Sistemi koordinativ polar

thumb|250px|Pikat në sistemin koordinativ polar me pol *O* dhe bosht polar *L*. Me jeshile është treguar, pika me koordinatë rrezore 3 dhe koordinatë këndore 60 gradë, ose (3,60°). Me blu,është pika (4,210°).

Në matematikë, **sistemi koordinativ polar** është një sistemin koordinativ dy-dimensional në të cilin çdo pikë në plan jepet nga një distancë nga një pikë e caktuar dhe një kënd nga një drejtim i caktuar.

Pika fikse (në analogji me origjinën e një sistemi kartezian) quhet **poli**, dhe rrezja nga ky pol me drejtim të caktuar quhet **boshti polar**. Distanca nga poli quhet **koordinata rrezore** ose **rrezja**, kurse këndi quhet **koordinata këndore**, **këndi polar**, apo **azimuti**.

## Historia 
Konceptet e këndit dhe rrezes përdoreshin nga popujt e lashtë gjatë mijëvjeçarit të parë para lindjes së Krishtit. Astronomi grek Hipparchus (190-120 pes) krijoi një tabelë me funksione  kordash që jepte gjatësinë e cdo korde për cdo kënd, ka referenca se ai përdori koordinatat polare për të llogaritur pozicionet e yjeve..Në veprën *Mbi spiralet*, Arkimedi përshkruan spiralen e Arkimedit, një funksion, rrezja e të cilit varet nga këndi. Matematikani grek, megjithatë nuk e zgjeroi koncpetin në një sistem kordinativ të plotë.

Në shekullin e 9-të, matematikani persian, Habash al-Hasib el-Marwazi,  përdori metodat e trigonometrisë sferike dhe projektimin gjeohapësinor  në mënyrë që të konvertonte koordinatat polare në një sistem koordinativ të ndryshëm të përqëndruar në një pikë të veçantë mbi sferë, në këtë rast tek Kibla, në drejtim të Mekes.  Gjeografi Persian , Abu Rayhān Bīrūnī (973-1048), zhvilloi ide të cilat janë parë si parapritëse të sistemit koordinativ polar. Rreth 1025, ai ishte i pari që përshkroi një  projeksion azimutal të baraslarguar polar të sferës qiellore.

## Konvencionet e zakonshme 
thumb|right|300px|Një rrjetë polare me kënde të matura në grada

Koordinata rrezore tregohet me simbolin r, kurse koordinata këndore me \theta ose *t*.

Këndet në notacionin polar janë të shprehura në përgjithësi në  gradë ose radian  (2  π radian është e barabartë me 360°).  Gradat janë përdorur tradicionalisht në navigacion, gjeodezi, dhe në shumë disiplina të aplikuara, ndërsa radiani është më i përdorur në matematikë dhe në fizikë matematikore.

Në shumë kontekste, një koordinatë pozitive këndore do të thotë që këndi *θ* matet në drejtim të kundërt të akrepave të sahatit.

Në literaturën matematikore, boshti polar vizatohet në mënyrë horizontale dhe i treguar në të djathtë.

### Uniciteti i koordinatave polare 
Shtimi i një numri që paraqet një rrotullim të plotë (360°) tek koordinatat këndore nuk e ndryshon drejtimin përkatës. Gjithashtu, një koordinatë rrezore negative mund të interpretohet më mirë si një distancë përkatëse pozitive e matur në drejtim të kundërt.  Prandaj, të njëjtën pikë mund ta shprehim me një numër të pafund koordinatash polare  ose , ku *n* është një numër i plotë. Për më tepër, vetë poli koordinativ jepet nga (0,&nbsp;θ) për çdo kënd θ.

Kur një përfaqësim unik është i nevojshme për çdo pikë, zakonisht *r* kufizohet tek  numrat jo-negativ () dhe *θ* në  intervalin [0,&nbsp;360°) ose  (−180°,&nbsp;180°] (në radianë,  [0,&nbsp;2π) ose (−π,&nbsp;π]).  Gjithashtu duhet zgjedhur një azimut unik për polin, psh. θ&nbsp;=&nbsp;0.

