Principi i Hamiltonit

Në fizikë, **principi i Uilliam Rouan Hamilton** është një formulim alternativ i ekuacioneve diferenciale të lëvizjes për një sistem fizik si ekuivalenti i *ekuacioneve integrale*, duke përdorur analizën e variacionit. Ky princip quhet gjithashtu edhe **principi i veprimit stacionar**. Edhe pse për herë të parë ky princip u formulua për përdorim në mekanikën klasike, principi i Hamiltonit gjen aplikime edhe në fushat klasike si elektromagnetizmi dhe gravitacioni. Ky princip është zhvilluar edhe në mekanikën kuantike, në teorinë e fushës kuantike si dhe për teori të tjera.

## Historia e Principit të Hamiltonit 
Një nga principet e para minimale në fizikë u dha nga Heroni i Aleksandrisë në shekullin e dytë. Ky princip ka të bëjë me fushën e optikës dhe pohon se një rreze dritë që kalon nga një pikë në një tjetër me reflektim nga një pasqyre gjithmonë do të marre shtegun më të shkurtër. Megjithatë principi i shtegut më të shkurtër nga Heroni nuk harrin që të japi ligjin e sakte të pasqyrimit të dritës. Në 1657 Fermat e riformuloi këtë parim duke hipotezuar se drita në një medium kalon nga një pike në një tjetër nëpërmjet shtegut që merr kohen më të paket. Principi i Ferma jo vetëm që jep ligjin e sakte të pasyrimite të dritës por prej tij mund të derivohet edhe ligji i refraktimit i njohur ndryshe si ligja i Snellit. Në mekanikë zbatimi i parë i parimit të veprimit minimal u be në 1747 nga Maupertus i cili hipotezoi se lëvizja dinamike ndodh me një veprim minimal. Maupertus e shpjegonte këtë me baza teologjike. Sipas tij ishte dituria e Zotit ajo që e bënte të mundur këtë. Në 1760 principi u vu në baza matematikë nga Jozef Luiz Lagranzhi i cili përdori analizën matematikë të variacionit për të zgjidhur shumë probleme bazuar në këtë princip. Ne 1828 që Gausi ai që përdori atë që ai quante principi i shtrëngesës më të paket. Një modifikim u be më vonë nga Herci në atë që ai quante principi i kurbaturës minimale. Megjithatë që Hamiltoni ai që për herë të parë dha në mënyre koncize atë që ne sot e njohim si principi i veprimit minimal. *Principi i Hamiltoni pohon se nga të gjitha shtegjet e mundura që një sistem dinamik mund të ndjeke mes dy pika në një interval kohor të caktuar ai ndjek atë që minimizon integralin e veprimit, ku integrali i veprimit përcaktohet si diferenca mes energjisë kinetike dhe asaj potenciale*. Është për tu theksuar se nga pikëpamja kronologjike principi i Hamiltonit erdhi pas metodës së Lagranzhit.

## Formulimi Matematik 
Principi i Hamiltonit pohon se evoluimi i vërtete \mathbf{q}(t) i një sistemi të përshkruar nga N koordinata të përgjithshme \mathbf{q} = \left( q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N} \right) mes dy gjendjeve specifike \mathbf{q}_{1} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \mathbf{q}(t_{1}) edhe \mathbf{q}_{2} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \mathbf{q}(t_{2}) në dy kohë specifike t_{1} edhe t_{2} është një ekstremum (i.e., një pikë stacionare, e cila mund të jetë një minimum, maksimum ose pikë infleksoni) e veprimit të funksionalit

:
\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  
\int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\, dt 

ku L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t) është funksioni i Lagranzhit për sistemin. Me fjale të tjera, çdo perturbim i *klasit të parë* i evolucionit të vërtete të sistemit rezulton në (të shumtën) një ndryshim të *klasit të dytë* në \mathcal{S}. Duhet të theksohet se veprimi \mathcal{S} është një 
funksional, i.e., diçka që merr si inputin e saj një funksion dhe kthen një numër të vetëm, një madhësi skalare. Në terma të analizës funksionale, principi i Hamiltonit pohon se evolucioni i vërtete i një sistemi fizik jepet nga zgjidhja e ekuacionit funksional 
:
\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \mathbf{q}(t)}=0

