Transformimi i Furierit në kohë diskrete

Në analizën e Furierit, **Transformimi i Furierit në kohë diskrete (TFKD)** (angl: *discrete-time Fourier transform (DTFT)*) është një nga format e veçanta të analizës së Furierit. Si i tillë, ai transformon një funksion në një funksion tjetër, i cili jep paraqitjen e sinjalit (funksionit) në *fushën e frekuencave*, ose thjesht "TFKD", të funksionit origjinal (i cili zakonisht është një funksion në fushën kohore). Duhet thënë se TFKD kërkon si input (funksion eksitues) një funksion që është *diskret*. Sinjale te tilla merren duke marre kampione nga një funksion i vazhdueshëm në kohë, si p.sh. zëri i një personi.  

Paraqitja e TFKD-së në fushën e frekuencave është gjithmonë një funksion periodik. Meqenëse një periodë e funksionit përmban të gjithë informacionin unik të funksionit, zakonisht thuhet se TFKD-ja është transformimi tek një fushe frekuencash e cila është e fundme (me gjatësinë e një periode), në krahasim me të gjithë vijën reale.

## Përcaktimi
Po te kemi nje bashkesi diskrete te numrave reale ose komplekese **:** x[n], \; n\in\mathbb{Z} (numra të plotë), **transformimi i Furierit në kohë diskrete** (ose **TFKD**) i x[n]\, zakonisht shkruhet si**:**

X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \,e^{-i \omega n}.

## Lidhja me marrjen e kampioneve të funksionit (samplimin) 
## Periodiciteti 
## Transformimi invers 
Transformimi i meposhtem jep nje sekeuence diskrete ne kohe**:**

:

Integrali eshte mbi nje periode te plote te TFKD, e cila do te thote se kampionet nga  x[n] jane ne te njejten kohe koeficentet e  zgjerimit të serisë së Furierit te TFKD. &nbsp; Limitet infinite te integrimit ndryshojne transformimin ne  tarnsformimin e Furierit me vazhdimësi kohore, [inversi], i se ciles prodhon nje sekuence impulsesh Diraku.  Pra**:**

:
\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty X_T(f)\cdot e^{i 2 \pi f t}\, df
&=\int_{-\infty}^\infty \left(T \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT)\ e^{-i 2\pi f T n}\right)\cdot e^{i 2 \pi f t}\, df \\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty} T\cdot x(nT) \int_{-\infty}^\infty e^{-i 2\pi f T n}\cdot e^{i 2 \pi f t}\, df \\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\cdot \delta(t - n T).
\end{align}

## Sekuenca me gjatësi te fundme 
## Diferenca midis TFKD dhe transformimeve të tjera të Furierit 
TFKD eshte e kuderta e serive te Furierit, per vete faktin se kjo e fundit ka nje input periodik te vazhdueshem dhe nje spekter diskret. Aplikimet e dy transformimeve jane shume te ndryshme megjithate.
TDF dhe  TFKD mund te shikohen si rezultatet logjike te aplikimit te transformimit standart te Furierit tek bashkesite me informacione diskrete.  

## Lidhja me transformimin Z 
## Tabele e transformimeve te Furierit në kohë diskrete 
Disa çifte transformimesh te zakonshme jepen me poshte. Notacioni i meposhtem aplikohet **:**
* n \! eshte nje numer i plote qe paraqet fushen kohore diskrete (kampionet e sinjalit)
* \omega \! eshte nje numer real ne (-\pi,\ \pi), qe paraqet frekuencen e vazhdueshme kohore (ne radian per kampion).
**Pjesa e transformimit qe ngelet  (|\omega| > \pi \,) jepet nga **:**  X(\omega + 2\pi k) = X(\omega)\,
* u[n] \! eshte Funksioni shkallë njësi
* \operatorname{sinc}(t) \! eshte Funksioni sink i normalizuar
* \delta (\omega) \! është Funksioni delta i Dirakut
* \delta [n] \! eshte Delta e Kronëkerit \delta_{n,0} \!
*  \operatorname{rect}(t)  është Funksioni drejtkëndësh për një vlerë reale arbitrare *t*:
::\mathrm{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases}
0           & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\[3pt]
\frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt]
1           & \mbox{if } |t| 
* \operatorname{tri}(t)  eshte funksioni trekëndësh per një vlere reale arbitrare *t*:
::\operatorname{tri}(t) = \land (t) = 
\begin{cases}
1 + t; & - 1 \leq t \leq 0 \\
1 - t; & 0 

## Vetitë
Kjo tabelë tregon marrëdheniet midis transformimeve të përgjithshme të Furierit në kohë diskrete. 
Në këtë artikull po përdorim notacionin e mëposhtëm:
* *\! është konvulimi midis dy sinjaleve
* x[n]^*\! është numri kompleks i konjuguar i funksionit *x[n]*
* \rho_{xy} [n]\! paraqet korrelacionin midis *x[n]* dhe *y[n]*.

Kolona e pare paraqet nje përshkrim të vetisë, kolona e dytë tregon funksionin në fushën kohore, dhe kolona e tretë tregon spektrin në fushën e frekuencave:

## Vetitë simetrike
Transformimi i Furierit mund të dekompozohet në pjesën reale dhe imagjinare ose në pjesë çift dhe tek.

X(e^{i \omega}) = X_R(e^{i \omega}) + iX_I(e^{i \omega}) \!

ose 

X(e^{i \omega}) = X_E(e^{i \omega}) + X_O(e^{i \omega}) \!

## Shih edhe 
* Transformimi i Furierit
*FFT

## Referime 
* 
* 
*