Seritë e Tejlorit

parapamje|300x300px| Ndërsa shkalla e polinomit Tejlor rritet, ai i afrohet funksionit të saktë. Ky imazh tregon sin x dhe përafrimet e tij Tejlor me polinome të shkallës **1**, **3**, **5**, **7**, **9**, **11** dhe **13** në x = 0 .
Në matematikë, **seria Tejlor** ose **zgjerimi Tejlor** i një funksioni është një shumë e pafundme termash që shprehen në terma të derivateve të funksionit në një pikë të vetme. Për shumicën e funksioneve të zakonshme, funksioni dhe shuma e serisë së tij Tejlor janë të barabarta pranë kësaj pike. Seritë Tejlor janë emërtuar sipas Brook Taylor, i cili i paraqiti ato në 1715. Një seri Tejlor quhet gjithashtu një **seri Maclaurin** kur 0 është pika ku merren parasysh derivatet, pas Colin Maclaurin, i cili përdori gjerësisht këtë rast të veçantë të serisë së Tejlorit në mesin e shekullit të 18-të.

Shuma e pjesshme e formuar nga n + 1 termat e parë të një serie Tejlor është një polinom i shkallës n që quhet polinomi i n -të **Tejlor** i funksionit. Polinomet e Tejlorit janë përafrime të një funksioni, të cilat në përgjithësi bëhen më të sakta kur rritet n . Teorema e Tejloritit jep vlerësime sasiore mbi gabimin e paraqitur nga përdorimi i përafrimeve të tilla. Një funksion mund të ndryshojë nga shuma e serisë së tij Taylor, edhe nëse seria e tij Taylor është konvergjente. Një funksion është analitik në një pikë x nëse është i barabartë me shumën e serisë së tij Tejlor në një interval të hapur (ose disk të hapur në planin kompleks ) që përmban vetë pikën *x* . Kjo nënkupton që funksioni është analitik në çdo pikë të intervalit (ose diskut).

## Përkufizimi 
Seria e Tejlorit e një funksioni real ose me vlerë komplekse f(x) që është pafundësisht i diferencueshëm në një numër real ose kompleks *a* është seria e fuqisë

: f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f*(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f*'(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots, 

ku n ! tregon faktorialin e *n* . Në shënimin sigma më kompakt, kjo mund të shkruhet si

:  \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}, 

ku f^{(n)}(a) tregon derivatin e n-të të f të vlerësuar në pikën a . (Derivati i rendit zero të f është përcaktuar të jetë f vetë dhe  (x-a)^{0} dhe 0! janë përcaktuar të dyja të jenënbsp;1 . )

Me a = 0, seria Meklaurin merr formën: 

: f(0)+\frac {f'(0)}{1!} x+ \frac{f*(0)}{2!} x^2+\frac{f**(0)}{3!}x^3+ \cdots, 

ose në shënimin kompakt sigma:

:  \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(0)}{n!} x^{n}.

## Shembuj 
Seria e Tejlorit për çdo polinomi është vetë polinomi.

Seria Maclaurin e \frac{1}{1-x} është seria gjeometrike

: 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots.

Pra, duke zëvendësuar x për 1 − x, seria Tejlor e \frac{1}{x} në a=1 është

: 1 - (x-1) + (x-1)^2 - (x-1)^3 + \cdots.

Duke integruar serinë e mësipërme Meklaurin, gjejmë serinë Meklaurin të \ln(1-x), ku ln tregon logaritmin natyror :

: -x - \tfrac{1}{2}x^2 - \tfrac{1}{3}x^3 - \tfrac{1}{4}x^4 - \cdots.

Seria përkatëse Tejlor e \ln x në a = 1 është

: (x-1) - \tfrac{1}{2}(x-1)^2 + \tfrac{1}{3}(x-1)^3 - \tfrac{1}{4}(x-1)^4 + \cdots,

dhe në përgjithësi, seria përkatëse e Taylor-it e \ln x në një pikë arbitrare jozero a është:

: \ln a + \frac{1}{a} (x - a) - \frac{1}{a^2}\frac{\left(x - a\right)^2}{2} + \cdots.

