Zbërthimi i pjesshëm në thyesa

Në algjebër, **zbërthimi i pjesshëm** **në thyesa** ose **zgjerimi i pjesshëm i thyesave** të një thyese racionale (d.m.th., një thyesë e tillë që numëruesi dhe emëruesi janë të dy polinome) është një veprim që e shpreh thyesën si shumë, e një polinomi (ndoshta zero) dhe një ose disa thyesave me emërues më të thjeshtë.

Rëndësia e zbërthimit të pjesshëm të thyesave qëndron në faktin se ai ofron algoritme për llogaritje të ndryshme me funksione racionale, duke përfshirë llogaritjen eksplicite të antiderivativëve,  zgjerimet e serisë Tejlor, transformimet e anasjellta Z dhe transformimin e anasjelltë të Laplasit. Koncepti u zbulua në mënyrë të pavarur në 1702 nga Johann Bernoulli dhe Gottfried Leibniz.

Në simbole, *zbërthimi i fraksionit të pjesshëm* i një thyese racional të formës  \frac{f(x)}{g(x)},  ku f dhe g janë polinome, është shprehja e tillë si:\frac{f(x)}{g(x)}=p(x) + \sum_j \frac{f_j(x)}{g_j(x)} ku p(x) është një polinom, dhe, për çdo j, emëruesi g_{j}(x) është një fuqi e një polinomi të pazbërthyeshëm (që nuk është i faktorizueshëm në polinome me fuqi pozitive), dhe numëruesi f_{j}(x) është një polinom i një shkalle më të vogël se shkalla e këtij polinomi të pareduktueshëm.

## Parimet bazë 
Le të jetëR(x) = \frac FGnjë thyesë racionale, ku F dhe G janë polinome me një ndryshore në x e papërcaktuar mbi një fushë. Ekzistenca e thyesës së pjesshëm mund të vërtetohet duke zbatuar në mënyrë induktive hapat e mëposhtëm të reduktimit.

### Pjesa polinomiale 
Ekzistojnë dy polinome E dhe F_{1} të tilla që \frac FG=E+\frac{F_1}G,dhe\deg F_1 ku \deg P tregon shkallën e polinomit P

## Procedura 
Jepen dy polinome P(x) dheQ(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2) \cdots (x-\alpha_n), ku *α* *i* janë konstante të dallueshme dhe deg \ P , shprehjet eksplicite për thyesat e pjesshme mund të merren duke supozuar se\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{c_1}{x-\alpha_1} + \frac{c_2}{x-\alpha_2} + \cdots + \frac{c_n}{x-\alpha_n}dhe më pas zgjidhet për konstantet *c* *i*, me zëvendësim, duke barazuar koeficientët e termave që përfshijnë fuqitë e *x*, ose ndryshe.

Një llogaritje më e drejtpërdrejtë, e cila lidhet fort me interpolimin e Lagranzhit, përbëhet nga shorehja\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i=1}^n \frac{P(\alpha_i)}{Q'(\alpha_i)}\frac{1}{(x-\alpha_i)} ku Q' është derivat i polinomit Q . Koeficientët e \tfrac{1}{x-\alpha_j} quhen mbetjet e *f/g* .

Kjo qasje nuk merr parasysh disa raste të tjera, por mund të modifikohet në përputhje me rrethanat:

* Nëse \deg P \geq \deg Q,  atëherë është e nevojshme të kryhet pjesëtimi Euklidian i *P* me *Q*, duke përdorur pjesëtimin e gjatë polinomial, duke dhënë P(x) = E(x)Q(x) + R(x) me \deg \ R  . Duke pjesëtuar me Q(x) kjo jep\frac{P(x)}{Q(x)} = E(x) + \frac{R(x)}{Q(x)},
* Nëse Q(x) përmban faktorë të cilët janë të pazbërthyeshëm në fushën e dhënë, atëherë numëruesi N(x) i secilës thyesë të pjesshëm me një faktor të tillë F(x) në emërues, duhet të kërkohet si një polinom me \deg \ n , e jo si konstante. Për shembull, merrni zbërthimin e mëposhtëm mbi **R** : \frac{x^2 + 1}{(x+2)(x-1)\color{Blue}(x^2+x+1)} = \frac{a}{x+2} + \frac{b}{x-1} + \frac{\color{OliveGreen}cx + d}{\color{Blue}x^2 + x + 1}.
* Supozoni Q(x) = (x-a)^{r}S(x) dhe S(\alpha) \neq 0 , që do të thotë α është një rrënjë e Q(x)  me shumëfishitet r . Në zbërthimin e thyesave të pjesshme, r fuqitë e para të (x-\alpha) do të ndodhen si emërues të thyesave të pjesshme (mundësisht me një numërues zero). Për shembull, nëse S ( x ) = 1, zbërthimi i pjesshëm i thyesës ka formën \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x)}{(x-\alpha)^r} = \frac{c_1}{x-\alpha} + \frac{c_2}{(x-\alpha)^2} + \cdots + \frac{c_r}{(x-\alpha)^r}.

