Pytagorova veta

thumb|Ilustrácia Pytagorovej vety
**Pytagorova veta** je základná teoréma euklidovskej geometrie. Popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine. Umožňuje jednoducho vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho dvoch zvyšných strán. 
Slovne sa veta dá formulovať takto:
: *[[Objem (matematika)|Obsah]] [[Štvorec|štvorca]] zostrojeného nad [[prepona|preponou]] (najdlhšou stranou) pravouhlého trojuholníka sa rovná [[súčet|súčtu]] obsahov štvorcov zostrojených nad jeho [[odvesna]]mi.*

Formálne možno Pytagorovu vetu vyjadriť rovnicou 
:a^2 + b^2 = c^2,
kde a, b sú dĺžky odvesien a c je dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka.

## Dejiny
Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pythagora zo Samosu, ktorý ju v 6. storočí pred Kr. odvodil pre Európu resp. staroveké Grécko. Pravdepodobne bola ale známa aj v iných starovekých civilizáciách a navyše oveľa skôr (napríklad v Číne, Egypte).

Starí Egypťania a Indovia stavali pozoruhodné stavby. Pri týchto stavbách potrebovali vytyčovať aj pravé uhly. Často to robili takto: 
Na napnutom špagáte uviazali 13 uzlov tak, aby vzdialenosti medzi uzlami boli rovnaké (napr. po 50 cm). Špagát napli tak, že uzol 1 a 13 upevnili na tom istom mieste a uzly 4 a 8 tiež upevnili (pozri obrázok). Potom uhol 1,&nbsp;4,&nbsp;8 je pravý. 
náhľad|Pravý uhol

## Zovšeobecnenie Pytagorovej vety
### Nahradenie štvorcov inými plošnými obrazcami
Štvorce je možné vo formulácii vety nahradiť akýmikoľvek inými plošnými útvarmi (kružnicou, trojuholníkom, päťuholníkom a pod.) za predpokladu, že sú si navzájom podobné a ich šírka je priamo úmerná dĺžke príslušnej strany trojuholníka. Súčet obsahov týchto obrazcov nad odvesnami bude opäť rovný obsahu obrazca zostrojeného nad preponou. 

Fakt, že to vyplýva už z formulácie pôvodnej vety so štvorcami nad stranami trojuholníka, je možné si uvedomiť vtedy, ak sa vezme do úvahy, že obsah každého z obrazcov je vzhľadom na platnosť predpokladov úmerný obsahu štvorca nad danou stranou a konštanta úmernosti k je vždy rovnaká vďaka vzájomnej podobnosti obrazcov i štvorcov. Ak sa dosadí za plochu štvorcov do vzorca k-násobok plochy obrazca, potom bude možné rovnicu krátiť konštantou k a výsledkom bude hľadané zovšeobecnenie.

### Zovšeobecnenie na tri všeobecné vektory v Unitárnom priestore
Pytagorovu vetu je možné zovšeobecniť na ľubovolný vektorový priestor so skalárnym súčinom tj. unitárny priestor. Trojuholníkom sú v tomto prípade myslené tri vektory \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, pre ktoré platí
: \mathbf{c} = \mathbf{b} - \mathbf{a}\qquad\mathbf{a} \perp \mathbf{b}. 
Potom platí podobný vzťah normami týchto vektorov, ako v prípade rovinného trojuholníka: 
:\|\mathbf{a}\|^2 + \|\mathbf{b}\|^2 = \|\mathbf{c}\|^2,
kde \|\cdot \| je norma indukovaná skalárnym súčinom príslušného vektorového priestoru. 
Z tejto všeobecnejšej formulácie je možné odvodiť aj pôvodnú rovinnú verziu vety. Ak rovinu chápeme ako dvojrozmerný euklidovský priestor s obyčajným skalárnym súčinom a v trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C označíme
: \mathbf{a} = B - C,\ \ \mathbf{b} = A - C, \ \ \mathbf{c} = A - B, 
potom vyplýva pôvodná Pythagorova veta zo vzťahu noriem vektorov (treba si uvedomiť, že v tomto prípade je norma vektoru len dĺžkou zodpovedajúcej strany).

## Dôkazy Pytagorovej vety
Dôkazov Pytagorovej vety jestvuje veľmi veľa, uvádza sa až viac ako 300. Tu sú uvedené len niektoré z nich. 

### Dôkaz číslo 1
thumb|K dôkazu č. 1 – porovnanie obsahov štvorcov zložených dvomi spôsobmi
Ide o grafický dôkaz. Štvorec so stranou a + b je možné zložiť dvomi spôsobmi (pozri obrázok):
* Zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a dvoch štvorcov so stranami a a b
* Zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a jedného štvorca so stranou c.
Z rovnosti obsahov štvorca pri oboch spôsoboch zloženia vyplýva platnosť Pytagorovej vety.

