தொடர் பெருக்கம்

ஒரு நேர்ம முழு எண்ணின் **தொடர் பெருக்கம்** அல்லது **காரணியம்** அல்லது **காரணீயம்** (factorial) என்பது அதற்கு சமமாகவும் குறைவாகவும் உள்ள எல்லா நேர்ம முழு எண்களின் பெருக்கல் ஆகும்.  இது *n*! எனக் குறிக்கப்படும்.

எ.கா:
:5 ! = 5  \times  4  \times  3  \times  2  \times  1 = 120  \ 
:4 ! =  4  \times  3  \times  2  \times  1 = 24  \ 
:3 ! =  3  \times  2  \times  1 = 6 \ 
:2 ! =  2  \times  1 = 2  \ 
:1 ! =  1 \ 
:0 ! =  1 \  (வெற்றுப் பெருக்கத்தின் வழமைப்படி).

தொடர் பெருக்கச் செய்கையைக் கணிதத்தில் பல பகுதிகளில் காணமுடியும். குறிப்பாக சேர்மானவியல், இயற்கணிதம், கணிதப் பகுப்பாய்வு என்பவற்றைக் குறிப்பிடலாம். இதன் மிக அடிப்படையாக பயன்பாட்டை, வரிசை மாற்றத்தில், வெவ்வேறான  *n* பொருட்களை *n*! வழிகளில்  தொடராக ஒழுங்குபடுத்தலாம்" என்பதில் காணமுடிகிறது. இந்த உண்மை ஆகப் பிந்தியது 12ம் நூற்றாண்டிலேயே இந்திய அறிஞர்களுக்குத் தெரிந்திருக்கிறது. பிரான்சு நாட்டைச் சேர்ந்த கணிதவியலாளர் கிறித்தியன் கிறாம்ப் என்பவர் n! குறியீட்டை 1808 ஆம் ஆண்டில் முதன் முதலில்  அறிமுகப்படுத்தினார்.

## வரைவிலக்கணம்
தொடர் பெருக்கச் சார்பு பின்வருமா று வரையறுக்கப்படுகிறது:

: n!=\prod_{k=1}^n k \!

அல்லது பின்வரும் தொடர்பின் மூலமும் இது தரப்படலாம்:

: n! = \begin{cases}
1 & \text{if } n = 0, \\
(n-1)!\times n & \text{if } n > 0
\end{cases}


அடுக்கு விதியைப் பயன்படுத்தியும் பின்வருமாறு இதை வரையறுக்க முடியும்:

: n! = D^nx^n \;

மேற்காட்டிய எல்லா வரைவிலக்கணங்களும் :0! = 1, \  என்பதை உட்படுத்துகின்றன.

## பயன்பாடுகள்
பெரும்பாலும் சேர்மானவியலைச் சேர்ந்தது என்றாலும் கணிதத்தின் பல பிரிவுகளிலுள்ள வாய்ப்பாடுகளில்  தொடர் பெருக்கம் காணப்படுகிறது.

* வெவ்வேறான *n* பொருட்களை வெவ்வேறான *n*! வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். அதாவது வெவ்வேறான *n* பொருட்களின் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை *n*! ஆகும்.
* வரிசைப்படுத்தல் தவிர்க்கப்பட வேண்டுமென்பதற்காகப் பெரும்பாலும் தொடர் பெருக்கமானது வாய்ப்பாடுகளில் பகுதியில் காணப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு:
*n* பொருட்கள் கொண்ட கணத்திலிருந்து *k* பொருட்களைத் தேர்வுசெய்து அவற்றை வரிசைப்படுத்தும் வழிகளின் எண்ணிக்கை:
::n^{\underline k}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)

இந்த வழிகளில் தேர்வுகள் ஒவ்வொன்றிலும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட *k* பொருட்களை வரிசைப்படுத்தக்கூடிய *k*! வெவ்வேறான வழிகளும் அடங்கும் எனபதால் வரிசைப்படுத்தலைத் தவிர்த்து, *n* பொருட்கள் கொண்ட கணத்திலிருந்து *k* பொருட்களின் சேர்வுகளின் எண்ணிக்கைக்கான வாய்ப்பாடு:
::\frac{n^{\underline k}}{k!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots1} =\frac{n!}{(n-k)!}

