Einsteinova sumačná konvencia

**Einsteinova (sumačná) konvencia** alebo **Einsteinova notácia** je v matematike a fyzike, špeciálne v oblasti lineárnej algebry, spôsob zapisovania rovníc výhodný pri práci so zložkami tenzorov, v rámci nich špeciálne aj vektorov a kovektorov. Túto konvenciu zaviedol A. Einstein v roku 1916.

Podľa tejto notácie, keď sa rovnaký index objaví v súčine dvakrát (raz ako horný a raz ako dolný), znamená to automatickú sumáciu cez všetky možné hodnoty tohoto indexu. V typických aplikáciách môže index nadobúdať hodnoty 1, 2, 3 v euklidovskom priestore alebo 0, 1, 2, 3 v Minkowského priestore. Počet hodnôt, ktoré index môže nadobúdať je rovný dimenzii priestoru, v ktorom pracujeme. V troch rozmeroch napríklad

:y=c_ix^i\ 

automaticky znamená

:y=\sum_{i=1}^3 c_ix^i=c_1x^1+c_2x^2+c_3x^3.

Dôvodom na používanie tejto konvencie je sprehľadnenie zložitých rovníc, kde treba sumovať cez viacero rôznych indexov.

## Spúšťanie a dvíhanie indexov
Ak máme priestor s metrickým tenzorom g_{ij}, zavádza sa jeho inverzná matica vzťahom
:g^{ac}g_{cb}:=\delta^a_b,
kde \delta^a_b je Kroneckerov symbol (rovný 1, ak a=b a rovný 0, ak a\neq b). Potom možno zaviesť operáciu dvíhania a spúšťania indexov nasledovne:
:\sharp_g\,:\quad\alpha_a\mapsto\alpha^a:=g^{ab}\alpha_b
:\flat_b\,:\quad v^a\mapsto v_a:=g_{ab}v^b
Veličinám v_a,v^a sa niekedy zvykne hovoriť kovariantné a kontravariantné zložky (toho istého) vektora v. V striktnej terminológii sú však prvé z nich zložkami kovektorov.

Vzhľadom na to, že v euklidovskom priestore g_{ab}=\delta_{ab}, čísla v_a a v^a sú rovnaké, pre každé v. Preto sa pri práci v ňom často ignoruje poloha indexov hore-dolu.

## Zápis vektorov a kovektorov
V každom vektorovom priestore Vsi možno zvoliť bázu. Ak \dim V=n, tak báza má n bázových prvkov e_i a každý vektor možno pomocou nej jednoznačne rozpísať do komponent v^i. Zapisuje sa teda
:v=\sum_{i=1}^{n}v^ie_i=v^ie_i=\left(\begin{array}{c}v_1\\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{array}\right)

K vektorovému priestoru možno priradiť duálny priestor V^\ast lineárnych zobrazení V\to\mathbb{R} (kovektorov), v ktorom existuje istá preferovaná báza e^i. Je to zobrazenie, pre ktoré platí
:\langle e^i,e_j\rangle := e^i(e_j)=\delta_j^i.
Pomocou tejto bázy možno každý kovektorov jednoznačne reprezentovať ako
:\alpha = \sum_{i=1}^{n}\alpha_ie^i = \alpha_i e^i = \left(\alpha_1\, \alpha_2\, \cdots \, \alpha_n\right)

## Bežné operácie
### Operácie s vektormi
**[[Skalárny súčin]]** dvoch vektorov u,vmožno zapísať ako
: h(u,v)= h_{ij}u^i v^j,
kde h_{ij} je matica skalárneho súčinu. Pre bežný skalárny súčin v euklidovskom priestore možno písať zjednodušene 
: h(u,v)= u_iv^i = u^iv_i

**[[Vektorový súčin]] v E3** dvoch vektorov možno zapísať ako
: (u\times v)_i=\varepsilon_{ijk} u^j v^k,
kde \varepsilon_{ijk} je úplne antisymetrický Levi-Civitov tenzor, \varepsilon_{123}=1.

