Moment inercije

**Moment inercije** ili **moment tromosti**  mjera je tromosti za rotacijsko gibanje. Može se reći da je moment inercije rotacijska analogija mase. Što je moment inercije nekog tijela veći to ga je teže pokrenuti u rotaciju ili zaustaviti njegovu rotaciju.

Međutim, za razliku od mase, moment inercije nije neka nepromijenjiva veličina; on ovisi o osi oko koje se dešava rotacija tijela. Matematička definicija momenta inercije materijalne točke mase *m* za neku os *a* je:
:J_a=mr^2\,

gdje je *r* udaljenost te točke od osi rotacije. Mjerna jedinica za moment inercije je kgm&sup2;.

Za neko tijelo sastavljeno od N materijalnih čestica moment inercije za neku os je jednak zbroju momenata inercije svih materijalnih čestica za tu istu os:
:J_a=\sum_{i=1}^{N} m_i{r_i}^2

Ovo je nepraktičan izraz za neko kontinuirano tijelo za koji bi trebalo znati točan broj i položaj svih čestica. Umjesto toga integriraju se momenati inercije svih diferencijalnih masa *dm*:
:J_a=\int r^2dm=\int r^2\rho dV

Uz pretpostavku da je gustoća tijela *&rho;* po cijelom volumenu jednaka, dobivamo:
:J_a=\rho\int r^2dV=\rho\iiint r^2dxdydz

Momenti inercije za osi koje prolaze kroz težište tijela nazivaju se **vlastitim momentima inercije**. Iako gornja matematička formulacija vrijedi posve općenito, moment inercije za neku os koja prolazi izvan težišta tijela se može izračunati pomoću **Steinerovog pravila** koje možemo ovako sročiti:
:*Moment inercije tijela za neku os koja ne prolazi težištem jednak je zbroju vlastitog momenta inercije za os paralelnu s traženom osi i umnoška mase tijela s kvadratom udaljenosti težišta tijela od tražene osi *.

Ovo je pravilo vrlo važno i elementarno. Umnožak mase tijela i kvadrata udaljenosti težišta tijela od tražene osi se naziva **položajni moment inercije**.

Matematički izričaj Steinerovog pravila možemo zapisati na sljedeći način:
:J=J_{vl}+mr^2=J_{vl}+J_{pol}\,

Iz svega izloženoga treba uočiti nekoliko činjenica bitnih za razumijevanje materije:
*Što je neka masa udaljenija od osi rotacije, to je teže vršiti rotaciju.
*Inertnost mase pri rotaciji raste s kvadratom udaljenosti od osi rotacije.
*Materijalna točka nema vlastitih momenata inercije jer nema protežnost.
*Za dovoljno kompaktna tijela (npr. mala kugla) u nekim slučajevima možemo aproksimirati da nemaju vlastitih momenata inercije.
*Moment inercije nekog tijela ne ovisi samo o negovoj masi i udaljenosti njegovog težišta od osi rotacije, već i o obliku.
*Steinerovo pravilo se primjenjuje bez obzira na to da li os rotacije prolazi kroz tijelo ili se nalazi izvan njega, bitan je samo odnos osi prema težištu.

## Reference

## References

* .
* 
* .
* 
* .
* .
* Paul A. Tipler: *Physik*. 3. korrigierter Nachdruck der 1. Auflage 1994, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin, 2000, 
* Ernst W. Otten: *Repetitorium Experimentalphysik*. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1998, 
* Torsten Fließbach: *Mechanik*. 3. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1999, 
* Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko: *Classical mechanics*. International Edition, 3. Auflage, Pearson/Addison-Wesley, Upper Saddle River, N.J., 2002, 
* Wolfgang Demtröder: *Experimentalphysik 1*. 5. neu bearbeitete und aktualisierte Auflage, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008, 

## Vanjske veze

* Angular momentum and rigid-body rotation in two and three dimensions 
* Lecture notes on rigid-body rotation and moments of inertia
* The moment of inertia tensor 
* An introductory lesson on moment of inertia: keeping a vertical pole not falling down (Java simulation)
* Tutorial on finding moments of inertia, with problems and solutions on various basic shapes 
* Notes on mechanics of manipulation: the angular inertia tensor
* Trägheitsmomente geometrischer Körper bei Matheplanet – Anleitungen zum Berechnen diverser Trägheitsmomente mit Beispielen.
* Interaktives Java-Applet mit 3D-Visualisierung – Näherung der Trägheitsmomente frei definierbarer Körper mit diversen Beispielen.