Formula Cauchy për integrimin e përsëritur

**Formula e Koshiut për integrimin e përsëritur**, e quajtur sipas Augustin-Louis Cauchy, lejon që të ngjeshen *n* integrale të pacaktuara të një funksioni, në një integral të vetëm (krh. formulën e Cauchy-së ).

## Rasti skalar 
Le të jetë *f* një funksion i vazhdueshëm në vijën reale. Pastaj integrali i *n-* të i përsëritur i *f* me pikën bazë *a*, f^{(-n)}(x) = \int_a^x \int_a^{\sigma_1} \cdots \int_a^{\sigma_{n-1}} f(\sigma_{n}) \, \mathrm{d}\sigma_{n} \cdots \, \mathrm{d}\sigma_2 \, \mathrm{d}\sigma_1, jepet me integrim të vetëm f^{(-n)}(x) = \frac{1}{(n-1)!} \int_a^x\left(x-t\right)^{n-1} f(t)\,\mathrm{d}t.

### Prova 
Një provë jepet me induksion . Rasti bazë me *n=1* është i parëndësishëm, pasi është i njëvlershëm me:

f^{(-1)}(x) = \frac1{0!}\int_a^x {(x-t)^0}f(t)\,\mathrm{d}t = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t Tani, supozoni se kjo është e vërtetë për *n*, dhe le ta vërtetojmë atë për *n* +1. Së pari, duke përdorur rregullin integral të Lajbnicit, vini re se

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left[ \frac{1}{n!} \int_a^x \left(x-t\right)^n f(t)\,\mathrm{d}t \right] = \frac{1}{(n-1)!} \int_a^x\left(x-t\right)^{n-1} f(t)\,\mathrm{d}t .

Pastaj, duke zbatuar hipotezën e induksionit,

\begin{align}
f^{-(n+1)}(x) &= \int_a^x \int_a^{\sigma_1} \cdots \int_a^{\sigma_{n}} f(\sigma_{n+1}) \, \mathrm{d}\sigma_{n+1} \cdots \, \mathrm{d}\sigma_2 \, \mathrm{d}\sigma_1 \\

&= \int_a^x \left[\int_a^{\sigma_1} \cdots \int_a^{\sigma_{n}} f(\sigma_{n+1}) \, \mathrm{d}\sigma_{n+1} \cdots \, \mathrm{d}\sigma_2 \right] \, \mathrm{d}\sigma_1 \\
\end{align}

Vini re, termi brenda kllapës katrore ka n-herë integrim të njëpasnjëshëm dhe kufiri i sipërm i integralit më të jashtëm brenda kllapës katrore është  \sigma_1 . Kështu, duke krahasuar me rastin për *n=n*, dhe duke zëvendësuar  x, \sigma_1, \cdots, \sigma_n  të formulës në hapin e induksionit *n=n* me  \sigma_1, \sigma_2, \cdots, \sigma_{n+1}  përkatësisht për të marrë

\begin{align}
\int_a^{\sigma_1} \cdots \int_a^{\sigma_{n}} f(\sigma_{n+1}) \, \mathrm{d}\sigma_{n+1} \cdots \, \mathrm{d}\sigma_2 &=\frac{1}{(n-1)!} \int_a^{\sigma_1}\left(\sigma_1-t\right)^{n-1} f(t)\,\mathrm{d}t \\
\end{align}

Vendosja e kësaj shprehje brenda kllapës katrore rezulton në

\begin{align}
&= \int_a^x \frac{1}{(n-1)!} \int_a^{\sigma_1}\left(\sigma_1-t\right)^{n-1} f(t)\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}\sigma_1 \\

&= \int_a^x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\sigma_1} \left[\frac{1}{n!} \int_a^{\sigma_1} \left(\sigma_1-t\right)^n f(t)\,\mathrm{d}t\right] \,\mathrm{d}\sigma_1 \\

&= \frac{1}{n!} \int_a^x \left(x-t\right)^n f(t)\,\mathrm{d}t.
\end{align}

* Është treguar se ky pohim është i vërtetë për rastin bazë n=1 .
* Nëse pohimi është i vërtetë për n=k, atëherë është treguar se pohimi është i vërtetë për n=k+1 .
* Kështu ky pohim është vërtetuar për të gjithë numrat e plotë pozitivë.

Kjo plotëson provën.

## Përgjithësime dhe zbatime 
Formula Cauchy përgjithësohet në parametra jo të plotë nga integrali Riemann-Liouville, ku n \in \Z_{\geq 0} zëvendësohet nga \alpha \in \Complex,\ \Re(\alpha)>0, dhe faktoriali zëvendësohet nga funksioni gama . Dy formulat pajtohen kur \alpha \in \Z_{\geq 0} .

Të dy formula Cauchy dhe integrali Riemann-Liouville përgjithësohen në dimensione arbitrare nga potenciali Riesz .