Infinitezimalni račun

**Infinitezimalni račun** je grana matematike koja se bavi funkcijama, izvodima, integralima, limesima i beskonačnim nizovima. Proučava razumevanje i opisivanje promena merljivih varijabli. Središnji koncept kojim se opisuje promena varijable je funkcija. Dve glavne grane su diferencijalni račun i integralni račun. Infinitezimalni račun je osnova matematičke analize.

Koristi se u nauci, ekonomiji, inženjerstvu itd. Služi za rešavanje mnogih matematičkih problema, koji se ne mogu rešiti algebrom ili geometrijom.

Infinitezimalni račun se na latinskom jeziku kaže „calculus infinitesimalis" i iz toga je proizašao naziv „kalkulus", koji se koristi u jednom delu sveta. Reč „infinitesimalis" znači "beskrajno mala veličina".

## Historija

U antičkom razdoblju bilo je ideja sličnih infinitezimalnom računu. Egipćani su računali zapreminu zarubljene piramide. Grci Eudoks i Arhimed koristili su metodu iscrpljivanja kojom se površina nekog oblika izračunava tako što se u njega ubacuje niz mnogouglova čije površine konvergiraju prema površini celog oblika. Tu metodu koristio je i Kinez Liu Hui u 3. veku, da bi izračunao površinu kruga. U 5. veku Ču Čungdži koristio je metodu koja će kasnije biti nazvana Kavalijerijev princip za zapreminu lopte.

Godine 499. indijski matematičar Ariabhata I. je računao infinitezimalanim računom i zapisao astronomski problem u obliku diferencijalne jednačine. Na osnovu te jednačine je u 12. veku Bhaskara razvio neku vrstu izvoda. Oko 1000. godine Ibn al-Haitam je osmislio formulu za sve vrste četvrtih stepena i time pripremio put za integralni račun. U 12. veku persijski matematičar Šaraf al-Din al-Tusi otkrio je pravilo za odvajanje kubnog polinoma. U 17. veku japanski matematičar Šinsuke Seki Kova došao je do osnovnih spoznaja infinitezimalnog računa.

Infinitezimalni račun otkrili su nezavisno jedan od drugog u otprilike isto vreme Isak Njutn i Gotfrid Vilhelm Lajbnic. Oni su otkrili zakone diferencijalnog i integralnog računa, izvoda (derivacije) i aproksimacija polinomnih nizova. Njihov rad nastavili su matematičari Ogisten Luj Koši, Bernhard Riman, Karl Vajerštras, Henri Lion Lebesk i dr.

## Glavna poglavlja

### Izvod
Izvod (derivacija) funkcije  f  je granična vrednost koeficijenta porasta funkcije i prirasta argumenta kada prirast argumenta teži nuli.

### Integral
Za datu funkciju *f*(*x*) realne promenljive *x* i interval [*a*,*b*] na pravcu realnih brojeva, integral

: \int_a^b f(x)dx 

predstavlja površinu područja u ravni *xy* ograničenog grafom od *f*, *x*-osom i vertikalnim crtama *x*=*a* i *x*=*b*.

### Limes

Poglavlje limesa funkcije razvilo se iz problema kako izračunati vrednost funkcije u slučajevima kada funkcija nije dobro definisana, npr. deljenje nulom. Limes funkcije *f* u tački *a* je broj kome se pridružuje funkcijska vrednost *f(x)*, kada vrednost *x* teži *a*.

\lim_{x\to a} f(x)

npr.

