Eksponencijalna funkcija

**Eksponencijalna funkcija** jedna je od najvažijih u matematici, izražena kao *y* = *e**x* gdje je broj e prirodna konstanta i baza prirodnih logritama. 
Funkcija *y* = *e**x* je definirana unutar cijelog skupa realnih brojeva, monotono je rastuća porastom nezavisne varijable *x*, gdje se brzina rasta povećava kako raste *x*. 

Graf funkcije (slika desno) leži iznad *x*-osi, ali joj se asimptotski približava kako *x* teži prema sve manjim negativnim vrijednostima. Brzina rasta funkcije je u svakoj točki jednaka vrijednosti funkcije u toj točki. Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije je funkcija prirodnog logaritma *y* = ln(*x*) te se u starijim izvorima eksponencijalna funkcija spominje kao antilogaritamska funkcija.

## Definicija
 
Eksponencijalna funkcija e*x* može biti definirana kao niz potencija razvijenih u Taylorov red:

:e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots. 

Eksponencijalna funkcija se može također izraziti i kao limes:

:e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n.

Kako *n* raste, vrijednost limesa izraza se sve više približava vrijednosti *e**x* (slika desno).

Jedinstveno svojstvo eksponencijalne funkcije može se izraziti pomoću jednakosti

: e^{(x+y)} = e^x \cdot e^y \,

odnosno napisano drukčije

:\exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y).

## Derivacija
Važnost eksponencijalne funkcije u matematici i znanosti potječe uglavnom iz svojstava njezine derivacije koja ima svojstvo da je

: \,{d \over dx} e^x = e^x

što znači da je funkcija *e**x* ujedno i svoja derivacija. Isto takvo svojstvo imaju i funkcija oblika *Ke**x* gdje je *K* konstanta.

Za sve funkcije takvih svojstava vrijedi da je:

* strmina, odn. nagib grafa funkcije u svakoj točki jednak vrijednosti funkcije u toj točki,
* brzina porasta funkcije za vrijednost slobodne varijable *x* jednaka vrijednosti funkcije u *x*,
* eksponencijalna funkcije rješenje diferencijalne jednadžbe *y* &prime; = *y*.

Štoviše, i drugi oblici diferencijalnih jednadžbi nalaze rješenje u eksponencijalnim funkcijama uključivši Schrödingerovu jednadžbu, Laplaceovu jednadžbu te jednadžbu jednostavnog harmoničkog gibanja.

## Eksponencijalna funkcija s realnim brojem a kao bazom

Katkada se pojam eksponencijalne funkcije koristi općenitije za funkcije oblika

:y=a^x \,

gdje baza *a* može biti i bilo koji pozitivni realni broj, a ne nužno broj *e*.

Za eksponencijalne funkcije s drugim bazama vrijedi da je

:{d \over dx} a^x = (\ln a) a^x.

## Eksponencijalna funkcija u kompleksnoj ravnini
Eksponencijalna funkcija može se definirati i u kompleksnoj ravnini na nekoliko ravnopravnih načina. Neki od njih odražavaju iste izraze kao i za eksponencijalne funkcije realne varijable. Na primjer, eksponencijalna funkcija kompleksne varijable može se izraziti u obliku reda potencija gdje su realne vrijednosti zamijenjene kompleksnima:

: \,\!\, e^z = \sum_{n = 0}^\infty\frac{z^n}{n!} 

Koristeći ovu definiciju jednostavno je pokazati da jednakost

:{d \over dz} e^z = e^z 

vrijedi i u kompleksnoj ravnini.

Razmatrana kao funkcija definirana u kompleksnoj ravnini, eksponencijalna funkcija zadržava svoja osnovna svojstva:

: \,\!\, e^{z + w} = e^z e^w
: \,\!\, e^0 = 1
: \,\!\, e^z \ne 0
: \,\!\, {d \over dz} e^z = e^z

za sve kompleksne brojeve *z* i *w*. Eksponencijalna funkcija može biti i periodička kada je funkcija imaginarnog argumenta perioda 2 \pi i jer vrijedi

: \,\!\, e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b)

i

: \,e^z = e^xe^{yi} = e^x(\cos y + i \sin y) = e^x\cos y + ie^x\sin y.

gdje su *a* i *b* realne vrijednosti. Jednakost povezuje eksponencijalnu funkciju s trigonometrijskim funkcijama i dalje s hiperboličkim funkcijama. Štoviše, može se definirati i funkcija oblika *a**b*, gdje su i *a* i *b* kompleksne veličine.

Pojam prirodnog logaritma se može također proširiti i na funkciju kompleksnog argumenta ln(*z*), gdje možemo definirati općenitije da je

: \,\!\, z^w = e^{w \ln z}

za sve kompleksne brojeve *z* i *w*. Ovo je također višeznačna funkcija i identitet vrijedi ukoliko se uzme u obzir višeznačnost funkcije. Naime, upravo zbog višeznačnosti funkcije općenito ne vrijedi pravilo množenja eksponenata za pozitivne realne brojeve

: \,\!\, (e^z)^w \ne e^\left(z w\right)

## Literatura

* Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, 2006.
* Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, 2006.