Funksionet hiperbolike

parapamje|300x300px
Në matematikë, **funksionet hiperbolike** janë analoget e funksioneve të zakonshme trigonometrike, por të përcaktuara duke përdorur hiperbolën dhe jo rrethin . Ashtu si pikat   formojnë një rreth njësi, pikat   formojnë gjysmën e djathtë të hiperbolës njësi . Gjithashtu, në mënyrë të ngjashme me mënyrën se si derivatet e  dhe  janë përkatësisht  dhe , derivatet e  dhe  janë  dhe  respektivisht.

Funksionet hiperbolike hasen në llogaritjet e këndeve dhe largësive në gjeometrinë hiperbolike . Ato hasen gjithashtu në zgjidhjet e shumë ekuacioneve diferenciale lineare (siç është ekuacioni që përcakton një katenare ), ekuacionet kubike dhe ekuacioni i Laplasit në koordinata karteziane . Ekuacionet e Laplasit janë të rëndësishme në shumë fusha të fizikës, duke përfshirë teorinë elektromagnetike, transferimin e nxehtësisë, dinamikën e lëngjeve dhe relativitetin special .

Funksionet themelore hiperbolike janë: 

* **sinusi hiperbolik** " sinh " , 
* **kosinusi hiperbolik** " cosh ", 

nga të cilat rrjedhin: 

* **tangjenti hiperbolik** " tanh ", 
* **kotangjenti hiperbolik** " coth ",  

që u përkojnë funksioneve trigonometrike të prejardhura.

Funksionet hiperbolike të anasjellta janë:

* **sinusi hiperbolik i zonës** " arsinh " (i shënuar gjithashtu " sinh−1 ", " asinh " ose ndonjëherë " arcsinh ")   
* **kosinusi hiperbolik i zonës** " arcosh " (i shënuar gjithashtu " cosh−1 ", " acosh " ose ndonjëherë " arccosh ")
* e kështu me radhë.

[parapamje| Një [Drejtëza|rreze përmes hiperbolës njësi x^2 - y^2 = 1 në pikën (\cosh a, \sinh a), ku a është dyfishi i sipërfaqes ndërmjet rrezes, hiperbolës dhe boshtit x . Për pikat në hiperbolën nën boshtin x, zona konsiderohet negative (shih versionin e animuar me krahasimin me funksionet trigonometrike (rrethore)).]]
Funksionet hiperbolike marrin një argument real të quajtur kënd hiperbolik . Madhësia e një këndi hiperbolik është dyfishi i sipërfaqes së sektorit të tij hiperbolik . Funksionet hiperbolike mund të përcaktohen në termat e këmbëve të një trekëndëshi kënddrejtë që mbulon këtë sektor.

Në analizën komplekse, funksionet hiperbolike lindin kur zbatohen funksionet e zakonshme të sinusit dhe kosinusit në një kënd imagjinar. Sinusi hiperbolik dhe kosinusi hiperbolik janë funksione të tëra . Si rezultat, funksionet e tjera hiperbolike janë meromorfike në të gjithë planin kompleks.

Funksionet hiperbolike u prezantuan në vitet 1760 në mënyrë të pavarur nga Vincenzo Riccati dhe Johann Heinrich Lambert .  Riccati përdori Sc. dhe Cc. ( ) për t'iu referuar funksioneve rrethore dhe Sh. dhe Ch. (  ) për t'iu referuar funksioneve hiperbolike. Lambert miratoi emrat, por ndryshoi shkurtesat në ato që përdoren sot.  Aktualisht përdoren edhe shkurtesat , , , , në varësi të preferencës personale.

## Shënimi 
## Përkufizimet 
parapamje| sinh, cosh dhe tanh
parapamje| csch, sech dhe coth
Ka mënyra të ndryshme ekuivalente për të përcaktuar funksionet hiperbolike.

### Përkufizimet eksponenciale 
[djathtas|parapamje|\sinh x është gjysma e [Zbritja (matematikë)|ndryshesës së e^x dhe e^{-x}]]
[djathtas|parapamje|\cosh x është [Mesi aritmetik|mesatarja e e^x dhe e^{-x}]]
Për sa i përket funksionit eksponencial :  

* Sinusi hiperbolik: pjesa teke e funksionit eksponencial, d.m.th.  \sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x} = \frac {1 - e^{-2x}} {2e^{-x}}.
* Kosinusi hiperbolik: pjesa çifte e funksionit eksponencial, d.m.th.  \cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x} = \frac {1 + e^{-2x}} {2e^{-x}}.
* Tangjenti hiperbolik: \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}}
= \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}.
* Kotangjenti hiperbolik: për x ≠ 0 , \coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}}
= \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}.
* Sekanti hiperbolik:  \operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}}
= \frac{2e^x} {e^{2x} + 1}.
* Kosekanti hiperbolik: për x ≠ 0 ,  \operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}}
= \frac{2e^x} {e^{2x} - 1}.

