Aerodinamički otpor

**Otpor sredine**  ili **otpor sredstva** (nazivan *otpor fluida* i *otpor tekućine* kada se odnosi na tečnost ili *aerodinamički otpor* i *otpor vazduha* kada se odnosi na zrak) je sila sa kojom se fluid, uključujući vazduh, suprotstavlja kretanju tela kroz svoju sredinu. Ta sila otpora deluje na telo pri njegovom kretanju kroz sredinu bilo koga fluida. Otpor fluida ima suprotan smer dejstva od smera kretanja tela. Intenzitet otpora, u direktnoj je zavisnosti od intenziteta brzine kretanja.

Pošto se sila otpora javlja suprotno smeru kretanja, ista se poništava sa potiskom/vučnom silom pogona tela ili fluida. Normalna komponenta od ukupne sile, na pravac kretanja, izazvane sa relativnim kretanjem tela i fluida, naziva se uzgon.

## Opšte vrste otpora
Otpor se sastoji iz više vrsta i različitog je porekla:
* Parazitni otpor, koji sačinjavaju
** otpor oblika,
** površinsko trenje i
** otpor izazvan sa međuuticem.
* Indukovani otpor i
* Talasni otpor.
Naziv za parazitske otpore se uglavnom koristi u aerodinamici, pošto prvenstveno krilo doprinosi u ukupnom uzgonu a ostali delovi doprinose prvenstveno u otporu. Indukovani otpor jedino postoji kada postoji krilo odnosno uzgon na njemu. Talasni otpor nastaje kada se telo kreće u oblasti blizu i sa većim brzinom od zvuka.

Na većim brzinama, kada je veliki Rejnoldsov broj, opšti otpor objekta se izražava kvantitativno preko koeficijenta, koji se sračunava pomoću odgovarajuće formule (jednačine). Pod pretpostavkom da je koeficijent otpora manje više konstantan, otpor se menja sa kvadratom brzine.
## Otpor na većim Rejnoldsovim brojevima

Pri strujnom polju, većom brzinom od kritične, matematički se definiše otpor, pri čemu se pojavljuje konstanta (koeficijenat) parabolične promene, u kvadratoj zavisnosti od brzine.

Za referntne, uvek se usvajaju karakteristične površine na primer za avion površina krila u planu, za projektil površina poprečnog preseka trupa, za loptu njena projekcija (površina kruga) itd.
Za objekat sa glatkom površinom, bez naglih prelaza, kao što je sfera, lopta, cilindar itd. koeficijent otpora je osetljiv na izmenu Rejnoldsovog broja, čak i na većim vrednostima. Za pločaste ravni, kao što je npr. kružni disk, koeficijent je konstanta za Re > 3.500.

### Potrebna snaga

Ovaj podatak je važan i iz praktičnih razloga na primer kada se vozi automobil, obezbeđuje se snaga prororcionalna razvijenoj brzini na treći stepen. Za brzinu od 80&nbsp;km potrebno je obezbediti snagu od 7,5&nbsp;kW samo za savlađivanje otpora vazduha, plus dodatna snaga za druge mehaničke otpore. Taj isti auto, ako poveća brzinu na 160&nbsp;km zahteva 60&nbsp;kW. Proizilazi, da za dvostruko veću brzinu treba blizu deset puta veća snaga.

### Slobodni pad
Brzina je funkcija vremena kada telo slobodno pada, sa visine H. Telo se koči sa otporom sredine određene gustine.

Pri slobodnom padu, u sredini fluida (najčešće je vazduh), telo se ubrzava sve do izjednačenja sile otpora sa težinom. Tada telo nastavlja da se ustaljeno kreće sa konstantnom brzinom \ v_{(k)}.

Gde je d u m, a \ v_{(k)} u m/s. Na primer, za ljudsko telo (d ~ 0,6 m) \ v_{(k)} ~ 70&nbsp;m/s, za malu životinju kao mačka (d ~ 0,2 m) \ v_{(k)} ~ 40&nbsp;m/s, za malu pticu (d ~ 0,05 m) \ v_{(k)} ~ 20&nbsp;m/s, za insekta (d ~ 0,01 m) \ v_{(k)} ~ 9&nbsp;m/s itd.

