เมทริกซ์ (คณิตศาสตร์)

ในคณิตศาสตร์ **เมทริกซ์** () คือตารางสี่เหลี่ยมที่แต่ละช่องบรรจุจำนวนหรือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สามารถนำมาบวกและคูณกับตัวเลขได้

เราสามารถใช้เมทริกซ์แทนระบบสมการเชิงเส้น การแปลงเชิงเส้น และใช้เก็บข้อมูลที่ขึ้นกับตัวแปรต้นสองตัว เราสามารถบวก คูณ และแยกเมทริกซ์ออกเป็นผลคูณของเมทริกซ์ได้หลายรูปแบบ เมทริกซ์เป็นแนวความคิดที่มีความสำคัญยิ่งของพีชคณิตเชิงเส้น โดยทฤษฎีเมทริกซ์เป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นที่เน้นการศึกษาเมทริกซ์

มีการประยุกต์ใช้เมทริกซ์ในหลากหลายสาขาของวิทยาศาสตร์ ในสาขาฟิสิกส์มีการประยุกต์ใช้เมทริกซ์ในทุก ๆ แขนงของฟิสิกส์ที่มีอยู่ เช่น กลศาสตร์, ทัศนศาสตร์, แม่เหล็กไฟฟ้า, กลศาสตร์ควอนตัม หรือ ไฟฟ้ากระแสควอนตัม มีการใช้ทฤษฎีเมทริกซ์ในการศึกษาปรากฎการณ์ทางฟิสิกส์ เช่น การเคลื่อนที่ของวัตถุ ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์มีการประยุกต์ใช้เมทริกซ์ในการทำคอมพิวเตอร์กราฟฟิก โดยใช้สร้างโมเดล 3 มิติ เพื่อแสดงผลบนหน้าจอคอมพิวเตอร์ที่เป็น 2 มิติ

ในทางสถิติศาสตร์ มีการใช้เมทริกซ์เฟ้นสุ่มในการอธิบายถึงชุด (set) ของความน่าจะเป็น อาทิ มีการประยุกต์ใช้ร่วมกับอัลกอริทึมแบบ PageRank ในการเรียงหน้าผลการค้นหาในเว็บไซต์เสิร์จเอนจินอย่าง Google ในการศึกษาแคลคูลัส มีการใช้แคลคูลัสเชิงเมทริกซ์ (Matrix calculus) ในการวิเคราะห์อนุพันธ์ (Derivative) และฟังก์ชันเลขชี้กำลังในมิติที่อยู่สูงขึ้นไป (Higher dimension) นอกจากนั้นยังมีการประยุกต์ใช้เมทริกซ์ในการอธิบายระบบความสัมพันธ์ทางเศรษฐกิจ

## นิยาม
เมทริกซ์ คือกลุ่มของจำนวนหรือสมาชิกของริงใด ๆ เขียนเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือจัตุรัส กล่าวคือเรียงเป็นแถวในแนวนอน และเรียงเป็นแถวในแนวตั้ง เรามักเขียนเมทริกซ์เป็นตารางที่ไม่มีเส้นแบ่งและเขียนวงเล็บคร่อมตารางไว้ (ไม่ว่าจะเป็นวงเล็บโค้งหรือวงเล็บเหลี่ยม) เช่น
:\begin{bmatrix}
1 & 56 & 3 \\
0 & 15 & 4 \\
5 & -31 & -4 \end{bmatrix}
เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า *แถว* เรียกแถวในแนวตั้งของเมทริกซ์ว่า *หลัก* และเรียกจำนวนแต่ละจำนวนเในเมทริกซ์ว่า *สมาชิก* ของเมทริกซ์ การกล่าวถึงสมาชิกของเมทริกซ์ จะต้องระบุตำแหน่งให้ถูกต้อง เช่น จากตัวอย่างข้างบน
: สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 3 คือเลข 4
: สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 2 คือเลข 15
: สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 3 หลักที่ 1 คือเลข 5

เราเรียกเมทริกซ์ที่มี m แถว และ n หลัก เรียกว่า *เมทริกซ์ <math> m \times  n </math>* เราเรียกจำนวน m และ n ว่า *มิติ* หรือ *ขนาด* ของเมทริกซ์

เราใช้สัญลักษณ์ A = (a_{i,j})_{m \times n} เพื่อหมายถึง เมทริกซ์ A ซึ่งมี m แถว และ n หลัก โดยที่ a_{i,j} (หรือ a_{ij}) หมายถึง สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่ง แถว i และ หลัก j ของเมทริกซ์
:A=A_{m \times n}=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & \cdots & a_{2n}\\
\vdots &        & \ddots &        & \vdots\\
\vdots &        &        & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & \cdots & a_{mn}\\
\end{bmatrix}

## การกระทำระหว่างเมทริกซ์
### การบวก

ให้ A = (a_{i,j})_{m \times n} และ B = (b_{i,j})_{m \times n} เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันสองเมทริกซ์ เราสามารถนิยาม *ผลรวม* หรือ *ผลบวก* A+B ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด m \times n ที่คำนวณโดยการบวกสมาชิกที่มีตำแหน่งตรงกัน กล่าวคือ หาก C = (c_{i,j})_{m \times n} = A+B  แล้ว
c_{i,j} = a_{i,j} + b_{i,j}
ยกตัวอย่างเช่น

