Seibergov–Wittenov invariant

**Seibergove-Wittenove invarianty** sú invarianty kompaktnej 4-rozmanitosti zavedené Edwardom Wittenom (pozri ),  používajúce Seiberg-Wittenovu teóriu skúmanú Seibergom a Wittenom (, ) počas ich skúmania Seibergovej-Wittenovej kalibračnej teórie.

Seibergove-Wittenove invarianty sú podobné Donaldsonovým invariantom a možno ich použiť na dokázanie podobných (no niekedy o niečo silnejších) výsledkov ohľadom hladkých 4-rozmanitostí. Po technickej stránke sa s nimi narába oveľa ľahšie ako s Donaldsonovými invariantmi; napríklad, moduli priestory riešení Seibergových-Wittenových rovníc majú tendenciu ku kompaktnosti, takže sa možno vyhnúť vážnym problémom, ktoré súvisia s kompaktifikáciou moduli priestorov Donaldsonovej teórie.

Detailný opis Seibergových-Wittenových invariantov pozri v , , , , . O vzťahoch k sympletickej rozmanitosti a  Gromovovým-Wittenovým invariantom pozri . O ranej histórii pozri .

## Štruktúry spin <sup>''c''</sup>
Seiberg-Wittenove rovnice závisia na výbere komplexnej spinovej štruktúry, spinu *c*,  na 4-rozmanitosti *M*. V 4 dimenziách je skupina spin*c*

:(*U*(1)×Spin(4))/(**Z**/2**Z**), 

a je z nej homomorfizmus do SO(4).  Štruktúra spin*c* na *M* je výťah prirodzenej SO(4) štruktúry tangentového zhluku (za predpokladu Riemannianovej metriky a orientácie) k skupine spin *c*.  Každá hladká kompaktná 4-rozmanitosť *M* má štruktúry typu spin *c* ( hoci väčšina nemá spinové štruktúry.

## Seiberg-Witten rovnice
Stanovte hladkú kompaktnú 4-rozmanitosť *M*, vyberte štruktúru spin*c* *s* na *M* a
napíšte *W*+, *W*− pre asociované spinorové zhluky a *L* pre determinujúci líniový  zhluk. Napíšte φ pre samoduálne spinorové pole (sekcia *W*+) a *A* pre  U(1) pripojenie na *L*.
Seiberg-Wittenove rovnice pre  for (φ,*A*) sú
:D^A\phi=0
:F^+_A=\sigma(\phi) + i\omega
kde *D**A* je Diracov operátor *A*, *F**A* je zakrivenie 2-formy *A*, 
a *F**A*+ je jej samoduálna častica a σ je umocnená mapa od *W*+ na imaginárne samoduálne 2-formy a \omega 
je reálne samoduálna dvojforma, často reprezentovaná ako nula alebo harmonická.
Riešenie (φ,*A*) pre Seiberg-Wittenove rovnice sa nazýva **monopoly**, keďže tieto rovnice sú rovnice poľa bezváhových magnetických monopolov na rozmanitosti *M*.

## The moduli priestor riešení
Priestor riešení je v réžii kalibračnej skupiny a kvocient pri tejto akcii sa nazýva **moduli priestor** monopolov.

Moduli priestor je obvykle rozmanitosť. Riešenia sa nazýva **redukovateľné**, ak je fixované nejakým netriviálnym elementom kalibračnej skupiny, ktorý je ekvivalentný k \phi = 0. Nevyhnutnou
a dostatočnou podmienkou pre redukovateľné riešenia pre metriku na *M* a samoduálne 2-formy \omega je, že samoduálna časť harmonického zástupcu kohomologickej triedy určujúceho líniového zhluku je ekvivalentná harmonickej časti \omega/2\pi.
Moduli priestor je rozmanitosť s výnimkou u redukovateľných monopolov. Takže ak *b*2+(*M*)≥1, potom moduli priestor je (pravdepodobne prázdna) rozmanitosť pre všeobecné metriky. Navyše, všetky komponenty majú rozmer

:(c_1(s)^2-2\chi(M)-3sign(M))/4.

Moduli priestor je prázdny pre všetky s výnimkou konečného počtu spinu*c* štruktúr *s*, a je vždy kompaktný.

O rozmanitosti *M* sa hovorí, že je **jednoduchého typu**, ak je moduli priestor konečný pre všetky  *s*. **Zbiehavosť jednoduchého typu** udáva, že ak  *M* je jednoducho pripojené a *b*2+(*M*)≥2, potom je moduli priestor konečný. Toto platí pre sympletické rozmanitosti.
Ak *b*2+(*M*)=1, potom existujú príklady rozmanitostí s moduli priestormi arbitrárne vysokých dimenzií.

## Seiberg-Wittenove invarianty

Seiberg-Witten invarianty sa najľahšie definujú pre rozmanitosti *M* jednoduchého typu. V tomto prípade je invariantom mapa spinu*c* štruktúr *s* na **Z**, priberajúc  *s*k počtu elementov moduli priestoru počítaných so znakmi.

Ak má rozmanitosť *M* metriku pozitívnej skalárnej zakrivenosti a *b*2+(*M*)≥2, potom všetky Seiberg-Wittenove invarianty *M* miznú.

Ak je rozmanitosť *M* jednoducho pripojená a sympletická a *b*2+(*M*)≥2, potom má spin*c* štruktúru *s*, na ktorej je Seiberg-Wittenov invariant 1. Podstatné je, že nemôže byť rozdelený ako pripojená suma rozmanitostí s  *b*2+≥1.

## Referencie
*
*
*
*
*
*
* 
* 
*
* 
*
* 

Kategória:Diferenciálny počet
Kategória:Eponymické termíny v matematike