Mekanika e Lagranzhit

{{NavigationiFizika
|Emri = Mekanika klasike
|Etiketë = \mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m \mathbf{v})Ligji i dytë i Njutonit
|KyçItems = Historia e mekanikës klasike
|Temë1 = Degët
|Items1 = StatikaDinamika / KinetikaKinematikaMekanika e aplikuarMekanika qielloreMekanike e vazhduarMekanika statistike
|Temë2 = Formulimet
|Items2 =

* Mekanika Njutoniane (Mekanika vektoriale)
* Mekanika analitike:
** Mekanika e Lagranzhit
** Mekanika e Hamiltonit
|Temë3 = Konceptet themelore
|Items3 = HapësiraKohaShpejtësiaMasaNxitimiGravitetiForcaMomenti i forcës / Vrulli / Çifti i forcaveImpulsiImpulsi këndorInerciaMomenti i inercisëKëndi i referencësEnergjiaEnergjia kinetikeEnergjia potencialePuna mekanikePuna virtualeParimi i D'Alembertit
|Temë4 = Temat Themelore
|Items4 = Trupi i ngurtëDinamika e trupit të ngurtëLëvizjaLigjet e lëvizjes të NjutonitLigji gravitacional universal i NjutonitEkuacionet e lëvizjesKëndi inercial i referencësKëndi jo-inercial i referencësKënd reference në rrotullimForca fiktiveZhvendosja (vektor)Shpejtësia relative FërkimiLëvizja e thjeshtë harmonikeOshilatori harmonikVibrimiShuajtjaFaktori i shuajtesLëvizja rrotullueseLëvizja këndoreLëvizja këndore uniformeLëvizja këndore e përshpejtuarForca centripeteForca centrifugaleForca centrifugale (kënd reference rrotullues)Forca centrifugale reaktive Forca e KoriolisitLavjerrësiModuli i shpejtësisë rrotullueseNxitimi këndorShpejtësia këndoreFrekuenca këndoreZhvendosja këndore
|Temë5 = Shkencëtarët
|Items5 = Isak NjutoniJeremiah HorrocksLeonhard EulerJean le Rond d'AlembertAlexis ClairautJoseph Louis LagrangePierre-Simon LaplaceWilliam Rowan HamiltonSiméon-Denis Poisson
|cTemë={}
}}

**Mekanika e Lagranzhit** është një  riformulim i mekanikes klasike që kombinon ligjin e  konservimit të impulsit (vrullit ose sasinë e lëvizjes) me ligjin e ruajtjes së energjisë.   Për herë të parë ajo u dha nga Jozef Louiz Lagranzhi në 1788.  Në mekanikën e  Lagranzhit, trajektorja e sistemit të thërrmijave derivohet duke zgjidhur ekuacionet e  Lagranzhit, të cilat jepen, për secilën nga koordinatat e përgjithshme të sistemit.  Lema themelore e analizës së variacionit tregon se zgjedhja e ekuacioneve të Lagranzhit është ekuivalente me gjetjen e shtegut që minimizon funksionalin e veprimit, një madhësi që përcaktohet si integrali i funksionit të Lagranzhit mbi kohën.

Përdorimi i koordinatave të përgjithshme e thjeshtëson jashtëzakonisht analizën e një sistemi.  Për shembull, konsideroni një sferë të vogël metalike (në këtë rast e neglizhojmë forcën e fërkimit) që lëviz në një kanal.  Nëqoftëse e cilësojmë sferën si një pikë lëndore, llogaritja e lëvizjes së sferës duke përdorur mekanikën e Njutonit do të kërkonte që të zgjidhnim për një forcë që ndryshon në kohë e cila në këtë rast do të qe forca që mban sferën në kanal.  Nga ana tjetër për të njëjtin problem në mekanikën e Lagranzhit, ne duhet vetëm të analizojmë trajektoren e kanalit dhe të zgjedhim një set koordinatash të *pavarura* që karakterizojnë në mënyrë të plotë lëvizjen e sferës. Kjo zgjedhje eliminon nevojën për të analizuar forcën që vepron mbi trupin.  Në thelb kjo do të thotë që ka më pak ekuacione sepse ne nuk llogarisim në mënyre direkte forcën e kanalit mbi sferën në një moment të caktuar.

