Ekuacioni i valës elektromagnetike

**Ekuacioni i valës elektromagnetike** është një ekuacion diferencial pjesor i rendit të dytë që përshkruan përhapjen e valës elektromagnetike përmes një mjedisi ose në boshllëk. Forma homogjene e ekuacionit, me terma të fushës elektrike **E** ose të fushës magnetike **B**, është i formës:

:  \left( \nabla^2 - { 1 \over {c}^2 } {\partial^2 \over \partial t^2} \right) \mathbf{E} \ \ = \ \ 0

:  \left( \nabla^2 - { 1 \over {c}^2 } {\partial^2 \over \partial t^2} \right) \mathbf{B} \ \ = \ \ 0

Ku *c* është shpejtësia e dritës në mjedisin e caktuar. Në vakuum shpejtësia e dritës është, *c* = *c*0 = 299,792,458 metër për sekondë.

Ekuacioni i valës elektromagnetike derivohet nga ekuacionet e Maksuellit.

Duhet te theksohet se në literaturën e vjetër, **B** është "densiteti i fluksit magnetik" ose "induksioni magnetik".

## Shpejtësia e përhapjes 
### Në vakuum(boshllëk) 
Nëqoftëse vala përhapet në boshllëk, atëherë

:c = c_o = { 1 \over \sqrt{ \mu_o \varepsilon_o } } = 2.99792458 \times 10^8  metër për sekonda,

është shpejtësia e dritës në vakum, një vlerë e *përcaktuar* që përcakton standardin e gjatësisë, njësisë së metrit. Konstantja magnetike \ \mu_0 dhe permitiviteti i vakumit \ \varepsilon_0 janë dy konstante fizike të rëndësishme që luajnë një rol kryesor në teorinë elektromagnetike. Vlerat e tyre (të cilat janë gjithashtu të përcaktuar) në njësi SI të marra nga NIST janë tabuluar më poshtë :

### Në një mjedis material 
Shpejtësi e dritës në një mjedis material linear, isotropik, dhe jo-shperhapës ( jo-dispersiv) është

:c = { c_0 \over n } =  { 1 \over \sqrt{ \mu \varepsilon } } 

ku

: n = \sqrt{ \mu \varepsilon \over  \mu_0 \varepsilon_0  } 

është indeksi i refraktimit te mjedisit, \ \mu është permiabiliteti magnetik i mjedisit, dhe \ \varepsilon është permitiviteti elektrik i mjedisit.

## Origjina e ekuacionit të valës elektromagnetike 
### Konservimi i ngarkesës elektrike 
Konservimi i ngarkesës kërkon që shpejtësia e ndryshimit në kohë te të gjithë ngarkesës elektrike të kufizuar brenda një volumi *V* duhet të jetë e barabarte korrentin total që rrjedh në sipërfaqen *S* e cila përmbyll volumin *V* :

: \oint \limits_S \mathbf{j} \cdot d \mathbf{A}  = - {d \over d t} \int \limits_V \rho \cdot dV

ku **j** është densiteti i korrentit (në Amper për metër katror) që rrjedh përmes sipërfaqes dhe ρ është densiteti i korrentit (në kulomb për metër kub) në çdo pikë të volumit.

Nga teorema e divergjencës, ky relacion mund të konvertohet nga forma integrale në atë diferenciale :

: \nabla \cdot \mathbf{j} = - { \partial \rho \over \partial t} 

### Ligji i Amperit para korrektimit të Maksuellit 
Në formën e tij origjinale, Ligji i forcës së Amperit jep lidhjene midis fushës magnetike **B** dhe densitetit të korrentit **j** :

: \oint \limits_C \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l} =  \iint \limits_S \mu \mathbf{j} \cdot d \mathbf{A}

ku *S* është një sipërfaqe e hapur e kufizuar nga një kurbë *C*. Kjo forme integrale mund të shndërrohet në formën diferenciale me ane te teoremës së Stouks :

