ஈருறுப்புப் பரவல்

| kurtosis = \frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}
 | entropy =  \frac12 \log_2 \big( 2\pi e\, np(1-p) \big) + O \left( \frac{1}{n} \right) 
 | mgf = (1-p + pe^t)^n \!
 | char = (1-p + pe^{it})^n \!
}}
  
நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு, புள்ளியியல் இரண்டிலும் *n*, *p* பண்பளவைகளைக் கொண்ட **ஈருறுப்பு பரவல்** (*binomial distribution*) ஒரு தனிநிலை நிகழ்தகவுப் பரவலாகும். *n* - ஆனது சார்பற்ற, "வெற்றி" அல்லது "தோல்வி" என்ற இரு விளைவுகளை மட்டுமே கொண்ட, சார்பற்ற, தொடர்ச்சியான பெர்னௌலி முயற்சிகளின் எண்ணிக்கையையும், *p* ஆனது ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் வெற்றியின் நிகழ்தகவையும் குறிக்கும் (தோல்வியின் நிகழ்தகவு (q=1-p)). *n*&nbsp;=&nbsp;1, எனில் ஈருறுப்புப் பரவல் பெர்னௌலியின் பரவல் எனப்படும். புள்ளியியல் பொருளுண்மையின் ஈருறுப்புச் சோதனைக்கு ஈருறுப்புப் பரவலே அடிப்படையானதாகும்
இந்தப் பரவல் கணிதவியலாளர் ஜேக்கப் பெர்னெளலியால் கண்டறியப்பட்டது. பெர்னௌலி *p* = *r*/(*r*&nbsp;+&nbsp;*s*) (*p* - வெற்றியின் நிகழ்தகவு; *r* , *s* இரண்டும் நேர்ம முழுஎண்கள்) எனவும் பிலைசு பாஸ்கல் *p*&nbsp;=&nbsp;1/2 எனவும் எடுத்துக்கொண்டனர்.

## எடுத்துக்காட்டுகள்
*ஒரு சீரான பகடையை பத்து முறை உருட்டிவிட்டு, "ஆறு" எத்தனை முறை விழுகிறது என்பதை எண்ணிக்கொள்க. சமவாய்ப்புள்ள இந்த எண்ணின் பரவல், *n* = 10 மற்றும்*p* = 1/6 உள்ள ஒரு ஈருறுப்பு பரவலாகும்.

* ஒரு நாணயத்தை மூன்று முறை சுண்டிவிட்டு எத்தனை முறை "தலை" விழுகிறது என எண்ணுதல். சமவாய்ப்புள்ள இந்த எண்ணின் பரவல், *n* = 3 மற்றும் *p* = 1/2 உள்ள ஒரு ஈருறுப்பு பரவலாகும்.

## வரையறைகள்
### நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு
சமவாய்ப்பு மாறி *K* இன் *n* மற்றும் *p* பண்பளவைகளைக் கொண்ட ஈருறுப்பு பரவலைப் பின்பற்றுகிறது என்பதைக் குறிக்கும் குறியீடு:
:*K* ~ B(*n* , *p*)

ஈருறுப்புப் பரவலில், *n* சார்பற்ற முயற்சிகளில் சரியாக *k* வெற்றிகள் கிடைக்கும் நிகழ்தகவு பின்வரும் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பால் (நிகழ்தகவுப் பொருண்மச் சார்பு) தரப்படுகிறது:
: \Pr(K = k) = f(k;n,p) 
:: \Pr(K = k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}, *k* = 0, 1, 2, ..., *n* 

இதிலுள்ள
:{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} என்பது ஈருறுப்புக் குணகமாதலால் இப்பரவல் ஈருறுப்புப் பரவலெனப்படுகிறது.

ஈருறுப்பு பரவல் நிகழ்தகவின் குறிப்பு அட்டவணைகளை தயாரிக்கும்போது, பொதுவாக அட்டவணை *n* /2 மதிப்புகள் வரை நிரப்பப்படுகிறது. ஏனெனில் *k* > *n* /2 ஆக இருக்கும்போது, நிகழ்தகவுகள் முன்னவற்றின் நிரப்பிகளாக இருக்கும்.
:f(k;n,p)=f(n-k;n,1-p).\,\!

