සයින් නීතිය

ත්‍රිකෝණමිතියේදී, **සයින් නීතිය**, **සයින් නීතිය**, **සයින් සූත්‍රය** හෝ **සයින් නියමය** යනු ඕනෑම ත්‍රිකෝණයක පැතිවල දිග එහි කෝණවල සයිනවලට සම්බන්ධ කරන සමීකරණයකි . නීතියට අනුව, \frac{a}{\sin{\alpha}} \,=\, \frac{b}{\sin{\beta}} \,=\, \frac{c}{\sin{\gamma}} \,=\, 2R, මෙහි a, b, සහ c යනු ත්‍රිකෝණයක පැතිවල දිග වන අතර α, β, සහ γ යනු ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණ වේ (රූපය 2 බලන්න), R යනු ත්‍රිකෝණයේ වට රවුමේ අරය වේ. සමීකරණයේ අවසාන කොටස භාවිතා නොකරන විට, නීතිය සමහර විට අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් භාවිතා කරයි; \frac{\sin{\alpha}}{a} \,=\, \frac{\sin{\beta}}{b} \,=\, \frac{\sin{\gamma}}{c}. කෝණ දෙකක් සහ පැත්තක් දන්නා විට ත්‍රිකෝණයක ඉතිරි පැති ගණනය කිරීම සඳහා සයින් නියමය භාවිතා කළ හැක - එය ත්‍රිකෝණකරණය ලෙස හැඳින්වේ. පැති දෙකක් සහ සංවෘත නොවන කෝණවලින් එකක් දන්නා විට ද එය භාවිතා කළ හැකි ය. එවැනි සමහර අවස්ථා වල දී, ත්‍රිකෝණය මෙම දත්ත මගින් අනන්‍ය ලෙස නිර්ණය නො කෙරේ ( *අපැහැදිලි අවස්ථාව* ලෙස හැඳින්වේ) සහ තාක්‍ෂණය සංවෘත කෝණය සඳහා හැකි අගයන් දෙකක් ලබා දෙයි.

සයින් නියමය යනු ස්කේලීන් ත්‍රිකෝණවල දිග සහ කෝණ සෙවීමට පොදුවේ යෙදෙන ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ දෙකෙන් එකක් වන අතර අනෙක කොසයිනවල නියමයයි .

සයින් නියමය නියත වක්‍රය සහිත පෘෂ්ඨ මත ඉහළ මානයන් වෙත සාමාන්‍යකරණය කළ හැක. 

## ඉතිහාසය 
HJJ විල්සන්ගේ නැගෙනහිර විද්‍යාව  නම් ග්‍රන්ථයේ සඳහන් වන්නේ 7වන සියවසේ භාරතීය ගණිතඥයෙකු වූ බ්‍රහ්මගුප්ත ඔහුගේ තාරකා විද්‍යාත්මක ග්‍රන්ථය වන බ්‍රහ්මස්ෆුටසිද්ධාන්තයේ අපි දැන් දන්නා දෙය සයින් නියමය ලෙස විස්තර කරන බවයි. මෙම කෘතියේ ඔහුගේ අර්ධ පරිවර්තනයේ දී, කෝල්බෲක්  බ්‍රහ්ම ගුප්ත විසින් සයින් රීතිය පිළිබඳ ප්‍රකාශය පරිවර්තනය කරන්නේ මෙසේ ය: ත්‍රිකෝණයක පැති දෙකේ ගුණිතය, ලම්බකව දෙගුණයකින් බෙදීම, මධ්‍යම රේඛාව වේ; සහ මෙහි ද්විත්වය මධ්‍ය රේඛාවේ විෂ්කම්භය වේ.

Ubiratàn D'Ambrosio සහ Helaine Selin ට අනුව, සයින් වල ගෝලාකාර නියමය 10 වන සියවසේ දී සොයා ගන්නා ලදී. එය Abu-Mahmud Khojandi, Abu al-Wafa' Buzjani, Nasir al-Din al-Tusi සහ Abu Nasr Mansur හට විවිධ ලෙස ආරෝපණය කර ඇත. 

