பின்னம்

**பின்னம்** (*fraction*) என்பது முழுப்பொருள் ஒன்றின் பகுதி அல்லது பகுதிகளைக் குறிக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பொருளை நான்கு சமப் பங்குகளாகப் பிரித்தால், அதில் 3 பங்குகள் (அதாவது நான்கில் மூன்று பங்கு) 3/4 எனக் குறிக்கப்படும்.

பின்ன அமைப்பில், கிடைக்கோட்டிற்குக் கீழுள்ள எண் *பகுதி* எனவும், மேலுள்ள எண் *தொகுதி* எனவும் அழைக்கப்படும். எடுத்துக்கொள்ளப்படும் சம பங்குகளின் எண்ணிக்கையைத் தொகுதியும், எத்தனை சம பங்குகள் சேர்ந்து முழுப்பொருளாகும் என்பதைப் பகுதியும் குறிக்கின்றன. ஒரு பின்னத்தின் பகுதி பூச்சியமாக இருக்க முடியாது.

எடுத்துக்காட்டு:
ஒரு முழுப்பொருளானது நான்கு சம பங்குகளாகப் பிரிக்கப்பட்டால், அதிலுள்ள மூன்று சம பங்குகள் 3/4 எனக் குறிக்கப்படும். இப்பின்னத்தின் தொகுதி - 3, பகுதி - 4.

பின்னமானது *பிள்வம் அல்லது பிள்ளம்* என்றும் அழைக்கப்படும். தமிழில் இதற்குக் *கீழ்வாய் எண்கள்* என்பது பெயர்.

பின்ன எண்களைத் தொகுதி-பகுதி வடிவில் மட்டுமல்லாது, தசம பின்னங்களாக, சதவீதங்களாக, எதிர்ம அடுக்கேற்ற எண்களாகவும் எழுதலாம்.

எடுத்துக்காட்டு,

:1/100 என்ற பின்ன எண்ணின் மாற்று வடிவங்கள்:  0.01, 1%,  10−2

எந்தவொரு முழுஎண்ணையும், பகுதி 1 ஆகக் கொண்ட பின்னமாகக் கொள்ளலாம்: 7 = 7/1.

விகிதங்களையும், வகுத்தலையும் குறிப்பதற்கும் பின்னங்கள் பயன்படுகிறது. 3/4 என்பது 3:4 என்ற விகிதத்தையும்,  3 ÷ 4 என்ற வகுத்தலையும் குறிக்கும்.

a, b முழு எண்கள் எனில், a/b என்ற வடிவில் எழுதப்படக்கூடிய எண்களின் கணம் விகிதமுறு எண்களின் கணம் எனப்படும். விகிதமுறு எண்கள் கணத்தின் குறியீடு **Q**. ஒரு எண்ணைப் பின்ன வடிவில் எழுத முடியுமா இல்லையா என்பதைக் கொண்டு அவ்வெண் விகிதமுறு எண்ணா இல்லையா என்பதை அறிந்து கொள்ளலாம்.

விகிதமுறு எண்களைத் தவிர வேறுசில கணிதக் கோவைகளுக்கும் பின்னங்கள் என்ற பெயர் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்: 
:இயற்கணித பின்னங்கள்:  \frac{3x}{x^2+2x-3},  
:விகிதமுறா எண்கள் கொண்ட கோவைகள்:  √2/2 , π/4

 பின்ன வகைகள்:
பின்னங்களைத்  தகு பின்னம், தகாபின்னம், கலப்பு பின்னம் என மூன்று வகையாகக் கூறலாம்.

தகு பின்னம் :
 தொகுதி பகுதியை விடச்சிறியதாக இருந்தால், அது தகு பின்னம்(முறைமை பின்னங்கள்).

தகாபின்னம் : 
தொகுதி பகுதியை விடப் பெரியதாக இருந்தால்  தகாபின்னம்.(முறையில்லா பின்னங்கள்)

கலப்பு பின்னம் : 
இயல் எண்ணும் தகு பின்னமும் சேர்ந்து வருவது கலப்பு பின்னம். இதனை தகாபின்னமாக மாற்றி திட்ட வடிவில் எழுதலாம்.

## பின்னங்களின் வடிவங்கள்

### எளிய பின்னங்கள்
*a*/*b* அல்லது \tfrac{a}{b}, (*a* , *b* இரண்டும் முழு எண்கள்) என்ற வடிவில் எழுதப்படும் விகிதமுறு எண்களெல்லாம் எளிய பின்னங்கள் எனப்படுகின்றன. ஏனைய பின்னங்களைப் போன்றே இவற்றிலும் பகுதியின் (*b*) மதிப்பு பூச்சியமாக இருக்க முடியாது

எடுத்துக்காட்டுகள்:
\tfrac{1}{2}, -\tfrac{8}{5}, \tfrac{-8}{5}, \tfrac{8}{-5}, 3/17.

எளிய பின்னங்கள் நேர்மமாகவோ, எதிர்மமாகவோ, தகு அல்லது தகா பின்னங்களாகவோ அமையலாம். கூட்டு பின்னங்கள், கலப்பு எண்கள், தசமங்கள் ஆகியவற்றை எளிய பின்னமாக மாற்ற முடியுமென்றாலும் அவை எளிய பின்னங்கள் ஆகா.

