திசையன் வெளியின் அடுக்களம்

கணிதத்தில் ஒரு திசையன் வெளி V இல், ஒரு உட்கணம்  B  நேரியல் சார்பற்றதாகவும் இருந்து, அதனுடைய அளாவல் முழுவெளியாகவும்  இருக்குமானால், அவ்வுட்கணம் V இன் **அடுக்களம்**  (Basis) எனப்படும். இவ்வடுக்களம் B இன் எண் அளவை என்னவோ அதே எண் அளவை தான் மற்ற எல்லா அடுக்களத்திலும் இருக்கும்.  இந்த பொது எண்ணளவைக்கு திசையன் வெளி  V  இன் **பரிமாணம்** (Dimension) என்று பெயர்.  இதை dimV என்ற குறியீட்டால் குறிப்பது கணித மரபு.

இவ்வுட்கணம் B முடிவுள்ளதானால் V முடிவுள்ள பரிமாணமுள்ளது என்றும், B முடிவற்றதாக இருந்தால், V முடிவிலிப்பரிமாணமுள்ளது என்றும் சொல்லப்படும்.

நாம் இக்கட்டுரையில் முடிவுள்ள பரிமாணமுள்ள திசையன் வெளிகளைப்பற்றியே பேசுவோம்.

## எடுத்துக்காட்டுகள்

1. V = V_3.  *B* =  {***i, j, k***} என்று கொள்வோம். இங்கு  ***i*** = (1,0,0), ***j*** = (0,1,0) மற்றும் ***k*** = (0,0,1)

அடுக்களத்திற்குள்ள இரண்டு இலக்கணங்களையும் *B* நிறைவேற்றுவதால், *B* ஒரு அடுக்களமாகும். V_3 க்கு இந்த அடுக்களத்தை **இயற்கை அடுக்களம்** என்று சொல்வர்.

2. V = \mathcal{P}_n: மெய்யெண் மதிப்புள்ள, படித்தரம் n க்குமேல்போகாத,  எல்லா பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் அடங்கிய திசையன் வெளி.இதனில் ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையும்   B = \{1, x, x^2, ... x^n\} இலுள்ள உறுப்புகளின் முடிவுள்ள நேரியல் சேர்வு.  மற்றும் *B* ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணம். ஃ *B* ஒரு அடுக்களமாகிறது.

dim \mathcal{P}_n = n + 1.

## அடிப்படை உண்மைகள்

V ஒரு திசையன் வெளி எனக்கொள்வோம்.

:* சூனியத்திசையனை ஒர் உறுப்பாகக்கொண்ட எந்தக்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளதுதான்.

:* ஒரு அளாவும் உட்கணத்தில் உள்ளதைவிட அதிகமான எண்ணிக்கையில் நேரியல் சார்பற்ற உட்கணம் இருக்கமுடியாது. அ-து, 
:  [\{v_1, v_2, ..., v_n\}] = V ஆகவும், \{w_1, w_2, ... , w_m\} நேரியல் சார்பற்றதாகவும் இருக்குமானால்,   m \leq n.

:* Vஇல் n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு அடுக்களம் இருக்குமானால், n ஐவிட அதிக உறுப்புகள் கொண்ட எந்த உட்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளது.அதனால் எல்லா உட்கணங்களும் n உறுப்புகள் கொண்டதே.

:*  n-பரிமாணமுள்ள ஒவ்வொரு Vஇலும், 
:(1):n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு நேரியல் சார்பற்ற உட்கணம் இருந்தாகவேண்டும்; 
:(2): n+1 உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு உட்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளதே.
:(3): n உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு நேரியல் சார்பற்ற உட்கணமும் ஒரு அடுக்களம்.

:* B = \{v_1, v_2, ..., v_n\}, மற்றும் [B] = V ஆக இருக்குமானால், கீழேயுள்ள இரண்டும் சமானம்:
:  (a): B நேரியல் சார்பற்றது.
:  (b): V இலுள்ள ஒவ்வொரு v க்கும், v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n என்ற கோவை தனிப்பட்டது (= இரண்டற்றது, unique).

## ஆயத்திசையன்

இதனால் ** B ஒரு அடுக்களம் என்ற கருத்துக்கு ஒரு மாற்று வரையறை** இப்படிக்கொடுக்கலாம்:

B \subset V; [B] = V; **மற்றும்,** V **இலுள்ள ஒவ்வொரு** v **க்கும்** B **இனுடைய உறுப்புகளின் மூலம் கோவைப்படுத்தும் ** v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n **என்ற கோவை தனிப்பட்டது** .

ஒரு அடுக்களம் B இலுள்ள உறுப்புகளை வரிசைப்படுத்தினால், அ-து, B = \{v_1, v_2, ..., v_n\}, என்று உறுதிப்படுத்திய பிறகு, V இலுள்ள ஒவ்வொரு v க்கும், B இன்  உறுப்புகளின் மூலம் v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n என்ற கோவையும் உறுதிப்படுத்தப்படுவதால், ஆயவரிசை (\alpha_1, \alpha_2,..., \alpha_n) ம் உறுதிப்படுத்தப்பட்டது. இந்த ஆயவரிசைக்கு v இன் **ஆயத்திசையன்** (co-ordinate vector) எனப்பெயர். வேறு ஒரு அடுக்களத்தைக்கொண்டும் v க்கு  இன்னொரு ஆயத்திசையன் உண்டுபண்ணலாம். அதனால் அவசியமுள்ளபோது, 'B யைப்பொருத்த ஆயத்திசையன்' என்று விவரமாகச்சொல்லவேண்டி வரும்.  ஆய்த்திசையன்களை நிரல்திசையனாகச்சொல்வதில் ஒரு வசதி இருக்கிறது.

