อนุกรม

ในทางคณิตศาสตร์ **อนุกรม** () คือผลจากการบวกสมาชิกทุกตัวของลำดับไม่จำกัดเข้าด้วยกัน หากกำหนดให้ลำดับของจำนวนเป็น \{a_n\} = a_1, a_2, a_3, ... อนุกรมของลำดับนี้ก็คือ a_1 + a_2 + a_3 + ... อนุกรมสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ของผลรวม ∑ เช่นตัวอย่างนี้เป็นอนุกรมของลำดับ \{1/2^n\}
::\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots+ \frac{1}{2^n}+\cdots

พจน์ของอนุกรมมักถูกสร้างขึ้นโดยกฎเกณฑ์เฉพาะ เช่นโดยสูตรคณิตศาสตร์ ขั้นตอนวิธี ลำดับของการวัด หรือแม้แต่การสุ่มจำนวน และเนื่องจากพจน์ในอนุกรมมีจำนวนไม่จำกัด อนุกรมจึงอาจเรียกว่าเป็น **อนุกรมไม่จำกัด** หรือ **[[อนุกรมอนันต์]]**(infinite series) อนุกรมจำเป็นต้องมีเครื่องมือจากคณิตวิเคราะห์เพื่อที่จะทำความเข้าใจและเพื่อให้สามารถจัดการปรับแต่งได้ ไม่เหมือนกับผลรวมที่มีพจน์จำกัด นอกเหนือจากการใช้งานทั่วไปในคณิตศาสตร์ อนุกรมไม่จำกัดยังถูกใช้งานอย่างกว้างขวางในสาขาวิชาเชิงปริมาณ ตัวอย่างเช่นฟิสิกส์หรือวิทยาการคอมพิวเตอร์

## สมบัติพื้นฐาน
อนุกรมสามารถสร้างขึ้นได้จากเซตหลายประเภทรวมทั้งจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชัน ฯลฯ นิยามต่อไปนี้จะถูกกำหนดบนจำนวนจริง แต่ก็สามารถทำให้เป็นกรณีทั่วไปได้

กำหนดให้ลำดับไม่จำกัดของจำนวนจริง \{a_n\} เรานิยามให้
::S_N =\sum_{n=0}^N a_n=a_0+a_1+a_2+\cdots+a_N

เราเรียก S_N ว่าเป็น *[[ผลรวม|ผลรวมบางส่วน]]* *N* พจน์ ของลำดับ \{a_n\}ของ อนุกรมคือลำดับของผลรวมบางส่วนเข้าด้วยกัน \{S_N\}

### ความสับสนที่อาจเกิดขึ้น
เมื่อพูดถึงอนุกรม เราอาจหมายถึงลำดับ \{S_N\} ของผลรวมบางส่วน หรือหมายถึง *ผลรวมของอนุกรม* อย่างใดอย่างหนึ่ง ขึ้นอยู่กับบริบท
::\sum_{n=0}^\infty a_n

เพื่อที่จะแยกแยะความแตกต่างของทั้งสองความหมายนี้ จึงมีการซ่อนขอบเขตบนและล่างเครื่องหมายผลรวม เช่น
::\sum a_n

หมายถึงผลรวมของอนุกรม ซึ่งอาจจะมีหรือไม่มีผลรวมจริงๆ ก็ได้

### [[อนุกรมลู่เข้า]]และลู่ออก
อนุกรม ∑a_n จะเรียกว่า *[[อนุกรมลู่เข้า|ลู่เข้า]]* (converge) เมื่อลำดับ \{S_N\} ของผลรวมบางส่วนมีลิมิตที่ไม่เป็นอนันต์ แต่ถ้าลิมิตของ S_N เป็นอนันต์หรือไม่มีลิมิต อนุกรมนั้นจะเรียกว่า *[[อนุกรมลู่ออก|ลู่ออก]]* (diverge) และเมื่อผลรวมบางส่วนมีลิมิต เราเรียกลิมิตนั้นว่าเป็น *ผลรวมของอนุกรม*
::\sum_{n=0}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N a_n

วิธีที่ง่ายที่สุดที่จะทำให้อนุกรมไม่จำกัดเป็นอนุกรมลู่เข้า นั่นคือ a_n ทุกพจน์มีค่าเป็นศูนย์ ซึ่งสังเกตได้จากผลรวมบางส่วนของอนุกรม ส่วนการลู่เข้าของอนุกรมที่พจน์ต่างๆ ไม่เป็นศูนย์ เป็นสาระสำคัญของการศึกษาอนุกรม ลองพิจารณาตัวอย่างนี้
::1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n} + \cdots

