เมทริกซ์เพาลี

ในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ **เมทริกซ์เพาลี** คือเซตของ เมทริกซ์ 2 X 2 มิติที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อนเป็นเมทริกซ์แบบ เมทริกซ์เอร์มีเชียน (Hermitian matrix) และเมทริกซ์ยูนิแทรี (unitary matrix) โดยปกติจะใช้สัญลักษณ์แทนด้วยตัวอักษรกรีก sigma (σ) บางครั้งก็ถูกแทนด้วยตัวอักษร tau (τ) เมื่อใช้เชื่อมโยงเกี่ยวกับ isospin symmetries ในวิชาควอนตัม

\begin{align}
  \sigma_1 = \sigma_x &=
    \begin{pmatrix}
      0&1\\
      1&0
    \end{pmatrix} \\
  \sigma_2 = \sigma_y &=
    \begin{pmatrix}
      0&-i\\
      i&0
    \end{pmatrix} \\
  \sigma_3 = \sigma_z &=
    \begin{pmatrix}
      1&0\\
      0&-1
    \end{pmatrix} \,
\end{align}

เมทริกซ์เหล่านี้ถูกต้องชื่อตามนักฟิสิกส์ที่ชื่อว่า วูล์ฟกัง เพาลี (Wolfgang Pauli) เนื่องจากพวกมันเกิดขึ้นในสมการของเพาลีที่นำมาใช้พิจารณาปฏิกิริยาระหว่างสปินของอนุภาคกับสนามแม่เหล็กไฟฟ้าภายนอก ในวิชากลศาสตร์ควอนตัม เมทริกซ์เพาลีเกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมที่สอดคล้องกับการอธิบายสปินของอนุภาคในแต่ละทิศทาง เมทริกซ์เพาลีแต่ละอันจะเป็นเมทริกซ์เอร์มีเชียนโดยที่กำลังสองของตัวมันเองจะเท่ากับเมริกซ์เอกลักษณ์ (identity matrix) รูปแบบของเมทริกซ์เพาลีเป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ที่มีขนาด 2 x 2 มิติ

### '''สมบัติพีชคณิต'''
เมทริกซ์เพาลีแต่ละอันสามารถเขียนอยู่ในรูปนิพจน์เดียวได้ดังนี้


  \sigma_a = 
    \begin{pmatrix}
      \delta_{a3}                &  \delta_{a1} - i\delta_{a2}\\
      \delta_{a1} + i\delta_{a2} & -\delta_{a3}
    \end{pmatrix}


เมื่อ *i* = &#x221A;−1 คือ จำนวนจินตภาพ และ  คือ Kronecker delta

เมทริกซ์นี้จะมีความเป็นเอกลักษณ์ดังนี้

\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = -i\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I

เมื่อ  คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์
* Determinants และ Traces (ผลรวมของเมทริกซ์ในแนวทะแยง) ของเมทริกซ์เพาลีคือ
\begin{align}
               \det \sigma_i &= -1, \\
  \operatorname{Tr} \sigma_i &= 0 .
\end{align}

จากข้างต้นเราสามารถอนุมาน eigenvalue ของแต่ละ   คือ 

### '''Eigenvectors และ Eigenvalues'''
Eigenvalue ของเมทริกซ์เพาลีแต่ละตัวมี 2 ค่าคือ +1 และ -1 ซึ่ง Eigenvector ที่สอดคล้องคือ

\begin{align}
  &\psi_{x+} = \frac{1}\sqrt{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, & &\psi_{x-} = \frac{1}\sqrt{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \\
  &\psi_{y+} = \frac{1}\sqrt{2} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}, & &\psi_{y-} = \frac{1}\sqrt{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}, \\
  &\psi_{z+} =                  \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, & &\psi_{z-} =                  \begin{pmatrix} 0 \\  1 \end{pmatrix}.
\end{align}

### เวกเตอร์ของเพาลี
เวกเตอร์เพาลีถูกนิยามโดย

\vec{\sigma} = \sigma_1 \hat{x} + \sigma_2 \hat{y} + \sigma_3 \hat{z} \,

และจากพื้นฐานของเวกเตอร์ทำให้เวกเตอร์เพาลีจะเป็นตาม

\begin{align}
  \vec{a} \cdot \vec{\sigma} &= (a_i \hat{x}_i) \cdot (\sigma_j \hat{x}_j ) \\
                             &= a_i \sigma_j \hat{x}_i \cdot \hat{x}_j \\
                             &= a_i \sigma_j \delta_{ij} \\
                             &= a_i \sigma_i =\begin{pmatrix} a_3&a_1-ia_2\\a_1+ia_2&-a_3\end{pmatrix} 
\end{align}

ใช้การรวมแบบ summation convention

\det \vec{a} \cdot \vec{\sigma} = -\vec{a} \cdot \vec{a} = -|\vec{a}|^2,

จะมีค่า Eigenvalue เป็น \pm |\vec{a}| 

\frac{1}{2} \mathrm{tr} [(\vec{a} \cdot \vec{\sigma}) \vec{\sigma}] = \vec{a}~.

และจะมี Eigenvector คือ \psi_+ =                  \begin{pmatrix} a_3+|\vec{a}| \\ a_1+ia_2  \end{pmatrix}; \qquad  \psi_- =   \begin{pmatrix} ia_2-a_1 \\  a_3+|\vec{a}| \end{pmatrix}.

## อ้างอิง
http://www.il.mahidol.ac.th/e-media/ap-chemistry1/atomic_structure/pauli.htm

http://wikivisually.com/lang-th/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%81%E0%B8%B5%E0%B8%94%E0%B8%81%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B2%E0%B8%A5%E0%B8%B5

http://www.vcharkarn.com/varticle/505837 

หมวดหมู่:ฟิสิกส์คณิตศาสตร์