Prirodni logaritam

**Prirodni logaritam**, od prijepoznat kao hiperbolički logaritam, je logaritam zbbba bazuv *[[e (broj)|e]]*, gdje je *e* iracionalna konstanta, čija je približna vrijednost 2,718281828. Ponekad se koristi i naziv Napierov logaritam, iako se originalno značenje ovog termina malo drugačije.
Jednostavno rečeno, prirodni logaritam broja *x* je stepen na kojeg se diže broj *e* kako bi se dobio taj broj *x* – na primjer, prirodni logaritam broja *e* je 1 zato što je *e*1 = *e*, dok je prirodni logaritam broja 1 broj 0, pošto je *e*0 = 1. Prirodni logaritam može se definirati za sve pozitivne realne brojeve *x* kao površina ispod krive *y* = 1/*t* u granicama od 1 do *x*, a može se definisati i kao kompleksni brojevi različiti od nule, kao što je obješnjeno u tekstu ispod. 

Funkcija prirodnog logaritma može se difinisati i kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije, što vodi do identiteta:

:e^{\ln(x)} = x \qquad \mbox{ako je }x > 0\,\!

:\ln(e^x) = x.\,\! 

Drugim riječima, logaritamska funkcija je bijekcija iz skupa pozitivnih realnih brojeva u skup svih realnih brojeva. Preciznije, to je izomorfizam iz grupe pozitivnih realnih brojeva pod množenjem u grupu realnih brojeva pod sabiranjem. Predstavljeno kao funkcija:

:\ln : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}.

Logaritmi su definisani za svaku pozitivnu bazu osim za 1, a ne samo za bazu *e*, te su korisni za rješavanje jednačina u kojima se nepoznata pojavljuje kao eksponent neke druge veličine.

## Konvencije o oznakama

Matematičari, statističari i neki inženjeri općenito razumiju ili "log(*x*)" ili "ln(*x*)" u značenju loge(*x*), npr., prirodni logaritam od *x*, i pišu "log10(*x*)" ako se traži logaritam baze 10 od *x*.

Neki inženjeri, biolozi i neki drugi naučnici općenito pišu "ln(*x*)" (ili ponekad "loge(*x*)") kada koriste prirodni logaritam od *x*, a koriste "log(*x*)" kada koriste log10(*x*) ili, u slučaju nekih informatičara, log<sub>2</sub>(*x*) (iako se ovo piše kao lg(*x*)).

Kod najčešće koristenih programskih jezika, uključujući C, C++, MATLAB, Fortran i BASIC, "log" ili "LOG" označava prirodni logaritam.

U ručnim kalkulatorima, prirodni logaritam je označen sa **ln**, a **log** predstavlja logaritam baze 10.

U teoriji informacija i kriptografiji, "log(*x*)" označava "log2(*x*)".

## Osobine

* \ln(x) 
* \frac{h}{1+h} \leq \ln(1+h) \leq h \quad{\rm za}\quad h > -1\;
* \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1.\,

## Derivacija, Taylorov red

Derivacija prirodnog logaritma je data sa

:\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.\,

Ovo vodi do Taylorovog reda za \ln(1+x) oko 0; također je poznat pod nazivom Mercatorov red

:\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad{\rm za}\quad \left|x\right| \leq 1\quad

:{\rm osim ako je}\quad x = -1

Desno je slika funkcije \ln(1+x) i nekih njenih Taylorovih polinoma oko 0. Ove aproksimacije konvergiraju u funkciju samo u oblasti *-1 < x ≤ 1*; van ove oblasti Taylorovi polinomi višeg stepena su ***gore*** aproksimacije za funkciju.

Uvrštavanjem *x*-1 umjesto *x*, dobijamo alternativni oblik za ln(x)

:\ln(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} (x-1) ^ n

:\ln(x)= (x - 1) - \frac{(x-1) ^ 2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} \cdots

:{\rm za}\quad \left|x-1\right| \leq 1\quad {\rm osim ako je}\quad x = 0.

Korištenjem Eulerove transformacije na Mercatorov red, dobija se sljedeće, koje vrijedi sva svako x čija je apsolutna vrijednost veća od 1:

:\ln{x \over {x-1}} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n x^n}} = {1 \over x}+ {1 \over {2x^2}} + {1 \over {3x^3}} + \cdots

Ovaj red sličan je Bailey–Borwein–Plouffeovoj formuli.

Također uočite da je  x \over {x-1}  također svoja inverzna funkcija, tako da kada želimo dobiti prirodni logaritam nekog broja *y*, jednostavno uvrstimo u  y \over {y-1}  za *x*.

## Prirodni logaritam u intergraciji

Prirodni logaritam dopušta jednostavnu integraciju funkcija oblika *g*(*x*) = *f*&nbsp;'(*x*)/*f*(*x*): antiderivacija od *g*(*x*) je data sa ln(|*f*(*x*)|). Ovo je slučaj zbog pravila derivacije proizvoda i sljedeće činjenice:

:\ {d \over dx}\left( \ln \left| x \right| \right) = {1 \over x}.

Drugim riječima,

:\int { 1 \over x} dx = \ln|x| + C

i

:\int { \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx} = \ln |f(x)| + C.

Slijedi primjer u slučaju kada je *g*(*x*) = tan(*x*):

:\int \tan (x) \,dx = \int {\sin (x) \over \cos (x)} \,dx. 
:\int \tan (x) \,dx = \int {-{d \over dx} \cos (x) \over {\cos (x)}} \,dx.

Neka je *f*(*x*) = cos(*x*), a *f*'(*x*)= - sin(*x*):

:\int \tan (x) \,dx = -\ln{\left| \cos (x) \right|} + C
:\int \tan (x) \,dx = \ln{\left| \sec (x) \right|} + C

gdje je *C* konstanta integracije.

Prirodni logaritam može se intergrisati pomoću parcijalnom integracijom:

:\int \ln (x) \,dx = x \ln (x)  - x + C.

## Povezano
* John Napier, izumitelj logaritma
* Logaritamska integralna funkcija
* Nicholas Mercator, pri čovjek koji je koristio termin "prirodni logaritam"
* Polilogaritam
* Von Mangoldtova funkcija
* Broj ''e''

## Reference

## Vanjske veze
* Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BetterExplained