நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள்

கணிதத்தில் **நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள்** (*inverse trigonometric functions*) என்பவை முக்கோணவியல் சார்புகளின் நேர்மாறுச் சார்புகளாகும். இச்சார்புகளின் வீச்சுகள் மூல முக்கோணவியல் சார்புகளின் ஆட்களங்களின் உட்கணங்களாக இருக்கும் என்பதால் இவை அடிப்படை நேர்மாறு சார்புகளுக்குத் தேவையான பண்புகளைக் கொண்டிருக்காது. ஆறு முக்கோணவியல் சார்புகளும் ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்புகள் அல்ல. எனவே அவற்றுக்கான நேர்மாறு சார்புகளை வரையறுப்பதற்கு ஏற்றவகையில் அச்சார்புகளை கட்டுப்படுத்த வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக:
y = \sqrt{x}, -வர்க்கமூலச் சார்பு *y*2 = *x*, என வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது போல 

*y* = arcsin(*x*) -நேர்மாறு சைன் சார்பு, sin(*y*) = *x* என வரையறுக்கப்படுகிறது.

sin(*y*) = *x* -ஐ நிறைவு செய்யும் *y* -ன் மதிப்புகள் பல உள்ளன. sin(0) = 0, sin(π) = 0, sin(2π) = 0,... எனவே arcsin, பல மதிப்புகள் கொண்டுள்ளது. arcsin(0) = 0, arcsin(0) = π, arcsin(0) = 2π, ... . ஒரு மதிப்பு மட்டும் கொண்டதாக arcsin சார்பைக் கட்டுப்படுத்திக் கொள்ளலாம். இக்கட்டுப்பாட்டின்படி arcsin சார்பின் ஆட்களத்திலுள்ள ஒவ்வொரு *x* -க்கும் arcsin(*x*) -ன் மதிப்பு ஒன்றே ஒன்றாக இருக்கும். அம்மதிப்பு *முதன்மை மதிப்பு* (principal value) என அழைக்கப்படும். இந்தக் கட்டுப்பாடு மற்ற ஐந்து நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கும் பொருந்தும்,

முதன்மை நேர்மாறுச் சார்புகள் பின்வரும் அட்டவணையில் தரப்பட்டுள்ளன.

*x* ஒரு சிக்கலெண் எனில் *y* -ன் வீச்சு *x* -ன் மெய்ப்பகுதிக்கு மட்டுமே பொருந்தும்.

sin−1, cos−1,.... ஆகிய குறியீடுகள் பல இடங்களில் arcsin, arccos, ... ஆகியவற்றுக்குப் பதிலாக பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஆனால் இக்குறியீடுகளால் முக்கோணவியல் சார்புகளின் பெருக்கல் தலைகீழிகளுக்கும் நேர்மாறுச் சார்புகளுக்குமிடையே குழப்பம் ஏற்படலாம்.

## நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கிடையே உள்ள தொடர்புகள்
294px|left|thumb|arctan(''x'') (சிவப்பு) மற்றும் arccot(''x'') (நீலம்) சார்புகளின் வழக்கமான முதன்மை மதிப்புகளின் வரைபடம் கார்ட்டீசியன் தளத்தில்.
294px|center|thumb|arcsec(''x'')(சிவப்பு) மற்றும் arccsc(''x'') (நீலம்) சார்புகளின் வழக்கமான முதன்மை மதிப்புகளின் வரைபடம்கார்ட்டீசியன் தளத்தில்
168px|right|thumb|arcsin(''x'') (சிவப்பு) மற்றும் arccos(''x'') (நீலம்) சார்புகளின் வழக்கமான முதன்மை மதிப்புகளின் வரைபடம் கார்ட்டீசியன் தளத்தில்

நிரப்பு கோணங்கள
:\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x 

:\arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x 

:\arccsc x = \frac{\pi}{2} - \arcsec x 

எதிர்ம கோணங்கள்:
:\arcsin (-x) = - \arcsin x \!
:\arccos (-x) = \pi - \arccos x \!
:\arctan (-x) = - \arctan x \!
:\arccot (-x) = \pi - \arccot x \!
:\arcsec (-x) = \pi - \arcsec x \!
:\arccsc (-x) = - \arccsc x \!

