Shpërndarja hi

Në teorinë e probabiliteti dhe statistikë, **shpërndarja hi** është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti . Është shpërndarja e rrënjës katrore të shumës së katrorëve të një bashkësie ndryshoresh rasti të pavarura secila me një shpërndarje normale standarde, ose në mënyrë të njëvlerëshme, shpërndarja e largësisë Euklidiane të ndryshoreve të rastit nga origjina. Kështu, ajo lidhet me shpërndarjen hi-katror duke përshkruar shpërndarjen e rrënjëve katrore pozitive të një ndryshoreje që i bindet një shpërndarjeje hi-katrore.

Nëse Z_1, \ldots, Z_k janë k ndryshore rasti të pavarura, me shpërndarje normale me mesatare 0 dhe devijim standard 1, pastaj statistika

: Y = \sqrt{\sum_{i=1}^k Z_i^2} 

shpërndahet sipas shpërndarjes hi. Shpërndarja hi ka një parametër, k, i cili specifikon numrin e shkallëve të lirisë (dmth. numrin e ndryshoreve të rastit Z_i ).

Shembujt më të njohur janë shpërndarja Rayleigh (shpërndarja hi me dy shkallë lirie ) dhe shpërndarja Maxwell–Boltzmann e shpejtësive molekulare në një gaz ideal (shpërndarja hi me tre shkallë lirie).

## Përkufizimet 
### Funksioni i dendësisë së probabilitetit 
Funksioni i dendësisë së probabilitetit (pdf) i shpërndarjes hi është

: f(x;k) = \begin{cases}
\dfrac{x^{k-1}e^{-x^2/2}}{2^{k/2-1}\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}, & x\geq 0; \\ 0, & \text{përndryshe}.
\end{cases}

ku \Gamma(z) është funksioni gama .

### Funksioni mbledhës i shpërndarjes 
Funksioni mbledhës i shpërndarjes jepet nga:

: F(x;k)=P(k/2,x^2/2)\,

ku P(k,x) është funksioni gama i rregulluar .

## Vetitë 
### Momente 
Momentet e papërpunuara më pas jepen nga:

: \mu_j = \int_0^\infty f(x;k) x^j \mathrm{d} x = 2^{j/2}\ \frac{\ \Gamma\left( \tfrac{1}{2}(k+j) \right)\ }{\Gamma\left( \tfrac{1}{2}k \right)}

ku \ \Gamma(z)\  është funksioni gama . Kështu, momentet e para të papërpunuara janë:

: \mu_1 = \sqrt{2\ }\ \frac{\ \Gamma\left( \tfrac{1}{2}(k + 1) \right)\ }{\Gamma\left( \tfrac{1}{2}k \right)}
: \mu_2 = k\ ,
: \mu_3=2\sqrt{2\ }\ \frac{\ \Gamma\left( \tfrac{1}{2}(k + 3) \right)\ }{\Gamma\left( \tfrac{1}{2}k \right)} = (k+1)\ \mu_1\ ,
: \mu_4 = (k)(k+2)\ ,
: \mu_5 = 4\sqrt{2\ }\ \frac{\ \Gamma\left( \tfrac{1}{2}(k\!+\!5) \right)\ }{\Gamma\left( \tfrac{1}{2}k \right)} = (k+1)(k+3)\ \mu_1\ ,
:  \mu_6 = (k)(k+2)(k+4)\ ,

Nga këto shprehje mund të nxjerrim marrëdhëniet e mëposhtme:

Mesatarja:  \mu = \sqrt{2\ }\ \frac{\ \Gamma\left( \tfrac{1}{2}(k+1) \right)\ }{\Gamma\left( \tfrac{1}{2} k \right)}\ , që llogaritet edhe si  \sqrt{k - \tfrac{1}{2}\ }\  për k të mëdha.

Varianca:  V = k - \mu^2\ , e cila i afrohet \ \tfrac{1}{2}\  me rritjen e k .

Shtrirja:  \gamma_1 = \frac{\mu}{\ \sigma^3\ } \left(1 - 2 \sigma^2 \right) ~.

Kurtoza e tepërt: \gamma_2 = \frac{2}{\ \sigma^2\ } \left(1 - \mu\ \sigma\ \gamma_1 - \sigma^2 \right) ~.

