Teorema e Ehrenfestit

**Teorema e Ehrenfestit**, e emëruar pas Paul Ehrenfest, jep lidhjen midis derivatit kohor të vlerës mesatare për një operator mekaniko-kuantik me komutatorin e atij operatori me Hamiltonianin e sistemit. Ajo është:

:\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H] \rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle

Ku *A* është një operator në MK dhe \langle A\rangle është vlera mesatare. Teorema e Ehrenfestit është diçka që pritet në teorinë e Heisenbergut të mekanikës kuantike, ku ajo është thjesht vlera mesatare e ekuacionit të lëvizjes së Heisenbergut.

Teorema e Ehrenfestit është e lidhur ngushtë me teoremën e Liouville-it nga mekanika e Hamiltonit, e cila përfshin kllapat e Poisson-it (parentezat e Puasonit) në vend të komutatorit. Në fakt, është si rregull i përgjithshëm që një teoremë në mekanikën kuantike e cila përmban një komutator, mund të kthehet në një teoremë në mekanikën klasike duke e ndërruar komutatorin me kllapat e Poisson-it dhe duke e shumëzuar me i\hbar.

## Derivimi 
Supozoni se kemi një sistem në një gjendje kuantike \Phi. Nëqoftëse duam të dimë derivatin kohor të çastit për vlerën mesatare të A, pra, nga përcaktimi:

: \frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{d}{dt}\int \Phi^* A \Phi~dx^3 = \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi~dx^3 + \int \Phi^* \left( \frac{\partial A}{\partial t}\right) \Phi~dx^3 +\int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~dx^3 

: = \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi~dx^3 + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle + \int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~dx^3 

ku po integrojmë mbi të gjithë hapësirën. Shpesh (por jo gjithmonë) operatori A është i pavarur nga koha, kështu që derivati i tij është zero dhe ne mund ta neglizhojmë termin e mesit. Po të aplikojmë ekuacionin e Schrödinger-it, gjejmë se:

:\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \frac{1}{i\hbar}H\Phi

dhe

:\frac{\partial \Phi^*}{\partial t} = \frac{-1}{i\hbar}\Phi^*H^* = \frac{-1}{i\hbar}\Phi^*H.

Vini re që H=H^* sepse Hamiltoniani është hermitian. Duke e vendosur këtë në ekuacionin e mësipërm kemi:

:\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\int \Phi^* (AH-HA) \Phi~dx^3 + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle.

## Shembull i përgjithshëm 
Për një shembull të përgjithshëm të një thërrmije masive që lëviz në një potencial, Hamiltoniani është thjesht:

: H(x,p,t) = \frac{p^2}{2m} + V(x,t) 

ku *x* është thjesht pozicioni i thërrmijës. Supozoni se duam të dimë ndryshimin e çastit të momentit *p*. Duke përdorur teoremën e Ehrenfestit, kemi:

: \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial p}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,V(x,t)]\rangle 

meqenëse *p* komuton me vetveten dhe meqenëse kur paraqitet në hapësirën koordinative, operatori i momentit p = -i\hbar\nabla atëherë  \frac{\partial p}{\partial t} = 0. Gjithashtu:

: \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \int \Phi^* V(x,t)\nabla\Phi~dx^3 - \int \Phi^* \nabla (V(x,t)\Phi)~dx^3. 

Pasi zbatojmë rregullin e prodhimit, marrim:

: \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \langle -\nabla V(x,t)\rangle = \langle F \rangle,

të cilin e njohim menjëherë si ligjin e dytë të Njutonit. Kjo është një shembull i parimit të korrespondencës, rezultati shfaqet si ligji i dytë i Njutonit në rastin kur ka shumë thërrmija saqë lëvizja totale e trupit jepet nga vlera mesatare e një thërrmije të vetme.

## Shënime