எண்களின் முற்றிசைவுப் பகுதிகள்

கணிதத்தின் ஒரு முக்கியப் பிரிவான எண் கோட்பாட்டில்  **முற்றிசைவுப்பகுதிகள்** (Congruence classes) என்பது ஒரு அடிப்படைக்கருத்து. 1801 இல் காஸ் என்ற ஜெர்மானியக்கணித வல்லுனர் எழுதிய 'Disquistiones Arithmeticae' என்ற அவருடைய நூலில் விவரிக்கப்பட்டது.

## வரையறை

a என்பதை ஒரு முழு எண் ணாகவும், n என்பதை ஒரு நேர்ம முழு எண்ணாகவும் கொள். அப்பொழுது, a (mod n) க்கு சமானமான (பார்க்க: சமானம், மாடுலோ n) எல்லா எண்களின் கணத்திற்கு a (mod n) சமானப்பகுதி (Congruence class of a(mod n)) என்று பெயர். அதற்கு குறியீடு: [a]_n. ஆக,

*:: [a]_n  = \{x \in \mathbf{Z}: x \equiv a(mod n)\}

## முக்கிய விளைவு

கணிதத்தில் 'சமானம்' ( Mathematical Equivalence) என்ற கருத்து நிகழும்போதெல்லாம் எதிர்வு, சமச்சீர் , கடப்பு ஆகிய மூன்று உறவுகளும் அதனில் அடக்கம். பொதுவாக கணிதத்தில் எந்தெந்த கணத்தில்  'சமானம்' இம்முறையில் வரையறுக்கப் படுகிறதோ அங்கெல்லாம் அந்த கணம் சமானப் பகுதிகளாகப் பிரிவினைப்படும். எடுத்துக்காட்டைப் பார்த்தால் இது நன்கு விளங்கும்.

## எடுத்துக்காட்டு

7 என்ற மட்டு (modulus)ஒன்றை எடுத்துக்கொள்வோம். மாடுலோ 7 என்ற அடிப்படையில் எல்லா முழு எண்களையும் பிரித்தால் \mathbf{Z} பின்வரும் பகுதிகளாகப் பிரிவினைப்படும்:

: [0]_7  = { ..., -21, -14, -7, 0, 7, 14, 21, ...}
: [1]_7  = { ..., -20, -13, -6, 1, 8, 15, 22, ...} 
: [2]_7  = { ..., -19, -12, -5, 2, 9, 16, 23, ...} 
: [3]_7  = { ..., -18, -11, -4, 3, 10, 17, 24, ...} 
: [4]_7  = { ..., -17, -10, -3, 4, 11, 18, 25, ...} 
: [5]_7  = { ..., -16, -9, -2, 5, 12, 19, 26, ...} 
: [6]_7  = { ..., -15, -8, -1, 6, 13, 20, 27, ...}

## முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் கணம்

இப்பொழுது நமக்கு ஒரு புதிய கணம் கிடைத்திருக்கிறது. அதாவது:
: \{[0]_7, [1]_7, [2]_7, [3]_7, [4]_7, [5]_7, [6]_7\}
இதை **மாடுலோ 7 முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் கணம்** என்று சொல்வோம். குறியீடு \mathbf{Z}_7.
இதனில் முக்கியமாகக்குறிப்பிடப்படவேண்டியது:

2 இனுடைய முற்றிசைவுப் பகுதி, [2]_7. இதையே 9 இனுடைய முற்றிசைவுப் பகுதியாகவும் சொல்லலாம். அதாவது [2]_7 = [9]_7. உண்மையில் அம்முற்றிசைவுப் பகுதியில் எந்த உறுப்பையும் ஒரு பிரதிநிதியாக எடுத்துக்கொள்ளலாம். இதனால்
:... [-5]_7 = [2]_7 = [9]_7 = .....
:... [-21]_7 = ... = [0]_7  ....

இவ்விதமே ஒவ்வொரு முழு எண் n ஐ வைத்தும் ஒரு \mathbf{Z}_n என்ற ஒரு முற்றிசைவுப் பகுதிகணம் உண்டு பண்ணலாம். இதைச் சுருக்கமாக n-மாடுலோ எண்களின் கணம் (Set of integers modulo n) என்றும் சொல்வதுண்டு.

இப்பொழுது \mathbf{Z}_n இல் கூட்டல், பெருக்கல் செயலிகளை வரையறுப்போம்.

