Mnohouholník

**Mnohouholník** alebo **polygón** alebo **n-uholník** je časť roviny vymedzená úsečkami, ktoré spájajú určitý počet bodov (najmenej tri), z ktorých žiadne tri susedné neležia na jednej priamke. Inak povedané: **mnohouholník** je obmedzená časť roviny ohraničená uzatvorenou lomenou čiarou.

## Všeobecne
Body, ktoré určujú mnohouholník, sa nazývajú **[[vrchol (geometria)|vrcholy]]** mnohouholníka. Úsečky, ktoré spájajú *susedné* vrcholy, sa nazývajú **[[strana (geometria)|strany]]** mnohouholníka. Úsečky, ktoré spájajú *nesusedné* vrcholy, sa nazývajú **[[uhlopriečka|uhlopriečky]]**. Uhly, ktoré zvierajú susedné strany, sa nazývajú **[[vnútorný uhol|vnútorné uhly]]** mnohouholníka. Počet vrcholov, strán a vnútorných uhlov v jednom mnohouholníku je *rovnaký* a tento počet určuje *názov* mnohouholníka: trojuholník, štvoruholník, päťuholník atď.

## Znázornenie
Mnohouholník sa znázorňuje pomocou jeho vrcholov a strán, označuje sa vymenovaním vrcholov v ich presnom poradí. Pri špeciálnych mnohouholníkoch (trojuholník, štvorec, obdĺžnik a pod.) sa v zápise pred vymenovaním vrcholov umiestňuje príslušný symbol (Δ a pod.). Vrcholy, strany a uhly mnohouholníka sa zapisujú rovnakým spôsobom ako body, úsečky a uhly.
left|500px|Znázornenie mnohouholníka

## Druhy mnohouholníkov
Okrem mnohouholníkov líšiacich sa počtom vrcholov, sa mnohouholníky delia na:
* **pravidelné** (všetky strany a vnútorné uhly sú zhodné) a **nepravidelné**.
* **konvexné** (všetky vnútorné uhly sú menšie ako 180°) a **nekonvexné** (aspoň jeden vnútorný uhol je väčší ako 180°)

## Vlastnosti
Obvod mnohouholníka o sa vypočíta ako súčet všetkých jeho strán: o = a + b + c + ..., kde a, b, c, ... sú jednotlivé strany mnohouholníka.

Obsah všeobecného mnohouholníka S sa vypočíta pomocou *rozloženia* mnohouholníka na *vhodné* vzájomne sa neprekrývajúce trojuholníky, obdĺžniky alebo štvorce, ktorých obsahy S_1, S_2, ... sa vypočítajú podľa známych vzorcov a následne sa spočítajú: S = S_1 + S_2 + ...

Súčet vnútorných uhlov mnohouholníka je rovný \pi (n-2) \;\mathrm{rad}

Počet uhlopriečok všeobecného n-úholníka určíme zo vzťahu \frac{1}{2}n(n-3)

Ak existuje taká kružnica, že na nej ležia všetky vrcholy daného mnohouholníka, potom hovoríme, že je mnohouholníku opísaná. Mnohouholník, ktorému je možné opísať kružnicu sa nazýva *tetivový* (jeho strany sú tetivami opísanej kružnice).

Súčet uhlov všetkých trojuholníkov n uholníka dotýkajucich sa jeho stredu sa rovná 360°.

## Vlastnosti pravidelného mnohouholníka
Veľkosť vnútorného uhla pravidelného n-uholníka má hodnotu \alpha_n = \frac{n-2}{n}\pi

Veľkosť stredového, resp. vonkajšieho uhla je rovná \alpha_n^\prime = \frac{2\pi}{n}

Pravidelnému mnohouholníku je možné opísať a zároveň vpísať kružnicu. Stredy oboch kružníc ležia v rovnakom bode, ktorý je totožný s ťažiskom mnohouholníka.

Ak označíme dĺžku strany pravidelného n-uholníka ako a_n a polomer opísanej kružnice ako r_n, potom polomer \rho_n vpísanej kružnice je možné určiť zo vzťahu \rho_n = \frac{1}{2}\sqrt{4r_n^2 - a_n^2}

náhľad|vpravo|Vpísaný a opísaný pravidelný n-uholník Z obrázka vidno, že existujú dva druhy n-uholníka:

### Vpísaný n-uholník
Pre vpísaný polygón platí:

v=|KW|

r=|KV|

S_n=\frac{n r^2\operatorname{sin}{\alpha}}{2}

### Opísaný n-uholník
Pre opísaný polygón platí:

R=|KL|

r=|KV|

S_N=n R^2\operatorname{tan}{\frac{\alpha}{2}}

## Referencie

## Pozri aj
* Planimetria
* Mnohosten

## Iné projekty

Kategória:Matematika
Kategória:Geometria