Aerodinamika

**Aerodinamika** (od  – vazduh, i *δύναμις, dynamis* – sila) je nauka koja se bavi kretanjem vazduha u odnosu na čvrsta tela. Fizikalnost je pri tom potpuno identična i u suprotnom slučaju, pri kretanju čvrstih tela kroz vazduh. Prema tom primenjenom principu relativnog kretanja, analiza fenomena se izvodi analogno slučaju kada telo miruje u strujnom polju vazduha. Ova zamena referentnog stanja je usvojena u teorijskoj aerodinamici, ali je ona ujedno i osnova većine eksperimentalnih metoda, naročito aerotunelskih ispitivanja.

Teorija strujanja i fizikalnost kretanja čvrstih tela izučavaju međusobno dejstvo vazduha i tela. To dejstvo se određuje u obliku potencijala polja opstrujavanja, raspodele pritiska, sila i njihovih momenata.

Zemljina atmosfera predstavlja vazdušni omotač oko zemljine kugle. Na osnovu usvojenih definicija, taj vazdušni omotač se deli na četiri sloja. Počev od zemljine površine pa naviše, slojevi su: troposfera, stratosfera, jonosfera i eksosfera (koja predstavlja granicu s međuplanetarnim prostorom). Atmosferu karakterišu promene fizičkih veličina pritiska, temperature, vlažnosti, gustine itd. s visinom, godišnjim dobom i geografskom širinom i dužinom. Usvojene statističke srednje vrednosti fizičkih veličina su standardizovane, međunarodnim normama, u standard atmosferu. Izmerene karakteristike kretanja tela kroz vazduh, pri konkretnim atmosferskim uslovima, se prevode na uslove standard atmosfere i tako postaju referentno uporedive.
Šire gledano, kretanje tela kroz gasove i tečnost se izučava u mehanici fluida

Podela aerodinamike, kao specifične grane nauke, se vrši na više načina, s nekoliko osnova. Pojedini aerodinamički problemi se istovremeno rešavaju u više njenih grana. Primer je određivanje i korišćenje otpora vazduha. Pripada svima delovima, dobijenim pri podeli aerodinamike. Otpor se određuje analitički i eksperimentalno u svim oblastima brzina, visina i uslova leta i prisutan je u svim razmatranjima.

Način podele aerodinamike može da varira, zavisno od iskustva i stavova autora, znači nije strogo standardizovan. Prilazi autora, u načinima podele aerodinamike, međusobno su dosta slični.
## Poglavlja aerodinamike, zasnovana na uticaju brzine i visine leta
Savremene letelice: avioni, sateliti i kosmičke letelice proširile su do krajnjih granica, oblast aerodinamike. Specifičnosti, u okviru tih granica, osnova su za podelu aerodinamike.

### Klasična aerodinamika
Klasična aerodinamika izučava deo aerodinamike u kojoj se, većim delom, smatra da je vazduh idealan fluid. To podrazumeva da je vazduh potpuno bezviskozan, ali može biti stišljiv i nestišljiv. Bezviskoznost znači da nema tangencijalnog napona između čestica vazduha pri njihovom kretanju, a ni u odnosu na površinu tela, koju opstrujava. Zanemarivanje viskoznosti, u određenom opsegu brzina i visina je dopustivo i korisno, za analitičko izučavanje većine fenomena u aerodinamici. Realan vazduh je viskozan i on se, u nekim slučajevima, kao takav analitički obavezno uzima u obzir, npr. pri određivanju graničnog sloja.

Strujanje vazduha se, u osnovi, energetski definiše s jednačinama kontinuiteta i Bernulija.

Posmatrajući protok vazduha, kao idealnog fluida, u jedinici vremena kroz preseke strujne cevi (1) i (2), dobija se:

::\rho\,_1\cdot v_1\cdot A_1 = \rho\,_2\cdot v_2\cdot A_2

Ovo je jednačina kontinuiteta ili drugačije rečeno zakon o održanju mase, gde su:
*  \ v\, , brzina vazduha kroz strujnu cev 
* \ A\, , površina preseka strujne cevi
* \rho\,, gustina vazduha
* indeksi (1) i (2) se odnose na preseke strujne cevi, kroz koje se definiše protok.

Pri strujanju vazduha s malim brzinama, prenosi se slab poremećaj između njegovih čestica, gotovo bez izmene njihovog rastojanja. U takvim uslovima se smatra da je vazduh nestišljiv, pa je ρ1 = ρ2. Tada jednačina kontinuiteta dobija jednostavan oblik:

: \ v_1\cdot A_1 = \ v_2\cdot A_2\, = const.\ \longmapsto\quad \ v\cdot  A\,= const. 

Pri usvojenom pojmu nestišljivog fluida, kretanje gasova i tečnosti se razmatra na isti način i ne pravi se razlika među njima.

Primenom principa Dalambera, na posmatrani mali cilindrični elemenat fluida dužine dl i konstantne površine poprečnog preseka *dA* dobija se jednačina kretanja:

:- dp\, \ dA\, - \rho\, g\ dl\, dA \,\cos\theta\, - \rho\, dA\, \ v\, \ d \ v\, = 0 

Na osnovu skice je očigledna jednakost: dz = dl *cos *θ. Sređivanjem i integriranjem, jednačina kretanja dobija oblik: 
:: \ p + \rho\, g z + \frac {\rho\,\ v^2}{2} = const.

Delovi jednačine su:
* \ p , statički pritisak
* \rho\, g z\,, pritisak usled težine vazdušnog stuba
* \frac {\rho\,\ v^2}{2} = q , dinamički pritisak

Očigledno da je pritisak, usled težine vazdušnog stuba u posmatranom malom deliću vazduha, zanemarljivo mali. Na osnovu toga je realno usvojiti: ρ gz = 0. Tada jednačina Bernulija dobija oblik:

::\ p + \frac {\rho\,\ v^2 }{2} = const.\quad \longmapsto \quad \ p + \ q = const.

Zbir statičkog i dinamičkog pritiska u svim tačkama strujne cevi je konstantan broj. Ova jednačina se još naziva i **jednačinom o održanju energije**.

Uvođenje u razmatranje stišljivosti, termodinamičkih i drugih uticaja, usložnjava izgled jednačina kontinuiteta i Bernulija.

Klasična aerodinamika se deli prema specifičnostima uticaja brzina strujanja na stišljivost vazduha. Te oblasti su određene intenzitetom brzina strujanja, poređenim s brzinama širenja zvuka kroz vazduh. Za brzinu tela: manju od brzine zvuka, približno istu i iznad brzine zvuka. 
Brzina tela, pri kretanju kroz vazduh (isto, kao i brzina vazduha u odnosu na telo) je \ v, a brzina zvuka je \ c. Po profesoru fizike Ernestu Mahu , uveden je odnos brzine leta i brzine zvuka, kao bezdimenzioni broj. Koristi se za vezu uticaja stišljivosti vazduha na aerodinamičke veličine.

Matematička definicija broja Maha \ : \quad\ M = \frac{\ v}{\ c}\ 

#### Podzvučna (supsonična) aerodinamika
Ova oblast aerodinamike proučava vazdušno strujanje u kome u proračunima može da se zanemari uticaj stišljivosti. Iskustveno je ta granica postavljena do brzina strujanja vazduha blizu *M* = 0,8.

