Ekuacioni Fokker–Planck

parapamje| Një zgjidhje për ekuacionin njëdimensional Fokker–Planck, me termat e driftit dhe difuzionit. Në këtë rast, kushti fillestar është një funksion delta i Dirakut i përqendruar larg shpejtësisë zero. Me kalimin e kohës shpërndarja zgjerohet për shkak të impulseve të rastit.
Në mekanikën statistikore dhe teorinë e informacionit, **ekuacioni Fokker-Planck** është një ekuacion diferencial i pjesshëm që përshkruan evolucionin kohor të funksionit të densitetit të probabilitetit të shpejtësisë së një grimce nën ndikimin e forcave të tërheqjes dhe forcave të rastit, si në lëvizjen Brauniane . Ekuacioni mund të përgjithësohet edhe në të vëzhgueshme të tjera.  Ekuacioni Fokker-Planck ka zbatime të shumta në teorinë e informacionit, teorinë e grafikëve, shkencën e të dhënave, financat, ekonominë etj.

Është emërtuar sipas Adriaan Fokker dhe Maks Plankut, të cilët e përshkruan atë në 1914 dhe 1917.   Njihet gjithashtu si **ekuacioni i parmë i Kollmogorovit**, sipas Andrej Kollmogorovit, i cili e zbuloi në mënyrë të pavarur në 1931.  

## Një dimension 
Në një dimension hapësinor x, për një proces Itô të drejtuar nga procesi standard Wiener W_t dhe përshkruar nga ekuacioni diferencial stokastik (EDS)dX_t = \mu(X_t, t) \,dt + \sigma(X_t, t) \,dW_tme drift \mu(X_t, t) dhe koeficient difuzioni D(X_t, t) = \sigma^2(X_t, t)/2, ekuacioni Fokker–Planck për densitetin e probabilitetit p(x, t) të ndryshores së rastit X_t është 

\frac{\partial}{\partial t}p(x,t) = - \frac{\partial}{\partial t} [\mu (x,t) p(x,t)] + \frac{\partial^2}{\partial x^2}[D(x,t)p(x,t)] {{Equation box 1|cellpadding|border|indent=:|equation= \frac{\partial}{\partial t} p(x, t) = -\frac{\partial}{\partial x}\left[\mu(x, t) p(x, t)\right] + \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left[D(x, t) p(x, t)\right]. |border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}} 
Në pasuesen përdoret, use \sigma = \sqrt{2D}.

Përcaktoni gjeneratorin pambarimisht të vogël: \mathcal{L} (the following can be found in Ref.):

 \mathcal{L}p(X_t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac1{\Delta t}\left(\mathbb{E}\big[p(X_{t + \Delta t}) \mid X_t = x \big] - p(x)\right).

Probabiliteti i kalimit \mathbb{P}_{t, t'}(x \mid x'), probabiliteti që të shkohet nga (t', x') tek (t, x), shfaqet ketu; pritja matematike mund të shkruhet si

 \mathbb{E}(p(X_{t + \Delta t}) \mid X_t = x) = \int p(y) \, \mathbb{P}_{t + \Delta t,t}(y \mid x) \,dy.

Tani zëvëndësojmë përkufizimin e \mathcal{L}, shumëzoni me \mathbb{P}_{t, t'}(x \mid x') dhe integroni mbi dx. Limiti merret mbi

 \int p(y) \int \mathbb{P}_{t + \Delta t, t}(y \mid x)\,\mathbb{P}_{t, t'}(x \mid x') \,dx \,dy - \int p(x) \, \mathbb{P}_{t, t'}(x \mid x') \,dx.

