కటకము (వస్తువు)

thumb|250x250px|ద్వికుంభాకార కటకాలుప్రకాశ పారదర్శకమై కాంతిని వక్రీభవనం చెందించగల ఒక జత (గోళాకారపు) వక్ర ఉపరితలాలు గలిగిన యానకాన్ని **కటకం** (ఆంగ్లం:lens) అంటారు. దీని యొక్క తలం గుండా ప్రవేశించిన కాంతికిరణాలు వక్రీభవనం చెందిన తరువాత కేంద్రీకరణ లేదా వికేంద్రీకరించబడతాయి. సాధారణ కటకం పారదర్శక పదార్థంతో తయాచుచేయబడిన ఒక వస్తువు. సంయుక్త కటకంలో అనేక సాధారణ కటకాలు ఒకే అక్షంపై అమర్చబడి ఉంటాయి. కటకాలను గాజు లేదా ప్లాస్టిక్ తో తయారుచేస్తారు. వాటిని సానపెట్టి, తలాలను పాలిష్ చేసి కావలసిన ఆకారాలను సాధిస్తారు. కటకం కాంతి కిరణాలను కేంద్రీకరించి ప్రతిబింబాన్ని ఏర్పరచగలదు కానీ పట్టకం తన గుండా ప్రయాణించిన కాంతి కిరణాలను వక్రీభవనం చెందిస్తుంది కానీ కేంద్రీకరించలేదు. అదేవిధంగా దృగ్గోచరకాంతినే కాకుండా, తరంగాలను వికిరణాలను కేంద్రీకరణం లేదా విక్షేపణం చేయగల పరికరాన్ని కూడా కటకం అనే అంటారు. ఉదా: మైక్రోవేవ్ కటకం, ఎలక్ట్రాన్ కటకం, అకాస్టిక్ కటకం లేదా ఎక్స్‌ప్లోజివ్ కటకం 
## చరిత్ర
thumb|నిమ్రద్ కటకం|277x277pxఆంగ్ల పదమైన **' లాటిన్ పదమైన "లెంటిల్" నుండి వ్యుత్పత్తి అయింది. లెంటిల్ ఆకృతి ద్వికుంభాకార కటకాన్ని పోలి ఉంటుంది. లెంటిల్ మొక్క యొక్క విత్తనం జ్యామితీయ ఆకృతిలో ద్వికుంభాకార కటకాన్ని పోలి ఉంటుంది. అనేక వేల సంవత్సరాల నుండి కటకాలను ఉపయోగిస్తున్నారనడానికి పురావస్తు ఆధారాలున్నాయని అనేక మంది పండితుల వాదన. క్రీ.పూ 7వ శతాబ్దానికి చెందిన రాతి కటకం [[నిమ్రద్ కటకం]]. ఇది కేంద్రీకరణ కటకంగా వాడబడి ఉండవచ్చు లేదా అలా వాడకపోయీ ఉండవచ్చు. ఇది [[బర్నింగ్ గ్లాస్]].

మరికొందరి వాదన ప్రకారం ఈజిప్టియన్ల చిత్రలిపిలో సాధారణ కటకాల గూర్చి వర్ణించారు. క్రీ.పూ 424 లో "అరిస్టోఫేన్స్" రాసిన నాటకం "ద క్లౌడ్స్"లో [[బర్నింగ్ గ్లాస్]] గురించిన ప్రసావన ఉంది. [[బర్నింగ్ గ్లాస్]] ల గురించి రోమన్ల కాలంలో తెలుసునని 1వ శతాబ్దానికి చెందిన "ప్లినీ ద ఎల్డర్" నిర్ధారించాడు. [[నీరో]] చక్రవర్తి గ్లాడియేటర్ ఆటలు చూడటానికి మరకతం (ఎమరాల్డ్) అనే రత్నాన్ని ఉపయోగించాడని, అది దృష్టి దోషాన్ని సరిచేసేటట్లు తయారుచేయబడినదని ఆధారాలలో "ప్లినీ ద ఎల్డర్" తెలియజేసాడు. ప్లిన్నీ, "సెనెకా ద యంగర్" (3 BC–65) లు ఇద్దరూ నీటితో నింపబడిన గాజు గోళం కేంద్రీకరణ కటకంగా పనిచేస్తుందని వివరించారు. 
[[దస్త్రం:2015-08 archeon reading stone.JPG|thumb|277x277px|రీడింగ్ గ్లాస్]]
2వ శతాబ్దానికి చెందిన [[టోలెమీ]] దృశాశాస్త్రంపై పుస్తకాన్ని రాసాడు. ప్రస్తుతం ఇది అసంపూర్ణము<sub>,</sub> నిస్సారమూ ఐన ఒక అరబిక్ అనువాదానికి లాటిన్ అనువాద రూపంలో మాత్రమే లభిస్తోంది. ఈ పుస్తకాన్ని ఇస్లామిక్ ప్రపంచంలో మధ్యయుగ విద్వాంసులు ఆదరించారు. ఇది అల్హజీన్ (ఆప్టిక్స్ బుక్, 11 వ శతాబ్దం) చేత మెరుగుపర్చబడి, ఇబ్న్ సహాల్ (10వ శతాబ్దం) చే వ్యాఖ్యానించబడింది.

