எல்லைகளின் பட்டியல் (கணிதம்)

இக்கட்டுரையில் பொதுச் சார்புகளின் எல்லைகளின் பட்டியல் தரப்படுகிறது. இதிலுள்ள *a*, *b* ,*c* ஆகிய மூன்றும் மாறி *x* ஐப் பொறுத்த மாறிலிகளாகும். இப்பட்டியல் முழுமையானதல்ல.

## பொதுச்சார்புகளின் எல்லைகள்
### எல்லையின் வரையறையும் தொடர்புடைய கருத்துக்களும்
\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\  0. என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே \lim_{x \to c} f(x) = L . இவ்வரையறை எல்லையின் (ε, δ)-வரையறை.

ஒரு தொடர்வரிசையின் உயர் எல்லையின் வரையறை:
: \limsup_{n \to \infty} x_n = \lim_{n\to\infty}\left(\sup_{m\geq n}x_m\right) 

ஒரு தொடர்வரிசையின் தாழ் எல்லையின் வரையறை:
: \liminf_{n \to \infty} x_n = \lim_{n\to\infty}\left(\inf_{m\geq n}x_m\right) .

சார்பின் தொடர்ச்சி:
:\lim_{x\to c}f(x)=f(c). என்பது உண்மையெனில் சார்பு f(x) ஆனது *c* புள்ளியில் தொடர்ச்சியானதாக இருக்கும்.

### அறியப்பட்ட எல்லை மீதான செயல்கள்

\text{If }\lim_{x \to c} f(x) = L \text{ then:}
:\lim_{x \to c} \, [f(x) \pm a] = L \pm a
:\lim_{x \to c} \, a f(x) = a L
: L \not = 0  எனில்,  \lim_{x \to c} \frac{1}{f(x)}= \frac1L 
:\lim_{x \to c} \, f(x)^n = L^n \qquad \text{ if }n \text{ is a positive integer}
:\lim_{x \to c} \, f(x)^{1 \over n} = L^{1 \over n} \qquad \text{ if }n \text{ is a positive integer, and if } n \text{ is even, then } L > 0

பொதுவாக, *L* இல் *g(x)* தொடர்ச்சியானதாகவும் \lim_{x \to c} f(x) = L எனவும் இருந்தால்:
:\lim_{x \to c} g\left(f(x)\right) =g(L)

### அறியப்பட்ட இரு எல்லைகள் மீதான செயல்கள்
\text{If }\lim_{x \to c} f(x) = L_1 \text{ and }\lim_{x \to c} g(x) = L_2 \text{ then:}\lim_{x \to c} \, [f(x) \pm g(x)] = L_1 \pm L_2

\lim_{x \to c} \, [f(x)g(x)] = L_1 \cdot L_2

\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2} \qquad \text{ if } L_2 \ne 0

### வகைக்கெழுக்கள் அல்லது நுண்ணளவு மாற்றங்கள் கொண்ட எல்லைகள்
இங்கு நுண்ணளவு மாற்றமானது \Delta x அல்லது \delta x எனக் குறிக்கப்படுகிறது. 

x இல், f(x) வகையிடத்தக்கச் சார்பு எனில்: 
:\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}=f'(x). 
இது வகையிடலின் வரையறையாகும்.

வகையிடல் விதிகளையும் எல்லைகளைக் கொண்டவைகளாக மாற்றியமைக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக x இல், g(x) வகையிடத்தக்கது எனில்,
:\lim_{h\to 0}{f\circ g(x+h)-f\circ g(x)\over h}=f'[g(x)]g'(x). (வகையிடலின் சங்கிலி விதி).\lim_{h\to 0}{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)\over h}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x). (வகையிடலின் பெருக்கல் விதி).
:\lim_{h\to0}\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)^\frac{1}{h}=\exp\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)
:\lim_{h \to 0}{\left({f(x(1+h))\over{f(x)}}\right)^{1\over{h}} }=\exp\left(\frac{x f'(x)}{f(x)}\right)

f(x), g(x) இரண்டும் *c* ஐ உள்ளடக்கிய திறந்த இடைவெளியில் (c ஐ மட்டும் தவிர்க்கலாம்) வகையிடத்தக்கவையாகவும், \lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0 \text{ or } \pm\infty எனவும் இருக்குமானால், லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம்:
:\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}

