ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

**ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ** () ถูกเสนอขึ้นในปี ค.ศ. 1905 โดยอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ในบทความของเขาที่มีชื่อว่า "**พลศาสตร์ไฟฟ้าของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่** (On the Electrodynamics of Moving Bodies)" สามศตวรรษก่อนหน้านั้น หลักสัมพัทธภาพของกาลิเลโอกล่าวไว้ว่า การเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ทั้งหมดเป็นการสัมพัทธ์ และไม่มีสถานะของการหยุดนิ่งสัมบูรณ์และนิยามได้ คนที่อยู่บนดาดฟ้าเรือคิดว่าตนอยู่นิ่ง แต่คนที่สังเกตบนชายฝั่งกลับบอกว่า ชายบนเรือกำลังเคลื่อนที่ ทฤษฎีของไอน์สไตน์รวมหลักสัมพัทธภาพของกาลิเลโอเข้ากับสมมติฐานที่ว่า ผู้สังเกตทุกคนจะวัดอัตราเร็วของแสงได้เท่ากันเสมอ ไม่ว่าสภาวะการเคลื่อนที่เชิงเส้นด้วยความเร็วคงที่ของพวกเขาจะเป็นอย่างไร

ทฤษฎีนี้มีข้อสรุปอันน่าประหลาดใจหลายอย่างซึ่งขัดกับสามัญสำนึก แต่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยการทดลอง ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษล้มล้างแนวคิดของปริภูมิสัมบูรณ์และเวลาสัมบูรณ์ของนิวตันโดยการยืนยันว่า ระยะทางและเวลาขึ้นอยู่กับผู้สังเกต และรับรู้เวลากับปริภูมิต่างกันขึ้นอยู่กับผู้สังเกต มันนำมาซึ่งหลักการสมมูลของสสารและพลังงาน ซึ่งสามารถแสดงเป็นสมการชื่อดัง *E*=*mc*2 เมื่อ c คืออัตราเร็วของแสง ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษสอดคล้องกับกลศาสตร์นิวตันในสำนึกทั่วไปและในการทดลองเมื่อความเร็วของสิ่งต่าง ๆ น้อยมากเมื่อเทียบกับอัตราเร็วแสง

ทฤษฎีนี้เรียกว่า "พิเศษ" เนื่องจากมันประยุกต์หลักสัมพัทธภาพกับกรอบอ้างอิงเฉื่อยเท่านั้น ไอน์สไตน์พัฒนาทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปโดยประยุกต์หลักสัมพัทธภาพให้ใช้ทั่วไป กล่าวคือ ใช้ได้กับทุกกรอบอ้างอิง และทฤษฎีดังกล่าวยังรวมผลของความโน้มถ่วง ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษไม่ได้รวมผลของความโน้มถ่วง แต่มันสามารถจัดการกับความเร่งได้

ถึงแม้ว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพจะทำให้เกิดการสัมพัทธ์กันของปริมาณบางอย่าง เช่น เวลาซึ่งเรามักคิดว่าเป็นปริมาณสัมบูรณ์เนื่องจากประสบการณ์ในชีวิตประจำวัน ถึงกระนั้นมันก็มีปริมาณบางอย่างที่เป็นปริมาณสัมบูรณ์ทั้ง ๆ ที่เราคิดว่ามันน่าจะเป็นปริมาณสัมพัทธ์ กล่าวให้ชัดคือว่า อัตราเร็วของแสงจะเท่ากันสำหรับทุกผู้สังเกต แม้ว่าพวกเขาจะเคลื่อนที่สัมพัทธ์กันก็ตาม ทฤษฎีสัมพัทธภาพแสดงให้เห็นว่า c ไม่ใช่แค่ความเร็วของปรากฏการณ์ที่เรียกว่า แสง เท่านั้น แต่ยังเป็นค่าพื้นฐานที่เชื่อมปริภูมิกับเวลาเข้าด้วยกัน กล่าวโดยเจาะจงคือว่า ทฤษฎีสัมพัทธภาพยืนยันว่าไม่มีวัตถุใดเคลื่อนที่เร็วเท่ากับแสงได้

## สมมติฐาน
*บทความหลัก: [[สมมติฐานของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ]]* (Einstein Postulate)
# สมมติฐานข้อแรก - **หลักสัมพัทธภาพอย่างพิเศษ** - กฎทางฟิสิกส์ย่อมเหมือนกันในทุกกรอบอ้างอิงเฉื่อย กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ไม่มีกรอบอ้างอิงพิเศษใด ๆ 
# สมมติฐานข้อที่สอง - **ความไม่แปรเปลี่ยนของ ''c*** - อัตราเร็วของแสงในสุญญากาศเป็นค่าคงที่สากล (*c*) ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับการเคลื่อนที่ของแหล่งกำเนิดแสงนั้น

พลังของทฤษฎีไอน์สไตน์เกิดขึ้นจากวิธีที่เขาได้มาซึ่งผลลัพธ์อันน่าตื่นตระหนกและดูจะไม่น่าถูกต้องจากข้อสมมุติง่าย ๆ สองอย่างซึ่งค้นพบจากการสังเกต ผู้สังเกตพยายามวัดอัตราเร็วของแสงที่แผ่ออกมา พบว่าได้คำตอบเท่าเดิมไม่ว่าผู้สังเกตหรือองค์ประกอบของระบบวัดจะเคลื่อนที่อย่างไร

== ความบกพร่องของกรอบอ้างอิงสัมบูรณ์ ==

หลักสัมพัทธภาพ ซึ่งกล่าวว่าไม่มีกรอบอ้างอิงที่อยู่กับที่ นั้นสืบเนื่องมาจากกาลิเลโอ และถูกรวมเข้ากับฟิสิกส์ของนิวตัน อย่างไรก็ตาม ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 การมีอยู่ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าทำให้นักฟิสิกส์เสนอแนวคิดว่า เอกภพเต็มไปด้วยสารที่รู้จักในนาม "อีเทอร์" ซึ่งทำตัวเป็นตัวกลางยามที่การสั่นของคลื่นเคลื่อนไป [[อีเทอร์]]ถูกตั้งขึ้นเพื่อการมีกรอบอ้างอิงสัมบูรณ์ต้านกับหลักที่ว่าอัตราเร็วของกรอบอ้างอิงใด ๆ สามารถวัดได้ กล่าวอีกอย่างคือ อีเทอร์เป็นสิ่งเดียวที่ถูกตรึงหรือไม่เคลื่อนที่ในเอกภพ อีเทอร์ถูกสมมุติให้มีคุณสมบัติอันอัศจรรย์: มันยืดหยุ่นพอที่จะรองรับคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า และคลื่นนั้นต้องสามารถมีการกระทำกับสสาร ในขณะที่ตัวอีเทอร์เองต้องไม่มีความต้านทานในการเคลื่อนที่สำหรับวัตถุที่ทะลุผ่านมันไป ผลการทดลองต่าง ๆ รวมทั้ง[[การทดลองของไมเคิลสันและเมอร์เลย์]] ชี้ให้เห็นว่าโลก 'อยู่กับที่' -- ซึ่งเป็นอะไรที่ยากจะอธิบายได้ เพราะโลกอยู่ในวงโคจรรอบดวงอาทิตย์ ผลลัพธ์อันสละสลวยของไอน์สไตน์ล้มล้างแนวคิดเรื่องอีเทอร์และการอยู่นิ่งสัมบูรณ์ ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษถูกเขียนขึ้นไม่ใช่แค่ถือว่ากรอบอ้างอิงเฉพาะใด ๆ นั้นพิเศษ แต่ว่าในสัมพัทธภาพ กรอบหนึ่ง ๆ ต้องสังเกตพบกฎทางฟิสิกส์แบบเดียวกันโดยไม่ขึ้นอยู่กับความเร็วของผู้สังเกต กล่าวให้ชัดคือ อัตราเร็วของแสงในสุญญากาศต้องวัดได้ c เสมอ แม้ว่าจะวัดโดยระบบต่าง ๆ ซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต่าง ๆ (แต่คงที่)

== ผลสรุป ==


ไอน์สไตน์ได้กล่าวไว้ว่าผลที่ตามมาของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษสามารถหาได้จากการพิจารณาการแปลงแบบลอเรนซ์
การแปลงเหล่านี้ รวมทั้งทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ นำไปสู่การทำนายลักษณะกายภาพที่ต่างไปจากกลศาสตร์นิวตันเมื่อความเร็วสัมพัทธ์มีค่าเทียบเคียงอัตราเร็วแสง อัตราเร็วแสงนั้นมากกว่าทุกสิ่งที่มนุษย์เคยประสบ จนทำให้ผลบางอย่างซึ่งทำนายจากหลักการสัมพัทธ์นั้นจะขัดกับสัญชาตญาณตั้งแต่แรก:

