యాదృచ్ఛిక చలరాశుల రూపాంతరం

యాదృచ్ఛిక చలరాశి X ను అంగుళాలు లేదా అడుగులు లేదా గజం అనే కొలతలలో తీసుకొని,దాని విభాజనం కూడా తెలుసని అనుకొంటే,మన అవసరాల నిమిత్తం వాటి కొలతలు అంగుళాలను సెంటీమీటర్లలోకి మార్చినట్లయితే దాని విలువను చలరాశి Y తో సూచిస్తాం.
ఇప్పుడు మన ముందున్న ప్రశ్న ఏమిటంటే Y యొక్క సంభావ్యత విభాజనం ఎంత? అది Xకు సమానంగా ఉంటుందా? అయితే సంభావ్యత విభాజనం Yని కనుక్కోవాలి అంటే సంభావ్యత విభాజనం Xను ఉపయోగించుకోవాలి. ఈ సందర్భాలలో మనం యాదృచ్ఛిక చలరాశి యొక్క రూపాంతరం గురించి తెలుసుకోవడం అవసరం.
అంతేకాకుండా బరువు, ఎత్తులు, ప్రదేశం, పరిమాణం, ఉష్నోగ్రత, ఇతర రకాలైన కొలరతలను ఒకదాని నుంచి ఇంకోదానికి మార్చడానికి యాదృచ్ఛిక చలరాశి యొక్క రూపాంతరం అవసరం.
## విచ్ఛిన్న రూపాంతరాలు
ఒక విచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశి X దాని సంభావ్యతా ప్రమేయం PX(x), దాని వ్యాప్తి Rx, Xయొక్క ప్రమేయం Y=g(X) అయితే Y తప్పకుండా విచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశి, దాని వ్యాప్తి R={Y:Y=g(x);xЄRx}.Y యొక్క సంభావ్యత ద్రవ్య ప్రమేయం కింది విధంగా ఉంటుంది.

PY(y) =\sum_x\isin A_y P_(x)

ఇక్కడ A_Y= {x:x€ R_x,g(x)=y}; x€R_x విలువలు ఇకటికంటే ఎక్కువ ఉంటే g(x)=y అయి P_x(x) లను సంకలనం చేయగా P_Y(y) లభిస్తుంది.
## సాధించిన సమస్యలు
1.ఉదాహరణ:యాదృచ్ఛిక చలరాశి X యొక్క సంభావ్యత ప్రమేయం 

అయితే Y=X^2 యొక్క సంభావ్యత విభాజనాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన: R_Y={1,4,9},X:±Y

P_Y(1)=P_X(-1)+P_X(1)=1/8+3/8=1/2

P_Y(4)=P_X(2)=3/8

P_Y(9)=P_X(3)=1/8.

అయితే Y యొక్క సంభావ్యత విభాజనం కింది విధంగా ఉంటుంది.

అది Y సంభావ్యత న్యాయాన్ని పూర్తిగా చెబుతుంది.

2.ఉదహరణ:యాదృచ్ఛిక చలరాశి X యొక్క సంభావ్యత ద్రవ్య  ప్రమేయం ఇవ్వడమైంది.

అయితే Y=4X+3 యొక్క సంభావ్యత విభాజనన్ని కనుక్కోండి.
సాధన: Y యొక్క వ్యాప్తి R_y={-5,-1,7,11}

P_Y(-5)=P_X(-2)=1/8

P_Y(-1)=P_X(-1)=3/8

P_Y(7)=P_X(1)=3/8

P_Y(11)=P_X(2)=1/8.

కాబట్టి Y యొక్క సంభావ్యత వభాజనం కింది విధంగా ఉంటుంది.

## అన్వేక రూపాంతరం
సిద్ధాంతం : అవిచిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశి X దాని సంభావ్యత సాంద్రతా ప్రమేయం f_X(x). x యొక్క కచ్చితమైన ఏకదిష్టి (ఆరోహణ, అవరోహణ) ప్రమేయం y=g(x).g(x) అనేది x యొక్క అన్ని విలువలకు అవకలని అని అనుకొంటే యాదృచ్ఛిక చలరాశి Y యొక్క సంభావ్యత సాంద్రతా ప్రమేయం కింది విదంగా ఉంటుంది.

f_Y(y)=f_X(x)|dx/dy|

ఇక్కడ x ను స్పష్టంగా y లో రాశాం. Y యొక్క వ్యాప్తిని తెలిసిన X  యొక్క వ్యాప్తితో కనుక్కోవచ్చ్చు.దానిని ఉపయొగించగా వచ్చే రూపాంతరం y=g(x).

సాదన :
సందర్భం (i) : y=g(x) అనేది కచ్ఛితమైన x  యొక్క ఆరోహణ ప్రమేయం. (అంటే dy/dx>0).
Y యొక్క విభాజన ప్రమేయం కింద ఇవ్వడమైంది.

F_Y(y)=P(Y≤y)=P[g(X)≤y] = P[X≤g^-1(y)],

 /there4 F_Y(y) = F_X[g^-1(y)], అనేది X యొక్క విభాజన ప్రమేయం.

అంతేకాకుండా విలోమము, అది ఏకైకం, g(x) అనేది కచ్చితమైన ఆరోహణం.

[there4] F_Y(y)=F_X[g^-1(y)], అనేది X యొక్క విభాజన ప్రమేయం.