Seria Meklaurin e funksionit eksponencial e x është

: \begin{align}
  \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} &= \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots \\
  &= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots.
 \end{align}

Zgjerimi i mësipërm vlen sepse derivati i e^{x} në lidhje me x është gjithashtu e^{x}, dhe e 0 është i barabartë&nbsp;1. Kjo i lë termat (x-0)^n në numërues dhe n! në emëruesin e çdo termi në shumën e pafundme.

## Funksionet analitike 
djathtas|parapamje|300x300px| Funksioni e (−1/ x 2 ) nuk është analitik në x = 0 : seria e Tejlorit është identike 0, megjithëse funksioni nuk është.
Nëse f(x) jepet nga një seri fuqie konvergjente në një disk të hapur me qendër në **b** në planin kompleks (ose një interval në vijën reale), thuhet se është analitik në këtë rajon. Kështu për x në këtë rajon, f jepet nga një seri fuqie konvergjente

: f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n(x-b)^n.

Duke diferencuar në lidhje me x në formulën e mësipërme n herë, më pas vendosja e x=b jep:

: \frac{f^{(n)}(b)}{n!} = a_n

dhe kështu zgjerimi i serisë së fuqive përputhet me serinë e Tejlorit. Kështu, një funksion është analitik në një disk të hapur me qendër në **b*' nëse dhe vetëm nëse seria e tij Tejlor konvergjon në vlerën e funksionit në çdo pikë të diskut.

Nëse f(x) është e barabartë me shumën e serisë së saj Tejlor për të gjitha x në rrafshin kompleks, quhet e tërë . Polinomet, funksioni eksponencial e x, dhe funksionet trigonometrike sinusi dhe kosinusi, janë shembuj të funksioneve të tëra. Shembuj të funksioneve që nuk janë të tëra përfshijnë rrënjën katrore, logaritmin, tangjentën e funksionit trigonometrik dhe inversin e saj, arctan . Për këto funksione seria e Taylor-it nuk konvergjon nëse *x* është larg nga b . Kjo do të thotë, seria e Tejlor-it divergjon në x nëse largësia midis *x* dhe **b** është më e madhe se rrezja e konvergjencës . Seria Tejlor mund të përdoret për të llogaritur vlerën e një funksioni të tërë në çdo pikë, nëse vlera e funksionit dhe e të gjithë derivateve të tij janë të njohura në një pikë të vetme.

Përdorimet e serisë së Tejlorit për funksionet analitike përfshijnë:

# Shumat e pjesshme ( polinomet e Tejlorit ) të serisë mund të përdoren si përafrime të funksionit. Këto përafrime janë të mira nëse përfshihen mjaft terma.
# Diferencimi dhe integrimi i serive të fuqisë mund të kryhet term pas termi dhe për këtë arsye është veçanërisht i lehtë.
# Një funksion analitik shtrihet në mënyrë unike në një funksion holomorfik në një disk të hapur në planin kompleks . Kjo bën të gatshme makinerinë e analizës komplekse .
# Seria (e cunguar/ e prerë) mund të përdoret për të llogaritur vlerat e funksionit në mënyrë numerike, (shpesh duke e riformuar polinomin në formën Çebishev dhe duke e vlerësuar atë me algoritmin Klenshau ).
# Veprimet algjebrike mund të bëhen lehtësisht në paraqitjen e serisë së fuqisë; për shembull, formula e Euler- it vjen nga zgjerimet e serisë së Tejlorit për funksionet trigonometrike dhe eksponenciale. Ky rezultat është i një rëndësie thelbësore në fusha të tilla si analiza harmonike .
# Përafrimet duke përdorur termat e parë të një serie Tejlor mund të bëjnë të mundshme probleme të pazgjidhshme për një fushë të kufizuar; kjo qasje përdoret shpesh në fizikë.

## Gabimi i përafrimit dhe konvergjenca 
djathtas|parapamje|300x300px| Funksioni sinus (blu) përafrohet ngushtë me polinomin e tij të Tejlorit të shkallës 7 (rozë) për një periudhë të plotë të përqendruar në origjinë.
djathtas|parapamje|300x300px| Polinomet e Taylor për ln(1 + x ) ofrojnë vetëm përafrime të sakta në segmentin −1  1, polinomet e Tejlorit të shkallës më të lartë ofrojnë përafrime më të këqija.
djathtas|parapamje|300x300px| Përafrimet e Tejlorit për ln(1 + x ) (e zezë). Për x > 1, përafrimet ndryshojnë.
Në foto është një përafrim i saktë i sin(x) rreth pikës x = 0 . Kurba rozë është një polinom i shkallës shtatë:

: \sin{x} \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}.\!

