open-index/open-wikipedia-markdown huggingface dataset:
Hemijska reakcija

**Hemijska reakcija** je svaki proces usled koga dolazi do nestajanja i/ili nastajanja novih hemijskih jedinjenja.

### Proste i složene reakcije
Prosta reakcija je prost čin razdvajanja ili stvaranja jednog hemijskog jedinjenja. U prirodi se ipak veoma retko događaju proste reakcije. U njih se može ubrojati npr.: raspad molekula hlora (Cl-Cl) pod uticajem UV zračenja. Velika većina reakcija koje se javljaju u prirodi su složene reakcije, kod kojih istovremeno dolazi do raspada jednih i nastanka novih jedinjenja. Svaka složena reakija se može "razložiti" na tok više prostih reakcija koje se u ovom slučaju nazivaju elementarne reakcije.

Na prmer reakcija između HBr i CH2=CH2 koja dovodi do nastanka BrCH2-CH3 sastoji se od više prostih reakcija: 
* raspad jedinjenja H-Br, 
* promena dvostruke veze C=C na jednostruku 
* nastajanje veze C-Br i
* veze C-H.

### Vidovi složenih reakcija
* **reakcije adicije** - ili **reakcije dodavanja** - usled ove reakcije molekul se povećava za jedan ili grupu atoma. Na primer molekulu CH2=CH2 se dodaje molekul HBr usled čega nastaje jedinjenje BrCH2-CH3
* **reakcija substitucije** - ili **reakcija zamene** - usled ove reakcije u molekulu dolazi do zamene jednog ili grupe atoma. Jedan ili grupa atoma se odvaja od molekula a drugi atom ili grupa njih se vezuje na mesto sa kog se odvoila prva grpa. 
* **reakcija eleminacije** - ili **reakcija odvajanja** - wusled ove reakcije od molekula se odvaja atom ili grupa njih a na njihovo mesto ništa se ne vezuje.

## Povezano
* Metateza

## Reference

## Vanjske veze
Hemijska veza

**Hemijska** ili **kemijska veza** je privlačna sila između dva atoma nastala interakcijom njihovih perifernih elektrona. Sila je mnogo jača od energije toplotnog kreatnja tako da su atomi trajno vezani obrazujući stabilnu grupu - molekul. Elektroni su istog naelektrisanja pa bi trebalo da se odbijaju, međutim, u elektronskim orbitalama sparivanje njihovih spinova stabilizuje elektronske parove i ukupan efekat je obrazovanje stabilne veze. Dva osnovna tipa hemijske veze su jonska i kovalenta ali se u prirodi sreću i 'mešane' veze, t.j., one koje imaju delimično jonski i delimično kovalentni karakter. Jonska veza se ostvaruje između atoma sa izrazito različitim afinitetom za elektron (različitim elektronegativnostima), recimo između alkalnih metala (koji lako otpuštaju elektron) i halogenih atoma (koji lako primaju elektron). Tada atom koji otpusti elektron postaje pozitivni jon a onaj koji ga prima negativni. Jonska je veza između natrijuma i hlora u kuhinjskoj soli, Na+Cl-. Kovalentna veza nastaje između atoma koji imaju slične afinitete prema elektronu pa elektron koji učestvuje u stvaranju veze ostaje između atoma. Pošto svaki atom daje po jedan elektron (nekada može i više) onda dolazi do obrazovanja elektronskog para. Kovalentna veza može biti polarna i nepolarna. Ako su atomi baš isti (ili veoma slični) onda je nepolarna jer se centar elektronskog para nalazi na sredini između dva atoma. Ako su atomi različiti veza je polarna jer se središte elektronskog para pomera ka atomu sa većim afinitetom pa negde ima malo više pozitivnog a negde više negativnog naelektrisanja. U polarnoj vezi dolazi do razmicanja centara pozitivnog i negativnog naelektrisanja, dakle, dolazi do polarizacije. Nepolarna kovalentna veza je, recimo, u molekulu kiseonika, O2, a polarna u molekulu ugljenmonoksida, CO.
Spin

**Spin** je osnovna osobina elementarne čestice, poput mase i naelektrisanja. Pošto je kvantno-mehaničke prirode ne može se opisati makroskopski. Najpribližnije se može shvatiti kao mehanički moment, tj, kao da se čestica ponaša kao mala čigra.

Spin ima dimenzije dejstva, a izražava se kao umnožak Plankove konstante \hbar  i spinskog kvantnog broja.

Pored elementarnih čestica spin mogu posedovati i njihove kombinacije, recimo, atomska jezgra pa se onda govori o nuklearnom spinu. Nuklearni spin je kombinacija spinova protona i neutrona od kojih je jezgro načinjeno.

Isto tako, orbite elektrona u atomima i molekulima mogu imati spin.

Čestice sa celobrojnim spinskim kvantnim brojem su bozoni, a sa polucelim fermioni.

## Literatura

* S. Macura, J. Radić-Perić, ATOMISTIKA, Službeni list, Beograd, 2004. str. 144.
* 
* 
* https://www.academia.edu/6483539/John_A._Hipple_1911-1985_technology_as_knowledge 
* 
* 
* 
* 
* 
* Sin-Itiro Tomonaga, The Story of Spin, 1997

## Vanjske veze
*"Spintronics. Feature Article" in *[[Scientific American]]*, June 2002.
*Goudsmit on the discovery of electron spin.
**[[Nature (journal)|Nature]]*: " Milestones in 'spin' since 1896."
* ECE 495N Lecture 36: Spin Online lecture by S. Datta
Nuklearni spin

**Nuklearni spin** je mehanički moment atomskog jezgra i nastaje kao kombinacija spinova protona i neutrona.

Nuklearni spin se menja od izotopa do izotopa i može biti nula samo ako je u jezgru paran i broj protona i broj neutrona.

## Vidi isto
* Nuklearni magneton
* Nuklearni magnetni moment
Anihilacija

**Anihilacija** (od latinskog *nihil* — ništa) znači "totalno uništenje" a u fizici označava proces u kojem se čestica sudara sa svojom antičesticom. Pošto energija i impuls prvobitnih čestica moraju da budu očuvani, čestica i antičestica se u sudaru ne pretvaraju u 'ništa' nego u nove čestice. Ponekad su novonastale čestice bez mase mirovanja (fotoni) pa može da se kaže da se sudarom čestice i antičestice materija (masa mirovanja) uništila.

Aditivni kvantni brojevi antičestica suprotni su kvantnim brojevima odgovarajućih čestica tako da je suma svih kvantnih brojeva prvobitnog para jednaka nuli. To znači da u sudaru čestice i njene antičestice mogu da nastanu svakojake kombinacije čestica pod uslovom da je zbir njihovih kvantnih brojeva nula i da su zadovoljeni zakon održanja energije i impulsa. Kada se radi o niskoenergijskim anihilacijama najčešće dolazi do stvaranja fotona, međutim, u visokoenergijskim anihilacijama (sudaračima čestica) mogu da nastanu brojne egzotične teške čestice.

