Shpërndarja Cauchy

{{Infobox shpërndarja e gjasës|name=Cauchy|parameters=x_0\! vendndodhja (real)\gamma > 0 shkalla (real)|support=\displaystyle x \in (-\infty, +\infty)\!|pdf=\frac{1}{\pi\gamma\,\left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]}\!|pdf_image=Kurba e purpurt është shpërndarja standarde Koshi|cdf_image=|cdf=\frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}\!|quantile=x_0+\gamma\,\tan[\pi(p-\tfrac{1}{2})]|mean=e papërcaktuar|mode=x_0\!|median=x_0\!|variance=e papërcaktuar|mad=\gamma|skewness=e papërcaktuar|kurtosis=e papërcaktuar|entropy=\log(4\pi\gamma)\!|mgf=nuk ekziston|fisher=\frac{1}{2\gamma^2}}}

**Shpërndarja Cauchy**, e quajtur sipas Augustin Cauchy, është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti . Është i njohur gjithashtu, veçanërisht në mesin e fizikantëve, si **shpërndarja e Lorencit** (pas Hendrik Lorentz ), **shpërndarja Cauchy-Lorentz**, **funksioni Lorenc(ian)** ose **shpërndarja Breit-Wigner** . Shpërndarja Cauchy f(x; x_0,\gamma) është shpërndarja e pikëprerjes së abshisave të një rrezeje që del nga (x_0,\gamma) me një kënd si n.r të shpërndarë uniformisht. Është gjithashtu shpërndarja e raportit të dy ndryshoreve të rastit të pavarura të shpërndara normalisht me mesatare zero.

Shpërndarja Cauchy përdoret shpesh në statistika si shembulli kanonik i një shpërndarjeje " patologjike " pasi si pritja matematike ashtu edhe varianca e saj janë të papërcaktuara. Shpërndarja Cauchy nuk ka momente të fundme të rendit më të madh ose të barabartë me një; ekzistojnë vetëm momente absolute të pjesshme.  Shpërndarja Cauchy nuk ka funksion gjenerues të momentit .

Në matematikë, ajo është e lidhur ngushtë me bërthamën Poisson, e cila është zgjidhja themelore për ekuacionin Laplace në gjysmë-rrafshin e sipërm .

Është një nga shpërndarjet e pakta që është e qëndrueshme dhe ka një funksion të dendësisë të probabilitetit që mund të shprehet në mënyrë analitike, të tjerat janë shpërndarja normale dhe shpërndarja Lévy .

## Historia 
[djathtas|parapamje| Vlerësimi i mesatares dhe devijimit standard përmes zgjedhjeve nga një shpërndarje Cauchy (poshtë) nuk konvergjon me më shumë mostra, si në [Shpërndarja normale|shpërndarjen normale (lart). Mund të ketë kërcime të mëdha në mënyrë arbitrare tek vlerësimet, siç shihet në grafikët në fund. ]]
Një funksion me formën e funksionit të dendësisë së shpërndarjes Cauchy u studiua gjeometrikisht nga Fermati në 1659, dhe më vonë u njoh si shtriga e Agnesit, pasi Agnesi e përfshiu atë si shembull në librin e saj të llogaritjes së vitit 1748. Pavarësisht nga emri i saj, analiza e parë e shkoqur e vetive të shpërndarjes Cauchy u botua nga matematikani francez Poisson në 1824, me Cauchy që u lidh me të vetëm gjatë një polemike akademike në 1853.  Poisson vuri në dukje se nëse merrej mesatarja e vëzhgimeve pas një shpërndarjeje të tillë, gabimi mesatar nuk konvergjonte në ndonjë numër të fundëm. Si i tillë, përdorimi nga Laplasi i teoremës qëndrore limite me një shpërndarje të tillë ishte i papërshtatshëm, pasi supozoi një mesatare dhe variancë të fundme. 

### Funksioni i dendësisë së probabilitetit (PDF) 
Shpërndarja Cauchy është shpërndarja e probabilitetit me funksionin e mëposhtëm të dendësisë të probabilitetit (PDF)  

: f(x; x_0,\gamma) = \frac{1}{\pi\gamma \left[1 + \left(\frac{x - x_0}{\gamma}\right)^2\right]} = { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2 } \right], 

ku x_0 është parametri i vendndodhjes, duke specifikuar vendndodhjen e pikut të shpërndarjes, dhe \gamma është parametri i shkallës që specifikon gjysmën e gjerësisë në gjysmën maksimale (HWHM), në mënyrë alternative 2\gamma është gjerësia e plotë në gjysmën e maksimumit (FWHM). Augustin-Louis Cauchy shfrytëzoi një funksion të tillë dendësie në vitin 1827 me një parametër të shkallës pambarimisht të vogël, duke përcaktuar atë që tani quhet funksion i deltës së Dirakut .

