1 + 1 + 1 + 1 + ...

**1 + 1 + 1 + 1 + · · ·**, može se pisati i kao 
\sum_{n=1}^{\infin} n^0
, \sum_{n=1}^{\infin} 1^n, ili \sum_{n=1}^{\infin} 1, je divergentni red.To znači da niz parcijalnih suma ne konvergira do neke granice u skupu realnih brojeva.

Niz 1^n može se posmatrati kao geometrijski niz sa zajedničkim odnosom 1. Za razliku od drugih geometrijskih nizova sa racionalnim odnosom (osim -1),
ne konvergira u realne brojeve.

Kada se pojavi u primjeni u fizici, red 1 + 1 + 1 + 1 + · · · se može interpretirati pomoću regularizacije zeta funkcije. To je vrijednost Riemannove zeta funkcije za s = 0

:\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}\, =\frac{1}{1-2^{1-s}}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s}\,, 
Gore navedene formule ne važe za nulu, međutim, kako jedna mora da koristi analitički nastavak Rimanove zeta funkcije,

\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s) \!,

Koristeći ovaj dobija se (s obzirom da je \Gamma(1) = 1),

\zeta(0) = \frac{1}{\pi} \lim_{s \rightarrow 0} \ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \zeta(1-s) = 

\frac{1}{\pi} \lim_{s \rightarrow 0} \ \left( \frac{\pi s}{2} - \frac{\pi^3 s^3}{48} + ... \right)\ \left( -\frac{1}{s} + ... \right) = -\frac{1}{2} \! 

u kojoj je funkcija definisana, gdje red divergira po analitičkom produženju. U tom smislu vrijedi 1 + 1 + 1 + 1 + · · · = ζ(0) = −1⁄2.

## U Dekartovom koordinantnom sistemu

U Dekartovom koordinantnom sistemu funkcija  \ f(x) = \sum_{n=1}^{x} n^0 sadrži iste tačke kao funkcija \ f(x) = x

Za  \ x > 0

Funkcija  \ f(x) = k\sum_{n=1}^{x} n^0 predstavlja linije u I kvadrantu  za :\ k \geq 0

Funkcija \ f(x) = k\sum_{n=1}^{x} n^0 predstavlja linije u IV kvadrantu  za \ k \leq 0 .

Za  x :

Funkcija \ f(x) = k\sum_{n=1}^{-x} n^0 predstavlja linije u II kvadrantu \ k \geq 0 .

Funkcija \ f(x) = k\sum_{n=1}^{-x} n^0 predstavlja linije u III kvadrantu za  \ k \leq 0 .

## Demonstracija zbira

\sum_{n=1}^{m} n^0 = \sum_{n=1}^{m} n - \sum_{n=0}^{m-1} n 

\sum_{n=1}^{m} n^0 = m

\sum_{n=1}^{m} n = \frac{m(m+1)}{2}  

\sum_{n=0}^{m-1} n = \frac{m(m-1)}{2} 

\sum_{n=1}^{m} n^0 = \frac{m(m+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac m 2(m+1-m+1) =\frac m 2 (2) = m


 \frac{m(m+1)}{2} = \binom{m+1} {2}  što je trouglasti broj koji je otkrio Gauus

## Formule
### Razlika između zbirova
    \sum_{n=1}^{m} n - \sum_{n=1}^{m} n^0 = \sum_{n=0}^{m-1} n 

Za \ m = 1 , 2 

\ m = 1 

\sum_{n=1}^{1} n - \sum_{n=1}^{1} n^0 = \sum_{n=0}^{0} n  koji odgovara

\sum_{n=1}^{1} 1 - \sum_{n=1}^{1} 1 = \sum_{n=0}^{0} 0 = 1 - 1 = 0 što znači \ 0 = 0 

