Shpërndarja normale

{{Infobox shpërndarja e gjasës|name=Shpërndarja normale|type=density|pdf_image=Normal Distribution PDF.svg|pdf_caption=Kurba e kuqe është *shpërndarja normale standarde*|cdf_image=Normal Distribution CDF.svg|cdf_caption=|notation=\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)|parameters=\mu\in\R = vendndodhja \sigma^2\in\R_{>0} = shkalla |support=x\in\R|pdf= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2}|cdf=\frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right] |quantile=\mu+\sigma\sqrt{2} \operatorname{erf}^{-1}(2p-1)|mean=\mu|median=\mu|mode=\mu|variance=\sigma^2|mad=\sigma\sqrt{2}\,\operatorname{erf}^{-1}(1/2) |skewness=0|kurtosis=0 |entropy=\frac{1}{2} \ln(2\pi \sigma^2) + \frac{1}{2}|mgf=\exp(\mu t + \sigma^2t^2/2)|char=\exp(i\mu t - \sigma^2 t^2/2)|fisher=\mathcal{I}(\mu,\sigma) =\begin {pmatrix} 1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 2/\sigma^2\end{pmatrix} 
\mathcal{I}(\mu,\sigma^2) =\begin {pmatrix} 1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 1/(2\sigma^4)\end{pmatrix}|KLDiv={ 1 \over 2 } \left\{ \left( \frac{\sigma_0}{\sigma_1} \right)^2 + \frac{(\mu_1 - \mu_0)^2}{\sigma_1^2} - 1 + \ln {\sigma_1^2 \over \sigma_0^2} \right\}}}Në statistikë, një **shpërndarje normale** ose **shpërndarje Gausiane** është një lloj shpërndarjeje e vazhdueshme probabiliteti për një ndryshore të rastësishme me vlera reale . Forma e përgjithshme e funksionit të densitetit të probabilitetit të tij është

: 
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}

Parametri \mu është mesatarja ose pritja matematike e shpërndarjes (dhe gjithashtu mesorja dhe moda e saj), ndërsa parametri \sigma është devijimi standard i tij. Varianca e shpërndarjes është \sigma^2 . Një ndryshore e rastësishme me shpërndarje Gausiane thuhet se është **e shpërndarë normalisht** .

Shpërndarjet normale janë të rëndësishme në statistikë dhe shpesh përdoren në shkenca natyrore dhe sociale për të përfaqësuar ndryshore rasti me vlera reale, shpërndarjet e të cilave nuk dihen.   Rëndësia e shpërndarjes normale vjen pjesërisht për shkak të teoremës së qendrore limite . Ai thotë se, në disa kushte, mesatarja e shumë zgjedhjeve (vëzhgimeve) të një ndryshoreje rasti me pritje dhe dispersion të fundëm është në vetvete një ndryshore rasti - shpërndarja e së cilës konvergjon në një shpërndarje normale teksa numri i zgjedhjeve rritet. Prandaj, madhësitë fizike që priten të jenë shuma e shumë proceseve të pavarura, siç janë gabimet e matjes, shpesh kanë shpërndarje që janë pothuajse normale. 

Për më tepër, shpërndarjet Gausiane kanë disa veti unike që janë të vlefshme në studimet analitike. Për shembull, çdo kombinim linear i disa ndryshoreve që ndjekin ligj normal është një ndryshore rasti që ndjek po një ligj normal. Shumë rezultate dhe metoda, të tilla si përhapja e pasigurisë dhe përshtatja e parametrave të katrorëve më të vegjël, mund të nxirren në mënyrë analitike në formë të qartë kur ndryshoret përkatëse shpërndahen normalisht.

Një shpërndarje normale nganjëherë quhet joformalisht një **kurbë këmbanë** .  Megjithatë, shumë shpërndarje të tjera janë në formë këmbane (të tilla si Cauchy, e Studentit dhe shpërndarjet logjistike ).

Shpërndarja e probabilitetit njëdimensional përgjithësohet për vektorët në shpërndarjen normale multivariate dhe për matricat në shpërndarjen normale të matricës .