* *'การยืดออกของเวลา** - เวลาที่ล่วงไประหว่างเหตุการณ์สองอย่างนั้นไม่แปรเปลี่ยนจากผู้สังเกตหนึ่งไปยังผู้สังเกตหนึ่ง แต่มันขึ้นอยู่กับความเร็วสัมพัทธ์ของกรอบอ้างอิงของผู้สังเกต (ตัวอย่างเช่น ปัญหา twin paradox ซึ่งพูดถึงฝาแฝดซึ่งคนหนึ่งบินไปกับยานอวกาศซึ่งเคลื่อนที่ไปด้วยความเร็วใกล้แสง แล้วกลับมาพบว่าแฝดของเขาที่อยู่บนโลกมีอายุมากกว่า)
* **สัมพัทธภาพของความพร้อมกัน** - เหตุการณ์สองอย่างเกิดขึ้นในที่ที่ต่างกันสองแห่งอย่างพร้อมกันสำหรับผู้สังเกตหนึ่ง อาจไม่พร้อมกันสำหรับผู้สังเกตคนอื่น (ความบกพร่องของความพร้อมกันสัมบูรณ์)
* **การหดสั้นเชิงลอเรนซ์** - มิติ (เช่น ความยาว) ของวัตถุเมื่อวัดโดยผู้สังเกตคนหนึ่งอาจเล็กลงกว่าผลการวัดของผู้สังเกตอีกคนหนึ่ง (ตัวอย่างเช่น ladder paradox เกี่ยวข้องกับบันไดยาวซึ่งเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วใกล้แสงและเข้าเก็บในห้องซึ่งเล็กกว่า)
* **การรวมความเร็ว** - ความเร็ว (และอัตราเร็ว) ไม่ได้ 'รวม' กันง่าย ๆ ยกตัวอย่างเช่นถ้าจรวดลำหนึ่งกำลังเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว ⅔ ของอัตราเร็วแสงสัมพัทธ์กับผู้สังเกตคนหนึ่ง แล้วจรวดก็ปล่อยมิสไซล์ที่มีอัตราเร็วเท่ากับ ⅔ ของอัตราเร็วแสงสัมพัทธ์กับจรวด มิสไซล์ไม่ได้มีอัตราเร็วมากกว่าอัตราเร็วแสงสัมพัทธ์กับผู้สังเกต (ในตัวอย่างนี้ ผู้สังเกตจะเห็นมิสไซล์วิ่งไปด้วยอัตราเร็ว 12/13 ของอัตราเร็วแสง)
* **ความเฉื่อยกับโมเมนตัม** - เมื่อความเร็วของวัตถุเข้าใกล้อัตราเร็วแสง วัตถุจะเร่งได้ยากขึ้นและยากขึ้นเรื่อย ๆ 
* **การสมมูลของมวลและพลังงาน, *E*=*mc*2** - มวลและพลังงานสามารถแปลงกลับกันไปมา และมีบทบาทเทียบเท่ากัน (ตัวอย่างเช่น แรงโน้มถ่วงของแอปเปิลที่กำลังหล่น ส่วนหนึ่งเกิดจากพลังงานจลน์ของอนุภาคย่อยซึ่งประกอบเป็นแอปเปิลขึ้นมา)

== กรอบอ้างอิง ระบบพิกัด และการแปลงแบบลอเรนซ์ ==


[[ไฟล์:Lorentz transform of world line.gif|right|framed|ภาพการเปลี่ยนมุมมองของกาลอวกาศตามเส้น [[world line]] เมื่อผู้สังเกตเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเพิ่มขึ้นอย่างกะทันหัน<br /><br />ในภาพเคลื่อนไหว แกนในแนวดิ่งหมายถึง เวลา ส่วนแกนแนวนอนหมายถึง ระยะทาง เส้นประคือวิถีของกาลอวกาศ ("[[world line]]") ของผู้สังเกต ภาพส่วนล่างของไดอะแกรมแสดงเหตุการณ์ที่ผู้สังเกตมองเห็น ภาพส่วนบนแสดง [[light cone]] หรือสิ่งที่ผู้สังเกตจะมองเห็น จุดเล็ก ๆ ในรูปคือเหตุการณ์แบบสุ่มที่อาจเกิดขึ้นได้ในกาลอวกาศ<br /><br />เส้นลาดของ world line (ที่เบี่ยงเบนไปจากแนวดิ่ง) แสดงถึงความเร็วสัมพัทธ์กับผู้สังเกต พึงพิจารณามุมมองของกาลอวกาศที่เปลี่ยนแปลงไปเมื่อผู้สังเกตเร่งความเร็วขึ้น]]

ทฤษฎีสัมพัทธภาพขึ้นอยู่กับ "กรอบอ้างอิง" กรอบอ้างอิงคือจุดในปริภูมิที่อยู่นิ่ง หรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ จากตำแหน่งซึ่งสามารถวัดได้ตามแกน 3 แกน นอกจากนี้ กรอบอ้างอิงยังมีนาฬิกาซึ่งกำลังเคลื่อนที่ไปกับกรอบอ้างอิงซึ่งใช้ในการวัดเวลาของเหตุการณ์

เหตุการณ์ คือสิ่งที่เกิดขึ้นโดยสามารถระบุเป็นเวลาและตำแหน่งเดี่ยว ๆ ในปริภูมิสัมพัทธ์กับกรอบอ้างอิง: นั่นคือ "จุด" ในปริภูมิ-เวลา เนื่องจากอัตราเร็วแสงมีค่าคงที่ในแต่ละกรอบอ้างอิงและทุก ๆ กรอบ พัลส์ของแสงจึงสามารถใช้วัดระยะทางได้อย่างแม่นยำและกลับมาเมื่อครั้งที่เหตุการณ์เกิดขึ้นไปยังนาฬิกา ถึงแม้ว่าแสงจะใช้เวลากลับมาหานาฬิกาหลังจากที่เหตุการณ์ได้เกิดขึ้นแล้วก็ตาม

ยกตัวอย่างเช่น การระเบิดของประทัดสามารถเป็น "เหตุการณ์" ได้ เราสามารถระบุเหตุการณ์ได้อย่างสมบูรณ์ด้วยใช้พิกัด ปริภูมิ-เวลา 4 มิติ: เวลาที่เหตุการณ์เกิดขึ้น และตำแหน่ง 3 มิติจากตำแหน่งอ้างอิง เรียกกรอบอ้างอิงนี้ว่า S

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ เรามักต้องการคำนวณตำแหน่งของจุดจากตำแหน่งอ้างอิงอีกอันหนึ่ง

สมมุติเรามีกรอบอ้างอิงที่สอง คือ S' ซึ่งมีแกนพิกัดและนาฬิกาวางตัวทับกันกับระบบของ S ที่เวลาเป็นศูนย์ แต่กรอบอ้างอิงที่สองกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ <math>v\,</math> เทียบกับกรอบอ้างอิง S ไปตามแกน <math>x\,</math>

เนื่องจากไม่มีกรอบอ้างอิงสัมบูรณ์ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ แนวคิดเรื่อง 'การเคลื่อนที่' จึงไม่ได้มีอยู่อย่างชัดเจน จากที่ทุกสิ่งย่อมเคลื่อนที่เทียบกับกรอบอ้างอิงอื่นเสมอ แทนที่โดย กรอบสองกรอบใด ๆ ที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเท่ากัน ในทิศทางเดียวกันจะเรียกว่า การเคลื่อนที่ร่วม ดังนั้น S และ S' จึงไม่ได้เป็นการเคลื่อนที่ร่วมกัน

กำหนดให้ [[เหตุการณ์]] เกิดขึ้นในพิกัดปริภูมิ-เวลา <math>(t, x, y, z) \,</math> ในระบบ S และในพิกัด <math>(t', x', y', z') \,</math> ในระบบ S' จากนั้นการแปลงแบบลอเรนซ์ระบุว่าพิกัดทั้งสองสัมพันธ์กันดังนี้:
: <math>t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right) </math>
: <math>x' = \gamma (x - v t) \,</math>
: <math>y' = y\,</math>
: <math>z' = z\,</math>
เมื่อ <math>\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}</math> เรียกว่า [[Lorentz factor]] และ <math>c</math> คือ [[อัตราเร็วแสง]] ในสุญญากาศ

พิกัด <math>y\,</math> และ <math>z\,</math> ไม่ได้รับผล แต่แกน <math>x\,</math> และ <math>t\,</math> นั้นผสานกันในสูตรการแปลง โดยการแปลงนี้สามารถเข้าใจได้ด้วย การหมุนแบบไฮเพอร์โบลิก

