வகுஎண்

கணிதத்தில் ஒரு முழு எண்ணின்**வகுஎண்** அல்லது **வகுத்தி** (*divisor*) என்பது, வேறு ஏதேனுமொரு முழுஎண்ணுடன் பெருக்கப்படும்போது எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முழுஎண் கிடைக்குமாறு அமைகின்ற ஒரு முழுஎண்ணாகும். ஒரு முழுஎண்ணின் வகுஎண் அம்முழு எண்ணின் ’காரணி’ எனவும் அழைக்கப்படும். எண் 1 ஆனது அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் வகுஎண்ணாக அமையும்.  ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் தனக்குத்தானே வகுஎண்ணாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:
:1 இன் வகுஎண்கள் = {1}
:2 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2}
:3 இன் வகுஎண்கள் = {1, 3}
:4 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2, 4}
:......
:10 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2, 5, 10}

## வரையறை
பொதுவாக வகுஎண் என்பது இருவிதமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:

*m, n ஆகிய இரு முழுஎண்களுக்கு, 
:mk = n. என்றவாறு k என்ற முழுஎண் இருக்குமானால்: 
:m ஆனது nஐ வகுக்கும் என்றும்; 
:n இன் வகுஎண் m என்றும்; 
:n ஆனது m இன் மடங்கு என்றும் கூறப்படும்.
:இக்கூற்றின் குறியீடு:
:m \mid n,

இந்த வரையறையின்படி 0 \mid 0 என்பது உண்மையாகும்.

* மேற்காணும் வரையறையில், m \neq 0. என்ற கட்டுப்பாட்டைச் சேர்த்தால் 0 \mid 0 என்பது உண்மையாகாது.

## பொதுவானவை
*ஒரு முழுஎண்ணின் வகுஎண்கள் மிகைமுழுஎண்களாகவோ அல்லது  குறை முழுஎண்களாகவோ இருக்கலாம். ஆனால் பொதுவாக வகுஎண்கள் என்னும்போது மிகைவகுஎண்கள் மட்டுமே குறிக்கப்படுகின்றன.

:எடுத்துக்காட்டு:

வகுஎண்களின் வரையறைப்படி, 1, 2, 4, −1, −2, −4 ஆகிய ஆறு எண்களுமே 4 இன் வகுஎண்கள் ஆகும். ஆனால் 4 இன் வகுஎண்களென 1, 2, 4 ஆகிய  மிகை வகுஎண்கள் மட்டுமே குறிப்பிடப்படுகின்றன.

*1 மற்றும் −1 ஆகிய இரண்டும் அனைத்து முழுஎண்களையும் வகுக்கும். அதாவது அவையிரண்டும் அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் வகுஎண்களாகும்.
*ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் தனக்குத்தானே வகுஎண்ணாகும்.
*ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பூச்சியத்தினை வகுக்கும். அதாவது ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பூச்சியத்தின் வகுஎண்ணாகும்.
*1, −1, *n* , −*n* ஆகியவை *n* இன் ’மிகஎளிய வகுஎண்கள்’ அல்லது ”வெளிப்படையான வகுத்திகள்”  (trivial divisors) என அழைக்கப்படும்.
*ஒரு பூச்சியமற்ற முழுஎண்ணுக்குக் குறைந்தபட்சம் வெளிப்படையெற்ற, (அ-து ஒன்றையும் அதே எண்ணும் அல்லாத) ஒரு வகுஎண்ணாவது இருக்குமானல் அந்த பூச்சியமற்ற முழுஎண் பகு எண் எனப்படும்.
*எண் 2 ஆல் வகுபடும் முழுஎண்கள் இரட்டை எண்கள் எனவும் 2 ஆல் வகுபடாத முழுஎண்கள் ஒற்றை எண்களெனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.

