சதுர முக்கோண எண்

கணிதத்தில் **சதுர முக்கோண எண்** அல்லது **வர்க்க முக்கோண எண்** (*Square triangular number*) என்பது முக்கோண எண் மற்றும் சதுர எண்ணாகவும் (முழு வர்க்கம்) உள்ள ஒரு வடிவ எண்ணாகும். சதுர முக்கோண எண்ணை *முக்கோண சதுர எண்* எனவும் அழைக்கலாம். எண்ணிலடங்கா சதுர முக்கோண எண்கள் உள்ளன. அவற்றுள் முதலிலுள்ள சில:
: 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 .

## வாய்ப்பாடுகள்

*k* -ஆம் சதுர முக்கோண எண், N_k \, என்க. இதற்குரிய சதுரம் மற்றும் முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் முறையே s_k \,,  t_k \, எனில்:
:N_k = s_k^2 = \frac{t_k(t_k+1)}{2}. \,

N_k \,, s_k \,,  t_k \, தொடர் வரிசைகள் முறையே, OEIS தொடர் வரிசைகளான , , மற்றும்  ஆகும்.

சதுர முக்கோண எண்கள் காண 1778 -ல் ஆய்லர் உருவாக்கிய வாய்ப்பாடு:
:N_k = \left( \frac{(3 + 2\sqrt{2})^k - (3 - 2\sqrt{2})^k}{4\sqrt{2}} \right)^2.\,

இவ்வாய்ப்பட்டையே வேறுவிதமாக மாற்றியமைக்கக் கிடைப்பது:
:\begin{align} 
N_k &= {1 \over 32} \left( ( 1 + \sqrt{2} )^{2k} - ( 1 - \sqrt{2} )^{2k} \right)^2 = {1 \over 32} \left( ( 1 + \sqrt{2} )^{4k}-2 + ( 1 - \sqrt{2} )^{4k} \right) \\
&= {1 \over 32} \left( ( 17 + 12\sqrt{2} )^k -2 + ( 17 - 12\sqrt{2} )^k \right).
\end{align}
இதற்குரிய s_k \, மற்றும் t_k \, காணும் வாய்ப்பாடுகள்:

: s_k = \frac{(3 + 2\sqrt{2})^k - (3 - 2\sqrt{2})^k}{4\sqrt{2}} 

: t_k = \frac{(3 + 2\sqrt{2})^k + (3 - 2\sqrt{2})^k - 2}{4}. 

## பெல்லின் சமன்பாடு
சதுர முக்கோண எண்களைக் காணும் முறையானது பெல்லின் சமன்பாடாகப் (Pell's equation) பின்வருமாறு மாற்றமடைகிறது:

ஒரு முக்கோண எண்ணின் வடிவம்: 
:\frac{t(t+1)}{2}.

இந்த எண் சதுர எண்ணாகவும் இருந்தால்

:\frac{t(t+1)}{2} = s^2. என்றபடி ஒரு s, இருக்க வேண்டும்.

இதை சற்றே மாற்றியமைக்க:

:(2t+1)^2 = 8s^2+1,

: x = (2t+1) ;  y = 2s, எனப் பிரதியிட:

:x^2 - 2y^2 =1

இச்சமன்பாடு ஒரு பெல்லின் சமன்பாடாகும். இச்சமன்பாடு பெல் எண்களான *P**k* மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது.

:x = P_{2k} + P_{2k-1}, \quad y = P_{2k};

:  ஃ  s_k = \frac{P_{2k}}{2}, \quad t_k = \frac{P_{2k} + P_{2k-1} -1}{2}, \quad N_k = \left( \frac{P_{2k}}{2} \right)^2.

## மீள்வரு தொடர்புகள்

சதுர முக்கோண எண்கள், அவற்றுக்குரிய சதுரம் மற்றும் முக்கோணங்களின் பக்கங்களுக்கான மீள்வரு தொடர்பு:

:N_k = 34N_{k-1} - N_{k-2} + 2,\,  N_0 = 0 \, மற்றும்  N_1 = 1.\,

:N_k = \left(6\sqrt{N_{k-1}} - \sqrt{N_{k-2}}\right)^2, \,  N_0 = 1 \, மற்றும் N_1 = 36.\,

:s_k = 6s_{k-1} - s_{k-2},\,  s_0 = 0 \, மற்றும் s_1 = 1;\,

:t_k = 6t_{k-1} - t_{k-2} + 2,\,  t_0 = 0 \, மற்றும் t_1 = 1.\,

## பிற பண்புகள்

சதுர முக்கோண எண்கள் எண்ணற்றவை என்பதற்கான நிறுவலை *எ. வி. சில்வெஸ்டர்* தந்துள்ளார்:
*n*(*n*+1)/2  என்ற முக்கோண எண் ஒரு வர்க்கம் எனில் மிகப்பெரிய முக்கோண எண்ணும் அவ்வாறே வர்க்கமாக அமையும்:

:\frac{\bigl( 4n(n+1) \bigr) \bigl( 4n(n+1)+1 \bigr)}{2} = 2^2 \, \frac{n(n+1)}{2} \,(2n+1)^2.

ஒரு சதுர முக்கோண எண்ணைப் பிறப்பிக்கும் சார்பு:
:\frac{1+z}{(1-z)(z^2 - 34z + 1)} = 1 + 36z + 1225 z^2 + \cdots.

## எண் தரவு

*k* -ன் மதிப்பு அதிகமாக அதிகமாக *t**k* / *s**k* விகிதம் \sqrt{2} \approx 1.41421 -யும் தொடர்ந்து அமையும் இரு சதுர முக்கோண எண்களின் விகிதம் 17+12\sqrt{2} \approx 33.97056 -யும் நெருங்கும்..

: \begin{array}{rrrrll} 
k & N_k & s_k & t_k & t_k/s_k & N_k/N_{k-1} \\
0 & 0 & 0 & 0 & & \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \\
2 & 36 & 6 & 8 &  1.33333 & 36\\
3 & 1\,225 & 35 & 49 &  1.4 & 34.02778\\
4 & 41\,616 & 204 & 288 &  1.41176 & 33.97224\\
5 & 1\,413\,721 & 1\,189 & 1\,681 &  1.41379 & 33.97061\\
6 & 48\,024\,900 & 6\,930 & 9\,800 &  1.41414 & 33.97056\\
7 & 1\,631\,432\,881 & 40\,391 & 57\,121 &  1.41420 & 33.97056\\
\end{array} 

## மேற்கோள்கள்

## வெளி இணைப்புகள்
* Triangular numbers that are also square at cut-the-knot
* 

பகுப்பு:வடிவ எண்கள்
பகுப்பு:முழுஎண் தொடர்வரிசைகள்