ทฤษฎีบทของโรลล์

[right|thumb|300x300px| ถ้า <math>f</math> เป็นฟังก์ชัน[จำนวนจริง|ค่าจริงที่ต่อเนื่องบนช่วงปิด [a,b] และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด (a,b) และ f(a) = f(b) แล้วจะมีจำนวนจริง c ในช่วง (a,b) อย่างน้อยหนึ่งตัวที่ทำให้ f'(c) = 0 ]]
ในแคลคูลัส **ทฤษฎีบทของโรลล์** หรือ **บทแทรกของโรล** () กล่าวว่าฟังก์ชันค่าจริงใด ๆ ที่หาอนุพันธ์ได้ และมีจุดสองจุดที่ทำให้ฟังก์ชันนั้นมีค่าเท่ากัน จะต้องมีจุดนิ่ง (stationary point) อย่างน้อยหนึ่งจุดระหว่างจุดสองจุดนั้น โดยจุดนิ่งคือจุดที่อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันนั้นเป็นศูนย์

ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตาม มิเชล โรลล์ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส

## รูปแบบมาตรฐานของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทของโรลล์สามารถใช้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ซึ่งทฤษฎีบทของโรลล์เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทดังกล่าวอีกทอดหนึ่ง นอกจากนี้ทฤษฎีบทของโรลล์ยังเป็นฐานสำหรับพิสูจน์ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์อีกด้วย

## ประวัติ
แม้ว่าทฤษฎีบทจะตั้งชื่อตาม มิเชล โรลล์ แต่บทพิสูจน์ในปี 1691 ของโรลล์นั้นครอบคลุมเฉพาะกรณีฟังก์ชันพหุนามเท่านั้น บทพิสูจน์ของเขาไม่ได้ใช้แคลคูลัส ซึ่งในตอนนั้นเขาถือว่าเป็นทฤษฎีที่ไม่เป็นเหตุเป็นผล ทฤษฎีของโรลล์ในรูปแบบปัจจุบันนี้พิสูจน์ครั้งแรกโดย ออกุสแต็ง-หลุยส์ โคชี ในปี ค.ศ. 1823 โดยเป็นบทแทรกหนึ่งของ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ชื่อ "ทฤษฎีบทของโรลล์" ถูกใช้เป็นครั้งแรกโดย มอริตซ์ วิลเฮล์ม โดรบิสช์ ชาวเยอรมันในปี 1834 และ กุยอิสโต เบลลาวิติส ชาวอิตาลีในปี 1846

## ตัวอย่าง
thumb|300x300px| ครึ่งวงกลมรัศมี <math>r</math>

### ตัวอย่างแรก: ครึ่งวงกลม
กำหนดรัศมี r > 0  พิจารณาฟังก์ชันรูปครึ่งวงกลม

: f(x)=\sqrt{r^2-x^2},\quad x\in[-r,r]

กราฟของฟังก์ชันข้างต้นคือครึ่งวงกลมส่วนบนที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องบนช่วงปิด [-r,r] และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด (-r,r) แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดปลาย -r  และ r ทั้งสอง

เนื่องจาก f(-r) = f(r) เราสามารถใช้ใช้ทฤษฎีบทของโรลล์กับฟังก์ชันนี้ได้ และจะเห็นว่ามีจุดที่อนุพันธ์ของ f เป็นศูนย์ สังเกตว่าทฤษฎีบทนี้ใช้ได้แม้ว่าฟังก์ชันจะไม่มีอนุพันธ์ที่จุดปลายของช่วงปิดได้ เนื่องจากต้องการความหาอนุพันธ์ได้ของฟังก์ชันบนช่วงเปิดเท่านั้น

### ตัวอย่างที่สอง: ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์
thumb|300x300px|กราฟของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์
ถ้าฟังก์ชันไม่มีสมบัติหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด อาจไม่ได้ผลลัพธ์ตามทฤษฎีบทของโรลล์ พิจารณาฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

: f(x) = |x|,\qquad x\in[-1,1]

พบว่า f(-1) = f(1) แต่ไม่มีค่า c ระหว่าง −1 และ 1 ที่ทำให้ f'(c) = 0 ทั้งนี้เป็นเพราะว่าฟังก์ชันดังกล่าวหาอนุพันธ์ที่จุด x = 0 ไม่ได้ 

สังเกตว่าอนุพันธ์ของ f เปลี่ยนเครื่องหมายที่จุด x = 0 แต่เท่ากับ 0 ทฤษฎีบทของโรลล์ใช้ไม่ได้เพราะฟังก์ชัน f ไม่ได้หาอนุพันธ์ได้ทุกจุดในช่วงเปิด อย่างไรเสียเราจะเห็นว่า f มีจุดวิกฤติในช่วงดังกล่าว

## กรณีทั่วไป
 ตัวอย่างที่สองเป็นตัวอย่างหนึ่งของกรณีทั่วไปของทฤษฎีบทของโรลล์:

ในกรณีที่ลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวาเท่ากันทั้งสองค่าสำหรับทุก x แล้วฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ และจะได้ทฤษฎีบทของโรลล์

### ข้อสังเกต

* ถ้า f เป็นฟังก์ชันเว้าหรือฟังก์ชันนูน แล้วอนุพันธ์ทางขวาและอนุพันธ์ทางซ้ายจะหาได้ทุกจุด ดังนั้นลิมิตขางต้นย่อมหาได้และเป็นจำนวนจริง
* รูปแบบทั่วไปนี้เพียงพอที่จะใช้พิสูจน์ว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันนูนถ้าอนุพันธ์ทางเดียวเป็นฟังก์ชันเพิ่มทางเดียว

:: f'(x^-) \le f'(x^+) \le f'(y^-),\qquad x 

## อ้างอิง

## ดูเพิ่ม

* ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
* ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง
* การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น
* ทฤษฎีบทเกาส์-ลูกาส์

## ลิงก์ภายนอก

* 
* Rolle's and Mean Value Theorems ที่cut-the-knot.
* บทพิสูจน์ในระบบมิซาร์ proof: http://mizar.org/version/current/html/rolle.html#T2

หมวดหมู่:แคลคูลัส
หมวดหมู่:การวิเคราะห์เชิงจริง