: \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} 

### Mospërputhja midis ligjit të Amperit dhe ruajtjes së ngarkesës elektrike 
Po të marrim divergjencën e të dyja aneve të ligjit të forcës së Amperit kemi :

: \nabla \cdot  ( \nabla \times \mathbf{B} ) = \nabla \cdot \mu_0 \mathbf{j}

Divergjenca e rrotacionit të çdo fushë vektoriale, përfshire fushën magnetikë **B**, është gjithmonë zero :

: \nabla \cdot  ( \nabla \times \mathbf{B}) = 0

Po të kombinojmë këto dy ekuacione del se

:\nabla \cdot \mu_0 \mathbf{j} = 0

Për shkak se  \ \mu_0 është një konstante jo-zero, rrjedh se

:\nabla \cdot \mathbf{j} = 0

Megjithatë, ligji i ruajtjes së ngarkesës elektrike thotë se

: \nabla \cdot \mathbf{j} = - { \partial \rho \over \partial t } 

Pra, si në rastin e ligjeve te Kircofit, ligji i forcës së Amperit është i vërtete vetëm në ato raste kur kemi të bëjmë me një situate që përfshin një densitet konstant ngarkese. Kjo nuk e përfshin situatën që ndosh kur kemi rikarikimin e pllakave te një kapacitete.

### Korrektimi i Maksuellit dhe ligji rrethor i Amperit 
Ligji i Gausit në formën integrale pohon se :

: \oint \limits_S \mathbf{E} \cdot d \mathbf{A}  = \frac{1}{\varepsilon_0} \int \limits_V \rho \cdot dV \ ,

ku *S* është një sipërfaqe e mbyllur që kufizon një volum *V*. Kjo formë integrale mund të konvertohet në formën diferenciale duke përdorur teoremën e divergjencës :

: \nabla \cdot \varepsilon_0 \mathbf{E}  =  \rho 

Po të marrim derivatin kohor te të dyja aneve dhe të nderojmë radhën e diferencimit në anën e majte marrim :

: \nabla \cdot   \varepsilon_0   {\partial  \mathbf{E}   \over \partial t }     = { \partial \rho \over \partial t}

Ky rezultat i fundit së bashku me ligjin rrethor të Amperit (ligjin e forcës së Amperit) si dhe me ligjin e ruajtjes së ngarkesës elektrikë, sugjeron se aktualisht kemi *dy* burime origjine të fushës magnetikë : densiteti e korrentit **j**, siç e zbuloi Amperi, si dhe i ashtequajturi **korrent zhvendoses**:

:   {\partial  \mathbf{D}   \over \partial t }   =  \varepsilon_0   {\partial  \mathbf{E}   \over \partial t }  

Kështu që forma e rregullt e ligjit të forcës së Amperit bëhet :

: \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \mu_0 \varepsilon_0   {\partial  \mathbf{E}   \over \partial t } 

### Hipoteza e Maksuellit se drita është një valë elektromagnetike 
[thumb|right|175px|Nje kartolinë nga Maksuelli për [Peter Guthrie Tait|Piter Tait.]]

Në publikim e tij të 1864 të titulluar Nje teori Dinamike e fushës elektromagnetike, Maksuelli përdori korrigjimin e ligjit të forcës së Amperit të cilin ai kishte bëre në pjesën e III të publikimit të 1861-shit On Physical Lines of Force. Ne pjesene e VI të publikimit të 1864 të titulluar *Teoria elektromagnetike e dritës*, Maksuelli kombinoi korrentin zhvendoses me disa ekuacione të tjera të elektromagnetismit për të marre ekuacionin e valës elektromganetike me shpejtësi të barabarte me atë të dritës. Ai komentoi :

:*Rënia dakord e rezultateve tregon se drita dhe magnetizmi janë ngacmime të të njejtes substance, si dhe drita është një valë elektromagnetike që përhapet përmes një fushë sipas ligjeve të elektromagnetizmit.*

Derivimi i Maksuellit për ekuacionin e fushës elektromagnetike është zëvendësuar në fizikën moderne nga një metode shumë më e thjështë që përfshin kombinimin e versionit të korrektuar të ligjit të forcës së Amperit me ligjin e induksionit të Faradeit.

