Pikat e Lagranzhit

të potencialit efektiv, të shkaktuar nga graviteti dhe forca centrifugale e një sistemi me dy trupa në një kornizë rrotulluese referimi. Shigjetat tregojnë pjerrësitë zbritëse të potencialit rreth pesë pikave të Lagranzhit—drejt tyre () dhe larg tyre (). Kundërintuitivisht, pikat L4 dhe L5 janë pikat më të larta të potencialit. Në vetë pikat, këto forca janë në ekuilibër.]]

Në mekanikën qiellore, pikat e Lagranzhit (anglisht: Lagrange points, ), të quajtura edhe pikat Lagrangiane ose pikat e libracionit, janë pika të ekuilibrit për objekte me masë të vogël nën ndikimin gravitacional të dy trupave me masë të madhe që janë në orbitë. Matematikisht, kjo përfshin zgjidhjen e problemit të kufizuar me tre trupa.

Normalisht, dy trupat masivë ushtrojnë një forcë gravitacionale të paekuilibruar në një pikë, duke ndryshuar orbitën e çdo objekti që ndodhet në atë pikë. Në pikat e Lagrange, forcat gravitacionale të dy trupave të mëdhenj dhe forca centrifugale balancojnë njëra-tjetrën. Kjo i bën pikat e Lagrange vende të shkëlqyera për satelitë, pasi korrigjimet orbitale, dhe rrjedhimisht kërkesat për karburant, për të ruajtur orbitën e dëshiruar janë minimale.

Për çdo kombinim të dy trupave në orbitë, ka pesë pika Lagrange, L1 deri L5, të gjitha në planin orbital të dy trupave të mëdhenj. Ka pesë pika Lagrange për sistemin Diell–Tokë dhe pesë pika *të ndryshme* Lagrange për sistemin Tokë–Hënë. L1, L2 dhe L3 janë në vijën që kalon nëpër qendrat e dy trupave të mëdhenj, ndërsa L4 dhe L5 formojnë secila majën e tretë të një kulmi të një trekëndëshi barabrinjës të formuar me qendrat e dy trupave të mëdhenj.

Kur raporti i masës së dy trupave është mjaft i madh, pikat L4 dhe L5 janë pika të qëndrueshme, që do të thotë se objektet mund të orbitëzojnë rreth tyre dhe kanë tendencë t'i tërheqin objektet drejt tyre. Disa planeta kanë asteroidë trojanë pranë pikave të tyre L4 dhe L5 me respekt ndaj Diellit; Jupiteri ka më shumë se një milion trojanë.

Disa pika Lagrange po përdoren për eksplorimin hapësinor. Dy pika të rëndësishme në sistemin Diell–Tokë janë L1, midis Diellit dhe Tokës, dhe L2, në të njëjtën vijë në anën e kundërt të Tokës; të dyja janë shumë jashtë orbitës së Hënës. Aktualisht, një satelit artificial i quajtur Deep Space Climate Observatory (DSCOVR) ndodhet në L1 për të studiuar erën diellore që vjen drejt Tokës nga Dielli dhe për të monitoruar klimën e Tokës duke marrë imazhe dhe duke i dërguar ato mbrapsht. Teleskopi Hapësinor James Webb, një observator hapësinor i fuqishëm infra të kuq, ndodhet në L2. Kjo i lejon mburojës diellore të satelitit të mbrojë teleskopin nga drita dhe nxehtësia e Diellit, Tokës dhe Hënës njëkohësisht pa pasur nevojë të rrotullohet. Pikat L1 dhe L2 ndodhen rreth  nga Toka.

Teleskopi më i hershëm i Agjencisë Hapësinore Evropiane, Gaia, dhe misioni i ri Euclid, gjithashtu lëvizin në orbita rreth L2. Gaia mban një orbitë Lissajous më të ngushtë rreth L2, ndërsa Euclid ndjek një orbitë halo të ngjashme me JWST. Secili prej këtyre observatorëve hapësinorë përfiton nga fakti se janë mjaft larg hijes së Tokës për të përdorur panele diellore për energji, kërkojnë pak energji ose karburant për mbajtjen e orbitës, nuk preken nga efektet magnetosferike të Tokës dhe kanë linjë të drejtpërdrejtë komunikimi me Tokën për transferim të dhënash.

## Historia 
Tre pikat kolineare të Lagranzhit (L1, L2, L3) u zbuluan nga matematikani zviceran Leonhard Euler rreth vitit 1750, një dekadë para se matematikani italian Joseph-Louis Lagrange të zbulonte dy tjerat.

Në vitin 1772, Lagrange publikoi një "Ese mbi problemin me tre trupa". Në kapitullin e parë ai mori në shqyrtim problemin e përgjithshëm të tre trupave. Prej tij, në kapitullin e dytë, ai demonstroi dy zgjidhje me model konstant, kolinearen dhe trekëndëshin barabrinjës, për çdo treshe masash, me orbita rrethore.

