Fa'ailoga masani

2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9.

I le su’esu’e, le fa’amaoniga matuā o se mea faʻataʻitaʻiga e fa’aaogaina mo le fuafuaga pe aisea e tuʻuina ai pe aisea e faʻaaogaina ai le isi tulaga o mea.[1] O le su’esu’e tele e fa’apea o le vaega o le laʻititi poʻo le tafa e fa’atautaia ai nisi o fesili.[1] O le su’esu’e tele lea na faʻaaogaina ina ia faʻapea lea o le mafuaaga na tatau ona ia teuteu i le itu o le meana (peita’i o le manaʻomia o le aʻafiaga) o le mea, ae maise o le su’esu’e tele, o le mafuaaga na faʻapea lea o le tafa e faʻatautaia ai nisi o fesili e pei ona uma i luga o se lona laʻititi.

E mafai ona su’esu’eina le su’esu’e tele i le SD, ma o se faʻailoga masani i tusi aloaia ma mea mataupu e faʻaaogaina ai le itulau o le sigana Greeki ma le 'σ' (sigma), mo le su’esu’e tele o le atunuu, poʻo le itulau o le li’a, mo le su’esu’e tele o le amo.

Le su’esu’e tele o se mea o loo faitauina ai le varaieti o se mea, sae le tuʻuina le su’esu’e matuā o le mea o le tele. O lea o se ata o le alamuiti lea lē malilie, ae i le aufaigaluega lagona, e lē faʻamoemoe. [2][3] O se aʻoaʻo na iai le su’esu’e tele o se mea e le mafai ona amatalia lea e le valaʻau ma le data.

O le fa'agaioiga fa'atupu o se populasi po'o se sāmple ma le fa'agaioiga o se setatistic (e.g., o le sāmple mean) o lo'o mātuā ma le fa'ailoa o lelei. O le fa'agaioiga lelei o le mean o le sāmple o le standard error o le population, e le'i tatau ona vaega i le standard deviation o le setā o mea na fa'asaoina ma le fai se mean mo ia sāmple. O le standard error o le mean e fa'apea atu i le population standard deviation fa'atasi ai ma le square root o le malo sāmple, ma e a'oa'oina i le a'oa'oina o le sāmple standard deviation fa'atasi ai ma le square root o le malo sāmple. E tasi lelei, o le standard error o se poll (e fa'apipii ai le margin o le error o le poll), o le fa'agaioiga lelei na mafai ai ona fa'ailoa le standard deviation o le mean na fa'ailoa pe a te faia ai le poll e tele vaega. Ia manatua, o le standard error e mafai ona fa'ailoa le standard deviation o se fa'aiuga, e tasi fo'i na mafai ai ona fa'apea atu pe a molia le fa'aiuga e tasi mai le populasi.

I le tamaoaiga, o le matamata fa'atino e fa'ailoa ai le fa'agaioiga o le data (e tasi leaga ma le sāmple taimi) ma le fa'agaioiga o le estimate (e tasi leaga ma le mafua'aga o le fa'aiuga). E fa'amaonia ona ia fa'ailoa atu pe a molia lea e tasi leaga, o lo'o atagia ai i totonu o le lua leaga e o i ai ma le mea e le'i fa'amaonia, o le a leai se "statistically significant", o se fa'atapulaiga i le vafealoa'i i luma o le leaga i totonu o se matafaioi leaga na mafua ai ma le malamalama o le mafai e avea ai ma le fa'apipii o le sampuli e pei ona atagia ai e le upu a le null.

Ina ua iai le sāmple o data mai le populasi, o le upu "standard deviation" o le sāmple po'o le sample standard deviation e mafai ona fa'apea atu i le taua luga, e tusa ma le fa'agaioiga a luga i ai ma le latou data, po'o se taua fa'apipi'i na mafai ona fa'ailoa e a'oa'oina ai le standard deviation o le populasi (le fa'agaioiga o le populasi atoa).

## Fa'ata'ita'iga fa'avae

### Fuainumera masani o le faitau aofa'i o togi o tamaiti e to'avalu
Aumoega atu o le fa'agaioiga o le populasi atoa, o leitioata o le fa'agaioiga o le populasi e mafai ona mauaina ma le faitauina o le square root o le avea o le tali o lea mea na faitauina e avea ai ma le avea o le tali o mea ua tu'uina mai i le uta'i o lea mea na faitauina. O a lea, o tagata vala'au a le tulaga o le fa'agaioiga o le populasi atoa o vala'au i lalo: \mu = \frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = \frac{40}{8} = 5. O nei valu e wara i le lenei, e i ai le mea (average) o le 5:\begin{array}{lll}
  (2 - 5)^2 = (-3)^2 = 9 && (5 - 5)^2 = 0^2 = 0 \\
  (4 - 5)^2 = (-1)^2 = 1 && (5 - 5)^2 = 0^2 = 0 \\
  (4 - 5)^2 = (-1)^2 = 1 && (7 - 5)^2 = 2^2 = 4 \\
  (4 - 5)^2 = (-1)^2 = 1 && (9 - 5)^2 = 4^2 = 16. \\
\end{array}E tu'u atu lelei, ia a'oa'oina le tu'ugamalu o le tulaga uma mai le mea, ma fa'ate'a atu le tu'ugamalu o le tulaga uma mai le mea i le pito ma le result o lea:\sigma^2 = \frac{9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16}{8} = \frac{32}{8} = 4.O le variensa e le o le mea o nei valu:\sigma = \sqrt{ 4 } = 2.ma o le fa'agaioiga o le populasi e tasi leaga ai le square root o le variensa: \mu \equiv \operatorname{E}[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, \mathrm dx E fa'amaopoopo lava le fa'atonutonu lenei i le taimi lava e tu'u atu ai i ai maualuga valu na aloa'i ai lelei le naunauta. Afai o le manatu na aloa'i i ai, o se la'auiloa e filifili mai le tagata e i ai lea malamalama (ma fa'apea foi, o lo'o iai 8 tagata e filifilia atu mai se kosi matutua o le 2 miliona), ona o lea, o lea e aofia ai i le 7 (o le n - 1) i le totonu o le lauelee na, ae le 8 (o le n) o le totonu o le fa'afitauli muamua, ma o le tulaga o lelei o lea e s = 32/7 ≈ 2.1.

I lea taimi, o le tulaga o le fa'afitauli asiasia o le muamua o le lauelee o lea e tapunia ai le saini fa'atupu ma fa'amauina i le saini fa'atupu o lea e sainia ai le σ. O le fa'atonuina o le n - 1 i se taimi e le n e fa'afitaulia ai le saini fa'atupu, e solosolo fa'atino ai le tu maualuga o le fa'atupu o le kosi matutua. O lenei lea o le Bessel's correction. Fa'apea ai ma le tupe na feso'ota'i ai i ai, o le lelei o lea ona o le fa'afitauli o le kosi matutua, o lea ua fa'atino i ai le fa'afitauli e fa'amauina i le fa'afitauli o lea naunauta.

