Elastická kolízia

alt=|náhľad|Simulácia pružných zrážok častíc (molekúl) v uzavretej štvorcovej oblasti. Pri zrážkach dochádza popri zachovaniu kinetickej energie aj zachovanie hybnosti; pri zrážke so stenou dochádza k odraze častice analogicky ako dochádza k odrazu svetla od rozhrania.
**Elastická kolízia** alebo **pružná zrážka** dvoch častíc je taká zrážka, pri ktorej sa nemení vnútorný stav častíc, nedochádza k premene mechanickej energie na iné formy energie, ako napríklad teplo, zvuk a potenciálnu energiu – zachováva sa teda kinetická energia kolidujúcich objektov. Z dôvodu nemennosti vnútornej stavby častíc teda nemusíme pri štúdiu elastických kolízií brať do úvahy vnútornú energiu častíc.

Počas samotnej kolízie dochádza k premene kinetickej energie na potenciálnu. Táto premena závisí od zákona interakcie medzi kolidujúcimi časticami, závisí teda od interakčného potenciálu (napr. Coulombov potenciál pre zrážky atómov). Zákony zachovania však poskytujú množstvo informácie o stave častíc pred a po zrážke.

Zrážky medzi atómami sú elastického charakteru, napr. rozptyl alfa častíc na atómoch zlata, tzv. Rutherfordov rozptyl, je veľmi dobre popísaný aparátom klasickej mechaniky, t.j. Newtnovsky (klasicky) popísanými elastickými kolíziami. Zrážky molekúl tekutín a zrážky makroskopických objektov (napr. biliardových gulí) možno v niektorých prípadoch aproximovať elastickými kolíziami.

## Jednorozmerné kolízie

### Newtonovský popis
[náhľad|Americký profesor [Walter Lewin vysvetľujúci jednorozmerné pružné zrážky.]]
Majme dve častice (hmotné body) hmotností m_1 a m_2 pohybujúce sa rýchlosťami v_1 a v_2 v jednom rozmere (znamienko rýchlosti určuje smer pohybu). Označme u_1 a u_2 rýchlosti častíc po zrážke. Z definície elastických kolízií platí, že sa zachováva kinetická energia častíc, t.j. platí rovnica

:\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 = \frac{1}{2}m_1 u_1^2 + \frac{1}{2}m_2 u_2^2.

Keďže na náš systém nepôsobí žiadna externá sila, zachováva sa celková hybnosť častíc, môžeme teda písať

:m_1v_1 + m_2v_2 = m_1u_1 + m_2u_2.

Riešiť elastickú kolíziu dvoch častíc v jednom rozmere teda znamená riešiť sústavu rovníc

:\begin{cases}
m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 = m_1 u_1^2 + m_2 u_2^2, \\
m_1v_1 + m_2v_2 = m_1u_1 + m_2u_2,
\end{cases}

pre neznáme výsledné rýchlosti u_1 a u_2.

#### Pomocné tvrdenie
Predtým, než sa pustíme k riešeniu uvedenej sústavy rovníc si dokážeme pomocné tvrdenie:

:*Relatívne rýchlosti častíc pred a po kolízii sú navzájom opačné, t.j. relatívna rýchlosť častíc pred kolíziou je mínus relatívna rýchlosť častíc po kolízii.*
Zo zákonu zachovania hybnosti (druhá rovnica našej sústavy rovníc) máme 

:m_1(v_1-u_1)=m_2(u_2-v_2). 

Keďže prípad v_1=u_1, v_2=u_2 je triviálne riešenie (nedošlo ku kolízii, častice *"prešli cez seba"* bez interakcie), uvažujme prípad, kde rozdiel počiatočných a konečných rýchlostí je nenulový. Dostávame tak 

:\frac{m_1(v_1-u_1)}{m_2(u_2-v_2)}=1. 

Zo zákona zachovania energie (prvá rovnica v našej sústave rovníc) máme 

:m_1 (v_1^2 - u_1^2 )=m_2 (u_2^2 - v_2^2). 

