Shpërndarja eksponenciale

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, **shpërndarja eksponenciale** ose **shpërndarja eksponenciale negative** është shpërndarja e probabilitetit të kohës ndërmjet ngjarjeve në një proces pikësor Poisson, dmth, një proces në të cilin ngjarjet ndodhin vazhdimisht dhe në mënyrë të pavarur me një normë mesatare konstante. Është një rast i veçantë i shpërndarjes gama . Ai është analogu i vazhdueshëm i shpërndarjes gjeometrike dhe ka vetinë kryesore të të qenit pa memorie . Përveç përdorimit për analizën e proceseve pikësore Poisson, ai haset në kontekste të tjera të ndryshme.

Shpërndarja eksponenciale nuk është e njëjtë me klasën e familjeve eksponenciale të shpërndarjeve. Kjo është një klasë e madhe shpërndarjesh probabiliteti që përfshin shpërndarjen eksponenciale si një nga anëtarët e saj, por gjithashtu përfshin shumë shpërndarje të tjera, si shpërndarjet normale, binomiale, gama dhe Poisson .

## Përkufizimet 
### Funksioni i dendësisë së probabilitetit 
Funksioni i dendësisë së probabilitetit (fdp) i një shpërndarjeje eksponenciale është

:  f(x;\lambda) = \begin{cases}
\lambda e^{ - \lambda x} & x \ge 0, \\
0 & x 

Këtu *λ* > 0 është parametri i shpërndarjes, i quajtur shpesh *parametri i shkallës* . Shpërndarja është e përcaktuar në intervalin&nbsp;[0, \infty) . Nëse një ndryshore e rastit X ka këtë shpërndarje shkruajmë&nbsp;X \sim \operatorname{Exp}(\lambda) .

### Funksioni i shpërndarjes mbledhëse 
Funksioni i mbledhës i shpërndarjes jepet nga

: F(x;\lambda) = \begin{cases}
1-e^{-\lambda x} & x \ge 0, \\
0 & x 

### Parametrizimi alternativ 
Shpërndarja eksponenciale nganjëherë parametrizohet në termat e parametrit të shkallës \beta = 1/ \lambda që është edhe mesatarja:f(x;\beta) = \begin{cases}
  \frac{1}{\beta} e^{-x/\beta} & x \ge 0, \\
  0 & x 

## Vetitë 
### Mesatarja, varianca, momentet dhe mesorja 
parapamje| Mesatarja është qendra e masës së probabilitetit, domethënë momenti i parë .
parapamje| Mesorja është paraimazhi *F* −1 (1/2).
Vlera mesatare ose pritja matematike e një ndryshoreje rasti X të shpërndarë në mënyrë eksponenciale me parametrin e shpejtësisë \lambda jepet nga\operatorname{E}[X] = \frac{1}{\lambda}.Në dritën e shembujve të dhënë më poshtë, kjo ka kuptim: nëse merrni telefonata me një normë mesatare prej 2 ndodhish në orë, atëherë mund të prisni që të prisni gjysmë ore për çdo telefonatë.

Varianca e X jepet nga\operatorname{Var}[X] = \frac{1}{\lambda^2},pra shmangia standarde është e barabartë me mesataren.

Momentet e X, për n\in\N jepen nga\operatorname{E}\left[X^n\right] = \frac{n!}{\lambda^n}.Momentet qendrore të X, për n\in\N jepen nga\mu_n = \frac{!n}{\lambda^n} = \frac{n!}{\lambda^n}\sum^n_{k=0}\frac{(-1)^k}{k!}.ku !n është nënfaktoriali i  n*.*Mesorja e X jepet nga\operatorname{m}[X] = \frac{\ln(2)}{\lambda} ku \ln i referohet logaritmit natyror. Kështu ndryshimi absolut midis mesatares dhe mesores është\left|\operatorname{E}\left[X\right] - \operatorname{m}\left[X\right]\right| = \frac{1 - \ln(2)}{\lambda} 

