โมเมนตัม

**โมเมนตัม** หมายถึง ความสามารถในการเคลื่อนที่ของวัตถุ ซึ่งมีค่าเท่ากับผลคูณระหว่างมวลและความเร็วของวัตถุ  มวลเป็นปริมาณสเกลาร์ แต่ความเร็วเป็นปริมาณเวกเตอร์ เมื่อนำปริมาณทั้งสองเข้าคูณด้วยกัน ถือว่าปริมาณใหม่เป็นปริมาณเวกเตอร์เสมอ ฉะนั้นโมเมนตัมจึงเป็นปริมาณเวกเตอร์ คือมีทั้งขนาดและทิศทาง

ไฟล์:HahnEcho GWM.gif|


## โมเมนตัมในกลศาสตร์ดั้งเดิม
ถ้าวัตถุเคลื่อนที่อยู่ในกรอบอ้างอิงใด ๆ ก็ตาม วัตถุนั้นจะมีโมเมนตัมอยู่ในกรอบอ้างอิงนั้น ๆ ค่าของโมเมนตัมของวัตถุจะขึ้นอยู่กับสองตัวแปร คือมวลกับความเร็วดังที่ได้กล่าวมาแล้ว ความสัมพันธ์ของตัวแปรทั้งสองเขียนได้เป็น:

โมเมนตัม = มวล × ความเร็ว

ในวิชาฟิสิกส์ สัญลักษณ์ของโมเมนตัมคือตัวอักษร **p** ดังนั้นอาจเขียนสมการข้างบนใหม่ได้เป็น:

:\mathbf{p}= m \mathbf{v}

โดยที่  *m* แทนมวล และ *v* แทนความเร็ว หน่วยเอสไอของโมเมนตัม คือ กิโลกรัม เมตรต่อวินาที (kg m/s) ความเร็วของวัตถุจะให้ทั้งขนาด (อัตราเร็ว) และทิศทาง โมเมนตัมของวัตถุขึ้นอยู่กับความเร็ว จึงทำให้เป็นปริมาณเวกเตอร์

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของวัตถุ เราเรียกว่า การดล ซึ่งหาได้จาก
มวล × การเปลี่ยนแปลงความเร็ว หรือ แรงที่กระทำต่อวัตถุ × เวลาที่แรงนั้นกระทำ

:m \Delta \mathbf{v}= \mathbf{F} \Delta t 
:
:ก็จะได้ว่า Mometum (kg.m/s) = mass(kg) x velocity(m/s) หรือ Momentum = มวลของวัตถุ x ความเร็วของวัตถุ

### กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม และการชน
กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมมีใจความว่า "ถ้าไม่มีแรงภายนอกกระทำต่อระบบแล้วโมเมนตัมของระบบจะมีค่าคงตัว" ในกรณีวัตถุสองก้อนขึ้นไปเคลื่อนที่มาชนกัน หรือเคลื่อนที่แยกจากกัน กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมก็ยังคงเป็นจริงเสมอ อาจเขียนเป็นลักษณะสมการได้ว่า ผลรวมโมเมนตัมของวัตถุก่อนชนเท่ากับผลรวมโมเมนตัมของวัตถุหลังชน  กล่าวคือ เมื่ออยู่ในระบบปิด คือ ไม่มีการแลกเปลี่ยนพลังงานระหว่างระบบกับสิ่งแวดล้อม ซึ่งก็คือโมเมนตัมจะถูกอนุรักษ์อยู่เสมอ (ไม่เพิ่มขึ้น และในขณะเดียวกันก็ไม่ลดหายไป) แม้แต่ในการชน พลังงานจลน์นั้นจะไม่ถูกอนุรักษ์ในการชน ถ้าการชนนั้นเป็นการชนแบบไม่ยืดหยุ่น เนื่องจากการคงตัวของโมเมนตัมที่กล่าวมาแล้ว จึงทำให้สามารถนำไปคำนวณความเร็วที่ไม่ทราบค่าภายหลังการชนได้

ปัญหาในวิชาฟิสิกส์ที่จะต้องใช้ความจริงที่กล่าวมานี้ ก็คือการชนกันของสองอนุภาค โดยผลรวมของโมเมนตัมก่อนการชนจะต้องเท่ากับผลรวมของโมเมนตัมหลังการชนเสมอ
::m_1 \mathbf v_{1,i} + m_2 \mathbf v_{2,i} = m_1 \mathbf v_{1,f} + m_2 \mathbf v_{2,f} \,
โดยที่ตัวห้อย *i* แสดงถึงก่อนการชน และตัวห้อย *f* แสดงถึงหลังการชน

