Shpërndarja e Studentit matricore

Në statistikë, **shpërndarja t matricore** është përgjithësimi i shpërndarjes së Studentit shumëndryshore nga vektorët tek matricat .   *t* -shpërndarja matricë ndan të njëjtën marrëdhënie me shpërndarjen *t* shumëndryshore që shpërndarja normale matricore ndan me shpërndarjen normale shumëndryshore .  Për shembull, shpërndarja t matricore është shpërndarja e përbërë që rezulton nga marrja e zgjedhjeve nga një shpërndarje normale e matricës që ka marrë zgjedhjen e matricës së kovariancës së matricës normale nga një shpërndarje e anasjelltë Wishart .  

Në një analizë Bayesian të një modeli regresioni linear shumëndryshor të bazuar në shpërndarjen normale të matricës, shpërndarja *t* matricore është shpërndarja parashikuese e pasme .

## E ç'është shpërndarja t matricore?i 
Për një shpërndarje t matricore, funksioni i dendësisë së probabilitetit në pikë \mathbf{X} i nje hapësire n\times p  është

:  f(\mathbf{X} ; \nu,\mathbf{M},\boldsymbol\Sigma, \boldsymbol\Omega) = K
\times \left|\mathbf{I}_n + \boldsymbol\Sigma^{-1}(\mathbf{X} - \mathbf{M})\boldsymbol\Omega^{-1}(\mathbf{X}-\mathbf{M})^{\rm T}\right|^{-\frac{\nu+n+p-1}{2}},

ku konstanta e integrimit *K* jepet nga

:  K =
\frac{\Gamma_p\left(\frac{\nu+n+p-1}{2}\right)}{(\pi)^\frac{np}{2} \Gamma_p\left(\frac{\nu+p-1}{2}\right)} |\boldsymbol\Omega|^{-\frac{n}{2}} |\boldsymbol\Sigma|^{-\frac{p}{2}}.

Këtu \Gamma_p është funksioni gama shumëndryshor .

## Shpërndarja e përgjithësuar 
Trajta e përgjithësuar e kësaj shpërndarje jepet sipas:

\frac{\Gamma_p(\alpha+n/2)}{(2\pi/\beta)^\frac{np}{2} \Gamma_p(\alpha)} |\boldsymbol\Omega|^{-\frac{n}{2}} |\boldsymbol\Sigma|^{-\frac{p}{2}}
\times \left|\mathbf{I}_n + \frac{\beta}{2}\boldsymbol\Sigma^{-1}(\mathbf{X} - \mathbf{M})\boldsymbol\Omega^{-1}(\mathbf{X}-\mathbf{M})^{\rm T}\right|^{-(\alpha+n/2)}

ku :

* M - vendndodhja- një matricë reale n \times p
* \Omega - shkalla - një matricë e përcaktuar pozitivisht p \times p
* \Sigma - shkalla - një matricë e përcaktuar pozitivisht n \times n 
* \alpha > \frac{p-1}{2} parametri i formës
* \beta > 0 parametri i shkallës

'*Matrica e përgjithësuar *t* - shpërndarja*' është një përgjithësim i matricës *t -* shpërndarjes me dy parametra *&#x3B1;* dhe *&#x3B2;* në vend të *&#x3BD;* . 

Kjo zvogëlohet në shpërndarjen t matricore me \beta=2, \alpha=\frac{\nu+p-1}{2}.

### Vetitë 
Nëse \mathbf{X} \sim {\rm T}_{n,p}(\alpha,\beta,\mathbf{M},\boldsymbol\Sigma, \boldsymbol\Omega) atëherë

: \mathbf{X}^{\rm T} \sim {\rm T}_{p,n}(\alpha,\beta,\mathbf{M}^{\rm T},\boldsymbol\Omega, \boldsymbol\Sigma).

Vetia e mësipërme vjen nga teorema  e Silvesterit për përcaktorët :

: \det\left(\mathbf{I}_n + \frac{\beta}{2}\boldsymbol\Sigma^{-1}(\mathbf{X} - \mathbf{M})\boldsymbol\Omega^{-1}(\mathbf{X}-\mathbf{M})^{\rm T}\right) =
:: \det\left(\mathbf{I}_p + \frac{\beta}{2}\boldsymbol\Omega^{-1}(\mathbf{X}^{\rm T} - \mathbf{M}^{\rm T})\boldsymbol\Sigma^{-1}(\mathbf{X}^{\rm T}-\mathbf{M}^{\rm T})^{\rm T}\right) .

Nëse \mathbf{X} \sim {\rm T}_{n,p}(\alpha,\beta,\mathbf{M},\boldsymbol\Sigma, \boldsymbol\Omega) dhe \mathbf{A}(n\times n) dhe \mathbf{B}(p\times p) atëherë janë matrica jo të anasjellta 

: \mathbf{AXB} \sim {\rm T}_{n,p}(\alpha,\beta,\mathbf{AMB},\mathbf{A}\boldsymbol\Sigma\mathbf{A}^{\rm T}, \mathbf{B}^{\rm T}\boldsymbol\Omega\mathbf{B})
.

Funksioni karakteristik është 

: \phi_T(\mathbf{Z}) = \frac{\exp({\rm tr}(i\mathbf{Z}'\mathbf{M}))|\boldsymbol\Omega|^\alpha}{\Gamma_p(\alpha)(2\beta)^{\alpha p}} |\mathbf{Z}'\boldsymbol\Sigma\mathbf{Z}|^\alpha B_\alpha\left(\frac{1}{2\beta}\mathbf{Z}'\boldsymbol\Sigma\mathbf{Z}\boldsymbol\Omega\right),

ku

: B_\delta(\mathbf{WZ}) = |\mathbf{W}|^{-\delta} \int_{\mathbf{S}>0} \exp\left({\rm tr}(-\mathbf{SW}-\mathbf{S^{-1}Z})\right)|\mathbf{S}|^{-\delta-\frac12(p+1)}d\mathbf{S},

dhe ku B_\delta është funksioni i tipit dy Bessel i Herzit  i një argumenti matricor.