ปริมาณซึ่งไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลงแบบลอเรนซ์รู้จักกันในนาม [[Lorentz scalar]]

== ความพร้อมกัน ==

จากสมการที่หนึ่งของการแปลงแบบลอเรนซ์ในเทอมผลต่างของพิกัด จะได้

: <math>\Delta t' = \gamma \left(\Delta t - \frac{v \Delta x}{c^{2}} \right) </math>

เห็นได้ชัดว่าเหตุการณ์สองอย่างที่พร้อมกันในกรอบอ้างอิง S (คือ <math>\Delta t = 0\,</math>) นั้นไม่จำเป็นต้องเกิดขึ้นพร้อมกันในอีกกรอบอ้างอิงหนึ่งซึ่งในที่นี้ก็คือ กรอบอ้างอิง S' (คือ <math>\Delta t' = 0\,</math>) เหตุการณ์ทั้งสองนั้นจะเกิดขึ้นพร้อมกันในกรอบอ้างอิง S'ด้วยก็ต่อเมื่อเหตุการณ์เหล่านั้นเกิดขึ้น ณ ตำแหน่งเดียวกันในกรอบอ้างอิง S (คือ <math>\Delta x = 0\,</math>)

== การยืดออกของเวลา และการหดสั้นของความยาว ==

จากการเขียนการแปลงแบบลอเรนซ์และอินเวอร์สในเทอมผลต่างของพิกัด เราจะได้

: <math>\Delta t' = \gamma \left(\Delta t - \frac{v \Delta x}{c^{2}} \right) </math>
: <math>\Delta x' = \gamma (\Delta x - v \Delta t) \,</math>
และ
: <math>\Delta t = \gamma \left(\Delta t' + \frac{v \Delta x'}{c^{2}} \right) </math>
: <math>\Delta x = \gamma (\Delta x' + v \Delta t') \,</math>

สมมุติว่าเรามีนาฬิกาซึ่งอยู่นิ่งในกรอบอ้างอิง S เสียงติ๊กสองติ๊กของนาฬิกาวัดโดยที่ <math>\Delta x = 0</math> ถ้าเราต้องการรู้ความสัมพัทธ์ระหว่างเวลากับเสียงติ๊ก ซึ่งวัดโดยระบบอ้างอิงทั้งสอง เราสามารถใช้สมการแรกและพบว่า
: <math>\Delta t' = \gamma \Delta t \,</math>
นี่แสดงให้เห็นว่า ช่วงเวลา <math>\Delta t'</math> ระหว่างเสียงนาฬิกาสองติ๊กที่วัดในกรอบอ้างอิงซึ่ง 'เคลื่อนที่' S' นั้นโตกว่าช่วงเวลา<math>\Delta t</math> ระหว่างเสียงนาฬิกาสองติ๊กที่วัดในกรอบอ้างอิงในกรอบที่หยุดนิ่งเทียบกับนาฬิกานั้น ปรากฏการณ์ดังกล่าวเรียกว่า [[การยืดออกของเวลา]] (ข้อสังเกต: การวัดเวลาระหว่างสองเหตุการณ์ใด ๆ จะต้องวัดที่ตำแหน่งในปริภูมิเดิมเสมอเทียบกับกรอบอ้างอิงนั้น ๆ คือ <math>\Delta x = 0</math> ในกรอบอ้างอิง S หรือ <math>\Delta x' = 0</math> ในกรอบอ้างอิง S' :ผู้แปล)

เช่นเดียวกัน สมมุติเรามีไม้วัดวางนิ่งอยู่ในกรอบอ้างอิง S ในระบบนี้ ความยาวของไม้สามารถเขียนเป็น <math>\Delta x</math> ถ้าเราต้องการหาความยาวของไม้นี้โดยวัดในกรอบอ้างอิงซึ่ง 'เคลื่อนที่' S' เราต้องมั่นใจว่าวัดระยะ <math>x'</math> ที่ตำแหน่งปลายไม้อย่างพร้อมกันในกรอบอ้างอิง S' หรือพูดอีกอย่างก็คือ การวัดต้องให้ <math>\Delta t' = 0</math>ซึ่งเราสามารถรวมหลักการนี้เข้ากับสมการที่สี่เพื่อหาความสัมพันธ์ระหว่างความยาว <math>\Delta x</math> กับ <math>\Delta x'</math> ได้เป็น:
: <math>\Delta x' = \frac{\Delta x}{\gamma}</math>
นี่แสดงว่าความยาว <math>\Delta x'</math> ของไม้ซึ่งวัดในกรอบอ้างอิงซึ่ง 'เคลื่อนที่' S' สั้นกว่าความยาว <math>\Delta x</math> ในกรอบที่อยู่นิ่งเทียบกับตัวไม้เอง ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า ''[[การหดสั้นแบบลอเรนซ์|การหดสั้นของความยาว]]'' หรือ ''[[การหดสั้นแบบลอเรนซ์]]'' (ข้อสังเกต: การวัดความยาวระหว่างสองตำแหน่งในปริภูมิจะต้องวัดที่เวลาเดียวกันเสมอเทียบกับกรอบอ้างอิงนั้น ๆ คือ <math>\Delta t = 0</math> ในกรอบอ้างอิง S หรือ <math>\Delta t' = 0</math> ในกรอบอ้างอิง S' :ผู้แปล)

ผลการยืดหดเหล่านี้ไม่ใช่เพียงภาพปรากฏเท่านั้น แต่มันสัมพันธ์อย่างชัดเจนกับวิธีในการวัดช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์ 'ร่วมตำแหน่ง' และระยะทางระหว่างเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอย่างพร้อมกัน

== Causality และการห้ามวัตถุเคลื่อนที่เร็วกว่าแสง ==
[[ไฟล์:light_cone.png|thumb|left|Diagram 2. light cone]]

ในแผนภาพที่ 2 ช่วง AB เรียกว่า 'time-like' ''กล่าวคือ'' มีกรอบอ้างอิงซึ่งมีเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เกิดขึ้นในตำแหน่งเดียวกันในปริภูมิ แต่แยกกันเนื่องจากการเกิดขึ้นในเวลาที่ต่างกันเท่านั้น ถ้า A เกิดก่อน B ในกรอบอ้างอิงนั้น A ย่อมเกิดขึ้นก่อน B ในทุก ๆ กรอบอ้างอิง จึงเป็นไปได้ในเชิงสมมติฐานว่า [[สสาร]] (หรือข้อมูล) จะสามารถเคลื่อนที่จาก A ไป B และมีความสัมพันธ์อย่างมีเหตุผล (โดย A เป็นเหตุ และ B เป็นผล)

ช่วง AC ในแผนภาพเรียกว่า 'space-like'; ''กล่าวคือ'' มีกรอบอ้างอิงซึ่งเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ C เกิดขึ้นพร้อมกัน เว้นแต่ว่าอยู่คนละตำแหน่งในปริภูมิ อย่างไรก็ตามยังมีบางกรอบซึ่ง A เกิดก่อน C (ดังรูป) และบางกรอบซึ่ง C เกิดก่อน A ถ้าความสัมพันธ์แบบเหตุและผลนั้นเป็นไปได้ระหว่างเหตุการณ์ A และ C พาราดอกซ์ทางตรรกะ (logical paradoxes) จะเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น ถ้า A เป็นเหตุ และ C เป็นผล ก็จะมีบางกรอบอ้างอิงที่ทำให้ผลมาก่อนเหตุ วิธีหนึ่งที่จะมองคือว่า ถ้ามีเทคโนโลยีที่ยอมให้มีการเคลื่อนที่เร็วกว่าแสง มันก็จะทำตัวเป็นไทม์แมชชีน (time machine) ดังนั้นผลสรุปอย่างหนึ่งของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษคือว่า (โดยถือว่า [[causality]] เป็นหลักการทางตรรกะอย่างหนึ่ง) ไม่มีข้อมูลหรือวัตถุใดสามารถเคลื่อนที่ได้[[เร็วกว่าแสง]] อย่างไรก็ตาม สถานการณ์ทางตรรกะไม่ชัดเจนนักในกรณีของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ดังนั้นจึงเป็นคำถามปลายเปิดว่ามี [[Chronology protection conjecture|fundamental principle]] ซึ่งรักษาหลัก causality (และรักษาหลักการเคลื่อนที่เร็วกว่าแสง) ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปหรือไม่

