Báza (vektorový priestor)

**Báza** vektorového priestoru V je množina lineárne nezávislých vektorov, ktorých lineárnym obalom je priestor V. Každý vektor z V sa dá jednoznačne vyjadriť ako lineárna kombinácia bázových vektorov. Teda voľba bázy súčasne každému vektoru priraďuje súradnice - koeficienty takejto lineárnej kombinácie.

## Definícia

Nech V je vektorový priestor nad poľom F a B\subseteq V.

* Množina B je lineárne nezávislá, ak pre ľubovoľné vektory \vec v_1,\vec v_2,\dots,\vec v_n\in B z rovnosti c_1\vec v_1+c_2\vec v_2+\dots+c_n\vec v_n=\vec0 vyplýva c_1=c_2=\dots=c_n=0.
* Množina B generuje priestor V, ak každý vektor \vec v\in V sa dá vyjadriť ako \vec v=c_1\vec v_1+c_2\vec v_2+\dots+c_n\vec v_n pre nejaké \vec v_1,\vec v_2,\dots,\vec v_n\in B. Inak povedané, lineárny obal množiny B je celý priestor V, t.j. \langle B\rangle=V.

Ak B je lineárne nezávislá množina a súčasne generuje priestor V, tak hovoríme, že B je *báza* priestoru V. Ekvivalentná podmienka je, že každý vektor \vec v\in V sa dá vyjadriť práve jedným spôsobom ako lineárna kombinácia konečne veľa vektorov z B. Koeficienty tejto lineárnej kombinácie voláme súradnice daného vektora vzhľadom na bázu B,

V prípade, že B je konečná množina, tak sa uvedené definície dajú sformulovať o čosi jednoduchšie. Na miestach, kde sme v uvedených definíciách potrebovali vybrať konečnú podmnožinu z B môžeme zobrať priamo celú bázu. T.j. môžeme definície sformulovať tak, že  B=\{\vec v_1,\vec v_2,\dots,\vec v_n\} namiesto \vec v_1,\vec v_2,\dots,\vec v_n\in B.

## Vlastnosti

* Ak M je ľubovoľná lineárne nezávislá množina v priestore V, tak existuje báza B obsahujúca M.
* Ak M je množina, ktorá generuje priestor V, tak existuje báza B taká, že B\subseteq M.
* Ľubovoľné dve bázy daného priestoru V majú rovnakú kardinalitu. Túto kardinalitu nazývame *dimenzia* priestoru V.
* Obrazy prvkov bázy jednoznačne určujú lineárne zobrazenie. T.j. ak máme bázu B priestoru V a zobrazenie g\colon B\to W, kde W je vektorový priestor nad tým istým poľom, tak existuje práve jedno lineárne zobrazenie f\colon V\to W také, že f|_B=g. (Opäť, v konečnorozmernom prípade je formulácia o čosi zrozumiteľnejšia. Ak máme bázu pozostávajúcu z vektorov \vec v_1,\vec v_2,\dots,\vec v_n a poznáme obrazy f(\vec v_i)=\vec w_i, tak pre vektor \vec v=c_1\vec v_1+c_2\vec v_2+\dots+c_n\vec v_n nutne musíme mať f(\vec v)=c_1\vec w_1+c_2\vec w_2+\dots+c_n\vec w_n. Dá sa overiť, že tento predpis skutočne definuje lineárne zobrazenie z V do W.)

## Príklady bázy
Majme nejaký vektorový priestor V a podmnožinu W \subset V takú, že lineárny obal \langle W\rangle tejto množiny je rovný priestoru V, teda platí: \langle W\rangle=V. 

Príklad 1.: nech W={(1, 0), (0, 1), (2, 3)} a V=R^2. Je zrejmé, že platí rovnosť \langle W\rangle=R^2. Avšak vektory (1, 0), (0, 1), (2, 3) sú lineárne závislé, pretože platí: 2(1, 0)+3(0, 1)=(2, 3), naproti tomu, vektory (1, 0), (0, 1) sú lineárne nezávislé, preto vektory (1, 0), (0, 1) tvoria bázu vektorového priestoru R^2 (samozrejme aj vektorového priestoru \langle W\rangle).

Príklad 2.:
Nech je daný vektorový priestor R^3. Vektory (0,2,3) , (1,0,7) , (1,3,0) sú lineárne nezávislé a preto tvoria bázu vektorového priestoru R^3.

## Nekonečnorozmerný prípad

Niektorí autori používajú v nekonečnorozmernom prípade názov *[[Hamelova báza]]*, na odlíšenie od niektorých iných typov báz používaných pre nekonečnorozmerné priestory. (Napríkad Schauderova báza v Banachových priestoroch alebo ortonormálna báza v Hilbertových priestoroch.) Niekedy sa však tento termín používa špecificky pre bázu \mathbb R ako vektorového priestoru nad \mathbb Q.

Najjednoduchší príklad nekonečnorozmerného priestoru je priestor dimenzie \aleph_0. Takýto priestor môžeme dostať napríklad ako priestor c_{00}, pozostávajúci z postupností reálnych čísel, ktoré majú iba konečne veľa nenulových členov. Priestor c_{00} je vektorový priestor nad \mathbb R, jeho báza pozostáva z postupností e_i, i\in\mathbb N, kde e_i obsahuje jedinú jednotku na i-tom mieste. T.j. e_1=(1,0,0,0,\dots), e_2=(0,1,0,0,0,\dots), atď.

Pre mnohé nekonečnorozmerné vektorové priestory nevieme explicitne popísať bázu. Tvrdenie, že každý vektorový priestor má bázu, je ekvivalentné s axiómou výberu.

Ľubovoľný nekonečnorozmerný Banachov priestor má dimenziu aspoň \mathfrak c. Z toho napríklad vidíme, že ak má lineárny normovaný priestor spočítateľnú Hamelovu bázu, tak nemôže byť úplný.

## Referencie

## Literatúra

* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Pozri aj

* Lineárny obal
* Lineárna závislosť
* Podmnožina
* Vektorový priestor

Kategória:Lineárna algebra