Fushat vektoriale në koordinata cilindrike dhe sferike

djathtas|parapamje|240x240px| Koordinatat sferike ( *r*, *θ*, *φ* ) siç përdoren zakonisht në *fizikë* : distanca radiale *r*, këndi polar *θ* ( theta ) dhe këndi azimutal *φ* ( phi ). Simboli *ρ* ( rho ) përdoret shpesh në vend të *r* .
Shënim: Kjo faqe përdor shënime të zakonshme të fizikës për koordinatat sferike, në të cilat \theta është këndi ndërmjet boshtit *z* dhe vektorit të rrezes që lidh origjinën me pikën në fjalë, ndërsa \phi është këndi ndërmjet projeksionit të vektorit të rrezes në rrafshin *xy* dhe boshtit *x* . Disa përkufizime të tjera janë në përdorim, prandaj duhet pasur kujdes në krahasimin e burimeve të ndryshme. 

## Sistemi i koordinatave cilindrike 
### Fushat vektoriale 
Vektorët përcaktohen në koordinata cilindrike me treshen e renditur ( *ρ*, *φ*, *z* ), ku

* *ρ* është gjatësia e vektorit të projektuar në planin *xy* ,
* *φ* është këndi ndërmjet projeksionit të vektorit në rrafshin *xy* (dmth. *ρ* ) dhe boshtit pozitiv *x* (0 ≤ *φ* \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} \rho\cos\phi \\ \rho\sin\phi \\ z \end{bmatrix}.
parapamje
ose anasjelltas nga:\mathbf A
= A_x \mathbf{\hat x} + A_y \mathbf{\hat y} + A_z \mathbf{\hat z} 
= A_\rho \mathbf{\hat \rho} + A_\phi \boldsymbol{\hat \phi} + A_z \mathbf{\hat z}Çdo fushë vektoriale mund të shkruhet në terma të vektorëve njësi si:\begin{bmatrix}\mathbf{\hat \rho} \\ \boldsymbol{\hat\phi} \\ \mathbf{\hat z}\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
 \cos\phi & \sin\phi & 0 \\
 -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\
 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \mathbf{\hat x} \\ \mathbf{\hat y} \\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix}Vektorët njësi cilindrikë janë të lidhur me vektorët njësi kartezianë nga:\dot{\mathbf{A}} = \dot{A}_x \hat{\mathbf{x}} + \dot{A}_y \hat{\mathbf{y}} + \dot{A}_z \hat{\mathbf{z}}

### Derivati kohor i një fushe vektoriale 
Për të zbuluar se si ndryshon fusha vektoriale **A** në kohë, duhet të llogariten derivatet e kohës. Për këtë qëllim , shënimi i Njutonit do të përdoret për derivatin e kohës ( \dot{\mathbf{A}} ). Në koordinatat karteziane kjo jepet thjesht si:\dot{\mathbf{A}} = \dot{A}_\rho \hat{\boldsymbol{\rho}} + A_\rho \dot{\hat{\boldsymbol{\rho}}} 
 + \dot{A}_\phi \hat{\boldsymbol{\phi}} + A_\phi \dot{\hat{\boldsymbol{\phi}}}
 + \dot{A}_z \hat{\boldsymbol{z}} + A_z \dot{\hat{\boldsymbol{z}}}Megjithatë/Sidoqoftë, në koordinatat cilindrike kjo bëhet:\begin{align}
 \dot{\hat{\mathbf{\rho}}} & = \dot{\phi} \hat{\boldsymbol{\phi}} \\
 \dot{\hat{\boldsymbol{\phi}}} & = - \dot\phi \hat{\mathbf{\rho}} \\
 \dot{\hat{\mathbf{z}}} & = 0
\end{align}Nevojiten derivatet kohore të vektorëve njësi. Ato jepen nga:\dot{\mathbf{A}}
= \hat{\boldsymbol{\rho}} \left(\dot{A}_\rho - A_\phi \dot{\phi}\right)
 + \hat{\boldsymbol{\phi}} \left(\dot{A}_\phi + A_\rho \dot{\phi}\right)
 + \hat{\mathbf{z}} \dot{A}_zPra, derivati i kohës thjeshtohet në:\begin{bmatrix} \rho \\ \phi \\ z \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
\sqrt{x^2 + y^2} \\ \operatorname{arctan}(y / x) \\ z
\end{bmatrix},\ \ \ 0 \le \phi 

### Derivati i dytë kohor i një fushe vektoriale 
Derivati i dytë sipas kohës është me interes në fizikë, pasi gjendet në ekuacionet e lëvizjes për sistemet mekanike klasike . Derivati i dytë kohor i një fushe vektoriale në koordinatat cilindrike jepet nga:\mathbf{\ddot A}
= \mathbf{\hat \rho} \left(\ddot A_\rho - A_\phi \ddot\phi - 2 \dot A_\phi \dot\phi - A_\rho \dot\phi^2\right)
 + \boldsymbol{\hat\phi} \left(\ddot A_\phi + A_\rho \ddot\phi + 2 \dot A_\rho \dot\phi - A_\phi \dot\phi^2\right)
 + \mathbf{\hat z} \ddot A_zPër të kuptuar këtë shprehje, **A** zëvendësohet me **P**, ku **P** është vektori ( *ρ*, *φ*, *z* ).Kjo do të thotë se \mathbf{A} = \mathbf{P} = \rho \mathbf{\hat \rho} + z \mathbf{\hat z} .

