அடுக்குத் தொடர் (கணிதம்)

கணிதத்தில்  **அடுக்குத் தொடர்** (*power series*)  என்பது கீழ்க்காணும் வடிவில் அமையும் முடிவிலாத் தொடர் ஆகும்:

:f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots

இத் தொடர் ஒரு மாறியிலமைந்த அடுக்குத் தொடர்.

இதில்:
:*a<sub>n</sub>*  *n* ஆம் உறுப்பின் கெழு;
: *c* ஒரு மாறிலி;
: *x* ஆனது *c* இன் மதிப்பைச் சுற்றி மாறுபடும். பொதுவாக, ஒரு சார்பின் டெய்லர் தொடராகவே ஒரு அடுக்குத் தொடர் அமையும்.

பெரும்பாலான சமயங்களில் *c* இன் மதிப்பு பூச்சியமாக அமையும். அப்போது அடுக்குத் தொடரின் வடிவம்:
:
f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.


## எடுத்துக்காட்டுகள்

*எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் ஒரு மையம் *c* உடன் அடுக்குத் தொடராக எளிதாக எழுத முடியும்.
:f(x) = x^2 + 2x + 3 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையை மையம் c=0 எனக் கொண்டு பின்வரும் அடுக்குத் தொடராக எழுதலாம்:
::f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \,

அல்லது மையத்தை c=1 எனக்கொண்டால்:
::f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,

*பெருக்குத் தொடரின் வடிவம்:
:: \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,, இவ் வாய்ப்பாடு |x| எனும் மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே உண்மையாகும்.

*அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்:
:: e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,

சைன் சார்பின் தொடர்:
:: \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots, இத் தொடர் x இன் அமைத்து மெய்மதிப்புகளுக்கும் பொருந்தும்.

அடுக்குத் தொடரில் எதிர் எண்கள் மாறியின் அடுக்குகளாக இருக்க முடியாது. எடுத்துக்காட்டாக பின்வருவது அடுக்குத் தொடராகாது: 
:1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots

இதேபோல x^{1/2} போன்ற பின்ன அடுக்குகளும் இருக்காது. மேலும் கெழுக்கள் மாறி x ஐச் சார்ந்தவையாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக கீழே தரப்படுவது அடுக்குத் தொடர் அல்ல:
:\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \,

## கணிதச் செயல்கள்
### கூட்டலும் கழித்தலும்
*f* , *g* ஆகிய இரு சார்புகள் *c* எனும் ஒரே மையத்தைக் கொண்டு அடுக்குத் தொடர்களாக எழுதப்பட்டால், அவற்றின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலை உறுப்புவாரிக் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலாகச் செய்யலாம்.
:f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n
:g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n எனில்:

:f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-c)^n.

### பெருக்கலும் வகுத்தலும்

: f(x)g(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)

: = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty  a_i b_j (x-c)^{i+j}

: = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n.

: {f(x)\over g(x)} = {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\over\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n} = \sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n

: f(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n\right)

### வகையிடலும் தொகையிடலும்
அடுக்குத் தொடராக எழுதப்படும் சார்பின் வகைக்கெழு மற்றும் தொகையீடு
::
f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-c \right)^{n}


::
\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-c \right)^{n}} {n} + k.


## மேற்கோள்கள்

*

## வெளி இணைப்புகள்
* 
* 
* Complex Power Series Module by John H. Mathews
* Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.

பகுப்பு:கணிதத் தொடர்கள்