Antagonistická hra

**Antagonistická hra** je podľa teórie hier každá hra dvoch hráčov s konštantným súčtom s úplnou informáciou.

## Definícia

Antagonistická hra typu m*n je hra v normálnom tvare \left \langle I ,{Ai: i \in I},{Hi: i \in I}\right \rangle
* s dvomi racionálnymi hráčmi, t. j. I={1,2},
* s m stratégiami prvého a n stratégiami druhého hráča, t. j. A1={a1(1),a1(2),...,a1(m)}, A2={a2(1),a2(2),...,a2(n)},
* s nulovým súčtom, t. j. pre všetky a1 \in A1, a2 \in A2 platí H1(a1,a2) + H2(a1,a2) = 0, alebo H2(a1,a2) = - H1(a1,a2).
## Poznámky
*  Nulový súčet výplat vyjadruje antagonistickosť hry: záujmy oboch hráčov sú protichodné, výška výhry jedného hráča je presne rovná výške prehry druhého hráča
* Antagonistickú hru môžeme taktiež definovať ako špeciálny prípad bimaticovej hry (H, G), pre ktorú platí: (\forall i)(\forall j) [ gij = - hij ], alebo takisto (\forall i)(\forall j) [ hij + gij = 0].
* Vzhľadom k uvedeným vzťahom je zrejmé, že antagonistická hra je jednoznačne určená jedinou ľubovoľne zvolenou maticou z dvojice matíc H, G – preto antagonistické hry nazývame tiež maticovými hrami. Spravidla volíme maticu H, to súvisí s tým, že hru väčšinou komentujeme a analyzujeme z pozície 1. hráča (stotožňujeme sa s ním) a 2. hráčovi prisudzujeme úlohu protivníka.
* Princíp realizácie hry: Hráči volia svoje stratégie navzájom nezávisle. Ak je prvok matice H ležiaci na priesečníku zvolených stratégií (riadku a stĺpca) kladné číslo, tak 1. hráč vyhral a 2.hráč vyplatí 1.hráčovi sumu rovnú tomuto číslu. Ak je hodnota prvku vyjadrená záporným číslom, potom vyhral 2. hráč a 1. hráč vyplatí 2.hráčovi sumu rovnú absolútnej hodnote tohoto záporného čísla.
* Obaja hráči sú pri svojom rozhodovaní plne informovaní (ide o hru s úplnou informáciou), t. j. obaja poznajú celú maticu H. Každý hráč je racionálny, sleduje výhradne svoj záujem a to isté predpokladá i o svojom protivníkovi. Navyše: každý hráč vie, že protivník je racionálny (navyše: každý hráč vie, že každý hráč vie, že protivník je racionálny, atď.). Všetky tieto znalosti tvoria tzv. spoločnú znalosť (common knowledge).
* Antagonistická hra je stále nekooperatívna 

## Príklad
, 

Máme dvoch hráčov. Každý hráč ma 2 karty. Na povel musia obidvaja ukázať jednu z kariet. Ak dôjde ku zhode vo farbe, dostane 1. hráč od druhého absolútnu hodnotu z rozdielu hodnôt ukázaných kariet. Ak sa ukázané karty farbou líšia, tak ten, kto mal vyššiu hodnotu, dostane súčet hodnôt ukázaných kariet.

Ide o nekooperatívnu hru dvoch hráčov s nulovým súčtom. Hodnoty výplatnej funkcie sú v tabuľke vpravo.

Hlavná otázka: Ako hrať túto hru, aby sme získali čo najviac a súčasne sa čo najmenej poškodili pri ťahu protivníka?

Z pozície 1. hráča je nevýhodný spodný riadok (b). Pri ľubovoľnej voľbe 2. hráča je vyšší zisk na hornom riadku (a) – hovoríme, že (b) je dominovaný riadkom (a). To znamená, že v pozícii prvého hráča je potrebné voliť stratégiu ♣5. Pre 2. hráča je celkom nevýhodné zvoliť stĺpec (d), vždy príde o 8 alebo 1 (jednotiek). Stĺpec (d) je dominovaný stĺpcom (c). Druhý hráč bude voliť stratégiu ♣5. Pre obidvoch hráčov sme takto získali „najlepšiu“ voľbu stratégie, aby v rámci pravidiel hry a s ohľadom na voľby protihráča získali „čo najviac“ a stratili „čo najmenej“. Týmito úvahami sme našli optimálnu stratégiu, čo znamená, že pokiaľ sa ktorýkoľvek z hráčov od tejto svojej stratégie odchýli, môže stratiť. Optimálnu stratégiu určil na matici výplat tzv. sedlový bod.
Formálne povedané, sedlový bod v matici výplat určuje stratégie x0 (1. hráča) a y0 (2. hráča) tak, že pokiaľ si 1. hráč zvolí ľubovoľnú stratégiu x, ale 2. hráč sa drží optima, 1. hráč si nepolepší, t. j. Z1(x0,y0) \le Z1(x0,y0). Obdobne to platí pre 2. hráča. Vo výplatných funkciách 1. hráča to znamená, že odchýlka 2. hráča od stratégie y0 môže prilepšiť 1. hráčovi, Z1(x0,y0) \le Z1(x0,y0). O hodnote výplatnej funkcie Z1(x0,y0) sa hovorí ako o cene hry. Optimálne stratégie x0, y0 sú označované termínom Nashova rovnováha, podľa mena amerického matematika Johna F. Nasha.

## Zdroje

Kategória:Teória hier