வகையிடலின் சங்கிலி விதி

நுண்கணிதத்தில் **வகையிடலின் சங்கிலி விதி** அல்லது **சங்கிலி விதி** (*chain rule*) என்பது வகையிடல் விதிகளுள் ஒன்றாகும். இவ்விதி, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளின் சேர்ப்புச் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது. இதன் வாய்ப்பாட்டில், *f* , *g* எனும் இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகளின் சேர்ப்புச் சார்பான  இன் வகைக்கெழு *f* , *g* இன் வகைக்கெழுக்கள் மூலம் தரப்படுகிறது.

வகையிடலிலுள்ள இந்தச் சங்கிலி விதிக்கு ஒத்ததாக தொகையிடலிலுள்ள விதி, பிரதியிடல் விதியாகும்.

## வரலாறு
சங்கிலி விதி முதன்முதலில் லைப்னிட்சால் பயன்படுத்தப்பட்டதாகத் தெரியவருகிறது. \sqrt{a + bz + cz^2} என்ற சார்பை வகையிடும் போது இவ்விதி லைப்னிட்சால் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. மேலே தரப்பட்ட சார்பானது, வர்க்கமூலம் காணல் மற்றும் a + bz + cz^2 ஆகிய சார்புகளின் சேர்ப்பாக அமைகிறது. அவரது நினைவுக் குறிப்பொன்றில் அவரால் இதுபற்றிய குறிப்பு தரப்பட்டுள்ளது. சங்கிலி விதியின் பொதுக் குறியீடு, லைப்னிட்சினுடையதாகும். பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் *லோபிதால்* (L'Hôpital) தனது  *Analyse des infiniment petits* புத்தகத்தில் சங்கிலி விதியை மறைமுகமாகப் பயன்படுத்தியிருந்தாலும் வெளிப்படையாக அதுபற்றி எதுவும் குறிப்பிடவில்லை. லைப்னிட்சின் கண்டுபிடிப்பிற்கு நூறாண்டுகளுப்பின் எழுதப்பட்ட ஆய்லரின் பகுப்பியல் புத்தகங்களிலும் சங்கிலி விதி குறித்த எந்தவிதமானதொரு கருத்தும் காணப்படவில்லை.

## ஒரு பரிமாணத்தில்

### எடுத்துக்காட்டு 1
வானூர்தியிலிருந்து ஒருவர் வானில் குதித்த *t*  வினாடிகளுக்குப் பின்,

:கடல் மட்டத்திலிருந்து அவருள்ள இடத்தின் உயரம், .
:*h* அலகு உயரத்தில் வளிமண்டல அழுத்தம், .

இவ்விரண்டு சார்புகளையும் வகையிட்டும், இரண்டையும் சேர்த்தும் பின்வரும் முடிவுகளைப் பெறலாம்:

*g'(t) = -9.8t இது குதித்தவரின் திசைவேகத்தை *t* நேரத்தில் தருகிறது.
*f'(h) = -10.1325 e^{-0.0001h}  இது *h* உயரத்தில், வளிமண்டல அழுத்தத்தின், உயரத்தைப் பொறுத்த மாறுவீதத்தைத் தருகிறது. மேலும் இது கடல் மட்டத்திலிருந்து *h* மீட்டர் உயரத்தில், குதித்தவர் மீது செயல்படும் மிதப்பு விசைக்கு விகிதத்தில் அமையும்.
* (f \circ g)(t)  இது குதித்து *t* வினாடிகள் ஆனபின், குதித்தவர் உணரும் வளிமண்டல அழுத்தமாகும்.
* (f \circ g)'(t)  இது, குதித்து *t* வினாடிகளுக்குப்பின் குதித்தவர் உணரும் வளிமண்டல அழுத்தத்தின், நேரத்தைப் பொறுத்த மாறுவீதமாகும். மேலும் இது குதித்து *t* வினாடிகளுக்குப் பின் குதித்தவர் மீது செயல்படும் மிதப்பு விசைக்கு விகிதத்தில் அமையும்.

சங்கிலி விதியின் வாய்ப்பாடு:

:(f \circ g)'(t) = f'(g(t))g'(t).

இவ்வாய்ப்பாட்டின்படி மேலே குறிப்பிடப்பட்ட வளிமண்டல அழுத்தத்தின் மாறுவீதம்:

:(f \circ g)'(t) = \big(\mathord{-}10.1325e^{-0.0001(4000 - 4.9t^2)}\big)\cdot\big(\mathord{-}9.8t\big).

