Numrat realë

djathtas|parapamje|120x120px| Një simbol për bashkësinë e numrave realë
Në matematikë, një **numër real** është një numër që mund të përdoret për të matur një madhësi vazhdueshme njëdimensionale siç është largësia, kohëzgjatja ose temperatura . Këtu, *e vazhdueshme* do të thotë se çiftet e vlerave mund të kenë dallime të vogla sipas volitjes së lexuesit.  Çdo numër real mund të përfaqësohet pothuajse në mënyrë unike nga një zgjerim dhjetor i pafundëm.  

Numrat realë janë themelorë në llogaritje (dhe në përgjithësi në të gjithë matematikën), veçanërisht nga roli i tyre në përkufizimet klasike të limiteve, vazhdimësisë dhe derivateve . 

Bashkësia e numrave realë shënohet R ose \mathbb{R}  dhe nganjëherë quhet "të vërtetët".  Mbiemri *real*, i përdorur në shekullin e 17-të nga René Descartes, dallon numrat realë nga numrat imagjinarë si rrënjët katrore të −1 . 

Numrat realë përfshijnë numrat racionalë, të tillë si numri i plotë −5 dhe thyesa 4 / 3 . Pjesa tjetër e numrave realë quhen numra irracionalë, dhe përfshijnë numra algjebrikë (siç është rrënja katrore √ 2 = 1.414... ) dhe numra transhedentalë (si π = 3.1415. . . ). 

Numrat realë mund të mendohen si të gjitha pikat në një drejtëz, e quajtur drejtëza numerike ose drejtëza reale, ku pikat që u korrespondojnë numrave të plotë ( ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... ) janë të baraslarguara.

parapamje|483x483px|Drejtëza e numrave realë
 
Përshkrimet joformale të mësipërme të numrave realë nuk janë të mjaftueshëm për të siguruar korrektësinë e provave të teoremave që përfshijnë numra realë. U kuptua se nevojitej një përkufizim më i mirë dhe përpunimi i një përkufizimi të tillë ishte një zhvillim madhor i matematikës së shekullit të 19-të dhe është themeli i analizës reale, studimit të funksioneve reale dhe serive me vlera reale. 

## Historia 
parapamje| Numrat realë (\mathbb{R}) përfshijnë numrat racionalë (\mathbb{Q}), të cilët përfshijnë numrat e plotë (\mathbb{Z}), të cilat nga ana e tyre përfshijnë numrat natyrorë (\mathbb{N})
Thyesat e thjeshta u përdorën nga Egjiptianët rreth vitit 1000&nbsp;BC; në kohërat e Vedave " Shulba Sutras " ("Rregullat e akordit")   përfshijnë atë që mund të jetë "përdorimi" i parë i numrave irracionalë. Koncepti i irracionalitetit u pranua në mënyrë të heshtur nga matematikanët e hershëm indianë si Manava , i cili ishte i vetëdijshëm se rrënjët katrore të numrave të caktuar, si 2 dhe 61, nuk mund të përcaktoheshin saktësisht.  Rreth 500&nbsp;Para Krishtit, matematikanët grekë të udhëhequr nga Pitagora kuptuan gjithashtu se rrënja katrore e 2 është irracionale.

Mesjeta solli pranimin e zeros, numrave negativë, numrave të plotë, dhe numrave thyesorë, së pari nga Indianët dhe matematikanët kinezë, e më pas nga ata arabë, të cilët ishin të parët që i trajtuan numrat irracionalë si objekte algjebrike. Matematikanët arabë i bashkuar konceptet "numër" dhe "magnitudë" në një ide më të përgjithshme të numrave realë. Matematikani egjiptian Abū Kāmil Shujā ibn Aslam  ishte i pari që i pranoi numrat irracionalë si zgjidhje të ekuacioneve kuadratike, ose si koeficientë në një ekuacion (shpesh në formën e rrënjëve katrore, kubike dhe kuartike). Në Europë, të tillë numra, quheshin *irracionalë ose* .

Në shekullin e 16-të, Simon Stevin krijoi bazën për shënimet dhjetore moderne dhe këmbënguli se nuk kishte asnjë ndryshim midis numrave racionalë dhe irracionalë në këtë drejtim.

Në shekullin e 17-të, Dekarti paraqiti termin "real" për të përshkruar rrënjët e një polinomi, duke i dalluar ato nga ato "imagjinare".

Në shekujt e 18-të dhe të 19-të, u punua shumë për numrat irracionalë dhe trashendentalë. Lambert (1761) dha një provë të gabuar që π nuk mund të jetë racionale; Lezhandre (1794) përfundoi provën  dhe tregoi se π nuk është rrënja katrore e një numri racional.  Liouville (1840) tregoi se as e as e 2 nuk mund të jenë një rrënjë e një ekuacioni kuadratik me koeficientë numra të plotë, dhe më pas zbuloi ekzistencën e numrave transhedentalë; Cantor (1873) e zgjeroi dhe e thjeshtoi shumë këtë provë.  Hermite (1873) vërtetoi se e është transcendentale, dhe Lindemann (1882), tregoi se π është transcendental. Prova e Lindemann u thjeshtua shumë nga Vajershtrasi (1885), Hilbert (1893), Hurwitz,  dhe Gordan . 

Zhvilluesit e analizës matematike përdorën numra realë pa i përcaktuar ata në mënyrë rigoroze. Përkufizimi i parë rigoroz u botua nga Cantor në 1871. Në 1874, ai tregoi se bashkësia e të gjithë numrave realë është e panumërueshme dhe e pafundme, por bashkësia e të gjithë numrave algjebrikë është e pafundme dhe e numërueshme . Prova e parë e panumërueshmërsë e Cantor ishte e ndryshme nga argumenti i tij i famshëm diagonal i botuar në 1891.