Obelisk (geometria)

náhľad|Obelisk s podstavou päťuholníka

**Obelisk** je mnohosten, vykonštruovaný dvoma paralelnými mnohouholníkmi, ktorých bočné steny sú lichobežníky. Jedná sa o zrezaný ihlan s mnohouholníkovou podstavou.

Ide o 3-rozmerný priestorový útvar v euklidovskej geometrii. Najbežnejšie sú obelisky s podstavou štvorca, obdĺžnika, trojuholníka, päťuholníka či šesťuholníka, no známe sú aj obelisky s podstavou osemuholníka či desaťuholníka. Takmer všetky obelisky sú mnohosteny, s výnimkou tzv. zrezaného kužeľa, ktorého podstava je kruh, no možná je aj podstava elipsy podobne ako u eliptického valca. Žiaden obelisk s mnohouholníkovou podstavou nemožno vytvoriť rotáciou. Naopak, obelisk s kruhovou podstavou je možné vytvoriť okrem zrezania čiapky kužeľa, aj rotáciou pravouhlého lichobežníka. 

## Vlastnosti
Každý obelisk s podstavou mnohouholníka sa radí medzi prismatoidy. Vďaka tomu, že jeho plášť tvoria lichobežníky, spadá daný prismatoid pod skupinu obeliskov. Všeobecne platí, že mnohouholník či kruh hornej podstavy musí byť n-krát menší, než mnohouholník či kruh dolnej podstavy. V prípade, že sú obe podstavy rovnako veľké, ich plášť nemôže byť tvorený lichobežníkmi, ale obdĺžnikmi čo stvorcami, čo je hranol, nie obelisk. To isté platí aj v prípade kruhovej podstavy. Ak sú kruhy oboch podstáv rovnako veľké, jedná sa o valec, nie obelisk (v tomto prípade zrezaný kužeľ). Aj v prípade že dve eliptické podstavy sú rovnako veľké, vzniká eliptický valec. Obelisky sú útvary konvexné. Ďalej existujú nepravidelné obelisky, ktoré majú za podstavy nepravidelné mnohouholníky a majú teda neurčité tvary plášťa. 

## Druhy pravidelných obeliskov

### Základný (štvorcový) obelisk
Je tvorený dvoma paralelnými štvorcami tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvoria 4 rovnoramenné lichobežníky, ktorých dĺžka strany a (dolná, najdlhšia strana) je zhodná s dĺžkou strany a v dolnej podstave štvorca. Toto isté tvrdenie platí aj na hornú stranu lichobežníka c ktorá je zhodná s dĺžkou strany a v hornej podstave štvorca. Preto:

:a_1 = A a c = a

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

:O = 4A

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

:O_1 = 4a

Objem vypočítame ako:

:V = \frac{1}{3}(A^2+Aa+a^2)h

Obsah plášťa vypočítame ako:

:A_L = 4\frac{(a_1+c)\cdot v}{2}

Pretože obsah lichobežníka vypočítame ako S = \frac{(a_1+c)\cdot v}{2}, a plášť základného obelisku tvoria 4 rovnaké rovnoramenné lichobežníky, stačí iba obsah lichobežníka vynásobiť štyrmi. Povrch vypočítame ako:

:A_T = A_L + (S_1+S_2)

kde:

:a je strana hornej štvorcovej podstavy

:a_1 je dolná, najdlhšia strana rovnoramenného lichobežníka 

:c je horná, najkratšia strana rovnoramenného lichobežníka

:A je strana dolnej štvorcovej podstavy

:h je výška

:S  je obsah lichobežníka

:S_1 je obsah dolnej podstavy

:S_2  je obsah hornej podstavy

### Obdlžníkový obelisk
Je tvorený dvoma paralelnými obdlžníkmi tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvoria 4 rovnoramenné lichobežníky, niesu však všetky rovnaké. Sú to 2 paralelné predné lichobežníky ktorých horná, najkratšia strana c je rovnako dlhá ako najdlhšia strana hornej podstavy a. Ďalej sú tu 2 bočné lichobežníky ktorých horná, najkratšia strana c_1je rovnako dlhá ako bočná, najkratšia strana hornej obdlžníkovej podstavy, b. Ďalej najdlhšia, dolná strana predných lichobežníkov a_1 je rovnako dlhá ako najdlhšia strana dolnej podstavy A. To isté platí aj pre bočné lichobežníky, ktorých najdlhšie, dolné strany a_2 sú rovnako dlhé ako bočné strany dolnej podstavy, B. Preto:

:c = a, c_1 = b, a_1 = A a a_2 = B

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

:O = 2(A+B)

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

:O_1 = 2(a+b)

Objem vypočítame ako:

:V_1 = \frac{h}{6}(Ab+aB+2(ab+AB))

Alebo ako: 

:V_2 = \frac{1}{6}h[AB+ab+(A+a)(B+b)]

Obsah plášťa vypočítame ako:

:A_L = 2\frac{(a_1+c)}{2} + 2\frac{(a_2+c_1)}{2}

Povrch vypočítame ako:

:A_T = A_L + AB + ab

kde:

:a je najdhlšia strana hornej podstavy (predná strana)

:b je najkratšia strana hornej podstavy (bočná strana)

:A je najdhlšia strana dolnej podstavy (predná strana)

:B je najkratšia strana dolnej podstavy (bočná strana)

