เมเชอร์ (คณิตศาสตร์)

thumb|''เมเชอร์'' เป็นการระบุตัวเลขแก่เซต ซึ่งอาจมองได้ว่าเป็นการระบุขนาดของเซต
ในคณิตศาสตร์ **เมเชอร์** () บนเซตใด ๆ เป็นวิธีการให้ตัวเลขแก่ซับเซตบางตัวของเซตนั้น ซึ่งนิยมตีความว่าตัวเลขนั้นแทนขนาดของเซต ในมุมมองดังกล่าว เมเชอร์เป็นการวางนัยทั่วไปของแนวคิดเชิงเรขาคณิตอันได้แก่ ความยาว พื้นที่ และปริมาตร   ตัวอย่างการนำทฤษฎีเมเชอร์ไปใช้ในสาขาอื่น คือ การที่นักคณิตศาสตร์หลายท่านมองว่าความน่าจะเป็นเหมาะสมเป็นปริมาณเมเชอร์ประเภทหนึ่ง  จึงได้ใช้ทฤษฎีเมเชอร์ในการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical probability) (หรือทฤษฎีความน่าจะเป็นยุคใหม่) ขึ้น   ก่อให้เกิดความก้าวหน้ากับทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นอย่างมาก  

จุดเริ่มต้นของการสร้างสาขาทฤษฎีเมเชอร์เพื่อนำไปใช้กับทฤษฎีของปริพันธ์และขยายทฤษฎีปริพันธ์ของรีมันน์ไปยังขอบเขตที่กว้างขึ้น โดยนักคณิตศาสตร์ที่มีส่วนสำคัญในการคิดค้นทฤษฎีเมเชอร์ในยุคแรก ๆ คือ จูเซ็ปเป้ เพียโน กามีย์ ฌอร์ด็อง เอมีล โบเรล และอองรี เลอเบ็ก 

## นิยามพื้นฐานเกี่ยวกับเมเชอร์
thumb|305x305px|สภาพการบวกแบบอนันต์นับได้ของเมเชอร์: เมเชอร์ของยูเนียนนับได้ จะเท่ากับผลรวมของเมเชอร์ของสับเซตในยูเนียนนั้น

### คำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ
ในทางคณิตศาสตร์ *เมเชอร์* จะต้องมีคุณสมบัติ 3 ข้อดังจะอธิบายหยาบ ๆ ต่อไปนี้
# ไม่ว่าจะวัดวัตถุอะไร ต้องวัดค่าของวัตถุนั้นได้อย่างน้อยที่สุดคือศูนย์ ไม่มีทางได้ค่าลบ
# สำหรับวัตถุว่างเปล่า (เทียบเท่าเซตว่างในทางคณิตศาสตร์) เราวัดความไม่มีตัวตนนั้นได้ศูนย์
# เอาวัตถุหลาย ๆ ชิ้นที่ไม่มีส่วนเชื่อมกัน มารวมกันเป็นชิ้นเดียว, ค่าที่วัดได้ของวัตถุชิ้นใหม่นั้นก็คือ ค่าที่วัดได้จากวัตถุแต่ละชิ้น แล้วนำมาบวกกันนั่นเอง

จากคำอธิบายอย่างหยาบข้างต้น นำไปสู่นิยามทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้

### นิยามอย่างเป็นทางการ
ให้ X เป็นเซต และ \Sigma เป็นซิกมาแอลจีบราบนเซต X นั้น จะเรียกฟังก์ชัน \mu ที่ส่งค่าจาก \Sigma  ไปยังเรนจ์ที่เป็นจำนวนจริงขยาย [0,\infty] ว่าเป็น **เมเชอร์** (measure) ก็ต่อเมื่อ *μ* มีสมบัติต่อไปนี้

# **ความไม่เป็นลบ**: ทุกค่า *E* ใน Σ จะต้องได้ว่า \mu(E)\geq 0 
# **[[เซตว่าง]]มีเมเชอร์เท่ากับศูนย์***:*  \mu (\varnothing) = 0 
# **<math>\mu</math>** มี**สภาพการบวกแบบอนันต์นับได้ (countable additivity)** หรืออาจเรียกว่ามี**[[สภาพการบวกแบบซิกมา]] (σ-additivity)**:  ถ้ากำหนดให้ \left \{ E_k \right \}_{k = 1}^\infty เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตที่ไม่มีส่วนร่วมเป็นคู่ ๆ ใน \Sigma แล้ว \mu\left (\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu (E_i)
เราจะเรียกสามสิ่งอันดับ (X, \Sigma, \mu) ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขข้างต้นว่า **ปริภูมิเมเชอร์** (measurable space) และแต่ละสมาชิกใน \Sigma  จะถูกเรียกว่า**เซตที่หาเมเชอร์ได้** (measurable sets) ในบางครั้งนิยมละการเขียนเมเชอร์ ระบุเพียงแค่ (X, \Sigma) เท่านั้น

