Ekuacioni i Ojler-Lagranzhit

Në analizën e variacionit, **ekuacioni i Ojler–Lagranzhit**, ose **ekuacioni i Lagranzhit** është një ekuacion diferencial pjesor zgjidhjet e të cilit janë funksionet për të cilat funksionali është një pikë stacionare. Ky ekuacion u zhvillua nga matematikani zviceran Leonard Ojler dhe matematikani Franko-Italian Jozef Luiz Lagranzhi më 1750s.

Një funksional i cili është i diferencueshëm ka një pikë stacionare tek njëra nga maksimumet ose minimumet lokale, ekuacioni i Ojler-Lagranzhit është i dobishëm për zgjidhjen e problemeve të optimizimit në të cilat, kur jepet një funksional, ne kërkojmë një funksion i cili e minimizon (ose e zmadhon) atë. Kjo është analoge me teoremën e Fermat në analizë, e cila pohon se kur një funksion i diferencueshem arrin një ekstremum lokal, derivati i tij është zero.

Në mekanikën e Lagranzhit, për shkak te parimit të Hamiltonit të veprimit stacionar, evolucioni i një sistemi fizik përshkruhet nga zgjidhjet e ekuacionit të Ojler–Lagranzhit për veprimin e sistemit. Në mekanikën klasike, kjo është ekuivalente me Ligjet e Njutonit, por në të njëjtën kohë kjo ka avantazhin që merr të njëjtën formë në çdo sistem koordinatash të përgjithshme, dhe është më e përshtatshme për përgjithësime (shikoni, për shembull, seksionin mbi "Teorinë e fushës" më poshtë).

## Historia 
Ekuacioni i Ojler–Lagranzhit u zhvillua në vitin 1750 nga Ojleri dhe Lagranzhi në studimin e tyre per problemin e tautokronës. Ky problem ka të bëjë me përcaktimin e kurbes përgjatë të cilës një thërrmijë do të bjerë në një pikë te fiksuar per një kohë të caktuar, pavaresisht nga pika fillestare.

Lagranzhi e zgjidhi këtë problem me 1755 dhe ia dërgoi zgjidhjen Ojlerit. Te dy e zhvilluan me tej metodën e Lagranzhit dhe e aplikuan atë tek mekanika, e cila coi në formulimin alternativ të mekanikës. Korrespondenca e tyre coi në analizën e variacionit, një term i vendosur nga vetë Ojleri në 1766.

## Pohimi 
Ekuacioni i Ojler–Lagranzhit është një ekuacion që kënaqet nga një funksion *q* i një argumenti real *t* i cili është një pikë stacionare e funksionalit
:\displaystyle S(q) = \int_a^b L(t,q(t),q'(t))\, \mathrm{d}t
ku :
* *q* është funksioni që duhet gjetur :
* :\begin{align}
q \colon [a, b] \subset \mathbb{R} & \to     X \\
                                 t & \mapsto x = q(t)
\end{align}
:i tille qe *q* është i diferencueshëm, *q*(*a*) = *x**a*, dhe *q*(*b*) = *x**b*;
* *q*′ është derivati i *q*:
*: \begin{align}
q' \colon [a, b] & \to     TX \\
               t & \mapsto v = q'(t)
\end{align}
:*TX* ështe tufa e tangjenteve të *X* (hapësira e vlerave te mundshme te derivatit te funksioneve me vlera në *X*) ;
* *L* është një funksion real derivatet pjesore të rendit të parë të të cilit janë të vazhdueshme :
*: \begin{align}
L \colon [a, b] \times X \times TX & \to     \mathbb{R} \\
                         (t, x, v) & \mapsto L(t, x, v).
\end{align}
Ekuacioni i Ojler Lagranzhit, atëherë është një ekuacion diferencial i zakonshem
:L_x(t,q(t),q'(t))-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}L_v(t,q(t),q'(t)) = 0.
ku *L**x* dhe *L**v* tregojnë derivatet pjesore te *L* ne lidhje me argumentet e parë dhe të tretë, respektivisht.

Nëqoftëse përmasat e hapësirës *X* janë më të mëdha se 1, atëherë marrim një sistem ekuacionesh diferenciale, një për çdo komponent :
:\frac{\partial L(t,q(t),q'(t))}{\partial x_i}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L(t,q(t),q'(t))}{\partial v_i} = 0
\quad \text{for } i = 1, \dots, n.

