Kompleksan broj

**Kompleksni brojevi** su u prvobitnoj predstavi izrazi oblika a + bi, gde su *a* i b realni brojevi, i jedan simbol.

Sabiranje, množenje i deljenje kompleksnih brojeva definiše se formulama:

(a+ib)+(x+iy)=(a+x)+(b+y)i\,,
(a+ib)(x+iy)=(ax-by)+(ay+bx)i\,,
 \frac{a+bi}{x+yi} = \frac{ax+by}{x^2 +y^2} + \frac{bx-ay}{x^2+y^2} \cdot i

U kompleksnom broju z=a+bi broj a se naziva realni deo, piše se a = Re(z), a broj b je imaginarni deo, piše se b = Im(z).

Kompleksan broj čiji je realni deo jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.

Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz i jednak nuli). Iako se kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi u rešavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primer, problema o prolazu struje kroz provodnik, o profilu krila aviona (koristeći funkcije Žukovskog), itd.

Nije manje važna ni primena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primer, za nalaženje korena kubne jednačine potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Istorijski, kompleksni brojevi su uvedeni radi rešavanja kvadratne jednačine. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povod za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Lajbnic). velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Ojleru. Kompleksni broj se aksiomatski definiše kao uređen par realnih brojeva (a,b). Formule sabiranja, množenja, deljenja se postuliraju ovako:

(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)\,,
(a,b) \cdot (x,y)=(ax-by,ay+bx),
 \frac{(a,b)}{(x,y)} = ( \frac{ax+by}{x^2+y^2}, \frac{bx-ay}{x^2+y^2}).

Par (0;1) se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom i. Iz poslednjih formula proizilazi da je i^2=-1. Operacije sa kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije s kompleksnim brojevima pod radikalima (korenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je 

-1=i^2= \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \not= \sqrt{(-1)(-1)}=1.
## Definicija
Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je William R. Hamilton , irski matematičar (1805– 1865.) Ta se definicija temelji samo na osobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja \sqrt{-1} . 

S druge strane, zapis oblika z = x + yi pogodniji je za računanje.

Oba oblika kompleksnog broja

z = x + yi i

z = (x, y) potpuno su ekvivalentna.

Skup kompleksnih brojeva \mathbb{C} je skup svih brojeva oblika z=x+iy, gdje su x,y\in \mathbb{R}.

Posebno je 0=0+i0.

x=\mathrm{Re}( z) je realni dio kompleksnog broja z,

y=\mathrm{Im} z je imaginarni dio kompleksnog broja z.

;Algebarski oblik kompleksnog broja je

z = x + iy za x, y \in \mathbb{R}

;Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je

z = r(cos \theta + isin\theta), r \ge 0,\theta \in \mathbb{R}

pri čemu je

r=\mid z\mid modul

\theta = ARg z argument

;Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je

z=r*e^{i\theta} za r \ge 0,\theta \in \mathbb{R}

pri čemu je

r=\mid z\mid modul

\theta = ARg z argument

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi. 

z_{1} = z_{2} \, \, \leftrightarrow \, \, ( \operatorname{Re}(z_{1}) = \operatorname{Re}(z_{2}) \, \land \, \operatorname{Im} (z_{1}) = \operatorname{Im} (z_{2})).

Konjugirano kompleksni broj broja z=x+iy je broj \bar z=x-iy.

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja z je nenegativni realni broj r=\vert z\vert=\sqrt{x^2+y^2}.

## Osobine sabiranja kompleksnih brojeva

(z_1+z_2=z_2+z_1  za \forall z_1,z_2 \in \mathbb{C} komutativnost sabiranja

z_1 + (z_2 + z_3)=(z_1 + z_2) + z_3, za \forall z_1,z_2, z_3 \in \mathbb{C} asocijativnost sabiranja

\exists 0\in \mathbb{C} z+0=z za \forall z \in \mathbb{C} neutralni element 0 (nula) za sabiranje

Kompleksni broj 0=(0,0)=0+0i

(\forall z \in \mathbb{C}) (\exists (-z)\in \mathbb{C} z+(-z)=0  postojanje inverznog elemanta.

