Shpërndarja Lévy

{{Infobox shpërndarja e gjasës|name=Lévy|type=density|cdf_image=|pdf_image=|support=x \in (\mu, \infty)|quantile=\mu+\frac{\sigma}{2\left(\textrm{erfc}^{-1}(p)\right)^2}|mean=\infty|median=\mu+c/2(\textrm{erfc}^{-1}(1/2))^2\,|mode=\mu + \frac{c}{3}|variance=\infty|skewness=e papërcaktuar|kurtosis=e papërcaktuar|entropy=\frac{1+3\gamma+\ln(16\pi c^2)}{2}
ku \gamma është konstantja Euler-Maskeroni}}

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, **shpërndarja Lévy**, e quajtur sipas Paul Lévy, është një shpërndarje e vazhduar probabiliteti për një ndryshore të rastit jo-negative. Në spektroskopi, kjo shpërndarje, me frekuencë si ndryshore e varur, njihet si një **profil van der Waals** .  Është një rast i veçantë i shpërndarjes inverse-gama . Është një shpërndarje e qëndrueshme .

## Përkufizimi 
Funksioni i dendësisë së probabilitetit të shpërndarjes Lévy mbi domenin x\ge \mu është

: f(x;\mu,c)=\sqrt{\frac{c}{2\pi}}~~\frac{e^{ -\frac{c}{2(x-\mu)}}} {(x-\mu)^{3/2}}

ku \mu është parametri i vendndodhjes dhe c është parametri i shkallës . Funksioni i shpërndarjes mbledhëse është

: F(x;\mu,c)=\textrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{c}{2(x-\mu)}}\right)= 2-2\Phi \left({\sqrt {\frac {c}{(x-\mu )}}}\right)

ku \textrm{erfc}(z) është funksioni i gabimit plotësues dhe  \Phi (x) është Funksioni i Laplasit. Parametri i zhvendosjes \mu ka efektin e zhvendosjes së kurbës djathtas me një madhësi \mu, dhe ndryshimin e bashkësisë së përcaktimit në intervalin [ \mu, \infty ). Ashtu si të gjitha shpërndarjet e qëndrueshme, shpërndarja Levy ka një formë standarde f(x;0,1) e cila ka vetinë e mëposhtme:

: f(x;\mu,c)dx = f(y;0,1)dy\,

ku *y* përkufizohet si

: y = \frac{x-\mu}{c}\,

Funksioni karakteristik i shpërndarjes Lévy jepet nga

: \varphi(t;\mu,c)=e^{i\mu t-\sqrt{-2ict}}.

Vini re se funksioni karakteristik mund të shkruhet gjithashtu në të njëjtën formë të përdorur për shpërndarjen e qëndrueshme me \alpha=1/2 dhe \beta=1 :

: \varphi(t;\mu,c)=e^{i\mu t-|ct|^{1/2}~(1-i~\textrm{sign}(t))}

Duke supozuar \mu=0, momenti *i n* i shpërndarjes së pazhvendosur Lévy përcaktohet nga:

: m_n\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{\frac{c}{2\pi}}\int_0^\infty \frac{e^{-c/2x}\,x^n}{x^{3/2}}\,dx

e cila ndryshon për të gjithë n\geq 0.5 në mënyrë që momentet e plota të shpërndarjes Lévy të mos ekzistojnë.

Shpërndarja standarde Lévy plotëson kushtin e të qenit e qëndrueshme

:  (X_1 + X_2 + \dotsb + X_n) \sim n^{1/\alpha}X  ,

ku X_1, X_2, \ldots, X_n, X  janë ndryshore standarde të pavarura Lévy me \alpha=1/2 .

## Shpërndarjet e ndërlidhura 
* Nëse X\,\sim\,\textrm{Levy}(\mu,c) atëherë  k X + b\,\sim\,\textrm{Levy}(k \mu + b, k c)
* Nëse X\,\sim\,\textrm{Levy}(0,c) atëherë X\,\sim\,\textrm{Inv-Gamma}(\tfrac{1}{2},\tfrac{c}{2}) ( shpërndarja e anasjelltë gama ). Këtu, shpërndarja Lévy është një rast i veçantë i një shpërndarjeje të tipit V Pearson
* Nëse \,Y\,\sim\,\textrm{Normal}(\mu,\sigma^2) ( Shpërndarja normale ) atëherë {(Y-\mu)}^{-2}\,\sim\,\textrm{Levy}(0,1/\sigma^2)
* Nëse X\,\sim\,\textrm{Normal}(\mu,\tfrac{1}{\sqrt{\sigma}}) atëherë {(X-\mu)}^{-2}\,\sim\,\textrm{Levy}(0,\sigma)
* Nëse X\,\sim\,\textrm{Levy}(\mu,c) atëherë X\,\sim\,\textrm{Stable}(1/2,1,c,\mu) ( Shpërndarje e qëndrueshme )
* Nëse X\,\sim\,\textrm{Levy}(0,c) atëherë X\,\sim\,\textrm{Scale-inv-}\chi^2(1,c) ( Shpërndarja e shkallëzuar-inverse-chi-katrore )
* Nëse X\,\sim\,\textrm{Levy}(\mu,c) atëherë {(X-\mu)}^{-\tfrac{1}{2}} \sim\,\textrm{FoldedNormal}(0,1/\sqrt{c}) ( Shpërndarja normale e palosur )

## Zbatimet 
* Frekuenca e përmbysjeve gjeomagnetike duket se ndjek një shpërndarje Lévy
* Koha e goditjes së një pike të vetme, në distancë \alpha  nga pika e fillimit, nga lëvizja Brauniane ndjek shpërndarjen Lévy me c=\alpha^2 . (Për një lëvizje Brauniane me zhvendosje, këtë herë mund të ndjekë një shpërndarje të anasjelltë Gaussian, e cila ka shpërndarjen Lévy si kufi. )
* Gjatësia e shtegut të ndjekur nga një foton në një mjedis të turbullt ndjek shpërndarjen Lévy. 
* Një proces Cauchy mund të përkufizohet si një lëvizje Brauniane e varur nga një proces i lidhur me një shpërndarje Lévy.