### Përkufizimet e ekuacioneve diferenciale 
Funksionet hiperbolike mund të përkufizohen si zgjidhje të ekuacioneve diferenciale : Sinusi dhe kosinusi hiperbolik janë zgjidhja (s,c) e sistemit.\begin{align}
c'(x)&=s(x),\\
s'(x)&=c(x),\\
\end{align}
me kushtet fillestare s(0) = 0, c(0) = 1. Kushtet fillestare e bëjnë zgjidhjen unike; pa to çdo çift funksionesh (a e^x + b e^{-x}, a e^x - b e^{-x}) do të ishte një zgjidhje.

\sinh (x) dhe \cosh (x) janë gjithashtu zgjidhja unike e ekuacionit f''(x) = f(x), e tillë që f(0)=1, f'(0)=1 për kosinusin hiperbolik dhe f(0)=0, f'(0)=1 për sinusin hiperbolik.

### Përkufizimet komplekse trigonometrike 
Funksionet hiperbolike mund të nxirren gjithashtu nga funksionet trigonometrike me argumente komplekse :

* Sinusi hiperbolik:  \sinh x = -i \sin (i x).
* Kosinusi hiperbolik: \text{area} = \int_a^b \cosh x \,dx = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{d}{dx} \cosh x \right)^2} \,dx = \text{arc length.}

### Tangjenti hiperbolik 
Tangjenti hiperbolik është zgjidhja (unike) e ekuacionit diferencial f' = 1 - f^2, me f(0) = 0 .  

## Marrëdhënie të dobishme 
Funksionet hiperbolike kënaqin shumë identitete, të gjitha të ngjashme në formë me identitetet trigonometrike . Në fakt, **rregulli i Osbornit**  thotë se mund të konvertohet çdo identitet trigonometrik për \theta, 2\theta, 3\theta ose \theta dhe \varphi në një identitet hiperbolik, duke e zgjeruar plotësisht në termat e fuqive integrale të sinuseve dhe kosinuseve, duke ndryshuar sinusin në sinh dhe kosinusin në cosh dhe duke ndryshuar shenjën e çdo termi që përmban një produkt prej dy funksionesh sinh.

Funksionet tek dhe çift:\begin{align}
 \sinh (-x) &= -\sinh x \\
 \cosh (-x) &= \cosh x
\end{align}Prandaj:\begin{align}
        \tanh (-x) &= -\tanh x \\
        \coth (-x) &= -\coth x \\
 \operatorname{sech} (-x) &= \operatorname{sech} x \\
 \operatorname{csch} (-x) &= -\operatorname{csch} x
\end{align}Kështu, \cosh x dhe \text{sech}(x) janë funksione çift ; të tjerët janë funksione tek .\begin{align}
 \operatorname{arsech} x &= \operatorname{arcosh} \left(\frac{1}{x}\right) \\
 \operatorname{arcsch} x &= \operatorname{arsinh} \left(\frac{1}{x}\right) \\
 \operatorname{arcoth} x &= \operatorname{artanh} \left(\frac{1}{x}\right)
\end{align}Sinusi dhe kosinusi hiperbolik kënaqin:\begin{align}
 \cosh x + \sinh x &= e^x \\
 \cosh x - \sinh x &= e^{-x} \\
 \cosh^2 x - \sinh^2 x &= 1
\end{align}e fundit prej të cilave është e ngjashme me identitetin trigonometrik të Pitagorës .

