Shpërndarja uniforme e vazhdueshme

{{Infobox shpërndarja e gjasës|||name=\bold{ \text{Shpërndarja uniforme e vazhdueshme } }\bold{ \text{me parametra  } \mathcal{a} \text{dhe } \mathcal{b} }|type=density|pdf_image=Duke përdorur konventën maksimale|cdf_image=|notation=\mathcal{U} _{[a,b]}|parameters=- \infty |support=[a,b]|pdf=\begin{cases}
                  \frac{1}{b-a}   & \text{për } x \in [a,b] \\
                  0               & \text{ndryshe }
                \end{cases}|cdf=\begin{cases}
                  0               & \text{për } x  b
                \end{cases}|mean=\tfrac{1}{2}(a+b)|median=\tfrac{1}{2}(a+b)|mode=\text{çdo vlerë në } (a,b)|variance=\tfrac{1}{12} (b-a)^2|mad=\tfrac{1}{4} (b-a)|skewness=0|kurtosis=- \tfrac{6}{5}|entropy=\ln (b-a)|mgf=\begin{cases}
                        \frac{ \mathrm{e} ^{tb} - \mathrm{e} ^{ta} }{t(b-a)} & \text{për } t \neq 0 \\
                         1 & \text{për } t = 0
                      \end{cases}|char=\begin{cases}
                        \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} tb } - \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ta } }{ \mathrm{i} t(b-a) } & \text{për } t \neq 0 \\
                         1 & \text{për } t = 0
                      \end{cases}}}

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, **shpërndarjet e vazhdueshme uniforme** ose **shpërndarjet drejtkëndore** janë një familje shpërndarjesh probabiliteti simetrike . Një shpërndarje e tillë përshkruan një eksperiment ku ka një rezultat arbitrar që shtrihet midis kufijve të caktuar.  Kufijtë përcaktohen nga parametrat, a dhe b, të cilat janë vlerat minimale dhe maksimale. Intervali mund të jetë i mbyllur (d.m.th [a,b] ) ose i hapur (d.m.th (a,b) ).  Prandaj, shpërndarja shpesh shkurtohet si U(a,b), ku U qëndron për shpërndarjen uniforme. 

## Përkufizimet 
### Funksioni i dendësisë së probabilitetit 
Funksioni i densitetit të probabilitetit të shpërndarjes uniforme të vazhdueshme është:

: 
 f(x) = \begin{cases}
 \frac{1}{b-a} & \text{për } a \le x \le b, \\[8pt]
 0 & \text{për } x  b.
 \end{cases}

Vlerat e f(x) në dy kufijtë a dhe b zakonisht janë të parëndësishme, sepse nuk e ndryshojnë vlerën e \int_c^d f(x)dx mbi çdo interval [c,d], as të \int_a^b xf(x)dx, as të ndonjë momenti më të lartë. Ndonjëherë ato zgjidhen të jenë zero, dhe ndonjëherë zgjidhen të jenë \tfrac{1}{b-a} . Kjo e fundit është e përshtatshme në kontekstin e vlerësimit me metodën e përgjasisë maksimale . Në kontekstin e analizës Furje, mund të merret vlera e f(a) ose f(b) baraz me \tfrac{1}{2(b-a)} , sepse atëherë transformimi i anasjelltë i shumë transformimeve integrale të këtij funksioni uniform do të japë mbrapsht funksionin në vetvete, në vend të një funksioni që është i barabartë " pothuajse kudo ", dmth me përjashtim të një grupi pikash me masë zero. Gjithashtu, është në përputhje me funksionin e shenjës, i cili nuk ka një paqartësi të tillë.

### Funksioni mbledhës i shpërndarjes 
Funksioni mbledhës i shpërndarjes së shpërndarjes uniforme të vazhdueshme është:

: 
 F(x) = \begin{cases}
 0 & \text{për } x  b.
 \end{cases}

I anasjellti i tij është:

: F^{-1} (p) = a + p (b - a) \quad \text{ for } 0 

#### Shembulli 1. Përdorimi i funksionit të shpërndarjes uniforme të vazhdueshme 
Për një ndryshore të rastit X \sim U(0,23), Gjej P(2 

: P(2 

Në një paraqitje grafike të funksionit të shpërndarjes uniforme të vazhdueshme [f(x) \text{ vs } x], zona nën kurbë brenda kufijve të specifikuar, duke shfaqur probabilitetin, është një drejtkëndësh. 

#### Shembulli 2. Përdorimi i funksionit të shpërndarjes uniforme të vazhdueshme (të kushtëzuar) 
Për një ndryshore të rastësishme X \sim U(0,23), Gjej P(X > 12 \ | \ X > 8):

: P(X > 12 \ | \ X > 8) = (23-12) \cdot \frac{1}{23-8} = \frac{11}{15}.

