కేరళ గణిత, ఖగోళ శాస్త్ర పాఠశాల

**కేరళ ఖగోళ శాస్త్ర, గణిత పాఠశాల** (లేదా **కేరళ పాఠశాల**) అనేది భారతదేశం, కేరళ, మలప్పురం జిల్లా, తిరూర్లో సంగమగ్రామ మాధవ స్థాపించిన గణిత, ఖగోళ శాస్త్ర పాఠశాల. ఇందులో పరమేశ్వర, నీలకంఠ సోమయాజి, జ్యేష్ఠదేవ, అచ్యుత పిషారతి, మేల్పుత్తూరు నారాయణ భట్టాతిరి, అచ్యుత పనిక్కర్, గోవింద మీనన్, మాధవ నాయర్, కేశవ మీనన్ వంటి వారు సభ్యులుగా ఉన్నారు. ఈ పాఠశాల 14, 16వ శతాబ్దాల మధ్య వృద్ధి చెందింది, దీని అసలు ఆవిష్కరణలు నారాయణ భట్టాతిరి (1559–1632)తో ముగిసినట్లు కనిపిస్తుంది. ఖగోళ సమస్యలను పరిష్కరించే ప్రయత్నంలో కేరళ పాఠశాల స్వతంత్రంగా అనేక ముఖ్యమైన గణిత భావనలను కనుగొంది. వారి అత్యంత ముఖ్యమైన ఫలితాలను (త్రికోణమితి ప్రమేయాలకు అనంత శ్రేణి విస్తరణ) నీలకంఠ రాసిన *తంత్రసంగ్రహం* (సుమారు 1500) అనే పుస్తకంలో సంస్కృత శ్లోకాలలో వివరించారు, మళ్ళీ ఈ రచనపై రాసిన వ్యాఖ్యానం *తంత్రసంగ్రహ-వాక్య*లో (దీని రచయిత ఎవరో తెలియదు) కూడా వివరించారు. సిద్ధాంతాలను రుజువు లేకుండా పేర్కొన్నారు, కానీ సైన్, కొసైన్, ఇన్వర్స్ టాంజెంట్ శ్రేణులకు రుజువులను ఒక శతాబ్దం తరువాత జ్యేష్ఠదేవ మలయాళంలో రాసిన *యుక్తిభాష* (సుమారు 1530) గ్రంథంలో, *తంత్రసంగ్రహం* వ్యాఖ్యానంలో అందించారు.

ఐరోపాలో కాలిక్యులస్ ఆవిష్కరణకు రెండు శతాబ్దాల ముందే పూర్తయిన వారి కృషి, ఇప్పుడు మొట్టమొదటి పవర్ సిరీస్ ఉదాహరణగా పరిగణించబడుతుంది (జ్యామితీయ శ్రేణులతో పాటు).
## నేపథ్యం
ఇస్లామిక్ పండితులు సా.శ. 1000 నాటికి బహుపదుల సమాకలనాలను కనుగొనడానికి దాదాపు ఒక సాధారణ సూత్రాన్ని అభివృద్ధి చేశారు - వారు ఆసక్తి ఉన్న ఏ బహుపదికైనా అటువంటి సూత్రాన్ని కనుగొనగలిగారు. కానీ ఇప్పటివరకు కనుగొనబడిన సమాచారం ప్రకారం, వారికి నాలుగు కంటే ఎక్కువ డిగ్రీ ఉన్న బహుపదులపై ఆసక్తి ఉన్నట్లు కనిపించడం లేదు. మరోవైపు, భారతీయ పండితులు 1600 నాటికి తమకు ఆసక్తి ఉన్న ప్రమేయాలకు పవర్ సిరీస్‌ను లెక్కించడంలో ఏకపక్ష పూర్ణాంక శక్తుల కోసం ఇబ్న్ అల్-హైతమ్ మొత్తం సూత్రానికి సమానమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించగలిగారు. అదే సమయంలో, ఈ ప్రమేయాల భేదాలను ఎలా లెక్కించాలో కూడా వారికి తెలుసు. కాబట్టి కాలిక్యులస్ కొన్ని ప్రాథమిక భావనలు ఈజిప్ట్, భారతదేశంలో ఐజాక్ న్యూటన్ కంటే ఎన్నో శతాబ్దాల ముందే తెలుసు. అయితే, ఇస్లామిక్ లేదా భారతీయ గణిత శాస్త్రవేత్తలు మనం కాలిక్యులస్ అనే పేరుతో పిలిచే కొన్ని భిన్నమైన భావనలను అనుసంధానించాల్సిన అవసరాన్ని గుర్తించినట్లు కనిపించడం లేదు. ఈ భావనలు అవసరమైన నిర్దిష్ట కేసులపై మాత్రమే వారు ఆసక్తి కనబరిచినట్లు తెలుస్తోంది.

