แมร์แซนทวิสเตอร์

**แมร์แซน ทวิสเตอร์** () เป็นขั้นตอนวิธีหนึ่งของตัวสร้างเลขสุ่มเทียม (pseudorandom number generator) ถูกพัฒนาขึ้นในปี 1997 โดยมาโคโตะ มัตซูโมโตะ (Makoto Matsumoto) และทาคูจิ นิชิมูระ (Takuji Nishimura) มีพื้นฐานมาจากความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้นของเมทริกซ์ (Matrix linear recurrence)  ของฟิลด์เลขฐานสอง F2 (binary field) ขั้นตอนวิธีเมอแซนน์ ทวิสเตอร์นี้สามารถหาตัวเลขเชิงสุ่มเทียม (pseudorandom numbers) ได้อย่างรวดเร็วและมีประสิทธิภาพ โดยได้รับการออกแบบมาโดยเฉพาะเพื่อแก้ไขข้อบกพร่องหลายอย่างที่พบในขั้นตอนวิธีเก่า

ชื่อแมร์แซน ทวิสเตอร์ นั้นมาจากช่วงของเลขที่จะสุ่มซึ่งเลือกมาจาก จำนวนเฉพาะแมร์แซน (Mersenne prime) มีแมร์แซน ทวิสเตอร์อย่างน้อย 2 แบบ ที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย แตกต่างกันที่ขนาดของจำนวนเฉพาะแมร์แซนที่ใช้เท่านั้น แมร์แซน ทวิสเตอร์แบบที่ใหม่กว่าและนิยมใช้มากกว่าคือแมร์แซน ทวิสเตอร์ MT19937 มีขนาด 32 บิตเวิร์ด นอกจากนี้ยังมี MT19937-64 ซึ่งเป็นแมร์แซน  ทวิสเตอร์อีกรูปแบบหนึ่งซึ่งมีความยาวขนาด 64 บิตเวิร์ด สำหรับการหาลำดับที่แตกต่างออกไป

แมร์แซน ทวิสเตอร์สำหรับจำนวนเฉพาะแมร์แซนขนาด k บิตเวิร์ดหาตัวเลขแบบเชิงสุ่มได้ในรูปแบบใกล้เคียงกับการกระจายอย่างสม่ำเสมอ (Uniform distribution) ในช่วง 0 ถึง 2k -1 ([0,2k -1])

## การประยุกต์ใช้
ขั้นตอนวิธีในรูปแบบพื้นฐานนั้นไม่เหมาะสมในการใช้ในวิทยาการเข้ารหัสลับ (ไม่เหมือนกับ Blum Blum Shub) จากการสังเกตตัวเลขซ้ำๆจำนวนหนึ่ง (624 ในกรณีของ MT19937) สามารถทำให้สามารถคาดเดาตัวเลขซ้ำๆเหล่านี้ในอนาคตได้ มาโคโตะ มัตซูโมโตะอ้างว่าการเข้ารหัสลับโดยอาศัยแมร์แซน ทวิสเตอร์นั้นมีความเร็ว 1.5 ถึง 2 เท่าของมาตรฐานการเข้ารหัสขั้นสูง (Advanced Encryption Standard) ใน counter mode

อีกหนึ่งปัญหาคือเวลาที่นานในการแปลงสถานะเริ่มต้นที่ไม่ใช่แบบเชิงสุ่ม(เช่นกรณีที่มี 0 หลายตัว) ให้เป็นผลลัพธ์ที่ผ่านการตรวจสอบความสุ่ม (Randomness tests) ขั้นตอนวิธีการสร้างเลขฟิโบนัชชีแบบล้าหลัง (Lagged Fibonacci generator) หรือขั้นตอนวิธีการสร้างความสอดคล้องกันแบบเชิงเส้น (Linear congruential generator) มักจะถูกใช้ในการทำให้แมร์แซน ทวิสเตอร์นั้นมีค่าเริ่มต้นแบบสุ่ม

สำหรับหลายๆโปรแกรมประยุกต์ การใช้งานแมร์แซน  ทวิสเตอร์มักจะเป็นตัวเลือกที่ดีตัวเลือกหนึ่งในการเลือกใช้ขั้นตอนวิธีสำหรับการสร้างตัวเลขเชิงสุ่ม

