குலச் சமஅமைவியம்

நுண்புல இயற்கணிதத்தில் **குலச் சமஅமைவியம்** (*group isomorphism*) என்பது இரு குலங்களின் உறுப்புகளுக்கிடையில்  ஒன்றுக்கு-ஒன்று தொடர்பினை ஏற்படுத்தும் சார்பாகும். இரு குலங்களுக்கிடையே சமஅமைவியம் இருக்குமானால் அவையிரண்டும் *சமஅமைவியமுடைய குலங்கள்* எனப்படும். சமஅமைவியமுடைய குலங்களின் பண்புகள் ஒரேமாதிரியாக அமைந்திருக்கும்.

## வரையறையும் குறியீடும்
(G, *) , (H, \odot) ஆகிய இரு குலங்களுக்கிடையே  குலச் சமஅமைவியமானது G லிருந்து H க்கு வரையறுக்கப்படும் இருவழிக் குலக் காப்பமைவியமாகும்.

*வரையறை*:
:f : G \rightarrow H 
:  f(u * v) = f(u) \odot f(v) , \forall u , v \in G.

*குறியீடு*:
(G, *) , (H, \odot) இரண்டும் சம அமைவியமுடைய குலங்கள் என்பதைக் குறிக்கும் குறியீடு:
: (G, *) \cong (H, \odot)

இரு குலங்களின் ஈருறுப்புச் செயலிகளும் நன்கறியப்பட்டவையாக இருப்பின், அவையில்லாமல் இக்குறியீட்டைச் சுருக்கமாக எழுதலாம்:
: G \cong H

சிலசமயங்களில் G = H எனவும் குறிக்கப்படலாம். ஆனால் இது எல்லா சூழ்நிலைகளிலும் சரியாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக இரு குலங்களும் ஒரே குலத்தின் உட்குலங்களாக இருந்தால் சமஅமைவியத்திற்கு சமக்குறிமட்டும் இடுதல் பொருந்தாது.

மறுதலையாக, குலம் (G, *); கணம் H; இருவழிக்கோப்பு f : G \rightarrow H மூன்றும் தரப்பட்டால்,

: f(u) \odot f(v) = f(u * v)

என வரையறுப்பதன் மூலம் H கணத்தை  (H, \odot) எனும் குலமாக்கலாம்.

H = G , \odot = * எனில் இச்சார்பு தன்னமைவியம் எனப்படும்.

## எடுத்துக்காட்டுகள்

* மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் (\mathbb{R},+),  நேர் மெய்யெண்களின் பெருக்கல் குலத்துடன் (\mathbb{R}+,&times;): சமஅமைவியமுடையது:
: (\mathbb{R}, +) \cong (\mathbb{R}^+, \times)
சமஅமைவியம்:
: f(x) = e^x , \forall x \in \mathbb{R}

* மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் (\mathbb{R},+) இன் உட்குலம் முழு எண்களின் கூட்டல் குலம் (\mathbb{Z}, +). காரணி குலம் \mathbb{R}/\mathbb{Z}, தனி மதிப்பு 1 கொண்ட சிக்கலெண்களின் பெருக்கல் குலத்துடன் (S^1, &times;) சமஅமைவியமுடையது:

: \mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong S^1
சமஅமைவியம்:
: f(x + \mathbb{Z}) = e^{2 \pi xi} ,\forall x \in \mathbb{R}

* கிளைன் நான்குறுப்புக்குலம்,  \mathbb{Z}_2 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} இன் இரு நகல்களின் நேர்பெருக்கல் குலத்துடன் (\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2) சமஅமைவியமுடையது.
* (*G*, *) ஒரு முடிவுறா சுழற் குலம் எனில் முழு எண்களின் கூட்டல் குலத்துடன்  (*G*, *) சமஅமைவியம் கொண்டது.
* மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் (\mathbb{R}, +) சிக்கலெண்களின் கூட்டல் குலத்துடன் (\mathbb{C}, +) சமாமைவியமுடையது.
* பூச்சியமற்ற சிக்கலெண்களின் பெருக்கல் குலம் (\mathbb{C}*, ·)  தனிமதிப்பு 1 உடையசிக்கலெண்களின் பெருக்கல் குலத்துடன் (S^1, &times;) சமஅமைவியமுடையது.