Kompleksni broj -z=(-x,-y)=-x-yi

## Osobine množenja kompleksnih brojeva
z_1*z_2=z_2*z_1  za \forall z_1,z_2 \in \mathbb{C} komutativnost množenja

z_1 * (z_2 * z_3)=(z_1 * z_2) * z_3 za \forall z_1,z_2, z_3 \in \mathbb{C} asocijativnost množenja

\exists 1\in \mathbb{C} z*1=z za \forall z \in \mathbb{C} neutralni element 1 za množenje

(\forall z \in \mathbb{C})(z \ne 0 )(\exists z'\in \mathbb{C} z*(-z')=1  postojanje recipročnog elemanta

z_1 * (z_2 + z_3) = z_1 * z_2 + z_1 * z_3 za \forall z_1,z_2, z_3 \in \mathbb{C} distributivnost množenja u odnosu na sabiranje
### Realan proizvod dva kompleksna broja
U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe.
Definicija

Realan proizvod kompleksnih brojeva a i b, u oznaci a \circ b,je realan broj određen kao

a \circ b =\frac{1}{2}( \overline{a}b+a\overline{b})

Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima a = \mid a \mid(cos \varphi +
i sin \varphi) ib = \mid b \mid(cos \psi +
i sin \psi) Lako je proveriti da je

a \circ b = \mid a \mid \mid b \mid ( cos \varphi+i sin \psi)=  \mid OA \mid \mid AB \mid cos \widehat{AOB}         

Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja
#a \circ a = \mid a \mid ^2
#a \circ b = b \circ a
#\overline{a \circ b}=a \circ b
#(\alpha a )\circ b =\alpha(a \circ b )=a \circ ( \alpha b)
#(az))bz)= \mid z \mid ^2 (a\circ b)
#a\circ b = 0  OA \perp OB (za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima a i b)

Realan proizvod kompleksnih brojeva a i b jednak je potenciji koordinantnog početka O kompleksne ravni u odnosu na krug čiji je prečnik AB, gdje su A i B tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima a i b.

Tačka M je sredina duži AB određena kompleksnim brojem \frac{a+b}{2}
, potencija tačke O u odnosu na krug sa središtem u tački M i poluprečnikom

r = \frac{a-b}{2}= \frac{\mid a-b \mid}{2} jednaka je

OM^2 - r^2 =\mid  \frac{a+b}{2}    \mid -\mid  \frac{a-b}{2}    \mid = \frac{(a+b)(\overline{a}+\overline{b}   }{4}-\frac{(a-b)(\overline{a}-\overline{b})   }{4}= a\circ b


Neka su tačke A,B,C,D taačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima a, b, c, d. Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

#AB \perp CD
#(a+b)\circ (c+d)=0
#\frac{b-a}{d-c}\in i\mathbb{R} \ \begin{Bmatrix}
  0
\end{Bmatrix}
#Re(\frac{b-a}{d-c})=0

Središte kružnice opisane oko trougla ABC nalazi se u koordinantnom početku kompleksne ravni. Ako su tjemena A, B, C trougla ABC određena kompleksnim brojevima a, b, c respektivno, tada je ortocentar H tog trougla određen kompleksnim brojem h = a + b + c.

### Kompleksan proizvod dva kompleksna broja
Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.

;Definicija

Kompleksan broj

a \times b =\frac{\overline{a}b - a \overline{b}}{2}
nazivamo kompleksnim proizvodom kompleksnih brojeva a i b.

Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima 

a = \mid a \mid(cos\varphi +i sin \varphi) i
a = \mid b \mid(cos\psi +i sin \psi)
Lako je provjeriti da je

\mid a \times b \mid =\mid a \mid \mid b \mid sin(\varphi -\psi)=

\mid OA \mid \mid AB \mid sin\widehat{AOB}=2P_{AOB} 

Neka su a, b, c kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine
#\overline{a \times b}= -a \times b
#a \times b= 0  a=0 \lor b=0 \lor a= \lambda b gdje je \lambda \in \mathbb{R} \  \begin{Bmatrix}
  0
\end{Bmatrix}
#
a \times b =-b \times a
#\alpha (a \times b)=(\alpha a)\times b = a \times (\alpha b) ( \forall \alpha \in\mathbb{R} )

Ako su A(a) i B(b) dvije različite tačke različite od O(0), tada je
a \times b = 0  onda i samo onda ako su O, A,B kolinearne tačke.

Neka su A(a) i B(b) dvije različite tačke u kompleksnoj ravni 
različite od koordinantnog početka. Kompleksan proizvod brojeva a i b ima sljedeći geometrijski smisao

a \times b = \begin{cases}
    2iP_{AOB} \ za \ trougao \ AOB \ pozitivno \  orijentisan \\
    -2iP_{AOB} \ za \ trougao \ AOB \ negativno \ orijentisan
\end{cases}
Neka su A(a), B(b) i C(c) tri različite tačke u kompleksnoj ravni.
Tada je

P_{ABC}=\begin{cases}
    \frac{1}{2}( a \times b + b \times c + c \times a )\ ako \ je \ ABC \ pozitivno \ orjentisan \\
    \frac{1}{2}( a \times b + b \times c + c \times a )\ ako \ je \ ABC \ negativno \ orjentisan 
 \end{cases}

Neka su A(a), B(b) i C(c) tri različite tačke u kompleksnoj ravni.
Tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna
#Tačke A,B,C su kolinearne
#(b - a) \times  (c - a) = 0
#a \times b + b \times  c + c \times  a = 0

