ความสูงมาตราส่วน

[thumb|300px|ความสูงมาตราส่วนของโลกอยู่ที่ประมาณ 8.5&nbsp;[กิโลเมตร|km ดังที่เห็นได้จากไดอะแกรมนี้ของความดันอากาศ *p* ที่ระดับความสูง *h*: ที่ระดับความสูง 0, 8.5, และ 17&nbsp;กิโลเมตร ความดันอากาศอยู่ที่ประมาณ 1000, 370, และ 140&nbsp;hPa ตามลำดับ]]

ในวิทยาศาสตร์บรรยากาศ, วิทยาศาสตร์โลก, และ วิทยาศาสตร์ดาวเคราะห์, ความสูงมาตราส่วน, ซึ่งมักแสดงด้วยตัวอักษร *H*, เป็นระยะทาง (ระยะทางแนวตั้ง หรือ รัศมี) ที่ ปริมาณทางกายภาพ จะลดลงด้วยปัจจัย e (ฐานของ ลอการิทึมธรรมชาติ, ซึ่งมีค่าประมาณ 2.718)

## ความสูงมาตราส่วนที่ใช้ในแบบจำลองความดันบรรยากาศง่าย ๆ

สำหรับชั้นบรรยากาศของดาวเคราะห์ ความสูงมาตราส่วนคือการเพิ่มความสูงที่ทำให้ ความดันบรรยากาศ ลดลงด้วยปัจจัย *e* โดยความสูงมาตราส่วนจะคงที่สำหรับอุณหภูมิที่กำหนด สามารถคำนวณได้จาก

H = \frac{k_\text{B}T}{mg}
หรือในรูปแบบสมการเดียวกัน
H = \frac{RT}{Mg}
โดยที่:
* *k*B = ค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน = 
* *R* = ค่าคงที่ก๊าซ
* *T* = ค่าเฉลี่ยของ อุณหภูมิ บรรยากาศในหน่วย เคลวิน = 250 K สำหรับโลก
* *m* = มวลเฉลี่ยของโมเลกุล (หน่วยกิโลกรัม)
* *M* = มวลเฉลี่ยของหนึ่งโมลของอนุภาคในชั้นบรรยากาศ = 0.029&nbsp;กิโลกรัม/โมล สำหรับโลก
* *g* = ความเร่งเนื่องจาก แรงโน้มถ่วง ณ ตำแหน่งปัจจุบัน (m/s2)

ความดัน (แรงต่อหน่วยพื้นที่) ที่ความสูงหนึ่ง ๆ เป็นผลมาจากน้ำหนักของชั้นบรรยากาศที่อยู่เหนือขึ้นไป หากที่ความสูง *z* ชั้นบรรยากาศมี ความหนาแน่น *&rho;* และความดัน *P* การเลื่อนขึ้นไปที่ความสูง *dz* จะลดความดันลงเป็นจำนวน *dP* ซึ่งเท่ากับน้ำหนักของชั้นบรรยากาศที่มีความหนา *dz*

ดังนั้น:
\frac{dP}{dz} = -g\rho
โดยที่ *g* คือความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง สำหรับ *dz* ขนาดเล็กสามารถสมมติว่า *g* เป็นค่าคงที่ เครื่องหมายลบหมายถึงเมื่อความสูงเพิ่มขึ้น ความดันจะลดลง ดังนั้น โดยใช้ สมการสถานะ สำหรับ ก๊าซอุดมคติ ที่มีมวลโมเลกุลเฉลี่ย *M* ที่อุณหภูมิ *T* ความหนาแน่นสามารถแสดงเป็น
\rho = \frac{MP}{RT}

การรวมสมการเหล่านี้จะให้ผลลัพธ์เป็น
\frac{dP}{P} = \frac{-dz}{\frac{k_\text{B}T}{mg}}
ซึ่งสามารถรวมกับสมการของ *H* ที่กำหนดไว้ข้างต้นได้ว่า:
\frac{dP}{P} = - \frac{dz}{H}
ซึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงเว้นแต่อุณหภูมิจะเปลี่ยน การรวมสมการข้างต้นและสมมติว่า *P*0 คือความดันที่ความสูง *z* = 0 (ความดันที่ ระดับน้ำทะเล) ความดันที่ความสูง *z* สามารถเขียนได้ว่า:
P = P_0\exp\left (-\frac{z}{H}\right) 

ซึ่งแปลว่าความดันจะ ลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียล ตามความสูง

ใน ชั้นบรรยากาศของโลก ความดันที่ระดับน้ำทะเล *P*0 มีค่าเฉลี่ยประมาณ , มวลโมเลกุลเฉลี่ยของอากาศแห้งเท่ากับ 28.964 u ดังนั้น m = 28.964 ×  =  เป็นฟังก์ชันของอุณหภูมิ ความสูงมาตราส่วนของชั้นบรรยากาศโลกคือ *H*/*T* = *k*/*mg* = (1.38/ (4.808×9.81) ) ×103 =  ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นความสูงมาตราส่วนต่อไปนี้สำหรับอุณหภูมิอากาศที่เป็นตัวแทน

