துள்ளும் பந்து

**துள்ளும் பந்து** என்பது, இன்னொரு மேற்பரப்புடன் மோதித் தெறிக்கும் பந்தொன்றைக் குறிக்கும். துள்ளும் பந்தின் இயற்பியல், பந்து இன்னொரு மேற்பரப்பில் மோதுவதற்கு முன்பும், மோதும் போதும், மோதிய பின்பும் அதன் நடத்தை பற்றிக் கவனத்தில் கொள்கிறது. துள்ளும் பந்தின் பல்வேறு அம்சங்கள் உயர் நிலைப் பள்ளிகளிலும், பட்டப்படிப்புகளிலும், விசையியலுக்கு அறிமுகமாகப் பயன்படுகின்றன. எனினும் இது தொடர்பான நடத்தையின் துல்லியமான மாதிரியாக்கம் மிகவும் சிக்கலானது. விளையாட்டுப் பொறியியலில் இது தொடர்பில் ஆர்வம் காணப்படுகின்றது.

எறியப்படும் பந்தொன்றின் இயக்கம் பொதுவாக எறிய இயக்கத்தினால் விளக்கப்படுவதுடன், அதன் கணத்தாக்கம் மீள்தன்மைக் குணகத்தினூடாக பண்பாக்கம் பெறுகிறது. எறிய இயக்கம் புவியீர்ப்பு, பின்னிழு விசை, மேக்னெஸ் விளைவு, மிதப்பு விசை ஆகியவற்றால் பாதிக்கப்படும் அதேவேளை, கணத்தாக்க விளைவு பந்தின் இயல்பு, மோதும் மேற்பரப்பின் இயல்பு, மோதும் வேகம், சுழற்சி, வெப்பநிலை அழுத்தம் போன்ற உள்ளூர் நிலைமைகளினால் பாதிப்புறுகின்றது. நியாயமான விளையாட்டை உறுதி செய்வதற்காகப் பெரும்பாலான விளையாட்டுக் கட்டுப்பாட்டு அமைப்புகள் பந்துகளின் துள்ளும் தன்மைக்கு எல்லைகளை விதிப்பதுடன், பந்தின் காற்றியக்க இயல்புகளை மோசடியாக மாற்றும் வகையில் செயற்படுவதற்குத் தடையும் விதித்துள்ளன. பந்துகளின் துள்ளும் தன்மை, பழமையான இடையமெரிக்கப் பந்துவிளையாட்டுக் காலத்தில் இருந்தே விளையாட்டுகளில் முக்கியமான அம்சமாக இருந்துவந்துள்ளது.

## பறப்பின் போதான விசைகளும் இயக்கத்தில் அவற்றின் தாக்கமும்
எறியப்படும் பந்து ஒன்றின் இயக்கம் எறிய இயக்க விதிகளுக்குக் கட்டுப்படுகின்றது. ஒரு பந்தின் உண்மையாக இயக்கத்தின்போது புவியீர்ப்பு விசை (**F**G), காற்றின் உராய்வினால் ஏற்படும் பின்னிழுவை விசை (**F**D), பந்தின் சுழற்சியினால் உருவாகும் மேக்னஸ் விசை (**F**M), மிதப்பு விசை (**F**B) என்பன அப்பந்தைத் தாக்குகின்றன. பொதுவாக, ஒரு பந்தின் இயக்கத்தைப் பகுப்பாய்வு செய்வதற்கு மேற்சொன்ன எல்லா விசைகளையும் கணக்கில் எடுத்து நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்த வேண்டும். இப்பகுப்பாய்வுக்கான சமன்பாடு பின்வருமாறு:

:\begin{align}
\sum \mathbf{F} & = m\mathbf{a}, \\
\mathbf{F}_\text{G} + \mathbf{F}_\text{D} + \mathbf{F}_\text{M} + \mathbf{F}_\text{B} & = m \mathbf{a} = m \frac{d\mathbf{v}}{dt} = m\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2},
\end{align}
இங்கே *m* பந்தின் திணிவு. **a**, **v**, **r** என்பன முறையே பந்தின்  முடுக்கம், வேகம், *t* நேரத்தில் பந்தின் அமைவிடம் என்பவற்றைக் குறிக்கும்.

### புவியீர்ப்பு
புவியீர்ப்பு விசை கீழ் நோக்கியதாகவும், F_\text{G} = mg, என்பதற்குச் சமமாகவும் இருக்கும். இங்கே *m* பந்தின் திணிவும், *g* புவியீர்ப்பு முடுக்கமும் ஆகும். புவியீர்ப்பு முடுக்கம் புவியில்  க்கும்  க்கும் இடையில் காணப்படும். பிற விசைகள் வழக்கமாக ஒப்பீட்டளவில் மிகவும் சிறியனவாக இருப்பதால், இயக்கம் புவியீர்ப்பின் கீழ் மட்டுமே இடம்பெறுவதாக எடுத்துக்கொள்வது உண்டு. பந்தின்மீது புவியீர்ப்பு விசை மட்டுமே தாக்குமாயின் பறப்பின்போது இயக்க ஆற்றல், நிலை ஆற்றலாகச் சேமிக்கப்படும். இந்த இலட்சிய நிலையில் இயக்கத்தின் சமன்பாடு பின்வருமாறு அமையும். 
:\begin{align}
\mathbf{a} & = -g \mathbf{\hat{j}}, \\
\mathbf{v} & = \mathbf{v}_\text{0} + \mathbf{a}t, \\
\mathbf{r} & = \mathbf{r}_0 + \mathbf{v}_0 t + \frac{1}{2}\mathbf{a}t^2,
\end{align}
இங்கே **a**, **v**, **r** என்பன முறையே முடுக்கம், வேகம், பந்தின் இடம் ஆகியவற்றையும், **v**0 உம் **r**0 உம் முறையே பந்தின் தொடக்க வேகத்தையும், தொடக்க இடத்தையும் குறிக்கும்.

மேலும் குறிப்பாக பந்து நிலத்துடன் *&theta;* கோணத்தில் துள்ளுமாயின், 'x*, *y* அச்சுக்களில் (முறையே கிடை, நிலைக்குத்து இயக்கங்கள்) அதன் இயக்கம் பின்வருமாறு விளக்கப்படும்.


மேற்படி சமன்பாட்டில்; தட்டையான மேற்பரப்பொன்றில் துள்ளும் ஒரு பந்தின் இயக்கத்தின் அதிகூடிய உயரம் (*H*), எறியத் தூரம் (*R*), பறப்பு நேரம் (*T'') என்பவற்றுக்கு இடையிலான தொடர்பு பின்வருமாறு அமையும் எனக் கொள்ளப்படுகின்றது.
:\begin{align}
H & = \frac{v_0^2}{2g}\sin^2\left(\theta\right), \\
R &= \frac{v_0^2}{g}\sin\left(2\theta\right),~\text{and} \\
T &= \frac{2v_0}{g} \sin \left(\theta \right).
\end{align}

காற்றின் தடை, மேக்னஸ் விளைவு, மிதப்பு விசை ஆகியவற்றைக் கணக்கில் எடுப்பதன் மூலம் பந்தின் இயக்கத்தை மேலும் துல்லியமாக அறியலாம். எடை குறைவான பந்துகளின் இயக்கம் மேற்படி விசைகளால் கூடுதலாகப் பாதிக்கப்படும்.

## மேற்கோள்கள்

பகுப்பு:இயற்பியல்