Matricat Pauli

[djathtas|parapamje| [Wolfgang Pauli (1900–1958), shek. 1924. Pauli mori çmimin Nobel në fizikë në vitin 1945, i nominuar nga Albert Einstein, për parimin e përjashtimit të Paulit .]]
Në fizikën matematike dhe matematikë, **matricat Pauli** janë një grup prej tre matricash komplekse 2 × 2 që janë pa gjurmë, hermitiane, jovolutive dhe unitare . Zakonisht të treguara me shkronjën greke sigma ( σ ), ato shënohen herë pas here me tau ( τ ) kur përdoren në lidhje me simetritë izospine . 
\begin{align}
 \sigma_1 = \sigma_x &=
  \begin{pmatrix}
   0&1\\
   1&0
  \end{pmatrix}, \\
 \sigma_2 = \sigma_y &=
  \begin{pmatrix}
   0& -i \\
   i&0
  \end{pmatrix}, \\
 \sigma_3 = \sigma_z &=
  \begin{pmatrix}
   1&0\\
   0&-1
  \end{pmatrix}. \\
\end{align}

Këto matrica kanë marrë emrin e fizikanit Wolfgang Pauli . Në mekanikën kuantike, ato ndodhin në ekuacionin Pauli, i cili merr parasysh bashkëveprimin e rrotullimit të një grimce nën një fushë elektromagnetike të jashtme. Ato gjithashtu përfaqësojnë gjendjet e ndërveprimit të dy filtrave të polarizimit për polarizimin horizontal/vertikal, polarizimi 45 gradë (djathtas/majtas) dhe polarizimi rrethor (djathtas/majtas).

Çdo matricë Pauli është hermitiane, dhe së bashku me matricën e identitetit I (ndonjëherë konsiderohet si matrica zero Pauli σ 0 ), matricat Pauli formojnë një bazë për hapësirën vektoriale reale të matricave 2 × 2 hermitiane. Kjo do të thotë që çdo matricë hermitiane 2 × 2 mund të shkruhet në një mënyrë unike si një kombinim linear i matricave Pauli, ku të gjithë koeficientët janë numra realë.

Operatorët hermitianë përfaqësojnë të vëzhgueshmet në mekanikën kuantike, kështu që matricat e Paulit përfshijnë hapësirën e vëzhguesve të hapësirës komplekse dy-dimensionale të Hilbertit . Në kontekstin e punës së Paulit, σk përfaqëson të vëzhgueshmen që korrespondon me rrotullimin përgjatë boshtit të koordinatave k në hapësirën Euklidiane tredimensionale \mathbb{R}^3 .

Matricat Pauli (pas shumëzimit me *i* për t'i bërë ato anti-hermitiane ) gjenerojnë gjithashtu transformime në kuptimin e algjebrave të gënjeshtrës : matricat iσ1, iσ2, iσ3 formojnë një bazë për algjebrën reale Lie \mathfrak{su}(2), i cili përfaqëson grupin unitar special SU(2) .  Algjebra e krijuar nga tre matricat σ1, σ2, σ3është izomorfe me algjebrën e Cliffordit të  \mathbb{R}^3,  dhe algjebra shoqëruese (unitare) e krijuar nga iσ1, iσ2, iσ3 funksionon identikisht ( është izomorfe ) me atë të kuaternioneve ( \mathbb{H} ).

## Vetitë algjebrike 
Të tre matricat Pauli mund të kondensohen në një shprehje të vetme:

: 
 \sigma_j = 
  \begin{pmatrix}
   \delta_{j3}          & \delta_{j1} - i\,\delta_{j2}\\
   \delta_{j1} + i\,\delta_{j2} & -\delta_{j3}
  \end{pmatrix},

ku zgjidhja për i2 = −1 është " njësia imagjinare ", dhe δjk është delta e Kronecker-it, e cila është e barabartë me +1 nëse j = k dhe 0 ndryshe. Kjo shprehje është e dobishme për "përzgjedhjen" e cilësdo prej matricave numerikisht duke zëvendësuar vlerat e j = 1, 2, 3, nga ana tjetër e dobishme kur ndonjë nga matricat (por jo një e veçantë) do të përdoret në manipulimet algjebrike.

Matricat janë *jovolutive* :

: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = -i\,\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I,

ku I ja matrica e identitetit .

Përcaktorët dhe gjurmët e matricave Pauli janë

: \begin{align}
        \det \sigma_j &= -1, \\
 \operatorname{tr} \sigma_j &= 0,
\end{align}

nga e cila mund të nxjerrim përfundimin se çdo matricë σj ka eigenvlera +1 dhe −1.