அடுக்குச் சராசரி

கணிதத்தில் **பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரி** (*generalized mean*) அல்லது **அடுக்குச் சராசரி** (*power mean*) என்பது பித்தாகரசின் சராசரிகளான கூட்டுச் சராசரி, பெருக்கல் சராசரி மற்றும் இசைச் சராசரிகளின் சாராம்சமாகும்.

## வரையறை
*p* ஒரு பூச்சியமில்லா மெய்யெண் எனில், x_1,\dots,x_n  என்னும் நேர்ம மெய்யெண்களின் *p* -அடுக்கு கொண்ட பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரி அல்லது அடுக்குச் சராசரி:
:
M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^p \right)^{1/p}


*p* -ன் மதிப்பு பூச்சியமெனில் இச்சராசரி, பெருக்கல் சராசரியாக இருக்குமெனக் கொள்ளல் வேண்டும்:

:
M_0(x_1, \dots, x_n) = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}


மேலும் w=\sum w_i  என அமையும் நேர்ம எடைகள் w_i -களுக்கு எடையிடப்பட்ட அடுக்குச் சராசரியினைப் பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்:

:
M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{w}\sum_{i=1}^n w_ix_{i}^p \right)^{1/p}


:
M_0(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[w]{\prod_{j=1}^n x_j^{w_j}}


இவ்வாய்ப்பாடு எளிமையாக அமைய எடைகளை இயல்நிலைப்படுத்திக் கொள்ளலாம்:

அதாவது,  \sum_{i=1}^n {w_i} = 1

:M_p(x_1,\dots,x_n) = \left(\sum_{i=1}^n w_ix_{i}^p \right)^{1/p}

:M_0(x_1,\dots,x_n) = \prod_{i=1}^n x_i^{w_i}

சம எடைகள் (&nbsp;*1/n*)  கொண்ட தரவாகக் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் எடையிடப்படாத சராசரிகளைக் காணமுடியும். அடுக்கு, நேர்ம அல்லது எதிர்ம முடிவிலியாக இருக்கும்போது அடுக்குச் சராசரியின் மதிப்பு முறையே பெரும அல்லது சிறும மதிப்பாக அமையும்(எடைகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளாமல்).

:M_\infty (x_1,\dots,x_n)=\max(x_1,\dots,x_n)

:M_{-\infty}(x_1,\dots,x_n)=\min(x_1,\dots,x_n)

## சிறப்பு வகைகள்

## பண்புகள்

* எல்லாச் சராசரிகளையும் போல பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியும் சமச்ச்சீர்தன்மை உடையது.
: *b*  ஒரு நேர்ம மெய்யெண் என்க.

M_p(bx_1,\dots,bx_n)   =  bM_p(x_1,\dots,x_n) 

*   M_p(x_1,\dots,x_{n\cdot k}) =
  M_p(M_p(x_1,\dots,x_{k}),
      M_p(x_{k+1},\dots,x_{2\cdot k}),
      \dots,
      M_p(x_{(n-1)\cdot k + 1},\dots,x_{n\cdot k}))


### சமனின்மை

*p*&nbsp;M_p(x_1,\dots,x_n) \le M_q(x_1,\dots,x_n)

x_1 = x_2 = \cdots = x_n என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமேM_p, M_q இரண்டும் சமம்.

*p* -ன் பூச்சிய மதிப்பு, பூச்சியமற்ற மெய்யெண் மதிப்பு, நேர்ம மற்றும் எதிர்ம முடிவிலி மதிப்புகளுக்கு இச்சமனின்மை உண்மையாகும்,

குறிப்பாக p\in\{-1, 0, 1\} எனில் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியின் சமனின்மை பித்தாரசின் சராசரிகளின் சமனின்மை மற்றும் கூட்டுச் சராசரி மற்றும் பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனின்மையுமாகும்.

எடையிடப்பட்ட பொதுமைச் சராசரியின் சமனின்மைமையை நிறுவ,

:w_i\in (0;1]

:\sum_{i=1}^nw_i=1 எனவும்,

எடையிடப்படாத பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியின் சமனின்மையை நிறுவ w_i=\frac{1}{n} எனவும் எடுத்துக்கொள்ளல் வேண்டும்.

### எதிர்க்குறி அடுக்கு கொண்ட சராசரிகளின் சமனின்மைகளின் சமானத்தன்மை

*p* மற்றும் *q*  எனும் இரு அடுக்குகளுக்கு அடுக்குச் சராசரிகள் பின்வரும் சமனின்மையைக் கொண்டிருந்தால்:

:\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}

இதிலிருந்து

:\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^p}}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^q}} என எழுதலாம்.

