Funksioni Gama

thumb|right|325px|grafiku i funksionit Gama

**Funksioni gama** është një funksion në matematikë i cili shënohet me shkronjën greke **Γ** i cili është zgjërim i një funksioni tjetër të ashtuquajtur faktoriel për numrat real dhe kompleks. Për numrin kompleks *z* me pjesë reale pozitive, funksioni gama përkufizohet me shprehjen

: \Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,dt\;.

Ky përkufizim mund të zgjërohet në pjesën e mbetur të rrafshit kompleks por jo për nummrat e plotë negativ. 

Nëse *n* është numër i plotë pozitiv atëherë vlen barazimi

: \Gamma(n) = (n-1)!\, 

kjo jep lidhjen me faktorielin.

## Përkufizimi alternativ 
thumb|right|Zgjërimi në rrafshin kompleks

Shënimin Γ(*z*) e futi Adrien-Marie Legendre. Nëse pjesa reale e numrit kompleks *z* është pozitive (Re[*z*] > 0), atëherë numri i plotë
:
\Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,dt 

konvergjon apsolutisht. Duke shfrytëzuar integrimin parcial mund të tregojmë se

:\Gamma(z+1)=z \, \Gamma(z).\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \,\!

prej këtu rrjedh relacioni 

*n*! = *n*×(*n*-1)!

Γ(1) e njehsojmë analitikisht:

: \Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = \lim_{k \rightarrow \infty} -e^{-t} |_0^k = -0 - (-1) = 1. 

Me kombinimin e këtyre dy relacioneve tregojmë se faktorieli është rast i veçantë i funksionit gama:

:\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n) = \cdots = n! \, \Gamma(1) = n!\,

për të gjithë numrat natyral *n*. 

## Vlera të veçanta të funksionit gama 
:
\begin{array}{lll}
\Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2.363 \\
\Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.545 \\
\Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772 \\
\Gamma(1) &= 0! &= 1 \\
\Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\
\Gamma(2) &= 1! &= 1 \\
\Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \\
\Gamma(3) &= 2! &= 2 \\
\Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3.323 \\
\Gamma(4) &= 3! &= 6 \\
\end{array}

## Referimet 
* Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," *Am. Math. Monthly* **66**, 849-869 (1959)
* Pascal Sebah and Xavier Gourdon. *Introduction to the Gamma Function*. In PostScript and HTML formats.
* Bruno Haible & Thomas Papanikolaou. *Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers*. Technical Report No. TI-7/97, Darmstadt University of Technology, 1997
* Julian Havil, ''Gamma, Exploring Euler's Constant", ISBN 0-691-09983-9 (c) 2003
* Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) *Exposition by Emil Artin: a selection*; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).

## Lidhje të jashtme 
* Cephes - C and C++ language special functions math library
* Examples of problems involving the Gamma function can be found at Exampleproblems.com.
* Gamma function calculator
* Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision) 
* Volume of n-Spheres and the Gamma Function at MathPages
* Computing the Gamma function - various algorithms
* Online tool to graph functions which contain the Gamma function

### Për më shumë 
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.* New York: Dover, 1972. *(See Chapter 6)*
* G. Arfken and H. Weber. *Mathematical Methods for Physicists*. Harcourt/Academic Press, 2000. *(See Chapter 10.)*
* Harry Hochstadt. *The Functions of Mathematical Physics*. New York: Dover, 1986 *(See Chapter 3.)*
* W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. *Numerical Recipes in C*. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. *(See Section 6.1.)*