Formalizmi i Lagranzhit

Metoda e Langranzhit është një formalizëm analitik që mbështetet në parimin e minimizimit të veprimit. Ky formulim u dha nga për herë të parë nga Jozef Luiz Lagranzhi në 1785. Formalizmi i Langranzhit nuk është një teori e re e mekanikës  klasike por një formulim alternativ i saj. E botuar nga Langranzhi në veprën e tij Mekanika analitike. 
Baza matematike e formalizmit të Langranzhit është analiza e variacionit. Në këtë rast funksionali përcaktohet si L = T - U.
Vetë veprimi përcakohet si A = \int L(q,dq;t)
Sipas parimit të veprimit minimal për të gjitha shtegjet mes dy pikave, natyra zgjedh atë që minimizon veprimin. Ky postulat në matematikë jepet nga parimi i Hamiltonit.

## Formulimi i metodës së Langranzhit 
### Rëndësia 
Formulimi i  Langranzhit është shumë i rëndësishëm jo vetëm për formulimin e mekanikës dhe bazën e gjerë të aplikimeve, por edhe për rolin e tij te thellë në zhvillimin e kuptimit të fizikës.  Edhe pse Langranzhi kërkoi që të përshkruante vetëm mekanikën klasike, *principi i veprimit* që përdoret për derivimin e ekuacioneve të Langranzhit tashmë aplikohet edhe në mekanikën kuantike. 

veprimi fizik dhe faza (valët) mekaniko-kuantike janë të lidhura nga  konstanja e Plankut, gjithashtu principi i veprimit stacionar mund të kuptohet në terma të interferencës konstruktive të funksionit valor.  

I njëjti princip, së bashku me formalizmin e Langranzhit, janë të lidhura ngushtë me teoremën e Nëdherit, e cila lidh  madhesitë e konservuar fizike me simetrinë e vazhduar te një sistemi fizik. 

Mekanika e Langranzhit dhe teorema e Nëtherit së bashku japin nje formalizëm natyral të kuantizimit të pare duke përfshirë komutatorët midis disa termave të caktuara të ekuacioneve të Langranzhit për ekuacionet e lëvizjes së një sistemi fizik.

### Avantazhe mbi metodat e tjera 
*Formulimi i Langranzhit nuk varet në një sistem koordinativ specifik -- në të kundërt, çfarëdo variabële \varphi_i(s) mund të përdoret për të përshkruar sistemin; Keto variable quhen "koordinata të përgjithshme" . Ato mund të jenë të pavarura nga koordinatat e sistemit (për shembull, intensiteti i fushës magnetike në një pozicion të caktuar; këndi i një rrotulle (e njohur ndryshe si makina Atud) ; pozicioni i një pike materiale në hapësirë; grada e eksitimit të një ajgenvlere të caktuar në një sistem kompleks). Kjo e bën më të lehtë që në teori të inkorporohen kufizime duke përcaktuar një teori në të cilën koordinatat përshkruajnë vetëm gjendjen e sistemit që kënaq këto kufizime të caktuara. Metodat matematike që perdoret në këtë rast quhet shumëzuesit e Langranzhit.

*Neqoftese formulimi është i pandryshueshëm nga simetritë, atëherë ekuacionet rezultante janë gjithashtu të pandryshueshme në atë simetri të caktuar. Kjo është shume e rëndësishme në ato raste kur duhet të tregosh se formulimi i sistemit në fjalë është konsistent me teorinë speciale të relativitetit ose me teorinë e përgjithshme të relativitetit. 

*Ekuacionet e derivuara me mënyrën e Langranzhit janë automatikisht konsistente duke mos lënë vend për një interpretim të dyfishte.

## Shpjegim i teorisë 
Ekuacionet e lëvizjes në mekanikën klasike merren nga principi i veprimit minimal, i cili jepet nga:

:\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0

ku *veprimi *, S, është një funksional 

:\mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,\mathrm{d}^ns},

dhe ku {}{}{}{}\ s_\alpha  tregon bashkësinë e parametrave të sistemit. 

