Ekuacioni i valës

**Ekuacioni i valës** është një ekuacion diferencial pjesor i rendit të dytë me rëndësi shumë të madhe i cili përshkruan përhapjen e një sëre llojesh valësh, si valët e zërit, valët dritore si dhe valët në lëngje. Ky ekuacion shërben në fusha të ndryshme si në akustikë, elektromagnetizëm, si dhe në dinamikën e fluideve. Historikisht, problemi i një korde vibruese si ajo në një instrument muzikor u studiua për herë të parë nga Jean le Rond d'Alembert, Leonard Ojler, Daniel Bernulli, dhe Jozef Luiz Lagranzhi.

right|thumb|250px|Një puls që udhëton përmes një korde me skaje të fiksuara, i modeluar nëpërmjet ekuacionit të valës.

frame|right|Valë sferike që lindin nga një burim pikësor.

## Një paraqitje e përgjithshme 
Ekuacioni i valës është prototipi i shembullit për një ekuacion diferencial pjesor hiperbolik. Në formën e tij më të thjeshtë ekuacioni i valës i referohet një funksioni skalar *u* që kënaq :

:{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \nabla^2 u, 

ku \scriptstyle\nabla^2 është operatori i Laplasit dhe *c* është një konstante e fiksuar e njëjtë me shpejtësinë e përhapjes të valës. Për një valë zëri në ajër, në 20&nbsp;°C, kjo konstante është rreth 343 m/s (shikoni artikullin mbi shpejtësinë e zërit). Për një kordë vibruese shpejtësia mund të ndryshojë shumë, në varësi të densitetit lineare të kordës si dhe forcës së tensionit në të. Për një sustë spirale ajo mund të jetë shumë e ngadaltë, deri në një metër për sekondë. Ekuacione diferenciale më realiste për modelimin e valëve lejojnë që shpejtësia e valës të ndryshojë me frekuencën e valës, ky fenomen njihet si shpërhapja e valës ose në terma teknike si dispersioni. Në këtë rast, *c* duhet të zëvendësohet nga shpejtësia fazore :
:v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}.
Një ndreqje tjetër që haset shumë, për modelimin e sistemeve realiste, vjen nga faktiqë shpejtësia e valës varet gjithashtu edhe nga amplituda e saj, kjo çon në një ekuacion valor jolinear :

:{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c(u)^2 \nabla^2 u 

Gjithashtu mbani parasysh që një valë mund të mbivendoset mbi një lëvizje tjetër (për shembull përhapja e zërit në një mjedis lëvizës si rrjedhja e një gazi). Në këtë rast madhësia skalare *u* mund të përmbajë një faktor të Mahut (i cili është pozitiv për një valë që lëviz përgjatë rrjedhës dhe negativ për një valë të pasqyruar).

Ekuacioni elastik i valës në tre përmasa përshkruan përhapjen e valës në një mjedis izotrop  dhe elastik. Shumica e trupave të ngurtë janë elastikë, kështu që ky ekuacion përshkruan dukuri të ndryshme si valët sizmike në Tokë dhe valët ultrasonike që përdoren për të zbuluar parregullsi në materiale. Edhe pse linear, ky ekuacion ka një formë më komplekse, siç tregohet më poshtë, sepse duhet që të marrim parasysh lëvizjen në drejtimin tërthor dhe gjatësor :

:\rho{ \ddot{\mathbf{u}}} = \mathbf{f} + ( \lambda + 2\mu )\nabla(\nabla \cdot \mathbf{u}) - \mu\nabla \times (\nabla \times \mathbf{u})

ku:

* \scriptstyle\lambda dhe \scriptstyle\mu janë të ashtuquajturit parametrat Lame që përshkruajnë vetitë elastike të mjedisit, 
* \scriptstyle\rho është dendësia, 
* \scriptstyle\mathbf{f} është funksioni i burimit (forca ngacmuese), 
* edhe \scriptstyle\mathbf{u} është zhvendosja. 
Vini re që në këtë ekuacion, si forca, ashtu edhe zhvendosja, janë madhësi vektoriale. Pra, ky ekuacion njihet si ekuacioni vektorial i valës.

