Masa (matematikë)

[alt=|parapamje| Joformalisht, një masë ka vetinë të jetë [Funksioni monoton|monotone në kuptimin që nëse A është një nënbashkësi e B, masa e A është më e vogël ose e barabartë me masën e B. Për më tepër, masa e bashkësisë boshe kërkohet të jetë 0. Një shembull i thjeshtë është një vëllim (sa i madh një objekt zë një hapësirë) si masë.]]
Në matematikë, koncepti i **masës** është një përgjithësim dhe zyrtarizim i masave gjeometrike ( gjatësia, sipërfaqja, vëllimi ) dhe nocioneve të tjera të zakonshme, si magnituda, masa dhe probabiliteti i ngjarjeve. Këto koncepte në dukje të dallueshme kanë shumë ngjashmëri dhe shpesh mund të trajtohen së bashku në një kontekst të vetëm matematik. Masat janë themelore në teorinë e probabilitetit, teorinë e integrimit, dhe mund të përgjithësohen për të supozuar vlera negative, si me ngarkesën elektrike . Përgjithësimet e gjera (të tilla si masat spektrale dhe masat me vlerë projeksioni ) të matjeve përdoren gjerësisht në fizikën kuantike dhe fizikë në përgjithësi.

Intuita pas këtij koncepti daton në Greqinë e lashtë, kur Arkimedi u përpoq të llogariste sipërfaqen e një rrethi .   Por vetëm nga fundi i shekullit të 19-të dhe fillimi i shekullit të 20-të, teoria e matjeve u bë një degë e matematikës. Themelet e teorisë moderne të masës u hodhën në veprat e Émile Borel, Henri Lebesgue, Nikolai Luzin, Johann Radon, Constantin Carathéodory dhe Maurice Fréchet, ndër të tjera.

## E ç'është masa në matematikë? 
parapamje|300x300px| Mbledhja e numërueshme e një mase \mu : Masa e një bashkimi disjunktiv të numërueshëm është e njëjtë me shumën e të gjitha masave të çdo nënbashkësie.
Le X të jetë një bashkësi dhe \Sigma a \sigma -algjebër mbi X. Një funksion bashkësie \mu nga \Sigma për boshtin e zgjeruar të numrave realë quhet **masë** nëse ekzistojnë kushtet e mëposhtme:

* **Jo-negativiteti** : Për të gjithë E \in \Sigma, \ \ \mu(E) \geq 0.
* \mu(\varnothing) = 0.
* **Mbledhja e numërueshme** (ose σ-Aditiviteti ): Për të gjitha koleksionet e numërueshme \{ E_k \}_{k=1}^\infty të bashkësive disjunktive në çift në Σ, \mu\left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k\right)=\sum_{k=1}^\infty \mu(E_k).

Nëse të paktën një bashkësi E ka masë të fundme, atëherë kërkesa \mu(\varnothing) = 0 plotësohet automatikisht për shkak të mbledhjes së numërueshme: \mu(E)=\mu(E \cup \varnothing) = \mu(E) + \mu(\varnothing), dhe prandaj \mu(\varnothing)=0.

Nëse bie kushti i jonegativitetit, dhe \mu merr më së shumti një nga vlerat e \pm \infty, pastaj \mu quhet *masë me shenjë* .

Çifti (X, \Sigma) quhet *hapësirë e matshme*, dhe anëtarët e \Sigma quhen **bashkësi të matshme** .

Një treshe (X, \Sigma, \mu) quhet *hapësirë e masës* . Një masë probabiliteti është një masë me masën totale një - domethënë, \mu(X) = 1. Një hapësirë probabiliteti është një hapësirë matëse me një masë probabiliteti.

## Instancat 
Këtu janë renditur disa masa të rëndësishme.

* Masa e numërimit përcaktohet nga \mu(S) = numri i elementeve në S.
* Masa e Lebegut në \R është një masë e plotë e përkthimit të pandryshueshme në një *σ* -algjebër që përmban intervalet in \R të tilla që \mu([0, 1]) = 1 ; dhe çdo masë tjetër me këto veti e shtrin masën e Lebegut.
* Masa e këndit rrethor është e pandryshueshme nën rrotullim, dhe masa e këndit hiperbolik është e pandryshueshme në hartën e shtrydhjes .
* Masa Haar për një grup topologjik lokalisht kompakt është një përgjithësim i masës së Lebegut (dhe gjithashtu i masës së numërimit dhe masës së këndit rrethor) dhe ka veti të ngjashme unike.
* Çdo (pseudo) shumëfish Riemannian (M,g) ka një masë kanonike \mu_g që në koordinatat vendore x_1,\ldots,x_n duket si \sqrtd^nx ku d^nx është masa e zakonshme e Lebegut.
* Masa e Hausdorffit është një përgjithësim i masës së Lebegut në bashkësi me dimension jo të plotë, në veçanti bashkësi fraktale.
* Çdo hapësirë probabiliteti krijon një masë që merr vlerën 1 në të gjithë hapësirën (dhe për rrjedhojë merr të gjitha vlerat e saj në intervalin e njësisë [0, 1]). Një masë e tillë quhet masë ose *shpërndarje* *probabiliteti* . Shihni listën e shpërndarjeve të probabilitetit për shembuj.
* Masa e Dirakut *δ**a* (krh. Funksioni delta e Dirakut ) jepet nga *δ**a*( *S* ) = *χ**S*(a), ku *χ**S* është funksioni tregues i S. Masa e një grupi është 1 nëse përmban pikën a dhe 0 ndryshe.