Ekuacionet e lëvizjes të marra nga mënyra e derivatit të funksionalit jane identike me ekuacionet e Ojler-Langranzhit. Sistemet dinamike në të cilat ekuacionet e lëvizjes merren nga principi i veprimit minimal për një funksion Langranzhian të caktuar njihen si  *Sisteme Langrazhiane dinamike*. Shembuj të këtyre sistemeve variojnë që nga versioni klasik i Modelit Standart, dhe ekuacionet e Njutonit, deri tek probleme thjesht matematike si problemi i ekuacioneve te gjeodezikut apo Problemi i Platos.

## Një shembull nga mekanika klasike 
### Në një sistem koordinativ kartezian 
Supozojmë se kemi nje hapësire tre-dimensionale dhe funksionin Langranzhian

:L(\vec{x}, \dot{\vec{x}}) \ = \ \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \ - \ V(\vec{x}).

Atehere, ekuacioni i Ojler–Langranzhit është:

:\frac{d~}{dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \, \right) \ - \ \frac{\partial L}{\partial x_i} \ = \ 0
ku i = 1, 2, 3.

Derivimi jep:

:\frac{\partial L}{\partial x_i} \ = \ - \ \frac{\partial V}{\partial x_i}
:\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \ = \ \frac{\partial ~}{\partial \dot{x}_i} \, \left( \, \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \, \right) \ = \ \frac{1}{2} \ m \ \frac{\partial ~}{\partial \dot{x}_i} \, \left( \,  \dot{x}_i \, \dot{x}_i \, \right) = \ m \, \dot{x}_i

:\frac{d~}{dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \, \right) \ = \ m \, \ddot{x}_i 

Ekuacionet e Ojler–Langranzhit mund të shkruhen si:

:m\ddot{\vec{x}}+\nabla V=0

Ku derivati kohor është i shkruar ne menyren konvencionale me nje pike mbi madhesine qe po diferencohet, dhe \nabla është  operatori del.

Duke përdorur këtë resultat, mund të tregohet shume thjeshtë se mënyra e  Langranzhit është ekuivalente me atë Njutoniane. 

Nëqoftese forca shkruhet në terma të potencialit  \vec{F}=- \nabla V(x); ekuacioni që vijon ështe \vec{F}=m\ddot{\vec{x}}, i cili është i njejti ekuacion si në mënyrën e Njutonit për një objekt me masë konstante. 

Një deduktim shume i ngjashëm na jep shprehjen \vec{F}=\mathrm{d}\vec{p}/\mathrm{d}t, e cila është Ligji i dytë i Njutonit në formën e përgjithshme.

### Në një sistem koordinativ sferik 
Supozo se kemi nje system tre-dimensional hapesinor ku perdorim  koordinata sferike r, \theta, \phi me funksionin Langranzhian
:\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r).

Atehere ekuacionet e Ojler–Langranzhit jane:

:m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V' =0,
:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0,
:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0.

Ketu bashkesia e parameteave  s_i është vetem koha  t, dhe variablat dinamike  \phi_i(s) jane trajektoret \vec x(t) e thermijes.

Edhe pse po perdorim variabla standarte si  x, funksioni Langranzhian na lejon neve te perdorim cdo lloj koordinate, e cila mund edhe te mos jete ortogonale. Keto quhen  "koordinata të pegjithshme".

## Funksioni Langranzhian i një thërrmije 
### Një thërrmijë klasike në gravitetin Njutonian 
Funksioni  Langranzhian është  L \! xhauls. Neqoftese na është dhene nje thermije me mase  m \! kilogram, dhe pozicion \vec{x} metra ne nje fushe gravitacionale  Njutoniane me potencial \zeta \! xhauls per kilogram. Trajektorja e ethermijes ne hapesire kohe është e parametrizuar nga koha  t\! seconda. Energjia kinetike e thermijes ësh

: T[t] = {1 \over 2} m \dot{\vec{x}}[t] \cdot \dot{\vec{x}}[t] 

Ndersa energjia gravitacionale potenciale është:

: V[t] = m \zeta [\vec{x} [t],t] .