## Ekuacionet e  Lagranzhit 
Ekuacionet e lëvizjes në mekanikën e Lagranzhit quhen *Ekuacionet e Lagranzhit*, gjithashtu ato njihen si *Ekuacionet e Ojler–Lagranzhit*.  Më poshtë, ne do të japim një derivim të ekuacioneve të Lagranzhit.  Vine re se në këtë kontekst, në vend të U për energjinë potenciale përdore V, dhe T zëvendëson K për energjinë kinetike.  Shikoni referencat për derivime më të detajuara ose më të përgjithshme.

Duke filluar me principin e D'Alembertit për punën virtuale të forcave të aplikuara, \mathbf{F}_i, dhe forcës  inerciale në një sistem joinercial tre dimensional që konsiston prej *n* thërrmijash, lëvizja e së cilave është konsistonte me kufizimet që janë vënë mbi sistemin:

:\delta W = \sum_{i=1}^n ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i = 0.
::\delta W është puna virtuale,
::\delta \mathbf r_i është zhvendosja virtuale e sistemit, konsistonte me kufizimet,
::m_i janë masat e thërrmijave të sistemit,
::\mathbf a_i është nxitimi (nxitimet) i thërmijave të sistemit,
::m_i \mathbf a_i së bashku si produkt ato paraqesin derivatet kohore të impulseve të sistemit, pra, forcat inerciale,
::i është një numër që përdoret për të treguar  (përmes një subskripti) një variabël që i korrespondon një thërrmije të caktuar,
::n është një numër thërrmijash nën konsiderate.

Nga dy termat e mëposhtme :

:\delta W = \sum_{i=1}^n \mathbf {F}_{i} \cdot \delta \mathbf r_i - \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{a}_i \cdot \delta \mathbf r_i = 0.

Tani le të hipotezojmë se ekuacionet e mëposhtme të transformimit nga *m* koordinata të përgjithshme janë pavarura, q_j, hold:

:\mathbf{r}_1=\mathbf{r}_1(q_1, q_2, ..., q_m, t),
:\mathbf{r}_2=\mathbf{r}_2(q_1, q_2, ..., q_m, t), ...
:\mathbf{r}_n=\mathbf{r}_n(q_1, q_2, ..., q_m, t).
::m (pa subskript) tregon numrin përgjithshme të koordinatave të përgjithshme.

Një shprehje për zhvendosjen virtuale (diferenciali), \delta \mathbf{r}_i, të sistemit

:\delta \mathbf{r}_i = \sum_{j=1}^m \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j} \delta q_j.
::j është një numër që përdoret për të treguar (përmes subskriptit) një variabël që i korrespondon një koordinate të përgjithshme.

Forcat e aplikuar mund të shprehen në koordinata të përgjithshme si forca të përgjithshme, Q_j,

:Q_j = \sum_{i=1}^n \mathbf {F}_{i} \cdot \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j}.

Duke kombinuar ekuacionet per  \delta W, \delta \mathbf{r}_i, dhe Q_j ne marrim rezultatin e mëposhtëm pasi tërheqim shumën jashtë prodhimit skalar nga termi i dyte:

:\delta W = \sum_{j=1}^m Q_j \delta q_j - \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{a}_i \cdot \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j} \delta q_j = 0.

Duke zëvendësuar me rezultatin nga relacionet e energjisë kinetike në mënyrë që të ndyshojmë forcat inerciale në një funksion të energjisë kinetike ne marrim 

:\delta W = \sum_{j=1}^m Q_j \delta q_j - \sum_{j=1}^m \left ( \frac {d}{d t} \left ( \frac {\partial T}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial T}{\partial q_j} \right ) \delta q_j = 0.

Në ekuacionin e mësipërm, \delta q_j është arbitrare,  edhe pse, sipas përcaktimit ajo është konsistonte me kushtet.  Pra relacioni është i vërtetë për çdo term:

:Q_j = \frac {d}{d t} \left ( \frac {\partial T}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial T}{\partial q_j}.

### Relacioni i energjisë kinetike 
Energjia kinetike, T, për një sistem thërrmijash përcaktohet nga 

:T = \frac {1}{2} \sum_{i=1}^n m_i \mathbf {v}_i \cdot \mathbf {v}_i.

