Bohrov model atoma

**Borov model atoma** predstavlja atom sa malim pozitivno naelektrisanim jezgrom oko kojeg se elektroni kreću u kružnim orbitama slično kretanju planeta oko Sunca. Dakle, po Borovom modelu atom je sličan planetarnom sistemu s tom razlikom što privlačna sila potiče od elektrostatičke interakcije a ne od gravitacije.
Glavni uspeh modela, koji je predložio Nils Bor 1913. godine, je objašnjenje Ridbergove formule za spektralne emisione linije atomskog vodonika. Ridbergova formula je eksperimentalno od ranije bila poznata ali je tek Borovim modelom bila kvantitativno teorijski objašnjena i povezana sa osnovnim osobinama atoma.
 
## Historija
Iz Raderfordovih eksperimenata postalo je jasno da su pozitivno naelektrisanje i masa atoma koncentrisani u centru atoma oko kojeg se nalazi difuzni oblak elektrona, nosioca negativnog naelektrisanja. Iz toga se prirodno nametnuo planetarni model atoma u kojem se elektroni kreću oko jezgra poput planeta oko sunca. Međutim, planetarni model atoma nailazio je na brojne poteškoće u pogledu objašnjenja stabilnosti atoma i prirode atomskih spektara. Na primer, prema klasičnim zakonima elektrodinamike, naelektrisanje u kružnoj putanji mora da emituje elektromagnetno zračenje gubeći pri tome energiju. Tako bi i elektron u kružnoj orbiti oko jezgra trebalo neprekidno da emituje zračenje. Pri tome bi zbog gubitka energije njegova putanja trebalo da bude spiralni pad u atomsko jezgro, a emitovano zračenje kontinualno, jer se energija emitera neprekidno smanjuje. Međutim još krajem 19. veka u brojnim eksperimentima sa električnim pražnjenjem u razređenim gasovima, pokazano je da atomi emituju zračenje na diskretnim, dobro definisanim frekvencijama.

Problem primene klasične elektrodinamike na atomske sisteme Bor je rešio predloživši
teoriju koja je uspešno objasnila spektre jednoelektronskih atoma.

Osnovne crte teorije mogu se izložiti u obliku Borovih postulata (pretpostavki):
# Kulonova sila saopštava planetarnom elektronu centripetalno ubrzanje potrebno za dinamički stabilnu kružnu putanju.
# Dozvoljene su samo one orbite kod kojih je moment impulsa, *L*, (ugaoni moment) elektrona celobrojni umnožak ℏ gde je ℏ = *h*/2π: *L* = *n*ℏ, *n* = 1, 2, ... i *h* Plankova konstanta.
# Elektron koji se kreće po stabilnoj orbiti ne zrači.
# Emisija ili apsorpcija zračenja dešava se samo prilikom prelaska elektrona iz jedne orbite u drugu.

Prvim postulatom prihvaćen je planetarni model atoma kao i činjenica da su dominantne interakcije u atomu elektrostatičke prirode. Iz drugog postulata sledi da je pored naelektrisanja i energije u atomskim sistemima kvantovan i moment impulsa. Treći postulat odbacuje problematičnu tvrdnju da naelektrisanje u ubrzanom kretanju mora da zrači u atomskim sistemima uprkos njenoj valjanosti u makroskopskom svetu. Četvrti postulat uspostavlja vezu sa Plankovom teorijom zračenja, pošto je frekvencija fotona koji se emituje ili apsorbuje data energijskom razlikom dva stanja podeljenom sa *h*.

## Energijski nivoi elektrona u atomu vodonika
Borov model je tačan samo za jednoelektronske sisteme poput vodonikovog atoma ili jednotruko jonizovanog helijuma. Takođe može da se koristi za prelaze kod K-linija h-zraka ako se uvedu dodatni uslovi (videti dole Molsijev zakon). U ovom odeljku izvedene su formule za energijske nivoe vodonikovog atoma na osnovu Borovog modela.

Izvođenje počinje sa tri jednostavne pretpostavke:
:1) Energija elektrona u orbiti je suma njegove potencijalne i kinetičke energije:

::
::gde je k = 1 / ({4 \pi \epsilon _0}), a q_e naelektrisanje elektrona. 
:2) Moment impulsa elektrona može imati samo određene diskretne vrednosti:

:::L = m_e v r = n \frac{h}{2 \pi} = n \hbar \quad \quad \quad \quad \quad (2)
::gde je *n* glavni kvantni broj, *n* = 1,2,3,&hellip;, *h* Plankova konstanta, i \hbar=h/(2\pi).

