Mesatarja gjeometrike

parapamje|400x400px| Shembull i mesatares gjeometrike: l_g (e kuqe) është mesatarja gjeometrike e l_1 dhe l_2,   në një shembull në të cilin segmenti i vijës l_2\;(\overline{BC}) jepet si pingul me \overline{AB} (shënoni pushim 10 s ndërmjet çdo ekzekutimi të animacionit).
Në matematikë, **mesatarja gjeometrike** është një mesatare që tregon një prirje qendrore të një bashkësie të fundme numrash realë duke përdorur shumëzimin e  tyre (në krahasim me mesataren aritmetike që përdor shumën e tyre). Mesatarja gjeometrike përcaktohet si rrënja me indeks  e shumëzimit të *n* numrave, dmth, për një grup numrash a_1,a_2,...,a_n, mesatarja gjeometrike përcaktohet si

: \left(\prod_{i=1}^n a_i\right)^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}

ose, në mënyrë të njëvlershme, si mesatarja aritmetike në shkallë logaritmike :

: e^{\left( {\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\ln a_i} \right)}

Më së shpeshti numrat kufizohen në të qënit jo-negativë, për të shmangur ndërlikimet që lidhen me numrat negativë, të cilët nuk kanë rrënjë reale, dhe shpesh ato kufizohen në të qënit pozitiv, për të mundësuar përdorimin e logaritmeve.

Për shembull, mesatarja gjeometrike e dy numrave, le të themi 2 dhe 8, është vetëm rrënja katrore e shumëzimit të tyre, domethënë, \sqrt{2 \cdot 8} = 4 . Si shembull tjetër, mesatarja gjeometrike e tre numrave 4, 1 dhe 1/32 është rrënja kubike e shumëzimit të tyre (1/8), e cila është 1/2, domethënë, \sqrt[3]{4 \cdot 1 \cdot 1/32} = 1/2 .

Mesatarja gjeometrike mund të kuptohet në termat e gjeometrisë . Mesatarja gjeometrike e dy numrave, a dhe b, është gjatësia e njërës anë të një katrori sipërfaqja e të cilit është e barabartë me sipërfaqen e një drejtkëndëshi me brinjë të gjatësisë a dhe b . Në mënyrë të ngjashme, mesatarja gjeometrike e tre numrave, a, b, dhe c, është gjatësia e një skaji të një kubi, vëllimi i të cilit është i njëjtë me atë të një kuboidi me brinjë, gjatësia e të cilave është e barabartë me tre numrat e dhënë.

## Llogaritja 
Mesatarja gjeometrike e një grupi të dhënash \left\{a_1, a_2,\, \ldots,\, a_n\right\} jepet nga:

: \left(\prod_{i=1}^n a_i \right)^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}. 

### Krahasimi me mesataren aritmetike 
Mesatarja gjeometrike e një grupi të dhënash jo bosh numrash (pozitiv) është gjithmonë e shumta e barabartë me mesataren e tyre aritmetike. Barazia merret vetëm kur të gjithë numrat në bashkësinë e të dhënave janë të barabartë; përndryshe, mesatarja gjeometrike është më e vogël. Për shembull, mesatarja gjeometrike e 2 dhe 3 është 2,45, ndërsa mesatarja aritmetike e tyre është 2,5. Në veçanti, kjo do të thotë se kur një grup numrash jo identikë i nënshtrohet një përhapjeje të ruajtjes së mesatares - domethënë, elementët e grupit "ndahen" më shumë nga njëri-tjetri duke lënë mesataren aritmetike të pandryshuar - mesatarja e tyre gjeometrike zvogëlohet. 

### Shëmbuj 
Shembuj të mesatares gjeometrike të shënuar me \text{இ}(A) për një bashkësi numrash A. 

Për shëmbull, jepen numrat x_1=5, x_2=20, atëherë mesatarja e tyre gjeometrike është:

\text{இ}=\sqrt{x1 * x2} 
 =\sqrt{5*20} = \sqrt{100}=10

 

Për tre numra të bashkësisë A, A = \{3,5,9\}, mesatarja gjeometrike është rrënja me indeks 3 (sepse aq numra ka bashkësia) e prodhimit të tyre.

\text{இ}(A)=\sqrt[3]{3*5*9}=\sqrt[3]{135}

Nga ku marrim:

\sqrt[3]{135} \approx 5.082

## Mesatarja gjeometrike e një funksioni të vazhdueshëm 
Nëse f:[a,b]\to(0, \infty) është një funksion pozitiv i vazhdueshëm me vlerë reale, mesatarja e tij gjeometrike mbi këtë interval është

: \text{GM}[f] = \exp\left(\frac{1}{b-a}\int_a^b\ln f(x)dx\right)