உட்கணம்

கணிதத்தில், குறிப்பாகக் கணக் கோட்பாட்டில், *A* என்னும் ஒரு கணத்தின் உறுப்புகள் அனைத்தும் *B* என்னும் இன்னொரு கணத்தில் அமைந்திருந்தால், *A* கணமானது  *B* இன்**உட்கணம்** (*Subset*) என்று வழங்கப்படும். சமானமாக, *B* கணமானது  *A* கணத்தின் **மேற்கணம்** அல்லது **மிகை கணம்** (*superset*) எனப்படும். *A* , *B* ஆகிய இரு கணங்களும் ஒன்றிடனொன்று ஒன்றலாம்.

A \subseteq B  எனில்,  \forall x \left(x \in A \Rightarrow x \in B\right).

உட்கண உறவானது கணங்களின் மீது ஒரு பகுதி வரிசையை (partial order) வரையறுக்கும். உட்கணங்களின் இயற்கணிதமானது, உட்கண உறவை ”உள்ளடக்கலாகக்” (inclusion) கருதும் பூலிய இயற்கணிதத்தை உருவாக்கும்.

## வரையறை
பொதுவாகக் கணம் என்பது நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட பொருள்களின் தொகுப்பைக் குறிக்கும். உட்கணமும் ஒரு கணத்தையே குறிக்கும். *B* என்பது ஒரு வெற்றற்ற கணம் என்க. அதில் *A* என்பது *B* யின் உட்கணம் எனில், *A* யில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் *B* யின் உறுப்பாகும். மாறாக, *B* ஆனது *A* யின் மிகைக் கணம் அல்லது மேற்கணம் எனவும் அழைக்கலாம்.

:*A* இன் உறுப்பு ஒவ்வொன்றும் *B* இன் உறுப்பாகவும் இருந்தால், *A* என்பது *B* இன் உட்கணம் என வரையறுக்கப்படுகிறது. 
இதன் குறியீடு:
:A \subseteq B,

:இதற்குச் சமானமாகப் *B* என்பது *A*இன் மிகைக் கணம் அல்லது மேற்கணம் எனவும் வரையறுக்கப்படும்.

குறியீடு:
: B \supseteq A.

வெற்றுக் கணம் (\{ \} அல்லது \varnothing,), உறுப்புகளற்ற கணம் என்பதால் அது எந்தவொரு கணம் *X* க்கும் உட்கணமாக இருக்கும்.

## பண்புகள்

*ஒரு முடிவுறு கணம் *A* , மற்றுமொரு கணம் *B* இரண்டின் வெட்டு கணத்தின் எண்ணளவையும், *A* இன் எண்ணளவையும் சமமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, *A* ஆனது *B* இன் உட்கணமாக இருக்கும். அதாவது, 
:  A \subseteq B \Leftrightarrow |A \cap B| = |A|  என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே,  A \subseteq B ஆகும்.
*A ⊆ B ; B ⊆ C எனில் A ⊆ C ஆக இருக்கும்.

## ⊂ , ⊃ குறியீடுகள்
உட்கணம் மற்றும் மிகைக்கணம் இரண்டையும் குறிப்பதற்குச் சில நூலாசிரியர்கள் ⊊ and ⊋ என்பவற்றுக்குப் பதில் ⊂ , ⊃  என்ற குறியீடுகளைப் பயன்படுத்துகின்றனர். எடுத்துக்காட்டாக, இவர்களைப் பொறுத்தவரை ஒவ்வொரு கணம் *A* க்கும், .

வேறுசிலர் தகு உட்கணம், தகு மிகைக்கணம் இரண்டையும் குறிப்பதற்கு  ⊊ , ⊋  குறிகளுக்குப் பதில்  முறையே ⊂ , ⊃ இரண்டையும் பயன்படுத்துகின்றனர்.

## எடுத்துக்காட்டுகள்

*  A = {1, 2} ஆனது B = {1, 2, 3} இன் தகு உட்கணமாகும். எனவே A ⊆ B , A ⊊ B என்ற இரு குறியீடுகளுமே உண்மையாகும்.
*  D = {1, 2, 3} ஆனது E = {1, 2, 3} இன் உட்கணமாகும். எனவே D ⊆ E உண்மை; D ⊊ E உண்மையில்லை.
* எந்தவொரு கணமும் தனக்குத்தானே உட்கணமாக இருக்கும், ஆனால் தகு உட்கணமாக இருக்காது. (X ⊆ X என்பது உண்மை, ஆனால் X ⊊ X உண்மையில்லை.)
* எந்தவொரு கணத்துக்கும்  வெற்றுக் கணம் (∅) ஒரு உட்கணமாக இருக்கும். வெற்றுக்கணமானது தன்னைத் தவிரப் பிற கணங்கள் அனைத்திற்கும் தகு உட்கணமாக இருக்கும்.
*  {*x*: *x* ஒரு பகா எண்; *x* > 10} என்பது {*x*: *x* ஒரு ஒற்றையெண்; *x* > 10} என்ற கணத்தின் தகு உட்கணமாகும்.
* இயல் எண்களின் கணமானது விகிதமுறு எண்களின் கணத்தின் தகு உட்கணமாகும்;கோட்டுத்துண்டிலுள்ள புள்ளிகளின் கணமானது ஒரு கோட்டின் மீதமைந்த புள்ளிகளின் கணத்தின் தகு உட்கணமாகும். இவ்விரு எடுத்துக்காட்டுகளிலும் முழு கணங்களும் உட்கணங்களும் முடிவிலி கணங்களாகவும் சமமான எண்ணளவைகள் கொண்டவையாகவும் இருக்கும்.
*ஆய்லர் படத்தில் மற்றுமொரு எடுத்துக்காட்டு:

File:Example of A is a proper subset of B.svg|A ஆனது B இன் தகு உட்கணம்
File:Example of C is no proper subset of B.svg|C ஆனது B இன் உட்கணம், ஆனால் தகு உட்கணமல்ல.


## மேற்கோள்கள்

* 

## வெளியிணைப்புகள்
*

பகுப்பு:கணக் கோட்பாட்டு அடிப்படை கருத்துருக்கள்
பகுப்பு:துப்புரவு முடிந்த விருதுநகர் மாவட்ட ஆசிரியர்கள் தொடங்கிய கட்டுரைகள்