ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம்

கணிதத்தில் , ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம்       (பிறகு சீனிவாச இராமானுசன்  என்று பெயரிடப்பட்டது) ஆனது  பகுப்பாய்வு சார்பின் மெல்லின் உருமாற்றத்திற்கு  பகுமுறை விரிவாக்கத்திற்கான  ஒரு உத்தியை வழங்குகிறது. 
alt=|thumb| '''ராமானுசரின்''' நோட்டு புத்தகத்தில் எழுதப்பட்டு இருந்த '''ராமானுஜரின் தலையாய தேற்றத்தின்'''  ஒரு பக்கம் .
தேற்றத்தின் முடிவுகள் பின்வருமாறு கூறப்படுகிறது: 

சிக்கலான எண் மதிப்புடைய சார்பு f(x)-ன் விரிவாக்கமானது

f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\phi(k)}{k!}(-x)^k \! f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\phi(k)}{k!}(-x)^k \!f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\phi(k)}{k!}(-x)^k \! 

எனவே  f(x) \begin{align} f(x) \end{align} மெல்லின் உருமாற்றமானது  பின்வருமாறு உள்ளது. 

\int_0^\infty x^{s-1} f(x) \, dx = \Gamma(s)\phi(-s)

:  \int_0^\infty x^{s-1} f(x) \, dx = \Gamma(s)\phi(-s) \!\int_0^\infty x^{s-1} f(x) \, dx = \Gamma(s)\phi(-s) \!  

இங்கு  \Gamma(s) \! என்பது  காமா சார்பு ஆகும்

இது தொகைகள் மற்றும் முடிவற்ற தொடர்கள் சார்ந்த கணக்கீடுகள் கண்டறிவதற்கு ராமானுசரால் தொடர்ந்து பயன்படுத்தப்பட்ட சார்பு ஆகும். 

இந்தக் தேற்றத்தின்  உயர் பரிமாண பதிப்புகள் குவாண்டம் இயற்பியலில் ( ஃபேய்ன்மேன் விளக்கப்படங்கள் மூலம்) பயன்படுகின்றன.  

இதேபோன்ற முடிவுகளை ஜெ.டபிள்யு.எல் கிளாசர்  பெற்றார்.  

## மாற்றுவடிவ சூத்திரம்
ராமானுசரின் தலையாய தேற்றத்தின்  மாற்று வடிவ சூத்திரம் பின்வருமாறு: 

:  \int_0^\infty  x^{s-1} ({\lambda(0)-x\lambda(1)+x^{2}\lambda(2)-\cdots}) \, dx = \frac{\pi}{\sin(\pi s)}\lambda(-s) 

மேற்கண்ட சூத்திரத்தில்   \lambda(n) = \frac{\phi(n)}{\Gamma(1+n)} \! என்று பிரதிட்டு காமா சார்பு  சமன்பட்டினை பயன்படுத்தி சுருக்கிய பின்பு  .

சார்பு   \phi வளர்நிலைகளை பொறுத்து  0 என்ற இடைவெளியில் மேற்கண்ட தொகையானது ஒருங்கக்ககூடியது ஆகும். 

## நிரூபணம்
ராமானுசரின் தலையாய தேற்றத்தின் "உண்மை" அனுமானங்களுக்கு (இருப்பினும் பலவீனமான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகளுக்கு இல்லை) கணிதவியலாளர் GH ஹார்டி   , தான் விரிவாக்கம் செய்யப்பட்ட  எச்ச தேற்றம் மற்றும் நன்கு அறியப்பட்ட மெல்லின் தலைகீழ் தேற்றம் ஆகியவற்றை  ஆதாரமாக விளக்கினார். 

## பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பயன்பாடுகள்
பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவை  B_k(x)\! களின் பிறப்பாக்கி சார்பு வருமாறு:

frac{ze^{xz}}{e^z-1}=\sum_{k=0}^\infty  B_k(x)\frac{z^k}{k!} 

: \frac{ze^{xz}}{e^z-1}=\sum_{k=0}^\infty  B_k(x)\frac{z^k}{k!} \!\frac{ze^{xz}}{e^z-1}=\sum_{k=0}^\infty  B_k(x)\frac{z^k}{k!} \!

இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஹர்விட்ஸ் இசீட்டா சார்பின் வடிவில் வழங்கப்படுகின்றன: 

\zeta(s,a)=\sum_{n=0}^\infty  \frac{1}{(n+a)^s} \!zeta(s,a)=\sum_{n=0}^\infty  \frac{1}{(n+a)^s} \!\zeta(s,a)=\sum_{n=0}^\infty  \frac{1}{(n+a)^s} \!

n \geq 1க்கு   \zeta(1-n,a)=-\frac{B_n(a)}{n} \! என்றவாறு உள்ளது. 

ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் மற்றும் பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின்  பிறப்பாக்கி சார்பு ஆகியவற்றை பயன்படுத்தும் போது  பின்வரும் தொகை வடிவில் இருக்கும்:

\int_0^\infty  x^{s-1} \left(\frac{e^{-ax}}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}\right) \, dx = \Gamma(s)\zeta(s,a) \!

\int_0^\infty  x^{s-1} \left(\frac{e^{-ax}}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}\right) \, dx = \Gamma(s)\zeta(s,a) \!int_0^\infty  x^{s-1} \left(\frac{e^{-ax}}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}\right) \, dx = \Gamma(s)\zeta(s,a) \!

இது 0                                   0க்கு உண்மையாகும் . 

## காமா சார்பின் பயன்பாடுகள்
காமா சார்பு பற்றி வீர்சார்ட்-ன் வரையறை 

Gamma(x)=\frac{e^{-\gamma x}}{x}\prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{x}{n}\right)^{-1} e^{x/n} \!

: \Gamma(x)=\frac{e^{-\gamma x}}{x}\prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{x}{n}\right)^{-1} e^{x/n} \!\Gamma(x)=\frac{e^{-\gamma x}}{x}\prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{x}{n}\right)^{-1} e^{x/n} \!

இது \log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \!ன் விரிவாக்கத்திற்கு சமமானதாகும் 

   \log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \! 

\log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \!

\log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \!\log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \!log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \!

இங்கு \zeta(k) \!  என்பது ரீமன் இசீட்டா சார்பு ஆகும் . 

ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் பின்வருமாறு பயன்படுத்துகிறோம்: 

\int_0^\infty x^{s-1} \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^2} \, dx= \frac{\pi}{\sin(\pi s)}\frac{\zeta(2-s)}{2-s} \!\int_0^\infty x^{s-1} \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^2} \, dx= \frac{\pi}{\sin(\pi s)}\frac{\zeta(2-s)}{2-s} \!

இது 0                                   0க்கு உண்மையாகும் .உண்மையாகும்     

இங்கு s=\frac{1}{2} \!  0  s=\frac{1}{2} \!         மற்றும்   s=\frac{3}{4} \! s=\frac{3}{4} \!  ன் சிறப்பு வகைகள் வருமாறு 

:  \int_0^\infty \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^{5/2}} \, dx =\frac{2\pi}{3} \zeta\left( \frac{3}{2} \right) 

:  \int_0^\infty \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^{9/4}} \,dx = \sqrt{2} \frac{4\pi}{5} \zeta\left(\frac 5 4\right) 

## மேற்கோள்கள்

## வெளி இணைப்புகள்

* http://mathworld.wolfram.com/RamanujansMasterTheorem.html 
* http://arminstraub.com/files/publications/rmt.pdf 
பகுப்பு:இராமானுசன்