Vektorový súčin

**Vektorový súčin** je v matematike označenie binárnej operácie medzi dvoma vektormi v trojrozmernom vektorovom priestore. Výsledkom tejto operácie je vektor (na rozdiel od skalárneho súčinu, ktorého výsledkom je pri súčine dvoch vektorov skalár). Výsledný vektor je kolmý na obidva pôvodné vektory.

## Označenie
Vektorový súčin vektorov \mathbf{a}, \mathbf{b} sa zvyčajne označuje jedným z nasledujúcich spôsobov:
* \mathbf{a} \times \mathbf{b}
* \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} - používaný vo frankofónnych krajinách
* [\mathbf{a}\mathbf{b}] - používaný v Rusku
* [\mathbf{a},\mathbf{b}]

## Definícia
Vektorový súčin vektorov **a** a **b** je definovaný ako vektor kolmý k vektorom **a** a **b** s veľkosťou rovnou ploche kosodĺžnika, ktorý oba vektory spolu tvoria:

:\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{n} \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \sin \theta

kde θ je uhol zvieraný vektormi **a** a **b** (0° ≤ θ ≤ 180°) a **n** je jednotkový vektor kolmý k nim. Takéto jednotkové vektory však existujú dva; voľba závisí na tom, či je súradný systém definovaný ako pravotočivý alebo ľavotočivý. V pravotočivom súradnom systéme možno použiť pravidlo pravej ruky: ak sú vektory **a** a **b** znázornené ukazovákom a prostredníkom pravej ruky, potom vektorový súčin **a** × **b** má smer vztýčeného palca.

Vektorový súčin možno definovať aj bez pomoci uhla, ktorý oba vektory určujú. Ak máme vektorový súčin \mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}, tak zložky vektora **c** možno určiť ako
:c_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2
:c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3
:c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1

Pomocou Levi-Civitovho symbolu možno zložky vektorového súčinu zapísať ako
:c_i = \varepsilon_{ijk} a_j b_k

Zložky vektorového súčinu sa dajú chápať ako prvky antisymetrického tenzora druhého stupňa
:d_{ij} = a_i b_j - a_j b_i
Počet nezávislých zložiek takéhoto antisymetrického tenzora sa rovná číslu tri iba v trojrozmernom priestore, preto možno uskutočniť priradenie
:d_{23} = -d_{32} = c_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2
:d_{31} = -d_{13} = c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3
:d_{12} = -d_{21} = c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1
:d_{11} = d_{22} = d_{33} = 0

Tento tenzorový zápis umožňuje použitie vektorového súčinu aj v priestoroch s dimenziou rôznou od 3.

## Vlastnosti
* Vektorový súčin je antikomutatívny, čiže
:\mathbf{u} \times \mathbf{v} = - \mathbf{v} \times \mathbf{u}

* Vynásobením vektorového súčinu číslom *a* dostaneme
:a (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = (a \mathbf{u}) \times \mathbf{v} = \mathbf{u} \times (a \mathbf{v})

* Platí distributívny zákon
:\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}

* Ak pre dva nenulové vektory \mathbf{u}, \mathbf{v} je ich vektorový súčin nulový, čiže \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{0}, sú vektory \mathbf{u}, \mathbf{v} rovnobežné.

* Ak vyjadríme bázu trojrozmerného vektorového priestoru pomocou jednotkových vektorov ortogonálnej bázy **i**, **j**, **k**, tak
:\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}
:\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}
:\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}

* V uvedenej báze možno vektorový súčin vektorov **u**, **v** zapísať pomocou determinantu ako
:\mathbf{u} \times \mathbf{v} = 
\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}


## Výpočet
Súradnice vektorového súčinu dvoch vektorov možno vypočítať bez určovania uhla, ktorý vektory zvierajú: Nech

:**a** = [*a*1, *a*2, *a*3]

a

:**b** = [*b*1, *b*2, *b*3].

Potom
:**a** × **b** = [a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1].
## Použitie
Vektorový súčin sa často využíva v elektromagnetizme, napr. na výpočet Lorentzovej sily. Ďalším príkladom je moment sily \mathbf{M}, ktorý je definovaný
\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}
kde \mathbf{r} je polohový vektor pôsobiska sily.

## Externé odkazy
* http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/LAG_A4.pdf Vektorový súčin

Kategória:Vektory