### சமனிலிகள்
c ஐ உள்ளடக்கிய இடைவெளியிலுள்ள அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் (ஒருவேளை c தவிர்க்கப்படலாம்) f(x)\leq g(x)  ஆகவும், f(x),  g(x)  இரண்டின் எல்லைகளும் c இடத்துக் காணத்தக்கதாகவும் இருந்தால்:
:\lim_{x\to c}f(x)\leq \lim_{x\to c}g(x) 

c ஐ உள்ளடக்கிய இடைவெளியிலுள்ள அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் (ஒருவேளை c தவிர்க்கப்படலாம்) \text{If }\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} h(x) = L ஆகவும், f(x)\leq g(x)\leq h(x) ஆகவும் இருந்தால்:
:\lim_{x \to c} g(x) = L. 
f(x) , g(x) இரண்டின் மதிப்புகளும் c இடத்து வெவ்வேறாக இருந்தாலும் அல்லது  c இடத்து இவ்விரு சார்புகளும் தொடர்ச்சியற்றதாக இருந்தாலும் இம்முடிவு உண்மையாக இருக்கும்.

## பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் ''x<sup>a</sup>'' வடிவச் சார்புகளும்

:\lim_{x \to c} a = a

### x இல் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள்

:\lim_{x \to c} x = c

:\lim_{x \to c} (ax + b) = ac + b

:\lim_{x \to c} x^n = c^n \qquad \mbox{ if } n \mbox{ is a positive integer}
:\lim_{x\to\infty}x/a=\begin{cases} \infty, & a > 0 \\ \text{does not exist}, & a = 0 \\ -\infty, & a 

பொதுவாக p(x) ஒரு பல்லுறுக்கோவையெனில் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:
:\lim_{x \to c} p(x) = p(c)
விகிதமுறு சார்புகள் அவற்றின் ஆட்களங்களில் தொடர்ச்சியானவை என்பதால் அவற்றுக்கும் இம்முடிவு பொருந்தும்.

### ''x<sup>a</sup>'' வடிவச் சார்புகள்
:\lim_{x\to c}x^a=c^a. குறிப்பாக:
::\lim_{x\to\infty}x^a=\begin{cases} \infty, & a > 0 \\ 1, & a = 0 \\ 0, & a 

:\lim_{x\to c}x^{1/a}=c^{1/a} . குறிப்பாக:
::\lim_{x\to\infty} x^{1/a}=\lim_{x\to\infty}\sqrt[a]{x}= \infty \text{ for any } a > 0 
:\lim_{x \to 0^+} x^{-n} =\lim \frac{1}{x^n}= +\infty
:\lim_{x \to 0^-} x^{-n} =\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^n} =\begin{cases} -\infty, & \text{if } n \text{ is odd} \\ +\infty, & \text{if } n \text{ is even}\end{cases} 
:\lim_{x\to\infty} ax^{-1}=\lim_{x\to\infty}a/x=0 \text{ for any real }a 

## அடுக்கேற்றச் சார்புகள்

### ''a<sup>g(x)</sup>'' வடிவச் சார்புகள்
:\lim_{x \to c} e^{x} = e^c  (e^{x}  தொடர்ச்சியான சார்பு என்பதால்)
:\lim_{x\to\infty}a^x=\begin{cases} \infty, & a > 1 \\ 1, & a = 1 \\ 0, & 0 
:\lim_{x\to\infty}a^{-x}=\begin{cases} 0, & a > 1 \\ 1, & a = 1 \\ \infty, & 0 
:\lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{a}=\lim_{x\to\infty}{a}^{1/x}=\begin{cases} 1, & a > 0 \\ 0, & a = 0 \\ \text{does not exist}, & a 

### ''x<sup>g(x)</sup>'' வடிவச் சார்புகள்
:\lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{x}=\lim_{x\to\infty}{x}^{1/x}=1

### ''f(x)<sup>g(x)</sup>'' வடிவச் சார்புகள்
:\lim_{x\to+\infty} \left( \frac{x}{x+k}\right)^x=e^{-k}
:\lim_{x\to 0} \left(1+x\right)^\frac{1}{x}=e
:\lim_{x\to 0} \left(1+kx\right)^\frac{m}{x}=e^{mk}
:\lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e
:\lim_{x\to+\infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\frac{1}{e}
:\lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{k}{x}\right)^{mx}=e^{mk} 
: \lim_{x \to 0} \left(1+ a \left({e^{-x} - 1}\right)\right)^{-\frac{1}{x}} = e^{a} 
\qquad.

