Relacija

U matematici, **relacija** je neprazan podskup Dekartovog proizvoda skupova.

## Definicije
Relacija &rho; dužine n je neprazan podskup Dekartovog proizvoda n skupova. Kada je n = 2 tada govorimo o ''binarnoj'' relaciji, dakle o relaciji između elementa x sa elementom y, odnosno o uređenom paru (x, y) iz Dekartovog proizvoda A\times B. Ako je (x, y)\in\rho tada kažemo da je element x\, u relaciji sa elementom y\, i pišemo x\rho y\,.

Za binarnu relaciju \rho\subset A\times B moguće je definisati sledeće izraze:
* Domen, tj. oblast definisanosti \mathcal{D(\rho)}=\{x\in A|(\exists y\in B)x\rho y)\};
* kodomen, tj. oblast vrednosti \mathcal{K(\rho)}=\{y\in B|(\exists x\in A)x\rho y\};
* *inverzna relacija* \rho ^{-1}=\{(y,x)\};\,
* *komplement* \bar \rho=(A\times B)\backslash\rho;
* *kompozicija relacija* \rho\circ\sigma : 
: ako je \sigma \subset A\times B i \rho \subset B\times C, tada relaciju \rho\circ\sigma\subset A\times C, datu sa \rho\circ\sigma=\{(x,y)|(\exists z\in B)x\rho z\wedge z\rho y\} nazivamo kompozicija relacija \rho\, i \sigma\,.

## Primer relacija

# Dati su skupovi: A=\{ a, b, c \},\; B=\{1, 2, 3\},\, Dekartov proizvod je skup uređenih parova A\times B=\{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3)\},\, a (jedna od) relacija je \rho=\{(a,1),(a,2),(b,2),(c,2)\},\, na slici desno. Pišemo npr. (a,2)\in \rho.\, i kažemo uređen par a, 2 je element relacije ro, odnosno čitamo, a je u relaciji ro sa 2.
# Relacija *jednakosti* brojeva. Pišemo i x\rho y\, odnosno x=y\, i čitamo, broj h jednak je broju u.
# Relacija je *biti paralelan*, u skupu pravih. Za dve prave a,\; b\, kažemo da su paralelne i pišemo a||b\, ako je to jedna ista prava, ili ako su to dve prave koje leže u istoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka.
# Relacija *manje ili jednako* u skupu realnih brojeva.

## Osnovne osobine
Osnovne četiri osobine su:
* *Refleksivnost*: (\forall x)(x \in X)  x \rho x. Drugim rečima, data relacija je refleksivna ako i samo ako je svaki element u relaciji sa sobom. 
* *Simetričnost*: (\forall x,y) (x,y \in X) \; x\rho y \Rightarrow y\rho x. Drugim rečima, ako za svaki uređeni par elemenata koji je u relaciji postoji i par sa obrnutim poretkom.
* *Antisimetričnost*: (\forall x,y) (x,y \in X)\; x\rho y \land y\rho x \Rightarrow x=y.\, Drugim rečima, ako u datoj relaciji imamo oba poretka jednog para elemenata, onda ih ne možemo imati na način da to mora biti samo jedan element (taj je u relaciji sam sa sobom).
* *Tranzitivnost*: (\forall x,y,z)(x,y,z \in X)\; x\rho y \land y\rho z \Rightarrow x\rho z. Ako je prvi element u relaciji sa drugim, drugi sa trećim, onda mora biti i prvi sa trećim!

Kada neka relacija ima osobinu refleksivnosti, simetričnosti, antisimetričnosti, ili tranzitivnosti kažemo da je ta relacija refleksivna, simetrična, antisimetrična, odnosno tranzitivna.

*Relacija ekvivalencije* je ona koja ima sve tri osobine *RST* zajedno (Refleksivnost, Simetričnost i Tranzitivnost). Privremeno je možemo označavati sa "~" tilda.

*Klasa ekvivalencije* je mnoštvo međusobno ekvivalentnih elemenata: C_x=\{y|y~x\}.\,

*Količnički skup* je skup klasa ekvivalencije.

*Relacija poretka* je ona koja ima osobine *RAT* (Refleksivnost, Antisimetričnost, Tranzitivnost).

## Ostale osobine
Iz definicija se lako mogu dobiti sledeća svojstva relacija:
* \mathcal{D}(\rho)=\mathcal{K}(\rho ^{-1}), \; \mathcal{D}(\rho ^{-1})=\mathcal{K}(\rho);
* \left(\rho ^{-1}\right)^{-1}=\rho;
* \left(\bar\rho\right)^{-1}=\overline{\rho ^{-1}};
* \left(\rho\circ\sigma\right)^{-1}=\sigma ^{-1}\circ\rho ^{-1};
* (\rho\cap\sigma)^{-1}=\rho ^{-1}\cap\sigma^{-1};
* (\rho\cup\sigma)^{-1}=\rho ^{-1}\cup\sigma^{-1}.

Relacija \rho\subset A^2 je *linearna* ili *totalna* ako važi (\forall x,y\in A)x\rho y\vee y\rho x. Primetite da su linearne relacije obavezno refleksivne.

Antisimetrična, tranzitivna i linearna relacija nekog skupa naziva se relacija *linearnog poretka* (ili totalnog uređenja) datog skupa.

Relacija *preduređenja* je refleksivna i tranzitivna. Relacija *kvaziuređenja* je tranzitivna relacija. Poslednja dva naziva pojavljuju se u Teoriji društvenog izbora, tj. oblasti matematičke ekonomije.

## Povezano
* Dr Nevenka Skakić i Dr Ratko Kravarušić, *Matematika I*, Ekonomski fakultet, Banja Luka, 2000.