## Konvertimi midis koordinatave polare dhe atyre Karteziane 
right|thumb|250px|Një diagram që ilustron marrëdhënien mes koordinatave polare dhe koordinatave Karteziane.
Të dyja koordinatat polare *r* dhe *θ* mund të konvertohen në  koordinata Karteziane x dhe y duke përdorur funksionet trigonometrike sinus dhe kosinus :
:x = r \cos \theta \,
:y = r \sin \theta, \,

të dyja koordinatat Karteziane x dhe y mund të konvertohen në koordinata polare r me anë të ekuacioneve
:r = \sqrt{y^2 + x^2} \quad (si tek teorema e Pitagorës),  dhe
:\theta =
\begin{cases}
0 & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0\\
\arcsin(\frac{y}{r}) & \mbox{if } x \geq 0 \\
-\arcsin(\frac{y}{r}) + \pi & \mbox{if } x 

Të gjitha këto formula marrin parasysh se poli është origjina Karteziane (0,0), boshti polar është boshti i abshisave x'*, dhe se drejtimin e boshtit i boshtit të ordinatave *y* ka azimut +π/2 rad = +90° (në vend se -π/ 2).  Funksioni arcsin është inversi i funksionit  sinus , i cili jep kënde në intervalin [−π/2,+π/2] = [−90°,+90°].*

Formula për \theta më sipër jep një kënd në intervalin [-π/2,+3π/2) = [−90°,+270°). Për të marrë θ në intervalin [0, 2π) direkt, mund të përdorim
:\theta =
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + 2\pi & \mbox{if } x > 0 \mbox{ and } y  0\\
\frac{3\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y 
Funskioni \arctan është inversi i funksionit tangjent , i cili jep një kënd ne intervalin (−π/2,+π/2) = (−90°,+90°).

Për te marre \theta ne intervalin (−π, π], mund te përdorim 
:\theta =
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x  0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y 

Shume gjuhe programimi kane një funksion i cili llogarit koordinatën këndore korrekte θ po te kemi *x* dhe *y*, pa bere analizene e mëlartme.  Për shembull, ky funksion thirret nga `atan2`(*y*,*x*) ne gjuhen e programimit C, dhe (`atan` *y* *x*) ne Lisp.  Ne te dyja rastet, rezultati është ne radian ne intervalin (−π, π].

## Ekuacioni polar i një kurbe 
Ekuacioni që përcakton një kurbë algjebrike i shprehur në koordinata polare është i njohur si një *ekuacion polar* . Në shumë raste, ky ekuacion thjesht mund të specifikohet duke përcaktuar *r* si një funksion funksion të \theta. Kurbë rezultante përbëhet nga pika të formës (r(\theta), \theta)   dhe mund të konsiderohet si grafiku i funksionit polar *r*.

Format e ndryshme të simetrisë  mund të merrent nga ekuacioni i një funksioni polare r. Nëse r(- \theta) = r(\theta) kurba do të jetë simetrike në lidhje me rrezen horizontale (0°/180°), nëse r(\pi- \theta) = r(\theta) ajo do të jetë simetrike në lidhje me rrezen vertikale (90°/270°), dhe nëse r(\theta - \alpha) = r(\theta) ajo do të jetë simetrike α në drejtimi të kundërt të akrepave të sahati në lidhje me polin.

Për shkak të natyrës rrethore të sistemit koordinativ polar, shumë kurba mund të përshkruhen me një ekuacion tepër të thjeshtë polare, ndërsa forma e tyre Kartezian është shumë më e ndërlikuar. Në mes të kurbave më të njohura janë  trëndafili polare, spiralja e Arkimedit,  lemniskata,  limaçon, dhe kardioidi .

Për rrethin, vijën, dhe trëndafilin polare më poshtë, kuptohet se nuk ka kufizime në fushën dhe rangun e përcaktimit.

## Rrethi 
thumb|right| Një rreth me ekuacionin
Ekuacioni i përgjithshëm për një rreth me qendër në (r_0, \varphi) dhe rreze a është
:r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2.\, 

Kjo mund të thjeshtohet në mënyra të ndryshme, në përputhje me rastet më specifike, të tilla si ekuacioni
:r(\theta)=a \,
për një rreth me qendër në pole dhe rreze *a*.