Granična brzina (brzina udara), veća je za veća bića, pa je njihova i veća smrtnost pri slobodnom padu sa visine na tlo. Prema tome male životinje imaju veću šansu da prežive slobodni pad sa visine na zemlju.

## Otpor na malom Rejnoldsovom broju – u viskoznom fluidu

Otpor malih sferičnih tela u viskoznom fluidu, pri vrlo maloj brzini - *puzanju*, ima posebnu linearnu zakonitost. To je slučaj kada su tela sitne čestice i kreću se relativno sporo kroz tečnost. U tim uslovima nema turbulencije to jest, to su uslovi sa veoma malim Rejnoldsovim brojevima, Re r = 0,5&nbsp;µm, kreće se kroz vodu sa brzinom v = 10&nbsp;µm/s. Korišćena voda ima dinamičku viskoznost od 10−3 pa·s i izaziva silu otpora od 0.09 pN. U praksi, sa ovom silom otpora bakterije plivaju kroz vodu.

## Otpor u avijaciji
### Indukovani otpor

Oko krila aviona je trodimenzionalno strujno polje vazduha. Pošto je krilo konačne vitkosti, različito je opstrujavanje oko aeroprofila, međusobno duž razmaha. Usled uspostavljene cirkulacije, stvorena razlika pritiska na gornjaci i donjaci krila, na krajevima krila se teži izjednačiti. U tome procesu izjednačavanja pritiska stvaraju se slobodni vrtlozi, na krajevima krila (slično na ilustraciji na gornjoj slici u boji, drugoj po redosledu). Ovo izjednačavanje pritiska znači i gubitak ukupnog uzgona. Pošto se određena vrednost uzgona mora obezbediti za željeni režim leta, krilo se mora postaviti na veći napadni ugao, a to je dopunski otpor.

Taj dopunski otpor je jedna od komponenti indukovanog otpora, a druga su slobodni vrtlozi na krajevima krila. Ova druga komponenta je zanemarljive veličine i izostavlja se u proračunima.

Ako se posmatra aeroprofil na nekom preseku, blizu kraja razmaha krila, na njegovo opstrujavanje ima uticaj slobodni vrtlog, saglasno šemi na slici desno.

Pretakanje vazduha sa donjake na gornjaku na krajevima krila, u vidu slobodnog vrtloga, generiše indukovanu brzinu wi, što izaziva promenu lokalnog napadnog ugla za &alpha;i. Pošto je brzina strujnog polja daleko veća od indukovane brzine (v >> wi) sledi:

:\ \tan\alpha_i \approx\ \alpha_i = \frac{w_i}{v} → Ova činjenica menja efektivni napadni ugao aeroprofila na posmatranom preseku krila, prema sledećoj relaciji:

:\ \alpha_0 = \alpha - \frac{w_i}{v}

Aeroprofil na tome preseku je pod efektivnim napadnim uglom &alpha;0 i on generiše odgovarajući uzgon i otpor za taj napadni ugao. Sila uzgona toga aeroprofila je nagnuta unazad za ugao &alpha;i, u odnosu na pravac sile uzgona u slučaju kada nema indukovane brzine (pretakanja vazduha). Na taj način je nastala komponenta aerodinamičke sile u pravcu kretanja, a u suprotnom smeru. Ta komponenta se suprotstavlja kretanju i ona se naziva indukovani otpor. Definisan je sa relacijom:

:\ {R_x}_i = R_z \cdot \frac{w_i}{v}\longmapsto\ {C_x}_i = C_z \cdot \frac{w_i}{v}

Ukupni otpor lokalnog aeroprofila je:

:\ C_x = {C_x}_0 + {C_x}_i

Za ukupno krilo se dobije integracijom duž razmaha.

