සංඛ්‍යාංක මූලය

සංඛ්‍යාවක **සංඛ්‍යාංක මූලය** (**පුනරාවර්ත සංඛ්‍යාංක ‍ඓක්‍යය** ලෙසද දැක්වේ) යනු සියලු සංඛ්‍යාංක (ඉලක්කම්) එකතු කිරීමෙන් සංඛ්‍යාවක් ලබා ගෙන, ඉන්පසු එම සංඛ්‍යාවෙහි සියලු සංඛ්‍යාංක එකතු කොට, ආදි වශයෙන් තනි-සංඛ්‍යාංක (ඉලක්කම්) සංඛ්‍යාවක් ලැබෙන තුරු මෙය දිගටම කිරීමෙන් ලැබෙන සංඛ්‍යාව වේ.

නිදසුනක් ලෙස, 65,536 හි සංඛ්‍යාංක මූලය 7 වන්නේ, 6+5+5+3+6 = 25 හා 2+5 = 7 වන බැවිනි.

සියලු සංඛ්‍යාංක එකතු කරනු වෙනුවට, විශාල සංඛ්‍යා වලදී කාලය ඉතිරි කිරීම ලබා දෙන පටිපාටියක් වන අංගසමතාවයන් තුලින්ද සංඛ්‍යාංක මූලයන් ගණනය කල හැක.

යම් අයුරක අවේක්ෂා ඓක්‍යයක් ලෙසින්ද සංඛ්‍යාංක මූලය භාවිතා කල හැක. නිදසුනක් ලෙසින්, ඓක්‍යය ක සංඛ්‍යාංක මූලය සැමවිටම සමාකලයෙහි සංඛ්‍යාංක මූලයන්හී ඓක්‍යයෙහි සංඛ්‍යාංක මූලයට සමාන බැවිනි. විශාල සංඛයාවන් ඉතා දිගු තීරුවක් එකතු කරන පුද්ගලයෙකු ගේ සහනයට දායක වන්නේ ඔහුගේ හෝ ඇයගේ අවසන් ප්‍රතිඵලයට —මෙම ශිල්පක්‍රමය මගින් දෝෂයන් බහුතරයක් අනාවරණය කරන බව දන්නා බැවින්— නවයේ ඒවා ඉවත් කිරීම යෙදීමට හැකි වීමයි.

බටහිර සංඛ්‍යාවේදයෙහිද සංඛ්‍යාංක මූලයන් භාවිත වන මුත්, සැඟවුනු සුවිශේෂතාවක් සහිත යැයි සැලකෙන සමහරක් සංඛ්‍යාවන් (11 සහ 22 වැනි) සැමවිටම තනි ඉලක්කමකට ඌනනය කෙරුම සිදු නොකෙරෙයි.

## සංඛ්‍යාංක මූලයෙහි සුවිශේෂතාව හා එයට සූත්‍රය 
ඕනෑම n ධන නිඛිල සංඛ්‍යාවක සංඛ්‍යාංක මූලය යනු n ට වමෙන් ඇති අවසාන නවයේ ගුණාකාරයට සාපේක්ෂව n හි ස්ථානය බව වටහා ගැනුම ප්‍රයෝජනවත්ය. නිදසුනක් ලෙසින්, 11 හි සංඛ්‍යාංක මූලය 2 වන අතර, එයින් අදහස් වන්නේ 11 යනු 9 න් පසුව දෙවන සංඛ්‍යාව බවය. 23 හි සංඛ්‍යාංක මූලය 5 වන අතර, එයින් ගම්‍ය වන්නේ 23 යනු 23 ට වමෙන් වූ නවයේ ගුණාකාරය; මේ අවස්ථාවෙහිදී 18; ට පසු පස් වන සංඛ්‍යාව බවය. 2035 හි සංඛ්‍යාංක මූලය 1 වන බැවින් ගම්‍ය වන්නේ 2035-1, එනම් 2034, යන්න නවයේ ගුණාකාරයක් බවය.

