பெருக்கல் சார்பு

எண் கோட்பாட்டில் **பெருக்கல் சார்பு** (*multiplicative function*) என்பது ஒரு எண்கணிதச் சார்பு ஆகும். *n* ஒரு நேர்ம முழுஎண் எனில், பெருக்கல் சார்பு *f*(*n*) இன் மதிப்பு கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

: f(1) = 1 
: f(ab) = f(a) f(b),   (a, b சார்பகா எண்கள்)

;முழுமையான பெருக்கல் சார்பு
பெருக்கல் சார்பின் வரையறையானது சார்பகா எண்களுக்கு மட்டுமல்லாது அனைத்து நேர்ம முழுஎண்களுக்கும் பொருந்துவதாக இருந்தால் அச் சார்பு, **முழுமையான பெருக்கல் சார்பு**  (*completely multiplicative* அல்லது *totally multiplicative*) என அழைக்கப்படும்.

## எடுத்துக்காட்டுகள்
* மாறிலிச் சார்பு:  
:1(n) = 1 என வரையறுக்கப்படும் மாறிலிச் சார்பு 1(n), ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு.

* முற்றொருமைச் சார்பு: 
:Id(n) = n என வரையறுக்கப்படும் முற்றொருமைச் சார்பு Id(n) முழுமையான பெருக்கல் சார்பு

* Id_k(n) = n^k,  (k ஒரு சிக்கலெண்)
என வரையறுக்கப்படும் அடுக்குச் சார்பு Id_k(n) ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு. 

இதன் சிறப்பு வகைகள்: 
: Id_0 
:Id_1(n) = Id(n).
* மீபொவ (*n*,*k*): 
*k* ஐ ஒரு நிலையான முழுஎண்ணாகக் கொண்டால்*n* , *k* இரண்டின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியானது, *n* மீதான பெருக்கல் சார்பாகும்.
* ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு
n-ஐ விடப் பெரியதல்லாததாகவும், n-ஐப் பகாத எண் ணாகவும் (அ-து,n-உடன் 1 ஐத்தவிர வேறு எந்த பொதுக் காரணியையும் கொள்ளாதது) இருக்கும் நேர்ம முழு எண்களின் எண்ணிக்கையைத் தரும்  ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு (\varphi(*n*)) ஒரு பெருக்கல் சார்பு
* மோபியஸ் சார்பு
;வரையறை 
:*n* ஒரு வர்க்கக்காரணியற்ற நேர் முழு எண் மற்றும் அதன் பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை இரட்டையெண் எனில்: 
:::*μ*(*n*) =  1  

:*n* ஒரு வர்க்கக்காரணியற்ற நேர் முழு எண் மற்றும் அதன் பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை ஒற்றையெண் எனில்:
::: *μ*(*n*) = &minus;1 

:*n* க்கு ஒரு பகாக்காரணி வர்க்க எண்ணாக இருந்தால்:
:::*μ*(*n*) =  0 
மோபியஸ் சார்பு \mu(*n*) ஒரு பெருக்கல் சார்பு.
* வகுஎண் சார்பு
நேர் வகுஎண்களின் கூடுதல் சார்பு, *x* ஒரு மெய்யெண் அல்லது சிக்கலெண் எனில்,
:\sigma_{x}(n)=\sum_{d|n} d^x\,\! ,, {d|n} 
என வரையறுக்கப்படும் நேர் வகுஎண்களின் கூடுதல் சார்பு σ*x*(*n*) ஒரு பெருக்கல் சார்பு. 

இதன் சிறப்புவகைகள்:
:\sigma_0(n) = d(n), *n* இன் நேர் வகுஎண்களின் மொத்த எண்ணிக்கை,
:\sigma_1(n) = \sigma(n), *n* இன் நேர் வகுஎண்களின் கூடுதல்.

## பண்புகள்
*f*(*n*) ஒரு பெருக்கல் சார்பு மற்றும் *n* வெவ்வேறான பகா எண்களின் அடுக்குகளின் பெருக்கமாக, *n* = *p**a* *q**b* ..., எழுதப்பட்டால்: 

f(n) = f(p^a) f(q^b) ...

எடுத்துக்காட்டு:

:n = 144 = 2^4 \times 3^2 எனில்:
: d(144) = \sigma_{0}(144) = \sigma_{0}(2^4) \sigma_{0}(3^2) = (1^0 + 2^0 + 4^0 + 8^0 + 16^0)(1^0 + 3^0 + 9^0) = 5 \times 3 = 15
: \sigma(144) = \sigma_{1}(144) = \sigma_{1}(2^4)\sigma_{1}(3^2) = (1^1 + 2^1 + 4^1 + 8^1 + 16^1(1^1 + 3^1 + 9^1) = 31 \times 13 = 403
: \sigma^{*}(144) = \sigma^{*}(2^4)\sigma^{*}(3^2) = (1^1 + 16^1)(1^1 + 9^1) = 17 \times 10 = 170.

இதேபோல:

:\varphi (144) = \varphi (2^4) \varphi (3^2) = 8 \times 6 = 48 

பொதுவாக, *f*(*n*) ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு மற்றும் *a*, *b* இரண்டும் ஏதேனும் இரு நேர் முழுஎண்கள் எனில்:

:*f*(*a*) · *f*(*b*) = *f*(மீபொவ(*a*,*b*)) · *f*(மீபொம(*a*,*b*)).

## டிரிழ்ச்லெட் தொடர்
சில பெருக்கல் சார்புகளுக்கான டிரிழ்ச்லெட் தொடர்கள்:
* \sum_{n\ge 1} \frac{\mu(n)}{n^s} = \frac{1}{\zeta(s)}
* \sum_{n\ge 1} \frac{\varphi(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}
* \sum_{n\ge 1} \frac{d(n)^2}{n^s} = \frac{\zeta(s)^4}{\zeta(2s)}
* \sum_{n\ge 1} \frac{2^{\omega(n)}}{n^s} = \frac{\zeta(s)^2}{\zeta(2s)}

## மேற்கோள்கள்
* Weisstein, Eric W. "Multiplicative Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/MultiplicativeFunction.html

பகுப்பு:பெருக்கல் சார்புகள்