ஒன்றின் படிமூலம்

ஒரு சிக்கலெண்ணை ஏதேனுமொரு முழு எண் அடுக்குக்கு உயர்த்தும் போது அதன் மதிப்பு  1 ஆக இருக்குமானால் அந்தச் சிக்கலெண்ணானது **ஒன்றின் படிமூலம்** (*root of unity*) என அழைக்கப்படுகிறது. சில சமயங்களில் இது **டி மாவரின் எண்** எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

## வரையறை
:z ஒரு சிக்கலெண்; n  ஒரு முழுஎண் என்க:

:z^n = 1  என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் z ஆனது ”ஒன்றின் nஆம் படிமூலம்” என வரையறுக்கப்படுகிறது.

### தொடக்கநிலை மூலம்
n ஐ விடச் சிறிய எந்த முழுஎண் அடுக்கிற்கும் z இன் மதிப்பு எண் 1 இல்லையெனில், z ஆனது ”ஒன்றின் தொடக்கநிலை nஆம் படிமூலம் எனப்படும். அதாவது z ஒன்றின் தொடக்கநிலை nஆம் படிமூலம் எனில்,

:z^n = 1,  
:z^k \ne 1 \qquad (k = 1, 2, 3, \dots, n-1  ),   ஆகிய இரு முடிவுகளும் நிறைவு செய்யப்பட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு:
:i^8 = 1 என்பது உண்மை; ஆனால்,
:i^4 = 1 என்பதும் உண்மை என்பதால் <math>i</math> ஆனது ஒன்றின் தொடக்கநிலை எண்படி மூலம் அல்ல; ஒன்றின் தொடக்கநிலை நான்காம் படிமூலமாக இருக்கும்.

## சில அடிப்படை முடிவுகள்
*ஒன்றின் ஒவ்வொரு *n* ஆம் படிமூலமும் ஏதேனுமொரு மதிப்பு *a* ()க்கு ஒன்றின் தொடக்கநிலை *a*வதுபடி மூலமாக இருக்கும்.  

*ஒன்றின் *n*ஆம் படிமூலம் *z*;  எனில் z^a = z^b.  
;விளக்கம்
:சமானம், மாடுலோ n-வரையறைப்படி, 
: என்பதால்  (*k* ஒரு முழுஎண்) என எழுதலாம். இதனைப் பயன்படுத்த:
: z^a = z^{b+kn} = z^b z^{kn} = z^b (z^n)^k = z^b 1^k = z^b.

*ஒன்றின் தொடக்கநிலை *n*ஆம் படிமூலம் *z* எனில்:
:z^a = z^b \iff a\equiv b \pmod{ n}.

:*z* தொடக்கநிலை படிமூலம் இல்லையெனில்:
:a\equiv b \pmod{ n} \implies  z^a = z^b. என்பது மட்டுமே உண்மையாக இருக்கும்.

*(z^k)^n = z^{kn} = (z^n)^k = 1^k = 1.

*\frac{1}{z} = z^{-1} = z^{n-1} = \bar z. (இணைச் சிக்கலெண்)

**n*ஆம் படி பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டிற்கு வெவ்வேறான *n* தீர்வுகள் மட்டுமே இருக்க முடியும். எனவே  ஒன்றின் தொடக்கநிலை மூலம் *z* எனில் அதன் பின்வரும் அடுக்குகள், 

:*z* , , … , ,  ஆகியவை ஒன்றின் *n*ஆம் படிமூலங்களாக இருக்கும்.

## ஒன்றின் ''n'' ஆம் படிமூலங்கள் காணும் வாய்ப்பாடு
டி மாவரின் வாய்ப்பாட்டில்  எனப் பதிலிட ஒன்றின் தொடக்கநிலை *n* ஆம் படிமூலம் கிடைக்கிறது:

;டி மாவரின் வாய்ப்பாடு
:(\cos x + i \sin x)^n = \cos nx + i \sin nx. (*x* மெய்யெண், *n* முழுஎண்)

இதில்  எனப் பதிலிட,
:\left(\cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n}\right)^n = \cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1, எனக் கிடைக்கிறது.

எனவே \left(\cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n}\right)  ஆனது ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலம் ஆகும்.

மேலும் 0  எனும்போது,
:\left(\cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n}\right)^k= \cos\tfrac{2k\pi}{n} + i \sin\tfrac{2k\pi}{n} \neq 1  எனவும் அமைவதால் மேலே தரப்பட்ட ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலமானது தொடக்கநிலை படிமூலம் என்பதையும் அறியலாம்.   

: \cos\tfrac{2k\pi}{n} + i \sin\tfrac{2k\pi}{n},  \quad (*)  

இந்த வாய்ப்பாடு,   மதிப்புகளுக்கு ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலங்கள் அனைத்தையும் தருகிறது. 

வாய்ப்பாட்டில் *k* இன் மதிப்புகளைப் பதிலிடக் கிடைக்கும் ஒன்றின்   *n* ஆம் படிமூலங்கள்: 
: 1, \cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n}, \cos\tfrac{4\pi}{n} + i \sin\tfrac{4\pi}{n}....\cos\tfrac{(n-1)2\pi}{n} + i \sin\tfrac{(n-1)2\pi}{n}

மேலேயுள்ள வாய்ப்பாட்டில் ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ஒன்றின் படிமூலங்களைக் காணும் வாய்ப்பட்டைப் பின்வருமாறு பெறலாம். 

;ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு
:e^{i x} = \cos x + i \sin x, (*x* இன் அனைத்து மெய்யெண் மதிப்புகளுக்கும்)
இதனை வாய்ப்பாடு (*) இல் பயன்படுத்தக் கிடைக்கும், ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலங்கள் காணும் வாய்ப்பாடு:

:\cos\tfrac{2k\pi}{n} + i \sin\tfrac{2k\pi}{n} = e^{2\pi i \frac{k}{n}} \qquad 0 \le k 

இவ் வாய்ப்பாட்டில்  சுருக்கவியலாப் பின்னமாக, அதாவது  ,  இரண்டும் சார்பகா எண்களாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இந்த மூலம் ஒன்றின் தொடக்கநிலை படிமூலமாக இருக்கும்.

இந்த வாய்ப்பாட்டின்படி ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலங்கள்:
:1, e^{i\frac{2\pi } {n}}, e^{i\frac{4\pi }{n}},  e^{i\frac{6\pi }{n}}....  e^{i\frac{2(n-1)\pi }{n}}, 

### முடிவுகள்
\omega =e^{i\frac{2\pi } {n}} = \left(\cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n}\right)  எனக் கொண்டால் ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலங்கள்:

::1, \omega, {\omega}^2, {\omega}^3, {\omega}^4, ....  {\omega}^{(n-1)} 

*{\omega}^n = 1 
*ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலங்களின் கூடுதல் 0
:1 + \omega + {\omega}^2 + {\omega}^3 + {\omega}^4 + ....  {\omega}^{(n-1)} = 0 
* 1, \omega, {\omega}^2, {\omega}^3, {\omega}^4, ....  {\omega}^{(n-1)}  \omega  ஐப் பொதுவிகிதமாகக் கொண்ட  பெருக்குத் தொடராக அமைகிறது (பெருக்குத்தொடரின் பொதுவிகிதம்  \omega ) 
*சிக்கலெண் தளத்தில் ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலங்கள் அனைத்தும், அலகு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட *n* பக்கங்கள் கொண்ட ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் உச்சிகளாக அமைவதையும், ஒரு உச்சி 1 இல் அமைவதையும் அறியலாம்.

## ஒன்றின் பிற படிமூலங்கள்
;முதலாம் படிமூலம்
: சமன்பாட்டிற்குள்ள ஒரேயொரு தீர்வாக +1 உள்ளது. இது மட்டுமே ஒன்றின் தொடக்கநிலை முதலாம் படிமூலமாகும். (+1 ஆனது, ஒன்றின் இரண்டாம், மூன்றாம், நான்காம்படி,... தொடக்கநிலையற்ற படிமூலமாக அமையும்)

;இரண்டாம் படிமூலங்கள் (வர்க்க மூலம்)
: சமன்பாட்டிற்கு +1 , −1 ஆகிய இரு தீர்வுகள் உள்ளன. இவற்றில், +1 ஒன்றின் தொடக்கநிலையற்ற இரண்டாம் படிமூலம்; −1 ஒன்றின் தொடக்கநிலை இரண்டாம் படிமூலம். 

:±1 மட்டுமே ஒன்றின் மெய்யெண் படிமூலங்கள்; ஏனைய படிமூலங்கள் சிக்கலெண்களாகும்.

;முப்படி மூலங்கள்:

:z^3 - 1 = 0 
:(z-1)(z^2-z -1)= 0 

:இச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள்: 
: 1, \left\{e^{\frac{2 \pi i}{3}},e^{-\frac{2 \pi i}{3}}\right\}= 1,\left\{ \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}

:இம் மூன்றில் 1 தவிர்த்த மற்ற இரு மூலங்களும் தொடக்கநிலை மூன்றாம் படிமூலங்களாகும். ஒன்றின் முப்படி மூலங்கள் மூன்றும் சிக்கலெண் தளத்தில் அலகு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட சமபக்க முக்கோணத்தின் உச்சிகளாக அமைகின்றன (படத்தில் காண்க). 

;நான்காம் படிமூலங்கள்:
:z^4 - 1 = 0 
:(z^2 - 1)(z^2 + 1) = 0 
:(z+1)(z-1)(z+i)(z-i)= 0 

:இச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள்:
:1, -1, \left\{e^{\frac{2 \pi i}{4}},e^{-\frac{2 \pi i}{4}}\right\}=1, -1, \left\{\pm\sqrt{-1} \right\}=1, -1, \left\{+i, -i \right\}.

:இவற்றில் \left\{+i, -i \right\} இரண்டும் ஒன்றின் தொடக்கநிலை நான்காம் படிமூலங்கள். 

:ஒன்றின் நான்காம் படிமூலங்கள் நான்கும் சிக்கலெண் தளத்தில் அலகு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட சதுரத்தின் உச்சிகளாக அமைகின்றன. 

;தொடக்கநிலை ஐந்தாம் படிமூலங்கள்:
:\left\{\left.e^{\frac{2 \pi i k}{5}}\right| 1 \le k \le 4 \right\}=\left\{\left . \frac{u\sqrt 5-1}4+v\,i\,\sqrt{\frac{5+u\sqrt 5}8}\; \right |u,v \in \{-1,1\}\right\}.

;தொடக்கநிலை ஆறாம் படிமூலங்கள்:
:\left\{e^{\frac{2 \pi i}{6}},e^{-\frac{2 \pi i}{6}}\right\}=\left\{ \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}.
இவை இரண்டும் தொடக்கநிலை மூன்றாம் படிமூலங்களின் எதிர் எண்களாக உள்ளன.

இதேபோல *n* இன் ஏனைய முழுஎண் மதிப்புகளுக்கு ஒன்றின் படிமூலங்களைக் காணலாம்.

## மேற்கோள்கள்

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## வெளி இணைப்புகள்

பகுப்பு:சிக்கலெண்கள்
பகுப்பு:இயற்கணித எண்கள்