இருபடி முழுவெண்

எண் கோட்பாட்டில், **இருபடி முழுவெண்கள்** என்பது வழக்கமான முழுவெண்களை இருபடி களங்களுக்கு பொதுமைப்படுத்துவதாகும். இருபடி முழுவெண்கள், படி  இரண்டுள்ள இயற்கணித முழு எண்களாகும். அதாவது பின்வரும் வடிவச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளாக இருக்கும்:

: 

,  இரண்டும் வழக்கமான முழு எண்கள். இயற்கணித முழுவெண்களைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது, வழக்கமான முழுவெண்கள் பெரும்பாலும் *விகிதமுறு முழுவெண்கள்* என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

இருபடி முழுவெண்களின் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகள் விகிதமுறு முழுவெண்களின் வர்க்க மூலங்களான , மற்றும் காஸியன் முழுவெண்களை உருவாக்கும் சிக்கலெண்  ஆகும். மற்றொரு பொதுவான எடுத்துக்காட்டு  ஒன்றின் கன படிமூலங்களில் ஒன்றான  ஆகும். இக் கனபடிமூலம் களை உருவாக்குகிறது.

பெல்லின் சமன்பாடுகள் போன்ற களின் தீர்வுகளில் இருபடி முழுவெண்கள் இடம்பெறுகின்றன.  **இருபடி முழுவெண்களின் வளையங்களின்** ஆய்வு இயற்கணித எண் கோட்பாட்டின் பல கேள்விகளுக்கு அடிப்படையாக அமைகிறது.

## வரையறை
**இருபடி முழுவெண்** என்பது படி இரண்டுள்ள இயற்கணித முழுவெண் ஆகும்.  மேலும்  இது:

:*x*2 + *bx* + *c* = 0 (*b*, *c முழுவெண்கள்)* என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் தீர்வாக அமைகின்ற x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2} என்ற சிக்கலெண்ணாகும்.  

முழுவெண்ணாக இல்லாத ஒவ்வொரு இருபடி முழுவெண்ணும் விகிதமுறு எண்ணல்ல;   அதாவது,  என்றால்  மெய் விகிதமுறா எண்ணாகவும்,   என்றால் அது மெய்யற்றதாகவும் இருக்கும். இத்தகைய இருபடி முழுவெண்கள் \mathbb{Q} இன் நீட்டிப்பாக  அமையும் இருபடிக் களம்  \mathbb{Q}(\sqrt{D}\,) இல் அமைகின்றன.  \mathbb{Q}(\sqrt{D}\,) ஆனது,முழு எண்  க்கு  என்பதை நிறைவுசெய்யும் தனித்துவமான வர்க்கக்காரணியற்ற முழுவெண்  இன் வர்க்க மூலத்தால்  பிறப்பிக்கப்படுகிறது.  நேரெண்ணாக இருந்தால் இருபடி முழுவெண் மெய்யெண்ணாகவும்,  எனில், அது *கற்பனையெண்ணாகவும் இருக்கும்* (அதாவது சிக்கலெண், மெய்யற்றது).

\mathbb{Q}(\sqrt{D}\,) என்ற இருபடி களத்தைச் சேர்ந்த இருபடி முழுவெண்கள் (சாதாரண முழுவெண்கள் உட்பட) "\mathbb{Q}(\sqrt{D}\,). இன் முழுவெண்களின் வளையம்" என அழைக்கப்படும் முழு ஆட்களத்தை உருவாக்கும்.

தரப்பட்ட இருபடிக் களத்திற்குரிய இருபடி முழுவெண்கள் ஒரு வளையமாக இருக்கும். ஆனால், "அனைத்து" இருபடி முழுவெண்களின் கணமானது கூட்டலுக்கும் பெருக்கலுக்கும் அடைவு பெறாததால் வளையமாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக, 1+\sqrt{2}, \sqrt{3} இரண்டும் இருபடி முழுவெண்கள்; ஆனால் அவற்றின் கூட்டுதொகையான  1+\sqrt{2}+\sqrt{3}, பெருக்குத்தொகையான (1+\sqrt{2})\cdot\sqrt{3} இரண்டும் இருபடி முழுவெண்கள் இல்லை (அவற்றின் சிறுமப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி நான்காக இருப்பதால்).

