வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு

கணிதத்தில் ஒரு சார்பின் **வீச்சு** (Range) என்பது  அச்சார்பின் எல்லா வெளியீடுகளின் கணமாகும். இதையே சார்பின் **எதிருரு** (Image) என்றும் சொல்வதுண்டு. எதிருருவின் ஒருவித மறுதலை **முன்னுரு**. சரியான வரையறைகளைக் கீழே பார்க்கலாம்.

## துல்லியமான வரையறை

f\colon A\rightarrow B என்ற சார்பை நோக்குக.

:f வழியாக  A யிலுள்ள ஒவ்வொரு  x க்கும் அதன் **எதிருரு**  என்பது, B இல் f இனால் x உடன்  தனிப்படியாக உறவுண்டாக்கப்பட்ட  (associated)  ஒரு உறுப்பு. அது f(x) என்ற குறியீட்டினால் குறிக்கப்படும்.

:f(A) := \{ f(x) \mid x \in A\} என்ற கணத்திற்கு f இன் **வீச்சு** என்று பெயர்.இதையே f இன் **எதிருரு** (Image) என்றும் சொல்வதுண்டு. அதனாலேயே Im(f) என்ற குறியீடும் பழக்கத்திலிருக்கிறது. எனினும் இந்தக்குறியீட்டை கவனமாகப் பயன்படுத்தவேண்டும். ஏனென்றால் சில பழைய நூல்களில்  Im(f) என்ற குறியீடு  f இன் இணையாட்களத்தைக் குறித்தது.  
: f இன் எதிருருக்காக ஐயமறப் பயன்படுத்தப்படக்கூடியது R(f) என்ற குறியீடு. R(f) ஐ  f இன் வழியாக A இன் எதிருரு என்றும் சொல்லலாம். குறியீடு Im_f[A]. சூழ்நிலையிலிருந்து f தெரிந்துகொள்ளப்படின், Im[A] என்றே எழுதலாம். ஐயமேற்பட வாய்ப்பில்லாத பொழுது, இதையும் எளிதாக  Im(A) என்று எழுதுவதும் உண்டு.

f இன் இணையாட்களம் B என்ற கணம்.

## முன்னுரு

f\colon A\rightarrow B என்று கொள்க.

### எதிருருவே ஒரு கோப்பு

:Im(f) என்பது  A இலுள்ள ஒவ்வொரு உட்கணம்  X ஐயும்  Im_f(X)= Y என்ற (B இன்) ஒரு உட்கணத்திற்கு எடுத்துச்செல்கிறது. இதனால் Im(f) ஐ A இனுடைய அடுக்குக்கணத்திலிருந்து (Power Set of A), B இன் அடுக்குக்கணத்திற்குப்போகும் ஒரு சார்பு அல்லது கோப்பாகக்கொள்ளலாம். குறியீடுகளில் சொன்னால்,

:Im(f)\colon 2^A \rightarrow 2^B : வரையறை: (Im(f))(X) = Im_f(X)

### முன்னுருவின் வரையறை

ஒவ்வொரு  Y \subseteq B க்கும் அதனுடைய **முன்னுரு** (Pre-image or Inverse image) என்பது

:*f*&nbsp;&minus;1*Y* = {*x* ∈ *A* | *f*(*x*) ∈ *Y*}

என்று வரையறுக்கப்பட்ட (A இன்) உட்கணம்.

:Y = {y} ஓர் ஓருறுப்புக்கணமாக  இருக்குமானால் *f*&nbsp;&minus;1{*y*}, ஒரு **நார்** (fibre/fiber) எனப்படும்.

மேலும், குழப்பத்திற்கு வாய்ப்பு இல்லாவிட்டால்,, f&nbsp;&minus;1*Y* ஐ f &nbsp;&minus;1(*Y*) என்று எழுதி,  *f*&nbsp;&minus;1 ஐ B இன் அடுக்குக்கணத்திலிருந்து  A இன் அடுக்குக்கணத்திற்குப்போகும் ஒரு சார்பாகக் கொள்ளலாம்.  f&nbsp;&minus;1 ஐ  நேர்மாறுச் சார்புடன் குழப்பிக் கொள்ளக்கூடாது.  f ஒரு இருவழிக் கோப்பாக இருந்தால் தான் இரண்டும் ஒன்றாகும்.