## பண்புகள்
* (*G*, *) லிருந்து  (*H*, \odot) க்குள்ள சம அமைவியத்தின் உட்கரு (kernel) எப்பொழுதும் {eG} ஆக இருக்கும். இங்கு eG, (*G*, *) குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு.
* (*G*, *) , (*H*,\odot) உடன் சமஅமைவியம் உடையதாக இருக்கும்போது  *G* ஏபெல் குலமாக இருந்தால் *H* ம் ஏபெல் குலமாக இருக்கும்.
* (*G*, *) , (*H*, \odot) உடன் சமஅமைவியம் உடையதாக இருக்கும்போது (*f*), *G* இன் ஒரு உறுப்பு *a* இன் வரிசை *n* எனில், *H* இல் *f(a)* இன் வரிசையும்  *n* ஆக இருக்கும்.
*(*G*, *) இடஞ்சார்ந்த முடிவுறு குலமெனில் (locally finite group) அதனுடன் சமஅமைவியம் கொண்ட  (*H*, \odot) ம் இடஞ்சார்ந்த முடிவுறு குலமாக இருக்கும்
* குலத்தின் பண்புகள் எப்பெழுதும் சம அமைவியத்தின் கீழ் பாதுகாக்கப்படுகின்றன என்பதை மேலே தரப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் மூலம் அறியலாம்.

## சுழற் குலங்கள்
தரப்பட்ட கிரமமுள்ள அனைத்து சுழற் குலங்களும் (\mathbb{Z}_n, +_n) உடன் சமஅமைவியம் கொண்டவை.

;நிறுவல்

*G* , *n* கிரம குலம் என்க. *G* ஐப் பின்வரும் பிறப்பிக்கப்பட்ட குலமாகக் கொள்ளலாம்.

:=\{e,x,...,x^{n-1}\}.

\varphi  எனும் சார்பு கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
: \varphi : G \rightarrow \mathbb{Z}_n=\{0,1,...,n-1 \}, :\varphi(x^a)=a.

இச்சார்பு  இருவழிக்கோப்பாக உள்ளது.

: \varphi(x^a \cdot x^b) = \varphi(x^{a+b}) = a+b = \varphi(x^a)+_n \varphi(x^b)

எனவே,
:G \cong \mathbb{Z}_n, +_n.

## விளைவுகள்
f : G \rightarrow H எனும் சமஅமைவியம், G இன் முற்றொருமை உறுப்புடன் H இன் முற்றொருமை உறுப்பை இணைக்கிறது: 
: f(e_G) = e_H;

அதேபோல் *G* இல் உள்ள நேர்மாறு உறுப்பை  *H* இல் அதற்கொத்த நேர்மாறு உறுப்புடன் இணைக்கிறது:
: f(u^{-1}) = \left[ f(u) \right]^{-1}

பொதுவாக,
: f(u^n)= \left[ f(u) \right]^n , \forall u \in G

மேலும் *f* இன் நேர்மாறு f^{-1} : H \rightarrow G ம் ஒரு குல சம அமைவியம்.

"சமஅமைவியமானது" என்ற உறவு, ஒரு சமான உறவிற்கான அனைத்து அடிக்கோள்களையும் நிறைவுசெய்கிறது.

f : G \rightarrow H என்பது சமஅமைவியம் எனில் G இல் உண்மையாக அமையும் கூற்றுகளில் குல அமைப்புத் தொடர்பானவற்றை மட்டுமே f மூலம்  H இல் அமையும் உண்மைக்கூற்றுகளாக மாற்றமுடியும் (அதேபோலத்தான் H லிருந்து G க்கும்).

## தன்னமைவியம்
குலம் (G,*) லிருந்து (G,*) க்கே அமையும் சமஅமைவியம், தன்னமைவியம் எனப்படும் இத்தன்னமைவியம் பின்வரும் இருவழிக்கோப்பாகும்:

f : G \rightarrow G, 
:f(u) * f(v) = f(u * v), \forall u, v \in G.

தன்னமைவியமானது குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பை, முற்றொருமை உறுப்பாகவே மாற்றுகிறது; ஒரு இணையியப் பகுதியை அதே இணையியப் பகுதியாகவோ அல்லது வேறொரு இணையியப் பகுதியாகவோ மாற்றுகிறது; தன்னமைவியத்தின் கீழ் ஒரு உறுப்பின் கிரமமும் அதன் எதிருருவின் கிரமமும் சமமாக இருக்கும்.

இரு தன்னமைவியங்களின் சேர்ப்பும் மற்றொரு தன்னமைவியமாக இருக்கும். இச்செயலியின்கீழ் G குலத்தின் அனைத்து தன்னமைவியங்களின் கணம் ஒரு குலமாகும். இக்குலம் G இன் *தன்னமைவியக் குலம்* என அழைக்கப்படும். மேலும் அதன் குறியீடு: Aut(G).

## மேற்கோள்கள்
* Herstein, I. N., *Topics in Algebra*, Wiley; 2 edition (June 20, 1975), .

பகுப்பு:குலக்கோட்பாடு