Pitagorine trojke

Pravougli trougao čije su dužine stranica prirodni brojevi zovemo Pitagorin trougao. Uredenu trojku prirodnih brojeva (x, y, z) zovemo Pitagorina trojka ako su x i y katete, a z hipotenuza nekog Pitagorinog
trougla, tj. ako vrijedi:
 x^2 + y^2 = z^2.           
Ako  su x, y i z relativno prosti, onda kažemo da
je (x, y, z) primitivna Pitagorina trojka.
Proučavanje Pitagorinih trouglova u uskoj je vezi s diofantskom jednačinom

;U  svakom Pitagorinom trouglu važi:
:dužina bar jedne katete djeljiva je sa 3,
:dužina bar jedne katete djeljiva  je sa 4,
:dužina bar jedne stranice djeljiva je sa  5.

Neka je Pitagorina trojka (x, y, z) primitivna.
Uocimo najprije da kvadrat prirodnog broja koji nije djeljiv s 3 pri dijeljenju s 3 daje ostatak 1.
: (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 =3(3k^2 +2k) + 1
: (3k - 1)^2 = 9k^2 - 6k + 1 = 3(3k^2 -2k) + 1
Ako  x i y i nisu djeljivi sa 3 , z2
pri dijeljenju sa 3 ima ostatak 2
: 1+1=2

što je nemoguće jer smo pokazali da kvadrat prirodnog broja pri dijeljenju s 3 daje ostatak  0  ili   1

Pokažimo najprije da kvadrat neparnog broja pri dijeljenju sa 8 daje ostatak 1. Zaista,
: (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k + 1)+ 1
:Broj  k(k+ 1)  je paran kao proizvod dva susjedna cijela broja. Odavde odmah slijedi da x i y ne mogu biti oba neparni jer bi u protivnom broj z2
pri dijeljenju sa 8 davao ostatak 2, tj. bio bi paran, a ne bi bio djeljiv sa 4. Dakle, zbog primitivnosti, možemo pretpostaviti da je x neparan, a y paran. Sada je z neparan, pa iz 
 y^2 = z^2- x^2 

y2 djeljiv sa 8, odnosno y je djeljiv sa 4.

 5k + 1)^2 = 25k^2+10k+1=5(5k^2 + 2k) + 1  ili

 (5k + 2)^2 = 25k^2+20k +4 = 5(5k^2 +4k)+ 4
  

 5k - 1)^2 = 25k^2-10k+1=5(5k^2 -2k) + 1  ili

 (5k - 2)^2 = 25k^2-20k +4 = 5(5k^2 -4k)+ 4


slijedi da kvadrat cijelog broja pri dijeljenju s 5 može dati ostatak O, 1 ili 4. Pretpostavimo sada da ni x ni y nisu djeljivi sa 5. 

Brojevi  x2 i x2 pri dijeljenju s 5 mogu dati ostatke 1 ili 4, a to znači da broj  x^2+y^2=z^2 pri dijeljenju s 5 može dati ostatak 2, 3 ili O.
:z2  kao kvadrat cijelog broja ne može pri dijeljenju sa 5 dati ostatak 2 ili 3, pa zakljucujemo da je z2 djeljiv s 5.

;Pitagorine trojke mogu biti 3 uzastopna broja.
 (x-1)^2+x^2=(x+1)^2  

 x^2-2x+1+x^2=x^2+2x+1  

 x^2-4x=0  

 x(x-4)=0 = > x=4 

Tražena Pitagorina trojka je (3,4,5)

;Pitagorine trojke mogu biti 3 uzastopna člana aritmetičkog niza
: (x-k)^2+x^2=(x+k)^2  
: x^2-2kx+k^2+x^2=x^2+k2x+k^2  
: x^2-4kx=0  
: x(x-4k)=0 = > x = 4k  
:Tražena Pitagorina trojka je  (3k,4k,5k) 

Sve primitivne Pitagorine trojke (x,y,z)  kojima je  y paran, date su formulama:
:x=m^2-n^2  
: y=2mn  
:z=m^2+n^2 
:gdje je m > n i m, n su relativno prosti brojevi različite parnosti.

:x^2+y^2 = z^2 
: y^2=(z+x)(z-x)  
Neka je :y=2c . Brojevi  z+x   i  z-x    su parni pa postoje pa postoje prirodni brojevi  a  i  b takvi da je
: z+x=2a   i 
: z-x=2b  
: 4c^2 =4ab = > c=ab  
Kako su  z = a + b   i  x = a - b  to su  a   i  b   relativno prosti. Prema tome postoje relativno prosti prirodni brojevi  m   i  n   takvi da je 
 a = m^2   i  b = n^2 
pa je
:x=m^2-n^2 
: y=2mn  
:z=m^2+n^2 

Brojevi  m  i  n ne mogu biti oba parni jer su relativno prosti i ne mogu biti oba neparni jer je x=m^2-n^2 neparan. Prema tome, brojevi  m i n   su različite parnosti.
: (m^2 - n^2)2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2. :  
: (m^4 -2m^2n^2 + m^4 + 4m^2n^2 = m^4 + 2m^2n^2 +n^4=(m^2+n^2)^2   

Treba  provjeriti da su relativno prosti. Pretpostavimo da brojevi  x   i  y

imaju zajednički faktor d > 1  ,  d je neparan

  d/ (m^2 + n^ 2) - (m^2 - n ^2) = 2n^2  
:Ovo je u kontradikciji s pretpostavkom da su  m i n  pa  i m2  i n2 relativno prosti. 

Sve  Pitagorine trojke date su  identitetom

 (d(m^2- n^2))^2 + (2dmn)^2 = (d(m^2+ n^2))^2 
Sve Pitagorine trojke čiji su članovi manji od 51 su

Ima ih 20 ako  trojke  (x, y, z)   i  (y, x, z)    smatramo jednakima. Među njima je 7 primitivnih. 

Broj  P_h(n)    primitivnih Pitagorinih trokuta s hipotenuzom  \le  n   približno jednak  \frac{n}{2\pi}

  \lim_{n \to \infty} 
	\frac{P_h(n)}{n}
=\pi


## Izvor
Pitagorine trojke