"lens" అనే పదానికి అరబిక్ పదం  అడాసా ("లెంటిల్") అనేది లాటిన్ పదం అయిన లెన్స్, లెంటిక్యులాకు సరైన అనువాదం. టాలెమీ దృశాశాస్త్రం యొక్క అరబిక్ అనువాదం 12వ శతాబ్దం (యూజెనిస్ ఆఫ్ అలెర్మో 1154) లో లాటిన్ అనువాదంలో లభ్యమవుతుంది. 11, 13 శతాబ్దాల మధ్య "[[పఠన రాయి|రీడింగ్ స్టోన్స్]]" కనుగొనబడినవి. ఇవి సమతల కుంభాకార కటక ఆకృతిలో ఒక రాతి గోళాన్ని సమానంగా కోసి తయారుచేయబడినవి. మధ్యయుగానికి (11వ లేదా 12వ శతాబ్దం) చెందిన రాతి స్ఫటికం "విస్బీ కటకాల"ను [[బర్నింగ్ గ్లాస్]] గా వాడేందుకు ఉద్దేశించారో లేదో చెప్పలేం.

13వ శతాబ్దం మధ్యలో ఉత్తర ఇటలీలో [[పఠన రాయి|రీడింగ్ స్టోన్స్]] అభివృద్ధి పరచి వాని స్థానంలో [[కళ్ళద్దాలు]] కనుగొనబడినవి. 13వ శతాబ్ది చివరిలో వెనిస్, ఫ్లోరెన్స్ లలో మొదటిసారి దృశాశాస్త్ర పరిశ్రమ ప్రారంభించబడి కటకాలను తయారు చేయడం, పాలిష్ చేయడం జరిగింది. తరువాత జర్మనీ, నెదర్లాండ్స్ లలో కళ్లదాల తయారీ కేంద్రాలు ప్రారంభించబడినవి. కళ్ళద్దాల తయారీదారులు కటకాల లక్షణాలను పరిశీలించి వాటిని అభివృద్ధి పరచి దృష్టి దోషాలను సరిచేయుటకు కావలసిన కటకాలను తయారుచేసే జ్ఞానాన్ని పొందారు. కటకాలతో ప్రయోగాత్మక అభివృద్ధి 1595 లో ఆప్టికల్ మైక్రోస్కోప్ ను, 1608లో వక్రీభవన టెలిస్కోప్ లను నెదర్లాండ్స్ లోని కళ్లద్దాల తయారీ కేంద్రాలలో తయారు చేయడానికి దోహదపడింది. [[టెలిస్కోపు]], [[సూక్ష్మదర్శిని|మైక్రోస్కోపు]] ల ఆవిష్కరణతో 17 18 శతాబ్దాలలో అనేక ప్రయోగాలు జరిగి కటకాలలో కనిపింఛే దోషాలను సరిచేయుటకు ప్రయత్నాలు జరిగాయి. నేత్ర వైద్యులు వివిధ గోళాకార తలాల రూపాలతో కటకాలను తయారు చేయడానికి ప్రయత్నించారు. ఈ ప్రయత్నంలో కటకాల గోళాకార తలాలలో లోపాల నుండి తప్పుగా ఊహించిన లోపాలు తలెత్తాయి. వక్రీభవనంపై కాంతి సిద్ధాంతం, ప్రయోగాలు ఏ ఒక్క కటకం అన్ని రంగులను ఒకే బిందువు వద్ద కేంద్రీకరించలేదని తెలిసింది. ఇది 1733లో ఇంగ్లాండు లోని ఛెస్టెర్ మోర్ హాల్ చే సంయుక్త ఆక్రోమేటిక్ కటకం ఆవిష్కరణకు దోహదపడింది. 1758 లో జరిగిన ఒక ఆవిష్కరణ ఆంగ్ల శాస్త్రవేత్త జాన్ డోల్లండ్ చే పేటెంట్ హక్కులు కోసం దావా వేయబడింది. 
== సాధారణ కటకాల తయారీ ==
చాలా కటకాలు గోళాకార కటకాలు: వాటి రెండు తలాలు గోళం యొక్క ఉపరితాలాలలోని భాగాలు. ప్రతీ తలం ,  లేదా సమతలంగా ఉంటుంది. కటకం యొక్క తలాలు యేర్పరచబడిన గోళాల కేంద్రాలను కలుపు రేఖను కటకం యొక్క ప్రధానాక్షం అంటారు. సాధారణంగా కటకం యొక్క అక్షం కటకం యొక్క జ్యామితీయ కేంద్రం గుండా పోతుంది. కటకాలు తయారైన తరువాత కత్తిరించబడటం లేదా సాన పెట్టబడటం వలన వివిధ ఆకారాలు లేదా పరిమాణాలలో తయారవుతాయి. కటకం యొక్క అక్షం దాని జ్యామితీయ కేంద్రం గుండా పోవచ్చు లేదా వెళ్లకపోవచ్చు.

టోరిక్ లేదా గోళాకార-స్థూపాకార కటకాలకు వివిధ వక్రతా వ్యాసార్థాలు గల తలాలు ఉండవచ్చు. అవి వేర్వేరు ధ్రువాలపై వేర్వేరు నాభీయ శక్తులను కలిగి ఉంటుంది. ఇది ఆస్టిగ్మేటిక్ కటకం ఏర్పరుస్తుంది.

=== సాధారణ కటకాలలో రకాలు ===
[[దస్త్రం:Types_of_lenses_-_1.png|thumb|507x507px|కటకాలలో రకాలు]]
కటకాలు వాటికి గల రెండు ఉపరితలాల యొక్క వక్రతలాల ఆధారంగా వర్గీరరించారు. ఒక కటకానికి రెండు తలాలూ కుంభాకార ఆకారంలో ఉంటే ఆ కటకాన్ని [[ద్వికుంభాకార కటకం]] అంటారు. ఒకవేళ రెండు తలాలు ఒకే వక్రతా వ్యాసార్థాన్ని కలిగియున్నచో దానిని "సమకుంభాకార కటకం" (ఈక్వి కాన్వెక్స్ లెన్స్) అంటారు. ఒక కటకం రెండు పుటాకార తలములను కలిగియున్నచో అది "ద్విపుటాకార కటకం" అవుతుంది. ఒక కటకంలోఒకతలం సమతలంగా ఉంటే అది దాని రెండవ తలం యొక్క ఆకారం ఆధారంగా "సమతల పుటాకార కటకం" లేదా "సమతల కుంభాకార కటకం" అవుతుంది. ఒక కటకంలో ఒక తలం కుంభాకారంగాను, రెండవది పుటాకారం గాను ఉంటే ఆ కటకం "కుంభకార-పుటాకార కటకం" అవుతుంది. ఈ కటకం సాధారణంగా దృష్టి దోషాలు సరిచేయడానికి ఉపయోగించే "కరెక్టివ్ కటకాలు"గా ఉపయోగిస్తారు.

