சிற்றணிக்கோவை

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஒரு அணியின் **சிற்றணிக்கோவை** (*minor*) என்பது அவ்வணியிலிருந்து அதன் ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட நிரைகளையோ, நிரல்களையோ நீக்கக் கிடைக்கும் சிறிய சதுர அணியின் அணிக்கோவையாகும். ஒரு சதுர அணியிலிருந்து ஒரேயொரு நிரையையும், நிரலையும் மட்டும் நீக்கிப் பெறப்படும் சிற்றணிக்கோவைகள், **முதல் சிற்றணிக்கோவைகள்** (*first minors*) எனப்படுகின்றன. இவை அச்சதுர அணியின் அணிக்கோவை மதிப்பினைக் கணக்கிடுவதற்கும் அவ்வணியின் நேர்மாறு அணி காண்பதற்கும் பயன்படுகின்றன.

## வரையறை

### முதல் சிற்றணிக்கோவைகள்
*A* ஒரு சதுர அணி எனில் அதன் *i*-வது நிரை மற்றும் *j*-வது நிரலிலில் உள்ள உறுப்பின் சிற்றணிக்கோவை (**(''i'',''j'') சிற்றணிக்கோவை** அல்லது **முதல் சிற்றணிக்கோவை**)) என்பது *A* அணியின் i-ஆவது நிரையையும் j-ஆவது நிரலையும் நீக்கிவிடக் கிடைக்கும் அணியின் அணிக்கோவையாகும். (*i*,*j*) சிற்றணிக்கோவையின் குறியீடு M*i,j*

;பொதுவான வரையறை
**A** ஒரு *m* × *n* அணி;  *k* ஒரு முழு எண்; 0 (-1)^{i+j} ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது (i,j) இணைக்காரணியாகும். இதன் குறியீடு C*i,j*.
::\mathbf{C}_{ij} = (-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}. \,

#### 3 x 3 அணியின் சிற்றணிக்கோவை, இணைக்காரணி காணல்
எடுத்துக்காட்டு:
:\begin{bmatrix}
\,\,\,1 & 4 & 7 \\
\,\,\,3 & 0 & 5 \\
-1 & 9 & \!11 \\
\end{bmatrix}

மேலுள்ள அணியில் சிற்றணிக்கோவை  *M*23 காண்பதற்கு அந்த அணியிலிருந்து இரண்டாவது நிரையும் மூன்றாவது நிரலும் நீக்கப்பட்டு மீதமாகும் அணியின் அணிக்கோவையின் மதிப்பு கணக்கிடப்படுகிறது.
: M_{23} = \det \begin{bmatrix}
\,\,1 & 4 & \Box\, \\
\,\Box & \Box & \Box\, \\
-1 & 9 & \Box\, \\
\end{bmatrix}= \det \begin{bmatrix}
\,\,\,1 & 4\, \\
-1 & 9\, \\
\end{bmatrix} = (9-(-4)) = 13

இதற்குரிய இணைக்காரணி  *C*23:
:\ C_{23} = (-1)^{2+3}(M_{23}) = -13.

#### இணைக்காரணி அணி
ஒரு அணியின் அனைத்து உறுப்புகளை அவற்றின் இணைக்காரணிகளைக் கொண்டு பதிலிடக் கிடைப்பது அவ்வணியின் இணைக்காரணி அணி எனப்படும். இணைக்காரணி அணியின் குறியீடு \mathbf{C}

;3 x 3 பொது அணியின் இணைக்காரணி அணி
:
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}


இதன் இணைக்காரணி அணி:
:
\mathbf{C} =\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} & c_{13} \\
c_{21} & c_{22} & c_{23} \\
c_{31} & c_{32} & c_{33}
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\
 & & \\
-\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\
 & & \\
+\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}
\end{pmatrix}


## சிற்றணிக்கோவைகள், இணைக்காரணிகளின் பயன்பாடுகள்

### அணிக்கோவைகளின் விரிவு
n\times n அணி (a_{ij}) எனில்

:*A* இன் அணிக்கோவையின் (det(*A*)) *j*th நிரல் மூலமான இணைக்காரணி விரிவு:

:\ \det(\mathbf A) = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + a_{3j}C_{3j} + ... + a_{nj}C_{nj} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij}   

:*A* இன் அணிக்கோவையின் (det(*A*)) *i*th நிரல் மூலமான இணைக்காரணி விரிவு:
:\ \det(\mathbf A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + ... + a_{in}C_{in} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} 

### அணியின் நேர்மாறு

கிரமரின் விதியைப் பயன்படுத்தி நேர்மாற்றத்தக்க அணியின் இணைக்காரணிகளைக் கண்டுபிடித்து அவ்வணியின் நேர்மாறு அணியைக் காணலாம்.

இணைக்காரணிகளாலான அணி:

:\mathbf C=\begin{bmatrix}
    C_{11}  & C_{12} & \cdots &   C_{1n}   \\
    C_{21}  & C_{22} & \cdots &   C_{2n}   \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    C_{n1}  & C_{n2} & \cdots &  C_{nn}
\end{bmatrix} 

**A** அணியின் இணைக்காரணி அணியின் (\mathbf C ) இடமாற்று அணி, **A** இன் சேர்ப்பு அணி எனப்படும்.

**A** அணியின் நேர்மாறு அணி:
:\mathbf A^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det}(\mathbf A)} \mathbf C^\mathsf{T}.

### அணியின் அளவை
மெய்யெண்களாலான *m* × *n* அணியின் தரம் *r* எனில் அவ்வணிக்கு, குறைந்தபட்சம் ஒரு பூச்சியமில்லா *r* × *r* சிற்றணிக்கோவையும், பிற மேல்வரிசை சிற்றணிக்கோவைகள் அனைத்தும் பூச்சியமாகவும் இருக்கும்.

## மேற்கோள்கள்

## வெளியிணைப்புகள்
* MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
* PlanetMath entry of ''Cofactors'' 
* Springer Encyclopedia of Mathematics entry for ''Minor''

பகுப்பு:அணிக் கோட்பாடு