Derivati i kohës

Një **derivat kohor** është një derivat i një funksioni në lidhje me kohën, zakonisht interpretohet si shpejtësia e ndryshimit të vlerës së funksionit.  Ndryshorja që tregon kohën zakonisht shkruhet si t .

## Shënimi 
Një shumëllojshmëri shënimesh përdoren për të treguar derivatin e kohës. Përveç shënimit normal ( të Lajbnicit ),

: \frac {dx} {dt}

Një shënim shumë i zakonshëm i shkurtuar që përdoret, veçanërisht në fizikë, është 'mbi-pika'. dmth

: \dot{x}

(Ky quhet shënimi i Njutonit )

Përdoren edhe derivatet më të larta të kohës: derivati i dytë në lidhje me kohën shkruhet si

: \frac {d^2x} {dt^2}

me stenografinë përkatëse të \ddot{x} .

Si përgjithësim, derivati kohor i një vektori, të trajtës:

:  \mathbf v = \left[ v_1,\ v_2,\ v_3, \ldots \right] 

përkufizohet si vektori, përbërësit e të cilit janë derivatet e përbërësve të vektorit origjinal. Kjo në terma të tjerë do të thotë,

:  \frac {d \mathbf v } {dt} = \left[ \frac{ d v_1 }{dt},\frac {d v_2 }{dt},\frac {d v_3 }{dt}, \ldots \right] . 

Derivatet kohore janë një koncept kyç në fizikë . Për shembull, për një pozicion në ndryshim x, derivati i saj kohor \dot{x} është shpejtësia e saj dhe derivati i dytë i saj në lidhje me kohën, \ddot{x}, është nxitimi i tij . Nganjëherë përdoren edhe derivate më të lartë: derivati i tretë i pozicionit në lidhje me kohën njihet si hov.

Një numër i madh ekuacionesh themelore në fizikë përfshijnë derivate për herë të parë ose të dytë të madhësive. Shumë madhësi të tjera themelore në shkencë janë derivate kohore të njëra-tjetrës:

* forca është derivati kohor i impulsit
* fuqia është derivati kohor i energjisë
* rryma elektrike është derivati kohor i ngarkesës elektrike

Me këtë formë për zhvendosjen, gjendet shpejtësia e çastit. Derivati kohor i vektorit të zhvendosjes është vektori i shpejtësisë. Në përgjithësi, derivati i një vektori është një vektor i përbërë nga përbërës secili prej të cilëve është derivat i përbërësit përkatës të vektorit origjinal. Kështu, në këtë rast, vektori i shpejtësisë është:

### Shembull: lëvizja rrethore 
[parapamje|300x300px| Lidhja ndërmjet koordinatave karteziane ( *x*, *y* ) dhe [Sistemi koordinativ polar|koordinatave polare ( *r*, *θ* ).]]
Për shembull, merrni parasysh një grimcë që lëviz në një shteg rrethor. Vendndodhja e saj jepet nga vektori i zhvendosjes r=x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}, lidhur me këndin, *θ*, dhe largësinë rrezore, *r*, siç përcaktohet në figurë:

: \begin{align}
x &= r \cos(\theta) \\
y &= r \sin(\theta)
\end{align}

Për këtë shembull, supozojmë se  . Prandaj, zhvendosja (pozicioni) në çdo kohë *t* jepet nga

: \mathbf{r}(t) = r\cos(t)\hat{\imath}+r\sin(t)\hat{\jmath}

Kjo formë tregon se lëvizja e përshkruar nga **r** ( *t* ) është në një rreth me rreze *r* sepse *madhësia* e **r** ( *t* ) jepet nga

: |\mathbf{r}(t)| = \sqrt{\mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{r}(t)}=\sqrt {x(t)^2 + y(t)^2 } = r\, \sqrt{\cos^2(t) + \sin^2(t)} = r

duke përdorur identitetin trigonometrik  dhe ku \cdot është prodhimi i zakonshëm i pikave Euklidiane.

: 
\begin{align}
\mathbf{v}(t) = \frac {d\,\mathbf{r}(t) }{dt} &= r \left[\frac{d\, \cos(t)}{dt}, \frac{d\, \sin(t)}{dt} \right] \\
 &= r\ [ -\sin(t),\ \cos(t)] \\
 &= [-y (t), x(t)].
\end{align}

Atëherë nxitimi është derivati kohor i shpejtësisë:

: \mathbf{a}(t) = \frac {d\, \mathbf{v}(t)}{dt} = [-x(t), -y(t)] = -\mathbf{r}(t)\, .

## Përdorimi në ekonomi 
Në ekonomi, shumë modele teorike të evolucionit të ndryshoreve të shumëllojshme ekonomike ndërtohen në kohë të vazhdueshme dhe për këtë arsye përdorin derivate kohore.  : ch. 1-3 Një situatë përfshin një ndryshore stoku dhe derivatin e tij kohor, një ndryshore fluksi . Shembujt përfshijnë:

* Rrjedha e investimeve fikse neto është derivati kohor i stokut të kapitalit .
* Rrjedha e investimit të inventarit është derivati kohor i stokut të inventarit .
* Shkalla e rritjes së ofertës monetare është derivati kohor i ofertës monetare të ndarë me vetë ofertën monetare.