Rocheova granica

**Rocheova granica** (prema francuskom matematičaru i astronomu Édouardu Rocheu, koji ju je 1847. prvi teorijski odredio) je udaljenost od središta većega nebeskoga tijela do točke u kojoj je gravitacijska sila toga tijela jednaka gravitacijskoj sili satelitskoga tijela. Općenito vrijedi Rocheov odnos, koju su učinili točnijom James Hopwood Jeans (1917. i 1919.) i Subrahmanyan Chandrasekhar (1969.) za krute satelite:

: d = 1.26\; R_M\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}} 

gdje je:
* *d* - Rocheova granica za krute satelite (m),
* *R<sub>M</sub>* - polumjer nebeskog tijela (m),
* *ρ<sub>M</sub>* - gustoća planeta (kg/m3),
* *ρ<sub>m</sub>* - gustoća satelita (kg/m3).

Ta se jednakost može pisati i kao:

: d = 1.26\; R_m\left( \frac {M_M} {M_m} \right)^{\frac{1}{3}} 

gdje je:
* *d* - Rocheova granica za krute satelite (m),
* *M<sub>M</sub>* - masa planeta (kg),
* *M<sub>m</sub>* - masa satelita (kg).

Unutar Rocheove granice, zbog utjecaja plimnih sila, sateliti koje na okupu drži uglavnom gravitacijska sila raspadaju se.

Za fluidne satelite (tekuće, plinovite ili satelit sastavljene od labave nakupine krutih dijelova) vrijedi:

: d \approx  2.44R\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{1/3} 

Za planete gustoće slične Zemljinoj, uz uvjet da je masa satelita mnogo manja od mase planeta, Rocheova granica za fluidne satelite iznosi oko 2.44 polumjera planeta. Tako se na primjer dijelovi Saturnova prstena ne mogu gravitacijski skupiti u jedan ili više satelita, jer se nalaze unutar 2.3 Saturnova polumjera. Opstaju sateliti čvrste građe, koje osim gravitacijskih povezuju i sile veće od plimnih sila planeta, u granicama od 1.26 do 2.44 polumjera planeta.

## Deriviranje formule za Rocheovu granicu

: F_G = \frac{Gmu}{r^2}

Plimna sila F_P na masu u prema planetu ili primarnom tijelu s polumjerom R i udaljenosti d izmeđe centara dvaju tijela može se napisati sljedećom jednadžbom :

: F_P = \frac{2GMur}{d^3}

Rocheova granica je dostignuta kada je gravitacijska sila jednaka plimnoj:

: F_G = F_P 

ili

: \frac{Gmu}{r^2} = \frac{2GMur}{d^3}

Iz koje se brzo dobiva Rocheova granica, d kao:

: d = r \left( 2 M / m \right)^{\frac{1}{3}} 

Pošto polumjer satelita nije potraban u formuli, ovo se može izraziti koristeći specifične gustoće dvaju dijela:

Za okruglu masu M može se napisati

: M = \frac{4\pi\rho_M R^3}{3} gdje R polumjer planeta ili osnovong tijela

Također:

: m = \frac{4\pi\rho_m r^3}{3} gdje r polumjer satelita

: d = r \left( \frac{ 2 \rho_M R^3 }{ \rho_m r^3 } \right)^{1/3} 

podjednostavljeno:

: d = R\left( 2\;\frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}} 

## Primjeri Rocheove granice
Prva tablica prikazuje gustoće i ekvatorijalne polumjere nekih nebeskih tijela u Sunčevu sustavu:

Koristeći gornje podatke, Rocheova granica se može izračunati s obzirom na krute ili fluidne satelite (tekuće, plinovite ili satelite sastavljene od labave nakupine krutih dijelova). Prosječna gustoća kometa se uzima oko 500 kg/m3.

Tablica ispod prikazuje Rocheove granice izražene u kilometrima i s obzirom na polumjer velikog nebeskog tijela. Stvarna Rocheova granica za satelit ovisi o stvarnoj gustoći i krutosti satelita (neznatno odstupa):

Da bi pokazali koliko su daleko prirodni sateliti u Sunčevu sustavu od Rocheove granice, u tablici su dati polumjeri putanja unutarnjih planeta podijeljeni s vlastitom Rocheovom granicom. Date su vrijednosti i za krute i za fluidne satelite. Treba zapaziti da su posebno Pan, Kordelija i Najada vrlo blizu stvarne granice raspadanje.

U stvarnosti, gustoća većine unutarnjih prirodnih satellite za velike planet nije poznata. U tom slučaju, prikazano *ukošeno*, vrijednosti se pretpostavljaju, pa stvarna vrijednost Rocheove granice može neznatno odstupati.

## Izvori