Shpërndarja hi katror

{{Infobox shpërndarja e gjasës|name=Hi katror|type=density|pdf_image=|cdf_image=|notation=\chi^2(k)\; ose \chi^2_k\!|parameters=k \in \mathbb{N}^{*}~~ (e njohur edhe si  "shkallë lirie")|support=x \in (0, +\infty)\; nëse k = 1, përndryshe x \in [0, +\infty)\;|pdf=\frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\; x^{k/2-1} e^{-x/2}\; |cdf=\frac{1}{\Gamma(k/2 )} \; \gamma\left(\frac{k}{2},\,\frac{x}{2}\right)\;|mean=k|median=\approx k\bigg(1-\frac{2}{9k}\bigg)^3\;|mode=\max(k-2,0)\;|variance=2k\;|skewness=\sqrt{8/k}\,|kurtosis=\frac{12}{k}|entropy=\begin{align}\frac{k}{2}&+\ln(2\Gamma(\frac{k}{2})) \\ &\!+(1-\frac{k}{2})\psi(\frac{k}{2})\end{align}|mgf=(1-2t)^{-k/2} \text{ për } t |char=(1-2it)^{-k/2}|pgf=(1-2\ln t)^{-k/2} \text{ për } 0}}

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, **shpërndarja hi-katrore** (gjithashtu **hi-katror** ose **\chi^2 -shpërndarja** ) me k shkallë lirie është shpërndarja e një shume të katrorëve të k ndryshoreve rasti të pavarura standarde normale. Shpërndarja hi katror është një rast i veçantë i shpërndarjes gama dhe është një nga shpërndarjet më të përdorura të probabilitetit në statistikat konkluzive, veçanërisht në testimin e hipotezave dhe në ndërtimin e intervaleve të besimit .     Kjo shpërndarje quhet nganjëherë **shpërndarja qendrore hi-katrore**, një rast i veçantë i shpërndarjes më të përgjithshme joqendrore hi-katrore .

Shpërndarja hi-katrore përdoret kryesisht në testimin e hipotezave dhe në një masë më të vogël për intervalet e besimit për variancën e popullatës kur shpërndarja themelore është normale. Ndryshe nga shpërndarjet më të njohura si shpërndarja normale dhe shpërndarja eksponenciale, shpërndarja hi-katrore nuk përdoret aq shpesh në modelimin e drejtpërdrejtë të dukurive natyrore. Ajo lind në testet e hipotezave të mëposhtme, ndër të tjera:

## Përkufizimet 
Nëse Z_1,Z_2,...,Z_k janë ndryshore rasti normale standarde të pavarura, atëherë shuma e katrorëve të tyre,

: Q\ = \sum_{i=1}^k Z_i^2,

shpërndahet sipas shpërndarjes hi-katrore me k shkallë lirie. Kjo zakonisht shënohet si

:  Q\ \sim\ \chi^2(k)\ \ \text{ose}\ \ Q\ \sim\ \chi^2_k.

Shpërndarja hi-katrore ka një parametër: një numër i plotë pozitiv  k që specifikon numrin e shkallëve të lirisë (numrin e ndryshoreve të rastit që mblidhen).

### Paraqitje 
Shpërndarja hi-katrore përdoret kryesisht në testimin e hipotezave dhe në një masë më të vogël për intervalet e besimit për variancën e popullatës kur shpërndarja e saj është normale. Ndryshe nga shpërndarjet më të njohura si shpërndarja normale dhe shpërndarja eksponenciale, shpërndarja hi-katrore nuk përdoret aq shpesh në modelimin e drejtpërdrejtë të fenomeneve natyrore. Ajo lind në testet e hipotezave të mëposhtme, ndër të tjera:

* Testi hi-katror i pavarësisë në tabelat e kontigjencës
* Testi hi-katror i përshtatshmërisë së të dhënave të vëzhguara me shpërndarjet hipotetike
* Testi i raportit të përgjasisë për modelet e folezuara
* Testi log-rank në analizën e mbijetesës
* Testi Cochran–Mantel–Haenszel për tabelat e shtresuara të kontigjencës
* Testi Wald
* Testi i rezultateve

Është gjithashtu një përbërës i përkufizimit të shpërndarjes *t* dhe shpërndarjes *F* të përdorur në testet *t*, analizën e variancës dhe analizën e regresionit.

Supozoni se Z është një ndryshore e rastit e kampionuar nga shpërndarja normale standarde, ku mesatarja është 0 dhe varianca është 1 : Z \sim N(0,1) . Tani, merrni parasysh ndryshoren e rastit Q = Z^2 . Shpërndarja e ndryshores së rastit Q është një shembull i një shpërndarjeje hi-katrore: \ Q\ \sim\ \chi^2_1 . Nënshkrimi 1 tregon se kjo shpërndarje e veçantë hi-katrore është ndërtuar nga vetëm 1 shpërndarje normale standarde. Një shpërndarje hi-katrore e ndërtuar duke ngritur në katror një shpërndarje normale standarde të vetme thuhet se ka 1 shkallë lirie. Kështu, ndërsa madhësia e kampionit për një test hipoteze rritet, shpërndarja e statistikave të testit i afrohet një shpërndarjeje normale. Ashtu si vlerat ekstreme të shpërndarjes normale kanë probabilitet të ulët (dhe japin vlera të vogla p), vlerat ekstreme të shpërndarjes hi-katrore kanë probabilitet të ulët.

