Trajektorja

parapamje|350x350px| Ilustrim që tregon trajektoren e drejtimit të një plumbi të shkrepur në një objektiv përpjetë.
Një **trajektore** ose **shteg fluturimi** është shtegu që një objekt me masë në lëvizje ndjek nëpër hapësirë në funksion të kohës. Në mekanikën klasike, një trajektore përcaktohet nga mekanika Hamiltoniane nëpërmjet koordinatave kanonike ; kështu, një trajektore e plotë përcaktohet nga vendndodhja dhe njëkohësisht impulsi.

Masa mund të jetë një predhë ose një satelit .  Për shembull, mund të jetë një orbitë - rruga e një planeti, asteroidi ose komete ndërsa udhëton rreth një mase qendrore .

Në teorinë e kontrollit, një trajektore është një bashkësi gjendjesh të indeksuara sipas kohës së një sistemi dinamik (shih p.sh. hartën e Puankaresë ). Në matematikën diskrete, një trajektore është një sekuencë (f^k(x))_{k \in \mathbb{N}} e vlerave të llogaritura nga zbatimi i përsëritur i një harte f ndaj një elementi x të burimit të saj.

## Shembuj 
### Graviteti i njëtrajtshëm, as zvarritje as erë 
[parapamje|400x400px| Trajektoret e një mase të hedhur në një kënd prej 70°,pa zvarritjeme zvarritje të Stokes

me [Lëngu Njutonian|zvarritje të Njutonit]]
Rasti ideal i lëvizjes së një predheje në një fushë gravitacionale uniforme në mungesë të forcave të tjera (si p.sh. tërheqja e ajrit) u hetua për herë të parë nga Galileo Galilei . Neglizhimi i veprimit të atmosferës në formësimin e një trajektoreje do të ishte konsideruar një hipotezë e kotë nga kërkuesit me mendje praktike gjatë gjithë Mesjetës në Evropë . Megjithatë, duke parashikuar ekzistencën e vakumit, që më vonë do të demonstrohej në Tokë nga bashkëpunëtori i tij Evangelista Torricelli, Galileo ishte në gjendje të niste shkencën e ardhshme të mekanikës..&#x5B; ''* &#x5D; Në një boshllëk të afërt, siç rezulton për shembull në Hënë, trajektorja e tij parabolike e thjeshtuar rezulton në thelb e saktë.

#### Nxjerrja e ekuacionit të lëvizjes 
Supozoni se lëvizja e predhës po matet nga një sistem i rënies së lirë e cila ndodh të jetë në ( *x*, *y* )&nbsp;=&nbsp;(0,0) në&nbsp;*t*&nbsp;=&nbsp;0. Ekuacioni i lëvizjes së predhës në këtë kuadër (sipas parimit të njëvlershmërisë ) do të ishte y = x \tan(\theta) . Koordinatat e kësaj kornize të rënies së lirë, në lidhje me sistemin tonë inercial do të ishin y = - gt^2/2 . Kjo eshte, y = - g(x/v_h)^2/2 .

Tani duke përkthyer përsëri në kornizën inerciale, koordinatat e predhës bëhen y = x \tan(\theta)- g(x/v_h)^2/2 Kjo eshte:

: y=-{g\sec^2\theta\over 2v_0^2}x^2+x\tan\theta,

(ku *v* 0 është shpejtësia fillestare, \theta është këndi i ngritjes, dhe *g* është nxitimi për shkak të gravitetit).

#### Shtrirja dhe lartësia 
parapamje|350x350px| Trajektoret e predhave të lëshuara në kënde të ndryshme lartësie, por me të njëjtën shpejtësi prej 10 m/s në një vakum dhe fushë rëndese njëtrajtshme në rënie prej 10 m/s 2 . Pikat janë në intervale 0,05 s dhe gjatësia e bishtit të tyre është në proporcion linear me shpejtësinë e tyre. *t* = koha nga nisja, *T* = koha e fluturimit, *R* = diapazoni dhe *H* = pika më e lartë e trajektores (treguar me shigjeta).
**Diapazoni**, *R*, është largësia më e madhe që objekti përshkon përgjatë boshtit x në sektorin I. **Shpejtësia fillestare**, *v i*, është shpejtësia me të cilën objekti në fjalë lëshohet nga pika e origjinës. **Këndi fillestar**, *θ i*, është këndi në të cilin objekti në fjalë lëshohet. *G* është tërheqja përkatëse gravitacionale e objektit brenda një mjedisi null.

: R={v_i^2\sin2\theta_i\over g}

**Lartësia**, *h'', është lartësia më e madhe parabolike që objekti arrin brenda trajektores së tij

: h={v_i^2\sin^2\theta_i\over 2g}

#### Këndi i lartësisë 
parapamje| Një shembull që tregon se si të llogaritet trajektorja e plumbave
Për sa i përket këndit të ngritjes \theta dhe shpejtësinë fillestare v :

: v_h=v \cos \theta,\quad v_v=v \sin \theta \;

duke i dhënë diapazonit si

: R= 2 v^2 \cos(\theta) \sin(\theta) / g = v^2 \sin(2\theta) / g\,.

Ky ekuacion mund të riorganizohet për të gjetur këndin për një diapazon të kërkuar

:  \theta = \frac 1 2 \sin^{-1} \left( \frac{g R}{ v^2 } \right)  (Ekuacioni II: këndi i lëshimit të predhës)

Vini re se funksioni sinus është i tillë që ka dy zgjidhje për \theta për një shtrirje të caktuar d_h . Këndi \theta dhënia e shtrirjes maksimale mund të gjendet duke marrë parasysh derivatin ose R në lidhje me \theta dhe duke e vendosur atë në zero.

: {\mathrm{d}R\over \mathrm{d}\theta}={2v^2\over g} \cos(2\theta)=0

e cila ka një zgjidhje jo triviale në 2\theta=\pi/2=90^\circ, ose \theta=45^\circ . Diapazoni maksimal është atëherë R_{\max} = v^2/g\, . Në këtë kënd \sin(\pi/2)=1, pra lartësia maksimale e fituar është {v^2 \over 4g} .

Për të gjetur këndin që jep lartësinë maksimale për një shpejtësi të caktuar llogaritni derivatin e lartësisë maksimale H=v^2 \sin^2(\theta) /(2g) në lidhje me \theta, kjo eshte {\mathrm{d}H\over \mathrm{d}\theta}=v^2 2\cos(\theta)\sin(\theta) /(2g) e cila është zero kur \theta=\pi/2=90^\circ . Pra, lartësia maksimale H_\mathrm{max}={v^2\over 2g} fitohet kur predha qëllohet drejt lart.