### எடுத்துக்காட்டு
சுண்டப்பட்ட நாணயம் சமச்சீரானதாக இல்லமால், தலை விழுவதற்கான (வெற்றி) நிகழ்தகவு 0.3 எனில், 6 நாணயச் சுண்டல்களில் சரியாக 4 தலைகள் விழுவதற்கான நிகழ்தகவு:
:f(4,6,0.3) = \binom{6}{4}0.3^4 (1-0.3)^{6-4}= 0.059535.

### குவிப் பரவல் சார்பு
குவிப் பரவல் சார்பு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
:F(x;n,p) = \Pr(X \le x) = \sum_{i=0}^{\lfloor x \rfloor} {n\choose i}p^i(1-p)^{n-i}.
:\lfloor x\rfloor என்பது *x* க்கு சமமான அல்லது குறைவான மிகப் பெரிய முழு எண்.

## பண்புகள்
### சராசரியும் பரவற்படியும்
:*X* ~ *B*(*n*, *p*); அதாவது சமவாய்ப்பு மாறி *X* ஆனது, *n* முயற்சிகளையும் ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் வெற்றியின் நிகழ்தகவு  *p* ஆகவும் கொண்ட ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றுகிறது எனில்,
; பரவலின் சாராசரியின் மதிப்பு (எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு):
:\bar{X}= \operatorname{E}[X] = np.

ஒவ்வொரு சமவாய்ப்பு மாறியும்  ஐ எதிர்பார்ப்பு மதிப்பாகக் கொண்ட,  முற்றொத்த பெர்னௌலியின் சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையாக சமவாய்ப்பு மாறி  இருக்கும். அதாவது, X_1, \ldots, X_n என்பவை முற்றொத்த, சாராத பெர்னௌலி சமவாய்ப்பு மாறிகள்; அவை ஒவ்வொன்றின் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பும்  எனில்:
:X = X_1 + \cdots + X_n
:\operatorname{E}[X] = \operatorname{E}[X_1 + \cdots + X_n] = \operatorname{E}[X_1] + \cdots + \operatorname{E}[X_n] = p + \cdots + p = np.

;பரவற்படி:
: \operatorname{Var}(X) = npq = np(1 - p).

### விலக்கப் பெருக்குத் தொகை
சமவாய்ப்பு மாறியின் விலக்கப் பெருக்குத்தொகைகள் இருவகைப்படும்.
*ஆதியைப் பொறுத்த விலக்கப் பெருக்குத் தொகைகள்
*சராசரியைப் பொறுத்த விலக்கப் பெருக்குத் தொகை அல்லது மைய விலக்கப் பெருக்குத்தொகைகள்

ஆதியைப் பொறுத்த முதல் இரு விலக்கப் பெருக்குத்தொகைகள்:
:\begin{align}
\operatorname {E}[X] &= np, \\ 
\operatorname {E}[X^2] &= np(1-p)+n^2p^2,
\end{align}

பொதுவான வரையறை:
:
\operatorname {E}[X^c] = \sum_{k=0}^c \left\{ {c \atop k} \right\} n^{\underline{k}} p^k,


இதில், \textstyle \left\ = n(n-1)\cdots(n-k+1) என்பது n இன்k ஆவது வீழும் தொடர்பெருக்கம்.

மைய விலக்கப் பெருக்குத் தொகைகள்:
;வரையறை:
: \mu _{c}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{c}\right] 
:முதல் 6 மைய விலக்கப் பெருக்குத் தொகைகள்: 
:\begin{align}
\mu_1 &= 0, \\ 
\mu_2 &= np(1-p),\\
\mu_3 &= np(1-p)(1-2p),\\
\mu_4 &= np(1-p)(1+(3n-6)p(1-p)),\\
\mu_5 &= np(1-p)(1-2p)(1+(10n-12)p(1-p)),\\
\mu_6 &= np(1-p)(1-30p(1-p)(1-4p(1-p))+5np(1-p)(5-26p(1-p))+15n^2 p^2 (1-p)^2).
\end{align}

### முகடு
*B*(*n*, *p*) என்ற ஈருறுப்புப் பரவலின் முகடு \lfloor (n+1)p\rfloor ஆகும். இதில் \lfloor\cdot\rfloor ஆனது மீப்பெரு முழுஎண் சார்பு.

