Logaritmus

thumb|Graf prirodzeného logaritmu ''y=log<sub>e</sub> x'', inak zapísané ''y'' = ln ''x''

**Logaritmus** alebo **logaritmická funkcia** (pri základe *a*) je inverznou funkciou k exponenciálnej funkcii (s tým istým základom).

Logaritmom čísla *x* pri základe *a* teda nazývame v matematike také číslo *y*, pre ktoré platí:

: x = a^y \,

a označujeme ho symbolicky

: y = \log _a x \,,

kde *a* > 0, *a* ≠ 1, *x* > 0. Funkciu

: y = \log _a x\,

kde *x* > 0, potom nazývame logaritmickou funkciou so základom *a*. Definičný obor funkcie je interval \left(0; \infty\right), obor hodnôt tvoria všetky reálne čísla.

Funkcia je:

* klesajúca, ak a \in \left(0,1\right)
* rastúca, ak a \in \left(1,\infty\right)

Graf logaritmickej funkcie nazývame logaritmická krivka; prechádza bodmi \left[ 1; 0 \right] a \left[ a; 1\right].

Konštanta *a* sa nazýva základ logaritmu. Logaritmus o základe 10 sa nazýva dekadický logaritmus' (prípadne desiatkový, alebo Briggsov podľa matematika Henryho Briggsa). V prípade dekadického logaritmu sa v zápise vynecháva základ a zapisuje sa ako

: y = \log x

Ďalším (v matematike pravdepodobne najpoužívanejším) prípadom je logaritmus o základe ''e'' (*Eulerovo číslo*). Tento sa nazýva prirodzený logaritmus (niekedy tiež Napierov podľa matematika Johna Napiera) a používa sa skrátený zápis

: y = \ln x

Hlavne v informatike sa objavuje logaritmus o základe 2, nazývaný binárny logaritmus, ktorý sa skrátene zapisuje:

: y = \lg x
Logaritmus so základom b je možné konvertovať na logaritmus so základom x podľa vzorca

\log_b (a) = \frac{\log_x(a)}{\log_x(b)}

alebo

\log_b a \times \log_c b = \log_c a.

## Špeciálne základy

### Prirodzený logaritmus
thumb|Graf prirodzeného logaritmu ''y'' = ln ''x'' (zelená línia)

**Prirodzený logaritmus** alebo **Napierov logaritmus** (podľa Johna Napiera) je taký logaritmus, ktorý ma základ ''e'' (Eulerovo číslo). 

Skrátený zápis:

: y = \ln x

Niekde sa môžete stretnúť aj so zápisom 

: y = \ln _e x \,

alebo 

: y = \log _e x \,
Taylorove rady pre výpočet prirodzeného logaritmu

* \ln x = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} 
(-1)^{i+1} \frac{(x - 1)^i}{i} \text{ pre } 0 
* \ln x = 2 \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}
\frac{1}{2i-1} \left ( \frac{x-1}{x+1} \right )^{2i-1}
\text{ pre } x > 0
* \ln x = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}
\frac{1}{i} \left ( \frac{x-1}{x} \right )^{i}
\text{ pre } x \geq \frac{1}{2}

### Desiatkový, dekadický logaritmus
Desiatkový logaritmus je logaritmus so základom desať. Zapisuje sa zvyčajne ako y = \log_{10} x alebo skrátene ako y = \log x .

### Dvojkový, binárny logaritmus
Dvojkový logaritmus je logaritmus so základom dva. Zapisuje sa ako y = \log_{2} x alebo skrátene y = \text{lg } x.

## Vlastnosti

Pre a, x, y > 0, a \neq 1, r \in \mathbb{R} platí:

* \log _a a^x = a^{\log _a x} = x, (logaritmus je inverznou funkciou k exponenciálnej funkcii s rovnakým základom)

* \log _a x + \log _a y = \log _a xy, \,

* \log _a x - \log _a y = \log _a \frac{x}{y}

* \log _a x^r = r \log _a x \,

* \log _a x = \frac{\log _b x}{\log _b a}, kde b > 0, b \neq 1
* \log_b b = 1
* \log_b 1 = 0
* \log_a b = \frac{1}{\log_b a}
* a^{\log_b x} = x^{\log_b a}
* \log_b a = \log_b c  \Longrightarrow a = c 

## Externé odkazy
* Logaritmická funkcia

## Referencie

Kategória:Elementárne funkcie