Rovnobežník

thumb|Rovnobežník

**Rovnobežník** je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné a majú rovnakú dĺžku. Súčet susedných uhlov je 180°.

## Vlastnosti
Rovnobežník má 4 strany, 4 vrcholy, 4 uhly, ktorých súčet je 2\pi (360°).
Z rovnobežnosti protiľahlých strán vyplýva, že veľkosť protiľahlých strán je rovnaká, tzn.
:a=|AB|=|CD|=c, \qquad d=|AD|=|BC|=b. 
Z toho vyplýva, že aj veľkosť protiľahlých uhlov má rovnakú veľkosť, tzn.
:\alpha=\angle DAB = \angle BCD=\gamma,\qquad \beta= \angle ABC = \angle CDA=\delta.
Pretože \alpha+\beta+\gamma+\delta=2(\alpha+\beta)=2\pi, platí
:\alpha = \pi - \beta.

Všeobecne má rovnobežník rôznu veľkosť priľahlých strán, t. j. a\neq b, a uhly rôzne od pravých uhlov, t. j. \alpha\neq\beta. Ak sú priľahlé strany rovnako veľké, t. j. a=b=c=d, nazývame taký rovnobežník kosoštvorcom. Ak sú uhly pravé, t. j. \alpha=\beta=\gamma=\delta=\pi/2, nazývame taký rovnobežník obdĺžnikom. Rovnobežník, ktorý je kosoštvorcom a obdĺžnikom zároveň nazývame štvorcom.

Uhlopriečky rovnobežníka sa vzájomne rozpoľujú. Dĺžky uhlopriečok sú:
:e = |AC| = \sqrt{ a^2+d^2+2ad \cos \alpha } = \sqrt{(a + h_a \mbox{cotg}\,\alpha)^2 + h_a^2}\,,
:f = |BD| = \sqrt{ a^2+d^2-2ad \cos \alpha } = \sqrt{(a - h_a \mbox{cotg}\,\alpha)^2 + h_a^2}\,.

## Obsah

Obsah rovnobežníka je rovný:
:S = a h_a = b h_b = a b \sin\alpha,
kde a=|AB| a b=|AD| sú dĺžky priľahlých strán rovnobežníka a h_a je výška k strane AB, obdobne h_b je výška k strane AD, \alpha je vnútorný uhol medzi priľahlými stranami.

### V rovine

Ak sú vrcholy A,B,C,D zadané pomocou súradníc v rovine, t. j. A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B), atď, je obsah rovnobežníka rovný absolútnej hodnote determinantu zostaveného zo súradníc ľubovoľných troch vrcholov takto:
:S=\left|\det\left(\begin{array}{cc}x_B-x_A & x_D-x_A \\ y_B-y_A & y_D-y_A\end{array}\right)\right|=|(x_By_D-x_Dy_B)-(x_Ay_D-x_Dy_A)+(x_Ay_B-x_By_A)|.
Ak stotožníme, pre jednoduchosť, vrchol A s počiatkom súradnicového systému, t. j. A=(0,0), potom teda:
:S=|x_By_D-x_Dy_B|.
Úplne analogicky možno spočítať objem ľubovolného kvádru, resp. nadobjem ľubovolného n – rozmerného nadrovnobežnostenu (v n – rozmernom priestore).

### V trojrozmernom priestore

Ak sú vrcholy A,B,C,D zadané pomocou súradníc v priestore, t. j. A=(x_A,y_A,z_A), B=(x_B,y_B,z_B), atď, a zavedieme ak stranové vektory
:\mathbf{a}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A),\qquad \mathbf{b}=(x_D-x_A,y_D-y_A,z_D-z_A), 
je obsah rovnobežníka rovný euklidovskej norme (dĺžke) vektora \mathbf{a}\times\mathbf{b},
kde „\times“ značí vektorový súčin dvoch vektorov. Teda:
:S=\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|_2 = \Big((\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\Big)^{1/2}
kde „\,\cdot\,“ značí skalárny súčin dvoch vektorov.

Ak majú smerové vektory nulové zložky v smere osi z, t. j.
:\mathbf{a}=(x_B-x_A,y_B-y_A,0),\qquad \mathbf{b}=(x_D-x_A,y_D-y_A,0), 
potom:
:\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\Big(0,0,(x_By_D-x_Dy_B)-(x_Ay_D-x_Dy_A)+(x_Ay_B-x_By_A)\Big),
čím dostaneme práve vzťah na výpočet obsahu rovnobežníka v rovine.

Ak stotožníme, pre jednoduchosť, vrchol A s počiatkom súradnicového systému, t. j. A=(0,0,0), potom
:\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(y_Bz_D-y_Dz_B,x_Dz_B-x_Bz_D,x_By_D-x_Dy_B)
vo všeobecnom prípade , respektíve:
:\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(0,0,x_By_D-x_Dy_B)
v prípade, že smerové vektory majú navyše nulové zložky v smere osi z.

Zovšeobecnením vektorového súčinu do n – rozmerného priestoru (ide o o súčin (n-1) lineárne nezávislých vektorov dĺžky n, ktorého výsledkom je vektor kolmý na všetky predchádzajúce, tvoriace s nimi, v danom poradí, pravotočivou bázou) možno úplne analogicky spočítať nadobsah ľubovoľného (n-1) – rozmerného nadrovnobežníka v n – rozmernom priestore.

### V n-rozmernom (reálnom) priestore

Ak je rovnobežník daný dvoma postrannými vektormi v všeobecnom reálnom n – rozmernom priestore
:\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n),\qquad \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3,\ldots,b_n),
potom jeho obsah je daný vzťahom:
:S=\sqrt{\|\mathbf{a}\|_2^2\|\mathbf{b}\|_2^2-\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle^2}=\Big((\mathbf{a}\cdot\mathbf{a})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{b})-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2\Big)^{1/2},
kde „\langle\,,\,\rangle“, resp . „\,\cdot\,“ značí skalárny súčin dvoch vektorov.

dosadením:
:\mathbf{a}=(x_B-x_A,y_B-y_A,0,\ldots,0),\qquad \mathbf{b}=(x_D-x_A,y_D-y_A,0,\ldots,0),
opäť dostávame známy vzťah pre obsah rovnobežníka v rovine.

## Pozri aj
* Geometrický útvar
* Štvoruholník
* Kváder

## Zdroj

Kategória:Mnohouholníky