: எ.கா.: முப்பரிமாண வெளி V_3 ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். 
: B = \{(1,1,0), (1,0,1) (0,1,1),\} எனக்கொள்க.  B ஒரு  வரிசைப்படுத்திய அடுக்களம்.
: v = (2,3,-1) எனக்கொண்டால், v = **3**(1,1,0) **-1**(1,0,1) +**0**(0,1,1)
: அதனால், (2,3,-1) இன் B-ஐப்பொருத்த ஆயத்திசையன்  \begin{pmatrix}
3 \\
-1 \\
0
\end{pmatrix}

: v = (2,3,-1) என்பதே ஒரு ஆயத்திசையன்தான். இயற்கை அடுக்களத்தைப்பொருத்து அதனுடைய ஆயத்திசையன் \begin{pmatrix}
2 \\
3 \\
-1
\end{pmatrix}. ஏனென்றால் 
: (2,3,-1) = 2(1,0,0) + 3(0,1,0) -1(0,0,1).

## அடுக்கள ஆக்கச்செயல்முறை

: கொடுக்கப்பட்ட ஒரு n-பரிமாணமுள்ள திசையன்வெளி  V இல், A = \{v_1, v_2, ... , v_k\} ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணமானால், k\leqslant n ஆகத்தான் இருக்கவேண்டும். 
: k = n என்ற பட்சத்தில், A யே ஒரு அடுக்களமாகிவிடுகிறது.
: k  என்ற பட்சத்தில், [A] \neq  V. அதனால்,  V இல் [A]க்கு வெளியில் ஏதாவதொரு உறுப்பு இருக்கவேண்டும். அதை v_{k+1} என்று அழைப்போம். இப்பொழுது \{v_1, v_2, ..., v_k, v_{k+1}\} ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணம். k+1 = n  என்ற பட்சத்தில், நாம் வேண்டிய அடுக்களம் இதுதான். k+1 \neq n என்ற பட்சத்தில், இதே செயல்முறையை திரும்பவும் செய்.

## நேரியல் கோப்பு ஆக்கச்செயல்முறை

U, V  ஒரே அளவெண்களங்களையுடைய இரு திசையன்வெளிகள் எனக்கொள்வோம்.  U வின் ஒரு அடுக்களமாக B = \{u_1, u_2, ... , u_n\} ஐக்கொள்க. இப்பொழுது  T(u_i) ஐ ( i= 1,2, ..., n)  V இல் **எந்தத் திசையன்களாகவும்** கொண்டு   T யை ஒரு நேரியல் கோப்பாக்க முடியும். நாம் செய்யவேண்டியதெல்லாம் ஒரேஒரு வரையறைதான். அ-து,

::  T(\alpha_1 u_1 + \alpha_2  u_2 + ... +\alpha_n u_n) = \alpha_1 T(u_1) +\alpha_2 T(u_2) + .... + \alpha_n T(u_n)

::எ.கா.: V_2 \rightarrow V_4
: B = \{(1,1), (1,-1)\}. இது V_2 வில் ஒரு அடுக்களம்.

: T(1,1) = ? \in V_4
: T(1,-1) = ? \in V_4.

: (*) T(1,1) = (1,1,0,0) என்றும்
: (**) T(1,-1) = (0,0,0,0) என்றும் கொள்வோமாக.
: V இல் (x,y) ஏதாவதொரு உறுப்பானால், முதலில் நாம் தீர்மானிக்கவேண்டியது (x,y) = ?(1,1) + ?(1,-1).
: எளிதில் இதை கண்டுபிடித்துவிடலாம்.  
: (x,y)  = \frac {x+y}{2} (1,1) + \frac{x-y}{2} (1,-1)

: ஃ T(x,y)) = \frac{x+y}{2} T(1,1) + \frac{x-y}{2} T(1,-1)

:::  = \frac{x+y}{2} (1,1,0,0) + \frac{x-y}{2} (0,0,0,0)

:::  = \left(\frac{x+y}{2}, \frac{x+y}{2}, 0, 0\right). 

: ஆக,நாம் வேண்டிய நேரியல் கோப்பு  T : (x,y) \mapsto  \left(\frac{x+y}{2}, \frac{x+y}{2}, 0, 0\right).

: (*), (**) இரண்டையும் நம் விருப்பப்படி மாற்ற, மாற்ற, வெவ்வேறு நேரியல் கோப்புகள் கிடைக்கும்.

## இவற்றையும் பார்க்கவும்

*திசையன் வெளியின் பரிமாணம்

## துணை நூல்கள்

* Serge Lang. Introduction to Linear Algebra. 1986. Springer Science, Inc. New York. .
* V. Krishnamurthy, V.P. Mainra & J.L. Arora.An Introduction to Linear Algebra. 1976. Affiliated East West Press PVT Ltd. New Delhi. 

பகுப்பு:நேரியல் இயற்கணிதம்
பகுப்பு:சார்புப் பகுவியல்
பகுப்பு:திசையன் நுண்கணிதம்