Qendra e masës

parapamje| Kjo lodër përdor parimet e qendrës së masës për të mbajtur baraspeshën kur mbështetet në gisht.
Në fizikë, **qendra e masës së** një shpërndarjeje të masës në hapësirë (nganjëherë referuar si **bariqëndra** ose **pika e baraspeshës** ) është pika unike në çdo kohë të caktuar ku vendodhja relative e ponderuar e masës së shpërndarë shumon në zero. Kjo është pika në të cilën mund të zbatohet një forcë për të shkaktuar një nxitim drejtëvizor pa një nxitim këndor . Llogaritjet në mekanikë shpesh thjeshtohen kur formulohen në lidhje me qendrën e masës. Është një pikë hipotetike ku e gjithë masa e një objekti mund të supozohet se është e përqendruar për të pamuar (vizualizuar) lëvizjen e tij. Me fjalë të tjera, qendra e masës është e njëvlershmja e grimcave të një objekti të caktuar për zbatimin e ligjeve të lëvizjes së Njutonit .

Në rastin e një trupi të vetëm të ngurtë, qendra e masës është e fiksuar në lidhje me trupin, dhe nëse trupi ka dendësi të njëtrajtshme, ai do të vendoset në qendër . Qendra e masës mund të jetë e vendosur jashtë trupit fizik, siç ndodh ndonjëherë për objektet në formë  ose të hapur, të tilla si një patkua . Në rastin e shpërndarjes së trupave të veçantë, siç janë planetët e Sistemit Diellor, qendra e masës mund të mos përkojë me vendodhjen e ndonjë anëtari individual të sistemit.

Qendra e masës është një pikë referimi e dobishme për llogaritjet në mekanikë që përfshijnë masat e shpërndara në hapësirë, të tilla si impulsi drejtëvizor dhe këndor i trupave planetarë dhe dinamika e trupave të ngurtë . Në mekanikën orbitale, ekuacionet e lëvizjes së planetëve formulohen si masa piklsore të vendosura në qendrat e masës. Qendra e sistemit të masës është një sistem referimi inercial në të cilën qendra e masës së një sistemi është në qetësi në lidhje me origjinën e sistemit të koordinatave .

## E ç'është qëndra e masës? 
Qendra e masës është pika unike në qendër të një shpërndarjeje të masës në hapësirë që ka vetinë që vektorët e vendodhjes të peshuar në lidhje me këtë pikë të shumojnë në zero. Në analogji me statistikën, qendra e masës është vendndodhja mesatare e një shpërndarjeje të masës në hapësirë.

### Një sistem grimcash 
Në rastin e një sistemi grimcash P_i, i = 1, ... , n, secila me masë m_i që ndodhen në hapësirë me koordinata \boldsymbol{r}_i, i = 1, ... , n, koordinatat **R** të qendrës së masës plotësojnë kushtin \sum_{i=1}^n m_i(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) = \mathbf{0}.Zgjidhja e këtij ekuacioni për **R** jep formulën\mathbf{R}={\sum_{i=1}^n m_i \mathbf{r}_i\over\sum_{i=1}^n m_i }.

### Një vëllim i vazhdueshëm 
Nëse shpërndarja e masës është e vazhdueshme me dendësinë ρ( **r** ) brenda një trupi *Q* të ngurtë, atëherë integrali i koordinatave të vendodhjes së peshuar të pikave në këtë vëllim në lidhje me qendrën e masës **R** mbi vëllimin **V** është zero, d.m.th.\iiint_{Q} \rho(\mathbf{r}) \left(\mathbf{r} - \mathbf{R}\right) dV = 0.Zgjidheni këtë ekuacion për të marrë koordinatat **R**\mathbf R = \frac 1 M \iiint_{Q}\rho(\mathbf{r}) \mathbf{r} \, dV,ku M është masa totale në vëllim.

### Koordinatat baricentrike 
Koordinatat **R** të qendrës së masës së një sistemi me dy grimca, *P* 1 dhe *P* 2, me masa *m* 1 dhe *m* 2 jepen nga \mathbf{R} = \frac{1}{m_1 + m_2}(m_1 \mathbf{r}_1 + m_2\mathbf{r}_2).

### Sisteme me kushte kufitare periodike 
Për grimcat në një sistem me kushte kufitare periodike dy grimca mund të jenë fqinje edhe pse janë në anët e kundërta të sistemit. Kjo ndodh shpesh në simulimet e dinamikës molekulare, për shembull, në të cilat disa kllastra formohen në vende të rastësishme dhe ndonjëherë atomet fqinje kalojnë kufirin periodik. Kur një grup kalon kufirin periodik, një llogaritje e painformuar e qendrës së masës do të jetë e pasaktë. Një metodë e përgjithësuar për llogaritjen e qendrës së masës për sistemet periodike është trajtimi i secilës koordinatë, *x* dhe *y* dhe/ose *z*, sikur të ishte në një rreth në vend të një vije.  Llogaritja merr koordinatat *x* të çdo grimce dhe e vendos atë në një kënd,\theta_i = \frac{x_i}{x_\max} 2 \pi ku x_{max} është madhësia e sistemit në drejtimin x dhe x_i \in [0, x_\max) . Nga ky kënd, dy pika të reja (\xi_i, \zeta_i) mund të gjenerohen, të cilat mund të peshohen me masën e grimcës x_i për qendrën e masës ose jepet një vlerë prej 1 për qendrën gjeometrike:\begin{align}
  \xi_i &= \cos(\theta_i) \\
 \zeta_i &= \sin(\theta_i)
\end{align}Në (\xi, \zeta) plan, këto koordinata shtrihen në një rreth me rreze 1. Nga koleksioni i \xi_i dhe \zeta_i vlerat nga të gjitha grimcat, mesataret \overline{\xi} dhe \overline{\zeta} llogariten.\begin{align}
  \overline{\xi} &= \frac 1 M \sum_{i=1}^n m_i \xi_i, \\
 \overline{\zeta} &= \frac 1 M \sum_{i=1}^n m_i \zeta_i,
\end{align}ku M është shuma e masave të të gjitha grimcave.

Këto vlera janë paraqitur përsëri në një kënd të ri, \overline{\theta}, nga e cila mund të merret koordinata *x* e qendrës së masës:\begin{align}
 \overline{\theta} &= \operatorname{atan2}\left(-\overline{\zeta}, -\overline{\xi}\right) + \pi \\
    x_\text{com} &= x_\max \frac{\overline{\theta}}{2 \pi}
\end{align}