Efektivna vrijednost električnog napona i struje

Pojam **efektivne vrijednosti** električnog napona i struje od temeljne je važnosti pri razmatranju rada i snage izmjeničnog električnog napona, odn. struje. 
Efektivna vrijednost napona i struje kvantitativno povezuje amplitudu i oblik izmjeničnog napona, odn. struje s veličinom rada i snage u električnim strujnim krugovima. 

## Rad i snaga u mehanici
Rad je u fizici definiran kao savladavanje sile na određenom putu. Ukoliko je sila ne mijenja svoj iznos tijekom puta tada je ukupan rad određen kao:: 
:\!W= F s,  \,   
gdje je *W* rad, *F* sila, a *s* put na kojem je djelovala sila. Ukoliko sila *F* tijekom svojeg djelovanja nije konstantna, tada je ukupan rad određen kao:
:\!W = \int_{s=0}^ {s=s} F(s) ds, \, 
gdje je sila djelovala na putu od *s*=0 do *s*=s, a gdje je iznos sile u svakoj točki puta određen funkcijom *F=F(s)*. Definiramo li snagu kao brzinu obavljanja rada, tada je prosječna snaga određena kao:
:\!P= \frac {W}{t},  \,    
gdje je *W* ukupan rad izvršen u vremenu *t*, a uz uvjet da je rad u svakom trenutku jednak. Ukoliko, međutim, na tijelo djeluje promjenljiva sila tada niti rad u svakom trenutku ne će biti jednak, gdje možemo definirati trenutnu snagu sustava kao:
:\!P= \frac {dW}{dt},  \,    

## Rad i snaga u elektrostatici
Kako bi se električni naboj *+q* pomaknuo suprotno smjeru električnog polja konstantne jakosti, valja savladati odbojnu elektrostatsku silu i u tu svrhu uložiti odgovarajuću energiju, odn. izvršiti odgovarajući rad:
:\!W= F s= Eqs=  Uq \, 
gdje je *W* rad izvršen u električnom polju, *F* sila električnog polja koja djeluje na naboj, s pomak naboja protivno smjeru silnica električnog polja, *E* jakost električnog polja, a *U* razlika potencijala između točaka na putu *s*, od *U<sub>s=0</sub>* do *U<sub>s=s</sub>*.
 
## Rad i snaga istosmjerne električne struje
Ukoliko se naboj giba kontinuirano, odn. jednoliko tada možemo govoriti o istosmjernoj električnoj struji gdje je tada rad određen kao:
:\!W=  UIt. \, 
Sada već možemo razmatrati strujni krug kojim teče struja *I* kroz neki otpornik otpora *R* tijekom vremena *t*. Ukupan rad izvršen nad elektičnim nabojima proteklim kroz otpor razmjeran je, dakle, jačini napona (pad napona na otporu), jačini struje kroz otpor i vremena u kojem je tekla električna struja. Razmatramo li utrošak energije u jedinici vremena, tada možemo za istosmjerne napone i struje definirati električnu snagu kao:
:\!P=  \frac {W}{t} = UI=\frac {U^2}{R} = I ^2R . \, 

## Rad i snaga izmjeničnog napona i struje
Pri prolasku izmjenične struje kroz razmatrano opterećenje otpora *R*, napon, odn. pad napona na otporu i električna struja koja teče kroz otpor mijenjaju se u svakom trenutku vremena. Ukoliko vremenski period učinimo po volji kratkim tada je izvršen rad na otporu jednak:

:\vartriangle  W= ui\vartriangle t =\frac {u^2}{R}\vartriangle t = i^2R \vartriangle t , \,
gdje su *u*, odn. *i* neke odgovarajuće trenutne vrijednosti napona, odn. struje izražene funkcijama *u(t)*, odn. *i(t)*. Međutim, kada: 
: \vartriangle t \to 0  \,  

možemo zapisati da je ukupan rad u vremenu *T* jednak:
:\!W = \int_{t=0}^{t=T}\frac {u^2(t)}{R}dt = \int_{t=0}^{t=T} i^2(t)Rdt .
Uvedimo sada pojam efektivne vrijednosti izmjeničnog napona, odn. struje kao onu vrijednost izmjeničnog napona, odn. struje koja bi na otporu R oslobodila istu energiju kao upravo jednaka vrijednost istosmjerne električne struje. 

