Infinitezimale

**Infinitezimale** ( nga fjala latine moderne *infinitesimus* )është përdorur për të shprehur idenë e një objekti kaq të vogël saqë nuk mund të matet ose të krahasohet me asnjë objekt tjetër. Në jetën e përditshme termi përdoret për objekte që janë më të vogla se çdo njesi matëse. Megjithatë **infinitezimale** mund të përdoret edhe për objekte *shumë të vogla* por jo domosdoshmërisht *pafundësisht të vogla*.

Përpara shekullit të nëntënëdhjetë asnjë prej koncepteve matematike mbi infinitezimelet të pranuara sot nuk ishin të përkufizuara formalisht, por shumë prej koncepteve, edhe pse intuitivisht, ishin të gjendura . Themeluesit e llogaritjes, Leibnitz, Newton, Euler, Lagrange,Bernoullis dhe shumë të tjerë, përdorshin infinitezimalet duke arritur rezultate mjaft korrekte edhe pse asnjë përkufizim formal nuk ekzistonte.

## Pak histori mbi infinitezimalet 
I pari matematikan që përdori infinitesimalet ishte Arkimedi (c. 250 BC).

Kur Newton dhe Leibnitz zhvilluan llogaritjet infinitezimale pikërisht duke përdorur infinitezimalet. Argumentimi tipik thotë:

::Për të gjetur derivatin *f′*(*x*) e funksionit *f*(*x*) = *x*2, lejmë d*x* të jetë infinitezimale. Atëherë kena,

:::

::përderisa d*x* është pafundësisht i vogël.

Ky shtjellim, terheqës fillimisht, dhe që jep rezultate të sakta, nuk është plotësisht me vend. Përdorimi i infinitezimales është kritikuar nga Bishop Berkeley në vepren e tij *The Analyst*. Problemi qendronte në faktin që d*x* përdoret fillimisht si një vlerë jo zero (ngaqë pjestojmë me te), por më vonë e heqim prej llogritjes si të ishte zero.

Përkufizimi naiv i infinitezimales është: **një numër që në vlerë absolute është më i vogël se çdo numër jo zero.** Këtë përkufizim mund ta kundërshtojmë duke përdorur një nga vetitë e numrave real . Konsiderojmë numrat pozitiv nëse *h* është një infinitezimal pozitiv do të thotë që *h* është numi pozitiv më i vogël ,po *h/2*çfarë është atëherë ? Por nëse *h* është i papjestueshëm, a mbetet prapëseprapë një numër? Gjithashtu mund të përfundojmë se e anasjellta e një infinitezimali është infiniti, pra numri më i madh që rrealisht nuk ekziston .

Për të zgjidhur këto probleme sigurisht mund të ndryshojmë disa veti të numrave rreal për të mundësuar përdorimin të përpiktë të infinitezimales. Kjo është e mujtur duke futur disa modele të reja ndër të cilat hiperrealet dhe numërat duale

Ishte vetëm në gjysmen e dytë të shekullit të nëntëmedhjetë që llogaritjes infinitezimale ju dhanë bazat formale matematike nga Karl Weierstrass dhe shumë tjerëve duke përdorur nocioninn e limitit. Në shekullin e XX u mundesua prova e parë e një përdorimi të përpiktë të infinitezimales. Asnjëra prej formulimeve nuk ishte e gabuar, dhe të dyja japin relultatet e duhura të përdorura korrektësisht.

## Përdorimi modern i infinitezimales 
Infinitezimalet pra janë përfundimisht veçse një koncept. Nëse epsiloni është infinitezimal në krahasim me një klase numrash do të thotë që epsiloni nuk bën pjesë tek kjo klasë numrash. Kjo është pika kyqe për të kuptuar infinitezimalet: infinitezimale detyrimisht do të thotë infinitezimale *në krahasim* me çdo lloj klase numrash.

### Udha drejt formalizimit 
Të provosh ose të mohosh ekzistencen e infinitezimales në mënyren që analiza jo-standarte pranon varet nga modeli i zgjedhur për studimin dhe tërësia e aksiomave të përdorura. Ne do të konsiderojmë këtu vetëm sistemet ku infinitezimalet ekzistojnë .

Në 1936 Maltsev provoi teorinë e ngjeshmërisë. Kjo teoremë është themelore për ekzistencen e infinitezimales ngaqë provon se është e mujtur ta formalizosh atë. Një shkak i kësaj teoreme është që nëse ekziston një numër sistemesh në të cilat është e vërtetë që për çdo numër natural *n* gjendet një *x* i tillë që 0&nbsp;
* Numërat hiperreal
* Llogaritjet infinitesimale
* Llogaritjet jo standarte
* Analizë jo standarte
* Numërat surreal
* Diferenciali (matematikë)
* Numërat dualë
* Teoria e modelit

## Shënime 
## Referimet 
Kujdes faqet web të lidhura më poshtë janë të gjitha në anglisht.
* J. Keisler "Elementary Calculus" (2000) University of Wisconsin http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
* K. Stroyan "Foundations of Infinitesimal Calculus" (1993) https://web.archive.org/web/20081222012119/http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm
* Robert Goldblatt (1998) "Lectures on the hyperreals" Springer. http://www.springer.com/west/home/generic/order?SGWID=4-40110-22-1590889-0 
* "Nonstandard Methods and Applications in Mathematics" (2007) Lecture Notes in Logic 25, Association for Symbolic Logic. https://web.archive.org/web/20090203104614/http://www.aslonline.org/books-lnl_25.html
* "The Strength of Nonstandard Analysis" (2007) Springer.http://www.springer.com/west/home/springerwiennewyork/mathematics?SGWID=4-40638-22-173705722-0