ค่าแชปลีย์

thumb|ลอยด์ แชปลีย์ ในปี ค.ศ. 2012
**ค่าแชปลีย์** เป็นแนวคิดในการแก้ปัญหาในทฤษฎีเกมแบบร่วมมือ โดยได้รับการตั้งชื่อตาม ลอยด์ แชปลีย์ เพื่อเป็นเกียรติให้แก่เขาซึ่งได้แนะนำแนวคิดนี้ในปี 1951 และได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ในปี ค.ศ. 2012 สำหรับผลงานนี้

สำหรับเกมแบบร่วมมือแต่ละเกมจะแจกแจงการแบ่งส่วนแบ่งที่เกิดขึ้นจากการร่วมมือระหว่างผู้เล่นให้เป็นการเฉพาะ โดยที่ค่าแชปลีย์มีคุณสมบัติที่น่าพึงพอใจหลายประการ เซร์จิโอ ฮาร์ท (1989) ได้จัดทำแบบสำรวจเกี่ยวกับเรื่องนี้

## นิยามอย่างเป็นทางการ
เกมการรวมกลุ่ม (**coalitional game**) ถูกนิยามอย่างเป็นทางการดังนี้:
มีเซต *N* (ของผู้เล่น *n* คน) และฟังก์ชัน  v  ที่ส่งเซตย่อยของผู้เล่นไปยังจำนวนจริง:  v \colon 2^N \to \mathbb{R}  โดยที่  v (\emptyset) = 0  ซึ่ง \emptyset หมายถึงเซตว่าง ฟังก์ชัน  v  นี้เรียกว่า ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ (characteristic function)

ฟังก์ชัน v มีความหมายดังนี้: ถ้า *S* เป็นกลุ่มพันธมิตรของผู้เล่น ฟังก์ชัน v (*S*) ซึ่งเรียกว่าค่าของกลุ่มพันธมิตร *S* จะอธิบายผลรวมของผลตอบแทนที่สมาชิกของ S สามารถได้รับจากการร่วมมือกัน

ค่าแชปลีย์ เป็นวิธีหนึ่งในการแจกจ่ายผลกำไรรวมให้แก่ผู้เล่น โดยสมมุติว่าทุกคนร่วมมือกันเป็นการแจกจ่ายที่ "ยุติธรรม" ในแง่ที่ว่าเป็นการแจกจ่ายเดียวที่มีคุณสมบัติบางประการที่ต้องการตามที่ระบุไว้ข้างล่าง ตามค่าแชปลีย์ จำนวนที่ผู้เล่น *i* ได้รับในเกมการรวมกลุ่ม  (v, N)  คือ:

: \varphi_i (v) =\sum_{S \subseteq N \setminus
\{i\}} \frac^{-1} (v (S\cup\{i\}) -v (S) ) 

โดยที่ *n* คือจำนวนผู้เล่นทั้งหมดและผลรวมจะครอบคลุมทุกเซตย่อย *S* ของ *N* ที่ไม่รวมผู้เล่น *i* (รวมถึงเซตว่างด้วย) โปรดทราบว่า {n \choose k} คือตัวประกอบทวินาม (binomial coefficient) สูตรนี้สามารถตีความได้ดังนี้: ลองนึกภาพกลุ่มพันธมิตรกำลังก่อตัวขึ้นทีละผู้เล่น โดยที่แต่ละผู้เล่นเรียกร้องส่วนแบ่งที่ยุติธรรมตามที่พวกเขามีส่วนร่วม v (S\cup \{ i \}) - v (S)  และจากนั้นจะใช้ค่าเฉลี่ยของการมีส่วนร่วมนี้สำหรับแต่ละผู้เล่นในลำดับการรวมกลุ่มพันธมิตร

สูตรทางเลือกสำหรับค่าแชปลีย์ คือ:

: \varphi_i (v) = \frac{1}{n!}\sum_R\left [ v (P_i^R \cup \left \{ i \right \}) - v (P_i^R) \right ]

โดยที่ผลรวมนี้ครอบคลุมทุกลำดับ n! ของผู้เล่นและ P_i^R คือเซตของผู้เล่นใน N ที่มาก่อนผู้เล่น i ในลำดับ R นอกจากนี้ยังสามารถเขียนได้เป็น

