Ermitovi polinomi

**Ermiteovi polinomi** predstavljaju ortogonalni niz polinoma. Imenovani su prema Šarlu Ermitu, koji ih je izučavao 1864. godine. Polinomi su od značaja u teoriji verovatnosti, kombinatorici i numeričkoj analizi. U fizici Hermiteovi polinomi predstavljaju svojstvena stanja kvantnoga harmoničkoga oscilatora.

## Definicija
Postoje dva standardna načina normalizacije Ermiteovih polinoma:
:(1)\ \ {\mathit{He}}_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}\,\!

(**"probabilistički' Ermiteovi polinomi"**), i

:(2)\ \ H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}=e^{x^2/2}\bigg (x-\frac{d}{dx} \bigg )^n e^{-x^2/2}\,\!

(**"fizikalni' Ermiteovi polinomi"**). Te dve definicije nisu potpuno ekvivalentne, pa postoji transformacija između dve definicije:

:H_n(x)=2^{n/2}{\mathit{He}}_n(\sqrt{2}\,x), \qquad {\mathit{He}}_n(x)=2^{-\frac n 2}H_n\left(\frac x\sqrt{2}\right).

Prvih jedanaest polinoma je:
:{\mathit{He}}_0(x)=1\,
:{\mathit{He}}_1(x)=x\,
:{\mathit{He}}_2(x)=x^2-1\,
:{\mathit{He}}_3(x)=x^3-3x\,
:{\mathit{He}}_4(x)=x^4-6x^2+3\,
:{\mathit{He}}_5(x)=x^5-10x^3+15x\,
:{\mathit{He}}_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15\,
:{\mathit{He}}_7(x)=x^7-21x^5+105x^3-105x\,
:{\mathit{He}}_8(x)=x^8-28x^6+210x^4-420x^2+105\,
:{\mathit{He}}_9(x)=x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x\,
:{\mathit{He}}_{10}(x)=x^{10}-45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945\,

Prvih nekoliko fizikalnih Ermiteovih polinoma:

:H_0(x)=1\,
:H_1(x)=2x\,
:H_2(x)=4x^2-2\,
:H_3(x)=8x^3-12x\,
:H_4(x)=16x^4-48x^2+12\,
:H_5(x)=32x^5-160x^3+120x\,
:H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120\,
:H_7(x)=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x\,
:H_8(x)=256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680\,
:H_9(x)=512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x\,
:H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240\,

Ermiteov polinom može da se predstavi i matricom:


H_n(x)=\left |\begin{array}{cccccc}
x &  n-1  &  0   &  0  & \cdots  &  0 \\
1 &   x   & n-2  & 0 & \cdots  & 0 \\
0 &   1   &  x   & n-3 & \cdots  & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & x
\end{array}\right | 


## Ortogonalnost
*H**n*(*x*) i *He**n*(*x*) predstavljaju polinome *n*toga-stepena za *n*&nbsp;= 0, 1, 2, 3,&nbsp;.... Ti polinomi su ortogobnalni u odnosu na težinsku funkciju (meru)

:w(x) = \mathrm{e}^{-x^2/2}\,\!&nbsp;&nbsp; (*He*)

ili

:w(x) = \mathrm{e}^{-x^2}\,\!&nbsp;&nbsp; (*H*)

tj. mi immo:
:\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, w(x) \, \mathrm{d}x = 0
kada je *m*&nbsp;≠ *n*. Dalje,

:\int_{-\infty}^\infty {\mathit{He}}_m(x) {\mathit{He}}_n(x)\, \mathrm{e}^{-x^2/2} \, \mathrm{d}x = \sqrt{2 \pi} n! \delta_{nm}&nbsp;&nbsp; (probabilistički)
ili

:\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = \sqrt{ \pi} 2^n n! \delta_{nm}&nbsp;&nbsp; (fizikalna).
Probabilistički polinomi su dakle ortogonalni u odnosu na standardnu normalnu funkciju gustine verovatnoće.
## Rekurzivne relacije
Ermiteovi polinomi takođe zadovoljavaju sledeće rekurzije:

:{\mathit{He}}_{n+1}(x)=x{\mathit{He}}_n(x)-{\mathit{He}}_n'(x).\,\! (probabilistička)
:H_{n+1}(x)=2 xH_n(x)-H_n'(x).\,\! (fizikalna)

Ermiteovi polinomi predstavljaju Apelov niz, tj. oni zadovoljavaju sledeće jednačine

