Metoda e koeficientëve të pacaktuar

Në matematikë, **metoda e koeficientëve të pacaktuar** është një qasje për të gjetur një zgjidhje të veçantë për disa ekuacione diferenciale jo-homogjene të zakonshme dhe marrëdhëniet e rekurencës . Është e lidhur ngushtë me metodën e asgjësuesit, por në vend që të përdoret një lloj i veçantë operatori diferencial (asgjësuesi) për të gjetur formën më të mirë të mundshme të zgjidhjes së caktuar, bëhet një ansatz ose 'supozim' për formën e duhur, i cili më pas testohet duke diferencuar ekuacionin që rezulton. Për ekuacionet komplekse, metoda e asgjësuesit ose ndryshimi i parametrave kërkon më pak kohë për t'u kryer.

## Përshkrimi i metodës 
Konsideroni një ekuacion diferencial të zakonshëm jo-homogjen linear të formës

:  \sum_{i=0}^n c_i y^{(i)} + y^{(n+1)} = g(x)
: ku y^{(i)} tregon derivatin i-të të y, dhe c_i tregojnë një funksion të x .

Metoda e koeficientëve të pacaktuar ofron një metodë të drejtpërdrejtë për marrjen e zgjidhjes për këtë EDZ kur plotësohen dy kritere: 

# c_i janë konstante.
# g(x) është një funksion konstant, një funksion polinomial, funksion eksponencial e^{\alpha x}, funksionet e sinusit ose kosinusit \sin{\beta x} ose \cos{\beta x}, ose shuma dhe produkte të fundme të këtyre funksioneve ( {\alpha}, {\beta} konstante).

Metoda konsiston në gjetjen e zgjidhjes së përgjithshme homogjene y_c për ekuacionin diferencial homogjen linear plotësues

:  \sum_{i=0}^n c_i y^{(i)} + y^{(n+1)} = 0,

dhe një integral të veçantë y_p të EDZ jo-homogjen linear bazuar në g(x) . Pastaj zgjidhja e përgjithshme y të EDZ jo-homogjen linear do të ishte

: y = y_c + y_p. 

Nëse g(x) jepet si shuma e dy funksioneve h(x) + w(x) dhe thuhet se y_{p_1} është zgjidhja e bazuar në h(x) dhe  y_{p_2} zgjidhja e bazuar në w(x) . Pastaj, duke përdorur parimin e mbivendosjes, mund të themi se integrali i veçantë y_p është 

: y_p = y_{p_1} + y_{p_2}.

## Format tipike të integralit të veçantë 
## Shembuj 
### Shembulli 1 
Gjeni një integral të caktuar të ekuacionit

: y* + y = t \cos t. 

Ana e djathtë t \cos t ka formën

:  P_n e^{\alpha t} \cos{\beta t} 

me n = 2, \text{ , } \alpha = 0 \text{ , } \beta = 1.

Meqenëse \alpha + i \beta = i është *një rrënjë e thjeshtë* e ekuacionit karakteristik

: \lambda^2 + 1 = 0 

duhet të provojmë një integral të veçantë të formës

: \begin{align}
y_p &= t \left [F_1 (t) e^{\alpha t} \cos{\beta t} + G_1 (t) e^{\alpha t} \sin{\beta t} \right ] \\
&= t \left [F_1 (t) \cos t + G_1 (t) \sin t \right ] \\
&= t \left [ \left (A_0 t + A_1 \right ) \cos t + \left (B_0 t + B_1 \right ) \sin t \right ] \\
&= \left (A_0 t^2 + A_1 t \right ) \cos t + \left (B_0 t^2 + B_1 t \right) \sin t.
\end{align}

Duke zëvendësuar y_p në ekuacionin diferencial, kemi identitetin

: \begin{align}
t \cos t &= y_p* + y_p \\
&= \left [ \left(A_0 t^2 + A_1 t \right ) \cos t + \left (B_0 t^2 + B_1 t \right ) \sin t \right ]* + \left[\left(A_0 t^2 + A_1 t \right ) \cos t + \left(B_0 t^2 + B_1 t \right ) \sin t \right ] \\
&= \left [2A_0 \cos t + 2 \left (2A_0 t + A_1 \right )(-\sin t) + \left (A_0 t^2 + A_1 t \right )(-\cos t) + 2B_0 \sin t + 2 \left (2B_0 t + B_1 \right ) \cos t + \left (B_0 t^2 + B_1 t \right )(- \sin t) \right ] \\
&\qquad +\left[\left(A_0 t^2 + A_1 t \right ) \cos t + \left(B_0 t^2 + B_1 t \right ) \sin t \right ] \\
&= [4B_0 t + (2A_0 + 2B_1)] \cos t + [-4A_0 t + (-2A_1 + 2B_0)] \sin t.
\end{align}

Duke krahasuar të dyja palët, kemi

: \begin{cases} 
1 = 4B_0\\
0 = 2A_0 + 2B_1 \\
0 = -4A_0 \\
0 = -2A_1 + 2B_0
\end{cases}

e cila ka zgjidhjen

: A_0 = 0, \quad A_1 = B_0 = \frac{1}{4}, \quad B_1 = 0.

Pastaj marrim një integral të veçantë

: y_p = \frac {1} {4} t \cos t + \frac {1}{4} t^2 \sin t. 

### Shembulli 2 
Merrni parasysh ekuacionin diferencial linear johomogjen të mëposhtëm:

: \frac{dy}{dx} = y + e^x.

Ky është si shembulli i parë i mësipërm, përveç se pjesa johomogjene ( e^x ) *nuk* është linearisht e pavarur nga zgjidhja e përgjithshme e pjesës homogjene ( c_1 e^x ); si rezultat, ne duhet të shumëzojmë supozimin tonë me një fuqi mjaftueshëm të madhe prej *x* për ta bërë atë linearisht të pavarur.

Këtu supozimi ynë bëhet:

: y_p = A x e^x.

Duke zëvendësuar këtë funksion dhe derivatin e tij në ekuacionin diferencial, mund të zgjidhet për *A'' :

: \frac{d}{dx} \left( A x e^x \right) = A x e^x + e^x
: A x e^x + A e^x = A x e^x + e^x
: A = 1.

Pra, zgjidhja e përgjithshme për këtë ekuacion diferencial është:

: y = c_1 e^x + xe^x.

### Shembulli 3 
Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit:

: \frac{dy}{dt} = t^2 - y

t^2 është një polinom i shkallës së dytë, kështu që ne kërkojmë një zgjidhje duke përdorur të njëjtën formë,

: y_p = A t^2 + B t + C,

Futja e këtij funksioni të veçantë në ekuacionin origjinal jep,

: 2 A t + B = t^2 - (A t^2 + B t + C),
: 2 A t + B =(1-A)t^2 -Bt -C, 
: (A-1)t^2 + (2A+B)t + (B+C) = 0.

e cila jep:

: A-1 = 0, \quad 2A+B =0, \quad B+C=0.

Duke zgjedhur konstantet marrim:

: y_p = t^2 - 2 t + 2

Për të zgjidhur për zgjidhjen e përgjithshme,

: y= y_p + y_c

ku y_c është zgjidhja homogjene y_c = c_1 e^{-t} Prandaj, zgjidhja e përgjithshme është:

: y= t^2 - 2 t + 2 + c_1 e^{-t}