Matrica

[alt=Two tall square brackets with m-many rows each containing n-many subscripted letter 'a' variables. Each letter 'a' is given a row number and column number as its subscript.|parapamje|Një matricë m × n :  m rreshta janë horizontale dhe n kolona janë vertikale. Çdo element i një matrice shënohet shpesh me një ndryshore me dy [Shënimi i indeksit|nënshkrime . Për shembull, a_{21}përfaqëson elementin në rreshtin e dytë dhe kolonën e parë të matricës.]]
**Matrica** është një trajtë e formulave në matematikë e cila ka disa elemente dhe varësisht nga elemente e saj mund të merr disa forma si drejtëkëndore, katrore etj.

Në përgjithësi matricat emërtohen sipas shkronjave të mëdha **A, B, C, ..., M, N, ...** dhe shkurt paraqiten në trajtën [aik]m,n.

**Matrice drejtëkëndore** quhet bashkësia prej mn numrave aik (i=1,2, ..., m; k=1, 2, ..., n) të rradhitura në një tabelë të formës drejtëkëndore e cila përmban m rreshta dhe n shtylla.

\begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots &

\ddots & \vdots \\ 0 & \cdots &
0\end{bmatrix}

Matricat për herë të parë janë futur në përdorim nga Xhejms Josef Silvester në vitin 1850.

**Teoria e matricës** është dega e matematikës që fokusohet në studimin e matricave. Fillimisht ishte një nëndegë e algjebrës lineare, por shpejt u rrit për të përfshirë lëndë të lidhura me teorinë e grafikëve, algjebrën, kombinatorikën dhe statistikën.

Jo të gjitha matricat janë të lidhura me algjebrën lineare. Ky është, në veçanti, rasti në teorinë e grafeve, të matricave të ndodhisë dhe matricave të afërsisë .  Ky artikull fokusohet në matricat që lidhen me algjebrën lineare dhe, nëse nuk specifikohet ndryshe, të gjitha matricat përfaqësojnë harta lineare ose mund të shihen si të tilla.

## Përkufizimi 
Një *matricë* është një grup drejtkëndor numrash (ose objektesh të tjera matematikore), të quajtur *hyrjet* e matricës. Matricat i nënshtrohen veprimeve standarde si mbledhja dhe shumëzimi .  Më së shpeshti, një matricë mbi një fushë F është një grup drejtkëndor i elementeve të F .   Një **matricë reale** dhe një **matricë komplekse** janë matrica, hyrjet e të cilave janë përkatësisht numra realë ose numra kompleksë . Llojet më të përgjithshme të hyrjeve diskutohen më poshtë . Për shembull, kjo është një matricë reale:

\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
-1.3 & 0.6 \\
20.4 & 5.5 \\
 9.7 & -6.2
\end{bmatrix}.

## Veprimet me matrica 
### Mbledhja 
Shuma e dy m \times n-matricave gjindet, duke mbledhur dy komponentet me koeficient e njëjtë, kjo tregon se mbledhja e matricave është e definuar vetëm për ato që kanë numër të barabartë të rendeve dhe kolonave respektivisht.
shkurtimisht dhe në formë matematikore shkruhet kështu 
:A+B := (a_{ij}+b_{ij})_{i=1 , \ldots , m; \ j=1 , \ldots , n}

; Shembull konkret:
:
  \begin{pmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 2 & 2
  \end{pmatrix}
  +
  \begin{pmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    2 & 1 & 1
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    1+0 & 3+0 & 2+5 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    3 & 3 & 3
  \end{pmatrix}

### Prodhimi Skalar 
Një matricë shumëzohet me një skalar , nëse të gjitha hyrjet e matricës shumëzohen me skalarin :
:\lambda\cdot A = (\lambda\cdot a_{ij})_{i=1, \ldots , m; \ j=1, \ldots , n}

; Shembull konkret:

:2 \cdot
  \begin{pmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 2 & 2
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    2 \cdot1 & 2 \cdot3 & 2 \cdot2 \\
    2 \cdot1 & 2 \cdot2 & 2 \cdot2
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    2 & 6 & 4 \\
    2 & 4 & 4
  \end{pmatrix}

### Transpozimi i matricës 
E transpozuara e një matrice *m x n* të shënuar si *A* , është matrica *AT* e marrë duke kthyer rreshtat e matricës A në shtylla dhe shtyllat në kolona. Pra në thelb matrica e transpozuar merret duke vendosur vertikalisht rreshtat e matricës *A* ose duke vendosur horizontalisht shtyllat e po kësaj matrice.

  (A^T)_{i,j} = A_{j,i}

**Shembull konkret**

  \begin{bmatrix} 
    1 & 4 &-1 & 0 \\ 
   -2 & 1 & 0 & 1 
\end{bmatrix}^T
=
\begin{bmatrix}
    1 &-2 \\
    4 & 1 \\
   -1 & 0 \\
    0 & 1 \\
\end{bmatrix}

### Prodhimi i dy matricave 
Prodhimi i dy matricave është pak më i ndërlikuar se sa mbledhja dhe shumëzimi i matricës me skalar.
Dy matrica A = (a_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots m} dhe B = (b_{ij})_{i=1\ldots m,\;j=1\ldots n} shumëzohen, duke shumëzuar rreshtin e parë të matricës se parë me shtyllën e parë të matricës së dytë për t'u fituar hyrja e parë e matricës e kështu me rradhë. Shumëzimi i dy matricave përcaktohet nëse dhe vetëm nëse numri i kolonave të matricës së majtë është i njëjtë me numrin e rreshtave të matricës së djathtë. Nëse **A** është një matricë me përmasa *m* x *n* dhe **B** është një matricë me përmasa *n* x *p*, atëherë *produkti i tyre*  **AB** është matrica *m* x *p.*