โดยปกติ เราจะทราบเพียงความเร็วก่อนการชน หรือหลังการชน ไม่อย่างใดก็อย่างหนึ่ง และต้องการที่จะทราบความเร็วอีกตัวหนึ่ง การแก้ไขปัญหานี้อย่างถูกต้องจะทำให้เราทราบว่าการชนนั้นเป็นอย่างไร การชนนั้นมีสองประเภท  ดังต่อไปนี้
* การชนแบบยืดหยุ่น เป็นการชนที่อนุรักษ์พลังงาน
* การชนแบบไม่ยืดหยุ่นเป็นการชนที่ไม่อนุรักษ์พลังงาน
การชนทั้งสองประเภทที่ได้กล่าวมานี้ เป็นการชนที่อนุรักษ์โมเมนตัมทั้งหมด

#### การชนแบบยืดหยุ่น
การชนกันของลูกสนุ้กเกอร์สองลูก  เป็นตัวอย่างหนึ่งของการชนแบบยืดหยุ่น นอกเหนือจากที่โมเมนตัมรวมกันก่อนชนต้องเท่ากับโมเมนตัมรวมกันหลังชนแล้ว  ผลรวมของพลังงานจลน์ก่อนการชนจะต้องเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์หลังการชนด้วย
::\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_1  v_{1,i}^2
      + \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_2 v_{2,i}^2
      = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_1  v_{1,f}^2
      + \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_2 v_{2,f}^2 \,

เนื่องจากตัวประกอบ 1/2 มีอยู่แล้วทุก ๆ พจน์ จึงสามารถนำออกไปได้เป็น
:: m_1  v_{1,i}^2
      + m_2 v_{2,i}^2
      = m_1  v_{1,f}^2
      + m_2 v_{2,f}^2 \,

##### การชนแบบพุ่งตรง (การชนในหนึ่งมิติ)
thumb|right|Elastic collision of equal masses
thumb|right|Elastic collision of unequal masses
พิจารณาการชนกันของวัตถุ 2 วัตถุ กำหนดให้ วัตถุหนึ่งมีมวล m_1 เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v_{1,i} เข้าชนวัตถุมวล m_2 ซึ่งกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v_{2,i} และหลังชนวัตถุทั้งสองมีความเร็วเป็น v_{1,f} และ v_{2,f} ตามลำดับ 

ในกรณีที่วัตถุพุ่งเข้าชนกันแบบเต็ม ๆ เป็นทางตรง  เราสามารถหาความเร็วหลังการชนได้เป็น

:: v_{1,f} = \left ( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{1,i} + \left ( \frac{2 m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{2,i} \,

:: v_{2,f} = \left ( \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} \right) v_{1,i} + \left ( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right)  v_{2,i} \,
ถ้ามวลของวัตถุทั้งสองเท่ากัน ( = ) จะได้ความเร็วหลังชนของวัตถุทั้งสองเป็น  v_{1,f} = v_{2,i} และ v_{2,f} = v_{1,i} ซึ่งหมายความว่าวัตถุมีการแลกเปลี่ยนความเร็วกัน

ถ้าให้วัตถุที่สองหยุดนิ่ง จะได้ v_{2,i}=0 สมการความเร็วหลังชนจะกลายเป็น

:: v_{1,f} = \left ( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{1,i}  \,

:: v_{2,f} = \left ( \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} \right) v_{1,i}  \,
ถ้ามวลของวัตถุที่หนึ่งมากกว่ามวลของวัตถุที่สอง และวัตถุที่สองหยุดนิ่ง เราจะเห็นว่า หลังการชน วัตถุทั้งสองจะเคลื่อนที่ไปในทิศเดียวกัน แต่วัตถุที่หนึ่งมีความเร็วลดลง
ถ้ามวลของวัตถุที่สองมากกว่ามวลของวัตถุที่หนึ่ง และวัตถุที่สองหยุดนิ่ง เราจะเห็นว่า หลังการชน วัตถุที่หนึ่งจะกระเด็นกลับ ส่วนวัตถุที่สองจะเคลื่อนที่ไปในทิศเดียวกับวัตถุที่หนึ่งก่อนชน

จากสมการพลังงานจลน์สามารถเขียนใหม่ได้เป็น

: \ m_1\left(v_{1,f}^2-v_{1,i}^2\right)=m_2\left(v_{2,i}^2-v_{2,f}^2\right)
แยกตัวประกอบของทั้งสองข้างของสมการนี้จะได้

: \ m_1\left(v_{1,f}-v_{1,i}\right)\left(v_{1,f}+v_{1,i}\right)=m_2\left(v_{2,i}-v_{2,f}\right)\left(v_{2,i}+v_{2,f}\right)
และแยกเทอมที่เป็นตัวประกอบร่วมของสมการโมเมนตัม จะได้

