கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம்

வடிவவியலில், **கோண இருசமவெட்டித் தேற்றமானது**(*Angle bisector theorem*)  முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் இரு சமவெட்டியானது அக்கோணத்திற்கு எதிரேயுள்ள பக்கத்தினை வெட்டுவதால் கிடைக்கும் கோட்டுத் துண்டுகளின் நீளங்களின் விகிதங்களைப்பற்றிக் கூறும் தேற்றமாகும். இத்தேற்றத்தின்படி அக்கோட்டுத் துண்டுகளின் நீளங்களின் விகிதம் முக்கோணத்தின் மற்ற இரு பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.

## தேற்றம்
ஒரு முக்கோணத்தில் ஒரு கோணத்தின் உட்புற கோண இரு சம 
வெட்டியானது, அக்கோணத்தின் எதிர்பக்கத்தை உட்புறமாக அக்கோணத்தினை அடக்கிய பக்கங்களின் சம விகிதத்தில் பிரிக்கும்.

அதாவது முக்கோணம் \triangle ABC -ஐ எடுத்துக் கொள்க.
* \angle A  -ன் இருசமவெட்டி,  \ BC  பக்கத்தை \ D  புள்ளியில் வெட்டட்டும்.
* கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தின்படி,  கோட்டுத் துண்டுகள் \ BD மற்றும்  \ DC  -ன் விகிதமானது,  \ AB  மற்றும் \ AC பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்:

:{\frac  }={\frac }. 

* பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தின்படி,   \ D புள்ளியானது பக்கம் \ BC -ன் மீது அமைந்தால்(அ-து, AD கோண இருசமவெட்டியாக இருக்க வேண்டியதில்லை) :

:{\frac  }={\frac {|AB|  \sin \angle DAB}{|AC| \sin \angle DAC}}. 

* இதிலிருந்து, கோணம்   \angle BAC   -ன் இருசமவெட்டியாக, \ AD  இருக்கும்போது முதலிலுள்ள தேற்றத்தைப் பெறலாம்.

## [[கணித நிறுவல்|நிறுவல்]]

*மேலேயுள்ள படத்தில், \triangle ABD  மற்றும்  \triangle ACD  முக்கோணங்களுக்கு* சைன் விதியைப்* பயன்படுத்த:

:{\frac  } = {\frac {\sin \angle BDA} {\sin \angle BAD}}   .....  (சமன்பாடு 1)

:{\frac  } = {\frac {\sin \angle ADC} {\sin \angle DAC}}   .....  (சமன்பாடு 2)

*கோணங்கள்   \angle BDA  மற்றும்   \angle ADC   இரண்டும் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள். எனவே அவற்றின் *சைன்* மதிப்புகள் சமம்.
* கோணங்கள்    \angle BAD மற்றும்   \angle DAC இரண்டும் சமமானவை.
* எனவே சமன்பாடுகள் (1), (2) -ன் வலதுகைப் பக்கங்கள் சமம். ஆகவே அவற்றின் இடதுகைப் பக்கங்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும்:

:{\frac  }={\frac } 

எனவே, கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.

கோட்டுத்துண்டு \ AD கோண இருசமவெட்டி இல்லையென்றால்

* கோணங்கள்    \angle BAD மற்றும்   \angle DAC  இரண்டும் சமமில்லை.
* சமன்பாடுகள் (1), (2) இரண்டையும் பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்:

: {\frac   \sin \angle\ BAD = \sin \angle BDA}

: {\frac   \sin \angle\ DAC = \sin \angle ADC}

கோணங்கள்   \angle BDA  மற்றும்   \angle ADC  இரண்டும் இப்பொழுதும் மிகைநிரப்பு கோணங்கள். எனவே இரு சமன்பாடுகளின் வலதுபுறங்களும் சமம். ஆகவே இடதுபுறங்களும் சமமாக அமையும்:

: {\frac   \sin \angle\ BAD = \frac   \sin \angle\ DAC}

இது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தேற்றத்தை நிறுவுகிறது.

### நிறுவல்-மாற்றுமுறை

* \triangle ABD  -க்கு, உச்சி \ B வழியே வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் அடி  ***B''<sub>1</sub>'''  என்க. <math>\triangle ACD</math> -க்கு, உச்சி  <math>\ C</math>  வழியே வரையப்பட்ட [[குத்துக்கோடு (முக்கோணம்)|குத்துக்கோட்டின்]] அடி ***C*<sub>1</sub>*'  என்க.
* \triangle  ***DB''<sub>1</sub>''B***  மற்றும் \triangle ***DC''<sub>1</sub>''C***  இரண்டும் செங்கோண முக்கோணங்கள்.
* \ D  புள்ளியானது கோட்டுத்துண்டு  \ BC -ன் மேல் இருந்தால், கோணங்கள்   \angle***B''<sub>1</sub>''DB***  மற்றும்
 \angle***C''<sub>1</sub>''DC***   இரண்டும் சர்வசமமாகவும்

* \ D புள்ளியானது கோட்டுத்துண்டு  \ BC -ன்  மேல் இல்லையெனில் அவ்விரு கோணங்களும் முற்றுமொத்தவையாகவும் அமையும்.
*எனவே முக்கோணங்கள்,  \triangle ***DB''<sub>1</sub>''B***   மற்றும் \triangle  ***DC''<sub>1</sub>''C***  இரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்களாகும் (AAA).

:{\frac  }= {\frac }=\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}.

எனவே பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம் நிறுவப்படுகிறது.

## வெளி இணைப்புகள்
* A Property of Angle Bisectors at cut-the-knot
* Proof of angle bisector theorem at PlanetMath
*Another proof of angle bisector theorem at PlanetMath

பகுப்பு:முக்கோணங்கள் பற்றிய தேற்றங்கள்
பகுப்பு:முக்கோண வடிவவியல்