## Primeri anihilacije
Niskoenergijski elektron i pozitron anihilacijom mogu da pređu samo u dva fotona (gama zraka) pošto energija njihove mase mirovanja nije dovoljna da se proizvedu teže čestice. Međutim, ako jedna od čestica, ili obe, ima dovoljno veliku kinetičku energiju može da dođe do nastanka i težih čestica. Za analizu takvih događaja konstruisan je veliki elektron-pozitron sudarač (LEP – large electron positron collider) u Ženevi u Evropskom centru za nuklearna istraživanja (CERN).

Anihilacija para elektron-pozitron u jedan foton

e-&nbsp;+&nbsp;e+&nbsp;—h→&nbsp;γ,

nije moguća jer u takvom procesu ne može da se zadovolji zakon o održanju impulsa.

Anihilacija para elektron-pozitron predstavlja osnovu za pozitron-emisionu tomografiju (PET)jednu od važnijih savremenih dijagnostičkih metoda.

U anihilaciji težih čestica, recimo protona i antiprotona ili neutrona i antineutrona mogu da nastanu brojne kombinacije novih čestica. Analiza takvih reakcija je jedan od važnijih problema kojim se bavi savremena fizika. Za tu svrhu je u Fermijevoj laboratoriji u SAD (Fermilab) konstruisan TEVATRON, sudarač protona i antiprotona u kojem čestice mogu da dostignu energiju od 1 TeV (tera elektronvolt = 1 000 000 000 000 eV). U anihilaciji protona i antiprotona 1995. godine otkriven je t-kvark.
Pozitron

**Pozitron** je antičestica elektrona: ima naeletrisanje +1, spin 1/2, i masu jednaku masi elektrona. Kada se niskoenergijski pozitron sudari sa niskoenergijskim eletronom dolazi do njihove anihilacije pri čemu nastaju dva gama fotona.

Pozitron emituju neka nestabilna jezgra tokom radioaktivnog raspada. Može nastati i u sudaru visokoenergijskog fotona čija je energija veća od 2*m*e*c*2 = 2×0.511&nbsp;MeV = 1.022&nbsp;MeV (gde je *m*e masa elektrona a *c* brzina svetlosti u vakuumu)sa naeletrisanom česticom, recimo atomskim jezgrom. Ovaj proces se naziva stvaranje parova jer u njemu nastaje par pozitron-elektron.

Postojanje pozitrona prvi je postulirao Pol Dirak 1928. godine. Pozitron je eksperimentalno detektovao Karl Anderson 1932. godine koji mu je i dao ime. Pozitron je prva detektovana čestica antimaterije.

Danas se pozitroni rutinski proizvode u pozitron emisionoj tomografiji koja se koristi za dijagnostiku u medicini i u fizičkim laboratorijama u eksperimentima sa eletron-pozitron sudaračima.

## Povezano
* Antimaterija
* Elektron
* Radioativni raspad
* Lista čestica
* Pozitron emisiona tomografija

## Literatura
S. Macura, J. Radić-Perić, ATOMISTIKA, Službeni list, Beograd, 2004., str. 542.

## Vanjske veze
* What is a Positron?  (from the Frequently Asked Questions :: Center for Antimatter-Matter Studies)
* Positron information search at SLAC 
* Positron Annihilation as a method of experimental physics used in materials research.
Elektromagnetno polje

**Elektromagnetno polje** je fizičko polje koje izazivaju naelektrisana tela. Ono utiče na ponašanje naelektrisanih tela u blizini polja.

Elektromagnetno polje se prostire beskonačno u prostoru i opisuje elektromagnetsku interakciju. Ovo polje je jedno od četiri osnovnih sila prirode (preostala su gravitacija, slaba sila i jaka sila). Polje se prenosi elektromagnetskim zračenjem. Po poretku rasta energije (smanjenja talasne dužine) elektromagnetno zračenje obuhvata: radio talase, mikrotalase, infracrveno zračenje, vidljivu svetlost, ultraljubičasto zračenje, iks zrake i gama zrake.

Elektromagnetsno polje se može posmatrati kao rezultanta električnog i magnetnog polja. Električno polje izazivaju naelektrisanja koja miruju, a magnetno polje kretanje naelektrisanja (električna struja). Stacionarna i pokretna naelektrisanja se često opisuju kao izvori elektromagnetnog polja. Način na koji naeletrisanja i električna struja utiču na eletromagnetno polje je opisan Maksvelom jednačinama i Lorencovim zakonom.

## Polje na velikim rastojanjima

U aproksimaciji kada posmatramo polje na velikim rastojanjiima, da bi se dobile sve informacije o električnom i magnetnom polju nije potrebno znati i rotor i divergenciju polja, dovoljno je znati samo vektorski potencijal, tj. rotor elektromagnetnog polja. Električno i magnetno polje na velikim rastojanjima se ponašaju kao \frac{1}{r}, a određeni su sa električnim dipolnim momentom sistema naelektrisanih čestica. Sferni talas emitovan od sistema naelektrisanja se na velikim rastojanjima aproksimira ravnim talasom.

## Reference
Difuzija

**Difuzija** je spontani transport materije ili energije pod uticajem odgovarajućeg gradijenta iz zone više u zonu niže energije ili koncentracije. Kao i mnogi spontani procesi, difuzija je entropijski vođen proces u kojem se energija ili materija koja difunduje uniformno raspoređuje u raspoloživom prostoru podižući time entropiju sistema.

Svaki proces difuzije odvija se pod uticajem odgovarajućeg gradijenta. Recimo difuzija materije se odigrava pod uticajem gradijenta koncentracije a difuzija toplote pod uticajem gradijenta temperature. 
Difuzija je diretkna posledica drugog principa termodinamike, koji kaže da entropija nekog neravnotežnog sistema može samo da raste, sve dok sistem ne dođe u ravnotežu. Obzirom da materija difunduje iz oblasti veće koncentracije u oblast manje koncentracije, sistem prelazi iz uređenijeg u manje uređen sistem, tj. entropija raste.

Kvantitativno, difuzija se opisuje Fikovim zakonima (prvi i drugi).
Prvi Fikov zakon kaže da je fluks (J) proporcionalan gradijentu koncentracije. Drugi Fikov zakon se izvodi iz jednačine kontinuiteta. U jednodimenzionom sistemu:

Jednačina kontinuiteta:
:\frac{\partial c}{\partial t}=-\frac{\partial J}{\partial x} 

### 1. Fikov zakon
:J = - D \frac{\partial c}{\partial x}

### 2. Fikov zakon
:\frac{\partial c}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left( D \frac{\partial c}{\partial x}\right)  
Pri čemu za konstantan koeficijent difuzije, D, sledi: 
:\frac{\partial c}{\partial t} =  D \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} .

### 2. Fikov zakon u trodimenzionom sistemu
 
:\frac{\partial c}{\partial t}=\nabla \cdot \left( D \nabla c\right)  
Rešavanje difuzione jednačine je po pravilu veoma komplikovano, tj. moguće samo uz pomoć primene numeričke matematike.

