Trojčlenka

**Trojčlenka** je jednoduchá matematická metóda na výpočet priamej alebo nepriamej postupnosti veličiny b v závislosti od veličiny a podľa vzorca b=c.a, pričom c je konštanta. Jednoducho povedané, veličiny a a b sú v priamej úmere. Ich podiel \frac{b}{a} sa rovná konštante c. Ak sa veličina a zdvojnásobí, prípadne strojnásobí, následkom toho sa zdvojnásobí, prípadne strojnásobí aj veličina b.

## Úlohy
Riešenie klasickej úlohy s úmernými veličinami vyžaduje tri kroky. Výpočty môžeme robiť postupne alebo opísať obecne a vypočítať až na záver dosadením do vzorca.

### Metóda postupného výpočtu
Dve mačky zjedia denne tri mäsové konzervy. Koľko mäsových konzerv zjedia denne štyri mačky?
Krok 1 údaje: 2 mačky zjedia 3 konzervy.
Krok 2 výsledok pre jednotku: 1 mačka zje \frac{3}{2} konzervy.
Krok 3 hľadaný výsledok: 4 mačky zjedia \frac{3.4}{2} konzerv.

Odpoveď: 4 mačky zjedia denne 6 mäsových konzerv.

Trojčlenka v priamej úmernosti je založená na tom, že v druhom kroku vypočítame výsledok pre jednotku. Prechádzame od 2 mačiek k jednej a potom ku 4 mačkám.

## Trojčlenka v nepriamej úmernosti
Trojčlenka v nepriamej úmernosti sa zakladá na tom, že veličina b závisí od veličiny a, a\neq 0 podľa vzorca, kde b=\frac{c}{a} je určitá konštanta (tj. nemenná hodnota).

Tým je povedané, že veličiny a a b sú nepriamo úmerné. Ich súčin a.b je konštantný. Ak sa veličina a zdvojnásobí, prípadne strojnásobí následkom toho sa dvakrát, prípadne trikrát zmenší veličina b.

### Príklad na nepriamu úmernosť.
3 kombajny zožnú určité pole za 2 hodiny. Koľko času potrebuje na zožatie tohoto poľa 6 kombajnov?
Krok 1 údaje: 3 kombajny potrebujú 2 h (hodiny).
Krok 2 výsledok pre jednotku: 1 kombajn potrebuje 3.2 h.
Krok 3 hľadaný výsledok: 6 kombajnov potrebuje \frac{3.2}{6}.
Odpoveď: 6 kombajnov potrebuje na zožatie daného poľa 1 hodinu.

Taktiež aj tu je výpočet založený na fakte, že v druhom kroku vypočítame pre jednotku. Prechádzame od 3 kombajnov cez 1 kombajn ku 6 kombajnom.

## Zložená trojčlenka
Zložená trojčlenka je založená na dvojitom použití trojčlenky jednoduchej. Doposiaľ sme sa zaoberali s dvoma premennými veličinami (a_1,b_1) a (a_2,b_2). V zložitej úmere máme dve trojice s tromi premennými veličinami (a_1,b_1,c_1) a (a_2, b_2,c_2). Hľadanou hodnotou je vždy c_2.

Postup výpočtu bol doposiaľ nasledujúci:
:1. (a_1,b_1) vzťah medzi hodnotami oboch veličín
:2.  (1, \approx ) výsledok pre jednotku
:3.  (a_2, \approx ) dopočítanie údajov v druhej dvojici

Postup výpočtu spočíva teraz vo dvojitom výpočte výsledku pre jednotku a dvojitom dopočítaní druhej dvojice. To predstavuje 5 postupných výpočtových krokov:

:1. (a_1,b_1,c_1) vzťah medzi hodnotami troch veličín
:2. (1,b_1, \approx ) výsledok pre jednotku odpovedajúcej a_1
:3. (1,1, \approx ) výsledok pre jednotku odpovedajúcej b_1
:4. (1,b_2, \approx ) dopočítanie druhej dvojice z b_2
:5. (a_2,b_2, \approx ) dopočítanie druhej dvojice

V zložitej trojčlenke rozlišujeme štyri prípady. V každom z nich počítame c_1, prípadne c_2, čo je vo výšie uvedenom uvedenom schémeta naznačené symbolom \approx ). Rozdiel spočíva v tom, že páry (a_1,b_1) a (a_2,b_2), (a_1,c_1) a (a_2,x), (b_1,c_1) a (b_2,x) sú priamo čí nepriamo úmerné.

