2 × 2 அணியின் வர்க்கமூலம்

**2 x 2 [[அணி (கணிதம்)|அணியொன்றின்]] வர்க்கமூல அணி**யானது, (*square root of a 2x2 matrix*) மற்றொரு 2 x 2 அணியாகவும்,  மேலும் அதனை அதனோடு பெருக்கக் கிடைக்கும் அணி மூல அணியாகவும் அமையும். 

:2 x 2 அணி *R* இன் வர்க்கமூல அணி *M* எனில், அது ஒரு 2 x 2  அணியாகவும் *M* = *R*2 என்பதை நிறைவு செய்யும் அணியாகவும் இருக்கும். 

ஒரு 2 × 2 அணிக்கு வர்க்கமூலங்களே இல்லாமல் இருக்கலாம் அல்லது இரண்டு, நான்கு, ஆறு ... என இரட்டை எண்ணிக்கையிலான எண்ணற்ற வர்க்கமூலங்களும் இருக்கலாம். பூச்சியமற்ற இரு வெவ்வேறான ஐகென் மதிப்புகளைக் கொண்ட ஒரு 2 × 2 அணிக்கு நான்கு வர்க்கமூலங்கள் இருக்கும். ஒரு நேர்ம-வரைவு அணியின் வர்க்கமூலங்களில் ஒன்றுமட்டுமே  நேர்ம-வரைவு அணியாக இருக்கும்.

எல்லா வரிசை அணிகளுக்கும் அவற்றின் வர்க்கமூலங்கள் சோடிகளாக அமையும். *R* என்பது *M* இன் ஒரு வர்க்கமூலம் எனில்,  –*R* உம் *M* இன் மற்றொரு வர்க்கமூலமாக இருக்கும் ((–*R*)(–*R*) = (–1)(–1)(*RR*) = *R*2 = *M*).

## வாய்பாடு
:M = \left( \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)
:*A*, *B*, *C*,  *D* என்பன மெய்யெண்களாகவோ சிக்கலெண்களாகவோ இருக்கலாம்.
:*τ = A + D* என்பது *M* இன் சுவடு.
:*δ = AD - BC* என்பது *M* இன் அணிக்கோவை.
:*s* என்பது *s*2 = *δ*, 
:*t*  என்பது *t*2 = *τ* + 2*s*.  
:s = \pm\sqrt{\delta} , \quad \quad t = \pm \sqrt{\tau + 2 s}.

*t* ≠ 0 எனில் *M* இன் வர்க்கமூல அணி:

:
R = \frac{1}{t} \left( \begin{array}{cc} A + s & B \\ C & D + s \end{array}\right).


*R* இன் வர்க்கம் *M* ஆகவுள்ளதைக் காணலாம்: 
:
\begin{array}{rcl}
  R^2 
    &=&
    \displaystyle \frac{1}{t^2} 
      \left( \begin{array}{cc} (A + s)^2 + B C & (A + s)B + B(D + s) \\ C(A + s) + (D + s)C & (D + s)^2 + B C \end{array}\right)\\[3ex]
  {}
    &=&
    \displaystyle \frac{1}{A + D + 2 s} 
      \left( \begin{array}{cc} A(A + D + 2s) & (A + D + 2s)B \\ C(A + D + 2 s) & D(A + D + 2 s) \end{array}\right) \;=\;
  M.
\end{array}

*M* இன் உறுப்புகள் எல்லாம் மெய்யெண்களாக இருந்தாலும் *R* இன் உறுப்புகள் சிக்கலெண்களாகவும் இருக்கலாம். அணிக்கோவை *δ* இன் மதிப்பு எதிர்மமாக இருக்கும்போது இவ்வாறு அமையக்கூடும். *s>0* , *t>0* எனில் *R* நேர்மமாக இருக்கும்.

### சிறப்பு நிலைகள்
**M* ஒரு தன்னடுக்கு அணி அணியாக இருந்து (*MM* = *M*), அதேசமயம் முற்றொருமை அணியாக இல்லையெனில், அதன் அணிக்கோவை மதிப்பு பூச்சியமாகவும், அதன் சுவட்டின் மதிப்பும் தரமும் சமவளவினவையாக 1 ஆக இருக்கும் (பூச்சிய அணி தவிர்த்து). இந்நிலையில் மேலுள்ள வாய்பாட்டில் *s* = 0 \tau = 1 ஆக அமையும். இதனால்,  அணி *M* இன் வர்க்கமூலங்களாக *M* , -*M* இரண்டு மட்டுமே கிடைக்கும்.

