open-index/open-wikipedia-markdown huggingface dataset:
Rajić

**Rajić** može biti:

* Rajić (prezime), koje, između ostalih, nose ili su nosili:
** Tanasko Rajić, srpski ustanički vođa
** Blaško Rajić, hrvatski katolički svećenik iz Subotice
** Ivica Rajić, bosanskohrvatski vojni vođa i osuđenik za ratne zločine
** Mihael Rajić, hrvatski nogometaš

## Toponimi

* Rajić (Novska), mjesto kod Novske u Hrvatskoj.
* Rajić (Bjelovar), mjesto kod Bjelovara u Hrvatskoj.
Rajić (Novska)

**Rajić** je naseljeno mesto u sastavu grada Novske, u zapadnoj Slavoniji, Republika Hrvatska.

## Historija
U naselju se nalazi masovna grobnica u koju je sahranjen jedan dio Srba iz naselja Paklenica ubijenih tokom hrvatske operacije Bljesak 1995.

## Stanovništvo

Na popisu stanovništva 2011. godine, Rajić je imao 875 stanovnika.

## Popis [[1991]].

Na popisu stanovništva 1991. godine, naseljeno mesto Rajić je imalo 1.424 stanovnika, sledećeg nacionalnog sastava:

## Reference

## Vanjske veze

* Radio-televizija Republike Srpske: Identifikovano 14 ubijenih Srba, 25. 11. 2011.
Stara Subocka

**Stara Subocka** je naselje u Republici Hrvatskoj u Sisačko-moslavačkoj županiji, u sastavu grada Novske.

## Geografija
Stara Subocka se nalazi zapadno od Novske, naselje na dva djela presjeca autocesta A3, susjedna naselja su Sigetac na jugu te Nova Subocka na sjeveru.

## Stanovništvo
Prema popisu stanovništva iz 2011. godine Stara Subocka je imala 502 stanovnika.

* **Napomena**: Naselja Nova Subocka i Stara Subocka iskazuju se u 1890. i od 1910. nadalje. Od 1857. do 1880. i u 1900. iskazivano je bivše naselje Subocka, za koje su podaci sadržani u naselju Stara Subocka.
.

## Izvor
Banova Jaruga

**Banova Jaruga** je naselje u u Sisačko-moslavačkoj županiji, smješteno 12&nbsp;km od grada Kutine i pripada regiji Moslavini. U njemu živi oko 750 stanovnika. Po veličini je peto naselje na teritoriju grada Kutine.

Nalazi se na raskrižju tri važna prometna pravca, od kojih jedan vodi za Kutinu i dalje prema Zagrebu, drugi prema Pakracu i Lipiku, a treći prema Novskoj i dalje prema Sl. Brodu. Osim za cestovni, Banova Jaruga je vrlo važna i za željeznički promet, jer se preko pruge Virovitica - Banova Jaruga ostvaruje veza Virovitičko-podravske,Požeško slavonske i Bjelovarsko-bilogorske županije sa Zagrebom na jednu i prema Vinkovcima (Beograd) na drugu stranu (paneuropski željeznički koridor X). U mjestu je jezero Banova Jaruga.

## Obrazovanje
* OŠ Banova Jaruga, od 2007. godine uključena je u Međunarodni program odgoja i obrazovanja za okoliš – projekt Udruge Lijepa naša
 
## Sport
* NK Strijelac Banova Jaruga (2. ŽNL Sisačko-moslavačka, NS Kutina ("Moslavačka nogometna liga"), 2008./09.)

## Vanjske veze

* OŠ Banova Jaruga
Banova Jaruga (jezero)

**Banova Jaruga** je umjetno, akumulacijsko jezero smješteno u blizini grada Kutine u mjestu Banovoj Jaruzi.

Jezero je naročito bogato smuđem, somom, i deverikama, a ima i kapitalnih šarana. Jezero ima konstantni pritok i veličinom je oko 300 hektara.

## Vanjske veze
* Destinacije.com Akumulacijsko jezero Banova Jaruga
* Ribolovni klub Zagorje Banova Jaruga
Ilova

**Ilova** je rijeka u Hrvatskoj, lijeva pritoka rijeke Lonje.

Vrlo je važna za Moslavinu, zbog opskrbljivanja pitkom vodom visoke kvalitete. Tijekom ljeta vrlo je dobra za plivanje i ribolov, što tamošnje stanovništvo i koristi. Iz rijeke Ilove vodom se crpi i Ina Petrokemija u Kutini. Selo Ilova, koje spada u jedno od naselja grada Kutine, dobilo je ime po ovoj rijeci. Uz rijeku, nalazi se nekoliko većih ribnjaka i šume hrasta lužnjaka visoke kvalitete (Ilovski lug, Ilovski dol i dr.). Ulijeva se u Lonju u Lonjskom polju.

Površina pod ribnjacima sliva rijeke iznosi Ilove 1835 ha.

## Poveznice
* Lonjsko-ilovska zavala
Ilova (Kutina)

**Ilova** je naseljeno mesto u sastavu Grada Kutine, u Moslavini, Hrvatska.

## Stanovništvo

Na popisu stanovništva 2011. godine, Ilova je imala 821 stanovnika.


:

## Reference
Repušnica

**Repušnica** je naselje u Sisačko-moslavačkoj županiji smještena kraj Kutine.

## Stanovništvo

Prema popisu stanovništva iz 2001. u Repušnici u 594 domaćinstva živi 1.946 stanovnika. Tako sada broji više od 2000 stanovnika.

Stanovništvo je osobito ponosno na novosagrađenu crkvu Sv. Nikole Tavelića koja se počela graditi 1991. godine, te je blagoslovljena 14. studenog 1998. godine na dan svoga zaštitnika.
Uz vjerski život važno je spomenuti i športski, gdje NK Mladost Repušnica bilježi sjajne rezultate. Klub je osnovan 1934. godine i tako je drugi registrirani nogometni klub s kutinskog područja. ŠNK "Mladost" Repušnica natječe se u 1.ŽNL Sisačko-moslavačke županije.

Duga je i tradicija vatrogastva u Repušnici. Društvo je utemeljeno 16. lipnja 1927. godine i aktivno djeluje i danas. DVD Repušnica brojčano pripada najvećim društvima u sklopu Vatrogasne zajednice grada Kutine.

KUD "Repušnica" iz Repušnice, društvo je koje od 1930. godine čuva od zaborava vrijednu narodnu baštinu moslavačkog kraja. U svojih 30 godina kontinuiranog rada društvo je očuvalo svoje narodne nošnje, izvorne pjesme i plesove, te običaje svoga mjesta. Inicijator kulturnih događanja u svome mjestu. Društvo u posljednjih 30 godina bilježi 900 - tinjak nastupa kako u Hrvatskoj tako i u inozemstvu, tako je npr. 1993. repušnički KUD prvi, i jedini nastupao na Oktoberfestu u Munchenu sa 50 članova te je predstavljao samostalnu Hrvatsku. Sudionik je brojnih međunarodnih, državnih, županijskih i gradskih smotri folklora. Društvo ima četiri aktivne sekcije: dječja, tamburaška, pjevačka i folklorna.

U selu Repušnica djeluje iRibolovna udruga "Hanja" koja se bavi očuvanjem tradicijskog ribolova PP Lonjsko polje.

