P-norma

Norme na R^2 su realne  funkcije na R^2 koje imaju određene osobine. Važnu klasu takvih funkcija čine p-norme. 

p-norme možemo definisati za svaki realan broj  p \geqslant  1, te za p =\infty. 

2-norma  standardna euklidska norma

1-norma je poznata pod nazivom  taxicab- norma a \infty-normu obično nazivamo max-norma. 
Svaka norma definiše udaljenost (metriku). Uvođenjem p-normi dobili smo razne načine za računanje udaljenosti između dvije tačke.

## Definicija 1
Realna funkcija \rVert  \ast  \lVert  : R^2 \rightarrow R naziva se norma na R2 ako ima  sljedeće  osobine:

\rVert (x,y ) \lVert  \geqslant 0           

\rVert (x,y ) \lVert  = 0     (x,y)=0     

\rVert (x,y )+ (u,v) \lVert  \le 0     \rVert (x,y ) \lVert +\rVert + (u,v) \lVert    

\rVert c(x,y ) \lVert =| c | \rVert (x,y ) \lVert

Za sve  (x,y),(u,v) \in R^2 i sve c \in R Zadajući neku normu na R^2, R^2 postaje  normirani prostor.

Primjer norme na R^2 je Euklidska norma koja predstavlja dužinu dužine čije su krajnje tačke (0,0) i (x,y), tj.


\rVert (x,y ) \lVert_p =          \sqrt{x^2 + y^2}

koja predstavlja poseban slučaj p-normi \rVert (x,y ) \lVert_p

## Definicija 2

Za svaki realni broj p, p\geqslant1 definišimo

(\rVert (x,y ) \lVert_p =|x |^p +|y |^p )^{\frac{1}{p}}

Funkcija \rVert (x,y ) \lVert_p je p- norma na R^2 
Da bi bili li sigurni da je ovo norma moramo provjeriti da li funkcija zadovoljava uslove iz definicije 1.
Osobine (1), (2) i (4) se lako provjere, dok je provjera (3) poznata kao nejednakost trougla, za ovaj dokaz koristi se Youngova nejednakost.

Za sve a,b \geqslant 0 i p,q > 1 takve da je \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 vrijedi


ab \leqslant \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}


## Teorema 1

Za svaki p \geqslant 1 formulom


\rVert (x,y ) + (u+v)\lVert_p  \le \sqrt[p]{\rVert (x,y ) \lVert_p +\rVert (u,v ) \lVert_p}

 

Dokaz

Treba dokazati da za svaki p \geqslant 1 vrijedi

\rVert (x,y ) + (u+v)\lVert_p  \le  \rVert (x,y ) \lVert_p +\rVert (u,v ) \lVert_p

tj.


\sqrt[p]{ | x+u |^p +| y+v |^p  }\le 
\sqrt[p]{ | x |^p +| u |^p} +\sqrt[p]{ | y |^p +| uv |^p}

za sve (x,y),(u,v) \in R^2

Za p=1

 [ | x + u|\le  | x | +  |  u| \land   [ | y + v|\le  | y| +  |  v|  ]   =>     | x + u| +| y + v|   \le  | x | +  |  u| +  | y | +  |  v|   

Za p>1

U nejednakosti


ab \leqslant \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}


uvrstit ćemo izraze za a , b


a=\frac{\rVert (x,y ) \lVert_p} i b=     \frac{\rVert (u,v ) \lVert_q}
a zatim


a=\frac{\rVert (x,y ) \lVert_p} i b=     \frac{\rVert (u,v ) \lVert_q}

dobijamo nejednakosti

\frac{\rVert (x,y ) \lVert_p}*\frac{\rVert (u,v ) \lVert_q}\leqslant \frac{| x |^p}{p\rVert (x,y ) \lVert_p}*\frac{| u |^q}{q\rVert (u,v ) \lVert_q}

\frac{\rVert (x,y ) \lVert_p}*\frac{\rVert (u,v ) \lVert_q}\leqslant \frac{| y|^p}{p\rVert (x,y ) \lVert_p}*\frac{| v |^q}{q\rVert (u,v ) \lVert_q}

saberemo li ih dobijamo  nejednakosti

\frac{\rVert (x,y ) \lVert_p\rVert (u,v ) \lVert_q}\leqslant 

 \frac{| x |^p+ | y |^p}{p\rVert (x,y ) \lVert_p}+\frac{| u |^q+| v|^q}{q\rVert (u,v ) \lVert_q} = \frac{1}{p} +   \frac{1}{q}=1 

tj

| x || u |+| y || v |\leqslant  \sqrt[q]{x^p+y^p} +\sqrt[p]{u^q+v^q}
za svako x, y, u, v \in  R

Ako uzmemo (x+u)^{p-1} za  u  i (y+v)^{q-1} za  v  
i smatrajući (p-1)_q=p

| x ||x+ u |^{p-1}+| y ||y+ v |^{p-1}\leqslant  \sqrt[p]{x^p+y^p} +\sqrt[q]{u^q+v^q}

Zamjenom uloga x i u , y i v imamo


| u ||x+ u |^{p-1}+| v ||y+ v |^{p-1}\leqslant  \sqrt[p]{u^p+v^p} +

\sqrt[q]{|x+ u |^p +|y+ p |^p  }


|x+ u |^p+ |y+ v |^p =    | x +u||x+ u |^{p-1}+| y +v||y+ v |^{p-1}


\leqslant (| x|+  |u||x+ u |^{p-1}+ (| y |+  | v| ) |y+ v |^{p-1} =

| x||x+ u |^{p-1} + | u||x+ u |^{p-1} + | y | |y+ v |^{p-1} +    | v | |y+ v |^{p-1} =

na osnovu ranijih nejednakosti imamo

\sqrt[p]{ | x |^p + | y |^p}\sqrt[q]{ | x +u|^p + | y+v |^p}  +
\sqrt[p]{ | u |^p + | v |^p}\sqrt[q]{ | x +u|^p + | y+v |^p}


odnosno

|x+u|^p+|y+v|^p  \leqslant   ( \sqrt[p]{ | x |^p + | y |^p} +\sqrt[p]{ | u |^p + | v |^p}) ( |x+u|^p+|y+v|^p ))          

Dijeljenjem s drugim faktorom s desne strane slijedi


\sqrt[n]{|x+u|^p+|y+v|^p }\leqslant   ( \sqrt[p]{ | x |^p + | y |^p} +\sqrt[p]{ | u |^p + | v |^p})

## Izvor
p-norme na R^2 , kružnice S_p  i brojevi \pi_p // Ljiljana Arambašić Ivona Zavišic //Osječki matematički list (10(2010), 131{138)