வகையிடலின் பெருக்கல் விதி

நுண்கணிதத்தில் **வகையிடலின் பெருக்கல் விதி** அல்லது **பெருக்கல் விதி** (*product rule*) என்பது, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகின்ற ஒரு விதியாகும்.

இவ்விதியின் கூற்று:

*f* , *g* வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்:

:(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g' \,\! 

லைப்னிட்சின் குறியீட்டில் இவ்விதி:

:\dfrac{d}{dx}(u\cdot v)=u\cdot \dfrac{dv}{dx}+v\cdot \dfrac{du}{dx}.

வகையீடுகளின் குறியீட்டில் இவ்விதியைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

: d(uv)=u\,dv+v\,du.

இவ்விதியின்படி மூன்று சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பின் வகைக்கெழு:

:\dfrac{d}{dx}(u\cdot v \cdot w)=\dfrac{du}{dx} \cdot v \cdot w + u \cdot \dfrac{dv}{dx} \cdot w + u\cdot v\cdot \dfrac{dw}{dx}.

## லைப்னிட்சின் கண்டுபிடிப்பு

இந்தப் பெருக்கல் விதி லைப்னிட்சின் கண்டுபிடிப்பாகக் கருதப்படுகிறது (மாற்றுக் கருத்தும் உள்ளது). லைப்னிட்ஸ் இவ்விதியை வகையீடுகளைக் கொண்டு விளக்கியுள்ளார்.

*u*(*x*) , *v*(*x*) இரு வகையிடக்கூடிய சார்புகள் எனில் *uv* இன் வகையீடு:

: 
\begin{align}
d(u\cdot v) & {} = (u + du)\cdot (v + dv) - u\cdot v \\
& {} = u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv.
\end{align}


*du*·*dv* மதிப்புத் தவிர்க்கத்தக்க அளவு சிறியதாகையால் அதை விட்டுவிடக் கிடைப்பது,

:d(u\cdot v) = v\cdot du + u\cdot dv \,\! 

இது பெருக்கல் விதியின் வகையீட்டு வடிவமாகும்.

*dx* ஆல் வகுக்க,

:\frac{d}{dx} (u\cdot v) = v \cdot \frac{du}{dx} + u \cdot  \frac{dv}{dx} \,\!  

இதனைப் பின்வருமாறும் எழுதலாம்:

:(u\cdot v)' = v\cdot  u' + u\cdot  v'. \,\! 

## எடுத்துக்காட்டுகள்

*வகையிட வேண்டிய சார்பு

: f(x) = x^2 sinx  எனில் பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்த,

:(f(x))' = sinx (x^2)' + x^2 (sinx)' \,\! 

::: = sinx (2x) + x^2 (cosx) \,\! 

::: = 2xsinx  + x^2cosx \,\! 

*பெருக்கல் விதியின் ஒரு சிறப்பு வகையாக வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதியை அடையலாம்.

பெருக்குத்தொகையில் உள்ள இரு சார்புகளில் ஒன்று மாறிலியாக இருந்தால் பெருக்கல் விதியானது மாறிலிப் பெருக்கல் விதியாக மாறிவிடும்.

பெருக்கல் விதிப்படி,
:(cf(x))' = c(f(x))' + f(x)(c)' \,\! 

மாறிலி c இன் வகைக்கெழு பூச்சியம் என்பதால்,

:: (cf(x))' = cf'(x) \,\!  இது வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதியாகும்.

## பொதுவான பிழை

பொதுவாக வகையிடும்போது நிகழக்கூடிய ஒரு பிழை (*uv*) இன் வகைக்கெழுவை (*u*&nbsp;&prime;)(*v*&nbsp;&prime;) எனக் கருதிவிடுவது ஆகும். லைப்னிட்சுக்கும் இத்தவறு நேர்ந்ததுண்டு ஆனால் இவ்வாறு உண்மையில் அமையாது என்பதற்கு எளிதாக மாற்று எடுத்துக்காட்டுகளைத் தரமுடியும்.

## நிறுவல்

பெருக்கல் விதியை எல்லைகளின் பண்புகளையும் வகையிடலின் வரையறையும் பயன்படுத்தி நிறுவுதல்.

: h(x) = f(x)g(x),\,

*&fnof;* , *g* -என்பவை  *x* இல் வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்,

:h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x} \qquad\qquad(1)

இதிலுள்ள  f(w)g(w) - f(x)g(x)\qquad\qquad(2)  என்பது பெரிய செவ்வகத்தின் பரப்புக்கும் சிறிய செவ்வகத்தின் பரப்புக்குமுள்ள வித்தியாசம் ஆகும்.