### Fua'iga masani o le maualuga maualuga mo alii matutua
 \sigma \equiv \sqrt{\operatorname E\left[(X - \mu)^2\right]} = \sqrt{ \int_{-\infty}^{+\infty} (x-\mu)^2 f(x) \, \mathrm dx }, Pe afai e avea le lauelee o le i'uga i le nu'u o lo'o teuteuina ai, o le fa'atupu o le saini fa'atupu e fa'atagaina ai le malosi o tagata i luga ma i lalo o isi vaega o le nu'u. Mo le fa'amatalaina, o le tele o le taumafataga o tagata ta'itasi i le United States, o le a avea ma le 70 inisi, ma le saini fa'atupu e 3 inisi. O lea na fai mai e fa'apea, o le taumafataga o tagata e le uma lelei (e le'i aofia e 68%, pe a iloilo fa'atasi ai le fa'atupu o le saini e mafai ona vave) e i ai se taumafa inisi i totonu o 3 inisi mai le malosi (67–73 inisi) - se saini fa'atupu tuai ona - ma ia le'i aofia ni tagata (e le'i aofia e 95%) e i ai se taumafa inisi i totonu o 6 inisi mai le malosi (64–76 inisi) - lua saini fa'atupu. Afai o le saini fa'atupu e leai se mea, ona o ni tagata uma e le'i aofia ni 70 inisi. Afai o le saini fa'atupu e 20 inisi, ona o le aofia o ni tagata e le'i leaga tagata, ma se tau o ni tagata e malosi atu e avea ma le 50–90 inisi. O lua saini fa'atupu e alu i le 99.73% o le nu'u o le fa'atupu sa'ilua, pe a filifili mai le fa'atupu o lea e iloilo ai e le o se vaega (vaega) vaega (68–95–99.7) po'o le tulaga o le naunauta, mo nisi fa'amatalaga.

## Fa'amatalaga o tau o tagata
Ia μ le tau e fa'apea (le malosi) o le tautua vaivai X ma le tofa f(x):\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \left[(x_1 - \mu)^2 + (x_2 - \mu)^2 + \cdots + (x_N - \mu)^2\right]},\text{ where } \mu = \frac{1}{N} (x_1 + \cdots + x_N),O le fa'atupu o le saini σ o X na fa'amatala:\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2},\text{ where } \mu = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i.lea e mafai ona faaalia e tutusa  \sqrt{\operatorname E\left[X^2\right] - (\operatorname E[X])^2}.

E mafai ona toe tusa ai le saini fa'atupu i le va o le toso o le mea ua tuʻufaʻatasiga ai le a se mafaufau aofaiga ma le saini o le mea ua tuʻufaʻatasiga:

O le fa'atupu o le saini mo se fa'atupu o le auina o le faleupolu o se tautua e le o le mea e pei ona leai se vaega o se tautua e i ai.

E le o se mea uma lava na o le mea e pei ona leai se saini fa'atupu i nisi o vaega vaivai. Afai o le faleupolu na i ai tupe tu'ufa'atasiga e o atu i le isi, e leai se saini fa'atupu, ona o le leaga o le vaega e leai se fa'aiuga. O le faleupolu normal na o le tala e o atu i le isi, ae o le μ ma le σ na tu'i, ona o le tala na aga'i aunoa mai i luga. O le faleupolu Pareto ma le paramita 𝛼 ∈ (1, 2] e na o le tala, ae leai se saini fa'atupu (pe a tapunia, o le saini fa'atupu o lea e leaga). O le faleupolu Cauchy e leai se tala po'o se saini fa'atupu.

### Fa'asolo fa'afuase'i
I le taimi o le X na maua ai nisi valu mai le suafa tu'ufa'atasiga x1, x2, ... x1, x2, ..., ma ia valu na i ai le mea e leai ni tupe i ai, o le fa'atupu o le saini na naunau.\sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^N p_i(x_i - \mu)^2},\text{ where } \mu = \sum_{i=1}^N p_i x_i.pe a fa'aaoga le su'ega,\sigma = \sqrt{\int_\mathbf{X} (x - \mu)^2\, p(x)\, \mathrm dx},\text{ where } \mu = \int_\mathbf{X} x\, p(x)\, \mathrm dx,pe a leai se fa'atumauina o ni tau i luga, e maua ai ni tau fa'apitoa, ia x1 e maua ai le tau p1, ia x2 e maua ai le tau p2, ... p2, ... e maua ai le tau pN. I lea taimi, o le fa'atupu o le saini e fa'aaogā ai lea tau:

*σ*=*p*1​(*x*1​−*μ*)2+*p*2​(*x*2​−*μ*)2+…+*pN*​(*xN*​−*μ*)2​

O lea na fa'atuina i luga o le tu'uga taua.s_N = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \left(x_i - \bar{x}\right)^2},

### Fesuia'i fa'asolosolo fa'asolosolo
E leai se saini fa'atupu i se vaega o se vaivai vaivai o le tau tu'ufa'atasiga X e aofia ai le fa'atupu o le tau.s^2 = \frac{1}{N - 1} \sum_{i=1}^N \left(x_i - \bar{x}\right)^2.ma le feutaga o lenei, o ia o le toonai tu'ufa'atasiga na teuteuina i luga o le a ala atu ai le tau X.

Ia le taimi o se aiga o tautua tu'ufa'atasiga, e mafai ona fa'aaogā le fa'atupu o le saini ma ni saini. Mo se fa'atupu, i le taimi o le faleupolu loga-naunau ma paramita μ ma σ2, o le fa'atupu o le saini e fa'apea ai:s = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N \left(x_i - \bar{x}\right)^2}.

## Fa'atatau
c_4(N)\,=\,\sqrt{\frac{2}{N-1}}\,\,\,\frac{\Gamma\left(\frac{N}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{N-1}{2}\right)}.O se tasi e mafai ona mauaina le fa'atupu o le saini i le nu'u atoa i galuega (e pei o le galuega taua) ma se ituaiga o le nu'u na filifilia. I galuega ma galuega e le mafai ona faia ai lenei, o le fa'atupu o le saini σ e fai mai i le feso'ota'i o se sampulu talafeagai mai le nu'u ma le fa'ateleina o se tusitusiga o le sampulu, lea na fa'aaogā e fa'aaogā lea i le fa'amauina o le fa'atupu o le saini o le nu'u. O lea tusitusiga o le sampulu e numera lea o se fa'amau, ma e nonofo i lea tusitusiga (po'o le valu o le tusitusiga, o le a leai se fa'atele) e numera lea o le fa'atupu o le saini o le nu'u. O se tusitusiga e numera lea o se mea fa'atonu, ma o lenei tusitusiga (po'o le tau o le tusitusiga, ua pepelo lea tusitusiga) e numera lea o le fa'atupu o le saini o le nu'u, ma ua to'eseina i le s.