: \varphi_i (v) = \frac{1}{n} \sum_{S \subseteq N \setminus \{i\}} \binom{n-1}^{-1} (v (S \cup \{i\}) - v (S) ) 

### ในแง่ของการทำงานร่วมกัน
จาก ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ v สามารถคำนวณ *การทำงานร่วมกัน* ที่ผู้เล่นแต่ละกลุ่มมีให้ได้ Synergy คือฟังก์ชันที่ไม่ซ้ำ  w \colon 2^N \to \mathbb{R}  ที่ทำให้

: v (S) = \sum_{R \subseteq S } w (R) 

สำหรับทุกเซตย่อย S \subseteq N กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ 'ค่ารวม' ของกลุ่มพันธมิตร S มาจากการรวม synergies ของเซตย่อยทุกเซตของ S

ฟังก์ชันการทำงานร่วมกัน (synergy) w ถูกคำนวณโดยใช้

: w (S) = \sum_{R \subseteq S } (-1) ^ v (R) 

ตามหลักการของการรวม-แยก (Inclusion-exclusion principle) กล่าวอีกนัยหนึ่งการทำงานร่วมกันของกลุ่มพันธมิตร S คือค่า v (S)  ที่ไม่ถูกนับจากเซตย่อย

ค่าแชปลีย์ สามารถนิยามในแง่ของฟังก์ชันการทำงานร่วมกันได้โดย

: \varphi_i (v) = \sum_{i \in S \subseteq N } \frac{w (S)} 

ซึ่งผลรวมนี้จะครอบคลุมเซตย่อย S ทั้งหมดของ N ที่รวมผู้เล่น i

สิ่งนี้สามารถตีความได้ว่า

: \varphi_i(v) = \sum_{\text{coalitions including i}} \frac{\text{synergy of the coalition}}{\text{number of members in the coalition}} 

กล่าวอีกนัยหนึ่งการทำงานร่วมกันของแต่ละกลุ่มพันธมิตรจะแบ่งเท่า ๆ กันระหว่างสมาชิกทั้งหมด

## ตัวอย่าง

### ตัวอย่างทางธุรกิจ
พิจารณาคำอธิบายที่เรียบง่ายของธุรกิจ เจ้าของ *o* ให้ทุนที่สำคัญในแง่ที่ว่า ถ้าไม่มีเขาหรือเธอจะไม่มีผลกำไรสามารถเกิดขึ้นได้ มีคนงาน *m* คน *w*1, ..., *w**m* แต่ละคนมีส่วนร่วมจำนวน *p* ต่อกำไรรวม

: N = \{o, w_1, \ldots, w_m\}.

ฟังก์ชันค่า (value function) สำหรับเกมการรวมกลุ่มนี้คือ

:
v(S) = 
\begin{cases}
  (|S|-1)p  & \text{if }o \in S\;,\\
  0 & \text{otherwise}\;.\\
\end{cases}


การคำนวณค่าแชปลีย์ สำหรับเกมกลุ่มนี้ทำให้ได้ค่า  สำหรับเจ้าของและ  สำหรับแต่ละคนใน *m* คนงาน

ซึ่งสามารถเข้าใจได้จากมุมมองของการทำงานร่วมกัน ฟังก์ชันการทำงานร่วมกัน w คือ

:
w(S) = 
\begin{cases}
  p,  & \text{if } S = \{ o, w_i \} \\
  0, & \text{otherwise}\\
\end{cases}


ดังนั้นกลุ่มพันธมิตรที่สร้างการทำงานร่วมกันได้ มีเพียงการจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเจ้าของและคนงานแต่ละคน

การใช้สูตรค่าแชปลีย์ข้างต้นตาม w เราคำนวณได้ว่า

: \varphi_{w_i} = \frac{w (\{o, w_i \})}{2} = \frac{p }{2} 

และ
: \varphi_o = \sum_{i=1}^m \frac{w (\{o, w_i \})}{2} = \frac{m p }{2} 

ผลลัพธ์นี้ยังสามารถเข้าใจได้จากมุมมองของการเฉลี่ยในลำดับทั้งหมด คนงานแต่ละคนเข้าร่วมกลุ่มหลังจากเจ้าของ (และดังนั้นจึงมีส่วนร่วม *p*) ในครึ่งหนึ่งของลำดับ ดังนั้นค่าเฉลี่ยการมีส่วนร่วมของเขาคือ \frac p2 เมื่อลงมาในกลุ่ม เจ้าของจะเข้ามาโดยเฉลี่ยเมื่อคนงานครึ่งหนึ่งได้เข้าร่วมแล้ว ดังนั้นค่าเฉลี่ยการมีส่วนร่วมของเจ้าของเมื่อลงมาในกลุ่มคือ \frac{mp}2