อนุกรมนี้อาจ *มองว่า* เป็นอนุกรมลู่เข้าบนเส้นจำนวนจริง เราอาจจินตนาการถึงเส้นตรงยาว 2 หน่วย และมีขีดกำกับแบ่งครึ่งไว้ที่ความยาว 1 หน่วย, ½ หน่วย, ¼ หน่วย ฯลฯ ซึ่งเราจะมีที่ว่างเสมอสำหรับขีดกำกับครั้งถัดไป เพราะว่าความยาวของเส้นที่เหลือจะยังคงมีอยู่เหมือนกับขีดกำกับก่อนหน้า เช่น เมื่อกำกับขีดไว้ที่ ½ หน่วย ก็ยังคงเหลือที่ว่างอีก ½ หน่วยที่ยังไม่มีขีด ดังนั้นเราจึงสามารถขีดกำกับที่ ¼ หน่วยลงไปได้อีก เช่นนี้เรื่อยไป คำอธิบายข้างต้นมิได้เป็นข้อพิสูจน์ว่าผลรวมดังกล่าว *เท่ากับ* 2 (ถึงแม้ว่าจะเป็นเช่นนั้น) แต่เป็นการพิสูจน์ว่าผลรวมนั้นมีค่า *มากที่สุด* คือ 2 หรือกล่าวอีกทางหนึ่งคือ อนุกรมนี้มีขอบเขตบนที่ 2

นักคณิตศาสตร์ได้นำวิธีเดียวกันนี้ไปใช้อธิบายสิ่งอื่นๆ เป็นแนวความคิดแบบอนุกรม เช่นเมื่อเราพูดถึงทศนิยมซ้ำจำนวนนี้
::x = 0.111\dots

เหมือนว่าเรากำลังพูดถึงอนุกรม 0.1 + 0.01 + 0.001 + ... แต่เมื่ออนุกรมเหล่านี้ลู่เข้าบนจำนวนจริงเสมอ การอธิบายอนุกรมก็เหมือนกับการอธิบายค่าที่แท้จริงของจำนวนนั้น (ดูเพิ่มที่ 0.999...)

### ตัวอย่างอนุกรม
* อนุกรมเรขาคณิต เป็นอนุกรมที่พจน์ต่างๆ ถูกสร้างขึ้นโดยการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง นั่นคือมาจากลำดับเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น
::1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {1 \over 2^n}

และโดยทั่วไป อนุกรมเรขาคณิต
::\sum_{n=0}^\infty z^n
จะเป็นอนุกรมลู่เข้าก็ต่อเมื่อ |z| 

* อนุกรมฮาร์มอนิก คืออนุกรมดังนี้
::1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}

อนุกรมฮาร์มอนิกเป็นอนุกรมลู่ออก

* อนุกรมสลับเครื่องหมาย เป็นอนุกรมที่พจน์ต่างๆ มีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน ตัวอย่างเช่น
::1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots = \sum_{n=1}^\infty (-1) ^{n+1} {1 \over n}

* สำหรับอนุกรมนี้
::\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^r}
จะเป็นอนุกรมลู่เข้าเมื่อ *r* > 1 และเป็นอนุกรมลู่ออกเมื่อ *r* ≤ 1 ในฐานะฟังก์ชันของ *r* ผลรวมของอนุกรมนี้คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

* สำหรับอนุกรมเทเลสโคปนี้
::\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})
จะเป็นอนุกรมลู่เข้า ถ้าลำดับ b_n ลู่เข้าไปยังขอบเขต *L* ค่าหนึ่ง เมื่อ *n* มีค่าเข้าใกล้อนันต์ และค่าของอนุกรมนี้จะเท่ากับ b_1 - L

## สมบัติอื่น ๆ
อนุกรมมิได้ถูกแบ่งเพียงว่าจะลู่เข้าหรือลู่ออก อนุกรมยังสามารถแบ่งออกไปได้โดยขึ้นอยู่กับสมบัติของพจน์ a_n (ลู่เข้าสัมบูรณ์หรือลู่เข้าตามเงื่อนไข) ประเภทของการลู่เข้าของอนุกรม (ลู่เข้ารายจุดหรือลู่เข้าสม่ำเสมอ) ประเภทของพจน์ a_n (ไม่ว่าจะเป็นจำนวนจริง ลำดับเรขาคณิต ฟังก์ชันตรีโกณมิติ) และอื่นๆ อีกมากมาย