## Përkufizimet 
### Shpërndarja normale standarde 
Rasti më i thjeshtë i një shpërndarjeje normale njihet si *shpërndarja normale standarde* ose *shpërndarja normale njësi* . Ky është një rast i veçantë kur \mu=0 dhe \sigma =1, dhe përshkruhet nga ky funksion i densitetit të probabilitetit (ose densiteti):

: \varphi(z) = \frac{e^{-z^2/2}}{\sqrt{2\pi}}.

Ndryshorja z ka një mesatare 0 dhe variancë dhe devijim standard të barabartë me 1. Dendësia \varphi(z) arrin majën e saj 1/\sqrt{2\pi} në z=0 dhe pikat e infleksionit në z=+1 dhe z=-1 .

### Shpërndarja e përgjithshme normale 
Çdo shpërndarje normale është një modifikim i shpërndarjes normale standarde, domeini i së cilës është shtrirë me një faktor \sigma (devijimi standard) dhe më pas zhvendoset me \mu (vlera mesatare):

: 
f(x \mid \mu, \sigma^2) =\frac 1 \sigma \varphi\left(\frac{x-\mu} \sigma \right)

Nqs Z ndjek ligjin normal standard, atëherë X=\sigma Z + \mu do të ketë një shpërndarje normale me pritje matematike \mu dhe devijim standard \sigma. Në mënyrë analoge, nëse X ndjek një ligj normal me parametera \mu dhe \sigma^2, atëherë shpërndarja e Xmund të rishkallëzohet dhe të zhvendoset duke zbatuar formulën Z=(X-\mu)/\sigma për ta kthyer atë në shpërndarjen normale standarde. Ndryshorja Z quhet ndrysha forma e standardizuar e X.

### Shënimi 
Shpërndarja normale shpesh shënohet me simbolet N(\mu,\sigma^2) ose \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) .  Kështu kur një ndryshore rasti X zakonisht ndjek një ligj normal me mesatare \mu dhe devijimi standard \sigma, mund të shkruhet

: X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2).

### Funksioni mbledhës i shpërndarjes 
Funksioni kumulativ (mbledhës) i shpërndarjes (CDF) i shpërndarjes normale standarde, zakonisht i shënuar me germën e madhe greke \Phi, jepet si integrali

: \Phi(x) = \frac 1 {\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2/2} \, dt

Funksioni i gabimit \operatorname{erf}(x) jep probabilitetin që një ndryshore rasti, me shpërndarje normale dhe mesatare 0 dhe variancë 1/2   të bjerë në intervalin [-x, x] . Kjo është:

: \operatorname{erf}(x) = \frac 2 {\sqrt\pi} \int_0^x e^{-t^2} \, dt

Këto integrale nuk mund të shprehen në terma të funksioneve elementare, pra janë të paintegrueshme me kuadraturë, dhe shpesh thuhet se janë funksione speciale . Megjithatë, njihen shumë përafrime numerike të tyre.

Të dy funksionet janë të lidhura ngushtë, domethënë

:  \Phi(x) = \frac{1}{2} \left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac x {\sqrt 2} \right) \right]

Për një shpërndarje normale të zakonshme me dendësi f, pritje matematike \mu dhe devijimi \sigma, funksioni mbledhës i shpërndarjes është

: 
F(x) = \Phi\left(\frac{x-\mu} \sigma \right) = \frac{1}{2} \left[1 + \operatorname{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt 2 }\right)\right]

Një përafrim i shpejtë i CDF-së së shpërndarjes normale standarde mund të gjendet duke përdorur një përafrim nëpërmjet serisë Tejlor:

\Phi(x) \approx \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}x^{\left(2k+1\right)}}{2^{k}k!\left(2k+1\right)}

