Hiperbolične funkcije

**Hiperboličke funkcije** su hiperbolički sinus (sh x), hiperbolički kosinus (ch x), hiperbolički tangens (th x), hiperbolički kotangens (cth x), hiperbolički sekans (sech x) i hiperbolički kosekans (cosech x). Grana matematike koja koristi ove funkcije naziva se hiperbolička trigonometrija. Njima inverzne funkcije imaju prefiks *area*, što treba razlikovati od prefiksa *arkus* koji stoji ispred inverznih funkcija obične trigonometrije. Anglosaksonske oznake za hiperboličke funkcije su redom \sinh x,\; \cosh x,\; \tanh x,\; \coth x,\; \operatorname{sech}x,\; \operatorname{cosech}x, odnosno \operatorname{csc}x, i ovde ih češće koristimo zbog praktičnih, softverskih razloga.

## Definicije
Za razliku od običnih trigonometrijskih istoimenih funkcija, hiperbolički sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekans su određeni sledećim analitičkim definicijama, formulama:

: \sinh x=\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right), \quad \cosh x=\frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right),
: \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}, \quad \coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x},
: \operatorname{sech} x=\frac{1}{\cosh x}, \quad \operatorname{csch} x=\frac{1}{\sinh x}.

### Poreklo imena
Funkcije su dobile naziv zbog mogućnosti korištenja parametarskih jednačina (jedne grane) hiperbole:

: x=a\cosh t,\; y=b\sinh t; \; (t\in\mathbb{R}).

### Trigonometrijska hiperbola

Poput funkcija trigonometrijske kružnice x^2+y^2=1, definišu se i funkcije jedinične jednakostranične hiperbole x^2-y^2=1. Na slici desno je sa *u* označena dvostruka senčena površina. Tačka E(x,y)\, nalazi se na preseku hiperbole i prave OE. Senčena površina OAE, rekli smo da iznosi u/2, može se razumeti kao razlika površina trougla OBE i temenog odsečka ABE hiperbole, gde je OB=x, BE=y.

; Teorema 1: **(a)** Dvostruka površina 2\cdot\widehat{OAE}= u=\ln(x+\sqrt{x^2-1});
: **(b)** \cosh u=\frac{1}{2}(e^u+e^{-u});
: **(v)** \sinh u=\frac{1}{2}(e^u-e^{-u}).

; Dokaz: **(a)** Sama senčena površina sa slike \widehat{OAE}=\frac{u}{2}=P_{\Delta OBE}-P_{ABE}=\frac{1}{2}\cdot \overline{OB}\cdot\overline{BE}-\int_1^x\sqrt{x^2-1}\,dx
: =\frac{1}{2}x\sqrt{x^2-1}-\frac{1}{2}\left(x\sqrt{x^2-1}-\ln(x+\sqrt{x^2-1})\right) = \frac{1}{2}\ln(x+\sqrt{x^2-1}).  Pomnožimo dobijenu jednakost sa dva. **(b)** Iz (a) izračunajmo inverzno x=\frac{1}{2}(e^u+e^{-u}). Uvedimo novo ime x=\cosh u.\, **(v)** Stavimo y=\sqrt{x^2-1}, tačka E je i dalje na hiperboli, pa smenom h iz (b) dobijamo, pa nakon sređivanja \sinh u=\frac{1}{2}(e^u-e^{-u}). Zatim uvedimo novo ime y=\sinh u.\, Kraj dokaza 1.

U istoj teoremi (1) funkcija u(x) iz prvog tvrđenja (a) je inverzna funkcij i x(u), tj. cosh(u), iz (b). I obrnuto. Zato se inverzne hiperboličke funkcije zovu area-funkcije, po latinskoj reči *area* - površina.

Analogije sa trigonometrijskom kružnicom su sledeće: 
* Prvo, pod centralnim uglom &phi; vidi se luk trigonometrijske kružnice dužine &phi;. To je senčeni ugao AOE na istoj slici. Projekcija preseka gornjeg kraka AE sa (plavom) kružnicom na apscisu je h, tj. kosinus ugla &phi;. Inverzna funkcija kosinusu je luk, pa se inverzne trigonometrijske funkcije zovu arkus-funkcije, po latinskoj reči *arkus* - luk.
* Drugo, dvostruka površina isečka centralnog ugla &phi; (u radijanima) trigonometrijske kružnice iznosi takođe &phi;. Naime, površina kružnog isečka je uopšte P_{2\phi} =\frac{1}{2}r^2\cdot 2\phi, pa kako je r = 1 dobijamo P_{2\phi}=\phi. Međutim, ova osobina običnih trigonometrijskih funkcija je retko u upotrebi.

Konačno, jedine fundamentalne funkcije trigonometrija su sinus i kosinus. Pomoću te dve definišemo preostale četiri: tangens, kotangens, sekans i kosekans, kao što je već urađeno na početku definicija. Drugi način da te četiri funkcije definišemo je ista slika. Iz tačke 1 apscise (na slici tačka A) povučemo paralelu sa ordinatom do preseka F sa krakom ugla OE. Zatim iz tačke 1 ordinate (na slici tačka H) povučemo paralelu sa apscisom do preseka D sa krakom ugla OE. Ugao AOE je &phi;.

