เวกเตอร์สี่มิติ

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ **เวกเตอร์สี่มิติ ** (four-vector) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ของจำนวนจริงใน 4 มิติ ซึ่งปริภูมิเวกเตอร์ดังกล่าวรู้จักกันในนาม ปริภูมิมิงคอฟสกี (Minkowski space)

ภายใต้การแปลงพิกัด (coordinate transformation) เช่น การหมุนใน 3 มิติ  (spatial rotations) และ การบูสต์  (boosts) (การเปลี่ยนจากกรอบอ้างอิงเฉื่อยเดิมไปสู่กรอบอ้างอิงเฉื่อยใหม่ที่มีความเร็วคงที่สัมพัทธ์กัน) องค์ประกอบ (components) ของเวกเตอร์สี่มิติจะมีการแปลงเช่นเดียวกับพิกัดอวกาศและเวลา \left(t,x,y,z\right)

เซ็ตของการหมุนและการบูสต์ดังกล่าว เรียกรวม ๆ ว่า  การแปลงโลเร็นตซ์ (Lorentz transformations) ประกอบกันเป็น กรุ๊ปโลเร็นตซ์ (Lorentz group) และบรรยายโดยเมทริกซ์ 4\times 4

## คณิตศาสตร์ของเวกเตอร์สี่มิติ

จุดในปริภูมิมิงคอฟสกีถูกเรียกว่า  เหตุการณ์ (event)  และถูกบรรยายด้วย  เวกเตอร์ระบุตำแหน่งสี่มิติ (position four-vector)  กำหนดโดย

: \mathsf{x}:=\left(x^\mu\right)=\left(x^0, x^1, x^2, x^3\right)=\left(ct, x, y, z \right) 

สำหรับ \left.\mu=0,1,2,3\right. เมื่อ \left.c\right. เป็นอัตราเร็วแสงในสุญญากาศ (speed of light) 

ผลคูณภายใน (inner product) ของเวกเตอร์สี่มิติ \mathsf{x} กับ \mathsf{y} ถูกกำหนดโดย (ใช้ Einstein notation) 

เมื่อ \left.\eta\right. เป็น เมตริกมิงคอฟสกี (Minkowski metric) บางครั้งก็เรียกผลคูณภายในนี้ว่า ผลคูณภายในมิงคอฟสกี (Minkowski inner product)  

เวกเตอร์สี่มิติอาจถูกจำแนกออกเป็น 3 ประเภทคือ  สเปซไลค์ (spacelike)  ไทม์ไลค์ (timelike)  และ  นัล (lightlike หรือ null)  

โดยเวกเตอร์สี่มิติแบบ สเปซไลค์ (spacelike 4-vector) ไทม์ไลค์ (timelike 4-vector) และ นัล (lightlike 4-vector หรือ null 4-vector) จะมีผลคูณภายในมากกว่าศูนย์, น้อยกว่าศูนย์ และเท่ากับศูนย์ ตามลำดับ

## ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาพลศาสตร์

:\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{\gamma}

เมื่อ \left.\gamma\right. คือแฟกเตอร์แกมมา (gamma factor) ของทฤษฎีสัมพัทธภาพ บางทีก็เรียกว่าแฟกเตอร์โลเร็นตซ์ (Lorentz factor)

เวกเตอร์สี่มิติที่สำคัญ ๆ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ก็เช่น เวกเตอร์ความเร็วสี่มิติ (four-velocity) ถูกกำหนดโดย:

:\mathsf{U} := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\mathsf{x}= \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\;\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathsf{x} = \left(\gamma c, \gamma \mathbf{u} \right)

หรือ

:\left(U^\mu\right) := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(x^\mu\right)= \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\;\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(x^\mu\right) = \left(\gamma c, \gamma u^i \right)

เมื่อ

:u^i = \frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t}

สำหรับ \left.i=1,2,3\right. สังเกตว่า

: \mathsf{U}\cdot\mathsf{U} := U^\mu U_\mu = -c^2

เวกเตอร์ความเร่งสี่มิติ (four-acceleration) ถูกกำหนดโดย:

:\mathsf{A} := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\mathsf{U}= \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\tau^2}\mathsf{x} = \left(\gamma \dot{\gamma} c, \gamma \dot{\gamma} \mathbf{u} + \gamma^2 \mathbf{\dot{u}} \right)

หรือ

:\left(A^\mu\right) := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(U^\mu\right) = \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\tau^2}\left(x^\mu\right) = \left(\gamma \dot{\gamma} c, \gamma \dot{\gamma}u^i + \gamma^2\dot{u}^i \right)

