Pole (algebra)

V abstraktnej algebre označuje **pole** algebrickú štruktúru zloženú z množiny a na nej definovaných dvoch operácií, ktoré sa správajú podobne ako sčítanie a násobenie na racionálnych či reálnych číslach. Tento stupeň abstrakcie nám umožňuje študovať všetky podobné štruktúry naraz. Pole je teleso, v ktorom je multiplikatívna operácia komutatívna.

## Úvod
Polia sú dôležité objekty, pretože poskytujú užitočné zovšeobecnenie mnohých rôznych systémov, vrátane číselných, ako sú racionálne, reálne a komplexné čísla. Platia v nich klasické pravidlá asociativity, komutativity a distributivity. Polia sa vyskytujú v rozmanitých oblastiach matematiky (pozri aj príklady nižšie).

V časoch, keď sa abstraktná algebra ešte vyvíjala, zvyčajne definície polí neobsahovali požiadavku komutativity multiplikatívnej operácie a to, čo dnes nazývame poľom, by sa vtedy nazývalo *komutatívnym poľom* alebo *racionálnou doménou*. Všetky bežne zaužívané definície v súčasnosti majú komutatívnu multiplikatívnu operáciu. Štruktúry podobné poliam, v ktorých multiplikatívna operácia nie je komutatívna, dnes nazývame *telesá*. Niektoré kultúry a jazyky nemajú ani samostatné slovo označujúce pole, napr. vo francúzštine sa nazývajú *corps commutatif* (komutatívne teleso).

Koncept poľa sa používa napr. aj vo vektorových priestoroch a maticiach, dvoch štruktúrach z lineárnej algebry obsahujúcich prvky daných polí. Galoisova teória študuje symetrie rovníc skúmaním spôsobov, akými polia môžu byť obsiahnuté v iných poliach. (Pozri aj teória polí (algebra)).

## Definícia
*Pole* je usporiadaná trojica (*F*, +, *), kde
* *F* je ľubovoľná množina,
* + je ľubovoľná binárna operácia na množine *F*, ktorú nazývame *aditívna operácia poľa*,
* * je ľubovoľná binárna operácia na množine *F*, ktorú nazývame *multiplikatívna operácia poľa*,
* (*F*, +) je abelovská grupa, ktorej neutrálny prvok nazývame *nulou poľa* a symbolicky zapisujeme 0,
* (F\setminus \{0\}, *) je abelovská grupa a jej neutrálny prvok nazývame *jednotkou poľa* (symbolicky 1),
* multiplikatívna operácia * je distributívna vzhľadom na aditívnu operáciu +, teda platí \forall a,b,c:\ a*(b+c)=a*b+a*c (keďže * je komutatívna operácia, * je distributívne z oboch strán vzhľadom na +).

Inak povedané, pole je teleso s komutatívnou multiplikatívnou operáciou.

Keďže každé pole je teleso, obor integrity a okruh, platia všetky vety dokázané s týmito štruktúrami.

## Príklady
* Komplexné čísla vzhľadom na klasické sčítanie násobenie. Toto pole obsahuje nasledovné podpolia:
** pole racionálnych čísel **Q**,
** algebrické číselné pole, čo je konečné rozšírenie poľa racionálnych čísel, t. j. pole obsahujúce racionálne čísla s konečnou dimenziou ako vektorový priestor nad poľom racionálnych čísel,
** pole algebrických čísel nad **Q**, algebrický uzáver poľa **Q**,
** pole reálnych čísel **R** vzhľadom na klasické operácie sčítania a násobenia. Pri obvyklom usporiadaní tvorí toto pole *úplne usporiadané pole*, ktoré je kategorické — toto je presne štruktúra, ktorá poskytuje základ pre najformálnejší prístup k matematickej analýze,
*** samotné pole reálnych čísel obsahuje niekoľko zaujímavých podpolí: reálne algebrické čísla, vypočítateľné čísla a definovateľné čísla.
* Ak *q* > 1 je mocnina prvočísla, potom existuje (až na izomorfizmus) presne jedno konečné pole s *q* prvkami, zvyčajne označované **F***q*,**Z***q*,  **Z**/*q***Z**, alebo GF(*q*). Všetký ostatné konečné polia sú izomorfné s nejakými takýmito poľami. Tieto polia sa nazývajú Galoisove polia (preto označenie GF(*q*)).
** Pre dané prvočíslo *p*, množina všetkých celých čísel *p* je konečné pole o *p* prvkoch **F***p* = {0, 1, ..., *p*&nbsp;−&nbsp;1} vzhľadom na operácie podľa zvyškového modulu *p* (t. j. vykonaním klasickej operácie sčítania či násobenia, pričom výsledok bude zvyšok po celočíselnom delení číslom *p*).
*** napríklad pre *p*=2 dostaneme najmenšie možné konečné pole (netriviálne), **Z**2, s dvoma prvkami: 0, 1. Operácie je možné popísať Cayleyho tabuľkami nasledovne:

      +  **0**  **1**        *  **0**  **1**
      **0**  0  1        **0**  0  0
      **1**  1  0        **1**  0  1

::::Toto pole je veľmi dôležité v informatike, zvlášť v šifrovaní a teórii kódovania.
* Racionálne čísla sa dajú rozšíriť na pole ''p''-adických čísel pre každé prvočíslo *p*. Tieto polia sú veľmi dôležité v teórii čísel a matematickej analýze.
*Nech *E* a *F* sú dve polia, pričom *E* je podpole poľa *F*. Nech *x* je prvok poľa *F* nepatriaci poľu *E*. Potom zápisom *E*(*x*) označuje najmenšie podpole poľa *F*, ktoré obsahuje *E* a *x*. Toto podpole nazývame aj *jednoduché rozšírenie* poľa *E*. Napríklad, **Q**(i) je pole, ktoré pozostáva z komplexných čísel majúcich tak reálnu, ako aj imaginárnu zložku racionálne. Dokonca sa dá ukázať, že všetky nekonečné číselné polia sú jednoduché rozšírenia poľa **Q**.
*Pre každé pole *F* je množina *F*(*X*) racionálnych funkcií s premennou *X* s koeficientami z *F* poľom. Toto pole sa definuje ako množina všetkých podielov polynómov s koeficientami z poľa *F*. Je to najjednoduchší príklad *transcendentálneho rozšírenia*.
*Keď *F* je pole a *p*(*x*) je ireducibilný polynóm z okruhu polynómov *F*[*x*], potom faktorový okruh *F*(*x*)/(*p*(*x*)) (faktorový okruh poľa *F* podľa ideálu generovaného polynómom *p*(*x*)) je pole, ktoré má podpole izomorfné s *F*. Dá sa dokázať, že každé jednoduché algebrické rozšírenie *F* je izomorfné s nejakým poľom takéhoto typu.
*Ak *F* je pole, potom množina *F*((*X*)) formálnych Laurentovych radov nad *F* je poľom.
* Keď *V* je algebrická varieta nad poľom *F*, potom racionálne funkcie *V* → *F*  tvoria pole (*funkčné pole* nad *V*).
* Keď *S* je Riemannov povrch, potom meromorfické funkcie *S* → **C** tvoria pole.
*Ak *I* je indexová množina, *U* je ultrafilter na *I* a *F**i* je pole pre každé *i* z *I*, potom ultrasúčin *F**i* (vzhľadom na *U*) je pole.
*Hyperreálne a superreálne čísla rozširujú pole reálnych čísel o infinitezimálne a nekonečné čísla.

## Jednoduché vety
* Množina nenulových prvkov poľa *F* (zvyčajne ju označujeme ako *F*×) tvorí vzhľadom na multiplikatívnu operáciu abelovskú grupu, ktorej každá konečná podgrupa je cyklická.
* Charakteristika každého poľa je buď nulová alebo prvočíselná. (Charakteristika poľa je najmenšie kladné číslo *n* také, že n\times 1 = 0 (\times je aditívna číselná mocnina) alebo 0, ak také číslo neexistuje. Ekvivalentná definícia hovorí, že charakteristika poľa *F* je jedinečný nezáporný generátor jadra jedinečného okruhového homomorfizmu **Z**→ *F*, ktoré posiela 1 |→ 1.)
* Rád konečného poľa (počet prvkov) je mocnina prvočísla.
* Podobne ako teleso, pole má len triviálne ideály ({0} a samého seba).
* Ku každému poľu *F* existuje jedinečné pole *G* (až na izomorfizmus), ktoré obsahuje *F*, je algebrické na *F* a je algebricky uzavreté. Takéto pole *G* sa nazýva algebrický uzáver poľa *F*.
* Algebrický uzáver poľa reálnych čísel je pole komplexných čísel.

## Externé odkazy
* ALGEBRA - Binárne operácie a polia

Kategória:Algebrické štruktúry