முழுக்கோப்பு

f : X\rightarrow Y என்ற ஒரு கோப்பில் / சார்பில் ஒவ்வொரு  y \in Y க்கும்  f(x) = y ஆக இருக்கும்படி குறைந்த பட்சம் ஒரு x \in X  ஆவது இருக்குமானால் அக்கோப்பு/சார்பு **முழுக்கோப்பு** (*Surjection*) அல்லது **முழுக்கோப்புடைய சார்பு** (*Surjective function*) எனப்படும். வேறு விதமாகச்சொன்னால் ஒவ்வொரு y \in Y க்கும்  X இல் ஒரு முன்னுரு உள்ளது.

ஒரு முழுக்கோப்பு உள்ளிடுகோப்பாகவும் இருந்துவிட்டால், அது இருவழிக்கோப்பு எனப்படும்.

## துல்லியமான வரையறை
f  என்பது  X இலிருந்து   Y க்குப்போகும் ஒரு கோப்பு/சார்பு எனக்கொள்வோம். 

f ஒரு முழுக்கோப்பு எனப்படுவதற்கு இலக்கணம்:
:\forall y \in Y,\, \exist x \in X,\ \backepsilon f(x)=y .

முழுக்கோப்பின் வீச்சும் இணையாட்களமும் சமமாக இருக்கும்.

## உலகவழக்கில் ஒரு எடுத்துக்காட்டு

சுற்றுலாப்பயணிகளின் கூட்டமொன்று இராத்தங்க, எல்லா அறைகளும் காலியாக இருக்கும் ஒரு விடுதியில் வந்து சேருகின்றனர். பயணிகளுக்கு அறைகள் வழங்கும் முறையை ஒருகோப்பாக விவரிக்கலாம்.(பயணிகள் கணம்: X ; அறைகள் கணம்: Y.)

ஒவ்வொரு அறையும்  நிரப்பப்படவேண்டுமென்றால், பயணிகளின் எண்ணிக்கை அறைகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது. அப்பொழுது ஒவ்வோரு அறையிலும் குறைந்த பட்சம் ஒரு பயணியாவது இருப்பர். இது *முழுக்கோப்பு* (surjective map; surjection; onto map).

ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கவேண்டுமென்றால், அறைகளின் எண்ணிக்கை பயணிகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது.அப்பொழுது ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். இது *உள்ளிடுகோப்பு* (injective map; injection; one-one map).

பயணிகளின் எண்ணிக்கையும் அறைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இருந்தால், ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். ஒரு அறையும் காலியாக இருக்காது. இது *இருவழிக்கோப்பு* (bijective map; bijection; one-one onto map). அதாவது, இது உள்ளிடுகோப்பு, முழுக்கோப்பு ஆகிய இரு பண்புகளையும் கொண்டது.

## கணித எடுத்துக்காட்டுகளும் மாற்றுக்காட்டுகளும்
மெய்யெண் சார்புகள்:
:* f : \mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}
: f(x) = x^2
:இது முழுக்கோப்பல்ல. ஏனென்றால்,எடுத்துக்காட்டாக,  f(x) = -4 க்குச்சரியான x கிடையாது., ஆனால் நாம் வரையறையை  மாற்றி எழுதலாம். அதாவது, இணையாட்களத்தை  \mathbf{R}^{+} ஆகக்கொண்டால், அது முழுக்கோப்பாகும்.

:*f : \mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}
: f(x) = 2x - 1

:இது ஒரு முழுக்கோப்பு. ஏனென்றால்  எந்த மெய்யெண்  y க்கும்  y = 2x - 1 என்ற சமன்பாட்டைத்தீர்வு செய்து, x = (y + 1)/2 என்று கண்டுபிடிக்கமுடியும். இதனால் \mathbf{R} இலுள்ள எல்லாமெய்யெண்ணுக்கும் ஒரு முன்னுரு உள்ளது.

:*g : \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}
:f(x) = (cos x)^2

: இது முழுக்கோப்பல்ல. ஏனென்றால், எடுத்துக்காட்டாக, f(x) = -1 க்கு சரியான  x  கிடையாது.

:* h : \mathbf{R} \rightarrow  [0, 1] 
:h(x) =  (cos x)^2
: இது முழுக்கோப்பாகும். ஏனென்றால், [0,1] இலுள்ள ஒவ்வொரு  y க்கும் cos^{-1}(\surd {y}), மற்றும் cos^{-1}(-\surd {y}) என்ற இரண்டு முன்னுருக்கள் கிடைக்கின்றன.

:*f :  \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{R} 
:இந்த  f  எப்படி வரையறுக்கப்பட்டாலும் அது முழுக்கோப்பாக முடியாது. ஏனென்றால்  வீச்சுக்கணம் = \{f(1), f(2), f(3), ... \}; இதனுடைய எண்ணளவை  \mathbf{R} இன் எண்ணளவையைவிட ச் சிறியது.

## சில விளைவுகள்

* f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} ஒரு முழுக்கோப்பானால்  அதனுடைய வரைவு எல்லா கிடைக்கோடுகளையும் வெட்டும்.
* f: Y \rightarrow Z; g: X \rightarrow Y
:f \circ g: X \rightarrow Z முழுக்கோப்பானால்   f முழுக்கோப்பாக இருக்கவேண்டும். g முழுக்கோப்பாக இருக்கவேண்டிய தில்லை. (படிமம் பார்க்கவும்)
* f, g இரண்டுமே முழுக்கோப்பானால்  f \circ g முழுக்கோப்பாகும்.
*f: X \rightarrow Y  ஒரு முழுக்கோப்பானால், ஒவ்வொரு உட்கணம் B \subset Y க்கும்,
: f(f^{-1}(B)) = B.
*ஒரு சார்பு வலது நீக்கலைக் கொண்டிருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அது முழுக்கோப்பாக இருக்கும்.

## இவற்றையும் பார்க்கவும்
* இருவழிக்கோப்பு
* உள்ளிடுகோப்பு
## மேற்கோள்கள்

## நூலாதாரம்
* 

பகுப்பு:கணக் கோட்பாட்டு அடிப்படை கருத்துருக்கள்
பகுப்பு:சார்புகளும் கோப்புகளும்
பகுப்பு:கணித உறவுகள்
பகுப்பு:சார்பிய வகைகள்