Prodhimi skalar

Në matematikë, **prodhimi me pikë** ose **prodhimi skalar**  është një veprim algjebrik që merr dy vergje numrash me gjatësi të barabartë (zakonisht vektorë koordinativë ) dhe kthen një numër të vetëm. Në gjeometrinë Euklidiane, prodhimi skalar i koordinatave karteziane të dy vektorëve përdoret gjerësisht. Shpesh quhet **produkt i brendshëm** (ose rrallë **produkt i projeksionit** ) i hapësirës Euklidiane, edhe pse nuk është i vetmi prodhim i brendshëm që mund të përcaktohet në hapësirën Euklidiane (shih hapësirën e brendshme të prodhimit për më shumë).

Nga ana algjebrike, prodhimi me pikë është shuma e produkteve të hyrjeve përkatëse të dy vargjeve të numrave. Gjeometrikisht, është prodhim i madhësive Euklidiane të dy vektorëve dhe kosinusit të këndit ndërmjet tyre. Këto përkufizime janë të njëvlershme kur përdoren koordinatat karteziane. Në gjeometrinë moderne, hapësirat Euklidiane shpesh përcaktohen duke përdorur hapësira vektoriale . Në këtë rast, prodhimi me pikë përdoret për përcaktimin e gjatësive (gjatësia e një vektori është rrënja katrore e prodhimit me pikë të vektorit me veten) dhe këndet (kosinusi i këndit midis dy vektorëve është herësi i prodhimit të tyre me pikë me nga prodhimin e gjatësisë së tyre).

Emri "prodhim me pikë" rrjedh nga pika e përqendruar "&nbsp;**·**&nbsp;" që përdoret shpesh për të përcaktuar këtë veprim;  emri alternativ "prodhim skalar" thekson se rezultati është një skalar, në vend të një vektor (si me produktin vektorial në hapësirën tre-dimensionale).

## E ç'është prodhimi skalar? 
Prodhimi me pikë mund të përcaktohet në mënyrë algjebrike ose gjeometrike. Përkufizimi gjeometrik bazohet në nocionet e këndit dhe largësisë (madhësia) mes vektorëve. Njëvlershmëria e këtyre dy përkufizimeve mbështetet në të paturit e një sistemi koordinativ kartezian për hapësirën Euklidiane.

### Përkufizimi koordinativ 
Prodhimi skalar i dy vektorëve \mathbf{a} = [a_1, a_2, \cdots, a_n] dhe {{Nowrap|\mathbf{b} = [b_1, b_2, \cdots, b_n],}} i specifikuar në lidhje me një bazë ortonormale, përkufizohet si: \mathbf a \cdot \mathbf b = \sum_{i=1}^n a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_nku \Sigma tregon shumën dhe n është dimensioni i hapësirës vektoriale . Për shembull, në hapësirën tre-dimensionale, produkti me pika i vektorëve  dhe  është:
\begin{align}
\ [1, 3, -5] \cdot [4, -2, -1] &= (1 \times 4) + (3\times-2) + (-5\times-1) \\
&= 4 - 6 + 5 \\
&= 3
\end{align}
Po kështu, prodhimi skalar i vektorit  me vetveten është:
\begin{align}
\ [1, 3, -5] \cdot [1, 3, -5] &= (1 \times 1) + (3\times 3) + (-5\times -5) \\
&= 1 + 9 + 25 \\
&= 35
\end{align}
Nëse vektorët identifikohen me vektorët kolonë, prodhimi me pikë mund të shkruhet gjithashtu si prodhim matricor\mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf a^{\mathsf T} \mathbf b,ku a{^\mathsf T} tregon transpozimin e \mathbf a .

### Përkufizimi gjeometrik 
parapamje| Ilustrim që tregon se si të gjendet këndi midis vektorëve duke përdorur prodjhimin skalar
parapamje|216x216px| Llogaritja e këndeve të lidhjes së një gjeometrie molekulare simetrike tetraedrale duke përdorur një prodhim skalar
Në hapësirën Euklidiane, një vektor Euklidian është një objekt gjeometrik që zotëron një madhësi dhe një drejtim. Një vektor mund të paraqitet si një shigjetë. Madhësia e tij është gjatësia e tij, dhe drejtimi i tij është drejtimi në të cilin tregon shigjeta. Madhësia e një vektori \mathbf{a} shënohet me  \left\| \mathbf{a} \right\|  . Prodhimi skalar i dy vektorëve Euklidianë \mathbf{a} dhe \mathbf{b} është përcaktuar nga   \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}= \left\|\mathbf{a}\right\| \left\|\mathbf{b}\right\|\cos\theta ,ku \theta është këndi ndërmjet \mathbf{a} dhe \mathbf{b} .

Në veçanti, nëse vektorët \mathbf{a} dhe \mathbf{b} janë ortogonalë (d.m.th., këndi i tyre është \frac{\pi}{2} ose 90^\circ ), pastaj \cos \frac \pi 2 = 0, që nënkupton se\mathbf a \cdot \mathbf b = 0 .Në skajin tjetër, nëse ata janë të njëanshëm, atëherë këndi ndërmjet tyre është zero me \cos 0 = 1 dhe\mathbf a \cdot \mathbf b = \left\| \mathbf a \right\| \, \left\| \mathbf b \right\| Kjo nënkupton që produkti me pikë i një vektori \mathbf{a} me vetveten është\mathbf a \cdot \mathbf a = \left\| \mathbf a \right\| ^2 ,që jep \left\| \mathbf a \right\| = \sqrt{\mathbf a \cdot \mathbf a} ,

## Vetitë 
Prodhimi skalar plotëson vetitë e mëposhtme nëse \mathbf{a}, \mathbf{b}, dhe \mathbf{c} janë vektorë realë dhe r, c_1 dhe c_2 janë skalarë .  