### เกมถุงมือ
เกมถุงมือ (Glove game) เป็นเกมการรวมกลุ่มที่ผู้เล่นมีถุงมือซ้ายและขวา และเป้าหมายคือการจับคู่ถุงมือขวาและซ้ายมาอยู่ด้วยกัน

ให้
: N = \{1, 2, 3\}, 
โดยที่ผู้เล่น 1 และ 2 มีถุงมือขวา และผู้เล่น 3 มีถุงมือซ้าย

ฟังก์ชันค่า (value function) สำหรับเกมการรวมกลุ่มนี้คือ

:
v(S) = 
\begin{cases}
  1  & \text{if }S \in \left\{ \{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\} \right\};\\
  0 & \text{otherwise}.\\
\end{cases}


สูตรในการคำนวณค่าแชปลีย์คือ

: \varphi_i (v) = \frac{1}{|N|!}\sum_R\left [ v (P_i^R \cup \left \{ i \right \}) - v (P_i^R) \right ], 

โดยที่  เป็นการจัดลำดับของผู้เล่นและ P_i^R คือเซตของผู้เล่นใน  ที่มาก่อน  ในลำดับ 

ตารางด้านล่างแสดงการมีส่วนร่วมของ Player 1

: 
\begin{array}
\text{ลำดับ }R\, \! & MC_1
\\
\hline
{1, 2, 3}
&v (\{1\}) - v (\varnothing) = 0 - 0 = 0
\\
{1, 3, 2}
&v (\{1\}) - v (\varnothing) = 0 - 0 = 0
\\
{2, 1, 3}
&v (\{1, 2\}) - v (\{2\}) = 0 - 0 = 0
\\
{2, 3, 1}
&v (\{1, 2, 3\}) - v (\{2, 3\}) = 1 - 1 = 0
\\
{3, 1, 2}
&v (\{1, 3\}) - v (\{3\}) = 1 - 0 =1
\\
{3, 2, 1}
&v (\{1, 3, 2\}) - v (\{3, 2\}) = 1 - 1 = 0
\end{array}


สังเกตว่า

: \varphi_1 (v) = \!\left (\frac{1}{6}\right) (1) =\frac{1}{6}.

โดยการใช้ข้อโต้แย้งด้านความสมมาตร (symmetry argument) สามารถแสดงได้ว่า

: \varphi_2 (v) =\varphi_1 (v) =\frac{1}{6}.

ตามหลักการของประสิทธิภาพ (efficiency axiom) ผลรวมของค่าแชปลีย์ ทั้งหมดจะเท่ากับ 1 ซึ่งหมายความว่า

: \varphi_3 (v) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.

## คุณสมบัติ
ค่าแชปลีย์มีคุณสมบัติที่น่าพอใจหลายประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นกฎการจ่ายเงินเพียงอย่างเดียวที่เป็นไปตามคุณสมบัติทั้งสี่ของ ประสิทธิภาพ (Efficiency), ความสมมาตร (Symmetry), ความเป็นเส้นตรง (Linearity) และผู้เล่นที่ไม่มีผล (Null player)
ดูเพิ่มเติม สำหรับการจำแนกค่าแชปลีย์

### ประสิทธิภาพ (Efficiency)
ผลรวมของค่าแชปลีย์ของตัวแทนทั้งหมดเท่ากับค่าของกลุ่มใหญ่ (grand coalition) ดังนั้นผลกำไรทั้งหมดจะถูกแจกจ่ายให้กับตัวแทน:
: \sum_{i\in N}\varphi_i (v) = v (N) 