## Ekuacionet e Ojler-Lagranzhit për integralin e veprimit 
Kur kërkojmë që trajektorja e vërtete \mathbf{q}(t) të jetë një pikë stacionare e funksionalit të veprimit \mathcal{S} atëherë kjo është një mënyre ekuivalente si në rastin kur problemi shtrohet si një set ekuacionesh diferenciale \mathbf{q}(t) (**ekuacionet e Ojler-Lagranzhit**), të cilat mund të derivohen si më poshtë. 

Le \mathbf{q}(t) të përfaqësoje evoluimin e vërtete të një sistemi mes dy gjendjeve specifike \mathbf{q}_{1} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \mathbf{q}(t_{1}) dhe \mathbf{q}_{2} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \mathbf{q}(t_{2}) në dy kohë specifike t_{1} dhe t_{2}, le \boldsymbol\varepsilon(t) të jete një perturbim i vogël që merr vlerën zero në dy pikat kufitare të trajektores

:
\boldsymbol\varepsilon(t_{1}) = \boldsymbol\varepsilon(t_{2}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  0

Në rendin e parë ky perturbim \boldsymbol\varepsilon(t), tregon ndryshimin e veprimit funksional \delta\mathcal{S} që është
:
\delta \mathcal{S} = 
\int_{t_{1}}^{t_{2}}\; 
\left[ L(\mathbf{q}+\boldsymbol\varepsilon,\dot\mathbf{q} +\dot\boldsymbol\varepsilon)- L(\mathbf{q},\dot\mathbf{q}) \right]dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \left(
\boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} + 
\dot\boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}}  \right)\,dt      

ku e kemi zgjeruar funksionin e Lagranzhit *L* në klasë të parë të perturbimit \boldsymbol\varepsilon(t).

Tani zbatojmë teknikën e integrimit me pjesë në termat e fundi të rezultatit 

:
\delta \mathcal{S} = 
\left[ \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}} + 
\int_{t_{1}}^{t_{2}}\; 
\left( \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}}
- \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt

Nga kondicionet në pikat kufitare 
\boldsymbol\varepsilon(t_{1}) = \boldsymbol\varepsilon(t_{2}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  0
 shikojmë se termi i pare thjeshtohet

:
\delta \mathcal{S} = 
\int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \boldsymbol\varepsilon \cdot
\left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt

Principi i Hamiltonit kërkon që ndryshimet në rend të pare \delta \mathcal{S} të jete zero për të gjitha perturbimet e mundshme \boldsymbol\varepsilon(t) kjo domethënë që shtegu i vërtete i pikës stacionare të funksionalit të veprimit \mathcal{S} të jetë (ose një minimum, maksimum ose pike infleksioni). Kjo kërkese mund të kënaqet vetëm neqoftese 

 

: 
\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - 
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} = 0
&nbsp;&nbsp;&nbsp;Ekuacionet e Ojler-Lagranzhit

Këto ekuacione quhen ekuacionet e Ojler- Lagranzhit dhe përdoren për të zgjidhur një numër të madh problemesh variacioni.

### Shembull : një pike lëndore në koordinata polare 
Shembuj të thjeshte tregojnë fuqinë e vërtete të parimit të veprimit nëpërmjet ekuacioneve të Ojler-Lagranzhit. Një thërrmije e lire, pra në mungese të një force (me mase *m* dhe shpejtësi *v*) në hapësirën euklidiane lëviz në një vije të drejte. Duke përdorur ekuacionet e Ojler-Lagranzhit, në koordinata polare kjo mund të ilustrohet si më poshtë. Në mungese të një potenciali, funksioni Lagrazhian është i barabarte me energjinë kinetike 
: L = \frac{1}{2} mv^2= \frac{1}{2}m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right)
në koordinata ortonormale (*x*,*y*), ku pika paraqet diferencimin në lidhje me parametrin e kurbës (kjo zakonisht është koha, *t*).