தலைகீழிக் கோணங்கள்:
:\arccos (1/x) \,= \arcsec x \,
:\arcsin (1/x) \,= \arccsc x \,
:\arctan (1/x) = \tfrac{1}{2}\pi - \arctan x =\arccot x,\text{ if }x > 0 \,
:\arctan (1/x) = -\tfrac{1}{2}\pi - \arctan x = -\pi + \arccot x,\text{ if }x 
:\arccot (1/x) = \tfrac{1}{2}\pi - \arccot x =\arctan x,\text{ if }x > 0 \,
:\arccot (1/x) = \tfrac{3}{2}\pi - \arccot x = \pi + \arctan x,\text{ if }x 
:\arcsec (1/x) = \arccos x \,
:\arccsc (1/x) = \arcsin x \,

சைன் அட்டவணையின் ஒரு பகுதி மட்டும் நம்மிடம் இருந்தால்:

:\arccos x = \arcsin \sqrt{1-x^2},\text{ if }0 \leq x \leq 1 
:\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} 

இங்கு ஒரு சிக்கல் எண்ணின் வர்க்கமூலம் பயன்படுத்தப்பட்டால், நேர்ம மெய்ப்பகுதி கொண்ட மூலம் எடுத்துக் கொள்ளப்படும்.(அல்லது வர்க்கம் எதிர்ம மெய்ப்பகுதி கொண்டிருந்தால் நேர்ம கற்பனைபகுதி கொண்ட மூலம் எடுத்துக் கொள்ளப்படும்.).

டேன்ஜெண்டின் அரைக்கோண வாய்ப்பாடு:

\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} , -லிருந்து:

:\arcsin x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}

:\arccos x = 2 \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x},\text{ if }-1 

:\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}

## முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கும் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கும் இடையே உள்ள தொடர்புகள்

:\sin (\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}

:\sin (\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}

:\cos (\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}

:\tan (\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}

:\tan (\arccos x) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}

## பொதுத்தீர்வுகள்

ஒவ்வொரு முக்கோணவியல் சார்பும் அதன் கோணத்தின் மெய்ப்பகுதியில் காலமுறைமை உடையதாக உள்ளது. ஒவ்வொன்றும் 2π அளவு இடைவெளியில் தனது அனைத்து மதிப்புகளையும் இருமுறை அடைகின்றது. 
* சைன் மற்றும் கோசீக்கெண்ட், தங்களது கால அளவை 2π*k* − π/2 (*k* ஒரு முழு எண்) -ல் ஆரம்பித்து 2π*k* + π/2 -ல் முடிக்கின்றன. மீண்டும் எதிர்வழியாக 2π*k* + π/2 -லிருந்து ஆரம்பித்து 2π*k* + 3π/2 -ல் முடிக்கின்றன. 

* கோசைன் மற்றும் சீக்கெண்ட், தங்களது கால அளவை 2π*k* -லிருந்து ஆரம்பித்து 2π*k* + π -ல் முடித்து மீண்டும் எதிர்வழியாக 2π*k* + π -லிருந்து ஆரம்பித்து 2π*k* + 2π -ல் முடிக்கின்றன. 

* டேன்ஜெண்ட், தனது கால அளவை 2π*k* − π/2, -லிருந்து ஆரம்பித்து 2π*k* + π/2 -ல் முடித்துப் பின் மீண்டும், அதேபோல (முன்னோக்கி) 2π*k* + π/2-லிருந்து 2π*k* + 3π/2 -ல் முடிக்கின்றது . 

