Hiperbola (matematikë)

[alt=The image shows a double cone in which a geometrical plane has sliced off parts of the top and bottom half; the boundary curve of the slice on the cone is the hyperbola. A double cone consists of two cones stacked point-to-point and sharing the same axis of rotation; it may be generated by rotating a line about an axis that passes through a point of the line.|djathtas|parapamje|330x330px|Një hiperbolë është një kurbë e hapur me dy degë, kryqëzimi i një rrafshi me të dy gjysmat e një [Koni|koni të dyfishtë . Rrafshi nuk duhet të jetë medoemos paralel me boshtin e konit; hiperbola a’ do të jetë simetrike në asnje rast.]]
parapamje|300x300px|Hiperbola (e kuqe): veçoritë
Në matematikë, një **hiperbolë** është një lloj goce lëmuar e shtrirë në një rrafsh, e përcaktuar nga vetitë e saj gjeometrike ose nga ekuacionet për të cilat është bashkësia e zgjidhjeve. Një hiperbolë ka dy pjesë, të quajtura përbërëse ose degë Jo te njejta, që janë imazhe pasqyrë të njëra-tjetrës dhe ngjajnë me dy harqe të pafundme. Hiperbola është një nga tre llojet e seksioneve konike, i formuar nga kryqëzimi i një plani dhe një koni të dyfishtë. (Pjeset e tjera konike janë parabola dhe elipsi . Një rreth është një rast i veçantë i një elipsi. ) Nëse rrafshi pret të dy gjysmat e konit të dyfishtë, por nuk kalon nga kulmi i konit të dyfishtë, atëherë konikja është një hiperbolë.

Përveç të qenit një seksist ikonik, një hiperbolë mund të lindë si vendndodhja e pikave ndryshesa e largësive mes tyre me dy vatra fikse është konstante, si një kurbë për secilën pikë të së cilës rrezet në dy vatra fikse janë reflektime përgjatë vijës tangjente në atë pikë. ose si zgjidhje e ekuacioneve të caktuara kuadratike dyndryshore siç është marrëdhënia reciproke xy = 1. 

Çdo degë e hiperbolës ka dy krahë të cilët bëhen më të drejtë (lakimi më i ulët) më larg nga qendra e hiperbolës. Krahët e kundërt diagonalisht, një nga secila degë, priren në kufirin e një vije të përbashkët, të quajtur asimptota e këtyre dy krahëve. Pra, ekzistojnë dy asimptota, kryqëzimi i të cilave është në qendër të simetrisë së hiperbolës, e cila mund të konsiderohet si pika e pasqyrës rreth së cilës çdo degë reflektohet për të formuar degën tjetër. Në rastin e kurbës y(x) = 1/x asimptotat janë dy boshtet koordinative . 

Hiperbolat ndajnë shumë nga vetitë analitike të elipsave si ekscentriciteti, fokusi dhe drejtimi . Në mënyrë tipike, korrespondenca mund të bëhet me asgjë më shumë se një ndryshim i shenjës në një afat. Shumë objekte të tjera matematikore e kanë origjinën e tyre në hiperbolë, të tilla si paraboloidet hiperbolike (sipërfaqet e shalës), hiperboloidet ("shportat e mbeturinave"), gjeometria hiperbolike ( gjeometria e famshme jo-Euklidiane e Lobachevsky ), funksionet hiperbolike (sinh, cosh, tanh, etj. .), dhe hapësirat xhirovektoriale (një gjeometri e propozuar për përdorim si në relativitet ashtu edhe në mekanikën kuantike që nuk është Euklidiane ).

## Përkufizimet 
### Si vendndodhja e pikave 
parapamje|Hiperbola: përcaktimi si largësia e pikave nga dy pika fikse (vatra)
parapamje|Hiperbola: përkufizimi me vijën drejtuese rrethore
Një hiperbolë mund të përkufizohet gjeometrikisht si një grup pikash ( lokus pikash ) në rrafshin Euklidian:

H = \{P:||PF_1|-|PF_2|| = 2a}\

Pika e mesit M e segmentit të vijës që bashkon vatrat quhet *qendra* e hiperbolës.  Vija nëpër vatra quhet *boshti kryesor* . Ai përmban *kulmet* V_1, V_2, të cilat kanë largësi a nga qendra. Largësia c e vatrave në qendër quhet *largësi vatrore* ose *jashtëqëndërsi lineare* . Herësi \tfrac c a është *jashtëqëndërsia* e .