:
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    7 & 5 & 0 \\
    2 & 1 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 & 2+5 \\
    1+7 & 0+5 & 0+0 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    8 & 5 & 0 \\
    3 & 3 & 3
  \end{bmatrix}


การบวกเมทริกซ์อีกแบบหนึ่งที่เป็นที่นิยมน้อยกว่าคือการบวกตรง

### การคูณด้วยสเกลาร์
กำหนดเมทริกซ์ A = (a_{i,j})_{m \times n} และจำนวน c เราสามารถนิยาม *ผลคูณสเกลาร์* cA ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด m \times n ที่คำนวณโดยการนำ c ไปคูณสมาชิกแต่ละตัวของ A กล่าวคือ หาก B = (b_{i,j})_{m \times n} = cA แล้ว b_{i,j} = ca_{i,j} ยกตัวอย่างเช่น

:2
  \begin{bmatrix}
    1 & 8 & -3 \\
    4 & -2 & 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\
    2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2 & 16 & -6 \\
    8 & -4 & 10
  \end{bmatrix}


จะเห็นว่า ปฏิบัติการทั้งสองข้างต้น (การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์) ช่วยให้เราสามารถมองเมทริกซ์ขนาด m \times n ว่าเป็นเวกเตอร์ที่มีมิติ mn ด้วยเหตุนี้ เซตของเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากับจึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์ชนิดหนึ่ง

### การคูณ
ถ้า A = (a_{i,j})_{m \times n} และ B = (b_{i,j})_{n \times p} เป็นเมทริกซ์สองเมทริกซ์โดยที่จำนวนหลักของ A เท่ากับจำนวนแถวของ B แล้ว เราสามารถนิยาม *ผลคูณ* AB ว่าเป็นเมทริกซ์ C = (c_{i,j})_{m \times p} โดยที่
: c_{i,j} = a_{i,1} b_{1,j} + a_{i,2} b_{2,j} + \cdots + a_{i,n} b_{n,j} = \sum_{k=1}^n a_{i,k} b_{k,j}
กล่าวคือสมาชิกในแถว i หลัก j ของผลคูณ AB คำนวณได้จากการนำสมาชิกของหลัก i ของ A และสมาชิกของคอลัมน์ B ในตำแหน่ง "เดียวกัน" มาคูณกัน แล้วนำผลคูณทั้ง n ผลคูณนั้นมาบวกกัน

การคูณนี้อาจทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นถ้ามองเมทริกซ์เป็น j เวกเตอร์ของเวกเตอร์ โดยถ้าเราให้ a_i = (a_{i,1}, a_{i,2}, \ldots, a_{i,n})  เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในแถว i ของ A และให้ b_j = (b_{1,j}, b_{2,j}, \ldots, b_{n,j})  เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในหลัก j ของ B แล้ว เราจะได้ว่า c_{i,j} = a_i \cdot b_j เมื่อ a_i \cdot b_j คือผลคูณจุดของ a_i และ b_j เช่น
:ให้  A = 
  \begin{bmatrix}
    a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\
    a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\
  \end{bmatrix} = 

  \begin{bmatrix}
    a_1 \\
    a_2 \\
  \end{bmatrix}
 และ   
B = 
  \begin{bmatrix}
    b_{1,1} & b_{1,2} \\
    b_{2,1} & b_{2,2} \\
    b_{3,1} & b_{3,2} \\
  \end{bmatrix} = 

  \begin{bmatrix}
    b_1 & b_2 \\
  \end{bmatrix}


:แล้ว  A \times B = 

  \begin{bmatrix}
    a_1 \cdot b_1  &  a_1 \cdot b_2 \\
    a_2 \cdot b_1  &  a_2 \cdot b_2 \\
  \end{bmatrix}

และ
:
  \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 2 \\
    -1 & 3 & 1 \\
  \end{bmatrix}
\times
  \begin{bmatrix}
    3 & 1 \\
    2 & 1 \\
    1 & 0
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
     (1 \times 3  +  0 \times 2  +  2 \times 1) & (1 \times 1   +   0 \times 1   +   2 \times 0) \\
    (-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1) & (-1 \times 1   +   3 \times 1   +   1 \times 0) \\
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    5 & 1 \\
    4 & 2 \\
  \end{bmatrix}


การคูณเมทริกซ์มีสมบัติต่อไปนี้
* *สมบัติการเปลี่ยนหมู่*: (AB) C = A(BC)  สำหรับเมทริกซ์ A ขนาด k \times m, B ขนาด m \times n, และ C ขนาด n \times p ใด ๆ ("สมบัติการเปลี่ยนหมู่")
* *สมบัติการแจกแจงทางขวา*: (A+B) C = AC+BC สำหรับเมทริกซ์ A และ B ขนาด m \times n และ C ขนาด n \times p ใด ๆ
* *สมบัติการแจกแจงทางซ้าย*: C(A+B) = CA+CB สำหรับเมทริกซ์ A และ B ขนาด m \times n และ C ขนาด k \times m ใด ๆ

