Polinom i Lagranzhit

parapamje| Ky imazh tregon, për katër pika ( ( &#x2212; 9,&nbsp;5), ( &#x2212; 4,&nbsp;2), ( &#x2212; 1,&nbsp;&#x2212; 2), (7,&nbsp;9) ), polinomi i interpolimit (kubik) L(x) (i ndërprerë, i zi), i cili është shuma e polinomeve të bazës *të shkallëzuara* y 0 *ℓ* 0 ( *x* ), y 1 *ℓ* 1 ( *x* ), y 2 *ℓ* 2 ( *x* ) dhe y 3 *ℓ* 3 ( *x* ) . Polinomi i interpolimit kalon nëpër të katër pikat e kontrollit, dhe çdo polinom i bazës i *shkallëzuar* kalon nëpër pikën e tij përkatëse të kontrollit dhe është 0 ku *x* përkon me tre pikat e tjera të kontrollit.
Në analizën numerike, **polinomi interpolues i Lagranzhit** është polinomi unik i shkallës më të ulët që interpolon një bashkësi të caktuar të dhënash.

Jepet një bashkësi të dhënash në formën e çifteve koordinative (x_j, y_j) me 0 \leq j \leq k, të x_j quhen *nyje* dhe y_j quhen *vlera* . Polinomi i Lagranzhit L(x) ka shkallë \leq k dhe merr çdo vlerë në nyjen përkatëse, L(x_j) = y_j.

Edhe pse i emërtuar sipas Jozef-Luis Lagranzhit, i cili e botoi atë në 1795,  metoda u zbulua për herë të parë në 1779 nga Edward Waring .  Është gjithashtu një pasojë e lehtë e një formule të botuar në 1783 nga Leonhard Euleri . 

Përdorimet e polinomeve të Lagranzhit përfshijnë metodën Newton-Cotes të integrimit numerik, skemën e ndarjes së fshehtë të Shamirit në kriptografi dhe korrigjimin e gabimit Reed-Solomon në teorinë e kodimit .

Për nyjet e barazlarguara, interpolimi i Lagranzhit është i ndjeshëm ndaj dukurisë së luhatjes së madhe të Runges .

## Përkufizimi 
Duke pasur parasysh një bashkësi prej k + 1 nyjesh \{x_0, x_1, \ldots, x_k\}, të cilat duhet të jenë të gjitha të veçanta, x_j \neq x_m për indekset j \neq m, **baza e Lagranzhit** për polinomet e shkallës \leq k për këto nyje është bashkësia e polinomeve \{\ell_0(x), \ell_1(x), \ldots, \ell_k(x)\} secila e shkallës k të cilat marrin vlera \ell_j(x_m) = 0 nëse m \neq j dhe \ell_j(x_j) = 1 . Duke përdorur deltën e Kronecker, kjo mund të shkruhet \ell_j(x_m) = \delta_{jm}. Çdo polinom bazë mund të përshkruhet në mënyrë të shkoqur nga produkti:\begin{aligned}
\ell_j(x) &= \frac{(x-x_0)}{(x_j-x_0)} \cdots \frac{(x-x_{j-1})}{(x_j-x_{j - 1})} \frac{(x-x_{j+1})}{(x_j-x_{j+1})} \cdots \frac{(x-x_k)}{(x_j-x_k)} \\[10mu]
&= \prod_{\begin{smallmatrix}0\le m\le k\\ m\neq j\end{smallmatrix}} \frac{x-x_m}{x_j-x_m}.
\end{aligned}Vini re se numëruesi \prod_{m \neq j}(x - x_m) ka k rrënjë në nyjet \{x_m\}_{m \neq j} ndërsa emëruesi \prod_{m \neq j}(x_j - x_m) shkallëzon polinomin që rezulton në mënyrë që \ell_j(x_j) = 1.

Polinomi interpolues i Lagranzhit për ato nyje përmes *vlerave* përkatëse \{y_0, y_1, \ldots, y_k\} është kombinimi linear:L(x) = \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j(x).Çdo polinom i bazës ka shkallë k, pra shuma L(x) ka shkallë \leq k, dhe interpolon të dhënat sepse L(x_m) = \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j(x_m) = \sum_{j=0}^{k} y_j \delta_{mj} = y_m.

