நட்பார்ந்த எண்கள்

எண் கோட்பாட்டில், **நட்பார்ந்த எண்கள்** (*friendly numbers*) என்பவை, ஒவ்வொன்றின் வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அந்த எண்ணின் விகிதங்கள் சமமாகவுள்ள இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட இயல் எண்களாகும். இந்த விகிதமானது மிகைமைச் சுட்டெண் எனப்படுகிறது. சம மிகைமைச் சுட்டெண்கொண்ட இரு இயலெண்கள் "நட்பார்ந்த சோடி"  (*friendly pair*) எனவும், *n* எண்கள் "நட்பார்ந்த *n*-வரிசை எண்கள் (*friendly *n*-tuple*) என அழைக்கப்படுகிறன.

ஒன்றுக்கொன்று "நட்பார்ந்திருத்தல்" ஒரு  சமான உறவாகும். இந்த உறவினால் நேர்ம இயலெண்களின் கணமானது, ஒன்றுக்கொன்று நட்பார்ந்த எண்களடங்கிய சமானப் பகுதிகளாக அமையும் குழுமங்களாகப் பிரிக்கப்படுகிறது.

நட்பார்ந்த சோடியில் இடம்பெறாத எந்தவொரு எண்ணும் "தனி எண்" (*solitary number*) எனப்படும்.

ஒரு விகிதமுறு எண்   *n* இன் *மிகைமைச் சுட்டெண் * σ(*n*) / *n*; இதிலுள்ள  σ ஆனது, வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகைச் சார்பைக் குறிக்கிறது. *n* , *m* (*m* ≠ *n*) இரண்டும் நட்பார்ந்த எண்கள் எனில்:
: σ(*m*) / *m* = σ(*n*) / *n*. 

:1 முதல் 5 வரை தனி எண்கள்; மிகச் சிறிய நட்பார்ந்த எண் '6' . 
:6, 28 இரண்டும் நட்பார்ந்த சோடியாகும். இவை இரண்டின் மிகைமைச் சுட்டெண் = 2.
:σ(6) / 6 = (1+2+3+6) / 6 = 2, 
:σ(28) / 28 = (1+2+4+7+14+28) / 28 = 2. 

மிகைமைச் சுட்டெண் 2 கொண்ட எண்கள்,  நிறைவெண்கள்.

இசைவான எண்கள், இணக்க எண்கள் இரண்டும் நட்பார்ந்த எண்களின் பெயரோடு ஒத்தும் வகுஎண் சார்புகளையும் கொண்டுமிருந்தாலும் இவற்றுக்கிடையே எந்தவொரு தொடர்பும் கிடையாது.

## எடுத்துக்காட்டுகள்
*30, 140 ஆகிய இரு எண்களும் ஒரு நட்பார்ந்த சோடிகளாகும். இவற்றின் மிகைமைச் சுட்டெண்கள் சமமானவை.:
: \dfrac{\sigma(30)}{30} = \dfrac{1+2+3+5+6+10+15+30}{30} =\dfrac{72}{30} = \dfrac{12}{5}
: \dfrac{\sigma(140)}{140} = \dfrac{1+2+4+5+7+10+14+20+28+35+70+140}{140} = \dfrac{336}{140} = \dfrac{12}{5}.

:2480, 6200, 40640 ஆகிய மூன்றின் மிகைமைச் சுட்டெண்களும் 12/5 ஆக இருப்பதால் இவையும் 30, 140 உடன் சேர்ந்து ஒரு நட்பார்ந்த குழுவாக அமைகின்றன.

* ஒற்றையெண்களானான நட்பார்ந்த சோடிகளுக்கு ஒரு  எடுத்துக்காட்டு: 135, 819 (இவற்றின் மிகைமைச் சுட்டெண் 16/9 (குறைவெண்)). 

* ஒரு ஒற்றையெண், மற்றொரு இரட்டை எண்ணுடன் நட்பார்ந்ததாகவும் இருக்கும். 
: எடுத்துக்காட்டு: 
: 42, 3472, 56896, ... ஆகிய இரட்டை எண்களுடன் நட்பார்ந்த ஒற்றை எண்: 544635 (மிகைமைச் சுட்டெண்: 16/7).

* இரட்டை எண்களுடன் நட்பானதாகவுள்ள ஒற்றையெண்ணானது அவ்விரட்டை எண்களைவிடச் சிறியதாகவும் இருக்கலாம்.
: எடுத்துக்காட்டு:
::84729645, 155315394 ("மிகைமைச் சுட்டெண்:" 896/351);
::6517665, 14705145, 2746713837618 ("மிகைமைச் சுட்டெண்" 64/27).