Difuzija ima izvanredno važnu ulogu u svakodnevnom životu i u nauci. U većini procesa u kuhinji difuzija igra važnu ulogu od mariniranja (difuzija začina u namirnicu) do kuvanje čaja (čaj od sleza - ostavi se da iz korena sastojci budućeg čaja difunduju u vodu).

Difuzija je ključni proces u biološkim sistemima.

### Poveznice
:Difuzija kroz ćelijsku membranu
Ludwig Boltzmann

**Ludwig Boltzmann** (Beč, 20. februar 1844. - Duino kod Trsta, 5. septembar 1906.) bio je austrijski fizičar. 

Jedan je od najvažnijih osnivača statističke mehanike. Bio je odlučni pristaša atomistike. Potaknut mišlju i uvjerenjem da se zakoni ponašanja termodinamičkih, makroskopskih, sustava mogu izvesti iz predpostavke o postojanju atoma, od kojih je sustav sastavljen i koji se gibaju po zakonima Newtonove mehanike. Svoj
teorijski rad na području fizike Boltzmann je uobličio spajanjem mehaničkih zakona i teorije vjerojatnosti. Rezultat toga je Boltzmannova razdioba koja opisuje razdiobu atoma po energijama u ovisnosti o temperaturi sustava. 

Vjerojatnost da ćemo u sustavu temperature ***T*** naći određen broj atoma energije ***E*** razmjerna je s funkcijom

e^{-\frac{E}{kT}}

gdje je ***k*** Boltzmannova konstanta. 

Boltzmann je unaprijedio kinetičku teoriju plinova, a njegov krunski rezultat je statističko tumačenje entropije, po kojem je entropija mjera neuređenosti sustava i proporcionalna je logaritmu broja sviju mogućih mikroskopskih stanja koja su u skladu s jednim jedinim makroskopskim stanjem sustava. Na taj način entropija je, osim svoje fenomenoložke termodinamičke zasnovanosti, dobila i mikroskopsko statističko tumačenje, a time je otvoren put za proučavanje Drugog zakona termodinamike u sklopu statističke fizike i Newtonove mehanike. Svojim pokusima i teorijskim razmatranjima Boltzmann je podupro i Maxwellovu teoriju elektromagnetizma.
Element

**Elemenat** ili **element** je pojam sa različitim značenjima u naukama,matematici i hemiji.
* U hemiji, *elemenat supstance* se ne može razbiti u dve ili više supstanci na bilo koji način. Svi elementi sadrže atome koji imaju samo jedan atomski broj, mada im se mase mogu menjati (izotopi). Elementi su poredani u Mendeljejevom periodnom sistemu elemenata prema svojim atomskim brojevima.
* U matematici, elemenat je član skupa. To se piše \ a\in A i znači \ a je elemenat skupa \ A.
* U matematici, elemenat je član matrice.
* U matematici, elemenat je izraz koji sledi iza znaka integrala. Tako u integralu \int y\,dx, izraz \ ydx je elemenat prostora. Često je korisno posmatrati oblast integracije kao "zbir" elemenata.

## Povezano
* Osnovni elementi
Raselov paradoks

Kantorova teorija skupova sa kraja 19. veka nije bila zasnovana aksiomatski pa se zato nazivala naivna teorija skupova. Međutim ona je implicitno u sebi sadržala nekoliko aksioma od kojih je jedna bila da za svako svojstvo možemo formirati skup svih elemenata koji imaju to svojstvo.

Polazeći od ove aksiome Bertran Rasel je 1903. konstruisao paradoks, po njemu nazvan **Raselov paradoks** koji je oborio naivnu teoriju skupova. Taj paradoks se može iskazati na više načina i u više formi a suština je sledeća:

Ako za svako svojstvo postoji skup svih objekata koji zadovoljavaju to svojstvo onda to isto važi i za svojstvo „skup ne pripada sam sebi“. Ovo svojstvo je vrlo prirodno jer je vrlo teško naći skup koji pripada sam sebi. Označimo sa X skup objekata za koje važi ovo svojstvo. Da li X pripada sam sebi? Ako pripada onda znači da zadovoljava svojstvo „skup ne pripada sam sebi“ što je kontradikcija. Ako pak ne pripada sam sebi onda će da zadovolji traženo svojstvo pa će baš da pripada sebi, što je opet kontradikcija.

: V=\{X\mid X\not\in X\}

Do pojave ovog paradoksa verovalo se u nepobitnost matematičke istine i neprotivurečnost Kantorove teorije skupova. Posle Raselovog paradoksa usledila je i serija drugih paradoksa od kojih posebno izdvajamo Rišarov paradoks. Njihovom pojavom matematička građevina je bila ozbiljno uzdrmana do samih temelja i pretila je opasnost da se sruši. Kriza matematike je rešavana pojavom novih pravaca (Rasel - logicizam, Brauer - intuicionalizam, Hilbert - formalizam).

Jedna varijanta iskazivanja Raselovog paradoksa je: Postoje katalozi knjiga iz biblioteke. Ti katalozi se takođe smatraju za knjige. Neki katalozi sadrže sebe, a neki ne (u katalogu). Možemo posmatrati jedan novi katalog u koji su popisani svi katalozi koji ne sadrže sebe. Da li ovaj katalog sadrži sam sebe? Ponovo će oba slučaja analiziranja dovesti do kontradikcije.

Jedno od mogućih prevazilaženja Raselovog paradoksa je da se skup svih skupova ne smatra za skup, nego za klasu (klasa je ovde uopštenje pojma skupa).
Rišarov paradoks

Rišarov paradoks je nastao 1905. godine i dobio je ime po svom tvorcu matematičaru Rišaru.

Posmatrajmo skup prirodnih brojeva i na njemu sve osobine dužine jedan. Ove osobine zatim poređamo u jedan niz i numerišemo ih, npr. ovako:

# broj je deljiv sa 2
# broj je prost
# broj je jednak 5
# broj je kvadrat prostog broja
# broj je deljiv sa 5
# ...

Primetimo da u nekim slučajevima broj ima svojstvo koje kodira, a u nekim slučajevima nema. Zato uvedimo definiciju: **Broj je Rišarov ako nema svojstvo koje kodira.** Vidimo da u gornjem primeru brojevi 1 i 3 jesu Rišarovi, dok 2, 4 i 5 nisu. 

Osobina **broj je Rišarov** je takođe jedna osobina dužine jedan na skupu prirodnih brojeva pa će se i ona naći u ovom nizu osobina pod nekim brojem, neka je to broj m. Da li je broj Rišarov? Ako jeste, onda nema svojstvo koje kodira, a to znači da nije Rišarov broj, što je paradoks. Ako broj nije Rišarov onda nema svojstvo koje kodira što po definiciji znači da jeste Rišarov, pa je i ovo nemoguće.

