சைன் விதி

**சைன் விதி** எனப்படுவது திரிகோண கணிதத்திலும் ஏனைய முக்கிய கணிப்புக்களிலும் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு விதியாகும். இது முக்கோணமொன்றின் பக்கங்களுக்கும், அதன் கோணங்களின் சைன் பெறுமதிகளுக்கும் இடையிலான தொடர்பைக் காட்டுகிறது.

## விதி
thumb|right|சைன் விதியை விளக்கும் முக்கோணி
யாதுமொரு முக்கோணி ABCயில்,
: \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C}  ஆகும்.

## நிறுவல்
### கூர்ங்கோண முக்கோணி
thumb|கூர்ங்கோண முக்கோணியில் சைன் விதி

இம்முக்கோணியில் செங்குத்துயரம் hஐச் சமப்படுத்தினால்,
: asinB=bsinA 

ஆகவே,
: \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,

*A* உச்சியிலிருந்து செங்கோடு வரைந்து அதன் மதிப்புகளை இதே வகையில் கண்டறிந்து சமப்படுத்தினால்
: csinB=bsinC 

ஆகவே,
: \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C}\,

இவை இரண்டையும் இணைத்தால்
: \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C}  என முழுமையான சைன் விதி நிறுவப்படும்.

### விரிகோண முக்கோணி
thumb|விரிகோண முக்கோணியில் சைன் விதி
இம்முக்கோணியில் செங்குத்துயரத்தைச் சமப்படுத்தினால்,
: asin(180-B)=bsinA 
: asinB=bsinA 

ஆகவே,
: \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,

*A* உச்சியிலிருந்து செங்கோடு வரைந்து அதன் மதிப்புகளை இதே வகையில் கண்டறிந்து சமப்படுத்தினால்
: csinB=bsinC  எனக் கிடைக்கும். 

ஆகவே,
: \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C}\,

இவை இரண்டையும் இணைத்தால்
: \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C}  என முழுமையான சைன் விதி விரிகோண முக்கோணத்துக்கும் நிறுவப்படும்.

## சுற்றுவட்டத்துடன் தொடர்பு

 \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}}, என்ற முற்றொருமையின் மூன்று சமவிகிதங்களின் பொதுமதிப்பு முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் விட்டத்திற்குச் சமமாக இருக்கும். இந்த முடிவு கணிதவியலாளர் தொலெமி காலத்திலேயே அறியப்பட்டிருந்தது.

### நிறுவல்
 \triangle ABC இன் சுற்றுவட்டம் வரையப்பட்டுள்ளது. சுற்றுவட்ட மையம் **O** வழிச் செல்லும் முக்கோணம்  \triangle ADB இன் சுற்றுவட்டமாகவும் இதே வட்டம் உள்ளது.
: \angle ABD = 90^\circ (அரைவட்டக் கோணம்)
இப்போது  \triangle ABD முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணம். எனவே
: \sin{\delta}= \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}= \frac{c}{2R},  R= \frac{d}{2} = சுற்றுவட்ட ஆரம்
: {\gamma} = {\delta} (ஒரே வட்ட வில் தாங்கும் கோணங்கள் சமம்) என்பதால்
 \sin{\delta} = \sin{\gamma} = \frac{c}{2R}.

இதனை மாற்றியமைக்க:
 2R = \frac{c}{\sin{\gamma}}.

 \triangle ADB முக்கோணத்தைப்போல மற்ற இரு முக்கோண உச்சிகளைக் கொண்டு கண்டுபிடித்தால் சைன் விதியின் மூன்று விகிதங்களும் 2R க்குச் சமமாக இருப்பதைக் காணலாம். எனவே:
 = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}}=2R.}}

### முக்கோணத்தின் பரப்பளவுடன் தொடர்பு
முக்கோணத்தின் பரப்பளவு வாய்பாடு
:T = \frac{1}{2}ab \sin \theta; ,  முக்கோணத்தின் எவையேனும் இரு பக்கங்கள்; அப்பக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் \theta . 

