காலமுறைத் தொடர்வரிசை

கணிதத்தில், **காலமுறைத் தொடர்வரிசை** அல்லது **காலமுறைத் தொடர்முறை**  (*periodic sequence*) என்பது ஒரே உறுப்பானது  மீண்டும் மீண்டும் வருகின்ற ஒரு தொடர்வரிசை ஆகும். இத்தொடர் வரிசையானது சில சமயங்களில் "சுழல்" (*cycle*) அல்லது "வட்டணை" (*orbit*) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

காலமுறைத் தொடர்வரிசையின் வடிவம்:
:*a*1, *a*2, ..., *a**p*,&nbsp;&nbsp;*a*1, *a*2, ..., *a**p*,&nbsp;&nbsp;*a*1, *a*2, ..., *a**p*, ...

மீளும் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை *p* ஆனது தொடர்வரிசையின் "காலமுறை இடைவெளி" (*period*)  (அதிர்வெண்) எனப்படும்.

## வரையறை
*p* காலமுறை இடைவெளி கொண்ட ஒரு காலமுறைத் தொடர்வரிசை *a*1, *a*2, *a*3, ... ஆனது  *n* இன் எல்லா நேர்ம முழுவெண் மதிப்புகளுக்கும்,
:*a**n*+*p* = *a**n* என்ற முடிவை நிறைவுசெய்யும். 

இயல் எண் கணத்தை  ஆட்களமாகக் கொண்ட சார்பாகத்  தொடர்வரிசையைக் கருதினால், காலமுறைத் தொடர்வரிசையானது,  காலமுறைச் சார்பின் சிறப்பு வகையாகும். *p* இன் எந்தவொரு மிகச்சிறிய மதிப்பிற்குத் தொடர்வரிசையானது  *p*-காலமுறைத் தொடர்வரிசையாக அமைகிறதோ அம்மதிப்பு "மிகச்சிறிய காலமுறை இடைவெளி" அல்லது மிகச்சரியான "காலமுறை இடைவெளி" எனப்படும்.

## எடுத்துக்காட்டுகள்
*ஒவ்வொரு  மாறிலிச் சார்பின்  காலமுறை '1' ஆகும்.

 1,2,1,2,1,2\dots என்ற தொடர்வரிசையின் மிகச்சிறிய காலமுறை '2'.

1/7 இன் பதின்ம வடிவ விரிவு  '6' காலமுறையளவுள்ள தொடர்வரிசை:

:\frac{1}{7} = 0.142857\,142857\,142857\,\ldots

பொதுவாகவே, எந்தவொரு விகிதமுறு எண்ணின் பதின்ம பின்ன விரிவானது இறுதியில் சுழற்சியுள்ள தொடர்வரிசையாக இருக்கும்

-1 இன் அடுக்குகளின் தொடர்வரிசை '2' காலமுறையுள்ள தொடர்வரிசையாகும்:
:-1,1,-1,1,-1,1,\ldots

எந்தவொரு  ஒன்றின் படிமூலத்தின் அடுக்குகளாகவும் அமையும் தொடர்வரிசையானது காலமுறையானதாக இருக்கும். இதேபோல ஒரு குலத்தின் முடிவுறு வரிசைகொண்ட உறுப்புகளின் அடுக்குகளாக அமையும் தொடர்வரிசைகளும் காலமுறைத் தொடர்வரிசைகளாக இருக்கும்.

## முற்றொருமைகள்
### பகுதிக் கூட்டுத்தொகை
:\sum_{n=1}^{kp+m} a_{n} = k*\sum_{n=1}^{p} a_{n} + \sum_{n=1}^{m} a_{n},  k, m\prod_{n=1}^{kp+m} a_{n} = ({\prod_{n=1}^{p} a_{n}})^k * \prod_{n=1}^{m} a_{n}, k, m\sum_{k=1}^{1} \cos \left(-\pi\frac{n(k-1)}{1}\right)/1 = 1,1,1,1,1,1,1,1,1, \cdots

:\sum_{k=1}^{2} \cos \left(2\pi\frac{n(k-1)}{2}\right)/2 = 0,1,0,1,0,1,0,1,0, \cdots

:\sum_{k=1}^{3} \cos \left(2\pi\frac{n(k-1)}{3}\right)/3 = 0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1, \cdots

:\cdots

:\sum_{k=1}^{N} \cos \left(2\pi\frac{n(k-1)}{N}\right)/N = 0,0,0,\cdots,1, \cdots  
\quad \text{sequence with period } N 

ஏற்ற [ஒன்றின் படிமூலத்திற்கு, 
[டி மாவரின் வாய்ப்பாடு|டி மாவரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி மேலுள்ளவற்றை நிறுவலாம்.

## பொதுவாக்கங்கள்
ஒரு தொடர்வரிசையின் துவக்கத்திலுள்ள சில எண்களை நீக்குவதன்மூலம் அதனைக் காலமுறையினதாக மாற்றக்கூடியதாக இருந்தால், அத்தொடர்வரிசையானது "இறுதியாகக் காலமுறைத் தொடர்வரிசை" (eventually periodic sequence) எனப்படும். 

எடுத்துக்காட்டு:
: 1 / 56 = 0 . 0 1 7&nbsp;&nbsp;8 5 7 1 4 2&nbsp;&nbsp;8 5 7 1 4 2&nbsp;&nbsp;8 5 7 1 4 2&nbsp;&nbsp;...

ஒரு தொடர்வரிசையானது,
:a_{k+r} = a_k (*k* போதுமான அளவு பெரியதாக இருக்க வேண்டும்)

என்பதை நிறைவு செய்தால் "அறுதியானக் காலமுறைத் தொடர்வரிசை"  (ultimately periodic sequence) எனப்படும் 

ஒரு தொடர்வரிசையின் உறுப்புகள் மற்றொரு காலமுறைத் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளை அணுகுமானால் அத்தொடர்வரிசையானது, "அணுகல் காலமுறைத் தொடர்வரிசை" (*asymptotically periodic  sequence*) எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு:
*x*1,&nbsp;*x*2,&nbsp;*x*3,&nbsp;... என்பது அணுகும் காலமுறைத் தொடர்வரிசையாக இருக்கவேண்டுமானால, 

:\lim_{n\rightarrow\infty} x_n - a_n = 0. 

என்பதை நிறைவு செய்யும் வகையில் மற்றொரு காலமுறைத் தொடர்வரிசை *a*1,&nbsp;*a*2,&nbsp;*a*3,&nbsp;... இருக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு:
:1 / 3,&nbsp;&nbsp;2 / 3,&nbsp;&nbsp;1 / 4,&nbsp;&nbsp;3 / 4,&nbsp;&nbsp;1 / 5,&nbsp;&nbsp;4 / 5,&nbsp;&nbsp;...

இதன் உறுப்புகள், 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....என்ற காலமுறைத் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளை அணுகுவதால், இது ஒரு அணுகும் காலமுறைத் தொடர்வரிசையாகும்.

## மேற்கோள்கள்

பகுப்பு:தொடர்களும் தொடர்வரிசைகளும்