Priemer (matematika)

Pojem **priemer** v matematike označuje vypočítanú hodnotu zo všetkých alebo len z určitej časti prvkov množiny, ktorá môže byť tvorená nielen skalárnymi veličinami, ale aj funkciami a pod. Táto matematická metóda má využitie hlavne v štatistike a pravdepodobnosti, teórii množín, geometrii, matematickej analýze ai. Priemer sa zvyčajne označuje vodorovnou čiarou nad písmenom premennej, napr.  \bar{x}, \tilde{p} a pod. V prípade, že je nutné uviesť aj druh priemeru je zvykom túto informáciu zapísať v ľavom dolnom indexe, napr. _{\text{ap}}\bar{x} pre aritmetický priemer a obdobne, ale nie je to záväzné pravidlo.

Tento článok uvádza stručné definície najbežnejších priemerov používaných v matematike.

### Aritmetický priemer
Zrejme najčastejšie používaný druh priemeru, ktorý spočíva v podiele súčtu prvkov množiny a počtom prvkov v množine. V anglofónnom prostredí často označovaný ako AM (arithmetic mean).

\tilde{x} = \frac{1}{n} \displaystyle \sum^n_{i=1} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1} + x_n}{n}

Príklad pre množinu M = \{5, 12, 15, 28, 30\}:

\bar{x} = \frac{5 + 12 + 15 + 28 + 30}{5} = \frac{90}{5} =  18 .

### Geometrický priemer
Geometrický priemer je definovaný pre každé x_i > 0. Označovaný aj ako GM (geometric mean).

\bar{x} = \left ( \displaystyle \prod^n_{i = 1} x_i \right ) ^{\frac{1}{n}} = (x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_{n-1} \times x_n) ^{\frac{1}{n}}

Príklad pre množinu M = \{5, 12, 15, 28, 30\}:

\bar{x} = (5 \times 12 \times 15 \times 28 \times 30)^{ \frac{1}{5} } = 756000^{ \frac{1}{5} } \approx 14.986

### Harmonický priemer
Tento priemer pracuje s prevrátenými hodnotami a značí sa aj ako HM (harmonic mean).

\bar{x} = n \left ( \displaystyle \sum^n_{i = 1}  \frac{1}{x_1} \right )  ^{-1} =
\frac{n}{ 
\frac{1}{ x_1 } + \frac{1}{ x_2 } + \cdots + \frac{1}{ x_{ n-1} } + \frac{1}{ x_n } 
}

Príklad pre množinu M = \{5, 12, 15, 28, 30\}:

\bar{x} = 
\frac{5}{ 
\frac{1}{ 5 } + \frac{1}{ 12 } + \frac{1}{15} + \frac{1}{ 28 } + \frac{1}{ 30 } 
}
\approx
11.931 .

Tri predchádzajúce priemery sú súhrnne nazývané pytagorejské pretože sa s nimi už zaoberali antickí pytagorejci a ich nasledovatelia.

Vzťahy medzi týmito tromi priemermi vyjadrené nerovnicou sú:

\max \geq \text{AM} \geq \text{GM} \geq \text{HM} \geq \min.

### Kvadratický priemer
Často označovaný ako RMS (root mean square) alebo QM (quadratic mean).

\bar{x} = \sqrt{
\frac{1}{n} \displaystyle \sum^n_{i=1} x^2_i
}
=
\sqrt{
\frac{1}{n} (x^2_1 + x^2_2 + \dots + x^2_{n-1} + x^2_n )
}.

Príklad pre množinu M = \{5, 12, 15, 28, 30\}:

\bar{x} = 
\sqrt{
\frac{1}{5} (5^2 + 12^2 + 15^2 + 28^2 + 30^2 )
}

= \sqrt{0.2 \times 2078 } = \sqrt{415.6} \approx 20.386.

Vzťahy medzi predchádzajúcimi priemermi vyjadrené nerovnicou sú:

\max \geq \text{QM} \geq \text{AM} \geq \text{GM} \geq \text{HM} \geq \min.

### Minkowského vzorec
Generalizovaný vzorec pre výpočet aritmetického, kvadratického a harmonického priemeru zaviedol do matematiky nemecký matematik Hermann Minkowski.

\bar{x}_p = \left ( \frac{1}{n}  \displaystyle \sum^n_{i=1} x^p_i  \right ) ^{ \frac{1}{p} } =
\left (  \frac{ x^p_1 + x^p_2 + \dots + x^p_{ n-1 } + x^p_n }{n}  \right ) ^{ \frac{1}{p} }

kde p  \neq 0. Pre aritmetický priemer p=1, pre harmonický p = -1 a pre kvadratický p = 2, ale obdobne je možné pomocou tohto vzorca vypočítať kubický priemer, kvartický priemer a pod.

### Aritmeticko-geometrický priemer
AGM je definovaný pre dve dve kladné čísla x a y, pre ktoré platí x \geq  y \geq 0. Formálne je AGM definovaný ako limita dvoch nezávislých sekvencií a_i a g_i, ktoré konvergujú k rovnakej hodnote.

\begin{align}
a_0 &= x \\
g_0 &= y \\
a_{n+1} &= \frac{1}{2} (a_n + g_n ) \\
g_{n+1} &= \sqrt { a_n g_n } \\

\end{align}.

### Aritmeticko-harmonický priemer
AHM, respektíve ním generované sekvencie  a_i a h_i konvergujú k hodnote geometrického priemeru x a y.

\begin{align}
a_0 &= x \\
h_0 &= y \\
a_{n+1} &= \frac{a_n + h_n}{2}  \\
h_{n+1} &= \frac{2 a_n h_n}{a_n + h_n} \\

\end{align}.

### Geometricko-harmonický priemer
GHM je definovaný pre dve kladné čísla x a y.

\begin{align}
g_0 &= x \\
h_0 &= y \\
g_{n+1} &= \sqrt{g_n h_n}  \\
h_{n+1} &= \frac{2 g_n h_n}{g_n + h_n} \\

\end{align}.

Pre AGM, AHM a GHM platí nerovnica\min(x,y) \leq H(x,y) \leq GHM(x,y) \leq (G(x,y) = AHM(x,y)) \leq AGM(x,y) \leq A(x,y) \leq \max(x,y)

### Herónov priemer
Herónov priemer, využívaný hlavne v geometrii, je definovaný pre dve nezáporné reálne čísla x a y, priemer je pomenovaný podľa Heróna z Alexandrie. Vypočíta sa podľa vzorca

\bar{h} = \frac{1}{3} (x + \sqrt{xy} + y)

## Referencie



Kategória:Teória čísel
Kategória:Štatistika