Umocňovanie

**Umocňovanie** je matematická funkcia, ktorá vyjadruje opakované násobenie. Umocňovanie je s násobením v podobnom vzťahu, v akom je samo násobenie ku sčítaniu. Výsledok umocňovania sa nazýva **mocnina**.

Umocňovanie slúži na skrátenie zápisu viacnásobného násobenia:
:
 \begin{matrix}
 \underbrace{ a\cdot a\cdot a\cdots a }&=a^b\\{b}
 \end{matrix}

V tomto vzorci sa *a* označuje ako **základ mocniny** alebo **mocnenec** a *b* sa nazýva **exponent (mocniny)** alebo **mocniteľ**. Výsledkom je *b*-tá *mocnina* čísla *a*, *a* na *b*-tu. Špeciálnym prípadom prázdneho súčinu je *a*0&nbsp;=&nbsp;1 (pre *a*&nbsp;≠&nbsp;0, pozri nižšie).

Keď sa nedá písať exponent na hornú pozíciu, používa sa často zápis v tvare *a^b*, niekedy tiež aj *a**b*.

## Zovšeobecnenie definície
Vyššie uvedená definícia umocňovania ako opakovaného násobenia je použiteľná iba pre prirodzené exponenty. Záporné exponenty označujú mocninu prevráteného čísla:
:a^{-n} = \left( \frac{1}{a} \right)^n = \frac{1}{a^n}
Zovšeobecnenie pre racionálny exponent poskytuje definícia:
:a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}.
Zovšeobecnenie na celý obor reálnych čísel (tj. rozšírenie definície o mocniny s iracionálnymi exponentami) sa potom dosahuje dodefinovaním pomocou limity.

Mocniny s komplexným základom sú definované nasledujúcim spôsobom: Ak je a + b i = r \cdot e^{i\varphi} s reálnymi číslami *a, b, n, r* > 0 a *φ*, potom platí
:
 z^n\equiv (a+b\;i)^n = (r \cdot e^{i\varphi})^n = r^n \cdot e^{i\; n\varphi} = r^n \cdot (\cos (n \varphi) + i \sin (n \varphi))


Ak je navyše exponent *a* číslo všeobecne komplexné, potom je mocnina daná ako

:z^a=e^{a \operatorname{Ln\ }z}=e^{a\left(\operatorname{ln}|z|+i\varphi\right)},

kde argument *φ* má nutne skok, ktorého polohu však možno zvoliť. Volí sa spravidla *φ* z intervalu . Teda mocnina je všeobecne viacznačná funkcia a pokiaľ nie je *a* celé číslo, mocnina nie je na celej komplexnej rovine holomorfná.

## Vlastnosti
* \left(a \cdot b \right)^x = a^x \cdot b^x
* \left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x},\quad b\neq 0
* a^x \cdot a^y = a^{x+y}
* a^{-x} = \frac{1}{a^x},\quad a\neq 0 
* \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y},\quad a\neq 0
* \left(a^x\right)^y = a^{x\cdot y}
* a^0 = 1 pre *a* ≠ 0 (pre 00 pozri nižšie)

Umocňovanie nie je všeobecne komutatívne (2³ = 8 ≠ 9 = 3²).

## Nula na nultú
Výraz 00 nie je celkom všeobecne definovaný. Napríklad limita v tomto tvare je tzv. neurčitý výraz a pre jej vyčíslenie je potrebné použiť inú techniku (napr. L’Hospitalovo pravidlo). Dôvodom pre túto nedefinovanosť je dvojitý pohľad na tento výraz: Prvý pohľad na výraz hľadí ako na funkciu *x*0, ktorá je všade (okrem nuly) rovná jednej, takže je možno ju v nule dodefinovať rovnako a kladie sa 00&nbsp;=&nbsp;1. Naopak druhý pohľad vychádza z funkcie 0*x*, ktorá je všade (okrem nuly) nulová, takže sa v nule dodefinuje 00&nbsp;=&nbsp;0.

V bežných situáciach sa používa hlavne prvá definícia, podľa ktorej je
:00 = 1,
inokedy je 00 ponechané nedefinované, v niektorých kontextoch je možné sa stretnúť i s použitím druhej definície.

Pre použitie prvej definície existuje niekoľko závažných dôvodov, medzi najdôležitejšie patrí binomická veta, pre ktorej všeobecnú platnosť je táto definícia vyžadovaná.

## Mocniny nuly
Ak je mocniteľ kladný, tak je mocnina nuly nula. 0*x* = 0, kde *x* > 0.

Pokiaľ je mocniteľ záporný, potom je mocnina nuly (0−*x*, kde *x* > 0) nedefinovaná, pretože delenie nulou nie je na množine reálnych čísel definované.

## Zvláštne mocniny
V každodennom živote často používame mocniny so základom desať (to sú 1, 10, 100, 1000, …). Tieto mocniny tvoria základ našej desiatkovej číselnej sústavy, ako i v sústave SI sú predpony násobkov jednotiek označením mocnín desiatich – 1&nbsp;kg = 10³&nbsp;g apod.

Počítače pri spracovaní dát používajú dvojkovú sústavu, založenú na mocninách čísla 2. Z toho dôvodu sa niekedy v informatike používajú násobky jednotiek ako mocniny so základom 2 – 1&nbsp;KiB = 210&nbsp;B = 1024&nbsp;B. (pozri tiež binárny prefix.)

V matematike sú zvlášť dôležité mocniny so základom *e*&nbsp;≅&nbsp;2,71828, takzvaného Eulerovho čísla.

## Rýchlosť rastu
Mocnina je veľmi rýchlo rastúca funkcia, jedna z najrýchlejšie rastúcich bežne používaných funkcií. Príkladom rýchlosti rastu je nasledujúce pozorovanie: 

;Príklad 1
List papiera sa dá obvykle preložiť (na polovicu) iba asi sedemkrát. Výsledkom je 128 (27) vrstiev papiera. Ak by (teoreticky) takýto papier bol preložený 42-krát, vrstva papiera by mala hrúbku rovnajúcu sa vzdialenosti zo Zeme na Mesiac.

;Príklad 2
Každý človek má dvoch biologických rodičov, štyroch prarodičov, osem praprarodičov atď. Ak sledujeme tento rodokmeň ďalej, dajme tomu 70 generácií, dostaneme sa až do doby narodenia Ježiša Krista. V tomto prípade počet predkov každého človeka predstavuje 270 = 1&nbsp;180&nbsp;591&nbsp;620&nbsp;717&nbsp;411&nbsp;303&nbsp;424&nbsp;ľudí. To výrazne presahuje počet všetkých doposiaľ žijúcich ľudí.

## Referencie

## Pozri aj
* Odmocnina
* Logaritmus
* Mocninová funkcia
* Exponenciálna funkcia
* Geometrický rad
* Koreň (matematika)

## Externé odkazy
*  Koľko je 0<sup>0</sup>? v sci.math FAQ

Kategória:Aritmetika