Pra funksioni Langranzhian është:

: L[t] = T[t] - V[t] = {1 \over 2} m \dot{\vec{x}}[t] \cdot \dot{\vec{x}}[t]  - m \zeta [\vec{x} [t],t] .

Po te variojme  \vec{x}\! tek integrali (i cili është ekuivalent me ekuacionet diferenciale te Ojler–Lagranzhit), marrim

:0 = \delta\int{L[t] \, \mathrm{d}t} = \int{\delta L[t] \, \mathrm{d}t} 
:= \int{m \dot{\vec{x}}[t] \cdot \dot{\delta \vec{x}}[t]  - m \nabla \zeta [\vec{x} [t],t] \cdot \delta \vec{x}[t] \, \mathrm{d}t}.

Tani bejme integrimin me pjese te termit te pare dhe te hedhim poshte integralin e plote . Pastaj pjestojme me variacionin te dyja anet qe te marrim

:0 = - m \ddot{\vec{x}}[t] - m \nabla \zeta [\vec{x} [t],t] 

Keshtu qe

:m \ddot{\vec{x}}[t] = - m \nabla \zeta [\vec{x} [t],t] \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)

Eshte ekuacioni i levizjes &mdash; dy shprehje te ndryshme per nje force.

### Thërrmijë nën një fushë elektromagnetike në relativitetin special 
Ne relativitetin special, forma e termit nga del derivati i momentit duhet qe te ndryshohetd; ajonuk perfaqeson me energjine kinetike. Prandaj ajo behet:

:- m c^2 \frac{d \tau[t]}{d t} = - m c^2 \sqrt {1 - \frac{v^2 [t]}{c^2}} 
:= -m c^2 + {1 \over 2} m v^2 [t] + {1 \over 8} m \frac{v^4 [t]}{c^2} + \dots 

(Ne relativitetin special, energjia e nje therrmije prove te lire është   m c^2 \frac{dt}{d \tau [t]} = \frac{m c^2}{\sqrt {1 - \frac{v^2 [t]}{c^2}}} = +m c^2 + {1 \over 2} m v^2 [t] + {3 \over 8} m \frac{v^4 [t]}{c^2} + \dots )

Ku  c \! meters per seconde është shpejtësia e dritës ne vakum, \tau \! seconda është koha e duhur (pra. Koha qe matet nga nje ore qe leviz se bashku me thermijen) dhe v^2 [t] = \dot{\vec{x}}[t] \cdot \dot{\vec{x}}[t]. Vini re se term i dyte ne kete seri perfaqeson energjine kinetike klasike. Supooni se thermija ka nje ngarkese elektrike q\! kulomb si dhe është ne nje fushe elektromagnetike me  nje potencial skalar \phi \! volt (nje volt është nje xhaul per kulomb) dhe potencial vektorial \vec{A} volt seconda per meter. Funksioni Lagrangian in je therrmije prove ne relativitetin special ne nje fushe elektromagnetike është:

: L[t] = - m c^2 \sqrt {1 - \frac{v^2 [t]}{c^2}} - q \phi [\vec{x}[t],t] + q \dot{\vec{x}}[t] \cdot \vec{A} [\vec{x}[t],t]

Duke e ndryshuar kete ne lidhje me  \vec{x}, ne marrim

:0 = - \frac{d}{d t}\left(\frac{m \dot{\vec{x}}[t]} {\sqrt {1 - \frac{v^2 [t]}{c^2}}}\right) - q \nabla\phi [\vec{x}[t],t] - q \partial_t{\vec{A}} [\vec{x}[t],t] 
- q \dot{\vec{x}}[t] \cdot \nabla\vec{A} [\vec{x}[t],t] 
+ q \nabla{\vec{A}} [\vec{x}[t],t] \cdot \dot{\vec{x}}[t] 