### Parazitni otpori
Parazitni otpori su oni koji su neželjeno i posredno izazvani sa nužnim rešenjima. Sačinjavaju ih čeoni, trenje usled dodira fluida i površine tela i međuuticaj blizine dva susedna dela (interferencija).

U vazduhoplovstvu, indukovani otpor je direktna funkcija uzgona i sa koeficijentom uzgona raste. Znači da je najveći na minimalnim brzinama, kada je krilo blizu \ {C_z}{max}. Sa brzinom leta indukovani otpor opada, pošto se smanjuje koeficijent uzgona teži → \ {C_z}{min}, ali zato parazitni raste (raste i trenje). Kada značajnije počne uticaj stišljivosti počne da raste i talasni otpor. Zbog tih izmešanih uticaja brzine na ukupni otpor, pilot mora da bira režim leta za krstarenje, oko minimalne vrednosti ukupnog otpora, pri čemu je najmanja potrošnja goriva i za dugačko *planiranje* aviona pri otkazu motora.

### Kriva potrebne snage u vazduhoplovstvu

U prikazanu krivu ukupnog otpora na slici, treba uključiti još i talasni otpor i je osnova za određivanje potrebne snage za određeni režim leta aviona, koji se i realizuje ako se obezbedi ta snaga sa pogonom. Potrebna snaga za režim leta na svima vrednostima brzine je:
:\ W_p = \ R_x \cdot \mathbf v\longmapsto\ W_p = \frac{1}{2}C_x\rho S v^3

Zakonitost krive potrebne snage je ista kao i kriva ukupnog otpora, slika desno. Za pilota je važna ova kriva, iz koje se vidi da donja prevojna tačka (minimalni otpor) zahteva minimalni potisak, u okviru svih režima leta. Ispred i iza te vrednosti brzine potreban je veći potisak, odnosno veća je potrošnja goriva.

### Valni otpor u krozvučnom i nadzvučnom strujanju

Stišljivost vazduha značajnije počinje da utiče na otpor, odnosno na izmenu njegovog koeficijenta, na Mahovim brojevima većim od 0,5. Oblast leta aviona, pri Mahovim brojevima u rasponu M~0,8–1,2 smatra se kao krozvučna, iznad je nadzvučna, a ispod podzvučna. U krozvučnoj oblasti javljaju se lokalni normalni udarni talasi, koji značajno povećavaju otpor. Drastičan je skok vrednosti koeficijenta talasnog otpora u delu oko M ~ 1, kada je ceo avion pod normalnim udarnim talasom (vidi se i na slici desno). Pri prelasku u nadzvučnu oblast (M > 1,2) koeficijent otpora se smanjuje i stabilizuje na određenu vrednost (tada su kosi udarni talasi). Zbog ove zakonitosti promene talasnog otpora, sa Mahovim brojem, posebno je teško sa avionom preći režim leta M = 1, *„probiti zvučni zid“* (proći režime normalnih udarnih talasa). Dugo je bilo kao zakon da avion to može jedino izvesti samo pri radu motora sa dopunskim sagorevanjem (sa čime je jedino bilo moguće obezbediti potreban potisak). Poslednjih godina, pojavila su se dva aviona koji prolaze kroz ovaj režim i na baznom režimu rada svojih savremenih motora, to su F-22 raptor i Suhoj PAK FA.

## Dalanberov paradoks

Dalanberov paradoks se odnosi na matematički dokaz, da se pri opstrujavanju tela sa idealnim neviskoznim fluidom, ne generiše otpor. Francuski naučnik Dalanber () to je zaključio još 1752. godine, matematički razmatrajući potencijalno strujno polje, nestišljivog i neviskoznog fluida.

