இடமாற்று அணி

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஓர் அணியின் **இடமாற்று** அல்லது **இடமாற்று அணி** அல்லது **நிரை-நிரல் மாற்று அணி** (*transpose*) என்பது மூல அணியின் நிரைகளை நிரல்களாகவும் நிரல்களை நிரைகளாகவும் இடம் மாற்றுவதால் பெறப்படும் அணியாகும்.  **A** என்ற அணியின் இடமாற்று அணியின் குறியீடு: **A**T ஆகும். இடமாற்று அணி **A**′, **A**tr, t**A**  **A**t எனவும் குறிக்கப்படுகிறது. பின்வரும் செயல்களில் ஏதேனுமொன்றின் மூலம் இடமாற்று அணியைப் பெறலாம்:
* **A** அணியை அதன் முதன்மை மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்து எதிரொளித்தல்
* **A** இன் நிரைகளை நிரல்களாக எழுதுதல்
* **A** இன் நிரல்களை நிரைகளாக எழுதுதல்

இடமாற்று அணி **A**T இன் *i* ஆவது நிரையிலும் *j* ஆவது நிரலிலுமுள்ள உறுப்பானது, மூல அணியான **A** இன் *j* ஆவது நிரையிலும் *i* ஆவது நிரலிலுமுள்ள உறுப்பாக இருக்கும்:

:[\mathbf{A}^\mathrm{T}]_{ij} = [\mathbf{A}]_{ji}

**A** இன் வரிசை  எனில், **A**T இன் வரிசை  ஆகும்.

1858 இல் பிரித்தனிய கணிதவியலாளர் ஆர்தர் கெய்லி, இடமாற்று அணியை அறிமுகப்படுத்தினார்.

## எடுத்துக்காட்டுகள்
*\begin{bmatrix}
1 & 2  \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}
= \,
\begin{bmatrix}
1   \\
2  \end{bmatrix}


*\begin{bmatrix}
1 & 2  \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}
=
\begin{bmatrix}
1 & 3  \\
2 & 4 \end{bmatrix}


* 
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}
=
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix}


## பண்புகள்
**A**, **B** இரு அணிகள்; *c* ஒரு திசையிலி எனில், இடமாற்று அணி பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:

 \mathbf{b} ,
|7= (\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T} \,
: நேர்மாற்றத்தக்க அணியின் இடமாற்றும் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்கும். மேலும் இடமாற்று அணியின் நேர்மாறு மூல அணியின் நேர்மாறின் இடமாற்று அணியாக இருக்கும்.   **A**−T குறியீடும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
|8= \mathbf{A} \mathbf{A}^\mathrm{T} ஒரு சமச்சீர் அணியாகும்.
}}

## சிறப்பு வகைகள்
*ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணி மூல அணியாகவே இருக்குமானால் அச்சதுர அணி சமச்சீர் அணி எனப்படும்.
:**A** ஒரு சமச்சீர் அணி எனில்:
::\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \mathbf{A} 

*ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணி மூல அணியின் எதிர் அணியாக இருக்குமானால் அச்சதுர அணி எதிர் சமச்சீர் அணி எனப்படும்.
:**A** ஒரு எதிர் சமச்சீர் அணி எனில்:
::\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = -\mathbf{A} 

*சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியின் உறுப்புகள், மூலஅணியின் ஒத்த உறுப்புகளின் இணைச் சிக்கலெண்களாக  இருந்தால் அம்மூலச் சதுர அணியானது ஹெர்மைட் அணி எனப்படும்.
:**A** ஒரு ஹெர்மைட் அணி எனில்:
::\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \overline{\mathbf{A}} 

*சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியின் உறுப்புகள், ஒத்த மூலஅணியின் ஒத்த உறுப்புகளின் எதிர் இணைச் சிக்கலெண்களாக  இருந்தால் அம்மூலச் சதுர அணியானது எதிர் ஹெர்மைட் அணி எனப்படும்.
:**A** ஒரு எதிர் ஹெர்மைட் அணி எனில்:
::\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = -\overline{\mathbf{A}} 

:ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியானது மூல அணியின் நேர்மாறுக்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த மூலச் சதுர அணி செங்குத்து அணி ஆகும்.
:**A** செங்குத்து அணி எனில்:
::\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \mathbf{A}^{-1} 

:சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியானது மூல அணியின் இணை நேர்மாறுக்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த மூலச் சதுர அணி அலகுநிலை அணி ஆகும்.
:**A** அலகுநிலை அணி எனில்:
::\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \overline{\mathbf{A}^{-1}} 

## மேற்கோள்கள்

## மேலதிக வாசிப்புக்கு
* 
* 

## வெளியிணைப்புகள்
*MIT Linear Algebra Lecture on Matrix Transposes 
*Transpose, mathworld.wolfram.com
*Transpose , planetmath.org
*Khan Academy introduction to matrix transposes 

பகுப்பு:அணிகள்
பகுப்பு:நுண்புல இயற்கணிதம்
பகுப்பு:நேரியல் இயற்கணிதம்