டி மாவரின் வாய்ப்பாடு

கணிதத்தில், **டி மாவரின் வாய்ப்பாடு** (*de Moivre's formula*) என்பது,

:\left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right)\, ஆகும்.

இங்கு *x* ஒரு சிக்கலெண் (குறிப்பாக மெய்யெண்), *n* ஒரு முழு எண். பிரஞ்சு கணிதவியலாளர் *ஆபிரகாம் டி மாவரால்* அறிமுகப்படுத்தப்பட்டதால் இவ்வாய்ப்பாடு அவரது பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. சிக்கலெண்களையும் முக்கோணவியலையும் இணைப்பதால் இந்த வாய்ப்பாடு மிகவும் முக்கியம் வாய்ந்ததாக உள்ளது.

சில சமயங்களில் cos *x* + *i* sin *x*  என்பது சுருக்கமாக cis *x* என குறிக்கப்படும்.

இதன் இடதுபுறத்தை விரித்து, ( *x* மெய்யெண் எனக்கொள்க.) இருபுறமும் உள்ள மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளை சமப்படுத்துவதன் மூலம் cos (*nx*) மற்றும் sin (*nx*)  இவற்றுக்கான விரிவுக்கோவைகளைப் பெறாலாம். அக்கோவைகள் cos *x* மற்றும் sin *x* களால் ஆனவையாக இருக்கும். மேலும் இவ்வாய்ப்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தி 1 ன் *n* ஆம் படி மூலங்களைக் ( *n* th roots of unity) காணலாம். அதாவது,  *z<sup>n</sup>* = 1 என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் சிக்கலெண், *z* ன் மதிப்புகளைக் காணலாம்.

## முழுஎண் அல்லாத அடுக்குகளுக்குப் பொருந்தாமை

டி மாவரின் வாய்ப்பாடு, அடுக்குகள் முழுஎண்களாக இல்லாவிட்டால் பொருந்தாது. முழுஎண்ணல்லாத அடுக்குகளையுடைய சிக்கலெண்களுக்கு பல மதிப்புகள் உண்டு. இவ்வாய்ப்பாட்டினைப் பொதுமைப்படுத்தலின் மூலம்    
\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right)\, என்பது \left(\cos x+i\sin x\right)^n\, ன் பல மதிப்புகளுள் ஒன்று என்பதைக்  காணலாம். 
  
எடுத்துக்காட்டு:

*n*&nbsp;=&nbsp;&frac12; எனில் வாய்ப்பாட்டின்படி,

: *x*&nbsp;=&nbsp;0  எனும்போது  1&frac12;&nbsp;=&nbsp;1, 
: *x*&nbsp;=&nbsp;2*π* எனும்போது 1&frac12;&nbsp;=&nbsp;−1     என இரு மதிப்புகள் கிடைக்கின்றன.

கோணங்கள் 0 மற்றும் 2π இரண்டும் ஒன்றுதான் என்றாலும் அவை 1 மற்றும் -1 என்ற இரு வேறுபட்ட மதிப்புகளைத் தருகின்றன. பொதுமைப்படுத்தலும் 1ன் வர்க்கமூலங்கள் 1, -1 என்பதை உறுதிப்படுத்துகின்றது.

## நிறுவுதல்

### ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு மூலம்
ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி டிமாவரின் வாய்ப்பாட்டை எளிதாக நிறுவலாம்.

ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு:

:e^{ix} = \cos x + i\sin x\,

முழுஎண்களுக்கான அடுக்கேற்ற விதிப்படி,

:\left( e^{ix} \right)^n = e^{inx} .

மீண்டும் ஆய்லர் வாய்ப்பாட்டின்படி,

:e^{i(nx)} = \cos (nx) + i\sin (nx).\,

அதாவது,  \left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right).\,

### கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறை

டி மாவரின் வாய்ப்பாட்டினை ஒரு இயல் எண் அடுக்கிற்கு கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் நிறுவலாம். பின் அதன்மூலம் எல்லா முழு எண் அடுக்குகளுக்கும் நிரூபிக்கலாம்.

* இயல் எண் அடுக்கிற்கு

*S*(*n*):    (\cos x + i \sin x)^n = \cos (nx) + i \sin (nx), n \in \mathbb{Z}

கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறைப்படி *n*&nbsp;>&nbsp;0, விற்கு முதலில் நிறுவலாம்.

*S*(1) என்பது தெளிவாக உண்மையென அறியலாம்.

*S*(*k*)  உண்மையென எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும். அதாவது,

:\left(\cos x + i \sin x\right)^k = \cos\left(kx\right) + i \sin\left(kx\right). \, என்பது உண்மை.

இப்பொழுது

*S*(*k*+1):

:
\begin{alignat}{2}
    \left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+i\sin x\right)\\
                                      & = \left[\cos\left(kx\right) + i\sin\left(kx\right)\right] \left(\cos x+i\sin x\right) &&\qquad \text{by the induction hypothesis}\\
                                      & = \cos \left(kx\right) \cos x - \sin \left(kx\right) \sin x + i \left[\cos \left(kx\right) \sin x + \sin \left(kx\right) \cos x\right]\\
                                      & = \cos \left[ \left(k+1\right) x \right] + i\sin \left[ \left(k+1\right) x \right] &&\qquad \text{by the trigonometric identities}
\end{alignat}


அதாவது *S*(*k*)  யிலிருந்து *S*(*k*+1) கிடைக்கப்பெறுகிறது.

எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதலின் கொள்கையின்படி *S*(*n*) அனைத்து இயல் எண் அடுக்குகளுக்கும் உண்மையாகும்.

* பூச்சிய அடுக்கு

*S*(0):  cos&nbsp;(0*x*)&nbsp;+&nbsp;*i*&nbsp;sin(0*x*)&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;+*i*&nbsp;0&nbsp;=&nbsp;1,  இது உண்மை என்பது தெளிவு.

# எதிர்ம முழு எண் அடுக்கு

அடுக்கு, ஒரு எதிர்ம முழுஎண்ணாக இருக்கும்போது அதனை, -*n*  என எடுத்துக் கொண்டு இவ்வாய்ப்பாட்டை நிறுவலாம். இங்கு *n* ஒரு இயல் எண்.

:
\begin{align}
     \left(\cos x + i\sin x\right)^{-n} & = \left[ \left(\cos x + i\sin x\right)^n \right]^{-1} \\
                                       & = \left[\cos (nx) + i\sin (nx)\right]^{-1} \\
                                       & = \cos(-nx) + i\sin (-nx). \qquad (*) \\
\end{align}


சமன்பாடு  (*),  z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2},  (*z* = cos *nx* + *i* sin *nx*) என்ற முற்றொருமைச் சமன்பாட்டின் விளைவாகும்.

எனவே *S*(*n*),  *n* இன் அனைத்து முழுஎண் மதிப்புகளுக்கும் உண்மையாகும்.

## கொசைன் மற்றும் சைன் வாய்ப்பாடுகள்
டி மாவரின் வாய்ப்பாட்டின் இருபுறங்களிலும் உள்ள சிக்கலெண்களின் மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்தி கொசைன், சைன் வாய்ப்பாடுகளைக் காணலாம்.

*x*,  cos&nbsp;*x* மற்றும் sin&nbsp;*x*, மெய்யெண்கள் எனில்,

:\begin{alignat}2
  \cos(nx)&=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}{\tbinom{n}{2k}}(-1)^k(\cos{x})^{n-2k}(\sin{x})^{2k}& &=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}{\tbinom{n}{2k}}(\cos{x})^{n-2k}((\cos{x})^2-1)^k\\
  \sin(nx)&=\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}{\tbinom{n}{2k+1}}(-1)^k(\cos{x})^{n-2k-1}(\sin{x})^{2k+1}& &=(\sin{x})\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}{\tbinom{n}{2k+1}}(\cos{x})^{n-2k-1}((\cos{x})^2-1)^k.
\end{alignat}

இவை *x* சிக்கலெண்ணாக இருந்தாலும் பொருந்தும்.

குறிப்பாக, *n*&nbsp;=&nbsp;2 , *n*&nbsp;=&nbsp;3:

:\begin{alignat}2
  \cos(2x) &= (\cos{x})^2 +((\cos{x})^2-1) &&= 2(\cos{x})^2-1\\
  \sin(2x) &= 2(\sin{x})(\cos{x})\\
  \cos(3x) &= (\cos{x})^3 +3\cos{x}((\cos{x})^2-1) &&= 4(\cos{x})^3-3\cos{x}\\
  \sin(3x) &= 3(\cos{x})^2(\sin{x})-(\sin{x})^3 &&= 3\sin{x}-4(\sin{x})^3.\\
\end{alignat}

## பொதுமைப்படுத்தல்
*z* மற்றும் *w*  சிக்கலெண்களெனில் 
:\left(\cos z + i\sin z\right)^w, ஒரு பன்மதிப்புச் சார்பு. ஆனால்

:\cos (wz) + i \sin (wz)\, அப்படியானதல்ல.எனவே

\cos\left(wz\right)+i\sin\left(wz\right).\, என்பது \left(\cos z+i\sin z\right)^w\, ன் பல மதிப்புகளுள் ஒன்றாகும்.

## பயன்பாடுகள்
இவ்வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ஒரு சிக்கலெண்னின்  *n* ஆம் படி மூலங்களைக் காணலாம்.

*z*  என்ற சிக்கலெண் போலார் வடிவில் தரப்பட்டுள்ளது.

: z=r\left(\cos x+i\sin x\right),\,

: 
z^{1/n} = \left[ r\left( \cos x+i\sin x \right) \right]^{1/n} = r^{1/n} \left[ \cos \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) \right]
 (*k* ஒரு முழுஎண்)
*k* க்கு 0 விலிருந்து n-1 வரையிலான மதிப்புகளை அளித்து *z* ன் *n* மூலங்களையும் பெறலாம்.

பகுப்பு:சிக்கலெண் பகுவியல்
பகுப்பு:முக்கோணவியல்