; Ndërruese 
:  \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} ,
; Shpërndarëse në lidhje me mbledhjen e vektorëve
:  \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} .
; Bilineare
:  \mathbf{a} \cdot ( r \mathbf{b} + \mathbf{c} ) = r ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) + ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} ) .
; Shumëzimin skalar
:  ( c_1 \mathbf{a} ) \cdot ( c_2 \mathbf{b} ) = c_1 c_2 ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) .
; Jo shoqëruese
: sepse prodhimi me pikë ndërmjet një skalari \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} dhe një vektori \mathbf{c} nuk është i përcaktuar, që do të thotë se shprehjet e përfshira në vetinë e shoqërimit, (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\cdot\mathbf{c} ose \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}) janë të dyja të keqpërcaktuara.  Sidoqoftë, vini re se vetia e shumëzimit skalar e përmendur më parë ndonjëherë quhet "ligji shoqërues për prodhimin skalar dhe atë me pikë"  ose mund të thuhet se "produkti me pikë është shoqërues në lidhje me shumëzimin skalar" sepse c (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = (c\mathbf{a})\cdot\mathbf{b} = \mathbf{a}\cdot(c\mathbf{b}) . 
; Ortogonale
: Dy vektorë jo zero \mathbf{a} dhe \mathbf{b} janë *ortogonalë* atëherë dhe vetëm atëherë kur \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 .
; Asnjë anulim
: Ndryshe nga shumëzimi i numrave të zakonshëm, ku nëse ab=ac, pastaj b gjithmonë të barabartë c përveç nëse a është zero, produkti me pikë nuk i bindet ligjit të anulimit : Nëse \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{c} dhe \mathbf{a}\neq\mathbf{0}, atëherë mund të shkruajmë: \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{c}) = 0 sipas ligjit shpërndarës ; rezultati i mësipërm thotë se kjo do të thotë vetëm se \mathbf{a} është pingul me (\mathbf{b}-\mathbf{c}), e cila ende lejon (\mathbf{b}-\mathbf{c})\neq\mathbf{0}, dhe për këtë arsye lejon \mathbf{b}\neq\mathbf{c} .
; Rregulli i prodhimit
: Nëse \mathbf{a} dhe \mathbf{b} janë funksione të diferencueshme me vlerë vektoriale, pastaj derivati ( i shënuar me një të thjeshtë {}' ) të \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} jepet nga rregulli (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})' = \mathbf{a}'\cdot\mathbf{b} + \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}'.

### Zbatimi në ligjin e kosinusit 
parapamje|127x127px| Trekëndësh me skajet vektoriale **a** dhe **b**, të ndara me kënd *θ* .
Jepen dy vektorë {\color{red}\mathbf{a}} dhe {\color{blue}\mathbf{b}} të ndara sipas këndit \theta (shih imazhin djathtas), ato formojnë një trekëndësh me një anë të tretë {\color{orange}\mathbf{c}} = {\color{red}\mathbf{a}} - {\color{blue}\mathbf{b}} . Le a, b dhe c tregojnë gjatësitë e {\color{red}\mathbf{a}}, {\color{blue}\mathbf{b}}, dhe {\color{orange}\mathbf{c}}, respektivisht. Produkti me pika i kësaj me vetveten është:
\begin{align}
\mathbf{\color{orange}c} \cdot \mathbf{\color{orange}c} & = ( \mathbf{\color{red}a} - \mathbf{\color{blue}b}) \cdot ( \mathbf{\color{red}a} - \mathbf{\color{blue}b} ) \\
 & = \mathbf{\color{red}a} \cdot \mathbf{\color{red}a} - \mathbf{\color{red}a} \cdot \mathbf{\color{blue}b} - \mathbf{\color{blue}b} \cdot \mathbf{\color{red}a} + \mathbf{\color{blue}b} \cdot \mathbf{\color{blue}b} \\
 & = {\color{red}a}^2 - \mathbf{\color{red}a} \cdot \mathbf{\color{blue}b} - \mathbf{\color{red}a} \cdot \mathbf{\color{blue}b} + {\color{blue}b}^2 \\
 & = {\color{red}a}^2 - 2 \mathbf{\color{red}a} \cdot \mathbf{\color{blue}b} + {\color{blue}b}^2 \\
{\color{orange}c}^2 & = {\color{red}a}^2 + {\color{blue}b}^2 - 2 {\color{red}a} {\color{blue}b} \cos \mathbf{\color{purple}\theta} \\
\end{align}
i cili është ligji i kosinusit .

## Fizika 
Në fizikë, madhësia vektoriale është një skalar në kuptimin fizik (dmth., një madhësi fizike e pavarur nga sistemi i koordinatave), e shprehur si prodhim i një vlere numerike dhe një njësie fizike, jo thjesht një numër. Prodhimi me pikë është gjithashtu një skalar në këtë kuptim, i dhënë nga formula, i pavarur nga sistemi i koordinatave. Për shembull:  

* Puna mekanike është prodhimi me pikë i vektorëve të forcës dhe zhvendosjes ,
* Fuqia është prodhimi me pikë i forcës dhe shpejtësisë .