நேர்மாறுச் சார்பு

கணிதத்தில் **நேர்மாறுச் சார்பு** (*inverse function*) என்பது ஒரு சார்பினால் ஏற்படக்கூடிய விளைவை இல்லாமல் செய்யக்கூடிய விளைவுடைய மற்றதொரு சார்பாகும். *x* எனும் உள்ளீட்டின்  ƒ சார்புக்குரிய வெளியீடு *y* எனில் நேர்மாறுச் சார்பு *g* ஆனது *y* -ஐ உள்ளிடாகவும் *x* -ஐ வெளியீடாகவும் கொண்டிருக்கும். அதாவது:

:ƒ(*x*)=*y* எனில்,  *g*(*y*)=*x*.

இரண்டையும் ஒன்றாகச் சேர்த்து ஒரே குறியீட்டில் *g*(ƒ(*x*))=*x* எனக் குறிக்கலாம். சார்புகளின் சேர்ப்புச் செயலியைப் பயன்படுத்தி, *g*(*x*) சார்பை ƒ(*x*)  சார்புடன் சேர்க்கக் கிடைக்கும் இப்புதுச் சார்பு மாறி *x* -ஐ எந்தவொரு மாற்றமுமின்றி அப்படியேத் திருப்பித் தருகின்றது.

ஒரு சார்புக்கு நேர்மாறுச் சார்பு இருந்தால் அச்சார்பு *நேர்மாற்றத்தக்கச் சார்பு* எனப்படும். நேர்மாற்ற்றத் தக்க சார்புகளின் நேர்மாறுச் சார்புகள் தனித்தன்மை உடையவை. அதாவது ஒரு நேர்மாற்றத்தக்கச் சார்புக்கு ஒரேயொரு நேர்மாறுச் சார்புதான் உண்டு. ƒ சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பின் குறியீடு: ƒ−1 (வாசிக்க: *f -ன் நேர்மாறு*.  இக்குறியீட்டைத் தவறாக  ƒ -ன் அடுக்கு -1 என எடுத்துக்கொள்ளக் கூடாது.)

## வரையறை

ƒ சார்பின் ஆட்களம் *X*, வீச்சு *Y* எனில்:
:*Y* -ஐ ஆட்களமாகவும் *X* -ஐ வீச்சாகவும் கொண்டு,
:f(x) = y\,\,\text{if and only if}\,\,g(y) = x\text{.}\,\!
:என்பதையும் நிறைவு செய்யும் ஒரு தனித்த சார்பு *g* இருக்குமானால் சார்பு ƒ நேர்மாற்றத்தக்கதாகும்.  *g*  சார்பு, ƒ சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு என அழைக்கப்படும். மேலும் நேர்மாறுச் சார்பின் குறியீடு ƒ−1.

ஒரு சார்பின் நேர்மாறு உறவு அச்சார்பின் வீச்சு *Y* -ன் மீது ஒரு சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அச்சார்பு நேர்மாற்றத்தக்கதாகும். அப்பொழுது அந்த நேர்மாறுத் தொடர்பே சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாகவும் இருக்கும்.

அனைத்து சார்புகளுக்கும் நேர்மாறுச் சார்புகள் இருக்காது. ஒரு சார்பின் வீச்சிலில் உள்ள ஒவ்வொரு *y*&nbsp;∈&nbsp;*Y* -ம் ஆட்களத்தின் ஒரேயொரு உறுப்புக்கு மட்டும் (*x*&nbsp;∈&nbsp;*X*) எதிருருறுப்பாக இருந்தால்தான் அச்சார்புக்கு நேர்மாறுச் சார்பு உண்டு. இப்பண்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்று பண்பு எனவும் இப்பண்புடைய சார்புகள் உள்ளிடு சார்புகள் எனவும் அழைக்கப்படும்.

### நேர்மாறல் சார்பும் எதிர்மாறல் சார்பும்

*நேர் மாறல் சார்பு* :
: y = kx.
இச்சார்பில் அமைந்துள்ள கணிதச் செயல் பெருக்கல். பெருக்கல் செயலுக்கு எதிர் கணிதச் செயல் வகுத்தல். பெருக்கலுக்குப் பதில் வகுத்தலைப் பயன்படுத்த இச்சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக எதிர் மாறல் சார்பு கிடைக்கின்றது.

