Shpërndarja e Studentit

{{Infobox shpërndarja e gjasës|name=Shpërndarja e Studentit|pdf_image=Student_t_pdf.svg|type=density|cdf_image=Student_t_cdf.svg|mean=0 për \nu > 1, ndryshe|median=0|mode=0|parameters=\nu > 0 Shkallët e lirisë (real)|variance=\textstyle\frac{\nu}{\nu-2} për \nu > 2, ∞ për 1 , përndryshe e papërcaktuar|skewness=0 për \nu > 3, përndryshe e papërcaktuar|kurtosis=\textstyle\frac{6}{\nu-4} për \nu > 4, ∞ për 2 , përndryshe e papërcaktuar|pdf=\textstyle\frac{\Gamma \left(\frac{\nu+1}{2} \right)} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma \left(\frac{\nu}{2} \right)} \left(1+\frac{x^2}{\nu} \right)^{-\frac{\nu+1}{2}}\!|cdf=\begin{matrix}
     \frac{1}{2} + x \Gamma \left( \frac{\nu+1}{2} \right) \times\\[0.5em]
     \frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},\frac{\nu+1}{2};\frac{3}{2};
           -\frac{x^2}{\nu} \right)}
     {\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma \left(\frac{\nu}{2}\right)}
     \end{matrix}
     ku 2*F*1 është funksioni hipergjeometrik}}

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, '*shpërndarja *t e* Studentit** (ose thjesht **shpërndarja *t'''* ) t_\nu është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti që përgjithëson shpërndarjen normale standarde . Ashtu si kjo e fundit, ajo është simetrike rreth zeros dhe në formë këmbane.

Megjithatë, t_\nu ka bishta më të rëndë dhe sasia e masës së probabilitetit në bishta kontrollohet nga parametri \nu . Për \nu = 1 shpërndarja e *t* Studentit t_\nu bëhet shpërndarje standarde Cauchy, ndërsa për \nu \rightarrow \infty bëhet shpërndarje normale standarde N(0,1) .

Shpërndarja e studentit luan një rol në një numër analizash statistikore të përdorura gjerësisht, duke përfshirë testin *t* Student për vlerësimin e rëndësisë statistikore të ndryshesës midis dy mesatareve të mostrës, ndërtimin e intervaleve të besimit për ndryshesën midis dy mesatareve të popullsisë dhe në analiza e regresit linear.

Në formën e *'shkallës-vendndodhje shpërndarja *t*** lst(\mu, \tau^2, \nu) ajo përgjithëson shpërndarjen normale dhe gjithashtu lind në analizën Bejesiane të të dhënave nga një familje normale si një shpërndarje e përbërë kur margjinalizohet mbi parametrin e variancës.

ku

## Përkufizimi 
### Funksioni i dendësisë së probabilitetit 
**Shpërndarja *t*'* e studentit ka funksionin e dendësisë së probabilitetit (PDF) të dhënë nga

: f(t) = \frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} \left(1+\frac{t^2}\nu \right)^{-(\nu+1)/2}, 

ku \nu është numri i *shkallëve të lirisë* dhe \Gamma është funksioni gama. Kjo mund të shkruhet edhe si

: f(t) = \frac{1}{\sqrt{\nu}\,\mathrm{B} (\frac{1}{2}, \frac{\nu}{2})} \left(1+\frac{t^2}\nu \right)^{-(\nu+1)/2},

ku B është funksioni Beta. Në veçanti për shkallët e lirisë me vlerë të plotë  \nu  ne kemi:

Për \nu >1  çift,

: \frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} = \frac{(\nu -1)(\nu -3)\cdots 5 \cdot 3} { 2 \sqrt{\nu}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 4 \cdot 2\,}\cdot 

Për \nu >1  tek,

: \frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} = \frac{(\nu -1)(\nu -3)\cdots 4 \cdot 2} {\pi \sqrt{\nu}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 5 \cdot 3\,}\cdot\!

Funksioni i dendësisë së probabilitetit është simetrik, dhe forma e tij e përgjithshme i ngjan formës së këmbanës me mesatare 0 dhe variancë 1, përveç se është pak më e ulët dhe më e gjerë. Ndërsa numri i shkallëve të lirisë rritet, shpërndarja *t* i afrohet shpërndarjes normale me mesataren 0 dhe variancën 1. Per kete arsye {\nu} njihet edhe si parametri i normalitetit. 