:3) Elektron u orbiti održava Kulonova sila, dakle, Kulonova sila jednaka je centripetalnoj sili:

:::\frac{kq_e^2}{r^2} = \frac{m_e v^2}{r} \quad \quad \quad \quad \quad (3)\,
Pomnožimo li obe strane jednačine (3) sa *r*

::\frac{kq_e^2}{r} = m_e v^2 \quad \quad \quad \quad \quad (4) \,

sa leve strane dobijamo izraz za potencijalnu energiju čijom zamenom u jednačini (1) nalazimo da je ukupna energija elektrona u orbiti

::E = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}m_e v^2 - \frac{k q_e^2}{r} = -\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} m_e v^2 \,\quad \quad \quad \quad \quad (5)

Sada treba da nađemo brzinu elektrona *v*. Rešavanjem jednačine (2) po *r* nalazimo,

::r = \frac{n \hbar}{m_e v}. \,
 
što zamenom u jednačini (4) daje,

::k q_e^2 \frac{m_e v}{n\hbar} = m_e v^2 \,

Deljenjem obe strane sa *m<sub>e</sub>v* nalazimo brzinu elektrona u atomskoj orbiti

::\frac{k q_e^2}{n \hbar} = v \,

Zamenom ove vrednosti za brzinu *v* u izrazu za energiju, (5), a takođe i vrednosti za *k* i \hbar, nalazimo da energija elektrona u orbitama atoma vodonika ima diskretne vrednosti koje zavise od glavnog kvantnog broja, n:

:::

Ili zamenom numeričkih vrednosti za konstante,

:::

Dakle, najniži energijski nivo vodonika (*n* = 1) je oko -13,6 eV. Sledeći energijski nivo (*n* = 2) je na -3,4 eV. Treći (*n* = 3) je na -1,51 eV, i tako dalje. Treba uočiti da su sve energije negativne što znači da se elektron nalazi u vezanom stanju sa atomskim jezgrom (u ovom slučaju protonom). (Pozitivne energije odgovoaraju jonizovanom atomu, dakle, atomu za koji elektron više nije vezan.

### Energija i druge konstante
Pošavši od onoga što je gore već nađeno

:E_n = \frac{-m_e q_e^4}{8 h^2 \epsilon_{0}^2} \frac{1}{n^2} \,

i proširujući razlomak sa c^2, nalazimo

:E_n = \frac{-m_e c^2 q_e^4}{8 h^2 c^2 \epsilon_{0}^2} \frac{1}{n^2} \,

ili preuređivanjem

:E_n = -\frac{1}{2} m_e c^2 \left(\frac{q_e^4}{4 h^2 c^2 \epsilon_{0}^2} \right) \frac{1}{n^2}

Odavde možemo da izrazimo energijske nivoe preko ostalih konstanti:

:E_n = \frac{-E_r\alpha^2}{2n^2}

gde je,

:E_n \  energijski nivo elektrona u atomu
:E_r \  energija mase mirovanja elektrona
:\alpha \  konstanta fine strukture
:n \  glavni kvantni broj.

## Ridbergova formula
Ridbergova formula, koja je bila empirijski poznata pre Borovih jednačina, u svetlu Borove teorije može se shvatiti da opisuje energije kvantnih prelaza između dobro definisanih energijskih nivoa. Borova formula daje numeričke vrednosti već poznate i merene Ridbergove konstante, ali sada izražene preko fundamentalnih konstanti prirode, uključujući i naelektrisanje elektrona i Plankovu konstantu.

Kada elektron prelazi sa višeg energijskog nivoa na niži dolazi do emisije fotona. Korišćenjem izvedenih formula za energijske nivoe vodonikovog atoma moguće je izračunati talasne dužine fotona koje ovaj atom emituje.

Energija emitovanog fotona jednaka je razlici energija nivoa među kojima dolazi do elektronskog prelaza:

::E=E_i-E_f=\frac{m_e q_e^4}{8 h^2 \epsilon_{0}^2} \left(\frac{1}{n_{f}^2} - \frac{1}{n_{i}^2} \right) \,
gde je *q*e naelektrisanje elektrona (1,60&nbsp;&times;&nbsp;10&minus;19 C), *n**f* je konačni nivo (**f**inal), a *n**i* glavni kvantni broj početnog (**i**nitial) energijskog nivoa. Normalno, početni nivo je nivo sa većom energijom.