* *T* = 290 K, *H* = 8500 m
* *T* = 273 K, *H* = 8000 m
* *T* = 260 K, *H* = 7610 m
* *T* = 210 K, *H* = 6000 m

ตัวเลขเหล่านี้ควรเปรียบเทียบกับอุณหภูมิและความหนาแน่นของชั้นบรรยากาศโลกที่พล็อตใน NRLMSISE-00 ซึ่งแสดงให้เห็นว่าความหนาแน่นของอากาศลดลงจาก 1200 g/m3 ที่ระดับน้ำทะเลเหลือ 0.53 = 0.125 g/m3 ที่ความสูง 70&nbsp;กม. ซึ่งเป็นปัจจัย 9600 บ่งชี้ความสูงมาตราส่วนเฉลี่ยที่ 70/ln (9600) = 7.64&nbsp;กม. ซึ่งสอดคล้องกับค่าเฉลี่ยอุณหภูมิอากาศในช่วงนั้นที่ใกล้เคียงกับ 260 K

หมายเหตุ:
* ความหนาแน่นสัมพันธ์กับความดันตาม กฎของแก๊สอุดมคติ ดังนั้นความหนาแน่นจะลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียลตามความสูงจากค่า *&rho;*0 ที่ระดับน้ำทะเลซึ่งมีค่าประมาณ 1.2&nbsp;กก./ม3
* ที่ความสูงมากกว่า 100&nbsp;กม. ชั้นบรรยากาศอาจไม่ผสมผสานกันได้ดี ในกรณีนี้แต่ละสปีชีส์เคมีจะมีความสูงมาตราส่วนของตัวเอง
* ที่นี่ถือว่าอุณหภูมิและความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงคงที่ แต่ทั้งสองค่าอาจเปลี่ยนแปลงตามระยะทางที่ไกลออกไป

## ตัวอย่างของดาวเคราะห์

ความสูงมาตราส่วนโดยประมาณสำหรับดาวเคราะห์ในระบบสุริยะที่เลือก:

* ดาวศุกร์: 15.9&nbsp;กม.
* โลก: 8.5&nbsp;กม.
* ดาวอังคาร: 11.1&nbsp;กม.
* ดาวพฤหัสบดี: 27&nbsp;กม.
* ดาวเสาร์: 59.5&nbsp;กม.
** ไททัน: 21&nbsp;กม.
* ดาวยูเรนัส: 27.7&nbsp;กม.
* ดาวเนปจูน: 19.1–20.3&nbsp;กม.
* พลูโต: ~50&nbsp;กม.

## ความสูงมาตราส่วนในดิสก์บาง

thumb|ภาพสเกเมติกของความสมดุลของแรงในดิสก์ก๊าซรอบวัตถุกลาง เช่น ดาวฤกษ์

สำหรับดิสก์ของก๊าซรอบวัตถุกลางที่ควบแน่น เช่น ดาวฤกษ์เริ่มต้น สามารถคำนวณระยะชั้นดิสก์ซึ่งคล้ายคลึงกับระยะชั้นของดาวเคราะห์ได้ เราเริ่มจากดิสก์ก๊าซที่มีมวลน้อยกว่าวัตถุกลางอย่างมาก เราสมมุติว่าดิสก์อยู่ในสมดุลไฮโดรสแตติกกับส่วนประกอบ *z* ของแรงโน้มถ่วงจากดาวฤกษ์ โดยที่แรงโน้มถ่วงจะชี้ไปที่กลางดิสก์:

\frac{dP}{dz} = - \frac{GM_*\rho z}{ (r^2+z^2) ^{3/2}}

โดยที่:

* *G* = ค่าคงที่แรงโน้มถ่วง ≈ 
* *r* = ระยะทางเชิงรัศมีจากศูนย์กลางของดาวฤกษ์หรือวัตถุกลาง
* *z* = ความสูง/ระยะห่างจากกลางดิสก์ (หรือศูนย์กลางของดาวฤกษ์)
* *M** = มวลของดาวฤกษ์/วัตถุกลาง
* *P* = ความดันของก๊าซในดิสก์
* \rho = ความหนาแน่นของมวลก๊าซในดิสก์

ในกรณีที่ถือว่าดิสก์บาง  z \ll r  และสมการสมดุลไฮโดรสแตติกจะเป็น:
\frac{dP}{dz} \approx - \frac{GM_*\rho z}{r^3}

ในการคำนวณความดันของก๊าซ สามารถใช้ กฎของก๊าซอุดมคติ:
 P = \frac{\rho k_\text{B} T}{\bar{m}} 
โดยที่:
* *T* = อุณหภูมิของก๊าซในดิสก์ ซึ่งเป็นฟังก์ชันของ *r* แต่ไม่ขึ้นกับ *z*
* \bar{m} = มวลโมเลกุลเฉลี่ยของก๊าซ