### Dôkaz číslo 2
Ide v podstate o zápis prvého dôkazu pomocou rovníc.

Obsah celého štvorca je možné vyjadriť dvomi spôsobmi:

* Strana štvorca je zložená zo strán trojuholníka a a b. Pre jeho obsah teda platí:
:S = (a + b)(a + b) = (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2.

* Štvorec je tvorený štyrmi modrými pravouhlými trojuholníkmi a bielym štvorcom uprostred so stranou c. Obsah celého štvorca je teda súčtom obsahov štyroch pravouhlých trojuholníkov (\begin{matrix}4\frac{ab}{2}=2ab\end{matrix}) a bieleho štvorca so stranou c (c^2). Obsah celého obrazca je daný vzorcom 
: S = 2ab + c^2. 
Pretože ide v oboch prípadoch o ten istý štvorec, musí sa jeho obsah spočítaný obidvomi spôsobmi rovnať. Preto platí
: a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2
a po úprave dostaneme Pytagorovu vetu v známom tvare
: a^2 + b^2 = c^2.

### Dôkaz číslo 3
thumb|K dôkazu číslo 3 – podobnosť trojuholníkov
Je možné sa jednoducho presvedčiť, že ak sú zelenou farbou vyznačené uhly (DCB a DAC, ktorý sa rovná uhlu BAC) zhodné, potom sú si trojuholníky navzájom podobné (veľkosti ich strán sú v rovnakom pomere a ich uhly sú zhodné). 

#### Dôkaz podobnosti (rovnosti uhlov)
Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka je 180° (\pi&nbsp;\mathrm{rad}). Zároveň platí, že v pravouhlom trojuholníku musí byť práve jeden uhol pravý (t. j. 90°; pozri obrázok):
# \mathit = 180^\circ 
# \mathit = 180^\circ 
# \mathit = 180^\circ
z uvedeného vyplýva, že
# \mathit = 90^\circ 
# \mathit = 90^\circ
# \mathit = 90^\circ

Z 1. a 3. rovnice vyplýva (uhly BAC a DAC sú zhodné), že platí |CBA| = |ACD|. Ak CBA dosadíme do 3. rovnice na miesto ACD, z porovnania s 2. rovnicou vyplynie, že platí |BCD| = |DAC|. Trojuholníky sú si teda podobné.

#### Samotný dôkaz
Skrátene je popísaný už v samotnom obrázku. Pri podobnosti trojuholníkov platí, že 
:a/p = c/a \quad \Rightarrow\quad a^2/p = c \quad \Rightarrow\quad a^2 = cp
a rovnako platí aj
: b/q = c/b\quad\Rightarrow\quad b^2/q = c\quad \Rightarrow \quad b^2 = cq.
Z oboch rovníc potom vyplýva, že
: a^2 + b^2 = cp + cq\quad \Rightarrow\quad a^2 + b^2 = c(p+q).
Zo spomínaného obrázka vyplýva, že c = p + q, čo po dosadení dá:
: a^2 + b^2 = c^2.

## Pytagorejské čísla

*Viac informácií v samostatnom článku [[Pytagorejské číslo|Pytagorejské čísla]].*

Pytagorejské čísla tvoria trojice prirodzených čísel a, b a c, pre ktoré platí a^2 + b^2 = c^2. Sú to teda prirodzené čísla, ktoré vyhovujú Pytagorovej vete. Pytagorejské čísla sú napríklad 3, 4, 5.

### Základné pytagorejské trojice
* Pytagorejské čísla, ktoré nemajú spoločného deliteľa, napríklad 7, 24, 25, sú základné pytagorejské trojice.
* Pytagorejská trojica 6,8,10, nie je základná, lebo má spoločného deliteľa 2 (trojuholník so stranami 6, 8, 10 má koeficient podobnosti rovný 2), so základnou pytagorejskou trojicou 3,4,5.
* Základné Pytagorejské čísa do 100 sú:

* Euklidov vzorec pre generovanie pytagorejských čísel ***a, b, c*** je s použitím ľubovoľných celých čísel m a n, kde  m > n > 0:

: a = m^2 - n^2 ,\ \, b = 2mn ,\ \, c = m^2 + n^2 

### Použitie pytagorejských čísel
Ľahko zapamätateľná postupnosť pytagorejských čísel 3,4,5 ich predurčila pre požitie v stavebníctve, stolárstve a kedykoľvek, ak potrebujeme pomocou jednoduchých pomôcok overiť pravouhlosť veľkorozmerných telies. V takom prípade použijeme pravouhlý trojuholník, kde si na dvoch odvesnách vyznačíme dĺžky 3 a 4, a kontrolujeme ich preponu, či je 5. Užitočne sa využívajú aj podobné trojuholníky a pravouhlosť kontrolujeme napríklad pomocou rozmerov: 30 cm, 40cm a preponu 50cm, alebo trojice 60cm, 80 cm a 1 m, ...

## Referencie

## Iné projekty

## Externé odkazy
* Dôkazy Pytagorovej vety (po nemecky)

Kategória:Trigonometria
Kategória:Matematické vety
Kategória:Eponymické termíny v matematike