Rišarov paradoks je tesno povezan sa Raselovim paradoksom i sa drugim paradoksima koji su se javljali početkom 20. veka u naivnoj teoriji skupova matematičara Kantora. Ovi paradoksi su ozbiljno poljuljali temelje tadašnje matematičke nauke.
Cijeli broj

Skup **cijelih brojeva** je skup koji obuhvata sve prirodne brojeve, nulu (0), kao sve negativne brojeve (prirodni brojevi sa predznakom -). **Cijeli brojevi** ne smiju imati decimalni nastavak tj. pri pisanju tog broja u vidu razlomka, nazivnik mora biti 1. Oznaka skupa cijelih brojeva je **Z**. Svi prirodni brojevi se nazivaju **pozitivni cijeli brojevi**, 0 je **neutralan broj**, a brojevi manji od 0 se zovu **negativni cijeli brojevi**. Negativni brojevi imaju ispred **predznak** minus (-) i oni su manji od 0. Pozitivni brojevi imaju predznak plus(+), koji se ne piše i oni su uvijek veći od 0. U skupu cijelih brojeva, ne postoji najmanji ili najveći broj,nego samo lud broj. To je broj npr.9 kao i svaki drugi broj deljiv trojkom.

## Apsolutna vrijednost
**Apsloutna vrijednost** je vrijednost broja bez njegovog predznaka tj. apslutna vrijednost mijenja negativnu vrijednost u pozitivnu. Ako je vrijednost već pozitivna, onda se ona ne mijenja. Apslutna vrijednost uvijek mora biti nenegativaan broj. Stavljajući se pod **modul** (| |), izračunava se apsloutna vrijednost datog broja. Na primjer, apsloutna vrijednost broja 5 je 5, a broj -5 je 5.

Kod pozitivnih brojeva važi pravilo: **Što je apsloutna vrijednost veća to je i broj veći**.

Kod negativnih brojeva važi pravilo: **Što je apsolutna vrijednost veća to je broj manji**.

Znači

1-2>-3>-4>-5...

Najmanji pozitivan cijeli broj je 1, a najveći ne postoji. Najmanji negativan cijeli broj ne postoji, a najveći je -1.

## Predznak ispred zagrade
Ukoliko ispred zagrade stoji plus (ili ništa) onda se zagrada briše i nastavlja se računanje kao da nije ni bilo zagrade. Ukoliko ispred zagrade stoji minus, zagrada se briše i svi znakovi u zagradi se mijenjaju. (Ako je bio minus onda će biti plus, a ako je bio plus ispred broja, onda će biti minus).

Na primjer:

4+(8-3+2)-1=4+8-3+2-1=10

4-(8-3+2)-1=4-8+3-2-1=-4

## Računanje sa negativnim cijelim brojevima
Ako se treaju sabrati dva negativna cijela broja, onda im se saberu apsolutne vrijednosti, i ispred tog zbira se stavi predznak minus (-).

Ako se trebaju sabrati negativan i pozitivan cio broj, onda im se izračunaju apsolutne vrijednosti, zatim se oduzme manja od veće apsolutne vrijednosti i stavi se predznak veće apsolutne vrijednosti.

Kako bi se sebi olakšali računanje sa negativnim brojevima, te se riješili dva (pred)znaka, onda treba slijediti slijedeća tri pravila:

**Minus(-) i minus(-) daju plus(+)**

**Plus(+) i plus(+) daju plus(+)**

**Minus(-) i plus(+) daju minus(-)**

Znači, oduzimanje negativnog broja je sabiranje pozitivnog, sabiranje negativnog je oduzimanje pozitivnog itd.

Kod množenja i dijeljenja, ako su je paran broj faktora (ili djelilaca) istog predznaka, onda je rezultat pozitivan, a ako je broj istih predznaka neparan, onda je rezultat negativan.

## Primjer
4+3=(+4)+(+3)=4+3=7

8-3=(+8)-(+3)=8-3=5

3-8=(+3)-(+8)=3-8=-5

-4+(-3)=-4-3=-7

3-(-8)=3+8=11

2*3=6

-2*(-3)=6

2*(-3)=-6 

8:4=2

-8:(-4)=2

-8:4=-2
Asocijativnost

Za binarni operator \circ : K \times K\to K se kaže da je **asocijativan** nad skupom K ako za svako a, b, c\in K važi:

 a \circ \left(b \circ c \right) = \left(a \circ b \right) \circ c

Iz asocijativnosti operatora \circ sledi da u gore navedenim izrazima redosled operacija ne igra ulogu, te i zapis u kome prioritet nije naznačen jednoznačno određen:

 a \circ b \circ c

## Zapisivanje neasocijativnih operacija
Ukoliko se neasocijativna operacija pojavljuje više od jednom u izrazu, za određivanje redosleda operacija koriste se zagrade. Ipak, za neke česte neasocijativne operacije postoje pravila njihovog korišćenja bez zagrada.

Operacija je **levo asocijativna** ako je pravilo da se koristi sleva na desno, t.j.

 a \circ b \circ c = (a \circ b ) \circ c

a **desno asocijativna** ako je pravilo da se koristi zdesna na levo, t.j.

 a \circ b \circ c = a \circ (b \circ c ) 

Na primer, oduzimanje je levo asocijativno, stepenovanje desno asocijativno dok za vektorski proizvod nema pravila.

## Literatura
* Ayres, Frank, *Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra*, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). .

## Povezano
* Antikomutativnost
* Distributivnost
* Komutativnost
Antikomutativnost

## Definicija
Za binarni operator \otimes : K \times K \to K se kaže da je antikomutativan, ukoliko za svako a, b \in K zadovoljava:

a \otimes b = -\left ( b \otimes a \right )

Pri čemu operator - označava inverz elementa skupa -{K}- pred kojim se nalazi.

## Povezano
* Asocijativnost
* Distributivnost
* Komutativnost
Distributivnost

dva elementa skupa -{K}- može predstaviti kao zbir proizvoda jednog od njih sa još dva elementa koji u zbiru daju drugog, kaže se da zakon distribucije važi za datu algebarsku strukturu. Množenje može biti levo i desno te otuda dva različita uslova:

# a \cdot (b \oplus c) = a \cdot b \oplus a \cdot c (distributivnost s lijeve strane)
# (b \oplus c) \cdot a = b \cdot a \oplus c \cdot a (distributivnost s desne strane)

Ako su zadovoljeni samo prvi ili samo drugi uslov, kaže se da se „levo odnosno desno množenje lepo ponaša prema sabiranju“. Ukoliko su oba ispunjena, kaže se da se „operacija množenja lepo ponaša prema sabiranju“ tj. da je distributivna.

## Povezano
* Asocijativnost
* Antikomutativnost
* Komutativnost
Racionalni broj

U matematici, **racionalan broj** (ponekad u razgovoru upotrebljavamo **razlomak**) je broj koji se može zapisati kao odnos dva cela broja *a*/*b*, gde *b* nije nula.

