Vektorový podpriestor

**Vektorový podpriestor** alebo **lineárny podpriestor** je v lineárnej algebre taká podmnožina iného vektorového priestoru, ktorá sama tvorí vektorový priestor.

## Definícia
Nech V(F) je vektorový priestor a nech S je neprázdna podmnožina množiny V. Potom S nazývame podpriestor vektorového priestoru V(F) , ak spolu s operáciami V(F) tvorí vektorový priestor nad poľom F .

## Veta
Nech V(F) je vektorový priestor a nech S je neprázdna podmnožina množiny V .Potom S je podpriestor práve vtedy, keď pre všetky  \alpha,\beta \in S a c \in F platí
#a) \alpha + \beta\in S
#b) c.\alpha\in S

## Veta 1
Podpriestory A_r, A_s majú neprázdny prienik práve vtedy, ak existujú
vektory \vec{v}\in V_r a \vec{w}\in V_s také, že platí A-B=\vec{v}+\vec{w}

### Špeciálny prípad vety 1.
Priamky p[A;\vec{u}] a q[{B;\vec{v}}] majú neprázdny prienik práve vtedy, keď vektor A-B je lineárnou kombináciou \vec{u},\vec{v}

### Dôkaz
#P=A+\alpha.\vec{v}     ,      P=B+\beta.\vec{v}
#A+\alpha.\vec{v}=B+\beta.\vec{v}
#A-B=-\alpha.\vec{v}+\beta.\vec{v}

Dôkaz vety 1 urobíme analogicky.

## Veta 2
Ak A_r a A_s sú podpriestory A_n s neprázdnym prienikom, tak ich prienik
A_r \cap A_s je afinný podpriestor so zameraním V_r \cap V_s.

### Dôkaz
Vetu 2 dokážeme tak, že ukážeme, že body a vektory z prieniku spĺňajú nasledujúce podmienky:
#a) Ak body M  a N patria do A_r \cap A_s , tak vektor \vec{u}=M - N patrí do
Vr \cap Vs.
#b) Ak bod M patrí do A_r \cap A_s a \vec{u} patrí do Vr \cap Vs, tak bod X = M + \vec{u} patrí do A_r \cap A_s.

Toto je však triviálne, lebo ak bod X \in A_r  aj X \in A_s , tak X \in A_r \cap A_s pričom analogické tvrdenie platí pre vektory.

## Veta 3
Podpriestory A_r a A_s sú rovnobežné alebo rôznobežné, pričom ich
prienik je (r − 1)-rozmerný podpriestor.

### Náznak dôkazu
Môžeme predpokladať, že podpriestory nie sú rovnobežné (t. j. V_n\not\subset V_s), pretože v opačnom prípade je už splnené tvrdenie vety. Z tohto predpokladu
vyplýva, že existuje vektor \vec{u} \in V_r a súčasne \vec{u} \not\in V_{n-1}. Bez ujmy
na všeobecnosti, môžeme vytvoriť bázu V_r tak, aby {\vec{v_1}, \vec{v_2}, ... ,\vec{v}_{r-1},\vec{v}_{r}=\vec{u}}.
Nech {\vec{w_1}, \vec{w_2}, ... ,,\vec{w}_{n-1}}. je bázou V_{n-1}. (Z predpokladu {\vec{v}_{r}=\vec{u}} vyplýva, že každý z vektorov {\vec{v_1}, \vec{v_2}, ... ,\vec{v}_{r-1}} je lineárnou kombináciou vektorov {\vec{w_1}, \vec{w_2}, ... ,,\vec{w}_{n-1}}. Pretože
{\vec{w_1}, \vec{w_2}, ... ,,\vec{w}_{n-1},\vec{v}_{r}} je báza V_n pomocou nich je možné vyjadriť aj vektor (A − B). Podľa vety 1. podpriestory A_r a V_{n-1} sú rôznobežné.

## Dôsledky vety 3
Z vety 3 vyplýva hneď niekoľko dôsledkov a síce:
# Dve priamky v A_2 nemôžu mať práve dva spoločné body.
# Dve priamky v A_2 sú rovnobežné alebo majú práve jeden spoločný bod.
# Rovina a priamka v A_3 sú rovnobežné alebo majú práve jeden spoločný bod.
# Dve roviny v A_3 sú rovnobežné alebo sa pretínajú v priamke. 
A mnohé ďalšie.

## Literatúra
* M. Lavička: KMA/G1 Geometrie 1. Pomocný učebný text. Plzeň, Západočeská univerzita v Plzni. 2005, s. 7-11
* M. Billich - M. Trenkler: Zbierka úloh z geometrie. Ružomberok, Verbum. 2013, s. 9-11

## Pozri aj
* Skalár (matematika)
* Vektor (matematika)
* Vektorový priestor
* Priamka
* Rovina (geometria)

## Externé odkazy
* Algebra - Vektorový priestor
*  Lineárna algebra

Kategória:Lineárna algebra