பிழைச் சார்பு

கணிதத்தில் **பிழைச் சார்பு** அல்லது **காஸ் பிழைச் சார்பு** (*error function*, *Gauss error function*) என்பது நிகழ்தகவு, புள்ளியியல் பகுதிவகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் ஆகிய பிரிவுகளில் காணப்படும் ஒரு சிறப்புச் சார்பு ஆகும். இது கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

பிழைச் சார்பு (குறியீடு: *erf*) :
:\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^x e^{-t^2}\,\mathrm dt.

நிரப்புப் பிழைச் சார்பு (குறியீடு: *erfc*) :
:\begin{align}
             \operatorname{erfc}(x) & = 1-\operatorname{erf}(x) \\
                                    & = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2}\,\mathrm dt.
       \end{align}

கற்பனை பிழைச் சார்பு (குறியீடு: *erfi*) :
:\operatorname{erfi}(z) = -i\,\,\operatorname{erf}(i\,z).

பிழைச் சார்புக்கும் குவிவுப் பரவல் (cumulative distribution) \Phi க்குமுள்ள தொடர்பு:

:\Phi (x) = \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} \operatorname{erf} \left(x/ \sqrt{2}\right).

*x* இன் நேர் மதிப்புகளுக்கு, ஒரு அளவீடானது, திட்ட விலக்கம் \sigma கொண்டு இயல்நிலைப் பரவலாக அமையும் பிழைகளின் தாக்கத்தால் அதன் சராசரி மதிப்பிலிருந்து x க்கும் குறைவான தொலைவிலிருக்கும் என்ற நிகழ்தகவின் மதிப்பை, \frac{x}{\sigma \sqrt{2}} இல் கணக்கிடப்படும் பிழைச் சார்பின் மதிப்பானது தருகிறது. புள்ளியியலில், முழுத்தொகுதியின் சராசரியைப் பொறுத்து அம் முழுத்தொகுதியின் எந்தவொரு மாதிரியின் சராசரியும் எவ்வாறு இருக்கும் என்பதை முன்கூட்டியே அறிந்துகொள்ள இச் சார்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது. குவிவுப் பரவற் சார்பின் நிரப்புச் சார்பான Q-சார்பின் பயன்பாட்டைப் போல இது அமைகிறது. Q-சார்பைப் பிழைச் சார்பின் மூலமாக எழுத முடியும்.

## வரைபடம்

* *z* ஒரு சிக்கலெண் எனில்:

:\operatorname{erf} (\overline{z}) = \overline{\operatorname{erf}(z)}  

இதில் *z* இன் இணையியச் சிக்கலெண் \overline{z}.

படத்தில், தொகையிடப்படும் சார்புகள் *ƒ*&nbsp;=&nbsp;exp(&minus;*z*2)மற்றும் *ƒ*&nbsp;=&nbsp;erf(*z*) இரண்டும் சிக்கலெண் தளமான *z*-தளத்தில் வரையப்பட்டுள்ளன.

*Im(*ƒ*)&nbsp;=&nbsp;0 க்குரியவை அடர்த்தியான பச்சை நிறக் கோடுகளாலும்
*Im(*ƒ*) இன் எதிர் முழு எண் மதிப்புகளுக்கானவை அடர்த்தியான சிவப்பு நிறக் கோடுகளாலும் 
*Im(*f*) இன் நேர் முழு எண் மதிப்புகளுக்கானவை அடர்த்தியான நீல நிறக் கோடுகளாலும்
*இடைப்பட்ட Im(*ƒ*)&nbsp;=&nbsp;மாறிலி -க்குரியவை மெல்லிய பச்சை நிறக் கோடுகளாலும் காட்டப்பட்டுள்ளன.
*இடைப்பட்ட Re(*ƒ*)&nbsp;=&nbsp;மாறிலி, இன் எதிர் மதிப்புகளுக்குரியவை மெல்லிய சிவப்பு நிறக் கோடுகளாலும், நேர் மதிப்புகளுக்குரியவை மெல்லிய நீல நிறக் கோடுகளாலும் காட்டப்பட்டுள்ளன.

மெய் அச்சில்  பிழைச் சார்பின் மதிப்பு, *z*&nbsp;→&nbsp;+∞ எனில் 1 ஐயும்,  *z*&nbsp;→&nbsp;&minus;∞ எனில்  &minus;1 ஐயும்  erf(*z*) அணுகுகிறது. கற்பனை அச்சில் ±i∞ ஐ அணுகுகிறது.

