Podudarnost (geometrija)

U geometriji dvije figure su identične ako imaju istu veličinu i oblik.

Dvaskupa tačaka su podudarna ako postoji preslikavanje kojim se taj skup preslikava u drugi skup, a da se pri tom ne mijenja veličina i oblik.

Podudarnost se označava sa \cong

U osnovnoj geometrije reč jednako cesto se koristi umesto podudaran.
Podudaran ima značenje:
# Dve duži su podudarne ako imaju istu dužinu d_1=d_2 tj d_1\cong d_2
# Dva ugla su podudarna ako imaju istu meru \alpha_1=\alpha_2 tj \alpha_1\cong \alpha_2
# Dva kruga su podudarna ako imaju isti prečnik R_1\cong R_2 tj R_1\cong R_2

## Aksiome podudarnosti
Aksiome podudarnosti opisuju osnovne karakteristike relacije podudarnosti parova tačaka. Ovu relaciju uvodimo kao polazni pojam.
*Aksiom 1
Ako je (A,B)\cong (C,D) i A =B, tada je i C=D.
*Aksiom 2
Za svake dvije tačke A i B je (A,B)\cong (B,A).
*Aksiom 3
Ako je (A,B)\cong (C,D) i (A,B)\cong (E,F) tada je (C,D)\cong (E,F)
*Aksiom 4
Ako su **C** i **C**' tačke otvorenih duži **AB** i **A'B**', takve da je 
(A,C)\cong (A',C') i (B,C)\cong (B',C'), tada je i (B,C)\cong (A',B')
*Aksiom 5
Ako su **A** i **B** dvije tačke i **CX** poluprava tada na toj polupravoj postoji tačka **D** takva da je (A,B)\cong (C,D)
*Aksiom 6
Ako su **A, B, C** tri nekolinearne tačke i A',B' tačke ruba neke poluravni \pi, takve da je (A,B)\cong (A',B') tada u toj poluravni 
postoji jedinstvena tačka **C**' takva da je  
(A,C)\cong (A',C') i (B,C)\cong (B',C')
*Aksiom 7
Ako su **A, B, C** i **A', B', C**' dvije trojke nekolinearnih tačaka i **D** i **D**' tačke polupravih **BC** i **B'C**' takve da je (AB)\cong  (A',B') , (BC)\cong  (B',C'), (A,C)\cong  (A',C') i (B,D)\cong  (B',D')
, tada je i (A,D)\cong  (A',D')

Relacija podudarnosti parova tačaka je relacija ekvivalencije.
#(A,B)\cong  (A,B) relacija je refleksivna.
#Neka je (AB)\cong  (C,D) [(A,B)\cong  (A,B)] => (CD)\cong  (A,B) relacija je simetrična
# (A,B)\cong  (C,D) i (C,D)\cong  (E,F)=> (A,B)\cong  (E,F)[slijedi na osnovu simetričnosti]
;Teorema 1
Ako su **A** i **B** dvije tačke i **CX** poluprava tada na toj polupravoj postoji jedinstvena tačka **D** takva da je '(A,B)\cong  (CD)
;Teorema 2
Ako su **A,B,C** tri razne tačke prave **p** i **A',B**' dvije tačke prave **p**' takve da je (A,B)\cong  (A',B'), tada postoji jedinstvena tačka **C**' takva da je A',B' i (A,C)\cong  (A',C').

Pri tome, tačka **C**' pripada pravoj **p**' i:

#ako je \mathfrak{B}(A,C,B), tada je \mathfrak{B}(A',C',B')
#ako je ako je \mathfrak{B}(A,B,C), tada je \mathfrak{B}(A',B',C')
#ako je ako je \mathfrak{B}(B,C,A), tada je \mathfrak{B}(B',C',A')

;Definicija 1
Kažemo da je uređena n-torka tačaka (A_1,A_2,..., A_n) podudarna sa n- torkom (A'_1,A'_2,...,A'_n) u oznaci  
(A_1,A_2,..., A_n) \cong  (A'_1,A'_2,...,A'_n)

ako je za svako (i,k)\in \begin{Bmatrix}
  {1,2,...n} \end{Bmatrix}(A_i,A_k)\cong  (A'_i,A'_k)

;Definicija 2
Neka su A i B dvije razne tačke neke ravni \alpha. Skup svih tačaka X te ravni takvih da je (A,B)\cong  (A,X),naziva se krug, u oznaci k(A,AB), sa centrom **A** i čiji je poluprečnik duž **AB**.

## Podudarnost duži
Ako su dvije duži AB i CD su podudarne označavamo 
sa AB\cong CD,
;Teorema 3
(A,B)\cong  (A',B')=>A,B \cong A',B',

;Definicija 3

Tačka S je središte duži AB ako pripada toj duži i važi AS\cong  SB

;Teorema 4
Za svaku duž postoji jedinstveno središte.

;Definicija 4
Duž **AB** je manja od duži **CD** u oznaci **AB < CD** ako unutar duži **CD** postoji tačka **E** takva da je **AB ≅ CE**. Takođe u tom slučaju kažemo i da je duž **CD** veća od duži **AB** u oznaci **CD > AB**.

