Torus

Torus je obrtna ploha koja se dobija kada se rotira kružnica u trodimenzionom prostoru oko ose koplanarne sa kružnicom, a koja ne dodiruje krug.

#Ako osa rotacije ne dodiruje kružnicu ploha ima oblik prstena i naziva se prstenasti torus ili samo torus.
#U slučaju da je osa rotacije tangenta kružnice dobijena ploha se naziva rog torus
#kada za osu rotacije uzmemo tetivu kružnice rezultujuća ploha je vretenasti torus.
## Jednačina

Kao takva ploha torus ima "rupu". Ako označimo sa c radijus od centra "rupe" do centra torusa, a sa a radijus torusa dolazimo do njegove parametarske jednačine:
::\begin{cases}
    x = (c + a cos v) cos u \\
   y = (c + a cos v) sin u \\
   z = a sin v
\end{cases}  za u, v \in [0, 2\pi) 

gdje su u i v  uglovi koji čine puni krug, tako da njihove vrijednosti počinju i završavaju u istoj tački

c je udaljenost od centra cijevi do središta torusa, 
a je promjer cijevi.

c je glavni radijus, a a sporedni radijus.

Implicitna jednačina u Kartezijevim koordinatama je

\left(c - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = a^2,
## Površina i zapremina

Površina torusa je

P = \left( 2\pi r \right) \left(2 \pi R \right) = 4 \pi^2 ca

a zapremina


V = \left ( \pi a ^2 \right ) \left( 2 \pi c \right) = 2 \pi^2 ca^2

 \ V=2 \pi^2 R r^2, 
;Dokaz

 \ S=S_1 - S_2, 

 \ S_1= \pi (R+a)^2,

 \ S_2= \pi (R-a)^2

Prema Pitagorinoj teoremi  imamo

 \ a = \sqrt{r^2-z^2} 

 \ S_1= \pi (R + \sqrt{r^2-z^2})^2 

 \ S_2= \pi (R - \sqrt{r^2-z^2})^2 

 \ S=  \pi (R + \sqrt{r^2-z^2})^2 - \pi (R - \sqrt{r^2-z^2})^2 

 \ S=  \pi [(R + \sqrt{r^2-z^2})^2 - (R - \sqrt{r^2-z^2})^2] 

 \ S= \pi (R^2 + 2R \sqrt{r^2-z^2} + r^2-z^2 - R^2 + 2R \sqrt{r^2-z^2} - r^2+z^2) 

 \ S=  \pi (2R \sqrt{r^2-z^2} + 2R \sqrt{r^2-z^2}) 

 \ S= 4 \pi R \sqrt{r^2-z^2} 

 \ V= \int\limits_{-r}^{r} S(z)\, dz 

 \ V= \int\limits_{-r}^{r} 4 \pi R \sqrt{r^2-z^2}\, dz 

 \ V= 4 \pi R \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-z^2}\, dz 

 \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-z^2}\, dz 

 \ {du \over dz}={d \sqrt{r^2-z^2} \over dz}

{d \sqrt{r^2-z^2} \over dz} {d(r^2-z^2) \over d(r^2-z^2)}

{d \sqrt{r^2-z^2} \over d(r^2-z^2)} {d(r^2-z^2) \over dz}

 \ {du \over dz}={1 \over 2(r^2-z^2)}({dr^2 \over dz^2} - {dz^2 \over dz})={1 \over 2(r^2-z^2)}(0-2z)={-2z \over 2(r^2-z^2)}=-{z \over (r^2-z^2)}

\ du=- {z \over r^2-z^2}dz 

 \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-z^2}\, dz=z \sqrt{r^2-z^2}\bigg|_{-r}^r- \int\limits_{-r}^{r} -{z^2 \over \sqrt{r^2-z^2}} dz

 \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-z^2}\, dz=z \sqrt{r^2-z^2}\bigg|_{-r}^r- \int\limits_{-r}^{r} {-z^2-r^2+r^2 \over \sqrt{r^2-z^2}} dz