## Vija 
thumb|right|Një trëndafil polar me ekuacionin
*Vijat radiale* (ato që kalojnë përmes polit) paraqiten nga ekuacioni 
:\theta = \varphi \,,
ku \varphi është këndi i ngritjes të vijës; pra, \varphi = \arctan(m) ku *m* është pjerrësia e vijës në sistemin koordinativ Kartezian. Vijat jo-rrezore që kryqëzohen me vijën radiale \theta = \varphi pingul tek pika (r_0, \varphi) kanë ekuacionin
r(\theta) = {r_0}\sec(\theta-\varphi). \,

## Trëndafili polar 
Një trëndafili polar është një kurbë e famshme matematike që duket si një petal luleje, që mund të shprehet me anë të një ekaucioni të thjeshtë polar,
:r(\theta) = a \cos (k\theta + \phi_0)\,
për çdo konstante \varphi_0 (përfshirë 0). Nëqoftëse k është një numër i plotë , këto ekuacione do të japin një trëndafil me k-petale nëqoftëse k është tek, ose një trëndafil me 2 k-petale nëqoftëse k është çift. Nëqoftëse k është numër thyesor por jo numër i plotë, do të marrim një formë që i ngjason trëndafilit por me petale që janë mbi njëri tjetrin. Vini re se këto ekuacione kurrë nuk përcaktojnë një trëndafil me 2, 6, 10, 14, etc. petale. Ndryshorja *a* paraqet gjatësinë e petaleve të trëndafilit.

## Spiralja e Arkimedit 
thumb|right| Njëri krah i një spiraleje të Arkimedit me ekuacion  për
Spiralja e Arkimedit është një spirale e famshme që u zbulua nga Arkimedi, e cili mund të shprehet me anë të një ekuacioni të thjeshtë polar. Ajo është e përfaqësuar nga ekuacioni
:r(\theta) = a+b\theta. \,
Ndryshimi i parametër *a* e ndryshon drejtimin e spirales, ndërsa *b* kontrollon distanca në mes të krahëve, të cilat për një spirale të caktuar janë gjithmonë konstante. Spiralja e Arkimedit ka dy krahë, një për \theta > 0 dhe një për \theta . Të dyja krahët janë të lidhura tek poli. Po të marrim imazhin pasqyrë të një krahu përgjatë vijës 90° / 270° marrim krahun tjetër. Kjo kurbë është e famshme për faktin se qe një nga kurbat e  para, pas seksioneve konike , e cila u përshkrua në një traktat matematikor, dhe si një shembull kryesor i një kurbe që është e përcaktuar më mirë nga një ekuacion polar (në krahasim me formën karteziane).

## Prerjet konike 
thumb|right|250px|Ellipsi, tregon vatrat dhe dy gjysëm boshtet
Një prerje konike me një vatër në njërin pol dhe tjetrën diku në një rreze që fillon nga 0° (në mënyrë që boshti madhor i konikut shtrihet përgjatë boshtit polar) jepet nga :

: r = { \ell\over {1 + e \cos \theta}}

ku *e* është jashtëqëndërsia dhe \ell është semi-latus rectum (distanca pingule nga vatra tek boshti madhor i kurbës). Nëqoftëse , ky ekaucion përcakton një hiperbolë; nëqoftëse , ai përcakton një parabolë; dhe nëqoftëse , ai përcakton një elips. Rsti special i  rastit të lartëm rezulton në një rreth me rreze \ell.

## Numrat kompleks 
thumb|right|265px|Një ilustrim i një numri kompleks *z* i dhënë në planin kompleks
[thumb|right|265px|Një ilustrim i një numri kompleks i dhënë në planin kompleks duke përdorur [Formula e Ojlerit|formulën e Ojlerit]]

Çdo numër kompleks mund të paraqitet si një pikë në planin kompleks, kështu që ajo mund të shprehet ose duke specifikuar koordinatat e pikës karteziane (kjo quhet forma Karteziane) ose koordinatat polare të pikës (kjo quhet forma polare). Numri kompleks z mund të paraqitet në formë karteziane si
: z = x + iy\,
ku *i* është njësia imagjinare, ose në mënyrë alternative mund të shkruhet në formë polare (përmes formulës së konvertimit e dhënë më lart) si
:z = r\cdot(\cos\theta+i\sin\theta)
si dhe
: z = re^{i\theta} \,
ku *e* është  numri i Ojlerit, të cilat janë të njëvlershme siç tregohet nga formula e Ojlerit. (Vini re se kjo formulë, si të gjitha ato që përfshijnë eksponente këndesh, merr parasysh që këndi θ është shprehur në radian.) Në mënyrë që të konvertojmë midis formës polare dhe karteziane të një numri kompleks, formula e konvertimit më lart mund të përdoret.

