Autovlerat dhe autovektorët

Në algjebër lineare, një **vektor vetjak** ose **vektor karakteristik** është një vektor e mban drejtimin e tij të pandryshuar nga një transformim i dhënë linear . Më saktësisht, një vektor vetjak, \mathbf v, i një transformimi linear, T, shkallëzohet nga një faktor konstant, \lambda, kur në të zbatohet transformimi linear: T\mathbf v=\lambda \mathbf v . Shpesh është e rëndësishme të njihen këta vektorë në algjebër lineare. **Eigenvalue** përkatëse, **vlera karakteristike** ose **autovlera** është faktori shumëzues \lambda .

Gjeometrikisht, vektorët janë madhësi shumëdimensionale me madhësi dhe drejtim, shpesh të paraqitur si shigjeta. Një transformim linear rrotullon, shtrin ose pret vektorët mbi të cilët vepron. Eigenvektorët e tij janë ata vektorë që janë vetëm të shtrirë, pa rrotullim dhe prerje. Eigenvalue korresponduese është faktori me të cilin një eigenvektor shtrihet ose shtypet. Nëse eigenvlera është negative, drejtimi i vektorit vetjak është i kundërt. 

Eigenvektorët dhe vlerat vetjake të një transformimi linear shërbejnë për ta karakterizuar atë, dhe kështu ata luajnë role të rëndësishme në të gjitha fushat ku zbatohet algjebra lineare, nga gjeologjia në mekanikën kuantike . Në veçanti, është shpesh rasti që një sistem përfaqësohet nga një transformim linear, rezultatet e të cilit ushqehen si hyrje për të njëjtin transformim ( feedback ). Në një zbatim të tillë, eigenvlera më e madhe është e një rëndësie të veçantë, sepse ajo rregullon sjelljen afatgjatë të sistemit pas shumë zbatimeve të transformimit linear, dhe eigenvektori i lidhur është gjendja e qëndrueshme e sistemit.

## Përkufizimi 
Konsiderohet një matricë, A dhe një vektor jozero, \mathbb{v} . Nëse zbatohet A mbi \mathbb{v} (shënohet me A\mathbb{v} ) thjesht shkallëzon \mathbb{v} me një faktor λ, ku λ është një skalar, atëherë \mathbb{v} është eigenvektor i A, dhe λ është eigenvlera përkatëse. Kjo marrëdhënie mund të shprehet si: A\mathbb{v} = \lambda \mathbb{v} . 

Nëse V është me dimensione të fundme, ekuacioni i mësipërm është i njëvlershëm me  A\mathbf{u} = \lambda \mathbf{u},

## Vështrim i përgjithshëm 
Eigenvlerat dhe eigenvektorët shfaqen dukshëm në analizën e transformimeve lineare. Parashtesa '** është adoptuar nga fjala gjermane **' ( gjegjëse me fjalën angleze '''' ) për 'e duhur', 'karakteristike', 'vetjake'.   Fillimisht e përdorur për të studiuar boshtet kryesore të lëvizjes rrotulluese të trupave të ngurtë, eigenvlerat dhe eigenvektorët kanë një gamë të gjerë zbatimesh, për shembull në analizën e stabilitetit, analizën e dridhjeve, orbitalet atomike, njohjen e fytyrës dhe diagonalizimin e matricave .