* கோடேன்ஜெண்ட், தனது கால அளவை 2π*k*-லிருந்து 2π*k* + π -ல் முடித்துப் பின் மீண்டும் அதேமாதிரி (முன்னோக்கி) 2π*k* + π -லிருந்து 2π*k* + 2π -ல் முடிக்கிறது..

பொது நேர்மாறுகளில் காலமுறைமை பிரதிபலிக்கப்படுகிறது. (இங்கு *k* ஏதேனும் ஒரு முழு எண்)
:\sin(y) = x \ \Leftrightarrow\  y = \arcsin(x) + 2k\pi \text{ or } y = \pi - \arcsin(x) + 2k\pi
:\cos(y) = x \ \Leftrightarrow\  y = \arccos(x) + 2k\pi \text{ or } y = 2\pi - \arccos(x) + 2k\pi
:\tan(y) = x \ \Leftrightarrow\  y = \arctan(x) + k\pi
:\cot(y) = x \ \Leftrightarrow\  y = \arccot(x) + k\pi
:\sec(y) = x \ \Leftrightarrow\  y = \arcsec(x) + 2k\pi \text{ or } y = 2\pi - \arcsec (x) + 2k\pi
:\csc(y) = x \ \Leftrightarrow\  y = \arccsc(x) + 2k\pi \text{ or } y = \pi - \arccsc(x) + 2k\pi

## நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்

*x* -ன் மெய் மற்றும் சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கு எளிய வகைக்கெழுக்கள்:
:
\begin{align}
\frac{d}{dx} \arcsin x & {}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx} \arccos x & {}= \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx} \arctan x & {}= \frac{1}{1+x^2}\\
\frac{d}{dx} \arccot x & {}= \frac{-1}{1+x^2}\\
\frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{x\,\sqrt{x^2-1}}\\
\frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{x\,\sqrt{x^2-1}}
\end{align}

*x* -ன் மெய் மதிப்புகளுக்கு மட்டும்:
:
\begin{align}
\frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1\\
\frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1
\end{align}

வகையிடலின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு: 

\theta = \arcsin x \! எனில்,
:\frac{d \arcsin x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sin \theta} = \frac{1} {\cos \theta} = \frac{1} {\sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

## வரையறுத்த தொகையீடுகளாக

:
\begin{align}
\arcsin x &{}= \int_0^x \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\
\arccos x &{}= \int_x^1 \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\
\arctan x &{}= \int_0^x \frac 1 {z^2 + 1}\,dz,\\
\arccot x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z^2 + 1}\,dz,\\
\arcsec x &{}= \int_1^x \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1\\
\arcsec x &{}= \pi + \int_x^{-1} \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \leq -1\\
\arccsc x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1\\
\arccsc x &{}= \int_{-\infty}^x \frac {1} {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \leq -1
\end{align}
*x* = 1 ஆகும் போது எல்லைக்குட்பட்ட ஆட்களங்களைக் கொண்ட தொகையீடுகள், முறையற்ற தொகையீடுகளாகும் (improper integrals). ஆனாலும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டவையாக அமையும்.

## முடிவிலாத் தொடர்களாக
நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளைப் பின்வருமாறு முடிவிலாத் தொடர்களாகக் காணலாம்: 
:
\begin{align}
\arcsin z & {}= z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
; \qquad | z | \le 1
\end{align}


:
\begin{align}
\arccos z & {}= \frac {\pi} {2} - \arcsin z \\
& {}= \frac {\pi} {2} - (z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots ) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
; \qquad | z | \le 1 
\end{align}


:
\begin{align}
\arctan z & {}= z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots \\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}
; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i
\end{align}


:
\begin{align}
\arccot z & {}= \frac {\pi} {2} - \arctan z \\
& {}= \frac {\pi} {2} - ( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots ) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}
; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i
\end{align}


:
\begin{align}
\arcsec z & {}= \arccos {(1/z)} \\
& {}= \frac {\pi} {2} - (z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots ) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)} 
; \qquad \left| z \right| \ge 1 
\end{align}


