Topologija

**Topologija** (od grčkog τόπoς „mesto“ i λόgoς „nauka, znanje, reč“) je jedna od najmlađih grana matematike, koja je svojim dinamičnim razvojem tokom dvadesetog veka dovela do rešenja nekoliko značajnih klasičnih matematičkih problema.

Topologija nije primarna matematička grana. Za njeno proučavanje neophodno je posedovanje osnovnih znanja iz matematičke analize (uključujući teoriju skupova) i algebre (između ostalog i iz teorije kategorija). Metode, jezik i način razmišljanja u topologiji su za matematičara sa osnovnim obrazovanjem koji im prvi put pristupa novi i drugačiji. Pojednostavljeno rečeno, u topologiji je najvažnije razumevanje globalnih (geometrijskih) struktura, dok konkretna odstojanja i konkretne realizacije globalnih struktura ne igraju ulogu - kvadrat veće i manje površine su topološki ekvivalentni (za topologa se ne razlikuju), čak i bilo koji kvadrat i bilo koji pravougaonik, zapravo ma koji mnogougao i kvadrat topološki su ekvivalentni, između njih se ne pravi razlika.

Sama topologija se deli na opštu topologiju, koja se bavi samim topološkim prostorima i algebarsku topologiju, u kojoj se proučavaju invarijante, odnosno osobine topoloških prostora koje se ne menjaju pri neprekidnim preslikavanjima. U okviru algebarske topologije se nalaze još geometrijska i diferencijalna topologija, koje se bave na primer mnogostrukostima i diferencijalnim preslikavanjima.

Osnovni objekt u topologiji su topološki prostori, odnosno skupovi s jednom posebnom strukturom, koja se kao i čitava disciplina naziva topologijom.

## Historija

Grana matematike koja se danas naziva topologijom je nastala izučavanjem određenih geometrijskih pitanja. Ojlerov rad iz 1736. o *[[Kenigzberškim mostovima]]* spada među prve topološke rezultate.

Izraz *topologija* je u nemački jezik uveo Johan Benedikt Listing 1847, u radu *Vorstudien zur Topologie*, Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, pp.&nbsp;67, 1848. Međutim, Listing je već deset godina koristio ovaj izraz u prepisckama.

Moderna topologija se u velikoj meri zasniva na teoriji skupova, koju je razvio Georg Kantor krajem devetnaestog veka. Kantor je, osim što je postavio osnovne ideje teorije skupova, takođe razmatrao skupove tačaka u Euklidskom prostoru, u sklopu proučavanja Furijeovih redova.

Anri Poenkare je 1895. godine objavio knjigu *Analysis Situs*, u kojoj je uveo koncepte homotopije i homologije, koji se danas smatraju delom algebarske topologije.

Moris Freše je, objedinjujući rad Kantora, Voltere, Arcele, Adamara, Askolija i drugih, 1906. uveo metrički prostor. Metrički prostor se danas smatra posebnim slučajem opšteg topološkog prostora. 1914, Feliks Hausdorf je skovao izraz *topološki prostor* i dao definiciju za ono šta se danas naziva Hausdorfovim prostorom. U današnjem značenju, topološki prostor je blago uopštavanje Hausdorfovih prostora, koje je 1922. dao Kazimir Kuratovski.

## Matematička definicija

Neka je **X** neki skup, i neka je ***T*** familija podskupova skupa **X**. Tada je ***T*** **topologija** na **X** ako

# I prazan skup i **X** pripadaju ***T***.
# Svaka unija elemenata iz ***T*** je element ***T***.
# Svaki presek konačno mnogo elemenata iz ***T*** je element ***T***.

Ako je ***T*** topologija na **X**, onda se **X** zajedno sa ***T*** naziva **topološkim prostorom**.

Skup iz ***T*** se naziva **[[otvoren skup|otvorenim skupom]]**. Komplement skupa iz ***T*** se naziva **[[zatvoren skup|zatvorenim skupom]]**. Ako ni skup ni njegov komplement nisu u ***T***, onda skup nije ni otvoren ni zatvoren.

Funkcija ili preslikavanje iz jednog topološkog prostora u drgi se naziva **neprekidnom** ako je inverzna slika bilo kog otvorenog skupa otvorena. Ako funkcija slika realne brojeve u realne brojeve (oba prostora sa Standardnom topologijom), onda je ova definicija neprekidnosti ekvivalentna definiciji neprekidnosti koja se javlja u analizi. Ako je neprekidna funkcija jedan-jedan i na i ako je i inverz te funkcije neprekidan, onda funkciju nazivamo homeomorfizmom, a skup iz kojeg funkcija preslikava je homeomorfan skupu u koji preslikava. Ako su dva prostora homeomorfna, oni imaju identična topološka svostva i topološki se smatraju istim. Kocka i sfera su homeomorfne, kao i šoljica za čaj i krofna. Ali krug nije homeomorfan krofni (torusu).