#### Karakteristikat e PDF-së 
Vlera ose amplituda maksimale e FDP të shpërndarjes Koshi është \frac{1}{\pi \gamma}, i vendosur në x=x_0 .

Ndonjëherë është i përshtatshëm për të shprehur PDF në terma të parametrit kompleks \psi= x_0 + i\gamma

: 
f(x;\psi)=\frac{1}{\pi}\,\textrm{Im}\left(\frac{1}{x-\psi}\right)=\frac{1}{\pi}\,\textrm{Re}\left(\frac{-i}{x-\psi}\right)

Rasti i veçantë kur x_0 = 0 dhe \gamma = 1 quhet **shpërndarja standarde Koshi** me funksionin e dendësisë së probabilitetit  

:  f(x; 0,1) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}. \!

Në fizikë, shpesh përdoret një funksion Lorencian me tre parametra:

: f(x; x_0,\gamma,I) = \frac{I}{\left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} = I \left[ { \gamma^2 \over (x - x_0)^2 + \gamma^2 } \right], 

ku I është lartësia e majës. Funksioni Lorencian me tre parametra i treguar nuk është, në përgjithësi, një funksion i dendësisë së probabilitetit, pasi ai nuk integrohet në 1, përveç në rastin e veçantë ku I = \frac{1}{\pi\gamma}.\!

### Funksioni mbledhës i shpërndarjes (CDF) 
Shpërndarja Koshi është shpërndarja e probabilitetit me funksionin e mëposhtëm të shpërndarjes mbledhëse (FSHM):

: F(x; x_0,\gamma)=\frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}

dhe funksioni kuantile ( fshm e anasjelltë ) i shpërndarjes Cauchy është

: Q(p; x_0,\gamma) = x_0 + \gamma\,\tan\left[\pi\left(p-\tfrac{1}{2}\right)\right].

Për shpërndarjen standarde, funksioni i shpërndarjes mbledhëse thjeshtohet në funksionin arktangent \arctan(x) :

: F(x; 0,1)=\frac{1}{\pi} \arctan\left(x\right)+\frac{1}{2}

## Vetitë 
Shpërndarja Koshi është një shembull i një shpërndarjeje që nuk ka mesatare, variancë ose momente më të larta të përcaktuara. Moda dhe mediana e tij janë të përcaktuara mirë dhe janë të dyja të barabarta me x_0 .

Shpërndarja Cauchy është një shpërndarje probabiliteti pafundësisht e pjestueshme . Është gjithashtu një shpërndarje rreptësisht e qëndrueshme . 

### Shuma e shpërndarjeve Cauchy 
Nëse X_1, X_2, ..., X_n janë n.r IID të marra nga shpërndarja standarde Cauchy, atëherë mesatarja e mostrës \bar X = \frac 1n \sum_i X_i ndjek gjithashtu një shpërndarje Koshi. Në veçanti, mesatarja nuk konvergjon tek mesatarja, dhe kështu shpërndarja standarde e Koshiut nuk ndjek ligjin e numrave të mëdhenj.

### Teorema qëndrore limite 
Nëse X_1, X_2, ... janë n.r IID me PDF \rho sikurse \lim_{c \to \infty}\frac{1}{c} \int_{-c}^c x^2\rho(x) dx = \frac{2\gamma}{\pi}  është e fundme, por jo zero, atëherë \frac 1n \sum_{i=1}^n X_i konvergjon në shpërndarje në një shpërndarje Koshi me shkallë \gamma . 

### Funksioni karakteristik 
Le X tregojnë një ndryshore të rastit të shpërndarë sipas Koshiut. Funksioni karakteristik i shpërndarjes Koshi jepet nga

: \varphi_X(t) = \operatorname{E}\left[e^{iXt} \right ] =\int_{-\infty}^\infty f(x;x_0,\gamma)e^{ixt}\,dx = e^{ix_0t - \gamma |t|}.

### Entropia 
Entropia e shpërndarjes Koshi jepet nga:

: 
\begin{align}
H(\gamma) & =-\int_{-\infty}^\infty f(x;x_0,\gamma) \log(f(x;x_0,\gamma)) \, dx \\[6pt]
& =\log(4\pi\gamma)
\end{align}

Derivati i funksionit kuantile, funksioni i dendësisë së kuantilit, për shpërndarjen Koshi është:

: Q'(p; \gamma) = \gamma\,\pi\,{\sec}^2\left[\pi\left(p-\tfrac 1 2 \right)\right].\!

