Ekuacioni

Në matematikë, një **ekuacion** është një formulë që shpreh barazinë e dy shprehjeve, duke i lidhur ato me shenjën e barazimit = .   Fjala *ekuacion* dhe gjegjëset e saj në gjuhë të tjera mund të kenë kuptime paksa të ndryshme; për shembull, në frëngjisht një *ekuacion* përkufizohet se përmban një ose më shumë variabla, ndërsa në anglisht, çdo formulë e mirëformuar që përbëhet nga dy shprehje të lidhura me një shenjë e barazimit është një ekuacion. 

*Të zgjidhësh një ekuacion* që përmban ndryshore do të thotë "të përcaktosh se cilat vlera të ndryshoreve e bëjnë barazimin të vërtetë". Ndryshoret për të cilat duhet të zgjidhet ekuacioni quhen gjithashtu të **panjohura**, dhe vlerat e të panjohurave që plotësojnë barazinë quhen zgjidhje të ekuacionit. Ekzistojnë dy lloje ekuacionesh: identitete dhe ekuacione të kushtëzuara. Një identitet është i vërtetë për të gjitha vlerat e ndryshoreve. Një ekuacion i kushtëzuar është i vërtetë vetëm për vlera të veçanta të ndryshoreve.  

Shprehjet në të dy anët e shenjës së barabartë emërtohen përkatësisht "ana e majtë" dhe "ana e djathtë" e ekuacionit. Shumë shpesh ana e djathtë e një ekuacioni barazohet me 0 ,kjo mund të realizohet duke zbritur anën e djathtë nga të dyja anët.

Lloji më i zakonshëm i ekuacionit është një ekuacion polinomial (zakonisht i quajtur edhe *ekuacion algjebrik* ) në të cilin të dy anët janë polinome . Për shembull, ekuacioni:

:  Ax^2 +Bx + C - y = 0 

Një ekuacion është i përafërt me një peshore në të cilën vendosen peshat. Kur pesha të barabarta (psh kokrra) vendosen në të dy pjatat e saj, kjo bën që peshorja të jetë në baraspeshë dhe thuhet se janë të barabarta. Nëse një sasi kokrrash hiqet nga një anë, duhet të hiqet një sasi e barabartë kokrrash nga tigani tjetër për të mbajtur peshoren në ekuilibër. Në përgjithësi, një ekuacion mbetet në baraspeshë nëse i njëjti veprim kryhet në të dy anët e tij.

Simboli " = ", i cili shfaqet në çdo ekuacion, u shpik në 1557 nga Robert Recorde, i cili konsideronte se asgjë nuk mund të ishte më e barabartë se vijat paralele me të njëjtën gjatësi. 

### E ç'është identiteti? 
Një **identitet** është një ekuacion që është i vërtetë për të gjitha vlerat e mundshme të ndryshoreve që ai përmban. Shumë identitete janë të njohura në algjebër dhe analizë matematike. Në procesin e zgjidhjes së një ekuacioni, një identitet shpesh përdoret për të thjeshtuar një ekuacion, duke e bërë të zgjidhshëm më lehtë.

Në algjebër, një shembull i një identiteti është ndryshesa e katrorëve :

: x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) 

e cila është e vërtetë për të gjitha *x-et* dhe *y-et* .

Trigonometria është një fushë ku ekzistojnë shumë identitete; këto janë të dobishme në shndërrimin ose zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike . Dy nga shumë që përfshijnë funksionet sinus dhe kosinus janë:

: \sin^2(\theta)+\cos^2(\theta) = 1 

dhe

: \sin(2\theta)=2\sin(\theta) \cos(\theta) 

të cilat janë të dyja të vërteta për të gjitha vlerat e *θ* .

## Vetitë 
Dy ekuacione ose dy sisteme ekuacionesh janë *të njëvlershme*, nëse kanë të njëjtin grup zgjidhjesh. Veprimet e mëposhtme shndërrojnë një ekuacion ose një sistem ekuacionesh në një të njëvlershëm - me kusht që veprimet të jenë kuptimplote për shprehjet në të cilat zbatohen:

* Shtimi ose zbritja e së njëjtës madhësi në të dy anët e një ekuacioni.
* Shumëzimi ose pjesëtimi i të dy anëve të një ekuacioni me një madhësi jozero.
* Zbatimi i një identiteti për të transformuar njërën anë të ekuacionit. Për shembull, zgjerimi i një shumëzimi ose faktorizimi i një shume.
* Për një sistem: duke shtuar në të dy anët e një ekuacioni anën përkatëse të një ekuacioni tjetër, shumëzuar me të njëjtën madhësi.

