Shpërndarja Pareto

{{Infobox shpërndarja e gjasës|name=Pareto Type I|type=density|pdf_image=FDP Pareto për \alpha  të ndryshme me x_\mathrm{m} = 1. Kur \alpha \rightarrow \infty, shpërndarja i përafrohet \delta(x - x_\mathrm{m}), ku \delta është funksioni delta i Dirakut.|cdf_image=FMSH Pareto për \alpha të ndryshme me x_\mathrm{m} = 1.|parameters=x_\mathrm{m} > 0 Parametri i shkallës (real)\alpha > 0 Parametri i formës (real)|support=x \in [x_\mathrm{m}, \infty)|pdf=\frac{\alpha x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha+1}}|cdf=1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha|quantile=x_\mathrm{m} {(1 - p)}^{-\frac{1}{\alpha}}|mean=\begin{cases}
     \infty & \text{për }\alpha\le 1 \\
     \dfrac{\alpha x_\mathrm{m}}{\alpha-1} & \text{për }\alpha>1
   \end{cases}|median=x_\mathrm{m} \sqrt[\alpha]{2}|mode=x_\mathrm{m}|variance=\begin{cases}
     \infty & \text{për }\alpha\le 2 \\
     \dfrac{x_\mathrm{m}^2\alpha}{(\alpha- 1)^2(\alpha-2)} & \text{për }\alpha>2
   \end{cases}|skewness=\frac{2(1+\alpha)}{\alpha-3}\sqrt{\frac{\alpha-2}{\alpha}}\text{ për }\alpha>3|kurtosis=\frac{6(\alpha^3+\alpha^2-6\alpha-2)}{\alpha(\alpha-3)(\alpha-4)}\text{ për }\alpha>4|entropy=\log\left(\left(\frac{x_\mathrm{m}}{\alpha}\right)\,e^{1+\tfrac{1}{\alpha}}\right) |mgf=nuk ekziston|char=\alpha(-ix_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-ix_\mathrm{m}t)|fisher=\mathcal{I}(x_\mathrm{m},\alpha) = \begin{bmatrix}
                   \dfrac{\alpha}{x_\mathrm{m}^2} & -\dfrac{1}{x_\mathrm{m}} \\
                   -\dfrac{1}{x_\mathrm{m}} & \dfrac{1}{\alpha^2}
               \end{bmatrix}

               Right: \mathcal{I}(x_\mathrm{m},\alpha) = \begin{bmatrix}
                   \dfrac{\alpha^2}{x_\mathrm{m}^2} & 0 \\
                   0 & \dfrac{1}{\alpha^2}
               \end{bmatrix}}}

**Shpërndarja Pareto**, e emërtuar sipas inxhinierit të ndërtimit, ekonomistit dhe sociologut italian Vilfredo Pareto,  është një shpërndarje probabiliteti që përdoret në përshkrimin e dukurive të vëzhgueshme sociale, kontrollit të cilësisë, shkencore, gjeofizike, aktuariale dhe shumë llojeve të tjera; parimi i zbatuar fillimisht për të përshkruar shpërndarjen e pasurisë në një shoqëri, duke iu përshtatur prirjes që një pjesë e madhe e pasurisë të mbahet nga një pjesë e vogël e popullsisë.   Parimi Pareto ose "rregulli 80-20" që thotë se 80% e rezultateve janë për shkak të 20% të shkaqeve u emërtua për nder të Paretos, por konceptet janë të dallueshme dhe vetëm shpërndarjet Pareto me vlerë të formës ( \alpha ) rreth 4 5&nbsp;≈&nbsp;1.16 pasqyrojnë saktësisht atë. Vëzhgimi empirik ka treguar se kjo shpërndarje 80-20 përshtatet me një gamë të gjerë rastesh, duke përfshirë fenomenet natyrore  dhe aktivitetet njerëzore.  

## Përkufizimet 
Nëse X është një ndryshore e rastit me një shpërndarje Pareto,  atëherë probabiliteti që X është më i madh se një numër x, pra funksioni i mbijetesës (i quajtur edhe funksioni i bishtit), jepet nga

: \overline{F}(x) = \Pr(X>x) = \begin{cases}
\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha & x\ge x_\mathrm{m}, \\
1 & x 

ku x_m është vlera minimale e mundshme (domosdoshmërisht pozitive) e X, dhe \alpha është një parametër pozitiv. Shpërndarja Pareto Lloji I karakterizohet nga një parametër i shkallës x_m dhe një parametër i formës \alpha, i cili njihet si *indeksi i bishtit* . Kur kjo shpërndarje përdoret për të modeluar shpërndarjen e pasurisë, atëherë parametri \alpha quhet indeksi Pareto .