இந்த வாய்ப்பாடு  விரிவில் *X**k* இன் கெழுவாகவும் அமைவதால் ஈருறுப்புக் கெழு (\tbinom nk) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.
* நுண்கணிதத்தில் டெயிலரின் தேற்றத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

டெயிலரின் தேற்றம்:

*k*&nbsp;&ge;&nbsp;1 ஒரு முழு எண்;  புள்ளியில், சார்பு  *k* தடவைகள் வகையிடத்தக்கது எனில்,  என்ற ஒரு சார்பு பின்வருமாறு இருக்கும்:
: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f*(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + h_k(x)(x-a)^k,</math>
<math>\mbox{and}\quad\lim_{x\to a}h_k(x)=0</math>
* நிகழ்தகவின் பல வாய்ப்பாடுகளில் தொடர்பெருக்கம் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு:
*[[பாய்சான் பரவல்|பாய்சான் பரவலின்]] [[நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு|நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பின்]] வாய்ப்பாடு:
:<math>\!f(k; \lambda)= \Pr(X=k)= \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}</math>
இவ்வாய்ப்பாட்டில், 
:தனித்த [[சமவாய்ப்பு மாறி]] *X*; *λ* > 0;  *k* =0,1,2,…, [[E (கணித மாறிலி)|*e*]] = 2.71828....

==எண் கோட்பாடு==
*&nbsp;*n* மற்றும் அதைவிடச் சிறியதான அனைத்து [[பகா எண்]]களாலும் *n* வகுபடும். இதன் விளைவாகக் கிடைக்கும் முடிவுகள்:
***n* > 5 ஒரு பகு எண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே
:<math>(n-1)!\ \equiv\ 0 \pmod n.</math>
***p* ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே
:<math>(p-1)!\ \equiv\ -1 \pmod p</math> (வில்சனின் தேற்றம்)

*பகா எண்ணாகவும் தொடர் பெருக்கமாகவும் அமையும் ஒரே எண் 2.  &nbsp;*n*!&nbsp;±&nbsp;1, என்ற வடிவிலமையும் எண்கள் [[காரணீயப் பகாஎண்]]களென அழைக்கப்படுகின்றன.
*1! ஐ விடப் பெரிய தொடர் பெருக்கங்கள் அனைத்தும் இரண்டின் மடங்குகளாக இருப்பதால் அவை இரட்டை எண்களாகும். 5! ஐ விடப் பெரிய தொடர் பெருக்கங்கள் அனைத்தும் இரண்டு மற்றும் மடங்குகளாக இருப்பதால் அவை பத்தின் மடங்குகளாக இருக்கும்.

==தலைகீழிகளின் தொடர்==
தொடர் பெருக்கங்களின் பெருக்கல் தலைகீழிகளாலான தொடர், [[ஒருங்கும் தொடர்|ஒருங்கும் தொடராக]] இருக்கும்:
:<math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24}  + \frac{1}{120} + \ldots = e\,.</math>

இத் தொடரின் கூடுதல் ஒரு [[விகிதமுறா எண்]] என்றாலும், தொடரின் உறுப்பிலுள்ள தொடர் பெருக்கங்களை நேர் முழு எண்களைக் கொண்டு பெருக்கி, தொடரை [[விகிதமுறு எண்]]ணைக் கூடுதலாகக் கொண்ட ஒருங்கு தொடராக மாற்றலாம்:
:<math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+2)n!} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{30}+\frac{1}{144}\ldots=1\,.</math>
இதனால் தொடர் பெருக்கங்கள் [[விகிதமுறாத் தொடர்முறை]]களை அமைக்காது.

