Numri kompleks

**Numri kompleks** është përgjithësim i numrit real me ndihmën e një numri special i cili shënohet me *i* dhe quhet njësi imagjinare i cili sipas përkufizimit e plotëson kushtin

:i^2=-1.\,

Numrat kompleks në fillim u zbuluan nga matematikani italian Girolamo Cardano, gjatë përpjekjeve të tij për gjetjen e zgjidhjeve të Ekuacionit të shkallës së tretë. Rregullat për shumën, ndryshimin, shumëzimin dhe pjestimin e numrave kompleks u dhanë nga mattematikani italian Rafael Bombelli. Një formalizëm më apstrakt për numrat kompleks më vonë ndërtoi matematikani irlandez William Rowan Hamilton, i cili konceptin e numrit kompleks e zgjëroi edhe më tej dhe në matematikë futi konceptin e kuaternioneve.
## Përkufizimi 
Bashkësia e numrave kompleks shënohet me **C**, ndërsa numri kompleks në trajtën
 
: a + bi \,

ku a\, dhe b janë numra real dhe i\, njësia imagjinare e cila e plotëson vetinë :i^2=-1.\,. Numri real a është pjesa reale dhe b është pjesa imagjinare. 

P.sh. për numrin kompleks 3 + 2*i* numri 3 është pjesa reale dhe 2 është pjesa imagjinare. Nëse z=a+bi, atëherë zakonisht shënojmë *a* = Re(*z*) dhe *b* = Im(*z*)

Bashkësia e numrave real **R** mund të kuptohet si nënbashkësi e bashkësisë së numrave kompleks **C** sepse ç'do numër real mund të shkruhet si numër kompleks i cili pjesën imagjinare e ka të barabartë me 0.

## Përkufizimi formal 
Është e papranueshme rigorozisht që thjesht të supozojmë se ekziston një lloj numri katrori i të cilit është i barabartë me -1. Përkufizimi i tillë është intuitiv ne më poshtë do të japim përkufizimin formal apo aksiomatik. Themi se bashkësia e numrave kompleks është bashkësi e dysheve të renditura të numrave real e cila në lidhje me mbledhjen dhe shumëzimin e këtyre dysheve të renditura i plotëson kushtet
 
:(*a*,&nbsp;*b*) + (*c*,&nbsp;*d*) = (*a*&nbsp;+&nbsp;*c*,&nbsp;*b*&nbsp;+&nbsp;*d*)
:(*a*,&nbsp;*b*)·(*c*,&nbsp;*d*) = (*a·c*&nbsp;−&nbsp;*b·d*,&nbsp;*b·c*&nbsp;+&nbsp;*a·d*)

Pasi sipas përkufizimit të shumëzimit vlen se
(0,&nbsp;1)·(0,&nbsp;1) = (−1,&nbsp;0), ne e gjejmë *i* në mënyrë konstruktive duke ia shoqëruar atij dyshen e renditur (0,&nbsp;1). Numrit real a ia shoqërojmë dyshen (*a*,&nbsp;0) dhe numrit real b ia shoqërojmë dyshen e renditur (*0*,&nbsp;*b*) prandaj në përgjithësi kemi 

:(*a*,&nbsp;*b*) =(*a*,&nbsp;*0*)+(*0*,&nbsp;*b*)= *a*&nbsp;+&nbsp;*ib*.

## Paraqitja gjeometrike e numrave kompleks 
right|thumb|Paraqitja gjeometrike e z dhe të konjuguarit të tij \bar{z} në rrafshin kompleks.
Sipas përkufizimit të numrit kompleks si dyshe e renditur konkludojmë se numri kompleks mund të shikohet si pikë në rrafsh koordinativ këndrejt të cilin e quajmë rrafsh kompleks. Koordinatat e numrit janë *x* = Re(*z*) dhe *y* = Im(*z*) 

### Vlera absolute ose moduli i numrit kompleks 
Vlerë absolute ose modul i numrit kompleks z=x+yi, është |z|=\sqrt{x^2+y^2}.

Vetitë kryesore janë:

: | z | \geq 0, \, ku  | z | = 0 \, , poqese  z = 0 \,

: | z + w | \leq | z | + | w | \, (Jobarazimi i trekëndëshit)

: | z \cdot w | = | z | \cdot | w | \,

### Konjugacioni 
I konjuguar i numrit kompleks z=x+yi është numri x-yi, shënojmë \bar{z}. Sipas figurës, \bar{z} është simetrik me *z* ndaj boshtit x
 
Disa nga vetitë e konjugacionit:

: \overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}

: \overline{z\cdot w} = \bar{z}\cdot\bar{w}

: \overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}

: \bar{\bar{z}}=z

: \operatorname{Re}\,(z) = \tfrac{1}{2}(z+\bar{z})

: \operatorname{Im}\,(z) = \tfrac{1}{2i}(z-\bar{z})

: |z|=|\bar{z}|

: |z|^2 = z\cdot\bar{z}

: z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^{2}} &nbsp; ku *z* është i ndryshëm nga 0
### Forma polare e numrit kompleks 
right|thumb|Figura 2: Argumenti *φ* dhe moduli *r* e përcaktojnë pozitën e pikës në një diagram të Arg dhe; r(\cos \phi + i \sin \phi) ose r e^{i\phi} janë *format polare* për paraqitjen e pikës gjegjësisht numrit kompleks.

