ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ด

**ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ด** () เป็นขั้นตอนวิธีแบบสุ่มที่ใช้หาตัวประกอบของจำนวนประกอบที่มีค่ามาก โดยอาศัยคุณสมบัติของการหาร เพื่อให้หาตัวประกอบของเลขจำนวนนั้น ๆ ได้เร็ว ขั้นตอนวิธีนี้ จอห์น พอลลาร์ด (John Pollard) นำเสนอขึ้นในปี 1975 และต่อมา ริชาร์ด เบรนท์ (Richard Brent) ปรับปรุงในปี 1980

## แนวความคิดหลัก
ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ดมีพื้นฐานมาจาก ขั้นตอนวิธีการตรวจสอบการเกิดวงวนของฟลอยด์ (:en:Floyd's cycle-finding algorithm) และ จากการสังเกตถึงคุณสมบัติของตัวเลขที่จะมีคุณสมบัติหนึ่ง ๆ เหมือนกัน ซึ่งคล้ายกับในปัญหาวันเกิด (:en:Birthday problem, :en:Birthday paradox) นั่นคือ หากต้องการหาตัวเลข 2 ตัว *x* และ *y* ที่มีคุณสมบัติหารด้วยตัวเลข *p* แล้วมีเศษเหลือเท่ากัน หรือ *x* สมภาคกับ *y* มอดุโล *p* (*x* congruent *y* modulo *p*) จะมีความน่าจะเป็นเท่ากับ 0.5 หลังจากสุ่มตัวเลขมาแล้ว 1.177\sqrt{p}  ตัว หากให้ *p* เป็น ตัวประกอบหนึ่งของ *n* เมื่อ *n* คือตัวเลขที่ต้องการหาตัวประกอบ จะได้ว่า p \le \gcd \left ( x-y,n \right) \le n เนื่องจาก *p* หาร x-y และ n ลงตัว

ขั้นตอนวิธีโรห์ จะใช้ *f* ฟังก์ชันมอดุโล *n* สำหรับการสร้างลำดับตัวเลขสุ่มเทียม (:en:pseudo-random sequence) โดยลำดับทั้งสองจะมีความเร็วในการเลื่อนลำดับต่างกัน 2 เท่า กล่าวคือ ลำดับหนึ่งจะเลื่อนไป 2 ขั้น ในขณะที่อีกลำดับ จะเลื่อนไปเพียง 1 ขั้นเท่านั้น
หากให้ *x* และ *y* เป็นตัวแทนสำหรับตัวเลขในลำดับทั้ง 2 ในขณะหนึ่ง จะทำการหาค่า ห.ร.ม. (GCD) ของ |x-y| และ n โดยถ้าหาก ห.ร.ม. มีค่า
*เท่ากับ *n* จะทำให้ขั้นตอนวิธีนี้จบการทำงานลงด้วยความผิดพลาด เนื่องจาก ห.ร.ม. จะมีค่าเท่ากับ *n* ได้ เมื่อ *x* = *y* ซึ่งจาก ขั้นตอนวิธีการตรวจสอบการเกิดวงวนของฟลอยด์ จะได้ว่า ลำดับที่สร้างได้พบกับวงวน และการทำงานในครั้งต่อ ๆ ไปก็จะเป็นการทำงานซ้ำเดิมกับงานที่เคยทำไปแล้ว
*เท่ากับ 1 แสดงว่า ยังหาตัวประกอบไม่เจอ ให้กลับไปเลือก *x* และ *y* จากลำดับตัวเลขสุ่มเทียมตัวต่อไป โดย *x<sub>ใหม่</sub>* = *f*(*x<sub>เดิม</sub>*) และ *y<sub>ใหม่</sub>* = *f*(*f*(*y<sub>เดิม</sub>*)) แล้วกลับไปทำแบบเดิมอีกครั้งหนึ่ง
*เท่ากับ ค่าอื่น ๆ แสดงว่า ค่าที่ได้นั้น คือตัวประกอบตัวหนึ่งของ *n* นั่นเอง

## ขั้นตอนวิธี
**นำเข้า**: *n*, เป็นเลขจำนวนเต็มที่ต้องการหาตัวประกอบ; และ *f* (*x*), เป็นฟังก์ชันสุ่มเทียมมอดุโล *n*

**ส่งออก**: ตัวประกอบของ *n*, หรือพบข้อผิดพลาด (หาไม่เจอ)
# *x* ← 2, *y* ← 2; *d* ← 1
# While *d* = 1:
## *x* ← *f* (*x*)
## *y* ← *f* (*f* (*y*))
## *d* ← GCD (|*x* − *y*|, *n*)
# If *d* = *n*, return failure. (พบข้อผิดพลาด)
# Else, return *d*