E cila është

:\frac{d}{d t}\left(\frac{m \dot{\vec{x}}[t]} {\sqrt {1 - \frac{v^2 [t]}{c^2}}}\right) = q \vec{E}[\vec{x}[t],t] 
+ q \dot{\vec{x}}[t] \times \vec{B} [\vec{x}[t],t] 

Ky është ekuacioni i forcës së Lorencit ku

:\vec{E}[\vec{x},t] = - \nabla\phi [\vec{x},t] - \partial_t{\vec{A}} [\vec{x},t] 
:\vec{B}[\vec{x},t] = \nabla \times \vec{A} [\vec{x},t] 

### Thërrmijë testuese në relativitetin e përgjithshëm 
Ne  relativitetin e përgjithshëm, termi i pare pergjithesohet (ne menyre qe te pefshije) si energjine kinetike klasike ashtu eshe bashkeveprimin me potencilain gravitacional Njutonian. Ai behet:

:- m c^2 \frac{d \tau[t]}{d t} 
:= - m c \sqrt {- g_{\alpha\beta}[x[t]] \frac{d x^{\alpha}[t]}{d t} \frac{d x^{\beta}[t]}{d t}} .

Funksioni  Lagrangian in nje therrmije prove ne relativitetin e pergjithshem ne nje fushe eletromagnetike është:

: L[t] = - m c \sqrt {- g_{\alpha\beta}[x[t]] \frac{d x^{\alpha}[t]}{d t}
\frac{d x^{\beta}[t]}{d t}} + q \frac{d x^{\gamma}[t]}{d t} A_{\gamma}[x[t]] .

Neqoftese kater koordinatat e hapesire-kohes x^{\alpha}\! jane dhene ne njesi arbitrare  (pra. Pa njes), atehere  g_{\alpha\beta}\! meter katror është nje tensor metrike  simetrik i rendit te dytei cili sherben gjithashtu si potenciali gravitacional. Gjithashtu, A_{\gamma}\! ne volt seconda është potenciali elektromagnetik kater dimensional. Vini re se fktori  *c* është absorbuar ne rrnjen katrore sepse ai është ekuaivalenti i
:c\, \sqrt {1 - \frac{v^2 [t]}{c^2}} =  \sqrt {- ( - c^2 + v^2 [t])} .
Vini re se ky nocion është pergjithesuar direkte nga relativiteti special.

## Funksioni Langranzhian dhe densiteti Langranzhian në teorinë e fushës 
Integrali kohor i funksionit te Lagranzhit quhet veprim dhe jepet nga S.
Ne teorine e fushes, behet nje dallim mes funksionit Lagranzhian L, veprimi it e cilit është integrali kohor:

:\mathcal{S} = \int{L \, \mathrm{d}t}

dhe *densitetit te Lagranzhit* \mathcal{L}, te cilin duhet ta integrojme mbi gjithe  hapersire-kohen qe te marrim veprimin:

:\mathcal{S} [\varphi_i] = \int{\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\, \mathrm{d}^4x}

Funksioni Lagranzhian është integrali hapesinor i densitetit Lagranzhian.  Megjithate, \mathcal{L} shume here njihet thjesht is funksioni Lagranzhian, vecanrisht ne perdorimin modern; kjo është shume me e dobishme ne teorite relativiste sepse aty fusha skalare e Lorencit pecaktohet ne menyre  lokale. Te dyja percaktime mund te shihen si raste special te forms se pergjithshme, te varura nga ku variabla hapesinore \vec x perfshihet ne indeksin  i ose te parametrave  s ne \varphi_i(s).  Teori kuantike të fushës në fizikën bërthamore, si  elektrodinamika kuantike, zakonisht pershkruhen ne terma te  \mathcal{L}, sepse  terms ne kete forme te funksionit Lagranzhian mund te perdoren si rregulla ne llogaritjet qe behen per te marre diagramat e Fajmanit.

