Prosté zobrazenie

[thumb|Injektívne zobrazenie, ktoré nie je zároveň aj [Surjektívne zobrazenie|surjektívne.]]
**Prosté zobrazenie** alebo **injektívne zobrazenie** alebo **injekcia** je také zobrazenie množiny X do množiny Y, že každý prvok množiny Y je obrazom najviac jedného prvku z množiny X. Pojem injektívneho zobrazenia si nemožno pomýliť s bijektívnym zobrazením, ktoré je zároveň injekciou a surjekciou. K bijekcii, teda prostému zobrazeniu množiny X na Y (injekcia a surjekcia) existuje inverzné zobrazenie.

* Na rozdiel od zobrazenia '''na''' (surjekcia), prosté zobrazenie nemusí byť definované pre všetky obrazy a vzory, teda môžu existovať prvky cieľovej množiny, ktoré nemajú svoj vzor.

## Definícia
Nech X a Y sú množiny. Zobrazenie f: X \rightarrow Y nazývamé prostým zobrazením, či injektívným zobrazením alebo injekciou, ak navzájom rôznym prvkom x_1, x_2 množiny X sú priradené rôzne prvky f(x_1), f(x_2) množiny Y. 

Symbolicky píšeme:

:(\forall  x_1,  x_2 \in X ) (x_1 \ne x_2 \Rightarrow f( x_1 )  \ne  f( x_2 ) .

Dané tvrdenie je logicky ekvivalentné s transponovanou implikáciou:

:(\forall  x_1,  x_2 \in X ) (f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2) .

## Príklady

* Identické zobrazenie \text{id}_X: X\rightarrow X také, že pre každé x \in X platí \text{id}_X(x) = x je injektívne (dokonca aj bijektívne, inverz je opäť identickým zobrazením).

* Lineárna funkcia f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, kde f(x) = a x +  b, pričom konštanty a\neq0,b sú reálne,  je prostá, pretože ak platí f(x) = f(y), platí i a x + b = a y + b, teda x = y pre ľubovoľné reálne x,y.
* Kvadratická funkcia g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, kde g(x) = ax^2 +bx +c, pričom konštanty a\neq0,b,c sú reálne, prostá nie je, pretože g\left(1-\frac{b}{2a}\right)=\frac{4a^2-b^2+4ac}{4a}=g\left(-1-\frac{b}{2a}\right).
* Mocninová funkcia h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} taká, že h(x)=x^n, kde n\in\mathbb{N} je prostá len pre nepárne hodnoty exponentu n, pretože ak by n=2k,  \,  k\in\mathbb{N}, tak 1=h(1)=1^{2k}=(1^2)^k=[(-1)^2]^k=(-1)^{2k}=h(-1).
* Exponenciálna funkcia \text{exp}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definovaná ako \text{exp}(x) = e^x je prostá. Obrazom zobrazenia \text{exp} je interval [0, \infty) \subseteq \mathbb{R}, teda dané zobrazenie nie je surjektivne.
* Prirodzený logaritmus \text{ln}: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} definovaný priradením x \mapsto \ln(x) je prostou funkciou.
* Spojité reálne funkcie f sú prosté práve vtedy, keď každá horizontálna priamka (rovnobežná s osou x) pretína graf funkcie f v nanajvýš jednom bode. Dané tvrdenie nám umožňuje určiť to, či je funkcia prostá, len z jej grafu.
* Ak je spojitá reálna funkcia f rýdzo monotónna, tak je prostá.
## Vlastnosti
náhľad|Kompozícia injektívnych zobrazení je tiež injektívnym zobrazením.
Nech X,Y,Z sú množiny a nech f: X \rightarrow Y a g: Y \rightarrow Z sú ľubovoľné zobrazenia, potom platia nasledujúce výroky:

* Ak f a g sú injekciou, potom aj g\circ f je injekciou.
* Ak g\circ f je injekciou, potom aj f je injekciou.
* Ak sú množiny X,Y konečné, potom zobrazenie f je injekciou vtedy a len vtedy, keď je aj surjekciou (teda f je bijekciou).
* Ak sú množiny X,Y konečné a zároveň X=Y, potom každé injektívne zobrazenie f je permutáciou množiny X.

## Referencie


## Pozri aj
* Zobrazenie na
* Bijekcia
* Prostá funkcia

Kategória:Teória množín
Kategória:Vlastnosti matematických funkcií