Ibn Muʿādh al-Jayyani 's 11 වන සියවසේ *ගෝලයක නො දන්නා චාප පොතෙහි* සයින් වල ගෝලාකාර නියමය අඩංගු වේ.  සයින් වල ගුවන් නියමය පසුව 13 වන සියවසේ දී නසීර් අල්-ඩීන් අල්-තුසි විසින් ප්‍රකාශ කරන ලදී. ඔහුගේ *On the Sector Figure* හි, ඔහු තල සහ ගෝලාකාර ත්‍රිකෝණ සඳහා සයින් නියමය ප්‍රකාශ කළ අතර, මෙම නියමය සඳහා සාක්ෂි සැපයීය. 

Glen Van Brummelen ට අනුව, "සයින් නීතිය සැබවින්ම Regiomontanus ගේ IV වන පොතේ සෘජු කෝණික ත්‍රිකෝණවල විසඳුම් සඳහා පදනම වන අතර, මෙම විසඳුම් ඔහුගේ සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණවල විසඳුම් සඳහා පදනම වේ."  Regiomontanus යනු 15 වන සියවසේ ජර්මානු ගණිතඥයෙකි.

## සාක්ෂි 
දිග a පැත්ත පාදම ලෙසින්, ත්‍රිකෝණයේ උන්නතාංශය b sin γ හෝ c sin β ලෙස ගණනය කළ හැක. මෙම ප්‍රකාශන දෙක සමාන කිරීමෙන් ලැබේ\frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c}\,,සහ සමාන සමීකරණ පැන නගින්නේ ත්‍රිකෝණයේ පාදය ලෙස b දිග පැත්ත හෝ c දිග පැත්ත තෝරා ගැනීමෙනි.

## ත්‍රිකෝණ විසඳුමේ අපැහැදිලි අවස්ථාව 
ත්‍රිකෝණයක පැත්තක් සෙවීමට සයින් නියමය භාවිතා කරන විට, ලබා දී ඇති දත්ත වලින් වෙන වෙනම ත්‍රිකෝණ දෙකක් සෑදිය හැකි විට අපැහැදිලි අවස්ථාවක් ඇති වේ (එනම්, ත්‍රිකෝණයට වෙනස් විය හැකි විසඳුම් දෙකක් තිබේ). පහත දැක්වෙන අවස්ථාවෙහි ඒවා ABC සහ ABC′ ත්‍රිකෝණ වේ.
සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණයක් ලබා දී, නඩුව අපැහැදිලි වීමට පහත කොන්දේසි සපුරා ලිය යුතු ය:

* ත්‍රිකෝණය ගැන දන්නා එක ම තොරතුරු වන්නේ කෝණය α සහ පැති a සහ c වේ.
* කෝණය α තියුණු වේ (එනම්, α  h ).

ඉහත කොන්දේසි සියල්ල සත්‍ය නම්, එක් එක් කෝණ β සහ β′ වලංගු ත්‍රිකෝණයක් නිපදවයි, එනම් පහත සඳහන් දෙක ම සත්‍ය වේ. {\gamma}' = \arcsin\frac{c \sin{\alpha}}{a} \quad \text{or} \quad {\gamma} = \pi - \arcsin\frac{c \sin{\alpha}}{a}.එතැන් සිට අපට අවශ්‍ය නම් අනුරූප β සහ b හෝ β′ සහ b′ සොයා ගත හැක, එහි දී b යනු A සහ C ශීර්ෂයන්ගෙන් මායිම් වූ පැත්ත වන අතර b′ යනු A සහ C′ වලින් මායිම් වේ.

පහත දැක්වෙන්නේ සයින් නීතිය භාවිතයෙන් ගැටලුවක් විසඳන ආකාරය පිළිබඳ උදාහරණ වේ.

