Iversonove zátvorky

V matematike sú **Iversonove zátvorky**, pomenované podľa informatika Kennetha. E. Iversona, spôsob notácie, ktorý zovšeobecňuje Kroneckerovu deltu. Táto funkcia zobrazuje akýkoľvek výrok na hodnoty 0 alebo 1. Štandardne sú Iversonove zátvorky označované hranatými zátvorkami [\text{ } \cdot \text{ }] a definované sú pre výrokové tvrdenie nasledovne:

:[P] = \begin{cases} 
1 & \text{ak } P \text{ je pravdivé;} \\
0 & \text{ak } P \text{ je nepravdivé.}
\end{cases}

Iversenove zátvorky umožňujú zápis sumácie bez obmedzenia na sčítací index. Presnejšie, pre ľubovoľný výrok P(k) závislí od celého čísla k sa suma \sum_{k : P(k)}f(k) môže zapísať ako \sum_k f(k) \cdot[P(k)]
. V tejto konvencii nemusí byť f(k) definované pre všetky celé čísla k kde sa Iversonova zátvorka rovná nule. Výraz f(k)[\textbf{nepravda}] musí byť rovný nule, bez ohľadu na to, či je pre dané k výraz f(k) definovaný alebo nie.

## Vlastnosti
Medzi aritmetikou s Iversonovými zátvorkami, logikou a množinovými operáciami existuje priamy súvis. Nech A \text{ a } B sú množiny, P(k_1,\dots) ľubovoľná vlastnosť celých čísel, potom máme

:\begin{align}[]
                       [\,P \land Q\,] ~ &= ~ [\,P\,]\,[\,Q\,]~~; \\[1em]
                        [\,P \lor Q\,] ~ &= ~ [\,P\,] \; + \; [\,Q\,] \; - \; [\,P\,]\,[\,Q\,]~~; \\[1em]
                        [\,\neg \,P\,] ~ &= ~ 1 - [\,P\,]~~; \\[1em]
   [\,k \in A\,] \; + \; [\,k \in B\,] ~ &= ~ [\,k \in A \cup B\,] \; + \; [\,k \in A \cap B\,]~~; \\[1em]
                  [\,x \in A \cap B\,] ~ &= ~ [\,x \in A\,]\, [\,x \in B\,]~~; \\[1em]
       [\,\forall \,m\ : \, P(k, m)\,] ~ &= ~ \prod_m\, [\,P(k, m)\,]~~; \\[1em]
       [\,\exists \,m\ : \, P(k, m)\,] ~ &= ~ \min\Bigl\{\;1\,, \,\sum_m \,[\,P(k, m)\,]\;\Bigr\} = 1 \; -  \;\prod_m \, [\,\neg\, P(k, m)\,] ~~; \\[1em]
\#\Bigl\{\; m \,\Big| \, P(k, m)\;\Bigr\} ~ &= ~ \sum_m \, [\,P(k, m)\,]~~.
\end{align}

## Príklady použitia
Notácia umožňuje algebrickú manipuláciu súm s rôznymi hodnotami sumačného indexu.

### Algebrická manipulácia súm
Známe pravidlo \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^j f(j,k) = \sum_{k=1}^n \sum_{j=k}^n f(j,k) triviálne odvodíme:

:\begin{align}
\sum_{j=1}^n\,\sum_{k=1}^j f(j,k)
  &=\sum_{j,k}f(j,k)\,[1\leq j\leq n]\,[1\leq k\leq j]
\\&=\sum_{j,k}f(j,k)\,[1\leq k\leq j\leq n]
\\&=\sum_{j,k}f(j,k)\,[1\leq k\leq n]\,[k\leq j\leq n]

\\&=\sum_{k=1}^n\,\sum_{j=k}^n f(j,k).
\end{align}

Mechanicky odvodíme ďalšie notoricky známe pravidlo sumácie:

:\begin{align}
\sum_{k\in A}f(k)+\sum_{k\in B}f(k)
&=\sum_kf(k)\,[k\in A]+\sum_kf(k)\,[k\in B]\\
&=\sum_kf(k)\,([k\in A]+[k\in B])
\\&=\sum_kf(k)\,([k\in A\cup B]+[k\in A\cap B])
\\&=\sum_{k\in A\cup
B}f(k)\ +\sum_{k\in A\cap B}f(k).
\end{align}

### Známe funkcie vyjadrené pomocou Iversonovych zátvoriek
Kroneckerova delta \delta_{ij} je špeciálnym prípadom Iversonovych zátvoriek pre prípad, kde uvažovaným výrokom je rovnosť:

:\delta_{ij}=[i=j].

Iversonove zátvorky teda môžeme považovať ako zovšeobecnením Kroneckerovej delty.

Heavisideova funkcia, signum a absolútna hodnota môžu byť jednoducho vyjadrené v Iversonovej notácii:

:\begin{align}
     \Theta(x) &= [x \geq 0], \\
  \sgn(x) &= [x > 0] - [x  0] - [x 

## Variácie označenia
Popri štandardnej notácii [\text{ } \cdot \text{ }] a originálnej notácii (\text{ } \cdot \text{ }) sa používa aj verzia hranatých zátvoriek v tabuľovej hrubotlači  ⟦ · ⟧.

## Referencie

Kategória:Matematické zápisy
Kategória:Eponymické termíny v matematike