Staroegipatska matematika

**Prva prava civilizacija** čovečanstva pojavila se na pitomim i plodnim obalama reke Nila u Egiptu. Oko 3000. godine pre nove ere spojila su se dva naroda rečnih poljoprivrednika i nastalo je Staro kraljevstvo. Razvila se do tada neviđeno složena administracija, pod jednim vladarom, sa jednom armijom i jednim sistemom taksa.

Smatra se da su Egipćani i pre perioda Starog kraljevstva poznavali hijeroglifsko pismo, važan uzrok njihovog napretka. Ipak, velike piramide kod Gize napravili su oko 2650. pne. Sledeća dva dokaza veličine i sjaja te civilizacija su Rajndov papirus i Moskovski papirus, pisani milenijum nakon gradnje čuvene Keopsove piramide. Oni nisu jedini, ali su najznačajniji otkriveni i sačuvani matematički papirusi.

## Rajndov papirus

Rajndov matematički papirus je dokumenat koji se čuva u Britanskom muzeju u Londonu. Našao ga je škotski arheolog Henri Rajnd (*Henry Rhind*) 1858. godine u Luksoru u oblasti Tebe u ruševinama manje građevine pored Rameseuma (*Ramesseum*), a napisao ga je Ahmes (*Ahmose*) tokom vladavine 15. dinastije faraona Apepi Prvoga (Hyksos Pharaoh, Apepi I). oko 1650. pne. (v. Spisak faraona). Na papirusu dugom 5,4 metara i širokom 32 centimetara on je koristio jednostavniju, *hieratičku* i *kurzivnu* formu hijeroglifa da bi opisao blizu 85 različitih matematičkih problema. Ahmes navodi da prepisuje rukopis iz perioda Amen-em-het-a trećeg (*Amenemhet* III, 1842 - 1797 p.n.e), što bi trebalo da je 200 godina starije, ne spominjući ime autora.

Ahmesov rukopis nosi naziv: "Upute za poznavanje svih tajni koje su sadržane u stvarima", što nam govori o praktičnom i tajanstvenom razumevanju matematike od strane egipatskih sveštenika.

### Razlomci
Stari Egipćani su u osnovi koristili jedinične razlomke, na primer polovina, petina i desetina kod nas su 1/2, 1/5 i 1/10, a za stare Egipćane bili bi to /2, /5 i /10. Ostale razlomke dobijali su sabiranjem. Da bi zapisali četiri petine, prvo su morali računati. Pisali bi: /2 /5 /10, što znači pola + petina + desetina, što je naših 8/10, odnosno 4/5. Ne-jedinične razlomke predstavljali su sa dve crte, npr. 2/3 su //3. Pri tome pridržavali su se sledećih konvencija:
* Kada je razlomak moguće napisati na različite načine, koristili su kraći. Na primer razlomak 3/4 možete pisati kao /2 /4 ili /3 /4 /6. Uvek bi koristili kraću verziju.
* Kada bi dva različita zapisa iste vrednosti zbira razlomka bila jednako dugi, korišten je onaj oblik gde se pojavljuje manji imenilac, tj. veći razlomak. Na primer razlomak 7/12 može se pisati kao /2 /12 ili kao /3 /4. Pisar bi se uvek odlučio za /2 /12 jer se tu pojavljuje razlomak /2, koji je veći od /3.
* U jednom izrazu jedan imenilac bi se mogao pojaviti samo jednom. Na primer, 9/10 ne bi pisali kao /2 /5 /5, jer se imenilac 5 javlja dva puta u izrazu, već //3 /5 /30.
* Pisali su izraze sa imeniocima poređanim po veličini.

### Sabiranje

Egipćani su koristili nepozicioni dekadni brojni sistem. Zbir je dobijan sakupljanjem sličnih simbola i pretvaranjem svakih 10 takvih u 1 sledeći veći.

### Oduzimanje

Oduzimanje je u suštini odstranjivanje zahtevanog broja pojedinih simbola. Međutim, nastajale bi komplikacije kada treba oduzeti više simbola od datih.

Na primer: 63–38. Od 6 desetki mogu se oduzeti tri desetke, ali prvi broj ima samo 3 jedinice. Preostaje još 5 jedinica za oduzimanje. Jedna od preostalih desetica bi tada bila usitnjena da bi dala potrebnih 5 jedinica i ostatak od još 5 jedinica. Tačan postupak ostaje pomalo nejasan dok ne razmotrite ilustraciju na slici desno.

### Množenje

Stari egipćani su poznavali udvostručavanje rezultata i množenje sa 10. Njihov sistem brojeva je imao simbole za sve stepene broja 10 od 0 do 6. Na primer, 345 puta 10 = 5 jedinica postaja 5 desetica, 4 desetice postaju 4 stotine, 3 stotine postaju 3 hiljade, tj. = 3 hiljade, 4 stotine i 5 desetica (pedeset) = 3450. Uopšte, dva broja su množena progresivnim udvostručavanjem.

