Determinanta

U algebri, **determinanta** je funkcija koja zavisi od *n*, koja dodeljuje skalarnu vrednost, det(*A*), svakoj *n*×*n* kvadratnoj matrici *A*. Važno svojstvo determinante je da je matrica *A* nad poljem (na primer, realna ili kompleksna matrica) invertibilna ako i samo ako je njena determinanta različita od nule. Otuda potiče i naziv „determinanta“, jer ova vrednost određuje (determiniše) da li je matrica invertibilna ili ne.

Determinante su važne i u matematičkoj analizi, gde su neophodne za uvođenje smena kod funkcija više promenljivih, kao i u multilinearnoj algebri.

Za fiksiran pozitivni ceo broj *n*, postoji jedinstvena funkcija determinante za *n*×*n* matrice nad bilo kojim komutativnim prstenom *R*. Specijalno, ova funkcija postoji kada je *R* polje realnih ili kompleksnih brojeva.

## Notacija
Determinanta matrice *A* se takođe nekada označava i kao |A|. Ova notacija može da bude dvosmislena, jer se takođe koristi i za određene norme matrice i za apsolutnu vrednost. Međutim, norma matrice se često označava sa dve vertikalne crte (tj. \|\cdot\|). Stoga se ovakva notacija (pomoću vertikalnih crta) vrlo često koristi. Na primer, za matricu
:
A = \begin{bmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{bmatrix}\,

determinanta \det(A) se može označiti kao |A| ili eksplicitnije kao
:
|A| = \begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{vmatrix}.\,

To jest, uglaste zagrade se zamenjuju vertikalnim crtama.

## Determinante matrica formata 2-sa-2

Matrica formata 2&times;2
:
A = \begin{bmatrix} a & b\\c & d \end{bmatrix}\,


ima determinantu
:\det(A)=ad-bc.\,

Interpretacija kada matrica ima članove koji su realni brojevi je da daje orijentisanu površinu paralelograma sa temenima (0,0), (*a*,*b*), (*a* + *c*, *b* + *d*), i (*c*,*d*). (Za ovaj paralelogram kažemo da je *razapet* nad vektorima (*a*, *b*) i (*c*,*d*).) Orijentisana površina je ista kao i uobičajena površina, osim što je negativna kada se temena poređaju u pravcu kazaljke na satu.

Formule za veće matrice su date dole.

## Determinante matrica formata 3-sa-3
Matrica formata 3&times;3
:A=\begin{bmatrix}a&b&c\\
d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}.
Korišćenjem Laplasovog razvoja po kofaktorima na prvoj vrsti matrice, dobijamo:
:\det(A)=a\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}
-b\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}
+c\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}=aei-afh-bdi+cdh+bfg-ceg,
što je jednako
:\det(A)=aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb.

Formula za determinantu formata 3&nbsp;&times;&nbsp;3 se može lako zapamtiti primenom sledećeg „Sarusovog pravila“. Determinanta matrice formata 3&nbsp;&times;&nbsp;3 jednaka je zbiru proizvoda elemenata tri dijagonalne linije koje vode od *severozapada* do *jugoistoka*, minus zbir proizvoda elemenata tri dijagonalne linije koje vode od *jugozapada* do *severoistoka*, kada se prve dve kolone matrice prepišu pored matrice kao što je pokazano ispod:

:
\begin{matrix}
\color{red}a & \color{red}b & \color{red}c & a & b \\
d & \color{red}e & \color{red}f & \color{red}d & e \\
g & h & \color{red}i & \color{red}g & \color{red}h
\end{matrix}
\quad - \quad
\begin{matrix}
a & b & \color{blue}c & \color{blue}a & \color{blue}b \\
d & \color{blue}e & \color{blue}f & \color{blue}d & e \\
\color{blue}g & \color{blue}h & \color{blue}i & g & h
\end{matrix}


Sarusovo pravilo je mnemonik, odnosno samo vizuelna pomoć za pamćenje formule, i ne važi za matrice većeg formata.

## Primene
Determinante se koriste za opisivanje invertibilnih matrica (to su matrice čije determinante su različite od nule), i da se eksplicitno opiše rešenje sistema sistema linearnih jednačina pomoću Kramerovog pravila. Takođe se mogu koristiti i za pronalaženje sopstvene vrednosti matrice A pomoću karakterističnog polinoma
:p(x) = \det(xI - A) \,

gde je *I* jedinična matrica iste dimenzije kao i *A*.

Ponekad se matrica posmatra kao dodela broja svakom nizu od n vektora u \mathbb{R}^n, korišćenjem kvadratne matrice čije su kolone dati vektori.
Imajući ovo u vidu, znak determinante baze se može koristiti da se definiše pojam orijentacije u Euklidskom prostoru.