### Príklad 1)
5 osôb zje behom 3 raňajok 30 žemlí. Koľko žemlí zje 8 osôb behom 2 raňajok?
:Krok 1: 5 osôb, 3 raňajky, 30 žemlí
:Krok 2: 1 osoba, 3 raňajky, \frac{30}{5} žemle
:Krok 3: 1 osoba, 1 raňajky, \frac{30}{5.3} žemle
:Krok 4: 1 osoba, 2 raňajky, \frac{30.2}{5.3} žemle
:Krok 5: 8 osôb, 2 raňajky, \frac{30.2.8}{5.3}=32 žemlí

Odpoveď: 8 osôb zje behom dvoch raňajok 32 žemlí.

### Príklad 2)
5 strojov potrebuje na vyčistenie 10 000 kníh 20 hodín. Koľko hodín potrebujú dva stroje na vyčistenie 8000 kníh?
:Krok 1: 10 000 kníh, 5 strojov, 20 hodín
:Krok 2: 1 kniha, 5 strojov, \frac{20}{10000} hodín
:Krok 3: 1 kniha, 1 stroj, \frac{20.5}{10000} hodín
:Krok 4: 1 kniha, 2 stroje, \frac{20.5}{10000.2} hodín
:Krok 5: 8000 kníh, 2 stroje, \frac{20.5.8000}{10000.2}=40 hodín

Odpoveď: Dva stroje potrebujú na vyčistenie 8000 kníh 40 hodín.

### Príklad 3)
3 osoby pozbierajú jahody z 48 riadkov za 8 hodín. Koľko hodín potrebuje 5 osôb na pozbieranie jahôd z 20 riadkov?
:Krok 1: 3 osoby, 48 riadkov, 8 hodín
:Krok 2: 1 osoba, 48 riadkov, 8.3 hodín   
:Krok 3: 1 osoba, 1 riadok, \frac{8.3}{48} hodiny
:Krok 4: 1 osoba, 20 riadkov, \frac{8.3.20}{48} hodiny
:Krok 5: 5 osôb, 20 riadkov, \frac{8.3.20}{48.5}=2 hodiny

Odpoveď: 5 osôb potrebuje na pozbieranie jahôd z 20 riadkov 2 hodiny.

### Príklad 4)
3 robotníci postavili určený plot za 3 osemhodinové pracovné dni. Koľko dní potrebuje 9 robotníkov pracujúcich denne 2 hodiny, aby postavili uvedený plot?

:Krok 1: 3 robotníci, 8 h, 3 dni
:Krok 2: 1 robotník, 8 h, 3.3 dni
:Krok 3: 1 robotník, 1 h, 3.3.8 dni   
:Krok 4: 1 robotník, 2 h, \frac{3.3.8}{2} dni
:Krok 5: 9 robotníkov, 2 h, \frac{3.3.8}{2.9}=4 dni

Odpoveď: 9 robotníkov pracujúcich 2 hodiny potrebuje 4 dni na to, aby postavili určený plot.

Stanovené hľadanie hodnoty sa robí po krokoch. Rozhoduje vždy to, azda dané veličiny sú priamo alebo nepriamo úmerné.
V príklade 1) sú všetky veličiny priamo úmerné, preto najprv delíme hodnotou a_1, potom b_1 a až potom násobíme hodnotou b_2 a a_2. Podobne je potrebné rozhodnúť v príkladoch 2) a 4), ktorá z veličín sú priamo úmerné, a ktoré nepriamo úmerné a podľa toho najprv deliť, prípadne násobiť a potom naopak násobiť prípadne deliť.

## Literatúra
* K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK: *Kompendium matematiky* Banská Bystrica, Compact Verlag. 2003, s. 85-90

## Pozri aj
* Kvadratický odhad
* Násobenie

Kategória:Aritmetika