Shpërndarja e Laplasit

{{Infobox shpërndarja e gjasës|type=density|name=Laplas|cdf=\begin{cases}
                \frac{1}{2} e^{ \frac{x-\mu}{b} } & \text{nëse }x \leq \mu \\[8pt]
                1-\frac{1}{2} e^{ -\frac{x-\mu}{b}} & \text{nëse }x \geq \mu
              \end{cases}|cdf_image=|parameters=\mu shkalla (real)b > 0 shkalla (real)|pdf_image=|pdf=\frac{1}{2b} e^ {-\frac{b} }|quantile=\begin{cases}
                \mu+b \ln \left( 2F\right) & \text{nëse }F \leq \frac{1}{2} \\[8pt]
                \mu-b\ln \left( 2-2F\right) & \text{nëse }F \geq \frac{1}{2}
              \end{cases}|mean=\mu|median=\mu|mode=\mu|variance=2b^2|skewness=0|entropy=\ln(2be)|kurtosis=3}}

Në teorinë e probabiliteti dhe statistikë , **shpërndarja e Laplasit** është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti e cila e merr emrin nga Pierre-Simon Laplace . Nganjëherë quhet edhe **shpërndarja eksponenciale e dyfishtë**, sepse mund të mendohet si dy shpërndarje eksponenciale (me një parametër shtesë të vendndodhjes) të bashkuara së bashku përgjatë abshisës, megjithëse termi ndonjëherë përdoret gjithashtu për t'iu referuar shpërndarjes Gumbel . Ndryshesa midis dy ndryshoreve të rastit të pavarura të shpërndara identikisht me ligj eksponencial, ndjek një shpërndarje Laplas, siç është një lëvizje Browniane e vlerësuar në një kohë të rastësishme të shpërndarë në mënyrë eksponenciale. Rritjet e lëvizjes Laplas ose një procesi variance gama të vlerësuar mbi shkallën kohore gjithashtu kanë një shpërndarje Laplace.

## Përkufizimet 
### Funksioni i densitetit të probabilitetit 
Një ndryshore e rastit ndjek një shpërndarje \textrm{Laplace}(\mu, b)  nëse funksioni i densitetit të probabilitetit të saj është:

: f(x\mid\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp \left( -\frac{b} \right) \,\!

Këtu, \mu është një parametër i vendndodhjes dhe b > 0, i cili nganjëherë quhet "diversitet", është një parametër i shkallës . Nëse \mu = 0 dhe b = 1, gjysmëdrejtëza pozitive është saktësisht një shpërndarje eksponenciale e shkallëzuar me 1/2.

Funksioni i densitetit të probabilitetit të shpërndarjes Laplas të kujton shpërndarjen normale ; megjithatë, ndërsa shpërndarja normale shprehet me ndryshesën në katror nga mesatarja \mu, dendësia e Laplasit shprehet në terma të ndryshimit absolut nga mesatarja. Rrjedhimisht, shpërndarja Laplace ka bishta më të trashë se shpërndarja normale.

### Funksioni mbledhës i shpërndarjes 
Shpërndarja Laplas është e lehtë për t'u integruar (nëse dallohen dy raste simetrike) për shkak të përdorimit të funksionit të vlerës absolute . Funksioni i tij mbledhës i shpërndarjes është si më poshtë:

: \begin{align}
F(x) &= \int_{-\infty}^x \!\!f(u)\,\mathrm{d}u = \begin{cases}
       \frac12 \exp \left( \frac{x-\mu}{b} \right) & \mbox{if }x 

Funksioni i shpërndarjes mbledhëse të anasjelltë jepet nga

: F^{-1}(p) = \mu - b\,\sgn(p-0.5)\,\ln(1 - 2|p-0.5|).

## Vetitë 
### Momentet 
: \mu_r' = \bigg({\frac{1}{2}}\bigg) \sum_{k=0}^r \bigg[{\frac{r!}{(r-k)!}} b^k \mu^{(r-k)} \{1 + (-1)^k\}\bigg].

