Kvadratna funkcija

Matematička funkcija *y=f(x)*, pojednostavljeno, podrazumijeva ovisnost jedne veličine o drugoj. Pri tome razlikujemo slobodnu veličinu ili nezavisnu varijablu *x* koja poprima vrijednosti iz skupa domene funkcije (skupa elemenata vrijednosti varijable za koje je funkcija definirana) i zavisnu varijablu *y* koja poprima vrijednosti iz skupa kodomene funkcije. O kodomeni funkcije govorimo često kao i o skupu vrijednosti funkcije, a o funkciji kao o procesu pridruživanja gdje se svakom elementu iz domene funkcije pridružuje jedan i samo jedan odgovarajući element iz kodomene funkcije. Uobičajeno je govoriti i o preslikavanju elemenata iz domene funkcije u kodomenu funkcije. Postoje brojne vrste funkcija, gdje su jedne od njih polinomne funkcije gdje je funkcija *y=f(x)* izražena u obliku polinoma određenog stupnja

: f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0, \, 

a kvadratna funkcija je polinomna funkcija gdje je najveća potencija *n*=2.

## Karakteristične vrijednosti kvadratne funkcije

Kvadratna funkcija se najčešće zapisuje u obliku

: y=f(x) = ax^2 + bx + c \, 

te u nekom konkretnom slučaju može imati na primjer oblik

: y=f(x) = x^2 - x - 2 \, 

gdje je grafički prikaz takve funkcije u koordinatnom sustavu prikazan na priloženoj slici (gore desno).

### Nulišta funkcije
U analizi osobina neke funkcije uobičajeno je najprije naći nulišta funkcije, odn. nultočke grafa funkcije za koje funkcija poprima vrijednost nula. U prikazanom slučaju to vodi rješavanju kvadratne jednadžbe

: x^2 - x - 2= 0\, 

rješenja koje su :

: x_1=2, x_2=-1. \, 

Točke  (2, 0)  i  (-1, 0)  predstavljaju zato nultočke grafa funkcije

: y= x^2 - x - 2 \, .

U jednostavnijim slučajevima nulišta funkcije, odn. nultočke grafa funkcije možemo naći neposredno iz same funkcije. Naime, razmatrajući funkciju

: y= x^2 - x - 2 \, 

na prvi pogled je vidljivo da se ona može prikazati u obliku umnoška dva binomna člana kao

: y= (x+1)(x-2) \, 

gdje će očito vrijednost funkcije biti jednaka nuli za  x= -1   i  x= 2  .

Ukoliko graf funkcije zaista siječe apscisu, odn. x-os koordinatnog sustava, tada će nulišta funkcije biti realni brojevi jer su i rješenja kvadratne jednadžbe realna. No, međutim, ukoliko graf funkcije ne siječe x-os tada niti odgovarajuća kvadratna jednadžba neće imati realna rješenja, već će se rješenja nalaziti u domeni kompleksnih brojeva.

### Tjeme grafa funkcije
U primjeru datu kvadratnu funkciju možemo razmatrati i kao parabolu osnovnog oblika

:  x^2 = 2py  \, 

no pomaknutu iz središta koordinatnog sustava, gdje je *p* poluparametar parabole. Iz funkcije zadane sa

: y = x^2 - x - 2 \, 

može se naći redom
:
\begin{align}
y &= x^2 - x - 2 \\

y +2&=x^2 - x \\

y +2&=x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \\

y +2+ \frac{1}{4}&=   (x - \frac{1}{2})^2 \\

y +2,25 &=   (x - \frac{1}{2})^2 
\end{align}

odakle slijedi da su koordinate tjemena *T* grafa funkcije određene koordinatama *x*=0,5 i *y*=-2,25 te govorimo o grafu funkcije čije je tjeme "pomaknuto" izvan središta koordinatnog sustava.

### Ekstremi kvadratne funkcije
Kvadratna funkcija ima jedan ekstrem, minimum ili maksimum funkcije, a ovisno o predznaku vodećeg člana funkcije. Za funkciju

: y= x^2 - x - 2 \, 

to će biti minimum funkcije (a>0) koji se na grafu funkcije nalazi u točki gdje je smješteno tjeme funkcije *T*. Ekstrem funkcije može se naći i na drugi način. Diferencirajući funkciju nalazimo da je

:  dy=2xdx-dx  \,  odakle slijedi da je

:  dy=(2x-1)dx  \, 

: y' = \frac{dy}{dx}= 2x-1.  \, 

Ekstrem funkcije postoji za dy/dx=0 što vrijedi za *x*=1/2, a to je upravo x koordinata tjemena parabole u grafu. Kako je, nadalje, druga derivacija za svaki *x* veća od nule, očito se zaista radi o minimumu funkcije što se evidentno vidi i iz grafa funkcije.

## Parabola i kvadratna funkcija
Parabola je kao krivulja de facto graf kvadratne funkcije. Valja samo ustanoviti vezu između odgovarajućih članova polinoma kvadratne funkcije te poluparametra *p* parabole.

Paraboli s tjemenom u ishodištu koordinatnog sustava i osnosimetričnoj u odnosu na y-os koordinatnog sustava odgovara tjemena jednadžba oblika

: x^2 = 2py  \, 

odakle slijedi da je

: y = \frac{1}{2p}x^2.  \, 

Uspoređujući parabolu s tjemenom u ishodištu koordinatnog sustava kao grafa odgovarajuće kvadratne funkcije nalazimo da je

: y = \frac{1}{2p}x^2 = ax^2   \, 

gdje je evidentno

:  \frac{1}{2p} = a   \, , odnosno   \frac{1}{2a} = p   \, 

što predstavlja neposrednu vezu poluparametra parabole *p* i vodećeg člana *a* polinoma kvadratne funkcije. Do odgovarajuće sličnih odnosa može se doći i razmatranjem parabole, odn. odgovarajućeg grafa kvadratne funkcije s pomaknutim tjemenom izvan središta koordinatnog sustava.

Konačno, valja napomenuti da paraboli definiranoj tjemenom jednadžbom

: y^2 = 2px  \, 

odgovara inverzna kvadratna funkcija oblika

: x=f(y) = ay^2 + by + c= 0\, 

gdje će sada, naravno, članovi *a*, *b* i *c* poprimiti neke druge vrijednosti, a uz zadržavanje svih odgovarajućih ekvivalentnih odnosa.

## Značaj kvadratne funkcije
Razmatranje svojstava kvadratne funkcije često je na neki način uvod u analizu sve složenijih matematičkih funkcija i uvod u matematičku analizu općenito. Kvadratnu funkciju, međutim, vrlo često nalazimo u prirodi u različitim fizikalnim sustavima jer je, na primjer, u svakom ubrzanom gibanju prijeđeni put ovisan o kvadratu vremena, električna snaga na otporniku ovisna je o veličini otpora i kvadratu struje koja prolazi kroz njega, električna energija pohranjena u kondenzatoru ovisi o njegovu kapacitetu i kvadratu napona koji postoji na njegovim oblogama i td.

## Literatura
* Gusić J., Mladinić P., Pavković B, "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.
* Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, Zagreb, 2006.