Shpërndarja hipergjeometrike

{{Infobox shpërndarja e gjasës|name=Hipergjeometrike|type=mass|cdf_image=|pdf={{{K \choose k} {{N-K} \choose {n-k}}}\over {N \choose n}}|pdf_image=|parameters=\begin{align}N&\in \left\{0,1,2,\dots\right\} \\
                                 K&\in \left\{0,1,2,\dots,N\right\} \\
                                 n&\in \left\{0,1,2,\dots,N\right\}\end{align}\,|cdf=1-{{{n \choose {k+1}}{{N-n} \choose {K-k-1}}}\over {N \choose K}} \,_3F_2\!\!\left[\begin{array}{c}1,\ k+1-K,\ k+1-n \\ k+2,\ N+k+2-K-n\end{array};1\right], ku \,_pF_q është funksioni hipergjeometrik i përgjithësuar|mean=n {K \over N}|mode=\left \lceil \frac{(n+1)(K+1)}{N+2} \right \rceil-1, \left \lfloor \frac{(n+1)(K+1)}{N+2} \right \rfloor|variance=n{K\over N}{N-K\over N}{N-n\over N-1}|skewness=\frac{(N-2K)(N-1)^\frac{1}{2}(N-2n)}{[nK(N-K)(N-n)]^\frac{1}{2}(N-2)}|kurtosis= \left.\frac{1}{n K(N-K)(N-n)(N-2)(N-3)}\cdot\right.
\Big[(N-1)N^{2}\Big(N(N+1)-6K(N-K)-6n(N-n)\Big)+{}
{}+6 n K (N-K)(N-n)(5N-6)\Big]}}

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, **shpërndarja hipergjeometrike** është një shpërndarje diskrete probabiliteti që përshkruan probabilitetin e k sukseseve (tërheqjet e rastit për të cilat objekti i tërhequr ka një veçori të caktuar) në n tërheqje *pa* zëvendësim, nga një popullsi e kufizuar me madhësi N që përmban saktësisht K objekte me atë veçori, ku çdo tërheqje është ose një sukses ose një dështim. Në të kundërt, shpërndarja binomiale përshkruan probabilitetin e k sukseseve në n tërheqje *me* zëvendësim.

## Përkufizimet 
### Funksioni i masës së probabilitetit 
Kushtet e mëposhtme karakterizojnë shpërndarjen hipergjeometrike:

* Rezultati i çdo tërheqje (elementet e popullatës që janë marrë në popullim) mund të klasifikohet në një nga dy kategoritë ndërsjellazi përjashtuese (p.sh. Kalon/Dështon ose i Punësuar/I papunësuar).
* Probabiliteti i një suksesi ndryshon në çdo tërheqje, pasi çdo tërheqje zvogëlon popullsinë ( *kampionimi pa zëvendësim* nga një popullsi e fundme).

Një ndryshore e rastit X ndjek shpërndarjen hipergjeometrike nëse funksioni i masës së probabilitetit të tij (fmp) jepet nga 

:  p_X(k) = \Pr(X = k) 
= \frac{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n-k}}{\binom{N}{n}},

ku

* N është madhësia e popullsisë,
* K është numri i gjëndjeve të suksesshme në popullatë,
* n është numri i barazimeve (dmth. sasia e tërhequr në çdo provë),
* k është numri i sukseseve të vërejtura,
* \textstyle {a \choose b} është një koeficient binomial .

FMP është pozitiv kur \max(0, n+K-N) \leq k \leq \min(K,n) .

Një ndryshore e rastit e shpërndarë hipergjeometrikisht me parametra N, K dhe n shkruhet si X \sim \operatorname{Hypergeometric}(N,K,n) dhe ka funksion të masës së probabilitetit  p_X(k) si më sipër.

## Vetitë 
### Shembull pune 
Zbatimi klasik i shpërndarjes hipergjeometrike është **kampionimi pa zëvendësim** . Mendoni  një vazo me dy ngjyra mermeri, të kuqe dhe të gjelbër. Përcaktoni tërheqjen e një mermeri të gjelbër si sukses (S) dhe tërheqjen e një mermeri të kuq si dështim (K) (analoge me shpërndarjen binomiale). Nëse ndryshorja N përshkruan numrin e **të gjithë mermerëve në vazo** dhe K përshkruan numrin e **mermerëve të gjelbër**, atëherë N-K korrespondon me numrin e **mermerëve të kuq** . Në këtë shembull, X është ndryshorja e rastit, rezultati i së cilës është k, numri i mermerëve të gjelbër të nxjerrë në eksperiment. Kjo situatë ilustrohet nga tabela e mëposhtme e rasteve :

