Shuma Ramanuxhan

**Shuma Ramanujan** ose **sipas Ramanuxhanit** është një teknikë e shpikur nga matematikani Srinivasa Ramanujan për caktimin e një vlere për seritë e pafundme divergjente . Megjithëse shuma Ramanuxhan e një serie divergjente nuk është një shumë në kuptimin tradicional, ai ka veti që e bëjnë atë matematikisht të dobishëm në studimin e serive të pafundme divergjente, për të cilat shumimi konvencional është i papërcaktuar.

## Përmbledhja 
Meqenëse nuk ka veti të një shume të tërë, shuma Ramanuxhan funksionon si një veti e shumave të pjesshme. Nëse marrim formulën e mbledhjes së Euler-Maclaurin së bashku me rregullin e korrigjimit duke përdorur numrat e Bernulit, shohim se:  

: \begin{align}
\frac 1 2 f(0) + f(1) + \cdots + f(n - 1) + \frac 1 2 f(n) &= \frac {f(0) + f(n)} {2} + \sum_{k=1}^{n-1} f(k) = \sum_{k=0}^{n} f(k) - \frac {f(0) + f(n)} {2} \\
 &= \int_0^n f(x)\,dx + \sum_{k=1}^p \frac{B_{2k}}{(2k)!}\left[f^{(2k-1)}(n) - f^{(2k-1)}(0)\right] + R_p
\end{align}

Ramanujan  e shkroi këtë përsëri për kufij të ndryshëm të integralit dhe shumës përkatëse për rastin në të cilin *p* shkon në pafundësi :

: 
\sum_{k=a}^{x}f(k)=C+\int_a^x f(t)dt+\frac{1}{2}f(x)+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(x)

ku *C* është një konstante specifike e serisë dhe vazhdimi i saj analitik dhe kufijtë në integral nuk u specifikuan nga Ramanuxhani, por me sa duket ata ishin siç u dha më sipër. Duke krahasuar të dyja formulat dhe duke supozuar se *R* priret në 0 pasi *x* priret në pafundësi, shohim se, në një rast të përgjithshëm, për funksionet *f* ( *x* ) pa divergjencë në *x*&nbsp;=&nbsp;0:

: C(a)=\int_0^a f(t)\,dt - \frac 1 2 f(0)-\sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(0)

ku Ramanuxhani supozoi a= 0. Duke marrë a= \infty ne zakonisht rikuperojmë përmbledhjen e zakonshme për seritë konvergjente. Për funksionet *f* ( *x* ) pa divergjencë në *x* = 1, marrim:

: C(a) = \int_1^a f(t)\,dt+ \frac{1}{2}f(1) - \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{(2k)!} f^{(2k-1)}(1)

Versioni konvergjent i përmbledhjes për funksionet me kusht të duhur të rritjes është atëherë:

: f(1)+f(2)+f(3)+\cdots=-\frac{f(0)} 2 + i\int_0^\infty \frac{f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1} \, dt

## Përmbledhja Ramanujan e serive divergjente 
Në tekstin e mëposhtëm, (\mathfrak{R}) nënkupton "Shuma Ramanuxhan". Kjo formulë fillimisht u shfaq në një nga fletoret e Ramanuxhanit, pa ndonjë shënim që tregonte se ajo ilustron një metodë të re përmbledhjeje.

Për shembull, (\mathfrak{R}) nga  është:

: 1 - 1 + 1 - \cdots = \frac 1 2\quad (\mathfrak{R}).

Ramanujan kishte llogaritur "shumat" e serive të njohura divergjente. Është e rëndësishme të përmendet se shumat Ramanuxhan nuk janë shumat e serisë në kuptimin e zakonshëm,   dmth shumat e pjesshme nuk konvergjojnë në këtë vlerë, e cila shënohet me simbolin (\mathfrak{R}). Në veçanti, (\mathfrak{R}) shuma e  është llogaritur si:

: 1+2+3+\cdots = -\frac{1}{12} \quad (\mathfrak{R})

Duke u shtrirë edhe në fuqi pozitive, kjo dha:

: 1 + 2^{2k} + 3^{2k} + \cdots = 0\quad (\mathfrak{R})

dhe për fuqitë teke qasja sugjeroi një lidhje me numrat e Bernulit të trajtës:

: 1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots = -\frac{B_{2k}}{2k}\quad (\mathfrak{R})

Është propozuar të përdoret *C* (1) në vend të *C* (0) si rezultat i shumës së Ramanuxhanit, që atëherë mund të sigurohet se një seri \textstyle \sum_{k=1}^{\infty}f(k)  pranon një dhe vetëm një mbledhje të Ramanuxhanit, të përcaktuar si vlera në 1 e zgjidhjes së vetme të ekuacionit me diferenca R(x) - R(x + 1) = f(x) që vërteton gjendjen \textstyle \int_1^2 R(t)\,dt = 0 . 

: \sum_{n \ge 1}^{\mathfrak{R}} f(n) = \lim_{N \to \infty} \left[\sum_{n = 1}^{N}f(n) - \int_1^N f(t)\,dt\right]

Në veçanti kemi:

: \sum_{n \ge 1}^\mathfrak{R} \frac{1}{n} = \gamma

ku γ është konstantja Euler–Mascheroni .