Divergjenca

alt=A vector field with diverging vectors, a vector field with converging vectors, and a vector field with parallel vectors that neither diverge nor converge|parapamje|500x500px| Divergjenca e fushave të ndryshme vektoriale. Divergjenca e vektorëve nga pika (x,y) është e barabartë me shumën e derivatit të pjesshëm - në lidhje me - x të komponentit x dhe derivatit të pjesshëm - në lidhje me - y *-* të komponentit y në atë kohë pika: \nabla\!\cdot(\mathbf{V}(x,y)) = \frac{\partial\, {V_x(x,y)}}{\partial{x}}+\frac{\partial\, {V_y(x,y)}}{\partial{y}}
Në llogaritjen vektoriale, **divergjenca** është një operator vektorial që vepron mbi një fushë vektoriale, duke prodhuar një fushë skalare që jep madhësinë e burimit të fushës vektoriale në secilën pikë. Më teknikisht, divergjenca përfaqëson dëndësinë e vëllimit të fluksit të jashtëm të një fushe vektoriale nga një vëllim pambarimisht i vogël rreth një pike të caktuar.

Si shembull, merrni parasysh ajrin ndërsa nxehet ose ftohet. Shpejtësia e ajrit në çdo pikë përcakton një fushë vektoriale. Ndërsa ajri nxehet në një rajon, ai zgjerohet në të gjitha drejtimet, dhe kështu fusha e shpejtësisë tregon jashtë nga ai rajon. Kështu, divergjenca e fushës së shpejtësisë në atë rajon do të kishte një vlerë pozitive. Ndërsa ajri ftohet dhe kështu tkurret, divergjenca e shpejtësisë ka një vlerë negative.

## E ç'është divergjenca? 
parapamje| Divergjenca në një pikë x është limiti i raportit të fluksit \Phi përmes sipërfaqes S_i *(shigjeta të kuqe)* tek vëllimi |V_i| për çdo varg të rajoneve të mbyllura V_1,V_2,V_3... që mbyllin x i cili i afrohet vëllimit zero: \operatorname{div} \mathbf{F} = \lim_
Divergjenca e një fushe vektoriale \boldsymbol{F(x)} në një pikë x_0 përcaktohet si kufiri i raportit të integralit të sipërfaqes së \boldsymbol{F} jashtë sipërfaqes së mbyllur të një vëllimi V që mbyll x_0 me vëllimin e V, ndërsa V tkurret në zero

\operatorname{div \boldsymbol{F|_{x_0}}} = \lim_{V \to 0} \frac{1} \oiint_{S(V)} \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{\widehat{n}} \text{  d}{S} 

ku |V|  është vëllimi i V , S(V)  është kufiri i V , and  \mathbf{\hat n} është normalja njësi e asaj sipërfaqe.  IMund të tregohet se limiti i mësipërm konvergjon gjithmonë drejt së njëjtës vlerë për çdo sekuencë vëllimesh që përmbajnë x_0  dhe i afrohen zeros.  Rezultati, \operatorname{div} F , është një funksion skalar i x .

## Përkufizimi në koordinata 
### Koordinatat karteziane 
Në koordinatat karteziane tredimensionale, divergjenca e një fushe vektoriale vazhdimisht të diferencueshme \mathbf{F} = F_x\mathbf{i} + F_y\mathbf{j} + F_z\mathbf{k} përkufizohet si funksioni me vlera skalare :

: \operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot (F_x,F_y,F_z) = \frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.

### Koordinatat cilindrike 
Për një vektor të shprehur në koordinata cilindrike njësi si

: \mathbf{F}= \mathbf{e}_r F_r + \mathbf{e}_\theta F_\theta + \mathbf{e}_z F_z,

ku \textbf{e}_a  është vektori njësi në drejtimin a, divergjenca është 

: \operatorname{div} \mathbf F = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r F_r\right) + \frac1r \frac{\partial F_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}.

Përdorimi i koordinatave vendore është jetik për vlefshmërinë e shprehjes. Nëse marrim parasysh \vec{x}  si vektorin e vendndodhjes dhe funksionet r(\vec{x}) , \theta{(\vec{x})}  dhe z (\vec{x}) , të cilët i caktojnë një vektori koordinatën cilindrike **globale** përkatëse, në përgjithësi. r(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_r(\mathbf{x}), \theta(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_{\theta}(\mathbf{x}), dhe z(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_z(\mathbf{x}) . Në veçanti, nëse marrim parasysh funksionin e identitetit \boldsymbol{F}(\vec{x}) = \vec{x} , gjejmë se:

: \theta(\mathbf{F}(\mathbf{x})) = \theta \neq F_{\theta}(\mathbf{x}) = 0 .

### Koordinatat sferike 
Në koordinatat sferike, me \theta  këndin me boshtin z  dhe \varphi  rrotullimin rreth boshtit z , dhe F  përsëri të shkruar në koordinatat e njësive vendore, divergjenca është:

: \operatorname{div}\mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac1{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 F_r\right) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin\theta\, F_\theta) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi}.

## Vetitë 
Vetitë e mëposhtme mund të nxirren të gjitha nga rregullat e zakonshme të diferencimit të llogaritjes . Më e rëndësishmja, divergjenca është një operator linear, dmth.

: \operatorname{div}(a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a \operatorname{div} \mathbf{F} + b \operatorname{div} \mathbf{G}

për të gjitha fushat vektoriale \boldsymbol{F}  dhe \boldsymbol{G}  dhe të gjithë numrat realë a  dhe b  .

Ekziston një rregull produkti i llojit të mëposhtëm: nëse \varphi  është një funksion me vlera skalare dhe F  është një fushë vektoriale, atëherë

: \operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) = \operatorname{grad} \varphi \cdot \mathbf{F} + \varphi \operatorname{div} \mathbf{F},

ose në shënime më sugjestive

: \nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi (\nabla\cdot\mathbf{F}).

Një rregull tjetër produkti për produktin kryq të dy fushave vektoriale \boldsymbol{F}  dhe \boldsymbol{G}  në tre dimensione përfshin kaçurrelin dhe lexon si më poshtë:

: \operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = \operatorname{curl} \mathbf{F} \cdot\mathbf{G} - \mathbf{F} \cdot \operatorname{curl} \mathbf{G},

ose

: \nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}).

Laplasiani i një fushe skalare është divergjenca e gradientit të fushës:

: \operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi) = \Delta\varphi.

Divergjenca e kaçurrelit të çdo fushe vektoriale (në tre dimensione) është e barabartë me zero:

: \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=0.