Probabiliteti

**Probabiliteti** është dega e matematikës e cila merret me ngjarjet dhe përshkrimet numerike se sa gjasa ka që ato të ndodhin. Probabiliteti i një ngjarje është një numër midis 0 dhe 1, sa më i madh të jetë ky numër aq më të mëdhaja janë gjasat që kjo ngjarje të ndodhë.

## Eksperimentet e rastit 
Një pjesë e jetës së përditshme bazohet në realitetin që ardhmëria është e paparishikueshme.
Jemi të njohur që rëndësinë e eksperimenteve në shkencat e ndryshme e në veqanti në inxhinieri.Këtu kemi të bëjmë me një parim fundamental: kur rezultatet përsëriten nën kondita gati identike, rezultatet e eksperimenteve të përsëritur janë esencialisht rezultate të njëjta.
Nga ana tjetër, ka eksperimente të cilat edhe pse kryhen nën kondita gati të njëjta, kur të përsëriten nuk na japin rezultate esencialisht të njëjta.Këto eksperimente quhen eksperimente të rastit.
Eksperimenti i rastit është një proces që ka këto veti:
	Eksperimenti i rastit bëhet në pajtim me një numër rregullash të cilat e përcaktojnë realizimin e tij në tërësi;
	Eksperimenti i rastit mund të përsëritet sa herë që duam dhe
	Rezultati i eksperimentit të rastit varet vetëm nga ‘fati’ d.m.th. nga ndikimet të cilat nuk mund t’i kontrollojmë.
Rezultatin e kryerjes së një eksperimenti e quajmë realizim. Realizimet e një eksperimenti paraqesin ngjarjet.
Studimi i teorisë së probabilitetit fillon pikërisht me shqyrtimin e relacioneve ndërmjet realizimeve ose ngjarjeve të mundshme që i korrespondojnë një eksperimenti të rastit.
Përkufizim: Bashkësinë e të gjitha realizimeve të mundshme të një eksperimenti e quajmë hapësirë të realizimeve.
Hapësirën e realizimeve e shënojmë me S. Bashkësinë S në një mënyrë  mund ta konsiderojmë bashkësi univerzale.
Elementet qenësore të zhvillimit të teorisë së probabilitetit paraqesin nënbashkësitë e bashkësisë S. çdo nënbashkësi A e bashkësisë S : (A⊂S) quhet ngjarje.
Hapësira e realizimeve paraqet një model ideal të një eksperimenti në kuptimin që sipas përkufizimit, çdo realizim i eksperimentit është plotësisht i përshkruar me anën e një dhe vetëm një pike (elementi) të hapësirës S (çdo realizim i veqantë paraqet ngjarje elementare).

## Probabiliteti kondicional 
Le të jetë B një ngjarje e farëdoshme në hapësirën e realizimeve S me probabilitet P (b) > 0.
Probabiliteti që një ngjarje A të realizohet, kur dihet që ngjarja B ka ndodhur, apo me fjalë tjera, probabiliteti kondicional i ngjarjes A ku dihet ngjarja B, simbolikisht P(A⁄B). Përkufizohet me:
P(A⁄B)=P(A∩B)/P(B) 
Për arsye se dihet që ngjarja B ka ndodhur, atëherë hapësira e realizimeve S reduktohet në B. Në këtë mënyrë B luan tani rolin e hapësirësn së realizimeve.
Teoremë: Për çdo dy ngjarje A dhe B vlen :
P(A)=P(A⁄B)P(B)+P(A⁄B^C )P(B^C )  
Vërtetimi: Po nisemi nga relacioni A=(A∩B)∪(A∩B^C ). Bashkësitë A∩B dhe A∩B^C  janë bashkësi disjunkte sepse (A∩B)∪ (A∩B^C )=∅. Prandaj,
P(A)= P(A∩B)+P(A∩B^C )= P(A⁄B)P(B)+P(A⁄B^C )P(B^C )
Bashësia S le të jetë participuar me anën e bashkësive B_i, vlen:
Teoremë: Në qoftë se A=⋃_(i=1)^n(A∩B_i ) , atëherë duke supozuar se B_i janë bashkësi disjunkte:
P(A)=P(⋃_(i=1)^n(A∩B_i ) )=∑_(i=1)^nP (A∩B_i )=∑_(i=1)^nP (A⁄B_i )P(B_i )
Teorema e fundit quhet teorema multiplicative.