ఒక [[ద్వికుంభాకార కటకం]] లేదా సమతల-కుంభాకార కటకం పై పడిన కాంతి కిరణ పుంజం వక్రీభవనం చెంది ఒక బిందువు వద్ద కేంద్రీకరించబడతాయి. ఆ బిందువును "నాభి" అంటారు. ఇది కటకానికి వెనుక భాగంలో ఏర్పడుతుంది. ఈ సందర్భంలో ఈ కటకాన్ని ధనాత్మక లేదా కేంద్రీకరణ కటకం అంటారు. కటకానికి నాభికీ మధ్య దూరాన్ని నాభ్యంతరం అంటారు. దినిని కిరణ చిత్రాలలో లేదా సమీకరణాలలో సాధారణంగా ''f'' అనే ఆంగ్ల అక్షరంతో సూచిస్తారు. 
ఒక ద్విపుటాకార కటకం లేదా సమతల పుటాకారం పై పడిన కాంతిపుంజం వికేంద్రీకరించబడుతుంది. ఈ కటకాన్ని ఋణాత్మక లేదా వికేంద్రీకరణ కటకం అంటారు. కటకం గుండా ప్రయాణించిన కిరణం వక్రీభవనం చెందిన తరువాత ప్రధానాక్షంపై గల ఒక నిర్దిష్ట బిందువు బయటకు వెళ్ళే కిరణాలుగా కనిపిస్తాయి. ఆ బిందువును నాభి అంటారు. నాభి, కటకానికి మధ్య గల దూరాన్ని నాభ్యంతరం అంటారు. వికీంద్రీకరణ కటకం యొక్క నాభ్యంతరం దృష్ట్యా ఇది ఋణాత్మకం.



కుంభాకార - పుటాకార (మినిష్కస్) కటకాలు ధనాత్మకం కానీ లేదా ఋణాత్మకంగా గానీ ఉండవచ్చు. ఇది దాని తలాల యొక్క సాపేక్ష వక్రతలంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఋణాత్మక మినిష్కస్ కటకం ఏటవాలు పుటాకారతలాన్ని కలిగి ఉండి మధ్యలో పలుచగా ఉంటుంది. దీనికి విరుద్ధంగా ధనాత్మక మినిషస్ కటకం ఏటవాలు కుంభాకార తలాన్ని కలిగి ఉండి మధ్యలో దళసరిగా ఉంటుంది. ఆదర్శ పలుచని కటకానికి రెండు తలాల యొక్క వక్రతా వ్యాసార్థాలు కలిగిఉండి [[ఆప్టికల్ పవర్]] శూన్యం కలిగి ఉంటుంది. అనగా అది కేంద్రీకరణం లేదా వికేంద్రీకరణ కటకంగా ఉండవచ్చు. వాస్తవంగా అన్ని కటకాలు శూన్యం కాని మందాన్నికలిగి ఉండి, దాని వక్రతలాలు ఒకే విధంగా,కొద్దిగా ధనాత్మకంగా ఉంటాయి. శూన్యమైన [[ఆప్టికల్ పవర్]] పొందడానికి, మినిషక్ కటకాలు కొద్దిగా అసమానమైన వక్రతలాలను కలిగి ఉండాలి.

=== కటక తయారీ సూత్రం ===
గాలిలో ఉంచిన కటకం యొక్క నాభ్యంతరాన్ని కనుగొనుటకు "కటక తయారీ సూత్రం" ఉపయోగిస్తారు.
: <math> \frac{1}{f} = (n-1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + \frac{(n-1)d}{n R_1 R_2} \right],</math>

: <math>f</math>  = కటకం యొక్క నాభ్యంతరం 
: <math>n</math>  = కటక పదార్థం యొక్క వక్రీభవన గుణకం,
: <math>R_1</math> = కాంతి వనరుకు దగ్గరగా ఉన్న తలం యొక్క వక్రతా వ్యాసార్థం. (సంజ్ఞా సాంప్రదాయం, దిగువన ఈయబడినది)
: <math>R_2</math> = కాంతి వనరుకు దూరంగా ఉన్న తలం యొక్క వక్రతా వ్యాసార్థం , 
: <math>d</math>  = కటకం యొక్క మందం. 
నాభ్యంతరం ''f ,'' కేంద్రీకరణ కటకానికి ధనాత్మకం, వికేంద్రీకరణ కటకానికి ఋణాత్మకం. నాభ్యంతరం (f) యొక్క వ్యుత్క్రమం (గుణకార విలోమం) 1/''f'', దాని కటక సామర్థ్యాన్ని ([[ఆప్టికల్ పవర్]]) ను తెలియజేస్తుంది. ఒక వేళ నాభ్యంతరం మీటర్లలో ఉంటే, కటక సామర్థ్యం "డయప్టర్" లలో వస్తుంది.

