Ekuacionet e lëvizjes

*Ekuacionet e levizjes* janë ekuacione që përshkruajnë sjelljen e një sistemi (p.sh., lëvizjen e një grimce nën ndikimin e një force) në funksion të kohës ose pa kohën. Zakonisht termi i referohet ekuacioneve diferenciale që përshkruajnë sistemin (p.sh., Ligji i dytë i Njutonit ose ekuacionet e Ojler-Lagranzhit), si dhe zgjidhjeve të  ekuacioneve në fjalë. Për çdo trup në lëvizje analizimi i forcave jep një ekuacion të caktuar i cili përmban terma që lidhen me nxitimin dhe shpejtësinë e trupit që po studiohet. Bashkësia e këtyre ekuacioneve njihen me emrin e përgjithshëm si ekuacionet e lëvizjes.

## Ekuacionet e lëvizjes drejtvizore të njëtrajtshme të përshpejtuara 
Ekuacionet që vlejnë për trupat në lëvizje drejtvizore (në një dimension), me nxitim konstant janë të dhëna më poshtë . Pesë variablat janë të përfaqësuara nga ato letra (*s* = distanca, v_i = shpejtësia fillestare, v_f= shpejtësia në fund të intervalit,*a*= nxitimi ,*t* = koha). Duhet të theksohet se në këtë notacion përdorim shkronjën r(range) për zhvendosjen e cila është madhësi vektoriale, dhe shkronjën s për distancën e cila është madhësi skalare.

Trupi analizohet mes dy çasteve kohore: në një pikë fillestare dhe në një pikë të tanishme (ose finale) . Problemet në kinematikë mund të merret në më shumë se dy caste, dhe disa zbatime të ekuacioneve janë të nevojshme në atë rast. Nëse *a* (nxitimi) është konstant, një  diferencial , dt, mund të  integrohet mbi një interval nga 0 në \Delta t  (\Delta t = t_f - t_i), për të marrë një marrëdhënie lineare për vektorin e shpejtësisë. Integrimi i vektorit të shpejtësisë jep një marrëdhënie kuadratike për pozicionin në fund të intervalit. 

Vini re se secili nga ekuacionet ka katër nga pesë variablat e duhura. Pra në një situatë të tillë është e mjaftueshme të dimë tre nga variablat për të gjetur dy të tjerat.

## Ekuacionet klasike 
Ekuacionet e mëposhtme përshkruajnë lëvizjen drejtvizore me nxitim të pandryshueshëm  këto ekuacione shkruhen në formën e mëposhtme :

:\begin{alignat}{3}
& v   && = v_i+at               \qquad & \text{(1)} \\
& s   && = \tfrac12(v_i+v)t     \qquad & \text{(2)} \\
& s   && = v_it + \tfrac12 at^2 \qquad & \text{(3)} \\
& s   && = v_ft - \tfrac12 at^2 \qquad & \text{(4)} \\
& v^2 && = v_i^2 + 2as          \qquad & \text{(5)} \\
& a   && = \frac{v-v_i}{t}      \qquad & \text{(6)} \\
\end{alignat}

Duke zëvendësuar (1) tek (2), marrim (3), (4) dhe (5). (6) mund të merret duke rirregulluar (1).

ku

:*s* = distanca midis pozicionit fillestar dhe atij final (zhvendosja) (në disa literatura mund ta gjeni si *R *ose *x*)

:v_i = shpejtësia fillestar (vlera e shpejtësisë në çdo drejtim)

:v_f = shpejtësia finale 

:*a* = nxitimi konstant

:*t* = koha që duhet për të kaluar nga gjenda fillestare tek ajo përfundimtare 

### Shembuj 
Shumë shembuj në kinematikë përfshinë studimin e predhës, për shembull një top i hedhur në ajër në një kënd të caktuar. Po të kemi vlerën e shpejtësisë fillestare v_i, ne mund të llogaritim se sa lart topi do të arrijë para se të bjerrë.

Nxitimi në këtë rast është nxitimi i fushës së rëndesës normale *g*. Tani duhet të vemë në dukje faktin se këto madhësi janë madhësi skalare, drejtimi i zhvendosjes, vlerës së shpejtësisë dhe nxitimit janë të rëndësishme . Po të zgjedhim *s* si simbolin për matjen e distancës nga dheu, nxitimi *a* duhet të jetë *−g*, meqënëse forca e gravitetit vepron drejt qendrës së tokës .

Tek pika më e lartë topi do qëndrojë në prehje: pra v_f = 0. Duke përdorur ekuacionin e pestë , marrime:

:s= \frac{v_f^2 - v_i^2}{-2g}.

### Zgjerime 
Versione më të zgjeruara të këtyre ekuacioneve përfshijnë madhësinë Δ*s* , ku zhvendosja përcaktohet si diferenca e vektorit fillestar të zhvendosjes me atë final (*s* &minus; s_i), s_i për pozicionin fillestar të trupit , si dhe përdorimin e  v_f për shpejtësinë finale dhe v_i për shpejtësinë fillestare (initial) që simbolet të jenë më konsistente.

:v_f = v_i + at \,
:s = s_i + \tfrac{1}{2} (v_i + v_f)t \,
:s = s_f + v_i t + \tfrac{1}{2} at^2 \,
:v_f^2 = v_i^2 + 2a\Delta s \,
:s = s_i + v_ft - \tfrac{1}{2} at^2 \,

Duke zhvendosur termat brenda dhe eliminuar shenjën minus marrim:

:H = \frac{v_i^2}{2g}.

## Lidhje të jashtme 
* Ekuacionet e lëvizjes

## Referime