Sebaran binomial

Dina matematik, **sebaran binomial** mangrupa probability distribution diskrit nu ngajelaskeun angka *keberhasilan* tina sekuen *n* independent percobaan enya/heunteu, unggal nu hasil mibanda probabiliti *p*. Saperti ogé hasil/gagalna percobaan disebut ogé percobaan Bernoulli atawa Bernoulli trial. Sebaran binomial mangrupa dasar nu kawentar keur binomial test tina statistical significance.

Conto tipikalna nyaéta: 5% populasi mangrupa positif HIV. Anjeun nyokot 500 urang sacara acak. Kumaha cara yén anjeun meunang 30 atawa leuwih HIV-positip?
Jumlah HIV-positip nu dicokot ku anjeun mangrupa variabel random *X* nu nuturkeun sebaran binomial mibanda *n* = 500 sarta *p* = .05. Hartina urang museurkeun kan probabiliti Pr[*X* ≥ 30].

Sacara umum, lamun variabel random *X* nuturkeun sebaran binomial mibanda paramater *n* sarta *p*, dituliskeun *X* ~ B(*n*, *p*). Probabiliti nu pasti sukses *k* dirumuskeun ku

: P\left[X = k\right] = {n \choose k} p^k \left(1-p\right)^{n-k}\ \mbox{for}\ k = 0, 1, 2, \cdots, n 

di mana

:{n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}

mangrupa koéfisién binomial "*n* milih *k*" (oge dilambangkeun ku *C*(*n*, *k*)), ti mana ngaran sebaran. Rumus bisa dipikaharti saperti kieu: urang hayang *k* sukses (*p**k*) sarta *n* − *k* gagal ((1 − *p*)*n* − *k*). Sanajan kitu, sukses *k* bisa kajadian di mana waé di antara *n* percobaan, sarta di mana C(*n*, *k*) béda jalan kasebarna sukses *k* dina sekuen *n* percobaan.

Lamun *X* ~ B(*n*, *p*), mangka nilai ekspektasi *X* nyaéta 
: E\left[X\right] = np 
sarta varian nyaéta

: \mbox{var}\left(X\right) = np(1-p).

Nilai nu leuwih siga atawa mode *X* dibérékeun ku integer panggedéna kurang atawa sarua jeung (*n*+1)*p*; lamun *m* = (*n*+1)*p* mangrupa interger sorangan, mangka *m* − 1 sarta *m* duanana mangrupa mode.

Lamun *X* ~ B(*n*, *p*) sarta *Y* ~ B(*m*, *p*) mangrupa variabel binomial bébas, mangka *X* + *Y* ogé mangrupa variabel binomial; sebaranna nyaéta

: B\left(n+m, p\right).

Dua sebaran penting nu ngadeukeutan sebaran binomial nyaéta:

right|250px|thumb|Binomial PDF and Normal approximation for n=6 and p=0.5.
* Lamun *np* sarta *n*(1 − *p*) leuwih gedé ti 5 atawa séjénna, mangka *pendekatan* panghadéna (dumasar kana continuity correction nu mungkin dipaké) ka B(*n*, *p*) dirumuskeun ku sebaran normal

:: N\left(np, np\left(1-p\right)\right).

:*Pendekatan* ieu nyaéta ***huge time-saver***; sajarahna, ieu mimiti dipake sebaran normal, dimimitian ku Abraham de Moivre dina bukuna *The Doctrine of Chances* taun 1733. Kiwari, bisa ditempo sabab tina central limit theorem, B(*n*, *p*) nyaéta jumlah *n* bebas, *identically distributed* 0-1 indicator variable. **Inget:** ieu *pendekatan* hasilna teu akurat lamun teu make continuity correction.**Catetan:** gambar nembongkeun normal and binomial probability density function (PDF) sarta lain cumulative distribution function.

:Contona, anggap anjeun nyokot sampel random *n* ti masarakat nu populasi loba sarta nyebutkeun ten maranéhna satuju kana hiji *pernyataan*. Proporsi masakarat nu satuju tangtu gumantung kana sampel. Lamun grup sampel *n* masarakat diulang sarta bener-bener random, proprosi bakal nuturkeun sebaran normal nu mibanda mean sarua kana proporsi satuju sabenerna *p* dina populasi sarta mibanda simpangan baku σ = (*p*(1 − *p*)/*n*)1/2. Ukuran sampel *n* badag mangrupa hal nu hade sabab simpangan baku bakal jadi leutik, nu ngijinkeun keur estimasi nu hade keur paramater *p* nu teu dipikanyaho.

* Lamun *n* badag sarta *p* leutik, mangka *np* ukuranna sedeng, mangka Poisson distribution mibanda paraméter λ = *np* mangrupa *pendekatan* nu hadé keur B(*n*, *p*).

Rumus keur Bézier curves kailhaman ku sebaran binomial.