Pod kretanjem vazduha se podrazumeva kretanje njegovih čestica, većih od molekula. Putanja svake čestice vazduha predstavlja strujnicu. Strujnica se može vizuelno prikazati i uočiti ako se ubaci dim u vazduh koji struji u aerotunelu. Ovako definisane strujnice vazduha, opstrujavaju telo koje se kreće, u pravilnom (paralelnom) rasporedu, pri ravanskom, uniformnom strujanju. Ovo pojednostavljenje služi za elementarnu matematičku definiciju (simulaciju) strujanja. Pri tome se koriste jednačine Bernulija i kontinuiteta, u prethodnom pojednostavljenom obliku, s prihvatljivom tačnošću. Strujanje se realnije modelira ako se posmatra prostorno (u tri dimenzije), ako se ne zanemaruje vrtloženje (rotiranje čestica duž strujnice) i ako se uzima u obzir uticaj viskoznosti na formiranje graničnog sloja.
 
Sa razvojem teorijske aerodinamike, informatičkih tehnologija i numeričkih metoda sve je manje uvedenih aproksimacija u matematičku definiciju, te su i proračuni realniji. S time se verodostojnije oslikava fizikalnost strujanja.

#### Krozvučna (transsonična) aerodinamika
Ovaj deo aerodinamike izučava strujanje vazduha u prelaznom rasponu brzina od podzvučnih do nadzvučnih. Grubo je iskustveno definisan u rasponu: 0,8 sin\psi\, =  \frac{c}{v}\  ; \quad \longmapsto \quad{sin\psi\,} = \frac {1} {M}
Karakterističan je slučaj tačkastog poremećaja s brzinom, jednakom brzini zvuka \qquad( \ v\,=\ c\,), tada je:

::\ M = 1 \quad \longmapsto \quad \psi\,=90^0 .

Tada je Mahov talas u obliku normalnog udarnog talasa. Prolazak letelice kroz taj režim, laički se naziva ***probijanje zvučnog zida***, što je praćeno zvukom eksplozije, zbog trenutnog skoka pritiska.

### Hipersonična aerodinamika
Ovu oblast karakterišu velike brzine, koje odgovaraju brojevima Maha od *M*&nbsp;≥&nbsp; 6. Na ovim velikim brzinama su udarni talasi veoma intenzivni. U nekim slučajevima dolazi i do elektro-hemijskih promena u vazdušnom strujnom polju. Vazduh potpuno prestaje da se ponaša po zakonima idealnog (savršenog) gasa. U tim uslovima brzina, vazduh se mora tretirati kao realan gas. Pojavljuju se fenomeni disocijacije i jonizacije. Pogotovo su prisutne ove pojave u gornjim slojevima atmosfere (jonosfera > 80&nbsp;km), gde je vazduh već dobrim delom jonizovan. Aerodinamička istraživanja ovih fenomena se odvijaju, prvenstveno, u odgovarajućim aerotunelima. Ove instalacije postoje sa simulacijom samo velikih brzina, a i s realnijim uslovima u kojima se istovremeno simuliraju i visoke temperature, koje prate fenomene hipersonične aerodinamike. Na slici je prikazan laboratorijski hipersonični aerotunel, bez simulacije visokih temperatura. Instaliran je u VTI-u, Žarkovo.

### Aerodinamika slobodnih molekula
Na velikim visinama, apsolutni pritisak je drastično umanjen a s njime i gustina vazduha. Saglasno ovome, srednji put molekula je reda veličina tela koje se kreće kroz tu vazdušnu sredinu. U takvom kretanju se molekuli vazduha (gasa) ponašaju kao projektili koji bombarduju površinu tela. U ovakvim uslovima je klasična aerodinamika, kontinualnih sredina, nemoćna. Ovde se koriste druge metode i tehnike za proračune.

### Magneto-aerodinamika
Pri letu u jonosferi sa hipersoničnim brzinama, iza odvojenog udarnog talasa, na prednjem delu tela, postižu se temperature oko 10.000&nbsp;°C. U ovim uslovima, pregrejanog i jonizovanog vazduha jake električne provodljivosti, pojavljuje se fenomen disocijacije vazduha. Teorijske i eksperimentalne metode, u ovoj oblasti, se prepliću s tehnologijama akceleratora, plazme i plazma motora.

### Ne-Njutnova strujanja
U pitanju je strujanje viskoznog gasa. Njutnovo strujanje podrazumeva linearnu zavisnost tangecijalnog napona i gradijenta međusobne brzine čestica gasa. Taj gradijent predstavlja konstantnu viskoznost. Kod ne-Njutnovog strujanja viskoznost raste u funkciji odnosa vrednosti tangecionalnog napona i gradijenta međusobne brzine čestica gasa. Ovo strujanje se zove *visoko elastično*. Postoje i neki *plastični fluidi*, kod kojih, posle određenih vrednosti odnosa tangecionalnog napona i gradijenta brzina, viskoznost počne da opada.

## Poglavlja aerodinamike, zasnovana na primeni metoda istraživanja i razvoja
U aerodinamici se koriste analitičke i eksperimentalne metode istraživanja. One se međusobno prepliću, dopunjuju i ispomažu. Međusobna dominacija i prednost, ovih metoda, zavisi od vrste problema u istraživanju.

Ova osnova za podelu se odnosi na celu aerodinamiku, na sve njene delove.

### Analitička aerodinamika
Aerodinamika je napredovala s razvojem mehanike fluida, termodinamike, numeričkih metoda i informatičke tehnologije. Razvijene su snažne metode matematičke simulacije strujanja vazduha u svim uslovima, brzine, gustine i temperature, s pratećim fenomenima. Korišćene su metode i radovi: Njutna, Dalambera, Lagranža, Laplasa, Prantla (Prantl), Žukovskog (Žukovskog), Karman-Trefta (Karman-Treft), Navijer-Stoksa (Navijer-Stoks), Ojlera i drugih. Primer, u bližoj prošlosti konstruktori aviona su projektovali aerodinamiku krila i podešavali njegov spoljni oblik, složenim metodama *približavanja*, prvenstveno koristeći parcijalne eksperimentalne podatke. Sada se aerodinamički projekat krila radi analitički, pomoću Ojlerovih kodova i drugih efikasnih *alata*, za zadate početne uslove i stroge kriterijume optimizacije.

Ilustracija analitičkog određivanja i vizualizacije raspodele pritiska je prikazana na slici. Vrsta boje odgovara nivou pritiska, tamno plava najnižem a tamno narandžasta najvišem. Poklapanje rezultata, sa izmerenim u aerotunelu, je odlično.

U prošlosti je jedan od prvih i prioritetnijih zadataka numeriričke aerodinamike bio iznalaženje metodologije proračuna aerodinamičke sile, koja deluje na telo pri njegovom kretanju kroz vazduh. Aerodinamička sila je posledica razlike pritiska, zbog cirkulacije oko nesimetričnog tela, i uticaja viskoznosti (trenja) vazduha. Taj uticaj se može napisati kao simbolična funkcija uticajnih fizičkih veličina:
:: \ F\, = \ F\,\left (\ v,  S, \rho, \ c,  \mu\,\right) 

Gde su:
* \ S, usvojena referentna površina tela. Kod aviona se usvaja površina horizontalne projekcije krila, a kod raketa površina najvećeg poprečnog preseka trupa.
* \mu, kojeficijent dinamičke viskoznosti.