#### Devijimi standard dhe mbulimi 
parapamje|350x350px| Për shpërndarjen normale, vlerat më pak se një devijim standard larg mesatares përbëjnë 68.27% të grupit; ndërsa dy devijime standarde nga mesatarja përbëjnë 95.45%; dhe tre devijime standarde përbëjnë 99.73%.
Rreth 68% e vlerave të nxjerra nga një shpërndarje normale janë brenda një devijimi standard *σ* larg mesatares [\mu - \sigma;\mu+\sigma]; rreth 95% e vlerave qëndrojnë brenda dy devijimeve standarde; dhe rreth 99.7% janë brenda tre devijimeve standarde.   Geary ka treguar, duke supozuar se mesatarja dhe varianca janë të fundme, se shpërndarja normale është e vetmja shpërndarje ku mesatarja dhe varianca e llogaritur nga një grup i pavaru janë të pavarura nga njëra-tjetra.  

Shpërndarja normale është simetrike me bosht simetrie mesataren e saj dhe është jo zero mbi të gjithë vijën reale. Si e tillë, mund të mos jetë një model i përshtatshëm për variablat që janë në thelb pozitive ose shumë të anuara, si pesha e një personi ose çmimi i një aksioni . Ndryshore të tilla mund të përshkruhen më mirë nga shpërndarje të tjera, të tilla si shpërndarja log-normale ose shpërndarja Pareto .

Shpërndarja gausiane i përket familjes së shpërndarjeve të qëndrueshme. Me përjashtim të Gaussian-it që është një rast kufizues, të gjitha shpërndarjet e qëndrueshme kanë bishta të rëndë dhe variancë të pafundme. Është një nga shpërndarjet e pakta që janë të qëndrueshme dhe që kanë funksione të densitetit të probabilitetit të cilat mund të shprehen në mënyrë analitike, të tjerat janë shpërndarja Cauchy dhe shpërndarja Lévy .

## Shpërndarjet e ndërlidhura 
### Teorema e kufirit qendror 
djathtas|parapamje|250x250px| Ndërsa numri i ngjarjeve diskrete rritet, funksioni fillon të ngjajë me një shpërndarje normale
Teorema qendrore limite pohon se në kushte të caktuara (mjaft të zakonshme), shuma e shumë ndryshoreve të rastit do të ketë një shpërndarje afërsisht normale. Më konkretisht, kur X_1,\ldots ,X_n janë variabla të rastësishme të pavarura dhe të shpërndara identikisht me të njëjtën shpërndarje çfarëdo, mesatare zero dhe variancë \sigma^2 dhe Z është mesatarja e tyre e shkallëzuar nga \sqrt{n}

:  Z = \sqrt{n}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) 

Atëherë, kur n rritet, shpërndarja e probabilitetit të Z do të prirent drejt shpërndarjes normale me mesatare 0 dhe variancë \sigma^2 .

Teorema mund të shtrihet për variabla (X_i) që nuk janë të pavarura dhe/ose jo të shpërndara identikisht nëse vendosen kufizime të caktuara mbi shkallën e varësisë dhe momentet e shpërndarjeve.

Teorema e kufirit qendror nënkupton gjithashtu që shpërndarje të caktuara mund të përafrohen me shpërndarjen normale, për shembull:

* Shpërndarja binomiale B(n,p) është afërsisht normale me mesatare np dhe variancë np(1-p) për n të mëdha dhe për vlera të p jo shumë afër 0 ose 1.
* Shpërndarja Poisson me parametër \lambda është afërsisht normale me mesatare \lambda dhe variancë \lambda, për vlera të mëdha të \lambda . 
* Shpërndarja hi-katror \chi^2(k) është afërsisht normale me mesatare k dhe variancë 2k, për vlera të mëdha të k .
* Shpërndarja e studentit t t(\nu) është afërsisht normale me mesatare 0 dhe variancë 1 kur \nu është e madhe.

Nëse këto përafrime janë të sakta mjaftueshëm varet nga qëllimi për të cilin nevojiten dhe nga shkalla e konvergjencës me shpërndarjen normale. Zakonisht ndodh që përafrime të tilla janë më pak të sakta në bishtat e shpërndarjes.