Në thelb, një vektor vetjak **v** i një transformimi linear *T* është një vektor jozero që, kur *T* zbatohet në të, nuk ndryshon drejtimin. Zbatimi i *T-* së në vektorin vetjak e shkallëzon eigenvektorin vetëm me vlerën skalare *λ*, e quajtur eigenvlerë. Ky kusht mund të shkruhet si ekuacion T(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v}, referuar si **ekuacioni i eigenvlerave** ose **eigenekuacion** . Në përgjithësi, *λ* mund të jetë çdo skalar . Për shembull, *λ* mund të jetë negativ, në të cilin rast eigjenvektori e ndryshon drejtimin si pjesë e shkallëzimit, ose mund të jetë zero ose kompleks .
[parapamje|320x320px| Në këtë [Hartë me prerje|hartë krasitje, shigjeta e kuqe ndryshon drejtimin, por shigjeta blu jo. Shigjeta blu është një eigenvektor i këtij hartëzimi prerës sepse nuk ndryshon drejtimin dhe meqenëse gjatësia e saj është e pandryshuar, autovlera e tij është 1.]]
parapamje|203x203px| Një matricë reale dhe simetrike 2×2 që përfaqëson një shtrirje dhe prerje të planit. Eigenvektorët e matricës (vijat e kuqe) janë dy drejtime të veçanta të tilla që çdo pikë në to thjesht do të rrëshqasë mbi to.
Shembulli këtu, i bazuar tek Mona Lisa, ofron një ilustrim të thjeshtë. Çdo pikë në pikturë mund të përfaqësohet si një vektor që tregon nga qendra e pikturës në atë pikë. Transformimi linear në këtë shembull quhet një hartë prerëse . Pikat në gjysmën e sipërme zhvendosen djathtas dhe pikat në gjysmën e poshtme zhvendosen majtas, në përpjesëtim me largësinë nga boshti horizontal që kalon në mes të pikturës. Prandaj, vektorët që tregojnë çdo pikë në imazhin origjinal janë të anuar djathtas ose majtas dhe bëhen më të gjatë ose më të shkurtër nga transformimi. Pikat *përgjatë* boshtit horizontal nuk lëvizin fare kur zbatohet ky transformim. Prandaj, çdo vektor që tregon drejtpërsëdrejti djathtas ose majtas pa asnjë komponent vertikal është një vektor i veçantë i këtij transformimi, sepse hartëzimi nuk ndryshon drejtimin e tij. Për më tepër, këta eigenvektorë kanë të gjithë një eigenvlerë të barabartë me një, sepse hartëzimi nuk ndryshon as gjatësinë e tyre.

Transformimet lineare mund të marrin shumë forma të ndryshme, duke hartuar vektorë në një larmi hapësirash vektoriale, kështu që vektorët e vetë mund të marrin gjithashtu shumë forma. Për shembull, transformimi linear mund të jetë një operator diferencial si \tfrac{d}{dx}, në të cilin rast eigenvektorët janë funksione të quajtura eigenfunksione që janë të shkallëzuara nga ai operator diferencial, si p.sh. \frac{d}{dx}e^{\lambda x} = \lambda e^{\lambda x}. Përndryshe, transformimi linear mund të marrë formën e një matrice me përmasa *n* x *n*, në të cilin rast eigenvektorët janë matrica *n* x 1. Nëse transformimi linear shprehet në formën e një matrice A me përmasa *n* x *n* , atëherë ekuacioni i vlerës vetjake për një transformim linear më sipër mund të rishkruhet si shumëzimi i matricës A\mathbf v = \lambda \mathbf v, ku eigenvektori *v* është një matricë *n* me 1. Për një matricë, eigenvlerat dhe eigenvektorët mund të përdoren për të zbërthyer matricën - për shembull duke e diagonalizuar atë.

## Historia 
Eigenvlerat shpesh futen në kontekstin e algjebrës lineare ose teorisë së matricës . Historikisht, megjithatë, ato u ngritën në studimin e formave kuadratike dhe ekuacioneve diferenciale .

Në shekullin e 18-të, Leonhard Euler studioi lëvizjen rrotulluese të një trupi të ngurtë dhe zbuloi rëndësinë e boshteve kryesore .  Joseph-Louis Lagrange kuptoi se boshtet kryesore janë eigenvektorët e matricës së inercisë. 

## Eigenvlerat dhe eigenvektorët e matricave 
Eigenvlerat dhe eigenvektorët shpesh u prezantohen studentëve në kontekstin e kurseve të algjebrës lineare të fokusuara tek matricat.   Për më tepër, transformimet lineare mbi një hapësirë vektoriale me dimensione të fundme mund të përfaqësohen duke përdorur matrica,   që është veçanërisht e zakonshme në zbatimet numerike dhe llogaritëse. 
djathtas|parapamje|250x250px| Matrica *A* vepron duke shtrirë vektorin **x**, duke mos ndryshuar drejtimin e tij, kështu që **x** është një autovektor i *A.*
Konsideroni vektorët n-dimensionale që formohen si një listë n-skalarësh, siç janë vektorët tredimensionale \mathbf x = \begin{bmatrix}1\\-3\\4\end{bmatrix}\quad\mbox{dhe}\quad \mathbf y = \begin{bmatrix}-20\\60\\-80\end{bmatrix}.