### Vetia pa memorie e ndryshores së rastit eksponenciale 
Një ndryshore e rastit T e shpërndarë në mënyrë eksponenciale i bindet relacionit\Pr \left (T > s + t \mid T > s \right ) = \Pr(T > t), \qquad \forall s, t \ge 0.Kjo mund të shihet duke marrë parasysh funksionin e shpërndarjes mbledhëse plotëse : \begin{align}
 \Pr\left(T > s + t \mid T > s\right)
  &= \frac{\Pr\left(T > s + t \cap T > s\right)}{\Pr\left(T > s\right)} \\[4pt]
  &= \frac{\Pr\left(T > s + t \right)}{\Pr\left(T > s\right)} \\[4pt]
  &= \frac{e^{-\lambda(s + t)}}{e^{-\lambda s}} \\[4pt]
  &= e^{-\lambda t} \\[4pt]
  &= \Pr(T > t).
\end{align} Kur T interpretohet si koha e pritjes që një ngjarje të ndodhë në lidhje me një kohë fillestare, kjo lidhje nënkupton që, nëse T kushtëzohet nga dështimi për të vëzhguar ngjarjen gjatë një periudhe fillestare kohore *s*, shpërndarja e kohës së mbetur të pritjes është e njëjtë me shpërndarjen origjinale të pakushtëzuar. Për shembull, nëse një ngjarje nuk ka ndodhur pas 30 sekondash, probabiliteti i kushtëzuar që ndodhia do të marrë të paktën 10 sekonda më shumë është i barabartë me probabilitetin e pakushtëzuar të vëzhgimit të ngjarjes më shumë se 10 sekonda pas kohës fillestare.

Shpërndarja eksponenciale dhe shpërndarja gjeometrike janë të vetmet shpërndarje të probabilitetit pa kujtesë .

### Kuantilet 
Funksioni kuantile (funksioni i shpërndarjes mbledhëse të anasjelltë) për \text{Exp}(\lambda) ështëF^{-1}(p;\lambda) = \frac{-\ln(1-p)}{\lambda},\qquad 0 \le p Prandaj, kuartilet janë:

* kuartili i parë: \ln(4/3) / \lambda
* mesorja : \ln(2)/ \lambda
* kuartili i tretë: \ln(4) / \lambda

### Vlera e kushtëzuar në rrezik (mungesë e pritshme) 
Vlera e kushtëzuar në rrezik (CVaR) e njohur gjithashtu si mungesa e pritshme ose superkuantili për \text{Exp}(\lambda) rrjedh si më poshtë: \begin{align}
\bar{q}_\alpha (X) &= \frac{1}{1-\alpha} \int_{\alpha}^{1} q_p (X) dp \\
&= \frac{1}{(1-\alpha)} \int_{\alpha}^{1} \frac{-\ln (1 - p )}{\lambda} dp \\
&= \frac{-1}{\lambda(1-\alpha)} \int_{1-\alpha}^{0} -\ln (y ) dy \\
&= \frac{-1}{\lambda(1-\alpha)} \int_{0}^{1 - \alpha} \ln (y ) dy \\
&=  \frac{-1}{\lambda(1-\alpha)} [ ( 1-\alpha) \ln(1-\alpha) - (1-\alpha) ] \\
&=  \frac{ - \ln(1-\alpha) + 1 } { \lambda} \\
\end{align}

### Divergjenca Kullback–Leibler 
Divergjenca e drejtuar Kullback–Leibler në nats të e^\lambda (shpërndarja "përafërt") nga e^{\lambda_0} (shpërndarja 'e vërtetë') jepet nga\begin{align}
\Delta(\lambda_0 \parallel \lambda) 
&= \mathbb{E}_{\lambda_0}\left( \log \frac{p_{\lambda_0}(x)}{p_\lambda(x)}\right)\\
&= \mathbb{E}_{\lambda_0}\left( \log \frac{\lambda_0 e^{\lambda_0 x}}{\lambda e^{\lambda x}}\right)\\
&= \log(\lambda_0) - \log(\lambda) - (\lambda_0 - \lambda)E_{\lambda_0}(x)\\
&= \log(\lambda_0) - \log(\lambda) + \frac{\lambda}{\lambda_0} - 1.
\end{align}

### Shuma e dy ndryshoreve të rastit eksponenciale të pavarura 
Funksioni i shpërndarjes së probabilitetit (FSHP) i një shume të dy ndryshoreve të rastit të pavarura është ndërthurja e FSHP-ve të secilës . Nëse X_1 dhe X_2 janë ndryshore rasti eksponenciale të pavarura me parametra të shkallës përkatësisht \lambda_1 dhe \lambda_2, atëherë dendësia e probabilitetit të Z=X_1+X_2 jepet nga \begin{align}
 f_Z(z) &= \int_{-\infty}^\infty f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(z - x_1)\,dx_1\\
  &= \int_0^z \lambda_1 e^{-\lambda_1 x_1} \lambda_2 e^{-\lambda_2(z - x_1)} \, dx_1 \\
  &= \lambda_1 \lambda_2 e^{-\lambda_2 z} \int_0^z e^{(\lambda_2 - \lambda_1)x_1}\,dx_1 \\
  &= \begin{cases}
    \dfrac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1} \left(e^{-\lambda_1 z} - e^{-\lambda_2 z}\right) & \text{ if } \lambda_1 \neq \lambda_2 \\[4 pt]
    \lambda^2 z e^{-\lambda z} & \text{ if } \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda.
   \end{cases}
 \end{align} 

