Rovinný graf

**Rovinný graf** alebo **planárny graf** je taký graf G = (V, H), ktorého diagram v rovine možno zostrojiť tak, že dve rôzne hrany majú spoločné nanajvýš krajné vrcholy. Inými slovami: graf je rovinný, ak sa dá nakresliť v rovine tak, že vrcholy sú body roviny, hrany sú oblúky (krivky) a žiadne dve hrany sa nepretínajú.

Medzi rovinné grafy patria všetky stromy a grafy K_1, K_2, K_3, K_4, teda všetky grafy s počtom vrcholov minimálne jedna a maximálne štyri. Ďalšou charakteristikou je fakt, že Eulerova veta je platná pre akýkoľvek planárny graf.

## Eulerova veta
**Eulerova veta**: v + s = h + 2; kde *v* – počet vrcholov, *s* – počet oblastí (štátov), *h* – počet hrán (hraníc).

### Dôkaz
Dôkaz Eulerovej vety urobíme indukciou vzhľadom na počet hrán h. Veta zrejme platí v grafoch bez hrán. Predpokladajme teraz, že platí pre všetky rovinné grafy, ktoré majú menej ako h hrán (indukčný predpoklad). Nech G je rovinný graf s h hranami. Budeme rozlišovať dva prípady:

a) Nech G obsahuje most. Potom po vynechaní mostu sa rozpadne na dva rovinné grafy G_1, G_2. Nech počet vrcholov, hrán a oblastí grafu G_1 je v_1, h_1, s_1 a grafu G_2 je v_2, h_2, s_2. Pre G_1 a G_2 už (podľa indukčného predpokladu) veta platí. Teda máme 
h_1 = v_1 + s_1 - 2, h_2 = v_2 + s_2 - 2.
Ďalej v_1 + v_2 = v – počet vrcholov grafu G, h_1 + h_2 = h - 1, s_1 + s_2 = s + 1 (vynechaním mostu sa počet oblastí nemení, ale v súčte s_1 + s_2 sa vonkajšia oblasť započíta dvakrát). Z posledných rovností a z uvedených vzťahov vyššie dostaneme: h = h_1 + h_2 + 1 = ( v_1 + s_1 - 2 ) + ( v_2 + s_2 - 2) + 1 = (v_1 + v_2) + (s_1 + s_2) - 3 = v + (s + 1) - 3 = v + s - 2.

b) Nech G neobsahuje most. Potom zoberme ľubovolnú hranu h. Hrana h je obsiahnutá v nejakej kružnici. Zoberme najkratšiu kružnicu C, v ktorej je hrana h obsiahnutá. Vnútri kružnice C sa pri vhodnom kreslení diagramu grafu nachádza nejaká oblasť, ktorá vynechaním hrany h zanikne. Teda, ak G' má práve o jednu oblasť menej ako G. Pritom má ten istý počet vrcholov. Pre G' však veta platí, preto platí aj pre G. Tým je dôkaz ukončený.

## Dôsledky Eulerovej vety
### Dôsledok 1
Ak G je rovinný graf, v ktorom všetky oblasti sú ohraničené kružnicami C_n, tak h = \frac{n (v-2)}{n-2}.

### Dôsledok 2
Keď G je rovinný graf s v \ge 3 vrcholmi a s maximálnym počtom hrán, tak každá oblasť je C_3 a platí h = 3v - 6.

### Dôsledok 3
Ak v rovinnom grafe sú všetky oblasti ohraničené kružnicami C_4, tak h = 2v - 4.

Predpokladajme, že máme diagram planárneho grafu, ktorý je nakreslený v zmysle definície, ktorá hovorí o zostrojení diagramu tak, že rôzne hrany majú spoločné nanajvýš krajné vrcholy. Takýto diagram rozdeľuje hranami rovinu na disjunktné oblasti (ak obsahuje aspoň jednu kružnicu) a tie budeme nazývať oblasťami planárneho grafu. Vonkajšia oblasť je tá z oblastí, ktorá je neohraničená.