Svaki racionalan broj može biti napisan na beskonačan broj načina, na primer 1/2 = 2/4 = 3/6 = \dots. ili 123123123123

Najjednostavniji oblik je kada brojilac i imenilac nemaju zajedničkog delitelja, a svaki racionalan broj različit od nule ima tačno jednu jednostavnu formu sa pozitivnim imeniocem. 

Racionalni brojevi imaju decimalni razvoj sa periodičnim ponavljanjem grupa cifara. Ovde se računa i slučaj kada nema decimala ili kada se od nekog mesta 0 ponavlja beskonačno. Ovo je istinito za svaku celobrojnu osnovu veću od 1. Drugim rečima, ako je razvoj ispisa nekog broja u nekoj brojnoj osnovi periodičan, on je periodičan u svim osnovama, a broj je racionalan.

Realan broj koji nije racionalan se zove iracionalan.

Skup racionalnih brojeva se obeležava sa \mathbb{Q}.
Dokaz

**Dokaz** je izraz koji može značiti:
* Logički dokaz
* Matematički dokaz
* Pravni dokaz
* *[[Dokaz (drama)|Dokaz]]*, drama Davida Auburna
* *[[Dokaz (1991 film)|Dokaz]]*, film iz 1991. godine
* *[[Dokaz (2005 film)|Dokaz]]*, film iz 2005. godine
Dokaz (logika)

**Dokaz** je rasuđivanje tokom kojeg se ustanovljava istinitost ili pogrešnost nekog tvrđenja (suda, iskaza, teoreme). U dokazu teoreme se oslanjamo na aksiome, ili na ranije dokazane teoreme pozivajući se pri tome na definicije pojmova. Zavisno od metoda dokazi se dele na:
* analitičke (analiza);
* sintetičke (sinteza);
* induktivne (indukcija, matematička indukcija);
* deduktivne(aksiomatske, dedukcija);
* dokaz od suprotnog, svođenje na protivrečnost (apsurd, kontradikcija).
Teorem

**Teorem** ili **teorema** (kasnolat. *theorema* 0) i ta se tvrdnja mora dokazati. Dok se tvrdnja ne dokaže, tu tvrdnju zovemo propozicijom, hipotezom.

Na neki način se dokazane propozicije dijele na tri grupacije (ovo nije stroga matematička podjela, nego čisto zbog lakšeg razumijevanja):

**Lema** je dokazana propozicija koja, u principu, nema korisnost osim u dokazivanju nekog većeg teorema. Dobar primjer je determinanta matrice. Postoji lema koja kaže da determinanta transponirane matrice nije veća od determinante originalne matrice. Tvrdnja sama po sebi i nije nešto posebno, pogotovo kada se iskoristi ponovo na samu sebe i time dokaže da je determinanta transponirane matrice jednaka determinanti originalne matrice.

**Korolar** je dokazana propozicija koja slijedi direktno iz nekog prethodnog teorema.

Teorem je nešto jako bitno što se dosta često koristi i izvan dokaza drugih teorema, najbolji primjer je Pitagorin teorem.

Napominjem ponovo da je ovo "labava" podjela, tj. ništa od toga nije egzaktno matematički nego se tako dijeli čisto radi lakšeg razumijevanja.

## Izvori

## Vanjske veze
Metodologija

**Metodologija** je nauka o cjelokupnosti svih oblika i načina istraživanja pomoću kojih se dolazi do objektivnog i sistematskog naučnog saznanja. Isti izraz se također koristi i za same metode koji su predmet proučavanja metodologije.

U metodologiji razlikujemo **tehničke** i **logičke metode** istraživanja. Prve se tiču organizacije, promatranja, eksperimentiranja i točnog mjerenja. Druge se tiču naučne obrade tako dobijenih podataka, izvođenja zaključaka, građenja teorija i sistema.

Vrste metoda su:
* Analiza
* Sinteza
* Apstrakcija
* Generalizacija
* Specifikacija
* Dekonstrukcija
* Definicija
* Divizija
* Dedukcija
* Indukcija
* Analogija
* Eksperiment

## Relevantni članci
* Filozofija
* Logika
* Uzori
* Jezici uzora
* Anti-Uzori
Matematički dokaz

**Dokaz**, u matematičkom smislu, je logičko-matematički postupak kojim se dokazuje teorem, u njemu se smiju koristiti samo aksiomi i prethodno dokazani teoremi.
Jedan od popularnijih načina dokazivanja teorema je metoda "pretpostavimo suprotno".
U toj metodi u kojoj se pokušava dokazati tvrdnja *A*, se pretpostavi da vrijedi tvrdnja *ne A* i traži se kontradikcija (tvrdnja koja je u suprotnosti s već prethodno dokazanim teoremom ili aksiomom).
Među drugim načinima se nalazi i izvod.
Dakle krene se od pretpostavke teorema pa se svi uvjeti teorema primjene na pojam na kojeg se teorem odnosi i tvrdnja teorema se logično-matematički izvede.
## Vrste dokaza
Logički dokazati teoremu znaći dokazati da je to logička posljedica predhodno utvrđenih stavova- teorema i aksioma.
Vrste dokaza
# Matematička indukcija
# Progresivni sintetički dokaz
# Regresivni analitički dokaz
# Indirektni

### Matematička indukcija
1.faza provjerimo stav ili formulu u kojoj formuliše n iz N a koji želimo dokazati za neki prirodni broj n = k0 najčešće za k0 =1
2.faza predpostavimo istinitost za n = k0 i na osnovu te tvrdnje da važi za n = k+1

3.faza ako je utvrđeno1) i 2) zaključujemo da tvrdnja koju dokazujemo vrijedi za svako n> k0
Olakšica: Kada imamo zadatak kao npr. 1(1+1) + 2(2+1)+ 3(3+1)+......+n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3
Ovaj zadnji dio, tj. iza znaka jednakosti možemo koristiti kao izvod rezultata, tj.konačan rezultat koji moramo dobiti, tako da prvo provjerimo na ovaj način: za n(n+1)(n+2)/3 uvodimo za svaki (n+1) tako da će biti: (n+1)(n+2)(n+3)/3, takav rezultat dobivate na kraju. pokušajte! sretno.

### progresivni sintetički dokaz
Treba dokazati p =>q 

p =>q1 =>q2=>q3 =>... =>q 

U ovom lancu sudova javljaju se neki novi sudovi ( aksiome i teoreme)koje smo ranije dokazali i na koje treba da se pozovemo

### regresivni (analitički) dokaz
Ide se obrnutim putem
q =>p1 =>p2 =>p3 =>... =>p

### Indirektni
Dokazujemo predpostavkom da teorema nije istinita i dolazimo do netačne predpostavke.
Matematička fizika

**Matematička fizika** (MF) proučava fizičke pojave, kreiranjem i proučavanjem matematičkih modela fizičkih pojava.
## Istorijat
Matematička fizika se počela razvijati za vreme života Isaka Njutna, paralelno sa razvojem fizike i matematike. Na kraju XVIII veka, zahvaljujući Njutnu i Lajbnicu, otkriven je diferencijalni i integralni račun, a Njutn je formulisao i osnovne zakone klasične mehanike, kao i univerzalni zakon gravitacije, što je bilo ključno za intenzivniji razvoj matematičke fizike.