Disa forma të ndryshme të ekuacionit të valës hasen në mekanikën kuantike dhe tek relativiteti i përgjithshëm.

## Ekuacioni skalar i valës në një dimension hapësinor 
### Derivimi i ekuacionit të valës 
#### Nga ligji i Hukut 
Ekuacioni i valës në rastin njëpërmasor mund të derivohet në mënyrën e mëposhtme : Përfytyroni një sërë masash të vogla *m* të lidhura me pe (ose susta) të gjatësisë *h*. Sustat kanë një koeficient ngurtësie *k* :
: Skeda:Array of masses.svg

Këtu *u(x)* përfaqëson distancën nga ekuilibri të masës që është e pozicionuar tek *x*. Forcat e zbatuara mbi masën m tek pozicioni x+h janë :
:F_{\mathit{Newton}}=m \cdot a(t)=m \cdot {{\partial^2 \over \partial t^2}u(x+h,t)}

:F_\mathit{Hooke} = F_{x+2h} + F_x = k \left [ {u(x+2h,t) - u(x+h,t)} \right ] + k[u(x,t) - u(x+h,t)]

Ekuacioni i lëvizjes për peshën tek pozicioni *x+h* jepet nga këto dy forca :

:m{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}= k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)] 

ku varësia kohore e *u*(*x*) është dhënë në mënyrë eksplicite.

Në qoftë se peshat përbëhen nga *N* pesha të baraslarguara mbi gjatësinë *L* = *N* *h* e të gjithë masës *M* = *N* *m*, dhe ngurtësia gjithsej e peshave është *K* = *k*/*N*, ne mund ta shkruajmë ekuacionin e mësipërm si :

:{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}={KL^2 [\over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t)] \over h^2}

Duke marrë limitin N\rightarrow \infty,h\rightarrow 0 (si dhe duke supozuar se kemi të bëjmë me një funksion të vazhdueshëm) marrim :

: {\partial^2 u(x,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{ \partial^2 u(x,t) \over \partial x^2 }  

(*KL2)*/*M* është katrori i përhapjes së shpejtësisë në këtë rast të veçantë.

#### Nga ekuacioni skalar i përgjithshëm i transportit 
Duke filluar me ekuacioni skalar të përgjithshëm të transportit pa shpërhapje,

:\frac{\partial\phi}{\partial t}+\frac{\partial(u\phi)}{\partial x}=S_\phi,

diferencojmë në lidhje me t për të marrë

:\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}+\frac{\partial^2(u\phi)}{\partial x\partial t}=\frac{\partial S_\phi}{\partial t}.

Po të marrim parasysh se S_\phi dh u janë konstante, mund të shkruajmë

:\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}+u\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial\phi}{\partial t}=0.

Për derivatin kohor të \phi marrim

:\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}+u\frac{\partial}{\partial x}\left[S_\phi-\frac{\partial(u\phi)}{\partial x}\right]=\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-u^2\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}=0,

ku u është shpejtësia e përhapjes së madhësisë skalare \phi e cila , në përgjithësi, është funksion i kohës dhe pozicionit.

### Zgjidhja e problemit të vlerave fillestare 
## Ekuacioni skalar i valës në tre dimensione hapësinore 
Zgjidhja e problemit me vlera fillestare për ekuacionin e valës në tre përmasa mund të merret nga zgjidhja e ekuacionit për valën sferike. Ky rezultat mund të përdoret për të marrë zgjidhjen e ekuacionit në dy përmasa hapësinore. 

### Valët sferike 
Ekuacioni i valës nuk ndryshon në qoftë se rrotullojmë koordinatat hapësinore, kështu që normalisht, presim që të gjejmë zgjidhje që varen vetëm në distancën rrezore nga një pikë e dhënë. Zgjidhje të tilla duhet të kënaqin

