การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิต

ในทางคณิตศาสตร์ **การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิต**  (เปรียบคล้ายกับการทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรง) เป็นวิธีการทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมอนันต์

## ตัวทฤษฎีบท
สมมติมีอนุกรมสองชุด  \sum_n a_n  และ \sum_n b_n ซึ่ง  a_n\geq 0, b_n > 0  สำหรับทุก  n แล้ว ถ้า  \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c ซึ่ง  0  ดังนั้นอนุกรมทั้งสองจะลู่เข้าหรือลู่ออกพร้อมกัน 

## บทพิสูจน์
เนื่องจาก  \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c  ทราบว่าสำหรับทุก  \varepsilon > 0  มีจำนวนเต็มบวก n_0 ซึ่งสำหรับทุก n \geq n_0  ได้ว่า  \left| \frac{a_n}{b_n} - c \right|  นั่นคือ

:  - \varepsilon 

:  c - \varepsilon 

:  (c - \varepsilon)b_n 

เมื่อ  c > 0  สามารถเลือก  \varepsilon  ให้มีขนาดเล็กพอควรจน  c-\varepsilon  เป็นค่าบวก ดังนั้น  b_n  และจากการทดสอบด้วยเปรียบเทียบโดยตรง  ถ้า \sum_n a_n ลู่เข้า \sum_n b_n  ก็ลู่เข้าเช่นกัน

ในทำนองเดียวกัน  a_n  ดังนั้นถ้า  \sum_n a_n  ลู่ออก  \sum_n b_n  ก็ลู่ออกเช่นกัน โดยใช้การทดสอบเปรียบเทียบโดยตรง

## ตัวอย่าง
จงตรวจสอบว่าอนุกรม  \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 2n}  ลู่เข้า 

นำอนุกรมลู่เข้า  \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}  มาเปรียบเทียบ

ได้ว่า  \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 + 2n} \frac{n^2}{1} = 1 > 0  พบว่าอนุกรมที่ต้องการก็ลู่เข้าเช่นกัน

## แบบด้านเดียว
สามารถเขียนการทดสอบด้วยการเปรียบเทียบด้านเดียวได้โดยใช้ลิมิตซูพีเรียร์ ให้  a_n, b_n \geq 0  สำหรับทุก  n แล้ว ถ้า  \limsup_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c ซึ่ง  0 \leq c  และ \sum_n b_n ลู่เข้า ดังนั้น  \sum_n a_n  ลู่เข้า

## ตัวอย่าง
ให้  a_n = \frac{1-(-1)^n}{n^2}  และ  b_n = \frac{1}{n^2}  สำหรับทุก  n  เป็นจำนวนนับ แต่  \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}(1-(-1)^n)  ไม่มีลิมิต ดังนั้นเราจึงไม่สามารถใช้การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบแบบปกติได้ 

แต่ว่า  \limsup_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \limsup_{n\to\infty}(1-(-1)^n) =2\in [0,\infty)  เนื่องจาก \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} ลู่เข้า การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบด้านเดียวจะบอกว่า \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2} ลู่เข้า

## บทกลับของการทดสอบด้วยการเปรียบเทียบด้านเดียว
ให้  a_n, b_n \geq 0  สำหรับทุก  n  ถ้า \sum_n a_n  ลู่ออก และ \sum_n b_n  ลู่เข้า ดังนั้น  \limsup_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\infty  นั่นคือ  \liminf_{n\to\infty} \frac{b_n}{a_n}= 0  ในแง่หนึ่ง ตัวเลขในลำดับ  a_n  โตไวกว่าตัวเลขในลำดับ  b_n  .

## ตัวอย่าง
ให้  f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n  มีภาวะวิเคราะห์ในจานหนึ่งหน่วย D = \{ z\in\mathbb{C} \mid |z| และมีภาพซึ่งพื้นที่จำกัด จากสูตรพาร์เซวาลจะได้ว่าพื้นที่ของภาพของ  f  แปรผันตรงกับ  \sum_{n=1}^{\infty} n|a_n|^2 . และ   \sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 n ลู่ออก ดังนั้น โดยบทกลับของการทดสอบด้วยการเปรียบเทียบทางเดียว จะได้ว่า  \liminf_{n\to\infty} \frac{n|a_n|^2}{1/n}= \liminf_{n\to\infty} (n|a_n|)^2 = 0  นั่นคือ  \liminf_{n\to\infty} n|a_n| = 0  

## ดูเพิ่มเติม

* การทดสอบการลู่เข้า
* การทดสอบการเปรียบเทียบโดยตรง

## เอกสารอ้างอิง


## อ่านเพิ่มเติม

* Rinaldo B. Schinazi: *From Calculus to Analysis*. Springer, 2011, , pp. 50
* Michele Longo and Vincenzo Valori: *The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series*. Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3 (Jun., 2006), pp.&nbsp;205–210 (JSTOR)
* J. Marshall Ash: *The Limit Comparison Test Needs Positivity*. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5 (December 2012), pp.&nbsp;374–375 (JSTOR)
* Pauls Online Notes on Comparison Test

หมวดหมู่:การทดสอบการลู่เข้า