Hiperbolična trigonometrija

**Hiperbolična trigonometrija** ima svoju ulogu u geometriji Lobačevskog. Koristi se za proučavanje otpornosti materijala, u elektrotehnici, statičkim proračunima visećih mostova u građevinarstvu i drugim granama nauke. U matematici se hiperbolične funkcije koriste, na primer, za rešavanje integrala gde se pojavljuje \surd(1+x^2), za razliku od oblika \surd(1-x^2) gde se koristi obična, tj. ravninska trigonometrija.

## Hiperbolične funkcije
Hiperbolične funkcije je uveo u upotrebu italijanski matematičar Vinčenco Rikati (*Vincenzo Riccati*, 1707-1775). On je koristio oznake Sh. i Ch. za hiperbolni sinus i kosinus. Teoriju je dalje razvio Lambert (*Johann Heinrich Lambert*, 1728-1777. *Histoire de l'académie Royale des sciences et des belles-lettres de Berlin*, tom. XXIV, str. 327 (1768)), negde oko 1771, upotrebljavajući sinh i cosh. Kod nas se za hiperbolne funkcije koriste oznake sh x, ch x, th x, cth x, sech x, cosech x, ali ovde sledimo skraćenice koje podržava Vikipedijin softver, tj. Lateh, a to su uobičajene anglosaksonske oznake.

### Definicija hiperboličnih funkcija
Sinus hiperbolični, kosinus hiperbolični i tangens hiperbolični određeni su formulama:

: \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},
: \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2},
: \tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}.


Datoteka:Mplwp sinh cosh.svg|Sl.1. Graf sinusa hiperboličnog (plave boje, donji), i kosinus (crven, iznad)
Datoteka:Mplwp tanh.svg|Sl.2. Graf tangensa hiperboličnog (plav)
Datoteka:Hyperbolic Cotangent.svg|Sl.3. Graf kotangensa hiperboličnog (crven)


Kotangens hiperbolični, sekans hiperbolični i kosekans hiperbolični su recipročne vrednosti:

: \coth x=\frac{1}{\tanh x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}},
: \operatorname{sech} x=\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}},
: \operatorname{csch} x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}.


Datoteka:Sech.png|Sl.4. Graf sekansa hiperboličnog (crven)
Datoteka:Mplwp csch.svg|Sl.5. Graf kosekansa hiperboličnog (plav)


Geometrijsko određivanje hiperboličnih funkcija analogno je određivanju trigonometrijskih funkcija sinus, kosinus, tangens (v. ravninska trigonometrija).

### Geometrijsko određivanje
U trigonometrijskom krugu definisane su funkcije \sin x,\; \cos x,\; \tan x kao odsečci BC, OB, AD (poluprečnik r=1), a ugao &alpha; je centralni ugao AOC. Isti ugao smo mogli definisati i kao površinu Pk dvostrukog kružnog isečka COK (sl.6. šrafirano). 

Datoteka:Trig-kruz.gif|Sl.6. Trigonometrijska kružnica
Datoteka:Trig-hipe.gif|Sl.7. Trigonometrijska hiperbola
 
Naime, kada je ugao AOC, tj. &alpha; u radijanima, tada dvostruki centralni isečak COK ima površinu P_k=\frac{1}{2}r^2\cdot 2\alpha=\alpha. Uzimajući analognu funkciju površine, ali ne za kružnicu x^2+y^2=1, nego za istostranu hiperbolu x^2-y^2=1, i označavajući sa P_h=x površinu analognog sektora COK (šrafirano na sl.7.), definišemo hiperbolne funkcije: sh x = BC, ch x = OB, th x = AB, odnosno istim redom sinh x, cosh x, tanh x, tj. sinus, kosinus i tangens hiperbolni.

Kada površinu h izračunamo (v. određeni integral) dobijamo izraze za BC, OB, AD: 

: x=\ln(BC+\sqrt{BC^2+1})=\ln(OB+\sqrt{OB^2-1})=\frac{1}{2}\ln\frac{1+AD}{1-AD},

dakle za hiperbolne funkcije dobijamo prethodno navedene izraze u eksponencijalnom obliku:

: BC=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x,
: OB=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x,
: AD=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\tanh x.

### Trigonometrijske veze
: \sin z=-i\sinh z, \quad \sinh z=-i\sin iz,
: \cos z=i\cosh z, \quad \cosh z=i\cos iz,
: \tan z=-i\tanh z, \quad \tanh z=-i\tan iz,
: \cot z=i\sinh z, \quad \coth z=i\cot iz.

Svaka formula koja povezuje hiperbolične funkcije argumenta h ili ah, ali ne ax+b, može se dobiti iz odgovarajuće formule koja povezuje obične trigonometrijske funkcije ugla z zamenom \sin z\, sa i \sinh x\, i zamenom \cos z\, sa \cosh x.\, Na primer:

: \cos^2z+\sin^2z=1\, prelazi u \cosh^2x-\sinh^2x=1,\,
: \sin 2z=2\sin y\cos z,\, prelazi u \sinh 2x=2\sinh x\cosh x.\,

## Osnovne formule
Za hiperbolne funkcije vrede formule analogne formulama za funkcije obične trigonometrije.

### Funkcije jednog argumenta
: \cosh^2x-\sinh^2x=1, \quad \operatorname{sech}^2x+\tanh^2x=1,
: \coth^2x-\operatorname{csch}^2x=1, \quad \tanh x\cdot\coth x=1,
: \frac{\sinh x}{\cosh x}=\tanh x, \quad \frac{\cosh x}{\sinh x}=\coth x.

