Shpërndarja log-normale

{{Infobox shpërndarja e gjasës|name=Log-normal|type=continuous|pdf_image=Identical parameter \mu but differing parameters \sigma|cdf_image=\mu = 0|notation=\operatorname{Lognormal}(\mu,\,\sigma^2)|parameters=\mu \in (-\infty, +\infty) ,  \sigma > 0|support=x \in (0, +\infty)|pdf=\frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}}e^{- \frac{(\ln{x} - \mu)^2}{2 \sigma^2}}|cdf=\frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{\ln x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right] |quantile=\exp(\mu + \sqrt{2\sigma^2}\operatorname{erf}^{-1}(2p-1))|mean=e^{\left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right)}|median=e^{\mu}|mode=e^{(\mu-\sigma^2)}|variance=[e^{(\sigma^2)-1}] e^{(2\mu+\sigma^2)}|skewness=(e^{\sigma^2}+2) \sqrt{e^{\sigma^2}-1}|kurtosis=e^{4\sigma^2} + 2e^{3\sigma^2} + 3e^{2\sigma^2} -6|entropy=\log_2\left(\sigma e^{\mu+\tfrac12} \sqrt{2\pi} \right)|mgf=e përcaktuar vetëm për numrat me një pjesë reale jopozitive|char=përfaqësimi \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2} është asimptotikisht divergjent por i mjaftueshëm për qëllime numerike|fisher=\begin{pmatrix}1/\sigma^2&0\\0&2/\sigma^2\end{pmatrix}|moments= \mu = \log \left(\frac{\operatorname{E}[X]}{\sqrt{\frac{\operatorname{Var}[X]}{\operatorname{E}[X]^2}+1}} \right) ,    \sigma = \sqrt{\log \left(\frac{\operatorname{Var}[X]}{\operatorname{E}[X]^2} + 1 \right)} }}

Në teorinë e probabilitetit, një **shpërndarje** **log-normale** (ose **lognormale** ) është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti e një ndryshoreje të rastit logaritmi i së cilës shpërndahet normalisht . Kështu, nëse ndryshorja e rastit X është e shpërndarë në mënyrë log-normale, atëherë  Y = \ln X  ka një shpërndarje normale.   Në mënyrë ekuivalente, nëse Y ka një shpërndarje normale, atëherë funksioni eksponencial i Y, X = e^Y, ka një shpërndarje log-normale. Një ndryshore e rastit e cila shpërndahet log-normalisht merr vetëm vlera reale pozitive. Është një model i përshtatshëm dhe i dobishëm për matjet në shkencat ekzakte dhe inxhinierike, si dhe mjekësi, ekonomi dhe tema të tjera (p.sh., energjitë, përqendrimet, gjatësitë, çmimet e instrumenteve financiare dhe metrika të tjera).

Shpërndarja përmendet herë pas here si **shpërndarja Galton** ose **shpërndarja e Galtonit**, pas Francis Galton.  Shpërndarja log-normale është shoqëruar edhe me emra të tjerë, si McAlister, Gibrat dhe Cobb-Douglas . 

Një proces log-normal është realizimi statistikor i produktit shumëzues të shumë ndryshoreve të rastit të pavarura, secila prej të cilave është pozitive. Kjo justifikohet duke marrë parasysh teoremën qëndrore limite në domenin logaritmik (nganjëherë quhet ligji i Gibratit ). Shpërndarja log-normale është shpërndarja maksimale e probabilitetit të entropisë për një variacion të rastit X — për të cilin është specifikuar mesatarja dhe varianca e \ln (X) . 

## Përkufizimet 
### Gjenerimi dhe parametrat 
Le Z të jetë një ndryshore normale standarde dhe le të jetë \mu dhe \sigma>0 të jenë dy numra realë. Pastaj, shpërndarja e ndryshores së rastit

:  X=e^{\mu+\sigma Z} 

quhet shpërndarja log-normale me parametra \mu dhe \sigma . Këto janë pritja matematike (ose mesatarja ) dhe shmangia standarde e logaritmit natyror të ndryshores, jo pritshmëria dhe devijimi standard i X vetë.
parapamje| Lidhja ndërmjet shpërndarjes normale dhe log-normale. Nëse Y=\mu+\sigma Z atëherë shpërndahet normalisht X\sim e^{Y} shpërndahet log-normalisht.
Kjo marrëdhënie është e vërtetë pavarësisht nga baza e funksionit logaritmik ose eksponencial: nëse \log_a(X) shpërndahet normalisht, atëherë kështu është \log_b(X) për çdo dy numra pozitivë a,b\neq 1 . Po kështu, nëse e^Y shpërndahet log-normalisht, atëherë kështu është a^Y, ku 0  .