Matematičko modeliranje globalnog strujanja, moguće je primenom principa Navje-Stoksa na opštu jednačinu *količine kretanja*.
:\rho \left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla \vec{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \mathbf{f}

Gde su operatori:

:\nabla = \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial z};\quad \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}

Delovi jednačine imaju fizičko značenje:

:
\overbrace{\rho \Big(
\underbrace{\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}}_{
\begin{smallmatrix}
\text{C}\\
\end{smallmatrix}} +
\underbrace{\vec{v} \cdot \nabla \vec{v}}_{
\begin{smallmatrix}
\text{D} \\
\end{smallmatrix}}\Big)}^{\text{B}} =
\overbrace{\underbrace{-\nabla p}_{
\begin{smallmatrix}
\text{E} \\
\end{smallmatrix}} +
\underbrace{\mu \nabla^2 \vec{v}}_{\text{G}}}^{\text{H}} +
\underbrace{\mathbf{f}}_{
\begin{smallmatrix}
\text{I} \\

\end{smallmatrix}}

* B - Specifična sila inercije, po jedinici zapremine (*količina kretanja*)
* C - Ubrzanje
* D - Prirast ubrzanja
* E - Gradijent pritiska
* G - Viskoznost
* H - Prirast napona
* I - Ostale inercijalne sile

Dalanber je pri svojoj matematičkoj definiciji uveo tri osnovne pretpostavke:
* nestišljivost,
* neviskoznost i
* konzervativno vektorsko strujanje.

Na osnovu uvedenih uprošćenja, Dalamber je neviskoznu tečnost opisao sa Ojlerovom jednačinom u Navje-Stoksovom obliku, koja za nestišljivo dvodimenziono proticanje glasi:
: \nabla\ u = 0\qquad\qquad\qquad\quad\longleftrightarrow\qquad očuvanje mase

:\frac{\partial}{\partial t} u + \left(u\cdot\nabla\right) u = -\frac{1}{\rho}\nabla p\longleftrightarrow očuvanje impulsa

Gde su *u* brzina protoka, *p* pritisak, *ρ* gustina, a ∇ je operator gradijenta. Pretpostavka da je konzervativno vektorsko strujanje, znači da brzina zadovoljava ∇ &times; *u* = 0.

Na osnovu prethodnog proizilazi:

:\left(u \cdot \nabla\right) u = \tfrac{1}{2} \nabla \left(u \cdot u\right) - u \times \nabla \times u \longmapsto

:\left(u \cdot \nabla\right) u = \tfrac{1}{2} \nabla \left(u \cdot u\right) \qquad (1)

Prva jednakost je rezultat vektorske analize, a druga zakonitosti konzervativno vektorskog strujanja, u kome je potencijal brzine φ takav da zadovoljava relaciju u =\nablaφ. Zamenom ove jednakosti u jednačini *očuvanje impulsa*, dobija se:

: \nabla \left(\frac{\partial\varphi}{\partial t} + \tfrac{1}{2}
u \cdot u + \frac p\rho \right) = 0. 

Izraz u zagradi mora biti jednak nuli, kada je ispunjen uslov prethodne jednačine.

: \frac{\partial\varphi}{\partial t} + \tfrac{1}{2} u \cdot u + \frac p\rho = 0, \qquad (2) 

Izraz (2) predstavlja Bernulijevu jednačinu za nestacionarno strujno polje fluida.

### Nulti otpor
Uz pretpostavku da se telo kreće konstantnom brzinom **v** kroz tečnost, tako da pravi trag u beskonačnoj razdaljini. Tada strujnice tečnosti moraju da prate konturu tela, tako da je u obliku u(**x**, *t*) = *u*(***x*** &minus; *v&nbsp;t*, 0), i na taj način je:

: \frac{\partial u}{\partial t} + \left(v \cdot \nabla \right) u = 0. 

Gde je *u* = ∇*φ*, može se integrisati:

:\frac{\partial\varphi}{\partial t} = -v \cdot \nabla \varphi + R(t) = -v \cdot u + R(t). 

Sila *F* međusobnog dejstva, između fluida i tela, dobija se sa integracijom:

: \boldsymbol{F} = - \int_A p\, \boldsymbol{n}\; \mathrm{d} S 

Gde je A površina tela, a **n** normalan vektor na površinu tela. Sledi iz jednačine (2):

: p = - \rho \Bigl(\frac{\partial\varphi}{\partial t} + \tfrac12 u \cdot u \Bigr) = \rho \Bigl(v \cdot u - \tfrac{1}{2} u \cdot u - R(t) \Bigr)\longmapsto 

: \boldsymbol{F} = - \int_A p\, \boldsymbol{n}\; \mathrm{d} S = \rho \int_A \left(\tfrac12 u \cdot u - v \cdot u\right) \boldsymbol{n}\; \mathrm{d} S, 

Doprinos R(t) pri integraciji je jednak nuli.