== การรวมความเร็ว ==



ถ้าผู้สังเกตในกรอบอ้างอิง <math>S</math> เห็นวัตถุหนึ่งเคลื่อนที่ไปตามแนวแกน <math>x</math> ด้วยความเร็ว <math>w</math> ผู้สังเกตในกรอบ <math>S'</math> จะเห็นว่าวัตถุดังกล่าวมีความเร็ว <math>w'</math> โดยที่

:<math>w'=\frac{w-v}{1-wv/c^2}</math>

สมการนี้สามารถหาได้จากการแปลงปริภูมิและเวลาข้างต้น ระลึกไว้ว่าถ้าวัตถุเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วแสงในกรอบอ้างอิง <math>S</math> (นั่นคือ <math>w=c</math>) วัตถุนั้นก็จะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วแสงในกรอบอ้างอิง <math>S'</math> เช่นกัน ถ้าทั้ง <math>w</math> และ <math>v</math> เล็กมากเมื่อเทียบกับอัตราเร็วแสง เราก็จะสามารถใช้การแปลงความเร็วแบบกาลิเลียนในแบบสัญชาตญาณของเรา คือ <math>w'=w-v</math>

== มวล โมเมนตัม และพลังงาน ==




นอกจากการปรับเปลี่ยนแนวคิดเกี่ยวกับปริภูมิและเวลาแล้ว ทฤษฎีสัมพัทธภาพยังบังคับให้เราต้องกลับมาพิจารณาแนวคิดของ [[มวล]] [[โมเมนตัม]] และ [[พลังงาน]] ทั้งหมดนี้มีความสำคัญต่อโครงสร้างใน [[กลศาสตร์นิวตัน]] ทฤษฎีสัมพัทธภาพแสดงให้เห็นว่า อันที่จริงแล้ว แนวคิดเหล่านั้นมีแง่มุมที่ต่างกันมากสำหรับปริมาณทางกายภาพเดียวกันเหมือนกับที่มันแสดงว่าปริภูมิกับเวลามีความเชื่อมโยงกัน

มีหลายวิธี (ที่เทียบเท่ากัน) ที่จะนิยามโมเมนตัมและพลังงานใน SR (หมายถึง ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ :ผู้แปล) วิธีหนึ่งคือใช้ [[กฎการอนุรักษ์]] ถ้ากฎเหล่านี้ยังคงใช้ได้ใน SR พวกมันย่อมเป็นจริงในทุกกรอบอ้างอิงที่เป็นไปได้ อย่างไรก็ตาม ถ้าเราทำ [[การทดลองในความคิด]] อย่างง่ายโดยใช้การนิยามแบบนิวตันของโมเมนตัมและพลังงาน เราจะเห็นว่าปริมาณเหล่านั้นไม่อนุรักษ์ใน SR เราสามารถกู้แนวคิดของการอนุรักษ์กลับมาโดยทำการปรับนิยามเพื่อให้เข้ากับความเร็วเชิงสัมพัทธภาพ และนี่คือนิยามใหม่ซึ่งแก้ไขแล้วสำหรับโมเมนตัมและพลังงานใน SR

ให้วัตถุมี [[มวลไม่แปรเปลี่ยน]] ''m''<sub>0</sub> เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว ''v'' พลังงานและโมเมตัมจะเป็น (และถูกสั่งให้เป็น)
:<math>E = \gamma m_0 c^2 \,\!</math>

:<math>\vec p = \gamma m_0 \vec v \,\!</math>

เมื่อ ''γ'' ([[Lorentz factor]]) มาจาก

:<math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \,\!</math>

และ ''c'' คืออัตราเร็วแสง เทอม γ ปรากฏอยู่บ่อย ๆ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ และมันมาจาก [[สมการการแปลงแบบลอเรนซ์]]

พลังงานและโมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพมีความสัมพันธ์กันตามสูตร
:<math> E^2 - (p c) ^2 = (m_0 c^2) ^2 \,\!</math>

ซึ่งเรียกว่าเป็น ''สมการพลังงาน-โมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพ (relativistic energy-momentum equation) ''

สำหรับความเร็วที่น้อยกว่าของแสงมาก ค่า γ สามารถประมาณได้โดยใช้ [[Taylor series|Taylor series expansion]] และจะพบว่า

:<math> E \approx m_0 c^2 + \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} m_0 v^2 \,\!</math>

:<math>\vec p \approx m_0 \vec v \,\!</math>

ถ้าไม่มีเทอมแรกในสูตรพลังงาน (จะกล่าวถึงภายหลัง) สูตรเหล่านี้จะสอดคล้องอย่างชัดเจนกับนิยามมาตรฐานของ [[พลังงานจลน์]] และโมเมนตัมแบบนิวตัน นี่เป็นการแสดงว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษต้องสอดคล้องกับกลศาสตร์นิวตันที่ความเร็วต่ำ

เมื่อดูที่สูตรสำหรับพลังงานข้างต้น เราจะเห็นว่าวัตถุ เมื่ออยู่นิ่ง (***v*** = 0 and γ = 1) จะมีพลังงานที่ไม่เท่ากับศูนย์เหลืออยู่ คือ

:<math>E = m_0 c^2 \,\!</math>

พลังงานนี้เรียกว่า ''พลังงานนิ่ง (rest energy) '' พลังงานนิ่งไม่ได้เป็นสาเหตุของความขัดแย้งกับทฤษฎีแบบนิวตันเพราะว่ามันเป็นค่าคงที่ และเป็นความแตกต่างในแง่พลังงานซึ่งมีความหมายอย่างยิ่ง ตราบเท่าที่ยังพิจารณาพลังงานจลน์ 

เมื่อนำสูตรนี้พิจารณาค่า เราจะพบว่าในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ''มวลเป็นเพียงแค่พลังงานรูปแบบหนึ่ง'' ในปี ค.ศ. 1927 ไอน์สไตน์ได้ตั้งข้อสังเกตเกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษไว้ว่า

''ภายใต้ทฤษฎีนี้ มวลนั้นไม่ใช่ปริมาณใหม่อะไร แต่เป็นเพียงปริมาณที่ขึ้นอยู่กับ (และจริง ๆ แล้ว คือ เหมือนกับ) พลังงาน'' [http://www.pbs.org/wgbh/nova/newton/einstein.html]

สูตรนี้มีความสำคัญเมื่อมีคนวัดมวลนิวคลิไอของอะตอมต่าง ๆ และโดยการดูผลต่างของมวลเหล่านั้น ก็สามารถทำนายได้ว่านิวคลีไอใดมีพลังงานที่เก็บไว้จนสามารถเกิด [[ปฏิกิริยานิวเคลียร์]] ได้ รวมทั้งข้อมูลซึ่งมีประโยชน์อย่างยิ่งในการพัฒนา [[ระเบิดนิวเคลียร์]] ผลกระทบของสมการนี้ต่อผู้คนใน [[คริสต์ศตวรรษที่ 20|ศตวรรษที่ 20]] ทำให้มันเป็นหนึ่งในสมการที่มีชื่อเสียงที่สุดในสาขาวิทยาศาสตร์ทั้งหมด

== มวลเชิงสัมพัทธภาพ ==
ในวิชาฟิสิกส์เบื้องต้นและหนังสือเก่า ๆ เกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพบางครั้งจะนิยามคำว่า ''[[มวลเชิงสัมพัทธภาพ]]'' ซึ่งเพิ่มขึ้นเมื่อความเร็วของวัตถุเพิ่มขึ้น ตามการตีความทางเรขาคณิตของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ มักจะไม่ชอบนิยามนี้ และคำว่า 'มวล' ถูกสงวนไว้สำหรับว่าคำว่า 'มวลนิ่ง' และไม่ขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิง กล่าวคือ มัน ''ไม่แปรเปลี่ยน''

จากการใช้นิยามของมวลเชิงสัมพัทธภาพ มวลวัตถุสามารถแปรเปลี่ยนได้ขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิงเฉื่อยของผู้สังเกตเช่นเดียวกับปริมาณอื่น ๆ เช่น ความยาว การนิยามปริมาณหนึ่ง ๆ บางครั้งมี ''ประโยชน์'' ในการช่วยให้คำนวณง่ายขึ้นโดยจำกัดมันกับกรอบอ้างอิง ยกตัวอย่างเช่น ในการพิจารณาวัตถุซึ่งมีมวลไม่แปรเปลี่ยน m<sub>0</sub> ซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วค่าหนึ่งสัมพัทธ์กับกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตคนหนึ่ง ผู้สังเกตคนนั้นจะนิยาม ''มวลเชิงสัมพัทธภาพ'' ของวัตถุเท่ากับ

