Simboli 3 - jm

Në mekanikën kuantike**, **simbolet **Wigner 3-jm**, të quajtura edhe si simbolet 3-*j* ose 3*j* janë simbole alternative për koeficientët e Klebesh-Gordan, ato shërbejnë për të shtuar momentin këndor. Të dyja format shprehin problemin e njëjtë fizik, simbolet 3-*j* bëjnë këtë në mënyrë më simetrike, dhe kështu kanë simetri më të madhe dhe më të thjeshtë se sa koeficientët e Klebesh-Gordan. Formula e cila i lidh me koeficientet e Klebesh-Gordan është:
:
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
\equiv \frac{(-1)^{j_1-j_2-m_3}}{\sqrt{2j_3+1}} \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 \, {-m_3} \rangle.

## Relacioni invers 
Relacioni invers mund te gjendet duke vene re se *j*1 - *j*2 - *m*3 është një numër i plote dhe duke bere zëvendësimin  m_3 \rightarrow -m_3 
:
\langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 m_3 \rangle = (-1)^{j_1-j_2+m_3}\sqrt{2j_3+1}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & -m_3
\end{pmatrix}.

## Vetitë simetrike 
Relacionet inverse të simbolit 3*j* janë me te përshtatshme se ato të koeficienteve Klebsh-Gordan. Një simbol 3*j* është invariant nen një permutacion çift te njeries nga kolonave te tija : 
:
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  j_2 & j_3 & j_1\\
  m_2 & m_3 & m_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  j_3 & j_1 & j_2\\
  m_3 & m_1 & m_2
\end{pmatrix}.

Një permutacion tek i kolonës jep një faktor faze : 
:
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
=
(-1)^{j_1+j_2+j_3}
\begin{pmatrix}
  j_2 & j_1 & j_3\\
  m_2 & m_1 & m_3
\end{pmatrix}
=
(-1)^{j_1+j_2+j_3}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_3 & j_2\\
  m_1 & m_3 & m_2
\end{pmatrix}.

Ndryshimi i njërës nga shenjave te numrit kuantik m jep gjithashtu një faze : 
:
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  -m_1 & -m_2 & -m_3
\end{pmatrix}
=
(-1)^{j_1+j_2+j_3}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}.

## Rregullat e zgjedhjes 
Simboli Uigner 3j është zero vetëm neqoftese të gjitha konditat e mëposhtme plotësohen : 

:m_1+m_2+m_3=0\,

:j_1+j_2 + j_3\, është një integer

:|m_i| \le j_i 

:|j_1-j_2|\le j_3 \le j_1+j_2.

## Invarianca skalare 
Kontraktimi i prodhimit te tre gjendjeve rrotulluese me një simbol 3*j*, 
:
  \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2} \sum_{m_3=-j_3}^{j_3}
  |j_1 m_1\rangle |j_2 m_2\rangle |j_3 m_3\rangle
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix},
 është invariant nen rotacione.

## Relacionet ortogonale 

(2j+1)\sum_{m_1 m_2}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j\\
  m_1 & m_2 & m
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j'\\
  m_1 & m_2 & m'
\end{pmatrix}
=\delta_{j j'}\delta_{m m'}.

\sum_{j m} (2j+1)
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j\\
  m_1 & m_2 & m
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j\\
  m_1' & m_2' & m
\end{pmatrix}
=\delta_{m_1 m_1'}\delta_{m_2 m_2'}.

## Lidhja me integralet e harmonikave sferike te spinit 

\int d{\mathbf{\hat n}} {}_{s_1} Y_{j_1 m_1}({\mathbf{\hat n}})
{}_{s_2} Y_{j_2m_2}({\mathbf{\hat n}}) {}_{s_3} Y_{j_3m_3}({\mathbf{\hat
n}})=(-1)^{m_1+s_1} \sqrt{\frac{(2j_1+1)(2j_2+1)(2j_3+1)}{4\pi}}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  -s_1 & -s_2 & -s_3
\end{pmatrix}

Kjo duhet te kontrollohet për konvencionet e ndryshme te harmonikave.

## Shikoni gjithashtu 
* Koeficientet Klebesh-Gordan
* Harmonikat sferike
* simboli 6-j
* simboli 9-j
* simboli 12-j
* simboli 15-j

## Referime 

* L. C. Biedenharn and J. D. Louck, *Angular Momentum in Quantum Physics*, volume 8 of Encyclopedia of Mathematics,  Addison-Wesley, Reading, 1981.
* D. M. Brink and G. R. Satchler, *Angular Momentum*, 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993.  
* A. R. Edmonds,  *Angular Momentum in Quantum Mechanics*, 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960.
* 
* D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii, *Quantum Theory of Angular Momentum*, World Scientific Publishing Co., Singapore, 1988.
* E. P. Wigner, *On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups*, unpublished (1940). Reprinted in: L. C. Biedenharn and H. van Dam, *Quantum Theory of Angular Momentum*, Academic Press, New York (1965).

## Lidhje të jashtme 
* Anthony Stone’s Wigner coefficient calculator (Gives exact answer)
* Clebsch-Gordan, 3-j and 6-j Coefficient Web Calculator (Numerical)
* 369j-symbol calculator at the Plasma Laboratory of Weizmann Institute of Science (Numerical)