## సహకారాలు

### అనంత శ్రేణులు
కేరళ పాఠశాల అనంత శ్రేణుల రంగానికి అనేక సహకారాలు అందించింది. వీటిలో కింది అనంత జ్యామితీయ శ్రేణులు ఉన్నాయి:

కేరళ పాఠశాల గణిత ప్రేరణను సహజంగా ఉపయోగించింది, అయితే ప్రేరక పరికల్పన ఇంకా సూత్రీకరించబడలేదు, రుజువులలో ఉపయోగించబడలేదు. వారు ఈ ఫలితం సెమీ-కఠినమైన రుజువును కనుగొనడానికి దీనిని ఉపయోగించారు:

{p+1}}}

పెద్ద *n* కోసం.

వారు \sin x, \cos x,  \arctan x లకు అనంత శ్రేణులను (టేలర్-మాక్లారిన్) పొందేందుకు అవకలన, సమాకలన కాలిక్యులస్ భావనలను అనువర్తించారు. *తంత్రసంగ్రహ-వాక్య* ఈ శ్రేణులను శ్లోకాలలో ఇస్తుంది, గణిత సంజ్ఞామానంలోకి అనువదించినప్పుడు, ఇలా రాయవచ్చు:

ఇక్కడ,  r = 1,  కోసం ఈ శ్రేణులు ప్రామాణిక పవర్ సిరీస్‌కు తగ్గుతాయి, ఉదాహరణకు:

(కేరళ పాఠశాల "ఫ్యాక్టోరియల్" ప్రతీకవాదాన్ని ఉపయోగించలేదు.)

కేరళ పాఠశాల ఈ ఫలితాలకు రుజువు ఇవ్వడానికి వృత్తం చాపం పొడవు గణనను ఉపయోగించింది. (క్వాడ్రేచర్‌ను ఉపయోగించే లైబ్నిజ్ తర్వాతి పద్ధతి ఇంకా అభివృద్ధి కాలేదు.) వారు \pi కోసం అనంత శ్రేణి వ్యక్తీకరణను (తరువాత గ్రెగొరీ సిరీస్‌గా పిలువబడింది) పొందేందుకు \arctan x సిరీస్ విస్తరణను కూడా ఉపయోగించారు:

వారి సిరీస్ పరిమిత మొత్తానికి లోపం హేతుబద్ధమైన ఉజ్జాయింపు ప్రత్యేక ఆసక్తిని కలిగి ఉంది. ఉదాహరణకు, సిరీస్ కోసం లోపం, f_i(n+1), (n బేసి, i = 1, 2, 3 కోసం):

\pi కోసం మరింత వేగంగా కన్వర్జింగ్ సిరీస్‌ను పొందేందుకు వారు పాక్షిక భిన్నం విస్తరణను ఉపయోగించి పదాలను మార్చారు:

వారు మెరుగైన శ్రేణిని ఉపయోగించి \pi కోసం తొమ్మిది దశాంశ స్థానాల వరకు సరైన హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ 104348/33215 ను (అనగా 3.141592653) రాబట్టారు. ఈ ఫలితాలను లెక్కించడానికి వారు పరిమితి గురించి ఒక సహజమైన భావనను ఉపయోగించారు. కేరళ పాఠశాల గణిత శాస్త్రజ్ఞులు కొన్ని త్రికోణమితి ప్రమేయాల భేదానికి సెమీ-కఠినమైన పద్ధతిని కూడా ఇచ్చారు, అయితే ప్రమేయం లేదా ఘాతాంక, సంవర్గమాన ప్రమేయాల భావన ఇంకా సూత్రీకరించబడలేదు.

### గుర్తింపు
1825లో జీన్ బాప్టిస్ట్ ఫ్రాంకోయిస్ జోసెఫ్ డి వారెన్ దక్షిణ భారతదేశంలో కాల విభజనపై ఒక జ్ఞాపికను ప్రచురించాడు, దీనిని *కాల సంకలిత* అని పిలుస్తారు, ఇది కేరళ ఖగోళ శాస్త్రజ్ఞులు అనంత శ్రేణుల ఆవిష్కరణ గురించి క్లుప్తంగా ప్రస్తావిస్తుంది.

