Stabiliteti i Sistemeve Lineare të Kontrollit

## Hyrje
Stabiliteti është veti kualitative e sistemeve. Shqyrtimi i stabilitetit të sistemeve të rregullimit automatik është hapi i parë drejt dizenjimit të tyre. Duke pasur parasysh shumëllojshmërinë e sistemeve - lineare, jolineare, me invariacë kohore, me varësi kohore - përcaktimi i stabilitetit mund të marrë forma të ndryshme. Mirëpo si veçori themelore, stabiliteti i sistemeve të rregullimit automatik i referohet asaj sa do mundet sistemi të përcjellë funsionin eksitues. Për një sistem mund të themi se është **jo i qëndrueshëm** nëse dalja e atij sistemi nuk mund të konrollohet.
Për qëllime të analizës dhe sintezës, duhet klasifikuar **stabiliteti absolut** dhe **stabiliteti relativ**.
* **Stabiliteti absolut** tregon nëse sistemi është i qëndrueshëm apo jo. Nuk tregon asgjë mbi atë se sa është shkalla e stabilitetit të sistemit apo mbi mënyrën eventuale të përmirësimit të stabilitetit. Për shqyrtimin e stabilitetit absolut zakonisht përdoren **kriteret algjebrike të stabilitetit**, të cilat në menyrë relativisht të shpejtë na sjellin tek rezultatet.u(t) me përgjigjen impulsive g(t) të sistemit:

y(t)=\int_{0}^{\infty} u(t-\tau)g(\tau)d\tau

Marrim vlerën absolute të të dyja anëve dhe gjejmë:

 |y(t)| = |\int_{0}^{\infty} u(t-\tau)g(\tau)d\tau | 

ose

 |y(t)| \leq \int_{0}^{\infty} |u(t-\tau)||g(\tau)|d\tau 

dhe tani, nëse supozojm se u(t) është e kufizuar:

|u(t)| \leq M 

ku M një konstante e qfardoshme pozitive por e fundme. Atëherë:

|y(t)| \leq M \int_{0}^{\infty} |g(\tau )|d\tau 

dhe pikërisht nga kjo mund të konludojmë se dalja e sistemit do jetë e fundme, pra sistemi do jetë stabil në kuptimin HKDK nëse:

 \int_{0}^{\infty} |g(\tau )|d\tau 

Pra sistemi do jetë HKDH stabil nëse përgjigja impulsive g(t) e atij sistemi është absolutisht e integrueshme. Andaj analiza e sistemeve lineare të kontrollit për stabilitetin në kuptimin HKDK mund të bëhet duke studiuar përgjigjen impulsive të atij sistemi

## Stabiliteti dhe Domeni Kompleks
Për sistemet me një hyrje dhe një dalje (SISO sistemet) stabiliteti mund të shqyrtohet duke analizuar **funksionin transmetues** të tyre, respektivisht duke analizuar lokacionin e rrënjeve të ekuacionit karakteristik të atij sistemi. Varësisht nga pozicioni i këtyre rrënjëve, në domenin kohor do fitonim përgjigjet përkatëse që divergjojnë apo konvergjojnë.
thumb|Sistemi me riveprim njësi
Për sistemin me riveprim njësi të treguar në figurë, funksioni transmetues i sistemit me qark të mbyllur do jetë:

G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)} =\frac{KC(s)P(s)}{1+KC(s)P(s)} 

kurse ekuacioni karakteristik do jetë:

1+KC(s)P(s)=0

Tani do dallojmë disa raste varësisht nga lokacioni i poleve.

### Sistemi Stabil
thumb|right|Lokusi i rrënjëve të një sistemi stabil
Rrënjet e ekuacionit karakteristik të sistemit mund të jenë reale apo komplekse.