### முறைமை பின்னங்களும் முறையில்லா பின்னங்களும்
எளிய பின்னங்களை தகு அல்லது தகா பின்னங்களாக வகைப்படுத்தலாம். பகுதியும் தொகுதியும் நேர்ம எண்களாகக் கொண்ட ஒரு பின்னத்தின் தொகுதியானது, அதன் பகுதியை விடச் சிறியதாயின் அப்பின்னம் *தகு பின்னம்* எனப்படும். மாறாக, அதன் தொகுதியானது, பகுதியை விடப் பெரியதாயின் அப்பின்னம் *தகா பின்னம்* எனப்படும். பொதுவாக, ஒரு பின்னத்தின் தனி மதிப்பு 1 ஐ விடச் சிறியதாக இருந்தால் (-1 ஐ விடப் பெரியது, 1 ஐ விட சிறியது) அது ஒரு தகு பின்னமாகும். ஒரு பின்னத்தின் தனி மதிப்பு 1 க்குச் சமமாகவோ அல்லது பெரியதாக இருந்தால் அது ஒரு தகா பின்னமாகும்

எடுத்துக்காட்டுகள்:
:தகு பின்னங்கள்: 2/3, -3/4,  4/9
:தகா பின்னங்கள்: 9/4, -4/3, 3/3.முறைமை

### கலப்பு பின்னங்கள்
*கலப்பு பின்னம்* அல்லது *கலப்பு எண்* என்பது, ஒரு பூச்சியமற்ற முழுஎண் மற்றும் தகுபின்னம் இரண்டின் கூடுதலாக அமையும். முழுஎண்ணுக்கும் தகுபின்னத்துக்கும் இடையே "+" குறியீடு எழுதப்படுவதில்லை.

எடுத்துக்காட்டு:
: 2+\frac{3}{4}=2\tfrac{3}{4}.

இயற்கணிதத்தில் இரு கோவைகளின் பெருக்கலை எழுதும்போது அவற்றுக்கிடையே பெருக்கல் குறியானது இல்லாமலே எழுதுவது வழக்கில் உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, இயற்கணிதத்தில்  a \tfrac{b}{c}  என்பது ஒரு கலப்பு பின்னம் அல்ல, அது a, b/c ஆகிய இரு கோவைகளின் பெருக்கலாகும்:  a \tfrac{b}{c}  = a \times \tfrac{b}{c}.

இக்குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்கு, பெருக்கல் குறி வெளிப்படையாகக் குறிக்கப்படுகிறது:
: a \tfrac{b}{c} = a \times \tfrac{b}{c},
: a \cdot \tfrac{b}{c}, 
: a (\tfrac{b}{c}).

கலப்பு பின்னத்தைத் தகா பின்னமாகவும் தகா பின்னத்தைக் கலப்பு பின்னமாகவும் மாற்றலாம்:

*கலப்பு பின்னம்: 2\tfrac{3}{4} 
:2\tfrac{3}{4} = 2+\tfrac{3}{4}.
:இதிலுள்ள முழுஎண் 2 ஐ, தகுபின்னத்தின் பகுதியான நான்கைப் பகுதியாகக் கொண்ட சமான தகா பின்னமாக மாற்றிக் கொள்ளவேண்டும்: 
:2=\tfrac{8}{4}.
:பின் அவ்விரு பின்னங்களையும் கூட்ட,
:2\tfrac{3}{4}=\tfrac{8}{4}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{11}{4}.

இதேபோல ஒரு தகா பின்னத்தை கலப்பு பின்னமாக மாற்றலாம்:
*தகாபின்னம்: \tfrac{11}{4}
:தொகுதியைப் பகுதியால் வகுத்து ஈவு, மீதி இரண்டையும் கணக்கிட வேண்டும்.
:  11 ÷ 4 : ஈவு =2 , மீதி = 3.

இந்த ஈவு தேவையன கலப்பு பின்னத்தின் முழுஎண் பகுதியாகக் கொள்ளப்படுகிறது. மீதியைத் தொகுதியாகவும், எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட தகாபின்னத்தின் பகுதியைப் பகுதியாகவும் கொண்ட தகுபின்னமானது பின்னப்பகுதியாகவும் கொண்டு கலப்பு பின்னம் காணப்படுகிறது. 
:\tfrac{11}{4} =2\tfrac{3}{4}.

கலப்பு பின்னங்கள் எதிர்ம எண்களாகவும் இருக்கலாம். 
எடுத்துக்காட்டு: 
:-2\tfrac{3}{4} = -(2+\tfrac{3}{4}) = -2-\tfrac{3}{4}

### விகிதங்கள்
ஒரு விகிதம் என்பது, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட எண்களுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பைக் குறிக்கும். எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட பொருட்களை குழுக்களாகப் பிரித்து, ஒவ்வொரு குழுவிலும் இருக்கும் பொருட்களின் எண்ணிக்கையின் வாயிலாக, அவை எண்ணளவில்  ஒப்பீடு செய்யப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டாக, ஓரிடத்தில் நிறுத்திவைக்கப்பட்டுள்ள 12 தானுந்துகளில் அவற்றின் நிற வகைப்பாடு பின்வருமாறு உள்ளது:
* 2 வெள்ளை
* 6 சிவப்பு
* 4 மஞ்சள்

:வெள்ளை, சிவப்பு, மஞ்சள் தானுந்துகளின் விகிதம்: 2:6:4 = 1:3:2
:வெள்ளை, சிவப்பு தானுந்துகளின் விகிதம்: 2:6 = 1:3
:வெள்ளை, மஞ்சள் தானுந்துகளின் விகிதம்: 2:4 = 1:2
:சிவப்பு, மஞ்சள் தானுந்துகளின் விகிதம்: 6:4 = 3:2

குறிப்பிட்ட பாகத்திற்கும் முழுவதற்குமான விகிதங்களைப் பின்ன வடிவில் எழுதலாம்.

:மொத்த தானுந்துகளில் வெள்ளை தானுந்துகளின் விகிதம்: 2:12 = 1:6. 
:இதன் பின்ன வடிவம் = 1/6. 
:அதாவது மொத்த தானுந்துகளில் ஆறில் ஒரு பங்கு வெள்ளை தானுந்துகள் உள்ளன.

:மொத்த தானுந்துகளில் சிவப்பு தானுந்துகளின் விகிதம்: 6:12 = 1:2
:இதன் பின்ன வடிவம் 1/2. 
அதாவது மொத்த தானுந்துகளில் இரண்டில் ஒரு பங்கு சிவப்பு தானுந்துகள் உள்ளன.

