Konstruktibilni univerzum

Da bi se mogao u potpunosti razumeti ovaj članak, potrebno je prvo pročitati članak Teorija skupova kontinuuma, te članke koji mu prethode.

U CF teoriji pojam skupa nije definisan već predstavlja osnovni koncept. Ovo za posledicu ima da neka pitanja u CF teoriji ne mogu biti odgovorena.

CF aksiome opisuju svojstva skupova i teorijski univerzum skupova. Na primer, ako je X neki beskonačni skup aksioma partitivnog skupa kaže da postoji skup P(X) koji čine svi podskupovi skupa X. Ostale CF aksiome nam ne kažu mnogo o elementima posdkupovima skupa P(X) niti nam kažu išta o veličini ovog skupa. Aksioma sveobuhvatnosti kaže da se P(X) sastoji od skupova koji se, na neki dobro definisan način, mogu opisati. Aksioma izbora obezbeđuje različite skupove izbora i dobru uređenost. Reč "svi" u frazi "svi podskupovi skupa" X nije ni na koji način objašnjena. Sve dok pojam P(X) kako je definisan nije upitan, CF teorija skupova je potpuno smislena. Ali tu je glavni nedostatak CFI teorije skupova: postoji nekoliko pitanja koja se lako mogu postaviti a koja ne mogu biti odgovorena ako se koriste samo CFI aksiome. Klasičan primer jednog takvog pitanja je status hipoteze kontinuuma 2^\omega = \omega_1. Može se tvrditi da o ovoj jednakosti se ne može ništa reći u CFI pošto CFI aksiome ništa ne kažu šta čini posdkup skupa \omega. Time se ne može povezati veličina P(X) skupa sa beskonačnim kardinalnim brojem \omega_1.

Da bi se prevazišla ova teškoća, došlo se do ideje da se CFI proširi tako što bi se dalo više informacije o skupu. Jedna od uspešnih realizacija ove ideje je Gedelovova teorija konstruktibilnog univerzuma.

## Gedelovova teorija konstruktibilnog univerzuma
Gedelov kostruktibilni univerzum L se definiše transfinitnom rekurzijom:
: L_{0} = 0;
: L_{\alpha+1} = D(L_{\alpha});
: L_{\alpha} = \bigcup_{\beta \in \alpha}L_{\beta}, u slučaju kada je α granični ordinal.
Posebno,
: x \in L {\iff}_{def} \exists \alpha(x \in L_{\alpha}).
pri čemu je:
: D(x) = P(x)\bigcap gcl(x\bigcup\{x\}) a gcl(X) Gedelova operacija zatvorenja za proizvoljan skup  X
: gcl_0(X) = X
: gcl_{n+1} = gcl_{n}(X)\bigcup \bigcup_{i =1}^4 \{G_{i}(x,y) | x,y \in gcl_{n}(X)\} \bigcup \bigcup_{i =5}^9\{G_i(x) | x \in gcl_{n}(X)\}
: gcl(X) = \bigcup_{n \in \omega}gcl_{n}(X)

: G_{1}(x,y) = \{x,y\}
: G_{2}(x,y) = x \times y 
: G_{3}(x,y) = \{z | (\exists u \in x)(\exists v \in y)(u \in v \land z = \langle u,v \rangle)\}
: G_{4}(x,y) = x \backslash y 
: G_{5}(x) = \bigcup x 
: G_{6}(x) = dom(x)
: G_{7}(x) = \{ \langle u,v \rangle | \langle v,u \rangle \in x \}
: G_{8}(x) = \{ \langle u,v,w \rangle | \langle u,w,v \rangle \in x\}
: G_{9}(x) = \{ \langle u,v,w \rangle | \langle v,w,u \rangle \in x\}
Funkcija :y = dom(x) je ekvivalentna konjunkciji sledeće dve formule:
: (a) (\forall u \in y)(\exists v \in \sideset{}{^2}\bigcup (\langle u,v \rangle \in x)
: (b) ( \forall u,v \in \sideset{}{^2}\bigcup x)(\langle u,v \rangle \in x \Rightarrow u \in y)
U gornjem kontekstu je  \sideset{}{^2}\bigcup x =\bigcup\bigcup x .

Gedel je pokazao da L  zadovoljava sve CFI aksiome a time i CF. Na taj način L zadovoljava uopštenu hipotezu kontinuuma (UHK) tj. 2^{\aleph_{\alpha}} = \aleph_{\alpha+1}, za svaki ordinal \alpha .

Tvrdnja V=L, gde je V univerzum svih skupova, se zove aksioma konstruktibilnosti (AK) koja tvrdi da svaki skup  pripada L, koja je time saglasna sa CFI i iz koje (AK) se daju izvesti AI i UHK.

Prava klasa L, zajedno sa \in relacijom ograničenom samo na L, je unutrašnji model CFI tj. neka tranzitivna (tj. koja sadrži sve elemente sopstvenih elemenata) klasa koja sadrži sve ordinale i zadovoljava sve CFI aksiome. Prava klasa je, na taj način, najmanji unutrašnji CFI model, pošto svaki drugi unutrašnji model sadrži pravu klasu.

Za bilo koji skup A može se konstruisati najmanji CF tranzitivni model koji sadrži A i sve ordinale na sličan način kao i L, ali gde se počinje sa tranzitivnim zatvaranjem A, tj. najmanji tranzitivni skup koji sadrži A umesto \emptyset. Rezultujući model L(A) nije nužno AI model. Jedan vrlo značajan AI model je  L(R), najmanji CF tranzitivni model koji sadrži sve ordinale i sve realne brojeve.

## Literatura
* Keith J. Devlin, Constructibility (Berlin: Springer-Verlag, 1984), 56-107
* Aleksandar Perović, Aleksandar Jovanović, Boban Veličković: Teorija skupova, Matematički fakultet, Beograd 2007