\sin\theta இன் மதிப்பை சைன் விதியின் சுற்றுவட்ட ஆரம் R உடனுள்ள தொடர்பு வாய்பாட்டிலிருந்து பதிலிட:
:T=\frac{1}{2}ab \cdot \frac {c}{2R}.
:

இதிலிருந்து மேலும் பெறக்கூடிய வாய்பாடுகள்:
:\begin{align}
\frac{abc} {2T}
& = \frac{abc} {2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} \\[6pt]
& = \frac {2abc} {\sqrt,
\end{align};  = முக்கோணத்தின் பரப்பளவு,  s = \frac{a+b+c}{2}. = முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு

இரண்டாவது வாய்பாட்டை முக்கோணப் பரப்பளவுக்கான ஈரோனின் வாய்பாடாக சுருக்கலாம்.

சைன் விதியைக் கொண்டு கீழ்வரும் முக்கோணப் பரப்பளவிற்கான வாய்பாட்டைப் பெறலாம்:
S =\frac {\sin A + \sin B + \sin C}{2} = முக்கோணத்தின் கோணங்களின் சைன்மதிப்புகளின் அரைக்கூட்டுத்தொகை என்க. இப்பொழுது முக்கோணப் பரப்பளவிற்கான வாய்பாடு:

. (R முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட ஆரம்; 2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.)

## கோள சைன் விதி
ஒரு கோளத்தின் பெருவட்டங்களின் விற்களைப் பக்கங்களாகக் கொண்டு அக்கோளத்தின் மீதமையும் முக்கோணங்கள் கோள முக்கோணங்களாகும்.

ஓரலகு ஆரமுள்ள கோளத்தின் மீதமைந்த முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் , ,  எனில் இம்மூன்று அளவுகளும் முக்கோணத்தின் அமையும் மூன்று பெருவட்ட விற்களானது கோளமையத்தில் தாங்கும் கோண அளவுகளாக (ரேடியனில்) இருக்கும். இம்மூன்று பக்கங்களுக்கும் எதிருள்ள உச்சிக்கோணங்கள் முறையே , ,  எனில் கோள சைன்விதி:
:\frac{\sin A}{\sin a}=\frac{\sin B}{\sin b}=\frac{\sin C}{\sin c}.

கோள முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் கோளத்தின் ஆரத்தைவிட மிகச் சிறியதாக இருக்கும்போது இவ்விதியானது கிட்டத்தட்ட தள முக்கோணவியலின் சைன் விதியை ஒத்திருக்கும்.

### நிறுவல்
சைன் விதியின் நிறுவல் கீழுள்ளவாறு டோதுந்தேரின் நூலில் உள்ளது. (Art.40). 

:\sin^2 A=1-\cos^2 A முற்றொருமையில் கோள கொசைன் விதியிலிருந்து பெறப்பட்ட \cos A மதிப்பைப் பதிலிட:

:
\begin{align}
   \sin^2 A &=1-\left(\frac{\cos a - \cos b \cos c}{\sin b \sin c}\right)^2\\[5pt]
   &
   =\frac{(1-\cos^2 b)(1-\cos^2 c)-(\cos a  - \cos b\cos c)^2}
          {\sin^2\!b \,\sin^2\!c}\\[5pt]
 \frac{\sin A}{\sin a}&=\frac{[1-\cos^2\!a-\cos^2\!b-\cos^2\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}.
\end{align}
இம்முடிவின் வலப்பக்க மதிப்பில் a,\;b,\;c இன் வட்ட வரிசைமாற்றத்தால் எந்தவொரு மாற்றமும் இருக்காது. எனவே 
:\frac{\sin B}{\sin b} = \frac{[1-\cos^2\!a-\cos^2\!b-\cos^2\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}.
:\frac{\sin C}{\sin c} = \frac{[1-\cos^2\!a-\cos^2\!b-\cos^2\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}.

:ஃ\frac{\sin A}{\sin a}=\frac{\sin B}{\sin b}=\frac{\sin C}{\sin c}. என நிறுவப்படுகிறது.

