ผลพวงเชิงตรรกะ

**ผลพวงเชิงตรรกะ** () เป็นแนวคิด (concept) พื้นฐานในวิชาตรรกศาสตร์ซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ซึ่งเป็นจริงระหว่างข้อความเมื่อข้อความหนึ่ง*เป็นผลมาจาก*ข้อความอื่นหนึ่งข้อขึ้นไป การอ้างเหตุผลซึ่งมีตรรกะที่สมเหตุสมผลเป็นการอ้างเหตุผลซึ่งข้อสรุป (consequent) เป็นผลมาจากข้อตั้งเพราะข้อสรุปเป็นผลพวงมาจากข้อตั้ง การวิเคราะห์ (philosophical analysis) ผลพวงเชิงตรรกะในเชิงปรัชญาประกอบไปด้วยการตั้งคำถามเช่น: ข้อสรุปเป็นผลมาจากข้อนำในแง่อะไรไหน? และการที่ข้อสรุปเป็นผลพวงจากข้อนำหมายความว่าอะไร?  ทั้งหมดทั้งมวลของตรรกศาสตร์เชิงปรัชญา (Philosophical logic) ตั้งใจที่จะอธิบายธรรมชาติของผลพวงและความจริงเชิงตรรกะ (logical truth)

ผลพวงเชิงตรรกะจำเป็นและเป็นรูปนัย (formalism (philosophy of mathematics)) ตามตัวอย่างที่อธิบายโดยการพิสูจน์เชิงรูปนัย (formal proof) และตัวแบบการตีความ (interpretation (logic)) ประโยคหนึ่งเป็นผลพวงเชิงตรรกะของเซตของประโยคในภาษา (formal language) ที่กำหนดภาษาหนึ่งก็ต่อเมื่อประโยคนั้นจะเป็นจริงเมื่อประโยคทุกประโยคในเซตนั้นเป็นจริงโดยวิธีการทางตรรกะเท่านั้น (ไม่สนใจการตีความ*ส่วนตัว*)

นักตรรกวิทยาให้คำอธิบายผลพวงเชิงตรรกะว่าด้วยภาษา \mathcal{L} ที่กำหนดอย่างละเอียด ไม่ว่าด้วยการสร้างระบบนิรนัย (deductive system) สำหรับ \mathcal{L} หรือด้วยการตีความที่ตั้งใจ (intended interpretation) เชิงรูปนัยสำหรับภาษา \mathcal{L} นักตรรกวิทยาชาวโปแลนด์ อัลเฟรด ทาร์สกี (Alfred Tarski) ได้ระบุลักษณะเฉพาะสามลักษณะของผลพวงเชิงตรรกะ: (1) ความสัมพันธ์แบบผลพวงเชิงตรรกะขึ้นอยู่กับรูปตรรกะ (logical form) ของประโยค (2) ความสัมพันธ์เป็นแบบก่อนประสบการณ์ (a priori and a posteriori) นั่นคือมันสามารถถูกระบุได้โดยไม่จำเป็นต้องใช้หลักฐานเชิงประสบการณ์ (หลักฐานจากประสาทสัมผัส) และ (3) ความสัมพันธ์แบบผลพวงเชิงตรรกะมีส่วนประกอบอัญรูป (modal logic)

## คำอธิบายเชิงรูปนัย
มุมมองเรื่องการอธิบายผลพวงเชิงตรรกะที่แพร่หลายที่สุดคือด้วยการอาศัยรูปแบบ นั่นหมายความว่าข้อความหนึ่งจะเป็นผลมาจากอีกข้อความหนึ่งหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับโครงสร้างหรือรูปตรรกะของข้อความนั้นโดยไม่สนใจถึงเนื้อหาซึ่งอยู่ในรูปนั้น

คำอธิบายเชิงวากยสัมพันธ์ของผลพวงเชิงตรรกะขึ้นอยู่กับเค้าร่างซึ่งใช้กฎการอนุมาน (inference rule) ตัวอย่างเช่นเราสามารถแสดงรูปตรรกะของการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผลได้ว่า

