สมการของแมกซ์เวลล์

**สมการของแมกซ์เวลล์** () ประกอบด้วยสมการ 4 สมการ  ตั้งชื่อตาม เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ โดย โอลิเวอร์ เฮวิไซด์ สมการทั้ง 4 นี้ใช้อธิบายถึงพฤติกรรมของ สนามไฟฟ้า และ สนามแม่เหล็ก รวมถึงปฏิกิริยาที่มีต่อสารต่าง ๆ

## รายละเอียดโดยย่อ
### รูปทั่วไป

กฎของเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็ก (โดยความเป็นจริงเราไม่มีชื่อให้สำหรับกฎข้อนี้) : บอกได้ว่าในชีวิตประจำวันเราจะไม่พบแม่เหล็กซึ่งมีขั้วแยกจากกันโดยชัดเจน นั่นคือเราจะไม่พบแม่เหล็กที่มีขั้วเหนือเพียงขั้วเดียวหรือแม่เหล็กที่มีขั้วใต้เพียงขั้วเดียว

Faraday's Law : สามารถอธิบายจากสมการได้ว่า "สนามไฟฟ้าเกิดจากการเปลี่ยนแปลงของสนามแม่เหล็กในหนึ่งหน่วยเวลาและจะเกิดในทิศหมุนวน (สังเกตจาก operator curl)" ซึ่งจากความรู้เบื้องต้นเราทราบมาว่าสนามไฟฟ้าเกิดจากประจุอิสระ แต่จาก Faraday's Law บอกได้ว่าสนามไฟฟ้าสามารถเกิดจากสนามแม่เหล็กได้เช่นกันแต่ต้องเป็นสนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาเท่านั้น (ถ้าสนามแม่เหล็กไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาก็จะไม่เกิดสนามไฟฟ้า)

Ampere's Law : สมการรูปนี้เป็นสมการที่ Generalized แล้วโดย Maxwell's อธิบายจากสมการได้คือ "สนามแม่เหล็กเกิดได้จากกระแสไฟฟ้าหรือสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงในหนึ่งหน่วยเวลาโดยจะเกิดในทิศหมุนวนเช่นกัน" นั่นคือสนามแม่เหล็กเกิดได้จากกระแสไฟฟ้าที่คงที่หรือเกิดได้จากสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา
โดยที่:

และ

: 
\mathbf{\nabla} \cdot คือ ตัวดำเนินการ ไดเวอร์เจนซ์ (หน่วย SI: 1 ต่อ เมตร)

: 
\mathbf{\nabla} \times คือ ตัวดำเนินการ เคิร์ล (หน่วย SI: 1 ต่อ เมตร)

### ความสัมพันธ์ตามคุณสมบัติของเนื้อสาร (constitutive relationships)
ความสัมพันธ์ตามคุณสมบัติของเนื้อสาร หรือ "constitutive relationships"  ใช้ในการแสดงถึงพฤติกรรมความสัมพันธ์ของค่าสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในเนื้อสารตัวกลาง ในระดับใหญ่ (macroscopic) ซึ่งเป็นการพิจารณาพฤติกรรมโดยเฉลี่ยของสนาม ในสารตัวกลางที่มีปรมาตรที่ใหญ่กว่าขนาดของอะตอม และโมเลกุล โดยความสัมพันธ์นี้จะอยู่ในรูป
:  \mathbf{D} = \mathbf{D} ( \mathbf{E},\mathbf{H} ) 
:  \mathbf{B} = \mathbf{B} ( \mathbf{E},\mathbf{H} ) 
:  \mathbf{J} = \mathbf{J} ( \mathbf{E},\mathbf{H} )   (กฎของโอห์ม  สำหรับสารตัวนำ)

ลักษณะคุณสมบัติอาจแบ่งตาม

**เป็นเชิงเส้น/ไม่เป็นเชิงเส้น** (linear/non-linear) : ในสารที่มีคุณสมบัติไม่เป็นเชิงเส้นนั้นความสัมพันธ์ด้านบนที่กล่าวมาจะไม่อยู่ในรูปเชิงเส้น ในกรณีที่เป็นสารที่มีคุณสมบัติเชิงเส้น ความสัมพันธ์ข้างต้นสามารถเขียนอยู่ในรูป
:  \mathbf{D} =  \varepsilon \mathbf{E}
:  \mathbf{B} = \mu \mathbf{H}
:  \mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}  

