Transformimi i Laplasit

Në matematikë, **transformimi i Laplasit** (i emërtuar sipas zbuluesit, Pierre-Simon Laplace) është një transformim integral që pasqyron një funksion me vlera reale (zakonisht \boldsymbol t, në rrafshin e kohës) në një funksion të ndryshores komplekse \boldsymbol s (në rrafshin e frekuencës). Shndërrimi ka shumë zbatime në shkencë dhe inxhinieri sepse është një mjet për të zgjidhur ekuacione diferenciale. Në veçanti, ai shndërron ekuacionet diferenciale të zakonshme (EDZ) në ekuacione algjebrike dhe thurjen në shumëzim.

## **Transformimet e Laplasit**
Transformimi I Laplasit për sinjalin x(t) përkufizohet si :
:  X(S) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-st}\, dt 
Ku ndryshorja s është madhësi komplekse  s = \sigma + j \omega = \Re[s] +\Im[s]. Zbatim më të madh praktikë ka transformimi i njëanshëm i Laplasit , ku merr parasysh vetem pjesën shkakesore të sinjalit x(t)
: X(s)=\int_0^\infty  x(t)e^{-st}\, dt

## **Vetit e transformimit të Laplasit** 
***Lineariteti **
Shumës së peshuar(kombinimit linear) të hyrjeve I përgjigjet kombinimi linear i transformimeve përkatëse me pesha të njëjta.
:~x_1(t) \leftrightarrow X_1(s)  dhe ~x_2(t) \leftrightarrow X_2(s) 
:ax_1(t)+ bx_2(t)\leftrightarrow aX_1(s) + bX_2(s) 
.Zona e konvergjencës së X(s) formohet nga bashkësia vlerave të s për të cilat bashkërisht konvergjojnë  X_1(s) dhe X_2(s) 

***Zhvendosja në kohë:**
Sinjali i zhvendosur për tο çiftohet me transformimin
:~x(t-t_0) \leftrightarrow e^{-st_0} X(s)\ 
.Vetia vlen pa kufizim vetëm për transformimin dyanësor, pra si për vlera pozitive ashtu edhe për vlera negative të zhvendosjes t_0.Te transformimi njëanësor i .
.Laplasit vetia vlen vetëm për vlera pozitive të t_0, pra për t_0  vetia nuk vlen.

***Zhvendosja në domenin s**
Nëse ~x(t) \leftrightarrow X(s) atëherë vlen
:~e^{s_0t} x(t) \leftrightarrow X(s-s_0) 
Zona e konvergjencës së  X(s-s_0) \  zhvendoset për Re[sₒ] ndaj asaj të X(s).

***Shkallëzimi në kohë**
Nëse ~x(t) \leftrightarrow X(s) dhe a është numër real atëherë vlen: ~x(at)\leftrightarrow \frac{1} F \left ( {s \over a} \right )
Zona e konvergjencës gjithashtu shkallëzohet R_1 = aR

***Vetia e thurjes në kohë**
Nëse ~x_1(t)\leftrightarrow X_1(s) dhe ~x_2(t) \leftrightarrow X_2 (s), me zona të konvergjencës R_1,
përkatësisht R_2, atëherë:
:~x_1(t)*x_2(t)\leftrightarrow X_1(s)X_2(s)

***Vetia e diferencimit në kohë**
Në qoftë se X(s) është transformimi i njëanshëm i x(t), atëherë për
derivatin e x(t) vlen:
:~{dx(t)\over dt}\leftrightarrow sX(s)-x(0) 

Zona e konvergjencës mbetet e njëjtë me atë të X(s), pos në rastin
kur X(s) ka pol në s=0, në këtë rast ky pol anulohet dhe për rrjedhojë
zona e konvergjencës ndryshon.
Transformim dyanësor i rendit arbitrar të derivatit të x(t) merr
trajtën:
:~{d^m x(t)\over dt^m} \leftrightarrow s^m X(s)
***Diferencimi në rrafshin s**
:~-tx(t)\leftrightarrow {dX(s)\over ds} 
Zona e konvergjencës mbetet e njëjtë.
Në rastin e përgjithshëm, për derivatin e n^{\textbf{te}}, vlen:
:~(-1)^m t^m x(t) \leftrightarrow {d^m X(s)\over ds^m} 

