வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு

வரிசைமாற்றங்கள் என்பது கணிதத்தில் மாத்திரமல்ல, பற்பல சூழ்நிலைகளிலும் எல்லாப் பயன்பாடுகளிலும்  நேரக்கூடிய ஒரு கணிதக் கருத்து. வரிசை மாற்றங்கள் அவைகளின் சேர்வு என்ற செயல்பாட்டினால் குலம் என்ற கணித அமைப்பாகக் கூடும். அப்படி ஏற்படும் **வரிசைமாற்றக் குலம்** (Permutation Group) ஒவ்வொன்றுக்கும் அதைத் தனிப்படுத்திக் காட்டக் கூடிய ஒரு கருத்து தான் அவைகளின் **சுழற் குறியீடு** (Cycle Index). ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றத்திற்கும் ஒரு சுழலமைப்பு உண்டு. ஒரு வரிசைமாற்றக்குலத் திலுள்ள  வரிசைமாற்றங்களின் சராசரிச் சுழலமைப்பிற்கு அதன் சுழற்குறியீடு  என்று பெயர்.

## முறையான வரையறை

n குறியீடுகளின் வரிசைமாற்றங்களின் குலம்  G ஒன்றை எடுத்துக் கொள்வோம்.  G இனுடைய **சுழற்குறியீடு** என்பது கீழே வரையறுக்கப்பட்டபடி நேரும் Z(G) என்ற ஓர் அடையாளப் பல்லுறுப்புக் கோவை. அதன் மாறிகளாகத் திகழ்வது s_1, s_2, ..., s_n என்ற தேரவியலாக் குறியீடுகள்:

:: Z(G) = Z(G: s_1, s_2, ..., s_n) =  \frac{1}\sum_{g\in G} s_1^{\lambda_1(g)}s_2^{\lambda_2(g)}... s_n^{\lambda_n(g)} ; இங்கு,

:: \lambda_k(g) என்பது   g -இன் சுழற்பிரிவினையில் உள்ள k-சுழல்களின் எண்ணிக்கை.

:s_1^{\lambda_1(g)}s_2^{\lambda_2(g)}... s_n^{\lambda_n(g)} என்பது g -இன் சுழலமைப்பு.  அதனால் Z(G) ஐ G-இலுள்ள **வரிசைமாற்றங்களின் சராசரிச் சுழலமைப்பு** என்று சொல்லலாம்.

ஏதாவதொரு  \lambda_k(g)  வெறும் 1 ஆக இருந்தால், s_k^{\lambda_k(g)} ஐ  s_k  என்றே எழுதலாம்.

s_1^{\lambda_1(g)}s_2^{\lambda_2(g)}... s_n^{\lambda_n(g)}  ஐ   s_{(\lambda)} என்றும்  எழுதுவதுண்டு.  இங்கு, (\lambda) என்பது  (1^{\lambda_1} 2^{\lambda_2} ... n^{\lambda_n}) என்ற சுழலமைப்பைக் குறிக்கும்.

## எடுத்துக்காட்டுகள்

*  S_2 = \{e, (12)\}
:: Z(S_2: s_1, s_2) =  \frac{1}{2}(s_1^2 + s_2)

* S_3 = \{e, (1)(23), (2)(31), (3)(12), (123), (132)\}

::

::\therefore Z(S_3: s_1, s_2, s_3) = \frac{1}{6}(s_1^3 + 3s_1s_2 + 2 s_3)

* இதேபோல்  Z(S_4) =  \frac{1}{24}\left(s_1^4 + 3 s_2^2 + 8 s_1 s_3 + 6 s_1^2 s_2 + 6 s_4\right)

## சமச்சீர் குலத்தின் சுழற் குறியீடு

மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து  n-கிரமச் சமச்சீர் குலத்தின்  (அதாவது, S_n இன்) சுழற்குறியீட்டைக் கணிப்பதற்கு நமக்குத்தெரிய வேண்டியதெல்லாம் ஒன்றே ஒன்றுதான்: அ-து, S_n **இலுள்ள ஒவ்வொரு சுழலமைப்பு வகையிலும் எத்தனை வரிசைமாற்றங்கள் உள்ளன**, என்பதுதான். இக்கேள்விக்கு விடை கோஷி தேற்றத்தில் இருக்கிறது. அதைப் பயன்படுத்தினால்,

::Z(S_n: s_1, s_2, ... )  =  \left(\sum_{\lambda_1+2\lambda_2+...+k\lambda_k = n} \frac{s_1^{\lambda_1}s_2^{\lambda_2}...s_k^{\lambda_k}}{1^{\lambda_1} 2^{\lambda_2} ... k^{\lambda_k}\lambda_1! \lambda_2! ...\lambda_k!}\right)

அல்லது,  Z(S_n) =  \sum_{(\lambda)\vdash n} \frac{s_{(\lambda)}}{\Pi(\lambda)} = \frac{1}{n!}\sum_{(\lambda)\vdash n}  g_{\lambda} s_{\lambda}.

