Hipoteza e Riemannit

thumb|300px|Pjesa reale (me të kuqe) dhe pjesa imagjinare (në blu) e funksionit zeta të Riemannit përgjatë vijës kritike Re(*s*) = 1/2. Zeroja apo rrënja e parë jotriviale merret për Im(*s*) = ±14.135, ±21.022 dhe për ±25.011.
**Hipoteza e Riemannit**, u formulua nga matematikani gjerman Bernhard Riemann , flet për shpërndarjen e rrënjëve të funksionit zeta të Riemannit dhe thotë se të gjitha zerot apo rrënjët jotriviale të saj pjesën reale e kanë të barabartë me  1/2. 

Nga hipoteza e Riemannit rrjedhin edhe disa rezultate për shpërndarjn e numrave të thjeshtë. Me disa përgjithësime ajo konsiderohet nga shumë matematikanë problemi më i rëndësishëm i cili ka mbetur i pazgjidhur në matematikë . 

Funksioni zeta ζ(*s*) është i përkufizuar për të gjithë numrat kompleks  *s* ≠ 1. Ai është 0 për të gjithë numrat e plotë çift  (P.sh për *s* = −2, *s* = −4, *s* = −6, ...). Këto quhen edhe zero triviale. Hipoteza e Riemannit flet për zerot jotriviale ajo tregon se:

:**Pjesa reale e të gjitha zerove jotriviale të funksionit zeta është e barabartë me  ½**.

Kjo do të thotë se të gjitha zerot jotriviale shtrihen në të ashtuquajturën **vijë kritike**, ½ + *it*, ku *t* është pjesa imagjinare dhe  *i* është njësia imagjinare.

Hipoteza e Riemannit njihet edhe si Problemi i tetë i Hilbertit(shih David Hilbert), kjo hipotezë është njëri nga gjashtë problemet e mileniumit për të cilin instituti amerikan Clay Mathematics Institute ofron shpërblimin prej 1 milion dollarësh për atë që e zgjidh këtë problem. Prej kur është formuluar ka tërhjekur vërejtjen e shumë matematikanëve. Në vitin  1973, Pierre Deligne vërtetoi se hipoteza e  Riemannit është e vërtetë mbi fushat e fundme. Versioni i plotë i teoremës edhe sot mbetet i pazgjidhur edhepse llogaritjet me kompjuterë të fuqishëm i kanë gjetur 10 trillion zerot e para të cilat shtrihen në linjën kritike.

## Funksioni zeta i Riemannit 
Ky funksion për të gjithë numrat kompleks *s* pjesa reale e të cilëve është më e madhe se 1 jepet me formulën
:
\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =
\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots.
\!
Leonhard Euleri tregoi se ai është ekuivalent me prodhimin e Eulerit
:\zeta(s) = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}= \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots
këtu prodhimi i pafundëm merret sipas të gjithë numrave të thjeshtë  *p*, dhe është konvergjent për numrin kompleks  *s* pjesa reale e të cilëve është më e madhe se 1. Konvergjenca e prodhimit të Eulerit tregon se funksioni  ζ(*s*) nuk ka asnjë zero në këtë regjion sepse të gjithë faktorët janë të ndryshëm nga 0.

Hipoteza e Riemannit flet për zerot jashtë regjionit të konvergjencës të kësaj serie prandaj duhet të bëhet zgjërimi analitik i këtij funksioni për të gjithë numrat kompleks *s*. Kjo mund të bëhet kur këtë funksion e shprehim me terma të funksionit *eta* të Dirichlet si në vazhdim. Nëse *s* është numër kompleks i cili pjesën reale e ka pozitive atëherë funksioni zeta i plotëson kushtet
:
\left(1-\frac{2}{2^s}\right)\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} =
\frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \cdots
\!
ku seria në anën e djathtë konvergjon sa herë  *s* ka një pjesë reale më të vogël se 1 dhe konvergjon shumë ngadalë. Prandaj seria alternative e zgjëron funksionin zeta nga  deri te domeni .

Në rrypin  funksioni zeta e plotëson ekuacionin funksional
:
\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s)
\!.
Tani mundemi ta përkufizojmë funksionin ζ(*s*) për të githë numrat kompleks jo zero  *s* duke supozuar se ky barazim plotësohet jashtë rrypit, Le të jetë  ζ(*s*) i barabartë me anën e djathtë të ekuacionit pasi  *s* pjesën reale e ka jopozitive. Nëse *s* është numër i trajtes *-2n* atëherë ζ(*s*) = 0 pasiqë faktori  sin(π*s*/2) anulohet; këta janë  **zero triviale** të funksionit teta.
(Nëse *s* është numër iplotë çift dhe pozitiv ky argumentim nuk vlen sepse zerot e sinusit thjeshtohen në polet e funksionit gama.) Vlerat ζ(0)&nbsp;=&nbsp;-1/2 nuk mund të përcaktohen nga ekuacioni funksional por vlerat kufitare të  ζ(*s*) kur *s* i afrohet  zeros. Nga ekuacioni funksional gjithashtu rrjedh se nuk ka zero tjera përveç zerove triviale me pjesë reale negative kjo do të thotë se të gjitha zerot jotrivale shtrihen në  **rrypin kritik** ku numri kompleks *s* pjesën reale e një numër që ndodhet ndërmjet 0 dhe 1.

Disa nga librat që i dedikohen kësaj hipoteze janë: , , ,
. The books ,  and  hyrje matematikore për problemin, përderisa
 është një monografi e avancuar.