สังเกตว่าเวกเตอร์ความเร่งสี่มิติตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็วสี่มิติ คือ \mathsf{A}\perp\mathsf{U} 

:\mathsf{A}\cdot\mathsf{U} := A^\mu U_\mu = 0

เวกเตอร์โมเมนตัมสี่มิติ (four-momentum)  ถูกกำหนดโดย

:\mathsf{P} := m\mathsf{U} = \left(\gamma mc,  \gamma m\mathbf{u}\right)= \left(\gamma mc, \mathbf{p}\right)

หรือ

:\left(P^\mu\right) := m\left(U^\mu\right) = \left(\gamma mc,  \gamma mu^i\right) = \left(\gamma mc,  p^i\right)

เมื่อ \left.m\right. คือมวลของอนุภาค และ \mathbf{p}=\gamma m\mathbf{u} คือโมเมนตัมของอนุภาค 

เวกเตอร์แรงสี่มิติ (four-force)  ถูกกำหนดโดย

:\mathsf{F} := \frac{\mathrm{d}\mathsf{P}}{\mathrm{d}\tau} = m\mathsf{A} = \left(\gamma \dot{\gamma} mc, \gamma\mathbf{f} \right)

หรือ

: \left(F^\mu\right) := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(P^\mu\right) = m\left(A^\mu\right) = \left(\gamma \dot{\gamma} mc, \gamma \mathbf{f} \right) 

เมื่อ

: \mathbf{f} \equiv m\dot{\gamma}\mathbf{u} + m\gamma\mathbf{\dot{u}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\gamma m\mathbf{u}) = \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}

เป็นแรงที่กระทำต่ออนุภาค

### Deriving ''E'' = ''mc''<sup>2</sup>

เราสามารถเขียนสมการของพลังงานทั้งหมดของอนุภาคได้ดังต่อไปนี้ พลังงานจลน์ (*K*) ของอนุภาคนิยามในแบบคลาสิกได้ดังนี้

: \frac{dK}{dt}= \mathbf{f} \cdot \mathbf{u} 

## ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า

ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetism) เช่น 

เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ (four-current) กำหนดโดย

: \mathsf{J} := \left(J^\mu\right) = \left( \rho c, \mathbf{j} \right)  

ซึ่งสร้างจาก ความหนาแน่นกระแส (current density) \mathbf{j} และ ความหนาแน่นประจุ (charge density) \left.\rho\right.  

เวกเตอร์ศักย์แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติ (electromagnetic four-potential)  กำหนดโดย

: \mathsf{A} := \left(A^\mu\right) =\left(\frac{\varphi}{c}, \mathbf{A} \right)

ซึ่งสร้างจาก ศักย์เวกเตอร์ (vector potential) \mathbf{A} และ ศักย์สเกลาร์ (scalar potential) \varphi   

คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าระนาบ (plane electromagnetic wave) สามารถบรรยายได้โดย  เวกเตอร์ความถี่สี่มิติ (four-frequency)  ดังนี้

:\mathsf{N} := \left(N^\mu\right) =\left(\nu, \nu \hat{\mathbf{n}}\right)

เมื่อ \left.\nu\right. เป็นความถี่ (frequency) ของคลื่น และ \hat{\mathbf{n}} เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยซึ่งชี้ในทิศการเคลื่อนที่ของคลื่น   สังเกตว่า

:\mathsf{N}\cdot\mathsf{N} :=  N^\mu N_\mu = \nu^2\left(n^2-1\right) = 0 

ดังนั้นเวกเตอร์ความถี่สี่มิติ (four-frequency) จะมีนอร์มเป็นศูนย์เสมอ เรียกเวกเตอร์สี่มิติแบบนี้ว่า null vector

## อ้างอิง
* Four-vector, วิกิพีเดีย ภาษาอังกฤษ
* Rindler, W. *Introduction to Special Relativity (2nd edn.)* (1991) Clarendon Press Oxford ISBN 0-19-853952-5
* ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและเอกภพวิทยา  โดย ณฤทธิ์ ปิฎกรัชต์ 

## ดูเพิ่ม
*ความเร็วสี่มิติ (four-velocity)
*ความเร่งสี่มิติ (four-acceleration)
*โมเมนตัมสี่มิติ (four-momentum)
*แรงสี่มิติ (four-force)
*ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ (four-current)
*ศักย์แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติ (electromagnetic four-potential)

วเกเตอร์สี่มิติ
หมวดหมู่:หลักการสำคัญของฟิสิกส์
หมวดหมู่:กาล-อวกาศมินคอฟสกี