Goldbachova domnienka

náhľad|Párne čísla od 4 do 28 zobrazené ako súčet dvoch prvočísiel: Párnym číslam zodpovedajú vodorovné čiary - riadky. Pre každé prvočíslo máme dve šikmé čiary, jednu modrú a jednu červenú a ich priesečník je označený malým krúžkom. Obrázok je nakreslený tak, že dve šikmé čiary sa stretnú presne v takom riadku, aký je súčet zodpovedajúcich prvočísiel: napríklad 20=7+13=3+17, čo zodpovedá dvom krúžkom v riadku pre číslo 20. Vo všeobecnosti krúžky v jednom riadku zobrazujú všetky možnosti, ako sa nejaké párne číslo dá zapísať ako súčet dvoch prvočísiel. Goldbachova domnienka tvrdí, že (ak by sme s kreslením takéhoto obrázku pokračovali do nekonečna) v každom riadku bude aspoň jeden krúžok.
**Goldbachova domnienka** je jedným z najstarších a najznámejších nevyriešených problémov teórie čísel a celej matematiky. Domnienka tvrdí, že:
: Každé párne celé číslo väčšie ako 2 sa dá vyjadriť ako súčet dvoch prvočísel.

Táto hypotéza bola overená pre všetky párne čísla menšie ako 4&#x20;×&#x20;1018. Napriek značnému úsiliu však ešte nikto nedokázal tvrdenie pre všetky párne čísla.

## Goldbachove číslo
Goldbachove číslo je prirodzené číslo, ktoré sa dá vyjadriť ako súčet dvoch *nepárnych* prvočísiel. Keďže 4 je jediné párne číslo väčšie ako 2, ktoré potrebuje 2, ak ju chceme zapísať ako súčet dvoch prvočísiel, Goldbachovu domnienku môžeme formulovať aj nasledovne: Každé párne číslo väčšie ako 4 je Goldbachove číslo.

Vyjadrenie daného párneho čísla ako súčet dvoch prvočísiel sa nazýva Goldbachov rozklad tohto čísla. Nižšie sú uvedené príklady Goldbachových rozkladov pre niektoré párne čísla:
: 6 = 3 + 3
: 8 = 3 + 5
: 10 = 3 + 7 = 5 + 5
: 12 = 7 + 5 
: ...
: 100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53
: ...
Počet spôsobov, ktorými sa 2*n* dá zapísať ako súčet dvoch prvočísiel (pre *n* začínajúce od 1) je:
: 0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 4, 4, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 3, 5, 3, 4, 6, 3, 5, 6, 2, 5, 6, 5, 5, 7, 4, 5, 8, 5, 4, 9, 4, 5, 7, 3, 6, 8, 5, 6, 8, 6, 7, 10, 6, 6, 12, 4, 5, 10, 3, ... .

