Paralelopipedi

Në gjeometri, një **paralelopiped** është një figurë tre-dimensionale e formuar nga gjashtë paralelograme (termi *romboid* gjithashtu përdoret ndonjëherë me këtë kuptim). Për analogji, ai lidhet me një paralelogram ashtu si një kub lidhet me një katror . 

Janë tre përkufizime të njëvlerëshme të *paralelepipedit*

* një gjashtëkëndor me tre palë faqe paralele,
* një shumëfaqësh me gjashtë faqe ( gjashtëkëndësh ), secila prej të cilave është një paralelogram, dhe
* një prizëm baza e të cilit është një paralelogram .

Kuboidi drejtkëndor (gjashtë faqe drejtkëndëshe ), kubi (gjashtë faqe katrore ) dhe rombohedroni (gjashtë faqe rombi ) janë të gjitha raste specifike të paralelopipedit.

## Vëllimi 
parapamje| Paralelopiped, i krijuar nga tre vektorë
Një paralelipiped është një prizëm me bazë një paralelogram. Prandaj vëllimi V i një paralelopipedi është prodhimi i sipërfaqes bazë B dhe lartësinë h (shih diagramin). Me:

* B = \left|\mathbf a\right| \cdot \left|\mathbf b\right| \cdot \sin \gamma = \left|\mathbf a \times \mathbf b\right| (ku \gamma është këndi ndërmjet vektorëve \mathbf a dhe \mathbf b ), dhe
* h = \left|\mathbf c\right| \cdot \left|\cos \theta\right| (ku \theta është këndi ndërmjet vektorit \mathbf c dhe normalja me bazën), merret formula:

V = B\cdot h = \left(\left|\mathbf a\right| \left|\mathbf b\right| \sin \gamma\right) \cdot \left|\mathbf c\right| \left|\cos \theta\right| = \left|\mathbf a \times \mathbf b\right| \left|\mathbf c\right| \left|\cos \theta\right| = \left|\left(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\right) \cdot \mathbf{c}\right|. Prodhimi i përzier i tre vektorëve quhet prodhim i trefishtë . Mund të përshkruhet nga një përcaktor . Prandaj për \mathbf a=(a_1,a_2,a_3)^\mathsf{T}, ~\mathbf b=(b_1,b_2,b_3)^\mathsf{T}, ~\mathbf c=(c_1,c_2,c_3)^\mathsf{T}, vëllimi është:

V = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}{{NumBlk||V = \left| \det \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3
 \end{bmatrix} \right| . |}}Një mënyrë tjetër për të vërtetuar pohimin e mësipërm është përdorimi i përbërësit skalar në drejtim të \mathbf a\times\mathbf b të vektorit \mathbf c : \begin{align}
V = \left|\mathbf a\times\mathbf b\right| \left|\operatorname{scal}_{\mathbf a \times \mathbf b} \mathbf c\right|
= \left|\mathbf a\times\mathbf b\right| \frac{\left|\left(\mathbf a\times \mathbf b\right) \cdot \mathbf c\right|}{\left|\mathbf a\times \mathbf b\right|}
= \left|\left(\mathbf a\times \mathbf b\right) \cdot \mathbf c\right|.
\end{align} Rezultati vijon.

Një paraqitje alternative e vëllimit përdor vetëm vetitë gjeometrike (këndet dhe gjatësitë e skajeve):

V = abc\sqrt{1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)}{{NumBlk||V = abc\sqrt{1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)},|}}ku \alpha = \angle(\mathbf b, \mathbf c), \beta = \angle(\mathbf a,\mathbf c), \gamma = \angle(\mathbf a,\mathbf b) , dhe a,b,c  janë gjatësitë e brinjëve.

## Sipërfaqja 
Sipërfaqja e një paralelepipedi është shuma e sipërfaqeve të paralelogrameve kufizuese: \begin{align}
A &= 2 \cdot \left(|\mathbf a \times \mathbf b| + |\mathbf a \times \mathbf c| + |\mathbf b \times \mathbf c|\right) \\
&= 2\left(ab\sin\gamma+ bc\sin\alpha+ca\sin\beta\right).
\end{align}