Shndërrimi i Cayley

Në matematikë, **transformimi Cayley**, i quajtur pas Arthur Cayley, është secili nga një kllastër prej gjërash të lidhura. Siç përshkruhet fillimisht nga , transformimi Cayley është një hartë midis matricave simetrike të anuar dhe matricave speciale ortogonale . Transformimi është një homografi e përdorur në analizën reale, analizën komplekse dhe analizën kuaternionike . Në teorinë e hapësirave të Hilbertit, transformimi Cayley është një hartë midis operatorëve linearë    .

## Homografia reale 
Një shembull i thjeshtë i një transformimi Cayley mund të bëhet në vijën reale projektive . Transformimi i Cayley këtu do të ndryshojë elementet e {1, 0, −1, ∞} varg. Për shembull, ai harton numrat realë pozitivë në intervalin [−1, 1]. Kështu transformimi Cayley përdoret për të përshtatur polinomet e Lezhandrit për përdorim me funksionet në numrat realë pozitivë me funksionet racionale të Lezhandrit .

Si një homografi e vërtetë, pikat përshkruhen me koordinata projektive, dhe hartëzimi përcaktohet si:

: [y,\ 1] = \left[\frac {x - 1}{x +1},\ 1\right] \thicksim [x - 1, \ x + 1] = [x,\ 1]\begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} .

## Homografia komplekse 
djathtas|parapamje|300x300px| Transformimi Cayley i gjysmë rrafshit kompleks të sipërm në diskun njësi
Në gjysmën e sipërme të planit kompleks, transformimi i Cayley është:  

: f(z) = \frac {z - i}{z + i} .

Meqënëse \{\infty, 1, -1\} është hartuar në \{1, -i, i\}, dhe transformimet e Möbius-it ndryshojnë rrathët e përgjithësuar në planin kompleks, f harton vijën reale në rrethin njësi . Për më tepër, që nga f është një homeomorfizëm dhe i është marrë në 0 nga f, gjysma e sipërme e rrafshit vendoset në një hartë në diskun njësi .

Në inxhinierinë elektrike, transformimi Cayley është përdorur për të hartuar një gjysmë rrafshi të reaktancës në grafikun e Smith që përdoret për përputhjen e impedancës së linjave të transmetimit.

Për sa i përket modeleve të gjeometrisë hiperbolike, ky transformim Cayley lidh modelin gjysmë të rrafshit Poincare me modelin e diskut Poincare .

## Homografia e kuaternioneve 
Në hapësirën katërdimensionale të kuaternioneve a+b\vec{i}+c\vec{j}+d\vec{k}, versorët

: u(\theta, r) = \cos \theta + r \sin \theta  formojnë 3-sferën njësi .

Meqenëse kuaternionet janë jondërrues, elementët e vijës së saj projektuese kanë koordinata homogjene të shënuara U[a,b] për të treguar se faktori homogjen shumëzohet në të majtë. Transformimi i kuaternionit është

: f(u,q) = U[q,1]\begin{pmatrix}1 & 1 \\ -u & u \end{pmatrix} = U[q - u,\ q + u] \sim U[(q + u)^{-1}(q - u),\ 1].

Homografitë reale dhe komplekse të përshkruara më sipër janë shembuj të homografisë kuaternare ku \theta është zero ose \pi/2, respektivisht. Me sa duket transformimi merr u\to 0\to -1 dhe merr -u \to \infty \to 1 .

Duke vlerësuar këtë homografi në q=1 harton versorin u në boshtin e saj:

: f(u,1) =(1+u)^{-1}(1-u) = (1+u)^*(1-u)/ |1+u|^2.

Por |1+u|^2 = (1+u)(1+u^*) = 2 + 2 \cos \theta ,\quad \text{dhe}\quad (1+u^*)(1-u) = -2 r \sin \theta .

Kështu f(u,1) = -r \frac {\sin \theta}{1 + \cos \theta} = -r \tan \frac{\theta}{2} .

Në këtë formë transformimi Cayley është përshkruar si një parametrizim racional i rrotullimit: Le t=\tan\phi/2 në identitetin e numrit kompleks 

: e^{-i \varphi} = \frac{1 - ti}{1 + ti} 

ku ana e djathtë është transformimi i ti dhe ana e majtë paraqet rrotullimin e rrafshit me \phi radianë negativë.