Gabimi në këtë përafrim nuk është më shumë se \frac{|x|^{9}}{9!} . Për një cikël të plotë të përqendruar në origjinë (- \pi  ) gabimi është më i vogël se 0,08215. Në veçanti, për -1 , gabimi është më i vogël se&nbsp;0.000003.

Në të kundërt, tregohet gjithashtu një fotografi e funksionit të logaritmit natyror \ln (1+x) dhe disa prej polinomeve të tij Taylor rreth a = 0 . Këto përafrime konvergjojnë me funksionin vetëm në rajonin −1 R_{n}(x) . Teorema e Tejlorit mund të përdoret për të marrë një kufi në madhësinë e pjesës së mbetur .

## Lista e serive Meklauren të disa funksioneve të zakonshme 
Pasojnë disa zgjerime të rëndësishme të serive Maclaurin.  Të gjitha këto zgjerime janë të vlefshme për argumentet komplekse x .

### Funksioni eksponencial 
[djathtas|parapamje| [Funksioni eksponencial e^{x} (me blu), dhe shuma e n + 1 termave të parë të serisë së tij Tejlor në 0 (me të kuqe).]]
Funksioni eksponencial e^x (me bazën e ) ka serinë Maklauren

: e^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots  .

Kjo seri konvergjon për të gjitha x .

Funksioni gjenerues eksponencial i numrave Bell është funksioni eksponencial i paraardhësit të funksionit eksponencial:

: \exp(\exp{x}-1) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!}x^{n}

### Logaritmi natyror 
Logaritmi natyror (me bazën e ) ka seri Maklauren

: \begin{align}
\ln(1-x) &= - \sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^n}n = -x - \frac{x^2}2 - \frac{x^3}3 - \cdots, \\
\ln(1+x) &= \sum^\infty_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \cdots .
\end{align}

Ato konvergjojnë për |x|  . (Përveç kësaj, seria për \ln(1-x) konvergjon për x = −1, dhe seria për \ln(1+x) konvergjon për x = 1 . )

### Seria gjeometrike 
Seria gjeometrike dhe derivatet e saj kanë seri Maklauren

: \begin{align}
\frac{1}{1-x} &= \sum^\infty_{n=0} x^n \\
\frac{1}{(1-x)^2} &= \sum^\infty_{n=1} nx^{n-1}\\
\frac{1}{(1-x)^3} &= \sum^\infty_{n=2} \frac{(n-1)n}{2} x^{n-2}.
\end{align}

Të gjitha janë konvergjente për |x|  . Këto janë raste të veçanta të serisë binomale të dhëna në seksionin vijues.

### Seria binomiale 
Seria binomiale është seria e fuqisë(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} x^nkoeficientët e të cilëve janë koeficientët binomialë të përgjithësuar\binom{\alpha}{n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.(Nëse n = 0, ky produkt është një produkt bosh dhe ka vlerën 1. ) Konvergjon për |x|  për çdo numër real ose kompleks α .

Kur α = -1, kjo është në thelb seria e pafundme gjeometrike e përmendur në pjesën e mëparshme. Rastet e veçanta α = 1/2 dhe a = -1/2 japin rrënjën katrore dhe një ndaj rrënjës katrore:\begin{align} 
(1+x)^\frac{1}{2} &= 1 + \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{8}x^2 + \tfrac{1}{16}x^3 - \tfrac{5}{128}x^4 + \tfrac{7}{256}x^5 - \cdots &&=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n-1}(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n-1)} x^n, \\
(1+x)^{-\frac12} &= 1 -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{3}{8}x^2 - \tfrac{5}{16}x^3 + \tfrac{35}{128}x^4 - \tfrac{63}{256}x^5 + \cdots &&=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n(2n)!}{4^n (n!)^2} x^n.
\end{align}Kur ruhet vetëm termi linear, kjo thjeshton përafrimin binomial .

