ตัวแปรเสริมสโตกส์

**ตัวแปรเสริมสโตกส์** (Stokes parameters) เป็นชุดของค่าสี่ค่าที่ใช้อธิบายสถานะของโพลาไรเซชัน ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ตั้งชื่อตาม จอร์จ กาเบรียล สโตกส์ นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวไอร์แลนด์ ซึ่งเป็นผู้เสนอขึ้นในปี 1852

ตัวแปรเสริมเหล่านี้มักจะถูกเขียนในรูปแบบของเวกเตอร์ เรียกว่า **เวกเตอร์สโตกส์** (Stokes vector) โดยแสดงเป็นฟังก์ชันของความเข้มรวมของลำแสง ระดับของโพลาไรเซชัน และตัวแปรเสริมที่เกี่ยวข้องกับรูปร่างเชิงวงรีของการโพลาไรซ์ ใช้เพื่ออธิบายแสงทั้งที่ไม่โพลาไรซ์ โพลาไรซ์บางส่วน และโพลาไรซ์ทั้งหมด ต่างจากวิธีการคำนวณของโจนส์ ซึ่งสามารถอธิบายได้เฉพาะแสงโพลาไรซ์ทั้งหมดเท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้น การแทนด้วยค่านี้เหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับการทดลอง เนื่องจากแต่ละค่าสอดคล้องกับผลรวมหรือความแตกต่างของความเข้มที่วัดได้ง่าย

ผลของระบบทางแสงที่มีต่อโพลาไรเซชันของแสงสามารถกำหนดได้โดยการสร้างเวกเตอร์สโตกส์สำหรับแสงที่ตกกระทบและใช้เมทริกซ์มึลเลอร์ เพื่อให้ได้เวกเตอร์สโตกส์ของแสงขาออกจากระบบ

## หลักการ
เรามักจะนำตัวแปรเสริมสโตกส์มาเขียนรวมเป็นเวกเตอร์สโตกส์ ดังนี้:

: 
\vec S \ = 
\begin{pmatrix} S_0 \\ S_1 \\ S_2 \\ S_3\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} I \\ Q \\ U \\ V\end{pmatrix}


เราสามารถมองว่าตัวแปรเสริมสโตกส์เป็นความเข้มทั่วไปสามค่า

* I: ความเข้มทั้งหมดที่วัดได้รวมกัน
* V: ความเข้มของโพลาไรเซชันแบบวงกลม ซึ่งอาจมีค่าเป็นบวกหรือลบขึ้นอยู่กับทิศทางของการหมุน
* L \equiv Q+iU \equiv |L|e^{i2\theta}: ความเข้มของโพลาไรเซชันแบบเส้นตรง ซึ่งเป็นจำนวนเชิงซ้อน ที่อธิบายความเอียง \theta ของทิศทางของโพลาไรเซชัน

สำหรับแสงโพลาไรซ์ทั้งหมด ซึ่งมีสถานะโพลาไรซ์แบบเดียวกันทั้งหมด สามารถแสดงได้เป็น

: 
\begin{matrix}
Q^2+U^2+V^2 = I^2
\end{matrix}


สำหรับลำแสงโพลาไรซ์บางส่วน ตัวแปรเสริมสโตกส์จะถูกกำหนดเป็นค่าเฉลี่ย สมการก่อนหน้าจะกลายเป็นอสมการ:

: 
Q^2+U^2+V^2 = I_p^2 \le I^2


โดย I_p/I เรียกว่าเป็น **อัตราโพลาไรเซชัน**

## คำจำกัดความ
เราสามารถให้คำจำกัดความของตัวแปรเสริมสโตกส์ได้หลายแบบขึ้นอยู่กับว่าอธิบายสถานะของโพลาไรซ์ของแสงอย่างไร

คลื่นระนาบอาจแสดงลักษณะเฉพาะด้วยเวกเตอร์คลื่น \vec{k} และแอมพลิจูดเชิงซ้อนของสนามไฟฟ้า E_1 และ E_2 อธิบายด้วยฐาน (\hat{\epsilon}_1,\hat{\epsilon}_2) หรืออาจแสดงโดยใช้เวกเตอร์คลื่น เฟส \phi และสถานะโพลาไรเซชัน \Psi โดย \Psi คือเส้นโค้งที่วาด สนามไฟฟ้าในระนาบหนึ่ง ๆ สถานะโพลาไรเซชันที่พบบ่อยที่สุดคือโพลาไรเซชันแบบเส้นตรง และแบบวงกลม ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของสถานะทั่วไปของโพลาไรเซชันแบบวงรี

### องค์ประกอบสนามไฟฟ้า
ตัวแปรเสริมสโตกส์ถูกนิยามตามองค์ประกอบของสนามไฟฟ้าโดย

:  \begin{matrix}
I & \equiv  & |E_x|^{2}+|E_y|^{2} \\
 & = & |E_a|^{2}+|E_b|^{2} \\
 & = & |E_l|^{2}+|E_r|^{2} \\
Q & \equiv  & |E_x|^{2}-|E_y|^{2} & \\
U & \equiv  & |E_a|^{2}-|E_b|^{2} &\\
V & \equiv  & |E_l|^{2}-|E_r|^{2} &
\end{matrix} 

