Harta lineare

Në matematikë, dhe më konkretisht në algjebër lineare, një **hartë lineare** (e quajtur edhe një **hartografi lineare**, **transformim linear**, **homomorfizëm i hapësirës vektoriale**, ose në disa kontekste **funksion linear** ) është një hartë V \to W ndërmjet dy hapësirave vektoriale që ruan veprimet e mbledhjes së vektorit dhe shumëzimit skalar . Të njëjtët emra dhe i njëjti përkufizim përdoren gjithashtu për rastin më të përgjithshëm të moduleve mbi një unazë ; shih homomorfizmin e modulit .
Skeda:Streckung_eines_Vektors.gif|alt=The function                     f        :                              R                                2                          →                              R                                2                               with                     f        (        x        ,        y        )        =        (        2        x        ,        y        )              {\textstyle f(x,y)=(2x,y)}   is a linear map. This function scales the                     x              {\textstyle x}   component of a vector by the factor                     2              {\textstyle 2}   .|Funksioni f:\R^2 \to \R^2 with f(x, y) = (2x, y) është një hartë lineare. Ky funksion shkallëzon përbërësin x të një vektori me faktor 2.
Skeda:Streckung_der_Summe_zweier_Vektoren.gif|alt=The function                        f        (        x        ,        y        )        =        (        2        x        ,        y        )                {\textstyle f(x,y)=(2x,y)}    is additive: It does not matter whether vectors are first added and then mapped or whether they are mapped and finally added:                        f        (                   a                 +                   b                 )        =        f        (                   a                 )        +        f        (                   b                 )                {\textstyle f(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=f(\mathbf {a} )+f(\mathbf {b} )}|Funksioni f(x, y) = (2x, y) është mbledhës: Nuk ka rëndësi nëse vektorët mblidhen në fillim dhe pastaj hartëzohen ose anasjelltas:f(\mathbf a + \mathbf b) = f(\mathbf a) + f(\mathbf b)
Skeda:Streckung_homogenitaet_Version_3.gif|alt=The function                        f        (        x        ,        y        )        =        (        2        x        ,        y        )                {\textstyle f(x,y)=(2x,y)}    is homogeneous: It does not matter whether a vector is first scaled and then mapped or first mapped and then scaled:                        f        (        λ                   a                 )        =        λ        f        (                   a                 )                {\textstyle f(\lambda \mathbf {a} )=\lambda f(\mathbf {a} )}|Funksioni f(x, y) = (2x, y) është homogjen: Nuk ka rëndësi nëse një vektor shkallëzohet në fillim dhe pastaj hartëzohet ose nëse hartëzohet në fillim pastaj shkallëzohet: f(\lambda \mathbf a) = \lambda f(\mathbf a)
Nëse një hartë lineare është një bijeksion, atëherë ajo quhet një izomorfizëm linear. Në rastin kur V = W, një hartë lineare quhet **endomorfizëm linear** . Ndonjëherë termi** operator linear** i referohet këtij rasti,  por termi "operator linear" mund të ketë kuptime të ndryshme për konventa të ndryshme: për shembull, mund të përdoret për të theksuar se V dhe W janë hapësira reale vektoriale (jo domosdoshmërisht me V = W ), ose mund të përdoret për të theksuar këtë V është një hapësirë funksioni, e cila është një konventë e zakonshme në analizën funksionale .  Ndonjëherë termi *funksion linear* ka të njëjtin kuptim si *harta lineare*, ndërsa në analizë jo.

Një hartë lineare nga V te W gjithmonë harton origjinën e V tek origjina e W . Për më tepër, ai harton nënhapësira lineare në V në nënhapësira lineare në W (ndoshta të një dimensioni më të ulët);  për shembull, ai harton një rrafsh përmes origjinës në V në një aeroplan përmes origjinës në W, një drejtëz përmes origjinës në W, ose thjesht origjina në W . Hartat lineare shpesh mund të përfaqësohen si matrica, dhe shembuj të thjeshtë përfshijnë transformime lineare të rrotullimit dhe reflektimit.

Në gjuhën e teorisë së kategorive, hartat lineare janë morfizma të hapësirave vektoriale, dhe ato formojnë një kategori të barabartë me atë të matricave .

## Përkufizimi dhe pasojat e para 
Le V dhe W të jenë hapësira vektoriale mbi të njëjtën fushë K . Një funksion f: V \to W thuhet se është një *hartë lineare* nëse për çdo dy vektorë \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V dhe çdo skalar c \in K plotësohen dy kushtet e mëposhtme:

* Mbledhshmëria / funksionimi i mbledhjes f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v})
* Homogjeniteti i shkallës 1 / operacioni i shumëzimit skalar f(c \mathbf{u}) = c f(\mathbf{u})

Kështu, një hartë lineare thuhet se është *ruan operacionin* . Me fjalë të tjera, nuk ka rëndësi nëse harta lineare zbatohet para (anët e djathta të shembujve të mësipërm) apo pas (anët e majta të shembujve) veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit skalar.