Determinante se koriste da se izračunaju zapremine u vektorskoj analizi: apsolutna vrednost determinante realnih vektora je jednaka zapremini paralelepipeda koji grade ti vektori. Kao posledica, ako je linearno preslikavanje f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n predstavljeno matricom A, i S je bilo koji merljivi podskup od \mathbb{R}^n, onda je zapremina f(S) jednaka \left| \det(A) \right| \times \operatorname{zapremina}(S). Opštije, ako je linearno preslikavanje f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m predstavljeno m-sa-n matricom A, i S je bilo koji merljivi podskup od \mathbb{R}^{n}, onda je n-dimenziona zapremina od f(S) jednaka \sqrt{\det(A^\top A)} \times \operatorname{zapremina}(S).

U matematičkoj analizi, kod računanja integrala po podskupovima Euklidskog prostora *R*'*n* u dimenzijama *n*&nbsp;&ge;&nbsp;2, prilikom uvođenja smene se u integrandu pojavljuje i dodatni faktor, „jakobijan“, koji predstavlja determinantu Jakobijeve matrice za datu smenu:
:\det\begin{bmatrix} \dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial y_n}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_n}{\partial x_n}  \end{bmatrix}. 
Jakobijan se slično pojavljuje u definiciji integracije na diferencijabilnim mnogostrukostima, gde ulogu smene imaju preslikavanja promene koordinata između pojedinih mapa u atlasu.

## Opšta definicija i računanje
Definicija determinante potiče od sledeće teoreme:

Neka *M**n*(*K*) označava skup svih n \times n matrica nad poljem *K*. Postoji tačno jedna funkcija
:F : M_n(K) \longrightarrow K
sa sledeća dva svojstva:
* F alternira multilinearno u odnosu na kolone;
* F(I) = 1.
Determinanta se može definisati kao jedinstvena funkcija sa navedenim svojstvima.

U dokazivanju gornje teoreme, takođe se dobija Lajbnicova formula:
:\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i,\sigma(i)}.

Suma se računa nad svim permutacijama \sigma brojeva {1,2,...,*n*} a \sgn(\sigma) označava znak permutacije \sigma: +1 ako je \sigma parna permutacija, a &minus;1 ako je neparna. Ova formula sadrži n! (faktorijel) sabiraka, i stoga je nepraktična za numeričko izračunavanje determinanata kada je n veliko.

Za male matrice se dobijaju sledeće formule:
* ako je A matrica formata 1-sa-1, onda \det(A) = A_{1,1}. \,
* ako je A matrica formata 2-sa-2, onda \det(A) = A_{1,1}A_{2,2} - A_{2,1}A_{1,2}. \,
* za matrice A formata 3-sa-3, formula je komlikovanija:

:
\begin{matrix}
\det(A) & = & A_{1,1}A_{2,2}A_{3,3} + A_{1,3}A_{2,1}A_{3,2} + A_{1,2}A_{2,3}A_{3,1}\\
& & - A_{1,3}A_{2,2}A_{3,1} - A_{1,1}A_{2,3}A_{3,2} - A_{1,2}A_{2,1}A_{3,3}.
\end{matrix}\,

Takođe je moguće razložiti determinantu duž neke vrste ili kolone, korišćenjem *[[Laplasov razvoj|Laplasovog razvoja]]*, koji je efikasan za relativno male matrice. Kako bismo razložili matricu duž vrste i, pišemo
:\det(A) = \sum_{j=1}^n A_{i,j}C_{i,j} = \sum_{j=1}^n A_{i,j} (-1)^{i+j} M_{i,j}
gde C_{i,j} predstavlja matricu kofaktora, to jest, C_{i,j} je jednako (-1)^{i+j} puta minor M_{i,j}, koji je determinanta matrice koja se dobije kada se iz matrice A ukloni i-ta vrsta i j-ta kolona. U opštem slučaju, ponovljena primena Laplasovog razvoja po vrstama ili kolonama za numeričko izračunavanje determinante formata *n*&nbsp;&times;&nbsp;*n* pri velikom *n* nije praktična, jer zahteva više od *n*! operacija.

U opštem slučaju, determinantu možemo izračunati korišćenjem Gausove eliminacije pomoću sledećih pravila:
* Ako je A trougaona matrica, tj. A_{i,j} = 0 \, kada god je i > j ili alternativno kada god je i , onda \det(A) =  A_{1,1} A_{2,2} \cdots A_{n,n} \, (proizvod dijagonalnih članova matrice A).
* Ako se matrica B dobija od matrice A zamenom mesta dvema vrstama ili kolonama, onda \det(B) = -\det(A). \,
* Ako se matrica B dobija od matrice A množenjem jedne vrste ili kolone brojem c, onda \det(B) = c\,\det(A). \,
* ako se matrica B dobija od matrice A dodavanjem umnoška jedne vrste drugoj, ili jedne kolone drugoj, onda \det(B) = \det(A). \,

Eksplicitno, ako se pođe od neke matrice, mogu se koristiti poslednja tri pravila da se ona transformiše u trougaonu matricu, a zarim je pomoću prva tri pravila lako izračunati njenu determinantu.

