Momenti i Inercisë

**Momenti i inercise**, i njohur gjithashtu si **mase moment i inercisë** ose **masa këndore**, (njësite në SI kg m2), është koncepti analog i masës për trupa në rrotullim. Ndyshe ai mund të kuptohet si inercia e një trupi të ngurtë në rrotullim në lidhje me pikën e rrotullimit. Moment i inercisë luan të njëjtin rol në lëvizjen rrotulluese që masa luan në dinamikën e thjeshte, kjo madhësi përcakton lidhjet mes momentit këndor dhe shpejtësisë këndore, krahut të forcës dhe nxitimit këndor, si dhe shume madhësive të tjera. Edhe pse një trajtim i thjeshtë skalar i momentit të inercisë mjafton për një pjesë të mirë rastesh, një trajtim më i avancuar i bazuar në analizën tensoriale duhet të bëhet për sisteme më të komplikuar si për trupat rrotullues apo për lëvizjen xhiroskopike.

Simboli I ose ndonjëherë J përdoren zakonisht për të treguar momentin e inercisë.

Momenti i inercisë u paraqit për herë të parë nga Ojleri në librin e tij *Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum* në 1730. Në këtë libër, ai diskuton me detaje të shumta momentin e inercisë dhe koncepte të tjera të si, akset principale të inercisë, të cilat kanë të bëjnë me momentin e inercisë. 

== Nje shikim i përgjithshëm == light I inercise eshte nje ligj I cili ndodh ne te gjithe trupat ne natyre

## Momenti skalar i inercisë 
### Përcaktimi 
Nje përcaktim i thjeshte i momentit të inercisë së çdo objekti, qoftë ai i një pikë lëndore apo një strukturë 3-dimensionale, jepet nga :

:I = \int r^2 \,dm
ku
:*m* është masa,
:dhe *r* është distance (pingule) e pikës lëndore nga boshti i rrotullimit.

#### Një analizim i detajuar 
Momenti (skalar) i inercisë i një pikë lëndore që rrotullohet rreth një aksi jepet nga

:I \triangleq  m r^2\,\!.

Momenti i inercise eshte aditiv. Pra, per nje trup të ngurtë që konsiston nga N pika lëndore m_{i} me distanca r_{i} nga boshti i rrotullimit, moment total i inercisë është i barabartë më shumën e momenteve të inercisë së pikave lëndore:

:I \triangleq  \sum_{i=1}^{N} {m_{i} r_{i}^2}\,\!

Për një trup të ngurtë që përshkruhet nga një funksion densiteti të vazhdueshem të masës ρ(**r**), moment i inercise rreth një aksi të njohur mund te llogaritet duke integruar katrorin e distances (të peshuar nga densiteti i masës) nga një pikë e trupit deri tek bosti i rrotullimit:

:I \triangleq   \iiint_V r^2 \,\rho(\boldsymbol{r})\,dV \!
ku
:V është volume i zënë nga objekti.
:ρ është funksioni i densitetit hapesinore të objektit dhe 
:\boldsymbol{r} \equiv (r,\theta,\phi),(x,y,z), ose (r,\theta,z) janë kordinatat e pikës brenda trupit.

thumb|right|Diagram për llogaritjen e momentit të inercise për një disk. Ketu *k* eshte 1/2 dhe *r* është rrezja që përdoret për përcaktimin e momentit.
Vetem duke u bazuar n analizen dimensionale , shikojmë se moment i inercise in je trupi qe nuk mund te modelohet si pikë lendore duhet të marre formën:
: I = k\cdot M\cdot {R}^2 \,\!
ku
:*M* është masa
:*R* është rrezja e objektit nga qendra e mases (ne disa raste , gjatesia e objektit perdoret.)
:*k* është nje konstate pa dimensione e quajtur *konstantja e inercise* e cila varjon per objektin qe merret ne konsiderate. 

Konstantet inerciale përdoren për të marrë parasysh diferencat në vendosjen e masës nga qëndra e rrotullimit. Disa shembuj janë:

* *k* = 1, unazë e hollë ose cilinder me mure shumë të holla rreth qëndrës së tij,
* *k* = 2/5, sfere e ngurte rreth qendres
* *k* = 1/2, cylinder i ngurtë ose disk rreth qëndrës.

Per shembuj te tjere ,shikoni Lista e momenteve të inercisë.

### Teorema e aksit parallel 
### Trupat e përbërë 
### Ekuacione që përfshine momentin e inercisë 
## Tensori i momentit te inercise 
### Percaktimi 
Per nje object te ngurte te perbere nga N pika lendore m_{k}, tensori i momentit te inercise jepet nga 
:
\mathbf{I} = \begin{bmatrix}
I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\
I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\
I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}
\end{bmatrix}
.