## எடுத்துக்காட்டுகள்
thumb|300px|சார்பு: h(x) = x<sup>2</sup>. D = ஆட்களம் CD = இணையாட்களம்

:* f\colon **R**\rightarrow  **R** : f(x) = x^2

:*f* இன் வீச்சு = **R**+ =  \{f(x) : 0\leq f(x) = [0, \infty)

:{-2,3} இன் எதிருரு: *f*({-2,3}) = {4,9},   
:{4,9} இன் முன்னுரு :  *f*&nbsp;&minus;1({4,9}) = {-3,-2,2,3}.

:*  g\colon **R**\rightarrow **R**  :   g(x) = 2x

: *g* இன்  வீச்சு, இணையாட்களம், இரண்டுமே  **R** தான்.

:*  h\colon **Z** \to **Z** :  h(x)\ := x^2  (படிமம் பார்க்க)
இச்சார்புக்கு
:h(\{0, 1, 2, 3 \}) = \{0, 1, 4, 9 \}\ 
:h(\{ -3, -2, -1, 0 \}) = \{0, 1, 4, 9 \}\ 
:h(\{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \}) = \{0, 1, 4, 9 \}\ 
: R(h) = \operatorname{im} h = \{ 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... \}\ 

:* f: \{1,2,3\} \rightarrow \{a,b,c,d\}. வரையறை:

:f(x) = \begin{cases}
a &\text{x=1}\\
d &\text{x=2}\\
c &\text{x=3}
\end{cases}

: f வழியாக, {2,3) இன் எதிருரு :*f*({2,3}) = {*d,c*}, 
: f இன் வீச்சு :{ a,d,c}
: {a,c} இன் முன்னுரு:  *f*&nbsp;&minus;1({*a,c*}) = {1,3}.

:*  *f*: **R**2 → **R** : வரையறை:*f*(*x*, *y*) = *x*2 + *y*2.

:*f*&nbsp;&minus;1({*a*})என்ற நார்களை மூன்று விதமாகச் சொல்லவேண்டும்.

: *a* > 0 வாக இருக்குமானால், நார்கள் தொடக்கப்புள்ளியைச்சுற்றி பொதுமையவட்டங்கள்;
: *a* = 0 வாக இருக்குமானால். நார்  வெறும் தொடக்கப்புள்ளியைக்கொண்ட ஓருறுப்புக்கணம்;
: *a* f(\varnothing) = \varnothing
*f(X \cup Y) = f(X) \cup f(Y)
*f(X \cap Y) \subseteq f(X) \cap f(Y). இங்கு, f ஒரு உள்ளிடுகோப்பானால், சமன்பாடு உண்மையாகும்.
*X \subseteq Y \Rightarrow f(X) \subseteq f(Y)
*f ஒரு முழுக்கோப்பு  \Longleftrightarrow  \operatorname{im} f = B.
**f*&nbsp;&minus;1(*M*&nbsp;∪&nbsp;*N*)&nbsp;= *f*&nbsp;&minus;1(*M*)&nbsp;∪&nbsp;*f*&nbsp;&minus;1(*N*)
**f*&nbsp;&minus;1(*M*&nbsp;∩&nbsp;*N*)&nbsp;= *f*&nbsp;&minus;1(*M*)&nbsp;∩&nbsp;*f*&nbsp;&minus;1(*N*)
**f*(*f*&nbsp;&minus;1(*M*))&nbsp;⊆&nbsp;*M*
**f*&nbsp;&minus;1(*f*(*X*))&nbsp;⊇&nbsp;*X*
**M* ⊆ *N* \Rightarrow *f*&nbsp;&minus;1(*M*) ⊆ *f*&nbsp;&minus;1(*N*)
**f*&nbsp;&minus;1(*M*C) = (*f*&nbsp;&minus;1(*M*))C
*(*f*&nbsp;|*X*)&minus;1(*M*) = *X* ∩ *f*&nbsp;&minus;1(*M*).

இரண்டு உட்கணங்களின் ஒன்றிப்பு, வெட்டு இவற்றைப்பற்றிய  மேற்படி பண்புகளை, உட்கணங்களின் எந்தக் கூட்டத்திற்கும் உண்மை என்று கொள்ளலாம்.

## இவற்றையும் பார்க்கவும்
*சார்பு
*முழுக்கோப்பு
*உள்ளிடுகோப்பு
*இருவழிக்கோப்பு
*ஆட்களம்
*இணையாட்களம்

பகுப்பு:கணக் கோட்பாட்டு அடிப்படை கருத்துருக்கள்
பகுப்பு:நேரியல் இயற்கணிதம்
பகுப்பு:சார்புகளும் கோப்புகளும்