### சங்கிலி விதியின் கூற்று

ஒருமாறியில் அமைந்த மெய்யெண் மதிப்புச் சார்புகளுக்கு இவ்விதி எளிய வடிவில் அமைகிறது.

*g* என்ற சார்பு  *c* புள்ளியில் வகையிடத்தக்கதாகவும் (*g*&prime;(*c*) உள்ளது), *f* சார்பு *g*(*c*) இல் வகையிடத்தக்கதாகவும் இருந்தால், இவ்விரண்டு சார்புகளின் தொகுப்புச் சார்பு *f*&nbsp;∘&nbsp;*g* -ம்  *c* இல் வகையிடத் தக்கதாக இருக்கும். மேலும் அதன் வகைக்கெழு:

: (f\circ g)'(c) = f'(g(c))\cdot g'(c) 

:(f\circ g)' = (f'\circ g) \cdot g'\,  எனச் சுருக்கமாக எழுதலாம்.

,  எனில்  லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

:\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.

வகையிடப்படும் இடங்களைக் குறிப்பிட்டுப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

:\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=c} = \left.\frac{dy}{du}\right|_{u = g(c)} \cdot \left.\frac{du}{dx}\right|_{x=c}.\, 

#### இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளுக்கு
இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளின் சேர்ப்புச் சார்புக்குச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தலாம். *f*, *g*,  *h* சார்புகளின் சேர்ப்பு என்பது (இதே வரிசையில்), *f* சார்புடன்  சார்பின் சேர்ப்பாகும்.  சார்பின் வகைக்கெழு காண, *f* இன் வகைக்கெழுவும்  இன் வகைக்கெழுவும் காண வேண்டும். *f*  இன் வகைக்கெழுவை நேரிடையாகவும்  இன் வகைக்கெழுவைச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தியும் காணலாம்.

 புள்ளியில்,

:(f \circ g \circ h)'(a) = f'((g \circ h)(a))(g \circ h)'(a) = f'((g \circ h)(a))g'(h(a))h'(a)

லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

:\frac{dy}{dx} = \left.\frac{dy}{du}\right|_{u=g(h(a))}\cdot\left.\frac{du}{dv}\right|_{v=h(a)}\cdot\left.\frac{dv}{dx}\right|_{x=a}
அல்லது சுருக்கமாக,
:\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}

எடுத்துக்காட்டு:

:y = e^{\sin {x^2}}

இச்சார்பை கீழ்க்காணும் சார்புகளின் தொகுப்பாகக் கொள்ளலாம்:

:\begin{align}
y &= f(u) = e^u, \\
u &= g(v) = \sin v, \\
v &= h(x) = x^2.
\end{align}

இவற்றின் வகைக்கெழுக்கள்:

:\begin{align}
\frac{dy}{du} &= f'(u) = e^u, \\
\frac{du}{dv} &= g'(v) = \cos v, \\
\frac{dv}{dx} &= h'(x) = 2x.
\end{align}

சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:
:\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}

:\frac{dy}{dx} = e^{\sin {x^2}}\cdot\cos{x^2}\cdot 2x

 சார்பை   மற்றும் *h* சார்புகளின் தொகுப்பாகவும் எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

இம்முறையில் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:

:(f \circ g \circ h)'(a) = (f \circ g)'(h(a))h'(a) = f'(g(h(a))g'(h(a))h'(a).

இந்த முடிவும் முதலில் கணக்கிட்டதும் சமமாகவே உள்ளதற்குக் காரணம் 
:(f \circ g )\circ h = f \circ (g \circ h)  என்பதே.

#### வகுத்தல் விதி
சில வகையிடல் விதிகளைச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி அடையலாம். எடுத்துக்காட்டாக, வகுத்தல் விதியைச் சங்கிலி விதி, பெருக்கல் விதி இரண்டையும் பயன்படுத்திப் பெறலாம்.

