Rovnica (matematika)

**Rovnica** je vzťah rovnosti medzi dvoma algebrickými výrazmi, ak sa na rozdiel od rovnosti (identity) dá dosadiť len niekoľko špecifických hodnôt. Napríklad vzťah rovnosti F (x) = f (x) medzi dvoma funkciami tej istej premennej sa označuje rovnica s jednou neznámou, ak je správny len pre určité hodnoty spomenutej premennej.

Inak vyjadrené, ide o výrokovú funkciu, ktorá každému oboru definície pevne zvolených zobrazení F a f priraďuje výrok "hodnota zobrazenia F v bode x sa rovná hodnote zobrazenia f v bode x".

Niektoré javy nemožno opísať iba pomocou jednej rovnice. Preto sa stretávame aj so sústavami rovníc.

## Znak rovná sa
Graficky sa rovnica vyjadruje znakom = medzi dvoma algebraickými výrazmi. Rovnice sa často používajú aj na to, aby sme niečo definovali. V takom prípade sa to, čo definujeme píše spravidla vľavo a znak = sa často nahradí znakom :=, alebo sa nad rovná sa napíše "def"; napríklad definícia derivácie funkcie je: f'(x_0) := \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

Takisto sa niekedy rovnica používa na vyjadrenie, že sa niečo má niečomu rovnať (požiadavka), vtedy sa často nad rovná sa pripíše výkričník.

## Základné definície
* Symbol x sa nazýva **[[Premenná (matematika)|neznáma]]**; ak má rovnica namiesto jednej neznámej x viacero neznámych x1, x2…xn (často označované ako x, y, z…), hovoríme, že je rovnicou o n neznámych
* Symbol a sa spravidla nazýva **koeficient neznámej**; pri rovniciach o n neznámych máme zároveň n koeficientov neznámych a0, a1…an (často označované ako a, b, c…)
* **Koreň** alebo riešenie rovnice je každý prvok oboru pravdivosti rovnice
* **Obor pravdivosti** rovnice (zjednodušene povedané množina riešení) je množina všetkých tých x z definičného oboru oboch zobrazení F a f (čiže oboru definície rovnice), pre ktoré je výrok F (x) = f (x) pravdivým výrokom
* **Obor definície rovnice** je množina, z ktorej možno dosadzovať prvky ako premenné, ktoré sú koreňmi rovnice.

## Premenná, neznáma, parameter
Pojem premenná je v zásade identický s pojmom neznáma, no pri rovniciach s jednou neznámou sa premenné delia na:
* neznáme = premenné, ktoré chceme z rovnice určiť
* parametre = ostatné premenné
Ak rovnica neobsahuje premenné, napr. 3 + 1 = 4, tak čisto formálne hovoríme o výroku, inak o výrokovej forme.

## Delenie podľa počtu neznámych
* rovnica s jednou neznámou
* rovnica s viacerými neznámymi

## Delenie podľa riešiteľnosti
* všeobecne platná rovnica alebo identická rovnica je rovnica, ktorá je pravdivým výrokom po dosadení ktoréhokoľvek prvku oboru definície, teda má vždy riešenie (napr. x + y = y + x)
* riešiteľná rovnica alebo splniteľná rovnica je rovnica, ktorá je pravdivým výrokom po dosadení niektorých prvkov oboru definície, ale nepravdivým výrokom pre ostatné prvky oboru definície (napr. 2x + 4 = 2, kde riešením je len číslo –1 z oboru definície všetkých čísiel)
* neriešiteľná rovnica alebo nesplniteľná rovnica je rovnica, ktorej obor pravdivosti je prázdna množina, teda nemá riešenie (napr. x + 1 = x)

Veľa rovníc je však neriešiteľných len pre obor definície z určitej množiny čísiel, napr. x2 = 2 je neriešiteľná pre racionálne čísla, ale riešiteľná pre reálne čísla.

## Delenie podľa typu zobrazení F a f
* algebrická rovnica
* nealgebrická rovnica (transcendentná rovnica)

## [[Vektor (matematika)|Vektorový]] a [[matica (matematika)|maticový]] zápis pre lineárne rovnice
Keďže množinu riešení (koreňov) každej algebraickej rovnice môžeme chápať ako aritmetický vektor – tzv. vektor neznámych **x**T = (x1, x2…xn) a množinu koeficientov neznámych ako aritmetický vektor **a**T = (a0, a1…an), môžeme všeobecný vzorec pre lineárne rovnice s viacerými neznámymi a0x0 + a1x1 +…+ anxn = b, aby sme ušetrili miesto, alternatívne zapísať ako 
**a<sup>T</sup>x** = b.

