Probabiliteti i pasëm

**Probabiliteti i pasëm** ose **posterior** është një lloj probabiliteti i kushtëzuar që rezulton nga përditësimi i probabilitetit të parmë me informacion të përmbledhur nga gjasat nëpërmjet zbatimit të rregullit të Bayes .  Nga një këndvështrim epistemologjik, probabiliteti i pasëm përmban gjithçka që duhet të dihet për një propozim të pasigurt (të tilla si një hipotezë shkencore ose vlera parametrash), duke pasur parasysh njohuritë e mëparshme dhe një model matematikor që përshkruan vëzhgimet e gatshme në një kohë të caktuar.  Pas mbërritjes së informacionit të ri - të pasëm ose të mëvonshëm në kohë - probabiliteti i tanishëm i pasmë/posterior mund të shërbejë si i parmë/prior në një raund tjetër të përditësimit Bayesian. 

## Përkufizimi në rastin e shpërndarjes 
për të vazhdueshme \theta, ose duke përmbledhur p(x|\theta)p(\theta) mbi të gjitha vlerat e mundshme të \theta për diskrete \theta . 

Në metodat variacionale Bejesiane, probabiliteti i pasëm është probabiliteti i parametrave \theta dhënë faktet X, dhe shënohet p(\theta |X) .

Ai duhet kontrastuar me funksionin e gjasave, i cili është probabiliteti i provave duke pasur parasysh parametrat: p(X|\theta) .

Duke pasur parasysh një besim paraprak/të pasëm se një funksion i shpërndarjes së probabilitetit është p(\theta) dhe se vëzhgimet x kanë gjasa p(x|\theta), atëherë probabiliteti i pasëm përcaktohet si

:  p(x) = \int p(x|\theta)p(\theta)d\theta

ku p(x) është konstantja normalizuese dhe llogaritet si

: p(\theta|x) = \frac{p(x|\theta)}{p(x)}p(\theta), 

## Shembull 
Supozoni se ka një shkollë me 60% djem dhe 40% vajza si nxënës. Vajzat veshin pantallona ose funde në numër të barabartë; të gjithë djemtë veshin pantallona. Një vëzhgues sheh një student (të rastësishëm) nga larg; Gjithçka që vëzhguesi mund të shohë është se ky student ka veshur pantallona. Sa është probabiliteti që kjo studente të jetë vajzë? Përgjigja e saktë mund të llogaritet duke përdorur teoremën e Bayes.

Ngjarja G është se "studentja e pikasur është një vajzë", dhe ngjarja T është se "studenti i vëzhguar ka veshur pantallona". Për të llogaritur probabilitetin e pasëm P(G|T), fillimisht duhet të dimë:

* P(G), ose probabiliteti që studentja të jetë vajzë pavarësisht nga çdo informacion tjetër. Duke qenë se vëzhguesi sheh një student të rastit, që do të thotë se të gjithë nxënësit kanë të njëjtin probabilitet për t'u vëzhguar, dhe përqindja e vajzave në mesin e studentëve është 40%, ky probabilitet është i barabartë me 0.4.
* P(B), ose probabiliteti që studenti të mos jetë vajzë (dmth. djalë) pavarësisht nga ndonjë informacion tjetër ( B është ngjarja plotëse e G ). Kjo është 60%, ose 0.6.
* P(T|G), ose probabiliteti që studenti të veshë pantallona duke ditur se studentja është vajzë. Meqënëse kanë gjasa të veshin funde sa edhe pantallonat, kjo është 0.5.
* P(T|B), ose probabiliteti që studenti të veshë pantallona duke ditur se studenti është djalë. Kjo jepet si 1.
* P(T), ose probabiliteti që një student (i përzgjedhur rastësisht) të veshë pantallona pavarësisht nga çdo informacion tjetër. Nga ku nxjerrim P(T) = P(T|G)P(G) + P(T|B)P(B) (nëpërmjet ligjit të probabilitetit total ), kjo është P(T)= 0.5\times0.4 + 1\times0.6 = 0.8 .

Duke pasur parasysh gjithë këtë informacion, **probabiliteti i pasëm** që vëzhguesi të ketë pikasur një vajzë, duke pasur parasysh se studenti i vëzhguar ka veshur pantallona, mund të llogaritet duke zëvendësuar këto vlera në formulën:

: P(G|T) = \frac{P(T|G) P(G)}{P(T)} = \frac{0.5 \times 0.4}{0.8} = 0.25.

## Llogaritja 
Shpërndarja e pasme e probabilitetit të një ndryshoreje të rastit duke ditur parasysh vlerën e një tjetre mund të llogaritet me teoremën e Bayes duke shumëzuar shpërndarjen e parme të probabilitetit me funksionin e gjasave dhe më pas pjesëtuar me konstanten normalizuese, si më poshtë:

: f_{X\mid Y=y}(x)={f_X(x) \mathcal L_{X\mid Y=y}(x) \over {\int_{-\infty}^\infty f_X(u) \mathcal L_{X\mid Y=y}(u)\,du}}

jep funksionin e densitetit të probabilitetit të pasëm për një ndryshore të rastësishme X duke pasur parasysh të dhënat Y=y, ku

* f_X(x) është dendësia e parme e X ,
* \mathcal L_{X\mid Y=y}(x) = f_{Y\mid X=x}(y) është funksioni i gjasave si funksion i x ,
* \int_{-\infty}^\infty f_X(u) \mathcal L_{X\mid Y=y}(u)\,du është konstantja normalizuese, dhe
* f_{X\mid Y=y}(x) është dendësia e pasme e X duke pasur parasysh të dhënat Y=y .