### Shpërndarjet e ndërlidhura 
* Nëse X \sim \textrm{Laplace}(\mu, b) atëherë kX + c \sim \textrm{Laplace}(k\mu + c, |k|b).
* Nëse X \sim \textrm{Laplace}(0, 1) atëherë bX \sim \textrm{Laplace}(0, b).
* Nëse X \sim \textrm{Laplace}(0, b) atëherë \left|X\right| \sim \textrm{Exponential}\left(b^{-1}\right) (shpërndarja eksponenciale).
* Nëse X, Y \sim \textrm{Exponential}(\lambda) atëherë X - Y \sim \textrm{Laplace}\left(0, \lambda^{-1}\right)．
* Nëse X \sim \textrm{Laplace}(\mu, b) atëherë \left|X - \mu\right| \sim \textrm{Exponential}(b^{-1}).
* Nëse X \sim \textrm{Laplace}(\mu, b) atëherë X \sim \textrm{EPD}(\mu, b, 1) (shpërndarja normale e përgjithësuar).
* Nëse X_1, ...,X_4 \sim \textrm{N}(0, 1) (shpërndarja normale) atëherë X_1X_2 - X_3X_4 \sim \textrm{Laplace}(0, 1) dhe (X_1^2 - X_2^2 + X_3^2 - X_4^2)/2 \sim \textrm{Laplace}(0, 1).
* Nëse X_i \sim \textrm{Laplace}(\mu, b) atëherë \frac{\displaystyle 2}{b} \sum_{i=1}^n |X_i-\mu| \sim \chi^2(2n) (shpërndarja hi katror).
* Nëse X, Y \sim \textrm{Laplace}(\mu, b) atëherë \tfrac \sim \operatorname{F}(2,2). (shpërndarja F)
* Nëse X, Y \sim \textrm{U}(0, 1) (shpërndarja e njëtrajtshme) atëherë \log(X/Y) \sim \textrm{Laplace}(0, 1).
* Nëse X \sim \textrm{Exponential}(\lambda) dhe Y \sim \textrm{Bernoulli}(0.5) (shpërndarja Bernuli) e pavarur nga X, atëherë X(2Y - 1) \sim \textrm{Laplace}\left(0, \lambda^{-1}\right).
* Nëse X \sim \textrm{Exponential}(\lambda) dhe Y \sim \textrm{Exponential}(\nu) e pavarur nga X, atëherë \lambda X - \nu Y \sim \textrm{Laplace}(0, 1)．
* Nëse X ka një shpërndarje Rademacher dhe Y \sim \textrm{Exponential}(\lambda) atëherë XY \sim \textrm{Laplace}(0, 1/\lambda).
* Nëse V \sim \textrm{Exponential}(1) dhe Z \sim N(0, 1) e pavarur nga V, atëherë X = \mu + b \sqrt{2 V}Z \sim \mathrm{Laplace}(\mu,b).
* Nëse X \sim \textrm{GeometricStable}(2, 0, \lambda, 0) (shpërndarja gjeometrike e qëndrueshme) atëherë X \sim \textrm{Laplace}(0, \lambda).
* Nëse X|Y \sim \textrm{N}(\mu,Y^2) me Y \sim \textrm{Rayleigh}(b) (shpërndarja Rayleigh ) atëherë X \sim \textrm{Laplace}(\mu, b). Vereni së nëse Y \sim \textrm{Rayleigh}(b), atëherë Y^2 \sim \textrm{Gamma}(1,2b^2)  me \textrm{E}(Y^2)=2b^2, e cila është e barabartë me \textrm{Exp}(1/(2b^2)).
* Dhënë një numër i plotë n \ge 1, Nëse X_i, Y_i \sim \Gamma\left(\frac{1}{n}, b\right) (shpërndarja gamma, duke përdorur karakterizimin k, \theta ), atëherë \sum_{i=1}^n \left( \frac{\mu}{n} + X_i - Y_i\right) \sim \textrm{Laplace}(\mu, b) (pjestueshmëria e pafundme)
* Nëse *X* ka një shpërndarje Laplasi, atëherë *Y* = *e**X* ka një shpërndarje log Laplasi; anasjelltas, Nëse *X* ka një shpërndarje log Laplasi, atëherë logaritmi i saj  ka një shpërndarje Laplasi.

### Lidhja me shpërndarjen eksponenciale 
Një ndryshore e rastit Laplas mund të përfaqësohet si ndryshesë e dy ndryshoreve të rastit eksponenciale të pavarura dhe identikisht të shpërndara ( iid ). 

: \hat{\mu} = \mathrm{med}(x).

Vlerësuesi MLE i b është shmangia absolute mesatare nga mesorja,

: \hat{b} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} |x_i - \hat{\mu}|.

## Ndodhia dhe aplikimet 
Shpërndarja e Laplasit është përdorur në njohjen e të folurit për të modeluar pararendësit në koeficientët DFT  dhe në ngjeshjen e imazhit JPEG për të modeluar koeficientët AC  të krijuar nga një DCT .

* Shtimi i zhurmës së nxjerrë nga një shpërndarje e Laplasit, me parametrin e shkallëzimit të përshtatshëm për ndjeshmërinë e një funksioni, në daljen e një query të bazës së të dhënave statistikore është mjeti më i zakonshëm për të siguruar privatësi diferenciale në bazat e të dhënave statistikore.

parapamje|300x300px| Shpërndarja e Laplasit e përshtatur në reshjet maksimale njëditore

* Në analizën e regresit, vlerësimi i devijimeve absolute më të pakta lind si vlerësimi i përgjasisë maksimale nëse gabimet kanë një shpërndarje Laplasi.
* Rregullimi Lasso mund të mendohet si një regresion Bejesi me një pararendës Laplasi për koeficientët. 
* Në hidrologji shpërndarja e Laplasit zbatohet për ngjarje ekstreme si reshjet vjetore maksimale njëditore dhe shkarkimet e lumenjve. Fotografia blu, e bërë me CumFreq, ilustron një shembull të përshtatjes së shpërndarjes Laplas me reshjet maksimale vjetore të renditura njëditore, duke treguar gjithashtu rripin e besimit 90% bazuar në shpërndarjen binomiale . Të dhënat e reshjeve përfaqësohen nga pozicionet e grafikuara si pjesë e analizës së frekuencës mbledhëse .
* Shpërndarja e Laplasit ka aplikime në financa. Për shembull, SG Kou zhvilloi një model për çmimet e instrumenteve financiare duke përfshirë një shpërndarje Laplasi (në disa raste një shpërndarje asimetrike Laplasi ) për të adresuar problemet e shtrembërimit, kurtozës dhe buzëqeshjes së paqëndrueshmërisë që ndodh shpesh kur përdoret një shpërndarje normale për çmimin e këtyre instrumenteve.  

## Historia 
Kjo shpërndarje shpesh përmendet si "ligji i parë i gabimeve të Laplasit". Ai e botoi atë në 1774, duke modeluar frekuencën e një gabimi si një funksion eksponencial të madhësisë së tij mbasi shenja e tij shpërfillej. Laplasi më vonë do ta zëvendësonte këtë model me "ligjin e tij të dytë të gabimeve", bazuar në shpërndarjen normale, pas zbulimit të teoremës qëndrore limite.  

Keynes botoi një punim në 1911 bazuar në tezën e tij të mëparshme ku ai tregoi se shpërndarja e Laplasit minimizonte devijimin absolut nga mesatarja.