Logjika matematikore

Themelues i Logjikës matematikore konsiderohet matematikani anglez George Boole kuptimet e para të logjikës formale i kanë dhënë grekët e vjetër me përfaqësuesin kryesor të saj Aristotelin. Logjika matematikore lindi nga nevoja e eliminimit të kundërthënieve dhe paradokseve që u paraqitën në teorinë e bashkësive poashtu ajo ka luajtur një rol të veçantë në lindjen e disa lëmive të reja të matematikës bashkohore. Kjo degë përsosi simbolet e deriatëhershme dhe e plotësoi me simbole të reja gjuhën simbolike.

## Gjykimet 
Gjykimi (pohimi), është koncept themelor në Logjikën matematikore. Në aspektin e saktësisë gjykimi i nënshtrohet ligjit të *përjashtimit të së tretës* dhe merr vetëm njërën nga vlerat i saktë ose jo i saktë (**true** ose **false**).

P.sh. gjykime janë fjalitë : " Wikipedia nuk është e shkruar në gjuhen shqipe ", "1 + 1 = 1" (këto pohime në logjikën matematikore mirren si gjykime) jo të sakta, sepse "Tani unë po e lexojë këtë artikull të shkruar në gjuhen shqipe" dhe "1 + 1 = 2" janë gjykime të sakta. Vetitë *i saktë* dhe *jo i saktë* quhen vlera të saktësisë së gjykimit dhe shënohen me simbolet T (lexo : *te*) dhe \perp (lexo : *jo te*). Simboli "T" është i ngjashëm me germën e parë të fjalës angleze **T**rue = *i (e) saktë*. Emërtimi i gjykimeve zakonisht bëhet me germat e vogla të alfabetit, si *p, q, r...* dhe trajtohen si *variabla gjykimesh*, ndërsa vlerat e tyre shënohen me : *v(p), v(q), v(r)...* dhe janë konstante. Mirëpo për thjeshtësi vlerat e gjykimeve shkruhen vetëm me emërtimin e gjykimit.

***Fjalia e cila ka njërën nga e vlerat saktësisë - e saktë ose jo e saktë - quhet gjykim.***

Pohimit "Wikipedia nuk është e shkruar në gjuhen shqipe" kur të i japim njërën nga vlerat e saktësisë - e saktë ose jo e saktë - quhet gjykim. Mirëpo në matematikë përpos këtyre gjykimeve kemi edhe *gjykime të hapura* si p.sh. "Wikipedia do të ketë 1000 artikuj në vitin 2000+x" ose "10 + x = 200", etj. Varrësisht prej vlerës së variabilës ***x*** të cilës i japim (nëse shkruajmë më shumë artikuj viti 2005, x=5) vlera konkrete, gjykimet do jenë të sakta ose jo të sakta. Metoda e shndërrimit të një pohimi të tillë në gjykim quhet metoda e zëvendësimit (*metoda e substitucionit*).

*Gjykim i përbërë* quhet gjykimi i cili fitohet kur dy gjykime të thjeshta i lidhim me lidhëzat ,,dhe,, ,,ose,, etj.

----

## Operacione themelore logjike 
Tabelat e saktësisë

Nëse një gjykimi të caktuar *p* i shtojmë parashtesën "jo" atëherë gjykimi *jo p (ose "nuk është e vërtetë se p")*, quhet negacion, ose mohim, i gjykimit *p*. Mohimi quhet operator unar, pasi vepron mbi një gjykim.

Nëse janë dhënë dy gjykime *p, q*, me anë të përdorimit të lidhsave (operatoreve) *"dhe", "ose", "atëherë ...", "atëherë dhe vetëm atëherë..."*, fitohen gjykime të përbëra. Në bazë të lidhëzave dallojmë këto operacione ose gjykime të përbëra :

* **Konjuksioni** (*p dhe q*)
* **Disjunksioni** (*p ose q*)
* **Implikacioni** (*nëse p atëherë q*) ose (p implikon q)
* **Ekuivalenca** (*q atëherë dhe vetëm atëherë nëse p*)

Kombinime te mëtejshme të veprimeve themelore çojnë në rrjedhime komplekse, si p.sh. : *Kemi p, q, r. Nëse p atëherë q. Nëse q atëherë r. Si rrjedhim nëse p atëherë r.*

## Ligjet e logjikes matematikore (tautologjitë) 
P.sh. :
* Ligji i kontrapozicionit
* Ligji i përjashtimit të së tretës
* Silogjizmi hipotetik
* Ligjet e De Morganit

## Kuantifikatorët 
Kuantifikatorët japin vlera të caktuara të cilat zëvendësojnë variablat në gjykimin e dhënë.

## Simbolet matematikore