Varianca

djathtas|parapamje|400x400px| Shembull i zgjedhjeve nga dy popullata me të njëjtën mesatare por varianca të ndryshme. Popullata e kuqe e ka mesataren 100 dhe variancën 100 (D.S=10) ndërsa popullata blu ka mesataren 100 dhe variancën 2500 (D.S=50).
Në teorinë dhe statistikat e probabilitetit, **varianca** ose **dispersioni** është shamngia në katror nga mesatarja e një ndryshoreje rasti . Varianca shpesh përkufizohet gjithashtu si katrori i devijimit standard . Varianca është një matëse e shpërndarjes, që do të thotë se është një matëse se sa larg është shpërndarë një grup numrash nga vlera e tyre mesatare. Është momenti i dytë qendror i një shpërndarjeje, dhe kovarianca e ndryshores së rastësishme me vetveten, dhe shpesh përfaqësohet nga \sigma^2, s^2, \operatorname{Var}(X), D(X), ose V(X) . 

Një avantazh i dispersionit si masë e shpërndarjes është se është më i përshtatshëm për manipulimin algjebrik sesa masat e tjera të shpërndarjes, siç është devijimi absolut i pritur ; për shembull, varianca e një shume ndryshoresh rasti të pakorreluara është e barabartë me shumën e variancave të tyre. Një disavantazh i dispersionit në zbatime praktike është se, ndryshe nga devijimi standard, njësitë e tij ndryshojnë nga ajo e n.r, kjo është arsyeja pse devijimi standard raportohet më shpesh si një masë e shpërndarjes pasi përfundon llogaritja.

Ka dy koncepte të ndryshme që emërtohen të dyja "variancë". Njëra, siç u diskutua më lart, është pjesë e një shpërndarjeje teorike probabiliteti dhe përcaktohet nga një ekuacion. Varianca tjetër është një karakteristikë e një grupi vëzhgimesh. Kur varianca llogaritet nga vëzhgimet, ato vëzhgime zakonisht maten nga një sistem i botës reale. Nëse të gjitha rezultatet e mundshme të sistemit janë të pranishme, atëherë varianca e llogaritur quhet variancë e popullsisë. Normalisht, megjithatë, vetëm një nëngrup është i gatshëm dhe varianca e llogaritur nga kjo mënyrë quhet variancë e mostrës. Varianca e llogaritur nga një kampion konsiderohet si një vlerësim i variancës së plotë të popullsisë. Ka shumë mënyra për të llogaritur një vlerësim të variancës së popullsisë, siç diskutohet në seksionin më poshtë.

## Përkufizimi 
Varianca e një ndryshoreje rasti X është vlera e pritur e devijimit nga mesatarja në katror  e X, \mu = \operatorname{E}[X] :

:  \operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}\left[(X - \mu)^2 \right]. 

Ky përkufizim përfshin ndryshore rasti që krijohen nga procese që janë diskrete, të vazhdueshme, as ose të përziera. Varianca mund të konsiderohet gjithashtu si kovarianca e një ndryshoreje të rastësishme me vetveten:

: \operatorname{Var}(X) = \operatorname{Cov}(X, X).

Një tjetër formulë për dispersionin merret si më poshtë:

: \begin{align}
\operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}\left[(X - \operatorname{E}[X])^2\right] \\[4pt]
&= \operatorname{E}\left[X^2 - 2X\operatorname{E}[X] + \operatorname{E}[X]^2\right] \\[4pt]
&= \operatorname{E}\left[X^2\right] - 2\operatorname{E}[X]\operatorname{E}[X] + \operatorname{E}[X]^2 \\[4pt]
&= \operatorname{E}\left[X^2 \right] - \operatorname{E}[X]^2
\end{align}

Me fjalë të tjera, varianca e X është e barabartë me mesataren e n.r X të ngritur në katror minus katrorin e mesatares së X. Ky ekuacion nuk duhet të përdoret për llogaritjet duke përdorur aritmetikën me pikë lundruese, sepse vuan nga anulimi katastrofik nëse dy komponentët e ekuacionit janë të ngjashëm në madhësi. Për alternativa të tjera numerikisht të qëndrueshme, shihni Algoritmet për llogaritjen e variancës .

