திசையன் இயற்கணிதத் தொடர்புகள்

யூக்ளிடின் முப்பரிமாண வெளியில் அமையும் திசையன்களுக்கு கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள **திசையன் இயற்கணிதத் தொடர்புகள்** (*vector algebra relations*) பொருந்தும். இத்தொடர்புகளில் சில, மூன்றுக்கும் மேற்பட்டப் பரிமாணங்களில் அமையும் திசையன்களுக்கும் பொருந்திவரும். ஆனால் அனைத்துத் தொடர்புகளுக்கும் இது பொருந்தாது. எடுத்துக்காட்டாக, இரு திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கல் எல்லா உயர்ப் பரிமாணங்களுக்கும் பொருந்தாது.

## அளவுகள்

ஒரு திசையன் **A** -ன் **அளவு** (*magnitude*) பித்தாகரசு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான மூன்று திசைகளில் அமையும் அதன் கூறுகளினால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

:\|\mathbf A \|^2 = A_1^2 + A_2^2 +A_3^2 \ 

ஒரு திசையனின் அளவு, புள்ளிப் பெருக்கல் வாயிலாகவும் தரப்படுகிறது:

:\|\mathbf A \|^2 = (\mathbf {A \cdot A}) \ 

## சமனின்மைகள்
*:\frac{ \mathbf{A \cdot B}}{\|\mathbf A \| \|\mathbf B \|} \le 1 \  -முப்பரிமாண கோஷி-ஷ்வார்ஸ் சமனின்மை.
*:\|\mathbf{A + B}\| \le \| \mathbf{A}\| + \|\mathbf{B}\|  -முப்பரிமாண முக்கோண சமனின்மை
*:\|\mathbf{A - B}\| \ge \| \mathbf{A}\| - \|\mathbf{B}\|  -முப்பரிமாண நேர்மாறு முக்கோண சமனின்மை.

இங்கு (**A&thinsp;·&thinsp;B**) என்பது **A** மற்றும் **B** திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கலைக் குறிக்கும்.

## கோணங்கள்

இரு திசையன்களுக்கு இடையேயுள்ள கோணம் θ, அவற்றின் புள்ளிப் பெருக்கல் மற்றும் குறுக்குப் பெருக்கலால் வரையறுக்கப்படுகிறது:

:\sin \theta =\frac{ \mathbf{A \times B}}{\|\mathbf A \| \|\mathbf B \|} \ \ ( -\pi 

வலது-கை விதிப்படி, θ -ன் நேர்ம மதிப்பிற்கு, **B** ஆனது **A** -லிருந்து கடிகாரத்திசைக்கு எதிராகவும், எதிர்ம மதிப்பிற்கு கடிகாரதிசையிலும் அமையும்.

:\cos \theta = \frac{ \mathbf{A \cdot B}}{\|\mathbf A \| \|\mathbf B \|} \ \ ( -\pi 

இங்கு **A&thinsp;×&thinsp;B** என்பது **A** மற்றும் **B** திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கலைக் குறிக்கும்.

பித்தாகரசின் முற்றொருமையைப் பயன்படுத்த:

:\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\!

:  \|\mathbf{A \times B}\|^2 +(\mathbf{A \cdot B})^2 = \|\mathbf A \|^2   \|\mathbf B \|^2 

திசையன் **A** = (*A<sub>x</sub>, A<sub>y</sub>, A<sub>z</sub>*) ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக அமையும் மூன்று ஆயஅச்சுகள் *x-*, *y-* மற்றும் *z* -க்களுடன் உண்டாக்கும் கோணங்கள் முறையே α, β, γ எனில்:

: \cos \alpha = \frac{ A_x }{ \sqrt {A_x^2 +A_y^2 +A_z^2} }  = \frac {A_x} {\| \mathbf A \|} \ , 

: \cos \beta = \frac{ A_y }{ \sqrt {A_x^2 +A_y^2 +A_z^2} }  = \frac {A_y} {\| \mathbf A \|} \ , 

: \cos \gamma = \frac{ A_z }{ \sqrt {A_x^2 +A_y^2 +A_z^2} }  = \frac {A_z} {\| \mathbf A \|} \ , 

இதிலிருந்து:

:\mathbf A = \|\mathbf A \|\left( \cos \alpha \  \hat{\mathbf  i}  +  \cos \beta\  \hat{\mathbf  j} +  \cos \gamma \ \hat{\mathbf  k}  \right) \ ,

இங்கு \hat{\mathbf  i}, \ \hat{\mathbf  j}, \ \hat{\mathbf  k} மூன்றும் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட மூன்று ஆயஅச்சுகளின் திசையில் அமைந்த அலகுத்திசையன்களாகும்.

## பரப்பும் கனஅளவும்

*A* மற்றும் *B* திசையன்களை அடுத்துள்ள பக்கங்களாகக் கொண்ட ஒரு இணைகரத்தின் பரப்பு Σ :

: \Sigma = AB \ \sin \theta \ , 

இங்கு θ - *A* மற்றும் *B* திசையன்களுக்கு இடையேயுள்ள கோணம்.

:\Sigma = \|\mathbf { A \times B } \| = \sqrt{ \|\mathbf A\|^2 \|\mathbf B\|^2 -(\mathbf{A \cdot B} )^2} \ . 