Këta vektorë thuhet se janë shumëfish skalar të njëri-tjetrit, ose paralelë ose kolinearë, nëse ekziston një λ skalar i tillë që \mathbf x = \lambda \mathbf y.

Në këtë rast, \lambda = -\frac{1}{20}  .

Tani merrni parasysh transferimin linear formimi i vektorëve n -dimensionale të përcaktuar nga një matricë n nga n A, A \mathbf v = \mathbf w, ose \begin{bmatrix}
  A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\
  A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \\
 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
  v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n
 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
  w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_n
 \end{bmatrix}
 ku, për çdo rresht, w_i = A_{i1} v_1 + A_{i2} v_2 + \cdots + A_{in} v_n = \sum_{j = 1}^n A_{ij} v_j.

Nëse ndodh që *v* dhe *w* janë shumëfisha skalarë, kjo është nëse:

A \mathbf v = \mathbf w = \lambda \mathbf vatëherë v është një **eigenvektor** i transformimit linear A dhe faktori i shkallës λ është **eigenvlera** që i korrespondon atij eigenvektor. Ekuacioni ( 1 ) është **ekuacioni i vlerës së vet** për matricën A

Ekuacioni ( 1 ) mund të deklarohet në mënyrë të njëvlershme si:

\left(A - \lambda I \right) \mathbf v = \mathbf 0

ku I është matrica e identitetit n x n dhe **0** është vektori zero.

### Eigenvlerat dhe polinomi karakteristik 
Ekuacioni ( 2 ) ka një zgjidhje jozero *v* atëherë dhe vetëm atëherë kur përcaktori i matricës  është zero. Prandaj, vlerat vetjake të *A* janë vlera të *λ* që plotësojnë ekuacionin:

\det(A - \lambda I) = 0

Duke përdorur formulën e Lajbnicit për përcaktorët, ana e majtë e ekuacionit ( 3 ) është një funksion polinomial i ndryshores *λ* dhe shkalla e këtij polinomi është *n*, rendi i matricës *A* . Koeficientët e tij varen nga hyrjet e *A*, përveç se termi i tij i shkallës *n* është gjithmonë (−1) *n* *λ* *n* . Ky polinom quhet *polinomi karakteristik* i *A.* Ekuacioni ( 3 ) quhet *ekuacioni karakteristik* ose *ekuacioni shekullar* i *A.*

Teorema themelore e algjebrës nënkupton që polinomi karakteristik i një matrice *n* x *n* *A*, duke qenë një polinom i shkallës *n*, mund të faktorizohet në produktin e *n* termave linearë:

\det(A - \lambda I) = (\lambda_1 - \lambda )(\lambda_2 - \lambda) \cdots (\lambda_n - \lambda)

Si një shembull i shkurtër, i cili përshkruhet më në detaje në seksionin e shembujve më vonë, shqyrtohet matrica: A = \begin{bmatrix}
 2 & 1\\
 1 & 2
\end{bmatrix}.

Duke marrë përcaktorin e , polinomi karakteristik i *A* është \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix}
  2 - \lambda & 1 \\
  1      & 2 - \lambda
 \end{vmatrix} =
 3 - 4\lambda + \lambda^2.

Supozoni se një matricë *A* ka dimensione *n* dhe *d* ≤ *n* vlera vetjake të dallueshme. Ndërsa ekuacioni ( 4 ) faktorizon polinomin karakteristik të *A* në produktin e *n* termave linearë me disa terma që potencialisht përsëriten, polinomi karakteristik mund të shkruhet gjithashtu si prodhim i *d* termave që secili korrespondon me një vlerë të veçantë të veçantë dhe i ngritur në fuqinë e shumësia algjebrike, \det(A - \lambda I) = (\lambda_1 - \lambda)^{\mu_A(\lambda_1)}(\lambda_2 - \lambda)^{\mu_A(\lambda_2)} \cdots (\lambda_d - \lambda)^{\mu_A(\lambda_d)}.

