Brzina

**Brzina** (; SI oznaka — \boldsymbol{\vec{v}}) je prvi izvod vektora položaja materijalne tačke, čestice, ili tela u prostoru po vremenu. Predstavlja važan koncept u kinematici (jednoj od grana klasične mehanike), koja opisuje samo *kako* se tela kreću, ne razmatrajući *zašto*, od. uzrok kretanja tela (čime se bavi dinamika).

Brzina je vektorska fizička veličina: definisana je i intenzitetom/jačinom/magnitudom i smerom. Apsolutna vrednost brzine predstavlja njenu skalarnu vrednost, tj. intenzitet; ovaj intenzitet se naziva *trenutnom putnom brzinom* () — fizička veličina čija je SI jedinica metar u sekundi (oznaka: m/s ili m&middot;s−1). Na primer, ako se kaže samo „5 metara u sekundi” dobija se vrednost skalara (ne vektora), dok „5 metara u sekundi istočno” označava vektor.

Ukoliko postoji promena intenziteta i/ili smera brzine, za materijalnu tačku koje podleže takvim promenama se kaže da je podvrgnuta *[[ubrzanje|ubrzanju]]* i da se kreće *neravnomerno* (neravnomernom/promenljivom brzinom).

## Terminologija
Pojam *brzina* u najširem smislu označava promenu neke veličine u jedinici vremena. U užem smislu (u fizici), brzina je prvi izvod vektora položaja materijalne tačke po vremenu. Dakle, ako se ne naglasi tačno o kojoj veličini se radi, podrazumeva se da je u pitanju fizička veličina.

Međutim, pojam *brzine* može da se definiše za svaku promenu tokom vremena i tada treba da se naglasi na koji se proces — ili veličinu — posmatrana brzina odnosi. Na primer: brzina hemijske reakcije označava koliko se menja koncentracija reaktanata ili produkata u jedinici vremena; brzina radioaktivnog raspada (npr. alfa-raspad) označava koliki se broj atomskih jezgara raspadne u jedinici vremena itd.

Kada se u fizici kaže samo *brzina* () misli se isključivo na *trenutnu brzinu* (), dok se za samu *trenutnu brzinu*, te *srednju brzinu* (), *trenutnu putnu brzinu* (), *srednju putnu brzinu* () i dr. moraju koristiti puni nazivi kako bi se ti pojmovi sa apsolutno različitim značenjima razlikovali. U kolokvijalnom govoru se za prethodno spomenute nazive uglavnom kaže samo — *brzina*, ili se isti pogrešno koriste kao sinonimi (slično kao i sa pojmovima *[[masa]]* i *[[težina]]*).

## Konstantna brzina
Materijalna tačka se na vremenskom intervalu \Delta t=\left [ t_1, t_2 \right ] kreće konstantnom brzinom \boldsymbol{v_{const.}} ukoliko se niti intenzitet niti smer te brzine tokom intervala, od. između trenutaka t_1 i t_2, ne menjaju, tj. ukoliko se „kreće trenutnom brzinom” koja je za sve trenutke intervala jednaka (ima isti intenzitet i smer).

### Konstantna brzina ili ubrzanje
Da bi telo u određenom vremenskom intervalu imalo konstantnu brzinu, mora imati konstantnu trenutnu putnu brzinu i kretati se u konstantnom smeru. Konstantan smer uslovljava telo na pravolinijsko kretanje (telo ne skreće, kreće se po jednom pravcu). Time se telo u određenom vremenskom intervalu kreće konstantnom brzinom samo ako je u tom intervalu kretanje po pravoj liniji i ako se trenutna putna brzina tokom intervala ne menja (jednaka je srednjoj putnoj brzini).

Na primer, automobil koji se kreće „konstantnom brzinom” od 20 kilometara na sat po kružnoj putanji može da ima konstantnu samo trenutnu putnu brzinu (jednaku srednjoj putnoj brzini), ali ne i trenutnu brzinu, jer se smer kretanja tokom obilaska kružnice menja (i to konstantno). Time se može zaključiti da se automobil ustvari ne kreće konstantnom brzinom već je podvrgnut ubrzanju (centripetalno ubrzanje) iako je trenutna putna brzina tokom kretanja bila konstantna.