Ďalej využijeme formulu a^2 - b^2 = (a-b)(a+b), teda 

:m_1(v_1-u_1)(v_1+u_1)=m_2(u_2-v_2)(u_2+v_2) \implies \frac{m_1(v_1-u_1)}{m_2(u_2-v_2)}(v_1+u_1)=v_2+u_2. 

Ale keďže uvedený zlomok násobiaci súčet v_1 + u_1 je rovný jednej, dostávame 

:v_1+u_1 = v_2+u_2, 

z čoho máme 

:v_1 -v_2 = -(u_1 - u_2), 

čo sme chceli ukázať.  

#### Konečné riešenie
Dokázaním spomenutého pomocného tvrdenia môžeme našu pôvodnú sústavu rovníc prepísať na sústavu dvoch lineárnych rovníc, ktorej riešenie je jednoduchšie. Konkrétne riešime systém

:\begin{cases}
m_1v_1 + m_2v_2 = m_1u_1 + m_2u_2, \\
v_1+u_1=v_2+u_2.
\end{cases}

Vyjadrením rýchlosti u_1
 z druhej rovnice ako u_1 = v_2 - v_1 + u_2 a dosadením do prvej rovnice dostávame

:m_1v_1+m_2v_2 = m_1v_2-m_1v_1+m_1u_2 + m_2u_2,

a teda

:u_2 = \frac{2m_1v_1 + (m_2-m_1)v_2}{m_1+m_2}.

Dosadením výrazu pre u_2 do výrazu pre u_1 dostávame finálnu formulu pre konečné rýchlosti u_1, \ u_2 častíc s hmotnosťami m_1, \ m_2 (s počiatočnými rýchlosťami v_1, \ v_2):

:u_1 = \frac{2m_2v_2 + (m_1-m_2)v_1}{m_1+m_2},
:u_2 = \frac{2m_1v_1 + (m_2-m_1)v_2}{m_1+m_2}.

#### Konkrétne príklady
V prípade, že obe častice majú rovnakú hmotnosť sa kolízia prejaví zmenou vzájomnou výmenou hybností dvoch častíc. Môžeme to vidieť na nasledujúcich ilustráciách:
stred|náhľad|500x500bod|Jednorozmerná elastická dvoch častíc s rovnakými hmotnosťami, pričom jedna z častíc je stacionárna.
stred|náhľad|500x500bod|Jednorozmerná elastická kolízia dvoch častíc s rovnakými hmotnosťami, pričom obe častice sa pohybujú.
Vo všeobecnejšom prípade je potrebné použiť nami odvodené vzťahy pre finálne rýchlosti po zrážke. Nasledujúca ilustrácia zobrazuje kolíziu dvoch častíc s rovnakou, ale v znamienku opačnou rýchlosťou, pričom jedná z častíc má dvojnásobnú hmotnosť ako druhá:
stred|náhľad|500x500bod|Jednorozmerná elastická kolízia dvoch všeobecnejších častíc.

#### Laboratórna a ťažisková vzťažná sústava
Opis elastických kolízií sa značne zjednodušení zavedením dvoch inerciálnych vzťažných sústav – *laboratórnej* a *ťažiskovej* vzťažnej sústavy. Použitie týchto sústav má najväčší význam pri trojrozmerných (resp. dvojrozmerných) kolíziách.

* *Laboratórna vzťažná sústava* je taká inerciálna vzťažná sústava, v ktorej je jedna z častíc v pokoji a druhá sa pohybuje rýchlosťou v (napr. sústava pri ostreľovaní nehybných atómov zlata alfa časticami pri Rutherfordovom experimente).
* *Ťažisková vzťažná sústava* je taká inerciálna vzťažná sústava, v ktorej je ťažisko častíc m_1 a m_2 v pokoji.

