Cyklometrická funkcia

right|Arkus sínus a Arkus kosínus
**Cyklometrická funkcia** je matematická funkcia inverzná ku funkciám goniometrickým.

## Definícia
Medzi cyklometrické funkcie patria:
* Arkus sínus (\arcsin)
* Arkus kosínus (\arccos)
* Arkus tangens (\operatorname{arctg})
* Arkus kotangens (\operatorname{arccotg})

Aby mohla k ľubovoľnej funkcii existovať inverzná funkcia, daná funkcia musí byť prostá, to znamená: rôznym dvom prvkom musí priraďovať dve rôzne hodnoty. Goniometrické funkcie sú ale periodické, a teda nie sú prosté. Preto ak chceme uvažovať o cyklometrických funkciách musíme najskôr ošetriť ich definičný obor a taktiež aj definičné obory goniometrických funkcií – to znamená, že musíme vybrať len tú podmnožinu definičného oboru danej goniometrickej funkcie, na ktorej je prostá.

### Definičné obory cyklometrických a goniometrických funkcií

## Vzťahy medzi cyklometrickými a goniometrickými funkciami
### sin a arcsin
:\arcsin(\sin x) = x\!, ak platí \ |x|\leq \frac{\pi}{2}
:\sin(\arcsin x) = x\!, ak platí \ |x|\leq1

### cos a arccos
:\arccos (\cos x) = x\!, ak platí \ 0 \leq x \leq\pi
:\cos(\arccos x) = x\!, ak platí \ |x|\leq1
### tg a arctg
:\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}x)=x\!, ak platí \ |x|
:\operatorname{tg}(\operatorname{arctg}x)=x\!
### cotg a arccotg
:\operatorname{arccotg}(\operatorname{cotg}x)=x\!, ak platí \ 0 
:\operatorname{cotg}(\operatorname{arcotg}x)=x\!

## Vzťahy medzi cyklometrickými funkciami
:\arcsin x = \frac{\pi}{2} - \arccos x = \operatorname{arctg} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{\pi}{2} - \operatorname{arccotg} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
:\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x = \frac{\pi}{2} - \operatorname{arctg} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \operatorname{arccotg} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
:\operatorname{arctg} x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{\pi}{2} - \arccos \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{\pi}{2} - \operatorname{arccotg} x
:\operatorname{arccotg} x = \frac{\pi}{2} - \arcsin \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \arccos \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{\pi}{2} - \operatorname{arctg} x

Pre x > 0 platí
:\operatorname{arccotg} x = \operatorname{arctg} \frac{1}{x}
Pre x  platí
:\operatorname{arccotg} x = \pi + \operatorname{arctg} \frac{1}{x}

## Vzťahy medzi cyklometrickými funkciami so vzájomne opačnými argumentmi
:\arcsin(-x) = - \arcsin x \!
:\arccos(-x) = \pi - \arccos x \!
:\operatorname{arctg} (-x)= - \operatorname{arctg} x \!
:\operatorname{arccotg}(-x) = \pi - \operatorname{arccotg}x \!

## Súčty a rozdiely cyklometrických funkcií
### arcsin ''x'' + arcsin ''y''
:\arcsin x + \arcsin y = \arcsin[x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}],  ak platí \ xy \leq 0  alebo  x^2 + y^2\leq 1 
:\arcsin x + \arcsin y = \pi - \arcsin[x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}],  ak platí \ x > 0, y > 0, x^2 + y^2 > 1 
:\arcsin x + \arcsin y = - \pi - \arcsin[x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}],  ak platí \ x  1 

### arcsin ''x'' - arcsin ''y''
:\arcsin x - \arcsin y = \arcsin[x\sqrt{1-y^2} - y\sqrt{1-x^2}],  ak platí \ xy \geq 0  alebo  x^2 + y^2\leq 1 
:\arcsin x - \arcsin y = \pi - \arcsin[x\sqrt{1-y^2} - y\sqrt{1-x^2}],  ak platí \ x > 0, y  1 
:\arcsin x - \arcsin y = - \pi - \arcsin[x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}],  ak platí \ x  0, x^2 + y^2 > 1 

### arccos ''x'' + arccos ''y''
:\arccos x + \arccos y = \arccos[xy - \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}],  ak platí \ x + y \geq 0
:\arccos x + \arccos y = 2\pi - \arccos[xy - \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}],  ak platí \ x + y 

### arccos ''x'' - arccos ''y''
:\arccos x - \arccos y = -\arccos[xy + \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}],  ak platí \ x \geq y
:\arccos x - \arccos y = \arccos[xy + \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}],  ak platí \ x 

### arctg ''x'' + arctg ''y''
:\operatorname{arctg} x + \operatorname{arctg} y = \operatorname{arctg}\,{\frac{x+y}{1-xy}},  ak platí \ xy 
:\operatorname{arctg} x + \operatorname{arctg} y = \pi + \operatorname{arctg}\,{\frac{x+y}{1-xy}},  ak platí \ x > 0, xy > 1
:\operatorname{arctg} x + \operatorname{arctg} y =-\pi + \operatorname{arctg}\,{\frac{x+y}{1-xy}},  ak platí \ x  1

### arctg ''x'' - arctg ''y''
:\operatorname{arctg}x - \operatorname{arctg}y = \operatorname{arctg}{\frac{x-y}{1+xy}},  ak platí \ xy > -1
:\operatorname{arctg}x - \operatorname{arctg}y = \pi + \operatorname{arctg}{\frac{x-y}{1+xy}},  ak platí \ x > 0, xy 
:\operatorname{arctg}x - \operatorname{arctg}y = -\pi + \operatorname{arctg}{\frac{x-y}{1+xy}},  ak platí \ x 

### arccotg ''x'' + arccotg ''y''
:\operatorname{arccotg}x + \operatorname{arccotg}y = \operatorname{arccotg}{\frac{xy-1}{x+y}},  ak platí \ x > -y
:\operatorname{arccotg}x + \operatorname{arccotg}y = \operatorname{arccotg}{\frac{xy-1}{x+y}}+\pi, ak platí \ x 

### arcsin ''x'' + arccos ''x''
:\arcsin x + \arccos x =\frac{\pi}{2}, ak platí \ |x|\leq1

### arctg ''x'' + arccotg ''x''
:\operatorname{arctg}x + \operatorname{arccotg}x = \frac{\pi}{2}

## Vyjadrenie cyklometrických funkcií v logaritmickom tvare
Cyklometrické funkcie sa dajú tiež vyjadriť použitím logaritmov a komplexných čísel:
:
\begin{align}
\arcsin x &{}= -i\,\log\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) &{}\\
\arccos x &{}= -i\,\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) = \frac{\pi}{2}\,+i\log\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{\pi}{2}-\arcsin x &{}\\
\operatorname{arctg}x &{}= \frac{i}{2}\left(\log\left(1-i\,x\right)-\log\left(1+i\,x\right)\right)= \operatorname{arccotg}\frac{1}{x}\\
\operatorname{arccotg}x &{}= \frac{i}{2}\left(\log\left(1-\frac{i}{x}\right)-\log\left(1+\frac{i}{x}\right)\right)= \operatorname{arctg}\frac{1}{x}\\
\end{align}

## Pozri aj
* Goniometrické funkcie

## Literatúra
* Rektorys, K. a spol.: *Přehled užité matematiky I.*, Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
* Bartch, Hans-Jochen: *Matematické vzorce*, SNTL, Praha 1987, 2. revidované vydání


Kategória:Goniometria