Ligji i numrave të mëdhenj

djathtas|parapamje| Një ilustrim i ligjit të numrave të mëdhenj duke përdorur një varg të veçantë hedhjesh të një zari të vetme. Ndërsa numri i hedhjeve në këtë drejtim rritet, mesatarja e vlerave të të gjitha rezultateve i afrohet 3.5. Me rritjen e numrit të hedhjeve, mesatarja e zgjedhjes priret drejt mesatares.
Në teorinë e probabilitetit, **ligji i numrave të mëdhenj** ( **LNM** ) është një teoremë që përshkruan rezultatin e kryerjes së të njëjtit eksperiment një numër të madh herësh. Sipas ligjit, mesatarja e rezultateve të marra nga një numër i madh provash duhet të jetë afër pritjes matematike/ mesatares dhe tenton të afrohet me pritjen matematike pasi kryhen më shumë prova. 

LNM është i rëndësishëm sepse garanton rezultate të qëndrueshme afatgjata për mesataret e disa ngjarjeve të rastit.  Për shembull, edhe pse një kazino mund të humbasë para në një rrotullim të vetëm të rrotës së ruletës, fitimet e saj do të priren drejt një përqindjeje të parashikueshme për një numër të madh rrotullimesh. Çdo brez fitues nga një lojtar përfundimisht do të kapërcehet nga parametrat e lojës. Është e rëndësishme që ligji zbatohet (siç e tregon emri) vetëm kur merret parasysh një *numër i madh* vëzhgimesh. Nuk ka asnjë parim që një numër i vogël vëzhgimesh do të përkojë me vlerën e pritur ose që një varg i një vlere do të "baraspeshohet" menjëherë nga të tjerët (shih gabimin e lojtarit të fatit ).

LNM zbatohet vetëm për mesataren. Prandaj, ndërsa\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac{X_i} n = \overline{X}formula të tjera që duken të ngjashme nuk verifikohen, si p.sh. shmangia e papërpunuar nga "rezultatet teorike":\sum_{i=1}^n X_i - n\times\overline{X}jo vetëm që nuk konvergon drejt zeros kur rritet *n*, por tenton të rritet në vlerë absolute kur rritet *n* .

## Shembuj 
Për shembull, një hedhje e vetme e një zari me gjashtë anë prodhon një nga numrat 1, 2, 3, 4, 5 ose 6, secili me probabilitet të barabartë. Prandaj, pritja matematike e mesatares së hedhjeve është: \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5Sipas ligjit të numrave të mëdhenj, nëse hidhet një numër i madh zaresh me gjashtë anë, mesatarja e vlerave të tyre (nganjëherë quhet mesatarja e mostrës ) do t'i afrohet 3,5 dhe saktësia vjen duke u rritur ndërsa hidhen më shumë zare.

Nga ligji i numrave të mëdhenj rezulton se probabiliteti empirik i suksesit në një seri provash Bernoulli do të konvergjojë në probabilitetin teorik. Për një ndryshore të rastit Bernuli, pritja matematike është probabiliteti teorik i suksesit dhe mesatarja e *n* ndryshoreve të tilla (duke supozuar se janë të pavarura dhe të shpërndara identikisht (iid) ) është pikërisht frekuenca relative.

## Kufizimi 
Mesatarja e rezultateve të marra nga një numër i madh provash mund të dështojë që të konvergjojë në disa raste. Për shembull, mesatarja e *n* rezultateve të marra nga shpërndarja Koshi ose disa shpërndarje Pareto (α
    \overline{X}_n\ \overset{P}{\rightarrow}\ \mu \qquad\textrm{when}\ n \to \infty.
|}}  \overline{X}_n\ \overset{P}{\rightarrow}\ \mu \qquad\textrm{kur }\ n \to \infty. 

