I konjuguari kompleks

[parapamje| Paraqitja gjeometrike ( diagrami Argand ) i z dhe konjuguar i saj \overline{z} në rrafshin kompleks. I konjuguari kompleks gjendet duke [Simetria e reflektimit|reflektuar z përgjatë boshtit real.]]
Në matematikë, **konjugati kompleks** i një numri kompleks është numri me një pjesë reale të barabartë dhe një pjesë imagjinare të barabartë në madhësi, por me shenjë të kundërt. Kjo është, nëse a dhe b janë numra realë atëherë konjugati kompleks i  a + bi është a - bi. I konjuguari kompleks i z shpesh shënohet si \overline{z} ose z^* .

Në trajtë polare, nëse r dhe \varphi janë numra realë atëherë i konjuguari i r e^{i \varphi} është r e^{-i \varphi}. Kjo mund të tregohet duke përdorur formulën e Euler-it .

Prodhimi i një numri kompleks dhe i konjuguarit të tij është një numër real: a^2 + b^2&nbsp;(ose&nbsp;r^2 në koordinatat polare ).

Nëse rrënja e një polinomi të njëndryshueshëm me koeficientë realë është komplekse, atëherë i konjuguari i tij është gjithashtu një rrënjë .

## Vetitë 
Karakteristikat e mëposhtme vlejnë për të gjithë numrat kompleksë z dhe w, përveç rasteve kur thuhet ndryshe, dhe mund të vërtetohet me shkrim z dhe w në formë a + b i.

Për çdo dy numra kompleksë, konjugimi është shpërndarës mbi mbledhjen, zbritjen, shumëzimin dhe pjesëtimin:  \begin{align}
           \overline{z + w} &= \overline{z} + \overline{w}, \\
           \overline{z - w} &= \overline{z} - \overline{w}, \\
            \overline{zw} &= \overline{z} \; \overline{w}, \quad \text{and} \\
 \overline{\left(\frac{z}{w}\right)} &= \frac{\overline{z}}{\overline{w}},\quad \text{if } w \neq 0.
\end{align}

Një numër kompleks është i barabartë me të konjuguarin e tij nëse pjesa imagjinare e tij është zero, domethënë nëse numri është real. Me fjalë të tjera, numrat realë janë pikat e vetme fikse të konjugimit.

Konjugimi nuk e ndryshon modulin e një numri kompleks: \left| \overline{z} \right| = |z|.

Konjugimi është një involucion, domethënë, konjugimi i të konjuguarit të një numri kompleks z është z. Në simbole, \overline{\overline{z}} = z. 

Prodhimi i një numri kompleks me të konjuguarin e tij është i barabartë me katrorin e modulit të numrit: z\overline{z} = {\left| z \right|}^2. Kjo lejon llogaritjen e lehtë të inversit shumëzues të një numri kompleks të dhënë në koordinata drejtkëndore: z^{-1} = \frac{\overline{z}}{{\left| z \right|}^2},\quad \text{ for all } z \neq 0.

Konjugimi është ndërrues nën përbërjen me fuqi numrash të plotë, me funksionin eksponencial dhe me logaritmin natyror për argumente jozero: \overline{z^n} = \left(\overline{z}\right)^n,\quad \text{ for all } n \in \Z   \exp\left(\overline{z}\right) = \overline{\exp(z)}\ln\left(\overline{z}\right) = \overline{\ln(z)} \text{ nëse } z \text{ është jozero ose një numër real negativ }

Nëse p është një polinom me koeficientë realë dhe p(z) = 0, pastaj p\left(\overline{z}\right) = 0 po ashtu. Kështu, rrënjët jo-reale të polinomeve reale ndodhin në çifte komplekse të konjuguara ( *shih* Teoremën e rrënjës së konjuguar komplekse ).

Në përgjithësi, nëse \varphi është një funksion holomorfik, kufizimi i të cilit në numrat realë është me vlerë reale, dhe \varphi(z) dhe \varphi(\overline{z}) janë përcaktuar, atëherë \varphi\left(\overline{z}\right) = \overline{\varphi(z)}.\,\!

## Përdorimi si ndryshore 
Një herë një numër kompleks z = x + yi ose z = re^{i\theta} është dhënë, i konjuguari i tij është i mjaftueshëm për të riprodhuar pjesët e ndryshores z :

* Pjesa reale: x = \operatorname{Re}(z) = \dfrac{z + \overline{z}}{2}
* Pjesa imagjinare: y = \operatorname{Im}(z) = \dfrac{z - \overline{z}}{2i}
* Moduli (ose vlera absolute) : r= \left| z \right| = \sqrt{z\overline{z}}
* Argumenti : e^{i\theta} = e^{i\arg z} = \sqrt{\dfrac{z}{\overline z}}, pra \theta = \arg z = \dfrac{1}{i} \ln\sqrt{\frac{z}{\overline{z}}} = \dfrac{\ln z - \ln \overline{z}}{2i}

Për më tepër, \overline{z} mund të përdoret për të specifikuar linjat në rrafsh: bashkësia \left\{z : z \overline{r} + \overline{z} r = 0 \right\} është një vijë përmes origjinës dhe pingul me {r}, që nga pjesa reale e z\cdot\overline{r} është zero vetëm kur kosinusi i këndit ndërmjet z dhe {r} është zero. Në mënyrë të ngjashme, për një njësi komplekse fikse u = e^{i b}, ekuacionin \frac{z - z_0}{\overline{z} - \overline{z_0}} = u^2 përcakton vijën përmes z_0 paralel me drejtëzën përmes 0 dhe u.