Në mënyre që të marrim ekuacionin e valës elektromagnetike në boshllëk duke përdorur metodën moderne, mund të fillojmë me formën 'Hevisajd' të ekuacioneve të Maksuellit. Në vakum këto ekuacione janë :

: \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\epsilon_0}

: \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}

: \nabla \cdot \mathbf{B} = 0

: \nabla \times \mathbf{B} =\mu_0 \varepsilon_0 \frac{ \partial \mathbf{E}} {\partial t}

Po të marrim rrotacionin e rrotacionit të ekuacioneve kemi :
: \nabla \times \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial } {\partial t} \nabla \times \mathbf{B} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E} }  {\partial t^2} 

: \nabla \times \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial } {\partial t} \nabla \times \mathbf{E} = -\mu_o \varepsilon_o \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} 

Duke përdorur identitetin vektorial

:\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{V} \right) = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{V} \right) - \nabla^2 \mathbf{V}

ku  \mathbf{V}  është një funksion vektorial i hapësirës, marrim ekuacionin e valës :

: {\partial^2 \mathbf{E} \over \partial t^2} \ - \  {c_0}^2 \cdot \nabla^2 \mathbf{E}  \ \ = \ \ 0

: {\partial^2 \mathbf{B} \over \partial t^2} \ - \  {c_0}^2 \cdot \nabla^2 \mathbf{B}  \ \ = \ \ 0

ku

:c_0 = { 1 \over \sqrt{ \mu_0 \varepsilon_0 } } = 2.99792458 \times 10^8  metër për sekonda

është shpejtësia e dritës në boshllëk.

## Forma kovariante e ekuacionit homogjen të valës 
[right|frame|Bymimi i kohës në lëvizjen drejtvizore. Kërkesa që shpejtësia e dritës të jete konstante në çdo [ikend referimi inercial con në teorinë e Relativitetit Special.]]
Këto ekuacione relativiste mund të shkruhen në formë kovariante si

:\ \Box^2 A^{\mu} = 0

ku potenciali 4-dimensional elektromagnetik është

:A^{\mu}=(\varphi, \mathbf{A} c)

Me konditën e madhësisë së Lorencit :

:\partial_{\mu} A^{\mu} = 0\,.

Këtu

:\Box^2 = \nabla^2 - { 1 \over c^2} \frac{   \partial^2} { \partial t^2} është simboli i operatorit d'Alembertian. Kutia katrore nuk është gabim tipografik ; ajo është simboli i këtij operatori.

## Ekuacioni homogjen i valës në hapësire kohën e kurbuar 
Ekuacioni i valës elektromagnetike modifikohet në dy mënyra, derivati zëvendësohet me derivation kovariant dhe një term i ri që varet në kurbaturën e hapësire-kohës shfaqet tek ekuacioni.

: - {A^{\alpha ; \beta}}_{; \beta} + {R^{\alpha}}_{\beta} A^{\beta} = 0 

ku

:  {R^{\alpha}}_{\beta}   

ështe  tensori i kurbaturës i Ricit dhe pikëpresja tregon diferencimin kovariant.

Përgjithësimi i konditës së madhësisë së Lorencit në hapësirën e kurbuar merret parasysh këtu :

:  {A^{\mu}}_{ ; \mu} =0  .

## Ekuacioni johomogjen i valës elektromagnetike 
Ngarkesa lokale dhe densitete të korrentit që ndryshojnë në kohë veprojnë si burime të ngarkesës elektromagnetike në boshllëk.  Ekuacionet e Maksuellit mund të shkruhen në formën e ekuacionit të valës me burime.  Shtimi i burimeve tek ekuacioni i valës i bën ekuacionet diferenciale pjesore jo-homogjene.

