Kurtoza e tepërt

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, **kurtoza** (nga greqishtja κυρτός , *kyrtos* ose *kurtos*, që do të thotë "i lakuar, i harkuar") është një masë e "bishtësisë" së shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastit me vlera reale . Ashtu si anshmëria, kurtoza përshkruan një tipar të veçantë të një shpërndarje probabiliteti. Ka mënyra të ndryshme për të përcaktuar sasinë e kurtozës për një shpërndarje teorike, dhe ka mënyra përkatëse për ta vlerësuar atë duke përdorur një kampion nga një popullatë. Masat e ndryshme të kurtozës mund të kenë interpretime të ndryshme.

Masa standarde e kurtozës së shpërndarjes, me origjinë nga Karl Pearson, është një version i shkallëzuar i momentit të katërt të shpërndarjes. Ky numër lidhet me bishtat e shpërndarjes, jo me kulmin e saj; prandaj, karakterizimi i parë ndonjëherë i kurtozës si " masë " është i pasaktë. Për këtë masë, kurtoza më e lartë korrespondon me ekstremitetin më të madh të devijimeve (ose të jashtme ), dhe jo me konfigurimin e të dhënave afër mesatares .

## Momentet e Pearsonit 
Kurtoza është momenti i katërt i standardizuar, i përcaktuar si

: 
\operatorname{Kurt}[X] = \operatorname{E}\left[\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right)^4\right] = \frac{\operatorname{E}\left[(X - \mu)^4\right]}{\left(\operatorname{E}\left[(X - \mu)^2\right]\right)^2} = \frac{\mu_4}{\sigma^4},

ku *μ* 4 është momenti i katërt qendror dhe σ është devijimi standard . Në literaturë përdoren disa shkronja për të shënuar kurtozën. Një zgjedhje shumë e zakonshme është *κ*, e cila është e mirë për sa kohë që është e qartë se nuk i referohet një mbledhësi . Zgjedhje të tjera përfshijnë *γ*2, që të jetë e ngjashme me shënimin e anshmërisë, megjithëse ndonjëherë kjo rezervohet për kurtozën e tepërt.

Kurtoza kufizohet më poshtë nga anshmëria në katror plus 1:

:  \frac{\mu_4}{\sigma^4} \geq \left(\frac{\mu_3}{\sigma^3}\right)^2 + 1,

ku *μ*3 është momenti i tretë qendror . Kufiri i poshtëm realizohet nga shpërndarja e Bernulit . Nuk ka kufi të sipërm për kurtozën e një shpërndarjeje të përgjithshme probabiliteti dhe mund të jetë e pafundme.

Një arsye pse disa autorë favorizojnë kurtozën e tepërt është se mbledhësit janë ekstensivë . Formulat që lidhen me vetinë ekstensive shprehen më natyrshëm në termat e kurtozës së tepërt. Për shembull, le të jenë X_1,X_2,...,X_n ndryshore të rastit të pavarura për të cilat ekziston momenti i katërt dhe le të jetë Y ndryshorja e rastit e përcaktuar nga shuma e X_i. Kurtoza e tepërt e Y është

: \operatorname{Kurt}[Y] - 3 = \frac{1}{\left( \sum_{j=1}^n \sigma_j^{\,2}\right)^2} \sum_{i=1}^n \sigma_i^{\,4} \cdot \left(\operatorname{Kurt}\left[X_i\right] - 3\right),

ku \sigma_i është devijimi standard i X_i . Në veçanti nëse të gjitha X_i kanë të njëjtën variancë, atëherë kjo thjeshtohet në

: \operatorname{Kurt}[Y] - 3 = {1 \over n^2} \sum_{i=1}^n \left(\operatorname{Kurt}\left[X_i\right] - 3\right).

Arsyeja për të mos zbritur 3 është se momenti i katërt i zhveshur përgjithësohet më mirë në shpërndarjet shumëndryshore, veçanërisht kur pavarësia nuk supozohet. Bashkëkurtoza midis çifteve të ndryshoreve është tensori i rendit katër. Për një shpërndarje normale dyndryshore, tensori i kokurtozës ka terma jashtë diagonales që nuk janë as 0 as 3 në përgjithësi, kështu që përpjekja për të "korrigjuar" për një tepricë bëhet konfuze. Është e vërtetë, megjithatë, se mbledhësit e përbashkët të shkallës më të madhe se dy për çdo shpërndarje normale shumëndryshore janë zero.

