உள்ளிடுகோப்பு

கணிதத்தில் f : X\rightarrow Y என்ற சார்பில்/கோப்பில் ஒவ்வொரு y \in Y க்கும்  X இல்  f(x) = y ஆகும்படி அதிக பட்சம்  ஒரு  x தான் இருக்குமானால்  f **உள்ளிடுகோப்பு** (*Injection*) எனப்படும்; அதாவது, முன்னுரு உள்ள எந்த  y \in Y க்கும்  முன்னுரு ஓருறுப்புக் கணமாகத்தான் இருக்கும்.

இதையே வேறுவிதமாகச்சொன்னால், X இன் உறுப்புகள் x_1, x_2 க்கு f(x_1) = f(x_2)ஆக இருக்குமானால் x_1 ம் x_2 ம் சமமாக இருந்தாகவேண்டும். அதாவது, ஆட்களத்திலுள்ள தனித்தனி x க்கு இணை ஆட்களத்தில் தனித்தனி f(x) இருந்தாகவேண்டும்.

## துல்லியமான வரையறை

f: X \rightarrow  Y  ஒரு உள்ளிடுகோப்பு எனப்படுவதற்கு இலக்கணம்:

:\forall (x,y) \in X^2,\, \left(x \neq y \,\Longrightarrow\, f(x) \neq f(y) \right)

## உலகவழக்கில் ஒரு எடுத்துக்காட்டு

சுற்றுலாப்பயணிகளின் கூட்டமொன்று இராத்தங்க, எல்லா அறைகளும் காலியாக இருக்கும் ஒரு விடுதியில் வந்து சேருகின்றனர். பயணிகளுக்கு அறைகள் வழங்கும் முறையை ஒருகோப்பாக விவரிக்கலாம். (பயணிகள் கணம்: X ; அறைகள் கணம்: Y.)

ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கவேண்டுமென்றால், அறைகளின் எண்ணிக்கை பயணிகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது.அப்பொழுது ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். இது உள்ளிடுகோப்பு (*injective map; injection; one-one map*).

ஒவ்வொரு அறையும்  நிரப்பப்படவேண்டுமென்றால், பயணிகளின் எண்ணிக்கை அறைகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது. அப்பொழுது ஒவ்வொரு அறையிலும் குறைந்த பட்சம் ஒரு பயணியாவது இருப்பர். இது முழுக்கோப்பு (*surjective map; surjection; onto map*).

சில  அறைகள் நிரப்பப்படாமலும், சில அறைகளில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பயணிகளும் இருக்கும்படி செய்யப்பட்ட கோப்பு, உள்ளிடுகோப்புமல்ல, முழுக்கோப்புமல்ல. இதை வெறும் உட்கோப்பு (*into map*) என்று  மட்டும் சொல்லலாம்.

பயணிகளின் எண்ணிக்கையும் அறைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இருந்தால், ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். ஒரு அறையும் காலியாக இருக்காது. இது இருவழிக்கோப்பு (*bijective map; bijection; one-one onto map*). அதாவது, இது உள்ளிடுகோப்பு, முழுக்கோப்பு ஆகிய இரு பண்புகளையும் கொண்டது.

## கணிதத்தில் எடுத்துக்காட்டுகளும் மாற்றுக்காட்டுகளும்
* f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R}
:f(x) = 2x - 1 
:இது ஒரு உள்ளிடுகோப்பு. ஏனென்றால்  2x_1 - 1 = 2x_2 - 1  \Rightarrow  x_1 = x_2.
* g:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R}
:g(x) = x^2
:இது உள்ளிடுகோப்பல்ல. ஏனென்றால், எடுத்துக்காட்டாக, g(1) = g(-1).
*h:\mathbf {R}^{+} \rightarrow \mathbf {R}
:h(x) = x^2
:இது உள்ளிடுகோப்பு.
*அடுக்குச் சார்பு:
:exp: \mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R}^{+} : x \mapsto e^x
*மடக்கைச்சார்பு\ln : (0,+\infty) \to \mathbf{R} : x \mapsto \ln{x}
:இவையிரண்டும் உள்ளிடுகோப்புகளே.

## சில விளைவுகள்

* எந்த  X க்கும்   I : X \rightarrow X  என்ற முற்றொருமைச்சார்பு ஒரு உள்ளிடுகோப்பு.
* f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} என்ற சார்பு :ஒரு  உள்ளிடுகோப்பானால், அதனுடைய வரைவு ஒவ்வொரு கிடைக்கோட்டையும் அதிகபட்சம் ஒரு புள்ளியில் தான்  சந்திக்கும்.
* g \circ f என்ற சேர்ப்புச் சார்பு உள்ளிடுகோப்பானால், f ஒரு உள்ளிடுகோப்பாக இருக்கும். ஆனால் g உள்ளிடுகோப்பாக இருக்கவேண்டியதில்லை. (படிமம் பார்க்கவும்)
* f, g இரண்டும் உள்ளிடுகோப்புகளானால்  g \circ f  ஒரு உள்ளிடுகோப்பாகும்.
* f: X \rightarrow Y ஒரு உள்ளிடுகோப்பு,  A \subset X,  B \subset X என்றால்
: f^{-1}(f(A)) = A, மற்றும்
: f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)

* X ம் Y ம் முடிவுறுகணங்களாக இருந்தால், f: X \rightarrow Y உள்ளிடுகோப்பாக இருப்பதும் முழுக்கோப்பாக இருப்பதும் ஒன்றுதான்.
* f : X \rightarrow Y ஒரு உள்ளிடுகோப்பானால், Y இன் எண்ணளவை X இன் எண்ணளவையைவிடக் குறைவாக இருக்கமுடியாது.

## உள்ளிடுகோப்புகளுக்கு நேர்மாற்றுக்கோப்புகள்

உள்ளிடுகோப்புகளுடைய் இலக்கணத்தை  இன்னொருவிதமாக எழுதலாம். அதாவது  
:f: X \rightarrow Y உள்ளிடுகோப்பாகவேண்டுமென்றால், 
:g \circ f =  I: X \rightarrow X ஆக இருக்கும்படி 
:g: Y \rightarrow X என்ற கோப்பு ஒன்று இருக்கவேண்டும்.
: ஆனால் இந்த g ஐ  f இன் நேர்மாற்றுக்கோப்பாகக் கருதிவிடமுடியாது. ஏனென்றால்  f \circ g முற்றொருமையாக இல்லாமல் இருக்கலாம்.
: எனினும், f இனுடைய இணையாட்களத்தை மாற்றுவதால் நாம் இதைச்சாதித்துவிடலாம். அதாவது, Y க்கு பதிலாக, f இன் வீச்சை எடுத்துக்கொள்வதால் f \circ g யும் முற்றொருமை ஆகிவிடும்.

## மேற்கோள்கள்
* , p.&nbsp;17 *ff*.
* , p.&nbsp;38 *ff*.

## வெளியிணைப்புகள்

* Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.
* Khan Academy – Surjective (onto) and Injective (one-to-one) functions: Introduction to surjective and injective functions

## இவற்றையும் பார்க்கவும்
*முழுக்கோப்பு
*இருவழிக்கோப்பு

பகுப்பு:சார்புகளும் கோப்புகளும்
பகுப்பு:கணக் கோட்பாட்டு அடிப்படை கருத்துருக்கள்
பகுப்பு:சார்பிய வகைகள்