**คำเตือน:** การคูณเมทริกซ์นั้นไม่เหมือนกับการคูณจำนวนโดยทั่วไป เนื่องจากไม่มีสมบัติสลับที่ กล่าวคือ สำหรับเมทริกซ์ A ขนาด m \times n และ B ขนาด n \times p ใด ๆ 
* ถ้า m \neq p แล้ว ผลคูณ BA ไม่มีนิยาม
* แม้ m = p แต่ถ้า m \neq n แล้ว AB เป็นเมทริกซ์ขนาด m \times m ส่วน BA เป็นเมทริกซ์ขนาด n \times n ผลคูณทั้งสองจึงมีค่าไม่เท่ากันอย่างเห็นได้ชัด
* แม้ m = n = p แต่ส่วนมากแล้ว AB มักจะมีค่าไม่เท่ากับ BA ยกตัวอย่างเช่น
: 
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3 & 4\\
5 & 6
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
3 & 4\\
10 & 12
\end{bmatrix}
\neq
\begin{bmatrix}
3 & 8\\
5 & 12
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
3 & 4\\
5 & 6
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 2
\end{bmatrix}


เรากล่าวว่าเมทริกซ์ A *แอนติคอมมิวต์* (anticommute) กับเมทริกซ์ B ถ้า AB = -BA เมทริกซ์ที่แอนติคอมมิวต์ซึ่งกันและกันมีความสำคัญมากในการเป็นตัวแทนของพีชคณิตลีและพีชคณิตคลิฟฟอร์ด

ข้อสังเกต i = แถว หรือ row และ j = แถวตั้ง หรือ column

### การสลับเปลี่ยน

เมทริกซ์สลับเปลี่ยน คือ เมทริกซ์ที่ได้จากการสลับสมาชิก จากแถวเป็นหลัก และจากหลักเป็นแถว ของเมทริกซ์ต้นแบบ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของของเมทริกซ์ **A** ขนาด *m* × *n* คือ **A**T ขนาด *n* × *m* (หรือเขียนอยู่ในรูปแบบ **A**tr, หรือ t**A**, หรือ **A**') ซึ่ง **A**T[ *i*, *j* ] = **A**[ *j*, *i* ] ยกตัวอย่างเช่น
::\begin{bmatrix}
1 & 2  \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3  \\
2 & 4 \end{bmatrix}


## เมทริกซ์จัตุรัส
**เมทริกซ์จัตุรัส **คือเมทริกซ์ที่มีขนาดแถวและหลักเท่ากัน โดยเขียนอยู่ในรูปเมทริกซ์ขนาด *n* × *n* ยกเว้น *n* = 1  

## เมทริกซ์ที่มีลักษณะพิเศษ
* เมทริกซ์เอกลักษณ์ หรือ เมทริกซ์หน่วย **I***<sub>n</sub>* ขนาด *n* คือเมทริกซ์ขนาด *n* × *n* ที่มีตัวเลขบนเส้นทแยงมุมเป็น 1 ซึ่งสมมติให้เส้นทแยงมุมนั้นลากจากสมาชิกบนซ้ายไปยังสมาชิกขวาล่าง (เฉียงลง) ส่วนสมาชิกที่เหลือเป็น 0 ทั้งหมด  มีคุณสมบัติ **MI***n*&nbsp;=&nbsp;**M** และ **I***n***N**&nbsp;=&nbsp; **N** สำหรับทุกๆเมทริกซ์ **M** ขนาด *m* × *n* และเมทริกซ์ **N** ขนาด *n* × *k* เช่นเมื่อ *n* = 3:
:
\mathbf{I}_3 =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

* เมทริกซ์สมมาตร คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ตัวเอง นั่นก็คือ \mathbf{A}^\mathrm{T} = \mathbf{A} หรือ a_{i,j}=a_{j,i} สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j
* เมทริกซ์สมมาตรเสมือน คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวมีเครื่องหมายตรงข้ามจากเดิม นั่นคือ \mathbf{A}^\mathrm{T}=-\mathbf{A}หรือ a_{i,j}=-a_{j,i}สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j
* เมทริกซ์เอร์มีเชียนคือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน และเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของเมทริกซ์นั้นเท่ากับตัวเดิม นั่นหมายความว่าสมาชิกในแถวที่ i หลักที่ j กับสมาชิกในแถวที่ j หลักที่ i จะต้องเป็นสังยุคซึ่งกันและกัน ดังนี้ a_{i,j}=\overline{a}_{j,i} หรือเขียนแทนด้วยการสลับเปลี่ยนสังยุคของเมทริกซ์ จะได้ว่า \mathbf{A}^\ast = \mathbf{A}
* เมทริกซ์โทพลิทซ์ คือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกัน และแนวขนานเส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกันในแต่ละแนว นั่นคือ \,\! a_{i,j}=a_{i+1,j+1}

## อ้างอิง


หมวดหมู่:พีชคณิตเชิงเส้น