Tani, supozoni (për shembull) se ka 5 mermerë të gjelbër dhe 45 të kuq në urnë (vazo). Duke qëndruar pranë vazos, ju mbyllni sytë dhe tërhiqni 10 mermerë pa zëvendësim. Sa është probabiliteti që saktësisht 4 nga 10 janë të gjelbër? *Vini re se megjithëse po vëzhgojmë sukses/dështim, të dhënat nuk modelohen saktë nga shpërndarja binomiale, sepse probabiliteti i suksesit në çdo provë nuk është i njëjtë, pasi madhësia e popullsisë së mbetur ndryshon ndërsa heqim çdo mermer.*

Ky problem përmblidhet nga tabela e mëposhtme e kontigjencës:

Probabiliteti për të nxjerrë saktësisht k mermerë të gjelbër mund të llogaritet me formulën

:  P(X=k) = f(k;N,K,n) = {{{K \choose k} {{N-K} \choose {n-k}}}\over {N \choose n}}.

Prandaj, në këtë shembull llogaritni

:  P(X=4) = f(4;50,5,10) = {{{5 \choose 4} {{45} \choose {6}}}\over {50 \choose 10}} = {5\cdot 8145060\over 10272278170} = 0.003964583\dots. 

Intuitivisht ne do të prisnim që të ishte edhe më e pamundur që të 5 mermerët e gjelbër të jenë në mesin e 10 të tërhequrve.

:  P(X=5) = f(5;50,5,10) = {{{5 \choose 5} {{45} \choose {5}}}\over {50 \choose 10}} = {1\cdot 1221759
\over 10272278170} = 0.0001189375\dots, 

Siç pritej, probabiliteti i tërheqjes së 5 mermerëve të gjelbër është afërsisht 35 herë më pak i mundshëm se ai i tërheqjes së 4 prej tyre.

### Simetritë 
Ndërrimi i roleve të mermerëve të gjelbër dhe të kuq:

:  f(k;N,K,n) = f(n-k;N,N-K,n)

Ndërrimi i roleve të mermerëve të tërhequr dhe jo të tërhequr:

:  f(k;N,K,n) = f(K-k;N,K,N-n)

Ndërrimi i roleve të mermerëve të gjelbër dhe të tërhequr:

:  f(k;N,K,n) = f(k;N,n,K) 

Këto simetri gjenerojnë grupin dihedral D_4 .

### Kufijtë e bishtit 
Le të jetë X \sim \operatorname{Hypergeometric}(N,K,n) dhe p=K/N . Pastaj për  0  mund të nxjerrim kufijtë e mëposhtëm: 

: \begin{align}
\Pr[X\le (p - t)n]
&\le e^{-n\text{D}(p-t\parallel p)} \le e^{-2t^2n}\\
\Pr[X\ge (p+t)n]
&\le e^{-n\text{D}(p+t\parallel p)} \le e^{-2t^2n}\\
\end{align}\!

ku

:  D(a\parallel b)=a\log\frac{a}{b}+(1-a)\log\frac{1-a}{1-b}

është divergjenca Kullback-Leibler dhe përdoret se D(a\parallel b) \ge 2(a-b)^2 . 

Nëse n është më e madhe se N/2, mund të jetë e dobishme të aplikoni simetri për të "përmbysur" kufijtë, të cilët japin sa vijon:  

: \begin{align}
\Pr[X\le (p - t)n]
&\le e^{-(N-n)\text{D}(p+\tfrac{tn}{N-n}||p)} \le e^{-2 t^2 n \tfrac{n}{N-n}}\\
\\
\Pr[X\ge (p+t)n]
&\le e^{-(N-n)\text{D}(p-\tfrac{tn}{N-n}||p)} \le e^{-2 t^2 n \tfrac{n}{N-n}}\\
\end{align}\!

## Konkluzioni statistikor 
### Testi hipergjeometrik 
**Testi hipergjeometrik** përdor shpërndarjen hipergjeometrike për të matur rëndësinë statistikore të tërheqjes së një popullimi të përbërë nga një numër specifik k suksesesh (nga n tërheqjet totale) nga një popullsi me madhësi N që përmban K sukseset. Në një test për mbipërfaqësimin e sukseseve në kampion, vlera *p* hipergjeometrike llogaritet si probabilitet i tërheqjes në mënyrë të rastësishme të k ose më shumë sukseseve nga popullata në n tërheqjet totale. Në një test për nënpërfaqësim, vlera *p* është probabiliteti i tërheqjes së rastësishme të k ose më pak sukseseve.
djathtas|parapamje|280x280px| Biologu dhe statisticieni Ronald Fisher
Testi i bazuar në shpërndarjen hipergjeometrike (testi hipergjeometrik) është identik me versionin përkatës me një bisht të testit ekzakt të Fisherit . 

