கற்பனை அலகு

**கற்பனை அலகு** அல்லது **அலகு கற்பனை எண்** (*imaginary unit*,  *unit imaginary number*) என்றழைக்கப்படும் i  ஆனது, மெய்யெண்களை ()  சிக்கலெண்களுக்கு () நீட்டிக்கும் ஒரு கணிதக் கருத்துரு ஆகும். இவ்வாறு மெய்யெண்கள் சிக்கலெண்களுக்கு நீட்டிக்கப்படுவதால் ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும்  குறைந்தபட்சம் ஒரு மூலமாவது  கிடைக்கிறது.

 இன் முக்கியப் பண்பு: 
::

வர்க்கத்தை எதிரெண்ணாகக் கொண்ட மெய்யெண்களே இல்லை என்பதால்  ஒரு கற்பனை எண்ணாகக் கொள்ளப்படுகிறது. கற்பனை அலகைக் குறிப்பதற்கு, சில இடங்களில்  என்ற குறியீட்டுக்குப் பதிலாக  அல்லது கிரேக்க எழுத்தான  பயன்படுத்தப்படுகின்றது.

## வரையறை

 இன் வரையறையானது,  இன் வர்க்கம் -1 என்ற பண்பை மட்டுமே அடிப்படையாகக் கொண்டுள்ளது:

:i^2 = -1 \ . 

ஆனால்  இன் இந்த வரையறையின் விளைவாக, ,  என -1 க்கு இரு வர்க்கமூலங்கள் கிடைக்கின்றன.

மெய்யெண்களில் மேற்கொள்ளப்படும் அடிப்படைக் கணிதச் செயல்களை சிக்கலெண்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். எந்தவொரு கணிதச் செயலையும் சிக்கலெண்களில் மேற்கொள்ளும்போது, ஐ மதிப்புத் தெரியாத கணியமாகப் பாவித்து செயல்களைச் செய்த பின்னர், விளைவில் உள்ள  இன் மதிப்பை −1 எனப் பதிவிட வேண்டும். மேலும்  இன் அடுக்கு இரண்டைவிட அதிகமாக இருப்பின் அவற்றை , 1, , −1 ஆகியவற்றைக் கொண்டு பதிவிடலாம்:

:i^3 = i^2 i = (-1) i = -i \,
:i^4 = i^3 i = (-i) i = -(i^2) = -(-1) = 1 \,
:i^5 = i^4 i = (1) i = i \,

இதேபோல சுழியற்ற மெய்யெண்களுக்குப் போலவே  க்கும் கீழுள்ளவை உண்மையாகும்:
:i^0 = i^{1-1} = i^1i^{-1} = i^1\frac{1}{i} = i\frac{1}{i} = \frac{i}{i} = 1 \,

சிக்கலெண்  இன் கார்ட்டீசிய வடிவம்:
: i = 0+i  ( இன் மெய்ப்பகுதி சுழியாகவும் கற்பனைப் பகுதி ஒரு அலகாகவும் உள்ளது.)

சிக்கலெண்  இன் போலார் வடிவம்:
: , ( இன் மட்டு மதிப்பு 1 ஆகவும் கோணவீச்சு π/2 ஆகவும் உள்ளது.)

சிக்கலெண் தளத்தில் ஆதியிலிருந்து ஓர் அலகு தொலைவில் கற்பனை அச்சின் மீது அமையும் புள்ளியாக  இருக்கும்.

## பண்புகள்
### வர்க்க மூலங்கள்
#### இன் வர்க்கமூலம்

இன் வர்க்க மூலத்தை கீழுள்ள இரு சிக்கலெண்களில் ஏதாவது ஒன்றாகக் கொள்ளலாம்
: \sqrt{i} = \pm \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \right) = \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i). 
வலதுபுறத்தை வர்க்கப்படுத்த:
: 
\begin{align}
\left( \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i) \right)^2 \ & = \left( \pm \frac{\sqrt{2}}2 \right)^2 (1 + i)^2 \ \\
  & = \frac{1}{2} (1 + 2i + i^2) \\
  & = \frac{1}{2} (1 + 2i - 1) \ \\
  & = i. \ \\
\end{align}


இதே முடிவை ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தியும் காணலாம்:

:e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \,

 எனப் பதிலிட,
:e^{i(\pi/2)} = \cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2) = 0 + i1 = i\,\! .
இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண,
: \sqrt{i} = \pm e^{i(\pi/4)} \,\! ,
ஆய்லர் வாய்ப்பாட்டின்படி,
: 
\begin{align}
 \sqrt{i} & = \pm (\cos(\pi/4) + i\sin(\pi/4)) \\
  & = \frac{1}{\pm \sqrt{2}} + \frac{i}{\pm \sqrt{2}}\\
  & = \frac{1+i}{\pm \sqrt{2}}\\
  & = \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i).\\
\end{align}


#### இன் வர்க்கமூலம்
 இன் வர்க்கமூலத்தை ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்:
:e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \,