Matematičkim transformacijama i dimenzionom analizom, prethodne funkcije, dobija se jednačina oblika:
:: \ F\, = \ C_F\,\frac {\rho\, \ v^2}{2}\ S\quad\longmapsto\qquad\ F\,\  =  \ C_F\,\ q\,\ S

Saglasno, da je u jednačini Bernulija definisan dinamički pritisak, koji se u aerodinamici obeležava s q = \frac{\rho\,\ v^2}{2}.

Gde je \ C_F\,, bezdimenzioni koeficijent aerodinamičke sile. Konstantan je u oblasti brzina gde se može zanemariti uticaj stišljivosti i gde je obezbeđena sličnost slike opstrujavanja.

Uobičejeno je da se ukupna aerodinamička sila \ F\, obeležava s \ R\,,

U principu, za realan gas, što je faktički i vazduh, \ C_F\, je funkcija broja Maha zbog uticaja stišljivosti i broja Rejnoldsa zbog uticaja različitosti slike opstrujavanja, što je posledica viskoznosti vazduha.

Rejnoldsov broj je bez dimenzije. Uveden je u bezdimenzionoj analizi i transformaciji opšte jednačine za aerodinamičku silu, kao veza uticajnih veličina:

::\ R_e = {\frac{\rho\,l_a\ v}{\mu}} 

Gde je \ l_a, referentna dužina koja karakteriše veličinu tela koje se kreće kroz vazduh. Kod aviona se usvaja srednja aerodinamička tetiva a kod raketa prečnik trupa.

Aerodinamička sila deluje na nekom kraku u odnosu na težište tela i na taj način stvara moment. Rezultujući aerodinamički moment je jednak proizvodu aerodinamičke sile i njenog kraka do težišta tela. U bezdimenzionoj analizi za moment se pojavljuje sve isto kao za aerodinamičku silu, plus referentna dužina, zbog bezdimenzionisanja kraka momenta. Referentna dužina \ l_a, je već definisana u broju \ R_e.

Izraz za rezultujući aerodinamički moment je u obliku:
:: \ M_R\,= \ C_M\, \frac{\rho\,\ v^2}{2}\ S\ l_a\quad\longmapsto \quad \ M_R\,= \ C_M\, \ q\, \ S\, \ l_a\,

Aerodinamička sila, pa i aerodinamički moment, se menjaju s položajem tela u odnosu na pravac i brzinu strujanja vazduha. Pomeranjem težišta tela može se pronaći tačka, u kojoj se moment ne menja bez obzira na promenu intenziteta aerodinamičke sile. Kada telo nije simetrično, postoji moment stalnog intenziteta, u odnosu na tu tačku, nezavisno od vrednosti aerodinamičke sile, čak i pri njenom intezitetu jednakom nuli. To znači da ta tačka leži na pravcu dejstva aerodinamičke sile, a postojoći moment konstantnog intenziteta je spreg sila, posledica nesimetrične raspodele pritiska. Za slučaj simetričnog tela moment će uvek biti jednak nuli, u odnosu na tu tačku, bez obzira na intezitet aerodinamičke sile. Ta se tačka na telu, naziva aerodinamički centar. Rezultujući aerodinamički moment, u odnosu na aerodinamički centar je:

::\ M_{R_o}\, = \ C_{M_0}\,\frac{\rho\,\ v^2}{2}\ S\ l_a \quad \longmapsto \quad \ M_{R_o} = \ C_{M_0}\,\ q\ S\ l_a

Prema definiciji, da je M_R = M_{R_o} pri rezultujućoj aerodinamičkoj sili jednakoj nuli, ili pri njenom kraku jednakom nuli i na osnovu linearne zavisnosti momenta od sile, izraz za koeficijenat ukupnog aerodinamičkog momenta ima oblik za bilo koji položaj težišta, izvan aerodinamičkog centra:

::\ C_M = \ C_{M_0}+\frac{\partial{C_M}}{\partial{C_F}} {C_F}

Gde je \ \frac{\partial{C_M}}{\partial{C_F}}\,, je bezdimenzioni broj, koji predstavlja efekat kraka aerodinamičke sile u odnosu na težište tela.

### Eksperimentalna aerodinamika
Bavi se merenjem aerodinamičkih parametara i katakteristika.

#### U aerotunelima

Aerodinamički tuneli su namenske instalacije za fizičku simulaciju vazdušnog strujanja oko modela tela, na kome se vrše aerodinamička merenja. Model je verna kopija oblika i dimenzija tela u odgovarajućoj razmeri. U vazduhoplovnom žargonu se aerodinamički tuneli, skraćeno, nazivaju aerotuneli.

Model se ugrađuje u radni deo aerotunela preko mernih uređaja (aerovaga), koje registruju podatke o njegovim aerodnamičkim opterećenjima, za razne uslove opstrujavanja. Aerovage su nekada bile mehaničke (kinematske) a sada su elektronske. Prema načinu integracije s modelom, mogu biti spoljne i unutrašnje. Unutrašnje se ugrađuju u telo modela (kod aviona u trup). Prema mogućnostima merenja mogu, istovremeno, meriti više komponenata. Na primer, šestokomponentne mere sve tri sile i sva tri momenta istovremeno. Pored merenja aerodinamičkih sila, momenata i derivativa stabilnosti, u aerotunelima se meri i raspodela pritiska po dodirnoj površini modela s vazduhom a ostvaruje se i fotografiše i vizualizacija strujnog polja.

U aerotunelima se teško može ostvariti sličnost sa stvarnim uslovima kretanja tela kroz vazduh. Zato se, u slučajevima većih razlika, vrši korekcija rezultata, za različitu stišljivost, preko broja Maha, a u slučaju različite slike opstrujavanja, s brojem Rejnoldsa. Posebno je teško u aerotunelima postići Rejnoldsov broj istog reda veličina kao u stvarnim uslovima leta, na primer za avion. Praktično nepostoji radni deo aerotunela tolikih dimenzija da može prihvatiti model aviona u razmeri 1:1. To značajno umanjuje broj *R<sub>e</sub>* preko smanjenog *l<sub>a</sub>* (s razmerom), čak i za istu brzinu strujanja vazduha. Veoma je teško ostvariti veliki radni deo aerotunela (za prihvat velikih modela) s velikim brzinama strujanja vazduha. Kroz kompromis se žrtvuje jedno ili drugo, a najčešće, u nekoj meri, oboje.

U Srbiji su izgrađeni aerotuneli i u operativnoj su upotrebi u VTI-u, Žarkovo i na Mašinskom fakultetu, vazduhoplovnom odseku, u Beogradu.

#### U letu
Ispitivanja i merenja u letu se prvenstveno vrše u svrhu verifikacije ostvarenih letnih karakteristika letelice i njihovog odstupanja od taktičko-tehničkih zahteva (TTZ-a). U okviru tog procesa se posredno određuju aerodinamičke karakteristike. U toku razvoja letelice, analitički i aerotunelski se određuju aerodinamičke karakteristike s kojima se proračunavaju letne karakteristike. U letu se mere ostvarene letne karakteristike i na osnovu poznatih karakteristika pogona, mase i inercijalnih momenata letelice proračunski se određuju njene aerodinamičke karakteristike. Na ovaj način je stvorena osnova za međusobno upoređivanje i korekciju svih primenjenih metoda istraživanja i merenja u aerodinamici.

