வரிசைமாற்றத்தின் சுழலமைப்பு

கணிதத்தில் வரிசைமாற்றங்களை சுழல்களின் சேர்வைகளாக மட்டுமல்ல, வெட்டாத  (disjoint)சுழல்களின் சேர்வைகளாகக் குறிகாட்டலாம். இப்படிச் செய்வதால் வரிசைமாற்றங்களின் பண்புகள் எளிதாக்கப்படுகின்றன. **வரிசைமாற்றத்தின் சுழலமைப்பு** (Cycle Structure of a Permutation) வரிசைமாற்றக் குலங்களின் கோட்பாட்டில்  ஒரு அடித்தளக் கருத்து.

## வரிசைமாற்றங்களின் சேர்வைக்கு எடுத்துக்காட்டு

{1,2,3,4,5} என்ற  5-கணத்தை எடுத்துக் கொள்ளுவோம்.

::\sigma = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
5 & 4 & 3 & 1 & 2
\end{pmatrix}

::\tau = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
2 & 4 & 5 & 1 & 3
\end{pmatrix}

என்றால்,

::\sigma \circ \tau  = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
4 & 1 & 2 & 5 & 3
\end{pmatrix}

அதாவது, முதலில்  \tau; பிறகு \sigma. வேறுவிதமாகச் சொன்னால், சேர்வை வலமிருந்து இடம் போகிறது. இதை மாற்றிச்சொல்லும் நூல்களும் பழக்கமும் உண்டு. ஆனால், குழப்பமில்லாமலிருப்பதற்காக  இக்கட்டுரையில் ஒரே வழி பின்பற்றப்படுகிறது.

\sigma \circ \tau வை  \sigma\tau என்றே எழுதவும் செய்யலாம்.

## சமச்சீர் குலம்

n  பொருள்களின் வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம் அடங்கிய கணம்  S_n என்று குறிக்கப்படும். இதனில் n! வரிசைமாற்றங்கள் உள்ளன. இது மேலே வரையறுக்கப்பட்ட சேர்வைக்கு    குலம் ஆகிறது. இது **n பொருள்களின் சமச்சீர் குலம்** (Symmetric Group on n objects) எனப்படும்.  இது n! உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு முடிவுறு குலம். ஒரு பொருள்களையும் இடம் மாற்றாத முற்றொருமை வரிசைமாற்றம் தான் இந்த குலத்தின்  முற்றொருமை உறுப்பு ; அதாவது,

:: e = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 &\dots & n\\
1 & 2 & 3 &\dots & n 
\end{pmatrix}.

மற்றும் ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றத்திற்கும் எளிதில் அதனுடைய நேர்மாற்றைத் தெரிந்துகொள்ள முடியும்.

எ.கா. ::\sigma = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
5 & 4 & 3 & 1 & 2
\end{pmatrix} என்றால் அதன் நேர்மாறு

=  \sigma^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
4 & 5 & 3 & 2 & 1
\end{pmatrix}

## சுழல்

::\sigma = \begin{pmatrix}a_1 & a_2  &\dots & a_n\\
\sigma(a_1) & \sigma(a_2) &\dots & \sigma(a_n) 
\end{pmatrix} என்ற வரிசைமாற்றத்தை 
::a_1\rightarrow \sigma(a_1)\rightarrow\sigma(\sigma(a_1)) ......என்று எழுதும்போது தொடக்கப்பொருளும் முடிவுப்பொருளும் ஒன்றாக இருந்தால் அவ்வரிசைமாற்றம்  **சுழல்** எனப்படும்.

எ.கா.: \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
5 & 3 & 4 & 1 & 2
\end{pmatrix}

இதனில்  1 \rightarrow 5\rightarrow 2\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 1 என்ற கணக்கில் பொருள்கள் மாறுகின்றன.

இதே சுழலை  எளிதான முறையில் (15234) என்றும் குறிப்பிடலாம். ஆனால் இப்படி எழுதும்போது, இதையே ஐந்து விதமாகக் குறிப்பிடலாம் என்பது கவனத்துக்குரியது. அதாவது,
::(15234) = (52341) = (23415) = (34152) =(41523).
வேறு விதமாகச்சொன்னால், ஒரு சுழலை  எந்த உறுப்பிலும் தொடங்குவதாகக் காட்டலாம். ஒரு சுழலின் 'நீளம்' என்பது அதனில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையே.