Testi përdoret shpesh për të identifikuar se cilat nën-popullata janë të mbi ose nën-përfaqësuara në një popullim. Ky test ka një gamë të gjerë zbatimesh. Për shembull, një grup marketingu mund të përdorë testin për të kuptuar bazën e tyre të klientëve duke testuar një grup klientësh të njohur për mbipërfaqësim të nëngrupeve të ndryshme demografike (p.sh., gra, njerëz nën 30 vjeç).

## Shpërndarjet e lidhura 
Le të jetë X\sim\operatorname{Hypergeometric}(N,K,n) dhe p=K/N .

* Nëse n=1 atëherë X ka një shpërndarje Bernoulli me parametër p .
* Le të ketë Y një shpërndarje binomiale me parametra n dhe p ; kjo modelon numrin e sukseseve në problemin analog të kampionimit *me* zëvendësim. Nëse N dhe K janë të mëdha në krahasim me n, dhe p nuk është afër 0 ose 1, atëherë X dhe Y kanë shpërndarje të ngjashme, dmth. P(X \le k) \approx P(Y \le k) .
* Nëse n është e madhe, N dhe K janë të mëdha në krahasim me n, dhe p nuk është afër 0 ose 1 atëherë

:: P(X \le k) \approx \Phi \left( \frac{k-n p}{\sqrt{n p (1-p)}} \right)

ku \Phi është funksioni standard i shpërndarjes normale

Tabela e mëposhtme përshkruan katër shpërndarje që lidhen me numrin e sukseseve në një sekuencë tërheqjesh:

### Shpërndarja hipergjeometrike me shumë ndryshore 
{{Infobox shpërndarja e gjasës|name=Shpërndarja hipergjeometrike shumëndryshore|type=mass|pdf_image=|cdf_image=|parameters=c \in \mathbb{N}_{+} = \lbrace 1, 2, \ldots \rbrace
(K_1,\ldots,K_c) \in \mathbb{N}^c
N = \sum_{i=1}^c K_in \in \lbrace 0,\ldots,N\rbrace|support=\left\{ \mathbf{k} \in \left(\mathbb{Z}_{0+}\right)^c \, : \, \forall i\ k_i \le K_i , \sum_{i=1}^{c} K_i = N \right\}|pdf=\frac{\prod\limits_{i=1}^c \binom{K_i}{k_i}}{\binom{N}{n}}|cdf=|mean=\operatorname E(k_i) = n\frac{K_i}{N}|median=|mode=|variance=\operatorname{Var}(k_i) = n \frac{N-n}{N-1} \;\frac{K_i}{N} \left(1-\frac{K_i}{N}\right) 
\operatorname{Cov}(k_i,k_j) = -n \frac{N-n}{N-1} \;\frac{K_i}{N} \frac{K_j}{N}  \operatorname{Corr}(k_i,k_j) = -\sqrt{\frac{K_i K_j}{\left(N-K_i\right)\left(N-K_j\right)}}|skewness=|kurtosis=|entropy=|mgf=|char=}}
Modeli i një urne me mermerë të gjelbër dhe të kuq mund të shtrihet në rastin kur ka më shumë se dy ngjyra mermeri. Nëse ka K_i mermerë të ngjyrës i në urnë dhe ju merrni n mermerë në mënyrë të rastësishme pa zëvendësim, atëherë numri i mermerëve të secilës ngjyrë në mostër (k_1,k_2,...,k_c) ka shpërndarjen hipergjeometrike shumëndryshore:

: \Pr(X_1 = k_1, \ldots, X_c = k_c) = \frac{\prod\limits_{i=1}^c \binom{K_i}{k_i}}{\binom{N}{n}}

#### Shembull 
Supozoni se në një urnë ka 5 mermerë të zinj, 10 të bardhë dhe 15 të kuq. Nëse zgjidhen gjashtë mermere pa zëvendësim, probabiliteti që të zgjidhen saktësisht dy nga çdo ngjyrë është

:  P(2\text{ black}, 2\text{ white}, 2\text{ red}) = {{{5 \choose 2}{10 \choose 2} {15 \choose 2}}\over {30 \choose 6}} = 0.079575596816976

## Ndodhja dhe aplikimet 
### Zbatimi për auditimin e zgjedhjeve