Bernulijeva jednačina

**Bernulijeva jednačina** ili **Bernoullijeva jednadžba** prikazuje odnos između brzine, tlaka i gustoće tekućine u kretanju. Ona kaže da je u slučaju stabilnog strujanja ne stišljive tekućine, bez trenja, ukupna energija tekućine jednaka duž svih prereza; porastom brzine tekućine pada njen statički tlak i obratno. Zbroj statičkog i dinamičkog tlaka u vodoravnom strujanju daje ukupan tlak koji je konstantan u svim prerezima. Drugim riječima Bernoullijeva jednadžba predstavlja zakon održanja energije koji nam u slučaju stacionarnog strujanja tekućine govori da *Za vrijeme *'stacionarnog strujanja** jedinica mase tekućine (njen diferencijalni dio) ima **konstantnu energiju** duž cijele strujne cijevi. ''

<br />
:: Odnosno Bernouiiljeva jednadžba govori o konstantnosti:
* [[Potencijalna energija|potencijalne energije]] ... <math>\ z+ {p \over \rho g}</math> <br />i 
* [[Kinetička energija|kinetičke energije]] ... <math>\ {v^2 \over 2g}</math>.
== Objašnjenje Bernoullieve jednadžbe ==



Kroz cijevi različitog presjeka protječe tekućina (slika). Okomito na smjer strujanja postavljene su [[pijezometar]]ske cjevčice (1) koje pokazuju veličinu statičkog tlaka mjerenog u pravcu okomito na smjer strujanja, kako bi se izbjegao utjecaj tlaka uslijed gibanja tekućine. [[Pitotova cijev|Pitotove cijevčice]] sa savijenim uronjenim krajevima u smjeru strujanja (2) po zakonu o spojenim posudama imaju istu razinu kao i posuda (3). Pijezometarska i brzinska visina mogu se odrediti pomoću pijezometarske i Pitotove cijevi. Suma tih visina je konstantna i jednaka **H** bez obzira koju strujnu cijev promatramo.

Na užim mjestima [[statički tlak]] je manji, a na širim veći. U ravnomjernom strujanju tekućine kroz cijev brzina u užim dijelovima je veća iz čega proizlazi da je na mjestima manje brzine strujanja statički tlak veći, a na mjestima veće brzine statički tlak manji.

=== Osnovne i izvedene mjerne jedinice koje se koristi B. jednadžba ===

:**ρ** – [[Gustoća]] - <math>(kg/m^3)</math>
:**S** - [[presjek]] predstavlja [[Ploština|površinu]] poprečnog presjeka ili Ploština - <math>(m^2)</math>.
:**p** - statički [[tlak]] - ''(Pa)''
:**v** - [[brzina]] - ''(m/s)''
:**m** – [[masa]] tekućine - ''(kg)''
:**R** - [[mehanički rad]] - ''(W)''
:**V** - [[volumen]] mase tekućine - <math>(m^3)</math>
* Bernoullieva jednadžba koristi [[Međunarodni sustav mjernih jedinica|SI]] sustav jedinica.
** <math>\ z</math> [[Geodedetska visina|geodetska visina]] odnosno visina [[Težište|težišta]] poprečnog presjeka u odnosu na neku horizontalnu ravninu u <math>\ (m)</math>
** <math>\ p \over \rho g</math> pijezometarska ili tlačna visina odnosno visina [[Pijezometarski tlak|pijezometarskog tlaka]] koju pokazuje visina stupca tekućine u [[Pijezometar|pijezometarskoj cijevi]] u <math>\ (m)</math>
** <math>\ {v^2 \over 2g}</math> je brzinska visina u <math>\ (m)</math>, a brzina <math>\ v</math> predstavlja brzinu koju bi tijelo imalo kada bi bilo u [[Slobodni pad|slobodnom padu]].
** ''Ukupan zbroj [[energija]] daje **Bernoullijevu jednadžbu**''

Ulaskom u uži dio cijevi, presjeka <math>S_2</math> i [[statički tlak|statičkog tlaka]] <math>p_2</math> tekućina dobije veću brzinu <math>v_2</math>.
Masa tekućine ''m'' ima u širem dijelu cijevi [[Kinetička energija|kinetičku energiju]]: 
 
: <math>  \frac{ m \cdot v_1^2}{2} </math> 
 
: a kad uđe u uži dio kinetičku energiju:
 
: <math>  \frac{ m \cdot v_2^2}{2} </math>

Povećanje kinetičke energije posljedica je mehaničkog rada ''R'' koji je nastao radi razlike tlakova (<math>p_1-p_2</math>) <math>s_1</math> pri gibanju mase ''m'' tekućine iz šireg dijela cijevi u uži na putu &#916;S:

:R = (<math>p_1-p_2</math>) <math>s_1</math> &#916;S

:R= (<math>p_1-p_2</math>) V , gdje je ''V'' volumen mase tekućine.

