Aritmetika

**Aritmetika** je grana matematike koja beleži osnovne osobine određenih operacija sa brojevima. Dolazi od grčke reči *arithmetike*, koja se sastoji od dve reči: *arithmos* (broj) i *techne* (umeće).

Postoje četiri operacije: 
* sabiranje, 
* oduzimanje, 
* množenje i 
* deljenje, 
iako se ponekad ovde uvrštavaju i naprednije operacije, kao što su dizanje na kvadrat (kvadriranje) i vađenje korena (korenovanje). U aritmetici postoji prvenstvo operacija gde množenje i deljenje imaju prednost nad sabiranjem i oduzimanjem. Stavljanjem u zagrade, koje imaju prednost u odnosu na druge operacije, je moguće promeniti redosled izračunavanja u izrazima.

Aritmetika prirodnih, celih, racionalnih (u obliku razlomaka) i realnih brojeva (koji imaju decimale) obično se uči u osnovnoj školi. Tada se uči i procentni račun, odnosno predstavljanje brojeva pomoću postotaka. Ipak, većina odraslih oslanja se na kalkulatore, računare ili abakuse da bi izračunala aritmetičke operacije.

Pojam "aritmetika" koristi se i za osnovnu teoriju brojeva; u tom kontekstu se pojavljuju i Osnovna teorema aritmetike i aritmetičke funkcije.

## Tablica množenja

## Sabiranje
Sabiranje je osnovna računska operacija  aritmetike. U svom  najjednostavnijem obliku, sabrati  dva broja znaći  
naći broj a+b

;Primjeri

2+2=4

3+5=8

Može se sabrati više od 2 broja. To uključuje sabiranje beskonačno mnogo brojeva. Sabiranje broja 1 s nekim brojem je  najosnovniji oblik brojanja.

Sabiranjem broja  0 i nekog broja dobijamo taj broj.

5+0=5

0 je neutralni element za sabiranje

Sabiranjem 2 suprotna broja dobijamo broj 0.

8+(-8)=0

To je inverzan element za sabiranje.

Važi zakon komutacije


\begin{cases}
    3+4=7 \\
   4+3=7  tj\\
  3+4=4+3=7
\end{cases}

Važi zakon asocijacije


\begin{cases}
    (2+3)+5=5+5=10 \\
   2+(3+5)=2+8=10  tj\\
 (2+3)+5=2+(3+5)= 10
\end{cases}

Sabrati  možemo i geometrijski, kao u sljedećem primjeru:

Ako imamo dva štapića dužine 2 i 5 i ako ih stavimo jedan za drugim, tako da se kraj prvog poklapa sa početkom drugog štapića. Dobićemo štap  čija je dužina

2 + 5 = 7.

## Oduzimanje

Oduzimanje je inverzna operacija od sabiranja. Rezultat ove operacije je razlika. Oduzeti broj b od broja a znaći naći broj  
a-b odnosno znaći naći zbir brojeva a i (-b). To zapisujemo

a-b=a +(-b)

Imamo sljedeće slučajeve
* Ako je a onda je a-b
* Ako je a>b  onda je a-b>0
* Ako je a=b  onda je a-b=0

Za oduzimanje ne važi zakon komutacije a ni asocijacije.

## Množenje

Množenje je druga osnovna računska operacija aritmetike. Pomnožiti 2 broja znaći naći broj 
a*b, a to je

a\times b = \underbrace{b + \cdots + b}_a
;Primjer 

3*4=4+4+4=12

Za množenje važi zakon komutacije 


\begin{cases}
    2*6=6+6=12 \\
  6*2=2+2+2+2+2+2=12 tj \\
 2*6=6*2=12
\end{cases}

i asocijacije


\begin{cases}
    (2*3)*4=6*4=24 \\
*(3*4)=2*12=24 tj\\
(2*3)*4=2*12=24 
\end{cases}

Ako broj a pomnožimo sa 1 (neutalni element) dobićemo bro a

6*1=6

Ako broj a pomnožimo sa recipročnom vrijednosti broja a dobićemo broj 1.

6*6^{-1}=1

Ovo je inverzan broj.

Bilo koji broj može imati recipročnu vrijednost osim 0.

## Dijeljenje
Dijeljenje je inverzna  računska operacija množenju. Nije definisano dijeljenje brojem 0.

Podijeliti 2 broja znaći naći broj a:b odnosno naći proizvod broja a i recipročne vrijednosti beoja b.

To znaći

a:b=a* b^{-1}
Imamo slučajeve
* Za a>b => a:b > 1
* Za a a:b 
* Za a=b =>  a:b=1
* 
Ne važi zakon komutacije a ni asocijacije.

Za dijeljenje napisano kao proizvod važe sve osobine koje važe za množenje.

## Decimalni prikaz brojeva
Sve vrste zapisa brojeva možemo zapisati decimalnim zapisom.

;Primjer 

zapis broja 507,36

(507,36)_{10}=5*10^3+0*10^2+7*10+3*10^{-1}+6*10^{-2}

Ovaj zapis brojeva obuhvata  sva pravila  aritmetičkih operacija

2.34\times10^{-5} + 5.67\times10^{-6} = 2.34\times10^{-5} + 0.567\times10^{-5} = 2.907\times10^{-5}