Kolinearita

náhľad|Body A, B a C sú kolineárne.

**Kolinearita** je termín používaný v geometrii na označenie situácie, keď dva alebo viac bodov ležia na rovnakej priamke. Overenie, či sú skúmané tri body v karteziánskej sústave súradníc kolineárne alebo nie sa môže vykonať viacerými spôsobmi. 

Tento článok pojednáva o skúmaní kolineárnosti bodov v priestore \mathbb R^2. 
### Pomocou lineárnej rovnice
Lineárna rovnica má viacero foriem:

* **štandardná** forma má tvar ax + by - c = 0
* forma **smernica/priesečník** s osou y má tvar mx + b - y = 0
* forma **smernica/bod** má tvar m(x - x_A) + y_A - y = 0
* **dvojbodová** forma má tvar   \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} (x - x_A) + y_A - y 
= \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} (x - x_B) + y_B - y 
= 0
* **priesečníková** forma má tvar  \frac{x}{a} + \frac{y}{b} -1 = 0

V nasledujúcich príkladoch sa budú používať body A(x_A = -7, y_A = 5) a B(x_B = -1, y_B = 1), ktoré budú definovať priamku a bod C(x_C = 3.5, y_C = -2), ktorý sa bude testovať na kolineárnosť s bodmi A a B.

#### Štandardná forma
Štandardná lineárna rovnica je ax + by = c respektíve ax + by - c = 0 pre a,b,c \in \mathbb N kde sa jednotlivé koeficienty, pokiaľ nie sú známe, vypočítajú z karteziánskych súradníc dvoch bodov ležiacich na priamke (pozri exkurz nižšie). Pokiaľ súradnice testovaného bodu vyhovujú tejto rovnici je kolineárny. Tento spôsob je vhodný aj pre priamky rovnobežné s osou y, ktorých smernica nie je definovaná.

Pre vyššie uvedené body A a B má štandardná rovnica tvar

-4 x  - 6y = -2.

Po dosadení súradníc testovaného bodu C

\begin{align}
-4 \times 3.5 - 6 \times (-2) & = -2 \\
-14 + 12  & = -2 \\
-2 & = -2 \\
\end{align}

***Exkurz:''' Koeficienty štandardnej formy lineárnej rovnice sa z karteziánskych súradníc dvoch bodov vypočítajú nasledovne:''

<math>\begin{align}
a & = y_B - y_A \\
b & = -(x_B - x_A) = x_A - x_B \\
c & = x_A y_B - x_B y_A \\
\end{align}</math>.

''Po dosadení:''

<math>\begin{align}
a & = 1 - 5 = -4 \\
b & = -(-1 - (-7)) = -6 \text{ alebo } -7 - (-1) = -6 \\
c & = -7 \times 1 - (-1) \times 5 = -7 - (-5) = -2 \\
\end{align}</math>.

''Štandardná forma'' <math display="inline">ax + by = c</math> ''teda bude:''

<math>-4 x  - 6y = -2</math>

''Skúška pre bod <math display="inline">A(-7, 5)</math>:''

<math>\begin{align}
-4 \times (-7) - 6 \times 5 & = -2 \\
28 -  30 & = -2 \\
-2 & = -2 \\
\end{align}</math>

''Skúška pre bod <math display="inline">B(-1, 1)</math>:''

<math>\begin{align}
-4 \times (-1) - 6 \times 1  & = -2 \\
4 - 6  & = -2 \\
-2 & = -2 \\
\end{align}</math>.

''Po dosadení súradníc bodu <math display="inline">C</math> do štandardnej lineárne rovnice sú si obe strany rovnice rovné a teda bod <math display="inline">C</math> je kolineárny s bodmi <math display="inline">A</math> a <math display="inline">B</math>. Týmto spôsobom je možné testovať na kolineárnosť neobmedzený počet bodov.''

***Koniec exkurzu.***

==== Forma smernica/priesečník s osou y ====
Ak sú definované v karteziánskej sústave dva body <math display="inline">A(x_A, y_A)</math> a <math display="inline">B(x_B, y_B)</math> určí sa z nich [[lineárna funkcia]] <math display="inline">y = mx + k</math>, kde <math display="inline">m</math> je [[Smernica priamky|smernica]] priamky a <math display="inline">k</math> je absolútny člen rovnice s hodnotou, na ktorej priamka pretína osu <math display="inline">y</math>. Smernica sa vypočíta podľa rovnice 

<math>m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}</math> 

a absolútny člen podľa rovnice 

<math>k = y - mx</math>, 

do ktorej je možné dosadiť súradnice buď bodu <math display="inline">A</math> alebo bodu <math display="inline">B</math>. Samotné testovanie kolineárnosti spočíva v tom, že súradnice testovaného bodu sa dosadia do lineárnej rovnice, ktorej smernica a absolútna hodnota sú už známe a zistí sa či sú obe strany rovnaké. V takom prípade je testovaný bod kolineárny s dvojicou bodov, z ktorých sa daná smernica a absolútny člen vypočítali. Tento spôsob nie je možný použiť na priamky rovnobežné s osou <math display="inline">y</math> pretože pre také priamky nie je definovaná smernica. 

