Seritë (matematikë)

Në matematikë, një **seri** është, përafërsisht, veprimi i shtimit të pafundësisht shumë madhësive, njëra pas tjetrës, mbi një madhësi fillestare.  Studimi i serive është një pjesë kryesore e kalkulusit dhe përgjithësimit të tij, analizës matematikore . Seritë përdoren në shumicën e fushave të matematikës, madje edhe për studimin e strukturave të fundme (si p.sh. në kombinatorikë ) nëpërmjet funksioneve gjenerues . Përveç përhapjes së tyre në matematikë, seritë e pafundme përdoren gjerësisht edhe në disiplina të tjera sasiore si fizika, shkenca kompjuterike, statistika dhe financa .

Për një kohë të gjatë, ideja se një shumë e tillë potencialisht e pafundme mund të prodhonte një rezultat të fundëm konsiderohej paradoksale . Ky paradoks u zgjidh duke përdorur konceptin e një limiti gjatë shekullit të 17-të. Paradoksi i Zenonit për Akilin dhe breshkën ilustron këtë veti kundërintuitive të shumave të pafundme: Akili vrapon pas një breshke, por kur ai arrin pozicionin e breshkës në fillim të garës, breshka ka arritur një pozicion të dytë; kur ai arrin këtë pozicion të dytë, breshka është në një pozicion të tretë, e kështu me radhë. Zenoni arriti në përfundimin se Akili nuk mund ta arrinte *kurrë* breshkën, dhe kështu kjo lëvizje nuk ekziston. Zeno e ndau garën në pafundësisht shumë nën-gara, ku secila kërkon një kohë të kufizuar, kështu që koha totale për Akilin për të kapur breshkën jepet nga një seri. Zgjidhja e paradoksit është se, megjithëse seria ka një numër të pafund termash, ajo ka një shumë të fundme, e cila i jep kohën e nevojshme Akilit për të kapur breshkën.

Në terminologjinë moderne, çdo varg (i renditur) i pafundëm (a_1,a_2,a_3,\ldots) të kufizave (d.m.th., numrave, funksioneve ose çdo gjëje që mund të shtohet) përcakton një seri, e cila është veprimi i mbledhjes së kufizave të vargut, a_i, njëra pas tjetrës. Për të theksuar se ka një numër të pafund termash, një seri mund të quhet **seri e pafundme** . Një seri e tillë përfaqësohet (ose shënohet) me një shprehje si

a_1+a_2+a_3+\cdots,

ose, duke përdorur shenjën e shumës ,

\sum_{i=1}^\infty a_i.

Vargu i pafundëm i shumave të nënkuptuara nga një seri nuk mund të kryhet në mënyrë efektive (të paktën në një kohë të fundme). Megjithatë, nëse grupi të cilit i përkasin termat dhe shumat e tyre të fundme ka një nocion limit, ndonjëherë është e mundur t'i caktohet një vlerë një serie, e quajtur shuma e serisë. Kjo vlerë është kufiri pasi n tenton në pafundësi (nëse ekziston kufiri) i shumave të fundme të n termave të parë të serisë, të cilat quhen **shumat** e n ta të pjesshme të serisë. Kjo paraqitet si,

\sum_{i=1}^\infty a_i = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n a_i.

Kur ekziston ky kufi, thuhet se seria është **konvergjente** ose **e përmbledhur**, ose se sekuenca (a_1,a_2,a_3,\ldots) është **konvergjente** . Në këtë rast, kufiri quhet **shuma** e serisë. Ndryshe, seria thuhet se është **divergjente** . 

Shënimi \sum_{i=1}^\infty a_i tregon si serinë - që është procesi i nënkuptuar i shtimit të termave njëri pas tjetrit në mënyrë të pacaktuar - dhe, nëse seria është konvergjente, shumën e serisë - rezultatin e procesit. Ky është një përgjithësim i konventës së ngjashme të shënjimit me a+b si mbledhja - procesi i mbledhjes - dhe rezultati i tij - *shuma* e a dhe b .

Zakonisht, termat e një serie vijnë nga një unazë, shpesh nga fusha \mathbb R të numrave realë ose të fushës \mathbb C të numrave kompleksë . Në këtë rast, grupi i të gjitha serive është në vetvete një unazë (dhe madje një algjebër shoqëruese ), në të cilën mbledhja konsiston në shtimin e termit të serisë për term, dhe shumëzimi është prodhimi Cauchy .

## Shembuj të serive numerike 
\sum_{i=1}^\infty a_i.

* Një *seri gjeometrike* është ajo ku çdo term i njëpasnjëshëm prodhohet duke shumëzuar termin e mëparshëm me një numër konstant (i quajtur raport i përbashkët në këtë kontekst). Për shembull:  1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n} = 2.

Në përgjithësi, seria gjeometrike

\sum_{n=0}^\infty z^n

konvergon atëherë dhe vetëm atëherë kur |z| , në të cilin rast ajo konvergon në  {1 \over 1 - z} .

* *Seria harmonike* është seria  1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.

Seria harmonike është divergjente .

* Një *seri alternative* është një seri ku termat alternojnë shenjën. Shembuj: 1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty {\left(-1\right)^{n-1} \over n}=\ln(2) \quad 

( seri harmonike alternative ) dhe

-1+\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^n}{2n-1} = -\frac{\pi}{4}

* Një seri teleskopike \sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})

### Pi 
 \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}

 \sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^{i+1}(4)}{2i-1} = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} - \cdots = \pi

### Logaritmi natyror i 2 
\sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^{i+1}}{i} = \ln 2 

\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(2i+1)(2i+2)} = \ln 2

\sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i}{(i+1)(i+2)} = 2\ln(2) -1

\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i \left(4i^2-1\right)} = 2\ln(2) -1

 \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^{i}i} = \ln 2

 \sum_{i=1}^\infty \left(\frac{1}{3^i}+\frac{1}{4^i}\right)\frac{1}{i} = \ln 2

 \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2i(2i-1)} = \ln 2

### Konvergjenca absolute 
Një seri

\sum_{n=0}^\infty a_n

*konvergjon absolutisht* nëse seria e vlerave absolute të saj

\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|

konvergon. Kjo është e mjaftueshme për të garantuar jo vetëm që seria origjinale konvergjon në një kufi, por edhe që çdo rirenditje e saj konvergjon në të njëjtin kufi.