"Repušnički susreti" su tradicionalna kulturna manifestacija koja se kontinuirano održava od 1984. godine. Tijekom godina na manifestaciji su nastupali izvođači iz 80-ak mjesta iz Hrvatske i inozemstva. Posljednjih godina kulturni program odvijao se i u PP Lonjsko Polje. Manifestacija objedinjuje folklorni program izvornih skupina, izložbe slikara, izlaganja pučkih pjesnika, etno postave, prikaze starih zanata, vožnje kočijom, jahanje konja, edukativne radionice za djecu i mlade, športski program...

## Obrazovanje

Školstvo u Repušnici ima dugu i bogatu povijest. Školska zgrada prijavljena je 10. prosinca 1907. godine s prvim učiteljem Konradom Leuštekom koji je na vlastitu molbu premješten iz Kutine. 1988. godine u Repušnici je završena nova škola te 16. prosinca dolazi do preseljenja u zgradu škole.

## Reference

## Vanjske veze

* Službena stranica 
* KUD Repušnica
* Ribolovna udruga Hanja 
* Šnk Mladost
Repušnica (Knjaževac)

**Repušnica** je pusto naselje u Srbiji u opštini Knjaževac u Zaječarskom okrugu. Prema popisu iz 2002. nije bilo stanovnika (prema popisu iz 1991. bilo je 6 stanovnika). Naselje je 1998. godine ostalo bez stalnih stanovnika.

## Demografija
U naselju Repušnica više nema stanovnika.

## Reference

## Vanjske veze

* Mape, aerodromi i vremenska situacija lokacija (Fallingrain)
* Satelitska mapa (Wikimapia)
* Gugl satelitska mapa (Maplandia)
* Plan naselja na mapi (Mapquest)
Gornja Gračenica

**Gornja Gračenica** je naseljeno mesto u opštini Popovača, u Moslavini, Republika Hrvatska, pre nove teritorijalne organizacije u sastavu bivše velike opštine Kutina. 

## Stanovništvo

Na popisu stanovništva 2011. godine, Gornja Gračenica je imala 954 stanovnika.

## Popis [[1991]].

Na popisu stanovništva 1991. godine, naseljeno mesto Gornja Gračenica je imalo 983 stanovnika, sledećeg nacionalnog sastava:
Voloder

**Voloder** može označavati:

* Voloder (Bosanska Krupa), naselje u BiH, općina Bosanska Krupa, (FBiH, Unsko-sanski kanton);
* Voloder (Popovača), naselje u Hrvatskoj, općina Popovača (Sisačko-moslavačka županija).
Voloder (Popovača)

**Voloder** je naselje u općini Popovača, Hrvatska.

## Stanovništvo
Prema popisu stanovništva iz 2001. godine, Voloder ima 1.934 stanovnika. 99% stanovnika Volodera se izjašnjava Hrvatima.

## Zemljopis i povijest

Naselje Voloder nalazi se u Moslavini, na mjestima gdje potok Voloderec probija iz jugozapadnih vinorodnih obronaka Moslavačke gore u nizinu Polonja. Zahvaljujući dobrom položaju Voloder je bio prebivalište ljudi od najranijih razdoblja do danas. O tome nam govore arheološki nalazi, naime najstarije naselje iz eneolitika otkriveno je 1968. godine u Voloderskim bregima. Dobrovoljno vatrogasno društvo Popovača osnovano je 16.travnja 1893. god. pod imenom „Dobrovoljno vatrogasno društvo moslavačko-Popovača“ koje je u svom sastavu imalo sedam odjeljenja i to; Popovača, Potok i Donja Jelenska, Stružec, Osekovo, Voloder i Krivaj, Gračenica i Gornja Jelenska s Moslavačkom Slatinom.

## Kultura
U Voloderu djeluje KUD Moslavec koji je utemeljen 1913. godine. U centru Volodera se nalazi crkva sv. Antuna Padovanskog.

## Kulturne manifestacije
Svake godine početkom mjeseca rujna od 1967. godine održavaju se Voloderske jeseni. To je smotra grožđa i vina. Uz sajam vina i mošta, na manifestaciji sudjeluju folklorne skupine iz cijele Hrvatske, nudi se i vožnja zapregom, etno izložbe uz atrakciju pečenja vola na ražnju.

Također se svake godine održava i športsko-domoljubna manifestacija koja polazi i završava u Voloderu Konjanički maraton arapskih konja, a posvećena je Domovinskom ratu.

## Vjerski život
Gotovo svi stanovnici Volodera su katolici. Zaštitnik Volodera je Sveti Antun Padovanski.

## Pretpostavke o imenu
Ljudi koji su pokapali, ali i gulili kože životinjama, za odjeću i obuću, zvali su se: živoder, strvoder, šinter, no i voloder. Bila su to unosna zanimanja po kojima se danas davana i prezimena. Danas prezimena Živoder i Voloder ima dosta po Hrvatskoj, dok ih povijesnice Volodera nisu zapisale. Međutim, gotovo se sa sigurnošću može ustvrditi da se je mjesto gdje je živjela i radila prva obitelj Voloder, s vremenom nazvalo "Voloder", po svojem prvom utemeljitelju.

## Gospodarstvo
Većina stanovnika bave se poljodjelstvom, najviše vinogradastvom i svinjogojstvom.
## Prometna povezanost
Voloder se smjestio na autocesti Bregana-Lipovac, 5&nbsp;km jugoistočno od Popovače i 12&nbsp;km sjeverozapadno od grada Kutine. U Voloderu se nalazi željeznički kolodvor.

## Mediji
* Nezavisna televizija
## Značajne osobe
Dražen Glavaš - Hrvatski MMA borac

## Obrazovanje
OŠ Voloder
## Sport
* NŠK Voloder 
* Veteranski nogometni klub "Branitelj" općine Popovača (Ulica Mate Vezmara 25)
## Udruge
* Lovačka udruga "Fazan" Voloder
* Udruga Voloderska Jesen www.voloderska-jesen.hr 
* Odred izviđača "Sokol"

## Izvori
Novoselec

**Novoselec** je naselje u općini Križ u Zagrebačkoj županiji.

## Stanovništvo
Po posljednjem popisu stanovništva iz 2001. godine, Novoselec je imao 1.520 stanovnika.

## Gospodarstvo
Za gospodarstvo na području Novoselca je najvažnija drvna industrija "DIN Novoselec" i Hrvatske šume.

## Spomenici i znamenitosti
* Barokna crkvica sv. Vida iz 1701. godine

## Kultura
Kao veći kulturni događaj u ovom naselju navodi se krijes, koji se za razliku od ivanjskih i jurjevskih krijesova održava 1. svibnja na međunarodni praznik rada i Dan Sv. Josipa Radnika, zaštitnika Hrvatske.
Širinec

**Širinec** je naseljeno mjesto u Republici Hrvatskoj u Zagrebačkoj županiji.

## Geografija

Administrativno je u sastavu općine Križ. Naselje se proteže na površini od 2,97 km².

## Stanovništvo

Prema zadnjem popisu stanovništva iz 2021. godine u Širincu žive 222 stanovnika i to u 79 kućanstva. Gustoća naseljenosti iznosi 74.7 st./km².

