Prirodzené číslo

Pojem **prirodzené číslo** može znamenať buď kladné celé číslo (1, 2, 3,...) alebo nezáporné celé číslo (0, 1, 2, 3,...). Prirodzené čísla majú dve hlavné použitia: počítanie ("na stole sú 3 jablká") alebo poradie ("toto je 3. najväčšie mesto na Slovensku"). Vlastnosti prirodzených čísel súvisiace s deliteľnosťou (ako napr. rozdelenie prvočísel) študuje teória čísel. Problémy, s ktorými sa stretávame pri počítaní (ako napr. Ramseyova teória), študuje kombinatorika. (Pozn.: Už uvedený význam prirodzených čísel nie je matematická definícia, pretože zvyčajne všetky ostatné čísla sa definujú pomocou prirodzených, čo by viedlo k definícii kruhom. Korektné matematické definície sú uvedené nižšie.)

## História prirodzených čísel a príslušnosť čísla nula
Prirodzené čísla majú podľa všetkého pôvod v slovách, ktoré sa používali na počítanie vecí, začínajú číslom jedna.

Prvý veľký pokrok smerom k abstrakcii bolo použitie číslic na reprezentovanie čísel. Systém číslic umožnil zapisovať veľmi veľké čísla. Napríklad v Babylone vyvinuli silný pozičný systém založený na čísliciach pre 1 a 10. Starovekí Egypťania mali číselný systém s rôznymi hieroglyfmi pre 1, 10 a všetky mocniny čísla 10 až do miliónu. Zárezy na kameňoch z Karnaku, datované približne z roku 1500 pred Kr. (teraz uložené v Louvre v Paríži), zobrazujú číslo 276 ako 2 stovky, 7 desiatok a 6 jednotiek (podobne pre číslo 4622).

Ďalší krok k abstrakcii sa udial oveľa neskôr. Bola ním myšlienka nuly ako čísla s vlastnou číslicou. Číslica nula bola používaná v pozičných číselných systémoch už okolo roku 700 pred Kr. Babylončanmi, ale nikdy sa nepoužívala samostatne. Civilizácie Olmekov a Mayov používali nulu ako samostatné číslo okolo prvého storočia pred Kr., ale tento zvyk sa nikdy nerozšíril za hranice Mezoameriky. Koncept nuly, tak ako je to v súčasnosti, má pôvod v Indii a môžeme ho pozorovať u matematika Brahmaguptu v roku 628. Tak či tak, nulu používali ako číslo všetci stredovekí kalkulátori ("živé kalkulačky") počnúc Dionysiom Exiguusom v roku 525, ale vo všeobecnosti pre ňu neexistovala žiadna rímska číslica. Namiesto toho sa používalo slovo označujúce "nič" (*nullae*).

Prvé systematické štúdium čísel ako abstrakcií (t. j. ako abstraktných entít) za zvyčajne pripisuje starovekým gréckym filozofom, konkrétne Pytagorovi a Archimedovi. Ale podobné štúdium prebiehalo približne v rovnakom čase paralelne v Indii, Číne a Mezoamerike.

V devätnástom storočí bola vyvinutá prvá definícia prirodzených čísel založená na teórii množín. V rámci tejto definície je pohodlnejšie zahrnúť nulu (zodpovedajúcu prázdnej množine) medzi prirodzené čísla. Táto konvencia je dnes bežná v teórii množín, logike, diskrétnej matematike a informatike. V iných odvetviach matematiky, ako napr. v teórii čísel, je tento zvyk menej badateľný a častejšie sa používa staršia tradícia, ktorá nezahrňovala nulu ako prirodzené číslo.

## Notácie
Matematici používajú zvyčajne na označenie množiny prirodzených čísel symbol veľkého písmena N v latinke (najčastejšie sádzané tučne **N** alebo tzv. matematickým tabuľovým fontom  \mathbb{N}. Táto množina je nekonečná množina, ale spočítateľná (z definície).