โดยที่ดัชนีอ้างอิงถึงสามฐาน: ฐานอ้างอิงในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (\hat{x},\hat{y}) ฐานที่ทำมุม 45 องศากับฐานอ้างอิง (\hat{a},\hat{b}) และฐานวงกลม (\hat{l},\hat{r}) โดยฐานวงกลมถูกกำหนดโดย \hat{l} = (\hat{x}+i\hat{y})/\sqrt{2}

thumb|350px
รูปทางขวาแสดงให้เห็นว่าเครื่องหมายบวกลบของตัวแปรเสริมสโตกส์มีความสัมพันธ์กับทิศทางการหมุนและการวางแนวของแกนเอกของวงรีอย่างไร

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงตัวแปรเสริมสโตกส์ในทั้งสามฐานแต่ละฐานแยกกัน

ในฐาน (\hat{x},\hat{y}) ตัวแปรเสริมสโตกส์ถูกนิยามโดย

:  \begin{matrix}
I&=&|E_x|^2+|E_y|^2 \\
Q&=&|E_x|^2-|E_y|^2 \\
U&=&2\mbox{Re}(E_xE_y^*) \\
V&=&-2\mbox{Im}(E_xE_y^*) \\
\end{matrix}


ในฐาน (\hat{a},\hat{b}) แสดงได้เป็น

:  \begin{matrix}
I&=&|E_a|^2+|E_b|^2 \\
Q&=&-2\mbox{Re}(E_a^{*}E_b) \\
U&=&|E_a|^{2}-|E_b|^{2} \\
V&=&2\mbox{Im}(E_a^{*}E_b) \\
\end{matrix}


และในฐาน (\hat{l},\hat{r}):

:  \begin{matrix}
I &=&|E_l|^2+|E_r|^2 \\
Q&=&2\mbox{Re}(E_l^*E_r)  \\
U & = &-2\mbox{Im}(E_l^*E_r)  \\
V & =&|E_l|^2-|E_r|^2 \\
\end{matrix} 

### ในรูปของวงรี
right|thumb| วงรีของโพลาไรเซชันและตัวแปรที่เกี่ยวข้อง
วิธีหนึ่งในการอธิบายโพลาไรเซชันคือการระบุแกนเอกและแกนโทของวงรีโพลาไรเซชัน การวางแนว และทิศทางการหมุน ความสัมพันธ์ระหว่างค่าต่าง ๆ ในของวงรีโพลาไรเซชันกับตัวแปรเสริมสโตกส์ อาจแสดงได้ดังนี้:

: 
\begin{matrix}
I_p & = & A^2 + B^2      \\
Q  & = & (A^2-B^2)\cos(2\theta) \\
U  & = & (A^2-B^2)\sin(2\theta) \\
V  & = & 2ABh   \\
\end{matrix}


และในทางกลับกัน:

: 
\begin{matrix}
A & = & \sqrt{\frac{1}{2}(I_p+|L|)} \\
B & = & \sqrt{\frac{1}{2}(I_p-|L|)} \\
\theta & = & \frac{1}{2}\arg(L)\\
h & = & \sgn(V). \\
\end{matrix}


### ในพิกัดทรงกลม
right
[200px|right|thumb|alt=|วงรีโพลาไรเซชัน แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง[ทรงกลมปวงกาเรกับค่า ψ และ χ]]
ตัวแปรเสริมสโตกส์อาจแสดงในรูปของพิกัดทรงกลม เรียกว่าทรงกลมปวงกาเร
:  \begin{align}
S_0 &= I \\
S_1 &= I p \cos 2\psi \cos 2\chi\\
S_2 &= I p \sin 2\psi \cos 2\chi\\
S_3 &= I p \sin 2\chi
\end{align} 

ในที่นี้ I p, 2\psi และ 2\chi คือพิกัดทรงกลมของสถานะโพลาไรเซชันในปริภูมิสามมิติของตัวแปรเสริมสโตกส์สามตัวหลัง ตัวคูณ 2 อยู่ข้างหน้า \psi แสดงถึงความจริงที่ว่าวงรีที่หมุนไป 180 องศาจะไม่ต่างจากเดิม ในขณะที่ตัวคูณ 2 ที่อยู่ข้างหน้า \chi บ่งบอกว่าวงรีจะไม่สามารถแยกความแตกต่างได้เมื่อพลิกแกนทั้งสองตามด้วยการหมุน 90

สามารถหาค่าต่าง ๆ ในพิกัดทรงกลมจากตัวแปรเสริมสโตกส์ได้ด้วยสมการต่อไปนี้:

:  \begin{align}
I &= S_0 \\
p &= \frac{\sqrt{S_1^2 + S_2^2 + S_3^2}}{S_0} \\
2\psi &= \mathrm{atan} \frac{S_2}{S_1}\\
2\chi &= \mathrm{atan} \frac{S_3}{\sqrt{S_1^2+S_2^2}}\\
\end{align} 

## ตัวอย่าง
right|thumb|350px|ภาพอธิบายสถานะโพลาไรซ์บนทรงกลมปวงกาเร
ตารางต่อไปนี้แสดงเวกเตอร์สโตกส์สำหรับสถานะโพลาไรเซชันของแสงที่พบได้บ่อย

ไฟล์:StokesParameters.png

## อ้างอิง

หมวดหมู่:โพลาไรเซชัน
หมวดหมู่:การวัดรังสี