสัน-ซอมเมอร์เฟลด์) :

: 
\int_0^T p_r \, dq_r = n h,


โดยที่ *p<sub>r</sub>* คือโมเมนตัมเชิงรัศมีที่สอดคล้องกับพิกัด *q* ซึ่งเป็นตำแหน่งตามแนวรัศมี และ *T* คือช่วงเวลาเต็มของหนึ่งวงโคจร การอินทิเกรตนี้คือ การกระทำ ของ พิกัดการกระทำ-มุม เงื่อนไขนี้ซึ่งแนะนำโดยหลักการโต้ตอบเป็นเพียงเงื่อนไขเดียวที่เป็นไปได้ เนื่องจากเลขควอนตัมเป็นค่าคงที่อะเดียแบติก

## ประวัติศาสตร์

ในปี ค.ศ. 1913 นิลส์ โบร์ ได้แสดงพื้นฐานของหลักการที่ภายหลังถูกนิยามเป็น หลักการโต้ตอบ และใช้มันในการสร้าง แบบจำลอง ของ อะตอมไฮโดรเจน ซึ่งอธิบายถึง สเปกตรัมเส้น ในอีกไม่กี่ปีถัดมา อาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ ได้ขยายกฎควอนตัมไปยังระบบที่สามารถแยกแยะได้ โดยใช้หลักการของ การไม่เปลี่ยนแปลงของปริมาณอดิอาบาติก ที่แนะนำโดย เฮนดริก ลอเรนซ์ และ อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ซอมเมอร์เฟลด์ได้มีบทบาทสำคัญ โดยการทำให้ *z*-component ของ โมเมนตัมเชิงมุม ถูกควอนตัม ซึ่งในยุคควอนตัมเก่าถูกเรียกว่า "ควอนตัมเชิงทิศทาง" (เยอรมัน: *Richtungsquantelung*) สิ่งนี้ทำให้วงโคจรของอิเล็กตรอนเป็นรูปวงรีแทนที่จะเป็นวงกลม และแนะนำแนวคิดของการสลายตัวทางควอนตัม ทฤษฎีนี้จะอธิบาย ปรากฏการณ์เซมัน ได้อย่างถูกต้อง ยกเว้นในเรื่องของ สปิน ซอมเมอร์เฟลด์ได้สร้างแบบจำลองที่ใกล้เคียงกับภาพควอนตัมกลศาสตร์สมัยใหม่มากกว่าแบบจำลองของบอร์

ในทศวรรษ ค.ศ. 1950 โจเซฟ เคลเลอร์ ได้ปรับปรุงการควอนตัมแบบ โบร์-ซอมเมอร์เฟลด์ โดยใช้การตีความของไอน์สไตน์ในปี ค.ศ. 1917 ซึ่งปัจจุบันเป็นที่รู้จักในชื่อ วิธีการไอน์สไตน์–บริลลูอิน–เคลเลอร์ ในปี ค.ศ. 1971 มาร์ติน กัตซ์วิลเลอร์ ได้พิจารณาว่าวิธีการนี้ใช้ได้เฉพาะกับระบบที่สามารถแยกแยะได้เท่านั้น และได้พัฒนาวิธีการควอนตัมแบบกึ่งคลาสสิกสำหรับ ความโกลาหลของควอนตัม จาก การกำหนดสูตรอินทิกรัลเส้นทาง

## การทำนาย
แบบจำลองของซอมเมอร์เฟลด์ได้ทำนายว่าค่าของโมเมนต์แม่เหล็กของอะตอมที่วัดตามแกนจะมีค่าเฉพาะที่ไม่ต่อเนื่อง ซึ่งดูเหมือนจะขัดแย้งกับสมมาตรเชิงการหมุน แต่ได้รับการยืนยันจากการทดลอง การทดลองสเติร์น–เกอร์ลาช นี่เป็นก้าวสำคัญในการพัฒนากลศาสตร์ควอนตัม นอกจากนี้ยังอธิบายถึงความเป็นไปได้ที่ ระดับพลังงาน ของอะตอมจะแตกออกเนื่องจาก สนามแม่เหล็ก (เรียกว่า ผลซีแมน) วอลเธอร์ คอสเซล ได้ร่วมงานกับโปร์และซอมเมอร์เฟลด์ในแบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์ของอะตอม โดยแนะนำอิเล็กตรอนสองตัวในชั้นแรกและแปดตัวในชั้นที่สอง

