Ekuacionet e Hamilton-Jakobit

Në fizikë, **ekuacioni i Hamilton–Jakobit (EHJ)** është një riformulim i mekanikës klasike dhe, kjo do të thotë që, ai është ekuivalent me formulimet e tjera si ligjet e Njutonit, mekanikën e Lagranzhit dhe mekanikën e Hamiltonit. Ekuacioni i Hamilton–Jakobi është shumë i vlefshëm në identifikimin e madhësive të konservuara për sistemet mekanike, të cilat janë të mundura edhe në rastet kur problemi mekanik nuk mund të zgjidhet plotësisht. 

EHJ gjithashtu është i vetmi formulim i mekanikës në të cilën lëvizja e një thërrmije mund të përshkruhet si një valë. Në këtë kuptim, EHJ plotësoi një synim shumë të gjatë të fizikës teorike (që nga koha e Johan Bernulit në shekullin e 18-te) për të gjetur një analogji mes propagimit të valës dhe lëvizjes të një thërrmije. Ekuacioni i valës për sistemet mekanike është i ngjashëm por jo identik me, ekuacionin e Shrodingerit, siç jepet më poshtë ; për këtë arsye, EHJ konsiderohet si "përafrimi më i afërt" i mekanikës klasike me mekaniken kuantike.

## Formulimi matematik 
Ekuacioni i Hamilton–Jakobit është një ekuacion differencial pjesor jolinear i rendit të parë , për një funksion S(q_{1},\dots,q_{N}; t) i quajtur funksioni principal i Hamiltonit

:
H\left(q_{1},\dots,q_{N};\frac{\partial S}{\partial q_{1}},\dots,\frac{\partial S}{\partial q_{N}};t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0.

Siç përshkruhet më lart, ky ekuacion mund të derivohet nga mekanika e Hamiltonit duke trajtuar S (veprimin) si funksionin gjenerues për një transformim kanonik të funksionit Hamiltonian klasik H(q_{1},\dots,q_{N};p_{1},\dots,p_{N};t). Impulsi i konjuguar i korrespondon derivateve të para të S në lidhje me koordinata e përgjithshme 

:
p_{k} = \frac{\partial S}{\partial q_{k}}.

të cilat mund të merren si më poshtë.
Ndryshimi i veprimit nga një shteg tek një shteg fqinj jepet nga 

:\delta S=\sum_{k=1}^N\left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}\delta q_k\right]_{t_1}^{t_2}+\sum_{k=1}^N\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac {\partial L}{\partial q_k} - \frac {d}{d t}  \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\delta q_k \,dt.

Meqenëse shtegjet e lëvizjes aktuale kënaqin ekuacioni i Ojler–Lagranzhit, integrali në \delta S është zero. Tek termi i parë vendosim \delta q_k(t_1)=0, dhe e quajmë vlerën e \delta q_k(t_2) me \delta q_k. Duke zëvendësuar \partial L/\partial \dot{q}_{k} me p_k, marrim
:\delta S=\sum_{k=1}^N p_k \delta q_k. 
Nga ky relacion del se derivatet pjesore të veprimit në lidhje me koordinatat janë të barabarta me sasinë e lëvizjes (impulset) korrespondues.

## Krahasimi me formulimet e tjera të mekanikës 
## Notacioni 
Për thjeshtësi përdorim variabla me tekst të trashë si \mathbf{q} për të paraqitur listën e N koordinatave të përgjithshme

:
\mathbf{q} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  (q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N-1}, q_{N})

që nuk transformohen si një vektor përgjatë një rrotullimi. Prodhimi skalar këtu është i përcaktuar si shuma e produkteve të komponenëve korrespondues , pra, 

:
\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{k=1}^{N} p_{k} q_{k}.

## Derivimi 
Çdo transformim kanonik që përfshin një funksion gjenerues të tipit të dytë G_{2}(\mathbf{q},\mathbf{P},t) na çon tek relacionet

:
\qquad
{\partial G_{2} \over \partial \mathbf{q}} = \mathbf{p}, \qquad
{\partial G_{2} \over \partial \mathbf{P}} = \mathbf{Q}, \qquad
K = H + {\partial G_{2} \over \partial t}

(Shikoni artikullin mbi transformimet kanonike për detaje të mëtejshme.) 

Në mënyre që të derivojmë HJE, në zgjedhim një funksion gjenerues S(\mathbf{q}, \mathbf{P}, t) që prodhon funksion e ri Hamiltonian K i cili është identikisht zero. Pra, të gjitha derivatet e tija janë zero gjithashtu, dhe ekuacionet e Hamiltonit bëhen shumë të lehta

:
{d\mathbf{P} \over dt} = {d\mathbf{Q} \over dt} = 0

pra, koordinatat dhe vrullet (vektorët e impulseve) të reja të përgjithshme janë konstantet e lëvizjes. Vrullet e reja të përgjithshme \mathbf{P} shpesh jepen nga \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{N-1}, \alpha_{N}, pra, P_{m} = \alpha_{m}. 

