கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி

கணிதத்தில், இரு நேர்ம மெய்யெண்களின்  **கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி** (*arithmetic–geometric mean* -AGM அல்லது agM) என்பது கூட்டுச் சராசரிகளின் தொடர்வரிசைக்கும், பெருக்கல் சராசரிகளின் தொடர்வரிசைக்குமான இணை எல்லையைக் குறிக்கும். கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியானது,  அடுக்குக்குறிச் சார்புகள், முக்கோணவியல் சார்புகள், மற்ற சிறப்பு சார்புகள் ஆகியவற்றுக்கான விரைவு படிமுறைத் தீர்வுகளிலும்,   போன்ற சில கணித மாறிலிகளைக் கணக்கிடுவதற்கும் பயன்படுகிறது.

a_i, g_i ஆகிய இரு ஒன்றுக்கொன்று சார்ந்த தொடர்வரிசைகளின் எல்லையாக கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி வரையறுக்கப்படுகிறது:

\begin{align}
 a_0 &= x,\\
 g_0 &= y\\
 a_{n+1} &= \tfrac12(a_n + g_n),\\
 g_{n+1} &= \sqrt{a_n g_n}\, .
\end{align}

இவ்விரு தொடர்வரிசைகளின் எல்லைகளும்  ,  இரண்டின் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரிக்குச் சமமாக இருக்கும். இது  ,  ,  எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியை சிக்கலெண்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். வர்க்க மூலத்தின் இரு கிளைகளையும் முரண்பட்டு எடுத்துக்கொள்ளப்படும்போது, பொதுவாகக் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி, ஒரு பன்மதிப்புச் சார்பாக இருக்கும்.

## எடுத்துக்காட்டு
,   இன் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி காணும் தொடர்படிகள்:\begin{array}{rcccl}
 a_1 & = & \tfrac12(24 + 6) & = & 15\\
 g_1 & = & \sqrt{24 \cdot 6} & = & 12\\
 a_2 & = & \tfrac12(15 + 12) & = & 13.5\\
 g_2 & = & \sqrt{15 \cdot 12} & = & 13.416\ 407\ 8649\dots\\
 & & \vdots & &
\end{array}

முதல் ஐந்து தொடர்முறையால் கிடைக்கும் மதிப்புகள்:

இவ்விரு தொடர்வரிசைகளின் பொது எல்லையே 24, 6 ஆகிய இரு எண்களின் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியாகும். அதன் தோராய மதிப்பு: .

## வரலாறு
இந்த சோடி தொடர்வரிசைகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட முதல் படிமுறைத்தீர்வு, கணிதவியலாளர் லாக்ராஞ்சியின் ஆய்வுகளில் காணப்பட்டது. மேற்கொண்டு, அதன் பண்புகள் கணிதவியலாளர் காஸால் பகுத்தாய்வு செய்யப்பட்டன.

## பண்புகள்
* இரு நேர்ம எண்களின் பெருக்கல் சராசரி, ஒருபோதும் கூட்டுச் சராசரியைவிடப் பெரியதாக இருக்காது. எனவே பெருக்கல் சராசரிகள் , கூடும் தொடர்வரிசையாகவும், கூட்டுச் சராசரிகள் , குறையும் தொடர்வரிசையாகவும் இருக்கும். மேலும்  ஆகவும் இருக்கும்.  எனில் இவை கண்டிப்பான சமனிலிகளாக இருக்கும்.

 இன் மதிப்பு, ,  இரண்டின் பெருக்குச் சராசரிக்கும் கூட்டுச் சராசரிக்கும் இடைப்பட்ட ஓர் எண்ணாக இருப்பதோடு, ,  இரண்டிற்கும் இடைப்பட்டதாகவும் இருக்கும்.

*  எனில், .

*   இன் தொகையீட்டு-வடிவம்:

\begin{align}
 M(x,y) &= \frac{\pi}{2} \left( \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d\theta}{\sqrt{x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta}} \right)^{-1}\\
&=\pi\left(\int_0^\infty \frac{dt}{\sqrt{t(t+x^2)(t+y^2)}}\right)^{-1}\\
        &= \frac{\pi}{4} \cdot \frac{x + y}{K\left( \frac{x - y}{x + y} \right)}
\end{align}

இதில்  என்பது, முதல்வகை முழுமையான நீள்வட்டத் தொகையீடு:
:K(k) = \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2\sin^2(\theta)}} 

கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி, விரைவாக ஒருங்குவதால், நீள்வட்ட தொகையீடுகளைக் கணிப்பதற்குத் திறனுள்ள வழியைத் தருகிறது.

கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியானது ஜேக்கோபி தீட்டா சார்புடன் ( \theta_3) கீழுள்ளவாறு இணைக்கப்படுகிறது:

M(1,x)=\theta_3^{-2}\left(\exp \left(-\pi \frac{M(1,x)}{M\left(1,\sqrt{1-x^2}\right)}\right)\right)=\left(\sum_{n\in\mathbb{Z}}\exp \left(-n^2 \pi \frac{M(1,x)}{M\left(1,\sqrt{1-x^2}\right)}\right)\right)^{-2},

இதில்  x=1/\sqrt{2} எனக் கொள்ள கீழுள்ள முடிவு கிடைக்கும்:
M(1,1/\sqrt{2})=\left(\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-n^2\pi}\right)^{-2}.

## தொடர்புள்ள கருத்துருக்கள்
1, 2 இன் வர்க்கமூலம் ஆகியவற்றின் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியின் தலைகீழி காஸின் மாறியாகும்:
:\frac{1}{M(1, \sqrt{2})} = G = 0.8346268\dots

1799 இல், காஸ் பின்வரும் முடிவை நிறுவினார்.
:M(1,\sqrt{2})=\frac{\pi}{\varpi}; \varpi என்பது கிடையெட்டுவடிவ மாறிலி.   

1941 இல், M(1,\sqrt{2}) (and hence G) ஆனது விஞ்சிய எண் எனச் செருமானியக் கணிதவியலாளர் தியோடர் சினைடெரால் நிறுவப்பட்டது. 

\{\pi,M(1,1/\sqrt{2})\} என்ற கணம், \mathbb{Q} இன் மீது  இயற்கணித சார்பற்றது ஆனால் \{\pi,M(1,1/\sqrt{2}),M'(1,1/\sqrt{2})\} (இதிலுள்ள மேற்சுட்டு ' என்பது இரண்டாவது மாறியைப் பொறுத்த வகையிடலைக் குறிக்கிறது) என்ற கணம் \mathbb{Q} இன் மீது இயற்கணித சார்பற்றது அல்ல. மேலும்,
:\pi=2\sqrt{2}\frac{M^3(1,1/\sqrt{2})}{M'(1,1/\sqrt{2})}.

கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியைப் போலவே, பெருக்குச் சராசரி, இசைச் சராசரி ஆகிய இரண்டின் தொடர்வரிசைகளின் மூலம் பெருக்கு-இசைச் சராசரியை (GH), பெறலாம்:
:.

கூட்டு-இசைச் சராசரியானது, பெருக்கல் சராசரிக்குச் சமானமானதாக இருக்கும்.

மடக்கைகள், முழுமையான முதல், இரண்டாம் வகை நீள்வட்டத் தொகையீடுகள், முழுமையற்ற முதல், இரண்டாம் வகைநீள்வட்டத் தொகையீடுகளின் முதல், இரண்டாம் வகைத் தொகையீடுகள், ஜேக்கோபி நீள்வட்டச் சார்புகள்ஆகியவற்றைக் கணிப்பதற்குக்,  கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி பயன்படுகிறது.

## இருத்தலுக்கான நிறுவல்
கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலியின் விளைவாகg_n \leq a_n என்ற முடிவு கிடைக்கிறது. இதிலிருந்துg_{n + 1} = \sqrt{g_n \cdot a_n} \geq \sqrt{g_n \cdot g_n} = g_n எனப் பெறலாம். அதாவது   என்ற தொடர்வரிசையானது குறையாத் தொடர்வரிசையாகவும் ,   ஆகிய இரண்டில் பெரியதைவிட அதிகவளவு வரம்புடையதாகவும் இருக்கும்.

மேலும், ஒருபோக்கு ஒருங்கல் தேற்றத்தின்படி,  இத்தொடர்வரிசை, ஒருங்குமென்பதால், 
\lim_{n\to \infty}g_n = g என்பதை நிறைவு செய்யும்விதத்தில் ஒரு   இருக்கும்.

மேலும், a_n = \frac{g_{n + 1}^2}{g_n} என்பதால் கீழுள்ள முடிவு கிடைக்கிறது:
\lim_{n\to \infty}a_n = \lim_{n\to \infty}\frac{g_{n + 1}^2}{g_{n}} = \frac{g^2}{g} = g

## தொகையீட்டு வடிவின் நிறுவல்
கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியின் தொகையீட்டு வடிவம், காஸால் நிறுவப்பட்டது.

I(x,y) = \int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta}} , என எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.

