Matrica katrore

[parapamje| Një matricë katrore e rendit 4. Hyrjet a_{ii} formojnë [Diagonalja kryesore|diagonalen kryesore të një matrice katrore. Për shembull, diagonalja kryesore e matricës 4×4 më sipër përmban elementet a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10 .]]
Në matematikë, një **matricë katrore** është një matricë me të njëjtin numër rreshtash dhe kolonash. Një matricë *n* -nga- *n* njihet si matricë katrore e rendit  Çdo dy matrica katrore të të njëjtit rend mund të shtohen dhe shumëzohen.

Matricat katrore përdoren shpesh për të përfaqësuar transformime të thjeshta lineare, të tilla si krasitja ose rrotullimi . Për shembull, nëse R është një matricë katrore që përfaqëson një rrotullim ( matricë rrotullimi ) dhe \mathbf{v} është një vektor kolone që përshkruan pozicionin e një pike në hapësirë, prodhimi R\mathbf{v} jep një vektor tjetër kolone që përshkruan pozicionin e asaj pike pas atij rrotullimi. Nëse \mathbf{v} është një vektor rreshti, i njëjti transformim mund të merret duke përdorur {{Nowrap|\mathbf{v} R^{\mathsf T},}} ku R^{\mathsf T} është transpozimi i 

### Matrica e kthyeshme dhe anasjellta e saj 
Një matricë katrore A quhet *e invertueshme* ose *josingulare* nëse ekziston një matricë B e tillë që   AB = BA = I_n. Nëse B ekziston, është unike dhe quhet *matricë e anasjelltë* e  shënohet {{Nowrap|A^{-1}.}}

### Matrica e përcaktuar 
Një matricë simetrike n × n quhet *pozitivisht e përcaktuar* (përkatësisht negative-përcaktuar; e pacaktuar), nëse për të gjithë vektorët jozero x \in \mathbb{R}^n forma e lidhur kuadratike e dhënë nga Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^\mathsf{T} A \mathbf{x} merr vetëm vlera pozitive (përkatësisht vetëm vlera negative; edhe disa vlera negative edhe disa pozitive).  Nëse forma kuadratike merr vetëm vlera jo negative (përkatësisht vetëm jo pozitive), matrica simetrike quhet pozitive-gjysmëcaktuar (përkatësisht negative-gjysmëpërcaktuar); pra matrica është e pacaktuar pikërisht kur nuk është as pozitive-gjysmëpërcaktuar as negative-gjysmëpërcaktuar.

### Matrica ortogonale 
Një *matricë ortogonale* është një matricë katrore me hyrje reale, kolonat dhe rreshtat e së cilës janë vektorë njësi ortogonale (dmth. vektorë ortonormalë ). Në mënyrë ekuivalente, një matricë *A* është ortogonale nëse transpozimi i saj është i barabartë me inversin e saj: A^\textsf{T} = A^{-1},  që nënkupton A^\textsf{T} A = A A^\textsf{T} = I,  ku *unë* jam matrica e identitetit .

### Eigenvlerat dhe eigenvektorët 
Një numër  dhe një vektor jozero \mathbf{v} që kënaqin barazimin A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} quhen *eigenvlera* dhe *eigenvektorë* të  respektivisht.   Numri  është një vlerë vetjake e një matrice   nëse dhe vetëm nëse  nuk është i kthyeshëm, që është e njëvlerëshme me  \det(A-\lambda I) = 0. Polinomi  në një  të papërcaktuar i dhënë me vlerësimin e përcaktorit  quhet polinomi karakteristik i  . Është një polinom monik i shkallës *n* . Prandaj ekuacioni polinomial  ka më së shumti *n* zgjidhje të ndryshme, dmth. eigenvlera të matricës.  Ato mund të jenë komplekse edhe nëse hyrjet e  janë reale. Sipas teoremës Cayley–Hamilton, , domethënë, rezultati i zëvendësimit të matricës në polinomin e vet karakteristik jep matricën zero .