## பண்புகள்
*பிழைச் சார்பு ஒரு ஒற்றைச் சார்பு.
:\operatorname{erf} (-z) = -\operatorname{erf} (z) 

*பிழைச் சார்பின் டெய்லர் தொடர் அல்லது டெய்லர் விரிவு:
:\operatorname{erf}(z)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n z^{2n+1}}{n! (2n+1)} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}-\frac{z^7}{42}+\frac{z^9}{216}-\ \cdots\right)

பின்வருமாறும் இதனை மாற்றி அமைக்கலாம்:
:\operatorname{erf}(z)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\left(z \prod_{k=1}^n {\frac{-(2k-1) z^2}{k (2k+1)}}\right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infin \frac{z}{2n+1} \prod_{k=1}^n \frac{-z^2}{k}

*+∞ இல் பிழைச் சார்பின் மதிப்பு 1 

*பிழைச் சார்பின் வகைக்கெழு:
:\frac{\rm d}\,e^{-z^2}.

*பிழைச் சார்பின் எதிர்வகைக்கெழு (தொகையீடு):
:z\,\operatorname{erf}(z) + \frac{e^{-z^2}}{\sqrt{\pi}}.

*நேர்மாறு பிழைச் சார்பு
நேர்மாறு பிழைச் சார்பின் வரையறை மெக்லாரின் தொடர் வாயிலாக:
:\operatorname{erf}^{-1}(z)=\sum_{k=0}^\infin\frac{c_k}{2k+1}\left (\frac{\sqrt{\pi}}{2}z\right )^{2k+1}, \,\!

*c*0 = 1 மற்றும்

:c_k=\sum_{m=0}^{k-1}\frac{c_m c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)} = \left\{1,1,\frac{7}{6},\frac{127}{90},\frac{4369}{2520},\ldots\right\}.

:\operatorname{erf}^{-1}(z)=\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi}\left (z+\frac{\pi}{12}z^3+\frac{7\pi^2}{480}z^5+\frac{127\pi^3}{40320}z^7+\frac{4369\pi^4}{5806080}z^9+\frac{34807\pi^5}{182476800}z^{11}+\cdots\right ).\ 

*நேர்மாறு நிரப்பு பிழைச் சார்பு:
:\operatorname{erfc}^{-1}(1-z) = \operatorname{erf}^{-1}(z).

*நிரப்புப் பிழைச் சார்பின் அணுகுமுறை விரிவு (asymptotic expansion): 

*x* இன் பெரிய மெய்மதிப்புகளுக்கு,

:\mathrm{erfc}(x) = \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\left [1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{(2x^2)^n}\right ]=\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2n-1)!!}{(2x^2)^n},\,

(2*n*&nbsp;–&nbsp;1)!! என்பது (2*n*&nbsp;–&nbsp;1) வரையிலான ஒற்றை எண்களின் தொடர் பெருக்கம். 

*தொடரும் பின்ன விரிவு
நிரப்புப் பிழைச் சார்பின் தொடரும் பின்ன விரிவு:

: \mathrm{erfc}(z) = \frac{z}{\sqrt{\pi}}e^{-z^2} 
\cfrac{a_1}{z^2+
\cfrac{a_2}{1+
\cfrac{a_3}{z^2+
\cfrac{a_4}{1+\dotsb}}}}
\qquad a_1 = 1,\quad a_m = \frac{m-1}{2},\quad m \geq 2.


## தொடர்புள்ள சார்புகள்
திட்ட இயல்நிலைப் பரவலின் குவிவுப் பரவற் சார்பு Φ க்கும் பிழைச் சார்புக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பு:
: \Phi(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^\tfrac{-t^2}{2}\,\mathrm dt = \frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]=\frac{1}{2}\,\operatorname{erfc}\left(-\frac{x}{\sqrt{2}}\right)

:\begin{align}
\mathrm{erf}(x)  &= 2 \Phi \left ( x \sqrt{2} \right ) - 1 \\
\mathrm{erfc}(x) &= 2 \Phi \left ( - x \sqrt{2} \right )=2\left(1-\Phi \left ( x \sqrt{2} \right)\right).
\end{align}

Q-சார்புக்கும் பிழைச் சார்புக்குமான தொடர்பு:
:
Q(x) =\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{erf} \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right)=\frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right).


குவிவுப் பரவற் சார்பின் நேர்மாறுக்கும் பிழைச் சார்புக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பு:
:
\operatorname{probit}(p) = \Phi^{-1}(p) = \sqrt{2}\,\operatorname{erf}^{-1}(2p-1) = -\sqrt{2}\,\operatorname{erfc}^{-1}(2p).


### பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பிழைச் சார்பு

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பிழைச் சார்பின் வரையறை:
:E_n(x) = \frac{n!}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^n}\,\mathrm dt
=\frac{n!}{\sqrt{\pi}}\sum_{p=0}^\infin(-1)^p\frac{x^{np+1}}{(np+1)p!}\,.

**E*0(*x*) என்பது ஆதிவழிச் செல்லும் கோடு
: \scriptstyle E_0(x)=\frac{x}{e \sqrt{\pi}}
**E*2(*x*) என்பது பிழைச் சார்பு erf(*x*).

## அட்டவணை

:

:

## மேற்கோள்கள்

*

## வெளி இணைப்புகள்
* MathWorld – Erf

பகுப்பு:பகுமுறைச் சார்புகள்