Heronove trojke

:Za  uređenu trojku (a, b, c) prirodnih brojeva kažemo da je Heronova ako[[trougao čije stranice imaju dužine a, b i c ima cjelobrojnu površinu. Smatračemo podudarnim Heronove trojke koje se dobijaju jedna iz druge permutacijom
:Neki primjeri Heronovih trojki su: (3, 4, 5), (5, 5, 6), (13, 14, 15), (11, 13, 20)
## Heronova trojka koja je aritmetički niz
:Neka je (a, b, c) Heronova trojka koja je ujedno i rastući aritmetički niz.
:Tada je a = b-d ¡  c = b + d, d \in  N, pa je prema Heronovom obrascu
:P = \sqrt{\frac{3b}{2}*  \frac{b-2d}{2} * \frac{b}{2} *    \frac{2b+2d}{2}  } = > 3b^2(b^2-4d^2=16 P^2
:Smjenom P =\frac{1}{2}bh_b i skračivanjem sa b^2  dobijamo
:3b^2(b^2-4d^2) =4{h_b}^2
:Kako je b parno b=2m za m \in N dobijamo
: 3(m^2- d^2)=4{h_b}^2
:Da bi rješenja bila iz skupa prirodnih brojeva mora biti
:Za k=1
:(m-d)(m+d) =3
:m-d =1 
:m+d = 3 
:pa je
:m=2 , d=1 i b=4. Dobili smo trojku (3,4,5) koja je osnovna Pitagorina trojka
:Za k=2 dobijamo trojku (6,8,10) ujedno je i Pitagorina
:Za k=3 dobijamo trojku (9,12,15) i (5,28,41)
:Za k=4 dobijamo trojku (15,26,37), (12,16,20) i (13,14,15)

## Prave Heronove trojke
:Ako su brojevi u Heronovoj trojci uzajamno prosti i ako ne čine Pitagorinu trojku, kazemo  da je Heronova trojka prava. Odredimo uslove pri kojima se iz rješenja jednačine
:m^2-d^2 = 3k^2 za k\in N dobijaju prave Heronove trojke.
:U slučaju da je vrijednost izraza m^2-d^2 neparno NZD(m-d,m+d) =1
:U slučaju da je vrijednost izraza m^2-d^2 parno NZD(m-d,m+d) =2
:Neka je NZD(m-d,m+d)= p > =2
:Ako je p parno onda je p=2i za i\in N i i > 1
:m-d=2iq
:m-d=2ir za r > q i r,q \in N
:b=2i(q+r)
:d=i(r-q)
:a=b-d=i(3q +r)
:c=b+d=i(q+3r)
:Brojevi a, b, c, d nisu uzajamno prosti
## Heronove trojke sa uzastopnim članovima
:Poseban slucaj jednačine
:
m^2-d^2 = 3k^2 za k\in N se dobija za d= 1. On se odnosi na Heronove trojke koje čine aritmetički niz sa razlikom 1, tj. niz tri uzastopna prirodna broja. U tom slučaju dobija se
:m^2-1=3k^2
:Osnovno rješenje je (m_1,l_1)=(2,1), jer je (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{2})=1
:(m_n-k_n\sqrt{3})(m_n+k_n\sqrt{3})=(2-\sqrt{3})^n(2+\sqrt{3})^n =1 za n\in N
:m_n=2^n + \binom{n}{2}2^{n-2}(\sqrt{3})^2+ \binom{n}{4}2^{n-4}(\sqrt{3})^4+...
:Kako je b_n=2m_n imamo
:b_n= \sum_{i=0}^n  (1+(-1)^i)*\binom{n}{i}*2^{n-i}*3^{i/2}= (2+\sqrt{3})^n(2-\sqrt{3})^n

:što je uslov a_n = b_n-1 i c_n = b_n+1 daje niz Heronovih trojki (a_n, b_n, c_n) čiji su članovi tri uzastopna prirodna broja.
:U sljedečoj tabeli dato je prvih pet Heronovih trojki definisanih na ovaj nacin

## Rekurentna formula za niz površina Heronovih trouglova
:Posmatrajući posllednju kolonu prethodne tabele, empirijskom indukcijom može se zaključiti da važi formula
:P_{n+2}=14P_{n+1}-P_n
:Neka je n \ N i b_n srednja po veličini stranica n-tog Heronovog trougla kome su dužine stranica tri uzastopna prirodna broja. Primjenom Heronove formule može se izraziti niz površina P_n tih trouglova u funkciji od b_n.
:Nije teško utvrditi da je
:P_n=\frac{\sqrt{3}}{4}b_n\sqrt{4}(( 7+4 \sqrt{3})^n-(7- 4 \sqrt{3})^n  ))
:14P_{n+1}-P_n =14 * \frac{\sqrt{3}}{4}(( 7+4 \sqrt{3})^{n+1} -(7- 4 \sqrt{3})^{n+1} - \frac{\sqrt{3}}{4}(( 7+4 \sqrt{3})^n-(7- 4 \sqrt{3})^n  )=

:\frac{\sqrt{3}}{4}(( 7+4 \sqrt{3})^{n+2}-(7- 4 \sqrt{3})^{n +2} )