Geometrická postupnosť

**Geometrická postupnosť** je postupnosť nenulových čísel (väčšinou reálnych alebo komplexných), pričom hodnota *n*-tého člena sa rovná *q*-násobku predchádzajúceho člena. Číslo *q*, nazývajúce sa *kvocient*, môžeme určiť pomerom dvoch za sebou idúcich členov postupnosti. Vo všeobecnosti je geometrická postupnosť tvorená *q*-násobkami nenulového čísla *a*:

:a,\ aq,\ aq^2,\ aq^3,\ aq^4,\ \ldots

Ľubovoľný *n*-tý člen tejto postupnosti môžeme určiť nasledovne (ak označíme a=a_0):

:a_n=a_{n-1}q,
:a_n=a_0 q^n.

Nekonečný súčet členov geometrickej postupnosti sa nazýva *geometrický rad*, ktorý v prípade absolútnej hodnoty kvocientu menšej ako 1 konverguje rovnomerne a absolútne, platí pritom

:\sum_{n=0}^{\infty}aq^n = \frac{a}{1-q}.

## Vlastnosti
Uvažujme geometrickú postupnosť s nenulovým počiatočným členom a_0=a a takým kvocientom q, ktorý nie je rovný nule ani jednotke. Potom pre ľubovoľný *n*-tý člen (kde *n* je prirodzené číslo alebo nula), ktorý vo všeobecnosti môže byť komplexným číslom, platí:

# a_n=a_{n-1}q\ , pre n>0;
# a_n=a_0 q^n;
# a_n=a_m q^{n-m};
# a_n=\frac{a_{n-1}^2}{a_{n-2}}, pre n>1;

# \sum_{n=0}^k a_n=\sum_{n=0}^k a q^n=a\frac{q^{k+1}-1}{q-1}.

### Dôkaz
Prvá vlastnosť je len definícia geometrickej postupnosti. Pri dôkazoch ostatných vlastností budeme využívať dôkaz matematickou indukciou. 

#### Dôkaz druhej vlastnosti
Dokážme druhú vlastnosť pomocou matematickej indukcie. Pre n=0 platí

:a_0 q^0=a_0=a.

Vezmime ďalej n=k+1 a predpokladajme, že tvrdenie pre n=k platí, potom

:a_0 q^{k+1} = a_0 q^k q=a_k q=a_{k+1},

čo sme chceli ukázať.

#### Dôkaz tretej vlastnosti
Pri dôkaze tretej vlastnosti postupujeme obdobne. Vezmime m ľubovoľné, ale fixné prirodzené číslo. Potom pre n=0 máme

a_m q^{0-m}=\frac{a_0q^m}{q^m}=a_0.

Pre n=k+1 za predpokladu pravdivosti pre n=k máme

a_m q^{k+1-m}=a_mq^{k-m}q=a_kq=a_{k+1}.

#### Dôkaz štvrtej vlastnosti
V súlade s dôkazom matematickou indukciou ukážeme najprv platnosť pre n=2:

\frac{a_1^2}{a_0}=\frac{(a_0q)^2}{a_0}=a_0q^2=a_2.

Vezmime teraz n=k+1 a predpokladajme platnosť pre n=k:

\frac{a_{k}^2}{a_{k-1} }=\frac{a_0^2q^{2k} }{a_0 q^{k-1} }=a_0 q^{2k-k+1}=a_0 q^{k+1}=a_{k+1}.

#### Dôkaz piatej vlastnosti
Položme n=0, tvrdenie je potom triviálne pravdivé. Nech teraz tvrdenie pre n=k platí a dokážme pravdivosť pre n=k+1 :

\sum_{n=0}^{k+1} a_n=\sum_{n=0}^k a_n + a_{k+1}=a\frac{q^{k+1}-1}{q-1}+aq^{k+1}=a\frac{q^{k+1}-1+q^{k+2}-q^{k+1}}{q-1}=a\frac{q^{k+2}-1}{q-1}.

## Geometrický rad

### Definícia a konvergencia geometrického radu
Nech máme postupnosť \{s_k\} čiastkových súčtov geometrickej postupnosti \{a_n\} s kvocientom q takým, že |q|, pričoms_k = \sum_{n=0}^{k}a_n. Vo všeobecnosti považujme členy postupnosti a kvocient za komplexné čísla. Potom platí, že postupnosť \{s_k\} je konvergentná a navyše

\lim_{k\to \infty} s_k=\frac{a_0}{1-q}.

Túto limitu nazývame *[[Geometrický rad|geometrickým radom]]*. Platí teda

\lim_{k\to \infty}\sum_{n=0}^{k} a_n :=\sum_{n=0}^{\infty}a_n=\frac{a_0}{1-q}.

#### Dôkaz konvergencie
Čiastkový súčet s_k môžeme na základe piatej vlastnosti z predchádzajúcej časti napísať ako

s_k=a_0\frac{q^{k+1}-1}{q-1}.

Vypočítajme limitu čiastkových súčtov

\lim_{k\to\infty}s_k=\lim_{k\to\infty}a_0\frac{q^{k+1}-1}{q-1}=\frac{-a_0}{q-1}=\frac{a_0}{1-q},

nakoľko \lim_{k\to\infty}q^k=0 platí pre komplexné q s absolútnou hodnotou menšou ako 1.

### Rovnomerná a absolútna konvergencia geometrického radu
Nech \sum_{n=0}^{\infty}a_n je geometrický rad s kvocientom q, pričom |q| a nech všetky uvažované čísla sú komplexné. Potom rad \sum_{n=0}^{\infty}a_n konverguje absolútne na otvorenom kruhu v Gaussovej komplexnej rovine s polomerom 1 a rovnomerne vzhľadom na q na každom uzavretom kruhu s polomerom menším ako 1.

## Pozri aj
* aritmetická postupnosť

Kategória:Algebra
Kategória:Postupnosti čísel

## Referencie