Neka su A(a), B(b), C(c) i D(d) četiri tačke od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Tada je AB\parallel CD onda i samo onda ako je (b-a)\times(d-c) = 0

## Dijeljenje kompleksnih brojeva
\displaystyle \frac{z_1}{z_2} \displaystyle = \frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}\cdot \frac{x_2-iy_2}{x_2-iy_2} \displaystyle = \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + i \frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}, \quad \textrm{za}\quad z_2\neq 0

U svakom skupu brojeva dijeljenje se  definiše kao množenje inverznim elementom. Uvjerimo se da za 


\forall z \in \mathbb{C})(z \ne 0 )\exists z'\in \mathbb{C}

Neka je
z = x + yi \ne  0 bilo koji. Onda je x^2 + y^2 \ne 0 pa je dobro definisan broj

z'=	\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{-y}{x^2+y^2}i

\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z \bar{z}}=\frac{\bar{z}}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2} -\frac{y}{x^2+y^2}i.

imamo

z'*z=z*z'=1 

z'=z^{-1}=\frac{1}{z}

## Konjugovano kompleksni brojevi

Kompleksan broj \overline{z} \  = x - yi=r^{-i\theta}  nazivamo konjugovanim broju z = x + yi = r^{i\theta}.

Brojevi z i \overline{z} čine par konjugovanik brojeva. Njihovim sabiranjem i oduzimanjem dobijamo

Re z = \frac{1}{2}(z+\overline{z})

Im z = \frac{1}{2i}(z-\overline{z})

Lako se provjerava da vrijedi

#
\overline{z_1+z_2} =\overline{z_1} +\overline{z_2}
#
\overline{z_1-z_2} =\overline{z_1} -\overline{z_2}
#
\overline{z_1*z_2} =\overline{z_1} *\overline{z_2}
#
\overline{(\frac{z_1}{z_2})} =\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_1}}
Neka je
z=r(cos \theta+ isin \theta)= r\ cis \theta trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

z^2=z*z

z^2=r\ cis \theta * r\ cis \theta =r^2 \ cis (\theta + \theta)=  r^2 \ cis 2\theta

z^3=r^2\ cis 2\theta * r\ cis \theta =r^3 \ cis (2\theta + \theta)=  r^3 \ cis 3\theta

z^4=r^3\ cis 3\theta * r\ cis \theta =r^4 \ cis (3\theta + \theta)=  r^4 \ cis 4\theta 

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

z^n=  r^n \ cis n\theta ili

(cos \theta+ isin \theta)^n=  cos n\theta + isin n\theta (n \in Z)

## Stepenovanje kompleksnog broja

z^n = r^n(cosn \theta + isin n \theta) = r^ne^{in\theta} za n \in  N.

z^mz^n=z^{m+n}

z_1^n*z_2^n=(z_1z_2)^n

(z^m)^n=z^{mn}

## Korjenovanje kompleksnog broja
\sqrt[n]{z}=\begin{Bmatrix}
  u_0,u_1...u_n
\end{Bmatrix}
 za n \in  N

gdje je


u_k=\sqrt[n]{r}(cos\frac{\sqrt[n]{r}}{n}+i sin \frac{\theta+2k\pi }{n}) za k=0,1,...(n-1)

u_k= \sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi )/2}  za k=0,1,...(n-1)

## Kvadratni korjen imaginarnog broja

\sqrt{i} = \frac{1}{2}\sqrt{2} + i\frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).

Ovaj rezultat možemo dobiti na sljedeći način

i = (a+bi)^2\!

i = a^2 + 2abi - b^2.\!

Dobijamo dvije jednačine

\begin{cases}
2ab = 1\! \\
a^2 - b^2 = 0\!
\end{cases}

čija su rješenja

a = b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.

Izbor glavnog korjena daje

a = b = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrova formule

i = \cos\left (\frac{\pi}{2}\right ) + i\sin\left (\frac{\pi}{2}\right )

\begin{align}
 \sqrt{i} & = \left ( \cos\left ( \frac{\pi}{2} \right ) + i\sin \left (\frac{\pi}{2} \right ) \right )^{\frac{1}{2}}  \\
              & = \cos\left (\frac{\pi}{4} \right ) + i\sin\left ( \frac{\pi}{4} \right ) \\
              & = \frac{1}{\sqrt{2}} + i\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right ) = \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i) . \\
\end{align}


## Apsolutna vrijednost argumenta
Apsolutna vrijednost (ili modul ili veličine) kompleksnog broja z = x + yi je

:\textstyle r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}.\, 

Kvadrat apsolutne vrijednosti je

\textstyle |z|^2=z\bar{z}=x^2+y^2.\,

\varphi = \arg(z) =
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0 \\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x  0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y 

## Množenje i dijeljenje u polarnom obliku

Iz trigonometrijskih identiteta

 \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) = \cos(a + b)

 \cos(a)\sin(b) + \sin(a)\cos(b) = \sin(a + b)

imamo

z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).\,

;Primjer

(2+i)(3+i)=5+5i. \,

\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} 

Dijeljenje

\frac{z_1}{ z_2} = \frac{r_1}{ r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right).