Nech G = (V,H) je súvislý planárny graf a nech r je počet oblastí grafu G. Potom platí: 

:|H| − |V| + 2 = r. (Eulerova formula)

Použitím cyklomatického čísla grafu môžeme Eulerov vzorec zapísať v tvare:

:r = μ(G) + 1,

v ktorom má ľahko zrozumiteľnú interpretáciu – počet oblastí planárneho grafu je rovný počtu nezávislých kružníc grafu zväčšenému o 1 (za vonkajšiu oblasť). Cyklomatické číslo grafu G, ktoré nám vlastne udáva minimálny možný počet hrán, odobraním ktorých je možné z grafu odstrániť všetky kružnice, vieme matematicky vyjadriť nasledovne:

:μ(G) = |H| − |V| + p,

kde p je počet komponentov. Komponentom grafu G patriacim k vrcholu v grafu G nazývame súhrn všetkých prvkov grafu G, ktoré patria do niektorej cesty začínajúcej sa vo vrchole v. Každý graf sa skladá z komponentov. Graf s jedným komponentom sa nazýva súvislý. Ak sa v slede neopakuje ani jedna hrana a ani jeden vrchol, nazýva sa cesta. Sledom z vrcholu u do vrcholu v nazývame konečnú postupnosť [v_0, h_1, v_1, h_2,... v_(n-1), n, v_n], n\in N, kde v_0,.. v_n sú vrcholy grafu (v_0=u, v_n=v), h_1,... h_n sú hrany grafu. Pritom predpokladáme, že každá hrana h_i (i=1,..,n) spája vrcholy v_(i-1) a v_i. Počet hrán v slede sa nazýva dĺžka sledu. Ak u = v, sled nazývame uzavretý, v opačnom prípade otvorený.

Eulerova veta formuluje iba nutnú podmienku pre planaritu grafu, nie postačujúcu. Vyplýva z nej však viacero dôsledkov použiteľných na charakterizáciu planarity.

### Veta
Graf G je planárny práve vtedy, ak neobsahuje podgraf homeomorfný s niektorým z grafov K_5 a K_{3,3}.

Táto veta rieši problematiku planárnosti grafov s využitím výhradne kombinatorických prostriedkov (bez kreslenia diagramu grafu). V roku 1930 ju dokázal poľský matematik Kuratowski.

Grafy G_1 a G_2 sú homeoformné, ak sú izomorfné, alebo konečným počtom rozpoľovania hrán v týchto grafoch dostaneme také grafy, ktoré budú izomorfné.

### Tvrdenie (Maximálny počet hrán rovinného grafu)
* Nech G = (V, E) je rovinný graf s aspoň 3 vrcholmi. Potom |E|≤ 3|V|-6. Navyše rovnosť nastáva pre každý maximálne rovinný graf; t. j. rovinný graf, ku ktorému nejde pridať žiadnu hranu (pri zachovaní množiny vrcholov) tak, aby zostal rovinným.
* Ak neobsahuje najviac uvažovaný rovinný graf trojuholník (t. j. K3 ako podgraf) a má aspoň 3 vrcholy, potom |E|≤2|V|−4.

V tomto tvrdení nepripúšťame grafy s násobnými hranami.

## Neplanárne grafy
Graf, ktorý nie je planárny, sa nazýva **neplanárny**. Všeobecne pre neplanárne grafy je možné nakresliť diagram grafu len tak, že niektoré hrany sa krížia v nekoncových bodoch. Pre daný graf G môžeme určiť:

* **priesečníkové číslo grafu G** je minimálny počet dvojíc hrán, ktoré sa krížia (pretínajú) pri ľubovoľnom nakreslení diagramu grafu G
* **hrúbka grafu G** je minimálny počet jeho planárnych podgrafov zjednotením ktorých dostávame graf G
* **jemnosť grafu G** je maximálny počet hranovo disjunktných neplanárnych podgrafov grafu G

Tieto miery možno nazvať kombinatorickými mierami neplanárnosti grafov. Existuje ešte jedna miera, ktorá má čisto geometrickú interpretáciu: rod grafu – je to minimálny počet premostení, ktoré treba pridať ku guli, aby sa na jej povrchu dal nakresliť diagram príslušného grafu bez pretínania sa hrán. Planárne grafy majú teda rod 0, rod 1 majú grafy, ktorých diagramy môžeme nakresliť na anuloid (“pneumatiku”).

### Príklady pre neplanarne grafy
Príkladom sú už uvedené grafy K5, K3, 3. Uvedené grafy predstavujú zároveň minimálne neplanárne grafy: K5 má najmenší počet vrcholov (5) a K 3,3 má najmenší počet hrán (9). Ukazuje sa, že tieto dva grafy hrajú veľmi významnú úlohu v súvislosti s planaritou grafov.

