வளையத்தில் சீர்மம் (கணிதம்)

**வளையத்திற்குள் சீர்மம்** (*Ideal in a Ring*) என்பது ஒரு வளையத்தின் உட்கணமாகும். அத்துடன் அது வளையத்தின் கூட்டல் செயலியைப் பொறுத்த குலமாக இருப்பதோடு கீழுள்ள சிறப்புப் பண்பையும் பெற்றிருக்கும்:
:வளையம் R இன் ஒரு உறுப்பு x மற்றும் வளையத்தின் சீர்மம் I இன் ஒரு உறுப்பு y எனில் xy, yx இரண்டும் சீர்மத்தின் உறுப்புகளாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக,
:முழு எண்களின் வளையம் Z இன் சீர்மமாக அதன் உட்கணமான இரட்டையெண்களின் கணம் இருக்கும்.

## வரலாறு
வளையம் என்பது கணிதத்தில் ஒரு கணித அமைப்பு. அமைப்புகள் பல வகைப்படும். அவைகளில் இயற்கணித அமைப்பைச் சேர்ந்தது வளையம். **வளையத்திற்குள் சீர்மம் ** (Ideal in a Ring) என்ற கருத்து மிகப்பயனுள்ள கருத்து. 19வது நூற்றாண்டிலேயே டெடிகிண்ட் (1831 – 1916) இக்கருத்துக்களை எண்களுடைய கணங்களுக்குக் கையாண்டிருக்கிறார். இருபதாவது நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் ஜெர்மனியில் கெட்டிங்கனில் ஹில்பர்ட்டுடன் ஆய்வுகள் செய்த நோய்தர் என்ற அம்மையாரின் பற்பல ஆய்வுகளிலிருந்து தோன்றிற்று நுண்பியப்படுத்தப்பட்ட இந்த சீர்மம் என்ற கோட்பாடு.

## உள்ளுணர்வுக் கண்ணோட்டம்
எல்லா முழு எண்களின் கணம் **Z**. சாதாரணக் கூட்டல், பெருக்கலுக்கு இது ஒரு வளையமாகிறது. இதனில் ஒரு உட்கணம், எடுத்துக்காட்டாக, 3 இன் எல்லா மடங்குகளையும் கொண்டது, அதற்கு 3**Z** என்று பெயரிடுவோம். குறியீட்டு முறையில் சொன்னால்

**Z** = { .... -3. -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... }

3**Z** = { ... -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, ... } .

இங்கு **Z** தாய்க்கணம்; 3**Z** உட்கணம். தாய்க் கணத்திலிருக்கும் எந்த உறுப்பாலும் உட்கணத்திலிருக்கும் எதைப் பெருக்கினாலும் நாம் திரும்பி உட்கணத்திற்குள்ளேயே வருகிறோம். இதை தத்துவரீதியாக, குறிப்பிட்ட உட்கணம் வெளியிலிருந்து வரும் எந்த பெருக்கலுக்கும் நிலையாக (*stable*) இருக்கிறது என்று சொல்லப்படும். இப்படி நிலையாக இருக்கும் உட்கணத்திற்கு **சீர்மம்** என்று பெயர். இப்பொழுது இதை நுண்பியப்படுத்தலாம்.

## சீர்மத்தின் வரையறை
{**R**, +, . } என்ற ஒரு வளையத்தில், **S** என்ற ஒரு உட்கணம் பின்வரும் இரு நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டால் அது ஒரு சீர்மம் எனப்படும்:

* { **S**, +} ஒரு உட்குலமாக இருக்கவேண்டும்.
* **R** இல் உள்ள எந்த *r* க்கும், **S** இலுள்ள *s* எதுவாயிருந்தாலும், *r . s* என்ற உறுப்பு **S** இல் இருந்தாகவேண்டும்.

## எடுத்துக்காட்டுகள்
*முழு எண்களாலான {**Z**, + , . } என்ற வளையத்தில், *p* என்ற பகா எண்ணுக்கு,

*p* **Z** = *{ … -3p, -2p, -p, 0 , p, 2p, 3p, … }* ஒரு சீர்மம் ஆகிறது.

