Brocardove tačke u trouglu

Ime su dobile po francuskom matematičaru Henri Brocardu (1845 - 1922).
U trougluABC tačka P je prva Brokardova tačka ako važi da su uglovi između duži AP, BP i CP i stranica c,a i b redom, jednaki, tj.

  \measuredangle PAB =\measuredangle  PBC= \measuredangle  PCA = \omega 

Tačka P je prva Brokardova tačka u trouglu ABC, a ugao \omega Brokardov ugao trougla.

Postoji i druga Brokardova tačka Q, trougla ABC takva da su jednaki uglovi između duži AQ, BQ, CQ i stranica b, c ia redom, tj.

\measuredangle QCB = \measuredangle QBA = \measuredangle QCA = \omega

;Teorema

Za svaki trougao postoje prva i druga Brokardova tačka.

Dokaz

Pretpostavimo da je T tačka takva da važi \measuredangle TAB = \measuredangle TBC =X
tada je

\measuredangle  TBA = \measuredangle  B -X =>\measuredangle  BTA= 180- \measuredangle  B

Dobijamo da tačka T pripada geometrijskom mjestu tačaka, tj. ona je na luku pod kojim se duž AB vidi pod istim uglom. Nacrtajmo cijelu kružnicu koja prolazi kroz tačke A, B, T. To je C_c . Na isti način nacrtajmo kružnicu C_a.
Izabereno tačku U tako da važi:

\measuredangle UBC = \measuredangle UCA

U presjeku ove dvije kružnice dobijamo prvu Brokardovu tačku, jer za presječnu tačku P važi: 
\measuredangle PAB = \measuredangle = PBC =\measuredangle PCA 


Drugu Brokardovu tačku nalazimo analogno

Za Brokardov ugao ω važi jednakost:


cot \omega = cot\measuredangle A + cot\measuredangle B +cot \measuredangle C

Dokaz

Obilježimo sa P Brokardovu tačku trougla ABC. Iz sinusne teoreme dobijamo da važi:

\frac{CP}{sin(A-\omega}=\frac{AC}{sin(\measuredangle APC} i

\frac{CP}{sin\omega}=\frac{BC}{sin\measuredangle BPC}

Iz ranije dokazanog

\measuredangle APC=180 -\measuredangle A i

\measuredangle BPC=180 -\measuredangle C

Dijeljenjem prve jednačine sa drugom dobijamo da je

\frac{sin\omega}{sin(A-\omega)}= \frac{AC}{BC}\frac{sin \measuredangle C}{sin \measuredangle A}= >sin(A-\omega)=\frac{a}{b}\frac{sin \measuredangle A}{sin \measuredangle C}

Iz sinusne teoreme znamo da važi


\frac{a}{b}= \frac{sin \measuredangle A}{sin \measuredangle B}=> sin(A-\omega)= \frac{(sin \measuredangle A)^2\omega}{sin \measuredangle B\measuredangle C}

sin(A-\omega)= sin \measuredangle  A cos\omega - cos \measuredangle  a sin \omega

sin \measuredangle  A cos\omega - cos \measuredangle  a sin \omega= \frac{(sin \measuredangle A)^2\omega}{sin \measuredangle B\measuredangle C}   

Daljim sređivanjem dobijamo traženo tvrđenje.

;Teorema

Važi: cot\omega =\frac{s^2+b^2+c^2}{4P} gde je P površina trougla ABC.

Trilinearne koordinate Brokarovih tačaka

P \begin{bmatrix}   c/b :a/c: b/a \end{bmatrix}

Q \begin{bmatrix}   b/c :c/a: a/b \end{bmatrix}

Neka je ABCD tetivničetvorougao. Prave AB i CD
se sijeku u tački E, prave AD i BC se sijeku u tački F a prave
AC i BD u tački G. Dokazati da je centar opisane kružnice oko četvorougla ABCD ortocentar trougla EFG.

**Dokaz**

Neka je četvorougao abcd upisan u jediničnu kružnicu. Prema teoremi o presjeku tetiva jedinične kružnice

[**Teorema o presjeku tetiva jedinične kružnice**

Presjek tetiva ab i cd jedninične kružnice je tačka

t=\frac{ab(c+d) -cd(a+b}{ab-cd} ]

važe jednakosti:

:e=\frac{ab(c+d)-cd(a+b)}{ab-cd}
:f=\frac{ad(b+c)-bc(a+d)}{ad-bc}
:g=\frac{ac(b+d)-bd(a+c)}{ac-bd}

Da bismo pokazali da je o ortocentar trougla efg, dovoljno je pokazati da je
of \perp eg i og \perp ef.

Zbog simetrije, dovoljno je dokazati

:\frac{f-o)}{f-\bar{o}}=\frac{e-g)}{e-\bar{g}}
:\frac{f-o)}{f-\bar{o}}= \frac{f)}{\bar{f}}= \frac{\frac{ad(b+c)-bc(a+a)}{ad-bc})}{\frac{(b+c)-(a+d)}{ad-bc}} =  f=\frac{ad(b+c)-bc(a+d)}{(b+c)-(a+d)} 

:e-g=  	\frac{(a-d)(ab^2d-ac^2d)-(b-c)(bcd^2-a^2bc)}{(ab-cd)(ac-bd)}=
: 	\frac{ (a-d)(b-c)(b+c)ad -(a+d)bc        }{(ab-cd)(ac-bd)}

Konjugovanjem dobijamo

\bar{e} -\bar{g} =\overline{(\frac{ (a-d)(b-c)(b+c)ad -(a+d)bc        }{(ab-cd)(ac-bd)}  ) }=    \frac{ (a-d)(b-c)(b+c) -(a+d)  }{(ab-cd)(ac-bd)}

Upoređivanjem dobijenih jednakosti dobijamo traženu jednakost, a time je
dokazana Brokardova teorema.

## Izvor

Značajne tačke i linije u trouglu