Shpërndarja e arksinusit

{{Infobox shpërndarja e gjasës|name=Arksinus|type=density|pdf_image=|cdf_image=|parameters=asnjë|support=x \in [0,1]|pdf=f(x) = \frac{1}{\pi\sqrt{x(1-x)}}|cdf=F(x) = \frac{2}{\pi}\arcsin\left(\sqrt x \right)|mean=\frac{1}{2}|median=\frac{1}{2}|mode=x \in \{0,1\}|variance=\tfrac{1}{8}|skewness=0|kurtosis=-\tfrac{3}{2}|entropy=\ln \tfrac{\pi}{4}|mgf=1  +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{2r+1}{2r+2} \right) \frac{t^k}{k!}|char={}_1F_1(\tfrac{1}{2}; 1; i\,t)\ }}

Në teorinë e probabilitetit, **shpërndarja e arksinusit** është shpërndarja e probabilitetit, funksioni mbledhës i shpërndarjes të së cilës përfshin arksinusin dhe rrënjën katrore :

: F(x) = \frac{2}{\pi}\arcsin\left(\sqrt x\right)=\frac{\arcsin(2x-1)}{\pi}+\frac{1}{2}

për 0&nbsp;≤&nbsp;*x*&nbsp;≤&nbsp;1, dhe funksioni i densitetit të probabilitetit të të cilit është

: f(x) = \frac{1}{\pi\sqrt{x(1-x)}}

në&nbsp;(0,1). Shpërndarja standarde e arksinusit është një rast i veçantë i shpërndarjes beta me \alpha = \beta = 1/2. Kjo është, nëse X është një ndryshore e rastit me ligj arksinusi, atëherë X \sim {\rm Beta}\bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\bigr). Sipas shtrirjes, shpërndarja e arksinusit është një rast i veçantë i shpërndarjes së tipit I të Pearson .

## Përgjithësim 
{{Infobox shpërndarja e gjasës|name=Bashkësia e përcaktimi të arksinusit të kufizuar|type=densitet|pdf_image=|cdf_image=|parameters=-\infty |support=x \in [a,b]|pdf=f(x) = \frac{1}{\pi\sqrt{(x-a)(b-x)}}|cdf=F(x) = \frac{2}{\pi}\arcsin\left(\sqrt \frac{x-a}{b-a} \right)|mean=\frac{a+b}{2}|median=\frac{a+b}{2}|mode=x \in {a,b}|variance=\tfrac{1}{8}(b-a)^2|skewness=0|kurtosis=-\tfrac{3}{2}|entropy=|mgf=|char=}}

### BP e kufizuar arbitrarisht 
Shpërndarja mund të zgjerohet për të përfshirë çdo bashkësi përcaktimi të kufizuar nga a \leq x \leq b me një transformim të thjeshtë

: F(x) = \frac{2}{\pi}\arcsin\left(\sqrt \frac{x-a}{b-a} \right)

për *një*&nbsp;a \leq x \leq b, dhe funksioni i densitetit probabilitar të të cilit është

: f(x) = \frac{1}{\pi\sqrt{(x-a)(b-x)}}

në&nbsp;(a,b).

### Faktori i formës 
Shpërndarja standarde e përgjithësuar e arksinusit në intervalin (0,1) me funksion të densitetit të probabilitetit

: f(x;\alpha) = \frac{\sin \pi\alpha}{\pi}x^{-\alpha}(1-x)^{\alpha-1} 

është gjithashtu një rast i veçantë i shpërndarjes beta me parametra {\rm Beta}(1-\alpha,\alpha) .

## Vetitë 
* Shpërndarja e arksinusit është e mbyllur nën translatim dhe shkallëzim me një faktor pozitiv
** Nëse X \sim {\rm Arcsine}(a,b) \ \text{atëherë } kX+c \sim {\rm Arcsine}(ak+c,bk+c) 
* Katrori i një shpërndarjeje arksinusi mbi (-1,1) ka shpërndarje arksine mbi (0,1)
** Nëse X \sim {\rm Arcsine}(-1,1) \ \text{atëherë } X^2 \sim {\rm Arcsine}(0,1) 
* Koordinatat e pikave të zgjedhura në mënyrë të njëtrajtshme në një rreth me rreze r me qendër në origjinë (0,0), kanë një shpërndarje {\rm Arcsine}(-r,r)
** Për shembull, nëse zgjedhim një pikë në mënyrë të njëtrajtshme në perimetër, U \sim {\rm Uniform}(0,2\pi r), marrim shpërndarjen e koordinatave x të pikës është r \cdot \cos(U) \sim {\rm Arcsine}(-r,r) , dhe shpërndarja e koordinatave y të saj është r \cdot \sin(U) \sim {\rm Arcsine}(-r,r) 

## Shpërndarjet e ndërlidhura 
* Nëse U dhe V janë ndryshore rasti iid uniforme (- \pi, \pi), atëherë \sin(U), \sin(2U), -\cos(2U), \sin(U+V) dhe \sin(U-V) të gjithë kanë një shpërndarje {\rm Arcsine}(-1,1).
* Nëse X është shpërndarja e përgjithësuar e arksinusit me parametrin e formës \alpha mbështetur në intervalin e fundëm [a,b] atëherë \frac{X-a}{b-a} \sim {\rm Beta}(1-\alpha,\alpha) \ 
* Nëse X \sim \operatorname{Cauchy}(0,1) atëherë \tfrac{1}{1+X^2} ndjek një shpërndarje standarde arksinusi.

## Aplikacion 
Shpërndarja e arksinusit gjen zbatim në formimin e rrezeve dhe sintezën e modelit.  Është gjithashtu dendësia klasike e probabilitetit për oshilatorin e thjeshtë harmonik .