*การพิสูจน์*: \sum_{i\in N} \varphi_i (v) =
\frac{1}{|N|!} \sum_R \sum_{i\in N} v (P_i^R \cup \left \{ i \right \}) - v (P_i^R)
## \frac{1}{|N|!} \sum_R v (N) == \frac{1}{|N|!}
| N|!\cdot v (N) = v (N) 

เนื่องจาก \sum_{i\in N} v (P_i^R \cup \left \{ i \right \}) - v (P_i^R)  เป็นการรวมแบบเทเลสโคป (telescoping sum) และมีการจัดลำดับ *|N|!* ลำดับต่าง ๆ

### ความสมมาตร (Symmetry)
หาก i และ j เป็นตัวแทนสองคนที่เทียบเท่ากันในแง่ที่ว่า

: v (S\cup\{i\}) = v (S\cup\{j\}) 
สำหรับทุกชุด S ของ N ที่ไม่รวม i หรือ j ก็จะมี \varphi_i (v) = \varphi_j (v) 

คุณสมบัตินี้ยังเรียกว่า *การปฏิบัติต่อเท่าเทียมกัน (equal treatment of equals) *

### ความเป็นเส้นตรง (Linearity)
หากเกมกลุ่มสองเกมที่อธิบายด้วยฟังก์ชันผลกำไร v และ w ถูกผสมกัน ผลกำไรที่แจกจ่ายควรตรงกับผลกำไรที่ได้จาก v และผลกำไรที่ได้จาก w:

: \varphi_i (v+w) = \varphi_i (v) + \varphi_i (w) 
สำหรับทุก i ใน&nbsp;N นอกจากนี้ สำหรับจำนวนจริง a,
: \varphi_i (a v) = a \varphi_i (v) 
สำหรับทุก i ใน&nbsp;N

### ผู้เล่นที่ไม่มีผล (Null player)
ค่าแชปลีย์ \varphi_i (v)  ของผู้เล่นที่ไม่มีผล i ในเกม v เท่ากับศูนย์ ผู้เล่น i ถือเป็น *ผู้เล่นที่ไม่มีผล* ใน v หาก v (S\cup \{i\}) = v (S)  สำหรับกลุ่มพันธมิตร S ทั้งหมดที่ไม่รวม i

### การทดสอบแบบอิสระ (Stand-alone test)
หาก v เป็นฟังก์ชันเซ็ตที่ไม่เพิ่มค่า (subadditive set function), เช่น v (S\sqcup T) \leq v (S) + v (T) , แล้วสำหรับแต่ละตัวแทน i: \varphi_i (v) \leq v (\{i\}) 

ในทำนองเดียวกัน, หาก v เป็นฟังก์ชันเซ็ตที่เพิ่มค่า (superadditive set function), เช่น v (S\sqcup T) \geq v (S) + v (T) , แล้วสำหรับแต่ละตัวแทน i: \varphi_i (v) \geq v (\{i\}) 

ดังนั้น, หากความร่วมมือมีผลลัพธ์ภายนอกที่เป็นบวก ตัวแทนทั้งหมดจะได้รับ (อย่างน้อย) การเพิ่มขึ้น และหากมีผลลัพธ์ภายนอกที่เป็นลบ ตัวแทนทั้งหมดจะได้รับ (อย่างน้อย) การลดลง

### ความเป็นกลาง (Anonymity)
หาก i และ j เป็นสองตัวแทน และ w เป็นฟังก์ชันผลกำไรที่เหมือนกับ v ยกเว้นว่าบทบาทของ i และ j ถูกสลับกัน, ดังนั้น \varphi_i (v) = \varphi_j (w)  ซึ่งหมายความว่าการติดป้ายของตัวแทนไม่ได้มีบทบาทในการกำหนดผลกำไรของพวกเขา

### ความมาร์จินัล (Marginalism)
ค่าแชปลีย์ สามารถกำหนดเป็นฟังก์ชันที่ใช้เฉพาะการมีส่วนร่วมของมาร์จินัลของผู้เล่น i เป็นอาร์กิวเมนต์