:: இங்கு  \Pi(\lambda) = 1^{\lambda_1} 2^{\lambda_2} ... k^{\lambda_k}\lambda_1! \lambda_2! ...\lambda_k!.  மற்றும்  g_{\lambda} =  \frac{n!}{\Pi({\lambda})}

## நான்முகியின் சமச்சீர்கள்
left|600pxright|600px 
ஓர் ஒழுங்கு நான்முகியின்  சுழற்சிச் சமச்சீர் குலத்தில்  இவை  பன்னிரண்டும் அடக்கம்:
* நான்கு உச்சிப் புள்ளிகளிலிருந்து போகும் நடு அச்சுகளைச் சுற்றி  வலச்சுற்றாக 120^{\circ} சுழற்சிகள், இடச்சுற்றாக 120^{\circ} சுழற்சிகள்; ஆக 8 சுழற்சிகள்; 
* எதிரெதிர் ஓரக்கோடுகளின் மையங்களைச் சேர்க்கும்  அச்சைச் சுற்றிய 180^\circ சுழற்சிகள்; இவை மூன்று;
* ஒரு முற்றொருமைச் செயல்பாடு.

இவைகளின் செயல்பாட்டினால்  ஏற்படும் பாதிப்புகளை மாதிரிக்காக கீழ்க்கண்டபடி அட்டவணைப் படுத்தலாம்:(குறிப்பு: உச்சிகளை 1,2,3,4 என்றும், ஓரக்கோடுகளை 1-2, 1-3, 3-4, .. என்றும் முகங்களை 1-2-3, 2-3-4, .. என்றும் குறிப்போம்).

***உச்சிகளினிடையில்** இழைக்கப்படும்  வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

::\frac{1}{12}\left(s_1^4 + 8s_1s_3 + 3 s_2^2\right).

* **ஓரக்கோடுகளினிடையில்** இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

::\frac{1}{12}\left(s_1^6 + 8s_3^2 + 3 s_1^2 s_2^2 \right).

* **முகங்களினிடையில்** இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

::\frac{1}{12}\left(s_1^4 + 8s_1 s_3 +  3 s_2^2\right)

## கன சதுரத்தின் சமச்சீர்கள்

முதற்கண் **சுழற்சிச் சமச்சீர்களை** கவனிப்போம். இவை 24. அதாவது:

* எதிரெதிர் உச்சிகளைச் சேர்க்கும் அச்சுகளைச்சுற்றி 120^{\circ} வலச்சுற்றுச்சுழற்சிகள், 120^{\circ} இடச்சுற்றுச் சுழற்சிகள்; ஆக 8.
* எதிரெதிர் ஓரக்கோடுகளின் மையங்களைச் சேர்க்கும் அச்சுகளைச் சுற்றி 180^{\circ} சுழற்சிகள்; இவை 6.
* எதிர் முகங்களின் மையங்களைச் சேர்க்கும் அச்சுகளைச் சுற்றி  90^{\circ} வலச்சுற்றுச் சுழற்சிகள், 90^{\circ} இடச்சுற்றுச் சுழற்சிகள்; இவை 6.
* அதே அச்சுகளைச்சுற்றி  180^{\circ} சுழற்சிகள்; இவை 3.
* ஒரு முற்றொருமைச் சுழற்சி.

இவைகளின் செயல்பாட்டினால்

***உச்சிகளினிடையில்** இழைக்கப்படும்  வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

::\frac{1}{24}\left(s_1^8 + 6s_4^2 + 9 s_2^4 + 8s_1^2s_3^2\right).

* **ஓரக்கோடுகளினிடையில்** இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

::\frac{1}{24}\left(s_1^{12} +6s_4^3 + 3 s_2^6 + 8s_3^4 + 6 s_1^2 s_2^5 \right).

* **முகங்களினிடையில்** இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

::\frac{1}{24}\left(s_1^6 +6 s_1^2 s_4 + 3 s_1^2 s_2^2 + 8 s_3^2 +  6 s_2^3\right)

## இவற்றையும் பார்க்கவும்

போல்யா எண்ணெடுப்புத் தேற்றம்

சமச்சீர் பல்லுறுப்பு

## மேற்கோள்கள்

பகுப்பு:சேர்வியல்
பகுப்பு:குலக்கோட்பாடு