Maxwellove rovnice

**Maxwellove rovnice** sú základné zákony v makroskopickej teórii elektromagnetického poľa, ktoré sformuloval James Clerk Maxwell v roku 1865. Možno ich zapísať buď v integrálnom alebo diferenciálnom tvare. V integrálnom tvare opisujú elektromagnetické pole v istej oblasti a v diferenciálnom tvare v určitom bode tejto oblasti.

## Formulácia Maxwellových rovníc
Nižšie uvedený zápis je platný v jednotkách sústavy SI. V iných sústavách sa v zápise objavujú navyše konštanty ako napr. rýchlosť svetla *c* a 4 \pi (Ludolfovo číslo) v sústave CGS.

### Prvá Maxwellova rovnica (zákon celkového prúdu, zovšeobecnený Ampérov zákon)
**integrálny tvar**

:\oint_{c} \mathbf{H}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{l}=I+\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t},\Psi \equiv \int_{S} \mathbf{D}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}, I = \int_{S} \mathbf{j}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}.

Cirkulácia vektoru **H** po ľubovolnej orientovanej uzavretej krivke *c* je rovná súčtu celkového vodivého prúdu *I* a posuvného prúdu \frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t}, uzavretého krivkou *c*, Krivka *c* a ľubovolná plocha *S*, ktorú krivka vymedzuje sú navzájom pravotočivo orientované.

**diferenciálny tvar**

:\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.

Rotácia vektoru intenzity magnetického poľa **H** je rovná hustote vodivého prúdu **j** a hustote posuvného (Maxwellovho) prúdu  \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.

### Druhá Maxwellova rovnica ([[Zákon elektromagnetickej indukcie]], Faradayov indukčný zákon)
**integrálny tvar**

:\oint_{c} \mathbf{E} \cdot\, \mathrm{d}\mathbf{l}=- \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t},\Phi \equiv \int_{S} \mathbf{B} \cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}.

Cirkulácia vektoru **E** po ľubovolnej orientovanej uzavretej krivke *c* je rovná záporne vzatej časovej derivácii magnetického indukčného toku prechádzajúceho plochou *S*, ktorá je ohraničená krivkou *c*. Krivka *c* a ľubovolná plocha *S*, ktorú krivka obopína, sú vzájomne orientované pravotočivo.

**diferenciálny tvar**

:\nabla \times \mathbf{E}=- \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Rotácia vektoru intenzity elektrického poľa **E** je rovná záporne vzatej časovej derivácii magnetickej indukcie **B **.

### Tretia Maxwellova rovnica ([[Gaussov zákon elektrostatiky]])

**integrálny tvar**

:\oint_{S} \mathbf{D}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}=Q,Q= \int_{V} \rho \, \mathrm{d}V.

Elektrický indukčný tok ľubovoľnou von orientovanou plochou *S* je rovný celkovému voľnému náboju v priestorovej oblasti *V* ohraničenej plochou *S*.

**diferenciálny tvar**

:\nabla \cdot \mathbf{D}= \rho.

Divergencia vektoru elektrickej indukcie **D** je rovná objemovej hustote voľného náboja ρ. Ekvivalentná formulácia: siločiary elektrickej indukcie začínajú alebo končia tam, kde je prítomný elektrický náboj.

### Štvrtá Maxwellova rovnica (Zákon spojitosti  magnetického indukčného toku)
**integrálny tvar**

:\oint_{S} \mathbf{B}\cdot \, \mathrm{d}\mathbf{S}=0.

Magnetický indukčný tok ľubovolnou uzavrenou orientovanou plochou *S* je rovný nule.

**diferenciálny tvar**

:\nabla \cdot \mathbf{B}=0.

Divergencia vektoru magnetickej indukcie **B** je rovná nule. Ekvivalentná formulácia: neexistujú magnetické monopóly (neexistujú magnetické náboje).

