Funksioni elementar

Në matematikë, një **funksion elementar** është një funksion i një ndryshoreje të vetme (zakonisht reale ose komplekse ) që përkufizohet si marrja e shumave, shumëzimeve, rrënjëve dhe rrethimeve të shumë funksioneve polinomiale, racionale, trigonometrike, hiperbolike dhe eksponenciale, duke përfshirë ndoshta të anasjelltët e tyre (p.sh., arcsin, log, ose x^{1/n} ). 

Të gjitha funksionet elementare janë të vazhdueshme në bashkësitë e tyre të përcaktimit.

Funksionet elementare u prezantuan nga Joseph Liouville në një seri letrash nga 1833 deri në 1841.    Një trajtim algjebrik i funksioneve elementare filloi nga Joseph Fels Ritt në vitet 1930. 

## Shembuj 
### Shembuj bazë 
Funksionet elementare të një ndryshoreje të vetme x përfshijnë:

* Funksionet konstante : 2,\ \pi,\ e, etj.
* Fuqitë racionale të x : x,\ x^2,\ \sqrt{x}\ (x^\frac{1}{2}),\ x^\frac{2}{3}, etj.
* Funksionet eksponenciale : e^x, \ a^x
* Logaritmet : \ln x, \ \log_a x
* Funksionet trigonometrike : \sin x,\ \cos x,\ \tan x, etj.
* Funksionet trigonometrike të anasjellta : \arcsin x,\ \arccos x, etj.
* Funksionet hiperbolike : \sinh x,\ \cosh x, etj.
* Funksionet hiperbolike të anasjellta : \operatorname{arsinh} x,\ \operatorname{arcosh} x, etj.
* Të gjitha funksionet e marra duke shtuar, zbritur, shumëzuar ose pjesëtuar një numër të kufizuar të ndonjë prej funksioneve të mëparshme 
* Të gjithë funksionet e marra nga nxjerrja e rrënjës së një polinomi me koeficientë në funksionet elementare 
* Të gjitha funksionet përftohen duke kompozuar/rrethuar një numër të kufizuar të ndonjë prej funksioneve të listuara më parë

### Shembuj të përbërë 
Shembuj të funksioneve elementare përfshijnë:

* Mbledhjen, p.sh.x+1
* Shumëzimin, p.sh. 2x
* Funksionet polinomiale
* \frac{e^{\tan x}}{1+x^2}\sin\left(\sqrt{1+(\ln x)^2}\right)
* -i\ln\left(x+i\sqrt{1-x^2}\right) 

Funksioni i fundit është i barabartë me \arccos x, kosinusi i anasjelltë, në të gjithë rrafshin kompleks .

Të gjitha monomet, polinomet, funksionet racionale dhe funksionet algjebrike janë elementare. Funksioni i vlerës absolute, për x me vlera reale, është gjithashtu elementar pasi mund të shprehet si përbërje e një fuqie dhe rrënjë të x : |x|=\sqrt{x^2} .

### Funksionet jo elementare 
Disa shembuj funksionesh që *nuk* janë elementare:

* tetrimi
* funksionet jo-elementare Liuviliane, duke përfshirë
** integralet eksponenciale ( *Ei* ), logaritmike ( *Li* ose *li* ) dhe Fresnel ( *S* dhe *C* ).
** funksioni i gabimit, \mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,dt, një fakt që mund të mos jetë menjëherë i dukshëm, por mund të vërtetohet duke përdorur algoritmin Risch .
* integrale të tjera jo elementare, duke përfshirë integralin Dirichlet dhe integralin eliptik .

## Mbyllja 
Nga përkufizimi rrjedh drejtpërdrejt se bashkësia e funksioneve elementare është e mbyllur nën veprimet aritmetike, nxjerrjen e rrënjës dhe përbërjen. Funksionet elementare janë të mbyllura nën veprimin e diferencimit . Ato nuk janë të mbyllura nën kufij dhe shuma të pafundme . Më e rëndësishmja, funksionet elementare nuk janë të mbyllura nën integrim, siç tregohet nga teorema e Liouville-it, shih integralin jo elementar . Funksionet Liouvilliane përkufizohen si funksione elementare dhe, në mënyrë rekursive, integrale të funksioneve Liouvilliane.