### Međusobno izražavanje
: \sinh x=\sqrt{\cosh^2x-1}=\frac{\tanh x}{\sqrt{1-\tan^2x}}=\frac{1}{\sqrt{\coth^2x-1}},
: \cosh x=\sqrt{\sinh^2x+1}=\frac{1}{\sqrt{1-\tanh^2x}}=\frac{\coth x}{\sqrt{\cot^2x-1}},
: \tanh x=\frac{\sinh x}{\sqrt{\sinh^2x+1}}=\frac{\sqrt{\cosh^2x-1}}{\cosh x}=\frac{1}{\coth x},
: \coth x=\frac{\sqrt{\sinh^2x+1}}{\sinh x}=\frac{\cosh x}{\sqrt{\cosh^2x-1}}=\frac{1}{\tanh x}.

### Zbir i razlika argumenata
: \sinh(x\pm y)=\sinh x\cosh y\pm\cosh x\sinh y,
: \cosh(x\pm y)=\cosh x\cosh y\pm\sinh x\sinh y,
: \tanh(x\pm y)=\frac{\tanh x\pm\tanh y}{1\pm\tanh x\tanh y}, \quad \coth(x\pm y)=\frac{1\pm \coth x\coth y}{\coth x\pm\coth y}.

### Funkcije dvostrukog argumenta
: \sinh 2x=2\sinh x\cosh x, \quad \cosh 2x=\sinh^2x+\cosh^2x,
: \tanh 2x=\frac{2\tanh x}{1+\tanh^2x}, \quad \coth 2x=\frac{1+\coth^2x}{2\coth x}.

### Moavrova hiperbolična formula
: (\cosh x\pm\sinh x)^n=\cosh nx\pm\sinh nx

### Funkcije polovine argumenta
: \sinh\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{\cosh x-1}{2}}, + za x>0, - za x\cosh\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{\cosh x+1}{2}},
: \tanh\frac{x}{2}=\frac{\cosh x-1}{\sinh x}=\frac{\sinh x}{\cosh x+1}, \quad \coth\frac{x}{2}=\frac{\sinh x}{\cosh x-1}=\frac{\cosh x+1}{\sinh x}.

### Zbir i razlika funkcija
: \sinh x\pm\sinh y=2\sinh\frac{x\pm y}{2}\cosh\frac{x\mp y}{2},
: \cosh x+\cosh y=2\cosh\frac{x+y}{2}\cosh\frac{x-y}{2},
: \cosh x-\cosh y=2\sinh\frac{x+y}{2}\sinh\frac{x-y}{2},
: \tanh x\pm\tanh y=\frac{\sinh(x\pm y)}{\cosh x\cosh y}.

## Inverzne (Area) funkcije
Nazivi **area-sinus**, **area-kosinus**, **area-tangens** i **area-kotangens** potiču od reči *area* (površina) jer area-funkcije možemo predstaviti površinom hiperboličnog sektora. One su inverzne funkcijama sinus hiperbolni, kosinus hiperbolni, tangens hiperbolni i kotangens hiperbolni, tj. ako je y=\sinh x\, tada je x=Ar\sinh y,\, itd:

: y=Ar\sinh x\, area-sinus, ako je x=\sinh y,\,
: y=Ar\cosh x\, area-kosinus, ako je x=\cosh y,\,
: y=Ar\tanh x\, area-tangens, ako je x=\tanh y,\,
: y=Ar\coth x\, area-kotangens, ako je x=\coth y.\,

### Izražavanje logaritmima
: Ar\sinh x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}),
: Ar\cosh x=\pm\ln(x+\sqrt{x^2-1}),\; x\ge 1,
: Ar\tanh x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x},\; |x|
: Ar\coth x=\frac{1}{2}\ln\frac{x+1}{x-1}, \; |x|>1.

### Međusobno izražavanje inverznih
: Ar\sinh x=\pm^*Ar\cosh\sqrt{x^2+1}=Ar\tanh\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=Ar\coth\frac{\sqrt{x^2+1}}{x},
: Ar\cosh x=\pm Ar\sinh\sqrt{x^2-1}=\pm Ar\tanh\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}=\pm Ar\cosh\frac{x}{\sqrt{x^2-1}},
: Ar\tanh x=Ar\sinh\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\pm^*Ar\cosh\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=Ar\coth\frac{1}{x},
: Ar\coth x=Ar\sinh\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}=\pm^*Ar\cosh\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=Ar\tanh\frac{1}{x}.

Uz indeks * ide predznak + za h pozitivno, - za h negativno.

### Odnosi među inverznim
: Ar\sinh x \pm Ar\sinh y=Ar\sinh(x\sqrt{1+y^2}\pm y\sqrt{1+x^2}),
: Ar\cosh x\pm Ar\cosh y=Ar\cosh(xy\pm\sqrt{(x^2-1)(y^2-1)}),
: Ar\tanh x\pm Ar\tanh y=Ar\tanh\frac{x\pm y}{1\pm xy}.

## Povezano
* Geometrija
* Trigonometrija
* Hiperbolične funkcije
* Inverzne hiperbolične funkcije