Kjo do të thotë, për çdo numër pozitiv *ε* ,
  \lim_{n\to\infty}\Pr\!\left(\,|\overline{X}_n-\mu| Duke interpretuar këtë rezultat, ligji i dobët thotë se për çdo ndryshesë jozero të specifikuar ( *ε* ), sado e vogël, me një kampion mjaft të madh do të ketë një probabilitet shumë të lartë që mesatarja e vëzhgimeve të jetë afër vlerës së pritur; pra brenda marzhit.

Siç u përmend më herët, ligji i dobët zbatohet në rastin e ndryshoreve të rastit iid, por gjithashtu zbatohet në disa raste të tjera. Për shembull, varianca mund të jetë e ndryshme për çdo ndryshore të rastit në seri, duke e mbajtur pritjen matematike konstante. Nëse variancat janë të kufizuara, atëherë zbatohet ligji, siç tregohet nga Chebyshev që në 1867. (Nëse pritjet matematike ndryshojnë gjatë serisë, atëherë thjesht mund të zbatojmë ligjin për shmangien mesatare nga pritjet matematike përkatëse. Më pas ligji thotë se kjo konvergjon në probabilitet drejt zeros. ) Në fakt, prova e Çebishevit funksionon për aq kohë sa varianca e mesatares së *n* vlerave të para shkon në zero ndërsa *n* shkon në pafundësi.  Si shembull, supozoni se çdo ndryshore e rastit në seri ndjek një shpërndarje normale me mesatare zero, por me variancë të barabartë me 2n/\log(n+1), e cila nuk është e kufizuar. Në çdo fazë, mesatarja do të shpërndahet normalisht (si mesatarja e një grupi variablash të shpërndarë normalisht). Varianca e shumës është e barabartë me shumën e variancave, e cila është asimptotike ndaj n^2 / \log n . Prandaj varianca e mesatares është asimptotike ndaj 1 / \log n dhe shkon në zero.

### Ligji i fortë 
**Ligji i fortë i numrave të mëdhenj** (i quajtur edhe ligji i Kollmogorovit ) thotë se mesatarja e mostrës konvergjon pothuajse me siguri drejt pritjes matematike {{NumBlk||
    \overline{X}_n\ \overset{\text{a.s.}}{\longrightarrow}\ \mu \qquad\textrm{when}\ n \to \infty.
|}}   \overline{X}_n\ \overset{\text{a.s.}}{\longrightarrow}\ \mu \qquad\textrm{when}\ n \to \infty. 

Kjo është,
  \Pr\!\left( \lim_{n\to\infty}\overline{X}_n = \mu \right) = 1.
Çfarë do të thotë kjo është se probabiliteti që, ndërsa numri i provave *n* shkon në pafundësi, mesatarja e vëzhgimeve konvergjon në vlerën e pritur, është e barabartë me një. Prova moderne e ligjit të fortë është më e ndërlikuar se ajo e ligjit të dobët dhe mbështetet në kalimin në një vijimësi të përshtatshme. 

Nëse shumat janë të pavarura, por jo të shpërndara identikisht, atëherë{{NumBlk||
    \overline{X}_n - \operatorname{E}\big[\overline{X}_n\big]\ \overset{\text{a.s.}}{\longrightarrow}\ 0,
|}}   \overline{X}_n - \operatorname{E}\big[\overline{X}_n\big]\ \overset{\text{p.s.}}{\longrightarrow}\ 0 

me kusht që çdo   X_k  të ketë një moment të dytë të fundëm dhe
  \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \operatorname{Var}[X_k] 

### Dallimet midis ligjit të dobët dhe ligjit të fortë 
*Ligji i dobët* thotë se për një *n* të madhe të caktuar, mesatarja \overline{X}_n ka gjasa të jetë afër *μ* . Kështu, e lë të hapur mundësinë që |\overline{X}_n -\mu| > \varepsilon të ndodhë një numër i pafundëm herësh, edhe pse në intervale të rralla. (Jo domosdoshmërisht |\overline{X}_n -\mu| \neq 0 për të gjithë *n* ).

