Sistemet lineare

## Hymje
Sistemi përbëhet nga një bashkësi fizike apo matematike e komponentëve i cili në një ngacmim hyrës përgjigjet me një sinjal në dalje të tij. Dy atributet më të rëndësishme të sistemeve janë lineariteti dhe invarianca në kohë.

Sistemet mund të jenë:

Me një hyrje dhe një dalje (SISO)

Me shumë hyrje dhe shumë dalje (MIMO)

## Sistemet me një hyrje dhe një dalje
Sistemi me një hyrje dhe një dalje përkufizohen matematikisht si një pasqyrim, ku hyrjes x(t) i bashkangjitet dalja apo përgjigja e sistemit y(t).

Sistemet e vazhduara x(t)→y(t)

Sistemet diskrete x[n]→y[n]

## Lidhjet e sistemeve
### Lidhja në seri
Kur dy sisteme S_1 dhe S_2 janë të lidhura në seri vlen relacioni:

 y=S_2{S_1[x]}

Interpretimi: S_1 vepron i pari në sinjalin hyrës x, e pastaj S_2 vepron në përgjigjen e sistemit të parë, që rezulton me përgjigjen e përgjithshme y.

Sistemi ekuivalent S_e[x]=(S_2S_1)[x]

ku S_e=(S_2S_1) është sistemi ekuivalent.

Për sistemet lineare vlen vetia e komutacionit, pra S_2S_1=S_1S_2, por në rastin e përgjithshëm nuk vlen, pra S_2S_1≠S_1S_2

### Lidhja paralele
Kur dy sisteme S_1 dhe S_2 janë të lidhura në paralel vlen relacioni:

y=S_2[x]+S_1[x]=(S_1+S_2)[x]=S_e[x]

S_e=(S_1+S_2)=(S_2+S_1)

### Lidhja me riveprim
Kur dy sisteme S_1 dhe S_2 janë të lidhura me riveprim vlen relacioni:

 y=S_1[x-S_2[y]]

Lidhja mbështet parimin fundamental të funksionit të sistemeve të rregullimit automatik.

## Vetitë e sistemeve
### Kujtesa
Një sistem konsiderohet se nuk ka kujtesë në qoftë se dalja në një moment të caktuar kohor varet vetëm nga vlera e sinjalit hyrës në atë moment, e jo nga vlerat e mëparshme apo të ardhshme të sinjalit hyrës. Nëse sistemi nuk e ka këtë veti, atëherë ai është me kujtesë.

Sistemet dinamike janë sisteme me kujtesë, ndërsa sistemet statike janë sisteme pa kujtesë.
#### Shembull
Sistem me kujtesë: y[n]=y[n-3]-4x^2[n]

Sistem pa kujtesë: y[n]=5x[n]

### Shkakësia
Sistemi është shkakësor apo kauzal në qoftë se dalja në kohën aktuale varet vetëm nga hyrja në këtë kohë dhe nga hyrja në kohën e mëparshme, e jo edhe nga hyrja në kohën e ardhshme.

Sistemi shkakësor nuk ka aftësi për ta parashikuar të ardhmen.

#### Shembull
Sistemi shkakësor: y[n]=x[n]-2x[n-2]

Sistemi joshkakësor: y[n]=3x[n+2]-2x[n]+5

### Invertibiliteti
Sistemi është invertibil ose i kthyeshëm në qoftë se hyrjet e ndryshme shkaktojnë dalje të ndryshme.

x=S^{-1}[y]=S^{-1}[x]=I[x], I=S^{-1}S 

#### Sistemet joinvertibile
y[n]=S[x[n]]=x^2[n]

#### Sistemet invertibile
y[n]=S[x[n]]=2x [n]

### Lineariteti
Sistemi është linear në qoftë se ai ështëhomogjen dhe aditiv.
Sistemi është homogjen nëse në hyrjen e shkallëzuar me konstantë ai përgjigjet me dalje të shkallëzuar me të njëjtin konstantë të shkallëzimit.

 S[ax]=aS[x]

Sistemi është aditiv nëse në shumën e hyrjeve përgjigjet me shumën e daljeve.

S[x_1+x_2]=S[x_1]+S[x_2]

Për të qenë sistemi linear ai duhet të jetë njëkohësisht homogjen dhe aditiv, pra:

 S[a_1x_1+a_2x_2]=a_1S[x_1]+a_2S[x_2]

### Invarianca në kohë (Invarianca në zhvendosje)
Sistemi është i pandryshueshëm në kohë (invariant në zhvendosje - te sistemet diskrete) në qoftë se ai në hyrjen e vonuar përgjigjet me dalje të vonuar për të njëjtën vonesë kohore (zhvendosje).

#### Shembull
I ndryshueshëm në zhvendosje: y[n]=nx[n]

I pandryshueshëm në zhvendosje: y[n]=5x[n]-x[n-2]

### Stabiliteti
Në qoftë se sistemi në hyrjen e kufizuar përgjigjet me dalje të kufizuar atëherë ai është stabil.

Që një sistem të jetë stabil, duhet të plotësoj konditën:

Kur hyrja e sistemit është e kufizuar |x|B_xB_yB_x është kufiri i sinjalit në hyrje, ndërsa B_y është kufiri i sinjalit në dalje të sistemit.

Ky përkufizim I stabilitetit njihet si BIBO
(Bounded input – Bounded outout) – ( Hyrje e kufishme – Dalje e kufishme)

## Shiko Gjithashtu
Modulimi Amplitudor

Modulimi Këndor

Filtrat (Përpunimi i Sinjaleve)

Sinjalet

## Referime
1.*
2.*
3.*
4.“Sinjalet dhe Sistemet” Ilir Limani