Rrethi njësi

[alt=Unit circle|parapamje| Ilustrimi i një rrethi njësi. Ndryshorja *t* është një masë [këndi .]]
parapamje| Animacion i aktit të zbërthimit të perimetrit të një rrethi njësi, një rrethi me rreze 1. Meqenëse C = 2 πr, perimetri i një rrethi njësi është 2π .
Në matematikë, një **rreth njësi** është një rreth me rreze njësi - domethënë një rreze prej 1 njësie.  Shpesh, veçanërisht në trigonometri, rrethi i njësisë është rrethi i rrezes 1 me qendër në origjinën (0, 0) në sistemin e koordinatave karteziane në rrafshin Euklidian. Në topologji, shpesh shënohet si S1 sepse është një njësi njëdimensionale sferë - n .  

Nëse (x, y) është një pikë në perimetrin e rrethit njësi, atëherë |x| dhe |y| janë gjatësitë e këmbëve të një trekëndëshi kënddrejtë, hipotenuza e të cilit ka gjatësi 1. Kështu, nga teorema e Pitagorës, x dhe y plotësojnë ekuacionin x^2 + y^2 = 1.

Meqenëse   për të gjitha *x*, dhe meqenëse pasqyrimi i çdo pike në rrethin e njësisë rreth boshtit x - ose y është gjithashtu në rrethin njësi, ekuacioni i mësipërm vlen për të gjitha pikat (x, y) në rrethin e njësisë, jo vetëm ato në kuadrantin e parë.

Pjesa e brendshme e rrethit të njësisë quhet disku i njësisë së hapur, ndërsa pjesa e brendshme e rrethit të njësisë e kombinuar me vetë rrethin e njësisë quhet disku i njësisë së mbyllur.

## Në planin kompleks 
parapamje| Animimi i rrethit njësi me kënde
Në rrafshin kompleks, numrat e madhësisë njësi quhen numra kompleks njësi . Ky është bashkësia e numrave kompleksë z të tillë që |z| = 1. Kur ndahet në përbërës realë dhe imagjinarë z = x + iy, kjo gjendje është |z|^2 = z\bar{z} = x^2 + y^2 = 1.

Rrethi kompleks i njësisë mund të parametrizohet me masë këndi \theta nga boshti real pozitiv duke përdorur funksionin kompleks eksponencial, z = e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta.

## Funksionet trigonometrike në rrethin njësi 
djathtas|parapamje|350x350px| Të gjitha funksionet trigonometrike të këndit θ (theta) mund të ndërtohen gjeometrikisht në terma të një rrethi njësi të përqendruar në *O.*
parapamje| Funksioni i sinusit në rrethin e njësisë (lart) dhe grafiku i tij (poshtë)
Funksionet trigonometrike kosinus dhe sinus të këndit θ mund të përcaktohen në rrethin njësi si më poshtë: Nëse (x, y ) është një pikë në rrethin njësi, dhe nëse rrezja nga origjina (0, 0) në (x, y ) formon një kënd θ nga boshti pozitiv x, (ku kthimi në drejtim të kundërt të akrepave të orës është pozitiv), atëherë \cos \theta = x \quad\text{and}\quad \sin \theta = y.

Ekuacioni  jep relacionin  \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1.

Rrethi i njësisë tregon gjithashtu se sinusi dhe kosinusi janë funksione periodike, me identitetet \cos \theta = \cos(2\pi k+\theta)\sin \theta = \sin(2\pi k+\theta) për çdo numër të plotë k .

Duke përdorur rrethin e njësisë, vlerat e çdo funksioni trigonometrik për shumë kënde të ndryshme nga ato të etiketuara mund të llogariten lehtësisht me dorë duke përdorur formulat e shumës dhe ndryshesës së këndeve .
parapamje|300x300px| Rrethi njësi, që tregon koordinatat e pikave të caktuara

## Dinamika komplekse 
djathtas|parapamje| Rrethi njësi në dinamikë komplekse
Bashkësia Julia e sistemit dinamik jolinear diskret me funksion evolucioni : f_0(x) = x^2 është një rreth njësi. Është një rast më i thjeshtë, kështu që përdoret gjerësisht në studimin e sistemeve dinamike.