Derivácia (funkcia)

right|thumb|Derivácia funkcie v nejakom bode sa rovná smernici jej dotyčnice v tomto bode

**Derivácia** nejakej funkcie je zmena (rast) tejto funkcie v pomere k veľmi malej zmene jej premennej či premenných. Opačným procesom k derivovaniu je integrovanie.

Je to jeden zo základných pojmov matematiky, konkrétne diferenciálneho počtu.

Koncept derivácie sa dá intrepretovať rôznymi spôsobmi, napríklad v prípade dvojrozmerného grafu funkcie *f*(*x*), je derivácia tejto funkcie v ľubovoľnom bode (v ktorom existuje) rovná smernici dotyčnice tohto grafu. Z toho vidno, že sa pojem derivácie objavuje aj v mnohých geometrických súvislostiach, napr. pri pojme konkávnosť.

## Definícia derivácie
Historické definície vyjadrovali deriváciu ako pomer, v akom rast nejakej premennej *y* zodpovedá zmene inej premennej *x*, na ktorej má táto premenná nejakú funkčnú závislosť. Pre zmenu hodnoty sa používa symbol Δ, takže tento pomer možno symbolicky zapísať ako 
:\frac{\Delta y}{\Delta x}.
Derivácia je hodnota podielu pre Δ*x* blížiacej sa k 0. Ak nahradíme konečne malý rozdiel Δx nekonečne malou zmenou d*x*, získame definíciu derivácie
:\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
čo označuje pomer dvoch infinitezimálných hodnôt. Tento zápis sa číta *dy podľa dx* a pochádza od Leibniza.

Počas vývoja matematiky sa intuitívna predstava nekonečne malých (infinitezimálnych) hodnôt ukázala ako nedostatočne presná a bola nahradená "ε-δ" formalizmom limít. Najbežnejšia moderná definícia derivácie je:
:f'(x) = \lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h) - f(x)}{h}}

Derivácia sa značí niekoľkými spôsobmi:
* f'(x) \quad (*derivácia funkcie f ktorá závisí od premennej x*),
* \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x) (*derivácia funkcie f(x) podľa premennej x*),
* \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} (*d f podľa d x*),
* D_x f \quad (*d podľa x f*),
* Newtonova notácia používa bodku nad premennou: \dot{x} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = x'(t), používa sa obvykle iba vo fyzike pre derivovanie podľa premennej vyjadrujúcej čas (*t*).

d*x* v niektorých zápisoch je dnes len obyčajný symbol bez názorného obsahu.

Nie vždy však limita, ktorá deriváciu definuje, existuje a je konečná, čiže nie každá funkcia má v každom bode deriváciu. 

Hovoríme, že funkcia *f* je v bode *x* **diferencovateľná**, ak hlavná časť prírastku funkcie v okolí tohoto bodu je *lineárna*. Teda ak existuje číslo  \alpha  také, že 
:  \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)-\alpha h}{h}=0 .  
Funkcia je diferencovateľná v bode práve vtedy keď v ňom má deriváciu a v tom prípade dotyčné číslo  \alpha  je 
rovné tej derivácii. 

Funkcia je diferencovateľná na intervale *I*, ak je diferencovateľná v každom bode tohto intervalu. Funkcia nemá deriváciu v mieste, kde nie je spojitá, ale spojitosť funkcie existenciu derivácie nezaručuje – funkcia môže mať v danom bode zvislú dotyčnicu (čo by zodpovedalo nekonečnej derivácii), prípadne v danom bode nemusí mať dotyčnicu vôbec (v mieste, kde má graf funkcie „špičku“, napr. absolútna hodnota x nemá v bode nula deriváciu). Existujú dokonca funkcie, ktoré sú spojité v každom bode, ale nemajú v žiadnom bode deriváciu (napr. Weierstrassova funkcia).

Ak je daná funkcia diferencovateľná na nejakom intervale, môžeme na tomto intervale definovať funkciu, ktorá je v každom bode tohto intervalu rovná príslušnej derivácii. Takáto funkcia sa potom označuje prosto ako *derivácia funkcie f*.

Deriváciou diferencovateľnej funkcie je teda opäť funkcia, ktorá však niekedy môže byť tiež diferencovateľná. Deriváciu derivácie funkce nazývame **druhá derivácia**, deriváciu druhej derivácie **tretia derivácia** atď. Tieto derivácie vyšších rádov sa zvyčajne značia *f″*(*x*), *f′′′*(*x*), pre ešte vyššie rády skôr *f*(3)(*x*), *f*(4)(*x*) atď. Pri použití Leibnizovej notácie sa derivácie vyšších rádov označujú exponentom, napr. \frac{d^3y}{dx^3}.

