கோளத்தில் நேர்மாற்றம்

முப்பரிமாணத்தில் **கோளத்தில் நேர்மாற்றம்** அல்லது **கோள நேர்மாற்றம்** (*inversion in a sphere*) என்பது ஒரு கோளத்தின் உட்புறத்தை வெளிப்புறமாகவும், வெளிப்புறத்தை உட்புறமாகவும் மாற்றும் உருமாற்றம் ஆகும். இந்த நேர்மாற்றத்தில், கோளத்தின் மேலமையும் புள்ளிகள் மட்டுமே நிலைப்புப் புள்ளிகளாக இருக்கும்.

## வரையறை
கோள நேர்மாற்றமானது பெரும்பாலும் வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமையைப் பயன்படுத்தி எளிதாக விவரிக்கப்படுகிறது. கோளத்தின் மையம் ஆள்கூற்று முறைமையின் ஆதிப்புள்ளியில் இருக்குமாறும், கோளத்தின் ஆரத்தை ஓரலகாகவும் எடுத்துக்கொண்டால், எல்லாப் புள்ளிகளையும் *r***v** வடிவில் எழுதலாம். இதில், ஆதியிலிருந்து புள்ளி அமையும் தொலைவு *r* அலகு;  **v** அலகு திசையன். மேலும் ஆதியைத் தவிர்த்த பிற புள்ளிகள் அனைத்தின் இந்தக் குறியீடும் தனித்துவமானதாகும். இம்முறையில் குறிக்கப்படும் ஒரு புள்ளியின் நேர்மாறின் குறியீடு *r*−1**v**. கோளத்தின் மையத்தின் நேர்மாறு இவ்வாறு வரையறுக்கப்படவில்லை என்றாலும் அதனை முடிவிலிப் புள்ளியாகக் கொள்ளலாம்.

## பண்புகள்
கோள நேர்மாற்றமானது தனக்குத்தானே நேர்மாறு ஆகும். இந்நேர்மாற்றத்தில், 
*குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மீதமையும் புள்ளிகள் நிலைப்புத்தன்மை கொண்டவை. 
*ஒரு கோட்டின் நேர்மாறு, குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழிச்செல்லும் வட்டமாகும். இக்கூற்றின் எதிர்மாறும் (vice versa) உண்மையாக இருக்கும்.
*ஒரு தளத்தின் நேர்மாறு, குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழிச்செல்லும் மற்றொரு கோளமாகும். இக்கூற்றின் எதிர்மாறும் உண்மையாக இருக்கும்.
*மற்றபடி, ஒரு வட்டத்தின் நேர்மாறு, வட்டமாகவும், கோளத்தின் நேர்மாறு, கோளமாகவும் இருக்கும்.

## நிறுவல்கள்
குறிப்பீட்டுக் கோளம் Σ என்க. குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O, ஆரம் r. இக்கோளம் {O, r} எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

;நிறுவலில் பயன்படுத்தப்படும் மூன்று எளிய முடிவுகள் 
#வடிவொத்த முக்கோணங்கள்
# அரைவட்டத்தில் அமையும் கோணம், செங்கோணம் (90o).
#ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல்  180o, எனவே ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிக்கோணத்தின் அளவு முக்கோணத்தின் மற்ற இரு உட்கோணங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

;நிறுவலுக்குத் தேவையான முடிவுகள்
* குறிப்பீட்டுக் கோள மையம் O லிருந்து n (> 0) அலகு தூரத்தில் அமையும் புள்ளி P.
* OP.OP' = r2 என்ற முடிவை நிறைவு செய்யுமாறு OP கதிரில் புள்ளி  P' இருந்தால்,  P, P' இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறுப் புள்ளிகளாகும்.
* n > r எனில், OP' 2, OB'.OB = r2.
* எனவே OA'/OB' = OB/OA.
*  ∠AOB = ∠B'OA' என்பதால், முக்கோணங்கள் AOB, B'OA' இரண்டும் வடிவொத்தவை.
* ஃ ∠OAB = ∠OB'A', ∠OBA = ∠OA'B'. (இம்முடிவு பின்வரும் நிறுவல்களில் பயன்படுத்தப்ப்பட்டுள்ளது)

### கோட்டின் நேர்மாறு
பொதுவாக ஒரு கோட்டின் நேர்மாறானது, நேர்மாற்ற மையத்தின் (குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின்) வழிச்செல்லும் வட்டமாக இருக்கும்.

