Geometrický rad

náhľad|Geometrický rad <small><math>\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \cdots</math></small> znázornený ako obsah fialových štvorcov. Každý fialový štvorec má štvrtinu obsahu väčšieho štvorca: <small><math>\frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{4}</math></small>, <small><math>\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}</math></small>... Dokopy fialové štvorce zaberajú jednu tretinu celehó štvorca, teda daný nekonečný rad konverguje k <small><math>\frac{1}{3}</math></small>.

**Geometrický rad** je rad vytvorený sumovaním členov nekonečnej geometrickej postupnosti – t.j. postupnosti, kde podiel dvoch po sebe idúcich členov je konštantný a nazýva sa kvocient. Napríklad rad \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \frac{1}{256}+ \cdots je geometrický rad s kvocientom \frac{1}{4}, ktorý konverguje k hodnote \frac{1}{3}.

Geometrické rady sú vo väčšine prípadov radmi reálnych alebo komplexných čísel. V tomto prípade je všeobecný geometrický rad s počiatočným členom a a kvocientom q, pričom a,q \in \mathbb{C} (resp. \mathbb{R}), typu a + aq + aq^2 + aq^3 + \cdots, čo môžeme kompaktne zapísať pomocou sumačnej sigma notácia ako

:\sum_{n=0}^{\infty}aq^n.

Okrem reálnych a komplexných geometrických radov môžeme uvažovať aj o radoch tvorenými funkciami, maticami, resp. inými abstraktnými algebrickými prvkami polí alebo okruhov.

## Definícia geometrického radu
Uvažujme nekonečnú geometrickú postupnosť \{ a_n \} reálnych (resp. komplexných) čísel s kvocientom q, t.j. postupnosť definovanú rekurentným vzorcom

:a_{n+1} = a_nq,

pričom a_0=a je počiatočný člen postupnosti. Uvažujme ďalej postupnosť čiastkových súčtov \{s_k\} tejto postupnosti definovanú vzorcom

:s_k = \sum_{n=0}^{k} a_n.

Geometrickým radom nazývame limitu tejto postupnosti, a označujeme ju nasledovne

:\lim_{k \to \infty} s_k =  \lim_{k \to \infty} \sum_{n=0}^{k} a_n := \sum_{n=0}^{\infty} a_n.

Keďže geometrickú postupnosť reálnych (resp. komplexných) čísel s kvocientom q a počiatočným členom a môžeme zapísať ako postupnosť \{ aq^n \}, je geometrický rad vo všeobecnosti rad tvaru

:\sum_{n=0}^{\infty}aq^n.

## Konvergencia geometrického radu
Uvažujme geometrický rad \sum_{n=0}^{\infty}aq^n, pričom a,q \in \mathbb{C}. Tento rad konverguje absolútne pre hodnoty kvocientu v absolútnej hodnote menšej ako 1, navyše platí

:\sum_{n=0}^{\infty}aq^n = \frac{a}{1-q}.

### Dôkaz konvergencie
Vezmime najprv také q\in \mathbb{C}, že |q|\geq1. Potom nie je splnená nutná podmienka konvergencie radov, ktorá vraví, že ak nejaký rad \sum a_n konverguje, tak \text{lim}_{n\to \infty} a_n = 0; táto podmienka nie je splnená, nakoľko \text{lim}_{n \to \infty} q^n  diverguje do nekonečna pre |q|>1 (v komplexnej analýze je toto tvrdenie pravdivé, v reálnej analýze neexistuje limita v prípade q), je rovná 1 pre q=1 a neexistuje pre ostatné komplexné jednotky (e^{i\theta}). Keďže pre tieto hodnoty kvocientu nie je splnená nutná podmienka konvergecie, tak preň rad nemôže konvergovať.

Pre ostatné hodnoty kvocientu q môžeme použiť vzorec pre čiastkové súčty s_k geometrickej postupnosti (*pozri článok [[Geometrická postupnosť]]*):

:s_k = \sum_{n=0}^{k} aq^n = a\frac{q^{n+1}-1}{q-1}.

Nakoľko \text{lim}_{n \to \infty} q^n  je rovná nule pre hodnoty kvocientu |q|, dostávame

:\lim_{k \to \infty} s_k := \sum_{n=0}^{\infty}aq^n = a\frac{-1}{q-1}=\frac{a}{1-q}.