: u_{tt} - c^2 \left( u_{rr} + \frac{2}{r} u_r \right) =0. \, 

Ky ekuacion duhet rishkruar si 

: (ru)_{tt} -c^2 (ru)_{rr}=0; \, 

madhësia *ru* duhet të kënaqë ekuacionin valor njëpërmasor. Pra siç shihet kemi zgjidhje të formës
: u(t,r) = \frac{1}{r} F(r-ct) + \frac{1}{r} G(r+ct), \, 

ku *F* dhe *G* janë funksione arbitrare. Çdo term mund të interpretohet si një valë sferike që zgjerohet ose tkurret me shpejtësi *c*. Valë të tilla prodhohen nga një burim pikësor, të cilët bëjnë të mundur prodhimin e sinjaleve shumë të mprehtë, forma e së cilave ndryshohet vetëm nga një zvogëlim në amplitudë kur *r* rritet (shikoni ilustrimin e një valë sferike më lart). Valë të tilla ekzistojnë vetëm në rastin e hapësirave që kanë përmasa me numër tek. Për fat të mirë, bota ku jetojmë ne ka tre përmasa hapësinore, kështu që kjo bën të mundur komunikimin me valë akustike ose elektromagnetike.

### Zgjidhja e një problemi të përgjithshëm të vlerave fillestare 
Ekuacioni i valës është linear në *u*, kështu që nuk ndikohet nga zhvendosja translative përgjatë hapësirës ose kohës. Kjo bën të mundur përftimin e një sërë zgjidhjesh duke zhvendosur dhe mbledhur valë sferike. Le të jetë φ(ξ,η,ζ) një funksion arbitrar i tre ndryshoreve të pavarura, dhe le të jetë forma valore sferike *F* një funksion delta : pra, le të jetë *F* një limit i dobët funksionesh, integrali i të cilave është njësi, por mbështetja e të cilave (zona ku funksioni nuk është zero) tkurret tek origjina. Le ta zëmë se në këtë familje valëve sferike kanë si qendër (ξ,η,ζ), dhe le të jetë *r* largësia rrezore nga kjo pikë. Pra

: r^2 = (x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 + (z-\zeta)^2. \, 

Nëqoftëse *u* është një mbivendosje e disa valëve të tilla me një funksion mesatar φ, atëherë

: u(t,x,y,z) = \frac{1}{4\pi c} \iiint \varphi(\xi,\eta,\zeta) \frac{\delta(r-ct)}{r} d\xi\,d\eta\,d\zeta; \, 

ku emëruesi 4πc është vetëm për ta bërë manipulimin më të lehtë. 

Nga përcaktimi i funksionit delta, *u* mund të shkruhet gjithashtu si

: u(t,x,y,z) = \frac{t}{4\pi} \iint_S \varphi(x +ct\alpha, y +ct\beta, z+ct\gamma) d\omega, \, 

ku α, β, dhe γ janë koordinatat e sferës me rreze njësi *S*, dhe ω është element i sipërfaqes tek *S*. Ky përfundim mund të interpretohet që *u*(*t*,*x*) është *t* herë vlerën mesatare të φ në një sfere me rreze *ct* me qendër tek *x* :

: u(t,x,y,z) = t M_{ct}[\phi]. \, 

Nga kjo del që 

: u(0,x,y,z) = 0, \quad u_t(0,x,y,z) = \phi(x,y,z). \, 

Vlera mesatare është një funksion çift i *t*, kështu që në qoftë se

: v(t,x,y,z) = \frac{\partial}{\partial t} \left( t M_{ct}[\psi] \right), \, 

atëherë
: v(0,x,y,z) =  \psi(x,y,z), \quad v_t(0,x,y,z) = 0. \, 

Këto formula japin zgjidhjen e problemit të vlerës fillestare për ekuacionin e valës. Ato tregojnë që zgjidhja në një pikë të dhënë *P*, të përcaktuar nga (*t*,*x*,*y*,*z*), varet vetëm nga të dhënat mbi sferën me rreze *ct* që kryqëzohet nga **koni i dritës** i vizatuar në anë të kundërt nga *P*. Kjo *nuk* varet nga të dhënat brenda kësaj sfere. Pra brendësia e sferës është një **lakunë** për zgjidhjen. Kjo dukuri përbën atë që quhet **parimi i Hygensit**. Ai është i vërtetë për një numër tek përmasash hapësinore, përveç rastit njëpërmasor. Prej këtej rrjedh që kjo s'është e vërtetë për përmasa me numër çift. Dukuria e lakunave është studiuar shumë nga Atijah, Bott dhe Garding (1970, 1973).

