บ่อศักย์แบบลึกจำกัด

**บ่อศักย์แบบลึกจำกัด** หรือ **บ่อศักย์แบบความกว้างจำกัด** เป็นแนวคิดจากกลศาสตร์ควอนตัม โดยเป็นส่วนขยายของบ่อศักย์แบบอนันต์ซึ่งเป็นอนุภาคที่ถูกกักขังอยู่ในกล่องแต่ในที่นี้เป็นแบบที่มีความลึกจำกัด และแตกต่างจากแบบลึกอนันต์ตรงที่มีโอกาสที่จะพบอนุภาคที่อยู่ภายนอกกล่อง การตีความแบบกลควอนตัมจะแตกต่างจากการตีความแบบคลาสสิก คือ ถ้าพลังงานทั้งหมดของอนุภาคน้อยกว่าพลังงานศักย์กีดขวางของผนัง อนุภาคจะไม่สามารถพบอยู่ภายนอกกล่องได้ แต่ในการตีความแบบควอนตัม จะมีความน่าจะเป็นของอนุภาคที่อยู่ภายนอกกล่องที่ไม่เป็นศูนย์ ถึงแม้พลังงานของอนุภาคจะน้อยกว่าพลังงานศักย์กีดขวางของผนัง 

## อนุภาคในกล่อง 1 มิติ
สำหรับกรณี 1 มิติในแนวแกน x สามารถเขียนสมการชเรอชิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา ได้ดังนี้

-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi = E \psi \quad (1)
: เมื่อ \hbar = \frac{h}{2 \pi}
: h คือ ค่าคงที่ของพลังค์
: m คือ มวขของอนุภาค
: \psi\, คือ ฟังก์ชันคลื่นจินตภาพ (ที่ต้องการหา)
: V\left(x\right)\, คือ ฟังก์ชันของพลังงานศักย์ในแต่ละค่า x
: E คือ พลังงาน ซึ่งเป็นจำนวนจริง

เมื่อพิจารณาอนุภาคมวล m เคลื่อนที่ในบ่อศักย์แบบลึกจำกัด จะเขียนเป็นฟังก์ชันของพลังงานศักย์ได้ดังนี้

V(x) = \begin{cases} V_0, & \mbox{if }xL/2 \end{cases}

ตามทฤษฎีของกลศาสตร์คลาสสิก อนุภาคจะถูกกักและสะท้อนกลับไปกลับมาระหว่างขอบเขต -L/2\psi = \begin{cases} \psi_1, & \mbox{if }xL/2\mbox{  (the region outside the box)} ; R_3 \end{cases}

### '''ขอบเขตภายในกล่อง'''
กรณีขอบเขตอยู่ภายในกล่อง (บริเวณที่ 2) จะได้ V(x) = 0 และเขียนสมการชเรอดิงเงอร์ได้เป็น

-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_2}{d x^2} = E \psi_2 \quad (2)

เมื่อ k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}

ได้คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ (2) เป็น

\frac{d^2 \psi_2}{d x^2} = -k^2 \psi_2

### '''ขอบเขตภายนอกกล่อง'''
เมื่อพิจารณาบริเวณนอกกล่อง ซึ่งมี 2 บริเวณ คือ บริเวณที่ 1 และ 3 โดย V(x)= V0  เขียนสมการชเรอดิงเงอร์ได้เป็น

-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_1}{d x^2} = ( E - V_o) \psi_1 \quad (3) 

การพิจารณาแบ่งเป็น 2 กรณี คือ 
#เมื่ออนุภาคมีพลังงานมากกว่าพลังงานศักย์ (E>V0) จะไม่ถูกกักไว้ในบ่อ แต่จะถูกกระเจิงออกไปโดยพลังงานศักย์ของบ่อ เรียกว่า **[[การกระเจิง]] (The Scattering)**
#เมื่ออนุภาคมีพลังงานน้อยกว่าพลังงานศักย์ (E0) จะถูกกักไว้ในบ่อศักย์ เรียกกรณีนี้ว่า **[[สถานะจำกัดขอบเขต]] (Bound state)** 

ในกรณีนี้จะพิจารณา กรณีที่ 2 Bound state (E0) ดังนั้นเขียนสมการใหม่ได้เป็น

\frac{d^2 \psi_1}{d x^2} = \alpha^2 \psi_1  \quad (4) 

เมื่อ \alpha = \frac{\sqrt{2m(V_o - E)}}{\hbar}

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ (4) คือ  \psi_1 = Fe^{- \alpha x}+ Ge^{ \alpha x} \,\!

และคล้ายกันในบริเวณที่ 3 จะได้                \psi_3 = He^{- \alpha x}+ Ie^{ \alpha x} \,\!

### '''การหาฟังก์ชันคลื่นสำหรับกรณี bound state'''
โดยในส่วนก่อนหน้า เราหาฟังก์ชันคลื่นแต่ละบริเวณได้เป็น
: \psi_1 = Fe^{- \alpha x}+ Ge^{ \alpha x} \,\!
: \psi_2 = A \sin(k x) + B \cos(k x)\quad
: \psi_3 = He^{- \alpha x}+ Ie^{ \alpha x} \,\!
เมื่อพิจารณาที่ x\rightarrow -\infty จะเห็นว่าเทอม  Fe^{- \alpha x} มีค่าไม่จำกัด

และเช่นเดียวกัน เมื่อพิจารณาที่ x\rightarrow +\infty  เทอม  Ie^{ \alpha x} \,\! จะมีจำกัด 

ซึ่งฟังก์ชันคลื่นจะต้องลู่เข้าสู่ศูนย์ นั่นคือต้องให้ F = I = 0 เขียนฟังก์ชันคลื่นใหม่ได้ว่า

ในการคำนวณหา eigenvalue นั้น คำตอบของสมการชเรอดิงเงอร์หรือฟังก์ชันคลื่นทั้ง 3 บริเวณจะต้องมีความต่อเนื่องของฟังก์ชันคลื่นและอนุพันธ์อันดับ 1 ที่บริเวณรอยต่อที่ x = -L/2 และ L/2 

ตามสมการ

คำตอบของสมการเหล่านี้จะเป็นจริงได้ 2 กรณี
#กรณีสมมาตร (symmetric case) เมื่อ A = 0 และ G = H เป็นคำตอบฟังก์ชันคี่ (Odd function)
#กรณีปฏิสมมาตร (antisymmetric case) เมื่อ B = 0 และ G = -H เป็นคำตอบฟังก์ชันคู่ (Even function)

ในกรณี **เป็นแบบสมมาตร (ฟังก์ชันคี่)** (A = 0, B \neq 0) บริเวณรอยต่อที่ x = L/2 จะได้

:  He^{- \alpha L/2}  = B \cos(k L/2)  \quad (5)
:  - \alpha He^{- \alpha L/2}  =  - k B \sin(k L/2)  \quad (6)

แก้สมการ โดย (6)/(5) จะได้

 \alpha=k \tan(k L/2)  \quad (7)

และเช่นเดียวกันใน **กรณีไม่สมมาตร (ฟังก์ชันคู่)** จะได้

 \alpha=-k \cot(k L/2)  \quad (8)

จากสมการ (7) และ (8) Eigenvalue ไม่สามารถหาค่าได้โดยตรง เนื่องจากทำได้ยาก ต้องหาค่าโดยใช้กราฟหรือตัวเลข 

## อ้างอิง

หมวดหมู่:กลศาสตร์ควอนตัม