Pored verifikacionih, rade se i namenska istraživačka i razvojna ispitivanja. Na primer integracijom podvesnog tereta, preko aerovage, mogu se u letu meriti aerodinamički parametri. Na tome principu, može veća, nositi manju letelicu ili njen model radi merenja aerodinamičkih karakteristika u uslovima stvarnog leta. Poslednjih dvadesetak godina su korišćeni serijski avioni kao leteće laboratorije, u svrhu ispitivanja pojedinih segmenata novih tehnologija. Na te serijske avione, ugrađivane su npr. električne komande leta (*FLY-BY-WIRE*) i istraživani su svi aspekti, posebno stabilnost i upravljivost, za primenu u narednim, novim projektima.

Ispitivanja, istraživanja i merenja u letu se vrše u Srbiji u Vazduhoplovnoopitnom centru.

## Primenjena aerodinamika u projektovanju letelica

Ova podela se odnosi na grupe srodnih zadataka u projektima letelica, prvenstveno aviona.

Za analizu opstrujavanja i za određivanje aerodinamičkih sila i raspodele pritiska telo se tretira kao bezmaterijalno sa striktnim oblikom i geometrijom *okvašene* površine. Za određivanje aerodinamičkog momenta isto to, s tim što se odredi tačka u odnosu na koju se moment odnosi. Pri proračunu performansi i evolucija, letelica se zamenjuje s materijalnom tačkom. Za kovit se, u proračunu, koriste i momenti inercije letelice. Pri analizi i sintezi dinamičke stabilnosti, letelica se tretira kao realno telo, sa svojom geometrijom, masom i momentima inercije.

### Opšta aerodinamika

Opšta aerodinamika se bavi definicijom aerodinamičkih karakteristika, koeficijenata aerodinamičkih sila i momenata letelica, poznatog oblika i geometrije. U okviru ove grupe zadataka, prvenstveno se podešava oblik i geometrija letelica u cilju poboljšanja opstrujavanja i postizanja njenih boljih aerodinamičkih karakteristika.

Za rešavanje konkretnih zadataka, u okviru projektovanja letelica, nije interes određivanje ukupne aerodinamičke sile i momenta, već njihovih komponenata.
Uzgon Rz je komponenta ukupne aerodinamičke sile, normalna na pravac brzine kretanja. Otpor Rx je komponenta u pravcu kretanja. Komponenta ukupnog aerodinamičkog momenta, koja deluje oko bočne ose, normalne na pravac brzine i na pravac uzgona, naziva se moment propinjanja My. Saglasno definiciji ukupne aerodinamičke sile i momenta, njihove komponente se mogu napisati u obliku:

::R_z = C_z q S \qquad R_x = C_x q S \qquad M_y = C_m q S l 

Koeficijenti komponenata aerodinamičke sile i momenta, u opštem slučaju, su funkcije od napadnog ugla *α*, oblika tela i brojeva Maha ( *M* ) i Rejoldsa ( *R<sub>e</sub>* ) :
::C_x,\ C_z,\ C_m  = f \big( \alpha\,,\mbox {oblik tela,}\ R_e,\ M \big) 

 
Uzgon letelice je korisna komponenta aerodinamičke sile. Otpor je neželjena nepovoljnost. Uprošćeno rečeno, zadatak se svodi na minimizaciju otpora pri postizanju potrebnog uzgona. Uzgon se ostvaruje s uzgonskim površinama (krilima), koje se ugrađuju na letelicu za tu funciju. Presekom krila s ravni, paralelnom s ravni simetrije letelice, dobija se aeroprofil. Izborom konture aeroprofila i oblika krila utiče se na veličinu i međusobni odnos uzgona i otpora istog, za različite uslove opstrujavanja. Pri tome procesu optimizacije, pored numeričkih metoda, koriste se i eksperimentalni podaci i eksperimentalna provera ostvarenih rešenja. Eksperimentalni aerodinamički podaci se najčešće odnose za niži red veličina broja Rejnoldsa, u odnosu na realne uslove leta. Ređi je to slučaj s Mahovim brojem. Po potrebi se vrši popravka podataka, s brojevima Re i M. 
Uzgon je u linearnoj zavisnosti od napadnog ugla, sve do blizu \,\alpha_{kr}. Na napadnim uglovima, blizu kritičnog, opstrujavanje nije oko celog tela (aeroprofila), regularno. U tim uslovima vazdušne strujnice ne mogu striktno pratiti konturu aeroprila i odvajaju (odcepljuju) se. Tada prestaje linearna zavisnost uzgona od napadnog ugla i pri daljem povećanju istog prirast uzgona slabi. Naglo uzgon pada na kritičnom napadnom uglu (kao na prikazanom dijagramu). Letelica se ne sme dovesti u taj režim, osim u namerno *prevučenom* letu. Najveća postignuta vrednost uzgona je R_{z \  max}, odnosno njegov koeficijent  C_{z \  max} se postiže na kritičnom napadnom uglu \,\alpha_{kr}. Za isti oblik tela pri kretanju kroz vazduh, manji je  C_{z \  max} pri manjim brojevima Re. Zato se eksperimentalni podatak za uzgon, iz aerotunela, obično izmeren pri manjem Re, koriguje formulom:

:: C_\bigg)}^a

Gde su indeksi 1 u letu a 2 u aerotunelu.

Eksponent \ a  se analitički određuje, na osnovu rezultata nekoliko merenja uzgona na različitim brojevima *R<sub>e</sub>*.

Otpor se koriguje s brojem *R<sub>e</sub>* zbog različitog uticaja viskoznosti (trenja), translacijom cele krive preko izmene njegove minimalne vrednosti. Kao primer, za uzgonske površine se koristi korekcija:

:: C_\bigg)}^{0,11}

Kvalitetna procena otpora tela (letelice) je osnovni preduslov za proračun performansi leta. Zbog toga se uzimaju u procenu i proračun svi uticajni činioci, odnosno doprinosi.
* Otpor oblika, ne bi postojao da je vazduh stvarno neviskozan i nestišljiv. Tada ne bi postojala razlika pritiska ispred i iza tela. Ovo ujedno govori i o ograničenjima primene principa Dalambera.
* Površinsko trenje, je doprinos usled viskoznosti vazduha i stvaranja trenja između čestica u graničnom sloju, gde se čestice usporavaju intezivnije što su bliže površini tela.
* Otpor aeroprofila, je zbir dva prethodna doprinosa za dvodimenzionalno strujanje.
* Indukovani otpor je doprinos uticaja trodimenzionalnog opstrujavanja, usled konačnog razmaha krila letelice. Usled razlike pritiska iznad i ispod krila, bočno se preliva vazduh s donje na gornju stranu, stvarajući slobodne vrtloge ( vidi se na slici desno). Pojavljuje se samo pri uzgonu krila i upravnom je proporcionalan njegovom intezitetu. Kada se doda ovaj uticaj na prethodni otpor aeroprofila, dobija se zbirni otpor krila, koji sadrži uticaj oblika, doprinos površinskog trenja i indukovanog otpora.
* Parazitni otpor, je onaj koji nije posledica stvaranja uzgona. To su otpor trupa, otpor raznih gondola itd.
* Otpor interferencije, je doprinos međusobnog uticaja blizine aerodinamičkih tela.
* Talasni otpor, je posledica pojave udarnih talasa.
* Otpor usled hlađenja motora, se pojavljuje zbog gubitka energije vazdušnih strujnica pri prolasku kroz hladnjake i druga mesta odvođenja toplote.

