Bra-ket

**Notacioni Bra-Ket**, është një formalizmi (sistem simbolesh) i shpikur nga Pol Dirak (Paul Dirac) për të thjeshtuar prezantimin e llogaritjeve në Mekanikën Kuantike në një mënyre sa më kompakte. Aparati matematik për përshkrimin e fenomeneve fizikë në degën e mekanikës kuantike përfshin kryesisht Algjebrën Lineare dhe Teorinë e Probabilitetit. Një "Ket" përcaktohet si një vektor në një hapësire Hilbertiane. 

## Bra dhe Ket 
### Përdorimi më i zakonshëm : Mekanika kuantike 
Në mekanikën kuantike, gjendja e një sistemi fizik jepet nga rreze njësi në një hapësirë Hilbertiane të ndashme komplekse, \mathcal{H}, ose, në mënyre ekuivalente, nga një pikë në hapësirën projektive të sistemit. Çdo vektor në këtë rreze quhet një "**ket**" dhe shkruhet si |\psi\rangle, e cila lexohet si "*ket psaj*". (*ψ* mund të zëvendësohet me simbole, shkronja numra ose edhe fjale sipas rastit për ket.)

**Ket** mund të shikohet si një vektor kolonë dhe (në rast së kemi një bazë në hapësirën Hilbertiane) mund të shkruhet në komponentë,
:|\psi\rangle = (c_0, c_1, c_2, ...)^T, 
ku hapësira Hilbertiane në fjalë është e fundme. Në një hapësirë dimensionale të pafundme ka një numër të pafundem komponentësh dhe **ket** mund të shkruhet në një notacion kompleks duke i ngjitur një **bra** (shiko më poshtë). Për shembull,
:\langle x|\psi\rangle = \psi(x)\ = c e^{- ikx}.

Çdo ket |\psi\rangle ka një **bra** duale, t shkruajtur si \langle\psi|. Për shembull, një bra që i korrespondon **ketit** |\psi\rangle të më lartem do të jetë një vektor rreshti. 
:\langle\psi| = (c_0^*, c_1^*, c_2^*,...). 

Kjo është një funksional linear i vazhdueshëm nga H numrat komplekse \mathbb{C}, i përcaktuar nga :

:\langle\psi| : H \to \mathbb{C}: \langle \psi | \left( |\rho\rangle \right) = \operatorname{IP}\left( |\psi\rangle \;,\; |\rho\rangle \right) për të gjitha kets |\rho\rangle

ku \operatorname{IP}(\cdot, \cdot) jep produktin e brendshem të përcaktuar në hapësirën Hilbertiane. Në këtë rast avantazhi i notacionit bra-ket bëhet i qartë : kur lëshojmë parantezat (siç është e zakonshme me funksionet lineare) dhe bashkojmë se bashku vizat vertikale në marrim \langle\psi|\rho\rangle, e cila është një notacion i zakonshëm për produktin e brendshëm në hapësirën Hilbertiane. Ky kombinim i bra me ket formon një numër kompleks të quajtur *bra-ket* ose *braket*.

### Përdorime më të përgjithshme 
## Operatore lineare 
## Vetitë 
Notacioni bra-ket u dizenjua për lehtësimin e manipulimeve formale të shprehjeve linearo-algjebrike. Disa nga vetitë që lejojnë këto manipulime jepen me poshtë. Në seksionet e mëposhtme, *c*1 dhe *c*2 tregojnë numra komplekse arbitrare, c* qëndron për të konjuguarin komplex conjugate të c, *A* dhe *B* tregojnë operatore lineare arbitrare, dhe duhet theksuar se këto veti qëndrojnë për çfarëdo zgjedhje të bra dhe ket.

### Anti-komutacioni 
Vektori Bra është antikomutativi i Ket.

Një vektor Ket në hapësirën Hilbertiane mund të jetë 
* një kolonë me elemente diskrete a1, a2, a3...
* një kolonë me një numër të pafundme elementesh

Në rastin e fundit normalizimi i Ket bëhet duke marrë parasysh konvergjencën e series në hapësirën vektoriale përkatëse.

### Lineariteti 
* Meqenëse bra janë funksionale lineare,

::\langle\phi| \; \bigg( c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle \bigg) = c_1\langle\phi|\psi_1\rangle + c_2\langle\phi|\psi_2\rangle. 

* Nga përcaktimi i mbledhjes dhe shumëzimit skalar të funksionaleve lineare në hapësirën duale,

::\bigg(c_1 \langle\phi_1| + c_2 \langle\phi_2|\bigg) \; |\psi\rangle = c_1 \langle\phi_1|\psi\rangle + c_2\langle\phi_2|\psi\rangle. 

### Asociativiteti 
Po te kemi një shprehje që përfshin numra komplekse, bra, ket, prodhime të brendshme, prodhime të jashtme, dhe/ose operatore lineare (me përjashtim të mbledhjes), te shkruara në notacionin bra-ket, grupimet në paranteza nuk kane rendësi (i.e., pra vetia e asociativitetit qëndron). Për shembull :
:: \lang \psi| (A |\phi\rang) = (\lang \psi|A)|\phi\rang
:: (A|\psi\rang)\lang \phi| = A(|\psi\rang \lang \phi|)
e kështu më rradhe. Shprehjet mund te shkruhen, ne mënyre koncize, pa paranteza. Vini re se vetia e asociativitetit *nuk* qëndron për shprehje qe përfshinë operatore jo-lineare, si operatori i rikthimit kohor antilinear në fizike.

### Konjugimi Hermitian 
## Bra dhe ket të përbëra 
## Reprezentimi nëpërmjet bra dhe ket 
## Operatori njësi 
## Notacioni që përdoret nga matematikanët 
## Lexime të mëtejshme 
* 

## Lidhje të jashtme 
* Richard Fitzpatrick, "Quantum Mechanics: A graduate level course", The University of Texas at Austin.
** 1. Ket space
** 2. Bra space
** 3. Operators
** 4. The outer product
** 5. Eigenvalues and eigenvectors
* Robert Littlejohn, Lecture notes on "The Mathematical Formalism of Quantum mechanics", including bra-ket notation.