அதிபரவளையச் சார்பு

கணிதத்தில் **அதிபரவளைவுச் சார்பு**கள் அல்லது **அதிபரவளையச் சார்பு**கள் (*hyperbolic functions*) என்பன வட்டச் சார்புகள் என அழைக்கப்படும் முக்கோணவியல் சார்புகளுடன் ஒத்த சார்புகள் ஆகும்.

அடிப்படை அதிபரவளையச் சார்புகள்:

*அதிபரவளைவு சைன்: "sinh" 
*அதிபரவளைவு கொசைன்: "cosh" 
*அதிபரவளைவு டேன்ஜெண்ட்: "tanh" 
*அதிபரவளைவு கொசீக்கெண்ட்: "csch" அல்லது "cosech" 
*அதிபரவளைவு சீக்கெண்ட்: "sech" 
*அதிபரவளைவு கோடேன்ஜெண்ட்: "coth"

ஒவ்வொரு அதிபரவளையச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பினைக் குறிப்பதற்கு அச்சார்போடு *area hyperbolic* (அ) "ar" (அ) "a" (அ) "arc" என்ற முன்னொட்டுகளைச் சேர்த்து எழுதப்படுகிறது. (cos&nbsp;*t*,&nbsp;sin&nbsp;*t*) என்ற புள்ளிகள் அலகு வட்டத்தை உருவாக்குவது போல, புள்ளிகள் (cosh&nbsp;*t*,&nbsp;sinh&nbsp;*t*), சமபக்க அதிபரவளைவின் வலப்பாதிப் பகுதியை உருவாக்குகின்றன.

அதிபரவளையச் சார்புகள், வின்சென்சோ ரிக்கட்டி மற்றும் ஜோகன் கெயின்ரிச் லாம்பெர்டு எனும் இரு கணிதவியலாளர்களால் தனித்தனியே 1760 களில் கண்டறியப்பட்டது. ரிக்கட்டி, வட்டச் சார்புகளைக் குறிப்பதற்கு *Sc.* மற்றும் *Cc.* (*[co]sinus circulare*) குறியீடுகளையும், அதிபரவளையச் சார்புகளுக்கு *Sh.* மற்றும் *Ch.* (*[co]sinus hyperbolico*) ம் பயன்படுத்தினார். லாம்பெர்டு அதே பெயர்களை அப்படியே எடுத்துக் கொண்டு குறியீடுகளை மட்டும் தற்போது பயன்படுத்தப்படும் குறியீடுகளுக்கு மாற்றினார். சுருக்கக் குறியீடுகள் *sh* , *ch* இன்றளவும் பிரெஞ்சு, உருசியா போன்ற சில மொழிகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறன.

## திட்ட இயற்கணித வடிவம்
அதிபரவளையச் சார்பு:

* அதிபரவளைய சைன் (Hyperbolic sine):
::\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x} = \frac {1 - e^{-2x}} {2e^{-x}}

* அதிபரவளைய கொசைன் (Hyperbolic cosine):
::\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x} = \frac {1 + e^{-2x}} {2e^{-x}}

* அதிபரவளைய டேன்ஜெண்ட் (Hyperbolic tangent):
::\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} = \frac{1 - e^{-2x}} {1 + e^{-2x}}

* அதிபரவளைய கோடேன்ஜெண்ட் (Hyperbolic cotangent):
::\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = \frac{1 + e^{-2x}} {1 - e^{-2x}}

* அதிபரவளைய சீக்கெண்ட் (Hyperbolic secant):
::\operatorname{sech}\,x = \left(\cosh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1} = \frac{2e^{-x}} {1 + e^{-2x}}

* அதிபரவளைய கொசீக்கெண்ட் (Hyperbolic cosecant):
::\operatorname{csch}\,x = \left(\sinh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1} = \frac{2e^{-x}} {1 - e^{-2x}}

கற்பனை வட்டக் கோணங்கள் மூலமாகவும் அதிபரவளையச் சார்புகளை எழுதலாம்:

* அதிபரவளைய சைன்:
::\sinh x =  - {\rm{i}} \sin {\rm{i}}x \!