కేరళ పాఠశాల రచనలను పాశ్చాత్య ప్రపంచం కోసం మొదటిసారిగా 1835లో ఆంగ్లేయుడు సి. ఎమ్. విష్ రాశాడు. విష్ ప్రకారం, కేరళ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు "ఫ్లక్సియన్స్ పూర్తి వ్యవస్థకు పునాది వేశారు", ఈ రచనలు "విదేశీ దేశాల ఏ రచనలలోనూ కనిపించని ఫ్లక్షనల్ రూపాలు, శ్రేణులతో" నిండి ఉన్నాయి. అయితే, ఒక శతాబ్దం పైగా విష్ ఫలితాలను దాదాపు పూర్తిగా విస్మరించారు, కేరళ పాఠశాల ఆవిష్కరణలను సి. టి. రాజగోపాల్, అతని సహచరులు మళ్ళీ పరిశోధించినప్పుడు మాత్రమే అవి వెలుగులోకి వచ్చాయి. వారి పనిలో *యుక్తిభాష*లో ఇవ్వబడిన ఆర్క్టన్ సిరీస్ ప్రూఫ్‌లపై రెండు పేపర్లు వ్యాఖ్యానాలు ఉన్నాయి, సైన్, కొసైన్ సిరీస్‌ల *యుక్తిభాష* ప్రూఫ్‌పై ఒక వ్యాఖ్యానం, ఆర్క్టన్, సైన్, కొసైన్ (ఇంగ్లీష్ అనువాదం, వ్యాఖ్యానంతో) సిరీస్ కోసం *తంత్రసంగ్రహవాక్య* సంస్కృత శ్లోకాలను అందించే రెండు పేపర్లు ఉన్నాయి.

1972లో కె. వి. శర్మ తన *కేరళ హిందూ ఖగోళ శాస్త్ర పాఠశాల చరిత్ర*ను ప్రచురించాడు, ఇది 13వ శతాబ్దం నుండి 17వ శతాబ్దం వరకు జ్ఞాన ప్రసార కొనసాగింపు వంటి పాఠశాల లక్షణాలను వివరిస్తుంది: గోవింద భట్టాతిరి నుండి పరమేశ్వర వరకు, దామోదర నుండి నీలకంఠ సోమయాజి వరకు, జ్యేష్ఠదేవ నుండి అచ్యుత పిషారతి వరకు. ముద్రిత పుస్తకాలు, పబ్లిక్ స్కూళ్లు లేని కాలంలో ఉపాధ్యాయుడి నుండి శిష్యుడికి ప్రసారం చేయడం "ఖగోళ శాస్త్రం వంటి ఆచరణాత్మక, ప్రదర్శనాత్మక విభాగంలో జ్ఞానాన్ని సంరక్షించింది."

1994లో, కేరళలో సుమారు 1500 నాటికి హీలియోసెంట్రిక్ నమూనా ఆమోదించబడిందని వాదించబడింది.

## ఐరోపాకు కేరళ పాఠశాల ఫలితాల సాధ్యమైన ప్రసారం
వ్యాపారులు, జెస్యూట్ మిషనరీల ద్వారా కేరళ నుండి వాణిజ్య మార్గం ద్వారా ఈ ఫలితాల జ్ఞానం ఐరోపాకు ప్రసారం చేయబడి ఉండవచ్చని 1979లో ఎ. కె. బాగ్ సూచించాడు. కేరళకు చైనా, అరేబియా, ఐరోపాలతో నిరంతర సంబంధాలు ఉన్నాయి. కొంతమంది పండితులు సూచించిన కొన్ని కమ్యూనికేషన్ మార్గాలు, కాలక్రమం అటువంటి ప్రసారాన్ని సాధ్యం చేయగలవు; అయితే, అటువంటి ప్రసారం జరిగిందనడానికి సంబంధిత మాన్యుస్క్రిప్ట్‌ల ద్వారా ప్రత్యక్ష ఆధారాలు లేవు. డేవిడ్ బ్రెస్సౌడ్ ప్రకారం, "పంతొమ్మిదవ శతాబ్దం వరకు భారతదేశం వెలుపల, లేదా కేరళ వెలుపల కూడా సిరీస్ భారతీయ పనికి సంబంధించిన ఆధారాలు లేవు". వి. జె. కాట్జ్ కేరళ పాఠశాలలోని కొన్ని ఆలోచనలు 11వ శతాబ్దపు ఇరాకీ పండితుడు ఇబ్న్ అల్-హైతమ్ పనితో సారూప్యతలు కలిగి ఉన్నాయని సూచించాడు, ఇది ఇస్లామిక్ గణితం నుండి కేరళకు ఆలోచనల సాధ్యమైన ప్రసారాన్ని సూచిస్తుంది.