வரிசைமாற்றக் குலத்திலிருக்கும் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு **கிரமம்** (Order) உண்டு. **ஒரு உறுப்பின் 'கிரமம்' என்பது அதன் எத்தனையாவது அடுக்கு முற்றொருமையாகும் என்பதைச் சொல்வது**. ஒரு சுழலின் கிரமம் அதனுடைய  நீளத்திற்குச் சமம். S_5  இல் \sigma = (15234) இன் கிரமம் 5; ஏனென்றால்
:: (\sigma )^5 = e

ஒரே உறுப்புள்ள சுழல், அவ்வொரு உறுப்பை நிலைப்படுத்துகிறது என்று பொருள்.

## வெட்டாத சுழல்கள்

சுழல்களின் சிறப்புகளில் முக்கியமானது பின்வரும் பண்பு:

:S_n இல் முற்றொருமையல்லாத எந்த வரிசைமாற்றத்தையும் வெட்டாத சுழல்களின் சேர்வையாகக் காட்டலாம்.

எ.கா.: \sigma = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\
6 & 4 & 3 & 9 & 1 & 5 & 7 & 2 & 8
\end{pmatrix} = (165)(2498)(3)(7)

வெட்டாத சுழல்கள் ஒன்றுக்கொன்று பரிமாற்றக்கூடியது. எ.கா. (165)(2498) = (2498)(165)

ஒரு வரிசைமாற்றம் வெட்டாத சுழல்களின் சேர்வையாகக் குறிகாட்டப்பட்டால் அதனுடைய அடுக்குகளையும் நேர்மாறையும் எளிதில் குறிப்பிட்டுவிடலாம்.

எ.கா.: \sigma = (3)(7)(165)(2498)
::(\sigma)^{-1} = (3)(7)(561)(2894)
:: (\sigma)^2 = (3)(7)(156)(48)(92)
:: (\sigma)^3 = (3)(7)(1)(6)(5)(4289)
:: (\sigma)^4 = (3)(7)(165)(4)(2)(8)(9)
:: (\sigma)^5 = (3)(7)(156)(2498)
:: .........
:: (\sigma)^{12} = (3)(7)(1)(6)(5)(4)(2)(8)(9)  =  e

*: வெட்டாத சுழல்களின் சேர்வையாகக் காட்டப்பட்ட ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் கிரமம் அச்சுழல்களின் நீளங்களுடைய அதமப் பொதுமடங்கு.

எ.கா.:  (3)(7)(165)(2498) இன் கிரமம்  1,3,4 இவைகளின் அ.பொ.ம. , அதாவது  12.

::  (23)(1456) இன் கிரமம் 2,4 இவைகளின் அ.பொ.ம., அதாவது 4.

## சுழலமைப்பு

ஒரு வரிசைமாற்றத்தை வெட்டாத சுழல்களின் சேர்வையாகக்குறிகாட்டும்போது அதனில்

:நீளம் 1 உள்ள  \lambda_1 சுழல்களும்
:நீளம் 2 உள்ள  \lambda_2 சுழல்களும்
:நீளம் 3 உள்ள  \lambda_3 சுழல்களும்
:......
:நீளம் k உள்ள \lambda_k சுழல்களும்

இருக்குமானால், அதனுடைய **சுழலமைப்பு**

:: 1^{\lambda_1} 2^{\lambda_2} 3^{\lambda_3} ... k^{\lambda_k}
எனப்படும். ஏதாவதொரு \lambda  1 ஆக இருந்தால், அந்த 1ஐக் குறிக்கவேண்டிய அவசியமில்லை.

எ.கா.  \tau = (3)(7)(561)(2894) . இதன் சுழலமைப்பு  1^2 3 4

**தேற்றம்**: ஒரே சுழலமைப்புள்ள வரிசைமாற்றங்களின் கிரமங்கள் சமம்.

:ஏனென்றால், சுழல்களின் நீளங்களைப் பொருத்தது தான் கிரமம்.

## இவற்றையும் பார்க்கவும்

* வரிசைமாற்றம்

பகுப்பு:குலக்கோட்பாடு
பகுப்பு:நுண்புல இயற்கணிதம்
பகுப்பு:வரிசைமாற்றங்கள்