:<math>m = \gamma m_0\!</math>

"มวลเชิงสัมพัทธภาพ" ไม่ควรสับสนกับนิยามของ "longitudinal" และ "transverse mass" ที่ถูกใช้ในช่วงปี ค.ศ. 1900 และที่ตั้งอยู่บนการประยุกต์ที่ขัดแย้งกันของกฎนิวตัน คือใช้ ''F=ma'' สำหรับมวลแปรค่าได้ ในขณะที่มวลเชิงสัมพัทธภาพสัมพันธ์กับมวลเชิงไดนามิกของนิวตัน โดยที่ ''p=mv'' และ ''F=dp/dt''

ควรระลึกไว้เช่นกันว่า วัตถุ ''ไม่'' ได้มีมวลมากขึ้นในกรอบอ้างอิง ''แท้''และกรอบอ้างอิงเฉื่อยอื่นๆ (คือ กรอบอ้างอิงที่เห็นวัตถุหยุดนิ่ง :ผู้แปล,หรือกรอบที่เห็นวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่) เพราะมวลเชิงสัมพัทธภาพจะแตกต่างกันไปสำหรับผู้สังเกตในกรอบต่าง ๆ กัน(แท้จริงแล้วคือ Lorentz factor มีค่าต่าง ๆ กัน) มวลที่อิสระจากกรอบ ''เท่านั้น'' จึงจะเป็นมวลไม่แปรเปลี่ยน (มวลชิงสัมภัทธภาพ เปลี่ยนไปตามกรอบอ้างอิง แต่ไม่มีความจำเป็นที่จะนิยาม มวลเชิงสัมพัทธภาพขึ้นมาเลย)เมื่อใช้มวลเชิงสัมพัทธภาพ กรอบอ้างอิงที่ใช้ต้องระบุให้ชัดเจนหากมันไม่ชัดเจนหรือแสดงออกมา มันเป็นไปโดยไม่ได้กล่าวว่า การเพิ่มขึ้นในมวลเชิงสัมพัทธภาพไม่ได้มาจากจำนวนอะตอมที่เพิ่มขึ้นในวัตถุ แต่แทนที่จะเป็นอย่างนั้น มวลเชิงสัมพัทธภาพของแต่ละอะตอมและอนุภาคเล็กกว่าอะตอมก็ไม่เพิ่มขึ้น แต่พลังงานในการเคลื่อนที่เพิ่มขึ้น และเราตีความว่ามวลคือพลังงานนั่นเองแท้จริงแล้วธรรมชาติของมวลและพลังงานต่างกันมาก

หนังสือเรียนฟิสิกส์เก่า ๆ บางครั้งจะใช้มวลเชิงสัมพัทธภาพเพราะมันยอมให้นักเรียนได้ใช้ความรู้ของฟิสิกส์แบบนิวตันเพื่อจะได้เข้าใจในทฤษฎีสัมพัทธภาพในกรอบอ้างอิงของตัวเลือก (ซึ่งมักจะเป็นของตัวเอง!) "มวลเชิงสัมพัทธภาพ" ยังสอดคล้องกับแนวคิดของ "การยืดออกของเวลา" และ "การหดสั้นของระยะทาง"

== แรง ==
นิยามแบบคลาสสิกของแรง F กำหนดโดย [[กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน|กฎข้อที่สองของนิวตัน]] ในรูปแบบดั้งเดิม

:<math>\vec F = d\vec p/dt </math>

และใช้ได้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ 

หนังสือเรียนสมัยใหม่ มักจะเขียนกฎข้อที่สองของนิวตันใหม่เป็น

:<math>\vec F = m \vec a </math>

รูปแบบนี้ใช้ไม่ได้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพและกรณีอื่นใดที่มวล ''m'' แปรเปลี่ยน

สำหรับมวลคงที่ ''m''<sub>0</sub> สูตรดังกล่าวสามารถเขียนแทนได้ ในกรณีสัมพัทธภาพ จะเป็น

:<math>\vec F = \gamma m_0 \vec a + \gamma^3 m_0 \frac{\vec v \cdot \vec a}{c^2} \vec v</math>

จากการมองสมการนี้ จะพบว่าแรงและเวกเตอร์ความเร่งไม่เป็นจำเป็นต้องขนานกันในทฤษฎีสัมพัทธภาพ

== เรขาคณิตของปริภูมิ-เวลา ==
ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษใช้[[ปริภูมิ-เวลาแบบมินคอฟสกี]]สี่มิติแบบราบ ซึ่งเป็นตัวอย่างหนึ่งของ [[ปริภูมิ-เวลา]] อย่างไรก็ตาม ปริภูมิแบบนี้คล้ายกับปริภูมิแบบยูคลิดสามมิติมาตรฐานอย่างมาก และโชคดีคือว่าด้วยเหตุนั้น มันง่ายมากที่จัดการกับมัน

[[ผลต่างเชิงอนุพันธ์]]ของระยะทาง(''ds'') ในปริภูมิสามมิติแบบคาร์ทีเซียน นิยามโดย

:<math> ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 </math>

เมื่อ <math>(dx_1,dx_2,dx_3) </math> เป็นผลต่างเชิงอนุพันธ์ของมิติตามแกนทั้งสาม ในเรขาคณิตของทฤษฎีสัมพัทธภาพ มิติที่สี่ คือ เวลา ได้ถูกเพิ่มเข้าไป พร้อมกับหน่วยของ [[อัตราเร็วแสง|c]] นั่นทำให้สมการสำหรับดิฟเฟอเรนเชียลของระยะทาง กลายเป็น

:<math> ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 - c^2 dt^2 </math>

ถ้าเราอยากทำให้พิกัดของเวลาดูเหมือนพิกัดของปริภูมิ เราสามารถทำให้เวลาเป็น[[จำนวนจินตภาพ]]: ''x<sub>4</sub> = ict'' . ในกรณีนี้ สมการข้างต้นจะสมมาตร

:<math> ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 + dx_4^2 </math>

นี่แสดงให้เห็นมุมมองทางทฤษฎีที่ลึกซึ้งเมื่อมันแสดงว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพเป็นการ [[สมมาตรเชิงหมุน]] ของ [[ปริภูมิ-เวลา]] ซึ่งคล้ายกับสมมาตรเชิงหมุนของ [[ปริภูมิแบบยูคลิด]] อย่างมาก หากเป็นปริภูมิแบบยูคลิดจะใช้ [[Euclidean metric]] ดังนั้นปริภูมิ-เวลาจะใช้ Minkowski metric ตาม Misner (1971 §2.3) แล้ว ความเข้าใจในเชิงลึกทั้งหมดของทั้งทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและทั่วไปจะมาจากการศึกษา Minkowski metric (จะบรรยายในภายหลัง) มากกว่า Euclidean metric "ปลอม" ที่ใช้ ''ict'' เป็นพิกัดเวลา

ถ้าเราลดแกนของปริภูมิลงเป็น 2 จนทำให้เราสามารถใช้ฟิสิกส์ในปริภูมิ 3 มิติ

:<math> ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 - c^2 dt^2 </math>

เราจะเห็นว่า [[null geodesic|null]] [[geodesic]]s จะวางตัวตามกรวยคู่

[[ไฟล์:sr1.svg|200px]]

ซึ่งนิยามโดยสมการ 

:<math> ds^2 = 0 = dx_1^2 + dx_2^2 - c^2 dt^2 </math>

หรือ

:<math> dx_1^2 + dx_2^2 = c^2 dt^2 </math>

ซึ่งเป็นสมการของวงกลมซึ่ง ''r=c*dt''
ถ้าเราขยายผลนี้เป็นปริภูมิสามมิติ null geodesics จะเป็นกรวย 4 มิติ

[[ไฟล์:Null_spherical_space_(special_relativity).jpg]]

:<math> ds^2 = 0 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 - c^2 dt^2 </math>

:<math> dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 = c^2 dt^2 </math>

null dual-cone นี้แทน "แนวการมองเห็น" ของจุดในปริภูมิ กล่าวคือ เมื่อเรามองไปที่ดวงดาวและกล่าวว่า "แสงจากดาวที่ฉันรับได้มีอายุ X ปี" หมายความว่าเรากำลังมองลงไปตามแนวการมองเห็นนี้ คือ null geodesic เรากำลังมองเหตุการณ์หนึ่งที่ห่างออกไป <math>d = \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2} </math> เมตร และ ''d/c'' วินาทีในอดีต ด้วยเหตุผลดังกล่าว null dual cone จึงรู้จักกันในนาม 'กรวยแสง' (จุดในมุมซ้ายล่างของภาพแทนดวงดาว จุดกำเนิดแทนตัวผู้สังเกต และเส้นเชื่อมนั้นแทน null geodesic "แนวการมองเห็น")

[[ไฟล์:sr1.svg|200px]]