Vëreni se

 \int \mathbb{P}_{t + \Delta t, t}(y \mid x) \, \mathbb{P}_{t, t'}(x \mid x') \,dx = \mathbb{P}_{t + \Delta t, t'}(y \mid x'),

që është teorema Çapman Kollmogorov. Ndryshimi i ndryshores lolo y në x, jep

\begin{align}
 \int p(x) \lim_{\Delta t \to 0} \frac1{\Delta t} \left( \mathbb{P}_{t + \Delta t, t'}(x \mid x') - \mathbb{P}_{t, t'}(x \mid x') \right) \,dx,
\end{align}

i cili është derivati i kohës. Më në fund arrijmë në

 \int [\mathcal{L}p(x)] \mathbb{P}_{t, t'}(x \mid x') \,dx = \int p(x) \, \partial_t \mathbb{P}_{t, t'}(x \mid x') \,dx.

Nga këtu mund të dalë ekuacioni i pasëm i Kollmogorovit. Nëse përdorim operatorin hermitian të konjuguar të \mathcal{L}, \mathcal{L}^\dagger, të përcaktuar të tillë që

 \int [\mathcal{L}p(x)] \mathbb{P}_{t, t'}(x \mid x') \,dx = \int p(x) [\mathcal{L}^\dagger \mathbb{P}_{t, t'}(x \mid x')] \,dx,

atëherë arrijmë në ekuacionin e parmë të Kollmogorovit, ose ekuacionin Fokker-Planck, i cili, duke thjeshtuar shënimin p(x, t) = \mathbb{P}_{t, t'}(x \mid x'), në formën diferenciale lexohet si

 \mathcal{L}^\dagger p(x, t) = \partial_t p(x, t).

Mbetet çështja e përcaktimit troç të \mathcal{L}. Kjo mund të bëhen duke marrë pritjen matematike nga forma integralee lemës së Itôs:

 \mathbb{E}\big(p(X_t)\big) = p(X_0) + \mathbb{E}\left(\int_0^t \left(\partial_t + \mu\partial_x + \frac{\sigma^2}{2}\partial_x^2 \right) p(X_{t'}) \,dt'\right).

Pjesa që varet nga dW_t zhduket për shkak të vetisë së martingalës.

Atëherë për një pjesëz nën kushtet e lemës së Itos, duke përdorur:

 \mathcal{L} = \mu\partial_x + \frac{\sigma^2}{2}\partial_x^2,

mund të përllogaritet lehtësisht, duke përdorur integrimin me pjesë, se

 \mathcal{L}^\dagger = -\partial_x(\mu \cdot) + \frac12 \partial_x^2(\sigma^2 \cdot),

që na sjell tek ekuacioni Fokker-Planck:

 \partial_t p(x, t) = -\partial_x \big(\mu(x, t) \cdot p(x, t)\big) + \partial_x^2\left(\frac{\sigma(x, t)^2}{2} \, p(x,t)\right).

## Dimensionet më të larta 
Në përgjithësi, nësed\mathbf{X}_t = \boldsymbol{\mu}(\mathbf{X}_t,t)\,dt + \boldsymbol{\sigma}(\mathbf{X}_t,t)\,d\mathbf{W}_t,ku \mathbf{X}_t dhe \boldsymbol{\mu}(\mathbf{X}_t,t) janë vektorë N-dimensionalë, \boldsymbol{\sigma}(\mathbf{X}_t,t) është një matricë N \times M  dhe \mathbf{W}_t është një proces standard Wiener *M* -dimensional, dendësia e probabilitetit p(\mathbf{x},t) për \mathbf{X}_t plotëson ekuacionin Fokker–Planck{{Equation box 1|cellpadding|border|indent=:|equation= \frac{\partial p(\mathbf{x},t)}{\partial t} = -\sum_{i=1}^N \frac{\partial}{\partial x_i} \left[ \mu_i(\mathbf{x},t) p(\mathbf{x},t) \right] + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \frac{\partial^2}{\partial x_i \, \partial x_j} \left[ D_{ij}(\mathbf{x},t) p(\mathbf{x},t) \right], |border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}\frac{\partial}{\partial t} p(\textbf{x},t) = -\sum_{i=1}^N \frac{\partial}{\partial x_i}[\mu_i (\textbf{x},t) p(\textbf{x},t)] + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \frac{\partial}{\partial x_i \partial x_j}[D_ij(\textbf{x},t) p(\textbf{x},t)] 