## Reference
Deanovec

**Deanovec** je naselje u Ivanić-Gradu u Zagrebačkoj županiji. Ime Deanovec se počinje upotrebljavati za vrijeme Kraljevine SHS. Prije tog vremena naselje je bilo poznato kao "Dianovci".

## Stanovništvo

Na popisu stanovništva 2011. godine, Deanovec je imao 536 stanovnika.
Prečec

**Prečec** je naseljeno mjesto u Republici Hrvatskoj u Zagrebačkoj županiji.

## Geografija

Administrativno je u sastavu općine Brckovljani. Naselje se proteže na površini od 9,47 km².

## Stanovništvo

Prema zadnjem popisu stanovništva iz 2011. godine u Prečcu živi 220  stanovnika. Gustoća naseljenosti iznosi 23,23 st.
/km².

## Reference
Velika Ostrna

**Velika Ostrna** je naselje u Gradu Dugom Selu. Smješteno je 4&nbsp;km jugoistočno od Dugog Sela na prometnici Dugo Selo-Obedišće Ježevsko.

Prvi put se spominje 1642. godine kao Donja i Gornja Ostrna. U srednjem vijeku pripadala je Božjakovačkom vlastelinstvu. U naselju djeluje Dobrovoljno vatrogasno društvo koje je osnovano 1929. godine. U prošlom stoljeću je postojala i osnovna škola. U naselju je izgrađen pastoralni centar župe "Uzvišenja sv. Križa" Dugo Selo II. Velika Ostrna ima 269 domaćinstava.

Velika Ostrna se posljednjih 15 godina intezivno naseljava, najviše posljeratnih godina Hrvatima iz Bosanske Posavine i Srednje Bosne. Po popisu stanovništva iz 2001. godine Velika Ostrna broji 1043 stanovnika. Iako se Velika i Mala Ostrna u statistikama i u  navode kao samostalna naselja, oba naselja funkcioniraju kao jedno i nazivaju se samo Ostrna.

## Vanjske veze
* Karta i vremenska prognoza
Sesvetski Kraljevec

**Sesvetski Kraljevec** je bivše naseljeno mesto, danas deo grada Zagreba, u Hrvatskoj. Smešten je na putu od središta Zagreba prema Vrbovcu, Bjelovaru i bližem Dugom Selu. Administrativno je u granicama zagrebačke Gradske četvrti Sesvete, 17 km udaljeno od Trga bana Josipa Jelačića u centru Zagreba. 

Sedište je poštanske kancelarije broj 10361.

## Sport
U Sesvetskom Kraljevcu postoji i fudbalski lub NK Sesvetski Kraljevec. Osnovan je 1949, ima igralište kapaciteta 500 mesta i takmiči se u Prvoj zagrebačkoj ligi.
Borongaj

**Borongaj** je naselje u jugoistočnom dijelu Zagreba, koje pripada četvrti Peščenica-Žitnjak. Poznato je kao lokacija prve zračne luke u Zagrebu, odnosno nekadašnje velike kasarne JNA.
Zagrebački Glavni kolodvor

**Zagrebački Glavni kolodvor** (službeno: ***Zagreb Glavni kolodvor***) najveći je željeznički kolodvor u Hrvatskoj. Nalazi se u središtu Zagreba, na Trgu kralja Tomislava 12. Gradnja zgrade Glavnog kolodvora počela je 1890., a objekt je svečano otvoren 1892. pod imenom Državni kolodvor. Projekt za zgradu izradio je arhitekt Državnih ugarskih željeznica Ferenc Pfaff. Zgrada Glavnog kolodvora registrirana je kao kulturno dobro. Veća rekonstrukcija izvedena je za Univerzijadu (1986./87.), te ponovo 2006. godine. Zgrada je oblikovana u neoklasicističkom stilu, te je ukrašena skulpturama i dekoracijama. Dugačka je 186,5 metara.

Zagreb Glavni kolodvor otvoren je za promet putnika i ograničeni promet stvari i to:
* prijem i otprema putnika, 
* prijevoz vagonskih pošiljaka 

Sporedne djelatnosti Glavnog kolodvora su: služba garderobe,
rezervacija mjesta u vlakovima, informacije, mjenjačnica novca,
restauracija, reklame i propaganda, služba nađenih stvari, prijevoz
automobila vlakom.

## Pruge
* Željeznička pruga M101 (Zagreb GK – Savski Marof – *državna granica* (Slovenija), dio Koridora X)
* Željeznička pruga M102 (Zagreb GK – Dugo Selo - Tovarnik – *državna granica* (Srbija), dio Koridora X)
* Željeznička pruga M202 (Zagreb GK – Karlovac – Rijeka)
* Željeznička pruga M502 (Zagreb GK – Sisak – Dobrljin – *državna granica* (Bosna i Hercegovina))

## Povezano
* Željeznička katastrofa u Zagrebu

## Izvori

* ''Trg kralja Tomislava'', Vjesnik, 3. kolovoza 1999.
Batman (grad)

**Batman** (kurdski: *Êlih*) je administrativni centar istoimene turske provincije Batman od 348.963 stanovnika.

## Geografija
Batman leži na jugoistoku Turske, u regiji Jugoistočna Anadolija, u brdovitoj unutrašnjosti. 

Grad se smjestio na visoravni od 540 m, okružen surim golim planinama bez ijednog drva, kroz grad protiče riječica *Iluh* pritoka rijeke Batman koja nedaleko od grada ima ušće u Tigris. Udaljen je oko 97 km istočno od Diyarbakıra, i nekih 130 km od granice sa Sirijom.

Grad ima univerzitet osnovan 2007. uz naftu koja je glavni izvor prihoda, proizvodi još kemikalije, bezalkoholna pića, namještaj, obuća, transportna sredstva i prehrambeni artikli.

## Historija
Sve do 1950-ih Batman je bio selo po imenu **Iluh** od 3 000. Za njegov skokoviti rast zaslužna su nalazišta nafte otkrivena u okolici tokom 1940-ih. Još 1944. povezan je željeznicom sa Ankarom tako da je nakon tog otkrića hiljade novih stanovnika iz svih dijelova Turske nahrupilo u grad u potrazi za poslom. 

Brzo rastućem gradu ime je promjenjeno, 1957. po imenu najznačajnije rijeke u tom kraju – Batman, istovremeno je postao i administrativni centar okruga. Veliki doprinos razvoju grada bila je izgradnja rafinerije nafte i naftovoda dugog 511 km, do lučkog grada Dörtyol na Mediteranu koji je dovršen 1967. Na kraju je 1990. bilo potpuno logočno da tako veliki grad postane provincijski centar.

## Vanjske veze
* Službene stranice grada
Şanlıurfa

**Şanlıurfa** čita se **Šanlijurfa** ili kako ga njegovo mješano stanovništvo kraće zove **Urfa**, za antike znana kao **[[Edessa (Mezopotamija)|Edessa]]** (grčki: *Έδεσσα*) je administrativni centar istoimene turske provincije Şanlıurfa od 526 247 stanovnika. 
## Geografija
*Şanlıurfa* leži na jugoistoku Turske, u regiji Jugoistočna Anadolija, u brdovitoj unutrašnjosti. 
Grad se smjestio na visoravni od 477 m, udaljen 9 km od rijeke Eufrat. *Urfa* je udaljena oko 150 km istočno od Gaziantepa, i nekih 50&nbsp;km od granice sa Sirijom.

