ลูกตุ้มผกผัน

[thumb|right|200px| แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของลูกตุ้มผกผันสามารถประยุกต์ใช้กับระบบควบคุมการทรงตัวของพาหนะอย่าง[เซกเวย์)ได้]]
**ลูกตุ้มผกผัน**  () เป็นปัญหาพื้นฐานที่ใช้ในการเรียนการสอนและในการสาธิตการประยุกต์ทฤษฎีระบบควบคุม ลูกตุ้มผกผันเป็นระบบที่มีจุดสมดุลอยู่รอบแกนหมุนด้วยกันสองจุด ได้แก่จุดที่ลูกตุ้มตั้งตรงอยู่ในแนวดิ่ง และจุดที่ลูกตุ้มอยู่ทิ้งตัวลงในดิ่ง แต่จุดที่มีเสถียรภาพเมื่อไม่มีตัวควบคุมนั้นจะมีจุดเดียวคือ จุดที่แกนทิ้งตัวลงเท่านั้น ไม่ว่าเราจะปล่อยลูกตุ้มที่จุดใดก็ตาม ลูกตุ้มจะตกลงสู่จุดนี้เสมอ การที่จะทำให้ลูกตุ้มนี้สามารถตั้งตรงในแนวดิ่งได้นั้นขึ้นกับการใส่ตัวควบคุมที่เหมาะสมเข้าไปในระบบซึ่งมีได้หลากหลายวิธี และอีกทั้งยังสามารถออกแบบตัวควบคุมให้เป็นเชิงเส้น หรือแบบไม่เชิงเส้นก็ได้ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับความต้องการของผู้ออกแบบและความเหมะสม

## แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของลูกตุ้มผกผัน
ในที่นี้เราจะหาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของลูกตุ้มผกผันโดยใช้กลศาสตร์แบบลากร็องฌ์  (Lagrange's equations) และตั้งสมมติฐานเพื่อความง่ายต่อความเข้าใจและยังคงไม่สูญเสียความเป็นรูปแบบทั่วไปว่าระบบเคลื่อนที่อยู่ในระนาบ 2 มิติ แกน x - y ได้เท่านั้น โดยตัวแปรต่าง ๆ เราจะอ้างอิงตัวแปรเดียวกับที่ปรากฏในภาพ กล่าวคือ \theta(t) คือ มุมที่แท่งลูกตุ้มทำกับแนวตั้งฉากกับพื้นโลก และให้แท่งลูกตุ้มมีความยาว l ให้แรงจากภายนอกเป็น *<math>F</math>* กระทำในทิศ  x ดังภาพ และแรงโน้มถ่วงของโลกกระทำในแนวแกน y และกำหนดให้ x(t) เป็นระยะของรถในแกน x ที่แปรผันตามเวลา และสมการลากร็องฌ์ (Lagrangian) ของระบบเป็นดังต่อไปนี้ L = T - V  โดย T คือพลังงานจลน์ของระบบ และ V คือพลังงานศักย์ของระบบ
thumb|300px|รูปภาพแสดงรูปแบบของเพนดุลัมผกผันและตัวแปรที่ใช้ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์


L = \frac{1}{2} M v_1^2  + \frac{1}{2} m v_2^2 - m g \ell\cos\theta 


โดย v_1 เป็นความเร็วของของตัวรถ v_2 เป็นความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล m ของมวลบนแท่งลูกตุ้ม

ทั้งนี้ v_1 และ v_2 สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ x และ \theta ดังต่อไปนี้ 
:
v_1^2=\dot x^2

:
v_2^2=\left({\frac{d}{dt}}{\left(x- \ell\sin\theta\right)}\right)^2 + \left({\frac{d}{dt}}{\left( \ell\cos\theta \right)}\right)^2

ทำการลดรูป v_2 ได้ผลเป็น
:
v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2    



แทนสมการข้างต้นลงในสมการลากร็องฌ์ ได้ว่า:
:
L = \frac{1}{2} \left(M+m \right ) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\theta + \frac{1}{2} m \ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \theta

และสมการการเคลื่อนที่:
:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot x}} - {\partial{L}\over \partial x} = F


:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot \theta}} - {\partial{L}\over \partial \theta} = 0

แทนที่ L ในสมการข้างต้นจะได้สมการที่อธิบายการเลือนที่ของลูกตุ้มแบบผกผันดังนี้ 
:
\left ( M + m \right ) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F

:
\ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \theta

จะเห็นได้ว่าสมการที่ได้เป็นสมการไม่เชิงเส้นซึ่งยากที่จะนำไปออกแบบตัวควบคุม ในทางปฏิบัติผู้ออกแบบจะนิยมแปรงสมการไม่เชิงเส้นให้เป็นสมการเชิงเส้นก่อน โดยสมมุติว่าแท่งเพนดุลัมแกว่งอยู่ในช่วงมุมเล็ก ๆ ซึ่งประมาณเป็น 0 ได้ (\theta \approx 0) ทั้งนี้เพื่อความง่ายต่อการออกแบบตัวควบคุม และง่ายต่อการอธิบายพฤติกรรมของระบบ

## ดูเพิ่ม
*ทฤษฎีระบบควบคุม
*เซกเวย์
*ลูกตุ้มผกผันแบบฟุรุตะ (Furuta pendulum)

## อ้างอิง

## แหล่งข้อมูลอื่น
* [สื่อการสอนเกี่ยวกับทฤษฎีระบบควบคุม มีตัวอย่างเป็นลูกตุ้มแบบผกผัน ของ [มหาวิทยาลัยคาร์เนกีเมลลอน] ] 
* Katsuhiko Ogata, Modern control engineering (Edition	5), Prentice Hall, 2010, ISBN 0136156738,9780136156734
* Franklin; et al. (2005). Feedback control of dynamic systems, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0
* Norman S. Nise, Control Systems Engineering (Edition	6), John Wiley & Sons, 2010, ISBN 0470547561, 9780470547564
* เดวิด บรรเจิดพงศ์ชัย, ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "ระบบควบคุมพลวัต การวิเคราะห์ การออกแบบ และการประยุกต์ (Dynamical Control Systems Analysis, Design and Applications)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2551 (ISBN 978-974-03-2205-4) 
* วิบูลย์ แสงวีระพันธุ์ศิริ,  ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล  คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "การควบคุมระบบพลศาสตร์ (Control of Dynamic Systems)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2548 (ISBN 974-13-3393-5)

หมวดหมู่:ทฤษฎีระบบควบคุม
หมวดหมู่:วิศวกรรมศาสตร์
หมวดหมู่:เทคโนโลยี
หมวดหมู่:สิ่งประดิษฐ์และการประดิษฐ์