Jadro (lineárna algebra)

náhľad|300x300bod|Jadro a obraz lineárneho zobrazenia <math>L: V \to W</math>.
V lineárnej algebre sa **jadro** (nazývané aj **nulový priestor**) lineárneho zobrazenia \varphi: V \rightarrow W definuje ako množina všetkých vektorov \mathbf{v} \in V  ktoré sa zobrazia na nulový vektor \mathbf{0}\in W, teda: 

:\text{Ker} (\varphi) = \lbrace \mathbf{v}\in V; \varphi(\mathbf(v))=\mathbf{0} \rbrace = \varphi^{-1}(\mathbf{0}) .

Označenie jadra lineárneho zobrazenia ako \text{Ker} pochádza z anglického slova *kernel*, čo znamená jadro. 

## Vlastnosti
Nech \varphi: V \rightarrow W je lineárne zobrazenie medzi vektorovými priestormi nad poľom K, potom platia nasledujúce tvrdenia:

* Jadro \text{Ker} (\varphi) lineárneho zobrazenia \varphi je uzavreté na sčítanie a skalárne násobenie, teda tvorí lineárny podpriestor definičného oboru V zobrazenia.
* Lineárne zobrazenie \varphi je injektívne práve vety, keď \text{Ker} (\varphi) = \lbrace\mathbf{0}\rbrace.
* Nech sú vektorové priestory V, W konečnorozmerné, potom platí vzťah medzi dimenziami: \text{dim}\,V = \text{dim}\,\text{Ker}(\varphi) + \text{dim}\,\text{Im}(\varphi), kde \text{Im}(\varphi) značí obraz lineárneho zobrazenia \varphi. Dimenzia jadra lineárneho zobrazenia sa nazýva nulitná dimenzia (alebo jednoducho nulita). Táto vlastnosť sa niekedy nazýva ako veta o dimenzii a jadra obrazu.

### Dôkaz prvého tvrdenia
Zrejme \mathbf{0}\in\varphi^{-1}(\mathbf{0}), pretože \varphi je lineárne zobrazenie. Stačí už len ukázať, že \varphi^{-1}(\mathbf{0}) je uzavreté na lineárne kombinácie dvojíc vektorov \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in \varphi^{-1}(\mathbf{0}). Nech a,b \in K sú ľubovoľné skaláry, potom 

:\mathbf{0} = a\mathbf{0}+b\mathbf{0}=a\varphi(\mathbf{v}_1)+b\varphi(\mathbf{v}_2)=\varphi(a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2),

čo ale znamená, že a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2\in \varphi^{-1}(\mathbf{0}).

### Dôkaz druhého tvrdenia
Uvažujme, že \varphi je injektívne, tak \mathbf{0}\in V je jediný prvok definičného oboru, ktorý sa zobrazí na \mathbf{0}\in W (z definície injektívneho zobrazenia), teda \text{Ker}(\varphi)=\lbrace \textbf{0} \rbrace. 

Naopak, nech \varphi nie je injektívne. Potom existujú dva rôzne vektory \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \in V také, že \varphi(\mathbf{v}_1)=\varphi(\mathbf{v}_2), čo znamená, že

:\varphi(\mathbf{v}_1)-\varphi(\mathbf{v}_2)=\varphi(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)=\mathbf{0},

teda \mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2\in \varphi^{-1}(\mathbf{0}).

### Náznak dôkazu tretieho tvrdenia
Tretie tvrdenie sa môže dokázať tak, že bázu vektorového podpriestoru \text{Ker}(\varphi) doplníme do bázy priestoru V, pričom ukážeme, že nenulové obrazy vektorov bázy V zobrazením \varphi tvoria bázu \text{Im}(\varphi). Z toho už je zrejmé, že

:\text{dim} \, V = \text{dim} \, \text{Ker}(\varphi) + \text{dim} \, \text{Im}(\varphi).

## Príklady

### Prvý príklad
Majme lineárne zobrazenie \varphi: \reals^3 \rightarrow \reals^2 dané maticou \textbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}. Jadro zobrazenia \varphi je riešením homogénnej sústavy rovíc \mathbf{A} \cdot \mathbf{x}=0 t.j:

:\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3  \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0  \end{pmatrix} .

Toto vieme prepísať na sústavu lineárnich rovníc:

:\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \\ 4x_1 + 5x_2 + 6x_3 = 0 \end{cases}

Riešením tejto sústavy je \text{Ker} (\varphi) = [ (1, -2, 1)^T] , teda jadro je jednorozmerný podpriestor \reals^3 generovaný vektorom (1, -2, 1)^T, pričom [ \, \cdot \, ]  značí lineárny obal.
náhľad|Transformácia roviny, daná formulou <math>\ell: (x,y)^T \mapsto (x,x)^T </math> zobrazí y-ovú os do nulového vektora <math>(0,0)^T</math>.

### Druhý príklad
Majme lineárnu transformáciu roviny \ell : \reals^2 \rightarrow \reals ^2 takú, že (x, y)^T \mapsto (x,x)^T. Takúto transformáciu môžeme reprezentovať maticou \mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. Jadro transformácie \ell nájdeme Gaussovou-Jordanovou eliminačnou metódou:

:\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},

čo znamená, že riešením je x=0 a y=t, kde t\in \reals je parameter. Z toho máme, že \text{Ker}(\ell) = [(0, 1)^T] = \lbrace (0,t)^T; t \in \reals \rbrace.

## Referencie

Kategória:Lineárna algebra