### Shumat e argumenteve 
\begin{align}
 \sinh(x + y) &= \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \\
 \cosh(x + y) &= \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \\[6px]
 \tanh(x + y) &= \frac{\tanh x +\tanh y}{1+ \tanh x \tanh y } \\
\end{align}veçanërisht\begin{align}
\cosh (2x) &= \sinh^2{x} + \cosh^2{x} = 2\sinh^2 x + 1 = 2\cosh^2 x - 1\\
\sinh (2x) &= 2\sinh x \cosh x \\
\tanh (2x) &= \frac{2\tanh x}{1+ \tanh^2 x } \\
\end{align}Gjithashtu:\begin{align}
 \sinh x + \sinh y &= 2 \sinh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\
 \cosh x + \cosh y &= 2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\
\end{align}

### Formulat e zbritjes 
\begin{align}
 \sinh(x - y) &= \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y \\
 \cosh(x - y) &= \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y \\
 \tanh(x - y) &= \frac{\tanh x -\tanh y}{1- \tanh x \tanh y } \\
\end{align}Gjithashtu: \begin{align}
 \sinh x - \sinh y &= 2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \sinh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\
 \cosh x - \cosh y &= 2 \sinh \left(\frac{x+y}{2}\right) \sinh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\
\end{align}

### Formulat e gjysëm këndit 
\begin{align}
 \sinh\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{\sinh x}{\sqrt{2 (\cosh x + 1)} } &&= \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x - 1}{2} \\[6px]
 \cosh\left(\frac{x}{2}\right) &= \sqrt \frac{\cosh x + 1}{2}\\[6px]
 \tanh\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{\sinh x}{\cosh x + 1} &&= \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x-1}{\cosh x+1} = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}
\end{align}ku \sgn është funksioni i shenjës .

Nëse x \neq 0, atëherë  \tanh\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cosh x - 1}{\sinh x} = \coth x - \operatorname{csch} x 

### Formulat e linearizimit 
\begin{align}
\sinh^2 x &= \tfrac{1}{2}(\cosh 2x - 1) \\
\cosh^2 x &= \tfrac{1}{2}(\cosh 2x + 1)
\end{align}

### Mosbarazimet 
Mosbarazimi i mëposhtëm është i dobishëm në statistikë: \operatorname{cosh}(t) \leq e^{t^2 /2} 

## Funksionet e anasjellta si logaritme 
\begin{align}
 \operatorname {arsinh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) \\
 \operatorname {arcosh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right) && x \geq 1 \\
 \operatorname {artanh} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) && | x |  1 \\
 \operatorname {arsech} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}\right) = \ln \left( \frac{1+ \sqrt{1 - x^2}}{x} \right) && 0 

## Derivatet 
\begin{align}
 \frac{d}{dx}\sinh x &= \cosh x \\
 \frac{d}{dx}\cosh x &= \sinh x \\
 \frac{d}{dx}\tanh x &= 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x} \\
 \frac{d}{dx}\coth x &= 1 - \coth^2 x = -\operatorname{csch}^2 x = -\frac{1}{\sinh^2 x} && x \neq 0 \\
 \frac{d}{dx}\operatorname{sech} x &= - \tanh x \operatorname{sech} x \\
 \frac{d}{dx}\operatorname{csch} x &= - \coth x \operatorname{csch} x && x \neq 0
\end{align}\begin{align}
 \frac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x &= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \\
 \frac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x &= \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} && 1 \sinh z dhe \cosh z janë  holomorfikë .

Marrëdhëniet me funksionet e zakonshme trigonometrike jepen nga formula e Euler-it për numrat kompleks:\begin{align}
 e^{i x} &= \cos x + i \sin x \\
 e^{-i x} &= \cos x - i \sin x
\end{align}kështu që:\begin{align}
  \cosh(ix) &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} + e^{-i x}\right) = \cos x \\
  \sinh(ix) &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} - e^{-i x}\right) = i \sin x \\
 \cosh(x+iy) &= \cosh(x) \cos(y) + i \sinh(x) \sin(y) \\
 \sinh(x+iy) &= \sinh(x) \cos(y) + i \cosh(x) \sin(y) \\
  \tanh(ix) &= i \tan x \\
   \cosh x &= \cos(ix) \\
   \sinh x &= - i \sin(ix) \\
   \tanh x &= - i \tan(ix)
\end{align}Kështu, funksionet hiperbolike janë periodike në lidhje me përbërësin imagjinar, me periodë  2 \pi i ( \pi i për tangjentin hiperbolik dhe kotangjentin).

## Shiko gjithashtu 
* e (konstante matematikore)
* Teorema e rretheve të barabarta, bazuar në sinh
* Rritja hiperbolike
* Funksionet hiperbolike të anasjellta
* Lista e integraleve të funksioneve hiperbolike
* Spiralet e Poinsot
* Funksioni sigmoid
* Tangjenti hiperbolik i Sobolevës
* Funksionet trigonometrike