Nga vetia e shoqërimit të veprimit të mbledhjes i shënuar si +, për çdo vektor  \mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_n \in V dhe skalarët c_1, \ldots, c_n \in K, vlen barazia e mëposhtme:   f(c_1 \mathbf{u}_1 + \cdots + c_n \mathbf{u}_n) = c_1 f(\mathbf{u}_1) + \cdots + c_n f(\mathbf{u}_n). Kështu, një hartë lineare është ajo që ruan kombinime lineare .

## Shembuj 
* Një shembull prototipik që u jep hartave lineare emrin e tyre, është një funksion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto cx,  grafiku i të cilit është një drejtëz përmes origjinës.
* Në përgjithësi, çdo homoteti \mathbf{v} \mapsto c\mathbf{v} e përqëndruar në origjinën e hapësirës vektoriale është një hartë lineare (këtu  është një skalar).
* Harta zero \mathbf x \mapsto \mathbf 0 midis dy hapësirave vektoriale (mbi të njëjtën fushë) është lineare.
* Harta identitet mbi çdo modul është një operator linear.
* Për numrat realë, harta x \mapsto x^2 nuk është lineare.
* Për numrat realë, harta x \mapsto x + 1 nuk është lineare (por është një transformim afin).
* Nëse A është një matricë m \times n, atëherë A është një hartë lineare nga \R^n në \R^m duke çuar një vektor shtyllë \mathbf x \in \R^n tek vektori shtyllë A \mathbf x \in \R^m. 
* Nëse f: V \to W është një izometri midis hapësirave të normuara reale të tilla që  f(0) = 0 atëherë f është një hartë lineare. Ky rezultat përgjithësisht nuk vlen për hapësirat e normuara komplekse.
* Diferencimi përkufizon një hartë lineare nga hapësira e të gjithë funksioneve të derivueshëm tek hapësira e të gjithë funksioneve. Dhe në të vërtetë, \frac{d}{dx} \left( a f(x) + b g(x) \right) = a \frac{d f(x)}{dx} + b \frac{d g( x)}{dx}.
* Një integral i caktuar mbi një interval  është një hartë lineare nga hapësira e të gjithë funksioneve të integrueshëm me vlera reale nga  në \R. Dhe në të vërtetë, \int_u^v \left(af(x) + bg(x)\right) dx =  a\int_u^v f(x) dx + b\int_u^v g(x)  dx . 
* Një integral i pacaktuar (ose antiderivat) me një pikë integrimi të caktuar fillestare përkufizon një hartë lineare nga hapësira e të gjithë funksioneve të integrueshëmme vlera reale në \R tek hapësira e të gjithë funksioneve të diferencueshëm me vlera reale në \R. Pa një pikë fillimi fikse, integrali i pacaktuar hartëzon në hapësirën e herësit të funksioneve të diferencueshme nga hapësira lineare e funksioneve konstante .
* Nëse V dhe W janë hapësira vektoriale me dimensione të fundme mbi një fushë , me dimensione respektive  dhe , atëherë funksioni hartëzon hartat linerae f: V \to W drejt matricave  në mënyrën e përshkruar tek  (më poshtë) është një hartë lineare.
* Pritja matematike e një ndryshoreje rasti (që në fakt është një funksion, dhe si i tillë një element i një hapësire vektoriale) është lineare, sepse për ndryshoret e rastit X dhe Y marrim E[X + Y] = E[X] + E[Y] dhe E[aX] = aE[X], por varianca e një ndryshoreje rasti nuk është lineare.