Na predídenie nejednoznačnosti či autor považuje nulu za prirodzené číslo alebo nie sa niekedy pridáva dolný index "0" v prvom prípade (t. j. ak nula *je* zahrnutá medzi prirodzené čísla), či horný index "*" v druhom prípade (t. j. ak *nie je*):

: **N** = **N**0 = { 0, 1, 2, ... } ; **N*** = { 1, 2, ... }.

(Niekedy sa v druhom prípade používa aj horný index "+". Zápis s horným indexom "*" sa zvyčajne používa v abstraktnej algebre na označenie tých prvkov okruhov, ku ktorým neexistuje multiplikatívny inverzný prvok, špeciálne v poliach sú to nenulové prvky.)

## Formálne definície
Historicky sa exaktné matematické definície prirodzených čísel rodili s veľkými ťažkosťami. Peanove axiómy špecifikujú podmienky, ktoré musia spĺňať všetky úspešné definície prirodzených čísel. Isté konštrukcie (ako napr. v teórii množín, teórii modelov) ukazujú, že (aspoň jedna) štruktúra vyhovujúca Peanovým axiómom existuje.

### Peanove axiómy
* Existuje prirodzené číslo 0.
* Na množine prirodzených čísel je definovaná unárna operácia "nasledovník", označovaná *S*.
* Neexistuje žiadne prirodzené číslo, ktorého nasledovníkom je 0.
* Rôzne prirodzené čísla majú rôznych nasledovníkov: ak *a* ≠ *b*, potom *S*(*a*) ≠ *S*(*b*) (t. j. funkcia nasledovníka je injektívna).
* Ak číslo 0 spĺňa nejakú vlastnosť a súčasne ju spĺňa každý nasledovník prirodzeného čísla, potom túto vlastnosť spĺňajú všetky prirodzené čísla (axióma matematickej indukcie).

Je dôležité si uvedomiť, že "0" v Peanových axiómach nemusí nutne zodpovedať číslu nula tak, ako ho bežne poznáme. "0" je jednoducho symbol nejakého objektu, ktorý spolu s vhodnou funkciou nasledovníka vyhovuje Peanovým axiómam. Existuje veľa rôznych systémov, ktoré im vyhovujú, "klasická" množina prirodzených čísel je len jedna z nich (a to aj nezávisle či rátame od nuly alebo jednotky).

### Konštrukcie založené na teórii množín
#### Štandardná konštrukcia
V teórii množín sa prirodzené čísla definujú nasledovnou štandardnou konštrukciou:

:Označme 0 := { }
:a definujme *S*(*a*) = *a* U {*a*} pre všetky *a*.
:Množina prirodzených čísel je potom *definovaná* ako prienik všetkých množín obsahujúcich 0, ktoré sú uzavreté vzhľadom na funkciu nasledovníka.
:Predpokladajúc axiómu nekonečnosti, dá sa dokázať, že táto definícia spĺňa Peanove axiómy.
:V "klasickom" zápise čísel potom každému prirodzenému číslu zodpovedá množina prirodzených čísel menších ako ono samo, takže

* 0 = { }
* 1 = 
* 2 = 
* 3 = 

:a tak ďalej. Keď uvidíte prirodzené číslo použité ako množinu, zvyčajne sa tým myslí toto. Pri tejto definícii množina *n* obsahuje presne *n* prvkov (v naivnom zmysle) *n* ≤ *m* (v naivnom zmysle) práve vtedy, keď *n* je podmnožina *m*.
:Pri tejto definícii sa taktiež prelínajú rozličné interpretácie zápisov ako **R***n* (*n*-tice vs. zobrazenia z *n* do **R**).