:மொத்த தானுந்துகளில் மஞ்சள் தானுந்துகளின் விகிதம்: 4:12 = 1:3. 
:இதன் பின்ன வடிவம் = 1/3. 
:அதாவது மொத்த தானுந்துகளில் மூன்றில் ஒரு பங்கு மஞ்சள் தானுந்துகள் உள்ளன.

எனவே அந்தத் தானுந்து நிறுத்தத்திலிருந்து, ஒருவர்  சமவாய்ப்பு முறையில் ஒரு தானுந்தைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது அது வெள்ளையாக இருப்பதற்கான வாய்ப்பு (நிகழ்தகவு) 1/6; சிவப்பாக இருப்பதற்கான வாய்ப்பு 1/2; மஞ்சளாக இருப்பதற்கான வாய்ப்பு 1/3.

### தலைகீழிகள்
ஒரு பின்னத்தின் தலைகீழி மற்றொரு பின்னமாகும். மூலப் பின்னத்தின் தொகுதி, பகுதிகளைப் பரிமாற்றி அதன் தலைகீழியைப் பெறலாம்.  
:\tfrac{8}{23} இன் தலைகீழி \tfrac{23}{8}.
 
ஒரு பின்னத்தையும் அதன் தலைகீழியையும் பெருக்கக் கிடைக்கும் விடை 1  ஆகும். எனவே ஒரு பின்னத்தின் தலைகீழியானது அப்பின்னத்தின் பெருக்கல் நேர்மாறு ஆகும்.

ஒரு தகு பின்னத்தின் தலைகீழி தகாபின்னமாக இருக்கும்:
:\tfrac{2}{41} இன் தலைகீழி \tfrac{41}{2}

எண் 1 க்குச் சமமில்லாத தகாபின்னத்தின் (பகுதியும் தொகுதியும் சமமாக இல்லாதவை) தலைகீழி தகுபின்னமாக இருக்கும்.
:\tfrac{89}{21} இன் தலைகீழி \tfrac{21}{89}

எந்தவொரு முழு எண்ணையும் எண் 1 ஐ பகுதியாகக் கொண்ட பின்னமாக எழுதலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 5 ஐ \tfrac{5}{1} என எழுதலாம். இங்கு எண் 1 ஆனது "கண்ணுக்குத்தெரியாத பகுதி" (*invisible denominator*) எனப்படும். எனவே பூச்சியம் தவிர்த்த அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் தலைகீழி உண்டு.  5 இன் தலைகீழி \tfrac{1}{5}.

### சிக்கல் பின்னங்கள்
:*[[சிக்கலெண்#பெருக்கலும் வகுத்தலும்|சிக்கலெண்]]களாலான பின்னங்களோடு இவற்றை குழப்பிக்கொள்ளக் கூடாது*
ஒரு சிக்கல் பின்னத்தின் (complex fraction) தொகுதி, பகுதி இரண்டுமே ஒரு பின்னமாக அல்லது கலப்பு பின்னமாக இருக்கும். அதாவது, ஒரு சிக்கல் பின்னமானது, இரு பின்னங்களின் வகுத்தலாக அமையும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:
\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}},  \frac{12\tfrac{3}{4}}{26} இரண்டும் சிக்கல் பின்னங்களாகும்.

ஒரு சிக்கல் பின்னத்தைச் சுருக்குவதற்கு, அதன் தொகுதிக்கும் பகுதிக்கும் இடைப்பட்ட அதிநீள பின்னக் கோட்டை வகுத்தல் குறியாக எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.

:\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}}=\tfrac{1}{2}\times\tfrac{3}{1}=\tfrac{3}{2}=1\tfrac{1}{2}

:\frac{12\tfrac{3}{4}}{26} = 12\tfrac{3}{4} \cdot \tfrac{1}{26} = \tfrac{12 \cdot 4 + 3}{4} \cdot \tfrac{1}{26} = \tfrac{51}{4} \cdot \tfrac{1}{26} = \tfrac{51}{104}

:\frac{\tfrac{3}{2}}5=\tfrac{3}{2}\times\tfrac{1}{5}=\tfrac{3}{10}

:\frac{8}{\tfrac{1}{3}}=8\times\tfrac{3}{1}=24.

ஒரு சிக்கல் பின்னத்தில் எந்த பின்னக்கோடு முதன்மையானது எனத் தெளிவாகத் தரப்பட்டிருக்காவிட்டால், அப்பின்னம் சரியான முறையில் அமைக்கப்படாத ஒன்றாகும். எடுத்துக்காட்டாக 5/10/20/40 என்பது சரியான முறையில் அமைக்கப்படாத கணிதக்கோவையாகும். மேலும் இதன் மதிப்பும் பலவிதங்களில் கணிக்கிடக்கூடியதாக அமையும்.

### கூட்டு பின்னங்கள்
ஒரு கூட்டு பின்னம் (*compound fraction*) என்பது ஒரு பின்னத்தின் பின்னமாக இருக்கும். பெருக்கலின் மூலம், ஒரு கூட்டு பின்னத்தை எளிய பின்னமாகச் சுருக்கலாம்.

எடுத்துகாட்டு:
\tfrac{5}{7} இன்  \tfrac{3}{4} பங்கு என்பது கூட்டு பின்னம் \tfrac{3}{4} \times \tfrac{5}{7}  ஆகும். இதனைச் சுருக்கி, \tfrac{3}{4} \times \tfrac{5}{7}= \tfrac{15}{28} என எழுதலாம்.

சிக்கல் பின்னமும் கூட்டு பின்னமும் ஒன்றுக்கொன்று நெருங்கிய தொடர்புடையன.