## Primer
Pretpostavimo da želimo da izračunamo determinantu matrice
:A = \begin{bmatrix}-2&2&-3\\
-1& 1& 3\\
2 &0 &-1\end{bmatrix}.

Možemo direktno da iskoristimo Lajbnicovu formulu:
:

Takođe, možemo da iskoristimo Laplasov razvoj duž vrste ili kolone. Najpodesnije je izabrati vrstu ili kolonu sa što više nula, pa biramo drugu kolonu:
:

Treći način (najpraktičniji za veće matrice) bi koristio Gausov algoritam. Kada se račun vrši ručno, obično se postupak može značajno skratiti dodavanjem umnožaka kolona ili vrsta drugim kolonama ili vrstama; ovo ne menja vrednost determinante, a daje nule koje uprošćavaju kasnija računanja. U ovom slučaju, dodavanje druge kolone prvoj je vrlo korisno:

:\begin{bmatrix}0&2&-3\\
0 &1 &3\\
2 &0 &-1\end{bmatrix}

i ova determinanta se može brzo razložiti po prvoj koloni:

:

## Svojstva
Determinanta je *multiplikativno preslikavanje* u smislu da
:\det(AB) = \det(A)\det(B) \, za sve *n*-sa-*n* matrice A i B.

Lako je videti da je \det(rI_n) = r^n \, i stoga
:\det(rA) = \det(rI_n \cdot A) = r^n \det(A) \, za svaku *n*-sa-*n*matricu A i za svaki skalar r.

Matrica nad komutativnim prstenom *R* je invertibilna ako i samo ako je njena determinanta jedinica (odnosno invertibilan element) u *R*. Specijalno, ako je *A* matrica nad poljem kao što su realni ili kompleksni brojevi, onda je *A* invertibilna akko je det(*A*) različita od nule. U ovom slučaju imamo

:\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}. \,

Izraženo na drugi način: vektori *v*1,...,*v**n* u **R***n* formiraju bazu akko det(*v*1,...,*v**n*) nije jednako nuli.

Matrica, i njena transponovana matrica imaju istu determinantu:
:\det(A^\top) = \det(A). \,

Determinante kompleksne matrice, i njoj konjugovano transponovane matrice su konjugovani kompleksni brojevi:
:\det(A^*) = \det(A)^*. \,

Determinanta matrice A ispoljava sledeća svojstva u odnosu na elementarne transformacije matrice A:
# Zamena mesta vrstama ili kolonama množi determinantu sa &minus;1.
# Množenje vrste ili kolone sa m množi determinantu sa m.
# Dodavanje umnoška vrste ili kolone drugoj vrsti ili koloni ne menja determinantu.

Ako su A i B slične matrice, to jest, postoji invertibilna matrica X, takva da A = X^{-1} B X, onda po multiplikativnom svojstvu,

:\det(A) = \det(B). \,

Zbog ovoga, determinanta matrice nekog linearnog operatora *T* : *V* → *V* na konačno dimenzionom vesktorskom prostoru *V* ne zavisi od izbora baze u *V*. Zajednička vrednost svih matrica datog linearnog operatora *T* naziva se determinantom linearnog operatora *T* i označava sa det&nbsp;*T*. Ovaj odnos je jednosmeran: postoje matrice čije determinante su iste, ali one nisu slične.

### Izvod
Determinante realnih kvadratnih matrica su polinomijalne funkcije sa \mathbb{R}^{n \times n} na \mathbb{R}, i kao takve su uvek diferencijabilne. NJihov izvod se može izraziti pomoću *[[Jakobijeva formula|Jakobijeve formule]]*:

: d \,\det(A) = \operatorname{tr}(\operatorname{adj}(A) \,dA)

gde adj(*A*) označava adjungovanu matricu od *A*. Specijalno, ako je *A* invertibilna, imamo
: d \,\det(A) = \det(A) \,\operatorname{tr}(A^{-1} \,dA)

ili, 
: \det(A + X) - \det(A) \approx \det(A) \,\operatorname{tr}(A^{-1} X)

ako su članovi matrice X suviše mali. Specijalan slučaj kada je A jednaka jediničnoj matrici, I dobija se
: \det(I + X) \approx 1 + \operatorname{tr}(X).

Kao izvod po svakom posebnom elementu matrice, ove formule glase
:  \frac{\partial \det(A)}{\partial A_{ij}} = \det(A)(A^{-1})_{ij}.   

## Reference
* 
* .
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Vanjske veze
* Determinante 
* 
* 
* 
* WebApp to calculate determinants and descriptively solve systems of linear equations 
* Determinant Interactive Program and Tutorial
* Online Matrix Calculator
* Linear algebra: determinants.  Compute determinants of matrices up to order 6 using Laplace expansion you choose.