Për veprimet e shumëzimit, pjesëtimit, dhe ngritjes në eksponent të numrave kompleksë, në përgjithësi është më e lehtë të punohet me numra kompleksë t shprehur në formë polare krahasuar me formë Karteziane. nga ligji i ngritjes në eksponent:

* Shumëzimi:
:: r_0 e^{i\theta_0} \cdot r_1 e^{i\theta_1}=r_0 r_1 e^{i(\theta_0 + \theta_1)} \,
* Pjestimi:
:: \frac{r_0 e^{i\theta_0}}{r_1 e^{i\theta_1}}=\frac{r_0}{r_1}e^{i(\theta_0 - \theta_1)} \,
* Ngritja në eksponent (Forumala e De Moivre):
:: (re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta} \,

## Analiza 
Teknikat e analizës mund të zbatohen mbi ekuacionet e shprehura në koordinata polare.

Koordinata polare *θ* është shprehur në radian përgjatë këtij seksioni, kjo paraqet konvencionin e zakonshëm në përdorimin e analizës.

### Analiza diferenciale 
Po të përdorim x = r \cos(\theta) dhe y = r \sin(\theta), ne mund të derivojmë një relacion midis derivateteve në koordinata polare dhe Karteziane.  Për një funksion të dhënë , u(x,y), del se 
:r \tfrac{\partial u}{\partial r} = r \tfrac{\partial u}{\partial x}\tfrac{\partial x}{\partial r} + r \tfrac{\partial u}{\partial y}\tfrac{\partial y}{\partial r},
:\tfrac{\partial u}{\partial \theta} = \tfrac{\partial u}{\partial x}\tfrac{\partial x}{\partial \theta} + \tfrac{\partial u}{\partial y}\tfrac{\partial y}{\partial \theta},
ose 
:r \tfrac{\partial u}{\partial r} = r \tfrac{\partial u}{\partial x} \cos(\theta) + r \tfrac{\partial u}{\partial y} \sin(\theta)  = x \tfrac{\partial u}{\partial x} + y \tfrac{\partial u}{\partial y},
:\tfrac{\partial u}{\partial \theta} = - \tfrac{\partial u}{\partial x} r \sin(\theta) + \tfrac{\partial u}{\partial y} r \cos(\theta) = -y \tfrac{\partial u}{\partial x} + x \tfrac{\partial u}{\partial y}.

Nga kjo marrim formulën e mëposhtme:

:r \tfrac{\partial}{\partial r}= x \tfrac{\partial}{\partial x} + y \tfrac{\partial}{\partial y} \,
:\tfrac{\partial}{\partial \theta} = -y \tfrac{\partial}{\partial x} + x \tfrac{\partial}{\partial y} .

Për të gjetur pjerrësinë Karteziane të një vije tangjente me kurbën polare r(\theta) në çdo pikë të dhënë, kurba jepet si një sistem ekuacionesh parametrike.
:x=r(\theta)\cos\theta \,
:y=r(\theta)\sin\theta \,

Duke diferencuar të dyja ekuacionet në lidhje me θ marrim
:\frac{dx}{d\theta}=r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta \,
:\frac{dy}{d\theta}=r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta. \,

Po të pjesëtojmë ekuacionin e dytë me të parin marrim pjerrësinë Karteziane të vijës tangjente me kurbën tek pika (r, r(\theta)):
:\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta}.

