ஹர்ஷத் எண்

பொழுதுபோக்குக் கணிதத்தில், தனது இலக்கங்களின் கூட்டலால் வகுபடக்கூடிய முழு எண், **ஹர்ஷத் எண்** (*Harshad number* அல்லது *Niven number*) எனப்படும்.
*n* அடிமானத்தில் அமையும் ஹர்ஷத் எண்கள்  **''n''-ஹர்ஷத் எண்கள் ** அழைக்கப்படுகின்றன.
இந்தியக் கணிதவியலாளரான கப்ரேக்கரால் இவ்வெண்கள் வரையறுக்கப்பட்டன. **' (மகிழ்ச்சி) + **' (தரும்) என்ற சமசுகிருத சொற்களிலிருந்து "ஹர்ஷத்" என்ற இப்பெயர் உருவானது. 1977 ஆம் ஆண்டு நடந்த எண் கோட்பாட்டு மாநாட்டில் இவ்வெண்கள் குறித்து, கனடிய-அமெரிக்கக் கணிதவியலாளரான ஐவான் எம். நிவின் சமர்ப்பித்த கட்டுரையின் காரணமாக  “நிவின் எண்கள்” என்ற பெயராலும் அழைக்கப்படுகின்றன. சுழிக்கும் *n* க்கும் இடைப்பட்ட அனைத்து முழு எண்களும் *n*-ஹர்ஷத் எண்களாக இருக்கும்.

எந்தவொரு அடிமானத்திலும் ஹர்ஷத் எண்ணாக இருக்கும் எண் **அனைத்து-ஹர்ஷத் எண் ** அல்லது  **அனைத்து-நிவின் எண் ** (*all-Harshad number*, *all-Niven number*) என அழைக்கப்படும். அவ்வாறான எண்கள் நான்கு மட்டுமே உள்ளன: 1, 2, 4, 6 ஆகிய நான்கு எண்கள் மட்டுமே அனைத்து அடிமானங்களிலும் ஹர்ஷத் எண்களாக இருக்கும். எண் 12 ஆனது எட்டடிமானம் தவிர ஏனைய அடிமானங்களில் ஹர்ஷத் எண்ணாக இருக்கும்.

## எடுத்துக்காட்டுகள்
:பத்தடிமானத்தில் 18 ஒரு ஹர்ஷத் எண். ஏனெனில், அதன் இலக்கங்களின் கூடுதல் . மேலும் 18 ஆனது ஒன்பதால் வகுபடுகிறது.
: ஆனால் பத்தடிமானத்தில் 19 ஹர்ஷத் எண் அல்ல; ஏனெனில் அதன் இலக்கங்களின் கூடுதல் . ஆனால் எண் 19 ஆனது பத்தால் வகுபடாது.

## வரையறை
*n* அடிமான நேர் முழுஎண்  *X* இன் இலக்கங்கள் *a<sub>i</sub>* (*i* = 0, 1, ..., *m*&nbsp;&minus;&nbsp;1) எனில்,  *X* ஐப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:
:X=\sum_{i=0}^{m-1} a_i n^i.

பின்வரும் கூற்று உண்மையாகுமாறு  *A* என்றதொரு முழு எண் இருக்குமானால்  *X* ஒரு *n* அடிமான ஹர்ஷத் எண்ணாகும்.:
:X=A\sum_{i=0}^{m-1} a_i.

பத்தடிமான ஹர்ஷத் எண்களின் தொடர்முறை:
:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, ... 

## பண்புகள்
:ஒன்பதால் வகுபடும் தன்மையறியும் சோதனையால், ஒன்பதால் வகுபடும் எண்கள் அனைத்தும் ஹர்ஷத் எண்கள் போலத் தோன்றலாம். ஆனால் அது உண்மையல்ல. எடுத்துக்காட்டாக 99 ஒரு ஹர்ஷத் எண் அல்ல. ஏனென்றால் அதன் இலக்கங்களின் கூடுதல் 9 +9 = 18, ஆனால் 99 ஆனது 18 ஆல் வகுபடாது.

:அடிமான எண்ணும் அதன் அடுக்குகளும் அதே அடிமானத்தில் ஹர்ஷத் எண்களாக இருக்கும்.

:ஒரு பகா எண் ஹர்ஷத் எண்ணாக இருக்க வேண்டுமானால், அது அடிமான எண்ணுக்குச் சமமான எண்ணாகவோ அல்லது அதைவிடச் சிறிய எண்ணாகவோ இருக்க வேண்டும். பத்தடிமானத்தில் 11 ஒரு பகா எண்; மேலும் அது அடிமான எண்ணான 10 ஐவிடப் பெரியது. அதன் இலக்கங்களின் கூடுதல் 1+ 1 = 2. ஆனால் 11 ஆனது 2 ஆல் வகுபடாது.  அதனால் 11 ஒரு ஹர்ஷத் எண் அல்ல.

:பத்தடிமானத்தில் தொடர்பெருக்கங்களின் தொடர்முறையானது ஹர்ஷத் எண்களைக் கொண்டு தொடங்குவதால், அனைத்து தொடர்பெருக்கங்களும் ஹர்ஷத் எண்களாக இருக்குமெனக் கூறமுடியாது.  ஹர்ஷத் எண்ணாக அமையாத முதல் தொடர்பெருக்கம்  432! ஆகும்.

## மடங்கு ஹர்ஷத் எண்கள்
இலக்கங்களின் கூடுதலால் வகுக்கப்படும் போது கிடைக்கும் ஈவு எண்ணும் ஒரு ஹர்ஷத் எண்ணாக இருக்கக்கூடிய ஹர்ஷத் எண் ** மடங்கு ஹர்ஷத் எண் ** ( *multiple Harshad number*) எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:
:6804  "மடங்கு ஹர்ஷத் எண்-3" ஆகும்:
:
\begin{array}{l}
6804/18=378\\
378/18=21\\
21/3=7
\end{array}

:2016502858579884466176 ,  "மடங்கு ஹர்ஷத் எண்-12"  ஆகும்.
: 10080000000000 = 1008·1010, மற்றொரு "மடங்கு ஹர்ஷத் எண்-12"  ஆகும். பொதுவாக,  1008·10*n* ஒரு "மடங்கு ஹர்ஷத் எண்-(*n*+2)" ஆக இருக்கும்.

## மேற்கோள்கள்

## வெளியிணைப்புகள்
* Harshad Numbers 

பகுப்பு:எண்கள்