Determinant (matematika)

náhľad|Grafické znázornenie Sarrusovho pravidla
**Determinant** je multilineárne zobrazenie, ktoré každej reálnej (resp. komplexnej) štvorcovej matici priraďuje jedno reálne (resp. komplexné) číslo.

## Značenie
Determinant matice \mathbf{A} značíme v skrátenej forme, ktorá nešpecifikuje jej jednotlivé prvky \mathbf{a}_{ij} nasledovným spôsobom: 

:\det \mathbf{A}

V prípade explicitného vyjadrenia jednotlivých prvkov \mathbf{a}_{ij} matice \mathbf{A} používame nasledujúce značenie:

:
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix},

Ďalším zaužívaným spôsobom je nasledujúce označenie: 

:\begin{vmatrix} a_{ij} \end{vmatrix}.

## Definícia determinantu

### Všeobecná definícia
Pre ľubovoľnú reálnu alebo komplexnú maticu \mathbf{A} = ({a_i}_j) \, rozmeru n \times n definujeme determinant nasledujúcim predpisom (nazývaným tiež *Leibnizova formula*):

:\det\mathbf{A} = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n {a}_{i,\sigma(i)}

Znak \sum_{\sigma \in S_n} znamená sumu cez všetky permutácie \sigma čísel {1,2, \cdots, n}. Znakom \sgn(\sigma) označujeme znamienko permutácie \sigma. Znamienko permutácie nadobúda hodnotu +1 pre párne permutácie a −1 pre nepárne permutácie. Z dôvodu sčítania cez všetky permutácie čísel {1,2, \cdots, n} sa v Leibnitzovej formule vyskytuje n! sčítancov (každý zodpovedá práve jednej permutácii). V praxi sa preto pre matice vyšších rádov používajú rôzne výpočetné algoritmy.

Hore uvedená definícia sa veľakrát prepisuje pomocou všeobecného Levi-Civitovho symbolu \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n}:

:\det \mathbf{A} = \sum_{j_1,j_2,...,j_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n} a_{1 j_1} a_{2 j_2} \cdots a_{n j_n} = \sum_{j_1,j_2,...,j_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n} a_{j_1 1} a_{j_2 2} \cdots a_{j_n n}

### Špeciálny prípad
#### Matica rádu 1
Matica rádu jedna (teda rozmeru 1×1) pozostáva z jediného čísla \mathbf^{i_{1}, ..., i_{k}}) \cdot (-1)^{i_{1} + ... + i_{k} + j_{1} + ... + j_{k}} \cdot \det(M_{j_{1}, ..., j_{k}}^{i_{1}, ..., i_{k}})

kde:
* A_{j_{1}, ..., j_{k}}^{i_{1}, ..., i_{k}} je podmatica matice A = (a_{ij} \in M_{n,n}(R)) typu *k x k*, ktorá je tvorená prvkami ležiacimi na priesečníkoch riadkov s indexami i_{1}, ... , i_{k} a stĺpcov s indexami j_{1}, ... , j_{k} (pričom platí: j_{1} ).
* M_{j_{1}, ..., j_{k}}^{i_{1}, ..., i_{k}} je matica typu *(n-k) x (n-k)*, ktorá je vytvorená z matice A vynechaním riadkov s indexami i_{1}, ... , i_{k} a stĺpcov s indexami j_{1}, ... , j_{k}
* Algebrický doplnok determinantu \det(A_{j_1, ..., j_k}^{i_1, ..., i_k}) je prvok takéhoto tvaru: (-1)^{i_1 + ... + i_k + j_1 + ... + j_k} \cdot \det(M_{j_1, ..., j_k}^{i_1, ..., i_k})

## Základné vlastnosti determinantov
* Pre každú štvorcovú maticu A = M_{n,n}(R) platí, že determinant matice sa rovná determinantu transponovanej matici, teda \det(A) = \det(A^T)

* Ak matica B vznikne z matice A = M_{n,n}(R) vzájomnou výmenou dvoch riadkov (resp. vzájomnou výmenou dvoch stĺpcov), potom determinant výslednej matice B sa rovná zápornej hodnote determinantu matice A, teda

:\det(B) = - \det(A)

* Nech A = (a_{ij}) je štvorcová matica stupňa *n* nad daným poľom R. Potom pre každé r, s \in {1, ..., n} existuje algebrický doplnok A_{rs} a má tvar:

:A_{rs} = (-1)^{r + s} \det(M_{rs})

pričom M_{rs} je štvorcová matica typu (n - 1) \times (n - 1), ktorá vznikne z matice A vynechaním *r*-tého riadka a *s*-tého stĺpca.

* Ak matica A = (a_{ij}) \in M_{n,n} (R) (n\ge2) má dva riadky (resp. dva stĺpce) rovnaké, tak:

:\det(A) = 0

* Ak matica B vznikne z matice A = (a_{ij}) \in M_{n,n} (R) tak, že jeden riadok (resp. jeden stĺpec) v A vynásobíme \delta \in R, tak:

:\det(B) = \delta \det(A) 

* Nech sú dané dve matice: A = (a_{ij}), B = (B_{ij}) \in M_{n,n}(R). Ak sa tieto dve matice líšia len v niektorom *k*-tom riadku, pre niektoré k \in {1, ..., n}, tak potom platí:

:\det(A) + \det(B) = \det \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{k - 1, 1} & ... & a_{k - 1, n} \\a_{k1} + b_{k1} & ... & a_{kn} + b_{kn} \\ a_{k + 1, 1} & ... & a_{k + 1, n} \\ ...& ... & ... \\a_{n1} & ... & a_{nn} \end{pmatrix}

* Ak je v matici A \in M_{n,n} (R) aspoň jeden riadok (resp. stĺpec) nulový tak platí:

:\det(A) = 0

* Majme maticu A = (a_{ij}) \in M_{n,n}(R), (n\ge2). Ak matica *B* vznikne z matice *A* prirátaním \alpha-násobku (\alpha \in R) hociktorého riadka (resp. stĺpca) k inému riadku (resp. stĺpcu) v *A*. Potom platí:

:\det(B) = \det(A)

## Pozri aj
* Matica (matematika)
* Lineárny priestor

## Literatúra
* 

## Iné projekty

## Externé odkazy
* Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná)  Aplikácia, ktorá vypočíta determinant z matice rádu 2-8
*  Determinant (matematika) 

Kategória:Matematika
Kategória:Teória matíc
Kategória:Lineárna algebra