 \sin\theta = \frac{2x\sin\theta'}{(x+y)+(x-y)\sin^2\theta'} , என்றமையும் \theta' வுக்கு தொகையீட்டின் மாறியை மாற்ற:

\cos\theta = \frac{\sqrt{(x+y)^2-2(x^2+y^2)\sin^2\theta'+(x-y)^2\sin^4\theta'}}{(x+y)+(x-y)\sin^2\theta'} ,

 \cos\theta\ d\theta =2x  \frac{(x+y)-(x-y)\sin^2\theta'}{((x+y)+(x-y)\sin^2\theta')^2}\ \cos\theta' d\theta'\ ,

  d\theta = \frac{2x\cos\theta'((x+y)-(x-y)\sin^2\theta')}{((x+y)+(x-y)\sin^2\theta')\sqrt{(x+y)^2-2(x^2+y^2)\sin^2\theta'+(x-y)^2\sin^4\theta'}}  
 d\theta'\ ,
 x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta = \frac{x^2 ((x+y)^2-2(x^2+y^2)\sin^2\theta'+(x-y)^2\sin^4\theta')+4x^2y^2\sin^2\theta'}{((x+y)+(x-y)\sin^2\theta')^2}= \frac{x^2 ((x+y)-(x-y)\sin^2\theta')^2}{((x+y)+(x-y)\sin^2\theta')^2}

 
 \implies  \frac{d\theta}{\sqrt{x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta}} = \frac{2x\cos\theta'((x+y)-(x-y)\sin^2\theta')}{((x+y)+(x-y)\sin^2\theta')\sqrt{(x+y)^2-2(x^2+y^2)\sin^2\theta'+(x-y)^2\sin^4\theta'}}  \frac{((x+y)+(x-y)\sin^2\theta')}{x ((x+y)-(x-y)\sin^2\theta')} 

= \frac{2\cos\theta' d\theta'}{\sqrt{(x+y)^2-2(x^2+y^2)\sin^2\theta'+(x-y)^2\sin^4\theta'}}  

  ,

 \implies


\begin{align}
I(x,y) &= \int_0^{\pi/2}\frac{d\theta'}{\sqrt{\bigl(\frac12(x+y)\bigr)^2\cos^2\theta'+\bigl(\sqrt{xy}\bigr)^2\sin^2\theta'}}\\
       &= I\bigl(\tfrac12(x+y),\sqrt{xy}\bigr) .
\end{align}


எனவே கிடைப்பது,


\begin{align}
I(x,y) &= I(a_1, g_1) = I(a_2, g_2) = \cdots\\
  &= I\bigl(M(x,y),M(x,y)\bigr) = \pi/\bigr(2M(x,y)\bigl) .
\end{align}

I(z,z) = \pi/(2z) என்பதிலிருந்து மேலுள்ள கூற்றிலுள்ள இறுதிச் சமன் கிடைக்கிறது.

 \implies,
M(x,y) = \pi/\bigl(2 I(x,y) \bigr) .

## பயன்பாடுகள்

### ''π'' என்ற எண்
காஸ்-இலெஜன்ட்ரே படிமுறைத்தீர்வின்படி:

:\pi = \frac{4\,M(1,1/\sqrt{2})^2} {1 - \displaystyle\sum_{j=1}^\infty 2^{j+1} c_j^2} ,

இதில்,
:c_j = \frac{1}{2}\left(a_{j-1}-g_{j-1}\right) , ,a_0=1; g_0=1/\sqrt{2}, 
:c_j = \frac{c_{j-1}^2}{4a_j} , என்பதைப் பயன்படுத்தி நுட்பமாகக் கணிக்கலாம்.

### முழுமையான நீள்வட்டத் தொகையீடு, ''K''(sin''α'')

:a_0 = 1, g_0 = \cos\alpha என எடுத்துக்கொள்ளக் கிடைக்கும் கூட்டு-பெருக்குச் சரசரி:
:M(1,\cos\alpha) = \frac{\pi}{2K(\sin \alpha)} ,
:M(1,\cos\alpha) = \frac{\pi}{2K(\sin \alpha)} ,
:\implies K(\sin \alpha)  =  \frac{\pi}{2M(1,\cos\alpha)} .
\implies K(k) =  \frac{\pi}{2M(1,\cos\alpha)} .
:\implies K(k) =  \frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})} .

இதிலுள்ள  ஆனது, முழுமையான முதல்வகை நீள்வட்டத் தொகையீடு, K(k) = \int_0^{\pi/2}(1 - k^2 \sin^2\theta)^{-1/2} \, d\theta. ஆகும்.

## மேற்கோள்கள்

### குறிப்புகள்

### சான்றுகள்

### ஆதாரங்கள்

* 
* 
* 

பகுப்பு:சராசரிகள்
பகுப்பு:சிறப்புச் சார்பியங்கள்