แมร์แซน  ทวิสเตอร์นั้นถูกออกแบบมาโดยใช้หลักการของขั้นตอนวิธีแบบมอนติคาร์โล (Monte Carlo method) และแบบจำลองทางสถิติอื่นๆเป็นพื้นฐาน เพราะว่านักวิจัยนั้นต้องการตัวเลขที่มีคุณภาพสูง แต่ก็ต้องการประโยชน์จากความเร็วและความสามารถในการนำไปใช้ที่อื่นได้โดยข้อมูลไม่เสียหายและสามารถใช้ได้กับทุกๆที่ด้วย

## ข้อได้เปรียบ
แมร์แซน  ทวิสเตอร์ที่มีการนิยมใช้กันมาก หรือ MT19937 ซึ่งสร้างลำดับของเลขจำนวนเต็มขนาด 32 บิต มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

# MT19937 มีช่วงที่กว้างมาก (219937 − 1) ถึงแม้ว่าช่วงที่กว้างนี้จะไม่สามารถรับประกันคุณภาพของขั้นตอนวิธีสำหรับการสร้างตัวเลขเชิงสุ่ม แต่ช่วงที่แคบ (เช่น 232 ซึ่งใช้มากในซอฟต์แวร์) อาจเป็นปัญหาได้
# MT19937 การกระจาย k (k-distributed) แบบ 32 บิต นั้นมีความแม่นยำทุกๆช่วง 1 ≤ k ≤ 623
# MT19937 ผ่านหลายๆการทดสอบสำหรับความสุ่มทางสถิติ รวมถึงการทดสอบ Diehard tests แต่ไม่ได้ผ่านการทดสอบมั้งหมด

## การกระจาย k
ลำดับของตัวเลขเชิงสุ่ม xi ของเลขจำนวนเต็มขนาด w บิต ช่วงกว้าง P จะถูกนิยามว่าเป็นการกระจาย k (k-distributed) ที่มีความแม่นยำได้ v บิต เมื่อต่อไปนี้เป็นจริง

ให้  truncv(x) เป็นตัวเลขที่ถูกสร้างมาจาก v บิตแรกของ x และพิจารณาช่วงกว้าง P ของเวกเตอร์ขนาด kv บิต

จากนั้นการจัดหมู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมด 2kv รูปแบบ จะเกิดขึ้นเป็นจำนวนครั้งที่เท่ากันในช่วงเวลาหนึ่งๆ ยกเว้นแต่การจัดหมู่ที่เป็น 0 ทั้งหมดซึ่งมีโอกาสเกิดขึ้นน้อยมาก

## ทางเลือก
ขั้นตอนวิธีแมร์แซน  ทวิสเตอร์ได้รับการวิพากษ์วิจารณ์ในด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์ โดยเฉพาะจากจอร์จ มาร์ซากิลา (George Marsaglia) ว่าถึงแม้จะดีในการหาตัวเลขเชิงสุ่มแต่ว่าซับซ้อนในการนำไปใช้งานจริง Marsaglia ได้ยกตัวอย่างของขั้นตอนวิธีสำหรับการหาตัวเลขเชิงสุ่มที่มีความซับซ้อนน้อยกว่าแต่มีช่วงการพิจารณาที่กว้างกว่า ตัวอย่างเช่นขั้นตอนวิธีคูณแบบมีตัวทด (Multiply-with-carry) ซึ่งมีช่วงกว้าง 1033000 ซึ่งเร็วกว่าและมีอัตราการสุ่มเทียบเท่าหรือดีกว่า

อีกหนึ่งประเด็นคือแมร์แซน  ทวิสเตอร์ นั้นละเอียดอ่อนมากโดยเฉพาะกับการตั้งค่าเริ่มต้นที่ไม่ดี และแมร์แซน  ทวิสเตอร์ยังใช้เวลานานในการแก้ไขจากสถานะเริ่มต้นที่มี 0 มากเกินไปให้อยู่ในสถานะที่มีการสุ่มในเกณฑ์ที่ต้องการ ทางเลือกที่ดีกว่าในการแก้ปัญหานี้ได้แก่ WELL(Well equidistributed long-period linear) ซึ่งสามารถแก้ไขปัญหาสถานะเริ่มต้นที่มี 0 มากเกินไปนี้ได้อย่างรวดเร็ว โดยมีประสิทธิภาพที่เท่ากันหรือดีกว่าและมีอัตราการสุ่มที่เท่ากัน