### Nga vetia e vijës drejtuese 
parapamje|300x300px|Hiperbola: vetia e vijës drejtuese
parapamje|300x300px|Hiperbola: përkufizimi me vetinë e vijës drejtuese
Dy vijat në largësinë d = \frac{a^2}c nga qendra dhe paralele me boshtin e vogël quhen **drejtuese** të hiperbolës (shih diagramin).

Për një pikë arbitrare P e hiperbolës, herësi i largësisë nga një vatër dhe në drejtuesen përkuese (shih diagramin) është i barabartë me jashtëqëndërsinë:\frac = \frac = e= \frac{c}{a} \, .Prova për çiftin F_1, l_1 rrjedh nga fakti se |PF_1|^2 = (x-c)^2+y^2,\ |Pl_1|^2 = \left(x-\tfrac{a^2}{c}\right)^2 dhe y^2 = \tfrac{b^2}{a^2}x^2-b^2 plotësojnë ekuacionin|PF_1|^2-\frac{c^2}{a^2}|Pl_1|^2 = 0\ .
parapamje|Lapsi i konikeve me kulm të përbashkët dhe gjysmë latus rektum të përbashkët
*Shpallja e anasjelltë* është gjithashtu e vërtetë dhe mund të përdoret për të përcaktuar një hiperbolë (në një mënyrë të ngjashme me përkufizimin e një parabole):

Për çdo pikë F (vatër), çdo linjë l (drejtuese) jo përmes F dhe çdo numër real e me e > 1 bashkësia e pikave, për të cilat herësi i largësive me pikën dhe drejtëzën është eH = \left\{P \, \Biggr| \, \frac = e\right\} është një hiperbolë.

### Si pjesë e rrafshët e një koni 
parapamje|Hiperbola (e kuqe): dy pamje të një koni dhe dy sfera luleradhiqe *d* 1, *d* 2

## Në koordinatat karteziane 
### Ekuacioni 
Nëse koordinatat karteziane gjehen të tilla që origjina është qendra e hiperbolës dhe boshti *x* është boshti kryesor, atëherë hiperbola quhet *hapje lindje-perëndim* dhe

: *vatrat* janë pikat F_1=(c,0),\ F_2=(-c,0), 
: *kulmet* janë V_1=(a, 0),\ V_2=(-a,0) . 

Për një pikë arbitrare (x,y) largësia nga vatra (c,0) është \sqrt{ (x-c)^2 + y^2 } dhe në vatrën e dytë \sqrt{ (x+c)^2 + y^2 } . Prandaj pika (x,y) është në hiperbolë nëse plotësohet kushti i mëposhtëm\sqrt{(x-c)^2 + y^2} - \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = \pm 2a \ .Hiqni rrënjët katrore duke ngritur në katror të dyja anët dhe përdorni relacionin b^2 = c^2-a^2 për të marrë ekuacionin e hiperbolës:\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \ .Ky ekuacion quhet forma kanonike e hiperbolës, sepse çdo hiperbolë, pavarësisht nga orientimi i saj në lidhje me boshtet karteziane dhe pavarësisht nga vendndodhja e qendrës së saj, mund të shndërrohet në këtë formë nga një ndryshim i ndryshoreve, duke dhënë një hiperbolë që është në përputhje me origjinalin (shih më poshtë ).

#### Ekscentricitet 
Për një hiperbolë në formën kanonike të mësipërme, ekscentriciteti jepet ngae=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}.

### Asimptota 
parapamje|250x250px|Hiperbola: gjysmë boshtet *a*, *b*, jashtëqëndërsia lineare *c*, parametri vatror *p*
parapamje|300x300px|Hiperbola: 3 veti
Zgjidhja e ekuacionit (sipër) të hiperbolës për y jepy=\pm\frac{b}{a} \sqrt{x^2-a^2}.Nga kjo rezulton se hiperbola u afrohet dy vijavey=\pm \frac{b}{a}x për vlera të mëdha të |x| . Këto dy drejtëza kryqëzohen në qendër (origjina) dhe quhen *asimptota* të hiperbolës \tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{y^2}{b^2}= 1 \ . 

### Parametri vatror 
Gjatësia e kordës nëpër një nga vatrat, pingul me boshtin kryesor të hiperbolës, quhet *latus rectum* . Gjysma e tij është *rektumi gjysëm latusi* p .  Llogaritjet tregojnëp = \frac{b^2}a.

