Mekanika e Hamiltonit

{{NavigationiFizika
|Emri = Mekanika klasike
|Etiketë = \mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m \mathbf{v})Ligji i dytë i Njutonit
|KyçItems = Historia e mekanikës klasike
|Temë1 = Degët
|Items1 = StatikaDinamika / KinetikaKinematikaMekanika e aplikuarMekanika qielloreMekanike e vazhduarMekanika statistike
|Temë2 = Formulimet
|Items2 =

* Mekanika Njutoniane (Mekanika vektoriale)
* Mekanika analitike:
** Mekanika e Lagranzhit
** Mekanika e Hamiltonit
|Temë3 = Konceptet themelore
|Items3 = HapësiraKohaShpejtësiaMasaNxitimiGravitetiForcaMomenti i forcës / Vrulli / Çifti i forcaveImpulsiImpulsi këndorInerciaMomenti i inercisëKëndi i referencësEnergjiaEnergjia kinetikeEnergjia potencialePuna mekanikePuna virtualeParimi i D'Alembertit
|Temë4 = Temat Themelore
|Items4 = Trupi i ngurtëDinamika e trupit të ngurtëLëvizjaLigjet e lëvizjes të NjutonitLigji gravitacional universal i NjutonitEkuacionet e lëvizjesKëndi inercial i referencësKëndi jo-inercial i referencësKënd reference në rrotullimForca fiktiveZhvendosja (vektor)Shpejtësia relativeFërkimiLëvizja e thjeshtë harmonikeOshilatori harmonikVibrimiShuajtjaFaktori i shuajtesLëvizja rrotullueseLëvizja këndoreLëvizja këndore uniformeLëvizja këndore e përshpejtuarForca centripeteForca centrifugaleForca centrigugale (kënd reference rrotullues)Forca centrifugale reaktiveForca e KoriolisitLavjerrësiModuli i shpejtësisë rrotullueseNxitimi këndorShpejtësia këndoreFrekuenca këndoreZhvendosja këndore
|Temë5 = Shkencëtarët
|Items5 = Isak NjutoniJeremiah HorrocksLeonhard EulerJean le Rond d'AlembertAlexis ClairautJoseph Louis LagrangePierre-Simon LaplaceWilliam Rowan HamiltonSiméon-Denis Poisson
|cTemë={}
}}
**Mekanika e Hamiltonit** është një ri-formulim i mekanikës klasike që u paraqit për herë te parë në 1833 nga matematikani Irlandez Uilliam Rouan Hamilton.  Si teori u ngrit në bazë të mekanikës së Lagranzhit, një riformulim tjetër i mekanikes klasike, i dhënë nga Jozef Luiz Lagranzhi në 1788.  Megjithatë teoria mund të formulohet pa mbështetje në mekanikën e Lagranzhit, duke përdorur hapësira simplektike.  Shikoni seksionin mbi formulimin matematik për këtë.  Metoda e Hamiltonit ndryshon nga mënyra e Lagranzhit sepse në vend që të shprehet nëpërmjet konditave të ekuacioneve diferenciale të rendit të dytë në një hapësirë koordinatave n-dimensionale, ajo jepet nga kondita të ekuacioneve të rendit të parë në një hapësire fazale 2n-dimensionale http://planning.cs.uiuc.edu/node707.html .

Ashtu si në mekaniken e Lagranzhit, ekuacionet e Hamiltonit japin një këndvështrim të ri dhe ekuivalent të mekanikës klasike.  Përgjithësisht, këto ekuacione nuk janë shumë të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve praktike.  Megjithatë, ato na lejojnë që të shikojmë më thellë në strukturën e përgjithshme të mekanikës klasike dhe lidhjes së saj me mekaniken kuantike siç jepet nga formalizmi Hamiltonian.  Për më tepër metoda ka aplikime edhe në degë të tjera te shkencës.

## Një paraqitje e thjeshtuar e përdorimit të metodës 
Për një sistem të mbyllur shuma e energjisë kinetike me energjinë potenciale jepet nga një set ekuacionesh diferenciale të njohura si ''ekuacionet e Hamiltonit’' për atë sistem.  Funksioni Hamiltonian mund të përdoret për të përshkruar sisteme të thjeshta si një top që përplaset poshtë e lartë, një lavjerrës ose lëkundjet e një suste në të cilën energjia ndryshon nga kinetike në potenciale në mënyrë të vazhdueshme gjatë një intervali kohor.  Funksionet Hamiltoniane mund të përdoren në modelimin e energjisë në sisteme komplekse dinamike si për shembull në orbitat planetare apo në mekanikën kuantike.

