Načelo neodređenosti

U kvantnoj mehanici, **načelo neodređenosti**  (poznato i kao **Heisenbergovo načelo neodređenosti**) je bilo koja inačica nejednačina koje opisuju temeljno ograničenje spoznaje određenih parova fizikalnih veličina. Prvo takvo načelo uvedeo je 1927. njemački fizičar Werner Heisenberg, za položaj i količinu gibanja: što točnije poznajemo položaj, manje točno možemo poznavati količinu gibanja - i obrnuto.

Prema Heisenbergovim relacijama neodređenosti, nemoguće je oboje, položaj i količinu gibanja (na primjer elektrona), odrediti apsolutno točno, čak ni idealnim hipotetičkim pokusom, jer se postupkom mjerenja položaja nužno remeti količina gibanja, i obratno. Prema Heisenbergovim riječima, ne postoji stvarna staza elektrona u komori s mjehurićima, jer je svakim mjehurićem određen "ne posve točno" položaj, a brzina se elektrona određuje iz slijeda mjehurića. Heisenbergovo je stajalište do kraja jasno: elektron postoji neovisno o opažaču, ali se promatranjem na nj utječe onako kako je to formulirano matematičkom shemom relacija neodređenosti. Niti jedan do sada izveden pokus nije uspio izbjeći relacije neodređenosti.

## Jednačine
### Izvorna formulacija

Heisenberg je izvorno svoje relacije izrazio preko matrične mehanike (koju je osmislio kao dvadesetdvogodišnjak, za potrebe kvantne mehanike), to jest preko komutacijskih relacija:

: [\hat{x},\hat{p}]= i \cdot \hbar 

gdje su: 
:\hat{x} i \hat{p} operatori položaja i količine gibanja, i
:\hbar reducirana Planckova konstanta.

Kada se nejednakost izrazi preko standardne devijacije, kao što su to napravili E. H. Kennard i H. Weyl, postaje jasnije da je riječ o organičavanju znanja o položaju *x* i količini gibanja *p*:

: \sigma_{x} \cdot \sigma_{p} \geq \frac{\hbar}{2} ~~

gdje su \sigma_{x} i \sigma_{p} standardne devijacije položaja i količine gibanja, definirane kao: 
:\sigma_{x}=\sqrt{\langle \hat{x}^{2} \rangle-\langle \hat{x}\rangle ^{2}} i 
:\sigma_{p}=\sqrt{\langle \hat{p}^{2} \rangle-\langle \hat{p}\rangle ^{2}}.

### Valno-mehanička formulacija

(Ref )

Prema de Broglievoj hipotezi, svaka čestica ima ujedno i valna svojstva. Informacije o položaju čestice, u kvantnoj mehanici, dobiva se iz valne funkcije \Psi(x,t). Vremenski neovisna valna funkcija za jednostavni ravni valnog broja *k*0 i količine gibanja*p*0 je

:\psi(x) \propto e^{ik_0 x} = e^{ip_0 x/\hbar} ~.

Vjerojatnost nalaženja čestice između *a* i *b* je, po Bornovom pravilu, definirana kao

: \operatorname P [a \leq X \leq b] = \int_a^b |\psi(x)|^2 \, \mathrm{d}x ~.

Očito je da je u slučaju ravnoga valna |\psi(x)|^2 funkcija konstanta, odnosno, čestica može biti bilo gdje, u promatranom prostoru, sa jednakom vjerojatnosti. Drugim riječima, položaj čestice je maksimalno neodređen. 
Ako promatramo valnu funkciju koja je superpozicija više valova (kao na animaciji desno):

:\psi(x) \propto \sum_{n} A_n e^{i p_n x/\hbar}~, 

gdje  *A* *n* predstavlja koeficijent, odnosno doprinos vala količine gibanja *p**n* rezultantnom valu. Prijeđemo li sa sume po diskretnim valovima na kontinuirani slučaj, rezultantna valna funkcija biti će integral preko svih mogućih valova

:\psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(p) \cdot e^{i p x/\hbar}\, dp ~, 

gdje \phi(p) predstavlja amplitudu koja je Fourierov transform od \psi(x). Sa ovom funkcijom, pozicija je postala preciznije definirana, ali je sada količina gibanja slabije definirana pošto je rezultantni val superpozicija valova sa raznim količinama gibanja. Točnije, smanjili smo standardnu devijaciju pozicije σx na račun povećavanja standardne devijacije količine gibanja σp.

