சமச்சீர் பல்லுறுப்பு

கணிதத்தின் எல்லாத்துறைகளிலும்  மற்றும் கணிதத்தின் எல்லா பயன்பாடுகளிலும் சமச்சீர் கருத்து அடிக்கடி தோன்றுமென்பது எதிர்பார்க்கத்தக்கதே.பல்லுறுப்பு என்ற கணிதக்கருத்தோடு சமச்சீர்  கருத்து உறவாடும்போது ஏற்படும் எல்லா கணிதச் சூழ்நிலைகளையும் உருவகப்படுத்துவதுதான் **சமச்சீர் பல்லுறுப்பு** அல்லது **சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவை** (*Symmetric polynomial*) அல்லது **சமச்சீர் சார்பு** பற்றிய கோட்பாடு. இது முக்கியமாக சேர்வியல் என்ற கணிதத்துறையில் ஆய்வு பெறப்படும்.

## வரையறை

\mathcal{P}(α1, α2, ... , αn) என்ற பல்லுறுப்பின் மாறிகள் α1, α2, .... , αn இன் எந்த வரிசைமாற்றத்திற்கும் பல்லுறுப்பு மாறாமல் இருந்தால் அப்பல்லுறுப்பு **சமச்சீர் பல்லுறுப்பு** அல்லது **சமச்சீர் சார்பு** எனப்படும். குறிப்பாக, இதை n  மாறிகளின் சமச்சீர் பல்லுறுப்பு என்று கூறுவதுண்டு.

## எடுத்துக்காட்டுகள்

1. α3 + β3 + γ3.

2.α2β + α2γ + β2α + β2γ +γ2α + γ2β

3. α1.α2... .αn

இவைகளை **'Σ**' குறியீடு கொண்டும் குறிப்பிடமுடியும்; ஆனால் அதற்கு, எத்துணை மாறிகள் பயன்படுத்தப் படுகின்றன என்ற கருதுகோள் தொக்கிநிற்கவேண்டும். அப்படி நின்றால் மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளனைத்தையும் சுருக்கமாகக் கீழே கண்டபடி எழுதலாம்:

1.**Σ**α3

2.**Σ**α2β

3.α1.α2... .αn  இதனில் இருப்பதே ஓருறுப்பு தான். அதனால் **'Σ**' குறியீடு  தேவையில்லை.

## மாற்று வரையறைக்கான முன்னோடி

:α1, α2, ... , αn  ஆகிய  n  குறியீடுகளைக்கொண்டு தொடங்கலாம்.  இவைகள் கணிதமாறிகளாக இருக்கவேண்டியதுமில்லை.  N  என்பது ஒரு முழு நேர்ம எண்ணாகவும்,

:λ = (λ1 λ2....λp) என்பதை  N இன் ஒரு பிரிவினை (partition)யாகவும் கொள். இப்பிரிவினையில் ஓர் அடிப்படை மரபொழுங்கையும் பின்பற்றுவோம்; அ-து,

:λ1 ≥  λ2 ≥ ... ≥ λp > 0 ; மற்றும் p ≤ n. 
: λ, N இன் பிரிவினை என்பதை  λ \vdash N   என்ற குறியீட்டால் சுருக்கமாக எழுதலாம்.

:எடுத்துக்காட்டாக  (31) என்பது  எண் 4 இன் பிரிவினை. (31) \vdash 4
: (22) என்பதும்  எண் 4 இன் பிரிவினை. இதையே (22) என்றும் எழுதுவதுண்டு. (22) \vdash  4.
: (5), (41), (32),  4.
: (312), ((22)1),(213), (15) 
: ஆகிய ஏழும்  எண் 5 இன் பிரிவினைகள்.

## ஓரங்க சமச்சீர் சார்பு

ஓரங்க சமச்சீர் சார்பின் (Monomial symmetric function) குறியீடு  kλ. இதன் விரிவாக்கத்தை சில எடுத்துக்காட்டுகளால் புரிந்துகொள்வது எளிது.

