Kombinatorika

**Kombinatorika** merret me studimin e bashkësive të fundme, me grupimin e elementeve të tyre sipas ndonjë kriteri të caktuar, me renditjen e elementeve etj. Kuptimet themelore të kombinatorikës janë permutacioni, kombinacioni, variacioni, multibashkësia etj.  Kombinatorika është degë e matematikës e cila merret me studimin e strukturave diskrete të fundme ose të numërueshme. Si degë me zbatim të gjerë ajo përfshin numërimin në përgjithësi ose numërimin e objekteve që kanë veti të caktuara. Numërimi na ndihmon të zgjedhim lloje të ndryshmë problemesh, si p.sh. numërimi i IP adresave të versionit 4 dhe 6. Kombinatorika është e lidhur ngushtë me shumë fusha të tjera të matematikës dhe gjen zbatim nga logjika e fizika statistikore deri tek shkenca kompjuterike. Kombinatorika është e njohur për gjerësinë e problemeve që trajton. Problemet kombinuese lindin në shumë fusha të matematikës së pastër, veçanërisht në algjebër, teorinë e probabilitetit, topologji, gjeometri dhe në shumë fusha të zbatimit të saj.  Shumë pyetje kombinuese janë konsideruar historikisht të veçuara, duke i dhënë një zgjidhje  një problemi që lind në një kontekst matematikor. Në fund të shekullit të njëzetë, megjithatë, u zhvilluan metoda të fuqishme dhe të përgjithshme teorike, duke e bërë kombinatorikën një degë të pavarur të matematikës më vete. Një nga pjesët më të vjetra dhe më të arritshme të kombinatorikës është teoria e grafit, e cila në vetvete ka lidhje të shumta natyrore me zona të tjera. Kombinatorika përdoret shpesh në shkencën kompjuterike për të marrë formula dhe vlerësime në analizën e algoritmeve. 

Ajo është e lidhur ngushtë me degë tjera të matematikës si Algjebra, Teoria e gjasës, dhe Gjeometria, dhe ka zbatime të shumta në Shkencat kompujterike në Statistikë etj. Aspekte të kombinatorikës konsistojnë në llogaritjen e numrit të objekteve të cilat plotësojnë ndonjë kriter të caktuar përbën objektin e studimit të Kombinatorikës numerike, Gjetjen e elementit ose objektit më të madh ose më të vogël ose zgjedhjen optimale këto probleme i studjon Kombinatorika ekstrmale, poashtu zhvillimi dhe gjetja e strukturave të cilat i plotësojnë objektet kombinatorike, i studjon Kombinatorika algjebrike. 

Kombinatorika më shumë merret me zgjidhjen e problemeve se me ndërtimin e një teorie, por kjo nuk do të thotë se gjatë këtij zhvillimi nuk është ndërtuar një teori e fuqishme e kombinatorikës sidomos në fund të shekullit XX . Njëra nga pjesët e kombinatorikës është edhe Teoria e grafeve. 

Matematikani i cili është i specializuar në kombinatorikë quhet *kombinatorist*.

## Historia e kombinatorikës 
Gjurmë të kombinatorikës gjejmë te Xhainistët në Indi, matematikani Pingala e zbuloi metodën e përcaktimit të numrit të kombinacioneve të një numri të dhënë shkronjash, prej të cilave zgjedhim 1, 2, etj. Mahavira rreth vitit 850 i dha formulat e përgjithshme për gjetjen e numrit të permutacioneve dhe kombinacioneve të një bashkësie të fundme. Bhaskaracharya për kombinatorikën përdorte emërtimin *Anka Pasha* në Lilavati. Ai dha disa formula të reja në kombinatorikë. 
Disa arritje të rëndësishme janë dhënë nga grekët e vjetër dhe kinezët. Disa matematikan arab dhe çifut kanë përdorur konceptet e permutacionit dhe kombinacionit gjatë vështrimeve astronomike p.sh. Rabbi ben Ezra rreth vitit 1140). Libri i parë modern i shkruajtur me subjekt kombinatorikën është Ars Conjectandi i shkruajtur nga matematikani i shquar Jacob Bernoulli i cili u botua në vitin 1713.