Otpor se menja, s promenom napadnog ugla, po približno paraboličnoj funkciji. U blizini kritičnog napadnog ugla brže raste, a posle njega drastično. To je posebno slikovito, ako se prikaže međusobna zavisnost uzgona i otpora. Ta međusobna zavisnost uzgona i otpora, grafički i analitički prikazana, se naziva polara. Ona je od ključnog značaja za aerodinamičko projektovanje letelica, posebno za određivanje performansi. Svaka tačka na polari se odnosi na određeni režim leta, s određenim napadnim uglom. Moguća je približna analitička definicija polare, s primenom načelnog, početnog prilaza:

::C_X = f\big( {C_z}^2 \big)

U proračunima, u završnim fazama razvoja projekta, koristi se realnija, takozvana ravnotežna polara. U ravnotežnoj polari je pridodat i prirast otpora usled otklonjenih komandnih površina za uravnotežavanje letelice, za dotični režim leta.

### Mehanika leta
Ovo poglavlje se odnosi na svu praktičnu problematiku iz aerodinamike, vezanu za letne karakeristike, u procesu razvoja aviona. Načelno, ovo poglavlje obuhvata performanse, manevarski let, prevučeni let, stabilnost i upravljivost. U ovom članku su enciklopedijski dati samo pojedini primeri polaznih postavki proračuna u okviru te problematike.

#### Performanse
 
* Stacionarni režim leta 
*# Minimalna i maksimalna brzina horizontalnog leta 
*# Performanse penjanja 
* Specijalne performanse
*# Poletanje 
*# Sletanje 
*# Dolet i trajanje leta
* Performanse u manevarskom letu
*# Planiranje
*# Obrušavanje
*# Zaokret
*#* Stacinarni 
*#* Nestacinarni
*# Evolucije
*#* Naglo penjanje
*#* Petlja 
*#* Imelman
*#* Borbeni zaokret
*#* Prevrtanje
*#* Valjak

Stacionarni horizontalni i let u penjanju, podrazumeva ravnotežu svih sila koje deluju na avion pri konstantnoj brzini.

U horizontalnom letu:

::\ T \cos{\alpha_T} - R_x = 0

::\ R_z + T\sin \alpha_T - mg = 0

:Gde je:
* \ T, potisak motora
* \alpha\,_T, ugao između pravca potiska motora i vektora bezine leta
* \ m, masa aviona
* \ g, zemljino ubrzanje

Transformacijom se, iz prethodnih jednačina, dobija potrebna brzina za održanje horizontalnog leta, na zadanom napadnom uglu:

::\ V = \sqrt\frac{2(m g-T \sin\alpha_T)} {\rho S C_z}

U slučaju zanemarivanja ugla između pravca potiska i brzine leta, izraz za brzinu se pojednostavljuje:

:\ V = \sqrt\frac{2 m g}{\rho S C_z} \quad \longmapsto \quad \ V_{min} = \sqrt\frac{2 m g}{\rho\, S C_{z_{max}}}

Režim minimalne brzine odgovara uslovima leta u prvoj presečnoj tački dijagrama potrebne i raspoložive snage.

U penjanju:

::\ T - R_x - mg \sin\theta = 0

::\ R_z - mg \cos\theta = 0

Gde je \theta\,, ugao između horizontale i pravca putanje leta.

U uslovima stacionarnog penjanja, nagib putanje je u relaciji \theta\,\le 15^o , pri čemu se može smatrati \qquad\cos \theta\approx 1. Na osnovu ovoga se dobija, iz druge jednačine, isti izraz za brzinu na putanji kao u horizontalnom letu.
Množenjem prve jednačine sa brzinom \ V, dobija se izraz za vertikalnu brzinu penjanja:

:\ w = \frac {P_r - P_p}{mg}\ \longmapsto \quad \ w_{max} = \frac{\Delta\, P_{max}}{mg}

Gde je:
* \,\ w, vertikalna brzina penjanja
* \ P_r, raspoloživa snaga
* \ P_p, potrebna snaga

Maksimalna brzina se određuje iz uslova određivanja režima stacionarnog horizontalnog leta \left (\ w = 0 \right), u kome se poklapa potrebna i raspoloživa maksimalna snaga. Taj režim leta je u drugoj presečnoj tački, na dijagramu potrebna i raspoloživa snaga.
Ovo su primeri polaznih postavki proračuna jednostavnijih performansi, sa prihvatljivim uprošćenjima. Sličan prilaz je i za proračun ostalih.

Bez obzira što je, u prošlosti, proračun performansi aviona na ovaj način davao zadovoljavajuće rezultate, sada postoji velika količina napravljenog softvera za preciznije njihovo određivanje, bez aproksimacija.

#### Prevučeni let

Let aviona s napadnim uglom, \qquad\alpha\,\ge\,\alpha\,_{kr}\qquad, naziva se **prevučeni let.** Već je rečeno da se minimalna brzina, u stacionarnom horizontalnom letu, postiže pri C_{z_{max}}. Daljim povećanjem napadnog ugla, uzgon naglo pada, s čime prestaje i regularni let. Tada avion pada u kovit. Na levom i desnom krilu, najčešće, nesimetrično se gubi uzgon. Ta asimetrija izaziva rotaciju aviona oko sve tri ose.

#### Stabilnost i upravljivost

Ravan simetrije deli avion na dva, preslikana, dela (levi i desni). Simetrični let aviona je bez bočnog nagiba i bez klizanja. Tada se vektor brzine leta poklapa s ravni simetrije aviona. U takvom simetričnom kretanju je simetrična i raspodela pritiska, na levoj i desnoj strani aviona. Na osnovu toga, aerodinamičke sile i moment deluju u ravni simetrije aviona. Ovo je tako zvano uzdužno kretanje aviona. U problematici stabilnosti se razmatra izdvojeno, pošto ne izaziva pojavu bočne sile i momente valjanja i skretanja. Stabilnost u uzdužnom kretanju se naziva uzdužna stabilnost.

Valjanje i skretanje aviona su u međusobnoj zavisnosti („kupluju“ se). U tome kretanju se razmatra poprečno-smerna stabilnost. Pri tome kretanju vektor brzine nije u ravni simetije aviona, s njom zaklapa ugao klizanja \beta\,. Ugao *β* izaziva pojavu bočne sile *R<sub>y</sub>*, moment valjanja *M<sub>x</sub>* i moment skretanja *M<sub>z</sub>*, kao što napadni ugao izaziva silu uzgona *R<sub>z</sub>*, silu otpora *R<sub>x</sub>* i moment propinjanja *M<sub>y</sub>*.

Za razjašnjenje problematike stabilnosti svakog tela, pa i aviona, potrebno je objasniti pojam poremećaja. To je prinuda, koja avion izvodi iz ravnotežnog stanja. Ta prinuda može biti usled upravljanja avionom, od strane pilota, usled odbacivanja tereta, udara vetra itd.

##### Statička stabilnost

Statička stabilnost izučava ravnotežu sila i momenata, koji deluju na avion, pre i posle poremećaja stanja mirovanja. Pri tome se ne uzimaju u obzir sile i momenti u funkciji vremena. Statički je stabilan avion, kada ga prirast aerodinamičkih sila i momenata, izazvan s poremećajem, vraća u prethodni položaj. Statički je nestabilan avion kada ga priraštaj aerodinamičkih sila i momenata, izazvan poremećajem, udaljava od početnog stanja. Statički je neutralan avion kod koga poremećaj ne izaziva nikakve priraštaje aerodinamičkih momenata.