 \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-z^2}\, dz=z \sqrt{r^2-z^2}\bigg|_{-r}^r- \int\limits_{-r}^{r} {r^2-z^2 \over \sqrt{r^2-z^2}} dz+ \int\limits_{-r}^{r} {r^2 \over \sqrt{r^2-z^2}} dz

 \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-z^2}\, dz=z \sqrt{r^2-z^2}\bigg|_{-r}^r- \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-z^2} dz+ r^2\int\limits_{-r}^{r} {1 \over \sqrt{r^2-z^2}} dz

 \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-z^2}\, dz+ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-z^2}\, dz=z \sqrt{r^2-z^2}\bigg|_{-r}^r+ r^2\int\limits_{-r}^{r} {1 \over \sqrt{r^2(1-{z^2 \over r^2})}} dz

 \ 2 \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-z^2}\, dz=z \sqrt{r^2-z^2}\bigg|_{-r}^r+ r^2\int\limits_{-r}^{r} {1 \over \sqrt{(1-({z \over r})^2)}} d({z \over r})

 \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-z^2}\, dz={z \sqrt{r^2-z^2}+ r^2 \arcsin({z \over r}) \over 2}\bigg|_{-r}^r

 \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-z^2}\, dz={r \sqrt{r^2-r^2}+ r^2 \arcsin({r \over r}) \over 2}-{-r \sqrt{r^2-(-r)^2}+ r^2 \arcsin({(-r) \over r}) \over 2}

 \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-z^2}\, dz={r^2 \arcsin({1})- r^2 \arcsin({-1}) \over 2} 

 \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-z^2}\, dz={r^2 \over 2} ({\pi \over 2}- (-{\pi \over 2})) 

 \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-z^2}\, dz={r^2 \pi \over 2}

 \ V= 4 \pi R \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-z^2}\, dz \to V= 4 \pi R {r^2 \pi \over 2} 

 \ V=2 \pi^2 R r^2, 

## Prstenasti torus

Standard_torus-ring.png|

Parametarska jednačina prstenastog torusa je

\begin{cases}
    x = (c + a cos v) cos u \\
   y = (c + a cos v) sin u \\
   z = a sin v
\end{cases}

za u, v \in [0, 2\pi) i a>c

Koficienti prve kvadratne forme su

:E = (c + a cos v)^2
:F = 0
:G = a^2

dok za koeficiente druge kvadratne forme dobijamo

:L =-(c + a cos v) cos v
:M = 0
:N = -a

Gausova i srednja kriva su date sa:

K_G = \frac{cos v}{a(c + a cos v)}


K_S = \frac{- c + 2a cos v}{2a(c + a cos v)}

## Rog torus


Standard_torus-horn.png|

Uzimajući u jednačini

\begin{cases}
    x = (c + a cos v) cos u \\
   y = (c + a cos v) sin u \\
   z = a sin v
\end{cases}

da je c = a dobijamo parametarsku jednačinu rog torusa 

\begin{cases}
    x = a(1 + cos v) cos u \\
   y = a(1 + cos v) sin u \\
   z = a sin v
\end{cases}

Za koeficiente prve kvadratne forme dobijamo:

:E = 4a^2 cos^4 (\frac{1}{2}v)
:F = 0
:G =a^2

dok su koeficienti druge kvadratne forme rog torusa:

:L = -2 a cos^2 (\frac{1}{2})cos v
:M = 0
:N = -a

## Vretenasti torus

Standard_torus-spindle.png


Kod vretenastog torusa parametarska jednačina, formule za koeficiente prve i druge kvadratne forme i formule za izračunavanje srednje i Gausove krive su iste kao i kod prstenastog torusa, uz uslov c .
## Izvori
Rotacione površi i njihova vizuelizacija u programskom paketu Mathematica Niš, novembar 2013.

## Reference