### Ndryshore e rastit diskrete 
Nëse ndryshorja e rastit X është diskrete me funksion mase probabiliteti x_1 \mapsto p_1, x_2 \mapsto p_2, \ldots, x_n \mapsto p_n, atëherë

: \operatorname{Var}(X) = \sum_{i=1}^n p_i\cdot(x_i - \mu)^2,

ku \mu është vlera e pritur. Kjo është,

: \mu = \sum_{i=1}^n p_i x_i .

Varianca e një bashkësie të n vlerash njëlloj të mundshme shkruhet edhe si:

:  \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 

ku \mu është vlera mesatare. Kjo është,

: \mu = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i .

### Ndryshoret e rastit absolutisht të vazhdueshme 
Nëse ndryshorja e rastit X ka një funksion të densitetit të probabilitetit f(x), dhe F(x) është funksioni përkatës i shpërndarjes mbledhëse, atëherë

: \begin{align}
  \operatorname{Var}(X) = \sigma^2 &= \int_{\R} (x-\mu)^2 f(x) \, dx \\[4pt]
   &= \int_{\R} x^2f(x)\,dx -2\mu\int_{\R} xf(x)\,dx + \mu^2\int_{\R} f(x)\,dx \\[4pt]
   &= \int_{\R} x^2 \,dF(x) - 2 \mu \int_{\R} x \,dF(x) + \mu^2 \int_{\R} \,dF(x) \\[4pt]
   &= \int_{\R} x^2 \,dF(x) - 2 \mu \cdot \mu + \mu^2 \cdot 1 \\[4pt]
   &= \int_{\R} x^2 \,dF(x) - \mu^2,
 \end{align}

ose në mënyrë të njëvlershme,

: \operatorname{Var}(X) = \int_{\R} x^2 f(x) \,dx - \mu^2 ,

## Shembuj 
### Shpërndarja eksponenciale 
Shpërndarja eksponenciale me parametërrin \lambda është një shpërndarje e vazhdueshme, funksioni i densitetit të probabilitetit të së cilës është dhënë nga

: f(x) = \lambda e^{-\lambda x}

në intervalin [0, ∞ ) . Mesatarja e kësaj shpërndarje mund të tregohet se është

: \operatorname{E}[X] = \int_0^\infty \lambda xe^{-\lambda x} \, dx = \frac{1}{\lambda}.

Duke përdorur integrimin me pjesë dhe duke përdorur pritje matematike tashmë të llogaritur, ne kemi:

: \begin{align}
 \operatorname{E}\left[X^2\right] &= \int_0^\infty \lambda x^2 e^{-\lambda x} \, dx \\
  &= \left[ -x^2 e^{-\lambda x} \right]_0^\infty + \int_0^\infty 2xe^{-\lambda x} \,dx \\
  &= 0 + \frac{2}{\lambda}\operatorname{E}[X] \\
  &= \frac{2}{\lambda^2}.
\end{align}

Kështu, varianca e X jepet nga

: \operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}\left[X^2\right] - \operatorname{E}[X]^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 = \frac{1}{\lambda^2}.

### Zari i drejtë 
Hedhja e një zari të drejtë mund të modelohet si n.r diskrete, X, me rezultate nga 1 deri tek 6, secila me probabilitet të njëjtë 1/6. Pritja matematike e X është(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 7/2. Kështu që, varianca e X është

: \begin{align}
 \operatorname{Var}(X) &= \sum_{i=1}^6 \frac{1}{6}\left(i - \frac{7}{2}\right)^2 \\[5pt]
  &= \frac{1}{6}\left((-5/2)^2 + (-3/2)^2 + (-1/2)^2 + (1/2)^2 + (3/2)^2 + (5/2)^2\right) \\[5pt]
  &= \frac{35}{12} \approx 2.92.
\end{align}

### Shpërndarjet e probabilitetit të përdorura zakonisht 
## Vetitë 
### Vetitë themelore 
Varianca është jo negative sepse madhësitë e ngritura në katror janë gjithmonë pozitive ose zero:

: \operatorname{Var}(X)\ge 0.