### Veprimet dhe funksionet e ndryshoreve normale 
Dendësia e probabilitetit, shpërndarja kumulative dhe shpërndarja kumulative e anasjelltë e çdo funksioni të një ose më shumë ndryshoreve normale të pavarura ose të ndërlidhura mund të llogariten me metodën numerike të gjurmimit të rrezeve  ( kodi Matlab  ). Në seksionet e mëposhtme do të shohim disa raste të veçanta.

#### Veprimet mbi një ndryshore të vetme normale 
Nëse X ndjek një ligj normal me mesatare \mu dhe variancë \sigma^2, atëherë

* aX+b, për çdo numër real a dhe b, gjithashtu ndjek një shpërndarje normale, me mesatare a\mu+b dhe devijim standard |a|\sigma . Kjo do të thotë se familja e shpërndarjeve normale është e mbyllur nën transformimet lineare .
* Eksponenciali i X shpërndahet log-normalisht : e^X \sim \ln(N(\mu, \sigma^2)) .
* Vlera absolute e X ka shpërndarje normale të palosshme :  . Nëse \mu = 0 kjo njihet si shpërndarja gjysëm normale .
* Vlera absolute e mbetjeve të normalizuara, pra |X - \mu| / \sigma, ka shpërndarje hi me një shkallë lirie: |X - \mu| / \sigma \sim \chi_1 .
* Katrori i X/\sigma ka shpërndarjen joqendrore hi-katrore me një shkallë lirie: X^2 / \sigma^2 \sim \chi_1^2(\mu^2 / \sigma^2) . Nëse \mu = 0, shpërndarja quhet thjesht hi-katrore .
* (X - \mu)^{-2} ka një shpërndarje Lévy me vendndodhje 0 dhe shkallë \sigma^{-2} .

##### Veprimet në dy ndryshore normale të pavarura 
* Nëse X_1 dhe X_2 janë dy ndryshore rasti normale të pavarura, me mesatare \mu_1, \mu_2 dhe devijime standarde \sigma_1, \sigma_2, atëherë shuma e tyre X_1 + X_2 gjithashtu do të ndjekë një shpërndarje normale, [prova] me mesatare \mu_1 + \mu_2 dhe variancë \sigma_1^2 + \sigma_2^2 .
* Në veçanti, nëse X dhe Y janë normale të pavarura me mesatare 0 dhe variancë \sigma^2, atëherë X + Y dhe X - Y janë gjithashtu të pavarura dhe të shpërndara normalisht, me mesatare zero dhe variancë 2\sigma^2 . Ky është një rast i veçantë i identitetit të polarizimit . 
* Nëse X_1, X_2 janë dy n.r normale të pavarura me mesatare \mu dhe devijim \sigma, dhe a, b janë numra realë arbitrarë, atëherë ndryshorja:
    X_3 = \frac{aX_1 + bX_2 - (a+b)\mu}{\sqrt{a^2+b^2}} + \mu
  
  X_3 = \frac{aX_1 + bX_2 - (a+b)\mu}{\sqrt{a^2+b^2}} + \mu
 
* Nëse X_k \sim \mathcal N(m_k, \sigma_k^2), k \in \{ 0, 1 \} janë shpërndarje normale, atëherë mesatarja e tyre gjeometrike e normalizuar  \frac{1}{\int_{\R^n} X_0^{\alpha}(x) X_1^{1 - \alpha}(x) \, \text{d}x} X_0^{\alpha} X_1^{1 - \alpha} është një shpërndarje normale \mathcal N(m_{\alpha}, \sigma_{\alpha}^2) me m_{\alpha} = \frac{\alpha m_0 \sigma_1^2 + (1 - \alpha) m_1 \sigma_0^2}{\alpha \sigma_1^2 + (1 - \alpha) \sigma_0^2}  dhe \sigma_{\alpha}^2 = \frac{\sigma_0^2 \sigma_1^2}{\alpha \sigma_1^2 + (1 - \alpha) \sigma_0^2} (shih këtu për një vizualizim).

