Prodhimi vektorial

djathtas|parapamje| Produkti kryq në lidhje me një sistem koordinativ të djathtë
Në matematikë, **prodhimi kryq** ose **prodhimi vektorial** është një veprim binar mbi dy vektorë në një hapësirë vektoriale euklidiane të orientuar tre-dimensionale (e emërtuar këtu E ), dhe shënohet me simbolin \times . Duke pasur parasysh dy vektorë linearisht të pavarur a dhe b, prodhimi kryq, a × b (lexohet "a kryq b"), është një vektor që është pingul me a dhe b,  dhe kështu normal me rrafshin që i përmban. Njësitë e prodhimit të kryqëzuar janë prodhimi i njësive të çdo vektori. Ka shumë zbatime në matematikë, fizikë, inxhinieri dhe programim kompjuterik . Nuk duhet të ngatërrohet me prodhimin skalar (pordhimi i një projeksioni).

Nëse dy vektorë kanë të njëjtin drejtim ose kanë drejtim të kundërt (d.m.th., ata *nuk* janë linearisht të pavarur), ose nëse njëri prej tyre ka gjatësi zero, atëherë prodhimi i tyre kryq është zero.  Në përgjithësi, madhësia e produktit është e barabartë me sipërfaqen e një paralelogrami me vektorët për brinjë; në veçanti, madhësia e prodhimit të dy vektorëve pingulë është prodhimi i gjatësive të tyre.

Produkti kryq është kundërndërrues (d.m.th. a × b = − b × a ) dhe është shpërndarës për mbledhjen (d.m.th., a × ( b + c ) = a × b + a × c ).  Hapsira E së bashku me prodhimin vektorial është një algjebër mbi numrat realë, e cila nuk është as ndërruese dhe as shoqëruese, por është një algjebër Lie ku prodhimi kryq është kllapa Lie .

Ashtu si dhe prodhimi skalar, ai varet nga metrika e hapësirës Euklidiane, por ndryshe nga prodhimi skalar, ai gjithashtu varet nga zgjedhja e orientimit (ose " dorëzimi ") të hapësirës (kjo është arsyeja pse nevojitet një hapësirë e orientuar). Në lidhje me produktin kryq, produkti i jashtëm i vektorëve mund të përdoret në dimensione arbitrare (me një rezultat bivektor ose 2-formësh ) dhe është i pavarur nga orientimi i hapësirës.

## E ç'është prodhimi vektorial? 
[parapamje| Gjetja e drejtimit të prodhimit kryq sipas [Rregulla e dorës së djathtë|rregullit të dorës së djathtë]]
Prodhimi kryq i dy vektorëve **a** dhe **b** përcaktohet vetëm në hapësirën tredimensionale dhe shënohet me  . Në fizikë dhe matematikë të zbatuar, simboli pykë  përdoret shpesh,    edhe pse në matematikën e pastër një shënim i tillë zakonisht rezervohet vetëm për prodhimin e jashtëm, një abstragimi i prodhimit vektorial në **n** dimensione.

Prodhimi kryq  përkufizohet si një vektor **c** që është pingul me **a** dhe **b**, me një drejtim të dhënë nga rregulli i dorës së djathtë  dhe një madhësi të barabartë me sipërfaqen e paralelogramit që vektorët gjenerojnë. 

Prodhimi kryq përcaktohet me formulën  

: \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left\| \mathbf{a} \right\| \left\| \mathbf{b} \right\| \sin (\theta) \ \mathbf{n}

ku:

* *θ* është këndi midis **a** dhe **b** në rrafshin që i përmban ato (prandaj, është midis 0° dhe 180°)
* ‖ **a** ‖ dhe ‖ **b** ‖ janë gjatësitë e vektorëve **a** dhe **b**
* dhe **n** është një vektor njësi pingul me rrafshin që përmban **a** dhe **b**, me drejtim të tillë që bashkësia e renditur ( **a**, **b**, **n** ) është e orientuar pozitivisht .

Nëse vektorët **a** dhe **b** janë paralelë (d.m.th., këndi *θ* ndërmjet tyre është ose 0° ose 180°), sipas formulës së mësipërme, prodhimi kryq i **a** dhe **b** është vektori zero **0** .

