முற்றொருமை (கணிதம்)

கணிதத்தில் **முற்றொருமை** (*identity*) என்பது வெவ்வேறான  பல கருத்துக்களைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது இயற்கணிதத்தில் சமன்பாடுகளின் சிறப்புவகைகளையும் கணங்களில் முற்றொருமை உறுப்புகளையும் சார்புகளில் முற்றொருமைச் சார்புகளையும் குறிக்கிறது.

## முற்றொருமைகள்
ஒரு **முற்றொருமை** என்பது எப்பொழுதும் உண்மையாகக் கூடிய ஒரு உறவு.

இயற்கணிதத்திலுள்ள ஒரு சமன்பாடு, அதில் அமைந்துள்ள மாறிகளுக்கு தரப்படும் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் உண்மையாக இருக்குமானால் அச்சமன்பாடு ஒரு *முற்றொருமை* எனப்படும். ஒரு சமன்பாடு, முற்றொருமையாக இருக்கும்போது அச்சமன்பாட்டிலுள்ள சமன் குறிக்குப் பதிலாக மூன்று கிடைக்கோடுகள் குறியீடு ≡, பயன்படுத்தப்படுவது மரபு.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

:(a + b)^2 \equiv a^2 + 2ab + b^2 
:\cos^2\theta + \sin^2\theta \equiv 1\! (பித்தாகரசின் முற்றொருமை)

சைன் மற்றும் கோசைன் இரண்டின் ஆட்களமும் கலப்பெண் கணம் \mathbb{C} -ஆக அமைவதால் இது \theta -ன் அனைத்து சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கும் உண்மையாகும்.)

:\cos \theta = 1,\, இது ஒரு முற்றொருமை அல்ல. ஏனெனில் 
\theta -ன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் இது உண்மையாக இராது.  \theta = 0,\, எனில் உண்மையாகவும் \theta = 2\, எனில் உண்மையாக இல்லாமலும் இருக்கிறது.

:≡ என்ற குறியீடுட்டுக்குச் *சமானமானது* போன்ற பிற பயன்பாடுகளும் உண்டு

## முற்றொருமை உறுப்பு

ஒரு கணம் *S*  -ன் முற்றொருமை அல்லது முற்றொருமை உறுப்பு *e* என்பது *S* -லுள்ள எந்தவொரு உறுப்பு *a* -உடன் சேர்ந்து  ஈருறுப்புச் செயலிக்குப் உட்படுத்தப்படும்போது கிடைக்கும் விடை *a* -ஆகவே இருக்குமாறுள்ள ஒரு உறுப்பாகும்.

e * a = a = a * e\, .

எடுத்துக்காட்டுகள்:

*மெய்யெண்கள் கணத்தில் கூட்டல் செயலைப் பொறுத்த முற்றொருமை உறுப்பு எண் 0.

a\in\mathbb{R},

:0 + a = a,\,

:a + 0 = a,\, :0 + 0 = 0.\,

*மெய்யெண்கள் கணத்தில் பெருக்கல் செயலைப் பொறுத்த முற்றொருமை உறுப்பு எண் 1.

:a\in\mathbb{R},

:1 \times a = a,\,

:a \times 1 = a,\, and

:1 \times 1 = 1.\,

*அணிகளின் கணத்தில் பெருக்கல் செயலைப் பொறுத்த முற்றொருமை உறுப்பு முற்றொருமை அணி  \mathbf I. 
*அணிகளின் கணத்தில் கூட்டல் செயலைப் பொறுத்த முற்றொருமை உறுப்பு பூச்சிய அணி  \mathbf 0. 

## முற்றொருமைச் சார்பு

*S* கணத்திலிருந்து *S* -க்கு வரையறுக்கப்பட்ட முற்றொருமைச் சார்பு பொதுவாக \mathrm{id} அல்லது \mathrm{id}_S எனக் குறிக்கப்படுகிறது. இச்சார்பின் கீழ்,  *S* -ன் அனைத்து உறுப்புகளின் பின்னுருக்கள் அந்தந்த உறுப்புகளாகவே அமையும்.

*S* -ன் அனைத்து உறுப்புகள் *x* -க்கும்:
:\mathrm{id}(x) = x

:f\colon S \rightarrow S  என வரையறுக்கப்பட்ட அனைத்து சார்புகளின் கணத்திற்குச் சார்புகளின் சேர்ப்புச் செயலியைப் பொறுத்து முற்றொருமை உறுப்பாக முற்றொருமைச் சார்பு அமையும்.

முற்றொருமைச் சார்புக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு *முற்றொருமை வரிசை மாற்றமாகும்*. முற்றொருமை வரிசை மாற்றமானது, கணம் \{ 1, 2, \ldots, n \} அல்லது \{a_1,a_2, \ldots, a_n \} உள்ள உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றையும் அதே உறுப்பாக இயல்பான வரிசைப்படி மாற்றும்.

:\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & n\end{pmatrix}.

:\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & n \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & n\end{pmatrix}.

## ஒப்பிடல்
முற்றொருமை என்பதன் வெவ்வேறு பயன்பாடுகள் ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புள்ளவையாக உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக முற்றொருமை வரிசை மாற்றமானது \{ 1, 2, \ldots, n \} கணத்தின் வரிசைமாற்றங்களின் குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பாக சார்புகளின் சேர்ப்புச் செயலியைப் பொறுத்து அமைகிறது.

## வெளி இணைப்புகள்
*  A Collection of Algebraic Identities

பகுப்பு:அடிப்படை இயற்கணிதம்
பகுப்பு:கணித முற்றொருமைகள்