Algebarski prsten

U matematici, **prsten** je algebarska struktura u kojoj su definisani sabiranje i množenje, i imaju svojstva opisana niže. Prsten je generalizacija skupa celih brojeva. Drugi primeri prstena su polinomi i celi brojevi po modulu *n*. Grana apstraktne algebre koja proučava prstenove se naziva teorijom prstena.

## Formalna definicija
**prsten** je skup *R* na kome važe dve binarne operacije +&nbsp;:&nbsp;*R*&nbsp;×&nbsp;*R*&nbsp;→&nbsp;*R* i ·&nbsp;:&nbsp;*R*&nbsp;×&nbsp;*R*&nbsp;→&nbsp;*R*, koje se nazivaju *sabiranje* i *množenje*, takve da:

* (*R*, +) je Abelova grupa sa neutralom 0:
** (*a* + *b*) + *c* = *a* + (*b* + *c*)
** 0 + *a* = *a* + 0 = *a*
** *a* + *b* = *b* + *a*
** Za svako *a* iz *R*, postoji element koji se označava sa &minus;*a*, takav da *a* + &minus;*a* = &minus;*a* + *a* = 0
* (*R*, ·) je monoid sa neutralom 1:
** (*a*·*b*)·*c* = *a*·(*b*·*c*)
** 1·*a* = *a*·1 = *a*
* Množenje je distributivno nad sabiranjem:
** *a*·(*b* + *c*) = (*a*·*b*) + (*a*·*c*)
** (*a* + *b*)·*c* = (*a*·*c*) + (*b*·*c*)

Kao i kod grupa simbol · se obično izostavlja. Takođe, koristi se standardan redosled operacija, pa je na primer, *a*+*bc* skraćenica za *a*+(*b*·*c*).

Mada je sabiranje u prstenu komutativno, pa je *a*+*b* = *b*+*a*, množenje u prstenu ne mora da bude komutativno – *a*·*b* ne mora da bude jednako *b*·*a*. Prstenovi koji su takođe komutativni i u odnosu na množenje (kao što je prsten celih brojeva) se nazivaju **[[komutativni prsten|komutativnim prstenovima]]**. Nisu svi prstenovi komutativni. Na primer, M_n(K), prsten n\times n matrica nad poljem *K*, je nekomutativni prsten (n>1).

Prstenovi ne moraju da budu ni multiplikativno inverzni. Element *a* u prstenu se naziva **[[jedinica (teorija prstena)|jedinicom]]** ako je invertibilan u odnosu na množenje: ako postoji element *b* u prstenu, takav da je *a*·*b* = *b*·*a* = 1, tada je *b* jedinstveno određeno preko *a* i pišemo *a*&minus;1&nbsp;= *b*. Skup svih jedinica u *R* formira grupu u odnosu na množenje prstena; ova grupa se označava sa *U*(*R*) ili *R**.

### Alternativne definicije
Postoji i nekoliko alternativnih definicija prstena:

* Neki autori zahtevaju dodatni uslov da je 0 ≠ 1. Ovo isključuje samo jedan prsten: takozvani *[[trivijalni prsten]]* ili *nula prsten*, koji ima samo jedan element.
* Značajnija razlika je ta, da neki autori ne zahtevaju da prsten ima multiplikativni neutral. Ovi autori nazivaju prstenove koji imaju multiplikativne neutrale **unitarnim prstenovima**. Autori koji zahtevaju multiplikativni neutral nazivaju algebarske objekte koji ispunjavaju sve uslove za prsten, izuzev ovog, **pseudo-prstenovima**. Svaki ne-unitarni prsten *R* se može uklopii na kanonski način, kao podprsten u unitarni prsten, naime *R* &oplus; **Z** sa (0,1) kao jediničnim elementom i množenjem definisanim na očekivani način. 
* Slično, ponekad se ne zahteva da množenje prstena bude asocijativno, a prstenovi kod kojih jeste asocijativno se tada nazivaju **asocijativnim prstenovima**. Vidi neasocijativni prsten za raspravu o opštijoj situaciji.

Kao što je gore naznačeno, množenje prstena ne mora da bude komutativno. U nekim oblastima, kao što su komutativna algebra i algebarska geometrija se uglavnom razmatraju komutativni prstenovi, pa autori često koriste termin *prsten* za komutativni prsten, a izraz *ne obavezno komutativni prsten* za prsten.