: \ m_1(v_{1,f}- v_{1,i})=m_2(v_{2,i}-v_{2,f})
จากสองสมการข้างต้นจะได้

: v_{1,f}+ v_{1,i}=v_{2,i}+v_{2,f} 
เราจะได้สมการความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วก่อนชนและหลังชนของวัตถุทั้งสองเป็น

: v_{1,i}-v_{2,i}=-\left(v_{1,f}-v_{2,f}\right) 
แสดงว่าอัตราเร็วสัมพันธ์ของวัตถุทั้งสองก่อนการชน v_{1,i}-v_{2,i} มีค่าเท่ากับค่าลบของอัตราเร็วสัมพันธ์ของวัตถุทั้งสองหลังการชน -\left(v_{1,f}-v_{2,f}\right) 

**ตัวอย่าง**
*ก่อนชน* ลูกบอลลูกที่หนึ่งมวล 3 kg เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 4 m/s เข้าชนลูกบอลมวล 5 kg เคลื่อนที่กำลังด้วยความเร็ว 6 m/s ในทิศตรงข้ามกับลูกบอลลูกที่หนึ่ง
*หลังชน* ลูกบอลลูกที่หนึ่งกระเด็นกลับด้วยความเร็ว 8.5 m/s ลูกบอลลูกที่สองกระเด็นกลับด้วยความเร็ว 1.5 m/s

#### การชนแบบไม่ยืดหยุ่น
ตัวอย่างที่พบเห็นได้ของการชนแบบไม่ยืดหยุ่น คือการที่วัตถุชนแล้วติดกัน (ไถลไปด้วยกัน) สมการต่อไปนี้จะแสดงการอนุรักษ์โมเมนตัม

เมื่อชนแล้ววัตถุจะติดกันไปโมเมนตัมก่อนชน = หลังชน ส่วนพลังงานจลน์ไม่เท่ากัน เช่น รถยนต์ชนกัน
::m_1 \mathbf v_{1,i} + m_2 \mathbf v_{2,i} = \left ( m_1 + m_2 \right) \mathbf v_f \,

:: 
:: เมื่อวัตถุคู่หนึ่งวิ่งเข้าหากัน หรือวิ่งออกจากกันจุดศูนย์กลางของมวลของวัตถุคู่นั้นย่อมมีการเคลื่อนที่ไปด้วย การศึกษาการชนกันของวัตถุอาจพิจารณาถึงจุดศูนย์กลางมวลได้เช่นกัน ความเร็วของจุดศูนย์กลางของมวลจะเป็นไปตามสมการ

## การประยุกต์ใช้ความรู้เรื่องโมเมนตัม
โมเมนตัมเป็นปริมาณเวกเตอร์ มีทิศทางตามทิศของความเร็ว มีหน่วยเป็น กิโลกรัม-เมตรต่อนาที (kg.m/s) เนื่องจากโมเมนตัมเป็นปริมาณเวกเตอร์ ดังนั้นโมเมนตัมสามารถแตกเข้าสู่แกน X และ Y ได้ และมีวิธีการรวมตามหลักของเวกเตอร์โดยทั่วไป  จากความหมายของโมเมนตัมพบว่า ค่าของโมเมนตัมขึ้นอยู่กับมวลและความเร็ว ถ้าวัตถุกำลังเคลื่อนที่มีการเปลี่ยนแปลงความเร็วผลคือ โมเมนตัมก็จะมีการเปลี่ยนแปลงด้วย และสิ่งที่ทำให้ความเร็วของวัตถุเปลี่ยนแปลงคือแรง ดังนั้นแรงจึงเป็นตัวการสำคัญที่ทำให้ความเร็วและโมเมนตัมของวัตถุเกิดการเปลี่ยนแปลง หรืออาจกล่าวได้ว่า “แรงทำให้โมเมนตัมของวัตถุเปลี่ยนแปลง”

## การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม
ในกลศาสตร์ดั้งเดิม การดลจะเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของวัตถุ โดยการดลมีหน่วยและมิติเหมือนโมเมนตัมทุกประการ หน่วยเอสไอของการดลนั้นเหมือนกับหน่วยของโมเมนตัม (กิโลกรัม เมตร/วินาที) การดลสามารถคำนวณได้จากปริพันธ์ของแรงกับเวลา

:\mathbf{I} = \int \mathbf{F}\, dt 

โดยที่

:**I** แทนการดล หน่วยเป็นกิโลกรัม เมตรต่อวินาที

:**F** แทนแรง หน่วยเป็นนิวตัน

:*t* เป็นเวลา หน่วยเป็นวินาที

หากมีแรงคงตัว การดลมักจะเขียนเป็น

:\mathbf{I} = \mathbf{F}\Delta t 

โดยที่
:\Delta t เป็นเวลาที่แรง **F** กระทำ

จากนิยามของแรง

:\mathbf{I} = \int \frac{d\mathbf{p}}{dt}\, dt 
:\mathbf{I} = \int d\mathbf{p} 
:\mathbf{I} = \Delta \mathbf{p} 