Príklad. 

Sú definované body <math display="inline">A(-7, 5)</math> a <math display="inline">B(-1 , 1)</math>, z ktorých sa vypočíta <math display="inline">m</math> a <math display="inline">k</math>: 

<math>m = \frac{1 - 5}{-1 - (-7)} = \frac{-4}{6} = -0.\dot{6}</math> 

<math>k 
= {\overbrace{ 5 - (-0.\dot{6}) \times (-7) }^{\text{podľa } A(-7, 5)}} 
= 5 - 4.\dot{6} 
= 0.\dot{3}
</math> 

<math>k 
= {\overbrace{ 1 - (-0.\dot{6}) \times (-1) }^{\text{podľa } B(-1, 1)}} 
= 1 - 0.\dot{6} 
= 0.\dot{3}</math>. 

Ďalej je definovaný bod <math display="inline">C(3.5 , -2)</math>, ktorého kolinearita s bodmi <math display="inline">A</math> a <math display="inline">B</math> sa skúma pomocou lineárnej funkcie. 

<math>-2 = -0.\dot{6} \times 3.5 + 0.\dot{3} = -2.\dot{3} + 0.\dot{ 3} = -2</math> 

Po dosadení súradníc bodu <math display="inline">C</math> do rovnice sú si obe strany rovné a teda bod <math display="inline">C</math> je kolineárny s bodmi <math display="inline">A</math> a <math display="inline">B</math>. Týmto spôsobom je možné testovať na kolineárnosť neobmedzený počet bodov. 

==== Forma smernica/bod ====
Z dvojice bodov <math display="inline">A</math> a <math display="inline">B</math> sa vypočíta smernica priamky <math display="inline">m</math>, na ktorej ležia (pozri forma smernice/priesečník s osou y). V samotnej rovnici sa pri testovaní kolineárnosti s bodom  <math display="inline">C</math>  použijú súradnice jedného z bodov <math display="inline">A</math> a <math display="inline">B</math>. Nakoľko táto forma rovnice obsahuje smernicu nie je možné ju použiť pre priamky rovnobežné s osou <math display="inline">y</math>. Platia teda ekvivalentné rovnice 

<math display="inline">m(x_C - x_A) + y_A - x_C = 0</math> 

alebo 

<math display="inline">m(x_C - x_B) + y_B - x_C = 0</math> 

Príklad. 

<math display="inline">\begin{align}
\overbrace{
-0.\dot{6}(3.5 - (-7)) + 5 - (- 2)
}^{\text{Podľa } A(-7, 5)} & = 0 \\
-0.\dot{6} \times 10.5 + 7 & = 0 \\
-6.\dot{9} + 7 & = 0 \\
0 & = 0 \\
\end{align}</math> 

<math display="inline">\begin{align}
\overbrace{
-0.\dot{6}(3.5 - (-1)) + 1 - (- 2)
}^{\text{Podľa } B(-1, 1)} & = 0 \\
-0.\dot{6} \times 4.5 + 3 & = 0 \\
-2.\dot{9} + 3 & = 0 \\
0 & = 0 \\
\end{align}</math>.

==== Dvojbodová forma ====
Jedná sa o formu lineárnej rovnice ako pri forme smernica/bod s tým, že namiesto premennej <math display="inline">m</math> s hodnotou smernice priamky sa vkladá namiesto nej samotný vzorec pre výpočet smernice priamky. Tento spôsob nie je možné použiť pre situácie s priamkou rovnobežnou s osou <math display="inline">y</math>.

==== Priesečníková forma ====
Pre tento spôsob, ako napovedá názov, je nutné poznať priesečníky <math display="inline">a</math> (na ose <math display="inline">x</math>) a <math display="inline">b</math> (na ose <math display="inline">y</math>) priamky s hlavnými osami karteziánskej sústavy súradníc <math display="inline">x</math> a <math display="inline">y</math>. Pre výpočet priesečníkov pozri exkurz nižšie. Do takejto lineárnej rovnice sa dosadia len súradnice testovaného bodu <math display="inline">C</math>.  

<math display="inline">\begin{align}
\frac{x_C}{a} + \frac{y_C}{b} -1 & = 0 \\
\frac{3.5}{0.5} + \frac{-2}{0.\dot{3}} -1 & = 0 \\
7 + (-6) - 1 & = 0 \\
0 & = 0 \\
\end{align}</math>. 

