Ndryshorja e rastit

Një **ndryshore e rastësishme** është një formalizim (zyrtarizim) matematikor i një madhësie ose objekti që varet nga ngjarje të rastësishme.  Është një hartë ose një funksion nga rezultatet e mundshme (p.sh., anët e sipërme të mundshme të një monedhe të kthyer si koka H dhe pili T ) në një hapësirë mostre (p.sh. grupi \{H,T\} ) në një hapësirë të matshme, shpesh numrat realë (p.sh. \{-1,1\} në të cilën -1 që korrespondon me H dhe 1 që korrespondon me T ).
qendër|parapamje|377x377px|Ky grafik tregon se si ndryshorja e rastësishme është një funksion nga të gjitha rezultatet e mundshme në vlerat reale. Ai gjithashtu tregon se si përdoret ndryshorja e rastësishme për përcaktimin e funksioneve të masës së probabilitetit.
Joformalisht, rastësia zakonisht përfaqëson një element themelor të shansit, si p.sh. në hedhjen e një zari ; mund të përfaqësojë gjithashtu pasiguri, si p.sh. gabim në matje .  Megjithatë, interpretimi i probabilitetit është filozofikisht i ndërlikuar, madje edhe në raste specifike nuk është gjithmonë i drejtpërdrejtë. Analiza thjesht matematikore e variablave të rastësishme është e pavarur nga vështirësi të tilla interpretuese dhe mund të bazohet në një strukturë rigoroze aksiomatike.

Në gjuhën formale matematikore  të teorisë së matjes, një ndryshore e rastit përkufizohet si një funksion i matshëm nga një hapësirë matëse probabiliteti (e quajtur *hapësira e kampionimit* ) në një hapësirë të matshme . Kjo lejon marrjen në konsideratë të masës shtytëse, e cila quhet *shpërndarja* e ndryshores së rastësishme; shpërndarja është pra një masë probabiliteti në grupin e të gjitha vlerave të mundshme të ndryshores së rastit. Është e mundur që dy variabla të rastësishëm të kenë shpërndarje identike, por të ndryshojnë në mënyra të rëndësishme; për shembull, ato mund të jenë të pavarura .

Sipas George Mackey, Pafnuty Chebyshev ishte personi i parë që "mendoi sistematikisht në terma të ndryshoreve të rastësishme". 

## E ç'është ndryshorja e rastit? 
Një **ndryshore e rastit** X është një funksion i matshëm X \colon \Omega \to E nga një hapësirë kampionimi ose ndryshe ngjarje  \Omega  si një grup rezultatesh të mundshme për një hapësirë të matshme  E . Përkufizimi teknik aksiomatik kërkon hapësirën ngjarjeve \Omega të jetë një hapësirë mostër e një probabiliteti të trefishtë (\Omega, \mathcal{F}, \operatorname{P}) (shih përkufizimin e teorisë së masës ). Një ndryshore e rastësishme shpesh shënohet me shkronja të mëdha romake si p.sh X, Y, Z, T . 

Probabiliteti që X merr një vlerë në një grup të matshëm S\subseteq E shkruhet si

: \operatorname{P}(X \in S) = \operatorname{P}(\{ \omega \in \Omega \mid X(\omega) \in S \})

Në terma më të drejtpërdrejtë dhe më pak formalë, nëse kemi bashkësinë e ngjarjeve \Omega, atëherë gjendet një funksion hartëzues nga \Omega në \mathcal {X} që është hapësira e rezultateve të ndryshores të rastit. Pra ngjarjet nëpërmjet këtij funksioni kthehen në numra. Më pas me anë të një funksioni tjetër këta numra kthehen në probabilitete. 

Lexuesi natyrshëm shtron pyetjen: "Përse nuk mund të hartëzohen direkt ngjarjet në probabilitete?". Kjo bëhet sepse ekziston një shpërndarje matematike e përshtatshme e cila kur merr në hyrje një numër (korresponduesin e ngjarjes që duam të gjejmë probabilitetin), jep probabilitetin shoqërues të këtij numri.