## Zgjidhje te ekuacionit homogjen të valës elektromagnetike 
Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit të valës elektromagnetike është një superpozim linear i valëve të formës

: \mathbf{E}( \mathbf{r}, t )  =  g(\phi( \mathbf{r}, t ))  =  g( \omega t  -  \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}   )  

dhe

: \mathbf{B}( \mathbf{r}, t )  =  g(\phi( \mathbf{r}, t ))  =  g( \omega t  -  \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}   )  

e cila virtualisht është e sakte për *çdo* funksion që sillet mirë *g* me një argument pa përmasa φ, ku
: \ \omega  është frekuenca këndore (në radian për sekonda), dhe 
: \mathbf{k} = ( k_x, k_y, k_z)  është vektori i valës (në radiane për metër).

Edhe pse funksioni *g* mund të jetë dhe zakonisht është një vale sinusoidale monokromatike, ajo mund të mos jetë sinusoidale , ose periodike.  Në praktikë, *g* nuk mund të ketë një periodicitet infinit sepse çdo vale elektromagnetike ka një zgjerim të kufizuar në hapësire dhe në kohë.  Si rezultat i kësaj, dhe bazuar në teorinë e dekompozimit të Furierit, një valë reale konsiston si një mbivendosje e një bashkësie të pafundme frekuencash sinusoidale.

Për më tepër, për një zgjidhje të sakte, vektori i valës dhe frekuenca këndore nuk janë madhësi të pavarura ; këto madhësi aderojnë sipas relacionit dispersiv :

: k = | \mathbf{k} | = { \omega \over c } =  { 2 \pi \over \lambda } 

ku *k* është numri valor dhe λ është gjatësia e valës.

### Gjendja monokromatike, sinusoidale 
Bashkësia më e thjështë e zgjidhjeve të ekuacionit të valës rezulton duke hipotezuar së forma sinusoidale e një frekuence të vetme në formë të ndarë :

:\mathbf{E} ( \mathbf{r}, t ) = \mathrm {Re} \{ \mathbf{E} (\mathbf{r} )  e^{ j \omega t }  \}

ku
* j \,  është njësia imagjinare,
*  \omega = 2 \pi f \, ** është frekuenca këndore në radian për sekonda,
*  f \,  është ** frekuenca në Herz, dhe
*  e^{j \omega t} = \cos(\omega t) + j \sin(\omega t) \,  është formula e Ojlerit.

### Zgjidhjet e valës planare 
Konsideroni një plan te përcaktuar nga një vektor njësi pingul 
: \mathbf{n} = { \mathbf{k} \over k } .

Atëherë zgjidhjet e valës planare të ekuacionit të valës janë
: \mathbf{E}(\mathbf{r}) = E_0 e^{-j \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} }  
dhe 
: \mathbf{B}(\mathbf{r}) = B_0 e^{-j \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} }  

ku
: \mathbf{r} = (x, y, z)  është vektori i pozicionit (në metra).

Këto zgjidhje paraqesin një valë planare që udhëton në drejtimin e vektorit pingul  \mathbf{n} . 
Po ta përcaktojmë drejtimin z si drejtimin e  \mathbf{n}  dhe drejtimin x si drejtimin e  \mathbf{E} , atëherë nga ligji i Faradeit vijat e fushës magnetike shtrihen në drejtimin y dhe lidhen me fushën elektrike nga relacioni

:  c {\partial B \over \partial z} = {\partial E \over \partial t} .
Për shaka se divergjenca e fushës elektrike dhe magnetike janë zero, nuk ka fusha në drejtimin e propagimit të valës.

Kjo zgjidhje ështe zgjidhja e polarizimit linear të ekuacionit të valës.  Ekzistojnë edhe zgjidhje që janë të polarizuara në mënyre rrethore në të cilat fusha rrotullohet rreth vektorit normal.

### Dekompozimi spektral 
Për shkak të linearitetit të ekuacioneve të Maksuellit në boshllëk, zgjidhjet mund të dekompozohen në një superpozim sinusoidesh.  Kjo është ideja themelore e metodës së transformimit te Furierit për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale.  Zgjidhja sinusoidale e ekuacionit të valës elektromagnetike merr formën

thumb|350px|Ilustrim i spektrit elektromagnetik.