Ekuacionet e Hamiltonit jepen si më poshtë :

:\dot p = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}
:\dot q =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}

Në ekuacionet e mëlartme, pika tregon derivatin e zakonshëm të funksionit në lidhje me kohën, *p = p(t)* (të quajtura impulsi i përgjithshëm) dhe *q = q(t)* (të quajtura koordinatat e përgjithshme), të cilat marrin vlera ne një hapësire vektoriale të caktuar, tani *\mathcal{H} = \mathcal{H}(p,q,t)* është i ashtëquajturi funksion Hamiltonian, ose funksioni skalar Hamiltonian.  Në mënyrë më eksplicite kjo jepet si :

:\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}p(t) = -\frac{\partial}{\partial q}\mathcal{H}(p(t), q(t), t)
:\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}q(t) =~~\frac{\partial}{\partial p}\mathcal{H}(p(t), q(t), t)

që përcakton fushën e vlerave ku parametri *t* ("*koha*") ndryshon.

Për një derivim të detajuar të këtyre ekuacioneve shikoni seksionin mbi mekanikën e Lagranzhit më poshtë.

### Interpretimi fizik, mnemoteknika 
Interpretimi më i thjeshtë i ekuacioneve të Hamiltonit jepet më poshtë, duke i aplikuar ato në një sistem një-dimensional që përbehet nga një thërrmije e vetme me masë *m* për të cilën është i vërtetë ligji i ruajtjes së energjisë :
 
Funksioni Hamiltonian *\mathcal{H}* përfaqëson energjinë e sistemit, e cila është shuma e energjisë kinetike dhe asaj potenciale, tradicionalisht të quajtura *T* & *V*, respektivisht. Këtu *q* është koordinata *x* dhe impulsi *p*, ose *mv.* Atëherë

: \mathcal{H} = T + V , \quad T = \frac{p^2}{2m}, \quad V = V(q) = V(x). 

Vini re se *T* është një funksion vetëm i *p*, kurse *V* është një funksion vetëm i *x* (ose *q*).

Tani derivati në lidhje me kohën i implulsit *p* është i barabartë me *forcën Njutoniane*, kështu që këtu ekuacioni i parë i Hamiltonit tregon që forca mbi thërrmijën është e barabarte me shpejtësinë e ndryshimit të humbjes së energjisë potenciale në lidhje me ndryshimet në pozicionin *x,*. (Forca jepet nga minus gradienti i energjisë potenciale.)

Derivati-kohor i *q* këtu ka kuptimin e shpejtësisë : ekuacioni i dytë i Hamiltonit tregon se shpejtësia e thërrmijës është e barabartë me derivatin e energjisë kinetike në lidhje me impulsin. (Për derivatin në lidhje me *p* të *p2/2m* e barabartë me *p/m = mv/m = v.*)

### Përdorimi i ekuacioneve te Hamiltonit 
# Së pari shkruani funksionin e Lagranzhit *L* = *T* – *V*.  Shkruaj *T* dhe *V* sikur po shkruaje ekuacionet e Lagranzhit për sistemin ne fjalë.
# Llogarit impulsin duke diferencuar funksionin e Lagranzhit në lidhje me shpejtësinë.
# Shprehni shpejtësitë në varësi te impulsit duke manipuluar relacionin qe morët ne hapin e dyte (2).
# Llogarit funksionin Hamiltonian duke përdorur përcaktimin e zakonshëm.

: \mathcal{H} = \sum_i p_i {\dot q_i} - \mathcal{L}. 
 
Shndërro shpejtësitë me rezultatin qe morët ne hapin e tretë (3). Apliko ekuacionet e Hamiltonit.

### Shënime 
Së pari një sqarim mbi atë që në këtë artikull kemi quajtur moment, impulsi këtu përcaktohet si p = mv.  Në tekstet shqiptare kjo madhësi zakonisht quhet impuls.  Kjo nuk është e saktë sepse impulsi është ndryshimi i impulsit.  Për hollësi të mëtejshme shikoni artikujt mbi impulsin dhe vrullin.