### Rad i snaga izmjeničnog pravokutnog napona i struje
Razmotramo li pravokutni napon amplitude \pm *U<sub>m</sub>*, perioda *T*, nalazimo da je u vremenu od *t*=0 do *t*=*T* izvršen ukupan rad:
:\!W = \frac {U^2_{eff}}{R}T= \int_{t=0}^{t=T} \frac {u^2(t)}{R}dt.
Pomnožimo li jednakost s R nalazimo, redom:

:
\begin{align}
U^2_{eff} T& =   \int_{t=0}^{t=T} u^2(t)dt   \\
U^2_{eff} T& =   \int_{t=0}^{t=T/2} U_m^2dt +  \int_{t=T/2}^{t=T} (-U_m)^2(t)dt \\
U^2_{eff} T& =   \int_{t=0}^{t=T/2} U_m^2dt +  \int_{t=T/2}^{t=T} U_m^2(t)dt      \\
U^2_{eff} T& =  U_m^2\frac{T}{2} +  U_m^2T-  U_m^2\frac{T}{2}  \\
U^2_{eff} T & = U_m^2T /(:T) \\
U^2_{eff} & = U_m^2 /^{(1/2)} \\
U_{eff} & = U_m ,
\end{align}

što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog napona pravokutnog oblika jednaka njegovoj maksimalnoj vrijednosti što se moglo i pretpostaviti. Jednako vrijedi i za pravokutni oblik izmjenične struje, gdje je efektivna vrijednost izmjenične struje pravokutnog oblika jednaka njezinoj maksimalnoj vrijednosti.

### Rad i snaga izmjeničnog sinusoidalnog napona i struje
Razmotramo li periodički promjenljiv napon:
: u(t)= U_m\sin(\omega t) \,
odn. struju:
: i(t)= I_m\sin(\omega t) \,
gdje su *U<sub>m</sub>*, odn. *I<sub>m</sub>* vršne vrijednosti (amplitude) izmjeničnog napona, odn. struje, perioda *T*, nalazimo da je u vremenu od *t*=0 do *t=T* izvršen ukupan rad:
:\!W = \frac {U^2_{eff}}{R}T= \int_{t=0}^{t=T} \frac {u^2(t)}{R}dt, odn.
:\!W = I^2_{eff}RT= \int_{t=0}^{t=T} i^2(t)Rdt.
Načinimo li izvod računa za, na primjer, izmjenični efektivni napon, pomnoživši jednakost s *R* nalazimo, redom:
:U^2_{eff}T  =   \int_{t=0}^{t=T} U_m^2 \sin^2(\omega t)dt   
: U^2_{eff}T=  \int_{t=0}^{t=T}  U_m^2 \frac{1}{2}(1-  \cos(2\omega t))dt  
: U^2_{eff}T=  \frac{1}{2} U_m^2 \int_{t=0}^{t=T}dt- \frac{1}{2} U_m^2 \int_{t=0}^{t=T} \cos(2\omega t)dt   
: U^2_{eff}T= \frac{T}{2} U_m^2 -\frac{1}{2\omega} U_m^2 \int_{t=0}^{t=T} \cos(2\omega t)d(2\omega t)  
Kako je, međutim, vrijednost integrala cos(2ωt)d(2ωt) u naznačenim granicama jednaka nuli, može se zapisati da je, redom: 
:
\begin{align}
U^2_{eff} T & = \frac{T}{2} U_m^2   /(:T)   \\
U^2_{eff} & =   \frac{1}{2} U_m^2 /^{(1/2)} \\
U_{eff}& =   \frac{1}{\sqrt2} U_m,           
\end{align}
 
što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog sinusoidalnog napona jednaka približno: 
: U_{eff} = 0,707U_m ,  \, 
gdje bi se na jednak način pokazalo da je efektivna vrijednost izmjenične sinusoidalne struje približno jednaka:
: I_{eff} = 0,707I_m .  \,

### Rad i snaga izmjeničnog pilastog napona i struje
Razmatramo li periodički promjenljiv pilasti napon vršne vrijednosti \pm 
*U<sub>m</sub>* perioda *T*, u vremenu od *t*=0 do *t=T* izvršen je ukupni rad:
:\!W = \frac {U^2_eff}{R}T= \int_{t=0}^{t=T} \frac {u^2(t)}{R}dt,
Pomnožimo li jednakost s R i uzmemo li u obzir oblik pilastog napona nalazimo, redom:

: U^2_{eff} T =  2 \int_{t=0}^{t=T/2}\Bigg(U_m\frac{t}{\frac{T}{2}}\Bigg)^2 dt   
: U^2_{eff} T= 2 \int_{t=0}^{t=T/2} U_m^2 \frac{4t^2}{T^2} dt   
: U^2_{eff} T= 8 \frac{U_m^2}{T^2}  \int_{t=0}^{t=T/2} t^2dt  
: U^2_{eff} T= 8 \frac{U_m^2}{T^2}\left.\frac{t^3}{3}\right\vert_{t=0}^{t=T/2}     
: U^2_{eff} T= 8 \frac{U_m^2}{T^2}  \frac{T^3}{3\cdot8}  /:T 
:U^2_{eff} =  \frac{U_m^2}{T^3}\frac{T^3}{3} 
:U^2_{eff} =  \frac{U_m^2}{3} / ^{(1/2)}   
:U_{eff}  =   \frac{U_m}{\sqrt3},  

što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog napona pilastog oblika jednaka približno: 
: U_{eff} = 0,577U_m ,  \, 
gdje bi se na jednak način pokazalo da je efektivna vrijednost izmjenične struje pilastog oblika jednaka približno:
: I_{eff} = 0,577I_m .  \,