Ekuacioni i shkallës së katërt

thumb|right|233px|Grafiku i polinomit të shkallës së katërt, me tre pika kritike.
Funksioni i trajtës 

:f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \, 

Ku *a* është e ndryshme nga 0 me fjalë tjera polinomi i shkallës së katërt nëse barazohet me 0 atëherë fitohet ekuacioni i shkallës së katërt

:ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \,
ku *a*&nbsp;≠&nbsp;0.

## Histori 
Ekuacionet e shkallës së katërt për herë të parë janë shqyrtuar në Indi. Italiani Lodovico Ferrari për herë të parë i dha zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së katërt në vitin 1540, por pasi kjo zgjidhje kërkon që më parë të dihet zgjidhja e ekuacionit të shkallës së tretë të cilin e gjeti mentori i tij Gerolamo Cardano këto zgjidhje u botuan më vonë së bashku, në librin *Ars Magna* në vitin (1545).

Kjo është shkalla më e lartë (pra shkalla e katërt) e një polinomi me koeficient real i cili është i zgjidhshëm në radikale, pra me formula të cilat përdorin funksione elementare matematikore, këtë fakt e vërtetuan Abel-Ruffini në vitin 1824.

## Zgjidhja e ekuacionit 
Le të jetë dhënë ekuacioni
:Q(x) = a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0.\,

nëse
a_0=0,\,
atëherë Q(0) = 0\,,
kështtuqë zero është një rrënjë.
Për gjetjen e rrënjëve tjera, ne pjesëtojmë me x\,
dhe pastaj e zgjidhim ekuacionin e shkallës së tretë,
:a_4x^3+a_3x^2+a_2x+a_1=0.\,

është e qartë se rrënjët e tij janë 1, −1 dhe −*k* 

nëse a_0+a_1+a_2+a_3+a_4=0,\,
atëherë
Q(1) = 0\,,
pra 1\, është rrënjë.
Ngjajshëm nëse
a_4-a_3+a_2-a_1+a_0=0,\,
atëherë,
a_0+a_2+a_4=a_1+a_3,\,
pra -1\, është rrënjë.

Kur 1\, është rrënjë ne pjesëtojmë Q(x)\, me x-1\,
dhe fitojmë 
:Q(x) = (x - 1)p(x),\,
ku p(x)\, është polinom i shkallës së tretë, i cili mund të zgjidhet.
Ngjashëm nëse -1\, është rrënjë,
:Q(x) = (x + 1)p(x),\,
ku p(x)\, është polinom i shkallës së tretë.

Nëse a_2 = 0, a_3 = ka_4, a_0 = ka_1,\,
atëherë −*k* është rrënjë atëherë e faktorizojmë x+k\,,
:
\begin{align}
Q(x)
&=a_4 x^4 + k a_4 x^3 + a_1 x + ka_1
\\
&=(x + k)a_4x^3 + (x + k)a_1
\\
&=(x + k)(a_4x^3 + a_1).
\end{align}

dhe nëse a_0=0, a_3=ka_4, a_1 = ka_2,\,
atëherë rrënjë janë 0\, dhe -k\, 
Tani faktorizojmë
x(x + k)\, atëherë fitojmë
:
\begin{align}
Q(x)
&=x(a_4x^3+ka_4x^2+a_2x+ka_2)
\\
&=x(x+k)(a_4x^2+a_2).
\end{align}

Përr të gjetur rrënjët tjera të *Q* ne e zgjidhim barazimin kuadratik.

Ekuacioni bikuadratik

Nëse a_3=a_1=0,\, atëherë
:
Q(x) = a_4x^4+a_2x^2+a_0.\,\!

ky lloj ekuacioni zgjidhet shumë lehtë.

Le të jetë z=x^2.\,
atëherë *Q* bëhet kuadratik sipas z,\,
:
q(z) = a_4z^2+a_2z+a_0.\,\!

Le të jetë z_+\, dhe z_-\, rrënjët e *q*.
atëherë rrënjët e *Q* janë
:
\begin{align}
x_1&=+\sqrt{z_+},
\\
x_2&=-\sqrt{z_+},
\\
x_3&=+\sqrt{z_-},
\\
x_4&=-\sqrt{z_-}.
\end{align}

Ekuacioni kuazisimetrik

: a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_1 m x+a_0 m^2=0 \, 

Hapat e zgjidhjes: 

1) Pjestojmë me *x*&nbsp;2.

2) fusim ndryshoren *z* = *x* + *m*/*x*.

Rasti i përgjithshëm

Në fillim e bëjmë reduktimin e rastit të përgjithshëm
Le të jetë
: A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x + E = 0 \qquad\qquad(1')
forma e përgjithshme i ndajmë të dy anët e tij me *A*,
: x^4 + {B \over A} x^3 + {C \over A} x^2 + {D \over A} x + {E \over A} = 0. 

Në fillim e eliminojmë termin *x*3. e ndryshojmë variablën nga *x* në *u*, ashtuqë
: x = u - {B \over 4 A} .
atëherë
: \left( u - {B \over 4 A} \right)^4 + {B \over A} \left( u - {B \over 4 A} \right)^3 + {C \over A} \left( u - {B \over 4 A} \right)^2 + {D \over A} \left( u - {B \over 4 A} \right) + {E \over A} = 0. 
zhvillojmë fuqitë e binomeve
: \left( u^4 - {B \over A} u^3 + {6 u^2 B^2 \over 16 A^2} - {4 u B^3 \over 64 A^3} + {B^4 \over 256 A^4} \right) 
+ {B \over A} 
\left( u^3 - {3 u^2 B \over 4 A} + {3 u B^2 \over 16 A^2} - {B^3 \over 64 A^3} \right) 
+ {C \over A} 
\left( u^2 - {u B \over 2 A} + {B^2 \over 16 A^2} \right) + {D \over A} \left( u - {B \over 4 A} \right) + {E \over A} = 0. 
dhe i grupojmë antarët pranë fuqive të njejta të *u* dhe fitojmë se
: u^4 + \left( {-3 B^2 \over 8 A^2} + {C \over A} \right) u^2 + \left( {B^3 \over 8 A^3} - {B C \over 2 A^2} + {D \over A} \right) u + \left( {-3 B^4 \over 256 A^4} + {C B^2 \over 16 A^3} - {B D \over 4 A^2} + {E \over A} \right) = 0. 

Tani i riemërojmë koeficientet e *u*. Le të jetë
:\begin{align}
\alpha & = {-3 B^2 \over 8 A^2} + {C \over A} ,\\
\beta & = {B^3 \over 8 A^3} - {B C \over 2 A^2} + {D \over A} ,\\
\gamma & = {-3 B^4 \over 256 A^4} + {C B^2 \over 16 A^3} - {B D \over 4 A^2} + {E \over A} .
\end{align}
dhe fitojmë ekuacionin
: u^4 + \alpha u^2 + \beta u + \gamma = 0 \qquad \qquad (1) 
i cili quhet ekuacion i reduktuar i shkallës së katërt.

Nëse \beta=0 \  atëherë kemi ekuacion bikuadratik i cili u shqyrtua më sipër.

Nëse \gamma=0 \  atëherë njëra nga rrënjët është u=0 \  dhe rrënjët tjera gjindet kur ekuacionin e pjestojmë me u, dhe e zgjidhim ekuacionin që fitohet pas këtij pjestimi i cili është i shkallës së tretë
: u^3 + \alpha u + \beta = 0 \,.

nëse kthehemi te variablat e vjetra ne i gjejmë zgjidhjet sipas x.