### Vežba
Pokušajte na način starog Egipta izračunati:
# 53 x 9 = 477
# 27 x 18 =486

*Pomoć*: Uvek, veći broj uzmite za udvostručavanje.

*Rešenja*: (1) 53x9 = 1x53 + 8x53 = 477; (2) 27x18 = 2x27 + 16x27 = 486.

### Deljenje

Deljenje je zahtevalo upotrebu množenja i često razlomaka. Na primer, na slici desno.

Tok misli ide na sledeći način: 
* 125 deljeno sa 5 je isto kao kada ...5 pomnoženo sa ??? daje 125;
* množite 5 sukcesivno sa stepenima 2 dok ne dostignete 125;
* rešenje je zbir brojeva iz prve kolone.

Ovaj metod se zasniva na prostoj činjenici za antičke egipatske pisare, da je množenje inverzno deljenju, tj. a * b = c je ekvivalentno sa c : b = a.

### Primeri
Ahmes, pored ostalih 85, u svom papirusu iznosi sledeće zadatke.

**(1)** Neko imanje sadrži sedam zgrada. U svakoj od njih je sedam mačaka. Svaka od njih je pojela po sedam miševa, od kojih je svaki pojeo sedam zrna pšenice. A svako bi zrno moglo dati sedam merica žita. Koliko bi na imanju bilo ukupno zgrada, mačaka, miševa, zrna pšenice i merica žita?

Isti problem je rešavao slavni Fibonači, ali tri hiljade godina kasnije. Sledeći zadatak nam pokazuje da su stari Egipćani poznavali osobine aritmetičkog niza.

**(2)** Podeli sto hlebova na petoro ljudi tako da količine koje će primiti čine aritmetički niz. Sedmina zbira tri najveća obroka treba biti jednaka zbiru dva najmanja.

Način rešavanja sledećeg zadatka iz tog papirusa je iznenadio prevodioce.

**(3)** Ako zbir nepoznatog broja nekih stvari i njihove sedmine iznosi 19, koliki je broj stvari?

; Rešenja: (1) 7 zgrada, 49 mačaka, 343 miševa, 2401 zrna, 16807 merica, što ukupno iznosi 19607.
: (2) 5/3, 65/6, 20, 175/6, 115/3.
: (3) Mi bi to danas zapisali jednačinom sa jednom nepoznatom x + x/7 = 19, rezultat 133/8.
: Egipćani bi prvo pretpostavili da je rešenje npr. broj 7, sedmina toga je 1, a rešenje koje se tako dobije je 8, dakle pogrešno. Zatim Ahmes podučava svoje učenike da povećaju neispravno pretpostavljeni broj za onoliko koliko iznosi razmer traženog i dobivenog broja (u ovom slučaju 19/8).

Zanimljivo da je ovaj način proračunavanja ušao ponovo u upotrebu pojavom računara na kraju 20. veka. Rešavanje linearnih jednačina na način prvog nagađanja, a zatim precizne korekcije rešenja, pokazao se u mnogim slučajevima jednostavniji od egzaktnih matematičkih metoda.

## Moskovski papirus
Za razliku od Rajndovog papirusa, autor Moskovskog papirusa je nepoznat. Malo stariji od Rajndovog, tekst datira oko 1850. p.n.e, a naziva se i *papirus Goleniščeva*, prema ruskom istraživaču koji ga je otkrio sredinom 19. veka i prodao Muzeju finih umetnosti u Moskvi (S. Golešnjikov je umro 1947.). Kao i Rindov, Moskovski papirus je napisan kurzivom i sadrži rešenja matematičkih zadataka u obliku instrukcija, bez dokaza. Dužine je oko pola metra i širine malo manje od 8 centimetara. Sadrži 25 zadataka, među kojima su i najveća dostignuća egipatske geometrije.

### Zarubljena piramida

Egipćani su poznavali poseban slučaj Pitagorine teoreme, pravougli trougao sa stranicama dužina 3, 4 i 5, egipatski trougao. Koristili su konopac sa jednako razmaknutih 12 čvorova za pravljenje pravog ugla, bez kojeg je nezamislivo građevinarstvo. A njihova veština gradnje je za nas još uvek zagonetna. U Moskovskom papirusu se nalazi proračun zapremine pravilne zarubljene četvorostrane piramide, ne na način kako smo mi navikli, nego opisno, ali sasvim tačno.

Prema formuli

: V=\frac{1}{3}h(b_1^2+b_1b_2+b_2^2)

dobili bismo

: V=\frac{1}{3}\cdot 6\cdot (2^2+2\cdot 4+4^2)=56.