### Paraqitja parametrike me sinus/kosinus hiperbolik 
Përdorimi i funksioneve hiperbolike të sinusit dhe kosinusit \cosh,\sinh, një paraqitje parametrike e hiperbolës \tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{y^2}{b^2}= 1 mund të merret, e cila është e ngjashme me paraqitjen parametrike të një elipsi:(\pm a \cosh t, b \sinh t),\, t \in \R \ ,që kënaq ekuacionin kartezian sepse \cosh^2 t -\sinh^2 t =1 .
parapamje|Këtu  duke dhënë hiperbolën njësi në ngjyrë blu dhe hiperbolën e saj të konjuguar në të gjelbër, duke ndarë të njëjtat asimptota të kuqe.

### Hiperbola e konjuguar 
Shkëmbeni \frac{x^2}{a^2} dhe \frac{y^2}{b^2} për të marrë ekuacionin e **hiperbolës së konjuguar** (shih diagramin):\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}= 1 \ ,shkruar edhe si\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}= -1 \ .Një hiperbolë dhe e konjuguara i saj mund të kenë diametra që janë të konjuguar . Në teorinë e relativitetit special, diametra të tillë mund të përfaqësojnë boshtet e kohës dhe hapësirës, ku një hiperbolë përfaqëson ngjarje në një largësi të caktuar hapësinore nga qendra, dhe tjetra përfaqëson ngjarje në një largësi kohore korresponduese nga qendra.

## Në koordinatat polare 
parapamje|Hiperbola: Koordinatat polare me pol = vatër
parapamje|Hiperbola: Koordinatat polare me pol = qendër
parapamje|Grafik i animuar i hiperbolës duke përdorur r = \frac{p}{1 - e \cos \theta}

### Origjina në vatër 
Koordinatat polare të përdorura më shpesh për hiperbolën përcaktohen në lidhje me sistemin e koordinatave karteziane që e ka *origjinën në një vatër* dhe boshtin e saj x që tregon origjinën e "sistemit të koordinatave kanonik" siç ilustrohet në diagramin e parë.

Në këtë rast këndi \varphi quhet **anomali e vërtetë** .

Në lidhje me këtë sistem koordinativ marrimr = \frac{p}{1 \mp e \cos \varphi}, \quad p = \frac{b^2}{a}dhe-\arccos \left(-\frac 1 e\right) 

### Origjina në qendër 
Me koordinatat polare në lidhje me "sistemin e koordinatave kanonik" (shih diagramin e dytë) e kemi atër =\frac{b}{\sqrt{e^2 \cos^2 \varphi -1}} .\,Për degën e djathtë të hiperbolës diapazoni i  \varphi  është-\arccos \left(\frac 1 e\right) 

## Vetitë 
### Vetia e reflektimit 
parapamje|300x300px|Hiperbola: tangjentja i përgjysmon vijat nëpër vatra
Tangjentja në një pikë P përgjysmon këndin ndërmjet vijave \overline{PF_1}, \overline{PF_2}. Kjo quhet *vetia optike* ose *vetia e reflektimit* të një hiperbole. 

### Tangjentet ortogonale – ortoptiku 
parapamje|Hiperbola me ortoptikun e saj (magenta)
Për një hiperbolë \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1, \, a>b pikat e kryqëzimit të tangjenteve *ortogonale* shtrihen në rreth x^2+y^2=a^2-b^2 .Ky rreth quhet *ortoptik* i hiperbolës së dhënë.

## Gjatësia e harkut 
Gjatësia e harkut të një hiperbole nuk ka një shprehje elementare . Gjysma e sipërme e një hiperbole mund të parametrizohet siy = b\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}-1}.Pastaj integrali që jep gjatësinë e harkut s nga x_{1} te x_{2} mund të llogaritet si:s = b\int_{\operatorname{arcosh}\frac{x_{1}}{a}}^{\operatorname{arcosh}\frac{x_{2}}{a}} \sqrt{1+\left(1+\frac{a^{2}}{b^{2}}\right) \sinh ^{2}v} \, \mathrm dv.Pas përdorimit të zëvendësimit z = iv, kjo mund të përfaqësohet gjithashtu duke përdorur integralin eliptik jo të plotë të llojit të dytë E me parametër m = k^2 :s = ib \Biggr[E\left(iv \, \Biggr| \, 1 + \frac{a^2}{b^2}\right)\Biggr]^{\operatorname{arcosh}\frac{x_1}{a}}_{\operatorname{arcosh}\frac{x_2}{a}}.Duke përdorur vetëm numra realë, kjo bëhets=b\left[F\left(\operatorname{gd}v\,\Biggr|-\frac{a^2}{b^2}\right) - E\left(\operatorname{gd}v\,\Biggr|-\frac{a^2}{b^2}\right) + \sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}\tanh^2 v}\,\sinh v\right]_{\operatorname{arcosh}\tfrac{x_1}{a}}^{\operatorname{arcosh}\tfrac{x_2}{a}}ku F është integrali eliptik jo i plotë i llojit të parë me parametër m = k^2 dhe \operatorname{gd}v=\arctan\sinh v është funksioni Gudermannian .