Varianca e një konstante është zero.

: \operatorname{Var}(a) = 0.

### Çështja e pafundësisë 
Nëse një shpërndarje nuk ka pritje matematike të fundme, siç është rasti për shpërndarjen Cauchy, atëherë edhe varianca nuk mund të jetë e fundme. Megjithatë, disa shpërndarje mund të mos kenë një variancë të fundme, pavarësisht se pritja matematike është e fundme. Një shembull i tillë është një shpërndarje Pareto, indeksi i së cilës k plotëson kushtin 1 

### Njësitë matëse 
Ndryshe nga devijimi absolut i pritur, varianca e një ndryshore ka njësi që janë katrori i njësive të vetë ndryshores. Për shembull, një ndryshore e matur në metra do të ketë një variancë të matur në metra katrorë. Për këtë arsye, përshkrimi i grupeve të të dhënave nëpërmjet devijimit të tyre standard ose devijimit mesatar katror nën rrënjë shpesh preferohet ndaj përdorimit të variancës. Në shembullin e zareve, devijimi standard është \sqrt{2,9} \approx 1,7, pak më i madh se devijimi absolut i pritur, 1.5.

## Përhapja 
### Mbledhja dhe shumëzimi me një konstante 
Varianca është e pandjeshme ndaj ndryshimeve në një parametër vendndodhjeje . Kjo do të thotë se nëse një konstante u shtohet të gjitha vlerave të ndryshores, varianca mbetet e pandryshuar:

: \operatorname{Var}(X+a)=\operatorname{Var}(X).

Nëse të gjitha vlerat shkallëzohen me një konstante, varianca shkallëzohet me katrorin e asaj konstante:

: \operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}(X).

Varianca e shumës së dy ndryshoreve të rastit jepet nga barazimi 

: \operatorname{Var}(aX + bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)+2ab\, \operatorname{Cov}(X,Y) = (a\sigma_X + b\sigma_Y)^2

: \operatorname{Var}(aX - bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)-2ab\, \operatorname{Cov}(X,Y) = (a\sigma_X - b\sigma_Y)^2

ku \operatorname{Cov}(X,Y) është kovarianca dhe \sigma_X është devijimi standard i X.

### Kombinimet lineare 
Në përgjithësi, për shumën e N ndryshoreve të rastit \{X_1,\dots,X_N\}, varianca gjendet si:

: \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^N X_i\right)=\sum_{i,j=1}^N\operatorname{Cov}(X_i,X_j)=\sum_{i=1}^N\operatorname{Var}(X_i)+\sum_{i\ne j}\operatorname{Cov}(X_i,X_j),

Këto rezultate çojnë në variancën e një kombinimi linear të gjetur si:

: 
\begin{align}
\operatorname{Var}\left( \sum_{i=1}^N a_iX_i\right) &=\sum_{i,j=1}^{N} a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j) \\
&=\sum_{i=1}^N a_i^2\operatorname{Var}(X_i)+\sum_{i\not=j}a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j)\\
& =\sum_{i=1}^N a_i^2\operatorname{Var}(X_i)+2\sum_{1\le i

Nëse ndryshoret e rastit X_1,\dots,X_N janë të tilla që

: \operatorname{Cov}(X_i,X_j)=0\ ,\ \forall\ (i\ne j) ,

atëherë thuhet se janë të pakorreluara . Kështu që për to mund të shkruhet:

: \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^N X_i\right)=\sum_{i=1}^N\operatorname{Var}(X_i).

### Prodhimi ndryshoreve 
#### Prodhimi i ndryshoreve të pavarura 
Nëse dy ndryshore X dhe Y janë të pavarura, varianca e prodhimit të tyre jepet nga 

: \operatorname{Var}(XY) = [\operatorname{E}(X)]^2 \operatorname{Var}(Y) + [\operatorname{E}(Y)]^2 \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y).