หมายเหตุ: ขั้นตอนวิธีนี้อาจจะไม่พบตัวประกอบ และแจ้งว่าพบข้อผิดพลาดถึงแม้ว่า *n* จะเป็นจำนวนประกอบ สำหรับกรณีนี้ให้เปลี่ยน *f* (*x*) และลองทำอีกครั้ง

หมายเหตุ: ขั้นตอนวิธีนี้ไม่สามารถทำงานได้หาก *n* เป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจาก *d* จะเป็น 1 เสมอ

## การปรับปรุง
ในปี 1980 ริชาร์ด เบรนท์ ได้ตีพิมพ์ผลงานที่เร็วกว่า เขาได้ใช้แนวความคิดหลักเช่นเดียวกับ พอลลาร์ด แต่แตกต่างกันในเรื่องของขั้นตอนวิธีการตรวจสอบการเกิดวงวน โดยได้ใช้ วิธีการตรวจสอบการเกิดวงวนของเบรนท์ (Brent's cycle finding method) แทนขั้นตอนวิธีการตรวจสอบการเกิดวงวนของฟลอยด์

การเพิ่มประสิทธิภาพในครั้งต่อมาถูกกระทำโดย พอลลาร์ด และเบรนท์ ทั้ง 2 ได้พบว่า ถ้า \gcd (a,n) >1 แล้ว \gcd (ab,n) >1 สำหรับทุกๆจำนวนเต็มบวก *b* ใดๆ กล่าวโดยละเอียดคือ แทนที่จะคำนวณหา \gcd (|x-y|,n)  ทุกๆขั้น, จะทำการกำหนดค่า *z* เป็นผลคูณของ พจน์ |x-y| จำนวน 100 พจน์ที่ติดกัน มอดุโล *n* และคำนวณหา \gcd (z,n)  เพียงหนึ่งครั้ง โดยความเร็วที่เพิ่มขึ้นนั้นได้จากการเปลี่ยน การหา ห.ร.ม. จำนวน 100 ครั้ง เป็นการ คูณ มอดุโล *n* จำนวน 99 ครั้ง และ การหา ห.ร.ม 1 ครั้ง
แต่ในบางครั้ง วิธีนี้อาจจะทำให้ขั้นตอนวิธีเกิดข้อผิดพลาดโดยการใช้ตัวประกอบที่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อ *n* เป็นจำนวนเต็มกำลัง 2 แต่ก็สามารถจะแก้ไข้ได้โดยย้อนกลับไปที่จุดที่ \gcd (z,n) =1 แล้วใช้ ขั้นตอนวิธีโรห์ แบบปกติจากจุดนั้น

## การใช้งาน
ขั้นตอนวิธีโรห์มักถูกนำไปใช้ในการหาตัวประกอบของจำนวนที่มีขนาดใหญ่ ที่ไม่สามารถหาได้อย่างรวดเร็วด้วยขั้นตอนวิธีแบบปกติ โดยเฉพาะจำนวนที่เกิดจากการนำจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่สองตัวคูณกัน

ขั้นตอนวิธีโรห์จะใช้เวลาในการหาตัวประกอบได้อย่างรวดเร็วหากตัวประกอบนั้นมีค่าน้อย ตัวอย่างเช่น บนเครื่องที่มีความเร็ว 3 GHz ขั้นตอนวิธิโรห์ของพอลลาร์ดสามารถหาตัวประกอบ 274177 ของจำนวนแฟร์มาต์ลำดับที่ 6 (18446744073709551617) ในเวลา 26 มิลลิวินาที; ขั้นตอนวิธีโรห์ที่ถูกปรับปรุงโดยเบรนท์ สามารถหาตัวประกอบเดียวกันนี้ในเวลา 5 มิลลิวินาที แต่สำหรับจำนวนที่เกิดจากจำนวนเฉพาะสองตัวคูณกัน และที่มีความยาวเท่ากันกับจำนวนแฟร์มาต์ลำดับที่ 6 นั้น (10023859281455311421) การทำงานหาตัวประกอบบนเครื่องเดียวกัน ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ดต้องใช้เวลาถึง 109 มิลลิวินาทีถึงจะพบตัวประกอบ ส่วนขั้นตอนวิธีโรห์ที่ถูกปรับปรุงใช้เวลา 31 มิลลิวินาที

สำหรับ *f* ฟังก์ชันตัวสุ่มเทียมมอดุโล *n* จะเลือกใช้ฟังก์ชัน พหุนาม พร้อมกับค่าคงที่จำนวนเต็ม *c* โดยรูปแบบที่นิยมใช้มากที่สุดคือ
: f (x) = (x^2+c) \hbox{ mod }n,\,c\neq0,-2