HJE është një rezultat i transformimit të funksionit Hamiltonian K
:
K(\mathbf{Q},\mathbf{P},t) = H(\mathbf{q},\mathbf{p},t) + {\partial S \over \partial t} = 0.

i cili është ekuivalent me EHJ

:
H\left(\mathbf{q},{\partial S \over \partial \mathbf{q}},t\right) + {\partial S \over \partial t} = 0,

meqense \mathbf{p}=\partial S/\partial \mathbf{q}.

Koordinatat e reja të përgjithshme \mathbf{Q} janë gjithashtu konstante, ato tipikisht jepën nga \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{N-1}, \beta_{N}. Pasi zgjedhim për S(\mathbf{q},\boldsymbol\alpha, t), marrim disa ekuacione shumë të dobishme 

:
\mathbf{Q} = \boldsymbol\beta = 
{\partial S \over \partial \boldsymbol\alpha}

të cilat i shkruajmë nëpërmjet komponentëve për më shumë qartësi

:
Q_{m} = \beta_{m} = 
\frac{\partial S(\mathbf{q},\boldsymbol\alpha, t)}{\partial \alpha_{m}}

Idealisht, këto N ekuacione mund të invertohen për të gjetur koordinatat e përgjithshme origjinale \mathbf{q} si një funksion i konstanteve \boldsymbol\alpha dhe \boldsymbol\beta, kështu që në këtë mënyre i japim fund zgjidhjes së problemit.

## Ndarja e variablave 
## Shembuj në koordinatave sferike 
Hamiltoniani në koordinata sferike mund të shkruhet si 

:
H = \frac{1}{2m} \left[ p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2} \sin^{2} \theta} \right] + U(r, \theta, \phi)

Ekuacioni i Hamilton–Jakobit është komplet i ndashëm në këto koordinata nqs U merr formën 

:
U(r, \theta, \phi) = U_{r}(r) + \frac{U_{\theta}(\theta)}{r^{2}} + \frac{U_{\phi}(\phi)}{r^{2}\sin^{2}\theta}

ku U_{r}(r), U_{\theta}(\theta) dhe U_{\phi}(\phi) janë funksione arbitrare . Zëvendësimi i zgjedhjeve S = S_{r}(r) + S_{\theta}(\theta) + S_{\phi}(\phi) - Et tek ekuacioni i HJ jep

:
\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + U_{r}(r) + 
\frac{1}{2m r^{2}} \left[ \left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) \right] + 
\frac{1}{2m r^{2}\sin^{2}\theta} \left[ \left( \frac{dS_{\phi}}{d\phi} \right)^{2} + 2m U_{\phi}(\phi) \right]  = E

Ky ekuacion mund të zgjidhet me integrime të njëpas njëshme të ekuacioneve diferenciale ordinere duke filluar me ekuacionin \phi 

:
\left( \frac{dS_{\phi}}{d\phi} \right)^{2} + 2m U_{\phi}(\phi) = \Gamma_{\phi}

ku \Gamma_{\phi} është konstantja e lëvizjes e cila eliminon \phi varësinë nga ekuacioni i Hamilton–Jakobit

:
\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + U_{r}(r) + 
\frac{1}{2m r^{2}} \left[ \left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) + \frac{\Gamma_{\phi}}{\sin^{2}\theta} \right] = E

Ekuacioni tjetër diferencial përfshin koordinatat e përgjithshme \theta 

:
\left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) + \frac{\Gamma_{\phi}}{\sin^{2}\theta} = \Gamma_{\theta}

ku \Gamma_{\theta} është prapë një konstante e lëvizjes e cila eliminon varësinë nga \theta dhe e redukton ekuacionin në ekuacionin diferencial ordiner final.
:
\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + U_{r}(r) + \frac{\Gamma_{\theta}}{2m r^{2}} = E

integrimi i së cilit kompleton zgjidhjen e problemit për S.

## Shembuj në koordinata eliptike cilindrike 
## Shembuj në koordinata parabolike cilindrike 
## Perafrimi Ikonal dhe lidhja me ekuacionin e Shredingerit 
## Ekuacioni i Hamilton-Jakobit në një fushe gravitacionale 
:g^{ik}\frac{\partial{S}}{\partial{x^{i}}}\frac{\partial{S}}{\partial{x^{k}}} - m^{2}c^{2} = 0

ku g^{ik} janë komponentët kontravariant të tensorit të metrikës, *m* është masa e prehjes e thërrmijës dhe *c* është shpejtësia e dritës.

## Shiko gjithashtu 
* Ekuacionet e Hamiltonit
* Transformimet kanonike
* Konstantja e lëvizjes
* Fusha vektoriale Hamiltoniane
* Në teorinë e kontrollit, shikoni ekuacioni i Hamilton-Jakobi-Bellmanit.
* Përafrimi WKB

## Referime 
* Hamilton W. (1833) "On a General Method of Expressing the Paths of Light, and of the Planets, by the Coefficients of a Characteristic Function", *Dublin University Review*, pp. 795-826.

* Hamilton W. (1834) "On the Application to Dynamics of a General Mathematical Method previously Applied to Optics", *British Association Report*, pp.513-518.

* 

* 

* Landau L.D., Lifshitz L.M., "Mechanics", Elsevier, Amsterdam ... Tokyo, 1975.