### Funksioni mbledhës i shpërndarjes 
Nga përkufizimi, funksioni mbledhës i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastit Pareto me parametra \alpha dhe x_m është

: F_X(x) = \begin{cases}
1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha & x \ge x_\mathrm{m}, \\
0 & x 

### Funksioni i densitetit të probabilitetit 
Nga kjo rrjedh (me diferencim ) se funksioni i dendësisë së probabilitetit është

: f_X(x)= \begin{cases} \frac{\alpha x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha+1}} & x \ge x_\mathrm{m}, \\ 0 & x 

## Vetitë 
### Momentet dhe funksioni karakteristik 
* Pritja matematike e një ndryshoreje rasti që ndjek një shpërndarje Pareto është

:: \operatorname{E}(X)= \begin{cases} \infty & \alpha\le 1, \\
\frac{\alpha x_\mathrm{m}}{\alpha-1} & \alpha>1.
\end{cases}

* Varianca e një ndryshoreje të rastit që ndjek një shpërndarje Pareto është

:: \operatorname{Var}(X)= \begin{cases}
\infty & \alpha\in(1,2], \\
\left(\frac{x_\mathrm{m}}{\alpha-1}\right)^2 \frac{\alpha}{\alpha-2} & \alpha>2.
\end{cases}

: (Nëse \alpha \leq 1, varianca nuk ekziston. )

* Momentet e papërpunuara janë

:: \mu_n'= \begin{cases} \infty & \alpha\le n, \\ \frac{\alpha x_\mathrm{m}^n}{\alpha-n} & \alpha>n. \end{cases}

* Funksioni gjenerues i momentit përcaktohet vetëm për vlerat jo pozitive t \leq 0 si

:: M\left(t;\alpha,x_\mathrm{m}\right) = \operatorname{E} \left [e^{tX} \right ] = \alpha(-x_\mathrm{m} t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-x_\mathrm{m} t)
:: M\left(0,\alpha,x_\mathrm{m}\right)=1.

* Funksioni karakteristik jepet nga

:: \varphi(t;\alpha,x_\mathrm{m})=\alpha(-ix_\mathrm{m} t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-ix_\mathrm{m} t),

: ku \Gamma(a,x) është funksioni i paplotë gama .

### Mesatarja harmonike 
Mesatarja harmonike ( *H* ) është 

:  H = x_\text{m} \left( 1 + \frac{ 1 }{ \alpha } \right).

### Lidhja me shpërndarjen eksponenciale 
Shpërndarja Pareto lidhet me shpërndarjen eksponenciale si më poshtë. Nëse *X* është Pareto-shpërndarë me minimum *x* m dhe indeks&nbsp;*α*, atëherë

:  Y = \log\left(\frac{X}{x_\mathrm{m}}\right) 

shpërndahet në mënyrë eksponenciale me parametrin e shakllës &nbsp;*α* . Në mënyrë ekuivalente, nëse *Y* shpërndahet në mënyrë eksponenciale me shpejtësi&nbsp;*α*, atëherë

:  x_\mathrm{m} e^Y

është Pareto-shpërndarë me minimum *x* m dhe indeks&nbsp;*α* .

Më në përgjithësi, nëse \lambda \sim \text{Gamma}(\alpha, \beta) (parametizimi i shkallës së formës) dhe \eta | \lambda \sim \text{Exp}(\lambda) , atëherë \beta + \eta \sim \text{Pareto}(\beta, \alpha) .

### Lidhja me shpërndarjen log-normale 
Shpërndarja Pareto dhe shpërndarja log-normale janë shpërndarje alternative për përshkrimin e madhësive të së njëjtit lloj. Një nga lidhjet ndërmjet të dyjave është se ato janë të dyja shpërndarjet e eksponencialit të ndryshoreve të rastit të shpërndara sipas shpërndarjeve të tjera të zakonshme, përkatësisht shpërndarjes eksponenciale dhe shpërndarjes normale . (Shih seksionin e mëparshëm . )

## Konkluzioni statistikor 
### Vlerësimi i parametrave 
Funksioni i përgjasisë për parametrat e shpërndarjes Pareto *α* dhe *x* m, duke pasur parasysh një mostër të pavarur x = (x_1,x_2,...,x_n), është

: L(\alpha, x_\mathrm{m}) = \prod_{i=1}^n \alpha \frac {x_\mathrm{m}^\alpha} {x_i^{\alpha+1}} = \alpha^n x_\mathrm{m}^{n\alpha} \prod_{i=1}^n \frac {1}{x_i^{\alpha+1}}.

