Schrödingerova rovnica

**Schrödingerova rovnica** je základná diferenciálna rovnica, ktorá určuje vývoj fyzikálneho systému formalizmom vlnovej mechaniky. Je ústrednou rovnicou kvantovej mechaniky. Pomenovaná je podľa Erwina Schrödingera, ktorý ju sformuloval v roku 1926.

Schrödingerova rovnica môže byť matematicky pretransformovaná na Heisenbergovu maticovú mechaniku a Feynmanovu formuláciu dĺžkového integrálu.

## Schrödingerova rovnica
V závislosti od toho, aký systém chceme popísať, Schrödingerovu rovnicu môžeme napísať vo viacerých tvaroch. V tejto časti predstavujeme rovnicu pre všeobecné a jednoduché prípady, ktoré sú predmetom mnohých učebníc.

### Všeobecný kvantový systém
Pre všeobecný kvantový systém platí:

:i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi = \hat H \Psi

kde

* \,\! \Psi je vlnová funkcia
* i \hbar \frac {\partial}{\partial t} je operátor energie (i je imaginárna jednotka a \hbar je Planckova konštanta vydelená číslom 2\pi),
* \hat H je Hamiltonián.

### Jedna častica s potenciálnou energiou
Pre jednu časticu, na ktorú pôsobia sily (čiže potenciálna energia V je nenulová), má Schrödingerova rovnica tvar:

:i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},\,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\mathbf{r},\,t) + V(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r},\,t)

kde

* -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 je operátor kinetickej energie (*m* je hmotnosť častice),
* \nabla^2 je Laplaceov operátor. V troch rozmeroch má Laplaceov operátor tvar\frac{\partial^2}{{\partial x}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial y}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial z}^2}, kde *x*, *y* a *z* sú osi v karteziánskej súradnicovej sústave,
* V\left(\mathbf{r}\right) je časovo nemenná potenciálna energia v mieste udanom polohovým vektorom **r**,
* \Psi(\mathbf{r},\,t) je amplitúda pravdepodobnosti pre časticu, ktorá sa má nachádzať v čase t na mieste určenom polohovým vektorom **r**.

### Časovo nezávislá Schrödingerova rovnica
Časovo nezávislá Schrödingerova  rovnica pre jednu časticu s potenciálnou energiou *V* má tvar:

:{E}\psi(r) = - {\hbar^2 \over 2m} \nabla^2 \psi(r) + V(r) \psi(r).

## Odvodenie

### Krátke heuristické odvodenie
Schrödingerova rovnica môže byť odvodená nasledovným spôsobom.

#### Predpoklady
# Celková energia častice *E* je
#: E = T + V = \frac{p^2}{2m}+V.
#: Toto je klasický zápis pre časticu s hmotnosťou *m*, kde celková energia *E* je daná súčtom kinetickej energie *T* a potenciálnej energie *V* (táto sa môže meniť v závislosti od polohy a času). *p* je hybnosť častice a *m* jej hmotnosť.
# Einsteinova hypotéza kvánt energie z roku 1905, podľa ktorej je energia E fotónu priamoúmerná veľkosti frekvencie *ν*  (alebo uhlovej frekvencie *ω*&nbsp;=&nbsp;2π*ν*) korešpondujúcej elektromagnetickej vlny.
#: E = h\nu = \hbar \omega \;, 
# de Broglieho hypotéza z roku 1924, podľa ktorej akejkoľvek častici môže byť priradená vlna a hybnosť častice *p* je vo vzťahu ku vlnovej dĺžke *λ* (alebo vlnového čisla *k*) takom, že platí: 
#: p = \frac{h}{\lambda} =  \hbar k\;,
# Tieto tri predpoklady umožňujú odvodiť len rovnicu pre rovinnú vlnu. Tvrdiť, že takáto rovnica platí pre akúkoľvek vlnu vyžaduje princíp superpozície, a preto je nutné postulovať nezávislý predpoklad, že Schrödingerova rovnica je lineárna.

#### Vyjadrenie vlnovej funkcie vo forme komplexnej rovinnej vlny
Hľadáme parciálnu diferenciálnu rovnicu, ktorej riešením je nasledovná rovnica pre rovinnú vlnu (i):

:\Psi(\mathbf{x},t) = Ae^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}- \omega t)}

:kde A je komplexná konštanta

Platí:

:E = \frac{p^2}{2m} 

Použijúc druhý a tretí predpoklad dostávame (ii):

:\hbar\omega = {\hbar^2\ k^2\over 2m}

Teraz zderivujeme vlnovú funkciu (i) najskôr podľa času t a potom podľa osi x:

: i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi (\mathbf{x},t) = \hbar\omega \Psi (\mathbf{x},t)

:-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi (\mathbf{x},t) = {\hbar^2\ k^2\over 2m} \Psi (\mathbf{x},t)

Keďže platí (ii), platí aj

: i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi (\mathbf{x},t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi (\mathbf{x},t),

čo je Schrödingerova rovnica pre časticu pohybujúcu sa v smere osi x za neprítomnosti potenciálu V.

Schrödingerova rovnica pre časticu v trojrozmernom priestore za prítomnosti pôsobenia síl (teda potenciálu V) má tvar:

:i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi + V\Psi

## Referencie

## Zdroj
* 

Kategória:Kvantová mechanika
Kategória:Eponymické termíny vo fyzike