Cauchyho integrálna formula

V matematike je **Cauchyho integrálna formula** jedno z centrálnych tvrdení komplexnej analýzy. Formula je pomenovaná na počesť francúzskeho matematika Augustina-Louis Cauchyho. Cauchyho integrálna formula umožňuje jednoduchý výpočet komplexných krivkových integrálov po uzavretých krivkách; poskytuje taktiež prepojenie medzi deriváciami a integrálmi (napr. v podobe Taylorovej vety).

## Tvrdenie
Nech \mathcal{U} je oblasť (t.j. otvorená podmnožina komplexnej roviny) a nech G\subset\mathcal{U} je otvorená množina. Ďalej, nech f:\mathcal{U}\to\mathbb{C} je holomorfná funkcia na \mathcal{U}, potom

:\int_{\partial G}\frac{f(\xi)}{\xi-z} d\xi = 2\pi i f(z).
Obdobnou podobou Cauchyho integrálnej vety je forma, kde sa integruje po kružnici S_{\epsilon}(z) s ľubovoľne malým polomerom \epsilon a stredom v bode z

:\oint_{S_{\epsilon}(z)}\frac{f(\xi)}{\xi-z} d\xi = 2\pi i f(z).

## Dôkaz
Predtým, než sa pustíme na dôkaz Cauchyho formuly, si dokážeme pomocnú lemu. Dôkaz predpokladá znalosť Cauchyho integrálnej vety a elementárnej komplexnej analýzy.

### Lema
Nech \mathcal{U} je otvorená podmnožina komplexnej roviny \mathbb{C}, a nech f:\mathcal{U}\to\mathbb{C}  je holomorfná funkcia. Nech G\subset\mathcal{U} je otvorená množina, ktorej hranica \partial G pozostáva z (*n*+1) po častiach hladkých Jordanovských kriviek: \Gamma_0​ s ACW orientáciou (kladná orientácia) a \Gamma_1,\Gamma_2,\dots ,\Gamma_n s CW orientáciou (záporná orientácia). Predpokladajme, že existuje otvorená podmnožina \mathcal{G}\subset\mathcal{U} taká, že \partial \mathcal{G}=\Gamma_0 a všetky \Gamma_1,\Gamma_2,\dots ,\Gamma_n​ ležia vo vnútri \mathcal{G}. Potom:

:\int_G f(z)dz=0.

#### Dôkaz lemy
Nech U je jednoducho súvislá oblasť, ktorej hranica je tvorená z krivky \Gamma_0, kriviek \Gamma_1,\Gamma_2,\dots ,\Gamma_n s ACW orientáciou a kriviek \Delta_1,\Delta_2,\dots,\Delta_n, pričom tieto krivky máme "dvakrát," raz s ACW, raz s CW orientáciou. Krivka \Delta_j spája \Gamma_0 s \Gamma_j. Na základe Cauchyho integrálnej vety (CIV), ktorá vraví, že integrál po hranici jednoducho súvislej oblasti je nulový máme

:0 \overset{\text{CIV}}{=} \int_{\partial U} f(z)dz =\int_{\Gamma_0} f(z)dz + \sum_{j=1}^{n}\left( \int_{\Gamma_{j}^{CW}}f(z)dz +\int_{\Delta{j}^{ACW}}f(z)dz +\int_{\Delta{j}^{CW}}f(z)dz\right), 

ale keďže

:\int_{\Delta_{j}^{ACW}} f(z)dz = -\int_{\Delta_{j}^{CW}} f(z)dz, 

dostávame

:0=\int_{\Gamma_{0}}f(z)dz + \sum_{j=1}^{n} \int_{\Gamma_{j}^{CW}}f(z)dz=\int_{\partial G}f(z)dz, 

čo sme chceli ukázať.

### Dôkaz Cauchyho formuly
Nech platia predpoklady lemy a z\in\mathbb{C}. Vezmime také \epsilon>0, že uzavretý kruh \bar{B_{\epsilon}}(z) so stredom v bode z  nemá s krivkami \Gamma_j prienik. Označme G'=G\backslash \bar{B_{\epsilon}}(z), potom \partial G' = \partial G \cup S_\epsilon^{CW} (z), kde S_\epsilon (z) označuje sféru s polomerom \epsilon (orientácia je záporná). Na základe lemy máme

:0=\int_{\partial G'} \frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi=\int_{\partial G}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi+\int_{S_{\epsilon}^{CW}(z)}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi,

teda 

:\int_{\partial G}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi=\int_{S_{\epsilon}^{ACW}(z)}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi.

Ukážeme teraz, že limita

:\lim_{\epsilon\to 0}\int_{S_{\epsilon}^{ACW}(z)}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi=2\pi if(z).