భారతీయ, అరబ్ పండితులు ఇద్దరూ 17వ శతాబ్దానికి ముందే ఆవిష్కరణలు చేశారు, ఇవి ఇప్పుడు కాలిక్యులస్‌లో భాగంగా పరిగణించబడుతున్నాయి. కాట్జ్ ప్రకారం, న్యూటన్, లైబ్నిజ్ లాగా "అవకలనం, సమాకలనం అనే రెండు ఏకీకృత ఇతివృత్తాల క్రింద అనేక విభిన్న ఆలోచనలను కలపడం, రెండింటి మధ్య సంబంధాన్ని చూపించడం, కాలిక్యులస్‌ను ఈ రోజు మనం కలిగి ఉన్న గొప్ప సమస్య-పరిష్కార సాధనంగా మార్చడం" వారు చేయలేదు. న్యూటన్, లైబ్నిజ్ ఇద్దరి మేధో వృత్తిని చక్కగా నమోదు చేశారు, వారి పని వారి స్వంతం కాదని ఎటువంటి సూచన లేదు; అయితే, న్యూటన్, లైబ్నిజ్ తక్షణ పూర్వీకులు, "ముఖ్యంగా, ఫెర్మాట్, రాబర్వాల్, ఇస్లామిక్, భారతీయ గణిత శాస్త్రవేత్తల ఆలోచనలలో కొన్నింటిని మనకు ఇప్పుడు తెలియని మూలాల ద్వారా నేర్చుకున్నారా" అనేది ఖచ్చితంగా తెలియదు. ఇది ప్రస్తుత పరిశోధన క్రియాశీల ప్రాంతం, ముఖ్యంగా స్పెయిన్, మాఘ్రెబ్ మాన్యుస్క్రిప్ట్ సేకరణలలో, ఇప్పుడు పారిస్‌లోని సెంటర్ నేషనల్ డి లా రీచెర్చే సైంటిఫిక్ (CNRS) తో సహా ఇతర ప్రదేశాలలో పరిశోధనలు కొనసాగుతున్నాయి.

## ఇవి కూడా చూడండి
*ఖగోళ శాస్త్రం
*భారతీయ గణిత శాస్త్రవేత్తల జాబితా
*గణిత శాస్త్ర చరిత్ర
*కేరళ హిందూ ఖగోళ శాస్త్ర పాఠశాల చరిత్ర
*చంద్రవాక్యాలు
*విద్యామాధవ

## గమనికలు

## మూలాలు
*.
*Gupta, R. C. (1969) "Second Order of Interpolation of Indian Mathematics", *Indian Journal of History of Science* 4: 92-94
*.
*.
*.
*Parameswaran, S. (1992) "Whish's showroom revisited", Mathematical Gazette 76, no. 475 pages 28–36
*
*.
*.
*.
*C. K. Raju. 'Computers, mathematics education, and the alternative epistemology of the calculus in the Yuktibhâsâ', *Philosophy East and West* **51**, University of Hawaii Press, 2001.
*.
*
*
*.
*Tacchi Venturi. 'Letter by Matteo Ricci to Petri Maffei on 1 Dec 1581', *Matteo Ricci S.I., Le Lettre Dalla Cina 1580–1610*, vol. 2, Macerata, 1613.

## బయటి లింకులు

*An overview of Indian mathematics, *[[MacTutor History of Mathematics archive]]*, 2002.
*Indian Mathematics: Redressing the balance, *MacTutor History of Mathematics archive*, 2002.
*Keralese mathematics, *MacTutor History of Mathematics archive*, 2002.
*Possible transmission of Keralese mathematics to Europe, *MacTutor History of Mathematics archive*, 2002.
*"Indians predated Newton 'discovery' by 250 years" *phys.org,* 2007
వర్గం:కేరళ
వర్గం:కేరళ చరిత్ర
వర్గం:కేరళ సంస్కృతి