## ค่าออน์–แชปลีย์ (Aumann–Shapley)
ในหนังสือปี 1974 ของลอยด์ แชปลีย์ และโรเบิร์ต ออมันน์ ได้ขยายแนวคิดของค่าแชปลีย์ไปยังเกมที่ไม่มีที่สิ้นสุด (ซึ่งกำหนดตามเมเชอร์ (measure) ที่ ไม่ใช่อะตอม) โดยสร้างสูตรแนวทแยง (diagonal formula) ซึ่งต่อมาขยายโดยฌอง-ฟรองซัวส์ แมร์เต็นส์ และอับราฮัม เนย์มาน

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น ค่าในเกม n-person จะเชื่อมโยงกับแต่ละผู้เล่นคาดหวังการมีส่วนร่วมของเขาต่อคุณค่าหรือกลุ่มของผู้เล่นก่อนเขาในลำดับการสุ่มของผู้เล่นทั้งหมด เมื่อมีผู้เล่นจำนวนมากและแต่ละบุคคลมีบทบาทเพียงเล็กน้อย ชุดของผู้เล่นทั้งหมดที่มาก่อนผู้เล่นที่กำหนดถือเป็นตัวอย่างที่ดีของผู้เล่น ดังนั้นค่าแชปลีย์ของผู้เล่นที่ไม่มีที่สิ้นสุด  รอบ ๆ เป็นการ "มีส่วนร่วม" ของเขาต่อคุณค่าของ "ตัวอย่างที่สมบูรณ์แบบ" ของประชากรผู้เล่นทั้งหมด

สัญลักษณ์: ถ้า  เป็นฟังก์ชันการมีคุณค่าของกลุ่มที่เชื่อมโยงกับแต่ละกลุ่ม  ซึ่งเป็นชุดที่วัดได้จากชุดที่วัดได้  ที่สามารถคิดเป็น I=[0, 1] โดยไม่สูญเสียความเป็นทั่วไป

: 
(Sv) (ds) = \int_0^1 (\, v (tI + ds) - v (tI) \, ) \, dt.


โดยที่  (Sv) (ds)  หมายถึงค่าแชปลีย์ของผู้เล่นที่ไม่มีที่สิ้นสุด  ในเกม,  เป็นตัวอย่างที่สมบูรณ์แบบของชุดทั้งหมด  ที่ประกอบด้วยสัดส่วน  ของผู้เล่นทั้งหมด และ tI+ ds คือกลุ่มที่ได้หลังจาก  เข้าร่วม  นี่คือรูปแบบเชิงพาณิชย์ของ สูตรแนวทแยง

โดยสมมติว่าฟังก์ชันการมีคุณค่าเป็นไปตามระเบียบบางประการเช่น สมมติว่า  สามารถแสดงเป็นฟังก์ชันที่มีการแยกต่างหากของเมเชอร์ที่ไม่เป็นอะตอมบน , , v (c) =f (\mu (c) )  โดยที่ฟังก์ชันความหนาแน่น \varphi, โดยที่ \mu (c) =\int 1_c (u) \varphi (u) \, du,  ( 1_c ()  คือฟังก์ชันลักษณะของ ) ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้

: \mu (tI) =t\mu (I)
,

ตามที่สามารถแสดงได้โดยการประมาณความหนาแน่นโดยฟังก์ชันขั้นตอนและรักษาสัดส่วน  สำหรับแต่ละระดับของฟังก์ชันความหนาแน่น และ

: 
v (tI + ds) =f (t\mu (I) ) +f' (t\mu (I) ) \mu (ds)
.

สูตรแนวทแยงมีรูปแบบที่พัฒนาโดย ออมันน์ และ แชปลีย์ (1974)

: 
(Sv) (ds) = \int_0^1 f'_{t\mu (I)} (\mu (ds) ) \, dt


ที่กล่าวถึง  สามารถเป็นค่าดัชนี (vector valued) (ตราบใดที่ฟังก์ชันถูกกำหนดและสามารถแยกได้ในช่วงของ , สูตรข้างต้นมีความหมาย)

ในอาร์กิวเมนต์ข้างต้น หากเมเชอร์มีอะตอม \mu (tI) =t\mu (I)  จะไม่เป็นจริงอีกต่อไป—นี่คือเหตุผลที่สูตรแนวทแยงมักใช้กับเกมที่ไม่มีอะตอม