Një arsye shtesë që shpërndarja hi-katrore përdoret gjerësisht është se ajo shfaqet si shpërndarja e kampionit të madh të testeve të raportit të përgjithësuar të përgjasisë (LRT).  LRT-të kanë disa veti të dëshirueshme; në veçanti, LRT-të e thjeshta zakonisht ofrojnë fuqinë më të lartë për të refuzuar hipotezën zero ( lema Neyman–Pearson ) dhe kjo çon gjithashtu në vetitë optimale të LRT-ve të përgjithësuara. Megjithatë, përafrimet normale dhe hi-katrore janë të vlefshme vetëm në mënyrë asimptotike. Për këtë arsye, është e preferueshme të përdoret shpërndarja *t* në vend të përafrimit normal ose përafrimit hi-katror për një madhësi të vogël kampioni. Në mënyrë të ngjashme, në analizat e tabelave të kontigjencës, përafrimi sipas hi-katror do të jetë i dobët për një madhësi të vogël kampioni dhe preferohet të përdoret testi i saktë i Fisher-it . Ramsey tregon se testi i saktë binomial është gjithmonë më i fuqishëm se përafrimi normal. 

Lancaster tregon lidhjet midis shpërndarjeve binomiale, normale dhe hi-katrore, si më poshtë.  De Moivre dhe Laplace vërtetuan se një shpërndarje binomiale mund të përafrohet me një shpërndarje normale. Konkretisht ata treguan normalitetin asimptotik të ndryshores së rastit

:  \chi = {m - Np \over \sqrt{Npq}} 

ku m është numri i vëzhguar i sukseseve në N prova, ku është probabiliteti i suksesit p, dhe q = 1 - p .

Ngritja në katror e të dyja anëve të ekuacionit jep

:  \chi^2 = {(m - Np)^2\over Npq} 

Duke përdorur N = Np + N(1 - p), N = m + (N - m), dhe q = 1 - p, ky ekuacion mund të rishkruhet si

:  \chi^2 = {(m - Np)^2\over Np} + {(N - m - Nq)^2\over Nq} 

Shprehja në të djathtë është e formës që Karl Pearson do ta përgjithësonte në formën

:  \chi^2 = \sum_{i=1}^n \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} 

 \chi^2 = Statistika e testit kumulativ të Pearson-it, e cila në mënyrë asimptotike i afrohet a \chi^2 shpërndarja; 

O_i = numri i vëzhgimeve të llojit i ;

E_i = N p_i = frekuenca e pritur (teorike) e tipit i, e pohuar nga hipoteza zero se thyesa e tipit i në popullatë është  p_i ; 

dhe n = numri i qelizave në tabelë.

### Funksioni i dendësisë së probabilitetit 
Funksioni i dendësisë së probabilitetit (FDP) i shpërndarjes hi-katrore është

: 
f(x;\,k) =
\begin{cases}
 \dfrac{x^{k/2 -1} e^{-x/2}}{2^{k/2} \Gamma\left(\frac k 2 \right)}, & x > 0; \\ 0, & \text{përndryshe}.
\end{cases}

ku \Gamma(k/2) tregon funksionin gama, i cili ka vlera të formës së mbyllur për numrin e plotë  .

### Funksioni mbledhës i shpërndarjes 
parapamje|400x400px| Chernoff i kufizuar për FMP dhe bishtin (1-FMP) të një ndryshoreje të rastit hi-katrore me dhjetë shkallë lirie ( k = 10 )
Funksioni i tij mbledhës i shpërndarjes është:

: 
  F(x;\,k) = \frac{\gamma(\frac{k}{2},\,\frac{x}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})} = P\left(\frac{k}{2},\,\frac{x}{2}\right),
 

ku \gamma(s,t) është funksioni më i ulët i gama jo i plotë dhe P(s,t) është funksioni gama i rregulluar .

Në një rast të veçantë të k = 2 Ky funksion ka formën e thjeshtë:

: 
  F(x;\,2) = 1 - e^{-x/2}
 

## Vetitë 
### Teorema e Koçranit 
Nëse Z_1,...,Z_n janë n.r të pavarura të shpërndara në mënyrë identike (iid),  standarde normale, atëherë \sum_{t=1}^n(Z_t - \bar Z)^2 \sim \chi^2_{n-1} ku \bar Z = \frac{1}{n} \sum_{t=1}^n Z_t.

### Mbledhja 
Nga përkufizimi i shpërndarjes hi-katrore rezulton se shuma e ndryshoreve të pavarura hi-katrore është gjithashtu e shpërndarë sipas ligjit hi-katror. Konkretisht, nëse X_i,i=\overline{1,n} janë ndryshore të pavarura hi-katror me k_i, i=\overline{1,n}  shkallët e lirisë, përkatësisht, atëherë Y = X_1 + \cdots + X_n është hii-katror i shpërndarë me k_1 + \cdots + k_n shkallë lirie.

