Normálne rozdelenie

**Normálne rozdelenie** (iné názvy: **Gaussovo rozdelenie**, **normálne rozdelenie pravdepodobnosti**, **Gaussovo rozdelenie pravdepodobnosti**) je jedno z najdôležitejších rozdelení pravdepodobnosti spojitej náhodnej veličiny.

Týmto rozdelením pravdepodobnosti sa síce neriadi veľké množstvo veličín, ale jeho význam spočíva v tom, že za určitých podmienok dobre aproximuje rad iných pravdepodobnostných rozdelení (spojitých aj diskrétnych).

V súvislosti s normálnym rozdelením sa často spomínajú náhodné chyby, napr. chyby merania, spôsobené veľkým počtom neznámych a vzájomne nezávislých príčin. Preto sa normálne rozdelenie označuje aj ako *zákon chýb*. Podľa tohoto zákona sa riadi aj rozdelenie niektorých fyzikálnych a technických veličín.

## Rozdelenie pravdepodobnosti
thumb|Hustota normálneho rozdelenia pravdepodobnosti
Normálne rozdelenie pravdepodobnosti s parametrami \mu a \sigma^2, pre -\infty a \sigma^2>0, je pre -\infty definované hustotou pravdepodobnosti v tvare
:f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac.

Normálne rozdelenie sa väčšinou značí \operatorname{N}(\mu,\sigma^2). Rozdelenie \operatorname{N}(0,1) býva označované ako **normované** (alebo **štandardizované**) **normálne rozdelenie**. Normované normálne rozdelenie má teda hustotu pravdepodobnosti
:f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}

## Charakteristiky rozdelenia
Stredná hodnota normálneho rozdelenia je
:\operatorname{E}(X) = \mu

Normálne rozdelenie má rozptyl 
:\operatorname{D}(X) = \sigma^2

Pre medián dostaneme
:x_{0,5} = \mu

Koeficienty šikmosti a špicatosti normálneho rozdelenia sú:
:\gamma_1=0
:\gamma_2=1

Momentovou vytvárajúcou funkciou normálneho rozdelenia možno zapísať v tvare
:m(z) = \mathrm{e}^{z\mu + \frac{z^2 \sigma^2}{2}}

Pre prirodzené čísla k možno momenty písať ako
:\mu_{2k-1}=0
:\mu_{2k} = \frac{(2k)!}{k!2^k} \sigma^{2k}

## Distribučná funkcia
Distribučná funkcia normálneho rozdelenia je
:F(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac \;\mathrm{d}t

Distribučnú funkciu normálneho rozdelenia nemožno vyjádriť elementárnymi funkciami.

## Viacrozmerné rozdelenie
Keď máme s-rozmerný náhodný vektor X, ktorého združená hustota pravdepodobnosti má tvar
:f(x_1,x_2,...,x_s) = \frac{1}{\sqrt} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\mathbf{x}-\mathbf{\mu}\right)}^T \mathbf{C}^{-1} {\left(\mathbf{x}-\mathbf{\mu}\right)}}
pre -\infty, i=1,2,...,s, kde \mathbf{C} je symetrická, pozitivne definitná matica a \mathbf{x} = {(x_1,x_2,...,x_s)}^T a \mathbf{\mu} = {(\mu_1,\mu_2,...,\mu_s)}^T sú stĺpcové vektory. V takom prípadě hovoríme o *<math>s</math>-rozmernom normálnom rozdelení*, ktoré predstavuje zovšeobecnenie normálneho rozdelenia pre viacrozmernú náhodnú veličinu.

### Charakteristiky viacrozmerného rozdelenia
Momentovú vytvárajúcu funkciu možno vyjadriť ako
:m(z_1,z_2,...,z_s) = \mathrm{e}^{\left(\mathbf{z}^T\mathbf{\mu}+ \frac{\mathbf{z}^T \mathbf{C}\mathbf{z}}{2}\right)}

Z predchádzajúceho vzťahu možno odvodiť, že \mathbf{\mu} predstavuje vektor stredných hodnôt a \mathbf{C} kovariančnú maticu.

### Marginálne rozdelenie
Marginálnym rozdelením veličiny X_i je jednorozmerné normálne rozdelenie \operatorname{N}(\mu_i,\sigma_i^2), marginálnym rozdelením veličín X_i, X_j pre i\neq j je dvojrozmerné normálne rozdelenie, atď.

## Pozri aj
* Rozdelenie pravdepodobnosti

## Zdroje
* 

Kategória:Pravdepodobnosť
Kategória:Náhodné rozdelenia