Divergencia (vektorové pole)

náhľad|V oblasti ohraničenej kružnicou nie je zdroj ani prepad, divergencia poľa v nej je preto nulová
**Divergencia** je diferenciálny operátor používaný vo vektorovej analýze. Ak je skúmaným poľom napr. gradient teploty (vektory nech udávajú napr. rýchlosť vedenia tepla), potom kladná divergencia v danom bode znamená, že v danom bode vzniká teplo, záporná naopak, že v danom mieste teplo zaniká.

*Divergenciu* využíva Gaussova veta, ktorá prevádza výpočet toku vektorového poľa cez uzavretú plochu na výpočet integrálu divergencie daného vektorového poľa z objemu v tejto ploche uzavretého.

## Definícia

Ak sú *x, y, z* karteziánske súradnice v 3-rozmernom euklidovskom priestore, a **e**x, **e**y, **e**z je báza jednotkových vektorov v danom priestore, a 

:\mathbf{F} = F_x \mathbf{e}_x+F_y \mathbf{e}_y+F_z \mathbf{e}_z

je spojité diferencovateľné vektorové pole, potom jeho divergenciu definujeme ako skalárnu veličinu

:\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F}
=\frac{\partial F_x}{\partial x}
+\frac{\partial F_y}{\partial y}
+\frac{\partial F_z}{\partial z}. 

Napriek tomu, že je **divergencia** definovaná v karteziánskych súradniciach, ide o invariantnú veličinu, ktorá nadobúda rovnaké hodnoty vo všetkých súradných sústavách.

V *n*-rozmernom priestore možno operátor divergencie vyjadriť prostredníctvom skalárneho súčinu operátoru nabla a vektoru **v**, tzn.
:\mathrm{div}\,\mathbf{v} = \nabla \cdot \mathbf{v} = \frac{\partial v_k}{\partial x_k} = \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \frac{\partial v_2}{\partial x_2} + \cdots + \frac{\partial v_n}{\partial x_n},
kde sa využilo Einsteinove sumačné pravidlo.

Operátor divergencie sa zapisuje aj ako
:\mathrm{div} = \nabla \cdot

Deriváciou tenzora **T** *n*-tého stupňa dostaneme tenzor stupňa *n*+1 so zložkami \frac{\partial \mathbf{T}_{ij\cdots rs}}{\partial x_t}. Kontrakciou indexu *t* proti indexu *s* získame *divergenciu tenzoru* **T**, čo je tenzor stupňa *n*-1.
:\mathbf{D}_{ij\cdots r} = \frac{\partial \mathbf{T}_{ij\cdots rs}}{\partial x_s}
Divergencia teda znižuje stupeň tenzoru o 1, napr. divergenciou vektora získame skalár.

## Vlastnosti
Ak označíme **F**, **G** ako vektorové polia, *f* ako skalárne pole, *a*,*b* reálne čísla, potom operátor divergencie spĺňa nasledujúce identity:

Je lineárna voči reálnym číslam
:\nabla\cdot( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) 
= a\;\nabla\cdot \mathbf{F}  
+ b\;\nabla\cdot \mathbf{G}, 

aplikovaná na súčin funkcie a vektorového poľa spĺňa identitu

:\nabla\cdot(f \mathbf{F}) 
= \nabla f \cdot \mathbf{F} 
+ f \;\nabla\cdot\mathbf{F} = \mathrm{grad}f\cdot\mathbf{F} + f \; \mathrm{div}\mathbf{F}.

Pre **divergenciu** vektorového súčinu platí
:\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G})
= (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G}
- \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}) = (\mathrm{rot}\,\mathbf{F})\cdot \mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\mathrm{rot}\,\mathbf{G}),

kde ∇ × **F** je rotácia **F**.

Ďalej divergencia rotácie sa rovná nule:
:\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = \mathrm{div}\,\mathrm{rot}\,\mathbf{F} = 0.

## Vyjadrenie v rôznych súradných sústavách

Nasledujúce vzťahy udávajú vyjadrenie **divergencie** v rôznych súradných sústavách v trojrozmernom priestore. Ak je *F* vektorové pole v&nbsp; v daných súradniciach, tak platí

Vo valcových súradniciach:

:\nabla \cdot \mathbf{F} = {1 \over r}{\partial ( r F_r  ) \over \partial r} 
  + {1 \over r}{\partial F_\varphi \over \partial \varphi} 
  + {\partial F_z \over \partial z}

Vo sférických súradniciach:

:\nabla \cdot \mathbf{F} = {1 \over r^2}{\partial ( r^2 F_r ) \over \partial r} 
  + {1 \over r\sin\theta}{\partial \over \partial \theta} (  F_\theta\sin\theta )  
  + {1 \over r\sin\theta}{\partial F_\varphi \over \partial \varphi}

Ak použijeme všeobecné ortogonálne súradnice *x*1,*x*2,*x*3, ktorej *Laméove koeficienty* sú v tomto poradí *h*1,*h*2,*h*3

:\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left(
\frac{\partial \left(h_2 h_3 F_1\right)}{\partial x_1} +
\frac{\partial \left(h_1 h_3 F_2\right)}{\partial x_2} +
\frac{\partial \left(h_1 h_2 F_3\right)}{\partial x_3} 
\right)

V úplne všeobecných súradniciach pre zložky vektora divergencie platí

: \nabla_{\underline{m}} \left({F}^k \frac{\boldsymbol{\partial}^{\underline{m}}}{\boldsymbol{\partial} x^k} \right) = 
{F^k}_{;k} = {F^k}_{,k} + {\Gamma^{i}}_{ij}{F^j}

**Dohovor**: Kým v predchádzajúcom texte sme za bázu brali ortonormálnu bázu v daných súradniciach, vo vzorci pre všeobecné súradnice používame bázu vektorov alebo diferenciálnych foriem a explicitne uvedieme ktorú. Rovnako v predchádzajúcom texte nerozlišujeme polohu indexov a všetky indexy (ortonormálnej bázy aj súradníc) píšeme dole, no vo všeobecných súradniciach polohu indexov rozlišujeme.

Kategória:Diferenciálne operátory
Kategória:Vektorový počet