กรวยในเขต ''-t'' เป็นข้อมูลที่จุดนั้นกำลัง 'รับ' ในขณะที่กรวยในเขต ''+t'' เป็นข้อมูลที่จุดนั้นกำลัง 'ส่ง'

เรขาคณิตของปริภูมิ-เวลาแบบมินคอฟสกี สามารถพรรณนาได้โดยใช้ [[Minkowski diagram]]s ซึ่งมีประโยชน์เช่นกันในความเข้าใจการทดลองทางความคิดต่าง ๆ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

== ฟิสิกส์ในปริภูมิ-เวลา ==
บัดนี้ เราจะได้เห็นวิธีการเขียนสมการของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษในรูปแบบที่ไม่แปรเปลี่ยนอย่างชัดเจน ตำแหน่งของเหตุการณ์หนึ่ง ๆ ในปริภูมิ-เวลา สามารถกำหนดโดย [[contravariant]] four vector ซึ่งมีองค์ประกอบ คือ 

:<math>x^\nu=\left(t, x, y, z\right) </math>

หมายความว่า <math>x^0 = t</math> และ <math>x^1 = x</math> และ <math>x^2 = y</math> และ <math>x^3 = z</math>. ตัวยกเป็นดัชนีของ contravariant indices ในส่วนนี้มากกว่าจะเป็นเลขชี้กำลังเว้นเสียแต่ว่าเมื่อมันหมายถึงยกกำลังสอง ส่วนตัวห้อยเป็น [[covariant]] indices ซึ่งเรียงจากศูนย์ไปถึงสามเมื่อใช้กับ spacetime gradient ของสนาม φ:

:<math>\partial_0 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial t}, \quad \partial_1 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}, \quad \partial_2 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial y}, \quad \partial_3 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial z}.</math>

=== เมตริกซ์และการแปลงพิกัด ===
จากการระลึถึงธรรมชาติสี่มิติของปริภูมิ-เวลา เราถูกชักจูงให้สร้าง Minkowski metric, η, กำหนดให้มีองค์ประกอบ (ใช้ได้ใน [[กรอบอ้างอิงเฉื่อย]] ใด ๆ) คือ

:<math>\eta_{\alpha\beta} = \begin{pmatrix}
-c^2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math>

และส่วนกลับของมันคือ

:<math>\eta^{\alpha\beta} = \begin{pmatrix}
-1/c^2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math>

ภายใต้เงื่อนไข

:<math>\eta_{\alpha\beta}\eta^{\alpha\beta} = I </math>

จากนั้น เราระลึกได้ว่าการแปลงพิกัดระหว่างกรอบอ้างอิงเฉื่อยนั้นกำหนดโดย [[Lorentz transformation]] tensor Λ. สำหรับกรณีพิเศษของการเคลื่อนที่ตามแนวแกน x เราจะได้ 

:<math>\begin{pmatrix}t'\\ x'\\ y'\\ z'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
\gamma & -\beta\gamma/c & 0 & 0\\
-\beta\gamma c & \gamma & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}t\\ x\\ y\\ z\end{pmatrix}</math>

หรือ

:<math>\Lambda^{\mu'}{}_\nu = \begin{pmatrix}
\gamma & -\beta\gamma/c & 0 & 0\\
-\beta\gamma c & \gamma & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math>

ซึ่งก็คือ matrix of a boost (เช่นการหมุน) ระหว่างพิกัด ''x'' กับ ''t'' เมื่อ μ' บอกแถว และ ν บอกคอลัมน์ ค่า β และ γ ยังนิยามเป็น

:<math>\beta = \frac{v}{c},\ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.</math>

เพื่อให้ทั่วไปยิ่งขึ้น การแปลงจากกรอบอ้างอิงหนึ่ง (ซึ่งไม่สนการแปลงเพื่อความเรียบง่าย) ไปยังอีกกรอบ ต้องทำให้

:<math>\eta_{\alpha\beta} = \eta_{\mu'\nu'} \Lambda^{\mu'}{}_\alpha \Lambda^{\nu'}{}_\beta \!</math>

เมื่อมี implied summation ของ <math>\mu' \!</math> และ <math>\nu' \!</math> จาก 0 ถึง 3 บนหลักมือขวาซึ่งสอดคล้องกับ [[Einstein notation|Einstein summation convention]] [[Poincaré group]] เป็นกลุ่มที่ทั่วไปที่สุดของการแปลงซึ่งยังคงรักษาi [[Minkowski metric]] ไว้ และนี่เป็นสมมาตรทางกายภาพภายใต้ทฤษฎีสัมพัทธภาพอีกด้วย

ปริมาณทางกายภาพแท้ทั้งหมดกำหนดโดยเทนเซอร์ ดังนั้นเพื่อการแปลงกรอบหนึ่งไปยังอีกกรอบหนึ่ง เราใช้จะกฎที่รู้จักกันดีในชื่อ [[Tensor|tensor transformation law]]

:<math>T^{\left[i_1',i_2',...i_p'\right]}_{\left[j_1',j_2',...j_q'\right]} = 
\Lambda^{i_1'}{}_{i_1}\Lambda^{i_2'}{}_{i_2}...\Lambda^{i_p'}{}_{i_p}
\Lambda_{j_1'}{}^{j_1}\Lambda_{j_2'}{}^{j_2}...\Lambda_{j_q'}{}^{j_q}
T^{\left[i_1,i_2,...i_p\right]}_{\left[j_1,j_2,...j_q\right]}</math>

เมื่อ <math>\Lambda_{j_k'}{}^{j_k} \!</math> เป็นเมตริกซ์ส่วนกลับของ <math>\Lambda^{j_k'}{}_{j_k} \!</math>.

เพื่อให้เห็นว่ามันมีประโยชน์อย่างไร เราจะแปลงตำแหน่งของเหตุการณ์หนึ่งจากระบบพิกัดไม่มีเครื่องหมายไพรม์ ''S'' ไปยังระบบมีไพรม์ ''S** เราคำนวณได้ว่า

:
\begin{pmatrix}
t'\\ x'\\ y'\\ z'
\end{pmatrix} = x^{\mu'}=\Lambda^{\mu'}{}_\nu x^\nu=
\begin{pmatrix}
\gamma & -\beta\gamma/c & 0 & 0\\
-\beta\gamma c & \gamma & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
t\\ x\\ y\\ z
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\gamma t- \gamma\beta x/c\\
\gamma x - \beta \gamma ct \\ y\\ z
\end{pmatrix}


ซึ่งการแปลงแบบลอเรนซ์ให้ผลเหมือนกัน เทนเซอร์ทุกตัวแปลงด้วยกฎเดียวกัน

ความยาวกำลังสองของดิฟเฟอเรนเชียลของ position four-vector dx^\mu \! ซึ่งหาได้โดย

:\mathbf{dx}^2 = \eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu = -(c \cdot dt) ^2+(dx) ^2+(dy) ^2+(dz) ^2\,

เป็นปริมาณไม่แปรเปลี่ยน การไม่แปรเปลี่ยนหมายความว่ามันให้ค่าเดิมเสมอในทุกกรอบอ้างอิงเฉื่อย เพราะมันเป็นสเกลาร์ (0 rank tensor) และดังนั้นจึงไม่มี Λ ปรากฏในการแปลงเล็ก ๆ น้อย ๆ ระลึกไว้ว่าเมื่อ line element \mathbf{dx}^2 เป็นลบ d\tau=\sqrt{-\mathbf{dx}^2} / cจะเป็นดิฟเฟอเรนเชียลของ proper time ในขณะที่ เมื่อ \mathbf{dx}^2 เป็นบวก \sqrt{\mathbf{dx}^2} จะเป็นดิฟเฟอเรนเชียลของ proper distance

ค่าพื้นฐานของการจัดรูปสมการทางฟิสิกส์ในรูปของเทนเซอร์ คือสิ่งที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้the Poincaré group อย่างชัดเจน จนทำให้เราไม่จำเป็นต้องทำการคำนวณเพิ่มเติมที่น่าเบื่อหน่ายเพื่อตรวจสอบความจริงนี้ เช่นเดียวกับการสร้างสมการ เรามักพบว่าสมการที่ตอนแรกดูจะไม่เกี่ยวข้องกันนั้น อันที่จริงแล้ว มันมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดในการเป็นส่วนหนึ่งของสมการเทนเซอร์เดียวกัน

### ความเร็วและความเร่งใน 4 มิติ
การเขียนปริมาณทางกายภาพอื่น ๆ เป็นเทนเซอร์สามารถนำมาซึ่งกฎการแปลงได้เรียบง่ายขึ้นเช่นกัน อย่างแรก ระลึกไว้ว่า velocity four-vector *U*μ กำหนดโดย

:U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = \begin{pmatrix} \gamma \\ \gamma v_x \\ \gamma v_y \\ \gamma v_z \end{pmatrix}

จากการเขียนเช่นนี้ เราสามารถกลับมามองกฎการรวมความเร็วในรูปแบบอย่างง่ายเกี่ยวกับการแปลง velocity four-vector ของอนุภาคจากกรอบอ้างอิงหนึ่งไปยังอีกกรอบหนึ่ง *U*μ จึงมีรูปแบบไม่แปรเปลี่ยน คือ

:{\mathbf U}^2 = \eta_{\nu\mu} U^\nu U^\mu = -c^2 .

