Kriteri i Nyquist-it për stabilitet

## Hyrje
Ky kriter është formuluar nga inxhinieri amerikan Harry Nyquist dhe mundëson, që nga nga karakteristikat frekuencore të sistemit të hapur, të konkludojmë mbi stabilitetitin e sistemit të mbyllur. Për më tepër, ky **kriteri i Nyquist-it** gjithashtu mundëson përcaktimin e stabilitetit relativ dhe ndikimin e parametrave të sistemit në stabilitetin e përgjithshëm të sistemit. Disa nga arsyet (përparesitë) e aplikimit të kriterit të Nyquist-it janë:
* Stabiliteti i sistemit të mbyllur mund të përcaktohet duke analizuar karakteristikat frekuencore (amplitudore dhe fazore) të sistemit të hapur, të cilat karakteristika mund të inçizohen eksperimentalisht.
* Kriteri mund të aplikohet edhe në rastet kur nuk dihen ekuacionet diferenciale që përshkruajnë sistemin
* Duke aplikuar kriterin e Nyquist-it mund të shqyrtohet stabiliteti i sistemeve me parametra të shpërndarë dhe me parametra të koncentruar.

Të theksojmë se kriteri i Nyquist-it paraqet aplikim direkt të Parimi i argumentit - parimit të argumentit për të shqyrtuar stabilitetin e sistemeve lineare të kontrollit.

## Lakorja e Nyquist-it
Problemi se një sistem është stabil apo jo, thelbësisht ka të bëjë më atë se a ka sistemi pole në anën e djathtë të rrafshit kompleks. Gjatë shqyrtimeve që bëri, Nyquisti ka vërejtur se problemi mund të zgjidhet më anë të parimit të argumentit. Kjo bëhet në menyrë të atillë që lakorja e mbyllur zgjedhet e tillë që të përfshijë tërë anën e djathë të rrafshit kompleks dhe të ketë orientimin në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Lakoren e tillë e quajmë **lakorja e Nyquist-it**. Natyrisht, lakorja e Nyquist-it (nga definimi i parimit të argumentit) nuk mund të kalojë nepër pole apo zero. Polet dhe zerot potenciale nepër të cilat mund të kalojë lakorja e Nyquist-it ndodhen në boshtin imagjinarë. Problemi mund të evitohet duke ju shmangur këtyre poleve the zerove me gjysmërrathë të vegjës me rreze pambarimisht të vogël (teorema e Koshiut). Andaj të gjitha polet që ndodhen në anënë e djathë të domenit kompleks do përfishen nga lakorja e Nyquist-it, duke indukuar kështu jostabilitetin e sistëmit.

## Kriteri i Nyquist-it i bazuar në lokuset e sistemit me qark të hapur
Më herët thamë se kriteri i Nyquist-it mundëson caktimin e stabilitetit të sistemit të mbyllur duke analizuar sistemit me qark të hapur. Të supozojmë se Funksioni transmetues - funksioni transmetues i sistemit me qark të mbyllur është :

 F_0=\frac{Y(s)}{X(s)} 

andaj funksioni transmetues i sistemit me qark të mbyllur në rastin e riveprimit njësi do jetë:

 F(s)=\frac{F_s(s)}{1+F_0(s)} 

ku ekuacioni karakteristik do jetë:

A(s)=1+F_0(s)=\frac{a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+...}{b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+...}=0

Stabiliteti i sistemit të mbyllur do varet nga sistemi i hapur. Dallojmë rastet:

### Sistemi i hapur stabil
thumb|right|Diagrami polar i një sistemi stabil
Sipas kriterit të Mihajllovit sistemi i hapur do jetë stabil kur ndryshimi i argumentit të polinomit karakteristik të jetë:

 \Delta argX(jw) = n\frac{\pi}{2}        për          0 \leq w 

Me fjalë tjera, sistemi i hapur do jetë stabil kur hodografi i Mihajllovit të kalojë aq kuadrante sa është rendi i ekuacionit karakteristik.
Në rastin e tillë, që edhe sistemi i mbyllur të jetë stabil poashtu duhet që ndryshimi i argumentit të polinomit karakteristik të sistemit të mbyllur poashtu të jetë n\frac{\pi}{2} , ku n është rendi i sistemit. Pra:

\Delta arg[Y(jw)+X(jw)]=n\frac{\pi}{2}

duke pasur parasysh ekuacionet paraprake do fitojmë shprehjen:

\Delta argA(jw)=\Delta arg[Y(jw)+X(jw)]-\Delta argY(jw) 

Andaj mund të themi se sistemi i mbyllur do jetë stabil atëherë kur ndërrimi i argumentit të vektorit:

\Delta argA(jw) = 1 + F_0(jw) = 0 

kur frekuenca ndërron vlerën nga zero në infinit. Thënë ndryshe, sistemi i mbyllur do jetë stabil nëse diagrami i Nyquist-it për sistemin në fjalë nuk përfshin brenda **pikën kritike** ( -1 , j0 )

### Sistemi i hapur jostabil
Sistemi i hapur mund të jetë jostabil dhe të përmbajë m pole në anën e djathë të rrafshit kompleks nëse:
* ka më shumë riveprime plotësuese
* përmban një ose më shumë elemente jostabile

Në bazë të parimit të argumentit do kemi:

\Delta A(jw) = (n-2m)\frac{\pi}{2}

nga analiza paraprake për vektorin A(jw) do kemi:

\Delta arg[Y(jw) + X(jw)] = n\frac{\pi}{2} 

respektivisht:

\Delta argA(jw) = \Delta arg[Y(jw) + X(jw)] - \Delta argY(jw) = n\frac{\pi}{2} - (n-2m)\frac{pi}{2} =\frac{m}{2}2\pi

Nga shprehja paraprake mund të nxjerrim kushtin që sistemi i mbyllur të jetë stabil duhet që diagrami polar i atij sistemi ta përfshijë \frac{m}{2} pikën kritike (-1,j0) në kah të kundërt me akrepat e orës.

### Sistemi i hapur në kufi të stabilitetit
Për sistemin me qark të hapur do themi se ndodhet në kufi të stabilitetit kur funksionit transmetues i tij ka formën:

F_0(s)=\frac{Y(s)}{s^mX(s)}

ku m paraqet rendin e astatismit të sistemit, poashtu edhe numin e integratorëve në sistem. Pra kemi të bëjmë më pole të pastërta imagjinare (pra ndodhen në boshtin imagjinar) që sistemit të hapur i japin karakterin oscilues. Siç thamë tek përkufizimi i lakores së Nyquist-it, ajo nuk guxon të kalojë nepër pole apo zero. Andaj në rastin tonë polet astatike do i tejkalojmë më gjysmërrathë të vegjël, dhe funksioni transmetues merr formën:

F_0(jw)=\frac{Y(jw)}{(jw+\beta )^mX(jw)}

ku \beta paraqet madhësi pambarimisht të vogël

Analiza e mëtutjeshme për caktimin e stabilitetit të sistemit të mbyllur shkon sikurse në rastin kur sistemi i hapur ishte stabil, i cili rast është përshkruar më lartë. 
Ndikimi i astatizmit në sistem është zhvendosja e diagramit polar për aq kuadrantë sa është rendi i astatizmit të sistemit.
## Shiko Gjithashtu
*Stabiliteti i sistemve linare të kontrollit
*Kriteri i Hurwitz-it
*Kriteri i Routh-it
*Kriteri i Mihajllovit për stabilitet

## Referimet