### Gjenerimi i funksioneve 
#### Funksioni i gjenerimit të momentit 
Funksioni gjenerues i momentit të shpërndarjes uniforme të vazhdueshme është: 

: M_X = \mathrm{E} ( \mathrm{e} ^{tX}) = \int_a^b \mathrm{e} ^{tx} \frac{dx}{b-a} = \frac{ \mathrm{e} ^{tb} - \mathrm{e} ^{ta} }{t(b-a)} = \frac{B^t - A^t}{t(b-a)} , 

## Vetitë 
### Momente 
Mesatarja ( momenti i parë i papërpunuar) e shpërndarjes uniforme të vazhdueshme është:

: E(X) = \int_a^b x \frac{dx}{b-a} = \frac{b^2 - a^2}{2(b-a)} .

Momenti i dytë i papërpunuar i kësaj shpërndarjeje është:

: E(X^2) = \int_a^b x^2 \frac{dx}{b-a} = \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)} .

Në përgjithësi, n -Momenti i parë i kësaj shpërndarjeje është:

: E(X^n) = \int_a^b x^n \frac{dx}{b-a} = \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{(n+1)(b-a)} .

Varianca ( momenti i dytë qendror ) i kësaj shpërndarjeje është:

: V(X) = E \left( \big( X-E(X) \big) ^2 \right) = \int_a^b \left( x - \frac{a+b}{2} \right) ^2 \frac{dx}{b-a} = \frac{(b-a)^2}{12} .

## Shpërndarjet e ndërlidhura 
* Nëse 
 X
 ka një shpërndarje standarde uniforme, atëherë me metodën e kampionimit të transformimit të anasjelltë, 
 Y = -\frac{\ln(X)}{\lambda}
 ka një shpërndarje eksponenciale me parametër (normë) *λ* .
* Nëse 
 X
 ka një shpërndarje standarde uniforme, atëherë 
 Y = X^n
 ka një shpërndarje beta me parametra 
 (1/n,1)
. 
* Shpërndarja uniforme standarde është një rast i veçantë i shpërndarjes beta, me parametrat 
 \text{Beta}(1,1)
.
* Shpërndarja Irwin–Hall është shuma e *n* iid  shpërndarjeve 
 U(0,1)
.
* Shuma e dy shpërndarjeve të pavarura uniforme, të shpërndara në mënyrë të barabartë, jep një shpërndarje trekëndore simetrike.
* Largësia midis dy ndryshoreve të rastit iid uniforme ka gjithashtu një shpërndarje trekëndore, megjithëse jo simetrike.

## Konkluzioni statistikor 
### Vlerësimi i parametrave 
##### Vlerësuesi i përgjasisë maksimale 
Vlerësuesi i përgjasisë maksimale është:

: \hat{b} _{ML} = m ,

ku m është maksimumi i kampionit, i shënuar gjithashtu si m = X_{(n)} , statistikat e rendit maksimal të kampionit.

### Intervali i besimit 
#### Për maksimumin 
Le të jetë X_1, X_2, X_3, ..., X_n një popullim nga U_{[0,L]} , ku L është vlera maksimale në popullatë. Atëherë X_{(n)} = \max ( X_1, X_2, X_3, ..., X_n ) ka densitetin Lebesgue-Borel f = \frac{ d \Pr _{X_{(n)}} }{ d \lambda } : 

: f(t) = n \frac{1}{L} \left( \frac{t}{L} \right) ^{n-1} \! = n \frac{ t^{n-1} }{ L^n } 1 \! \! 1 _{[0,L]} (t), ku 1 \! \! 1 _{[0,L]} është funksioni tregues i [0,L] .

Intervali i besimit i dhënë më parë është matematikisht i pasaktë, pasi

: \Pr \big( [ \hat{\theta}, \hat{\theta} + \varepsilon ] \ni \theta \big) \ge 1 - \alpha

nuk mund të zgjidhet për \varepsilon pa dijeninë e \theta . Megjithatë, mund të zgjidhet

: \Pr \big( [ \hat{\theta}, \hat{\theta} (1 + \varepsilon) ] \ni \theta \big) \ge 1 - \alpha për \varepsilon \ge (1 - \alpha) ^{-1/n} - 1 për çdo \theta ; të panjohur por të vlefshme.

pastaj zgjidhet \varepsilon më e vogël e mundur që plotëson kushtin e mësipërm. Vini re se gjatësia e intervalit varet nga ndryshorja e rastit \hat{\theta} .

## Ndodhja dhe zbatimet 
Probabilitetet për funksionin e shpërndarjes uniforme janë të thjeshta për t'u llogaritur për shkak të thjeshtësisë së formës së funksionit.  Prandaj, ekzistojnë zbatime të ndryshme për të cilat kjo shpërndarje mund të përdoret siç tregohet më poshtë: situatat e testimit të hipotezave, rastet e kampionimit të rastësishëm, financat, etj. Për më tepër, në përgjithësi, eksperimentet me origjinë fizike ndjekin një shpërndarje uniforme (p.sh. emetimi i grimcave radioaktive).  Megjithatë, është e rëndësishme të theksohet se në çdo aplikim, ekziston supozimi i pandryshueshëm se probabiliteti i rënies në një interval me gjatësi fikse, është konstante.