==ஒத்த பிற பெருக்கங்களும் சார்புகளும்==
கணிதத்தில் தொடர் பெருக்கம் போன்ற பிற பெருக்கங்களும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. அவை:

===பகாத்தனி தொடர்பெருக்கம்===
[[பகாத்தனி தொடர்பெருக்கம்]] (primorial) என்பது, பகாஎண்களின் தொடர்பெருக்கச் சார்பாக அமையும். 

*n* வது பகா எண் *pn* இன் பகாஎண் தொடர்பெருக்கம் *pn#* என்பது முதல் *n* பகா எண்களின் பெருக்கமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:
:<math>p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k</math>

*pk* என்பது *k* -வது பகா எண்.

எடுத்துக்காட்டாக:
:<math>p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310.</math>

முதல் ஆறு பகாஎண் தொடர்பெருக்கங்கள்:
:1, 2, 6, 30, 210, 2310.
(இதில் *p0#* = 1 என [[வெற்றுப் பெருக்கம்|வெற்றுப் பெருக்கமாகக்]] கொள்ளப்படுகிறது.))

பொதுவாக ஏதேனுமொரு [[இயல் எண்]]ணிற்கு கீழ்க்காண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

ஒரு நேர் முழு எண் *n* இன் பகாஎண் தொடர்பெருக்கம் *n#* என்பது *n* -ஐ விடச்சிறிய பகாஎண்களின் பெருக்கமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:

:<math>n\# = \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\# </math>

இங்கு, <math>\scriptstyle\pi(n)</math> [[பகாஎண்-எண்ணும் சார்பு]] ,  *n* -ஐ விடச்சிறிய பகாஎண்களைத் தருகிறது.

இவ்வரையறை கீழுள்ள வரையறைக்கு ஈடானதாகும்:
:<math>
n\# = 
\begin{cases}
    1 & \text{if }n = 1 \\
    n \times ((n-1)\#) & \text{if }n > 1\ \And\ n \text{ is prime} \\
    (n-1)\# & \text{if }n > 1\ \And\ n \text{ is composite}.
\end{cases}
</math>

எடுத்துக்காட்டாக, 12# என்பது  12க்கும் குறைந்த பகாஎண்களின் தொடர்பெருக்கம்:

:<math>12\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11= 2310.</math>

===இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம்===
ஒற்றை நேர் எண் *n* வரையிலான ஒற்றை எண்களின் பெருக்கம் ’இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம்’ (double factorial) எனப்படும். இதன் குறியீடு *n*. 
:<math>(2k-1)!! = \prod_{i=1}^k (2i-1) = \frac{(2k)!}{2^k k!} = \frac {_{2k}P_k} {2^k} = \frac  {2^k}.</math>

எடுத்துக்காட்டு: 
:9!!&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;×&nbsp;3&nbsp;×&nbsp;5&nbsp;×&nbsp;7&nbsp;×&nbsp;9 =&nbsp;945.

*n*&nbsp;=&nbsp;1,&nbsp;3,&nbsp;5,&nbsp;7,&nbsp;...  எனில் இரட்டைத் தொடர்பெருக்கங்களின் தொடர்முறை:
: 1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, .... 

[[முக்கோணவியல் சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல்|முக்கோணவியல் தொகையீட்டில்]] இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

===பல்தொடர்பெருக்கம்===
எதிரிலா முழு எண்களின் *k''-வது தொடர்பெருக்கம் n!^{(k)}:
:
  n!^{(k)}=
  \left\{
   \begin{matrix}
    1,\qquad\qquad\ &&\mbox{if }0\le n

தொடர்பெருக்கம் n! எதிர் எண்களுக்கு வரையறுக்கப்படாதது போல, இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம் n!! எதிர் இரட்டை எண்களுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை; பல்தொடர்பெருக்கம் n!^{(k)} k ஆல் வகுபடும் எதிர் முழுஎண்களுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை.

## மேற்கோள்கள்

பகுப்பு:புள்ளியியல்
பகுப்பு:சேர்வியல்
பகுப்பு:ஓருறுப்புச் செயலிகள்