## Trenutna brzina i trenutna putna brzina
### Trenutna brzina
Trenutna brzina \boldsymbol{\vec{v}} je srednja brzina tokom beskonačno malog vremenskog intervala. Jednaka je prvom izvodu vektora položaja (ne vektora pomeraja) materijalne tačke po vremenu:

:\boldsymbol{\vec{v}} = \frac{d\boldsymbol{\vec{r}}}{d\mathit{t}},

gde je \boldsymbol{\vec{v}} trenutna brzina u trenutku \mathit{t} i \boldsymbol{\vec{r}} vektor položaja materijalne tačke u tom istom trenutku. Ova relacija definiše trenutnu brzinu materijalne tačke, čestice, ili tela, u bilo kojem određenom trenutku. Kako se koncept trenutne brzine na prvi pogled čini pomalo *neintuitivnim*, najbolje ga je razumeti tako da označava brzinu kojom bi se materijalna tačka koje ubrzava nastavila kretati ukoliko joj brzina u određenom trenutku postane konstantna.

### Trenutna putna brzina
Trenutna putna brzina (veoma retko *u upotrebi*) \boldsymbol{v}_{pt.} je jednaka apsolutnoj vrednosti, od. intenzitetu trenutne brzine (prvog izvoda vektora položaja po vremenu), zato što pređeni put i intenzitet vektora pomeraja (kada isti teže u nulu) postaju jednaki:

:\boldsymbol{v}_{pt.}=\left|\boldsymbol{\vec{v}}\,\right\vert=\left|\frac{d\boldsymbol{\vec{r}}}{d\mathit{t}}\right\vert=\frac{d}{d\mathit{t}} \left [ \frac{\boldsymbol{\vec{r}}}{\hat{r}} \right ] = \frac{d\boldsymbol{r}}{d\mathit{t}}.

Trenutna putna brzina se može smatrati nagibom/gradijentom tangente na parabolu grafika zavisnosti položaja tela od vremena (*r*-*t* grafik):

:\boldsymbol{v}_{pt.} = \lim_{\Delta t \to 0}{\Delta \boldsymbol{r} \over \Delta t}.

Kako je koeficijent k_{f(x)} nagiba tangente na grafik funkcije f(x) nultog ili prvog stepena (linearne funkcije) — na liniju — nagib te linije, isti se može posmatrati i kao nagib duži ograničene dvema tačkama koordinata (x_1, f(x_1)) i (x_2, f(x_2)), i jednak je:

:k_{f(x)} = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1},

tako je koeficijent l_{f'(x)} nagiba tangente na grafik funkcije f'(x) drugog ili višeg stepena (kvadratne, kubne i dr. funkcije) — na parabolu — u tački koordinata (x, f'(x)) jednak:

:l_{f'(x)} = \lim_{\Delta x \to 0}{f'(x + \Delta x) - f'(x) \over \Delta x}.

Ako se za primer uzme funkcija r(t)=t^3+2t nagib l_{r(t)} bi bio:

:l_{r(t)} = \lim_{\Delta t \to 0}{(t+\Delta t)^3+2(t+\Delta t)-(t^3+2t) \over \Delta t}
:l_{r(t)} = \lim_{\Delta t \to 0}{t^3+3t^2\Delta t+3t{\Delta t}^2+{\Delta t}^3+2t+2\Delta t-t^3-2t \over \Delta t}
:l_{r(t)} = \lim_{\Delta t \to 0}{3t^2\Delta t+3t{\Delta t}^2+{\Delta t}^3+2\Delta t \over \Delta t}
:l_{r(t)} = \lim_{\Delta t \to 0}{3t^2+3t\Delta t+{\Delta t}^2+2}
:l_{r(t)} = 3t^2+2.

