1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

thumb|15,000 shumat e pjesshme të para të 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + ...
Në matematikë, **1 − 2 + 3 − 4 + ···** është një seri e pafundme, kushti i të cilës janë numrat natyrorë të njëpasnjëshëm, për shenjat e alternuara të dhënë. Duke përdorur simbolin e mbledhjes sigma, shuma e **m** *kushteve të serisë mund të të shprehet si

:\sum_{n=1}^m n(-1)^{n-1}.

Seria e pafundme devijon, që do të thotë se sekuenca e saj e shumave të  pjesshme, (1, −1, 2, −2, ...), nuk tenton drejt ndonjë kufiri të fundmë. Megjithatë, në mesin e shekullit të XVIII-të, Leonhard Euler shkroi atë që ai ka pranuar të jetë një ekuacion paradoksale:

:1-2+3-4+\cdots=\frac{1}{4}.

Një shpjegim rigoroz i këtij ekuacioni nuk do të arrijnë deri shumë vonë. Duke filluar nga viti 1890, Ernesto Cesàro, Émile Borel dhe të tjerë, hulumtuan metodat e definuara mirë për të caktuar shuma të përgjithshme në seritë divergjente—duke përfshirë interpretimet e reja të përpjekjeve të *Euler*-it. Më pas, shumë prej këtyre metodave të mbledhjes lehtësisht e caktonin 1 − 2 + 3 − 4 + ... si një "shumë" e 1&#x2044;4. Mbledhja *Cesàro* është një nga metodat e pakta që nuk e mbledh shumën e 1 − 2 + 3 − 4 + ..., kështu që seria është një shembull ku kërkohet një metodë pak më e fortë, siç është mbledhja *Abel*.

Seria 1 − 2 + 3 − 4 + ... është shumë e përafërt me serinë e *Grand*-it 1 − 1 + 1 − 1 + .... Euleri i trajton këto si dy raste të veçanta të 1 − 2*n* + 3*n* − 4*n* + ... për një *'n* **arbitrare, një linjë e hulumtimeve e zgjeroj punën e tij mbi problemin e Bazelit dhe duke e çuar drejt ekuacioneve funksionale të asaj që ne sot e njohim si funksioni Dirichlet eta dhe funksioni Riemann zeta.

## Shpjegimi i paradoksit 
Në matematikë, në qoftë se një grup i rregullave është në përputhje me vetveten, atëherë ai mund të punojë me këto rregulla. Sipas përcaktimit të "mbledhjes" dhe "barazimit" me të cilat shumica e njrëzve janë mësuar, nuk ka kuptim të thuhet se 1 − 2 + 3 − 4 + ... është e barabartë me diçka. Megjithatë, ka disa mënyra të tjera, disi më të përgjithshme që përcaktojnë "mbledhjen" dhe "barazimin" që nuk janë në kundërshtim me mënyrat tona të zakonshme, aritmetika e fundme,
por të cilat prodhojnë disa rezultate tjera befasuese me shuma të pafund. Një mënyrë për të parë se si ajo mund të funksionojë është nëse seria (1 − 2 + 3 − 4 + ...) i shtohet vetvetes katër herë në mënyrën e duhur, duke shkaktuar që të gjitha kushtet pozitive dhe negative të nxirren jashtë, përveç ati fillestar, 1-shi. Kështu, pasi katë kopje të serisë shtohen deri në 1, seria në vetvete do të barazohet me 1/4. 
   1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . . . 
    + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . 
    + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . . 
        + 1 - 2 + 3 - 4 + . . . . . . . 
 
 = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . .

## Divergjenca 
Kushtet e serisë (1, −2, 3, −4, ...) nuk i qasen numrit 0; megjithatë  devijon nga kushtet testues. Për referencë më vonë, ajo do të jetë e dobishme për të parë divergjencat në një nivel themelor. Sipas definicionit, konvergjenca apo divergjenca e një serie të pafundme është përcaktuar nga konvergjenca apo divergjenca e shumave të pjesshme të sekuencës së saj, si dhe shuma e pjesshme e  janë:

: 1 = **1**,
: 1 − 2 = **−1**,
: 1 − 2 + 3 = **2**,
: 1 − 2 + 3 − 4 = **−2**,
: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 = **3**,
: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = **−3**,
: ...

Kjo sekuence është e dukshme për përfshirjen e çdo numri të plotë saktësisht një herë—edhe në 0 në qoftë se llogarit shumën e pjesshme të zbarzët—dhe në këtë mënyrë formimin e një grupi numëruesish të numrave të plotë \mathbb{Z}. Sekuenca e shumave të pjesshme tregon qartë se seritë nuk konvergojnë në një numër të caktuar (për ndonjë limit të propozuar **x*', ne mund të gjejmë një pikë përtej së cilës shumat e mëvonshme të pjesshme janë të gjitha jashtë intervalit [*x*-1, *x*+1]), pra  devijon.

## Referime 
## Lidhje të jashtme
*
*