Rregulli i trapezit

djathtas|parapamje|Funksioni f(x) (me blu) përafrohet nga një funksion linear  (me të kuqe).
Në analizën matematike, **rregulla e trapezit** (e njohur gjithashtu si **rregulli i trapezit**) është një teknikë për integrimin numerik, i.e., përafron integralin e caktuar:\int_a^b f(x) \, dx.Rregulli i trapezit funksionon duke përafruar zonën nën grafikun e funksionit f(x) si një trapez dhe duke llogaritur sipërfaqen e tij. Nga kjo rrjedh se\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx (b-a) \cdot \tfrac{1}{2}(f(a)+f(b)).
djathtas|parapamje| Një animacion që tregon se çfarë është rregulli i trapezit dhe si zvogëlohet gabimi në përafrim ndërsa zvogëlohet madhësia e hapit
Rregulli i trapezit mund të shihet si rezultat i përftuar nga mesatarizimi i shumave të Rimanitmajtas dhe djathtas, dhe ndonjëherë përcaktohet në këtë mënyrë. Integrali mund të përafrohet edhe më mirë duke ndarë intervalin e integrimit, duke zbatuar rregullin e trapezit në çdo nëninterval dhe duke përmbledhur rezultatet. Në praktikë, ky rregull "i zinxhiruar" (ose "i përbërë") zakonisht nënkuptohet si "integrimi me rregullin e trapezit". Le  të jetë\{x_k\} një ndarje e [a,b] sikurse a=x_0  dhe \Delta x_k të jetë gjatësia e k - nënintervali i-të (d.m.th. \Delta x_k = x_k - x_{k-1} ), atëherë\int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{k=1}^N \frac{f(x_{k-1}) + f(x_k)}{2} \Delta x_k.Kur ndarja ka një hap të rregullt, siç ndodh shpesh, domethënë kur të gjitha \Delta x_k kanë të njëjtën vlerë \Delta x, formula mund të thjeshtohet për efikasitet llogaritje duke faktorizuar \Delta x jashtë:.\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{\Delta x}{2} \left(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + 2f(x_4) + \cdots + 2f(x_{N-1}) + f(x_N)\right).

## Historia 
Një dokument *shkencor* i vitit 2016 raporton se rregulli i trapezit ishte në përdorim në Babiloni para vitit 50 pes për integrimin e shpejtësisë së Jupiterit përgjatë ekliptikës . 

## Zbatimi numerik 
### Rrjetë jo uniforme 
Kur hapësira në rrjetë është jo e njëtrajtshme, mund të përdoret formula \int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx \sum_{k=1}^N \frac{f(x_{k-1}) + f(x_k)}{2} \Delta x_k ,ku \Delta x_k = x_{k} - x_{k-1} .

### Rrjetë uniforme 
Për një bashkësi të diskretizuar në N panele të barabarta, mund të ndodhë një thjeshtim i konsiderueshëm. Le të jetë\Delta x_k = \Delta x = \frac{b-a}{N}përafrimi me integralin bëhet\begin{align}
\int_{a}^{b} f(x)\, dx
&\approx \frac{\Delta x}{2} \sum_{k=1}^{N} \left( f(x_{k-1}) + f(x_{k}) \right) \\[1ex]
&= \frac{\Delta x}{2} \Biggl( f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + \dotsb + 2f(x_{N-1}) + f(x_N) \Biggr) \\[1ex]
&= \Delta x \left( \sum_{k=1}^{N-1} f(x_k) + \frac{f(x_N) + f(x_0) }{2} \right).
\end{align}

## Analiza e gabimit 
djathtas|parapamje| Një animacion që tregon se si përafrimi i rregullave trapezoidale përmirësohet me më shumë shirita për një interval me a=2 dhe b=8 . Kur numri i intervaleve N rritet, po ashtu rritet edhe saktësia e rezultatit.
Gabimi i rregullit të përbërë trapezoidal është ndryshimi midis vlerës së integralit dhe rezultatit numerik: \text{E} = \int_a^b f(x)\,dx - \frac{b-a}{N} \left[ {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{N-1} f \left( a+k \frac{b-a}{N} \right) \right]Ekziston një numër *ξ* midis *a* dhe *b*, i tillë që  \text{E} = -\frac{(b-a)^3}{12N^2} f''(\xi)Nga kjo rrjedh se nëse i integrueshmi është konkav (dhe kështu ka një derivat të dytë pozitiv), atëherë gabimi është negativ dhe rregulli trapezoidal mbivlerëson vlerën e vërtetë. Kjo mund të shihet edhe nga fotografia gjeometrike: trapezoidët përfshijnë të gjithë zonën nën kurbë dhe shtrihen mbi të. Në mënyrë të ngjashme, një funksion konkav-poshtë jep një nënvlerësim. Nëse intervali i integralit që përafrohet përfshin një pikë infleksioni, gabimi është më i vështirë për t'u identifikuar.

Një vlerësim asimptotik i gabimit për *N* → ∞ jepet nga \text{E} = -\frac{(b-a)^2}{12N^2} \big[ f'(b)-f'(a) \big] + O(N^{-3}). 