## Prova 
Derivimi i ekuacionit një-dimensional të Ojler–Lagranzhit është një nga provat klasike në matematikë. Ajo mbështetet tek Lema themelore e analizës së variacionit.

Duam që të gjejmë një funksion f i cili kënaq konditat kufitare *f*(*a*) = *c*, *f*(*b*) = *d*, dhe i cili ekstremizon koston e funksionalit

:  J = \int_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx. \,\!

Marrim si hipotezë që *F* ka derivate të vazhdueshme të rendit të parë. Një hipotezë më e dobët mund të përdoret por në atë rast prova bëhet shumë më e vështire.

Neqoftese *f* merr një ekestremum ku kostoja e funksionalit është subjekt i konditave kufitare, atëherë çdo pertubim i vogël i *f* që ruan vlerat kufitare duhet ose ta zmadhoje *J* (nqs *f* është një minimizues) ose ta zvogëloje *J* (nqs *f* është një maksimizues). 

Le të jetë *g*ε(*x*) = *f*(*x*)&nbsp;+&nbsp;εη(*x*) e tille që një perturbim i *f*, ku η(*x*) është një funksion i diferencueshem që kënaq η(*a*) = η(*b*) = 0. Atëherë përcaktojmë 

:  J(\epsilon) = \int_a^b F(x,g_\epsilon(x), g_\varepsilon'(x) )\, dx. \,\!

Tani duam që të llogaritim derivatin e përgjithshëm te *J* në lidhje me *ε*

:  \frac{\mathrm{d} J}{\mathrm{d} \varepsilon} = \int_a^b \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\epsilon}(x,g_\varepsilon(x), g_\varepsilon'(x) )\, dx. 

Nga përcaktimi i derivatit te përgjithshëm del që

: \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\epsilon} = \frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon}\frac{\partial g_\varepsilon}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial F}{\partial g'_\varepsilon}\frac{\partial g'_\varepsilon}{\partial \varepsilon} = \eta(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon'}. 

Kështu që 

:  \frac{\mathrm{d} J}{\mathrm{d} \epsilon} = \int_a^b \left[\eta(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon'} \, \right]\,dx. 

Kur *ε* = 0 ne kemi *g**ε* = *f* dhe meqenëse *f* është një vlere ekstreme del që *J*(0) = 0, pra.

:  J'(0) = \int_a^b \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \,\right]\,dx = 0.

Hapi tjetër i rëndësishme është integrimi me pjesë mbi termin e dyte, i cili jep

:  0 = \int_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx + \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]_a^b. 

Duke zbatuar kondiatat kufitare tek *η*, ne marrim

:  0 = \int_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx. \,\!

Duke zbatuar Lemen themelore të analizës së variacionit tani marrim ekuacionin e Ojler –Lagranzhit

:  0 = \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}. 

## Provë alternative 
Po te kemi një funksional

:J = \int^b_aF(t, y(t), y'(t))dt

tek C^1([a, b]) me kondita kufitare y(a) = A edhe y(b) = B, ne vazhdojmë duke përafruar kurbën ekstremale me një vije poligonale n segmentesh duke kaluar në një limit kur kur numri i segmenteve rritet.

Tani pjesëtojmë intervalin [a, b] në n + 1 segmente të njëjta me pika kufitare t_0 = a, t_1, t_2, \ldots, t_n, t_{n + 1} = b dhe le të jetë \Delta t = t_k - t_{k - 1}. Në vend ten je funksoni të lëmuar y(t) marrim ne considerate nje vije poligonale me vertekse (t_0, y_0),\ldots,(t_{n + 1}, y_{n + 1}), ku y_0 = A dhe y_{n + 1} = B. Nga kjo, funksionali ynë behet një funksion real i n variablave të dhëna nga 

:J(y_1, \ldots, y_n) = \sum^n_{k = 0}F\left(t_k, y_k, \frac{y_{k + 1} - y_k}{\Delta t}\right)\Delta t.

Extremalet e këtij funksionali të ri janë të përcaktuara ne pika diskret t_0,\ldots,t_{n + 1} që i korrespondojnë e pikave ku

:\frac{\partial J(y_1,\ldots,y_n)}{\partial y_m} = 0.

Duke llogaritur këtë derivate pjesor marrim

:\frac{\partial J}{\partial y_m} = F_y\left(t_m, y_m, \frac{y_{m + 1} - y_m}{\Delta t}\right)\Delta t + F_{y'}\left(t_{m - 1}, y_{m - 1}, \frac{y_m - y_{m - 1}}{\Delta t}\right) - F_{y'}\left(t_m, y_m, \frac{y_{m + 1} - y_m}{\Delta t}\right). 

