சேர்ப்பு அணி

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஒரு சதுர அணியின் **சேர்ப்பு அணி** அல்லது **இணைப்பு அணி** (*adjugate matrix*) என்பது அச்சதுர அணியின் இணைக்காரணி அணியின் இடமாற்று அணியாகும்.

## வரையறை
**A** அணியின் இணைக்காரணி அணி **C** இன் இடமாற்று அணியானது **A** இன் சேர்ப்பு அணி அல்லது இணைப்பு அணி என வரையறுக்கப்படுகிறது.
: \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^\mathsf{T}   ~.

*R* ஒரு பரிமாற்று வளையம்; *R* இலுள்ள உறுப்புகளாலான  அணி **A**.

* **M***ij* என்பது **A** அணியின் (*i*,*j*) சிற்றணிக்கோவை; இது **A** அணியின்  ஆவது நிரையையும்  ஆவது நிரலையும் நீக்குவதன் மூலம் பெறப்படும் (*n*&nbsp;−&nbsp;1)×(*n*&nbsp;−&nbsp;1)}} அணியின் அணிக்கோவை.
* **C***ij* என்பது **A** அணியின் (*i*,*j*) இணைக்காரணி; 
:: \mathbf{C}_{ij} = (-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij} ~.
* **A** அணியின் இணைக்காரணி அணி **C** என்பது ஒரு  அணி; இதன்  ஆவது உறுப்பு **A** அணியின்  ஆவது இணைக்காரணியாக இருக்கும்
*  **C** அணியின் இடமாற்று அணியே **A** அணியின் சேர்ப்பு அணியாகும். அதாவது  வரிசை கொண்ட சேர்ப்பு அணியின் (*i*,*j*) உறுப்பானது **A** அணியின் (*j*,*i*) இணைக்காரணியாக அமையும்:
::\mathrm{adj}(\mathbf{A})_{ij} = \mathbf{C}_{ji} = (-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ji} \,.
***A** அணியையும் அதன் சேர்ப்பு அணியையும் பெருக்கக் கிடைக்கும் அணி,  ஐ முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளாகக் கொண்ட மூலைவிட்ட அணியாகும்.

* *R* இல், det(**A**) நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, **A** அணியும் நேர்மாற்றத்தக்க அணியாக இருக்கும். அவ்வாறு நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் கீழுள்ள இரு முடிவுகளும் உண்மையாகும்:
:\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \det(\mathbf{A}) \mathbf{A}^{-1} ~,
:\mathbf{A}^{-1} = \frac {1} {\det(\mathbf{A})} \, \mathrm{adj}(\mathbf{A}) ~.

## எடுத்துக்காட்டுகள்

### 1 × 1 பொது அணி
எந்தவொரு பொதுவான 1×1 அணிக்கும் அதன் சேர்ப்பு அணி: \mathbf{I} = (1).

### 2 × 2 பொதுஅணி

:\mathbf{A} = \begin{pmatrix}  &  \\   &  \end{pmatrix}
 என்ற  2 × 2 பொதுஅணியின் சேர்ப்பு அணி:

:
\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix}  & \\  &  \end{pmatrix}
.
மேலும் det(adj(**A**)) = det(**A**) என்பதும் adj(adj(**A**)) = **A** என்பதும் உண்மையாக இருக்கும்.

### 3 × 3 பொதுஅணி
:
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}

இதன் இணைக்காரணி அணி:
:
\mathbf{C} = \begin{pmatrix}
+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\
 & & \\
-\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\
 & & \\
+\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}
\end{pmatrix}


சேர்ப்பு அணி:
:
\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^\mathsf{T} = \begin{pmatrix}
+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} \\
 & & \\
-\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} \\
 & & \\
+\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}
\end{pmatrix}


#### 3 × 3 எண் அணி
:\operatorname{adj} \begin{pmatrix}
\!-3 & \, 2 & \!-5 \\
\!-1 & \, 0 & \!-2 \\
\, 3 & \!-4 & \, 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\!-8 &  \,18 &  \!-4 \\
\!-5 &  \!12 &  \,-1 \\
\, 4 &  \!-6 &  \, 2
\end{pmatrix}
.

செயல்முறை:
:\begin{pmatrix}
\!-3 & \, 2 & \!-5 \\
\!-1 & \, 0 & \!-2 \\
\, 3 & \!-4 & \, 1
\end{pmatrix}  அணியின் இணைக்காரணி அணி:
:
\mathbf{C} = \begin{pmatrix}
+\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} \\
 & & \\
-\begin{vmatrix} 2 & -5 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} -3 & -5 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} \\
 & & \\
+\begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} -3 & -5 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix}
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
\!-8 &  \,-5 &  \!4 \\
\!18 &  \!12 &  \,-6 \\
\, -4 &  \!-1 &  \, 2
\end{pmatrix}


இணைக்காரணி அணியின் இடமாற்று அணி:
:
\mathbf{C}^\mathsf{T} = {\begin{pmatrix}
\!-8 &  \,-5 &  \!4 \\
\!18 &  \!12 &  \,-6 \\
\, -4 &  \!-1 &  \, 2
\end{pmatrix}}^\mathsf{T} = \begin{pmatrix}
\!-8 &  \,18 &  \!-4 \\
\!-5 &  \!12 &  \,-1 \\
\, 4 &  \!-6 &  \, 2
\end{pmatrix} = \operatorname{adj} \begin{pmatrix}
\!-3 & \, 2 & \!-5 \\
\!-1 & \, 0 & \!-2 \\
\, 3 & \!-4 & \, 1
\end{pmatrix}

## பண்புகள்
சேர்ப்பு அணியின் பண்புகள்:

**A** , **B** இரண்டும்  அணிகள் எனில்:
:\mathrm{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I}
:\mathrm{adj}(\mathbf{AB}) = \mathrm{adj}(\mathbf{B})\,\mathrm{adj}(\mathbf{A})
:\mathrm{adj}(c \mathbf{A}) = c^{n - 1}\mathrm{adj}(\mathbf{A}) ~

*m* ஒரு முழு எண் எனில்:
:\mathrm{adj}(\mathbf{A}^{m}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^{m}~
:\mathrm{adj}(\mathbf{A}^\mathsf{T}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^\mathsf{T}~

**A** ஒரு *n*×*n* அணி; மேலும் *n* ≥ 2 எனில்:
::\det\big(\mathrm{adj}(\mathbf{A})\big) = \det(\mathbf{A})^{n-1}, 

மேலும் **A** ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க *n*×*n* அணி எனில்:
::\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(\mathbf{A})) = \det(\mathbf{A})^{n - 2}\mathbf{A} ~,

**A** நேர்மாற்றத்தக்கது, *n = 2* எனில்:
::det(adj(**A**)) = det(**A**) 
::adj(adj(**A**)) = **A**

நேர்மாற்றத்தக்க அணி **A**  க்கு  தடவைகள் சேர்ப்பு அணி காணக் கிடைப்பது:
:\mathrm{adj}_k(\mathbf{A})=\det(\mathbf{A})^{\frac{(n-1)^k-(-1)^k}n}\mathbf{A}^{(-1)^k}~,
:\det\big(\mathrm{adj}_k(\mathbf{A})\big)=\det(\mathbf{A})^{(n-1)^k}~.

## மேற்கோள்கள்

*  Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), *Topics in Matrix Analysis*. Cambridge University Press, 

## வெளியிணைப்புகள்
* Matrix Reference Manual
*Online matrix calculator (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) Compute Adjugate matrix up to order 8
* 

பகுப்பு:அணிக் கோட்பாடு
பகுப்பு:நேரியல் இயற்கணிதம்