To je grad mješanog stanovništva; Turaka, Arapa i Kurda.
## Historija
*Urfa* se prvi put spominje u zapisima iz 4. vijeka pne., ali u okolici grada postoje tragovi ljudskih staništa starih čak 9. milenija pne.

Zlatno doba grada bio je helenizam kad je Aleksandrov general Seleuk I Nikator osnovao - grad Edessu. Grad je uspješno prosperirao i tokom kasnijih vijekova, a za Bizanta bio je poznat kao regionalni centar, po brojnim crkvama i manastirima. Još u 7. vijeku su ga zauzeli Ajubidi, ali su ga križari preoteli za prvog križarskog rata - 1099. i pretvorili u prijestolnicu svoje Grofovije Edessa.

U njihovim rukama ostao je do 1144. kad ga je osvojio atabeg Imad ad-Din Zengi.
Sve do 1516. gradom su vladale raznorazne islamske dinastije, a odtad je pod vlašću Osmanskog Carstva. 
## Vanjske veze
* Službene stranice grada
Kubna funkcija

**Kubna funkcija** u matematici je svaka funkcija oblika:
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \,,
gdje je *a* različito od nule.

## Karakteristične vrijednosti kubne funkcije

Kubna funkcija kao i svaka druga polinomna funkcija ima neke karakteristične vrijednosti koje u koordinatnom sustavu na grafu funkcije predočavaju, na primjer, nulišta funkcije ili njene ekstreme (slika desno).
### Nulišta kubne funkcije
U analizi osobina neke funkcije uobičajeno je najprije naći nulišta funkcije, odn. nultočke grafa funkcije za koje funkcija poprima vrijednost nula. U prikazanom slučaju to vodi rješavanju kubne jednadžbe:
:  x^3 +3x^2 - 6x - 8=0  \,   
rješenja koje su : 
: x_1=-4, x_2=-1, x_3=2 \, 
Točke (-4, 0), (-1, 0) i (2, 0 ) predstavljaju zato nultočke grafa kubne funkcije sa slike.

Ukoliko općenito graf funkcije siječe apscisu, odn. x-os koordinatnog sustava, u tri točke tada će nulišta funkcije biti realni brojevi jer su i rješenja kubne jednadžbe realna. No, međutim, ukoliko graf funkcije siječe x-os samo u jednoj točki, tada će kubna jednadžba imati jedno realno rješenje dok će se dva rješenja nalaziti u domeni kompleksnih brojeva i to kao konjugirano-kompleksni par brojeva.

### Ekstremi kubne funkcije
Kubna funkcija ima dva ekstrema, jedan minimum i jedan maksimum funkcije. Za funkciju

: y= x^3 +3x^2 - 6x - 8\, 
točke ekstrema funkcije nalazimo diferencirajući gornju jednadkost:

:  dy=3x^2dx +6xdx -6dx  \,  

odakle slijedi da je

:  dy=(3x^2+6x-6)dx  \, 

: y' = \frac{dy}{dx}=3x^2+6x-6 = x^2+2x-2.  \, 

Ekstrem funkcije postoji za dy/dx=0, gdje na temelju rješenja kvadratne jednadžbe zaključujemo da će kubna funkcija imati ekstreme u točkama 
: x_{1,2} =-1\pm  \sqrt3 .  \, 
O vrsti ekstrema (maksimum ili minumum funkcije) zaključuje se iz druge derivacije funkcije.

## Literatura
* Gusić J., Mladinić P., Pavković B, "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.
* Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, Zagreb, 2006.
Monoid

U apstraktnoj algebri **monoid** je algebarska struktura s jednom asocijativnom binarnom operacijom i neutralnim elementom.

## Definicija
*Monoid* je skup M s binarnom operacijom ** : M &times; M &rarr; M*, te za koji vrijede sljedeći aksiomi:
* Zatvorenost: (\forall a, b \in M),\ a*b \in M (za svake a i b iz M, a*b je također u M)
* Asocijativnost: (\forall a, b, c \in M),\ (a * b) * c = a * (b * c)
* Neutralni element: (\exists e \in M)\ (\forall a \in M)\ (a * e = e * a = a) (postoji element *e* iz M, takav da je za svaki *a* iz M vrijedi *a*e = e*a = a*.)

Također možemo reći da je monoid polugrupa s neutralnim elementom.

Monoid zadovoljava sve aksiome grupe osim postojanja inverza. 

## Primjeri
* Svaki jednočlani skup {x} tvori monoid koji ima samo jedan element. Za fiksirani *x* je taj monoid jedinstven budući da aksiomi monoida zahtjevaju da u ovom slučaju bude *x*x = x*.
* Svaka grupa je monoid.
* Svaka polugrupa *S* se može pretvoriti u monoid tako da joj dodamo element *e* koji nije u *S* i definiramo *e*e = e* i *e*s = s*e = s*, za svaki *s &isin; S*.
* Neka je *S* skup. Tada je skup svih funkcija *S &rarr; S* s operacijom kompozicije funkcija monoid. Neutralni element je funkcija identiteta, tj.*f : S &rarr; S* takva da je *f(s) = s*, za svaki *s &isin; S*.

## Svojstva
* Izravno iz definicije se može pokazati da je neutralni element jedinstven:
: Pretpostavimo da postoje dva neutralna elementa, *e<sub>1</sub>* i *e<sub>2</sub>*. Tada je: *e<sub>1</sub> = e<sub>1</sub>*e<sub>2</sub> = e<sub>2</sub>*
Rubikova kocka

**Rubikova kocka** (poznata i kao **Magična kocka** ili **Mađarska kocka**) je mehanička igračka koju je 1974. godine izumeo mađarski pronalazač i profesor arhitekture Erne Rubik (). Kocka je sastavljena od 26 manjih plastičnih kocaka koje se vrte oko središnjeg jezgra. Svaka od šest stranica koje čine kocku u rešenom obliku je različite boje.

Smatra se jednom od najprodavanijih igračka u svetu, jer je do 2005. godine prodata u više od 300 miliona primeraka. Sličan izum profesora Ernea jeste i Rubikova zmija.

## Historija
Erne Rubik je za svoju kocku 1975. godine dobio mađarski patent HU170062, ali nije tražio međunarodni patent. Prve Rubikove kocke su napravljene 1977. godine, kada su se i pojavile u radnjama Budimpešte. Tri godine kasnije kocka je predstavljena na sajmovima igračaka u Zapadnim metropolama – Londonu, Njujorku, Parizu i Nirnbergu.

## Zanimljivosti
Originalna Rubikova kocka dimenzija 3×3×3 ima osam ugaonih kocaka i dvanaest ivica. Postoji 8! načina da se rasporede kocke na uglovima. Od toga, sedam se može postaviti sa tri obojene ivice proizvoljno, dok orijentacija osme zavisi od prethodnih sedam, što daje 37 mogućnosti. Ivice je moguće rasporediti na 12!/2 načina, pošto neparna permutacija uglova povlači za sobom neparnu permutaciju ivica. Jedanaest ivica je moguće rasporediti nezavisno, dok položaj dvanaeste ivice zavisi od rasporeda prethodnih jedenaest, pa postoji 211 različitih mogućnosti. Broj različitih položaja je tačno 43.252.003.274.489.856.000, odnosno:

:  {8! \times 3^7 \times 12! \times 2^{10}} \approx 4.33 \times 10^{19}

Trenutni svetski rekord u rešavanju Rubikove kocke drži Max Park sa vremenom od 3.13 sekunde.

