நறுக்கம்

யூக்ளியிய வடிவவியல், **நறுக்கம்** (*shear* அல்லது *shear mapping*) என்பது ஒரு நேரியல் கோப்பு ஆகும். இவ்வுருமாற்றத்தின் கீழ் யூக்ளிடிய தளத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரு குறிப்பிட்ட திசையில் நகர்த்தப்படும். நகர்த்தப்படும் அளவு, அத்திசைக்கு இணையான ஒரு நிலைக்கோட்டிற்கும் அப்புள்ளிக்குமான குறியிடப்பட்ட தூரத்தின் மடங்கின் விகிதவளவாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

ஆள்கூற்றுகள் (x,y) கொண்ட ஒரு புள்ளியை (x + 2y,y) புள்ளிக்கு மாற்றும் கோப்பு ஒரு நறுக்கமாகும். இதில் நகர்வு கிடைமட்டமாக உள்ளது. x-அச்சு நிலைக்கோடு; புள்ளியின் y ஆள்கூறு குறியிடப்பட்டத் தூரம். நிலைக்கோட்டிற்கு இருபுறமும் அமையும் புள்ளிகள், கோட்டின் மாற்றுப்புறத்திற்கு நகர்த்தப்படுகின்றன.

நறுக்கத்தைச் சுழற்சியாகத் தவறாகக் கருதிவிடக் கூடாது. ஒரு நறுக்கத்தின் கீழ் ஒரு தளத்தின் புள்ளிகளின் ஒரு தொகுதியில், அப்புள்ளிகளுக்கிடையேயுள்ள கோணங்கள் அனைத்தும் மாறுபடும்; நகர்வின் திசைக்கு இணையாக இல்லாத அப்புள்ளிகளின் கோட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்களும் மாறுபடும். இதனால் நறுக்கத்தினால் வடிவவியல் வடிவங்கள் மாறுபடுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, சதுரங்கள் இணைகரங்களாகவும் வட்டங்கள் நீள்வட்டங்களாகவும் உருமாறும். எனினும் நறுக்கத்தால் வடிவவியல் வடிவங்களின் பரப்பளவு மாறுவதில்லை; ஒருகோட்டுப்புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட சார் தூரங்களும் மாறுவதில்லை.

முப்பரிமாண வடிவவியலிலும் நறுக்கம் இதேமுறையில் வரையறுக்கப்படுகிறது. இடைப்பட்ட தூரம் நிலைக்கோட்டிற்குப் பதில் நிலையான தளத்திலிருந்து அளவிடப்படுகிறது. முப்பரிமாண நறுக்கத்தில் திட வடிவங்களின் கனவளவு பாதுகாக்கப்படுகிறது; ஆனால் நகர்விற்கு இணையான தளவடிவங்கள் தவிர்த்த பிற தளவடிவங்களின் பரப்பளவு  மாற்றமடைகிறது.

பொதுவாக n-பரிமாண கார்ட்டீசியன் வெளி \mathbb{R}^n இல் தூரமானது, நகர்வின் திசைக்கு இணையான, நிலையான மீத்தளத்திலிருந்து (hyperplane) அளக்கப்படுகிறது. \mathbb{R}^n இன் எந்தவொரு கணத்தின் n-பரிமாண அளவைப் (மீக்கனவளவு) பாதுகாக்கும் ஒரு நேரியல் கோப்பாக இந்த வடிவவியல் உருமாற்றம் அமைகிறது.

ஒன்றுக்கொன்று இணையாகவும், ஒன்றின் மேற்பக்கமாக மற்றது உள்ளதாகவுமான இரு தகடுகளுக்கு இடைப்பட்ட ஒரு பாய்மத்தின் வரிச்சீர் ஓட்டத்தை விளக்க நறுக்கம் பயன்படுகிறது.

## வரையறை

### ஒரு தளத்தின் கிடைமட்ட, குத்து நறுக்கம்

தளம் \mathbb{R}^2 = \mathbb{R}\times\mathbb{R} இல் **கிடைமட்ட நறுக்கம்** (*horizontal shear*) (அல்லது *x* அச்சுக்கு இணையான நறுக்கம்) என்பது (x,y) ஆள்கூறுகள் கொண்ட பொதுவானதொரு புள்ளியை (x + m y,y) என்ற புள்ளிக்கு நகர்த்தும் சார்பாகும். இதில் நிலையான மதிப்புள்ள m என்பது நறுக்கக் காரணியாகும் (*shear factor*).

