Jednakostranični trougao

**Jednakostranični trougao** (u starijoj literaturi je moguće naći i izraze jednakostrani, ravnostrani) je trougao čije su sve stranice jednake 
:a=b=c\, odnosno AB=BC=CA\,
takođe, svi uglovi su jednaki
:\alpha =\beta =\gamma =\frac{\pi }{3}=60^\circ.

Može se upisati i opisati krug. Poluprečnik opisanog kruga se označava sa **R** (velikim latiničnim slovom r), a poluprečnik upisanog sa **r** (malim latiničnim slovom r). Inače se poluprečnik obilježava sa "r" ili "R" (en. radius), a prečnik sa "d" ili "D" (en. diameter).

Jednakostraničan trougao se može naći u mnogim geometrijskim konstrukcijama. Pravilan šestougao se sastoji od šest jednakostraničnih trouglova. Tri od pet pravilnih poliedara (Platonova tela) sadrže jednakostranične trouglove kao stranice.

Ako se jednakostraničan trougao može smatrati pravilnom geometrijskom slikom sa najmanjim brojem temena odnosno stranica u ravni tada se pravilan tetraedar, koji se sastoji od četiri jednakostranična trougla, može smatrati analogonom u tri dimenzije, jer je on pravilno geometrijsko telo sa najmanjim brojem temena, ivica odnosno stranica.

## Svojstva
**Presek** težišnih duži (***T***), presek visina (***H***), simetrala stranica (centar opisane kružnice ***O***), simetrala uglova (centar upisane kružnice ***O***) se seku u jednoj tački.

**[[težišna duž|Težišne duži]]** su međusobno jednake.
:t_a=t_b=t_c=t\,

**[[visina trougla|Visine]]** su međusobno jednake.
:h_a=h_b=h_c=h\,

**Težišne duži** su podudarne **visinama**. Takođe, težišne duži su podudarne simetralama uglova i stranica.
:h\cong t\,

**Težišne duži** se seku u razmeri 2:1, odnosno tačka u kojoj se seku sve duži deli duž u odnosu 2:1.

Ovo su osobine koje su jedinstvene za jednakostraničan trougao.

## Ostale osobine
\frac{R}{r}=\frac{\frac{a}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{6} a}=\frac{6}{3}=2

Odnos površine kružnice upisane u jednakostranični trougao i površine trougla je

\frac{\frac{3a^2 \pi}{36}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}=\frac{12a^2\pi}{36a^2\sqrt{3}} =   \frac{\pi}{3\sqrt{3}}        

Odnos površine trougla i kvadrata njegovog obima

\frac{a^2\sqrt{3}}{36a^2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{36a^2}=\frac{1}{12\sqrt{3}}

Ako su vrhovi  A_1 A_2 A_3 trougla A_1A_2A_3 određeni su kompleksnim brojevima z_1, z_2, z_3 respektivno, tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna:
#A_1A_2A_3 je jednakostraničan trougao
#\mid z_1 -z_2\mid =\mid z_2 -z_3\mid =\mid z_3 -z_1\mid 
#z_1^2+z_2^2+z_3^2=z_1z_2+z_2Z_3+z_3z_1
#\frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}=\frac{z_3-z_2}{z_1-z_2}
#\frac{1}{z-z_1}=\frac{1}{z-z_2}=\frac{1}{z-z_3}  za z= \frac{z-1+z_2+z_3}{3}
#(z_1+ \epsilon z_2+\epsilon^2 z_3)(z_1+ \epsilon^2 z_2+\epsilon z_3)=0 za \epsilon=cos \frac{2\pi}{3}+ i sin\frac{2\pi}{3}
#
\begin{vmatrix}
  1 & 1  & 1\\
  z_1 & z_2  & z_3 \\
  z_2 & z_3  & z_1
\end{vmatrix}=0

Ako su A1(a_1), A_2(a_2) i A_3(a_3) vrhovi pozitivno orijentisanog trougla A_1A_ 2A_3, onda su sledeće  tvrdnje ekvivalentne:

#A_1A_2A_3 je jednakostraničan trougao;
#z_3- z_1 = \epsilon(z_2 - z_1), gde je \epsilon=cos \frac{\pi}{3}+ i sin\frac{\pi}{3}
#z_2- z_1 = \epsilon(z_3 - z_1), gde je \epsilon=cos \frac{5\pi}{3}+ i sin\frac{5\pi}{3}
#z_1+ \epsilon z_2+\epsilon^2 z_3=0

Za bilo koju tačku P u ravni trougla čije su udaljenosti  p, q i t  od vrhova A, B, i C, važi

3(p^4+q^4+t^4+a^4)=(p^2+q^2+t^2+a^2)^2

Za bilo koju tačku P  upisane kružnice jednakostraničnog trougla, sa udaljenostima  p, q i t od vrhova važi

4(p^2+q^2+t^2)=5a^2
## Konstrukcija

Povučemo pravu
Na njoj  konstruišemo kružnicu čiji je prečnik jednak 2a. 
Presječna tačka kružnice i prave je centar druge kružnice  prečnika 2a.

Dobijene tačke kao presjek te dvije kružnice i njihov presjek sa pravom su vrhovi trougla

II način

Povučemo pravu i konstruišemo kružnicu prečnika 2a čiji je centar na pravoj.
presjek kružnice i prave je tačka koju uzmemo za centar kružnice istog prečnika.

Presjek te dvije kružnice  su tačke čija udaljenost iznosi a. Sada lako dobijamo i treću tačku.

## Površina

**[[Površina]]** se može izračunati standardnom formulom:P=\frac {a\cdot h}  {2} ali postoje i druge formule koja važe za izračunavanje površine jednakostraničnog trougla:

P=\frac {a^2\cdot \sqrt[] 3} {4}=\frac {h^2 \cdot \sqrt[] 3} {3}

Formulu za površinu

P = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 lako možemo izvesti pomoću Pitagorine teoreme itrigonometrije.
### Pomoću Pitagorine teoreme

A = \frac{1}{2} ah.

\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2

h = \frac{\sqrt{3}}{2}a.

P = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2.
### Pomoću trigonometrije

P = \frac{1}{2} ab \sin C.

P = \frac{1}{2} ab \sin 60^\circ.

P = \frac{1}{2} ab \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}ab = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2

## Visina

**[[Visina trougla|Visinu]]** je moguće izračunati pomoću jedne od dve formule:

Prva je uobičajena i povezuje se sa dužinom stranice:
:h=\frac {a \cdot\sqrt[]{3}} {2},

a druga je izvedena iz formule za površinu:

P=\frac {h^2 \cdot \sqrt[] 3} {3} ⇒ h=\sqrt[] \frac {3P} {\sqrt[] 3} kada se racionališe i skrati dobija se h=\sqrt[]\frac{3P \, \sqrt[]3}{3}= \sqrt[] .

## Zanimljivosti
Arheološko nalazište Lepenski Vir u Srbiji, iz doba neolita, sadrži ostatke staništa koja u svojoj osnovi imaju jednakostranični trougao.

Davidova zvezda, simbol jevrejskog naroda, se sastoji od dva obrnuta jednakostranična trougla. Uz ove trouglove se povezuju i izvesna religiozna značenja.

Mistični simbol Pitagorejaca, tetraktis, je bio oblika jednakostraničnog trougla.

## Povezano
* Trougao
* Jednakokraki trougao
* Pravougli trougao

## Vanjske veze

* Jednakostranični trougao na mathworld.wolfram.com 
# NEW PROOF OF EULER’S INRADIUS - CIRCUMRADIUS INEQUALITY
# Another Proof of the Erdos-Mordell Theorem 
# Equilateral Triangles and Kiepert Perspectorsin Complex Numbers 
# Non-Euclidean Versions of Some Classical Triangle Inequalities 
# AN ELEMENTARY PROOF OF BLUNDON’S INEQUALITY
# Primene kompleksnih brojeva u geometriji
Reference==