Trojuholník

**Trojuholník** (zriedkavo: **triangel**, zastarano: *trojuhol*) je jeden zo základných rovinných geometrických útvarov; mnohouholník s troma vrcholmi a stranami. Je to dvojrozmerný útvar, ktorého súčet vnútorných uhlov je vždy 180°.

## Definícia trojuholníka
**Trojuholník** môžeme definovať ako **prienik troch polrovín**.
Ak máme tri rôzne body A, B, C, (ktoré neležia na jednej priamke) tak trojuholníkom s vrcholmi
A, B, C nazývame prienik polrovín ABC, ACB, BCA.
**[[Úsečka (geometria)|Úsečky]]** AB, BC, CA sú stranami tohto trojuholníka a ich zjednotenie je obvod trojuholníka.

Pre strany trojuholníka musí platiť **trojuholníková nerovnosť**, t. j., že súčet dĺžok dvoch ľubovoľných strán je väčší ako dĺžka tretej strany, teda:
* a + b > c
* b + c > a
* a + c > b

## Klasifikácia trojuholníkov
Trojuholníky možno triediť podľa viacerých kritérií:

**Podľa dĺžky jeho strán**
* **[[Rovnostranný trojuholník]]** – všetky strany majú rovnakú dĺžku. Rovnostranný trojuholník je tiež *rovnouhlý*, t. j. všetky jeho vnútorné uhly majú rovnakú veľkosť, a to 60°; je to pravidelný mnohouholník.
* **[[Rovnoramenný trojuholník]]** – má práve dve strany rovnakej dĺžky. Rovnoramenný trojuholník má tiež dva rovnaké vnútorné uhly (sú to uhly, v ktorých obe rovnaké strany sa napájajú na tretiu-základňu).Rovnostranný trojuholník je tiež rovnoramenným, ale nie každý rovnoramenný trojuholník je rovnostranný.
* **[[Rôznostranný trojuholník]]** – všetky strany majú rozličnú dĺžku. Jeho vnútorné uhly sú taktiež rozdielne.

**Podľa veľkosti najväčšieho vnútorného uhla:**
* **[[Pravouhlý trojuholník]]** – má práve jeden vnútorný uhol s veľkosťou 90° (pravý uhol). Strana ležiaca oproti pravému uhlu sa nazýva **prepona** a je najdlhšou stranou v trojuholníku. Ostatné dve strany sa nazývajú **odvesny**.
* **[[Tupouhlý trojuholník]]** – má práve jeden vnútorný uhol väčší ako 90° (tupý uhol) a ostatné uhly má ostré.
* **[[Ostrouhlý trojuholník]]** – má všetky vnútorné uhly menšie ako 90° (tri ostré uhly).

## Vlastnosti
### Výška trojuholníka
150px|thumb|Výšky a ortocentrum ostrouhlého trojuholníka.
Je to úsečka na priamke prechádzajúcej vrcholom trojuholníka a je kolmá na protiľahlú stranu. V ľubovoľnom trojuholníku prechádzajú všetky tri výšky jedným bodom, ktorý nazývame ortocentrum.
**Ortocentrum** má polohu: 
* vnútri trojuholníka – ak je trojuholník ostrouhlý,
* na vrchole pravého uhla – ak je trojuholník pravouhlý,
* mimo trojuholníka – ak je trojuholník tupouhlý.

Výpočet výšky trojuholníka:
:v_a = c\cdot\sin\beta = b\cdot \sin\gamma
:v_b = a\cdot \sin\gamma = c\cdot \sin\alpha
:v_c = b\cdot \sin\alpha = a\cdot \sin\beta

### Ťažnice trojuholníka
150px|thumb|Ťažnice trojuholníka a ťažisko.
Ťažnice sú úsečky, ktoré spájajú vrcholy trojuholníka so stredmi protiľahlých strán. Prechádzajú jedným
bodom, ktorý voláme ťažisko. Ťažisko delí každú z ťažníc v pomere 2 : 1, pričom dlhšia časť je medzi vrcholom a ťažiskom, a kratšia časť medzi ťažiskom a stredom strany.

### Stredné priečky trojuholníka
150px|thumb|Stredné priečky trojuholníka.
Sú to spojnice stredov dvoch strán a sú rovnobežné s treťou stranou trojuholníka. Veľkosť strednej
priečky sa rovná polovičnej veľkosti strany trojuholníka, s ktorou je rovnobežná. Stredná priečka trojuholníka delí trojuholník na dve časti, ktorých obsahy sú v pomere 1 : 3.

### Kružnica opísaná trojuholníku
[150px|thumb|[Kružnica opísaná trojuholníku.]]
Je to kružnica, ktorá obsahuje vrcholy daného trojuholníka. Stredom kružnice opísanej trojuholníku ABC je priesečník osí strán trojuholníka ABC. Polomer je
spojnica stredu s ľubovoľným vrcholom.
Polomer opísanej kružnice:
:R= \frac{a}{2 \sin\alpha}= \frac{b}{2 \sin\beta}= \frac{c}{2 \sin\gamma}

### Kružnica vpísaná trojuholníku
[150px|thumb|[Kružnica vpísaná trojuholníku.]]
Je to kružnica, ktorá sa dotýka všetkých strán daného trojuholníka. Stredom kružnice vpísanej trojuholníku ABC je priesečník osí uhlov trojuholníka ABC (a leží vždy vnútri trojuholníka!). Polomer je vzdialenosť stredu od ľubovoľnej strany trojuholníka.
Polomer vpísanej kružnice: 
:r =4R\cdot \sin\frac{\alpha}{2}\cdot \sin\frac{\beta}{2} \cdot \sin\frac{\gamma}{2}
alebo r = \frac{2S}{o}; o = obvod trojuholníka, S = obsah trojuholníka

### Osi strán
Priamky, ktoré prechádzajú stredom strán trojuholníka a sú na ne kolmé, nazývame osi strán. Pretínajú sa v jednom bode, ktorý je stredom opísanej kružnice (tento bod je rovnako vzdialený od všetkých vrcholov
trojuholníka).