====  ''R''<sub>1</sub> , ''R''<sub>2</sub>   వక్రతా వ్యసార్థాల సంజ్ఞా సాంప్రదాయం:  ====
కటకాల యొక్క వక్రతా వ్యాసార్థాల సంజ్ఞా సాంప్రదాయం దాని కుంభాకార లేదా పుటాకార తలాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఏదేని కటక తలం గుండా కాంతికిరణాలు పతనమైనప్పుడు వక్రీభవనం చెందిన తరువాత దాని మార్గంలో వక్రతా కేంద్రం ఉంటే అపుడు ఆ వక్రతా వ్యాసార్థాన్ని ధనాత్మకంగా (+R) తీసుకోవాలి. కటక తలంపై కాంతి పతనమైనప్పుడు యిదివరకు కాంతి పతనమయ్యే మార్గంలో వక్రతా కేంద్రం ఉంటే అపుడు వక్రతా వ్యాసార్థాన్ని ఋణాత్మకంగా (-R) తీసుకోవాలి.

అదే విధంగా బయట ఉపరితలాలు గల పైన చిత్రాలలో సూచించిన కటకాలకు ,  అనేది కుంభాకార తలాలను, ,  అనేది పుటాకార తలాలను సూచిస్తాయి. వక్రతా వ్యాసార్థం యొక్క వ్యుత్క్రమం (గుణకార విలోమం) ను కర్వేచర్ అంటారు. ఒక సమతలానికి కర్వేచర్ శూన్యం ఎందువలనంటే దాని వ్యాసార్థం అనంతంగా ఉంటుంది.

==== పలుచని కటకం యొక్క ఉజ్జాయింపు సూత్రం:  ====
కటకం యొక్క మందం (d) ''R''<sub>1</sub>, ''R''<sub>2</sub> లతో పోల్చడానికి చాలా తక్కువగా ఉన్నప్పుడు పలుచని కటకం తయారవుతుంది. ఈ కటకం గాలిలో ఉంచినపుడు దాని నాభ్యంతరానికి సూత్రం:

: <math>\frac{1}{f} \approx \left(n-1\right)\left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right].</math>

== ప్రతిబింబాల లక్షణాలు  ==
[[దస్త్రం:Biconvex lens-behaviour of light rays from focal point.png|thumb|కుంభాకర కటక నాభి గుండా ప్రయాణించే కాంతి కిరణాలు]]
[[దస్త్రం:Biconcave lens -behaviour of rays passes through focal point.png|thumb|పుటాకార కటకంలో నాభి గుండా ప్రయాణించే కాంతి కిరణాలు]]
పైన తెలిపినట్లు ధనాత్మక లేదా కేంద్రీకరణ కటకాన్ని గాలిలో ఉంచినపుడు ప్రధానాక్షానికి సమాంతరంగా ప్రయాణించే కాంతి పుంజం వక్రీభవనం చెంది ఒక బిందువు వద్ద కేంద్రీకరించబడుతుంది. ఈ బిందువును నాభి అంటారు. కటక కేంద్రానికి, నాభికి మధ్య గల దూరాన్ని నాభ్యంతరం అంటారు. దీనికి విదుద్ధంగా కాంతిజనకాన్ని నాభి వద్ద ఉంచినపుడు దానినుండి వెలువడిన కాంతికిరణాలు కటక తలంపై పతనం చెంది వక్రీభవనం చెందినపుడు ప్రధానాక్షానికి సమాంతరంగా కాంతికిరణాలు ప్రయాణం చేస్తాయి. ఈ రెండు సందర్భాలు ప్రతిబింబం ఏర్పడటానికి ఉదాహరణలు. ఒక వస్తువు అనంత దూరంలో ఉంటే అది నాభి పై కేంద్రీకరించబడి ప్రతిబింబం ఏర్పడుతుంది. అదే ఒక వస్తువు నాభి వద్ద ఉంచినపుడు దాని ప్రతిబింబం అనంత దూరంలో ఏర్పడుతుంది. కటకాక్షానికి లంబంగా దాని నాభి వద్ద గల తలాన్ని "నాభీయతలం" అంటారు. ప్రధానాక్షానికి కొంత కోణంలో సమాంతరంగా వచ్చే కాంతి కిరణాలు నాభీయ తలంపై కేంద్రీకరించబడతాయి.

కుంభాకార, పుటాకార కటకాలు ప్రతిబింబాలను ఎలా ఏర్పరుస్తాయో తెలుసుకొనుటకు పతనమయ్యే వివిధ కాంతికిరణముల ప్రవర్తనను అవగాహన చేసుకోవాలి. ఆ కిరణాల ప్రవర్తన ఈ క్రింది విధంగా ఉంటుంది. 
# ప్రధానాక్షం వెంబడి ప్రయాణించే ఏ కాంతికిరణమైనా విచలనం చెందదు. 
# కటక దృక్‌ కేంద్రం గుండా ప్రయాణించే కాంతి కిరణం కూడా విచలనం చెందదు. 
# ప్రధానాక్షానికి సమాంతరంగా వెళ్ళే కాంతి కిరణాలు నాభి వద్ద కేంద్రీకరించబడతాయి లేదా నాభి నుండి వికేంద్రీకరించబడతాయి. 
# కాంతి కిరణాలు కనిష్ఠకాల నియమాన్నిపాటిస్తాయి. కాబట్టి నాభి గుండా ప్రయాణించే కాంతి కిరణం వక్రీభవనం పొందాక ప్రధానాక్షానికి సమాంతరంగా ప్రయాణిస్తుంది.

ఒక కటకం (దాని మందాన్ని విస్మరిస్తే) గాలిలో ఉన్నప్పుడు ఒక వస్తువు నుండి కటకానికి గల దూరం (వస్తు దూరం) ''S''<sub>1</sub>, కటకం నుండి ప్రతిబింబానికి దూరం (ప్రతిబింబ దూరం) ''S''<sub>2</sub> అయితే, వివిధ దూరాల మధ్య సంబంధాన్ని కటక సూత్రం ద్వారా తెలుసుకోవచ్చును.
: <math>\frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} = \frac{1}{f} </math> .
పై సూత్రం "న్యూటనోనియన్" రూపంలో క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు.
: <math>x_1 x_2 = f^2,\!</math>
<math>x_1 = S_1-f</math>, <math>x_2 = S_2-f</math>. అయినప్పుడు.
[[దస్త్రం:Lens3.svg|center|thumb|500x500px|సమీపంలో ఉన్న వస్తువు ప్రతిబింబాన్ని కెమేరా కటకం ఏర్పరుచుట .]]

