வர்க்க நிரப்பி முறை

அடிப்படை இயற்கணிதத்தில், **வர்க்க நிரப்பி முறை**(*completing the square*) என்பது ஒரு இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையின் வடிவத்தை

**<math>ax^2 + bx + c\,\!</math>** -வடிவிலிருந்து

:  a(\cdots\cdots)^2 + \mbox{constant}.\,  வடிவத்திற்கு மாற்றும் முறையாகும்.

இங்கு மாறிலி(constant) என்பது மாறி *x* -ஐச் சாராத உறுப்பு என்பதைக் குறிக்கும். அடைப்புக் குறிக்குள் அமைந்துள்ள கோவை, **(''x''&nbsp;&minus;&nbsp;மாறிலி)** வடிவில் உள்ளது. எனவே, ***ax''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''bx''&nbsp;+&nbsp;''c''&nbsp;''' என்பது

''' <math> a(x - h)^2 + k\, </math>''' என மாற்றமடைகிறது. இதில் ''h'' ,''k'' -ன் மதிப்புகளைக் காண வேண்டும்.

வர்க்க நிரப்பி முறையானது பயன்படும் இடங்கள்:
* [[இருபடிச் சமன்பாடு]]களைத் தீர்த்தல்
* [[இருபடிச் சார்பு]]களின் [[வரைபடம்]] வரைதல்
* [[நுண்கணிதம்|நுண்கணிதத்தில்]] [[தொகையீடு|தொகையிடல்]]
* [[பியர் சிமோன் இலப்லாசு|லாப்லாசு]] மாற்றுகளைக் காணல்

[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] வர்க்கநிரப்பி முறை ஒரு எளிமையான [[இயற்கணிதம்|இயற்கணித]] செயல்முறையாகக் கருதப்படுகிறது. மேலும் இது பெரும்பாலும் இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் கொண்ட கணக்கிடுதல்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

==மேலோட்டமாக ஒரு பார்வை==
===பின்னணி===
ஒரு ஈருறுப்புக் கோவையின் [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்கத்திற்கு]], அடிப்படை இயற்கணிதத்திலுள்ள ஒரு எளிய [[வாய்ப்பாடு]]:

:<math>(x + p)^2 \,=\, x^2 + 2px + p^2.\,\!</math>

எடுத்துக்காட்டாக:

:<math>\begin{alignat}{2}
(x+3)^2 \,&=\, x^2 + 6x + 9 && (p=3)\\[3pt]
(x-5)^2 \,&=\, x^2 - 10x + 25\qquad && (p=-5).
\end{alignat}
</math>

எந்தவொரு முழுவர்க்கத்திலும் ''p'' -ன் மதிப்பு, ''x'' -ன் [[எண் கெழு|கெழுவில்]] பாதியாகவும் மாறிலி உறுப்பு, ''p''<sup>2</sup> ஆகவும் இருக்கும்.

===எளிய எடுத்துக்காட்டு===
பின்வரும் இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையில்,

:<math>x^2 + 10x + 28.\,\!</math>

28 ஆனது, 5 -ன் வர்க்கமில்லை என்பதால் இக்கோவை முழு வர்க்கமல்ல.

:<math>(x+5)^2 \,=\, x^2 + 10x + 25.\,\!</math>

என்பதைப் பயன்படுத்தி இக்கோவையை,

:<math>x^2 + 10x + 28 \,=\, (x+5)^2 + 3,</math> ஒரு வர்க்கம் மற்றும் ஒரு மாறிலியின் கூடுதலாக எழுதலாம்.

இவ்வாறு மாற்றி எழுதும் முறை '''வர்க்க நிரப்பி முறை''' எனப்படுகிறது.

----

===பொது விளக்கம்===

:<math>x^2 + bx + c,\,\!</math> என்ற தலையொற்றை இருபடிக் கோவையை எடுத்துக் கொள்க:

ஒரு வர்க்கத்தின் விரிவிலுள்ள முதல் இரு உறுப்புகள், நாம் எடுத்துக் கொண்ட கோவையின் முதல் இரு உறுப்புகளுக்கு சமமாக இருக்கும்படியாக ஒரு வர்க்கத்தைக் காண முடியும்.