Podobne môžeme množinu koeficientov neznámych každej **sústavy** lineárnych rovníc chápať ako maticu – tzv. maticu sústavy:
**A** =  \begin{pmatrix}
    a_{0 prvej rovnice}& a_{1 prvej rovnice}& a_{2 prvej rovnice}... \\
    a_{0 druhej rovnice}& a_{1 druhej rovnice}& a_{2 druhej rovnice}... \\
    ... \\
    a_{0 poslednej rovnice}& a_{1 poslednej rovnice}& a_{2 poslednej rovnice}...
  \end{pmatrix} 

a množinu riešení môžeme chápať tak ako hore, takže celkovo, aby sme ušetrili miesto, alternatívne môžeme sústavu lineárnych rovníc zapísať takto:
**Ax** =**b**

;Vysvetlivky
* **tučné písmo** znamená, že ide o vektor alebo maticu
* T znamená transponovaný vektor, čiže vektor jednoducho píšeme do riadku (netransponovaný vektor teda píšeme do stĺpca)

## Riešenie rovnice
Na nájdenie riešení (koreňov) rovnice spravidla potrebujeme úpravy:
* Ekvivalentná úprava rovnice je taká úprava, ktorá nemení obor pravdivosti rovnice. Takýmito úpravami sú sčítanie a odčítanie algebraických výrazov, ako aj násobenie a delenie číslami nerovnými nule.
* Neekvivalentná úprava rovnice je každá iná úprava. Takýmito úpravami sú napríklad umocnenie a odmocňovanie – pri umocňovaní môžu vzniknúť nové korene, pri odmocňovaní zas korene odpadnúť.

Pri sústavách rovníc sa navyše rozlišujú viaceré spôsoby zohľadnenia skutočnosti, že je rovníc viac ako jedna, a že spolu súvisia, pozri Riešenie sústavy rovníc.

## Príklady počítania rovníc
Príklad č.1:

5-7x=0

Postup:

# Prenesieme konštantu na pravú stranu a zmeníme jej znak: 5-7x=0 \rightarrow -7x=-5
# Vydelíme obidve strany rovnice číslom -7: -7x=-5 \rightarrow x =\frac{5}{7}
# Konečné riešenie a výsledok rovnice je: x=\frac{5}{7} = 0,7142857143

Príklad č.2:

x^2 = 3y+x

Postup:

# Prenesieme premennú na ľavú stranu a zmeníme jej znak: x^2=3y+x \rightarrow x^2-3y=x \rightarrow -3y=x-x^2
# Vydelíme obe strany rovnice číslom -3: y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}x^2
# Riešenie y zapíšeme v parametrickej forme: y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}x^2 , x \in \mathbb{R}
# Konečné riešenie a výsledok rovnice je: y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}x^2 , x \in \mathbb{R}

Príklad č.3:

(x+y)^2 = ?

Postup:

# Do premenných x a y dosadíme ľubovoľné kladné čísla, v tomto prípade použijeme x=2 a y=3.
# Čísla si dosadíme do vzorca: (x+y)^2 = (2+3)^2 Ďalej: (2+3)^2 = 5^2 = 25
# Ďalej: x^2 = 4  a y^2 = 9. 
# Číslo 25 zložíme následujcou rovnicou: 25 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3 + 3^2
# Konečné riešenie a výsledok rovnice je: (x+y)^2 = x^2 +2xy + y^2

Príklad č.4:

1116 = 94y+38n

Postup:

# Premennú prenesieme na ľavú stranu a zmeníme jej znak: 1116=94y+38n \rightarrow 1116-94y=38n
# Konštantu prenesieme na pravú stranu a zmeníme jej znak: 1116=94y+38n \rightarrow -94y=38n-1116 
# Obe strany rovnice vydelíme číslom -94: y=-\frac{19}{47}n+\frac{558}{47}
# Riešenie y zapíšeme v parametrickej forme: y=-\frac{19}{47}n+\frac{558}{47} , n \in \mathbb{R}
# Konečné riešenie a výsledok rovnice je: y=-\frac{19}{47}n+\frac{558}{47}, n \in \mathbb{R}

Príklad č.6:

\frac{5x-3}{4}=\frac{4x-3}{3}

Postup:

# Rovnicu zjednodušíme násobením do kríža: 3(5x-3)=4(4x-3)
# Prvú zátvorku vynásobime číslom 3: 15x-9=4(4x-3)
# Druhú zátvorku vynásobime číslom 4: 15x-9=16x-12
# Premennnú prenesieme na ľavú stranu a zmeníme jej znak: 15x-9-16x=-12
# Konštantu prenesieme na pravú stranu a zmeníme jej znak: 15x-16x=-12+9
# Časť 15x-16x zjednodušíme pomocou sčítania a odčítania členov s rovnakým základom mocnín: -x=-12+9
# Vypočítame súčet: -x=-3. Ďalej vynásobime obe strany rovnice číslom -1: -x \cdot -1 = -3 \cdot -1 = 3
# Konečné riešenie a výsledok rovnice je: x=3

Príklad č.7:

(x^5+3y+2x)=(5y+x^3)

Postup:

# Premennú prenesieme na ľavú stranu a zmeníme jej znak: x^5+3y+2x-5y=x^3
# Premenné x^5 a 2x prenesieme na pravú stranu a zmeníme ich znaky: 3y-5y=x^3-x^5-2x
# Časť 3y-5y zjednodušíme pomocou sčítania a odčítania členov s rovnakým základom mocnín: -2y=x^3-x^5-2x
# Obe strany rovnice vydelíme číslom -2: y=-\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}x^5+x
# Riešenie y zapíšeme v parametrickej forme: y=-\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}x^5+x , x \in \mathbb{R}
# Konečné riešenie a výsledok rovnice je: y=-\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}x^5+x , x \in \mathbb{R}

Kategória:Algebra