### උදාහරණ 1 
දකුණ|thumb| උදාහරණ 1
ලබා දී ඇත: පැත්ත a = 20, පැත්ත c = 24, සහ කෝණය γ = 40° . කෝණය α අවශ්‍ය වේ.

සයින් නීතිය භාවිතා කරමින්, අපි එය නිගමනය කරමු\frac{\sin \alpha}{20} = \frac{\sin (40^\circ)}{24}.විභව විසඳුම α = 147.61° බැහැර කර ඇති බැවින් එය අනිවාර්යයෙන් ම α + β + γ > 180° ලබා දෙන බව සලකන්න.

### උදාහරණ 2 
දකුණ|thumb| උදාහරණය 2
ත්‍රිකෝණයේ a සහ b ත්‍රිකෝණයේ පැති දෙකක දිග x ට සමාන නම්, තුන් වන පැත්තේ දිග c ඇති අතර, a, b, සහ c දිග දෙපැත්තට විරුද්ධ කෝණ පිළිවෙලින් α, β, සහ γ වේ.\begin{align}
& \alpha = \beta = \frac{180^\circ-\gamma}{2}= 90^\circ-\frac{\gamma}{2} \\[6pt]
& \sin \alpha = \sin \beta = \sin \left(90^\circ-\frac{\gamma}{2}\right) = \cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) \\[6pt]
& \frac{c}{\sin \gamma}=\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{x}{\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right)} \\[6pt]
& \frac{c \cos \left(\frac{\gamma}{2}\right)}{\sin \gamma} = x
\end{align}

## වට රවුමට සම්බන්ධය 
අනන්යතාව තුළ \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}},භාග තුනේ පොදු අගය ඇත්ත වශයෙන් ම ත්‍රිකෝණයේ වට රවුමේ විෂ්කම්භය වේ. මෙම ප්‍රතිඵලය ටොලමි දක්වා දිව යයි.  

### සාක්ෂි 
thumb| වටකුරු විෂ්කම්භයට සමාන සයින් නීතියේ අනුපාතය ව්‍යුත්පන්න කිරීම. ADB ත්‍රිකෝණය d විෂ්කම්භය සහිත වට රවුමේ කේන්ද්‍රය හරහා ගමන් කරන බව සලකන්න.
රූපයේ දැක්වෙන පරිදි, සටහන් කර ඇති රවුමක් තිබිය යුතු ය  \triangle ABC සහ තවත් එකක් ලියා ඇත  \triangle ADB රවුමේ කේන්ද්‍රය O හරහා ගමන් කරයි. එම  \angle AOD හි කේන්ද්රීය කෝණයක් ඇත  180^\circ සහ මෙසේ  තේල්ස් ප්‍රමේයය මගින් . පටන්  \triangle ABD සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්‍රිකොණය කි. \sin{\delta}= \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}= \frac{c}{2R},  R= \frac{d}{2} ත්‍රිකෝණයේ වටකුරු රවුමේ අරය වේ.  කෝණ {\gamma} සහ {\delta} එක ම රවුමක වැතිර එම ස්වරයම යට කරන්න c ; මේ අනුව, ලියා ඇති කෝණ ප්‍රමේයය මගින්, {{වෙළීනොමැත|{\gamma} = {\delta}.}} එබැවින්, \sin{\delta} = \sin{\gamma} = \frac{c}{2R}.{{equation box 1|equation= \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}}=2R.}}අස්වැන්න නැවත සකස් කිරීම 2R = \frac{c}{\sin{\gamma}}.නිර්මාණය කිරීමේ ක්‍රියාවලිය නැවත  කිරීම  \triangle ADB වෙනත් ලකුණු සමඟ ලබා දෙයි

\frac {a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}}=2R.{{equation box 1|equation= \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}}=2R.}}