## Ekuacioni skalar i valës në dy përmasa hapësinore 
Në dy përmasa hapësinore, ekuacioni i valës është 

: u_{tt} = c^2 \left( u_{xx} + u_{yy} \right). \, 

Nëse e shohim *u*-në si një funksion në tre përmasa që është i pavarur nga përmasa e tretë, mund të përdorim teorinë trepërmasore për zgjidhjen e këtij problemi. Në qoftë se

: u(0,x,y)=0, \quad u_t(0,x,y) = \phi(x,y), \,

atëherë formula për zgjidhjen trepërmasore bëhet

: u(t,x,y) = tM_{ct}[\phi] = \frac{t}{4\pi} \iint_S \phi(x + ct\alpha,\, y + ct\beta) d\omega,\, 

ku α dhe β janë dy koordinatat e para të sferës me rreze njësi, dhe dω është elementi i sipërfaqes së sferës. Ky integral mund të rishkruhet si një integral mbi diskun *D* me qendër (*x*,*y*) dhe rreze *ct* :

: u(t,x,y) = \frac{1}{2\pi c} \iint_D \frac{\phi(x+\xi, y +\eta)}{\sqrt{(ct)^2 - \xi^2 - \eta^2}} d\xi\,d\eta. \, 

Tani duket qartë që zgjidhja tek (*t*,*x*,*y*) varet jo vetëm tek koni dritor ku

: (x -\xi)^2 + (y - \eta)^2 = c^2 t^2, \, 

por edhe nga të dhënat për brendësinë e konit.

## Problemi i kushteve kufitare 
### Në një përmasë hapësinor 
Një kordë e lakueshme që zgjatet mes dy pikave *x*=*0* dhe *x*=*L* kënaq ekuacionin e valës për *t*>0 dhe 0  -u_x(t,0) + a u(t,0) = 0, \, 

: u_x(t,L) + b u(t,L) = 0,\, 

ku *a* dhe *b* janë jo negative. Rasti kur u kërkohet që të bëhet zero tek pikat kufitare është limiti i këtij kushti kur *a* ose *b* arrijnë vlera infinite. Metoda e ndarjes së ndryshoreve në thelb konsiston në kërkimin e zgjidhjeve të këtij problemi në formën speciale

: u(t,x) = T(t) v(x).\, 

Një rrjedhojë e kësaj është se 
: \frac{T*}{c^2T} = \frac{v*}{v} = -\lambda. \, 

Ajgenvlera λ duhet të përcaktohet në mënyrë që të marrim një zgjidhje joelementare të problemit të vlerave kufitare

: v'' + \lambda v=0, \, 

: -v'(0) + a v(0) = 0, \quad v'(L) + b v(L)=0.\, 

Ky është rasti i veçantë i problemit të përgjithshëm të teorisë së Sturm-Ljuvilit. Në qoftë se *a* dhe *b* janë pozitive, ajgenvlerat janë të gjitha pozitive, dhe zgjidhjet në këtë rast janë funksione trigonometrike. Një zgjidhje që kënaq kushtet fillestare integralo-katrore për *u* dhe *ut* mund të merret nga zgjerimi i këtyre funksioneve në serinë e duhur trigonometrike.

### Në shumë përmasa hapësinore 
right|thumb|220px|Një zgjidhje e ekuacionit të valës në dy përmasa hapësinore me kushte kufitare me zhvendosje zero përgjatë gjithë anës së jashtme.
Rasti njëpërmasor i teorisë së vlerave fillestare kufitare mund të zgjerohet në një numër arbitrar përmasash hapësinore. Konsideroni një fushë *D* në hapësirën 'x* *m''-përmasore ', përgjatë kufirit *B*. Atëherë ekuacioni i valës mund të kënaqet në qoftë se *x* është në *D* dhe t>0. Përgjatë kufirit të *D*, zgjidhja *u* duhet të kënaqë