=== కుంభాకార కటకంతో ప్రతిబింబాలు ===
;**అనంత దూరంలో వస్తువు ఉన్నప్పుడు
కుంభాకార కటకానికి అనంత దూరంలో వస్తువు ఉన్నప్పుడు కటకంపై పడే కాంతి కిరణాలు ప్రధానాక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటాయి. ఆ కిరణలు నాభి వద్ద కేంద్రీకరించబడతాయి. కనుక నాభి వద్ద బిందురూప ప్రతిబింబం ఏర్పడుతుంది. 
;**వక్రతా కేంద్రానికి ఆవల ప్రధానాక్షంపై వస్తువు ఉన్నప్పుడు
వస్తువు ప్రధానాక్షంపై వక్రతా కేంద్రానికి (2F<sub>2</sub>) ఆవల ఉన్నప్పుడు ఏర్పడే ప్రతిబింబం పరిమాణం తక్కువగా ఉంటుంది. తలక్రిందులుగా ఉన్న, నిజ ప్రతిబింబం ఏర్పడుతుంది. ఇది ప్రధానాక్షంపై F<sub>1</sub>, 2F<sub>1</sub> బిందువుల మధ్య ఏర్పడుతుంది. 
;**వక్రతాకేంద్ర వద్ద వస్తువు ఉంచినపుడు
వస్తువును వక్రతాకేంద్రం (2F2 ) వద్ద ఉంచినపుడు 2F1 వద్ద నిజ ప్రతిబింబం ఏర్పడుతుంది. వస్తువు పరిమాణంతో సమాన పరిమాణం గల ప్రతిబింబం తలక్రిందులుగా ఏర్పడుతుంది.

;**వక్రతాకేంద్రం, నాభి మధ్య వస్తువును ఉంచినపుడు
వస్తువును వక్రతా కేంద్రం (2F<sub>2</sub> ), నాభి (F<sub>2</sub> ) మధ్య ఉంచినపుడు నిజ ప్రతిబింబం తలక్రిందులుగా ఏర్పడుతుంది. ప్రతిబింబ పరిమాణం వస్తు పరిమాణం కన్నా ఎక్కువ ఉంటుంది. ప్రతిబింబం (2F<sub>1</sub> ) కు ఆవల ఏర్పడుతుంది.
<gallery mode="packed" heights="175">
File:Object at beyond the centre of curvature - convex lens.png|వక్రతా కేంద్రానికి ఆవల వస్తువు ఉంచినపుడు ఏర్పడు ప్రతిబింబం 
File:Object on the centre of curvature - convex lens.png|వస్తువు వక్రతా కేంద్రంపై ఉన్నప్పుడు ఏర్పడు ప్రతిబింబం
File:Object placed between focal point and centre of curvature - convex lens.png|వస్తువు నాభి, వక్రతా కేంద్రం ల మధ్యలో ఉంచినపుడు
</gallery>
;**నాభివద్ద వస్తువును ఉంచినపుడు
వస్తువును నాభి (F2 ) వద్ద ఉంచినపుడు ప్రతిబింబం అనంత దూరంలో ఏర్పడుతుంది. అనంతరూరంలో ఏర్పడే ప్రతిబింబం విషయంలో ప్రతిబింబ పరిమాణం, దాని ఇతర లక్షణాలను మనం చర్చించం.
;**నాభి, దృక్ కేంద్రం మధ్య వస్తువును ఉంచినపుడు
వస్తువును నాభికి, కటక దృక్‌కేంద్రానికి మధ్య ఉంచినపుడు నిటారుగా ఉన్న మిధ్యాప్రతిబింబం ఏర్పడుతుంది. దీని పరిమాణం వస్తు పరిమాణం కంటే ఎక్కువ. కటకానికి వస్తువు ఉన్నవైపునే నిటారుగా ఉన్న మిధ్యా ప్రతింబింబం ఏర్పడుతుంది. ఇది ఆవర్థనం చెందిన ప్రతిబింబం.
<gallery mode="packed" heights="200">
File:Object between focal point and cenvex lens.png|వస్తువు నాభి, కటకం మధ్య ఉన్నప్పుడు మిథ్యా ప్రతిబింబం ఏర్పడుట
File:Mag glass request.jpg|భూతద్దంలో వస్తువు యొక్క మిధ్యా ప్రతిబింబం ఏర్పడుట
</gallery>

పై సందర్భాలను బట్టి కొన్ని విషయాలు అర్థమవుతాయి.
# మిధ్యాప్రతిబింబాలు ఏర్పడితే, దానిని మనం కంటితో చూడగలము. నిజ ప్రతిబింబాన్ని కంటితో నేరుగా చూడలేము. దానిని తెరపై పట్టినపుడు చూడగలం.
# ఆవర్థనం చెందిన మిధ్యాప్రతిబింబం, కటకానికి వస్తువు ఉన్నవైపునే ఏర్పడుతుంది. అంటే మనం కటకం గుండా చూసే ప్రతిబింబం నిజ ప్రతిబింబం కాదు. అది మిథ్యా ప్రతిబింబం. 
కుంభాకార కటకానికిఉన్న ఈ ప్రత్యేక లక్షణం సూక్ష్మ దర్శిని తయారీలో ఉపయోగపడుతుంది. సూక్ష్మదర్శిని ఆవర్థనం చెందిన ప్రతిబింబాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. కటక నాభ్యంతరం కన్నా తక్కువ దూరంలో వస్తువు ఉంచినపుడు మాత్రమే మిథ్యాప్రతిబింబం ఆవర్థనం చెందుతుందని తెలుస్తుంది.
[[దస్త్రం:Image_formation_in_biconcave_lens.png|thumb|268x268px|పుటాకార కటకంలో ఏర్పడే ప్రతిబింబం]]