: ทุก *X* เป็น *Y*
: ทุก *Y* เป็น *Z*
: เพราะฉะนั้น ทุก *X* เป็น *Z*

การอ้างเหตุผลอันนี้สมเหตุสมผลแบบรูปนัยเนื่องจากกรณี (Substitution (logic)) ของการอ้างเหตุผลซึ่งใช้เค้าร่างเช่นนี้ทุกกรณีนั้นสมเหตุสมผล

ซึ่งนี่ตรงกันข้ามกับการอ้างเหตุผลเช่น "สมชายเป็นลูกของพี่ชายของสมพงษ์ เพราะฉะนั้นสมชายเป็นหลานของสมพงษ์" เพราะการอ้างเหตุผลแบบนี้ขึ้นอยู่กับความหมายของคำว่า "พี่ชาย" "ลูก" และ "หลาน" ข้อความ "สมชายเป็นหลานของสมพงษ์" เป็นสิ่งที่เรียกว่าผลพวงเชิงเนื้อหา (material consequence) ของ "สมชายเป็นลูกของพี่ชายของสมพงษ์" และไม่ใช่ผลพวงรูปนัย (formal consequence) ผลพวงรูปนัยจำเป็นต้องเป็นจริง*ในทุกกรณี* แต่ทว่านี่คือนิยามของผลพวงรูปนัยที่ไม่สมบูรณ์เพราะแม้การอ้างเหตุผลว่า "*P* เป็นลูกของพี่ชายของ *Q* เพราะฉะนั้น *P* เป็นหลานของ *Q*" จะเป็นจริงในทุกกรณีก็ตามที แต่ก็ยังไม่ใช่การอ้างเหตุผล*รูปนัย*

## คุณสมบัติก่อนประสบการณ์ของผลพวงเชิงตรรกะ

เมื่อเรารู้ว่า Q เป็นผลโดยตรรกะมาจาก P แล้วความหมายของ P หรือ Q ที่เป็นไปได้อันใดก็ตามจะไม่ส่งผลใด ๆ ต่อความเป็นผลโดยตรรกะระหว่างทั้งสองที่เรารู้ ไม่มีความรู้เชิงประจักษ์ (A priori and a posteriori) ใดที่สามารถมีอิทธิพลต่อความรู้ของเราว่า Q เป็นผลพวงเชิงตรรกะของ P เราสามารถรู้ว่าการอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลแบบนิรนัยได้โดยไม่พึ่งประสบการณ์และจึงต้องสามารถรู้ได้ก่อนประสบการณ์ (a priori) อย่างไรก็ตามเราไม่สามารถรับประกันได้ว่าผลพวงเชิงตรรกะไม่ได้รับอิทธิพลจากความรู้เชิงประจักษ์ได้ด้วยเพียงรูปแบบหรือความเป็นรูปนัย (formality) คุณสมบัติก่อนประสบการณ์ของผลพวงเชิงตรรกะจึงได้ถือว่าเป็นอิสระจากรูปแบบ

## การพิสูจน์และตัวแบบ
เทคนิคการอธิบายผลพวงเชิงตรรกะที่แพร่หลายสองแบบคือการแสดงแนวคิดในแง่ของ*การพิสูจน์* (proof) และผ่าน*ตัวแบบ* (model) ทฤษฎีการพิสูจน์ (proof theory) คือการศึกษาถึงผลพวงทางไวยากรณ์ (ของตรรกะอันหนึ่ง) ในขณะที่การศึกษาถึงผลพวงทางอรรถศาสตร์หรือทางความหมาย (ของตรรกะอันหนึ่ง) คือทฤษฎีตัวแบบ (model theory)

### ผลพวงทางไวยากรณ์

สูตรหรือ formula A เป็น**ผลพวงทางไวยากรณ์** () ของเซตของสูตร \Gamma ในระบบรูปนัย \mathcal{FS} (formal system) ระบบหนึ่ง เมื่อมีการสืบสมุฏฐาน (formal proof) A จากเซตของ \Gamma ใน \mathcal{FS} 
:\Gamma \vdash_{\mathcal {FS} } A

ผลพวงทางไวยากรณ์ไม่ขึ้นอยู่กับการตีความระบบรูปนัยในแบบใด ๆ

### ผลพวงทางความหมาย

สูตรหรือ formula A เป็น**ผลพวงทางความหมาย** () ของเซตของข้อความ \Gamma ในระบบรูปนัย \mathcal{FS} ระบบหนึ่ง

