இயற்கணித எண்களும் விஞ்சிய எண்களும்

ஒர் உள்ளக எண் (real number) r, முழு எண்களைக் கெழுக்களாகக் கொண்ட பல்லுறுப்புச் சமன்பாட்டை (polynomial equation with integral coefficients) சரி செய்யுமானால் அது ஓர் **இயற்கணித எண்** (*Algebraic number*) எனப்படும். இயற்கணித எண் அல்லாத உள்ளக எண்களுக்கு **விஞ்சிய எண்கள்**(*Transcendental number*) என்று பெயர். 19 வது நூற்றாண்டில் **இயற்கணித எண்களும் விஞ்சிய எண்களும்** கணித இயலர்களின் ஆய்வுக்கு இலக்காகியதும் இவைகளைப் பற்றிய உண்மைகள் சிறிது சிறிதாக வெளிப்படத் தொடங்கின.0

## எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டாக, *a/b* என்ற ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண்ணும் இயற்கணித எண்தான்; ஏனென்றால் அவை

bx - a = 0 

என்ற சமன்பாட்டைச் சரி செய்கின்றன.

ஆகவே, ஓர் எண் இயற்கணித எண்ணாக இல்லாவிட்டால் அது விகிதமுறா எண்ணாகத்தான் இருக்க வேண்டும்.

ஆனால் இதன் மாற்றுத் தீர்மானம் உண்மையல்ல. விகிதமுறா எண்ணெல்லாம் இயற்கணித எண்ணல்ல என்று சொல்லிவிட முடியாது. உதாரணத்திற்கு \surd{2} ஐ எடுத்துக்கொள்ளலாம். இது

  x^2 - 2 = 0  

என்ற சமன்பாட்டைச் சரிசெய்கிறது. இதனால் \surd{2} ஓர் இயற்கணித எண்ணாகும். சொல்லப்போனால் இயற்கணிதத்தில் பொதுமட்டத்தில் நாம் சந்திக்கும் எண்கள் அநேகமாக இயற்கணித எண்களாகத்தான் இருக்கும். உ-ம்:

-1 ஒரு இயற்கணித எண்; எனென்றால் அது * x + 1 = 0* ஐ சரிசெய்கிறது.

355/113 ஒரு இயற்கணித எண்; ஏனென்றால் அது 113 *x* - 355 = 0 ஐ சரிசெய்கிறது.

\sqrt[3]{1 - \sqrt{2}} ஒரு இயற்கணித எண்; ஏனென்றால் அது  x^6 - 2x^3 - 1 = 0 ஐ சரிசெய்கிறது.

ஆக, விகிதமுறா எண்களில் இயற்கணித விகிதமுறா எண்களும் இருக்கலாம், இயற்கணிதமற்ற விகிதமுறா எண்களும் இருக்கலாம்.

கற்பனை எண் என்று சொல்லப்படும் அமைகண எண் *i* உம் ஒரு இயற்கணித எண்தான்; ஏனென்றால் அது *x^2* + 1 = 0 ஐ சரிசெய்கிறது
*a* உம் *b* உம் இயற்கணித எண்ணானால் *a + ib* உம் இயற்கணித எண்தான்.

## வரலாறு

ஆனால் 19ம் நூற்றாண்டு வரையில் இயற்கணிதமற்ற விகிதமுறா எண்கள் ஒன்று கூட கண்டுபிடிக்கப் படவில்லை. அப்படி ஒரு பகுப்பு இருக்குமா என்பதே தெரியவில்லை. 1844 இல் தான் ஜோசப் லியோவில் (1809-1882) இயற்கணிதமற்ற எண்கள், அதாவது, விஞ்சிய எண்கள், இருக்கமுடியும் என்பதை நிறுவினார். அவருடைய நிறுவல் வெகு நிரடலானது. ஆனால் அந்நிறுவல் பல விஞ்சிய எண்களைக் காட்ட வல்லதாயிருந்தது.

## லியோவில் எண்

கீழே காட்டப்பட்ட எண்ணுக்கு **லியோவில் எண்** என்று பெயர்:

\frac{1}{10^{1!}} + \frac{1}{10^{2!}} +\frac{1}{10^{3!}} +\frac{1}{10^{4!}}....

இதனுடைய தசம விரிவாக்கம்

0.1100010000000000000000010000......