එම සංඛ්‍යාවන්ම වන {1,2,3,4,5,6,7,8} හි සංඛ්‍යාංක මූලයන්, පෙන්නුම් කරනුයේ 0 ට සාපේක්ෂව එම සංඛ්‍යාවන්ගේ ස්ථානයයි. නවය හා එහි සියළු ගුණාකාරයන්ගේ සංඛ්‍යාංක මූලය නවය වන අතර, 1 සිට 8 දක්වා නිඛිලයන් අරභයා ශුන්‍යයෙහි කාර්ය භාරයම, ඒවා සියල්ල විසින් ඉටු කරනු ලබයි. නවය සංඛ්‍යාව සහ එහි ගුණාකාරයන් ශුන්‍යයන් අතුරින් ශුන්‍යයන් වගයක් ලෙසින් දැකුමට මෙය ඉවහල් වන අතර, මේවාට සාපේක්ෂව ඒවායේ ස්ථානය හෝ ඒවායේ සංඛ්‍යාංක මූලයන් හෝ නිරාවරණය කෙරුමට මෙනිසා අනෙකුත් නිඛිලයන්ට අවස්ථාව සැලසේ. එක් අතෙකින් බලන කල මෙය දශාංශ ක්‍රමයෙහි ලාක්ෂණික ගුණංගයකි. 

මෙය සිත්හී දරා ගෙන, n ධන නිඛිලයක සංඛ්‍යාංක මූලය S(n), මෙලෙස අර්ථ දැක්විය හැක: 
:S(n)=n-\max_{0
යන්න විශේෂිත ලෙසින් දක්වතොත්, 
:S(n)=n-9\left\lfloor\frac{n}{9}\right\rfloor.

මෙම සූත්‍රය විසින් n හි සංඛ්‍යාංක මූලය ලබා දෙන අතර නවයේ ගුණාකාර වන සියලු n සඳහා 0 අගය පනවනු ලැබේ.

## සංඛ්‍යාංක මූලයන්හී අමූර්ත ගුණ කිරීම 
දශාංශික ක්‍රමයෙහි හුරුපුරුදු ගුණ කිරීමේ වගුව මගින් නිපැයෙන සංඛ්‍යාංක මූලයන් මෙම වගුවෙන් දැක්වේ. මෙම වගුවේ පළමු තීරුව හා පේළිය හුදෙක් මෙම වගුවෙහි ගුණ කල යුතු අවයවයන් වෙති. **2**x**5**=1 නිදසුන සඳහා ඔබ හට මෙය දිස් වේ; ඒ එසේ වන්නේ 10 හි සංඛ්‍යාංක මූලය 1 නිසා හෝ
:S(10)=S(2\times5)=1 \  නිසා වේ.

මෙම වගුව සිත් ගන්නා රටාවන් සහ සමමිතීන් ගණනනාවක් පෙන්නුම් කරන අතර වෛදික කොටුව නමින් හැඳින්වේ.

## විධිමත් අර්ථදැක්වීම 
S(n) වෙතින් n සංඛ්‍යාංක (ඉලක්කම්) හි ඓක්‍යය නිරූපණය වන්නේ යැයි සිතමු. අත්‍යන්තයෙහිදී S(n),S(S(n)),S(S(S(n))),\dotsb යන අනුක්‍රමය නියතයක් බවට පත් වෙයි. S_{\sigma}(n) (n හි සංඛ්‍යාංක ඓක්‍යය) විසින් මෙම නියත අගය නිරූපණය කරයි.

### නිදසුන 
1853 හි සංඛ්‍යාංක ඓක්‍යය සොයමු. 

:S(1853)=17\,

:S(17)=8\,

එබැවින්, 

:S_{\sigma}(1853)=8.\, 

සරල කරනය අරභයා සරල ලෙසින් පහත නිරූපණයට එකඟ වෙමු 

:S(1853)=8.\,

### නියත අගයක් ඇති බවට සාධනය 
S(n),S(S(n)),S(S(S(n))),\dotsb යන අනුක්‍රමය අත්‍යන්තයෙහිදී නියතයක් වන බව අප දන්නේ කෙසේද? මෙන්න සාධනය:

0\le d_i\in\mathbb{Z} සහිතව (සියළු i සඳහා, d_i යනු 0 ට වඩා වැඩි හෝ සමාන සහ 10 ට අඩු නිඛිල සංඛ්‍යාව කි ) x=d_1+10d_2+\dotsb+10^{n-1}d_n යැයි සිතමු. එවිට, S(x)=d_1+d_2+\dotsb+d_n. මෙයින් ගම්‍ය වන්නේ d_2,d_3,\dotsb,d_n=0 නොවන විට පමණක්, S(x) බවත්, පෙර ලෙස වන විට x යනු තනි -සංඛ්‍යාංක සංඛ්‍යාවක් වන බවත්ය. මේ අනුව, S(x) ශ්‍රිතය පුනරාවර්ත ලෙස යෙදීමෙන් x අඩුම වශයෙන් 1 කින් හෝ අඩු වීමට හේතු වෙමින්, අවසානයේදී තනි-සංඛ්‍යාංක සංඛ්‍යාවක් බවට පත් කරන අතර, එම අවස්ථාවෙහිදී එය නියතයක් බවට පත් වෙමින්, S(d_1)=d_1 අගය දරයි.

## අංගසමතා සූත්‍රය 
මෙම සූත්‍රය නම්:
: \operatorname{dr}(n) = \begin{cases}0 & \mbox{if}\ n = 0, \\ 9 & \mbox{if}\ n \neq 0,\ n\ \equiv 0\pmod{9},\\ n\ {\rm mod}\ 9 & \mbox{if}\ n \not\equiv 0\pmod{9}.\end{cases}
හෝ,
: \mbox{dr}(n) = 1\ +\ ((n-1)\ {\rm mod}\ 9).\ 

අනෙකුත් පාදයන් *b* සඳහා සංඛ්‍යාංක මූල සංකල්පය සාධාරීකරණය කරනු වස්, යමෙකු විසින් සූත්‍රයෙහි කල යුතු සුළු වනස වන්නේ 9 යන්න *b* – 1 බවට වෙනස් කිරීම පමණි.

## සංඛ්‍යාංක මූලයන් හී සමහරක් ලක්ෂණ 
* සතරැස් සංඛ්‍යාව ක සංඛ්‍යාංක මූලය 1, 4, 7, හෝ 9 වෙයි.
* පරිපූර්ණ ඝනය ක සංඛ්‍යාංක මූලය 1, 8 හෝ 9 වෙයි.
* මූල සංඛ්‍යාව (3 හැර) ක සංඛ්‍යාංක මූලය 1, 2, 4, 5, 7, හෝ 8 වේ.
* 2 හි බලය ක සංඛ්‍යාංක මූලය of 1, 2, 4, 5, 7, හෝ 8 වේ.
* ඉරට්ටේ පරිපූර්ණ සංඛ්‍යාව (6 හැර) ක සංඛ්‍යාංක මූලය1 වේ.
* අරීය සංඛ්‍යාව ක සංඛ්‍යාංක මූලය 1 හො 4 වේ.
* ශුන්‍ය නොවන 9 යේ ගුණාකාරය ක සංඛ්‍යාංක මූලය 9 වේ.
* ශුන්‍ය නොවන 3 නේ ගුණාකාරය ක සංඛ්‍යාංක මූලය 3, 6 හෝ 9 වේ.
* ත්‍රිකෝණ සංඛ්‍යාව ක සංඛ්‍යාංක මූලය 1, 3, 6 හෝ 9 වේ.
* ක්‍රමාරෝපිතය ≥ 6! ක සංඛ්‍යාංක මූලය 9 වේ.
* ෆිබොනාච්චි ශ්‍රේණිය ක සංඛ්‍යාංක මූලය 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9 හි පුනරාවර්ත රටාව වේ.
* 3 සහ 5 හැර, යුගල මූල සංඛ්‍යාවන් හි සංඛ්‍යාංක මූලය 8 වෙයි. 3 සහ 5 (යුගල මූල සංඛ්‍යා) හි ගුණිතයෙහි සංඛ්‍යාංක මූලය 6 වෙයි.

## මෙයද බලන්න 
* සංඛ්‍යාංක ඓක්‍යය
* සංඛයාවක ප්‍රස්ථිතිය
* වෛදික කොටුව

## බාහිර සබැඳි 
* MS එක්සෙල් භාවිතයෙන් සංඛ්‍යාංක මූලය රටාව

ප්‍රවර්ගය:වීජ ගණිතය
ප්‍රවර්ගය:සංඛ්‍යා වාදය