### ත්‍රිකෝණයක් පප්‍රේදෂයසම්බන්ධය 
ත්‍රිකෝණයක වර්ගඵලය ලබා දෙන්නේ {{වෙළීනොමැත|T = \frac{1}{2}ab \sin \theta,}} කොහෙද \theta a සහ b දිග දෙපැත්තෙන් වට වූ කෝණය වේ. මෙම සමීකරණයට සයින් නියමය ආදේශ කිරීම ලබා දෙයිT=\frac{1}{2}ab \cdot \frac {c}{2R}.ගන්නවා R වටකුරු අරය ලෙස, {{equation box 1|equation=T=\frac{abc}{4R}.}}T=\frac{abc}{4R}මෙම සමානාත්මතාව ය ඇඟවුම් කරන බව ද පෙන්විය හැකි ය\begin{align}
\frac{abc} {2T}
& = \frac{abc} {2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} \\[6pt]
& = \frac {2abc} {\sqrt{{(a^2+b^2+c^2)}^2-2(a^4+b^4+c^4) }},
\end{align}මෙහි T යනු ත්‍රිකෝණයේ ප්‍රදේශය වන අතර s යනු අර්ධ පරිමිතියයි {{වෙළීනොමැත|s = \frac{1}{2}\left(a+b+c\right).}}

ඉහත දෙවන සමානාත්මතාව ය ප්‍රදේශය සඳහා හෙරොන්ගේ සූත්‍රයට පහසුවෙන් සරල කරයි.

ත්‍රිකෝණයේ ප්‍රදේශය සඳහා පහත සූත්‍රය ව්‍යුත්පන්න කිරීමේදී ද සයින් රීතිය භාවිතා කළ හැක: කෝණවල සයින වල අර්ධ එකතුව දැක්වීම {{වෙළීනොමැත|S =\frac{1}{2}\left(\sin A + \sin B + \sin C\right),}} අපට  භාවිත කළ හැක.{{equation box 1|equation=T = 4R^{2} \sqrt{S \left(S - \sin A\right) \left(S - \sin B\right) \left(S - \sin C\right)}}}T = 4R^{2} \sqrt{S \left(S - \sin A\right) \left(S - \sin B\right) \left(S - \sin C\right)} R වට රවුමේ අරය වේ: {{වෙළීනොමැත|2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.}}

## සයින් වල ගෝලාකාර නියමය 
සයින් වල ගෝලාකාර නියමය ගෝලයක ත්‍රිකෝණ සමඟ කටයුතු කරයි, එහි පැති විශාල කව වල චාප වේ.

ගෝලයේ අරය යැයි සිතමු&nbsp;1. a, b, සහ c ත්‍රිකෝණයේ පැති වන මහා චාප වල දිග වේ. එය ඒකක ගෝලයක් වන නිසා, a, b, සහ c යනු රේඩියන වලින් එම චාප මගින් ගෝලයේ කේන්ද්‍රයේ ඇති කෝණ වේ. A, B, සහ C එම පැතිවලට විරුද්ධ කෝණ වේවා. මේවා මහා කව තුනේ තල අතර ඇති ද්විභාණ්ඩ කෝණ වේ.

එවිට සයින් වල ගෝලාකාර නියමය මෙසේ කියයි.\frac{\sin A}{\sin a} =\frac{\sin B}{\sin b} =\frac{\sin C}{\sin c} 
දකුණ|thumb|200x200පික්

