Kvadratický odhad

**Kvadratický odhad** je úloha pri ktorej je potrebné nájsť najmenšie číslo k resp. najväčšie číslo h také, že: k\le ax^2+bx+c, resp.  ax^2+bx+c\le h.

Ak a>0, tak najväčšie zo všetkých takých čísel k, že pre každé x platí k\le ax^2+bx+c, je \frac{4ac-b^2}{4a}.

Ak a, tak najväčšie zo všetkých takých čísel h, že pre každé x platí  ax^2+bx+c\le h, je \frac{4ac-b^2}{4a}.

Pomocou týchto poznatkov, prípadne samotnej techniky doplnenia na štvorec, možno nájsť podobné odhady aj v zložitejších situáciach.

## Príklady
1) Nájdite najväčšie také číslo k, aby nerovnosť 

k\le 5-\frac{3}{x} +\frac{1}{x^2} platila pre všetky x>0.

Riešenie: Pravda, nie je vopred jasné, čí také číslo vôbec existuje. Nech y=\frac{1}{x} pre x>0. Nájdeme najväčšie možné číslo k také, že k \le 5-3y+y^2, pre každé y. To je ľahké, podľa vyššie uvedeného dostávame:

5-3y+y^2=(y^2-3y+\frac{9}{4})+5-\frac{9}{3}=(y-\frac{3}{2})^2+\frac{11}{4} pre kazdé y. Preto \frac{11}{4}\le 5-3y+y^2 a rovnosť nastane vtedy a len vtedy, keď y=\frac{3}{2}. Platí teda \frac{11}{4}\le 5-\frac{3}{x} +\frac{1}{x^2} pre každé x>0. Navyše pre x=\frac{2}{3} nastáva rovnosť. Preto najväčšie také číslo k, že pre každé x>0 platí k\le 5-\frac{3}{x} +\frac{1}{x^2}, je \frac{11}{4}.

2) Nájdite najmenšie také číslo v, že pre každé x\neq -5 platí \frac{x}{(5+x)^2}\le v.        
*Tento problém vlastne zahŕňa nasledujúce otázky:
*a) existuje číslo v také, že \frac{x}{(5+x)^2}\le v platí pre každé x\neq -5?
*b) Ak áno, je niektoré z takých čísel najmenšie?
*c) Ktoré je najmenšie také číslo, ak existuje?

Na všetky tieto otázky odpovieme naraz. Keďže (5+x)^2>0 pre x\neq-5, nerovnosť \frac{x}{(5+x)^2}\le v platí pre niektoré x\neq-5 práve vtedy, keď x \le (5+x)^2, čiže 0 za predpokladu, že v \neq 0. Ak však v je také číslo, že \frac{x}{(5+x)^2}\le v platí pre každé x\neq-5, tak v>0, lebo výraz na ľavej strane vzťahu 0 je pre každé x>0 kladný. Keďže v>0, tak predchádzajúca nerovnosť platí pre každé x vtedy a len vtedy keď 
25-(\frac{10v-1}{2v})^2\le 0 pretože (x+\frac{10v-1}{2v})^2\le 0 pre každé x, pričom rovnosť nastáva pre x=\frac{10v-1}{2v}. Nerovnosť 25-(\frac{10v-1}{2v})^2\le 0 platí práve vtedy, keď 20v-1 \le 0, číže v \le \frac{1}{20}. Teda ak v \le \frac{1}{20}, tak \frac{x}{(5+x)^2}\le v platí pre všetky x\neq -5. Navyše keď vezmeme v = \frac{1}{20} a z x=\frac{10v-1}{2v} vypočítané x=5\neq -5, tak v \frac{x}{(5+x)^2}\le v dostaneme rovnosť. Teda najmenšie z čísel v, ktoré spĺňajú \frac{x}{(5+x)^2}\le v pre každé x\neq -5 je \frac{1}{20}.

3) Ukážme, že existujú také čísla u, že nerovnosť u\le \frac{x}{x^2+x+4} platí pre každé x, a že jedno z nich je najväčšie.

Riešenie: Všimnime si najprv, že 
*x^2+x+4=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{15}{4}>0 pre každé číslo x. Preto u\le \frac{x}{x^2+x+4} platí  vtedy a len vtedy, keď ux^2+(u-1)x+4u \le 0. Keď však u\neq 0, vtedy ux^2+(u-1)x+4u=u((x+\frac{u-1}{2u})^2+4-(\frac{u-1}{2u})^2 pre všetky x. Navyše pravá strana výrazu u\le \frac{x}{x^2+x+4} je pre záporné x záporná. Z toho vyplýva, že tento výraz môže platiť pre každé x len vtedy, keď u . Teda uvedený výraz platí pre všetky x vtedy a len vtedy, keď u  a zároveň (x+\frac{u-1}{2u})^2+4-(\frac{u-1}{2u})^2 \ge0. Keďže (x+(\frac{u-1}{2u})^2 \ge 0, pre každé x, pričom rovnosť platí pre  x=\frac{1-u}{2u}, bude nerovnosť (x+\frac{u-1}{2u})^2+4-(\frac{u-1}{2u})^2 \ge0 platiť pre všetky x vtedy a len vtedy, keď 4-(\frac{u-1}{2u})^2 \ge0. Teda u\le \frac{x}{x^2+x+4} platí pre každé číslo x vtedy a len vtedy, keď u a nerovnosť 4-(\frac{u-1}{2u})^2 \ge0 je splnená. Nerovnosť platí práve vtedy, keď -2 \le \frac{u-1}{2u} \le2. 
*Keďže vyššie uvedený zlomok je pre u kladný, číslo u vyhovuje nerovnostiam -2 \le \frac{u-1}{2u} \le2 práve vtedy, keď \frac{u-1}{2u}\le2, čiže práve vtedy, keď u-1 \ge 4u, čiže u \le -\frac{1}{3}. Takto sme zistili, že nerovnosť u\le \frac{x}{x^2+x+4} platí pre každé číslo x vtedy a len vtedy, keď u=-\frac{1}{3}. Teda -\frac{1}{3} je najväčšie zo všetkých takých čísel u, že nerovnosť u\le \frac{x}{x^2+x+4} platí pre každé číslo x.

## Pozri aj
* Doplnenie na štvorec

## Literatúra
* I. KLUVÁNEK: Prípravný kurz k diferenciálnemu a integrálnemu počtu. Ružomberok, Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity v Ružomberku. 2006, s. 64-67

Kategória:Matematická analýza