; Teorema 2: **(a)** \overline{AF}=\tanh u=\frac{\sinh u}{\cosh u}; **(b)** \overline{HD}=\coth u=\frac{\cosh u}{\sinh u}.

; Dokaz: Na istoj prethodnoj slici trigonometrijske hiperbole imamo **(a)** slične trouglove \Delta OAF \sim \Delta OBE, pa je \overline{AF}:\overline{AO}=\overline{BE}:\overline{BO}, tj. \overline{AF}=y:x, jer je AO = 1, pa sledi (a); **(b)** iz sličnosti \Delta OHD \sim \Delta EBO, jer \angle D=\phi\, pa važi proporcija \overline{HD}:\overline{HO}=\overline{BE}:\overline{BO}, tj. \overline{HD}=x:y, jer je HO = 1, pa sledi (b). Kraj dokaza 2.

U tački E hiperbole postavimo tangentu (t). Tangenta t seče apscisu u tački T. Ugao između apscise (osa O-A-B-S prethodne slike) i tangente je &alpha;. Produžetak tangente dole, seče ordinatu, na slici desno u tački M, koja se ne vidi na prethodnoj slici. 

; Teorema 3: **(a)** \alpha + \phi = \frac{\pi}{2};
: **(b)** \overline{OT}=\operatorname{sech} u=\frac{1}{\cosh u}:
: **(v)** \overline{OM}=\operatorname{csch} u=\frac{1}{\sinh u}.

; Dokaz: Tangenta hiperbole u tački E određena je izrazom 
: \tan\alpha=\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{x^2-1}}{dx}=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{x}{y}=\cot\phi=\tan\left(\frac{\pi}{2}-\phi\right).
: Otuda je \alpha=\frac{\pi}{2}, čime je dokazano (a). Iz sličnosti trouglova 
: \Delta TBE \sim \Delta EBO sledi \overline{TB}:\overline{BE}=\overline{EB}:\overline{BO}, a otuda \overline{TB}=\frac{\overline{BE}^2}{\overline{BO}}=\frac{y^2}{x}.
: Zbog \overline{OT}=\overline{OB}-\overline{TB}=x-\frac{y^2}{x}=\frac{x^2-y^2}{x}=\frac{1}{x}=\frac{1}{\cosh u}, biće \overline{OT}=\operatorname{sech}u. Time je dokazano (b).
: Konačno, iz sličnosti trouglova \Delta OTM\sim\Delta OBE sledi \overline{OM}:\overline{OT}=\overline{OB}:\overline{EB}=x:y, a odatle \overline{OM}=\frac{\overline{OT}\cdot x}{y}=\frac{1}{\sinh u}, dakle, \overline{OM}=\operatorname{csch}u. Time je dokazano (v). Kraj dokaza 3.

### Predstavljanje redovima
Razvojem hiperboličke funkcije u Tejlorov red dobijamo:
: \sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...,
: \cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+....

### Trigonometrijska veza
Hiperboličke funkcije se mogu definisati i pomoću običnih trigonometrijskih:
: \sinh ix = i\sin x\,\; i^2=-1,
: \cosh ix = \cos x,\,
: \tanh ix = i\tan x.\,

## Osobine
Mnoge formule hiperboličkih funkcija su slične odgovarajućim formulama obične trigonometrije:
: \cosh^2x=1+\sinh^2x,\,
: \operatorname{sech}^2x=1-\tan^2x,\,
: \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y,\,
: \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y,\,
: \sinh 2x=2\sinh x\cosh x,\,
: \cosh 2x=\cosh^2x+\sinh^2x.\,

Kako je \cosh(-x)=\cosh x,\; \sinh(-x)=-\sinh x, to je prva funkcija parna, a druga neparna. Graf prve je osno simetričan (ordinata, u-osa je osa simetrije), graf druge je centralno simetričan (ishodište, tačka O je centar simetrije), kao što se vidi na slikama dole.

Lako je izračunati sledeće izvode: 
: \frac{d}{dx}(\cosh x)=\sinh x,\; \frac{d}{dx}(\sinh x)=\cosh x,\; \frac{d}{\tanh x}=\operatorname{sech}^2x.

## Poreklo
*Hiperboličke funkcije* su nastale zbog potreba ne-Euklidske geometrije. Tražeći Euklidsku ravan u svojoj ne-Euklidskoj geometriji, Lobačevski je pronašao orisferu. Obratno, Euklidski prostor ima pseudosferu, površ na kojoj važi geometrija Lobačevskog. Ovakva otkrića jednih geometrija u drugima poslužila su za dokaze neprtivrečnosti novih ne-Euklidskih geometrija, tačnije za dokaze njihove međusobne jednake neprotivrečnosti. Sa druge strane, omogućile su prenos trigonometrija. Obična trigonometrija orisfere u prostoru Lobačevskog postaje hiperbolička trigonometrija, i obratno.

## Povezano
* Matematika
* Geometrija
* Trigonometrija
* Hiperbolička trigonometrija
* Sinus hiperbolički
* Kosinus hiperbolički
* Tangens hiperbolički
* Kotangens hiperbolički
* Sekans hiperbolički
* Kosekans hiperbolički
* Inverzne hiperboličke funkcije