Poradie aritmetických operácií

náhľad|Príklad poradia aritmetických operácií.

**Poradie aritmetických operácií** je v matematike súbor pravidiel, ktoré vychádzajú z celosvetovej konvencie týkajúcej sa toho, ktoré operácie majú prednosť pred inými, aby sa vyhodnotil (vypočítal) matematický výraz. Tieto pravidlá prešli dlhým a zložitým historickým vývojom a ani v súčasnosti nie sú mnohé pravidlá ustálené. Používa sa aj výraz priorita alebo precedencia.

Precedencia je predmetom vzájomnej dohody a nedá sa matematicky odvodiť ani dokázať.

Poradie aritmetických operácií je rozdelené do štyroch základných krokov zoradených od operácií s najvyššou prioritou po operácie s najnižšou prioritou:

* ***(1.) Zátvorkové konštrukcie.***
* ***(2.) Exponenty a funkcie všeobecne.***
* ***(3.) Násobenie a delenie.***
* ***(4.) Sčítanie a odčítanie.***

Napríklad vyhodnotenie nasledujúceho výrazu má tieto poradia:



\overbrace{
2 
+ 
\overbrace{
28 
\times 
\overbrace{(3 - 1)}^{1. krok} 
}^{3. krok}
+ 
\overbrace{4^2}^{2. krok}  
}^{4. krok}.

## Zátvorkové konštrukcie
Pokiaľ matematický výraz obsahuje zátvorky tak výraz v zátvorkách má vo vyhodnocovaní prednosť podľa tu uvedených pravidiel. Ak sú vo výraze viaceré vnorené zátvorkové konštrukcie tak sa postupuje od najvnútornejších po najvonkajšie. Napríklad

\overbrace{
(
\overbrace{(
  \overbrace{(1 - 2)}^{1. krok}
  \times 
  \overbrace{(8 + 1)}^{1. krok}
)}^{2. krok}
/ 2)}^{3. krok} .

V cudzojazyčnej literatúre je možné sa stretnúť pri vnorených zátvorkách s použitím rôznych druhov zátvoriek. Vyššie uvedený príklad môže byť zapísaný aj ako \{ [(1 - 2) \times (8 + 1)] / 2 \}. Typ zátvoriek však nemá vplyv na poradie vyhodnocovania.

Konvencia hovorí, že ak sa vo výraze nachádza zlomok, tak sa k nemu pristupuje ako k výrazu v zátvorkách. Napríklad:

\frac{5}{4} \div 8 = \left ( \frac{5}{4} \right )  \div 8.

K čitateľovi a menovateli v zlomku sa pristupuje ako k výrazu v zátvorkách. Napríklad:

\frac{5 + 9}{4 - 8} = \frac{(5 + 9)}{(4 - 8)} .

Je prípustné, že sa pred zátvorkou vynecháva znak pre násobenie. Napríklad

5(6 \div 4) = 5 \times (6 \div 4) = 7.5.

Platí zlaté pravidlo, že v prípade nejednoznačnosti alebo v prípade, že je nutné porušiť konvenciu priorít netreba zátvorkami šetriť.

## Exponenty a funkcie všeobecne
Medzi operácie, ktoré sa vyhodnocujú ako prvé (s prihliadnutím na pravidlá zátvorkových konštrukcií) patria predovšetkým

* mocniny
* odmocniny
* faktoriály, goniometrické/cyklometrické funkcie, logaritmy atď.
* sumačné a produktové iterácie

## Násobenie a delenie
Násobenie a delenie majú rovnakú prioritu nakoľko tu platí asociatívny zákon a majú prednosť pred sčítaním a odčítaním. Pokiaľ nie je výraz spresnený zátvorkami tak sa postupuje zľava doprava.

\begin{align}
(2 \times 3) \div 4 = 6 \div 4 &= 1.5   \\
2 \times (3 \div 4) = 2 \times 0.75 &= 1.5   \\
2 \times 3 \div 4 &= 1.5   \\
\end{align}.

Delenie je možné pokladať za násobenie prevrátenou hodnotou. Napríklad.

8 \div 4 = 8 \times \left ( \frac{1}{4} \right ) = 8 \times 0.25 = 2.

## Sčítanie a odčítanie
Analogicky platí to, čo pre násobenie a delenie:

\begin{align}
(2 + 3) - 4 = 5 - 4 &= 1   \\
2 + (3 - 4) = 2 + (-1) &= 1   \\
2 + 3 - 4 &= 1   \\
\end{align} .

Odčítanie je možné pokladať za sčítanie so záporným číslom. Napríklad:

7 - 3 = 7 - (+3) = 7 + (-3) = 4.

## Referencie

## Pozri aj
* aritmetika
* násobenie
* delenie
* sčítanie
* odčítanie

Kategória:Teória čísel
Kategória:Aritmetika