## Shpërndarjet e ndërlidhura 
* Nëse X ~ Laplace(μ, β−1),  atëherë |X- \mu| \sim \operatorname{Exp}(\beta).
* Nëse X~ Pareto(1, λ),  atëherë \log(X) \sim \operatorname{Exp}(\lambda).
* Nëse X ~ SkewLogistic(θ),  atëherë \log\left(1 + e^{-X}\right) \sim \operatorname{Exp}(\theta).
* Nëse X_i \sim U(0,1)  atëherë \lim_{n \to \infty}n \min \left(X_1, \ldots, X_n\right) \sim \operatorname{Exp}(1)
* Shpërndarja eksponenciale është një limit i asaj beta: \lim_{n \to \infty} n \operatorname{Beta}(1, n) = \operatorname{Exp}(1).
* Nëse X \sim \text{Exp}(\lambda) dhe X_i \sim \text{Exp}(\lambda_i)  atëherë:
** kX \sim \operatorname{Exp}\left(\frac{\lambda}{k}\right), mbyllja nën shkallëzimin me faktor konstant.
** k e^X \sim Pareto(k, \lambda).
** e^{-X} \sim \operatorname{Beta}(\lambda,1).
** e^X ~ PowerLaw(k, \lambda)
** \sqrt{X} \sim \operatorname{Rayleigh} \left(\frac{1}{\sqrt{2\lambda}}\right),  shpërndarja Rayleigh 
** X \sim \operatorname{Weibull}\left(\frac{1}{\lambda}, 1\right),  shpërndarja Weibull 
** X^2 \sim \operatorname{Weibull}\left(\frac{1}{\lambda^2}, \frac{1}{2}\right)
** \mu - \beta \log (\lambda X) \sim \text{Gumbel}(\mu, \beta).
** \lfloor X\rfloor \sim \operatorname{Geometric}\left(1-e^{-\lambda}\right),  shpërndarje gjeometrike  në 0,1,2,3,...
** \lceil X\rceil \sim \operatorname{Geometric}\left(1-e^{-\lambda}\right), shpërndarje gjeometrike në 1,2,3,4,...
** Nëse Y \sim \text{Erlang}(n, \lambda) ose Y \sim \Gamma\left(n, \frac{1}{\lambda}\right)  atëherë \frac{X}{Y} + 1 \sim \operatorname{Pareto}(1, n)
** \lambda_1 X_1 - \lambda_2 Y_2 \sim ~ Laplas(0, 1).
** Nëse gjithashtu \lambda_i = \lambda  atëherë:
*** X_1 + \cdots + X_k = \sum_i X_i \sim \operatorname{ Erlang}( k, \lambda) = \operatorname{Gamma}(k, \lambda^{-1}) = \operatorname{Gamma}(k, \lambda) .
*** Nëse T = (X_1 + \cdots + X_n ) = \sum_{i=1}^n X_i,  atëherë 2 \lambda T \sim \chi^2_{2n}.
*** X_i - X_j \sim \operatorname{Laplace}(0, \lambda^{-1}).
** Nëse gjithashtu X_i janë të pavarura,  atëherë:
*** \frac{X_i}{X_i + X_j} \sim \operatorname{U}(0,1)
*** Z = \frac{\lambda_i X_i}{\lambda_j X_j} ka fdp f_Z(z) = \frac{1}{(z + 1)^2}. 
** Nëse gjithashtu λ = 1:
*** \mu - \beta\log\left(\frac{e^{-X}}{1 - e^{-X}}\right) \sim \operatorname{Logistic}(\mu, \beta),  shpërndarja logjistike
*** \mu - \beta\log\left(\frac{X_i}{X_j}\right) \sim \operatorname{Logistic}(\mu, \beta)
*** Më tej , nëse Y \sim \Gamma\left(\alpha, \frac{\beta}{\alpha}\right)  atëherë \sqrt{XY} \sim \operatorname{K}(\alpha, \beta) (shpërndarja K)
** Nëse gjithashtu \lambda = 1/2  atëherë X \sim \chi^2_2; i.e., X ka një shpërndarje hi katror  with 2 shkallë lirie. Kështu: \operatorname{Exp}(\lambda) = \frac{1}{2\lambda} \operatorname{Exp}\left(\frac{1}{2} \right) \sim \frac{1}{2\lambda} \chi_2^2\Rightarrow \sum_{i=1}^n \operatorname{Exp}(\lambda) \sim \frac{1}{2\lambda }\chi_{2n}^2
* Nëse X \sim \operatorname{Exp}\left(\frac{1}{\lambda}\right) dhe Y \mid X ~ Poisson(*X*)  atëherë Y \sim \operatorname{Geometric}\left(\frac{1}{1 + \lambda}\right)     (shpërndarja gjeometrike)
*:

## Konkluzioni statistikor 
Më poshtë, supozoni se ndryshorja e rastit X shpërndahet në mënyrë eksponenciale me parametrin e shpejtësisë \lambda, dhe x_1, \dotsc, x_n janë n mostra të pavarura nga X, me mesataren e mostrës \bar{x} .