Nëse një funksion zbatohet në të dy anët e një ekuacioni, ekuacioni që rezulton ka zgjidhjet e ekuacionit fillestar midis zgjidhjeve të tij, por mund të ketë zgjidhje të mëtejshme të quajtura zgjidhje të huaja . Për shembull, ekuacioni x=1 e ka zgjidhjen x=1. Ngritja e të dy anëve në fuqi të dytë e ndryshon ekuacionin në x^2=1, i cili jo vetëm ka zgjidhjen e mëparshme, por mbart edhe zgjidhjen e jashtme, x=-1. Për më tepër, nëse funksioni nuk përcaktohet në disa vlera (si p.sh. \frac{1}{x}, i cili nuk është i përcaktuar për *x* = 0), zgjidhjet ekzistuese në ato vlera mund të humbasin. Kështu, duhet treguar kujdes kur zbatohet një shndërrim i tillë në një ekuacion.

## Ekuacionet diferenciale 
[parapamje| Një tërheqës i çuditshëm, i cili lind gjatë zgjidhjes së një [Ekuacione Diferenciale|ekuacioni të caktuar diferencial]]
Një ekuacion diferencial është një ekuacion matematik që lidh një funksion me derivatet e tij. Në aplikime, funksionet zakonisht përfaqësojnë madhësi fizike, derivatet përfaqësojnë shkallët e tyre të ndryshimit dhe ekuacioni përcakton një marrëdhënie midis të dyjave. Për shkak se marrëdhëniet e tilla janë jashtëzakonisht të zakonshme, ekuacionet diferenciale luajnë një rol të rëndësishëm në shumë disiplina duke përfshirë fizikën, inxhinierinë, ekonominë dhe biologjinë .

Nëse nuk gjendet një formulë  për zgjidhjen, zgjidhja mund të përafrohet numerikisht duke përdorur kompjutera. Teoria e sistemeve dinamike e vë theksin në analizën cilësore të sistemeve të përshkruara me ekuacione diferenciale, ndërsa shumë metoda numerike janë zhvilluar për të përcaktuar zgjidhjet me një shkallë të caktuar saktësie.

### Ekuacionet diferenciale të zakonshme 
Një ekuacion i zakonshëm diferencial ose **ODE** është një ekuacion që përmban një funksion të një ndryshoreje të pavarur dhe derivateve të saj. Termi "i *zakonshëm* " përdoret në kontrast me termin ekuacion diferencial i pjesshëm, i cili mund të jetë në lidhje me *më shumë se* një ndryshore të pavarur.

### Ekuacionet diferenciale të pjesshme 
Një ekuacion diferencial i pjesshëm ( **PDE** ) është një ekuacion diferencial që përmban funksione të panjohura shumëndryshore dhe derivatet e tyre të pjesshme . (Kjo është në kontrast me ekuacionet diferenciale të zakonshme, të cilat kanë të bëjnë me funksionet e një ndryshoreje të vetme dhe derivatet e tyre. ) PDE-të përdoren për të formuluar probleme që përfshijnë funksione të disa variablave dhe ose zgjidhen me dorë ose përdoren për të krijuar një model kompjuterik përkatës.

PDE-të mund të përdoren për të përshkruar një shumëllojshmëri të gjerë dukurish si zëri, nxehtësia, elektrostatika, elektrodinamika, rrjedha e lëngjeve, elasticiteti ose mekanika kuantike . Këto dukuri fizike në dukje të dallueshme mund të formalizohen në mënyrë të ngjashme përsa i përket PDE-ve. Ashtu si ekuacionet diferenciale të zakonshme shpesh modelojnë sisteme dinamike njëdimensionale, ekuacionet diferenciale të pjesshme shpesh modelojnë sisteme shumëdimensionale . PDE-të e gjejnë përgjithësimin e tyre në ekuacionet diferenciale të pjesshme stokastike .