### Analiza integrale 
thumb|Rajoni i integrimit *R* është i kufizuar nga kurba *r*(θ) dhe rrezet θ =*a* dhe θ = *b* .
Le  të shënojmë me R rajonin e rrethuar nga një kurbë r(\theta) dhe rrezet \theta = a dhe \theta = b, ku 0 . Sipërfaqja e R është

:\frac12\int_a^b \left[r(\theta)\right]^2\, d\theta.

thumb|Rajoni *R*është i përafruar me *n* sektorë (këtu,*n* = 5).
[thumb|Një [planimetër, i cili llogarit mekanikisht integralet polare]]

Ky rezultat mund të gjendet si më poshtë. Së pari, intervali  është i ndarë në *n* nën-intervale, ku *n* është një numër i plotë pozitiv arbitrar. Kështu \Delta \theta, gjatësia e çdo nën-intervali, është e barabartë me  (kohëzgjatja e përgjithshme e intervalit), e ndarë sipas *n*, numri i nën-intervaleve . Për çdo nën-interval *i*= 1, 2, ...,*n*, le të jetë \theta_i pika e mesit e  nën-intervalit, tani le të ndërtojmë një sektor rrethor me qendër në pole, rreze *r*(θ*i*),,kënd qendrore Δθ dhe gjatësi harku *r*(θ*i*)Δθ.. Zona e secilit sektor të ndërtuar është e barabartë me
:\left[r(\theta_i)\right]^2 \pi \cdot \frac{\Delta \theta}{2\pi} = \frac{1}{2}\left[r(\theta_i)\right]^2 \Delta \theta.
Kështu, zona e përgjithshme e të gjithë sektorëve është
:\sum_{i=1}^n \tfrac12r(\theta_i)^2\,\Delta\theta.

Ndërsa numri i nën-intervaleve *n* rritet, përafrimi i zonës vazhdon të përmirësohet. Në kufirin kur n \to \infty, shuma bëhet shuma Rimaniane për integralin e mëlartëm.

Një pajisje mekanike që llogarit integrale sipërfaqësore është planimetri, i cili mat fushën e një plani: kjo replikon integrimin në koordinatat polare duke shtuar shfrytëzuar teoremën e Greenit, çka bën konvertimin e integrale kuadratike polare në integrale lineare.

#### Përgjithësime 
Duke përdorur koordinatat Karteziane, një element infinitezimal i sipërfaqes mund të llogaritet si *dA* = *dx* *dy*. Rregulli i zëvendësimit për integrale të shumëfishta pohon se, kur përdorim koordinata të tjera,  përcaktori Jakobian i formulës së konvertimit të koordinatave duhet të merret në konsidertaë:

: J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}
=\begin{vmatrix}
 \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\
 \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}
\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}
 \cos\theta & -r\sin\theta \\
 \sin\theta & r\cos\theta
\end{vmatrix}
=r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r.

Pra, një element sipërfaqësor në koordinata polare mund të shkruhet si 
:dA = J\,dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta.

Tani , një funksion që është i dhënë në koordinata polare mund të integrohet si më poshtë:
:\iint_R f(r,\theta) \, dA = \int_a^b \int_0^{r(\theta)} f(r,\theta)\,r\,dr\,d\theta.
Këtu , *R* është i njëjti rajon si më lartë, pra, rjoni i rrethuar nga kurba *r*(θ) dhe rrezet θ = *a* dhe θ = *b*.

Formula për sipërfaqen e *R* e përmendur më lart gjendet duke marrë *f* identikisht të barabartë me 1. Një zbatim interesant i këtij rezultati jep integralin Gausian
: \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx = \sqrt\pi.

### Analiza vektoriale 
Analiza vektoriale mund të zbatohet gjithashtu mbi koordinatat polare. Për lëvizjen në një plan , le të jetë \mathbf{r} vektori i pozicionit (r \cos(\theta), r \sin(\theta)), ku *r* dhe θ kanë varësi kohore *t*.

Le të përcaktojmë vektorët njësi
:\hat{\mathbf{r}}=(\cos(\theta),\sin(\theta))
në drejtimin e **r** dhe
:\hat{\boldsymbol\theta}=(-\sin(\theta),\cos(\theta)) = \hat {\mathbf{k}} \times \hat {\mathbf{r}} \ , 
në planin e lëvizjes pingul me drejtimin rrezor, ku \hat{\mathbf {k}} është vektori njësi pingul me planin e lëvizjes.