:<math>\left(x+\tfrac{1}{2} b\right)^2 \,=\, x^2 + bx + \tfrac{1}{4}b^2.</math>

வலதுபுறமுள்ள விரிவிற்கும் நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோவைக்கும் வேறுபாடு, மாறிலி உறுப்பு மட்டும்தான். எனவே,

:<math>x^2 + bx + c \,=\, \left(x + \tfrac{1}{2}b\right)^2 + k,</math> என எழுதலாம். இங்கு
''k'' ஒரு மாறிலியாகும். இச்செயல், வர்க்க நிரப்பி முறை எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு:

:<math>\begin{alignat}{1}
x^2 + 6x + 11 \,&=\, (x+3)^2 + 2 \\[3pt]
x^2 + 14x + 30 \,&=\, (x+7)^2 - 19 \\[3pt]
x^2 - 2x + 7 \,&=\, (x-1)^2 + 6.
\end{alignat}
</math>

===தலையொற்றை அல்லாதவை===

:<math>ax^2 + bx + c\,\!</math> போன்ற இருபடிக் பல்லுறுப்புகோவையிலிருந்து கெழு ''a'' -ஐ நீக்கிவிட்டு,பின் அதிலிருந்து கிடைக்கும் தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவையை வர்க்க நிரப்பி முறையில் முன்போல மாற்றலாம்

எடுத்துக்காட்டு:
:<math>
\begin{align}
 3x^2 + 12x + 27 &= 3(x^2+4x+9)\\
 &{}= 3\left((x+2)^2 + 5\right)\\
 &{}= 3(x+2)^2 + 15
\end{align}</math>
இதன்படி எந்தவொரு இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையையும் பின்வரும் வடிவில் எழுதலாம்.

:<math>a(x-h)^2 + k.\,\!</math>

===வாய்ப்பாடு===
வர்க்க நிரப்பும் முறையை வாய்ப்பாடாக உருவப்படுத்தலாம்.

பொதுவகைக்கு:

:<math>ax^2 + bx + c \;=\; a(x-h)^2 + k,\quad h = -\frac{b}{2a}, \quad k = c - \frac{b^2}{4a}.</math>

குறிப்பாக ''a=1'' எனில்:

:<math>x^2 + bx + c \;=\; (x-h)^2 + k,\quad h = -\frac{b}{2}, \quad k = c - \frac{b^2}{4}.</math>

==வரைபடத்துடனான தொடர்பு==




பகுமுறை வடிவவியலில் இருபடிச் [[சார்பின் வரைபடம்]], ''xy'' தளத்தில் அமைந்த ஒரு பரவளையமாகும்.

:<math>(x-h)^2 + k; \quad a(x-h)^2 + k</math> என்ற இருபடிச் சார்பிற்கு,

''h'' , ''k'' என்பன பரவளையத்தின் உச்சிப்புள்ளியின் கார்ட்டீசியன் அச்சுதூரங்களாகும். அதாவது ''h'' என்பது பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சின் ''x'' -அச்சுதூரம்; ''k'' என்பது இருபடிச் சார்பின் குறும(பெரும) மதிப்பாகும்.( ''a''&nbsp;&lt;&nbsp;0 எனில் பெரும மதிப்பு)

***&fnof;*(*x*)&nbsp;=&nbsp;*x*<sup>2</sup>*' என்ற சார்பின் வரைபடம் ஆதிப்புள்ளி &nbsp;(0,&nbsp;0) -ஐ உச்சிப்புள்ளியாகக் கொண்ட ஒரு பரவளையமாகும்.

அதேபோல ***&fnof;''(''x''&nbsp;&minus;&nbsp;''h'')&nbsp;=&nbsp;(''x''&nbsp;&minus;&nbsp;''h'')<sup>2</sup>''' என்ற சார்பின் வரைபடம், மேலுள்ள படத்தில் உள்ளதுபோல வலதுபுறம் ''h'' அலகு தூரத்திற்கு நகர்த்தப்பட்டு, (''h'',&nbsp;0) என்ற உச்சிப்புள்ளியை உடைய பரவளையமாகும்.

