வரிசைமாற்ற அணி

கணிதத்தில் **வரிசைமாற்ற அணி** (*permutation matrix*) என்பது ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும்  ஒரேயொரு உறுப்பு 1 ஆகவும் ஏனைய உறுப்புகள் எல்லாம் 0 ஆகவும் கொண்ட சதுர இரும அணியாகும் (binary matrix). இத்தகைய அணி () ஒவ்வொன்றும்  உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றத்தைக் குறிக்கும். மேலும் மற்றொரு அணி  உடன் பெருக்கப்படும்போது முன்பெருக்கத்தில் (),  அணியின் நிரைகளின் வரிசைமாற்றமாகவும் பின்பெருக்கத்தில் (),  அணியின் நிரல்களின் வரிசைமாற்றமாகவும் அமையும்.

## வரையறை
*m* உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றம் &pi; என எடுத்துக்கொண்டால்: 
:\pi : \lbrace 1, \ldots, m \rbrace \to \lbrace 1, \ldots, m \rbrace
:\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & m \\ \pi(1) & \pi(2) & \cdots & \pi(m) \end{pmatrix}

வரிசைமாற்றத்தை, ஒரு வரிசைமாற்ற அணியுடன் இருவழிகளில் இணைக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக  *m* × *m* முற்றொருமை அணி,  இன் நிரல்களை  இன் படி வரிசைமாற்றம் செய்யலாம் அல்லது நிரைகளை  இன் படி வரிசைமாற்றம் செய்யலாம்.

: இன் நிரல்களை வரிசைமாற்றம் செய்யக்கிடைக்கும் வரிசைமாற்ற  அணி ஒரு *m &times; m* அணியாக இருக்கும். இந்த அணியின் குறியீடு *P* = (*p**ij*) எனில்: 
: ஒவ்வொரு *i* க்கும், *j* = (*i*) எனில்  *p**ij* = 1 ஆகவும், அவ்வாறு இல்லாவிட்டால்  *p**ij* = 0 ஆகவும் இருக்கும். 
:அதாவது *i* ஆவது நிரையில் (*i*) நிரலில் உள்ள உறுப்பு மட்டும் 1 ஆகவும் மீதமுள்ள உறுப்புகள் எல்லாம் 0 ஆகவும் இருக்கும். 
:எனவே வரிசைமாற்ற அணி *P* கீழுள்ளவாறு அமைகிறது: 
:P_\pi = \begin{bmatrix} \mathbf e_{\pi(1)} \\ \mathbf e_{\pi(2)} \\ \vdots \\ \mathbf e_{\pi(m)} \end{bmatrix},
:இதில் செந்தர அடுக்களத் திசையனான \mathbf e_j என்பது *m* நீளமுள்ள ஒரு நிரை திசையனாகும். மேலும் அதன் *j* ஆவது இடத்தில் 1 உம் மற்ற இடங்களில் 0 உம் கொண்டிருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:
:\pi=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 2 & 5 & 3 \end{pmatrix}, என்ற வரிசைமாற்றத்துக்குரிய வரிசைமாற்ற அணி:
:P_\pi 
= 
\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_{\pi(1)} \\
\mathbf{e}_{\pi(2)} \\
\mathbf{e}_{\pi(3)} \\
\mathbf{e}_{\pi(4)} \\
\mathbf{e}_{\pi(5)} 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_{1} \\
\mathbf{e}_{4} \\
\mathbf{e}_{2} \\
\mathbf{e}_{5} \\
\mathbf{e}_{3} 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 
\end{bmatrix}.

 
முற்றொருமை அணி  இன் *j* ஆவது நிரலானது *P* அணியின் (*j*) ஆவது நிரலாக அமைவதைக் காணலாம்.

## பண்புகள்
(கட்டுரையின் இப்பிரிவு முழுவதும் வரிசைமாற்ற அணியின் நிரல் உருவகிப்புப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. சில இடங்களில் நிரை உருவகிப்பு பயன்படுத்தப்படும்போது அது குறிப்பிடப்படும்)

*P_{\pi} ஆல் நிரல் திசையன் **g** ஐப் முன்பெருக்கும்போது கிடைக்கும் அத்திசையனின் நிரைகளின் வரிசைமாற்றம்:
:P_\pi \mathbf{g} 
= 
\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_{\pi(1)} \\
\mathbf{e}_{\pi(2)} \\
\vdots \\
\mathbf{e}_{\pi(n)}
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
g_1 \\
g_2 \\
\vdots \\
g_n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
g_{\pi(1)} \\
g_{\pi(2)} \\
\vdots \\
g_{\pi(n)}
\end{bmatrix}.