Diagrami nga figura djathtas sugjeron veti të ndryshme. 
* Së pari distanca e pikës *z* nga origjina (i shënuar me *r* në figurën 2) njihet si vlerë absolute ose modul dhe shënohet me |z|. Nga Teorema e Pitagorës,
:|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}.
Në përgjithësi largësia mes numrave kompleks jepet me d(z,w)=|z-w|, e cila e kthen bashkësinë e numrave kompleks në hapësirë metrike dhe këtu mund të fusim konceptin e limitit dhe të vazhdueshmërisë së funksioneve. Të gjitha vetitë standarde të hapësirës dydimensionale plotësohen për rrafshin kompleks duke përfshirë atë se moduli i numrit kompleks është jonegativ dhe plotësimin e jobarazimit të trkëndëshit (| z + w | \leq | z | + | w | for all *z*, *w*).

* Së dyti argumenti i numrit kompleks z=x+yi është këndi *φ* i dhënë në figurën 2, shënohet si \arg(z). Si edhe me modulin argumenti mund të gjindet nga x+iy:
:\varphi = \pm\arctan\frac{y}{x} pra x+iy=\cos \phi + i \sin \phi ).

Vlera e *φ* ndryshon për një shumfish të 2*π* dhe përsëri jep këndin e njejtë.

Së bashku këto spjegime japin një mënyrë të re për paraqitjen e numrit kompleks në *formën polare*, si kombinim i vlerës së modulit këndit që ai formon me boshtin x (x,y)=(r \cos\varphi,r\sin\varphi) from the polar pair (*r*,*φ*)). Këto fakte mund të shënohen në mënyra të ndryshme si p.sh
: z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\,
*forma trigonometrike*, dhe sipas Formulës së Eulerit
: z = r e^{i \varphi},
e cila quhet *forma eksponenciale*. 

#### Operacionet në formën polare 
Operacionet si Shumëzimi, pjestimi fuqizimi dhe rrënjëzimi kur një numër kompleks është shënuar në formën polare janë mjaft të thjeshta:
* **Shumëzimi**

:(r_1e^{i\varphi_1}) \cdot (r_2e^{i\varphi_2}) = (r_1r_2)e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}

* **Pjestimi**
:\frac{(r_1\,e^{i\varphi_1})}{(r_2\,e^{i\varphi_2})} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)\,e^{i (\varphi_1 - \varphi_2)}.

* **Fuqizimi**

Fuqizimi i numrit kompleks me një eksponent numër të plotë *n* bëhet sipas formulës:

 (r(\cos\varphi + i\sin\varphi))^n = r^n\,(\cos n\varphi + i \sin n \varphi) .........Formula e De Moivreit

* **Rrënjëzimi**

Rrënjëzimi i numrit kompleks në formën polare gjithashtu është mjaft i thjeshtë. 
Ç'do numër kompleks *z* i cili e plotëson barazimin *z**n*&nbsp;=&nbsp;*c* (për *n* numër i plotë pozitiv) quhet rrënja e *n*të e numrit kompleks *c*. Nëse *c* nuk është i barabartë me 0, atëherë ekzistojnë gjithsejt *n* rrënjë të *n*ta të numrit *c*. Le të jetë *c*&nbsp;=&nbsp;*re*&nbsp;*iφ* dhe r>0; atëherë bashkësia e rrënjëve të *n*ta të *c* është:
: \left\{ \sqrt[n]r\,e^{i\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)} \mid k\in\{0,1,\ldots,n-1\} \, \right\},
këtu \sqrt[n]{r} paraqet rrënjën e *n*të numrit real *r*. Nëse *c*&nbsp;=&nbsp;0, atëherë e vetmja rrënjë e *n*të e *c* është vetë 0. Vërejmë se rrënjët ndryshojnë vetëm për një rrotullim për një kënd prej e^{2k\pi i/n}, rrënjët e *n*ta të njëshit pra të gjitha rrënjët e *c* i takojnë një rreti me qendër në origjinën e sistemit koordinativ.

## Lidhje të jashtme 
* Euler's work on Complex Roots of Polynomials 
* John and Betty's Journey Through Complex Numbers
* MathWorld articles Complex number and Argand Diagram, and demonstration "Argand Diagram". 
* Dimensions: a math film. Kapitulli 5 jep një hyrje në aritmetikën komplekse dhe për projeksionin stereografik. Kapitulli 6 diskuton për transformimet e rrafshit kompleks.