Inā ia tusa ai le faʻasoaʻoina o le tau o le nuʻu, ina ia maua ai le nuʻu tau, o le nuʻu tau o le sampulu o se faʻatulaga e faʻaogaina ai ni agavaʻa e leʻo taʻutaʻua (e leai ni se galuega, leaga, le pito i le auala lea o le agavaʻa). E leai se tusitusiga tauni e faʻatupulaʻia mo le faʻatupu o le saini ma i ai nei agavaʻa uma, ma o le faʻatupu o le saini e le mafai ona mauaina uma o nei agavaʻa, ma o le faʻaaogā o le faʻatupu o le saini o le nuʻu o se galuega faʻaaoga atu e le o ni fesoʻotaiga e leʻo faia ai nei tusitusiga. Faʻaaoga atu i le mafuaʻaga lea o le saini, o le faʻatupu o le saini e mafai ona mauaina ma le faʻamauina o le faʻatupu o le saini o le sampulu (faʻaaoga atu i le N - 1), na tusia i lalo, ma o lea na toe faʻamauina e faʻaaogā i le ituaiga "faʻatupu o le saini o le sampulu", i le vaega nei. O lea tuʻuina atu i soʻo se tusitusiga ma lelei i isi mea: o le tusitusiga leʻo tatalaina (faʻaaoga atu i le N) na faʻaaoga e maua ai le suʻesuʻega ma le tapenapena lata (e leai se nofoaga, e leai leaga, e leai ni mea e leaga). e ʻavea ai le N - 1.5 (mo le nuʻu o loʻo tuʻuina) na le faʻauuina loa le faʻamoemoe.

### Fa'ata'ita'iga e le'i fa'asa'oina le fa'asologa masani
O le fa'atupu mo le saini fa'atupu o le nu'u (o se nu'u taua) e mafai ona fa'aaogā i le sampulu, e fa'aaogā ai le sae o le sampulu e le gata o le sae o le nu'u (ae o le malamalama o le sae o le nu'u e taua i lea na teuteuina le sampulu), e to'a iga i ai lea tusitusiga, o le sN, na taunuu ai lea e leai se fa'ateleina i le fa'atupu o le saini o le sampulu (ua fiafia lea fa'atupu o le saini o le sampulu e taua i le nu'u atoa), ma na tusia ai i lalo:

*sN*​=*N*1​∑*i*=1*N*​(*xi*​−*x*ˉ)2​

I lenei tusitusiga, *N* ua ta'uta'uina i le sae o le nu'u o le sampulu, *xi*​ ua faia ai le tu'uta'uina o le mānea, ma *x*ˉ na faia ai le fa'atupu o le mānea o le sampulu.\hat\sigma = \sqrt{\frac{1}{N - 1.5} \sum_{i=1}^N \left(x_i - \bar{x}\right)^2},Ma le taitaifono, { 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑁 } o nei tusitusiga, ma 𝑥 ¯ na faia ai le mānea o lenei mau mana'o, ae o le denominator N na maua ai le sae o le sampulu: o le ulufale o le fa'atupu o le saini o le sampulu, na tusia i lalo, o le a o lona tu'utu'uga na faia ai le fa'atupu o le mānea o le sampulu.

*sN*​=*N*1​∑*i*=1*N*​(*xi*​−*x*ˉ)2​

I lenei tusitusiga, *N* ua ta'uta'uina i le sae o le nu'u o le sampulu, *xi*​ ua faia ai le tu'uta'uina o le mānea, ma *x*ˉ na faia ai le fa'atupu o le mānea o le sampulu.

O lea tusitusiga na faʻatino ina ia ona toe foaʻi i le tau o le nuʻu e ao ina ia mulimulitaʻi le numera o samupulu e o i ai le sampulu, ma o le faʻatupu o le saini i le aʻafia lea o le sae o le sampulu o le mānea. E leʻo taʻutaʻua mo le mea lea ona na taua i luga, ma o le tusitusiga faʻatino lenei i le mea na fesiligia i lea o le nuʻu na tuʻuina i le normali distribution. Aʻo ia na tusia e, o le tusitusiga lenei na leaga, ona o le aumaia lelei o na tusitusiga ua faʻapenitia i ni agavaʻa, o le atamai o le leaga e leaga i le sae o le sampulu, e mamaʻi atu ai lea i le faafofoga o 1/N, ma o lea tuʻuina atu i lea tusitusiga i totonu o ni sae vaivai pe vaevae; mo *N*>75, ua maʻea ona leaga o le mea e leai se 1%. Ma ni sae vaivai e tele, o le saini faʻatupu o le sampulu lea na faʻapenei i ni tusitusiga ua faʻapenitia.

### Fa'asa'o fa'ata'ita'iga sese fa'ata'atia
Afai o le tusitusiga ua leaga (o le alua fa'atupu i le leaga, o se tusitusiga leaga o le nu'u tau), o le a fa'aaogā i le fa'atupu o le saini o le nu'u, le fa'atupu o le saini o le nu'u e maua ai o lea:\hat\sigma = \sqrt{\frac{1}{N - 1.5 - \frac{1}{4}\gamma_2} \sum_{i=1}^N \left(x_i - \bar{x}\right)^2},Ia o le fa'atupu o le onosa'i matua, e le mafai ona fa'aaogā le fa'atupu o le saini o le nu'u, ona o le mata'utia o Jensen, ona o le fa'atupu o le onosa'i matua e leai se galuega. O le leaga i le fa'atupu o le nu'u e mafai ona fa'aaogā ai, ae o le leaga mai le onosa'i matua e leaga ona o le matamata o le fa'atupu o le nu'u, ma e mafai ona fa'amauina ai, ae o le leaga o le onosa'i matua e leaga e leai se fa'agaioiga e fa'atino i ai, ma e fa'atino i le fa'atupu o le nu'u.

O se tusitusiga e le leaga mo le fa'atupu o le nu'u o le leaga, e mafai ona fa'aaogā i le fa'atupu o le nu'u o le leaga o le nu'u o le sampulu, o le a tusia i lalo o Bessel's correction, fa'aaogā atu i le N - 1 i le a fa'aaogā ai le fa'atupu o le nu'u o le leaga e leaga mo le fa'atupu o le nu'u, o le tusitusiga o le fa'atupu o le nu'u o le leaga, na tusia i lalo, o le s2:\Pr\left(q_\frac{\alpha}{2} O le tusitusiga lenei e le leaga pe le leaga o le nu'u ma e fa'atino i ai lea tusitusiga ma le galuega e uiga i le nu'u taua taua. O N - 1 e fa'apea ai le numera o le nu'u e fa'atino ai le fa'atupu o le nu'u o le leaga, e pei o le tusitusiga o le nu'u taua, o (𝑥₁−𝑥̄, …, 𝑥ₙ−𝑥̄).

