Jacob Bernoulli

**Jakob Bernoulli** (Basel, 6. siječnja 1655. – Basel, 16. kolovoza 1705.), švicarski matematičar. Brat Johanna Bernoullija. Od 1687. profesor matematike u Baselu. Dao važne priloge teoriji beskonačnih redova, riješio neke od osnovnih problema računa varijacija i znatno unaprijedio teoriju vjerojatnosti u posmrtno objavljenom djelu *Umijeće pogađanja* (lat. *Ars conjectandi*, 1713.), u kojem se kao glavni poučak pojavljuje zakon velikih brojeva. Bavio se i geometrijom te dao analitičke izraze za niz krivulja (na primjer za lančanicu, logaritamsku i paraboličnu spiralu). Našao rješenja niza diferencijalnih jednadžbi (na primjer izoperimetričkog problema). Prvi primijenio računanje integrala. Naziv integral uveo je poslije Gottfried Leibniz.

Znatno su pridonijeli razvoju teorije elastičnosti i analitičkim metodama o nauci o čvrstoći braća Jakob i Johann Bernoulli. Oni su razmatrali deformacije grede pri savijanju. Jacob Bernoulli je uveo pretpostavku da pri savijanju poprečni presjeci ostaju ravni. On je 1694. utvrdio da je zakrivljenost elastične linije sukladna (proporcionalna) momentu savijanja.

## Zakon velikih brojeva
**Zakon velikih brojeva** je teorem u teoriji vjerojatnosti prema kojemu će prosječni rezultat ponavljanja nekog događaja velik broj puta biti blizu određene vrijednosti iako događaj uključuje slučajne varijable. Prosječna vrijednost slučajne varijable \overline{X}_n postaje sve bliža očekivanoj vrijednosti: *μ* (aritmetičkoj sredini raspodjele numeričkih vrijednosti varijable) što je broj događaja *n* veći (ako *n → ∞*, onda *n* → *μ*), gdje je:

:\overline{X}_n=\frac1n(X_1+\cdots+X_n) 

za koje vrijedi:

:\overline{X}_n \, \to \, \mu \qquad\textrm{za}\qquad n \to \infty,

gdje su: *x<sub>1</sub>*, …, *x<sub>n</sub>* vrijednosti su slučajne varijable.

Veću točnost rezultata obrade statističkih podataka što je broj ponavljanih događaja veći, prvi je bez matematičkog dokaza uočio Girolamo Cardano. Jakob Bernoulli dokazao je zakon velikih brojeva za slučajne binarne varijable, a daljnjim poboljšanjima dokaza zakona velikih brojeva pridonijeli su Pafnutij Ljvovič Čebišov, Andrej Andrejevič Markov, Émile Borel, Andrej Kolmogorov te je on danas dokazan za proizvoljan broj slučajnih varijabli.

## Reference

## Literatura

* Hoffman, J.E. (1970–80). "Bernoulli, Jakob (Jacques) I". Dictionary of Scientific Biography 2. New York: Charles Scribner's Sons. pp. 46–51. .
*
*
* *Die Werke von Jakob Bernoulli*, Birkhäuser, 5 Bände, 1969-1999
*Bernoulli *Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ars conjectandi (1713)*, Leipzig, Verlag Wilhelm Engelmann 1899, Ostwalds Klassiker, übersetzt und herausgegeben von R. Haussner, Teil 1,2, Teil 3,4
*Bernoulli *The art of conjecturing together with Letter to a friend on sets in court tennis*, The Johns Hopkins University Press 2006 (Herausgeber und Übersetzer Edith Dudley Sylla)
*Edith Sylla *The emergence of mathematical probability from the perspective of the Leibniz-Jacob Bernoulli correspondence*, Perspectives on Science, 1998
**Der Briefwechsel von Jacob Bernoulli*, Birkhäuser 1993 (Herausgeber David Speiser, André Weil)
**Jacob und Johann Bernoulli. Die Streitschriften. Variationsrechnung*, Birkhäuser 1991
* Moritz Cantor: Bernoulli, Jakob I. In: Allgemeine Deutsche Biographie (ADB). Band 2, Duncker & Humblot, Leipzig 1875, S. 470–473.
* Bernard de Fontenelle: *Eloge de M. Bernoulli.* s. n., Paris 1708
* Otto Spiess: Bernoulli, Jakob. In: Neue Deutsche Biographie (NDB). Band 2, Duncker & Humblot, Berlin 1955, , S. 129 f. (Digitalisat).
* Manfred Denker: ''Tercentennial anniversary of Bernoulli's law of large numbers'', Bulletin AMS, Band 50, 2013, S. 373-390 
* Radelet-De Grave (Patricia), Le *De curvatura fornicis* de Jacob Bernoulli ou l'introduction des infiniment petits dans le calcul des voûtes, in : *Entre mécanique et architecture / Between mechanics and architecture* (Basel ; Boston; Berlin, Birkhauser, 1995. ), p. 141-163. 
* La première partie, a été traduite en français par Louis-Guillaume-François Vastel, Paris, 1801 et par Norbert Meusnier:*Christian Huygens et Jacques Bernoulli: la première partie de l'Ars Conjectandi*, Paris, 1992; la quatrième partie par Norbert Meusnier *Jacques Bernoulli et l'ars conjectandi. Documents pour l'étude de l'Emergence d'une Mathématisation de la Stochastique*, Rouen, 1987*.


== Vanjske veze ==

* 
* 
* 
* Jakob I. Bernoulli: *Neu-erfundene Anleitung / Wie man den Lauff der Comet- oder Schwantzsternen in gewisse grundmässige Gesätze einrichten und ihre Erscheinung vorhersagen könne''. Basel 1681 
* Eintrag im Mathematikerstammbaum
* Die Bernoulli an der Universität Basel. Website des Historischen Seminars Basel zur Geschichte der Universität, entstanden zum 550. Jubiläum der Uni Basel 
* 
* Ouvrages de Bernoulli numérisés par le SCD de l'Université de Strasbourg 
* Académie des Sciences : Éloge de Jacques Bernouilli par Fontenelle