*(*n*&nbsp;+&nbsp;1)*p* ஒரு முழுஎண்ணாகவும், *p* இன் மதிப்பு, 0 அல்லது 1 ஆகவும் இல்லாமல் இருந்தால் ஈருறுப்புப் பரவலுக்கு (*n*&nbsp;+&nbsp;1)*p*, (*n*&nbsp;+&nbsp;1)*p*&nbsp;−&nbsp;1 என்ற இரு முகடுகள் இருக்கும்.
**p* இன் மதிப்பு 0 அல்லது 1 ஆக இருந்தால் முகடு முறையே 0 அல்லது *n* ஆக இருக்கும். 

இவற்றைப் பின்னுள்ளவாறு ஒன்றுபடுத்தி எழுதலாம்:
: \text{mode} =
      \begin{cases}
        \lfloor (n+1)\,p\rfloor & \text{if }(n+1)p\text{ is 0 or a noninteger}, \\
        (n+1)\,p\ \text{ and }\ (n+1)\,p - 1 &\text{if }(n+1)p\in\{1,\dots,n\}, \\
        n & \text{if }(n+1)p = n + 1.
      \end{cases}

;நிறுவல்:
:f(k)=\binom nk p^k q^{n-k}. எனக் கொள்க.

வகை 1
:p=0 அல்லது p=1:
*p=0 ஆக இருக்கும்போது மட்டுமே f(0) க்கு சுழியமற்ற மதிப்பாக f(0)=1 ஆக இருக்கும்.
*p=1 எனில் f(n)=1 மற்றும் f(k)=0 (k\neq n) எனக் கண்டுபிடிக்கலாம். 

மேற்கண்ட இரு முடிவுகளிலுமிருந்து
:p=0 எனில் முகடு = 0; p=1 எனில் முகடு = 1 எனப் பெறப்படுகிறது.

வகை 2
:0 
0  எனில்:
:\frac{f(k+1)}{f(k)} = \frac{(n-k)p}{(k+1)(1-p)}. இதிலிருந்து பின்வரும் முடிவுகளைப் பெறலாம்:
:\begin{align}
k > (n+1)p-1 \Rightarrow f(k+1)  f(k)
\end{align}

எனவே (n+1)p-1 ஒரு முழுஎண்ணாக இருந்தால், (n+1)p-1, (n+1)p இரண்டும் முகடுகள். (n+1)p-1\notin \Z (முழுஎண் இல்லையெனில்) \lfloor (n+1)p-1\rfloor+1=\lfloor (n+1)p\rfloor மட்டுமே முகடு.

### இடைநிலையளவு
பொதுவாக ஈருறுப்புப் பரவலின் இடைநிலையளவைக் காண்பதற்கான தனித்த வாய்பாடு எதுமில்லை. எனினும் இடைநிலையளவு குறித்து பல முடிவுகள் எட்டப்பட்டுள்ளன.
* *np* ஒரு முழு எண் எனில் சராசரி, இடைநிலையளவு, முகடு ஆகிய மூன்றும் *np* க்குச் சமமாக இருக்கும்.
* இடைநிலையளவு *m* எனில், ⌊*np*⌋&nbsp;≤&nbsp;*m*&nbsp;≤&nbsp;⌈*np*⌉.
* இடைநிலையளவு *m*, சராசரியிலிருந்து அதிகத் தொலைவில் இருக்க முடியாது:
: }.
* |*m*&nbsp;−&nbsp;*np*|&nbsp;≤&nbsp;min{*p*,&nbsp;1&nbsp;−&nbsp;*p*} (*p*&nbsp;=&nbsp; மற்றும் *n* ஒற்றையெண் என்ற நிலை தவிர) எனில், இடைநிலையளவு தனித்த மதிப்புடையது;  *m*&nbsp;=&nbsp;முழுமை(*np*)
* *p* ஒரு விகிதமுறு எண் (*p*&nbsp;=&nbsp;1/2 மற்றும் *n* ஒற்றையெண் என்ற நிலை தவிர) எனில் இடைநிலையளவு தனித்த மதிப்புடையது.
* *p*&nbsp;=&nbsp;1/2 மற்றும் *n* ஒற்றையெண் எனில், (*n*&nbsp;−&nbsp;1)&nbsp;≤&nbsp;*m*&nbsp;≤&nbsp;(*n*&nbsp;+&nbsp;1) என்ற இடைவெளியிலமைந்த எந்தவொரு எண் *m* உம் இடைநிலையளவாக இருக்கும்.
**p*&nbsp;=&nbsp;1/2 மற்றும் *n* இரட்டையெண் எனில், *m*&nbsp;=&nbsp;*n*/2 என்பது முகட்டின் தனித்த மதிப்பாகும்.