## Zovšeobecnenie
Zovšeobecnením pojmu derivácie pre funkcie viacerých premenných je tzv. **[[parciálna derivácia]]**, kde sa u funkcie viacerých premenných považuje za premennú len tá, podľa ktorej sa derivuje, ostatné sú v tomto výpočte považované za konštanty. Parciálna derivácia sa značí obdobne ako obyčajné derivácie, len namiesto znamienka *d* sa používa znamienko ∂, napr. \frac{\partial f}{\partial y} – parciálna derivácia funkcie *f* podľa premennej *y*. Ak napríklad uvažujeme funkciu dvoch premenných  f:\ \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, tak potom definujeme jej parciálne derivácie v bode  (x,y)  takto 

:  \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},\ 
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h} .  

**Diferencovateľnosť** funkcie viac premenných sa tiež definuje pomocou linearity hlavnej časti prírastku funkcie. V tomto prípade však už existencia parciálnych derivácií diferencovateľnosť nezabezpečuje. 
Taktiež pri komplexných funkciách komplexnej premennej možno uvažovať parciálne derivácie podľa reálnej a imaginárnej zložky premennej, ale ich existencia nie je postačujúcou podmienkou pre diferencovateľnosť celej funkcie, pozri aj holomorfná funkcia, Cauchyho-Riemannove podmienky.

## Výpočty derivácií
Principiálne základnou technikou je výpočet priamo z definície, čiže dosadením príslušnej funkcie do definujúcej limity a výpočtom tejto limity. Tento spôsob je však zvyčajne (až na veľmi jednoduché funkcie) dosť komplikovaný a v praxi sa nepoužíva. Namiesto toho sa derivácie funkcií počítajú zo známych derivácií niekoľko základných funkcií a jednoduchých algebraických pravidiel pre ich skladanie a ďalšie úpravy.

### Elementárne funkcie

### Algebrické pravidlá
Zo známych derivácií elementárnych funkcií sa derivácie zložitejších funkcií zostavujú tak, že sa zložitejšie funkcie rozložia na jednoduchšie pomocou jednoduchých algebrických pravidiel, ktoré pre výpočet derivácií platia:

* **Linearita derivácie:** (*af* + *bg*)′ = *af′* + *bg′* pre ľubovolné funkcie *f*, *g* a konštanty *a*, *b*.
** Špeciálne platí (*f* + *g*)′ = *f′* + *g′*.
* **Derivácia súčinu:** (*fg*)′ = *f′g* + *fg′* pre všetky funkcie *f*, *g*.
* **Derivácia podielu:** \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} pre všetky funkcie *f*, *g*, kde *g*&nbsp;≠ 0.
* **Derivácia zloženej funkcie:** Ak *f*(*x*) = *h*(*g*(*x*)), potom *f′*(*x*) = *h′*(*g*(*x*))&nbsp;⋅ *g′*(*x*).
* **Derivácia [[inverzné zobrazenie (funkcia)|inverznej funkcie]]:** Ak sú *f*(*x*) i *f*−1(*x*) obe diferencovateľné, potom vtedy, keď Δx ≠ 0 ak Δy ≠ 0, platí \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \right)^{-1}.
* **Derivácia jednej premennej voči druhej, ak sú obe funkciou tretej premennej:** Ak *x* = *f*(*t*) a *y* = *g*(*t*), potom \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} }{ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} }.
* **Derivácia [[implicitnej funkcie]]:** Ak *f*(*x*, *y*) je implicitná funkcia, potom \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{ \frac{\partial f}{\partial x} }{ \frac{\partial f}{\partial y} }.

Z niektorých predchádzajúcich pravidiel vidno, že Leibnizova notácia umožňuje niektoré manipulácie, ktoré pripomínajú napr. krátenie zlomku. Treba ale podotknúť, že ide len o symbolické manipulácie, s krátením zlomku nemajú nič spoločné. V žiadnom prípade nemožno „krátiť *d*“ spôsobom d*x*/d*y* = *x*/*y*.

### Konkrétne príklady
* *f*(*x*) = 3; *f′*(*x*) = 0.
* *f*(*x*) = *x*; *f′*(*x*) = 1,
* *f*(*x*) = 2*x*; *f′*(*x*) = 2 ⋅ 1 = 2.
* *f*(*x*) = 5*x*³; *f′*(*x*) = 15*x*²; *f″*(*x*) = 30*x*
* *f*(*x*) = *e**x*; *f′*(*x*) = *e**x*.
* *f*(*x*) = ln&nbsp;*x*; *f′*(*x*) = *x*−1.
* *f*(*x*) = *x*³ + 2*x*² − 5*x*; *f′*(*x*) = 3*x*² + 4*x* − 5.
* *f*(*x*) = sin&nbsp;*x* ⋅ cos&nbsp;*x*; *f′*(*x*) = cos²&nbsp;*x* − sin²&nbsp;*x* (= cos 2*x*).
* f(x) = \frac{1}{\arcsin{x}}; f'(x) = \frac{-1}{(\arcsin{x})^2} \cdot \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }.
* f(x) = x^x = e^{x \ln{x} }; f'(x) = e^{x \ln{x} } \cdot \left( 1\cdot\ln{x} + x\frac{1}{x} \right) = x^x \cdot \left(\ln{x} + 1 \right).

