รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ในทางเรขาคณิต **รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน** คือรูปสี่เหลี่ยมชนิดหนึ่งที่มีด้านตรงข้ามขนานกันจำนวนสองคู่ ในบริบทของเรขาคณิตแบบยูคลิด ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีความยาวเท่ากัน และมุมตรงข้ามก็มีขนาดเท่ากัน ความสมนัยของด้านตรงข้ามและมุมตรงข้ามเป็นผลทางตรงจากสัจพจน์เส้นขนานแบบยูคลิด (Euclidean Parallel Postulate) นั่นคือไม่มีเงื่อนไขอันใดที่สามารถพิสูจน์โดยไม่อ้างถึงสัจพจน์เส้นขนานแบบยูคลิดหรือบทบัญญัติเทียบเท่า

รูปทรงที่คล้ายกันในสามมิติคือทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

## สมบัติ
* ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นเส้นขนาน (โดยนิยาม) หมายความว่าเมื่อต่อด้านออกไปจะไม่บรรจบกัน
* ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากัน
* มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีขนาดเท่ากัน
* มุมภายในที่อยู่ติดกันรวมกันเป็นมุมประกอบสองมุมฉาก (รวมกันได้ 180°)
* พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นสองเท่าของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากการแบ่งด้วยเส้นทแยงมุมหนึ่งเส้น
* พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานก็ยังเท่ากับขนาดของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ของด้านที่อยู่ติดกัน
* เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน
* เส้นตรงใด ๆ ที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะแบ่งครึ่งพื้นที่พอดี
* การแปลงสัมพรรค (affine transformation) ที่ไม่ใช่ภาวะลดรูป ทำให้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานอีกรูปหนึ่ง การแปลงสัมพรรคที่ทำให้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีเป็นจำนวนอนันต์
* รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีสมมาตรแบบหมุน (หรือสมมาตรเชิงวงกลม) ในอันดับสอง (หมุนครั้งละ 180°) และถ้ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีสมมาตรแบบสะท้อนสองแกน แสดงว่ามันคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหรือไม่ก็รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
* เส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากับ 2 (*a* + *b*) เมื่อ *a* และ *b* คือความยาวของด้านที่อยู่ติดกัน
* ผลรวมของกำลังสองของด้านทั้งสี่ เท่ากับผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมทั้งสอง ดูเพิ่มที่กฎรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

## ประเภท
* รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมุมไม่ฉาก (rhomboid) คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มุมภายในไม่เป็นมุมฉาก ความหมายตรงข้ามกับรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
* รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากและรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มุมภายในทุกมุมเท่ากัน (มุมฉาก)
* รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ด้านทุกด้านยาวเท่ากัน
* รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ด้านทุกด้านยาวเท่ากันและมุมภายในทุกมุมเท่ากัน (มุมฉาก)

## การพิสูจน์ว่าเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน
right|รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ''ABCD''
การพิสูจน์ว่าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน กระทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทรูปสามเหลี่ยมสมภาค (เท่ากันทุกประการ) ดังนี้

::\angle ABE \cong \angle CDE (มุมแย้งภายในเส้นขนานมีขนาดเท่ากัน)
::\angle BAE \cong \angle DCE (มุมแย้งภายในเส้นขนานมีขนาดเท่ากัน)
เนื่องจากมุมเหล่านี้เป็นมุมที่เกิดจากเส้นตรงที่ลากผ่านเส้นขนาน *AB* และ *DC*

นอกจากนี้ ด้าน *AB* ก็ยาวเท่ากับ *DC* เนื่องจากด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากัน

เพราะฉะนั้นรูปสามเหลี่ยม *ABE* กับรูปสามเหลี่ยม *CDE* เท่ากันทุกประการด้วยสัจพจน์ มุม-ด้าน-มุม ดังนั้นจะได้
::AE = CE\,
::BE = DE\,

เนื่องจากเส้นทแยงมุม *AC* กับ *BD* ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวเท่ากันในแต่ละเส้น จึงสรุปว่าเส้นทแยงมุมทั้งสองแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน

## สูตรพื้นที่
thumb|250px|พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแสดงด้วยสีฟ้า
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตามที่ปรากฏในภาพ (แสดงด้วยสีฟ้า) คือพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดหักออกด้วยพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสองรูป (แสดงด้วยสีส้ม) เนื่องจากพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากคือ
::A_\text{rect} = (B+A) \times H\,
และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหนึ่งรูปคือ
::A_\text{tri} = \frac{1}{2} A \times H\,

ดังนั้นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากับ
::
\begin{align}
\mathrm{Area} &= A_\text{rect} - 2 \times A_\text{tri} \\
&= \left( (B+A) \times H \right) - \left( A \times H \right) \\
&= B \times H \\
\end{align}


พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านสองด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากับ *a* และ *b* และทำมุม θ สูตรพื้นที่อีกสูตรหนึ่งคือ
::\text{Area} = ab \sin \theta\,

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านสองด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากับ *a* และ *b* โดยที่ *a* ≠ *b* และเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้นตัดกันทำมุม γ คำนวณได้จากสูตรนี้
::\text{Area} = \frac{2} \cdot \left| a^2 - b^2 \right|

### พื้นที่บนระบบพิกัด
กำหนดให้ **a** และ **b** เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิสองมิติ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ทั้งสองสามารถคำนวณได้จาก
::V = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{bmatrix} \;; \text{Area} = |\det(V)| = |a_1b_2 - a_2b_1|

กำหนดให้ **a** และ **b** เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ *n* มิติ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ทั้งสองสามารถคำนวณได้จาก
::V = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ b_1 & b_2 & \dots & b_n \end{bmatrix} \;; \text{Area} = \sqrt{\det(V V^\mathrm{T})}

กำหนดให้จุด *a*, *b*, *c* เป็นจุดในปริภูมิสองมิติ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากจุดยอดทั้งสามสามารถคำนวณได้ดังนี้
::V = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & 1 \\ b_1 & b_2 & 1 \\ c_1 & c_2 & 1 \end{bmatrix} \;; \text{Area} = |\det(V)|

## อ้างอิง

## ดูเพิ่ม
* กฎรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
* รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหลักมูล

## แหล่งข้อมูลอื่น

* Parallelogram and Rhombus - Animated course (Construction, Circumference, Area)
* 
* Interactive Parallelogram --sides, angles and slope
* Area of Parallelogram at cut-the-knot
* Equilateral Triangles On Sides of a Parallelogram at cut-the-knot
* Definition and properties of a parallelogram with animated applet
* Interactive applet showing parallelogram area calculation interactive applet

ด