Problemi i ditëlindjes

parapamje|238x238px|Rritja e probabiliteti të problemit të ditëlindjes në raport me rritjen e numrit të personave.
Në teorinë e probabilitetit, **problemi i ditëlindjes** kërkon vlërën e probabilitetit ashtu që në një grup prej  personash të zgjedhur rastësisht, së paku 2 persona kanë ditëlindjen (ditën e lindjes, jo vitin) e njejtë. Ky problem njihet edhe si **paradoksi i ditëlindjes** për arsye se në një grup prej 23 personash probabiliteti që së paku 2 prej tyre kanë ditëlindje të njejtë është më i madh se 50%, që është shumë kundërintuitive.

Paradoksi i ditëlindjes në shikim të parë duket si i gabuar, por në fakt është i saktë. Mund të duket i habitshëm fakti që vetëm 23 persona nevojiten që probabiliteti të kaloj 50% kur një vit ka 365 (ose 366) ditë. Ky rezultat mund të bëhet më intuitiv duke vërejtur se krahasimet e ditëlindjeve do të bëhen midis çdo dysheje të mundëshme të individëve. Me 23 persona, janë \frac{23\times 22}{2}=253 dyshe për ti konsideruar, që është më e madhe se gjysma e ditëve në një vit(182 ose 183).

Problemi i atributohet Harold Davenport-it rreth vitit 1927, por ai nuk e publikoi atë. Davenport nuk e pranoi të quhet zbuluesi i problemit “sepse ai nuk mund të besonte që ky problem nuk është paraqitur më parë". Publikimi i parë i një versioni të problemit të ditëlindjes ishte nga Richard von Mises në vitin 1939.

## Llogaritja e probabilitetit 
parapamje|238x238px|Grafi tregon probabilitetin që nga grupi prej n personash së paku 2 kanë ditëlindjen e njejtë () dhe probabilitetin e kundërt që nga grupi prej n personash asnjë person në grup ka ditëlindjen e njejtë (),
Problemi është të gjejmë probabilitetin që nga një grup prej  personash së paku 2 kanë ditën e lindjes së njejtë. Për thjeshtësi vitet e brishta dhe binjakët nuk do të merren parasyshë si dhe supozohet se të gjitha 365 ditëlindjet kanë gjasë të ndodhjes të njejtë, që është rasti më i keq.

Qëllimi është të llogarisim probabilitetin , probabiliteti që së paku dy persona në grup kanë ditëlindjen (ditën e lindjes) e njejtë. Megjithatë më lehtë është të llogaritet probabiliteti i kundërt , probabiliteti që asnjë person në grup ka ditëlindjen e njejtë. Meqë  dhe  janë probabilitete të kundërta, 

Ta llogarisim  për 23 persona. Po i numërojmë 23 personat me numra nga 1 deri 23. Po e shënojmë me ngjarja 1 ngjarjen që personi 1 ka ditëlindje, me ngjarja 2 ngjarjen që personi 2 nuk e ka ditëlindjen e njejtë me personin 1, me ngjarja 3 ngjarjen që personi 3 nuk e ka ditëlindjen e njejtë me personin 2 dhe personin 1, e kështu me rradhë. Ngjarja që 23 personat të kenë ditëlindje të ndryshme është e njejtë me ngjarjen kur ngarja 1, ngjarja 2, ngjarja 3, e kështu me rradhë deri te ngjarja 23, ndodhin njëkohësisht. Ky probabilitet llogaritet me ndihmën e probabilitetit të kushtëzuar. Probabiliteti i ngjarjes 1 është \frac{365}{365}=1, probabiliteti i ngjarjes 2 pas ndodhjes së ngjarjes 1 është \frac{364}{365} për arsye se personi 2 mund të ketë çfardo ditëlindje tjetër përveq ditës së njejtë si personi 1. Ngjashëm probabiliteti i ngjarjes 3 pas ndodhjes së ngjarjeve 1 dhe 2 është \frac{363}{365} e kështu me rradhë deri te ngjarja 23 e cila ka probabilitet \frac{365-22}{365}=\frac{343}{365}. Tani, probabiliteti  është i barabart me prodhimin e probabiliteteve të gjitha ngjarjeve 1 deri 23, një nga një, pra:P(A')=\frac{365}{365}\times\frac{364}{365}\times\frac{363}{365}\times\frac{362}{365}\times\cdots\times\frac{343}{365} ,pasi të grumbullohen termat në shprehjen e mësipërme marrim:

\begin{align}P(A')&=\left(\frac{1}{365}\right)^{23}\times(365\times364\times363\times\cdots\times343)=
\\[4pt]&=\frac{356!}{365^{23}(365-23)!}. \end{align}

Pas njehësimit marrim: P(A')\approx 0.49270276.

