Zlomok (matematika)

náhľad|Torta, z ktorej bola odrezaná jedna štvrtina. Každá zo zvyšných troch štvrtín je označená zlomkom <math>\tfrac{1}{4}</math>.
náhľad|Grafické znázornenie výpočtu <math>\frac{1}{4} + \frac{2}{4}  = \frac{3}{4}</math>

**Zlomok** označuje v matematike spôsob zápisu racionálneho čísla. 

Zlomok sa zapisuje v tvare \frac{a}{b} alebo a/b, kde a a b sú celé čísla, pričom b \neq 0, pretože nulou sa deliť nesmie. Číslo a sa nazýva **čitateľ,** číslo b sa nazýva **menovateľ** a čiara medzi nimi sa nazýva **zlomková čiara**.

Zápis pomocou zlomkov je vhodný na prevádzanie elementárnych úprav zložitejších výrazov.

## Vlastnosti
Zlomok, ktorý má v menovateli nulu nie je v matematike definovaný.

Hodnota zlomku, ktorý má v čitateli nulu je vždy nulová, napr. \frac{0}{a}  = 0.

Zlomok, ktorý má v menovateli jednotu sa rovná výrazu v čitateľovi. Napríklad

\frac{a}{1} = a; \frac{\text{sin}(x)}{1} = \text{sin}(x); \frac{e^n}{1} = e^n a pod.

Zlomok, ktorý má v čitateli jednotu je prevrátená hodnota výrazu v menovateli. Napríklad

\frac{1}{a} = a^{-1}; \frac{1}{\text{sin}(x)} = \text{sin}^{-1}(x); \frac{1}{e^n} = (e^n)^{-1}  a pod.

Pokiaľ je v zlomku \frac{a}{b} čitateľ menší ako menovateľ (a  hovoríme o tzv. pravom zlomku, pre ktorý platí \frac{a}{b} .

Pokiaľ je v zlomku \frac{a}{b} čitateľ väčší ako menovateľ (a > b) hovoríme o tzv. nepravom zlomku, pre ktorý platí \frac{a}{b} > 1.

Pokiaľ sú v zlomku \frac{a}{b} hodnoty čitateľa a menovateľa rovnaké (a = b) hovoríme o tzv. jednotkovom zlomku, pre ktorý platí \frac{a}{b} = 1. Napríklad

\frac{11}{11} = \frac{3^3}{27}  = \frac{4!}{24} = 1 .

Dva zlomky \frac{a}{b} a \frac{c}{d} majú rovnakú hodnotu vtedy a len vtedy, keď a d = b c (tzn. ich podiel je 1).

Hodnota zlomku so záporným čitateľom aj záporným menovateľom je vždy kladná, napr. \frac{-2}{-4} = 0.5  .

Hodnota zlomku so záporným čitateľom a kladným menovateľom (alebo kladným čitateľom a záporným menovateľom) je vždy záporná, napr. \frac{-2}{4} = \frac{2}{-4} 
= - \left( \frac{2}{4} \right)
= -0.5  .

Ako základný tvar zlomku sa označuje zlomok, ktorý sa nedá viac krátiť bez toho, aby v menovateli alebo v čitateli nevznikli čísla s desatinným rozvojom respektíve základný tvar zlomku je taký zlomok, ktorého čitateľ a menovateľ nemajú spoločného celočíselného deliteľa. Napríklad \frac{2}{7} alebo \frac{14}{9}.

Ako dyadické zlomky sa označujú zlomky v tvare \frac{ a }{ 2^b } kde a,b \in \mathbb{N}, čiže v menovateli sa nachádza mocnina čísla dva.

## Počítanie so zlomkami
So zlomkami sa dá pracovať ako s inými racionálnymi číslami, dajú sa teda sčítať, odčítať, násobiť a deliť, odmocňovať a umocňovať atď.

**Sčítanie** a **odčítanie** zlomkov, ak sú menovatele oboch zlomkov rovnaké, sa vykonáva podľa vzorca

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}  , c \neq 0,

ak sú menovatele rozdielne tak podľa vzorca

\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}, b,d \neq 0.

**Násobenie** zlomkov, ak sú menovatele oboch zlomkov rovnaké, sa vykonáva podľa vzorca

\frac{a}{c} \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}, c \neq 0

ak sú menovatele rozdielne tak podľa vzorca

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}, b,d \neq 0.

**Delenie** zlomkov, ak sú menovatele oboch zlomkov rovnaké podľa vzorca

\frac{a}{c} \div \frac{b}{c} =  \frac{c(a \div b)}{c}, c \neq 0.

ak sú menovatele rozdielne tak podľa vzorca

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}, b,c,d \neq 0.

**Odmocňovanie** celého zlomku je možné rozpísať ako samostatné odmocniny čitateľa a menovateľa

\sqrt [n] { \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt [n] {a} }{ \sqrt [n] {b} }, b \neq 0.

**Umocňovanie** celého zlomku je opäť možné rozpísať ako samostatné mocniny čitateľa a menovateľa

\left ( \frac{a}{b} \right )^n = \frac{a^n}{b^n}, b \neq 0.

Ak sa exponent n=-1 potom platí \left ( \frac{a}{b} \right )^{-1} 
= \frac{a^{-1}}{b^{-1}} = \frac{b}{a}.

## Krátenie a rozširovanie zlomkov
Každý zlomok je možné krátiť alebo rozširovať konštantou c pričom sa nemení hodnota zlomku. Teda pre krátenie platí

\frac{a}{b} = \frac{a \div c}{b \div c}

a analogicky pre rozširovanie platí

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} .

Krátenie alebo rozširovanie zlomkov sa dá využiť na odstránenie čísel s desatinným rozvojom nachádzajúcich sa v zlomku a jeho prevedenie do základného tvaru. Napríklad

\frac{3.2}{8} = \frac{3.2 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{16}{40} = \frac{16 \div 8}{40 \div 8} = \frac{2}{5}.

## Porovnávanie zlomkov
Porovnať dva zlomky a určiť, ktorý z nich je menší resp. väčší resp. či sú rovnaké je  možné porovnaním ich čitateľov za predpokladu, že ich menovatele sú rovnaké. V prípade, že menovatele nie sú rovnaké je nutné jeden zo zlomkov upraviť tak, aby mal v menovateli rovnakú hodnotu ako druhý. Samotná zmena menovateľa sa robí podľa vzorca

\frac{a}{b} = \frac{a \left (\frac{d}{b} \right )}{d}  

kde d  je hodnota nového menovateľa. Napríklad

\begin{align}
\frac{2}{5} &= \frac{2(8 \div 5 )}{8} = \frac{2 \cdot 1.6}{8} = \frac{3.2}{8} = 0.4 \\
            &= \frac{2(3 \div 5 )}{3} = \frac{2 \cdot 0.6}{3} = \frac{1.2}{3} = 0.4 \\
            &= \frac{2(5 \div 5 )}{5} = \frac{2 \cdot 1}{5} = \frac{2}{5} = 0.4 \\
\end{align} .

Z vyššie uvedeného teda vyplýva, že \frac{a}{b}  platí len a iba vtedy ak platí aj a  \left ( \frac{d}{b} \right ) , vice versa.

:

:

Pri prevádzaní zložitejších operácií na zlomky sa zlomok a/b správa ako a \cdot b^{-1}, takže napríklad

: \log \left( \frac{a}{b} \right) = \log (a  \cdot b^{-1}) = \log a - \log b

## Referencie

Kategória:Aritmetika