எனினும், 
*கோடானது குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழியே செல்லுமானால் அக்கோடு தன்-நேர்மாறாக இருக்கும். 
*கோடானது குறிப்பீட்டுக் கோளம் Σ ஐ வெட்டும் கோடாக இருந்தால், அவை வெட்டிக்கொள்ளும் இரு புள்ளிகள் மட்டுமே தன்-நேர்மாறுப் புள்ளிகளாக இருக்கும்.

;குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை வெட்டாத ஒரு கோட்டின் நேர்மாறு

* குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O லிருந்து கோட்டிற்கு வரையப்படும் செங்குத்தின் அடி P; அதன் நேர்மாறு P'. 
*கோட்டின் மீதமையும் ஏதேனுமொரு புள்ளி X; அதன் நேர்மாறு X'.
* மேலே தரப்பட்டுள்ள ”இரு புள்ளிகளின் நேர்மாறு”-இன் முடிவின்படி, ∠OX'P'  = ∠OPX = 90o.
*∠OPX = 90o என்பதால்
::∠OX'P'  = 90o
* X' புள்ளியானது, OP' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் மீதமையும் ஆகும் (அரைவட்டத்தில் அமையும் கோணம் செங்கோணம்).
*X ஐப் போன்றே கோட்டின் மீதுள்ள பிற புள்ளிகளின் நேர்மாறுகளும்  OP' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட  வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிகளாகும்.

எனவே இக்கோட்டின் நேர்மாறு குறிப்பீட்டுக் கோளமையத்தின் வழிச்செல்லும் ஒரு வட்டமாகும்.

### தளத்தின் நேர்மாறு
பொதுவாக, ஒரு தளத்தின் நேர்மாறு குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழிச்செல்லும் கோளமாக இருக்கும்.

எனினும்,

*எடுத்துக்கொள்ளப்படும் தளத்தில் குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O அமைந்தால், அத்தளமானது தன்-நேர்மாறு ஆகும்.
*எடுத்துக்கொள்ளப்படும் தளமானது குறிப்பீட்டுக் கோளம்  Σ ஐ வெட்டுமானால், அவை இரண்டும் வெட்டிக்கொள்ளும் வட்டத்தின் மீதுள்ள எல்லாப் புள்ளிகள் தன்-நேர்மாறுப் புள்ளிகளாகும்.

;குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை வெட்டாத தளத்தின் நேர்மாறு

* குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O லிருந்து தளத்திற்கு வரையப்படும் செங்குத்தின் அடி P;  P இன் நேர்மாறு P'.
* தளத்தின் மீதுள்ள ஏதேனுமொரு புள்ளி X.  அதன் நேர்மாறு X'.
* இப்பொழுது இரு புள்ளிகளின் நேர்மாறுகளின் முடிவின் படி, 
::∠OX'P' = ∠OPX 
*ஆனால் ∠OPX = 90o
*எனவே ∠OX'P' = 90o
* ஃ  OP' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட கோளத்தின் மீது X' இருக்கும்.(அரைவட்டத்தில் அமையும் கோணம் செங்கோணம்)
:*X ஐப் போன்றே தளத்தின் மீதுள்ள பிற புள்ளிகளின் நேர்மாறுகளும்  OP' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட கோளத்தின் மீதுள்ள புள்ளிகளாகும்.

எனவே இத்தளத்தின் நேர்மாறு குறிப்பீட்டுக் கோளமையத்தின் வழிச்செல்லும் ஒரு கோளமாகும்.

### கோளத்தின் நேர்மாறு
பொதுவாக, ஒரு கோளத்தின் நேர்மாறு ஒரு கோளமாகவே இருக்கும்.

எனினும், குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழியாகச் செல்லும் கோளத்தின் நேர்மாறு ஒரு தளமாக இருக்கும்.

எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட கோளம் {A, a} என்க. அதாவது இக்கோளத்தின் மையம் A, ஆரம் a > 0.

*குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை {A, a} கோளம் வெட்டினால்: 
::அவை வெட்டிக்கொள்ளும் வட்டத்தின் மீதமையும் புள்ளிகள் மட்டுமே தன்-நேர்மாறுப் புள்ளிகளாக இருக்கும்.

