Lennard-Jonesov potencijal

**Lenard-Džounsov potencijal** je jedan od fizičkohemijskih modela kojim se opisuje zavisnost energije uzajamnog delovanja neutralnih čestica od njihovog međusobnog rastojanja. Nazvan je po svom autoru Džonu Lenard-Džonsu.

Između neutralnih čestica (atoma i molekula) deluje sila koja, zavisno od njihovog međusobnog rastojanja, može biti privlačna ili odbojna. Na velikim rastojanjima sila je privlačna (van der Valsova sila ili disperziona sila ili Londonova sila) a na malim sila je odbojna. Privlačna sila posledica je pokretljivosti atomskog i molekulskog naeletrisanja zbog čega neutralne čestice mogu jedna u drugoj da indukuju dipole koji se međusobno privlače. Potencijalna energija u polju privlačne sile je negativna. Međutim, na kratkim rastojanjima kada naeletrisanja iz različitih čestica počnu da se prekrivaju dolazi do odbijanja čestica. Potencijal u polju odbojne sile je pozitivan. Lenard-Džounsov potencijal predstavlja jednostavan matematički model u kojem je ukupni potencijal međudelovanja prikazan zbirom potencijala privlačne i odbojne sile. Džon Lenard-Džouns sa univerziteta u Bristolu predložio je formulu 1931. godine.

## Jednačina
Lenard-Džounsov porencijal (L-J) ima dva člana, pozitivni kojim se predstavlja odbijanje i negativni kojim se predstavlja privlačenje među neutralnim česticama:
:V(r)=4\varepsilon \begin{bmatrix} \begin{pmatrix}{\sigma \over r}\end{pmatrix}^{12} - \begin{pmatrix}{\sigma \over r}\end{pmatrix}^{6}\end{bmatrix}

Ovde ε predstavlja dubinu poencijalne jame a σ je radijus čestice predstavljene kao čvrsta sfera. 
Dakle, član \begin{pmatrix}{1 \over r}\end{pmatrix}^6 označava privlačnu silu a član \begin{pmatrix}{1 \over r}\end{pmatrix}^{12} odbojnu.

Minimum L-J potencijal postiže kada se delovanja privlačne i odbojne sile uzajamno ponište. Rastojanje pri kojem se to dešava nazivamo ravnotežnim: 
r_0 = 2^{1/6} \sigma.

Sila je negativni gradijent potencijala polja pa iz gornjeg izraza nalazimo zavisnost sile od rastojanja:

: \mathbf{F}(r) = - \nabla V(r) = - \frac{d}{dr} V(r) \hat{\mathbf{r}} = 4 \epsilon \left(12\,{\frac }-6\,{\frac} \right) \hat{\mathbf{r}}

L-J potencijal je približni potencijal. Oblik odbojnog člana nema teorijskog opravdanja; odbojni član bi trebalo eksponencijalno da pada sa rastojanjem. Međutim zavisnost koju je pedložio Lenard-Džouns je zgodna jer se lao izračunava (ond anije bilo računara) kao kvadrat privlačnog člana, r6. Privlačni potencijal koji ima daleki domet izveden je iz Lonodnove disperzione sile. L-J potencijal je relativno dobra aproksimacija i zbog jednostavnosti često se koristi za opisivanje gasova, i modelovanje disperzije i preklapanja u molekulskim modelima. Posebno je zgodan za opisivanje atoma inertnih gasova a dobra je aproksimacija pri velikim i srednjim rastojanjima kod neutralnih molekula. Na crtežu je prikazan L-J potencijal za dimer argona, u poređenju sa empirijskim potencijalom. Malo neslaganje posledica je netačnosti u odbojnom delu L-J potencijala.

## Alternativni izrazi
Funkcija L-J potencijala često se izražava i kao
:V(r) = \epsilon \left[ \left(\frac{r_{min}}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{r_{min}}{r}\right)^{6} \right]

gde je 
:\, r_{min} = \, 2^{1/6}\sigma ravnotežno rastojanje (rastojanje na minimumu potencijala).

Često se koristi i oblik
:V(r) = \frac{A}{r^{12}} - \frac{B}{r^6}
gde je
:\, A = 4 \epsilon \sigma^{12}
:\, B = 4 \epsilon \sigma^6
: \sigma = \left(\frac{A}{B} \right)^{ \frac{1}{6} } 
i
:\epsilon = \frac{B^2}{4 A}.

## Reference

## Povezano
* Morzeov potencijal