### Osi vnútorných uhlov
Pretínajú sa v jednom bode, ktorý tvorí stred vpísanej kružnice (tento bod je rovnako vzdialený od všetkých strán trojuholníka) a rozdeľujú uhly na dve rovnaké časti.

## Vzťahy platiace v trojuholníku
### Výpočet obsahu
Vzorec pre výpočet obsahu trojuholníka vyzerá nasledovne: S = \frac{av_a}{2} = \frac{bv_b}{2} = \frac{cv_c}{2} pričom *a*, *b*, *c* sú strany trojuholníka a v_a, v_b, v_c sú výšky kolmé na prislúchajúcu stranu.

Obsah však možno vypočítať aj Herónovým vzorcom: S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, kde s = \frac{o}{2}
 Obsah trojuholníka pomocou vnútorného uhla:
S=\frac{1}{2}ab\,\sin\gamma=\frac{1}{2}ac\,\sin\beta=\frac{1}{2}bc\,\sin\alpha

### Výpočet obvodu
Obvod trojuholníka sa rovná súčtu všetkých troch strán trojuholníka. Platí: o = a + b + c

### Zhodnosť trojuholníkov
Dva trojuholníky môžu byť zhodné podľa troch viet o zhodnosti: *sss*, *sus*, *usu*.
* **Veta (sss):** Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú vo všetkých troch stranách, sú zhodné.
* **Veta (sus):** Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch stranách a v uhle nimi určenom sú zhodné.
* **Veta (usu-suu):** Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v jednej strane a dvoch uhloch k nej priľahlých sú zhodné.
* **Veta (Ssu):** Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch stranách a uhle ležiacom oproti väčšej z nich, sú zhodné.

## Pravouhlý trojuholník
[thumb|[Pytagorova veta.]]
Pravouhlý trojuholník je špeciálny prípad trojuholníka, v ktorom platia špeciálne vzťahy (tieto vzťahy neplatia v ostatných 2 typoch trojuholníka.)
**Vlastnosti pravouhlého trojuholníka**
* jeden z vnútorných uhlov má 90 stupňov
* súčet ostatných dvoch ostrých uhlov je tiež 90 stupňov
* pravouhlý trojuholník má dve odvesny a jednu preponu. **Prepona** je najdlhšia strana trojuholníka a je *vždy* oproti pravému uhlu.
* keďže odvesny sú na seba kolmé, obsah pravouhlého trojuholníka možno vypočítať aj takto: \frac{ab}{2}, kde *a*, *b* sú odvesny pravouhlého trojuholníka

[thumb|[Tálesova kružnica.]]
**Vzťahy platiace v pravouhlom trojuholníku**
* Pytagorova veta: Obsah štvorca nad preponou pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu obsahov štvorcov nad oboma jeho odvesnami. Z toho vyplýva vzorec: c^2 = a^2 + b^2.
* Tálesova veta: Množina vrcholov pravých uhlov všetkých pravouhlých trojuholníkov s preponou AC je kružnica s priemerom AC s výnimkou bodov A a C.
* **[[Euklidova veta|Euklidova veta o výške]]:** Obsah štvorca zostrojeného nad výškou pravouhlého trojuholníka spustenou na preponu sa rovná obsahu pravouholníka, ktorého strany sú úseky na prepone priľahlé k odvesnám.
: v_c^2=c_a.c_b

* **[[Euklidova veta|Euklidova veta o odvesne]]:** Obsah štvorca zostrojeného nad odvesnou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z prepony a úseku na prepone priľahlého k odvesne. Pre jednotlivé odvesny trojuholníka teda platí:
: a^2=c.c_a
: b^2=c.c_b

## Ďalšie vzťahy platiace v trojuholníkoch
### Sínusová veta
Znenie sínusovej vety:
* Pre každý trojuholník ABC s vnútornými uhlami α, β, γ a stranami a, b, c platí:
:\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}
Čiže:
* Pomer všetkých dĺžok strán a hodnôt sínusov im protiľahlých uhlov je v trojuholníku konštantný.
* Pomer dĺžok strán trojuholníka sa rovná pomeru sínusov im protiľahlých uhlov:
:\frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} , \quad \frac{b}{c} = \frac{\sin \beta}{\sin \gamma}, \quad \frac{c}{a} = \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}

### Kosínusová veta
Kosínusová veta má tri základné varianty:
* a^2 = b^2 + c^2 - 2bc.cos \alpha
* b^2 = a^2 + c^2 - 2ac.cos \beta
* c^2 = a^2 + b^2 - 2ab.cos \gamma

## Referencie

## Pozri aj
* Pytagorova veta
* Euklidova veta
* Sínusová veta
* Kosínusová veta
* Trigonometria
* Goniometrická funkcia
* Goniometria

## Iné projekty

## Externé odkazy
* Obsah trojuholníka


Kategória:Geometria