Lemniskata e Bernulit

djathtas|parapamje|Një lemniskatë e Bernulit dhe dy vatrat e tij F_1 dhe F_2
djathtas|parapamje|300x300px| Lemniskata e Bernulit është kurba e pedalit të një hiperbole drejtkëndore
parapamje|Spiralet sinusoidale r^n = -1^n \cos (n \theta), \theta = \pi / 2 në koordinata polare dhe të njëvlershmet në koordinata drejtkëndore
Në gjeometri, **lemniskata e Bernulit** është një kurbë e rrafshët e përcaktuar nga dy pika të dhëna  dhe , të njohura si **vatra**, në largësi  nga njëra tjetra si vendndodhja e pikave  të tilla që  . Kurba ka një formë të ngjashme me numrin 8 dhe me simbolin ∞ . Emri i saj vjen nga lemniscatus, që  latinisht do të thotë "të zbukuruar me shirita të varur". Është një rast i veçantë i ovalit Cassini dhe është një kurbë racionale algjebrike e shkallës 4.

Kjp lemniskatë u përshkrua për herë të parë në 1694 nga Jakob Bernoulli si një modifikim i një elipsi, i cili është vendndodhja e pikave për të cilat shuma e largësive në secilën prej dy *pikave vatrore* fikse është një konstante . Një ovale Cassini, përkundrazi, është vendndodhja e pikave për të cilat *prodhimi* i këtyre largësive është konstant. Në rastin kur kurba kalon përmes pikës në mes të vatrave, ovali është një lemniskatë e Bernulit.

## Ekuacionet 
Ekuacionet mund të shprehen në terma të largësisë vatrore  ose gjysmës së gjerësisë  të një lemniskate. Këta parametra lidhen si a = c \sqrt 2.

* Ekuacioni i saj kartezian është (deri në përkthim dhe rrotullim):
*: \begin{align} \left(x^2 + y^2\right)^2 &= a^2 \left(x^2 - y^2\right) \\ &= 2 c^2 \left(x^2 - y^2\right) \end{align}
* Si një ekuacion parametrik :
*: x = \frac{a\cos t}{1 + \sin^2 t}; \qquad y = \frac{a\sin t \cos t}{1 + \sin^2 t} 
* Një parametrizim racional: 
*: x = a \frac{t+t^3}{1+t^4}; \qquad y = a\frac{t-t^3}{1 + t^4} 
* Në koordinata polare :
*: r^2 = a^2 \cos 2\theta
* Ekuacioni i saj në planin kompleks është:
*: |z-c||z+c|=c^2
* Në koordinatat bipolare me dy qendra :
*: rr' = c^2
* Në koordinatat racionale polare :
*: Q = 2s-1

## Gjatësia e harkut dhe funksionet eliptike 
parapamje| Sinusi dhe kosinusi i leminiskatës lidhin gjatësinë e harkut të një harku të leminiskatës me largësinë e një pike fundore nga origjina.
Përcaktimi i gjatësisë së harkut të harqeve të leminiskatës çon në integrale eliptike, siç u zbulua në shekullin e XVIII. Rreth vitit 1800, funksionet eliptike që përmbysin ato integrale u studiuan nga CF Gauss (kryesisht i pabotuar në atë kohë, por aludime në shënimet e tij *Disquisitiones Arithmeticae* ).

Përdorimi i integralit eliptik

: \operatorname{arcsl}x \stackrel{\text{def}}{{}={}} \int_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}

formula e gjatësisë së harkut  mund të jepet si

: \begin{align} L &= 4\sqrt{2}\,c\int_{0}^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}} = 4\sqrt{2}\,c\,\operatorname{arcsl}1 \\[6pt] &= \frac{\Gamma (1/4)^2}{\sqrt\pi}\,c =\frac{2\pi}{\operatorname{M}(1,1/\sqrt{2})}c\approx 7{.}416 \cdot c \end{align}

ku \Gamma është funksioni gama dhe \operatorname{M} është mesatarja aritmetike-gjeometrike .

## Këndet 
Duke pasur parasysh dy pika të dallueshme \rm A dhe \rm B, le të jetë \rm M mesi i \rm AB . Pastaj leminiskata e diametrit \rm AB mund të përkufizohet edhe si bashkësia e pikave \rm A, \rm B, \rm M, së bashku me vendndodhjen e pikave \rm P sikurse |\widehat{\rm APM}-\widehat{\rm BPM}| është një kënd i drejtë (krh. Teorema e Talesit dhe e anasjellta e saj). 
parapamje| lidhja ndërmjet këndeve në leminiskatën e Bernulit

## Veti të tjera 
parapamje| Përmbysja e hiperbolës jep një leminiskatë

* Lemniskata është simetrike me vijën që lidh vatrat e saj  dhe  dhe gjithashtu me përgjysmuesin pingul të segmentit të drejtëzës .
* Lemniskata është simetrike me pikën e mesit të segmentit të drejtëzës .
* Zona e mbyllur nga lemniskata është  .
* Lemniskata është e anasjellta rrethore e një hiperbole dhe anasjelltas.
* Dy tangjentet në pikën e mesit O janë pingul dhe secila prej tyre formon një kënd prej \pi / 4 me linjën që lidh  dhe  .
* Kurbatura në (x,y) është \frac{3}{a^2} \sqrt{x^2+y^2}. Kurbatura maksimale që arrihet në (\pm a,0) është 3/a.