โดยที่ 
*  \varepsilon  เรียกว่า ค่าสภาพยอมทางไฟฟ้า หรือ ค่าความสามารถเก็บประจุ (capacitivity)
*  \mu  เรียกว่า ค่าสภาพให้ซึมผ่านได้ทางแม่เหล็ก หรือ ค่าความสามารถเหนี่ยวนำ (inductivity)
*  \sigma  เรียกว่า ค่าสภาพนำไฟฟ้า

**เป็นเนื้อเดียว/ไม่เป็นเนื้อเดียว** (homogeneous/nonhomogeneous) : สารที่เป็นเนื้อเดียวค่าของคุณสมบัติเนื้อสารจะไม่เปลี่ยนแปลงตามตำแหน่งในเนื้อสาร

**ดิสเพอซีฟ/ไม่ดิสเพอซีฟ** (dispersive/nondispersive) : สารที่ไม่เป็นดิสเพอซีฟ ค่าคุณสมบัติของเนื้อสารจะไม่เปลี่ยนแปลงตามความถี่ ของสนามที่กระทำกับเนื้อสาร

**ไอโซโทรปิค/แอนไอโซโทรปิค** (isotropic/anisotropic) : สารที่มีคุณสมบัติไอโซโทรปิค ค่าคุณสมบัติจะไม่ขึ้นกับทิศทางของสนามที่กระทำกับเนื้อสาร ในสารที่มีคุณสมบัติแอนไอโซโทรปิคนั้น ค่าคุณสมบัติจะเขียนอยู่ในรูป เทนเซอร์อันดับ 2 ในสามมิติ (เมทริกซ์ ขนาด3×3)

## Guage Invariant

## Vector Potential

## Lagrangian
Action ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าโดยไม่มี source นั้นเขียนได้ดังนี้
:S=-\frac{1}{4}\int d^3x F^{\mu 
u} F_{\mu 
u}
โดยที่
:F^{\mu 
u} = \partial^\mu A^
u - \partial^
u A^\mu
Euler-Lagrange Equation ของ Action นี้คือ Guass's Law และ Faraday's Law
:\partial_
u F^{\mu 
u} = 0
สมการของ maxwell อีกสองสมการสามารถหาได้จาก Bianchi identity

## รูปแบบอื่น
รูปแบบยอดนิยมอื่นๆ ของสมการแมกซ์เวลล์ที่เป็นทฤษฎีดั้งเดิมของสนามแม่เหล็กไฟฟ้ามีค่อนข้างน้อย เนื่องจากสมการตั้งต้นยังคงใช้ได้ดีแม้เวลาผ่านมาหลายปี

### แม่เหล็กขั้วเดียว

สมการของแมกซ์เวลล์กล่าวว่ามีประจุไฟฟ้า แต่ไม่มีประจุแม่เหล็ก (เรียกอีกอย่างว่า แม่เหล็กขั้วเดียว) ในจักรวาล ซึ่งอันที่จริง ก็ไม่เคยมีการสังเกตเห็นประจุแม่เหล็กเลย แม้จะมีการค้นหาอย่างกว้างขวาง และอาจจะไม่มีอยู่จริงด้วยซ้ำ แต่หากมีอยู่จริง กฎของเกาส์สำหรับแม่เหล็กและกฎของฟาราเดย์ก็จะต้องได้รับการปรับเปลี่ยน และผลลัพธ์ที่เป็นสมการทั้งสี่ที่ก็จะสมมาตรอย่างสมบูรณ์ภายใต้การแลกเปลี่ยนของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก 

## อ้างอิง

## แหล่งข้อมูลอื่น

* maxwells-equations.com — An intuitive tutorial of Maxwell's equations.
* The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 18: The Maxwell Equations
* Wikiversity Page on Maxwell's Equations


หมวดหมู่:อิเล็กโทรไดนามิกส์
หมวดหมู่:หลักการสำคัญของฟิสิกส์
หมวดหมู่:แม่เหล็กไฟฟ้า