Tetraedar

**Tetraedar** () je geometrijsko telo koga ograničavaju četiri temena površi, koje zajedno sa delom prostora koga omeđuju jednoznačno formiraju telo sa četiri temena i šest ivica. Naziv se u principu koristi za pravilni tetraedar, kod koga su ove četiri površi identični jednakostranični trouglovi. Pravilni tetraedar je jedan od pet pravilnih poliedara.

## Svojstva pravilnog tetraedra
Neke od osnovnih karakteristika tetraedra su određene sledećim formulama:

## Pregled

Tetraedar je trodimenzijski slučaj općeg koncepta euklidskog simpleksa.
To je jedan od oblika piramida, koji je poliedar s ravnom poligonskom bazom i trokutastoim  licem koje  povezuje bazu za zajedničkom tjemenom tačkom. U slučaju kada je  tetraedarska  baza trougao (bilo koje od četiri lica može se smatrati bazom), takav tetraedar je također poznat kao "trouglasta piramida*

Kao i svi [[konveksni poliedar|konveksni poliedri]], tetraedar može biti sastavljen iz jednog lista papira. On ima takvu [[mreža (poliedar)|mrežu]].

Milo koji tetraedar ima  sferu (zvanu [[cirkumsfera]]) na kojoj leže sva četiri i drugu sferu ([[insfera]]), koja je [[tangenta]] površina tetraedra.

== Pravilni tetraedar ==
*'Pravilni tetraedar** je onaj u kojem su sva četiri lica su [[istostranični trougao|istostrani trouglovi]]. To je jedan od pet pravilnih [[platonska čvrsta tvar|platonskih čvrstih tvari]], koje su poznate od davnina.

Kod pravilnog  tetraedra, ne samo da su sve njegove strane iste veličine i oblika (podudarne), nego su takvi i sve njegovi vrhova i rubovi.



Pravilni  tetraedra nije samo popunjen prostor, nego  ako je naizmeničan sa [[pravilni oktaedar|pravilnim oktaedrom]],  oni čine [[naizmenično kubno saće]], koji je prazan.

Tetraedar je samo-dualan, što znači da je njegov [[Dualni poliedar|dvojnik]] drugi tetraedar. [[poliedarski spoj|Spoj]] slika sastoji se od dva takva dualna tetraedra koji formiraju [[zvjezdasti oktaedar]] ili zvjezdasti oktaugao.

==Tretraedarske formula==
Slijedeće [[Dekart]]ove koordinate definiraju četiri tjemena tetraedra dužine ruba 2, centrirana prema  porijeklu:
:<math>\left(\pm 1, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \quad \mbox{and} \quad \left(0, \pm 1, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)</math>

Drugi set koordinata se zasniva na [[Alternacija (geometrija)|naizmeničnoj]] [[kocka|kocki]] ili **demikubu*' dužine ruba 2. Ovaj oblik ima [[Coxeterov dijagram]] 4x3  i [[Schläfli simbol]] h {4,3}. Tetraedar u ovom slučaju ima dužinu ruba 2. Invertiranje  ove koordinate generira dualni tetraedar i taj par zajedno formira zvjezdasti oktaedar, čija tjemena  su one originalne kocke
.
:Tetraedar: (1,1,1), (1,−1,−1), (−1,1,−1), (−1,−1,1)
:Dualni tetraedar: (−1,−1,−1), (−1,1,1), (1,−1,1), (1,1,−1)


Za tetraedra dužine ruba *a*:


U odnosu na baznu ravni [[nagib]]  lica (2) je dva puta veći  od ivice (), što odgovara činjenici da je *horizontalna* udaljenost od baze do [[Apeks (geometrija)|apeksa]] duž ivice dva puta veća od [[Medijana (geometrija)|medijane]] lica. Drugim riječima, ako je *C* [[težište]] baze, udaljenost od *C* do tjemena baze je dvostruko veća od centralne tačke *C* do ruba baze. To proizlazi iz činjenice da je medijane trougla sijeku svojim težištem i tada dijele svaku od njih u dva segmenta, od kojih je jedan duplo veći, dok drugi dijeli svaku medijanu u omjeru 2 : 1.

Za pravilni tetraedar sa stranom dužine *a*, radijusom *R* njegove cirkumsfere i udaljenosti *di* iz proizvoljne tačke u 3-dimenzijskom prostoru za njegova četiri tjemena, imamo:
:<math>\begin{align}\frac{d_1^4 + d_2^4 + d_3^4 + d_4^4}{4} + \frac{16R^4}{9}&= \left(\frac{d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + d_4^2}{4} + \frac{2R^2}{3}\right)^2;\\
4\left(a^4 + d_1^4 + d_2^4 + d_3^4 + d_4^4\right) &= \left(a^2 + d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + d_4^2\right)^2.\end{align}</math>

== Povezano ==
*[[Poliedar]]
*[[Kocka]]

==Reference==


Pri tom je *-{a}-'' dužina ivice tetraedra.