Ndryshorja e rastit komplekse

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, **ndryshoret e rastit komplekse** janë një përgjithësim i ndryshoreve të rastit me vlerë reale në numra kompleksë, dmth. vlerat e mundshme që mund të marrë një ndryshore e rastit komplekse janë numra kompleksë.  Ndryshoret e rastit komplekse mund të konsiderohen gjithmonë si çifte të ndryshoreve të rastit reale: pjesët e tyre reale dhe imagjinare. Prandaj, shpërndarja e një ndryshoreje komplekse të rastit mund të interpretohet si shpërndarja e përbashkët e dy ndryshoreve të rastit reale.

Zbatimet e ndryshoreve të rastit komplekse gjenden në përpunimin numerik të sinjalit ,  modulimin e amplitudës kuadratike dhe teorinë e informacionit .

## Përkufizimi 
Një ndryshore e rastit komplekse  Z  në hapësirën e probabilitetit (\Omega,\mathcal{F},P) është një funksion Z \colon \Omega \rightarrow \mathbb{C} i tillë që edhe pjesa reale e saj  \Re{(Z)}  dhe pjesa e saj imagjinare  \Im{(Z)}  janë ndryshore të rastit reale në (\Omega,\mathcal{F},P) .

## Shembuj 
### Shembull i thjeshtë 
Konsideroni një ndryshore të rastit që mund të marrë vetëm tre vlerat komplekse  1+i, 1-i, 2  me probabilitete të përcaktuara në tabelë. Ky është një shembull i thjeshtë i një ndryshoreje të rastit komplekse.

Pritshmëria e kësaj ndryshoreje të rastit mund të llogaritet thjesht:  \operatorname{E}[Z] = \frac{1}{4}( 1+i ) + \frac{1}{4}( 1-i ) + \frac{1}{2}2 = \frac{3}{2} .

### Shpërndarja uniforme 
Një shembull tjetër i një ndryshoreje komplekse të rastit është shpërndarja uniforme mbi rrethin njësi të mbushur, dmth  \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| \le 1 \}  . Kjo ndryshore e rastit është një shembull i një ndryshoreje komplekse të rastit për të cilën është përcaktuar funksioni i densitetit të probabilitetit . Funksioni i dendësisë është paraqitur si disku i verdhë dhe baza blu e errët në figurën e mëposhtme.

alt=Probability density function of a complex random variable shich is uniformly distributed inside the unit circle|400x400px|Funksioni i densitetit të probabilitetit të një ndryshoreje komplekse të rastësishme shich shpërndahet në mënyrë uniforme brenda rrethit të njësisë

### Shpërndarja normale komplekse 
Ndryshoret komplekse normale të rastit shpesh hasen në zbatime të shumta. Ato janë një përgjithësim i drejtpërdrejtë i ndryshoreve të rastit normale. Grafiku i mëposhtëm tregon një shembull të shpërndarjes së një ndryshoreje të tillë.

alt=Probability density function of a complex Gaussian random variable|400x400px|Funksioni i densitetit të probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme komplekse Gaussian

## Funksioni kumulativ i shpërndarjes 
Përgjithësimi i funksionit të shpërndarjes mbledhëse nga ndryshoret e rastit reale në ato komplekse nuk është i qartë sepse shprehjet e formës  P(Z \leq 1+3i)  nuk kanë kuptim. Megjithatë shprehjet e formës  P(\Re{(Z)} \leq 1, \Im{(Z)} \leq 3)  kanë kuptim. Prandaj, ne përcaktojmë shpërndarjen kumulative  F_Z : \mathbb{C} \to [0,1] të një ndryshoreje komplekse të rastit nëpërmjet shpërndarjes së përbashkët të pjesëve të tyre reale dhe imagjinare:

F_Z(z)=F_{\Re{(Z)},\Im{(Z)}}(\Re{(z)},\Im{(z)})=P(\Re{(Z)} \leq \Re{(z)} , \Im{(Z)} \leq \Im{(z)}){{Equation box 1|border|indent=|title=|equation={{NumBlk|| F_Z(z)=F_{\Re{(Z)},\Im{(Z)}}(\Re{(z)},\Im{(z)})=P(\Re{(Z)} \leq \Re{(z)} , \Im{(Z)} \leq \Im{(z)}) |}}|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}

## Funksioni i dendësisë së probabilitetit 
Funksioni i dendësisë së probabilitetit të një ndryshoreje komplekse të rastit përcaktohet si  f_Z(z)=f_{\Re{(Z)},\Im{(Z)}}(\Re{(z)},\Im{(z)}) , pra vlera e funksionit të dendësisë në një pikë  z \in \mathbb{C} është përcaktuar të jetë e barabartë me vlerën e dendësisë së përbashkët të pjesëve reale dhe imagjinare të ndryshores së rastit të vlerësuar në pikën  (\Re{(z)},\Im{(z)})  .