Në mënyrë të njëvlerëshme, duke përdorur vetitë themelore të pritjes matematike, ajo jepet nga

: \operatorname{Var}(XY) = \operatorname{E}\left(X^2\right) \operatorname{E}\left(Y^2\right) - [\operatorname{E}(X)]^2 [\operatorname{E}(Y)]^2.

#### Produkt i ndryshoreve statistikisht të varura 
: \begin{align}
 \operatorname{Var}(XY)
  ={} &\operatorname{E}\left[X^2 Y^2\right] - [\operatorname{E}(XY)]^2 \\[5pt]
  ={} &\operatorname{Cov}\left(X^2, Y^2\right) + \operatorname{E}(X^2)\operatorname{E}\left(Y^2\right) - [\operatorname{E}(XY)]^2 \\[5pt]
  ={} &\operatorname{Cov}\left(X^2, Y^2\right) + \left(\operatorname{Var}(X) + [\operatorname{E}(X)]^2\right)\left(\operatorname{Var}(Y) + [\operatorname{E}(Y)]^2\right) \\[5pt]
    &- [\operatorname{Cov}(X, Y) + \operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)]^2
\end{align}

## Varianca e popullatës dhe varianca e zgjedhjes/kampionimit 
Vëzhgimet e botës reale të tilla si matjet e shiut të djeshëm gjatë gjithë ditës zakonisht nuk mund të jenë grupe të plota të të gjitha vëzhgimeve të mundshme. Si e tillë, varianca e llogaritur nga bashkësia e fundme në përgjithësi nuk do të përputhet me variancën që do të ishte llogaritur nga popullata e plotë e vëzhgimeve të mundshme. Kjo do të thotë që vlerësohet mesatarja dhe varianca nga një bashkësi e kufizuar vëzhgimesh duke përdorur një ekuacion vlerësues . Vlerësuesi është një funksion i zgjedhjes së n vëzhgimeve të nxjerra pa paragjykime vëzhguese nga e gjithë popullata e vëzhgimeve të mundshme. Në këtë shembull ajo zgjedhje do të ishte grupi i matjeve të reshjeve të djeshme nga matësat në gatishmëri.

Vlerësuesit më të thjeshtë për mesataren e popullsisë dhe variancën e popullsisë janë thjesht mesatarja dhe varianca e zgjedhjes/kampionit, **mesatarja e zgjedhjes** dhe **varianca (e pakorrigjuar) e zgjedhjes**- këta janë vlerësues të qëndrueshëm (ata konvergjojnë në vlerën e saktë teksa numri i zgjedhjeve rritet), por mund të të përmirësohet. Vlerësimi i variancës së popullatës duke marrë variancën e zgjedhjes është afër optimales në përgjithësi, por mund të përmirësohet në dy mënyra. Më thjeshtë, varianca e kampionit llogaritet si një mesatare e devijimeve në katror rreth mesatares (së kampionit), duke e pjesëtuar me n*.* Megjithatë, përdorimi i vlerave të tjera përveç n përmirëson vlerësuesin në mënyra të ndryshme. Katër vlera për emëruesin janë n*,* n-1, n+1, dhe n-1,5: n është më e thjeshta (varianca e popullsisë së kampionit), n-1 eliminon paragjykimet, n+1 minimizon gabimin mesatar në katror për shpërndarjen normale, dhe n-1,5 më së shumti eliminon zjvendosjet/anësinë në vlerësimin e paanshëm të devijimit standard për shpërndarjen normale.

### Varianca e popullsisë 
Në përgjithësi, ***varianca e popullsisë*** së një popullate të *fundme* me madhësi N me vlera x_i jepet nga

: \begin{align}
 \sigma^2 &= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \left(x_i - \mu\right)^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \left(x_i^2 - 2\mu x_i + \mu^2 \right) \\[5pt]
      &= \left(\frac 1N \sum_{i=1}^N x_i^2\right) - 2\mu \left(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i\right) + \mu^2 \\[5pt]
      &= \left(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i^2\right) - \mu^2
\end{align}

ku mesatarja e popullësisë është

: \mu = \frac 1N \sum_{i=1}^N x_i.

