Shpërndarja hipergjeometrike negative

{{Infobox shpërndarja e gjasës||name=Hipergjeometrike negative|type=mass|pdf_image=|cdf_image=|parameters=N \in \left\{0,1,2,\dots\right\} - numri total i elementeve
K \in \left\{0,1,2,\dots,N\right\} - numri total i  elementeve 'sukses' 
r \in \left\{0,1,2,\dots,N-K\right\} - numri i dështimeve kur eksperimenti ndalohet|support=k \in \left\{0,\, \dots,\, K\right\} - numri i sukseseve kur eksperimenti ndalohet.|pdf=\frac{{{k+r-1}\choose{k}}{{N-r-k}\choose{K-k}}}{N \choose K}|cdf=|mean=r\frac{K}{N-K+1}|median=|mode=|variance=r\frac{(N+1)K}{(N-K+1)(N-K+2)}[1-\frac{r}{N-K+1}]|skewness=|kurtosis=|entropy=|mgf=|char=}}

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, **shpërndarja hipergjeometrike negative** përshkruan probabilitetet për marrjen e mostrave nga një popullsi e fundme pa zëvendësim, në të cilën çdo popullim mund të klasifikohet në dy kategori ndërsjellazi përjashtuese si Sukses/Dështim ose i Punësuar/I papunësuar. Ndërsa zgjedhjet e rastësishme bëhen nga popullsia, çdo tërheqje e mëpasshme zvogëlon popullsinë duke bërë që probabiliteti i suksesit të ndryshojë me çdo tërheqje. Ndryshe nga shpërndarja standarde hipergjeometrike, e cila përshkruan numrin e sukseseve në një madhësi fikse kampioni, në shpërndarjen hipergjeometrike negative, popullimet nxirren deri sa janë gjetur r dështime dhe shpërndarja përshkruan probabilitetin e gjetjes k sukseseve në një popullim të tillë. Me fjalë të tjera, shpërndarja negative hipergjeometrike përshkruan gjasat e k sukseseve në një popullim me saktësisht r dështime.

## Përkufizimi 
Ka N elemente, nga të cilat K përkufizohen si "suksese" dhe pjesa tjetër janë "dështime".

Elementet vizatohen njëri pas tjetrit, *pa* zëvendësime, derisa hasen r dështime. Pastaj, zgjedhja ndalon dhe numri i k sukseseve numërohet. Shpërndarja negative hipergjeometrike, NHG_{N,K,r}(k) është shpërndarja diskrete e kësaj k .

Shpërndarja hipergjeometrike negative është një rast i veçantë i shpërndarjes beta-binomiale  me parametra \alpha = r dhe \beta = N-K-r+1 të dy duke qenë numra të plotë (dhe n = K ).

Rezultati kërkon që ne të vëzhgojmë k suksese në (k+r-1) tërheqje dhe copëzat (k+r)\text{-th} duhet të jenë dështime. Probabiliteti i të parës mund të gjendet me zbatimin e drejtpërdrejtë të shpërndarjes hipergjeometrike (HG_{N,K,k+r-1}(k))  dhe probabiliteti i kësaj të fundit është thjesht numri i dështimeve të mbetura (=N-K-(r-1)) pjesëtuar me madhësinë e popullsisë së mbetur (=N-(k+r-1) . Probabiliteti për të pasur saktësisht k suksese deri në dështimin r\text{-të} (dmth. tërheqja ndalon sapo popullimi të përfshijë numrin e paracaktuar të r dështimeve) atëherë është prodhimi i këtyre dy probabiliteteve:

\frac{\binom{K}{k} \binom{N - K}{k+r-1-k}}{\binom{N}{k+r-1}} \cdot \frac{N-K-(r-1)}{N-(k+r-1)}
=\frac{{{k+r-1}\choose{k}}{{N-r-k}\choose{K-k}}}{N \choose K}.

Prandaj, një ndryshore e rastit X ndjek shpërndarjen hipergjeometrike negative nëse funksioni i masës së probabilitetit të tij (fmp) jepet nga

f(k; N, K, r) \equiv \Pr(X = k) =\frac{{{k+r-1}\choose{k}}{{N-r-k}\choose{K-k}}}{N \choose K}\quad\text{për }k = 0, 1, 2, \dotsc, K

ku

* N është madhësia e popullsisë,
* K është numri i gjëndjeve të suksesshme në popullatë,
* r është numri i dështimeve,
* k është numri i sukseseve të vërejtura,
* a \choose b është një koeficient binomial

Sipas dizajnit, probabilitetet shumohen në 1. Megjithatë, në rast se duam ta tregojmë në mënyrë eksplicite kemi:

\sum_{k=0}^{K} \Pr(X=k) 
= \sum_{k=0}^{K} \frac{{{k+r-1}\choose{k}}{{N-r-k}\choose{K-k}}}{N \choose K}
= \frac{1}{N \choose K}\sum_{k=0}^{K} {{k+r-1}\choose{k}}{{N-r-k}\choose{K-k}}
= \frac{1}{N \choose K} {N \choose K} 
= 1,

ku kemi përdorur faktin se,

\begin{align}
  \sum_{j=0}^k \binom{j+m}{j} \binom{n-m-j}{k-j}
  &=\sum_{j=0}^k (-1)^{j} \binom{-m-1}{j} (-1)^{k-j} \binom{m+1+k-n-2}{k-j}\\
  &=(-1)^{k} \binom{k-n-2}{k}
  = (-1)^{k} \binom{k-(n+1)-1}{k}
  = \binom{n+1}{k},
\end{align}

i cili mund të nxirret duke përdorur identitetin binomial, {{n \choose k} = (-1)^k {k-n-1 \choose k}} dhe identiteti Chu-Vandermonde, \sum_{j=0}^k \binom m j \binom{n-m}{k-j} = \binom n k, i cili vlen për çdo vlerë komplekse m dhe n dhe çdo numër i plotë jo negativ k .

