Sfera e Blokut

Në mekanikën kuantike, **sfera e Blokut** është një paraqitje gjeometrike e hapësirës së gjendjeve të pastra të një sistemi kuantik me dy nivele e emëruar sipas fizikantit Feliks Blok.  Gjithashtu, ajo mund të shikohet si gjendja e pastër hapësinore  e 1 kubiti të një regjistri kuantik. Sfera e Blokut aktualisht është një sferë gjeometrike dhe korrespondenca mes elementëve të sferës së Blokut dhe gjendjeve të pastra mund të jepet në mënyre eksplicite. Në formën e përgjithshme, sfera e Blokut gjithashtu i referohet hapësirës analogë një sistemi kuantik me *n*-nivele.

Mekanika kuantike matematikisht është e formulua në hapësirën e Hilbertit ose në Hapësire projektive të Hilbertit. Hapësira e gjendjeve të pastra të një sistemi kuantik jepet nga rreze në hapësirën e Hilbertit (të cilat janë "pikat" e hapësirës projektive të Hilbertit). Hapësira e rrezeve në cdo hapësirë vektoriale është një hapësirë projektive, dhe në veçanti, hapësira e rrezeve në hapësirën Hilbertiane dy dimensionale është një vije komplekse projektive, e cila është isomorfike më një sferë.  Çdo çift pikash antipodike në sferën e Blokut i korrespondon në mënyre mutuale një çifti gjëndjesh ekskluzive të një thërrmije, pra, me spin lart ose me spin poshtë për eksperimentin e Stern-Gerlach të orientuar drejt një boshti të caktuar në hapësirën fizike. 

Metrika natyrale e sferës se Blokut është metrika Fubini-Study. 

## Kubiti 
Në mënyre që të tregojmë këtë korrespondencë direkte, le të marrim në konsiderate përshkrimin e kubitit të sferës së Blokut ; cdo gjendje \psi mund të shkruhet si një mbivendosje komplekse e vektoreve ket  |0 \rangle dhe |1 \rangle  ; për me tepër meqenese faktoret fazë nuk kanë ndikim mbi gjendjen fizike të sistemit, ne mund të marrim paraqitjen në menyre që koeficentet e  |0 \rangle  të jenë reale dhe jo-negative.  Pra \psi ka një paraqitje si
: |\psi \rangle = \cos \theta \, |0 \rangle +  e^{i \phi}  \sin \theta  \,|1 \rangle  \quad = \quad \cos \theta \, |0 \rangle \, + \, ( \cos \phi + i \sin \phi ) \, \sin \theta  \,|1 \rangle  
me
: 0 \leq \theta 

Përveç rastit ku \psi është një nga vektoret ket  |0 \rangle ose  |1 \rangle, kjo paraqitje është unike, pra. parametrat \phi \, dhe \theta \, specifikojnë në mënyre unike një pikë në sferën njësi në hapësirën Euklidiane \mathbb{R}^{3}, nga pikëpamja vizuale, pika koordinata e së cilës (x,y,z) janë 
: \begin{matrix} x & = & \sin 2 \theta \times \cos \phi \\ y & = & \sin 2 \theta \times \sin \phi \\ z & = & \cos 2 \theta .\end{matrix}

## Një përgjithësim për gjendjet e pastra 
Konsideroni një sistem mekaniko kuantik me *n*-nivele. Ky sistem përshkruhet nga një hapësirë Hilbertiane *n*-përmasore  *H**n*. Hapësira e gjendjeve të pastra është sipas përcaktimit bashkësia e rrezeve 1-dimensionale të *H**n*.

**Teoreme**.  Le U(*n*) të jetë një grup Lie i matricave unitare me përmase *n*.  Atëherë hapësira e gjendjeve të pastra të *H**n* mund të identifikohet me një hapësirë kosete kompakte 
: \operatorname{U}(n) /(\operatorname{U}(n-1) \times \operatorname{U}(1)). 

Në menyre që të provojme këtë fakt, vini re se kemi një veprim grupinatyral te U(*n*) në bashkësine e gjendjeve të *H**n*.  Ky veprim është i vazhdueshëm dhe tranzitiv ne gjendjet e pastra. Për cdo gjendjeje ψ,  grupi izotrop i ψ, (i përcaktuar si bashkësia e elementeve *g* të U(*n*) e tillë që *g* ψ = ψ) është izomorfike me grupin e prodhimit

: \operatorname{U}(n-1) \times \operatorname{U}(1). 

Në fjalorin e algjebrës lineare, kjo mund të justifikohet si më poshtë. Cdo *g* e U(*n*) që e le ψ të pandryshuar duhet të ketë ψ si një ajgenvektor.  Meqenëse ajgenvlera korresponduese duhet të jetë një numër kompleks me modulus 1, kjo jep faktorin U(1) të grupit izotrop. Pjesa tjetër e grupit izotrop parametrizohet nga matricat unitare në komplementin ortogonal të ψ, e cila është izomorfike me U(*n* - 1). Nga ky pohim i teoremës del nga faktet bazë për grupe veprimi transitive të grupeve kompakte.

Fakti i rëndësishëm këtu është që *grupet unitare veprojnë në mënyre transitive në * gjendjet e pastra.

Tani dimensioni (real) i U(*n*) është *n*2. Kjo shikohet lehtë meqenëse relacioni eksponencial
: A \mapsto e^{i A} 
është një homeomorfizem lokal nga hapësira e matricës komplekse (e transpozuara e se cilës është e konjuguara komplekse) me U(*n*). The space of self-adjoint complex matrices has real dimension *n*2. 

**Rrjedhim**.  Dimensioni real i një hapësirës së gjendjejeve të pastra të *H**n* është 
2*n* &minus; 2.

Në fakt,
: n^2 - ((n-1)^2 +1) = 2 n - 2. \quad 

**Rrjedhim**.  Dimensioni real i një hapësirës së gjendjejeve të pastra të një regjistri kuantik me *m* kubite është 2*m*+1 &minus; 2.

## Gjeometria e operatoreve të densitetit 
## Referime 
* Darius Chrusinski, "Geometric Aspect of Quantum Mechanics and Quantum Entanglement", *Journal of Physics Conference Series*, **39** (2006) pp.9-16.
* Alain Michaud, "Rabi Flopping Oscillations" (2006). *(A small animation of the bloch vector submitted to a resonant excitation.)*
*