Funksioni eksponencial

djathtas|parapamje|200x200px|Funksioni eksponencial natyror y = e^x
djathtas|parapamje|200x200px| Funksionet eksponenciale me bazat 2 dhe 1/2
Në matematikë, një **funksion eksponencial** është një funksion i formës:

f(x) = ab^x

ku b është një numër real pozitiv jo i barabartë me 1, dhe argumenti apo ndyshorja  x paraqitet si eksponent. Për numrat realë c dhe d, një funksion i formës f(x)=ab^{cx+d} është gjithashtu një funksion eksponencial.

:* Për b > 1, funksioni b^x është në rritje (është rritës,siç përshkruhet për b = e dhe b = 2 ), sepse \log_e b>0 e bën derivatin gjithmonë pozitiv; 
:* Për b 1^x = 1.

Grafiku i y=e^x është i pjerrët lart, dhe rritet më shpejt kur x rritet.  Grafiku qëndron gjithmonë mbi boshtin x, por i afrohet pambarimisht atij për x mëdha negative; kështu, boshti x është një asimptotë horizontale. Funksioni i tij i anasjelltë është logaritmi natyror, i shënuar \log,  \ln,  ose \log_e; për shkak të kësaj, disa tekste të vjetra  referohen funksionit eksponencial si **antilogaritmi** .

Mund të tregohet se çdo zgjidhje e vazhdueshme, jo zero e ekuacionit funksional f(x+y)=f(x)f(y) është një funksion eksponencial, f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto b^x, me b>0. Identiteti shumëzues, së bashku me përkufizimin e=e^1, tregon se e^n=\underbrace{ e\times\cdots\times e }_{n\text{ terms}} për numrat e plotë pozitivë n, që lidhin funksionin eksponencial me nocionin themelor të eksponentimit.

Argumenti i funksionit eksponencial mund të jetë çdo numër real ose kompleks, apo edhe një lloj krejtësisht i ndryshëm objekti matematikor (p.sh., matrica ).

Prania e gjithanshme e funksionit eksponencial në matematikën e pastër dhe të zbatuar e ka çuar matematikanin W. Rudin të mendojë se funksioni eksponencial është "funksioni më i rëndësishëm në matematikë".  Në cilësimet e zbatuara, funksionet eksponenciale modelojnë një marrëdhënie në të cilën një ndryshim i vazhdueshëm në ndryshoren e pavarur jep të njëjtin ndryshim proporcional (dmth., Rritja ose zvogëlimi i përqindjes) në ndryshoren e varur. Kjo ndodh gjerësisht në shkencat natyrore dhe shoqërore, si në një popullsi vetë-riprodhuese, një fond që grumbullon interes të përbërë, ose një organ në rritje të ekspertizës së prodhimit . Kështu, funksioni eksponencial shfaqet gjithashtu në një larmi kontekstesh brenda fizikës, kimisë, inxhinierisë, biologjisë matematikore dhe ekonomisë .

## Përkufizimi zyrtar 
djathtas|parapamje| Funksioni eksponencial (në blu), dhe shuma e termave të parë n + 1 të serisë së tij të energjisë (me të kuqe).
Funksioni real eksponencial \exp\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} mund të karakterizohet në një larmi mënyrash të njëvlershme. Zakonisht përcaktohet nga seritë e mëposhtme :  

: \exp x := \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots

Meqenëse rrezja e konvergjencës së kësaj serie fuqish është e pafundme, ky përkufizim është, në fakt, i zbatueshëm për të gjithë numrat kompleksë z \in \mathbb{C} (shih  për zgjatjen e e^x në planin kompleks). Konstantja e pastaj mund të përkufizohet si e=\exp 1=\sum_{k=0}^\infty(1/k!).

Diferencimi term pas termi i kësaj serie fuqie zbulon se \frac{de^x}{dx} = e^x për të gjithë x-et reale, duke çuar në një karakterizim tjetër të përbashkët të e^x si zgjidhje unike e ekuacionit diferencial

: y'(x)=y(x),

duke përmbushur kushtin fillestar y(0)=1.