## Fushat e  zgjedhura 
Ne menyre analoge me ate qe paraqitem me lart, ketu do te japim ekauicionet e fushes ne te cilen keto thermija levizin. Ekuacionet e meposhtme i perkasin fushave ne te cilat therrmija prove e pershkruar me lart leviz, ato lejojne per llogaritjen e ekuacioneve te levizjes se saj. Ekuacionet e meposhtme nuk japin ekuacionet e levizjes se therrmijes por fushen potenciale qe shkatohet nga madhesi si  masa ose densiteti i ngarkeses e nje pike [\vec{x},t]. Per shembull, ne rastin e gravitetit Njutonian, densiteti Lagranzhian i integruar mbi hapesire-kohen jep nje ekuacion i cili pot e zgjidhet do te jape \zeta [\vec{x},t]. Kjo  \zeta [\vec{x},t], kur zevendesohet ne ekuacioni prape tek (1), ekuacioni i  Lagranzhit per nje therrmije prove ne fushen gravitacionale Njutoniane , jep informacionin e duhur ne menyre qe ne te llogrisim nxitimin e therrmijes.

### Graviteti Njutonian 
Funksioni (i densitetit) Langrangzhian është \mathcal{L} xhul per meter kub. Termi i bashkeveprimit m \zeta \! zevendesohet nga nje term qe perfshin nje funksion densiteti te vazhdueshem te mases \mu \! kilogram per meter kub. Kjo është e domosdoshme sepse pot e perdorim nje burim pikesor per fushen do ten a coje ne veshtiresi matematike. Funksioni Langranzhian rezultues është per fushen klasike gravitacionale është:

:\mathcal{L}[\vec{x},t] = - \mu [\vec{x},t] \zeta [\vec{x},t] - {1 \over 8 \pi G} (\nabla \zeta [\vec{x},t])^2 

ku G \! meters kub per kilogram seconda ne katror është konstantja gravitacionale. Variacioni i integralit ne lidhje me  \zeta \! jep:

:0 = - \mu [\vec{x},t] \delta\zeta [\vec{x},t] - {2 \over 8 \pi G} (\nabla \zeta [\vec{x},t]) \cdot (\nabla \delta\zeta [\vec{x},t]) .

Tani bejme integrimin me pjese dhe hedhim poshte integralin  e plote. Pasi pjestojme me  \delta\zeta \! marrim:

:0 = - \mu [\vec{x},t] + {1 \over 4 \pi G} \nabla \cdot \nabla \zeta [\vec{x},t] 

Keshtu qe 

:4 \pi G \mu [\vec{x},t] = \nabla^2 \zeta [\vec{x},t] 

E cila jep ligjin e Gausit për gravitetin.

### Elektromagnetizmi në teorinë e relativitetit special 
Termat e bashkeveprimit - q \phi [\vec{x}[t],t] + q \dot{\vec{x}}[t] \cdot \vec{A} [\vec{x}[t],t] jane zevendesuar nga terma qe perfshine nje densitet ngarkese konstant \rho \! coulomb per meter kub dhe nje densitet korenti \vec{j} \! ampere per meter atror. Funksioni Langranzhian resultant per fushen elektromagnetike është:

:\mathcal{L}[\vec{x},t] = - \rho [\vec{x},t] \phi [\vec{x},t] + \vec{j} [\vec{x},t] \cdot \vec{A} [\vec{x},t] + {\epsilon_0 \over 2} {E}^2 [\vec{x},t] - {1 \over {2 \mu_0}} {B}^2 [\vec{x},t] .

Duje e ndryshuar kete ne lidhje me  \phi \!, ne marrim

:0 = - \rho [\vec{x},t] + \epsilon_0 \nabla \cdot \vec{E} [\vec{x},t] 

E cila jep ligjin e Gausit.