Ekuacionet e Hamiltonit janë tërheqëse në thjeshtësinë e tyre mahnitëse me simetrinë paksa të (*thyer*).  Ato janë analizuar nga çdo këndvështrim i mundshëm, që nga fizika e thjeshtë deri te gjeometria simplektike.  Shumë dihet mbi zgjedhjet e këtyre ekuacioneve, megjithatë në rastin e përgjithshëm, zgjedhjet ekzakte te ekuacioneve te lëvizjes nuk mund te jepet në mënyrë eksplicite për një sistem me më shumë se dy pika lëndores.  Rezultati i madhësive te konservuara luan një rol shumë te rëndësishëm në kërkimin për zgjedhjet e ekuacioneve ose informacionin mbi natyrën e tyre.  Ne modele me një numër te pafundëm gradash lirie, kjo ashte shumë më e komplikuar.

Një zonë interesante dhe premtuese kërkimi, është studimi i sistemeve te integrueshme, ku një numër i pafundëm i madhësive konservuese mund te ndërtohet.

## Derivimi i ekuacioneve të Hamiltonit 
Ne mund te derivojmë ekuacionet e Hamiltonit duke analizuar se si funksioni Lagranzhian ndryshon kur ne ndryshojmë kohen dhe pozicionin e thërrmijave.

\mathrm{d} \mathcal{L} = \sum_i \left ( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} \mathrm{d} q_i + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}} \mathrm{d} {\dot q_i} \right ) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \mathrm{d}t

Tani vrulli (impulsi) i përgjithshëm u përcaktua si p_i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}} keshtu qe ekuacionet e Lagranzhit na tregojnë se

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = F_i

ku F_i është forca e përgjithshme.  Kjo mund të transformohet ne mënyre që të japi

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = {\dot p}_i - F_i 

ku ky rezultat mund te zëvendësohet nëe variacionin e funksionit Langrazhian

\mathrm{d}\mathcal{L} = \sum_i \left[ \left( {\dot p}_i - F_i  \right) \mathrm{d} q_i + p_i \mathrm{d} {\dot q_i} \right] + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm{d}t

Kjo mund të rishkruhet si

\mathrm{d} \mathcal{L} = \sum_i \left [ \left ( {\dot p}_i - F_i  \right ) \mathrm{d}q_i + \mathrm{d}\left ( p_i {\dot q_i} \right ) - {\dot q_i} \mathrm{d} p_i  \right ] + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm{d}t

dhe pas një manipulimi të kësaj shprehjeje ne marrim
 
\mathrm{d} \left ( \sum_i p_i {\dot q_i} - \mathcal{L} \right ) = \sum_i \left [ \left ( F_i-{\dot p}_i \right ) \mathrm{d} q_i + {\dot q_i} \mathrm{d}p_i  \right] - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm{d}t

Termi në anën e majte është funksioni Hamiltonian që ne përcaktuam më parë, kështu që tani gjejmë :

\mathrm{d} \mathcal{H} = \sum_i \left [ \left ( F_i-{\dot p}_i \right ) \mathrm{d} q_i + {\dot q_i} \mathrm{d} p_i  \right] - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm{d}t = \sum_i \left [ \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i} \mathrm{d} q_i + 
\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} \mathrm{d} p_i  \right ] + \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}\mathrm{d}t

Ku barazimi i dyte është i vërtetë për shkak të vetë përcaktimit te derivateve pjesore.  Duke bashkuar termat nga te dyja anët, ekuacioni i mësipërm jep ekuacionet e Hamiltonit :

:
\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_j} = F_j - \dot{p}_j, \qquad
\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_j} = \dot{q}_j, \qquad
\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t  } = - {\partial \mathcal{L} \over \partial t}.