U XVIII veku, matematička fizika je proučavala oscilacije struna i greda, a takođe i probleme akustike i hidrodinamike. Zahvaljujući Dalamberu, Lagranžu, Ojleru, Bernuliju i Laplasu, u to vreme se postavljaju i osnove analitičke mehanike.

U XIX veku, matematička fizika dobija nove zadatke, poput rešavanja problema toplotne provodljivosti, difuzije, elastičnosti, optike, elektrodinamike, nelinearnih talasnih procesa.

U XX veku u matematičku fiziku uvode i problemi kvantne fizike i teorije relativnosti, a takođe i novi problemi gasne dinamike, prenosa čestica i fiziku plazme.

## Metode

Osnovni matematički alat koji je korišćen u rešenjima koje je dala matematička fizika je teorija diferencijalnih jednačina koja uključuje i srodne oblasti - integralne jednačine i varijacioni račun, zatim i teorije funkcija, funkcionalne analize, teorije verovatnoće, približne metode i numeričku matematiku.

Sa pojavom računara bitno se povećao broj matematičkih modela koji su se mogli analizirati, a pojavila se i mogućnost postavljanja računarskih eksperimenata i simulacija realnih fizičkih procesa.

U tom intezivnom razvoju teorijske fizike i savremene matematike, nastaju kvalitativno nove klase modela savremene matematičke fizike.

## Povezano
* Matematika
* Fizika
Apstrakcija

**Apstrakcija** (lat.) je:
# misaono izdvajanje nekih osobina i svojstava predmeta od samog predmeta;
# apstraktan pojam izdvojen od nečega konkretnog za koji je vezan.

**Apstrahirati** -hiram, zap. kr. **apstrahovati** -ujem (nem. *abstrahieren*):
# (iz)vršiti apstrakciju;
# ne uzeti (uzimati) nešto u obzir, ne obazreti se, ne obazirati se na nešto.

**Apstraktan** -tna (lat.): dobijen apstrakcijom, misaon; suprotno od konkretan.
## Matematika
*Apstrakcija*, odnosno *apstrahovanje* u matematici je proces razmatranja izvesnih osobina objekata izostavljanjem drugih koje nisu relevantne. To je osnova klasifikovanja, procedure koja rezultira skupom članova sa posebnim osobinama. Pomenuti skup se označava sa \{ x: F(x)\}, čit. *iks takvo da je ef od iks*, odnosno *h koje ima osobinu F(h)*, gde je F(h) svojstvo koje članovi skupa moraju zadovoljiti. Na primer, {x:x je ptica}, označava skup u kojem su svi elementi ptice.

### Aksioma apstrakcije
Neka je data proizvoljna osobina F(x), tada postoji skup čiji članovi poseduju baš tu osobinu, tj.

: (\exists y)(\forall x)(x\in y \iff F(x)).

Navedena *aksioma apstrakcije* je prvi put eksplicitno formulisana od strane Frigea 1893. godine, da bi zatim, od strane Rasela, bila dovedena u kontradikciju:

Neka je data osobina F(x), pomenutog aksioma, osobina ne-pripadanja samom sebi. Tada je

: (\exists y)(\forall x)(x\in \iff x \notin x),

aksiom izbora, koji jednostavnim koracima vodi u kontradikciju

: y\in y \wedge y\notin y.

Da bi izbegao ovaj, Raselov paradoks, Zermelo je 1908. uveo aksiom separacije:

: (\exists y)(\forall x)(x\in y \iff x\in z \wedge F(x)),

u kojem egzistencija skupa u nije više pretpostavljena bezuslovno.

## Povezano
* Zermelo-Frenkelova teorija skupova
* Filozofija
* Metodologija
Sinteza

**Sinteza** je pojam koji se koristi u:

* filozofiji;
* kemiji kao hemijska sinteza;
* akustici kao akustička sinteza.
1 E-30 m²

Kako bi omogla pri usporedbi različitih redova veličine ova stranica navodi površine do 10-29 m² (do 10 kvadratnih femtometara). *V. također* površine drugih redova veličine.

* 3 fm² - Približni presjek nukleona
* Površine veće od 10<sup>-29</sup> m²
Beludžistan

**Beludžistan** ili **Balučistan** (bal./pašt./urdu/perz. بلوچستان) je regija koja se nalazi na Iranskoj visoravni u Južnoj Aziji, na području Irana, Pakistana i Afganistana. Područje je nazvano prema Beludžima, iranskom narodu koji se doselio na to suho područje oko 1000. pne. Danas se svi stanovnici regije nazivaju Beludžima (ili Balučima), bez obzira govore li beludžijskim (balučkim) ili nekim drugim jezikom karakterističnim za to područje, kao što su paštunski, perzijski, hazaragi ili brahui. Južni dio Beludžistana poznat je kao Makran.

## Veze
* Baluči (Beludži)
* Balučistan (Pakistan), jedna od osam pakistanskih pokrajina
* Sistan i Balučistan, jedna od 31 iranske pokrajine

## Vanjske veze
*  Encyclopædia Britannica ''Balochistan''
*  Encyclopædia Britannica ''Balochistan Plateau''
;Ostali projekti
Kutch

**Kutch** (također poznat kao *Cutch*, *Kachh*, *Kachch* i *Kachchh*) je oblast u državi Gujarat u zapadnoj Indiji. Pokriva područje od 45.612&nbsp;km2, te predstavlja najveću oblast države Gujarat te drugu najveću oblast indije.

Riječ *Kachchh* doslovno znači okružen vodom, a oblast je okružena Zaljevom Kachchh i Arapskim morem sa juga i zapada. Sjeverni i istočni dijelovi su okruženi s Velikim i Malim Rannom (pustinjom) Kutcha. S obzirom da nema mnogo brana na rijekama, Rannovi su poplavljeni i neprohodni veći dio godine. Neki vjeruju da se oblast svoje ime dobila po obliku kojeg ime na izokrenutoj geografskoj karti, koji podsjeća na kornjaču. *Kachchh ili Kachbo* isto tako znači kornjača na kutchi i gujaratskom jeziku.

Također je poznat pod nazivom "Zemlja tajni" jer se zbog izolacije relativno malo znalo o njoj i njenim stanovnicima.

Oblast je godine 2001. imala 1,583.225 stanovnika, od čega je 30% bilo u urbanim područjima http://www.censusindiamaps.net/page/India_WhizMap/IndiaMap.htm .

## Vanjske veze

* Popular daily Kutch Mitra now on net.
* Comprehensive information about Kutch on panjokutch.com
* Genealogy of the ruling chiefs of Kutch
* Post-independence chief commissioners of Kutch
* First ever Kutchi Digital Directory
* Kutchis in USA
* Kutchis in mumbai 
* Computer Graphics reconstruction of Dholavira.
Kalibangan

**Kalibangan** je grad na obali rijeke Ghaggar, u oblasti Hanumangarh države Rajasthan u Indiji. Nalazi se na udaljenosti od 205 km od Bikanera. 

