Formula e Larmorit

[thumb|right|250px|Një [antena Yagi-Uda|antenë Yagi-Uda. Radio valet rrezatohen nga një antenë kur në të elektronet përshpejtohen.]]
Në fizike, në fushën e elektrodinamike, **formula e Larmorit** përdoret për llogaritjen e fuqisë së përgjithshme të rrezatuar nga një pikë ngarkese jorelativiste kur ajo përshpejtohet.  Ekuacioni u derivua nga J. J. Larmor në 1897, në kontekstin e teorisë valore të dritës.

Çdo thërrmije e ngarkuar, kur përshpejtohet ose ngadalësohet (si për shembull një elektron) rrezaton energji në formën e valëve elektromagnetike.  Për shpejtësitë që janë të të vogla në krahasim me shpejtësinë e dritës, fuqia e përgjithshme e rrezatuar jepet nga formula e Larmorit :

: P = \frac{e^2 a^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \mbox{ (SI units)} 

: P = {2 \over 3} \frac{e^2 a^2}{  c^3} \mbox{ (cgs units)} 

ku  a  është nxitimi,  e  është ngarkesa, dhe  c  është shpejtësia e dritës.  Një përgjithësim relativist jepet nga Potencialet Liénard-Wiechert.

## Derivimi 
### Derivimi 1 : Fusha e një ngarkese në lëvizje 
[thumb|300px|'''[Galaksia Eliptike M87|M87's Xhet Energjetik.''' Ndriçimi shkaktohet nga rrezatimi sinkrotron, elektrone të energjisë së lartë vine rrotull vijave të fushës magnetike, u zbulua për herë të parë në 1956 nga Geoffrey R. Burbidge në M87 duke konfirmuar parashikimin e Hannes Alfvén dhe Nicolai Herlofson në 1950, dhe Iosif S. Shklovskii në 1953.]]

#### Zgjidhja e potencialeve të vonuara 
Në rastin kur nuk ka ndonjë kufi rreth ngarkesave, zgjidhja e vonuar për potencialet skalare dhe vektoriale (ne njësi cgs) të ekuacionit johomogjente valës janë (shikoni Ekuacioni johomogjen i valës elektromagnetike)

: \varphi  (\mathbf{r}, t) = \int { { \delta \left ( t' + { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | } \over c }  - t \right )   } \over { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | }   }    }  \rho (\mathbf{r}', t') d^3r' dt' 

dhe

: \mathbf{A} (\mathbf{r}, t) = \int { { \delta \left ( t' + { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | } \over c }  - t \right )   } \over { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | }   }    }  { \mathbf{J}  (\mathbf{r}', t')\over c} d^3r' dt' 

ku

:
{ \delta \left ( t' + { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | } \over c }  - t \right )   }

është funksioni delta i Dirakut dhe ku korrenti dhe dendësia e  ngarkesës janë 

:
\mathbf{J} (\mathbf{r}', t') = e  \mathbf{v}_0(t')  \delta \left ( \mathbf{r}' - \mathbf{r}_0(t')  \right )  

:
\rho (\mathbf{r}', t') = e    \delta \left ( \mathbf{r}' - \mathbf{r}_0 (t') \right )  

për një thermije tek  \mathbf{r}_0(t')     që udhëton me një shpejtësi   \mathbf{v}_0(t') .

#### Fusha elektrike dhe magnetike 
Potencialet skalare dhe vektoriale janë të lidhur me fushën elektrike dhe magnetike nga

:  \mathbf{E} = - \nabla \varphi  - {1 \over c} {\partial \mathbf{A} \over \partial t}
   

:  \mathbf{B} =  \nabla \times  \mathbf{A} 
   .

Fushat mund të shkruhen
:  \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = 

e \left [  { { \left ( \mathbf{n} - { \mathbf{v}_0 \over c }  \right ) \left ( 1-\beta^2 \right )  }  \over { \kappa^3 R^2    } } \right ]_{\mbox{ret}  } 

+ {e \over c} \left [  { { \mathbf{n} \times \left ( \mathbf{n} - { \mathbf{v}_0 \over c }   \right ) \times {  \mathbf{a} \over c }  }  \over { \kappa^3 R    } } \right ]_{\mbox{ret}  } 

  

:  \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{n} \times \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)  

ku

:   \mathbf{a}    është nxitimi,

:   \mathbf{n}    është një vektor njësi në drejtimin e    \mathbf{r} - \mathbf{r}_0   ,

:  R    është madhesia e   \mathbf{r} - \mathbf{r}_0   ,

:  \kappa \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  1 - \mathbf{n} \cdot { \mathbf{v}_0 \over c  }   

:   \beta^2 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  {v_0^2 \over c^2 }   

dhe termat ne të djathte vlerësohen në një kohë të vonuar

:   t' = t - {R \over c}   .

Termi i dyte, është proporcional me nxitimin, dhe paraqet një vale dritë sferike.  Termi i parë bie me katrorin e distance dhe paraqet një valë që zvogëlohet në madhësi me distancën.

### Derivimi 2 : Duke përdorur mënyrën e Edward M. Purcell 
Derivimi i plotë mund të gjendet tek
http://physics.weber.edu/schroeder/mrr/MRRtalk.html(http://physics.weber.edu/schroeder/mrr/MRRtalk.html)

## Shikoni gjithashtu 
* Teoria atomike
* Rrezatimi i ciklotronit
* Ekuacioni i valës elektromagnetike
* Ekuacioni i valës

## Referime 
* J. Larmor, "Mbi një teori dinamike te mjedisit elektrike luminefer", *Philosophical Transactions of the Royal Society* **190**, (1897) pp.205-300 
* 
* 
*