## Ekuacionet e Hamiltonit si riformulim i mekanikës së Lagranzhit 
Duke filluar me mekanikën e Lagranzhit, ekuacionet e lëvizjes jane te bazuara në koordinata te përgjithshme

:\left\{\,   q_j     | j=1, \ldots,N \,\right\} 

Duke shkruar shpejtësitë e përgjithshme

:\left\{\, \dot{q}_j | j=1, \ldots ,N \,\right\} 

Funksioni Lagranzhian mund te jepet si :

:\mathcal{L}(q_j, \dot{q}_j, t)

Ku sabskriptet e variablave kuptohet qe paraqesin *N* variabla te asaj madhësie.  Mekanika Hamiltoniane kërkon qe të zëvendësoje variablat e shpejtësisë së përgjithshme me variablat e impulsit te përgjithshëm, që njihen gjithashtu si *impulsi i konjuguar*.  Duke vepruar në këtë mënyrë, është e mundur që të trajtosh sisteme të caktuara, si për shembull aspekte të ndryshme të mekanikës kuantike, që ndryshe do të ishin akoma më të vështira.

Për çdo variable të shpejtësisë se përgjithshme, ekziston një variabël e impulsit te konjuguar, që përcaktohet si :

:p_j = {\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{q}_j}

Në koordinata Karteziane, impulsi i përgjithshëm është impulsi linear.  Në koordinata rrethore polare, impulsi i përgjithshëm që i korrespondon shpejtësisë këndore është impulsi këndor.  Për një zgjedhje arbitrare koordinatash te përgjithshme, zakonisht nuk është e mundur që ti japësh një interpretim intuitiv impulsit të konjuguar.

Një gjë që nuk është shumë e qarte në këtë formulim që varet nga sistemi koordinativ është se koordinata të ndryshme të përgjithshme nuk janë gjë tjetër veçse koordinatizime të ndryshme të të njëjtit manifold simplektik.

Funksioni *Hamiltonian* është transformimi Lazhandrian i funksionit Lagranzhian :

:\mathcal{H}\left(q_j,p_j,t\right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - \mathcal{L}(q_j,\dot{q}_j,t)

Nëqoftese ekuacionet e transformimit që përcaktojnë koordinatat e përgjithshme janë te pavarura nga *t*, si dhe nëqoftëse funksioni Lagranzhian është një shumë e produkteve të funksioneve (në koordinata e përgjithshme) që janë homogjene ne rend zero, rend të parë ose te dytë, atëherë mund të tregohet se *H* është e barabarte me energjinë e përgjithshme *E* = *T* + *V*.

Çdo anë e relacionit *\mathcal{H}* prodhon një diferencial :

:\begin{align}
\mathrm{d}\mathcal{H} &= \sum_i \left[ \left({\partial \mathcal{H} \over \partial q_i}\right) \mathrm{d}q_i + \left({\partial \mathcal{H} \over \partial p_i}\right) \mathrm{d}p_i \right] + \left({\partial \mathcal{H} \over \partial t}\right) \mathrm{d}t\qquad\qquad\quad\quad  \\  \\
  &= \sum_i \left[ \dot{q}_i\, \mathrm{d}p_i + p_i\, \mathrm{d}\dot{q}_i - \left({\partial \mathcal{L} \over \partial q_i}\right) \mathrm{d}q_i - \left({\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{q}_i}\right) \mathrm{d}\dot{q}_i \right] - \left({\partial \mathcal{L} \over \partial t}\right) \mathrm{d}t
\end{align}

Duke zëvendësuar relacionin për impulsin e konjuguar në këtë ekuacion dhe duke analizuar çdo koeficient, në arrimë në ekuacionet e lëvizjes së mekanikes Hamiltoniane, të njohura ndryshe si ekuacionet kanonike te Hamiltonit :

:
\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_j} = - \dot{p}_j, \qquad
\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_j} = \dot{q}_j, \qquad
\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t  } = - {\partial \mathcal{L} \over \partial t}

Ekuacionet e Hamiltonit janë ekuacione diferenciale të rendit te pare, pra ato janë shumë më të lehta për tu zgjidhur ne krahasim me ekuacionet e Lagranzhit të cilat janë të rendit të dytë.  Megjithatë hapat që duhen marrë për të arritur të këto ekuacione janë shumë më të vështira në krahasim me ato të mekanikës së Lagranzhit, duke filluar me koordinatat e përgjithshme te funksionit Langrazhian, ne fillim duhet te llogaritim funksionin Hamiltonian, pastaj të shprehim çdo shpejtësi të përgjithshme me ane të impulsit të konjuguar, si dhe te zëvendësojmë shpejtësitë e përgjithshme në funksionin Hamiltonian me momentet e konjuguara.  Pra me një fjale, siç shikohet, nuk ka ndonjë ndyshim të madh në sasinë e punës që duhet bërë për të zgjidhur një problem në mekaniken e Hamiltonit ne krahasim me mekanikën e Lagranzhit.  Në fund të fundit, ajo jep të njëjtën zgjidhje si në mekaniken e Lagranzhit ose edhe më thjesht si nga ligjet e Njutonit.