##### Veprimet në dy ndryshore normale standarde të pavarura 
Nëse X_1 dhe X_2 janë dy n.r standarde të pavarura me mesatare 0 dhe variancë 1, atëherë

* Shuma dhe diferenca e tyre ndjek një shpërndarje normale  me mesatare zero dhe variancë dy: X_1 \pm X_2 \sim \mathcal{N}(0, 2) .
* Produkti i tyre Z = X_1 X_2 ndjek shpërndarjen e produktit  me funksionin e densitetit f_Z(z) = \pi^{-1} K_0(|z|) ku K_0 është funksioni Bessel i modifikuar i llojit të dytë . Kjo shpërndarje është simetrike rreth zeros, e pakufizuar në z = 0, dhe ka funksionin karakteristik  \phi_Z(t) = (1 + t^2)^{-1/2} .
* Raporti i tyre ndjek shpërndarjen standarde Cauchy : X_1/ X_2 \sim \operatorname{Cauchy}(0, 1) .
* Norma e tyre Euklidiane \sqrt{X_1^2 + X_2^2} ka shpërndarjen Rayleigh .

#### Veprimet në shumë ndryshore normale të pavarura 
* Çdo kombinim linear i n.r normale është ndryshore rasti normale.
* Nëse X_1, X_2, \ldots, X_n janë ndryshore të rastit normale standarde dhe të pavarura, atëherë shuma e katrorëve të tyre ka shpërndarjen chi-katror me n shkallë lirie X_1^2 + \cdots + X_n^2 \sim \chi_n^2.
* Nëse X_1, X_2, \ldots, X_n janë n.r të pavarura të shpërndara normalisht me mesatare \mu dhe variancë \sigma^2, atëherë mesatarja e kampionit të tyre është e pavarur nga devijimi standard i mostrës.   Raporti i këtyre dy madhësive do të ketë shpërndarjen e Studentit me n-1 shkallët e lirisë: t = \frac{\overline X - \mu}{S/\sqrt{n}} = \frac{\frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n) - \mu}{\sqrt{\frac{1}{n(n-1)}\left[(X_1-\overline X)^2 + \cdots+(X_n-\overline X)^2\right]}} \sim t_{n-1}.
* Nëse X_1, X_2, \ldots, X_n, Y_1, Y_2, \ldots, Y_m janë ndryshore rasti normale  standarde të pavarura, atëherë raporti i shumave të tyre të normalizuara të katrorëve do të ndjekë shpërndarjen F me (n, m ) shkallë lirie:  F = \frac{\left(X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2\right)/n}{\left(Y_1^2+Y_2^2+\cdots+Y_m^2\right)/m} \sim F_{n,m}.

## Ndodhja dhe aplikimet 
Ndodhja e shpërndarjes normale në problemet praktike mund të klasifikohet lirshëm në katër kategori:

# Shpërndarjet saktësisht normale;
# Ligjet përafërsisht normale, për shembull kur një përafrim i tillë justifikohet nga teorema qendrore limite ; dhe
# Shpërndarjet e modeluara si normale – shpërndarja normale është shpërndarja me entropinë maksimale për një mesatare dhe variancë të caktuar.
# Problemet e regresionit - shpërndarja normale gjendet pasi efektet sistematike janë modeluar mjaft mirë.

### Normalitet i saktë 
parapamje| Gjendja bazë e një oshilatori harmonik kuantik ka shpërndarjen Gausiane.
Madhësi të caktuara në fizikë shpërndahen normalisht, siç u demonstrua për herë të parë nga James Clerk Maxwell . Shembuj të madhësuve të tilla janë:

* Funksioni i densitetit të probabilitetit të një gjendjeje bazë në një oshilator kuantik harmonik .
* Pozicioni i një grimce që përjeton difuzion . Nëse fillimisht grimca ndodhet në një pikë specifike , atëherë pas *t* kohe,  vendndodhja e saj përshkruhet nga një shpërndarje normale me variancë *t*, e cila kënaq ekuacionin e difuzionit .&nbsp;\frac{\partial}{\partial t} f(x,t) = \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) . Nëse vendndodhja fillestare jepet nga një funksion i caktuar i densitetit g(x), atëherë dendësia në kohën *t* është konvolucioni i *g* dhe PDF-së normale.