มีสองวิธีที่ใช้ขยายสูตรแนวทแยงนี้เมื่อฟังก์ชัน  ไม่สามารถแยกได้ เมอร์เทนส์ (Mertens) กลับไปที่สูตรดั้งเดิมและทำการแยกหลังจากการรวม ซึ่งจะได้รับผลจากการปรับเรียบอย่างมีประสิทธิภาพ เนย์แมน (Neyman) ใช้แนวทางที่แตกต่างออกไปโดยกลับไปที่การใช้ แนวทางของเมอร์เทนส์ (Mertens's approach) จาก เมอร์เทนส์ (1980) :

: 
(Sv) (ds) = \lim_{\varepsilon \to 0, \varepsilon>0} \frac{1}{\varepsilon}\int_0^{1-\varepsilon} (f (t+\varepsilon \mu (ds) ) -f (t) ) \, dt


สิ่งนี้ใช้ได้กับเกมส่วนใหญ่—ในขณะที่สูตรแนวทแยงดั้งเดิมไม่สามารถใช้ได้โดยตรง เมอร์เทนส์ ขยายเพิ่มเติมโดยการระบุความสมมาตรที่ค่าแชปลีย์ควรเป็นอิสระ และเฉลี่ยตามความสมมาตรเหล่านี้เพื่อสร้างผลการปรับเรียบเพิ่มเติมที่สลับการเฉลี่ยกับการดำเนินการแยกอย่างที่กล่าวไว้ข้างต้น การสำรวจค่าไม่ใช่อะตอม (non-atomic) พบในงานของเนย์แมน (Neyman, 2002)

## การขยายไปยังกลุ่ม
ค่าแชปลีย์ ถูกกำหนดให้กับตัวแทนแต่ละคนเท่านั้น แต่ได้มีการขยาย เพื่อให้สามารถใช้กับกลุ่มของตัวแทน *C* ได้ดังนี้

: 
\varphi_C (v) = \sum_{T \subseteq N \setminus C} \frac{ (n - |T| - |C|) ! \; |T|!}{ (n - |C| + 1) !} \sum_{S \subseteq C} (-1) ^ v (S \cup T) \; .


ในแง่ของฟังก์ชันการทำงานร่วมกัน w ข้างต้น สามารถเขียนได้เป็น

: 
\varphi_C (v) = \sum_{C \subseteq T \subseteq N} \frac{w (T)}^n \frac{1}{t}


แต่ละค่า \varphi_{ij} (v)  แสดงถึงมูลค่าของผู้เล่น i ต่อผู้เล่น j เมทริกซ์นี้ทำให้เห็นว่า

: 
\varphi_i (v) = \sum_{j \in N} \varphi_{ij} (v)


กล่าวคือ มูลค่าของผู้เล่น i ต่อเกมทั้งหมดเป็นผลรวมของมูลค่าที่ผู้เล่น i มีต่อผู้เล่นแต่ละคน

ในแง่ของความร่วมมือ w ที่กำหนดไว้ข้างต้น สามารถเขียนได้ว่า

: 
\varphi_{ij} (v) = \sum_{\{i, j\} \subseteq S \subseteq N} \frac{w (S)}{|S|^2}


โดยที่การรวมไปยังทุกชุด S ของ N ที่มี i และ j

การตีความคือ การรวมค่าในแต่ละชุดที่มีผู้เล่น i และ j โดยสำหรับแต่ละชุด S คุณ
* ใช้ความร่วมมือ w (S)  ของชุดนั้น
* แบ่งออกเป็นจำนวนผู้เล่นในชุด |S| ซึ่งตีความว่าเป็นมูลค่าเพิ่มที่ผู้เล่น i ได้รับจากการรวมกลุ่มนี้
* แบ่งเพิ่มเติมโดย |S| เพื่อให้ได้ส่วนที่มูลค่าของผู้เล่น i ที่ถูกให้แก่ผู้เล่น j

กล่าวอีกนัยหนึ่ง มูลค่าความร่วมมือของแต่ละกลุ่มจะถูกแบ่งออกอย่างเท่าเทียมกันระหว่างคู่ |S|^2 คู่  (i, j)  ของผู้เล่นในกลุ่มนั้น โดยที่ i สร้างมูลค่าเพิ่มให้แก่ j