Derivati pjesor i  T në lidhje me derivatin kohor  të koordinatave të përgjithshme, \dot{q}_j, është 

:\frac {\partial T}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf {v}_i \cdot \frac {\partial \mathbf {v}_i} {\partial \dot{q}_j}.

Rezultati i mëparshëm është paksa i vështirë për tu parë.  Si rezultat i rregullit të prodhimit, derivati i një prodhimi skalar të përgjithshëm.  
\frac{d}{dx} ( \mathbf{f}(x) \cdot \mathbf{g}(x) ) eshte \mathbf{f}(x) \cdot \frac{d}{dx} \mathbf{g}(x) + \mathbf{g}(x) \cdot \frac{d}{dx} \mathbf{f}(x) Ky rezultat i përgjithshëm mund të shikohet duke kaluar në një sistem koordinativ Kartezian, meqenëse prodhimi skalar atje është vetëm një shumë term-pas-termi , si dhe gjithashtu nga fakti që derivati i shumës është shuma e derivateve.  Në rastin tonë , **f** dhe **g** janë  të barabarta me **v**, i cili është shkaku pse faktori një e dyta zhduket.

Sipas rregullit të diferencimit zinxhir si dhe ekuacioneve të transformimit të dhëna më lart \mathbf{r}, derivati i saj kohor, \mathbf{v}, eshte:

:\mathbf{v}_i = \sum_{j=1}^m \frac {\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} \dot{q}_j + \frac {\partial \mathbf{r}_i}{\partial t}.

Së bashku me, përcaktimin e  \mathbf v_i si dhe diferencialin e përgjithshëm, d \mathbf {r}_i, na sugjerojnë që 

:\frac {\partial \mathbf {v}_i}{\partial \dot{q}_j} = \frac {\partial \mathbf {r}_i}{\partial q_j}.

[Duhet të kujtoni që :  \frac {\partial} {\partial {\dot{q}_k}} {A}{\dot{q}_k} = A , si dhe është më e lehtë të shikosh rezultatin nëqoftëse zëvendësoni sabskriptet j me disa sabskripte të tjera k.  Gjithashtu mbani mënd që në këtë shumë, ekziston vetëm një  {\dot{q}_k} . ]

Duke zëvendësuar këtë relacion prapë tek shprehja për derivatin pjesor të T jep

:\frac {\partial T}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf v_i \cdot \frac {\partial \mathbf {r}_i}{\partial q_j}.

Po të marrim derivatin kohor kemi 

:\frac {d}{d t} \left ( \frac {\partial T}{\partial \dot{q}_j} \right ) = \sum_{i=1}^n \left [ m_i \mathbf a_i \cdot \frac {\partial \mathbf {r}_i}{\partial q_j} + m_i \mathbf {v}_i \cdot \frac {d}{d t} \left ( \frac {\partial \mathbf {r}_i}{\partial q_j} \right ) \right ].

Duke përdorur rregullin zinxhir 

:\frac {d}{d t} \left ( \frac {\partial \mathbf {r}_i}{\partial q_j} \right ) = \sum_{k=1}^m \frac {\partial^2 \mathbf r_i}{\partial q_j \partial q_k} \dot{q_k} + \frac {\partial^2 \mathbf r_i}{\partial q_j \partial t}.

Nga shprehja për  \mathbf v_i, ne shikojmë se 

:\frac {d}{d t} \left ( \frac {\partial \mathbf {r}_i}{\partial q_j} \right ) = \frac {\partial \mathbf {v}_i}{\partial q_j}.

Kjo lejon thjeshtësimin e termit të fundit ,

:\frac {d}{d t} \left ( \frac {\partial T}{\partial \dot{q}_j} \right ) = \sum_{i=1}^n \left [ m_i \mathbf a_i \cdot \frac {\partial \mathbf {r}_i}{\partial q_j} + m_i \mathbf {v}_i \cdot \frac {\partial \mathbf {v}_i}{\partial q_j} \right ].

Derivati pjesor i  T në lidhje me koordinatat e përgjithshme , q_j, është 

:\frac {\partial T}{\partial q_j} = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf {v}_i \cdot \frac {\partial \mathbf {v}_i} {\partial q_j}.

