Einsteinov vzťah

right|thumb|Rovnica vo Walk of Ideas v roku 2006 v Nemecku
[thumb|E&nbsp;=&nbsp;mc² na taipeiskom mrakodrape [Taipei 101 pri príležitosti Svetového roku fyziky 2005]]

**Einsteinov vzťah** je zákon vyjadrujúci vzťah medzi energiou E\,\! a hmotnosťou m\,\! telesa:

:E = m\cdot c^2\,\!

kde *c* je rýchlosť svetla. Einsteinov vzťah má základný význam v modernej fyzike a astrofyzike; dokazuje, že hmotnosť telesa je mierou obsahu jeho energie.

Rovnica **E&nbsp;=&nbsp;mc²** opísaná Albertom Einsteinom v špeciálnej teórii relativity patrí medzi najslávnejšie rovnice všetkých dôb; poznajú ju aj ľudia, ktorí sa inak o vedu nezaujímajú. Táto rovnica sa stala akýmsi „maskotom vedy“, používa sa ako príklad „zložitej vedy“, čo pravdaže jej zložitosť preceňuje.

Rovnica popisuje vzťah medzi energiou a hmotnosťou:
: Energia = hmotnosť&nbsp;·&nbsp;(rýchlosť svetla)²

Podľa tejto rovnice je celkové množstvo energie, ktorú možno z telesa získať, rovné hmotnosti telesa vynásobené druhou mocninou rýchlosťou svetla. V praxi však možno hmotu na energiu prevádzať obvykle len s výrazne nižšou účinnosťou, preto množstvo získanej energie nikdy nedosahuje tejto úrovne. Pri bežných spôsoboch získavania energie (napr. v jadrových elektrárňach) sa totiž na energiu nepremení všetka hmota, časť (obvykle drvivá väčšina) pôvodnej hmoty zostáva ako „odpad“. Príkladom teoreticky úplnej premeny je reakcia hmoty s antihmotou.

Ako historickú zaujímavosť je možné uviesť, že v pôvodnej podobe Einstein túto rovnicu napísal v tvare *m*&nbsp;=&nbsp;*L*&nbsp;/&nbsp;*c*² (pre energiu použil označenie *L* namiesto *E*).

Množstvo energie v jednom kilograme (ľubovolnej) hmoty je teda
* 89&nbsp;875&nbsp;517&nbsp;873&nbsp;681&nbsp;764&nbsp;J (≈ 90&nbsp;PJ) alebo
* 24&nbsp;965&nbsp;421&nbsp;632 kWh (≈ 25&nbsp;TWh ≈ celková ročná spotreba elektrickej energie na Slovensku v r. 2005),
* čo odpovedá energii uvoľnenej pri výbuchu viac než 21&nbsp;megaton TNT.

## Odvodenie
Keďže mnoho ľudí vidí v tejto rovnici niečo nepochopiteľného až nadľudského, k jej odvodeniu stačia iba základy integrálneho počtu. 

Vyjdeme zo vzťahu pre kinetickú energiu *E<sub>k</sub>*:

:E_k =W=\int_{\mathbf{r_1}(v_1=0)}^{\mathbf{r_2}(v_2\ne 0)} \mathbf{F}\, \mathrm{d} \mathbf{r}=\int_{\mathbf{r_1}}^{\mathbf{r_2}} \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}\, \mathrm{d} \mathbf{r}=\int_{\mathbf{r_1}}^{\mathbf{r_2}} \mathbf{v}\, \mathrm{d}\mathbf{p}=
:=\int_{\mathbf{r_1}(v_1=0)}^{\mathbf{r_2}(v)} \mathbf{v}\, \mathrm{d}(m \cdot \mathbf{v})=.

Uvažujeme o pôsobení sily rovnobežne s dráhou telesa, možno vynechať vektory:

:=\int_{0}^{v} v(v \mathrm{d}m + m \mathrm{d}v)=\int_{0}^{v}(v^2 \mathrm{d}m+mv \mathrm{d}v),

druhý člen možno upraviť podľa vzťahu pre relativistickú hmotnosť:

:m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},
:m^2=\frac{m_0^2}{\frac{c^2-v^2}{c^2}},
:m^2(c^2-v^2)=m_0^2c^2\,\!.

Urobíme diferenciál tejto rovnice,

:2m (c^2-v^2) \mathrm{d}m + m^2 (-2v \mathrm{d}v)=0\,\!,
:(c^2-v^2) \mathrm{d}m =mv \mathrm{d}v\,\!

a dosadíme do pôvodnej rovnice:

:E_k =\int_{0}^{v}(v^2 \mathrm{d}m + (c^2-v^2)\mathrm{d}m)=\int_{0}^{v}(v^2 \mathrm{d}m+c^2 \mathrm{d}m-v^2 dm)=
:=\int_{0}^{v}c^2 \mathrm{d}m=c^2 \int_{0}^{v}1 \mathrm{d}m=c^2 [m]_{0}^{v} = c^2(m-m_0)
:E_k =mc^2-m_0 c^2\,\!.

Na ľavej strane je kinetická energie, m_0 c^2 je pokojová energia (chemická, jadrová, potenciálna).

:E=E_k +E_0=mc^2\,\!

je teda celková energia telesa.

Kategória:Rovnice
Kategória:Špeciálna teória relativity
Kategória:Albert Einstein
Kategória:Eponymické termíny vo fyzike