Arsyeja thelbësore për mënyrën tërheqëse të metodës së Hamiltonit është fakti se ajo tregon bazat e një strukture tepër te thellë të mekanikës klasike.

## Gjeometria e sistemeve Hamiltoniane 
Një sistem Hamiltonian mund te shikohet si një tufë fibrash *E* mbi kohen *R*, me një fibër *E**t*, ku *t* ∈ *R* është pozicioni në hapësire.  Funksioni Lagranzhian është një funksion mbi një tufe xhetesh *J* mbi *E* ; duke marre transformimin Lazhandrian ne lidhje me fibrat e funksionit Lagranzhian, kjo jep një funksion ne një tufe duale, fibra e së cilës *t* është hapësira kotangjente *T***E**t*, e cila është e pajisur me një formë simplektike natyrale, ky funksion është funksioni Hamiltonian.

## Përgjithësimi në mekanikën kuantike nëpërmjet parantezave të Puasonit 
Ekuacioni i më lartëm i Hamiltonit është i vlefshëm në mekanikën klasike, por jo për mekanikën kuantike, sepse ekuacionet diferenciale që diskutuam më lart marrin parasysh që ne kemi mundësinë të kemi njohuri të plotë mbi pozicionin dhe vrullit (impulsin) e thërrmijës për çdo moment në kohë.  Megjithatë, ekuacionet mund të përgjithësohen edhe më tej, si për shembull në mekanikën kuantike ose edhe në mekanikën klasike duke shfrytëzuar transformimet nëpërmjet algjebrës së Puasonit mbi *p* dhe *q*, deri te algjebra e parantezave te Mojalit.

Në këtë rast, forma më e përgjithshme e ekuacioneve të Hamiltonit është

:\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \{f, \mathcal{H}\} + \frac{\partial f}{\partial t}

Ku *f* është një funksion i *p* dhe *q*, dhe *H* është funksioni Hamiltonian.  Për të gjetur rregullat për të llogaritur një paranteze Puasoni pa përdorur ekuacione diferenciale, referoju artikullit mbi algjebrën e Liut ; një parantezë Puasoni është emri i një paranteze të Liut në algjebrën e Puasonit.

Në fakt, kjo mënyrë algjebrike jo vetëm që na lejon që të zgjerojmë nocionin e distribucionit të probabilitetit në hapësirën fazale në distribucionin e kuazi-probabilitetit të Wignerit, por gjithashtu është një metodë më e fuqishme veçanërisht në trajtimin klasik, ku ndihmon për analizimin e madhësive të konservuara në një sistem.

## Formalizmi matematik 
Për çdo funksion *H* qe ka vlere reale dhe është i lëmuar në një manifold simplektik ne mund të përcaktojmë një sistem Hamiltonian.  Funksioni *H* njihet si **Hamiltoniani** ose **funksioni i energjisë**.  Manifoldi simplektik në këtë rast quhet hapësire fazale.  Funksioni Hamiltonian indukton një fushe vektoriale speciale ne manifoldin simpletik, e cila njihet si fusha vektoriale simplektike.

Fusha vektoriale simplektike, që gjithashtu njihet si fusha vektoriale Hamiltoniane, shkakton një rrjedhe Hamiltoniane në manifold.  Kurbat integrale të fushës vektoriale janë një familje me një parametër e transformimeve në manifold ; parametri i kurbave zakonisht quhet **kohe**.  Evolucioni kohor në këtë rast jepet nga simplektomorfizmat.  Nga Teorema e Ljuvilit, çdo simplektomorfizem ruan formën e volumit në hapësirën fazale.  Grumbullimi i simplektomorfizmave të shkaktuara nga rrjedha e Hamiltonit zakonisht quhet **mekanika e Hamiltonit** e sistemit Hamiltonian.

Fusha vektoriale Hamiltoniane shkakton gjithashtu një veprim special te quajtur, parantezat e Puasonit.  Parantezat e Puasonit veprojnë mbi funksione në një manifold simplektik, duke i dhëne hapësirës së funksioneve një strukture që quhet algjebra e Liut.

