ขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มของแฟร์มาต์

**วิธีแยกตัวประกอบของแฟร์มาต์** () ตั้งชื่อตามผู้คิดค้นคือ ปิแยร์ เดอ แฟร์มาต์ (Pierre de Fermat) โดยเป็นผลงานหนึ่งที่เกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน ที่ใช้ในการแยกตัวประกอบโดยมีหลักการที่ว่า จำนวนเต็มคี่ใด ๆ สามารถแทนได้ด้วยผลต่างของเลขกำลังสองได้ดังนี้

: N=x^2-y^2 \,
จากการสังเกตนี้ ทำให้สามารถนำไปประยุกต์ใน ตะแกรงกำลังสอง (quadratic sieve) และ วิธีแยกตัวประกอบของดิกสัน (Dixon's Factorization Method)
จากสมบัติดังกล่าวสามารถมองได้ว่า

: N= a b=(x+y)(x-y)\ 

โดยที่ (a > b)  ถ้า a หรือ b ไม่เท่ากับ 1 แสดงว่า a กับ b เป็นตัว ประกอบแท้ของ N สามารถเขียนแยกได้

:  a = x+y\ 
:  b = x-y\ 

หรือ

:  a+b=2x\ 
:  a-b=2y\ 

ดังนั้น
:  N= a b = x^2-y^2=1/4 ((a+b)^2 - (a-b)^2)) =((a+b)/2 )^2- ((a-b)/2)^2 \ 

เนื่องจาก N เป็นจำนวนเต็มคี่ แล้ว a และ b เป็นจำนวนคี่ด้วย ดังนั้นจะได้ทั้งสองส่วนของสมการเป็นจำนวนเต็มและยังเขียนได้ว่า

:  x^2 \equiv y^2(mod N) 

จากสมบัติเหล่านี้จะนำมาใช้แยกตัวประกอบจำนวนเต็ม เมื่อเทียบกับ การหารเชิงทดลอง (trial division) แล้ววิธีนี้อาจจะมีประสิทธิภาพน้อยกว่า แต่เมื่อนำทั้ง วิธีการแยกตัวประกอบของแฟร์มาต์ กับการหารเชิงทดลอง มารวมกันแล้วจะทำให้ได้ประสิทธิภาพที่มากกว่าการใช้วิธีใดวิธีหนึ่ง

## วิธีการเบื้องต้น
จากทฤษฎีข้างต้นหาค่า a ที่ทำให้  b2=a^2-N  สามารถยกกำลังสองเป็นจำนวนเต็มได้วิธีการดังกล่าวสามารถเขียนรหัสเทียมได้ ดังนี้
### รหัส

```
FermatFactor(N): // N ควรจะเป็นจำนวนคี่
    a &larr; ceil(sqrt(N))
    b2 &larr; a*a - N
    while b2 isn't a square:
        a &larr; a + 1    //     สมมูลกับ b2 &larr; b2 + 2*a + 1
        b2 &larr; a*a - N //               a &larr; a + 1
    endwhile
    return a - sqrt(b2) // หรือ a + sqrt(b2)
```


#### ตัวอย่างรหัสที่สร้างโดยภาษา C++


```
int FermatFactor(int N){
    int a=ceil(sqrt(N));
    int b2=a*a-N;
    while(sqrt(b2)-(int)sqrt(b2)>0){   //วิธีการตรวจสอบรากที่สองว่าเป็นจำนวนเต็มหรือไม่ อาจจะยังไม่ดีเท่าไหร่แต่ก็พอใช้ได้
        a++;
        b2=a*a-N;
    }
    return a-sqrt(b2);
}
```


### หลักการเบื้องต้น
หลักการคือต้องการแยกตัวประกอบของ N ซึ่ง N ควรเป็นจำนวนคี่ถ้าหากเป็นจำนวนคู่สามารถแยกตัวประกอบ 2 ออกไปก่อน จากนั้นหาตัวประกอบโดยหาค่า a และ b ที่เป็นจำนวนเต็มน้อยที่สุดที่ a-b \leq \sqrt{N} \leq a+b  โดยที่ a-b=N/(a+b)\  และถ้าแยกตัวประกอบได้ N=N*1 จะได้ว่า N เป็นจำนวนเฉพาะ โดยทดสอบทีละเงื่อนไขและบวกค่า a เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ จนพบคำตอบที่ได้ตัวประกอบลู่เข้ารากของ N มากที่สุด ตัวอย่างเช่น N=5959