இதற்கு மாறாக ***&fnof;*(*x*)&nbsp;+&nbsp;*k* =&nbsp;*x*<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;*k*** என்ற சார்பின் வரைபடம், நடுவிலுள்ள படத்தில் உள்ளதுபோல, மேல்புறமாக ''k'' அலகு தூரம் நகர்த்தப்பட்டு (0,&nbsp;''k'') என்ற உச்சிப்புள்ளியைக் கொண்ட பரவளையமாகும்.

இந்த இரண்டு நகர்த்தல்களையும் சேர்த்தால், ***&fnof;*(*x*&nbsp;&minus;&nbsp;*h*)&nbsp;+&nbsp;*k* =&nbsp;(*x*&nbsp;&minus;&nbsp;*h*)<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;*k**'' என்பது கீழ்ப்படத்தில் உள்ளதுபோல வலப்புறம் ''h'' அலகுகளும் மேற்புறம் ''k'' அலகுகள் தூரமும் நகர்த்தப்பட்டு (''h'',&nbsp;''k'') என்ற உச்சிப்புள்ளியைக் கொண்ட பரவளையமாகும்.

==இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல்==
வர்க்கநிரப்பி முறையைப் பயன்படுத்தி எந்தவொரு இருபடிச் சமன்பாட்டையும் தீர்க்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

:<math>x^2 + 6x + 5 = 0,\,\!</math>

வர்க்க நிரப்பி முறையில் இச் [[சமன்பாடு|சமன்பாட்டை]],

:<math>(x+3)^2 - 4 = 0.\,\!</math> என மாற்றலாம்.

:<math>(x+3)^2 = 4.\,\!</math>

:<math>x+3 = -2 \quad\text{or}\quad x+3 = 2,</math>

ஃ :<math>x = -5 \quad\text{or}\quad x = -1.</math>

''x''<sup>2</sup> -ன் கெழு 1 -ஆக இல்லாமல் இருந்தால், முதலில் சமன்பாட்டை அக்கெழுவால் [[வகுத்தல் (கணிதம்)|வகுத்து]] விட்டுப் பின் மேலே உள்ளவாறு தீர்க்க வேண்டும்.
===விகிதமுறா மற்றும் சிக்கலெண் மூலங்கள்===

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் [[விகிதமுறு எண்]]ணாக இருந்தால் மட்டுமே, காரணிப்படுத்தும் முறையில் தீர்க்க முடியும்.மூலங்கள் [[விகிதமுறா எண்]]களாகவோ அல்லது [[சிக்கலெண்]]களாகவோ இருந்தால் காரணிப்படுத்தல் முறையில் தீர்க்க முடியாது. அப்பொழுது வர்க்க நிரப்பி முறையில் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

* **விகிதமுறா மூலங்கள்**:

:<math>x^2 - 10x + 18 = 0.\,\!</math>
வர்க்க நிரப்பி முறையில்,
:<math>(x-5)^2 - 7 = 0,\,\!</math>
:<math>(x-5)^2 = 7.\,\!</math>
:<math>x-5 = -\sqrt{7} \quad\text{or}\quad x-5 = \sqrt{7},\,</math>
: <math> x = 5 - \sqrt{7}\quad\text{or}\quad x = 5 + \sqrt{7}. \, </math>
:<math>x = 5 \pm \sqrt{7}.\,</math>

* **சிக்கலெண் மூலங்கள்*':
:<math>\begin{array}{c}
x^2 + 4x + 5 \,=\, 0 \\[6pt]
(x+2)^2 + 1 \,=\, 0 \\[6pt]
(x+2)^2 \,=\, -1 \\[6pt]
x+2 \,=\, \pm i \\[6pt]
x \,=\, -2 \pm i.
\end{array}
</math>

===தலையொற்றை அல்லாத வகைச் சமன்பாடு===
தலையொற்றை அல்லாத சமன்பாடுகளாக இருந்தால் முதலில் சமன்பாட்டை *x*<sup>2</sup> -ன் கெழுவால் வகுத்துவிட்டுப் பின்னர் வர்க்க நிரப்பி முறையில் தீர்க்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு:
:<math>\begin{array}{c}
2x^2 + 7x + 6 \,=\, 0 \\[6pt]
x^2 + \tfrac{7}{2}x + 3 \,=\, 0 \\[6pt]
\left(x+\tfrac{7}{4}\right)^2 - \tfrac{1}{16} \,=\, 0 \\[6pt]
\left(x+\tfrac{7}{4}\right)^2 \,=\, \tfrac{1}{16} \\[6pt]
x+\tfrac{7}{4} = \tfrac{1}{4} \quad\text{or}\quad x+\tfrac{7}{4} = -\tfrac{1}{4} \\[6pt]
x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{or}\quad x = -2.
\end{array}
</math>