U ovom vektorskom obliku pogodna je jednačina za primenu. Njene K-te komponente imaju oblik:

: F_k = \rho \int_A \sum_i (\tfrac12 u_i^2 - u_i v_i) n_k \, \mathrm{d} S. \qquad (3) 

Ako je V zapremina tela potopljenog u tečnošću. Po teoremi divergencije proizilazi:
: \frac12 \int_A \sum_i u_i^2 n_k \, \mathrm{d} S = - \frac12 \int_V \frac{\partial}{\partial x_k} \left(\sum_i u_i^2 \right) \,\mathrm{d} V. 

Desna strana integrala je beskonačan signal, tako da za ovo treba neko obrazloženje, koje može da obezbedi prihvatljivu teoriju za strujno polje, da pokaže da brzina mora opadati kao r −3 - strujno polje odgovara dipolu za slučaj trodimenzionalnog tela konačnih dimenzija - gde je r poluprečnik cilindra. Rezultat zapreminske integracije je oblika:
: \frac12 \frac{\partial}{\partial x_k} \left(\sum_i u_i^2 \right) = \sum_i u_i \frac{\partial u_k}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial(u_iu_k)}{\partial x_i} 

Gde je prva jednačina (1), a zatim se koristi nestišljivost. Uvrsti nazad u sastav signala i opet druga aplikacija teoreme divergencije. Dobija se:
: - \frac12 \int_V \frac{\partial}{\partial x_k} \left(\sum_i u_i^2 \right) \,\mathrm{d} V = -\int_V \sum_i \frac{\partial(u_iu_k)}{\partial x_i} \,\mathrm{d} V = \int_A u_k \sum_i u_i n_i \,\mathrm{d} S.

Ako se uvrsti u (3), dobija se:

: F_k = \rho \int_A \sum_i (u_k u_i n_i - v_i u_i n_k) \, \mathrm{d} S. 

Tečnost ne može da prodre u telo i tako da je n · u = n · v na površini tela. Tako da je:

: F_k = \rho \int_A \sum_i (u_k v_i n_i - v_i u_i n_k) \, \mathrm{d} S. 

Konačno, otpor je u pravcu u kome se kreće telo, pa je:

: \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{F} = \sum_i v_i F_i = 0. 

Otpor nestaje. To je Dalanberov paradoks.

Pošto u idealnom fluidu nema viskoznih sila nema ni sile trenja. Na taj način se dolazi do paradoksa da u potencijalnom strujanju u idealnom fluidu nema sile otpora. Zbog ove činjenice, dugo se smatralo da je ova analiza ne upotrebljiva za primenu u praktičnim problemima mehanike fluida. Međutim, paradoks Dalambera treba gledati kao prvu aproksimaciju, u kojoj se vazduh smatra kao bezviskozan fluid, te se njegovo kretanje može potpuno svrstati u okvire konzervativnog dinamičkog sistema, u kome je primenjiv zakon o održanju energije.

Bez ikakve dileme, Dalamberov princip je primenljiv i koristan za određivanje sile uzgona, pošto viskozne sile gotovo da nemaju nikakav uticaj na sile koje su normalne na pravac kretanja.

## Literatura
* Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi deo, Naučna knjiga, Beograd, 1950. g., prof. univerziteta Miroslav Nenadović
* Aerodinamika, Masinski fakultet Beograd, 1992. g., prof. dr. Tomislav Dragović
* 

## Izvori

## Povezano
* Aerodinamika
* Mahov broj
* Rejnoldsov broj
* Uzgon

## Vanjske veze

* Otpor vazduha
* Proračun otpora
* Aerodinamičke sile na videu