* அதிபரவளைய கொசைன்:
::\cosh x = \cos {\rm{i}}x \!

* அதிபரவளைய டேன்ஜெண்ட்:
::\tanh x = -{\rm{i}} \tan {\rm{i}}x \!

* அதிபரவளைய கோடேன்ஜெண்ட்:
::\coth x = {\rm{i}}  \cot {\rm{i}}x \!

* அதிபரவளைய சீக்கெண்ட்:
::\operatorname{sech}\,x = \sec { {\rm{i}} x} \!

* அதிபரவளைய கொசீக்கெண்ட்:
::\operatorname{csch}\,x = {\rm{i}}\,\csc\,{\rm{i}}x \!

இங்கு *i* என்பது கற்பனை அலகு; *i*2 = −1.

## பயனுள்ள தொடர்புகள்
*ஒற்றை மற்றும் இரட்டைச் சார்புகள்:
:\begin{align}
  \sinh (-x) &= -\sinh x \\
  \cosh (-x) &=  \cosh x
\end{align}

எனவே:
:\begin{align}
                \tanh (-x) &= -\tanh x \\
                \coth (-x) &= -\coth x \\
  \operatorname{sech} (-x) &=  \operatorname{sech} x \\
  \operatorname{csch} (-x) &= -\operatorname{csch} x
\end{align}

cosh *x* மற்றும் sech *x* இரண்டும் இரட்டைச் சார்புகளாகவும் மற்ற அதிபரவளையச் சார்புகள் ஒற்றைச் சார்புகளாகவும் இருப்பதைக் காணலாம்.

*நேர்மாறுச் சார்புகள்
:\begin{align}
  \operatorname{arsech} x &= \operatorname{arcosh} \frac{1}{x} \\
  \operatorname{arcsch} x &= \operatorname{arsinh} \frac{1}{x} \\
  \operatorname{arcoth} x &= \operatorname{artanh} \frac{1}{x}
\end{align}

*அதிபரவளைய சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகள் இரண்டும் பின்வரும் முற்றொருமையை நிறைவு செய்கின்றன:
:\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\,

இம்முற்றொருமை பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமையை ஒத்துள்ளது.

மேலும் பிற சார்புகளுக்கு:
:\begin{align}
  \operatorname{sech} ^{2} x &= 1 - \tanh^{2} x \\
  \operatorname{csch} ^{2} x &= \coth^{2} x - 1
\end{align}

:\frac{1}{2} f* = f^3 - f ; \quad f(0) = f'(\infty) = 0</math> இன் தீர்வாக tanh அமைகிறது.

*cosh&nbsp;(*x*) இன் கீழமையும் பரப்பு கீழ்க்கண்டவாறு வில்லின் நீளத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்:
:<math>\text{area} = \int_a^b{ \cosh{(x)} } \ dx = \int_a^b\sqrt{1 + \left(\frac{d}{dx} \cosh{(x)}\right)^2} \ dx = \text{வில்லின் நீளம்}</math>

*கோணங்களின் கூட்டல்:
:<math>\begin{align}
  \cosh (x + y) &= \sinh x \sinh y + \cosh x \cosh y \\
  \sinh (x + y) &= \cosh x \sinh y + \sinh x \cosh y
\end{align}</math>
குறிப்பாக,
:<math>\begin{align}
  \cosh (2x) &= \sinh^2{x} + \cosh^2{x} = 2\sinh^2 x + 1 = 2\cosh^2 x - 1\\
  \sinh (2x) &= 2\sinh x \cosh x
\end{align}</math>

*cosh மற்றும்  sinh இன் கூடுதலும் வித்தியாசமும்:
:<math>\begin{align}
  \cosh x + \sinh x &= e^x \\
  \cosh x - \sinh x &= e^{-x}
\end{align}</math>
==மடக்கைகளாக-நேர்மாறுச் சார்புகள்==
:<math>\begin{align}
  \operatorname {arsinh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) \\

  \operatorname {arcosh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right); x \ge 1 \\

  \operatorname {artanh} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right); \left| x \right| < 1 \\

  \operatorname {arcoth} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{x + 1}{x - 1} \right); \left| x \right| > 1 \\