*எதிர்மாறல் சார்பு*: 
: y = kx.

### வர்க்கச் சார்பும் வர்க்கமூலச் சார்பும்

வர்க்கச் சார்பு:
: f(x) = x^2 
வர்க்கச் சார்பின் ஆட்களத்தைப் பொறுத்து அது நேர்மாற்றத்தக்கதாக அமையும். அதாவது வர்க்கமூலச் சார்பு அதன் நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும்.

ஆட்களம் மெய்யெண் கணமாக இருந்தால் வீச்சில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் இரண்டு முன்னுருக்கள் ஆட்களத்தில் இருக்கும்.( எடுத்துக்காட்டாக, 5 மற்றும் -5 இரண்டின் வர்க்கமும் 25 தான்.) எனவே நேர்மாறுச் சார்பு கிடையாது.

ஆட்களம் எதிரெணில்லா மெய்யெண்களின் கணமாக இருந்தால் வர்க்கச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக வர்க்கமூலச் சார்பு அமையும்.

### நேர்மாறுச் சார்புகளும் சார்புகளின் தொகுப்பும்
ƒ ஒரு நேர்மாற்றத் தக்க சார்பு மற்றும் அதன் ஆட்களம் *X*, வீச்சு  *Y* எனில்:
: f^{-1}\left( \, f(x) \, \right) = x, \forall x \in X\text{.} 

சார்புகளின் தொகுப்புச் செயலியைப் பயன்படுத்தி இதனைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:
: f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_X\text{,} 

இதில் id*X* என்பது *X* கணத்தின் மீதான முற்றொருமைச் சார்பு.

### குறியீடு பற்றி ஒரு குறிப்பு
ƒ−1(*x*), ƒ(*x*)−1 இரண்டும் ஒன்றல்ல.  ƒ−1(*x*) -லுள்ள  "&minus;1" அடுக்கைக் குறிக்காது. நேர்மாறுச் சார்பைப் போலவே தொடரும் சார்புகளும் (iterated function) குறிக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, ƒ2 என்பது சார்பு ƒ -ஐ இருமுறைத் தொடர்ந்து செயல்படுத்துவதைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக,

 எனில்:

    .

குறியீட்டில் இத்தொடர் செயல்முறையைக் கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்:
: f^2(x) = f(f(x)) = (f \circ f)(x). 

நுண்கணிதத்தில், ƒ(*n*) என்பது ƒ சார்பின் *n* -ம் வகைக்கெழுவைக் குறிக்கும். எடுத்துக்காட்டாக,
: f^{(2)}(x) = \frac{d^{2}}{dx^{2}}f(x).

முக்கோணவியலில் sin2&nbsp;*x* என்பது வழக்கமாக sin&nbsp;*x* -ன் வர்க்கத்தைக் குறிக்கம்:
: \sin^2 x = (\sin x)^2. \,\!

எனினும் sin−1&nbsp;*x* என்பது sin&nbsp;*x* -ன் பெருக்கல் தலைகீழியைக் குறிப்பதில்லை, மாறாகச் சைன் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பைக் குறிக்கிறது. இக்குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்காக நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் முக்கோணவியல் சார்புகளின் பெயர்களுக்கு முன் "arc" என்ற முன்னொட்டைச் சேர்த்து எழுதப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, சைன் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பானது sin−1&nbsp;*x* என்பதற்குப் பதில் arcsin எனக் குறிக்கப்படுகிறது. 
:\sin^{-1} x = \arcsin x. \,\!

 என்ற சைன் சார்பின் பெருக்கல் தலைகீழி  csc&nbsp;''x'':
: \csc x = (\sin x)^{-1} = \frac{1}{\sin x}. \,\!

## பண்புகள்
### தனித்தன்மை
ஒரு சார்பு நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் அதற்கு ஒரேயொரு நேர்மாறுச் சார்பு மட்டுமே இருக்கும். அதாவது ஒரு சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு தனித்தன்மையுடையது. மேலும் அச்சார்பின் நேர்மாறுத் தொடர்பே அதன் நேர்மாறுச் சார்பாக அமையும்.