Ia o le fa'atupu o le onosa'i matua, e le mafai ona fa'aaogā le fa'atupu o le nu'u, ona o le mata'utia o le onosa'i matua e leaga ona o le galuega, (o le tasi leaga, o le onosa'i matua e le fa'agaioiga i le fa'atupu o le nu'u, ua leai ona mana'o). O le fa'atupu o le saini fa'atupu o le sampulu na fa'aaogā, na tusia i lalo, o le s:\Pr\left(k\frac{s^2}{q_{1 - \frac{\alpha}{2}}} E fa'apefea i luga, na tusia i luga, peita'i o le s2 o se tusitusiga e le leaga i le fa'atupu o le nu'u o le leaga, ae le o le s o se tusitusiga e le leaga i le fa'atupu o le nu'u o le leaga, ae leaga e leai leaga i le fa'amauina o le s2. O le tusitusiga lenei e fa'aaogā atu ma o le tusitusiga ua mafai ona iloilo atu i ai pe na o le tusitusiga ua tusia i luga, o le tusitusiga ua fa'aaogā i ai, ma ua malamalama ai loa i le "saini fa'atupu o le sampulu". O le leaga e leaga o lea, o le tata leaga mo nei sampulu (N lagona le 10) e mafai ona sili atu ai lea. A fa'aaloalo i lea, e le o le fa'apefea le leaga, e sili le leaga ma le sae o le nu'u, o le sae leaga peita'i e leai leaga. O lea e maua i ai ni fa'amatalaga ma le se mea na fa'aaogā ai ma le tautua i le galuega.

### Fa'ata'ita'iga lē fa'aituau fa'aa'oa'oga fa'a'ese'ese
Mo le fa'amaoniga e le leaga mo le fa'atupu o le saini fa'atupu o le nu'u, e leai se fomula e mafai ona fa'aaogā i le vaiaso uma, peita'i mo le mānea ma le leaga. Atonu o le s, e fa'aaogā atu e le fa'aaogā, ma e taele i se faktō o le fa'atupu e fa'atino le leaga. I le nu'u normali, o se tusitusiga e leaga ai o lo'o fa'apea ai le s/c4, ma o lea e sili atu ai i le tōlua o le fa'atupu (o lea e mafai ona tautuaina ai e N) ua i ai le fa'atino i le tu'utu'uga o le Gamma, ma e galulue i ai:

*c*4​=*N*−12​​⋅Γ(2*N*−2​)Γ(2*N*−1​)​

I lenei, Γ(*x*) na fa'aaogā mo le gamma function. O le faktō fa'atino leaga lenei o le saini fa'atupu o le sampulu ina ia fa'atino ai le leaga o le nu'u o le saini fa'atupu.s(X) = \sqrt{\frac{N}{N-1}} \sqrt{\operatorname E\left[(X - \operatorname E[X])^2\right]}.O lea na mafai ai ona ala i le feso'ota'iga taua o le saini fa'atupu o le sampulu, ua mafai ona faia i se distribution chi (fa'atino) ma o le faktō fa'atino leaga na fa'atino ai le tu'utu'uga o le chi distribution.

O se malamalama e mafai ona tuuina atu e pei ona fa'alauiloaina le N - 1 i le N - 1.5, ma o lea e maua ai:
 \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\left(x_i - \bar{x}\right)^2} =
 \sqrt{\frac{1}{N}\left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - {\bar{x}}^2} =
 \sqrt{\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - \left(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i\right)^2},
O le leaga i lenei malamalama o le tusitusiga na fa'alauiloa ai, ua solosolo leaga (e leai ni tolu), ma e tata lea i ni sampulu, po'o le matamata o le malosi: mo N = 3, o le leaga e 1.3%, ma mo N = 9, o le leaga e leai ni 0.1%.

O se malamalama e mafai ona tuuina atu e pei ona fa'alauiloaina le N - 1.5 i luga o le N - 1.5 + 1/8(N - 1), ma o lea e maua ai:

Mo isi nu'u taua, o le fomula e tatau ona fa'atumauina i le nu'u taua, ae o se uo lea e fa'aaoga ai le fa'alauiloaina o le malamalama:\begin{align}
   \sigma(c) &= 0 \\
 \sigma(X + c) &= \sigma(X), \\
   \sigma(cX) &= |c| \sigma(X).
\end{align}I lea na tālā ai le γ2 na tusia ai le nu'u o le nu'u tau, na mafai ona iloilo ai le γ2 mai le tatau taua pe o lo'o ia mafai ona iloilo mai le data.

### Vava fa'atuatuaina o se fa'ata'ita'iga fa'ata'ita'iga sese
O le fa'atupu o le saini fa'atupu o le sampulu na faia ai, e leai se mea e taua ai, ona o galuega matematika (ua fa'ailoilo i lenei i luga o le confidence interval) ma galuega o le mafaufau (mefaʻaʻai i tupe o le lā). O le auāleāliʻi o le mea matematika e mafai ona faʻailoilo i le faʻagaluega o le confidence interval, pe CI.

Mo le faʻasaʻolotoina o le a se sampulu e mātoa ai ona ia lētatau le confidence interval, faʻaaoga ai ni faamaumauga o loʻo taua:

O se nuʻu itiiti e *N*=2, e leai ni sae mo le faʻatupu o le saini faʻatupu o le sampulu. O lea na maua ai se 95% CI o le SD mai le 0.45×*SD* i le 31.9×*SD*. O lea ni faʻatoʻaga o le mea na faʻaaogā:

0.45=1−4(2−1)2​​ 31.9=2(2−2)2(22−1)​​

O ni faʻatoaga faʻaleaganuu o le lautele ma le sae o le nuʻu o le saini faʻatupu o le sampulu. \sigma(X + Y) = \sqrt{\operatorname{var}(X) + \operatorname{var}(Y) + 2 \,\operatorname{cov}(X,Y)}. \, Ua faʻailoilo mai lenei, *qp*​ e sili atu ai i le p-th quantile o le distribution chi-square ma k degrees of freedom, ma 1 - α e le galuega o le tuʻufaʻatasiga. O lea e amatalia pe a sili lea i le: *q*2*α*​,*k*​ ma le: *q*1−2*α*​,*k*​ Toaʻaga sa fai mai le distributi i luga o le tasi.\sigma(X) = \sqrt{\operatorname E\left[(X - \operatorname E[X])^2\right]} = \sqrt{\operatorname E\left[X^2\right] - (\operatorname E[X])^2}.Ma k = 1, o le q_{0.025} = 0.000982 ma le q_{0.975} = 5.024. O le reciprocals o le a aga'i o i latou nei na maua ai o ni factors e 0.45 ma 31.9 na taua i luga.

Ua ia faʻamauma e lea lenei o le lagona o le a se nuʻu leʻi tatau i le *N*=10 na tuʻufaʻatasiga ai i le saini faʻatupu o le sampulu. Ua maua ai lea ni tala e pei ona tuʻufaʻatasigaina i luga o le a launia:

* Aso 95% CI o le SD o le 0.69×*SD* i le 1.83×*SD*.
* E tusa ai ma le *N*=10, o le a mafai ona lea e le 2 ni le saini faʻatupu o le sampulu. Mo le sample population *N*=100, o lea ua tatau ona leaga lea i le 0.88×*SD* i le 1.16×*SD*. E tatau lava ona faʻamauma lea le SD o le sampulu ina ia mafai ona ia ia lētatau i le SD o le nuʻu o le saini faʻatupu. Ua tatau ona faʻamauma lea lea lea i le tautaiga o le a se tasi faʻataʻitaʻiga.

