Kriteri i Hurwitz-it

## Hyrje
**Kriteri i Hurwitz-it** është metodë analitike për shqyrtimin e stabilitetit absolut të sistemit. Metoda bazohet në gjetjen e pozicionit të poleve në rrafshin kompleks pa zgjidhur për rrënjët e ekuacionit karakteristik. Në rastet kur është dhënë ekuacioni karakteristik i rendit më të lartë se tre atëherë është shume e vështirë që rrënjet e tij të gjinden me metoda algjebrike, për këtë arsye aplikohen kriteret algjebrike.
Metoda ngërthen në vetë llogaritjen e disa përcaktorëve që quhen **përcaktorët e Hurwitz-it** dhe nga rezultatet e së cilave arrijmë në konlluzione mbi stabilitetin e sistemit. Mirëpo të theksjomë se kriteri i Hurwitz-it nuk na jep kurrfarë informacioni mbi shkallën e stabilitetit të sistemit.

## Përkufizimi formal
Të supozojmë se e kemi të njohur funksionin transmetues të sistemit të cilit dëshirojmë t'i analizojmë stabilitetin :

a_ns^2 + a_{n-1}s^{n-1} + ... + a_1s + a_0 = 0

**Konditë e nevojshme** që për sistemin e përshkruar me ekuacionin e mësipërm të mund të aplikojmë kriterin e Hurwitz-it është që të gjithë koeficientët a_n, a_{n-1}, ... , a_1, a_0  të kenë parashenjë të njejtë. Ndërsa **konditë e mjaftueshme** që sistemi të jetë stabil është që të gjitha determinantat e Hurwitz-it të jenë pzoitive.
Për sistemin e përshkruar me ekuacionin e mësipërm, përcaktori i Hurwitz-it ka formën:

H = \begin{vmatrix}  a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & \dots & 0 \\
a_{n} & a_{n-2} & a_{n-4} & \dots & \dots \\
0 & a_{n-1} & a_{n-3} & \dots & \dots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\dots & \dots & a_2 & a_0 & 0 \\
\dots & \dots & a_3 & a_1 & 0 \\
\dots & \dots & a_4 & a_2 & a_0 \\\end{vmatrix}.\,

Shohim se përcaktori formohet në menyrë të atillë që reshti i parë fillon nga anëtari i dytë dhe vazhdon çdo i dyti. Kurse rreshti i dytë fillon nga anëtari i parë dhe poashtu vazhdon çdo i dyti. Rreshtat pasues janë rrethi i parë dhe i dytë vetëm të zhvendosura për një element të kolonës.

Nga përcaktorët e mësipërme rrjedhin nen-përcaktorët :

H_2 = \begin{vmatrix}a_{n-1} & a_{n-3} \\
a_n & a_{n-2} \end{vmatrix}.\,

Nen-përcaktorët e rendit të tretë:

H_3 = \begin{vmatrix}  a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} \\
a_{n} & a_{n-2} & a_{n-4} \\
0 & a_{n-1} & a_{n-3} \end{vmatrix}.\,

Tani t'i theksjomë disa raste dhe kushtet që duhet plotësuar që sistemi të jetë stabil.

### Sistemi i rendit të parë
Ekuacioni karakteristik i sistemit të rendit të parë ka formën:

a_1s + a_0 = 0 

Në këtë rast shihet se H_1 = a_0  andaj kushti që sistemi të jetë stabil është që a_0 > 0 

### Sistemi i rendit të dytë
Ekuacioni karakteristik ka formën:

a_2s^2 + a_1s + a_0 = 0 

Përcaktorët përkatëse do jenë:
H_1 = a_1

dhe

H_2 = \begin{vmatrix}a_1 & 0 \\
a_2 & a_0 \end{vmatrix}.\,

Nga kushtet që H_1 > 0 dhe  H_2 > 0  do konlukojmë se sistemi do jetë stabil kur:

a_1 > 0 dhe a_1a_0 > 0

dhe në mëmyrë të ngjashme vazhdohet për sistemet e cilido rend.

### Shembull
Të marrim në shqyrtim sistemin ekuacioni karakteristik i të cilit është:

s^3 + 12s^2 + 28s + 46 = 0 

Fillimisht shohim se të gjithë koeficientët kanë parashenjë të njejtë andaj plotësohet kondita e nevojshme.
Formohen determinantat përkatëse:

H_1 = 12 

H_2 = \begin{vmatrix}12 & 46 \\
1 & 28 \end{vmatrix}.\,

H_3 = \begin{vmatrix}  12 & 46 & 0 \\
1 & 28 & 0 \\ 
0 & 12 & 46 \end{vmatrix}.\,

Pasi të llogariten determinantat do gjejmë se plotësohet edhe kondita e mjaftueshmë që deteminantat të jenë pozitive andaj sistemi i përshkruar me ekuacionin e mësipërm **është stabil**.

## Shënime
Përkundër asaj që kriteri i Hurwitz-it mundëson shqyrtimin e stabilitetit të sistemin pa zgjidhur për rrënjët e ekuacionit karaktëristik, në rastet kur kemi të bëjmë me sisteme të rendeve të larta llogaritjet që duhet bërë janë shumë të mundimshme andaj ky kriter bëhet i papërshtatshëm. Si më i përshtatshëm është kriteri i Routh-it, i cili poashtu jep përgjigje vetëm për stabilitetin absolut të sistemit.

Mangësi të kriterit të Hurwitz-it janë:
* Nuk bën fjalë për metodat e kompensimit
* Për sisteme të rendeve të larta është i papërshtatshëm sepse nevojiten llogaritje të shumta
* Është i domosdoshëm ekuacioni diferencial që në praktikë shpesh është vështirë të nxirret
* Nuk tregon shkallën e stabilitetit të sistemit
* Nuk tregon ndikimin e parametrave në stabilitetin e sistemit

## Shiko Gjithashtu
*Stabiliteti i sistemve linare të kontrollit
*Kriteri i Mihajllovit për stabilitet
*Kriteri i Routh-it
*Kriteri i Nyquist-it për stabilitet

## Referimet