Operatori diferencial

[djathtas|parapamje|300x300px| Një funksion harmonik i përcaktuar në një unazë . Funksionet harmonike janë pikërisht ato funksione që qëndrojnë në bërthamën e [Operatori i Laplasit|operatorit të Laplasit, një operator diferencial i rëndësishëm.]]
Në matematikë, një **operator diferencial** është një operator i përcaktuar si funksion i operatorit të diferencimit . Është i dobishëm, si çështje shënimi, së pari, të konsiderohet diferencimi si një veprim abstrakt që pranon një funksion dhe kthen një funksion tjetër (në stilin e një funksioni të rendit më të lartë në shkencën kompjuterike ).

Ky artikull shqyrton kryesisht operatorët diferencialë linearë, të cilët janë lloji më i zakonshëm. Megjithatë, ekzistojnë edhe operatorë diferencialë jolinearë, siç është derivati Schwarzian .

## Përkufizimi 
Duke pasur parasysh një numër të plotë jonegativ *m*, një urdhër- m operatori diferencial linear është një hartë P nga një hapësirë funksioni \mathcal{F}_1 në një hapësirë tjetër funksioni \mathcal{F}_2 që mund të shkruhet si:P f = \sum_f}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}ku \alpha = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) është një multi-indeks i numrave të plotë jo negativë, |\alpha| = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n, dhe për secilën \alpha, a_\alpha(x) është një funksion në një fushë të hapur në hapësirë *n* -dimensionale. Operatori D^\alpha interpretohet sip(x, \xi) = \sum_}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}Shënimi D^{\alpha} është i justifikuar (dmth. i pavarur nga rendi i diferencimit) për shkak të simetrisë së derivateve të dyta.

Polinomi *p* përftohet duke zëvendësuar *D* me ndryshore \xi në *P* quhet **simboli total** i *P* ; dmth, simboli total i *P* më sipër është:

p(x, \xi) = \sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha(x) \xi^\alphaku \xi^\alpha = \xi_1^{\alpha_1} \cdots \xi_n^{\alpha_n}. Përbërësi më i lartë homogjen i simbolit, domethënë,

: \sigma(x, \xi) = \sum_{|\alpha|= m}a_\alpha(x) \xi^\alpha

quhet **simboli parësor** i *P.* Ndërsa simboli total nuk është i përcaktuar në thelb, simboli parësor, në thelb, është i përcaktuar (d.m.th., është një funksion në paketën kotangjente). 

Në përgjithësi, le të jenë *E* dhe *F* grupe vektoriale mbi një shumëfish *X* . Pastaj operatori linear

:  P: C^\infty(E) \to C^\infty(F) 

është një operator diferencial i rendit  k  nëse, në koordinatat vendore në *X*, kemi

:  Pu(x) = \sum_{|\alpha| = k} P^\alpha(x) \frac {\partial^\alpha u} {\partial x^{\alpha}} + \text{termat e rendeve të ulta}

ku, për çdo α multi-indekse,  P^\alpha(x):E \to F është një hartë pako, simetrike në indekset α.

Koeficientët e rendit *k* të *P-* të shndërrohen si tensor simetrik

:  \sigma_P: S^k (T^*X) \otimes E \to F 

domeni i të cilit është prodhimi sipas tensorëve i fuqisë *k* - simetrike të paketës kotangjente të *X* me *E*, dhe kodomani i së cilës është *F* . Ky tensor simetrik njihet si **simboli parësor** (ose thjesht **simboli** ) i *P* .

## Interpretimi Furier 
Një operator diferencial *P* dhe simboli i tij shfaqen natyrshëm në lidhje me transformimin Furier si më poshtë. Le të jetë ƒ një funksion Schwartz . Pastaj nga transformimi i anasjelltë i Furierit,

: Pf(x) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{d}{2}}} \int\limits_{\mathbf{R}^d} e^{ ix\cdot\xi} p(x,i\xi)\hat{f}(\xi)\, d\xi.

## Shembuj 
* Operatori diferencial  P  është eliptik nëse simboli i tij është i kthyeshëm; që është për çdo jozero  \theta \in T^*X  harta e paketës  \sigma_P (\theta, \dots, \theta) është e kthyeshme. Në një durth kompakt, nga teoria eliptike rrjedh se *P* është një operator Fredholm : ai ka kernel dhe kokernel me dimensione të fundme.
* Në studimin e ekuacioneve diferenciale të pjesshme hiperbolike dhe parabolike, zerot e simbolit kryesor korrespondojnë me karakteristikat e ekuacionit diferencial të pjesshëm.
* Në zbatimet e shkencave fizike, operatorë të tillë si operatori i Laplasit luajnë një rol të madh në vendosjen dhe zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale të pjesshme .
* Në topologjinë diferenciale, operatorët e derivatit të jashtëm dhe të derivatit Lie kanë kuptim të brendshëm.
* Në algjebër abstrakte, koncepti i një derivimi lejon përgjithësime të operatorëve diferencialë, të cilët nuk kërkojnë përdorimin e llogaritjes. Shpesh përgjithësime të tilla përdoren në gjeometrinë algjebrike dhe algjebrën komutative. Shihni gjithashtu Jet (matematikë) .
* Në zhvillimin e funksioneve holomorfike të një ndryshoreje komplekse *z* = *x* + *i*&#x2009;*y*, ndonjëherë një funksion kompleks konsiderohet të jetë një funksion i dy ndryshoreve reale *x* dhe *y*. Përdorimi bëhet nga derivatet Wirtinger, të cilët janë operatorë diferencialë të pjesshëm:  \frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} \right) \ ,\quad \frac{\partial}{\partial\bar{z}}= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right) \ .\frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} \right) \ ,\quad \frac{\partial}{\partial\bar{z}}= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right) \ .
* Operatori diferencial del, i quajtur edhe *nabla*, është një operator diferencial vektorial i rëndësishëm. Shfaqet shpesh në fizikë në vende si forma diferenciale e ekuacioneve të Maxwell-it. Në koordinatat karteziane tredimensionale, del përkufizohet si

: \nabla = \mathbf{\hat{x}} {\partial \over \partial x} + \mathbf{\hat{y}} {\partial \over \partial y} + \mathbf{\hat{z}} {\partial \over \partial z}.
: Del përcakton gradientin dhe përdoret për të llogaritur kaçurrelin, divergjencën dhe laplasin e objekteve të ndryshme.