E mafai ona faʻaaogā ai foi nei fomula e lētatau le confidence interval o le variance o le a se tomai mea'ai mai le vaega o le a se eseʻese o le vaega eseʻese o le lagona, i le mafai ai le mānea o k e fai ma le numera o sae o le ala.

### Fa'amauina i le fa'asologa masani
Mo se seti o data e lagolagoina ai ni numerā N > 4 ma se tulaga R, o le seʻia aafia ai lea o le saini faʻatupu o le sampulu o le R = 0.6. O se tusitusiga o le saini faʻatupu mo N > 100 o se vaega o data lagona i le talu ai o le mafai ona ia sili i se vaega eseʻese, ma e taua le mānea e faʻaaogā ai lenei o le gagana e faʻaalia ai le 95% o le suʻesuʻe i luga o le fale normali ua lētoa lea i ni saini faʻatupu ua i ai se 2 saini faʻatupu i luga o le maualuga ma le maualalo o le mēana, ma o lea ua tuʻufaʻatasiga ai i luga o le 95% aʻoga le tulaga o le R e faʻatusatusa ai le four saini faʻatupu ina ia saini ≈ R/4. O le malamalama lea i luga o le a leaga atu le Range Rule, e mafai ona faʻamautūina i le avanoa o le sampulu, ona o lea e lēlāoina ai le saini faʻatupu. O ni isi foafoa N (K(N)) o le range e faʻaaogā i le saini faʻatupu e faʻaali ai le R/K(N) mo isi tulaga o N ma isi nuʻu taua e le normali.

## Fa'ailoga ma uiga fa'a-matematika
O le saini fa'atupu o le sampulu e le leaga i le fa'atauina o le nofoaga, ma e fa'atau atu i le fa'atau o le mata'upu taua. O lea ua ia feso'ota'i ai, mo se tau constat c ma mata'upu taua X ma Y:M = \left(\bar{x}, \bar{x}, \bar{x}\right)O le saini fa'atupu o le mamalu o le lua mata'upu taua e mafai ona fa'amautū i le aofaiga o le saini fa'atupu o ia mata'upu taua ma le covariance i loto ia te ia:
M is on L therefore M = (\ell,\ell,\ell) for some \ell \in \mathbb{R}.

The line  is to be orthogonal to the vector from  to . Therefore:

\begin{align} 
                                       L \cdot (P - M) &= 0    \\[4pt]
  (r, r, r) \cdot (x_1 - \ell, x_2 - \ell, x_3 - \ell) &= 0    \\[4pt]
               r(x_1 - \ell + x_2 - \ell + x_3 - \ell) &= 0    \\[4pt]
                      r\left(\sum_i x_i - 3\ell\right) &= 0    \\[4pt]
                                    \sum_i x_i - 3\ell &= 0    \\[4pt]
                                 \frac{1}{3}\sum_i x_i &= \ell \\[4pt]
                                               \bar{x} &= \ell
\end{align}
ua var=*σ*2 ma cov ua tofia le variance ma le covariance, fa'aaoga atu i ai.

O le tusitusiga o le mamalu o le sumi o le malosi fa'atupu e mafai ona fa'amautū i lenei tua ia taua e lua na tusia i luga o le data. I le fomula lalo, o le itulagi E e iloilo i lenei e tatau ona fa'amaonia le mafai o lenei mea, lea o le mea o le mānea.f\left(x, \mu, \sigma^2\right) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2}O le saini fa'atupu o le sampulu e mafai ona tusia pe fa'amautū ai:\text{Proportion} = \operatorname{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)Mo se nu'u taua e leaga i ai ni mafuaaga o le fa'amautū o le fa'atupu o le sampulu, o le a saunoa pe:\text{Proportion} \le x = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\left(\frac{x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right] = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right].O le uiga o le faʻasalaga mo le malosi faʻatupu o se seti o ni tulaga e faʻaaoga i le tofa, o le faia lea e tatau ona tatalo ai pe o lea e tele i ai se faʻamautūina (maea).

Faʻamolemole, tilotilo i le fomula o le taua mo le saini faʻatupu e faʻailoilo, ma mo se tuʻuina o le saini faʻatupu o le sampulu.

## Faamatalaina ma le faaaogaina

O le saini faʻatupu tele o se faʻatutū e faʻailoilo ai e le o mafai ona ia vaelua atu i le maea, ma o se saini faʻatupu liʻiti o le faʻailoilo ai ua tele i ai i luga o le maea.

Mo se faʻamatalaga, ua mafai ona fai ni nuʻu e lua e pei o le {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} ma {6, 6, 8, 8} e i ai le mean o le 7. O lenei o loʻo i ai se maea o 7, 5, ma 1 ona lenei. O le nuʻu e tolu na i ai se saini faʻatupu e le tele ona le lua na lenei, ona o ni vaega o le nuʻu e lagona atu i le 7. O lenei saini faʻatupu e tusa ai ma le vaega o le nuʻu taua na faia. Pe, mo se faʻaauauina, o le seti o le data {0, 6, 8, 14} e faʻalagolago i ai ni taimi a le toa o lona totonu i le nuʻu taua na faia, o lea ua maea o le 5 tausaga. Mo se tusa o se faʻamatalaga, o le nuʻu taua {1000, 1006, 1008, 1014} na faia e tusa ai ma ni fetau, ua tusia i le mita. O lea e maea o le mean 1007 mita, ma saini faʻatupu o 5 mita.

O le saini fa'atupu o se mea e mafai ona fa'aaogā e avea ai ma le fefe. I le tama'ita'i fizikasi, mo se faʻamatalaga, o le saini faʻatupu ua tukuina mai i luga o se tausaga o ni maea o tulaga o le faʻamauina o nisi tuʻuina. I le taimi e filifilia ai pe o lea e mafai ona tuʻufaʻatasiga ai ni maea i le tala sa tala, o le saini faʻatupu o ia maea o se mea faʻaaoga e leaga ai: pe o le mean o le maea e lē lagona atu i le faʻasalaga (ma le distanse e faʻasalaga ai i le saini faʻatupu), ona o le leaga ua aofia ma le faʻamautū o le tala, o le mea e filifilia ona suia ai le tautua. E tusa ai lea pe, i le taimi e filifilia ai pe o lea e lagona atu i luma o se tala lē masani, o le saini faʻatupu o ia tala e mafai ai ona tuʻufaʻatasiga i ni maea aofia e faʻatulagaina: pe o le mean o lenei maea e tolu se'i lagona atu i le tala (ma le distanse ua faʻasalaga i le saini faʻatupu), ona o le leaga ua talafeagai i le tala e tala, o le teoria sa tālā sa tala pe ua lē malosi. O lea ua mautinoa, ona o lenei ua teena ni solitulafono ua mautinoa, pe ua lē masani le mea ua faia, ma o le saini faʻatupu e faʻasalaga ai. Silia ma le prediction interval.

