Rješavanje trougla

Rješavanje trougla znači nalaženje preostalih uglova i stranica kada je dat minimum podataka. 
Osnovni elementi trougla su tri ugla i tri stranice, a minimum podataka, čine tri od tih osnovnih elementa, od kojih je najmanje jedan stranica. Naime, kada znamo dva ugla trougla tada možemo smatrati da znamo i treći, jer je zbir uglova u trouglu uvijek isti, 180o. Međutim, trougao nije određen samo svojim osnovnim elementima. 
Ovo je glavni trigonometrijski problem. 
Moguće je konstruisati trougao ako je zadana težišnica i dvije stranice, ili stranica, visina i ugao, itd.
## Glavni teoremi

Kosinusna teorema

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha 

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta 

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma 

Sinusna teorema

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}

Zbir uglova trougla
    
\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }

Tangensni teorem

\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\mathrm {tan} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\mathrm {tan} [{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}

## Oštrougli trougao

Oštrougli trougao ima sva tri ugla manja od pravog ugla (90o ). Pri rješavanju oštrouglog trougla moguća su sljedeća četiri slučaja:
   
#date su tri strane (SSS);
# date su dve stranice i ugao između njih (SUS);
#data je stranica i dva nalegla ugla (USU);
#date su dvije stranice i ugao naspram veće od njih (SSU).
  
To su isti uslovi koji definišu podudarnost trouglova. Razmotrićemo svaki od ovih primjera.

### Date su 3 stranice trougla
Date su tri stranice **a , b , c**  trougla. Naći njegove uglove.

**I način**

Kosinusna teorema a^2 = b^2+c^2-2bc \cos A daje ugao A, jer je \cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}. 

Sinusna teorema  a:\sin \alpha =b:\sin \beta daje  ugao \beta , jer je \sin \beta=\frac{b\sin \alpha}{a}.

Treći ugao C možemo naći kao suplementni ugao prethodna dva  \gamma = 180^{\circ} - ( \alpha + \beta ) .

**II način**

Iz poluobima   p=\frac{a+b+c}{2},  razlika p-a,\; p-b,\; p-c, i tangensne teoreme  imaćemo

\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}},\; \operatorname{tg}\frac{\beta}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{p(p-b)}},\; \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}.

Ovaj zadatak ima jedinstveno rješenje jedino ako su zbirovi po dvije od datih stranica trougla veći od treće stranice, tj. a + b > c , b + c > a , c + a > b.
### Date su 2 stranice i ugao između njih
Date su 2 stranice  trougla a , b ( a > b ) i ugao  \gamma.  Naći stranicu с i uglove \alpha, \beta .

Kosinusna teorema daje stranicu  c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma}}

Sinusna teorema daće uglove. Iz uslova a>b slijedi da je ugao \beta  oštar, pa prema tome prvo tražimo  
 
 \sin \beta ={\frac {b\sin\gamma}{c}} tj ugao \beta pa ugao \alpha  koji je suplementan uglovima \beta, \gamma, tj.  \alpha=180^{o}-(\beta +\gamma).

Jednistveno rješenje  je ako je \gamma .

### Data je stranica i 2 ugla koja leže na njoj

Data je stranica a i uglovi \beta i \gamma. Naći stranice b, c i ugao \alpha. 

Prvo nalazimo ugao  \alpha=180^{o}-(\beta +\gamma).

Sinusna teorema  daje:   b=\frac {a\sin \beta}{\sin \alpha}},\;c={\frac {a\sin \gamma}{\sin \alpha}}.

Za a>b  je  a>b\sin \alpha pa je  \sin\beta={\frac {b\sin \alpha}{a}}

Postojijedinstveno rješenje, jer je ugao \beta oštar nezavisno od toga kakav je ugao \alpha.

Kada je a tada je A. Trougao je pravougli, ili, ako je b\sin \alpha, postoje dva rješenja, jer se mogu dobiti dvije vrijednosti za ugao\beta, oštar i tup ugao. 

b\sin \alpha>a tj. \sin \beta > 1 ,  nema rješenja.

Kada je a=b tada je \alpha  i B. Postoji jedinstveno rešenje.
## Reference