:\begin{align}
\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)
&= \frac{d}{dx}\left(f(x)\cdot\frac{1}{g(x)}\right) \\
&= f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x)\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right).
\end{align}

பெருக்கல் விதிப்படி இம்முடிவு கிடைத்துள்ளது. இதற்குப்பின்  1/*g*(*x*) சார்பானது,  *g* மற்றும் தலைகீழிச் சார்பின் சேர்ப்பாக எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டு கொண்டு சங்கிலி விதிப்படி வகையிடப்படுகிறது. தலைகீழிச் சார்பு  *x* உடன் 1/*x*  ஐ இணைக்கிறது. 1/*x*  இன் வகைக்கெழு &minus;1/*x*2.

என்வே மேலுள்ள முடிவிற்குச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:

:f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x)\cdot\left(-\frac{1}{g(x)^2}\cdot g'(x)\right)
= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2},
இதுவே வகையிடலின் வகுத்தல் விதியாகும்.

#### நேர்மாறுச் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்
 சார்புக்கு, நேர்மாறுச் சார்பு உள்ளது எனில் அதனை *f* எனக் கொண்டால்,  ஆகும். *f* இன் வகைக்கெழுவை,  *g* இன் வகைக்கெழு மூலம் காண முடியும்.

*g* இன் நேர்மாறுச் சார்பு *f* என்பதால்,
:f(g(x)) = x.

எனவே இருபுறமுமுள்ள சார்புகளின் வகைக்கெழுக்களும் சமமாக இருக்கும். *x* இன் வகைக்கெழு 1.

:f'(g(x))g'(x) = 1.

: f(y) = x எனப் பிரதியிட,

:\begin{align}
f'(g(f(y)))g'(f(y)) &= 1 \\
f'(y)g'(f(y)) &= 1 \\
f'(y) = \frac{1}{g'(f(y))}.
\end{align}

எடுத்துக்காட்டு:

: g(x) = e^x  எனில்,

இதன் நேர்மாறுச் சார்பு:  f(y) = \ln y 

மேலும் வகைக்கெழு,

: g'(x) = e^x .

எனவே நேர்மாறுச் சார்பின் வகைக்கெழு காண மேலே தரப்பட்டுள்ள வாய்ப்பாட்டின்படி:

:\frac{d}{dy}\ln y = \frac{1}{e^{\ln y}} = \frac{1}{y}.

*g* , அதன் நேர்மாறு *f* இரண்டும் வகையிடத் தக்கவையாக இருந்தால் இவ்வாய்ப்பாடு உண்மையாகும். இரண்டில் ஏதேனும் ஒன்று வகையிடத் தக்கதாக இல்லையெனில் இவ்வாய்ப்பாடு பயனளிக்காது.

எடுத்துக்காட்டாக,

: g(x) = x^3 . எனில் அதன் நேர்மாறுச் சார்பு:

: f(y) = y^\frac{1}{3} 

இச்சார்பு x=0 இல் வகையிடத்தக்கது இல்லை. எனவே சார்பு *f* இன் வகைக்கெழுவை x=0 இல் மேற்கூறப்பட்ட வாய்ப்பாட்டினைப் பயன்படுத்திக் காண முற்பட்டால் 1/0 எனக் கிடைக்கும். இது வரையறுக்கப்படாத ஒன்றாகும். எனவே இங்கு இவ்வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்த முடியாது.

### உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள்
*ஃபா டி புருனோவின் வாய்ப்பாடு*, சங்கிலி விதியை உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்களுக்கு பொதுமைப்படுத்துகிறது.

:\frac{d (f \circ g) }{dx} = \frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}
:
  \frac{d^2 (f \circ g) }{d x^2}
  = \frac{d^2 f}{d g^2}\left(\frac{dg}{dx}\right)^2
    + \frac{df}{dg}\frac{d^2 g}{dx^2}

:
  \frac{d^3 (f \circ g) }{d x^3}
  = \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^3
    + 3 \frac{d^2 f}{d g^2} \frac{dg}{dx} \frac{d^2 g}{d x^2}
    + \frac{df}{dg} \frac{d^3 g}{d x^3}

:
  \frac{d^4 (f \circ g) }{d x^4}
  =\frac{d^4 f}{dg^4} \left(\frac{dg}{dx}\right)^4
    + 6 \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^2 \frac{d^2 g}{d x^2}
    + \frac{d^2 f}{d g^2} \left\{ 4 \frac{dg}{dx} \frac{d^3 g}{dx^3} + 3\left(\frac{d^2 g}{dx^2}\right)^2\right\}
    + \frac{df}{dg}\frac{d^4 g}{dx^4}.


