Parnost funkcije

U matematici, **parne funkcije** i **neparne funkcije** su matematičke funkcije koje zadovoljavaju određene relacije simetričnosti. Važne su u metematičkoj analizi, posebni u teoriji stepenih redova i Furijeovih redova. Nazvane su po parnosti stepena njihovih stepenih redova koji zadovoljavaju svaki od uslova: funkcija *x**n* je parna funkcija ako je *n* paran ceo broj, a neparna je funkcija ako je *n* neparan ceo broj.

## Parne funkcije

Neka je *f*(*x*) realna funkcija realne promenljive. Onda je *f* **parna** funkcija ako sledeće jednačine važe za svako *x* u domenu funkcije *f*:
:
f(x) = f(-x) \,
.

Geometrijski, parna funkcija je simetrična u odnosu na *y* osu, što znači da grafik funkcije ostaje nepromenjen posle refleksije oko *y* ose.

Primeri parnih funkcija su apsolutna vrednost, *x*2, *x*4, cos(*x*), i cosh(*x*).

## Neparne funkcije

Ponovo, neka je *f*(*x*) realna funkcija realne promenljive. Onda je *f* **neparna** funkcija ako sledeće jednačine važe za svako *x* u domenu funkcije *f*:
:
-f(x) = f(-x) \,
.

Geometrijski, neparna funkcija je simetrična u odnosu na koordinatni početak, što znači da grafik funkcije ostaje nepromenjen posle koordinatne rotacije za 180 stepeni oko koordinatnog početka.

Primeri neparnih funkcija su *x*, *x*3, sin(*x*), i erf (*x*).

## Neke činjenice

Napomena: parnost funkcije ne implicira diferencijabilnost, niti čak neprekidnost funkcije. Svojstva koja uključuju Furijeove redove, Tejlorove redove, izvode itd. mogu se koristiti samo ako se pretpostavi da oni postoje.

### Osnovna svojstva

* Jedina funkcija koja je u isto vreme i parna i neparna je konstantna funkcija jednaka nuli (tj. *f*(*x*) = 0 za svako *x*).
* Zbir parne i neparne funkcije nije ni parna ni neparna funkcija, osim ako jedna od te dve funkcije nije jednaka nuli.
* Zbir dve parne funkcije je parna funkcija, i rezultat svakog množenja parne funkcije konstantom je takođe parna funkcija.
* Zbir dve neparne funkcije je takođe neparna funkcija, i rezultat svakog množenja neparne funkcije konstantom je neparna funkcija.
* Proizvod dve parne funkcije je parna funkcija.
* Proizvod dve neparne funkcije je parna funkcija.
* Proizvod parne i neparne funkcije je neparna funkcija.
* Količnik deljenja dve parne funkcije je parna funkcija.
* Količnik deljenja dve neparne funkcije je parna funkcija.
* Količnik deljenja parne funkcije i neparne funkcije je neparna funkcija.
* Izvod parne funkcije je neparna funkcija.
* Izvod neparne funkcije je parna funkcija.
* Kompozicija dve parne funkcije je parna, a kompozicija dve neparne funkcije je neparna funkcija.
* Kompozicija parne i neparne funkcije je parna funkcija.
* Kompozicija bilo koje funkcije sa parnom funkcijom je parna funkcija (ali ne važi obratno).
* Integral neparne funkcije od -A do +A je nula (gde je A konačno, a funkcija nema vertikalnih asimptota između -A i A).
* Integral parne funkcije od -A do +A je dvostruko veći od integrala od 0 do +A (gde je A konačno, a funkcija nema vertikalnih asimptota između -A i A).

### Redovi
* Meklorenov red parne funkcije uključuje samo parne stepene.
* Meklorenov red neparne funkcije uključuje samo neparne stepene.
* Furijeov red periodične parne funkcije uključuje samo kosinusne članove.
* Furijeov red periodične neparne funkcije uključuje samo sinusne članove.

### Algebarske strukture
* Svaka linearna kombinacija parnih funkcija je takođe parna funkcija, i parne funkcije formiraju vektorski prostor nad realnim brojevima. Isto tako, linearna kombinacija neparnih funkcija formira vektorski prostor nad realnim brojevima. U stvari, vektorski prostor *svih* realnih funkcija je direktna suma linearnih podprostora parnih i neparnih funkcija. Drugim rečima, svaka funkcija se može jedinstveno napisati kao suma parne i neparne funkcije:
:
f(x)=f_\mathrm{even}(x)+f_\mathrm{odd}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\,+\,\frac{f(x)-f(-x)}{2} \,


* Parne funkcije formiraju K-algebru nad realnim brojevima. S druge strane, neparne funkcije **ne** formiraju K-algebru nad realnim brojevima.

## Povezano
* Hermitijan funkcija za generalizaciju nad kompleksnim brojevima
* Tejlorov red
* Furijeov red