இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனை

வகை நுண்கணிதத்தில் **இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனை** (*second derivative test*),  சார்பின் ஒரு நிலைப் புள்ளியில், இடஞ்சார்ந்தபெருமம் அல்லது சிறுமம் உள்ளதா என்பதைத் தீர்மானிக்கப் பயன்படுகிறது.

இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனையின் கூற்று:

சார்பு *f* , அதன் *x*, என்ற நிலைப் புள்ளியில் (\ f^{\prime}(x) = 0 ) இருமுறை வகையிடத்தக்கதாக இருந்தால்:

* \ f^{\prime\prime}(x)   எனில்,  \ x -ல் \ f க்கு இடஞ்சார்ந்த பெருமம் உண்டு.
* \ f^{\prime\prime}(x) > 0  எனில்,  \ x -ல் \ f க்கு இடஞ்சார்ந்த சிறுமம் உண்டு. 
*\ f^{\prime\prime}(x) = 0 எனில் இச் சோதனை, \ x புள்ளியின் தன்மையைப் பற்றி எதுவும் கணிப்பதில்லை. ஒருவேளை அப்புள்ளி வளைவுமாற்றுப் புள்ளியாக அமையலாம்.

## நிறுவல்
\ f^{\prime\prime}(x) > 0  என்க.

:f*(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x + h) - f'(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x + h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h)}{h}.</math>

ஃ போதுமான அளவு சிறிய <big>*h*</big> -க்கு: 
:<math>\frac{f'(x+h)}{h} > 0.</math>

எனவே:

* <big>*h* < 0</big> எனில், <big><math>f'(x+h) < 0.</math></big> அதாவது  x -ன் இடதுபுறத்தில் <big>f,</big> குறையும் சார்பு.
* <big>*h* > 0</big> எனில், <big><math>f'(x+h) > 0.</math></big> அதாவது x -ன் வலப்புறம் <big>f,</big> கூடும் சார்பு.

எனவே முதல் வகைக்கெழுச் சோதனையின்படி,  சார்பு <math>f</math> -க்கு,  <math>x</math> புள்ளியில் இடஞ்சார்ந்த சிறுமம் உள்ளது..

இதேபோல் <math>\ f^{\prime\prime}(x) > 0</math> -க்கும்  [[கணித நிறுவல்|நிறுவலாம்]].

== குழிவுத்தன்மை சோதனை ==

இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனை மூலம் ஒரு சார்பின் குழிவுத்தன்மையையும் வளைவுமாற்றுப் புள்ளியையும் தீர்மானிக்கலாம்.
 
முதலில் <math>\ f*(x) = 0 ஆகும் புள்ளிகளைக் காண வேண்டும். பின் ஒவ்வொரு புள்ளியின் அண்மையகத்திலும் \ f*(x)</math>  மதிப்புகளைக் காண வேண்டும்.  ஒரு புள்ளியின் அண்மையகத்தில் <math>\ f*(x)   எனில் அங்கு சார்பு \ f(x)  கீழ்நோக்கிக் குழிவு. ஒரு புள்ளியின் அண்மையகத்தில் \ f*(x) > 0</math> எனில் சார்பு <math>\ f(x)</math>  மேல்நோக்கிக் குழிவு.

எதிர்மாறான குழிவுத்தன்மைகள் கொண்ட இடைவெளிகளைப் பிரிக்கும் புள்ளி வளைவுமாற்றுப் புள்ளியாகும். இதை சார்பின் மூன்றாம் வகைக்கெழுவைக் கொண்டு தீர்மானிக்க முடியும். ஒரு வளைவுமாற்றுப் புள்ளியில் சார்பின் மூன்றாம் வகைக்கெழு (ஐந்தாம், ஏழாம்,..., ஒற்றை வரிசை வகைக்கெழுக்கள்) [[பூச்சியம்|பூச்சியமில்லாமல்]] இருக்கும்.ஒரு நிலைப்புள்ளி வளைவுமாற்றுப் புள்ளியாக இருக்குமானால் அப்புள்ளிக்கு இருபுறமும் சார்பின் குழிவுத்தன்மை மாறும். அதாவது இரண்டாம் வகைக்கெழுவின் குறி புள்ளியின் இருபுறமும் குறியில் மாறுபடும்.

எடுத்துக்காட்டு:  (0,0)  <math>\ f(x) = x^3</math>  சார்புக்கு (0,0) ஒருவளைவுமாற்றுப் புள்ளி. ஏனென்றால் <math>\ f^{\prime\prime}(0) = 0</math>,  <math>\ f^{\prime\prime}(-1) < 0,</math>  <math>\ f^{\prime\prime}(1) > 0.</math>.மேலும் <math>\ f^{\prime\prime\prime}(0) </math> பூச்சியமல்ல.

==பலமாறிகளில் அமைந்த சார்பு==

ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட [[மாறி]]களில் அமைந்த சார்புகளுக்கு இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனை, நிலைப் புள்ளியில் அமையும் [[ஹெஸியன் அணி]]யின் ஐகன் மதிப்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட சோதனையாகப் பொதுமைப்படுத்தப்படுகிறது. நிலைப்புள்ளி  *x* -ன் அண்மையகத்தில், சார்பின் அனைத்து இரண்டாம் வரிசை பகுதி வகைக்கெழுக்களும் தொடர்ச்சியாக இருப்பதாக எடுத்துக்கொண்டால்:

* *x*  -ல் ஹெசியன் [[அணி (கணிதம்)|அணியின்]] ஐகன் மதிப்புகள் அனைத்தும் நேர்மம் எனில்  *x*  ஒரு இடஞ்சார்ந்த சிறுமம்.
* *x*  -ல் ஹெசியன் அணியின் ஐகன் மதிப்புகள் அனைத்தும் எதிர்மம் எனில்  *x*  ஒரு இடஞ்சார்ந்த பெருமம்.
* *x*  -ல் ஹெசியன் அணியின் ஐகன் மதிப்புகளில் சில நேர்மமாகவும் சில எதிர்மமாகவும் இருந்தால் *x*  ஒரு [[சேணப் புள்ளி]].
* ஹெசியன் அணி [[வழுவிலா அணி|வழுவுள்ள அணி]] எனில் இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனை எந்தவொரு முடிவையும் தருவதில்லை.

==மேற்கோள்கள்==
* [http://mathworld.wolfram.com/SecondDerivativeTest.html Second Derivative Test from *'Mathworld''']
* Concavity and the Second Derivative Test 
*Thomas Simpson's use of Second Derivative Test to Find Maxima and Minimaat

பகுப்பு:வகையீட்டு நுண்கணிதம்