Matica (matematika)

**Matica** je určitá množina čísel alebo iných matematických objektov (tzv. prvkov matice) usporiadaných do pravidelných riadkov a stĺpcov (prípadne aj ich viacrozmerných ekvivalentov) a vyznačujúcich sa tým, že každý výpočtový úkon vykonávaný s maticou sa týka každého prvku tvoriaceho maticu. 

Najčastejšie sa možno stretnúť s dvojrozmernou maticou. Ak treba zdôrazniť, že má m riadkov a n stĺpcov, hovorí sa o *matici typu <math>m</math> krát <math>n</math>*. Ak treba zdôrazniť, že objekty v tejto tabuľke pochádzajú z množiny A hovorí sa o *matici nad množinou <math>A</math>*. Príkladom matice typu 2 \times 5 nad množinou celých čísel môže byť
:\begin{pmatrix}
3 & 0  & -6 & 4 & 11\\
6 & -1 & 4  & 1 & 13\\
\end{pmatrix}.

Prvky matice A zvyčajne označujeme ako a_{ij}, pričom i je číslo riadku a j stĺpca.

Matice sú obzvlášť dôležité v lineárnej algebre kde reprezentujú lineárne zobrazenia a slúžia k efektívnemu zápisu lineárnych rovníc. Pomocou matíc nad množinou \{0,1\} sa reprezentujú konečné binárne relácie.

Všeobecne možno akúkoľvek maticu zapísať v tvare:

A_,{\color{blue}{n}}} = 

\begin{bmatrix} 
a_,{\color{blue}{1}}}  & a_,{\color{blue}{2}}} & \dotsm  & a_,{\color{blue}{n}}} \\ 
a_,{\color{blue}{1}}}  & a_,{\color{blue}{2}}} & \dotsm   & a_,{\color{blue}{n}}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
a_,{\color{blue}{1}}}  & a_,{\color{blue}{2}}} & \dotsm  & a_,{\color{blue}{n}}} \\
\end{bmatrix}.

## Matice podľa tvaru
**Štvorcová matica** je matica, v ktorej sa počet riadkov rovná počtu stĺpcov. Špeciálnym prípadom je štvorcová matica, ktorá obsahuje len jeden prvok, má teda jeden riadok a jeden stĺpec. Takáto matica sa niekedy nazýva singleton (podobne ako jednoprvková množina).

**Obdĺžniková matica** je matica, v ktorej je počet riadkov a počet stĺpcov rozdielny.

**Riadková matica** je obdĺžniková matica, ktorá má len jeden riadok, označuje sa aj ako vektorová matica.

**Stĺpcová matica** je obdĺžniková matica, ktorá má len jeden stĺpec, označuje sa aj ako vektorová matica.

## Operácie s maticami
Ak prvky dvoch matíc pochádzajú z vhodnej algebraickej štruktúry a ak sú splnené obmedzujúce podmienky týkajúce sa typu matíc, možno s maticami vykonávať rôzne operácie. Pre operáciu s maticami však neplatia všetky pravidlá platné pri počítaní s číslami, preto sa treba riadiť definíciami, ktoré maticové operácie určujú. Napríklad nie je jedno, v akom poradí sa násobia matice. 

### Sčítavanie matíc

Sčítavanie matíc môže prebiehať len vtedy, ak tieto dve matice majú rovnaký rozmer. Sčítavajú sa čísla na rovnakých pozíciách. Napríklad:

: 
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    7 & 5 & 0 \\
    2 & 1 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 & 2+5 \\
    1+7 & 0+5 & 0+0 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    8 & 5 & 0 \\
    3 & 3 & 3
  \end{bmatrix}


### Skalárne násobenie

Každý prvok v matici *A* sa vynásobí číslom *c*. Napríklad:

: 2
  \begin{bmatrix}
    1 & 8 & -3 \\
    4 & -2 & 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\
    2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2 & 16 & -6 \\
    8 & -4 & 10
  \end{bmatrix}


Sčítanie a skalárne násobenie nemenia rozmer matíc.

### Násobenie matíc

**Násobenie** môže prebiehať len vtedy, ak je počet stĺpcov ľavej matice rovnaký ako počet riadkov pravej matice. Ak *A* je *m*-krát-*n* matica a *B* je *n*-krát-*r* matica, tak ich **maticový produkt** *AB* má rozmery *m*-krát-*r* (*m* počet riadkov (ako v prvej matici) -krát- *r* počet stĺpcov (ako v druhej matici)). Výsledná hodnota na pozícií [*i*,*j*] je:

:\,\!
    (AB)[i,j] = A[i,1]  B[1,j] + A[i,2]  B[2,j] + ... + A[i,n]  B[m,j]

 
pre každé *i* a *j*.

