Difúzna sila

**Difúzna sila** (označovaná \vec{F_{i,dif}} ) je hnacia sila difúzie, ktorej smer je daný gradientom koncentrácie (resp. chemického potenciálu), čiže smeruje z miest s vysokou koncentráciou na miesta s nízkou koncentráciou. Proti pôsobeniu difúznej sily pôsobí trecia sila (sila odporu viskózneho prostredia) \vec{F_{i,}}_{trenie} , pričom platí:

\vec{F_{i,dif}} = -\vec{F_{i,}}_{trenie} 

Pozorovaná konštantná rýchlosť i-tej častice \vec{v_{i,dif}}   je teda daná protismerným pôsobením difúznej sily \vec{F_{i,dif}}  a sily odporu difúzneho prostredia \vec{F_{i,}}_{trenie} . Druhý Newtonov zákon totiž hovorí, že pôsobenie konštantne veľkej sily (u difúzie \vec{F_{i,dif}}  ) na i-tú časticu by malo byť sprevádzané rovnomerne zrýchleným pohybom tejto i-tej častice, nie konštatnou rýchlosťou i-tej častice. Konštantná rýchlosť i-tej častice je teda výsledkom ustanovenia rovnováhy medzi pôsobením hnacej sily \vec{F_{i,dif}}  a brzdiacej sily prostredia \vec{F_{i,}}_{trenie} , v ktorom sa i-tá častica pohybuje.****

## Odvodenie difúznej sily
Maximálna neobjemová práca dW  spojená s látkovým tokom jednej častice zložky i  z miesta, kde je jej chemický potenciál \mu_i  , do miesta s chemickým potenciálom \mu_i + d\mu_i , v systéme, kde chemický potenciál \mu_i  závisí na súradnici y :

dW = \frac{1}{N_A} \cdot \left ( \right )_{T, p} dy 

Vzťah difúznej sily \vec{F_{i,dif}}  a maximálnej neobjemovej práce dW  je

dW = -\vec{F_{i,dif}}\ dy 

Porovnaní vyššie uvedených vzťahov dostaneme vzťah pre difúznu silu \vec{F_{i,dif}} :

\vec{F_{i,dif}}\ =- \frac{1}{N_A} \cdot \left ( \right )_{T, p}  

Chemický potenciál i-tej zložky \mu_i  je:

\mu_i = {\mu_i^o} + RT\ ln\ a_i 

kde {\mu_i^o}  je štandardný chemický potenciál i-tej zložky, a_i  je aktivita i-tej zložky, ktorú je možné v ideálnom roztoku nahradiť koncentráciami {c_i^o} , čo je štandardná koncentrácia i-tej zložky {c_i^o}\ =\ 1\ \frac{mol}{dm^3}  a platí: a_i = \frac{c_i}{c_i^o} .

Potom dosadením za chemický potenciál i-tek zložky \mu_i  dostaneme vzťah pre difúznu silu \vec{F_{i,dif}} :

\vec{F_{i,dif}}\ =- \frac{RT}{N_A} \cdot \left ( \right )_{T, p}

derivácia pritodzeného logaritmu aktivity i-tej zložky bude:

\vec{F_{i,dif}}\ =- \frac{RT}{N_A\ a_i\ ln\ (e)} \cdot \left ( \right )_{T, p} 

keďže platí ln (e) = 1 
 , tak dostaneme:

\vec{F_{i,dif}}\ =- \frac{RT}{N_A\ a_i\ } \cdot \left ( \right )_{T, p} 

nahradením aktivity i-tek zložky a_i  koncentráciou i-tej zložky {c_i}  v ideálnom roztoku,{c_i^o} , čo je štandardná koncentrácia i-tej zložky {c_i^o}\ =\ 1\ \frac{mol}{dm^3}  a platí: a_i = \frac{c_i}{c_i^o} . 

\vec\ =- \frac{RT}{N_A\ c_i\ } \cdot \left ( \right )_{T, p}
 

a keďže Boltzmanova konštanta k_B 
  je k_B = \frac{R}{N_A} 
 :

\vec = - \frac{k_BT}{c_i} \cdot \left ( \right )_{T, p}  

## Vzťah difúznej sily a sily odporu viskózneho prostredia
Vieme, že pre stojacu i-tú časticu platí:

\vec{F_{i,dif}} = -\vec{F_{i,}}_{trenie} 

Pre silu odporu viskóznehoprostredia platí:

\vec{F_{i,}}_{trenie} = f_i v_i 

kde  f_i   je koeficient trenia (frikcie),  v_i  je rýchlosť pohybu i-tej častice.

- \frac{k_BT}{c_i} \cdot \left ( \right )_{T, p} = f_iv_i 
 

a vyjadrením rýchlosti pohybu i-tej častice v_i  , dostaneme: 

v_i = - \frac{k_BT}{f_i\ c_i} \cdot \left ( \right )_{T, p}
 

a vyjadrením súčinu rýchlosti pohybu i-tej častice v_i   a koncentrácie i-tej častice {c_i} , dostaneme: 

v_ic_i = - \frac{k_BT}{f_i} \cdot \left ( \right )_{T, p}
 

dosadením do vzťahu pre látkový tok i-tej častice J_i = v_ic_i 
 

J_i = - \frac{k_BT}{f_i} \cdot \left ( \right )_{T, p}
 

a podľa prvého Fickovho zákona:

J_i = - {D_i} \cdot \left ( \right )_{T, p} 
 

dosadením dostávame:

- \frac{k_BT}{f_i} \cdot \left ( \right )_{T, p} = - {D_i} \cdot \left ( \right )_{T, p} 
 

vykrátením parciálnych derivácii a záporných znamienok dostávame vzťah pre difúzny koeficient i-tej častice D_i 
 :

{D_i} = \frac{k_BT}{f_i} 
 ,

čo je Einsteinova rovnica pre difúzny koeficient i-tej častice D_i 
 , kde f_i 
  je koeficient trenia, pre ktorý platí:

f_i = 6\ \pi \eta r_i 
 

Čiže vzťah difúznej sily \vec{F_{i,dif}}  a sily odporu viskózneho prostredia \vec{F_{i,}}_{trenie}  je Einsteinova rovnica pre difúzny koeficient i-tej častice D_i 
 .

## Referencie

## Pozri aj
* difúzia
* Fickove zákony
* difúzny koeficient
* stacionárna difúzia
* nestacionárna difúzia
* boltzmanova konštanta

Kategória:Difúzia