Magický štvorec

**Magický štvorec** je štvorcová tabuľka typu n \times n, ktorá obsahuje v každom poli prirodzené číslo pričom súčet čísel v každom stĺpci, v každom riadku a v každej uhlopriečke je rovnaký a žiadne dve čísla nie sú rovnaké. V tradičných magických  štvorcoch sú čísla navyše z rozsahu 1 až n^2 a súčet je rovný \frac{n(n^2+1)}{2}.

Konštanta, ktorá je súčtom každého riadku, stĺpca a uhlopriečky sa nazýva **magická konštanta**.
## Identické magické štvorce
Každý magický štvorec možno otáčať, čím je možné vytvoriť 8 nových magických štvorcov (4 otočením podľa stredu súmernosti, 2 otočením okolo diagonál a 2 okolo osí súmernosti prechádzajúcich stredmi protiľahlých strán). Týchto 8 magických štvorcov je považovaných za rovnocenné a hovoríme, že tvoria jednu triedu ekvivalencie.

## Počet rôznych tradičných magických štvorcov
Magické štvorce existujú pre každé prirodzené číslo **n** okrem čísla 2. 
Počet riešení s rastúcim n prudko narastá.
Pre číslo 1 ide o triviálny magický štvorec. Pre **n=3** existuje jediná trieda ekvivalencie magických štvorcov. Pre **n=4** ich je 880. Pre n=5 ich je 275305224. Už pre n=6 sa zatiaľ nepodarilo spočítať počet tried ekvivalencie, je stanovený iba odhadom na 
(1.7745 ± 0.0016) × 1019

Doteraz je nevyriešeným matematickým problémom, koľko existuje tradičných magických štvorcov pre ľubovoľné číslo n.

Pripočítaním nejakej konštanty ku každému číslu existujúceho magického štvorca, získame nový magický štvorec s inou magickou konštantou. V tomto slova zmysle je magických štvorcov nekonečne veľa.

## Prvočíselné magické štvorce
Zvláštnym prípadom magických štvorcov sú magické štvorce, v ktorých všetky čísla sú prvočísla. Jeden z takýchto štvorcov zostrojil
Rudolf Ondrejka:

## História

Už od staroveku prejavovali matematici záujem o tvorbu magických štvorcov. Pravdepodobne prvý magický štvorec, ktorý bol vytvorený je znázornený na obrázku č. 1. Jeho pôvod je zahalený v mystických legendách starovekej Číny. Tento magický štvorec sa popisuje v legendách o Luo Shu okolo roku 650 p.n.l. 

## Magické štvorce a astrológia
Magickým štvorcom sa prisudzovali mystické vlastnosti. Astrológovia nasledujúce magické štvorce priradili jednotlivým nebeským telesám:

## Magický štvorec s operáciou násobenia

Možno zostrojiť aj magické štvorce v ktorých sa namiesto operácie sčítania použije násobenie. Konštrukcia takých štvorcov je jednoduchá. Ak máme obyčajný magický štvorec, vieme ho transformovať na násobkový, keďže pre čísla a, b, c platí:
:2*a*, 2*b* a 2*c*, ich násobok je 2*a*+*b*+*c*

Do štvorca dáme teda mocniny s mocniteľmi rovnými pôvodným  číslam. Príklady:

## Konštrukcia magických štvorcov
Je dokázané, že pre každé prirodzené číslo **n** okrem 2 existuje magický štvorec. Existuje niekoľko algoritmov, ako magický štvorec vytvoriť. Magické štvorce z hľadiska konštrukcie možno klasifikovať na tri druhy podľa čísla **n**,  pre každý druh existuje iný algoritmus zostrojenia: sú to nepárne, jednoducho párne (deliteľné 2, nedeliteľné 4) a deliteľné 4.

### Metóda zostrojenia magických štvorcov pre n=3
V 19. storočí, Édouard Lucas vymyslel všeobecné vzorce pre magické štvorce 3x3. Postup je v nasledujúcej tabuľke, kde **a**, **b**, **c** sú kladné celé čísla, s týmito vlastnosťami: 
:**0 < a < b < c &minus; a , b ≠ 2a**

Pre všetky magické štvorce 3x3 platí, že majú vyššie uvedené vlastnosti až na symetrie.

## Referencie

## Iné projekty

## Externé odkazy
* Magické štvorce 
## Zdroj

Kategória:Teória čísel
Kategória:Rekreačná matematika
Kategória:Astrológia