## Trigonometrijski oblik
Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:

a+bi= \rho (\cos \phi +i \sin \phi )\,,

 \rho = \sqrt{a^2+b^2}, \ \phi = \arctan \frac{b}{a}, za a>0 i  \phi = \pi + \arctan \frac{b}{a} za a; kada je a=0 onda je  \phi = \frac{ \pi}{2}, ako je b>0 i  \phi =- \frac{ \pi}{2}, ako je b. Broj  \rho se naziva moduo kompleksnog broja, a  \phi je argument kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je veoma pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se sabiraju. Iz ovog pravila proizilazi Moavrova formula:

( \cos \phi +i \sin \phi )^n= \cos n \phi +i \sin n \phi\, .

Kompleksni brojevi se često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravni (slika dole). Geometrijski smisao brojeva a,b, \rho,\phi vidi se na crtežu. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se sabiraju po pravilu paralelograma.

Dužina vektora \rho je moduo, ili modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću Pitagorine teoreme. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sistema: |z|=\rho = \sqrt{a^2+b^2}.

Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Važi sledeća Ojlerova formula:

e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi \,;
tj.
e^{in\phi}=(\cos\phi+i\sin\phi)^{n} \,;

pomoću nje se definiše stepenovanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.

Kompleksni brojevi obrazuju algebarsko zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa i, takvog da je i^2=-1.

;Množenje 
Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku je slično množenju kompleksnih brojeva u standardnom obliku.

Neka su zadani kompleksni brojevi

z_1=r_1(cos\varphi_1+isin\varphi_1) i z_2=r_2(cos\varphi_2+isin\varphi_2)

onda je 

z_1z_2=r_1(cos\varphi_1+isin\varphi_1)r_2(cos\varphi_2+isin\varphi_2)=

r_1r_2(cos\varphi_1cos\varphi_2+icos\varphi_1sin\varphi_2+icos\varphi_2sin\varphi_1+i^2sin\varphi_1sin\varphi_2)=


r_1r_2((  cos\varphi_1cos\varphi_2 -  sin\varphi_1 sin\varphi_2)+ i(cos\varphi_1sin\varphi_2 cos\varphi_2sin\varphi_1)=

r_1r_2(cos(\varphi_1+\varphi_2)+i sin(\varphi_1+\varphi_2)
;Dijeljenje

Neka su zadani kompleksni brojevi

z_1=r_1(cos\varphi_1+isin\varphi_1) i z_2=r_2(cos\varphi_2+isin\varphi_2)

\frac{z_1}{z_2}= 	\frac{r_1(cos\varphi_1+isin\varphi_1)}{r_2(cos\varphi_2+isin\varphi_2)}= \frac{r_1(cos\varphi_1+isin\varphi_1)}{r_2(cos\varphi_2+isin\varphi_2)}*
\frac{r_1(cos\varphi_2-isin\varphi_2)}{r_2(cos\varphi_2-isin\varphi_2)}
 

	 \frac{r_1}{r_2}*\frac{cos\varphi_1cos\varphi_2-icos\varphi_1sin\varphi_2+icos\varphi_2sin\varphi_1-i^2sin\varphi_1sin\varphi_2}{cos^2\varphi_2+sin^2\varphi_2}

\frac{r_1}{r_2}(cos(\varphi_1-\varphi_2)+isin (\varphi_1-\varphi_2))=\frac{r_1}{r_2}(cis(\varphi_1-\varphi_2)

=De Moavrova formula ==
Neka je
z=r(cos \theta+ isin \theta)= r\ cis \theta trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

z^2=z*z

z^2=r\ cis \theta * r\ cis \theta =r^2 \ cis (\theta + \theta)=  r^2 \ cis 2\theta

z^3=r^2\ cis 2\theta * r\ cis \theta =r^3 \ cis (2\theta + \theta)=  r^3 \ cis 3\theta

z^4=r^3\ cis 3\theta * r\ cis \theta =r^4 \ cis (3\theta + \theta)=  r^4 \ cis 4\theta

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

( \cos \phi +i \sin \phi )^n= \cos n \phi +i \sin n \phi\,  

## Izvori
# Kompleksni brojevi  
# Kompleksni brojevi
# KOMPLEKSNI - BROJEVI
#Skup kompleksnih brojeva 

## Reference