வகையிடல் விதிகள்

**வகையிடல் விதிகள்** (*differentiation rules*)  என்பவை நுண்கணிதத்தில் ஒரு சார்பின் வகைக்கெழுவைக் காண்பதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் விதிமுறைகள் ஆகும். இக்கட்டுரையில் அத்தைகையப் பல்வேறு விதிகளும்  தொகுத்தளிக்கப்பட்டுள்ளன.

## வகையிடலின் அடிப்படை விதிகள்

கீழ்க்காணும் விதிகளில் தரப்பட்டச் சார்புகளின் தன்மை குறிப்பிடப்படாமல் இருந்தால், அவை மெய்யெண்களில் அமைந்த மெய்மதிப்புச் சார்புகளாகவே எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன. எனினும் நன்கு வரையறை செய்யப்பட்ட அனைத்துச் சார்புகளுக்கும் (சிக்கலெண்கள் உட்பட) இவை உண்மையாக அமையும்.

### வகையிடலின் நேரியல்பு
*f* மற்றும் *g* எவையேனும் இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகள்; *a* மற்றும் *b* மெய்யெண்கள் எனில்,

 என்ற சார்பின்  *x* -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:

: h'(x) = a f'(x) + b g'(x).\, 

இது லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

: \frac{d(af+bg)}{dx}  = a\frac{df}{dx} +b\frac{dg}{dx}.

சிறப்பு வகைகள்:
* வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதி

:(af)' = af' \,

* வகையிடலின் கூட்டல் விதி

:(f + g)' = f' + g'\,

* *வகையிடலின் கழித்தல் விதி*

:(f - g)' = f' - g'.\,

### பெருக்கல் விதி

வகையிடலின் பெருக்கல் விதி, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது. இவ்விதியின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவம் லைப்னிட்ஸ் விதி என அழைக்கப்படுகிறது.

தரப்பட்ட இரு சார்புகள் *f* , *g* எனில்,

*h*(*x*) = *f*(*x*) *g*(*x*) -சார்பின் *x* -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:

: h'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x).\, 

இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

:\frac{d(fg)}{dx} = \frac{df}{dx} g + f \frac{dg}{dx}.

### சங்கிலி விதி

வகையிடலின் சங்கிலி விதி, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட சார்புகளின் சேர்ப்பாக அமையும் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது. இவ்விதிப்படி,

*h*(*x*) = *f*(*g*(*x*)) எனும் சார்பின் x -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:

: h'(x) = f'(g(x)) g'(x)\, 

இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

:\frac{dh}{dx} = \frac{df}{dg} \frac{dg}{dx}\,

இது பின்வருமாறும் எழுதப்படுகிறது.

:\frac{dh}{dx} = \frac{dh}{dg} \frac{dg}{dx}\,

### நேர்மாறுச் சார்பு விதி

இவ்விதி ஒரு சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது.

*f* சார்பின் நேர்மாறு சார்பு *g* எனில்,

, , என இருந்தால்:

:g' = \frac{1}{f'\circ g}\,

இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

: \frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}

### அடுக்கு விதி

வகையிடலின் அடுக்கு விதியின் கூற்று:
f(x) = x^n,  *n* ஒரு முழு எண் எனில்:

:f'(x) = nx^{n-1}.\,

இவ்விதியின் சிறப்பு வகைகள்:

* *மாறிலி விதி*:

*f* ஒரு மாறிலிச் சார்பு, f(x) = c எனில்:
: f' (x) = 0

* f(x) = x  (முற்றொருமைச் சார்பு எனில்,

: f'(x) = 1 

* *[[நேரியல் சார்பு|நேரியல் சார்பின்]] வகைக்கெழு ஒரு [[மாறிலி]]யாகும்*:

:f(x) = ax + b  எனில், 
: f'(x)  = a 

இவ்விதியையும் வகையிடலின் நேரியல்பையும் இணைத்து எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் வகையிடலாம்.

### தலைகீழி விதி

: h(x) = \frac{1}{f(x)}\  ( *f* (*x*) பூச்சியமற்றதாக இருத்தல் அவசியம்) எனில்:

: h'(x) = -\frac{f'(x)}{[f(x)]^2}\ 

இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:
: \frac{d(1/f)}{dx} = -\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}\,

அடுக்கு விதியையும் சங்கிலி விதியையும் இணைத்து தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.

### வகுத்தல் விதி

*f* , *g* என்பன வகையிடத்தக்க இரு சார்புகள் எனில்:

:\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}\quad, (*g* பூச்சியமற்றதாக இருத்தல் வேண்டும்.)

பெருக்கல் விதியையும் தலைகீழி விதியையும் இணைத்து இவ்விதியைப் பெறலாம். மறுதலையாக, இவ்விதியிலிருந்து *f*(*x*) = 1 எனும் சிறப்பு வகையாகத் தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.

### பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட அடுக்குவிதி
*f* , *g* என்பன இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்,
:(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\quad

இருபுறமும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டிருத்தல் அவசியம்.