=== పుటాకార కటకంతో ప్రతిబింబాలు ===
పుటాకార కటకంతో చిన్నవైన మిధ్యా ప్రతిబింబాలు ఏర్పడతాయి. వస్తువును ప్రధానాక్షంపై ఉంచినపుడు దాని యొక్క ప్రతిబింబం ప్రధానాక్షంపై నిలువుగా, చిన్నదిగా నాభి, కటక కేంద్రానికి మధ్యలో ఏర్పడుతుంది.

==== మానవుని కంటి కటకం ====
[[దస్త్రం:Image_formed_in_human_eye.png|thumb|265x265px|మానవుని కన్నులో వస్తువు ప్రతిబింబం రెటీనాపై ఏర్పడుట]]
మానవుని కన్ను కూడా కెమేరాని పోలి ఉంటుంది. కంటి కటకం కుంభాకార కటకం వలె పనిచేస్తుంది. మానవ కన్నులోని కంటికటకం కాంతికిరణాలని, కన్నులోని తెరగా పనిచేస్తున్న రెటీనా పై కేంద్రీకరిస్తుంది. ఈ సమచారాన్ని మెడడు సంగ్రహిస్తుంది. కనుగుడ్డు కాంతి చొరబడాడానికి వీలులేని గదిలాగా పనిచేస్తుంది. కంటిపాప ద్వారా కంటిలోకి ప్రవేశించే కాంతిని ఐరిస్ అదుపు చేస్తుంది. కాంతి ప్రకాశం తక్కువగా ఉన్నప్పుడు ఐరిస్ కనుపాపను పెద్దదిగా చేసి ఎక్కువ పరిమాణంలోకాంతిని లోపలికి పోయేలా చేస్తుంది. కాంతి ప్రకాశవంతంగా ఉన్న సందర్భంలో ఐరిస్ కనుపాపను సంకోచింపజేసి కాంతి ఎక్కువ పరిమాణంలో కంటిలోకి పోనివ్వకుండా అదుపు చేస్తుంది. కంటిలోని కటకం మధ్యభాగంలో దృఢంగానూ, అంచువైపు పోతున్నకొద్దీ మృదువుగానూ ఉంటుంది. కంటిలోనికి ప్రవేశించిన కాంతి కనుగుడ్డుకు వెనుకవైపు ఉన్న రెటినాపై ప్రతిబింబాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. కంటిలోని కటకనికి, రెటీనాకు మధ్య దూరం 2.5 సెం.మీ ఉంటుంది. అనగా వస్తువు ఎంత దూరంలో ఉన్నా ప్రతిబింబ దూరం మాత్రం సుమారు 2.5 సెం.మీ ఉంటుంది. కానీ వివిధ వస్తు దూరాలకు ఒకే ప్రతిబింబ దూరం ఉండాలంటే, కటకం నాభ్యంతరం మారవలసి ఉంటుంది. ప్రతిబింబాన్ని కేంద్రీకరించడానికి, కంటి కటకం, తనకు తానే సవరించుకోగలదు. (అనగా కంటి కటక నాభ్యంతరం స్వయంసమయోజితంగా ఉంటుంది). కంటి కటకం స్వయంసమయోజితం కానపుడు దృష్టిదోషాలు ఏర్పడతాయి.

=== ఆవర్థనం ===
[[దస్త్రం:Thin_lens_images.svg|thumb|435x435px|''f'' నాభ్యంతరంకలిగిన పలుచని కూంభాకార కటకంలో నలుపు రంగులోని ఆంగ్ల అక్షరాల యొక్క ప్రతిబింబాలు ఎరుపు రంగులో సూచించబడినవి. ప్రత్యేకించి **E**, **I**, **K** అక్షరాల ప్రతిబింబం ఏర్పడే విధానాన్ని తెలియజేయడానికి వరుసగా నీలం, ఆకుపచ్చ, నారింజ రంగులలో కిరణ చిత్రాలు సూచించబడినవి. **E** ( 2''f వద్ద'') ప్రతిబింబం సమాన పరిమాణం, నిజ, తలక్రిందులైనది ఏర్పడినది. **I** ( ''f వద్ద'') ప్రతిబైంబం అనంతదూరంలో ఏర్పడుతుంది. **K*' ( *f*/2 వద్ద) ప్రతిబింబం రెట్టింపు పరిమాణంలో, నిటారుగా ఉన్నది ఏర్పడినది.

]]వస్తువు ప్రతిబింబం కటకం ద్వారా ఏర్పడినప్పుడు, ప్రతిబింబ పరిమాణం, వస్తు పరిమాణం ల నిష్పత్తిని ఆవర్థనం అంటారు. దీనిని మరో విధంగా చెప్పాలంటే ప్రతిబింబ దూరం, వస్తు దూరం ల నిష్పత్తిని కూడా ఆవర్థనంగా నిర్వచించవచ్చు. ఈ రేఖీయ ఆవర్థనం యొక్క సూత్రం కింది విధంగా ఉంటుంది. 
: <math> M = - \frac{S_2}{S_1} = \frac{f}{f - S_1} </math> ,
ఈ సూత్రంలో M అనునది ఆవర్థనం. నిజ ప్రతిబింబాలు ఏర్పడితే ఈ విలువ ఋణాత్మకం అవుతుంది. మిధ్యా ప్రతిబింబాలు ఏర్పడితే ఇది ధనాత్మకం.