Pošto je energija fotona:

::E=\frac{hc}{\lambda}, \,

njegova talasna dužina je:

::\frac{1}{\lambda}=\frac{m_e q_e^4}{8 c h^3 \epsilon_{0}^2} \left(\frac{1}{n_{f}^2} - \frac{1}{n_{i}^2} \right). \,

što predstavlja Ridbergovu formulu. Ova formula, gde su sve numeričke konstante bile stopljene u jednu, Ridbergovu konstantu, *R*, je empirijski bila tačno izmerena i poznata u spektroskopiji još krajem devetnaestog veka. Međutim, teorijskog objašnjenja i njene veze sa drugim fundamentalnim konstantama nije bilo dok Bor nije izveo jednačine, manje više kao što je pokazano gore.

## Mozlijev zakon
Godine 1913. Henri Mozli je našao vezu između frekvencije najjače linije H-zračenja, koje emituje metalna meta bombardovana elektronima, i atomskog broja mete, Z. Pokazalo se da se Mozlijeva emprijska formula može izvesti iz Ridbergove i Borove formule mada Mozli u svom radu pominje samo modele Raderforda i Van den Bruka. Mozlijev zakon može iz Borove formule da se izvede ako se pretpostavi da **[1]** linija H-zračenja potiče od prelaza s *n* = 2 na *n* = 1 i **[2]**, da se atomski broj *Z* za atome teže od vodonika umanji za 1, na :(Z-1)2. Ovu drugu pretpostavku Bor je objasnio zaklanjanjem naeletrisanja jezgra elektronom zaostalim u najnižoj orbiti. Mozli se nije upuštao u objašnjenje ovg efekta zaklanjanja (koji je mnogo izrazitiji za L-alfa prelaze koji potiču iz prelaza 3→2) niti u osnovni mehanizam porekla zračenja koji je postao jasan tek kasnije kada je bila uočena struktura elektronskih ljuski.

U Borovoj formuli za atom vodonika, pokazanoj gore, naelektrisanje *q*4 je proizvod elektronskog naelektrisanja *q*2 i naelektrisanja jezgra (*Zq*)2 = *q*2 *Z*2. Naelektrisanje jezgra *Z*2 može onda da se pokaže u formuli kao neimenovan broj.

Mozlijev zakon za K-alfa linije dobija se sledećim preuređivanjem Borovih jednačina:
::E= h\nu = E_i-E_f=\frac{m_e q_e^4 (Z-1)^2}{8 h^2 \epsilon_{0}^2} \left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) \,

ili

::f = \nu = \frac{m_e q_e^4 }{8 h^3 \epsilon_{0}^2} \left(\frac{3}{4}\right) (Z-1)^2 = (2.46 \times 10^{15} Hz)(Z-1)^2 \,

Do ovog poslednjeg izraza Mozli je došao empirijski crtanjem korena frekvencije H-zraka u funkciji atomskog broja čime je, preko Raderford-Borovog modela atoma, doveo u vezu atomski broj sa naelektrisanjem jezgra.

## Nedostaci
Borov model atoma dao je teorijsko objašnjenje stabilnosti atoma, spektra zračenja atoma i dimenzija atoma – to su tri najbitnija elementa koja su dala značaj ovoj teoriji.

Osnovni nedostatak Borove teorije je nedoslednost. Ona pretpostavlja postojanje samo nekih mogućih stabilnih stanja atoma, odnosno, kvantnih stanja; u tim stanjima elektron ne emituje zračenje iako se kreće po kruznoj putanji. To je po klasičnoj fizici nemoguće, tj. prema Borovoj teoriji za kretanje elektrona u atomu ne važe zakoni klasične elektrodinamike. S druge strane, kretanje elektrona objašnjava se zakonima klasične mehanike.

Borova teorija je predstavljala značajnu prelaznu etapu između klasične fizike i nove kvantne teorije. Klasična teorija nije mogla da objasni niz pojava u mikrosvetu i u tom domenu je postala neupotrebljiva. Sa Plankom i Borom počeo je i razvoj kvantne mehanike – kompletnije teorije koja dobro objašnjava pojave u atomima, molekulima, kristalima.

Borov model atoma je potisnuo model valentnih ljuski. Međutim, iako je Borov model zastarela naučna teorija, zbog svoje jednostavnosti i korektnih rezultata u nekim slučajevima, on se često predaje na uvidnom kursevima kvantne mehanike.

## Poboljšanja
:\oint p dq = nh

## Povezano
* Frank-Hercov ogled je dao ranu potporu Borovom modelu.
* Mozlijev zakon je dao ranu potporu Borovom modelu. vii još članak Henri Mozli
* Lajmanova serija
* Šredingerova jednačina
* Balmerova konstanta

## Vanjske veze