Kriteri i Routh-it

## Hyrje
**Kriteri i Routh-it** është metodë, e cila mundëson gjetjen e lokacionit të poleve të sistemit, pa gjetur rrënjët e ekuaconit karakteristik. Pra është metodë e shqyrtimit të stabilitetit absolut të sistemit. Është metodë algjebrike, e cila në mënyrë relativisht të shpejtë na shpie deri tek rezultatet mbi stabilitetin e sistemit të çfardo rendi. Rezultet e fituara tregojnë vetëm nëse sistemi është stabil apo jo dhe sa pole ka në regionin jostabil të rrafshit kompleks, por nuk tregojnë asgjë për stabilitetin relativ të sistemit dhe ndikim e parametrave të sistemit në stabilitet. Përgjigjet e fituara janë të karakterit plotësisht të njejtë me ato që fitohen nga kriteri i Hurwitz-it por llogaritjet (sidomos për sisteme të rendeve të larta) kryhen shumë të lehtë.

## Përkufizimi formal
Supozojmë se është i njohur ekuacioni karakteristik, që përshkruan një sistem të rendi të n-të:

a_ns^2 + a_{n-1}s^{n-1} + \dots + a_1a + a_0 = 0

**Kondita e nevojshme** që të mund të aplikojmë kriterin e Routh-it është që të gjithë koeficientët e ekuacionit paraprak të kenë parashenjë të njejtë. 
Përgjigja mbi stabilitetin e sistemit nxirret duke formuar *tabelën e Routh-it* :

Pra shohim se rreshti i parë formohet duke filluar nga elementi i parë dhe çdo i dyti. Edhe rreshti i dyte formohet ngjajshëm por duke filluar nga elementi i dytë. Kurse elementët tjerë të tabelës llogariten sipas shprehjeve:

*b_1=\frac{a_{n-1}a_{n-2}-a_na_{n-1}}{a_{n-1}} 
*b_2=\frac{a_{n-1}a_{n-4}-a_na_{n-4}}{a_{n-1}}

ngjajshëm llogariten edhe elementet tjera:

*c_1=\frac{b_1a_{n-3}-a_{n-1}b_3}{b_1}
*c_3=\frac{b_1a_{n-5}-a_{n-1}b_5}{b_1}

**Konditë e mjaftueshme** që sistemi i përshkruar me ekuacionin e mësipërm të jetë stabil është që të gjithë elementet e shtyllës së parë të tabelës se Routh-it të kenë parashenjën e njejtë. Në rastin e tillë konkludojmë se sistemi është stabil. Kur kemi ndërrim të shenjës, atëherë sistëmi është jostabil dhe numri i ndërrimit të shenjës tregon edhe numrin e poleve që gjendën në regjionin jostabil.

### Shembull
Ta shqyrtojmë sistemin, ekuacioni karakteristik i të cilit është:

2s^4 + s^3 + 3s^2 + 5s + 10 = 0

Shohim se të gjithë koeficientët kanë parashenjën e njejtë, pra plotësohet kondita e nevojshme andanj mund të formojmë tabelën ë Routh-it e cila do ketë formën:

Pra shohim se në kolonën e parë kemi dy ndërrime të shenjës andaj sistemi *është jostabil* dhe ka dy pole në regjionin jostabil. Kurse nuk fitojmë kurrfarë informacioni mbi atë se sa stabil është sistemi apo si do ndikojë ndryshimi i ndonjë parametri në stabilitetin e sistemit. Të gjitha përparësitë dhe mangësitë e cekura tek kriteri i Hurwitz-it vlejnë edhe për kriterin e Routh-it.

## Rastet kur tabulimi i Routh-it përfundon para kohe
Gjatë formimit të tabelës se Routh-it mund të paraqiten disa komplikime të cilat pamundësojnë llogaritjet e mëtutjeshme dhe që të arrihet përgjigje mbi stabilitetin e sistemit duhet disi të tejkalohen këto situata.

Dallojmë rastet:

### Ndonjë nga elementet e kolonës së parë është zero
Llogaritja e mëtutjeshme nuk mund të vazhdohen sepse do paraqitet pjestimi me zero. Gjendja mund të tejkalohet duhet ndermarre njërin nga veprimet:

*Zëvëndësohet zero me \varepsilon të tillë që \varepsilon \rightarrow 0 dhe vazhdohet llogaritja e mëtutjeshme. Më pas, shenja e antarëve të kolonës së parë bëhet duke kaluar më limit mbi ta.
*Zëvëndësohet s=\frac{1}{x} dhe llogaritja vazhdon në menyrë ta zakonshmë për variablën x.
*Ekuacionin karakteristik e shumëzojmë më (s+1) dhe pastaj aplikojmë procedurën e zakonshme.:
* ekuacioni ka së paku një çift të rrënjëve reale me vlerë absolute të njejtë por shënjë të kundërt
* ekucaioni ka së paku një çift të rrënjëve imagjinare
* ekuacioni ka çifte të rrënjëve të konjuguara që janë simetrike ndaj origjinës së rrafshit kompleks.

Situata e tillë tejkalohet me ndihëm e **ekuacionit ndihmës**. Që të mund të vazhdojmë tabulimin duhet ndërmarrë hapat:

* Formohet ekucaioni ndihmës A(s)=0 nga koeficientët e rreshtit paraprak në menyrë të tillë që s është vetëm fuqi çifte
* Gjejmë derivatin \frac{dA(s)}{ds} = 0
* Derivati i fituar zëvëndëson rreshtin me elemente zero dhe vazhdon llogaritja e mëtutjeshme.

është më rëndësi të theksojmë se rrënjët e ekuacionit ndihmës poashtu arsyetojnë ekuacionin karakterstik të sistemit, andaj gjatë shqyrtimit të ndërrimit të shenjës, duhet marrë paraqysh edhe këto rrënjë.

## Shiko Gjithashtu
*Stabiliteti i sistemve linare të kontrollit
*Kriteri i Hurwitz-it
*Kriteri i Mihajllovit për stabilitet
*Kriteri i Nyquist-it për stabilitet

## Referimet