#### Ďalšie konštrukcie
Napriek tomu, že štandardná konštrukcie je užitočná, nie je jediná možná. Napríklad:
:položme 0 = { }
:a súčasne *S*(*a*) = {*a*},
:teda výsledkom
:: 0 = { }
:: 1 = {0} = 
:: 2 = {1} = , atď.
Mohli by sme dokonca definovať 0 = 
:a *S*(*a*) = *a* U {*a*}
:čo by znamenalo
:: 0 = 
:: 1 = 
:: 2 = 

Vo zvyšku textu predpokladáme štandardnú konštrukciu popísanú vyššie.

## Vlastnosti
Operáciu sčítania na prirodzených číslach môžeme definovať rekurzívne a to takto: *a* + 0 = *a* a súčasne *a* + *S*(*b*) = *S*(*a* + *b*) pre všetky prirodzené čísla *a*, *b*. Touto konštrukciou získame komutatívny monoid (**N**, +) s neutrálnym prvkom 0. V tomto monoide platí zákon krátenia, a preto ho je možné vložiť do grupy. Najmenšia grupa obsahujúca prirodzené čísla sa nazýva **celé čísla**.

Ak definujeme *S*(0) := 1, potom *S*(*b*) = *S*(*b* + 0) = *b* + *S*(0) = *b* + 1; t. j. nasledovník *b* sa dá vyjadriť pomocou práve definovanej operácie + jednoducho ako *b* + 1.

Analogicky, pri už definovanom sčítaní, môžeme ďalej definovať násobenie nasledovne: *a* × 0 = 0 a súčasne *a* × S (*b*) = (*a* × *b*) + *a*. Týmto získame ďalší komutatívny monoid (**N**, ×) s neutrálnym prvkom 1 (t. j. nasledovníkom 0). Generátor tohto monoidu je množina prvočísel. Ľahko sa dokáže, že takto definované operácie sčítanie a násobenie vyhovujú distributívnemu zákonu, presnejšie povedná, násobenie je distributívne vzhľadom na sčítanie: *a* × (*b* + *c*) = (*a* × *b*) + (*a* × *c*). Znamená to, že (**N**, +, ×) tvorí komutatívny polookruh.

Vo zvyšku textu píšeme *ab* ako skrátený zápis pre *a* × *b* a taktiež predpokladáme štandardnú precendciu operátorov.

Ďalej môžeme definovať totálne usporiadanie na prirodzených číslach: *a* ≤ *b* (definotoricky) práve vtedy, keď existuje iné prirodzené číslo *c* také, že *a* + *c* = *b*. Pre toto usporiadanie platí: ak *a*, *b* a *c* sú prirodzené čísla a *a* ≤ *b*, potom *a* + *c* ≤ *b* + *c* a *ac* ≤ *bc*. Dôležitá vlastnosť tohto usporiadania je, že na množine prirodzených čísel tvorí dobré usporiadanie: každá neprázdna množina prirodzených čísel má najmenší prvok.

Aj keď všeobecne nie je možné deliť ľubovoľné čísla (*delenie* nazývame inverznú operáciu k násobeniu) (prirodzené čísla totiž netvoria pole), používa ako náhradu procedúru nazývanú *delenie so zvyškom*: pre každé dve prirodzené čísla *a* a *b*, pričom *b* ≠ 0, existujú prirodzené čísla *q* a *r* také, že

:*a* = *bq* + *r* a *r* < *b*

a navyše čísla *q* a *r* sú jednoznačne určené. Číslo *q* nazývame *celočíselný podiel* a *r* *zvyšok*. Táto veta je jednou z kľúčových pri budovaní rôznych myšlienok v teórii čísel.

## Zovšeobecnenia
Z dvoch rôznych použití prirodzených čísel v bežnom živote sa objavujú ich dve rôzne zovšeobecnenia: ordinálne čísla (ordinály) sa používajú na popísanie pozície prvku v usporiadanej postupnosti a kardinálne čísla, ktoré používame na určenie veľkosti danej množiny.

Pri konečných postupnostiach sú obidve zahrnuté v prirodzených číslach.

## Externé odkazy
* Prirodzené čísla I – základná charakteristika  


Kategória:Teória čísel
Kategória:Aritmetika