Inā ua mātaʻutino le saini faʻatupu e faʻailoilo i le va o ni maea o fetaui ma le maea, e mafai ona avea ma isi mea. O se faʻamatalaga lea o le maea o le malosi tuʻufaʻatasiga, sa mafai ona faʻamautū e maitauina i le average faʻamau, ma le leaga i le va o le maea o le malosi faʻatupu ua tofia i le saini faʻatupu.

### Fa'ata'ita'iga fa'atatau

#### Fa'ata'ita'iga, su'esu'ega fa'apisinisi ma le fa'atatau
O le saini faʻatupu o loʻo faʻaaogā i le faʻamautūina o tulaga mai le lagona ma le faʻamautūina o le saini. Mo se faʻamautū e faia, o le malosi o ni mea faigaluega e ala i ai e pei o le tau o mea na tupu mai ai le ofisa o le malo. Afai e sese le faʻamauina o ni mea, o le a tatalo lea i ai o ni faamautūina e pei o le leaga o le malosi o loʻo tuai ma le faʻamautūina o le saini. Afai e faʻamautūina se sefa o ni mea faigaluega, o le malosi faʻatupu e mafai ona tuʻufaʻatasiga ai ni tau o se faʻamautūina e faia (99.9% pe a sau). Afai e tele nisi o le malosi, ona e mafai ona tusia le vaega o le malosi o loʻo tuai ma le faʻamautūina o le saini. Afai o loʻo tuai i fafo o le vaega na tuʻuina ai, ona e tatalo lea o loʻo i ai o ni faamautūina faʻapea. O ni faʻamautūina faʻamatalaina e pei o lenei na faia, e le o se faʻamautūina, o le faʻamautūina o le maliu na avanoa ai se malo i le tofiina o tusi paia, ona e tele se faʻamautūina e faia e le malo.

I le gagana o le gagana faʻamautū, o lea e faʻaaogā ai se teoria ua tuai. O le siʻi lava na tusiina e le gagana malosi i le "5 sigma" mo le faʻamoemoe o se vaega e pei o le ata. O le a siʻi sigma na faʻatautauina e tasi i le 3.5 miliona, o le mafuaʻaga na tali i ai le sili e faʻamoemoe i luma o se faamautūina e faia. O lenei vaega o le malosi na fesoasoani i le faia o se gaioi e faʻatonutonu ai le faitau o se partikel o loʻo faʻaaoga le Higgs boson, ua amata mai ai foʻi le faitauina o le faʻamatalaga faʻapitoa o le vevela gravetāsione.

#### Tau
I se faʻamatalaga tusitusi, faia le tausiga o le malosi faʻatupu mo le malosi malosi a le vaega e lua, e tasi i loko ma e lua i le itu tau. Ua fesoasoani ona tatalo e sili le tausaga o le malosi faʻatupu mo itu malae malae o le itu tau ma o le tino, peitaʻi, ina ia avanoaʻi le ʻamaiʻi itiiti o le tausaga o le malosi faʻatupu mo itu malae malae mo le itu tau ma o le tino. O lea lava, pe afai e faʻatulagaina e le malae i tua ma lona malosi faʻatupu, o le saini faʻatupu o le malosi faʻatupu mo le malae malae o le itu tau o loʻo i ai le itiiti i le malae malae o le itu tau mo le itu tau ma o le tino. I lenei taimi, e mafai ai ona e leʻi totoe le tausaga o le malosi faʻatupu o le malae malae mo le itu tau o loʻo i ai le itiiti i le itu tau ma o le tino.

#### Tupe
I le faletalimalo, o le saini faʻatupu o loʻo faʻaaogā e tusa ai ma le mea faigaluega e mafai ai ona galue ai i luga o le solitulafono o se mālō (mea mafai ona valaau, peipi, vaega, etc.), pe o le solitulafono o se pulega o mea faigaluega (fondi mamanu, fondi itulau, poʻo le ETF). O le soifua e se tagata lona tolu le gaioi i le faʻaaogā o le solitulafono i mālō o mea faigaluega, ona o le faʻaaogā lea o le solitulafono i mea faigaluega ma o le fondi a mea faigaluega, ma o le ETF. O le soifua o le mea faʻagaluega e amata mai ai i le faʻaaogā o le solitulafono e fale ma lona malosi faʻatupu i le solitulafono o se tagata. Ua mafai ona avea le soifua i le faʻamautūina o le lagona i le tulaga o le avanoa e faigaluega ai i luga o le mea faigaluega ma le poʻo le fondi ma ua mafai ona faʻaaogā le gaioi faʻatupu mo lea mea ma o se matematika faʻaasease mo le faʻaoti o le manatu o ni faʻamoemoe (e i ai le fesilafa i luga o le malaga-vaega). O le uiga o le faʻamoemoe o se mea gaioi o lea, e aumai ai i ai, o le lagona e faʻaaogā ai i le faʻaaogā o se mea gaioi o lea, ma ua mafai ona faʻaaogā lea i luga o le faʻamoemoe o le mea gaioi o lea (ua malolosi le faʻaaogā). I isi ituaiga upu, o le aumai lea ua ia faʻaliloina ai e le tagata, e mafai ai ona faʻaoti atu ai se malofie ona lagona i le faʻaaogā o se mea gaioi o lea poʻo le tulaga o le mafuaaga. I le taimi e taumafai ai ni faʻamoemoe, o le aumai lea ua ia iloa ai e le tagata le lagona e faʻaaogā ai i le faʻamoemoe ma le faʻaaogā o le malosi o ni faʻamoemoe lona tekinikolagi. O le saini faʻatupu o lea o le aumai lea ua ia iloa ai e le tagata le malosi o ni faʻamoemoe.

Le auina (pe faʻaautū) o le faʻamoemoe o se malolo a ni tulaga e tusa ai ma le ʻauala i se taimi e taofio ai le faʻamoemoe o le mālō. Mo le auala lava, le faʻauauina o le faʻamoemoe mai le faʻamoemoe o le tupe, o le tulaga ua mautinoa e aofia ai le faʻamoemoe o le mea faigaluega. Mo le tulaga uma, pei o le faʻamoemoe o le tupe mai le faʻamoemoe o le faʻamoemoe, o le tulaga ua faigofie e maua ai le leaga mai le faʻamoemoe. Le faia o le faʻamoemoe i le faʻamoemoe o le faʻamoemoe i le tupe o le mea faigaluega. Ua faʻatoʻese le malosi, ua le iloa ma le malosi o le mea faigaluega. Faigofie ona mauaina le manatu o le mea faigaluega ma le malosi o le faʻamoemoe ma le faʻamoemoe i le tupe. Le faigofie lea e tauina ai le malosi, o le malosi masani ona tuuina atu ai le gaioi o le faʻamoemoe. Ua maua ai le faʻamoemoe ma le faʻamoemoe o le tupe na faʻamoemoeina i luga o le gaioi o le malosi o le faʻamoemoe.

OO ni tulaga taimi faigaluega na iloa ai e le laʻititi o ni tulaga na faʻamautū ai le faʻamoemoe, ae e leʻi toe faʻaautū le mea faigaluega, pe le taitoa e uiga i luga o ni tulaga o le malosi o le faʻamoemoe. Ina ia amata le faʻaauau o ni tulaga o le malosi o le faʻamoemoe i luga o ni tulaga o le malosi o le faʻamoemoe, o le mea ua mautinoa e toe faʻaautū lenei mea faigaluega i se mea faigaluega, ona o le malosi o le faʻamoemoe ua mautinoa.

### Fa'amatalaga fa'atusa
Mo se iloiloga e faʻaalia ai ni malamalama faʻavaivai ma faʻafitauli, ia mautinoa lea e amata ai i le tulaga o le taua o le tolu, x1, x2, x3. O lea e mautinoa ai se pepa P = (x1, x2, x3) i le R3. Ia talitonu le lalolagi L = {(r, r, r) : r ∈ R}. O lea o le "main diagonal" e ala i le fatu. Pe a oʻe toʻafaitauina ni tulaga o le tolu ua tau, ona o le malosi o le faʻamoemoe o le P o le 0 ma le P. O lea na tuuina atu i le fatu. E tatau ona ia amatalia le malosi o le faʻamoemoe ma le faʻamoemoe o le P. O lea na faʻafefea ai. Mo le tuai mai i le fatu L i le P, ona amatalia ai mai le pepa:

e na mafua ai ni malamalama o le faʻamoemoe ona o se mea masani ona lauina atu ni tulaga o le P i lea ua tuai ma ia.

O se faʻamatalaga itu, na amata e iloa ai le mamao i le P ma M (o lea foʻi le mamao faʻatasi i le P ma le lalolagi L) ∑ 𝑖 ( 𝑥 𝑖 − 𝑥 ¯ ) 2 o le mea lea na mafua ai ni malamalama o le faʻamoemoe o le vaega (x1, x2, x3), ua muamua e le faʻamoemoe o le māloa i le fā o le numera o le vaega (3 i lenei taimi).

### Le tutusa o Chebyshev
E le masani foi ona mafai ona matou fai ma ni malamalama e masani ma le laitiiti pe afai o se fesiligia taua e aga'i mai le faʻamoemoe. O le Chebyshev's inequality na faʻamaonia ai e faʻatoʻese i ai, mo taitai nei i ni tulaga o le malosi o le faʻamoemoe, le mea e mafai ai ona matou iloa ai le taua o le faʻamoemoe e tusa ma lea e faʻamoemoeina i lalo.

### Tulafono mo fa'amaumauga masani fa'asoa

O le teorema o le malamalama i le uli o le malamalama e naʻo le malosi o ni galuega taua o le malosi, faapitoa mo le faapitoa o ni gaosiga taua e ono leai se taimi, e aofia ai ni tulaga matū e leai se mea muamua ma e malamalama pea i le uli-masani faapitoa o le malosi ma le galuega taua, na na teena ai le normal distribution e malamalama, ma lea o se pisinisi e leai ni galuega taua.

lona lima, ia lē ūmalia ai lona lapa, e fesiligia ai le lima o le malamalama o le laititi o le malamalama, pe afai e leai se galuega taua o le malosi. E lē mafai ai ona ia faʻailoa i le uiga o le faʻamoemoe o le galuega taua ma le faʻamoemoe o le uli-masani, peitaʻi ua iloga ai foi i le malamalama ona o le faʻamoemoe ma le le faʻamoemoeina.

Pe a i ai ni malosi o le malamalama e amata i le uli-masani, ona mafua ai le taua o ni tulaga taua i totonu o le z standard deviations o le faʻamoemoe o le galuega taua o le malosi:

lona māsani ona o le galuega taua o le malosi. O le taua o ni itū taua e lē falosaga e tele atu pe tusa ma ni uiga, x, e faʻapipii i le fuesi o le malamalama:

Pe a i ai ni malosi o le malamalama e amata i le uli-masani, ona mafua ai e le 68 faapitoa o le taua o ni tulaga taua e tolu e i totonu o le taimi (matematika, μ ± σ, ma le mea e le ai, μ o le galuega taua), ona mafua ai e le 95 faapitoa e tolu e i totonu o le taimi (μ ± 2σ), ma le mea e le ai, le 99.7 faapitoa e tolu e i totonu o le taimi (μ ± 3σ). O le mea lena o loo i ai le 68–95–99.7 rule, pe le empirical rule.

Mo ni tulaga o z, o le malosi o ni gaosiga taua e taʻu i totonu ma tuʻu i tua o le faʻamoemoe, CI = (−zσ, zσ), o le aofia ai i lalo:

## Tausisi faʻatau i le faʻaopoopo ma le faʻaopoopo
O le mean ma le standard deviation o se seti o datosi o loo faia e le tauva. I se mea lava, o le standard deviation o se maea e fa'amaeaina ai le malosi o le tatou tusi datosi uma uma i le mean. O lea o lea, ona o le standard deviation mai le mean e le uma foi mai ni isi itu. O le faamatalaga e tatau ona iloilo ai, o lea ua faia ai lea: ua ia faia x1, ... x1, ... e masani i tulaga:\sigma(r) = \sqrt{\frac{1}{N - 1} \sum_{i=1}^N \left(x_i - r\right)^2}.Faʻaaogaina le kalokula po o le faʻaopoopo o le maʻalili, e tatau ona faʻaalia, o le σ(r) e iai se minimum faʻaopoopo i le mean:r = \bar{x}.\,O le toʻelau o se seti o datosi e tatau ai ona tauva foi i le tusi o le vaega o le toʻelau, o le a ia e tauva ai le standard deviation ma le mean. O se numera e leiloa ai le mamalu o se mea.

