Prirodan broj

**Prirodni brojevi** su svi celi brojevi veći od nule. 

Skup prirodnih brojeva se obeležava velikim latiničnim slovom N={1,2,3,..}.

Skup prirodnih brojeva spx0ada u prebrojive skupove. Često se skupu prirodnih brojeva pridodaje i 0 i taj skup se označava sa N0.

## Sabiranje prirodnih brojeva
Neka su dati konačni skupovi A i B i neka je kA=a i kB=b i neka je A∩B= =ø. Broj k(AUB)= predstavlja **zbir (sumu)** brojeva a i b, koji su** sumandi** **(adendi, pribrojnici).** Računska operacija koju pri tom obavljamo je **sabiranje (adicija).**
Za sabiranje prirodnih brojeva važi 
# Zakon zatvorenosti a+b je prirodan broj
# zakon komutacije a+b=b+a
# zakon asocijacije (a+b)+c=a+(b+c)
# zakon trihotonomije a=b ili a+c=b a=b+d Za a + c=b =>a  a > b
# zakon kancelacije skračivanja 
ako je a+c=b+c onda je a=b

**Teorema 1**

a=b  a+c= b+c.

Pod a1+ a2 + a3, podrazunjevamo (a1+ a2)+ a3.
Pod a1 + a2+ a3 + a4 podrazunjevamo (a1 + a2 + a3 )+ a4 . uopštano je
a1+ a2+ a3+....+ an= (a1+ a2+...+ am)+(.. a(m+1+...+
+ an).

**Teorema 2**
a  a+c a+d=b a+d +c= b+c (a+c)+d = b+c a+c a ac=bc
a  ac  b.

## Oduzimanje prirodnih brojeva
Od broja a oduzeti broj b znači naći broj d takav da je a = b+d. 

Broj a je **razlika** ili diferencija brojeva a i b, broj a minuend ili umanjenik, a b suptrahend ili umanjitelj.

Očigledno u skupu N ne vrijedi zakon zatvorenosti tj a-b nije iz N za svaki par a i b.

Primjer 
2-3 nije iz N

## Dijeljenje u skupu prirodnih brojeva
Podijeliti broj a brojem b znači naći broj q takav da je a = bq. N. 
Broj a je kvocijent ili količnik brojeva a i b, broj a je dividend ili djeljenik, a b je divizor ili djelitelj.

U skup N ne vrijedi zakon zatvorenosti za dijeljenje tj za svaki par a i b nije a / b iz N.

Primjer

5 / 3 nije iz N

## Algebarske operacije

Posmatrajmo operacije sabiranja i množenja u skupu N. Očito je to preslikavanje skupa NxN u skup N definisano sa 

(a,b)→ a + b i analogno 

a(a,b)→ab.

Neka je S neprazan skup. Binarna algebarska operacija (kompozicija) na skupu S je svako preslikavanje f:SxS→ S.
Za algebarske operacije vrijedi 

# Zakon komutacije ako je a*b=b*a
# Zakon asocijacje ako je a*(b*c)= a*b)*c
Ovi zakoni ne moraju važiti uvijek.

(a,b)= 2a + 2b

a*b= 2a+2b= 2b + 2a= b*a

(a*b)*c = (2a+2b)*c= 2(2a + 2b) + 2c= 4a+4b+2c

a*(b*c)= 2a+2(2b+2c) = 2a+4b + 4c

tj ne važi asocijativnost.

Neka su date dvije operacije * i ○ kažemo da je operacija lijevo distributivna u odnosu na ○ ako vrijedi 
a*(b○c)=(a*b) ○(a*c).

Ako su A, B,C neprazni skupovi tada svako preslikavanje skupa AxB u C zovemo binarnom algebarskom operacijom sa AxB u C. Specijalno je A=B=C.

Sam skup i skup na koji se preslikava algebarska operacija nije isto. Razlika je velika. U drugom slučaju sa elementima skupa možemo računati. 

Skup zajedno sa algebarskom operacijom nazivamo **grupoid.**
Uređen par (S,*) koji čini neprazni skup S i algebarska operacija * definisana na skupu S zove se grupoid(monoid). Ako je (S* ) grupoid i e iz S onda je

# e lijevi neutralni element u odnosu na operaciju* akoje e*a=a
# e desnii neutralni element u odnosu na operaciju* akoje a*e=a
# e dvostruki neutralni element u odnosu na operaciju* akoje e*a=a*e=a.

Neutralni element za operaciju množenja u skupu N je e=1, a za sabiranje u skupu N0 je e=0.

Grupoid može biti asocijativan i komutativan. Asocijativan grupoid nazivamo **polugrupa.**Polugrupa može imati inverzni element. 
# x je desni inverzni element u odnosu na operaciju * akoje a * x = e
# x je lijevi inverzni element u odnosu na operaciju * akoje x * a = e
# x je dvostruki inverzni element u odnosu na operaciju * akoje a * x =x * a = e
Grupa je polugrupa koja ima neutralni i inverzni ewlement.

Polugrupa (S, *) s dvostrukim inverznim elementom ima najviše jedan inverzni element

Dokaz
  
x1= x1 * e = x1 (a * x0) = (x1 * a )* = x0