ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต

ในคณิตศาสตร์สาขาทฤษฎีจำนวน **ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต, ทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิต** หรือ **ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบได้แบบเดียว** ()  เป็นทฤษฎีบทซึ่งกล่าวว่าจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่มากกว่า 1 สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้เพียงวิธีเดียวเท่านั้น หากไม่สนใจการเรียงลำดับ ตัวอย่างเช่น เราสามารถเขียน

:6936 = 23 · 3 · 172 &nbsp; หรือ &nbsp; 1200 = 24 · 3 · 52

และไม่มีทางที่จะแยกตัวประกอบเฉพาะของ 6936 หรือ 1200 ได้เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะในรูปแบบอย่างอื่น (หากเราไม่คำนึงถึงลำดับของตัวประกอบ)

เงื่อนไขที่ว่าตัวประกอบทั้งหมดในผลคูณเป็นตัวประกอบเฉพาะนั้นจำเป็น เพราะการเขียนในรูปผลคูณของตัวประกอบที่ไม่ใช่ตัวประกอบเฉพาะอาจไม่ได้มีเพียงแบบเดียว เช่น 12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4

ทฤษฎีบทนี้เป็นอีกเหตุผลหนึ่งที่ทำไม 1 จึงไม่ถือว่าเป็นจำนวนเฉพาะ เพราะถ้าหาก 1 เป็นจำนวนเฉพาะ แล้วการแยกตัวประกอบเฉพาะจะไม่ได้มีแบบเดียว เช่น 2 = 2 \cdot 1 = 2 \cdot 1 \cdot 1 = \ldots

ทฤษฎีบทนี้สามารถขยายไปยังโครงสร้างเชิงพีชคณิตอื่นที่เรียกว่า โดเมนแยกตัวประกอบได้แบบเดียว (unique factorization domain หรือ UFD) ซึ่งรวมโครงสร้างริงจำนวนมากในพีชคณิต ตั้งแต่ โดเมนไอดีลมุขสำคัญ (principal ideal domain หรือ PID) โดเมนยูคลิเดียน (Euclidean domain) และจนถึงริงพหุนามเหนือฟีลด์ ด้วยเหตุที่ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบได้แบบเดียวไม่จำเป็นจริงต้องเป็นจริงในริงทั่ว ๆ ไป เป็นหนึ่งในเหตุผลที่ทำให้ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มามีความซับซ้อน

เพื่อที่จะให้ทฤษฏีบทนี้ใช้ได้กับจำนวน 1 เราสามารถมองว่า 1 เป็นผลคูณของของจำนวนเฉพาะศูนย์จำนวน (ดูใน ผลคูณว่าง)

## ประวัติ
ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตสามารถพิสูจน์ได้จากประพจน์ที่ 30, 31 และ 32 เล่ม VII และประพจน์ 14, เล่ม IX ในตำรา *[[Elements (Euclid)|เอเลเมนส์]]* ของยุคลิด ยุคลิดเป็นผู้แรกที่เขียนถึงการมีอยู่ของการแยกตัวประกอบเฉพาะ ในขณะที่อัล-ฟาริสีเป็นบุคคลแรกที่พิจารณาการมีแบบเดียว และระบุข้อความของทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิตที่รวมทั้งการมีอยู่และการมีได้แบบเดียว (existence and uniqueness)

เกาส์ได้เขียนไว้ใน Article 16 (ข้อที่ 16) ในหนังสือ *[[Disquisitiones Arithmeticae]]* ถึงรูปแบบสมัยใหม่อันแรกของทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต พร้อมกับให้บทพิสูจน์ที่ใช้เลขคณิตมอดุลาร์