:\Gamma \models_{\mathcal {FS} } A

ก็ต่อเมื่อไม่มีตัวแบบ \mathcal{I} ใด ๆ ที่ในนั้นสมาชิกของ \Gamma เป็นจริงแต่ A จะเป็นเท็จ หรือพูดอีกแบบหนึ่งคือ เซตของการตีความสมาชิกใน \Gamma ที่ทำให้ทั้งหมดเป็นจริงนั้นเป็นเซตย่อยของเซตของการตีความที่ทำให้ A เป็นจริง

## คำอธิบายเชิงอัญรูป

คำอธิบายผลพวงเชิงตรรกะทางอัญรูป (modal logic) เป็นรูปแปรผันของใจความพื้นฐานดังนี้:

:\Gamma \vdash A เป็นจริงก็ต่อเมื่อมัน*จำเป็น* ที่หากสมาชิกของ \Gamma ทั้งหมดเป็นจริง แล้ว A เป็นจริง

ในทางกลับกัน (หรือคนส่วนใหญ่จะบอกว่าในทางเดียวกัน):

:\Gamma \vdash A เป็นจริงก็ต่อเมื่อมัน*เป็นไปไม่ได้* ที่สมาชิกของ \Gamma ทั้งหมดเป็นจริง แล้ว A เป็นเท็จ

คำอธิบายแบบนี้เป็น "เชิงอัญรูป" เพราะมันอาศัยความจำเป็นเชิงตรรกะ (logical truth) และความเป็นไปได้เชิงตรรกะ (logical possibility) ซึ่งเป็นแนวคิดเชิงอัญรูป 'มันจำเป็นที่' เป็นวลีที่มักถูกแสดงเป็นตัวบ่งปริมาณทั้งหมดบนโลกที่เป็นไปได้ (possible world) คำอธิบายด้านบนจึงสามารถแปลได้เป็น:

:\Gamma \vdash A เป็นจริงก็ต่อเมื่อไม่มีโลกที่เป็นไปได้ที่สมาชิกของ \Gamma ทั้งหมดเป็นจริง แล้ว A เป็นเท็จ (ไม่จริง)

พิจารณาคำอธิบายเชิงอัญรูปในรูปของการให้เหตุผลซึ่งได้ให้ตัวอย่างไว้ด้านบน:

:กบทุกตัวสีเขียว 
:เคอร์มิตเป็นกบ 
:เพราะฉะนั้น เคอร์มิตตัวสีเขียว

ข้อสรุปเป็นผลพวงเชิงตรรกะของข้อตั้งเพราะเราไม่สามารถจินตนาการถึงโลกที่เป็นไปได้ใด ๆ เลยที่ (ก) กบทุกตัวสีเขียว (ข) เคอร์มิตเป็นกบ แล้ว (ค) เคอร์มิตตัวสีไม่เขียว

### คำอธิบายเชิงอัญรูป-รูปนัย

คำอธิบายเชิงอัญรูป-รูปนัยรวมเอาคำอธิบายแบบรูปนัยและอัญรูปเข้าด้วยกันและให้ผลออกมาเป็นรูปแปรผันของใจความพื้นฐานดังนี้:

:\Gamma \vdash A ก็ต่อเมื่อหากมันเป็นไปไม่ได้ที่การอ้างเหตุผลซึ่งมีรูปตรรกะเดียวกันกับ \Gamma/A จะมีข้อตั้งที่เป็นจริงและข้อสรุปที่เป็นเท็จ

### คำอธิบายบนเหตุผลสนับสนุน

คำอธิบายซึ่งได้พิจารณาไว้ด้านบนทั้งหมดเป็นแบบ "ถนอมความจริง" (truth-preservational) ซึ่งหมายความว่าเป็นคำอธิบายที่ถือว่าคุณลักษณะของการอนุมานที่ดีคือการอนุมานที่ไม่ยอมให้มีข้อสรุปเท็จที่มาจากข้อตั้งที่เป็นจริง แต่ในอีกทางหนึ่งคำอธิบายแบบ "ถนอมเหตุผลสนับสนุน" (warrant-preservational) ก็ถูกนำเสนอมาโดยบอกว่าคุณลักษณะของการอนุมานที่ดีคือการอนุมานที่ไม่ยอมให้มีข้อสรุปที่ไม่สามารถยืนยันด้วยเหตุผลสนับสนุนได้ซึ่งมาจากข้อตั้งที่สามารถยืนยันด้วยเหตุผลสนับสนุนได้ และคำอธิบายนี้เป็นแบบที่นิยมโดยนักสหัชญาณนิยม (intuitionism) เช่น ไมเคิล ดัมเม็ตต์ (Michael Dummett)