Isti rezultat, opisno, je u papirusu:

### Tumač

Primeri staroegipatskih brojeva 276 i 4622 levo, i razlomaka 1/3, 1/5 i 1/249 desno na sledećoj slici:

Sistem hijeratičkih, kurzivnih brojeva je jednako upotrebljavan. Istraživači Egipta su to smatrali lakšom verzijom hijeroglifa:

Na primer, ovako bi Egipćani napisali 2765 hijeratičkim simbolima:

Ili, isti broj, istim pismom, obrnutim redosledom:

Poput hijeroglifa, hijeratičko pismo se menjalo vremenom, tokom šest različitih perioda. U početku su oba načina bila veoma slična, ali su se vremenom sve više razlikovali. Ovde navedeni hijeratički simboli brojeva datiraju iz 1800. pne.

### Geometrija
Na jednom zidu hrama u Edfu ostao je sačuvan način izračunavanja površine trapezoida i to množenjem poluzbirova suprotnih stranica. Formula nije tačna, ali greška je manja od dva posto.

Egipćani su poznavali transcedentni broj: &pi;, odnos obima i prečnika kruga, tj. pi. Njihov način računanja koristi spornu "kvadraturu kruga". Kvadrat stranice a=16, ima istu površinu kao i krug poluprečnika r=9, što bi prema današnjim formulama mogli napisati ovako: r^2\pi=a^2, odakle sledi egipatski "&pi;" = (16/9)2, koji približno iznosi 3,16 a to je greška manja od jedan posto!

Međutim, Egipćani nas danas najviše fasciniraju gradnjom Velike piramide i njenom geometrijom, a zatim hramovima za još nekoliko faraona. Savršeno orjentisanih prema stranama sveta, dva miliona kamenih blokova teških do 54 tone, čine Veliku piramidu u Gizi, s takvom preciznošću da ni vlas kose nije moguće ugurati između njih. Pravi uglovi piramide su tačni do ispod jedan posto, a stranice dužine 230 metara u dužini se razlikuju za samo 0,2 metra.

Najzanimljiviji i po proporcijama najsuptilniji egipatski hram Velika piramida je skiciran desno. Donje isprekidane linije su hodnici koji kreću iz Kraljevske komore ka zvezdama (na slici, levi ka Sirijusu). Oni sa stranicama piramide formiraju pravougle trouglove. Kateta, hipotenuza i njihov zbir, desnog od trouglova odgovara trima uzastopnim članovima Fibonačijevog niza, karakterističnog za izračunavanje prirasta biljaka ili zečeva. Uzastopni članovi Fibonačijevog niza se takođe mogu koriste za izračunavanje zlatnog preseka, naročitog estetskog odnosa u građevinarstvu. To nije slučajno, jer je i u drugim hramovima (naročito u Karnaku) vođeno računa o "zlatnim proporcijama". Osim toga i dimenzije Kraljevske sobe su u Fibonačijevom nizu.

Egipćani su mnogo veću pažnju poklanjali podizanju hramova i svetilišta, nego kuća i predmeta za svakodnevnu upotrebu. Pri tome su koristili matematičke kanone, tražeći sklad između Univerzuma, Hrama i Čoveka. Sasvim u tom duhu je jedan reljef na hramu Ramzesa Trećeg: "Taj hram je kao nebo u svim proporcijama".

Na žalost, nemamo pravi odgovor na pitanje kako su Egipćani uspeli doći do tako visokih saznanja.

## Povezano

### [[Matematika]]
* Geometrija
* Krug
* Kružnica
* Odnos obima i prečnika kruga
* Pi
* Račun

### [[Istorija]]
* Antičke zemlje i države
** Antička Grčka
** Antički Rim
** Asteci
** Vavilon
** Medija
** Persijsko carstvo
** Fenikija
** Sumer
** Stari Egipat
* Ahmesov papirus
* Vavilonska kula
* Velike piramide
* Istorija Afrike
* Mauzolej iz Halikarnasa
* Slobodno zidarstvo
* Tales iz Mileta
* Herodot

## Vanjske veze
* Rajndov papirus, slika: http://www.physics.utoledo.edu/~ljc/rhind.html
* Moskovski papirus / Moskovskiй matematičeskiй papirus: http://cultinfo.ru/fulltext/1/001/010/001/251128772.jpg
* Moskovski papirus, Univerzitet u Teksasu, zadatak sa zarubljenom piramidom: http://www.math.tamu.edu/~don.allen/history/egypt/node4.html 
* Staroegipatski brojevi / Egyptian Numerals: http://scitsc.wlv.ac.uk/university/scit/modules/mm2217/en.htm