Për të prodhuar një shpërndarje me mesataren e dëshiruar \mu_X dhe variancë \sigma_X^2, përdoret \mu = \ln\left(\frac{\mu_X^2}{\sqrt{\mu_X^2+\sigma_X^2}}\right)  dhe \sigma^2 = \ln\left(1+\frac{\sigma_X^2}{\mu_X^2}\right). 

### Funksioni i densitetit të probabilitetit 
Një ndryshore e rastit pozitive X është e shpërndarë log-normalisht (d.m.th.  X \sim \operatorname{Lognormal}(\mu_x,\sigma_x^2) ), nëse logaritmi natyror i *X* është i shpërndarë normalisht me mesatare  \mu dhe variancë  \sigma^2 :

:  \ln(X) \sim \mathcal N(\mu,\sigma^2)

Le të jenë \Phi dhe \varphi  përkatësisht funksioni mbledhës i shpërndarjes së probabilitetit dhe funksioni i dendësisë së probabilitetit të shpërndarjes *N* (0,1), atëherë marrim  

: 
\begin{align}
f_X(x) & = \frac {\rm d}{{\rm d}x} \Pr(X \le x) = \frac {\rm d}{{\rm d}x} \Pr(\ln X \le \ln x) 
 = \frac {\rm d}{{\rm d}x} \Phi\left( \frac{\ln x -\mu} \sigma \right) \\[6pt]
& = \varphi\left( \frac{\ln x - \mu} \sigma \right) \frac {\rm d}{{\rm d}x} \left( \frac{\ln x - \mu} \sigma \right) 
 = \varphi\left( \frac{\ln x - \mu} \sigma \right) \frac 1 {\sigma x} \\[6pt]
& = \frac 1 {x\sigma\sqrt{2\pi\,}} \exp\left( -\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right).
\end{align}

### Funksioni i shpërndarjes mbledhëse 
The cumulative distribution function is

:  F_X(x) = \Phi\left( \frac{(\ln x) - \mu} \sigma \right) 

ku \Phi është funksioni mbledhës i shpërndarjes së shpërndarjes normale standarde (dmth., N(0, 1)
).

Kjo mund të shprehet edhe si vijon: 

: 
\frac12 \left[ 1 + \operatorname{erf} \left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right) \right] = \frac12 \operatorname{erfc} \left(-\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)

ku erfc është funksioni i gabimit plotësues .

### Modaliteti, mesatarja, kuantilet 
[parapamje| Krahasimi i [Mesatarja aritmetike|mesatares, medianës dhe modës së dy shpërndarjeve log-normale me anësi të ndryshme.]]
Moda është pika e maksimumit global të funksionit të dendësisë së probabilitetit. Në veçanti, duke zgjidhur ekuacionin (\ln f)'=0, marrim se:

: \operatorname{Mode}[X] = e^{\mu - \sigma^2}.

Meqenëse ndryshorja e log-transformuar Y = \ln X ka një shpërndarje normale, dhe kuantilet ruhen nën shndërrimet monotonike, kuantilet e X janë

: q_X(\alpha) = e^{\mu+\sigma q_\Phi(\alpha)} =\mu^* (\sigma^*)^{q_\Phi(\alpha)},

ku q_\Phi(\alpha) është kuantili i shpërndarjes normale standarde.

Në mënyrë të veçantë, mediana e një shpërndarjeje log-normale është e barabartë me mesataren e saj shumëzuese, 

: \operatorname{Med}[X] = e^\mu = \mu^*.

### Pritja e pjesshme 
Pritja e pjesshme e një ndryshoreje të rastit X në lidhje me një prag k përkufizohet si

:  g(k) = \int_k^\infty x f_X(x \mid X > k)\, dx . 