: 

### ขั้นตอนตัวอย่าง
#เริ่มต้นโดยหา  a= \lceil\sqrt{5959} \rceil = 78  จะได้ b2 = 125
#ตรวจสอบ b2 ว่าสามารถหารากได้เป็นจำนวนเต็มหรือไม่ เนื่องจาก b2 = 125 หารากได้ประมาณ 11.18 ไม่ใช่จำนวนเต็มจึงเพิ่มค่า a เป็น 79 แล้วหาต่อได้  b2=79^2-5959=282  แล้วทำซ้ำขั้นตอนที่ 2 อีกรอบจนกว่าจะสามารถหารากได้เป็นจำนวนเต็มให้ไปทำขั้นตอนที่ 3
#เมื่อทำมา 3 ครั้งจะได้ a=80 และ b2 = 441 ซึ่งสามารถหารากได้ 21 ดังนั้นจะได้ว่า a-b = 59, and a+b = 101 ซึ่ง ได้ 59 และ 101 เป็นตัวประกอบของ 5959

## ประสิทธิภาพ
เมื่อให้ N=cd จะได้ว่าจำนวนครั้งในการวนลูปคือ  (c+d)/2 - \sqrt N = (\sqrt d - \sqrt c)^2 / 2 = (\sqrt N - c)^2 / 2c ของกรณีที่แย่ที่สุดคือเมื่อ N เป็นจำนวนเฉพาะ ซึ่งจะได้ประสิทธิภาพการทำงานเป็น O(N) แต่ถ้ากรณีที่ c ต่างกับ รากของ N น้อยกว่า {\left(4N\right)}^{1/4} ถ้าใช้จำนวนการทำงานแค่ครั้งเดียว หรือถ้าคำตอบจริงยิ่งเข้าไป รากของ N มากเท่าไหร่ประสิทธิภาพในทางปฏิบัติก็จะดีขึ้น ซึ่งจากทั้งหมดแสดงให้เห็นว่าประสิทธิภาพของวิธีแยกตัวประกอบของแฟร์มาต์จะขึ้นอยู่กับค่าของ N

## การประยุกต์วิธีของแฟร์มาต์กับการหารเชิงทดลอง
จากวิธีของแฟร์มาต์จะเห็นว่าได้ประสิทธิภาพคือ  O(N)  เมื่อเทียบกับ วิธีการหารเชิงทดลองที่ได้ประสิทธิภาพที่ดีกว่าคือ O(√n / log n) ซึ่งจะเห็น ดังนั้น เราสามารถเพิ่มประสิทธิภาพให้กับ วิธีการหาตัวประกอบทั้งสองให้ดีขึ้นได้โดยนำทั้งสองวิธีมารวมกันโดยใช้วิธีการหาตัวประกอบของแฟร์มาต์เป็นหลัก และใช้วิธีการหารเชิงทดลองตัดกรณีที่ใช้พิจารณามาก ๆ ได้ จาก
**ทฤษฏีการหารเชิงทดลอง** ตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะของจำนวนเต็มใด ๆ จะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับรากที่สองของจำนวนเต็มนั้น
จากตัวอย่างให้ N=123456789123 ใช้วิธีการแยกตัวประกอบของแฟร์มาต์ ได้ดังนี้
: \lceil\sqrt{N} \rceil = 351365 
:  351365^2-N=574102 ; \sqrt{574102}=757.7
:  351366^2-N=1276833 ; \sqrt{1276833}=1129.97 
:  351367^2-N=1979566 ; \sqrt{1979566}=1406.97 
:  351368^2-N=2682301 ; \sqrt{2682301}=1637.77 
จริง ๆ แล้วจะเห็นว่าเราทำมาได้ 4 ขั้นตอนแล้วแต่ยังไม่ได้ตัวประกอบเพราะว่า b2=1637.77 ไม่ใช่จำนวนเต็มแต่เมื่อเราคำนวณ a-b2 จะได้ว่า 357368-1638=349730 ถ้าอาศัยทฤษฎีของการหารเชิงทดลองจะได้ว่าการที่จะหาตัวประกอบเฉพาะของ N ทำได้จากการทดลองหาจาก 0 ถึง 351365 (จาก การหารเชิงทดลอง) แต่กรณีนี้หลังจากที่เราทำการแยกตัวประกอบของแฟร์มาต์ยังไม่เสร็จแต่เราจะได้ว่า เราทำหาการหารเชิงทดลองโดยหาแค่จาก 0 ถึง 349730 พอซึ่งสามารถลดจากเดิมได้เป็นพันรอบโดยแค่ทำการหาตัวประกอบแบบแฟร์มาต์แค่ 4 รอบก่อน ซึ่งจากตัวอย่างด้านบนจะเห็นว่าสามารถหาค่าแล้วได้ b2 ออกมาเรื่อย ๆ ทำให้ยิ่งเข้าใกล้ค่าตัวประกอบจริงมากขึ้นและยิ่งทำให้เมื่อนำไปหาการหารเชิงทดลองต่อมีแนวโน้มที่จะได้ประสิทธิภาพที่ดีขึ้น