:k(31) = **Σ**α13α2 
::= α13α2 + α13α3 + α13α4 + ... + α13αn + α23α1 + α23α3 + α23α4 + ..... .Σ. + ....

: k(22) = **Σ**α12 α22
:                             = α12 α22 +                              α12 α32 +                              α12 α42 + .... +                              α22 α32 +                              α22 α42 + .... +                             α32 α42 + .... + ....

பொதுவாக, kλ = Σ α1λ1 α2λ2 .... αpλp. இன்னொரு குறியீடும் இதற்கு உண்டு. அ-து, 
:: kλ =  .

## ஒருபடித்தான முழு சமச்சீர் சார்பு
ஒருபடித்தான முழு சமச்சீர் சார்பு (Complete Homogeneous Symmetric Function):
:hN = Σλ\vdashN kλ.

எடுத்துக்காட்டாக,

: h4 =  +  + 2> + 2> + 4>    (*)

:: = Σ α14 + Σ α13 α2 + Σ α12 α22 + Σ α12 α2 α3 + Σ α1 α2 α3 α4.

இங்கு ஒரு விஷயம் கவனிக்கப்படவேண்டும். குறியீடுகளின் எண்ணிக்கை n ஐப்பற்றியது.

n λ =  hλ1 hλ2 ... hλp**
எடுத்துக்காட்டாக,

::  h<sub>(31)</sub> = h<sub>3</sub> h<sub>1</sub> = (Σ α<sub>1</sub><sup>3</sup> + Σ α<sub>1</sub><sup>2</sup> α<sub>2</sub>  + Σ α<sub>1</sub> α<sub>2</sub> α<sub>3</sub>)(Σα<sub>1</sub>).

::  h<sub>(2<sup>2</sup>)</sub>  =  h<sub>2</sub> h<sub>2</sub> =  (Σ α<sub>1</sub><sup>2</sup> + Σ α<sub>1</sub>α<sub>2</sub>)<sup>2</sup>.

==தனித்த சமச்சீர் சார்பு ==
தனித்த சமச்சீர் சார்பு (Elementary Symmetric Function):
:: a<sub>N</sub> = k<sub>(1<sup>N</sup>)</sub>.

எ.கா. a<sub>4</sub> = Σ α<sub>1</sub>α<sub>2</sub>α<sub>3</sub>α<sub>4</sub>

a<sub>4</sub> சூன்ய உறுப்பாக இல்லாமல் இருப்பதற்கு, n ≥ 4 உண்மையாக இருக்கவேண்டும்.

இப்பொழுது  தனித்த சமச்சீர் சார்பின் வரையறையைக் கொடுக்க முடியும். அதாவது,

::  **aλ =  aλ1 aλ2 ... aλp.**
எ.கா.  a<sub>(31)</sub> = a<sub>3</sub> a<sub>1</sub> = (Σ α<sub>1</sub>α<sub>2</sub>α<sub>3</sub>)(Σα<sub>1</sub>).

:: a<sub>(2<sup>2</sup>)</sub> = a<sub>2</sub>a<sub>2</sub> = (Σ α<sub>1</sub>α<sub>2</sub>)<sup>2</sup>.

==அடுக்குத்தொகை சமச்சீர் சார்பு ==
அடுக்குத்தொகை சமச்சீர் சார்பு (Power Sum Symmetric function):
:: s<sub>N</sub> = k<sub>(N)</sub>  = Σα<sub>1</sub><sup>N</sup>

குறிப்பு: ஒரு குறியீடு இருந்தாலும் s<sub>N</sub> சூன்யமாகாது.

இப்பொழுது  அடுக்குத்தொகை சமச்சீர் சார்பின் வரையறையைக் கொடுக்க முடியும். அதாவது
 
::  **sλ =  sλ1 sλ2 ... sλp.**

எ.கா.: s<sub>4</sub> = Σα<sub>1</sub><sup>4</sup>.

