Shpërndarja F

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, '*shpërndarja *F*** ose **raporti *F***, e njohur gjithashtu si **shpërndarja *F* e Snedekorit** ose **shpërndarja Fisher-Snedekor*' (pas Ronald Fisher dhe George W. Snedecor ), është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti që lind shpesh si shpërndarje null e një statistike testimi, më së shumti në analizën e variancës (ANOVA) dhe F -testeve të tjera.    

## Përkufizimi 
Shpërndarja F me d_1 dhe d_2 shkallë lirie është shpërndarja e

:  X = \frac{S_1/d_1}{S_2/d_2} 

ku S_1 dhe S_2 janë ndryshore të rastit të pavarura me shpërndarje hi-katrore me shkallë lirie përkatëse d_1 dhe d_2 .

Mund të tregohet se funksioni i dendësisë së probabilitetit (fdp) për X jepet nga

: 
\begin{align}
f(x; d_1,d_2) &= \frac{\sqrt{\frac{(d_1x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}} {(d_1x+d_2)^{d_1+d_2}}}} {x\operatorname{B}\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \\[5pt]
&=\frac{1}{\operatorname{B}\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{d_1/2} x^{d_1/2 - 1} \left(1+\frac{d_1}{d_2} \, x \right)^{-(d_1+d_2)/2}
\end{align}

për x>0 real. Këtu \mathrm{B} është funksioni beta . Në shumë zbatime, parametrat d_1 dhe d_2 janë numra të plotë pozitivë, por shpërndarja është e mirëpërcaktuar për vlera reale pozitive të këtyre parametrave.

Funksioni i shpërndarjes mbledhëse është

: F(x; d_1,d_2)=I_{d_1 x/(d_1 x + d_2)}\left (\tfrac{d_1}{2}, \tfrac{d_2}{2} \right) ,

ku I është funksioni beta jo i plotë i rregulluar .

Pritshmëria, varianca dhe detaje të tjera rreth F(d_1,d_2) janë dhënë në kutinë anësore; për d_2>8, kurtoza e tepërt është

: \gamma_2 = 12\frac{d_1(5d_2-22)(d_1+d_2-2)+(d_2-4)(d_2-2)^2}{d_1(d_2-6)(d_2-8)(d_1+d_2-2)}.

Momenti *k* -të i një shpërndarjeje F(d_1,d_2) ekziston dhe është i fundëm vetëm kur 2k dhe është i barabartë me

: \mu _X(k) =\left( \frac{d_2}{d_1}\right)^k \frac{\Gamma \left(\tfrac{d_1}{2}+k\right) }{\Gamma \left(\tfrac{d_1}{2}\right)} \frac{\Gamma \left(\tfrac{d_2}{2}-k\right) }{\Gamma \left( \tfrac{d_2}{2}\right) }. 

## Karakterizimi 
Një ndryshor i rastit i shpërndarjes F me parametra d_1 dhe d_2 lind si raport i dy variateve hi-katror të shkallëzuar në mënyrë të përshtatshme: 

: X = \frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}

ku

* U_1 dhe U_2 kanë shpërndarje hi-katrore me d_1 dhe d_2 shkallët e lirisë përkatësisht, dhe
* U_1 dhe U_2 janë të pavarur .

## Vetitë dhe shpërndarjet e lidhura 
* Nëse X \sim \chi^2_{d_1} dhe Y \sim \chi^2_{d_2} ( Shpërndarja hi-katror ) janë të pavarura, atëherë  \frac{X / d_1}{Y / d_2} \sim \mathrm{F}(d_1, d_2)
* Nëse X_k \sim \Gamma(\alpha_k,\beta_k)\, ( Shpërndarja gama ) janë të pavarura, atëherë  \frac{\alpha_2\beta_1 X_1}{\alpha_1\beta_2 X_2} \sim \mathrm{F}(2\alpha_1, 2\alpha_2)
* Nëse X \sim \operatorname{Beta}(d_1/2,d_2/2) ( Shpërndarja beta ) atëherë \frac{d_2 X}{d_1(1-X)} \sim \operatorname{F}(d_1,d_2)
* Në mënyrë të barabartë, nëse X \sim F(d_1, d_2), atëherë \frac{d_1 X/d_2}{1+d_1 X/d_2} \sim \operatorname{Beta}(d_1/2,d_2/2) .
* Nëse X \sim F(d_1, d_2), atëherë \frac{d_1}{d_2}X ka një shpërndarje beta kryesore : \frac{d_1}{d_2}X \sim \operatorname{\beta^\prime}\left(\tfrac{d_1}{2},\tfrac{d_2}{2}\right) .
* Nëse X \sim F(d_1, d_2) atëherë Y = \lim_{d_2 \to \infty} d_1 X ka shpërndarjen hi-katror \chi^2_{d_1}
* F(d_1, d_2) është e njëvlershme me shpërndarjen e shkallëzuar të Hotelling në T-katror \frac{d_2}{d_1(d_1+d_2-1)} \operatorname{T}^2 (d_1, d_1 +d_2-1)  .
* Nëse X \sim F(d_1, d_2) atëherë X^{-1} \sim F(d_2, d_1) .
* Nëse X\sim t_{(n)} - Shpërndarja t-së studentit - më pas: \begin{align}
X^{2} &\sim \operatorname{F}(1, n) \\
X^{-2} &\sim \operatorname{F}(n, 1)
\end{align}
* Shpërndarja *F* është një rast i veçantë i shpërndarjes Pearson të tipit 6
* Nëse X dhe Y janë të pavarura, me X,Y\sim Laplace( *μ*, *b* ) atëherë  \frac \sim \operatorname{F}(2,2) 
* Nëse X\sim F(n,m) atëherë \tfrac{\log{X}}{2} \sim \operatorname{FisherZ}(n,m) ( Shpërndarja e Fisher's z )
* Shpërndarja joqendrore  thjeshtohet në shpërndarjen F nëse \lambda=0 .
* Shpërndarja e dyfishtë joqendrore  thjeshtohet në shpërndarjen F nëse  \lambda_1 = \lambda_2 = 0 
* Nëse \operatorname{Q}_X(p) është kuantili p për X\sim F(d_1,d_2) dhe \operatorname{Q}_Y(1-p) është kuantili 1-p për Y\sim F(d_2,d_1), atëherë \operatorname{Q}_X(p)=\frac{1}{\operatorname{Q}_Y(1-p)}.
* Shpërndarja F është një shembull i shpërndarjeve të raporteve
* W -shpërndarja  është një parametrizim unik i shpërndarjes F.