### I anasjellti 
Le të jetë u^* = \cos \theta - r \sin \theta = u^{-1} . Meqënëse

: \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -u & u \end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} 1 & -u^* \\ 1 & u^* \end{pmatrix} \ = \ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \ \sim \ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ ,

ku ekuivalenca është në grupin linear projektues mbi kuaternionet, e anasjellta e f(u,1) është

: U[p,1] \begin{pmatrix} 1 & -u^* \\ 1 & u^* \end{pmatrix} \ = \ U[p+1,\ (1-p)u^*] \sim U[u(1-p)^{-1} (p+1), \ 1] .

## Harta matricore 
Midis *n* × *n* matricave katrore mbi numrat realë, me *I* matricën identitare, le të jetë *A* çdo matricë anore-simetrike (në mënyrë që *A* T&nbsp;= − *A* ).

Pastaj *I+&nbsp;A* është e kthyeshme, dhe transformimi Cayley

:  Q = (I - A)(I + A)^{-1} \,\!

prodhon një matricë ortogonale, *Q* (në mënyrë të tillë që *Q* T *Q*&nbsp;= *I* ). Shumëzimi i matricës në përkufizimin e *Q* më sipër është ndërrues, kështu që *Q* mund të përkufizohet në mënyrë alternative si  Q = (I + A)^{-1}(I - A) . Në fakt, *Q* duhet të ketë përcaktor +1, kështu është edhe ortogonale e veçantë.

Anasjelltas, le të jetë *Q* çdo matricë ortogonale që nuk ka −1 si vlerë vetjake ; atëherë

:  A = (I - Q)(I + Q)^{-1} \,\!

është një matricë anore-simetrike. Kushti në *Q* përjashton automatikisht matricat me përcaktor -1, por gjithashtu përjashton disa matrica të veçanta ortogonale.

Megjithatë, çdo matricë rrotullimi (ortogonale speciale) *Q* mund të shkruhet si

: Q = \bigl((I - A)(I + A)^{-1}\bigr)^2

për disa matricë anore-simetrike *A* ; përgjithësisht çdo matricë ortogonale *Q* mund të shkruhet si

: Q = E(I - A)(I + A)^{-1}

Një formë paksa e ndryshme shihet gjithashtu,   që kërkon paraqitje të ndryshme në çdo drejtim,

: \begin{align}
 Q &= (I - A)^{-1}(I + A), \\[5mu]
 A &= (Q - I)(Q + I)^{-1}.
\end{align}

Hartëzimi mund të shkruhen edhe me rendin e faktorëve të përmbysur;   megjithatë, *A* udhëton gjithmonë me (μ *I*&nbsp;±&nbsp;*A* ) −1, kështu që rirenditja nuk ndikon në përkufizimin.

### Shembuj 
Në rastin 2×2, kemi

: 
\begin{bmatrix} 0 & \tan \frac{\theta}{2} \\ -\tan \frac{\theta}{2} & 0 \end{bmatrix}
\leftrightarrow
\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} .

Matrica e rrotullimit 180°, − *I*, është e përjashtuar, megjithëse është kufiri kur tan&nbsp;θ ⁄ 2 shkon në pafundësi.

Në rastin 3×3, kemi

: 
\begin{bmatrix} 0 & z & -y \\ -z & 0 & x \\ y & -x & 0 \end{bmatrix}
\leftrightarrow
\frac{1}{K}
\begin{bmatrix}
 w^2+x^2-y^2-z^2 & 2 (x y-w z) & 2 (w y+x z) \\
 2 (x y+w z) & w^2-x^2+y^2-z^2 & 2 (y z-w x) \\
 2 (x z-w y) & 2 (w x+y z) & w^2-x^2-y^2+z^2
\end{bmatrix} ,

*ku K*&nbsp;=&nbsp;*w* 2&nbsp;+&nbsp;*x* 2&nbsp;+&nbsp;*y* 2&nbsp;+&nbsp;*z* 2, dhe ku *w*&nbsp;=&nbsp;1. Këtë ne e njohim si matricë rrotullimi që i korrespondon kuaternionit

:  w + \mathbf{i} x + \mathbf{j} y + \mathbf{k} z \,\!