*Ligji i fortë* tregon se kjo pothuajse me siguri nuk do të ndodhë. Nuk do të thotë që me probabilitetin 1, kemi që për çdo   \epsilon > 0   mosbarazimi |\overline{X}_n -\mu|  vlen për të gjitha *n* mjaft të mëdha, pasi konvergjenca nuk është domosdoshmërisht e njëtrajtshme në bashkësinë ku qëndron. 

Ligji i fortë nuk vlen në rastet e mëposhtme, por vlen ai i dobët.  {{ordered list|Let X be an exponentially distributed random variable with parameter 1. The random variable \sin(X)e^X X^{-1} has no expected value according to Lebesgue integration, but using conditional convergence and interpreting the integral as a Dirichlet integral, which is an improper Riemann integral, we can say:

 E\left(\frac{\sin(X)e^X}{X}\right) =\ \int_{x=0}^{\infty}\frac{\sin(x)e^x}{x}e^{-x}dx = \frac{\pi}{2} |Let X be a geometrically distributed random variable with probability 0.5. The random variable 2^X(-1)^X X^{-1} does not have an expected value in the conventional sense because the infinite series is not absolutely convergent, but using conditional convergence, we can say:

 E\left(\frac{2^X(-1)^X}{X}\right) =\ \sum_{x=1}^{\infty}\frac{2^x(-1)^x}{x}2^{-x}=-\ln(2) |If the cumulative distribution function of a random variable is

\begin{cases}
1-F(x)&=\frac{e}{2x\ln(x)},&x \ge e \\
F(x)&=\frac{e}{-2x\ln(-x)},&x \le -e
\end{cases}

then it has no expected value, but the weak law is true.|4=Let *X**k* be plus or minus \sqrt{k/\log\log\log k} (starting at sufficiently large *k* so that the denominator is positive) with probability  for each. 

#   \Theta  është kompakte,
#   f(x;\theta)  është i vazhdueshëm në çdo   \theta \in \Theta  për pothuajse të gjitha   x *-et*, dhe funksion i matshëm i   x  në çdo   \theta  .
# Ekziston një funksion dominues   d(x)  i tillë që   E[d(X)] > \infty , dhe  \left\| f(x,\theta) \right\| \leq d(x) \quad\text{for all}\ \theta\in\Theta.

Atëherë   E[f(x;\theta)]  është e vazhdueshme në   \theta , dhe
  \sup_{\theta\in\Theta} \left\| \frac 1 n \sum_{i=1}^n f(X_i,\theta) - \operatorname{E}[f(X,\theta)] \right\| \overset{\mathrm{P}}{\rightarrow} \ 0.
 

### Ligji i Borelit për numrat e mëdhenj 
**Ligji i Borelit për numrat e mëdhenj**, i quajtur sipas Emil Borelit, thotë se nëse një eksperiment përsëritet një numër të madh herësh, në mënyrë të pavarur në kushte identike, atëherë raporti i herëve që ndodh çdo ngjarje e specifikuar, është afërsisht i barabartë me probabilitetin e ndodhjes së ngjarjes në çdo provë të veçantë; sa më i madh të jetë numri i përsëritjeve, aq më i mirë priret të jetë përafrimi. Më saktë, nëse *E* tregon ngjarjen në fjalë, *p* probabilitetin e saj të ndodhjes, dhe   N_n(E)  numrin e herëve që ndodh *E* në *n* provat e para, atëherë me probabilitetin një,  \frac{N_n(E)}{n}\to p\text{ as }n\to\infty.**Mosbarazimi i Çebishevit** . Le të jetë   X  një ndryshore e rastit me pritje matematike të fundme   \mu  dhe variancë të fundme jo zero   \sigma^2  . Atëherë për çdo numër real   k>0 ,
  \Pr(|X-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}.

## Shiko gjithashtu 
* Vetia e barazndarjes asimptotike
* Teorema e qëndrore limite
* Teorema e majmunit të pafundëm
* Ligji i mesatareve
* Ligji i logaritmit të përsëritur
* Ligji i numrave vërtet të mëdhenj
* Efekti Lindy
* Regresi drejt mesatares
* Renditja
* Ligji i fortë i numrave të vegjël