ஏது மூலம், மாடுலோ p

கணிதத்தில், **முதன்மை மூலம், மட்டு p** அல்லது **ஏது மூலம், மாடுலோ p** (*primitive root, modulo p*) என்பது எண் கோட்பாட்டில் வரும் ஒரு முக்கியமான கருத்தாகும். எண் கோட்பாட்டிற்குள் உள்ள பயன்பாடுகளைத்தவிர இது குறியாக்கவியல், வழுதிருத்தும் குறியீடுகள் போன்ற துறைகளுக்குத் தேவைப்படும் கருத்து.

## அறிமுகம்
எல்லா முழு எண்களின் வளையம் \mathbf{Z} என்று குறிக்கப்படும்.  p  ஒரு பகா எண் ஆனால் p\mathbf{Z}, தாய்வளையம் \mathbf{Z} இன் ஒரு உள்வளையம். \frac{Z}{p\mathbf{Z}}  எச்சவகைகளின் கூட்டல், பெருக்கலுக்கு ஒரு களமாகிறது. இக்களத்தை  \mathbf{Z}_p என்றும் எழுதுவதுண்டு. இதனிலிருந்து சூனியமல்லாத உறுப்புகளின் கணத்தை \mathbf{Z}_p^{*} என்று குறிப்பிட்டு அதை பெருக்கல் குலமாகக் கொள்ளுவோம். இக்குலத்தின்  பிறப்பி ஒவ்வொன்றும்,  **ஏது மூலம், மாடுலோ p** எனப்படுகிறது. இதையே \mathbf{Z}_p^{*} இன் **ஏது-உறுப்பு** என்றும் சொல்வதுண்டு.

## எடுத்துக்காட்டு

*2ம் 3ம் மாடுலோ 5க்கு ஏது மூலங்கள்; ஏனென்றால்,

:2^1 = 2 = 2(mod 5);
2^2 = 4 = 4(mod 5);
2^3 = 8 = 3(mod 5);
2^4 = 16 = 1(mod 5).
மற்றும்

:3^1 = 3 = 3(mod 5);
3^2 = 9 = 4(mod 5);
3^3 = 27 = 2(mod 5);
3^4 = 81 = 1(mod 5).

*\mathbf{Z}_7 ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். இதனின் பெருக்கல் குலம் {1,2,3,4,5,6 மாடுலோ 7}. இதனில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பு  a க்கும்  a^n இனுடைய மதிப்புகளை அட்டவணையாக எழுதுவோம்:

:

இதிலிருந்து நமக்குத்தெரிவது  3 ம் 5 ம் \mathbf{Z}_7^{*} க்கு பிறப்பிகள்.  அதனால் 3ம் 5ம் ஏது மூலம், மாடுலோ7. இதர எண்கள் 1,2,4,6 ஆகிய நான்கும் ஏது மூலங்களல்ல.

## சில குறிப்புகள்

* ஒவ்வொரு \mathbf{Z}_p^{*} க்கும் ஏது மூலங்கள் இருக்கும் என்பதை நிறுவுவது அவ்வளவு எளிதானதல்ல. அப்படி இருந்தாலும் அதைக் கண்டுபிடிக்க எந்தக் கணிப்புச்செயல்பாடும் இருப்பதாகத்தெரியவில்லை.
***[[கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ்|காஸ்]] இன் தேற்றம்**: p \neq 1 ஒரு பகா எண்ணாகவும், \alpha ஒரு இயல் எண்ணாகவும் கொண்டால்,  m = 1, 2, 4, p^\alpha, 2p^\alpha க்கு  கட்டாயம் ஏது மூலம் மாடுலோ m இருக்கும்.
* q ஒரு பகா எண்ணாக இருந்து, p = 4q + 1 ஆக இருந்தால், \mathbf{Z}_p^{*} க்கு 2 ஓர் ஏது மூலமாக இருக்கும்.
* p ஒரு பகாஎண்ணாக இருந்தால், எந்த \mathbf{Z}_p  இலும், அதனில் அடங்கிய  எந்த பகா எண்  a க்கும், 
:: a^{p-1} = 1(mod p).
:இதற்கு ஃபெர்மாவின் சிறிய தேற்றம் என்று பெயர்.  a ஓர் ஏது மூலமாகவும்  இருப்பதன் சிறப்புப்பண்பு என்னவென்றால், 
:: p - 1 ஐ விட சிறிய n க்கு a^n \neq 1(mod p).

* p \mathbf{Z}_p^{*}  க்கு 2 ஓர் ஏது மூலமாக இருக்கும்  p-மதிப்புகள் 
:: 5, 13, 29, 53 மட்டுமே.

* p \mathbf{Z}_p^{*}  க்கு 10 ஓர் ஏது மூலமாக இருக்கும் p-மதிப்புகள்:
:: 7, 17, 19, 23, 47, 59,61, 97 மட்டுமே. 
:: 10 ஓர் ஏதுமூலமாக இருக்கும் பிரச்சினை  மீள்வரு தசம பின்னங்களைப்பற்றிய ஆய்வுகளில் தேவைப்படுகிறது.
:: p < 100 என்ற கட்டுப்பாட்டை எடுத்துவிட்டால்,, இந்த p-மதிப்புகளின் தொடர் முடிவில்லாமல் இருக்குமா என்பது காஸ் இன்  ஒரு புகழ் பெற்ற யூகம்.

* 1920 களில், எமில் ஆர்டின் ஒரு சிறப்பான யூகத்தை கணித உலகின் முன் வைத்தார். அதாவது,
:: a ஒரு  வர்க்கமில்லாத முழு எண்ணாக இருந்தால், அது முடிவில்லாத எண்ணிக்கையுள்ள p-மதிப்புகளுக்கு ஏது மூலமாக இருக்கும்.
:: இந்த யூகம் மிகப்புகழ்பெற்றதன் காரணம், இதற்கும் ரீமான் கருதுகோளின் உண்மைக்கும் நெருங்கிய தொடர்பு உள்ளதுதான். 1967இல்  ஹூலி என்பவர் ரீமான் யூகத்தை நுண்புலப்படுத்திய இன்னொரு யூகம் உண்மையாயிருந்தால், ஆர்டினின் யூகமும் உண்மையாக ஆகிவிடும் என்று நிறுவினார்.

## இவற்றையும் பார்க்கவும்

*சமானம், மாடுலோ n

## மேற்கோள்கள்

பகுப்பு:எண் கோட்பாடு
பகுப்பு:கணிதத்தின் தீர்வு காணப்படாத யூகங்கள்