PD rregullatori

## Parimet themelore të projektimit 
Pasi të jetë zgjedhur konfiguracioni i rregullatorit, projektuesi duhet të zgjedh një lloj të
rregullatorit, ashtu që me vlerat adekuate të parametrave të rregullatorit, sistemi përfundimtarë do jep përgjigje të kënaqshme. Llojet e rregullatorëve që mund të përdoren në sistemet e rregullimit janë të kufizuara vetëm nga imagjinata e projektuesit. Praktika inxhinierike dikton që projektuesi të zgjedhë rregullatorit më të thjeshtë të mundshëm që arrinë t'i plotësojë specifikacionet e parashtruara. Në shumicën e rasteve, sa më i komplikuar që të jetë rregullatori, aq më i vështirë do jetë për tu realzuar, aq më shtrenjtë do kushtojë do jetë më pak i besueshëm. Zgjedhja e një rregullatorit specifik për një aplikim specifik shpesh varet nga përvoja që prjektuesi ka dhe shpeshherë edhe në intuitë, dhe përfshinë *art* aq sa përfshinë edhe *shkencë*. Si fillestarë mund ta keni të vështirë që të bëni zgjedhje inteligjente të rregullatorëve për aplikime të caktuara. Pasi të jetë zgjedhur rregullatorit, hapi tjetër është që të zgjedhen vlerat adekuate të parametrave. Këto vlera të paramterave zakonisht janë vlerat e koeficientëv që janë pjesë e funksionit transmetues të sistemit. Qasja bazike e projektimit është që të përdoret metoda e analizës për të parë se si secili parametër ndikon në përformancës e përgjithshme të sistemit. Bazuar në këtë zgjedhen vlerat e parametrave të rregullatorit ashtu që të plotësohen të gjitha kërkesat që i janë parashtuar sistemit. Përderisa ky proces shumëherë është mjaft i thjeshtë, situate mund të komplikohet shumë ngase mund të kemi varësi interaktive mes paramterave, ashtu që ndikimi I secilit parametër vec e vec nuk mund të vërehet. Apo mund të jetë edhe situat që paramtrat ndikojnë procesit në menyrë kundershtuese, në raport me kerkesat e sistemit. Për shembull, një parametër I caktuar mund të jetë zgjidhur ashtu që tejkalimi të jetë nën një nivel të caktuar, por përgjatë caktimit të nëj parametri tjetër për të kënaqur kërkesen për kohë të ngritjes, kjo ka bërë që tani tejkalimi maksimal më të mos jetë sipas kërkesës. Qartësisht, sa më shumë që të ketë kërkesa për projektim, aq më shumë
parametra rregullatorit do ketë dhe aq më i ndërlikuar do jetë procesi i projekimit.
Pa marrë parasysh nëse projektimi bëhet në domenin kohorë apo frekuencorë, është e rëndësishme që t'i kemi disa rregulla të cilat do i përcjellin gjatë projektimit. Duhet pasur parasysh se domeni kohorë varet kritiksht nga rrafshi *s* dhe nga lokusi i rrënjëve. Projektimi në domenin frekuencorë bazohet në manipulimin e vlerave të rezervës fazore dhe amlitudore derisa të arrihet kërkesat që i janë parashtuar sistemit.
Në përgjithësi është ndihmuese që t'i përmbledhim karakteristika në domenin kohorë dhe atë frekuencorë ashtu që të mund të përdoren si ndihmesa gjatë procesit të projektimit:
# Polet komplekse të konjuguar të një sistemi shkatojnë përgjigje kohore, e cila është e nënshuar. Nëse të gjitha polet janë reale, atëherë përgjigja do jetë e mbishuar. Zerot e    funksionit transmetues mund të shkatojnë tejkalime edhe nëse sistemi është i mbishuar.
# Përgjigja e një sistemi do jetë e dominuar nga polet që janë më afër origjinës së rrafshit *s*. Përgjigjet si rezultat i poleve që janë larg origjinës së rrafshit kompleks shuhen shumë më shpejt.
# Sa më thellë në të majtë që të jenë polet e rrafshit kompleks, aq më shpejtë do përgjigjet sistemi dhe aq më i gjerë do jetë brezi i tij frekuencorë.
# Sa më thellë në të majtë që të jenë polet dominante të sistemit, aq më i shtrenjtë do jetë dhe aq më të madha do jenë sinjalet e brendshme të atij sistemi. Përderisa kjo mund të arsyetohet analitikisht, është e qartë se nëse gozhdën goditmit shumë më fuqishëm me qekan, më thellë do hyrjë por energjia që kërkohet për goditje do jetë më e madhe. Ngjashëm makinat sportive nxitojnë shumë më shpejtë se ato normale, por edhe konsumin e karburantit e kanë më të lartë.
# Kur një pol dhe një zero janë shumë afër anulimit më njëri tjetrin, pjesa e përgjigjës nga këta terma do jetë shumë e vogël.
# Specifikimet në domenin kohorë dhe frekuencorë janë mjaft dobët të lidhrua mes veti. Koha e ngritjes dhe brezi frekuencorë janë në proporcion të zhdrejtë. Rezervë më e madhe fazore, rezervë më e madhe amplitudore dhe vlerë më e vogël e M_r do përmirësojnë shuarjen.
## PD rregullatori 
PD rregullatori është kontroller proporcional-derivativ. PD rregullatori në esencë është një kontroller i cili i përgjigjet ndryshimit të procesit të gabimit. 
Rregullatoret e natyrës së thjeshtë propercionale më konstantë të përforcimit K njihet si rregullim propercional, ngase sinjali në dalje të rregullatorit lidhet me sinjalin në hyrje të rregullatorit më një vlerë konstante.
Intuitivisht do duhej të ishim në gjëndje të përdorim edhe komponentën derivative dhe integrale të sinjalit. Andaj mund të marrim në shqyrtim një rregullatorë më të përgjithësuar për sistemet e vazhduara në kohë që përmbanë komponente të tilla si mbledhës, përforcues, diferenciatorë dhe integratorë. Detyra e projektuesit është që të përcaktohet se cilat në këto komponente duhet përdorur dhe në cfarë mase. Poashtu duhet caktuar edhe si do bëhet lidhja e tyre. Për shembull, një nga rregullatorët më të shpeshtë të përdorur në praktikë ëshët PID rregullatori, ku shkronajt kanë kuptim e **proporcional**, **integral** dhe **diferencial**. Komponenta integrale dhe diferenciale e rregullatorë kanë secili implikimet e tyre të përformancës. Për të fituar një njohuri të këtij rregullatorit, fillimisht po marrim pjeësën PD të tij.