: \frac{\partial u}{\partial n} + a u =0, \, 

ku *n* është vektori njësi pingul me drejtim jashtë *B*, dhe *a* është një funksion jo negativ i përcaktuar nga *B*. Rasti kur *u* bëhet zero tek *B* është rasti limit për *a* kur arrin infinitin. Kushtet kufitare janë

: u(0,x) = f(x), \quad u_t=g(x), \, 

kur*f* dhe *g* janë të përcaktuara në *D*. Ky problem mund të zgjidhet duke zgjeruar *f* dhe *g* tek ajgenfunksionet e funksionit Laplasian në *D*, te cilat kënaqin kushtet kufitare. Pra ajgenfunksioni *v* kënaq

: \nabla \cdot \nabla v + \lambda v = 0, \, 

në *D*, dhe

:  \frac{\partial v}{\partial n} + a v =0, \, 

në *B*.

Në rastin e dy përmasave hapësinore, ajgenfunksionet mund të interpretohen si modat e vibrimit të një membrane daulleje të zgjatur rreth kufirit *B*. Në qoftë se *B* është një rreth, këto ajgenfunksione kanë një përbërëse këndore që është funksion trigonometrik i këndit polar θ, të shumëzuar me një funksion Bezeli (të rendit të plotë) të përbërëses rrezor. Për hollësi të mëtejshme, shihni ekuacionin e Helmholcit.

Në qoftë se kufiri është një sferë në tre përmasa hapësinore, përbërëset këndore të ajgenfunksioneve janë harmonikat sferike, dhe përbërëset rrezore janë funksione Bezeli të rendit gjysmë të plotë.

## Ekuacioni valor johomogjen në një përmasë 
Ekuacioni valor johomogjen në një përmasë merr formën e mëposhtme:

:c^2 u_{x x}(x,t) - u_{t t}(x,t) = s(x,t)

me kushtet fillestare të dhëna nga:
:u(x,0)=f(x)
:u_t(x,0)=g(x).

Funksioni s(x,t) zakonisht quhet funksioni burim, sepse në praktikë ai përshkruan efektet e burimeve të valës dhe mjedisit që i përmban ato. Shembuj fizikë të funksionit të burimit përfshijnë forcën që eksiton një kordë, ose ngarkesën, ose dendësinë e ngarkesës tek madhësia e Lorencit në elektromagnetizëm.

Një metodë për zgjidhjen e problemit të vlerës fillestare (me vlerat e dhëna fillestare) është të përdorim vetinë e ekuacionit që zgjidhjet e tij zbatojnë parimin e kauzalitetit. Pra, për çdo pikë (x_i,t_i), vlera e \scriptstyle u(x_i,t_i) varet vetëm nga vlerat \scriptstyle f(x_i + c t_i) dhe \scriptstyle f(x_i - c t_i) si dhe vlerat e funksionit \scriptstyle g(x) midis \scriptstyle (x_i - c t_i) dhe \scriptstyle (x_i + c t_i). Kjo mund të shikohet tek formula e d'Alembertit, e dhënë më lart, ku këto madhësi janë të vetmet që paraqiten në të. Fizikisht, në qoftë se përhapja maksimale e shpejtësisë është \scriptstyle c, atëherë asnjë pjesë e valës që nuk mund të përhapet te një pikë e dhënë në një kohë të dhënë mund të ketë ndikim mbi amplitudën në të njëjtën pikë, në të njëjtën kohë.

Në terma të zgjidhjes, kjo veti do të thotë se për çdo pikë të dhënë në një vijë të marrë në shqyrtim, e vetmja zonë që duhet të merret në konsiderate është zona që përfshin të gjitha pikët që ndikojnë në mënyre kauzale mbi pikën e marrë në konsideratë. Po e shënojmë këtë zonë që ndikon mbi pikat me \scriptstyle (x_i,t_i) si \scriptstyle R_C. Supozojmë se integrojmë ekuacionin johomogjen të valës mbi këtë rajon.

:\iint \limits_{R_C} \left ( c^2 u_{x x}(x,t) - u_{t t}(x,t) \right ) dx dt = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt. 

Për ta thjeshtuar këtë përdorim teoremën e Grinit, që të thjeshtojmë anën e majtë dhe të marrim përfundimin e mëposhtëm :

:\int_{ L_0 + L_1 + L_2 } \left ( - c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right ) = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt. 

