Shpejtësia këndore

[thumb|250px|Shpejtësia këndore përshkruan shpejtësinë e [rrotullimit dhe orientimit të boshtit të menjëhershëm ndaj të cilit ndodh rotacioni. Drejtimi i vektorit të shpejtësisë këndore do të jetë përgjatë boshtit të rrotullimit, në këtë rast (rotullim kundër orës) pikat e vektorit më lart.]]

Në fizikë, **shpejtësia këndore** është një madhësi vektoriale (më saktësisht, një pseudovektor) e cila përcakton **shpejtësinë këndore** të një objekti përgjatë aksit në të cilin objekti është në rotullim. Në sistemin e njësive SI njësia e shpejtësisë këndore është radian per sekondë, edhe pse kjo mund të jetë e matur në njësi të tjera të tilla si gradë për sekondë, rrotullime për sekondë, gradë për orë, etj. Kur matet në njësi ciklesh apo rotullime për Orë (p.sh rrotullime për minutë), zakonisht ajo është  quajtur shpesh, shpejtësisa rrotulluese dhe madhësia e saj moduli i shpejtësise kendore. Shpejtesi këndore përfaqësohet zakonisht nga simboli omega (**Ω** ose **ω**). Drejtimi i vektorit të shpejtësisë këndore është pingul me planin e rrotullimit, në një drejtim që është specifikuar zakonisht nga rregulli i dorës së djathtë.

## Shpejtësia këndore e një thërrmije 
### Në dy përmasa 
[right|256 px|thumb|Shpejtësia këndore e nje therrmije tek P në lidhje me origjinën O është e përcaktuar nga [komponenti pingul i vektorit të shpejtesise **v**.]]

Shpejtësia këndore e nje thërrmije në një plan 2-dimensional është e lehtë për tu kuptuar. Siç tregohet në figurën më të djathtë (zakonisht i shprehim përmasat kendore *φ* dhe *θ* në radian ), në qoftë se ne heqim një vijë nga origjina (O) për tek thërmija (P ), atëhere vektori i shpejtësisë (**v**) i thërrmijës do të ketë një komponent përgjatë rrezes (Komponenti rrezor, **v**∥) dhe një komponent perpendikular me rrezen (komponent rrezor-kryq , **v**_\perp). Megjithatë, duhet të mbahet mend se vektorit te shpejtesise mund të dekompozohet edhe në komponente tangencialë dhe normalë.

Lëvizja rrezore nuk prodhon asnjë ndryshim në distancë të grimcës në lidhje me origjinën, kështu që për të gjetur shpejtesinë këndore komponenti paralel (rrezor) mund të injorohet. Prandaj, rotacioni është prodhuar tërësisht nga lëvizja tangenciale (si ajo e nje thërrmije që lëviz përgjatë një perimetri), dhe shpejtësia këndore është e caktuar plotësisht nga komponenti tangjencial (pingul).

Kjo mund të shihet se shkalla e ndryshimit të pozitës kendore e thërrmije ka të bëjë me ndër-shpejtesinë radiale nga: : Nga kjo rezulton se në hapësirën tre dimensionale shpejtësia këndore mund të përfaqësohet nga një vektor për shkak se numri i komponentëve të pavarur është i barabartë me numrin e dimensioneve të hapësirës.

## Shpejtësia këndore e trupit të ngurtë 
right|256px|thumb|Pozicioni i një pike P të vendosur në trupin e ngurtë (treguar me blu). **R**i është pozicioni në lidhje me sistemin e referencës së laboratorit, të përqendruar në *O*, dhe **r**i është pozicioni në lidhje me sistemin e referencës së trupit të ngurtë, të përqendruar në *O*. Origjina e koordinatave të trupit të ngurtë jepet nga vektori i pozicionit **R** nga sistemi i referencës së laboratorit.

Në mënyrë që të trajtojmë rastin e një trupi të ngurtë, është më mirë të marrim në shqyrtim një sistem kordinativ që është  i fiksuar në lidhje me trupin e ngurtë, dhe të studiojme transformimet  koordinative midis kësaj koordinate dhe koordinatave fikse  të "Sistemi të laboratorit"  . Siç tregohet në figurën më të djathtë, origjina e sistemit të laboratorit është në pikën O , origjina e trupit të ngurtë është në  O' dhe distanca nga "O" tek "O" është vektori *R*'. Një thërrmijë (*i*) në një trup të ngurtë është vendosur në pikën P dhe vektori i pozicionit i kësaj grimce është **R**i në këndin e referencës së laboratorit, dh tek pozicioni **r** i  në këndin e referencës së trupit të ngurtë. Shihet se pozita e grimcë mund të  shkruhet si:

:\mathbf{R}_i=\mathbf{R}+\mathbf{r}_i

Karakteristika kryesore e një trupi të ngurtë është se distanca në mes çdo dy pikave të një trupi të ngurtë është e pandryshueshme në kohë. Kjo do të thotë se gjatesia e vektorit \mathbf{r}_i është e pandryshueshme. Nga Teorema e rrotullimi e Ojlerit, ne mund të zëvendësojmë vektorin \mathbf{r}_i with \mathcal{R}\mathbf{r}_{io} ku \mathcal{R} është një matricë e rrotullimit dhe \mathbf{r}_{io} është pozicioni i thërrmijës në një pikë të caktuar në kohë, le te themi t = 0. Ky zëvendësim është i dobishm, sepse tani ajo është vetëm matrica rrotullimit \mathcal{R} që po ndryshon në kohë dhe jo vektori i referimit \mathbf{r}_{io}, pergjate kohes qe trup i ngurtë rotullohet rreth pikës O'. Pozicioni i thermijes  tani shkruhet si:

