เมทริกซ์มึลเลอร์

**เมทริกซ์มึลเลอร์** (Mueller matrix) เป็นเมทริกซ์ที่มี 4 แถว 4 หลัก ถูกเสนอขึ้นโดยฮันส์ มึลเลอร์ ในช่วงทศวรรษที่ 1940 เพื่อจัดการการคำนวณของตัวแปรเสริมสโตกส์ ที่แสดงถึงโพลาไรเซชันของแสง

ผลจากส่วนประกอบเชิงแสงต่าง ๆ สามารถถูกจำลองขึ้นได้ด้วยการใช้วิธีการคำนวณด้วยเมทริกซ์มึลเลอร์ เมทริกซ์ 4x4 นี้เป็นรูปแบบที่ใช้ซึ่งใช้ได้ทั่วไปกว่าเมทริกซ์โจนส์

แสงไม่มีโพลาไรซ์ หรือโพลาไรซ์บางส่วนจะต้องคำนวณโดยใช้เมทริกซ์มึลเลอร์ ในขณะที่แสงโพลาไรซ์ทั้งหมดสามารถประมวลผลได้ด้วยทั้งเมทริกซ์มึลเลอร์และเมทริกซ์โจนส์

## คำนิยาม
ถ้าลำแสงอยู่ในสถานะซึ่งกำหนดโดย เวกเตอร์สโตกส์ \vec S_i ผ่านองค์ประกอบแสงที่กำหนดโดยเมทริกซ์มึลเลอร์ \mathrm M สถานะที่ได้เป็น \vec S_o จะคำนวณได้โดย

 \vec S_o = \mathrm M \vec S_i

หากลำแสงผ่านองค์ประกอบทางแสง M1 ตามด้วยองค์ประกอบ M2 และ M3 แล้ว สามารถเขียนเป็น

:  \vec S_o = \mathrm M_3 \big(\mathrm M_2 (\mathrm M_1 \vec S_i) \big) \ 

เนื่องจากการคูณเมทริกซ์มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เราจึงเขียนได้ว่า:

 \vec S_o = \mathrm M_3 \mathrm M_2 \mathrm M_1 \vec S_i \ 

การคูณเมทริกซ์ไม่มีสมบัติการสลับที่ ดังนั้นโดยทั่วไป:

:  \mathrm M_3 \mathrm M_2 \mathrm M_1 \vec S_i \ne \mathrm M_1 \mathrm M_2 \mathrm M_3 \vec S_i \ 

## คำอธิบาย
ต่อไปนี้จะแสดงตัวอย่างองค์ประกอบทางแสงแต่ละชนิดซึ่งแสดงโดยเมทริกซ์มึลเลอร์

### สสารไอโซทรอปิกที่ไม่มีการดูดกลืน
* สำหรับในพื้นที่ว่างหรือในสสารไอโซโทรปิกซึ่งไม่เกิดการดูดกลืนทางแสงจะได้เมทริกซ์มึลเลอร์เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์
: M=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}

### สสารไอโซทรอปิกที่มีการดูดกลืน
* สสารไอโซทรอปิกที่มีค่าความส่งผ่าน *T* (0M=\begin{pmatrix}
T & 0 & 0 & 0\\
0 & T & 0 & 0\\
0 & 0 & T & 0\\
0 & 0 & 0 & T\\
\end{pmatrix}

### โพลาไรเซอร์เชิงเส้น
โพลาไรเซอร์เชิงเส้นที่มีมุมการหมุนเป็น \alpha
: M_{pola}=1/2\begin{pmatrix}
1 & \cos(2\alpha) & \sin(2\alpha) & 0\\
\cos(2\alpha) & \cos^{2}(2\alpha) & \cos(2\alpha)\sin(2\alpha) & 0\\
\sin(2\alpha) & \cos(2\alpha)\sin(2\alpha) & \sin^{2}(2\alpha) & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

* สำหรับโพลาไรเซอร์เชิงเส้นที่ทำมุมแนวตั้ง (\alpha=90 องศา)
: 
  {1 \over 2}
  \begin{pmatrix}
     1 & -1 & 0 & 0 \\
    -1 &  1 & 0 & 0 \\
     0 &  0 & 0 & 0 \\
     0 &  0 & 0 & 0
  \end{pmatrix}