Nëse hyrjet e matricës *A* janë të gjitha numra realë, atëherë koeficientët e polinomit karakteristik do të jenë gjithashtu numra realë, por vlerat e veta mund të kenë ende pjesë imagjinare jozero. Prandaj, hyrjet e eigenvektorëve përkatës mund të kenë gjithashtu pjesë imagjinare jozero. Në mënyrë të ngjashme, vlerat vetjake mund të jenë numra irracionalë edhe nëse të gjitha hyrjet e *A* janë numra racionalë ose edhe nëse janë të gjithë numra të plotë. Megjithatë, nëse shënimet e *A* janë të gjithë numra algjebrikë, të cilët përfshijnë racionalë, vlerat e veta duhet gjithashtu të jenë numra algjebrikë.

### Spektri i një matrice 
**Spektri** i një matrice është lista e vlerave vetjake, të përsëritura sipas shumëfishitetit; në një shënim alternativ bashkësia e vlerave vetjake me shumëfishimet e tyre.

Një sasi e rëndësishme e lidhur me spektrin është vlera maksimale absolute e çdo vlere vetjake. Kjo njihet si rrezja spektrale e matricës.

### Shumësia/shumëfishiteti algjebrik(e) 
Le të jetë *λ**i* një vlerë vetjake e matricës *A* n x *n* . **Shumësia algjebrike** *μ**A* ( *λ**i* ) e vlerës vetjake është shumësia i saj si rrënjë e polinomit karakteristik, pra numri i plotë më i madh *k* i tillë që ( *λ* − *λ* *i* ) *k* e pjesëton në mënyrë të barabartë atë polinom.   

Nëse *d* = *n*, atëherë ana e djathtë është prodhim i *n* termave linearë dhe kjo është e njëjtë me ekuacionin ( 4 ). Madhësia e shumësisë algjebrike të çdo vlere vetjake lidhet me dimensionin *n* si: \begin{align}
   1 &\leq \mu_A(\lambda_i) \leq n, \\
 \mu_A &= \sum_{i=1}^d \mu_A\left(\lambda_i\right) = n.
\end{align} 

Nëse *d* = *n*, atëherë ana e djathtë është prodhim i *n* termave linearë dhe kjo është e njëjtë me ekuacionin ( 4 ). Madhësia e shumësisë algjebrike të çdo vlere vetjake lidhet me dimensionin *n* si: \begin{align}
   1 &\leq \mu_A(\lambda_i) \leq n, \\
 \mu_A &= \sum_{i=1}^d \mu_A\left(\lambda_i\right) = n.
\end{align} 

Nëse *μ**A* ( *λ**i* ) = 1, atëherë *λ**i* thuhet se është një *vlerë vetjake e thjeshtë* .  Nëse *μ**A* ( *λ**i* ) është e barabartë me shumësinë gjeometrike të *λ**i*, *γ**A* ( *λ**i* ), të përcaktuar në seksionin vijues, atëherë *λ* *i* thuhet se është një *vlerë vetjake gjysmë e thjeshtë* .

### Shembuj matricorë 
#### Shembull i matricës dydimensionale 
[[Skeda:Eigenvectors.gif|djathtas|i_kornizuar| Matrica e transformimit *A* = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right] ruan drejtimin e vektorëve të purpurt paralelë me **v***λ*=1 = [1 −1] T dhe vektorëve blu paralel me **v***λ*=3 = [1 1] T . Vektorët e kuq nuk janë paralel me asnjërin eigenvektor, kështu që drejtimet e tyre ndryshojnë nga transformimi. Gjatësitë e vektorëve të purpurt janë të pandryshuara pas transformimit (për shkak të vlerës së tyre vetjake prej 1), ndërsa vektorët blu janë trefishi i gjatësisë së origjinalit (për shkak të eigenvalës së tyre prej 3). ]]
Merrni parasysh matricën A = \begin{bmatrix}
 2 & 1\\
 1 & 2
\end{bmatrix}.