:\mathbf{R}_i=\mathbf{R}+\mathcal{R}\mathbf{r}_{io}

Po te marrim derivatin kohor marrim shpejtesine e therrmijes:

:\mathbf{V}_i=\mathbf{V}+\frac{d\mathcal{R}}{dt}\mathbf{r}_{io}

ku **V**i është shpejtësia e therrmijes (në kuadrin laborator) dhe **V** është shpejtësia e O'(origjina e trupit të ngurtë kuadër ). Meqënese \mathcal{R} është një matricë rrotullimit inversi i saj është transpozimi i saj. Pra, ne zëvendësojme

\mathcal{I}=\mathcal{R}^T\mathcal{R}:

:\mathbf{V}_i=\mathbf{V}+\frac{d\mathcal{R}}{dt}\mathcal{I}\mathbf{r}_{io}

:\mathbf{V}_i=\mathbf{V}+\frac{d\mathcal{R}}{dt}\mathcal{R}^T\mathcal{R}\mathbf{r}_{io}

:\mathbf{V}_i=\mathbf{V}+\frac{d\mathcal{R}}{dt}\mathcal{R}^T\mathbf{r}_{i}

Tani vazhdojme duke marre derivatin kohor te \mathcal{R}\mathcal{R}^T:

:\mathcal{I}=\mathcal{R}\mathcal{R}^T

:0=\frac{d\mathcal{R}}{dt}\mathcal{R}^T+\mathcal{R}\frac{d\mathcal{R}^T}{dt}

Ketu aplikojme formulen (**AB**)T = **B**T**A**T:

:0=\frac{d\mathcal{R}}{dt}\mathcal{R}^T+\left(\frac{d\mathcal{R}}{dt}\mathcal{R}^T\right)^T

\frac{d\mathcal{R}}{dt}\mathcal{R}^T është negativja e transpozimit e saj. Prandaj ai është një  matricë simetrike e anuar 3x3. Prandaj ne mund të dualen e saj për të marrë një vektor 3 dimensional. \frac{d\mathcal{R}}{dt}\mathcal{R}^T quhet tensori i shpejtësië këndore. Nëse marrim dualen e këtij tensori, shumëzimi i matricës është zëvendësuar nga produkt vektorial. Dualja e sajequhet pseudovektor i shpejtesise kendore, ω.

:\boldsymbol\omega=[\omega_x,\omega_y,\omega_z]

Zëvendësuar ω në shprehjen e shpejtësise se mësipërme:

:\mathbf{V}_i=\mathbf{V}+\boldsymbol\omega\times\mathbf{r}_i.

Kjo mund të shihet se shpejtesia e një pike në një trup te ngurtë mund të ndahet në dy komponenete- shpejtesia e nje pike referimi fikse në trupin e ngurtë plus termi i produktit vektorial që përfshin shpejtesine kendore te nje therrmije ne lidhje me nje pikë referimi . Kjo shpejtësi këndore është  shpejtësia këndore e "spinit" e trupit të ngurtë në krahasim me shpejtesia kendore  pikes se referimi O' rreth origjinës O.

Kjo është një'' 'pikë e rëndësishme'* që spini i shpejtesise kendore e çdo grimcë të trupit të ngurtë është i njëjtë, dhe se spini i shpejtesisea kendore është i pavarur nga zgjedhja e origjinës së sistemit të trupit të ngurtë ose të sistemit laboratorit . Me fjalë të tjera, ajo është një madhesi reale fizike, e cila është një veti e trupit të ngurtë, e pavarur nga zgjedhja e një sistemi koordinativ. Shpejtësia këndore e pikë referimi për origjinën e kendit te references selaboratorit , megjithatë, do varet nga këto zgjedhje të sistemit koordinativ. Shpesh është i përshtatshëm për të zgjedhur qendëren e masës të trupit të ngurtë, si origjinen e sistemit të trupit të ngurtë, cka rezulton ne një thjeshtësim të konsiderueshm matematikor qe ndodh në shprehjen për momentin këndor të trupit të ngurtë.

Nëse pika e referimi është "boshti i menjëhershëm i rrotullimit" shprehja e shpejtësisë së një pike në nje trup të ngurtë do të ketë vetëm termin e shpejtesise kendore. Kjo është për shkak se shpejtësia e çastit e boshti te rrotullimit është zero. Një shembull i menjëhershëm boshti i rrotullimit është boshti rotullues is një dere. Një tjetër shembull është pika e kontaktit për një trupi sferik te ngurtë.

## Shikoni gjithashtu 
* Frekuenca këndore
* Nxitimi këndor
* Momenti këndor
* Shpejtësia sipërfaqësore
* Izometria
* Algjebra e Lie
* Grupi Ortogonal
* Dinamika e trupit të ngurtë
* Grupi i rotullimit

## Referime 
* 
* 

## Lidhje të jashtme 
A college text-book of physics By Arthur Lalanne Kimball (*Angular Velocity of a particle'')