[Rezultati i fundit mund të merret duke bërë një diferencim pjesor mbi përcaktimin e energjisë kinetike të dhënë nga ekuacioni i parë.]  Dy ekuacionet e fundit mund të kombinohen për të dhënë për focat inerciale ne terma të energjisë kinetike:

:\frac {d}{d t} \left ( \frac {\partial T}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial T}{\partial q_j} = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf a_i \cdot \frac {\partial \mathbf {r}_i}{\partial q_j}

## Ekuacionet e vjetra të Lagranzhit 
Konsideroni një thërrmijë të vetme me masë *m* dhe vektor pozicioni \mathbf{r}, e cila lëviz nën veprimin e një force të aplikuar, \mathbf{F}, e cila mund të shprehet si gradienti i një funksioni skalar të energjisë potenciale V (\mathbf{r},t):

:\mathbf{F} = - \mathbf{\nabla} V.

Një forcë e tillë është e pavarur nga derivate të rendit të tretë ose më të larta \bold{r}, kështu që ligji i dytë i Njutonit formon një bashkësi ekuacionesh diferenciale ordinere të rendit të tretë.  Pra, lëvizja e thërrmijës mund të përshkruhet në mënyrë komplete nga 6 variabla të pavarura, të cilat njihen si  *gradat e lirisë*. Një set variablash është \{ \mathbf{r}_j, \dot{\mathbf{r}}_j | j = 1, 2, 3\}, këto janë komponentet karteziane të  \mathbf{r} dhe derivatet e tyre kohore, në një çast kohor (i.e. pozicioni (x,y,z) dhe shpejtësia  (v_x,v_y,v_z)).

Më përgjithësisht, ne mund të punojmë në një bashkësi koordinatash të përgjithshme, q_j, dhe derivatet e tyre kohore,  shpejtësitë e përgjithshme, \dot{q_j}. Vektori i pozicionit, \mathbf{r}, lidhet me koordinatat e përgjithshme me anë të *ekuacioneve të transformimit*:

:\mathbf{r} = \mathbf{r}(q_i , q_j , q_k, t).

Për shembull, për një  lavjerrës të thjeshtë me gjatësi  *l*, një zgjedhje logjike për koordinatat e përgjithshme është këndi i lavjerrësit nga vertikalja , θ, për të cilin ekuacionet e transformimit janë

:\mathbf{r}(\theta, \dot{\theta} , t) = (l \sin \theta, l \cos \theta).

Termi "koordinata të përgjithshme" ka mbetur nga periudha kur koordinatat karteziane ishin të vetmet sisteme koordinativ.

Konsideroni një zhvendosje arbitrare  \delta \mathbf{r} të thërrmijës.  puna  e bërë nga nga forca e aplikuar  \mathbf{F} është  W = \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r}. Duke përdorur ligjin e dytë të Njutonit, kemi:

:\begin{matrix}
    \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r}  =  m\ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r}.
\end{matrix}

Meqë puna është një madhësi fizikë skalare, ne duhet ta rishkruajmë këtë ekuacion në terma të koordinatave të përgjithshme dhe shpejtësive. Në anën e majte,

:
  \begin{matrix}
    \mathbf{F} \cdot \mathbf{\delta} \mathbf{r}
      & = & - \mathbf{\nabla} V \cdot \displaystyle\sum_i {\partial \mathbf{r} \over \partial q_i} \delta q_i \\  \\
      & = & - \displaystyle\sum_{i,j} {\partial V \over \partial r_j} {\partial r_j \over \partial q_i} \delta q_i \\  \\
      & = & - \displaystyle\sum_i {\partial V \over \partial q_i} \delta q_i. \\
  \end{matrix}

Në anën e  djathtë, duke bërë një ndryshim koordinatash, marrim :

m \ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r} = m \sum_{i,j} \ddot{r_i} {\partial r_i \over \partial q_j} \delta q_j 

Duke bërë një rirregullim të shprehjes kemi :

m \ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r} =  m \sum_j \left[ \sum_i \ddot{r_i} {\partial r_i \over \partial q_j} \right] \delta q_j 