Figura 1.0 tregon bllok diagramin e një sistemi arbitrarë të rendit të dytë që ka funksionin transmetues:

G_p= \dfrac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta \omega_n)}

Rregullatori serik është i llojit proporcional-derivativ (PD) me funksionin transmetues:

G_c(s)=K_p+K_Ds

Andaj, sinjali rregullues që vepron në hyrje të procesit është:

\mu (t)= K_pe(t)+K_D \frac{d_e(t)}{dt}

ku K_p dhe K_D janë koeficientët e pjesës proporcionale dhe derivative, respektivisht.

Në figurën 1.1 janë treguar realizimet permës qarqeve elektrike.
Funksioni transmetues i qarkut në figurën 1.1(a) është:

\dfrac{E_0(s)}{E_{in}(s)}= \dfrac{R_2}{R_1}+R_2C_1s

K_p= \dfrac{R_2}{R_1}; K_D=R_2C_1  

Funksioni transmetues i qarkut në figurën 1.1(b) është:

\dfrac{E_0(s)}{E_{in}(s)}= \dfrac{R_2}{R_1}+R_dC_ds

K_p= \dfrac{R_2}{R_1}; K_D=R_dC_d

Përparësia e rastit nën (a) është se për realizim janë përdorur vetëm dy amplifikatorë operacional. Megjithatë qarku nuk lejon zgjedhjen e pavarur të K_p dhe K_D për shkak se të dy varen nga vlera e R_q. Një pikë e rëndësishme e PD rregullatorit është që nëse vlera e K_D është e madhe, një kondenzatorë C_1 me vlerë të madhe do kërkohet. Qarku nën (b) mundëson që vlera e K_p dhe K_D të zgjedhen në menyrë të pavarur. Një vlerë e madhe e K_D mund të arrihet duke zgjedhur vlerë të madhe të R_d, ashtu që kjo të rezultojë më një vlerë reale të C_d. Edhe pse kjo pjesë nuk përfshinë të gjitha detale praktike të implementimin të këtij rregullatorit, pikat e përmendura janë të rënësisë kritike në praktikë.
Funksioni transmetues i degës direkte do jetë:

G(s)= \dfrac{Y(s)}{X(s)}=G_c(s)G_p(s)= \dfrac{\omega_n^2(K_p+K_Ds)}{s(s+2\zeta \omega_n)}

që tregon se ndikimi i PD rregullatorit është i njejtë me shtimin e një zeroje të thjeshtë në s=-\dfrac{K_p}{K_D} në funksionin transmetues të degës direkte.

## Interpretimi i PD rregullatorit ne domenin kohorë 
Efekti i PD rregullatorit në domenin kohorë mund të analizohet duke i nisur nga përgjigja kohore e treguar në figurën 1.2(a). Supozojmë se përgjigja shkallë-njësi e një sistemi stabil me rregullim proporcional është treguar në figurën 1.2(a), që ka tejkalim relativisht të madh dhe poashtu është osciliues. Sinjali korrespondues i gabimit, që është dallimi mes sinjalit referent dhe atij aktual (daljes), dhe derivati i tij kohorë janë treguar në figurën 1.2(b) dhe (c) respektivisht.Tejkalimi dhe oscilimet shohim janë reflektuar poashtu edhe në sinjalit (t) dhe  \frac{d_e(t)}{dt}. Për hirë të ilustrimit, supozojm që sistemi përmban një motor të një lloji ta caktuar ku momenti i tij është proporcional me sinjalin *e*.
Përformanca e sistemit vetëm me rregullim proporcional analizohet si në vijim:
# Përgjatë inervalit kohorë: 0 ; Sinjali i gabimit *e(t)* është pozitiv. Momenti i motorit është pozitiv dhe ngritet shpejtë. Tejkalimi i madh dhe oscilimet pasuese janë si rezultat i momentit shumë të madh të gjeneruar nga motori dhe nga mungesa e shuarjes përgjatë këtij intervali.
# Përgjatë intervalit t_1 ; Sinjali i gabimit *(t)* është negativ, dhe momenti korrespondues është negativ. Momenti negtaiv tenton ta zvogëlojë dalje dhe eventualisht edhe ta ndërroj kahjen e *y(t)* për të shkaktuar kështu nënkalim.
# Përgjatë intervalit t_3 ; Momenti i motorit përsëri është pozitiv andaj tenton që të zvogëlojë nënkalimin në përgjigje të shkaktuar si rezultat i intervalit paraprak. Për shkak se sistemi supozohet të jetë stabil, amplituda e sinjalit të gabimti zvogëlohet secilën herë, dhe dalje eventualisht do qetësohet në vlerën e saj përfundimtare.

Duke marrë parasysh analizën paraprake të përgjigjës së sistemit, mund të themi se faktorët kontribues në vlerën e tejkalimit janë:
* Momenti pozitiv korrigjues përgjatë intervalit 0  është shumë i madh se 2. Momenti zvogëlues përgjatë intervalit t_1  nuk është adekuat. Rregullimi PD, i përshkruar me ekuacionin 9.2 jep saktësisht efektin kompenzues të kërkuar. Për shkak se sinjali rregullues i PD jepet me \mu (t)= K_pe(t)+K_D \frac{d_e(t)}{dt}, figura 1.2(c) tregon efektet e mundësuara nga rregullatorit PD:
# Përgjatë intervalit 0 ; \frac{d_e(t)}{dt} është negative; kjo do zvogëloje vlerën e momentit të shkaktuar vetëm si rezultat i *e(t)*
# Përgjatë intervalit t_1  të dyjat, *e(t)* dhe \frac{d_e(t)}{dt} janë negative, që nënkupton se momenti pengues tani do ketë vlerë më të madhe sesa kur ishte vetëm sinjali i gabimit.
# Përgjatë intervalit t_2 ; *e(t)* dhe \frac{d_e(t)}{dt} do kenë parashenjat e kundërta, andaj momenti negativ që u kontribuonte nënkalimit tani do reduktohet. Andaj të gjitha këto efekte do ndikojnë në vlera më të vogla të nënkalimeve dhe tejkalimeve në *y(t)*.
Një menyrë tjetër për të analizuar rregullimin derivativ është duke kujtuar se meqë d_e(t)/dt paraqet pjerrtësinë e *e(t)*, kjo nënkupton që PD rregullatori efektivisht ka veprim parashikues (anticipues). Pra, duke ditur pjerrtësinë, rregullatorit mund të parashikojë kahjen e *e(t)* dhe ta përdorë këtë informatë për të rregulluar më mirë procesin. Zakonisht, në sistemet linare, pjerrtësia e *e(t)* dhe *y(t)* në sinjal shkallë ëshët shumë e madhe, dhe si rrjedhojë një tejalim i lartë do shkaktohet. Pjesa derivative vëren vlerën e menjëhershme të pjerrtësisë së *e(t)* dhe e përdorë këtë për të parandaluar tejkalimin e *(t)* përpara se ai të ketë ndodhur.
Intuitivisht, rregullimi derivativ do ndikojë në vlerën e gabimit stacionarë vetëm nëse ai varet me kohën. Nëse gabimi stacionarë është konstant me kohën, atëherë derivati i tij do jetë zero dhe si rezultat pjesa derivative nuk do jep fare sinjal rregullues për proces.