### Illustrim 
Në një zbatim shembull të kësaj procedure, \frac{3x+5}{(1-2x)^2}  mund të zbërthehet në formën\frac{3x + 5}{(1-2x)^2} = \frac{A}{(1-2x)^2} + \frac{B}{(1-2x)}.Pastrimi i emëruesve tregon se 3x+5=A+B(1-2x)  . Zgjerimi dhe barazimi i koeficientëve të fuqive të x jep
 
Zgjidhja e këtij sistemi ekuacionesh lineare për A dhe B jep A = 13/2 dhe B = -3/2 . Prandaj,\frac{3x + 5}{(1-2x)^2} = \frac{13/2}{(1-2x)^2} + \frac{-3/2}{(1-2x)}.

## Mbi realet 
Thyesat e pjesshme përdoren në integralet e funksioneve të ndryshores reale për të gjetur integralet e pacaktuara me vlerë reale të funksioneve racionale . Zbërthimi i pjesshëm i thyesave të funksioneve reale racionale përdoret gjithashtu për të gjetur transformimet e tyre të anasjellta të Laplasit . Për aplikimet e **zbërthimit të pjesshëm të fraksioneve mbi realet**, shih

* Aplikimi për integrimin simbolik, më sipër
* Thyesat e pjesshme në transformimet e Laplasit

## Shembuj 
### Shembulli 1 
f(x)=\frac{1}{x^2+2x-3}Këtu, emëruesi ndahet në dy faktorë të veçantë linearë:q(x)=x^2+2x-3=(x+3)(x-1)pra kemi zbërthimin e thyesës së pjesshmef(x)=\frac{1}{x^2+2x-3} =\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-1}Shumëzimi me emëruesin në anën e majtë na jep identitetin polinomial1=A(x-1)+B(x+3)Zëvendësimi i vlerës *x* = -3 në këtë ekuacion jep *A* = -1/4, dhe zëvendësimi i vlerës *x* = 1 jep *B* = 1/4, në mënyrë qëf(x) =\frac{1}{x^2+2x-3} =\frac{1}{4}\left(\frac{-1}{x+3}+\frac{1}{x-1}\right)

### Shembulli 2 
f(x)=\frac{x^3+16}{x^3-4x^2+8x}Pas pjesëtimit të polinomeve, kemif(x)=1+\frac{4x^2-8x+16}{x^3-4x^2+8x}=1+\frac{4x^2-8x+16}{x(x^2-4x+8)}Faktori x^2-4x+8  është i pazbërthyeshëm në fushën e numrave realë, pasi dallori i tij (−4)2 − 4×8 = −16 është negativ. Kështu zbërthimi i thyesës së pjesshme mbi numrat realë ka formën\frac{4x^2-8x+16}{x(x^2-4x+8)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-4x+8}Duke shumëzuar me x^3-4x^2+8x , kemi identitetin polinomial4x^2-8x+16 = A \left(x^2-4x+8\right) + \left(Bx+C\right)xDuke marrë *x* = 0, shohim se 16 = 8 *A*, pra *A* = 2. Duke krahasuar koeficientët *x* 2, shohim se 4 = *A* + *B* = 2 + *B*, pra *B* = 2. Duke krahasuar koeficientët linearë, shohim se −8 = −4 *A* + *C* = −8 + *C*, pra *C* = 0. Gjithsej,f(x)=1+2\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{x^2-4x+8}\right)Thyesa mund të zbërthehet plotësisht duke përdorur numra kompleksë . Sipas teoremës themelore të algjebrës, çdo polinom kompleks i shkallës *n* ka *n* rrënjë (komplekse) (disa prej të cilave mund të përsëriten). Pjesa e dytë mund të zbërthehet në:\frac{x}{x^2-4x+8}=\frac{D}{x-(2+2i)}+\frac{E}{x-(2-2i)}Duke shumëzuar me emëruesin jepet:x=D(x-(2-2i))+E(x-(2+2i)) Duke barazuar koeficientët e x dhe koeficientët konstante (në lidhje me x ) të të dy anëve të këtij ekuacioni, fitohet një sistem me dy ekuacione lineare në D dhe E, zgjidhja e të cilit ështëD=\frac{1+i}{2i}=\frac{1-i}{2}, \qquad E=\frac{1-i}{-2i}=\frac{1+i}{2}.Kështu kemi një zbërthim të plotë:f(x)=\frac{x^3+16}{x^3-4x^2+8x}=1+\frac{2}{x}+\frac{1-i}{x-(2+2i)}+\frac{1+i}{x-(2-2i)}