Riemannova zeta-funkcija

**Rimanova zeta-funkcija** \zeta(s) je bez sumnje najvažnija funkcija Teorije Brojeva, zbog svoje veze sa raspodelom prostih brojeva. Osnovno pitanje o &zeta;-funkciji, Rimanova hipoteza, i pored ogromnih napora i danas ostaje neodgovoreno.

## Definicija

Rimanova zeta-funkcija \zeta(s) definisana je za kompleksne brojeve *s* u poluravni \Re(s)>1 kao \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s},a zatim se analitički produžuje na celu kompleksnu ravan do funkcije holomorfne svuda osim u s=1, gde ima prost pol sa ostatkom 1.

## Veza sa raspodelom prostih brojeva

Veza ζ-funkcije sa raspodelom prostih brojeva ostvaruje se preko Ojlerovog identiteta \zeta(s)=\prod_p\frac{1}{1-p^{-s}},gde se proizvod vrši po svim prostim brojevima *p*. Ojlerov identitet analitički izražava Osnovnu Teoremu Aritmetike, koja govori da se svaki prirodan broj može jednoznačno razložiti na proizvod prostih brojeva. I zaista, prema formuli za zbir geometrijskog reda, \frac{1}{1-p^{-s}}=1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\frac{1}{p^{3s}}+\cdots+\frac{1}{p^{ks}}+\cdots.Ako bismo dakle pomnožili \frac{1}{1-p^{-s}} i \frac{1}{1-q^{-s}}, dobili bismo zbir svih mogućih sabiraka oblika \frac{1}{p^{ks}}\frac{1}{q^{ls}}; ako pak izvršimo proizvod po *svim* prostim brojevima, dobićemo da je \prod_p\frac{1}{1-p^{-s}} jednak zbiru svih mogućih razlomaka oblika \frac{1}{p_1^{k_1s}}\frac{1}{p_2^{k_2s}}\cdots \frac{1}{p_r^{k_rs}}=\frac{1}{(p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r})^s}.Ali Osnovna Teorema Aritmetike nam upravo kaže da ćemo među izrazima ovog oblika naći svaki \frac{1}{n^s} tačno jednom; to i jeste potpun dokaz Ojlerovog identiteta (osim tehničkih detalja u vezi konvergencije svih izraza).

Korišćenjem Ojlerovog identiteta, broj prostih brojeva u datom intervalu (na primer, ne većih od nekog zadatog *x*) može se izraziti kao podesni konturni integral logaritamskog izvoda -\frac{\zeta'}{\zeta}(s)=\sum_p\frac{\log p}{p^s-1}, gde log označava prirodni logaritam. Konturni integral se zatim računa primenom Košijeve teoreme u Kompleksnoj analizi, za šta je potrebno znanje o polovima integranda, dakle o nulama od \zeta(s). Konrektno, može se dokazati *eksplicitna formula* \sum_{p^k\leq x}\log p=x-\sum_{\rho}\frac{x^{\rho}}{\rho}-\log(2\pi)-\frac{1}{2}\log(1-x^{-2}); sumiranje je po svim netrivijalnim kompleksnim nulama zeta-funkcije. Ako se podsetimo da je |x^{\rho}|=x^{\Re(\rho)}, gde je 0, vidimo da je u gornjoj formuli prvi član *x* „glavni“ (najveći), dok su treći i četvrti ograničeni; tako da je raspodela prostih brojeva kontrolisana drugim članom, dakle položajem nula zeta-funkcije.

## Svojstva

&zeta;-funkcija zadovoljava funkcionalnu jednačinu \pi^{-\frac{s}2}\Gamma(\frac{s}2)\zeta(s)=\pi^{-\frac{1-s}{2}}\Gamma(\frac{1-s}{2})\zeta(1-s),gde &Gamma; označava gama-funkciju. Kako je prema gornjem Ojlerovom proizvodu &zeta;-funkcija bez nula i singulariteta u poluravni \Re(s)>1, iz funkcionalne jednačine sledi da ona u oblasti \Re(s) ima jedino *"trivijalne"* nule s=-2,-4,-6,\ldots, koje odgovaraju polovima &Gamma;-funkcije. Poznato je i da &zeta;-funkcija nema drugih realnih nula, niti nula na pravoj \Re(s)=1 (pa dakle ni \Re(s)=0); ovo drugo tvrđenje je ekvivalentno Teoremi o prostim brojevima. Nule u *kritičnom pojasu* 0 nazivaju se, sasvim prigodno, *netrivijalnim*. &zeta;-funkcija ima beskonačno mnogo netrivijalnih nula, za koje se tradicionalno koristi oznaka \rho=\beta+i\gamma; njihov broj u oblasti 0, |\gamma|\leq T dat je sledećom *Riman-fon Mangoldtovom formulom*:
N(T)=\frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi}-\frac{T}{2\pi}+\mathrm{O}(\log T).
Iz definicije i funkcionalne jednačine se lako vidi da su nule &zeta;-funkcije simetrične u odnosu na realnu osu i pravu \Re(s)=1/2. Rimanova hipoteza je tvrđenje da sve netrivijalne nule zapravo leže na *kritičnoj pravoj* \Re(s)=1/2, dakle da je za sve njih \beta=1/2.