  \operatorname {arsech} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x} \right); 0 < x \le 1 \\

  \operatorname {arcsch} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\left| x \right|} \right); x \ne 0
\end{align}</math>

==வகைக்கெழுக்கள்==
:<math> \frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x \,</math>

:<math> \frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x \,</math>

:<math> \frac{d}{dx}\tanh x = 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x = 1/\cosh^2 x \,</math> 

:<math> \frac{d}{dx}\coth x = 1 - \coth^2 x = -\operatorname{csch}^2 x = -1/\sinh^2 x \,</math>

:<math> \frac{d}{dx}\ \operatorname{csch}\,x = - \coth x \ \operatorname{csch}\,x \,</math>

:<math> \frac{d}{dx}\ \operatorname{sech}\,x = - \tanh x \ \operatorname{sech}\,x \,</math>

:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsinh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}</math>

:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcosh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}</math>

:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{artanh}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}</math>

:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcsch}\,x =-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}}</math>

:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsech}\,x =-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}</math>

:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcoth}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}</math>

==தொகையீடுகள்==
அனைத்து அதிபரவளையச் சார்புகளின் தொகையீடுகளுக்கு [[அதிபரவளைவுச் சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல்]] பார்க்கவும்.

:<math>\begin{align}
  \int \sinh (ax)\,dx &= a^{-1} \cosh (ax) + C \\
  \int \cosh (ax)\,dx &= a^{-1} \sinh (ax) + C \\
  \int \tanh (ax)\,dx &= a^{-1} \ln (\cosh (ax)) + C \\
  \int \coth (ax)\,dx &= a^{-1} \ln (\sinh (ax)) + C \\
  \int \operatorname{sech} (ax)\,dx &= a^{-1} \arctan (\sinh (ax)) + C \\
  \int \operatorname{csch} (ax)\,dx &= a^{-1} \ln \left( \tanh \left( \frac{ax}{2} \right) \right) + C
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
   \int {\frac{du}{\sqrt{a^2 + u^2}}} & = \sinh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C \\
   \int {\frac{du}{\sqrt{u^2 - a^2}}} &= \cosh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C \\
   \int {\frac{du}{a^2 - u^2}} & =  a^{-1}\tanh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C; u^2 < a^2 \\
   \int {\frac{du}{a^2 - u^2}} & =  a^{-1}\coth ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C; u^2 > a^2 \\
   \int {\frac{du}{u\sqrt{a^2 - u^2}}} & = -a^{-1}\operatorname{sech}^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C \\
   \int {\frac{du}{u\sqrt{a^2 + u^2}}} & = -a^{-1}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right| + C
\end{align}</math>

இவற்றில் *C* -தொகையீட்டு மாறிலி.

==டெய்லர் தொடர்கள்==
அதிபரவளையச் சார்புகளை [[டெய்லர் தொடர்]]களாக எழுத முடியும்:
:<math>\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>

:<math>\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}</math>

sinh மற்றும் cosh தொடர்களின் கூடுதல், படிக்குறிச் சார்பின் டெய்லர் தொடராக (முடிவிலாத் தொடராக) இருக்கும்.

:<math>\begin{align}

                   \tanh x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \\

                   \coth x &= x^{-1} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = x^{-1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi \\

  \operatorname {sech}\, x &= 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \\

  \operatorname {csch}\, x &= x^{-1} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = x^{-1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi

\end{align}</math>

இங்கு,

:<math>B_n, \,</math>  *n* ஆவது பெர்னொலி எண் (Bernoulli number)
:<math>E_n, \,</math> *n* ஆவது ஆய்லர் எண் (Euler number)

