Fareyova postupnosť

**Fareyova postupnosť** F_n je v matematike postupnosť čísel \{f_1, f_2, \dots , f_{n-1}, f_n  \} respektíve \left \{
\frac{a_1}{b_1},
\frac{a_2}{b_2},
\dots ,
\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}},
\frac{a_n}{b_n}
\right \} nachádzajúcich sa v obojstranne uzatvorenom intervale \langle 0,1 \rangle vyjadrených zlomkami \left \langle \frac{0}{1},\frac{1}{1}  \right \rangle, ktorá je tvorená vkladaním ďalšieho zlomku \frac{a}{b} medzi dva  už existujúce zlomky podľa vzorca

\frac{ a_{n}    }{   b_{n}   } = \frac{ a_ + a_   }{   b_ + b_  }.

Počet vkladaní je určený rádom n príslušnej fareyovej postupnosti. Existujú dve formy vkladania:

* limitovaná forma, pre ktorú platí, že sú do postupnosti zaraďované len tie a iba tie zlomky, ktorých menovateľ je menší alebo rovný danému rádu postupnosti, teda b_n \leq n ,
* nelimitovaná forma, pre ktorú sa vyššie uvedené pravidlo neberie do úvahy.

Postupnosť prvého rádu F_1 = \left \{   \frac{0}{1}, 
                  \frac{1}{1}   \right \}.

Príklad limitovanej formy:

\begin{align}
F_1 &= \left \{   \frac{0}{1}, 
                  \frac{1}{1}   \right \} \\
F_2 &= \left \{   \frac{0}{1}, 
                  {\color{green}{\frac{1}{2}}}, 
                  \frac{1}{1}   \right \} \\
F_3 &= \left \{   \frac{0}{1}, 
                  {\color{blue}{\frac{1}{3}}}, 
                  {\color{green}{\frac{1}{2}}}, 
                  {\color{blue}{\frac{2}{3}}}, 
                  \frac{1}{1}   \right \} \\
F_4 &= \left \{   \frac{0}{1}, 
                  {\color{red}{\frac{1}{4}}}, 
                  {\color{blue}{\frac{1}{3}}}, 
                  {\color{green}{\frac{1}{2}}}, 
                  {\color{blue}{\frac{2}{3}}}, 
                  {\color{red}{\frac{3}{4}}}, 
                  \frac{1}{1}   \right \} \\
F_5 &= \left \{   \frac{0}{1}, 
                  {\color{purple}{\frac{1}{5}}}, 
                  {\color{red}{\frac{1}{4}}}, 
                  {\color{blue}{\frac{1}{3}}}, 
                  {\color{red}{\frac{2}{5}}},
                  {\color{green}{\frac{1}{2}}}, 
                  {\color{red}{\frac{3}{5}}},
                  {\color{blue}{\frac{2}{3}}}, 
                  {\color{red}{\frac{3}{4}}},
                  {\color{purple}{\frac{4}{5}}}, 
                  \frac{1}{1}   \right \} \\
\end{align}.

Príklad nelimitovanej formy:

\begin{align}
F_1 &= \left \{   \frac{0}{1}, 
                  \frac{1}{1}   \right \} \\
F_2 &= \left \{   \frac{0}{1}, 
                  {\color{green}{\frac{1}{2}}}, 
                  \frac{1}{1}   \right \} \\
F_3 &= \left \{   \frac{0}{1}, 
                  {\color{blue}{\frac{1}{3}}}, 
                  {\color{green}{\frac{1}{2}}}, 
                  {\color{blue}{\frac{2}{3}}}, 
                  \frac{1}{1}   \right \} \\
F_4 &= \left \{   \frac{0}{1}, 
                  {\color{red}{\frac{1}{4}}}, 
                  {\color{blue}{\frac{1}{3}}}, 
                  {\color{red}{\frac{2}{5}}}, 
                  {\color{green}{\frac{1}{2}}}, 
                  {\color{red}{\frac{3}{5}}}, 
                  {\color{blue}{\frac{2}{3}}}, 
                  {\color{red}{\frac{3}{4}}}, 
                  \frac{1}{1}   \right \} \\
F_5 &= \left \{   \frac{0}{1}, 
                  {\color{purple}{\frac{1}{5}}}, 
                  {\color{red}{\frac{1}{4}}}, 
                  {\color{purple}{\frac{2}{7}}}, 
                  {\color{blue}{\frac{1}{3}}}, 
                  {\color{purple}{\frac{3}{8}}}, 
                  {\color{red}{\frac{2}{5}}},
                  {\color{purple}{\frac{3}{7}}}, 
                  {\color{green}{\frac{1}{2}}}, 
                  {\color{purple}{\frac{4}{7}}}, 
                  {\color{red}{\frac{3}{5}}},
                  {\color{purple}{\frac{5}{8}}}, 
                  {\color{blue}{\frac{2}{3}}}, 
                  {\color{purple}{\frac{5}{7}}}, 
                  {\color{red}{\frac{3}{4}}},
                  {\color{purple}{\frac{4}{5}}}, 
                  \frac{1}{1}   \right \} \\
\end{align}.

Pre každé tri po sebe idúce zlomky vo Fareyovej postupnosti \frac{p}{q}, \frac{p^{\prime}}{q^{\prime}} a \frac{p^{\prime \prime}}{q^{\prime \prime}} platia rovnice

\begin{align}
qp^{\prime} - pq^{\prime} &= 1 \\
\frac{p^{\prime}}{q^{\prime}} &= \frac{p+p^{\prime \prime}}{q+q^{\prime \prime}} \\

\end{align}.

Napríklad pre zlomky \frac
}
}, \frac
}
} a \frac
}
}  zo sekvencie F_5 = 
\{ \dots , f_9, f_{10}, f_{11}, \dots  \} (nelimitovaná forma) platí

\begin{align}
{\color{green}{2}} \cdot {\color{purple}{4}} - {\color{green}{1}} \cdot {\color{purple}{7}} &=  1 \\
\frac}} &= \frac+{\color{red}{3}}}+{\color{red}{5}}} \\

\end{align}.

## Generalizovanie
Princíp Fareyovej postupnosti je možné aplikovať na dva akékoľvek zlomky, ktoré sú určené postupnosťou prvého rádu. Napríklad

\begin{align}
F_1 &= \left \{   \frac{13}{5}, 
                  \frac{7}{4}   \right \} \\
F_2 &= \left \{   \frac{13}{5}, 
                  \frac{20}{9}, 
                  \frac{7}{4}   \right \} \\   
F_3 &= \left \{   \frac{13}{5}, 
                  \frac{33}{14}, 
                  \frac{20}{9}, 
                  \frac{27}{13}, 
                  \frac{7}{4}   \right \} \\                    
\end{align}.

## Referencie

Kategória:Postupnosti čísel
Kategória:Eponymické termíny v matematike
Kategória:Teória čísel