## Shembull 
Është dhënë integrali i mëposhtëm: \int_{0.1}^{1.3}{5xe^{- 2x}{dx}} 

# Përdorni rregullin e përbërë trapezoidal për të vlerësuar integralin. Përdorni 3 segmente
# Gjeni gabimin e vërtetë E_t për pikën (1)
# Gjeni gabimin e vërtetë relativ absolut |\epsilon_t| për pikën (1)
{{ordered list| Use the composite trapezoidal rule to estimate the value of this integral. Use three segments.| Find the true error  E_{t}  for part (a).| Find the absolute relative true error  \left| \varepsilon_{t} \right|  for part (a).|list-style-type=lower-alpha}}**Zgjidhje**{{ordered list|The solution using the composite trapezoidal rule with 3 segments is applied as follows. 
 \int_{a}^{b}{f(x){dx}} \approx \frac{b - a}{2n}\left\lbrack f(a) + 2\sum_{i = 1}^{n - 1}{f(a + {ih})} + f(b) \right\rbrack  
 
\begin{align}
n &= 3 \\
a &= 0.1 \\
b &= 1.3 \\
h &= \frac{b - a}{n}
= \frac{1.3 - 0.1}{3}
= 0.4
\end{align}  
 
Using the composite trapezoidal rule formula
 \begin{align} \int_a^b {f(x){dx}} \approx \frac{b - a}{2n} \left\lbrack f(a) + 2\left\{ \sum_{i = 1}^{n - 1}{f(a + {ih})} \right\} + f(b) \right\rbrack\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (3) \end{align}  
 
 \begin{align}
 I &\approx \frac{1.3 - 0.1}{6}\left\lbrack f(0.1) + 2\sum_{i = 1}^{3 - 1}{f(0.1 + 0.4i)} + f(1.3) \right\rbrack\\
 I &\approx \frac{1.3 - 0.1}{6}\left\lbrack f(0.1) + 2\sum_{i = 1}^{2}{f(0.1 + 0.4i)} + f(1.3) \right\rbrack\\
&= 0.2\lbrack f(0.1) + 2f(0.5) + 2f(0.9) + f(1.3)\rbrack\\
 &=  0.2[5 \times 0.1 \times e^{- 2(0.1)}+2(5 \times 0.5 \times e^{- 2(0.5)})+2(5 \times 0.9 \times e^{- 2(0.9)}) + 5 \times 1.3 \times e^{- 2(1.3)}\rbrack\\
 &= 0.84385
 \end{align} |The exact value of the above integral can be found by integration by parts and is 
 \int_{0.1}^{1.3} 5xe^{- 2x}{dx} = 0.89387  
 
So the true error is
 \begin{align}
 E_{t} &= \text{True Value} - \text{Approximate Value}\\
 &= 0.89387 - 0.84385\\
 &= 0.05002
\end{align} |The absolute relative true error is
 \displaystyle \begin{align}\left| \varepsilon_{t} \right| &= \left| \frac{\text{True Error}}{\text{True Value}} \right| \times 100\%\\
 &= \left| \frac{0.05002}{0.89387} \right| \times 100\%\\
 &= 5.5959\%
\end{align} |list-style-type=lower-alpha}}The solution using the composite trapezoidal rule with 3 segments is applied as follows. 

\int_{a}^{b}{f(x){dx}} \approx \frac{b - a}{2n}\left\lbrack f(a) + 2\sum_{i = 1}^{n - 1}{f(a + {ih})} + f(b) \right\rbrack

\begin{align}

n &= 3 \\

a &= 0.1 \\

b &= 1.3 \\

h &= \frac{b - a}{n}

= \frac{1.3 - 0.1}{3}

= 0.4

\end{align}

Duke përdorur rregullin e përbërë të trapezit

\begin{align} \int_a^b {f(x){dx}} \approx \frac{b - a}{2n} \left\lbrack f(a) + 2\left\{ \sum_{i = 1}^{n - 1}{f(a + {ih})} \right\} + f(b) \right\rbrack\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (3) \end{align}

\begin{align}

I &\approx \frac{1.3 - 0.1}{6}\left\lbrack f(0.1) + 2\sum_{i = 1}^{3 - 1}{f(0.1 + 0.4i)} + f(1.3) \right\rbrack\\

I &\approx \frac{1.3 - 0.1}{6}\left\lbrack f(0.1) + 2\sum_{i = 1}^{2}{f(0.1 + 0.4i)} + f(1.3) \right\rbrack\\

&= 0.2\lbrack f(0.1) + 2f(0.5) + 2f(0.9) + f(1.3)\rbrack\\

&= 0.2[5 \times 0.1 \times e^{- 2(0.1)}+2(5 \times 0.5 \times e^{- 2(0.5)})+2(5 \times 0.9 \times e^{- 2(0.9)}) + 5 \times 1.3 \times e^{- 2(1.3)}\rbrack\\

&= 0.84385

\end{align}

Vlera ekzakte e integralit të mësipërm mund të gjehet me metodën e integrimit me pjesë dhe është 

\int_{0.1}^{1.3} 5xe^{- 2x}{dx} = 0.89387

Pra gabimi i vërtetë është

\begin{align}

E_{t} &= \text{Vlera e vërtetë} - \text{Vlera e përafërt}\\

&= 0.89387 - 0.84385\\

&= 0.05002

\end{align}

Gabimi relativ absolut është:

\displaystyle \begin{align}\left| \varepsilon_{t} \right| &= \left| \frac{\text{Gabimi}}{\text{Vlera e vërtetë}} \right| \times 100\%\\
 &= \left| \frac{0.05002}{0.89387} \right| \times 100\%\\
 &= 5.5959\%
\end{align}