Tani, aplikojmë teknikën e integrimit me pjesë në "lidhje"  me t :

m \ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r} = m \sum_j \left[ \sum_i \left[  {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}   \left(  \dot{r_i} {\partial r_i \over \partial q_j} \right)  - \dot{r_i} {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}\left(   {\partial r_i \over \partial q_j} \right)      \right] \right] \delta q_j 

Duke njohur faktin që  {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial r_j \over \partial q_i} = {\partial \dot{r_j} \over \partial q_i} dhe {\partial r_j \over \partial q_i} = {\partial \dot{r_j} \over \partial \dot{q_i}}, marrim:

m \ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r} = m \sum_j \left[ \sum_i \left[  {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}   \left(  \dot{r_i} {\partial \dot{r_i} \over \partial \dot{q_j}} \right)  - \dot{r_i}   {\partial \dot{r_i} \over \partial q_j}       \right] \right] \delta q_j 

Tani, duke ndryshuar rendin e diferencimit, marrim :

m \ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r} = m \sum_j \left[ \sum_i \left[  {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}  {\partial \over \partial \dot{q_j}} \left( \frac{1}{2} \dot{r_i}^2  \right) -  {\partial \over \partial q_j} \left( \frac{1}{2} \dot{r_i}^2 \right)   \right] \right] \delta q_j 

Me në fund, pasi ndryshojmë rendin e shumimit kemi :

m \ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r} = \sum_j \left[  {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}  {\partial \over \partial \dot{q_j}} \left( \sum_i \frac{1}{2} m \dot{r_i}^2  \right) -  {\partial \over \partial q_j} \left( \sum_i \frac{1}{2} m \dot{r_i}^2 \right) \right] \delta q_j 

E cila është ekuivalente me :

:
  m \ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r}
= \sum_i \left[{\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial T \over \partial \dot{q_i}}-{\partial T \over \partial q_i}\right]\delta q_i

ku  T=\frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}\cdot\dot{\mathbf{r}} është energjia kinetike e thërrmijës.  Ekuacioni i punës tani është i formës
:
\sum_i \left[{\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{T}\over \partial{\dot{q_i}}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right]
\delta q_i = 0.

Megjithatë , kjo duhet të jetë e vërtete për  *çdo* set zhvendosjesh të përgjithshme \delta q_i, kështu që kemi

:
\left[ {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{T}\over \partial{\dot{q_i}}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right] = 0

Ku për *çdo* koordinatë të përgjithshme \delta q_i. Mund ta thjeshtojmë edhe me tej duke vëryer që  *V* është një  funksion vetëm i **r** dhe *t*, dhe **r** është një funksion i koordinatave të përgjithshme dhe  *t*.  Pra, *V* është e pavarur nga shpejtësitë e përgjithshme :

:
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{V}\over \partial{\dot{q_i}}} = 0.

Duke zëvendësuar këtë në ekuacionin e mëparshëm *L* = *T* - *V*, të quajtur funksioni Lagranzhian, ne marrim ekuacionet e Lagranzhit :

:
{\partial{\mathcal{L}}\over \partial q_i} = {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{\mathcal{L}}\over \partial{\dot{q_i}}}.

Siç shikoni ekziston nga një ekuacion Lagranzhi për çdo koordinatë të përgjithshme qi. Kur qi = ri (pra, kur koordinatat e përgjithshme janë thjesht koordinata Karteziane), është shumë e thjesht dhe e qartë fakti që ekuacionet e Lagranzhit reduktohen në ato të ligjit të dytë të Njutonit.

Derivimi i mësipërm mund të përgjithësohet për një sistem me *N* thërrmija.  Në atë rast kemi 6*N* koordinata të përgjithshme, që lidhen me koordinata e pozicionit nga  3*N*  ekuacione transformimi. Në secilën nga 3*N* ekuacionet e Lagranzhit, *T* është energjia kinetike totale e sistemit, dhe *V* është energjia totale potenciale.

Në praktikë, është shumë më e lehtë të përdoresh ekuacionet e Ojler–Lagranzhit sesa ato të Njutonit.  Kjo është sepse të parat lejojnë që ne të zgjedhim çfarëdo lloj koordinatash të përgjithshme 'q*i në mënyre që të shfrytëzojmë simetritë e sistemit.