\ m = 2 

\sum_{n=1}^{2} n - \sum_{n=1}^{2} n^0 = \sum_{n=0}^{1} n koji odgovara

\sum_{n=1}^{2} 1 + 2 - \sum_{n=1}^{2} 2 = \sum_{n=0}^{1} 1 = 3 - 2 = 1 što  znači \ 1 = 1 


### Formule koje se odnose na razliku
\sum_{n=1}^{m} n^0 = \sum_{n=1}^{m} n - \sum_{n=0}^{m-1} n
 
možemo dobiti slične

\sum_{n=1}^{m} n^0 = \sum_{n=0}^{m-1} n - \sum_{n=-1}^{m-2} n

\sum_{n=1}^{m} n^0 = \sum_{n=-1}^{m-2} n - \sum_{n=-2}^{m-3} n

\sum_{n=1}^{m} n^0 = \sum_{n=-2}^{m-3} n - \sum_{n=-3}^{m-4} n

za  \ m = 1 , 2:


\sum_{n=1}^{1} n^0 = \sum_{n=0}^{0} n - \sum_{n=-1}^{-1} n = \sum_{n=1}^{1} 1 = \sum_{n=0}^{0} 0 - \sum_{n=-1}^{-1} -1  što znači \ 1 = 0 + 1  odnosno \ 1 = 1 .

\sum_{n=1}^{2} n^0 = \sum_{n=0}^{1} n - \sum_{n=-1}^{0} n = \sum_{n=1}^{1} 2 = \sum_{n=0}^{2} 1 - \sum_{n=-1}^{0} -1 što znači \ 2 = 1 + 1 odnosno \ 2 = 2 

\sum_{n=1}^{1} n^0 = \sum_{n=-1}^{-1} n - \sum_{n=-2}^{-2} n = \sum_{n=1}^{1} 1 = \sum_{n=-1}^{-1} -1 - \sum_{n=-2}^{-2} -2 što znači  \ 1 = -1 + 2  odnosno \ 1 = 1 . 


    \sum_{n=1}^{2} n^0 = \sum_{n=-1}^{0} n - \sum_{n=-2}^{-1} n = \sum_{n=1}^{2} 2 = \sum_{n=-1}^{0} -1 - \sum_{n=-2}^{-1} -3  što znači \ 2 = -1 + 3  odnosno \ 2 = 2 .

\sum_{n=1}^{1} n^0 = \sum_{n=-2}^{-2} n - \sum_{n=-3}^{-3} n = \sum_{n=1}^{1} 1 = \sum_{n=-2}^{-2} -2 - \sum_{n=-3}^{-3} -3 što znači  \ 1 = -2 + 3   odnosno \ 1 = 1 

\sum_{n=1}^{2} n^0 = \sum_{n=-2}^{-1} n - \sum_{n=-3}^{-2} n = \sum_{n=1}^{2} 2 = \sum_{n=-2}^{-1} -3 - \sum_{n=-3}^{-2} -5 što znači \ 2 = -3 + 5 odnosno a \ 2 = 2

### Opšta formula koja se odnosi na razliku

    \sum_{n=1}^{m} n^0 = \sum_{n=-k+1}^{m-k} n - \sum_{n=-k}^{m-(k+1)} n 

\ k = 0 , 1 , 2 , 3 , ... na skupu \mathbb{N}.

### Formule koje se odnose na proizvod
    \sum_{n=1}^{m+1} n^0 \cdot \prod_{p=1}^{m} (\frac{p}{p + 1}) = 1 

    \sum_{n=1}^{m+1} n^0 = m+1 e \prod_{p=1}^{m} (\frac{p}{p + 1}) = \frac {1}{m + 1}
 
kad pomnožimo dobijemo \ m+1 \cdot \frac {1}{m + 1} = 1 

\sum_{m=1}^s(\sum_{n=1}^{s+1} n^0 \cdot \prod_{p=1}^{s} (\frac{p}{p + 1})) = \sum_{n=1}^{s} n^0

## Izvor
* The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation/ 10.april 2010
* Cosmology: Techniques and Observations /
## Reference