### தசம பின்னங்களும் விழுக்காடுகளும்
ஒரு தசம பின்னத்தில் (*decimal fraction*) அதன் பகுதியானது பத்தின் முழுஎண் அடுக்குகளாக இருக்கும். எனினும் தசம பின்னத்தின் பகுதி வெளிப்படையாக எழுதப்படுவதில்லை. தசம பின்னங்கள் தசமக் குறியீட்டில் எழுதப்படுகின்றன. அக்குறியீட்டில் தசம புள்ளிக்கு வலப்புறமுள்ள இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையே வெளிப்படையாக அமையாத பகுதியின் பத்தின் முழுஎண் அடுக்கைக் குறிக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, 0.75 இல் தசமப் புள்ளிக்கு வலப்புறம் இரண்டு இலக்கங்கள் உள்ளதால் அதன் பகுதி 10 இன் அடுக்கு இரண்டாக, அதாவது 100 ஆக இருக்கும்.  
:0.75 = \tfrac{75}{100} = \tfrac{75}{10^2} 

1 விடப் பெரிய தசம பின்னங்களை தகா பின்னங்களாக அல்லது கலப்பு பின்னங்களாக எழுதலாம்.
:3.75 =  \tfrac{375}{100}= 3\tfrac{75}{100}

அறிவியல் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி தசமபின்னங்களை எதிர்ம அடுக்குகளைக் கொண்டு எழுதலாம்.

0.0000006023 = .  ஆனது பகுதி  ஐத் தருகிறது.  ஆல் வகுக்கும்போது தசமபுள்ளியானது இடப்புறமாக ஏழு இடங்கள் நகர்கிறது.

தசமபுள்ளிக்கு வலப்புறம் முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான இலக்கங்களைக் கொண்ட தசமபின்னமானது ஒரு தொடரைக் குறிக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:
:1/3 = 0.333... = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ... .

பகுதிகளை வெளிப்படையாகக் கொண்டிராத மற்றொரு வகைப் பின்னங்கள் விழுக்காடுகள் ஆகும். இவற்றின் பகுதிகள் எப்போதும் 100 ஆகவே இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக,
::51% = 51/100

100 ஐ விட அதிகமான அல்லது பூச்சியத்தை விடக் குறைவான விழுக்காடுகளும் உண்டு. அவையும் பகுதிகளை 100 ஆகவே கொண்டிருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக
::311% = 311/100
::−27% = −27/100.

சாதாரண பின்ன அல்லது தசமபின்ன வடிவங்கள் இரண்டில் எதனைப் பயன்படுத்தலாம் என்பது சூழலின் தேவையைப் பொறுத்தும் கணக்கிடும் நபரின் விருப்பத்தையும் பொறுத்தது. பின்னத்தின் பகுதி சிறிய எண்ணாக இருக்கும்போது சாதாரண பின்ன வடிவம் தேர்ந்தெடுக்கப்படலாம். மனதிலேயே கணக்கிட அது உதவியாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக: 
*16 ஆல் 3/16 ஐப் பெருக்க வேண்டுமானால்,  3/16 ஐ தசமபின்ன வடிவில் எடுத்துக்கொள்வதைவிட, சாதாரண பின்ன வடிவத்தில் எளிதாகக் கணக்கிட முடியும். 
*1/3 ஐ 15 ஆல் பெருக்கும் போது சாதாரண பின்னமாகக் கொண்டு பெருக்கினால் விடை 5 என முழு எண்ணாகக் கிடைக்கும். ஆனால் 1/3 ஐ தசம வடிவிற்கு (1/3=0.3333...) என மாற்றி இப்பெருக்கலுக்கு விடை காண்போமானால் விடை முழு எண்ணாகக் கிடைக்காது.

பணமதிப்புகள் பொதுவாக தசமபின்ன வடிவில், இரண்டு தசமத்தானங்கள் கொண்டவையாக  எழுதப்படுகின்றன. இந்தியாவில் ரூ 85.50 எனவும் அமெரிக்காவில் $3.75 எனவும் எழுதப்படுகின்றன. தசமபின்னங்கள் பழக்கத்திற்கு வருமுன்னர் பிரித்தானியப் பணம் 3 ஷில்லிங் மற்றும் 6 பென்சு என்பது, 3/6 ("மூன்று மட்டும் ஆறு" என வாசிக்கவும்) என எழுதப்பட்டது. இதற்கும் சாதாரண பின்னம் 3/6 க்கும் எந்தவிதத் தொடர்பும் கிடையாது. .

## பின்னங்களின் கணிதம்
முழுஎண்களைப் போல பின்னங்களும் பரிமாற்றுத்தன்மை, சேர்ப்புப் பண்பு, பங்கீட்டு விதிகள், பூச்சியத்தால் வகுத்தல் விதி ஆகியவற்றை நிறைவு செய்கின்றன.

### சமவலு பின்னங்கள்
n ஒரு பூச்சியமற்ற எண் எனில், \tfrac{n}{n} = 1 ஆகும். எனவே \tfrac{n}{n} ஆல் பெருக்குவது என்பது 1 ஆல் பெருக்குவதற்குச் சமம். 1 ஆல் பெருக்கப்படுவதால் எந்தவொரு எண்ணும் அதன் மதிப்பில் மாறுவதில்லை. எனவே \tfrac{n}{n} ஆல் பெருக்குவதாலும் எந்த எண் அல்லது பின்னத்தின் மதிப்பு மாறாது. அதாவது, ஒரு பின்னத்தின் தொகுதியையும் பகுதியையும் ஒரே எண்ணால் பெருக்குவதால் அப்பின்னத்தின் மதிப்பு மாறாது. அவ்வாறு ஒரு பின்னத்தின் தொகுதி, பகுதியை ஒரே எண்ணால் பெருக்கக் கிடைக்கும் பின்னமானது மூல பின்னத்தின் சமவலு பின்னம் (*equivalent fraction*) என அழைக்கப்படும்.

ஒரு பின்னத்தின் தொகுதி மற்றும் பகுதிகளை பூச்சியமற்ற ஒரே எண்ணால் பெருக்கி அதன் சமான பின்னத்தைக் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

\tfrac{1}{2} பின்னத்தின் தொகுதி, பகுதிகளை 2 ஆல் பெருக்கக் கிடைக்கும் பின்னம் \tfrac{2}{4}.

