กรุป (คณิตศาสตร์)

[thumb|การหมุนหน้าของ[ลูกบาศก์ของรูบิกประกอบกันเป็นกรุป เรียกว่า กรุปลูกบาศก์ของรูบิก]]
**กรุป** () ในพีชคณิตนามธรรม คือ เซตกับการดำเนินการทวิภาคซึ่งสอดคล้องกับสมบัติดังต่อไปนี้: การดำเนินการต้องเป็นการดำเนินการเปลี่ยนหมู่ มีสมาชิกเอกลักษณ์ของการดำเนินการ และทุกสมาชิกมีตัวผกผัน

โครงสร้างจำนวนมากในคณิตศาสตร์คือกรุปที่มีสมบัติเพิ่มเติม ตัวอย่างของกรุปที่ง่ายที่สุดคือเซตของจำนวนเต็มภายใต้การบวกปรกติซึ่งเป็นกรุปแบบหนึ่ง สาขาของคณิตที่ศึกษาเกี่ยวกับกรุปโดยเฉพาะเรียกว่า ทฤษฎีกรุป แต่กรุปยังปรากฏในสาขาอื่น ๆ ทั้งในคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ และศาสตร์อื่น ๆ นอกเหนือจากคณิตศาสตร์

กรุปเป็นเครื่องมือที่สำคัญในการศึกษาสมมาตรของวัตถุในรูปแบบต่าง ๆ หลักการที่ว่า "สมมาตรของวัตถุใด ๆ ก่อให้เกิดกรุป" เป็นหลักพื้นฐานของคณิตศาสตร์มากมาย ตัวอย่างโดยตรงคือกรุปสมมาตรของวัตถุ ซึ่งเป็นเครื่องมือหนึ่งในการอธิบายสมมาตรของวัตถุเชิงเรขาคณิต กรุปสมมาตรมีสมาชิกประกอบไปด้วยการแปลง (การหมุน การพลิกรูป การสะท้อน ฯลฯ) ที่คงรูปทรงของวัตถุนั้น ลีกรุปเป็นกรุปสมมาตรชนิดหนึ่งที่ปรากฏในแบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์อนุภาค กรุปปวงกาเรเป็นลีกรุปที่มีสมาชิกเป็นสมมาตรของกาลอวกาศในสัมพัทธภาพพิเศษ ในขณะที่กรุปจุดสามารถอธิบายสมมาตรของโมเลกุลเคมีได้

กรุปมีจุดกำเนิดเริ่มแรกจากการศึกษาสมการเชิงพหุนาม ในช่วงคริสต์ทศวรรษที่ 1830 เอวาริสต์ กาลัวเป็นคนแรกที่ใช้คำว่า *กรุป* (*Groupe* ในภาษาฝรั่งเศส) เรียกกรุปสมมาตรของรากของพหุนาม ซึ่งปัจจุบันเราเรียกกรุปเหล่านั้นว่า กรุปกาลัว ตั้งแต่นั้นมามีการศึกษากรุปจากสาขาอื่น ๆ ในคณิตศาสตร์ เช่น ทฤษฎีจำนวน และ เรขาคณิต ก่อนที่แนวความคิดเกี่ยวกับกรุปทั่ว ๆ ไปจะได้รับการนิยามในช่วงปีคริสต์ศักราชที่ 1870 ในช่วงเวลาเดียวกันกับที่คณิตศาสตร์พัฒนาไปในทิศทางที่เป็นนามธรรมขึ้นเรื่อย ๆ ทฤษฎีกรุปจึงเป็นสาขาสำคัญของพีชคณิตนามธรรม 

ในปัจจุบัน ทฤษฎีกรุปสมัยใหม่ศึกษากรุปในตัวมันเอง ซึ่งนำไปสู่แนวคิดมากมาย เช่น สับกรุป กรุปผลหาร และ กรุปเชิงเดี่ยว นอกจากนี้นักคณิตศาสตร์ยังศึกษากรุปในมุมมองที่เป็นรูปธรรมมากขึ้น และสามารถระบุได้อย่างเจาะจง การศึกษานี้นำไปสู่ทฤษฎีตัวแทนและทฤษฎีกรุปเชิงการคำนวณ