### கூட்டல் வரையறை

::[a]_n  + [b]_n  =  [a + b]_n

அதாவது, இரண்டு முற்றிசைவுப் பகுதிகளில்  ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் ஏதாவதொரு உறுப்பை (பிரதிநிதியை) எடுத்து அவைகளைக் கூட்டினால், அந்த கூட்டுத்தொகையின் முற்றிசைவுப் பகுதிதான் அவ்விரண்டு முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை. ஆக, உதாரணமாக, 
:   [2]_7  +  [6]_7  =  [2 + 6]_7  = [8]_7  = [1]_7

: [2]_7 க்கு பதிலாக, [9]_7 ஐயும், [6]_7 க்கு பதிலாக [-15]_7 ஐயும் எடுத்தாலும்,
: [9]_7 + [-15]_7 = [9 - 15] = [-6]_7 =[1]_7 என்ற அதே விடைதான் வரும்.

### பெருக்கல் வரையறை

::   [a]_n \times [b]_n  =  [a \times b]_n
அதாவது, இரண்டு முற்றிசைவுப்பகுதிகளில்  ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் ஏதாவதொரு உறுப்பை (பிரதிநிதியை) எடுத்து அவைகளைப் பெருக்கினால், அந்த பெருக்குத்தொகையின் முற்றிசைவுப் பகுதிதான் அவ்விரண்டு முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் பெருக்குத்தொகை. ஆக, உதாரணமாக,
:   [2]_7 \times [6]_7 =  [2 \times 6]_7  = [12]_7 = [5]_7.
: [2]_7 க்கு பதிலாக, [9]_7 ஐயும், [6]_7 க்கு பதிலாக [-15]_7 ஐயும் எடுத்தாலும்,
: [9]_7 \times [-15]_7 = [9 \times (-15)]_7 = [-135]_7 = [-2]_7 = [5]_7  என்ற அதே விடைதான் வரும்.

## சுழி வகுப்பான் சுழி

\mathbf{Z}_n இலுள்ள [a]_n என்ற உறுப்பு (முற்றிசைவுப் பகுதி) பின்வரும் பண்பைப் பெற்றதானால்,
:: ஏதோ ஒரு முற்றிசைவுப் பகுதி [b]_n க்கு, [a]_n \times [b]_n = [0]_n
: [a]_n  (அதனால் [b]_n ம்) ஒரு **சுழி வகுப்பான் சுழி மாடுலோ n**  (Divisor of Zero modulo n) எனப்பெயர் பெறும்.

எடுத்துக்காட்டாக, [2]_6 \times [3]_6 = [0]_6
: \therefore [2]_6 ம் [3]_6 ம் சுழிவகுப்பான் சுழிகள் மாடுலோ 6 ஆகும்.

## பெருக்கல் நேர்மாறு

[a]_n \times [b]_n = [1]_n ஆக இருக்குமானால்,
[a]_n ம் [b]_n ம் ஒன்றுக்கொன்று **பெருக்கல் நேர்மாறு** எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக, [3]_7 \times [5]_7 = [1]_7  
:\therefore [3]_7 ம் [5]_7 ம் பெருக்கல் நேர்மாறுகளாகும்.

## சில விளைவுகள்

* ((a, n) = 1 அதாவது, a, n இரண்டுக்கும் 1 ஐத்தவிர வேறு பொதுக் காரணி கிடையாது என்றால், என்றால் தான்,
:[a]_n க்கு ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு இருக்கும்.

* \mathbf{Z}_n இலுள்ள சூனியமல்லாத ஓர் உறுப்பு பெருக்கல் நேர்மாறு பெற்றிருக்கும்; அல்லாவிட்டால் அது சுழிவகுப்பான் சுழியாக இருக்கும்.
* n ஒரு நேர்ம முழுஎண் என்றால், பின்வரும் மூன்று வாசகங்களும் சமானம்:
:: n ஒரு பகா எண் (prime number).
:: \mathbf{Z}_n இல் [0]_n ஐத்தவிர வேறு சுழிவகுப்பான் சுழி இருக்காது.
:: \mathbf{Z}_n இலுள்ள ஒவ்வொரு சூனியமல்லாத உறுப்புக்கும் ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு இருக்கும்.

## இவற்றையும் பார்க்கவும்
*சமான உறவு (கணிதம்)

பகுப்பு:எண் கோட்பாடு
பகுப்பு:இயற்கணிதம்