Testi hi-katror

djathtas|parapamje|300x300px| Shpërndarja në katror Chi, duke treguar χ2 në boshtin *x* dhe vlerën *p* (probabiliteti i bishtit të djathtë) në boshtin *y* .
Një **test hi-katror** (gjithashtu shënuar **χ2** ) është një test hipoteze statistikore që përdoret në analizën e tabelave të kontigjencës kur madhësitë e kampionit janë të mëdha. Në terma më të thjeshtë, ky test përdoret kryesisht për të hetuar nëse dy variabla diskretë ( *dy dimensione të tabelës së kontigjencës* ) janë të pavarura në ndikimin e statistikave të testit (*vlerat brenda tabelës* ).  Testi është i vlefshëm kur statistika e testit ndjek shpërndarjen hi-katror sipas hipotezës zero, veçanërisht testi hi-katror i Pirsonit dhe variantet e tij. Testi hi-katror i Pirsonit përdoret për të përcaktuar nëse ka një ndryshim domethënës statistikor midis frekuencave të pritura dhe frekuencave të vëzhguara në një ose më shumë kategori të një tabele kontigjence . Për tabelat e kontigjencës me madhësi më të vogla të mostrës, përdoret një test i saktë i Fisheri .

Në zbatime standarde të këtij testi, vëzhgimet klasifikohen në klasa ndërsjellazi përjashtuese. Nëse hipoteza zero pohon se nuk ka dallime midis klasave në popullatë është e vërtetë, statistika e testit e llogaritur nga vëzhgimet ndjek një shpërndarje frekuence χ . Qëllimi i testit është të vlerësojë se sa kishin që të merreshin frekuencat e vëzhguara duke supozuar se hipoteza zero është e vërtetë.

Statistikat e testimit që ndjekin një shpërndarje χ2 ndodhin kur vëzhgimet janë të pavarura. Ekzistojnë gjithashtu teste χ2 për testimin e hipotezës zero të pavarësisë së një çifti variablash të rastësishëm bazuar në vëzhgimet e çifteve.

### Testi hi-katror i Pearson 
Në vitin 1900, Pearson botoi një paper  mbi testin χ2 i cili konsiderohet të jetë një nga themelet e statistikës moderne.  Në këtë letër, Pearson hetoi një test të mirësisë së përshtatjes.

Supozoni se ***n*** vëzhgime në një zgjedhje të rastësishme nga një popullatë klasifikohen në ***k*** klasa ndërsjellazi përjashtuese me numrat përkatës të vëzhguar  (për   ), dhe një hipotezë zero jep probabilitetin  që një vëzhgim të bjerë në klasën e ***i*** të. Pra kemi numrat e pritur  i për të gjithë ***i***, ku

: \begin{align}
& \sum^k_{i=1}{p_i} = 1 \\[8pt]
& \sum^k_{i=1}{m_i} = n\sum^k_{i=1}{p_i} = n 
\end{align}

Pearson propozoi që, në rast se hipoteza zero është e saktë, pasi n → ∞ shpërndarja kufizuese e madhësisë së dhënë më poshtë është shpërndarja χ2 .

: X^2=\sum^k_{i=1}{\frac{(x_i-m_i)^2}{m_i}}=\sum^k_{i=1}{\frac{x_i^2}{m_i}-n}

## Shembull testi hi-katror për të dhënat kategorike 
Supozoni se ekziston një qytet me 1,000,000 banorë të ndarë në katër lagje: A, B, C dhe D . Është marrë një kampion rastësor prej 650 banorësh të qytetit dhe profesioni i tyre është regjistruar si "jakë e bardhë", "jakë blu" ose "pa jakë" . Hipoteza zero është se lagja e banimit të çdo personi është e pavarur nga tipi i profesionit të personit. Të dhënat janë tabeluar si:

Le të marrim kampionin që jeton në lagjen A, 150, për të vlerësuar se çfarë përqindje e të gjithë 1,000,000 banorëve jetojnë në lagjen A.Në mënyrë të ngjashme marrim \frac{349}{650} vlerësuar se çfarë përqindje e 1,000,000 janë punëtorë me jakë të bardhë. Me supozimin e pavarësisë nën hipotezë ne duhet të "presim" që numri i punëtorëve jakë të bardhë në lagjen A të jetë

:  150\times\frac{349}{650} \approx 80.54 

Pastaj në atë "qelizë" të tabelës, kemi

: \frac{\left(\text{vëzhguar}-\text{pritur}\right)^2}{\text{pritur}} = \frac{\left(90-80.54\right)^2}{80.54} \approx 1.11

Shuma e këtyre madhësive mbi të gjitha qelizat është statistika e provës; në këtë rast,  \approx 24.57  . Sipas hipotezës zero, kjo shumë ka afërsisht një shpërndarje hi-katrore, numri i shkallëve të lirisë së së cilës është

:  (\text{numri i rreshtave}-1)(\text{numri i kolonave}-1) = (3-1)(4-1) = 6 

Nëse statistika e testit është çuditërisht e madhe sipas asaj shpërndarjeje në katror, atëherë hipoteza zero e pavarësisë refuzohet.

## Aplikimet 
Në kriptanalizë, testi hi-katror përdoret për të krahasuar shpërndarjen e tekstit të thjeshtë dhe (ndoshta) të deshifruar. Vlera më e ulët e testit do të thotë se deshifrimi ishte i suksesshëm me probabilitet të lartë.   Kjo metodë mund të përgjithësohet për zgjidhjen e problemeve moderne kriptografike. 

Në bioinformatikë, testi hi-katror përdoret për të krahasuar shpërndarjen e disa vetive të gjeneve (p.sh., përmbajtja gjenomike, shkalla e mutacionit, grupimi i rrjetit të ndërveprimit, etj.) që u përkasin kategorive të ndryshme (p.sh., gjenet e sëmundjes, gjenet thelbësore, gjenet në një kromozom të caktuar etj. ).