## Reference

## Vanjske veze

* Rubikova zvanična interent prezentacija 
* Rubikova kocka na www.dmoz.org 
* Svetsko udruženje posvećeno Rubikovoj kocki 
* Kako rastaviti Rubikovu kocku  
* [Kako rešiti Rubikovu kocku](http://www.wikihow.com/Solve-a-Rubik%27s-Cube-(Easy-Move-Notation))
Polugrupa

U matematici, **polugrupa** je algebarska struktura koja se sastoji od skupa *S* zatvorenog u odnosu na asocijativnu binarnu operaciju.

Operacija polugrupe se najčešće označava multiplikativno, to jest,  x\cdot y ili jednostavnije *xy* označava rezultat primenjivanja operacije polugrupe na uređeni par (*x*,&nbsp;*y*).

Formalno proučavanje polugrupa je počelo u ranom 20. veku. Od ranih 1950ih, teorija konačnih polugrupa je od velike važnosti za teorijsko računarstvo zbog prirodne veze između konačnih polugrupa i konačnih automata.

## Formalna definicija
Polugrupa se formalno sastoji od para (S,\cdot_S) gde je *S* skup, a binarna funkcija \cdot_S: S \times S \rightarrow S koja se naziva operacijom polugrupe. Primena funkcije \cdot_S na par (x, y) se jednostavnije zapisuje x \cdot_S y ili x \cdot y. Neophodno je da je ova operacija asocijativna, to jest, da zadovoljava uslov  (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z) za svako  x,y,z \in S. Uobičajena praksa u apstraktnoj algebri je da se par (S,\cdot_S) označava kao *S* kada je iz konteksta jasno koja se operacija koristi.

Neki autori zahtevaju da polugrupa bude neprazna. Drugi koriste izraz *polugrupa* kao sinonim sa izrazom *[[monoid]]*, to jest, pretpostavljaju da polugrupa ima neutral. U ostatku članka, izraz *polugrupa* će biti korišćen u najširem smislu, to jest, polugrupa može biti prazna, a čak iako nije prazna, ne mora da ima neutral.

Kao što je gore napomenuto, monoid je polugrupa sa neutralom. Svaka polugrupa *S* se može dopuniti do monoide (što se obično označava kao S^1) jednostavnim dodavanjem elementa *e* koji ne pripada *S* i definisanjem *es* = *s* = *se* za svako *s* ∈ *S* ∪ {e}.

Komutativna polugrupa *S* se može dopuniti do grupe ako i samo ako ima svojstvo poništavanja, u kom slučaju se može videti kao podpolugrupa grupe razlomaka *SS*
&minus;1 (na sličan način na koji se integralni domen ulaže u svoje polje razlomaka). U opštem slučaju, da bi se polugrupa mogla uložiti u grupu, ona mora imati svojstvo poništavanja, ali je sveobuhvatan spisak neophodnih i dovoljnih uslova za uloživost, kako je dokazao Maljcev 1939., prebrojivo beskonačan i nijedan njegov konačan podskup nije dovoljan. Postoji veliki broj teorema koje garantuju uloživost polugrupe u grupu u posebnim slučajevima, poput npr. Oreovog svojstva da svaka dva desna koseta imaju neprazan presek; za više informacija o ovom pitanju videti pregled Džona Mikina.

## Primeri polugrupa
* Svaki monoid i stoga svaka grupa.
* Pozitivni celi brojevi u odnosu na sabiranje.
* Svaki podskup polugrupe zatvoren u odnosu na operaciju polugrupe. Takav podskup je poznat kao podpolugrupa.
* Polugrupa čija operacija je idempotentna i komutativna je polumreža.
* Skup svih konačnih niski nad nekom fiksiranom azbukom Σ, u odnosu na konkatenaciju stringova kao operaciju. Ako je uključena prazna niska, onda se radi o monoidu; ako je prazna niska isključena, onda se radi o polugrupi nad Σ.
* Biciklična polugrupa.
* Regularne polugrupe.
* Inverzne polugrupe.

## Literatura
* Ayres, Frank, *Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra*, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). .
Slobodnica

**Slobodnica** je naseljeno mjesto u Republici Hrvatskoj u sastavu općine Sibinj u Brodsko-posavskoj županiji.

## Geografija
Slobodnica se nalazi južno od Sibinja i zapadno od Slavonskog Broda, susjedna naselja su Kaniža na jugozapadu te Bartolovci i Gromačnik na sjeveru.

## Crkva
U središtu mjesta nalazi se crkva svetog Marka Evanđelista. Prvi spomen crkve je iz 1730. Crkva je na današnje mjesto preseljena oko 1781. Tada je bila od drveta. Tek 1831. je napravljena od opeke. Znatan dio novca u tom trenutku je dala i sibinjska kapetanija. Crkva je svoj današnji oblik dobila oko 1880. Nakon tog razdoblja događale su se samo estetske promjene na eksterijeru. Crkva je dobila orgulje za vrijeme župnika Dragutina Šlivarića u drugoj polovici 19.st.

## Stanovništvo
Prema popisu stanovništva iz 2011. godine Slobodnica je imala 1.557 stanovnika, dok je 2001. godine imala 1.592 stanovnika, od čega 1550 Hrvata i 17 Srba.

## Reference
Velika škola

**Velika škola** je bila najviša obrazovna institucija u Srbiji između 1863. i 1905. godine. Nastava je održavana u Kapetan-Mišinom zdanju. Škola je prerasla u Beogradski univerzitet 1905, kada su otvoreni Medicinski, Bogoslovski i Poljoprivredni fakultet.

Osnovana je zakonom od 24. septembra 1863. godine kao naslednik Liceja, dotadašnje najviše škole u Srbiji. Velika škola je u zakonu definisana kao *naučno zavedenje za više i stručno izobraženje*, tj. naučni zavod za više i stručno obrazovanje. Vrhovna vlast bio je ministar prosvete, a Velikom školom su neposredno rukovodili rektor i Akademijski savet. Rektora je postavljao vladar, prvi rektor bio je Konstantin Branković (1814-1865).

Velika škola je imala tri odeljenja, odnosno fakulteta: Filozofski fakultet, Tehnički fakultet i Pravni fakultet. Programi su se u znatnoj meri preklapali, tako da su studenti uglavnom dobijali opšte obrazovanje, a premalo pravo stručno. Na filozofskom odeljenju se studiralo tri godine, a na pravnom i tehničkom četiri.

Izmenama zakona iz 1873, godine Filozofski fakultet je podeljen na dva odseka. Izmenama zakona od 1880. godine studije na Filozofskom fakultetu se produžuju na četiri godine. Izmenama zakona iz 1896. godine broj odseka, tj. grupa srodnih nauka, bitno je povećan: na Filozofskom na sedam, na Tehničkom na tri i na Pravnom na dva, što je doprinelo specijalizaciji i unapređenju stručne strane studija.

Tokom vremena je znatno povećana i samouprava Velike škole.