= F_X(x)     [''. y=g(x)  x = g^-1(y)]

ఇరువైపుల y దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా

f_Y(y) = d/dy[F_X(x)] = d/dx{F_X(x)}dx/dy = f_X(x)dx/dy ………(1)

సందర్భం (ii) y = g(x) అనేది కచితమైన x యొక్క అవరోహణ ప్రమేయం.

F_Y(y) = P(Y≤y) = P[g(x)≤y] = P[X≥g^-1(y)]

=1-P[X≤g^-1(y)] = 1-F_X[g^-1(y)] = 1-F_X(x)

ఇక్కడ x = g^-1(y), అను వులోమం కలిగి ఉంటుంది, అది ఏకైకం.

ఇరువైపులా x దృష్టా అవకలనం చేయగా

f_Y(y) = dx/dy[1-F_X(x)] = dx/dy = -f_X(x) dx/dy = f_X(x)·-dx/dy  ………(2)

సమీకరణం (2) లో తీసుకొన్న రుణాత్మక గుర్తు (-) నిజం, ఎందుకంతే య్ అనేది x యొక్క అరోహణ ప్రమేయం అయితే x అనేది y యొక్క ఆరోహణ ప్రమేయం లేదా dx/dy f_Y(y) = f_X(x) |dx/dy|  f_Y(y) = 

ఇక్కడ, f_Y(y) అనేది Y యొక్క సాంద్రతా ప్రమేయం, dx/dy లేద g′(x) ను జాకోబియన్ రూపాంతరం అని అంటాం. అయితే J = dx/dy లేదా J = .

## సంగ్రస్త రూపాంతరం
ఏకదిష్టంకాని రూపాంతరం ; కొన్నిసార్లు రూపాంతరం అని పిలుస్తారు. ఇక్కడ X యొక్క వివిధ బవిలువలు Y యొక్క ఏక విలువకు రూపాంతరం చెబుతుంది.

x1,x2, ……xn అనేది వివిధ విలువలకు x = g-1(y) అయ్యే విధంగా y అనే ఏక విలువను పొంది ఉంటే లేదా y = g(x) యొక్క ఘాతాలు x1,x2 ......xn ఉంటే f_Y(y) ను కనుక్కోవడానికి కింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి.

f_Y(y) = f_X(x1) |dx1/dy| + f_X(x2) |dx2/dy| + ….+ f_X(x)(xn) |dxn/dy|

= f_X(x1)|J1| + f_X(x2/sub>)|J2| +........ + f_X(xn)|Jn|

ఇక్కడ J,J2, .......,Jn లు వరుసగా జకోబియన్ రూపాంతరాలు.

## సాంద్రతల చలరాశి యొక్క ఏకఘాత మార్పు

సిద్దాంతం : Y సాంద్రత ప్రమేయం aX+b అయితే X దృష్ట్యా సాంద్రత ప్రమేయం

1/af_X(y-b/a) అది f-(y)_ax+b= 1/af_X(y-b/a) అవుతుంది.

నిరూపణ

సందర్భం (i) : a>0 అని తీసుకుంటే

F_Y(y) = P(Y≤y) = P[aX+b≤y]

=P(X≤y-b/a)

F_X(y-b/a) ....(1)

సదర్భం (ii) : aF_Y(y) = P(Y≤y) = P[aX+b≤y]

=P(X≤y-b/a)

1-F_X(y-b/a) .......(2)

సమీకరణం (1) నుంచి

F_Y(y)  = 1/a F_X(y-b/a) .....(3)

సమీకరణం (2) నుంచి

F_Y(y)  = -1/a F_X(y-b/a) .....(4)

సమీకరణం (3),(4) కలసి, ఒకటిగా రాసినప్పుడు

F_Y(y)  = 1/|a|F_X(y-b/a)

ఇక్కడ 1/|a| = |dx/dy| = |J|.

|J| అనేది జకోబియన్ రూపాంతరం సంపూర్ణం విలువ.

## యాదృచ్ఛిక చలరాశి యొక్క వర్గ సాంద్రత

సిద్ధాంతం : ఒకవేళ X అనేది F_X(x) అనే సాంద్రత కలిగి ఉండి, Y = X^2 అనేది రూంపాతరం అయితే Y యొక్క సాంద్రత

F_Y(y) =  \frac{1}{\sqrt{2y}} F_X(\sqrt{y}) + F_X(-\sqrt{y})}; y≥0 దగ్గర

= 0  ;yF_Y(y) =   P(Y≤y) = P(X^2≤y) గా తీసుకొంటే

= P[-1⁄y≤X≤1⁄y] if y≥0

= F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y}) .......(1)

ఒకవేళ, YF_Y(y)=0

[ X^2 = y కు వాస్తవ మూలాలు లేవు. అది yF_Y(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y}) ;Y≥0

=0 ;ఇతరవి
## ఇవి కూడా చూడండి
* చలరాశి
* విచ్ఛిత్తి
* సాంఖ్యక శాస్త్రం
## బయటి లంకెలు
* A Method for Simulating Stable Random Variables
* మల్టివేరియేట్ స్టాటిస్టికల్ మెథడ్స్
* స్టాటిస్టిక్స్ ఫర్ ఎక్స్పెరిమెంటర్స్
## మూలాలు

వర్గం:భౌతిక శాస్త్రం
వర్గం:గణిత శాస్త్రము