### சமச்சீர்
ஒரு சார்பும் அதன் நேர்மாறு சார்புக்கும் இடையே ஒரு சமச்சீர்த்தன்மை உள்ளது.

ஆட்களம் *X* மற்றும் வீச்சு *Y* கொண்ட சார்பு ƒ நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் அதன் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ−1 -ன் ஆட்களம் *Y* கணமாகவும் வீச்சு *X* கணமாகவும் இருக்கும். மேலும்  ƒ−1 -ன் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ ஆக இருக்கும்.

ƒ சார்பின் ஆட்களம் *X* மற்றும் வீச்சு *Y*.  *g* சார்பின் ஆட்களம் *Y* மற்றும் வீச்சு *X*  எனில்:
:g \circ f = \mathrm{id}_X எனில்

:f \circ g = \mathrm{id}_Y  ஆகும்.

ஒரு சார்பு மற்றும் அதன் நேர்மாறு இரண்டுக்குமுள்ள சமச்சீர்ப் பண்பினைப் பின்வருமாறு தரலாம்:

:\left(f^{-1}\right)^{-1} = f . \,\!

இரு சார்புகளின் சேர்ப்புச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு:
:(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}

இதில் *g* மற்றும் *f* -ன் வரிசை மாறுகிறது. *f* -ஐ தொடர்ந்த *g* -ன் விளைவைச் செயலற்றதாக்குவதற்கு, முதலில் *g* -ன் விளைவைச் செயலற்றதாக்கிப் பின் *f* -ன் விளைவைச் செயலற்றதாக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு:
: 
:.

சேர்ப்பு சார்பு  என்பது முதலில் மூன்றால் பெருக்கிப் பின் ஐந்தைக் கூட்டும் விளைவை ஏற்படுத்தும் சார்பு.:
:(g \circ f)(x) = 3x + 5
இவ்விளைவை இல்லாமல் செய்வதற்கு முதலில் ஐந்தைக் கழித்துப் பின் மூன்றால் வகுக்க வேண்டும்:
:(g \circ f)^{-1}(y) = \tfrac13(y - 5)

இது  என்ற சேர்ப்புச் சார்புக்குச் சமமாக உள்ளது.

### தன் நேர்மாறு
*X* என்ற கணத்தின் மீதான முற்றொருமைச் சார்பு தனக்குத்தானே நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும்:
:\mathrm{id}_X^{-1} = \mathrm{id}_X

பொதுவாகச் சார்பு  -க்கு, 
: id*X* என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே ƒ தனக்குத்தானே நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும்.

## நுண்கணிதத்தில் நேர்மாறுச் சார்புகள்
ஒரு-மாறி நுண்கணிதத்தில் மெய்யெண் கணத்திலிருந்து மெய்யெண் கணத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்ட சார்புகள்தான் முக்கியமாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன. அச்சார்புகள் பெரும்பாலும் கீழ்க்காண்பது போன்ற வாய்ப்பாடுகளால் தரப்படுகின்றன:

:f(x) = (2x + 8)^3 . \,\!

சில முக்கிய சார்புகளும் அவற்றின் நேர்மாறுச் சார்புகளும் கொண்ட அட்டவணை:
:
*
:

### நேர்மாறுச் சார்பின் வாய்ப்பாடு
*y* = ƒ(*x*) என்ற சார்பின் வாய்ப்பாட்டிலிருந்து *x* -ன் மதிப்பைக் கண்டுபிடித்தால் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ−1 -ன் வாய்ப்பாடு கிடைக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

:f(x) = (2x + 8)^3 \,\!

:\begin{align}
      y         & = (2x+8)^3 \\
  \sqrt[3]{y}   & = 2x + 8   \\
\sqrt[3]{y} - 8 & = 2x       \\
\dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} & = x .
\end{align}

நேர்மாறுச் சார்பு  ƒ−1 -ன் வாய்ப்பாடு:
:f^{-1}(y) = \dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} . \,\!

சிலசமயங்களில் நேர்மாறுச் சார்பின் வாய்ப்பாடு முடிவுறு எண்ணிக்கை கொண்ட வாய்ப்பாடாக அமையாமலும் இருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:
:f(x) = x - \sin x , \,\!

