Torusi

parapamje|Një torus
parapamje|Ndërkohë që distanca e boshtit ndërron, torusi unazë bëhet torus cepor, pastaj një torus boshtor, dhe në fund degjenerohet në një sferë.
Në gjeometri, një **torus** (në shumës *tori*) është një sipërfaqe vërtitëse e gjeneruar nga vërtitja e një rrethi në hapësirë tre-dimensionale mbi një bosht komplanar me rrethin. Nëse boshti i vërtitjes nuk e prek rrethin, sipërfaqja ka një formë unaze dhe quhet *torus unaze* ose thjesht *torus* nëse forma e unazës është implicite.

Kur boshti është tangjent në rreth, sipërfaqja rezultuese quhet *torus i cepit*; kur boshti është kordë në rreth, quhet *torus boshtor*. Një rast degjenerimi është kur boshti është diametër i rrethit, i cili thjesht gjeneron dy sfera. Torusi unazë lidh një trup të ngurtë të njohur si *torus i ngurtë* ose, në mënyrë alternative, toroid unaze. Mbiemri *toroidal* mund të përdoret për tori, toroid, ose më përgjithësisht, për secilën formë unaze, si dhe te induktorët dhe transformatorët toroidal. Shembuj nga përditshmëria të objekteve (përafërsisht) toroide përfshijnë tubat e gomave të makinave dhe rrathët për notim.

Një torus nuk duhet të përzihet me një torus të ngurtë, i cili formohet nga rrotullimi i një *diksu *, më shumë sesa një rrethi, rreth një boshti. Ai paraqet torusin dhe vëllimin brenda torusit.  Shembuj të përditshmërisë përfshijnë petullat, gomat e shpëtimit, dhe “o-rings”.

Në tipologji, një torus unazë është homeomorfik me prodhukim kartezian të dy rrathëve: *S1 x S1*. Torusi unazë është në një mënyrë për të futur këtë hapësirë në sipërfaqe tri-dimensionale Euklidiane, por në anën tjetër për ta bërë këtë është prodhimi kartezian që fut *S1* në plan. Kjo prodhon objektin gjeometrik të quajtur torusi Clifford, në sipërfaqe 4-hapësinore.

Fjala *torus* vjen nga latinishtja dhe nënkupton një lloj jastëku.

## Gjeometria
parapamje|Torusi është prodhim i dy rrathëve, në rast se rrethi i kuq është i përfshirë në boshtin që definon rrethin rozë. *R* është rrezja e rrethit rozë, *r* është rrezja e rrethit të kuq.

Një torus mund të përkufizohet parametrikisht nga:

:\begin{align}
  x(\theta, \varphi) &= (R + r \cos \theta) \cos{\varphi} \\
  y(\theta, \varphi) &= (R + r \cos \theta) \sin{\varphi} \\
  z(\theta, \varphi) &= r \sin \theta
\end{align}

ku 
:θ, φ janë këndet të cilat e bëjnë një rreth të plotë, duke filluar në zero dhe përfunduar në 2π, kështu që vlerat e tyre fillojnë dhe mbarojnë në të njëjtën pikë, 
:*R* është distance nga qendra e tubit në qendër të torusit, 
:*r* është rrezja e tubit.

*R* dhe *r* janë të njohura si “rrezja e madhe” dhe “rrezja e vogël”, respektivisht. Raporti i tyre është i njohur si “aspect ratio”. Një petull (doughnut) ka një aspect ratio rreth 2 në 3.

Një ekuacion implicit në koordinata karteziane për një torus simetrik rrezor mbi boshtin z është
:\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2,
Ose zgjidhja e f(x, y, z) = 0, ku 
: f(x,y,z) = \left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 - r^2.
Në mënyrë algjebrike eleminohet rrënjët katore japin një ekuacion kuartik, 
: (x^2+y^2+z^2 + R^2 - r^2)^2 = 4R^2(x^2+y^2). \,\!
Tri klasë të ndryshme të torusëve standard korrespondojnë në tri madhëzi relative të mundshme të *r* dhe *R*. Kur *R>r*, sipërfaqja do të jetë e ngjashme me torusin unazë. Rasti i *R=r* korrespondon me torus cepor, i cili është një torus pa “vrimë”. Rasti *R\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 
E këtij torusi është difeomorfike (dhe, prandaj, homeomorfike) të prodhimi i diskut të hapur të Euklidit dhe rrethit. Sipërfaqja dhe vëllimi interior i këtij torusi mund të llogariten lehtë nga teorema e Pappusit

:\begin{align}
  A &= \left( 2\pi r \right) \left(2 \pi R \right) = 4 \pi^2 R r \\
  V &= \left ( \pi r ^2 \right ) \left( 2 \pi R \right) = 2 \pi^2 R r^2
\end{align}

## Topologjia 
Në mënyrë topologjike, një * torus* është një sipërfaqe e mbyllur e përkufizuar si produkt i dy rrathëve: *S1 x S1*. Kjo mund të shihet si e pavërtet në *C2* dhe është subset i tri sferave *S3* i rrezes ***. Ky torus topologjik është po ashtu i quajtur torusi Clifford. Në fakt *S3* është i mbushur nga një familje torusëve të mbivendosur në këtë mënyrë (me dy rrathë të degjeneruar), një fakt i rëndësishëm për tu studiuar i *S3*-shit si pako e fibrave mbi *S2*  (pakoja Hopf).

Sipërfaqja e përshkruar më sipër, jep topologjinë relative *R3*, është homeomorfik me një torus topologjik aq gjatë sa nuk e ndërpret boshtin e vet.

Torusi mund të përshkruhet edhe si koeficinet i planit kartezian nën identifikime :(*x*, *y*) ~ (*x*+1, *y*) ~ (*x*, *y*+1).

## Ngjyrosja e një torusi 
480px|parapamje|center|Ky konstruksion tregon torusin e ndarë në shtatë regjione, secili nga ta e prek tjetrin.
Nëse një torus është i ndarë në disa regjione, atëherë është gjithmonë e mundur të ngjyrosim regjionet me një më shumë se shtatë ngjyra ashtu që regjionet fqinje të kenë ngjyra të ndryshme. (Kontrasti me teoremën e katër ngjyrave për planin.)

## Prerja e një torusi 
Një torus standard (specifikisht, një torus unazë) mund të pritet me n-plane në 
:\tfrac{1}{6}(n^3 + 3n^2 + 8n)
pjesë.

Termi fillestar i kësaj sekuencë për n-fillime nga 1 janë:
2, 6, 13, 24, 40, … (sekuenca A003600 në OEIS).

## Referime