**Veľkosť vektora** v priestore s metrickým tenzorom g_{ij} sa počíta ako
: \|v\|=\sqrt{g_{ij}v^iv^j}=\sqrt{v_iv^i}.

### Operácie s operátorom <math>\nabla</math>
\nabla (nabla) je diferenciálny operátor, so zložkami 
: \left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)=\left(\partial_1,\partial_2,\partial_3\right),
ktoré budeme označovať ako \partial_i. Zostávajúc v E3, v Einsteinovej sumačnej konvencii možno písať
:\left(\textrm{grad}\, h\right)_i = \left(\nabla h\right)_i=\partial_i h
:\left(\textrm{rot}\,\textbf{A}\right)_i=\left(\nabla\times\textbf{A}\right)_i=\varepsilon_{ijk}\partial_j A_k
:\textrm{div}\,\textbf{A}=\nabla\cdot\textbf{A}=\partial_iA_i
:\triangle \textbf{A} = \partial_i \partial_i \textbf{A}
### Maticové operácie
Maticami možno reprezentovať všetky dvojindexové tenzory. Ak sú indexy tenzora vedľa seba, prvý z nich označuje riadok a druhý stĺpec matice. Ak sú indexy nad sebou, horný preberá úlohu prvého.

**Maticové násobenie** 
: (\textbf{A}\cdot\textbf{B})^i_j=A^i_k B^k_j

**Stopa matice**
:\textrm{Tr}\textbf{A}=A^i_i

## Matematické aplikácie
Einsteinovu sumačnú konvenciu možno šikovne využiť napríklad pri dôkazoch identít, kde vystupujú skalárne, vektorové a tenzorové súčiny. Uvedieme niekoľko príkladov pri práci v **E3**. Často sa pri tom budeme odvolávať na nasledujúce vzťahy:
:\textbf{e}_i\cdot\textbf{e}_j=\delta_{ij} (ortonormovanosť bázy)
:\textbf{e}_i\times\textbf{e}_j=\varepsilon_{ijk}\textbf{e}_k (pravotočivosť bázy)
:\varepsilon_{ijk}=\varepsilon_{jki}=\varepsilon_{kij} (vyplýva z antisymetričnosti Levi-Civitovho tenzora)
:\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{mnk}=\delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm} (Mnemotechnická pomôcka: Davis-cupová identita. Prvý deň hrál prvý s prvým a druhý s druhým, druhý deň prvý s druhým a druhý s prvým.)

:

:

:

## Fyzikálne aplikácie
Vo fyzike sa stretneme s Einsteinovou sumačnou konvenciou veľmi často, špeciálne tam, kde sa veľa narába s tenzormi. Uvedieme niekoľko príkladov:

***[[Hookov zákon]]** v tenzorovom tvare
:\sigma_{ij}=c_{ijkl}\varepsilon_{kl},
kde \sigma{ij} je tenzor napätia, \varepsilon_{kl} tenzor deformácie a tenzor c_{ijkl} je tenzor vyjadrúci tuhosť prostredia. Má 3^4=81 komponent, z ktorých (vzhľadom na symetrie) je v najhoršom prípade 21 nezávislých.

***[[Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy]]** obsahujúca divergenciu tenzora sa dá pohodlne prepísať ako
:\varrho\left(\partial_tv_i+v_i\partial_jv_j\right)=\partial_j\sigma_{ij}+f_i,
kde \partial_t označuje parciálnu deriváciu podľa času a teda t neznamená voľný index.

***[[Christoffelove symboly]]** (druhého druhu) sú definované pomocou metrického tenzora predpisom
: \Gamma^i_{jk}=\frac{1}{2}g^{il}\left(g_{lj,k}+g_{lk,j}-g_{jk,l}\right),
kde index za čiarkou v dolnom indexe symbolizuje deriváciu podľa príslušnej súradnice.

***Riemannov [[tenzor krivosti]]** sa vyjadruje cez Christoffelove symboly vzťahom
: R^i_{\,jkl}=\Gamma^i_{jl,k}-\Gamma^i_{jk,l}+\Gamma^m_{jl}\Gamma^i_{mk}-\Gamma^m_{jk}\Gamma^i_{ml}

## Referencie
*M. Fecko: Sylabus k prednáškam z teoretickej mechaniky: http://davinci.fmph.uniba.sk/~fecko1/teormech/primech13.pdf
*M. Fecko: *Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov*. Vydavateľstvo Iris, Bratislava, 2008.

Kategória:Lineárna algebra
Kategória:Eponymické termíny v matematike