Bashkësitë

parapamje|230x230px|Një bashkësi shumëkëndëshash në një diagram Euleri
**Bashkësia** është koncepti themelor në matematikë. Bashkësia përbëhet nga objekte të cilat kanë së paku një veti të përbashkët. Objektet e bashkësisë i quajmë elemente të bashkësisë. Emërtimi dhe shënimi i bashkësive zakonisht bëhet me shkronja të mëdha të alfabetit. 

Caktim i bashkësive bëhet në dy mënyra :
* Duke i numëruar elementet e bashkësisë nëse numri i elementeve është i vogël si p.sh.:**  A = (a_{1},a_2,a_3,...,a_n ) **
* Duke i përshkruar vetit e përbashkëta të elementeve si p.sh.: ** A = \{ x| x \text{ tek} \}  **

## Bashkësitë numerike 
Bashkësia e numrave natyral: \mathbb{N} = \{\, 1, 2, 3, \ldots , n, n+1, \ldots \,\}

Bashkësia e numrave të plotë: \mathbb{Z} = \{\, \ldots , -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots , n, n+1, \ldots \,\}

Bashkësia e numrave racionalë: \mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} |   m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}

Bashkësia e numrave real: \mathbb{R} = \{\ x|- \infty  

Bashkësia e numrave kompleks: \mathbb{C} = \{\ x+iy|x \in\mathbb{R} ,y \in\mathbb{R} ,i= \sqrt{-1} \,\}

Bashkësia e numrave çift: \mathbb{N_+} = \{\ 2n|n\in\mathbb{N} \land n \vdots 2 \,\} ={2,4,6,8,...}

Bashkësia e numrave tek: \mathbb{N_-} = \{\ n|x \in\mathbb{N} \land n \not\vdots 2 \,\}

# Vetia e ndërrimit

A\cup B=B\cup A

2.Vetia e shoqërimit

AU(BUC)=(AUB)UC

# Vetia e shpërndarjes

* Ndryshesa e bashkësive
Ndryshesa e bashkësive A dhe B quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet e bashkësisë A që nuk i takojnë bashkësisë B

figura.

* Ndryshesa simetrike simetrike e bashkësive
Diferenca simetrike e bashkësive A dhe B quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet jo të përbashkëta të bashkësive A dhe B

figura.

## Relacionet 
* **Relacionet dyjare**
Nëse me **A** shënojmë bashkësinë jo të zbrazët dhe me ** R ** relacionin (raportin, marëdhëniet ) mes elementeve të **A**-së, atëherë për **  R ** themi se është relacion binar (dyjar).
Relacion binar quhet çdo nënbashkësi e prodhimit kartezian :
AxB
Vetit e relacionit binar janë:
**Refleksiviteti**
Nëse në bashkësinë jo të zbrazët **A** vlen relacioni ** \rho** i cili ka vetitë **a R b** dhe **b R a** atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binar. 

Në të kundërtën nëse vlen:

themi se kemi të bëjmë me relacion jorefleksiv.
**Simetria**
Nëse në bashkësinë jo të zbrazët **A** nga relacioni binar ** R** rrjedhë **b R a** atëherë themi se kemi të bëjmë me një relacion binar simetrik

Në të kundërtën nëse vlen:

themi se kemi të bëjmë me relacion asimetrikë.
**Kalimtare**
Nëse në bashkësinë jo të zbrazët **A** nga relacionet binare **a \rho b** dhe **b \rho a** rrjedhë **a R c** atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binar transitiv

Në të kundërtën nëse vlen:

themi se kemi të bëjmë me relacion intransitiv.
* **Relacioni i njëvlershmërisë**
Relacioni i ekuivalencës është relacioni binarë R i cili në bashkësinë A është *refleksiv*, *simetrik* dhe *kalimtar*. Simboli i relacionit të njëvlershmërisë është " \sim " .
Relacionet më të rëndësishme të njëvlershmërisë janë *barazia*, *paralelshmëria*, *kongruenca* dhe *ngjashmëria*. Po ashtu ekuacioni i njëvlershmërisë mund të zbërthehet në *klasa të ekuivalencës*.

* **Relacioni i renditjes**
Relacioni i renditjes është relacioni binar \rho i cili në bashkësinë A është *refleksiv*, *antisimetrik* dhe *transitiv*.
Nëse relacioni i binarë \rho në bashkësinë A është *irefleksivë*, *asimetrik* dhe *transitiv*, atëherë themi se kemi të bëjmë me **relacionin rigoroz** ( të renditjes).