Dobijeno rešenje l_{r(t)} = 3t^2+2&nbsp;&nbsp;je ustvari trenutna putna brzina tela (ne uzimajući u obzir merne jedinice) čiji se položaj u zavisnosti od vremena menja kao r(t)=t^3+2t, u trenutku t, i predstavlja izvod funkcije položaja tog tela u zavisnosti od vremena upravo po vremenu t, što bi se — ako u obzir uzmemo i merne jedinice — moglo izraziti kao:

:v_{pt.} = \frac{d}{d\mathit{t}} \left [ r(t) \right ] = \frac{d}{d\mathit{t}} \left [ t^3\,\mathrm{ms^{-3}}+2t\,\mathrm{ms^{-1}} \right ] = 3t^2\,\mathrm{ms^{-3}}+2 \cdot 1t^0\,\mathrm{ms^{-1}} = 3t^2\,\mathrm{ms^{-3}}+2\,\mathrm{ms^{-1}} = l_{r(t)}.

#### Razlika između trenutne brzine i trenutne putne brzine
Trenutna putna brzina opisuje koliko brzo telo menja svoj položaj u određenom trenutku nezavisno od smera kretanja, dok trenutna brzina opisuje koliko brzo telo menja svoj vektor položaja u određenom trenutku (daje i smer u kojem se promena vektora položaja dešava). Ukoliko se za automobl kaže da u određenom trenutku „putuje 60&nbsp;km/h”, time mu je određena samo trenutna putna brzina. S druge strane, ukoliko se kaže da automobil „putuje -{60&nbsp;km/h}- prema severu”, tada je definisana i trenutna brzina automobila i trenutna putna brzina.

## Srednja brzina i srednja putna brzina
### Srednja brzina
Srednja brzina \langle\boldsymbol{\vec{v}}\rangle je konstantna brzina kojom bi materijalna tačka trebalo da se kreće da bi ostvarila isti vektor pomeraja kao kod kretanja promenljivom brzinom, u određenom (istom) vremenskom intervalu. Jednaka je količniku vektora pomeraja i proteklog vremena za koji je ostvaren:

:\langle\boldsymbol{\vec{v}}\rangle = \frac{\Delta \boldsymbol{\vec{r}}}{\Delta t}.

Srednja brzina na intervalu \Delta t se može smatrati tetivom između dveju tačaka sa -{*x*}--koordinatama t_1 i t_2 koje određuju granice intervala za koji se srednja brzina računa.

Bitna stvar za naglasiti je da se reč *srednja* ne meša sa pojmom *srednja vrednost* ili *prosek*, jer *srednja brzina* \boldsymbol{\vec{v}}_{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n} na intervalu \Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n ne označava *srednju vrednost srednje brzine* \boldsymbol{v}_{sr._{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}} (*prosečnu srednju brzinu*) sa -{*n*}- vremenskih intervala, već označava količnik rezultujućeg vektora pomeraja \boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n} (na -{*n*}- prethodno spomenutih intervala) i jednog vremenskog intervala \Delta t_u (koji bi predstavljao zbir svih prethodno spomenutih -{*n*}- intervala). Do zabune može doći ukoliko se umesto naziva *srednja brzina* koristi naziv *brzina*; tada bi *srednja vrednost srednje brzine* (*prosečna srednja brzina*) imala naziv *srednja brzina* (ili *prosečna brzina*):

:\boldsymbol{\vec{v}}_{sr._{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}} = \frac{\boldsymbol{\vec{v}}_{\Delta t_1}+\boldsymbol{\vec{v}}_{\Delta t_2}+\boldsymbol{\vec{v}}_{\Delta t_3}+\,\cdots\,+\boldsymbol{\vec{v}}_{\Delta t_n}}{n} = \frac{\frac{\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_1}}{\Delta t_1}+\frac{\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_2}}{\Delta t_2}+\frac{\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_3}}{\Delta t_3}+\,\cdots\,+\frac{\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_n}}{\Delta t_n}}{n}

:\boldsymbol{\vec{v}}_{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n} = \frac{\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}}{\Delta t_u} = \frac{\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_1}+\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_2}+\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_3}+\,\cdots\,+\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_n}}{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}

### Srednja putna brzina
Srednja putna brzina (ili, mnogo češće, samo — putna brzina) \langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt.} je konstantna brzina kojom bi materijalna tačka trebalo da se kreće da bi prešla isti put kao kod kretanja promenljivom brzinom, u određenom (istom) vremenskom intervalu. Jednaka je količniku ukupnog pređenog puta i proteklog vremena za koji je pređen:

:\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt.} = \frac{\boldsymbol{s}_u}{\Delta t}.

