Osová súmernosť

náhľad|Osová súmernosť v prírode
**Osová súmernosť** alebo **zrkadlový obraz** určený osou o, je  zhodné zobrazenie v rovine, ktoré k bodom priamky o priradí tie isté body, a k bodu A ktorý neleží na priamke o priradí bod A’, pričom zároveň platí vzdialenosť [A,o]=[A’,o] a úsečka [A,A’] je kolmá na priamku o. Osová súmernosť je typ geometrického zobrazenia. Osová súmernosť zachováva vzdialenosti a uhly.

## Veta
Nech o je ľubovoľná pevná priamka roviny. Osová súmernosť So (súmernosť podľa osi) je zobrazenie v rovine E2 (dvojrozmerná Euklidovská rovina), v ktorom je priamka o bodovo invariantná, a ktoré každému bodu A neležiacemu na osi o priradí práve jeden bod So(A) = A' tak, že úsečka AA' je kolmá na priamku o a stred AA' leží na osi o. Priamka o je potom osou súmernosti. 
Osová súmernosť je jednoznačne určená osou súmernosti a dvojicou rôznych bodov A, A' kde A' je obrazom A v tejto osovej súmernosti. Osou súmernosti je potom os úsečky AA'.

thumb|250px|Osová súmernosť
250px|right|thumb|Príklady osí súmerností objektov
* **Osová súmernosť** roviny alebo priestoru s priamkou *o* ako **osou (súmernosti)** je zobrazenie, ktoré zobrazuje prvky osi *o* na sebe samej a bod A ležiaci mimo os *o* s priemetom S do osi *o* na bod A^\prime, ktorý sa nachádza na polpriamke opačnej k SA v rovnakej vzdialenosti od S ako bod A čiže matematicky |SA| = |SA^\prime|

## Vlastnosti
* Objekt (či už na priamke, v rovine alebo v priestore) označujeme za **osovo súmerný**, ak je v nejakej osovej súmernosti sám sebe obrazom. Os tejto súmernosti potom nazývame **os objektu**.
* Samodružný bod je taký bod, ktorý v osovej súmernosti splynie so svojím obrazom. 
* Samodružný útvar je taký útvar, ktorý v osovej súmernosti splynie so svojím obrazom. Môže ale nemusí mať samodružné body. 
* Posunutá osová súmernosť vzniká, ak všetky body (útvary) sú osovo súmerné, ale ich vzdialenosť obrazu od osi je oproti vzdialenosti zdroja od osi pre všetky body zvýšená o hodnotu konštanty. |SA| = const + |SA^\prime|
* Osová súmernosť je involúciou.
* Osová súmernosť má práve jednu invariantnú priamku (os o).
* Každá priamka kolmá na os súmernosti je invariantná.
* Osová súmernosť s pevne danou osou je sama pre seba inverzným obrazom - zložením dvoch osových súmerností s rovnakou osou vzniká identita.
* Osová súmernosť v rovine prevracia orientáciu útvaru - pokiaľ bolo poradie vrcholov v trojuholníku v smere hodinových ručičiek, potom poradie ich obrazov v osovej súmernosti je proti smeru chodu hodinových ručičiek a naopak.
* Osová súmernosť je v priestore zhodná s otočením o 180 stupňov podľa rovnakej osi.
* Body ležiace na osi súmernosti sú samodružnými bodmi. Všetky priamky kolmé k osi súmernosti sú samodružnými priamkami.

## Príklad
* Všetky pravidelné mnohouholníky sú osovo súmerné. Počet rôznych osí súmernosti zodpovedá počtu vrcholov mnohouholníka. Napr. rovnostranný trojuholník má tri osi súmernosti, štvorec štyri, pravidelný šesťuholník šesť.
* Kruh je príkladom útvaru s nekonečným množstvom rôznych osí súmernosti - každá priamka prechádzajúca jeho stredom je jeho osou.
* Rovnoramenný trojuholník, ktorý nie je rovnostranný, má jednu os súmernosti.
* Trojuholník, ktorý nie je rovnoramenný, nie je osovo súmerný.
* Hyperbola, elipsa a parabola sú ďalšími príkladmi osovo súmerných rovinných útvarov.
* Kocka, guľa, kužeľ a valec sú príkladom osovo súmerného priestorového útvaru.
* Ihlan je osovo súmerný iba za predpokladu, že jeho základňa je stredovo súmerný rovinný útvar a jeho vrchol leží na kolmici na rovinu základne prechádzajúcej stredom súmernosti základne.

## Referencie

## Pozri aj
* Stredová súmernosť
* Rovinná súmernosť
* Zhodné zobrazenie

Kategória:Geometria