## ปัญหา
แบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์มีความไม่สอดคล้องกันโดยพื้นฐานและนำไปสู่พาราดอกซ์หลายประการ เลขควอนตัมแม่เหล็ก วัดการเอียงของระนาบออร์บิทัลสัมพันธ์กับระนาบ *xy* ซึ่งสามารถรับค่าได้เพียงไม่กี่ค่าที่แยกจากกัน ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ชัดเจนว่าอะตอมสามารถหมุนไปในทิศทางต่าง ๆ ตามพิกัดได้โดยไม่มีข้อจำกัด ซอมเมอร์เฟลด์ควอนตัมสามารถทำได้ในพิกัดแคนอนิคัลที่แตกต่างกันและบางครั้งให้คำตอบที่แตกต่างกัน การรวมการแก้ไขจากการแผ่รังสีเป็นเรื่องยาก เนื่องจากต้องการการหาพิกัดแอ็คชัน-มุมสำหรับระบบแผ่รังสี/อะตอมที่รวมกัน ซึ่งเป็นเรื่องยากเมื่อการแผ่รังสีสามารถหลุดออกไปได้ ทฤษฎีทั้งหมดไม่ขยายไปสู่การเคลื่อนที่ที่ไม่สามารถรวมได้ ซึ่งหมายความว่าหลายระบบไม่สามารถได้รับการพิจารณาแม้แต่ในหลักการ ในที่สุด แบบจำลองนี้ก็ถูกแทนที่ด้วยการปฏิบัติที่เป็นกลศาสตร์ควอนตัมสมัยใหม่ของอะตอมไฮโดรเจน ซึ่งครั้งแรกถูกเสนอโดย ว็อล์ฟกัง เพาลี ในปี ค.ศ. 1925 โดยใช้ กลศาสตร์เมทริกซ์ของไฮเซนเบิร์ก ภาพปัจจุบันของอะตอมไฮโดรเจนอิงจาก วงโคจรอะตอม ของ สมการชเรอดิงเงอร์ ซึ่ง แอร์วีน ชเรอดิงเงอร์ พัฒนาขึ้นในปี 1926

อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ได้หมายความว่าแบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์ไม่มีความสำเร็จ การคำนวณที่อิงจากแบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์สามารถอธิบายปรากฏการณ์สเปกตรัมอะตอมที่ซับซ้อนได้อย่างแม่นยำ ตัวอย่างเช่น ถึงการเบี่ยงเบนลำดับแรก ทฤษฎีการรบกวน แบบจำลองโปร์และกลศาสตร์ควอนตัมทำการคาดการณ์ที่เหมือนกันสำหรับการแยกบรรทัดสเปกตรัมใน เอฟเฟกต์สตาร์ค อย่างไรก็ตาม ในการเบี่ยงเบนลำดับที่สูงขึ้น แบบจำลองโปร์และกลศาสตร์ควอนตัมมีความแตกต่างกัน และการวัดผลสตาร์กภายใต้ความแรงของสนามสูงช่วยยืนยันความถูกต้องของกลศาสตร์ควอนตัมเหนือแบบจำลองโปร์ ทฤษฎีที่ครอบงำเบื้องหลังความแตกต่างนี้อยู่ที่รูปทรงของวงโคจรของอิเล็กตรอน ซึ่งแตกต่างกันไปตามสถานะพลังงานของอิเล็กตรอน

เงื่อนไขการควอนตัมของโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์นำไปสู่คำถามในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เงื่อนไขการควอนตัมเชิงเซมิคลาสสิคที่สอดคล้องกันต้องการโครงสร้างประเภทหนึ่งบนพื้นที่เฟส ซึ่งกำหนดข้อจำกัดทางทอพอโลยีเกี่ยวกับประเภทของมานิโฟลด์ซิมเพลติกที่สามารถควอนตัมได้ โดยเฉพาะ รูปแบบซิมเพลติกควรเป็น รูปทรงโค้ง ของ การเชื่อมต่อ ของ ชาร์ลส์ เฮอร์ไมต์ มัดเส้นตรง, ซึ่งเรียกว่า การหาปริมาตรล่วงหน้า