:A \cdot B = (c_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots n}  dhe  c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj}

; Shembull konkret:

:
  \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 \\
    4 & 5 & 6 \\
  \end{pmatrix}
  \cdot
  \begin{pmatrix}
    6 & -1 \\
    3 & 2 \\
    0 & -3
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
     1 \cdot 6  +  2 \cdot 3  +  3 \cdot 0 &
     1 \cdot (-1) +  2 \cdot 2 +  3 \cdot (-3) \\
     4 \cdot 6  +  5 \cdot 3  +  6 \cdot 0 &
     4 \cdot (-1) +  5 \cdot 2 +  6 \cdot (-3) \\
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    12 & -6 \\
    39 & -12
  \end{pmatrix}

Prodhimi i dy matricave eshte cdohere asociativ:

:(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)

Vlen gjithashtu ligji i shperndarjes:
:(A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C

Por te prodhimi i dy matricave nuk vlen ligji i nderrimit.

## Veprime të tjera me matrica 
### Gjurma 
Gjurma e një matrice katrore *A*, tr(*A*)*,* jepet si shuma e elementeve të diagonales kryesore. Nëse pak më lart u shpreh që shumëzimi i matricave nuk është ndërrues, gjurma e prodhimit të dy matricave është e pavarur nga rendi i faktorëve:

tr(\boldsymbol A \boldsymbol B) = tr( \boldsymbol B \boldsymbol A)

Kjo është e menjëhershme nga përkufizimi i shumëzimit matricor:

tr(\boldsymbol A \boldsymbol B ) = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}b_{ji} = tr(\boldsymbol B \boldsymbol A)

Duhet thënë se në rastin e shumëzimit të më shumë se 2 matricave, për një permutacion të çfarëdoshëm të tyre formula nuk vlen. Gjithashtu ajo është e vlefshme për rastin e transpozimit:

tr(A) = tr(A^T)

### Përcaktori 
Përcaktori i një matrice katrore *A* i shënuar si det(*A*) ose |*A*| është një numër i cili kodon disa veti të matricës. Një matricë është e invertueshme (ka të anasjelltë) vetëm nëse përcaktori është jozero. Vlera absolute e tij jep sipërfaqen (në **R2**) ose vëllimi (në **R3**) të shëmbëllimit të katrorit ose kubit njësi. Ndërkohë që shenja i korrespondon orientimit të hartës lineare korresponduese. Përcaktori është pozitiv vetëm nëse orientimi i boshteve ruhet. 

### Autovlerat dhe autovektorët 
Një numër \lambda dhe një vektor v jozero që kënaqin barazimin:

\boldsymbol A \boldsymbol v = \lambda \boldsymbol v

quhen një vlerë e vetë (autovlerë) dhe vektor i vetë (autovektor) i matricës ***A*** respektivisht. Për të gjetur të gjitha autovlerat e një matrice katrore duhet të zgjidhim:

\det (\boldsymbol A - \lambda \boldsymbol I) = 0

Nga ky barazim rezulton një polinom monik i shkallës *n* (sa dimensionet e matricës). Kështu ky polinom ka të shumtën *n* zgjidhje të ndryshme. Këto mund të jenë komplekse edhe nëse elementet e matricës janë reale.

## Zbatime 
Zbatimi i parë i matricave është ai i zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare me dy ose më shumë ndryshore. Supozojmë se kemi një sistem të tillë ekuacionesh:

\begin{cases} 2x + 2y + z = 1 \\ 3x - 2y + 2z = 0 \\ -x + 3y + z = 2 \end{cases}

Duke përdorur eleminimin gausian mund të arrijmë në trajtën e mëposhtme:

Ky sistem mund të rishkruhet në trajtë matricore si A\vec{x} = \vec{b} , ku A - është matrica e koeficientëve para x, y \text{ dhe } z,  \vec{x} është vektori shtyllë me tre ndryshoret si variabla dhe \vec{b} është vektori i termave të lirë. Në praktikë:

\begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 3 & -2 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} 

A                b          x 

Kështu nëse rikujtojmë vetitë e shumëzimit dimë se për çdo numër a  vlen ky rezultat:  a \cdot a^{-1} = 1 . Pra 3 \cdot \frac{1}{3} = 1  \text{ po ashtu }  2 \cdot \frac{1}{2} = 1  e me rradhë. Në të njëjtën mënyrë nëse kemi relacionin e mësipërm mund të përftojmë zgjidhjen e sistemit në këtë mënyrë:

Ax = b  

A^{-1} \cdot A x = A^{-1} b   (shumëzojmë me matricën e anasjelltë, A^{-1} , nga të dyja anët)

I \cdot x = A^{-1} b  (në anën e majtë marrim matricën njësi, I , ashtu si nga shumëzimi i numrave merrnim 1 )

x = A^{-1} b 

Dhe kështu marrim zgjidhjen e sistemit si matrica e anasjelltë e asaj të koeficientëve që shumëzon termat e lirë

## Burimi i të dhënave 
## Shiko dhe këtë 
* Përcaktori
*