இசுடர்லிங் உட்கண எண்

கணிதத்தில் இசுடர்லிங் எண் என்பது இரண்டு வகையாகப் புழங்குகிறது. அவைகளில் ஒரு* n*-கணத்தை *k* உட்கணங்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய  வழிகளின் எண்ணிக்கை **இர ண்டாவது வகை இசுடர்லிங் எண்**  அல்லது **இசுடர்லிங் உட்கண எண்** (Stirling Subset Number) எனப் பெயர் பெறும். இதற்குக் குறியீடு  *S(n,k)* என்றோ அல்லது  
\left\{\begin{matrix}
n\\
k
\end{matrix}\right\} என்றோ பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதை  *n*-subset-*k* என்றோ *n*-உட்கணம்-*k* என்றோ உச்சரிக்கலாம். 

எடுத்துக்காட்டாக, \left\{\begin{matrix}
4\\
2
\end{matrix}\right\} = 7

ஏனென்றால், {a,b,c,d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் இரண்டு உட்கணங்கள் கொண்ட   பிரிவுகள்:

: **{a,b}/{c,d};  {a,c}/{b,d}; {a,d}/{b,c};  {a}/{b,c,d}; {b}/{a,c,d};  {c}/{a,b,d};  {d}/{a,b,c}**

இவ்வெண்களின் முதல் சில மதிப்புகளின் அட்டவணையை ஸ்டர்லிங் எண்கள் என்ற கட்டுரையில் பார்க்கவும்.

## மீள்வரு தொடர்பு

n > 0 என்றால்,

:\left\{\begin{matrix}
n\\
k
\end{matrix}\right\} =  k \left\{\begin{matrix}
n - 1\\
k
\end{matrix}\right\} + \left\{\begin{matrix}
n - 1\\
k - 1
\end{matrix}\right\}

*n* பொருட்களை உட்கணங்களாகப்பிரிக்கும்போது, ஏதாவதொரு குறிப்பிட்ட பொருளை (x_0 என்று சொல்லலாமே) கவனித்தால் அது ஒற்றையாகவே ஓர் உட்கணமாக இருந்தாலும் இருக்கலாம்; அல்லது ஏதாவது மற்றோர் உட்கணத்தோடு அதில் ஒன்றாக இருந்தாலும் இருக்கலாம். முதல் பட்சத்தில், மற்ற *n-1* பொருள்கள் \left\{\begin{matrix}
n - 1\\
k - 1
\end{matrix}\right\} வழிகளில் உட்கணங்களாகப் பிரிகின்றன. இரண்டாவது பட்சத்தில் மற்ற *n-1* பொருள்கள் \left\{\begin{matrix}
n - 1\\
k 
\end{matrix}\right\} வழிகளில் உட்கணங்களாகப்பிரிவதால், அவை ஒவ்வொன்றின் *k*  உட்கணங்களில் ஏதாவதொன்றில் x_0 சேர்ந்துகொள்ளலாம். இதனுடைய உருவாக்கம்தான் மீள்வரு தொடர்பு (Recurrence Relation).

## [[இறங்கும் தொடர்பெருக்கம்|இறங்குமுகக் காரணியத்துடன்]] உறவு

: *n > 0* ஆக இருக்குமானால்,

:(*): x^n =  \sum_k \left\{\begin{matrix}
n\\
k
\end{matrix}\right\} x(x - 1)(x - 2) ... (x - k + 1)

இதற்கு இரண்டுவிதமாக நிறுவல் அளிக்கலாம். உய்த்தறிதல் முறை ஒரு முறை. இன்னொன்று சேர்வியல் முறை.

**சேர்வியல் முறையில் நிறுவல்**: *x* ஒரு  நேர்ம முழுஎண்  என்று கொள். *|X| = x, |N| = n* இருக்கும்படி இரண்டு கணங்கள் *X, N* இருப்பதாகக் கொள்.  *N* இலிருந்து   *X* க்குப்போகும் எல்லாக் கோப்புகளின் எண்ணிக்கை  x^n. இதே எண்ணிக்கையை இப்பொழுது வேறுவிதமாகக் கணிப்போம்.

ஒரு குறிப்பிட்ட கோப்பைக் கவனி. இதனுடைய வீச்சில் (Range)அடங்கிய உறுப்புக்களின் எண்ணிக்கை *k* என்று கொள். இந்த குறிப்பிட்ட மதிப்புள்ள 'k'க்கு, \left\{\begin{matrix}
n\\
k
\end{matrix}\right\} வழிகளில் * N* இன் உறுப்புக்களை *X* இலுள்ள ஓர் உறுப்புக்குக் கோப்பிடலாம் (may be mapped).இவ்வழிகளில் ஒவ்வொன்றும் *N* ஐ உட்கணங்களால் பிரிக்கும் ஒரு பிரிவினை. ஒவ்வொரு பிரிவினையிலும் உள்ள ஒவ்வொரு பிரிவுக்கும் (அ-து. உட்கணத்திற்கும்)* X* இல் ஒரு பிம்பம் (Image) -- வெவ்வேறு பிரிவுக்கு வெவ்வேறு பிம்பம்--குறிப்பிடப்பட வேண்டும். இதற்குள்ள  வழிகள்:
:  *x(x - 1)(x - 2)    ...   (x - k +1).* இப்படிச் செய்துவிட்டால் எல்லாக் கோப்புகளையும் கணக்கிட்டாய்விடும்.ஆக, *k* என்ற வீச்சையுடைய எல்லாக் கோப்புகளின் எண்ணிக்கை:
:  \left\{\begin{matrix}
n\\
k
\end{matrix}\right\}x (x-1)... (x-k+1).

x ஒரு நேர்ம முழு எண்ணாக இருக்கும்போது (*)இன் உண்மைக்கு இது நிறுவலாகிறது. ஆனால் இதனாலேயே,  x ஐ மாறியாகக் கொண்டால், (*) இன் இருபக்கங்களிலும் உள்ள பல்லுருப்புகள்  x இன் முடிவிலா எண்ணிக்கையுள்ள   மதிப்புகளுக்கு உண்மையான சமன்பாடாகின்றன. இதன்பொருள் (*) ஒரு முற்றொருமைச் சமன்பாடு.

## [[ஏறும் தொடர்பெருக்கம்|ஏறுமுகக் காரணியத்துடன்]] உறவு

: (**)  n > 0  ஆக இருக்குமானால்

:x^n  = \sum_k \left\{\begin{matrix}
n\\
k
\end{matrix}\right\} (-1)^{n-k} x (x + 1)(x + 2) ... (x + k - 1)

இறங்குமுகக்காரணியத்துடன் உறவு (*) இல் காட்டப்பட்டது. அதனில்  x ஐ  (-x) ஆக மாற்றினால்  (**) கிடைத்துவிடும்.

## இவற்றையும் பார்க்கவும்
* ஸ்டர்லிங் சுழல் எண்

பகுப்பு:சேர்வியல்
பகுப்பு:குறிப்பிடத்தக்க எண் வகைகள்

## மேற்கோள்கள்