==வட்டச் சார்புகளுடன் ஒப்பீடு==

வட்டச் சார்புகளையும் தாண்டிய [[முக்கோணவியல்|முக்கோணவியலின்]] நீட்டிப்பாக அதிபரவளையச் சார்புகள் அமைகின்றன. இருவகையான சார்புகளுமே முறையே, [[கோணம்|வட்டக் கோணம்]] மற்றும் [[அதிபரவளையக் கோணம்|அதிபரவளையக் கோணத்தைச்]] சார்ந்திருக்கின்றன. வட்டத்தின் ஆரம் *r* = √2 இன் வர்க்கமூலமாக இருக்கும் போது, [[வட்டக்கோணப்பகுதி#பரப்பளவு|வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவு]] <math>\frac {r^2 u} {2} = u.</math>. இத்தகைய வட்டம் (*r* = √2) அதிபரவளையம் *x y* = 1 ஐ (1,1) புள்ளியில் தொடுகிறது.(படத்தில் காண்க.) மஞ்சள் பகுதி வட்டக் கோணப்பகுதியின் கோணம் மற்றும் பரப்பையும் தருகிறது. சிவப்புப் பகுதி [[அதிபரவளையத் துண்டு|அதிபரவளையப் பகுதியின்]] கோணத்தையும் பரப்பையும் தருகிறது.

*u'' கோணத்தை வரையறுக்கும் கதிரை, செம்பக்கமாகக் கொண்ட இரு செங்கோண முக்கோணங்களின் தாங்கு பக்கங்கள் முறையே, வட்டச் சார்புகள்  மற்றும் அதிபரவளையச் சார்புகளின் √2 மடங்குகளாக, அதாவது √2cosu, √2sinu மற்றும் (√2coshu, √2sinhu) என உள்ளன. (படத்தில் காண்க)

## முற்றொருமைகள்
முக்கோணவியல் சார்புகளின் முற்றொருமைக்களுக்கு ஒத்த பல முற்றொருமைகளை அதிபரவளையச் சார்புகள் நிறைவு செய்கின்றன: 
* \begin{align}
  \sinh(x + y) &= \sinh (x) \cosh (y) + \cosh (x) \sinh (y) \\
  \cosh(x + y) &= \cosh (x) \cosh (y) + \sinh (x) \sinh (y) \\
  \tanh(x + y) &= \frac{\tanh (x) + \tanh (y)}{1 + \tanh (x) \tanh (y)}
\end{align}

* \begin{align}
  \sinh 2x &= 2\sinh x \cosh x \\
  \cosh 2x &= \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 2\sinh^2 x + 1 \\
  \tanh 2x &= \frac{2\tanh x}{1 + \tanh^2 x}
\end{align}

*அரைக்கோண முற்றொருமைகள்:
:\sinh \frac{x}{2} = \sqrt{ \frac{1}{2}(\cosh x - 1)} \, :\cosh \frac{x}{2} = \sqrt{ \frac{1}{2}(\cosh x + 1)} \, 
: \tanh \frac{x}{2} = \sqrt \frac{\cosh x - 1}{\cosh x + 1} = \frac{\sinh x}{\cosh x + 1} = \frac{\cosh x - 1}{\sinh x} = \coth x - \operatorname{csch}x.

## சிக்கலெண்களுக்கு அதிபரவளையச் சார்புகள்
ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு:
:\begin{align}
   e^{i x} &= \cos x + i \;\sin x \\
  e^{-i x} &= \cos x - i \;\sin x
\end{align}

எனவே:

:\begin{align}
    \cosh ix &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} + e^{-i x}\right) = \cos x \\
    \sinh ix &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} - e^{-i x}\right) = i \sin x \\
 \cosh(x+iy) &= \cosh(x) \cos(y) + i \sinh(x) \sin(y) \\
 \sinh(x+iy) &= \sinh(x) \cos(y) + i \cosh(x) \sin(y) \\
    \tanh ix &= i \tan x \\
     \cosh x &= \cos ix \\
     \sinh x &= - i \sin ix \\
     \tanh x &= - i \tan ix
\end{align}

அதிபரவளையச்ச் சார்புகள், காலமுறையளவு 2 \pi i (\pi i -அதிபரவளைய டேன்ஜெண்ட் மற்றும் கோடேன்ஜெண்ட் சார்புகளுக்கு) கொண்ட காலமுறைச் சார்புகளாக உள்ளன. .

## வரைபடங்கள்

## மேற்கோள்கள்

பகுப்பு:அடிப்படை சிறப்புச் சார்புகள்