* ஒரு சதுர எண் நட்பார்ந்த எண்ணாக இருக்கலாம்.
: எடுத்துக்காட்டு:
:: சதுர எண் 693479556 (26334 இன் வர்க்கம்), 8640 ஆகிய இரண்டும் நட்பார்ந்த எண்கள் (மிகைமைச் சுட்டெண்: 127/36)

### அட்டவணை
கீழுள்ள அட்டவணையில் நட்பார்ந்த எண்களாக நிறுவப்பட்டவை நீல நிறத்திலும் , தனி எண்களாகளாக நிறுவப்பட்டவை சிவப்பு நிறத்திலும் , *n* உம் அதன் \sigma(n) உம்  சார்பகா முழுஎண்களாக உள்ள எண்கள் நிறமற்றும் தரப்பட்டுள்ளன (அவை தனி எண்களென அறியப்பட்டிருந்தாலும்). வகையறியப்படாத இதர எண்கள் மஞ்சள் நிறத்திலுள்ளன.













## தனி எண்கள்
வேறெந்தவொரு எண்ணுடனும் நட்பாக இல்லாத எண்கள் "தனி எண்கள்" என்ற குழுவாக அமையும். 
 
:*n*, σ(*n*) இரண்டும் சார்பகா எண்களாக இருந்தால், அதாவது  அவற்றின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி  1 எனில், *n* இன் மிகைமைச் சுட்டெண் σ(*n*)/*n*, ஒரு குறைக்கவியலாப் பின்னமாகும்.  எனவே, *n* இன் மிகைமைச் சுட்டெண் வேறு எந்தவொரு எண்ணின் மிகைமைச் சுட்டெணுடனும் சமமாக இருக்க முடியாது. இதனால் *n* ஒரு தனி எண்ணாகும்.  

தனி எண்களின் தொடர்வரிசை:
:	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 35, 36, 37, 39, 41, 43, 47, 49, 50, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 64, 65, 67, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 89, 93, 97, 98, 100, 101, 103, 107, 109, 111, 113, 115, 119, 121, 125, 127, 128, 129, 131, 133, .....

அனைத்துப் பகா எண்களும் அவற்றின் அடுக்குகளும் தனி எண்களாக இருக்கும்.
:  *p* ஒரு பகா எண் எனில், அதன்  σ(*p*) = *p* + 1, இம்மதிப்பு *p* உடன் சார்பகா எண்ணாக இருக்கும். எனவே  *p* ஒரு தனி எண்.

ஒரு எண் நட்பானதா அல்லது தனியானதா என்பதைத் தீர்மானிக்கும் எந்தவொரு பொதுமுறையும் இல்லை. நட்பானதா அல்லது தனியானதா என்று வகைப்படுத்தப்படாத மிகச் சிறிய எண் 10. இது தனி எண் என்று அனுமானிக்கப்பட்டுள்ளது; இந்த அனுமானம் தவறென்றால், அதனது நட்பெண் குறைந்தபட்சம்  10^{30} ஆக இருக்க வேண்டும். . பெரிய நட்பெண்களைக் கொண்டுள்ள சிறிய எண்களுமுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, 24 உடன் நட்பான எண் 91,963,648.

:

## பெரிய குழுக்கள்
ஒன்றுக்கொன்று நட்பானவையாக உள்ள எண்களின் பெரிய குழுக்களின் எண்ணிக்கை முடிவற்றதா இல்லையா என்பது விடையறியப்படாத கூற்றாகவே உள்ளது.  நிரைவெண்கள் ஒரு நட்பார்ந்த எண்களின் குழுவை உருவாக்குகின்றன. நிறைவெண்களின் தொடர்வரிசை முடிவுறாதவொன்றாக அனுமானம் செய்யப்பட்டுகிறது; குறைந்தபட்சம் மெர்சென் பகாத்தனிகளின் என்ணிக்கையளவு நிறையெண்கள் உண்டு; ஆனால் இக்கூற்று நிறுவப்படவில்லை. திசம்பர் 2022 வரையிலான அறிதலின்படி , 51 நிறைவெண்கள் கண்டறியப்பட்டுள்ளன. இவற்றுள் மிகப் பெரிய எண்ணானது பதின்மம்க் குறியீட்டில் 49 மில்லியன் இலக்கங்களைக் கொண்டது.   பெருக்கச் செவ்விய எண்கள் நட்பார்ந்த குழுவாக அமைகின்றன. இவற்றின் மிகைமைச் சுட்டெண் ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கும். திசம்பர் 2022 கணக்கீட்டின்படி, மிகைமைச் சுட்டெண்ணை 9 ஆகக் கொண்ட குழுவில் அறியப்பட்ட 2130 பெருக்கச் செவ்விய எண்கள் உள்ளன. சில பெருக்கச் செவ்விய எண்களைக்கொண்ட நட்பார்ந்த குழுக்கள் அதிகளவில் பெரியதாக இருந்தாலும், அக்குழுக்கள் முடிவுற்ற தொடர்வரிசைகளாகவே அனுமானிக்கப்படுகின்றன.

## குறிப்புகள்


## மேற்கோள்கள்
*Grime, James. A video about the number 10. *[[Numberphile]]*.
*
*
*
*

பகுப்பு:வகுஎண் சார்பு
பகுப்பு:முழுஎண் தொடர்வரிசைகள்