Na osnovu teorije linearnosti, u domenu malih poremećaja, mogu se odvojeno razmatrati uzdužna i poprečno-smerna statička stabilnost. Prilazi su slični, zasnivaju se na uslovu ravnoteže aerodinamičkih sila i momenata.

Uzdužna statička stabilnost se rešava s polaznom postavkom ravnoteže aerodinamičkog momenta propinjanja aviona, dobijenog zbrajanjem pojedinačnih doprinosa delova aviona.

::\sum M_y = 0 \quad \longmapsto \quad \sum M_y = M_{cg} \quad \longmapsto \quad M_{cg} = 0 

Uzdužna ravnoteža aviona, odgovara presečnoj tački između linearne funkcije C_m = f\left(C_z \right) i apcise (pogledajte dijagram).

::\ M_{cg} = \ M_{KR.} + \ M_{HR.} + \ M_{KR.HR.}\ M_{TR.} + \ M_{PG.} + \ M_{INT.}

Gde su skraćenice:
* cg, tačka kojoj odgovara položaj težišta. U odnosu na tu tačku je određen moment propinjanja.
* {KR.}, krilo 
* {HR.}, horizontalni rep
* {c}, **canard** (stabilizirajuća horizontalna površina ispred krila)
* {KR.HR.}, krmilo horizontalnog repa
* {TR.}, trup
* {PG.}, pogonska grupa
* {INT.}, interferencija, odnosno međuuticaj delova aviona

Sasvim je dovoljno, za ilustraciju, prikazati kao primer, samo princip određivanja statičke stabilnosti s najjednostavnijim modelom doprinosa od uzgona krila i horizontalnog, repa na uzdužnu ravnotežu aviona.

:M_c.g. = M_{KR.} + M_{HR.} + M_{KR.HR.}\ \longmapsto \quad C_{m {c.g.}} = C_z \left(\frac{\, x_{c.g.} -\, x_{a.c.}}{l_a}\right) + C_{z_{HR.}}\bar{V} + C_{m_{\delta\,}}\delta\,_h

Gde je:
* \ x_a\ = \, x_{c.g.} -\, x_{a.c.} , apsolutna udaljenost između težišta aviona do aerodinamičkog centra krila. Delenjem ove veličine s *l<sub>a</sub>* dobija se bezdimenziono relativno rastojanje, pripremljeno za korišćenje u bezdimenzionoj jednačini uzdužne ravnoteže.
* \ L_a, apsolutna udaljenost između težišta aviona i aerodinamičkog centra horizontalnog repa
* \bar{V} = \frac{S_{H.R.}}{S}\frac{L_a}{l_a}, volumen horizontalnog repa
* C_{m_{\,\delta\,_h}} = \frac{\partial{C_m}}{\partial{\delta\,_h}}, efikasnost krmila horizontalnog repa, konstantan je broj, za konkretnu geometriju.
* \ \delta_h, otklon krmila horizontalnog repa
* \ C_{m c.g}., je koeficijent momenta propinjanja aviona, usvojeno je jednostavnije, *C<sub>m</sub>*

Gradijent linearne funkcije *C<sub>m</sub> = f(C<sub>z</sub>)* se može odrediti iz jednačine ravnoteže aviona, što znači, gradijent u presečnoj tački dotične funkcije s apcisom.

:\frac{\partial{C_m}}{\partial{C_z}} = \frac{\ x_{c.g.}}{\ l_a} - \frac{x_{a.c}}{\ l_a} + \frac{\ a_H}{\ a}\,\bar{V}\ \longmapsto \quad \frac{\partial{C_m}}{\partial{C_z}} = 0 \ \longmapsto \quad {\left(\frac{\ x_{c.g.}}{\ l_a}\right)}_{NEU.} = \frac{x_{a.c}}{\ l_a} - \frac{\ a_H}{\ a}\,\bar{V}
Gde su: 
* \ a_H = \left(\frac{\partial{C_z}}{\partial{\alpha\,}}\right)_{HR.}, gradijent uzgona horizontalnog repa
* a = \frac{\partial{C_z}}{\partial{\alpha\,}}, gradijent uzgona krila

Položaj težišta, u kojoj je statička uzdužna stabilnost neutralna, naziva se **neutralna tačka.** Neutralna tačka \,{\left(\frac {x_{c.g.}}{l_a}\right)}_{NEU}\, se obeležava s *N<sub>0</sub>*. Po svojoj definiciji, faktički predstavlja aerodinamički centar ukupnog aviona. Zamenom prikazanih, veza dobija se pogodan izraz za gradijent momenta propinjanja s promenom uzgona aviona.

::\frac{\partial{C_m}}{\partial{C_z}} = \frac{\ x_{c.g.}}{\ l_a} - \ N_0

Ovo relativno rastojanje između zamišljenog položaja težišta u neutralnoj tački (*N<sub>0</sub>*), kome odgovara neutralna stabilnost, i stvarnog položaja težišta aviona \frac{\ x_{c.g.}}{\ l_a}, naziva se **rezerva stabilnosti.**

Za statički stabilne avione je uvek težište ispred neutralne tačke, odnosno, tada je \frac{\partial{C_m}}{\partial{C_z}} negativnog predznaka. Kod ranijih, klasičnih lovačkih i akrobatskih aviona, rezerva stabilnosti se kretala u domenu:
::\,\frac{\ x_{c.g.}}{\ l_a} - \ N_0 \approx - 0,03.

Krmilo horizontalnog leta služi za uzdužno upravljanje avionom. Njegovim otklanjanjem se ostvaruje potreban doprinos momenta, za uravnoteženje aviona pri letu na izabranom uzgonu, odnosno s izabranom brzinom.

:\frac{\partial{C_m}}{\partial{C_z}}\ C_z + \frac{\partial{C_m}}{\partial{\delta\,_h}}\,\delta\,_h = 0 \quad \longmapsto \quad \delta\,_h =\,-\, \frac{\partial{\delta\,_h}}{\partial{C_z}}{C_z}\quad \longmapsto \quad {\delta\,}_h =\,-\,\frac{C_z}{C_{z_\delta\,_h}\,} ili u drugom obliku

:\left(\frac{\ x_{c.g.}}{\ l_a} - \ N_0\right)\ C_z + C_{m_\delta\,_h}\,\delta\,_h= 0\quad \longmapsto \quad\delta\,_h\,=\, \left(\frac{\ x_{c.g.}}{\ l_a} - \ N_0\right)\ \frac{C_z}{C_{m_\delta\,_h}}

Efikasnost krmila C_{m_\delta\,_h}, za ostvarenje momenta propinjanja, potrebnog za uravnoteženje aviona na režimu leta s željenom brzinom, može se odrediti analitički i eksperimentalno u aerotunelu. Merenjem, u aerotunelu, funkcije koeficijenta momenta propinjanja od koeficijenta uzgona, za varirane otklone krmila, dobija se familija linija (funkcija), kao na prikazanoj ilustraciji. Presečna tačka svake linije *C<sub>m</sub> = f(C<sub>z</sub>)* s ordinatom, predstavlja *C<sub>m</sub>*, koji odgovara zadanom otklonu *δ<sub>h</sub>*. To su dovoljni podaci za određivanje \,C_{m_\delta\,_h}\,, kao konstante za zadatu geometriju. Na isti način se određuje i koeficijenat trimovanja \,C_{z_\delta\,_h}\,, s tim što se pri tome očitavaju presečne tačke sa apcisom.

Pri razvoju aviona je posebno važno odrediti potrebne otklone u poletanju, sletanju i u ekstremnom manevru.