### ปริภูมิความน่าจะเป็น
ปริภูมิความน่าจะเป็น (Probability space) เป็นปริภูมิเมเชอร์ที่เมเชอร์ของปริภูมิทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่ง หรือก็คือ  \mu (X) = 1  ในกรณีนี้จะเรียกเมเชอร์นั้นว่าเป็นเมเชอร์ความน่าจะเป็น (probability measure)

นอกจากนั้นมักจะใช้สัญกรณ์  (\Omega,\mathfrak{F},P)  แทนปริภูมิความน่าจะเป็น แทนที่จะใช้สัญกรณ์ (X, \Sigma, \mu) เพื่อลดความกำกวมเนื่องจาก X มักใช้แทนตัวแปรสุ่ม และใช้ \mu แทนค่าเฉลี่ยในทางสถิติและความน่าจะเป็น

### ฟังก์ชันหาเมเชอร์ได้
ให้ (X, \Sigma_X) และ (Y, \Sigma_Y) เป็นปริภูมิเมเชอร์ แล้วจะเรียกฟังก์ชัน f\colon X \to Y ว่าเป็น**ฟังก์ชันหาเมเชอร์ได้** (measurable function) ก็ต่อเมื่อบุพภาพของเซตหาเมเชอร์ได้ใน Y เป็นเซตหาเมเชอร์ได้ใน X ด้วย หรือก็คือ f^{-1} (A) \in \Sigma_X สำหรับทุกเซต A \in \Sigma_Y

## สมบัติที่พิสูจน์ได้จากนิยาม
ให้ \mu เป็นเมเชอร์

### ความเป็นฟังก์ชันทางเดียว
*<math>\mu</math>* มีสมบัติเป็นฟังก์ชันทางเดียว: กำหนดให้ E_1 และ E_2 เป็นเซตที่หาเมเชอร์ได้ และ E_1 \subseteq E_2 แล้วจะได้ว่า \mu(E_1) \leq \mu (E_2)

### เมเชอร์ของยูเนียนแบบนับได้ของเซต
กำหนดให้   E_1, E_2, E_3, ... เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตใน \Sigma จะได้ว่า

:\mu\left ( \bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) \le \sum_{i=1}^\infty \mu (E_i) 

นอกจากนั้นเรายังได้ว่า ถ้ากำหนดให้  E_1, E_2, E_3, ... เป็นเซตใน Σ และ   E_n \subseteq E_{n+1} ,\forall n \in \mathbb{N} , แล้วจะได้ว่า  \bigcup_{n=1}^\infty E_n  อยู่ใน \Sigma ด้วย และ 

: \mu\left (\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu (E_i) 

### เมเชอร์ของอินเตอร์เซกชันแบบนับได้ของเซต
กำหนดให้  E_1, E_2, E_3, ... เป็นเซตใน \Sigma และ   E_{n+1} \subseteq E_n ,\forall n \in \mathbb{N} , แล้วจะได้ว่า  \bigcap_{n=1}^\infty E_n  อยู่ใน \Sigma ด้วย และยิ่งไปกว่านั้น ถ้ามีสมาชิก E_n อย่างน้อยหนึ่งตัวที่มีค่าเมเชอร์จำกัด (\mu(E_n) ) เราจะได้ว่า

: \mu\left (\bigcap_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu (E_i) 

คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงถ้าไม่มีสมาชิก E_n ใด ๆ เลยที่มีเมเชอร์จำกัด (คือมีค่าเมเชอร์เป็นอนันต์ทุกตัว) ตัวอย่างเช่น  ถ้าให้  E_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb{R}  สำหรับแต่ละ n \in \N แล้วเราจะได้ว่าทุก ๆ  E_n มีเมเชอร์อนันต์ (ภายใต้เลอเบ็กเมเชอร์) แต่ว่าอินเตอร์เซ็กชันของเซตทั้งหมดมีเมเชอร์เป็นศูนย์
## ตัวอย่างของเมเชอร์

* เมเชอร์การนับ นิยามให้ \mu(S) เท่ากับจำนวนสมาชิกใน S
*เลอเบ็กเมเชอร์ หรือ เมเชอร์ของเลอเบ็ก เป็นหนึ่งในเมเชอร์ที่สำคัญที่สุด ได้ขยายนิยามความยาวที่เราคุ้นเคย เช่น ความยาวของเซต [0,5] คือ 5 ไปยังเซตอื่น ๆ เช่น ความยาวของเซตตรรกยะในช่วง [0,1] สามารถวัดได้ ด้วยเลอเบ็กเมเชอร์
* เมเชอร์ความน่าจะเป็น คือ ฟังก์ชันความน่าจะเป็นดังที่กำหนดไว้ในสัจพจน์ของความน่าจะเป็น กล่าวง่าย ๆ เมเชอร์ความน่าจะเป็น ก็คือเมเชอร์หรือเมเชอร์ธรรมดาที่ได้นิยามไว้ในหัวข้อข้างต้น แต่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมหนึ่งข้อ คือ เมเชอร์ของเซต *X* (เซตที่ใหญ่ที่สุด) ต้องมีค่าเท่ากับหนึ่ง
* โบเรลเมเชอร์
* จอร์แดนเมเชอร์