மேலுள்ள முடிவினை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதன்மூலம்  ஒரு பொருத்தமான வரிசையுடைய அணியாக இருக்கும்போது, பெருக்கல் அணியான P_{\pi} M ஆனது  இன் நிரைகளின் வரிசைமாற்றமாக அமைவதைக்  காணலாம்.

எனினும் ஒவ்வொரு  க்கும்,
:P_{\pi} \mathbf{e}_k^{\mathsf T} = \mathbf{e}_{\pi^{-1} (k)}^{\mathsf T} என்பதால் நிரைகளின் வரிமாற்றம் −1 ஆகும். ( அணியின் இடமாற்று அணி M^{\mathsf T})

*வரிசைமாற்ற அணிகளெல்லாம் செங்குத்து அணிகள் (i.e., P_{\pi}P_{\pi}^{\mathsf T} = I) என்பதால் அவற்றுக்கு நேர்மாறு அணிகள் உண்டு. அந்நேர்மாறு அணியைக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:
:P_{\pi}^{-1} = P_{\pi^{-1}} = P_{\pi}^{\mathsf T}.

*ஒரு நிரை திசையன் **h** ஐ P_{\pi} ஆல் பெருக்குவதால் அந்நிரை திசையனின் நிரல்களின் வரிசைமாற்றம்:
:\mathbf{h}P_\pi
= 
\begin{bmatrix} h_1 \; h_2 \; \dots \; h_n \end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_{\pi(1)} \\
\mathbf{e}_{\pi(2)} \\
\vdots \\
\mathbf{e}_{\pi(n)}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} h_{\pi^{-1}(1)} \; h_{\pi^{-1}(2)} \; \dots \; h_{\pi^{-1}(n)} \end{bmatrix}


மேலுள்ள முடிவினை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதன்மூலம்  அணியை வரிசைமாற்ற அணியான   ஆல் பின்பெருக்கம் செய்தால்   ஆனது  இன் நிரல்களின் வரிசைமாற்றமாக அமைவதை  காணலாம். மேலும்,
:\mathbf{e}_k P_{\pi} = \mathbf{e}_{\pi (k)}.

* உறுப்புகளின் இரு வரிசைமாற்றங்கள் ,  எனில் நிரல் திசையன் **g** மீது செயற்படும் அவற்றின் வரிசைமாற்ற அணிகள் ,  இரண்டின் தொகுப்பு:
:P_{\sigma} P_{\pi}\, \mathbf{g}  = P_{\pi\,\circ\,\sigma}\, \mathbf{g}. 

* உறுப்புகளின் இரு வரிசைமாற்றங்கள் ,  எனில் நிரை திசையன் **h** மீது செயற்படும் அவற்றின் வரிசைமாற்ற அணிகள் ,  இரண்டின் தொகுப்பு:
: \mathbf{h} P_{\sigma} P_{\pi}  = \mathbf{h} P_{\pi\,\circ\,\sigma}. 
:\pi\,\circ\,\sigma (k) = \pi \left(\sigma (k) \right).

* வரிசைமாற்றத்துக்குரிய வரிசைமாற்ற அணியின் நிரை உருவகிப்பு Q_{\pi} எனில், Q_{\pi} = P_{\pi}^{\mathsf T} = P_. என்பதால் இந்த உருவகிப்புக்கான பண்புகளை வரிசைமாற்ற அணியின் நிரல்  உருவகிப்புக்குரிய பண்புகளிலிருந்து பெறலாம்.
:குறிப்பாக, 
:Q_{\pi} \mathbf{e}_k^{\mathsf T} = P_ \mathbf{e}_k^{\mathsf T} = \mathbf{e}_{(\pi^{-1})^{-1} (k)}^{\mathsf T} = \mathbf{e}_{\pi (k)}^{\mathsf T}.
:இதிலிருந்து, 
:Q_{\sigma} Q_{\pi}\, \mathbf{g} = Q_{\sigma\,\circ\,\pi}\, \mathbf{g}.
:இதேபோல,
:\mathbf{h}\, Q_{\sigma} Q_{\pi} = \mathbf{h}\, Q_{\sigma\,\circ\,\pi}.

## அணிக் குலம்
(1) என்பது முற்றொருமை வரிசைமாற்றம் எனில்  ஆனது முற்றொருமை அணியாகும்.

:{1,2,...,} மீதான சமச்சீர் குலம் அல்லது வரிசைமாற்றுக் குலம் என்க. மொத்தம் ! வரிசைமாற்றங்கள் இருப்பதால், ! வரிசைமாற்ற அணிகள் இருக்கும்.  இந்த  வரிசைமாற்ற அணிகள், அணிப்பெருக்கலின் கீழ் முற்றொருமை அணியை முற்றொருமை உறுப்பாகக் கொண்ட குலமாக அமையும்.

## மேற்கோள்கள்

* 
*

பகுப்பு:அணிகள்
பகுப்பு:வரிசைமாற்றங்கள்