Heliksi

parapamje|Spiralja e djathtë (cos t, sin t, t ) për 0 ≤ t ≤ 4 π me majat e shigjetave që tregojnë drejtimin e rritjes së ndryshores *t*
Një **heliks** është një formë si një heqëse tapash ose shkallë spirale . Është një lloj lakore e hapësirës së lëmuar me vija tangjente në një kënd konstant ndaj një boshti fiks. Spiralet janë të rëndësishme në biologji, pasi molekula e ADN-së formohet si dy spirale të ndërthurura, dhe shumë proteina kanë nënstruktura spirale, të njohura si spirale alfa . Fjala *heliks* vjen nga fjala greke  , "i përdredhur, i lakuar".  Një spirale "e mbushur" - për shembull, një rampë "spiral" (spiral) - është një sipërfaqe e quajtur *helikoid* . 

## Përshkrimi matematikor 
parapamje|267x267px| Një spirale e përbërë nga përbërës sinusoidalë *x* dhe *y*
Në matematikë, një spirale është një kurbë në hapësirën 3- dimensionale . Parametrimi i mëposhtëm në koordinatat karteziane përcakton një spirale të veçantë;  ekuacionet më të thjeshta parametrike për një spirale janë:

: \begin{align}
x(t) &= \cos(t),\\
y(t) &= \sin(t),\\
z(t) &= t.
\end{align}

Ndërsa parametri t rritet, pika (x(t), y(t), z(t)) gjurmon një spirale të djathtë me hap 2π (ose pjerrësi 1) dhe rreze 1 rreth boshtit z, në një sistem koordinativ të dorës së djathtë.

Në koordinatat cilindrike (r, \theta, h ), e njëjta spirale është e parametrizuar nga:

: \begin{align}
r(t) &= 1,\\
\theta(t) &= t,\\
h(t) &= t.
\end{align}

Një mënyrë tjetër për të ndërtuar matematikisht një spirale është të vizatojmë funksionin me vlera komplekse e^{xi} si funksion të numrit real x (shih formulën e Euler-it ). Vlera e x-it dhe pjesët reale dhe imagjinare të vlerës së funksionit i japin këtij grafiku tre dimensione reale.

### Gjatësia e harkut, lakimi dhe torsioni 
Një spirale rrethore me rreze a dhe pjerrësi a/b shprehet në koordinata karteziane si:

: t\mapsto (a\cos t, a\sin t, bt), t\in [0,T]

ka një gjatësi harku prej

: A = T\cdot \sqrt{a^2+b^2},

një lakim të dhënë nga

: \frac{a^2+b^2},

dhe një torsion:

: \frac{b}{a^2+b^2}.

Një heliks është funksioni me vlera vektoriale\begin{align}
\mathbf{r}&=a\cos t \mathbf{i}+a\sin t \mathbf{j}+ b t\mathbf{k}\\[6px]

\mathbf{v}&=-a\sin t \mathbf{i}+a\cos t \mathbf{j}+ b \mathbf{k}\\[6px]

\mathbf{a}&=-a\cos t \mathbf{i}-a\sin t \mathbf{j}+ 0\mathbf{k}\\[6px]

|\mathbf{v}|&=\sqrt{(-a\sin t )^2 +(a\cos t)^2 + b^2}=\sqrt{a^2 +b^2}\\[6px]

|\mathbf{a}| &= \sqrt{(-a\sin t )^2 +(a\cos t)^2 } = a\\[6px]

s(t) &= \int_{0}^{t}\sqrt{a^2 +b^2}d\tau = \sqrt{a^2 +b^2} t
\end{align}Pra, një spirale mund të riparametrizohet në funksion të s, e cila duhet të jetë shpejtësia njësi:\mathbf{r}(s) = a\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i}+a\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}} \mathbf{j}+ \frac{bs}{\sqrt{a^2 +b^2}} \mathbf{k}Vektori tangjent njësi është\frac{d \mathbf{r}}{d s} = \mathbf{T} = \frac{-a}{\sqrt{a^2 +b^2} }\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i}+\frac{a}{\sqrt{a^2 +b^2} }\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} }\mathbf{j}+ \frac{b}{\sqrt{a^2 +b^2}} \mathbf{k}Vektori normal është\frac{d \mathbf{T}}{d s} = \kappa \mathbf{N} = \frac{-a}{a^2 +b^2 }\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i}+\frac{-a}{a^2 +b^2} \sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} }\mathbf{j}+ 0 \mathbf{k}Kurbatura (lakimi) e saj është\kappa = \left|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right|= \frac{a^2 +b^2 }Vektori normal i njësisë është\mathbf{N}=-\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i} - \sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{j} + 0 \mathbf{k}Vektori binormal është \begin{align}
\mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N} &= \frac{1}{\sqrt{a^2 +b^2 }} \left( b\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}}\mathbf{i} - b\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}}\mathbf{j}+ a \mathbf{k}\right)\\[12px]
\frac{d\mathbf{B}}{ds} &= \frac{1}{a^2 +b^2} \left( b\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}} \mathbf{i} + b\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}}\mathbf{j}+ 0 \mathbf{k} \right)
\end{align}Torsioni i tij është\tau = \left| \frac{d\mathbf{B}}{ds} \right| = \frac{b}{a^2 +b^2}.