### Drejtimi 
majtas|parapamje| Produkti kryq  (vertikal, në vjollcë) ndryshon ndërsa këndi midis vektorëve **a** (blu) dhe **b** (i kuq) ndryshon. Produkti kryq është gjithmonë pingul me të dy vektorët, dhe ka madhësi zero kur vektorët janë paralelë dhe madhësinë maksimale ‖ **a** ‖‖ **b** ‖ kur janë ortogonalë.
Drejtimi i vektorit **n** varet nga orientimi i zgjedhur i hapësirës. Në mënyrë konvencionale, ai jepet nga rregulli i dorës së djathtë, ku njeriu thjesht tregon gishtin tregues të dorës së djathtë në drejtim të **a** dhe gishtin e mesit në drejtimin e **b** . Pastaj, vektori **n** del nga gishti i madh (shih foton ngjitur). Përdorimi i këtij rregulli nënkupton që prodhimi i kryqëzuar është kundërndërrues ; pra  . Duke e drejtuar fillimisht gishtin tregues drejt **b** dhe më pas duke drejtuar gishtin e mesit drejt **a**, gishti i madh do të detyrohet në drejtim të kundërt, duke e kthyer shenjën e vektorit të produktit.

Duke qenë se vepruesi i prodhimit të kryqëzuar varet nga orientimi i hapësirës, në përgjithësi prodhimi kryq i dy vektorëve nuk është një vektor "i vërtetë", por një *pseudovektor*

## Llogaritje 
### Shënimi në koordinata 
[djathtas|parapamje|300x300px| Vektorët e bazës standarde ( **i**, **j**, **k**, shënohen gjithashtu (**e** 1, **e** 2, **e** 3 ) dhe [Vektori|përbërësit vektorialë të **a** ( **a** x, **a** y, **a** z, të shënuar gjithashtu (**a** 1, **a** 2, **a** 3 )]]
Nëse ( **i**, **j**, **k** ) është një bazë ortonormale e orientuar pozitivisht, vektorët bazë plotësojnë barazimet e mëposhtme 

: \begin{alignat}{2}
 \mathbf{\color{blue}{i}}&\times\mathbf{\color{red}{j}} &&= \mathbf{\color{green}{k}}\\
 \mathbf{\color{red}{j}}&\times\mathbf{\color{green}{k}} &&= \mathbf{\color{blue}{i}}\\
 \mathbf{\color{green}{k}}&\times\mathbf{\color{blue}{i}} &&= \mathbf{\color{red}{j}}
\end{alignat}

të cilat nënkuptojnë, nga kundërndërrimi i prodhimit kryq, se

: \begin{alignat}{2}
 \mathbf{\color{red}{j}}&\times\mathbf{\color{blue}{i}} &&= -\mathbf{\color{green}{k}}\\
 \mathbf{\color{green}{k}}&\times\mathbf{\color{red}{j}} &&= -\mathbf{\color{blue}{i}}\\
 \mathbf{\color{blue}{i}}&\times\mathbf{\color{green}{k}} &&= -\mathbf{\color{red}{j}}
\end{alignat}

Kundërndërrimi i prodhimit kryq (dhe mungesa e dukshme e pavarësisë lineare) gjithashtu nënkupton këtë

: \mathbf{\color{blue}{i}}\times\mathbf{\color{blue}{i}} = \mathbf{\color{red}{j}}\times\mathbf{\color{red}{j}} = \mathbf{\color{green}{k}}\times\mathbf{\color{green}{k}} = \mathbf{0} ( vektori zero ).

Këto barazime, së bashku me shpërndarjen dhe linearitetin e prodhimit vektorial, janë të mjaftueshme për të përcaktuar prodhimin vektorial të çdo dy vektorëve **a** dhe **b** . Çdo vektor mund të përkufizohet si shuma e tre përbërësve ortogonalë paralelë me vektorët bazë standardë:

: \begin{alignat}{3}
 \mathbf{a} &= a_1\mathbf{\color{blue}{i}} &&+ a_2\mathbf{\color{red}{j}} &&+ a_3\mathbf{\color{green}{k}} \\
 \mathbf{b} &= b_1\mathbf{\color{blue}{i}} &&+ b_2\mathbf{\color{red}{j}} &&+ b_3\mathbf{\color{green}{k}}
\end{alignat}

Prodhimi i tyre kryq  mund të zgjerohet duke përdorur shpërndarjen:

:  \begin{align}
 \mathbf{a}\times\mathbf{b} = {} &(a_1\mathbf{\color{blue}{i}} + a_2\mathbf{\color{red}{j}} + a_3\mathbf{\color{green}{k}}) \times (b_1\mathbf{\color{blue}{i}} + b_2\mathbf{\color{red}{j}} + b_3\mathbf{\color{green}{k}})\\
              = {} &a_1b_1(\mathbf{\color{blue}{i}} \times \mathbf{\color{blue}{i}}) + a_1b_2(\mathbf{\color{blue}{i}} \times \mathbf{\color{red}{j}}) + a_1b_3(\mathbf{\color{blue}{i}} \times \mathbf{\color{green}{k}}) + {}\\
                 &a_2b_1(\mathbf{\color{red}{j}} \times \mathbf{\color{blue}{i}}) + a_2b_2(\mathbf{\color{red}{j}} \times \mathbf{\color{red}{j}}) + a_2b_3(\mathbf{\color{red}{j}} \times \mathbf{\color{green}{k}}) + {}\\
                 &a_3b_1(\mathbf{\color{green}{k}} \times \mathbf{\color{blue}{i}}) + a_3b_2(\mathbf{\color{green}{k}} \times \mathbf{\color{red}{j}}) + a_3b_3(\mathbf{\color{green}{k}} \times \mathbf{\color{green}{k}})\\
\end{align}

