நேரியல் சமன்பாடு

கணிதத்தில் ஒரு **நேரியல் சமன்பாடு** அல்லது **ஒருபடிச் சமன்பாடு** (*linear equation*) என்பது ஒரு இயற்கணிதச் சமன்பாடாகும். இச்சமன்பாட்டின் உறுப்புகள் மாறிலியாகவோ அல்லது மாறிலியால் பெருக்கப்பட்ட ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்டைமைந்த உறுப்புகளாகவோ அமையும். ஒரு உறுப்பிலுள்ள மாறியின் அடுக்கு ஒன்றுக்கு மேல் இருக்கக் கூடாது. நேரியல் சமன்பாடுகள் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மாறிகளைக் கொண்டிருக்கலாம்.

## எளிய எடுத்துக்காட்டுகள்

ஒன்று, இரண்டு மற்றும் மூன்று மாறிகளில் அமைந்த நேரியல் சமன்பாடுகளுக்கான சில எளிய எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன:

:2x + 3 = 7,\,
:y = k,\,
:x + 3y = 9,\,
:ax + by + cz = d,\,.....

## இரு மாறிகளில் அமைந்த நேரியல் சமன்பாடுகள்

*x* மற்றும் *y* எனும் இரு மாறிகளில் அமைந்த ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டு பொதுவாக கீழ்க்காணும் வடிவில் எழுதப்படுகிறது:

:y = mx + b,\,

இங்கு *m* மற்றும் *b* மாறிலிகள்.

:தளத்தில் அமைந்த ஒரு நேர்கோட்டின்மீது இச்சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் அமையும்.

*மாறிலி *m* -கோட்டின் சாய்வு;  
*"b" -அக்கோட்டின் y-வெட்டுத்துண்டு. அதாவது அக்கோடு y அச்சை வெட்டும் புள்ளிக்கும் ஆதிக்கும் இடைப்பட்ட y-அச்சுப்பகுதி.

### இருபரிமாண நேரியல் சமன்பாட்டு வடிவங்கள்

இரு மாறியில் அமைந்த நேரியல் சமன்பாடுகளை அடிப்படை இயற்கணித விதிமுறைகளைப் பயன்படுத்தி வெவ்வேறு வடிவங்களில் மாற்றி அமைக்கலாம். அவ்வாறு மாற்றி அமைக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள் நேர்கோடுகளைக் குறிக்கும் சமன்பாடுகளாக அமையும். அச்சமன்பாடுகளில் பயன்படுத்தப்படும் எழுத்துக்கள், *x*, *y*, *t*, மற்றும் *θ* மாறிகளையும் பிற எழுத்துக்கள் மாறிலிகளையும் குறிக்கும்.

#### பொதுவடிவம்

:: Ax + By + C = 0, \,

:இங்கு *A* மற்றும் *B* இரண்டும் ஒரே சமயத்தில் பூச்சியமாக இருக்காது. எப்பொழுதும் *A* ≥ 0 என உள்ளவாறு சமன்பாட்டினை எழுதுவது வழமை.

கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையில் இந்நேரியல் சமன்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு நேர்கோடாக இருக்கும்.

:A \not = 0, எனில்:

: இக்கோட்டின் *x* -வெட்டுத்துண்டு:  -\frac{C}{A} \,

:B \not = 0, எனில்:

:இக்கோட்டின் *y* -வெட்டுத்துண்டு:  -\frac{C}{B} \,
:மற்றும்
:சாய்வு:  -\frac{A}{B} \,

#### திட்ட வடிவம்

:: Ax + By = C,\,

:இங்கு *A* மற்றும் *B* இரண்டும் ஒரே சமயத்தில் பூச்சியமாக இருக்காது; *A*, *B*,  *C* ஒன்றுக்கொன்று பகா எண்கள்; மற்றும் *A* எதிரெண் அல்ல.

#### சாய்வு–வெட்டுத்துண்டு வடிவம்

::y = mx + b,\,

:இங்கு *m* நேர்கோட்டின் சாய்வு மற்றும் *b* கோட்டின் *y*-வெட்டுத்துண்டு, அதாவது இக்கோடு *y*-அச்சை வெட்டும் புள்ளியின் *y* -அச்சுதூரம். 
:வரையறுக்கப்படாத சாய்வு கொண்ட நிலைக்குத்துக் கோடுகளை இவ்வடிவில் குறிக்க இயலாது.