ஒரு பொருளை இரண்டாகப் பிரித்து அதில் ஒரு பங்கு எடுப்பதும், அதே பொருளை நான்காகப் பிரித்து அதில் இரண்டு பங்குகளை எடுப்பதும் ஒரே அளவாக இருக்கும். எனவே இவ்விரு பின்னங்களும் ஒரே மதிப்பைக் குறிக்கும் (முழுப்பொருளில் பாதி).

:\tfrac{1}{2} இன் ஒரு சமவலு பின்னம் \tfrac{2}{4}

ஒரு பின்னத்தின் தொகுதி, பகுதியை பூச்சியமற்ற ஒரே எண்ணால் வகுத்தும் அப்பின்னத்தின் சமவலு பின்னத்தைப் பெறலாம். இது பின்னச் சுருக்கம் எனப்படும்.

:

:

### பின்னங்களை ஒப்பிடல்
*ஒரே பகுதிகளைக் கொண்ட பின்னங்களை அவற்றின் தொகுதிகளை ஒப்பிடுவதன் மூலம் ஒப்பிடலாம். பகுதிகள் ஒன்றாக இருக்கும்போது பெரிய தொகுதியுடைய பின்னமே சிறிய தொகுதி கொண்ட பின்னத்தை விடப் பெரியதாகும்.
:\tfrac{3}{4}>\tfrac{2}{4}

*இரு பின்னங்கள் ஒரே தொகுதி கொண்டிருந்தால், சிறிய பகுதி கொண்ட பின்னமே பெரிய பகுதி கொண்ட பின்னத்தைவிடப் பெரியதாகும்.
:\tfrac{4}{3}>\tfrac{4}{5}

இரு பின்னங்களை ஒப்பிடுவதற்கு, அவற்றின் பகுதிகளைச் சமமானவைகளாக மாற்றுவது ஒரு வழிமுறையாகும்.
:\tfrac{a}{b}, \tfrac{c}{d} இரண்டையும் ஒப்பிடுவதற்கு அவை  பின்வருமாறு சமான மாற்றப்படுகின்றன:
:\tfrac{a}{b} = \tfrac{ad}{bd}
:\tfrac{c}{d} = \tfrac{bc}{bd} 
இரண்டின் பகுதிகளும் ஒன்றாக உள்ளன. எனவே தொகுதிகளான *ad* , *bc* இரண்டையும் ஒப்பிடுவதன் மூலம் இவ்விரு பின்னங்களில் எது பெரியது, எது சிறியது எனத் தீர்மானிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:
:\tfrac{2}{3}, \tfrac{1}{2}

சம பகுதிகளைக் கொண்டச் சமான பின்னங்களைக் காண: 
:\tfrac{2}{3} = \tfrac{4}{6}; \tfrac{1}{2}= \tfrac{3}{6} 
:\tfrac{4}{6}>\tfrac{3}{6}
:\tfrac{2}{3}>\tfrac{1}{2}

இரண்டு பின்னங்களையும் ஒன்றின் தொகுதி, பகுதிகளை மற்றதன் பகுதியால் பெருக்கி, இரு பின்னங்களின் பகுதிகளை ஒரே எண்ணாகக் கொண்ட சமான பின்னங்களாக மாற்றலாம்: 
:\tfrac{5}{18}; \tfrac{4}{17}

:ஒரு பின்னத்தின் தொகுதி, பகுதிகளை இன்னொன்றின் பகுதியால் பெருக்க:
:\tfrac{5 \times 17}{18 \times 17} ? \tfrac{4 \times 18}{17 \times 18}
: 5×17 (=&nbsp;85) > 4×18 (=&nbsp;72), 
:\tfrac{5}{18}>\tfrac{4}{17}.

எதிர்ம பின்னங்கள் உட்பட ஒவ்வொரு எதிர்ம எண்ணும் பூச்சியத்தை விடச் சிறியவை; நேர்ம பின்னங்கள் உட்பட ஒவ்வொரு நேர்ம எண்ணும் பூச்சியத்தை விடப் பெரியவை. எனவே ஒவ்வொரு எதிர்ம பின்னமும் ஒரு எந்தவொரு நேர்ம பின்னத்தை விடவும் சிறியதாகும்.

### கூட்டல்
இரு பின்னங்களைக் கூட்டுவதற்கு முக்கிய தேவையாக அவற்றின் பகுதிகள் சமமானவையாக இருக்க வேண்டும். 
:\tfrac24+\tfrac34=\tfrac54=1\tfrac14.

கூட்ட வேண்டிய பின்னங்களின் பகுதிகள் ஒரே எண்ணாக இல்லையெனில், முதலில் அவற்றை ஒரே பகுதிகளைக் கொண்ட சமான பின்னங்களாக மாற்றிக் கொண்டு, பின் கூட்ட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:
*\tfrac14\ + \tfrac13=\tfrac{1*3}{4*3}\ + \tfrac{1*4}{3*4}=\tfrac3{12}\ + \tfrac4{12}=\tfrac7{12}.
*\tfrac35=\tfrac35\times\tfrac33=\tfrac9{15}
:\tfrac23\times\tfrac55=\tfrac{10}{15}.
:\tfrac35+\tfrac23=\tfrac9{15}+\tfrac{10}{15}=\tfrac{19}{15}=1\tfrac4{15}

பின்னங்களின் கூட்டலின் இயற்கணித விளக்கம்:
:\tfrac{a}{b} + \tfrac {c}{d} = \tfrac{ad+cb}{bd}
மூன்று பின்னங்களின் கூட்டல்:
:\tfrac{a}{b} + \tfrac {c}{d} + \tfrac{e}{f} = \tfrac{a(df)+c(bf)+e(bd)}{bdf}