## Vlerësimi i parametrave 
Për shkak se parametrat e shpërndarjes Cauchy nuk korrespondojnë me një mesatare dhe variancë, përpjekja për të vlerësuar parametrat e shpërndarjes Cauchy duke përdorur një mesatare të mostrës dhe një variancë të mostrës nuk do të ketë sukses.  Për shembull, nëse një kampion iid me madhësi *n* merret nga një shpërndarje Cauchy, mund të llogaritet mesatarja e kampionit si:

: \bar{x}=\frac 1 n \sum_{i=1}^n x_i

Megjithëse vlerat e mostrës x_i do të përqëndrohen në vlerën qendrore x_0, mesatarja e kampionit do të bëhet gjithnjë e më e ndryshueshme ndërsa bëhen më shumë vëzhgime, për shkak të rritjes së probabilitetit për të hasur në pika të mostrës me një vlerë të madhe absolute. Në fakt, shpërndarja e mesatares së mostrës do të jetë e barabartë me shpërndarjen e vetë vëzhgimeve; dmth, mesatarja e mostrës së një kampioni të madh nuk është një vlerësues më i mirë (ose më i keq). x_0 se çdo vëzhgim i vetëm nga kampioni. Në mënyrë të ngjashme, llogaritja e variancës së mostrës do të rezultojë në vlera që rriten kur merren më shumë vëzhgime.

Prandaj, mjete më të forta për të vlerësuar vlerën qendrore x_0 dhe parametrin e shkallëzimit \gamma janë të nevojshme. Një metodë e thjeshtë është të merret vlera mesatare e kampionit si një vlerësues i x_0 dhe gjysma e shtrirjes ndërkuartile të kampionit si një vlerësues i \gamma . Janë zhvilluar metoda të tjera, më të sakta dhe të forta   Për shembull, mesatarja e cunguar e 24% të mesit të statistikave të rendit të mostrës prodhon një vlerësim për x_0  që është më efikase sesa përdorimi i mesores së mostrës ose mesatares së plotë të mostrës.   Megjithatë, për shkak të bishtit të trashë të shpërndarjes Cauchy, efikasiteti i vlerësuesit zvogëlohet nëse përdoret më shumë se 24% e kampionit.  Gjithashtu, ndërsa vlerësuesi maksimal i gjasave është asimptotikisht efikas, ai është relativisht joefikas për mostrat e vogla.   Funksioni i gjasave log për shpërndarjen Cauchy për madhësinë e kampionit n është:

: \hat\ell(x_1,\dotsc,x_n \mid \!x_0,\gamma ) = - n \log (\gamma \pi) - \sum_{i=1}^n \log \left(1 + \left(\frac{x_i - x_0}{\gamma}\right)^2\right)

Maksimizimi i funksionit logaritmues të përgjasisë maksimale në lidhje me x_0 dhe \gamma duke marrë derivatin e parë prodhon sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve:

:  \frac{d \ell}{d x_{0}} = \sum_{i=1}^n \frac{2(x_i - x_0)}{\gamma^2 + \left(x_i - \!x_0\right)^2} =0
:  \frac{d \ell}{d \gamma} = \sum_{i=1}^n \frac{2\left(x_i - x_0\right)^2}{\gamma (\gamma^2 + \left(x_i - x_0\right)^2)} - \frac{n}{\gamma} = 0

Vini re se

:  \sum_{i=1}^n \frac{\left(x_i - x_0\right)^2}{\gamma^2 + \left(x_i - x_0\right)^2} 

është një funksion monoton në \gamma dhe se zgjidhja \gamma duhet të kënaqë

:  \min |x_i-x_0|\le \gamma\le \max |x_i-x_0|. 