Le të kemi një funksion te caktuar *f*

:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f=\frac{\partial }{\partial t} f + \{\,f,\mathcal{H}\,\}.

Neqoftese kemi një distribucion probabiliteti, ρ, atëherë (nëqoftesë shpejtësia në hapësirën fazale ( {\dot p_i}, {\dot q _i}  ) ka divergjencë zero, dhe probabiliteti ruhet) në këtë rast mund të tregohet se derivati konvektiv është zero, pra

:\frac{\partial}{\partial t} \rho = - \{\,\rho, \mathcal{H}\,\}.

Kjo quhet teorema e Ljuvilit.  Çdo funksion i lëmuar *G* mbi një manifold simplektik prodhon një familje simplektomorfizmash me një parametër dhe neqoftese { *G*, *H* } = 0, atëherë *G* është një madhësi që ruhet dhe simplektomorfizmat në këtë rast janë transformime simetrie.

Një Hamiltonian mund të ketë shumë madhësi të konservuara *G**i*.  Neqoftese manifold simplektik ka një dimension 2*n* si dhe ekzistojnë *n* madhësi funksionale te pavarura *G**i* të cilat janë të barabarta me inversin e tyre (pra, { *G**i*, *G**j* } = 0), atëherë funksioni Hamiltonian është funksion Ljuvilan i integrueshëm.  Teorema e Ljuvil–Arnoldit thotë se lokalisht çdo funksion Hamiltonian që është një funksion Ljuvilan i integrueshëm, mund të transformohet nëpërmjet një simplektomorfizme ne një funksion të ri Hamiltonian ku madhësitë e konservuara *G**i* veprojnë si koordinata ; këto koordinata te reja quhen *koordinatat e këndeve të veprimit*.  Funksioni i transformuar Hamiltonian varet vetëm të *G**i*, kështu që ekuacionet e lëvizjes kanë një formë më të thjeshtë
 \dot{G}_i = 0, \qquad \dot{\varphi}_i = F(G), 
Për disa funksione *F* (Arnol'd et al., 1988.) ekziston një fushe e tere që merret me studimin e devijimeve të vogla nga sistemet e integrueshme.  Themelore në këtë degë është Teoremë KAM.

Integrimi i fushave vektoriale Hamiltoniane është një pyetje e hapur.  Përgjithësisht, çdo sistem Hamiltonian është kaotik ; konceptet e matjes, kompletesisë, integrimit dhe stabilitetit janë të përcaktuara në një mënyre shumë të dobët.  Në këto kohëra, studimi i sistemeve dinamike është më shumë kualitativ sesa kuantitativ, prandaj ajo që mbetet për tu bërë është vendosja e këtyre koncepteve mbi baza me forta matematike që lejojnë për modelime dhe llogaritje.

## Manifoldet Rimaniane 
(Ky seksion është i lidhur nga Gjeodeziku)

Një rast special ndodh kur kemi funksione Hamiltoniane që janë forma kuadratike, pra, Hamiltoniane që mund të shkruhen si

:\mathcal{H}(q,p)= \frac{1}{2} \langle p,p\rangle_q

Ku \langle\cdot,\cdot\rangle_q është një kometrikë në një fibër T_q^*Q, e cila ndodhet në hapësirën kotangente në piken *q* në hapësirën e konfigurimit.  Ky funksion Hamiltonian jepet i teri nga termi kinetik.

Nëqoftese marrim parasysh një manifold Rimanian ose një manifold pseudo-Rimanian, në mënyrë që të ketë një metrikë të invertueshme, jo të degjeneruar, atëherë kometrika jepet thjesht si inversi i metrikës.  Zgjidhjet e ekuacioneve të Hamilton–Jakobit për këtë funksion Hamiltonian janë të njëjtat si gjeodezikët në manifold.  Në mënyrë të veçantë, rrjedha e funksionit Hamiltonian në këtë rast është e njëjta gjë me rrjedhën e gjeodezikut.  Ekzistenca e zgjidhjeve të tilla, si dhe të qënit komplet i bashkësisë së zgjidhjeve, janë tema që diskutohen me detaje në artikullin mbi gjeodezikët.  Shikoni gjithashtu edhe artikullin mbi Gjeodezikët si rrjedhë Hamiltoniane.

