Dvojčlen

**Dvojčlen** alebo **binóm** alebo **mnohočlen s dvoma členmi** je mnohočlen, ktorý má dva členy; súčet dvoch jednočlenov (monómov). Napr. 2b + 5ab.
Dvojčleny a vzorce s nimi spojené patria k základným matematickým nástrojom. Dvojčleny nachádzajú uplatnenie v rôznych výpočtoch počnúc kvadratickými rovnicami až po výpočet pravdepodobnosti. S dvojčlenmi súvisia vzorce pre skrátené násobenie, ktoré sa často používajú pri úpravách rôznych algebraických výrazov. V zhode s vyššie uvedenou definíciou sú dvojčleny výrazy (a+b) a (a-b), pričom a a b môžu byť čísla, parametre alebo algebraické výrazy.

Nasledujúci príklad ukazuje, ako rozdielne môžu byť dvojčleny.
(a+b), (4a-9b), (x-3y),(3(7x-5)-2y)

V príklade (4a-9b) sú oba členy dvojčlenu súčiny, a to 4 \cdot a (prvý člen dvojčlenu) a 9 \cdot c (druhý člen dvojčlenu).
V poslednom príklade (3(7x-5)-2y) je prvým členom výraz (3(7x-5) a druhým členom je výraz 2y.

## Stupeň dvojčlenu

Stupňom dvojčlenu rozumieme exponent u vonkajších zátvoriek.
:(a+3)^2 , (4a-9b)^2 , (3(7x-5)-2y)^2 sú dvojčleny stupňa 2.

:(x-3y)^3 je dvojčlenom stupňa 3.
:(x^2+5y^6)^4 je dvojčlenom stupňa 4.

## Dvojčleny druhého stupňa

Vzorce skráteného násobenia uľahčujú počítanie s mnohočlenmi druhého stupňa i stupňov vyšších. Najznámejšie sú vzorce týkajúce sa dvojčlenov druhého stupňa, ktoré pracovne nazveme prvým, druhám a tretím vzorcom. Obecný vzorec pre výpočet dvojčlenu n-t=ho stupňa nachádza uplatnenie vo formulácii a riešení obecnejších matematických problémov. 
Tri zmienené vzorce:
:(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 prvý vzorec
:(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 druhý vzorec
:(a+b) \cdot (a-b)=a^2-b^2 tretí vzorec

Prvé dva vzorce skráteného násobenia sä v zásade vzorcom jediným, stačí v druhom vzorci zapísať výraz (a-b)^2 v tvare (a+(-b))^2 a na tento tvar použíť prvý vzorec skráteného nasobenia. Dostávame:
:(a+(-b))^2=a^2-2a(-b)+(-b)^2=a^2-2ab+b^2
Realizácia počtových výkonov obvyklym spôsobom vyjasní, ako uvedené vzorce vznikli:

:(a+b)^2       zápis druhej mocniny ako súčinu
:=(a+b) \cdot (a+b)=       vynásobenie hodnôt v zátvorkách (roznásobenie zátvoriek)
:=a^2+ab+ab+b^2        sčítanie odpovedajúcich členov
:=a^2+2ab+b^2        prvý vzorec

Analogicky pre druhý vzorec:

:(a-b)^2       zápis druhej mocniny ako súčinu
:=(a-b) \cdot (a-b)=       vynásobenie hodnôt v zátvorkách
:=a^2-ab+ab+b^2        sčítanie odpovedajúcich členov
:=a^2-2ab+b^2        druhý vzorec

Tretí vzorec odvodíme následovne:
:(a+b) \cdot (a-b)= vynásobenie hodnôt v zátvorkách
:=a^2-ab+ab-b^2= sčítanie odpovedajúcich členov
:=a^2-b^2        tretí vzorec

Porovnanie prvého riadku výpočtu tretieho vzorca s druhými riadkami výpočtu prvého a druhého vzorca ukazuje všetky možné kombinácie znamienok v zátvorkách, ktoré sa môžu vyskytnúť.

## Dvojčleny vyšších stupňov
:(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
:(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4

Vyššie uvedené vzorce odvodíme podobne ako prví až tretí vzorec. O výraze na pravej strane uvedených rovností hovoríme ako o rozvoji dvojčlenu.

Činitele pred jednotlivými výrazmi a^4,a^3b,a^2b^2, ab^3, b^4 (jednočleny) nazývame binomické koeficienty (koeficienty dvojčlenu, napr. koeficient 1 pred a^4, koeficient 4 pred a^3b a pod.

Ak zapíšeme rozvoj dvojčlena (a+b)^4 so všetkými exponentami členov a a b, dostávame 
:(a+b)^4=a^4b^0+4a^3b^1+6a^2b^2+4a^1b^3+a^0b^4

Všimnite si:
:1. Najvyšší exponent základu a i b je rovný stupni dvojčlenu, v tomto prípade 4.
:2. Exponent základu a sa v každom nasledujúcom sčítanci znižuje o 1, od 4 v prvom sčítanci až na 0 v poslednom sčítanci.
:3. Exponent základu b sa v každom nasledujúcom sčítanci zvyšuje o 1, od 0 v prvom sčítanci až na 4 v sčítanci poslednom.

Vzorce pre dvojčleny (a+b)^n dostaneme tak, že člen b nahradíme výrazom (-b). Pre dvojčlen tretieho stupňa dostávame 
:(a-b)^3=(a+(-b))^3=a^3+3a^2(-b)+3a(-b)^2+(-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
Podobne v prípade dvojčlena štvrtého stupňa
:(a-b)^4=(a+(-b))^4=a^4+4a^3(-b)+6a^2(-b)^2+4a(-b)^3+(-b)^4=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4

Všimnime si, že členy obsahujúce nepárne mocniny základu (-b) majú záporné koeficienty, takže sa odčítajú.

## Referencie

## Pozri aj
* Binomická veta
* Jednočlen

Kategória:Algebra