Mosbarazimi i Markovit

djathtas|parapamje|300x300px| Mosbarazimi i Markovit jep një kufi të sipërm për masën e grupit (treguar me të kuqe) ku f(x) tejkalon një nivel të caktuar \varepsilon . Lidhja kombinon nivelin \varepsilon me vlerën mesatare të f .
Në teorinë e probabilitetit, **mosbarazimi i Markovit** jep një kufi të sipërm për probabilitetin që një funksion jo-negativ i një ndryshoreje rasti është më i madh ose i barabartë me një konstante pozitive. Është emërtuar sipas matematikanit rus Andrej Markov, megjithëse u shfaq më herët në veprën e Pafnuti Çebishevit (mësues i Markovit), dhe shumë burime, veçanërisht në analizë, i referohen si mosbarazimi i Çebishevit (nganjëherë, duke e quajtur atë mosbarazimi i parë Çebishev, ndërsa duke iu referuar mosbarazimit të Çebishevit si mosbarazimi i dytë Çebishev) ose pabarazia e Bienaymé .

Mosbarazimi i Markovit (dhe mosbarazimet e tjera të ngjashme) lidhin probabilitetet me pritshmëritë dhe sigurojnë kufij (shpesh të lirshëm, por ende të dobishëm) për funksionin e shpërndarjes mbledhëse të një ndryshoreje të rastësishme.

Duhet theksuar se mosbarazimi i Markovit është një kufi i sipërm. Kjo do të thotë se ka barazime (si ai i Çebishevit) që japin rezultate në një interval më të ngushtë.

## Pohim 
Nëse X është një ndryshore e rastit jonegative dhe a>0, atëherë probabiliteti që X është të paktën a është e shumta pritja matematike e X thyer për a : 

: \operatorname{P}(X \geq a) \leq \frac{\operatorname{E}(X)}{a}.

Le të jetë  a = \tilde{a} \cdot \operatorname{E}(X)  (ku  \tilde{a} > 0  ); atëherë ne mund ta rishkruajmë mosbarazimin e mëparshëm si

: \operatorname{P}(X \geq \tilde{a} \cdot \operatorname{E}(X)) \leq \frac{1}{\tilde{a}}.

Në gjuhën e teorisë së masës, mosbarazimi i Markovit thotë se nëse (X, \Sigma, \mu) është një hapësirë matëse, f është një funksion i matshëm i zgjeruar me vlera reale, dhe ε > 0, atëherë

:  \mu(\{x\in X:|f(x)|\geq \varepsilon \}) \leq \frac 1 \varepsilon \int_X |f|\,d\mu.

### Versioni i zgjeruar për funksionet jozbritëse 
Nëse \phi është një funksion jonegativ jozbritës, X është një ndryshore e rastit (jo domosdoshmërisht jonegative), dhe \phi(a)>0, atëherë

: \operatorname P (X \ge a) \le \frac{\operatorname E(\varphi(X))}{\varphi(a)}.

Një përfundim i menjëhershëm, duke përdorur momente më të larta të X të përcaktuar në vlera më të mëdha se 0, është

: \operatorname P (|X| \ge a) \le \frac{\operatorname E(|X|^n)}{a^n}.

# Rezultati "monotonik" mund të demonstrohet nga:
#: \operatorname P (|X| \ge a) = \operatorname P \big(\varphi(|X|) \ge \varphi(a)\big) \,\overset{\underset{\mathrm{MI}}{}}{\leq}\, 
\frac{\operatorname E(\varphi(|X|))}{\varphi(a)}
#:
# Rezultati që, për një ndryshore të rastit jonegative X, funksioni kuantile i X plotëson:
#: Q_X(1-p) \leq \frac {\operatorname E(X)}{p},
#: provën duke përdorur
#: p \leq \operatorname P(X \geq Q_X(1-p)) \,\overset{\underset{\mathrm{MI}}{}}{\leq}\, \frac {\operatorname E(X)}{Q_X(1-p)}.
#:
# Le të jetë  M \succeq 0   një ndryshore e rastit me vlerë matrice të vetëbashkuar dhe a > 0 . Pastaj
#: 
\operatorname{P}(M \npreceq a \cdot I) \leq \frac{\operatorname{tr}\left( E(M) \right)}{n a}.

#: mund të tregohet në mënyrë të ngjashme.

## Shembuj 
Duke supozuar se asnjë e ardhur nuk është negative, mosbarazimi i Markovit tregon se jo më shumë se 1/5 e popullsisë mund të ketë më shumë se 5 herë të ardhurat mesatare.