Fraktali

parapamje| Bashkësia Mandelbrot e vendosur në ishuj
parapamje|200x200px| Bashkësia Mandelbrot : kufiri i saj është një kurbë fraktale me dimensionin Hausdorff 2. (Vini re se pjesët me ngjyra të imazhit nuk janë në të vërtetë pjesë e bashkësisë Mandelbrot, por ato bazohen në atë se sa shpejt ndryshon funksioni që e prodhon atë.)
parapamje|200x200px| Zmadhim në kufirin e grupit Mandelbrot
Në matematikë, një **fraktal** është një formë gjeometrike që përmban strukturë të hollësishme në shkallë arbitrarisht të vogla, që zakonisht kanë një dimension fraktal që tejkalon rreptësisht dimensionin topologjik . Shumë fraktale duken të ngjashme në shkallë të ndryshme, siç ilustrohet në zmadhimet e njëpasnjëshme të bashkësisë Mandelbrot .     Kjo ekspozitë e modeleve të ngjashme në shkallë gjithnjë e më të vogla quhet vetëngjashmëri, e njohur gjithashtu si simetri në zgjerim ose simetri e shpalosur; nëse ky përsëritje është saktësisht i njëjtë në çdo shkallë, si në sfungjerin Menger, forma quhet afine e vetëngjashme.  Gjeometria fraktale shtrihet në degën matematikore të teorisë së masës .

Një mënyrë që fraktalet janë të ndryshëm nga figurat gjeometrike të fundme është se si ato shkallëzohen . Dyfishimi i gjatësisë së skajit të një shumëkëndëshi të mbushur e katërfishon sipërfaqen e tij, që është dy (raporti i gjatësisë së anës së re me të vjetër) i ngritur në fuqinë e dy (dimensioni konvencional i shumëkëndëshit të mbushur). Po kështu, nëse rrezja e një sfere të mbushur dyfishohet, vëllimi i saj shkallëzohet me tetë, që është dy (raporti i rrezes së re me atë të vjetër) me fuqinë e tre (dimensioni konvencional i sferës së mbushur). Megjithatë, nëse gjatësitë njëdimensionale të një fraktali dyfishohen të gjitha, përmbajtja hapësinore e fraktalit shkallëzon me një fuqi që nuk është domosdoshmërisht një numër i plotë dhe në përgjithësi është më i madh se dimensioni i tij konvencional.  Kjo fuqi quhet dimensioni fraktal i objektit gjeometrik, për ta dalluar atë nga dimensioni konvencional (i cili zyrtarisht quhet dimension topologjik ). 

Analitikisht, shumë fraktale nuk mund të diferencohen askund.   Një kurbë fraktale e pafundme mund të konceptohet si dredha-dredha nëpër hapësirë ndryshe nga një vijë e zakonshme - megjithëse është ende topologjikisht 1-dimensionale, dimensioni i saj fraktal tregon se ajo mbush hapësirën në mënyrë më efikase sesa një vijë e zakonshme. 
parapamje|200x200px| Tapeti i Sierpinskit (deri në nivelin 6), një fraktal me një dimension topologjik 1 dhe një dimension Hausdorff prej 1,893
Duke filluar nga shekulli i 17-të me nocionet e rekursionit, fraktalet kanë kaluar përmes një trajtimi matematikor gjithnjë e më rigoroz në studimin e funksioneve të vazhdueshme por jo të diferencueshme në shekullin e 19-të nga puna kryesore e Bernard Bolzanos, Bernhard Riemannit dhe Karl Vajershtrasit,  dhe në krijimin e fjalës ''* në shekullin e 20-të me një rritje të mëvonshme të interesit për fraktale dhe modelimin e bazuar në kompjuter në shekullin e 20-të.  

Konsensusi midis matematikanëve është se fraktalet teorike janë konstruksione matematikore të përsëritura dhe të detajuara pafundësisht të ngjashme me vetveten, nga të cilat shumë shembuj janë formuluar dhe studiuar.    Fraktalet nuk kufizohen në modele gjeometrike, por gjithashtu mund të përshkruajnë proceset në kohë.       Modelet fraktale me shkallë të ndryshme të vetëngjashmërisë janë dhënë ose studiuar në media vizuale, fizike dhe dëgjimore  dhe janë gjetur në natyrë,     teknologji,     art,   dhe arkitekturë .  Fraktalet janë të një rëndësie të veçantë në fushën e teorisë së kaosit, sepse ato shfaqen në përshkrimet gjeometrike të shumicës së proceseve kaotike (zakonisht ose si tërheqës ose si kufij midis pellgjeve tërheqëse). 
Skeda:Frost_patterns_2.jpg|Kristalet e ngrirjes që krjohen mbi xhamin e ftohtë krijojnë modele fraktale 
Skeda:Optical_Billiard_Spheres_dsweet.jpeg|Kufi i basenit fraktal në një sistem optik gjeometrik 
Skeda:Glue1_800x600.jpg|Një fraktal formohet kur tërhiqen dy fleta akriliku të mbuluara me ngjitës 
Skeda:Square1.jpg|alt=High-voltage breakdown within a 4 in (100 mm) block of acrylic glass creates a fractal Lichtenberg figure|Ndarja e tensionit të lartë brenda një blloku xhami 100 mm akrilik krijon një fraktal Figura e Lihtenbergut
Skeda:Romanesco_broccoli_(Brassica_oleracea).jpg|alt=Romanesco broccoli, showing self-similar form approximating a natural fractal|Brokoli romanesko, duke treguari vetëngjashëm formë që përafron një fraktal natyror
Skeda:Fractal_defrosting_patterns_on_Mars.jpg|alt=Fractal defrosting patterns, polar Mars. The patterns are formed by sublimation of frozen CO2. Width of image is about a kilometer.|Modelet e shkrirjes fraktale, Marsi polar. Modelet formohen nga sublimimi i CO të ngrirë2. Gjerësia e imazhit është rreth një kilometër.
Skeda:Brefeldia_maxima_plasmodium_on_wood.jpg|alt=Slime mold Brefeldia maxima growing fractally on wood|myk zhul *Brefeldia maxima'' duke u rritur në mënyrë fraktale në dru
Skeda:Dendrit.jpg|alt=Psilomelane dendrites in the Solnhofen Limestone|Psilomelani dendritetnëGur gëlqeror Solnhofen