ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டின் தூரம்

கணிதத்தில் **ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டின் தூரம்** (*distance from a point to a line*) என்பது ஒரு புள்ளிக்கும் ஒரு கோட்டிற்கும் இடைப்பட்ட மிகச்சிறிய தூரத்தைக் குறிக்கும்.  அப்புள்ளிக்குக் கோட்டிலிருந்து அமையும் செங்குத்துக் கோட்டின் போக்கில் தான் இரண்டிற்கும் இடையிலான மிகச்சிறிய தூரம் அமையும்.

## கார்ட்டீசியன் ஆயங்கள்
கார்ட்டீசியன் ஆய முறைமையில் ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு நேர்கோட்டிற்குள்ள தூரம் காணல்:

ஒரு தளத்தில் அமையும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு:

 ( *a*, *b* , *c*  மெய்யெண்கள். *a* , *b*  இரண்டும் ஒரே சமயத்தில் பூச்சியமாகாது.)

(*x*0,*y*0)  என்ற புள்ளியிலிருந்து இக்கோட்டின் தூரம் காணும் வாய்ப்பாடு:

:\operatorname{distance}(ax+by+c=0, (x_0, y_0)) = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}. 

## நிறுவல் 1 ([[இயற்கணிதம்|இயற்கணித]] முறை)

தரப்பட்ட கோடு: ax + by + c = 0,

தரப்பட்ட புள்ளி: (m,n)

இப்புள்ளியிலிருந்து ax + by + c = 0 -க்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோடும் ax + by + c = 0 -ம் வெட்டும் புள்ளி (x,y) என்க.

இச்செங்குத்துகோட்டின் சாய்வு:

:\frac{n-y}{m-x} = \frac{b}{a}\,

:a(n-y) - b(m-x) = 0,

:(a(n-y) - b(m-x))^2 = 0,

:a^2(n-y)^2 + b^2(m-x)^2 - 2ab(m-x)(n-y) = 0.

:a^2(n-y)^2 + b^2(m-x)^2 = 2ab(m-x)(n-y) .--------(1)

மேலும்,

:[a(m-x) + b(n-y)]^2 = a^2(m-x)^2 + b^2(n-y)^2 + 2ab(m-x)(n-y),

:a^2(m-x)^2 + b^2(n-y)^2 = [a(m-x) + b(n-y)]^2  - 2ab(m-x)(n-y),--------(2)

(1) மற்றும் (2) -ஐக் கூட்ட:

:(a^2+b^2)((m-x)^2+(n-y)^2)=[a(m-x)+b(n-y)]^2=(am+bn+c)^2.

:[(m-x)^2+(n-y)^2]= \frac{(am+bn+c)^2}{a^2+b^2}.---------(3)

(m,n) மற்றும் (x,y) புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம்:

:d=\sqrt{(m-x)^2+(n-y)^2}----------(4)

: ஃ  d=\sqrt{(m-x)^2+(n-y)^2}= \frac{\sqrt{a^2+b^2}}

## நிறுவல் 2 ([[வடிவவியல்]] முறை)
தரப்பட்ட புள்ளி: S(m,n)

தரப்பட்ட கோடு: ax+by+c=0.

S-லிருந்து இக்கோட்டிற்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோடு இக்கோட்டைச் சந்திக்கும் புள்ளி G(x,y).

S -லிருந்து  ax+by+c=0 -க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து கொள்க. இந்த இணைகோட்டின் சமன்பாடு ax+by+d=0

y அச்சுக்கு இணையாகவும், G மற்றும் இணைகோட்டின் மீது அமையும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி F -ஐயும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நீளம்:

:|\frac{c-d}{b}| = |\frac{am+bn+c}{b}|\,

முக்கோணம் SGF ஒரு செங்கோண முக்கோணம். அதன் பக்கங்களின் விகிதம் a : b :\sqrt{a^2+b^2}  ஆக இருக்கும்.

இச்செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கம் GF -ன் நீளம்: 

: GF = |\frac{am+bn+c}{b}|\,

இதனை b-ன் தனிமதிப்பால் பெருக்கி \sqrt{a^2+b^2} -ஆல் வகுக்க பக்கம் SG-ன் மதிப்பு கிடைக்கிறது.

: ஃ   SG = \frac{\sqrt{a^2+b^2}} \,

## திசையன் அமைப்பு

கோட்டின் சமன்பாட்டைத் திசையன்கள் மூலமாக எடுத்துக் கொண்டால்:

:  \mathbf{x} = \mathbf{a} + t\mathbf{n}

இங்கு   ஒரு அலகு திசையன்.

ஏதாவது ஒரு புள்ளி -லிருந்து இக்கோட்டிற்குள்ள தூரம் காணும் வாய்ப்பாடு:

: \operatorname{distance}(\mathbf{x} = \mathbf{a} + t\mathbf{n}, \mathbf{p}) = \| (\mathbf{a}-\mathbf{p}) - ((\mathbf{a}-\mathbf{p}) \cdot  \mathbf{n})\mathbf{n} \|. 

இவ்வாய்ப்பாடு இரண்டிற்கும் மேற்பட்ட பரிமாணங்களுக்கும் பொருந்தும்.

### விளக்கம்
: \mathbf{a}-\mathbf{p} என்பது புள்ளி  -லிருந்து தரப்பட்ட கோட்டின் மீது அமையும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி  -க்கு வரையப்பட்ட திசையன்.

:  (\mathbf{a} - \mathbf{p}) \cdot  \mathbf{n}  என்பது தரப்பட்ட கோட்டின் மீது \mathbf{a}-\mathbf{p} திசையனின் வீழலின் நீளத்தைக் குறிக்கிறது.

அதாவது ((\mathbf{a} - \mathbf{p}) \cdot  \mathbf{n})\mathbf{n}
என்பது கோட்டின் மீதான \mathbf{a}-\mathbf{p} -ன் வீழல் திசையனைக் குறிக்கிறது.

இக்கோட்டிற்கு செங்குத்துத்  திசையில் \mathbf{a}-\mathbf{p} -ன் கூறு:

:(\mathbf{a}-\mathbf{p}) - ((\mathbf{a}-\mathbf{p}) \cdot  \mathbf{n})\mathbf{n}

எனவே இத்திசையனின் அளவே  -லிருந்து தரப்பட்ட கோட்டின் துரமாகும்.

: \operatorname{distance}(\mathbf{x} = \mathbf{a} + t\mathbf{n}, \mathbf{p}) = \| (\mathbf{a}-\mathbf{p}) - ((\mathbf{a}-\mathbf{p}) \cdot  \mathbf{n})\mathbf{n} \|. 

## மேற்கோள்கள்

பகுப்பு:வடிவவியல்
பகுப்பு:திசையன்கள்
பகுப்பு:யூக்ளிடிய வடிவவியல்