=== కటక సామర్థ్యం ===
ఒక కటకం కాంతి కిరణాలను కేంద్రీకరించే స్థాయి లేదా వికేంద్రీకరించే స్థాయిని కటక సామర్థ్యంగా వ్యక్తపరుస్తాము.

కటక నాభ్యంతరం యొక్క విలోమ విలువను కటక సామర్థ్యం అంటారు. ఒక కటక నాభ్యంతరం f అనుకుంటే, మీటర్లలో

కటక సామర్థ్యం <math> P =  \frac{1}{f}  </math> ఇందులో f ను మీటర్లలో తీసుకోవాలి. నాభ్యంతరాన్ని సెంటీమీటర్లుగా తీసుకుంటే,

కటక సామర్థ్యం <math> P =  \frac{100}{f}  </math> అవుతుంది.

కటక సామర్థ్యానికి ప్రమాణం డయాప్టర్ . దీనిని D తో సూచిస్తాం. కుంభాకార కటకానికి P విలువ ధనాత్మకంగానూ, పుటాకార కటకానికి P విలువ ఋణాత్మకంగానూ ఉంటుంది.

== అస్పష్టత ==
అన్ని కటకాలు స్పష్టమైన ప్రతిబింబాలను ఏర్పరచవు. కటకం ఉపరితలంపై వక్రీభవనం చెందిన కాంతి కిరణాలు కటక తయారీ స్వభావం బట్టి మారడం వలన అస్పష్టమైన ప్రతిబింబం ఏర్పడుతుంది. కటకాలను జాగ్రత్తగా తయారుచేసినట్లైతే ఈ దోషాలను తగ్గించవచ్చు. ప్రతిబింబ నాణ్యత అస్పష్టంగా ఉండటానికి అనేక ప్రభావాలుంటాయి. వాటిలో గోళాకార అస్పష్టత, కోమా, వర్ణ అస్పష్టత ఉన్నాయి.

== సంయుక్త కటకాలు ==
[[దస్త్రం:Lens arrangement in compound microscope.png|thumb|487x487px|సంయుక్త సూక్ష్మదర్శినిలో కటకాల అమరిక]]

కటకాల యొక్క ప్రతిబింబాలు కొన్ని కారణాల వలన అస్పష్టంగా ఉంటాయి. ఈ అస్పష్టతను తగ్గించడానికి కొన్ని కటకాలను కలిపి ఒక వ్యవస్థను తయారుచేస్తారు. వివిధ ఆకారాలతో, వివిధ వక్రీభవన గుణకాలతో తయారుచేయబడిన అనేక కటకాలను ఒకదాని తరువాత ఒకటి ఒక ప్రత్యేకమైన పద్ధతిలో ఒకే ఉమ్మడి అక్షంపై అమర్చితే అది సంయుక్త కటకం అవుతుంది.

సాధారణ సందర్భంలో *f*<sub>1,</sub> *f*<sub>2</sub> నాభ్యంతరాలు కల రెండు పలుచని కటకాలతో ఒక సంయుక్త కటకాన్ని రూపొందిస్తే వాటి ఉమ్మడి నాభ్యంతరాన్ని క్రింది సూత్రం ద్వారా తెలుసుకోవచ్చు. 
: <math>\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}.</math>
1/*f* అనేది కటక సామర్థ్యం అయినందున, రెండు కటకాల సామర్థ్యాల మొత్తం సంయుక్త కటకం సామర్థ్యమవుతుంది.

రెండు పచుచని కటకాలను గాలిలో *d*, దూరంలో ఉంచినపుడు వాటితో ఏర్పడిన సంయుక్త కటక నాభ్యంతరం:
: <math>\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}-\frac{d}{f_1 f_2}.</math>
సంయుక్త కటకం యొక్క ముందు భాగంలోని నాభి నుండి మొదటి కటకానికి గల దూరాన్ని ఫ్రంట్ ఫోకల్ లెంగ్త్ (FFL) అంటారు. 
: <math>{\mbox{FFL}} = \frac{f_{1}(f_{2} - d)}{(f_1 + f_2) - d} .</math>
అదే విధంగా సంయుక్త కటకం యొక్క వెనుక భాగంలోని నాభి నుండి రెండవ కటకానికి గల దూరాన్ని బ్యాక్ ఫోకల్ లెంగ్త్ (BFL) అంటారు. 
: <math>\mbox{BFL} = \frac{f_2 (d - f_1) } { d - (f_1 +f_2) }.</math>
*d* విలువ సున్నను సమీపించినపుడు నాభ్యంతరాల విలువ *f ను* సమీపిస్తుంది.

రెండు కటకాల మధ్య దూరం, వాటి నాభ్యంతరాల మొత్తానికి సమనంగా ఉంటే FFL, BFL విలువలు అనంతమవుతాయి. ఈ కటకాలను ఒక పద్ధతిలో కొంత దూరంలో అమర్చి [[టెలిస్కోపు]], [[సంయుక్త సూక్ష్మదర్శిని]] లను తయారుచేస్తారు.

== ఇతర రకాలు ==
స్థూపాకార కటకాలు: వీటికి ఒక దిశలో మాత్రమే వక్రతలం ఉంటుంది. వీటిని కాంతి కిరణాన్ని సరళరేఖలా కేంద్రీకరించడానికి ఉపయోగిస్తారు.

ఫ్రెన్సెల్ కటకం : దీని యొక్క తలం సన్న వలయాలుగా ముక్కలు చేయబడి ఉంటుంది. వీటిని ప్లాస్టిక్ తో తయారుచేస్తారు. ఇవి చవకైనవి.