Bazuar në këtë karakterizim, rregulli i zinxhirit tregon se funksioni i tij i anasjelltë, logaritmi natyror, kënaq (d/dy) (\log_e y) = 1/y për y>0, ose \log_e y=\int_1^y \frac{1}{t}\,dt. Kjo marrëdhënie çon në një përkufizim më pak të zakonshëm të funksionit real eksponencial \exp x si zgjidhje y te ekuacioni

: x = \int_1^y \frac{1}{t} \, dt.

Me anë të teoremës së binomit dhe përcaktimit të serisë së energjisë, funksioni eksponencial mund të përcaktohet gjithashtu si kufiri vijues:  

: \exp x = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n.

## Përmbledhje 
parapamje| Lakorja e kuqe është funksioni eksponencial. Vijat e zeza horizontale tregojnë se ku kalon vijat vertikale të gjelbërta.
Funksioni eksponencial lind sa herë që një sasi rritet ose prishet në një normë proporcionale me vlerën e saj aktuale. Një situatë e tillë është interesi i përbërë vazhdimisht, dhe në fakt ishte kjo vëzhgim që e çoi Jacob Bernoulli në 1683  në numrin

: \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}

tani njihet si e . Më vonë, në 1697, Johann Bernoulli studioi gurin e funksionit eksponencial. 

:

:

Derivati (shkalla e ndryshimit) e funksionit eksponencial është vetë funksioni eksponencial. Në përgjithësi, një funksion me një normë ndryshimi *proporcional* me vetë funksionin (në vend se i barabartë me të) është i shprehur në aspektin e funksionit eksponencial. Kjo veti e funksionit çon në rritje eksponenciale ose prishje eksponenciale .

Funksioni eksponencial shtrihet në një funksion të tërë në planin kompleks . Formula e Euler lidh vlerat e saj me argumente thjesht imagjinare me funksionet trigonometrike . Funksioni eksponencial gjithashtu ka analoge për të cilat argumenti është një matricë, apo edhe një element i një algjebra Banach ose një algjebër Lie .

## Derivatet dhe ekuacionet diferenciale 
djathtas|parapamje|391x391px| Derivati i funksionit eksponencial është i barabartë me vlerën e funksionit. Nga çdo pikë P në kurbë (blu), le të vizatohet një vijë tangjente (e kuqe), dhe një vijë vertikale (jeshile) me lartësi h, duke formuar një trekëndësh kënddrejtë me një bazë b në boshtin x . Meqenëse pjerrësia e vijës së kuqe tangjente (derivati) në P është e barabartë me raportin e lartësisë së trekëndëshit me bazën e trekëndëshit (ngritje mbi vrapim), dhe derivati është i barabartë me vlerën e funksionit, h duhet të jetë e barabartë me raporti i h me b . Prandaj, baza *b* duhet të jetë gjithmonë&nbsp;1
Rëndësia e funksionit eksponencial në matematikë dhe shkenca buron kryesisht nga vetia e tij si funksion unik i cili është i barabartë me derivatin e tij dhe është i barabartë me 1 kur x = 0 . Kjo eshte,

: \frac{d}{dx}e^x = e^x \quad\text{and}\quad e^0=1.

Funksionet e trajtës C \cdot e^x për çdo konstante C janë funksionet e vetme që janë të barabarta me derivatin e tyre (nga teorema Picard – Lindelöf ). Veti të tjera të funksionit eksponencial përfshijnë:

* Pjerrësia e grafikut në çdo pikë është vlera e funksionit në atë pikë.
* Shkalla e rritjes së funksionit në x është e barabartë me vlerën e funksionit në x .
* Funksioni zgjidh ekuacionin diferencial y ′ = y .
* Shembull është një pikë fikse e derivatit si funksionale .