*புள்ளி A ஆனது O இல் அமையுமானால்:
::கோளம் {A, a} இன் நேர்மாறு ஒரே மையங்கொண்ட கோளமாகவும் அதன் ஆரம் r2/a அலகாகவும் இருக்கும்.

#### குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழியாகச் செல்லும் கோளத்தின் நேர்மாறு
* {A, a} கோளத்தின் மீது குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O அமைகிறது என்க
* கோளம் {A, a} இன் மீது O க்கு விட்டவாக்கில் நேரெதிர் புள்ளியாக அமையும் புள்ளி P. அதன் நேர்மாறு P'.
*{A, a} கோளத்தின் மீதமையும் ஏதேனும் வேறொரு புள்ளி X. அதன் நேர்மாறு X' .
*இப்பொழுது ”இருபுள்ளிகளின் நேர்மாறு” முடிவின்படி,  
::∠OP'X' = ∠OXP

* ஆனால், ∠OXP = 90o
* ஃ ∠OP'X'  = 90o
* P' வழிச்செல்லும்,  OP'. க்குச் செங்குத்தான தளத்தின்மீது X' அமையும்.
*மேலும் {A, a} கோளத்தின் மீதமையும் ஏனைய பிற புள்ளிகளுக்கும் இது உண்மையாகும்.

எனவே நேர்மாற்றப்படும் கோளம் குறிப்பீட்டுக் கோளமையத்தின் வழிச் செல்லும்போது அதன் நேர்மாறு ஒரு தளமாகும்.

#### குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை வெட்டாத கோளத்தின் நேர்மாறு
*{A, a} கோளத்தை OA வெட்டும் புள்ளிகள் S, T மற்றும் அவற்றின் நேர்மாறுப் புள்ளிகள் S', T'. 
*{A, a} இன் விட்டம் ST .
{A, a} கோளத்தின் மீதமையும் ஏதேனுமொரு புள்ளி X. அதன் நேர்மாறு X'.
*இப்பொழுது ”இருபுள்ளிகளின் நேர்மாறு” முடிவின்படி
::: ∠OXT = ∠OT'X',  
:::∠OXS = ∠OS'X'.

;நிலை1 
O இன் ஒரே பக்கத்தில் T, S அமைகிறது

*∠T'X'S' = ∠OX'S' &minus; ∠OX'T'
:: = ∠OSX &minus; ∠OTX  (”இருபுள்ளிகளின் நேர்மாறு” முடிவின்படி).
:: = ∠TXS (முக்கோணத்தின் ஒரு வெளிக்கோணம் மற்ற இரு உட்கோணங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்)
*ஆனால் ∠TXS = 90o (அரைவட்டத்திலமையும் கோணம் செங்கோணம்)
* ஃ ∠T'X'S' = 90o 
* எனவே T'S' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட கோளத்தின்மீது  X' அமைகிறது. 
*{A, a} கோளத்தின் மீதமையும் எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் இம்முடிவு பொருந்தும்.

எனவே {A, a} கோளத்தின் நேர்மாறு மற்றொரு கோளமாகும்.

;நிலை 2 
O இன் எதிர்ப்புறங்களில் T, S அமைகிறது

*∠OXT + ∠OXS  = 90o (அரைவட்டத்திலமையும் கோணம் செங்கோணம்).
*∠T'X'S' = ∠OX'T' + ∠OX'S'
:: = ∠OTX + ∠OSX  (”இருபுள்ளிகளின் நேர்மாறு”).
:: = 180o &minus; ∠TXS (ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180o)
* ∠T'X'S' = 90o, (அரைவட்டத்திலமையும் கோணம் செங்கோணம்).
*T'S' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட கோளத்தின்மீது  X' அமைகிறது.
*{A, a} கோளத்தின் மீதமையும் எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் இம்முடிவு பொருந்தும்.
*எனவே {A, a} கோளத்தின் நேர்மாறு மற்றொரு கோளமாகும்.

### வட்டத்தின் நேர்மாறு
பொதுவாக, ஒரு வட்டத்தின் நேர்மாறு மற்றொரு வட்டமாகும். எனினும்குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் வட்டத்தின் மீது அமையும் போது மட்டும் அவ்வட்டத்தின் நேர்மாறு ஒரு கோடாகும்.