Përndryshe, duke përdorur përkufizimin e pritjes së kushtëzuar, mund të shkruhet si g(k)=\operatorname{E}[X\mid X>k] P(X>k) . Për një ndryshore të rastit log-normale, pritja e pjesshme jepet nga:

: g(k) = \int_k^\infty x f_X(x \mid X > k)\, dx = e^{\mu+\tfrac{1}{2} \sigma^2}\, \Phi\!\left(\frac{\mu+\sigma^2-\ln k} \sigma \right) 

ku \Phi është funksioni normal kumulativ i shpërndarjes.

### Pritja e kushtëzuar 
Pritja e kushtëzuar e një ndryshoreje të rastit log-normale X - në lidhje me një prag k — A është pritshmëria e saj e pjesshme e ndarë me probabilitetin mbledhës për të qenë në atë shtrirje:

: \begin{align}
E[X\mid X

### Shumëfishi, e anasjellta, fuqia 
* Shumëzimi me një konstante: Nëse X \sim \operatorname{Lognormal}(\mu, \sigma^2) atëherë a X \sim \operatorname{Lognormal}( \mu + \ln a,\ \sigma^2) për  a > 0. 
* Reciproke: Nëse X \sim \operatorname{Lognormal}(\mu, \sigma^2) atëherë \tfrac{1}{X} \sim \operatorname{Lognormal}(-\mu,\ \sigma^2).
* Fuqia: Nëse X \sim \operatorname{Lognormal}(\mu, \sigma^2) atëherë X^a \sim \operatorname{Lognormal}(a\mu,\ a^2 \sigma^2) për a \neq 0.

### Shumëzimi dhe pjesëtimi i ndryshoreve të rastit të pavarura, log-normale 
Nëse dy ndryshore të pavarura, log-normale X_1 dhe X_2 janë shumëzuar [pjestuar], produkti [raporti] është përsëri log-normal, me parametra \mu=\mu_1+\mu_2 [ \mu=\mu_1-\mu_2 ] dhe \sigma, ku \sigma^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2 . Kjo përgjithësohet lehtësisht në produktin e n ndryshoreve të tilla.

Në përgjithësi, nëse X_j \sim \operatorname{Lognormal} (\mu_j, \sigma_j^2) janë n ndryshore të pavarura, të shpërndara normalisht në log, atëherë Y = \textstyle\prod_{j=1}^n X_j \sim \operatorname{Lognormal} \Big(\textstyle \sum_{j=1}^n\mu_j,\ \sum_{j=1}^n \sigma_j^2 \Big).

## Shpërndarjet e ndërlidhura 
* Nëse X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) është një shpërndarje normale, atëherë e^{X} \sim \operatorname{Lognormal}(\mu, \sigma^2).
* Nëse X \sim \operatorname{Lognormal}(\mu, \sigma^2) shpërndahet log-normalisht, atëherë \ln(X) \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) është një ndryshore e rastit normale.
* Le X_j \sim \operatorname{Lognormal}(\mu_j, \sigma_j^2) të jenë ndryshore të pavarura log-normalisht të shpërndara me mundësisht të ndryshme \sigma dhe \mu parametrat, dhe Y = \sum_{j=1}^n X_j . Shpërndarja e Y nuk ka shprehje në formë të mbyllur, por mund të përafrohet në mënyrë të arsyeshme nga një shpërndarje tjetër log-normale Z në bishtin e djathtë.  Funksioni i tij i dendësisë së probabilitetit në afërsi të 0-së është karakterizuar  dhe nuk i ngjan ndonjë shpërndarjeje log-normale. Një përafrim i përdorur zakonisht për shkak të LF Fenton (por i deklaruar më parë nga RI Wilkinson dhe i justifikuar matematikisht nga Marlow  ) përftohet duke përputhur mesataren dhe variancën e një shpërndarjeje tjetër log-normale:
* \begin{align}
  \sigma^2_Z &= \ln\!\left[ \frac{\sum e^{2\mu_j+\sigma_j^2}(e^{\sigma_j^2}-1)}{(\sum e^{\mu_j+\sigma_j^2/2})^2} + 1\right], \\
  \mu_Z &= \ln\!\left[ \sum e^{\mu_j+\sigma_j^2/2} \right] - \frac{\sigma^2_Z}{2}.
  \end{align}\begin{align}
 \sigma^2_Z &= \ln\!\left[ \frac{\sum e^{2\mu_j+\sigma_j^2}(e^{\sigma_j^2}-1)}{(\sum e^{\mu_j+\sigma_j^2/2})^2} + 1\right], \\
 \mu_Z &= \ln\!\left[ \sum e^{\mu_j+\sigma_j^2/2} \right] - \frac{\sigma^2_Z}{2}.
 \end{align}\begin{align}
  \sigma^2_Z &= \ln\!\left[ (e^{\sigma^2}-1)\frac{\sum e^{2\mu_j}}{(\sum e^{\mu_j})^2} + 1\right], \\
  \mu_Z &= \ln\!\left[ \sum e^{\mu_j} \right] + \frac{\sigma^2}{2} -  \frac{\sigma^2_Z}{2}.
  \end{align}