Ni danas nije poznato čak ni da li &beta; može biti proizvoljno blizu 1. Dokazano je da sve netrivijalne nule &zeta;-funkcije leže u oblasti \betada „skoro sve“ leže u oblasti |\beta-\frac12| (gde je &Phi; proizvoljna funkcija takva da \Phi(\gamma)\to\infty), te da bar 40% leži na kritičnoj pravoj \beta=1/2. (Vidi priloženu sliku.) Za više detalja o položaju nula &zeta;-funkcije, vidi članak o Rimanovoj hipotezi.

U okolini tačke s=1, &zeta;-funkcija ima Loranov razvoj \zeta(s)=\frac1{s-1}+\gamma-\gamma_1(s-1)+\frac{\gamma_2}{2!}(s-1)^2-\frac{\gamma_3}{3!}(s-1)^3+\cdots, gde je &gamma; Ojlerova konstanta, a \gamma_n su takozvane Stiltjesove konstante.

Za vrednosti \zeta(2n) imamo eksplicitnu formulu \zeta(2n)=\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, gde su B_{2n} Bernulijevi brojevi. Tako je, na primer, \zeta(2)=\pi^2/6, \zeta(4)=\pi^4/90, itd. Kako je broj &pi; transcendentan, to su i svi brojevi \zeta(2n) transcendentni, dakle i iracionalni. Analogno pitanje za vrednosti \zeta(2n+1) je mnogo teže, i nije poznata nijedna slična formula. Danas znamo da je \zeta(3) iracionalan broj, te da je beskonačno mnogo brojeva \zeta(2n+1) iracionalno, među njima bar jedan od \zeta(5), \zeta(7), \zeta(9) i \zeta(11).

Od izuzetnog značaja je i pitanje veličine \zeta(s).

Puna &zeta;-funkcija je Melinova transformacija Jakobijeve teta-funkcije \theta(x)=\sum_{n\in{\mathbb{Z}}}e^{-n^2\pi x}: \pi^{-\frac{s}2}\Gamma(\frac{s}2)\zeta(s)=\int_0^{\infty}x^{\frac{s}2-1}\frac{\theta(x)-1}2\,dx.U svetlu ove relacije, funkcionalna jednačina &zeta;-funkcije je odraz modularnosti &theta;-funkcije. &zeta;-funkcija se pojavljuje i u konstantnom članu Furijeovog razvoja Ajzenštajnovog reda pune modularne grupe \mathrm{SL}_2{\mathbb Z}, odakle se takođe može videti njena funkcionalna jednačina i neka druga svojstva.

## Istorijat

Red kojim se definiše &zeta;-funkcija posmatrao je za realne s>1 još Leonard Ojler. Njemu je bilo poznato da je činjenica da harmonijski red \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} divergira (to je red koji se dobija formalnim uvrštavanjem s=1 u definiciju) ekvivalentna teoremi da je prostih brojeva beskonačno mnogo. Ojler je dalje dokazao da već red \sum_{p}\frac{1}{p} divergira, i izračunao vrednosti \zeta(2n). Međutim tek nam je Bernard Riman pokazao kako zeta-funkciju treba posmatrati kao funkciju kompleksne promenljive. Rimanu dugujemo i analitičko produženje, funkcionalnu jednačinu i, naravno, samu Rimanovu hipotezu. U svom memoaru *O broju prostih brojeva ispod zadate veličine* (Über der Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe) iz 1859, svom jedinom radu u Teoriji Brojeva, Riman jednostavno konstatuje da nula na kritičnoj pravoj ima „otprilike“ isto koliko i svih nula zajedno, i da je „vrlo verovatno“ da su na toj pravoj zapravo sve netrivijalne nule. ("Man findet in der Tat etwa so viel reelle Wurzeln innerhalb dieser Grenzen, und es ist sehr wahrscheinlich, daß alle Wurzeln reell sind.") Ovim kratkim, uistinu vanvremenskim, radom Bernard Riman je osnovao Analitičku Teoriju Brojeva.

Odsustvo nula na pravoj \Re(s)=1, a time i Teoremu o prostim brojevima, dokazali su 1896, nezavisno jedan od drugog, Adamar i La-Vale Pusen. Najbolji do sada poznati rezultat o oblasti bez nula zeta-funkcije dokazao je 1937 Vinogradov.

## Uopštenja

L-funkcije, veoma široko uopštenje klasične Rimanove zeta-funkcije, jedna su od osnovnih tema moderne Teorije Brojeva. Vidi i Hurvicova &zeta;-funkcija, Dirihelova L-funkcija, Dedekindova &zeta;-funkcija, Hekeova L-funkcija.

## Dodatna literatura
* Ivić, Aleksandar: *Uvod u Analitičku Teoriju Brojeva* (1996). Sremski Karlovci: Izdavačka knjižarnica Zorana Stojanovića.
* Ivić, Aleksandar: *The Riemann Zeta-Function: Theory and Applications* (2003). Dover Publications. 
* Titchmarsh, Edward Charles: *The Theory of the Riemann Zeta-Function* (1986). Oxford University Press. 

## Vanjske veze