me vektor drift \boldsymbol{\mu} = (\mu_1,\ldots,\mu_N) dhe tensori i difuzionit \mathbf{D} = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma\sigma}^\mathsf{T}, dmthD_{ij}(\mathbf{x},t) = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^M \sigma_{ik}(\mathbf{x},t) \sigma_{jk}(\mathbf{x},t).Nëse në vend të një EDS Itô , konsiderohet një EDS Stratonovich ,d\mathbf{X}_t = \boldsymbol{\mu}(\mathbf{X}_t,t)\,dt + \boldsymbol{\sigma}(\mathbf{X}_t,t)\circ d\mathbf{W}_t,ekuacioni Fokker–Planck do të shprehet si:  : \frac{\partial p(\mathbf{x},t)}{\partial t} = -\sum_{i=1}^N \frac{\partial}{\partial x_i} \left[ \mu_i(\mathbf{x},t) \, p(\mathbf{x},t) \right] + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^M \sum_{i=1}^{N} \frac{\partial}{\partial x_i} \left\{ \sigma_{ik}(\mathbf{x},t) \sum_{j=1}^{N} \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \sigma_{jk}(\mathbf{x},t) \, p(\mathbf{x},t) \right] \right\}

## Shembuj 
### Procesi Wiener 
Një proces standard skalar Wiener krijohet nga ekuacioni diferencial stokastikdX_t = dW_t.Këtu termi i driftit është zero dhe koeficienti i difuzionit është 1/2. Kështu është ekuacioni përkatës Fokker–Planck
\frac{\partial p(x,t)}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2},
e cila është forma më e thjeshtë e ekuacionit të difuzionit . Nëse kushti fillestar është p(x,0) = \delta(x), zgjidhja është p(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi t}}e^{-{x^2}/({2t})}.

### Shpërndarja e Bolcmanit në baraspeshën termodinamike 
Ekuacioni Langevin i mbingarkuardx_t = -\frac{1}{k_BT} (\nabla_x U)dt + dW_tjep \partial_t p = \frac 12 \nabla\cdot(\frac{p}{k_BT} \nabla U + \nabla p) . Shpërndarja Bolcman p(x)\propto e^{- U(x)/k_B T} është një shpërndarje baraspeshe, dhe duke supozuar U rritet mjaftueshëm shpejt (d.m.th., pusi potencial është mjaft i thellë për të kufizuar grimcën), shpërndarja Bolcman është ekuilibri unik.

### Procesi Ornstein-Uhlenbeck 
Procesi Ornstein-Uhlenbeck është një proces i përcaktuar sidX_t = -a X_t dt + \sigma dW_t.me a>0 . Fizikisht, ky ekuacion mund të motivohet si më poshtë: një grimcë në masë  m  me shpejtësi  V_t duke lëvizur në një mjedis, p.sh., një lëng, do të përjetojë një forcë fërkimi që i reziston lëvizjes, madhësia e së cilës mund të përafrohet si e përpjesshme me shpejtësinë e grimcave  -a V_t me  a = \mathrm{konstante}  . Grimcat e tjera në mjedis do të godasin rastësisht grimcën ndërsa përplasen me të dhe ky efekt mund të përafrohet me një term të zhurmës së bardhë;  \sigma (d W_t/dt)  . Ligji i dytë i Njutonit shkruhet si m \frac{dV_t}{dt}=-a V_t +\sigma \frac{dW_t}{dt}. Duke marrë  m = 1 për thjeshtësi dhe ndryshimin e shënimit si  V_t\rightarrow X_t çon në formën e njohur dX_t = -a X_t dt + \sigma dW_t .

Ekuacioni përkatës Fokker–Planck është
\frac{\partial p(x,t)}{\partial t} = a \frac{\partial}{\partial x}\left(x \,p(x,t)\right) + \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2},
Zgjidhja stacionare ( \partial_t p = 0 ) ështëp_{ss}(x) = \sqrt{\frac{a}{\pi \sigma^2}} e^{-\frac{ax^2}{\sigma^2}}.