அரைமுப்படிப் பரவளைவு

கணிதத்தில், **அரைமுப்படிப் பரவளைவு** , *அரைக்கனவடிவப் பரவளைவு* அல்லது **நுதிக்குரிய கனவடிவடிம்** (*semicubical parabola*, *cuspidal cubic*) என்பது உள்ளுறைச் சமன்பாடுடையதொரு இயற்கணிதத் தள வளைவரையாகும். அதன் உள்ளுறைச் சமன்பாடு காட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமைகளில்:  y^2 - a^2 x^3  =  0  ().

 -க்குத் தீர்வு காண, அதன் "வெளிப்படை வடிவச் சமன்பாடு" கிடைக்கிறது.
: y = \pm a x^{\frac{3}{2}},. இதிலிருந்து ஒவ்வொரு மெய்யெண் புள்ளியும் 
 என்பதை நிறைவுசெய்யும் என்பதையும், சமன்பாட்டிலுள்ள  இன் அடுக்கானது இவ்வளைகோட்டிற்கான பெயரிலுள்ள "அரைமுப்படி" என்பதற்கானக் காரணத்தையும்  அறியலாம்.(பரவளைவின் சமன்பாடு: .)

உள்ளுறைச் சமன்பாட்டை  -க்குத் தீர்வு காண இரண்டாவதாக ஒரு வெளிப்படைச் சமன்பாடு கிடைக்கிறது:
:x = \left(\frac{y}{a}\right)^{\frac{2}{3}}.

t = \frac{y}{ax}. என உள்ளுறை சமன்பாட்டில் பதிலிடுவதன் மூலம் அரைமுப்படிப் பரவளைவிற்குப் பின்வரும் துணையலகுச் சமன்பாட்டையும் பெறலாம்:
: \quad x = t^2, \quad y = a t^3

ஆங்கிலக் கணிதவியலாளர் வில்லியம் நெயில் என்பவர் இவ்வளைகோட்டின் வில்லின் நீளத்தைக் கணக்கிட்டு, 1657 இல் வெளியிட்டார்.

## பண்புகள்
### வடிவொப்புமை
(t^2,at^3) -துணையலகு உருவகிப்பைக் கொண்ட எந்தவொரு அரைமுப்படிப் பரவளைவும்  என்ற அரைமுப்படி அலகு பரவளவுடன் வடிவொத்ததாக இருக்கும்.

*நிறுவல்:*  (x,y) \rightarrow (a^2x,a^2y)  என வரையறுக்கப்பட்ட வடிவொப்புமையானது (சீரான அளவுமாற்றம், (t^2,at^3) என்ற அரைமுப்படிப் பரவளைவை முழுவதுமாக ((at)^2,(at)^3) = (u^2,u^3) () என்ற வளைவரையோடு இணைக்கிறது.

### தொடுகோடுகள்
y = \pm x^{3/2} என்ற அரைமுப்படிப் பரவளைவின் கார்ட்டீசியன் சமன்பாட்டை வளைவரையின் மேற்கிளையிலுள்ள புள்ளி (x_0,y_0) இல் வகையிட, அப்புள்ளியிலமையும் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு கிடைக்கும்:
: y = \frac{\sqrt{x_0}}{2}\left(3x-x_0\right)  .

இத்தொடுகோடு வளைவரையின் கீழ்க்கிளையைப் பின்வரும் ஒரேயொரு புள்ளியில் சந்திக்கும்: 
: \left(\frac{x_0}{4}, -\frac{y_0}{8}\right) .

### வில்லின்நீளம்
(x(t),y(t)) என்ற வளைவரையின் வில்லின் நீளத்தைப் பின்வரும் தொகையிடல் மூலம் காணலாம்:
: \int \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \;dt .
அரைமுப்படிப் பரவளைவு (t^2,at^3), \; 0\le t\le b , இன் வில்லின் நீளம்: 
: \int^b_0\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} \;dt = \int^b_0 t\sqrt{4+9a^2t^2}\; dt = \cdots = \left[\frac{1}{27a^2} \left(4 + 9a^2t^2\right)^\frac{3}{2}\right]^b_0\; .
( 

*எடுத்துக்காட்டு:*
 (அரைமுப்படி அலகு பரவளைவு) மற்றும்  எனில், பரவளைவின் மீதுஅமையும் (0, 0),  (4,8) ஆகிய இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் வில்லின் நீளம் 9.073 ஆகக் கிடைக்கும்.

### மலரி
 (t^2,t) என்ற பரவளைவின் மலரியானது மூலப் பரவலைவிலிருந்து *x*-அச்சு திசையில் 1/2 அளவு நகர்த்தப்பட்ட அரைமுப்படிப் பரவளைவாகும்:
: \left(\frac{1}{2}+t^2,\frac{4}{\sqrt{3}^3}t^3\right).

### கோண-தூர ஆயதொலைவுகள்
(t^2,at^3) என்ற அரைமுப்படிப் பரவளைவின் உருவகிப்பைப் கோணதூர ஆயதொலைவுகளில் காண்பதற்கு,  y=mx என்ற கோடானது அரைமுப்படிப் பரவளைவை வெட்டும் புள்ளியைக் காண வேண்டும். இவை இரண்டும் வெட்டும் புள்ளிகள்:
: m\ne 0 எனில், (0, 0) மற்றும்   \left(\frac{m^2}{a^2}, \frac{m^3}{a^2}\right). 
:இவ்விரண்டிற்கும் இடைப்பட்ட தூரம்: \frac{m^2}{a^2}\sqrt{1+m^2} 
:  m=\tan \varphi, \sec^2 \varphi = 1 + \tan^2\varphi  என்ற பதிலிடலை மேற்கொள்ளக் கிடைப்பது:
: r=\left(\frac{\tan\varphi}{ a}\right)^2 \sec \varphi \; ,\quad -\frac{\pi}{2} 
:இதுவே அரைமுப்படிப் பரவளைவின் கோணதூர ஆயதொலைவுகள்.

## மேற்கோள்கள்

*August Pein: *Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten *, 1875, Dissertation
* Clifford A. Pickover: ''The Length of Neile's Semicubical Parabola''

## வெளியிணைப்புகள்
*

பகுப்பு:வளைவரைகள்