ทำให้ได้ว่าการดลคือการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม
## การชน
การชน () การชน หมายถึง การที่วัตถุหนึ่งกระทบกับอีกวัตถุหนึ่งในช่วงเวลาสั้น ๆ (การชนกันของรถ การกระทบกันของลูกตุ้ม กับเสาเข็ม การตีเทนนิส ตีปิงปอง ตีกอล์ฟ การเตะลูกบอล) หรือในบางครั้งวัตถุอาจ ไม่ต้องกระทบกัน แต่มีแรงมากระทำต่อวัตถุแล้วให้ผลเหมือนกับการชน (การระเบิดของวัตถุระเบิด การยิงปืน) ในการชนของวัตถุโดยมากมักจะมีแรงภายนอกมากระทำต่อวัตถุ ซึ่งขนาดของแรงจะมากหรือน้อย ขึ้นอยู่กับลักษณะการชนของวัตถุ และในการชนอาจมีการสูญเสียค่าโมเมนตัมมากหรือน้อย หรือไม่สูญเสียเลยก็ได้

**1. เมื่อโมเมนตัมของระบบมีค่าคงที่**

เป็นการชนที่ขณะชนมีแรงภายนอกมากระทำน้อยมาก ๆ เมื่อ เทียบกับขนาดของแรงดลที่เกิดขึ้น หรือแรงภายนอกเป็นศูนย์ เช่น การชนกันของลูกบิดเลียด การชนของรถยนต์ การยิงปืน เป็นต้น

**2. เมื่อโมเมนตัมของระบบไม่คงที่**

เป็นการชนที่ขณะชนมีแรงภายนอกมากระทำมากกว่าแรงดลที่เกิดกับวัตถุขณะชนกัน เช่น ลูกบอลตกกระทบพื้น รถยนต์ชนกับต้นไม้ เป็นต้น ในที่นี้เราจะกล่าวถึงการชนของวัตถุ เมื่อไม่มีแรงภายนอกมากระทำต่อระบบ ซึ่งจะเป็นผลให้โมเมนตัมของระบบมีค่าคงที่ พิสูจน์ได้จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 3 ของนิวตัน เมื่อวัตถุชนกันจะเกิดแรงกระทำซึ่งกันและกันด้วยขนาดที่เท่ากันแต่ทิศตรงกันข้าม
#**การชนแบบยืดหยุ่น** เป็นการชนที่พลังงานจลน์ของระบบไม่เปลี่ยน พิจารณาการชนกันของวัตถุสองก้อน ที่มีความเร็วอยู่ในแนวผ่านจุดศูนย์กลางมวล 
#**การชนแบบไม่ยืดหยุ่น** เป็นการชนของวัตถุแล้วรูปร่างมีการเปลี่ยนแปลง หรือมีการเคลื่อนที่ติดกันไป พลังงานจลน์ไม่คงที่ พลังงานจลน์หลังชนมีค่าน้อยกว่าหลังงานจลน์ก่อนชนเพราะว่าพลังงานจลน์บางส่วนนำไปใช้ในการเปลี่ยนรูปร่างวัตถุให้ยุบ, บุบ หรือเปลี่ยนรูปเป็นพลังงานเสียง แต่โมเมนตัมรวมก่อนการชนเท่ากับหลังการชนวัตถุ

## ดูเพิ่ม
* โมเมนตัมเชิงมุม
* กฎการอนุรักษ์
* ความเร็ว

## อ้างอิง

* 
* Serway, Raymond; Jewett, John (2003). *Physics for Scientists and Engineers* (6 ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40842-7
*Stenger, Victor J. (2000). *Timeless Reality: Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes*. Prometheus Books. Chpt. 12 in particular.
* Tipler, Paul (1998). *Physics for Scientists and Engineers: Vol. 1: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics* (4th ed.). W. H. Freeman. ISBN 1-57259-492-6
* 

## แหล่งข้อมูลอื่น

* Conservation of momentum  - A chapter from an online textbook

หมวดหมู่:กฎการอนุรักษ์
หมวดหมู่:ปริมาณทางกายภาพ
หมวดหมู่:กลศาสตร์
หมวดหมู่:ปริมาณทางกายภาพ
หมวดหมู่:หลักการสำคัญของฟิสิกส์
หมวดหมู่:Conservation laws
หมวดหมู่:กลศาสตร์ภาวะต่อเนื่อง
หมวดหมู่:การเคลื่อนที่