## Teorema e bayesit 
Le të jenë B_1, B_2, … B_n ngjarje reciprokisht eksluzive unioni i të cilave është hapësira e realizimeve S. Atëherë, nëse A është një ngjarje në S, vlen teorema e Bayesit:
P(B_n⁄A)=P(B_n )P(A⁄B_n )/(∑_(i=1)^n▒P(B_i )  P(A⁄B_i ) )

Vërtetim. - Sipas përkufizimit:
P(B_n⁄A)=P(B_n∩A)/P(A)       nwse P(A)≠0
ose 
P(A⁄B_n )=(P(A∩B_n))/P(B_n )      nwse P(B_n )≠0
P(B_n⁄A)=P(B_n )P(A⁄B_n )/(∑_(i=1)^n▒P(B_i )  P(A⁄B_i ) )
Kjo formulë quhet formula e Bajesit.

## Ngjarjet e pavarura 
Në përgjithësi, në qoftë se realizimi i një ngjarje B ndryshon me probabilitetin e realizimit të një ngjarje tjetër, atëherë probabiliteti original P(A) reduktohet në probabilitetin P(A⁄B). Por, nëse realizimi i ngjarjes B nuk e ndryshon probabilitetin e ngjarjes A, d.m.th. në qoftëse se
P(A⁄B)=P(A)                                                                                        (1)
Atëherë, për ngjarjet A dhe B themi se janë ngjarje të pavarura.
Në qoftë se në formulën  P(A⁄B)=(P(A∩B))/(P(B)), zëvendësojmë P(A⁄B) nga (1) do të marrim relacionin:
P(A∩B)=P(A)∙P(B)
Përkufizim. - Ngjarjet A dhe B quhen ngjarje të pavarura nëse:
P(A∩B)=P(A)∙P(B)
Në rastin e përgjithshëm, ngjarjet {A_i, i ∈ I} quhen ngjarje të pavarura nëse:
P(⋂_(i∈J)▒A_i )=∏_(i∈J)▒〖P(A_i ),pwr çdo J⊂〗 I,J≠∅ 

## Variablat e rastit dhe distribuimi i tyre 
### KUPTIMI I VARIABLËS SË RASTIT 
Në shumë zbatime të teorisë së probabilitetit, hapësira e realizimeve nuk paraqitet në mënyrë eksplicite. Kjo shpesh as që është e nevojshme. Shumë zbatime të teorisë së probabilitetit më tepër bazohen në konceptin e funksionit të quajtur variabla e rastit.
Në përgjithësi, realizimet e një eksperimenti d.m.th. pikat e hapësirës S, nuk është e domosdoshme që të jenë numra.
Numri i gabimeve të shtypit në një libër, numri i prodhimeve defekte në një fabrikë etj. janë realizime numerike të një eksperimenti.
Në teorinë e probabilitetit, rregullën gjegjësisht funksionin me anën e të cilit çdo realizimi s ∈ S i shoqërohet një numër real quhet variabël e rastit.
çdo realizimi s ∈ S është e mundur që t’i shoqërohet një numër real. Kjo, në gjuhën matematike, do të thotë se në S mund të përkufizohet një funksion. Në fakt konceptin e funksionit e zbatojmë këtu për t’i paraqitur vlerat të cilat ia shoqërojmë realizimeve të një eksperimenti. Qdo elementi s ∈ S i shoqërojmë një numër real X(s). Në këtë mënyrë kemi përkufizuar një funksion X nga S në R.
Përkufizim.-Variabël e rastit quhet funksioni X domeni i të cilit është hapësira e realizimeve S dhe vlerat e të cilit janë numrat real.
Rangu i funksionit X, në rastin e përgjithshëm është një nënbashkësi e numrave real. Simbolikisht:
X : S → R
Në rastin e përgjithshëm, për të vizualizuar konceptin e variablës së rastit, nevojitet që të shqyrtojmë me kujdes idenë e një funksioni X të përcaktuar në hapësirën e realizimeve S, që i merr vlerat në bashkësinë e numrave real R.
Pika në boshtin real R të cilës i përgjigjet një ngjarje në S quhet pika e pasqyrimit.Në rastin kur hapësira S ka numër të pafundëm të elementeve s, atëherë karakteri i plotë i funksionit X mund të paraqitet me anën e një diagrami i cili tregon vlerat (pikat e pasqyrimit) në R të cilat, përmes X i shoqërohen çdo elementi s nga S.

