Mosbarazimi i Jensenit

djathtas|parapamje|400x400px| **Pabarazia e Jensenit** përgjithëson pohimin se një vijë sekante e një funksioni të lugët shtrihet mbi grafikun e tij.
djathtas|parapamje| Vizualizimi i lugtësisë dhe pabarazisë së Jensen
Në matematikë, **mosbarazimi i Jensenit**, e quajtur sipas matematikanit danez Johan Jensen, lidh vlerën e një funksioni të lugët të një integrali me integralin e funksionit të lugët. Ajo u vërtetua nga Jenseni në vitin 1906,  duke u mbështetur në një provë të mëparshme të së njëjtës pabarazi për funksionet e dyfishta të diferencueshme nga Otto Hölder në 1889.  Duke pasur parasysh përgjithësinë e saj, pabarazia shfaqet në shumë forma në varësi të kontekstit, disa prej të cilave janë paraqitur më poshtë. Në formën e tij më të thjeshtë, pabarazia thotë se transformimi i lugët i një mesatareje është më i vogël ose i barabartë me mesataren e zbatuar pas transformimit të lugët; është një përfundim i thjeshtë se e kundërta është e vërtetë për shndërrimet e mysëta. 

Pabarazia e Jensenit përgjithëson pohimin se vija sekante e një funksioni të lugët qëndron *mbi* grafikun e funksionit, që është pabarazia e Jensenit për dy pika: vija sekante përbëhet nga mesataret e peshuara të funksionit të lugët (për *t*&nbsp;∈&nbsp;[0,1]),

: t f(x_1) + (1-t) f(x_2),

ndërsa grafiku i funksionit është funksioni i lugët i mesatares së peshuar,

: f(t x_1 + (1-t) x_2).

Kështu, pabarazia e Jensenit është

: f(t x_1 + (1-t) x_2) \leq t f(x_1) + (1-t) f(x_2).

Në kontekstin e teorisë së probabilitetit, përgjithësisht shprehet në formën e mëposhtme: nëse *X* është një ndryshore e rastit dhe φ është një funksion i lugët, atëherë

: \varphi(\operatorname{E}[X]) \leq \operatorname{E} \left[\varphi(X)\right].

## Zbatime dhe raste të veçanta 
### Trajta që përfshin një funksion të dendësisë së probabilitetit 
Supozoni se Ω është një nëngrup i matshëm i vijës reale dhe f(x) është një funksion jo negativ i tillë që

: \int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = 1.

Në gjuhën probabiliste, f është një funksion i dendësisë së probabilitetit .

Atëherë pabarazia e Jensen bëhet pohimi i mëposhtëm në lidhje me integralet e lugëta:

Nëse *g* është ndonjë funksion i matshëm me vlerë reale dhe \varphi është i lugët mbi shtrirjen e *g*, atëherë

:  \varphi\left(\int_{-\infty}^\infty g(x)f(x)\, dx\right) \le \int_{-\infty}^\infty \varphi(g(x)) f(x)\, dx. 

Nëse g(x)=x, atëherë kjo formë e pabarazisë reduktohet në një rast të veçantë të përdorur zakonisht:

: \varphi\left(\int_{-\infty}^\infty x\, f(x)\, dx\right) \le \int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\,f(x)\, dx.

Kjo aplikohet në metodat variacionale Bejesiane .

### Shembull: momentet çift të një ndryshoreje të rastit 
Nëse g(x) = x^{2n}, dhe *X* është një ndryshore e rastit, atëherë *g* është i lugët si

:  \frac{d^{2}g}{dx^{2}}(x) = 2n(2n - 1)x^{2n - 2} \geq 0\quad \forall\ x \in \R

dhe kështu

: 
g(\operatorname{E}[X]) = (\operatorname{E}[X])^{2n} \leq\operatorname{E}[X^{2n}].

### Fizika statistikore 
Pabarazia e Jensenit ka një rëndësi të veçantë në fizikën statistikore kur funksioni i lugët është një eksponencial, duke dhënë:

:  e^{\operatorname{E}[X]} \leq \operatorname{E} \left [ e^X \right ],

ku pritjet matematike janë në lidhje me disa shpërndarje probabiliteti në ndryshoren e rastit X

### Teoria e informacionit 
Nëse p(x) është dendësia e vërtetë e probabilitetit për X, dhe q(x) është një dendësi tjetër, atëherë duke zbatuar pabarazinë e Jensenit për ndryshoren e rastit Y(x) = \frac{q(x)}{p(x)} dhe funksionin e lugët \phi(y)=-\log (y)  jep

: \operatorname{E}[\varphi(Y)] \ge \varphi(\operatorname{E}[Y])

Prandaj:

: -D(p(x)\|q(x))=\int p(x) \log \left (\frac{q(x)}{p(x)} \right ) \, dx \le \log \left ( \int p(x) \frac{q(x)}{p(x)}\,dx \right ) = \log \left (\int q(x)\,dx \right ) =0 

një rezultat i quajtur pabarazia e Gibbs-it .

### Teorema Rao–Blackwell 
Nëse *L* është një funksion i lugët dhe \mathfrak{G} një nën-sigma-algjebër, atëherë, nga versioni i kushtëzuar i pabarazisë së Jensenit, marrim

: L(\operatorname{E}[\delta(X) \mid \mathfrak{G}]) \le \operatorname{E}[L(\delta(X)) \mid \mathfrak{G}] \quad \Longrightarrow \quad \operatorname{E}[L(\operatorname{E}[\delta(X) \mid \mathfrak{G}])] \le \operatorname{E}[L(\delta(X))].

Pra, nëse \delta(x) është një vlerësues i një parametri të pavëzhguar \theta dhënë një vektor të vëzhguesve X ; dhe nëse T(X) është një statistikë e mjaftueshme për \theta atëherë një vlerësues i përmirësuar, në kuptimin e të paturit një humbje më të vogël të pritshme *L*, mund të merret duke llogaritur

: \delta_1 (X) = \operatorname{E}_{\theta}[\delta(X') \mid T(X')= T(X)], 

pritja matematike e \delta në lidhje me \theta, marrë mbi të gjithë vektorët e mundshëm të vëzhgimeve X të përputhshëm me të njëjtën vlerë të T(X) si ajo e vëzhguar. Më tej, për shkak se T është një statistikë e mjaftueshme, \delta_1 (X) nuk varet nga \theta, prandaj bëhet statistikë.