## สมบัติเพิ่มเติม

### เมเชอร์ซิกมาจำกัด
ปริภูมิเมเชอร์  (X, \Sigma, \mu)  จะเป็น**ปริภูมิเมเชอร์จำกัด** (finite measure) ก็ต่อเมื่อ  \mu (X)  เป็นจำนวนจริงจำกัดค่า ปริภูมิเมเชอร์จำกัด ถ้าไม่ใช่ปริภูมิเมเชอร์ศูนย์ จะเสมือนกับเป็นปริภูมิความน่าจะเป็น ทั้งนี้เพราะว่า  \mu  เป็นพหุคูณของเมเชอร์ความน่าจะเป็น  \frac{1}{\mu(X)}\mu   

นักคณิตศาสตร์สนใจเงื่อนไขความจำกัดในอีกรูปแบบหนึ่ง ปริภูมิเมเชอร์  (X, \Sigma, \mu)  จะเป็น**ปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด** (σ-finite measure space) ก็ต่อเมื่อสามารถแบ่ง  X  ออกเป็นส่วนย่อยอนันต์นับได้ส่วนที่ไม่มีส่วนร่วมกัน และแต่ละส่วนมีเมเชอร์เป็นจำนวนจริงจำกัดค่า ในกรณีจะเรียก  \mu  ว่าเป็น *เมเชอร์ซิกมาจำกัด* (σ-finite measure) ตัวอย่างปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด เช่น เซตจำนวนจริง  \R  ภายใต้เมเชอร์เลอเบ็กมาตรฐาน เนื่องจากเราสามารถแบ่ง  \R  ออกเป็นช่วงย่อย  [k, k+1)  ที่ไม่มีส่วนร่วมกัน สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม  k  ได้ และเมเชอร์ของแต่ละส่วนมีค่าเท่ากับ 1

ในทำนองกลับกัน เซต  \R  ภายใต้เมเชอร์การนับไม่เป็นปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด ทั้งนี้เพราะว่าเซตที่เมเชอร์น้อยกว่าอนันต์มีเพียงเซตจำกัดเท่านั้น และต้องใช้เซตจำกัดจำนวนอนันต์นับไม่ได้ตัวเพื่อคลุม  \R 

ปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัดมีสมบัติที่เป็นประโยชน์ในการศึกษา เทียบได้กับสมบัติลินเดอเลิฟของปริภูมิเชิงทอพอโลยี 

### เมเชอร์บริบูรณ์

ในปริภูมิเมเชอร์  (X, \Sigma, \mu)  เซต  N \subseteq X  จะเป็นเซตนัลล์ (null set) ก็เมื่อ  \mu(N) = 0  สับเซตของเซตนัลล์ไม่จำเป็นต้องหาเมเชอร์ได้ แต่ถ้าสับเซต  M\subseteq N   ของเซตนัลล์หาเมเชอร์ได้ แล้ว  \mu(M) = 0  โดยอัตโนมัติ จะเรียก  (X, \Sigma, \mu)  ว่าเป็น**เมเชอร์บริบูรณ์** (complete measure) ก็ต่อเมื่อ ทุกสับเซตของเซตนัลล์หาเมเชอร์ได้

หากมีปริภูมิเมเชอร์  (X, \Sigma, \mu)  ใด ๆ (อาจเป็นเมเชอร์บริบูรณ์อยู่แล้วได้) จะสามารถขยายเมเชอร์ดังกล่าวให้เป็นเมเชอร์บริบูรณ์ได้เสมอ 

## เซตหาเมเชอร์ไม่ได้

หากยอมรับในสัจพจน์ของการเลือก จะสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีสับเซตของ  \R^n  ที่ไม่สามารถหาเมเชอร์ได้ ตัวอย่างของเซตดังกล่าว เช่น เซตวีตาลี และเซตที่หาเมเชอร์ไม่ได้ที่ปรากฏในปฏิทรรศน์ของเฮาส์ดอร์ฟฟ์และปฏิทรรศน์ของบานาค-ทาร์สกี

## ดูเพิ่ม
* เมเชอร์ภายนอก
* ปริพันธ์ของเลอเบ็ก 
* เมเชอร์ของเลอเบ็ก
* เมเชอร์ผลคูณ

## อ้างอิง

* P. Halmos, *Measure theory*, D. van Nostrand and Co., 1950
* Kopp and Capinski, *Measure, Integration and Probability*, 2nd Edition, Springer, 2000.
* D. H. Fremlin, *Measure Theory*, Torres Fremlin, 2000. Available online at http://www.essex.ac.uk/maths/staff/fremlin/mt.htm 
* F. Jones, *Lebesgue Integration in Euclidean Spaces*, Jones and Barlett Publisher, 1999.


หมวดหมู่:เมเชอร์
หมวดหมู่:คณิตวิเคราะห์