Funksioni i dendësisë së probabilitetit

[parapamje|382x382px| Grafiku kuti dhe funksioni i dendësisë së probabilitetit të një [Shpërndarja normale|shpërndarjeje normale N (0, \sigma^{2}) .]]
[parapamje|257x257px| Vizualizimi gjeometrik i [Moda (statistikë)|modës, medianës dhe mesatares së një funksioni arbitrar të dendësisë së probabilitetit njëmodal. ]]
Në teorinë e probabilitetit, një **funksion i dendësisë së probabilitetit** ( **PDF** ), **funksioni i dendësisë** ose **dendësia** e një ndryshoreje rasti absolutisht të vazhdueshme, është një funksion vlera e të cilit në çdo zgjedhje (ose pikë) të caktuar në hapësirën e zgjedhjes (bashkësia e vlerave të mundshme të marra nga ndryshorja e rastit) mund të interpretohet se ofron një *gjasë relative* që vlera e ndryshores së rastit të jetë e barabartë me atë zgjedhje.   

Në një kuptim më të saktë, PDF përdoret për të specifikuar probabilitetin që ndryshorja e rastit të bjerë *brenda një diapazoni të caktuar vlerash*, në krahasim me marrjen e një vlere të vetme. Ky probabilitet jepet nga integrali i PDF-së së kësaj ndryshoreje mbi atë shtrirje - domethënë, jepet nga zona nën funksionin e dendësisë, por mbi boshtin horizontal dhe midis vlerave më të ulëta dhe më të mëdha të shtrirjes. Funksioni i dendësisë së probabilitetit është kudo jonegativ, dhe sipërfaqja nën të gjithë lakoren është e barabartë me 1.

Termat *funksion i shpërndarjes së probabilitetit* dhe *funksion probabiliteti* janë përdorur gjithashtu hera-herës për të shënuar funksionin e dendësisë së probabilitetit. Megjithatë, ky përdorim nuk është standard midis probabilistëve dhe statisticienëve. Në burime të tjera, "funksioni i shpërndarjes së probabilitetit" mund të përdoret kur shpërndarja e probabilitetit përcaktohet si një funksion mbi grupe të përgjithshme vlerash ose mund t'i referohet funksionit të shpërndarjes mbledhëse, ose mund të jetë një funksion i masës së probabiliteti (PMF) në vend të dendësisë. Vetë "funksioni i dendësisë" përdoret gjithashtu për funksionin e masës së probabilitetit, duke çuar në konfuzion të mëtejshëm.  Sidoqoftë, në përgjithësi, PMF përdoret në kontekstin e ndryshoreve të rastit diskrete (ndryshore të rastësishme që marrin vlera në një grup të numërueshëm), ndërsa PDF përdoret në kontekstin e ndryshoreve të rastit të vazhdueshme.

## Shembull 
Supozoni se bakteret e një specie të caktuar zakonisht jetojnë 4 deri në 6 orë. Probabiliteti që një bakter të jetojë pikërisht 5 orë është i barabartë me zero. Shumë baktere jetojnë përafërsisht 5 orë, por nuk ka asnjë shans që ndonjë bakter i caktuar të vdesë pikërisht në orën 5.00... Megjithatë, probabiliteti që bakteri të vdesë ndërmjet orës 5 dhe asaj 5.01 është i matshëm. Supozoni se përgjigja është 0.02 (dmth. 2%). Pastaj, probabiliteti që bakteri të vdesë ndërmjet orës 5 dhe 5.001 orë duhet të jetë rreth 0.002, pasi ky interval kohor është një e dhjeta e gjatësisë së mëparshme. Probabiliteti që bakteri të vdesë nga ora 5 në 5.0001 orë duhet të jetë rreth 0.0002, e kështu me radhë.

Në këtë shembull, thyesa (probabiliteti i vdekjes gjatë një intervali) / (kohëzgjatja e intervalit) është afërsisht konstante dhe i barabartë me 2 në orë (ose 2 orë -1 ). Për shembull, ka 0,02 probabilitet për të vdekur në intervalin 0,01 orësh ndërmjet 5 dhe 5,01 orë, dhe (0,02 probabilitet / 0,01 orë) = 2 orë −1 . Kjo sasi 2 orë −1 quhet dendësia e probabilitetit për të vdekur rreth orës 5. Prandaj, probabiliteti që bakteri të vdesë në orën e 5-të mund të shkruhet si (2 orë −1 ) *dt* . Ky është probabiliteti që bakteri të vdesë brenda një dritareje pafundësisht të vogël kohore rreth 5 orë, ku *dt* është kohëzgjatja e kësaj dritare. 

Ekziston një funksion i densitetit të probabilitetit *f* me *f* (5 orë) = 2 orë −1 . Integrali i *f* mbi çdo dritare kohore (jo vetëm dritare pafundësisht të vogla, por edhe dritare të mëdha) është probabiliteti që bakteri të vdesë në atë dritare.

## Shpërndarjet njëndryshore absolutisht të vazhdueshme 
Një funksion i dendësisë së probabilitetit shoqërohet më së shpeshti me shpërndarje absolutisht të vazhdueshme me një ndryshore. Një ndryshore e rastit X ka dendësi f_X, ku f_X është një funksion jo-negativ i integrueshëm sipas Lebegut, nëse: \Pr [a \le X \le b] = \int_a^b f_X(x) \, dx .Prandaj, nëse F_X është funksioni mbledhës i shpërndarjes së X, pastaj:F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(u) \, du ,dhe (nëse f_X është e vazhdueshme në x ) f_X(x) = \frac{d}{dx} F_X(x) .Intuitivisht, mund të mendohet f_X(x) \, dx si probabiliteti që X të bjeri brenda intervalit infinitimal [x,x+dx] .

## Përkufizimi formal 
( *Ky përkufizim mund të zgjerohet në çdo shpërndarje probabiliteti duke përdorur përkufizimin matës-teorik të probabilitetit .* )

Një ndryshore e rastit X me vlera në një hapësirë të matshme (\mathcal{X}, \mathcal{A}) (zakonisht \mathbb{R}^n me grupet Borel si nënbashkësi të matshme) ka si shpërndarje probabiliteti masën *X* ∗ *P* në (\mathcal{X}, \mathcal{A}) : **dendësia** e X në lidhje me një masë referimi \mu në (\mathcal{X}, \mathcal{A}) është derivati i Radon-Nikodimit:f = \frac{dX_*P}{d\mu} .Kjo do të thotë, *f* është çdo funksion i matshëm me vetinë që:\Pr [X \in A ] = \int_{X^{-1} A} \, dP = \int_A f \, d\mu për çdo grup të matshëm A \in \mathcal{A}.