Stačí si uvedomiť, že (integrál 1/z je logaritmus, ktorý na uzavretej krivke je rovný 2\pi i)

:2\pi i f(z) = \int_{S_{\epsilon}^{ACW}(z)}\frac{f(z)}{\xi-z}d\xi,

potom

:\left|\int_{S_{\epsilon}^{ACW}(z)}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi - int_{S_{\epsilon}^{ACW}(z)}\frac{f(z)}{\xi-z}d\xi \right|=\left|\int_{S_{\epsilon}^{ACW}(z)}\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}d\xi  \right|;

:\left|\int_{S_{\epsilon}^{ACW}(z)}\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}d\xi  \right|\leq \int_{S_{\epsilon}(z)}\fracds,

pričom \int gds značí krivkový integrál prvého druhu funkcie g. Ďalej využijeme fakt, že integrujeme po kružnici s polomerom \epsilon a spojitosť (resp. holomorfnosť) funkcie f

:|\xi - z|\leq\epsilon \implies |f(\xi)-f(z)|\leq \delta\in \mathbb{R},

pričom \delta je dostatočne malé reálne číslo. Dostávame teda

:\int_{S_{\epsilon}(z)}\fracds \leq \frac{\delta}{\epsilon}2\pi \epsilon = 2\pi \delta,

teda rozdiel

:\left|\int_{S_{\epsilon}^{ACW}(z)}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi - 2\pi i f(z) \right|

môžeme urobiť ľubovoľne malým, dokázali sme teda danú limitu. Keďže integrál holomorfnej funkcie nezávisí na polomere integračnej sféry, dostávame

: \oint_{S_{\epsilon}(z)}\frac{f(z)}{\xi-z}d\xi = 2\pi i f(z),

čo sme chceli ukázať.

## Taylorova veta a zovšeobecnená Cauchyho integrálna formula
Pomocou Cauchyho integrálnej formuly vieme odvodiť koeficienty Taylorovho radu holomorfnej funkcie. Porovnanie s klasickou Taylorovou formulou poskytuje informáciu, že "diferencovanie je ekvivalentné integrovaniu." Tento výsledok platí iba v komplexnej analýze; v reálnej analýze neplatí.

### Taylorova veta
Nech \mathcal{U} je oblasť a nech  f:\mathcal{U}\to\mathbb{C} je holomorfná funkcia na \mathcal{U}. Ďalej, nech z_0\in\mathcal{U}
, R>0 je kladné reálne číslo, potom pre každé komplexné číslo z z otvoreného kruhu B_R (z_0) \subset \mathcal{U} s polomerom R a stredom v bode z_0 platí

:f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (z-z_0)^n,

pričom koeficienty c_n sú určené vzťahom

:c_n=\frac{1}{2\pi i} \oint_{S_{r}(z_0)} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz, 

kde r\in(0,R). Uvedený potenčný rad nazývame Taylorovym radom funkcie f, z_0 nazývame stredom radu.

#### Dôkaz Taylorovej vety
Vezmime fixné z \in B_R (z_0), označme \delta = |z-z_0| a s\in(\delta, R). Z Cauchyho integrálnej vety máme

:f(z)=\frac{1}{2\pi i} \oint_{S_s (z_0)} \frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi. 

Ďalej si všimneme, že platí

:\frac{1}{\xi-z}=\frac{1}{\xi-z_0}\frac{1}{1-\frac{z-z_0}{\xi- z_0}}=\frac{1}{\xi-z_0}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z-z_0}{\xi- z_0}\right)^n,

pričom v poslednej rovnosti sa využili poznatky o súčte geometrického radu:

:|q|=\left|\frac{z-z_0}{\xi-z_0}\right|=\frac{\delta}{s} 

Dostávame

:\frac{1}{\xi-z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-z_0)^n}{(\xi-z_0)^{n+1}}.

Podľa Weierstrassovho M-testu uvedený rad konverguje rovnomerne a absolútne, teda nasledujúce úpravy sú oprávnené (výmena sumácie a integrovania):

:f(z)=\frac{1}{2\pi i} \oint_{S_s (z_0)}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}(z-z_0)^{n}d\xi=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2\pi i} \oint_{S_s (z_0)} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}d\xi\right)(z-z_0)^{n},

čo bolo treba dokázať.

### Zovšeobecnená Cauchyho integrálna formula
Taylorova formula štandardne uvádza koeficienty c_n holomorfnej (resp. analytickej) funkcie f ako podiel *n*-tej derivácie v strede Taylorovho radu a *n* faktoriálu:

:c_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}.

Porovnaním tejto štandardnej formuly s nami odvedenou dostávame tzv. *zovšeobecnenú Cauchyho integrálnu formulu*:

:\oint_{S_\epsilon (z)}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}d\xi=\frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z).

## Využitie Cauchyho integrálnej formuly

### Výpočet komplexných krivkových integrálov
Vypočítajme komplexný krivkový integrál

:\oint_{S_{2\pi}(0)}\frac{\cos z}{(z+\pi)(z-\pi) }dz.

Na základe lemy vieme integrál prepísať ako

:\oint_{S_{2\pi}(0)}\frac{\cos z}{(z+\pi)(z-\pi) }dz=\oint_{S_{\epsilon_1}(\pi)}\frac{\frac{\cos z}{z+\pi}}{z-\pi}dz + \oint_{S_{\epsilon_2}(-\pi)}\frac{\frac{\cos z}{z-\pi}}{z+\pi}dz,

použijeme Cauchyho integrálnu formulu, dostávame tak

:\oint_{S_{2\pi}(0)}\frac{\cos z}{(z+\pi)(z-\pi) }dz = 2\pi i\left( \frac{\cos \pi}{2\pi} + \frac{\cos(-\pi)}{-2\pi} \right)=0.

## Referencie


Kategória:Komplexná analýza
Kategória:Eponymické termíny v matematike
Kategória:Integrálny počet