பெருக்குத் தொடர்

கணிதத்தில், **பெருக்குத் தொடர்**  (*geometric series*) என்பது அடுத்தடுத்த உறுப்புகளுக்கு இடையேயான விகிதம் மாறாத எண்ணாகவுள்ள முடிவிலாப் பெருக்குத் தொடர்முறையின் உறுப்புகளின் கூட்டலாகும். 

:எடுத்துக்காட்டு:கீழுள்ள தொடர்

:\frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \cdots என்பது ஒரு பெருக்குத் தொடராகும்.

இதன் ஒவ்வொரு தொடரும் உறுப்பும் அதன் முந்தைய உறுப்பை  1/2 ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கும் எண்ணாகவுள்ளது.. ஒரு பெருக்குத்தொடரின் பொதுவடிவம்:
:a + ar + ar^2 + ar^3 + ...; aமுதல் உறுப்பு; இரு அடுத்தடுத்த உறுப்புகளுக்கிடையிலான பொதுவிகிதம்  r.

கணிதத்தில் முழுமையாக இடம்பெற்றுள்ள பெருக்குத் தொடரானது, நுண்கணிதத்தின் வளர்ச்சியிலும் முக்கிய பங்கபெற்றுள்ளது. மேலும்  டெய்லர் தொடர், வூரியே தொடர், அணி அடுக்குக்குறிச் சார்பு ஆகியவற்றின் அறிமுகங்களிலும் பயன்பாடுடையது.

## கூறுகள்

### கெழு-''a''
பெருக்குத் தொடர், *a* + *ar* + *ar*2 + *ar*3 + ... என விரிவான வடிவில் எழுதப்பட்டுள்ளது. பெருக்குத் தொடரின் ஒவ்வொரு உறுப்பின் கெழுவும் சமமாகவுள்ளது. அடுக்குத் தொடர் *a*0 + *a*1*r* + *a*2*r*2 + *a*3*r*3 + ... இன் ஒவ்வொரு உறுப்பின் கெழுவும் (*a*i) வெவ்வேறாக உள்ளது. எனவே பெருக்குத் தொடரானது, அடுக்குத் தொடரின் ஒரு சிறப்புவகையாகும். விரித்தெழுதப்பட்டப் பெருக்குத் தொடரின் முதல் உறுப்பு, அத்தொடரின் கெழு *a* ஆகும்.

*விரித்தெழுதும் முறையைத் தவிர பெருக்குத்தொடருக்கு பிறப்பாக்கி வடிவமும் உள்ளது:
:\sum^{\infty}_{k=0} a r^k

*பெருக்குத் தொடரின் மேலுமொரு வடிவம் மூடிய-வடிவம்:
:\frac{a}{1-r} \text{ for } |r|

பெருக்குத் தொடரின் மூடிய வடிவிலிருந்து நெடுமுறை வகுத்தல் முறையில் *a* ஐ  (1 - *r*) ஆல் வகுத்து, *a* + *ar* + *ar*2 + *ar*3 + ... , என்ற அதன் விரிவான வடிவைப் பெறமுடியும்

கணக்கீடுகளின்போது, பெருக்குத் தொடரின் கூட்டுத்தொகை *s* என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது:
:*s* = *a* + *ar* + *ar*2 + *ar*3 + *ar*4 + ... 

### பொதுவிகிதம் ''r''

பெருக்குத் தொடர் *a* + *ar* + *ar*2 + *ar*3 + ...  ஆனது இரண்டே இரண்டு அளவுகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது: ஒன்று அதன் கெழு *a*; மற்றது அதன் பொது விகிதம் *r*. 

ஒரு பெருக்குத்தொடரின் ஏதாவதொரு உறுப்பை அதற்கு முந்தைய உறுப்பால் வகுக்கக் கிடைப்பதே அப்பெருக்குத் தொடரின் பொது விகிதமென அழைக்கப்படுகிறது. பெருக்குத் தொடரின் எந்தவொரு உறுப்பையும் பொது விகிதத்தால் பெருக்க அதற்கடுத்த உறுப்பு கிறைக்கும். கீழுள்ள அட்டவணையில் சில பெருக்குத் தொடர்கள் தரப்பட்டுள்ளன:

### ஒருங்குதல்
ஒரு பெருக்குத் தொடரின் ஒருங்குதல் அதன் பொதுவிகிதமான *r* இன் மதிப்பைப் பொறுத்தது:

* If |*r*|  1 எனில், உறுப்புகளின் மதிப்பு அளவில் அதிகரித்துக்கொண்டே போகும்; கூட்டுத்தொகையின் மதிப்பும் அதிகரித்துக்கொண்டே போகும். எனவே, பெருக்குத் தொடரானது ஒருங்குவதில்லை.