Velika škola je napredovala tokom četiri decenije i postala preteča Univerziteta, ali ipak ni do kraja svog postojanja nije dostigla dovoljan nivo da preraste u univerzitet, već je on formiran de novo 1905. godine, tek sa delom profesorskog sastava Velike škole.

## Rektori
Rektori Velike škole u periodu 1863–1905. bili su:
* 1863/64. i 1864/65. - Konstantin Branković
* 1865/66. - Sergije Nikolić 
* 1866/67. i 1867/68. - Stojan Marković
* 1868/69. - 1874/75. - Josif Pančić
* 1874/75. (letnji semestar) - Emilijan Josimović
* 1875/76. - Alimpije Vasiljević
* 1876/77. - Emilijan Josimović (2. put)
* 1877/78. - Stojan Bošković
* 1878/79. - 1880/81. - Stojan Marković (2. put)
* 1881/82. - 1883/84. - Dimitrije Nešić
* 1884/85. - Panta Srećković
* 1885/86. - Kosta Alković
* 1886/87. - Jovan Bošković
* 1888/89. i 1889/90. (do juna) - Svetomir Nikolajević
* 1890. - Panta Srećković (2. put)
* 1890/91. - Sima Lozanić
* 1891/92. - Kosta Alković (2. put)
* 1892/93. i 1893/94. - Dimitrije Nešić (2. put)
* 1893/94. - Svetislav Vulović
* 1894/95. - Kosta Alković (3. put)
* 1895/96. - Vojislav Bakić
* 1896/97. - Jovan Žujović
* 1897/98. - Vojislav Bakić (2. put)
* 1898/99. - Gliša Geršić
* 1898/99. i 1899/1900. - Nikola Stamenković
* 1900/01. - Kosta Glavinić
* 1901/02. - Milan Jovanović Batut
* 1902/03. i 1903/04. - Marko T. Leko
* 1904/05. - Sava Urošević

## Reference

## Povezano
* Velika škola Ivana Jugovića (1808–1813)
* Beogradski Licej (1838–1863)
* Univerzitet u Beogradu (od 1905)

## Vanjske veze
* Velikani Velike škole („Večernje novosti“, feljton 26.2-6.3.2010.)
Epigrafika

**Epigrafika** (od , epi-graphē, napisano (, ) na () trajnom materijalu ) je nauka koja se bavi pisanim spomenicima na tvrdim materijalima kao što su kamen, terakota, staklo, kost, metal i mozaik, za razliku od paleografije koja se bavi pisanim spomenicima na mekim materijalima (papirus, pergament, tkanina, papir).

## Epigrafika i druge nauke
Iako je primarno povezana sa arheologijom, domen epigrafike može da se podudara sa domenom drugih istorijskih disciplina. Epigrafika koristi podatke koje joj pruža paleografija, koja istražuje pismo, čitajući natpise dolazi u dodir sa političkom, administrativnom, pravnom i religijskom istorijom. Natpisi na novcu, gemama i kamejama spadaju u domen i numizmatike i epigrafike itd. I pored sličnosti epigrafika ima svoje metode proučavanja, za razliku od arheologije koja istražuje samo nalazište i u direktnom je kontaktu sa predmetima, epigrafika tumači natpise bilo na predmetima bilo na reprodukcijama ili u literaturi.

## Povezano
* Paleografija
* Numizmatika
* Arheologija

## Reference
Dvojne i višestruke zvijezde

**Dvostruke** ili **dvojne** zvijezde su zvjezdani sustav kojeg čine dvije gravitacijski vezane zvijezde. Zvijezde se gibaju oko zajedničkog središta masa, te ponekad takav sustav može biti sastavljen i od više zvijezda.

Drugi je slučaj je kad su dvije zvijezde u velikoj blizini, a nisu vezane gravitacijom.

Dvojne sustave koje možemo opaziti teleskopom nazivamo **vizualno dvojne zvijezde**; pomoću spektralne analize - **spektroskopski dvojne zvijezde**, zahvaljujući promjeni sjaja prilikom prelaska jedne zvijezde preko druge - **pomrčinski dvojne zvijezde** te zahvaljujući otklonima pri gibanju sustava - **astrometrijski dvojne zvijezde**.

## Određivanje masa zvijezda dvojnog sustava
Dobijanje masa zvijezda u dvojnom sustavu temelji se na primjeni formula klasične mehanike na keplerove zakone iz čega se izvodi vrijednost gravitacijske konstante (**G**) koja je jednaka u bilo kojem dijelu svemira:

:G = 4\pi ^{2}\frac{a^{3}}{T^{2}}\cdot \frac{1}{M_{1}+M_{2}}

gdje su **a** - velika polos elipse kojom se jedna zvijezda (mase M1) kreće oko druge zvijezde (mase M2), i **T** - period vrtnje.

Ako mase izrazimo u jedinicama Sunčeve mase, veliku poluos u astronomskim jedinicama i period u zvjezdanim godinama imamo ovu relaciju:

M_{1}+M_{2}=\frac{a^{3}}{T^{2}}

## Povezano
* rendgenska astronomija
* rendgenska dvojna zvijezda
* rendgenska dvojna zvijezda Be
* rendgenski pulsar
* eruptivna rendgenska zvijezda
* rendgenska nova
* simbiotska nova
* mikrokvazar
* supermeki izvor X-zraka

## Reference
Şırnak

**Şırnak** čita se **Širnak**, je administrativni centar istoimene turske provincije Şırnak od 63 298 stanovnika. 
## Geografija
*Şırnak* leži na jugoistoku Turske, u regiji Jugoistočna Anadolija, u brdovitoj unutrašnjosti. 
Grad se smjestio u stepskoj kotlini od 1650 m, okružen planinama od preko 2000 m (Cudi i Gabar), udaljen 50 km od granice sa Sirijom i nekih 90&nbsp;km od granice sa Irakom. On je glavni punkt za promet sa Irakom i zemljama Perzijskog zaljeva.

Većinsko stanovništvo grada su Kurdi, koji se bave stočarstvom i poljoprivredom.
## Historija
Po lokalnoj legendi grad se izvorno zvao - *Şehr-i Nuh* (Grad Noe) jer se (tako se vjeruje) na obližnjoj planini Cudi visokoj 2114 m iskrcala Noina Arka nakon Velikog potopa, iz tog se vremenom došlo do imena *Sernah* pa na kraju *Şırnak*.
## Vanjske veze
* Službene stranice grada
Željeznička nesreća u Zagrebu

**Željeznička nesreća u Zagrebu** dogodila se 30. kolovoza 1974. u 22:40 na istočnom ulasku u Zagrebački Glavni kolodvor. Smatra se jednom od najvećih željezničkih nesreća u Hrvatskoj i jednom od najvećih željezničkih nesreća u ondašnjoj Jugoslaviji.

Nesreća se dogodila kada je ekspresni putnički vlak (broj 10410) na relaciji Atena-Beograd-Zagreb–Dortmund sa svih 9 vagona iskočio iz tračnica na samome ulazu u zagrebački glavni kolodvor, na 719. metru od ulaza na IIa kolosjek, te se prevrnuo, pri čemu je poginulo 153 putnika. U 22.33 sata lokomotiva je na IIa kolosjek kolodvora ušla sama. Po ovom je događaju napisana knjiga "Filip dječak bez imena" Ante Gardaša.

Lokomotiva nastradalog vlaka sada se nalazi u Hrvatskom željezničkom muzeju.