1+KC(s)P(s)=(s-s_1)(s-s_2)...(s-s_n)=0   ku n  është rendi i sistemit.

s_i = Re(s_i)+ jIm(s_i) 

Stabiliteti i sistemit varet vetem nga parashenja e pjesës reale të rrënjeve. Sistemi do jetë stabil kur pjesa reale e të gjitha rrënjëve të ekuacionit karakteristik është negative. Pra kur:

Re(s_1), Re(s_2), ... , Re(s_n) > 0 

Pra kur të gjitha polet e sistemit ndodhen në anën e majtë të **domenit kompleks**.

Arsyeja qëndron se pjesa reale e rrënjëve është përgjegjëse për procesin kalimtarë, andaj kur kjo pjesë është negative, termat përkatës do shuhen me kalimin e kohës.

### Sistemi Jostabil
left|thumb|Përgjigja kohore e sistemit jostabil për pozita të ndryshme të poleve

Në rastin kur së paku njëri nga rrënjët ekuacionit karakteristik ka pjesën reale pozitive, dalja e sistemit do divergjojë me kohën andaj sistemi i tillë është jostabil. Pra kur:

Re(s_1), \vee Re(s_2), \vee ... Re(s_n) > 0 

Kjo vjen si rezultat i asaj se njëri nga antarët e sistemit ka komponentët eksponenciale ngritëse andaj amplituda e sinjalit dalës do rritet me kohën dhe eventualisht nuk do mund të kontrollohet.

Eshtë shumë me rëndësi të theksohet se edhe pse objektet jostabile konsiderohen si përgjithësisht të papërdorshmë, ato mund të jenë pjesë përbërëse e sistemeve stabile

### Sistemet në Kufi të Stabilitetit
thumb|left|Karakteristika kohore e sistemit margjinalisht stabil
Një rast interesant është kur ndonjëri nga polet e sistemit ka natyë pë pastër imagjinare. Pra kur

 s_i = 0 + jIm(s_i) 

Sistemi i tillë është **margjinalisht stabil** apo oshilues. Varësisht se nga cili përfukizim i stabilitetit e shikojmë këtë sistem, mund të konkludohet se sistemi është stabil dhe jostabil. Sistemet, të cilët ndërtohet pikërisht me qëllimin që njërin nga polet ta kenë të pastër imagjinarë quhen **sisteme oshiluese** dhe nga pikëpamja funksionale mund të konsiderohen stabil.

## Metodat për Përcaktimit e Stabilitetit
Ekzistojnë metoda më anë të të cilave mund të shqyrtohet stabiliteti absolut dhe shkalla e stabilitetit të sistemeve rregulluese. Varësisht nga natyra i ndajmë në:
* **Kriteret algjebrike të stabilitetit** të cilat tregojnë vetëm stabilitetin absolut të sistemit, pra treguar se sa është sistemi stabil apo në çfarë menyrë mund të përmirësohet stabiliteti. Zakonisht këto kritete kërkojnë që të njihen ekuacionet diferenciale që përshkruajnë dinamikën e sistemit. Si kritere më të shpeshta janë **Kriteri i Hurwitz-it**, **Kriteri i Mihajllovit** dhe **Kriteti i Routh-it**. Të dy këto metoda tregojnë vetëm nëse sistemi ka ndonjë pol në pjesën e djathë të rrafshit kompleks.
***Metodat graf-analitike të stabilitetit** me anë të të cilave poashtu caktojmë edhe shkallën e stabilitetit të sistemit. Përveq analizës analitike poashtu duhet përdorur edhe diagramet polare dhe karakteristikat frekuencore të sistemve. Përparësitë e metodave grafoanalitike janë shumë të mëdha dhe kanë përdorim të përditshëm në sintezën e sistemeve të rregullimit. Vlen të përmendim **Kriterin e Nyquist-it** dhe **Kriterin e Nyquist-it për diagramin Bode**. Këto metoda origjinën e kanë nga **parimi i argumentit** në analizën komplekse.

## Shiko Gjithashtu
*Kriteri i Mihajllovit për stabilitet
*Kriteri i Hurwitz-it
*Kriteri i Routh-it
*Kriteri i Nyquist-it për stabilitet

## Referime