Duke e pjesëtuar ekuacionin e mëlartëm me \Delta t marrim

:\frac{\partial}{\partial y_m \Delta t} = F_y\left(t_m, y_m, \frac{y_{m + 1} - y_m}{\Delta t}\right) - \frac{1}{\Delta t}\left[F_{y'}\left(t_m, y_m, \frac{y_{m + 1} - y_m}{\Delta t}\right) - F_{y'}\left(t_{m - 1}, y_{m - 1}, \frac{y_m - y_{m - 1}}{\Delta t}\right)\right],

dhe duke marrë limitin kur \Delta t \to 0 te anës së djathtë të shprehjes marrim

:\frac{\delta J}{\delta y} = F_y - \frac{d}{dt}F_{y'}.

Termi \frac{\delta J}{\delta y} tregon **derivatin variacional** të funksionalit J, si dhe konditën e nevojshme për një funksional të diferecueshem që të ketë një ekstremum në një funksion është që derivati variacional i saj tek ai funksion zhduket.

:

## Shembuj 
Një shembull standard është gjetja e një funksioni me vlerë reale në intervalin [*a*, *b*], i tillë që *f* (*a*) = *c* dhe *f* (*b*) = *d*, gjatësia e grafit të funksionit është sa më e shkurtër. Gjatësia e grafit të *f* është :
: \ell (f) = \int_{a}^{b} \sqrt{1+f'(x)^2}\,\mathrm{d}x,
Ku integrandi i funksionit është  i vlerësuar tek .

Derivatet pjesore të *L* janë :
:\frac{\partial L(x, y, y')}{\partial y'} = \frac{y'}{\sqrt{1 + y'^2}} \quad \text{and} \quad
\frac{\partial L(x, y, y')}{\partial y} = 0.
Duke zëvendësuar këto tek ekuacioni i Ojler-Lagranzhit, ne marrim 
: \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{f'(x)}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} = 0 \Rightarrow \frac{f'(x)}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} = \text{constant} \Rightarrow f'(x) = \text{constant:}
Pra, funksioni duhet të ketë derivatin e parë konstant, kështu që grafi është një segment i një vije të drejtë.

## Mekanika klasike 
### Metoda 
Për trë gjetur ekuacionet e lrëvizjes prër njrë sistem duhet trë ndjekim krëto hapa:
* Nga energjia kinetike T, dhe energjia potencialey V, llogaritni funksionin Lagranzhian L = T - V.
* Llogarit \frac{\partial L}{\partial q}.
* Llogarit \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} dhe nga ajo , \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}. Eshtë e rëndësishme që \dot{q} të trajtohet si një variabël komplete dhe jo si një derivat.
* Barazoni \frac{\partial L}{\partial q} = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}.  Ky është ekuacioni i Ojler&ndash;Lagranzhit.
* Zgjidhni ekuacionin diferencial e marrë në hapin e mëlartëm. Pas kësaj, \dot{q} trajtohet "normalisht".  Vini re se mënyra e mëlartme mund të japi një ekuacion ose një sistem ekuacionesh.

### Thërrmijat në një fushë konservative 
Lëvizja e një thërrmije të vetme në një fushë konservative (për shembull, forca gravitacionale) mund të përcaktohet po të vendosim kushtin që veprimi të jetë stacionar, nga  principi i Hamiltonit.  Veprimi për këtë system është
:S = \int_{t_0}^{t_1} L(t, \mathbf{x}(t), \mathbf{\dot{x}}(t))\,\mathrm{d}t
Ku **x**(*t*) është pozicioni i thërrmijës në kohën *t*.  Pika mbi variablat njihen si simbolika e Njutonit për derivatin kohor : pra **ẋ**(*t*) është shpejtësia e thërrmijës, **v**(*t*).  Në ekuacionin më lart  *L* është Funksioni i Lagranzhit (energjia kinetike minus energjinë potenciale) :
:L(t, \mathbf{x}, \mathbf{v}) = \frac{1}{2}m \sum_{i=1} ^{3} v_i^2 - U(\mathbf{x}),
ku :
* *m* është  masa e thërrmijës  (e cila është konstante në fizikën klasike) ;
* *v**i* është komponneti i *i*-te i vektorit **v** ne një system Kartezian koordinativ (i njëjti notacion do të përdoret edhe për vektorët e tjerë) ;
* *U* është potenciali i forcës konservative.
Në këtë rast, Lagrazhiani nuk ndyshon me argumentin e tij të parë *t*.  (Nga Teorema e Nëdherit, simetri të tilla të sistemit i korrespondojnë ligjeve të konservimit.  Në veçanti, invarianca e Lagranzhianit në lidhje me kohën implikon konservimin e energjisë.)

