Faktori integrues

Në matematikë, një **faktor integrues** është një funksion që zgjidhet për të lehtësuar zgjidhjen e një ekuacioni të caktuar që përfshin diferenciale . Përdoret zakonisht për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale të zakonshme (EDZ), por përdoret gjithashtu brenda llogaritjeve me shumë ndryshore kur shumëzimi me një faktor integrues lejon që një diferencial i pasaktë të shndërrohet në një diferencial të saktë (i cili më pas mund të integrohet për të dhënë një fushë skalare ). Kjo është veçanërisht e dobishme në termodinamikë ku temperatura bëhet faktori integrues që e bën entropinë një diferencial të saktë.

## Përdorni 
Një faktor integrues është çdo shprehje me të cilën shumëzohet një ekuacion diferencial për të lehtësuar integrimin. Për shembull, ekuacioni jolinear i rendit të dytë

: \frac{d^2 y}{d t^2} = A y^{2/3}

ka për faktor integrues \frac{d y}{d t} :

: \frac{d^2 y}{d t^2} \frac{d y}{d t} = A y^{2/3} \frac{d y}{d t}.

Për t'u integruar, vini re se të dyja anët e ekuacionit mund të shprehen si derivate duke shkuar mbrapa me rregullin zinxhir :

: \frac{d}{d t}\left(\frac 1 2 \left(\frac{d y}{d t}\right)^2\right) = \frac{d}{d t}\left(A \frac 3 5 y^{5/3}\right).

Atëherë,

: \left(\frac{d y}{d t}\right)^2 = \frac{6 A}{5} y^{5/3} + C_0.

ku C_0 është një konstante.

Kjo trajtë mund të jetë më e dobishme, në varësi të zbatimit. Kryerja e një ndarje të ndryshoreve do të japë

: \int_{y(0)}^{y(t)} \frac{d y}{\sqrt{\frac{6 A}{5} y^{5/3} + C_0}} = t

Kjo është një zgjidhje e nënkuptuar që përfshin një integral jo-elementar . E njëjta metodë përdoret për të zgjidhur ekuacionin e periodës së një lavjerrësi të thjeshtë.

### Zgjidhja e EDZve lineare të rendit të parë 
Faktorët integrues janë të dobishëm për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale të zakonshme që mund të shprehen në trajtën

:  y'+ P(x)y = Q(x)

Ideja themelore është të gjesh një funksion, le të themi M(x), i quajtur "faktori integrues", të cilin ne mund ta shumëzojmë në të dyja anët ekuacionit tonë diferencial në mënyrë që të sjellim anën e majtë nën një derivat të përbashkët. Për ekuacionin diferencial linear kanonik të rendit të parë të paraqitur më sipër, faktori integrues është e^{\int P(x) \, dx} .

Le të jetë M(x) faktori integrues i një ekuacioni diferencial linear të rendit të parë i tillë që shumëzimi me M(x) të transformojë një derivat të pjesshëm në një derivat të plotë, atëherë:

# M(x)\underset{\text{partial derivative}}{(\underbrace{y'+P(x)y})}
# M(x)y'+M(x)P(x)y 
# \underbrace{M(x)y'+M'(x)y}_{\text{total derivative}}

Kalimi nga hapi 2 në hapin 3 e kërkon që M(x)P(x)=M'(x), i cili është një ekuacion diferencial i ndashëm, zgjidhja e të cilit jep M(x) ne kushtet e P(x) :

#
# M(x)P(x) = M'(x)
# P(x) = \frac{M'(x)}{M(x)}
# \int P(x) \, dx = \ln M(x) + c
# M(x)=Ce^{\int P(x) \, dx}

Për të verifikuar, duke shumëzuar me M(x) jep

:  M(x)y' + P(x) M(x)y = Q(x)M(x)

Duke zbatuar rregullin e produktit në të kundërt, shohim se ana e majtë mund të shprehet si një derivat i vetëm në x

:  M(x)y' + P(x) M(x)y = M(x)y' + M'(x)y = \frac{d}{dx}( M(x)y)

Ne e përdorim këtë fakt për të thjeshtuar shprehjen tonë

: \frac{d}{dx}\left( M(x)y\right) = Q(x) M(x)

Integrimi i të dyja anëve sipas x jep

: Ce^{\int P(x) \, dx}y = \int Q(x) Ce^{\int P(x) \, dx} dx 

:  e^{\int P(x) \, dx}y = \left( \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \,dx \right)+ C

ku C është një konstante.

Duke kaluar eksponencialin në anën e djathtë, zgjidhja e përgjithshme për ekuacionin diferencial të zakonshëm është:

: y = e^{-\int P(x) \, dx}\left( \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \,dx \right)+ Ce^{- \int P(x) \, dx}

Në rastin e një ekuacioni diferencial homogjen, Q(x) = 0 dhe zgjidhja e përgjithshme për EDZnë është:

:  y = Ce^{- \int P(x) \, dx} .

për shembull, konsideroni ekuacionin diferencial

: y'-\frac{2y}{x} = 0.

