Formula e Heronit

parapamje|198x198px| Një trekëndësh me brinjë *a*, *b* dhe *c*
Në gjeometri, **formula e Heronit** (ose **formula e Heroit** ) jep syprinën A të një trekëndëshi në terma të tre gjatësive të brinjëve a, b, c . Nëse s = \tfrac12(a + b + c) është gjysmëperimetri i trekëndëshit, sipërfaqja është, 

: A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.

Ai është emëruar sipas inxhinierit të shekullit të parë Heronit të Aleksandrisë (ose Heroi) i cili e vërtetoi atë në veprën e tij *Metrica*, megjithëse ndoshta ishte e njohur shekuj më parë.

## Shembull 
Le të jetë △ABC trekëndëshi me brinjë a = 4, b = 13 dhe c = 15 . Gjysmëperimetri i këtij trekëndëshi është:

: s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{4+13+15}{2}=16

dhe kështu është syprina është

: 
\begin{align}
A &= \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)} = \sqrt{16 \cdot (16-4) \cdot (16-13) \cdot (16-15)}\\
&= \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{576} = 24.
\end{align}

Në këtë shembull, gjatësitë e brinjëve dhe syprina janë numra të plotë, duke e bërë atë një trekëndësh Heronian . Sidoqoftë, formula e Heronit funksionon po aq mirë në rastet kur një ose më shumë nga gjatësitë e brinjëve nuk janë numra të plotë.

## Shprehje alternative 
Formula e Heronit gjithashtu mund të shkruhet vetëm në lidhje me gjatësinë e brinjëve në vend të përdorimit të gjysmëperimetrit, në disa mënyra,

: \begin{align}
A &=\tfrac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \\[6mu]
&=\tfrac{1}{4}\sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)} \\[6mu]
&=\tfrac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)} \\[6mu]
&=\tfrac{1}{4}\sqrt{4(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^2+b^2+c^2)^2} \\[6mu]
&=\tfrac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}.
\end{align}

I njëjti relacion mund të shprehet duke përdorur përcaktorin Cayley-Menger ,

:  -16A^2 = \begin{vmatrix}
 0 & a^2 & b^2 & 1 \\
a^2 & 0  & c^2 & 1 \\
b^2 & c^2 & 0  & 1 \\
 1 &  1 &  1 & 0
\end{vmatrix}. 

## Vërtetimet 
### Vërtetimi trigonometrik duke përdorur ligjin e kosinusit 
Një provë moderne, e cila përdor algjebërën dhe është krejt e ndryshme nga ajo e dhënë nga Heroni, vijon si më poshtë.  Le të jenë *a*, *b*, *c* brinjët e trekëndëshit dhe *α*, *β*, *γ* këndet përballë atyre brinjëve. Duke zbatuar ligjin e kosinusit marrim

: \cos \gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Nga kjo provë, marrim lidhjen algjebrike që

: \sin \gamma = \sqrt{1-\cos^2 \gamma} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}.

Lartësia e trekëndëshit në bazën *a* ka gjatësi *b sin γ*, dhe vijon

: \begin{align}
A
&= \tfrac12 (\mbox{bazë}) (\mbox{lartësi}) \\[6mu]
&= \tfrac12 ab\sin \gamma \\[6mu]
&= \frac{ab}{4ab}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2} \\[6mu]
&= \tfrac14\sqrt{-a^4 - b^4 - c^4 + 2 a^2 b^2 + 2 a^2 c^2 + 2 b^2 c^2} \\[6mu]
&= \tfrac14\sqrt{(a + b + c)(- a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)} \\[6mu]
&= \sqrt{
 \left(\frac{a + b + c}{2}\right)
 \left(\frac{- a + b + c}{2}\right)
 \left(\frac{a - b + c}{2}\right)
 \left(\frac{a + b - c}{2}\right)} \\[6mu]
&= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.
\end{align}

### Vërtetimi algjebrik duke përdorur teoremën e Pitagorës 
parapamje|270x270px|Trekëndëshi me lartësi h baza prerëse c në  d+(c-d)
Prova e mëposhtme është shumë e ngjashme me atë të dhënë nga Raifaizeni.  Nga teorema e Pitagorës kemi b^2 = h^2+d^2 dhe a^2 = h^2 + (c-d)^2 sipas figurës në të djathtë. Nga zbritja e këtyre rezulton a^2-b^2 = c^2-2cd . Ky ekuacion na lejon të shprehim d në terma të brinjëve të trekëndëshit:

: d = \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2c}.