Zgjidhja vetëm për x_0 kërkon zgjidhjen e një polinomi të shkallës 2n-1,  dhe zgjidhja vetëm për \,\!\gamma kërkon zgjidhjen e një polinomi të shkallës 2n . Prandaj, nëse zgjidhet për një parametër ose për të dy parametrat njëkohësisht, zakonisht kërkohet një zgjidhje numerike. Përfitimi i vlerësuesit të përgjasisë maksimale është efikasiteti asimptotik; duke vlerësuar x_0 përdorimi i mesatares së kampionit është vetëm rreth 81% po aq asimptotikisht efikas sa vlerësimi x_0 sipas gjasave maksimale.   Mesatarja e mostrës së cunguar duke përdorur statistikat e rendit të mesëm prej 24% është rreth 88% si një vlerësues asimptotikisht efikas i x_0 si vlerësimi maksimal i gjasave. 
* Nëse X \sim \operatorname{Cauchy}(x_0, \gamma_0) dhe Y \sim \operatorname{Cauchy}(x_1,\gamma_1) janë të pavarur atëherë  X+Y \sim \operatorname{Cauchy}(x_0+x_1,\gamma_0 +\gamma_1) dhe  X-Y \sim \operatorname{Cauchy}(x_0-x_1, \gamma_0+\gamma_1)
* Nëse X \sim \operatorname{Cauchy}(0,\gamma) pastaj  \tfrac{1}{X} \sim \operatorname{Cauchy}(0, \tfrac{1}{\gamma})
* Parametrimi i McCullagh-së i shpërndarjeve Cauchy :  Shprehja e një shpërndarjeje Cauchy në termat e një parametri kompleks \psi = x_0+i\gamma, përcaktoni X \sim \operatorname{Cauchy}(\psi) të thotë X \sim \operatorname{Cauchy}(x_0,|\gamma|) . Nëse X \sim \operatorname{Cauchy}(\psi) pastaj:\frac{aX+b}{cX+d} \sim \operatorname{Cauchy}\left(\frac{a\psi+b}{c\psi+d}\right)\frac{aX+b}{cX+d} \sim \operatorname{Cauchy}\left(\frac{a\psi+b}{c\psi+d}\right)
* Duke përdorur të njëjtën konventë si më sipër, nëse X \sim \operatorname{Cauchy}(\psi) atëherë: 
* Shpërndarja Cauchy është një shpërndarje e qëndrueshme : nëse X \sim \textrm{Stable}(1, 0, \gamma, \mu), atëherë X \sim \operatorname{Cauchy}(\mu, \gamma) .
* Shpërndarja Cauchy është një kufi singular i një shpërndarjeje hiperbolike
* Shpërndarja e mbështjellë Cauchy, duke marrë vlera në një rreth, rrjedh nga shpërndarja Cauchy duke e mbështjellë rreth rrethit.
* Nëse X \sim \textrm{N}(0,1), Z \sim \operatorname{Inverse-Gamma}(1/2, s^2/2), pastaj Y = \mu + X \sqrt Z \sim \operatorname{Cauchy}(\mu,s) . Për shpërndarjet gjysmë Cauchy, lidhja qëndron duke vendosur X \sim \textrm{N}(0,1) I\{X>=0\} .

## Ndodhia dhe zbatimet 
* Në spektroskopi, shpërndarja Koshi përshkruan formën e linjave spektrale të cilat i nënshtrohen zgjerimit homogjen në të cilin të gjitha atomet ndërveprojnë në të njëjtën mënyrë me shtrirjen e frekuencës që gjendet në formën e vijës. Shumë mekanizma shkaktojnë zgjerim homogjen, veçanërisht zgjerimin e përplasjes .  Zgjerimi natyror ose jetësor gjithashtu krijon një formë vije të përshkruar nga shpërndarja Cauchy.
* Aplikimet e shpërndarjes Koshi ose të transformimit të saj mund të gjenden në fusha që punojnë me rritje eksponenciale. Një letër e vitit 1958 nga White  nxori statistikën e testit për vlerësuesit e \hat{\beta} për ekuacionin x_{t+1}=\beta{x}_t+\varepsilon_{t+1},\beta>1 dhe ku vlerësuesi i përgjasisë maksimale gjendet duke përdorur katrorët më të vegjël të zakonshëm, tregoi se shpërndarja e mostrës së statistikës është shpërndarja Koshi.

parapamje| Shpërndarja Koshi mbledhëse dhe e përshtatur në reshjet maksimale njëditore duke përdorur CumFreq, shih gjithashtu përshtatjen e shpërndarjes

* Shpërndarja Koshi është shpesh shpërndarja e vëzhgimeve për objektet që rrotullohen. Referenca klasike për këtë quhet problemi i farit të Pulëbardhës  dhe si në pjesën e mësipërme si shpërndarja Breit-Wigner në fizikën e grimcave.
* Në hidrologji shpërndarja Koshi zbatohet për ngjarje ekstreme si reshjet vjetore maksimale njëditore dhe shkarkimet e lumenjve. Fotografia blu ilustron një shembull të përshtatjes së shpërndarjes Cauchy me reshjet maksimale mujore njëditore të renditura duke treguar gjithashtu rripin e besimit 90% bazuar në shpërndarjen binomiale . Të dhënat e reshjeve përfaqësohen nga pozicionet e hedhura në grafik si pjesë e analizës së frekuencës mbledhëse .
* Shprehja për pjesën imagjinare të lejueshmërisë elektrike komplekse sipas modelit Lorentz është një model VAR ( vlera në rrezik ) që prodhon një probabilitet shumë më të madh të rrezikut të skajshëm sesa Shpërndarja gausiane .