Kvadratne matrice

U matematici, kvadratna matrica je matrica u kojoj je broj redova  i kolona  isti. Taj  broj se zove red matrice. Bilo koje dvije kvadratne matrice istog reda  mogu se sabirati i množiti.
## Osobine kvadratnih matrica
#Kvadratnu matricu uvijek možemo razviti po elementima bilo kojeg reda i bilo koje kolone. Uvijek dobijamo istu vrijednost determinante.
#Kvadratna matrica ne mijenja vrijednost, ako zamijenimo redove ili kolone kvadratne matrice u redoslijedu.
#Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi jednog reda ili jedne kolone nule, ima vrijednost jednaku nuli.
#Ako u kvadratnoj matrici dvije kolone ili dva reda međusobno zamijene položaj, kvadratna matrica mijenja predznak.
#Kvadratna matrica ne mijenja svoje vrijednosti ako elementima jednog reda (jedne kolone) dodamo odgovarajuće elemente drugog reda (kolone) eventualno pomnožene bilo kojom konstantom.

## Glavna dijagonala
Elementi a_{ii} (i = 1, ..., n) čine glavnu dijagonale kvadratne matrice. Ovi elementi leže na zamišljenoj ravnoj liniji koja se proteže od gornjeg lijevog ugla prema donjem desnom uglu matrice.

**Primjer**

Glavnu dijagonalu matrice
\begin{bmatrix}
9     & 13 & 5   & 2  \\
1     & 11 & 7   & 6 \\
3& 7 & 4 & 1  \\
6   & 0 & 7  &10 
\end{bmatrix}

čine elementi a_{11} = 9,  A_{22}= 11 , A_{33} = 4, A_{44} = 10.

Dijagonala koja prolazi od donjeg lijevog ugla do gornjeg desnog naziva se strana.

## Trag matrice
Zbir elemenata na glavnoj dijagonali kvadratne matrice zovemo trag matrice i pišemo {\rm tr\,}A. Tj.


 {\rm tr\,}\,A=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}.

## Množenje kvadratnih matrica
Kvadratne matrice imaju redova koliko i kolona, pa se mogu množiti u bilo kojem poretku. U tom slučaju proizvod nije komutativan kao što pokazuje sljedeći primjer.

;Primjer
Neka su dane matrice

A,B\in M_2

A=\begin{bmatrix}
 1     & 0      \\
 
  0      & 0
\end{bmatrix} B=\begin{bmatrix}
a    & b    \\
 c      & d
\end{bmatrix}

AB=\begin{bmatrix}
a    & b     \\
  \vdots & \ddots & \vdots \\ 
  0      & 0
\end{bmatrix} BA= \begin{bmatrix}
  a     & 0      \\
  c      &0
\end{bmatrix}
 tj.

AB \ne BA

## Specijalni slučajevi
*Ako su svi elementi sem elemenata glavne dijagonale jednaki nuli matrica A je diagonalna.
*Ako su svi elementi iznad (ispod) glavne dijagonale jednaki nuli, matrica A zove se donje (gornje) trouglasta matrica.

*Ako je A=[a\,\delta_{ij}],tj. ako je matrica dijagonalna i ako su joj elementi na glavnoj dijagonali međusobno jednaki onda je skalarna
*Skalarna matrica je dijagonalna, dok obrat ne vrijedi.
*Nulmatrica O i jedinična matrica I su skalarne matrice. Svaka skalarna matrica ima oblik \lambda\,I, gdje je \lambda realan broj.
*A\,I=I\,A za svaku kvadratnu matricu A bilo koja skalarna matrica komutira sa svakom matricom A\in M_n

*simetrična matrica, ako je A^T=A
*antisimetrična matrica, ako je A^T=-A
*ortogonalna matrica, ako je A^T\,A=I

Elementi na glavnoj dijagonali antisimetrične matrice su nule. Svaka kvadratna matrica se može na jedinstven način razložiti na zbir simetrične i antisimetrične matrice

\displaystyle A=\frac{1}{2}\,(A+A^T)+\frac{1}{2}\,(A-A^T)

Da je A+A^T simetrična, a A-A^T antisimetrična matrica, što se vidi upotrebom gornjih osobina.

### Jedinična matrica
Jedinična matrica I_n je n \times n matrica kod koje su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki 1, a ostali elementi su jednaki 0.

E_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} ,\ E_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ \cdots ,\ E_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} 

;Množenje jediničnom matricom  

AI_n = I_nA = A

## Simetrične i antisimetrične matrice
Kvadratna matrica A, koja je identična sa svojon transponiranom matricom , tj. A = A^T, je simetrična.
Ako je A jednaka negativnoj transponiranoj matrici tj A=-A^T onda je asimetrična.
## Inverzna matrica
Kvadratna matrica A je inverzna matrica matrice B ako vrijedi.u B, tako daAB = BA = I  

Ako postoji takva matrica B ona je jedinstvena i naziva se inverzna matrica matrice A. Označava se sa A^{-1}.
## Izvori

* Kvadratne matrice\ 26.10.2001. 
* DETERMINANTE I MATRICE\ 20.01.1996.
## Reference