#### Razlika između srednje brzine i srednje putne brzine
Velika razlika između između srednje brzine i srednje putne brzine se može primetiti ako se u obzir uzme kretanje po kružnici. Ukoliko se telo kreće po kružnici promenljivom trenutnom putnom brzinom (time je, automatski, uslovljena i promenljiva trenutna brzina (koja je kod kretanja po kružnici uvek promenljiva, što ne mora značiti da je istina i za trenutnu putnu brzinu, koja može biti konstantna ukoliko je jednaka srednjoj putnoj brzini (ukoliko je tangencijalno ubrzanje jednako 0), i koja predstavlja intenzitet trenutne brzine — skalar je)), te nakon određenog vremenskog intervala — nakon što napravi jedan obrtaj — vrati u svoj početni položaj njegova srednja brzina na tom intervalu je jednaka nuli (srednja brzina označava kojom konstantnom brzinom (i u kojem smeru) bi se telo trebalo kretati da ostvari isti vektor pomeraja kao kod kretanja promenljivom brzinom, na određenom (istom) vremenskom intervalu), dok se srednja putna brzina tela moža naći deljenjem obima kruga (ukupnog pređenog puta) sa dužinom vremenskog intervala (proteklim vremenom potrebnim da se ukupni put pređe). Ovo je tačno zato što se srednja brzina računa uzimajući u obzir razliku između krajnjeg i početnog vektora položaja i ukupno vreme potrebno za promenu tog položaja, dok se za srednju putnu brzinu uzima ukupni pređeni put i potrebno vreme da se taj put pređe.

Srednja brzina je po intenzitetu uvek manja ili jednaka srednjoj putnoj brzini tela. Ovo se može ustvrdeti shvaćanjem da dok se pređeni put uvek striktno povećava, vektor pomeraja se može ili povećavati ili smanjivati.

Bitna stvar za naglasiti je da se reč *srednja* ne meša sa pojmom *srednja vrednost* ili *prosek*, jer *srednja putna brzina* \langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt._{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}} na intervalu \Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n ne označava *srednju vrednost srednje putne brzine* \langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt.\,sr._{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}} (*prosečnu srednju putnu brzinu*) sa -{*n*}- vremenskih intervala, već označava količnik ukupnog pređenog puta \boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}} (na -{*n*}- prethodno spomenutih intervala) i jednog vremenskog intervala \Delta t_u (koji bi predstavljao zbir svih prethodno spomenutih -{*n*}- intervala). Do zabune može doći ukoliko se umesto naziva *srednja putna brzina* koristi naziv *putna brzina*; tada bi *srednja vrednost srednje putne brzine* (*prosečna srednja putna brzina*) imala naziv *srednja putna brzina* (ili *prosečna putna brzina*):

:\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt.\,sr._{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}} = \frac{\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt._{\Delta t_1}}+\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt._{\Delta t_2}}+\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt._{\Delta t_3}}+\,\cdots\,\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt._{\Delta t_n}}}{n} = \frac{\frac{\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_1}}}{\Delta t_1}+\frac{\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_2}}}{\Delta t_2}+\frac{\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_3}}}{\Delta t_3}+\,\cdots\,+\frac{\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_n}}}{\Delta t_n}}{n}

:\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt._{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}} = \frac{\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}}}{\Delta t_u} = \frac{\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_1}}+\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_2}}+\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_3}}+\,\cdots\,+\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_n}}}{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}

## Jednačine kretanja
### Konstantno ubrzanje
U posebnim slučajevima sa konstantnim ubrzanjem, trenutna brzina \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} se može računati jednačinama kretanja. Uzimajući \boldsymbol{\vec{a}} za ubrzanje jednako nekom proizvoljnom konstantnom vektoru i \boldsymbol{\vec{v}_0} za početnu brzinu kretanja u trenutku t_0=0 zavisnost trenutne brzine od vremena t je data kao:

:\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} = \boldsymbol{\vec{v}_0} + \boldsymbol{\vec{a}} \sdot t.

