9-j симбол

**Вигнеров 9-j** симбол дефинисао је Еуген Вигнер као суму преко 6-j симбола:

:
 \begin{Bmatrix}
   j_1 & j_2 & j_3\\
   j_4 & j_5 & j_6 \\
   j_7 & j_8 & j_9
  \end{Bmatrix} = \sum_x (-1)^{2x}(2x+1)
  \begin{Bmatrix}
  j_1 & j_4 & j_7\\
  j_8 & j_9 & x
  \end{Bmatrix}
  \begin{Bmatrix}
   j_2 & j_5 & j_8\\
   j_4 & x & j_6
  \end{Bmatrix}
  \begin{Bmatrix}
  j_3 & j_6 & j_9\\
  x & j_1 & j_2 
  \end{Bmatrix}
.
## Везање угаоних момената
Везањем четири угаона момента добијају се Клебш-Горданови коефицијенти. Три угаона момента можемо да вежемо на неколико начина. Два угаона момента можемо да вежемо исто тако на више начина. Нпр. \mathbf{j}_1,
\mathbf{j}_2, \mathbf{j}_4 и\mathbf{j}_5 могу да се вежу тако да најпре вежемо
:\mathbf{j}_1+ \mathbf{j}_2=\mathbf{j}_3  и
:\mathbf{j}_4+ \mathbf{j}_5=\mathbf{j}_6  
а онда:
:\mathbf{j}_3+ \mathbf{j}_6=\mathbf{j}_9  
Ми то пишемо у скраћеном облику као:
:
  | ((j_1j_2)j_3, (j_4j_5)j_6)j_9m_9\rangle.

Други начин да се вежу 3 или 4 угаона момента је:
:\mathbf{j}_1+ \mathbf{j}_4=\mathbf{j}_7  и
:\mathbf{j}_2+ \mathbf{j}_5=\mathbf{j}_8  
а онда:
:\mathbf{j}_7+ \mathbf{j}_8=\mathbf{j}_9  
односно у скраћеном облику:
:
  |((j_1j_4)j_7, (j_2j_5)j_8)j_9m_9\rangle.

Трансформација између два облика је:
:
  |((j_1j_4)j_7, (j_2j_5)j_8)j_9m_9\rangle = 
:
\sum_{j_3}\sum_{j6}
    | ((j_1j_2)j_3, (j_4j_5)j_6)j_9m_9\rangle
  \langle ( (j_1j_2)j_3,(j_4j_5)j_6)j_9 | ((j_1 j_4)j_7,(j_2j_5)j_8)j_9\rangle.

При томе 9-j симбол симбол може да се дефинише као:
:
  [(2j_3+1)(2j_6+1)(2j_7+1)(2j_8+1)]^\frac{1}{2}
  \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6\\
    j_7 & j_8 & j_9
  \end{Bmatrix}
   = 
:  \langle ( (j_1j_2)j_3,(j_4j_5)j_6)j_9 | ((j_1 j_4)j_7,(j_2j_5)j_8)j_9\rangle.


## Ортогоналност
9-j симболи задовољавају релацију ортогоналности:
:
  \sum_{j_7 j_8} (2j_7+1)(2j_8+1)
  \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6\\
    j_7 & j_8 & j_9
  \end{Bmatrix}
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3'\\
    j_4 & j_5 & j_6'\\
    j_7 & j_8 & j_9
  \end{Bmatrix}
  = \frac{\delta_{j_3j_3'}\delta_{j_6j_6'} \Delta(j_1j_2j_3) \Delta(j_4j_5j_6) \Delta(j_3j_6j_9)}
         {(2j_3+1)(2j_6+1)}.

где је:
:\Delta(a,b,c)=[(a+b-c)!(a-b+c)!(-a+b+c)!/(a+b+c+1)!]^{1/2}

## Симетрије
Вигнеров 9-j симбол је инваријантан на рефлексије око дијагонале:
:
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6\\
    j_7 & j_8 & j_9
  \end{Bmatrix}
   = 
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_4 & j_7\\
    j_2 & j_5 & j_8\\
    j_3 & j_6 & j_9
  \end{Bmatrix}
  =
  \begin{Bmatrix}
    j_9 & j_6 & j_3\\
    j_8 & j_5 & j_2\\
    j_7 & j_4 & j_1
  \end{Bmatrix}.


Ако се пермутирају било која два реда или две колоне :
:
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6\\
    j_7 & j_8 & j_9
  \end{Bmatrix}
  =
  (-1)^S
 \begin{Bmatrix}
    j_4 & j_5 & j_6\\
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_7 & j_8 & j_9
  \end{Bmatrix}
  =
  (-1)^S
  \begin{Bmatrix}
    j_2 & j_1 & j_3\\
    j_5 & j_4 & j_6\\
    j_8 & j_7 & j_9
  \end{Bmatrix}.


тада се множи фазним фактором (-1)^S, где је S=\sum_{i=1}^9 j_i.

## Специјални случај
За j_9=0 9-j симбол пропорционалан је 6-j симболу:
:
  \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6\\
    j_7 & j_8 & 0
  \end{Bmatrix}
   = 
   \frac{\delta_{j_3,j_6} \delta_{j_7,j_8}}{\sqrt{(2j_3+1)(2j_7+1)}}
   (-1)^{j_2+j_3+j_4+j_7}
  \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_5 & j_4 & j_7
  \end{Bmatrix}.

## Суме
:
\sum _(-1)^(2j_+1)(2j_+1)\begin{Bmatrix}j_&j_&j_\\
j_&j_&j_\\
j_&j_&j\end{Bmatrix}\begin{Bmatrix}j_&j_&j_\\
j_&j_&j_\\
j_&j_&j\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}j_&j_&j_\\
j_&j_&j_\\
j_&j_&j\end{Bmatrix}.


* Лијеве групе
* Ротациона асиметрија
* Квантна механика

## Литература
* 3ј, 6ј и 9ј симболи
* -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, }-
* -{Edmonds, A. R., Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton, New Jersey: Princeton University Press (1957), }-
* -{Messiah, Albert , Quantum Mechanics (Volume II) (12th ed.), New York: North Holland Publishing (1981), }-