Banachova veta o pevnom bode

**Banachova veta o pevnom bode**, pomenovaná podľa Stefana Banacha a známa aj ako **veta o kontrakcii**, je veta matematickej analýzy, ktorá hovorí, že pre každé kontraktívne zobrazenie v úplnom metrickom priestore existuje práve jeden pevný bod.

## Definície

### Pevný bod

Nech f: X \to X  je zobrazenie. Bod x \in X nazveme *pevným bodom* zobrazenia *f*, ak f(x) = x \,.

### Kontraktívne zobrazenie

Nech (X,d)\, je metrický priestor, nech A \subseteq X\,. Nech f: A \to A  je zobrazenie. Zobrazenie *f* nazývame *kontraktívne zobrazenie* alebo *kontrakcia,* ak existuje reálna konštanta *L*, 0  taká, že pre všetky x_1, x_2 \in A platí 

:d(f(x_1),f(x_2)) \leq L \cdot d(x_1,x_2).

Inými slovami, zobrazenie *f* je kontraktívne vtedy a len vtedy, keď spĺňa Lipschitzovu podmienku pre 0 .

## Znenie vety

Nech (X,d)\, je úplný metrický priestor. Nech f: X \to X je kontraktívne zobrazenie. Potom *f* má práve jeden pevný bod u = f(u). Navyše, pre každé x \in X platí f^n(x) \to u pre n \to \infty (symbol f^n\, označuje *n*-tú iteráciu zobrazenia *f*), pričom pre rýchlosť konvergencie platí d(u,f^n(x)) \leq L^n \cdot d(u,x).

## Dôkaz

### Existencia pevného bodu

Z kontraktívnosti zobrazenia *f* možno matematickou indukciou dokázať, že platí

:d(f^n(x),f^{n+1}(x)) \leq L^n \cdot d(x,f(x)).

Z toho vyplýva, že pre všetky prirodzené čísla *n,k* platí 

:d(f^n(x),f^{n+k}(x)) \leq \sum_{i=n}^{n+k-1}d(f^{n+i}(x),f^{n+i+1}(x)) \leq \sum_{i=n}^{n+k-1}L^i \cdot d(x,f(x)) \leq \sum_{i=n}^{\infty}L^i \cdot d(x,f(x)) = \frac{L^n}{1-L} \cdot d(x,f(x)).

Keďže

:\lim_{n \to \infty} \frac{L^n}{1-L} \cdot d(x,f(x)) = 0,

je postupnosť \{f^n(x)\}_{n=0}^{\infty} fundamentálna. Z úplnosti metrického priestoru (X,d)\, potom plynie, že existuje limita tejto postupnosti. Označme túto limitu *u*. Potom platí

:f(u) = f(\lim_{n \to \infty} f^n(x)) = \lim_{n \to \infty} f^{n+1}(x) = \lim_{n \to \infty}f^n(x) = u,

čiže *u* je pevný bod zobrazenia *f*.

### Jednoznačnosť pevného bodu

Sporom. Nech u \neq v sú dva rôzne pevné body zobrazenia *f*. Z kontraktívnosti zobrazenia *f*:

:0 

z čoho d(u,v) , čo je spor.

### Rýchlosť konvergencie

Tvrdenie 

:d(u,f^n(x)) \leq L^n \cdot d(u,x)

dokážeme matematickou indukciou:

# Nech n = 1. Potom z kontraktívnosti *f*:
#: d(u,f^n(x)) = d(u,f(x)) = d(f(u),f(x)) \leq L \cdot d(u,x) = L^n \cdot d(u,x).
# Nech tvrdenie platí pre n = k. Ukážeme, že platí aj pre n = k + 1:
#: d(u,f^{k+1}(x)) = d(f(u),f^{k+1}(x)) \leq L\cdot d(u,f^k(x)) \leq L \cdot L^k \cdot d(u,x) = L^{k+1} \cdot d(u,x).

## Aplikácie

K štandardným aplikáciam Banachovej vety o pevnom bode patria dôkazy niektorých viet o existencii riešení diferenciálnych a integrálnych rovníc, či numerické metódy hľadania koreňov nelineárnych rovníc. Využíva sa však aj vo viacerých ďalších oblastiach, napríklad vo finančnej matematike, či v teórii fraktálov.

## Literatúra

* Agrawal, R. P., Meehan, M., O'Regan, D.: *Fixed Point Theory and Applications.* Cambridge University Press, 2004.
* Švec, M., Šalát, T., Neubrunn, T.: *Matematická analýza funkcií reálnej premennej.* Alfa, 1987.

## Externé odkazy

* Dôkaz Banachovej vety o pevnom bode  na Bourbawiki .   
* Banach Fixed Point Theorem .
* Článok o Banachovej vete o pevnom bode na PlanetMath .

Kategória:Funkcionálna analýza
Kategória:Numerická matematika
Kategória:Eponymické termíny v matematike