Bernoulliho schéma

**Bernoulliho schéma** sa používa na výpočet pravdepodobnosti pri opakovanom pokuse.
Urobíme sériu nezávislých náhodných pokusov, v ktorých nastáva sledovaný výsledok, náhodný jav A, s pravdepodobnosťou P(A)=p, 0. Pravdepodobnosť, P_n(k) toho, že sa v sérii vyskytne náhodný jav A práve k-krát, k=0,1,2,...,n je rovná 

P_n(k)=\begin{pmatrix}
n\\
k\\
\end{pmatrix} p^k (1-p)^{n-k} 
 , 0\le k\le n

## Príklady
**Príklad č.1:** Hádžeme hracou kockou 10-krát. Aká je pravdepodobnosť, že práve 4-krát padne číslo 6?
:Keďže ide o sériu nezávislých javov (daný hod nezávisí od predchádzajúceho), môžeme použiť Bernoulliho schému. Pravdepodobnosť priaznivého javu je \frac{1}{6} a pravdepodobnosť nepriaznivého javu je \frac{5}{6}. (Pretože môžu padnúť čísla 1,2,3,4 alebo 5.)

P(A)=\begin{pmatrix}
10\\
4\\
\end{pmatrix} (\frac{1}{6})^4(\frac{5}{6})^6 =210 \cdot \frac{1}{6^4} \cdot \frac{5^6}{6^6}=\frac{210 \cdot 5^6}{6^{10}}\doteq 0,05
:Teda pravdepodobnosť, že z 10 hodov hracou kockou padne práve 4-krát číslo 6 je 5 \%.

**Príklad č.2:** Hádžeme hracou kockou 10-krát. Aká je pravdepodobnosť, že aspoň 4-krát padne číslo 6?
V tomto prípade sa pýtame, aká je pravdepodobnosť, že padne číslo 6 aspoň 4 krát, teda vlastne sa pýtame, aká je pravdepodobnosť, že číslo 6 padne 4-krát, alebo 5-krát, alebo 6-krát, alebo 7-krát, alebo 8-krát, alebo 9-krát, alebo 10-krát?

P(A)=\begin{pmatrix}
10\\
4\\
\end{pmatrix} (\frac{1}{6})^4(\frac{5}{6})^6 + \begin{pmatrix}
10\\
5\\
\end{pmatrix} (\frac{1}{6})^5(\frac{5}{6})^5 + \begin{pmatrix}
10\\
6\\
\end{pmatrix} (\frac{1}{6})^6(\frac{5}{6})^4 + \begin{pmatrix}
10\\
7\\
\end{pmatrix} (\frac{1}{6})^7(\frac{5}{6})^3 + \begin{pmatrix}
10\\
8\\
\end{pmatrix} (\frac{1}{6})^8(\frac{5}{6})^2 + \begin{pmatrix}
10\\
9\\
\end{pmatrix} (\frac{1}{6})^9(\frac{5}{6}) + \begin{pmatrix}
10\\
10\\
\end{pmatrix} (\frac{1}{6})^{10}\doteq 0,07 

:Pravdepodobnosť, že z 10 hodov hracou kockou padne aspoň 4-krát číslo 6 je 7 \%.

**Príklad č.3:** Hádžeme hracou kockou 3-krát. Aká je pravdepodobnosť, že práve raz padne číslo 3?

P(A)=\begin{pmatrix}
3\\
1\\
\end{pmatrix} (\frac{1}{6})^1(\frac{5}{6})^2 =\frac{25}{72}\doteq 0,347

:Pravdepodobnosť, že z 3 hodov hracou kockou padne práve raz číslo 3 je 34,7 \%.

**Príklad č.4:** Strelec trafí cieľ s pravdepodobnosťou 0,7 pričom vystrelil 10 krát. Aká je pravdepodobnosť, že trafil ciel práve 4-krát?

P(A)=\begin{pmatrix}
10\\
4\\
\end{pmatrix} (0,7)^4 (0,3)^6=0,036

:Pravdepodobnosť, že z 10 výstrelov trafí práve 4-krát cieľ je 3,6 \%.

**Príklad č.5:** Na teste v autoškole je 30 otázok z ktorých v každej z nich sú na výber 3 odpovede, pričom správna je  vždy len jedna. Uchádzač o vodičský preukaz uspeje, ak označí správne aspoň 27 otázok. Je takéto testovanie spoľahlivé ?

Aspoň 27 znamená 27 alebo 28 alebo 29 alebo 30.

P(A)=\begin{pmatrix}
30\\
3\\
\end{pmatrix} (\frac{2}{3})^3(\frac{1}{3})^{27} +\begin{pmatrix}
30\\
2\\
\end{pmatrix} (\frac{2}{3})^2(\frac{1}{3})^{28} +\begin{pmatrix}
30\\
1\\
\end{pmatrix} (\frac{2}{3})^1(\frac{1}{3})^{29} +\begin{pmatrix}
30\\
0\\
\end{pmatrix} (\frac{2}{3})^0(\frac{1}{3})^{30} \doteq 0 


Ak by uchádzač prišiel na test nepripravený a náhodne by vyberal otázky, pravdepodobnosť, že si tipne aspoň 27 otázok správne je prakticky nulová, teda test je spoľahlivý.

## Referencie

## Pozri aj
* Problém náhrdelníka
* Problém šatniarky

Kategória:Pravdepodobnosť