சிம்சன் கோடு

வடிவவியலில், *ABC* முக்கோணத்தின் சுற்று வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளி *P* எனில் அப்புள்ளிக்கு மிக அருகாமையில், *AB*, *AC*, *BC* ஆகிய மூன்று கோடுகளின் மீது அமையும் மூன்று புள்ளிகளும் நேர்கோட்டமைபவையாக இருக்கும். இந்த மூன்று புள்ளிகளின் வழியாகச் செல்லும் கோடு, *P* புள்ளியின் **சிம்சன் கோடு** (*Simson line*) ஆகும். இக்கோடு இசுக்காட்டுலாந்து கணிதவியலாளர் இராபர்ட்டு சிம்சன் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், இசுக்காட்டுலாந்து கணிதவியலாளரும் வானிலையாளருமான வில்லியம் வாலசுதான் இக்கருத்துருவை முதன்முதலாக 1799 இல் வெளியிட்டார்.

இதன் மறுதலையும் உண்மையாகும். 

*P* புள்ளிக்கு மிக அருகில் மூன்று கோடுகளின் மீதமையும் புள்ளிகள் மூன்றும் ஒரே கோட்டிலமைவதோடு, மூன்று கோடுகளில் எந்த இரண்டும் இணையான கோடுகள் இல்லையெனில், அம்மூன்று கோடுகளால் அமையும் முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் மீது புள்ளி *P* அமையும்.

## இருத்தலை நிறுவல்
 L, M, N புள்ளிகள் மூன்றும் நேர்கோட்டமைபவை என நிறுவுவதற்கு
\angle NMP + \angle PML = 180^\circ எனக் காட்ட வேண்டும். 

நிறுவல்:
படத்தில் தரவுகளின் படி, PCAB ஒரு  வட்ட நாற்கரம்
#\angle PBA + \angle ACP = 180^\circ (வட்ட நாற்கரத்தில் எதிர்கோணங்களின் கூடுதல் 180^\circ) 
#\angle PBN + \angle ACP = 180^\circ (\angle PBA = \angle PBN )
#PMNB  ஒரு வட்ட நாற்கரமாகும். (தேலேசுத் தேற்றம்)
#\angle PBN + \angle NMP = 180^\circ. (வட்ட நாற்கரத்தில் எதிர்கோணங்களின் கூடுதல் 180^\circ) 
#\angle NMP = \angle ACP. (படி 2, 4)
#PLCM ஒரு வட்ட நாற்கரம் 
#\angle PML = \angle PCL  ( உள்வரை கோணத் தேற்றம்
#\angle PCL = 180^\circ - \angle ACP. (மிகைநிரப்பு கோணங்கள்)
#\angle PML = 180^\circ - \angle ACP (படி 7, 8) 
#\therefore\angle NMP + \angle PML = \angle ACP + (180^\circ - \angle ACP) = 180^\circ

எனவே  L, M, N புள்ளிகள் மூன்றும் நேர்கோட்டமைபவை என்பது நிறுவப்படுகிறது.

## பண்புகள்
* முக்கோணத்தின் ஒரு உச்சியின் சிம்சன் கோடு, அவ்வுச்சியிலிருந்து முக்கோணத்திற்கு வரையப்படும் குத்துக்கோடாகும். மேலும் அவ்வுச்சியின் எதிரடிப்புள்ளியின் (விட்டவாக்கில் எதிர் புள்ளி) சிம்சன் கோடானது, அந்த உச்சிக்கு எதிர்ப்பக்கமுள்ள முக்கோணத்தின் பக்கமாக இருக்கும்.
* முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் மீதுள்ள இரு புள்ளிகள் *P*, *Q* எனில், அவற்றின் சிம்சன் கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தின் அளவு, *PQ* வில்லின் கோணத்தில் பாதியாக இருக்கும். இவ்விரு புள்ளிகளும் விட்டவாக்கில் எதிரெதிராக இருந்தால் அவற்றின் சிம்சன் கோடுகள் செங்குத்தானவையாகவும் அவை வெட்டும் புள்ளியானது முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மீதும் இருக்கும்.
* *ABC* முக்கோணத்தின் [செங்கோட்டு மையம் ''H'' எனில், ''P'' இன் சிம்சன் கோடானது ''PH'' கோட்டை இருசமக்கூறிடும். அவ்வாறு இருசமக்கூறிடும் புள்ளி ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மீதமையும்.
* இரு முக்கோணங்கள் ஒரே சுற்றுவட்டமுடையவையாக இருந்தால்,  ''P'' புள்ளியின் இரு சிம்சன் கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணமானது ''P'' இன் நிலையைச் சார்ந்திருக்காது.
* குறைந்தது 5 பக்கங்களுடைய எந்தவொரு குவிவு பல்கோணத்திற்கும் சிம்சன் கோடு கிடையாது.

== சிக்கலெண் தளத்தில் ==
முக்கோணத்தை சிக்கலெண் தளத்தில் எடுத்துக்கொள்ள, அலகு சுற்றுவட்டம் கொண்ட ABC முக்கோணத்தின் உச்சிகளின் சிக்கலெண் ஆயதொலைகள் ''a'','' b'', ''c''; சுற்றுவட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு P புள்ளியின் ஆயதொலைவு ''p'' எனில் இப்புள்ளியின் சிம்சன் கோடானது கீழுள்ள சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் புள்ளிகளாலான (''z'') கணமாகும்:

:<math>2abc\bar{z} -2pz+p^2+(a+b+c)p -(bc+ca+ab)-\frac{abc}{p} =0,</math>
<math>\bar{z},</math> என்பது <math>z</math> இன் [இணைச் சிக்கலெண்.

## மேற்கோள்கள்


## வெளியிணைப்புகள்

* Simson Line at cut-the-knot.org
* F. M. Jackson and 
* A generalization of Neuberg's theorem and the Simson-Wallace line at Dynamic Geometry Sketches, an interactive dynamic geometry sketch.

பகுப்பு:முக்கோண வடிவவியல்