## Primeri
* *Trivijalni prsten* {0} ima samo jedan element koji služi i kao aditivni i kao multiplikativni neutral.
* Prsten celih brojeva sa operacijama sabiranja i množenja. Ovo je komutativni prsten.
** Racionalni, realni i kompleksni brojevi grade prstenove (oni čak grade polja). I ovi prstenovi su komutativni.
* Svako polje je po definiciji komutativni prsten.
* Gausovi celi brojevi formiraju prsten, kao i Ajzenštajnovi celi brojevi.
* Polinomijalni prsten *R*[X] polinoma nad prstenom *R* je takođe prsten.
* *Primer nekomutativnog prstena*: Za svaki prsten *R* i svaki prirodan broj *n*, skup svih kvadratnih *n*×*n* matrica sa članovima iz *R*, gradi prsten u odnosu na sabiranje matrica i množenje matrica. Za *n*=1, ova matrica je prosto (izomorfna sa) *R*. Za *n*>2, ovaj prsten je primer nekomutativnog prstena (osim ako je *R* trivijalan prsten).
* *Primer konačnog prstena*: Ako je *n* pozitivan ceo broj, tada skup **Z***n* = **Z**/*n***Z** celih brojeva po modulu *n* formira prsten sa *n* elemenata (vidi *[[modularna aritmetika]]*).
* ako je *S* skup, tada partitivni skup od *S* postaje prsten ako definišemo sabiranje kao simetričku razliku skupova, a množenje kao presek. Ovo je primer Bulovog prstena.
* Skup svih neprekidnih realnih funkcija definisanih na intervalu [*a*, *b*] formira prsten (čak asocijativnu algebru). Operacije su sabianje i množenje funkcija. 
* Ako je *G* Abelova grupa, tada endomorfizmi od *G* grade prsten, prsten endomorfizama End(*G*) od *G*. Operacije su sabiranje i kompozicija endomorfizama.
* **Kontra-primer**: Skup prirodnih brojeva **N** nije prsten, jer (**N**, +) nije čak ni grupa. Na primer, ne postoji prirodan broj koji se može dodati broju 3 da bi se kao rezultat dobilo 0. Na prirodan način se od ovog skupa može napraviti prsten, dodavanjem negativnih brojeva (ovo je prsten celih brojeva). Prirodni brojevi grade algebarsku strukturu koja se naziva poluprsten (koja ima sva svojstva prstena, izuzev aditivnog inverza).
* Parni brojevi 2**Z** (uključujući negativne parne brojeve) su primer pseudo-prstena, u smislu da imaju sva svojstva prstena osim multiplikativnog neutrala.

## Osnovne teoreme
Iz aksioma se odmah može izvesti da za sve elemente prstena *a* i *b* imamo
* 0*a* = *a*0 = 0.
* (&minus;1)*a* = &minus;*a*.
* (&minus;*a*)*b* = *a*(&minus;*b*) = &minus;(*ab*).
* (*ab*)&minus;1 = *b*&minus;1 *a*&minus;1 ako su *a* i *b* invertibilni.

Druge osnovne teoreme
* Neutral 1 je jedinstven.
* Ako prsten ima multiplikativni inverz, onda je on jedinstven.
* Ako prsten ima najmanje dva elementa, onda je 0 ≠ 1
* Ako je *n* ceo broj, i *a* je element prstena definišemo *na* posmatranjem *a* kao elementa aditivne grupe prstena (to jest, 0 ako je *n* jednako 0, suma *n* puta *a* ako je *n* pozitivno, i suprotno od (–*n*)*a* ako je *n* negativno). Obično pišemo *n* za element prstena *n*1. Tada:
** Dve definicije *na* se poklapaju, to jest, prvo, sa *n* posmatranim kao celim brojem kao gore; drugo, sa *n* kao elementom prstena *n*1 i množenjem u izrazu *na* uzima mesto u prstenu. Stoga ceo broj *n* može da se identifikuje sa elementom prstena *n*. (Osim što više od jednog celog broja može da odgovara jednom elementu na ovaj način.)
** Element prstena *n* komutira sa svim ostalim elementima prstena.
** Ako su *m* i *n* celi brojevi, *a* i *b* elementi prstena, tada (*m*·*a*)(*n*·*b*) = (*mn*)·(*ab*)
** Ako je *n* ceo broj, *a* element prstena, tada *n*·(-*a*) = -(*n*·*a*)
** *[[Binomna teorema]]*
::(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ky^{n-k},

:važi kad god *x* i *y* komutiraju. Ovo važi u svakom komutativnom prstenu.
* Ako je prsten ciklična grupa u odnosu na sabiranje, tada je komutativan.

