Hyperbolická funkcia

náhľad|Grafy hyperbolických funkcií

Pojem **hyperbolické funkcie** označuje v matematike skupinu niekoľkých funkcií, ktoré sú analogicky podobné goniometrickým funkciám. Medzi základné hyperbolické funkcie patrí hyperbolický sínus (sinh, sh) a hyberbolický kosínus (cosh, ch), ďalej z nich odvodený hyberbolický tangens (tanh, th), hyberbolický kotangens (cotanh, coth, cth), sekans (sech), kosekans (csh). Inverzné funkcie k hyberbolickým funkciám označujeme ako hyperbolometrické funkcie.

Rovnako ako goniometrické funkcie sínus a kosínus, ktoré definujú body na jednotkovej kružnici, hyperbolický sínus a hyberbolický kosínus zase definujú body pravej časti rovnoosej hyperboly. Parametrom týchto funkcií je tzv. hyperbolický uhol.

## Definície hyperbolických funkcií
Ako hyperbolické funkcie nazývame nasledujúce štyri funkcie, kde e označuje Eulerovo číslo:

* Hyperbolický sínus:
::\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x} ; kde x \in (-\infty, \infty)

* Hyperbolický kosínus:
::\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x} ; kde x \in (-\infty, \infty)

* Hyperbolický tangens:
::\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} ; kde x \in (-\infty, \infty)

* Hyperbolický kotangens:
::\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} ; kde x \in (-\infty, \infty)/\{0\}

## Vlastnosti
* Hyperbolické funkcie sú spojité na svojich definičných oboroch.

* Pre hyperbolický sínus a kosínus platí:
::{\cosh}^{2} {x} - {\sinh}^{2} {x} = 1 pre všetky x \in \mathbb{R}

* Pre hyperbolický sínus a kosínus ďalej platí:
::\cosh (x + y) = \cosh x \cdot \cosh y + \sinh x \cdot \sinh y pre všetky x \in \mathbb{R}
::\sinh (x + y) = \sinh x \cdot \cosh y + \cosh x \cdot \sinh y pre všetky x \in \mathbb{R}
::\cosh (2x) = {\cosh}^2 {x} + {\sinh}^2 {x}
::\sinh (2x) = 2\cosh x \cdot \sinh x

### Monotónnosť a parita
Hyperbolický sínus je rastúca nepárna funkcia na intervale (-\infty, \infty), pričom limitne platí nasledovné: 
* \lim_{x \to \infty} \sinh x = \infty 
* \lim_{x \to -\infty} \sinh x = -\infty

Hyperbolický kosínus je párna klesajúca funkcia na intervale (-\infty, 0) a rastúca je na intervale x \in (0, \infty). Limitne pre túto funkciu platí nasledovné: 
* \lim_{x \to \infty} \cosh x = \infty 
* \lim_{x \to -\infty} \cosh x = \infty

Hyperbolický tangens je nepárna rastúca funkcia na intervale (-\infty, \infty). Limitne pre ňu platí: 
* \lim_{x \to \infty} \tanh x = 1 
* \lim_{x \to -\infty} \tanh x = -1

Hyperbolický kotangens je nepárna klesajúca funkcia na intervale (-\infty, 0) a (0, \infty). Pre túto funkciu limitne platí: 
* \lim_{x \to 0_{+}} \coth x = \infty
* \lim_{x \to 0_{-}} \coth x = -\infty
* \lim_{x \to \infty} \coth x = 1
* \lim_{x \to -\infty} \coth x = -1

## Derivácie
Pre základné derivácie hyperbolických funkcií platia nasledovné vzťahy:
: \frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x \,

: \frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x \,

: \frac{d}{dx}\tanh x = 1 - \tanh^2 x = \hbox{sech}^2 x = 1/\cosh^2 x \,

: \frac{d}{dx}\coth x = 1 - \coth^2 x = -\hbox{csch}^2 x = -1/\sinh^2 x \,

: \frac{d}{dx}\ \hbox{csch}\,x = - \coth x \ \hbox{csch}\,x \,

: \frac{d}{dx}\ \hbox{sech}\,x = - \tanh x \ \hbox{sech}\,x \,

:\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsinh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}

:\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcosh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}

:\frac{d}{dx}\, \operatorname{artanh}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}

:\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcsch}\,x =-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}}

:\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsech}\,x =-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}

:\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcoth}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}

## Integrály
Pre základné integrály hyperbolických funkcií platia nasledovné vzťahy:

:\int\sinh ax\,dx = a^{-1}\cosh ax + C

:\int\cosh ax\,dx = a^{-1}\sinh ax + C

:\int \tanh ax\,dx = a^{-1}\ln(\cosh ax) + C

:\int \coth ax\,dx = a^{-1}\ln(\sinh ax) + C

:\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C

:\int{\frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C

:\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\tanh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}

:\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\coth ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}>a^{2}

:\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=-a^{-1}\operatorname{sech}^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C

:\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=-a^{-1}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C

kde C je integračná konštatnta.

## Iné projekty

## Zdroj
* 
*