ดังนั้น จึงสามารถเขียนในรูปของความสัมพันธ์ทั่วไป ถ้าเราให้  d> \sqrt{N}  จะได้ว่าถ้าเราใช้ การแยกตัวประกอบของแฟร์มาต์ในช่วงระหว่าง  \sqrt{N}  กับ  d\  จะทำให้ได้ขอบเขตของการหาในวิธีการหารเชิงทดลองคือ  d-\sqrt{d^2-N} ตัวอย่างเช่นถ้า N=2345678917 โดยให้ d=48436 จะได้ขอบเขตของการหารเชิงทดลองคือ 47830 และถ้ากำหนดให้ d=55000 จะได้ขอบเขตคือ 28937

## การปรับปรุงกับตะแกรง
บ้างครั้งเราไม่มีความจำเป็นที่จะต้องหา รากที่สองของ  a^2-N  หรือแม้แต่ค่าของ a ทุกค่าเราสามารถพิจารณาได้จากค่า มอดุโล ของมันเช่นจากตัวอย่าง

a: 4843348434 48435 48436 
b2: 76572173439270308367179
b: 276.7416.5 519.9 605.9 

กรณีดังกล่าวจะเห็นได้ว่าไม่มีค่า b หรือรากที่สองของ b2 เป็นจำนวนเต็ม จากสมการ  a^2-N  เมื่อพิจารณาค่า a^2เมื่อ a เป็นจำนวนเต็ม จากตัวอย่างดังนี้

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
n^2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 

จะเห็นได้ว่ากำลังสองของเลขจำนวนเต็มมักจะลงท้ายด้วย 0, 1, 4, 5, 9, 16 modulo 20 จากตารางด้านบนจะพบว่าค่าที่ a mod 10 มีค่าเดียวกันยกจำลังสองแล้วจะได้เลขลงท้ายค่าเดียวกันเท่ากันด้วย หรือจะเรียกได้ว่าจะซ้ำรอบเดิมเมื่อ a ถูกเพิ่มเป็น 10 จากตัวอย่างดังกล่าวจะได้ว่าถ้าเราเพิ่ม -17 mod 20 (3), a^2-N จะได้เลขลงท้ายดังกล่าวออกมาเป็น 3, 4, 7, 8, 12, 19 modulo 20 จะเห็นว่ามี 4 จากรายการนี้ที่สามารถเป็นกำลังสองได้ (เทียบอันดับกันของ a^2 และ a^2-N) ดังนั้น  a^2  ต้องเป็น 1 mod 20 หรือหมายถึง a คือ 1, 9 mod 10 ซึ่งจะทำให้ b2 ลง ท้ายด้วย 4 mod 20 และ ถ้าเป็นกำลังสองอีก b จะลงท้ายด้วย 2, 8 mod 10