## Kombinatorika numerike 
**Kombinatorika numerike** është fusha më klasike e kombinatorikës, ajo merret me llogaritjen e numrit të konfiguracioneve të cilat përkufizohen nga elementet e një bashkësie të caktuar objektesh. Shumica e problemeve të cilat hasen në kombinatorikën numerike kanë formulim të thjeshtë kombinatorik p.sh disa prej tyre janë Numrat e Fibonaccit, Numrat e Catalanit, Numri i permutacioneve, kombinacioneve, Particioni i numrit natyral Particioni i bashkësisë, Kompozicioni i numrit natyral etj.

## Kombinatorika analitike 
**Kombinatorika analitike** merret me studimin e strukturave kombinatorike duke shfrytëzuar konceptet nga Analiza komplekse dhe nga Teoria e gjasës. Përderisa kombinatorika numerike nxjer formula eksplicite duke i shfrytëzuar p.sh funksionet gjeneratrisa kombinatorika analitike përfundimet i jep me formula asimptotike.

= Elementet e Kombinatorikës =
Elementet themelore të kombinatorikës janë:

i. Kombinacionet me dhe pa përsëritje

ii. Variacionet me dhe pa përsëritje

iii.Permutacionet me dhe pa përsëritje

Kombinacione pa përsëritje të klasës nga bashkësia M me n elemente e quajmë çdo nënbashkësi të bashkësisë M me k-elemente.

Kombinacione me përsëritje të klasës në bashkësinë n-elementshe quhet çdo rrokje e gjatësisë e marrë nga bashkësia n-elementshe,ku rrokjet dallohen vetëm kur kanë elemente të ndryshme.

Variacione me përsëritje të klasës nga n-elemente e quajmë çdo renditje të gjatësisë  të marrë nga bashkësia n-elementëshe.

Variacione pa përsëritje të klasës nga n-elemente e quajmë çdo renditje të gjatësisë, e marrë nga bashkësia n-elementëshe, kur në k-renditjen  elementet janë të ndryshme.

Permutacione pa përsëritje të bashkësisë n-elementëshe e quajmë çdo pasqyrim bijektiv të asaj bashkësie në vetveten.

Për shembull, janë 6 permutacione të shkronjave a, b, c:  abc,  acb,  bac,  bca,  cab,  cba. Ne e dimë se i kemi të gjitha të renditura më sipër janë 3 zgjedhje për cilën shkronjë vendosim së pari, më pas 2 zgjedhje se cila shkronjë vjen më pas, e cila lë vetëm 1 zgjedhje për shkronjën e fundit. Parimi shumëzues thotë se ne shumëzojmë 3 \cdot 2 \cdot 1

## Referime 
* Bjorner, A. and Stanley, R.P., *A Combinatorial Miscellany*
* Graham, R.L., Groetschel M., and Lovász L., eds. (1996). *Handbook of Combinatorics*, Volumes 1 and 2. Elsevier (North-Holland), Amsterdam, and MIT Press, Cambridge, Mass. ISBN 0-262-07169-X.
* Lindner, Charles C. and Christopher A. Rodger (eds.) *Design Theory*, CRC-Press; 1st. edition (October 31, 1997). ISBN 0-8493-3986-3.
* van Lint, J.H., and Wilson, R.M. (2001). *A Course in Combinatorics*, 2nd Edition. Cambridge University Press. ISBN 0-521-80340-3.
* Stanley, Richard P. (1997, 1999). *Enumerative Combinatorics*, Volumes 1 and 2. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55309-1, ISBN 0-521-56069-1.
* Combinatorial Analysis – an article in Encyclopædia Britannica Eleventh Edition
* Riordan, John (1958). *An Introduction to Combinatorial Analysis*, Wiley & Sons, New York (republished). 
* Permutations and combinations - an article in Encycpedia Britannica \mid

## Shënim 
## Lidhje të jashtme 
* Combinatorics, a MathWorld article with many references.
* Combinatorics, from a *MathPages.com* portal. 
* The Hyperbook of Combinatorics, a collection of math articles links.