Keďže daná limita existuje, tak uvedený nekonečný geometrický rad konverguje. Navyše, ak sčítame absolútne hodnoty jednotlivých sčítancov nášho radu, t.j. rad \sum_{n=0}^{\infty}|aq^n|, tak tento rad opäť konverguje; geometrický rad teda konverguje absolútne.

## Využitie geometrického radu

### Zápis periodických čísel pomocou zlomku
Pomocou geometrických radov dokážeme zapísať ľubovoľné periodické číslo zlomkom. Pod periodickým číslom myslíme napr. číslo 13,1215121512151215\dots Takéto periodické čísla môžeme skrátene zapísať ako 13,\overline{1215} – týmto zápisom sa myslí, že za desatinnou čiarkou sa štvorčíslie 1215 periodicky opakuje. Ľubovoľné periodické číslo môžeme zapísať zlomkom. Platí teda tvrdenie:

:*Každé periodické číslo je [[Racionálne číslo|racionálne]].*

#### Dôkaz
Nech p je ľubovoľné, ale fixné, periodické číslo. Predpokladajme, že opakované cifry (perióda) nastanú až od n-tého desatinného miesta, potom číslo p môžeme rozložiť na súčet dvoch čísel r a s, pričom číslo r obsahuje celú časť čísla p a jeho n-1 prvých desatinných miest; číslo r je teda racionálne. Stačí ukázať, že číslo s, ktoré je tvaru

:s = \sgn{(p)} \times \ 0,00\dots0 \ \text{abc}\dots\text{abc}\dots,

kde a,b,c,\dots \in \mathbb{N}\cup \{0\} sú cifry periódy a sgn značí znamienkovú funkciu signum, je racionálne. Číslo s má na začiatku n-1 núl a potom periódu s m ciframi, ktorá sa opakuje do nekonečna. Označme formálne číslo \text{abc}\dots vytvorené m ciframi periódy ako \mathcal{P}, potom môžeme číslo s zapísať ako

:s = \frac{\mathcal{P}}{10^{n-1+m}}+\frac{\mathcal{P}}{10^{n-1+2m}}+\frac{\mathcal{P}}{10^{n+3m}}+\cdots = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mathcal{P}}{10^{n-1}}\frac{1}{10^{k(m+1)}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mathcal{P}}{10^{n-1+m}}\frac{1}{10^{km}},

čo je súčet nekonečnej geometrickej postupnosti s kvocientom q = \frac{1}{10^m}. Keďže m>0 (číslo je periodické), tak q a daný rad konverguje. Počiatočná hodnota radu \frac{\mathcal{P}}{10^{n-1+m}} je racionálna, kvocient je racionálny, teda aj súčet radu \frac{\mathcal{P}}{10^{n-1+m}}\frac{1}{1-10^{-m}} je racionálny (keďže podiel dvoch racionálnych čísel je racionálne číslo). Dokázali sme teda, že číslo s je racionálne, a teda aj súčet dvoch racionálnych čísel

:p = r + s

je číslo racionálne.

#### Konkrétny príklad
Zapíšme číslo p=-1,130\overline{12} ako zlomok.

Rozďeľme si dané číslo na súčet r+s, pričom r=-1,130 a s=-0,000\overline{12}. Číslo s môžeme zapísať ako

:-s= \frac{12}{10^{3+2}} + \frac{12}{10^{3+4}}+ \frac{12}{10^{3+6}}+\cdots = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{12}{10^5}10^{-2k}=\frac{1}{8250} .

Číslo s je teda racionálne. Jeho zlomkové vyjadrenie sme mohli dostať aj pomocou vzorca, ktorý sme odvodili v dôkaze. Je zrejmé, že n=4 (na štvrtom desatinnom mieste sa začínajú čísla opakovať), m=2 (perióda je tvorená dvomi ciframi), \mathcal{P}=12 (číslo formálne zložené z cifier periódy). Po dosadení do vzorca z dôkazu taktiež dostávame rovnaký zlomok.

Číslo p teda môžeme zapísať ako

:p = r + s =-1,130 - \frac{1}{8250}=-\frac{1130}{1000}-\frac{1}{8250}=-\frac{18647}{16500}.

## Referencie

## Pozri aj
* Geometrická postupnosť
* Nekonečný rad

## Iné projekty

Kategória:Algebra
Kategória:Postupnosti čísel