இச்சார்பு ƒ, ஒன்றுக்கு-ஒன்றுச் சார்பாக இருப்பதால் இதற்கு நேர்மாறுச் சார்பு உண்டு. அந்நேர்மாறுச் சார்பின் வாய்ப்பாடு முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:

: f^{-1}(y) =
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}
 {\frac{y^{\frac{n}{3}}}{n!}} \lim_{ \theta \to 0} \left(
 \frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d} \theta^{\,n-1}} \left(
 \frac{ \theta }{ \sqrt[3]{ \theta - \sin( \theta )} } ^n \right)
\right)


### நேர்மாறுச் சார்பின் வரைபடம்

: y = f(x)  எனும் ƒ சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ−1 -ன் வரைபடம் x = f(y)  எனும் சமன்பாட்டின் வரைபடமாக இருக்கும்.

இச்சமன்பாடு மற்றும் ƒ சார்பின் சமன்பாடு  என்பதில் *x* மற்றும் *y* இரண்டையும் பரிமாற்றம் செய்வதால் கிடைக்கக்கூடியது என்பதால் ƒ சார்பின் வரைபடத்தில் *x* மற்றும் *y*, அச்சுகளை பரிமாற்றம் செய்தால் ƒ−1 -ன் வரைபடம் கிடைக்கும். இவ்வாறு அச்சுகளைப் பரிமாற்றுதல்  கோட்டில் பிரதிபலிப்பதற்குச் சமம்.

### நேர்மாறுச் சார்புகளும் வகையீடுகளும்
ஒருதொடர்ச்சியான சார்பு ƒ திட்டமாக ஏறும் அல்லது இறங்கும் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அது ஒரு ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

:f(x) = x^3 + x\,\! இச்சார்பின் வகைக்கெழு:

:f \prime (x) = 3x^2 + 1\,\! இவ்வாகைக்கெழுவின் மதிப்பு எப்பொழுதும் நேர்மதிப்பாகத்தான் இருக்கும் என்பதால் சார்பு ƒ  நேர்மாற்றத்தக்கதாக அமையும்.

சார்பு ƒ வகையிடத்தக்கது எனில்,  என இருக்கும்வரை அதன் நேர்மாறு வகையிடத்தக்கதாக இருக்கும். நேர்மாறுச் சார்பின் வகைக்கெழு:

:\left(f^{-1}\right)^\prime (y)  = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)} . 

 எனக் கொண்டால் மேற்காணும் வாய்ப்பாட்டைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

:\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy / dx} . 

## நடைமுறை வாழ்க்கையில் காணப்படும் எடுத்துக்காட்டுகள்

* ƒ என்பது வெப்ப அளவையின் அலகை செலியசிலிருந்து பாரன்ஹீட்டுக்கு மாற்றும் சார்பு எனில்:

: f(C) = \tfrac95 C + 32 ; \,\!

இதன் நேர்மாறுச் சார்பு வெப்ப அளவையின் அலகை பாரன்ஹீட்டிலிருந்து செலியசுக்கு மாற்றுகிறது:

: f^{-1}(F) = \tfrac59 (F - 32) , \,\!

: f^{-1}\left( \, f(C) \, \right) = f^{-1}\left( \, \tfrac95 C + 32 \, \right) = \tfrac59 \left( \left( \, \tfrac95 C + 32 \, \right) - 32 \right) =  C\text{, for every }C\text{.} 

*ƒ என்பது ஒரு குடும்பத்திலுள்ள ஒவ்வொரு குழந்தைக்கும் அதன் பிறந்த ஆண்டினைத் தொடர்புபடுத்தும் ஒரு சார்பு எனில் அச்சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு ஒரு குறிப்பிட்ட ஆண்டில் எந்தக் குழந்தை பிறந்தது என்ற தொடர்பைத் தரும் சார்பு.

ஆனால் அக்குடும்பத்தில் இரட்டைக் குழந்தகள் பிறந்திருந்தால் ƒ சார்பு இரு குழந்தைகளை ஒரே ஆண்டுடன் தொடர்பு படுத்தும். அப்போது இச்சார்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாக இராது. அதனால் அதற்கு நேர்மாறுச் சார்பு அமையாது.