### Mesatarja e kampionit 
Mesatarja e kampionit së n iid ndryshoreve hi-katror me k shkallë lirie shpërndahet sipas një shpërndarjeje gama me formë \alpha dhe shkallë \theta parametrat:

:  \overline X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \sim \operatorname{Gamma}\left(\alpha=n\, k /2, \theta= 2/n \right) \qquad \text{ku } X_i \sim \chi^2(k)

Në mënyrë asimptotike, duke pasur parasysh se për një parametër shkallë  \alpha  duke shkuar në pafundësi, një shpërndarje Gama konvergjon drejt një shpërndarjeje normale me pritje  \mu = \alpha\cdot \theta  dhe variancë  \sigma^2 = \alpha\, \theta^2 , mesatarja e kampionit konvergjon drejt:

 \overline X \xrightarrow{n \to \infty} N(\mu = k, \sigma^2 = 2\, k /n ) 

### Përqendrimi 
Shpërndarja hi-katrore shfaq përqendrim të fortë rreth mesatares së saj. Kufijtë standardë të Laurent-Massart  janë:

: \operatorname{P}(X - k \ge 2 \sqrt{k x} + 2x) \le \exp(-x)
: \operatorname{P}(k - X \ge 2 \sqrt{k x}) \le \exp(-x)

### Vetitë asimptotike 
parapamje| Formula e përafërt për mesataren (nga transformimi Wilson–Hilferty) krahasuar me kuantilin numerik (lart); dhe dallimi (blu) dhe ndryshimi relativ (e kuqe) ndërmjet sasisë numerike dhe formulës së përafërt (poshtë). Për shpërndarjen hi-katror, vetëm numrat e plotë pozitiv të shkallëve të lirisë (qarqet) kanë kuptim.
Nga teoremën qëndrore limite, meqenëse shpërndarja hi-katrore është shuma e k variabla të rastit të pavarura me mesatare dhe variancë të fundme, ajo konvergjon në një shpërndarje normale për të mëdha k . Për shumë qëllime praktike, për k>50 shpërndarja është mjaft e afërt me një shpërndarje normale, kështu që ndryshimi është i papërfillshëm.  Konkretisht, nëse X \sim \chi^2(k), atëherë si k priret drejt pafundësisë, shpërndarja e (X-k)/\sqrt{2k} priret drejt një shpërndarje normale standarde. Megjithatë, konvergjenca është e ngadaltë siç është edhe anësia \sqrt{8/k} dhe kurtoza e tepërt është 12/k .

Shpërndarja e kampionit të \ln(\chi^2) konvergjon në normalitet shumë më shpejt se shpërndarja e kampionit të \chi^2,  pasi transformimi logaritmik heq shumë nga asimetria. 

Funksionet e tjera të shpërndarjes hi-katror konvergjojnë më shpejt në një shpërndarje normale. Disa shembuj janë:

* Nëse X \sim \chi^2(k) atëherë \sqrt{2X} shpërndahet përafërsisht normalisht me mesatare \sqrt{2k-1} dhe variancë njësi (1922, nga RA Fisher, shih (18.23), f.&nbsp;426 i Johnson.  Ky njihet si **transformimi Wilson–Hilferty**, shih (18.24), f.&nbsp;426 i Johnson. 
* Shpërndarja hi-katrore është një transformim i shpërndarjes Pareto
* Shpërndarja e studentit është një transformim i shpërndarjes hi-katrore
* Shpërndarja e studentit mund të merret nga shpërndarja hi-katror dhe shpërndarja normale
* Shpërndarja joqendrore beta mund të merret si një transformim i shpërndarjes hi-katror dhe shpërndarjes joqendrore hi-katrore
* Shpërndarja joqendrore t mund të merret nga shpërndarja normale dhe shpërndarja hi-katrore

Një ndryshore hi-katror me k shkallët lirie përkufizohet si shuma e katrorëve të k ndryshoreve rasti të pavarura standarde normale.

Shpërndarja hi-katrore është gjithashtu e lidhur natyrshëm me shpërndarjet e tjera që dalin nga shpërndarja gausiane. Veçanërisht,

* Y është i shpërndarë sipas F, Y \sim F(k_1, k_2) nëse Y = \frac{ {X_1}/{k_1} }{ {X_2}/{k_2} }, ku X_1 \sim \chi^2_{k_1} dhe X_2 \sim \chi^2_{k_2} janë statistikisht të pavarura.
* Nëse X_1 \sim \chi^2_{k_1} dhe X_2 \sim \chi^2_{k_2} janë statistikisht të pavarura atëherë X_1 + X_2\sim \chi^2_{k_1+k_2} . Nëse X_1 dhe X_2 nuk janë të pavarura atëherë X_1+X_2 nuk shpërndahet sipas hi-katror.

## Metodat llogaritëse