U vlaku je onda bilo približno 400 putnika, kojih su veći dio tvorili iseljenički radnici u povratku s ljetnog odmora na rad u SR Njemačkoj.

Vlak je s brzinom od 104&nbsp;km/h ušao u željeznički kolodvor umjesto dozvoljenom 40&nbsp;km/h, gdje je iskliznuo iz tračnica te se prevrnuo. Umrlo je 153 putnika, neki od njih zbog električna udara jer je vlak prevrtanjem istrgao željezne stupove električnih vodova. Identifikacija unakaženih trupala predstavljala je veliki problem, tako da je 41 neidentificiranih žrtava pokopano u zajedničkoj grobnici na Mirogoju. Josip Broz Tito poslije nesreće proglasio je dan žaljenja.

Naknadno istraživanje isključilo je mogućnosti tehničkih pogrešaka, a optuženi su za uzrok nesreće strojovođa Nikola Knežević i njegov asistent Stjepan Varga, koji su preživjeli. Istražitelji nisu bili istog mišljenja je li nesreću uzrokovalo utjecanje alkohola ili su jednostavno zaspali, ali najvjerojatniji uzrok je bila njihova iscrpljenost; njih su obojica u proteklom mjesecu prošli 300 sati rada, a prije nesreće bez ostatka radili su 51 sat. Unatoč toj olakšavajućoj okolnosti strojovođa je osuđen na 15 godina zatvora dok je njegov pomoćnik na 8. Nije isključeno da je vlak zbog niskog stadija željezničke infrastrukture kasnio u dolascima i stoga je strojovođa ubrzanjem vožnje htio ući na zagrebački kolodvor na vrijeme.

Preživjeli putnici potvrdili su da vlak oko sat vremena prije Zagreba nije usporavao niti vožnjom kroz postaje Ludinu i Novoselec, te se opasno naginjao u zavojima.

## Izvori

## Vanjske veze
* Train crashes into station in Yugoslavia — History.com This Day in History — 8/30/1974 History Channel: *This Day in History 1974: Train crashes into station in Yugoslavia* (korespondira gotovo doslovno s članakom na Wikipediji na engleskom jeziku). 
* railfan.net: ''Danger Ahead! Zagreb 1974'' (sa slikom područja mjesta nesreće). 
* Željeznička nesreća - Zagreb 1974 - YouTube
Baza (linearna algebra)

**Baza** nekog vektorskog prostora *V* nad poljem *K* je uređeni skup međusobno linearno nezavisnih i ne-nul vektora *e = {e<sub>1</sub>, e<sub>2</sub>, ... , e<sub>n</sub>}*, kojima se, uz množenje skalarima, jednoznačno može predstaviti svaki drugi vektor *a* iz *V*:

:a = \alpha _1 e_1 + \alpha _2 e_2 + \cdots + \alpha _n e_n, \; \alpha _i \in K

Odavde slijedi da je ovakav skup također i minimalan, jer ako bi se, na primjer, *e<sub>i</sub>* moglo izraziti kao *ae<sub>j</sub> + ve<sub>k</sub>*, to bi značilo da se vektor *e<sub>i</sub>* može izraziti na još jedan način, što više nije jednoznačno.

Kako se u vektorskom prostoru dimenzije *n* može predstaviti *n* linearno nezavisnih vektora, njegovu bazu mora činiti najmanje *n* vektora, što zajedno s gornjim zaključkom daje da baza *n*-dimenzionog vektorskog prostora *V* ima točno *n* vektora.

## Kanonska baza

Jedna od baza *n*-dimenzionog vektorskog prostora *V* se može definirati na sljedeći način:

e: \{e_i = (\underbrace{0,\dots ,0 }_{i-1},1,\underbrace{0,\dots ,0 }_{n-i}),  \;\; i=1,\dots ,n  \}

Ova se baza naziva kanonskom bazom tog prostora, a po definiciji je i ortonormirana.
Dimenzija vektorskog prostora

**Dimenzija [[vektorski prostor|vektorskog prostora]]** je kardinalnost skupa vektora koji čine bazu danog vektorskog prostora. U linearnoj algebri se dokazuje da svaka baza jednog vektorskog prostora ima istu kardinalnost (oblikuje je isti broj vektora). Dimenzija vektorskog prostora odgovara brojnosti svakog maksimalnog skupa linearno nezavisnih vektora tog vektorskog prostora, kao i brojnosti svakog minimalnog skupa vektora tog prostora koji (linearno) generira cijeli prostor.

Dimenziju vektorskog prostora *V* nad poljem skalara *K* označaujemo sa dim(*V*).

Kažemo da je vektorski prostor konačno dimenzionalan ako je njegova dimenzija konačan broj.

Ako uzmemo na primjer vektorski prostor **R**3, jednu njegovu bazu možemo zapisati kao skup vektora {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}, i stoga je dim(**R**3) = 3 (jer ima tri vektora u bazi).

Ako je W linearni potprostor prostora V, tada je dim(*W*) ≤ dim(*V*).
Euklidski prostor

**Euklidski vektorski prostor** ili skraćeno **euklidski prostor** prvenstveno možemo smatrati onim matematičkim prostorom kojeg intuitivno svakodnevno zamišljamo. Naziv je dobio po starogrčkom matematičaru Euklidu.

## Definicija
Neka je V realni vektorski prostor i neka je \psi: V\times V \to \mathbb{R}  preslikavanje sa sljedećim svojstvima (napišimo v\cdot w umjesto \psi (v,w)) za svaki u, v, w, \in V i  \alpha \in \mathbb{R}  :

#  v\cdot w = w \cdot v; 
#  (u+v)\cdot w = u\cdot w + v\cdot w;
#  \alpha (v\cdot w)=(\alpha v)\cdot w = v\cdot (\alpha w); 
#  w\cdot w > 0 \mbox{ ako i samo ako je } v\neq 0. 

Tada se \psi  zove **[[skalarni produkt]]** na V . 

Ako na V  postoji skalarni produkt, onda se V  zove **euklidski vektorski prostor**.

## Euklidska norma
Euklidska norma ili duljina vektora w  je broj

: \| w \| = \sqrt{w\cdot w}.

Iz elementarne analize slijedi da je skalarni produkt između dva vektora koja su pod kutem \varphi :

: v\cdot w = \| v \| \cdot \| w \| \cdot \cos \varphi, 

tj. kut \varphi  između vektora v, w \in V  definiran je s 

:\varphi = \arccos \left( \frac{v\cdot w}{\| v \| \cdot \| w \|} \right) .

Ako je v\cdot w = 0 , očito je \varphi = \frac{\pi}{2} , pa kažemo da su v i  w  **okomiti** ili **ortogonalni** vektori.

## Vezani pojmovi
* skalarni produkt
* vektorsko polje
* vektorski prostor
Gram–Schmidtov postupak

**Gram–Schmidtov postupak** (hrv.) ili **Gram–Šmitov postupak** (srp.) je metoda u linearnoj algebri koja služi za ortogonalizaciju skupa vektora u zadanom euklidskom prostoru.

Postupak je sljedeći. Uzmimo na primjer vektorski prostor proizvoljne dimenzije **R***n* baze {**v**1, **v**2, ... ,**v**n}, Gram-Schmidtovim postupkom ortogonalizacije možemo transformirati bazu {**v**i} u ortonormiranu bazu, {**u**i}. Prvo normaliziramo **v**1: **u**1=**v**1/||**v**1||.