Ana e majtë është shuma e tre integraleve kurbolineare përreth kufirit të rajonit të kauzalitetit. Këto janë shumë të thjeshta për t'u llogaritur: 

\int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} - u_t(x,0) dx = - \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx.

Më lart, termi që do integrohet në lidhje me kohën zhduket, sepse intervali kohor i përfshirë është zero, pra  d t = 0 .

Për dy anët e tjera të rajonit, duhet vënë në pah se \scriptstyle x \pm c t është konstante, pra \scriptstyle x_i \pm c t_i, ku shenja zgjidhet si duhet. Duke përdorur këtë, mund të marrim relacionin \scriptstyle dx \pm c dt = 0, duke zgjedhur të njëjtën shenjë :

:\int_{L_1} \left ( - c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right ) \,
:: = \int_{L_1} \left ( c u_x(x,t) dx + c u_t(x,t) dt \right)\, 
::= c \int_{L_1} d u(x,t) = c u(x_i,t_i) - c f(x_i + c t_i).\,

dhe për segmentin kufitar final:

:\int_{L_2} \left ( - c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right ) 
::= - \int_{L_2} \left ( c u_x(x,t) dx + c u_t(x,t) dt \right ) 
:: = - c \int_{L_2} d u(x,t) = - \left ( c f(x_i - c t_i) - c u(x_i,t_i) \right ) 
:: = c u(x_i,t_i) - c f(x_i - c t_i).\,

Duke vendosur këto tre rezultate tok, te integrali origjinal, kemi:

:- \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + c u(x_i,t_i) - c f(x_i + c t_i) + c u(x_i,t_i) - c f(x_i - c t_i) = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt 
:2 c u(x_i,t_i) - \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx - c f(x_i + c t_i) - c f(x_i - c t_i) = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt 
:2 c u(x_i,t_i) = \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + c f(x_i + c t_i) + c f(x_i - c t_i) + \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt 
:u(x_i,t_i) = \frac{f(x_i + c t_i) + f(x_i - c t_i)}{2} + \frac{1}{2 c}\int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + \frac{1}{2 c}\int^{t_i}_0 \int^{x_i + c \left ( t_i - t \right )}_{x_i - c \left ( t_i - t \right )} s(x,t) dx dt. \,

## Në sisteme të tjera koordinative 
Në tre përmasa, ekuacioni i valës, kur shkruhet në koordinata ekliptike cilindrike, mund të zgjidhet me metodën e ndarjes së ndryshoreve, e cila jep ekuacionin diferencial të Mathju.

## Shikoni gjithashtu 
* Ekuacioni i Helmholcit
* Ekuacioni valor akustik
* Ekuacioni i valës elektromagnetike
* Ekuacioni johomogjen i valës elektromagnetike
* Efekti Dopler
* Ekuacioni i Shrodingerit
* Justifikimi teorik dhe eksperimental për ekuacionin e Shrodingerit
* Operatori i Laplasit
* Vibrimet e daulles rrethore
* Aspektet matematike të ekuacionit valor diskutohen tek Dispersive PDE Wiki.

## Referime 
* M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", *Acta Math.*, **124** (1970), 109–189. 
* M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", *Acta Math.*, **131** (1973), 145–206.
* R. Courant, D. Hilbert, *Methods of Mathematical Physics, vol II*. Interscience (Wiley) New York, 1962.
* "Linear Wave Equations", *EqWorld: The World of Mathematical Equations.*
* "Nonlinear Wave Equations", *EqWorld: The World of Mathematical Equations.*
* William C. Lane, "MISN-0-201 The Wave Equation and Its Solutions", *Project PHYSNET*.
* *Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators*, by Petr Zavada, Journal of Applied Mathematics, vol. 2, no. 4, pp. 163-197, 2002. doi:10.1155/S1110757X02110102 (available online or as the arXiv preprint)

## Lidhje të jashme 
* Nonlinear Wave Equations nga Stephen Wolfram dhe Rob Knapp 
* Nonlinear Wave Equation Explorer nga Stephen Wolfram, dhe The Wolfram Demonstrations Project.