நேர்மாறு காணவேண்டிய வட்டம் c இன் மையம் C, ஆரம் a. மேலும் இவ்வட்டம் அமைந்திருக்கும் தளம் ψ .
* இவ்வட்டமானது குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை வெட்டினால், அவையிரண்டும் வெட்டிக்கொள்ளும் இரு புள்ளிகள் மட்டுமே தன்-நேர்மாறுப் புள்ளிகளாக இருக்கும்.
* குறிப்பீட்டுக் கோளமையம் O லிருந்து வட்டத்தின் மீது, மிக அருகிலமையும் மற்றும் மிகத்தூரத்தில் அமையும் புள்ளிகள் முறையே S, T (i.e. OT > OS). அவற்றின் நேர்மாறுகள் S', T'
* வட்டத்தின் மையம் C, குறிப்பீட்டுக் கோளமையமான O இல் அமைந்தால், வட்டத்தின் நேர்மாறு வட்டம், கோளம் இரண்டுடன் ஒரே மையங்கொண்ட மற்றொரு வட்டமாக அமையும். இந்த நேர்மாறு வட்டத்தின் ஆரம் r2/a அலகுகள்

#### குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் வழியாகச் செல்லும் வட்டத்தின் நேர்மாறு

*வட்டத்தின் ஒரு விட்டம் OP;  P இன் நேர்மாறு P'.
*வட்டத்தின் மீதுள்ள ஏதேனுமொரு புள்ளி X. அதன் நேர்மாறு X'.
*”இரு புள்ளிகளி நேர்மாறு” முடிவின்படி,
:::∠OP'X' = ∠OXP = 90o.
*ஃ X இன் நேர்மாறு X' ஆனது OP' க்குச் செங்குத்தாக, வட்டத்தன் தளத்தில் அமையும் கோட்டில் அமைகிறது.
*இம்முடிவு வட்டத்தின் மீதுள்ள மற்ற எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் பொருந்தும் 
* எனவே வட்டத்தின் நேர்மாறானது OP' க்குச் செங்குத்தாக வட்டத்தன் தளத்தில் அமையும் ஒரு கோடாகும்.

அதாவது, குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் வழியாகச் செல்லும் வட்டத்தின் நேர்மாறு ஒரு கோடாகும்.

#### குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம்  வட்டத்தின் தளத்தில் அமையாநிலை

குறிப்பீட்டுக் கோளமையம் O, வட்டத்தின் தளத்தின் (ψ) மீதமையவில்லை
* வட்டத்த்தின் தளத்திற்குச் செங்குத்தாக, வட்டமையத்தின் வழியே வரையப்படும் கோட்டிலமையும் இரு புள்ளிகள் A, B 
* A, B ஐ மையங்களாகக் கொண்டு வட்டத்தின் வழியே செல்லும் இரு கோளங்கள் Λ, Ω. ஆனால் இவையிரண்டும் குறிப்பீட்டுக் கோளமையமான O வழியே செல்லாதவை.
* Λ, Ω இன் நேர்மாறுக் கோளங்கள் Λ', Ω'.
* வட்டத்தின் நேர்மாறின் மேலுள்ள புள்ளிகள் எல்லாம் Λ' , Ω' இரண்டின் மீதும் அமையும்.
*  Λ', Ω' கோளங்களின் வெட்டாக அமையும் வட்டமானது (c'), எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட வட்டத்தின் (c) நேர்மாறு.

குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் வட்டத்தின் தளத்தில் அமையாத போது அவ்வட்டத்தின் நேர்மாறு மற்றொரு வட்டமாகும்.

;குறிப்பு
குறிப்பீட்டுக் கோள மையம் வட்டத்தின் தளத்தில் அமையுமானால், எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட வட்டமானது {C, a} கோளத்தின் பெரு வட்டமாகும். இந்நிலையில் கோளத்தின் நேர்மாறு காணும் முறையில் வட்டத்தின் நேர்மாறு காணலாம்.

## மேற்கோள்கள்

## வெளியிணைப்புகள்
* Weisstein, Eric W. "Inversion Sphere." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/InversionSphere.html
*Inversion Theory and Conformal Mapping

பகுப்பு:வடிவவியல்