Seritë teleskopike

Në matematikë, një **seri teleskopike** është një seri termi i përgjithshëm i së cilës t_n është i formës t_n=a_{n+1}-a_n, dmth ndryshimi i dy termave të njëpasnjëshëm të një vargu (a_n) . 

Si pasojë, shumat e pjesshme përbëhen vetëm nga dy terma të (a_n) pas anulimit.   Teknika e anulimit, ku një pjesë e çdo termi anulohet me një pjesë të termit tjetër, njihet si **metoda e ndryshesave** .

Për shembull, seria

: \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}

thjeshtohet në

: \begin{align}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} & {} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\
{} & {} = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\
{} & {} = \lim_{N\to\infty} \left\lbrack {\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1}\right) } \right\rbrack \\
{} & {} = \lim_{N\to\infty} \left\lbrack { 1 + \left( - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left( - \frac{1}{N} + \frac{1}{N}\right) - \frac{1}{N+1} } \right\rbrack \\
{} & {} = \lim_{N\to\infty} \left\lbrack { 1 - \frac{1}{N+1} } \right\rbrack = 1.
\end{align}

## Në përgjithësi 
Shumat teleskopike janë shuma të fundme në të cilat çiftet e kufizave të njëpasnjëshme anulojnë njëra-tjetrën, duke lënë vetëm termat fillestarë dhe përfundimtarë. 

Le të jetë a_n një varg numrash. Pastaj,

: \sum_{n=1}^N \left(a_n - a_{n-1}\right) = a_N - a_0

Nëse a_n \rightarrow 0

: \sum_{n=1}^\infty \left(a_n - a_{n-1}\right) = - a_0

Prodhimet teleskopike janë prodhime të fundme në të cilat termat e njëpasnjëshëm anulojnë emëruesin me numërues, duke lënë vetëm termat fillestarë dhe përfundimtarë.

## Më shumë shembuj 
* Shumë funksione trigonometrike gjithashtu pranojnë përfaqësimin si një ndryshese, i cili lejon anulimin teleskopik midis kufizave të njëpasnjëshme. \begin{align}
\sum_{n=1}^N \sin\left(n\right) & {} = \sum_{n=1}^N \frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left(2\sin\left(\frac{1}{2}\right)\sin\left(n\right)\right) \\
& {} =\frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \sum_{n=1}^N \left(\cos\left(\frac{2n-1}{2}\right) -\cos\left(\frac{2n+1}{2}\right)\right) \\
& {} =\frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left(\cos\left(\frac{1}{2}\right) -\cos\left(\frac{2N+1}{2}\right)\right).
\end{align}
* Disa shuma të formës \sum_{n=1}^N {f(n) \over g(n)}\sum_{n=1}^N {f(n) \over g(n)}\begin{align}
\sum^\infty_{n=0}\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)} = {} & \sum^\infty_{n=0}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right) \\
= {} & \left(\frac{1}{1} + \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \cdots \\
& {} \cdots + \left(\frac{1}{n-1} + \frac{1}{n}\right) + \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}\right) + \left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}\right) + \cdots \\
= {} & \infty.
\end{align}
* Le të jetë *k* nj\sum^\infty_{n=1} {\frac{1}{(n+k)(n+k+1)\dots(n+m-1)(n+m)}} = \frac{1}{m-k} \cdot \frac{k!}{m!} \sum^\infty_{n=1} {\frac{1}{n(n+k)}} = \frac{H_k}{k} 
* Le *të k,m* me *k* \neq *m* të jenë numra të plotë pozitivë. Pastaj \sum^\infty_{n=1} {\frac{1}{(n+k)(n+k+1)\dots(n+m-1)(n+m)}} = \frac{1}{m-k} \cdot \frac{k!}{m!}

Në teorinë e probabilitetit, një proces Poisson është një proces stokastik, rasti më i thjeshtë i të cilit përfshin "ngjarje" në kohë të rastit, kohën e pritjes deri në ndodhinë tjetër që ka një shpërndarje eksponenciale pa kujtesë dhe numrin e "ndodhjeve" në çdo interval kohor që ka një shpërndarje Poisson, pritja matematike e së cilës është e përpjesshme me gjatësinë e intervalit kohor. Le të jetë *X* *t* numri i "ndodhive" përpara kohës *t*, dhe le të jetë *T* *x* koha e pritjes deri në "ngjarjen" e *x* -të. Ne kërkojmë funksionin e densitetit të probabilitetit të ndryshores së rastit *T* *x* . Ne përdorim funksionin e masës së probabilitetit për shpërndarjen Poisson, i cili na tregon këtë

:  \Pr(X_t = x) = \frac{(\lambda t)^x e^{-\lambda t}}{x!}, 

ku λ është numri mesatar i dukurive në çdo interval kohor me gjatësi 1. Vëreni se ngjarja { *X* *t* ≥ x} është e njëjtë me ngjarjen { *T* *x* ≤ *t* }, dhe kështu ato kanë të njëjtin probabilitet. Intuitivisht, nëse diçka ndodh të paktën x herë para kohës t, duhet të presim më së shumti t per dukurinë e x-te. Funksioni i dendësisë që ne kërkojmë është pra

: 
\begin{align}
f(t) & {} = \frac{d}{dt}\Pr(T_x \le t) = \frac{d}{dt}\Pr(X_t \ge x) = \frac{d}{dt}(1 - \Pr(X_t \le x-1)) \\ \\
& {} = \frac{d}{dt}\left( 1 - \sum_{u=0}^{x-1} \Pr(X_t = u)\right)
= \frac{d}{dt}\left( 1 - \sum_{u=0}^{x-1} \frac{(\lambda t)^u e^{-\lambda t}}{u!} \right) \\ \\
& {} = \lambda e^{-\lambda t} - e^{-\lambda t} \sum_{u=1}^{x-1} \left( \frac{\lambda^ut^{u-1}}{(u-1)!} - \frac{\lambda^{u+1} t^u}{u!} \right)
\end{align}

Shuma teleskopon, duke lënë

:  f(t) = \frac{\lambda^x t^{x-1} e^{-\lambda t}}{(x-1)!}.