Množenje

**Množenje** je binarna operacija u matematici. Zapisuje se kao *-{a · b}-* ili *-{a × b}-*. [Operandlli ''-{a}-'' i ''-{b}-'' se nazivaju '''činioci''' ('''faktori'''), a rezultat množenja '''proizvod'''.

Ako je jedan operand [prirodan broj, onda množenje predstavlja skraćeni zapis sabiranja. Npr, ako je *-{n}-* ∈ ℕ, onda je
:a \cdot n = \underbrace{a + \cdots + a}_n.

U algebri se oznaka za množenje podrazumeva i može se preskočiti, pa se *3 · -{a · b}-* može zapisati i kao *3 -{a b}-*

Inverzna operacija množenju je deljenje.

## Množenje brojeva
### Osobine
Množenje ima prioritet nad sabiranjem. Množenje brojeva ima sledeće osobine (za množenje drugih objekata pogledati niže u tekstu):

5. Na skupu racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva, svaki broj osim nule ima tačno jedan inverzan broj, takav da je njihov proizvod jedinica:
:\forall a \  \exists_1 b: a \cdot b = 1
Inverzan broj broja a se zapisuje kao \tfrac{1}{a}. Inverzan broj inverznog broja je polazni broj:
:\frac{1}{\frac{1}{a}} = a

### Množenje celih brojeva
Prilikom množenja celih brojeva, ako su oba istog znaka (oba pozitivna ili negativna), rezultat je pozitivan. Proizvod pozitivnog i negativnog broja je negativan.

### Racionalni činioci

**Proizvod racionalnih brojeva** je racionalan broj kome je brojilac proizvod brojilaca činilaca, a imenilac proizvod imenilaca činilaca:
:a = \frac{p_1}{q_1} \land b = \frac{p_2}{q_2} \Rightarrow a \cdot b = \frac{p_1 \cdot p_2}{q_1 \cdot q_2}

### Iracionalni činioci

Neka je *-{b}-* ∈ ℝ \ ℚ iracionalan broj, tada je proizvod *-{a · b}-* granična vrednost
:a \cdot b = \lim_{\frac{p}{q} \rightarrow b} a \cdot \frac{p}{q}
gde je \tfrac{p}{q} racionalan broj i predstavlja približnu vrednost broja *-{b}-*.

### Množenje kompleksnih brojeva

Svaki **kompleksan broj** *z* možemo zapisati kao uređeni par ili u trigonometrijskom (polarnom) zapisu:
:z = (a, b) = \rho (\cos \phi + i \sin \phi).

Kako je i^2 = -1, formula za množenje u algebarskom zapisu glasi
:(a_1, b_1) \cdot (a_2, b_2) = (a_1 a_2 - b_1 b_2, a_1 b_2 + a_2 b_1).

Iz trigonometrijskih jednačina sledi formula za množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku:
:\rho_1 (\cos \phi_1 + i \sin \phi_1) \cdot \rho_2 (\cos \phi_2 + i \sin \phi_2) = \rho_1 \rho_2 (\cos \left( \phi_1 + \phi_2\right) + i \sin \left( \phi_1 + \phi_2\right))

## Množenje vektora

Postoji nekoliko vrsta množenja **vektora**: množenje vektora skalarom, skalarni, vektorski i mešoviti proizvod vektora. Skalarni proizvod vektora se obeležava sa „·“, a vektorski sa „×“.

Posmatrajmo vektor u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru: \mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z) \in \mathbb{R}^3.

### Množenje vektora skalarom
Vektor se množi skalarom tako što se svaka njegova koordinata pomnoži skalarom. Ova operacija je komutativna.
:k \in \mathbb{R}, \mathbf{a} \in \mathbb{R}^3 \Rightarrow k \mathbf{a} = (k a_x, k a_y, k a_z)

### Skalarni proizvod
**Skalarni proizvod vektora** je skalar jednak sumi proizvoda odgovarajućih koordinata:
:\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3
:\cdot: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}
:\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z
Skalarni proizvod je komutativan.

### Vektorski proizvod

**Vektorski proizvod** vektora je novi vektor, čiji je intenzitet jednak površini paralograma koji vektori-činioci zaklapaju, pravac mu je normalan na ravan koju vektori-činioci definišu, a smer se definiše pravilom leve ili desne ruke, zavisno od konvencije. Ovaj proizvod je specifičan za \mathbb{R}^3, i antikomutativan je. Vektorski proizvod se računa kao determinanta matrice:

:\times: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3
:\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3
:\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z 
\end{vmatrix}


gde su \mathbf{i}, \mathbf{j} i \mathbf{k} ortovi duž x, y i z ose, respektivno.

### Mešoviti proizvod

Mešoviti proizvod tri vektora je skalar koji je jednak zapremini paralelopipeda koji ti vektori zaklapaju. Zapisuje se kao [**a, b, c**] i po definiciji je:

:[]: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}
:\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^3
:[\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] = 
\begin{vmatrix}
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
c_x & c_y & c_z \\
\end{vmatrix}


## Množenje matrica

Neka su date matrice *-{A}-* i *-{B}-* veličine -{m}--{A}-×-{n}--{A}- i -{m}--{B}-×-{n}--{B}-, respektivno. Proizvod *-{AB}-* je definisan ako je -{n}--{A}- = -{m}--{B}-, a dobijena matrica ima dimenzije -{m}--{A}-×-{n}--{B}-. Elementi matrice-proizvoda su
:(AB)_{i, j} = \sum_{k=1}^{n_A} A_{i, k} B_{k, j} 

Množenje matrica nije komutativno. Matrice 1×3 i 3×2 možemo pomnožiti samo na jedan način, a 5×4 i 4×5 sa obe strane, ali proizvodi neće imati istu veličinu (5×5 na jedan i 4×4 na drugi način). Ako se pomnože dve kvadratne matrice iste veličine, proizvodi su takođe iste veličine, i može se definisati komutator:
:[A, B] = A \times B - B \times A

## Povezano
* Deljenje
* Stepenovanje
* Tablica množenja
* Linearna funkcija
* Egipatsko množenje