Kurse pot a ndrshojme kete ne lidhje me  \vec{A}, ne marrim

:0 = \vec{j} [\vec{x},t] + \epsilon_0 \partial_t \vec{E} [\vec{x},t] - {1 \over \mu_0} \nabla   \times \vec{B} [\vec{x},t] 

E cila jep ligjin e Amperit.

### Elektromagnetizmi në teorinë e relativitetit të përgjithshëm 
Per funksionin Langranzhian ne relativitetin e pergjithshem, shikoni veprimi i Ajnshtajn-Hilbertit. Langranzhiani i fushes elektromagnetike është:

:\mathcal{L}[x] = + J^{\gamma}[x] A_{\gamma}[x] 
 - {1 \over 4\mu_0} F_{\mu \nu}[x] F_{\alpha \beta}[x] g^{\mu\alpha}[x] g^{\nu\beta}[x] \sqrt{\frac{-1}{c^2} \mathrm{det} [g[x]]}. 

Neqoftese kater koordinatat e hapesire-kohes x^{\alpha}\! jane dhene ne njesi arbitrare, atehere: \mathcal{L} xhul sekonda është funksioni Langrangian, nje densitet skalar; J^{\gamma}\! kulomb është korrenti, nje densitet vektorial; dhe F_{\mu \nu}\! volt sekonda është tensori elektromagnetik,nje tensor kovariant antisimetrik i rendit te dyte. Vini re qe determinant poshte shenjes se rrenjes katrore aplikohet mbi cdo component te matrices se tensorit kovariant te metrikes g_{\alpha\beta}\!, dhe  g^{\alpha\beta}\! është inverse i saj. Vini re qe njesite e funksionit Langranzhian ndryshojne sepse ne po integrojme mbi  x^0, x^1, x^2, x^3\! te cilat nuk kane njesi ne krahasim me  t, x, y, z \! te cilat kane njesi seconda meter kub. Tensor ii fushes elektromagnetike formohet duke anti-simetruar derivatet pjesore te potencilait vektorial elektromagnetik; pra ai nuk është nje varaibel e pavarur. Rrenja katrore duhet qe te konvertoje ate term ne nje densitet scalar ne vend ten je skalari te thjështë, si dhe per kompensimin per ndryshimin e njesive ne njesite e varaiblave te integrimit. Faktori i  \frac{-1}{c^2} Brenda rrenjes katrore duhet per normalizimin e rrenjes katrore ne menyre qe te reduktohet ne vleren nje ne relativitetin special (meqenese determinant është  - c^2 \! ne relativitetin special).

## Funksionet Langranzhiane në teorinë kuantike të fushës 
### Funksioni Langranzhian i Dirakut 
Densiteti i funksionit Langranzhian per nje fushë të Dirakut është:

:\mathcal{L} = \bar \psi (i \hbar c \not\!D - mc^2) \psi

Ku  \psi\! është nje spinor i Dirakut, \bar \psi = \psi^\dagger \gamma^0 është  transpozimi kompleks i Dirakut, D\! është derivati kovariant i madhesise, dhe \not\!D është notacioni i Fajmanit per \gamma^\sigma D_\sigma\!.

### Funksioni Langranzhian në elektrodinamikën kuantike 
Densiteti i Langranzhit per EDK është:

:\mathcal{L}_{\mathrm{QED}} = \bar \psi (i \hbar c\not\!D - mc^2) \psi - {1 \over 4\mu_0} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}

ku  F^{\mu \nu}\! është tensori elektromagnetik

### Funksioni Langranzhian në kromodinamiken kuantike 
Densiteti i  Langranzhit per kromodinamiken kuantike është http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html http://smallsystems.isn-oldenburg.de/Docs/THEO3/publications/semiclassical.qcd.prep.pdf  https://web.archive.org/web/20090912104550/http://www-zeus.physik.uni-bonn.de/~brock/teaching/jets_ws0405/seminar09/sluka_quark_gluon_jets.pdf:

:\mathcal{L}_{\mathrm{QCD}} = \sum_n \bar \psi_n (i \hbar c\not\!D - m_n c^2) \psi_n - {1\over 4} G^\alpha {}_{\mu\nu} G_\alpha {}^{\mu\nu}

ku D\! është  KDK  derivati i madhesise kovariante, dhe  G^\alpha {}_{\mu\nu}\! është tensori gluon i  fuqisë së fushës.