## Pikat e Lagranzhit
Pesë pikat e Lagranzhit janë etiketuar dhe përkufizuar si më poshtë:

### Pika 
Pika  ndodhet në vijën e përcaktuar midis dy masave të mëdha *M*1 dhe *M*2. Është pika ku tërheqja gravitacionale e *M*2 dhe ajo e *M*1 kombinohen për të prodhuar një ekuilibër. Një objekt që orbiton Diellin më afër se Toka normalisht do të kishte një periudhë orbitale më të shkurtër se ajo e Tokës, por kjo injoron efektin e tërheqjes gravitacionale të Tokës. Nëse objekti ndodhet drejtpërdrejt midis Tokës dhe Diellit, atëherë graviteti i Tokës kundërvepron një pjesë të forcës së Diellit mbi objektin, duke rritur periudhën e tij orbitale. Sa më afër Tokës të jetë objekti, aq më i madh është ky efekt. Në pikën , periudha orbitale e objektit bëhet saktësisht e barabartë me periudhën orbitale të Tokës.  është rreth 1.5 milion kilometra, ose 0.01 au (njësi astronomike), larg Tokës në drejtim të Diellit.

### Pika 
Pika  ndodhet në vijën që kalon përmes dy masave të mëdha, përtej asaj më të voglës. Këtu, forcat e kombinuara gravitacionale të dy masave të mëdha balancojnë forcën centrifugale mbi një trup në . Në anën tjetër të Tokës nga Dielli, periudha orbitale e një objekti normalisht do të ishte më e madhe se ajo e Tokës. Tërheqja shtesë e gravitetit të Tokës e zvogëlon periudhën orbitale të objektit, dhe në pikën , ajo periudhë bëhet e barabartë me atë të Tokës. Ashtu si L1, L2 është rreth 1.5 milion kilometra ose 0.01 au larg Tokës (në drejtim të kundërt nga Dielli). Një shembull i një anijeje kozmike të projektuar për të operuar pranë L2 të sistemit Tokë–Diell është Teleskopi Hapësinor James Webb. Shembuj më të hershëm përfshijnë Sonda e Wilkinson Microwave Anisotropy dhe pasuesin e saj, *Planck*.

### Pika 
Pika  ndodhet në vijën e përcaktuar nga dy masat e mëdha, përtej asaj më të madhe. Brenda sistemit Diell–Tokë, pika  ekziston në anën e kundërt të Diellit, pak jashtë orbitës së Tokës dhe pak më larg nga qendra e Diellit sesa është vetë Toka. Ky pozicion ndodh sepse Dielli ndikohet gjithashtu nga graviteti i Tokës dhe për rrjedhojë orbiton rreth baricentrës së dy trupave, e cila ndodhet brenda trupit të Diellit. Një objekt në distancën e Tokës nga Dielli do të kishte një periudhë orbitale prej një viti nëse merret parasysh vetëm graviteti i Diellit. Por një objekt në anën e kundërt të Diellit nga Toka dhe drejtpërdrejt në vijë me të dy “ndien” gravitetin e Tokës duke iu shtuar atij të Diellit dhe për rrjedhojë duhet të orbitë pak më larg baricentrës së sistemit Tokë–Diell për të pasur të njëjtën periudhë 1-vjeçare. Është në pikën  ku tërheqja e kombinuar e Tokës dhe Diellit e bën objektin të orbitë me të njëjtën periudhë si Toka, duke orbituar në efekt një masë Tokë+Diell me baricentrin Tokë–Diell në një fokus të orbitës së tij.

=== Pika t  dhe  ===

Pikat  dhe  ndodhen në majat e treta të dy trekëndëshave barabrinjës në planin e orbitës, të cilët kanë si bazë të përbashkët vijën midis qendrave të dy masave, në mënyrë që pika të jetë 60° përpara () ose prapa () masës më të vogël për sa i përket orbitës së saj rreth masës më të madhe.

### Stabiliteti
Pikat trekëndore ( dhe ) janë ekuilibra të qëndrueshëm, me kusht që raporti  të jetë më i madh se 24.96. Kjo është e vërtetë për sistemin Diell–Tokë, sistemin Diell–Jupiter, dhe, me një diferencë më të vogël, për sistemin Tokë–Hënë. Kur një trup në këto pika shqetësohet, ai largohet nga pika, por faktori i kundërt (graviteti ose shpejtësia e shkaktuar nga momenti këndor) gjithashtu rritet ose ulet, duke e përkulur trajektoren e objektit në një orbitë në formë fasuleje rreth pikës (siç shihet në sistemin e referencës korotulluese).

Pikat , , dhe  janë pozicione të ekuilibrit të paqëndrueshëm. Çdo objekt që orbiton në , , ose  ka prirjen të dalë nga orbita; për këtë arsye, është e rrallë të gjenden objekte natyrore aty, dhe anijet kozmike që qëndrojnë në këto zona duhet të përdorin një sasi të vogël por kritike të mbajtjes së orbitës për të ruajtur pozicionin e tyre.

## Shënime
## References