Ekuacioni i Helmholcit

right|thumb|Dy burime rrezatimi në një plan, të dhëna matematikisht nga një funksion f i cili është zero në rajonin blu.
[right|thumb|[Pjesa reale e fushës rezultuese A, A është zgjidhja e ekuacionit johomogjen të Helmhocit (\nabla^2 + k^2) A = -f.]]
**Ekuacioni i Helmholcit**, i emërtuar sipas Herman von Helmholc, është një ekuacioni diferencial pjesor eliptik

:
(\nabla^2 + k^2) A = 0
,

ku \nabla^2 është operatori i Laplasit, k është një konstante, dhe funksioni i panjohur A=A(x, y, z) është i përcaktuar në një hapësirë Euklidiane *n*-dimensionale **R***n* (tipikisht *n*=1, 2, ose 3, ne raste kur zgjidhja e ekuacionit ka kuptim fizik).

## Motivacioni dhe perdorimet 
## Zgjidhja e ekuacionit te Helmholcit duke perdorur ndarjen e variablave 
### Membrana vibruese 
Analogja dy-dimensionale e nje korde vibruese është membrana vibruese, me cepa te fisuar ne menyre qe ato te mos levizin. Ekuacioni i Helmholcit u zgjidh per shume forma te ndryshme ne shekullin e 19-te: membrana rektangulare nga Simeon Denis Puason ne 1829, trekendeshi barabrinjes nga Gabriel Lame ne 1852, dhe membrana rrethore nga Alfred Klebsh ne 1862. Daullja eliptike u studiua nga Emile Mathju, nga e cila doli ekuacioni diferencial i Mathjut. Format e zgjedhura i korrespondojne formave tabela dinamike e bilardos e se cilave është e integrueshme, pra jo kaotike. Kur levizja ne nje tabele bilardoje korresponduese është kaotike, atehere nuk njihet ndonje forme e mbyllur analitike e ekuacionit te Helmholcit. Studimi i sistemeve te tilla njihet si kaosi kuantik, sepse ekuacioni i Helmholcit dhe ekuacione te tjera te ngjashme hasen shpesh ne mekaniken kuantike. 

Neqoftese cepat e nje forme jane segmente vijash te drejta, atehere zgjidhja është e integrueshme ose mund te nmerret ne forme te mbyllur vetem neqoftese ajo mund te shprehet si nje kombinim linear i valeve planare qe kenaqin konditat kufitare (ne kufi te jete zero, pra., membrane e fiksuar). 

Nje situate interesante ndosh me nje forme ku gjysma e zgjidhjes është e integrueshme kurse pjesa tjeter s'është. Një formë gjeometrike e thjeshtë ku kjo ndodh është gjashtekendshi i rregullt. Neqoftese paketa valore qe pershkruan nje top bilardoje kuantik perbehet vetem nga zgjidhje qe kane formen e mbyllur, levizja e saj nuk do te jete kaotike, por neqoftese perfshime horma zgjidhjeje pa forme te mbyllur analitiek, levizja e topit te bilardos kuantike behet kaotike. Nje forme tjeter e thjështë ku kjo ndodh është me nje forme "L"-je duke reflektuar nje katror poshte dhe pastaj ne te djathte.

Neqoftese fusha e percaktimit është nje rreth me rreze *a*, atehere duhet te paraqesim kordinatat polare *r* dhe θ. Ekuacioni i Helmholcit merr formen

:  A_{rr} + \frac{1}{r} A_r + \frac{1}{r^2}A_{\theta\theta} + k^2 A = 0.  

Tani mund te impozojme konditat kufitare ne menyre qe *A* te zhduket nneqoftese *r*=*a*; pra

: A(a,\theta) = 0. \, 

Metoda e ndarjes se variablave nxjerr zgjidhje shume te thjeshta te formes

: A(r,\theta) =  R(r)\Theta(\theta), \, 

ku Θ duhet te jete perodike me periode 2π. Kjo jep

: \Theta* +n^2 \Theta =0, \, 

dhe
: r^2 R* + r R' + r^2 k^2 R - n^2 R=0. \, 

Tani nga kondita e periodicitetit del qe 

: \Theta = \alpha \cos n\theta + \beta \sin n\theta, \, 

si dhe *n* duhet te jete nje numer i plote. Komponenti rrezor *R* ka formen

: R(r) = \gamma J_n(\rho), \, 

ku funksioni Bezel *Jn*(ρ) kenaq ekuacionin e Bezelit

: \rho^2 J_n'' + \rho J_n' +(\rho^2 - n^2)J_n =0,  

dhe ρ=*kr*. Funksioni rrezor *Jn* 
ka nje numer te pafundem rrenjesh per cdo vlere te n, te dhene nga ρ*m,n*. Kondita kufitare qe *A* te zhduket kur *r*=*a* kenaqet vetem kur frekuancat kooresponduese jepen nga

: k_{m,n} = \frac{1}{a} \rho_{m,n}. \, 

Zgjidhaj e pergjithsheme *A* merr formen e nje shume te pafundme te dyfishte te termave q perfshine produktet e 

:  \sin(n\theta) \, \hbox{or} \, \cos(n\theta), \, \hbox{and} \, J_n(k_{m,n}r).   

Keto zgjedhje jane modat e vibrimit te nje daulleje rrethore.

### Zgjidhjet tre dimensionale 
## Forma paraksiale 
## Ekuacioni johomogjen i Helmholcit 
## Referime 
* M. Abramowitz and I. Stegun eds., *Handbook of Mathematical functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables*, National Bureau of Standards. Washington, D. C., 1964.

* Riley, K.F., Hobson, M.P., and Bence, S.J. (2002). *Mathematical methods for physics and engineering*, Cambridge University Press, ch. 19. ISBN 0-521-89067-5.

* McQuarrie, Donald A. (2003). *Mathematical Methods for Scientists and Engineers*, University Science Books: Sausalito, California, Ch. 16. ISBN 1-891389-24-6.

*  Kapitulli 3, "Beam Optics," pp. 80&ndash;107.

* A. Sommerfeld, *Partial Differential Equations in Physics*, Academic Press, New York, New York, 1949.

* 

## Lidhje te jashtme 
* Helmholtz Equation tek EqWorld: Bota e Ekuacioneve matematike.
* Vibrating Circular Membrane Nga Sam Blake