Nakon toga izračunavamo **w**2=**v**2-2,**u**1>**u**1, pa normaliziramo **w**2: **u**2=**w**2/||**w**2||

Ovaj postupak primjenimo za sve vektore iz baze {**v**i}: **w**i+1=**v**i+1-i+1,**u**iui>- ... - i+1,**u**1>**u**1 i **u**i+1=**w**i+1/||**w**i+1||. Vektori {**u**1, ... ,**v**n} su linearno nezavisni, i stoga čine bazu vektorskog prostora **R***n*.

## Primjer

Uzmimo sljedeći skup vektora u **R***n* (sa uobičajenim skalarnim produktom)
:S = \left\lbrace\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\end{pmatrix}, \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}2 \\2\end{pmatrix}\right\rbrace.

Sad primjenimo Gram-Schmidtov postupak kako bismo dobili ortogonalni skup vektora:
:\mathbf{u}_1=\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
: \mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1} \, \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix} - \mathrm{proj}_{({3 \atop 1})} \, {\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} -2/5 \\6/5 \end{pmatrix}. 

Provjerimo vektore **u**1 i **u**2 kako bismo utvrdili da su zaista ortogonalni:
:\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\rangle = \left\langle \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix} \right\rangle = -\frac65 + \frac65 = 0.

Sada ih možemo normalizirati, tako što ćemo ih podijeliti s njihovim dužinama:

:\mathbf{e}_1 = {1 \over \sqrt {10}}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
:\mathbf{e}_2 = {1 \over \sqrt{40 \over 25}} \begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}
 = {1\over\sqrt{10}} \begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}.
Hamiltonov operator

Hamiltonov operator \nabla, što se izgovara kao [nabla], je u trodimenzionalnom Kartezijevom koordinatnom sustavu **R**3 s koordinatama (*x*, *y*, *z*) definiran operatorima parcijalnih derivacija

:\nabla \equiv \hat{\mathbf{x}}\frac{\partial}{\partial x}  + \hat{\mathbf{y}}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{\mathbf{z}}\frac{\partial}{\partial z},

gdje su \{\mathbf{\hat{x}},  \mathbf{\hat{y}},\mathbf{\hat{z}} \}  jedinični vektori usmjereni kao koordinate sustava.

Definicija se može poopćiti i na *n*-dimenzionalni Euklidski prostor **R**n. U Kartezijevom koordinatnom sustavu s koordinatama (*x*1, *x*2, ..., *x**n*), \nabla se definira kao
: \nabla = \sum_{i=1}^n  \hat e^i {\partial \over \partial x_i}

gdje su \{ \hat e^i: 1\leq i\leq n\} jedinični vektori u tom prostoru.

U Einsteinovoj notaciji se ta definicija može kraće napisati kao:
: \nabla = \hat e^i \,\partial_i .
Dualni prostor

**Dualni prostor** u lineranoj algebri je specijalan slučaj prostora linearnih operatora.

Za vektorski prostor V nad poljem (F) sa L(V,F) se označava skup svih linearnih operatora koji za domenu imaju prostor V, a kodomenu polje F.

L(V,F) je uz standardne operacije također vektorski prostor koji se zove dualni prostor prostora V.
Ekvivalentnost matrica

U matematici, napose u linearnoj algebri, za dvije matrice *A* i *B* istog formata kažemo da su **ekvivalentne matrice** ako je
:*A*&nbsp;=&nbsp;*PBQ*
za neke inverzibilne matrice *P* i *Q*.

Ekvivalentnost matrica je relacija ekvivalencije.

Svake dvije slične matrice su i ekvivalentne, no obrat ne vrijedi. Ekvivalentne matrice imaju jednak rang i defekt. S druge se strane dokazuje i da je svaka *m*&nbsp;&times;&nbsp;*n* matrica ranga *r* ekvivalentna *m*&nbsp;&times;&nbsp;*n* matrici čiji su svi elementi nula osim njih prvih *r* duž glavne dijagonale gdje su jedinice - na taj su način dvije matrice istog formata ekvivalentne ako i samo ako su istog ranga.

Pojam ekvivalentnih matrica se u linearnoj algebri pojavljuje preko elementarnih operacija nad retcima i stupcima matrice (vidi Gaussov postupak eliminacije). Svaka elementarna operacija nad retcima matrice odgovara njenom množenju slijeva jednom od elementarnih matrica, dok svaka elementarna operacija nad stupcima matrice odgovara množenju zdesna jednom od elementarnih matrica. S obzirom da se može dokazati da se svaka inverzibilna matrica može predstaviti kao umnožak izvjesnog broja elementarnih matrica, slijedi da su dvije matrice ekvivalentne ako i samo ako se jedna od njih može dobiti od druge slijedom elementarnih operacija nad retcima i stupcima.

Proučavaju se i slijeva-ekvivalentne (odnosno redak-ekvivalentne) i zdesna-ekvivalentne (odnosno stupac-ekvivalentne) matrice. Svaka je matrica slijeva ekvivalentna točno jednoj matrici u po stupcima svedenom ešelonskom obliku ("VSEO", ponekad i "po stupcima kanonskom obliku").
Homomorfizam

**Homomorfizam** (od  - isti,  - oblik, forma) u matematici predstavlja preslikavanje između dve algebarske strukture istog tipa, koje čuva njihovu formu.

## Osobine
Neka su (M,\cdot) i (K,\times) dve algebarske strukture istog tipa (grupa, polje, monoid itd.). Ako je preslikavanje f: M \rightarrow K **homomorfizam** a a,b \in M važiće:

f(a \cdot b) = f(a) \times f(b)

## Vrste homomorfizama
* **[[Izomorfizam (matematika)|Izomorfizam]]** je bijektivni homomorfizam. Dva objekta su izomorfna ako postoji izomorfizam između njih. Izomorfni objekti su potpuno nerazaznatljivi što se tiče strukture koja je u pitanju.
* **[[Epimorfizam]]** je surjektivni homomorfizam.
* **[[Monomorfizam]]** je injektivni homomorfizam.
* Homomorfizam sa nekog objekta na samog sebe se zove **[[endomorfizam]]**.
* Endomorfizam koji je i izomorfizam se zove **[[automorfizam]]**.

U širem kontekstu preslikavanja koja čuvaju strukturu, načelno nije dovoljno definisati izomorfizam kao bijektivni morfizam. Potreban uslov je i da je inverzni morfizam istog tipa. U algebarskim uslovima, ovaj dodatni uslov je automatski zadovoljen.

:
:*Odnosi između različitih vrsta homomorfizama. <br />H = skup *'h**omomorfizama, M = skup **m**onomorfizama, <br />P = skup e**p**imorfizama, S = skup i**z**omorfizama, <br />N = skup e**n**domorfizama, A = skup **a*'utomorfizama.<br /> Primetiti da: M ∩ P = S, S ∩ N = A, dok klase <br />M ∩ N \ A i P ∩ N \ A mogu biti neprazne jedino u slučaju beskonačnih grupa.*

## Povezano
* Homeomorfizam

## Literatura
* Ayres, Frank, *Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra*, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). .