: \mathbf{a\times b} = \begin{vmatrix}
 \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\
 a_1&a_2&a_3\\
 b_1&b_2&b_3\\
\end{vmatrix}

: \begin{align}
 \mathbf{a\times b} &=(a_2b_3\mathbf{i}+a_3b_1\mathbf{j}+a_1b_2\mathbf{k}) - (a_3b_2\mathbf{i}+a_1b_3\mathbf{j}+a_2b_1\mathbf{k})\\
           &=(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} +(a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{j} +(a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}. 
\end{align}

: \begin{align}
\mathbf{a\times b} &=
 \begin{vmatrix}
  a_2&a_3\\
  b_2&b_3
 \end{vmatrix}\mathbf{i} -
 \begin{vmatrix}
   a_1&a_3\\
   b_1&b_3
 \end{vmatrix}\mathbf{j} +
 \begin{vmatrix}
  a_1&a_2\\
  b_1&b_2
 \end{vmatrix}\mathbf{k} \\

 &=(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} -(a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} +(a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k},
\end{align}

### Shënimi matricor 
[parapamje| Përdorimi [Rregulli i Sarrusit|i rregullit të Sarrusit për të gjetur prodhimin kryq të **a** dhe **b**]]
Prodhimi vektorial mund të shprehet gjithashtu si përcaktori formal :  

: \mathbf{a\times b} = \begin{vmatrix}
 \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\
 a_1&a_2&a_3\\
 b_1&b_2&b_3\\
\end{vmatrix}

Ky përcaktues mund të llogaritet duke përdorur rregullën e Sarrusit ose zgjerimin në kofaktorë . Duke përdorur rregullin e Sarrus, ai zgjerohet në

: \begin{align}
 \mathbf{a\times b} &=(a_2b_3\mathbf{i}+a_3b_1\mathbf{j}+a_1b_2\mathbf{k}) - (a_3b_2\mathbf{i}+a_1b_3\mathbf{j}+a_2b_1\mathbf{k})\\
           &=(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} +(a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{j} +(a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}. 
\end{align}

Në vend të kësaj, duke përdorur zgjerimin në kofaktorë përgjatë rreshtit të parë, ai zgjerohet në 

: \begin{align}
\mathbf{a\times b} &=
 \begin{vmatrix}
  a_2&a_3\\
  b_2&b_3
 \end{vmatrix}\mathbf{i} -
 \begin{vmatrix}
   a_1&a_3\\
   b_1&b_3
 \end{vmatrix}\mathbf{j} +
 \begin{vmatrix}
  a_1&a_2\\
  b_1&b_2
 \end{vmatrix}\mathbf{k} \\

 &=(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} -(a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} +(a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k},
\end{align}

## Vetitë 
### Kuptimi gjeometrik 
djathtas|parapamje| Figura 1. Sipërfaqja e një paralelogrami si madhësia e një produkti kryq
djathtas|parapamje|240x240px| Figura 2. Tre vektorë që përcaktojnë një paralelopiped
 \left\| \mathbf{a} \times \mathbf{b} \right\| = \left\| \mathbf{a} \right\| \left\| \mathbf{b} \right\| \left| \sin \theta \right| .Në të vërtetë, mund të llogaritet gjithashtu vëllimi *V* i një paralelopipedi që **ka**, **b** dhe **c** si brinjë duke përdorur një kombinim të një produkti kryq dhe një produkti pikë, të quajtur prodhimi i përzier (shih Figurën 2):

: 
 \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=
 \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})=
 \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}).

Meqenëse rezultati i prodhimit të trefishtë skalar mund të jetë negativ, vëllimi i paralelopipedit jepet nga vlera e tij absolute:

: V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|.

## Zbatimet 
:Prodhimi kryq ka zbatime në kontekste të ndryshme. Për shembull, përdoret
:në gjeometri llogaritëse, fizikë dhe inxhinieri. Një listë jo shteruese e shembujve vijon.

