Rungeho jav

**Rungeho jav** je v numerickej matematike názov pre problém, ktorý vzniká pri interpolácii polynómom vyššieho stupňa. Je pomenovaný po Carlovi Davidovi Tolméovi Rungeovi, ktorý ho objavil, keď skúmal chybu polynomiálnej interpolácie istej triedy funkcií, dnes známych ako **Rungeho funkcie**. Tento jav je podobný Gibbsovmu javu pri Fourierových radoch.

## Problém
Uvažujme funkciu:

:f(x) = \frac{1}{1+25x^2}.\,

Runge objavil, že pokiaľ sa táto funkcia (nazývaná aj **Rungeho funkcia**) interpoluje na intervale  pomocou ekvidištančných uzlov x_i, teda

:x_i = -1 + (i-1)\frac{2}{n},\quad i \in \left\{ 1, 2, \dots, n+1 \right\},

polynómom *P**n*(*x*) stupňa *n*, výsledná interpolačná krivka v okolí krajov intervalu (teda bodov −1 a 1) silne osciluje (čím narastá chyba interpolácie). Dá sa dokázať, že chyba interpolácie speje s rastúcim stupňom polynómu do nekonečna, teda platí:

:\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \max_{-1 \leq x \leq 1} | f(x) -P_n(x)| \right) = +\infty.

Na druhej strane však Weierstrassova veta o aproximácii hovorí, že existuje postupnosť aproximujúcich polynómov, pre ktoré sa chyba limitne blíži k nule. Z toho vyplýva, že polynómy vysokého stupňa nemusia byť pri použití ekvidištančných uzlov optimálnym riešením.

### Dôvod problému
Jeden zo základných poznatkov teórie interpolácie je, že chyba interpolačného polynómu rádu *N* je daná vzorcom

:f(x) - P_N(x) = \frac{f^{(N+1)}(\xi)}{(N+1)!} \prod_{i=0}^N (x-x_i) 

pre nejaké \xi z intervalu (−1,&nbsp;1).

Pre Rungeho funkciu
:f(x) = \frac{1}{1+25x^2}
majú prvé dve derivácie hodnoty:
:
 \begin{array}{lcl}
    \displaystyle f'(x) = -\frac{50x}{\left(1+25x^2\right)^2} &\text{teda}&
               \displaystyle\left|f'(1)\right|=\frac{50}{26^2} \approx 0.0740; \\[1.5em]
    \displaystyle f*(x) = \frac{5000x^2-50(1+25x^2)}{\left(1+25x^2\right)^3} &\text{teda}
             &\displaystyle\left|f*(1)\right|=\frac{3700}{26^3} \approx 0.2105.
 \end{array}


Absolútne hodnoty derivácií vyšších rádov môžu byť ešte väčšie. Z toho vyplýva, že sa zvyšuje aj horná hranica chyby interpolácie medzi interpolačnými uzlami.

## Zmiernenie problému
Oscilácia interpolačného polynómu môže byť zmiernená, pokiaľ budú mať interpolačné uzly väčšiu hustotu v krajných častiach intervalu. Konkrétne, na intervale (−1,1) možno vybrať uzly s asymptotickou hustotou danou vzorcom 
1/\sqrt{1-x^2}
. Štandardným príkladom množiny interpolačných uzlov spĺňajúcich túto vlastnosť sú tzv. Čebyšovove uzly, pre ktoré je zaručené, že maximálna chyba sa s rastúcim stupňom polynómu zmenšuje. Rungeho jav je teda dôkazom, že ekvidištančné uzly sú pre polynómy vyššieho stupňa nevhodné. Problém ale môže byť odstránený použitím splajnových kriviek, teda kriviek, ktoré sú po častiach polynomiálne. Pri splajnových krivkách sa dá chyba zmenšiť jednoducho zväčšením počtu deliacich bodov, a teda nie je potrebné zvyšovať stupeň polynómu.

Ďalšou použiteľnou metódou je interpolácia polynómom nižšieho rádu pomocou metódy najmenších štvorcov. Vo všeobecnosti, pri použití *m* ekvidištančných uzlov pre interpoláciu polynómom stupňa *N*, ak N, tak výsledný interpolačný polynóm P_N(x) má dobré vlastnosti.

## Pozri aj
* Gibbsov jav
* Taylorov polynóm
* Čebyšovov uzol

## Zdroj

Kategória:Numerická matematika
Kategória:Eponymické termíny v matematike