### Funksionet trigonometrike 
Funksionet e zakonshme trigonometrike dhe të anasjelltët e tyre kanë seritë e mëposhtme të Maclaurin:

: \begin{align}
\sin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} &&= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\cos x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} &&= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\tan x &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n \left(1-4^n\right)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots && \text{for }|x| 

Të gjitha këndet janë të shprehura në radianë . Numrat B_{k}që shfaqen në zgjerimet e \tan (x) janë numrat e Bernulit . E_{k} në zgjerimin e \sec (x) janë numrat e Eulerit .

### Funksionet hiperbolike 
Funksionet hiperbolike kanë serinë Maklauren të lidhura ngushtë me serinë për funksionet trigonometrike përkatëse:

: \begin{align}
\sinh x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} &&= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\cosh x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} &&= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\tanh x &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n \left(4^n-1\right)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots && \text{for }|x| 

Numrat B_{k} që shfaqen në serinë për\tanh(x) janë numrat e Bernulit .

### Funksionet polilogaritmike 
Pollogaritmet kanë këto identitete përcaktuese:

: \text{Li}_{2}(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2} x^{n}
: \text{Li}_{3}(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^3} x^{n}

Funksionet Legendre hi përcaktohen si më poshtë:

: \chi_{2}(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2n + 1)^2} x^{2n + 1}
: \chi_{3}(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2n + 1)^3} x^{2n + 1}

Dhe formulat e paraqitura më poshtë quhen *integrale tangjente të anasjellta* :

: \text{Ti}_{2}(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)^2} x^{2n + 1}
: \text{Ti}_{3}(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)^3} x^{2n + 1}

Në termodinamikën statistikore këto formula kanë një rëndësi të madhe.

## Llogaritja e serisë Taylor 
Ekzistojnë disa metoda për llogaritjen e serive të Tejlorit të një numri të madh funksionesh. Dikush mund të përpiqet të përdorë përkufizimin e serisë Tejlor, megjithëse kjo shpesh kërkon përgjithësimin e formës së koeficientëve sipas një modeli lehtësisht të dukshëm. Përndryshe, mund të përdoren manipulime të tilla si zëvendësimi, shumëzimi ose pjesëtimi, shtimi ose zbritja e serive standarde Tejlor për të ndërtuar serinë gjegjëse të një funksioni, për shkak se seria Tejlor është seri e fuqisë. Në disa raste, mund të nxirret edhe seria Tejlor duke aplikuar në mënyrë të përsëritur integrimin sipas pjesëve . Veçanërisht i përshtatshëm është përdorimi i sistemeve kompjuterike algjebër për të llogaritur seritë në fjalë.

### Shembulli i parë 
Për të llogaritur polinomin Meklauren të shkallës së 7-të për funksionin

: f(x)=\ln(\cos x),\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) ,

së pari mund të rishkruhet funksioni si

: f(x)=\ln\bigl(1+(\cos x-1)\bigr)\! .

Seria Tejlor për logaritmin natyror është (duke përdorur shënimin e madh O )

: \ln(1+x) = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 + {O}\left(x^4\right)\!

dhe për funksionin kosinus

: \cos x - 1 = -\frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + {O}\left(x^8\right)\! .

Zgjerimi i serisë së fundit ka një term konstant zero, i cili na mundëson të zëvendësojmë serinë e dytë me të parën dhe të zbresim lehtësisht termat e rendit më të lartë se shkalla e 7-të duke përdorur shënimin e madh O :

: \begin{align}f(x)&=\ln\bigl(1+(\cos x-1)\bigr)\\
&=(\cos x-1) - \tfrac12(\cos x-1)^2 + \tfrac13(\cos x-1)^3+ {O}\left((\cos x-1)^4\right)\\
&=\left(-\frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} +{O}\left(x^8\right)\right)-\frac12\left(-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+{O}\left(x^6\right)\right)^2+\frac13\left(-\frac{x^2}2+O\left(x^4\right)\right)^3 + {O}\left(x^8\right)\\ & =-\frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720} - \frac{x^4}8 + \frac{x^6}{48} - \frac{x^6}{24} +O\left(x^8\right)\\
& =- \frac{x^2}2 - \frac{x^4}{12} - \frac{x^6}{45}+O\left(x^8\right). \end{align}\!

