முழுமையான பெருக்கல் சார்பு

எண் கோட்பாட்டில் **முழுமையான பெருக்கல் சார்பு** (*completely multiplicative functions* அல்லது *totally multiplicative functions*) என்பது ஒரு எண்கணிதச் சார்பு ஆகும். *n* ஒரு நேர்ம முழுஎண் எனில், முழுமையான பெருக்கல் சார்பு *f*(*n*) இன் மதிப்பு கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

: f(1) = 1 
: f(ab) = f(a) f(b),  (a, b இரு நேர்ம முழுவெண்கள்)

முழுமையான பெருக்கல் சார்பின் சிறப்புவகையாக, சார்பகா எண்களுக்கு பெருக்கல் சார்பு அமைகிறது. அதன் வரையறை: 
:*n* ஒரு நேர்ம முழுஎண் எனில், பெருக்கல் சார்பு *f*(*n*) இன் மதிப்பு கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

: f(1) = 1 
: f(ab) = f(a) f(b),   (a, b சார்பகா முழுஎண்கள்)

## வரையறை
முழுமையான பெருக்கல் சார்பு என்பது இயல் எண்களின் கணத்தை ஆட்களமாகக்கொண்ட எண்கணிதச் சார்பாகும். இச்சார்பு *f* இன் கீழ் *f*(1) = 1 ; *f*(*ab*) = *f*(*a*)*f*(*b*) ( *a*, *b* இரு நேர்ம முழ்வெண்கள்) என அமையும்.. அதாவது:

: f(1) = 1 
:\forall a, b \in \text{domain}(f), f(ab) = f(a)(b).

*f*(1) = 1 என்ற கட்டுப்பாடு தரப்படாவிடில்,  *f*(1) = 0 எனவும் எடுத்துக்கொள்ளலாம். ஆனால் அவ்வாறு கொள்ளும்போது  *a* இன் எல்லா நேர்ம முழுவெண்மதிப்புகளுக்கும்  *f*(*a*) = 0 ஆகிவிடும். இது ஒரு வலுவான கட்டுப்பாடாக அமையாது.  f(1) = 1 என நிலைப்படுத்திக்கொள்ளாவிட்டால், 0, 1 ஆகிய இரண்டுமே f(1) இன் மதிப்பாக அமைந்யும்:

: f(1) = f(1 \cdot 1) \iff f(1) = f(1)f(1) \iff f(1) = f(1)^2 \iff f(1)^2 - f(1) = 0 \iff f(1)\left(f(1) - 1\right) = 0 \iff f(1) = 0 \lor f(1) = 1.

(\mathbb Z^+,\cdot) (நேர்ம முழுஎண்களின் கணம், பெருக்கல் செயலியின் கீழ்) என்ற ஒற்றைக்குலத்திலிருந்து மற்றொரு ஒற்றைக்குலத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்ட  காப்பமைவியமாகவும் முழுமையான பெருக்கல் சார்பைக் கருதலாம்.

## எடுத்துக்காட்டுகள்
*முழுமையான பெருக்கல் சார்புக்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டாக தலைக்கெழு 1 ஆகக்கொண்ட ஓருறுப்புக்கோவை அமையும்:
: *n* என்ற நேர்ம முழுவெண்ணுக்கு, *f*(*a*) = *a**n* என வரையறுத்துக் கொண்டால்,
:*f*(*bc*) = (*bc*)*n* = *b**n**c**n* = *f*(*b*)*f*(*c*), and *f*(1) = 1*n* = 1.

*ஜேக்கோபி குறியீடுகள், லெஜாண்டர் குறியீடு, லியோவில் சார்பியம் ஆகியவை முழுமையான பெருக்கல் சார்புகளாகும்.

## பண்புகள்
*எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தின் விளவாக, ஒரு நேர்ம முழுஎண்ணின் முழுமையான பெருக்கல் சார்பானது அவ்வெண்ணின் பகாக்காரணிகளுக்கான சார்பு மதிப்புகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

: *n* = *p**a* *q**b* ... எனில்,
: *f*(*n*) = *f*(*p*)*a* *f*(*q*)*b* ...

*இரு பெருக்கல் சார்புகளின் டிரிழ்ச்லெட் பிணைவும் ஒரு பெருக்கல் சார்பாக இருக்கும்; ஆனால் இரு முழுமையான பெருக்கல் சார்புகளின் டிரிழ்ச்லெட் பிணைவானது முழுமையான பெருக்கல் சார்பாக இருக்கவேண்டியதில்லை.

*ஒரு பெருக்கல் சார்பானது முழுமையான பெருக்கல் சார்பாக இருப்பதற்குச் சமானமான பல கூற்றுகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக,  
:*f* ஒரு  பெருக்கல் சார்பு எனில் அதன்  டிரிழ்ச்லெட் நேர்மாறானது \mu\cdot f  (\mu என்பது மோபியஸ் சார்பு) என "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே",  *f* ஆனது முழுமையான பெருக்கல் சார்பாகவும் இருக்கும்.

*முழுமையான பெருக்கல் சார்புகள் பங்கீட்டு விதியை நிறைவுசெய்யும்.

:f \cdot (g*h)=(f \cdot g)*(f \cdot h) 

இதில் *** குறியீடானது டிரிழ்ச்லெட் பெருக்கத்தையும்,  \cdot குறியீடு உறுப்புவாரியான பெருக்கலையும் குறிக்கின்றன.

இப்பண்பின் ஒரு விளைவு: 

*f*  ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு எனில், :f*f = \tau  \cdot f

இம்முடிவை, மேலே தரப்பட்டள்ள பண்பில் g = h = 1 எனப்பிரதியிட்டுப் பெறலாம். 1(n) = 1 என்பது மாறிலிச் சார்பு;  \tau என்பது வகுஎண் சார்பு.

### பங்கீட்டு விதியின் நிறுவல்

:
\begin{align}
f \cdot \left(g*h \right)(n) &= f(n) \cdot \sum_{d|n} g(d) h \left( \frac{n}{d} \right) = \\
&= \sum_{d|n} f(n) \cdot (g(d) h \left( \frac{n}{d} \right)) = \\
&= \sum_{d|n} (f(d) f \left( \frac{n}{d} \right)) \cdot (g(d) h \left( \frac{n}{d} \right)) \text{ (since } f \text{ is completely multiplicative) } = \\
&= \sum_{d|n} (f(d) g(d)) \cdot (f \left( \frac{n}{d} \right) h \left( \frac{n}{d} \right)) \\
&= (f \cdot g)*(f \cdot h).
\end{align}


## மேற்கோள்கள்


## வெளியிணைப்புகள்
* Weisstein, Eric W. "Completely Multiplicative Function." 

பகுப்பு:பெருக்கல் சார்புகள்