 

### Funksioni mbledhës i shpërndarjes 
Funksioni i shpërndarjes mbledhëse  (FSHM) mund të shkruhet në termat e *I*, funksioni beta jo i plotë i rregulluar. Për *t*&nbsp;>&nbsp;0,

: F(t) = \int_{-\infty}^t f(u)\,du = 1 - \tfrac{1}{2} I_{x(t)}\left(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{1}{2}\right), 

Shpërndarja e Studentit lind në një sërë problemesh të vlerësimit statistikor ku qëllimi është të vlerësohet një parametër i panjohur, si një vlerë mesatare, në një mjedis ku të dhënat vëzhgohen me gabime mbledhëse. Nëse (si në pothuajse të gjitha punët praktike statistikore) devijimi standard i popullatës i këtyre gabimeve është i panjohur dhe duhet të vlerësohet nga të dhënat, shpërndarja *t* përdoret shpesh për të llogaritur pasigurinë shtesë që rezulton nga ky vlerësim. Në shumicën e problemeve të tilla, nëse dihej shmangia standarde e gabimeve, do të përdorej një shpërndarje normale në vend të shpërndarjes *t* .

: x(t) = \frac{\nu}.

### Raste të veçanta 
Vlerat e caktuara të \nu jepni një formë të thjeshtë për shpërndarjen së Studentit.

## Vendndodhja-shkalla e shpërndarjes t 
### Shndërrimi i shkallës-vendndodhje 
Shpërndarja *t* e studentit përgjithësohet në *'shpërndarjen e tre parametrave vendndodhje-shkalla *t*'* lst(\mu, \tau^2, \nu) duke futur një parametër vendndodhjeje \mu dhe një parametër shkallë \tau . Me

: T \sim t_\nu

dhe transformimi i familjes në shkallë vendi

: X = \mu + \tau T

marrim

: X \sim lst(\mu, \tau^2, \nu)

### Raste të veçanta 
* Nëse X ndjek një shpërndarje Studenti shkallë-vendndodhje X \sim \mathrm{lst}\left(\mu, \tau^2, \nu\right) pastaj për \nu \rightarrow \infty  X shpërndahet normalisht X \sim \mathrm{N}\left(\mu, \tau^2\right) me mesatare \mu dhe variancë \tau^2 .
* Shpërndarja e Studentit shkallë-vendndodhje \mathrm{lst}\left(\mu, \tau^2, \nu=1\right) me shkallë lirie \nu=1 është e njëvlerëshme me shpërndarjen Cauchy \mathrm{Cau}\left(\mu, \tau\right) .
* Shpërndarja *t* -shkallë-vendndodhje \mathrm{lst}\left(\mu=0, \tau^2=1, \nu\right) me \mu=0 dhe \tau^2=1 reduktohet në *shpërndarjen* e Studentit t_{\nu}

## Si lind shpërndarja *t* (karakterizimi) 
### Shpërndarja e mostrës së statistikës Student 
Shpërndarja *t* lind si shpërndarja e mostrës së statistikës *t* . Më poshtë diskutohet statistika *t* në një kampion, për *statistikën* t korresponduese me dy mostra shihni T-testin e Studentit .

#### Vlerësimi i paanshëm i variancës 
Le x_1, \ldots, x_n \sim N(\mu, \sigma^2) të jenë mostra të pavarura dhe të shpërndara identikisht nga një shpërndarje normale me mesatare \mu dhe variancë \sigma^2 . Varianca mesatare dhe e paanshme e kampionit jepen nga:

: 
\begin{align}
 \bar{x} &= \frac{x_1+\cdots+x_n}{n}, \\[5pt]
 s^2   &= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2.
\end{align}

Statistika *t* që rezulton (një mostër) jepet nga

:  t = \frac{\bar{x} - \mu}{\sqrt{s^2/n}} \sim t_{n-1}. 

dhe shpërndahet sipas një shpërndarjeje që ndjek ligjin e Studentit me n - 1 shkallët e lirisë.

#### Vlerësimi i variancës PM 
Në vend të vlerësimit të paanshëm s^2 ne gjithashtu mund të përdorim vlerësuesin e përgjasisë maksimale

:  s^2_{ML} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2

duke dhënë statistikën

:  t_{ML} = \frac{\bar{x} - \mu}{\sqrt{s^2_{ML}/n}} = \sqrt{\frac{n}{n-1}} t . 

Kjo shpërndahet sipas shpërndarjes *t*  shkallës-vendndodhje:

:  t_{ML} \sim lst(0, \tau^2=n/(n-1), n-1). 

## Përdorimet 
### Në përfundimin statistikor frekuentist 
Shpërndarja e Studentit lind në një sërë problemesh të vlerësimit statistikor ku qëllimi është të vlerësohet një parametër i panjohur, si një vlerë mesatare, në një mjedis ku të dhënat vëzhgohen me gabime mbledhëse. Nëse (si në pothuajse të gjitha punët praktike statistikore) shmangia standard i popullatës i këtyre gabimeve është i panjohur dhe duhet të vlerësohet nga të dhënat, shpërndarja *t* përdoret shpesh për të llogaritur pasigurinë shtesë që rezulton nga ky vlerësim. Në shumicën e problemeve të tilla, nëse do të dihej shmangia standarde e gabimeve, do të përdorej një shpërndarje normale në vend të shpërndarjes së Studentit .