*தொடர் சார்பு வளையம் C[a, b] இல் பின்வரும் **S** என்ற கணத்தைப்பார்ப்போம். [a, b] இல் x0 ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி.

S = { f € C[a, b] | f(x0) = 0}.

அதாவது, C[a,b] இல் எந்தெந்த சார்புகள் x0 என்ற புள்ளியில் சுழிக்கின்றனவோ (vanish at x0) அவையெல்லாம் சேர்ந்தது தான் S. இந்த S, C[a,b] இல் ஒரு முக்கியமான சீர்மம்.

## சீர்மத்தின் வகைகள்
சீர்மங்களின் சில வகைகள்:
*பெருமச் சீர்மம்
*சிறுமச் சீர்மம்
*பகாச் சீர்மம்
*அரைப்பகாச் சீர்மம்
*முதனிலைச் சீர்மம்
*முதன்மைச் சீர்மம்
*குறைக்கவியலாச் சீர்மம்
*சார்பெருமச் சீர்மங்கள்
*இன்மச் சீர்மம்
*இன்மவடுக்குச் சீர்மம்
*நேர்மாற்றத்தக்கச் சீர்மம்

## சீர்மச் செயலிகள்
சீர்மங்களின் கூட்டலும் பெருக்கலும் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
:\mathfrak{a}, \mathfrak{b} இரண்டும் வளையம் *R* இன் இடது (வலது) சீர்மங்கள் எனில், அவற்றின் கூடுதல்:
:\mathfrak{a}+\mathfrak{b}:=\{a+b \mid a \in \mathfrak{a} \mbox{ and } b \in \mathfrak{b}\}, :\mathfrak{a}+\mathfrak{b} ஒரு இடது (வலது சீர்மமாக இருக்கும்.
:\mathfrak{a}, \mathfrak{b} இடது மற்றும் வலது சீர்மமாக இருந்தால் அவற்றின் பெருக்கல்:
:\mathfrak{a} \mathfrak{b}:=\{a_1b_1+ \dots + a_nb_n \mid a_i \in \mathfrak{a} \mbox{ and } b_i \in \mathfrak{b}, i=1, 2, \dots, n; \mbox{ for } n=1, 2, \dots\},
:இரண்டின் பெருக்கற்பலனானது *ab* ( *a*, *b* முறையே \mathfrak{a,} \mathfrak{b} இல் உள்ளவை) ஆல் பிறப்பிக்கப்பட்ட சீர்மமாக இருக்கும்.

\mathfrak{a} + \mathfrak{b} ஆனது, \mathfrak{a} மற்றும் \mathfrak{b} இரண்டையும் உள்ளடக்கிய மிகச்சிறிய இடது (வலது) சீர்மமாக இருக்கும், \mathfrak{a}\mathfrak{b} ஆனது, \mathfrak{a} மற்றும் \mathfrak{b} இரண்டின் வெட்டினுள் அமைந்திருக்கும்.

இரு-பக்கச் சீர்மங்களுக்குப் பங்கீட்டு விதி பொருந்தும்:
: \mathfrak{a}, \mathfrak{b}, \mathfrak{c} எனில்,,
*\mathfrak{a}(\mathfrak{b} + \mathfrak{c}) = \mathfrak{a} \mathfrak{b} + \mathfrak{a} \mathfrak{c},
*(\mathfrak{a} + \mathfrak{b}) \mathfrak{c} = \mathfrak{a}\mathfrak{c} + \mathfrak{b}\mathfrak{c}.

பெருக்கலுக்குப் பதிலாக வெட்டைப் பயன்படுத்தும்போது, பகுதி பங்கீட்டு விதி பொருந்தும்:
:\mathfrak{a} \cap (\mathfrak{b} + \mathfrak{c}) \supset \mathfrak{a} \cap \mathfrak{b} + \mathfrak{a} \cap \mathfrak{c}
:\mathfrak{a} ஆனது \mathfrak{b} அல்லது \mathfrak{c} ஐ உள்ளடக்கினால் மேலுள்ள கூற்றில் சமக்குறி பொருந்தும்.

## மேற்கோள்கள்

பகுப்பு:வளையக் கோட்பாடு