சுழற்சி மேற்பரப்பு

யூக்ளிடிய வெளியில் ஒரு அச்சைப் பொறுத்து, ஒரு வளைகோட்டைச் சுழற்றும்போது உருவாகும் மேற்பரப்பானது **சுழற்சி மேற்பரப்பு**  (*surface of revolution*) எனப்படும். 

எடுத்துக்காட்டாக,
*சுழற்சி அச்சுக்கு இணையாகவுள்ள ஒரு நேர்கோட்டினைச் சுழற்றுவதால் உருளை உருவாகிறது.
*சுழற்சி அச்சுக்கு இணையற்ற நேர்கோட்டினை சுழற்றுவதால் கூம்புவெட்டுகள் உருவாகின்றன.
*ஒரு வட்டத்தை அதன் ஏதாவது ஒரு விட்டத்தைப் பொறுத்து சுழற்றும்போது கோளம் உருவாகிறது.

## பண்புகள்
*ஒரு சுழற்சி மேற்பரப்பை, அச்சின் வழியாகச் செல்லும் தளங்களால் வெட்டும்போது கிடைக்கும் வெட்டுமுகங்கள் *நெடுவரை வெட்டுகள்* (meridional sections) என அழைக்கப்படுகின்றன
*சுழற்சி மேற்பரப்பை, அச்சுக்குச் செங்குத்தான தளங்களால் வெட்டும்போது கிடைக்கும் வெட்டுமுகங்கள் வட்டங்களாக இருக்கும்.
*சில சிறப்புவகை அதிபரவளைவுருக்களும் பரவளையவுருக்களும் சுழற்சி மேற்பரப்புகளாக அமைகின்றன.

## பரப்பளவு வாய்பாடு
சுழற்றப்படும் வளைகோட்டின் 
#துணையலகுச் சமன்பாடுகள்: , , ( இன் மதிப்பு  இடைவெளியில் அமையும்);
#சுழற்சி அச்சு: -அச்சு
#சுழற்சி மேற்பரப்பின் பரப்பளவு () எனில்:
: A_y = 2 \pi \int_a^b x(t) \, \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \, dt, 

இவ்வாய்பாட்டில் ,  ஆகிய இரு இறுதிப்புள்ளிகளுக்கு இடையே எவ்விடத்திலும்  ஆனது எதிர்மமாக இருக்காது என எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. இவ்வாய்பாடு, பாப்பசின் திணிவுமையத் தேற்றத்தின் நுண்கணிதச் சமானமாக உள்ளது.

பித்தகோரசு தேற்றத்திலிருந்து வரும் வாய்பாட்டின் பகுதி \sqrt{ \left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2 } ஆனது வளைகோட்டின் வில்லின் ஒரு சிறுபகுதியைக் குறிக்கிறது. மேலும்  ஆனது இச்சிறுபகுதியின் பாதை ஆகும்.

இதேபோல சுழற்சி அச்சு -அச்சாக இருந்து  ஒருபோதும் எதிர்மம் இல்லையென்றும் இருந்தால், பரப்பளவின் வாய்பாடு:

: A_x = 2 \pi \int_a^b y(t) \, \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \, dt. 

வளைகோடானது ,  () என்ற சார்பாகத் தரப்பட்டால், மேலுள்ள வாய்பாடுகளிலிருந்து பெறப்படும் பரப்பளவின் வாய்பாடு:

*சுழற்சி அச்சாக -அச்சு இருக்கும்போது:
:A_x = 2\pi\int_a^b y \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx = 2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2} \, dx

*சுழற்சி அச்சாக *y*-அச்சு இருக்கும்போது:
:A_y =2\pi\int_a^b x \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx

எடுத்துக்காட்டாக,

, , ( இன் மதிப்பு  இல் அமையும்) என்ற வளைகோட்டின் சுழற்சியால் ஓரலகு ஆரங்கொண்ட கோள மேற்பரப்பு, உருவாக்கப்படுகிறது. அதன் பரப்பளவு:
:\begin{align}
A
 &{}= 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \sqrt{\big(\cos(t)\big)^2 + \big(\sin(t)\big)^2} \, dt \\
 &{}= 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \, dt \\
 &{}= 4\pi.
\end{align}

கோளத்தின் ஆரம் , சமன்பாடு , சுழற்சி அச்சு -அச்சு எனில் பரப்பளவு:
:\begin{align}
A
 &{}= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,\sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
 &{}= 2 \pi r\int_{-r}^{r} \,\sqrt{r^2 - x^2}\,\sqrt{\frac{1}{r^2 - x^2}}\,dx \\
 &{}= 2 \pi r\int_{-r}^{r} \,dx \\
 &{}= 4 \pi r^2\,
\end{align}

## சுருள்வளையங்கள்

ஒரு சுழற்சி மேற்பரப்பின் நடுவில் துளையும், சுழற்சி அச்சு அம்மேற்பரைப்பைச் சந்திக்காமலும் இருந்தால் அச் சுழற்சி மேற்பரப்பு சுருள்வளையம் என அழைக்கப்படுகிறது. 

எடுத்துக்காட்டாக, 
*ஒரு செவ்வகத்தை அதன் ஒரு விளிம்புக்கு இணையான மற்றொரு கோட்டை அச்சாகக் கொண்டு சுழற்றக்கிடைக்கும் சுழற்சி மேற்பரப்பானது, செவ்வக வெட்டுமுகங்கொண்ட உள்ளீடற்ற வளையமாகக் கிடைக்கும். 
*சுழற்றப்படும் வடிவம் சதுரமாக இருப்பின் அச்சுருள்வளையத்தின் வெட்டுமுகம் சதுரமாக இருக்கும்.

இதேபோல சுழற்றப்படுவது வட்டமாக இருந்தால், உருவாகும் சுழற்சி மேற்பரப்பு உள்ளீடற்ற, வட்ட வெட்டுமுகங்கொண்ட வளையமாக இருக்கும். இது உருள்வளையம் என அழைக்கப்படுகிறது.

## மேற்கோள்கள்

பகுப்பு:வடிவவியல்