உள்வெளி

கணிதத்தின் ஒரு பிரிவான  நேரியல் இயற்கணிதத்தில் திசையன் வெளி என்ற கருத்துடன்  கூடவே திசையன் **உள்வெளி** (Vector subspace) என்ற கருத்தும் உண்டு.

## வரையறை

V  என்ற திசையன் வெளியில் அடங்கிய S என்ற ஒரு வெற்றில்லாத உட்கணம், V இலுள்ள அதே கூட்டலுக்கும் அளவெண் பெருக்கலுக்கும் ஒரு திசையன் வெளியாகுமானால் அது V இனுடைய *(திசையன்) உள்வெளி* எனப் பெயர் பெறும்.

எடுத்துக்காட்டாக, யூக்ளிடின் தளம் V_2 வை எடுத்துக்கொள்வோம். தொடக்கப்புள்ளி வழியாகச்செல்லும் எந்த நேர்கோடும் ஒரு உள்வெளி.

யூக்ளிடின் முப்பரிமாண வெளி V_3 இல், தொடக்கப்புள்ளி வழியாகச் செல்லும் எந்த நேர்கோடும்,  எந்தத் தளமும் உள்வெளிகளே.

சுருங்கச்சொன்னால், திசையன்வெளி  V இல், ஒரு குறிப்பிட்ட உறுப்பு  u_0 இன் எல்லா அளவெண் மடங்குகளும் சேர்ந்து ஒரு உள்வெளியாகும்.

வரையறைப்படி பார்த்தால் ஒவ்வொரு முறை உள்வெளி என்று உறுதிப்படுத்துவதற்கும் திசையன்வெளியின் எல்லா நிபந்தனைகளையும் சரிபார்க்கவேண்டும் தான். ஆனால், இரண்டே நிபந்தனைகளைச் சரிபார்த்தால் போதும் என்பதற்கு ஒரு தேற்றத்தை நிறுவமுடியும். அத்தேற்றத்தின்படி,

**V  என்ற திசையன் வெளியில் அடங்கிய S என்ற ஒரு வெற்றில்லாத உட்கணம், ஒரு உள்வெளி யாவதற்கு கீழுள்ள இரண்டும் சரிபார்க்கப்பட்டால் போதும்:**

**(உ.வெ. 1) S இல் உள்ள எந்த u, v க்கும், <math>u + v \in S</math>;**

**(உ.வெ. 2) <math>\alpha</math> ஒரு அளவெண்ணானால், S இல் உள்ள எந்த  u க்கும்,  <math>\alpha u \in S.</math>**

## சில சார்பு வெளிகளில் உள்வெளிகள்

**குறிப்பு**: வெளிகளின் குறியீடுகளுடைய விபரங்களுக்கு இங்கே பார்க்கவும்.

கீழேயுள்ள உட்கணக்குறியீடுகள் காட்டும் உட்கணங்களெல்லாம் உள்வெளிகளே:

\mathcal{P}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset  \mathcal{F}_{\mathbf{R}}[a, b],

ஒவ்வொரு  1 \leq m \leq n  க்கும்,  \mathcal{C}^{\infty}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset \mathcal{C}^{(n)}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset \mathcal{C}^{(m)}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset \mathcal{C}^{(1)}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset  \mathcal{C}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset \mathcal{F}_{\mathbf{R}}[a, b].

## உள்வெளிகளின் வெட்டு

V ஒரு திசையன் வெளியெனக்கொள்வோம்.

:*  U வும்   W வும்  இரண்டு உள்வெளிகளானால், U \cap W வும் ஒரு உள்வெளிதான்.

இதனுடைய முக்கியமான விளைவுகளில் ஒன்று ஒருங்கமைச்சமன்பாடுகளை விடுவிக்கும்போது ஏற்படுகிறது. கீழேயுள்ள மூன்று சமன்பாடுகளையும் சரியாக்கும் n-திசையன்களை எடுத்துக்கொள்வோம்:

:: W  =  \{\overline {x} = (x_1, x_2, ...,x_n) \in V_n : (1), (2), (3) ஐ சரியாக்குகிறது}
:::: \alpha_1 x_1 +\alpha_2 x_2 + ... + \alpha_n x_n =  0  ....... (1)
:::: \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + ... + \beta_n x_n = 0  ....... (2)
:::: \gamma_1 x_1 + \gamma_2 x_2 + ... + \gamma_n x_n = 0 .......(3)

இதனால்   W = W_1 \cap W_2 \cap W_3; இங்கு W_i, i = 1,2,3 என்பது 1-வது, 2-வது, 3-வது  சமன்பாட்டின் விடைத்திசையன்களின் கணம்.

## உள்வெளிகளின் ஒன்றிப்பு

U, W இரண்டும் V இன் உள்வெளிகள் எனக்கொள்வோம்.

இரண்டு உள்வெளிகளின் ஒன்றிப்பு உள்வெளியாக இருக்கவேண்டிய அவசியமில்லை.  ஆனால்  [U  \cup  W], அதாவது, U \cup W  இன் அளாவல் U \cup W ஐ அடக்கிய மிகச்சிறிய உள்வெளி. மற்றும்  U + W  = \{u+w: u\in U, w\in W\} ஒரு உள்வெளிதான். உண்மையில்,

::   U + W  =  [U \cup W] 

என்று எளிதில் காட்டிவிடலாம்.

இதற்கு மேலும் U \cap W = \{\overline {0}\} ஆக இருக்குமானால்,  U + W ஐ  ஒரு **நேரிடைக்கூட்டல்** (direct sum) என்று சொல்வோம். இதற்கு கணிதவழக்குப்படி ஒரு பொதுக்குறியீடு உள்ளது: அ-து,  U \oplus W.

## முடிவுறு பரிமாணமுள்ள திசையன்வெளியின் உள்வெளி

V ஒரு முடிவுறு பரிமாணமுள்ள திசையன்வெளியென்று கொள்வோம்.

:*  V இன் ஒவ்வொரு உள்வெளி U க்கும், 
::  dim U \leqslant dimV . 
:: U ,  V இரண்டும் ஒன்றாக  ஆகும்போதுதான்  பரிமாணங்களும் சமமாக இருக்கும்.

:*  U, W இரண்டு உள்வெளிகளானால்,

::  dim(U + W) = dim U + dim W  -  dim (U \cap W)

:*  U, W இரண்டும்  U \cap W =  \{\overline {0}\} ஆக இருக்கும்படி இரண்டு உள்வெளிகளானால்,

::  dim(U \oplus W) = dim U  +  dim W

பகுப்பு:நேரியல் இயற்கணிதம்
பகுப்பு:சார்புப் பகுவியல்

## குறிப்புகள்
 

## மேற்கோள்கள்