## Aplikácia
Pojem derivácie sa objavuje v obrovskom množstve situácií, tak v matematike samotnej, ako aj v jej aplikáciách, napr. vo fyzike.

### Lokálne extrémy
Ak má daná diferencovateľná funkcia nejaký lokálny extrém (lokálne maximum či minimum), je zrejmé, že jej dotyčnica v tomto bode musí byť vodorovná, čiže derivácia tejto funkcie musí byť v tomto bode nulová. (Ak funkcia v nejakých bodoch dotyčnicu, resp. deriváciu nemá, derivácia o takých bodoch samozrejme nič prezradiť nedokáže.) Ak v tomto bode možno spočítať aj druhú deriváciu, prezradí jej znamienko, o aký extrém ide:
* V bodoch, kde je prvá derivácia nula a druhá derivácia je kladná, sa nachádza *lokálne minimum*.
* V bodoch, kde je prvá derivácia nula a druhá derivácia je záporná, sa nachádza *lokálne maximum*.
* V bodoch, kde je tak prvá, ako aj druhá derivácia nulová, sa nachádza tzv. *stacionárny bod*, ktorý môže a nemusí byť extrémom.
* (V bodoch, kde funkcia nemá prvú či druhú deriváciu, je nutné použiť iné kritériá.)

Tieto kritériá sa často používajú v optimalizačných úlohách. Ak je napr. požadované nájdenie obdĺžnika, ktorý pri zadanom obvode má maximálnu plochu, treba nájsť maximum funkcie *f*(*x*) = *x*&nbsp;⋅ (*o*/2&nbsp;− *x*). Jej deriváciou je funkcia *f′*(*x*) = *o*/2 − 2*x*, ktorá je nulová pre *x*&nbsp;= *o*/4. Druhá derivácia funkcie *f* je *f″*(*x*) = −2, čiže je všade záporná. V bode *x*&nbsp;= *o*/4 má teda funkcia *f* maximum. Znamená to teda, že zo všetkých obdĺžnikov o zadanom obvode má najväčší obsah ten, ktorý má všetky štyri strany rovnako dlhé, čiže štvorec.

### Analýza správania funkcie
Predchádzajúci odsek opisuje spôsob, ako pre danú funkciu nájsť jej lokálne extrémy. To môže okrem optimalizačných úloh slúžiť aj na získanie prehľadu o správaní funkcie, napr. pri ručnom náčrte jej grafu. Okrem analýzy extrémov možno využiť deriváciu na nasledujúce pozorovania:
* V bodoch, kde je prvá derivácia kladná, je funkcia rastúca.
* V bodoch, kde je prvá derivácia záporná, je funkcia klesajúca.
* V bodoch, kde je druhá derivácia kladná, je funkcia konvexná.
* V bodoch, kde je druhá derivácia záporná, je funkcia konkávna.
* V bodoch, kde je druhá derivácia nulová, sa môžu vyskytovať inflexné body.

### Fyzika
Jednoznačne najdôležitejšou oblasťou použitia derivácie vo fyzike sú derivácie podľa časovej premennej, vyjadrujúce rýchlosť zmeny nejakej premennej v čase. Najbežnejšie sú časové derivácie polohy, ktoré sa vyskytujú v klasickej kinematike:
* Rýchlosť (*okamžitá rýchlosť*, koncept *priemernej rýchlosti* sa zaobíde bez diferenciálneho počtu) je derivácia súradnice polohy telesa podľa času.
* Zrýchlenie je derivácia rýchlosti podľa času, čiže druhá derivácia polohy podľa času.
* Ryv je derivácia zrýchlenia podľa času, čiže tretia derivácia polohy podľa času.

### Diferenciálne rovnice
Veľa vedeckých problémov možno formulovať v podobe rovníc, v ktorých sa vedľa seba vyskytuje nejaká funkcia aj jej derivácia. Takejto rovnici hovoríme diferenciálna rovnica. Diferenciálne rovnice sa objavujú azda vo všetkých vedeckých oboroch, okrem matematiky a fyziky aj napr. v chémii, sociológii, ekológii atď. Podľa toho, či sa v rovnici objavujú len „obyčajné“ derivácie, alebo aj parciálne derivácie, sa rozlišujú
* obyčajná diferenciálna rovnica (ODE) a
* parciálna diferenciálna rovnica (PDE).

## Referencie

## Pozri aj
* Matematická analýza
* Limita
* Integrál
* Diferenciál
* Diferenciálna rovnica
* Diferencia

## Externé odkazy
* Derivácia v encyklopedii MathWorld
* WIMS Function Calculator umožňuje online výpočty derivací.

Kategória:Diferenciálny počet