இருபுறமும் அடுக்கினை −1 க்கு உயர்த்த (நேர்ம மெய் குறையும் சார்பு):

:\sqrt[-p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-p}}=\sqrt[p]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^p}}}\geq \sqrt[q]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^q}}}=\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}}

எனவே அடுக்குகள், −*p* மற்றும் −*q* -க்கான அடுக்குச் சராசரிகளிக்கான சமனின்மை கிடைக்கிறது. இதிலிருந்து முன்பு செய்த இதே செயல்முறைகளை எதிர்வரிசையில் செய்து சமனின்மைகளின் சமானத்தன்மையை நிறுவலாம்.

### பெருக்கல் சராசரியுடன் சமனின்மை
*q* அடுக்கு கொண்ட அடுக்குச் சராசரிக்கும் பெருக்கல் சராசரிக்குமிடையே அமையும் சமனின்மை:

:\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}...................(*q* -நேர்மம்).

:\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} .....................(*q*  -எதிர்மம்).

இருபுறமும் அடுக்கு *q* -க்கு உயர்த்த:

:\prod_{i=1}^nx_i^{w_i\cdot q} \leq \sum_{i=1}^nw_ix_i^q

:\sum_{i=1}^nw_ix_i^q \leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i\cdot q}

இவ்விரண்டும் x_i^q என்ற தொடரின் எடையிடப்பட்ட கூட்டுச் சராசரி மற்றும் எடையிடப்பட்ட பெருக்கல் சராசரிகளுக்கிடையேயான சமனின்மையாக அமையும்.

மடக்கைச் சார்புகள் குழிவானவை என்பதால்:

:\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i) \leq \log\left( \sum_{i=1}^nw_ix_i \right)

:\log \left( \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \right) \leq \log \left( \sum_{i=1}^nw_ix_i \right)

இருபுறமும் அடுக்குக்குறிச் சார்புக்கு மாற்ற:

:\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sum_{i=1}^nw_ix_i

எனவே எந்தவொரு நேர்ம *q* - மதிப்பிற்கும்:

:\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}

எனவே பெருக்கல் சராசரிக்கும் அடுக்குச் சராசரிக்குமிடையேயான சமனின்மை நிறுவப்படுகிறது.

### இரு அடுக்குச் சராசரிகளுக்கிடயேயான சமனின்மை

*p*&nbsp;\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}

*p*  எதிர்மம், *q*  நேர்மமாக இருந்தால் இச்சமனின்மை ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட பின்வரும் சமனின்மைக்குச் சமானமானதாகும்:

:\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}

*p* , *q*  இரண்டும் நேர்மமாக இருக்கும்போது நிறுவல் பின்வருமாறு:

சார்பு f -ஐ பின்வருமாறு வரையறுத்துக் கொள்ளலாம்:

:f:{\mathbb R_+}\rightarrow{\mathbb R_+}, f(x)=x^{\frac{q}{p}}.

*f*  அடுக்குச் சார்பானதால் அதற்கு இரண்டாம் வகைக்கெழு உண்டு:

: f*(x) = \left(\frac{q}{p} \right) \left( \frac{q}{p}-1 \right)x^{\frac{q}{p}-2},</math>

*f* -ன் ஆட்களத்தில் இவ்வகையீட்டின் மதிப்பு எப்பொழுதும் நேர்மமாகவே இருக்கும். மேலும் *q*&nbsp;>&nbsp;*p* என்பதால் *f* குவிச் சார்பாக இருக்கும்.

எனவே ஜென்சன் சமனின்மையின்படி:

:<math>f \left( \sum_{i=1}^nw_ix_i^p \right) \leq \sum_{i=1}^nw_if(x_i^p)</math>

:<math>\sqrt[\frac{q}{p}]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq\sum_{i=1}^nw_ix_i^q</math>

இருபுறமும் 1/*q*  அடுக்குக்கு உயர்த்த:

:<math>\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}</math>

முன்பு நிறுவிய அடுக்குச் சராசரிகளின் சமானத்தன்மையைப் பயன்படுத்தி,  *p* , *q*  -க்குப் பதிலாக முறையே &minus;*q* and &minus;*p*,  பிரதியிட்டு இச்சமனின்மையை *p* , *q*  இரண்டும் எதிர்மமாக இருக்கும்போதும் உண்மை என்பதை நிறுவலாம்.

=== பெருக்கல் சராசரி - ஒரு எல்லையாக ===

அடுக்குச் சராசரியில் அடுக்கின் மதிப்பு பூச்சியத்தை நோக்கி நெருங்கும் எல்லை மதிப்பாக பெருக்கல் சராசரியைக் கொள்ளலாம்.