Varianca e popullsisë gjithashtu mund të llogaritet duke përdorur

: \sigma^2 = \frac {1} {N^2}\sum_{i

### Varianca e kampionit 
#### Varianca e pazhvendosur e kampionit 
Në shumë situata praktike, varianca e vërtetë e një popullate nuk dihet *apriori* dhe duhet të llogaritet sipas ndonjë mënyre. Kur kemi të bëjmë me popullata jashtëzakonisht të mëdha, nuk është e mundur të numërohet çdo objekt i popullatës, kështu që llogaritja duhet të kryhet në një zgjedhje të popullsisë.  Kjo zakonisht quhet **variancë e zgjedhjes** ose **variancë empirike** . Varianca e zgjedhjes mund të zbatohet gjithashtu për vlerësimin e variancës së një shpërndarjeje të vazhdueshme nga një kampion i asaj shpërndarjeje.

Marrim një kampion me zëvendësim të n vlerave Y_1,...,Y_n nga popullsia, ku n , dhe vlerësojmë variancën në bazë të këtij kampioni.  Marrja e drejtpërdrejtë e variancës së të dhënave të mostrës jep mesataren e devijimeve në katror :

: \tilde{S}_Y^2 =
 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(Y_i - \overline{Y}\right)^2 = \left(\frac 1n \sum_{i=1}^n Y_i^2\right) - \overline{Y}^2 =
 \frac{1}{n^2} \sum_{i,j\,:\,i

Këtu, \overline{Y} tregon mesataren e mostrës :

: \overline{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i .

Meqenëse *Y* *i* zgjidhen rastësisht, të dyja \overline{Y} dhe \tilde{S}_Y^2 janë ndryshore të rastit. Pritjet matematike të tyre mund të vlerësohen duke marrë një mesatare mbi grupin e të gjitha kampioneve të mundshme \{Y_i\} me madhësi *n* nga popullata. Për \tilde{S}_Y^2 kjo jep:

: \begin{align}
 \operatorname{E}[\tilde{S}_Y^2]
  &= \operatorname{E}\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(Y_i - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n Y_j \right)^2 \right] \\[5pt]
  &= \frac 1n \sum_{i=1}^n \operatorname{E}\left[ Y_i^2 - \frac{2}{n} Y_i \sum_{j=1}^n Y_j + \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^n Y_j \sum_{k=1}^n Y_k \right] \\[5pt]
  &= \frac 1n \sum_{i=1}^n \left( \frac{n - 2}{n} \operatorname{E}\left[Y_i^2\right] - \frac{2}{n} \sum_{j \neq i} \operatorname{E}\left[Y_i Y_j\right] + \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^n \sum_{k \neq j}^n \operatorname{E}\left[Y_j Y_k\right] +\frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^n \operatorname{E}\left[Y_j^2\right] \right) \\[5pt]
  &= \frac 1n \sum_{i=1}^n \left[ \frac{n - 2}{n} \left(\sigma^2 + \mu^2\right) - \frac{2}{n} (n - 1)\mu^2 + \frac{1}{n^2} n(n - 1)\mu^2 + \frac{1}{n} \left(\sigma^2 + \mu^2\right) \right] \\[5pt]
  &= \frac{n - 1}{n} \sigma^2.
\end{align}

Prandaj \tilde{S}_Y^2 jep një vlerësim të variancës së popullatës që është e njëanshme/ e zhvendosur me një faktor prej \frac{n - 1}{n} . Per kete arsye, \tilde{S}_Y^2 referohet si *varianca e mostrës së njëanshme* .

#### Varianca e pazhvendosur e zgjedhjes 
Korrigjimi për këtë anësi jep *variancën e pazhvendosur të mostrës*, të shënuar S^2 :

: S^2 = \frac{n}{n - 1} \tilde{S}_Y^2 = \frac{n}{n - 1} \left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(Y_i - \overline{Y}\right)^2 \right] = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^n \left(Y_i - \overline{Y} \right)^2

Secili vlerësues mund të referohet thjesht si *varianca e kampionit* kur versioni mund të përcaktohet nga konteksti.