Taylorova formula

**Tejlorova formula**, koja je dobila ime po matematičaru Bruku Tejloru, koristi se za približno izračunavanje funkcija u okolini neke određene tačke uz pomoć Tejlorovih polinoma. 
__SADRŽAJ__
## Tejlorov polinom

Tejlorov polinom za neku funkciju f(x) i datu tačku a je definisan na sledeći način:
:
T_n (x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f*(a)}{2!}(x-a)^2 +  \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n 
= \sum_{k=0}^{n} \left (\frac{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^k \right )
</math>

Pošto se pri takvoj aproksimaciji funkcije polinomom pravi nekakva greška, deo za koji se razlikuje funkcija i polinom nazivamo [[Tejlorov ostatak|ostatkom]] <math>R_n^a (x)</math> polinoma i on iznosi:
:<math>R_n^a (x) = \frac{1}{n!} \int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt</math>

Tako se svaka funkcija može predstaviti kao zbir odgovarajućeg Tejlorovog polinoma za tačku <math>a</math> koju smo mi sami izabrali i greške koju smo napravili tom aproksimacijom:
:<math>f(x) = T_n(x) + R_n(x)</math>

== Dokaz ==
Dokaz da se svaka funkcija može predstaviti kao zbir Tejlorovog polinoma i njegovog ostatka možemo sprovesti [[matematička indukcija|indukcijom]].

[[Baza indukcije]]:
:<math>n=0</math>
:<math>f(x) = f(a) + \int_a^x 1 \cdot f'(t) dt.</math>

Da Tejlorova formula važi za <math>n=1</math> možemo dokazati putem [[parcijalna integracija|parcijalne integracije]]:
:<math>f(x) = f(a) +f'(a)\,(x-a)+\int_a^x (x-t)^1 \, f*(t) \, dt

Korak indukcije:
Uzmimo onda da za neko n - 1 važi:
:
f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{(n-1)!}(x - a)^{n-1} + 
\int_a^x \frac{f^{(n)} (t)}{(n-1)!} (x - t)^{n-1} \, dt


Dokaz:
: n-1 \rightarrow n 
:
R_{n-1}^a(x)
= \int_a^x \frac{f^{(n)} (t)}{(n-1)!} (x - t)^{n-1} \, dt
= \frac{1}{(n-1)!} \int_{a}^{x} (x-t)^{n-1} f^{(n)}(t)dt


Koristimo \frac{d}{dt} \left (\frac{(x-t)^n}{n} \right) = -(x-t)^{n-1}:

:
R_{n-1}^a(x)=-\frac{1}{(n-1)!} \int_{a}^{x} \frac{d}{dt}(\frac{(x-t)^{n}}{n}) \frac{d^{n}}{dt^{n}}f(t)dt

:
R_{n-1}^a(x)= - \int_{a}^{x} \underbrace { \frac{d}{dt}(\frac{(x-t)^{n}}{n!}) }_{u'} \underbrace{\frac{d^{n}}{dt^{n}} f(t)}_{v} dt


Parcijalnom integracijom:
:
R_{n-1}^a(x)= -\left[ \underbrace{ \frac{(x-t)^n}{n!} }_u \underbrace { \frac{d^n}{dt^n}f(t) }_v \right]^{x}_{a} + \int_{a}^{x} \underbrace{\frac{(x-t)^n}{n!}}_u \underbrace{\frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}f(t)}_{v'}dt


:
R_{n-1}^a(x)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!} {(x-a)}^n + \frac{1}{n!} \int_{a}^{x} (x-t)^n \frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}f(t)dt


:
R_{n-1}^a(x)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!} {(x-a)}^n + \int_{a}^{x} \frac{ f^{(n+1)}(t) }{n!} (x-t)^n dt


:
\Rightarrow
f(x) = T_{n-1}(x) + R_{n-1}(x) = T_n(x) + R_n(x)
,
što smo i hteli da dokažemo.

## Tejlorova formula u Lagranžovom obliku
**Tejlorova formula u Lagranžovom obliku** se dobija kada se na izraz Tejlorove formule
:
\Rightarrow
f(x) = T_{n-1}(x) + R_{n-1}(x) = T_n(x) + R_n(x)

primeni Lagranžova teorema za srednju vrednost:

:
R_n^a (x) 
 = \frac{1}{n!} \int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt
 = f^{(n+1)}(\xi) \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} dt
 = f^{(n+1)}(\xi) \frac {(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} 
, gde je  a 

## Primer
Izračunavanje nijedne trigonometrijske funkcije u opštem slučaju nije trivijalno. Međutim, za rezultate sa određenom tačnošću, Tejlorova formula daje veoma dobre rezultate koji se mogu i jako brzo izračunati.

Tako, na primer, možemo izračunati približnu vrednost sinusa u opsegu -0.5 do 0.5. Jedna od najefikasnijih mogućnosti za izračunavanje je primena Tejlorovog polinoma na tačku 0.

Za sinus znamo da važi:
:f(x) = \sin(x), f'(x) = \cos(x), f*(x) = -\sin(x)</math>

Tejlorov polinom prvog stepena stoga glasi:
:<math>n=1, a = 0</math>
:<math>\sin(x) \approx T_1(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} \cdot (x - a) = \sin(0) + \cos(0) \cdot x =  x</math>

U posmatranom intervalu, rezultati aproksimacije su prilično dobri, jer je greška:
:<math>R_1(x) = \int_0^x (x-t) f*(t) dt = \sin(x) - x najveća kod tačaka -0.5 i 0.5 i ona iznosi: 
:R_1(0.5) = -0.020574, što je sa praktične tačke gledišta sasvim prihvatljivo.

Tako možemo i praktično da opazimo da je naša približna vrednost sve gora aproksimacija što se dalje udaljavamo od tačke a.

Za bolje aproksimacije i manje greške, potrebno je samo funkciju razviti do viših stepena i tako se sve više i više približavati traženoj funkciji.

Prikazane su aproksimacije funkcije \sin(x) za razvijanje do sve viših i viših redova (do prvog reda - crvenom bojom, do trećeg reda - zelenom bojom, ...):
:

## Povezano
* Maklorenova formula
* Tejlorov red
* Tejlorov polinom

## Literatura
* Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.