Poloha ťažiska x_T je polohami x_1 a x_2 našich častíc daná ako

:x_T = \frac{m_1 x_1+m_2 x_2}{m_1 + m_2},

teda pre rýchlosť ťažiska platí (bodka nad veličinou označuje časovú deriváciu)

:\dot{x}_T = \frac{m_1 \dot{x}_1+m_2 \dot{x}_2}{m_1 + m_2}=\frac{m_1 v}{m_1 + m_2},

za predpokladu že druhá častica je v laboratórnej vzťažnej sústave v pokoji. Ak chceme vyjadriť rýchlosti v_1^T a v_2^T častíc m_1 a m_2 v ťažiskovej vzťažnej sústave (kde horný index T značí, že sa nachádzame v ťažiskovej vzťažnej sústave), musíme transformovať rýchlosti z laboratórnej vzťažnej sústavy do ťažiskovej využijúc Galileiho transformáciu:

:v_1^T=v-\dot{x}_T=\frac{m_2}{m_1+m_2}v,
:v_2^T=0-\dot{x}_T=-\frac{m_1}{m_1+m_2}v.

Zo zákonu zachovania hybnosti máme (ak označíme u_1^T, \ u_2^T konečné rýchlosti častíc po zrážke)

:m_1v_1^T + m_2v_2^T = m_1u_1^T + m_2u_2^T,

ale keďže

:m_1v_1^T + m_2v_2^T = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}v - \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}v=0,

tak dostávame, že hybnosti častíc po zrážke sú v absolútnej hodnote totožné. Zo zákona zachovania energie máme

:m_1(v_1^T)^2+m_2(v_2^T)^2=m_1(u_1^T)^2+m_2(u_2^T)^2,

ale

:m_1(v_1^T)^2+m_2(v_2^T)^2=\frac{m_1m_2^2}{(m_1+m_2)^2}v^2+\frac{m_2m_1^2}{(m_1+m_2)^2}v^2=\frac{m_1m_2(m_1+m_2)}{(m_1+m_2)^2}v^2;
:m_1(v_1^T)^2+m_2(v_2^T)^2=\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}v^2.

Keďže platí, že výsledné hybnosti sú v absolútnej hodnote totožné, môžeme povedať u_1^T=-\frac{m_2}{m_1} u_2^T. Dosadením to rovnice pre zákon zachovania energie dostávame

:m_1(u_1^T)^2+m_2(u_2^T)^2=\frac{m_2^2}{m_1} (u_2^T)^2+m_2 (u_2^T)^2 = \frac{m_2}{m_1}(m_1+m_2)(u_2^T)^2.

Porovnaním s predchádzajúcim výsledkom máme pre kvadráty výsledných rýchlostí nasledujúce formuly

:(u_1^T)^2=\frac{m_2^2}{(m_1+m_2)^2}v^2;
:(u_2^T)^2=\frac{m_1^2}{(m_1+m_2)^2}v^2 ,

čo znamená, že výsledné rýchlosti sú v ťažiskovej sústave vo veľkosti totožné, ako pôvodné rýchlosti. Vcelku teda máme, že v ťažiskovej sústave sa kolízia redukuje na zmenu smeru rýchlosti častíc, pričom veľkosti týchto rýchlostí sú po zrážke totožné ako pred zrážkou – ťažisková sústava je týmto faktom výnimočná; zovšeobecnenie do viac rozmerov je triviálne, platí tam rovnaké tvrdenie.

## Trojrozmerné kolízie
Majme častice m_1, \ m_2 v laboratórnej vzťažnej sústave (*pozri predchádzajúcu sekciu*), pričom častica m_2 je v tejto sústave v pokoji a častica m_1 sa pohybuje rýchlosťou \mathbf{v}. Označme rýchlosti týchto častíc v ťažiskovej sústave ako \mathbf{v}_1^T, \ \mathbf{v}_2^T. Výsledné rýchlosti v laboratórnej sústave nech sú \mathbf{u}_1, \ \mathbf{u}_2; označenie výsledných rýchlosti v ťažiskovej sústave nech má horný index T. Pre pôvodné rýchlosti v ťažiskovej sústave máme

:\mathbf{v}_1^T = \frac{m_2}{m_1+m_2}\mathbf{v};
:\mathbf{v}_2^T = -\frac{m_1}{m_1+m_2}\mathbf{v},

pričom odvodenie je totožné ako v jednorozmernom príklade. Rovnakými úvahami, ako v jednorozmernom prípade dospejeme k záveru, že zo zákonu zachovania energie a zákonu zachovania hybnosti platí, že v ťažiskovej sústave sa kolízia redukuje na zmenu smeru rýchlosti častíc, pričom rýchlosti častíc sú navzájom opačné a vo veľkostí totožné ako ich pôvodné rýchlosti. Nech \mathbf{n} je jednotkový vektor smeru pohybu prvej častice po zrážke, potom máme pre výsledné rýchlosti v ťažiskovej sústave (|\cdot| označuje veľkosť vektora)

