Funksioni i gjenerimit të momentit

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, **funksioni i gjenerimit të momentit** të një ndryshoreje të rastit me vlerë reale është një specifikim alternativ i shpërndarjes së probabilitetit të saj. Kështu, ai siguron bazën e një rruge alternative për rezultatet analitike krahasuar me punën direkt me funksionet e dendësisë së probabilitetit ose funksionet e shpërndarjes mbledhëse . Ekzistojnë rezultate veçanërisht të thjeshta për funksionet e gjenerimit të momentit të shpërndarjeve të përcaktuara nga shumat e ponderuara të ndryshoreve të rastit. Megjithatë, jo të gjitha ndryshoret e rastit kanë funksione gjeneruese të momentit.

Siç nënkupton edhe emri i tij, funksioni i gjenerimit të momentit mund të përdoret për të llogaritur momentet e një shpërndarjeje: momenti i *n-* të rreth 0 është derivati i *n* -të i funksionit të gjenerimit të momentit, i vlerësuar në pikën 0.

## E ç'na qënka ky funksion? 
Le  X  të jetë një ndryshore e rastit me FMSH F_X . Funksioni gjenerues i momentit (fgjm) i X (ose F_X ), e shënuar me M_X(t), përcaktohet si

:  M_X(t) = \operatorname E \left[e^{tX}\right] 

me kusht që kjo pritshmëri të ekzistojë për t në një zonë rrethuese rreth 0. Kjo do të thotë, ekziston një h>0 e tillë që për të gjithë t në -h, ekziston \operatorname E \left[e^{tX}\right]  . Nëse pritshmëria nuk ekziston në një afërsi rreth 0, themi se funksioni gjenerues i momentit nuk ekziston. 

Me fjalë të tjera, funksioni i gjenerimit të momentit të X është pritshmëria e ndryshores së rastit  e^{tX} . Në përgjithësi, kur \mathbf X = ( X_1, \ldots, X_n)^{\mathrm{T}}, një  vektori i rastit n-dimensional, dhe \mathbf t është një vektor fiks, përdoret \mathbf t \cdot \mathbf X = \mathbf t^\mathrm T\mathbf X në vend të&nbsp;tX :

:  M_{\mathbf X}(\mathbf t) := \operatorname E \left(e^{\mathbf t^\mathrm T\mathbf X}\right).

 M_X(0)  ekziston gjithmonë dhe është e barabartë me&nbsp;1. Sidoqoftë, një problem kryesor me funksionet gjeneruese të momentit është se momentet dhe funksioni i gjenerimit të momentit mund të mos ekzistojnë, pasi integralet nuk duhet të konvergojnë absolutisht. Në të kundërt, funksioni karakteristik ose transformimi Furje ekziston gjithmonë (sepse është integrali i një funksioni të kufizuar në një hapësirë me masë të kufizuar) dhe për disa qëllime mund të përdoret në vend të tij.

Funksioni i gjenerimit të momentit është quajtur kështu sepse mund të përdoret për të gjetur momentet e shpërndarjes.  Zgjerimi i serisë së e^{tX} është

: 
e^{t\,X} = 1 + t\,X + \frac{t^2\,X^2}{2!} + \frac{t^3\,X^3}{3!} + \cdots +\frac{t^n\,X^n}{n!} + \cdots.

Prandaj

: 
\begin{align}
M_X(t) = \operatorname E (e^{t\,X}) &= 1 + t \operatorname E (X) + \frac{t^2 \operatorname E (X^2)}{2!} + \frac{t^3\operatorname E (X^3)}{3!}+\cdots + \frac{t^n\operatorname E (X^n)}{n!}+\cdots \\
& = 1 + tm_1 + \frac{t^2m_2}{2!} + \frac{t^3m_3}{3!}+\cdots + \frac{t^nm_n}{n!} + \cdots,
\end{align}

ku m_n eshte n momenti . Diferencimi i M_X(t)i herë në lidhje me t dhe vendosja t = 0, marrim momentin e i-të rreth origjinës, m_i.

## Shembuj 
Këtu janë disa shembuj të funksionit të gjenerimit të momentit dhe funksionit karakteristik për krahasim. Mund të shihet se funksioni karakteristik është një rrotullim Wick i funksionit të gjenerimit të momentit M_X(t) kur kjo e fundit ekziston.

## Llogaritja 
Funksioni i gjenerimit të momentit është pritshmëria e një funksioni të ndryshores së rastit, mund të shkruhet si:

* Për një funksion mase të probabilitetit diskret, M_X(t)=\sum_{i=0}^\infty e^{tx_i}\, p_i
* Për një funksion të densitetit të probabilitetit të vazhdueshëm,  M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,dx 
* Në rastin e përgjithshëm: M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx}\,dF(x), duke përdorur integralin Riemann–Stieltjes, dhe ku F është funksioni mbledhës i shpërndarjes . Ky është thjesht transformimi Laplace-Stieltjes i F, por me shenjën e argumentit të kthyer mbrapsht.

Vini re se për rastin kur X ka një funksion të densitetit të probabilitetit të vazhdueshëm f(x), M_X(-t) është transformimi i Laplasit i dyanshëm të f(x) .

: 
\begin{align}
M_X(t) & = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,dx \\
& = \int_{-\infty}^\infty \left( 1+ tx + \frac{t^2x^2}{2!} + \cdots + \frac{t^nx^n}{n!} + \cdots\right) f(x)\,dx \\
& = 1 + tm_1 + \frac{t^2m_2}{2!} +\cdots + \frac{t^nm_n}{n!} +\cdots,
\end{align}

### Transformimet lineare të ndryshoreve të rastit 
Nëse ndryshorja e rastit X ka funksion gjenerues të momentit M_X(t), pastaj \alpha X + \beta ka funksion gjenerues të momentit M_{\alpha X + \beta}(t) = e^{\beta t}M_X(\alpha t)

: 
M_{\alpha X + \beta}(t) = E[e^{(\alpha X + \beta)t}] = e^{\beta t}E[e^{\alpha Xt}] = e^{\beta t}M_X(\alpha t)