ตัวอย่างของการใช้ มอดุลัส ค่าต่าง ของ N=2345678917

มอดุโล 16:กำลังสองคือ 0, 1, 4, or 9 
 N mod 16 is5
 ดังนั้น a^2 สามารถเป็นได้คือ 9
 และ a ต้องเป็น 3 , 5 modulo 16
มอดุโล 9: กำลังสองคือ 0, 1, 4, or 7 
 N mod 9 is7
 ดังนั้น a^2สามารถเป็นได้คือ7
 และ a ต้องเป็น4 , 5 modulo 9

โดยทั่วไปจะเลือกค่าที่เป็นกำลังของจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันสำหรับ มอดุลัส
เมื่อให้ลำดับของ a-value(start,end,and step) และค่าค่า modulus ซึ่งจะมีกระบวนการได้ ดังนี้

### รหัสเทียม


```
FermatSieve(N, astart, aend, astep, modulus)
  a &larr; astart
  do modulus times:
  b2 &larr; a*a - N
  if b2 is a square, modulo modulus:
  FermatSieve(N, a, aend, astep * modulus, NextModulus)
  endif
  a &larr; a + astep
  enddo
```


## การปรับปรุงตัวคูณ กับวิธีการของเลห์แมน
วิธีการของแฟร์มาต์จะทำงานได้ดีเมื่อตัวประกอบนั้นอยู่ใกล้กับค่า รากที่สองของ N ซึ่งเราอาจจะจัดการให้สิ่งนั้นเกิดขึ้นได้ ถ้ารู้ค่าอัตราส่วนโดยประมาณของ d/c โดยกำหนดให้ N แยกตัวประกอบได้ N = cd แล้ว สามารถเลือกอัตราส่วนจำนวน v/u ที่ใกล้กับค่านั้น แล้วประมาณได้ว่า N*u*v = (c*v)*(d*u) ซึ่งทำให้ใช้เมื่อวิธีของแฟร์มาต์จทำให้สามารถหาในรูป N=N*u*v ได้เร็วกว่า จากนั้นหาตัวหารร่วมมาก ของ factor ที่ได้กับ N เดิม จะได้ gcd(N,vc)= c และ gcd(N,du)=d (เว้น c หาร u หรือ d หาร v ลงตัว)

โดยปกติเราไม่สามารถรู้ค่าอัตราส่วนนั้นได้แต่ถ้าเลือกหนึ่งคือพยายามลอง u/v หลาย ๆ ค่า และพยายาแยกตัวประกอบกับ Nuv ดังกล่าวซึ่งได้มีนักคณิตศาสตร์ท่าหนึ่ง อาร์ เลห์แมน (R. Lehman)ได้คิดค้นระเบียบวิธีการที่เป็นระบบไว้สำหรับแก้ปัญหาด้วยแนวคิดนี้ ซึ่งสามารถเพิ่มประสิทธิภาพให้ การแปลงแบบแฟร์มาต์ที่เพิ่มวิธีการหารเชิงทดลอง ให้สามารถแยกตัวประกอบของ N ได้ในเวลา O(N1 / 3) ในบทความชื่อว่า การแยกตัวประกอบจำนวนเต็มขนาดใหญ่ (R. Lehman, "Factoring Large Integers", Mathematics of Computation)

วิธีการดูเหมือนกับการแยกตัวประกอบของแฟร์มาต์ โดยให้  k\geq1  และ  x=\lceil 2\sqrt{kN}\rceil  ตรวจสอบว่า  (x+m)^2-4kN \ คือกำลังสองสำหรับ  m\geq 0  จากนั้นเราแค่จำเป็นต้องตรวจสอบ k\leq N^{1/3} และ m สำหรับแต่ละ  m^2k\leq N^{1/3} เพื่อหาตัวประกอบที่  > N^{1/3} \  จะเห็นว่าวิธีนี้ใช้เวลาเป็น  O(N^{1 / 3})\  เราสามารถพิสูจน์ขั้นตอนเหล่านี้ได้โดยใช้วิธีการทั่วไปของ การประมาณปกติ(normal approximation)