Shuma e ndryshoreve të rastit të korreluara log-normalisht të shpërndara mund të përafrohet gjithashtu nga një shpërndarje log-normale \begin{align}
	S_+ &= \operatorname{E}\left[\sum_i X_i \right] = \sum_i 
	\operatorname{E}[X_i] = 
	\sum_i e^{\mu_i + \sigma_i^2/2}
	\\
	\sigma^2_{Z} &= 1/S_+^2 \, \sum_{i,j}
	 \operatorname{cor}_{ij} \sigma_i \sigma_j \operatorname{E}[X_i] \operatorname{E}[X_j] =
	 1/S_+^2 \, \sum_{i,j}
	 \operatorname{cor}_{ij} \sigma_i \sigma_j e^{\mu_i+\sigma_i^2/2} 
	 e^{\mu_j+\sigma_j^2/2} 
	\\
	\mu_Z &= \ln\left( S_+ \right) - \sigma_{Z}^2/2 
\end{align}

* Nëse X \sim \operatorname{Lognormal}(\mu, \sigma^2) pastaj X+c thuhet se ka një shpërndarje *log-normale me tre parametra* me mbështetje x\in (c, +\infty) .  \operatorname{E}[X+c] = \operatorname{E}[X] + c , \operatorname{Var}[X+c] = \operatorname{Var}[X] .
* Shpërndarja log-normale është një rast i veçantë i shpërndarjes SU gjysmë të kufizuar të Xhonsonit . 
* Nëse X\mid Y \sim \operatorname{Rayleigh}(Y) me  Y \sim \operatorname{Lognormal}(\mu, \sigma^2), pastaj  X \sim \operatorname{Suzuki}(\mu, \sigma) ( Shpërndarja Suzuki ).

## Konkluzioni statistikor 
### Vlerësimi i parametrave 
Për përcaktimin e vlerësuesve të përgjasisë maksimale të parametrave të shpërndarjes log-normale *μ* dhe *σ*, mund të përdorim të njëjtën procedurë si për shpërndarjen normale . Vini re seL(\mu, \sigma) = \prod_{i=1}^n \frac 1 {x_i} \varphi_{\mu,\sigma} (\ln x_i),ku \varphi është funksioni i dendësisë së shpërndarjes normale \mathcal N(\mu,\sigma^2) . Prandaj, funksioni log-përgjasi është
\ell (\mu,\sigma \mid x_1, x_2, \ldots, x_n) = - \sum _i \ln x_i + \ell_N (\mu, \sigma \mid \ln x_1, \ln x_2, \dots, \ln x_n).Meqenëse termi i parë është konstant në lidhje me *μ* dhe *σ*, të dy funksionet e përgjasisë logaritmike, \ell dhe \ell_N, arrijnë maksimumin e tyre me të njëjtën \mu dhe \sigma . Prandaj, vlerësuesit e përgjasisë maksimale janë identikë me ata për një shpërndarje normale për vëzhgimet \ln x_1, \ln x_2, \dots, \ln x_n) ,\widehat \mu = \frac {\sum_i \ln x_i}{n}, \qquad \widehat \sigma^2 = \frac {\sum_i \left( \ln x_i - \widehat \mu \right)^2} {n}.

