மடக்கை முற்றொருமைகள் பட்டியல்

கணிதத்தில் கணக்கீடுகளுக்குப் பயன்படும்  **[[மடக்கை]] [[முற்றொருமை (கணிதம்)|முற்றொருமைகள்]] பட்டியல்** (*List of logarithmic identities*) இக்கட்டுரையில் தரப்படுகிறது.

## எளிய முற்றொருமைகள்
*  *b*  ≠ 0 எனில்,  b^0 = 1 \Rightarrow  \log_b(1) = 0    
*  b^1 = b\Rightarrow  \log_b(b) = 1 

## அடுக்குக்குறிகளை நீக்கல்

கூட்டலும் கழித்தலும் மற்றும் பெருக்கலும் வகுத்தலும் ஒன்றுக்கொன்று எதிர்ச்செயல்களாக அமைவதுபோல ஒரே அடிமானமுடைய மடக்கையும் அடுக்குக்குறிகளும் எதிர்ச்செயல்களாக அமையும்.
:b^{\log_b(x)} = x\text{ because }\mbox{antilog}_b(\log_b(x)) = x
:\log_b(b^x) = x\text{ because }\log_b(\mbox{antilog}_b(x)) = x

இவ்விரு முடிவுகளும் b^c = x \iff \log_b(x) = c என்ற மடக்கை வரையறையிலிருந்து பெறப்படுகின்றன.

விளக்கம்:

*இடப்புறச் சமன்பாடான b^c = x இல் வலப்பக்க சமன்பாட்டிலிருந்து கிடைக்கும்  இன் மதிப்பைப் பதிலிட
:

*வலப்பக்கச் சமன்பாடான  \log_b(x) = c இல் இடப்புறச் சமன்பாடுதரும்  இன் மதிப்பைப் பதிலிட
:.
 க்குப் பதில்  ஐப் பதிலிட
:

## எளிய செயல்களைப் பயன்படுத்திப்பெறும் முற்றொருமைகள்

கணக்கீடுகளை எளிமைப்படுத்த மடக்கைகள் பயன்படுகின்றன. இரு எண்களின் பெருக்கலை அவற்றின் மடக்கைகளைக் கூட்டுவதன் மூலம் எளிமையாக்கலாம். இதற்கு பயன்படும் மடக்கைகளின் பண்புகள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன.
### பெருக்கல் முற்றொருமை
இரு எண்களின் பெருக்கத்துக்கான மடக்கை அவ்வெண்களின் தனித்தனி மடக்கைப் பெறுமானங்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமனாகும்:
: \log_b(x y) = \log_b x + \log_b y. \,

### வகுத்தல் முற்றொருமை
இரு எண்களின் விகிதங்களுக்கான (வகுத்தலுக்கான) மடக்கை அவ்வெண்களின் தனித்தனி மடக்கைப் பெறுமானங்களின் வித்தியாசத்திற்குச் சமனாகும்:
:\log_b \!\left(\frac x y \right) = \log_b x - \log_b y. \,

### அடுக்கு காணல் முற்றொருமை
ஒரு எண்ணின் *p* அடுக்கின் மடக்கைப் பெறுமதி அவ்வெண்ணின் மடக்கைப் பெறுமதியை *p* தடவைகள் பெருக்குவதற்குச் சமன்:
:\log_b(x^p) = p \log_b x. \,

### அடுக்கு காணல் முற்றொருமை
ஒரு எண்ணின் *p* மூலத்தின் மடக்கைப் பெறுமதி அவ்வெண்ணின் மடக்கைப் பெறுமதியை *p* யினால் வகுப்பதற்குச் சமன் :
:\log_b(\sqrt[p]x\,) = \frac {\log_b x}p. \, 

## அடிமானங்களை மாற்றுதல்
log*b*(*x*) எனும் *x* , *b* உடன் தொடர்புடைய மடக்கையை எழுமாற்றான அடிமானமான *k* க்கு மாற்றுவதாயின்:
:  \log_b{x} = \frac{\log_k{x}}{\log_k{b}}.\, 
இவ்வாறே கணிப்பான்களில் அடிமானம் 10, கணித மாறிலி e என்பவற்றுக்கு மாற்றப்படுகிறது.:
: \log_b x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} b} = \frac{\log_{e} x}{\log_{e} b}. \,
அதாவது தரப்பட்ட எண் *x* மற்றும் அதன் மடக்கை log*b*(*x*) தெரிந்த அடிமானம் b க்கு பின்வருமாறு தரப்படும்:
:  b = x^\frac{1}{\log_b(x)}.