### ผลพวงเชิงตรรกะไม่เป็นทางเดียว

คำอธิบายซึ่งถูกพิจารณาด้านบนทั้งหมดให้ผลเป็นความสัมพันธ์แบบผลพวงทางเดียว (Monotonicity of entailment) หรือก็คือแบบที่ถ้า A เป็นผลพวงของ \Gamma แล้ว A จะเป็นผลพวงของซูเปอร์เซตใด ๆ ของ \Gamma ด้วย เราสามารถระบุความสัมพันธ์แบบผลพวงไม่เป็นทางเดียว (Non-monotonic logic) เพื่อแสดงให้ดูว่าข้อความเช่น 'เจ้าขุนทองบินได้' เป็นผลพวงเชิงตรรกะของ

:{นกโดยปกติแล้วบินได้, เจ้าขุนทองเป็นนก}

แต่ไม่เป็นผลพวงเชิงตรรกะของ

:{นกโดยปกติแล้วบินได้, เจ้าขุนทองเป็นนก, เจ้าขุนทองเป็นนกเพนกวิน}

## ดูเพิ่ม

* Ampheck
* การให้เหตุผลแบบนิรนัย
* กฎของเพิร์ซ (Peirce's law)
* กราฟเชิงตรรกะ (Logical graph)
* เครื่องหมายดังนั้น (Therefore sign)
* แคลคูลัสเชิงประพจน์
* ความสมเหตุสมผล (Validity (logic))
* เงื่อนไขเข้มงวด (Strict conditional)
* โดเมนแบบบูล
* ตรรกศาสตร์เชิงน่าจะเป็น (Probabilistic logic)
* ตรรกศาสตร์เชิงพีชคณิตนามธรรม (Abstract algebraic logic)
* เทิร์นสไตล์ (Turnstile (symbol))
* เทิร์นสไตล์คู่ (Double turnstile)
* ประตูสัญญาณตรรกะ
* ผลพวงเชิงสัจนิรันดร์ (Tautological consequence)
* พีชคณิตแบบบูล
* ฟังก์ชันแบบบูล (Boolean function)
* สัจนิรันดร์ (Tautology (logic))
* เหตุภาพ

## อ้างอิง

## บรรณานุกรม
* .
*  London: College Publications. Series: Mathematical logic and foundations.
* .
*  1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.
* . Papers include those by Gödel, Church, Rosser, Kleene, and Post.
* .
*  in Lou Goble (ed.), *The Blackwell Guide to Philosophical Logic*.
*  in Edward N. Zalta (ed.), *The Stanford Encyclopedia of Philosophy*.
* .
* .
*  365–409.
* 
*  in Goble, Lou, ed., *The Blackwell Guide to Philosophical Logic*. Blackwell.
*  (1st ed. 1950), (2nd ed. 1959), (3rd ed. 1972), (4th edition, 1982).
* in D. Jacquette, ed., *A Companion to Philosophical Logic*. Blackwell.
* Reprinted in Tarski, A., 1983. *Logic, Semantics, Metamathematics*, 2nd ed. Oxford University Press. Originally published in Polish and German.
* 
* A paper on 'implication' from math.niu.edu, Implication 
* A definition of 'implicant' AllWords

## แหล่งข้อมูลอื่น

*
*
*
*
*


หมวดหมู่:ปรัชญาตรรกศาสตร์
หมวดหมู่:อภิตรรกศาสตร์
หมวดหมู่:แคลคูลัสเชิงประพจน์
หมวดหมู่:การให้เหตุผลแบบนิรนัย
หมวดหมู่:มโนทัศน์ทางตรรกศาสตร์
หมวดหมู่:ไวยากรณ์ (ตรรกศาสตร์)
หมวดหมู่:การดำเนินการทวิภาค