Nëse rritja ose prishja e një variabli është proporcionale me madhësinë e saj - siç është rasti në rritjen e pakufizuar të popullsisë (shih katastrofën Malthusiane ), interesi i përbërë vazhdimisht ose prishja radioaktive - atëherë variabla mund të shkruhet si një kohë konstante e një funksioni eksponencial të kohës . Në mënyrë të qartë për çdo konstante reale k, një funksion f : R → R kënaq f'=k \cdot f' nëse dhe vetëm nëse f(x) = c \cdot e^{kx} për disa c konstante. Konstantja *k* quhet **konstante e** **shpërbërjes**,  **konstante e shpejtësisë**,  ose **konstante e transformimit** . 

Për më tepër, për çdo funksion të diferencueshëm f ( x ), nga rregulli i zinxhirit gjejmë:

: \frac{d}{dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}.

## Thyesat e vazhduara për e^x 
Një fraksion i vazhdueshëm për e x mund të merret përmes një identiteti të Euler :

:  e^x = 1 + \cfrac{x}{1 - \cfrac{x}{x + 2 - \cfrac{2x}{x + 3 - \cfrac{3x}{x + 4 - \ddots}}}}

Fraksioni i vijuar i përgjithësuar i vazhduar për e^zkonvergon më shpejt: 

:  e^z = 1 + \cfrac{2z}{2 - z + \cfrac{z^2}{6 + \cfrac{z^2}{10 + \cfrac{z^2}{14 + \ddots}}}}

ose në rastet kur z=2:

:  e^2 = 1 + \cfrac{4}{0 + \cfrac{2^2}{6 + \cfrac{2^2}{10 + \cfrac{2^2}{14 + \ddots\,}}}} = 7 + \cfrac{2}{5 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{9 + \cfrac{1}{11 + \ddots\,}}}}

:

:

## Llogaritja 
Kur llogaritni (një përafrim të) funksionit eksponencial pranë argumentit 0, rezultati do të jetë afër 1, dhe llogaritjen e vlerës së diferencës \exp x-1 me aritmetikë me pikë lundruese mund të çojë në humbjen e (ndoshta të gjitha) figurave të rëndësishme, duke prodhuar një gabim të madh llogaritje, ndoshta edhe një rezultat të pakuptimtë.

Pas një propozimi nga William Kahan, mund të jetë e dobishme të kesh një rutinë të dedikuar, shpesh të quajtur `expm1`, për llogaritjen ex - 1 direkt, duke anashkaluar llogaritjen e e x . Për shembull, nëse eksponenciali llogaritet duke përdorur seritë e tij Taylor

: e^x=1+x+\frac {x^2}2 + \frac{x^3}6+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots,

dikush mund të përdorë serinë Taylor të e^x-1:

: e^x-1=x+\frac {x^2}2 + \frac{x^3}6+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots.

Kjo u zbatua për herë të parë në vitin 1979 në llogaritësin Hewlett-Packard HP-41C, dhe u sigurua nga disa kalkulatorë,   sisteme operative (për shembull Berkeley UNIX 4.3BSD  ), sisteme algjebra kompjuterike dhe gjuhë programimi ( për shembull C99 ). 

Përveç bazës e, standardi IEEE 754-2008 përcakton funksione të ngjashme eksponenciale afër 0 për bazën 2 dhe 10: 2^x - 1 dhe 10^x - 1 .

Një qasje e ngjashme është përdorur për logaritmin (shih lnp1 ). 

Një identitet në lidhje me tangjentën hiperbolike ,

: \operatorname{expm1} (x) = \exp x - 1 = \frac{2 \tanh(x/2)}{1 - \tanh(x/2)},

jep një vlerë me precizion të lartë për vlerat e vogla të x në sistemet që nuk zbatojnë expm1(x ) .

## Referime 
* McGraw-Hill Encyclopedia of Science & Technology (10th ed.). New York: McGraw-Hill. 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
* Serway, Raymond A.; Moses, Clement J.; Moyer, Curt A. (1989), Modern Physics, Fort Worth: Harcourt Brace Jovanovich, ISBN 0-03-004844-3
* Simmons, George F. (1972), Differential Equations with Applications and Historical Notes, New York: McGraw-Hill, LCCN 75173716

## Linqe te jashtme 
* "Exponential function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
* "Complex exponential function". PlanetMath.
* "Derivative of exponential function". PlanetMath.