## Manifoldet Nën-Rimaniane 
Kur kometrika është e degjeneruar, ajo nuk është e invertueshme.  Në këtë rast, nuk kemi një manifold Rimanian, sepse nuk kemi një metrikë.  Megjithatë, funksioni Hamiltonian ekziston akoma.  Në rastin kur kometrika është e degjeneruar ne çdo pikë *q* të manifoldit në hapësirën e konfigurimit *Q*, pra rendi i kometrikës është më pak se dimension i manifoldit *Q*, në këtë rast kemi një manifold nën-Rimanian.

Funksioni Hamiltonian në këtë rast njihet si **Hamiltoniani nën-Rimanian **.  Çdo Hamiltonian përcakton në një mënyre unike kometrikën, dhe anasjelltas.  Kjo implikon se çdo manifold nën-Rimanian përcaktohet në një mënyrë unike nga një Hamiltonian nën-Rimanian, e anasjellta është gjithashtu e vërtetë : çdo manifold nën-Rimannian ka një funksion Hamiltonian unik nën-Rimanian.  Ekzistenca e gjeodezikëve nën-Rimaniane jepet nga teorema e Çow-Rashevskit.

Grupi real dhe i vazhdueshëm i Hajzenbergut jep një shembull të thjeshtë te një manifoldi nën-Rimanian.  Për një grup Hajzenbergu, funksioni Hamiltonian jepet nga

:\mathcal{H}(x,y,z,p_x,p_y,p_z)=\frac{1}{2}\left(  p_x^2 + p_y^2 \right).

p_z nuk përfshihet në funksionin Hamiltonian.

## Algjebra e Puasonit 
Sistemet Hamiltoniane mund te përgjithësohen në mënyra të ndryshme.  Në vend që të shikojmë vetëm për algjebrat e funksioneve te diferencueshëm mbi një manifold simplektik, mekanika e Hamiltonit mund të formulohet me anë të algjebrës së Puasonit që përgjithësisht është komutative unitare dhe reale.  Një gjendje është një funksion linear i vazhdueshëm në algjebrën e Puasonit (i pajisur me një topologji të caktuar) e tillë që për një element *A* të algjebrës, *A*² lidhet me një numër real jonegativ.

Një përgjithësim i mëtejshëm jepet nga dinamika e Nambu.

## Thërrmijë e ngarkuar në një fushë elektromagnetike 
Një ilustrim shumë i mirë i mekanikës së Hamiltonit jepet nga funksioni Hamiltonian i një thërrmijë të ngarkuar në një fushë elektromagnetike.  Në koordinata karteziane (pra  q_i = x_i ), funksioni Lagranzhian i një grimce jo-relativiste në një fushë elektromagnetike është (në Njësi SI) :

:  \mathcal{L} = \sum_i \tfrac{1}{2} m \dot{x}_i^2 + \sum_i e \dot{x}_i A_i - e \phi, 

Ku **e** është ngarkesa elektrike e thërrmijës (mund të mos jetë e njëjtë me ngarkesën e elektronit), \phi është potenciali skalar elektrik, dhe A_i janë komponentët e potencialit vektorial magnetik (këto mund të modifikohen nëpërmjet një teknikë që njihet si transformimi i madhësive).

Vrulli i përgjithshëm mund të derivohet nga :

:  p_j = \frac{\partial L}{ \partial \dot{x}_j} = m \dot{x}_j + e A_j. 

Duke ri-rregulluar relacionin, mund të shprehim shpejtësitë nëpërmjet momenteve si më poshtë :

:  \dot{x}_j = \frac{ p_j - e A_j }{m}. 

Nëqoftëse zëvendësojmë përcaktimin e vrullit (impulsit), dhe shprehim shpejtësitë nëpërmjet impulsit, në përcaktimin e funksionit Hamiltonian të dhënë më lart, pas thjeshtësimeve dhe manipulimeve të thjeshta kemi :

:  \mathcal{H} = \sum_i \dot{x}_i p_i - \mathcal{L} = \sum_i \frac{ (p_i - e A_i)^2 } {2 m }  + e \phi. 
Ky ekuacion përdoret shumë në mekanikën kuantike.