Horizontalni rep, pri uravnoteženju aviona, smanjuje ukupni uzgon i povećava otpor, što se nepovoljno odražava na performanse. Ta nepovoljnost, posebno dolazi do izražaja pri nadzvučnom letu. Pri nadzvunom strujanju se neutralna tačka *N<sub>0</sub>* drastično pomera unazad, čak za *0,2 l<sub>a</sub>*, za toliko se povećava i rezerva stabilnosti. Posledica toga je i odgovarajući ravnotežni otklon krmila visine, što znači i prirast otpora. Savremenim prilazima projektovanja se to prevazilazi s uvođenjem neutralne i negativne statičke uzdužne stabilnosti. Stabilnost se obezbeđuje uređajima za stabilizaciju. Konfiguracija sa stabilizirajućom površinom ispred krila (sistem *canard*), kao na Novom avionu, je povoljnija. Principijelan uticaj uravnotežavajućeg uzgona horizontalnog repa i canard-a, na ukupni uzgon aviona, prikazan je na slici.

##### Dinamička stabilnost

Dinamička stabilnost izučava ravnotežu svih sila i momenata, nezavisnih i zavisnih od vremena, posle poremećaja trenutnog položaja aviona. Dinamički je stabilan avion ako se dovoljno brzo, posle poremećaja, vrati i smiri u svoj prvobitni položaj. Brzina tog prelaznog procesa je definisana vazduhoplovnim normama, prema kategorijama aviona. Ranije, klasične konfiguracije borbenih aviona, nisu bile problematične za ispunjenje potrebnih uslova i propisa stabilnosti i upravljivosti. Savremeniji avioni, pri letu s krozvučnim i nadzvučnim brzinama značajno menjaju svoje aerodinamičke karakteristike, za račun postizanja većih brzina i nošenja većeg promenljivog tereta su potpuno izmenili konfiguraciju, s nepovoljnim uticajem na stabilnost i upravljivost. Posebno je nepovoljan uticaj stišljivosti vazduha, na većim brzinama, na stabilnost aviona. Razvojem paralelnih naučnih grana automatskog upravljanja, elektronike, računarske tehnologije i tehnika merenja zahtevi se mogu, u potpunosti, ispuniti za sve konfiguracije. Nepovoljni uticaj povećanja brzina i novih koncepcija aviona na aerodinamički i inercioni doprinos na dinamičku stabilnost se umanjuje prigušivačima, autopilotima i drugim uskladnicima, prema želji projektanta. Uvođenjem električnih komandi leta (FLY-BY-WIRE), stvoreni su uslovi za neograničene mogućnosti oblikovanja odgovora aviona na poremećaj.

Polazna osnova za dinamičku stabilnost je uslov ravnoteže za svih šest stepeni slobode kretanja aviona. Pod pretpostavkom vrlo malih pomeranja, odnosno malih poremećaja u odnosu na ravnotežni uslov leta, ugaone brzine *p* (oko *x* ose), *q* (oko *y* ose) i *r* (oko *z* ose) usled poremećaja su male, te se njihovi međusobni proizvodi mogu zanemariti.

::\sum{F_x} = m\left(\dot{u} + w\ q\right)\quad\qquad\ \ \sum{L} = \dot{p}\ I_x - \dot{r}I_{xz}

::\sum{F_y} = m\left(\dot{v} + u\ r - w\ p\right)\quad\sum{M} = \dot{q}\ I_y

::\sum{F_z} = m\left(\dot{w} - u\ q\right)\quad\qquad\ \ \sum{N} = \dot{r}\ I_z - \dot{p}I_{xz}

Leve strane jednačina su spoljne sile i spoljni momenti a desne su sile inercije i momenti usled inercije.

Pokretni koordinatni sistem se može vezati za avion na dva načina. Jedan je kada su njegove ose ujedno i ose tela, tako što se *x* poklapa sa uzdužnom osom trupa. Drugi je kada se *x* osa poklapa sa vektorom brzine \mathbf{v} . U njemu se ose *x* i *z* neznatno zakreću u odnosu na avion, u toku njegovog leta, s promenom napadnog ugla. Koordinatni sistem leta je praktičan, pošto je u njemu \ u = \mathbf{v} i komponenta brzine *w = 0*, gde je *γ = θ - α*, što je vidljivo iz ilustracije na slici. U koordinatnom sistemu leta se prethodne jednačine ravnoteže uprošćavaju:

::\sum{F_x} = m\dot{\mathbf{v}}\ \qquad\qquad\qquad \ \sum{L} = \dot{p}\ I_x - \dot{r}I_{xz}

::\sum{F_y} = m\left(\dot{v} + \mathbf{v}\ r\ \right)\quad\qquad\sum{M} = \dot{q}\ I_y

::\sum{F_z} =\ -\ m\ \mathbf{v}\ \dot{\gamma}\qquad\qquad\ \sum{N} = \dot{r}\ I_z - \dot{p}I_{xz}

U domenu linearne teorije, odnosno malih poremećaja, nema posledičnog prirasta spoljnih sila i momenta u ravni simetrije, od poremećaja s malom uzdužnom rotacijom (valjanjem) i bočnom translacijom aviona, kao i obrnuto. Na osnovu toga se kretanje aviona, sa šest stepeni slobode, može deliti na dva odvojena oblika. Uzdužno u pravcu *x* i *z*, s rotacijom oko *y* ose i poprečno-smerno u pravcu *y*, s rotacijom oko *x* i *z* osa.

Uzdužno kretanje, s držanom palicom (krmilo hor. repa se pomera sa servopokretačem nepovratnog dejstva), određuju jednačine:

::\sum{F_x} = m\dot{\mathbf{v}}\ \qquad\qquad \sum{F_z} =\ -\ m\ \mathbf{v}\dot{\gamma} \qquad\qquad\sum{M} = \dot{q}\ I_y

Prethodni sistem diferencijalnih jednačina sadrži tri promenljive: \mathbf{v},\ \alpha\,\ \gamma. Priraštaj sila i momenata, posle poremećaja, se može izraziti Tejlorovim redom s navedenim promenljivim veličinama. Pri tome se, u uslovima malih poremećaja, članovi višeg reda zanemaruju, a parcijalni izvodi prvog reda se smatraju da su linearni.

::\frac{\partial{F_x}}{\partial{\mathbf{v}}}\ \Delta\, \mathbf{v} + \frac{\partial{F_x}}{\partial{\alpha\,}}\ \Delta\, \alpha\, + \frac{\partial{F_x}}{\partial{\theta\,}}\ \Delta\, \theta\, = m\ \dot{\mathbf{v}}

::\frac{\partial{F_z}}{\partial{\mathbf{v}}}\ \Delta\, \mathbf{v} + \frac{\partial{F_z}}{\partial{\alpha\,}}\ \Delta\, \alpha\, + \frac{\partial{F_z}}{\partial{\theta\,}}\ \Delta\, \theta\, = m\ \mathbf{v}\left(\dot{\theta\,} - \dot{\alpha\,}\right)

::\frac{\partial{M}}{\partial{\mathbf{v}}}\ \Delta\, \mathbf{v} + \frac{\partial{M}}{\partial{\alpha\,}}\ \Delta\, \alpha\, + \frac{\partial{M}}{\partial{\dot{\theta\,}}}\ \dot{\theta\,} + \frac{\partial{M}}{\partial{\dot{\alpha\,}}}\ \dot{\alpha\,} = m\ {k_y}^2\ \ddot\theta\,

Bezdimenzionisanjem i matematičkim transformacijama dolazi se do karakteristične jednačine četvrtog stepena.