### දෛශික සාධනය 
OA, OB සහ OC යන ඒකක දෛශික තුනක් සහිත ඒකක ගෝලයක් මූලාරම්භයේ සිට ත්‍රිකෝණයේ සිරස් දක්වා ඇදී යයි. මේ අනුව α, β, සහ γ කෝණ පිළිවෙලින් a, b, සහ c වේ. චාපය BC කේන්ද්‍රයේ a කෝණයක් යටපත් කරයි. z -අක්ෂය දිගේ OA සමඟ කාටිසියානු පදනමක් හඳුන්වා දීම සහ xz -තලය තුළ OB z -අක්ෂය සමඟ c කෝණයක් සාදනු ලැබේ. දෛශික OC xy තලය තුළ ON කිරීමට ප්‍රක්ෂේපණය කරන අතර ON සහ x අක්ෂය අතර කෝණය A වේ. එබැවින්, දෛශික තුනට සංරචක ඇත:
\mathbf{OA} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{OB} = \begin{pmatrix}\sin c \\ 0 \\ \cos c\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{OC} = \begin{pmatrix}\sin b\cos A \\ \sin b\sin A \\ \cos b\end{pmatrix}.
අදිශ ත්‍රිත්ව නිෂ්පාදනය, OA ⋅ ( OB × OC ) යනු ගෝලාකාර ත්‍රිකෝණයේ OA, OB සහ OC යන ශීර්ෂවල පිහිටුම් දෛශික මගින් සාදන ලද සමාන්තර නලයේ පරිමාවයි. මෙම පරිමාව OA, OB සහ OC නියෝජනය කිරීමට භාවිතා කරන විශේෂිත ඛණ්ඩාංක පද්ධතියට වෙනස් නොවේ. අදිශ ත්‍රිත්ව නිෂ්පාදනයේ OA ⋅ ( OB × OC ) අගය OA, OB සහ OC පේළි ලෙස 3 × 3 නිර්ණායකය වේ. OA දිගේ z අක්ෂය සමඟ මෙම නිර්ණායකයේ වර්ග වේ
	\begin{align}
\bigl(\mathbf{OA} \cdot (\mathbf{OB} \times \mathbf{OC})\bigr)^2
& = \left(\det \begin{pmatrix}\mathbf{OA} & \mathbf{OB} & \mathbf{OC}\end{pmatrix}\right)^2 \\[4pt]
& =  \begin{vmatrix} 
0 & 0 & 1 \\ 	 	
\sin c & 0 & \cos c \\ 	
\sin b \cos A & \sin b \sin A & \cos b 	
\end{vmatrix} ^2
= \left(\sin b \sin c \sin A\right)^2.
\end{align}
මෙම ගණනය කිරීම OB දිගේ z අක්ෂය සමඟ නැවත නැවත කිරීමෙන් (sin c sin a sin B ) 2 ලබා දෙන අතර z - අක්ෂය සමඟ OC දිගේ එය (sin a sin b sin C ) 2 වේ. මෙම ප්‍රකාශන සම කරමින් සහ පුරා බෙදීම (sin a sin b sin c ) 2 ලබා දෙයි

\frac{\sin^2 A}{\sin^2 a}
= \frac{\sin^2 B}{\sin^2 b}
= \frac{\sin^2 C}{\sin^2 c}
= \frac{V^2}{\sin^2 (a) \sin^2 (b) \sin^2 (c)},

මෙහි V යනු ගෝලාකාර ත්‍රිකෝණයේ ශීර්ෂවල පිහිටුම් දෛශිකය මගින් සෑදෙන සමාන්තර නලයේ පරිමාවයි. එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, ප්‍රතිඵලය පහත දැක්වේ.

කුඩා ගෝලාකාර ත්‍රිකෝණ සඳහා, ගෝලයේ අරය ත්‍රිකෝණයේ පැතිවලට වඩා බෙහෙවින් වැඩි වූ විට, මෙම සූත්‍රය සීමාවේ දී තල සූත්‍රය බවට පත් වන්නේ  කෙසේ දැයි බැලීම පහසු ය.
\lim_{a \to 0} \frac{\sin a}{a} = 1
සහ sin b සහ sin c සඳහා සමාන වේ.
thumb|378x378පික්

### ජ්‍යාමිතික සාක්ෂි 
සමඟ ඒකක ගෝලයක් සලකා බලන්න:OA = OB = OC = 1ඉදිකිරීම් ලක්ෂය D සහ ලක්ෂය E එවැනි \angle ADO = \angle AEO = 90^\circ

ඉදිකිරීම් ලක්ෂය A' එවැනි \angle A'DO = \angle A'EO = 90^\circ

එබැවින් එය දැකිය හැකි ය \angle ADA' = B සහ \angle AEA' = C

එය සැලකිල්ලට ගන්න A' හි ප්‍රක්ෂේපණය වේ A ගුවන් යානයේ OBC . එබැවින් \angle AA'D = \angle AA'E = 90^\circ