Figura në të djathtë tregon efektin e këtij transformimi në koordinatat e pikave në rrafsh. Vektorët vetjakë *v* të këtij transformimi plotësojnë ekuacionin ( **1** ), dhe vlerat e *λ* për të cilat përcaktori i matricës ( *A*&nbsp;−&nbsp;*λI* ) baraz me zero janë vlerat vetjake.

Marrja e përcaktorit për të gjetur polinomin karakteristik të *A*, \begin{align}
   \det(A - \lambda I) 
 &= \left|\begin{bmatrix}
  2 & 1 \\
  1 & 2
 \end{bmatrix} - \lambda\begin{bmatrix}
  1 & 0 \\
  0 & 1
 \end{bmatrix}\right| = \begin{vmatrix}
  2 - \lambda & 1 \\
  1      & 2 - \lambda
 \end{vmatrix} \\[6pt]
   &= 3 - 4\lambda + \lambda^2 \\[6pt]
   &= (\lambda - 3)(\lambda - 1).
\end{align}

Duke barazuar polinomin karakteristik me zero, ai ka rrënjë në  dhe , të cilat janë dy vlerat vetjake të *A* .

Për , ekuacioni ( 2 ) bëhet, (A - I)\mathbf{v}_{\lambda=1} = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1 \\ v_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix}1v_1 + 1v_2 = 0Çdo vektor jozero me *v*1 = − *v*2 e zgjidh këtë ekuacion. Prandaj, \mathbf{v}_{\lambda=1} = \begin{bmatrix} v_1 \\ -v_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} është një eigenvektor i *A* që korrespondon me *λ* = 1, siç është çdo shumëfish skalar i këtij vektori.

Për , ekuacioni ( 2 ) bëhet \begin{align}
 (A - 3I)\mathbf{v}_{\lambda=3} &=
 \begin{bmatrix} -1 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\
 -1v_1 + 1v_2 &= 0;\\
  1v_1 - 1v_2 &= 0
\end{align}Çdo vektor jozero me *v* 1 = *v* 2 e zgjidh këtë ekuacion. Prandaj, \mathbf v_{\lambda=3} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}është një eigenvektor i *A* që korrespondon me *λ* = 3, siç është çdo shumëfish skalar i këtij vektori.

Kështu, vektorët **v** *λ* =1 dhe **v** *λ* =3 janë eigenvektorë të *A* të shoqëruar me vlerat vetjake  dhe , përkatësisht.

#### Shembull i matricës tredimensionale 
Merrni parasysh matricën A = \begin{bmatrix}
 2 & 0 & 0 \\
 0 & 3 & 4 \\
 0 & 4 & 9
\end{bmatrix}.

Polinomi karakteristik i *A* është \begin{align}
 \det(A - \lambda I) &= \left|\begin{bmatrix}
  2 & 0 & 0 \\
  0 & 3 & 4 \\
  0 & 4 & 9
 \end{bmatrix} - \lambda\begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 1
 \end{bmatrix}\right| =
 \begin{vmatrix}
  2 - \lambda & 0 & 0 \\
  0 & 3 - \lambda & 4 \\
  0 & 4 & 9 - \lambda
 \end{vmatrix}, \\[6pt]
        &= (2 - \lambda)\bigl[(3 - \lambda)(9 - \lambda) - 16\bigr]
         = -\lambda^3 + 14\lambda^2 - 35\lambda + 22.
\end{align}

Rrënjët e polinomit karakteristik janë 2, 1 dhe 11, të cilat janë tre vlerat e vetme të *A* . Këto vlera vetjake korrespondojnë me eigenvektorët {{Nowrap|\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^\textsf{T},}} {{Nowrap|\begin{bmatrix} 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}^\textsf{T},}} dhe {{Nowrap|\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}^\textsf{T},}} ose ndonjë shumëfish jozero të tij.