:\mathbf{u}_1^T=\frac{m_2}{m_1+m_2}|\mathbf{v}|\mathbf{n};
:\mathbf{u}_2^T=-\frac{m_1}{m_1+m_2}|\mathbf{v}|\mathbf{n},

alebo v laboratórnej sústave

:\mathbf{u}_1=\frac{m_2}{m_1+m_2}|\mathbf{v}|\mathbf{n}+\frac{m_1}{m_1+m_2}\mathbf{v};
:\mathbf{u}_2=-\frac{m_1}{m_1+m_2}|\mathbf{v}|\mathbf{n}+\frac{m_1}{m_1+m_2}\mathbf{v}.

Smer \mathbf{n}, t.j. smer odrazu prvej častice (a v princípe aj druhej) závisí od konkrétnej povahy interakcie medzi časticami (napr. Coulombova interakcia pri zrážkach atómov).

### Geometrický pohľad
Preskúmajme aké sú uhly, pod ktorými sa naše častice po zrážke pohybujú. Označme hybnosť prvej častice pred zrážkou v laboratórnej sústave ako \mathbf{p}=m_1 \mathbf{v}. Častice po zrážke nadobudnú hybnosti \mathbf{q}_1 = m_1 \mathbf{u}_1 a \mathbf{q}_2 = m_2 \mathbf{u}_2 v laboratórnej sústave. Dosadením výrazov pre \mathbf{u}_1, \ \mathbf{u}_2 z predchádzajúcej sekcie dostávame

:\mathbf{q}_1 = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}|\mathbf{v}|\mathbf{n}+\frac{m_1}{m_1+m_2}\mathbf{p};
:\mathbf{q}_2 = -\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}|\mathbf{v}|\mathbf{n}+\frac{m_2}{m_1+m_2}\mathbf{p}.

Nech teraz os x je určená vektorom \mathbf{p}, t.j. \mathbf{p}/|\mathbf{p}|=(1,0,0).  Vektory \mathbf{p}, \ \mathbf{n}, \ \mathbf{q_1}, \ \mathbf{q_2} sú komplanárne, ležia teda v jednej rovine (povedzme v xy rovine). Označme odklony vektorov \mathbf{n}, \ \mathbf{q_1}, \ \mathbf{q_2} od vektora (1,0,0) postupne \phi, \ \theta_1, \ \theta_2; uhol \phi určuje smer pohybu prvej častice v ťažiskovej sústave; uhly \theta_1, \ \theta_2 určujú smer pohybu častíc v laboratórnej sústave.

Ak poznáme uhol \phi, potom vieme o pohybe častíc v laboratórnej sústave všetko. Vyjadrime teda uhly \theta_1, \ \theta_2 pomocou uhla \phi. Skalárne vynásobme rovnicu pre \mathbf{q}_1 vektorom (1,0,0), pričom si uvedomíme, že skalárny súčin dvoch vektorov je daný ako \mathbf{a}  \cdot{}  \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos{(\varphi)}, kde \varphi je uhol medzi danými vektormi. Dostávame tak

:|\mathbf{q}_1|\cos{\theta_1}=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}|\mathbf{v}|\cos{\phi}+\frac{m_1^2}{m_1+m_2}|\mathbf{v}|.

Ak znova skalárne vynásobíme rovnicu pre \mathbf{q_1}, tentokrát vektorom (0,1,0), dostávame

:|\mathbf{q}_1|\cos{(\pi/2-\theta_1)}=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}|\mathbf{v}|\cos{(\pi/2-\phi)},

keďže uhol medzi našimi vektormi a (0,1,0) je doplnok ich uhlov od vektora (1,0,0) do pravého uhla. Využitím formuly\cos{(\pi/2 - \varphi)}=\sin\varphi dostávame

:|\mathbf{q}_1|\sin{\theta_1}=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}|\mathbf{v}|\sin{\phi}.