Komponentet e saj percaktohen si

:I_{ij} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{k=1}^{N} m_{k} (r_k^{2}\delta_{ij} - r_{ki}r_{kj})\,\!

ku

:*i*, *j* jane te barabarta me 1, 2, or 3 per x, y, and z, respektivisht,
:*r**k* eshte distanca e mases *k* rreth pikes nga e cila llogaritet tensori, dhe
:*\delta_{ij}* eshte delta e Kronekerit.

Elementet e diagonals mund te shkruhen ne menyre me te permbledhur si 

:I_{xx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{k=1}^{N} m_{k} (y_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\! 
:I_{yy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{k=1}^{N} m_{k} (x_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\!
:I_{zz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{k=1}^{N} m_{k} (x_{k}^{2}+y_{k}^{2}),\,\!

Kurse elementet jashte diagonales, qe njihen si  **produktet e inercise**, jane

:I_{xy} = I_{yx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  -\sum_{k=1}^{N} m_{k} x_{k} y_{k},\,\!
:I_{xz} = I_{zx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  -\sum_{k=1}^{N} m_{k} x_{k} z_{k},\,\! and
:I_{yz} = I_{zy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{k=1}^{N} m_{k} y_{k} z_{k},\,\!

Ketu I_{xx} jep momentin e inercise rreth bushtit-x kur objektet rrotullohen rreth aksit-x, I_{xy} tregon momentin e inercise rreth aksit-y kur objektet rrotullohen rreth aksit-x, e keshtu me rradhe.

Keto madhesi mund te pergjithesohen tek nje object me nje densitet constant ne nje menyre te ngjashme me momentin skalar te inercise. Tani marrim
:\mathbf{I}=\iiint_V  \rho(x,y,z)\left( r^2 \mathbf{E}_{3} - \mathbf{r}\otimes \mathbf{r}\right)\, dx\,dy\,dz,

ku \mathbf{r}\otimes \mathbf{r} eshte produkti i jashtem, **E**3 eshte 3 &here; 3 matrica njesi, dhe *V* eshte nje rajon i hapesires qe e permban komplet objektin.

### Derivimi i komponenteve te tensorit 
Distanca r e nje therrmije tek \mathbf{x} nga boshti i rrotullimit qe kalon permes origjines ne drejtimin e \mathbf{\hat{n}} eshte 
 |\mathbf{x}-(\mathbf{x} \cdot \mathbf{\hat{n}}) \mathbf{\hat{n}}|. Duke perdorur formulen I=mr^2  (dhe pak algjeber te thjeshte vektoriale) del se momenti i inercise e kesaj therrmije (rreth boshtit te rrotullimit qe kalon nga origjina ne drejtimin \mathbf{\hat{n}} ) eshte 
 
I=m(|\mathbf{x}|^2 (\mathbf{\hat{n}} \cdot \mathbf{\hat{n}})-(\mathbf{x} \cdot \mathbf{\hat{n}})^2).

Kjo eshte nje formë kuadratike në \mathbf{\hat{n}} dhe, pas disa manipulimesh algjebrike, kjo con tek nje formule tensoriale per momentin e inercise 

:
{I} = m [n_1,n_2,n_3]\begin{bmatrix}
 y^2+z^2 & -xy & -xz \\
-y x & x^2+z^2 & -yz \\
-zx & -zy & x^2+y^2
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
 n_1 \\
 n_2\\
n_3
\end{bmatrix}
.

Kjo eshte formula ekzakte e dhene me poshte per momentin e inercise ne rastin e nje therrmije te vetme. Per shume therrmija duhet te kujtojme qe momenti i inercise eshte aditiv ne menyre qe te veme re qe kjo formule eshte korrekte.

### Reduktimi ne nje madhesi skalare 
### Momentet principale te inercise 
### Teorema e aksit parallel 
### Madhesi te tjera mekanike 
## Shikoni gjithashtu 
* Lista e momenteve te inercise
* Lista e momenteve te tensoreve te inercise
* Energjia rrotulluese
* Teoreme e aksit paralel
* Teorema e aksit perpendikular
* Elipsoidi i Poinsots 

## Referime 
* Goldstein H. (1980) *Classical Mechanics*, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9

* Landau LD and Lifshitz EM. (1976) *Mechanics*, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).

* Marion JB and Thornton ST. (1995) *Classical Dynamics of Systems and Particles*, 4th. ed., Thomson. ISBN 0-03-097302-3

* Symon KR. (1971) *Mechanics*, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7

* Tenenbaum, RA. (2004) *Fundamentals of Applied Dynamics*, Springer. ISBN 0-387-00887-X

## Lidhje te jashtme 
* Angular momentum and rigid-body rotation in two and three dimensions 
* A table of moments of inertia
* Lecture notes on rigid-body rotation and moments of inertia
* The moment of inertia tensor 
* An introductory lesson on moment of inertia: keeping a vertical pole not falling down (Java simulation)