## Thërrmijë relativistike e ngarkuar në një fushë elektromagnetike 
Funksioni Lagranzhian për një thërrmijë të ngarkuar relativistike jepet nga:
:\mathcal{L}[t] = - m c^2 \sqrt {1 - \frac{{\dot{\vec{x}}[t]}^2}{c^2}} - e \phi [\vec{x}[t],t] + e \dot{\vec{x}}[t] \cdot \vec{A} [\vec{x}[t],t] \,.

Pra impulsi (vrulli/sasia e lëvizjes) i përgjithshëm kanonik i thërrmijës është 
:\vec{P}\,[t] = \frac{\partial \mathcal{L}[t]}{\partial \dot{\vec{x}}[t]} = \frac{m \dot{\vec{x}}[t]}{\sqrt {1 - \frac{{\dot{\vec{x}}[t]}^2}{c^2}}} + e \vec{A} [\vec{x}[t],t] \,,
pra, shuma e vrullit kinetik dhe vrullit potencial.

Duke zgjidhur ekuacioni për shpejtësinë marrim 
:\dot{\vec{x}}[t] = \frac{\vec{P}\,[t] - e \vec{A} [\vec{x}[t],t]}{\sqrt {m^2 + \frac{1}{c^2}{\left( \vec{P}\,[t] - e \vec{A} [\vec{x}[t],t] \right) }^2}} \,.

Kështu që funksioni Hamiltonian është
:\mathcal{H}[t] = \dot{\vec{x}}[t] \cdot \vec{P}\,[t] - \mathcal{L}[t] = c \sqrt {m^2 c^2 + {\left( \vec{P}\,[t] - e \vec{A} [\vec{x}[t],t] \right) }^2} + e \phi [\vec{x}[t],t] \,.

Nga kjo marrim ekuacionin e forcës (ekuivalent me ekuacionin e Ojler-Lagranzhit)
:\dot{\vec{P}} = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \vec{x}} = e (\vec{\nabla} \vec{A}) \cdot \dot{\vec{x}} - e \vec{\nabla} \phi \,

prej nga mund të derivojmë
:\frac{d}{d t}\left(\frac{m \dot{\vec{x}}} {\sqrt {1 - \frac{\dot{\vec{x}}^2}{c^2}}}\right) = e \vec{E} + e \dot{\vec{x}} \times \vec{B} \,.

Një shprehje ekuivalente për funksionin Hamiltonian si funksion i vrullit (kinetik) relativistik, \vec{p}=\gamma  m \dot{\vec{x}}[t] \,, is
:\mathcal{H}[t] = \dot{\vec{x}}[t] \cdot \vec{p}\,[t] +\frac{mc^2}{\gamma} + e \phi [\vec{x}[t],t]=\gamma mc^2+ e \phi [\vec{x}[t],t]=E+V \,.

Kjo ka avantazhin se  \vec{p} mund të matet eksperimentalisht kurse për  \vec{P} kjo nuk është e mundur. Vini re se Hamiltoniani (energjia totale) mund të konsiderohet si shuma e energjisë relativiste (kinetike + të prehjes) , E=\gamma mc^2 \,, plus energjinë potenciale, V=e \phi \,.

## Shikoni gjithashtu 
* Ekuacionet e Hamilton–Jakobit
* Ekuacionet e Maksuellit 
* Funksioni Hamiltonian (mekanika kuantike)
* Mekanika e Lagranzhit
* Mekanika klasike
* Mekanika kuantike
* Sistemet dinamike
* Teoria e fushës
* Transformimet kanonike

## Referime 
* V.I. Arnol'd, *Mathematical Methods of Classical Mechanics*, Springer-Verlag (1989), [ISBN 0-387-96890-3]
* Ralph Abraham and Jerrold E. marsden, *Foundations of Mechanics*, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X
* V.I. Arnol'd, V.V. Kozlov and A.I. Neĩshtadt, "Mathematical aspects of classical and celestial mechanics." In: *Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Dynamical Systems III* (vol. 3), Springer-Verlag, 1988.
* A. M. Vinogradov , B. A. Kupershmidt "The structure of Hamiltonian mechanics " (djvu), London Math. Soc. Lect. Notes Ser., 60 (1981), Cambridge Univ. Press, London 
* Binney, James, "*Classical Mechanics*" (PostScript) lecture notes (PDF)
* Tong, David, Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)