### Entropia 
Entropia jepet nga:

: S=\ln(\Gamma(k/2))+\frac{1}{2}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi^0(k/2))

ku \psi^0(z) është funksioni poligama .

### Përafrim i madh n 
Gjejmë përafrimin e madh n=k+1 të mesatares dhe variancës së shpërndarjes hi. Kjo ka zbatim p.sh. në gjetjen e shpërndarjes së devijimit standard të një kampioni të popullatës së shpërndarë normalisht, ku n është madhësia e kampionit.

Mesatarja është:

: \mu = \sqrt{2}\,\,\frac{\Gamma(n/2)}{\Gamma((n-1)/2)}

Ne përdorim formulën e dyfishimit të Lezhandrit për të shkruar:

: 2^{n-2} \,\Gamma((n-1)/2)\cdot \Gamma(n/2) = \sqrt{\pi} \Gamma (n-1) ,

në mënyrë që:

: \mu = \sqrt{2/\pi}\,2^{n-2}\,\frac{(\Gamma(n/2))^2}{\Gamma(n-1)}

Duke përdorur përafrimin e Stirlingut për funksionin gamma, marrim shprehjen e mëposhtme për mesataren:

: \mu = \sqrt{2/\pi}\,2^{n-2}\,\frac{\left(\sqrt{2\pi}(n/2-1)^{n/2-1+1/2}e^{-(n/2-1)}\cdot[1+\frac{1}{12(n/2-1)}+O(\frac{1}{n^2})]\right)^2}{\sqrt{2\pi}(n-2)^{n-2+1/2}e^{-(n-2)}\cdot [1+\frac{1}{12(n-2)}+O(\frac{1}{n^2})]}
::  = (n-2)^{1/2}\,\cdot \left[1+\frac{1}{4n}+O(\frac{1}{n^2})\right] = \sqrt{n-1}\,(1-\frac{1}{n-1})^{1/2}\cdot \left[1+\frac{1}{4n}+O(\frac{1}{n^2})\right]
::  = \sqrt{n-1}\,\cdot \left[1-\frac{1}{2n}+O(\frac{1}{n^2})\right]\,\cdot \left[1+\frac{1}{4n}+O(\frac{1}{n^2})\right]
::  = \sqrt{n-1}\,\cdot \left[1-\frac{1}{4n}+O(\frac{1}{n^2})\right]

E kështu varianca është:

: V=(n-1)-\mu^2\, = (n-1)\cdot \frac{1}{2n}\,\cdot \left[1+O(\frac{1}{n})\right]

## Shpërndarjet e ndërlidhura 
* Nëse X \sim \chi_k atëherë X^2 \sim \chi^2_k ( shpërndarja hi-katrore )
*  \lim_{k \to \infty}\tfrac{\chi_k-\mu_k}{\sigma_k} \xrightarrow{d}\ N(0,1) \, ( Shpërndarja normale )
* Nëse  X \sim N(0,1)\, atëherë | X | \sim \chi_1 \,
* Nëse X \sim \chi_1\, atëherë \sigma X \sim HN(\sigma)\, ( shpërndarje gjysmë normale ) për çdo  \sigma > 0 \, 
*  \chi_2 \sim \mathrm{Rayleigh}(1)\, ( Shpërndarja Rayleigh )
*  \chi_3 \sim \mathrm{Maxwell}(1)\, ( Shpërndarja Maxwell )
*  \|\boldsymbol{N}_{i=1,\ldots,k}{(0,1)}\|_2 \sim \chi_k , norma Euklidiane e një vektori standard normal të rastit të me k dimensione, shpërndahet sipas një shpërndarjeje hi me  k  shkallët e lirisë
* Shpërndarja chi është një rast i veçantë i shpërndarjes së përgjithësuar të gamës ose shpërndarjes Nakagami ose shpërndarjes joqendrore hi
* Mesatarja e shpërndarjes hi (shkallëzuar me rrënjën katrore të n-1 ) jep faktorin korrigjues në vlerësimin e paanshëm të devijimit standard të shpërndarjes normale .

## Shiko gjithashtu 
* Shpërndarja Nakagami