Ak predelíme nami odvodené formuly, dostaneme vyjadrenie pre tangens uhla \theta_1

:\tan{\theta_1}=\frac{m_2 \sin{\phi}}{m_2 \cos{\phi}+m_1}.

Rovnakým spôsobom dostaneme vyjadrenie aj pre tangens uhla \theta_2, konkrétne

:\tan{\theta_2}=\frac{\sin{\phi}}{1-\cos{\phi}}.

Treba poznamenať, že pre priamu kolíziu (\phi=0) daná formula neplatí, keďže v menovateli by sme dostali nulu. Dané vyjadrenie môžeme upraviť, nakoľko \sin{\varphi}/(1-\cos{\varphi})=\cot{(\varphi/2)}, teda

:\tan{\theta_2}=\cot{\frac{\phi}{2}}\implies\tan{\frac{\phi}{2}}=\cot{\theta_2}=\tan{(\pi/2-\theta_2)}.

Riešením tejto trigonometrickej rovnice dostaneme vyjadrenie pre uhol \theta_2 (keďže funkcia tangens je injektívna na intervale (-\pi/2, \ \pi/2), stačí porovnať argumenty tangensov). Vcelku teda máme pre uhly odklonu v laboratórnej sústave

:\tan{\theta_1}=\frac{m_2 \sin{\phi}}{m_2 \cos{\phi}+m_1};
:\theta_2 = \frac{\pi-\phi}{2}.

### Zrážky častíc rovnakej hmotnosti
[náhľad|Bývalý [Prezident Spojených štátov|americký prezident Barack Obama hrajúci americký biliard (pool).]]
V prípade, že zrážajúce sa častice majú rovnakú hmotnosť sa zrážka výrazne zjednoduší. Platí nasledujúce tvrdenie

:*Uhol, pod ktorými sa dve častice v laboratórnej vzťažnej sústave rozletia po zrážke je v prípade čelnej zrážky nulový, v inom prípade je rovný pravému uhlu.*

Daný jav môžeme s veľkou presnosťou pozorovať pri zrážkach biliardových gulí. Prípad čelnej zrážky zodpovedá *"prenosu"* hybnosti z jednej gule na druhú. V inom prípade máme kolmé rozletenie gulí – fakt, ktorý je hráčom biliardu veľmi známy.

Matematický dôkaz daného tvrdenia je jednoduchý. Čelná zrážka je z definície taká, kde uhol odrazu prvej častice je \phi=0 (resp. \pi pri spätnom odraze); kolízia sa redukuje na jednorozmernú pružnú zrážku, kde dochádza len k *"prenosu"* hybnosti prvej častice na druhú (*pozri sekciu o jednorozmerných zrážkach*).  

V prípade, že uhol rozptylu prvej častice je v ťažiskovej sústave nenulový, môžeme použiť odvodené vzťahy pre uhly rozptylu v laboratórnej sústave. Pre m_1=m_2=m dostávame

:\tan{\theta_1}=\frac{m_2 \sin{\phi}}{m_2 \cos{\phi}+m_1}=\frac{m \sin{\phi}}{m \cos{\phi}+m}=\frac{\sin\phi}{1+\cos{\phi}},

alebo keďže \sin(\varphi)/(1+\cos{\varphi})=\tan{(\varphi/2)}, tak dostávame trigonometrickú rovnicu

:\tan{\theta_1}=\tan{\frac{\phi}{2}},

ktorej riešenie je \theta_1=\phi/2 (z injektívnosti tangensu). Pre uhol rozptylu druhej častice platí \theta_2 = (\pi - \phi)/2. Súčet týchto dvoch uhlov je uhol, pod ktorým sa častice rozletia po zrážke. Konkrétne dostávame

:\theta_1 + \theta_2 = \frac{\phi}{2}+\frac{\pi-\phi}{2}=\frac{\pi}{2},

čo sme chceli ukázať.

## Referencie


Kategória:Mechanika
Kategória:Klasická mechanika