:
\begin{align}
\arccsc z & {}= \arcsin {(1/z)} \\
& {}= z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {z^{-7}} {7} +\cdots \\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1}
; \qquad \left| z \right| \ge 1 
\end{align}


arctan -க்கு ஆய்லரால் இதைவிட பயனுள்ளதொரு முடிவிலாத் தொடர் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது:

:\arctan z = \frac{z}{1+z^2} \sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k z^2}{(2k+1)(1+z^2)}.
(இக்கூட்டுதொகையில் *n*= 0 -ன் உறுப்பு வெற்றுப் பெருக்கல்பலன் (empty product). இதன் மதிப்பு 1.)

இதனையே பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்:
:\arctan z = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{\,2n}\,(n!)^2}{\left(2n+1\right)!} \; \frac{z^{\,2n+1}}{\left(1+z^2\right)^{n+1}}

## நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் வரையறாத் தொகையீடுகள்

*x* -ன் மெய் மற்றும் சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கு:
:
\begin{align}
\int \arcsin x\,dx &{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\\
\int \arccos x\,dx &{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\\
\int \arctan x\,dx &{}= x\,\arctan x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\
\int \arccot x\,dx &{}= x\,\arccot x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\
\int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x\left(1+\sqrt\,\mathrm{d}x

தொகையிடலின் பிரதியிடல் முறையைப் பயன்படுத்த:

: k = 1 - x^2.\,

: \mathrm{d}k = -2x\,\mathrm{d}x

:\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}k}{\sqrt{k}} = -\sqrt{k}

*x* -க்கு மீண்டும் பிரதியிட:

:\int \arcsin(x)\, \mathrm{d}x = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}+C 

## மடக்கை வடிவங்கள்

சிக்கலெண் மடக்கைகள் மூலமாகவும் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளை எழுதலாம். இதனால் இச்சார்புகளின் ஆட்களங்கள் சிக்கலெண் தளத்திற்கு நீட்டிக்கப்படுகிறது.

:
\begin{align}
\arcsin x &{}= -i\,\ln\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) &{}= \arccsc \frac{1}{x}\\[10pt]
\arccos x &{}= -i\,\ln\left(x+i\,\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{\pi}{2}\,+i\ln\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{\pi}{2}-\arcsin x &{}= \arcsec \frac{1}{x}\\[10pt]
\arctan x &{}= \tfrac{1}{2}i\left(\ln\left(1-i\,x\right)-\ln\left(1+i\,x\right)\right) &{}= \arccot \frac{1}{x}\\[10pt]
\arccot x &{}= \tfrac{1}{2}i\left(\ln\left(1-\frac{i}{x}\right)-\ln\left(1+\frac{i}{x}\right)\right) &{}= \arctan \frac{1}{x}\\[10pt]
\arcsec x &{}= -i\,\ln\left(i\,\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x}\right) = i\,\ln\left(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{i}{x}\right)+\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}-\arccsc x &{}= \arccos \frac{1}{x}\\[10pt]
\arccsc x &{}= -i\,\ln\left(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{i}{x}\right) &{}= \arcsin \frac{1}{x}
\end{align}

### எடுத்துக்காட்டு

:\theta = \arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1-x^2}\right) \,  -ஐப் பின்வருமாறு நிறுவலாம்.

:\arcsin x = \theta \, 

:\frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} = x

(சைன் சார்பின் அடுக்குக்குறி வரையறை)

:k=e^{i\,\theta}. \,  என்க:

:\frac{k-\frac{1}{k}}{2i} = x

:k^2-2\,i\,k\,x-1\,=\,0

:k = ix \pm \sqrt{1-x^2} = e^{i\theta} \, 

(நேர்ம பகுதி எடுத்துக் கொள்ளப்ப்படுகிறது.)

:\theta = \arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1-x^2}\right) \, 

## வெளி இணைப்புகள்
* 
* 

பகுப்பு:முக்கோணவியல்
பகுப்பு:முக்கோணவியல் சார்புகள்