Funksioni i gabimit

parapamje|453x453px|Funksioni i gabimit
 
Në matematikë, **funksioni i gabimit** (i quajtur edhe **funksioni i gabimit të Gausit** ), i shënuar shpesh me **erf**, është një funksion kompleks i një ndryshoreje komplekse të përcaktuar si: 

: \operatorname{erf} z = \frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^z e^{-t^2}\,\mathrm dt.

Disa autorë përcaktojnë \operatorname{erf} pa faktorin 2/\sqrt{\pi} .  Ky integral jo-elementar është një funksion sigmoid që haset shpesh në probabilitet, statistikë dhe ekuacione diferenciale të pjesshme . Në shumë prej këtyre zbatimeve, argumenti i funksionit është një numër real. Nëse argumenti i funksionit është real, atëherë vlera e funksionit është gjithashtu reale.

Në statistika, për vlerat jonegative të x, funksioni i gabimit ka interpretimin e mëposhtëm: për një ndryshore të rastësishme Y që shpërndahet normalisht me mesatare 0 dhe shmangie standarde \frac{1}{\sqrt2} , \mathrm{erf}(x)
 është probabiliteti që Ytë jetë në segmentin [-x,x].

Dy funksione të lidhura ngushtë janë **funksioni i gabimit plotësues** ( **erfc** ) i përcaktuar si

: \operatorname{erfc} z = 1 - \operatorname{erf} z,

dhe **funksioni i gabimit imagjinar** ( **erfi** ) i përcaktuar si

: \operatorname{erfi} z = -i\operatorname{erf} iz,

ku i është njësia imagjinare .

## Emri 
Emri "funksioni i gabimit" dhe shkurtesa e tij erf u propozuan nga JWL Glaisher në 1871 për shkak të lidhjes së tij me "teorinë e probabilitetit, dhe veçanërisht teorinë e gabimeve ".  Plotësi i funksionit të gabimit u diskutua gjithashtu nga Glaisher në një botim të veçantë në të njëjtin vit.  Për "ligjin e lehtësirave" të gabimeve dendësia e të cilave jepet nga

: f(x)=\left(\frac{c}{\pi}\right)^\frac12 e^{-cx^2}

( shpërndarja normale ), Glaisher llogarit probabilitetin e një gabimi që shtrihet midis p dhe q si:

: \left(\frac{c}{\pi}\right)^\frac12 \int_p^qe^{-cx^2}\,\mathrm dx = \tfrac12\left(\operatorname{erf} \left(q\sqrt{c}\right) -\operatorname{erf} \left(p\sqrt{c}\right)\right).alt=Plot of the error function Erf(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D|parapamje| Vizatimi i funksionit të gabimit Erf(z) në planin kompleks nga -2-2i në 2+2i me ngjyra të krijuara me funksionin Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

## Zbatimet 
Kur rezultatet e një serie matjesh përshkruhen nga një shpërndarje normale me shmangie standarde \sigma dhe pritje matematike 0, atëherë \mathrm{erf}(\frac{a}{\sigma \sqrt2})është probabiliteti që gabimi i një matje të vetme të shtrihet mes -a dhe a për a pozitive. Kjo është e dorës për shëmbull kur përcaktohet shkalla e gabimit të biteve në një sistem dixhital komunikimi.

Funksionet e gabimit dhe gabimit plotësues ndodhin, për shembull, në zgjidhjet e ekuacionit të nxehtësisë kur kushtet kufitare jepen nga funksioni i hapit Heaviside .

Funksioni i gabimit dhe përafrimet e tij mund të përdoren për të vlerësuar rezultate që qëndrojnë me probabilitet të lartë ose me probabilitet të ulët. Jepet një ndryshore e rastit X \texttt{~} N(\mu, \sigma) (një shpërndarje normale me mesatare μ dhe devijim standard σ ) dhe një konstanteL \le \mu :

: \begin{align}
\Pr[X\leq L] &= \frac12 + \frac12\operatorname{erf}\frac{L-\mu}{\sqrt{2}\sigma} \\
&\approx A \exp \left(-B \left(\frac{L-\mu}{\sigma}\right)^2\right) \end{align}

ku A dhe B janë konstante numerike të caktuara. Nëse L është mjaftueshëm larg nga mesatarja, konkretisht \mu - L \geq \sigma \sqrt{\ln k} atëherë:

: \Pr[X\leq L] \leq A \exp (-B \ln{k}) = \frac{A}{k^B}

pra probabiliteti shkon në 0 kur k → ∞ .