මූලික ත්‍රිකෝණමිතිය අනුව, අපට ඇත්තේ:\begin{align}
  AD &= \sin c \\
  AE &= \sin b
\end{align}එහෙත් AA' = AD \sin B = AE \sin C 
\begin{align}
\sin c \sin B &= \sin b \sin C \\
\Rightarrow \frac{\sin B}{\sin b} &=\frac{\sin C}{\sin c}
\end{align}

සමාන තර්ක යෙදීමෙන්, අපි සයින් හි ගෝලාකාර නියමය ලබා ගනිමු:

\frac{\sin A}{\sin a} =\frac{\sin B}{\sin b} =\frac{\sin C}{\sin c} 

### වෙනත් සාක්ෂි 
කොසයිනවල ගෝලාකාර නියමයෙන් සම්පූර්ණයෙන්ම වීජීය සාධනයක් ගොඩනැගිය හැක. අනන්‍යතාවයෙන් \sin^2 A = 1 - \cos^2 A සහ සඳහා පැහැදිලි ප්ශනය \cos A කොසයින වල ගෝලාකාර නියමයෙන්
\begin{align}
   \sin^2\!A &= 1-\left(\frac{\cos a  - \cos b\, \cos c}{\sin b \,\sin c}\right)^2\\
   &=\frac{\left(1-\cos^2\!b\right) \left(1-\cos^2\!c\right)-\left(\cos a  - \cos b\, \cos c\right)^2}
          {\sin^2\!b \,\sin^2\!c}\\[8pt]
 \frac{\sin A}{\sin a}
 &= \frac{\left[1-\cos^2\!a-\cos^2\!b-\cos^2\!c + 2\cos a\cos b\cos c\right]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}.
\end{align}

චක්‍රීය විපර්යාසයක් යටතේ දකුණු අත වෙනස් නොවන බැවින් a,\;b,\;c ගෝලාකාර සයින් නියමය වහාම අනුගමනය කරයි.

මූලික රේඛීය වීජ ගණිතය සහ ප්‍රක්ෂේපණ න්‍යාස භාවිතා කරමින් සයින් නියමය ව්‍යුත්පන්න කිරීම සඳහා ඉහත ජ්‍යාමිතික සාධනයෙහි භාවිතා කරන ලද රූපය බැනර්ජි  (මෙම ලිපියේ 3 වන රූපය බලන්න) විසින් භාවිතා කරනු ලැබේ.

## හයිපර්බොලික් case 
\frac{\sin A}{\sinh a} = \frac{\sin B}{\sinh b} = \frac{\sin C}{\sinh c} \,.විශේෂ අවස්ථාවක B සෘජු කෝණයක් වන විට, කෙනෙකුට ලැබේ\sin C = \frac{\sinh c}{\sinh b} එය යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතියෙහි සූත්‍රයේ ප්‍රතිසමය වන අතර එය කෝණයක සයින් ප්‍රතිවිරුද්ධ පැත්ත ලෙස කර්ණය මගින් බෙදනු ලැබේ.

## නියත වක්‍රයේ මතුපිට case 
සැබෑ පරාමිතියක් මත පදනම් ව සාමාන්‍ය සයින් ශ්‍රිතයක් නිර්වචනය කරන්න K\sin_K x = x - \frac{K x^3}{3!} + \frac{K^2 x^5}{5!} - \frac{K^3 x^7}{7!} + \cdots.නිත්‍ය වක්‍ර K හි ඇති සයින් නියමය  ලෙස කියවේ.\frac{\sin A}{\sin_K a} = \frac{\sin B}{\sin_K b} = \frac{\sin C}{\sin_K c} \,.K = 0, K = 1, සහ K = −1 ආදේශ කිරීමෙන්, ඉහත විස්තර කර ඇති සයිනස් නියමයේ යුක්ලීඩීය, ගෝලාකාර සහ හයිපර්බෝලික අවස්ථා පිළිවෙලින් ලබා ගනී.

