เลขฐานสิบ

**เลขฐานสิบ** หรือ **ทศนิยม** (Decimal) หมายถึง ระบบตัวเลขที่มีตัวเลข 10 ตัว คือ 0 – 9

## สัญลักษณ์แทนเลขฐานสิบ

การเขียนจำนวนในรูปทศนิยมคือการเขียนจำนวนให้อยู่ในรูปเลขฐานสิบ ซึ่งมีสัญลักษณ์อยู่ 10 ตัว (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9) และอาจมีการใช้ร่วมกับจุดทศนิยม สำหรับจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม และใช้สัญลักษณ์ + และ − เพื่อบอกค่าบวกและค่าลบ

เลขฐานสิบนี้เป็นเลขฐานปกติที่คนทั่วไปใช้ เนื่องจากมนุษย์มีสิบนิ้ว แต่ถึงอย่างไรก็ตาม ในอดีตก็มีผู้ที่ใช้เลขฐานที่ไม่ใช่ฐานสิบ เช่น ชาวไนจีเรียใช้เลขฐานสิบสอง และชาวบาบิโลเนียนใช้เลขฐานหกสิบ และชาวเผ่ายูกิใช้เลขฐานแปด

สัญลักษณ์แทนเลขแต่ละหลักนั้น โดยทั่วไปจะใช้เลขอารบิก และเลขอินเดีย ซึ่งมาจากระบบเดียวกัน แต่มีรูปแบบการใช้ที่แตกต่างกัน

## การเขียนจำนวนจริงในรูปทศนิยม
### เศษส่วนและทศนิยม
#### เลขทศนิยม
การเขียนเศษส่วนให้เป็นทศนิยม ทำได้โดยให้ตัวส่วนเป็นกำลังของสิบ

การเขียนทศนิยมนั้นไม่จำเป็นต้องเขียนตัวส่วนเหมือนเศษส่วน แต่ใช้เครื่องหมายจุดทศนิยม (อาจต้องเพิ่ม 0 ด้านหน้า ถ้าจำเป็น) และตำแหน่งของตัวเลขจะเกี่ยวข้องกับส่วน ที่เป็นกำลังของสิบ เช่น

\frac{8}{10}, \frac{833}{100}, \frac{83}{1000}, \frac{8}{10000} และ \frac{80}{10000}

สามารถเขียนได้เป็น 0.8, 8.33, 0.083, 0.0008 และ 0.008 ตามลำดับ

จำนวนที่เขียนได้ในลักษณะนี้ เป็น เลขทศนิยม

ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มและเศษส่วน จะถูกแยกกันด้วยเครื่องหมายจุดทศนิยม ซึ่งเราใช้เครื่องหมาย มหัพภาค (.) แทนจุดทศนิยม ถ้าจำนวนนั้นเป็นเศษส่วนที่น้อยกว่าหนึ่ง เราจำเป็นต้องใส่ 0 นำหน้า (กล่าวคือ เรานิยมเขียน 0.5 มากกว่า .5) เลขศูนย์ตามท้ายทศนิยมถือว่าไม่จำเป็นในทางคณิตศาสตร์ นั่นคือ 0.080 และ 0.08 มีความหมายเหมือนกันในทางคณิตศาสตร์ แต่ในทางวิศวกรรม 0.080 บอกว่า อาจมีความคลาดเคลื่อนได้ไม่เกินหนึ่งในพัน แต่ 0.08 อาจมีความคลาดเคลื่อนได้ไม่เกินหนึ่งในร้อย

#### การเขียนเลขอื่น ๆ ในรูปทศนิยม
จำนวนอื่น ๆ ที่ไม่อาจเขียนได้อยู่ในรูปทศนิยมที่มีจุดสิ้นสุด เราจะเขียนจำนวนเหล่านี้ได้ในรูปทศนิยมซ้ำ 

เนื่องจาก 10 เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะจำนวนแรกและจำนวนที่สาม (นั่นคือ 2 และ 5) ซึ่งมากกว่ากำลังสองของจำนวนเฉพาะจำนวนที่สองอยู่หนึ่ง (กำลังสองของ 3 คือ 9 และน้อยกว่าจำนวนเฉพาะจำนวนที่ห้าอยู่หนึ่ง (11) ทำให้มีรูปแบบของทศนิยมบางรูปแบบ ดังนี้

:\frac{1}{2} = 0.5
:\frac{1}{3} = 0.333333\cdots (3 ซ้ำ)
:\frac{1}{4} = 0.25 
:\frac{1}{5} = 0.2 
:\frac{1}{6} = 0.166666\cdots (6 ซ้ำ)
:\frac{1}{7} = 0.142857142857\cdots(142857 ซ้ำ)
:\frac{1}{8} = 0.125
:\frac{1}{9} = 0.111111\cdots (1 ซ้ำ)
:\frac{1}{10} = 0.1
:\frac{1}{11} = 0.090909\cdots (09 ซ้ำ)
:\frac{1}{12} = 0.083333\cdots (3 ซ้ำ)
:\frac{1}{81} = 0.012345679012\cdots (012345679 ซ้ำ)

สำหรับจำนวนที่มีจำนวนเฉพาะอื่น ๆ เป็นตัวส่วนนั้นจะทำให้มีรูปแบบที่ซ้ำยาวขึ้น เช่น 7 และ 13
 
การหาชุดของทศนิยมซ้ำนั้นทำได้โดยการตั้งหารยาว เราจะมีเศษไม่ใช่ศูนย์เพียง q-1 แบบเท่านั้นจากการหารด้วย q ดังนั้น ช่วงของทศนิยมซ้ำจะยาวไม่เกิน q-1 อย่างแน่นอน ลองดูตัวอย่างของการหา 3/7 ในรูปทศนิยม

           0.4 2 8 5 7 1 4 ...
  7 ) 3.0 0 0 0 0 0 0 0 
      2 8                         \frac{30}{7} = 4 เศษ 2
        2 0
        1 4                       \frac{20}{7} = 2 เศษ 6
          6 0
          5 6                     \frac{60}{7} = 8 เศษ 4
            4 0
            3 5                   \frac{40}{7} = 5 เศษ 5
              5 0
              4 9                 \frac{50}{7} = 7 เศษ 1
                1 0
                  7               \frac{10}{7} = 1 เศษ 3
                  3 0
                  2 8             \frac{30}{7} = 4 เศษ 2  (ซ้ำ)
                    2 0
                         ฯลฯ

ในทางตรงกันข้าม เราสามารถเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปเศษส่วน \frac{p}{q} ได้ โดยใช้รูปแบบทางเรขาคณิต เพื่อหาผลรวมของชุดทศนิยม เช่น
:0.0123123123\cdots = \frac{123}{10000} \sum_{k=0}^\infty 0.001^k = \frac{123}{10000}\ \frac{1}{1-0.001} = \frac{123}{9990} = \frac{41}{3330}

## ดูเพิ่ม
* ทศนิยม
* ระบบทศนิยมดิวอี้
* เลขฐานสิบเข้ารหัสฐานสอง (BCD)

## แหล่งข้อมูลอื่น
* คำถามพบบ่อยเกี่ยวกับทศนิยม
* แบบทดสอบ: ค่าประจำตำแหน่งของทศนิยม

สิบ
ลเลขฐานสิบ
หมวดหมู่:เศษส่วน