ดังนั้น velocity four-vector ทุกตัวจึงมีขนาดเท่ากับ *c* นี่เป็นสิ่งที่บอกความจริงว่าไม่มีวัตถุใดอยู่นิ่งในสัมพัทธภาพ อย่างน้อยที่สุด คุณก็ต้องเคลื่อนที่ไปในเวลา acceleration 4-vector กำหนดโดย A^\mu = d{\mathbf U^\mu}/d\tau. เมื่อได้ดังนั้น ทำการ differentiate สมการข้างต้นด้วย *τ* จะได้

:2\eta_{\mu\nu}A^\mu U^\nu = 0. \!

ดังนั้นในทฤษฎีสัมพัทธภาพ acceleration four-vector กับ velocity 4-vector ตั้งฉากกัน

### โมเมนตัมใน 4 มิติ
โมเมนตัมและพลังงานรวมอยู่ใน covariant 4-vector:

:p_\nu = m \cdot \eta_{\nu\mu} U^\mu =  \begin{pmatrix}
-E \\ p_x\\ p_y\\ p_z\end{pmatrix}.

เมื่อ *m* คือ มวลไม่แปรเปลี่ยน

ปริมาณไม่แปรเปลี่ยน (invarient) ของ momentum 4-vector คือ:

:\mathbf{p}^2 = \eta^{\mu\nu}p_\mu p_\nu = -(E/c) ^2 + p^2 .

เราสามารถทำออกมาได้ว่า ค่าไม่แปรเปลี่ยนนี้ เนื่องจากมันเป็นสเกลาร์ จึงไม่เกี่ยวข้องกับว่าเราใช้กรอบอ้างอิงไหนในการคำนวณ หลังจากนั้นโดยการแปลงกรอบที่ทำให้โมเมนคัมรวมเป็นศูนย์ 

:\mathbf{p}^2 = - (E_{rest}/c) ^2 = - (m \cdot c) ^2 .

เราจะพบว่า พลังงานนิ่งเป็นค่าไม่แปรเปลี่ยนซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิง พลังงานนิ่งสามารถคำนวณได้แม้ในระบบที่อนุภาคและระบบกำลังเคลื่อนที่ เพียงแปลงกรอบไปยังกรอบที่ทำให้โมเมนตัมเป็นศูนย์เท่านั้น

พลังงานนิ่งสัมพันธ์กับมวลตามสมการอันน่ายินดีที่เราได้พูดถึงไปแล้ว

:E_{rest} = m c^2\,

ระลึกไว้ว่า มวลของระบบวัดในกรอบศูนย์กลางของโมเมนตัม (center of momentum frame) (เมื่อโมเมนตัมลัพธ์เป็นศูนย์) นั้นกำหนดโดยพลังงานรวมของระบบในกรอบอ้างอิงนั้น มันไม่ได้เท่ากับผลรวมของมวลแต่ละก้อนที่วัดในกรอบอ้างอิงอื่น

### แรงใน 4 มิติ
เมื่อใช้ กฎข้อที่สามของนิวตัน แรงทั้งสองต้องนิยามจากอัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมซึ่งใช้พิกัดเวลาเดียวกัน กล่าวคือ เราต้องใช้แรงใน 3 มิติในการนิยามข้างต้น โชคร้ายที่ไม่มีเทนเซอร์ใน 4 มิติใดที่บรรจุองค์ประกอบของเวกเตอร์แรง 3 มิติตามองค์ประกอบต่าง ๆ ของมัน

ถ้าวัตถุไม่ได้เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว *c* เราสามารถแปลงแรงใน 3 มิติจากกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ร่วมไปกับวัตถุไปยังกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตได้ นั่นนำมาซึ่ง 4-vector ซึ่งเรียกว่า four-force มันคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของ four-vector พลังงาน-โมเมนตัม เทียบกับ proper time รูป covariant version ของ four force คือ

:F_\nu = \frac{d p_{\nu}}{d \tau} =  \begin{pmatrix} -{d E}/{d \tau} \\ {d p_x}/{d \tau} \\ {d p_y}/{d \tau} \\ {d p_z}/{d \tau} \end{pmatrix}

เมื่อ \tau \, คือ proper time

ในกรอบนิ่งของวัตถุ องค์ประกอบเวลาของ four force จะเป็นศูนย์จนกว่า "มวลไม่แปรเปลี่ยน" ของวัตถุนั้นจะเปลี่ยนแปลง โดยที่ มันจะเท่ากับค่าลบของอัตราการเปลี่ยนแปลงคูณ *c*2 อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วองค์ประกอบของ four force ไม่ได้เท่ากับองค์ประกอบของแรงสามมิติ เพราะว่าแรงในสามมิตินิยามโดยอัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเทียบกับเวลาของพิกดันั้น กล่าวคือ \frac{d p}{d t} ในขณะที่ four force นิยามโดยอัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเทียบกับ proper time นั่นคือ  \frac{d p} {d \tau} .

ใน continuous medium *density of force*3 มิติรวมกับ *density of power* เพื่อสร้าง covariant 4-vector องค์ประกอบเชิงปริภูมิมาจากผลการหารแรงที่กระทำต่อเซลล์เล็กจิ๋ว (ใน 3 มิติ) โดยปริมาตรของเซลล์นั้น ส่วนองค์ประกอบเชิงเวลามาจากค่าลบของกำลังที่ส่งผ่านไปยังเซลล์หารด้วยปริมาตรของเซลล์นั้น เวกเตอร์นี้จะนำไปใช้ในเรื่องแม่เหล็กไฟฟ้าด้านล่างต่อไป 

## สัมพัทธภาพกับการรวมสนามแม่เหล็กไฟฟ้า
การแปลงแบบลอเรนซ์ของ สนามไฟฟ้า ของประจุซึ่งเคลื่อนที่ไปในกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตซึ่งไม่ได้เคลื่อนที่ ให้ผลการปรากฏของเทอมทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันทั่วไปในนาม สนามแม่เหล็ก ในทางกลับกัน สนาม *แม่เหล็ก*ที่เกิดขึ้นจากประจุซึ่งเคลื่อนที่จะหายไปและกลายเป็นสนาม *ไฟฟ้าสถิต* ทั้งหมดในกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ไปกับประจุ สมการของแมกซ์เวลล์ จึงเข้ากันอย่างเห็นไห้ชัดกับผลเชิงสัมพัทธภาพพิเศษในแบบจำลองคลาสสิกของเอกภพ เมื่อสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิงและสัมพันธ์กัน จึงเรียกว่าสนาม *แม่เหล็กไฟฟ้า* ทั้งนี้ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษได้ให้กฎการแปลงสำหรับวิธีที่สนามแม่เหล็กไฟฟ้าในกรอบอ้างอิงเฉื่อยหนึ่งไปยังอีกกรอบอ้างอิงเฉื่อยอีกอันหนึ่ง 

### ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าใน 4 มิติ
สมการของแมกซ์เวลล์ ในรูปแบบสามมิตินั้นสอดคล้องกับเนื้อความเชิงกายภาพของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษอยู่แล้ว แต่เราต้องเขียนมันใหม่เพื่อทำให้มันมีความไม่แปรเปลี่ยนอย่างชัดเจน

ความหนาแน่นประจุ \rho \! และความหนาแน่นกระแส [J_x,J_y,J_z] \! สามารถรวมกันใน current-charge 4-vector:

:J^\mu = \begin{pmatrix}
\rho \\ J_x\\ J_y\\ J_z\end{pmatrix}

กฎ การอนุรักษ์ประจุ จึงกลายเป็น

:\partial_\mu J^\mu = 0. \!

สนามไฟฟ้า [E_x,E_y,E_z] \! และ magnetic induction [B_x,B_y,B_z] \! รวมกันใน (rank 2 antisymmetric covariant) electromagnetic field tensor

:
  F_{\mu\nu} =
  \begin{pmatrix}
   0     & -E_x & -E_y & -E_z \\
   E_x & 0      & B_z   & -B_y    \\
   E_y & -B_z    & 0      & B_x   \\
   E_z & B_y   & -B_x    & 0       
  \end{pmatrix}


ความหนาแน่นของ แรงลอเรนซ์ f_\mu \! กระทำต่อวัตถุโดยสนามแม่เหล็กไฟฟ้าจะกลายเป็น

:f_\mu = F_{\mu\nu}J^\nu .\!