## Shembuj 
Në këtë seksion ne japim dy shembuj të cilat shpjegojnë se si aplikohen konceptet e mëlartme.  Shembulli i pare tregon për një rast të thjeshtë që formalizmi Lagranzhian dhe ai Njutonian punojnë njësoj. Shembulli i dyte tregon fuqinë e vërtete te formalizmit të mëlartëm, për një rast që është shume i vështirë që të zgjidhet me metodën Njutoniane.

### Rënia e lirë e një pikë lëndore 
Konsideroni një pikë lëndore me mase *m* që kryen rënie të lirë nga prehja. Nga graviteti një forcë *F = m g* ushtrohet mbi masën (duke marrë parasysh se *g* është konstante).  Po të zëvendësojmë forcën në ligjin e dytë të Njutonit, gjejmë \ddot x = g prej nga zgjidhja është
:x(t) = \frac{1}{2} g t^2

(nëqoftëse zgjedhim origjinën në pikën fillestare). Ky rezultat mund të derivohet edhe nga formalizmi i  Lagranzhit. Le të jetë *x* koordinata , e cila është  *0* në pikën fillestare. Energjia kinetike është T = \frac{1}{2} m v^2 ndërsa ajo potenciale është V = - m g x, pra 
:\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + m g x. 
Tani kemi 
:0 = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot x} = m g - m \frac{\mathrm{d} \dot x}{\mathrm{d} t} 
e cila mund të rishkruhet si  \ddot x = g, kjo jep të njëjtin rezultat si më parë.

### Lavjerrësi në një platformë lëvizëse 
Konsideroni një lavjerrës me masë *m* dhe gjatësi *l*, i cili është i varur në një suport me masë  *M* e cila mund të lëvizë përgjatë një vijë në drejtimin e *x*. Le  të jetë *x* koordinata përgjatë vijës së suportit, dhe le të japim pozicionin e lavjerrësit me anë të një këndi *θ* të matur nga vertikalja. Energjia kinetike mund të tregohet që është 
:T = \frac{1}{2} M \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m \left( \dot{x}_\mathrm{pend}^2 + \dot{y}_\mathrm{pend}^2 \right) = \frac{1}{2} M \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m \left[ \left( \dot x + l \dot\theta \cos \theta \right)^2 + \left( l \dot\theta \sin \theta \right)^2 \right], 
Ndërsa ajo energjia potenciale e sistemit është
: V = m g \operatorname{y}_\mathrm{pend} = - m g l \cos \theta . 

thumb|right|Skeç i situatës me përcaktimin e koordinatave (kliko që ta zmadhosh)
Tani po të bëjme diferencimin për koordinatën e suportit  *x*
:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left[ (M + m) \dot x + m l \dot\theta \cos\theta \right] = 0, 
pra:
:  (M + m) \ddot x + m l \ddot\theta\cos\theta-m l \dot\theta ^2 \sin\theta = 0 
Tregon prezencën e një konstanteje të lëvizjes. Variabla tjetër jep
:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ m( l^2 \dot\theta + \dot x l \cos\theta ) \right] + m (\dot x l \dot \theta + g l) \sin\theta = 0;
pra
:\ddot\theta + \frac{\ddot x}{l} \cos\theta + \frac{g}{l} \sin\theta = 0 .
Këto ekuacione mund të duken shumë të komplikuara, por për ti gjetur ato me metodën e Njutonit ne duhet qe të identifikojmë të gjitha forcat, gjë e cila jo vetëm është e vështirë por le edhe shteg për gabime. Duke konsideruar rastet limit (\ddot x \to 0 duhet të japë ekuacionet e lëvizjes për një lavjerrës, \ddot\theta \to 0 duhet të japë ekuacionet për lavjerrësin në një sistem që me nxitim konstant.) Korrektësia e këtij sistemi mund të verifikohet.

## Principi i Hamiltonit 
Veprimi, jepet nga \mathcal{S}, ky është integrali kohor i funksionit Lagranzhian:
:\mathcal{S} = \int \mathcal{L}\,\mathrm{d}t.

