Kubne jednačine

:Posmatrajmo polinom trečeg stepena
:y(x)=ax^3+bx^2+cxd za a\neq0
:koja siječe x-osu u taČkama koje su nule odgovarajuće jednačine trečeg stepena (kubne jednačine).
:ax^3+bx^2+cx+d=0
### Vieteove formule
:Rješenja x_1,x_2,x_3 jednačine   ax^3 + bx^2 + cx + d = 0  zadovoljavaju sljedeće relacije koje su posebni slučaj Vieteovih formula
: x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a},\ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\frac{c}{a},\  x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}.

;Primjer 
:x^3-3x^2-x+3=0
i ima nule, rješenja 
:x= -1
:x= 1
:x= 3
:U jednačini
:ax^3+bx^2+cx+d=0 a \neq 0
:smjenom
:y=b-\frac{b}{3a}
:postaje
:y^3+py+q=0
za
:p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2} i q=\frac{d}{a}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{2b^3}{37a^3}
### Diskriminanta kubne jednačine
:Često se diskriminantom kubne jednačine naziva diskriminanta 
:D=a^4(x_1-x_2)^2(x_2-x_3)^2(x_3-x_1)^2) 
:pripadnog polinoma :f(x)=ax^3+bx^2+cx+d   gdje su x_1,x_2,x_3 korijeni polinoma (rješenja date jednačine. Vrijedi 
::  D = -4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 + 18abcd - 27a^2d^2. 
:Ovo vrijedi za sve kubne jednačine, a ne samo za one s realnim koeficijentima.
:I izraz 
: D=\frac{q^2}{4}+ \frac{p^3}{27}  je  diskriminanta
### Osobine rješenja jednačine
:Za D   ima jedno realno, dva konjugovano kompleksna rješenja
:Za D = 0 ima sva tri realna, bar jedno dvostruko rješenje
:Za D > 0 ima sva tri realna i različita rješenja

;Primjer
Jednačina
:y=x^3-3x^2-x+3 smjenom
: y=x+1
:postaje
:y^3-4y=0

:Jednačina
:y^3+py+q=0 smjenom
:y=u+v
postaje
:u^3+v^3+\left ( 3uv+p \right )\left (u+v \right )+q=0
:Ovdje smo nepoznatu  y zamjenili sa 2 nove  u   i   v.
uvodimo novi uslov
:3uv=p
:pa je
:u^3+v^3=-q;  uv=\frac{-p}{3}
:Iz
:y^3-4y=0
:dobijamo
:u^3+v^3=0;  uv=\frac{4}{3}
:Sistem
:u^3+v^3=-q;  uv=\frac{-p}{3} ekvivlentan je sa
:u^3+v^3=-q;  u^3v^3=\frac{-p^3}{27}
:Iz kojeg dobijamo
:t^2+qt-\frac{-p^3}{27}
:za t_1=u^3   i t_2=v^3
:Njenim rješavanjem dobijamo
:t_1,2=-\frac{q}{27}\pm \sqrt{(\frac{q^2}{4})+\frac{p^3}{27}}
:Vračanjem druge smjene dobijamo
:y =\sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+ \frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{-q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+ \frac{p^3}{27}}}
:IZ
:y^3-4y=0
:p=-4 iq=0
:pa je y=0
:tj. jedno rješenje jednačine je
:y=x^3-3x^2-x+3
:x=o
:Parovi (u,v) su rješenja sistema
:u^3+v^3=-q;  uv=\frac{-p}{3}
:Iz jednačina
:u^3=t_1   i v^3=t_2
:slijedi
:u_1=\sqrt[3]t_1,
:u_2=a\sqrt[3]t_1,
:u_3=a^2\sqrt[3]t_1
:v_1=\sqrt[3]t_2,
:v_2=a\sqrt[3]t_2,
:v_3=a^2\sqrt[3]t_2
:gdje su treči korjeni jedinice

a^0=1,  

 a^1=\frac{1}{2}(-1+i\sqrt[3]{3}), 

 a^2=\frac{1}{2}(-1-i\sqrt[3]{3})

Odnosno sva rješenja jednačine
:y^3+py+q=0
:data su formulom
:y_1=\sqrt[3]t_1+\sqrt[3]t_2,
:y_2=a\sqrt[3]t_1+a\sqrt[3]t_2,
:y_3=a^2\sqrt[3]t_1+\sqrt[3]t_2
:koje se također nazivaju Kardanove formule.
:U našem slučaju (za D ) rješenja jednačine su realna, ali se do njih dolazi izračunavanjem kubnih korjena imaginarnih brojeva. Zato što se tada ne možemo osloboditi imaginarnosti u Kardanovim formulama, ovaj slučaj D ) nazivamo  nesvodljiv slučaj.
:Za p= i q=0 imamo 
:D=\frac{-64}{27}
:pa je y=0 i imamo 2 slučaja
:y_2=a\sqrt[3]t_1+a\sqrt[3]t_2, y_3=a^2\sqrt[3]t_1+\sqrt[3]t_2

:Iz ovoga je t_1=-t_2
:y_2=(a-a^2)\sqrt[3]\sqrt\frac{-64}{27}
:y_3=(a^2-a)\sqrt[3]\sqrt\frac{-64}{27} =>
:y_2=(i\sqrt[3]{3})\frac{2i}{\sqrt[3]{3}}
:y_3=(-i\sqrt[3]{3})\frac{2i}{\sqrt[3]{3}} =>

:y_2=2  \land  y_3=-2
:x=y+1 pa je rješenje polaznog primjera
:x_1=-1
: x_2=1, 
: x_3=3

### Opšta rješenja
Opšte rješenje za svaku kubnu jednačinu
:a x^3 + b x^2 + c x + d =\, 0
:je 
:\begin{align}
x_1 =
&-\frac{b}{3 a}\\
&-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\
&-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\
x_2 =
&-\frac{b}{3 a}\\
&+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\
&+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\
x_3 =
&-\frac{b}{3 a}\\
&+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\
&+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}
\end{align}

## Izvor
Rešivost algebarskih jednačina  Beograd 2011.

## Reference