Godine 1958 arheolozi na čelu s dr. A. Ghoshom su otkrili da selo predstavlja nalazište civilizacije doline Inda. Prema arheološkim dokazima, kultura doline Inda je na tom nalazištu postojala od proto-harapanskog dona (3500. pne. - 2500. pne.) do harapanskog doba (2500. pne. - 1750. pne.). **Kalibangan** se zato smatra najstarijim gradom u historiji Indije koji je uništen u potresu.

Stanovnici drevnog Kalibangana su prakticirali neobične pogrebne običaje zvane Pogreb ciste. Grob se sastojao od ciglene komore u kojoj bi se smjestilo tijelo pokojnika. Uz nju su postojale manje komore u kojima su se stavljala grobna dobra.

Kultura doline Inda u ovoj oblasti se također naziva i kulturom Sothi zbog velike sličnosti s kulturom iz nalazišta Sothi u Afganistanu.

Kalibhangan je danas poznat po proizvodnji narukvica. Ime grada na hindiju (*Kalibhangan*) znači "crne narukvice".
Dholavira

**Dholavira** je drevni metropolitanski grad, koga lokalno stanovništvo zove *Kotada Timba Prachin Mahanagar Dholavira*. Predstavlja jedno od najvećih i najvažnijih arheoloških nalazišta u Indiji, a potječe iz doba civilizacije doline Inda. Smješten je na otoku *Khadir* u oblasti Kutch indijske države Gujarat. Nalazište je bilo naseljeno od oko 2900. pne. da bi oko 2100. pne. počelo propadati, bilo napušteno i kasnije naseljeno od seljaka oko godine 1450.

## Vanjske veze
* http://www.shunya.net/Pictures/WesternIndia/Gujarat/Dholavira/Dholavira.htm City of exquisite planning, monumental structures, aesthetic architecture and amazing water management system 
* http://pubweb.cc.u-tokai.ac.jp/indus/english/2_4_03.html . Computer Graphics reconstruction of Dholavira.
* Description of Dholavira 
* Dholavira, Gujarat 
* http://www.flickr.com/photos/shanbag/sets/1445794/ The Best Photos on Flickers : Dholavira : Created by Sunil Shanbag. 
* "Dholavira excavations throw light on Harappan civilisation", ''United News of India''  1997
* Nisid Hajari, "India's Salt Lake Cities," in ''Time Magazine'' 1 September 1997
* http://www.googlegroups.com/group/dholavira More information on Dholavira, the Ancient Metropolitan City. Also in Indian Gujarati Language GIF Mode File the visit dated Tuesday, 25th April, 2006.
* World Heritage Site, All Tentative Sites, Here is an overview of all Tentative list, last updated June, 2006. 
* World Heritage, Tentative Lists, State : India.
* Dholavira: a Harappan City, Disstt, Kachchh, Gujarat, India, India (Asia and the Pacific), Date of Submission: 03/07/1998 , Submission prepared by : Archaeological Survey of India, Coordinates: 23°53'10" N, 70°11'03" E, Ref.: 1090
Sotka-koh

Obalno harapansko nalazište kraj **Sokhta Koha**, 'spaljenog brda' (isto tako poznatog kao Sotka Koh) je prvi put istraživano od američkog arheologa Georgea F. Dalesa gdoine 1960, prilikom istraživanja estuarija duž obale Makrana u pakistanskom Baludžistanu. Nalazište se nalazi oko 24&nbsp;km sjeverno od Pasnija. Slično nalazište Sutkagen-dor je smješteno oko 48 kilometra u unutrašnjosti, duž rijeke Dasht, sjeverno od Jiwanija. Njihov položsj fuž obslr (koja je u prošlosti bila daleko u unutrašnjosti) govori u prilog prekomorskoj trgovini u harappanskom dobu. Prema stilu grnčarije, pretpostavlja se da naselje pripada Kasnoj harappanskoj (integracijskoj) eri (2600-1900. pne).

## Vanjske veze

* The Indus Valley Civilization: In Search of Those Elusive Centers and Peripheries
* Explorations on the Makran Coast, Pakistan: a Search for Paradise 
* The Demise of Utopia: Contexts of Civilizational Collapse in the Bronze Age Indus Valley
* Harrapa and Indus Valley Civilisation at harrapa.com
* Moenjo-Daro: A 5,000 Year Old Legacy
Saurashtra

**Saurashtra** (također **Soruth** i **Sorath**, nekad **Surastrene**) je oblast u zapadnoj Indiji, smještena na obali Arapskog mora države Gujarat. Poluotok je također poznat kao Kathiawar po vladarima Kathi Darbara koji su njome nekoće vladali. Poluotok se dijeli na oblast Kutch na sjeveru, te Saurashtra i Sorath na jugu.

## Literatura

* Ron Wood, *Soruth* (Handbook of Indian Philately, Series 2, Hampshire, UK: The India Study Circle for Philately, 1999)
Postulat

**Postulat** (*Postulat*), lat. "zahtevano", misaoni zahtev (grč. **αίτημα**), isprva u grč. matematici zahtev za izvođenjem određenih osnovnih konstrukcija pomoću kojih se proizvode neki predmet i njegov pojam; tako npr. prvi postulat u *Elementima* Euklida: zahteva se da se od jedne proizvoljne tačke do neke druge proizvoljne tačke povuče prava linija. Ovim nastaje dvema tačkama ograničena duž i istovremeno njom definljiv pojam. 

Od ovog matematičkog pojma postulata polazi u *Kritici čistog uma* Imanuel Kant pri postavljanju svojih postulata empirijskog mišljenja ili načela modalnosti: 

* 1. Ono što se slaže s formalnim uslovima iskustva (prema opažaju i pojmovima) moguće je. 

* 2. Ono što je međuzavisno s materijalnim uslovima iskustva (osetom) stvarno je. 

* 3. Ono čija je veza sa stvarnim određena prema opštim uslovima iskustva jeste (postoji) nužno." (A 218) 

U ovom smislu I. Kant naziva postulatima pretpostavku besmrtnosti, slobode i smatranje istinitim postojanja Boga. U svakodnevnojezičkoj upotrebi, takođe pretpostavka, hipoteza, podmetanje; u teoriji verovatnoće se pod postulatima podrazumevaju, osim toga, i nelogički ili u logičkim simbolima neizraženi jednostavni izrazi nekog aksiomatskog sistema (aksioma), u ovom smislu takođe dodatna pretpostavka. 

Uz to: postulisati, zahtevati, postaviti kao postulat. 