Stoga, ukoliko povećamo σx, smanjiti će se σp i obrnuto. Zaključujemo da je odnos σx i σp obrnuto proporcionalan, što je upravo ono što govore Heisenbergove relacije neodređenosti. Može se pokazati da umnožak σx i σp daje upravo vrijednost \frac{\hbar}{2}.
 
### Matrična formulacija
(Ref )

U matričnoj mehanici, izvornom načinu na kojem je Heisenberg došao do svojih relacija, opservable poput položaja i količine gibanja samoadjungirani operatori. Za početak, definirajmo komutacijske relacije između dva operatora kao

:[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}.

U slučaju operatora položaja i količine gibanja, imamo

:[\hat{x},\hat{p}]=i \hbar.

Neka je |\psi\rangle vlastita funkcija operatora položaja sa konstantnom vlastitom vrijednosti *x*0, što *per definitionem* znači da je \hat{x}|\psi\rangle = x_0 |\psi\rangle.. Primijenimo spomenuti komutator na |\psi\rangle i dobit ćemo:

:[\hat{x},\hat{p}] | \psi \rangle = (\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}) | \psi \rangle = (\hat{x} - x_0 \hat{I}) \hat{p} \, | \psi \rangle = i \hbar | \psi \rangle,

gdje je Î operator identiteta.

Pretpostavimo, radi *reductio ad absurdum*, da je |\psi\rangle ujedno i vlastita funkcija operatora količine gibanja, sa vlastitom vrijednosti *p*0; tada bismo imali

:(\hat{x} - x_0 \hat{I}) \hat{p} \, | \psi \rangle = (\hat{x} - x_0 \hat{I}) p_0 \, | \psi \rangle = (x_0 \hat{I} - x_0 \hat{I})  p_0 \, | \psi \rangle=0.

Međutim, takav rezultat je upravo u kontradikciji sa Heisenbergovim relacijama neodređenosti koje zahtijevaju

:[\hat{x},\hat{p}] | \psi \rangle=i \hbar | \psi \rangle \ne 0.

Što implicira da kvantna stanja ne mogu biti istovremeno vlastita funkcija položaja i količine gibanja. Drugim riječima: mjerenjem položaja, količina gibanja će biti neodređena, i obrnuto.

## Važne relacije neodređenosti

U kvantnoj se teoriji, u literaturi, uobičajeno navode tri relacije za položaj i količinu gibanja:

: \Delta x \cdot \Delta p_x \geq h 

: \Delta y \cdot \Delta p_y \geq h 

: \Delta z \cdot \Delta p_z \geq h 

te četvrta relacija neodređenosti za energiju i vrijeme:

: \Delta E \cdot \Delta t \geq h 

Osim spomenutih relacija neodređenosti između položaja i količine gibanja, u kvantnoj mehanici često se koriste i relacije neodređenosti za: komponente kutne količine gibanja, komponente spina čestice i relacije između energije i vremena.

Za kutnu količinu gibanja vrijedi

: [{L_x}, {L_y}] = i \hbar \epsilon_{xyz} {L_z}. 

Gdje je \varepsilon_{ijk} Levi-Civita simbol. Što znači da nije moguće istovremeno poznavati vrijednosti dviju komponenta kutne količine gibanja.

Za komponente spina vrijedne analogne relacije kao kod kutne količine gibanja, odnosno

:[S_i, S_j ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} S_k.

Što znači da nije moguće istovremeno poznavati vrijednosti dviju komponenta spina.