### Gjeometria llogaritëse 
:Produkti kryq shfaqet në llogaritjen e largësisë së dy drejtëzave të kithta (drejtëza jo në të njëjtin rrafsh) nga njëra-tjetra në hapësirën tredimensionale.  Prodhimi kryq mund të përdoret për të llogaritur normalen për një trekëndësh ose shumëkëndësh, një veprim që kryhet shpesh në grafikat kompjuterike . Për shembull, dredha-dredha e një shumëkëndëshi (orare ose kundërorare) rreth një pike brenda shumëkëndëshit mund të llogaritet duke trekënduar shumëkëndëshin  dhe duke përmbledhur këndet duke përdorur prodhimin kryq për të mbajtur gjurmët e shenjës së çdo këndi.  Në gjeometrinë llogaritëse të rrafshit, prodhimi kryq përdoret për të përcaktuar shenjën e këndit të përcaktuar nga tre pika {\displaystyle p_{1}=(x_{1},y_{1}),p_{2}=(x_{2},y_{2})} dhe {\displaystyle p_{3}=(x_{3},y_{3})} . Ajo përkon me drejtimin (lart ose poshtë) të prodhimit kryq të dy vektorëve bashkëplanarë të përcaktuar nga dy palë pika {\displaystyle (p_{1},p_{2})} dhe {\displaystyle (p_{1},p_{3})} . Shenja e këndit është shenja e shprehjes

{\displaystyle P=(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x_{3}-x_{1})}  e cila është gjatësia e nënshkruar e prodhimit kryq të dy vektorëve.  Në sistemin e koordinatave "djathtas", nëse rezultati është 0, pikat janë kolineare ; nëse është pozitive, tre pikat përbëjnë një kënd pozitiv rrotullimi rreth p_{1} nga {\displaystyle p_{2}} te {\displaystyle p_{3}}, përndryshe një kënd negativ. Nga një këndvështrim tjetër, shenja e P tregon nëse {\displaystyle p_{3}} shtrihet në të majtë ose në të djathtë të vijës p_1 p_2

### Impulsi këndor dhe çifti i rrotullimit 
:Impulsi këndor {\displaystyle {\boldsymbol {L}}} i një grimce rreth një origjine të caktuar përcaktohet si:

{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }  ku {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} është vektori i pozicionit të grimcës në lidhje me origjinën, {\displaystyle {\boldsymbol {p}}} është impulsi linear i grimcës.  Në të njëjtën mënyrë, momenti {\displaystyle {\boldsymbol {M}}} i një force {\displaystyle {\boldsymbol {F_{B}}}} të zbatuar në pikën B rreth pikës A jepet si:

\mathbf {M} _{\mathrm {A} }=\mathbf {r} _{\mathrm {AB} }\times \mathbf {F} _{\mathrm {B} },  Në mekanikë momenti i një force quhet edhe çift rrotullues dhe shkruhet si {\displaystyle \mathbf {\tau } }. Meqenëse pozicioni r, impulsi linear p dhe forca F janë të gjithë vektorë të vërtetë, si momenti këndor L ashtu edhe momenti i një force M janë pseudovektorë ose vektorë boshtorë .

### Trupi i ngurtë 
:Prodhimi kryq shfaqet shpesh në përshkrimin e lëvizjeve të ngurta. Dy pika P dhe Q në një trup të ngurtë mund të lidhen me:

{\displaystyle \mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}\right)\,}  ku \mathbf {r} është pozicioni i pikës, \mathbf {v} është shpejtësia e tij dhe {\boldsymbol \omega } është shpejtësia këndore e trupit.  Që nga pozicioni \mathbf {r} dhe shpejtësia \mathbf {v} janë vektorë të vërtetë, shpejtësia këndore {\boldsymbol \omega } është një  pseudovektor ose vektor boshtor .

### Forca e Lorencit 
:Prodhimi kryq përdoret për të përshkruar forcën e Lorencit të përjetuar nga një ngarkesë elektrike lëvizëse qe:

{\displaystyle \mathbf {F} =q_{e}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}  Meqenëse shpejtësia v, forca F dhe fusha elektrike E janë të gjithë vektorë të vërtetë, fusha magnetike B është një pseudovektor .

## Historia 
:Në 1773, Lagranzhi përdori formën përbërëse të prodhimeve pikë dhe kryq për të studiuar katërkëndëshin në tre dimensione.   Në 1843, William Rowan Hamilton prezantoi produktin e kuaternioneve, dhe bashkë me të termat vektor dhe skalar . Duke pasur parasysh dy kuaternione [0, u] dhe [0, v], ku u dhe v janë vektorë në R3, produkti i tyre kuaternion mund të përmblidhet si [−u ⋅ v, u × v] . James Clerk Maxwell përdori mjetet e kuaternionit të Hamiltonit për të zhvilluar ekuacionet e tij të famshme të elektromagnetizmit, dhe për këtë dhe arsye të tjera kuaternionet për një kohë ishin një pjesë thelbësore e edukimit të fizikës.