Përfundimisht, P(A)=1-P(A') \approx 1-0.49270276=0.50729724 

Ky proces mund të gjeneralizohet për një grup prej  personash, ku  është probabiliteti që së paku 2 persona kanë ditëlindjen e njejtë. Njësoj si më herët është më leht të gjindet probabiliteti i kundërt , probabiliteti që të gjitha  ditëlindjet janë të ndryshme. Sipas parimit të kafazëve të pëllumbave probabiliteti  është zero kur . Për  kemi:\begin{align} \bar p(n) &= 1 \times \left(1-\frac{1}{365}\right) \times \left(1-\frac{2}{365}\right) \times \cdots \times \left(1-\frac{n-1}{365}\right)= \\[8pt] &= \frac{ 365 \times 364 \times \cdots \times (365-n+1) }{ 365^n }= \\[5pt] &= \frac{ 365! }{ 365^n (365-n)!}.\end{align}parapamje|248x248px|Probabiliteti që asnjë person nuk e ka ditëlindjen e njejtë me personat tjetrë në një grup në raport me numrin e personave në atë grup.Shprehja e mësipërme arrihet nga fakti se personi i parë mund ta ketë çfardo ditëlindje, personi i dytë mund të ketë çfardo ditëlindje përveq ditës së njejtë me ditëlindjen e personit të parë, personi i tretë mund ketë çfardo ditëlindje përveq ditëve që kanë ditëlindjen personi i parë dhe i dytë, e kështu me rradhë deri te personi i -të i cili mund të ketë çfardo ditëlindje përveq ditëve që kanë ditëlindjen  personat para tij.

Nga probabiliteti i kundërt , gjejmë probabilitetin ,p(n) = 1 - \bar p(n).Pra:p(n)=1-\frac{ 365! }{ 365^n (365-n)!}.Tabela në vijim tregon probabilitetin  për disa vlera të -it (për këtë tabelë injorohet ekzistenca e viteve të brishta, dhe çdo ditëlindje supozohet të ketë gjasë të ndodhjes të njejtë):

**Vitet e brishta.** Nëse zëvendësojmë 366 në vend të 365 në formulën për  atëherë mund të llogaritet probabiliteti i problemit të ditëlindjes edhe për vitet e brishta.

Nëse shënojmë me  këtë probabilitet do të kemi:p'(n)=1-\frac{ 366! }{ 366^n (366-n)!}.Pas një kalkulimi tregohet se edhe te vitet e brishta njësoj si vitet normale, numri i personave që nevojiten ashtu që probabiliteti të kaloj 50% është 23.

## Përafrime 
Zgjerimi i funksionit eksponencial me anë të serive të Taylorit (Numri e )e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdotsofron një përafrim të rendit të parë për  kur |x| \ll 1:e^x \approx 1 + x.Për ta zbatuar këtë përafrim tek shprehja e parë e nxjerrë për , marrim x=-\frac{a}{365}. Kështu,e^{-a/365} \approx 1 - \frac{a}{365}.parapamje|320x320px|Grafi tregon saktësinë e përafrimit ().
Pastaj zëvendësojmë  me numra të plotë pozitivë për çdo term në shprehjen për , deri tek .

Për shembull për ,e^{-1/365} \approx 1 - \frac{1}{365}.Shprehja e parë e nxjerrë për  mund të përafrohet si\begin{align}
\bar p(n) & \approx 1 \cdot e^{-1/365} \cdot e^{-2/365} \cdots e^{-(n-1)/365} \\[6pt]
& = e^{-\left.\big( 1+2+ \,\cdots\, +(n-1)\big)\right/365} \\[6pt]
& = e^{-(n(n-1)/2)/365} = e^{-n(n-1)/730}.
\end{align}Prej këtu,p(n) = 1-\bar p(n) \approx 1 - e^{-n(n-1)/730}.Një përafrim më i thjeshtë jepet mep(n)\approx 1-e^{-n^2/730}dhe siç shihet në graf është përafrim mjaft i mirë.

### Një fuqizim i thjeshtë 
parapamje|320x320px|Përafrimi i problemit të ditëlindjes me anë të një fuqizimi të thjeshtë.
Probabiliteti që 2 persona mos ta kenë ditëlindjen e njejtë është \frac{364}{365}. Në një grup prej  personash janë \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2} dyshe të ndryshme të personave, mund të themi se janë\binom{n}{2} ngjarje. Probabiliteti që çdo dy persona në grup nuk e kanë ditëlindjen e njejtë, mund të përafrohet duke supozuar se të gjitha \binom{n}{2} ngjarjet janë të pavarura dhe duke i shumëzuar probabilitetet e tyre me njëra tjetrën. D.m.th probabiliteti \frac{364}{365} shumëzohet me veten \binom{n}{2} herë, pra:\bar p(n) \approx \left(\frac{364}{365}\right)^\binom{n}{2}.Tani, përafrimi i probabilitetit që në një grup prej  personash së paku 2 persona kanë ditëlindjen e njejtë është:p(n) \approx 1 - \left(\frac{364}{365}\right)^\binom{n}{2}.Siç shihet nga grafiku, përafrimi është mjaft i mirë, por pak më i dobët se përafrimi i parë.

## Referime