Tálesova veta

V geometrii **Tálesova veta** (pomenovaná podľa gréckeho filozofa Tálesa z Milétu) hovorí, že ak A, B, C sú body na kružnici, kde AC je priemer kružnice, potom uhol ABC je pravý uhol.

## Dôkaz

Pri dôkaze použijeme nasledovné tvrdenia:
* súčet vnútorných uhlov v trojuholníku sa rovná 180°,
* základňové uhly rovnoramenného trojuholníka sú rovnaké.

Nech O je stred kružnice. Keďže platí OA = OB = OC, OAB a OBC sú rovnoramenné trojuholníky a na základe rovnosti základňových uhlov rovnoramenných trojuholníkov, OBC = OCB a BAO = ABO. Označme uhly \gamma = BAO a \delta = OBC. Tri vnútorné uhly trojuholníka ABC sú potom  \gamma, \gamma + \delta a \delta. Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka je 180°:

:\gamma + (\gamma +\delta) + \delta = 180^\circ

z toho vyplýva po úprave 

: 2\gamma + 2\delta = 180^\circ\quad \Rightarrow\quad \gamma + \delta = 90^\circ,

čo bolo treba dokázať.

## Zovšeobecnenie

Tálesova veta je špeciálnym prípadom nasledovnej vety:

:Nech sú dané tri body A, B a C na kružnici so stredom O, potom uhol AOC je dvakrát taký veľký ako uhol ABC.
Dôkaz tejto vety je podobný ako dôkaz Tálesovej vety uvedený vyššie.

## Aplikácie

### Konštrukcia dotyčnice kružnice

Tálesovu vetu môžeme použiť na konštrukciu dotyčnice danej kružnice, ktorá pretína daný bod (pozri obrázok). Nech je daná kružnica *k* so stredom *O* a vonkajší bod *P* mimo kružnice, chceme skonštruovať (na obrázku červenú) dotyčnicu (dotyčnice) kružnice *k*, ktorá pretína bod *P*. Označme bod, v ktorom sa (zatiaľ neznáma) dotyčnica *t* dotýka kružnice ako *T*. Zo symetrie je zrejmé, že polomer *OT* je kolmý na túto dotyčnicu. Nájdime stred *H* na úsečke spájajúcej body *O* a *P* a obkreslime kružnicu so stredom *H* cez tieto body. Podľa Tálesovej vety je hľadaný bod *T* priesečník tejto kružnice s danou kružnicou *k*, pretože to je bod na kružnici *k*, ktorý tvorí s bodmi *O* a *P* pravouhlý trojuholník *OTP*.

Pretože spomínané dve kružnice sa pretnú v dvoch bodoch, týmto spôsobom môžeme zostrojiť obe dotyčnice.

### Určenie stredu kružnice
rám|Ilustrácia: Určenie stredu kružnice použitím Tálesovej vety.
Použitím Tálesovej vety je možné nájsť stred kružnice pomocou objektu s pravým uhlom, napríklad listu papiera štvorcového alebo obdĺžnikového tvaru, ktorý je väčší ako kružnica. *(Aspoň jedna strana objektu je dlhšia ako priemer kružnice, pozn. prekl.)*
# Vrchol pravého uhla umiestnime kdekoľvek na kružnicu (obrázok 1).
# Pomocou priesečníkov strán pravého uhla s vrcholom na kružnici a kružnice vytvoríme úsečku – priemer kružnice (obrázok 2).
# Postup zopakujeme s inou dvojicou priesečníkov a vytvoríme ďalší priemer (obrázok 3).
: Stred kružnice sa nachádza v priesečníku vytvorených priemerov.

## História

Táles nebol prvý, ktorý formuloval túto vetu, keďže Egypťania aj Babylončania ju poznali, pravdepodobne empiricky, pretože sa nenašli žiadne dokumenty s jej dôkazom. Veta je pomenovaná po Tálesovi, ktorému sa pripisuje jej prvý dôkaz. Táles použil svoje vlastné výsledky o základňových uhloch rovnoramenného trojuholníka a súčte vnútorných uhlov v trojuholníku.

## Referencie


## Externé odkazy
* Kružnica a dotyčnica

Kategória:Dôkazy
Kategória:Matematické vety
Kategória:Trigonometria
Kategória:Eponymické termíny v matematike

## Zdroj