ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றம்

**ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றம்** அல்லது **ஆய்லரின் நாற்கர விதி** (*Euler's quadrilateral theorem*, *Euler's law on quadrilaterals*) ஒரு குவிவு நாற்கரத்துக்கும் அதன் மூலைவிட்டங்களுக்குமுள்ள தொடர்பை விளக்குகிறது. இத்தேற்றம், கணிதவியலாளர் ஆய்லரின் (1707–1783) பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது.

இணைகர விதியின் பொதுமைப்படுத்தலாக இத்தேற்றம் அமைகிறது. இணைகர விதியை பித்தேகோரசு தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகக் காணலாம். இக்காரணத்தால், நாற்கரங்களின் மூலம் வரையறுக்கப்படும் பித்தேகோரசு தேற்றமானது, *ஆய்லர்-பித்தேகோரசு தேற்றம்* (*Euler–Pythagoras theorem*) என சிலசமயங்களில் அழைக்கப்படுகிறது.

வெட்டிக்கொள்ளும் நாற்கரங்கள், ஒருதளத்திலமையாத நாற்கரங்கள் என மேலதிக நாற்கரங்களின் கணங்களுக்கும் ஆய்லரின் தேற்றத்தை நீட்டிக்கலாம். \mathbb{R}^n இல், சுழற்சி கோட்டுருவாக உருவாகும் வகையில் விளிம்புகளால் இணைக்கப்பட்ட நான்கு புள்ளிகளுக்கும் (பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட நாற்கரங்கள் என அழைக்கப்படும்), இத்தேற்றம் உண்மையாகும்.

## தேற்றமும் சிறப்பு வகைகளும்
ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் a, b, c, d; மூலைவிட்டங்கள் e,  f; மேலும் மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டு g எனில் கீழ்வரும் சமன்பாடு உண்மையாக இருக்கும்:
:a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+4g^2 
 
நாற்கரம் ஒரு இணைகரமாக இருந்தால், மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகள் ஒரே புள்ளியாக இருக்கும். எனவே g கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 0. மேலும் இணைகரத்தின் இணை எதிர்பக்கங்களின் நீளங்கள் சமம். எனவே ஆய்லரின் தேற்றம் இணைகர விதியாக மாறும்:
:2a^2+2b^2=e^2+f^2 (இணைகர விதி)
which is the parallelogram law.

நாற்கரம் ஒரு செவ்வகமாக இருந்தால், இரு மூலைவிட்டங்களும் சமநீளமுள்ளவை. எனவே ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றத்தின் முடிவு மேலும் மாற்றமடையும்:

:2a^2+2b^2=2e^2

இருபுறமும் இரண்டால் வகுக்க ஆய்லர்-பித்தேகோரசு தேற்றம் கிடைக்கப்பெறுகிறது:

:a^2+b^2=e^2

அதாவது நாற்கரமானது செவ்வகமாக இருக்கும்பொழுது, நாற்கரத்துக்கும் அதன் மூலைவிட்டங்களுக்குமான தொடர்பு ஆய்லர் பித்தேகோரசு தேற்றத்தால் விளக்கப்படுகிறது.

## மாற்று அமைப்பும் நீட்டிப்புகளும்

இத்தேற்றத்தை ஆய்லர் வேறொரு தேற்றத்தின் கிளைமுடிவாக நிறுவினார். அந்த மூலத் தேற்றத்தில் கூடுதலாக ஒரு புள்ளி எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டது.

எடுத்துக்கொள்ளப்படும் குவிவு நாற்கரம் ABCD. ABED ஒரு இணைகரமாக உள்ளவாறு E புள்ளியை ஆய்லர் எடுத்துக்கொண்டார். இப்போது கீழுள்ள சமன்பாடு உண்மையாகும்:
:|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|AD|^2=|AC|^2+|BD|^2+|CE|^2  \qquad\qquad(1) 

நாற்கரத்தின் முனையாக ஆனால் இணைகரத்துடன் தொடர்பில்லாத C புள்ளிக்கும் E புள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட |CE| தூரத்தை, நாற்கரமானது இணைகரத்திலிருந்து விலகியிருக்கும் அளவின் மதிப்பாகக் கருதலாம். மேலும் இணைகரவிதியின் சமன்பாட்டுடன் இணைக்கப்படவேண்டிய திருத்த உறுப்பாகவும் கொள்ளலாம்.

AC இன் நடுப்புள்ளி M எனில்: 
:\tfrac=2  \qquad\qquad(2) .

AE, BD இரண்டும்  ABED இணைகரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் என்பதால் BD இன் நடுப்புள்ளி N ஆனது AE இன் நடுப்புள்ளியும் ஆகும். எனவே:
:\tfrac=2  \qquad\qquad(3) 

,  இரண்டையும் சமப்படுத்தக் கிடைக்கும் முடிவு:
:\tfrac=\tfrac. 

எனவே இடைவெட்டுத் தேற்றத்தின்படி:
:CE, NM இரண்டும் இணை மற்றும் |CE|^2=(2|NM|)^2=4|NM|^2. 

:|CE|^2=4|NM|^2 என  இல் சமன்பாட்டில் பதிலிட:
:|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|AD|^2=|AC|^2+|BD|^2+4|NM|^2 (ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றக் கூற்று)

## குறிப்புகள்


## மேற்கோள்கள்
*Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy: *The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons*. MAA, 2006, , pp. 137–139
*Lokenath Debnath: *The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute*. World Scientific, 2010, , pp. 105–107
*C. Edward Sandifer: *How Euler Did It*. MAA, 2007, , pp. 33–36
*Geoffrey A. Kandall: *Euler's Theorem for Generalized Quadrilaterals*. The College Mathematics Journal, Vol. 33, No. 5 (Nov., 2002), pp.&nbsp;403–404 (JSTOR)
*Dietmar Herrmann: *Die antike Mathematik: Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen*. Springer, 2013, , p. 418

## வெளியிணைப்புகள்

* 

பகுப்பு:யூக்ளிடிய வடிவவியல்
பகுப்பு:நாற்கரங்கள் பற்றிய தேற்றங்கள்