## นิยามพื้นฐาน

กรุป (G, \ast) ประกอบด้วย เซตไม่ว่าง G กับ การดำเนินการทวิภาค \ast\colon G \to G ซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์ทุกข้อต่อไปนี้ 
* *[[การเปลี่ยนหมู่]]*: สำหรับทุก a, b และ c ใน G จะได้ว่า (a \ast b)\ast c = a \ast (b \ast c)
* *[[สมาชิกเอกลักษณ์|การมีสมาชิกเอกลักษณ์]]*: มีสมาชิก e ใน *<math>G</math>* ที่ทำให้สำหรับทุก a ใน G จะได้ว่า e \ast a = a \ast e = a เรียก e ว่าเป็นสมาชิกเอกลักษณ์ (identity) ของ (G, \ast)
* *[[สมาชิกผกผัน]]*: สำหรับทุก a ใน *<math>G</math>*, จะมีสมาชิก ***<math>b</math>*** ใน *<math>G</math>* ที่ทำให้ ***<math>a \ast b = b \ast a = e</math>*** เมื่อ *<math>e</math>* คือสมาชิกเอกลักษณ์ และเรียก b ดังกล่าวว่าเป็นสมาชิกผกผันของ a สามารถพิสูจน์ได้ว่า สมาชิกผกผันในกรุปจะมีได้เพียงตัวเดียว และนิยมเขียนสมาชิกผกผันของ a ด้วย a^{-1}
บางครั้งผู้เขียนอาจกำหนดสัจพจน์ที่กรุปต้องสอดคล้องเพิ่มเติม เพื่อเน้นย้ำความเป็นการดำเนินการทวิภาคของ \ast

* *สมบัติปิด:* สำหรับทุก a, b ใน G จะได้ว่า a \ast b \in G ด้วย

เมื่อเป็นที่เข้าใจ อาจละการเขียนตัวดำเนินการ และเรียกกรุป (G, \ast) แทนด้วย G แทน

## ความคิดพื้นฐานในทฤษฎีกรุป

### ฟังก์ชันสาทิสสัณฐานระหว่างกรุป
ฟังก์ชันสาทิสสัณฐานระหว่างกรุป หรือ โฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างกรุป (group homomorphism) คือฟังก์ชันที่รักษาโครงสร้างการเป็นกรุป ฟังก์ชัน f\colon (G, \ast) \to (H, \cdot) ระหว่างกรุป (G,\ast) และ (H,\cdot) จะเป็นฟังก์ชันสาทิสสัณฐานระหว่างกรุป ก็ต่อเมื่อ

f(a \ast b) = f(a)\cdot f(b)สำหรับทุก a, b \in G

สมบัติที่ได้จากนิยามข้างต้นคือ 

* f รักษาเอกลักษณ์ของกรุป: f(e_G) = e_H เมื่อ e_G, e_H เป็นสมาชิกเอกลักษณ์ของกรุป G และกรุป H ตามลำดับ
* f รักษาการหาผกผัน: f(a^{-1}) = (f(a))^{-1} ทุกสมาชิก a \in G

สมบัติข้างต้นเน้นย้ำว่าฟังก์ชันสาทิสสัณฐานรักษาโครงสร้างของกรุป G

### อันดับของกรุปและอันดับของสมาชิก
อันดับ (order) ของกรุป G (นิยมเขียนแทนด้วย \left\vert G \right\vert, \operatorname{ord}(G)หรือ o(G)) จะหมายถึงจำนวนสมาชิกของกรุป G ในกรณีที่ G เป็นเซตจำกัด และจะเรียก G ว่าเป็นกรุปจำกัด (Finite group) ในขณะที่ G เป็นเซตอนันต์ จะเรียกว่ากรุปนั้นเป็น*กรุปอนันต์* นิยมเขียนด้วย \left\vert G \right\vert = \infty

อันดับของสมาชิก a ในกรุป G คือจำนวนเต็ม n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ *a<sup>n</sup>&nbsp;=&nbsp;e* โดยที่ *a<sup>n</sup>* คือ a คูณตัวมันเอง n ครั้ง (หรือองค์ประกอบที่เหมาะสมอื่น ๆ ขึ้นอยู่กับตัวดำเนินการของกรุป) ถ้าไม่มีจำนวนนับ n ดังกล่าว จะเรียกว่า a มีอันดับเป็นอนันต์

### อาบีเลียนกรุป
กรุป G จะเป็น *อาบีเลียนกรุป* หรือ *กรุปสลับที่* ถ้าการดำเนินการของกรุปมีสมบัติสลับที่ได้ นั่นคือสำหรับทุก ๆ a,b ใน G จะได้ว่า a * b = b * a 

คำว่า อาบีเลียน (Abelian) ตั้งขึ้นตามชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่ นีลส์ อะเบล นักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์

### กรุปวัฏจักร
กรุปวัฏจักร คือกรุปซึ่งสมาชิกของมันอาจถูกก่อกำเนิดโดยการประกอบที่ต่อเนื่องกันของการดำเนินการซึ่งนิยามโดยกรุปจะถูกใช้กับสมาชิกเดี่ยวของ
กรุปนั้น สมาชิกเดี่ยวนี้เรียกว่า ตัวก่อกำเนิดหรือสมาชิกปฐมฐานของกรุปนั้น

กรุปวัฏจักรการคูณซึ่ง G เป็นกรุป และ a เป็นตัวก่อกำเนิด

G = \{ a^n \mid n \in \Z \} 

กรุปวัฏจักรการบวก ตัวก่อกำเนิดเป็น a

G' = \{ n * a \mid n \in \Z \}

ถ้าการประกอบที่ต่อเนื่องกันของการดำเนินการซึ่งนิยามโดยกรุปถูกใช้กับสมาชิกไม่ปฐมฐานของกรุป กรุปย่อยวัฏจักรจะถูกก่อกำเนิด อันดับของกรุปย่อยวัฏจักรแบ่งอันดับของกรุปนั้น ดังนั้นถ้าอันดับของกรุปเป็นจำนวนเฉพาะ สมาชิกทุกตัวยกเว้นสมาชิกเอกลักษณ์จะเป็นสามชิกปฐมฐานของกรุป