లెంటిక్యులర్ కటకాలు: వీటిని లెంటిక్యులర్ ప్రింటిగ్ లో ఉపయోగిస్తారు. దీనిద్వారా ఏర్పడిన ప్రతిబింబాలు లోతుగా లేదా వివిధ కోణాలలో చూచినపుడు వేర్వేరుగా ఉంటాయి.

గ్రేడియంట్ ఇండెక్స్ కటకాలు: ఇవి సమతల తలాలను కలిగి ఉంటాయి. కానీ వక్రీభవన గుణంలో రేడియల్ లేదా అక్షీయ మార్పులు ఉంటాయి. దీని కారణంగా దీని గుండా వెళ్ళే కిరణాలు కేంద్రీకరించబడతాయి.

ఆక్సికన్: ఇది శంకు ఆకృతిలో తలాన్ని కలిగి ఉంటుంది. దీని ద్వారా ఒక బిందువు యొక్క ప్రతిబింబం అక్షీయ రేఖపై రేఖగా మారుతుంది. ఒక లేజర్ కిరణం యొక్క ప్రతిబింబం వలయాకారంగా ఏర్పడుతుంది.

సూపర్ కటకాలు: ఇవి ఋణాత్మక గుణకం కలిగిన మెటాపెటీరియల్స్ నుండి తయరుచేస్తారు. ఇవి విక్షేపణ పరిమితికి మించి ప్రాదేశిక రిజల్యూషన్ గల చిత్రాలను ఏర్పరుస్తాయి. మొదటి సూపర్ లెన్స్ ను 2004 లో మైక్రోతరంగాల కొరకు మెటామెటీరియల్ తో తయారుచేసారు. ఇతర పరిశోధకులు దీనిని అభివృద్ధి చేసేందుకు కృషి చేస్తున్నారు.ఈ కటకం యొక్క దృగ్గోచర లేదా సమీప పరారుణ తరంగ దైర్ఘాలను ప్రతిబింబాల గూర్చి వివరించలేదు.
== ఉపయోగాలు ==
ఒక కుంభాకార కటకం [[భూతద్దం]] లా ఉపయోగపడుతుంది. ఇది సామాన్య సూక్ష్మదర్శినిగా పనిచేస్తుంది.

కుంభాకార, పుటాకార కటకాలను దృష్టి దోషాలైన దీర్ఘదృష్టి, హ్రస్వదృష్టి, ప్రెస్బోఫియా, చత్వారం వంటి వాటిని సరిదిద్దడానికి ఉపయోగిస్తారు.

కుంభాకార కటకాలు సూర్యుని యొక్క ప్రతిబింబాన్ని ఒక బిందువు వద్ద కేంద్రీకరణం చేయగలవు. సూర్యుని యొక్క దృగ్గోచర, పరారుణ కాంతిని ఒకే బిందువు వద్ద కేంద్రీకరించగలవు. పెద్ద కటకాలూ సరిపడినంత శక్తిని అందించడం వలన దాని నాభివద్ద గల వస్తువులను మండించగలవు. అందువలన వీటిని సుమారు 2400 సంవత్సాలనుండి బర్నింగ్ గ్లాసెస్ గా ఉపయోగిస్తున్నారు. నూతనంగా కుంభాకార కటకాల ద్వారా సౌరశక్తిని చిన్న ఫోటోవోల్టాయిక్ సెల్స్ పై కేంద్రీకరింపజేస్తున్నారు. దీని వలన అధిక ఖర్చు గల సెల్స్ ఉపయోగించకుండా ఎక్కువ శక్తిని ఒక చోట చేర్చవచ్చు.

ఈ కటకాలను సరైన అమరిక చేసి మోనోక్యులర్స్, బైనాక్యులర్స్, టెలిస్కోపులు, మైక్రోస్కోపులు, కెమేరాలు, ప్రొజక్టర్లలో ఉపయోగిస్తున్నారు. వీటిలో కొన్ని మిధ్యా ప్రతిబింబాలను ఏర్పరుస్తాయి; కొన్ని సాధనాలైన ఫోటోగ్రాఫిక్ ఫిల్మ్‌ లేదా ఆప్టికల్ సెన్సార్ లేదా తెరపై చూడగలిగే వాటిలో నిజ ప్రతిబింబాలను ఏర్పరుస్తాయి.

రేడియో ఆస్ట్రానమీ, [[రాడార్]] వ్యవస్థలలో తరచుగా డై ఎలక్ట్రికల్ కటకాలను ఉపయోగిస్తారు. వీటిని సాధారణంగా లెన్స్ ఆంటెన్నా అని పిలుస్తారు. ఇవి విద్యుదయస్కాంత వికిరణాలను సేకరించే ఏంటెన్నాకు వక్రీభవనం చెందిస్తాయి.

== మూలాలు ==


== గ్రంథ సూచి ==
*  Chapters 5 & 6.
* 
* 

== బయటి లింకులు ==

[[దస్త్రం:ThinLens.gif|కుడి|thumb|Thin lens simulation]]
* [http://www.lightandmatter.com/html_books/5op/ch04/ch04.html a chapter from an online textbook on refraction and lenses] 
* [http://www.physnet.org/modules/pdf_modules/m223.pdf *Thin Spherical Lenses*] (.pdf) on [http://www.physnet.org/ Project PHYSNET].
* [https://web.archive.org/web/20160304054022/http://www.digitalartform.com/lenses.htm Lens article at *digitalartform.com'']
* Article on Ancient Egyptian lenses
* 
* The Use of Magnifying Lenses in the Classical World

### సిమ్యులేషన్స్
* Learning by Simulations – Concave and Convex Lenses
* OpticalRayTracer – Open source lens simulator (downloadable java)
* 
* Animations demonstrating lens by QED

వర్గం:భౌతిక శాస్త్రం
వర్గం:దృశా శాస్త్రము
వర్గం:ఈ వారం వ్యాసాలు