Nga diferencimi pjesor i Lagranzhianit të mësipërm, marrim :
:\frac{\partial L(t,\mathbf{x},\mathbf{v})}{\partial x_i} = -\frac{\partial U(\mathbf{x})}{\partial x_i} = F_i (\mathbf{x})\quad \text{and} \quad
\frac{\partial L(t,\mathbf{x},\mathbf{v})}{\partial v_i} = m v_i = p_i,
Ku forca **F** = −∇*U* (negativja e gradientit të potencialit, nga përcaktimi i forcës konservative), dhe **p** është impulsi (vrulli).

Duke zëvendësuar këto tek ekuacioni i Ojler–Lagrange, ne marrim një sistem ekuacionesh diferenciale të rendit të dyte për koordinatat e trajektores së thërrmijës,
:F_i(\mathbf{x}(t)) = \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t} m \dot{x}_i(t) = m \ddot{x}_i(t),
Të cilat mund të zgjidhen në një interval [*t*0, *t*1], po të kemi vlerat kufitare *x**i*(*t*0) dhe *x**i*(*t*1).
Në notacionin vektorial, ky sistem merr formën
:\mathbf{F}(\mathbf{x}(t)) =  m\mathbf{\ddot x}(t)
Ose, duke përdorur vrullin(impulsin),
: \mathbf{F} = \frac {\mathrm{d}\mathbf{p}} {\mathrm{d}t}
Nga e cila marrim ligjin e dytë të Njutonit.

## Teoria e fushës 
Teoritë e fushës, si teoria klasike e fushës ashtu edhe teoria kuantike e fushës, merren me koordinata të vazhdueshme, dhe ashtu si në mekaniken klasike, kanë ekuacionet e tyre të Ojler-Lagranzhit për lëvizjen në një fushë,
:: \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0. \,
:ku 
:\psi \, është fusha, dhe
:\partial\, është një operator diferencial:
::\partial_\mu = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right). \,

**Vini re** : Jo te gjitha teoritë e fushës marrin si hipotezë se variablat bozonike janë komutative, disa prej tyre (si fusha e Dirakut, fusha e Ueylit, fusha Rarita-Shuinger) janë fermionike kështu që, kur duam qe të marrim ekuacionet e fushës nga densiteti i Lagranzhit, duhet të zgjedhim nëqoftëse të përdorim derivatin e djathtë ose të majtë të densitetit Lagranzhian (i cili është një bozon) në lidhje me fushat dhe derivatet kohore të rendit të parë të cilat janë objekte fermionike/antikomutative.

Ka shume shembuj të ndryshëm ku ekuacionet e Ojler-Lagranzhit aplikohen direkt tek funksionet e ndryshme  Lagranzhiane.
* Ekuacioni i Dirakut
* Ekuacioni i Prokës
* Tensori elektromagnetik
* Ekuacioni  Korteweg–de Vries
* Elektrodinamika kuantike

## Për funksionet me shumë ndryshore 
Një përgjithësim multi-dimensional vjen duke konsideruar një funksion me *n* ndryshore.  Nëqoftëse Ω është një sipërfaqe, atëherë
:  S = \int_{\Omega} L(f, x_1, \dots , x_n, f_{x_1}, \dots , f_{x_n})\, \mathrm{d}\Omega \,\!

Merr një ekstremum vetëm nese *f* e plotëson ekuacionin diferencial pjesor

:  \frac{\partial L}{\partial f} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial L}{\partial f_{x_i}} = 0. \,\!

Kur *n* = 2 dhe *L* është funksionali i energjisë, kjo con tek një problem i tipit te sipërfaqes minimale.

## Shikoni gjithashtu 
Identiteti i Beltramit

## Shënime 
## Referime 
* 
* 
* 
* Calculus of Variations tek Example Problems.com *(Jep shembuj të problemeve nga analiza e variacionit të cilat përfshijnë ekuacionet e Ojler-Lagranzhit.)*