Polinomi interpolues është unik. 

## Një këndvështrim nga algjebra lineare 
Zgjidhja e një problemi interpolimi çon në një problem të algjebrës lineare që arrin në të anasjelltën e një matrice. Duke përdorur një bazë monomiale standarde për polinomin tonë të interpolimit L(x) = \sum_{j=0}^k x^j m_j, duhet të marrim të anasjelltën e matricëns Vandermonde (x_i)^j te zgjidhesh L(x_i) = y_i për koeficientët m_j të L(x) . Duke zgjedhur një bazë më të mirë, bazën e Lagranzhit, L(x) = \sum_{j=0}^k l_j(x) y_j, ne thjesht marrim matricën identitet, \delta_{ij}, e cila është e anasjellta e saj: baza e Lagranzhit *inverton* automatikisht analogun e matricës Vandermonde.

## Shembull 
Ne dëshirojmë të interpolojmë f(x) = x^2 mbi segmentin  1 \leq x \leq 3 në tre nyjet {{Nowrap|\{1,\, 2,\, 3\}:}}

: 
\begin{align}
x_0 & = 1, & & & y_0 = f(x_0) & = 1, \\[3mu]
x_1 & = 2, & & & y_1 = f(x_1) & = 4, \\[3mu]
x_2 & = 3, & & & y_2 = f(x_2) & =9.
\end{align}

Polinomi i nyjës, \ell , është

: \ell(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6.

Peshat baricentrike janë

: \begin{align}
w_0 &= (1-2)^{-1}(1-3)^{-1} = \tfrac12, \\[3mu]
w_1 &= (2-1)^{-1}(2-3)^{-1} = -1, \\[3mu]
w_2 &= (3-1)^{-1}(3-2)^{-1} = \tfrac12.
\end{align}

Polinomet e bazës së Lagranzhit janë

: \begin{align}
\ell_0(x) &= \frac{x - 2}{1 - 2}\cdot\frac{x - 3}{1 - 3} = \tfrac12x^2 - \tfrac52x + 3, \\[5mu]
\ell_1(x) &= \frac{x - 1}{2 - 1}\cdot\frac{x - 3}{2 - 3} = -x^2 + 4x - 3, \\[5mu]
\ell_2(x) &= \frac{x - 1}{3 - 1}\cdot\frac{x - 2}{3 - 2} = \tfrac12x^2 - \tfrac32x + 1.
\end{align}

Polinomi interpolues i Lagranzhit është:

:  \begin{align}
L(x) &= 1\cdot\frac{x - 2}{1 - 2}\cdot\frac{x - 3}{1 - 3}
+ 4\cdot\frac{x - 1}{2 - 1}\cdot\frac{x - 3}{2 - 3}
+ 9\cdot\frac{x - 1}{3 - 1}\cdot\frac{x - 2}{3 - 2}
\\[6mu]
&= x^2.
\end{align} 

Në formën (e dytë) baricentrike,

: 
L(x) = \frac
 {\displaystyle \sum_{j=0}^2 \frac{w_j}{x-x_j}y_j}
 {\displaystyle \sum_{j=0}^2 \frac{w_j}{x-x_j}}
 = \frac
 {\displaystyle \frac{\tfrac12}{x - 1} + \frac{-4}{x - 2} + \frac{\tfrac92}{x - 3}}
 {\displaystyle \frac{\tfrac12}{x - 1} + \frac{-1}{x - 2} + \frac{\tfrac12}{x - 3}}.

## Shiko gjithashtu 
* Algoritmi i Nevilit
* Forma e Njutonit të polinomit të interpolimit
* Polinomi Bernshtajn
* Teorema e Karlsonit
* Konstantja e Lebegut (interpolimi)
* Sistemi Chebfun
* Tabela e serive Njutoniane
* Kovarianti i Frobeniusit
* Formula e Silvesterit
* Koeficienti i diferencës së fundme
* Interpolimi i Hermitit

## Referime