Kompaktná množina

**Kompaktná množina** alebo **kompakt** je taká množina bodov topologického priestoru, že z každého jej pokrytia otvorenými množinami sa dá vybrať pokrytie konečné.

V Euklidovských priestoroch sú kompaktné množiny práve ohraničené a uzavreté podmnožiny Euklidovského priestoru. Napríklad v **R** je uzavretý jednotkový interval [0, 1] kompaktný, ale množina celých čísel **Z** nie (nie je ohraničená), ani polootvorený interval  (nie je uzavretý). 

Na metrických priestoroch možno ekvivalentne definovať kompaktnú množinu pomocou postupností: kompaktná množina je taká množina, že z každej postupnosti v tejto množine sa dá vybrať postupnosť konvergentná (v tejto množine). Kompaktná množina je na týchto priestoroch uzavretá a ohraničená. 

V konečnodimenzionálnych normovaných vektorových priestoroch je množina kompaktnou prave vtedy, ak je uzavretá a ohraničená.

O **kompaktnom priestore** alebo **kvázikompaktnom priestore (podľa Bourbakiho)** hovoríme, ak je kompaktná množina priestorom (topologickým, vektorovým, metrickým). 

**Hausdorffov kompaktný priestor** alebo **kompaktný priestor (podľa Bourbakiho)** je kvázikompaktný priestor podľa Bourbakiho, ktorý je Hausdorffovým priestorom.

Termín *kompaktný* zaviedol Fréchet v roku 1906.

## Definície
### Kompaktnosť podmnožín '''R'''<sup>''n''</sup>
Pre každú podmnožinu *A* Euklidovského priestoru **R***n* sú nasledujúce podmienky ekvivalentné:
* Každé otvorené pokrytie *A* má konečné podpokrytie.
* Z každej postupnosti v *A* možno vybrať konvergentnú podpostupnosť, ktorej limita leží v *A*.
* Každá nekonečná podmnožina *A* má hromadný bod v *A*.
* Množina *A* je uzavretá a ohraničená.

V iných priestoroch nemusia byť tieto podmienky ekvivalentné.

### Kompaktnosť topologického priestoru
Vlastnosť "konečného podpokrytia" je abstraktnejšia ako "uzavretosť a ohraničenosť", ale má tú výhodu, že k jej použitiu stačí znalosť topológie danej množiny, tj. nie je nutná znalosť metriky alebo okolitého priestoru. Teda kompaktnosť je topologická vlastnosť.

Topologický priestor *X* sa nazve kompaktným, ak z každého jeho otvoreného pokrytia možno vybrať konečné podpokrytie. Formálne to znamená:
:Pre ľubovoľný systém \{U_i\}_{i\in I} otvorených podmnožín X taký, že \bigcup_{i\in I} U_i \supseteq X, existuje konečná podmnožina J\subset I tak, že \bigcup_{i\in J} U_i \supseteq X.

## Príklady kompaktných priestorov
* Prázdna množina.
* Konečný topologický priestor. Všeobecnejšie, priestor s konečnou topológiou (konečne mnoho otvorených množín).
* Uzavretý jednotkový interval [0, 1].
* Uzavretá jednotková guľa konečne rozmerného priestoru.
* Cantorova množina.
* Hilbertova kocka.

## Vety
Niektoré tvrdenia vzťahujúce sa ku kompaktnosti:

* Spojitý obraz kompaktu je kompakt.
* Spojitá reálna funkcia na kompakte je ohraničená a nadobúda maxima.
* Uzavretá podmnožina kompaktu je kompakt.
* Kompaktná podmnožina Hausdorffovho priestoru je uzavretá.
* Neprázdna kompaktná podmnožina reálnych čísel má najväčší a najmenší prvok.
* Podmnožina Euklidovského priestoru je kompaktná, práve keď je uzavretá a ohraničená. (Heine–Borelova veta)
* Metrický priestor (alebo uniformný priestor) je kompaktný, práve keď je úplný a totálne ohraničený.
* Súčin kompaktných priestorov je kompaktný. (Tichonovova veta)
* Kompaktný Hausdorffov priestor je normálny.
* Každá spojitá bijekcia z kompaktného priestoru do Hausdorffovho pristoru je homeomorfizmus.
* Metrický priestor je kompaktný, práve keď z každej postupnosti možno vybrať konvergentnú podpostupnosť.
* Topologický priestor je kompaktný, práve keď každý net má konvergentný podnet.
* Topologický priestor je kompaktný, práve keď každý ultrafilter je konvergentný.

## Ďalšie formy kompaktnosti
Existuje množstvo topologických vlastností, ktoré sú ekvivalentné kompaktnosti v metrických priestoroch, ale vo všeobecných topologických priestoroch nie:

* **Sekvenciálna kompaktnosť**: Každá postupnosť má konvergentnú podpostupnosť.
* **Spočítateľná kompaktnosť**: Každé spočítateľné otvorené pokrytie má konečné podpokrytie.
* Pseudokompaktnosť: Každá spojitá reálna funkcia je ohraničená.
* Slabá spočítateľná kompaktnosť: Každá nekonečná podmnožina má hromadný bod.

Platia nasledujúce implikácie:

* Kompaktný priestor je spočítateľne kompaktný.
* Sekvenciálne kompaktný priestor je spočítateľne kompaktný.
* Spočítateľne kompaktný priestor je pseudokompaktný a slabo spočítateľne kompaktný.
 
Metrický priestor sa nazýva **prekompaktný** alebo totálne ohraničený, ak každá postupnosť má cauchyovskú podpostupnosť.

## Pozri aj
* Lokálne kompaktný priestor
* Metakompaktný priestor
* Parakompaktný priestor

## Literatúra

* Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., *[[Counterexamples in Topology]]* (1978) Springer-Verlag, New York

Kategória:Topológia