Taj je rad jednak povećanju kinetičke energije:

:(<math>p_1-p_2</math>) V = <math>  \frac{ m \cdot v_2^2}{2} </math> - <math>  \frac{ m \cdot v_1^2}{2} </math>

Dijeljenjem gornje jednakosti s volumenom, znajući da je gustoća ''ρ'' = <math>  \frac {m}{V} </math> dobivamo **Bernoullijevu jednađbu:**

:<math>p_1</math> + <math>  \frac{\rho \cdot v_1^2}{2} </math> = <math>p_2</math> + <math>  \frac{\rho \cdot v_2^2}{2} </math> = <math>p_3</math> + <math>  \frac{\rho \cdot v_3^2}{2} </math> = konst.

Izrazi <math>  \frac{\rho \cdot v_1^2}{2} </math> , <math>p_2</math> + <math>  \frac{\rho \cdot v_2^2}{2} </math> i <math>p_3</math> + <math>  \frac{\rho \cdot v_3^2}{2} </math> prikazuju tlak koji je nastao uslijed strujanja tekućine i zove se [[dinamički tlak]].

== Oblik Bernoullijeve jednadžbe za idealnu tekućinu ==

: Osnovne pretpostavke pod kojim vrijedi ova jednadžba su:
# [[Idealna tekućina|tekućina je idealna]] - nestlačiva tekućina, linija energije je konstantna duž presjeka
# [[Stacionarno strujanje]]
<center>
<math>\ z_1+ {p_1 \over \rho g}+{v^2_1 \over 2g}=z_2+ {p_2 \over \rho g}+{v^2_2 \over 2g}=H</math>
</center>
** <math>\ H</math> predstavlja [[hidrodinamički tlak]] ili ukupnu specifičnu energiju u <math>\ (m)</math>.

=== Izvod Bernoullieve jednadžbe preko zakona održanja količine gibanja ===

:: Bernoullijeva jednadžba je prvi put izvedena 1738. godine primjenom [[Zakon održanja količine gibanja|zakona održanja količine gibanja]].

Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ovaj izvod su:
# fiktivna cijev ili proračun za konačni element neke cijevi,
# [[Stacionarno strujanje]] ili postupno promjenjivo strujanje.

=== Izvod Bernoullieve jednadžbe preko Eulerovog integrala ===

: Eulorove [[Diferencijalna jednadžba|diferencijalne jednadžbe]] kretanja tekućine - implicitni oblik
<br />
<center>
<math>\ \frac{1}{\rho} \frac{\delta p}{\delta x} = X -  \frac{d u }{d t }</math> ... ... ...''(1E)'' <br />
<math>\ \frac{1}{\rho} \frac{\delta p}{\delta y} = Y -  \frac{d v }{d t }</math> ... ... ...''(2E)'' <br />
<math>\ \frac{1}{\rho} \frac{\delta p}{\delta z} = Z -  \frac{d W }{d t }</math> ... ... ...''(3E)''

</center>
<math>\ \rho =konst</math> - nema općeg rješenja jer imamo 4 nepoznanice. Rješenje je moguće samo ako definiramo pretpostavku koja će eliminirati nepoznanicu viška. 
: Osnovna pretpostavka:
* imamo [[stacionarno strujanje]]
:: matematičke transformacije - ''(1E)'' množimo s ''dx'', ''(2E)'' množimo s ''dy'', ''(3E)'' množimo s ''dz'' i sumiramo dobivene jednadžbe.

<center>
<math>\ \frac{1}{\rho} (\frac{\delta p}{\delta x}dx + \frac{\delta p}{\delta y}dy + \frac{\delta p}{\delta z}dz)=Xdx+Ydy+Zdz - ( du \overbrace{ \frac{d x }{d t }}^{u} + dv \overbrace{ \frac{d y }{d t }}^{v} + dw \overbrace{ \frac{d z }{d t })}^{w} </math> <br />
</center>
pa dobijemo jednadžbu:

<center>
<math>\ 0=Xdx+Ydy+Zdz - \frac{1}{\rho} \delta p - (udu+vdv+wdw) </math> <br />
</center>
možemo [[Derivacija|derivirati]]
<center>
<math>\ udu= \frac{1}{2} d u^2 </math> <br />
<math>\ vdv= \frac{1}{2} d v^2 </math> <br />
<math>\ wdw= \frac{1}{2} d w^2 </math> <br />
</center>
dakle, sada imamo ovaj oblik [[Jednadžba|jednadžbe]]
<center>
<math>\ 0=Xdx+Ydy+Zdz - \frac{\delta p}{\rho} - \frac {1}{2}d (u^2+v^2+w^2)   </math> <br />
<math>\ 0=Xdx+Ydy+Zdz - \frac{\delta p}{\rho} - \frac {1}{2}d (W^2)   </math> <br />
</center>
* ako imamo strujnu cijev u kojoj dijeluje samo gravitacija u normalnom [[Koordinatni sustav|koordinatnom sustavu]]. Možemo pojednostaviti ovako;
<center>
<math>\ X=0, Y=0, Z=-g </math> <br />
<math>\ -gdz - \frac{\delta p}{\rho}- \frac{1}{2} d(W^2)=0  ... operacije/ \int / : -g</math> <br />
I konačno **Eulerov integral*' koji predstavlja izvod bernoullieve jednadžbe: <br />
<math>\ z+ \frac {p}{\rho g} + \frac {W^2}{2g}= konstanta </math>

</center>

== Oblik Bernoullijeve jednadžbe za realnu tekućinu ==
<center>
<math>\ z_1+ {p_1 \over \rho g}+{\alpha_1 v^2_1 \over 2g}=z_2+ {p_2 \over \rho g}+{\alpha_2 v^2_2 \over 2g}+ \Delta H</math>
</center>
** <math>\ \Delta H</math> je dio specifične energije utrošen na svladavanje hidrodinamičkih otpora strujanju kapljevine. Izražava se u <math>\ (m)</math>.
=== Coriolisov koeficijent ===

Ili koeficijent kinetičke energije <math>\ \alpha_{1,2}</math>. On pokazuje odnos stvarne kinetičke energije [[masa|mase]] fluida koji protječe poprečnim presjekom u jedinici vremena i kinetičke energije određene iz uvjeta da su [[brzina|brzine]] u svim točkama presjeka jednake *(srednja brzina)*. Koeficijent kinetičke energije je bezdimenzionalna jedinica.

: Koeficijent kinetičke energije najčešće ima slijedeće vrijednosti:
** kod strujanja u cijevima <math>\alpha=1,0</math>
** kod strujanja u otvorenim vodotocima <math>\alpha=1,1</math>
** vrijednost <math>\alpha</math> možemo računati ovom formulom:
 <center>
<math>\ \alpha= \frac{ \int_A v^3 dA}{v_{sr}^3A}</math> - postavlja se uvjet da je <math>\alpha \geq 1</math>
</center>

== Praktična primjena Bernoullieve jednadžbe ==

=== Primjer cijevi pod tlakom ===


znamo: <math>\ d=konstantno, Q=konstantno -> v=konstantno</math>.
: gubitak tlaka predstavlja razliku pijezometarskih visina u presjecima (1) i (2). Za slučaj da je cijev horizontalna vrijedi: <math>z_1=z_2</math>

<center>
<math>\ z_1+ \frac{p_1}{ \rho g}=z_2+ \frac{p_2}{ \rho g} + \Delta H</math> <br />
<math>\  \Delta H =(z_1+ \frac{p_1}{ \rho g})-(z_2+ \frac{p_2}{ \rho g})</math> <br />
</center>

=== Primjer za otvoreni vodotok ===
<center>
znamo: ako je strujanje jednoliko <math>\ v=konstantno.</math> <br /> <br />
<math>\ l_0=l_p=l_e=l</math> <br /> <br />
<math>\ p_1=p_2=p_{atm}</math>

</center>
* atmosferski tlak djeluje na površini vodotoka
* u pijezometrima se voda podiže do razine vode u vodotoku
: *linija vodnog lica je pijezometarska linija''

### Primjer za Venturijev vodomjer

## Zaključak
:\ p_s + \ p_d = p_u  =  konst.

gdje je \ p_s statički tlak, \ p_d  =  \frac{\rho \cdot v^2}{2}  dinamički tlak, a \ p_u ukupni tlak, konstantan u cijelom horizontalnom cjevovodu bez obzira na presjek.

* Bernoullijev zakon ili Bernoullieva jednadžba služi za proračun brzine, tlaka ili gubitaka kod tečenja tekućine kroz otvorene i zatvorene vodotoke za idealnu i realnu tekućinu. Pošto se radi o tekućinama tj. fluidima Bernoullieva jednadžba služi kao temeljna postavka za objašnjavanje uzgona aeroprofila.