விகிதமுறு மூலத் தேற்றம்

இயற்கணிதத்தில் **விகிதமுறு மூலத் தேற்றம்** அல்லது ** தேற்றம்** (*rational root theorem* , *rational zero theorem*, * theorem*) 
:a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 = 0, (a_i\in\mathbb{Z} , a_0,a_n \neq 0) இயற்கணிதச் சமன்பாட்டின் விகிதமுறு தீர்வுகளுக்கான கட்டுப்பாடுகளை **விகிதமுறு மூலத் தேற்றம்** அல்லது ** தேற்றம்** (*rational root theorem* , *rational zero theorem*, * theorem* 
:a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 = 0 (a_i\in\mathbb{Z} , a_0,a_n \neq 0 பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் விகிதமுறு தீர்வுகளுக்கான கட்டுப்பாடுகளைத் தருகிறது. சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் வலப்பக்கப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்களென அழைக்கப்படுகின்றன.

தேற்றத்தின் கூற்று:
மேலுள்ள சமன்பாட்டின் விகிதமுறு தீர்வுகள்  ஒவ்வொன்றும் எளியவடிவிற்குச் சுருக்கப்பட்டிருந்தால், (அதாவது  ,  இரண்டும் சார்பகா முழுஎண்கள்) கீழ்வரும் முடிவுகள் நிறைவு செய்யப்படும்:

* மாறிலி உறுப்பு  இன் முழுவெண் வகுத்தியாக  இருக்கும்.
* முதன்மைக் கெழு  இன் முழுவெண் வகுத்தியாக  இருக்கும்.

## பயன்பாடு
ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு விகிதமுறு மூலங்கள் இருந்தால் அவற்றைக் காண்பதற்கு இத்தேற்றத்தப் பயன்படுத்தலாம். ஏதெனுமொரு விகிதமுறு மூலம்  கண்டுபிடிக்கப்பட்டு, அக்கோவையிலிருந்து வகுத்தல் மூலம்  காரணியை நீக்க, ஒரு படி குறைந்த பல்லுறுப்புக்கோவை கிடைக்கும். அதன் மூலங்கள் தரப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்களாக இருக்கும்.

### முப்படிச் சமன்பாடு
முப்படிச் சமன்பாட்டின் பொதுவடிவம்
:ax^3+bx^2+cx+d=0 (கெழுக்கள் முழு எண்கள்)

இச்சமன்பாட்டிற்கு சிக்கலெண் தளத்தில் மூன்று தீர்வுகள் உண்டு. இதில் ஒன்று விகிதமுறு தீர்வு  என விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தைக் கொண்டு கண்டுபிடிக்கப்பட்டால்,  காரணியை நீக்க மீதமுள்ள சமன்பாடு இருபடிச் சமன்பாடாக இருக்கும். அதன் தீர்வுகளை இருபடி வாய்பாடு கொண்டு காணலாம்.

## நிறுவல்
:P(x) \ =\ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 (a_0, \ldots a_n \in \mathbb{Z}.) 

இப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒரு விகிதமுறு மூலம் *p*/*q*. அதாவது  (*p*, *q* இரண்டும் சார்பகா முழுஎண்கள், ) எனில்:

:P\left(\tfrac{p}{q}\right) = a_n\left(\tfrac{p}{q}\right)^n + a_{n-1}\left(\tfrac{p}{q}\right)^{n-1} + \cdots + a_1 \left(\tfrac{p}{q}\right) + a_0 = 0.

இருபுறமும்  ஆல் பெருக்க:
:a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1}q + \cdots + a_1 p q^{n-1} + a_0 q^n = 0.

* உறுப்பை வலப்பக்கத்திற்கு மாற்றி இடப்புறத்தில் காரணி யை வெளியிலெடுக்க:
:p \left (a_np^{n-1} + a_{n-1}qp^{n-2} + \cdots + a_1q^{n-1} \right ) = -a_0q^n.

எனவே  ஆனது  ஐ மீதியின்றி வகுக்கும். ஆனால் ,  இரண்டும் சார்பகா எண்கள் என்பதால்  ஆனது,  ஐ வகுக்காது. எனவே  ஆனது மீதியுள்ள காரணி யை வகுக்கும்.

* இதேபோல  உறுப்பை வலப்பக்கத்திற்கு மாற்றி இடப்புறத்தில் காரணி யை வெளியிலெடுக்க:
:q \left (a_{n-1}p^{n-1} + a_{n-2}qp^{n-2} + \cdots + a_0q^{n-1} \right ) = -a_np^n.

மேலே விளக்கியதுபோல இங்கும்  ஆனது யை வகுக்கும்.

## எடுத்துக்காட்டுகள்
எடுத்துக்காட்டு 1:
:P(x) = 2x^3+x-1,

விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தின்படி, இப்பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு விகிதமுறு மூலம் இருக்குமானால் அம்மூலத்தின் தொகுதி 1 இன் வகுத்தியாகவும் பகுதி 2 இன் வகுத்தியாகவும் இருக்கும். எனவே இப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் விகிதமுறு மூலங்களாக இருக்கக்கூடியவை:
: ±1/2 , ±1

ஆனால் P(±1/2) P(±1) ஆகிய நான்கின் மதிப்புகளுமே பூச்சியமில்லை. எனவே இப்பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு விகிதமுறு மூலங்களே கிடையாது.

எடுத்துக்காட்டு 2:
:P(x) = x^3-7x+6

இப்பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு இருக்கக்கூடிய விகிதமுறு மூலத்தின் தொகுதி 6 இன் வகுத்தியாகவும் பகுதி 1 இன் வகுத்தியாகவும் இருக்கும். எனவே விகிதமுறு மூலங்களாக இருக்கக்கூடியவை: ±1, ±2, ±3, and ±6. 

இவற்றுள் P(1) = P(2) = P(-3) = 0 ஆக அமைவதைக் காணலாம். எனவே பல்லுறுப்புக்கோவையின் விதமுறு மூலங்கள்: 1, 2, -3
இப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி மூன்று என்பதால் இதன் மூலங்களனைத்தும் விகிதமுறு மூலங்கள் (ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் சில மூலங்கள் விகிதமுறு மூலங்களாகவும் சில விகிதமுறா மூலங்களாகவும் அமையலாம்).

## அடிக்குறிப்புகள்

## மேற்கோள்கள்
*Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: *Fundamentals of College Algebra*. Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 3rd edition 1990, , pp.&nbsp;216–221
*Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: *The historical roots of elementary mathematics*. Dover Courier Publications 1998, , pp.&nbsp;116–117  ()
*Ron Larson: *Calculus: An Applied Approach*. Cengage Learning 2007, , pp.&nbsp;23–24  ()

## வெளியிணைப்புகள்
*
*''RationalRootTheorem''  at PlanetMath
* Another proof that n<sup>th</sup> roots of integers are irrational, except for perfect nth powers by Scott E. Brodie
*''The Rational Roots Test'' at purplemath.com

பகுப்பு:பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பற்றிய தேற்றங்கள்