Skup

**Skup** je osnovni matematicki pojam koji se ne definiše.
Iako nema definiciju ***skup*** se može shvatiti kao bilo koja kolekcija različitih objekata smatranim cjelinom. Iako se ovo čini jednostavnom idejom, skupovi su svejedno jedan od najvažnijih fundamentalnih koncepata u modernoj matematici. Matematička disciplina koja proučava moguće skupove, teorija skupova, je sadržajno bogata i aktivna.

Teorija skupova, stvorena tek krajem 19. stoljeća, je danas sveprisutni dio matematičkog obrazovanja, te se stoga u većini zemalja uvodi već u osnovnoj školi. Teorija skupova se može da se shvati kao osnova nad kojom može biti izgrađena gotovo cijela matematika, te kao ishodište iz kojeg gotovo cijela matematika može biti izvedena.
## Osnovni pojmovi

Pojam skupa se obično ne definiše i nema zvaničnu definiciju, već se uzima kao osnovni pojam, a često se umjesto tog termina koriste razni sinonimi, kao što su, na primjer, *mnoštvo*, *familija*, *kolekcija* isl.

Za označavanje skupova najčešće koristimo velika slova latinice A, B, \ldots. Ako je neki skup konačan ili prebrojivo beskonačan, pa se njegovi elementi mogu nabrojati, koristimo se zapisom.

A = \{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\}, odnosno A = \{x_{1}, x_{2}, \ldots\};

takođe, elemente nekog skupa možemo opisati ako koristimo neko svojstvo P(x) koje oni (i samo oni) zadovoljavaju:

A = \{x \mid P(x)\}

Dakle, skup je određen svojim elementima; pripadnost elementa x skupu A označava se sa x \in A, a nepripadnost sa x \notin A.

Između skupova se uvode dvije osnovne relacije - jednakost i inkluzija:

A = B \Leftrightarrow (\forall x)(x \in A \Leftrightarrow x \in B)

A \subset B \Leftrightarrow (\forall x)(x \in A \Rightarrow x \in B)

Neposredno iz ovih definicija je jasno da je

A = B \Leftrightarrow (A \subset B \land B \subset A)

Posebno izdvajamo *prazan skup*, koji označavamo sa \O i možemo definisati, na primjer, pomoću \O = \{x \mid x \neq x\}. Taj skup ima osobinu da je \O \in A za bilo koji skup A. Takođe, ako su u okviru neke teorije svi skupovi sa kojima operišemo podskupovi nekog fiksiranog skupa, taj skup nazivamo *univerzalnim* i često obilježavamo sa U. Takav skup znači ima osobinu da je A \in U za sve skupove A sa kojima operišemo u datom problemu, pri čemu treba naglasiti da nije ispravno koristiti termin "skup svih skupova" - on može dovesti do neželjenih paradoksa.

## Historija
Savremena teorija skupova nastaje krajem 19. veka kada nemački matematičar Georg Kantor daje opisnu matematičku teoriju koja se još naziva i intuitivna ili naivna teorija skupova. 
;Definicija:*Skup je objedinjenje izvesnih elemenata u jednu celinu*.

Ovde će biti predstavljen sistem aksioma kakvog ga je postavio Gotlob Frege u knjizi "Osnovni zakoni aritmetike" 1893. godine 
;Aksioma o jednakosti dva skupa:*Dva skupa su jednaka ako i samo ako imaju iste elemente.*
;Aksioma apstrakcije:*Za unapred zadato svojstvo *'P(x)** postoji skup **{x|P(x)}*' čiji su elementi upravo oni objekti koji imaju to svojstvo.*
;Aksioma izbora:*Za svaki neprazan skup S postoji funkcija f čiji su originali neprazni podskupovi tog skupa, a slike su elementi originala, tj.*
::(\forall S)(\exist f:P(S)\ {\emptyset}\longrightarrow S)(\forall A)(A\subset S \land A \ne \emptyset \Longrightarrow f(A) \in A)

Poslednja aksioma kaže da svako svojstvo definiše skup. Međutim, već 1902. godine će Bertran Rasel pokazati primer koji vodi kontradikciji. To dobija naziv Raselov paradoks, a teorija skupova se našla pred velikim problemima.

## Operacije sa skupovima

Sa skupovima se mogu izvoditi razne operacije. Dajemo definicije nekoliko osnovnih:

A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}

A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}

A \setminus B = \{x \mid x \in A \lor x \notin B\}

## Osobine skupova

Osnovne osobine skupova su zadate u sljedećoj listi:

A \cup B = B \cup A, A \cap B = B \cap A (zakoni komutacije)

(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C), (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) (zakoni asocijacije)

A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C), A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) (zakoni distribucije)