#### புள்ளி–சாய்வு வடிவம்

::y - y_1 = m( x - x_1 ),\,

:இங்கு *m* கோட்டின் சாய்வு;  (*x*1,*y*1) கோட்டின் மீதமைந்த ஒரு புள்ளி.

:புள்ளி–சாய்வு வடிவிலிருந்து, ஒரு கோட்டின் மீதமைந்த இரு புள்ளிகளின் *y* -அச்சுதூரங்களின் வித்தியாசம் (y - y_1) அப்புள்ளிகளின் *x* -அச்சுதூரங்களின் வித்தியாசத்துடன் விகிதசமமாக இருக்கும் எனவும் அந்த விகிதசம மாறிலி கோட்டின் சாய்வு *m* (the slope of the line) எனவும் அறியலாம்.

#### இரு புள்ளி வடிவம்

::y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1),\,

:இங்கு (x_1,y_1) மற்றும் (x_2,y_2) இரண்டும் கோட்டின் மீதமைந்த இரு வெவ்வேறான புள்ளிகள் (x_2 ≠ x_1). :இவ்வடிவம் புள்ளி-சாய்வு வடிவத்துக்குச் சமானமாக அமைகிறது. அப்பொழுது கோட்டின் சாய்வின் மதிப்பு: \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.

#### வெட்டுத் துண்டு வடிவம்

:: \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1,\,

: இங்கு *a* மற்றும் *b* பூச்சியமாக இருக்கக் கூடாது. 
:இச்சமன்பாட்டின் வரைபடம் தரும் கோட்டின்:

: *x* -வெட்டுத்துண்டு *a*  
: *y* -வெட்டுத்துண்டு *b*.

:*A* = 1/*a*, *B* = 1/*b* மற்றும் *C* = 1 எனப் பிரதியிட்டு வெட்டுத்துண்டு வடிவினை திட்ட வடிவிற்கு மாற்றலாம்.

#### துணையலகு வடிவம்

::\begin{cases} x = T t + U \\ y = V t + W \end{cases}\,
:இவை துணையலகு *t* -ல் அமைந்த இரு ஒருங்கமைந்த சமன்பாடுகள். இச்சமன்பாடுகள் குறிக்கும் கோட்டிற்கு:

* சாய்வு *m* = *V* / *T*, 
* *x* -வெட்டுத்துண்டு = (*VU*&minus;*WT*) / *V* 
* *y* -வெட்டுத்துண்டு = (*WT*&minus;*VU*) / *T*.

#### போலார் வடிவம்

::r=\frac{mr\cos\theta+b}{\sin\theta},

:இங்கு கோட்டின் சாய்வு m;  y-வெட்டுத்துண்டு b.

*θ = 0* எனும்போது சமன்பாட்டின் வரைபடம் வரையறுக்கப்படவில்லை. தொடர்ச்சியின்மையைச் சரிசெய்வதற்காக சமன்பாட்டினைப் பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்:

::r\sin\theta=mr\cos\theta+b.\,

#### செங்குத்து வடிவம்

:தரப்பட்ட கோட்டிற்கும் ஆதிப்புள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட மிகச்சிறிய நீளமுள்ள கோட்டுத்துண்டு *செங்குத்து*.

ஒரு கோட்டினைக் குறிக்கும் சமன்பாடு செங்குத்து வடிவில்:

::  y \sin \theta + x \cos \theta - p = 0,\,

: செங்குத்தின் சாய்வுகோணம் *θ*; செங்குத்தின் நீளம் *p*.

## இரண்டிற்கு மேற்பட்ட மாறிகளில் அமைந்த நேரியல் சமன்பாடுகள்

ஒரு நேரியல் சமன்பாடு இரண்டிற்கும் மேற்பட்ட மாறிகளைக் கொண்டிருக்கலாம்.

*n* மாறிகளில் அமைந்த நேரியல் சமன்பாடு:

:a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b.

இந்த வடிவில். *a*1, *a*2, …, *a**n* -மாறிலிகள்; *x*1, *x*2, …, *x**n* -மாறிலிகள்.

இத்தகைய சமன்பாடு, *n*-பரிமாண யூக்ளிடியன் வெளியில் அமைந்த (*n*–1)-பரிமாண மீத்தளத்தைக் குறிக்கும்.

## வெளி இணைப்புகள்
* Algebraic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* http://video.google.com/videoplay?docid=-5991926520926012350#  Video tutorial on solving one step to multistep equations
* Linear Equations and Inequalities  Open Elementary Algebra textbook chapter on linear equations and inequalities.

பகுப்பு:அடிப்படை இயற்கணிதம்
பகுப்பு:சமன்பாடுகள்