## வெளிப்படையான உருவகிப்பு
இங்கும் பின்வரும் பகுதிகளிலும் எடுத்துக்கொள்ளப்படும் இருபடி முழுவெண்கள், \mathbb{Q}(\sqrt{D}\,) ( என்பது வர்க்கமற்றகாரணி முழுவெண்) என்ற இருபடிக் களத்தைச் சேர்ந்தவை. இவ்வாறு எடுத்துக்கொள்ளும்போது,    \implies \mathbb{Q}(\sqrt{D}\,) = \mathbb{Q}(\sqrt{a^2D}\,) ( ஏதேனுமொரு நேர்ம முழுவெண்) என்பதால் பொதுத்தன்மை கட்டுப்படுத்தப்படுவதில்லை.

:x = a+b\sqrt D, 
அல்லது,  
: =  இன் மடங்காக இருக்கும்போது
:x = \frac{a}{2}+\frac{b}{2}\sqrt{D}, (,  இரண்டும் ஒற்றை எண்கள்)
என்பதை நிறைவு செய்யும் இரு முழுவெண்கள் ,  "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" x \in \mathbb{Q}(\sqrt{D} ஆனது ஒரு இருபடி முழுவெண்ணாகும்.

மாற்றாக, ஒவ்வொரு இருபடி முழுவெண்ணையும் கீழுள்ளவாறு எழுதலாம்: :, (,  முழுவெண்கள்;  இன் வரையறை: \omega = \begin{cases}
\sqrt{D} & \mbox{if }D \equiv 2, 3 \pmod{4} \\
 \over 2} & \mbox{if }D \equiv 1 \pmod{4}
\end{cases})

குறிப்பு:  வர்க்கமற்ற காரணியாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுவதால் D \equiv 0\pmod{4} ஆக இருக்காது. ஏனெனில் அவ்வாறு இருக்கும்பட்சத்தில  ஆனது வர்க்க எண் 4 ஆல் வகுபடும்; அதாவது வர்க்கக்காரணியற்ற முழுவெண் அல்ல என்ற முரண்பாடு ஏற்படும்.

## நெறிமமும் இணையியமும்
A quadratic integer in \mathbb{Q}(\sqrt{D}\,) இலுள்ள ஒரு இருபடி முழுவெண்ணைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்: 
: (,  இரண்டும் முழுவெண்கள் அல்லது  எனும்போது மட்டும் இரண்டும் அரை-முழுவெண்கள்.

இத்தகைய இருபடிமுழுவெண்ணின் "நெறிமம்" (*norm*):
:.

ஒரு இருபடி முழுவெண்ணின் நெறிமம் எப்போதும் ஒரு முழுவெண்ணாகவே இருக்கும்.   எனில், ஒரு இருபடி முழுவெண்ணின் நெறிமம், அதன் தனிமதிப்பின் வர்க்கமாக (சிக்கலெண்ணுக்குப் போலவே) இருக்கும். இது  எனில் இது உண்மையாகாது. இரண்டு இருபடி முழுவெண்களின் பெருக்குத்தொகையின் நெறிமமானது தனித்தனியே அவ்விரண்டின் நெறிமங்களின் பெருக்குத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும்.

ஒவ்வொரு இருபடி முழுவெண்ணுக்கும் ஒரு இணையெண் உண்டு. 

 இன் "இணையெண்" (*conjugate*)
:\overline{a+b\sqrt{D}} = a-b\sqrt{D}.

ஒரு இருபடி முழுவெண் மற்றும் அதன் இணையெண் ஆகிய இரண்டின் நெறிமமும் சமம்; மேலும் இந்த நெறிமமானது இருபடி முழுவெண் மற்றும் அதன் இணையெண் இரண்டின் பெருக்குத்தொகையாகவும் இருக்கும். இரு இருபடி முழுவெண்களின் கூட்டுதொகையின் (பெருக்குத்தொகை) இணையெண் அவ்விரண்டின் இணையெண்களின் கூட்டுத்தொகையாக (பெருக்குத்தொகை) இருக்கும்.

## குறிப்புகள்

## மேற்கோள்கள்
*. Retrieved 5. August 2009
*Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. *Abstract Algebra*, 3rd ed.
*Artin, M, *Algebra*, 2nd ed., Ch 13.

## மேலதிக வாசிப்புக்கு
*J.S. Milne. *[http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ANT301.pdf Algebraic Number Theory]*, Version 3.01, September 28, 2008. online lecture notes

பகுப்பு:முழு எண்கள்
பகுப்பு:வளையக் கோட்பாடு