கூட்ட வேண்டிய பின்னங்களை ஒரே பகுதி கொண்டவையாக மாற்றுவதற்கு மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில் தரப்பட்டுள்ளது போல ஒன்றின் பகுதியால் மற்றொன்றின் தொகுதி, பகுதிகளைப் பெருக்குவதற்குப் பதிலாக, இரு பின்னங்களின் பகுதிகளை அவற்றின் மீச்சிறு பொது மடங்காக மாற்றுவதற்குத் தேவையான எண்களைக் கொண்டு முறையே அந்த இரு பின்னங்களின் தொகுதி, பகுதிகளைப் பெருக்கிக் கொள்ளலாம்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:
*\tfrac{3}{4}, \tfrac{5}{12} இவ்விரு பின்னங்களின் பகுதிகள் முறையே 4, 12. இவற்றின் மீசிம=12. எனவே முதல் பின்னத்தின் தொகுதி, பகுதிகளை மட்டும் எண் 3 ஆல் பெருக்கிக் கொண்டால் போதும்.  
:\tfrac34+\tfrac{5}{12}=\tfrac{9}{12}+\tfrac{5}{12}=\tfrac{14}{12}=\tfrac76=1\tfrac16

*\tfrac{2}{9}, \tfrac{3}{15} இவ்விரு பின்னங்களின் பகுதிகள் முறையே 9, 15. இவற்றின் மீசிம=45. எனவே முதல் பின்னத்தின் தொகுதி, பகுதிகளை மட்டும் எண் 5 ஆலும், இரண்டாவது பின்னத்தின் தொகுதி, பகுதிகளை 3 ஆலும் பெருக்க வேண்டும்.  
:\tfrac{2}{9}+\tfrac{3}{15}=\tfrac{10}{45}+\tfrac{9}{45}=\tfrac{19}{45}

### கழித்தல்
கூட்டலைப் போன்றதே பின்னங்களின் கழித்தலும். இரு பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கு அவற்றின் பகுதிகள் ஒன்றாக இருக்க வேண்டும். கழிக்க வேண்டிய இரு பின்னங்களின் பகுதிகள் ஒரே எண்ணாக இல்லையெனில், அவற்றை ஒரே பகுதி கொண்ட பின்னங்களாக மாற்றிக் கொண்ட பின் கழிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:
:\tfrac23-\tfrac12=\tfrac46-\tfrac36=\tfrac16

### பெருக்கல்

#### ஒரு பின்னத்தை மற்றொரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்
இரு பின்னங்களைப் பெருக்குவதற்கு அவற்றின் தொகுதியைத் தொகுதியாலும், பகுதியைப் பகுதியாலும் பெருக்க வேண்டும்:

:\tfrac{2}{3} \times \tfrac{3}{4} = \tfrac{6}{12}

விளக்கம்:
முழுமையான ஒரு பொருளின் காற்பங்கை (நான்கில் ஒரு பங்கு-1/4) எடுத்துக்கொண்டு அதனை மூன்று சம பங்குகளாகப் பிரிக்க, அந்த மூன்று சிறு சம பங்குகளில் ஒரு துண்டைப் போன்ற 12 பங்குகள் சேர்ந்து முழுப்பொருளுக்குச் சமமாக அமையும். அதாவது காற்பங்கின் மூன்றில் ஒரு பங்கு என்பது பனிரெண்டில் ஒரு பங்காகும் (1/12) (1/4 இன் 1/3 பங்கு = 1/12). காற்பங்கில் மூன்றிலொரு பங்கு என்பது பனிரெண்டிலொரு பங்கு (1/12) என்பதால், காற்பங்கில் மூன்றிலிரு பங்கு என்பது பனிரெண்டிலிரு பங்கு (2/12). 3/4 என்பது காற்பங்கின் மூன்று மடங்கு என்பதால் 3/4 இன் மூன்றிலிரு பங்கின் மதிப்பு 2/12 இன் மூன்று மடங்காக (6/12) இருக்கும். அதாவது 2/3 x 3/4 = 6/12.

#### பின்னத்தை முழுஎண்ணால் பெருக்குதல்
எந்தவொரு முழுஎண்ணையும் பகுதி 1 கொண்ட பின்னமாகக் கருதலாம் என்பதால் இரு பின்னங்களைப் பெருக்குவதைப் போன்றதே முழுஎண்ணால் பின்னத்தைப் பெருக்குவதும்.

எடுத்துக்காட்டு:
:6 \times \tfrac{3}{4} = \tfrac{6}{1} \times \tfrac{3}{4} = \tfrac{18}{4}

#### கலப்பு பின்னங்களைப் பெருக்குதல்
கலப்பு பின்னம் (பின்னங்களை) தகா பின்னங்களாக மாற்றிக்கொண்டு இரு பின்னங்களைப் பெருக்குவதைப் போல இவற்றையும் பெருக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு:
:3 \times 2\tfrac{3}{4} = 3 \times \left (\tfrac{8}{4} + \tfrac{3}{4} \right ) = 3 \times \tfrac{11}{4} = \tfrac{33}{4} = 8\tfrac{1}{4}

### வகுத்தல்
ஒரு பின்னத்தை ஒரு முழு எண்ணால் வகுப்பதற்கு, பின்னத்தின் தொகுதியை அந்த முழுஎண்ணால் வகுக்கலாம் அல்லது பகுதியை அந்த முழுஎண்ணால் பெருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:
\tfrac{10}{3} \div 5 = \tfrac{10/5}{3} =\tfrac{10}{3 \cdot 5} = \tfrac{10}{15} = \tfrac{2}{3}.

ஒரு முழுஎண்ணை (அல்லது பின்னம்) ஒரு பின்னத்தால் வகுப்பதற்கு அந்த எண்ணை பின்னத்தின் தலைகீழியால் பெருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:
: \tfrac{1}{2} \div \tfrac{3}{4} = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{4}{3} = \tfrac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \tfrac{2}{3}

### பின்னத்தை தசம பின்னமாக மாற்றுதல்
ஒரு பின்னத்தை தசமபின்னமாக மாற்றுவதற்கு, அப்பின்னத்தின் தொகுதியை பகுதியால் வகுக்க வேண்டும். சரியாக வகுபடாவிட்டால் தேவையான இலக்கங்களுக்குத் தோராயப்படுத்திக் கொள்ளலாம்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:
*1/4 =0.25
   0.25
   4)1.00
      8        
       20       
        20                                                    
         0

*1/3 = 0.333...