## Konstruisanje novih prstena od datih prstena
* Za svaki prsten *R* možemo da definišemo **suprotan prsten** *R*op obrtanjem množenja u *R*. Ako je dato množenje ·  u *R* množenje ∗ u *R*op je definisano kao *b*∗*a* := *a*·*b*. Identiteta iz *R* u *R*op je izomorfizam akko je *R* komutativno. Međutim, čak i ako *R* nije komutativno, moguće je da ipak *R* i *R*op budu izomorfni. Na primer, ako je *R* prsten *n*&times;*n* matrica realnih brojeva, tada je transponujuće preslikavanje iz *R* u *R*op izomorfizam.
* Ako je podskup *S* prstena *R* zatvoren za množenje, sabiranje i oduzimanje i sadrži aditivni i multiplikativni neutral, tada je *S* *[[podprsten]]* od *R*.
* *[[Centar prstena]]* *R* je skup elemenata iz *R* koji komutiraju sa svakim elementom *R*; to jest, *c* leži u centru ako *cr*=*rc* za svako *r* iz *R*. Centar je podprsten od *R*. Kaže se da je podprsten *S* od *R* centralni ako je podprsten centra od *R*.
* Ako je dat prsten *R* i dvostrani ideal *I* od *R*, *[[količnički prsten]]* *R*/*I* je skup svih koseta od *I* zajedno sa operacijama
:(*a+I*)  + (*b+I*) = (*a*+*b*) + *I* i
:(*a+I*)(*b+I*) = (*ab*) + *I*.

## Kategorijski opis
Kao što se monoidi i grupe mogu posmatrati kao kategorije sa jednim objektom, prstenovi se mogu posmatrati kao aditivne kategorije sa jednim objektom. Ovde su morfizmi elementi prstena, kompozicija morfizama je množenje prstena, a aditivna struktura na morfizmima je sabiranje prstena. Suprotan prsten je tada kategorijski dual.

## Povezano
* Teorija prstena
* Neasocijativni prsten
* Komutativni prsten
* Diferencijalni prsten
* Polje

## Literatura
* Ayres, Frank, *Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra*, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). .

### Opšta literatura

* 
* 
* 
* .
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* .
* 
* 
* 
* 
* 
* .
* .
* 
* 

### Specijalizovana literatura

* .
* .
* 
* 
*.
* .
* 
* 
* .
* 
* 
* 
* .
* 
* .
* .
* 
* 

### Primarni izvori

* 
* 
* 

### Istorijski izvori

*History of ring theory at the MacTutor Archive 
* Birkhoff, G. and Mac Lane, S. A Survey of Modern Algebra, 5th ed. New York: Macmillian, 1996.
* Bronshtein, I. N. and Semendyayev, K. A. Handbook of Mathematics, 4th ed. New York: Springer-Verlag, 2004. .
* Faith, Carl, *Rings and things and a fine array of twentieth century associative algebra*. Mathematical Surveys and Monographs, 65. American Mathematical Society, Providence, RI, 1999. xxxiv+422 pp.&nbsp;.
* Itô, K. (Ed.). "Rings." §368 in Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed., Vol. 2. Cambridge, MA: MIT Press, 1986.
* Kleiner, I., "The Genesis of the Abstract Ring Concept", Amer. Math. Monthly 103, 417–424, 1996.
* Kleiner, I., "From numbers to rings: the early history of ring theory", *Elem. Math.* **53** (1998), 18–35.
* Renteln, P.  and Dundes, A. "Foolproof: A Sampling of Mathematical Folk Humor." Notices Amer. Math. Soc. 52, 24–34, 2005.
* Singmaster, D. and Bloom, D. M. "Problem E1648." Amer. Math. Monthly 71, 918–920, 1964.
* Van der Waerden, B. L. A History of Algebra. New York: Springer-Verlag, 1985.