## บทประยุกต์

### รูปแบบบัญญัติของจำนวนเต็มบวก
ทุกจำนวนเต็มบวก  สามารถเขียนได้ในรูปของผลคูณของจำนวนเฉพาะเพียงแบบเดียว 

: 
n = p_1^{n_1} p_2^{n_2} \cdots p_k^{n_k}
= \prod_{i=1}^{k} p_i^{n_i}


เมื่อ  เป็นจำนวนเฉพาะ และ  เป็นจำนวนเต็มบวก การเขียนเช่นนี้อาจขยายไปสำหรับทุกจำนวนเต็มบวกได้โดยรวม 1 โดยอาศัยข้อกำหนดที่ว่า ผลคูณว่างจะเท่ากับ 1 (ผลคูณว่างคือกรณีเมื่อ )

การเขียนแบบนี้เรียกว่า **รูปแบบบัญญัติ** (canonical representation) ของ  หรือ **รูปแบบมาตรฐาน** (standard form) ของ *n* ตัวอย่างเช่น

: 999 = 33×37
: 1000 = 23×53
: 1001 = 7×11×13

สามารถเพิ่มตัวประกอบ  โดยไม่เปลี่ยนค่าของ  (ตัวอย่างเช่น ) ยิ่งไปกว่านั้นทุกจำนวนเต็มสามารถเขียนได้ในรูปของผลคูณอนันต์ของจำนวนเฉพาะบวก 

: n=2^{n_1}3^{n_2}5^{n_3}7^{n_4}\cdots=\prod_{i=1}^\infty p_i^{n_i}

โดยมี  เพียงจำกัดจำนวนเท่านั้นที่เป็นจำนวนเต็มบวก ที่เหลือมีค่าเป็นศูนย์

หากยอมให้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบจะได้รูปแบบบัญญัติของจำนวนตรรกยะ

### การดำเนินการทางเลขคณิต
รูปแบบบัญญัติของผลคูณ, รูปแบบบัญญัติของห.ร.ม. และ รูปแบบบัญญัติของค.ร.น. ของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนสามารถเขียนได้ในเทอมของรูปแบบบัญญัติของจำนวนเต็มทั้งสอง

: \begin{alignat}{2}
 a\cdot b & = 2^{a_1+b_1}3^{a_2+b_2}5^{a_3+b_3}7^{a_4+b_4}\cdots
   && = \prod p_i^{a_i+b_i},\\
 \gcd(a,b) & = 2^{\min(a_1,b_1)}3^{\min(a_2,b_2)}5^{\min(a_3,b_3)}7^{\min(a_4,b_4)}\cdots
   && = \prod p_i^{\min(a_i,b_i)},\\
 \operatorname{lcm}(a,b) & = 2^{\max(a_1,b_1)}3^{\max(a_2,b_2)}5^{\max(a_3,b_3)}7^{\max(a_4,b_4)}\cdots
   && = \prod p_i^{\max(a_i,b_i)}.
 \end{alignat}

อย่างไรก็ตาม การแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม นั้นยากกว่าการหาผลคูณ, ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจำนวนเต็มบวกสองจำนวน

### ฟังก์ชันเลขคณิต

ฟังก์ชันเลขคณิตจำนวนมากนิยามผ่านรูปแบบบัญญัติข้างต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งค่าของฟังก์ชันเลขคณิตที่เป็นฟังก์ชันแยกบวก หรือเป็นฟังก์ชันแยกคูณขึ้นอยู่กับค่าของมันสำหรับกำลังของจำนวนเฉพาะ

## การพิสูจน์
การพิสูจน์ด้านล่างจประกอบด้วย 2 ส่วน ส่วนแรก เราจะพิสูจน์ให้เห็นว่าจำนวนทุกจำนวน สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ จากนั้นจะพิสูจน์ว่าการเขียน 2 แบบใด ๆ จะเหมือนกันเสมอ

