Valna jednačina

**Talasna jednačina** je važna parcijalna diferencijalna jednačina kojom se opisuje prostiranje talasa. Talasi mogu biti zvučni, eletromagnetni, vodeni itd., ali se svi prostiru na istom principu sažetom u talasnu jednačinu. Talasna jednačina se javlja i koristi u akustici, elektromagnetizmu, optici, dinamici fluida. Najznačajniji doprinos rešenju problema opisivanja oscilacija i prostiranja talasa dali su Žan dAlamber, Leonard Ojler, Danijel Bernuli i Žoze-Luj Lagranž.

## Uvod
Talasna jednačina je tipični primer hiperbolične parcijalne diferencijalne jednačine. U najjednostavnijem obliku, talasna jednačina se odnosi na skalarnu veličinu *u* koja zadovoljava:

:{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \Delta u, 

gde je **c** (konstantna) brzina talasa a \Delta = \nabla^2 je Laplasijan. Za zvučne talase u vazduhu na 20&nbsp;°C iznosi oko 343&nbsp;m/s (videti brzina zvuka). Za oscilujuću žicu brzina može da se menja u velikom opsegu jer zavisi od linearne gustine žice i njene zategnutosti. Mnogo realističniji model jednačine talasa uzima u obzir disperziju, tj, zavisnost brzine talasa od njegove frekvencije. Tada se *c* zamenjuje faznom brzinom:
:v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}.

:{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c(u)^2 \Delta u 
:\rho{ \ddot{\mathbf{u}}} = \mathbf{f} + (\lambda + 2\mu )\nabla(\nabla \cdot \mathbf{u}) - \mu\nabla \times (\nabla \times \mathbf{u})

## Skalarna talasna jednačina u jednoj prostornoj dimenziji
### Izvođenje talasne jednačine
Talasna jednačina u jednodimenzionalnom slučaju možemo da izvedemo na sledeći način: Zamislimo niz malih tegova, svaki mase *m*, povezanih oprugama od kojih svaka ima dužinu *h* i koeficijent elastičnosti *k*:
:

Ovde *u(x)* predstavlja otklon od ravnotežnog položaja male mase na koordinati *x*. Sile koje deluju na masu m na položaju x+h su:
:F_{Newton}=m \cdot a(t)=m \cdot  d\xi\,d\eta. \,

Očigledno je da rešenje na (*t*,*x*,*y*) zavisi ne samo od podataka na svetlosnom konusu gde je

: (x -\xi)^2 + (y - \eta)^2 = c^2 t^2, \,

nego isto i od podataka unutar tog konusa.

## Problem s granicama
### Jedna prostorna dimenzija
: -u_x(t,0) + a u(t,0) = 0, \,

: u_x(t,L) + b u(t,L) = 0,\,

: u(t,x) = T(t) v(x).\,

: \frac{T*}{c^2T} = \frac{v*}{v} = -\lambda. \,

: v* + \lambda v=0, \,</math>

:<math> -v'(0) + a v(0) = 0, \quad v'(L) + b v(L)=0.\,</math>

=== Nekoliko prostornih dimenzija ===
:<math> \frac{\partial u}{\partial n} + a u =0, \,</math> 
:<math> u(0,x) = f(x), \quad u_t=g(x), \,</math> 
:<math> \nabla \cdot \nabla v + \lambda v = 0, \,</math>

u *D*, i

:<math>  \frac{\partial v}{\partial n} + a v =0, \,</math>

na *B*.

== Nehomogena talasna jednačina u jednoj dimenziji ==
:<math>u(x,0)=f(x)\,</math>
:<math>u_t(x,0)=g(x).\,</math>
:<math>\int \int_{R_C} \left (c^2 u_{x x}(x,t) - u_{t t}(x,t) \right) dx dt = \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt. </math>

:<math>\int_{ L_0 + L_1 + L_2 } \left (- c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right) = \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt. </math>

:<math>\int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} - u_t(x,0) dx = - \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx.</math>

:<math>\int_{L_1} \left (- c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right) \,</math>
:: <math>= \int_{L_1} \left (c u_x(x,t) dx + c u_t(x,t) dt \right)\, </math>
::<math>= c \int_{L_1} d u(x,t) = c u(x_i,t_i) - c f(x_i + c t_i).\,</math>

:<math>\int_{L_2} \left (- c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right) </math>
::<math>= - \int_{L_2} \left (c u_x(x,t) dx + c u_t(x,t) dt \right) </math>
:: <math>= - c \int_{L_2} d u(x,t) = - \left (c f(x_i - c t_i) - c u(x_i,t_i) \right) </math>
:: <math>= c u(x_i,t_i) - c f(x_i - c t_i).\,</math>

:<math>- \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + c u(x_i,t_i) - c f(x_i + c t_i) + c u(x_i,t_i) - c f(x_i - c t_i) = \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt </math>
:<math>2 c u(x_i,t_i) - \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx - c f(x_i + c t_i) - c f(x_i - c t_i) = \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt </math>
:<math>2 c u(x_i,t_i) = \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + c f(x_i + c t_i) + c f(x_i - c t_i) + \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt </math>
:<math>u(x_i,t_i) = \frac{f(x_i + c t_i) + f(x_i - c t_i)}{2} + \frac{1}{2 c}\int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + \frac{1}{2 c}\int^{t_i}_0 \int^{x_i + c \left (t_i - t \right )}_{x_i - c \left (t_i - t \right )} s(x,t) dx dt. \,</math>

== Drugi koordinatni sistemi ==

== Povezano ==
* [[Helmholcova jednačina]]
* [[Jednačina zvučnih talasa]]
* [[Jednačina elektromagnetnih talasa]]
* [[Nehomogena jednačina elektromagnetnih talasa]]
* [[Doplerov efekat]]
* [[Šredingerova jednačina]]
* Matematički aspekt talasne jednačine je diskutovan na [http://tosio.math.toronto.edu/wiki/index.php/Main_Page Disperzivne parcijalne diferencijalne jednačine Wiki] .

== Literatura ==

* M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", *Acta Math.*, *'124** (1970), 109–189. 
* M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", ''Acta Math.'', **131*' (1973), 145–206.
* R. Courant, D. Hilbert, *Methods of Mathematical Physics, vol II*. Interscience (Wiley) New York, 1962.
* "[http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/wave-toc.pdf Linear Wave Equations]", *EqWorld: The World of Mathematical Equations.*
* "[http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde-toc2.pdf Nonlinear Wave Equations]", *EqWorld: The World of Mathematical Equations.*
* William C. Lane, "[https://web.archive.org/web/20060221232740/http://35.9.69.219/home/modules/pdf_modules/m201.pdf <small>MISN-0-201</small> The Wave Equation and Its Solutions]", *Project PHYSNET''.