Hipotenuza

djathtas|parapamje| Një trekëndësh kënddrejtë dhe hipotenuza e tij
Në gjeometri, një **hipotenuzë** është ana e një trekëndëshi kënddrejtë përballë këndit të drejtë .  Është brinja më e gjatë e çdo trekëndëshi të tillë; dy brinjët e tjera më të shkurtra të një trekëndëshi të tillë quhen *katete*. Gjatësia e hipotenuzës mund të gjendet duke përdorur teoremën e Pitagorës, e cila thotë se katrori i gjatësisë së hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të gjatësisë së dy kateteve. Matematikisht, kjo mund të shkruhet si a^2 + b^2 = c^2, ku *a* është gjatësia e njërit katet, *b* është gjatësia e katetit tjetër dhe *c* është gjatësia e hipotenuzës. 

Për shembull, nëse njëra nga katetet ka një gjatësi prej 3 njësi dhe tjetra ka një gjatësi prej 4 njësi, atëherë katrorët e tyre mblidhen duke dhënë 25 = 9 + 16 = 3 &#xD7; 3 + 4 &#xD7; 4. Meqenëse 25 është katrori i hipotenuzës, gjatësia e hipotenuzës është rrënja katrore e 25, domethënë 5. Me fjalë të tjera, nëse a = 3 dhe b = 4, atëherë c = \sqrt{a^2 + b^2} = 5 .

## Vetitë dhe llogaritjet 
alt=A right triangle with the legs a and b, and the hypotenuse c|i_kornizuar| Një trekëndësh kënddrejtë me hipotenuzën *c*
Në një trekëndësh kënddrejtë, hipotenuza është brinja që është përballë këndit të drejtë, ndërsa dy brinjët e tjera quhen *katete* .  Gjatësia e hipotenuzës mund të llogaritet duke përdorur funksionin e rrënjës katrore të nënkuptuar nga teorema e Pitagorës. Duke përdorur funksionin e rrënjës katrore në të dy anët e ekuacionit, rezulton se

: c = \sqrt { a^2 + b^2 } .

Si pasojë e teoremës së Pitagorës, hipotenuza është brinja më e gjatë e çdo trekëndëshi kënddrejtë; domethënë, hipotenuza është më e gjatë se secila nga katetet e trekëndëshit. Për shembull, duke pasur parasysh gjatësinë e kateteve *a* = 5 dhe *b* = 12, atëherë shuma e kateteve në katror është (5 &#xD7; 5) + (12 &#xD7; 12) = 169, katrori i hipotenuzës. Kështu, gjatësia e hipotenuzës është rrënja katrore e 169, e shënuar \sqrt{169}, që është e barabartë me 13.

Teorema e Pitagorës, dhe rrjedhimisht kjo gjatësi, mund të rrjedhë gjithashtu nga ligji i kosinuseve në trigonometri . Në një trekëndësh kënddrejtë, kosinusi i një këndi është raporti i katetit anash këndit dhe hipotenuzës. Për një kënd të drejtë *γ* (gama), ku kateti ngjitur është i barabartë me 0, kosinusi i *γ* gjithashtu është i barabartë me 0. Teorema e kosinusit pohon se c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta vlen për një kënd *θ* (theta). Duke vëzhguar se këndi përballë hipotenuzës është i drejtë dhe duke vërejtur se kosinusi i saj është 0, pra në këtë rast *θ* = *γ* = 90°:

: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta = a^2 + b^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}.

## Raportet trigonometrike 
Me anë të raporteve trigonometrike, mund të merret vlera e dy këndeve, \alpha\, dhe  \beta\,, të trekëndëshit kënddrejtë.

Duke pasur parasysh gjatësinë e hipotenuzës  c\, dhe të një kateti  b\,, raporti është:
djathtas

:::  \frac{b}{c} = \sin (\beta)\,

Funksioni i anasjelltë trigonometrik është:

:::  \beta\ = \arcsin\left(\frac {b}{c} \right)\,

në të cilën \beta\, është këndi përballë katetit  b\, .

Këndi fqinj i katetit  b\, është \alpha\, = 90° - \beta\,

Mund të merret edhe vlera e këndit \beta\, nga ekuacioni:

:::  \beta\ = \arccos\left(\frac {a}{c} \right)\,

në të cilën  a\, është kateti tjetër.