Riemannova hypotéza

[náhľad|Grafické znázornenie [Absolútna hodnota (reálne a komplexné číslo)|absolútnej hodnoty Riemannovej zeta-funkcie (čím tmavšia farba, tým bližšie k nule)]]

**Riemannova hypotéza** (tiež **Riemannova zeta-hypotéza**) je jeden z najslávnejších a najdôležitejších nevyriešených problémov súčasnej matematiky. Prvýkrát bola formulovaná nemeckým matematikom Bernhardom Riemannom v roku 1859. Dokázaním Riemannovej hypotézy by bolo vyriešené veľké množstvo hlbokých problémov z rôznych oblastí matematiky (najmä z teórie čísel), nielen preto bola v roku 2000 zaradená medzi 7 najdôležitejších nevyriešených matematických problémov nového tisícročia (tzv. problémy tisícročia).

Riemannova hypotéza je domnienka o rozložení koreňov tzv. Riemannovej zeta-funkcie definovanej v celej komplexnej rovine okrem bodu 1. Táto funkcia má niektoré zo svojich koreňov, tzv. *triviálne nulové body*, v párnych záporných celých číslach. Okrem týchto koreňov existujú ešte ďalšie, ktoré sa nazývajú *netriviálne nulové body*.

Riemannova hypotéza je tvrdenie:

: *Všetky netriviálne nulové body Riemannovej zeta-funkcie majú [[Komplexné číslo|reálnu časť]] rovnú 1/2.*

Čísla, ktorých reálna časť je rovná 1/2, tvoria v komplexnej rovine priamku, ktorá sa nazýva *kritická priamka*.

Najsilnejšími známymi čiastočnými riešeniami Riemannovej hypotézy sú rôzne verzie vety o kritickej priamke, ktoré hovoria, že na kritickej priamke sa vyskytuje "veľa" netriviálne nulových bodov.

## Údajné dôkazy
Na Heidelberg Laureate Forum mal 24. septembra 2018 prednášku britský matematik Michael Atiyah, kde predstavil svoj dôkaz Riemannovej hypotézy. Prvotné reakcie sú skeptické.

## Netriviálne nulové body
V roku 1900 boli s matematickou istotou známe nasledujúce fakty o umiestnení netriviálnych nulových bodov v komplexnej rovine:
* Je ich nekonečne veľa a všetky majú reálnu časť medzi 0 a 1, pričom krajné body vylučujeme.

Ak použijeme komplexnú rovinu ku znázorneniu tejto situácie, môžeme povedať, že vieme, že všetky netriviálne nulové body ležia v kritickom páse. Riemannova hypotéza je však oveľa silnejšie tvrdenie - totiž že všetky ležia na kritickej priamke.
* Nulové body sa objavujú v komplexne združených dvojiciach.

Inými slovami, ak je z nulový bod, je aj <math>\overline{z}</math> nulový bod. 
* Ich reálne časti sú symetrické podľa kritickej priamky.

Teda, ak existuje nejaký nulový bod mimo kritickú priamku, potom jeho zrkadlový obraz podľa kritickej priamky je tiež nulovým bodom.

## Pozri aj
* Riemannova zeta funkcia
* Veta o kritickej priamke
* Bernhard Riemann

## Literatúra
* John Derbyshire,  *Posedlost prvočísly*, (2007) Academia,  - počet strán: 407.
* Bernhard Riemann, *Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse*, (1859) Monatsberichte der Berliner Akademie. 
* Jacques Hadamard, *Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques*, Bulletin Société Mathématique de France *14* (1896) pp 199-220.

## Referencie

## Externé odkazy
* *[http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/1859_manuscript/ Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gross] * - pôvodný Riemannov článok, v ktorom formuluje Riemannovu hypotézu
* Prednáška  6th HLF – Lecture: Sir Michael Francis Atiyah
* Problem of the Millennium: the Riemann Hypothesis 

## Zdroj

Kategória:Teória čísel
Kategória:Otvorené problémy
Kategória:Hilbertove problémy
Kategória:Problémy tisícročia
Kategória:Eponymické termíny v matematike