## Funksionet e shpërndarjes 
Në qoftë se X është një variabël  e rastit dhe x është një numër real të cilin e kemi përcaktuar për njërën nga ngjarjet, atëherë, funksioni korrespondues i probabilitetit P [X ≤ x] të ngjarjes të dhënë të rastit, ngjarja dhe probabiliteti i saj varen nga x.
Përkufizim. -Funksioni F_x : R → [0,1] i përkufizuar me anën e relacionit:

F_X(x) = P(x \leq X) ,  -\infty 
 Quhet funksion i distribuimit të probabilitetit ose funksion i distribuimit kumutativ.
Domeni i funksionit të distribuimit të probabilitetit, është bashkësia e të gjithë numrave real kurse rangu i tij është intervali [0,1].
Me futjen e konceptit të funksionit të distribuimit, koncepti i hapësirës së realizimeve, ngjarjes dhe masës së probabilitetit, koncepte me rëndësi të madhe për ndërtimin e teorisë së probabilitetit, shpesh ‘humbin’ rëndësinë krahasuar me rëndësinë e funksionit të distribuimit. Me anën e funksionit të distribuimit është e mundur që të gjenerohet probabiliteti për çdo numër të familjeve F (R) të nënbashkësive të drejtzës reale R.
Përkufizim. - Për variablën e rastit thuhet se është variabël diskrete e rastit në qoftë se rangu i funksionit të distribuimit F_x (x) është bashkësi diskrete. Për variablën e rastit thuhet se është variabël e vazhdueshme e rastit në qoftë se rangu i funksionit të distribuimit F_x (x) është i vazhdueshëm.
Në qoftë se e dijmë funksionin e probabilitetit të variablës së rastit X, atëherë mund të gjejmë funksionin e distribuimit të variablës diskrete të rastit për arsye se:
F_x (x)=∑_(X≤x)▒P_x (x)
Me ç’rast sumacioni bëhet mbi të gjithë x-at nga rangu i variablës X që e arsyetojnë relacionin X ≤ x.

## Funksioni i densitetit 
Derivati I funksionit të distribuimit F_x (x):(dF_x (x))/dx=f_x (x) sa herë që të ekzistoj, quhet funksioni i densitetit të variablës së rastit X ose funksioni i frekuencës. Pasi funksioni F_█(x@) (x) mund të mos ketë derivate për qdo x, dallojmë disa tipe të variablës së rastit.
VARIABLAT DISKRETE TË RASTIT
Funksioni i distribuimit mund të zbatohet për t’i klasifikuar variablat e rastit në dy tipe: në variablat e rastit të tipit diskret dhe në variablat e rastit të tipit të vazhdueshëm.
Përkufim. - Për një variabël të rastit thuhet se është e tipit diskret, nëse funksioni i saj i distribuimit F_x (x) paraqet shumë të funksioneve shkallë të argumenteve të tyre.
Variabla diskrete e rastit X mund të karaktrizohet si variabël funksioni distribuiv F_x (x) i së cilës vazhdon duke bërë kërcime. Të vetmet kontribute të ndryshmme prej zeros të funksionit F_x  (x) ndodhin në një bashkësi diskrete të pikave x_(1,)  x_2,〖 x〗_3… 
Atëherë mund të përkufizojmë një funksion i cili arrin vlera të ndryshme prej zeros në pikat x_i. Vlera që funksioni arrin në qdo x_i, i është e barabartë me madhësinë për të cilën F_x (x) kërcen në atë pikë. Prandaj mund të përkufizojmë një funksion të ri:
Px (x) = P [X = x] 
i cili quhet funksioni i masës së probabilitetit të variablës së rastit X.
Funksioni Px (x), ka këto veti:
	P_x(x)=0  përveq rastit kur x është njëra prej bashkësive diskrete të pikave x_1 〖,x〗_(2,) 〖 x〗_(3…;)
	0 ≤P_x (x_i )≤1 për çdo x_(i )nga rangu I variablës X;
	∑_i▒P_x  (x_i )=∑_i▒P[X=x_i ] =1.

