Ekuacioni Klein-Gordon

Në fizikë **Ekuacioni Klein–Gordon** (**ose ekuacioni Klein–Fock–Gordon** ) është një version relativist i ekuacionit i Shrodingerit.

Ai është ekuacioni i lëvizjes së një fushe kuantike skalare ose pseudoskalare, një fushë, kuantet e të cilës nuk kanë spin. Për një gjendje kuantike ky ekuacion nuk mund të interpretohet direkt si ekuacioni i Shrodingerit, sepse është një ekuacion i rendit të dyte në lidhje me kohën si dhe për shkakun se nuk pranon një densitet probabilistik të konservuar me një vlere pozitive të përcaktuar. Megjithatë me interpretimin e duhur, ekuacioni përshkruan amplitudën kuantike për gjetjen e një pike thërrmije në vende të ndryshme, nëpërmjet funksionit valor relativistik, por në këtë rast ekuacioni thotë se thërrmija mund te lëvizë para ose prapa në kohë.

## Forma e ekuacionit 
Ekuacioni Klein–Gordon ka formen
: \frac {1}{c^2} \frac{\partial^2}{(\partial t)^2} \psi - \mathbf{\nabla}^2 \psi + \frac {m^2 c^2}{\hbar^2} \psi = 0. 

## Historia 
## Derivimi 
Ekuacioni jo-relativistik për energjinë e një thërrmije të lirë është 
:\frac{\mathbf{p}^2}{2 m} = E.

Duke e kuantizuar këtë, marrim ekuacionin jo-relativistik të Shrodingerit për një thërrmijë të lirë,
:
\frac{\mathbf{p}^2}{2m} \psi = i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi

ku
:\mathbf{p} = -i \hbar \mathbf{\nabla}

është operatori i impulsit (\nabla është operatori del).

Ekuacioni i Shrodingerit vuan nga fakti se nuk është kovariant nga pikëpamja relativistike, pra nuk merr parasysh relativitein special të Ajnshtajnit.

Eshtë e natyrshme të përdorim identitetin nga relativiteti special

:
\sqrt{\mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4} = E

për energjinë; pra, duke futur operatorin kuantik të vrullit (impulsit), marrim ekuacionin

: \sqrt{(-i\hbar\mathbf{\nabla})^2 c^2 + m^2 c^4} \psi = i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi. 

Kjo, është një shprehje shumë e vështirë për tu punuar me për shkak të rrenjes katrore. Për më teper, ky ekuacion, sic është, ka formë jolokale.

Klein dhe Gordoni filluan me katrorin e identitetit te mesiperm, pra.
:
\mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4 = E^2

i cili kur kuantizohet jep
: ((-i\hbar\mathbf{\nabla})^2 c^2 + m^2 c^4) \psi = (i \hbar \frac{\partial}{\partial t} )^2 \psi 

e cila thjeshtohet te
: - \hbar^2 c^2 \mathbf{\nabla}^2 \psi + m^2 c^4 \psi = - \hbar^2 \frac{\partial^2}{(\partial t)^2} \psi. 

Duke rirregulluar termat kemi
: \frac {1}{c^2} \frac{\partial^2}{(\partial t)^2} \psi - \mathbf{\nabla}^2 \psi + \frac {m^2 c^2}{\hbar^2} \psi = 0. 

Meqense te gjitha referencat e numrave imagjinare jane eliminuar nga ky ekuacion, ajo mund te aplikohet tek fusha te cilat kane vlera reale si dhe te ato qe kane vlera komplekse.

Duke perdorun te anasjellten e metrikes se Minkovskit \text{diag}(-c^2,1,1,1), marrim
: - \eta^{\mu \nu} \partial_{\mu} \partial_{\nu} \psi + \frac {m^2 c^2}{\hbar^2} \psi = 0

në notacionin kovariant. Kjo shpesh shkurtohet si 
:
(\Box^2 + \mu^2) \psi = 0,

ku

: \mu = \frac{mc}{\hbar} \,

dhe

: \Box^2 = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2.\,

Ky operator quhet operatori i d'Alembertit. Sot kjo formë interpretohet si ekuacioni relativist i fushës për një thërrmijë skalare (pra. me spin-0) .

## Zgjidhja relativiste për një thërrmije të lirë 
## Veprimi 
## Bashkeveprimi elektromagnetik 
## Bashkeveprimi gravitacional 
## Shiko gjithashtu 
* Ekuacioni i Dirakut
* Teoria kuantike e fushes
* Teoria skalare e fushes
* Aspektet matematike te ekuacionit te Klein-Gordon diskutohen tek Dispersive PDE Wiki.

## Referime 
* 
* 

## Lidhje te jashtme 
* Linear Klein-Gordon Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

* Nonlinear Klein-Gordon Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* generalizing the Klein-Gordon equation to include a generalized space