* **Relacionet ndërmjet dy bashkësive**
Relacion ndërmjet dy bashkësive është *prodhimi kartezian* AxB i bashkësive jo të zbrazëta A dhe B. *Prodhimi kartezian* është ç´do nënëbashkësi për të cilën vlen :  \rho = \left \{ (a,b)| a \in A \land b \in B \land a \rho b \right \} 

## Pasqyrimet 
Pasqyrim (funksion, rifigurim ) i bashkësisë **A** në **B** quhet relacioni ** \rho ** ndërmjet dy bashkësive **A** dhe **B**, i cili ka këtë veti :
 ( \forall x \in A)( \exists !y \in B)(x,y) \in \rho 
Elementet e bashkësisë **A** që pasqyrohen në bashkësinë **B** janë *origjinal* (*zanafilla, fytyra*) e pasqyrimi, ndërsa elementet përkatëse të bashkësisë **B** që i shoqërohen origjinaleve quhen *transformati* (*figura, përfytyrimi*) i pasqyrimit.
Pasqyrimet zakonisht nuk shënohen me ** \rho ** por me ** f , g , h , \psi ** etj. Shënimi i pasqyrimeve bëhet në disa mënyra varësisht nga lëmit në të cilën përdoret. Disa shembuj të shënimit të pasqyrimeve po i prezantojmë më poshtë.
* Shënimi simbolik i pasqyrimit 
** f: A \to B ** ose **f: x \to y =f(x) , \forall x \in A ** 
* Shënimi i pasqyrimeve te bashkësitë e fundme (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
* Shënimi i pasqyrimeve në formë tabelore (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
* Shënimi i pasqyrimit si formulë matematikore
 f(x)=2x , x\in \mathbb{N} 

* Funksioni i anasjelltë
Nëse për pasqyrimin ** f: A \to B ** vlen që ç´do **y** element i **B** dhe ekziston një elementë **x** i tillë që :
( \forall y \in B)( \exists !x \in A), g:y \to x=g(y)
atëherë themi se kemi të bëjmë me* pasqyrimin invers* **g** të pasqyrimit **f**.
Pasqyrimi invers ekziston vetëm për pasqyrimet **bijektive**.
Shënimi i pasqyrimit invers **f** zakonisht shënohet si :**f^-** 
Për pasqyrimin **f** themi se është *kodomen* i *domenit* **f^-** dhe në të njëjtën kohë domeni **f** është *kodomen* i **f^-**.
Figura:

* Shumëzimi i funksioneve
Me shumëzimin e pasqyrimeve nënkuptojmë, shumëzimin e dy e më tepër pasqyrimeve (funksioneve), ku elementit **x** të bashkësisë **A** i përgjigjet (ekziston së paku një) element **y** i bashkësisë **B**, i tillë që në bashkësinë **C** ekziston së paku një element **z** i cili i përgjigjet **y**.Në gjuhen matematikore kjo duket si : 
 ( \forall x \in A)( \exists !z \in C)(g \circ f): x \to z=g{f(x)}.

## Veprimet binare 
Veprim binarë në matematik quhet pasqyrimi f në bashkësinë jo të zbrazët, i tillë që:   f: A^2 \to A 
### Ligjet e veprimeve binare 
# ligji komutativ është nëse vlen: ( \forall a , b \in A) a \circ b= b \circ a.
# ligji asociativ është nëse vlen: ( \forall a , b , c \in A)( a \circ b) \circ c=a \circ (b \circ c).
# ligji distributiv është nëse vlen:  ( \forall a , b , c \in A) a \circ (b * c)=(a \circ b)* (a \circ c).
* Nëse në bashkësinë jo të zbrazët **A** është i përkufizuar veprimi binar  \circ  atëherë për (A, \circ) themi se është **grupoid**.
* Po që se veprimi binarë  \circ  grupoidit (A, \circ) është asociativ, atëherë për të themi se është **semigrup**
* Nëse në bashkësinë jo të zbrazët **A** ekziston një element **e** me vetinë:
( \forall a \in A)a \circ e=e \circ a=a ,atëherë për **e** themi se është **element neutral**.

## Grupet dhe nëngrupet 
:***Arikulli kryesor: Teoria e grupeve***
**Teoria e grupeve**, e lindur ne shekullin 19 si disipline matematike, është nje paraprires i matematikes moderne, sepse ndane perfaqesuesin (p.sh. numrat reale) nga struktura e brendeshme (ligjet e llogaritjes ne grupe).

Punime te medha për teoriene e grupeve vijne nder te tjere nga Evariste Galois, Niels Henrik Abel, Sophus Lie.

## Unaza,Trupi dhe Fusha 
* Unaza
Unazë është bashkësia jo e zbrazët që ka të përkufizua veprimet binare të *mbledhjes* dhe *shumëzimit*, ku
# (A, \oplus ) është *grup abelian*,
# (A, \otimes ) është *grupoid* dhe
# *shumëzimi është distributiv ndaj mbledhjes*.
* Trupi
Trup quhet unaza asociative (A, \oplus , \otimes ) nëse (A_1, \otimes ) është grup, ku  A_1 = A| \left \{ 0 \right \}.
* Fusha
Fushë quhet trupi (A, \oplus , \otimes ) nëse shumëzimi është kumutativ.

## Simbolet matematikore 
:P