:c je horná, najkratšia strana predných lichobežníkov

:c_1 je horná, najkratšia strana bočných lichobežníkov

:a_1 je dolná, najdlhšia strana predných lichobežníkov

:a_2 je dolná, najdhlšia strana bočných lichobežníkovA

:h je výška

### Rovnostranný trojuholníkový obelisk
Je tvorený dvoma paralelnými rovnostrannými trojuholníkmi tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvoria 3 rovnoramenné lichobežníky. Každá stena je priamo prepojená s ďalšími dvomi, vďaka vlastnosti trojuholníku. Z geometrického hľadiska, ide o zrezaný pravidelný štvorsten. Vďaka tomu že podstava je rovnostranný trojuholník, existuje len strana hornej podstavy a a dolnej podstavy A. Horná, najkratšia strana lichobežníka c je rovnako dlhá ako strana a. Dolná, najdlhšia strana lichobežníka a_1je rovnako dlhá ako strana dolnej podstavy A. Preto:

:c = a a a_1 = A

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

:O = 3A

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

:O_1 = 3a

Objem vypočítame ako: 

:V = \frac{h}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2})

Obsah plášťa vypočítame ako: 

:A_L = 3\frac{(a_1+c)}{2}

Povrch vypočítame ako: 

:A_T = A_L + S_1 + S_2

kde:

:a je strana hornej podstavy

:A  je strana dolnej podstavy

:c je horná, najkratšia strana lichobežníka

:a_1  je dolná, najdlhšia strana lichobežníka

:S_1 je obsah hornej podstavy

:S_2 je obsah dolnej podstavy

:h je výška

### Pentagonálny obelisk
Je tvorený dvoma paralelnými pravidelnými konvexnými päťuholníkmi tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvorí 5 rovnoramenných lichobežníkov. Vďaka tomu že ide o pravidelný konvexný polygón s rovnakými dĺžkami strán, existujú len strana hornej podstavy a a strana dolnej podstavy A. Najkratšia, horná strana lichobežníka c má takú istú dĺžku ako strana hornej podstavy a. Najdlhšia, dolná strana lichobežníka a_1 má takú istú dĺžku ako strana dolnej podstavy A. Preto:

:c = a a a_1 = A

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

:O = 5A

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

:O_1 = 5a

Objem vypočítame ako:

:V = \frac{h}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2})

Obsah plášťa vypočítame ako: 

:A_L = 5 \frac{(a_1+c)}{2}

Povrch vypočítame ako:

:A_T = A_L + S_1 + S_2

kde:

:a je strana hornej podstavy

:A  je strana dolnej podstavy

:c je horná, najkratšia strana lichobežníka

:a_1 je dolná, najdlhšia strana lichobežníka

:S_1 je obsah hornej podstavy

:S_2 je obsah dolnej podstavy

:h je výška

### Hexagonálny obelisk
Je tvorený dvoma paralelnými pravidelnými konvexnými hexagónmi (šesťuholníkmi) tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvorí 6 rovnoramenných lichobežníkov. Vďaka vyššie uvedenej vlastnosti pravidelných konvexných polygónov s rovnakými dĺžkami strán, existujú len strana hornej podstavy a a strana dolnej podstavy A. Najkratšia, horná strana lichobežníka c má takú istú dĺžku ako strana hornej podstavy a. Najdlhšia, dolná strana lichobežníka a_1 má takú istú dĺžku ako strana dolnej podstavy A. Preto:

:c = a a a_1 = A

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

:O = 6A

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

:O_1 = 6a

Na výpočet objemu znova použijeme vzorec na výpočet objemu obeliskov s podstavou pravidelného konvexného polygónu a pod.:

:V = \frac{h}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2})

Obsah plášťa vypočítame ako:

:A_L = 6 \frac{(a_1+c)}{2}

Povrch vypočítame ako:

:A_T = A_L + S_1 + S_2

kde:

:a je strana hornej podstavy

:A je strana dolnej podstavy

:c je horná, najkratšia strana lichobežníka

:a_1 je dolná, najdlhšia strana lichobežníka

:S_1 je obsah hornej podstavy

:S_2 je obsah dolnej podstavy

:h je výška

### Zrezaný kužeľ
Je objekt zkonštruovaný rotáciou pravouhlého lichobežníka o 360°. Jedná sa o špeciálny typ obelisku, kedže sa nezakladá na polygonálnej (mnohouholníkovej) podstave.

Je tvorený dvoma paralelnými kruhmi. Jeho plášť je výsledkom zrezania kužeľa. Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

:O = 2 \pi r_1

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

:O_1 = 2 \pi r_2

Objem vypočítame ako:

:V = \frac{1}{3} \pi (r_1^2+r_1r_2+r_2^2)h

Bočnú stranu kužeľa vypočítame ako:

:k = \sqrt{(r_1-r_2)^2+h^2}

Obsah plášťa vypočítame ako:

:A_L = \pi k(r_1+r_2)

Alebo ako:

:A_L = \pi (r_1+r_2)\sqrt{(r_1-r_2)^2+h^2}

Povrch vypočítame ako:

:A_T = \pi (r_1^2+r_2^2)+ \pi k(r_1+r_2)

Alebo ako:

:A_T = A_L + (2 \pi r_1)+(2 \pi r_2)

kde:

:r_1 je polomer dolnej podstavy

:r_2 je polomer hornej podstavy

:h je výška

## Referencie

Kategória:Priestorové útvary