## தொடர்புள்ள பிற பரவல்கள்

### ஈருறுப்புப் பரவல்களின் கூட்டுத்தொகை
*X*&nbsp;~&nbsp;B(*n*,&nbsp;*p*), *Y*&nbsp;~&nbsp;B(*m*,&nbsp;*p*) இரண்டும் சார்பற்ற ஆனால் சம நிகழ்தகவு *p* உடைய இரு ஈருறுப்புப் பரவல்கள் எனில், *X*&nbsp;+&nbsp;*Y* என்ற சமவாய்ப்பு மாறியும் அதே நிகழ்தகவுடன் ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றும்: *Z=X+Y*&nbsp;~&nbsp;B(*n+m*,&nbsp;*p*):

:\begin{align}
  \operatorname P(Z=k) &= \sum_{i=0}^k\left[\binom{n}i p^i (1-p)^{n-i}\right]\left[\binom{m}{k-i} p^{k-i} (1-p)^{m-k+i}\right]\\
                       &= \binom{n+m}k p^k (1-p)^{n+m-k}
\end{align}

ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றும் *X*&nbsp;~&nbsp;B(*n*,&nbsp;*p*) என்ற சமவாய்ப்பு மாறியை, *n* பெர்னௌலி சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூடுதலாகக் கொள்ளமுடியும். *X*&nbsp;~&nbsp;B(*n*,&nbsp;*p*), *Y*&nbsp;~&nbsp;B(*m*,&nbsp;*p*) என்ற சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூடுதல் *n*&nbsp;+&nbsp;*m* பெர்னௌலி சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூடுதலுக்குச் சமமாகும். அதாவது *Z=X+Y*&nbsp;~&nbsp;B(*n+m*,&nbsp;*p*). 

*X* , *Y* இரண்டும் ஒரே நிகழ்தகவைக் (*p*) கொண்டிருக்காவிட்டால், அவற்றின் கூட்டுத்தொகைப் பரவலின் பரவற்படியானது, B(n+m, \bar{p}).\, இன் பரவற்படியைவிடச் சிறியதாக இருக்கும்.

### பெர்னௌலி பரவல்
பெர்னௌலி பரவல் என்பது *n* = 1 என உள்ள ஈருறுப்பு பரவலின் சிறப்புத் தன்மை ஆகும். குறியீடாக, *X* ~ B(1, *p*) என எழுதப்படுகிறது

### பாய்ஸான் பரவல்
ஈருறுப்பு பரவலின் எல்லையாகப் பாய்சான் பரவல் பெறப்படுகிறது. *np* பெருக்குத்தொகை நிலையாக இருந்து நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை *n* முடிவிலியை நோக்கியும் ஒவ்வொரு முயற்சியின் வெற்றியின் நிகழ்தகவு *p* இன் மதிப்பு பூச்சியத்தை நோக்கியும் செல்லும்போது ஈருறுப்புப் பரவலின் எல்லையாகப் பாய்சான் பரவல் அமைகிறது.

## மேற்குறிப்புகள்

## புற இணைப்புகள்
* கௌண்ட்ஸ் கண்ட்ரோல் சார்ட்ஸ்', e-ஹேண்ட்புக் ஆஃப் ஸ்டேடிஸ்டிகல் மெதட்ஸ்,  [accessed 25 October 2006]
* பைனோமியல் ப்ராபபிலிடீஸ் ஸிம்ப்பிள் எக்ஸ்ப்ளனேஷன் 
* SOCR பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன் அப்லெட்
* CAUSEweb.org பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன் உட்பட புள்ளியியல் கற்பிக்க பல கருத்துக்கள்
* க்ரிஸ் பௌசர் எழுதிய "பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன்" வொல்ஃராம் டெமான்ஸ்ட்ரேஷன்ஸ் ப்ராஜெக்ட், 2007.
* கட்-தெ-நாட்லிருந்து பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன் ப்ராபர்டீஸ் அண்ட் ஜாவா ஸிமுலேஷன்
* ஸ்டேடிஸ்டிக்ஸ் டுடோரியல்: பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன் 

பகுப்பு:நேரியல் இயற்கணிதம்
பகுப்பு:புள்ளியியல்