Pošto vrijeme u nerelativističkoj kvantnoj mehanici nije opservabla, umjesto vremena koristi se *životni vijek* stanja \psi u odnosu na opservablu *B*, pa relacije imaju oblik

:: \sigma_E ~ \frac{\sigma_B}{\left| \frac{\mathrm{d}\langle \hat B \rangle}{\mathrm{d}t}\right |} \ge \frac{\hbar}{2}.

gdje je σ*E* standardna devijacija Hamiltonijana (operatora energije) u stanju \psi , a σ*B* standardna devijacija nekog operatora *B*., gdje je a \in \Complex \setminus \{ 0 \}

## Heisenbergov mikroskop

Relacije neodređenosti izmeđ položaj i brzinu neke čestice možemo predočiti slikovitim teorijskim primjerom Heisenbergova mikroskopa:

Da bismo promatranjem odredili položaj nekog tijela, moramo ga osvijetliti i primiti svjetlost koja se od njega reflektira. Međutim, zbog ogiba svjetlosti položaj tijela možemo odrediti najpreciznije na valnu dužinu svjetlosti pa tako možemo pisati da je neodređenost položaja tijela jednaka valnoj dužini svjetlosti (Δx≈λ). Smanjenjem valne dužine korištene svjetlosti možemo sve preciznije odrediti položaj tražene čestice, ali u tom slučaju povećavamo energiju zračenja (E=hf=hc/λ), odnosno čestična svojstva svjetlosti (elektromagnetskog vala) čiji foton u tom slučaju ima veću količinu gibanja (p=h/λ) pa tako u "sudaru" s promatranom česticom više mijenja njenu količinu gibanja (u odnosu na početnu) tako da je i nju nemoguće sasvim točno odrediti. Povećanjem čestičnih svojstava svjetlosti kojom osvjetljavamo (smanjenje valne dužine) gubi se na preciznosti mjerenja brzine (količine gibanja), a povećanjem valnih (povećanje valne dužine) gubi se na preciznosti određivanja položaja.

Ovo nije posljedica nesavršenosti mjernih instrumenata, nego je kvantno svojstvo samog promatranog sustava i nemoguće ga je izbjeći i uporabom savršenih mjernih instrumenata. Što preciznije mjerimo položaj, manje precizno mjerimo brzinu i obrnuto. Ovo svojstvo otkrio je 1927. godine njemački fizičar Werner Heisenberg a obično se formulira ovako:

Δp·Δx≥ħ/2

gdje je Δp neodređenost količine gibanja, Δx neodređenost položaja, a ħ je reducirana Planckova konstanta (ħ=h/2π) h=6,626·10−34 Js

ili drukčije formulirano:

ΔE·Δt≥ħ/2

gdje je ΔE neodređenost energije, a Δt neodređenost mjerenja vremenskog intervala.

Ove relacije vrijede i u makrosvijetu (svijetu klasične mehanike), ali tamo su neprimjetljive jer je neodređenost položaja zanemariva u odnosu na dimenzije tijela, a neodređenost količine gibanja u odnosu na ukupnu količinu gibanja tijela.

Heisenbergovo načelo neodređenosti izazvalo je brojne kritike u svijetu fizike 20. stoljeća (najpoznatije od Alberta Einsteina) jer je utjelovljenje kontrarnosti determinističkim principima dotadašnje fizike, otpočelo je eru probabilističkog pristupa kvantnoj fizici i postavilo bitnu granicu preciznosti eksperimenta.

## Primjeri

### Čestica u kutiji

Najjednostavniji kvantnomehanički sustav je primjer slobodne čestice u kutiji. Takva čestica se može gibati samo u jednoj dimenziji (lijevo-desno) i ograničena je u beskonačoj potencijalnoj jami (zidovi označavaju barijere u kojima je potencijalna energija beskonačna), dok je potencijalna energija unutar kutije jednaka nuli. Stoga, čestica ima samo kinetičku energiju:

:V(x) =
\begin{cases}
0, & x_c-\tfrac{L}{2} 

Rješavanjem Schrödingerove jednadžbe za takvu česticu, lako je naći da vlastite funkcije u koordinatnoj i impulsnoj reprezentaciji definirana kao

\psi_n(x,t) =
\begin{cases}
A \sin(k_n x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_n t}, & 0 
i
:\phi_n(p,t)=\sqrt{\frac{\pi L}{\hbar}}\,\,\frac{n\left(1-(-1)^ne^{-ikL}\right) e^{-i \omega_n t}}{\pi ^2 n^2-k^2 L^2},

gdje je \omega_n=\frac{\pi^2 \hbar n^2}{8 L^2 m}. Varijanca (koja je korijen standardne devijacije) pozicije i količine gibanja računa se:

:\sigma_x^2=\frac{L^2}{12}\left(1-\frac{6}{n^2\pi^2}\right)
:\sigma_p^2=\left(\frac{\hbar n\pi}{L}\right)^2.