::::: A {\lambda\,}^4 + B {\lambda\,}^3 + C {\lambda\,}^2 + D {\lambda\,} + E = 0

Gde su:
* \ k_y, poluprečnik inercije aviona, oko *y* ose
* \tau\, = \frac{m}{\rho\,\ s\ \mathbf{v}}, parametar za bezdimenzionisanje vremena
* \ h = \frac{2{k_y}^2\rho\,}{ms{l_a}^3}, bezdimenzioni parametar
* \frac{t}{\tau}, bezdimenziono vreme
* \ \lambda, kompleksna ili realna konstana, za promenljive, u relaciji :\quad\mathbf{v} = \mathbf{v_1}e^{\lambda\,\frac{t}{\tau}};\ \alpha\, = \mathbf{\alpha\,_1}e^{\lambda\,\frac{t}{\tau}};\ \theta\, = \mathbf{\theta\,_1}e^{\lambda\,\frac{t}{\tau}} 
* \mathbf{v_1};\ \alpha\,_1;\ \theta\,_1, su konstante, početne vrednosti, promenljivih u trenutku poremećaja \left(\frac{t}{\tau} = 0\right) 
* \ A = 1;\ \ B = \frac{1}{2}C_{z_\alpha\,} + C_x - \frac{1}{h}\ C_{m_d \theta\,} - \frac{1}{h}\ C_{m_d \alpha\,}; 

:C = \frac{1}{2} C_x C_{z_\alpha\,} + \frac{1}{2} {C_z}^2 - \frac{1}{2h} C_{z_\alpha\,} C_{m_{d \theta\,}} - \frac{1}{h} C_x C_{m_{d \theta\,}} - \frac{1}{2} C_z C_{x_\alpha\,} - \frac{1}{h}\ C_{m_\alpha\,} - \frac{1}{h}\ C_{m_d \alpha\,} C_x; ,

:D = \frac{1}{2h} C_{x_\alpha\,}  C_z C_{m_{d \theta\,}}  - \frac{1}{2h} C_x C_{z_\alpha\,} C_{m_{d \theta\,}} - \frac{1}{2h} {C_z}^2 \left(C_{m_{d \theta\,}}+ C_{m_{d \alpha\,}}\right) - \frac{1}{h}\ C_{m_\alpha\,} C_x;\ \ E = \frac{1}{2h}{C_z}^2\ C_{m_\alpha\,} . Ovo su nezavisni članovi karakteristične jednačine. Oni definišu dinamiku aviona.
  
* C_{z_\alpha\,}; C_{x_\alpha\,}; C_{m_\alpha\,}; C_{m_d \alpha\,}; C_{m_{d \theta\,}}, su izvodi aerodinamičkih karakteristika, po promenljivima i po brzinima promenljivih, u uzdužnom kretanju. Nazivaju se derivativi stabilnosti, konstantni su pod istim uslovima kao i osnovni aerodinamički koeficijenti.

Rešenje karakteristične jednačine se, za avione, najčešće svodi na dva komleksna para. Jedan dugoperiodični a drugi kratkoperiodični. Dugoperiodično kretanje se naziva **fugoidno**. Njega pilot lako koriguje, te nije nikada problematično. **Kratkoperiodično** je problematično ako nema dovoljno prigušenje. Pored toga što opterećuje pilota i strukturu, smanjuje i borbene mogućnosti aviona. Posebno je neprijatno pri letu aviona, s takvim karakteristikama odgovora, kroz „uzburkanu atmosferu“. Mešanje pilota može biti rizično, pošto može, svojim kašnjenjem s reakcijom, nenamerno produbljavati oscilacije i dovesti avion u kritičnu opasnost.

Poprečno-smerno kretanje, s držanom palicom i pedalama (krmilo pravca i krilca se pomeraju sa servopokretačima nepovratnog dejstva), određuju preostale tri jednačine:

:\sum{F_y} = m\left(\dot{v} + u\ r\ \right) \quad\qquad\sum{N} = \dot{r}\ I_z - \dot{p}I_{xz}

:\sum{L} = \dot{p}\ I_x - \dot{r}I_{xz}

Razvojem prethodnih jednačina s promenljivim *β*, *Ψ* i *Φ*, dobija se slična karakteristična jednačina četvrtog stepena. Njeno rešenje je slično kao za uzdužno kretanje. Bočne oscilacije, kratkog perioda, mogu u nekim slučajevima biti nepovoljne zbog slabog prigušenja. Ove spregnute oscilacije, kratkog perioda, se nazivaju ''Dutch roll''.

To je kratko periodično spregnuto (kuplovano) oscilovanje oko Z i X osa, kao na slici desno.

Odgovor aviona zavisi, pored njegovih dinamičkih karakteristika, od vrste i oblika poremećaja. Pri usklađenju odgovora aviona, u procesu optimizacije, se metodama analize i sinteze uzimaju u obzir svi uticajni faktori. U zatvoreno kolo dinamike se uključuju karakteristike pilota (čoveka), komandi leta (sa svim uskladnicima), servopokretača i aviona. Dinamika zatvorenog kola ukupnog sistema se detaljno analizira na sve tipične oblike poremećaja i usklađuje se, sve dok se ne dobiju željeni odgovori u okviru normi i propisa.

## Povezano

* Aerostatika
* Hidrodinamika
* Termodinamika
* Mehanika fluida
* Mahov broj
* Rejnoldsov broj
* Frudov broj
* Aerotuneli
* Performanse letelica
* Stabilnost i upravljivost letelica
## Reference

## Literatura
* Aerodinamics,1975.g. lj. Clancy, Pitman
* Aerodinamika, Beograd, 1960.g., dr Zlatko Rendulić
* Aerodinamika, Masinski fakultet Beograd,1992.g.,Prof. dr Tomislav Dragović, dipl. ing.
* Transonic Aerodinamiks, Nord Holland 1986.g., J. Cool
* Aerodinamika, Moskva 1980.g., N. Krasnov
* Primenjena Aerodinamika, Tehnička knjiga, Beogad 1948.g., Prof. dr. Svetopolk Pivko, dipl. ing.
* Perkins, C.D., Hage, R.E. Aeroplane Performance Stability and Control, John Wiley, New York, 1950.
* Perkins, C.D., Some Theoretical Developments in Aeroplane Static Longitudinal Stability and Control AAF TR 5167, 1944.
* Perkins, C.D., Walkowicz, T.F. Stability and Control Flight Test Methods, AAF TR 5242, 1942.
* Burns, B.R.A., Fly-by-wire and Control configured Vehicles-reward and risks, The Aeronatical Journal No 775, febr. 1975.
* Mehanika leta, 1987.g., dr. Zlatko Rendulić
* Stabilnost i upravljivost letelica, prvi deo, knjige 1, 2 i 3, Prof. dr Miroslav Nenadović, Mašinski fakultet, Beograd, 1971.g.
* Stabilnost i upravljivost letelica, drugi deo, uzdužna stabilnost letelica, Prof. dr Miroslav Nenadović, Mašinski fakultet, Beograd, 1972.g.

## Vanjske veze

* Rejnoldsov broj. na engl. 
* Aerodinamika Aviona Boing 737, s ruske vikipedije 
* NASA 
* Aerodinamika za studente fakulteta 
* Aerodinamika krila aviona