ஆய்லரின் முற்றொருமை

கணிதத்தில் **ஆய்லரின் முற்றொருமை** (*Euler's identity*) 

:e^{i \pi} + 1 = 0 எனும் சமன்பாடு ஆகும்.

இதில்:
:***' என்பது [[E (கணித மாறிலி)|ஆய்லர் மாறிலி]]; [[இயல் மடக்கை]]யின் அடிமானம்,
:***' என்பது கற்பனை அலகு; 2&nbsp;= −1, and
:****  என்பது ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கும் அதன் விட்டத்துக்குமான விகிதம்.

கணிதவியலாளர் ஆய்லரின் பெயரால் இம் முற்றொருமை ”ஆய்லரின் முற்றொருமை” என அழைக்கப்படுகிறது. இம் முற்றொருமை, **ஆய்லரின் சமன்பாடு** என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

## விளக்கம்

சிக்கலெண் தளத்தில் வரையறுக்கப்படும் ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின் சிறப்பு வகையாகவே ஆய்லரின் முற்றொருமை அமைகிறது.

;ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு

 ஏதேனுமொரு மெய்யெண் எனில்:
: e^{ix} = \cos x +  i\sin x \,\!
இங்கு முக்கோணவியல் சார்புகளான *sine* , *cosine* இரண்டும் ரேடியனில் தரப்படுகின்றன.

&nbsp;=&nbsp;**' எனும்போது ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு ஆய்லரின் முற்றொருமையாகிறது.

&nbsp;=&nbsp;**' என ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டில் பிரதியிட,
: e^{i \pi} = \cos \pi +  i\sin \pi.\,\!

மேலும் \cos \pi = -1 ,\sin \pi = 0 \, \!  என்பதால்,
: e^{i \pi} = -1 + 0 i\,\!
: e^{i \pi} = -1 \,\! 
: e^{i \pi} +1 = 0.\,\! (ஆய்லரின் முற்றொருமை)

## சிறப்புகள்
*அடிப்படைக் கணிதச் செயல்களான கூட்டல், பெருக்கல், அடுக்கேற்றம் ஆகிய மூன்று செயல்களும் இம் முற்றொருமையில் ஒவ்வொன்றும் ஒரேயொரு முறை காணப்படுகின்றன.
*ஐந்து அடிப்படைக் கணித மாறிலிகளை இணைக்கிறது:
** கூட்டல் சமனியான எண் 0.
** பெருக்கல் சமனியான எண் 1.
** ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கும் விட்டத்துக்குமான விகிதமாக அமையும்  ( = 3.14159265...)
** இயற்மடக்கையின் அடிமானமான  ( =  2.718281828...). 
** கற்பனை அலகு 
*கணித எழுத்தாளர் கான்ஸ்டன்ஸ் ரீட் (Constance Reid), ஆய்லரின் முற்றொருமையை “கணிதத்திலேயே மிக அதிகமாகப் புகழ்பெற்ற வாய்ப்பாடு” என்று கூறியுள்ளார். 
*1990 இல் *தி மேத்தமெட்டிகல் இண்டெலிஜென்சர்* (The Mathematical Intelligencer) நடத்திய வாக்கெடுப்பில் ஆய்லரின் முற்றொருமை, "கணிதத்தின் மிக அழகிய தேற்றம்" என்ற பெயர் பெற்றது.  
**பிசிக்கிஸ் வொர்ல்டு* 2004 இல், வாசகர்களிடையே நடத்திய வாக்கெடுப்பில் மின்காந்தவியலின் மாக்சுவெல்லின் சமன்பாடுகள், ஆய்லரின் முற்றொருமை இரண்டும் சமமாக "எப்பொழுதும் மீப்பெரு சமன்பாடு" என்ற பட்டத்தைப் பெற்றன.

## பொதுமைப்படுத்தல்
எண் 1 இன் *n*ஆம் மூலங்களின் கூடுதல் சுழி (*n* > 1) என்ற முற்றொருமையின் சிறப்புவகையாகவும் ஆய்லரின் முற்றொருமை உள்ளது:

:\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .

இதில் **'&nbsp;= 2 எனப் பதிலிட்டால் ஆய்லரின் முற்றொருமை கிடைக்கிறது:

**'&nbsp;= 2 எனப் பதிலிட,
:\sum_{k=0}^{1} e^{\pi i k} = 0
:\Rightarrow e^{0} + e^{\pi i } = 0
:\Rightarrow  1 + e^{\pi i } = 0 (ஆய்லரின் முற்றொருமை)

## வரலாறு
1748 இல் வெளியிடப்பட்ட ஆய்லரின் *Introductio in analysin infinitorum* என்ற அவரது புத்தகத்தில் இந்த முற்றொருமை காணப்பட்டதாகக் கூறப்பட்டது. எனினும் அவர் இது குறித்து எதுவும் தெரிவிக்காததால் அம்முற்றொருமையைக் கண்டுபிடித்தது ஆய்லர்தானா என்பதும் கேள்விக்குரியதாகிறது. (மேலும் ஆய்லர் தனது புத்தகத்தில் (*Introductio*)  குறிப்பிட்டது  , *கொசைன்* , *சைன்* ஆகிய மூன்றையும் சிக்கலெண் தளத்தில் தொடர்புபடுத்தும் ஆய்லரின் வாய்ப்பாடாகும். ரோஜர் கோட்சு என்ற ஆங்கிலக் கணிதவியலாளரும் இவ் வாய்ப்பாட்டினை அறிந்திருந்தார். ஆய்லர் இதனைத் தனது சக சுவிஸ் கணிதவியலாளர் ஜோகன் பெர்னௌலி வாயிலாக அறிந்திருக்கக் கூடும் என்ற கருத்தும் உள்ளது.)

## குறிப்புகள்

## மேற்கோள்கள்

## மூலங்கள்
* Conway, John Horton, and Guy, Richard (1996). *[http://books.google.com/books?id=0--3rcO7dMYC&pg=PA254 The Book of Numbers]* (Springer, 1996). .
* Crease, Robert P., "The greatest equations ever", PhysicsWeb, October 2004 (registration required).
* Crease, Robert P. "Equations as icons," PhysicsWeb, March 2007 (registration required).
* Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America. .
* Derbyshire, J. *Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics* (New York: Penguin, 2004).
* Euler, Leonhard. *[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k69587.image.r=%22has+celeberrimas+formulas%22.f169.langEN Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus]* (Leipzig: B. G. Teubneri, 1922).
* Kasner, E., and Newman, J., *[[Mathematics and the Imagination]]* (Simon & Schuster, 1940).
* Maor, Eli, *e: The Story of a number* (Princeton University Press, 1998). 
* Nahin, Paul J., *Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills* (Princeton University Press, 2006). 
* Paulos, John Allen, *Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics* (Penguin Books, 1992).  
* Reid, Constance, *From Zero to Infinity* (Thomas Crowell, 1955).
* Sandifer, C. Edward. *[http://books.google.co.uk/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA4 Euler's Greatest Hits]* (Mathematical Association of America, 2007). 

## வெளி இணைப்புகள்

* Complete derivation of Euler's identity
* Intuitive understanding of Euler's formula

பகுப்பு:கணித முற்றொருமைகள்
பகுப்பு:லியோனார்டு ஆய்லர்