Parcijalna integracija

U kalkulusu, i generalno, u matematičkoj analizi, **parcijalna integracija** je pravilo koji transformiše integrale proizvoda funkcija je druge, vjerovatno jednostavnije integrale. Do ovog pravila dolazimo preko diferencijacije pravila derivacije proizvoda.

## Pravilo

Pretpostavimo da su *f*(*x*) i *g*(*x*) dvije više puta diferencijabilne funkcije. Tada pravilo parcijalne integracije kaže da kada imamo intervale sa krajnjim tačkama *a* i *b*, dobijamo
\int_a^b f(x) g'(x)\,dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} - \int_a^b  f'(x) g(x)\,dx
gdje koristimo standardne oznake

:\left[f(x) g(x) \right]_{a}^{b} = f(b) g(b) - f(a) g(a).

Pravilo se dokazuje pravilom derivacije proizvoda i fundamentalnom teoremom kalkulusa. Zbog toga je
:

U tradicionalnom kalkulusu, ovo pravilo se koristi kod neodređenog integrala u formi
:\int f(x) g'(x)\,dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x)\,dx,

ili u kraćoj formi, ako napišemo *u* = *f*(*x*), *v* = *g*(*x*) i diferencijali *du* = *f*′(*x*) *dx* i *dv* = *g*′(*x*) *dx*. Tada je u formi u kojoj je najčešće susrećemo:

:\int u\,dv = u v - \int v\,du.

## Primjeri

Kako bi izračunali

:\int x\cos (x) \,dx

napišemo:

:*u* = *x*, tako da je *du* = *dx*,
:*dv* = cos(*x*) *dx*, tako da je *v* = sin(*x*).

Zatim:

:
\begin{align}
  \int x\cos (x) \,dx & = \int u \,dv \\
  & = uv - \int v \,du \\
  & = x\sin (x) - \int \sin (x) \,dx \\
  & = x\sin (x) + \cos (x) + C
\end{align}


gdje je *C* arbitražna konstanta integracije.

Ako iznova koristimo parcijalnu integraciju, integrali kao što su

:\int x^{3} \sin (x) \,dx \quad \mbox{and} \quad \int x^{2} e^{x} \,dx

mogu se izračunati veoma lagano: ponavljanje ovog postupka smanjuje potenciju *x* za jedan.

Interesantan primjer je sljedeći:

:\int e^{x} \cos (x) \,dx

gdje se, na kraju, ne mora primjenjivati stvarna integracija.

Kod ovog primjere, parcijalna integracija se primjeni dva puta. Kao prvo, napišimo:

:*u* = cos(*x*); thus d*u* = -sin(*x*)d*x*
:d*v* = e*x*d*x*; thus *v* = e*x*

Zatim:

:\int e^{x} \cos (x) \,dx = e^{x} \cos (x) + \int e^{x} \sin (x) \,dx

Sada, kako bi izračunali integral koji nam je ostao, ponovo koristimo parcijalnu integracijuz, sa:

:*u* = sin(*x*); d*u* = cos(*x*)d*x*
:*v* = e*x*; d*v* = e*x*d*x*

Zatim:

:
Sklopivši sve to zajedno, dobijamo

:\int e^{x} \cos (x) \,dx = e^{x} \cos (x) + e^x \sin (x) - \int e^{x} \cos (x) \,dx

Primijetimo da se isti integral pojavljuje na obje strane jednačine. Prebacimo sve na jednu stranu i dobijamo:

:2 \int e^{x} \cos (x) \,dx = e^{x} ( \sin (x) + \cos (x) )

:\int e^{x} \cos (x) \,dx = {e^{x} ( \sin (x) + \cos (x) ) \over 2}

Još dva dobro poznata primjera primjene parcijalne integracije je kada je funkcija izražena kao proizvod 1 i same sebe.

Prvi primjer je ∫ ln(*x*) d*x*. Ovo pišemo kao:

:\int \ln (x) \cdot 1 \,dx

Napišimo:

:*u* = ln(*x*); d*u* = 1/*x* d*x*
:*v* = *x*; d*v* = 1·d*x*

Zatim:

:
:\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - {x} + {C}

:\int \ln (x) \,dx = x ( \ln (x) - 1 ) + C

gdje je, ponovo, C arbitražna konstanta integracije

Drugi primjer je ∫ arctan(*x*) d*x*, gdje je arctan(*x*) inverzna tangensna funkcija. Ovo ponov napišemo kao:

:\int \arctan (x) \cdot 1 \,dx

Napišimo:

:*u* = arctan(*x*); d*u* = 1/(1+*x*2) d*x*
:*v* = *x*; d*v* = 1·d*x*

Zatim:

:

koristeći kombinaciju pravilo inverzne derivacije složene funkcije i uslov integriranja prirodnog logaritma.

## Više dimenzije

## Kulturološke reference

* Metoda tabularne parcijalne integracije pojavila se u filmu *[[Stand and Deliver]]* iz 1988. godine.

## Vanjske veze

* Parcijalna integracija - sa MathWorld
* Tabularna parcijalna integracija 
* Demonstrirana tabularna parcijalna integracija