ขั้นตอนวิธีโรห์มีความโดดเด่นจากความสำเร็จในการหาตัวประกอบของจำนวนแฟร์มาต์ลำดับที่ 8 โดย พอลลาร์ด และ เบรนท์ ซึ่งใช้เวลาทั้งหมด 2 ชั่วโมงบนเครื่อง UNIVAC 1100/42

## ตัวอย่างการหาตัวประกอบ
ให้ *n* = 8051 และ *f* (*x*) = (*x*2 + 1) mod 8051

97 เป็นตัวประกอบของ 8051 สำหรับการเปลี่ยนค่า c อาจจะให้คำตอบเป็นตัวประกอบอีกตัวคือ 83 แทนที่จะเป็น 97

## อัตราการเติบโต
ขั้นตอนวิธีแบบสุ่มนี้ต้องแลกเปลี่ยนระหว่างเวลาที่ใช้ในการค้นหา กับโอกาสที่จะค้นพบตัวประกอบ นั่นคือหากต้องการให้โอกาสที่จะค้นพบตัวประกอบนั้นมีค่าสูง ก็จะต้องใช้เวลามากขึ้น ถ้าหาก *n* เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่มีความยาวเท่ากัน แต่มีค่าแตกต่างกัน ระยะเวลาที่ใช้สำหรับขั้นตอนวิธีนี้ จะต้องสุ่มตัวเลขมา O (n1/4 *polylog* (n)) ครั้ง ถึงจะมีความน่าจะเป็นในการค้นพบตัวประกอบเท่ากับ 0.5 สำหรับพจน์ n1/4 นั้นก็มาจากที่ *n* เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่มีความยาวเท่ากัน ดังนั้น n1/2 ก็จะได้ค่าที่ใกล้เคียงกับจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบของ *n* และจากที่ทราบว่า ความน่าจะเป็นในการพบตัวประกอบเท่ากับ 0.5 เมื่อสุ่มตัวเลขมาแล้ว 1.177\sqrt{p}  ตัว เมื่อ *p* คือตัวประกอบของ *n* ดังนั้นหากแทนค่า *p* ด้วย n1/2 ก็จะได้พจน์ n1/4 (หมายเหตุ: การวิเคราะห์นี้เป็นเพียงการประมาณโดยคร่าว ๆ สำหรับการวิเคราะห์อย่างละเอียด ยังรอให้พิสูจน์อยู่)

## สรุป
ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ดช่วยให้สามารถแยกตัวประกอบของจำนวนใหญ่ ๆ ได้อย่างรวดเร็ว โดยอาศัยขั้นตอนวิธีแบบสุ่ม (ใช้ฟังก์ชันสร้างลำดับตัวเลขสุ่มเทียม) ซึ่งทำได้ดีกว่าขั้นตอนวิธีตามปกติที่จะใช้เวลานานกว่ามาก แต่ก็ต้องพึงระวังว่าคำตอบที่บอกว่าไม่พบตัวประกอบนั้นอาจจะผิด เพราะมีโอกาสที่หาแล้วไม่พบ เนื่องจากสุ่มตัวเลขไม่มากพอที่จะเจอตัวประกอบนั้น การนำขั้นตอนวิธีโรห์ไปใช้จึงต้องเลือกให้ดีว่า อยากจะให้ทำงานได้เร็วแค่ไหน อยากจะให้โอกาสผิดน้อยขนาดไหนถึงยอมรับได้ ซึ่งเป็นสองสิ่งที่ต้องแลกเปลี่ยนกัน โดยสรุป ขั้นตอนวิธีโรห์นี้สามารถนำไปใช้งานในการแยกตัวประกอบได้จริง และมีประสิทธิภาพที่น่าประทับใจอีกด้วย

## อ้างอิง
* 
*  (this section discusses only Pollard's rho algorithm).
* 

## แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม
* เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Prime Factorization Algorithms" จากแมทเวิลด์.
* เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Pollard rho Factorization Method" จากแมทเวิลด์.
* เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Brents Factorization Method" จากแมทเวิลด์.
* เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Birthday Problem" จากแมทเวิลด์.

## ตัวอย่างเพิ่มเติม
* ตัวอย่างในภาษาจาวา 
* ตัวอย่างในภาษาไพทอน
* ตัวอย่างโปรแกรมแสดงการหาตัวประกอบด้วยวิธีโรห์ของพอลลาร์ดด้วยภาษาจาวา 

หมวดหมู่:ขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม