L’Hospitalovo pravidlo

**L’Hospitalove pravidlá** alebo **L'Hôpitalove pravidlá** (vyslovuje sa *lopitalove*) slúžia na výpočet limít tzv. *neurčitých výrazov* typu \frac{0}{0} a \frac{\infty}{\infty}. Tieto pravidlá možno použiť tiež pri riešení neurčitých výrazov typu 0 \cdot \infty, 0^0, 1^\infty, \infty^0 alebo \infty - \infty, ktoré však vhodnými úpravami prevádzame na neurčité výrazy typu \frac{0}{0} alebo \frac{\infty}{\infty}.

Ako prvý tieto pravidlá zverejnil Guillaume de l’Hospital v roku 1692. Tieto pravidlá však pravdepodobne boli známe už Johannovi Bernoullimu.

## Znenie vety
Ak máme funkcie f(x), g(x), pre ktoré v bode *c* platí \lim_{x \to c} f(x)=0 a \lim_{x \to c} g(x)=0, potom v prípade, že existuje (vlastná alebo nevlastná) limita \lim_{x \to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}, platí
:\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}
kde { }^\prime označuje deriváciu funkcie.

Podobne v prípade, kedy máme funkcie f(x), g(x), pre ktoré v bode *c* platí \lim_{x \to c} f(x) = +-\infty a \lim_{x \to c} g(x) = +-\infty. Ak existuje (vlastná alebo nevlastná) limita \lim_{x \to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}, potom opäť platí vzťah 
:\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}

Uvedené l'Hospitalove pravidlá sú použiteľné aj v nevlastných bodoch.

Ak je \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} v bode *c* opäť neurčitým výrazom, možno l’Hospitalove pravidlá použiť opakovane. Takto môžeme postupovať, dokiaľ nezískame nejaký výraz, ktorý nie je neurčitý.

## Úprava výrazov pre použitie l’Hospitalovho pravidla
l’Hospitalove pravidlá sú definované len pre neurčité výrazy typu \frac{0}{0} alebo \frac{\infty}{\infty}. Ostatné neurčité výrazy je nutné previesť na tento typ neurčitého výrazu.

Uvažujme ďalej funkcie f(x), g(x), ktoré v bode *c* naberajú hodnôt 0 alebo \infty.
* Ak f(x)\cdot g(x) predstavuje v *c* výraz 0 \cdot \infty, potom ho môžeme upraviť na \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}, čo je výraz typu \frac{0}{0}, alebo na \frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}, čo je výraz typu \frac{\infty}{\infty}.
* Ak f(x) - g(x) predstavuje v *c* výraz typu \infty - \infty, potom ho možno upraviť na \frac{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)\cdot g(x)}}, čo je výraz typu \frac{0}{0}.
* Ak {f(x)}^{g(x)} predstavuje v *c* výraz typu 0^0, potom ho upravíme na {f(x)}^{g(x)} = \mathrm{e}^{g(x)\cdot \ln f(x)}, kde v exponente je výraz 0 \cdot \infty, ktorý možno ďalej upraviť na výraz \frac{0}{0} alebo \frac{\infty}{\infty}. Pri riešení potom využijeme toho, že \lim_{x \to c} \mathrm{e}^{g(c) \cdot \ln f(x)} = \mathrm{e}^{\lim_{x \to c} [g(x) \cdot \ln f(c)]}.
* Ak {f(x)}^{g(x)} predstavuje v *c* výraz typu \infty^0, potom ho upravíme na {f(x)}^{g(x)} = \mathrm{e}^{g(x)\cdot \ln f(x)}, kde v exponente je výraz 0 \cdot \infty, ktorý ďalej riešime rovnako ako v predchádzajúcom bode.
* Ak {f(x)}^{g(x)} predstavuje v *c* výraz typu 1^\infty, potom ho upravíme na {f(x)}^{g(x)} = \mathrm{e}^{g(x)\cdot \ln f(x)}, kde v exponente je výraz \infty \cdot 0, ktorý ďalej riešime rovnaku ako v predchádzajúcom bode.

## Príklady
* Výraz \frac{\ln x}{x^3} predstavuje pre x\to+\infty neurčitý výraz typu \frac{\infty}{\infty}. Pomocou l’Hôpitalovho pravidla teda bude
:\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{3 x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{3x^3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\infty} = 0

* Neurčitý výraz typu (0 \cdot \infty) prevedieme úpravou súčinu *f(x)g(x)* na podiel \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}} alebo \frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}} získame tak neurčitý výraz typu \frac{0}{0} alebo \frac{\infty}{\infty}. Ten už určíme l’Hôspitalovým pravidlom.
:\lim_{x \to 0_+} (x \cdot \ln x) = \lim_{x \to 0_+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} =  \lim_{x \to 0_+} \frac{(\ln x)^'}{(x^{-1})'} = \lim_{x \to 0_+} \frac{\frac{1}{x}}{-x^{-2}} = - \lim_{x \to 0_+} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}} = - \lim_{x \to 0_+} x = 0

## Pozri aj
* Limita
* Derivácia
* Priebeh funkcie
* Stolzova veta

## Zdroj

## Externé odkazy
* L’Hospitalovo pravidlo na www.math.sk

Kategória:Matematická analýza
Kategória:Eponymické termíny v matematike