Një përkufizim i njëvlershëm jepet nga  f_Z(z)=\frac{\partial^2 }{\partial x \partial y} P(\Re{(Z)} \leq x, \Im{(Z)} \leq y)  ku  x=\Re{(z)}  dhe  y=\Im{(z)}  .

Si në rastin real, funksioni i dendësisë mund të mos ekzistojë.

## Pritja matematike 
Pritja matematike e një ndryshoreje komplekse të rastit përcaktohet bazuar në përkufizimin e pritshmërisë së një ndryshoreje të rastit reale:  

\operatorname{E}[Z] = \operatorname{E}[\Re{(Z)}]+ i \operatorname{E}[\Im{(Z)}]{{Equation box 1|border|indent=|title=|equation={{NumBlk|| \operatorname{E}[Z] = \operatorname{E}[\Re{(Z)}]+ i \operatorname{E}[\Im{(Z)}]|}}|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}Vini re se pritja matematike e një ndryshoreje të rastit komplekse nuk ekziston nëse  \operatorname{E}[\Re{(Z)}]  ose  \operatorname{E}[\Im{(Z)}]  nuk ekziston.

Nëse ndryshorja e rastit komplekse  Z  ka një funksion të dendësisë së probabilitetit f_Z(z), atëherë pritja matematike jepet nga \operatorname{E}[Z] = \iint_{\mathbb{C}}z \cdot f_Z(z) \, dx \, dy .

Nëse ndryshorja e rastësishme komplekse  Z  ka një funksion të masës së probabilitetit p_Z(z), atëherë pritja matematike jepet nga \operatorname{E}[Z] = \sum_{z \in \mathbb{Z}}z \cdot p_Z(z) .

Kurdoherë që ekziston pritja e një ndryshoreje komplekse të rastit, duke marrë pritshmërinë dhe konjugimin kompleks :

:  \overline{\operatorname{E}[Z]} = \operatorname{E}[\overline Z] .

Veprimi i pritjes matematike \operatorname{E}[\cdot] është linear në kuptimin që

: 
 \operatorname{E}[aZ + bW] =  a\operatorname{E}[Z] + b\operatorname{E}[W]

për çdo koeficient kompleks a, b edhe nëse Z dhe W nuk janë të pavarura .

## Varianca 
Varianca përcaktohet në terma të katrorëve absolutë si:  : 

\operatorname{K}_{ZZ} = \operatorname{Var}[Z] = \operatorname{E}\left[\left|Z-\operatorname{E}[Z] \right|^2\right]=\operatorname{E}[|Z|^2]-\left|\operatorname{E}[Z]\right|^2{{Equation box 1|border|indent=|title=|equation={{NumBlk|| \operatorname{K}_{ZZ} = \operatorname{Var}[Z] = \operatorname{E}\left[\left|Z-\operatorname{E}[Z] \right|^2\right]=\operatorname{E}[|Z|^2]-\left|\operatorname{E}[Z]\right|^2|}}|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}Varianca është gjithmonë një numër real jonegativ. Është e barabartë me shumën e variancave të pjesës reale dhe imagjinare të ndryshores komplekse të rastit:

:  \operatorname{Var}[Z]= \operatorname{Var}[\Re{(Z)}]+\operatorname{Var}[\Im{(Z)}] .

Varianca e një kombinimi linear të ndryshoreve komplekse të rastit mund të llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme:

:  \operatorname{Var}\left[\sum_{k=1}^N a_{k}Z_k \right] = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N a_{i}\overline{a_{j}}\operatorname{Cov}[Z_i,Z_j].

## Mosbarazimi Koshi-Shvarc 
Mosbarazimi Koshi-Shvarc për ndryshoret e rastit komplekse, i cili mund të nxirret duke përdorur mosbarazimin e trekëndëshit dhe mosbarazimin e Holderit, është

: \left| \operatorname{E} \left[ Z\overline{W} \right] \right|^2 \leq \left| \operatorname{E} \left[ \left| Z\overline{W} \right| \right] \right|^2 \leq \operatorname{E} \left[ |Z|^2 \right] \operatorname{E}\left[ |W|^2 \right] .

## Funksioni karakteristik 
Funksioni karakteristik i një ndryshoreje të rastit komplekse është një funksion  \mathbb{C} \to \mathbb{C}  përcaktuar nga

:  \varphi_Z(\omega) = \operatorname{E} \left [ e^{i\Re{(\overline{\omega} Z)}} \right ] = \operatorname{E} \left [ e^{i( \Re{(\omega)}\Re{(Z)} + \Im{(\omega)}\Im{(Z)} )} \right ].