இதனில் 1, 2, 6, 24, 120, ... வது இலக்கங்கள் 1 ஆகவும் மற்ற இலக்கங்கள் 0 வாகவும் இருக்கும். இந்த எண் ஒரு விஞ்சிய எண் என்று லியோவில் காட்டினார்.

விஞ்சிய எண்ணுக்கு இன்னொரு உதாரணம்:

0.123456789101112131415161718192021......

இங்குள்ள இலக்கங்களை எளிதில் எழுதிவிடலாம். ஏனென்றால் அவைகள் வெறும் இயல்பெண்கள் தான்; அவைகளின் வரிசையிலேயே ஒன்றன்பின் ஒன்றாகக் கொடுக்கப் பட்டிருக்கின்றன.

## முக்கியமான விஞ்சிய எண்கள்

ஆனால் இந்த விஞ்சிய எண்களெல்லாம் விஞ்சிய எண்கள் என்ற நிறுவலுக்காகவே முயற்சியெடுத்து உண்டாக்கப்பட்டவை. வழக்கிலிருக்கும் எண்கள் ஏதாவது விஞ்சிய எண்கள் என்ற பகுப்பில் இருக்கின்றனவா என்பது நியாயமான கேள்வி. முக்கியமாக \pi , e இரண்டினுடைய நிலை என்ன? 1737 இல் ஆய்லர் e, e^2 இரண்டும் விகிதமுறா எண்கள் என்று நிறுவினார். 1768 இல் லாம்பர்ட்  \pi  இன் விகிதமுறாப்பண்பை நிறுவினார். ஆனால்  \pi,  e  இரண்டையுமே விஞ்சிய எண்களாகக்கூட இருக்கும் என்று தான் கணித உலகத்தின் எதிர்பார்ப்பு இருந்தது.

லியோவில் செய்த ஆய்வுகளில் எண் *e* முழு எண்களைக் கெழுக்களாகக்கொண்ட இருபடிச் சமன்பாடு எதையும் சரிசெய்யாது என்ற தீர்வை இருந்தது. ஆனால் *e* ஒரு விஞ்சிய எண் என்று காட்டுவதற்கு இது போதவே போதாது. அதற்கு, முழு எண்களைக் கெழுக்களாகக்கொண்ட எந்த பல்லுருப்புச்சமன்பாட்டையும் அது சரி செய்யாது என்று காட்டவேண்டும். **இந்த சாதனையைப் புரிந்தவர்** சார்ல்ஸ் ஹெர்மைட் (1822 - 1901). அவருடைய இந்த நிறுவல் 1873 இல் ஒரு 30-பக்க நூலாகப் பிரசுரமாகியது.

## 'பை'யும் ஒரு விஞ்சிய எண்

லிண்டெமன் என்பவர் 1882 இல் \piஉம் ஒரு விஞ்சிய எண் என்று நிறுவல் கொடுத்தார். அவருடைய தேற்றம்:

A_1,  A_2,  ... A_n,  a_1,  a_2, ...  a_n எல்லாம் இயற்கணித எண்களாகவும், a_iகள் வெவ்வேறு உள்ளக எண்களாகவோ பலக்க எண்களாகவோ இருக்குமானால்,

A_1 e^{a_1} + A_2 e^{a_2} + ... + A_n e^{a_n}

ஒருபோதும் சூன்யமாகாது.

ஆனால் ஆய்லர் சமன்பாடு e^{\pi i} + 1 = 0 என்று சொல்கிறது. இதையே e^{\pi i} + e^0 = 0 என்றும் எழுதலாம். இப்பொழுது லிண்டெமன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தினால், \pi i இயற்கணித எண்ணாக இருக்கமுடியாது என்று புலப்படும். ஆனால் *i* ஒரு இயற்கணித எண். **அதனால் <math> \pi </math> ஒரு விஞ்சிய எண் தான்**.

## இவற்றையும் பார்க்கவும்

e (கணித மாறிலி)

## துணை நூல்கள்

* Richard Courant, Herbert Robbins, and Ian Stewart , What is Mathematics? Oxford University Press, New York, 1996 ISBN 978-0195105193
* Krishnamurthy, V. Culture, Excitement and Relevance of Mathematics.Wiley Eastern Limited. New Delhi. 1990 

## மேற்கோள்கள்

பகுப்பு:பகுவியல்