வகையிடலின் நேர்மாறுச் சார்பு விதி

நுண்கணிதத்தில், **வகையிடலின் நேர்மாறுச் சார்பு விதி** அல்லது **நேர்மாறுச் சார்பு விதி** (*Inverse funcion rule*) என்பது வகையிடல் விதிகளுள் ஒன்று. இவ்விதி ஒரு சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது.

விதியின் கூற்று:

சார்பு f மற்றும் அதன் நேர்மாறு, f^{-1} இரண்டும் வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில் x =a  என்ற புள்ளியில்:

:\left[f^{-1}\right]'(a)=\frac{1}{f'\left( f^{-1}(a) \right)}
இது லாக்ராஞ்சியின் குறியீட்டில் தரப்பட்டுள்ளது.

லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

:\frac{dx}{dy}\,\cdot\, \frac{dy}{dx} = 1
 
:\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} 

ஒரு சார்பின் வகைக்கெழுவும் அதன் நேர்மாறின் வகைக்கெழுவும் தலைகீழிகளாக அமைகின்றன.

இது சங்கிலி விதியிலிருந்து பின்வருமாறு பெறப்படுகிறது:

:y = f(x)  எனில், 
:x = f^{-1}(y) 

சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி ஐப் பொறுத்து வகையிட:

: \frac{dx}{dy}\,\cdot\, \frac{dy}{dx} = \frac{dx}{dx} = 1 

(x ஐப் பொறுத்து x இன் வகைக்கெழு 1)

ஒரு சார்பின் வரைபடமும் அதன் நேர்மாறுச் சார்பின் வரைபடமும் ஒன்றுக்கொன்று , கோட்டைப் பொறுத்த பிரதிபலிப்புகளாக அமையும். பிரதிபலிப்புச் செயலால் ஒரு கோட்டின் சாய்வும் அக்கோட்டின் பிரதிபலிப்பு எதிருவாக அமையும் கோட்டின் சாய்வும் தலைகீழிகளாக இருக்கும்.

f சார்புக்கு x இன் அண்மையகத்தில் நேர்மாறுச் சார்பு இருந்து, புள்ளி x இல் f இன் வகைக்கெழு பூச்சியமற்றதாகவும் இருந்தால், அப்புள்ளியில் நேர்மாறுச் சார்பும் வகையிடத்தக்கதாக இருக்கும். மேலும் அந்த வகைக்கெழுவை மேலே தரப்பட்டுள்ள வாய்ப்பாட்டின் மூலம் காணவும் முடியும்.

## எடுத்துக்காட்டுகள்

* \,y = x^2

இச்சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு (x இன் நேர்ம மதிப்புகளுக்கு மட்டும்):

x = \sqrt{y}.

: \frac{dy}{dx} = 2x 
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ };
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2\sqrt{y}} 

: \frac{dy}{dx}\,\cdot\,\frac{dx}{dy}  =  2x \cdot\frac{1}{2\sqrt{y}}  =  \frac{2x}{2x}  =  1. 

எனினும் , இல் ஒரு சிக்கல் உள்ளது: வர்க்கச் சார்பின் வரைபடத்தின் கிடைமட்டத் தொடுகோட்டிற்கு ஒத்தவாறு வர்க்கமூலச் சார்பின் வரைபடம் நிலைக்குத்தாக அமையும்.

* \,y = e^x

இதன் நேர்மாறுச் சார்பு (y இன் நேர்ம மதிப்புகளுக்கு மட்டும்)

:\,x = \ln{y}

: \frac{dy}{dx} = e^x
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ };
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{y} 

: \frac{dy}{dx}\,\cdot\,\frac{dx}{dy}  =  e^x \cdot \frac{1}{y}  =  \frac{e^x}{e^x}  =  1 

## கூடுதல் பண்புகள்
நேர்மாறு விதியின் வாய்ப்பாட்டைத் தொகையிட,

:{f^{-1}}(x)=\int\frac{1}{f'({f^{-1}}(x))}\,{dx} + c

:இத் தொகையீட்டின் மதிப்புக் காண முடிந்தால் மட்டுமே இம்முடிவு பயனுள்ளதாக இருக்கும். குறிப்பாக, தொகையிடப்படும் எல்லைக்குள், f'(x) இன் மதிப்பு பூச்சியமற்றதாக இருக்க வேண்டும்.

:இதிலிருந்து தொடர்ச்சியான வகைக்கெழு உடைய சார்புகளுக்கெல்லாம், வகைக்கெழுவின் மதிப்பு பூச்சியமாகாத புள்ளிகளின் அண்மையகத்தில் நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும் என்பது தெரிய வருகிறது. வகைக்கெழுச் சார்பு தொடர்ச்சியானது இல்லையெனில் இது உண்மையாக இருக்காது.

## உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள்

முதல் வகைக்கெழுவிற்கான நேர்மாறு விதியின் வாய்ப்பாடு:

:\frac{dx}{dy}\,\cdot\, \frac{dy}{dx} = 1 \quad\quad(1)

இவ்வாய்ப்பாட்டை மீண்டும்  x  ஐப் பொறுத்து வகையிட:

: \frac{d^2y}{dx^2}\,\cdot\,\frac{dx}{dy} + \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^2  =  0 

: \frac{d^2y}{dx^2}\,\cdot\,\frac{dx}{dy} = - \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 

:\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}  எனப்பிரதியிட,

: \frac{d^2y}{dx^2} = - \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 \quad\quad(2).

: \frac{d^2x}{dy^2} = - \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{(\frac{dy}{dx})^3} \quad\quad(**).  -நேர்மாறுச் சார்பின் இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கான வாய்ப்பாடு

லாக்ராஞ்சியின் குறியீட்டில்:

: \left(f^{-1}\right)*(y) = \frac{-f*(y)}{[f'(y)]^3}

முடிவு (2) ஐ மீண்டும்  x  ஐப் பொறுத்து வகையிட,

: \frac{d^3y}{dx^3} = - \frac{d^3x}{dy^3}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^4 -
3 \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\frac{d^2y}{dx^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^2

இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கான வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்த,

: \frac{d^3y}{dx^3} = - \frac{d^3x}{dy^3}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^4 +
3 \left(\frac{d^2x}{dy^2}\right)^2\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^5

: \frac{d^3x}{dy^3} = \frac{\frac{-d^3y}{dx^3}+
3 \left(\frac{d^2x}{dy^2}\right)^2\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^5}{\left(\frac{dy}{dx}\right)^4}\quad\quad(***) -நேர்மாறுச் சார்பின் மூன்றாம் வகைக்கெழுவிற்கான வாய்ப்பாடு.

இவ்வாய்ப்பாடுகளின் பொதுமைப்படுத்தலே  *ஃபா டி புருனோ*வின் வாய்ப்பாடு ஆகும்.

## எடுத்துக்காட்டு

* \,y = e^x

இதன் நேர்மாறுச் சார்பு,

:\,x = \ln y.

: \frac{dy}{dx} = e^x = y ;

: \frac{d^2y}{dx^2} = e^x = y ;

:\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 = y^3;

இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கான நேர்மாறு விதியின் வாய்ப்பாட்டில் பிரதியிட,
:
\frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,y^3 + y = 0
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ };
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }
\frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{1}{y^2}
,

:\,x = \ln y. இதனை நேரிடையாக இருமுறை வகையிட்டாலும் இதே முடிவு கிடைப்பதைக் காணலாம்.

பகுப்பு:வகையீட்டு நுண்கணிதம்