சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஒரு சதுர அணியின் **சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை** (*characteristic polynomial*) என்பது, அணி ஒப்புமையின் கீழ் மாற்றமடையாததும்,  ஐகென் மதிப்புகளை மூலங்களாகக் கொண்டதுமானதொரு பல்லுறுப்புக்கோவையாகும். இப்பல்லுறுப்புக்கோவை, அச் சதுர அணியின் அணிக்கோவையையும் சுவட்டையும் அதன் கெழுக்களில் கொண்டிருக்கும். ஒரு முடிவுறு-பரிமாணத் திசையன் வெளியின் உள்ளமைவியத்தின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையானது, அந்த உள்ளமைவியத்தின் அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும் (அடுக்களம் எதுவாக வேண்டுமானாலும் இருக்கலாம்). சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பூச்சியத்திற்குச் சமப்படுத்துவதன் மூலம் கிடைக்கும் சமன்பாடு **சிறப்பியல்பு சமன்பாடு** (*characteristic equation*) என அழைக்கப்படுகிறது.

நிறப்பிரிகை கோட்டுரு கோட்பாட்டில், ஒரு கோட்டுருவின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது அக்கோட்டுருவின் அண்டை அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.

## உந்துதல்
நேரியல் இயற்கணிதத்தில், ஐகென் மதிப்புகள் முக்கிய பங்குவகிக்கின்றன. ஒரு உருமாற்றத்தால் திசையில் மாற்றமில்லாது அளவில் மட்டும் மாற்றமடையும் திசையனானது "ஐகென் திசையன்" என அழைக்கப்படுகிறது. அத்திசையனின் அளவில் ஏற்படும் மாற்றமானது ஐகென் மதிப்பு எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

இந்த உருமாற்றமானது A என்ற சதுர அணியாலும், ஐகென்திசையன்யானது \mathbf{v} எனவும், அதற்குரிய ஐகென்மதிப்பானது \lambda எனவும் குறிக்கப்பட்டால் கீழ்வரும் சமன்பாடு நிறைவு செய்யப்படும்:
:A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v},

அல்லது சமானமாக,
:(\lambda I - A) \mathbf{v} =\mathbf 0 (I  முற்றொருமை அணி, and \mathbf{v}\ne \mathbf{0})

பூச்சியத் திசையன் இச்சமன்பாட்டை நிறைவுசெய்யும் என்றாலும் \lambda, இன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் பூச்சியத் திசையனானது ஐகென் திசையனாகக் கொள்ளப்படுவதில்லை. 

(\lambda I - A), ஒரு வழு அணியாகும். எனவே அணிக்கோவையின் மதிப்பு பூச்சியமாக இருக்கும்:
\det(\lambda I - A) = 0

அதாவது,  இன் ஐகென் மதிப்புகள் \det(xI - A) இன் மூலங்களாக இருக்கும்.  ஒரு  அணியாக இருந்தால், இப்பல்லுறுப்புக்கோவையானது  மாறியிலமைந்த  படிகொண்ட தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவை. மேலும் இதுவே  அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையுமாகும்.

## முறையான வரையறை
A. என்பது ஒரு n \times n அணி எனில்:
*அதன் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையின் குறியீடு: p_A(t).
*வரையறை:
:p_A(t) = \det (t I - A) (I என்பது n \times n முற்றொருமை அணி).

சிலர் சிறப்பியல்பு பல்லுறுக்கோவையை பின்வருமாறும் தருகின்றனர்:
:\det(A - t I).

முதல் வரையறைப்படியான சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையானது இரண்டாவது வரையறைப்படியானதிலிருந்து (-1)^n, என்ற குறியளவில் மட்டுமே மாறுபடுகிறது. இந்த வரையறை வேறுபாட்டால், மூலங்கள் A அணியின் ஐகென் மதிப்புகளாக இருக்கும் என்பது போன்ற பண்புகளில் எந்தவொரு வேறுபாடும் இருக்காது. எனினும் முதல் வரையறைப்படி, சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை எப்பொழுதும் தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்; மாற்று வரையறையில் n இரட்டையெண்ணாக இருந்தால் மட்டுமே தலையொற்றையாக இருக்கும்.

## எடுத்துக்காட்டுகள்
எடுத்துக்காட்டு 1:
:A = \begin{pmatrix}
2 & 1\\
-1& 0
\end{pmatrix}.
 என்ற அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையைக் காண்பதற்குக் கீழ்வரும் அணியின் அணிக்கோவையைக் காணவேண்டும்:
:t I-A = \begin{pmatrix}
t-2&-1\\
1&t-0
\end{pmatrix}
 

அந்த அணிக்கோவையினை விரிக்க, A அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை கிடைக்கிறது:
:(t-2)t - 1(-1) = t^2-2t+1 \,\!, 

எடுத்துக்காட்டு 2 (மீவளையக் கோணம்  &phi; இன் மீவளைச் சார்பு):

அணி:
A = \begin{pmatrix} \cosh(\varphi) & \sinh(\varphi)\\ \sinh(\varphi)& \cosh(\varphi) \end{pmatrix}.
சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை:
\det (tI - A) = (t - \cosh(\varphi))^2 - \sinh^2(\varphi) = t^2 - 2 t \ \cosh(\varphi) + 1 = (t - e^\varphi) (t - e^{-\varphi}).

## பண்புகள்
*n \times n வரிசை அணி A இன் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை p_A(t), ஒரு தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவை.
*n \times n வரிசை அணி A இன் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை p_A(t), இன் படி n..
*A இன் ஐகென்மதிப்புகள் p_A(t) இன் மூலங்களாகும்.
*சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையின் கெழுக்கள் A இன் உறுப்புகளாலமைந்த பல்லுறுப்பு விரிவுகளாக இருக்கும்.
எடுத்துக்காட்டாக, சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையின் 
**மாறிலி உறுப்பு (t^0 இன் கெழு) = \det(-A) = (-1)^n \det(A),
** t^n இன் கெழு = 1
**t^{n-1} இன் கெழு = , ( = A இன் சுவடு) (இது முதல் வகை வரையறையின்படி)
** மாற்று வரையறையின்படி முறையே \det(A),  )

2 \times 2 வரிசை A அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை:
t^2 - \operatorname{tr}(A) t + \det(A).

*இரு ஒத்த அணிகளின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒன்றாக இருக்கும். ஆனால் மறுதலை உண்மையில்லை ஒரே பல்லுறுப்புக்கோவையைச் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாகக் கொண்ட அணிகள் ஒத்த அணிகளாக இருக்காது.

* A, அதன் இடமாற்று அணி இரண்டிற்கும் ஒரே சிறப்பியல்பு பல்லுறுக்கோவை.

## மேற்கோள்கள்

* T.S. Blyth & E.F. Robertson (1998) *Basic Linear Algebra*, p 149, Springer  .
* John B. Fraleigh & Raymond A. Beauregard (1990) *Linear Algebra* 2nd edition, p 246, Addison-Wesley  .
* 
* Werner Greub (1974) *Linear Algebra* 4th edition, pp 120&ndash;5, Springer,  .
* Paul C. Shields (1980) *Elementary Linear Algebra* 3rd edition, p 274, Worth Publishers  .
* Gilbert Strang (1988) *Linear Algebra and Its Applications* 3rd edition, p 246, Brooks/Cole  .

பகுப்பு:பல்லுறுப்புக் கோவைகள்
பகுப்பு:நேரியல் இயற்கணிதம்