Në koordinata polare (*r*, &phi;) energjia kinetike, pra në këtë rast funksioni Lagrazhian është :

:
      L = \frac{1}{2}m \left( \dot{r}^2 + r^2\dot\varphi^2 \right).

Ku rrezja *r* dhe &phi; komponentët e ekuacioneve të Ojler-Lagranzhit shndërrohen respektivisht në :

:
        \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} \right) 
                                 - \frac{\partial L}{\partial r} 
                         = 0  \qquad
                         \Rightarrow  \qquad
                         \ddot{r} -  r\dot{\varphi}^2 = 0
    
:
        \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}  \right)
                                -\frac{\partial L}{\partial \varphi} 
                         = 0  \qquad
                         \Rightarrow  \qquad
                         \ddot{\varphi} + \frac{2}{r}\dot{r}\dot{\varphi} = 0.
    

Zgjidhja e këtyre ekuacioneve jepet nga

: r\cos\varphi = a t + b 
: r\sin\varphi = c t + d 

për një set konstantesh *a, b, c, d* të caktuara nga të dhënat fillestare.
Pra, më të vërtete, *zgjidhja jepet nga një vije e drejte* e dhëne në koordinata polare.

## Krahasimi me parimin e Maupertuis 
## Parimi i veprimit në për fushat klasike 
## Parimi i veprimit në mekaniken kuantike dhe teorinë kuantike të fushës 
Në mekanikën kuantike, sistemi nuk ndjek një rrugë të vetme veprimi e cila është e palëvizshëme, por sjellja e sistemit varet mbi të gjitha shtigjet e imagjinueshëm dhe vlerën e veprimit të tyre. Veprim përkatës në rrugë të ndryshme është përdorur për të llogaritur integralet e shtegjeve, që jep amplitudën e probabilitetit te rezultateve të ndryshme.

Edhe pse ekuivalent në mekanikën klasike me ligjet e Njutonit, **parimi i veprimit** është i përshtatshëm më mirë për përgjithësime dhe luan një rol të rëndësishëm në fizikës moderne. Në të vërtetë, ky parim është një nga përgjithësimet e madhe në shkencën fizike. Në veçanti, ajo është vlerësuar plotësisht dhe mirë kuptohet brenda mekanikës kuantike. Formulimi i integraleve te shtegjeve i Richard Feynman për mekanikën kuantike është i bazuar në një parim stacionar të veprimit, duke përdorur integralet e shtegjeve. Ekuacionet e Maksuellit mund të rrjedhin si kushtet të veprimit stacionar.

## Implikimet filozofike të parimit të Hamiltonit 
Në formulimin njutonian të mekanikes klasike një forcë e zbatuar në një trup prodhon një lëvizje. Pra kemi një efekt të shkaktuar nga një kauze e caktuar e cila në këtë rast është forca. Nga ana tjetër principi i Hamiltonit pohon se lëvizja e një trupi i atribuohet natyrës e cila ka një qëllim të caktuar, ky qellim është minimizimi i integralit të veprimit ose e thëne në një gjuhe më të thjeshtë natyra kërkon që të minimizoje energjinë e harxhuar në një sistem gjatë një procesi.

## Referime 
* W.R. Hamilton, "On a General Method in Dynamics.", *Philosophical Transaction of the Royal Society* Part I (1834) p.247-308 ; Part II (1835) p. 95-144 . 

* Goldstein H. (1980) *Classical Mechanics*, 2nd ed., Addison Wesley, pp. 35-69.

* Landau LD and Lifshitz EM (1976) *Mechanics*, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover), pp.2-4.

* Arnold VI. (1989) *Mathematical Methods of Classical Mechanics*, 2nd ed., Springer Verlag, pp. 59-61.