Nezávislá množina

V teórii grafov je nezávislou podmnožinou N množiny V, taká podmnožina, ktorá nemá žiadne dva zo svojich vrcholov incidentné s tou istou hranou v grafe G=(V, H).  To znamená, že je to taká podmnožina N množiny V vrcholov v, že  každé dva vrcholy nemajú takú hranu, ktorá by ich spájala.

## Maximálna nezávislá množina

Je preto prospešné zaoberať sa maximálnymi nezávislými množinami, keďže každý vrchol v \in\ V tvorí nezávislú podmnožinu množiny V. Maximálnou nezávislou podmnožinou V, ak neexistuje taká nezávislá  podmnožina N‘ množiny V, aby platilo, že N je rôzna od N‘ a N je podmnožinou N‘ a tá je podmnožinou V.  
Počet maximálnych nezávislých množín v n-vrcholovom cyklickom grafe G je dané Perrinovym číslom (to je dané rekurentým vzťahom).  Maximálna nezávislá množina v n-vrcholovom slede je daný Padovanovou sekvenciou.

Príklad 1: 
maximálne nezávislé množiny sú: N1={1}, N2={2,5}, N3={3,5}, N4={3,6}, N5={2, 4, 6}

**Nezávislosť grafu** je vlastne maximálna mohutnosť z mohutností všetkých maximálnych nezávislých podmnožín množiny V. Označuje sa &. Pre obrázok v príklade 1 je to \alpha (G) = 3.

## Klika grafu

S nezávislosťou grafu úzko súvisí pojem klika grafu. Ak K je podmnožinou množiny V a každé dva prvky množiny K sú priľahlé, potom je množina K úplnou množinou v grafe G. Čiže ak K je úplná v grafe G a nie je podmnožinou žiadnej inej úplnej množiny v grafe G, tak K je maximálna úplná množina alebo klika v grafe
G. K nazývame maximálnou klikou v grafe G, vtedy, ak má najväčší počet prvkov medzi
všetkými klikami v G. Pojem klika má aplikáciu aj v spoločenských  vedách tým, že vrcholy grafu môžu byť osoby a hrany predstavujú nejakú spojitosť medzi týmito ľuďmi (zhodu politických názorov, Erdősovo číslo).
Klikové číslo grafu predstavuje počet vrcholov maximálnej kliky grafu G. Označujeme ho \omega(G). V príklade 2 je to \omega(G)=4.

Príklad 2:

Súbor:Tg-priklad2.JPG

Uvážme, že každá maximálna nezávislá podmnožina vrcholov grafu G je rovná klike komplementárneho grafu, kvôli tomu, že v nezávislej podmnožine sú vrcholy, medzi ktorými v grafe G neexistuje žiadna hrana.Čiže je platné: \alpha(G) = \omega(\bar{G})

## Minimálna dominujúca množina
Žiadna vlastná podmnožina týchto podmnožín nie je dominujúca. V grafe, v príklade 1, sú minimálnymi dominujúcimi podmnožinami: D1={1], D2={6,3}, D3={5,3} a D4={5,2}, D5={6,4,2}. Z definície minimálnej dominujúcej podmnožiny vyplýva dôkaz nasledujúcej vety: komponent \bar{D} = V - D je dominujúcou podmnožinou grafu G, ak D je minimálna dominujúca podmnožina vrcholov grafu G, ktorej nie sú izolované vrcholy. 

Dominanciou grafu G, označujeme \beta(G)nazývame minimálnu mohutnosť z mohutnosti všetkých dominujúcich podmnožín vrcholov grafu G. 

**Veta**: Maximálna nezávislá podmnožina vrcholov grafu G je práve vtedy, ak je jeho dominujúcou podmnožinou.

**Dôkaz 1**: Nech maximálnou nezávislou podmnožinou grafu G je N, to znamená, že ju nemožno rozšíriť o žiaden vrchol bez porušenia nezávislosti, takže do množiny jej susedov patria všetky ostatné vrcholy. to je ale vlastnosť dominujúcej podmnožiny.

**Dôkaz 2**: Nech dominujúcou podmnožinou grafu G je D, ktorá je zároveň nezávislá, potom už neexistuje vrchol v grafe G, ktorý by so žiadnyzm vrcholom z množiny D nesusedil; to unamená, že je aj minimálne nezávislá.

**Dôsledok**: Pre dominanciu \beta(G) a nezávislosť \alpha(G) grafu G platí vzťah \beta  (G)  \le  \alpha (G)

## Externé odkazy (v angličtine)
* http://mathworld.wolfram.com/MaximalIndependentVertexSet.html
* Challenging Benchmarks for Maximum Clique, Maximum Independent Set, Minimum Vertex Cover and Vertex Coloring 

Tento text bol inšpirovaný publikáciou Michala Bučka, Mariána Klešča: Diskrétna matematika, vydavateľstvo ELFA

Kategória:Teória grafov