Bernoulliho rovnica

thumb|350px|Obr. 1.a Prúdová trubica s naznačenými prúdnicami
thumb|350px|Obr. 1.b Pohyb tekutiny v prúdovej trubici
**Bernoulliho rovnica** je dôležitý vzťah používaný v hydrodynamike, ktorý je matematickým vyjadrením 
zákona zachovania energie v ustálenom toku kvapaliny alebo plynu. Zákon odvodil švajčiarsky matematik Daniel Bernoulli.

## Odvodenie
Jedno z možných odvodení Bernoulliho rovnice vychádza zo zákona zachovania energie v kvapaline. Pri odvádzaní sa využíva predpoklad
ustálenosti prúdenia, t. j. že na žiadnom mieste tekutiny sa rýchlosť nemení s časom.

Predstavme si zväzok blízkych prúdnic, ktoré formujú prúdovú trubicu ako na obr. 1a. Keďže steny
trubice sú tvorené prúdnicami, nevyteká nimi žiadna tekutina. Označme plochu prierezu na vtoku do
trubice S_1, rýchlosť tekutiny v tomto bode označme v_1. Obdobne označme
plochu prierezu a rýchlosť tekutiny na výtoku ako S_2 a v_2. Keďže
prúdenie je ustálené, v trubici sa nemôže hromadiť tekutina. To znamená, že hmotnosť M vytečenej a
vtečenej tekutiny za jednotku času musí byť rovnaká:
: \Delta M = \rho_1 S_1 v_1 \Delta t = \rho_2 S_2 v_2 \Delta t 
Máme teda rovnosť:
: \rho_1 S_1 v_1 = \rho_2 S_2 v_2 
Tiež známu ako rovnicu kontinuity.

Teraz vypočítame prácu, ktorú vykonal tlak v tekutine. Práca vykonaná na tekutine, ktorá vteká do
 S_1  je  p_1 S_1 v_1 \Delta t  zatiaľ čo práca odovzdaná na výtoku je
 p_2 S_2 v_2 \Delta t . Výsledná práca vykonaná na tekutine medzi  S_1  a
S_2 je preto:
:  p_1 S_1 v_1 \Delta t - p_2 S_2 v_2 \Delta t
a musí byť rovná zvýšeniu energie tekutiny hmotnosti  \Delta M  pri prechode z 
S_1  do  S_2 . Teda:
:  p_1 S_1 v_1 \Delta t - p_2 S_2 v_2 \Delta t = \Delta M(E_2 - E_1) 
pričom  E_1  je energia na jednotku hmotnosti tekutiny na vtoku a  E_2  na
výtoku. Energiu na jednotku hmotnosti môžeme zapísať ako:
:  E = \frac{1}{2} v^2 + \varphi + W 
Kde  \frac{1}{2} v^2  je kinetická energia na jednotku hmotnosti,  \varphi
 je potenciálna energia na jednotku hmotnosti a  W  je člen, ktorý
reprezentuje vnútornú energiu jednotky hmotnosti tekutiny. Dosadením vzťahu do predchádzajucej
rovnice potom dostávame:
:  \frac{p_1 S_1 v_1 \Delta t - p_2 S_2 v_2 \Delta t}{\Delta M} = \frac{1}{2} v_2^2 +
\varphi_2 + W_2 - \frac{1}{2} v_1^2 - \varphi_1 - W_1 
Keďže však  \Delta M = \rho S v \Delta t , tak dostaneme výraz:
:  \frac{p_1}{\rho_1} + \frac{1}{2} v_1^2 + \varphi_1 + W_1 = \frac{p_2}{\rho_2} + \frac{1}{2}v_2^2 +
\varphi_2 + W_2 

známy tiež ako Bernoulliho rovnica.

