Intervali i besimit

parapamje| Çdo rresht pikash është një popullim nga e njëjta shpërndarje normale. Vijat me ngjyra janë 50% intervale besimi për mesataren, *μ* . Në qendër të çdo intervali është mesatarja e mostrës, e shënuar me një diamant. Intervalet blu përmbajnë mesataren e popullsisë, dhe ato të kuqe jo.
Në statistikën frekuentiste, një **interval besimi** ( **IB** ) është një shtrirje (diapazon) vlerësimesh për një parametër të panjohur. Një interval besimi llogaritet në një *nivel të caktuar besimi* ; niveli 95% i besimit është më i zakonshmi, por ndonjëherë përdoren nivele të tjera, si 90% ose 99%.   **Niveli i besimit**, **shkalla e besimit** ose **koeficienti i besimit** përfaqëson proporcionin afatgjatë të IB (në nivelin e caktuar të besimit) që teorikisht përmbajnë vlerën e vërtetë të parametrit; kjo është e barabartë me probabilitetin nominal të mbulimit . Për shembull, nga të gjitha intervalet e llogaritura në nivelin 95%, 95% e tyre duhet të përmbajnë vlerën e vërtetë të parametrit. 

Faktorët që ndikojnë në gjerësinë e IB përfshijnë madhësinë e popullimit, ndryshueshmërinë në popullim dhe nivelin e besimit.  Duke patur gjithçka tjetër të njëjtë, një popullm më i madh prodhon një interval më të ngushtë besimi, ndryshueshmëria më e madhe në popullim prodhon një interval më të gjerë besimi dhe një nivel më i lartë besimi prodhon një interval më të gjerë besimi. 

## Përkufizimi 
Le X të jetë një popullim i rastit nga një shpërndarje probabiliteti me parametër statistikor \theta, e cila është një madhësi për t'u vlerësuar, dhe \varphi, që përfaqësojnë sasi që nuk janë me interes të menjëhershëm. Një interval besimi për parametrin \theta, me nivel besimi \gamma, është një interval (u(X), v(X)) të përcaktuara nga ndryshore e rastit u(X) dhe v(X) me vetinë:

: P(u(X) 

Numri \gamma, vlera tipike e së cilës është afër por jo më e madhe se 1, ndonjëherë jepet në formë 1 - \alpha (ose në përqindje 100%\cdot(1 - \alpha) ), ku \alpha është një numër i vogël pozitiv, shpesh 0.05.

Është e rëndësishme për kufijtë u(X) dhe v(X) të specifikohen në atë mënyrë që përderisa X është mbledhur rastësisht, sa herë që ne llogarisim një interval besimi, ka probabilitet \gamma që do të përmbante \theta, vlera e vërtetë e parametrit që vlerësohet. Kjo duhet të jetë e vërtetë për çdo të vërtetë \theta dhe \varphi . 

## Shembull 
Supozoni {X_1, \ldots, X_n} është një popullim i pavarur nga një popullatë e shpërndarë normalisht me mesataren e parametrave të panjohur \mu dhe variancë \sigma^2. Le të jetë

: \bar{X} = \frac,

: S^2 = \frac\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2.

Ku \bar{X} është mesatarja e popullimit dhe S^2 është varianca e tij . Atëherë,

: T = \frac{{\bar{X} - \mu}}{{S/\sqrt{n}}}

ka një shpërndarje Studenti me n - 1 shkallë lirie.  Vini re se shpërndarja e T nuk varet nga vlerat e parametrave të pavëzhgueshëm \mu dhe \sigma^2 ; dmth, është një madhësi prijëse . Supozoni se donim të llogarisnim një interval besimi 95% për \mu. Pastaj, duke treguar c si përqindja 97.5 e kësaj shpërndarjeje,

: P(-c \leq T \leq c) = 0.95.

Vini re se "97.5" dhe "0.95" janë të sakta në shprehjet e mëparshme. Ka një mundësi prej 2.5% që T do të jetë më pak se -c dhe një shans 2.5% që do të jetë më i madh se +c. Kështu, probabiliteti që T do të jetë ndërmjet -c dhe +c është 95%.

Rrjedhimisht,

: P\left(\bar{X} - \frac{{\sqrt{n}}} \leq \mu \leq \bar{X} + \frac{{\sqrt{n}}}\right) = 0.95,

dhe kemi një interval besimi teorik (stokastik) 95% për \mu.

Pas vëzhgimit të popullimit gjejmë vlerat \bar{x} për \bar{X} dhe s për S, nga i cili njehsojmë intervalin e besimit

: \left[\bar{x} - \frac{cs}{\sqrt{n}}, \bar{x} + \frac{cs}{\sqrt{n}}\right].

## Interpretimi 
Mund të jepen interpretime të ndryshme të një intervali besimi (duke marrë si shembull intervalin 95% të besimit në vijim).

* Intervali i besueshmërisë mund të shprehet në terma të një frekuence afatgjatë në popullimet e përsëritura (ose në ri-popullime ): "Nëse kjo procedurë do të përsëritej në popullime të shumta, përpjestimi i intervaleve të besimit të llogaritura 95% që përfshinin vlerën e vërtetë të popullatës parametri do të priret drejt 95%. 
* Intervali i besimit mund të shprehet në termat e probabilitetit në lidhje me një kampion të vetëm teorik (ende për t'u realizuar): "Ka një probabilitet 95% që intervali i besimit 95% i llogaritur nga një kampion i caktuar i ardhshëm do të mbulojë vlerën e vërtetë të parametri i popullsisë."  Kjo në thelb riformulon interpretimin e "popullimeve të përsëritura" si një probabilitet dhe jo si një frekuencë.
* Intervali i besimit mund të shprehet në terma të rëndësisë statistikore, p.sh.: "Intervali i besimit 95% përfaqëson vlera që nuk janë statistikisht të ndryshme nga vlerësimi i pikës në nivelin 0,05."