அதேபோல அக்குடும்பத்தில் குழந்தைகள் பிறக்காத ஆண்டுகளை எடுத்துக் கொண்டாலும் அதனை ஒரு குழந்தையுடன் தொடர்பு படுத்தும் நேர்மாறுச் சார்பு இருக்காது என்பதால் இந்நிலையிலும் ƒ -க்கு நேர்மாறுச் சார்பு கிடையாது.

எனவே ஒவ்வொரு குழந்தையும் வெவ்வேறு ஆண்டுகளில் பிறந்திருந்து அந்த ஆண்டுகளை மட்டும் கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால் நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:
* f(\text{mathivathani}) = 2005,   f^{-1}(2005) = \text{mathivathani} 
* f(\text{poonkuzali}) = 2007,     f^{-1}(2007) = \text{poonkuzali} 
* f(\text{yaazhini}) = 2009,       f^{-1}(2009) = \text{yaazhini} 

## பொதுமைப்படுத்தல்
### பகுதி நேர்மாறுச் சார்புகள்

சார்பு ƒ ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாக இல்லாமல் இருந்தால் கூட அதன் ஆட்களத்தைக் கட்டுப்படுத்துவதன் மூலம் அதற்கு ஒரு *பகுதி நேர்மாறுச் சார்பை* வரையறுக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டு:
:f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}
:f(x) = x^2\,\!

:\pm x\in\mathbb{R}, இரண்டின் வர்க்கமும் ஒரே எண் என்பதால் இச்சார்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பு அல்ல. ஆனால் இச்சார்பின் ஆட்களத்தை  எனக் கட்டுப்படுத்தினால் (:f\colon \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R} என வரையறுத்தால்) ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாகிவிடும். அதற்கு நேர்மாறுச் சார்பும் இருக்கும்.

:f^{-1}(y) = \sqrt{y} . 

### இடது மற்றும் வலது நேர்மாறுச் சார்புகள்
* ƒ: *X* → *Y* சார்பின் *இடது நேர்மாறுச் சார்பு*  என்பது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படும் சார்பாகும்:

:g \circ f = \mathrm{id}_X . \,\!

அதாவது சார்பு  *g* கீழ்க்காணும் விதியை நிறைவு செய்யும்.

:f(x) = y  எனில்
:g(y) = g(f(x)) = x. 

ƒ சார்பின் வீச்சின் மீது நேர்மாறுச் சார்பு f−1 ஆகவும்  வீச்சிலில்லாத *Y* கணத்தின் உறுப்புகளுக்கு வேறு விதமாகவும் சார்பு *g*  அமைகிறது. சார்பு ƒ ஒரு உள்ளிடு சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அதற்கு இடது நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும்.

*ƒ: *X* → *Y* சார்பின் *வலது நேர்மாறுச் சார்பு*  என்பது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படும் சார்பாகும்:

:f \circ h = \mathrm{id}_Y . \,\!

அதாவது சார்பு  *g* கீழ்க்காணும் விதியை நிறைவு செய்யும்.

:h(y) = x  எனில்
:f(x) = f(h(y)) = x. 

சார்பு ƒ ஒரு முழுச் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அதற்கு வலது நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும்.

ஒரு சார்பின் வலது நேர்மாறுச் சார்பு இடது நேர்மாறாகவும் வலது நேர்மாறு இடது நேர்மாறாகவும் இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமலும் இருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:
:f \colon \mathbb{R} \rightarrow [0,\infty)
:f(x) = x^2,   \forall x\in\mathbb{R}, மற்றும் 
:g \colon [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R} 
:g(x) = \sqrt{x},    x≥0 எனில்:

:f(g(x)) = x,  \forall x\in [0,\infty),

அதாவது  ƒ -ன் வலது நேர்மாறுச் சார்பு  *g* . ஆனால் அது  ƒ -ன் இடது நேர்மாறுச் சார்பு அல்ல. ஏனெனில் :g(f(-1)) = 1 \not = -1. 

## மேற்கோள்கள்
* 
* 

பகுப்பு:சார்பிய வகைகள்
பகுப்பு:கணக் கோட்பாட்டு அடிப்படை கருத்துருக்கள்
பகுப்பு:ஓருறுப்புச் செயலிகள்