சிறப்பு வகைகள்:

* *a* ஏதேனும் ஒரு மெய்யெண் மற்றும் *x* நேர்மம் எனில்:

:f(x) = x^a  என்பதன் *x* -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:

: f'(x) = a x^{a-1}

* *g*(*x*) = −1 எனில் இவ்விதியிலிருந்து தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.

## [[அடுக்குக்குறிச் சார்பு]], மடக்கைச் சார்பின் வகையீடுகள்

: \left(c^{ax}\right)' = {c^{ax} \ln c \cdot a }\qquad c > 0
இச்சமன்பாடு, *c* இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் சரியாக இருக்கும்;  c  \left(e^x\right)' = e^x

: \left( \log_c x\right)' = {1 \over x \ln c}\qquad c > 0, c \ne 1
மேலுள்ள சமன்பாடு *c* இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் சரியாக இருக்கும்; ஆனால் சிக்கலெண்ணைத் தரும்.

: \left( \ln x\right)'  = {1 \over x}\qquad x \ne 0

: \left( \ln |x|\right)' = {1 \over x}

: \left( x^x \right)' = x^x(1+\ln x)

: \frac{d}{dx}[\ln(f(x))] = \frac{f'(x)}{f(x)}
மடக்கையின் அடிமாற்று விதியைப் பயன்படுத்த,

: \frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{d}{dx} \frac {\ln(x)}{\ln(b)} = \frac{1}{x \ln(b)} = \frac{\log_b(e)}{x}

### மடக்கை வகையிடல்
மடக்கை வகையிடல் என்பது ஒரு சார்பின் மடக்கையை வகையிடுவதாகும்.

: (\ln f)'= \frac{f'}{f} \quad இங்கு *f* நேர்மமாக இருத்தல் வேண்டும்.

## முக்கோணவியல் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்
முக்கோணவியல் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன.

## மீவளையச் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்

## சிறப்புச் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்

## தொகையீடுகளின் வகைக்கெழுக்கள்

*x* ஐப் பொறுத்து வகையிட வேண்டிய சார்பு-

:F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt;

:a(x)\leq t\leq b(x), x_0\leq x\leq x_1\, இரண்டையும் உள்ளடக்கிய (t,x)\, தளத்தின் ஒரு பகுதியில், f(x,t),\, \frac{\partial}{\partial x}\,f(x,t)\, என்ற இரு சார்புகளும் t\, மற்றும் x\, களில் தொடர்ச்சியானவையாகவும்;

x_0\leq x\leq x_1\, இடைவெளியில், சார்புகள் a(x)\, and b(x)\, இரண்டும் தொடர்ச்சியான சார்புகளாகவும் தொடர்ச்சியான வகைக்கெழுக்களும் கொண்டிருந்தால்:

: F'(x) = f(x,b(x))\,b'(x) - f(x,a(x))\,a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x}\, f(x,t)\; dt,\,  \,x_0\leq x\leq x_1\,\,

இவ்வாய்ப்பாடு *லைப்னிட்சின் தொகையீட்டு விதி*யின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். மேலும் இதனை *நுண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தைப்* பயன்படுத்தி நிறுவலாம்.

## ''n'' ஆம் வரிசை வகைக்கெழுக்கள்

### ஃபா டி புரூனோவின் வாய்ப்பாடு

*f* , *g* இரண்டும் *n* தடவைகள் வகையிடக் கூடிய சார்புகள் எனில்:

:  \frac{d^n}{d x^n} [f(g(x))]= n! \sum_{\{k_m\}}^{} f^{(r)}(g(x)) \prod_{m=1}^n \frac{1}{k_m!} \left(g^{(m)}(x) \right)^{k_m}

இங்கு  r = \sum_{m=1}^{n-1} k_m,   \{k_m\} இரண்டும்,

: \sum_{m=1}^{n} m k_m = n -*டியோஃபாண்டைன் சமன்பாட்டின்* எதிர்மமற்ற முழு எண் தீர்வுகள் அனைத்தையும் கொண்டவை

### பொது லைப்னிட்ஸ் விதி
வகையிடலின் பெருக்கல் விதியின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவமே பொது லைப்னிட்ஸ் விதியாகும்.

*f* , *g* இரண்டும் *n* தடவைகள் வகையிடக் கூடிய சார்புகள் எனில்:

: \frac{d^n}{dx^n}[f(x)g(x)] = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{d^{n-k}}{d x^{n-k}} f(x) \frac{d^k}{d x^k} g(x)

## மேற்கோள்கள்

## மூல நூல்களும் மேலும் படிப்பதற்கும்
**Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition)*, S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, .
**The Cambridge Handbook of Physics Formulas*, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, .
**Mathematical methods for physics and engineering*, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, 
**NIST Handbook of Mathematical Functions*, F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, .

## வெளி இணைப்புகள்
* வகையீடுகள் கணிப்பான்
* வகையீடுகளின் பட்டியல் 

பகுப்பு:வகையீட்டு நுண்கணிதம்
பகுப்பு:கணித முற்றொருமைகள்