Njësia imagjinare

[djathtas|parapamje|i në rrafshin [Aeroplan kompleks|kompleks ose kartezian . Numrat realë shtrihen në boshtin horizontal, dhe numrat imagjinarë shtrihen në boshtin vertikal.]]
**Njësia imagjinare** ose **numri imagjinar** **njësi** ( **i** ) është një zgjidhje e ekuacionit kuadratik x^2+1=0 . Megjithëse nuk ka një numër real me këtë veti, i mund të përdoret për të zgjeruar numrat realë në ato që quhen numra kompleksë, duke përdorur mbledhjen dhe shumëzimin . Një shembull i thjeshtë i përdorimit të i në një numër kompleks është 2+3i .

Numrat imagjinarë janë një koncept i rëndësishëm matematikor; ata zgjerojnë sistemin e numrave realë \mathbb{R} në sistemin kompleks të numrave \mathbb{C}, në të cilën ekziston të paktën një rrënjë për çdo polinom jokonstant. Këtu, termi "imagjinar" përdoret sepse nuk ka numër real që ka një numër në katror negativ.

Ekzistojnë dy rrënjë katrore komplekse të −1: i dhe -i, ashtu siç ka dy rrënjë katrore komplekse të çdo numri real përveç zeros (i cili ka një rrënjë katrore të dyfishtë ).

## E ç'është njësia imagjinare? 
Numri imagjinar i përcaktohet vetëm nga vetia që katrori i tij është −1:i^2 = -1.Nëse njësia imagjinare përcaktohet në këtë mënyrë, rrjedh drejtpërdrejt nga algjebra se i dhe -i janë të dyja rrënjët katrore të −1.

Megjithëse ndërtimi quhet "imagjinar" dhe megjithëse koncepti i një numri imagjinar mund të jetë intuitivisht më i vështirë për t'u kuptuar se ai i një numri real, ndërtimi është i vlefshëm nga pikëpamja matematikore. Veprimet me numra realë mund të shtrihen në numra imagjinarë dhe kompleksë, duke e trajtuar i si një madhësi të panjohur gjatë manipulimit të një shprehjeje (dhe duke përdorur përkufizimin për të zëvendësuar çdo dukuri të i^2 me -1). Fuqitë më të larta integrale i mund të zëvendësohen gjithashtu me -i, 1, i, ose −1:i^3 = i^2 i = (-1) i = -ii^4 = i^3 i = (-i) i = -(i^2) = -(-1) = 1

### Matricat 
djathtas|parapamje|200x200px| Disa njësi imagjinare korrespondojnë me pikat  në hiperbolën  .
Duke përdorur konceptet e matricave dhe shumëzimit matricor, njësitë imagjinare mund të paraqiten në algjebër lineare. Vlera e 1 përfaqësohet nga një matricë identiteti I dhe vlera e i përfaqësohet nga çdo matricë J që kënaq J^2 = - I. Një zgjedhje tipike ështëI = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}, \qquad J = \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\,.Në përgjithësi, një matricë J me vlerë reale 2 × 2 plotëson J^2 = - I nëse dhe vetëm nëse J ka një gjurmë matrice zero dhe një përcaktor të matricës = 1, kështu që J mund të zgjidhet të jetëJ = \begin{pmatrix}
z & x \\
y & -z
\end{pmatrix}\,,sa herë që -z^2-xy = 1 . Prodhimi xy është negativ sepse xy = -(1+z^2) ; Kështu, pikat (x,y) shtrihen në hiperbola të përcaktuara nga z në kuadrantet&nbsp;II ose&nbsp;IV.

## Vetitë 
### Rrënjët katrore 
djathtas|parapamje|200x200px| Dy rrënjët katrore të i në rrafshin kompleks
djathtas|parapamje|200x200px| Tre rrënjët kubike të i në rrafshin kompleks
Ashtu si të gjithë numrat kompleksë jozero, i ka dy rrënjë katrore: ato janë {{Efn|To find such a number, one can solve the equation (x+iy)^{2}=i where  and  are real parameters to be determined, or equivalently x^{2} + 2ixy - y^{2} = i. Because the real and imaginary parts are always separate, we regroup the terms, x^{2} - y^{2} + 2ixy = 0 + i. By equating coefficients, separating the real part and imaginary part, we get a system of two equations:

\begin{align}
x^{2} - y^{2} &= 0 \\[3mu]
2xy &= 1.
\end{align}

Substituting y=\tfrac12x^{-1} into the first equation, we get  x^{2} - \tfrac14x^{-2} = 0 \implies 4x^4 = 1. Because  is a real number, this equation has two real solutions for : x=\tfrac{1}{\sqrt{2}} and x=-\tfrac{1}{\sqrt{2}}. Substituting either of these results into the equation 2xy = 1 in turn, we will get the corresponding result for . Thus, the square roots of  are the numbers \tfrac{1}{\sqrt{2}} + \tfrac{1}{\sqrt{2}}i and -\tfrac{1}{\sqrt{2}}-\tfrac{1}{\sqrt{2}}i.}}

:  \pm \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \right) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i). 

### Rrënjët kubike 
Tre rrënjët kubike të i-së janë: 

: -i,
: \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}, dhe
: -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}.

#### i^i 
Duke përdorur formulën e Euler-it, i^{i} ka pafundësisht shumë vlera

: i^i = \left( e^{i (\pi/2 + 2k \pi)} \right)^i = e^{i^2 (\pi/2 + 2k \pi)} = e^{- (\pi/2 + 2k \pi)}\,,

për çdo numër të plotë k . Një vlerë e përbashkët kryesore korrespondon me k=0 dhe jep i^i = e^{-\pi /2}, që është 0.207879 576 ... .  

### Faktoriali 
Faktoriali i njësisë imagjinare i jepet më shpesh në terma të funksionit gama të vlerësuar në 1 + i :   

: i! = \Gamma(1+i) = i\Gamma(i) \approx 0.498015668 - 0.154949828i. 

Madhësia e këtij numri është

: 
|\Gamma(1+i)| = \sqrt{\frac{\pi}{ \sinh \pi}} = 0.521564046\ldots,
 

ndërsa argumenti i saj është

: 
\arg{\Gamma(1+i)}
= \lim_{n\to\infty} \biggl(\ln{n} - \sum_{k=1}^n \arccot{k} \biggr)
\approx -0.301640320.