## Interpretimi frekuencorë i PD rregullatorit 
Për projektim në domenin frekuencorë, funksioni transmetues i rregullatorit PD shkruhet në
formën:

G_c(s)=K_p+K_Ds=K_p(1+\dfrac{K_D}{K_p} s)

ashtu që të interpretohet më lehtë në diagrmin Bode. Diagrami Bode i ekuacionit të fundit është treguar në figurën 1.3 me K_p = 1. Në përgjithësi, përforcimi proporcional i rregullatorit PD mund të kombinohet me përforcimin serik të sistemit, ashtu që përforcimi i PD rregullatorit për frekuencë të jetë njësi. Karakteristikat lartëlëshuese të PD rregullatorit shihen qartë në diagrami Bode në figurën 1.3. Kjo veti I avansimit të fazës (ang. phase lead) mund të përdorët për të përmirësuar rezervën fazore të sistemit.
Fatkeqësisht karakteristika amplitudore e rregullorit shohim se shtynë frekuencën kthyese (presëse) kah një vlerë më e lartë frekuencore. Andaj,*parimi projektues me rregullatorin PD është vendosja e frekuencës së skajshme, \omega=\dfrac{K_p}{K_D}, ashtu që reverza fazore të përmirësohet shumë në pikën ku tani ndodhes frekuenca e re prerëse.* Për një sistem të dhënë, zakonisht mund të gjendjet një brez i tërë i vlerave të \dfrac{K_p}{K_D} që janë optimale për përmirësim të shuarjes së sistemit. Një tjetër detaj praktikë e zgjedhjes së vlerave të K_p dhe K_D është realizueshmëria fizike e rregullatorit. Karakteristika tjera të dukshme të PD rregullatorit janë, për shkak të vetisë sipërleshësuese që ka në domenin frekuencorë, kjo do bëjë që sistemit t'i përmirësojë brezin frekuencorë, të zvogëlojë kohën e ngritjes për sinjal shkallë në hyrje. Disavantazhi praktik i rregullatorit PD është se pjesa diferenciale, që në fakt është filtër i frekuencave të larta, do përforcojë zhurmat e frekuencave të larta që hyjnë në sistem.

## Përmbledhje e efekteve të rregullatorit PD 
Edhe pse nuk është efektiv për sistmet që janë me shuarje të vogël apo që janë fillimisht jostabile, një PD rregullatorë i projektuar në menyrë të duhur do përmirësojë përformancën e sistemit duke ndikuar si në vijim:
# Përmirësimi i shuarjes dhe zvogëlimi i tejkalimit maksimal. 
# Zvogëlimi i kohës së ngritjes dhe kohës së qetësimit.
# Rritë brezin frekuencorë
# Përmirëson rezerfën fazore, amplitudorë dhe M_r
# Ndodhë që i përforcon zhurmat e frekuencave të larta.
# Mund të kërkojë një kondenaztorë me kapacitet të lartë për implementimin e tij

## Referimet 
# Automatic Control Systems, 9th Edition by Farid Golnaraghi, Benjamin C. Kuo