## எடுத்துக்காட்டுகள்
*7 \times 6 = 42 என்பதால் 42 இன் வகுஎண் 7. அதாவது, 7 \mid 42. 
42 ஆனது 7 ஆல் வகுபடும் அல்லது 42 ஆனது 7 இன் மடங்கு அல்லது 42 இன் காரணி 7 என்றும் கூறலாம்.
*எண் 6 இன் மிகஎளியதற்ற வகுஎண்கள்: 2, &minus;2, 3, &minus;3.
*42 இன் நேர் வகுஎண்கள்: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
*5 \times 0 = 0 என்பதால் 5 \mid 0.
*எண் 60 இன் நேர் வகுஎண்களின் கணம்:
:A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 \}

## மேலதிகக் குறியீடுகளும் கூற்றுகளும்
### சில அடிப்படை விதிகள்
* a \mid b  மற்றும் b \mid c எனில், a \mid c, அதாவது வகுபடும்தன்மை ஒரு கடப்பு உறவாகும் (transitive relation).
* a \mid b மற்றும் b \mid a எனில்,  a = b அல்லது a = -b.
* a \mid b மற்றும் a \mid c எனில்  a \mid (b + c) மற்றும்  a \mid (b - c).

எனினும் a \mid b மற்றும் c \mid b எனில், (a + c) \mid b என்பது எப்பொழுதும் உண்மையாகாது.

எடுத்துக்காட்டு: 
:2\mid6 and 3 \mid 6 ஆனால் 5 ஆனது 6ஐ வகுப்பதில்லை.

*a \mid bc மற்றும் மீபொவ(a, b) = 1 எனில், a \mid c. இது ’யூக்ளிடின் முற்கோள்’ (Euclid's lemma) என அழைக்கப்படுகிறது.
*p ஒரு பகா எண் மற்றும் p \mid ab எனில், p \mid a அல்லது p \mid b.

### தகு வகுஎண்கள்
*n இன் ’தகு வகுஎண்’ (proper divisor) அல்லது ‘மீதியில்லப் பகுதி’ (aliquot part) என்பது n அல்லாத அதன் ஒரு மிகைவகுஎண் ஆகும். n ஐ மீதியின்றி வகுக்காத எண் n இன் ‘சரிநேர் கூறாகாத பகுதி’  (aliquant part) எனப்படும்.
*n > 1 மற்றும் n இன் ஒரேயொரு தகு வகுஎண் 1 மட்டுமேயெனில், n ஒரு பகாஎண்ணாகும்.  .

அதாவது, ஒவ்வொரு பகாஎண்ணுக்கும் இரண்டே இரண்டு வகுஎண்கள் மட்டுமே உண்டு. ( எண் 1 மற்றும் அதே எண்)

### வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை
* n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \cdots p_k^{\nu_k}  ஆனது n இன் பகாக் காரணியாக்கம்
எனில், 
:n இன் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை (d(n)):
: d(n) = (\nu_1 + 1) (\nu_2 + 1) \cdots (\nu_k + 1), 
*ஒவ்வொரு இயல் எண் n க்கும், d(n) .
*n இன் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ஒரு பெருக்கல் சார்பாகும் . அதாவது m மற்றும் n இரண்டும் சார்பகா எண்கள் எனில்:
:d(mn)=d(m)\times d(n). 
:எடுத்துக்காட்டு: 
:d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7); (42 இன் எட்டு வகுஎண்கள்: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42)

எனினும் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு கிடையாது. அதாவது m மற்றும் n ஆகிய இரு எண்களுக்கிடையே ஒரு பொது வகுஎண் இருந்தால் d(mn)=d(m)\times d(n) என்பது உண்மையாகாது. 
*n இன் நேர் வகுஎண்களின் கூடுதலுமொரு பெருக்கல் சார்பாகும். இதன் குறியீடு: \sigma (n)

எடுத்துக்காட்டு:
\sigma (42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma (2) \times \sigma (3) \times \sigma (7) = 1+2+3+6+7+14+21+42

## குறிப்புகள்

## மேற்கோள்கள்
*
*Richard K. Guy, *Unsolved Problems in Number Theory* (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ; section B.
*
*Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
*

பகுப்பு:வகுத்தல் (கணிதம்)