Kombinovanjem ove jednačine sa opštom jednačinom zavisnosti vektora pomeraja tela od vremena (uvrštavajući \boldsymbol{\vec{a}} = \frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} - \boldsymbol{\vec{v}_0}}{t} iz prethodne jednačine u istu):

:\boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \boldsymbol{\vec{r}_0} + \boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot t + \frac{\boldsymbol{\vec{a}} \sdot t^2}{2}

moguće je povezati vektor pomeraja i srednju brzinu kao:

:\Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} + \boldsymbol{\vec{v}_0}}{2} \sdot t = \langle\boldsymbol{\vec{v}}\,\rangle \sdot {t},

koja je u ovom slučaju jednaka srednjoj vrednosti srednje brzine (proseku srednje brzine), od. srednjoj vrednosti (proseku) početne i krajnje brzine.

Takođe je moguće izvesti izraz za brzinu direktno nezavisan o vremenu i poznat pod imenom Toričelijeva jednačina:

:\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}^{2} = \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}\cdot\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} = (\boldsymbol{\vec{v}_0} + \boldsymbol{\vec{a}} \sdot t)\cdot(\boldsymbol{\vec{v}_0} + \boldsymbol{\vec{a}} \sdot t) = \boldsymbol{\vec{v}_0}^{2}+2 \sdot t \sdot (\boldsymbol{\vec{a}} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}) + \boldsymbol{\vec{a}}\,^{2} \sdot t^{2}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}^{2} - \,\boldsymbol{\vec{v}_0}^{2} = 2 \sdot t \sdot (\boldsymbol{\vec{a}} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}) + \boldsymbol{\vec{a}}\,^{2} \sdot t^{2}

:(2\boldsymbol{\vec{a}}) \sdot \Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = (2\boldsymbol{\vec{a}}) \sdot (\boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot t + \frac{\boldsymbol{\vec{a}} \sdot t^2}{2}) = 2 \sdot t \sdot (\boldsymbol{\vec{a}} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}) + \boldsymbol{\vec{a}}\,^{2} \sdot t^{2} = \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}^2 - \boldsymbol{\vec{v}_0}^2

:\therefore \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}^2 = \boldsymbol{\vec{v}_0}^2 + 2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}} \sdot \Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}}

Ovo se može uraditi i na drugi način uzimajući t=\frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} - \boldsymbol{\vec{v}_0}}{\boldsymbol{\vec{a}}} iz jednačine zavisnosti trenutne brzine od vremena i uvrštavanjem istog u opštu jednačinu zavisnosti vektora pomeraja tela od vremena:

:\Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot t + \frac{\boldsymbol{\vec{a}} \sdot t^2}{2}

:\Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} - \boldsymbol{\vec{v}_0}}{\boldsymbol{\vec{a}}} + \frac{\boldsymbol{\vec{a}} \sdot \left ( \frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} -\,\boldsymbol{\vec{v}_0}}{\boldsymbol{\vec{a}}}  \right ) ^2} {2}

:\Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \frac{\boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}}{\boldsymbol{\vec{a}}} - \frac{\boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}}{\boldsymbol{\vec{a}}} + \frac{\boldsymbol{\vec{a}} \sdot \frac{ \left ( \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} -\,\boldsymbol{\vec{v}_0} \right ) ^2} {\boldsymbol{\vec{a}}\,^2}}{2}

:\Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \frac{\boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}}{\boldsymbol{\vec{a}}} - \frac{\boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}}{\boldsymbol{\vec{a}}} + \frac{\frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} -\,2 \sdot \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}\,+\,\boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}} {\boldsymbol{\vec{a}}}}{2}

:\Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \frac{2 \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}}{2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}}} - \frac{2 \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}}{2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}}} + \frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}}{2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}}} - \frac{2 \sdot \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}}{2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}}} + \frac{\boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}}{2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}}}

:\Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}^2 - \boldsymbol{\vec{v}_0}^2}{2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}}}

:\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}^2 - \boldsymbol{\vec{v}_0}^2 = 2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}} \sdot \Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}}

:\therefore \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}^2 = \boldsymbol{\vec{v}_0}^2 + 2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}} \sdot \Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}}

Gornje jednačine su validne i za klasičnu mehaniku i za specijalnu relativnost. Ono gde se klasična mehanika i specijalna relativnost razlikuju je u tome kako različiti posmatrači opisuju jednu situaciju. Tačnije, u klasičnoj mehanici svi se posmatrači slažu u vrednosti vremena i transformacijskim pravilima vezanim za položaj što stvara situaciju u kojoj svi ne-ubrzavajući posmatrači opisuju ubrzanje tela istom vrednošću. Ovo je drugačije u specijalnoj relativnosti. Drugim rečima, moguće je izračunati samo relativnu brzinu.