Skeda:Streckung_eines_Vektors.gif|alt=The function                     f        :                              R                                2                          →                              R                                2                               with                     f        (        x        ,        y        )        =        (        2        x        ,        y        )              {\textstyle f(x,y)=(2x,y)}   is a linear map. This function scales the                     x              {\textstyle x}   component of a vector by the factor                     2              {\textstyle 2}   .|Funksioni f:\R^2 \to \R^2 me f(x, y) = (2x, y) është një hartë lineare. Ky funksion shkallëzon përbërësin x të një vektori me faktor 2.
Skeda:Streckung_der_Summe_zweier_Vektoren.gif|alt=The function                        f        (        x        ,        y        )        =        (        2        x        ,        y        )                {\textstyle f(x,y)=(2x,y)}    is additive: It does not matter whether vectors are first added and then mapped or whether they are mapped and finally added:                        f        (                   a                 +                   b                 )        =        f        (                   a                 )        +        f        (                   b                 )                {\textstyle f(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=f(\mathbf {a} )+f(\mathbf {b} )}|Funksioni f(x, y) = (2x, y) është mbledhës: Nuk ka rëndësi nëse vektorët mblidhen në fillim pastaj hartëzohen ose hartëzohen pastaj mblidhen : f(\mathbf a + \mathbf b) = f(\mathbf a) + f(\mathbf b)
Skeda:Streckung_homogenitaet_Version_3.gif|alt=The function                        f        (        x        ,        y        )        =        (        2        x        ,        y        )                {\textstyle f(x,y)=(2x,y)}    is homogeneous: It does not matter whether a vector is first scaled and then mapped or first mapped and then scaled:                        f        (        λ                   a                 )        =        λ        f        (                   a                 )                {\textstyle f(\lambda \mathbf {a} )=\lambda f(\mathbf {a} )}|Funksioni f(x, y) = (2x, y) është homogjen: Nuk ka rëndësi nëse një vektor shkallëzohet në fillim dhe pastaj hartëzohet ose hartëzohetdhe pastaj shkallëzohet: f(\lambda \mathbf a) = \lambda f(\mathbf a)

## Matricat 
Nëse V dhe W janë hapësira vektoriale me dimensione të fundme dhe përcaktohet një bazë për secilën hapësirë vektoriale, pastaj çdo hartë lineare nga V te W mund të përfaqësohet nga një matricë .  Kjo është e dobishme sepse lejon llogaritjet konkrete. Matricat japin shembuj të hartave lineare: nëse A është një e vërtetë m \times n matricë, atëherë f(\mathbf x) = A \mathbf x përshkruan një hartë lineare \R^n \to \R^m (shih hapësirën Euklidiane ).

Nëse f: V \to W është një hartë lineare, f(\mathbf{v}) = f(c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n) = c_1 f(\mathbf{v}_1) + \cdots + c_n f\left(\mathbf{v}_n\right),

që implikon se funksioni *f* përcaktohet tërësisht nga vektorët f(\mathbf {v}_1), \ldots, f(\mathbf {v}_n) . Tani le \{ \mathbf {w}_1, \ldots, \mathbf {w}_m \} të jetë bazë për W . Atëherë ne mund të përfaqësojmë çdo vektor f(\mathbf {v}_j) si f\left(\mathbf{v}_j\right) = a_{1j} \mathbf{w}_1 + \cdots + a_{mj} \mathbf{w}_m.

Matricat e një transformimi linear mund të përfaqësohen vizualisht:

# Matrica për T në lidhje me B : A
# Matrica për T në lidhje me B' : A'
# Matrica e tranzicionit nga B' te B : P
# Matrica e tranzicionit nga B te B' : P^{-1}

### Shembuj në dy dimensione 
Në hapësirën dydimensionale, hartat lineare **R** përshkruhen me matrica 2 × 2. Këto janë disa shembuj:

* rrotullimi
** me 90 gradë në të kundërt të akrepave të orës: \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}
** me një kënd *θ* në të kundërt të akrepave të orës: \mathbf{A} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}
* reflektimi
** përmes boshtit *x* : \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}
** përmes boshtit *y* : \mathbf{A} = \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}
** përmes një drejtëze që krijon një kënd *θ* me origjinën: \mathbf{A} = \begin{pmatrix}\cos2\theta & \sin2\theta \\ \sin2\theta & -\cos2\theta \end{pmatrix}
* Shkallëzimi me 2 në të gjitha drejtimet: \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = 2\mathbf{I}
* Harta e prerjes horizontale : \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & m\\ 0 & 1\end{pmatrix}
* animi i boshtit *y* nga një kënd *θ* : \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & -\sin\theta\\ 0 & \cos\theta\end{pmatrix}
* harta e shtrydhjes : \mathbf{A} = \begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & \frac{1}{k}\end{pmatrix}
* projeksioni në boshtin *y* : \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Nëse një hartë lineare përbëhet vetëm nga rrotullim, reflektim dhe/ose shkallëzim uniform, atëherë harta lineare është një transformim linear konform .

## Zbatimet 
Një zbatim specifik i hartave lineare është për transformimet gjeometrike, si ato të kryera në grafikën kompjuterike, ku përkthimi, rrotullimi dhe shkallëzimi i objekteve 2D ose 3D kryhet duke përdorur një matricë transformimi . Hartëzimi linear përdoret gjithashtu si një mekanizëm për përshkrimin e ndryshimit: për shembull në llogaritje korrespondojnë me derivatet; ose në relativitet, përdoret si një pajisje për të mbajtur gjurmët e transformimeve vendore të sitemeve të referimit.

Një aplikim tjetër i këtyre transformimeve është në optimizimin e përpiluesit të kodit të ndërthurur dhe në paralelizimin e teknikave të përpiluesit .