Funksionet me shumë variabla

## Përkufizimi 
Rregulla **ƒ** sipas së cilës çdo pikë  M(x,y)  nga një zonë *D* (domeni i *funksionit*) në sistemin koordinativ *xoy* i korrespondohet një dhe vetëm një numër real *z* nga *bashkësia numerike* *R* (kodomeni i funksionit) dhe çdo numri nga *R* i përgjigjet së paku një pikë nga *D*, e quajmë **funksion me dy variabla**. dhe simbolikisht shënohet  z=f(M)  ose  z=f(x,y). 

### Grafiku i funksionit 
[right|thumb|300px|Grafiku i [Funksionet trigonometrike|*funksionit* *f(x, y) = sin(x2)·cos(y2)*.]]
*Grafiku i funksionit*  z=f(x,y).  zakonisht paraqet një *sipërfaqe*, ndërprerjet e saj me rrafshe paralele  z=c  janë *lakore*, projeksionet e të cilave në rrafshin *xOy* kanë *ekuacionet*  f(x,y)=c  dhe quhen lakore nivelore. Për funksionin me tri variabla quhen *sipërfaqe* nivelore.

### Limiti i funksionit 
Rrethinë me rreze *δ* ose *δ*-rrethinë të pikës *M₀(x₀,y₀)* në rrafshin *xOy* e quajmë bashkësinë e të gjitha *pikave*  M(x,y)  që gjenden brenda rrethit me rreze *δ* e me qendër në *pikën* M₀. Pikën M₀ e quajmë pikë grumbullimi të zonës *D* në qoftë se në çdo *δ*-rrethinë të saj ekziston së paku një pikë *M₀* e ndryshme nga *M* e cila i takon zonës *D*. Pika M₀ mund t'i takojë ose mos t'i takojë zonës *D*.
Numrin * A * e quajmë '**limit të funksionit**' *ƒ* në pikën e grumbullimit *M₀* të domenit *D* në qoftë se për çdo 

:\varepsilon > 0 

sado të vogël, mund të gjendet  \delta > 0

e tillë që për çdo pikë  M(x,y)  nga *δ-* rrethina e pikës *M₀* vlen 

:|f(x) - A| .

simbolikisht shënohet  z=f(M)  ose  z=f(x,y). , ose

:  \forall \varepsilon > 0\ \exists \ \delta > 0 : \forall x\ (0 

Pika *M* mund të tentoj në pikën *M₀* në mënyrë të çfarëdoshme , nëpër ndojnë *segment*, lakore etj.Nëse eksiston *limiti i funksionit* *ƒ* në pikën *M₀* atëherë ai nuk varet nga rruga nëpër të cilën *M*&nbsp;→&nbsp;*M₀*.

### Vazhdueshmëria e funksionit 
Le të jetë  z=f(x,y)  funksion i përkufizuar në zonën *D* dhe *M₀(x₀,y₀)* një pikë grumbullimi e kësaj zone. Funksioni **ƒ** quhet i **vazhdueshëm** në pikën *M₀* në qoftë se 
: \lim_{a\to c} f(a) =f(c) 

ku *a* *=* M(x,y) dhe *c* *=* *M₀(x₀,y₀)*.

Funksioni *ƒ* është i vazhdueshëm në një *bashkësi* *D* në qoftë se është i vazhdueshëm në çdo pikë të bashkësisë *D*. Le të jetë Z=(x,y) funksion i dy variablave dhe *Δx* e *Δy* shtesat e variablave *x* e *y*, atëherë diferencën 
:\Delta z = f(\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x},\mathbf{y}+\Delta\mathbf{y}) - f(\mathbf{x,y}).

e quajmë *shtesa totale* e funksionit *ƒ* në pikën (x,y) , ndërsa diferencat 

:\Delta z_x = f(\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x},\mathbf{y}) - f(\mathbf{x,y}).

dhe 

:\Delta z_y = f(\mathbf{x},\mathbf{y}+\Delta\mathbf{y}) - f(\mathbf{x,y}).

i quajmë *shtesa parciale* e funksionit *ƒ* në pikën (x,y) në lidhje me argumentet *x* e *y*.
Funksioni *ƒ* është i vazhdueshëm në pikën *M₀* nëse 

:\lim_{a \to c}\Delta z =0 . 

ku *c =* M(x,y)  kurse *a =* M_0(x_0,y_0).

Në qoftë se 
: \lim_{\Delta x\to 0} \Delta z_x =0 

atëherë themi se funksioni *ƒ* është i vazhdueshëm në pikën M_0(x_0,y_0)  në lidhje me variablën *x*. Ndërsa vazhdueshmëria e funksionit sipas *y* 

: \lim_{\Delta y\to 0} \Delta z_y =0 .

Nëse funksioni *ƒ* është i vazhdueshëm në pikën M_0(x_0,y_0)  atëherë ai është i vazhdueshëm në atë pikë në lidhje me secilën variabël veç e veç. Anasjelltas nuk vlen.
Operacionet e funksioneve të vazhdueshme janë funksione të vazhdueshme.
thumb|Vazhdueshmëria.

## Referime 
* 

## Për më tepër 
* Ekuacionet e shkallës së përgjithshme
* Ekuacione diferenciale
* Funksionet trigonometrike
* Bashkësitë