Χ²-rozdelenie

**<math>\chi^2</math>-rozdelenie** (iné názvy: **<math>\chi^2</math>-rozdelenie pravdepodobnosti, chí-kvadrát rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie (pravdepodobnosti) <math>\chi^2</math>, rozdelenie (pravdepodobnosti) chí-kvadrát, rozdelenie (pravdepodobnosti) štvorca chí, Helmertovo-Pearsonovo rozdelenie (pravdepodobnosti)**) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike rozdelenie pravdepodobnosti. Je to špeciálny prípad gama rozdelenia.

\chi^2 rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri určovaní odhadov a intervalových odhadov neznámych parametrov a pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty \chi^2-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť.

## Definícia
Nech X je náhodná premenná a nech n je prirodzené číslo. Hovoríme, že náhodná premenná X má \chi^2-rozdelenie s n stupňami voľnosti, ak jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:


f_{n} (x) =
\begin{cases}
\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} & \mathrm{pre}\ x > 0
\\0 & \mathrm{pre}\ x \le 0
\end{cases}


kde označenie \Gamma(\alpha) označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

\operatorname\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{\alpha - 1}\mathrm{d}x

Označenie:
* \operatorname X \sim \chi^2(n)
* \operatorname X \sim \chi^2_n

## Ďalšie vyjadrenia a vzťahy
Pokiaľ máme náhodnú premennú X, ktorá má normované normálne rozdelenie, teda X \sim N(0, 1), tak náhodná premenná Y = X^2 má \chi^2-rozdelenie s 1 stupňom voľnosti, teda Y \sim \chi^2(1).

Toto tvrdenie platí analogicky aj pokiaľ máme k nezávislých náhodných premenných X_1, ..., X_k, pričom každá z týchto premenných má normované normálne rozdelenie, teda X_j \sim N(0, 1) pre j = 1, ..., k. Potom nasledovná náhodná premenná:

X = \sum_{j=1}^{k}X_{j}^{2} 

má \chi^2-rozdelenie s k stupňami voľnosti, teda X \sim \chi^2(k).

## Vlastnosti
Začiatočné momenty tohto rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

\mu_r = \frac{2^r \Gamma(r + \frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2})}

Teda z tohto vzťahu dostaneme nasledovné vyjadrenia pre strednú hodnotu a disperziu premennej X:

* \operatorname E(X) = n
* \operatorname D(X) = 2n

Koeficient šikmosti má nasledovné vyjadrenie:

\gamma_1 = \frac{2}{\sqrt{\frac{n}{2}}} 

Pre koeficient špicatosti dostaneme:

\gamma_2 = \frac{12}{n} 

Distribučná funkcia tohto rozdelenia má nasledovný tvar:

F_X(x) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}\int_0^x t^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{t}{2}}\mathrm{d}t

Graf hustoty tohto rozdelenia je pre malé hodnoty parametra n nesymetrický, no pre veľké hodnoty tohto parametra je hustota premennej tvaru:

\frac{X - E(X)}{\sqrt{D(X)}} = \frac{X - n}{\sqrt{2n}}

čoraz viac symetrickejšia a pre hodnoty parametra n väčšie ako 30 ju môžeme aproximovať hustotou normálneho normovaného rozdelenia N(0, 1).

## Kritické hodnoty
Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre toto rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech X je náhodná premenná s \chi^2 rozdelením s n stupňami voľnosti. Potom hodnoty \operatorname\chi^2(n, \alpha), ktoré náhodná premenná X presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou \alpha nazývame kritické hodnoty \chi^2-rozdelenia. Matematicky zapísané:

P(X > \chi^2(n, \alpha)) = \int_{\chi^2(n, \alpha)}^{\infty} f_{n}(x) \mathrm{d}x = \alpha

## Zdroje
* 
* 
* 
*  
* 
* 

Kategória:Náhodné rozdelenia