Prandaj, funksioni logaritmik të përgjasisë është

: \ell(\alpha, x_\mathrm{m}) = n \ln \alpha + n\alpha \ln x_\mathrm{m} - (\alpha + 1) \sum_{i=1} ^n \ln x_i.

Mund të shihet se \ell(\alpha, x_\mathrm{m}) është në rritje monotonike me x_m, pra sa më e madhe të jetë vlera e x_m, aq më e madhe është vlera e funksionit të gjasave. Prandaj, meqenëse x \geq x_m, arrijmë në përfundimin se

: \widehat x_\mathrm{m} = \min_i {x_i}.

Për të gjetur vlerësuesin për *α*, ne llogarisim derivatin e pjesshëm përkatës dhe përcaktojmë se ku është zero:

: \frac{\partial \ell}{\partial \alpha} = \frac{n}{\alpha} + n \ln x_\mathrm{m} - \sum _{i=1}^n \ln x_i = 0.

Kështu, vlerësuesi i përgjasisë maksimale për *α* është:

: \widehat \alpha = \frac{n}{\sum _i \ln (x_i/\widehat x_\mathrm{m}) }.

Gabimi statistikor i pritur është: 

: \sigma = \frac {\widehat \alpha} {\sqrt n}. 

## Ndodhia dhe aplikimet 
### Të përgjithshme 
Vilfredo Pareto fillimisht e përdori këtë shpërndarje për të përshkruar ndarjen e pasurisë midis individëve pasi dukej se tregonte mjaft mirë mënyrën se një pjesë më e madhe e pasurisë së çdo shoqërie zotërohet nga një përqindje më e vogël e njerëzve në atë shoqëri. Ai gjithashtu e përdori atë për të përshkruar shpërndarjen e të ardhurave.  Kjo ide ndonjëherë shprehet më thjesht si parimi Pareto ose "rregulli 80-20" që thotë se 20% e popullsisë kontrollon 80% të pasurisë.  Megjithatë, rregulli 80-20 korrespondon me një vlerë të veçantë të *α*, dhe në fakt, të dhënat e Paretos mbi tatimet britanike mbi të ardhurat në ''Cours d'économie politique* tregojnë se rreth 30% e popullsisë kishte rreth 70% të të ardhurave.Grafiku i funksionit të dendësisë së probabilitetit (FDP) në fillim të këtij artikulli tregon se "probabiliteti" ose pjesa e popullsisë që zotëron një sasi të vogël pasurie për person është mjaft e lartë dhe më pas zvogëlohet në mënyrë të qëndrueshme me rritjen e pasurisë. (Sidoqoftë, shpërndarja Pareto nuk është realiste për pasurinë për pjesën e poshtme. Në fakt, vlera neto mund të jetë edhe negative. ) Kjo shpërndarje nuk kufizohet në përshkrimin e pasurisë ose të ardhurave, por në shumë situata në të cilat gjendet një baraspeshë në shpërndarjen e "të voglave" tek "të mëdhatë". Shembujt e mëposhtëm shihen ndonjëherë si të shpërndarë përafërsisht Pareto:

* Madhësitë e vendbanimeve njerëzore (pak qytete, shumë fshatra/fshatra)  
* Shpërndarja e madhësisë së skedarit të trafikut të internetit që përdor protokollin TCP (shumë skedarë më të vegjël, pak më të mëdhenj) 
* Grupet e kondensatës Bose-Einstein  afër zeros absolute 

* Vlerat e rezervave të naftës në fushat e naftës (disa fusha të mëdha, shumë fusha të vogla ) 
* Shpërndarja e gjatësisë në punët e caktuara për superkompjuterët (disa të mëdhenj, shumë të vegjël) 
* Kthimet e standardizuara të çmimeve për aksionet individuale  
* Sasia e kohës që një përdorues në Steam do të kalojë duke luajtur lojëra të ndryshme. (Disa lojëra luhen shumë, por shumica luhen pothuajse kurrë.) https://docs.google.com/spreadsheets/d/1AjtfgTQc1T84NCyJWGcCPN4jrVsOpX0bp0jgPZJEW6A/edit#gid=0 
* Në B&#x5B; *hulumtim origjinal?''esueshmërinë e Shpërndarjes së Ndërmarrjeve Elektrike (80% e minutave të ndërprera të klientit ndodhin në afërsisht 20% të ditëve në një vit të caktuar).