ยูเนียน

**ยูเนียน** () หรือ **ส่วนรวม** คือการดำเนินการของเซต เป็นการสร้างเซตใหม่ซึ่งเป็นผลจากการรวมสมาชิกทั้งหมดของเซตต้นแบบเข้าด้วยกัน เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  (คล้ายอักษรตัวใหญ่ U)

## นิยาม
200px|right|thumb|สมมติให้วงกลมสองวงเป็นเซต ''A'' กับ ''B'' พื้นที่สีม่วงคือการยูเนียนของเซตทั้งสอง
สมมติว่าเอกภพสัมพัทธ์ **U** ได้นิยามแล้ว กำหนดให้เซตสองเซต *A* และ *B* เป็นเซตย่อยของ **U** การยูเนียนจะให้ผลเป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกทั้งหมดที่ปรากฏอยู่ใน *A* **หรือ** *B* โดยไม่มีสมาชิกอื่นนอกเหนือจากนี้ นั่นคือ
::A \cup B = \{ x \in \mathbf{U} \, | \, x \in A \lor x \in B \}

หากทั้งสองเซตมีสมาชิกที่แตกต่างกัน นั่นคือสมาชิกของเซต *A* จะไม่ปรากฏในเซต *B* และในทางกลับกันด้วย ผลที่ได้จากการยูเนียนจะเป็นการนำสมาชิกทั้งหมดจากทั้งสองเซตมาใส่รวมกันทันที ตัวอย่างเช่น
::
\begin{align}
A &= \{ 1, 2, 3, 4 \} \\
B &= \{ 5, 6, 7, 8 \} \\
A \cup B &= \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \} \\
\end{align}


ในกรณีที่ทั้งสองเซตมีสมาชิกบางส่วนซ้ำกัน การรวมสมาชิกจะไม่ส่งผลต่อภาวะเชิงการนับ (cardinality) ของเซต เนื่องจากสมาชิกตัวที่ซ้ำกันก็เสมือนมีอยู่เพียงตัวเดียวในเซต เช่นตัวอย่างนี้
::
\begin{align}
A &= \{ 1, 2, 3 \} \\
B &= \{ 2, 3, 4 \} \\
A \cup B &= \{ 1, 2, 3, 4 \} \\
\end{align}


## สมบัติ
ยูเนียนมีสมบัติต่าง ๆ ทางพีชคณิตดังต่อไปนี้
* ยูเนียนมีสมบัติการสลับที่ ดังนั้นลำดับในการยูเนียนเซตจึงเป็นอย่างไรก็ได้
** A \cup B = B \cup A
* ยูเนียนมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ จากตัวอย่างนี้
** (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) = A \cup B \cup C
* สมาชิกเอกลักษณ์ของการยูเนียนคือเซตว่าง
** \varnothing \cup A = A \cup \varnothing = A
* เซตใด ๆ ที่ยูเนียนกับเอกภพสัมพัทธ์ จะได้เอกภพสัมพัทธ์
** \mathbf{U} \cup A = A \cup \mathbf{U} = \mathbf{U}
* ยูเนียนกับอินเตอร์เซกชัน มีสมบัติการแจกแจงซึ่งกันและกัน
** A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \Longleftrightarrow (B \cap C) \cup A = (B \cup A) \cap (C \cup A)
** A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \Longleftrightarrow (B \cup C) \cap A = (B \cap A) \cup (C \cap A)
* ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และส่วนเติมเต็ม มีความสัมพันธ์กันในกฎเดอมอร์แกน
** (A \cup B)^\mathrm{C} = A^\mathrm{C} \cap B^\mathrm{C}
** (A \cap B)^\mathrm{C} = A^\mathrm{C} \cup B^\mathrm{C}

## รูปแบบ
### ยูเนียนจำกัด
โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถดำเนินการยูเนียนบนเซตหลายเซตได้พร้อมกัน เช่นการยูเนียนของเซต *A*, *B*, และ *C* จะประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของ *A*, สมาชิกทั้งหมดของ *B* และสมาชิกทั้งหมดของ *C* โดยไม่มีสมาชิกอื่นที่นอกเหนือจากนี้ นั่นหมายความว่า *x* จะเป็นสมาชิกของเซต  ก็ต่อเมื่อ *x* เป็นสมาชิกของ *A* หรือ *x* เป็นสมาชิกของ *B* หรือ *x* เป็นสมาชิกของ *C*

เนื่องด้วยยูเนียนมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ซึ่งไม่สำคัญว่าจะดำเนินการยูเนียนในลำดับใดก่อน **ยูเนียนจำกัด** จึงหมายถึงการดำเนินการยูเนียนเป็นจำนวนจำกัดของเซตกลุ่มหนึ่ง มิได้หมายความว่าเป็นการยูเนียนของเซตจำกัด

### ยูเนียนไม่จำกัด
อีกแนวคิดหนึ่งคือการยูเนียนเกี่ยวข้องกับกลุ่มของเซต ถ้าให้ **M** คือเซตที่มีสมาชิกเป็นกลุ่มของเซตเหล่านั้น (เซตของเซต) *x* จะเป็นสมาชิกของการยูเนียนของ **M** ก็ต่อเมื่อ มีเซต *A* ซึ่งเป็นสมาชิกของ **M** อย่างน้อยหนึ่งตัว และ *x* ก็เป็นสมาชิกของ *A* เขียนแทนด้วย \bigcup \mathbf{M} หรือ \bigcup_{A\in\mathbf{M}} A ดังนี้
::x \in \bigcup\mathbf{M} \iff \exists A \in \mathbf{M},\ x \in A
การยูเนียนของ **M** ในลักษณะนี้ไม่สำคัญว่า **M** จะมีจำนวนสมาชิก (จำนวนเซต) มากเท่าใด

สัญกรณ์ \bigcup_{i \in I} A_{i} หมายถึงการยูเนียนของกลุ่มเซต *A<sub>i</sub>* ทั้งหมด โดยที่ *i* เป็นสมาชิกของเซตดัชนี *I* ซึ่งเป็นสัญกรณ์แบบเดียวกับการเขียนอนุกรม สำหรับ **ยูเนียนไม่จำกัด** (หรือยูเนียนอนันต์) เซตดัชนี *I* จะเป็นเซตไม่จำกัด เช่นจำนวนธรรมชาติ สามารถเขียนได้ดังนี้
::\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \dots

อินเตอร์เซกชันสามารถแจกแจงได้บนยูเนียนไม่จำกัด
::A \cap \bigcup_{i \in I} B_{i} = \bigcup_{i \in I} (A \cap B_{i})
และยูเนียนไม่จำกัดสามารถผสานเข้ากับอินเตอร์เซกชันไม่จำกัด จนเกิดเป็นกฎนี้ขึ้นมา
::\bigcup_{i \in I} \left( \bigcap_{j \in J} A_{i,j} \right) \subseteq \bigcap_{j \in J} \left( \bigcup_{i \in I} A_{i,j} \right)

## อ้างอิง
* วัชรี กาญจน์กีรติ, *พีชคณิตนามธรรม*. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2551. ISBN 978-974-03-2114-9

## ดูเพิ่ม
* ผลต่างสมมาตร
* อินเตอร์เซกชัน
* ส่วนเติมเต็ม
* การดำเนินการทวิภาควนซ้ำ

## แหล่งข้อมูลอื่น

* Infinite Union and Intersection at ProvenMath De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.

หมวดหมู่:พีชคณิตนามธรรม
หมวดหมู่:พีชคณิต
หมวดหมู่:ทฤษฎีเซต
หมวดหมู่:การดำเนินการทวิภาค