காப்பமைவியம் (கணிதம்)

கணிதத்தில், முக்கியமாக நுண்புல இயற்கணிதத்தில்,  அமைவியம் (Morphism) என்பது கணித அமைப்புகளுக்கிடையேயுள்ள போக்குவரத்து. அமைப்பை சிதறாமல் காக்கக்ககூடிய அமைவியத்திற்கு **காப்பமைவியம்**  (Homomorphism) என்று பெயர். இவையிரண்டுமே நுண்புலக் கருத்துக்கள். இவைகள் கணிதக் கண்டிப்புடன் வரையறுக்கப்பட வேண்டுமானால் நாம் விகுதிக் கோட்பாடுக்கும் (Category Theory), அனைத்தியற்கணிதத்துக்கும்  (Universal Alagebra) செல்லவேண்டும். இக்கட்டுரையில், இதற்குக்கீழ்ப்படியில்,  குறிப்பிட்ட கணித அமைப்புகளுக்கே இவை பேசப்படுகின்றன.

## குலம் காப்பமைவியம்

இது ஆங்கிலத்தில்  Group Homomorphism எனப்படும். இரண்டு குலங்கள்  G, H  என்றும், அவைகளில்  செயலிகள் முறையே    *1, *2 என்றும் கொண்டால்,

f : G \rightarrow H  ஒரு காப்பமைவியம் என்பதற்கு இலக்கணம்:

: G இலுள்ள ஒவ்வொரு a, b க்கும் f(a *_1 b) = f(a) *_2 f(b)

### விளைவுகள்

* G, H இவைகளுடைய  முற்றொருமை உறுப்புக்களை முறையே  e_G, e_H என்று கொண்டால், f(e_G) = e_H. ஏனென்றால்,

::e_H = f(e_G) *_2 (f(e_G))^{-1}

::: =f(e_G *_1 e_G) *_2 ((f(e_G))^{-1}

::: =f(e_G) *_2 f(e_G) *_2 ((f(e_G))^{-1}

::: =f(e_G)

இதன் பொருள்: காப்பமைவியம் முற்றொருமையை முற்றொருமைக்கே  எடுத்துச்செல்கிறது.

* a \in G என்று கொள். இப்பொழுது, f(a^{-1}) = ((f(a))^{-1}, ஏனென்றால்,

:: f(a^{-1}) = f(a^{-1}) *_2 e_H

::: = f(a^{-1})*_2 f(a) *_2 (f(a))^{-1}

::: = f(a^{-1} *_1 a) *_2 ((f(a))^{-1}

::: = f(e_G) *_2 ((f(a))^{-1}

::: = e_H *_2 ((f(a))^{-1}

::: = ((f(a))^{-1}.

இதன் பொருள்: காப்பமைவியமும் நேர்மாறும் ஒன்றுக்கொன்று ஒத்துப்போகின்றன, அதாவது பரிமாறிக்கொள்கின்றன. அதாவது,

: நேர்மாறின் காப்பமைவிய பிம்பம் = காப்பமைவிய பிம்பத்தின் நேர்மாறு.

### எடுத்துக்காட்டுகள்

*  \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}
: x \mapsto 2x

இது கூட்டல் குலம் \mathbf{R} இலிருந்து அதற்கே செல்லும் ஒரு குலம் காப்பமைவியம்; ஏனென்றால் 
:f(a + b) = 2(a+b) = f(a) + f(b).

* ln: \mathbf{R}^+ \rightarrow  \mathbf{R} 
:  x \mapsto ln x

இது பெருக்கல் குலம்  \mathbf{R}^+ இலிருந்து கூட்டல் குலம் \mathbf{R} க்கு ஒரு காப்பமைவியம்; ஏனென்றால், 
:ln(a \times b) = ln a + ln b

* exp: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}^+
: x \mapsto e^x

இது கூட்டல் குலம் \mathbf{R} இலிருந்து பெருக்கல் குலம் \mathbf{R}^+  க்கு ஒரு காப்பமைவியம்; ஏனென்றால்
: e^{a + b}  = e^a \times e^b

*  \mathbf{R} \rightarrow  அலகுவட்டம் \{z \in \mathbf{C}:|z| = 1\}
:  \theta \mapsto e^{i\theta}

இது இடது பக்கத்து கூட்டல் குலத்திலிருந்து வலது பக்கத்து பெருக்கல் குலத்திற்குச் செல்லும் ஒரு காப்பமைவியம்; ஏனென்றால், 
: e^{i(\theta + \phi)} = e^{i\theta} \times e^{i\phi}

