Formula integrale e Cauchy

Në matematikë, **formula integrale e Koshisë**, e emërtuar sipas Augustin-Louis Cauchy, është një pohim qendror në analizën komplekse . Ai shpreh faktin se një funksion holomorfik i përkufizuar në një disk përcaktohet plotësisht nga vlerat e tij në kufirin e diskut dhe ofron formula integrale për të gjithë derivatet e një funksioni holomorfik. Formula e Koshisë tregon se, në analizën komplekse, "diferencimi është i barabartë me integrimin": diferencimi kompleks, si integrimi, sillet mirë nën kufij uniformë – një rezultat që nuk vlen në analizën reale .

## Teorema 
Le të jetë U një nëngrup i hapur i rrafshit kompleks C, dhe supozojmë diskun e mbyllur D të përcaktuar si

: D = \bigl\{z:|z - z_0| \leq r\bigr\}

është përmbahet plotësisht në U . Le të jetë f : U → C të jetë një funksion holomorfik, dhe le të jetë γ rrethi, i orientuar në të kundërt të akrepave të orës, duke formuar kufirin e D . Pastaj për çdo abshisë ***a*** në brendësi të diskut D,

: f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{z-a}\,dz.\,

Vërtetimi i këtij pohimi bëhet me anë të teoremës integrale të Koshisë dhe ashtu si ajo teoremë, kërkon vetëm që f të jetë i diferencueshëm nën numrat kompleksë. Meqenëse 1/(z-a) mund të zgjerohet si një seri fuqie në ndryshoren a

: \frac{1}{z-a} = \frac{1+\frac{a}{z}+\left(\frac{a}{z}\right)^2+\cdots}{z}

rrjedh se funksionet holomorfike janë analitike, pra mund të zgjerohen si seri konvergjente fuqish. Në veçanti f është në fakt pafundësisht i diferencueshëm, me

: f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{\left(z-a\right)^{n+1}}\,dz.

Kjo formulë nganjëherë quhet **formula e diferencimit të Koshisë** .

## Shembull 
parapamje|328x328px| Sipërfaqja e pjesës reale të funksionit  g(z)= \frac{z^2}{z^2+2z+1}dhe polet e tij me konturet e përshkruara në tekst.
Konsiderohet funksioni i ndryshores komplekse

: g(z)=\frac{z^2}{z^2+2z+2},

dhe le të jetë C konturi i përshkruar nga |z|=2 (rrethi me rreze 2).

Për të gjetur integralin e g(z) rreth konturit C, duhet të dimë singularitetet e g(z) . Vini re se ne mund ta rishkruajmë g si më poshtë:

: g(z)=\frac{z^2}{(z-z_1)(z-z_2)}

ku z_{1} = -1+i dhe z_{2}=-1-i  .

Kështu, funksioni g ka pole në z_{1}, z_{2} . Modulet e këtyre pikave janë më pak se 2 dhe kështu shtrihen brenda konturit. Ky integral mund të ndahet në dy integrale më të vogla nga teorema Cauchy–Goursat ; domethënë, ne mund ta shprehim integralin rreth konturit si shumën e integralit rreth pikave z_{1} dhe z_{2} ku konturi është një rreth i vogël rreth çdo poli. Quajini këto konture C_{1} rreth z_{1} dhe C_{2} rreth z_{2} .

Tani, secili prej këtyre integraleve më të vogla mund të vlerësohet me formulën integrale të Cauchy, por ato së pari duhet të rishkruhen për të zbatuar teoremën. Për integralin rreth C_{1}, përkufizohet f_{1} si f_1(z) = (z-z_{1})g(z)  . Kjo është analitike (pasi konturi nuk përmban pol tjetër). Mund ta thjeshtojmë f_{1}  që të jetë:

: f_1(z)=\frac{z^2}{z-z_2}

dhe tani

: g(z)=\frac{f_1(z)}{z-z_1}.

Meqenëse formula integrale e Koshisë thotë se:

: \oint_C \frac{f_1(z)}{z-a}\, dz=2\pi i\cdot f_1(a),

ne mund ta vlerësojmë integralin si më poshtë:

: 
 \oint_{C_1} g(z)\,dz
 =\oint_{C_1} \frac{f_1(z)}{z-z_1}\,dz
 =2\pi i\frac{z_1^2}{z_1-z_2}.

Duke bërë të njëjtën gjë për konturin tjetër:

: f_2(z)=\frac{z^2}{z-z_1},

vlerësojmë

: 
 \oint_{C_2} g(z)\,dz
 =\oint_{C_2} \frac{f_2(z)}{z-z_2}\,dz
 =2\pi i\frac{z_2^2}{z_2-z_1}.

Atëherë integrali rreth konturit origjinal C është shuma e këtyre dy integraleve:

: \begin{align}
   \oint_C g(z)\,dz
&{}= \oint_{C_1} g(z)\,dz
  + \oint_{C_2} g(z)\,dz \\[.5em]
&{}= 2\pi i\left(\frac{z_1^2}{z_1-z_2}+\frac{z_2^2}{z_2-z_1}\right) \\[.5em]
&{}= 2\pi i(-2) \\[.3em]
&{}=-4\pi i.
\end{align}

Një manipulim elementar duke përdorur zbërthimin e pjesshëm të thyesave :

: 
 \oint_C g(z)\,dz
 =\oint_C \left(1-\frac{1}{z-z_1}-\frac{1}{z-z_2}\right) \, dz
 =0-2\pi i-2\pi i
 =-4\pi i