## Ndodhia dhe zbatimet 
Shpërndarja log-normale është e rëndësishme në përshkrimin e dukurive natyrore. Shumë procese të rritjes natyrore nxiten nga mbledhja i shumë ndryshimeve të vogla në përqindje të cilat bëhen shtuese në një shkallë logaritmike. Nën kushte të përshtatshme rregullsie, shpërndarja e ndryshimeve të mbledhura që rezultojnë do të përafrohet gjithnjë e më mirë nga një log-normale. Ky njihet gjithashtu si ligji i Gibratit, sipas Robert Gibrat (1904–1980) i cili e formuloi atë për kompanitë.  Nëse shkalla e mbledhjes së këtyre ndryshimeve të vogla nuk ndryshon me kalimin e kohës, rritja bëhet e pavarur nga madhësia. Edhe nëse ky supozim nuk është i vërtetë, shpërndarjet e madhësisë në çdo moshë të gjërave që rriten me kalimin e kohës priren të jenë log-normale. Rrjedhimisht, shtrirja e referencës për matjet në individë të shëndetshëm vlerësohen më saktë duke supozuar një shpërndarje log-normale sesa duke supozuar një shpërndarje simetrike rreth mesatares. 

Një justifikim i dytë bazohet në vëzhgimin se ligjet themelore natyrore nënkuptojnë shumëzime dhe pjesëtime të ndryshoreve pozitive. Shembuj janë ligji i thjeshtë i gravitetit që lidh masat dhe largësinë me forcën që rezulton, ose formula për përqendrimet e baraspeshës të kimikateve në një tretësirë që lidh përqendrimet e edukteve dhe produkteve. Supozimi i shpërndarjeve log-normale të ndryshoreve të përfshira çon në modele të qëndrueshme në këto raste.

### Sjellje njerezore 
* Gjatësia e komenteve të postuara në forumet e diskutimit në internet ndjek një shpërndarje log-normale. 
* Koha e qëndrimit të përdoruesve nëpër artikuj online (shaka, lajme etj.) ndjek një shpërndarje normale. 
* Kohëzgjatja e lojërave të shahut priret të ndjekë një shpërndarje log-normale. 
* Kohëzgjatja e fillimit të stimujve të krahasimit akustik që përputhen me një stimul standard ndjekin një shpërndarje log-normale. 

### Biologji dhe mjekësi 
* Matjet e madhësisë së indeve të gjallë (gjatësia, zona e lëkurës, pesha). 
* Periudha e inkubacionit të sëmundjeve. 
* Diametrat e njollave të gjetheve të bananes, myk pluhur në elb. 
* Për epidemitë shumë të transmetueshme, si SARS në 2003, nëse përfshihen politikat e kontrollit të ndërhyrjes publike, numri i rasteve të shtruara në spital tregohet se plotëson shpërndarjen log-normale pa parametra të lirë nëse supozohet një entropi dhe shmangie standarde përcaktohet nga parimi i shkallës maksimale të prodhimit të entropisë . 
* Gjatësia e shtojcave inerte (flokët, kthetrat, thonjtë, dhëmbët) e ekzemplarëve biologjikë. 
* Disa matje fiziologjike, të tilla si tensioni i gjakut i njerëzve të rritur (pas ndarjes në nënpopullata meshkuj/femra). 
* Disa variabla farmakokinetikë, si C , koha e gjysëmeliminimit dhe konstantja e shkallës së eliminimit . 
* Në neuroshkencë, shpërndarja e ritmeve të shkrepjes në një popullatë neuronesh është shpesh afërsisht log-normale. Kjo është vërejtur fillimisht në korteks dhe striatum  dhe më vonë në hipokampus dhe korteksin entorhinal,  dhe gjetkë në tru.   Gjithashtu, shpërndarjet e fitimit të brendshëm dhe shpërndarjet e peshës sinaptike duket të jenë gjithashtu log-normale  .
* Në menaxhimin e sallave të operacionit, shpërndarja e kohëzgjatjes së operacionit .
* Në madhësinë e orteqeve të thyerjeve në citoskeletin e qelizave të gjalla, duke treguar shpërndarje log-normale, me madhësi dukshëm më të lartë në qelizat kancerogjene sesa ato të shëndetshme. 

