இருவழியொக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவை

இயற்கணிதத்தில், குறிப்பற்ற களத்திலமைந்த கெழுக்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை:
:p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n எனில், இதன் **தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை** அல்லது **இருவழியொக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவை** அல்லது **எதிரொளிக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை** (*reciprocal polynomial*, *Palindromic polynomial*, *reflected polynomial*) கீழ்வரும் அமைப்புள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையாகும்:

:p^*(x) = a_n + a_{n-1}x + \cdots + a_0x^n = x^n p(x^{-1}).

தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையின் குறியீடு:  அல்லது ,

 இன் கெழுக்கள், எதிர்வரிசையில் அமையும்  இன் கெழுக்களாக இருக்கும். நேர்மாற்றத்தக்க அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாகத் தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் நேரியல் இயற்கணிதத்தில் தோன்றுகின்றன.

கெழுக்களமையும் களமானது  சிக்கலெண்களாக இருந்தால் மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவை:
:p(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots + a_nz^n ஆக இருக்கும்.

இதன் **இணையிய தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை** (*conjugate reciprocal polynomial*) பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
:p^{\dagger}(z) = \overline{a_n} + \overline{a_{n-1}}z + \cdots + \overline{a_0}z^n = z^n\overline{p(\bar{z}^{-1})},

இதில் வரும் \overline{a_i} ஆனது, a_i இன் இணைச் சிக்கலெண் ஆகும். இப்பல்லுறுப்புக்கோவை சுருக்கமாக தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

பல்லுறுப்புக்கோவை  ஆனது **தன்-தலைகீழி** (*self-reciprocal*) அல்லது "இருவழியொத்தது" (*palindromic*) எனில்:
: .
மேலும் தன்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையின் கெழுக்கள் பின்வருமாறிருக்கும்: 
: (அனைத்து ).

## பண்புகள்
தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும் அதன் மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும் பல தொடர்புகள் உள்ளன:
# 
# .
# தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை  இன் மூலமாக  "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவை  இன் மூலமாக  இருக்கும்.
#  எனில், தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை  குறைக்கவியலாததாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவை  ஆனது குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.
# தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை  தொடக்கநிலை பல்லுறுப்புக்கோவையாக குறைக்கவியலாததாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவை  ஆனது தொடக்கநிலை பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.
* ஒற்றைப் படியுள்ள தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை x+1 ஆல் வகுபடும். எனவே ஒன்றுக்கு அதிகமான படியுள்ள தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் குறைக்கவியலாதவை.

## எதிர்-தலைகீழ் அல்லது எதிர் இருவழியொத்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள்

: P(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i என்ற  படியுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை தலைகீழானது எனில்:
:  (). 

இதேபோல  P(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i என்ற  படியுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை எதிர்-இருவழியொத்தது எனில்:
: (). அதாவது
:.

எடுத்துக்காட்டு:

ஈருறுப்புக் கெழுக்களின் பண்புகளின்படி,
* நேர்ம முழுஎண்ணாக இருக்கும்போது,  ஒரு தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை. 
*-இரட்டை முழுஎண்ணாக இருக்கும்போது  தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாகவும், -ஒற்றை முழுஎண்ணாக இருக்கும்போது எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாகவும் இருக்கும்.

### பண்புகள்
* தலைகீழ் அல்லது எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை ஒன்றின் மூலம்  என்றால்,   யும் அதே மடங்கெண்கொண்ட மற்றொரு மூலமாக இருக்கும்.
* இதன் மறுதலையும் உண்மை:  மூலம் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு  யும் அதே மடங்கெண்ணுடைய மற்றொரு மூலமாக இருந்தால், அப்பல்லுறுப்புக்கோவையானது, தலைகீழ் அல்லது எதிர்-தலைகீழானது.
* , ஏதாவதொரு பல்லுறுப்புக்கோவை எனில்:
: தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை;
: எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை.
* இதிலிருந்து எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் () பின்வருமாறு எழுதலாம்:
:.
* இரு தலைகீழ் அல்லது எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கற்பலனான பல்லுறுப்புக்கோவை தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை.
* தலைகீழ் மற்றும் எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் இரண்டின் பெருக்கற்பலன் ஒரு எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை.
* ஒற்றைப் படிகொண்ட எந்தவொரு தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையும்  ஐக் காரணியாகக் கொண்டிருக்கும் (அதன் மூலம் –1). மேலும் அக்கோவையை   ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவையும் தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.
* இரட்டைப் படியுடைய எந்தவொரு எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையும்  ஐக் காரணியாகக் கொண்டிருக்கும் (அதன் மூலங்கள் −1, 1). மேலும் அதனை  ஆல் வகுக்கக் கிடைப்பது தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.
*  ஆனது இரட்டையெண் படி 2 கொண்ட தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையெனில்,  என்பதை நிறைவு செய்யும்  படியுள்ள மற்றொரு பல்லுறுப்புக்கோவை  இருக்கும்

### மெய்யெண் கெழுக்கள்
கெழுக்களை மெய்யெண்களாகக் கொண்டதொரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் சிக்கலெண் மூலங்கள் எல்லாம் சிக்கலெண் தளத்திலமைந்த ஓரலகு வட்டத்தின் மீதமையுமானால், அப்பல்லுறுப்புக்கோவை தலைகீழ் அல்லது எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.

## குறிப்புகள்

## மேற்கோள்கள்
* 
* 
* 

## வெளியிணைப்புகள்
* 
* Reciprocal Polynomial (on MathWorld)

பகுப்பு:பல்லுறுப்புக் கோவைகள்