Kardinalitet

= Kardinaliteti =
Termi kardinalitet vie nga përdorimi i rëndomtë i termit numra kardinal, dhe paraqet madhësinë e bashkësisë në kuptimin se sa i madh është numri i elementeve të asaj bashkësie.
## Kardinaliteti i bashkësive të fundme
Le të jetë S një bashkësi e cila ka saktësisht n elementë të ndryshme, ku n është numër i plotë jonegativ. Themi se S është një bashkësi e fundme dhe se n paraqet numrin e elementeve të asaj bashkësie ose ndryshe kardinalitetin e bashkësisë S. Kardinaliteti shënohet zakonisht me |S|, por mund të shkruhet edhe si n(S), S ose  \operatorname{card}(S). P.sh nëse bashkësia S e dhënë me  S = \{0, 2, 4, 6, 8\}  përmban 5 elemente të ndryshme, themi se kjo bashkësi ka kardinalitet të barabartë me 5, pra |S|=5. 

* **Përkufizim 1:** Bashkësitë A dhe B kanë të njëjtin kardinalitet vetëm atëherë kur ekziston një bijeksion nga A në B ose anasjelltas, dhe me këtë rast shënojmë  |A| = |B| . 

* **Përkufizim 2:** Nëse nga bashkësia A në bashkësinë B ekziston funksioni *injektiv* (1-1), themi se kardinaliteti i A  është më i vogël ose baraz me kardinalitetin e B dhe simbolikisht shënojmë |A| ≤ |B|. Nëse përveq kësaj vlen edhe se kardinaliteti i bashkësisë A është i ndryshëm nga kardinaliteti i bahshkësisë B, atëherë themi se kardinaliteti i A-së është më i vogël se kardinaliteti i B-së, dhe shënojmë |A|.
* **Përkufizim 3:** Çdo bashkësi, kardinaliteti i së cilës është më i vogël se i numrave natyrorë, quhet bashkësi e fundme. Çdo bashkësi e fundme është bashkësi e numrueshme.

## Kardinaliteti i bashkësive të pafundme
Kardinaliteti i bashkësive si kuptim, zgjerohet edhe në bashkësitë e pafundme. Bashkësitë e pafundme i ndajmë në bashkësi të pafundme të numrueshme dhe bashkësi të pafundme të panumrueshme. 

* **Përkufizim 4:** Bashkësia e cila është e fundme, ose është e pafundme me kardinalitet të njëjtë me bashkësinë e numrave natyrorë ℕ, quhet bashkësi e numrueshme.  Bashkësia e cila nuk është e numrueshme quhet e panumrueshme. Kur një bashkësi e pafundme S është e numrueshme, shënojmë kardinalitetin e S me ℵ0, pra |S|= ℵ0   (lexohet "alef zero"). *Shembull*: Tregoni se bashkësia e numrave pozitiv tek është bashkësi e numrueshme. *Zgjidhje*: Për ta treguar se bashkësia e numrave pozitiv tek është e numrueshme, gjejmë një funksion bijektiv nga kjo bashkësi në bashkësinë e numrave natyrorë, ose anasjelltas. Marrim funksionin   f(n)=2n-1  nga bashkësia **ℕ** në bashkësinë e numrave natyrorë tek të dhënë me A. Tregojmë se f është bijektiv, duke treguar se është  1 - 1 (injektiv ) dhe  mbi (surjektiv) . Për të parë se f është 1-1, supozojmë se f (n) = f (m). Atëherë kemi: f (n) = f (m) 2n - 1 = 2m - 12n = 2mn = mPra, funksioni f është injektiv.Për të treguar se f është mbi, supozojmë se t është numër natyrorë tek.Atëherë t është për 1 më i vogël se një numër qift 2k, ku k është numër natyrorë. Pra kemi t = 2k - 1 = f(k) që do të thotë se ∀x ∈ ℕ,  ∃y ∈ A i tillë që f(x) = 2x - 1 = y Andaj funksioni f është mbi. Pasi që f është 1-1 dhe mbi, atëherë funksioni është bijektiv, që d.m.th se bashkësia A është e numrueshme, çka edhe duhej vërtetuar.  Një bashkësi e pafundme është e numrueshme atëherë dhe vetëm atëherë kur mund ti radhisim elementet e saj në varg (me indeks numra natyrorë). Kjo sepse bijeksioni f nga bashkësia e numrave natyrorë në një bashkësi S mund të shkruhet si varg:a1, a2, … , an, …,    ku  a1 = f(1), a2 = f(2), … , an = f(n), … .
* **Teoremë 1:** Nëse A dhe B janë bashkësi të numrueshme, atëherë edhe A∪B është e numrueshme.
* **Teoremë 2:** Teorema e SCHRÖDER-BERNSTEIN  Nëse A dhe B janë bashkësi të tilla që |A| ≤  |B| dhe  |B| ≤ |A|  atëherë |A| = |B|.   Nëse ekzistojnë funksione injektive f nga A në B dhe  g  nga B në A, atëherë ekziston një funksion bijektiv në mes A dhe B.