### Normalitet i përafërt 
Shpërndarjet *përafërsisht* normale ndodhin në shumë situata, siç shpjegohet nga TQL . Kur rezultati prodhohet nga shumë efekte të vogla që veprojnë *në mënyrë mbledhëse dhe të pavarur*, shpërndarja e tij do të jetë afër normales. Përafrimi normal nuk do të jetë i vlefshëm nëse efektet veprojnë në mënyrë shumëzuese (në vend të shtimit), ose nëse ka një ndikim të vetëm të jashtëm që ka një madhësi dukshëm më të madhe se efektet e tjera.

* Në problemet e numërimit, ku teorema qendrore limite përfshin një përafrim diskret në vazhdimësi dhe ku përfshihen shpërndarje pafundësisht të pjesëtueshme dhe të zbërthyeshme, si p.sh.
** Ndryshore të rastit binomiale, të lidhura me variablat e përgjigjes binare;
** Ndryshore të rastit Poisson, të lidhura me ngjarje të rralla;
* Rrezatimi termik ka një shpërndarje Bose-Einstein në shkallë shumë të shkurtra kohore dhe një shpërndarje normale në shkallë më të gjata kohore për shkak të teoremës së kufirit qendror.

### Normalitet i supozuar 
djathtas|parapamje| Histogrami i gjerësisë së sepalit për *Iris versicolor* nga grupi i të dhënave të luleve të Iris, me shpërndarjen normale ë të përshtatshme të mbivendosur.
Ka metoda statistikore për të testuar në mënyrë empirike atë supozim; shih seksionin e mësipërm të testeve të normalitetit .

* Në biologji, *logaritmi* i variableve të ndryshme priret të ketë një shpërndarje normale, domethënë, ata priren të kenë një shpërndarje log-normale (pas ndarjes në nënpopullatat meshkuj/femra), me shembuj që përfshijnë:
** Matjet e madhësisë së indit të gjallë (gjatësia, lartësia, sipërfaqja e lëkurës, pesha); 
** *Gjatësia* e shtojcave *inerte* (flokët, kthetrat, thonjtë, dhëmbët) e ekzemplarëve biologjikë, *në drejtim të rritjes* ;mendohet se trashësia e lëvores së pemës gjithashtu i përket kësaj kategorie;
** Disa matje fiziologjike, si presioni i gjakut tek njerëzit e rritur.
* Në financë, në veçanti modeli Black–Scholes, ndryshimet në *logaritmin* e kurseve të këmbimit, indekseve të çmimeve dhe indekseve të bursës supozohen normale (këto variabla sillen si interesi i përbërë, jo si interesi i thjeshtë dhe kështu janë shumëzues). Disa matematikanë si Benoit Mandelbrot kanë argumentuar se shpërndarjet log-Levy, të cilat posedojnë bishta të rëndë do të ishin një model më i përshtatshëm, veçanërisht për analizën për rrëzimet e tregut të aksioneve.
* Gabimet e matjes në eksperimentet fizike shpesh modelohen nga një shpërndarje normale. Ky përdorim i një shpërndarjeje normale nuk nënkupton që dikush po supozon se gabimet e matjes shpërndahen normalisht, përkundrazi përdorimi i shpërndarjes normale prodhon parashikimet më konservatore të mundshme duke pasur parasysh vetëm njohuritë rreth mesatares dhe variancës së gabimeve. 
* Në testimin e standardizuar, rezultatet mund të bëhen që të kenë një shpërndarje normale ose duke zgjedhur numrin dhe vështirësinë e pyetjeve (si në testin IQ ) ose duke i transformuar rezultatet e testit të papërpunuara në rezultate "output" duke i përshtatur ato në shpërndarjen normale. Për shembull, diapazoni tradicional i SAT prej 200–800 bazohet në një shpërndarje normale me një mesatare prej 500 dhe një devijim standard prej 100.