### พจน์ที่ไม่เป็นลบ
เมื่อ a_n เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบสำหรับทุกค่าของ *n* ดังนั้นลำดับ S_N ของผลรวมบางส่วนจึงมีค่าที่ไม่ลดลง อนุกรม ∑a_n ซึ่งพจน์ไม่เป็นลบจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อลำดับ S_N ของผลรวมบางส่วนถูกจำกัดขอบเขต

ตัวอย่างเช่น กำหนดให้
::\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^2}
เป็นอนุกรมลู่เข้า เนื่องจากอสมการ
::\frac1 {n^2} \le \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}, \quad n \ge 2
และผลรวมเทเลสโคปทำให้สามารถสรุปได้ว่า ผลรวมบางส่วนถูกจำกัดขอบเขตไว้ที่ 2

### [[การลู่เข้าสัมบูรณ์]]

กำหนดให้อนุกรมหนึ่ง
::\sum_{n=0}^\infty a_n
จะเรียกว่าลู่เข้าสัมบูรณ์ ถ้าหากอนุกรมของค่าสัมบูรณ์
::\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|
ลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งด้วย ซึ่งเป็นค่าเดียวกันกับอนุกรมแรก

### [[การลู่เข้าตามเงื่อนไข]]

อนุกรมจะเรียกว่าลู่เข้าตามเงื่อนไข (หรือกึ่งลู่เข้า) ถ้าอนุกรมนั้นลู่เข้า แต่ไม่ได้ลู่เข้าสัมบูรณ์ ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดคืออนุกรมสลับเครื่องหมาย เช่น
::\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1) ^{n+1}  \over n} = 1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots
เป็นอนุกรมลู่เข้า (และมีผลรวมเท่ากับ ln 2) แต่อนุกรมของค่าสัมบูรณ์กลายเป็นอนุกรมฮาร์มอนิกซึ่งลู่ออก ทฤษฎีบทอนุกรมของรีมันน์กล่าวไว้ว่า อนุกรมลู่เข้าตามเงื่อนไข สามารถจัดเรียงให้กลายเป็นอนุกรมลู่ออก และยิ่งไปกว่านั้น ถ้า a_n เป็นจำนวนจริง และ *S* ก็เป็นจำนวนจริง เราสามารถจัดเรียงใหม่เพื่อให้อนุกรมนั้นลู่เข้าและมีผลรวมเท่ากับ *S*

การทดสอบของอาเบล (Abel's test) เป็นเครื่องมือสำคัญสำหรับอนุกรมลู่เข้าตามเงื่อนไข ถ้าหากอนุกรมนั้นอยู่ในรูปแบบ
::\sum a_n = \sum \lambda_n b_n
เมื่อผลรวมบางส่วน B_N = b_0 + ... + b_N ถูกจำกัดขอบเขต, \lambda_n เป็นตัวจำกัดความแปรผัน และ \lambda_n B_n มีลิมิต
::\sup_N \Bigl| \sum_{n=0}^N b_n \Bigr| 
แล้วอนุกรม ∑a_n จะลู่เข้า สิ่งนี้เป็นจริงในการลู่เข้ารายจุดของอนุกรมตรีโกณมิติ อาทิ
::\sum_{n=2}^\infty \frac{\sin (n x)}{\ln n}
โดยที่ 0  วิธีการของอาเบลประกอบด้วยการเขียน b_{n+1} = B_{n+1} - B_n และกระทำการแปลงอย่างหนึ่งซึ่งคล้ายกับการหาปริพันธ์เป็นส่วน (เรียกว่าผลรวมเป็นส่วน) ซึ่งทำให้อนุกรม ∑a_n เปลี่ยนเป็นอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ได้ดังนี้
::\sum (\lambda_n - \lambda_{n+1}) \, B_n

## อ้างอิง
* Bromwich, T.J. *An Introduction to the Theory of Infinite Series* MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.

## ดูเพิ่ม
* อนุกรมเลขคณิต
* อนุกรมเรขาคณิต
* ปัญหาบาเซิล
* อนุกรมกรันดี

หมวดหมู่:แคลคูลัส