Vektori njësi

Në matematikë, një **vektor njësi** në një hapësirë vektoriale të normuar është një vektor (shpesh një vektor hapësinor ) me gjatësi 1. Një vektor njësi shënohet shpesh me një shkronjë të vogël me një kapelë, si në \hat{\mathbf{v}} (shqiptohet "v-me kapele").

Termi ***vektor i drejtimit***, që zakonisht shënohet si **d**, përdoret për të përshkruar një vektor njësi që përdoret për të përfaqësuar drejtimin hapësinor dhe drejtimin relativ . Drejtimet hapësinore 2D janë numerikisht të njëvlershme me pikat në rrethin e njësisë dhe drejtimet hapësinore në 3D janë të njëvlershme me një pikë në sferën njësi .
parapamje| Shembuj të dy vektorëve të drejtimit 2D
parapamje| Shembuj të dy vektorëve të drejtimit 3D
**Vektori i normalizuar û** i një vektori jozero **u** është vektori njësi në drejtim të **u**, dmth.

: \mathbf{\hat{u}} = \frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|}

ku ‖ **u** ‖ është norma (ose gjatësia) e **u** .   Termi *vektor i normalizuar* ndonjëherë përdoret si sinonim për *vektorin njësi* .

Vektorët njësi shpesh zgjidhen për të formuar bazën e një hapësire vektoriale dhe çdo vektor në hapësirë mund të shkruhet si një formë kombinimi linear i vektorëve njësi.

## Koordinatat drejtkëndore 
### Koordinatat karteziane 
Vektorët njësi mund të përdoren për të përfaqësuar boshtet e një sistemi koordinativ kartezian . Për shembull, vektorët standardë të njësisë në drejtimin e boshteve *x*, *y* dhe *z* të një sistemi koordinativ tredimensional kartezian janë

: 
\mathbf{\hat{x}} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf{\hat{y}} = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf{\hat{z}} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}

Ata formojnë një grup vektorësh njësi ortogonale reciproke, të referuara zakonisht si një bazë standarde në algjebër lineare .

Ato shpesh shënohen duke përdorur shënimin e përbashkët të vektorit (p.sh., **x** ose \vec{x} ) në vend të shënimit standard të vektorit njësi (p.sh., **x̂** ). Në shumicën e konteksteve mund të supozohet se **x**, **y**, dhe **z**, (ose \vec{x},\vec{y}, dhe  \vec{z} ) janë versorë të një sistemi koordinativ kartezian 3-D. Shënimet ( **î**, **ĵ**, **k̂** ), ( **x̂ 1**, **x̂ 2**, **x̂ 3** ), ( **ê x**, **ê y**, **ê z** ), ose ( **ê 1**, **ê 2**, **ی 3** ), me ose pa kapelë, përdoren gjithashtu,  veçanërisht në kontekste ku **i**, **j**, **k** mund të çojë në konfuzion me një madhësi tjetër.

### Koordinatat cilindrike 
Tre vektorët njësi ortogonalë të përshtatshëm për simetrinë cilindrike janë:

* \boldsymbol{\hat{\rho}} (e shënuar gjithashtu \mathbf{\hat{e}} ose \boldsymbol{\hat s} ), që paraqet drejtimin përgjatë të cilit matet largësia e pikës nga boshti i simetrisë;
* \boldsymbol{\hat \varphi}, që përfaqëson drejtimin e lëvizjes që do të vëzhgohej nëse pika do të rrotullohej në drejtim të kundërt të akrepave të orës rreth boshtit të simetrisë ;
* \mathbf{\hat{z}}, që përfaqëson drejtimin e boshtit të simetrisë;

Ato lidhen me bazën karteziane \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} nga:

:  \boldsymbol{\hat{\rho}} = \cos(\varphi)\mathbf{\hat{x}} + \sin(\varphi)\mathbf{\hat{y}}
: \boldsymbol{\hat \varphi} = -\sin(\varphi) \mathbf{\hat{x}} + \cos(\varphi) \mathbf{\hat{y}}
:  \mathbf{\hat{z}} = \mathbf{\hat{z}}.

Vektorët \boldsymbol{\hat{\rho}} dhe \boldsymbol{\hat \varphi} janë funksione të \varphi, dhe *nuk* janë konstante në drejtim. Kur diferencohen ose integrohen në koordinata cilindrike, duhet të veprohet mbi vetë këta vektorë njësi. Derivatet në lidhje me \varphi janë:

: \frac{\partial \boldsymbol{\hat{\rho}}} {\partial \varphi} = -\sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \varphi\mathbf{\hat{y}} = \boldsymbol{\hat \varphi}
: \frac{\partial \boldsymbol{\hat \varphi}} {\partial \varphi} = -\cos \varphi\mathbf{\hat{x}} - \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} = -\boldsymbol{\hat{\rho}}
:  \frac{\partial \mathbf{\hat{z}}} {\partial \varphi} = \mathbf{0}.

### Koordinatat sferike 
Vektorët njësi të përshtatshëm për simetrinë sferike janë: \mathbf{\hat{r}}, drejtimi në të cilin rritet largësia rrezore nga origjina; \boldsymbol{\hat{\varphi}}, drejtimi në të cilin këndi në rrafshin *x* - *y* në drejtim kundërorar nga boshti pozitiv *x* po rritet; dhe \boldsymbol{\hat \theta}, drejtimi në të cilin këndi nga boshti pozitiv *z* po rritet. Për të minimizuar tepricën e paraqitjeve, këndi polar \theta zakonisht merret të shtrihet midis zero dhe 180 gradë. Është veçanërisht e rëndësishme të theksohet konteksti i çdo treshe të renditur të shkruar në koordinata sferike, pasi rolet e \boldsymbol{\hat \varphi} dhe \boldsymbol{\hat \theta} shpesh janë të kundërta. Këtu, përdoret konventa amerikane e "fizikës"  . Kjo lë këndin azimutal \varphi të përcaktuara njësoj si në koordinatat cilindrike. Marrëdhëniet karteziane janë:

: \mathbf{\hat{r}} = \sin \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x}} + \sin \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} + \cos \theta\mathbf{\hat{z}}

: \boldsymbol{\hat \theta} = \cos \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} - \sin \theta\mathbf{\hat{z}}

: \boldsymbol{\hat \varphi} = - \sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \varphi\mathbf{\hat{y}}

Vektorët njësi sferikë varen nga të dyja \varphi dhe \theta, dhe si rrjedhim ka 5 derivate të mundshëm jo zero. Për një përshkrim më të plotë, shihni matricën Jakobiane dhe përcaktorin . Derivatet jozero janë:

: \frac{\partial \mathbf{\hat{r}}} {\partial \varphi} = -\sin \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \sin \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{y}} = \sin \theta\boldsymbol{\hat \varphi}

: \frac{\partial \mathbf{\hat{r}}} {\partial \theta} =\cos \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} - \sin \theta\mathbf{\hat{z}}= \boldsymbol{\hat \theta}

: \frac{\partial \boldsymbol{\hat{\theta}}} {\partial \varphi} =-\cos \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{y}} = \cos \theta\boldsymbol{\hat \varphi}

: \frac{\partial \boldsymbol{\hat{\theta}}} {\partial \theta} = -\sin \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x}} - \sin \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} - \cos \theta\mathbf{\hat{z}} = -\mathbf{\hat{r}}

: \frac{\partial \boldsymbol{\hat{\varphi}}} {\partial \varphi} = -\cos \varphi\mathbf{\hat{x}} - \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} = -\sin \theta\mathbf{\hat{r}} -\cos \theta\boldsymbol{\hat{\theta}}