உறுப்பு (கணிதம்)

கணிதத்தில் **உறுப்பு** (*element*) என்பது ஒரு கணத்தை உருவாக்கும் உருவாக்கும் வெவ்வேறான கணிதப் பொருள்களுள் ஒன்றாகும்.

சில கணங்களின் உறுப்புகளைச் சொற்களால் விரித்துரைக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக: 
 
:*A* என்பது முதல் நான்கு நேர்ம முழு எண்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட ஒரு கணம். 
:*B* என்பது இந்தியக் கொடியில் உள்ள நிறங்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட ஒரு கணம்.

அதைப் பின்வருமாறு சுருக்கமாகக் குறிக்கலாம்.  
:*A* = {4, 2, 1, 3}
:*B* = {காவி, வெள்ளை, பச்சை, நீலம்}

ஒரு பொருள் ஒரு கணத்தினுள் உள்ள ஓர் உறுப்பு என்றோ அல்லது ஓர் உறுப்பு அல்ல என்றோ குறிக்கக் கீழ்க்காணும் குறிவடிவுகளை முறையே பயன்படுத்தப்படுகிறது: 
:\in , \notin.

எடுத்தக்காட்டாக, மேலே  A என்னும் கணத்தைப் பார்த்தால் அதில் 4 என்பது A யில் உள்ள ஓர் உறுப்பு என அறியலாம். எனவே அதனைக் கீழ் காணுமாறு குறிக்கப்படுகிறது:
:*4 \in A

ஆனால் ஒரு பொருள் உறுப்பு அல்ல என்பதைக் கீழ்க்காணுமாறு குறிக்கப்படும்:
:*9 \notin A

## கணங்கள்
*A*&nbsp;=&nbsp;{1,&nbsp;2,&nbsp;3,&nbsp;4} என்பதிலிருந்து கணம் *A* யின் உறுப்புகளாக   1, 2, 3 and&nbsp;4 ஆகிய எண்கள் உள்ளன என அறியலாம்.

{1,&nbsp;2} போன்ற *A* இன் உறுப்புகளாலான கணங்கள் *A* இன் உட்கணங்கள் எனப்படும். ஒரு கணத்தின் உறுப்புகளாக கணங்களே அமையலாம். எடுத்துக்காட்டாக ஒரு கணத்தின் அடுக்கு கணத்தின் உறுப்புகள் அனைத்துமே மூல கணத்தின் உட்கணங்களாக இருக்கும்.

:C = {*x*, *y*, *z*} இன் அடுக்கு கணம்:
:\mathcal{P}(C) =\left\{\{\}, \{x\}, \{y\}, \{z\}, \{x, y\}, \{x, z\}, \{y, z\}, \{x, y, z\}\right\}\,\!.
 
## குறியீடும் சொல்லியலும்

"இன் ஓர் உறுப்பு", அல்லது * இல் உள்ளது * என்ற ஈருறுப்பு உறவின் குறியீடு &nbsp;"∈" ஆகும்.

இக்குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி "*x* ஆனது &nbsp;*A* இன் ஓர் உறுப்பு" அல்லது "*x* ஆனது &nbsp;*A* இல் உள்ளது" என்ற கூற்றானது பின்வருமாறு எழுதப்படுகிறது:

:x \in A 

ஒருசில கணித நூலாசிரியர்கள்  "*A* , *x* ஐ உள்ளடக்கியுள்ளது" and "*A* , *x* ஐக் கொண்டுள்ளது" என்ற கூற்றுகளை ஒரு கணத்தின் உறுப்பைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தினாலும் வேறு சிலர் இவற்றை உட்கணங்களுக்கு உரியவையாகக் கருதுகின்றனர். தருக்கவியலாளர் ஜார்ஜ் பூலோசு என்பவர் "கொண்டுள்ளது" என்பதை உறுப்புகளுக்கும் "உள்ளடக்கியுள்ளது" என்பதை உட்கணங்களுக்கும் பயன்படுத்த வேண்டுமென வலியுறுத்துகிறார்.

"*A* , *x* ஐக் கொண்டுள்ளது" என்பதைக் கீழ்வருமாறு குறிக்கலாம். 
:A \ni x, 
:இக்குறியீடு பெரும்பாலும் நடைமுறையில் கையாளப்படுவதில்லை.

"*x* ,&nbsp;*A* இன் உறுப்பல்ல". என்ற எதிர்மறைக் கூற்றுக் கீழுள்ளவாறு குறியீட்டில் (&nbsp;"∉") எழுதப்படுகிறது:
:x \notin A

 \in  என்பது, கிரேக்க எழுத்து எச்சைலன் ("ε") இன் சிற்றெழுத்து வடிவமாக  அமைந்துள்ளது.

## கணங்களின் எண்ணளவை

ஒரு கணத்திலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையானது  அக்கணத்தின்  ”எண்ணளவை” எனப்படுகிறது. மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டு கணங்களில் 
:&nbsp;|*A*| = &nbsp;4
:&nbsp;|*B*| = &nbsp;3 
:&nbsp;|*C*| = &nbsp;3

இவை முடிவுறு கணங்கள். முடிவுறாக கணங்களின் எண்ணளவை முடிவுறா எண்ணாக இருக்கும்.

## எடுத்துக்காட்டுகள்
:*A* = {1, 2, 3, 4 }, *B* = {1, 2, {3, 4}}, *C* = { சிவப்பு, பச்சை, நீலம் } ஆகிய மூன்று கணங்களில் பின்வரும் கூற்றுகள் உண்மையாகும்:
*2 ∈ *A*
*{3,4} ∈ *B*
*3,4 ∉ *B*
*{3,4},  *B* இன் ஓர் உறுப்பு.
*Yellow ∉ *C*

:*D*&nbsp;=&nbsp;{&nbsp;2,&nbsp;4,&nbsp;&nbsp;8,&nbsp;10,&nbsp;12&nbsp;} இன் எண்ணளவை &nbsp;5 ஆகும்.
:*P*&nbsp; =&nbsp;{&nbsp;2,&nbsp;3,&nbsp;5,&nbsp;7,&nbsp;11,&nbsp;13,&nbsp;...} ( பகா எண்களின் கணம்) இன் எண்ணளவை முடிவிலி ஆகும்.(இக்கூற்று  யூக்ளிடால் நிறுவப்பட்டது).

## மேற்கோள்கள்

## மேலதிக வாசிப்புக்கு
* - "Naive" means that it is not fully axiomatized, not that it is silly or easy (Halmos's treatment is neither).
*
* - Both the notion of set (a collection of members), membership or element-hood, the axiom of extension, the axiom of separation, and the union axiom (Suppes calls it the sum axiom) are needed for a more thorough understanding of "set element".

## வெளியிணைப்புகள்
*

பகுப்பு:கணக் கோட்பாட்டு அடிப்படை கருத்துருக்கள்