### மூடிய-வடிவத்தை வடிவவியல்முறையில் தருவித்தல்

மேலுள்ள படம்:
**s*/*a* இன் முதல் n+1 உறுப்புகளை ஒன்றுடனொன்று மேற்படிந்த வடிவொத்த முக்கோணங்களாக வரைந்து கொள்ளவேண்டும்.
எடுத்துக்காட்டாக, மேற்படிந்துள்ள முதலாவது மிகப்பெரிய (சிவப்பு) முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: *bh*/2 = (2)(1)/2 = 1, இதுவே பெருக்குத் தொடரின் முதல் உறுப்பு.
*இரண்டாவது மேற்படிந்துள்ள இரண்டாவது பெரிய (பச்சை) முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: *bh*/2 = (2*r*1/2)(*r*1/2)/2 = *r*, இது பெருக்குத் தொடரின் இரண்டாவது உறுப்பாகும். தொடரும் ஒவ்வொரு சிறிய முக்கோணத்தின் அளவுகள் *r*1/2 காரணியால் பெருக்கப்படுகிறது. இதனால் முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் தொடர்முறையானது, 1, *r*, *r*2, *r*3, ... என்ற தொடர்முறையாகக் கிடைக்கிறது.

நடுவிலுள்ள படம்:

பெரியதிலிருந்து சிறியது என்ற வரிசைப்படி ஒவ்வொரு முக்கோணத்தின் மேற்படிந்த பரப்பளவை நீக்க வேண்டும். இந்தப் பரப்பளவுகள் அந்தந்த முக்கோணங்களின் பரப்பளவின்  *r* அளவு பின்ன விகிதத்தில் அமைந்திருக்கும். முக்கோணங்களின் மேற்படியாத 1−*r* பரப்பளவுகளை 1/(1−*r*) விகிதமாக்க, முன்னதாக மேற்படிந்த முக்கோணத்தின் பரப்பளவாகவும், இப்போது மேற்படியாத சரிவகத்தின் பரப்பளவாகும் உள்ள பரப்பளவானது மாறாதிருக்கும்.

கீழுள்ள படம்:

இவ்வாறு பெறப்பட்ட n+1 மேற்படியாத சரிவகங்களை மேற்படியாத ஒரே சரிவகமாக மாற்றி அதன் பரப்பளவைக் காண, அது பகுதித் தொடரின் மதிப்பைத் தரும். மேலும் அதன் மதிப்பு வெளிப்புறமாக உள்ள மிகப்பெரிய முக்கோணத்தின் பரப்பளவு மற்றும் முனையிலுள்ள வெற்று முக்கோணத்திற்குமான வேறுபாடாக இருக்கும்:

: *s*n/*a* = (1−*r*n+1) / (1−*r*), இதன் மதிப்பானது, n இன் மதிப்பு முடிவிலியை நெருங்க, *r* 
\begin{align}
s_n &= ar^0 + ar^1 + \cdots + ar^{n-1}\\
&= \sum_{k=0}^{n-1} ar^k = \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1}\\
&= 
\begin{cases}
a\left(\frac{1-r^{n}}{1-r}\right) & r \neq 1\\
an                                & \text{otherwise}
\end{cases}
\end{align}


இங்கு  என்பது பெருக்குத் தொடரின் விகிதமாகும்.

;நிறுவல் 1

பகுதிக் கூட்டுத்தொகையை (*s*n) வருவித்தல்:
பல தன் ஒப்புமை உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் இவ்வாய்பாடு பெறப்படுகிறது.


\begin{align}  
  s_n &= ar^0 + ar^1 + \cdots + ar^{n-1},\\
 rs_n &= ar^1 + ar^2 + \cdots + ar^{n},\\
  s_n - rs_n &= ar^0 - ar^{n},\\
  s_n\left(1-r\right) &= a\left(1-r^{n}\right),\\
  s_n &= a\left(\frac{1-r^{n}}{1-r}\right), \text{ for } r \neq 1.
\end{align}


;நிறுவல் 2

\sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = ar^0 + ar^1 + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n-1}. 