* *s* மற்றும் *t* இன் குறிகள் ஒவ்வொன்றைக்கும் நான்கு வெவ்வேறான வர்க்கமூலங்கள் (*R*) கிடைக்கும்.  
* அணிக்கோவை *δ* இன் மதிப்பு பூச்சியமாகவும், சுவடு *τ* பூச்சியமற்றதாகவும் இருந்தால் மேற்படி வாய்ப்பாட்டின் மூலம் வெவ்வேறான இரு வர்க்கமூலங்கள் மட்டுமே கிடைக்கும்.
*  *δ* பூச்சியமற்றதாகவும் *τ*2 = 4*δ* எனவும் இருக்கும்போதும் வெவ்வேறான இரு வர்க்கமூலங்கள் மட்டுமே கிடைக்கும். இதில்  *s* இன் ஏதேனும் ஒரு குறிக்கு வாய்பாட்டின் பகுதியான *t* இன் மதிப்பு பூச்சியமாகிவிடும்.
* *δ* , *τ* இரண்டின் மதிப்புகளும் பூச்சியமாக இருக்கும்போது மேற்காணும் வாய்பாடு பயனற்றதாகிவிடும். அதாவது, *D* = −*A* மற்றும் *A*2 = −*BC* ஆக இருந்தால் அணிக்கோவை *δ* மற்றும் சுவடு *τ* இரண்டின் மதிப்பும் பூச்சியமாக இருக்கும். இந்நிலையில்

*M* ஒரு பூச்சிய அணியாக இருந்தால் (*A* = *B* = *C* = *D* = 0): 
:*b* , *c* இரண்டின் ஏதேனும் மெய்யெண் அல்லது சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கு
:R = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ c & 0 \end{array}\right) \quad  \text{and} \quad R = \left( \begin{array}{cc} 0 & b \\ 0 & 0 \end{array}\right)
  ஆகிய இரு வர்க்கமூலங்களோடு பூச்சிய அணியும் *M* இன் வர்க்கமூலமாக இருக்கும்.

மற்றபடி, *M* அணிக்கு வர்க்கமூலம் இருக்காது.

### சிறப்புவகை அணிகளுக்கான வாய்பாடுகள்
#### மூலைவிட்ட அணி
*M* ஒரு மூலைவிட்ட அணியாக (*B* = *C* = 0) இருந்தால் கீழ்க்காணும் எளிதாக்கப்பட்ட வாய்ப்பாட்டின் மூலம் அதன் வர்க்கமூலத்தைக் காணலாம்:
:
R = \left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & d \end{array}\right)

:*a* = ±√*A* 
:*d* = ±√*D*

*a* , *d*  இன் மதிப்புகளுக்கு எடுத்துக்கொள்ளப்படும் குறிகளைப் பொறுத்து, *A* மற்றும் *D* இரண்டில் எதுவுமே பூச்சியமில்லை அல்லது ஏதேனும் ஒன்று மட்டும் பூச்சியம் அல்லது இரண்டுமே பூச்சியம் எனில் முறையே, நான்கு அல்லது இரண்டு அல்லது ஒரு வெவ்வேறான வர்க்கமூல அணிகள் கிடைக்கும்.

#### முற்றொருமை அணி
2 × 2 முற்றொருமை அணி \bigl( \begin{smallmatrix}\\ 1&0\\ 0&1\end{smallmatrix} \bigr) முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான கீழ்வரும் சமச்சீர் விகிதமுறு வர்க்கமூலங்கள் கொண்டுள்ளது: 
:\tfrac{1}{t}\bigl( \begin{smallmatrix}\\s&r\\ r&-s\end{smallmatrix} \bigr),  \tfrac{1}{t}\bigl( \begin{smallmatrix}\\ s&-r\\- r&-s\end{smallmatrix} \bigr),  \tfrac{1}{t}\bigl( \begin{smallmatrix}\\ -s&r\\ r&s\end{smallmatrix} \bigr),  \tfrac{1}{t}\bigl( \begin{smallmatrix}\\ -s&-r\\ -r&s\end{smallmatrix} \bigr),  \bigl( \begin{smallmatrix}\\ 1&0\\ 0&\pm 1\end{smallmatrix} \bigr), and \bigl( \begin{smallmatrix}\\ -1&0\\ 0& \pm 1\end{smallmatrix} \bigr), 
 என்பன பித்தகோரசு மும்மைகளாகும். அதாவது, r^2 + s^2 = t^2. என்ற முடிவை நிறைவு செய்யும் நேர்ம முழுஎண்களாகும். மேலும் r^2 + s^2 = t^2 முடிவை நிறைவு செய்யும்  *r, s, t* -இன் முழுஎண்கள் அல்லாத விகிதமுறா, சிக்கலெண் மதிப்புகளும் முற்றொருமை அணியின் வர்க்கமூலங்களைத் தரும். முற்றொருமை அணிக்கு முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான சமச்சீரற்ற வர்க்கமூலங்களும் உண்டு.

#### முதன்மையற்ற மூலைவிட்ட உறுப்பொன்றைப் பூச்சியமாகக்கொண்ட அணி
முதன்மையற்ற மூலைவிட்ட உறுப்பொன்றைப் பூச்சியமாகக்கொண்ட 2 x 2  அணி (*B* = 0; *A* , *D* ≠ 0) எனில் கீழ்வரும் வாய்ப்பாட்டின் மூலம் அதன் வர்க்கமூலம் காணலாம்:

:
R = \left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ C/(a + d) & d \end{array}\right).


இவ்வாய்ப்பாட்டின் மூலம் *A* = *D* எனும்போது இரு வர்க்கமூலங்களும் மற்றபடி நான்கு வர்க்கமூலங்களும் கிடைக்கும். *C* = 0; *A* , *D* ≠ 0 எனும்போதும் இதுபோன்ற வாய்ப்பாட்டின் மூலம் வர்க்கமூலங்களைக் காணலாம்.

## மேற்கோள்கள்

பகுப்பு:அணிகள்