Për lartësinë e trekëndëshit marrim h^2 = b^2-d^2 . Duke zëvendësuar *d* me formulën e dhënë më sipër dhe duke zbatuar identitetin e diferencës së katrorëve, marrim

: 
\begin{align}
 h^2 &= b^2-\left(\frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2c}\right)^2 \\
   &= \frac{(2bc - a^2 + b^2 + c^2)(2bc + a^2 - b^2 - c^2)}{4c^2} \\
   &= \frac{\big((b + c)^2 - a^2\big)\big(a^2 - (b - c)^2\big)}{4c^2} \\
   &= \frac{(b + c - a)(b + c + a)(a + b - c)(a - b + c)}{4c^2} \\
   &= \frac{2(s - a) \cdot 2s \cdot 2(s - c) \cdot 2(s - b)}{4c^2} \\
   &= \frac{4s(s - a)(s - b)(s -c )}{c^2}.
\end{align}

Tani e zbatojmë këtë rezultat në formulën që llogarit syprinën e një trekëndëshi nga lartësia e tij:

: 
\begin{align}
 A &= \frac{ch}{2} \\
  &= \sqrt{\frac{c^2}{4} \cdot \frac{4s(s - a)(s - b)(s - c)}{c^2}} \\
  &= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}.
\end{align}

## Qendrueshmëria numerike 
Formula e Heronit siç është dhënë më sipër është numerikisht e paqëndrueshme për trekëndëshat me një kënd shumë të vogël kur përdoret aritmetika me presje notuese . Një alternativë e qëndrueshme   përfshin rregullimin e gjatësive të anëve në mënyrë që a ≥ b ≥ c dhe llogaritjen

: A = \frac{1}{4} \sqrt{\big(a + (b + c)\big) \big(c - (a - b)\big) \big(c + (a - b)\big) \big(a + (b - c)\big)}.

Kllapat në formulën e mësipërme kërkohen për të parandaluar paqëndrueshmërinë numerike në vlerësim.

## Përgjithësimet 
djathtas|parapamje|192x192px| Katërkëndëshi ciklik
Formula e Heronit është një rast i veçantë i formulës së Brahmaguptës për sipërfaqen e një katërkëndëshi ciklik . Formula e Heronit dhe formula e Brahmaguptës janë të dyja raste të veçanta të formulës së Bretschneider-it për sipërfaqen e një katërkëndëshi . Formula e Heronit mund të merret nga formula e Brahmagupta-s ose formula e Bretschneider-it duke bërë zero njërën nga anët e katërkëndëshit.

Formula e Brahmagupta-s jep sipërfaqen K të një katërkëndëshi ciklik brinjët e të cilit kanë gjatësi a, b, c, d si më poshtë

: K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

ku s, gjysmëperimetri, është përcaktuar të jetë

: s=\frac{a+b+c+d}{2}.

### Formula e tipit heron për vëllimin e një tetraedri 
Nëse U, V, W, u, v, w janë gjatësitë e skajeve të tetraedrit (tre të parat formojnë një trekëndësh; u përballë U e kështu me radhë), atëherë 

: 
V = \frac{\sqrt {\,( - a + b + c + d)\,(a - b + c + d)\,(a + b - c + d)\,(a + b + c - d)}}{192\,u\,v\,w}

ku shprehjet në të përkatësisht janë:

: 
  \begin{align} a & = \sqrt {xYZ} \\ b & = \sqrt {yZX} \\ c & = \sqrt {zXY} \\ d & = \sqrt {xyz} \\ X & = (w - U + v)\,(U + v + w) \\ x & = (U - v + w)\,(v - w + U) \\ Y & = (u - V + w)\,(V + w + u) \\ y & = (V - w + u)\,(w - u + V) \\ Z & = (v - W + u)\,(W + u + v) \\ z & = (W - u + v)\,(u - v + W). \end{align}

### Formulat e Heronit në gjeometritë jo-Euklidiane 
Ekzistojnë gjithashtu formula për sipërfaqen e një trekëndëshi për sa i përket gjatësisë së brinjëve të tij për trekëndëshat në sferë ose planin hiperbolik .  Për një trekëndësh në sferë me gjatësi anësore a, b, c, gjysmë perimetri s=(a+b+c)/2 dhe zona S një formulë e tillë është
\tan^2 \frac S 4 = \tan \frac s2 \tan\frac{s-a}2 \tan\frac{s-b}2 \tan\frac{s-c}2
ndërsa për rrafshin hiperbolik kemi
\tan^2 \frac S 4 = \tanh \frac s2 \tanh\frac{s-a}2 \tanh\frac{s-b}2 \tanh\frac{s-c}2. 

## Referime