Fyzikálne premenné použité v Maxwellových rovniciach zhŕňa nasledujúca tabuľka

## Materiálové vzťahy pre materiály s lineárnou závislosťou

Pre širokú triedu materiálov možno predpokladať, že sú veličiny hustota polarizácie **P** (C/m2) a hustota magnetizácie **M** (A/m) vyjadrené ako:

: \mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E} 

: \mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H} 

a že pole **D** a **B** sú s **E** a **H** sú zviazané vzťahmi:

:\mathbf{D} \ \ = \ \ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} \ \ = \ \ (1 + \chi_e) \varepsilon_0 \mathbf{E} \ \ 
= \ \ \varepsilon \mathbf{E} 

:\mathbf{B} \ \ = \ \ \mu_0 ( \mathbf{H} + \mathbf{M} ) \ \ = \ \ (1 + \chi_m) \mu_0 \mathbf{H} \ \ 
= \ \ \mu \mathbf{H}, 

kde:

 \chi_e  je elektrická susceptibilita materiálu,

 \chi_m  je magnetická susceptibilita materiálu,

**ε** je elektrická permitivita materiálu a

**μ** je magnetická permeabilita materiálu

V nedisperznom izotropnom prostredí sú ε a μ skaláry nezávislé od času, takže Maxwellove rovnice prejdú na tvar:

:\nabla \cdot \varepsilon \mathbf{E} = \rho 

:\nabla \cdot \mu \mathbf{H} = 0

:\nabla \times \mathbf{E} = - \mu \frac{\partial \mathbf{H}} {\partial t}

:\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{j} + \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}

V homogénnom prostredí sú ε a μ konštanty nezávislé od polohy a možno teda ich polohu zameniť s parciálnymi deriváciami podľa súradníc.

Všeobecne môžu byť ε a μ tenzormi druhého stupňa, ktoré potom odpovedajú popisu dvojlomových (anizotropných) materiálov. Nehľadiac na tieto priblíženia však každý reálny materiál vykazuje istú materiálovú disperziu, kvôli ktorej ε alebo μ závisí na frekvencii.

Pre väčšinu typov vodičov platí medzi prúdom a elektrickou intenzitou Ohmov zákon v tvare

:\mathbf{j} = \gamma \mathbf{E},

kde *γ* je merná vodivosť daného materiálu.

## Maxwellove rovnice ako vlnové rovnice potenciálov

Ekvivalentne (a často s výhodou) možno vyjadriť Maxwellove rovnice pomocou skalárneho a vektorového potenciálu \Phi\,\! a \vec A\,\!, ktoré sú definované tak, aby platilo

:\vec B = \nabla\times\vec A 

:\vec E = -\nabla\Phi - \frac{\partial \vec A}{\partial t}.

\vec E\,\! a \vec B\,\! sa pritom nezmenia, ak od potenciálu \Phi\,\! odčítame ľubovolnú \frac{\partial \xi}{\partial t}, alebo k \vec A\,\! pričítame \nabla\xi, kde \xi\,\! je ľubovolná skalárna funkcia. 
Preto pre jednoduchosť výsledných rovníc môžeme navyše zvoliť tzv. Lorentzovu kalibračnú podmienku

:\nabla\cdot\vec A +\varepsilon\mu\frac{\partial \Phi}{\partial t}=0.

Maxwellove rovnice potom majú tvar vlnových rovníc v časopriestore

:\square \Phi = -\frac{\rho}{\varepsilon},

:\square \vec A = -\mu\,\vec j ,

kde \square je d’Alembertov operátor.

V špeciálnej teórii relativity tvorí elektrický a magnetická potenciál dohromady štvorvektor nazývaný štvorptenciál A^\nu. D'Alembertov operátor je tiež možné zobecniť na štvorvektory. V tomto formalizme (a s predpokladom Lorenzovej podmienky) sa dajú všetky Maxwellove rovnice napísať pomocou jednej nehomogénnej vlnovej rovnici

\Box A^\nu = -\mu J^\nu, 

kde J^\nuje elektrický štvorprúd a \mu je permeabilita. Vo vákuu je štvorprúd nulový, takže rovnica sa stane homogénnou a jej riešenie zodpovedá šíreniu elektromagnetických vĺn.

## Zdroj
* 

Kategória:Elektromagnetizmus
Kategória:Eponymické termíny vo fyzike