Pas zëvendësimit jepet rezultati:\ddot\mathbf{P}
= \mathbf{\hat \rho} \left(\ddot \rho - \rho \dot\phi^2\right)
 + \boldsymbol{\hat\phi} \left(\rho \ddot\phi + 2 \dot \rho \dot\phi\right)
 + \mathbf{\hat z} \ddot z\begin{align}
 \ddot \rho \mathbf{\hat \rho}     &= \text{nxitimi i jashtëm qëndror} \\
 -\rho \dot\phi^2 \mathbf{\hat \rho}  &= \text{nxitimi qëndërsynues} \\
 \rho \ddot\phi \boldsymbol{\hat\phi}   &= \text{nxitimi këndor} \\
 2 \dot \rho \dot\phi \boldsymbol{\hat\phi} &= \text{efekti i Koriolisit} \\
 \ddot z \mathbf{\hat z}        &= \text{nxitimi-z}
\end{align}

## Sistemi i koordinatave sferike 
### Fushat vektoriale 
Vektorët përcaktohen në koordinata sferike me ( *r*, *θ*, *φ* ), ku

* *r* është gjatësia e vektorit,
* *θ* është këndi ndërmjet boshtit pozitiv Z dhe vektorit në fjalë (0 ≤ *θ* ≤ *π* ), dhe
* *φ* është këndi ndërmjet projeksionit të vektorit në planin *xy* dhe boshtit pozitiv X (0 ≤ *φ* \begin{bmatrix}r \\ \theta \\ \phi \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ \arccos(z / \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}) \\ \arctan(y / x)
\end{bmatrix},\ \ \ 0 \le \theta \le \pi,\ \ \ 0 \le \phi ose anasjelltas nga:\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} r\sin\theta\cos\phi \\ r\sin\theta\sin\phi \\ r\cos\theta\end{bmatrix}.Çdo fushë vektoriale mund të shkruhet në terma të vektorëve njësi si:\mathbf A
 = A_x\mathbf{\hat x} + A_y\mathbf{\hat y} + A_z\mathbf{\hat z} 
 = A_r\boldsymbol{\hat r} + A_\theta\boldsymbol{\hat \theta} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi}Vektorët e njësive sferike lidhen me vektorët njësi kartezian nga:\begin{bmatrix}\boldsymbol{\hat{r}} \\ \boldsymbol{\hat\theta} \\ \boldsymbol{\hat\phi} \end{bmatrix}
 = \begin{bmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\
          \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\
          -\sin\phi     & \cos\phi      & 0 \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix} \mathbf{\hat x} \\ \mathbf{\hat y} \\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix}Kështu, vektorët njësi kartezianë janë të lidhur me vektorët sferikë njësi nga:\begin{bmatrix}\mathbf{\hat x} \\ \mathbf{\hat y} \\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix}
 = \begin{bmatrix} \sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & -\sin\phi \\
          \sin\theta\sin\phi & \cos\theta\sin\phi & \cos\phi \\
          \cos\theta     & -\sin\theta    & 0 \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix} \boldsymbol{\hat{r}} \\ \boldsymbol{\hat\theta} \\ \boldsymbol{\hat\phi} \end{bmatrix}

### Derivati kohor i një fushe vektoriale 
Për të zbuluar se si ndryshon fusha vektoriale A në kohë, duhet të llogariten derivatet e kohës. Në koordinatat karteziane kjo jepet thjesht si:\mathbf{\dot A} = \dot A_x \mathbf{\hat x} + \dot A_y \mathbf{\hat y} + \dot A_z \mathbf{\hat z}Sidoqoftë, në koordinatat sferike kjo merr trajtën:\mathbf{\dot A} = \dot A_r \boldsymbol{\hat r} + A_r \boldsymbol{\dot{\hat r}}
 + \dot A_\theta \boldsymbol{\hat\theta} + A_\theta \boldsymbol{\dot{\hat\theta}}
 + \dot A_\phi \boldsymbol{\hat\phi} + A_\phi \boldsymbol{\dot{\hat\phi}}Nevojiten derivatet kohore të vektorëve njësi. Ato jepen nga:\begin{align}
 \boldsymbol{\dot{\hat r}} &= \dot\theta \boldsymbol{\hat\theta} + \dot\phi\sin\theta \boldsymbol{\hat\phi} \\
 \boldsymbol{\dot{\hat\theta}} &= - \dot\theta \boldsymbol{\hat r} + \dot\phi\cos\theta \boldsymbol{\hat\phi} \\
 \boldsymbol{\dot{\hat\phi}} &= - \dot\phi\sin\theta \boldsymbol{\hat{r}} - \dot\phi\cos\theta \boldsymbol{\hat\theta}
\end{align}Kështu derivati sipas kohës shkruhet:\mathbf{\dot A}
= \boldsymbol{\hat r} \left(\dot A_r - A_\theta \dot\theta - A_\phi \dot\phi \sin\theta \right)
 + \boldsymbol{\hat\theta} \left(\dot A_\theta + A_r \dot\theta - A_\phi \dot\phi \cos\theta\right)
 + \boldsymbol{\hat\phi} \left(\dot A_\phi + A_r \dot\phi \sin\theta + A_\theta \dot\phi \cos\theta\right)