Slična matrica

U matematici, posebice linearnoj algebri, za dvije kvadratne matrice *A* i *B* istog reda *n* kažemo da su **slične matrice** ako je
:*A*&nbsp;=&nbsp;*S*&minus;1*BS*
za neku inverzibilnu matricu *S* reda *n*.

Ekvivalentno, dvije matrice *A* i *B* su slične ako su to matrice jednog istog linearnog preslikavanja nekog vektorskog prostora *V* u odnosu na dvije njegove baze ***A*** i ***B***, redom. Pritom je *A*&nbsp;=&nbsp;*S*&minus;1*BS* za matricu *S*&nbsp;=&nbsp;*S****A***&rarr;***B*** promjene koordinata pri prelasku s baze ***A*** na bazu ***B***.

Slične matrice nisu "slične" u laičkom smislu &mdash; one mogu izgledati naizgled posve različito, kao što i to što se neke dvije matrice razlikuju možda tek u nekoliko elemenata ne govori ništa o njihovoj sličnosti.

Sličnost matrica je relacija ekvivalencije. Jedno od osnovnih pitanja kojima se bavi linearna algebra jest pronalaženje, za danu matricu *A*, u izvjesnom smislu što "jednostavnije" matrice *B* slične matrici *A*. Matrice slične nekoj dijagonalnoj matrici nazivaju se dijagonalizabilne (ponegdje dijagonabilne) matrice; dokazuje se da su takve, na primjer, sve *n*&nbsp;&times;&nbsp;*n* matrice sa *n* različitih svojstvenih vrijednosti, ali i neke druge. S druge strane, svaka kompleksna matrica ima jedinstvenu Jordanovu normalnu formu, koja joj je slična; općenito, svaka matrica nad bilo kojim poljem *F* slična je točno jednoj matrici u Jordanovoj normalnoj formi nad algebarskim zatvorenjem *F*&#126; i dvije matrice su međusobno slične ako i samo ako su njihove Jordanove forme identične (do na redoslijed blokova). Od interesa su i drugi kanonski oblici matrica.

Sličnost ne ovisi o polju: ako je *L* polje koje sadrži neko potpolje *K*, tada su dvije matrice *A* i *B* nad *K* slične kao matrice nad *K* ako i samo ako su slične kao matrice nad *L*.

Posebice, kažemo da su matrice permutacijski slične ako se matrica *S* može izabrati tako da bude permutacijska, unitarno slične ako se *S* može izabrati da bude unitarna, itd. Prema spektralnom teoremu je svaka normalna matrica unitarno slična dijagonalnoj; posebice je svaka realna simetrična matrica ortogonalno i svaka hermitska matrica unitarno dijagonalizabilna.

Preslikavanje *X*&nbsp;&rarr;&nbsp;*S*&minus;1*XS*, konjugacija u smislu teorije grupa u linearnoj grupi GL*n* inverzibilnih *n*&nbsp;&times;&nbsp;*n* matrica, se naziva preslikavanjem sličnosti i automorfizam je algebre M*n* svih *n*&nbsp;&times;&nbsp;*n* matrica. Ako je *A*&nbsp;=&nbsp;*S*&minus;1*BS*, tada je
:*f*(*A*)&nbsp;=&nbsp;*S*&minus;1*f*(*B*)*S*
za bilo koji polinom, ili općenito bilo koju funkciju *f* analitičku na domeni u kompleksnoj ravnini koja sadrži sve svojstvene vrijednosti matrice *A*. Posebno, ako je *A* dijagonalizabilna i *B*&nbsp;=&nbsp;diag(&nbsp;&lambda;1,&nbsp;&lambda;2,&nbsp;...&nbsp;&lambda;*n*&nbsp;) njoj slična dijagonalna matrica, tada su svi stupnjevi matrice *A* dani jednostavnom formulom
:*A**t*&nbsp;=&nbsp;*S*&minus;1&nbsp;diag(&nbsp;&lambda;1*t*,&nbsp;&lambda;2*t*,&nbsp;...&nbsp;&lambda;*n**t*&nbsp;)&nbsp;*S*.
Ovaj se rezultat koristi pri rješavanju linearnog diskretnog dinamičkog sustava **x**(&nbsp;*t*&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;)&nbsp;=&nbsp;*A* **x**(*t*), čije je rješenje **x**(*t*)&nbsp;=&nbsp;*A**t*&nbsp;**x**(0). Analogno, slične dijagonalne matrice pomažu u rješavanju sustava linearnih diferencijalnih jednadžbi, odnosno neprekidnog dinamičkog sustava. Pomoću iste formule se numerički brzo i precizno izračunava dominantna svojstvena vrijednost (svojstvena vrijednost najveće apsolutne vrijednosti).

Slične matrice imaju jednak rang, defekt, determinantu, trag, karakteristični i minimalni polinom, iste svojstvene vrijednosti s jednakim algebarskim kratnostima i dimenzijama odgovarajućih svojstvenih prostora. Rang linearnog preslikavanja je rang bilo koje od njegovih matrica (koje su međusobno slične, te tako sve imaju isti rang) - slično se mogu definirati i karakteristični i minimalni polinom linearnog preslikavanja, itd.