### Kimia 
* Shpërndarjet e madhësisë së grimcave dhe shpërndarjet e masës molare .

* Përqendrimi i elementeve të rrallë në minerale. 
* Diametrat e kristaleve në akullore, pika vaji në majonezë, poret në tortën me kakao. 

parapamje| Shpërndarja mbledhëse log-normale e përshtatur me reshje maksimale vjetore 1-ditore, shih përshtatjen e shpërndarjes

### Shkencat sociale dhe demografia 
* Në ekonomi, ka dëshmi se të ardhurat e 97%-99% të popullsisë shpërndahen log-normalisht.  (Shpërndarja e personave me të ardhura më të larta ndjek një shpërndarje Pareto ). 
* Nëse një shpërndarje e të ardhurave ndjek një shpërndarje log-normale me shmangie standarde \sigma, atëherë koeficienti Gini, i përdorur zakonisht për të vlerësuar pabarazinë e të ardhurave, mund të llogaritet si G = \operatorname{erf}\left(\frac{\sigma }{2 }\right) ku \operatorname{erf} është funksioni i gabimit, pasi  G=2 \Phi \left(\frac{\sigma }{\sqrt{2}}\right)-1, ku \Phi(x) është funksioni mbledhës i shpërndarjes së një shpërndarjeje normale standarde.
* Në financë, në veçanti modeli Black–Scholes, ndryshimet në *logaritmin* e kurseve të këmbimit, indekseve të çmimeve dhe indekseve të tregut të aksioneve supozohen normale  (këto ndryshore sillen si interes i përbërë, jo si interes i thjeshtë, dhe kështu janë shumëzuese) . Megjithatë, disa matematikanë të tillë si Benoit Mandelbrot kanë argumentuar  se shpërndarjet log-Lévy, e cila ka për karakteristikë bishta të rëndë do të ishte një model më i përshtatshëm, veçanërisht për analizën për rrëzimet e tregut të aksioneve . Në të vërtetë, shpërndarjet e çmimeve të aksioneve zakonisht shfaqin një bisht të trashë .  Shpërndarja me bishta të trashë e ndryshimeve gjatë rrëzimeve të tregut të aksioneve zhvlerëson supozimet e teoremës qëndrore limite .
* Në Scientometrics, numri i citimeve në artikujt e revistave dhe patentave ndjek një shpërndarje diskrete log-normale.  
* Madhësitë e qyteteve (popullsia) plotësojnë Ligjin e Gibratit.  Procesi i rritjes së përmasave të qyteteve është proporcional dhe i pandryshueshëm në lidhje me madhësinë. Prandaj, nga teorema qëndrore limite, regjistri i madhësisë së qytetit shpërndahet normalisht.
* Numri i partnerëve seksualë duket se përshkruhet më së miri nga një shpërndarje log-normale. 

### Teknologjia 
* Në analizën e besueshmërisë, shpërndarja log-normale përdoret shpesh për të modeluar kohët për të riparuar një sistem të mirëmbajtshëm. 
* Në komunikimin me valë, "fuqia mesatare vendore e shprehur në vlera logaritmike, të tilla si dB ose neper, ndjek një shpërndarje normale (dmth. Gaussian).  Gjithashtu, pengimi i rastësishëm i sinjaleve të radios për shkak të ndërtesave dhe kodrave të mëdha, i quajtur hijezim, shpesh modelohet si një shpërndarje log-normale.
* Shpërndarja e madhësisë së skedarit të skedarëve audio dhe video të qasshme publikisht ( llojet MIME ) ndjek një shpërndarje log-normale mbi pesë rende madhësie . 
* Madhësitë e skedarëve prej 140 milionë skedarësh në kompjuterët personalë që përdorin Windows OS, të mbledhura në vitin 1999.  
* Madhësitë e emaileve të bazuara në tekst (1990) dhe emaileve të bazuara në multimedia (2000). 
* Në rrjetet kompjuterike dhe analizën e trafikut të internetit, log-normal paraqitet si një model i mirë statistikor për të përfaqësuar sasinë e trafikut për njësi të kohës. Kjo është treguar duke zbatuar një qasje të fuqishme statistikore në një grup të madh gjurmësh reale të internetit.