Numrat e Stirlingut

**Numrat e Stirlingut** paraqiten në shumë probleme të kombinatorikës.  Këto numra i përkufizoi ose i zbuloi në shekullin e XVIII matematikani James Stirling. Ekzistojnë dy lloje numrash të tillë të cilat quhen: Numra të Stirlingut të llojit të parë dhe Numra të Stirlingut të llojit të dytë.
## Shënimi
Disa lloje të ndryshme simbolesh përdoren për shënimin e numrave të Stirlingut.

:  s(n,k)\text{ (signed)}\, 

:  c(n,k)=\left[{n \atop k}\right]=|s(n,k)|\text{ (unsigned)}\,
për numrat e Stirlingut të llojit të parë dhe
: S(n,k)= S_n^{(k)} = 
\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}.\,

për numrat e Stirlingut të llojit të dytë.

## Numrat e Stirlingut të llojit të parë
Numrat e pashenjë të llojit të parë

:c(n,k)=\left[{n \atop k}\right]=|s(n,k)|=(-1)^{n-k} s(n,k)

(me "*s*" të vogël) njehsojnë numrin e permutacioneve prej *n* elementeve me *k* cikle disjunkte.

**Numrat e Stirlingut të llojit të parë** (pa marrë parasysh parashenjën) janë koeficientë të zbërthimit

:(x)_{n} = \sum_{k=0}^n s(n,k) x^k. 

këtu (x)_{n} është faktorieli zbritës 

:(x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1).
 
*. . . . . . .*
  
:s(n,k) = [ (-1)^{n-k} ]
                \times [ \frac{n!}{(k-1)! \times 2^{n-k}} ] \times  

:[ { (1/(n-k)!) } \times n^{n-k-1}  

:- { (1/6) \times (1/(n-k-2)!) } \times n^{n-k-2}  

:+ { (1/72) \times (1/(n-k-4)!) } \times n^{n-k-3}  

:- { (1/6480) \times (5/(n-k-6)!-36/(n-k-4)!) } \times n^{n-k-4}  

:+ { (1/155520) \times (5/(n-k-8)!-144/(n-k-6)!) } \times n^{n-k-5}  

:- { (1/6531840) \times (7/(n-k-10)! -504/(n-k-8)!+2304/(n-k-6)!) } \times n^{n-k-6}  

:+ { (1/1175731200) \times (35/(n-k-12)!-5040/(n-k-10)!+87264/(n-k-8)!) } \times n^{n-k-7}  

:- { (1/7054387200) \times (5/(n-k-14)!-1260/(n-k-12)!+52704/(n-k-10)!-186624/(n-k-8)!) } \times n^{n-k-8}  

:+ { (1/338610585600) \times (5/(n-k-16)!-2016/(n-k-14)!+164736/(n-k-12)!-2156544/(n-k-10)!) } \times n^{n-k-9}  

:- ... ] 

## Numrat e Stirlingut të llojit të dytë
Numrat e Stirling të llojit të dytë *S*(*n*,&nbsp;*k*) (me "*S*" të madhe) njehsojnë numrin e particioneve të një bashkësie me *n* elemente në *k* nënbashkësi jo të zbrazëta.  shuma

:B_n=\sum_{k=0}^n S(n,k)

është numri i *n*të i Bellit. 

Nëse shënojmë :(x)_n=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)

(në veçanti, (*x*)0 = 1 ) faktorielin zbritës, për numrat e Stirlingut të llojit të dytë kemi barazimin përkufizues

:\sum_{k=0}^n S(n,k)(x)_k=x^n.

## Lidhjet në mes numrave të Stirlingut
Numrat e Stirling të llojit të parë dhe të dytë janë inverz njëri me tjetrin:

:\sum_{n=0}^{\max\{j,k\}} (-1)^{n-k} \left[{n\atop j}\right] \left\{{k\atop n}\right\} = \delta_{jk}

dhe

:\sum_{n=0}^{\max\{j,k\}} (-1)^{n-k} \left\{{n\atop j}\right\} \left[{k\atop n}\right] = \delta_{jk}

ku \delta_{jk} është simboli Delta e Kroneckerit. 

Abramowitz dhe Stegun i japin këto lidhje apo formula simetrike në mes numrave të Stirlingut të llojit të parë dhe të dytë.

:\left[{n\atop k}\right] = (-1)^{n-k} \sum_{j=0}^{n-k} (-1)^j {n-1+j \choose n-k+j} {2n-k \choose n-k-j} \left\{{n-k+j\atop j}\right\}

and

:\left\{{n\atop k}\right\} = (-1)^{n-k} \sum_{j=0}^{n-k} (-1)^j {n-1+j \choose n-k+j} {2n-k \choose n-k-j} \left[{n-k+j\atop j}\right].

## Referime 
* M. Abramowitz, I. Stegun (Eds.). *Stirling Numbers of the First Kind.*, §24.1.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 824, 1972. 
* Donald Knuth, *Two notes on notation*  (TeX source).
* Louis Comtet, "Valeur de *s*(*n*,&nbsp;*k*)", Analyse combinatoire, Tome second (page 51), Presses universitaires de France, 1970.
* Louis Comtet, *Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions*, Reidel Publishing Company, Dordrecht-Holland/Boston-U.S.A., 1974.
* André F. Labossière, *Sobalian Coefficients => ... s(n,k) as an explicit formula of first echelon ...*.
* Francis L. Miksa (1901&ndash;1975), *Stirling numbers of the first kind*, "27 leaves reproduced from typewritten manuscript on deposit in the UMT File", Mathematical Tables and Other Aids to Computation, vol. 10, no. 53, January 1956, pp. 37&ndash;38 (Reviews and Descriptions of Tables and Books, 7[I]).
* Dragoslav S. Mitrinović, *Sur les nombres de Stirling de première espèce et les polynômes de Stirling* , AMS 11B73_05A19, Publications de la Faculté d'Electrotechnique de l'Université de Belgrade, Série Mathématiques et Physique (ISSN 0522-8441), no. 23, 1959 (5.V.1959), pp. 1&ndash;20.
* Victor Adamchik, "On Stirling Numbers and Euler Sums ", Journal of Computational and Applied Mathematics **79** (1997) pp. 119&ndash;130.
* Arthur T. Benjamin, Gregory O. Preston, Jennifer J. Quinn, *A Stirling Encounter with Harmonic Numbers*, (2002) Mathematics Magazine, **75** (2) pp 95&ndash;103.
* J. M. Sixdeniers, K. A. Penson, A. I. Solomon, *Extended Bell and Stirling Numbers From Hypergeometric Exponentiation* (2001), Journal of Integer Sequences, **4**, Article 01.1.4.
* 
* John J. O'Connor, Edmund F. Robertson, *James Stirling (1692&ndash;1770)*, (September 1998).