Për dy ndryshore të rastit, X dhe Y, jo domosdoshmërisht të pavarura, kurtoza e shumës, X+Y, është

: 
\begin{align}
\operatorname{Kurt}[X+Y] = {1 \over \sigma_{X+Y}^4} \big( & \sigma_X^4\operatorname{Kurt}[X] + 4\sigma_X^3\sigma_Y\operatorname{Cokurt}[X,X,X,Y] \\
& {} + 6\sigma_X^2\sigma_Y^2\operatorname{Cokurt}[X,X,Y,Y] \\[6pt]
& {} + 4\sigma_X\sigma_Y^3\operatorname{Cokurt}[X,Y,Y,Y] + \sigma_Y^4\operatorname{Kurt}[Y] \big).
\end{align}

### Interpretimi i Mursit 
Në 1986 Mursi dha një interpretim të kurtozës. Le të jetë

:  Z = \frac{ X - \mu } \sigma, 

ku X është një ndryshore e rastit, \mu është mesatarja dhe \sigma është shmangia standarde.

Tani sipas përkufizimit të kurtozës  \kappa , dhe nga identiteti i njohur  E\left[V^2\right] = \operatorname{var}[V] + [E[V]]^2, 

: \kappa =
 E\left[ Z^4 \right] =
 \operatorname{var}\left[ Z^2 \right] + \left[E\left[Z^2\right]\right]^2 =
 \operatorname{var}\left[ Z^2 \right] + [\operatorname{var}[Z]]^2 =
 \operatorname{var}\left[ Z^2 \right] + 1
 .

Kurtoza tani mund të shihet si një masë e shpërndarjes së Z^2 rreth pritjes së saj. Përndryshe, mund të shihet se është një masë e shpërndarjes së Z rreth +1 dhe&nbsp;−1. *κ* e arrin vlerën e saj minimale në një shpërndarje simetrike me dy pika. Për sa i përket ndryshores origjinale X, kurtoza është një masë e shpërndarjes së X rreth dy vlerave \mu \plusmn \sigma .

## Kurtoza e tepërt 
*Kurtoza e tepërt* përcaktohet si kurtoza minus 3. Ekzistojnë 3 regjime të dallueshme siç përshkruhen më poshtë.

### Mesokurtizmi 
Shpërndarjet me kurtozë të tepërt zero quhen **mezokurtike**, ose mezokurtotike. Shembulli më i spikatur i një shpërndarjeje mezokurtike është familja e shpërndarjes normale, pavarësisht nga vlerat e parametrave të saj. Disa shpërndarje të tjera të njohura mund të jenë mezokurtike, në varësi të vlerave të parametrave: për shembull, shpërndarja binomiale është mezokurtike për p = 1/2 \pm \sqrt{1/12} .

### Leptokurtizmi 
Një shpërndarje me kurtozë të tepërt pozitive quhet **leptokurtike**, ose leptokurtotike. "Lepto-" do të thotë "i hollë".  Për sa i përket formës, një shpërndarje leptokurtike ka *bishta më të trashë* . Shembuj të shpërndarjeve leptokurtike përfshijnë shpërndarjen e Studentit t, shpërndarjen Rayleigh, shpërndarjen Laplace, shpërndarjen eksponenciale, shpërndarjen Poisson dhe shpërndarjen logjistike . Shpërndarje të tilla nganjëherë quhen *super-Gausiane* . [12]

### Platikurtizmi 
parapamje| Hedhja e monedhës është shpërndarja më platikurtike
Një shpërndarje me kurtozë të tepërt negative quhet **platikurtike**, ose platikurtotike. "Platy-" do të thotë "i gjerë".  Për sa i përket formës, një shpërndarje platikurtike ka *bishta më të hollë* . Shembuj të shpërndarjeve platikurtike përfshijnë shpërndarjet uniforme të vazhdueshme dhe diskrete dhe shpërndarjen e kosinusit të ngritur . Shpërndarja më platikurtike nga të gjitha është shpërndarja e Bernult me *p* = 1/2 (për shembull, sa herë që merret varianti "kokë" kur hidhet një monedhë një herë, një hedhje monedhe ), për të cilën kurtoza e tepërt është -2.