Mesatarja logaritmike

parapamje|300x300px| Komplot tre-dimensional që tregon vlerat e mesatares logaritmike.
Në matematikë, **mesatarja logaritmike(mesi logaritmik)** është një funksion i dy numrave jo-negativ i cili është i barabartë me ndryshimin e tyre i ndarë me logaritmin e herësit të tyre. 

## Përkufizimi 
Mesatarja logaritmike(mesi logaritmik) përcaktohet si:

: \begin{align}
 M_\text{lm}(x, y)
  &= \lim_{(\xi, \eta) \to (x, y)} \frac{\eta - \xi}{\ln(\eta) - \ln(\xi)} \\[6pt]
  &= \begin{cases}
     x & \text{if }x = y ,\\
     \frac{y - x}{\ln(y) - \ln(x)} & \text{otherwise,}
    \end{cases}
\end{align}

për numrat pozitivë x, y .

## Pabarazitë 
Mesatarja logaritmike (mesi logaritmik) e dy numrave është më e vogël se mesatarja aritmetike dhe mesatarja e përgjithësuar me një eksponent një të tretën por më e madhe se mesatarja gjeometrike, përveç nëse numrat janë të njëjtë, në këtë rast të tre mjetet janë të barabartë me numrat.

: \sqrt{x y} \leq M_\text{lm}(x, y) \leq \left(\frac{x^{1/3}+y^{1/3}}2\right)^3 \leq \frac{x + y}{2} \qquad \text{ for all } x > 0 \text{ and } y > 0.   

## Rrjedhje 
### Teorema e vlerës mesatare të llogaritjes diferenciale 
Nga teorema e vlerës mesatare, ekziston një vlerë \xi në intervalin ndërmjet *x* dhe *y* ku derivati f' është e barabartë me pjerrësinë e vijës secant :

: \exists \xi \in (x, y): \ f'(\xi) = \frac{f(x) - f(y)}{x - y}

Mesatarja logaritmike merret si vlera e \xi duke zëvendësuar \ln për f dhe në mënyrë të ngjashme për derivatin e tij përkatës:

: \frac{1}{\xi} = \frac{\ln(x) - \ln(y)}{x - y}

dhe zgjidhja për \xi :

: \xi = \frac{x - y}{\ln(x) - \ln(y)}

### Integrimi 
Mesatarja logaritmike mund të interpretohet gjithashtu si zonë nën një kurbë eksponenciale .

: \begin{align}
 L(x, y) ={} & \int_0^1 x^{1-t} y^t\ \mathrm{d}t
     ={}  \int_0^1 \left(\frac{y}{x}\right)^t x\ \mathrm{d}t
     ={}  x \int_0^1 \left(\frac{y}{x}\right)^t \mathrm{d}t \\[3pt]
     ={} & \left.\frac{x}{\ln\left(\frac{y}{x}\right)} \left(\frac{y}{x}\right)^t\right|_{t=0}^1
     ={}  \frac{x}{\ln\left(\frac{y}{x}\right)} \left(\frac{y}{x} - 1\right) 
     ={}  \frac{y - x}{\ln\left(\frac{y}{x}\right)} \\[3pt]
     ={} & \frac{y - x}{\ln\left(y\right) - \ln\left(x\right)}
\end{align}

Interpretimi i zonës lejon nxjerrjen e lehtë të disa vetive themelore të mesatares logaritmike. Meqenëse funksioni eksponencial është monotonik, integrali mbi një interval me gjatësi 1 kufizohet nga x dhe y . Homogjeniteti i operatorit integral transferohet tek operatori mesatar, dmth L(cx, cy) = cL(x, y) .

Dy paraqitje të tjera të dobishme integrale janë{1 \over L(x,y)} = \int_0^1 {\operatorname{d}\!t \over t x + (1-t)y}dhe{1 \over L(x,y)} = \int_0^\infty {\operatorname{d}\!t \over (t+x)\,(t+y)}.

## Përgjithësimi 
### Teorema e vlerës mesatare të llogaritjes diferenciale 
Dikush mund të përgjithësojë mesataren për n + 1 ndryshoret duke marrë parasysh teoremën e vlerës mesatare për ndryshimet e ndara për n derivati i logaritmit.

Ne marrim

: L_\text{MV}(x_0,\, \dots,\, x_n) = \sqrt[-n]{(-1)^{(n+1)} n \ln\left(\left[x_0,\, \dots,\, x_n\right]\right)}

ku \ln\left(\left[x_0,\, \dots,\, x_n\right]\right) tregon një ndryshim të ndarë të logaritmit.

Për n = 2 kjo çon në

: L_\text{MV}(x, y, z) = \sqrt{\frac{(x - y) \left(y - z\right)\left(z - x\right)}{2 \left(\left(y - z\right) \ln\left(x\right) + \left(z - x\right) \ln\left(y\right) + \left(x - y\right) \ln\left(z\right)\right)}} .

### Integrali 
Interpretimi integral mund të përgjithësohet në më shumë variabla, por çon në një rezultat tjetër. Duke pasur parasysh thjeshtësinë S me S = \{\left(\alpha_0,\, \dots,\, \alpha_n\right) : \left(\alpha_0 + \dots + \alpha_n = 1\right) \land \left(\alpha_0 \ge 0\right) \land \dots \land \left(\alpha_n \ge 0\right)\} dhe një masë e përshtatshme \mathrm{d}\alpha i cili i përcakton thjeshtëzit një vëllim prej 1, marrim

: L_\text{I}\left(x_0,\, \dots,\, x_n\right) = \int_S x_0^{\alpha_0} \cdot \,\cdots\, \cdot x_n^{\alpha_n}\ \mathrm{d}\alpha

Kjo mund të thjeshtohet duke përdorur ndryshimet e ndara të funksionit eksponencial në

: L_\text{I}\left(x_0,\, \dots,\, x_n\right) = n! \exp\left[\ln\left(x_0\right),\, \dots,\, \ln\left(x_n\right)\right] .

Shembull n = 2

: L_\text{I}(x, y, z) = -2 \frac{x \left(\ln\left(y\right) - \ln\left(z\right)\right) + y\left(\ln\left(z\right) - \ln\left(x\right)\right) + z\left(\ln\left(x\right) - \ln\left(y\right)\right)}{\left(\ln\left(x\right) - \ln\left(y\right)\right)\left(\ln\left(y\right) - \ln\left(z\right)\right)\left(\ln\left(z\right) - \ln\left(x\right)\right)} .

## Lidhja me mjete të tjera 
* Mesatarja aritmetike : \frac{L\left(x^2, y^2\right)}{L(x, y)} = \frac{x + y}{2}

* Mesatarja gjeometrike : \sqrt{\frac{L\left(x, y\right)}{L\left( \frac{1}{x}, \frac{1}{y} \right)}} = \sqrt{x y}

* Mesatarja harmonike : \frac{ L\left( \frac{1}{x}, \frac{1}{y} \right) }{L\left( \frac{1}{x^2}, \frac{1}{y^2} \right)} = \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}

## Shiko gjithashtu 
* Një mesatare e ndryshme që lidhet me logaritmet është mesatarja gjeometrike .
* Mesatarja logaritmike është një rast i veçantë i mesatares Stolarsky .
* Diferenca mesatare logaritmike e temperaturës
* Seminarizimi i logaritmit

## Referime 
; Citimet

; Bibliografi

* Oilfield Glossary: Term 'logarithmic mean'
* Stolarsky, Kenneth B.: *Generalizations of the logarithmic mean*, Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, Mar., 1975, pp 87–92