### Vlerësimi i parametrave 
Vlerësuesi i përgjasisë maksimale për \lambda është ndërtuar si më poshtë.

Funksioni i përgjasisë për \lambda, duke pasur parasysh një popullim të pavarur dhe të shpërndarë në mënyrë identike x = (x_1,x_2,...,x_n) të nxjerrë nga ndryshorja, është: L(\lambda) = \prod_{i=1}^n\lambda\exp(-\lambda x_i) = \lambda^n\exp\left(-\lambda \sum_{i=1}^n x_i\right) = \lambda^n\exp\left(-\lambda n\overline{x}\right), ku:\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_iështë mesatarja e kampionit.

Derivati i logaritmit të funksionit të përgjasisë është:
 \frac{d}{d\lambda} \ln L(\lambda) =
 \frac{d}{d\lambda} \left( n \ln\lambda - \lambda n\overline{x} \right) =
 \frac{n}{\lambda} - n\overline{x}\ \begin{cases}
  > 0, & 0  \frac{1}{\overline{x}}.
 \end{cases}
Rrjedhimisht, vlerësuesi i përgjasisë maksimale për parametrin e normës është:\widehat{\lambda}_\text{mle} = \frac{1}{\overline{x}} = \frac{n}{\sum_i x_i}Ky nuk është një vlerësues i paanshëm i \lambda, edhe pse \overline{x} is një vlerësues i paanshëm  VPM  i 1/\lambda dhe mesatarja e shpërndarjes.

Zhvendosja e  \widehat{\lambda}_\text{mle}  është e barabartë meB \equiv \operatorname{E}\left[\left(\widehat{\lambda}_\text{mle} - \lambda\right)\right] = \frac{\lambda}{n - 1} e cila jep vlerësuesin e përgjasisë maksimale të korrigjuar për zhvendosjen\widehat{\lambda}^*_\text{mle} = \widehat{\lambda}_\text{mle} - B.

### Informacioni i Fisherit 
Informacioni Fisher, shënohet \mathcal{I}(\lambda), për një vlerësues të parametrit të normës \lambda jepet si:\mathcal{I}(\lambda) = \operatorname{E} \left[\left. \left(\frac{\partial}{\partial\lambda} \log f(x;\lambda)\right)^2\right|\lambda\right] = \int \left(\frac{\partial}{\partial\lambda} \log f(x;\lambda)\right)^2 f(x; \lambda)\,dxFutja në shpërndarje dhe zgjidhja jep: \mathcal{I}(\lambda) = \int_{0}^{\infty} \left(\frac{\partial}{\partial\lambda} \log \lambda e^{-\lambda x}\right)^2 \lambda e^{-\lambda x}\,dx = \int_{0}^{\infty} \left(\frac{1}{\lambda} - x\right)^2 \lambda e^{-\lambda x}\,dx = \lambda^{-2}.Kjo përcakton sasinë e informacionit që çdo mostër e pavarur e një shpërndarjeje eksponenciale mbart për parametrin e panjohur të shkallës \lambda .

## Ndodhja dhe aplikimet 
### Ndodhja e ngjarjeve 
Shpërndarja eksponenciale ndodh natyrshëm kur përshkruhen gjatësitë e kohërave ndërmjet mbërritjes në një proces homogjen Poisson .

Ndryshoret eksponenciale mund të përdoren gjithashtu për të modeluar situata ku ndodhin ngjarje të caktuara me një probabilitet konstant për njësi gjatësie, siç është largësia midis mutacioneve në një varg të ADN-së, ose midis goditjeve në rrugë në një rrugë të caktuar.

Në fizikë, nëse vëzhgoni një gaz në një temperaturë dhe shtypje fikse në një fushë gravitacionale të njëtrajtshme, lartësitë e molekulave të ndryshme ndjekin gjithashtu një shpërndarje të përafërt eksponenciale, të njohur si formula barometrike . Kjo është pasojë e vetive të entropisë të përmendura më poshtë.