Kovariančná matica

**Kovariančná matica** (iné názvy: **kovariantná matica**,**variančná matica**, **variantná matica**, **variančno-kovariančná matica**) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike matica, ktorá má na priesečníku *i*-teho riadku a *j*-teho stĺpca kovarianciu medzi *i*-tym a *j*-tym prvkom náhodného vektora. 

## Definícia
Majme *p*-rozmerný náhodný vektor {\mathbf X} = (X_1, X_2, \cdots, X_p)^T. Nech pre jednotlivé disperzie skalárnych náhodných premenných X_k, kde k = 1, \cdots, p, platí, že sú konečné, teda: D(X_k) . Potom symetrická matica rozmeru p \times p, ktorá má na priesečníku *i*-teho riadku a *j*-teho stĺpca kovarianciu prvkov X_i a X_j, teda číslo cov(X_i, X_j), pre i, j = 1, 2, \cdots, p, sa nazýva kovariančnou maticou náhodného vektora {\mathbf X}.

Predchádzajúcu definíciu zapíšeme aj symbolicky. Kovarianciu dvoch prvkov daného náhodného vektora {\mathbf X} označíme symbolom \Sigma_{ij}, teda:
:\Sigma_{ij} = \operatorname{cov}\left(X_{i}, X_{j}\right) = \operatorname{E}[(X_{i} - E[X_{i}])(X_{j} - E[X_{j}])]
Pričom samozrejme zo základných vlastností kovariancie vieme, že platí: 

:\operatorname{cov}(X_i, X_i) = \operatorname{var}(X_i)

Matica bude potom vyzerať nasledovne:


  \begin{align}
      {\mathbf \Sigma}
 &= \begin{bmatrix}
       \Sigma_{11} & \Sigma_{12} & \cdots & \Sigma_{1p} \\ \\
       \Sigma_{21} & \Sigma_{22} & \cdots & \Sigma_{2p} \\ \\
       \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\
       \Sigma_{p1} & \Sigma_{p2} & \cdots & \Sigma_{pp}
   \end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
       \operatorname{E}[(X_{1} - E[X_{1}])(X_{1} - E[X_{1}])] & \operatorname{E}[(X_{1} - E[X_{1}])(X_{2} - E[X_{2}])] & \cdots & \operatorname{E}[(X_{1} - E[X_{1}])(X_{p} - E[X_{p}])] \\ \\
       \operatorname{E}[(X_{2} - E[X_{2}])(X_{1} - E[X_{1}])] & \operatorname{E}[(X_{2} - E[X_{2}])(X_{2} - E[X_{2}])] & \cdots & \operatorname{E}[(X_{2} - E[X_{2}])(X_{p} - E[X_{p}])] \\ \\
       \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\
       \operatorname{E}[(X_{p} - E[X_{p}])(X_{1} - E[X_{1}])] & \operatorname{E}[(X_{p} - E[X_{p}])(X_{2} - E[X_{2}])] & \cdots & \operatorname{E}[(X_{p} - E[X_{p}])(X_{p} - E[X_{p}])]
      \end{bmatrix} \\
  \end{align}


Vďaka vyššie spomenutej vlastnosti kovariancie môžeme maticu prepísať aj do tvaru:


\begin{align}
      {\mathbf \Sigma}
&= \begin{bmatrix}
       \operatorname{var}\left(X_{1}\right) & \operatorname{cov}\left(X_{1}, X_{2}\right) & \cdots & \operatorname{cov}\left(X_{1}, X_{p}\right) \\ \\
       \operatorname{cov}\left(X_{2}, X_{1}\right) & \operatorname{var}\left(X_{2}\right) & \cdots & \operatorname{cov}\left(X_{2}, X_{p}\right) \\ \\
       \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\
       \operatorname{cov}\left(X_{p}, X_{1}\right) & \operatorname{cov}\left(X_{p}, X_{2}\right) & \cdots & \operatorname{var}\left(X_{p}\right)
   \end{bmatrix} \\
  \end{align}


### Označenie
Ako vyplýva už z vyššie uvedeného, v prevažnej väčšine literatúry sa používa na označenie kovariančnej matice veľké grécke písmeno sigma {\mathbf \Sigma} (príp. {\mathbf \Sigma}({\mathbf X})) alebo \mathcal{D}({\mathbf X}).

## Vlastnosti
Kovariančná matica má niekoľko dôležitých vlastností. V definícii môžeme pre zjednodušenie označiť:

:{\mathbf \Sigma}=\mathrm{E} \left[ \left( \textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}] \right) \left( \textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}] \right)^{\rm T} \right] 

a

: \mu = \mathrm{E}(\textbf{X})

* Kovariančná matica je symetrická a kladne semidefinitná matica, ktorá má na diagonále disperzie náhodných premenných X_1,\cdots, X_p.

* Kovariančnú maticu možno vyjadriť v nasledovnom tvare:
:: \Sigma = \mathrm{E}(\mathbf{X X^{\rm T}}) - \mathbf{\mu}\mathbf{\mu^{\rm T}} 

* Majme maticu {\mathbf A}, ktorá má rozmery k \times p a *k*-rozmerný náhodný vektor {\mathbf B}. Potom pre kovariančnú maticu náhodného vektora {\mathbf Y} definovaného nasledovným vzťahom:

::{\mathbf Y} = {\mathbf A}{\mathbf X} + {\mathbf B}

platí, že:

::{\mathbf \Sigma}({\mathbf Y}) = {\mathbf A} {\mathbf \Sigma}({\mathbf X}) {\mathbf A}^{T}

## Literatúra
* 
* 
* 
* 

* 

Kategória:Matice
Kategória:Analýza dát