:<math>
\begin{align}
& \lim_{p \to 0} \sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\prod_{i=1}^nx_i^{w_i}
\end{align}
</math>

இதை நிறுவுவதற்குத் தேவையான, பின்வரும் எல்லை மதிப்பை முதலில் நிறுவலாம்:

:<math>\lim_{p\to0} \frac{\log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p}=\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i)</math>

இவ்வெல்லையின் பகுதி மற்றும் தொகுதிகளின் எல்லை மதிப்புகள் பூச்சியமாக இருப்பதால் [[லாபிதாலின் விதி]]யைப் பயன்படுத்த:

:<math>\lim_{p\to 0} \frac{\log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p}=\lim_{p\to 0}\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\cdot\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)'=</math>

:<math>=\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i}\cdot \lim_{p\to 0}\sum_{i=1}^n(w_i\cdot\log(x_i)\cdot x_i^p)=\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i)</math>

அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித் தன்மையின்படி:

:<math>
\begin{align}
& \lim_{p \to 0} \sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\lim_{p \to 0} \exp\left(\frac{\log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p}\right) \\
& = \exp\left(\lim_{p \to 0} \frac{\log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p}\right)=\exp\left(\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i)\right)=\prod_{i=1}^nx_i^{w_i}
\end{align}
</math>

என்வே பெருக்கல் சராசரியானது அடுக்குச் சராசரியின் அடுக்கு பூச்சியத்தை நெருங்கும் எல்லை மதிப்பு என்பது நிறுவப்பட்டது.

===சிறும மற்றும் பெரும மதிப்பு===
அடுக்குச் சராசரியின் அடுக்கின் மதிப்பு, <math>- \infty</math> மற்றும் <math>+\infty</math> -ஆக நெருங்கும் எல்லைநிலையில் அடுக்குச் சராசரியின் மதிப்புகள் சிறும மற்றும் பெரும மதிப்புகளாக அமையும்.

அனைத்து *xi*  -களில் பெரும மதிப்பு - *x*<sub>1</sub>, சிறும மதிப்பு - *xn*  என்க.

பின்வரும் எல்லை மதிப்பை முதலில் நிறுவிக் கொள்ளலாம்:

:<math>\lim_{p \to \infty}\left(\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\right)\right)=0</math>

*p* நேர்மம் எனில்:

:<math>\frac{1}{p}\ln(w_1)=\frac{1}{p}\ln\left(\frac{w_1x_1^p}{x_1^p}\right)\leq\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\right)\leq\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_1^p}{x_1^p}\right)=\ln(1)=0</math>

இந்த எல்லை மதிப்பைப் பயன்படுத்த:

:<math> \lim_{p \to \infty}\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)=\lim_{p \to \infty}\frac{1}{p}\ln\left(x_1^p\cdot\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\right)=\lim_{p \to \infty}\left(\frac{\ln(x_1^p)}{p}\right)+\lim_{p \to \infty}\left(\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\right)\right)=\ln(x_1)+0=\ln(x_1)</math> என நிறுவலாம்.

இறுதியாக அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:

:<math>\lim_{p \to \infty}\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\lim_{p \to \infty}\exp\left(\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)\right)=\exp\left(\lim_{p \to \infty}\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)\right)=x_1</math>

*p* எதிர்மம் என்க:

:<math>\lim_{p \to -\infty}\left(\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_n^p}{x_n^p}\right)\right)=0</math>

*p''&nbsp;\frac{1}{p}\ln(w_n)=\frac{1}{p}\ln\left(\frac{w_nx_n^p}{x_n^p}\right)
\geq\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_n^p}\right)\geq\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_n^p}{x_n^p}\right)=\ln(1)=0

எனவே:

: \lim_{p \to-\infty}\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)=\lim_{p \to -\infty}\left(\frac{\ln(x_n^p)}{p}\right)+\lim_{p \to -\infty}\left(\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_n^p}\right)\right)=\ln(x_n)

மீண்டும் அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:

:\lim_{p \to-\infty}\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\exp\left(\lim_{p \to -\infty}\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)\right)=x_n

## பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட <math>f</math>-சராசரி

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட f- சராசரியாக அடுக்குச் சராசரியை மேலும் பொதுமைப்படுத்தலாம்:

: M_f(x_1,\dots,x_n) = f^{-1}
\left({\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right) 

## சான்றுகள்

## வெளி இணைப்புகள்
*Power mean at MathWorld
*Examples of Generalized Mean
*A proof of the Generalized Mean on PlanetMath

பகுப்பு:சராசரிகள்