:{\mathit{He}}_n'(x)=n{\mathit{He}}_{n-1}(x),\,\! (probabilistička)
:H_n'(x)=2nH_{n-1}(x),\,\! (fizikalna)

ili ekvivalentno,

:{\mathit{He}}_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k} {\mathit{He}}_{k}(y) (probabilistička)
:H_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}H_{k}(x) (2y)^{(n-k)}= 2^{-\frac n 2}\cdot\sum_{k=0}^n {n \choose k} H_{n-k}\left(x\sqrt 2\right) H_k\left(y\sqrt 2\right). (fizikalna)

Ermiteovi polinomi zadovoljavaju takođe sledeće rekurentne relacije:

:{\mathit{He}}_{n+1}(x)=x{\mathit{He}}_n(x)-n{\mathit{He}}_{n-1}(x),\,\! (probabilistička)
:H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x).\,\! (fizikalna)

Te poslednje relacije često se koriste da bi se pomoću početnih polinoma izračunali ostali.
## Generirajuće funkcije

Ermiteovi polinomi mogu da se predstave i eksponencijalnom generirajućom funkcijom:

:\exp (xt-t^2/2) = \sum_{n=0}^\infty {\mathit{He}}_n(x) \frac {t^n}{n!}\,\! (probabilistička)

:\exp (2xt-t^2) = \sum_{n=0}^\infty H_n(x) \frac {t^n}{n!}\,\! (fizikalna).
## Eksplicitni izraz

Fizikalni Ermiteovi polinomi mogu da se napišu eksplicitno kao:

: H_n(x) = n! \sum_{\ell = 0}^{n/2} \frac{(-1)^{n/2 - \ell}}{(2\ell)! (n/2 - \ell)!} (2x)^{2\ell} 

za parne *n* i

: H_n(x) = n! \sum_{\ell = 0}^{(n-1)/2} \frac{(-1)^{(n-1)/2 - \ell}}{(2\ell + 1)! ((n-1)/2 - \ell)!} (2x)^{2\ell + 1} 

za neparne *n.* Te dve jednačine mogu da se kombiniraju u jednu:

: H_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^m}{m!(n - 2m)!} (2x)^{n - 2m}.  
## Ermiteova diferencijalna jednačina
Probabilistički Ermiteovi polinomi predstavljaju rešenje diferencijalne jednačine:
:(e^{-x^2/2}u')' + \lambda e^{-x^2/2}u = 0
gde je λ konstanta, sa graničnim uslovom da *u* treba da bude polinom ograničen u beskonačnosti. Rešenje jednačine sa graničnim uslovom je
*u*(*x*)&nbsp;=&nbsp;*H*λ(*x*). Diferencijalna jednačina može i da se napiše u obliku:
:L[u] = u* - x u' = -\lambda u</math>
Takva jednačina naziva se Ermiteova jednačina, iako se taj naziv koristi i za blisko povezanu jednačinu:
:<math>u* - 2xu'=-2\lambda u
čija rešenja su fiziklani Ermiteovi polinomi.
## Ermiteova funkcija
Ermiteove funkcije mogu da se definišu pomoću fizikalnih polinoma::

:\psi_n(x) = (2^n n! \sqrt{\pi})^{-1/2} \mathrm{e}^{-x^2/2} H_n(x) = (-1)^n(2^n n! \sqrt{\pi})^{-1/2} \mathrm{e}^{x^2/2} \frac{d^n}{dx^n} \mathrm{e}^{-x^2}

Pošto te funkcije sadrže kvadratni koren funkcije težine one su ortonormalne:

:\int_{-\infty}^\infty \psi_n(x)\psi_m(x)\, \mathrm{d}x = \delta_{n\,m}\,

Ermiteove funkcije zadovoljavaju diferencijalnu jednačinu:

:\psi_n''(x) + (2n + 1 - x^2) \psi_n(x) = 0\,.

Ta jednačina ekvivalentna je Šredingerovoj jednačini za harmonijski oscilator u kvantnoj mehanici, tako da su te funkcije svojstvene funkcije.

Ermiteove funkcije zadovoljavaju sledeće rekurzione relacije:

:\psi_n'(x) = \sqrt{\frac{n}{2}}\psi_{n-1}(x) - \sqrt{\frac{n+1}{2}}\psi_{n+1}(x)

kao i

:x\;\psi_n(x) = \sqrt{\frac{n}{2}}\psi_{n-1}(x) + \sqrt{\frac{n+1}{2}}\psi_{n+1}(x)
## Literatura
* Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover,