Integralet jo te vete

## Integralet jo të  vetë  
[[File:Integral example 2.png|thumb|Integrali i f(x) nga a në b është syprina sipër aksit x poshtë lakores y = f(x), minus syprinën poshtë aksit x dhe sipër lakores, për x në intervalin [a,b].]]
Në përkufizimin e integralit te caktuar : \int_a^b \! f(x)\,dx     supozohej se intervali [a,b] është I fundëm, ndërsa funksioni f(x) të jetë I vazhdueshëm në këtë interval.Mirëpo problemet e ndryshme,si ato teorike ashtu edhe ato praktike,shpesh na sjellin deri te integrali I caktuar I funksionit në interval të pafundëm apo te integrali I caktuar I funksionit që ka shkëputje në intervalin [a,b].Integralet e  tillë I quajmë **integrale jo të  vetë**.

## Integrali jo i vetë me kufij të pafundëm
Le të jetë f një funksion i vazhdueshem në intervalin e pafundëm [a, \infty ).Integrali jo i vetë i funksionit f të vazhdueshëm në [a, \infty ) e quajme limitin e integralit : \int_a^t \! f(x)\,dx         kur t→ \infty  dhe simbolikisht shkruajmë:
 \int_{a}^{\infty} \, f(x)\ dx \  =  \lim_{t \to \infty} \int_a^t \! f(x)\,dx 
Në qoftë se ekziston ky limit dhe është i fundëm,atëherë themi se integrali jo i vetë \int_{a}^{\infty} \, f(x)\ dx  *konvergjon*,në raste tjera themi se integrali jo i vetë *divergjon*.
Në mënyrë analoge përkufizohet edhe integrali jo i vetë me kufirin e poshtëm të pafundëm:

\int_{-\infty}^{b} \, f(x)\ dx =\lim_{t \to -\infty} \int_t^b \! f(x)\,dx.

Në qoftë se funksioni f është i vazhdueshëm në intervalin e pafundem (\infty,-\infty),atëherë integrali:

\int_{-\infty}^{\infty} \, f(x)\ dx =\int_{-\infty}^{c} \, f(x)\ dx + \int_{c}^{\infty} \, f(x)\ dx .

konvergjon kur të dy integralet në anën e djathtë të barazimit konvergjojnë,ndërsa c është një numër i çfarëdoshëm.

Në shumë probleme si praktike ashtu edhe teorike paraqitet rasti kur funksioni primitiv i funksionit nënintegral nuk është funksion elementar,por nevojitet të dihet se integrali jo i vetë i tillë a konvergjon apo divergjon.Prandaj,ngjashëm me seritë numerike,pa e njehesuar integralin jo të vetë,me kritere krahasuese,mund te konkludohet se a konvergjon apo divergjon.

## Teoremë
Le të jenë f dhe g dy funksione të tilla që për çdo x \in  (a,\infty) vlen 0 \le \!\,  f(x) \le \!\, g(x).Atëherë,

(I) në qoftë se konvergjon  \int_{a}^{\infty} \, g(x)\ dx  ,konvergjon dhe \int_{a}^{\infty} \, f(x)\ dx ;

(II) në qoftë se divergjon  \int_{a}^{\infty} \, f(x)\ dx  ,divergjon  dhe \int_{a}^{\infty} \, g(x)\ dx ;

Në qoftë se \int_{a}^{\infty} \, | f(x)\ | dx  konvergjon, atëherë konvergjon edhe \int_{a}^{\infty} \, f(x)\ dx .

Për integralin \int_{a}^{\infty} \, f(x)\ dx   themi se konvergjon *absolutisht* në qoftë se konvergjon integrali \int_{a}^{\infty} \, | f(x)\ | dx  .Në qoftë se \int_{a}^{\infty} \, | f(x)\ | dx  divergjon, por \int_{a}^{\infty} \, f(x)\ dx  konvergjon,atëherë themi se integrali \int_{a}^{\infty} \, f(x)\ dx  *konvergjon joabsolutisht*.

## Integrali jo i vetë i funksionit të pakufizuar
Integral jo i vetë është edhe integrali me kufij të fundëm të integrimit, por funksioni nënintegral është i pakufizuar  në një pikë  apo në një numër  të fundëm pikash  të  intervalit të intgrimit.

Le  të jetë f një funksion i vazhdueshëm në [a,b) dhe le të jetë : \lim_{x \to b-}f(x) =+\infty  ose   : \lim_{x \to b-}f(x) =-\infty  .Atëherë  integrali :

\int_{a}^{b} \,  f(x)\  dx  =  \lim_{t \to b-}\int_{a}^{t} \,  f(x)\ dx   ,  (a \le \!\, t \infty)

konvergjon  sa herë që limiti në anën e djathtë të barazimit  të mësipërm të ekziston.

Në  qoftë se funksioni f është i vazhdueshëm  në intervalin [a,b]  përveç  në pikën  c, a \lim_{x \to c} |f(x)|=\infty , atëherë  integrali jo i vetë:

\int_{a}^{b} \,  f(x)\ dx =\int_{a}^{c} \,  f(x)\ dx   + \int_{c}^{b} \,  f(x)\ dx  ,konvergjon, në qofte se të  dy integralet në  anën e djathte te barazimit konvergjojnë.Përkufizimi i fundit mund të përgjithsohet edhe në rastin kur funksioni f në intervalin [a,b] ka një numër të fundëm pikash ci (i=1,2,...,n) për të  cilat : \lim_{x \to ci}|f(x)| =\infty 

Në qoftë se në intervalin [a,b) funksionet f dhe g janë të  tilla që   \lim_{x \to b-}f(x) =+\infty  dhe : \lim_{x \to b-}g(x) =+\infty   si dhe 0 \le \!\,f(x)\le \!\,g(x) , atëherë :

(I) në qoftë se konvergjon  \int_{a}^{b} \, g(x)\ dx  ,konvergjon dhe \int_{a}^{b} \, f(x)\ dx  ;

(II) në qoftë se divergjon  \int_{a}^{b} \, f(x)\ dx  ,divergjon  dhe \int_{a}^{b} \, g(x)\ dx  .

## Referimet