ควรระลึกไว้ด้วยว่า กรุปประกอบด้วยกรุปย่อยวัฏจักรซึ่งถูกก่อกำเนิดโดยสมาชิกแต่ละตัวในกรุป อย่างไรก็ตามกรุปซึ่งประกอบขึ้นจากกรุปย่อยวัฏจักรนั้น ตัวมันเองไม่จำเป็นที่จะต้องเป็นกรุปวัฏจักรเสมอไป ตัวอย่างเช่น กรุปไคลน์ไม่เป็นกรุปวัฏจักรแม้ว่าจะประกอบขึ้นมาจากกรุปวัฏจักรที่มีอันดับเป็น 2 ที่เหมือนกันสองกรุปก็ตามที

## สัญกรณ์สำหรับกรุป
กรุปสามารถใช้สัญกรณ์ต่าง ๆ กันขึ้นอยู่กับบริบทและการดำเนินการ
* กรุปการบวก ใช้ + เพื่อแสดงถึงการบวก และเครื่องหมายลบ - แสดงถึงสมาชิกผกผัน เช่น *a* + (-*a*) = 0 ใน **Z**
* กรุปการคูณ ใช้ *,. หรือสัญลักษณ์ทั่วไป \circ เพื่อแสดงถึงการคูณ และตัวยก -1 เพื่อแสดงสมาชิกผกผัน เช่น *a***a*-1 = 1 เป็นเรื่องธรรมดาที่จะไม่เขียน * และเขียนเป็น *aa*-1 แทน
* กรุปแบบฟังก์ชัน ใช้ • เพื่อแสดงการประกอบฟังก์ชัน และตัวยก -1 เพื่อแสดงสมาชิกผกผัน เช่น *g* • *g*-1 = *e* เป็นเรื่องทั่วไปที่จะไม่เขียน • และเขียนเป็น*gg<sup>-1</sup>* แทน

การละเลยตัวดำเนินการเป็นเรื่องทั่วไปที่ยอมรับได้ และทิ้งให้ผู้อ่านรู้บริบทและการดำเนินการเอาเอง

เมื่อจะนิยามกรุป มีสัญกรณ์มาตรฐานที่ใช้วงเล็บในการนิยามกรุปและการดำเนินการของมัน ตัวอย่างเช่น (*H*, +) แสดงว่าเซต H เป็น
กรุปภายใต้การบวก

สมาชิกเอกลักษณ์ e หรือบางครั้งก็เรียกว่า สมาชิกกลาง และบางครั้งก็ถูกแสดงโดยใช้สัญลักษณ์อื่น ๆ ขึ้นอยู่กับกรุปนั้น ๆ :
* ในกรุปการคูณ สมาชิกเอกลักษณ์คือ 1
* ในกรุปเมทริกซ์หาตัวผกผันได้ สมาชิกเอกลักษณ์มักแทนด้วย I
* ในกรุปการบวก สมาชิกเอกลักษณ์อาจเขียนเป็น 0
* ในกรุปแบบฟังก์ชัน สมาชิกเอกลักษณ์มักใช้เป็น f0

## ตัวอย่างของกรุป
### อาบีเลียนกรุป : จำนวนเต็มภายใต้การบวก
กรุปที่คุ้นเคยกันก็คือกรุปของจำนวนเต็มภายใต้การบวก ให้ **Z** เป็นเซตของจำนวนเต็ม {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} และให้สัญลักษณ์ + แสดงการดำเนินการบวก แล้ว (**Z**,+) เป็นกรุป

พิสูจน์ :
* **สมบัติการปิด** ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม แล้ว a+b ก็เป็นจำนวนเต็ม
* **สมบัติการเปลี่ยนหมู่** ถ้า a b และ c เป็นจำนวนเต็มแล้ว (*a* + *b*) + *c* = *a* + (*b* + *c*)
* **สมาชิกเอกลักษณ์** 0 เป็นจำนวนเต็ม สำหรับจำนวนเต็ม a ใด ๆ 0 + *a* = *a* + 0 = *a*
* **สมาชิกผกผัน** ถ้า a เป็นจำนวนเต็มแล้ว -a สอดคล้องกับกฎการผกผัน *a* + (−*a*) = (−*a*) + *a* = 0

กรุปนี้เป็นอาบีเลียนกรุปด้วยเพราะ *a* + *b* = *b* + *a*

## อ้างอิง

## ดูเพิ่ม

* 
* 
* 

หมวดหมู่:พีชคณิตนามธรรม
หมวดหมู่:ทฤษฎีกรุป