Këtë mund ta shohim se në këtë rast P(x) = \frac{-2}{x}

: M(x)=e^{\int_1^x P(x) dx}

: M(x)=e^{\int_1^x \frac{-2}{x}\,dx} = e^{-2 \ln x} = {\left(e^{\ln x}\right)}^{-2} = x^{-2}

: M(x)=\frac{1}{x^2}.

Duke shumëzuar të dyja anët me M(x) marrim

: \frac{y'}{x^2} - \frac{2y}{x^3} = 0

Ekuacioni i mësipërm mund të rishkruhet si

: \frac{d (x^{-2}y)}{dx} = 0

Duke integruar të dyja anët në lidhje me x, ne marrim

:  x^{-2}y = C

ose

:  y = Cx^2

I njëjti rezultat mund të arrihet duke përdorur metodën e mëposhtme

: \frac{y'}{x^2} - \frac{2y}{x^3} = 0

: \frac{y'x^3 - 2x^2y}{x^5} = 0

: \frac{x(y'x^2 - 2xy)}{x^5} = 0

: \frac{y'x^2 - 2xy}{x^4} = 0.

Kthimi i rregullës së herësit jep

: \left(\frac{y}{x^2}\right)' = 0

ose

: \frac{y}{x^2} = C,

ose

: y = Cx^2.

ku C është një konstante.

### Zgjidhja e EDZve lineare të rendit të dytë 
Metoda e faktorëve të integrimit për ekuacionet e rendit të parë mund të shtrihet natyrshëm edhe tek ekuacionet e rendit të dytë. Qëllimi kryesor në zgjidhjen e ekuacioneve të rendit të parë ishte gjetja e një faktori integrues M(x) të tillë që duke u shumëzuar y'+p(x)y=h(x) nga ajo do të merrej (M(x)y)'=M(x)h(x), pas së cilës integrimi dhe pjesëtimi pasuese me M(x) do të jepte y . Për ekuacionet diferenciale lineare të rendit të dytë, nëse duam M(x)=e^{\int p(x)\,dx} të funksionojë si një faktor integrues, atëherë

: (M(x)y)*=M(x)\left(y* + 2p(x)y' + \left(p(x)^2+p'(x)\right) y \right)=M(x)h(x)

Kjo nënkupton që një ekuacion i rendit të dytë duhet të jetë saktësisht në formë y'' + 2p(x)y' + \left(p(x)^2+p'(x)\right) y=h(x) që faktori integrues të jetë i përdorshëm.

#### Shembulli 1 
Për shembull, ekuacioni diferencial

: y''+2xy'+\left(x^2+1\right)y=0

mund të zgjidhet pikërisht me faktorë integrues. Funksioni i përshtatshëm  p(x) mund të konkludohet duke shqyrtuar kufizën y' . Në këtë rast, 2p(x)=2x, kështu që p(x)=x . Pas ekzaminimit të kufizës y , ne shohim se ne në fakt kemi p(x)^2+p'(x)=x^2+1, kështu që ne do t'i shumëzojmë të gjitha kufizat me faktorin integrues e^{\int x \, dx} = e^{x^2/2} . Kjo na jep

: e^{x^2/2}y''+2e^{x^2/2}p(x)y'+e^{x^2/2}\left(p(x)^2+p'(x)\right)y=0

të cilat mund të riorganizohen për të dhënë

: \left(e^{x^2/2}y\right)*=0

Integrimi dy herë jep

: e^{x^2/2}y=c_1x+c_2

Pjestimi me faktorin integrues jep:

: y=\frac{c_1x+c_2}{e^{x^2/2}}

#### Shembulli 2 
Një zbatim pak më pak i dukshëm i faktorëve integrues të rendit të dytë përfshin ekuacionin diferencial të mëposhtëm:

: y*+2\cot(x)y'-y=1

Në pamje të parë, duket qartë se kjo nuk është në formën e nevojshme për faktorët integrues të rendit të dytë. Ne kemi një kufizë 2p(x) përpara y' por jo p(x)^2+p'(x) para y . Megjithatë,

: p(x)^2+p'(x)=\cot^2(x)-\csc^2(x)

dhe nga identiteti pitagorian që lidhet me \cot(x) dhe \csc(x),

: \cot^2(x)-\csc^2(x)=-1

kështu që ne në fakt kemi kufizën e kërkuar para y dhe mund të përdorim faktorin integrues.

: e^{\int \cot(x)\,dx}=e^{\ln(\sin(x))}=\sin(x)

Duke shumëzuar çdo kufizë me \sin(x) jep

: \sin(x)y''+2\cot(x)\sin(x)y'-\sin(x)y=\sin(x)

e cila është riorganizuar si

: (\sin(x)y)''=\sin(x)

Integrimi dy herë jep

: \sin(x)y=-\sin(x)+c_1x+c_2

Së fundmi, pjesëtimi me faktorin integrues jep

: y=c_1x\csc(x)+c_2\csc(x)-1