Pravdepodobnosť

**Pravdepodobnosť** (hovorovo *šanca*; značka je P z anglického *probability*) je hodnota vyčísľujúca istotu resp. neistotu výskytu určitej udalosti. Inak povedané: je to počet pravdivých udalostí k počtu možných udalostí. Napr.: pravdepodobnosť že učiteľ vyvolá jedného konkrétneho žiaka (napr. Adama) z desiatich je jedna ku desiatim (značí sa 1:10). Skúma ju teória pravdepodobnosti. Pravdepodobnostnú hodnotu nadobúdajú náhodné premenné.

## Definície
Pravdepodobnosť možno definovať niekoľkými takmer ekvivalentnými definíciami.

### Klasická definícia ([[Pierre Simone de Laplace]])
Pravdepodobnosť = Počet relevantných prípadov/Počet všetkých možných prípadov.
Inými slovami: Podiel počtu situácií, v ktorých sa stane to čo nás zaujíma, na súčte počtu situácií, v ktorých sa stane to čo nás zaujíma, a počtu situácií, v ktorých sa nestane to čo nás zaujíma. 

#### Príklad
Otázka: „Aká je pravdepodobnosť, že konkrétneho človeka v Bratislave v daný deň zrazí auto?“ (inými slovami: „Aký je očakávaný podiel počtu zrazených ľudí (za deň) na všetkých ľuďoch prítomných v Bratislave?“)

Riešenie: 
: Počet relevantných = počet zrazených ľudí v Bratislave za deň (napríklad priemer podľa historických záznamov polície, čísla pozri b) = 97,25
: Počet všetkých možných prípadov = počet ľudí prítomných v Bratislave (napríklad priemerný počet obyvateľov + počet turistov + počet ľudí dochádzajúcich za prácou podľa historických záznamov, čísla pozri b) = 507 250 

Výsledok:
: P = 97,25 / 507250 = 0,000192 (čiže **0.0192%**)

### Štatistická definícia ([[Richard von Mises]])
Táto definícia je vlastne len akési upresnenie klasickej definície. 

Pravdepodobnosť = číslo (presnejšia limita), ku ktorému sa pri mnohonásobnom opakovaní „pokusu“ blíži relatívna frekvencia javu (t. j. pomer počet relevantných prípadov / počet všetkých možných prípadov)

#### Príklad
Otázka: „Aká je pravdepodobnosť, že v Bratislave za deň niekoho zrazí auto?“ 

Riešenie:
Urobíme nasledujúci „výpočet“ (v ideálnom prípade pre veľmi veľa dní) so zadanými údajmi o počte havárií a Bratislavčanov:

Výsledok:

Teraz by sme mali teoreticky podľa tejto tabuľky vypočítať (alebo nakresliť graf „relatívna frekvencia -- počet ľudí v Bratislave“ a v ňom nájsť) číslo, ku ktorému sa blíži relatívna frekvencia.

Zjednodušene sa však väčšinou jednoducho počíta tzv. *priemerná relatívna frekvencia*, čiže:
: P = (85 + 96 + 105 + 103) / (490000 + 510000 + 530000 + 499000) = 0,000192 (čiže **0,0192%**)
K číslu 0,0192 % by sme dospeli, aj keby sme počítali P = priemer počtu zrazených ľudí / priemer počtu ľudí v Bratislave, a to je vlastne klasická definícia pravdepodobnosti.

### Pravdepodobnosť ako miera presvedčenia ([[Thomas Bayes]])
Táto definícia hovorí, že pravdepodobnosť je číslo medzi 0 a 1, ktoré je mierou nášho presvedčenia o realizácii nejakého javu alebo presvedčenia o pravdivosti nejakého tvrdenia. Pod realizáciou javu tu môžeme mať na mysli napríklad výhru domácich vo futbale, pod pravdivosťou nejakého tvrdenia zase pravdepodobnosť, že hmotnosť Saturnu sa nachádza v nejakom dopredu zvolenom intervale. Zvlášť druhá spomínaná možnosť je pri fyzikálnom výskum častá (experimentálne hľadáme hodnoty rôznych konštánt, hmotnosti elementárnych častíc, atď.), no z frekvencionistického pohľadu nemá žiadny zmysel. So Saturnom totiž nemôžeme urobiť viac pokusov - jeho hmotnosť je daná a v danom intervale buď leží alebo neleží - problém je iba v tom, že my nepoznáme odpoveď.

### Axiomatická definícia ([[Andrej Nikolajevič Kolmogorov]])
Pravdepodobnosť P(A) náhodnej udalosti A je v tomto prípade reálna funkcia, ktorá každej náhodnej udalosti A priradí určité reálne číslo P(A), pričom platia tieto axiómy:
* P(A) \ge 0
* P(\Omega)=1, ak \Omega je istá udalosť
* Nech A_1, A_2, ..., A_n, ... je postupnosť disjunktných náhodných udalostí (t.j. takých, že žiadne dve z nich nemôžu nastať súčasne). Potom pravdepodobnosť, že aspoň jedna z nich pri náhodnom pokuse nastane, sa rovná súčtu ich pravdepodobností:
P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n \cup ... ) = P(A_1) + P(A_2) + ... + P(A_n) + ...

Pravdepodobnosť je tu definovaná pomocou niekoľkých axióm ako objektívna vlastnosť náhodnej udalosti. Táto definícia však nedáva jednoznačný návod na jej výpočet.

## Vlastnosti
* Pravdepodobnosť vždy patrí intervalu 
* Pravdepodobnosť nemožného javu je 0 (0%), pravdepodobnosť istého javu je 1 (100%)
* Súčet jednotlivých pravdepodobností všetkých možných prípadov je 1 (100%)
* P(A \cup B) = P(A) + P (B) - P(A \cap B)

## Iné projekty


Kategória:Matematika