p K ( r ) මගින් නිත්‍ය වක්‍ර K හි අවකාශයක r අරය වෘත්තයක පරිධිය දැක්වීමට ඉඩ හරින්න. එවිට p K ( r ) = 2 π sin K r . එබැවින් සයින් නීතිය මෙසේ ද ප්‍රකාශ කළ හැක.\frac{\sin A}{p_K(a)} = \frac{\sin B}{p_K(b)} = \frac{\sin C}{p_K(c)} \,.මෙම සූත්‍රය János Bolyai විසින් සොයා ගන්නා ලදී. 

## ඉහළ මානයන් 
tetrahedron එකකට ත්‍රිකෝණාකාර මුහුණුවර හතරක් ඇත. සාමාන්‍ය දෛශිකවල ධ්‍රැවීය සයින් ( psin ) හි නිරපේක්ෂ අගය, tetrahedron හි ශීර්ෂයක් බෙදා ගන්නා පැති තුනට, හතරවන මුහුණතෙහි ප්‍රදේශයෙන් බෙදීම, සිරස් තේරීම මත රඳා නොපවතී: \begin{align}
& \frac{\left|\operatorname{psin}(\mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d})\right|}{\mathrm{Area}_a} =
  \frac{\left|\operatorname{psin}(\mathbf{a}, \mathbf{c}, \mathbf{d})\right|}{\mathrm{Area}_b} =
  \frac{\left|\operatorname{psin}(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{d})\right|}{\mathrm{Area}_c} =
  \frac{\left|\operatorname{psin}(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c})\right|}{\mathrm{Area}_d} \\[4pt]
= {} & \frac{(3~\mathrm{Volume}_\mathrm{tetrahedron})^2}{2~\mathrm{Area}_a \mathrm{Area}_b \mathrm{Area}_c \mathrm{Area}_d}\,.
\end{align}වඩාත් සාමාන්‍යයෙන්, n මාන යුක්ලීඩීය අවකාශයේ n -මාන සිම්ප්ලෙක්ස් (එනම්, ත්‍රිකෝණය ( n = 2 ), ටෙට්‍රාහෙඩ්‍රෝනය ( n = 3 ), පංචේන්ද්‍රිය ( n = 4 ) යනාදිය සඳහා, ධ්‍රැවීය සයින් හි නිරපේක්ෂ අගය ශීර්ෂයක දී හමු වන මුහුණුවල සාමාන්‍ය දෛශික වලින්, ශීර්ෂයට ප්‍රතිවිරුද්ධ මුහුණතෙහි අධි ප්‍රදේශයෙන් බෙදීම, සිරස් තේරීමෙන් ස්වාධීන වේ. n -dimensional simplex හි අධි පරිමාව සඳහා V ලිවීම සහ එහි (n - 1) -dimensional faces හි අධි ප්‍රදේශ වල ගුණිතය සඳහා P, පොදු අනුපාතය වේ.
\frac{\left|\operatorname{psin}(\mathbf{b}, \ldots, \mathbf{z})\right|}{\mathrm{Area}_a} = \cdots = \frac{\left|\operatorname{psin}(\mathbf{a}, \ldots, \mathbf{y})\right|}{\mathrm{Area}_z} = \frac{(nV)^{n-1}}{(n-1)! P}.

## මේකත් බලන්න 
* Gersonides
* Half-side formula for solving spherical triangles
* Law of cosines
* Law of tangents
* Law of cotangents
* Mollweide's formula for checking solutions of triangles
* Solution of triangles
* Surveying

## බාහිර සබැඳි 
*
* The Law of Sines at cut-the-knot
* Degree of Curvature
* Finding the Sine of 1 Degree
* Generalized law of sines to higher dimensions
ප්‍රවර්ගය:Pages with unreviewed translations