இவ்விரண்டு செவ்வகங்களுக்கு இடையேயுள்ள பகுதியை இரு செவ்வகங்களாகப் பிரிக்கலாம். இவ்விரு பகுதிகளின் பரப்புகளின் கூடுதல்:

: f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg).\qquad\qquad(3) 

\qquad(2) = \qquad(3) என்பதால்,

: f(w)g(w) - f(x)g(x) = f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg)\qquad\qquad(4) 

இதை  (1) இல் பயன்படுத்த,

:\lim_{w\to x}\left( f(x) \left( {g(w) - g(x) \over w - x} \right) + g(w)\left( {f(w) - f(x) \over w - x} \right) \right)\qquad(4)

இதிலுள்ள அனைத்து எல்லைகளின் மதிப்பையும் காண முடியும் என எடுத்துக்கொண்டால்,

: \left(\lim_{w\to x}f(x)\right) \left(\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x}\right)
+ \left(\lim_{w\to x} g(w)\right) \left(\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} \right)
\qquad(5)  

இப்பொழுது

*\lim_{w\to x}f(x) = f(x), (&nbsp;*w*&nbsp;→&nbsp;*x* எனும்போது *f*(*x*) மாறுவதில்லை)
*\lim_{w\to x} g(w) = g(x),\,  (வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் தொடர்ச்சியானவை என்பதால் இது உண்மை)
* \lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} = f'(x)  &nbsp;&nbsp; and &nbsp;&nbsp;   \lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x)  (*f* , *g* இரண்டும் *x* இல் வகையிடத்தக்கதாய் இருப்பதால்)

இம்முடிவுகளை (5) இல் பயன்படுத்த,

: h'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x). \, எனவே வகையிடலின் பெருக்கல் விதி நிறுவப்பட்டது.

வேறுபல முறைகளிலும் இவ்விதியை நிறுவ முடியும்.

## பொதுமைப்படுத்துதல்
### இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளுக்கு

பெருக்கல் விதியை இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளுக்கும் விரிவுபடுத்தலாம்:

*மூன்று சார்புகளுக்கு:

:\frac{d(uvw)}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}\,\! .

* f_1, \dots, f_k ஆகிய *k*-சார்புகளுக்கு:

:\frac{d}{dx} \left [ \prod_{i=1}^k f_i(x) \right ]
 = \sum_{i=1}^k \left(\frac{d}{dx} f_i(x) \prod_{j\ne i} f_j(x) \right)
= \left(  \prod_{i=1}^k f_i(x) \right) \left( \sum_{i=1}^k \frac{f'_i(x)}{f_i(x)} \right).

### உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள்

பெருக்கல் விதியை இரு சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பின் *n* ஆம் வரிசை வகையிடலுக்குப் பொதுமைப்படுத்தலாம்:

:(uv)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cdot u^{(n-k)}(x)\cdot  v^{(k)}(x).

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பெருக்கல் விதி, பொது லைப்னிட்ஸ் விதி அல்லது லைப்னிட்ஸ் விதி என அழைக்கப்படுகிறது.

### உயர்வரிசை பகுதி வகைக்கெழுக்கள்

உயர்வரிசை பகுதி வகையிடலுக்கான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பெருக்கல் விதி:

:{\partial^n \over \partial x_1\,\cdots\,\partial x_n} (uv)
= \sum_S {\partial^ u \over \prod_{i\in S} \partial x_i} \cdot {\partial^{n-|S|} v \over \prod_{i\not\in S} \partial x_i}

மூன்றாம் வரிசைப் பகுதி வகையிடல்:

:\begin{align} &{}\quad {\partial^3 \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} (uv)  \\  \\
&{}= u \cdot{\partial^3 v \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_1}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_2\,\partial x_3} +  {\partial u \over \partial x_2}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_3}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_2} \\  \\
&{}\qquad + {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_2}\cdot{\partial v \over \partial x_3}
+ {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_2}
+ {\partial^2 u \over \partial x_2\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_1}
+ {\partial^3 u \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3}\cdot v. \end{align}

## மேற்கோள்கள்

*Child, J. M. (2008) "The early mathematical manuscripts of Leibniz", Gottfried Wilhelm Leibniz, translated by J. M. Child; page 29, footnote&nbsp;58.

*கணிதவியல், மேனிலை - முதலாம் ஆண்டு, தொகுதி - 2, தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழகம். பக்கம் 79. http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Std11.htm 

பகுப்பு:வகையீட்டு நுண்கணிதம்