Antiderivatet

Njeri nder lemenjt me te rendesishem te analizes matematike, i cili gjen zbatime te ndryshme ne zgjidhjen e problemeve qe para nesh shtrojne shkenca dhe teknika, pa dyshim eshte njehsimi integral. Integrali i pacaktuar eshte nje veprim i anasjellte me veprimin e derivimit dhe te diferencimit te funksionit nderkaq, integrali i caktuar eshte nje mjet i rendesishem per njehsimin e syprinave te siperfaqeve vijeperkulta dhe vellimeve te trupave.

## Hyrje
 Integrimi eshte thjesht proces i gjetjes se te gjitha funksioneve primitive te nje funksioni f. Andaj vlen ky perkufizim:
**Integral i pacaktuar** *i funksionit f quhet bashkesia e te gjitha funksioneve primitive te funksionit f dhe shenohet me*:
:\int f(x)\, \mathrm{d}x..
 Ne kete rast shenja \int  njihet si shenja e integralit, f quhet funksioni nen integral, kurse f(x)dx quhet shprehja nen integral.

## Integrali i Pacaktuar
Integralet thame jane te rendesishme sepse me to mund te llogaritim syprina te siperfaqeve dhe vellime. Andaj ne kete rast theksohet integrali i caktuar i cili njihet si *Teorema Fundamentale e Analizes* dhe matematikisht shprehet si:

 \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a).

Ne kete rast **a** dhe **b** jane kufinjte e integrimit.

## Funksionet e integrueshme
Nder pyetjet me te rendesishme ne lidhje me integralet eshte se cilat funksione jane te integrueshme e cilat jo. Ne kete pyetje mund te pergjigjemi vetem nese bazohemi ne teorema te nxjerra ne lidhje me integralet. Jane shume funksione integralet e te cilave egzistojne por nuk mund te shprehen ne formen e tyre te fundme. DIsa shembuj te tyre jane:

 \int e^{-x^2}\,\mathrm{d}x,\qquad \int \sin(x^2)\,\mathrm{d}x, \qquad\int \frac{\sin(x)}{x}\,\mathrm{d}x,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\,\mathrm{d}x,\qquad \int x^{x}\,\mathrm{d}x.

Jane te njohura dy metoda te integrimit: **Metoda e zevendesimit** dhe **Metoda integrimit te parcial**.

## Metoda e Zevendesimit
Le te jete f funksion i integrueshem ne intervalin (a,b) dhe \phi:(a,b) funksion qe ka derivat te vazhdueshem ne (a,b). Atehere vlen:

:
\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(x)\,dx = \int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\, dt.

## Integrimi Parcial
Le te jene u dhe v dy funksione te ndryshores x te derivueshme. Pra u=u(x) dhe v=v(x). Andaj kemi:
:\int u(x) v'(x) \, dx = u(x) v(x) - \int u'(x) v(x) \, dx 
Apo ne menyre me kompakte kemi:

:\int u \, dv=uv-\int v \, du.\!
## Integrale te drejtperdrejta
Disa prej integraleve te drejperdrejta jane:

::\int {1 \over x}\,dx = \ln \left|x \right| + C
:\int k\,dx = kx + C
:\int x^a\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C \qquad\text{(for } a\neq -1\text{)}\,\!
:\int (ax + b)^n \, dx= \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} + C \qquad\text{(for } n\neq -1\text{)}\,\!
:\int {1 \over x}\,dx = \ln \left|x \right| + C
::\int {1 \over x}\,dx = \begin{cases}\ln \left|x \right| + C^- & x  0
\end{cases}
:\int\frac{c}{ax + b} \, dx= \frac{c}{a}\ln\left|ax + b\right| + C

### Funksione Eksponenciale
\int e^x\,dx = e^x + C
\int f'(x)e^{f(x)}\,dx = e^{f(x)} + C
\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C

### Funksione Trigonometrike
:\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C
:\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C
:\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C = \ln{\left| \sec{x} \right|} + C
:\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C
:\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C

## Referime
* Matematika 2 - Hajdar Peci(Fakulteti i Inxhinierise Elektrike dhe Kompjuterike)
* Matematika 3(Ejup Hamiti dhe Shqipe Lohaj) - Permbledhje Detyrash(Fakulteti i Inxhinieris Elektrike dhe Kompjuterike)
* Matematika 12 - Analize me teori te gjases.