Lorentzov faktor

**Lorentzov faktor** (oznaka *γ*) je uobičajen pojam u  posebnoj teoriji relativnosti, nazvan po nizozemskom fizičaru H. A. Lorentzu. Uobičajeno se određuje kao:

: \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} 

gdje je: *v* - je relativna brzina između promatrača i objekta koji se kreće, *c* -  brzina svjetlosti.

## Lorentzove transformacije

**Lorentzove transformacije** (po H. A. Lorentzu) su algebarske linearne relacije koje povezuju koordinate (*x, y, z, t*) nekoga fizičkog događaja u mirnome sustavu S (*x, y, z, t*) s pripadajućim koordinatama (*x', y', z', t' *) u sustavu S' (*x', y', z', t' *) koji se prema sustavu S giba uzduž osi *x* stalnom brzinom *v*. One se danas izvode, dokazuju i tumače iz dva postulata Einsteinove posebne teorije relativnosti (1905.): 
# postulata o konstantnosti brzine svjetlosti *c* u svim inercijskim sustavima bez obzira na brzinu sustava, izvora ili detektora svjetlosti, te 
# postulata kovarijantnosti da prirodni zakoni moraju imati isti oblik u svim inercijskim sustavima. 

Polazeći od toga da svjetlosni signali (fotoni) putuju brzinom *c* u oba sustava i da se pravocrtna gibanja iz jednoga, kao takva, vide i u drugom sustavu i obratno (*x = c∙t* i *x' = c∙t' *), kao i od načela relativnosti (zamjene uloge sustava S i S' i koordinata u njima), dobivaju se uz odgovarajući algebarski formalizam Lorentzove transformacije u obliku:

: t' =  \gamma \cdot (t - \frac{v }{c^2} \cdot x) 
: x' = \gamma \cdot (x - v \cdot t)  
: y' = y 
: z' = z 

gdje se *γ* uobičajeno naziva Lorentzovim faktorom i vrijedi: 

: \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} 

Obratne (inverzne) transformacije dobivaju se zamjenom *v* s –*v* u već napisanim odnosima, na primjer: 

: t =  \gamma \cdot (t' + \frac{v }{c^2} \cdot x') 
: x = \gamma \cdot (x' + v \cdot t')  
: y = y' 
: z = z' 

Jedna je od temeljnih simetrija u fizici invarijantnost fizičkih zakona na Lorentzove transformacije (relativistička invarijantnost): jednadžbe fizike u svakom teoretskom pokušaju trebaju imati isti oblik u svim inercijskim sustavima. U modernoj fizici elementarnih čestica, invarijantnost se općenito postiže zapisom veličina i jednadžbi u 4-vektorskoj formulaciji, po uzoru na 4 koordinate prostor–vremena u posebnoj teoriji relativnosti. 

### Vremenska dilatacija

Na temelju svojih dvaju postulata Einstein je dobio jednadžbe identične Lorentzovim jednadžbama. Iz dobivenih jednadžbi izveo je Lorentzovu kontrakciju dužina i takozvanu dilataciju vremena, to jest rezultat da sat u gibanju ide polaganije ako ga usporedimo sa satovima sustava u kojem mjerimo. U sustavu koji se giba brzinom *v* sat će ići sporije *t* od isto takva sata *t<sub>0</sub>* u sustavu koji miruje. Taj se učinak naziva relativistička dilatacija vremena:

: t = \gamma \cdot t_0 = \frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \,

### Kontrakcija dužine

Druga je posljedica Lorentzovih transformacija kontrakcija dužine u smjeru gibanja. Njezina duljina *L* u sustavu mirovanja mjeri se kraćom od one vlastite *L<sub>0</sub>* u sustavu koji se giba brzinom *v*, po jednakosti:

: l = \frac{l_{0}}{\gamma} = l_{0} \cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} 

gdje je: *v* - je relativna brzina između promatrača i objekta koji se kreće, *c* -  brzina svjetlosti. Dimenzije nekoga tijela ne mogu se isto tako apsolutno odrediti kao ni vrijeme, jer i one ovise o stanju opažača. Einstein je izveo i teorem adicije brzina, kojim pokazuje da superpozicijom dviju brzina manjih od brzine svjetlosti opet izlazi brzina manja od brzine svjetlosti makar svaka od njih prelazi polovicu brzine svjetlosti. Dok su u Lorentza transformirane koordinate samo pomoćne varijable, u Einsteina su to prave fizičke veličine. Lorentzovo lokalno vrijeme, koje on razlikuje od pravoga vremena, u Einsteina postaje vrijeme dotičnoga sustava i ravnopravno je s vremenskim podatcima bilo kojega drugog sustava. Preračunavanje takvih podataka iz sustava u sustav sadržano je u jednadžbama transformacije. Time je karakteriziran možda najveći misaoni korak koji je učinio Einstein. Odbacio je koncepciju Newtonova apsolutnoga vremena označenu riječima: "Apsolutno, istinsko i matematičko vrijeme teče jednoliko po sebi i po svojoj prirodi i bez odnosa spram bilo čega izvanjskoga, a drugim se imenom zove trajanje". Jedan je od najdubljih rezultata Einsteinove pronicave analize spoznaja da istodobnost dvaju prostorno udaljenih događaja nije apsolutna činjenica, već da ovisi o tome u kojem se koordinatnom sustavu ti događaji promatraju.

## Izvori