: \mathbf{E} ( \mathbf{r}, t ) = \mathbf{E}_0 \cos( \omega t  -  \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0  )  
dhe
: \mathbf{B} ( \mathbf{r}, t ) = \mathbf{B}_0 \cos(  \omega t  -  \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0  )  

ku
: \ t  është koha (në sekonda),
: \ \omega  është frekuenca këndore (në radian për sekonda),
: \mathbf{k} = ( k_x, k_y, k_z)  është vektori i valës (në radiane për metër), dhe
: \phi_0 \, është kendi fazor (në radiane).
Vektori i valës është i lidhur me frekuencës këndore nga

: k = | \mathbf{k} | = { \omega \over c } =  { 2 \pi \over \lambda } 

ku *k* është numri valor dhe λ është gjatësia e valës.

Spektri elektromagnetik është një graf i madhësive të fushës (ose energjisë) si funksion i gjatësisë së valës.

### Zgjidhje te tjera 
Zgjidhje analitike sferikisht simetrike dhe cilindrikisht simetrike janë të mundura për ekuacionin e valës elektromagnetike.  Në koordinata cilindrike ekuacioni i valës mund të shkruhet si më poshtë :

: \mathbf{E} ( \mathbf{r}, t ) = {\mathbf{E}_0 \cos( \omega t  -  \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0  )\over s}  
dhe
: \mathbf{B} ( \mathbf{r}, t ) = {\mathbf{B}_0 \cos(  \omega t  -  \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0  )\over s}  

## Shikoni gjithashtu 
### Teoria dhe eksperimenti 
* Ekuacionet e Maksuellit
* Ekuacioni i valës
* Drita
* Spektri elektromagnetik
* Optika

### Aplikime 
* Ylberi
* Lazeri
* Fotografia
* Radari

## Shenime 
## Referime 
## Lexime të mëtejshme 
### Elektromagnetizmi 
#### Artikuj gazetash 
*  Maxwell, James Clerk, "*A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field*", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, 459-512 (1865). (This article accompanied a December 8, 1864 presentation by Maxwell to the Royal Society.)

#### Libra të nivelit universitar 
*
*
* Edward M. Purcell, *Electricity and Magnetism* (McGraw-Hill, New York, 1985). ISBN 0-07-004908-4.
* Hermann A. Haus and James R. Melcher, *Electromagnetic Fields and Energy* (Prentice-Hall, 1989) ISBN 0-13-249020-X.
* Banesh Hoffmann, *Relativity and Its Roots* (Freeman, New York, 1983). ISBN 0-7167-1478-7.
* David H. Staelin, Ann W. Morgenthaler, and Jin Au Kong, *Electromagnetic Waves* (Prentice-Hall, 1994) ISBN 0-13-225871-4.
* Charles F. Stevens, *The Six Core Theories of Modern Physics*, (MIT Press, 1995) ISBN 0-262-69188-4.
* Markus Zahn, *Electromagnetic Field Theory: a problem solving approach*, (John Wiley & Sons, 1979) ISBN 0-471-02198-9

#### Libra të nivelit post-universitar 
*
* Landau, L. D.,  *The Classical Theory of Fields* (Course of Theoretical Physics: Volume 2),  (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987). ISBN 0-08-018176-7.
*
* Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, *Gravitation*, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. ''(Provides a treatment of Maxwell's equations in terms of differential forms.)*

### Analiza vektoriale 
* P. C. Matthews *Vector Calculus*, Springer 1998, ISBN 3-540-76180-2
* H. M. Schey, *Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus'', 4th edition (W. W. Norton & Company, 2005) ISBN 0-393-92516-1.

### Biografia 
* Andre Mari Amperi
* Albert Ajnshtajn
* majkell Faradei
* Henrik Herc
* Oliver Hevisajd
* Xhejms Klark Maksuell