## รายละเอียดของขั้นตอนวิธี
ขั้นตอนวิธีแมร์แซน  ทวิสเตอร์นั้นคือวิธีชิฟท์รีจิสเตอร์ป้อนกลับแบบทั่วไป (Generalised feedback shift register) ซึ่งผ่านการดัดแปลง (twisted GFSR หรือ TGFSR) ของรูปแบบปกติตรรกยะ (rational normal form) (TGFSR(R)) ที่มีสถานะการสะท้อนและลดลงของบิต (state bit reflection and tempering) ซึ่งมีลักษณะพิเศษดังต่อไปนี้

* w: ขนาดของเวิร์ด (จำนวนบิต)
* n: ดีกรีของการปรากฏซ้ำ (degree of recurrence)
* m: คำกลาง หรือตัวเลขของลำดับแบบขนาน (middle word, or the number of parallel sequences) , 1 ≤ m ≤ n
* r: จุดแยกคำหรือจำนวนบิตในบิตมาสก์ระดับต่ำกว่า (separation point of one word, or the number of bits of the lower bitmask) , 0 ≤ r ≤ w - 1
* a: สัมประสิทธิ์ของรูปแบบปกติตรรกยะ (rational normal form) จากเมตริกซ์ที่ดัดแปลง (twist matrix)
* b, c:  TGFSR(R) บิตมาสก์ที่ลดลง (tempering bitmasks)
* s, t: TGFSR(R) บิตชิฟท์ที่ลดลง (tempering bit shifts)
* u, l: บิตชิฟท์ที่ลดลงเพิ่มเติมของแมร์แซน  ทวิสเตอร์ (additional Mersenne Twister tempering bit shifts)

ด้วยข้อจำกัดที่ว่า 2nw-r -1 เป็นจำนวนเฉพาะแมร์แซน (Mersenne prime) จะช่วยทำให้การทดสอบพื้นฐาน (primitivity test) และการทดสอบการกระจาย k (k-distribution test) ซึ่งจำเป็นในการค้นหาพารามิเตอร์ (parameter search) นั้นง่ายขึ้น

สำหรับ word x ที่มีขนาด w บิตสามารถนำมาเขียนเป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดได้ดังนี้

โดย | คือ bitwise or และ คือ bitwise exclusive or (XOR) xu, xl เป็น x ที่มีบิตมาสก์ระดับสูงกว่าและต่ำกว่าตามลำดับ การแปลงแบบดัดแปลง (twist transformation) A นั้นถูกนิยามโดยรูปแบบปกติตรรกยะ (rational normal form)

โดย In-1 คือเมทริกซ์เอกลักษณ์มีมิติ (n - 1)*(n - 1) (มีความแตกต่างกับการคูณเมทริกซ์แบบปกติคือใช้การดำเนินการ XOR แบบ bitwise แทนการบวก) รูปแบบปกติตรรกยะ (rational normal form) มีประโยชน์ตรงที่สามารถแสดงได้ในรูปแบบดังต่อไปนี้

โดยในการที่จะหาขีดจำกัดบนทางทฤษฎี 2nw-r-1 ใน TGFSR ได้นั้น φB(t) ต้องเป็นพหุนามแบบพื้นฐาน (Primitive polynomial) และ φB(t) เป็นพหุนามลักษณะเฉพาะ (Characteristic polynomial) ของ

การแปลงแบบดัดแปลง (twist transformation) ช่วยทำให้ GFSR ดีขึ้นได้โดยคุณสมบัติที่สำคัญดังต่อไปนี้

* ช่วงของเลขที่จะสุ่มกว้างถึงขีดจำกัดบนทางทฤษฎี  2nw-r-1 (ยกเว้นกรณีที่เริ่มต้นด้วย 0)
* การกระจายที่มีความถี่ในการเกิดเท่ากัน(Equidistribution) ใน n มิติ (เช่น ขั้นตอนวิธีการสร้างความสอดคล้องกันแบบเชิงเส้น (Linear congruential generator) สามารถจัดการได้ถึงแค่การกระจายใน 5 มิติเท่านั้น)

