Integrál

**Integrál** je spolu s deriváciou najdôležitejší pojem matematickej analýzy. Pojem integrálu je zovšeobecnením pojmov ako plocha, objem, súčet či suma. Integrovanie je opačná operácia k derivovaniu.

## Neurčitý integrál
*Definícia:* Funkcia *F* sa nazýva primitívna funkcia k funkcii *f* na otvorenom intervale *I*, ak platí *F*'&nbsp;=&nbsp;*f* na intervale *I*.

:\int {f(x)}\, \mathrm{d}x = F(x) + c.

Hľadanie neurčitého integrálu (primitívnej funkcie) je opačný proces k určovaniu derivácie. Pri výpočte sa vychádza zo známych integrálov (tzv. tabuľkové integrály) a využíva sa lineárnosť, metóda per partes a substitučná metóda.

## Určitý integrál
260px|thumb|Integrál ako plocha pod krivkou.
Jednoducho povedané, určitý integrál nezápornej funkcie *f(x)* medzi nejakými dvoma bodmi *a, b* je rovný ploche obrazca ohraničeného priamkami *x = a, x = b*, osou *x* a krivkou definovanou funkciou *f*. Formálnejšie povedané, taký integrál je rovný miere množiny *S* definovanej ako
:S= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2:a \leq x \leq b ,0 \leq y \leq f(x)\}.

Integrál sa označuje štylizovaným pretiahnutým písmenom *ſ* (tzv. dlhé s; z lat. *ſumma*, *summa*). Toto značenie zaviedol matematik Gottfried Leibniz. 

Integrál opísaný v predchádzajúcom odseku by sa zapísal ako \begin{matrix}\int^b_af(x)\,\mathrm{d}x\end{matrix}, kde znak \begin{matrix}\int\end{matrix}
označuje integrovanie, *a* a *b* sú integračné medze (len pri určitom integrále), d*x* označuje premennú, podľa ktorej sa integruje (pôvodne označovalo infinitezimálnu hodnotu, ale dnes slúži len ako rýdzo symbolické označenie bez ďalšieho významu).
### Príklad
Plocha pod krivkou fx=2x+3, pre 4
:\int_4^7 {\ 2x+3} \,\mathrm{d}x = \left[ x^2+3x \right]_{4}^{7} =  70 - 28 = 42

## Tabuľkové integrály

:\int {0} \,\mathrm{d}x = c
:\int {x^n} \,\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c ; n \in \R -\lbrace -1\rbrace
:\int {\frac{1}{x}} \,\mathrm{d}x = \ln |x| + c
:\int {a^x} \,\mathrm{d}x = \frac{a^x}{\ln a} + c ; a \in {\R}^{+} - \lbrace 1 \rbrace
:\int {e^x} \,\mathrm{d}x = e^x + c
:\int {\sin x} \,\mathrm{d}x = -\cos x + c
:\int {\cos x} \,\mathrm{d}x = \sin x + c
:\int {\frac{1}{\sin^2 x}} \,\mathrm{d}x = -\operatorname{cotg} \,x + c
:\int {\frac{1}{\cos^2 x}} \,\mathrm{d}x = \operatorname{tg} \,x + c
:\int {1} \,\mathrm{d}x = x + c

### Aplikované tabuľkové integrály
:\int {\frac{1}{x^2}} \,\mathrm{d}x = \int  \,\mathrm{d}x = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + c = - \frac{1}{x} + c

## Presnejšia definícia

Existuje veľa definícií integrálu, ktoré pre *rozumne správajúce sa funkcie* vedú k rovnakým výsledkom. Z nich najdôležitejšie sú Riemannov integrál a Lebesgueov integrál. 

Riemannov integrál navrhol Bernhard Riemann roku 1854 a išlo o prvú definíciu integrálu zodpovedajúcu dnešným pomerom. Lebesgueov integrál vytvoril Henri Lebesgue. 
Lebesgueov integrál a ďalšie, ešte pokročilejšie integrály, umožňujúce integrovať širšie triedy funkcií, platia pre ne silnejšie verzie mnohých tvrdení a poskytujú mnohé výhody. 
Patrí sem napríklad Kurzweilov integrál.

## Komplexný integrál
V komplexných číslach sa spravidla používajú krivkové integrály. Ak tieto integrály prebiehajú po uzavretej krivke v komplexnej rovine, potom je spravidla možné ich spočítať pomocou reziduálnej vety, Cauchy-ovho vzorca alebo Cauchy-ovej vety.

## Referencie

Kategória:Integrálny počet