***Exkurz:** Priesečníky priamky s hlavnými osami karteziánskej sústavy súradníc <math display="inline">x</math> a <math display="inline">y</math>. Pre ich výpočet je možné napríklad použiť lineárnu rovnicu <math display="inline">y = mx + k</math> (forma smernica/priesečník s osou <math display="inline">y</math>) kde <math display="inline">k</math> je priesečník s osou <math display="inline">y</math>. Pre výpočet smernice a priesečníku pozri odstavec týkajúci sa formy smernica/priesečník s osou <math display="inline">y</math>. Priesečník s osou <math display="inline">x</math> (teda x-ovú súradnicu) nájdeme vyriešením upravenej lineárnej rovnice pre <math display="inline">y=0</math>'' 

''<math>x = \frac{y - k}{m}</math>.'' 

''Z predchádzajúcich príkladov je známe, že'' 

''<math>m = -0,\dot{6}</math>'' 

''a'' 

''<math>k = (b) = 0.\dot{3}</math>.'' 

''Po dosadení do upravenej lineárnej rovnice získame'' 

''<math>a = \frac{0 - 0.\dot{3}}{-0.\dot{6}} = \frac{-0.\dot{3}}{-0.\dot{6}} = 0.5</math>.'' 

''Súradnice priesečníkov sú <math display="inline">P_y(0, b) = (0, 0.\dot{3})</math> na ose <math display="inline">y</math> a <math display="inline">P_x(a, 0) = (0.5, 0)</math> na ose <math display="inline">x</math>.'' 

***Koniec exkurzu.*''' 

### Pomocou determinantu matice
Ak sa dosadia súradnice bodov A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) a C(x_C, y_C) do matice s rozmermi 3 \times 3 ako je uvedené nižšie a vypočíta sa determinant tejto matice, tak potom v prípade, že sa tento determinant rovná nule sú body A, B a C kolineárne. 

\text{det}
\left (  
\begin{bmatrix} 
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\ 
x_3 & y_3 & 1 \\ 
\end{bmatrix}
\right )
=0
### Pomocou obsahu trojuholníka
K trom bodom A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) a C(x_C, y_C), u ktorých sa má zistiť či sú alebo nie sú kolineárne, je možné pristupovať ako k vrcholom trojuholníka ABC, ktorého obsah sa vypočíta podľa vzorca: 

S_{ABC} = \frac{1}{2} | ( x_A(y_B  - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B) ) |. 

Ak platí S_{ABC} = 0 tak body A, B a C sú kolineárne. 

### Pomocou vzájomnej vzdialenosti bodov
Pokiaľ sa vypočítajú vzájomné vzdialenosti medzi troma skúmanými bodmi, tak v prípade, že sú kolineárne, sa najdlhšia vzdialenosť musí rovnať súčtu dvoch ostatných. Vzdialenosť d dvoch bodov P_1(x_1, y_1) a P_2(x_2, y_2) v karteziánskej sústave súradníc sa vypočíta podľa 

d = \sqrt{ (x_2 - x_1 )^2 + (y_2 - y_1)^2 }.

### Pomocou euklidovskej konštrukcie
náhľad|Euklidovská konštrukcia pre kolinearitu bodu C s bodmi A a B.
Jedna z mnohých euklidovských konštrukcií na testovanie kolinearity bodu C  a bodmi  A a B môže vyzerať napríklad nasledovne.

Krok 1: Zostrojenie priamky \color{green}p prechádzajúcej bodmi A a B.

Krok 2: Zostrojenie kružnice \color{blue} a so stredom v bode A s polomerom r_A, pre ktorý platí nerovnosť \frac{1}{2}|AB| .

Krok 3: Analogicky ako v kroku 2 pre kružnicu \color{blue} b, čím vznikne prienik dvoch kružníc v dvoch bodoch P a Q (preto je nutná nerovnica polomerov, aby nedošlo k situácii, že sa kružnice nebudú dotýkať alebo sa budú dotýkať len v jednom bode).

Krok 4: Zostrojenie kružnice \color{red} c so stredom v testovanom bode C, ktorá prechádza bodom P. Ak prechádza aj bodom Q  je bod C kolineárny s bodmi A a B.

Alebo.

Krok 4: Zostrojenie kružnice \color{red} c so stredom v testovanom bode C, ktorá prechádza bodom Q . Ak prechádza aj bodom P  je bod C kolineárny s bodmi A a B.

V prípade kolinearity tvoria body C, P a Q  rovnoramenný trojuholník s ramenami CP a CQ , ktoré sú polomermi kružnice \color{red} c.

## Referencie

## Iné projekty

Kategória:Geometria
Kategória:Lineárna algebra
Kategória:Afinná geometria