==ஏனையப் பயன்பாடுகள்==
===தொகையீடு===
:<math>\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}</math> போன்ற [[தொகையீடு]]களை வர்க்க நிரப்பி முறையில் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

:<math>\int\frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| +C; \quad
\int\frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) +C.</math> என்ற வாய்ப்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி,

:<math>\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}</math> போன்ற தொகையீடுகளை வர்க்க நிரப்பி முறையில் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

:<math>\int\frac{dx}{x^2 + 6x + 13}.</math>

பகுதியை வர்க்க நிரப்பி முறையில் மாற்ற,

:<math>\int\frac{dx}{(x+3)^2 + 4} \,=\, \int\frac{dx}{(x+3)^2 + 2^2}.</math>

*u*&nbsp;=&nbsp;*x*&nbsp;+&nbsp;3, என்ற பதிலிடல் மூலம் இந்த தொகையீட்டைக் காண,

:<math>\int\frac{dx}{(x+3)^2 + 4} \,=\, \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+3}{2}\right)+C.</math> கிடைக்கிறது.

===சிக்கலெண்கள்===
* :<math> |z|^2 - b^*z - bz^* + c,\,</math>என்ற கோவையை எடுத்துக் கொள்க. இதில்
*z* , *b* aசிக்கலெண்கள், *z*<sup>*</sup> மற்றும் *b*<sup>*</sup> இரண்டும் முறையே, *z* , *b* -ன் இணை சிக்கலெண்கள். *c* ஒரு மெய்யெண்.

|*u*|<sup>2</sup> = *uu*<sup>*</sup> என்ற முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தி,

:<math>
\begin{align}
 |z-b|^2 &{}= (z-b)(z-b)^*\\
 &{}= (z-b)(z^*-b^*)\\
 &{}= zz^* - zb^* - bz^* + bb^*\\
 &{}= |z|^2 - zb^* - bz^* + |b|^2 .
\end{align}</math> 
:என நிறுவலாம்.

இதனைப் பயன்படுத்தி எடுத்துக்கொண்ட கோவையை:
:<math> |z|^2 - b^*z - bz^* + c,\,</math>

:<math> |z-b|^2 - |b|^2 + c , \,\!</math> என முழு வர்க்க உறுப்பு கொண்ட வடிவிற்கு மாற்றலாம்.
* :<math> ax^2 + by^2 + c , \,\!</math>

இங்கு *a*, *b*, *c*, *x*, மற்றும் *y* மெய்யெண்கள். *a*&nbsp;&gt;&nbsp;0, *b*&nbsp;&gt;&nbsp;0, எனில் இக்கோவையை ஒரு சிக்கலெண்ணின் தனிமதிப்பின் முழு வர்க்கமுடைய வடிவில் எழுதலாம்.
:<math> z = \sqrt{a}\,x + i \sqrt{b} \,y . </math> என எடுத்துக் கொள்க.
:<math>
\begin{align}
 |z|^2 &{}= z z^*\\
 &{}= (\sqrt{a}\,x + i \sqrt{b}\,y)(\sqrt{a}\,x - i \sqrt{b}\,y) \\
 &{}= ax^2 - i\sqrt{ab}\,xy + i\sqrt{ba}\,yx - i^2by^2 \\
 &{}= ax^2 + by^2 ,
\end{align}</math>

