Deliteľnosť

**Deliteľnosť** je možnosť rozkladať celok na časti.

V matematike je **deliteľnosť** vlastnosť celých čísel. Celé číslo *p* je **deliteľné** nenulovým celým číslom *q* (číslo *q* delí *p*), ak existuje také celé číslo *k*, pre ktoré platí, že: *p* = *kq*.

Napr. číslo 27 je deliteľné tromi, lebo 27 = 9 · 3. Alternatívne je *p* deliteľné *q*, ak zvyšok po delení p/q je nula.

## Všeobecne
* číslo *p* sa nazýva delenec,
* číslo *q* sa nazýva deliteľ,
* číslo *k* sa nazýva podiel čísla *p* pri delení číslom *q*, 
* v obore celých čísel majú čísla *p* a −*p* tie isté delitele,
* čísla 1, −1, *p* a −*p* sa nazývajú triviálne delitele čísel *p* a −*p*,
* ak existujú ešte ďalšie delitele, nazývajú sa netriviálne,
* delitele čísla p menšie ako p sa nazývajú vlastné delitele čísla p
* každé celé číslo je deliteľom nuly, nula ale nie je deliteľom žiadneho celého čísla rôzneho od nuly.

## Párne a nepárne čísla
Celé číslo deliteľné dvomi sa nazýva *[[párne číslo|párne]]*. Ak číslo nie je párne, nazýva sa *[[nepárne číslo|nepárne]]*.

## Prvočísla
Prirodzené číslo väčšie než 1, ktoré má iba triviálne delitele (je deliteľné iba jednotkou a samo sebou), sa nazýva *[[prvočíslo]]*. Prirodzené číslo väčšie než 1, ktoré nie je prvočíslom, sa nazýva *[[zložené číslo]]*.

## Prvočiniteľ
Prvočíslo, ktoré delí číslo *p*, sa nazýva *[[prvočiniteľ]]*. Každé zložené číslo možno napísať ako súčin prvočiniteľov. Tento zápis (pokiaľ neberieme do úvahy poradie prvočiniteľov) je pre každé číslo jedinečný (pozri faktorizácia).

Dve čísla sa nazývajú súdeliteľné, keď majú spoločného deliteľa väčšieho než 1. 
Pokiaľ takého deliteľa nemajú, nazývajú sa nesúdeliteľné.

## Vlastnosti deliteľnosti
*  a \mid b \implies \forall k \in \mathbb{Z}\quad a \mid k \cdot b\quad - Ak **a** delí **b**, potom **a** delí akýkoľvek násobok **b**

*  a\mid b \land b\mid c \implies a\mid c\quad  - Ak **a** delí **b** a **b** delí **c**, potom **a** delí **c**, , deliteľnosť je tranzitívna relácia. 

* a\mid b \land a\mid c \implies a\mid (b+c)\land a\mid (b-c)\quad - Ak **a** delí dve čísla, potom **a** delí aj ich súčet a rozdiel.
*Ak a \mid b a b \mid a, potom a = b alebo a = -b.
*Ak p je prvočíslo a p \mid ab potom p \mid a alebo p \mid b.

## Kritéria deliteľnosti
Nasledujúca tabuľka obsahuje kritéria deliteľnosti v desiatkovej číselnej sústave.

### Všeobecné kritérium deliteľnosti
Ľubovoľné kritérium deliteľnosti možno zapísať ako ciferný súčet s váhami — číslo *x* je deliteľné prvočíslom *n* práve keď Σ*k* *α<sub>k</sub>a<sub>k</sub>* je deliteľné *n*, kde *x* &nbsp; = &nbsp; *a*0 + 10*a*1 + 100*a*2 + 1000*a*3 + …+10n*a*n, alebo je zapísané v pozičnej sústave so základom 10.

Jednotlivé váhy v cifernom súčte sú riešenia jednoduchých kongruencií \alpha_k \equiv 10^k\,(mod\ n). Riešením sú teda zvyšky po delení 10*k*/*n*.

Napríklad číslo *x* je deliteľné 17 práve keď *a*0 − 7*a*1 − 2*a*2 − 3*a*3 + 4*a*4 + 6*a*5 − 8*a*6 + 5*a*7 − *a*8 + 7*a*9 + 2*a*10 + 3*a*11 − 4*a*12 − 6*a*13
+ 8*a*14 − 5*a*15 + *a*16 … je deliteľné 17.

## Deliteľnosť v minulosti
Podľa Anaxagora neexistuje nijaké nedeliteľné (ani odlišné od nuly, ani nulové veličiny); medzi malými vecami vždy je ešte niečo menšie a medzi veľkými vecami je vždy ešte niečo väčšie, takže je nemožné, aby súcno delením do nekonečna prestalo byť.

## Referencie


## Externé odkazy
* 
* Znaky deliteľnosti

Kategória:Teória čísel
Kategória:Aritmetika