Meqenëse kosinusi është një funksion çift, koeficientët për të gjitha fuqitë x^{1}, x^{3}, x^{5}, x^{7} ... duhet të jenë zero.

### Shembulli i dytë 
Supozoni se duam serinë e Tejlorit në 0 të funksionit

: g(x)=\frac{e^x}{\cos x}.\!

Kemi për funksionin eksponencial

: e^x = \sum^\infty_{n=0} \frac{x^n}{n!} =1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}+\cdots\!

dhe, si në shembullin e parë,

: \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\!

Supozoni se seria e fuqisë është

: \frac{e^x}{\cos x} = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots\!

Pastaj shumëzimi me emëruesin dhe zëvendësimi i serisë së kosinusit jep

: \begin{align} e^x &= \left(c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots\right)\cos x\\
&=\left(c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4x^4 + \cdots\right)\left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\right)\\&=c_0 - \frac{c_0}{2}x^2 + \frac{c_0}{4!}x^4 + c_1x - \frac{c_1}{2}x^3 + \frac{c_1}{4!}x^5 + c_2x^2 - \frac{c_2}{2}x^4 + \frac{c_2}{4!}x^6 + c_3x^3 - \frac{c_3}{2}x^5 + \frac{c_3}{4!}x^7 + c_4x^4 +\cdots \end{align}\!

Mbledhja e termave deri në rendin e katërt jep

: e^x =c_0 + c_1x + \left(c_2 - \frac{c_0}{2}\right)x^2 + \left(c_3 - \frac{c_1}{2}\right)x^3+\left(c_4-\frac{c_2}{2}+\frac{c_0}{4!}\right)x^4 + \cdots\!

Vlerat e c_i mund të gjendet duke krahasuar koeficientët me shprehjen e sipërme për e^x, duke dhënë:

: \frac{e^x}{\cos x}=1 + x + x^2 + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^4}{2} + \cdots.\!

### Shembull 
djathtas|parapamje|200x200px| Përafrimi i serisë së Tejlorit të rendit të dytë (në portokalli) i një funksioni f(x,y) = e^{x} \ln {1+y} rreth origjinës.
Për të llogaritur një zgjerim të serisë Taylor të rendit të dytë rreth pikës (a,b) = (0,0) të funksionit

: f(x,y)=e^x\ln(1+y),

së pari llogariten të gjitha derivatet e nevojshme të pjesshme:

: \begin{align}
f_x &= e^x\ln(1+y) \\[6pt]
f_y &= \frac{e^x}{1+y} \\[6pt]
f_{xx} &= e^x\ln(1+y) \\[6pt]
f_{yy} &= - \frac{e^x}{(1+y)^2} \\[6pt]
f_{xy} &=f_{yx} = \frac{e^x}{1+y} .
\end{align}

Vlerësimi i këtyre derivateve në origjinë jep koeficientët e Tejlorit

: \begin{align}
f_x(0,0) &= 0 \\
f_y(0,0) &=1 \\
f_{xx}(0,0) &=0 \\
f_{yy}(0,0) &=-1 \\
f_{xy}(0,0) &=f_{yx}(0,0)=1.
\end{align}

Zëvendësimi i këtyre vlerave në formulën e përgjithshme

: \begin{align}
T(x,y) = &f(a,b) +(x-a) f_x(a,b) +(y-b) f_y(a,b) 
\\ &{}+\frac{1}{2!}\left( (x-a)^2f_{xx}(a,b) 
+ 2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b) +(y-b)^2 f_{yy}(a,b) \right)+ \cdots
\end{align}

jep

: \begin{align}
T(x,y) &= 0 + 0(x-0) + 1(y-0) + \frac{1}{2}\big( 0(x-0)^2 + 2(x-0)(y-0) + (-1)(y-0)^2 \big) + \cdots \\
&= y + xy - \tfrac12 y^2 + \cdots 
\end{align}

Meqenëse \ln(1+y) është analitike në |y|, kemi

: e^x\ln(1+y)= y + xy - \tfrac12 y^2 + \cdots, \qquad |y|