Ekuacioni diferencial i pjesshëm hiperbolik

Në matematikë, një **ekuacion diferencial i pjesshëm hiperbolik** i rendit n është një ekuacion diferencial i pjesshëm (EDP) që, përafërsisht, ka një problem me vlerë fillestare të vendosur mirë  n - 1 derivatet e para. Më saktësisht, problemi Koshi mund të zgjidhet lokalisht për të dhëna fillestare arbitrare përgjatë çdo sipërfaqjeje jo karakteristike. Shumë nga ekuacionet e mekanikës janë hiperbolike, dhe kështu studimi i ekuacioneve hiperbolike është me interes thelbësor bashkëkohor. Ekuacioni hiperbolik i modelit është ekuacioni i valës . Në një dimension hapësinor, kjo shkruhet si\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} Ekuacioni ka vetinë që, nëse u dhe derivati i tij i parë për herë të parë janë të dhëna fillestare të specifikuara në mënyrë arbitrare në vijën t=0 (me veti të mjaftueshme të butësisë), atëherë ekziston një zgjidhje për të gjithë kohën t .

Zgjidhjet e ekuacioneve hiperbolike janë "të ngjashme me valët". Nëse bëhet një shqetësim në të dhënat fillestare të një ekuacioni diferencial hiperbolik, atëherë jo çdo pikë e hapësirës e ndjen shqetësimin menjëherë. Në lidhje me një koordinatë fikse kohore, shqetësimet kanë një shpejtësi të kufizuar të përhapjes . Ato udhëtojnë përgjatë karakteristikave të ekuacionit. Kjo veçori dallon cilësisht ekuacionet hiperbolike nga ekuacionet diferenciale të pjesshme eliptike dhe ekuacionet diferenciale të pjesshme parabolike . Një shqetësim i të dhënave fillestare (ose kufitare) të një ekuacioni eliptik ose parabolik ndihet menjëherë nga të gjitha pikat në bashkësinë e fytyrave.

Megjithëse përkufizimi i hiperbolizmit është në thelb një përkufizim cilësor, ekzistojnë kritere të sakta që varen nga lloji i veçantë i ekuacionit diferencial në shqyrtim. Ekziston një teori e zhvilluar mirë për operatorët diferencialë linearë, për shkak të Lars Gårdingut, në kontekstin e analizës mikrolokale . Ekuacionet diferenciale jolineare janë hiperbolike nëse linearizimet e tyre janë hiperbolike në kuptimin e Gårdingut. Ekziston një teori disi e ndryshme për sistemet e rendit të parë të ekuacioneve që vijnë nga sistemet e ligjeve të ruajtjes .

## E ç'është një EDP hiperbolik? 
Një ekuacion diferencial i pjesshëm është hiperbolik në një pikë P me kusht që problemi i Koshiut të jetë i zgjidhshëm në mënyrë unike në një afërsi të P për çdo të dhënë fillestare të dhënë në një hipersipërfaqe jo karakteristike që kalon nëpër P .  Këtu të dhënat fillestare të përshkruara përbëhen nga të gjitha derivatet (tërthor) të funksionit në sipërfaqe deri në një më pak se rendi i ekuacionit diferencial.

## Shembuj 
Me një këmbim linear të ndryshoreve, çdo ekuacion i formës A\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2B\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} + C\frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \text{(lower order derivative terms)} = 0me B^2 - A C > 0mund të transformohet në ekuacionin e valës, përveç termave të rendeve më të ulëta të cilët janë të parëndësishëm për kuptimin cilësor të ekuacionit.  Ky përkufizim është analog me përkufizimin e një hiperbole planare.

Ekuacioni i valës njëdimensionale:\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0është një shembull i një ekuacioni hiperbolik. Ekuacionet valore dydimensionale dhe tredimensionale gjithashtu hyjnë në kategorinë e EDP hiperbolike. Ky lloj ekuacioni diferencial i pjesshëm hiperbolik i rendit të dytë mund të transformohet në një sistem hiperbolik të ekuacioneve diferenciale të rendit të parë.