\lim_{x\to 0} \frac {sin(x)}{x}\ = 1 

## Svojstva limesa

:\begin{matrix}
\lim\limits_{x \to p} & (f(x) + g(x)) & = & \lim\limits_{x \to p} f(x) + \lim\limits_{x \to p} g(x) \\
\lim\limits_{x \to p} & (f(x) - g(x)) & = & \lim\limits_{x \to p} f(x) - \lim\limits_{x \to p} g(x) \\
\lim\limits_{x \to p} & (f(x)\cdot g(x)) & = & \lim\limits_{x \to p} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to p} g(x) \\
\lim\limits_{x \to p} & (f(x)/g(x)) & = & {\lim\limits_{x \to p} f(x) / \lim\limits_{x \to p} g(x)}
\end{matrix}

## Reference

### Literatura

* Larson, Ron, Bruce H. Edwards (2010). "Calculus", 9th ed., Brooks Cole Cengage Learning. 
* McQuarrie, Donald A. (2003). *Mathematical Methods for Scientists and Engineers*, University Science Books. 
* 
* Thomas, George B., Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano (2008), "Calculus", 11th ed., Addison-Wesley. 
* Courant, Richard  *Introduction to calculus and analysis 1.*
* Edmund Landau.  *Differential and Integral Calculus*, American Mathematical Society.
* Robert A. Adams. (1999).  *Calculus: A complete course*.
* Albers, Donald J.; Richard D. Anderson and Don O. Loftsgaarden, ed. (1986) *Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985-1986 Survey*, Mathematical Association of America No. 7.
* John Lane Bell: *A Primer of Infinitesimal Analysis*, Cambridge University Press, 1998. . Uses synthetic differential geometry and nilpotent infinitesimals.
* Florian Cajori, "The History of Notations of the Calculus." *Annals of Mathematics*, 2nd Ser., Vol. 25, No. 1 (Sep., 1923), pp.&nbsp;1–46.
* Leonid P. Lebedev and Michael J. Cloud: "Approximating Perfection: a Mathematician's Journey into the World of Mechanics, Ch. 1: The Tools of Calculus", Princeton Univ. Press, 2004.
* Cliff Pickover. (2003).  *Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind*.
* Michael Spivak. (September 1994). * Calculus*. Publish or Perish publishing.
* Tom M. Apostol. (1967).  *Calculus, Volume 1, One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra*. Wiley.
* Tom M. Apostol. (1969).  *Calculus, Volume 2, Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications*. Wiley.
* Silvanus P. Thompson and Martin Gardner. (1998).  *Calculus Made Easy*.
* Mathematical Association of America. (1988). *Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter*, The Association, Stony Brook, NY. ED 300 252.
* Thomas/Finney. (1996).  *Calculus and Analytic geometry 9th*, Addison Wesley.
* Weisstein, Eric W. "Second Fundamental Theorem of Calculus." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.

### Onlajn knjige

* Crowell, B. (2003). "*Calculus*" Light and Matter, Fullerton., Pristupljeno 6. 5. 2007. from http://www.lightandmatter.com/calc/calc.pdf
* Garrett, P. (2006). "*Notes on first year calculus*" University of Minnesota., Pristupljeno 6. 5. 2007. from 
* Faraz, H. (2006). "*Understanding Calculus*", Pristupljeno 6. 5. 2007. from Understanding Calculus, URL http://www.understandingcalculus.com/ (HTML only)
* Keisler, H. J. (2000). "*Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals*", Pristupljeno 29. 8. 2010. from 
* Mauch, S. (2004). "*Sean's Applied Math Book*" California Institute of Technology., Pristupljeno 6. 5. 2007. from  
* Sloughter, Dan (2000). "*Difference Equations to Differential Equations: An introduction to calculus*"., Pristupljeno 17. 3. 2009. from http://synechism.org/drupal/de2de/
* Stroyan, K.D. (2004). "*A brief introduction to infinitesimal calculus*" University of Iowa., Pristupljeno 6. 5. 2007. from http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm  (HTML only)
* Strang, G. (1991). "*Calculus*" Massachusetts Institute of Technology., Pristupljeno 6. 5. 2007. from http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm
* Smith, William V. (2001). "*The Calculus*", Pristupljeno 4. 7. 2008. http://www.math.byu.edu/~smithw/Calculus/  (HTML only).