Le të jenë *q0* dhe *q1* koordinatat në kohët fillestare dhe përfundimtare respektivisht, pra *t0* dhe *t1*. Duke përdorur analizën e variacionit, mund të tregohet se ekuacionet e Lagranzhit janë ekuivalente me *principin e Hamiltonit*:

:*Sistemi kalon në atë trajektore midis t0 dhe t1 veprimi i së cilës merr një vlerë stacionare.*

Fjala *stacionare*, do të thotë që veprimi nuk ndyshon në rend të parë për deformime infinitezimale të trajektores, me pikat kufitare (*q0*, *t0*) dhe (*q1*,*t1*) të fiksuara. Principi i Hamiltonit mund të shkruhet si:

:\delta \mathcal{S} = 0. \,\!

Pra,në vend që të mendojmë për thërrmijat e nxituara si grimca që u përgjigjen forcave që aplikohen mbi to, ne mund të mendojmë mbi to si grimca që marrin trajektoren ku veprimi është stacionar.

Principi i Hamiltonit ndonjëherë referohet si *parimi i veprimit minimal''. Tani kjo në të vërtetë është një abuzim i fjalorit: veprimi duhet vetëm që të jetë stacionar, po u plotësua ky kusht trajektorja e vërtetë mund të prodhojë një maksimum, pikë infleksioni, ose një minimum mbi veprimin.

Mund të përdorim këtë parim në vend të ligjeve të Njutonit si parim themelor të mekanikës, kjo na lejon neve të përdorim një parim integral (Ligjet e Njutonit janë të bazuara në ekuacione diferenciale kështu që ato janë parime diferenciale) si bazë për mekanikën. Megjithatë, për fat të keq në tekste nuk thuhet qe principi i Hamiltonit është një princip variacioni i vlefshëm vetëm për kondita holonomike, nëqoftëse merremi me sisteme joholonome atëherë principi i variacionit duhet zëvendësuar me principin e d'Alembertit për punën virtuale . Përdorimi i kësaj metode elegante të formulimit variacional të mekanikës është çmimi që duhet të paguajmë kur studiojmë vetëm sisteme me kondita holonomike.

## Zgjerimi i mekanikës së Lagranzhit 
Funksioni Hamiltonian, i dhënë nga *H*, merret duke zbatuar transformimin e Lazhandrit mbi funksionin Lagranzhian. Funksioni Hamiltonian është baza për një formulim alternativ të mekanikës klasike që njihet si mekanika e Hamiltonit. Duhet thënë se ky funksion është një madhësi që haset tepër në mekanikën kuantike (Shikoni Funksioni Hamiltonian (mekanika kuantike)).

Në 1948, Fajmani shpiku formulimin e integralit të shtegjeve duke e zgjeruar principin e veprimit minimal në mekanikën kuantike për elektronet dhe fotonet. Në këtë formulim, thërrmijat udhëtojnë në çdo shteg të mundshëm midis gjendjes fillestare dhe përfundimtare; probabiliteti i gjendjes finale merret duke integruar mbi të gjitha trajektoret e mundshme. Në rrëgjimin klasik, formulim i integralit të shtegjeve jep principin e Hamiltonit, si dhe principin e Fermat në optikë.

## Shiko gjithashtu 
* Problemi i tre-trupave
* Mekanika e Hamiltonit
* Derivati funksional
* Forma e Nilsenit
* Koordinatat kanonike
* Koordinatat e përgjithshme
* Analiza e Lagranzhit (aplikime te mekanikes se Lagranzhit)

## Referime 
* Goldstein, H. *Classical Mechanics,* second edition, pp.16 (Addison-Wesley, 1980)
* Moon, F. C. *Applied Dynamics With Applications to Multibody and Mechatronic Systems*, pp. 103-168 (Wiley, 1998).

## Lexime te metejshme 
* Landau, L.D. and Lifshitz, E.M. *Mechanics*, Pergamon Press.
* Gupta, Kiran Chandra, *Classical mechanics of particles and rigid bodies* (Wiley, 1988).

## Lidhje te jashtme 
* Tong, David, Classical Dynamics Cambridge lecture notes
* Principle of least action interactive Excellent interactive explanation/webpage
* Aerospace dynamics lecture notes on Lagrangian mechanics 
* Aerospace dynamics lecture notes on Rayleigh dissipation function