::  s<sub>(31)</sub> = (Σα<sub>1</sub><sup>3</sup>) (Σα<sub>1</sub>).

::  s<sub>(2<sup>2</sup>)</sub>  = s<sub>2</sub>s<sub>2</sub> = (Σα<sub>1</sub><sup>2</sup>)<sup>2</sup>

:: முக்கிய விளைவு:  (λ) = (1,1, ...λ<sub>1</sub>முறை,2,2, ...λ<sub>2</sub>முறை, ..., p,p, ...λ<sub>p</sub>முறை) என்று கொண்டால், அதாவது, (λ) = (1<sup>λ</sup><sub>1</sub>2<sup>λ</sup><sub>2</sub>3<sup>λ</sup><sub>3</sub> .... )  என்று கொண்டால்,

::  **sλ  = s1λ1s2λ2s3λ3 ....**

==சமச்சீர் சார்புகளின் நேரியல் அளாவல்==

ஒரு குறிப்பிட்ட முழு எண்  N  உடைய எல்லாப்பிரிவினைகள் λ வுக்கும்   அவைகளுக்கு இணைவான k<sub>λ</sub>  க்கள் எல்லாம் கொண்ட கணத்தை  SYM<sub>N</sub>  என்ற குறியீட்டால்  குறிப்பிடுவோம். இக்கணத்தில்,

:: Σ α<sub>1</sub><sup>λ<sub>1</sub></sup> α<sub>2</sub><sup>λ<sub>2</sub></sup> .... α<sub>p</sub><sup>λ<sub>p</sub></sup>  + Σ α<sub>1</sub><sup>μ<sub>1</sub></sup> α<sub>2</sub><sup>μ<sub>2</sub></sup> .... α<sub>q</sub><sup>μ<sub>q</sub></sup> ::
என்பது கூட்டல் வரையறை ஆகும்.

:: மற்றும் **Q** என்ற விகிதமுறு எண்களின் [[களம் (கணிதம்)|களத்தை]] அளவெண்களமாகக் கொண்டால்,

:  a x Σ α<sub>1</sub><sup>λ<sub>1</sub></sup> α<sub>2</sub><sup>λ<sub>2</sub></sup> .... α<sub>p</sub><sup>λ<sub>p</sub></sup>  = Σaα<sub>1</sub><sup>λ<sub>1</sub></sup> α<sub>2</sub><sup>λ<sub>2</sub></sup> .... α<sub>p</sub><sup>λ<sub>p</sub></sup>

:  என்ற வரையறை அளவெண் பெருக்கலின் வரையறை ஆகும்.

இவ்விரண்டு செயல்பாடுகளுக்கு  SYM<sub>N</sub>  [[திசையன் வெளி|நேரியல் வெளி]]யாகின்றது.

இவ்வெளிக்கு   [[திசையன் வெளியின் அடுக்களம்|அடுக்களம்]] {k<sub>λ</sub>, λ  <math>\vdash</math> N} : [[திசையன் வெளியின் பரிமாணம்|பரிமாணம்]] p(N), அ-து, N உடைய பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கை. இதைவிட மேலாக பின்வரும் தேற்றமே நிறுவப்படக்கூடியது .

:**தேற்றம்*': *{kλ, λ  \vdash N}, {aλ, λ  \vdash N}, {hλ, λ  \vdash N}, {sλ, λ  \vdash N}, -- இவை நான்குமே ஒவ்வொன்றும் SYMN க்கு அடுக்களமாக அமைகின்றது''.

## இவற்றையும் பார்க்கவும்

வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு

## மேற்கோள்கள்


பகுப்பு:சேர்வியல்
பகுப்பு:பல்லுறுப்புக் கோவைகள்
பகுப்பு:சமச்சீர் சார்புகள்