## Veličine zavisne o brzini
Kinetička energija tela u pokretu zavisi od njegove brzine kao:

:\boldsymbol{E_k} = \frac{m \sdot \boldsymbol{v}^2}{2},

gde je \boldsymbol{E_k} kinetička energija tela mase m kada ima brzinu intenziteta \boldsymbol{v}. Kinetička energija je skalarna veličina jer zavisi od kvadrata brzine (tačkasti proizvod vektora, ne vektorski, koji daje skalarnu veličinu).

Takođe vezana veličina impuls jeste vektor i definisana je kao:
 
:\boldsymbol{p}=m \sdot \boldsymbol{v},

gde je \boldsymbol{p} impuls tela mase m kada ima brzinu intenziteta \boldsymbol{v}.

U specijalnoj relativnosti, bezdimenzioni Lorencov faktor \boldsymbol{\gamma} se javlja dosta često, i dat je izrazom:
 
:\boldsymbol{\gamma} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{\boldsymbol{v}^{2}}{c^{2}}}}

gde je c brzina svetlosti.

Druga kosmička brzina je minimalna brzina potrebna balističkom telu da napusti masivno telo kao što je Zemlja. Predstavlja kinetičku energiju koja, kada se nadoda na gravitacionu potencijalnu energiju tela (koja je uvek negativna) mora biti veća ili jednaka nuli. Generalna formula za brzinu oslobađanja tela na udaljenosti \boldsymbol{r} od centra planeta mase M je:

:\boldsymbol{v_2} = \sqrt{\frac{2 \sdot G \sdot M}{\boldsymbol{r}}},

gde je G gravitaciona konstanta. Brzina oslobađanja sa površine Zemlje je oko 11 100 -{m&middot;s−1}-.

## Relativna brzina
**Relativna brzina** je mera brzine kretanja jednog tela u odnosu na drugo, određena u jednom koordinatnom sistemu. Relativna brzina je jedan od temeljnih principa i u klasičnoj i u modernoj fizici, jer mnogi sistemi u fizici se susreću sa relativnim kretanjima dvaju ili više tela. U klasičnoj mehanici, relativna brzina je nezavisna od odabira inercijalnog referentnog sistema. Ovo nije slučaj i u specijalnoj relativnosti gde brzine zavise o odabiru referentnog sistema.

Ako se telo A kreće brzinom \boldsymbol{\vec{v}}_A, a telo -{B}- brzinom \boldsymbol{\vec{v}}_B, brzina tela A u odnosu na brzinu tela -{B}- (relativna brzina tela A i -{B}-) je definisana kao razlika vektora ovih dveju brzina:

:\boldsymbol{\vec{v}}_{AB} = \boldsymbol{\vec{v}}_A - \boldsymbol{\vec{v}}_B.

Slično, relativna brzina tela -{B}- koje se kreće brzinom \boldsymbol{v}_B u odnosu na telo A koje se kreće brzinom \boldsymbol{v}_A je:

:\boldsymbol{\vec{v}}_{BA} = \boldsymbol{\vec{v}}_B - \boldsymbol{\vec{v}}_A.

Najčešće se uzima inercijalni sistem u kojem kao da jedno telo miruje, dok se drugo kreće relativnom brzinom u odnosu na njega.

### Skalari
U *jednodimenzionalnom slučaju*, brzine se mogu razmatrati kao skalari, a jednačine kretanja:

:\boldsymbol{v}_{rel} = \boldsymbol{v}_A - \left(-\boldsymbol{v}_B\right),&nbsp;&nbsp;&nbsp;ako se tela kreću u suprotnim smerovima, ili:
:\boldsymbol{v}_{rel} = \boldsymbol{v}_A - \left(+\boldsymbol{v}_B\right),&nbsp;&nbsp;&nbsp;ako se tela kreću u istom smeru.