## Formalizmi matematik 
### Shembuj 
* Në  mekanikën klasike, në formalizmin Hamiltonian, M është një manifold një-dimensional \mathbb{R}, që paraqet kohën dhe hapësirën në fjalë në këtë rast është një  tufë kotangente e  hapësires së pozicionit të përgjithshëm.
* Në teorinë e fushës, M është manifold i   hapesirë-kohës dhe hapësira në fjalë është një bashkësi vlerash që fusha mund të marrë në çdo pikë të dhënë. Për shembull, nëqoftëse jane m fusha skalare me vlera reale , \phi_{1}, ..., \phi_{m}, atëhere manifoldi në fjalë është  \mathbb{R}^m. Nëqoftëse fusha është një fushë vektoriale reale, atehere manifoldi në fjalë është izomorfik te \mathbb{R}^n. Në fakt ekziston një mënyrë shumë më elegante që përdor tufa tangente mbi M, por në ketë artikull do ti përmbahemi kësaj metode.

### Zhvillimi matematik 
Konsideroni një funksional, \mathcal{S}:\mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R}, të quajtur veprim. Arsye fizike na diktojne se ai është një  lidhje e  \mathbb{R}, dhe jo i \mathbb{C}.

Në mënyrë që veprimi të jetë lokal, na duhen kondita kufizuese të tjera mbi veprimin. Nëqoftëse  \varphi\in\mathcal{C}, themi se \mathcal{S}[\varphi] është  integrali mbi  M i një funksioni të  \phi, derivati dhe pozicioni i saj marrin emrin funksioni **Langranzhian**, \mathcal{L}(\varphi,\partial\varphi,\partial\partial\varphi, ...,x). Me fjalë të tjera,

:\forall\varphi\in\mathcal{C}, \ \ \mathcal{S}[\varphi]\equiv\int_M \mathrm{d}^nx \mathcal{L} \big( \varphi(x),\partial\varphi(x),\partial\partial\varphi(x), ...,x \big).

Më poshtë, në marrim parasysh faktin që, funksioni Lagranzhian varet vetëm te vlera e fushës dhe derivati i saj i parë dhe jo në derivate të rendeve më të larta.

Nëqoftëse na janë dhënë kushtet kufitare, pra specifikimet e vlerave të \phi në  kufi nëqoftëse M është kompakt në një limit në \phi kur x afrohet  \infty (kjo do të ndihmojë në aplikimin e   integrimit me pjesë), nënhapësira e  \mathcal{C} përbëhet nga funksione, \phi të tilla që të gjitha derivatet funksionale te  S tek \phi janë zero dhe \phi kënaq konditat kufitare është nënhapësira e zgjidhjeve.

Zgjidhja e kësaj jepet nga ekuacionet e Ojler–Langranzhit (falë kushteve kufitare),

:\frac{\delta\mathcal{S}}{\delta\varphi}=-\partial_\mu
 \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\right)+ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi}=0.

Ana e majtë e derivatit funksional të veprimit në lidhje me \phi.

## Shikoni gjithashtu 

* Derivati funksional
* Integrali funksional
* Principi i Hamiltonit
* Analiza e variacionit
* Koordinatat e përgjithshme
* Mekanika e Hamiltonit
* Mekanika e Lagranzhit
* Pika e Lagranzhit
* Teorema e Nëdherit
* Teoria klasike e fushës kovariante
* Teoria e fushës skalare
* Koordinatat e Lagranzhit dhe të Ojlerit

## Referime 
* Christoph Schiller (2005), *Global descriptions of motion: the simplicity of complexity*, Motion Mountain
* David Tong Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)