***Integrimi në rrafshin kohor:**
:~\int_{-\infty}^t  x(\lambda)\,d\lambda \leftrightarrow  \frac{X(s)}{s} \ 

***Terorema për  vlerën fillestare:**
Vlera fillestare e sinjalit shkakësor  x(0) mund të përcaktohet nga X(s) përmes relacionit:
:x(0)=\lim_{s=\infty}{sX(s)} \ 

***Teorema për pikën fundore:**
Vlera fundore e sinjalit shkakësor x(t) mund të përcaktohet nga
relacioni:
:x(\infty)=\lim_{s=0}{sX(s)} \ 

## Tabela e disa funksioneve bazike
## **Transformimi i kundërt i Laplasit**
Bazë për përcaktimin e shprehjes për transformim të kundërt të Laplasit , mund të shërbejnë shprehjet e cifteve transfomuese Furie.
*Sipas interpretimit më të drejtpërdrejt , transformimi Furie X(\omega) paraqet vlerat e transformimit të Laplasit ,X(s) , nëpër boshtin imagjinar  j\omega
:X(s)=X(\sigma + j \omega)= \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{- \sigma t} e^{-j \omega t}= \int_{-\infty}^{\infty}  [x(t)e^{- \sigma t} ] e^{-j \omega t}\,dt= F[x(t)e^{- \sigma t}]
*Transformimi i Laplasit i sinjalit x(t) mund të interpretohet edhe si transformim Furie i sinjalit  x(t)e^{- \sigma t}.
Me këtë shmanget problemi i përfshirjes së boshtit imagjinar në zonën e konvergjencës.
:x(t)e^{ \sigma t}= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X( \sigma + j \omega )e^{j \omega t}\,d \omega
ose 
:x(t)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X( \sigma + j \omega )e^{( \sigma + j \omega )t}\,d \omega

## Zbatime 
### Impedanca e një kapacitori 
Në teorinë e qarqeve elektrikë,rryma në një kapacitor është e përpjesshme me kapacitancën dhe shkallën e ndryshimit në potencialin elektrik (me ekuacionet për sistemin SI të njësive). Simbolikisht kjo shprehetj nga ekuacioni diferenciali = C { dv \over dt} ,ku  është kapacitanca e kondensatorit,  është rryma elektrike nëpërmjet kondensatorit si funksion i kohës, dhe  është voltazhi ndërmjet terminaleve të kondensatorit, është gjithashtu një funksion i kohës.

Duke marrë shndërrimin e Laplasit të këtij ekuacioni, përftojmëI(s) = C(s V(s) - V_0),ku\begin{align}
  I(s) &= \mathcal{L} \{ i(t) \},\\
  V(s) &= \mathcal{L} \{ v(t) \},
\end{align}dheV_0 = v(0). Duke zgjidhur për  marrimV(s) = { I(s) \over sC } + { V_0 \over s }.Përkufizimin i impedancës komplekse  (në ohm) është raporti i voltazhit kompleks  i pjesëtuar me rrymën komplekse  duke mbajtur gjëndjen fillestare  në çastin t=0:Z(s) = \left. { V(s) \over I(s) } \right|_{V_0 = 0}.Duke përdorur këtë përkufizim dhe ekuacionin e mëparshëm, gjejmë që:Z(s) = \frac{1}{sC}, e cila është shprehja e saktë për impedancën komplekse të kondensatorit. Më tej, shndërrimi i Laplasit gjen zbatime të shumta në teorinë e kontrollit.

### Përgjigja e impulsit 
Konsideroni një sistem LTI me funksionin e transferimit:H(s) = \frac{1}{(s + \alpha)(s + \beta)}.Përgjigja impuls është vetëm transformimi i anasjelltë i Laplasit i këtij funksioni transferimi:h(t) = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}.

## Referimet
*http://www.vibrationdata.com/Laplace.htm
*Hwei P. Hsu, 1995, McGraw-Hill. “Schaum's Outline of Theory and Problems of Signals and Systems” 
*E. Kamen and B. Heck; 3rd ed., 2006, Prentice Hall.“Signals and Systems”
*Alan V. Oppenheim, 2nd ed., Ligj. 1 1 1996, Prentice Hall. “Fundamentals of Signals and Systems-Using Matlab”
*“Sinjalet dhe Sistemet” Ilir Limani – Ligjërata të Autorizuara