## Aplikacionet 
djathtas|parapamje|Hiperbolat si vija deklinimi në një orë diellore
parapamje|Zona e kontaktit e valës goditëse të një avioni supersonik të nivelit në tokë të sheshtë (e verdhë) është pjesë e një hiperbole pasi toka kryqëzon konin paralel me boshtin e saj

### Ora diellore 
Hiperbolat mund të shihen në shumë orë diellore . Në çdo ditë të caktuar, dielli rrotullohet në një rreth në sferën qiellore dhe rrezet e tij që godasin pikën në një orë diellore nxjerrin një kon drite. Kryqëzimi i këtij koni me rrafshin horizontal të tokës formon një seksion konik. Në shumicën e gjerësive gjeografike të populluara dhe në shumicën e periudhave të vitit, ky seksion konik është një hiperbolë.

### Multilateralizimi 
Një hiperbolë është baza për zgjidhjen e problemeve të shumëpalësisë, detyra e gjetjes së një pike nga dallimet në largësitë e saj në pikat e dhëna - ose, në mënyrë të njëvlershme, ndryshesa në kohën e mbërritjes së sinjaleve të sinkronizuara midis pikës dhe pikave të dhëna. Probleme të tilla janë të rëndësishme në lundrim, veçanërisht në ujë; një anije mund të gjejë pozicionin e saj nga ndryshesa në kohën e mbërritjes së sinjaleve nga një transmetues LORAN ose GPS . Anasjelltas, një fener orientues ose ndonjë transmetues mund të gjendet duke krahasuar kohët e mbërritjes së sinjaleve të tij në dy stacione të veçanta marrëse; teknika të tilla mund të përdoren për të gjurmuar objektet dhe njerëzit. Në veçanti, grupi i pozicioneve të mundshme të një pike që ka një ndryshim largësie prej 2 *a* nga dy pika të dhëna është një hiperbolë e ndarjes së kulmeve 2 *a*, vatra e së cilës janë dy pikat e dhëna.

### Ndarja në tre e këndit 
parapamje|Triseksioni i një këndi (AOB) duke përdorur një hiperbolë të jashtëqëndërsisë 2 (lakore e verdhë)
Siç tregohet fillimisht nga Apolloni i Pergës, një hiperbolë mund të përdoret për të triprerë çdo kënd, një problem gjeometrik i studiuar mirë. Kur jepet një kënd, vizatoni fillimisht një rreth me qendër në kulmin e tij **O**, i cili pret brinjët e këndit në pikat **A** dhe **B.** Më pas vizatoni segmentin e vijës nga **A** në **B** dhe përgjysmuesin e tij pingul \ell . Ndërtoni një hiperbolë të jashtëqëndërsisë *e* =2 me \ell si vijë drejtuese dhe **B** si vatër. Le të jetë **P** kryqëzimi (i sipërm) i hiperbolës me rrethin. Këndi **POB** trisekton këndin **AOB** .

### Biokimia 
Në biokimi dhe farmakologji, ekuacioni Hill dhe ekuacioni Hill-Langmuir përkatësisht përshkruajnë përgjigjet biologjike dhe formimin e komplekseve proteinë-ligand si funksione të përqendrimit të ligandit. Të dyja janë hiperbola drejtkëndore.

**Hiperbolat si prerje planare të kuadrikeve**
Skeda:Quadric_Cone.jpg|Koni eliptik
Skeda:Hyperbolic_Cylinder_Quadric.png|Cilindri hiperbolik
Skeda:Hyperbol_Paraboloid.pov.png|Paraboloidi hiperbolik
Skeda:Hyperboloid1.png|Hiperboloidi me një napë
Skeda:Hyperboloid2.png|Hiperboloidi me dy napa

## Shikoni dhe 
## Referime 
## Lidhjet e jashtme