### கூட்டல்/கழித்தல் முற்றொருமைகள்
:

:
பூச்சியத்தின் மடக்கை வரையறுக்கப்படாததால் a = c எனும்போது கழித்தல் முற்றொருமையை வரையறுக்க முடியாது.

பொதுவாக:
:\log _b \sum\limits_{i=0}^N a_i = \log_b a_0 + \log_b \left( 1+\sum\limits_{i=1}^N \frac{a_i}{a_0} \right) = \log _b a_0 + \log_b \left( 1+\sum\limits_{i=1}^N b^{\left( \log_b a_i - \log _b a_0 \right)} \right)

### அடுக்குக்குறிகள்
: x^{\frac{\log(\log(x))}{\log(x)}} = \log(x)
அல்லது பொதுவாக:
: x^{\frac{\log(a)}{\log(x)}} = a

### பிற முற்றொருமைகள்
: \frac{1}{\frac{1}{\log_x(a)}+\frac{1}{\log_y(a)}} = \log_{xy}(a)
: \frac{1}{\frac{1}{\log_x(a)}-\frac{1}{\log_y(a)}} = \log_{\frac{x}{y}}(a)

## சமனின்மைகள்
மடக்கை சமனின்மைகள்
:\frac{x}{1+x} \leq \ln(1+x)
\leq \frac{x(6+x)}{6+4x}
\leq x \mbox{ for all } -1 
:\begin{align}
\frac{2x}{2+x}&\leq3-\sqrt{\frac{27}{3+2x}}\leq\frac{x}{\sqrt{1+x+x^2/12}}
\\&\leq    \ln(1+x)\leq \frac{x}{\sqrt{1+x}}\leq \frac{x}{2}\frac{2+x}{1+x}
\\&\mbox{ for } 0 \le x \mbox{, reverse for } -1 

x=0 மதிப்புக்கு அருகில் இச்சமனின்மைகள் துல்லியமானவையாக இருக்கும். பெரிய மதிப்புகளுக்குத் துல்லியமாக இருக்காது.

## நுண்கணித முற்றொருமைகள்

### [[சார்பு எல்லை|சார்புகள்]]
:\lim_{x\to 0^+}\log_a(x)=-\infty\quad \mbox{if } a > 1

:\lim_{x\to 0^+}\log_a(x)=\infty\quad \mbox{if } 0 

:\lim_{x\to\infty}\log_a(x)=\infty\quad \mbox{if } a > 1

:\lim_{x\to\infty}\log_a(x)=-\infty\quad \mbox{if } 0 

:\lim_{x\to 0^+}x^b\log_a(x)=0\quad \mbox{if } b > 0

:\lim_{x\to\infty}\frac{\log_a(x)}{x^b}=0\quad \mbox{if } b > 0

### மடக்கை சார்புகளின் [[வகையிடல்|வகைக்கெழுக்கள்]]
:{d \over dx} \ln x = {1 \over x },
:{d \over dx} \log_b x = {1 \over x \ln b}, 
இதில் x > 0, b > 0, b \ne 1.

### மடக்கையின் தொகையீடு
:\ln x = \int_1^x \frac {1}{t} dt 

### மடக்கை சார்புகளின் [[தொகையீடு]]கள்
:\int \log_a x \, dx = x(\log_a x - \log_a e) + C
:x^{\left [n \right]} = x^{n}(\log(x) - H_n)
இதில் H_n என்பது *n*th இசை எண்:
:x^{\left [ 0 \right ]} = \log x
:x^{\left [ 1 \right ]} = x \log(x) - x
:x^{\left [ 2 \right ]} = x^2 \log(x) - \begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix}x^2
:x^{\left [ 3 \right ]} = x^3 \log(x) - \begin{matrix} \frac{11}{6} \end{matrix}x^3
எனில்:
:\frac{d}{dx}\, x^{\left[ n \right]} = nx^{\left[ n-1 \right]}
:\int x^{\left[ n \right]}\,dx = \frac{x^{\left [ n+1 \right ]}}{n+1} + C

## மேற்கோள்கள்

## வெளியிணைப்புகள்
* Logarithm in Mathwords

பகுப்பு:மடக்கைகள்
பகுப்பு:கணித முற்றொருமைகள்