กฎการเหนี่ยวนำของฟาราเดย์ และ กฎของเกาส์ สำหรับสนามแม่เหล็กรวมกันในรูป

:\partial_\lambda F_{\mu\nu}+ \partial _\mu F_{\nu \lambda}+
  \partial_\nu F_{\lambda \mu} = 0. \!

ถึงแม้ว่าจะมีสมการปรากฏขึ้นถึง 64 สมการในที่นี้ จริง ๆ แล้วมันจะลดลงเหลือเพียงสี่สมการที่ไม่ขึ้นจากกัน โดยการใช้ antisymmetry ของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า เราสามารถลดรูปเหลือ identity (0=0) หรือไม่ก็ลบสามารถทั้งหมดออกไปยกเว้นสมาการที่มี λ,μ,ν = 1,2,3 หรือ 2,3,0 หรือ 3,0,1 หรือ 0,1,2.

electric displacement [D_x,D_y,D_z] \! และ magnetic field [H_x,H_y,H_z] \! รวมกันเป็น (rank 2 antisymmetric contravariant) electromagnetic displacement tensor

:
  \mathcal{D}^{\mu\nu} =
  \begin{pmatrix}
   0     & D_x & D_y & D_z \\
   -D_x & 0      & H_z   & -H_y    \\
   -D_y & -H_z    & 0      & H_x   \\
   -D_z & H_y   & -H_x    & 0       
  \end{pmatrix}


กฎของแอมแปร์ และ กฎของเกาส์ รวมกันในรูป

:\partial_\nu \mathcal{D}^{\mu \nu} = J^{\mu}. \!

ในสุญญากาศ constitutive equations คือ

:\mu_0 \mathcal{D}^{\mu\nu} = \eta^{\mu\alpha} \eta^{\nu\beta} F_{\alpha\beta}. 

Antisymmetry ลดสมการทั้ง 16 สมการนี้เหลือเพียงหกสมการที่ไม่ขึ้นจากกัน

ความหนาแน่นพลังงาน ของสนามแม่เหล็กไฟฟ้ารวมกันกับ with Poynting vector และ Maxwell stress tensor เพื่อสร้างเป็น stress-energy tensor 4 มิติ มันคือ (ความหนาแน่น) ฟลักซ์ของ momentum 4-vector ในรูป rank 2 mixed tensor มันสามารถเขียนเป็น

:T_\alpha^\pi = F_{\alpha\beta} \mathcal{D}^{\pi\beta} - \frac{1}{4} \delta_\alpha^\pi F_{\mu\nu} \mathcal{D}^{\mu\nu}

เมื่อ \delta_\alpha^\pi คือ Kronecker delta เมื่อดัชนีตัวบนต่ำกว่า η มันจะสมมาตรและเป็นส่วนหนึ่งของแหล่งกำเนิดสนามโน้มถ่วง

การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้นและพลังงานโดยสนามแม่เหล็กไฟฟ้าสามารถเขียนเป็น

:f_\mu + \partial_\nu T_\mu^\nu = 0\!

เมื่อ f_\mu \! คือความหนาแน่นของ แรงลอเรนซ์ สมการนี้สามารถสรุปได้จากสมการข้างต้นที่ผ่านมา (กับความพยายามอย่างสำคัญ)

## สถานะ

ทฤษฎีสัมพัทธภาพจะถูกต้องเมื่อ ศักย์โน้มถ่วง น้อยกว่า c2 มาก ๆ ในสนามโน้มถ่วงที่เข้ม เราต้องใช้ ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (ซึ่งกลายเป็นสัมพัทธภาพพิเศษที่สนามอ่อน ๆ) ที่ระดับเล็กมากเช่นที่ระดับ ความยาวพลังค์ และต่ำลงไป ผลทางควอนตัมต้องถูกนำไปใช้พิจารณายังผลใน quantum gravity อย่างไรก็ตาม ที่ระดับโตและในที่ที่ปลอดสนามโน้มถ่วงเข้ม ๆ ทฤษฎีสัมพัทธภาพถูกทดสอบในเชิงทดลองได้ผลถูกต้องในระดับที่แม่นยำมาก (10-14) จึงได้รับการยอมรับจากสังคมฟิสิกส์ในทีสุด ผลการทดลองซึ่งพบว่าขัดแย้งกับทฤษฎีจะไม่อาจอยู่ได้ต่อไป และถูกเชื่อว่าที่เป็นเช่นนั้นเนื่องจากความผิดพลาดของการทดลอง

เนื่องจากความอิสระในการเลือกนิยามหน่วยของความยาวและเวลาในฟิสิกส์ มันจึงเป็นไปได้ที่จะสร้างผลสรุปของนิยามเชิง สัจนิรันดร์ จากหนึ่งในสองของสมมติฐานจากทฤษฎีสัมพัทธภาพ แต่เราไม่สามารถทำสิ่งเหล่านี้สำหรับสมมติฐานสองอย่างพร้อมกัน เพราะเมื่อรวมกัน พวกมันจะให้ผลสรุปซึ่งอิสระจากการเลือกนิยามความยาวและเวลา

ทฤษฎีสัมพัทธภาพนั้นสอดคล้องในตัวเองในเชิงคณิตศาสตร์ และมันเป็นส่วนสำคัญของทฤษฎีเชิงกายภาพยุคใหม่ทั้งหมด เช่น ทฤษฎีสนามควอนตัม, ทฤษฎีสตริง, และทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (ในกรณีจำกัดที่ลืมสนามโน้มถ่วงได้)

กลศาสตร์นิวตันก็สอดคล้องในเชิงคณิตศาสตร์กับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษที่ความเร็วน้อย ๆ (เทียบกับอัตราเร็วแสง) ดังนั้นกลศาสตร์นิวตันสามารถพิจารณาเท่ากับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่ช้าได้ ดู สถานะของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

การทดลองส่วนหนึ่งที่นำมาซึ่งทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ
* การทดลองของ Trouton-Noble แสดงให้เห็นว่าทอร์กของตัวเก็บประจุนั้นไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งและกรอบอ้างอิงเฉื่อย การทดลองนี้นำมาสู่สมมติฐานข้อแรก
* การทดลองของไมเคิลสัน-เมอร์เลย์ อันโด่งดังแสดงให้เห็นถึงความไม่แปรเปลี่ยนเชิงทิศทางของอัตราเร็วแสงสองทาง — "อัตราเร็วแสง" จึงนิยามเป็นสมมติฐานข้อที่สอง

การทดลองหลายอย่างนำมาสู่การทดสอบทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษต้านกับทฤษฎีคู่แข่ง รวมทั้งการทดลองเหล่านี้
* การทดลองของ Kaufman — การสะท้อนของอิเล็กตรอนซึ่งเป็นไปตามe Lorentz-Einstein prediction อย่างชัดเจน
* การทดลองของ Hamar experiment — ไม่มี "การต้านทานเนื่องจากการไหลของอีเทอร์"
* การทดลองของ Kennedy-Thorndike — การยืดออกของเวลาเป็นไปตามการแปลงแบบลอเรนซ์
* การทดลองของ Rossi-Hall — ผลเชิงสัมพัทธภาพที่มีต่อครึ่งชีวิตของอนุภาคซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสูง
* การทดลองเพื่อทดสอบ emitter theory แสดงให้เห็นว่าอัตราเร็วแสงไม่ขึ้นอยู่กับอัตราเร็วของตัวเปล่งแสง

นอกจากนี้ เครื่องเร่งอนุภาคกำลังทำงานอยู่ทุกวันนี้ในหลายที่ของโลก และมันเร่งและวัดสมบัติของอนุภาคซึ่งเคลื่อนที่ใกล้ความเร็วแสงอยู่เสมอ ผลหลายอย่างที่พบในเครื่องเร่งอนุภาคสอดคล้องอย่างยิ่งกับทฤษฎีสัมพัทธภาพและขัดแย้งอย่างยิ่งกับ กลศาสตร์นิวตัน ก่อนหน้านั้น

## ดูเพิ่ม
* ทฤษฎีสัมพัทธภาพ
* ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

## อ้างอิง

หมวดหมู่:ฟิสิกส์
หมวดหมู่:ทฤษฎีสัมพัทธภาพ
หมวดหมู่:หลักการสำคัญของฟิสิกส์
หมวดหมู่:ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