 எனப் பதிலிட:
:e^{i(3\pi/2)} = \cos(3\pi/2) + i\sin(3\pi/2) = 0 - i1 = -i\,\! .
இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண:
: \sqrt{-i} = \pm e^{i(3\pi/4)} \,\! ,
ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின்படி,
: 
\begin{align}
 \sqrt{-i} & = \pm (\cos(3\pi/4) + i\sin(3\pi/4)) \\
  & = -\frac{1}{\pm \sqrt{2}} + i\frac{1}{\pm \sqrt{2}}\\
  & = \frac{-1 + i}{\pm \sqrt{2}}\\
  & = \pm \frac{\sqrt{2}}2 (i - 1).\\
\end{align}


 இன் வர்க்கமூலத்தை  ஆல் பெருக்க,  இன் வர்க்கமூலம் கிடைக்கும்:
:
\begin{align}
 \sqrt{-i} = (i)\cdot (\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1 + i)) \\
 & = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1i + i^{2})\\
 & = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}(i - 1)\\
\end{align}


### பெருக்கலும் வகுத்தலும்
;பெருக்கல்
எந்தவொரு சிக்கலெண்ணையும்  ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது:
:i\,(a + bi) = ai + bi^2 = -b + ai.
(இவ் விளைவு, சிக்கலெண் தளத்தில் a + bi சிக்கலெண்ணின் ஆரக்கோலை ஆதியைப் பொறுத்து இடஞ்சுழியாக (எதிர்-கடிகாரத்திசை) 90° சுழற்றுவதற்குச் சமமாக அமையும்)

;வகுத்தல்
 ஆல் வகுப்பது,  இன் தலைகீழியால் பெருக்குவதற்குச் சமானமாகும்:
:\frac{1}{i} = \frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i. 
இம் முடிவை a + bi சிக்கலெண்ணை  ஆல் வகுப்பதில் பயன்படுத்த:
:\frac{a + bi}{i} = -i\,(a + bi) = -ai - bi^2 = b - ai. 
(இவ் விளைவு, சிக்கலெண் தளத்தில் a + bi சிக்கலெண்ணின் ஆரக்கோலை ஆதியைப் பொறுத்து வலஞ்சுழியாக (கடிகாரத்திசை) 90° சுழற்றுவதற்குச் சமமாக அமையும்)

### அடுக்குகள்
 இன் அடுக்குகள் கீழுள்ள போக்கில் சுழலும் தன்மை கொண்டுள்ளன ( ஏதேனுமொரு முழு எண்):

:i^{4n} = 1\,
:i^{4n+1} = i\,
:i^{4n+2} = -1\,
:i^{4n+3} = -i.\,

எனவே,
:i^n = i^{n \bmod 4}\,

:i^n = \cos(n\pi/2)+i\sin(n\pi/2)

#### இன் அடுக்கு
ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின்படி,
:i^i = \left( e^{i (\pi/2 + 2k \pi)} \right)^i = e^{i^2 (\pi/2 + 2k \pi)} = e^{- (\pi/2 + 2k \pi)} (k \in \mathbb{Z}, முழுஎண்களின் கணம்)

இதன் முதன்மை மதிப்பு ( ): : அல்லது 0.207879576... (தோராயமாக)

### தொடர்பெருக்கம்
கற்பனை அலகு இன் தொடர்பெருக்கம்:
:i! = \Gamma(1+i) \approx 0.4980 - 0.1549i.

மேலும்,
:|i!| = \sqrt{\pi \over \sinh \pi} 

## மாற்றுக் குறியீடுகள்
*மின் பொறியியலில் மின்னோட்டத்தின் குறியீடு  அல்லது  எனக் குறிக்கப்படுவதால், குழப்பத்தைத் தவிர்க்கும் விதமாக கற்பனை அலகு  எனக் குறிக்கப்படுகிறது.  
*பைத்தான் நிரலாக்க மொழியிலும் ஒரு சிக்கலெண்ணின் கற்பனைப் பகுதியைக் குறிப்பதற்கு  பயன்படுத்தப்படுகிறது. 
*மேட்லேப் ,  இரண்டுமே கற்பனை அலகைக் குறிக்கப் பயன்படுத்துகிறது
*சுட்டெண்கள், கீழெழுத்துக்களில் இருந்து வேறுபடுத்திக் காட்டும் நோக்கில், சில புத்தகங்களில் கற்பனை அலகைக் குறிக்கக் கிரேக்க எழுத்தான  (iota) () பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

## குறிப்புகள்

## மேற்கோள்கள்

## மேலும் படிக்க
*

## வெளி இணைப்புகள்
*Euler's work on Imaginary Roots of Polynomials at Convergence 

பகுப்பு:கணித மாறிலிகள்
பகுப்பு:சிக்கலெண்கள்
பகுப்பு:இருபடி விகிதமுறா எண்கள்
பகுப்பு:இயற்கணித எண்கள்