Guľa (matematika)

Drôtený model trojrozmernej gule|frame
**Guľa** alebo presnejšie **uzavretá guľa** je množina všetkých bodov euklidovského priestoru, ktorých vzdialenosť od pevného bodu (t.j. od tzv. **stredu gule**) nie je väčšia ako pevné reálne kladné číslo (t.j. ako tzv. **polomer gule**). Množina spomínaných bodov, ktorých vzdialenosť od pevného bodu je práve rovná spomínanému pevnému reálnemu kladnému číslu, sa volá **guľová plocha** (iné názvy: **hranica gule, sféra, sférická plocha**).Uzavretá guľa je teda inými slovami priestorové teleso "ukončené" guľovou plochou. **Otvorená guľa** alebo **vnútro gule** je uzavretá guľa bez guľovej plochy. 

V topológii znamená n-rozmerná guľa (obvykle sa značí B_n) topologický priestor, ktorý je homeomorfný s n-rozmernou guľou v euklidovskom priestore \mathbb{R}^n. 

## Objem a povrch všeobecnej gule v euklidovskom priestore
N-rozmerná guľa s polomerom r v euklidovskom priestore \mathbb{R}^n má objem (presnejšie, n-rozmernú Lebesguovu mieru) určený vzorcom
:
V_{nD} = \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(1+\frac{n}{2})} r^n

alebo tiež:
:
  V_{nD} =
\begin{cases} 
  \left ( \frac{n}{2}! \right )^{-1} \pi^{\frac{n}{2}} r^n, & \mbox{pre }n\mbox{ párne} \\
  \frac{2^{\frac{n+1}{2}}}{n!!} \pi^{\frac{n-1}{2}} r^n, & \mbox{pre }n\mbox{ nepárne}
\end{cases}

kde \Gamma(1+n/2) je prirodzené zobecnenie výrazu (n/2)! pre nepárne n (pozri Gama funkcia) a n!! je dvojitý faktoriál. Je zaujímavé, že jednotková guľa (t. j. guľa s polomerom jedna) má najväčší objem v dimenzii n=5 a vo vyšších dimenziach sa jej objem limitne blíži k nule.

Povrch n-rozmernej gule tvorí (n-1)-rozmernú sféru (pozri sféra). Veľkosť jej *povrchu* (t. j. jej (n-1)-rozmerný objem, presnejšie, (n-1)-rozmerná Hausdorfova miera) je
:
  S_{nD} = n\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(1+\frac{n}{2})} r^{n-1}

alebo
:
  S_{nD} =
\begin{cases} 
  n\left ( \frac{n}{2}!\right )^{-1}\pi^{\frac{n}{2}}r^{n-1}, & \mbox{pre }n\mbox{ párne} \\
  2^{\frac{n+1}{2}}\frac{n}{(n!!)}\pi^{\frac{n-1}{2}}r^{n-1}, & \mbox{pre }n\mbox{ nepárne}
\end{cases}

Všeobecne pre n-rozmernú guľu platí:
:
S_{nD}(r) = \frac{\mathrm{d}V_{nD}}{\mathrm{d}r} = V_{nD}'(r) = n\frac{V_{nD}(r)}{r}


## Vzorce pre 3-rozmernú guľu
thumb|300px|3-rozmerná guľa a jej koordináty

Nasledujúce vzorce popisujú trojrozmernú guľu v \mathbb{R}^3

## Pôvod vzorca pre výpočet objemu
Každodenný vzorec pre výpočet objemu gule, teda V =\frac{4}{3}\pi r^3pramení z integrálu 3D priestoru, zahrnujúc priestorové uhly:

1) V =\int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} \int\limits_{0}^{r}r^2\cos\theta 
\operatorname{d}\!r\operatorname{d}\!\theta\operatorname{d}\!\phi

2) \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} \int\limits_{0}^{r}r^2\cos\theta 
\operatorname{d}\!r\operatorname{d}\!\theta\operatorname{d}\!\phi
=\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{r^3}{3}\cos\theta\operatorname{d}\!\theta
\operatorname{d}\!\phi

3) \int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{r^3}{3}\cos\theta\operatorname{d}\!\theta
\operatorname{d}\!\phi
=\frac{r^3}{3}\int\limits_{0}^{2\pi}[\sin\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2}\operatorname{d}\!\phi

4) \frac{r^3}{3}\int\limits_{0}^{2\pi}[\sin\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2}\operatorname{d}\!\phi
=\frac{r^3}{3}\int\limits_{0}^{2\pi} (1-(-1))\operatorname{d}\!\phi

5) \frac{r^3}{3}\int\limits_{0}^{2\pi} (1-(-1))\operatorname{d}\!\phi
=\frac{r^3}{3}\int\limits_{0}^{2\pi} 2\operatorname{d}\!\phi

6) \frac{r^3}{3}\int\limits_{0}^{2\pi} 2\operatorname{d}\!\phi=
\frac{2r^3}{3}[\phi]_{0}^{2\pi}=\frac{2r^3}{3}2\pi=\frac{4\pi r^3}{3}

## Referencie

## Pozri aj
* kruh
* elipsoid
* teleso

## Iné projekty

## Externé odkazy
* Objem a povrch gule

Kategória:Matematika
Kategória:Priestorové útvary