* ஒரு சமபக்க நான்முகியில், ஒரு உச்சியிலிருந்து எதிர்முகத்திற்குப்போகும் அச்சைச்சுற்றிப்போகும் சுழற்சிகளில் மூன்று சுழற்சிகள் ( 0^{\circ},120^{\circ},240^{\circ}) நான்முகிவடிவத்தை இடமாற்றாது. இம்மூன்று சுழற்சிகளும் சுழற்சிச்சேர்வைக்கு ஒரு குலமாகிறது. இது {0, 1, 2} என்ற modulo 3  கூட்டல் குலத்திற்கு காப்பமைவியம் உள்ளதாக இருக்கும்.
*சமச்சீர் குலம்  S_n க்கும் 2-ஆவது கிரம சுழற்குலம்  C_2 = \{+1, -1\} க்கும் இடையில்  \chi  என்ற ஒரு சீலக்கோப்பு  (Character map) உண்டாக்கலாம். அதாவது,
:: \chi: S_n \rightarrow \{+1, -1\}

::  A \mapsto  sgn(A)
இது  ஒரு  காப்பமைவியம்.

## வளையம் காப்பமைவியம்

இது Ring Homomorphism.   (X, +_1, \circ_1) (Y, +_2, \circ_2)  இரண்டு வளையங்கள் என்று கொண்டால்,
  
f : X \rightarrow Y  ஒரு காப்பமைவியம் என்பதற்கு இலக்கணம்:

: X இலுள்ள ஒவ்வொரு a, b க்கும் , f(a +_1 b) = f(a) +_2 f(b), மற்றும்,
:f(a \circ_1 b) = f(a) \circ_2 f(b)

### விளைவுகள்

*ஒவ்வொரு வளையம் காப்பமைவியமும், (X, +_1), (Y, +_2) ஆகிய குலங்களுக்கிடையே ஒரு குலம் காப்பமைவியமாகவும் ஆகிறது. இதனால்

: f(0_X) = (0_Y); மற்றும்
:ஒவ்வொரு a \in X க்கும் f(-a) = -f(a).

*ker f = \{x \in X: f(x) = 0_Y\} என்ற f இன் உட்கரு  X இல் ஒரு சீர்மமாகும்.

### எடுத்துக்காட்டுகள்

* \mathbf{Z} \rightarrow \mathbf{Z}_n
:  a \mapsto a(mod n)

* \mathcal{C}[a, b] \rightarrow \mathbf{R}
:  f \mapsto  f(x_0) , இங்கு x_0 என்பது  [a,b] யில் ஒரு நிலையான புள்ளி.

* \mathcal{P} \rightarrow \mathbf{R}
:   f \mapsto f(1)
:அ-து: a_0 + a_1 x +a_2 x^2 + ... + a_n x^n  \mapsto  a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_n

## திசையன் வெளி காப்பமைவியம்

இரண்டு அமைப்புகளும் ஒரே அளவெண்களத்தையுடைய திசையன் வெளி யாக இருக்கும் பட்சத்தில், அமைப்பைக் காக்கும் காப்பமைவியங்கள் நேரியல் கோப்பு களே.

## காப்பமைவியங்களுக்குள் பாகுபாடுகள்

மேலுள்ள எல்லா  சூழ்நிலையிலும், ஒரு காப்பமைவியம், கூடவே,

*முழுக்கோப்பாகவும் இருந்தால் அது **முழு அமைவியம்** (epimorphism) எனவும்,
*உள்ளிடுகோப்பாகவும் இருந்தால் அது **ஒன்றமைவியம்**  (monomorphism)எனவும்,
*முழுகோப்பாகவும், உள்ளிடுகோப்பாகவும் இருந்தால் அது **சம அமைவியம்** (isomorphism) எனவும்,
*ஓர் அமைப்புள்ள கணத்திலிருந்து அதற்குள்ளேயே செல்வதாயிருந்தால் அது **உள்ளமைவியம்** (endomorphism) எனவும்,
*ஒர் அமைப்புள்ள கணத்திலிருந்து அதற்குள்ளேயெ செல்வதாகவும், முழுக்கோப்பாகவும், உள்ளிடு கோப்பாகவும் இருந்தால் அது **தன்னமைவியம்** (automorphism) எனவும்  சொல்லப்படும்.

பகுப்பு:நுண்புல இயற்கணிதம்