## การถดถอยค่าแชปลีย์
การถดถอยค่าแชปลีย์ เป็นวิธีทางสถิติที่ใช้เพื่อวัดการมีส่วนร่วมของตัวแปรแต่ละตัวในแบบจำลองการถดถอย ในบริบทนี้ "ผู้เล่น" คือ ตัวแปรหรือพรีดิคเตอร์แต่ละตัวในแบบจำลอง และ "กำไร" คือ ความแปรปรวนที่อธิบายทั้งหมดหรือพลังการคาดการณ์ของแบบจำลอง วิธีนี้รับประกันการกระจายกำไรทั้งหมดอย่างเป็นธรรมระหว่างตัวพรีดิคเตอร์ โดยการมอบค่าที่แทนการมีส่วนร่วมของแต่ละตัวพรีดิคเตอร์ในประสิทธิภาพของแบบจำลอง ลิโปเวตสกี (Lipovetsky, 2006) ได้อภิปรายการใช้ค่าแชปลีย์ ในการวิเคราะห์การถดถอย โดยให้ภาพรวมที่ครอบคลุมเกี่ยวกับพื้นฐานทฤษฎีและการใช้งานจริง

การมีส่วนร่วมของค่าแชปลีย์ ได้รับการยอมรับในเรื่องความสมดุลของเสถียรภาพและพลังในการแยกแยะ ซึ่งทำให้เหมาะสมในการวัดความสำคัญของคุณลักษณะการบริการในการวิจัยตลาดอย่างแม่นยำ การศึกษาหลายชิ้นได้นำการถดถอยค่าแชปลีย์ ไปใช้ในการวิเคราะห์ปัจจัยหลักในการวิจัยการตลาด โปครีเชฟสกายา และอันตีปอฟ (Pokryshevskaya และ Antipov, 2012) ใช้วิธีนี้ในการวิเคราะห์เจตนาการซื้อซ้ำของลูกค้าออนไลน์ แสดงให้เห็นถึงประสิทธิภาพในการเข้าใจพฤติกรรมของผู้บริโภค เช่นเดียวกัน อันตีปอฟ และโปครีเชฟสกายา (Antipov และ Pokryshevskaya, 2014) ได้นำการถดถอยค่าแชปลีย์ ไปใช้ในการอธิบายความแตกต่างในอัตราการแนะนำโรงแรมในไซปรัสใต้ โดยเน้นประโยชน์ในอุตสาหกรรมการบริการ การตรวจสอบเพิ่มเติมเกี่ยวกับประโยชน์ของค่าแชปลีย์ในการวิเคราะห์ปัจจัยหลักได้แก่ Vriens, Vidden และ Bosch (2021) ที่เน้นข้อดีในการวิเคราะห์การตลาดที่ใช้จริง

## ในการเรียนรู้ของเครื่อง
ค่าแชปลีย์ให้วิธีการที่มีหลักการในการอธิบายการคาดการณ์ของแบบจำลองที่ไม่เป็นเชิงเส้นซึ่งเป็นที่นิยมในสาขาการเรียนรู้ของเครื่อง โดยการตีความแบบจำลองที่ฝึกฝนด้วยชุดของคุณลักษณะเป็นฟังก์ชันค่าในกลุ่มผู้เล่น ค่าแชปลีย์จะช่วยให้คำนวณได้ว่าคุณลักษณะใดมีส่วนช่วยในการคาดการณ์ หรือมีส่วนช่วยในความไม่แน่นอนของการคาดการณ์ วิธีนี้รวมหลายวิธีอื่น ๆ เช่น Locally Interpretable Model-Agnostic Explanations (LIME) DeepLIFT และ Layer-Wise Relevance Propagation

## อ่านหนังสือเพิ่ม
* 

## ดูเพิ่ม
* ปัญหาสนามบิน
* ดัชนีพลังของบานซาฟ
* ดัชนีพลังของแชปลีย์–ชูบิก

## อ้างอิง

## แหล่งข้อมูลอื่น
* 
* เครื่องคำนวณค่าแชปลีย์
* การคำนวณค่าโดยสารแท็กซี่โดยใช้ค่าแชปลีย์

หมวดหมู่:เกมร่วมมือ
หมวดหมู่:การแบ่งที่ยุติธรรม
หมวดหมู่:ลอยด์ แชปลีย์