Vidimo da je umnožak standardnih devijacija:

:\sigma_x \sigma_p = \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{n^2\pi^2}{3}-2}.

S obzirom da je najmanja moguća vrijednost vrijable n upravo n=1, nalazimo da je najmanji mogući umnožak standardnih devijacija količine gibanja i pozicije jednak

:\sigma_x \sigma_p = \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{\pi^2}{3}-2} \approx 0.568 \hbar > \frac{\hbar}{2}.

S time pokazujemo da Heisenbergove relacije neodređenosti vrijede za česticu u kutiji. Do današnjeg dana nije pronađeno niti jedno odstupanje od Heisenbergovih relacija neodređenosti.

### Kvantni harmonički oscilator

Jednodimenzionalni kvantni harmonički oscilator je kvantnomehanička varijantna klasičnoga harmoničkoga oscilatora. U tom slučaju, operatore količine gibanja i pozicije moguće je izraziti preko operatora podizanja i spuštanja:

:\hat x = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a+a^{\dagger})
:\hat p = i\sqrt{\frac{m \omega\hbar}{2}}(a^{\dagger}-a).

Pozivajući se na svojstva tih operatora,

:a^{\dagger}|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle
:a|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle ~ ,

trivijalno je odrediti varijancu,

:\sigma_x^2 = \frac{\hbar}{m\omega} \left( n+\frac{1}{2}\right)
:\sigma_p^2 = \hbar m\omega \left( n+\frac{1}{2}\right)\, .

Iz toga slijedi da je produkt standardnih devijacija količine gibanja i pozicije:

:\sigma_x \sigma_p = \hbar \left(n+\frac{1}{2}\right) \ge \frac{\hbar}{2}.~

Što, kao što vidimo, zadovoljava Heisenbergove relacije neodređenosti.

## Von Neumannov izvod Heisenbergovih relacija

(Ref )

Neka je:

* \mathcal{H} Hilbertov prostor,zajedno sa skalarnim produktom \langle \cdot , \cdot \rangle i normom \| \cdot \| = {\langle \cdot , \cdot \rangle }^{\frac{1}{2}}, te  sa\mathbf{1}_{\mathcal{H}}  kao operatorom identiteta u \mathcal{H}\;;
* \hat {A}\colon \mathcal{H} \supset D(\hat {A}) \to \mathcal{H} i \hat {B}\colon \mathcal{H} \supset D(\hat {B}) \to \mathcal{H}  samoadjungirani operatori u \mathcal{H} i [\hat {A},\hat {B}] = a \mathbf{1}_{\mathcal{H} }, gdje je a \in \Complex \setminus \{ 0 \};
* Te \psi \in { \; \bigl( D(\hat {A}) \cap D(\hat {B}) \cap {\hat {A}}^{-1} (D(\hat {B})) \cap {\hat {B}}^{-1} (D(\hat {A})) \bigr) \; } \subseteq \mathcal{H} sa normom \| \psi \| = 1 &nbsp;.

Tada Heisenbergove relacije možemo izvesti u četiri koraka:

**Korak 1:**

Neka je

:\operatorname{Im}{ \langle \hat {A} \psi , \hat {B} \psi \rangle }
= \frac{ \langle \hat {A} \psi,\hat {B} \psi \rangle - \langle \hat {B} \psi, \hat {A} \psi \rangle }{ 2 \mathrm {i} }

Stoga:
:2 \cdot \operatorname{Im}{ \langle \hat {A} \psi, \hat {B} \psi \rangle}
= -\mathrm {i} \cdot ( \langle \hat {B}\hat {A} \psi, \psi \rangle - \langle \hat {A}\hat {B} \psi,\psi \rangle )
= -\mathrm {i} \cdot \langle \hat {B}\hat {A} \psi - \hat {A}\hat {B} \psi,\psi \rangle