## การโคจรสัมพัทธภาพ

อาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ได้พัฒนาวิธีการแก้ปัญหาสัมพัทธภาพของระดับพลังงานอะตอม การเริ่มต้นการพัฒนานี้ ด้วยสมการสัมพัทธภาพสำหรับพลังงานใน ศักย์ไฟฟ้า

:W={m_\mathrm{0} c^2} \left( \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right) - k \frac{Z e^2}{r}

หลังจากการแทนที่ u = \frac{1}{r} เราจะได้

:\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = 1 + \frac{W}{m_\mathrm{0} c^2} + k \frac{Z e^2}{m_\mathrm{0} c^2} u

สำหรับโมเมนตัม p_\mathrm{r} = m \dot{r}, p_\mathrm{\varphi} = m r^2 \dot{\varphi} และอัตราส่วนของ\frac{p_\mathrm{r}}{p_\mathrm{\varphi}} = - \frac{du}{d \varphi} สมการการเคลื่อนที่คือ (ดู สมการบิเนต์)

:\frac{d^2 u}{d \varphi ^2} = - \left( 1 - k^2 \frac{Z^2 e^4}{c^2 p_\mathrm{\varphi}^2} \right) u + \frac{m_\mathrm{0} kZe^2}{p_\mathrm{\varphi}^2} \left( 1+\frac{W}{m_\mathrm{0} c^2} \right) = - \omega_\mathrm{0}^2 u + K 

โดยมีคำตอบเป็น

: u = \frac{1}{r} = K + A \cos \omega_\mathrm{0} \varphi 

การเคลื่อนที่มุมของ จุดใกล้และไกลที่สุด ต่อการหมุนรอบหนึ่งรอบคือ

: \varphi_\mathrm{s} = 2 \pi \left(\frac{1}{\omega_\mathrm{0}} - 1\right) \approx 4 \pi^3 k^2 \frac{Z^2 e^4}{c^2 n_\mathrm{\varphi}^2 h^2} 

โดยใช้เงื่อนไขควอนตัม

: \oint p_\mathrm{\varphi} \, d \varphi = 2 \pi p_\mathrm{\varphi} = n_\mathrm{\varphi} h

และ

: \oint p_\mathrm{r} \, d r = p_\mathrm{\varphi} \oint \left( \frac{1}{r} \frac{dr}{d \varphi} \right)^2 \, d \varphi = n_\mathrm{r} h

เราจะได้รับพลังงาน

: \frac{W}{m_\mathrm{0} c^2} = \left( 1 + \frac{\alpha ^2 Z^2}{\left(n_\mathrm{r} + \sqrt{n_\mathrm{\varphi} ^2 - \alpha ^2 Z^2} \right)^2} \right) ^{-1/2} - 1

โดยที่ \alpha คือ ค่าคงที่โครงสร้างละเอียด คำตอบนี้ (โดยใช้ การแทนที่สำหรับตัวเลขควอนตัม) เป็นไปได้เทียบเท่ากับคำตอบของ สมการของดิแรก อย่างไรก็ตาม คำตอบทั้งสองนี้ล้มเหลวในการคาดการณ์ การเลื่อนแลมบ์

## ดูเพิ่ม

* แบบจำลองของโปร์
* ทฤษฎีควอนตัมเก่า

## อ้างอิง

หมวดหมู่:ฟิสิกส์อะตอม
หมวดหมู่:ฟิสิกส์ไฮโดรเจน
หมวดหมู่:ฟิสิกส์ควอนตัมพื้นฐาน
หมวดหมู่:ประวัติศาสตร์ฟิสิกส์
หมวดหมู่:นิลส์ โปร์
หมวดหมู่:อาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์
หมวดหมู่:ทฤษฎีควอนตัมเก่า