Integrali i pacaktuar

parapamje| Fusha e pjerrësisë së F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - x + c, duke treguar tre nga zgjidhjet e pafundme që mund të prodhohen duke ndryshuar konstanten arbitrare c .
Në kalkulus, një **funksion primitivë**, **integral i pacaktuar** ose **antiderivat** i një funksioni të vazhdueshëm f është një funksion i diferencueshëm F, derivati i të cilit është i barabartë me funksionin origjinal f . Kjo mund të shprehet simbolikisht si F'  = f .   Procesi i zgjidhjes së integraleve të pacaktuara quhet **antidiferencim** (ose **integrim i pacaktuar** ), dhe veprimi i kundërt i tij quhet *diferencim*, që është procesi i gjetjes së një derivati. Integralet e pacaktuara shpesh shënohen me shkronja të mëdha romake si F dhe G

Antiderivativët lidhen me integralet e caktuara përmes teoremës së dytë themelore të kalkulusit : integrali i caktuar i një funksioni në një interval të mbyllur ku funksioni është i integrueshëm sipas Rimanit është i barabartë me ndryshesën midis vlerave të një integrali të pacaktuar të vlerësuar në pikat e skajeve të intervalit.

Në fizikë, integralet e pacaktuara lindin në kontekstin e lëvizjes drejtvizore (p.sh., në shpjegimin e marrëdhënies midis vendodhja, shpejtësisë dhe nxitimit ).  I njëvlershmi diskret i nocionit të integralit të pacaktuar është antidiferenca .

## Shembuj 
Funksioni F(x) = \tfrac{x^3}{3} është integrali i pacaktuar i f(x) = x^2, meqënëse derivati i \tfrac{x^3}{3} është x^2. Meqënëse derivati i një konstanteje ja zero, x^2 do të ketë një numër të pafundëm integralesh të pacaktuara të trajtës: \tfrac{x^3}{3}, \tfrac{x^3}{3}+1, \tfrac{x^3}{3}-2, etc. Kështu, të gjithë integralet e pacaktuar x^2 mund të përftohen duke ndryshuar vlerën e  në F(x) = \tfrac{x^3}{3}+c, ku  është një konstante arbitrare e njohur si konstantja e integrimit.

Më në përgjithësi, funksioni i fuqisë f(x) = x^n ka integral të pacaktuar F(x) = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} + c nëse n ≠ − 1, dhe F(x) = \ln |x| + c nëse n = − 1 .

Në fizikë, integrimi i nxitimit jep shpejtësi plus një konstante. Konstantja është termi fillestar i shpejtësisë (v0) që do të humbiste me marrjen e derivatit të shpejtësisë, sepse derivati i një termi konstant është zero. I njëjti model vlen për integrimet dhe derivatet e mëtejshme të lëvizjes (pozicioni, shpejtësia, nxitimi, etj.).  Kështu, integrimi prodhon marrëdhëniet e nxitimit, shpejtësisë dhe zhvendosjes : \begin{align}
\int a \, \mathrm{d}t &= v + C \\
\int v \, \mathrm{d}t &= s + C
\end{align}

## Përdorimet dhe vetitë 
Integralet e pacaktuara mund të përdoren për të llogaritur integrale të caktuara, duke përdorur teoremën themelore të analizës matematike : nëse F është një primitivë e funksionit të vazhdueshëm f gjatë intervalit [a,b], pastaj: \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a).

Për shkak të kësaj, secili prej integraleve të pacaktuar pafundësisht të shumtë të një funksioni të caktuar f mund të quhet "integrali i pacaktuar" i *f* dhe të shkruhet duke përdorur simbolin integral pa kufij: \int f(x)\,\mathrm{d}x.

Çdo funksion i vazhdueshëm f ka një integral të pacaktuar, dhe një integral i pacaktuar F jepet nga integrali i caktuar i f me kufirin e sipërm të ndryshueshëm: F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t ~, për çdo a në BP e f . Ndryshimi i kufirit të poshtëm prodhon antiderivativë të tjerë, por jo domosdoshmërisht të gjithë integralet e pacaktuara të mundshme. Ky është një formulim tjetër i teoremës themelore të llogaritjes .

Ka shumë funksione, integralet e pacaktuara e të cilëve, edhe pse ekzistojnë, nuk mund të shprehen me funksione elementare (si polinomet, funksionet eksponenciale, logaritmet, funksionet trigonometrike, funksionet e anasjellta trigonometrike dhe kombinimet e tyre). Shembuj të tillë janë

 
* Funksioni i gabimit \int e^{-x^2}\,\mathrm{d}x,
* Funksioni i Fresnelit \int \sin x^2\,\mathrm{d}x,
* Integrali Sinc \int \frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x,
* Funksioni integral logaritmik \int\frac{1}{\log x}\,\mathrm{d}x, dhe
* Ëndrra e vitparistit \int x^{x}\,\mathrm{d}x.

## Formulat bazë 
* Nëse {\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} f(x) = g(x), atëherë \int g(x) \mathrm{d}x = f(x) + C.
* \int 1\ \mathrm{d}x = x + C
* \int a\ \mathrm{d}x = ax + C
* \int x^n \mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C;\ n \neq -1
* \int \sin{x}\ \mathrm{d}x = -\cos{x} + C
* \int \cos{x}\ \mathrm{d}x = \sin{x} + C
* \int \sec^2{x}\ \mathrm{d}x = \tan{x} + C
* \int \csc^2{x}\ \mathrm{d}x = -\cot{x} + C
* \int \sec{x}\tan{x}\ \mathrm{d}x = \sec{x} + C
* \int \csc{x}\cot{x}\ \mathrm{d}x = -\csc{x} + C
* \int \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x = \ln|x| + C
* \int \mathrm{e}^{x} \mathrm{d}x = \mathrm{e}^{x} + C
* \int a^{x} \mathrm{d}x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C;\ a > 0,\ a \neq 1
* \int \frac{1}\sqrt{a^2 - x^2}\ \mathrm{d}x = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C
* \int \frac{1}{a^2 + x^2}\ \mathrm{d}x = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C

## Shihni gjithashtu 
* Antiderivativ (analizë komplekse)
* Antiderivativi formal
* Jackson integral
* Listat e integraleve
* Integrimi simbolik
* Zona