Laplaceova transformacija

**Laplasova transformacija** (nazvana po Pjer-Simon Laplasu) je integralna transformacija, koja datu kauzalnu funkciju *f(t)* (original) preslikava iz vremenskog domena (*t* = vreme) u funkciju F(s) u kompleksnom spektralnom domenu. Laplasova transformacija, iako je dobila ime u njegovu čast, jer je ovu transformaciju koristio u svom radu o teoriji verovatnoće, transformaciju je zapravo otkrio Leonard Ojler, švajcarski matematičar iz osamnaestog veka.

## Pojam originala

Funkcija *t->f(t)* naziva se *originalom* ako ispunjava sledeće uslove: 

:1. *f* je integrabilna na svakom konačnom intervalu *t* ose

:2. za svako *t*0, tako da je  |f(t)| \le M e^{s_0t} 

## Definicija Laplasove transformacije

: F(s) 
  = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}
  =\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt. \qquad (s = \sigma + \mathrm{i} \omega;
  \quad \sigma > 0;\quad t \ge 0 )


Funkcija *F*(*s*) je »slika« ili laplasova transformacija »originala« *f*(*t*). 

Za slučaj da je s = i\omega dobija se jednostrana Furijeova transformacija:

::F(\omega) = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} 

::::= \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i \omega}  =  F(s)|_{s = i \omega} 

::::= \int_{0}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.

## Osobine
### Linearnost

: \mathcal{L} \{  \sum_{k=1}^{n}  \alpha_k f_k(t) \} = \sum_{k=1}^{n} \alpha_k F_k(s)

### Teorema sličnosti
:Ako je  a>0 , tada je  \mathcal{L} \{ f(at) \} = { 1 \over a } F({ s \over a }) , pri čemu je  \mathcal{L} \{ f(t) \} = F(s) 

### Diferenciranje originala
:Ako je  a>0  i  \mathcal{L} \{ f(t) \} = F(s) , tada je  \mathcal{L} \{ f^\prime(t) \} = s F(s) - f(0)  

### Diferenciranje slike
:Ako je  \mathcal{L} \{ f(t) \} = F(s) , tada je  \mathcal{L} \{ t f(t) \} = - F^\prime(s) , odnosno indukcijom se potvrđuje da važi  \mathcal{L} \{ t^n f(t) \} = (-1)^n F^{(n)}(s) 

### Integracija originala
:Ako je  a>0  i  \mathcal{L} \{ f(t) \} = F(s) , tada je  \mathcal{L} \{ \int_0^t f(\tau)d\tau \} = { 1 \over s } F(s) 

### Integracija slike
:Ako postoji integral  \int_0^{\infty} F(s)ds , tada je  \mathcal{L} \{ {f(t) \over t} \} = \int_s^{\infty} F(\sigma)d\sigma 

### Teorema pomeranja
: \mathcal{L} \{ {e^{s_0t} f(t)} \} = F(s-s_0) 

### Teorema kašnjenja
: \mathcal{L} \{ {f(t - \tau )} \} = -e^{ -s \tau } F(s), \tau \ge 0 

### Laplasova transformacija [[Konvolucija|konvolucije]] funkcija
: \mathcal{L}\{f * g\}
  = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}

Ova osobina je poznata kao Borelova teorema. 
Napomena: definicija konvolucije je:  (f\ast g) (x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t) \cdot g(t) \cdot dt = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot g(x-t) \cdot dt

### Laplasova transformacija [[Periodične funkcije|periodičnih funkcija]]
:Ako  f(t)  ima osobinu  f(t+T)=f(t) , tada važi  \mathcal{L}\{ f(t)\}= {1 \over 1 - e^{-sT}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt .

#### Dokaz
:\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-st}f(t)dt+\int_{T}^{2T}e^{-st}f(t)dt+\int_{2T}^{3T}e^{-st}f(t)dt+...\,

:\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-st}f(u)du+\int_{0}^{T}e^{-s(u+T)}f(u+T)du+\int_{0}^{T}e^{-s(u+2T)}f(u+2T)du+...\,

:\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-su}f(u)du+e^{-sT}\int_{0}^{T}e^{-su}f(u)du+e^{-2sT}\int_{0}^{T}e^{-su}f(u)dT+...\,

:\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=(1+e^{-sT}+e^{-2sT}+...)\int_{0}^{T}e^{-su}f(u)du=\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_0^Te^{-su}f(u)du

Dakle, važi: \mathcal{L}\{ f(t)\}={1 \over 1 - e^{-sT}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt.

## Tabela najčešće korišćenih Laplasovih transformacija

Jednostrana Laplasova transformacija ima smisla samo za ne-negativne vrednosti -{t}-, stoga su sve vremenske funkcije u tabeli pomožene sa Hevisajdovom funkcijom. 

## Inverzna Laplasova transformacija

U opšti slučaj, original *f*(*t*) date slike *F*(*s*) dobija se rešavanjem Bromvičovog integrala: 

: \mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\}
  = \frac{1}{2 \pi \imath} \int_{ \gamma - \imath \infty}^{ \gamma + \imath \infty} e^{st} F(s)\,ds
  \qquad \gamma> s_0,


gde je s_0 realni deo bilo kog singulariteta funkcije F(s). 

S obzirom da se ovde integrali kompleksna promenljiva, potrebno je koristiti metode kompleksne matematičke analize. Mnogi primeri inverzne Laplasove transformacije navedeni su u tabeli iznad. U praksi, funkcije se transformišu u primere iz tablice, na primer razlaganjem na proste faktore.

## Diskretna Laplasova transformacija

Za funkciju celobrojne promenljive f(n) njena diskretna Laplasova transformacija se definiše kao: 

: F^{\ast}(s) 
  =\sum_{n=0}^{\infty} e^{-sn} f(n)


Konvergencija ovog reda zavisi od s. 

Sve osobine i teoreme regularne Laplasove transformacije imaju svoje ekvivalente u diskretnoj Laplasovoj transformaciji.

## Primena

U matematici Laplasova transformacija se koristi za analiziranje linearnih, vremenski nepromenljivih sistema, kao: električnih kola, harmonijskih oscilatora, optičkih uređaja i mehaničkih sistema. Ima primene u rešavanju diferencijalnih jednačina i teoriji verovatnoće.

## Literatura

* .
* 
* .
* .
* .
* .
* .
* .
* .
* .
* .
* 
* 

* 
* 
* .
* .
* , Chapters 3–5.
* .
* .

## Vanjske veze
* http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html
* http://www.mathe.braunling.de/Laplace.htm 
* http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/aufgaben/L/laplace_transformation.html
* http://www3.htl-hl.ac.at/homepage/bok/dt/mathe/mindex.html 
* http://www.seeit.de/xedu/formeln/Lars%20Weiser/laplace.pdf 
* http://www-hm.ma.tum.de/archiv/mw4/ss05/folien/Laplace.pdf 
* http://www.convertit.com/Go/ConvertIt/Reference/AMS55.ASP?Res=150&Page=1020