= \mathrm {i} \cdot \langle (\hat {A}\hat {B} - \hat {B}\hat {A}) \psi,\psi \rangle
= \mathrm {i} \cdot \langle [\hat {A},\hat {B}] \psi,\psi \rangle
= \mathrm {i} \cdot \langle a \mathbf{1}_{\mathcal{H} } \psi,\psi \rangle

= \mathrm {i} \cdot a \cdot \langle \psi,\psi \rangle

= \mathrm {i} \cdot a \cdot { \| \psi \| }^2

Što znači:

:{ \| \psi \| }^2
= -{\frac{2 \mathrm {i}}{ a }} \cdot \operatorname{Im}{ \langle \hat {A} \psi,\hat {B} \psi \rangle }
\leq {\frac{2}{ |a| }} \cdot | \langle \hat {A} \psi , \hat {B} \psi \rangle |

Pa iz Cauchy-Schwarzove nejednakosti slijedi:

:{ \| \psi \| }^2
\leq {\frac{2}{ |a| }} \cdot \| \hat {A} \psi \| \cdot \| \hat {B} \psi \|

**Korak 2:**

Neka su  r, s \in \R dva prozivoljna skalara, te definirajmo {\hat {A}}_r = \hat {A} - r \mathbf{1}_{\mathcal{H} } i {\hat {B}}_s = \hat {B} - s \mathbf{1}_{\mathcal{H} }. Stoga, općenito možemo zaključiti da vrijedi:

:{ \| \psi \| }^2
\leq {\frac{2}{ |a| }} \cdot \| {\hat {A}}_r \psi \| \cdot \| {\hat {B}}_s \psi \|
= {\frac{2}{ |a| }} \cdot \| \hat {A} \psi - r \psi \| \cdot \| \hat {B} \psi - s \psi \|


**Korak 3:**

Kao rezultat drugoga koraka, uz \| \psi \| = 1,  r = \langle \hat {A} \psi, \psi \rangle i s = \langle \hat {B} \psi, \psi \rangle, imamo:
:\|\hat {A} \psi - \langle \hat {A} \psi,\psi \rangle \psi \| \cdot \| \hat {B} \psi - \langle \hat {B} \psi,\psi \rangle \psi \| \geq {\frac{|a| }{ 2 }} \cdot

**Korak 4:**

Za slučaj kada je a = {\frac{h}{ 2 \pi \mathrm {i}}} , dobivamo rezultat važan za kvantnu mehaniku, odnosno Heisenbergove relacije neodređenosti:

:\|\hat {A} \psi - \langle \hat {A} \psi,\psi \rangle \psi \| \cdot \| \hat {B} \psi - \langle \hat {B} \psi,\psi \rangle \psi \| \geq {\frac{h}{ 4 \pi }} \cdot

## Tumačenja

Interpretacija relacija neodređenosti bila je jedna od glavnih točaka prijepora između Bohra i Einsteina, naročito na petoj Solvayavoj konferenciji. Po Kopenhagenskoj kvantnoj mehanici, ukoliko dvije fizikalne veličine ne komutiraju, one nemaju istovremenu fizikalnu realnost. Što znači da ukoliko poznajemo poziciju, količina gibanja nema realnost (tj. ne postoji). Također, ukoliko čestici poznajemo komponentu spina u x-smjeru, to znači da čestica nema ostale komponente spina.  S druge strane, Einstein je to vidio kao naznaku nepotpunosti teorije, a ne kao znak da neke fizikalne veličine ne postoje ukoliko znamo njihove konjugirane parove.

Neki autori načelo neodređenosti interpretiraju u ključu efekta posmatrača, koji svojim merenjem utiče na sistem. Prema tom tumačenju, granice klasične fizike nalaze se tamo, gdje se više ne mogu zanemariti učinci koje izaziva promatranje u promatranom sustavu. Kada promatramo gibanje planeta, možemo potpuno zanemariti tlak svjetlosti na njihovu površinu, međutim svako obasjavanje atoma vodi do bitnih promjena u mikrosvijetu. Kvantna teorija dolazi na mjesto klasične kad postaju bitni utjecaji što ih svako promatranje vrši na atomski sustav.

## Izvori

## Vanjske veze
* Stanford Encyclopedia of Philosophy:  The Uncertainty Principle