## உயர்பரிமாணங்களில் சங்கிலி விதி
உயர்பரிமாணங்களுக்கு சங்கிலி விதியின் எளிமையான பொதுமைப்படுத்தலில் முழு வகைக்கெழு பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு சார்பின் முழு வகைக்கெழு அச்சார்பு எல்லாத் திசைகளிலும் எவ்வாறு மாறுகிறது என்பதைக் குறிக்கும் நேரியல் உருமாற்றமாகும்.

 இரண்டும் வகையிடத்தக்க சார்புகள். *D*  முதல் வகைக்கெழுச் செயலி எனில்,

**R***n* இல் அமைந்த ஒரு புள்ளி **a** எனில், உயர்பரிமாணச் சங்கிலி விதியின் வாய்ப்பாடு:

:D_{\mathbf{a}}(f \circ g) = D_{g(\mathbf{a})}f \circ D_{\mathbf{a}}g,
அல்லது சுருக்கமாக,
:D(f \circ g) = Df \circ Dg.

ஜேக்கோபிய அணிகளின் வாயிலாக இவ்விதி:
:J_{\mathbf{a}}(f \circ g) = J_{g(\mathbf{a})}(f)J_{\mathbf{a}}(g),

பகுதி வகைக்கெழுவிற்கு:

 மற்றும்  எனில்:

:\frac{\partial(f_1, \ldots, f_k)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)} = \frac{\partial(f_1, \ldots, f_k)}{\partial(u_1, \ldots, u_m)}\frac{\partial(g_1, \ldots, g_m)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)}.

:\frac{\partial(f_1, \ldots, f_k)}{\partial x_i} = \frac{\partial(f_1, \ldots, f_k)}{\partial(u_1, \ldots, u_m)}\frac{\partial(g_1, \ldots, g_m)}{\partial x_i}.
:\frac{\partial(f_1, \ldots, f_k)}{\partial x_i} = \sum_{\ell = 1}^m \frac{\partial(f_1, \ldots, f_k)}{\partial u_\ell}\frac{\partial g_\ell}{\partial x_i}.

 எனில், *f* ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பாகும். இதற்கான வாய்ப்பாடு:
:\frac{\partial f}{\partial x_i} = \sum_{\ell = 1}^m \frac{\partial f}{\partial u_\ell}\frac{\partial g_\ell}{\partial x_i}.

### எடுத்துக்காட்டு

:\,u = x^2 + 2y,  \,x = r\sin(t),  \,y = \sin^2(t)

சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:
:\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} = \left(2x\right)\left(\sin(t)\right)+\left(2\right)\left(0\right)=2r\sin^2(t)
மற்றும்
:\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} = \left(2x\right)\left(r\cos(t)\right)+\left(2\right)\left(2\sin(t)\cos(t)\right)
: = 2\left(r\sin(t)\right)r\cos(t)+4\sin(t)\cos(t) = 2\left(r^2+2\right)\sin(t)\cos(t).

### பலமாறிச் சார்புகளின் உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள்

ஃபா டி புருனோவின் வாய்ப்பாடு ஒரு மாறியில் அமைந்த சார்புகளின் உயர்வரிசை வகைடிடலைப் பலமாறிகளில் அமைந்த சார்புகளுக்குப் பொதுமைப்படுத்துகிறது.

 இன் சார்பாக *f* இருந்தால்  இன் இரண்டாம் வகைக்கெழு:

:\frac{\partial^2 (f \circ g)}{\partial x_i \partial x_j} = \sum_k \frac{\partial f}{\partial u_k}\frac{\partial^2 g_k}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{k, \ell} \frac{\partial^2 f}{\partial u_k \partial u_\ell}\frac{\partial g_k}{\partial x_i}\frac{\partial g_\ell}{\partial x_j}.

## மேற்கோள்கள்

## வெளி இணைப்புகள்
*கணிதவியல், மேனிலை - முதலாம் ஆண்டு, தொகுதி - 2, தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழகம். பக்கம் 84. http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Std11.htm 
* 
* Khan Academy Lesson 1  Lesson 3 
* http://calculusapplets.com/chainrule.html
* The Chain Rule explained 

பகுப்பு:வகையீட்டு நுண்கணிதம்
பகுப்பு:நுண்கணிதத் தேற்றங்கள்