เฉกเช่น TGFSR(R) แมร์แซน ทวิสเตอร์ ถูกลดหลั่นด้วยการแปลงที่ลดลง (tempering transform) เพื่อชดเชยการลดมิติของการกระจายที่มีความถี่ในการเกิดเท่ากัน(Equidistribution) (เพราะว่า A อยู่ในรูปแบบปกติตรรกยะ(rational normal form)) ซึ่งจะสมมูลกับการแปลง  A = R → A = T-1RT โดยสามารถหาตัวผกผันของ T (T-1) ได้ การแปลงที่ลดลงนั้นถูกกำหนดไว้ในกรณีของแมร์แซน ทวิสเตอร์ ดังนี้

y := x ⊕ (x >> u)

y := :y ⊕ ((y > l)

โดย > เป็นการชิฟท์ซ้ายแบบ bitwise และชิฟท์ขวาแบบ bitwise ตามลำดับ และ & เป็นการดำเนินการ bitwise and การแปลงในบรรทัดแรกและบรรทัดสุดท้ายถูกเพิ่มมาเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพของการกระจายที่มีความถี่ในการเกิดเท่ากัน (Equidistribution) ในบิตล่าง ซึ่งเป็นคุณลักษณะของ TGFSR มีความจำเป็นในการที่จะไปให้ถึงขีดจำกัดบนของการกระจายที่มีความถี่ในการเกิดเท่ากัน สำหรับบิตบน

ค่าสัมประสิทธ์สำหรับ MT19937 ได้แก่
* (w, n, m, r) = (32, 624, 397, 31)
*a = 9908B0DF16
*u = 11
*(s, b) = (7, 9D2C568016)
*(t, c) = (15, EFC6000016)
*l = 18

## รหัสเทียม

รหัสเทียมต่อไปนี้ถูกสร้างมาจากการกระจายแบบปกติ (uniformly distributed) ของเลขจำนวนเต็ม 32 บิตในช่วง [0, 232 − 1] ด้วย MT19937 

 // สร้างอาเรย์ขนาด 624 ช่องสำหรับเก็บสถานะของตัวสร้าง
 int[0..623] MT
 int index = 0
 
 // กำหนดค่าเริ่มต้นของตัวสร้างจากค่าของ seed
 function initialize_generator(int seed) {
     MT[0] := seed
     for i from 1 to 623 { //วงวนที่เริ่มตั้งแต่ช่องที่ 1 ของอาเรย์จนถึงช่องสุดท้าย
         MT[i] := 32 บิตสุดท้ายของ (1812433253 * (MT[i-1] xor (ชิฟท์ขวา MT[i-1] ไป 30 บิต)) + i) // 0x6c078965
     }
 }
 
 // นำตัวเลขเชิงสุ่มเทียมแบบลดลำดับที่ขึ้นกับค่าดัชนี th ที่ได้ไปใช้
 // เรียกใช้ฟังก์ชัน generate_numbers() สำหรับเลขทุกๆ 624 จำนวน
 function extract_number() {
     if index == 0 {
         generate_numbers()
     }
 
     int y := MT[index]
     y := y xor (ชิฟท์ขวา y ไป 11 บิต)
     y := y xor (ชิฟท์ซ้าย y ไป 7 บิต แล้ว and กับ 2636928640) // 0x9d2c5680
     y := y xor (ชิฟท์ซ้าย y ไป 15 บิต แล้ว and กับ 4022730752) // 0xefc60000
     y := y xor (ชิฟท์ขวา y ไป 18 บิต)
     index := (index + 1) mod 624
     return y
 }
 
 // สร้างอาเรย์สำหรับเก็บเลขที่ไม่ได้ลดลำดับลงขนาด 624 ช่อง
 function generate_numbers() {
     for i from 0 to 623 {
         int y := บิตที่ 32 ของ (MT[i]) + 31 บิตสุดท้ายของ (MT[(i+1) mod 624])
         MT[i] := MT[(i + 397) mod 624] xor (ชิฟท์ขวา y ไป 1 บิต)
         if (y mod 2) != 0 { // y เป็นเลขคี่
             MT[i] := MT[i] xor (2567483615) // 0x9908b0df
         }
     }
 }