## Bernoulliho rovnica pre ideálnu kvapalinu

Ideálna kvapalina je nestlačiteľná a neviskózna, preto je vnútorná energia na oboch stranách rovnice rovnaká a možno ju od oboch strán odčítať. Rovnako je rovnaká hustota, ktorá sa z premenej stane konštantou. Po úprave:

:  \frac{p_1}{\rho} + \frac{1}{2} v_1^2 + \varphi_1 = \frac{p_2}{\rho} + \frac{1}{2}v_2^2 + \varphi_2 

### Vymedzenie platnosti
Vyššie uvedená rovnica platí len pre nasledovné prípady:
# stále sa uvažuje ustálené prúdenie tekutiny 
# ide o niektorú z nasledovných geometrických podmienok:
#* nevírivé prúdenie kvapaliny – v tomto prípade je rovnica platná pre celý rozsah prúdu, pretože súčet všetkých členov jednej strany je konštantný v ľubovoľnom bode celého priestoru prúdiacej tekutiny. 
#* vírivé prúdenie po prúdnici – rovnica platí len pre jednotlivú prúdnicu, súčet členov pre rôzne prúdnice nie je rovnaký.
#* vírivé prúdenie po vírovej čiare – rovnica platí len pre jednotlivú vírovú čiaru, súčet členov pre rôzne vírové čiary nie je rovnaký.
#* skrutkový pohyb kvapaliny – je to pohyb pri ktorom je každá prúdnica totožná s nejakou vírovou čiarou. častice kvapaliny teda prúdia po prúdnici a pritom sa okolo nej otáčajú. V tomto prípade je rovnica platná pre celý rozsah prúdu, pretože súčet členov v ľubovoľnom bode celého priestoru prúdu je konštantný. 
 
### Prúdenie v gravitačnom poli
Pre špecifický (a prakticky najužitočnejší) prípad prúdenia v gravitačnom poli zeme sa člen potenciálnej energie na jednotku hmotnosti môže nahradiť vzťahom  \varphi = gh \  Potom je platí:

:  \frac{p_1}{\rho} + \frac{1}{2} v_1^2 + gh_1 = \frac{p_2}{\rho} + \frac{1}{2}v_2^2 + gh_2 

Táto, ako aj všetky vyššie uvedené rovnice sú vo forme špecifických energií. Každý člen, ako aj súčet má rozmer J.kg−1.

### Iné formy rovnice
Pre praktické účely sa využívajú aj iné formy vyjadrenia Bernoulliho rovnice:
Po vydelení základnej formy gravitačným zrýchlením je rovnica v tvare výšok s rozmerom každého člena v m:
:  \frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g}  + h_1 = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + h_2 
kde jednotlivé členy v uvedenom poradí sa nazývajú:
* tlaková výška
* rýchlostná výška
* výška (polohová výška)

Po vynásobení základnej formy hustotou je rovnica v tvare tlakov s rozmerom každého člena v Pa:
:  p_1 + \frac{v_1^2\rho}{2}  + \rho g h_1 = p_2 + \frac{v_2^2\rho}{2} + \rho gh_2 
kde jednotlivé čeny v uvedenom poradí sa nazývajú:
* tlak
* dynamický tlak
* hydrostatický tlak

### Zjednodušená Bernoulliho rovnica
Ak kvapalina neprekonáva žiaden potenciálový rozdiel, rovnica sa zjednoduší do známejšieho tvaru:
:  p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 
Ktorý hovorí, že súčet hustoty kinetickej energie kvapaliny a jej tlaku je v každom bode prúdnice rovnaký. 
* *&rho;* – hustota kvapaliny
* *p* – tlak v kvapaline
* *v* – rýchlosť prúdenia kvapaliny 
Z tejto rovnice vyplýva, že čím je rýchlosť prúdenia kvapaliny vyššia, tým je tlak v nej nižší (Venturiho efekt).

## Názvoslovie členov v Bernoulliho rovnici
V zjednodušenej Bernoulliho rovnici:
:  p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 
Vyjadruje prvý člen prácu vykonanú na kvapaline a druhý člen jej kinetickú energiu. Z tohto dôvodu sa občas prvý člen zvykne nazývať *hustotou tlakovej práce*, často sa však stretneme aj s pojmom *hustota tlakovej energie*. Je dôležité upozorniť, že nejde o energiu v pravom slova zmysle, ale člen svoj názov pravdepodobne dostal preto, že má rozmer hustoty energie. Niektorí autori preto odporúčajú vyvarovať sa používaniu mätúceho, ale zaužívaneho, pojmu *hustota tlakovej energie* a
hovoriť miesto toho o *hustote tlakovej práce*

## Zdroje
*Feynmanove prednášky z Fyziky, druhý diel (ISBN 80-7200-420-4)

## Referencie
 

Kategória:Hydrodynamika
Kategória:Eponymické termíny vo fyzike