## Polarne koordinate
Kod polarnih koordinata, dvodimenzionalna brzina se opisuje kao **radijalna brzina**, definisana kao komponenta brzine *od ishodišta* ili *prema ishodištu* (takođe poznata i kao ) ili ugaona brzina koja predstavlja prvi izvod vektora ugaonog položaja tela po vremenu (sa pozitivnim veličinama za smer suprotan smeru kazaljki na sati, i negativnim za smer jednak smeru kazaljki na sati, u sistemu desnog zavrtnja).

Radijalna i ugaona brzina se mogu izvesti iz vektora brzine i vektora pomeraja u DKS-u, rastavljanjem vektora brzine na tangencijalnu i normalnu komponentu. **Normalna brzina** je komponenta brzine duž kružnice usmerena ka njenom centru.

Ukupna brzina tela koje se kreće po kružnici je:

:\boldsymbol{\vec{v}}=\boldsymbol{\vec{v}}_N+\boldsymbol{\vec{v}}_T,

gde je \boldsymbol{v}_N normalna brzina, a \boldsymbol{v}_T tangencijalna brzina.

Intenzitet tangencijalne brzine je tačkasti proizvod vektora brzine i jediničnog vektora u smeru pomeraja:

:\boldsymbol{v}_T = \boldsymbol{\vec{v}} \sdot \frac{\boldsymbol{\vec{r}}} = \boldsymbol{\vec{v}} \sdot \boldsymbol{\hat{r}},

gde je \boldsymbol{\vec{r}} vektor položaja.

Intenzitet normalne brzine je vektorski proizvod vektora brzine i jediničnog vektora u smeru pomeraja , ili — proizvod intenziteta ugaone brzine \boldsymbol{\omega} i intenziteta vektora položaja:

:\boldsymbol{v}_N = \boldsymbol{\vec{v}} \times \frac{\boldsymbol{\vec{r}}} = \boldsymbol{\vec{v}} \times \boldsymbol{\hat{r}} = \frac{\boldsymbol{\vec{r}}} = \boldsymbol{\omega} \sdot |\boldsymbol{\vec{r}}\,| = \boldsymbol{\omega} \sdot \boldsymbol{r},

tako da je:

:\boldsymbol{\omega}=\frac{|\boldsymbol{\vec{r}}\,|^2}.

Ugaoni moment u skalarnom obliku je proizvod mase, položaja (udaljenosti od ishodišta) i normalne brzine, ili ekvivalentno — proizvod mase, kvadrata položaja i intenziteta ugaone brzine:

:\boldsymbol{L}= m \sdot \boldsymbol{r} \sdot \boldsymbol{v}_T = m \sdot \boldsymbol{r}^2 \sdot \boldsymbol{\omega},

gde je m masa, a \boldsymbol{r}=|\boldsymbol{\vec{r}}\,| intenzitet vektora položaja.

Izraz \ m \boldsymbol{r}^2\  je poznat pod imenom moment inercije.

Ako su sile u radijalnom smeru samo u obrnutoj kvadratnoj zavisnosti, kao što je to slučaj sa gravtitacionom orbitom, ugaoni moment je konstantan, a normalna brzina obrnuto proporcionalna udaljenosti, ugaona brzina obrnuto proprcionalna kvadratu udaljenosti, a izvod po kojem je površina vađena je konstantan. Ove relacije su poznate kao Keplerovi zakoni planetarnog kretanja.

## Povezano
* Gibanje
* Putanja
* Ubrzanje
* Trzaj
* Prva kosmička brzina
* Druga kosmička brzina
* Treća kosmička brzina
* Četvrta kosmička brzina
* Položaj
* Vektor položaja
* Pomeraj
* Vektor pomeraja
* Ugaona brzina
* Brzina svetlosti

## Literatura

* Robert Resnick and Jearl Walker, *Fundamentals of Physics*, Wiley; 7 Sub edition (June 16, 2004). .
* 
* 
* 
* 

## Vanjske veze

*Physicsclassroom.com, Speed and Velocity
*Introduction to Mechanisms (Carnegie Mellon University)