## SFMT

SFMT หรือ แมร์แซน ทวิสเตอร์แบบเร็วที่เน้นกับการใช้ใน SIMD (Single instruction, multiple data : หนึ่งคำสั่งต่อหลายข้อมูล) เป็นแมร์แซน ทวิสเตอร์อีกรูปแบบหนึ่งที่ถูกออกแบบมาเมื่อปี 2006 เพื่อให้สามารถทำงานได้รวดเร็วเมื่อรันบน SIMD ขนาด 128 บิต  โดยมีคุณสมบัติดังนี้

* เร็วกว่าแมร์แซน ทวิสเตอร์ประมาณ 2 เท่า
* มีคุณสมบัติการกระจายที่มีความถี่ในการเกิดเท่ากัน(Equidistribution) ของความแม่นยำขนาด v บิตที่ดีกว่า MT แต่แย่กว่า WELL ("Well Equidistributed Long-period Linear")
* สามารถแก้ปัญหาการที่มีจำนวน 0 มากเกินไปในสถานะเริ่มต้นได้เร็วกว่า MT แต่ช้ากว่า WELL
* สามารถรองรับช่วงของเลขได้ตั้งแต่ 2607 ถึง 2216091-1

อินเทล SSE2 และ PowerPC AltiVec นั้นได้รับการสนับสนุนจาก SFMT นอกจากนี้ SFMT ยังถูกใช้สำหรับอุตสาหกรรมเกม เช่น โปรเซสเซอร์ Cell BE สำหรับเครื่องเล่นเกมเพลย์สเตชัน 3

## การนำไปใช้งานในภาษาต่างๆ

*Pascal/FreePascal/Delphi 
*Java
*The GNU Scientific Library (GSL)
*R language
*C++0x
*C++
*C และ C++
*C++ 
*C++ 
*C++
*Excel addin
*Microsoft Excel
*Visual Basic
*REALbasic
*Lisp 
*Euphoria 
*C# 
*F#
*Ada 
*Fortran 95
*Lua
*Mitrion-C 
*Clean
*Linoleum
*Perl
*Haskell 
*Haskell
*Standard ML 
*C++ Sony Cell Broadband Engine 
*ActionScript 1
*ActionScript 3.0
*Clojure
*ABAP
*Erlang
*SIMUL8 
*Scala
*แมร์แซน ทวิสเตอร์ยังถูกใช้ใน gLib และไลบารี่พื้นฐานของ [en.wikipedia.org/wiki/PHP PHP], Python และ Ruby

## อ้างอิง

# Matsumoto, M.; Nishimura, T. (1998). "Mersenne twister: a 623-dimensionally equidistributed uniform pseudo-random number generator". ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation 8 (1): 3–30. doi:10.1145/272991.272995
# Matsumoto, Makoto; Nishimura, Takuji; Hagita, Mariko; Saito, Mutsuo (2005). "Cryptographic Mersenne Twister and Fubuki Stream/Block Cipher"
# "10.6. random — Generate pseudo-random numbers" Python v2.6.2 documentation. Retrieved 2009-04-27
# "Module: Kernel"Ruby documentation. Retrieved 2010-02-24.
# Note: 219937is approximately 4.3 × 106001; this is many orders of magnitude larger than the estimated number of particles in the observable universe, which is 1087.
# P. L'Ecuyer and R. Simard, TestU01: "A C Library for Empirical Testing of Random Number Generators", ACM Transactions on Mathematical Software, 33, 4, Article 22, August 2007.
# Marsaglia on Mersenne Twister 2003
# Marsaglia on Mersenne Twister 2005
# P. L'Ecuyer, ``Uniform Random Number Generators, in International Encyclopedia of Statistical Science, Lovric, Miodrag (Ed.), Springer-Verlag, 2010.
# Matsumoto, M.; Kurita, Y. (1992). "Twisted GFSR generators". ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation 2 (3): 179–194. doi:10.1145/146382.146383
# SIMD-oriented Fast Mersenne Twister (SFMT)
# SFMT:Comparison of speed
# PLAYSTATION 3 License

## แหล่งข้อมูลอื่น
* The academic paper for MT, and related articles by Makoto Matsumoto
* Mersenne Twister home page, with codes in C, Fortran, Java, Lisp and some other languages
* SIMD-oriented Fast Mersenne Twister (SFMT)

หมวดหมู่:วิทยาการเข้ารหัสลับ
หมวดหมู่:ขั้นตอนวิธี