### கூட்டுத்தொகை, பெருக்கற்பலன், கூட்டமைவுகள்

:\lim_{x \to 0} x e^{-x} = 0 
:\lim_{x \to \infty} x e^{-x} = 0 
:\lim_{x \to 0} \left( \frac{a^x - 1}{x} \right) = \ln{a}, \qquad \forall~a > 0
:\lim_{x \to 0} \left( \frac{e^x - 1}{x} \right) = 1 
:\lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{ax} - 1}{x} \right) = a 

## மடக்கைச் சார்புகள்

### இயல் மடக்கைகள்
\ln {x}  இன் தொடர்ச்சித்தன்மையால்:
:\lim_{x \to c} \ln{x} = \ln c  குறிப்பாக,
::\lim_{x\to0^+}\log x=-\infty
::\lim_{x\to\infty}\log x=\infty
:\lim_{x\to1}\frac{\ln(x)}{x-1}=1
:\lim_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}=1
: \lim_{x \to 0} \frac{-\ln\left(1+ a \left({e^{-x} - 1}\right)\right)}{x} = a. (லாபிதாலின் விதியின்படி பெறப்படுகிறது)
:\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0
:\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0

### குறிப்பிலா அடிமான மடக்கைகள்
*a* > 1 எனில்:
:\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty
:\lim_{x \to \infty} \log_a x = \infty

*a* \lim_{x \to 0^+} \log_a x = \infty
:\lim_{x \to \infty} \log_a x = -\infty

## முக்கோணவியல் சார்புகள்
x ஆனது ரேடியன்களில் குறிக்கப்படுகிறது. சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகளின் தொடர்ச்சித்தன்மையால்:
:\lim_{x \to a} \sin x = \sin a
:\lim_{x \to a} \cos x = \cos a

:\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1. அல்லது பொதுவாக,
::\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1, (*a* ≠ 0)
::\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a
::\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b},  (*b* ≠ 0)

:\lim_{x \to \infty} x\sin \left(\frac1x\right) = 1
:\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0

:\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

:\lim_{x \to n^\pm} \tan \left(\pi x + \frac{\pi}{2}\right) = \mp\infty (*n* ஒரு முழு எண்)
:\lim_{n\to \infty }\ \underbrace{\sin\ \sin\ \ldots \sin(x_0)}_n= 0 (x0 ஒரு குறிப்பிலா மெய் எண்)
:\lim_{n\to \infty }\ \underbrace{\cos\ \cos\ \ldots \cos(x_0)}_n= d, ( d டோத்தி எண், x0 ஒரு குறிப்பிலா மெய் எண்)

## கூட்டுத்தொகைகள்
பொதுவாக எந்தவொரு முடிவுறாத் தொடரும் அதன் பகுதிக் கூட்டல்களின் எல்லையாக இருக்கும். 
:\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\infty. இது இசைத் தொடர் என அறியப்படுகிறது.
:\lim_{n\to\infty}\left( \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log n\right)=\gamma. இது ஆய்லர் மசுசேரோனி மாறிலி (Euler Mascheroni constant) என அறியப்படுகிறது.

## குறிப்பிடத்தக்கச் சிறப்பு எல்லைகள்
:\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e
:\lim_{n\to\infty}\left(n!\right)^{1/n}=\infty
:\lim_{n\to \infty }\, 2^{n} \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\text{...} +\sqrt{2}}}}}_n= \pi.

## மேற்கோள்கள்

Limits
பகுப்பு:சார்புகளும் கோப்புகளும்
பகுப்பு:எல்லைகள் (கணிதம்)