Napríklad:

: 
    \begin{bmatrix}
        1 & 0 & 2 \\
       -1 & 3 & 1 \\
    \end{bmatrix}
\times
    \begin{bmatrix}
        3 & 1 \\
        2 & 1 \\
        1 & 0 \\
    \end{bmatrix}
=
    \begin{bmatrix}

        ( 1 \times 3  +  0 \times 2  +  2 \times 1)
      & ( 1 \times 1  +  0 \times 1  +  2 \times 0) \\

        (-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1)
      & (-1 \times 1  +  3 \times 1  +  1 \times 0) \\

    \end{bmatrix}


:::::::: 
=
    \begin{bmatrix}
        5 & 1 \\
        4 & 2 \\
    \end{bmatrix}


Pričom nie je jedno, v akom poradí sa to vykonáva, napríklad:

: 

    \begin{bmatrix}
        3 & 1 \\
        2 & 1 \\
        1 & 0 \\
    \end{bmatrix}
\times
    \begin{bmatrix}
        1 & 0 & 2 \\
       -1 & 3 & 1 \\
    \end{bmatrix}
=
    \begin{bmatrix}

        ( 3 \times 1  +  1 \times -1 )
      & ( 3 \times 0  +  1 \times 3 )
      & ( 3 \times 2  +  1 \times 1 ) \\

        ( 2 \times 1  +  1 \times -1 )
      & ( 2 \times 0  +  1 \times 3 )
      & ( 2 \times 2  +  1 \times 1 ) \\

        ( 1 \times 1  +  0 \times -1 )
      & ( 1 \times 0  +  0 \times 3 )
      & ( 1 \times 2  +  0 \times 1 ) \\

    \end{bmatrix}


:::::::: 
=
    \begin{bmatrix}
        2 & 3 & 7\\
        1 & 3 & 5\\
        1 & 0 & 2\\
    \end{bmatrix}


Dokonca ani rozmer matíc nemusí byť rovnaký pri vymenenom poradí. Aj v prípade, že oba súčiny majú rovnaké rozmery, môžeme dostať rôzne výsledky.


\begin{bmatrix}
  1 & 1 \\
  0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
  0 & 1 \\
  0 & 1 \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
  0 & 2 \\
  0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\qquad
\begin{bmatrix}
  0 & 1 \\
  0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
  1 & 1 \\
  0 & 0 \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
  0 & 0 \\
  0 & 0 \\
\end{bmatrix}


Vidíme teda, že násobenie matíc nie je komutatívne. Násobenie matíc je však asociatívne, 
:A(BC)=(AB)C. 
Pre sčitovanie a násobenie matíc platí distributívnosť, teda 
:A(B+C)=AB+AC \qquad\text{a}\qquad (B+C)A=BA+CA
(pre ľubovoľné matice takých rozmerov, že uvedené súčiny existujú).

### Transpozícia matice
Transpozícia matice je operácia, pri ktorej sa riadky matice zamenia za stĺpce. Ak máme maticu A rozmeru m \times n, jej transpozícia A^T bude mať rozmer n \times m, kde každý riadok matice A sa stane stĺpcom v matici A^T.

Formálne, ak matica A vyzerá takto:

A = 
\begin{bmatrix} 
a_{1,1}  & a_{1,2} & \dotsm  & a_{1,n} \\ 
a_{2,1}  & a_{2,2} & \dotsm   & a_{2,n} \\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
a_{m,1}  & a_{m,2} & \dotsm  & a_{m,n} 
\end{bmatrix}

Potom jej transpozícia A^Tbude:

A^T = 
\begin{bmatrix} 
a_{1,1}  & a_{2,1} & \dotsm  & a_{m,1} \\ 
a_{1,2}  & a_{2,2} & \dotsm   & a_{m,2} \\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
a_{1,n}  & a_{2,n} & \dotsm  & a_{m,n}
\end{bmatrix}

## Riadková ekvivalencia a stupňovitý tvar
Matice *A* a *B* sú **riadkovo ekvivalentné** vtedy (označujeme A \approx B), ak jedna vznikla z druhej konečným počtom nasledujúcich operácií nazývaných *elementárne riadkové operácie*:
# vzájomná výmena dvoch riadkov matice
# vynásobenie niektorého riadka nenulovým prvkom z A (predpokladáme, že A je okruh, alebo pole)
# prirátanie ľubovoľného násobku niektorého riadku matice k inému

\approx je reláciou ekvivalencie.
Analogicky môžeme definovať aj stĺpcovú ekvivalenciu a elementárnu stĺpcovú operáciu.

Vedúcim prvkom riadku sa nazýva prvý nenulový prvok daného riadku.

Matica *A* je v **stupňovitom tvare** ak platí:
* ak a_{ij} a a_{st} sú vedúce prvky *A* a i, tak potom nutne j
* nad nenulovým riadkom v *A* nie je žiaden nulový.
Ak navyše platí, že:
* vedúci prvok každého riadku je 1
* ak stĺpec obsahuje vedúci prvok niektorého riadku, všetky jeho ostatné prvky sú nulové
tak sa *A* nazýva redukovaná stupňovitá matica.

Každá matica je riadkovo ekvivalentná s práve jednou redukovanou stupňovitou maticou.

## Hodnosť matice
**Hodnosť matice** je počet lineárne nezávislých riadkov matice. Hodnosť matice sa rovná maximálnemu počtu lineárne nezávislých riadkov matice. To je ekvivalentné s počtom nenulových riadkov matice v stupňovitom tvare (špeciálne redukovanom stupňovitom tvare).

## Regulárna a singulárna matica
Štvorcová matica s rozmermi n \times n sa označuje ako regulárna, ak má hodnosť rovnú práve n. V opačnom prípade sa nazýva singulárna.

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \implies hodnosť matice = 2; jedná sa o regulárnu maticu.

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \implies hodnosť matice = 1; jedná sa o singulárnu maticu.

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \implieshodnosť matice = 1 (druhý riadok je dvojnásobkom prvého); jedná sa o singulárnu maticu.

## Externé odkazy
* 
*  Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná) 
* Operácie s maticami

## Referencie

Kategória:Teória matíc