Probabiliteti që X të jetë në intervalin [L_a,L_b] mund të nxirret si

: \begin{align}
\Pr[L_a\leq X \leq L_b] &= \int_{L_a}^{L_b} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \,\mathrm dx \\
&= \frac12\left(\operatorname{erf}\frac{L_b-\mu}{\sqrt{2}\sigma} - \operatorname{erf}\frac{L_a-\mu}{\sqrt{2}\sigma}\right).\end{align}

## Vetitë 
 
Vetia \mathrm{erf}(-x) = - \mathrm{erf}(x)

 do të thotë që funksioni i gabimit është një funksion tek . Kjo rezulton drejtpërdrejt nga fakti se i integrueshmi e^{-t^2} është një funksion çift (integrali i pacaktuar i një funksioni çift që është zero në origjinë është një funksion tek dhe anasjelltas).

Meqenëse funksioni i gabimit është një funksion i tërë që merr numrat realë në numra realë, për çdo numër kompleks z :

: \operatorname{erf} \overline{z} = \overline{\operatorname{erf} z} 

ku  është i konjuguari kompleks i z .

I integrueshmi f(z) = e^{-z^2} dhe f(z) = \mathrm{erf}(z)
 janë paraqitur në planin kompleks z në figurat djathtas me ngjyrosjen e domenit .

Funksioni i gabimit në +∞ është saktësisht 1 (shih integralin Gaussian ). Në boshtin real, \mathrm{erf}(z)
 i afrohet unitetit në z → +∞ dhe −1 në z → −∞ . Në boshtin imagjinar, tenton drejt  ±i ∞ .

### Seria e Tejlorit 
Funksioni i gabimit është një funksion i tërë ; ai nuk ka pika dyshimi (përveç asaj në pafundësi) dhe zgjerimi i tij Tejlor konvergjon gjithmonë, por është i njohur në mënyrë të famshme "[...] për konvergjencën e tij të keqe nëse x>1 ." 

Integrali përcaktues nuk mund të vlerësohet në formë të mbyllur për sa i përket funksioneve elementare (shih teoremën e Liouville ), por duke zgjeruar integrandin e^{-z^2} në serinë e tij Meklauren dhe duke integruar term pas termi, fitohet seria Meklauren e funksionit të gabimit si:

: \begin{align} \operatorname{erf} z
&= \frac{2}{\sqrt\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n z^{2n+1}}{n! (2n+1)} \\[6pt]
&=\frac{2}{\sqrt\pi} \left(z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}-\frac{z^7}{42}+\frac{z^9}{216}-\cdots\right)
\end{align}

që vlen për çdo numër kompleks&nbsp;z . Termat e emëruesit janë seria  në OEIS .

Për llogaritjen iterative të serisë së mësipërme, formulimi alternativ i mëposhtëm mund të jetë i dobishëm:

: \begin{align} \operatorname{erf} z
&= \frac{2}{\sqrt\pi}\sum_{n=0}^\infty\left(z \prod_{k=1}^n {\frac{-(2k-1) z^2}{k (2k+1)}}\right) \\[6pt]
&= \frac{2}{\sqrt\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{z}{2n+1} \prod_{k=1}^n \frac{-z^2}{k}
\end{align}

Funksioni i gabimit imagjinar ka një seri shumë të ngjashme Meklauren, e cila është:

: \begin{align} \operatorname{erfi} z &= \frac{2}{\sqrt\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{z^{2n+1}}{n! (2n+1)} \\[6pt] &=\frac{2}{\sqrt\pi} \left(z+\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}+\frac{z^7}{42}+\frac{z^9}{216}+\cdots\right) \end{align}

që vlen për çdo numër kompleks&nbsp;z .

### Derivati dhe integrali 
Derivati i funksionit të gabimit rrjedh menjëherë nga përkufizimi i tij:

: \frac{\mathrm d}{\mathrm dz}\operatorname{erf} z =\frac{2}{\sqrt\pi} e^{-z^2}.

Nga kjo, derivati i funksionit të gabimit imagjinar është gjithashtu i menjëhershëm:

: \frac{d}{dz}\operatorname{erfi} z =\frac{2}{\sqrt\pi} e^{z^2}.

Një antiderivativ i funksionit të gabimit, që arrihet nga integrimi me pjesë, është

: z\operatorname{erf}z + \frac{e^{-z^2}}{\sqrt\pi}.

Një antiderivativ i funksionit të gabimit imagjinar, që arrihet gjithashtu nga integrimi me pjesë, është

: z\operatorname{erfi}z - \frac{e^{z^2}}{\sqrt\pi}.

Derivatet e rendeve të larta jepen nga

: \operatorname{erf}^{(k)}z = \frac{2 (-1)^{k-1}}{\sqrt\pi} \mathit{H}_{k-1}(z) e^{-z^2} = \frac{2}{\sqrt\pi} \frac{\mathrm d^{k-1}}{\mathrm dz^{k-1}} \left(e^{-z^2}\right),\qquad k=1, 2, \dots

### Tabela e vlerave