   0.333...
   3)1.00
      9        
       10       
        10                                                    
         1

### தசமபின்னத்தை சாதாரண பின்னமாக்கல்
ஒரு தசமபின்னத்தை சாதாரண பின்னமாக்க, தசமபுள்ளிக்கு வலப்புறம் எத்தனை இலக்கங்கள் உள்ளனவோ அத்தனை பத்தின் நேர்ம அடுக்கால் அத்தசமபின்னத்தைப் பெருக்கி வகுக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு:
: 12.3456 = 12.3456 \times \frac{10000}{10000} = = \frac{123456}{10000}

#### மீளும் தசமபின்னத்தை சாதாரண பின்னமாக்கல்

கணக்கிடுதலுக்கு சாதாரண பின்னங்களைவிட மீளும் தசமங்கள் எளிதானவை என்றாலும், சில சூழல்களில் சாதாரண பின்னங்கள் போன்று இவை துல்லியமான விடைகளைத் தருவதில்லை. அவ்வாறான நிலைகளில் மீளும் தசமங்களை சாதாரண பின்னங்களாக மாற்றிக்கொள்ள வேண்டியதாகிறது.

பொதுவாக மீளும் தசமங்கள், அவற்றின் சுழலும் தசமங்களின் மேல் ஒரு கோடிடப்பட்டு குறிக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, 0. = 0.789789789…

தசமபுள்ளிக்கு அடுத்தபடியாகவே மீள்கை தொடங்கும் மீள் தசமங்களில், அவற்றின் சாதாரண பின்னவடிவின் தொகுதி அந்த மீள் இலக்கங்களாகவும், பகுதியானது எத்தனை இலக்கங்கள் மீள்கின்றனவோ அதனை 9 -கள் கொண்ட எண்ணாகவும் அமையும்.
:0. = 5/9
:0. = 62/99
:0. = 264/999
:0. = 6291/9999

தசமபுள்ளிக்கும் மீள்தசம இலக்கங்களின் தொடக்கநிலைக்கும் இடையே பூச்சியங்கள் இருக்குமானால் அப்பூச்சியங்களின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமான பூச்சியங்கள், மேற்காணும் முறையில் பகுதியில் எழுதப்படும் 9 களுக்கு அடுத்து எழுதப்படும்
:0.0 = 5/90
:0.000 = 392/999000
:0.00 = 12/9900

மீள் தசமபின்னங்களின் தசமப்பகுதியில் மீளாத இலக்கங்களும் இருக்குமானால் பின்வரும் முறையில் அவற்றின் சாதாபின்னவடிவம் அமையும்.
:0.1523)
:0.1523 + 0.0000
:1523/10000 + 987/9990000 = 1522464/9990000

இயற்கணிதமுறை
# Let x = மீள்தசமம்
#:x = 0.1523
#மீளா இலக்கங்களின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமான 10 இன் அடுக்கால இருபுறமும் பெருக்கினால் தசமபுள்ளியை அடுத்து மீள்தசம இலக்கங்கள் மட்டுமே இருக்கும் வடிவம் கிடைக்கும். (இக்கணக்கிற்கு 104)
#:10,000x = 1,523.--------(1)
#மீளும் தசம இலக்கங்களின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமான 10 இன் அடுக்கால் இருபுறமும் பெருக்க வேண்டும். (இதில் 103) 
#:10,000,000x = 1,523,987.--------(2)
#(2) - (1)
#:10,000,000x − 10,000x = 1,523,987. − 1,523.
#மீள்தசமங்கள் நீங்கும்வரை கழித்தலைத் தொடர வேண்டும்
#:9,990,000x = 1,523,987 − 1,523
#:9,990,000x = 1,522,464
#:x = 1522464/9990000
::0.1523 = 1522464/9990000

## நுண்புலக் கணிதத்தில் பின்னம்
நடைமுறை வாழ்க்கையில் பின்னங்கள் முக்கியத்துவம் வாய்ந்ததாக இருந்ததோடு, கணிதவியலாளர்களாலும் சீர்பார்க்கப்பட்டு மேல்தரப்பட்ட விதிகள் சரியானவையே என உறுதிப்படுத்தப்பட்டது. மேலும் கணிதவியலாளர்கள் பின்னத்தை கீழுள்ளவாறு இரு முழுவெண்களின் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஒரு இரட்டையாக வரையறுக்கின்றனர். 
:(a,b) a, b  இரண்டும் முழு எண்கள்; a மற்றும் b \ne 0,

பின்னத்தைன் இவ்வகை வரையறைக்கான கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் செயல்களின் வரையறைகள்:

:(a,b) + (c,d) = (ad+bc,bd) \,
:(a,b) - (c,d) = (ad-bc,bd) \,
:(a,b) \cdot (c,d) = (ac,bd)
:(a,b) \div (c,d) = (ad,bc) \quad(\text{with, additionally, } c \ne 0) 

கணிதச் செயல்களின் இந்த வரையறைகள் கட்டுடையின் மேற்பகுதியில் தரப்பட்ட வரையறைகளோடு எல்லாவிதத்திலும் ஒத்திருக்கின்றன; குறியீட்டளவில் மட்டுமே வேறுபடுகிறது.