;Definicija 5
Duž **EF** jednaka je zbiru duži **AB** i **CD** u oznaci **EF = AB + CD** ako unutar duži **EF** postoji tačka **G** takva da je 
**AB≅EG** **CD ≅GF**.
Na isti način definišu se razlika, proizvod duži i prirodnog broja, proizvod duži iracionalnog broja
## Podudarnost uglova, pravi uglovi, relacija normalnosti pravih
Dva konveksna ili konkavna ugla pOq i p_1O_1q_1 su podudarna ako i samo ako na kracima p i q p_1, q_1 redom postoje tačke P, Q,P_1,Q_1 takve da je: (P,O,Q)\cong(P_1,O_1,Q_1).

;Teorema 5
*Unakrsni uglovi su međusobno podudarni.
*Za svaki **∠pq** i svaku polupravu **p**' neke ravni, postoji u poluravni određenoj pravom koja sadrži **p**', jedinstvena poluprava **q**' takva da **∠pq ≅ ∠p'q**'.

;Teorema 6
Svaki ugao ima jedinstvenu bisektrisu

;Definicija 5
Ugao AOB je manji od ugla CSD u oznaci \angle AOB  ako unutar ugla **CSD** postoji poluprava **SE** takva da je \angle AOB \cong \angle CSE. U tom slučaju kažemo ia je ugao **CSD** veći od ugla **AOB** u oznaci \angle CSD > \angle AOB.

;Definicija 6
Uglom dviju mimoilaznih pravih **p** i **q** u prostoru E^3 nazivamo ugao što ga određuju njima paralelene prave **a** i **b** koje se sjeku u nekoj tački **O**. Specijalno, ako je ugao dviju mimoilaznih pravih u prostoru
E^3 prav, tada kažemo da su prave
p i **q** normalne među sobom, i simbolički označavamo sa p  \perp q
;Teorema 7
#Ugao podudaran nekom pravom uglu takođe je prav.
#Pravi uglovi su među sobom podudarni.
#Postoji jedna i samo jedna prava koja siječe svaku od dvije mimoilazne prave **a** i **b** pod pravim uglom.
## Podudarnost poligona

Dva podudarna poligona imaju isti broj stranica i vrhova.

Dva poligoni sa **n** strane su podudarni ako i samo ako svaki od njih ima odgovarajuće stranice i uglove jednake.
## Podudarnost nekih pravilnih četveuglova
#Dva paralelograma su podudarna ako su im podudarne dvije susjedne ivice i jedan ugao.
#Dva pravougaonika su podudarna ako su im podudarne dvije susjedne ivice.
#Dva romba su podudarna ako su im podudarne jedna ivica i jedan ugao
#Dva kvadrata su podudarna ako su im podudarne stranice.

## Podudarnost trouglova

Dva trougla su podudarna ako su njihove odgovarajuće stranice jednake dužine,odgovarajući uglovi jednake veličine.
Da su dva trougla ABC i DEF podudarni zapisujemo

:\triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DEF}

## Određivanje podudarnostosti

***SUS**
Dva trougla su podudarna ako su dvije ivice i njima zahvaćeni ugao jednog trougla podudarni sa odgovarajućim ivicama i uglovima drugog trougla, tj: 
AB \cong A'B', AC \cong A'C', \angle BAC \cong \angle B'A'C' => \triangle ABC \cong \triangle A'B'C' 

***SSS**
Dva trougla su podudarna ako su im odgovarajuće ivice podudarne, tj.
AB \cong A'B', BC \cong B'C', AC \cong A'C' => \triangle ABC \cong \triangle A'B'C'

Dokaz:

Neka su ABC, A'B'C' dva trougla takva da je 
AB \cong A'B', BC \cong B'C', AC \cong A'C'. Tada su i odgovarajući parovi tačaka podudarni tj. \triangle ABC \cong \triangle A'B'C'.

Postoji izometrija te ravni, koja tačke **A,B,C** preslikava redom u tačke **A', B', C'.** Izometrije čuvaju raspored, pa se odgovarajuće ivice jednog trougla preslikavaju u odgovarajuće ivice drugog trougla. Izometrija preslikava trougao **ABC** u trougao **A'B'C**', pa je \triangle ABC \cong \triangle A'B'C'.

***USU**
Dvatrougla su podudarna ako su jedna ivica i na njoj nalegli uglovi jednog trougla podudarni sa odgovarajućom 
ivicom i odgovarajućim uglovima drugog trougla, tj: 
BC \cong B'C', \angle ABC \cong \angle A'B'C', \angle ACB \cong \angle A'C'B'=>\triangle ABC \cong \triangle A'B'C' 

***SSU**
Dva trougla su podudarna ako su dvije ivice i ugao naspram jedne od njih jednog trougla podudarni sa odgovarajućim stranicama i odgovarajućim uglom drugog trougla 
## Izvori

Geometrija (za I razred gimnazije)/1998 god.
## Reference