Grupa (matematika)

**Grupa** je jednou zo základných algebraických štruktúr. V sekcii „Definícia“ možno nájsť formálnu definíciu grupy. Sekcia „Základné vysvetlenie“ podáva informácie o motivácii k štúdiu grúp aj pre laika.

## Základné vysvetlenie
Všimnime si napríklad množinu všetkých celých čísel, teda čísel ako sú -10, -4, 0, 1, 2, 65, atď. Na tejto množine je definovaná operácia sčítanie. Zaoberajme sa ďalej len operáciou sčítanie a množinou celých čísiel. Všimnime si pre štandardné sčítanie niekoľko vlastností:
# Sčítanie je na celých číslach asociatívna operácia. Teda napríklad platí, že 3 + (5 + 7) = (3 + 5) + 7. Poloha zátvoriek teda pre asociatívne operácie, ako napríklad „bežné“ sčítanie nie je dôležitá.
# Ďalej pre operáciu sčítanie a celé čísla platí, že vzhľadom na danú operáciu existuje neutrálny prvok, ktorým je pri „bežnom sčítaní“ číslo 0. Inak povedané, neutrálny prvok je prvok, pre ktorý platí: x + 0 = x = 0 + x, teda neutrálny prvok „nezmení hodnotu“ pôvodného čísla.
# Ku každému celému číslu existuje opačné číslo. Napríklad opačné číslo k číslu 689 je pre bežné sčítanie, ktorým sa zaoberáme, číslo -689. Pre číslo(označme ho x) a k nemu opačné číslo(označme ho y) platí: x + y = neutrálny prvok. Teda, ak číslo sčítame s opačným číslom, dostávame neutrálny prvok (v tomto prípade 0).*Poznámka: y sa v algebre, aby bolo jasné ku ktorému číslu to je opačné číslo zvykne označovať značkou x<sup>-1</sup>. Neoznačujeme tým však bežnú operáciu mocnina.*

Tieto 3 vlastnosti, teda asociatívnosť, existencia neutrálneho prvku a inverzných prvkov sú v matematike veľmi časté. Preto je užitočné študovať ich spoločné vlastnosti a vzťahy s inými štruktúrami. Pre podobné dvojice množín a operácií sa prijal spoločný názov *grupa*.

### Základné príklady
* Množina {... ,-12, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, ...} a operácia sčítania tieto vlastnosti spĺňajú.
* Množina {... 1/625, 1/125, 1/25, 1/5, 1, 5, 25, 125, 625, ...} a operácia násobenia tieto vlastnosti spĺňajú (číslo 1 je neutrálny prvok a napríklad k číslu 125 existuje opačné číslo: 1/125).
* Množina {... ,-12, -9, -6, -3, 3, 6, 9, 12, ...} a operácia sčítania tieto vlastnosti nespĺňajú, pretože neexistuje neutrálny prvok.
* Množina {... ,-12, -9, -6, 0, 3, 6, 9, 12, ...} a operácia sčítania tieto vlastnosti nespĺňajú, pretože neexistuje opačné číslo k číslu 3.

## Definícia
: *Nasledujúca definícia formalizuje závery zo sekcie „Základné vysvetlenie“*
*Grupa* (*G*, \circ) je usporiadaná dvojica, kde *G* je neprázdna množina a \circ je binárna operácia na tejto množine, pričom
* operácia \circ je na *G* asociatívna, t. j. \forall a,b,c \in G: a \circ (b\circ c) = (a\circ b)\circ c,
* existuje tzv. neutrálny prvok e \in G s vlastnosťou \forall a \in G: a\circ e=a=e\circ a,
* ku každému prvku a\in G existuje inverzný prvok b\in G taký, že a\circ b = e = b \circ a.

Ak je binárna operácia \circ navyše komutatívna, tak hovoríme o ''komutatívnej'' alebo ''abelovskej'' grupe.

## Ďalšie vlastnosti
* V grupe platia zákony o krátení:

\forall a,b,c \in G: a \circ b = a \circ c \Rightarrow b = c

\forall a,b,c \in G: a \circ c = b \circ c \Rightarrow a = b

* V grupe majú riešenie všetky rovnice typu

 a \circ x = b 

 y \circ a = b 

pre všetky  a, b \in G 

## Podgrupy
Grupa (H,\ast) sa nazýva podgrupou grupy (G,\circ), ak H je podmnožinou G a platí \forall a,b \in H: a\ast b = a\circ b.

Neprázdna podmnožina *H* grupy (G,\circ) tvorí podgrupu, ak je uzavretá na binárnu operáciu a aj na tvorbu inverzných prvkov, t.j.
* Pre ľubovoľné a,b\in H platí a\circ b\in H.
* Pre ľubovoľné a\in H platí a^{-1}\in H.

Ak *H* je konečná množina, tak stačí uzavretosť na binárnu operáciu.

## Ďalšie príklady
* množina celých čísel \mathbb{Z} s klasickou operáciou sčítania + tvorí grupu (\mathbb{Z},+), ktorú nazývame aj *aditívna grupa celých čísel*,
* množina racionálnych čísel okrem čísla 0 s operáciou násobenia \cdot tvorí grupu (\mathbb{Q}\setminus\{0\},\cdot), ktorej sa hovorí aj *multiplikatívna grupa racionálnych čísel*,
* všeobecnejšie, pre ľubovoľné pole *F* je množina F\setminus\{0\} s operáciou násobenia grupou. (Je to *multiplikatívna grupa* poľa *F*.)
* dôležitou triedou grúp sú predovšetkým v informatike v teórii šifrovania tzv. grupy zvyškových tried \mathbb{Z}_n s operáciou \oplus a \mathbb{Z}_n\setminus\{0\} s operáciou \otimes (ak *n* je prvočíslo),
* ústrednú úlohu pri štúdiu grúp hrá grupa všetkých bijekcií nejakej množiny na tú istú množinu s operáciou skladania zobrazení označovaná ako grupa transformácií a jej špeciálne varianty grupa permutácií a alternujúca grupa (Cayleyho veta vraví, že každá grupa je izomorfná s nejakou grupou transformácií),
* všetky binárne bijektívne funkcie (zobrazenia) n prvkovej množiny s operáciou skladania permutácií vytvárajú grupu, ktorá sa nazýva *symetrická grupa* rádu n! (n faktoriál)

## Externé odkazy
*  Teória grúp 

## Literatúra
* 
* 

## Referencie

Kategória:Algebrické štruktúry
Kategória:Teória grúp
Kategória:Symetria