Reciproká rovnica

**Reciproká rovnica** alebo **recipročná rovnica** n-tého stupňa prvého, resp. druhého druhu je algebraická rovnica
P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1 x+ a_0\, ,\,\, a_n \neq 0.

kde 

* &nbsp;a_k=a_{n-k}\, ,\,\, k=0,1,\ldots,n  je reciproký mnohočlen *1.&nbsp;druhu* (kladne reciproký)
* &nbsp;a_k=-a_{n-k}\, ,\,\, k=0,1,\ldots,n  je reciproký mnohočlen *2.&nbsp;druhu* (záporne reciproký)

Pre reciprokú rovnicu je teda charakteristická symetria koeficientov, ide teda vlastne o špeciálny prípad algebrickej rovnice, ktorú vďaka tejto vlastnosti dokážeme riešiť vhodnými substitúciami.

## Postup riešenia
* každá reciproká rovnica *druhého druhu, nepárneho stupňa* má koreň c = 1. Ak ju vydelíme dvojčlenom (x−1), dostaneme reciprokú rovnicu *prvého druhu*.
* každá reciproká rovnica *prvého druhu, nepárneho stupňa* má koreň c = −1. Ak ju vydelíme dvojčlenom (x+1), dostaneme reciprokú rovnicu *prvého druhu, párneho stupňa*.
* reciprokú rovnicu *prvého druhu, párneho stupňa n* je možné previesť na algebraickú rovnicu polovičného stupňa vydelíme výrazom x^\dfrac{n}{2} a substitúciou:

:y = x+\dfrac{1}{x}    

:y^2-2 = x^2+\dfrac{1}{x^2}

:y^3-3y = x^3+\dfrac{1}{x^3}

:y^4-4y^2+2 = x^4+\dfrac{1}{x^4}

Z vyššie uvedených skutočnosti možno ľahko odvodiť, že ak je číslo c riešením reciprokej rovnice, potom aj číslo 1/c je jej riešením. V prípade koreňa c=1 je to c=\frac{1}{1} =1, čo je triviálny prípad.

## Príklady reciprokých rovníc

1) 2x^3+3x^2+3x+2=0 
:a_3=2=a_0 
:a_2=3=a_1 
Je to reciproká rovnica prvého druhu tretieho stupňa.

2) 3x^4-5x^3+8x^2-5x+3=0 
:a_4=3=a_0 
:a_3=-5=-a_1 
:a_2=8=-a_2 

Je to reciproká rovnica prvého druhu štvrtého stupňa.

3) 12x^4-25x^3+25x-12=0 
:a_4=12=-a_0 
:a_3=-25=-a_1 
Je to reciproká rovnica druhého druhu štvrtého stupňa.

4) x^4+x^3+x^2+x+1=0 
:a_4=1=a_0 
:a_3=1=a_1 
:a_2=1=a_2 
Je to reciproká rovnica prvého druhu štvréto stupňa.

5) 12x^4-25x^3+5x^2+25x-12=0 
:a_4=12=-a_0 
:a_3=-25=-a_1 
:a_2=5\neq -a_2 
a teda to nie je reciproká rovnica.

## Príklady
Riešte rovnicu
1) 4x^4+5x^3+2x^2+5x+4=0 
: Ide o reciprokú rovnicu prvého druhu párneho stupňa. Rovnicu vydelíme výrazom x^2
:4x^4+5x^3+2x^2+5x+4=0 \quad / \cdot  \frac{1}{x^2}
:4x^2+5x+2+5\frac{1}{x}+4\frac{1}{x^2}=0   | rovnicu si vhodne upravíme
:4(x^2+\frac{1}{x^2})+5(x+\frac{1}{x})+2=0  | zavedieme substitúcie y^2-2 = x^2+\dfrac{1}{x^2} a  y = x+\dfrac{1}{x}
:4(y^2-2)+5y+2=0 
:4y^2-8+5y+2=0 
:4y^2+5y-6=0 
:D=b^2-4ac=5^2-4.4.(-6)=25+96=121 a teda y_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-5\pm \sqrt{121}}{8}=
:y_1=\frac{-5-11}{8}=-\frac{16}{8}=-2 , y_2=\frac{-5+11}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}

Spätným dosadením do y = x+\dfrac{1}{x} dostávame
:-2=x+\dfrac{1}{x} \quad / \cdot x 
:-2x=x^2+1 
:x^2+2x+1=0
:(x+1)^2=0
:x_1=-1 , x_1 je teda dvojnásobný koreň.
ďalšie dva korene dostaneme z:
:\frac{3}{4}=x+\dfrac{1}{x}
:\frac{3}{4}x=x^2+1
:x^2-\frac{3}{4}x+1=0
:D=(-\frac{3}{4})^2-4.1.1=-\frac{55}{16} keďže diskriminant je záporný, rovnica x^2-\frac{3}{4}x+1 nemá reálne korene a riešením je teda P=\{-1\}

## Referencie

## Pozri aj
* Kvadratická rovnica

## Externé odkazy
* Riešenie sústavy lineárnych rovníc   Aplikácia, ktorá vypočíta riešenie dvoch a viacerých lineárnych rovníc.
* Riešenie reciprokych rovníc. www.vypocty.sk   Postup riešenia.

Kategória:Rovnice