Pra

: \mathbf{r} = (x, \ y ) = r (\cos \theta ,\ \sin \theta) = r \hat{\mathbf{r}}\ , 

: \dot {\mathbf r} = (\dot x, \ \dot y ) = \dot r (\cos \theta ,\ \sin \theta) + r \dot \theta (-\sin \theta ,\ \cos \theta) = \dot r \hat {\mathbf r} + r \dot \theta \hat {\boldsymbol{\theta}} \ , 

: \ddot {\mathbf r } = (\ddot x, \ \ddot y ) = \ddot r (\cos \theta ,\ \sin \theta) + 2\dot r \dot \theta (-\sin \theta ,\ \cos \theta) +  r\ddot \theta (-\sin \theta ,\ \cos \theta) - r {\dot \theta }^2 (\cos \theta ,\ \sin \theta)\ = 
:: \left( \ddot r - r {\dot \theta}^2 \right) \hat {\mathbf r} + \left( 2\dot r \dot \theta +  r\ddot \theta \right) \hat {\boldsymbol{\theta}} \  = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} +
 \frac{1}{r}\; \frac{d}{dt} \left(r^2\dot\theta\right) \hat{\boldsymbol\theta}  = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} + \frac{1}{r}\; \dot h \hat{\boldsymbol\theta}

ku *h* është impulsi këndor specifik.

#### Termat centrifugale dhe termat e Koriolisit 
Termi r\dot\theta^2 zakonisht quhet *termi centrifugal*, ndërsa termi 2\dot r \dot\theta referohet si *termi i Koriolisit*. Për shembull, shih Shankar. Edhe pse këto ekuacione mbajnë disa ngjashmëri në formë me forcën centrifugale dhe efektin e Koriolisit që gjenden në kënde reference në rrotullim, nuk ka një lidhje fizike midis këtyre fenomeneve. Për shembull, forca centrifugale dhe ajo e Koriolisit shfaqen vetëm në kënde reference joinerciale të referimit. Në të kundërt, këto terma  shfaqen kur nxitimi është shprehur në koordinatat polare janë rrjedhoja matematike të diferencimit, këto terma duken kudo ku janë përdorur koordinatat polare. Në veçanti, këto terma duken edhe kur koordinatat polare janë përdorur në kënde inerciale të referimit , ku nuk shfaqen forcat centrifugale dhe efekti i Koriolisit.

##### Sistemet bashkë-rrotulluese 
## Lidhja midis koordinatave sferike dhe polare 
Koncepti i sistemit koordinativ polar zgjerohet në tre dimensione me dy sisteme të tjera koordiantive, sistemin koorinativ sferik dhe atë cilindrik.

## Aplikime 
Koordinatat polare janë dy-përmasore dhe në këtë mënyrë ato mund të përdoren vetëm ku pozicionet e pikave shtrihen në një plan të vetëm dy-dimensional. Ato janë më të përshtatshme në çdo kontekst ku fenomen i marrë në konsideratë është i lidhur me drejtimin dhe gjatësine nga një pikë qëndrore. Siç duket, shembujt më lart tregojnë se si ekuacionet polare elementare mjaftojnë për të përcaktuar kurba të tilla si spiralja e Arkimedit ekuacioni i të cilit në sistemin koordinativ Kartezian do të ishte shumë më i ndërlikuar. Për më tepër, shumë sisteme fizike, të tilla si ato që kanë të bëjnë me trupa që lëvizin rreth një pikë qendrore apo me fenomene që rrjedhin nga një pikë qendrore janë më të thjeshta dhe më të kuptueshëm për tu modeluar duke përdorur koordinatat polare. Motivimi fillestar për futjen e sistemit polar ishte studimi i lëvizje rrethore dhe asaj orbitale.

## Pozicioni dhe navigimi 
## Modelimi 
## Shikoni gjithashtu 
* Lista e transformimeve koordinative kanonike

## Referime 

;Të Përgjithshme
* 
* 
;Specifike

## Lidhje të jashtme 
* 
* Coordinate Converter - converts between polar, Cartesian and spherical coordinates
* Polar Coordinate System Dynamic Demo