இக்கோப்பால் ஒவ்வொரு புள்ளியும் அதன் y ஆள்கூற்றின் விகிதவளவு கிடைமட்ட திசையில் நகர்த்தப்படுகிறது.

கிடைமட்ட நறுக்கத்தில்,

:x-அச்சுக்கு மேற்புறம் அமையும் ஒவ்வொரு புள்ளியும் m > 0 எனும்போது வலப்புறமும், m  எனும்போது இடப்புறமும் நகர்த்தப்படுகிறது; இதற்கு எதிர்மாறான திசையில் x-அச்சுக்குக் கீழ்புறம் அமையும் புள்ளிகள் நகர்த்தப்படுகின்றன; x-அச்சின் மீதமையும் புள்ளிகள் நிலையாக உள்ளன.

:x-அச்சுக்கு இணையான கோடுகள் இடம் மாறாமல் நிலையாக இருக்கும். அதே சமயம் ஏனைய கோடுகள் அவை x-அச்சை வெட்டும் புள்ளியைப் பொறுத்து பல்வேறு கோணங்களில் திருப்பமடைகின்றன. குறிப்பாகக் குத்துக்கோடுகள், சாய்வு 1/m கொண்ட சாய்ந்த கோடுகளாக மாற்றமடைகின்றன. குத்துக்கோடுகள் திருப்பப்படும் கோணம் \varphi **நறுக்கக் கோணம்** எனப்படும். நறுக்கக் கோணத்தின் கோடேன்ஜெண்ட் மதிப்பு நறுக்கக் காரணி m க்குச் சமமாக இருக்கும்.

:ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகளை ஒரு நிரல் அணியாக எழுதினால் (2×1 அணி), நறுக்கத்தை 2x2 அணியின் பெருக்கலாக எழுதலாம்:
: 
  \begin{pmatrix}x^\prime \\y^\prime \end{pmatrix}  =
  \begin{pmatrix}x + m y \\y \end{pmatrix} =
  \begin{pmatrix}1 & m\\0 & 1\end{pmatrix} 
    \begin{pmatrix}x \\y \end{pmatrix}.


x மற்றும் y அச்சுகளின்  பரிமாற்றம் தவிர, **குத்து நறுக்கம்** (*vertical shear*) (y-அச்சுக்கு இணையான நறுக்கம்) கிடைமட்ட நறுக்கம் போன்றதாக இருக்கும்.

குத்து நறுக்கத்தில்: 
:y-அச்சுக்கு வலப்புறம் அமையும் ஒவ்வொரு புள்ளியும் m > 0 எனும்போது மேற்புறமும், m  எனும்போது கீழ்ப்புறமும் நகர்த்தப்படுகிறது; இதற்கு எதிர்மாறான திசையில் y-அச்சுக்கு இடப்புறம் அமையும் புள்ளிகள் நகர்த்தப்படுகின்றன; y-அச்சின் மீதமையும் புள்ளிகள் நிலையாக உள்ளன.

:y-அச்சுக்கு இணையான கோடுகள் (குத்துக்கோடுகள்) இடம் மாறாமல் நிலையாக இருக்கும். அதே சமயம் ஏனைய கோடுகள் அவை y-axis அச்சை வெட்டும் புள்ளியைப் பொறுத்து பல்வேறு கோணங்களில் திருப்பமடைகின்றன. குறிப்பாகக் கிடைமட்டக் கோடுகள், சாய்வு m கொண்ட சாய்ந்த கோடுகளாக மாற்றமடைகின்றன.

:ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறு அணியானது, கிடைமட்ட நறுக்கத்தில் பெருக்கப்படும் 2x2 அணியின் இடமாற்று அணியால் பெருக்கப்படுகிறது:
:
  \begin{pmatrix}x^\prime \\y^\prime \end{pmatrix}  = 
  \begin{pmatrix}x \\ m x + y \end{pmatrix} = 
  \begin{pmatrix}1 & 0\\m & 1\end{pmatrix} 
    \begin{pmatrix}x \\y \end{pmatrix}.


## மேற்கோள்கள்

பகுப்பு:சார்புகளும் கோப்புகளும்
பகுப்பு:நேரியல் இயற்கணிதம்