### திசையன் நிறுவல்
அலகு கோளத்தின் மையம்  இலிருந்து முக்கோணத்தின் உச்சிகளுக்கு வரைப்பட்ட திசையன்கள்: , , . BC வில்லானது கோளமையத்தில் தாங்கும் கோணத்தின் அளவு *a*. **OA** ஐ *z*-அச்சிலும், *xz*-தளத்தில் **OB** ஆனது *z*-அச்சுடன் உருவாக்கும் கோணம் *c* எனவும் கொண்டு ஒரு கார்ட்டீசியன் அடுக்களத்தை எடுத்துக்கொள்ள, *xy*- தளத்தில்  **OC** இன் வீழல் ON ஆகவும், ON, *x*-அச்சுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் *A* ஆகவும் இருக்கும். எனவே **OA**, **OB**, **OC** திசையன்களின் கூறுகள் பின்னுள்ளவாறு அமையும்:
:\mathbf{OA} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{OB} = \begin{pmatrix}\sin c \\ 0 \\ \cos c\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{OC} = \begin{pmatrix}\sin b\cos A \\ \sin b\sin A \\ \cos b\end{pmatrix}.

திசையிலி முப்பெருக்க அணிக்கோவையின் வர்க்கம் காண:
	\begin{align}
\bigl(\mathbf{OA} \cdot (\mathbf{OB} \times \mathbf{OC})\bigr)^2
& = \left(\det \begin{pmatrix}\mathbf{OA} & \mathbf{OB} & \mathbf{OC}\end{pmatrix}\right)^2 \\[4pt]
& =  \begin{vmatrix} 
0 & 0 & 1 \\ 	 	
\sin c & 0 & \cos c \\ 	
\sin b \cos A & \sin b \sin A & \cos b 	
\end{vmatrix} ^2
= \left(\sin b \sin c \sin A\right)^2.
\end{align}

 திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் மதிப்பு,  திசையன்களை ஒருமுனை விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத்திண்மத்தின் கனவளவுக்குச் () சமம். மேலும் , ,  திசையன்களைக் குறிக்க  எடுத்துக்கொள்ளும் ஆயமுறையைப் பொறுத்து இந்த கனவளவு  மாறாத அளவாக இருக்கும். எனவே 

-அச்சை  வழியாக எடுத்துக்கொண்டு திசையன் முப்பெருக்கம் கண்டுபிடித்தால்  எனவும், -அச்சை  வழியாக எடுத்துக்கொண்டு திசையிலி முப்பெருக்கம் காண  எனவும் கிடைக்கும். மூன்று விடைகளையும் சமப்படுத்தி,  ஆல் வகுக்க:

\frac{\sin^2 A}{\sin^2 a}
= \frac{\sin^2 B}{\sin^2 b}
= \frac{\sin^2 C}{\sin^2 c}
= \frac{V^2}{\sin^2 (a) \sin^2 (b) \sin^2 (c)},

இதிலிருந்து சைன்விதியின் வாய்பாட்டைப் பெறலாம்.

### வடிவவியல் நிறுவல்
*கோளத்தின் ஆரம் ஓரலகு எனில், OA = OB = OC = 1: 

* \angle ADO = \angle AEO = 90^\circ என்றவாறு D, E புள்ளிகளை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.

*\angle A'DO = \angle A'EO = 90^\circ என்றவாறு A' புள்ளியை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.

* இதிலிருந்து \angle ADA' = B, \angle AEA' = C ஆக இருக்கும்.

*A' ஆனது, OBC தளத்தில் A இன் வீழலாகும். எனவே:
:\angle AA'D = \angle AA'E = 90^\circ

*முக்கோணவியலின் அடிப்படைப் பண்புகளின்படி:
:AD = \sin c 
:AE = \sin b

*ஆனால் AA' = AD \sin B = AE \sin C 

*இவற்றை இணைக்க:
\sin c \sin B = \sin b \sin C
\frac{\sin B}{\sin b} =\frac{\sin C}{\sin c} 

* இதேபோன்று மற்ற உச்சிகளுக்கும் பெறப்படும் முடிவுகளைக் கொண்டு முழுமையான சைன் விதியைப் பெறலாம்:
\frac{\sin A}{\sin a} =\frac{\sin B}{\sin b} =\frac{\sin C}{\sin c} 

## மேற்கோள்கள்

## வெளியிணைப்புகள்
* 
* The Law of Sines at cut-the-knot
* Degree of Curvature
* Finding the Sine of 1 Degree
* Generalized law of sines to higher dimensions

பகுப்பு:முக்கோணவியல்
பகுப்பு:கோணங்கள்
பகுப்பு:முக்கோணங்கள் பற்றிய தேற்றங்கள்