## Pôvod
náhľad|List od Goldbacha Eulerovi dňa 7. júna 1742 (latinčina a nemčina).
7. júna 1742, nemecký matematik Christian Goldbach napísal list Leonhardovi Eulerovi (list č. XLIII), v ktorom navrhol takúto domnienku:
: Každé celé číslo, ktoré sa dá zapísať ako súčet dvoch prvočísel, sa potom dá rozpísať ako súčet ľubovoľne veľa prvočísiel, až kým sa všetky výrazy nerozložia na jednotky.
Na okraj listu potom ešte dopísal túto domnienku:
: Každé prirodzené číslo väčšie ako 2 možno zapísať ako súčet troch prvočísiel.
Je nutné podotknúť, že Goldbach považoval aj 1 za prvočíslo - táto konvencia sa v súčasnej matematike nepoužíva. Nie je známe, či sú dve spomínané domnienky ekvivalentné, ale zdá sa, že to v tom čase nebol hlavný problém.
Moderná verzia Goldbachovej domnienky na okraji znie:
: **Každé celé číslo väčšie než 5 sa dá zapísať ako súčet troch prvočísiel**.
Euler odpovedal v liste z 30. júna 1742, a pripomenul Goldbachovi ich staršiu diskusiu (), v ktorej Goldbach poznamenal, že jeho prvá domnienka (nie tá na okraji) vyplýva z nasledujúceho tvrdenia
: **Každé párne celé číslo väčšie ako 2 možno zapísať ako súčet dvoch prvočísiel**.
čo je tým pádom tiež Goldbachova domnienka.
V liste z 30. júna 1742, Euler napísal: ("To ... že každé párne číslo je súčet dvoch prvočísel považujem za úplne zaručene pravdivé, hoci to neviem dokázať.") Práve táto tretia verzia má tvar, v ktorom sa domnienka formuluje dnes. Je tiež známa ako „silná“, „párna“, alebo „binárna“ Goldbachova domnienka, keď ju chceme odlíšiť od slabšieho tvrdenia, dnes známeho ako „slabá“ Goldbachova domnienka, „nepárna“, alebo „ternárna“ Goldbachova domnienka. Táto slabá domnienka tvrdí, že *všetky nepárne čísla väčšie ako 7 sa dajú vyjadriť ako súčet troch nepárnych prvočísiel*, a zdá sa, že bola dokázaná v roku 2013. Slabá domnienka vyplýva zo silnej, pretože ak *n* – 3 je súčet dvoch nepárnych prvočísiel, potom pridaním trojky dokážeme *n* vyjadriť ako súčet troch nepárnych prvočísiel. Nie je známe, či platí aj opačná implikácia, teda či zo slabej domnienky vyplýva silná.

## Overovanie pre malé n
Pre malé hodnoty *n*, môžeme skúsiť overiť Goldbachovu domnienku priamo. Napríklad, Nils Pipping v roku 1938 prácne overil, že domnienka je pravdivá pre *n*&#x20;≤&#x20;105. S príchodom počítačov sa domnienku podarilo overiť pre mnoho ďalších hodnôt *n*; T. Oliveira e Silva bežal distribuovaný výpočet, ktorý overil domnienku pre *n*&#x20;≤&#x20;4&#x20;×&#x20;1018 (a dvakrát overil pre n ≤ 4&#x20;×&#x20;1017) v roku 2013. Jeden rekord z tohto vyhľadávania je, že 3,325,581,707,333,960,528 je najmenšie číslo, ktoré nemá Goldbachov rozklad s prvočíslami menšími ako 9781.

## Rigorózne výsledky
Pomocou Vinogradovej metódy, Chudakov, Van der Corput, a Estermann ukázali, že takmer všetky párne čísla sa dajú zapísať ako súčet dvoch prvočísiel (v tom zmysle, že podiel čísel, ktoré sa dajú zapísať sa pre *n* idúce do nekonečna blíži k 1). V roku 1930, Lev Schnirelmann ukázal, že všetky prirodzené čísla väčšie než 1 sa dajú zapísať ako súčet najviac C prvočísiel, kde C je efektívne vypočítateľná konštanta (pozri Schnirelmannova hustota). Schnirelmannova konštanta je najmenšie číslo C s touto vlastnosťou. Schnirelmann sám dokázal, že C  5) sa dá vyjadriť ako súčet prvočísla a dvojnásobku prvočísla." (*Mathematics Magazine*, 66.1 (1993): 45-47.) Toto tvrdenie je známy tiež ako Lemoinova domnienka a Levyho domnienka.
* Goldbachovu domnienku pre praktické čísla (čísla podobné prvočíslam), formuloval v roku 1984 Margenstern a v roku 1996 dokázal Melfi: každé párne číslo je súčtom dvoch praktických čísel.

## Referencie

## Externé odkazy
* Goldbachova hypotéza

Kategória:Analytická teória čisel
Kategória:Hilbertove problémy
Kategória:Eponymické termíny v matematike