Shpërndarja e Bernulit

{{Infobox shpërndarja e gjasës|name=Shpërndarja e Bernulit|type=mass|pdf_image=
Tre shembuj të shpërndarjes së Bernulit:
{{legend|7F0000|2=P(x=0) = 0{.}2 and P(x=1) = 0{.}8}}
{{legend|00007F|2=P(x=0) = 0{.}8 and P(x=1) = 0{.}2}}
{{legend|007F00|2=P(x=0) = 0{.}5 and P(x=1) = 0{.}5}}|cdf_image=|parameters=0 \leq p \leq 1
              q = 1 - p|support=k \in \{0,1\}|pdf=\begin{cases}
    q=1-p & \text{if }k=0 \\
    p & \text{if }k=1
    \end{cases} 
|cdf=\begin{cases}
    0 & \text{if } k |mean= p|median=\begin{cases}
    0 & \text{if } p  1/2
    \end{cases}|mode=\begin{cases}
    0 & \text{if } p  1/2
    \end{cases}|variance=p(1-p) = pq |mad=\frac{1}{2}|skewness=\frac{q - p}{\sqrt{pq}}|kurtosis=\frac{1 - 6pq}{pq}|entropy=-q\ln q - p\ln p|mgf=q+pe^t|char=q+pe^{it}|pgf=q+pz|fisher= \frac{1}{pq} }}

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, **shpërndarja e Bernulit**, e quajtur sipas matematikanit zviceran Jakob Bernuli,  është shpërndarja diskrete e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme që merr vlerën 1 me probabilitet. p dhe vlerën 0 me probabilitet q = 1-p . Në mënyrë joformale, mund të mendohet si një model për grupin e rezultateve të mundshme të çdo eksperimenti që shtron një pyetje po-jo . Pyetje të tilla çojnë në rezultate me vlerë buleane : një bit i vetëm, vlera e të cilit është sukses (një) me probabilitet *p* dhe dështim (zero) me probabilitet *q* . Mund të përdoret për të përfaqësuar një hedhje monedhe, ku 1 dhe 0 do të përfaqësonin përkatësisht "kokën" dhe "pilin", dhe *p* do të ishte probabiliteti i rënies së monedhës kokë ose anasjelltas ku 1 do të përfaqësonte pilin dhe *p* do të ishte probabiliteti i pilit). Në veçanti, monedhat e padrejta do të kishin p \neq 1/2.

Shpërndarja e Bernulit është një rast i veçantë i shpërndarjes binomiale ku kryhet një provë e vetme (pra *n* do të ishte 1 për një shpërndarje të tillë binomiale).

## Vetitë 
Nëse X është një ndryshore e rastit me një shpërndarje Bernuli, atëherë:

: \Pr(X=1) = p = 1 - \Pr(X=0) = 1 - q.

Funksioni i masës së probabilitetit f i kësaj shpërndarjeje, mbi rezultatet e mundshme *k*, është

:  f(k;p) = \begin{cases}
  p & \text{if }k=1, \\
  q = 1-p & \text {if } k = 0.
 \end{cases} 

Ky sistem mund të shprehet edhe si

: f(k;p) = p^k (1-p)^{1-k} \quad \text{for } k\in\{0,1\}

Kurtoza shkon në pafundësi për vlera të larta dhe të ulëta të p, por për p=1/2 shpërndarjet me dy pika duke përfshirë shpërndarjen Bernuli kanë një kurtozë të tepërt më të ulët se çdo shpërndarje tjetër probabiliteti, përkatësisht −2.

Vlerësuesi i përgjasisë maksimale të p bazuar në një kampion të rastësishëm është mesatarja e kampionit .

## Mesatarja 
Pritja e një ndryshoreje të rastësishme Bernoulli X është

: \operatorname{E}[X]=p

Kjo për faktin se për një ndryshore të rastësishme me shpërndarje Bernuli X me \Pr(X=1)=p dhe \Pr(X=0)=q ne gjejme

: \operatorname{E}[X] = \Pr(X=1)\cdot 1 + \Pr(X=0)\cdot 0 
= p \cdot 1 + q\cdot 0 = p. 

## Varianca 
Varianca (Dispersioni) i një ndryshore të rastit X me shpërndarje Bernuli është

: \operatorname{Var}[X] = pq = p(1-p)

Së pari gjejmë

: \operatorname{E}[X^2] = \Pr(X=1)\cdot 1^2 + \Pr(X=0)\cdot 0^2 = p \cdot 1^2 + q\cdot 0^2 = p = \operatorname{E}[X] 

: \operatorname{Var}[X] = \operatorname{E}[X^2]-\operatorname{E}[X]^2 = \operatorname{E}[X]-\operatorname{E}[X]^2 = p-p^2 = p(1-p) = pq 

Me këtë rezultat është e lehtë të vërtetohet se, për çdo shpërndarje Bernuli me një vlerë parametri *p* , varianca e saj do të ketë një vlerë brenda [0,1/4] .

## Shpërndarjet e ndërlidhura 
* Nëse X_1,\dots,X_n janë ndryshore rasti të pavarura, të shpërndara identikisht ( iid ), të gjitha provat e Bernulit me probabilitet suksesi&nbsp;*p*, atëherë shuma e tyre ndjek një shpërndarjeje binomiale me parametra *n* dhe *p* :
*: \sum_{k=1}^n X_k \sim \operatorname{B}(n,p) ( shpërndarja binomiale ). 

: Shpërndarja e Bernulit është thjesht \operatorname{B}(1, p), shkruar edhe si \mathrm{Bernoulli} (p).

* Shpërndarja kategorike është përgjithësimi i shpërndarjes Bernuli për ndryshore me çdo numër konstant vlerash diskrete.
* Shpërndarja Beta është e konjuguar pararendëse e shpërndarjes Bernuli.
* Shpërndarja gjeometrike modelon numrin e provave të pavarura dhe identike të Bernulit të nevojshme për të arritur një sukses.
* Nëse Y \sim \mathrm{Bernoulli}\left(\frac{1}{2}\right), atëherë 2Y - 1 ka një shpërndarje Rademacher .

## Referime