கழித்தலையும் வகுத்தலையும் செயலிகளாக வரையறுப்பதற்குப் பதிலாக கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலின் நேர்மாறு பின்னங்களாக கீழ்வருமாறு வரையறுக்கலாம்:

:\begin{array}{llrrl}
     &-(a,b) &= &(-a, b) &\quad \text{additive inverse fractions,} \\
      &&&&\quad\text{with } (0,b) \text{ as additive unities, and}\\
     &\;\;\ (a,b)^{-1} &= &(b,a) &\quad \text{multiplicative inverse fractions, for } a \ne 0, \\
      &&&&\quad\text{with } (b,b) \text{ as multiplicative unities}.
   \end{array}

மேலும், 
:(a, b) \sim (c, d)\quad \iff \quad ad=bc, என்ற உறவு, பின்னங்களின் சமான உறவாக உள்ளது.

## இயற்கணித பின்னங்கள்

இரு இயற்கணிதக் கோவைகளின் வகுத்தலாக அமைவது ஒரு இயற்கணித பின்னமாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:
*\frac{3x}{x^2+2x-3}
*\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}.

இயற்கணித பின்னங்களும் சாதரண எண்கணித பின்னங்களின் விதிமுறைகளுக்குட்பட்டவையாகும்.

தொகுதியும் பகுதியும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகக் கொண்ட இயற்கணிதப் பின்னமானது விகிதமுறு கோவை அல்லது விகிதமுறு பின்னம் எனப்படும்.

எகா: \frac{7x+5}{x^3+2x^2-3}

தொகுதி அல்லது பகுதியிலுள்ள இயற்கணிதக் கோவையானது பின்ன அடுக்குகொண்ட மாறியில் அமைந்திருந்தால் அந்த இயற்கணித பின்னமானது விகிதமுறா பின்னம் எனப்படும்..

எகா: \frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}

சாதாரண பின்னங்களைப் போன்றே இயற்கணித பின்னத்தின் தொகுதி, பகுதி கோவைகளுக்கு பொதுக் காரணிகள் இல்லாத இயற்கணிதப் பின்னங்கள் எளிய வடிவில் அமைந்துள்ளதாகக் கருதப்படும்.

தொகுதி அல்லது பகுதியில் அல்லது இரண்டிலும் பின்னக் கோவைகளைக் கொண்டவை சிக்கல் பின்னம் எனப்படும்.

எகா: \frac{1 + \tfrac{1}{x}}{1 - \tfrac{1}{x}}

ஒரு இயற்கணித பின்னத்தை விகிதமுறு கோவைகளின் கூட்டலாக எழுதும் போது அந்த விகிதமுறு கோவைகள் பகுதி பின்னங்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன. தரப்பட்டு இயற்கணித பின்னத்தின் பகுதியாகவுள்ள கோவையின் படியை விடக் குறைந்த படியுள்ள கோவையைப் பகுதியாகக் கொண்ட விகிதமுறு கோவைகளின் கூடுதலாக மூல பின்னம் எழுதப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு:
: \textstyle{2x \over x^2-1} = \textstyle{1 \over x+1} + \textstyle{1 \over x-1}

## தமிழில் கீழ்வாய் எண்கள்

* 15/16 = 0.9375 = முக்காலே மூன்று வீசம்
* 3/4 = 0.75 = முக்கால்
* 1/2 = 0.5 = அரை
* 1/4 = 0.25 = கால்
* 1/5 = 0.2 = நால்மா/நான்மா
* 3/16 = 0.1875 = மூன்று வீசம்
* 3/20 = 0.15 = மூன்றுமா
* 1/8 = 0.125 = அரைக்கால்
* 1/10 = 0.1 = இருமா
* 1/16 = 0.0625 = வீசம்
* 1/20 = 0.05 = மா
* 3/64 = 0.046875 = முக்கால் வீசம்
* 3/80 = 0.0375 = முக்காணி
* 1/32 = 0.03125 = அரை வீசம்
* 1/40 = 0.025 = அரை மா
* 1/64 = 0.015625 = கால் வீசம்
* 1/80 = 0.0125 = காணி
* 3/320 = 0.009375 = அரைக்காணி முந்திரி
* 1/160 = 0.00625 = அரைக் காணி
* 1/320 = 0.003125 = முந்திரி
* 3/1280 = 0.00234375 = கீழ் முக்கால்
* 1/640 = 0.0015625 = கீழ் அரை
* 1/1280 = 0.00078125 = கீழ்க் கால்
* 1/1600 = 0.000625 = கீழ் நால்மா
* 3/5020 = 0.000597609 = கீழ் மூன்று வீசம்
* 1/2560 =0.000390625 = கீழ் அரைக்கால்
* 1/3200 = 0.0003125 = கீழ் இருமா
* 1/5120 = 0.000195312= கீழ் மாகாணி
* 1/6400 = 0.00015625 = கீழ் மா
* 3/25600 = 0.000117187 = கீழ் முக்காணி
* 1/12800 = 0.000078125 = கீழ் அரைமா
* 1/25600 = 0.000039062 = கீழ்க்காணி
* 1/51200 = 0.000019531 = கீழ் அரைக்காணி
* 1/102400 = 0.000009765 = கீழ் முந்திரி}
*1/2,150,400= இம்மி 
*1/23,654,400= மும்மி 
*1/165,580,800= அணு 
*1/1,490,227,200= குணம் 
*1/7,451,136,000= பந்தம் 
*1/44,706,816,000= பாகம் 
*1/312,947,712,000= விந்தம் 
*1/5,320,111,104,000= நாகவிந்தம் 
*1/74,481,555,456,000= சிந்தை 
*1/1,489,631,109,120,000= கதிர்முனை 
*1/59,585,244,364,800,000= குரல்வளைப்பிடி 
*1/3,575,114,661,888,000,000= வெள்ளம் 
*1/357,511,466,188,800,000,000= நுண்மணி 
*1/2,323,824,530,227,200,000,000= தேர்த்துகள்

## மேற்கோள்கள்

## மேலும் விவரங்களுக்கு
*mathsisfun-Fractions !
* தமிழ் மின் நூலகம்

பகுப்பு:பின்னங்கள்
பகுப்பு:தமிழ்க் கணிதம்
பகுப்பு:வகுத்தல் (கணிதம்)