การใช้ กฎของก๊าซอุดมคติ และสมการสมดุลไฮโดรสแตติกจะให้:
\frac{d\rho}{dz} \approx - \frac{GM_* \bar{m}\rho z}{k Tr^3}
ซึ่งมีคำตอบเป็น:
 \rho = \rho_0 \exp\left (-\left (\frac{z}{h_D}\right) ^2 \right) 
โดยที่  \rho_0  คือความหนาแน่นของมวลก๊าซที่กลางดิสก์ที่ระยะ *r* จากศูนย์กลางของดาวฤกษ์ และ  h_D  คือระยะชั้นของดิสก์ โดยมี:

 h_D = \sqrt{\frac{2kTr^3}{GM_* \bar{m}}} \approx 0.0306 \sqrt{\frac{\left (T/100 \ \text{K}\right) \left (r/1 \text{ au} \right) ^3}{\left (M_* / M_\odot\right) \left (\bar{m}/2 \text{ amu} \right)}} \ \text{ au} 
โดยที่  M_\odot  คือ มวลดวงอาทิตย์,  \text{au}  คือ หน่วยดาราศาสตร์ และ  \text{amu}  คือ หน่วยมวลอะตอม

เป็นการประมาณที่ช่วยให้เห็นภาพ หากเรามองข้ามความแปรผันตามรัศมีในอุณหภูมิ  T  เราจะเห็นว่า  h_D \propto r^{3/2}  และดิสก์จะเพิ่มความสูงขึ้นเมื่อเคลื่อนที่ออกจากวัตถุกลาง

เนื่องจากสมมุติฐานว่าอุณหภูมิของก๊าซในดิสก์ *T* ไม่ขึ้นกับ *z*,  h_D  บางครั้งเรียกว่า ระยะชั้นของดิสก์ที่มีอุณหภูมิคงที่

## ระยะชั้นดิสก์ในสนามแม่เหล็ก

สนามแม่เหล็กในดิสก์ก๊าซบางรอบวัตถุกลางสามารถเปลี่ยนแปลงระยะชั้นของดิสก์ได้ ตัวอย่างเช่น หากดิสก์ที่ไม่เป็นตัวนำไฟฟ้าอย่างสมบูรณ์หมุนผ่านสนามแม่เหล็กพอลอยดอล (เช่น สนามแม่เหล็กเริ่มต้นตั้งฉากกับระนาบของดิสก์) จะมีการผลิตสนามแม่เหล็กโทริคัล (เช่น ขนานกับระนาบดิสก์) ภายในดิสก์ ซึ่งจะทำให้ดิสก์ถูก "หนีบ" และบีบอัด ในกรณีนี้ ความหนาแน่นของก๊าซในดิสก์คือ

 \rho (r, z) = \rho_0 (r) \exp \left (- \left (\frac{z}{h_D}\right) ^2 \right) - \rho_\text{cut} (r)
\left[1 - \exp \left (- \left (\frac{z}{h_D}\right) ^2 \right) \right] 
โดยที่ความหนาแน่น "ตัดขาด"  \rho_\text{cut}  มีรูปแบบเป็น:
 \rho_{\rm cut} (r) = (\mu_0 \sigma_D r) ^2 \left (\frac{B_z^2}{\mu_0}\right)
\left (\frac{\Omega_*}{\Omega_K} - 1 \right) ^2 
โดยที่:
*  \mu_0  คือ ความสามารถในการนำของสุญญากาศ
*  \sigma_D  คือ ความสามารถในการนำไฟฟ้าของดิสก์
*  B_z  คือ ความหนาแน่นของฟลักซ์แม่เหล็กของสนามพอลอยดอลในทิศทาง  z 
*  \Omega_*  คือ ความเร็วเชิงมุมการหมุนของวัตถุกลาง (หากสนามแม่เหล็กพอลอยดอลไม่ขึ้นกับวัตถุกลาง  \Omega_*  สามารถตั้งเป็นศูนย์ได้)
*  \Omega_K  คือ ความเร็วเชิงมุมเคปเลอเรียนของดิสก์ที่ระยะ  r  จากวัตถุกลาง

สูตรเหล่านี้ให้ความสูงสูงสุดของดิสก์ที่มีแม่เหล็ก  H_B  เป็น:
 H_B = h_D \sqrt{\ln\left (1 + \rho_0/\rho_{\rm cut} \right)}, 
ในขณะที่ระยะชั้นแม่เหล็ก e-folding  h_B  คือ:
 h_B = h_D \sqrt{\ln\left (1 + \frac{1 - 1/e}{1/e + \rho_\text{cut}/\rho_0} \right)} \ 

## อ้างอิง

หมวดหมู่:พลศาสตร์บรรยากาศ
หมวดหมู่:ตำแหน่งแนวดิ่ง