Intervalet e besimit dhe testet e hipotezave janë dy procedura statistikore në të cilat kërkohen kuantiljet e shpërndarjes së mostrës së një statistike të caktuar (p.sh. rezultati standard ). Në çdo situatë ku kjo statistikë është një funksion linear i të dhënave, pjesëtuar me vlerësimin e zakonshëm të shmangies standarde, sasia që rezulton mund të rishkallëzohet dhe të përqendrohet për të ndjekur shpërndarjen e Studentit. Analizat statistikore që përfshijnë mesataret, mesataret e ponderuara dhe koeficientët e regresionit të gjitha çojnë në statistika që kanë këtë formë.

#### Testimi i hipotezave 
Një numër statistikash mund të tregohet se kanë shpërndarje t-Studenti për mostrat me madhësi mesatare nën hipotezat zero që janë me interes, në mënyrë që shpërndarja e Studentit të formojë bazën për testet e rëndësisë. Për shembull, shpërndarja e koeficientit të korrelacionit të Spearman *ρ*, në rastin zero (korrelacion zero) përafrohet mirë me shpërndarjen *t* për madhësitë e mostrës mbi 20. 

#### Intervalet e besimit 
Supozoni se numri *A* është zgjedhur i tillë që

: \Pr(-A 

kur *T* ka një shpërndarje Studenti me *n* − 1 shkallë lirie. Nga simetria, kjo është njësoj si të thuash që *A* kënaq kushtin

: \Pr(T 

pra *A* është "përqindja 95" e kësaj shpërndarjeje probabiliteti, ose  A=t_{(0.05,n-1)} . Atëherë

: \Pr \left (-A 

dhe kjo është e njëvlerëshme me

: \Pr\left(\overline{X}_n - A \frac{S_n}{\sqrt{n}} 

Prandaj, intervali, pikat fundore të të cilit janë

: \overline{X}_n\pm A\frac{S_n}{\sqrt{n}}

është një interval besimi 90% për μ. Prandaj, nëse gjejmë mesataren e një grupi vëzhgimesh që mund të presim në mënyrë të arsyeshme të kemi një shpërndarje normale, mund të përdorim shpërndarjen e Studentit për të shqyrtuar nëse kufijtë e besimit në atë mesatare përfshijnë disa vlera të parashikuara teorikisht - siç është vlera e parashikuar nën një hipotezë zero .

Është ky rezultat që përdoret në testet e Studentit : meqenëse ndryshesa midis mesatareve të mostrave nga dy shpërndarje normale shpërndahet normalisht, shpërndarja t-Student mund të përdoret për të ekzaminuar nëse kjo diferencë mund të supozohet në mënyrë të arsyeshme të jetë zero. .

## Tabelë e vlerave të zgjedhura 
Tabela e mëposhtme liston vlerat për shpërndarjet t-Student me *ν* shkallë lirie për një sërë zonash kritike të njëanshme ose të dyanshme. Kolona e parë është *ν*, përqindjet përgjatë majës janë nivele besimi dhe numrat në trupin e tabelës janë t_{\alpha,n-1} faktorët e përshkruar në seksionin mbi intervalet e besimit .

**Llogaritja e intervalit të besimit**

Le të themi se kemi një mostër me madhësi 11, mesatare të kampionit 10 dhe variancë të mostrës 2. Për shkallën e besimit 90% me 10 gradë lirie, vlera e njëanshme *t'' nga tabela është 1.372. Pastaj me interval besimi të llogaritur nga

: \overline{X}_n \pm t_{\alpha,\nu}\frac{S_n}{\sqrt{n}},

ne përcaktojmë se me 90% besim kemi një mesatare të vërtetë që ndodhet poshtë

: 10 + 1.372 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}} = 10.585.

Me fjalë të tjera, 90% e rasteve kur një prag i sipërm llogaritet me këtë metodë nga mostra të veçanta, ky prag i sipërm tejkalon mesataren e vërtetë.

Dhe me 90% besim ne kemi një mesatare të vërtetë që ndodhet më lart

: 10 - 1.372 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}} = 9.414.

Me fjalë të tjera, 90% e rasteve kur një prag më i ulët llogaritet me këtë metodë nga mostra të veçanta, ky prag më i ulët qëndron nën mesataren e vërtetë.

Kështu që me 80% besim (llogaritur nga 100%&nbsp;−&nbsp;2&nbsp;×&nbsp;(1&nbsp;−&nbsp;90%) = 80%), kemi një mesatare të vërtetë që shtrihet brenda intervalit

: \left(10 - 1.372 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}, 10 + 1.372 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}\right) = (9.414, 10.585).