Funksioni i mysët

Në matematikë, një **funksion i mysët** është negativi i një funksioni të lugët . Një funksion i mysët quhet gjithashtu sinonimisht **konkav**.

## Përkufizimi 
Një funksion me vlera reale f në një interval (ose, në përgjithësi, një grup i lugët në hapësirën vektoriale ) thuhet se është *i mysët* nëse, për ndonjë x dhe y në interval dhe për çdo \alpha \in [0,1], 

: f((1-\alpha )x+\alpha y)\geq (1-\alpha ) f(x)+\alpha f(y)

Një funksion quhet *rreptësisht i mysët* nëse

: f((1-\alpha )x + \alpha y) > (1-\alpha) f(x) + \alpha f(y)\,

për çdo \alpha \in (0,1) dhe x \neq y .

Për një funksion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, ky përkufizim i dytë thotë se për çdo z rreptësisht ndërmjet x dhe y, pika (z, f(z)) në grafikun e f është mbi vijën e drejtë që bashkon pikat (x, f(x)) dhe (y, f(y)) .

Skeda:ConcaveDef.png

## Vetitë 
### Funksionet me një ndryshore 
# Një funksion i diferencueshëm f është (rreptësisht) i mysët në një interval nëse dhe vetëm nëse funksioni i tij derivat f ′ është (rreptësisht) monotonisht zbritës në atë interval, domethënë, një funksion konkav ka një pjerrësi jo në rritje (zvogëluese).  
# Pikat ku natyra e funksionit ndryshon (midis konkave dhe konvekse ) janë pika përkuljeje . 
# Nëse f është dy herë i diferencueshëm, atëherë f është i mysët nëse dhe vetëm nëse f''është jopozitiv (ose, joformalisht, nëse " nxitimi " është jo pozitiv). Nëse derivati i dytë i tij është negativ, atëherë ai është rreptësisht i mysët, por e kundërta nuk është e vërtetë, siç tregohet nga f(x) = -x^4 .
# Nëse f është i mysët dhe i diferencueshëm, atëherë ai kufizohet më lart nga përafrimi i saj Tejlorit i rendit të parë:  f(y) \leq f(x) + f'(x)[y-x]
# Një funksion i matshëm i  Lebegut në një interval **C** është i mysët nëse dhe vetëm nëse është i mysët në pikën e mesit, domethënë për çdo x dhe y në **C**  f\left( \frac{x+y}2 \right) \ge \frac{f(x) + f(y)}2
# Nëse një funksion f është i mysët dhe f(0)\geq 0, atëherë f është nënshtues në [0,\infty) . Prova:
#* Meqenëse f është i mysët dhe 1 ≥ t ≥ 0, duke lënë y = 0 kemi f(tx) = f(tx+(1-t)\cdot 0) \ge t f(x)+(1-t)f(0) \ge t f(x) .
#* Për a,b\in[0,\infty) : f(a) + f(b) = f \left((a+b) \frac{a}{a+b} \right) + f \left((a+b) \frac{b}{a+b} \right)
\ge \frac{a}{a+b} f(a+b) + \frac{b}{a+b} f(a+b) = f(a+b)

### Funksionet me *n* ndyshore 
# Një funksion f është konkav mbi një grup të lugët nëse dhe vetëm nëse funksioni -fështë një funksion i lugët mbi bashkësinë.
# Shuma e dy funksioneve të mysta është në vetvete i mysët dhe po kështu është edhe minimumi pikësor i dy funksioneve të mysët, dmth grupi i funksioneve të mysët në një bashkësi të caktuar nga një gjysmëfushë .
# Pranë një maksimumi vendor në brendësi të BP të një funksioni, funksioni duhet të jetë i mysët; si e kundërt e pjesshme, nëse derivati i një funksioni rreptësisht të mysët është zero në një pikë, atëherë ajo pikë është një maksimum vendor.
# Çdo maksimum vendor i një funksioni i mysët është gjithashtu një maksimum botëror . Një funksion *rreptësisht* i mysët do të ketë më së shumti një maksimum botëror.

## Shembuj 
* Funksionet f(x)=-x^2 dhe g(x)=\sqrt{x} janë të mysëta në domenet e tyre, sepse derivatet e dyta të tyre f*(x) = -2 dhe g*(x) =-\frac{1}{4 x^{3/2}} janë gjithmonë negative.
* Funksioni logaritmik f(x) = \log{x} është konkave në domenin e saj (0,\infty), si derivat i tij \frac{1}{x} është një funksion rreptësisht zbritës.
* Çdo funksion afin f(x)=ax+b është edhe i mysët edhe i lugët, por as rreptësisht i mysët dhe as rreptësisht i lugët.
* Funksioni sinus është konkav në interval [0, \pi] .
* Funksioni f(B) = \log |B|, ku |B| është përcaktori i një matrice *B* jonegative-përcaktuar, është i mysët. 

## Zbatimet 
* Rrezet që përkulen në llogaritjen e dobësimit të radiovalëve në atmosferë përfshijnë funksione konkave.
* Në teorinë e dobisë së pritshme për zgjedhjen nën pasiguri, funksionet kryesore të dobisë së vendimmarrësve ndaj rrezikut janë konkave.
* Në teorinë mikroekonomike, funksionet e prodhimit zakonisht supozohen të jenë konkave mbi disa ose të gjitha fushat e tyre, duke rezultuar në zvogëlimin e kthimit të faktorëve të hyrjes.