### การมีอยู่
สมมติว่ามีจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 ที่ไม่สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ดังนั้นจะต้องมีจำนวนที่น้อยสุดในจำนวนพวกนั้นโดยหลักการจัดอันดับดี ให้จำนวนนั้นคือ *<math>n</math>* จะเห็นได้ว่า *<math>n</math>* ไม่สามารถเป็นจำนวนเฉพาะได้เพราะ **<math>n</math>** เป็นผลคูณของตัวมันเองตัวเดียวซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น *<math>n</math>* จะต้องเป็นจำนวนประกอบ จะได้

: n = ab

เมื่อ *<math>a</math>* และ *<math>b</math>* เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า *<math>n</math>* แต่ *<math>n</math>* เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่ทำให้ทฤษฎีบทไม่จริง ดังนั้น *<math display="inline">a = p_1 \dotsb  p_j</math>* และ *<math>b = q_1 \dotsb q_j</math>* ต้องเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ทำให้ได้ว่า

: n = ab = p_1 \dotsc p_j q_1 \dotsc  q_k 

ฉะนั้น n เขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ เกิดข้อขัดแย้ง

### การเขียนได้แบบเดียว
เราจะใช้บทตั้งของยุคลิดที่ว่า ถ้าจำนวนเฉพาะ *p* หารผลคูณ *ab* ลงตัวแล้ว มันจะหาร *a* ลงตัว หรือหาร *b* ลงตัว เป็นบทตั้งในการพิสูจน์

พิจารณาการแยก n ให้อยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ p_1, \dotsc, p_j  และ q_1, \dotsc, q_k  สองแบบ

: n = p_1 \dotsb p_j = q_1 \dotsb q_k

จะเห็นว่า p_1 จะหาร q_1 \dotsb q_k  ลงตัว จากบทตั้งของยุคลิด *<math>p_1</math>*จะต้องหารตัวประกอบ q_i ในผลคูณ q_1 \dotsb q_k  ลงตัวอย่างน้อย 1 ตัว โดยไม่เสียนัยทั่วไปให้เป็น q_1 แต่ตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด ดังนั้น *<math>p_1</math>* จะต้องเท่ากับ q_1 ดังนั้นเราจึงตัด *<math>p_1</math>* และ q_1ออกจากทั้งสองผลคูณได้ จะได้ว่า
: p_2 \dotsb p_j  = q_2 \dotsb q_k

และทำซ้ำอย่างนี้ไปเรื่อย ๆ จะเห็นว่าตัวประกอบเฉพาะของผลคูณสองผลคูณจะจับคู่กันเสมอจนหมด (เทียบเท่ากับการใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์บนจำนวนตัวประกอบเฉพาะ) 

## หมายเหตุ

## อ้างอิง
หนังสือ *[[Disquisitiones Arithmeticae]]* ได้รับการแปลเป็นภาษาอังกฤษและภาษาเยอรมัน

* 
* 

The two monographs Gauss published on biquadratic reciprocity have consecutively numbered sections: the first contains §§ 1–23 and the second §§ 24–76. Footnotes referencing these are of the form "Gauss, BQ, § *n*". Footnotes referencing the *Disquisitiones Arithmeticae* are of the form "Gauss, DA, Art. *n*".

* 
* 

These are in Gauss's *Werke*, Vol II, pp.&nbsp;65–92 and 93–148; German translations are pp.&nbsp;511–533 and 534–586 of the German edition of the *Disquisitiones*.

* 
* 
* .
* .
* 
* 

## ดูเพิ่ม
* การแยกตัวประกอบ

## ลิงก์เชื่อมโยงภายนอก

* Why isn’t the fundamental theorem of arithmetic obvious?
* GCD and the Fundamental Theorem of Arithmetic at cut-the-knot.
* PlanetMath: Proof of fundamental theorem of arithmetic
* Fermat's Last Theorem Blog: Unique Factorization, a blog that covers the history of Fermat's Last Theorem from Diophantus of Alexandria to the proof by Andrew Wiles.
* "Fundamental Theorem of Arithmetic" by Hector Zenil, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
* 

หมวดหมู่:ทฤษฎีจำนวน
หมวดหมู่:ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์