### รหัสเทียม

```
Check that N has no divisors <= N^(1/3).     //ตรวจสอบว่าไม่มีตัวหารตามเงื่อนไข
   For 1 <= t <= N^(1/3):
     Let k = ceil (sqrt (4tN))
      For 0 <= m <= sqrt (N^(1/3) / t)
         Check whether (k+m)^2 - 4tN is a square.   //ตรวจสอบว่าเป็นกำลังสอง
        If it is a square -> calculate two factors.  //ถ้าเป็นให้คำนวณตัวประกอบ 2 ตัว
```

ประสิทธิภาพของรหัสเทียมดังกล่าวคือ  O(N^{1 / 3})\ 

## สรุปและการประยุกต์อื่น ๆ
การแยกตัวประกอบของแฟร์มาต์เป็นวิธีหนึ่งที่ใช้ในการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มโดยใช้สมบัติของผลต่างกำลังสองที่เป็นจำนวนเต็มวิธีพื้นฐานปกติจะมีประสิทธิภาพที่ไม่ดีนักไม่ต่างกับการค้นหาจำนวนเต็มทุกตัวจาก 1 ถึง N ( O(n)\ ) แต่จะมีประสิทธิภาพสูงถ้าคำตอบเข้าใกล้รากที่สองของ N และสามารถนำคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์นี้ไปประยุกต์หรือปรับปรุงกับวิธีอื่น เช่น การหารเชิงทดลอง ทำให้เห็นว่าได้ประสิทธิภาพที่ดีกว่าการใช้ตัวใดตัวหนึ่งโดยอาศัยการแยกตัวประกอบของแฟร์มาต์มาใช้ลดช่วงของการค้น หรือประยุกต์กับวิธีของเลห์แมน ดังที่ได้กล่าวไปที่ทำให้ได้ประสิทธิภาพเป็น  O(N^{1 / 3})\  โดยอาศัยสมบัติการความมีประสิทธิภาพสูงเมื่อเข้าใกล้รากที่สองของ N นอกจากนั้นยังเป็นรากฐานของเรื่อง ตะแกรงกำลังสอง (quadratic sieve) และ การกรองตัวเลขในขอบเขตแบบธรรมดา (general number field sieve) ซึ่งเป็นระเบียบวิธีการที่รู้จักดีสำหรับการแยกตัวประกอบ "กรณีที่แย่ที่สุด" จำนวนกึ่งเฉพาะขนาดใหญ่ ในขั้นตอน วิธีการของตะแกรงกำลังสอง ที่แตกต่างกับการแยกตัวประกอบของแฟร์มาต์ คือ แทนที่จะหาว่า a^2 - n เป็นกำลังสองหรือไม่เป็นลำดับ แต่จะหาเซตย่อยของส่วนประกอบของลำดับดังกล่าวที่คูณกันที่เป็นกำลังสอง ซึ่งสุดท้ายจะได้ผลที่เหมือนกับผลต่างกำลังสอง mod n ถ้าค่าดังกล่าวเป็นผลไม่ชัด (nontrivial) สามารถนำไปใช้แยกตัวประกอบของ N ต่อได้ นอกจากนี้ยังมีการนำไปใช้อีกมากมายที่ยังไม่ได้กล่าวถึงเช่น วิธีแยกตัวประกอบของดิกสัน เป็นต้น

## อ้างอิง

* Fermat's Factorization Method in MathWorld von Wolfram Research.
* J. McKee, "Speeding Fermat's factoring method", *Mathematics of Computation*, 68:1729-1737 (1999).
* Generalized Trial Division Murat S¸AHÿIN Int. J. Contemp. Math. Sciences, Vol. 6, 2011, no. 2, 59 - 64
* R. Lehman, "Factoring Large Integers", Mathematics of Computation

## แหล่งข้อมูลอื่น
* Java Implementation Of Fermat's method and trial division 

หมวดหมู่:ขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม
หมวดหมู่:ทฤษฎีจำนวน