ஃ <math> ax^2 + by^2 + c = |z|^2 + c . \,\!</math>

==வடிவவியல் கண்ணோட்டம்==


:<math>x^2 + bx = a.\,</math>

*x*<sup>2</sup> , *x* அலகு பக்கம் கொண்ட [[சதுரம்|சதுரத்தின்]] பரப்பையும் *bx*, *b* மற்றும் *x* அலகு பக்க அளவுகள் கொண்ட [[செவ்வகம்|செவ்வகத்தின்]] பரப்பையும் குறிப்பதால், வர்க்கத்தினை முழுமையாக்கும் முறையைப் பின்வருமாறு கருதலாம்.
*x*<sup>2</sup> பரப்புள்ள சதுரத்தையும் *bx* பரப்புள்ள செவ்வகத்தையும் ஒரு பெரிய சதுரத்தின் பரப்பாக மாற்றுவதற்கு எடுத்துக்கொள்ளும் பல படிகளுக்குப் பிறகு, ஒரு மூலையில் ஒரு சிறிய சதுரம் பற்றாக்குறையாக இருக்கிறது. (*b*/2)<sup>2</sup> என்ற உறுப்பை இருபுறமும் சேர்க்க அதுவே தேவைப்படும் மூலச் சதுரமாக அமைந்து, சதுரம் முழுமையடைகிறது. இக்காரணத்தால்தான் இச்செயல் வர்க்க நிரப்பி முறை என அழைக்கப்படுகிறது.

==இம்முறையில் ஒரு மாற்றம்==
வர்க்க நிரப்பி முறையில், 
:<math>u^2 + 2uv\,</math> என்பதை முழுவர்க்கமாக்குவதற்கு மூன்றாவதாக

*v*<sup>&nbsp;2</sup> -என்ற உறுப்பைச் சேர்ப்பதுதான் வழக்கம்.

ஆனால் <math>u^2 + v^2\,</math> என்பதோடு 2*uv* அல்லது &minus;2*uv* -ஐ நடு உறுப்பாகச் சேர்த்து முழுவர்க்கமாக்கும் முறையும் உண்டு.

===எடுத்துக்காட்டுகள்===
* ஒரு நேர்ம எண் மற்றும் அதன் தலைகீழியின் [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூடுதல்]]:

:<math>
\begin{align}
x + {1 \over x} &{} = \left(x - 2 + {1 \over x}\right) + 2\\
  &{}= \left(\sqrt{x} - {1 \over \sqrt{x}}\right)^2 + 2
\end{align}</math>

ஒரு [[எண்#மெய்யெண்|மெய்மதிப்புள்ள]] கோவையின் வர்க்கத்தின் மதிப்பு பூச்சியமாகவோ அல்லது பூச்சியத்தைவிட அதிகமாக்வோ இருக்கும். எனவே இதிலிருந்து ஒரு நேர்ம எண் *x* மற்றும் அதன் தலைகீழியின் கூடுதல் 2 அல்லது 2க்கு அதிகமானதாக இருக்கும் என்பதைக் காணலாம். இங்கு *x* = 1 எனில் வலதுபுறமுள்ள முழுவர்க்கத்தின் மதிப்பும் [[சுழியம்|பூச்சியமாகி]] இக்கூடுதலின் மதிப்பு 2 ஆகும்.

*:<math>x^4 + 324 . \,\!</math> என்ற கோவையைக் காரணிப்படுத்த:

:<math>(x^2)^2 + (18)^2, \,\!</math>

எனவே நடுவுறுப்பு 2(*x*<sup>2</sup>)(18)&nbsp;=&nbsp;36*x''2. ஆகும். இதைச் சேர்க்க:
:\begin{align} x^4 + 324 &{}= (x^4 + 36x^2 + 324 ) - 36x^2 \\
&{}= (x^2 + 18)^2 - (6x)^2 \\
&{}= (x^2 + 18 + 6x)(x^2 + 18 - 6x) \\
&{}= (x^2 + 6x + 18)(x^2 - 6x + 18)
\end{align}

(உறுப்புகளின் அடுக்கு, இறங்கு வரிசையில் இருக்கவேண்டும் என்ற வழக்கத்திற்காக கடைசி மாற்றம் செய்யப் பட்டுள்ளது)

## குறிப்புகள்

## மேற்கோள்கள்
*Algebra 1, Glencoe, , pages 539–544
*Algebra 2, Saxon, , pages 214–214, 241–242, 256–257, 398–401

## வெளி இணைப்புகள்
*

பகுப்பு:இயற்கணிதம்
பகுப்பு:அடிப்படை இயற்கணிதம்
பகுப்பு:கணிதம்