இருபுறமும் 1 − *r* ஆல் பெருக்க:

\begin{align}
(1-r) \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} & = (1-r)\left(ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}\right) \\
 & = ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1} - ar^1-ar^2-ar^3-\cdots-ar^{n-1} - ar^n \\
 & = a - ar^n
\end{align} 

முதல் மற்றும் கடைசி உறுப்புகள் தவிர ஏனையவை ஒன்றுக்கொன்று குறியில் மட்டும் எதிராக இருப்பதால் நீங்கிவிடுகின்றன)

 *r* ≠ 1 எனில், 
:\sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = \frac{a(1-r^n)}{1-r}.

; தொடர்புள்ள வாய்பாடுகள்:

தொடர் k=1 அல்லது 0 விலிருந்து தொடங்காமல்  என்ற வேறொரு மதிப்பிலிருந்து தொடங்கினால்,

\begin{align}
\sum_{k=m}^n ar^{k-1} &= 
\begin{cases}
\frac{a(r^{m-1}-r^n)}{1-r} & \text{if }r \neq 1 \\
a(n-m+1) & \text{if }r = 1
\end{cases}\\
\sum_{k=m}^n ar^k &= 
\begin{cases}
a(n-m+1) & \text{if }r = 1 \\
\frac{a(r^m-r^{n+1})}{1-r} & \text{if }r \neq 1
\end{cases}\end{align}

#### முடிவுறாத் தொடர்
 முடிவியை அணுகும்போது இத்தொடர் ஒருங்குவதற்கு  இன் தனி மதிப்பு  '1' ஐவிடக் குறைவானதாக இருக்கவேண்டும். 

முடிவுறு தொடரின் கூட்டுத்தொகையிலிருந்து முடிவிலாத் தொடரின் கூட்டுத்தொகையைப் பெறலாம்:

\sum_{k=0}^\infty ar^k = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=0}^{n} ar^k} = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}= \frac{a}{1-r} - \lim_{n\to\infty}{\frac{ar^{n+1}}{1-r}} 

: r^{n+1} \to 0 \mbox{ as } n \to \infty \mbox{ when } |r|  என்பதால்,
:\sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r} - 0 = \frac{a}{1-r}

r இன் இரட்டை அடுக்குகளை மட்டுங்கொண்ட தொடர் எனில்,
\sum_{k=0}^\infty ar^{2k} = \frac{a}{1-r^2}

r இன் இரட்டை அடுக்குகளை மட்டுங்கொண்ட தொடர் எனில்,
:\sum_{k=0}^\infty ar^{2k+1} = \frac{ar}{1-r^2}

*k* = 0 மதிப்பிலிருந்து தொடங்கவில்லை எனில்,
:\sum_{k=m}^\infty ar^k=\frac{ar^m}{1-r}

*r*\frac{d}{dr} \sum_{k=0}^\infty r^k = \sum_{k=1}^\infty kr^{k-1} = \frac{1}{(1-r)^2}

முற்றிலும் ஒருங்கும் முடிவிலாப் பெருக்குத் தொடர்களுக்கு என்ற பெருக்குத் தொடர் ஒரு எடுத்துக்காட்டாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

*1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

இத்தொடரின் முதல் உறுப்பு 1/2; பொதுவிகிதம் 1/2. எனவே வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் கூடுதல் காண:
:\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(+1/2)} = 1.

* 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ .

இத்தொடரின் முதல் உறுப்பு 1/2; பொதுவிகிதம் -1/2. எனவே வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் கூடுதல் காண:
:\frac12-\frac14+\frac18-\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(-1/2)} = \frac13.

## குறிப்புகள்

## வெளியிணைப்புகள்
* 
* 
* 
* 
* 
* "Geometric Series" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.

பகுப்பு:விகிதங்கள்
பகுப்பு:பெருக்குத் தொடர்கள்