இதன் வர்க்க மதிப்பு:
:\Sigma^2 = (\mathbf{A \cdot A })(\mathbf{B \cdot B })-(\mathbf{A \cdot B })(\mathbf{B \cdot A }) \ , 

இதேபோல **A**, **B** மற்றும் **C** -திசையன்களால் அமையும் ஒரு இணைகரத்திண்மத்தின் கனஅளவின் வர்க்கம்:

:V^2 = \begin{vmatrix} \mathbf{A\cdot A} & \mathbf{A\cdot B} & \mathbf{A\cdot C} \\\mathbf{B\cdot A} & \mathbf{B\cdot B} & \mathbf{B\cdot C}\\
 \mathbf{C\cdot A} & \mathbf{C\cdot B} & \mathbf{C\cdot C}  \end{vmatrix} \ . 

இதனை *n*-பரிமாணங்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம்.

## திசையன்களின் கூட்டலும் பெருக்கலும்

பின்வரும் தொடர்புகளில் சில புள்ளிப் பெருக்கல் மற்றும் குறுக்குப் பெருக்கல் சம்பந்தப்பட்டது.

*: c (\mathbf{A}+\mathbf{B})=c\mathbf{A}+c\mathbf{B}  -திசையன்களின் கூட்டல் மீதான, திசையிலிப் பெருக்கலின் பங்கீட்டுப் பண்பு.,
*: \mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A}  -திசையன் கூட்டலின் பரிமாற்றுப் பண்பு.
*: \mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C})=(\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}  -திசையன் கூட்டலின் சேர்ப்புப் பண்பு.
*: \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\mathbf{B}\cdot\mathbf{A}  -புள்ளிப் பெருக்கலின் பரிமாற்றுத்தன்மை.
*: \mathbf{A}\times\mathbf{B}=\mathbf{-B}\times\mathbf{A}  -குறுக்குப் பெருக்கலின் பரிமாறாத்தன்மை.
*: \left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)\cdot\mathbf{C}=\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}+\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}  -புள்ளிப் பெருக்கலைப் பொறுத்து திசையன் கூட்டலின் பங்கீட்டுப்பண்பு.
*: \left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)\times\mathbf{C}=\mathbf{A}\times\mathbf{C}+\mathbf{B}\times\mathbf{C}  -குறுக்குப் பெருக்கலைப் பொறுத்து திசையன் கூட்டலின் பங்கீட்டுப்பண்பு.
*: \mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)=\mathbf{B}\cdot\left(\mathbf{C}\times\mathbf{A}\right)=\mathbf{C}\cdot\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)
::::=\left|\begin{array}{ccc}
A_{x} & B_{x} & C_{x}\\
A_{y} & B_{y} & C_{y}\\
A_{z} & B_{z} & C_{z}\end{array}\right| = [\mathbf{A, \ B,\  C }]   -திசையிலி முப்பெருக்கம்

*: \mathbf{A\times}\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)=\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}\right)\mathbf{B}-\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\right)\mathbf{C}  -திசையன் முப்பெருக்கம்
*: \mathbf{\left(A\times B\right)\cdot}\left(\mathbf{C}\times\mathbf{D}\right)=\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}\right)\left(\mathbf{B}\cdot\mathbf{D}\right)-\left(\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}\right)\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{D}\right)  -முப்பரிமாண பினேட்–கோஷி முற்றொருமை
* மேலுள்ள முற்றொருமையில் **A** = **C** and **B** = **D** எனில்:
::\mathbf{(A \times B)^2    =    (A \cdot A) (B \cdot B)-(A \cdot B)^2 }  -முப்பரிமாணத்தில் லெக்ராஞ்சியின் முற்றொருமை

*திசையன் நாற்பெருக்கம்:
: (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times (\mathbf{C} \times \mathbf{D}) = [\mathbf{A},\mathbf{B}, \mathbf{D}]\mathbf{C}-[\mathbf{A},\mathbf{B}, \mathbf{C}]\mathbf{D}=
[\mathbf{A},\mathbf{C}, \mathbf{D}]\mathbf{B}-[\mathbf{B}, \mathbf{C},\mathbf{D}]\mathbf{A}

இங்கு [**A, B, C**] என்பது திசையிலி முப்பெருக்கம் **A · (B × C)** -ஐக் குறிக்கும்.

***A, B, C** என்பன ஒரே கோட்டில் அமையாத தரப்பட்ட மூன்று திசையன்கள் எனில், ஏதேனும் ஒரு திசையன் **D** பின்வருமாறு தரப்படும்:
:\mathbf D = \frac{\mathbf{D \cdot (B \times C)}}{[\mathbf {A,\ B, \ C}]}\ \mathbf A +\frac{\mathbf{D \cdot (C \times A)}}{[\mathbf {A,\ B, \ C}]}\ \mathbf B + \frac{\mathbf{D \cdot (A \times B)}}{[\mathbf {A,\ B, \ C}]}\ \mathbf C \ .

## மேற்கோள்கள்



## வெளி இணைப்புகள்

பகுப்பு:திசையன் செயல்கள்
பகுப்பு:கணித முற்றொருமைகள்