## Interpretimi fizik i densitetit të probabilitetit 
Në disa probleme fizike mund të hasim në konceptet siç janë distribuimi i masës, shkarkimi elektrik dhe populacioni. Në qoftë se supozojmë se një masë e përgjithshme prej një njësie, është shpërndarë përgjatë drejtëzës reale, në atë menyrë, që probabiliteti i shoqëruar cilësdo bashkësi të pikave, është pikërisht masa e bashkësisë së tillë, atëherë, probabilitetet mund të interpretohen si masa. Me këtë interpretim, funksioni i distribuimit F_x (x) paraqet pikërisht masën e përgjithshme të pjesës së drejtëzës që ndodhet majtas nga pika x duke përfshirë edhe pikën x.
Në qoftë se distribuimin diskret e interpretojmë si një distribuim në të cilin shpërndarja e masës është bërë tërësisht nëpër pikat x_(1 ),x_2 〖,x〗_3… ndërsa P_x (x_k) janë masat të cilat u janë shoqëruar pikave x_k.

## Variablat e vazhdueshme të rastit 
Përkufizim. - Për një variabël të rastit X, thuhet se është e tipit të vazhdueshëm në qoftë se funksioni i saj i distribuimit F_x (x) është funksion i vazhdueshëm i x. Nga ky supozim nuk rrjedh se F_x(x) ka derivate për  çdo x.
Po supozojmë se numri i pikave në të cilat funksioni F_x(x) nuk është i diferencueshëm, është i numrueshëm. Atëherë do të themi se variabla e rastit X është e tipit të vazhdueshëm, në qoftë se ekziston një funksion jonegativ f_x  (x), i tillë që për  çdo numër real, përveç për një bashkësi të numrueshme në R, vlen relacioni:

F_x (x)=∫_(-∞)^∞▒f_x (x)dx
Ku F_x(x) është funksioni i distribuimit të variablës X.
Funksioni f_x(x) quhet funksioni i probabilitetit ose funksioni i densitetit të probabilitetit të variablës së rastit X ose thjeshtë funksioni i densitetit.

## Disa shembuj të funksioneve të distribuimit dhe të densitetit 
	DISTRIBUIMI BINOMIAL
	DISTRIBUIMI UNIFORM
	DISTRIBUIMI NORMAL
	DISTRIBUIMI EKSPONENCIAL
	DISTRIBUIMI I PAUSONIT
	DISTRIBUIMI GAMA
	DISTRIBUIMI I KOSHIUT

## Momentet e variablës së rastit 
PRITJA MATEMATIKE
Pritja matematike, vlera e pritur apo thjeshtë pritja e një variable të rastit paraqet një koncept të rëndësishëm në probabilitet dhe në statistikë. Pritja matematike quhet ndryshe edhe moment i parë qëndror i distribuimit.
Përkufizim. - Për variablën diskrete të rastit, e cila ka n vlera të mundshme x_1, x_2,….,x_n, pritja matematike e variablës së rastit X, të cilën do ta shënojmë me E(X) përkufizohet:
〖E(X)=x〗_1 P[X=x_1 ]+x_2 P[X=x_2 ]+⋯+x_n P[X=x_n]=∑_(k=1)^n▒x_k P [X=x_k]
Nëse shënojmë P[X = x_k]=p_k atëherë
E(X) = (∑_(k=1)^n▒〖=1〗). Pritja matematike ndryshe quhet edhe qendra e distribuimit.
Është e qartë se (∑_(k=1)^n▒〖=1)〗. Pritja matematike quhet edhe qendra e distribuimit.
Përkufizim. – në qoftë se X është e variabël e vazhdueshme e rastit, me funksionin e densitetit f_x(x), atëherë, pritja matematike e saj përkuizohet me:
E (X) = ∫_(-∞)^∞▒f_x (x) dx
Me kusht që integrali të konvergjoj. Që ky integral të konvergjojë, është e mjaftueshme që ai të konvergjoj absolutisht d.m.th. që ∫_(-∞)^∞▒|x|  f(x)dx<∞
Nëse F_x(x) është funksioni I distribuimit të variablës së rastit X, atëherë:
E (X) = ∫_(-∞)^∞▒xd F_x(x)

## Referime
* Probability & Statistics for Engineers & Scientists Konceptet baze te probablitetit