* ถ้าทำมุมแนวนอน (\alpha=0 องศา)
: 
  {1 \over 2}
  \begin{pmatrix}
     1 & 1 & 0 & 0 \\
    1 &  1 & 0 & 0 \\
     0 &  0 & 0 & 0 \\
     0 &  0 & 0 & 0
  \end{pmatrix}


* ถ้าเอียงทำมุม \alpha=+45 องศา
: 
  {1 \over 2}
  \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    1 & 0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0
  \end{pmatrix}


* ถ้าเอียงทำมุม \alpha=-45 องศา
: 
  {1 \over 2}
  \begin{pmatrix}
     1 & 0 & -1 & 0 \\
     0 & 0 &  0 & 0 \\
    -1 & 0 &  1 & 0 \\
     0 & 0 &  0 & 0
  \end{pmatrix}


### แผ่นหน่วงคลื่น
สำหรับแผ่นหน่วงคลื่นซึ่งมีค่าความต่างเฟสระหว่างแกนช้ากับแกนเร็วเป็น \delta และมุมแกนเร็วเป็น \alpha จะได้เมทริกซ์มึลเลอร์ในรูปทั่วไปเป็น
: M_{\delta}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & \cos(\delta)\sin^{2}(2\alpha)+\cos^{2}(2\alpha) & (1-\cos(\delta))\cos(2\alpha)\sin(2\alpha) & -\sin(\delta)\sin(2\alpha)\\
0 & (1-\cos(\delta))\cos(2\alpha)\sin(2\alpha) & \cos(\delta)\cos^{2}(2\alpha)+\sin^{2}(2\alpha) & \sin(\delta)\cos(2\alpha)\\
0 & \sin(\delta)\sin(2\alpha) & -\sin(\delta)\cos(2\alpha) & \cos(\delta)\\
\end{pmatrix}

* กรณีของแผ่นหน่วงคลื่นแบบหนึ่งในสี่คลื่น (\delta=\lambda/4)
: M_{\lambda/4}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & \cos^{2}(2\alpha) & \cos(2\alpha)\sin(2\alpha) & -\sin(2\alpha)\\
0 & \cos(2\alpha)\sin(2\alpha) & \sin^{2}(2\alpha) & \cos(2\alpha)\\
0 & \sin(2\alpha) & -\cos(2\alpha) & 0\\
\end{pmatrix}

* ถ้าแกนเร็วอยู่แนวตั้ง (\alpha=90)
: 
  \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0 &  0 \\
    0 & 1 & 0 &  0 \\
    0 & 0 & 0 & -1 \\
    0 & 0 & 1 &  0
  \end{pmatrix}


* ถ้าแกนเร็วอยู่แนวนอน (\alpha=0)
: 
  \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0 &  0 \\
    0 & 1 & 0 &  0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \\
    0 & 0 & -1 &  0
  \end{pmatrix}


* กรณีของแผ่นหน่วงคลื่นแบบครึ่งคลื่น (\delta=\lambda/2)
: M_{\lambda/2}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & \cos^{2}(2\alpha)- \sin^{2}(2\alpha) & 2\cos(2\alpha)\sin(2\alpha) & 0\\
0 & 2\cos(2\alpha)\sin(2\alpha) & \sin^{2}(2\alpha)-\cos^{2}(2\alpha) & 0\\
0 & 0 & 0 & -1\\
\end{pmatrix}

### ตัวเลื่อนเฟส
: M=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & \cos(\alpha) & -\sin(\alpha)\\
0 & 0 & \sin(\alpha) & \cos(\alpha)\\
\end{pmatrix}

## อ้างอิง
* F. Bréhat - B. Wyncke, *Représentation des états de polarisation des ondes lumineuses* Publibook - 
* E. Collett, *Field Guide to Polarization*, SPIE Field Guides vol. **FG05**, SPIE (2005).  (ISBN 0-8194-5868-6)
* E. Hecht, *Optics*, 2nd ed., Addison-Wesley (1987).  (ISBN 0-201-11609-X)
* W.A. Shurcliff *Polarized Light: Production and Use* (1980) สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด 

หมวดหมู่:โพลาไรเซชัน
หมวดหมู่:เมทริกซ์