## Pritja matematike 
Gjatë numërimit të numrit k të sukseseve përpara r dështimeve, numri i pritshëm i sukseseve është \frac{r K}{N-K+1} dhe mund të nxirret si më poshtë.

\begin{align}
  E[X] &= \sum_{k=0}^{K} k \Pr(X=k) 
    = \sum_{k=0}^{K} k \frac{{{k+r-1}\choose{k}}{{N-r-k}\choose{K-k}}}{N \choose K}
    = \frac{r}{N \choose K}\left[\sum_{k=0}^{K} \frac{(k+r)}{r} {{k+r-1}\choose{r-1}}{{N-r-k}\choose{K-k}}\right]-r \\
    &= \frac{r}{N \choose K}\left[\sum_{k=0}^{K} {{k+r}\choose{r}}{{N-r-k}\choose{K-k}}\right]-r
    = \frac{r}{N \choose K}\left[\sum_{k=0}^{K} {{k+r}\choose{k}}{{N-r-k}\choose{K-k}}\right]-r\\
    &= \frac{r}{N \choose K}\left[{{N+1} \choose K} \right]-r = \frac{rK}{N-K+1},
\end{align}

ku kemi përdorur marrëdhënien \sum_{j=0}^k \binom{j+m}{j} \binom{n-m-j}{k-j}= \binom{n+1}{k}, që kemi nxjerrë më lart për të treguar se shpërndarja negative hipergjeometrike ishte normalizuar siç duhet.

## Varianca 
Varianca mund të nxirret nga llogaritja e mëposhtme.

\begin{align}
  E[X^2] &= \sum_{k=0}^{K} k^2 \Pr(X=k)
  = \left[\sum_{k=0}^{K} (k+r)(k+r+1) \Pr(X=k)\right]-(2r+1)E[X]-r^2-r \\
    &=\frac{r(r+1)}{N \choose K}\left[\sum_{k=0}^{K} {{k+r+1}\choose{r+1}}{{N+1-(r+1)-k}\choose{K-k}}\right]-(2r+1)E[X]-r^2-r\\
    &= \frac{r(r+1)}{N \choose K}\left[{{N+2} \choose K} \right]-(2r+1)E[X]-r^2-r
    = \frac{r K (N - r + K r + 1)}{(N-K+1)(N-K+2)}
\end{align}

Atëherë varianca është \textrm{Var}[X]=E[X^2]-\left(E[X]\right)^2 = \frac{r K (N + 1) (N-K-r+1)}{(N - K + 1)^2 (N - K + 2)}

## Shpërndarjet e ndërlidhura 
Nëse tërheqja ndalet pas një numri konstant n tërheqjesh (pavarësisht nga numri i dështimeve), atëherë numri i sukseseve ndjek shpërndarjen hipergjeometrike, HG_{N,K,n}(k) . Të dy funksionet janë të lidhura në mënyrën e mëposhtme: 

NHG_{N,K,r}(k) = 1-HG_{N,N-K,k+r}(r-1)

Shpërndarja negative-hipergjeometrike (si shpërndarja hipergjeometrike) merret me tërheqjet *pa zëvendësim*, kështu që probabiliteti i suksesit është i ndryshëm në çdo barazim. Në të kundërt, shpërndarja binomiale negative (si shpërndarja binomiale) merret me tërheqjet *me zëvendësim*, në mënyrë që probabiliteti i suksesit të jetë i njëjtë dhe provat të jenë të pavarura. Tabela e mëposhtme përmbledh katër shpërndarjet që lidhen me tërheqjen e sendeve:

Disa autorë   përcaktojnë shpërndarjen negative hipergjeometrike si numrin e tërheqjeve të nevojshme për të marrë r dështime. Le të jetë Y shënimi këtë numër. Atëherë është e qartë se Y=X+r ku X është siç është përcaktuar më sipër. Prandaj FMP Pr(Y=y)=\binom{y-1}{r-1}\frac{\binom{N-y}{N-K-r}}{\binom{N}{N-K}} . Nëse e shënojmë numrin e dështimeve N-K  me M do të thotë që kemi Pr(Y=y)=\binom{y-1}{r-1}\frac{\binom{N-y}{M-r}}{\binom{N}{M}} . Bashkësia e përcaktimit e Y është bashkësia \{r,r+1,\dots,N-M+r\} . Është e qartë se E[Y]=E[X]+r=\frac{r(N+1)}{M+1} dhe ajo \textrm{Var}[X]=\textrm{Var}[Y] .