## Kuratowského veta
Graf G je rovinný práve vtedy, ak nie je žiadny jeho podgraf izomorfným delením grafu K5 ani K3,3. K5 označuje úplný graf na piatich vrcholoch; K3,3 je úplný bipartitný graf.

## Mnohosteny (Platónske telesá)
Antická škola mysliteľov spájaná s Platónovým menom sa zaoberala pravidelnými geometrickými útvarmi, takzvané pravidelné mnohosteny, a hľadala ich v základoch stavby vesmíru. Pravidelný mnohosten je trojrozmerné teleso, ohraničené konečným počtom stien – rovnakých pravidelný mnohouholníkov, kde sa v každom vrchole spája rovnaký počet stien (strán) a hrán.

Konvexný mnohosten je planárnymi grafom ak: 
# Všetky jeho strany sú zhodné konvexné mnohouholníky,
# Žiadne jeho steny sa nepretínajú inde ako na hrane,
# Rovnaký počet strán sa dotýka v každom vrchole.

Každý planárny graf môže byť preto označený znakom {p,q} , kde:
* p = počet hrán každej strany (alebo počet vrcholov každej strany),
* q = počet strán stretávajúcich sa v každom vrchole (alebo počet hrán stretávajúcich sa vo vrchole)

Znak {p,q} sa nazýva Schälfiho znak, dáva kombinatoricky popis mnohostena. 

## História planárnych (rovinných) grafov
Planárne grafy sú známe už od antiky. Ich ornamentové modely môžu byť nájdené medzi ozdobnými kamennými guľami vyrobenými v neskorom neolite v Škótsku najmenej 1000 rokov pred Platónom. Antickí Gréci rozsiahlo študovali planárne grafy. Niektoré zdroje pripisujú objavenie Pytagorovi. Iné hovoria o tom, že bol iba oboznámený so štvorstenom, kockou a 12-stenom a že objavenie osemstena a 20-stena patri Theaetetovi, jednému z Platónových žiakov. Theaetetus dal matematický popis všetkým piatim útvarom a je zodpovedný za prvý známy dôkaz, že nie sú žiadne iné vypuklé pravidelné mnohosteny. Euklides dal kompletný matematický popis planárnych grafov v *Elementoch*, poslednej knihe, ktorá bola zasvätená ich vlastnostiam. V knihe popisuje zostrojenie štvorstena, kocky, osemstena, dvanásťstena a dvadsať stena. Pre každý útvar Euklides našiel pomer priemeru opísanej guľe k dĺžke hrany. Taktiež tvrdil, že nie je viac vypuklých pravidelných mnohostenov.

V 16. storočí sa nemecký astronóm Johannes Kepler pokúsil nájsť závislosť medzi vtedy známymi planétami a piatimi planárnymi grafmi. V 1596 predložil model slnečnej sústavy, v ktorej týchto 5 grafov bolo posadených dovnútra ďalšieho a oddelených sériou vpísaných a ohraničených oblastí. 6 oblastí, pričom každá z nich súhlasila s jednou z planét (Merkúr, Venuša, Zem, Mars, Jupiter a Saturn). Grafy boli zoradené od najvnútornejšieho osemstena, nasledoval dvadsaťsten, dvanásťsten, štvorsten a nakoniec kocka. Týmto spôsobom štruktúra slnečnej sústavy a vzťah medzi vzdialenosťami planét boli určené planárnymi grafmi. Nakoniec od Keplerovho originálneho nápadu muselo byt upustené, ale jeho výskum dospel k tomu, že obežné dráhy planét sú elipsy, taktiež jeho dva zákony orbitálnej dynamiky ovplyvnili fyziku a astronómiu, plus objavil Keplerove grafy.

## Silne rovinný graf
Rovinný graf sa nazýva silne rovinný ak ho možno v rovine nakresliť tak, že všetky vrcholy ležia na hranici jednej oblasti.

### Veta
Silne rovinný v-vrcholový graf má maximálne 2v - 3  hrán.

## Literatúra
* Znám, Š: *Kombinatorika a teória grafov*. Bratislava, Matematicko-fyzikálna fakulta Univerzity Komenského. 1982, s. 60 – 61

Kategória:Teória grafov