U matematici, postulat je isto što i aksiom, tj. aksioma. Euklid u svojim "Elementima" razlikuje postulat od aksiome, ali ne navodi njihovu logičku razliku, pa nije jasno na osnovu kakvog kriterijuma on ubraja neke stavove u postulate, a druge u aksiome, sem prostog grčkog značenja reči *zahtevam* (postulat) odnosno *tražim* (aksiom).
Euklidovi Elementi

**Euklidovi Elementi** (, Stiheia) su antičko delo o elementarnoj matematici helenskog naučnika Euklida iz 3. veka stare ere. Euklidovi Elementi sadrže 13 knjiga i predstavljaju sistematsko izlaganje grčke matematike tog vremena po odeljcima: elementarna geometrija, teorija brojeva, algebra, teorija merenja geometrijskih veličina, elementi teorije graničnih vrednosti.

Euklidovi Elementi predstavljaju izvanredan obrazac izgradnje geometrije deduktivnom metodom. Elementarna geometrija, koja se izučava u srednjim školama mnogih zemalja sveta, se u malo čemu razlikuje od geometrije izložene u Euklidovim Elementima. Međutim, mnoge definicije (tačka, prava i dr.) u Euklidovoj geometriji su danas zastarele. Mnoge aksiome iz Euklidove geometrije ne predstavljaju danas aksiome. Na primer: Euklid je smatrao sledeći stav kao aksiomu: "Svi pravi uglovi su podudarni". Danas se ovaj stav, u strožijem deduktivnom izlaganju geometrije, dokazuje.

Postoje mišljenja da niz knjiga koje ulaze u Euklidove Elemente nije napisao Euklid, već drugi matematičari; na primer knjige 10. i 13. po mišljenju holandskog matematičara Van der Verdena (*Van der Verden*) je napisao starogrčki matematičar Teotet. Niz teorema i geometrijskih činjenica izloženih u Euklidovim Elementima bili su poznati mnogo pre Euklida.

Obično se uz ovaj skup knjiga izdaju i dve dodatne knjige XIV i XV za koje se sa sigurnošću može tvrditi da su dodate kasnije i da ne predstavljaju autentičan Euklidov rad.

## Vanjske veze

* dvojezična redakcija  (pripremljeno u PDF, sa uporednim grčko/engleskim stranicama; PDF oblik je slobodan, a ima i oblik spreman za štampu)
* Najpoznatiji engleski sajt (HTML, sa slikama u obliku Java apleta)
* Hitov prevod (HTML, bez slika, javno vlasništvo)
* na starogrčkom (složeno u PDF datoteku, javno vlasništvo)
* izdanje Oliver Birna iz 1847. godine - neobična slikovnica, slike i sličice umesto teksta i slovnih oznaka (skenirane stranice, javno vlasništvo)
* Kako čitati Euklida - uputstvo kako čitati Euklida na originalnom starogrčkom, sa engleskim prevodima i komentarima (HTML sa slikama)

**Potpuni ili delimični prevodi rukopisa Euklidovih ''Elemenata'' :**
* Rukopis Tomasa Mura 
* Latinski prevod redakcije Etelarda iz Bata 
* Euklidovi elementi u prevodu Antona Bilimovića
Elementarna geometrija

**Elementarna geometrija** je geometrija određena u osnovi grupom kretanja i grupom sličnosti.

Međutim, sadržaj elementarne geometrije ne iscrpljuje se navedenim transformacijama. U elementarnoj geometriji izučavaju se takođe transformacija inverzije, elementi sferne geometrije, elementi geometrijskih konstrukcija (konstruktivna geometrija), teorija merenja geometrijskih veličina i druge oblasti matematike. Međutim, ne postoji čak ni približno jasno skiciran sadržaj elementarne geometrije. Elementarna geometrija poput drugih geometrija, nastavlja se razvijati i danas. 

U većini srednjoškolskih programa, elementarna geometrija se naziva Euklidova geometrija ili euklidovska geometrija.
Euklidova geometrija

**Euklidova geometrija** je geometrija izgrađena na aksiomama apsolutne geometrije i Euklidovom aksiomu (postulatu) o paralelnim pravama: kroz tačku A koja ne leži na pravoj a, u ravni koja je određena tačkom A i pravom a, može se povući samo jedna prava koja ne seče pravu a.

Euklidovu geometriju često nazivaju elementarna geometrija. Geometriju koja se izučava u srednjoj školi takođe nazivaju Euklidova geometrija i to je u vezi s činjenicom da je njenu prvu sistematsku izgradnju izložio starogrčki geometar Euklid u 3. veku pre n.e. u svojoj knjizi Elementi (v. Euklidovi Elementi).

Prva geometrija različita od Euklidove geometrije bila je geometrija Lobačevskog, koju je izgradio veliki ruski matematičar Lobačevski.

## Povezano
* Neeuklidska geometrija
Tačka

**Tačka** ili **točka** može značiti:

* tačka (geometrija), čest naziv za elemente skupova kojima se određena teorija bavi
* tačka (metrologija), stara mjerna jedinica duljine; punkt
* tačka (muzika), znak za produženje trajanja note ili pauze
* tačka (pravo), dio pravne odredbe manji od paragrafa ili članka i alineje, posebno istaknut brojkom
* tačka (punktuacija), interpunkcijski znak za obilježavanje kraja rečenice, skraćene riječi ili izraza i dr.
* tipografska tačka, mjerna jedinica tipografskog mjernog sistema

## Povezano

* tačke
24. vijek pr. n. e.

**24. vijek pne.** je vijek koji je započeo godine 2400. pne. a završio godine 2301. pne.

## Događaji

* 2900. pne. &ndash; 2334. pne. &ndash; Mezopotamski ratovi Ranog dinastijskog perioda.
* cca. 2383. pne. - Pepi II Neferkare, monarh s najdužom vladavinom svih vremena, počeo vladati u dobi od 6 godina.
* 2350. pne. &ndash; Kraj ranog dinastijskog IIIb perioda u Mezopotamiji.
* 2350. pne. &ndash; Prvo uništenje grada Mari.
* 2334. pne. &ndash; 2279. pne. &ndash; Sargon Akadski osvaja Mezopotamiju.
* c. 2332. pne. - Sargon I počeo vladati.
* 2345. pne. &ndash; Kraj Pete egipatske dinastije. Faraon Unas umro.
* c. 2340. pne. - 2180. pne.; Akkad.
* Grad Lothal prosperira pod civilizacijom Inda.

## Značajne osobe
* Urukagina
* Sargon Akadski
* Enheduanna, kći Sargonova, svećenica i prva književnica poznata po imenu
* Ptahhotep, drevni egipatski vezir, autor *[[Maksime Ptahhotepa|Maksima Ptahhotepa]]*.

## Pronalaci, otkrića, pojave
* Prvi službeni spomen pčelarstva u Egiptu.
* Prvo dokumentirano korištenje organizirane kurirske službe radi distribucije službenih dokumenata u Egiptu.

## Mitski događaji
* Godine 2349. pne. Noa je ušao u Arku (prema teologu Jamesu Ussheru).
* 3.10. 2333. pne. Dangun je osnovao državu Gojoseon (prema korejskim ljetopisima *[[Samguk Yusa]]*, napisanom u 12., i Dongguk Tonggam, napisanom u 15. vijeku).

## Izvori

* Ancient Egypt: Beekeeping and wax