### Fua'iga masani o le uiga
I totonu, e talafeagai ai ia te outou se faʻamatalaga i le malosi o le mean ua mafai ona e maua. E mafai ona e maua i lea lava e tautua ai le faʻamalosi o le sampled mean. Afai e faamaonia le faʻamaoni o le vaega i le sample, o le faʻamalosi o le mean o lea e faʻatatau i le faʻamalosi o le distribution ma:\sigma_\text{mean} = \frac{1}{\sqrt{N}}\sigmaI lea lava o le tau, ona o le numera o manatu i le suʻesuʻega e faʻamauina ai le mataupu. E mafai ona faamatalaina lenei mea i lalo o le (vaavaalua o le mataʻititi):\begin{align}
 \operatorname{var}(X) &\equiv \sigma^2_X\\
 \operatorname{var}(X_1 + X_2) &\equiv \operatorname{var}(X_1) + \operatorname{var}(X_2)\\ 
\end{align}O le faʻamaonia o le taimi faʻaʻaleleia o le lautele.\operatorname{var}(cX_1) \equiv c^2\, \operatorname{var}(X_1)ona o le a\begin{align}
 \operatorname{var}(\text{mean})
  &= \operatorname{var}\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i\right)
   = \frac{1}{N^2} \operatorname{var}\left(\sum_{i=1}^N X_i\right) \\
  &= \frac{1}{N^2} \sum_{i=1}^N \operatorname{var}(X_i)
   = \frac{N}{N^2} \operatorname{var}(X)
   = \frac{1}{N} \operatorname{var}(X).
\end{align}O le tulaga i:\sigma_\text{mean} = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}.I le galuega e faʻamauina ai le faʻasaunaina o le malosi masani σmean, e leai se isi mea e mafai ona iloaina, o le mea ua mautinoa, o le malosi masani o le atunuʻu atoa σ i le mua. Ae e leʻi iloa i lona faʻatoa malosi i le polokalama e pei ona galue ai. Mo le faʻaauauina pea, pe afai e galue ai se tasi o 10 galuega o se ata e leai se iloiloina, e mafai ona amataina le suʻesuʻe o le malamalama ma le malosi masani o le ata, ae e leai se mea e mafai ona faʻamauina i le mua. E mafai ona faʻamaonia le malosi masani o le atunuʻu atoa mai le amo, ma lenei lea e mafai ona mauaina se malosi faʻasaʻoina o le ata.

## Metotia fa'atatau vave
O le folomia o nei ata ula e lua e mafai ona faʻamaonia ai se malosi masani e tusa ai ma le taimi na folomitia. O se seti o lua fuafuaga malamalama s1 ma s2 na faʻamauina i luga o se seti o ni faiga o le N i lauina o i latou o x, ua faʻailoa e x1, ... x1, ...:s_j = \sum_{k=1}^N{x_k^j}.A o le taumafai o nisi o nei folomitia, e mafai ona faʻaaʻoaʻi ai ai nisi o lea e faʻamauina, o lea ua mafai ona faʻamaonia ai lea lagona o le malosi masani folomia i le taimi o lea:\sigma = \frac{\sqrt{Ns_2 - s_1^2}}{N}I le taimi a luga, o le N, peitai ua tautumai i luga, o le saita o le seti o fiafia (poʻo e mafai foi ona faʻasaʻosaʻo lea ma s0).

Feso'ota'i foi mo le malosi masani o le suʻesuʻega.s = \sqrt{\frac{Ns_2 - s_1^2}{N(N - 1)}}.I le faia o se galuega faʻapotopotoina, ina ua faʻasalalau auaunaga o nisi o nei sao sj, ua manaomia ona talitonu le galuega faʻasala, le puipuiga o le faitau, ma le faigataʻaga o le faitau. O le metotia lalo na tusia e faʻamauina ai nisi o nei sao i le tulaga o le galuega faʻasala ma le taimi na teuteuina le latou faitau i le faitau. O lea ua mautinoa lea metotia e faʻamauina ai le suʻesuʻe o le n saofaʻi i le tele o nisi o nisi sao fou, e leai ni taula na fautua i le taimi o le galuega. O le tulaga lenei e apiti ma le suʻesuʻe o le malosi masani e mafai ona tuuina atu i lea taimi ina ia fiafia ai.

Mo k = 1,... , n :\begin{align}
 A_0 &= 0\\
 A_k &= A_{k-1} + \frac{x_k - A_{k-1}}{k}
\end{align}latalata i le A o le uiga.\begin{align}
 Q_0 &= 0 \\
 Q_k &= Q_{k-1} + \frac{k-1}{k} \left(x_k - A_{k-1}\right)^2 = Q_{k-1} + \left(x_k - A_{k-1}\right)\left(x_k - A_k\right)
\end{align}Manatua: Q 1 = 0 talu ai k − 1 = 0 poʻo x 1 = A 1 .

Malosi Masani o le Suʻesuʻega:s^2_n = \frac{Q_n}{n - 1}Malosi Masani o le Atunuʻu Atoa:\sigma^2_n = \frac{Q_n}{n}

### Fuafuaga mamafa
I le faʻamauina o nisi o faiga o le xi i le galuega a le aafia ai o latou malosi wi, o le saita o lea o s0, s1, s2 e mafai ona faʻamauina uma:s_j = \sum_{k=1}^N w_k x_k^j.\,O le a leai ni faigofie i le vaega o le malosi masani. O s0 o le a leai ni numera o nisi, ae o le a le ni numera o maloʻi.

O le metotia o le faʻamaoni i le malosi masani ma le faigaluega o le faia ai e mautinoa lea, ae o le a le ni auala o le a faʻaauau.

O se folomitia o le saita o malosi o latou tausaga o le a faʻamauina mo ia k mai le 1 i le n:\begin{align}
 W_0 &= 0 \\
 W_k &= W_{k-1} + w_k
\end{align}ma luga o maloʻi i le a faʻaaoga ai le 1/σ e faʻaopoopoina ai e wi/Wn:\begin{align}
 A_0 &= 0 \\
 A_k &= A_{k-1} + \frac{w_k}{W_k}\left(x_k - A_{k-1}\right) \\
 Q_0 &= 0 \\
 Q_k &= Q_{k-1} + \frac{w_k W_{k-1}}{W_k}\left(x_k -A_{k-1}\right)^2 = Q_{k-1} + w_k\left(x_k-A_{k-1}\right)\left(x_k - A_k\right)
\end{align}I le tuʻuina muamua o le masini,\sigma^2_n = \frac{Q_n}{W_n}\,mas^2_n = \frac{Q_n}{W_n - 1},pes^2_n = \frac{n'}{n' - 1} \sigma^2_n,latalata i le n o nisi o mea uma, ma le n′ o nisi o mea e leai ni malosi.

O lea metotia luga e faʻamauina ai i luga e tatau ona mafai ai ona fai se metotia lagona o mea e tatau ona faia i le taimi o le galuega ma le malo, ma lea o loʻo mafai ai ona fai ai nisi o metotia ma lea e sili ona faʻamauina ai i luga.

## Tala o le Vā
Na faʻatumuina le upu 'malosi masani' i le tusi e Karl Pearson i le 1894, i se taimi na taʻitaʻia ai lo latou faaauauina i le taimi o ia galuega. O lea ua faia i se faʻatonu mo nisi o suʻesuʻega ua na o latou itulau: ma lelei, na faʻaaoga e Gauss le upu 'mean error'.

## Malosi Masani o le Itulau
O le Malosi Masani o le Itulau (SDI) e faʻaaoga i auala e faʻamaonia ai le malosi masani, ma faʻaaloalo atu i ai moa galuega o le fanau o le mataigatasi. E faʻamatalaina e lea pe aisea:\text{SDI} = \frac{\text{Laboratory mean} - \text{Consensus group mean}}{\text{Consensus group standard deviation}}

## Sualofoa A'oa'oga

I itu e lua, e mafai ona fa'ata'ita'iina le va'aiga masani i le fa'asologa o le ellipse (silasila i le Multivariate normal distribution § Geometric interpretation).

## Vaai foi