Merna nesigurnost

**Merna nesigurnost** (**nesigurnost**) je parametar rezultata merenja koji opisuje njegovu tačnost pokazateljem međusobnih odstupanja vrednosti koje se opravdano mogu uzeti za rezultat merenja. [GUM] 2.2.3; [VIM] 2.26

## Rezultat merenja i njegova merna nesigurnost

Rezultat merenja koji je dobra procena merene veličine, sa mernom nesigurnošću određenom kao standardna devijacija te dobre procene i stepenom slobode te devijacije, omogućava izračunavanje nivoa poverenja i intervala poverenja [GUM] 0.4, 0.5; [Kostić] 9.1, 6.19. NIVO I INTERVAL POVERENJA REZULTATA MERENJA, SE MOGU SMATRATI SVRHOM SVIH ODREĐIVANJA GREŠAKA MERENJA [Kostić] 6.19. 

Dobra procena vrednosti merene veličine, merna nesigurnost koja je standardna devijacija te dobre procene, i stepen slobode te nesigurnosti, se mogu koristiti kao **komponentne vrednosti** za procenjivanje druge vrednosti za koju takođe može da se odredi merna nesigurnost i stepen slobode te nesigurnosti, a to omogućava sledivost. KOMBINOVANA NESIGURNOST SLEDIVE VREDNOSTI JE NAJBOLJA PROCENA TAČNOSTI VREDNOSTI. TA NESIGURNOST OMOGUĆAVA NAJBOLJU PROCENU NIVOA I INTERVALA POVERENJA. [GUM] 0.4, 0.5; [Kostić] 9.1, 9.15

Zbog ujednačavanja obrade rezultata merenja i izražavanja merne nesigurnosti, ISO je 1993. izdao **Uputstvo za izražavanje nesigurnosti merenja**, **GUM**, zasnovano na preporukama BIPM (videti [GUM]). Sada je izdavanje i revidiranje tog Uputstva u nadležnosti JCGM. Članice JCGM su: BIPM, IEC, IFCC, ILAC, ISO, IUPAC, IUPAP i OIML [GUM] PP v, Foreword. UPUTSTVO JE NAMENJENO PRIMENI NA RAZLIČITIM NIVOIMA TAČNOSTI, OD POGONA DO FUNDAMENTALNIH NAUKA [GUM] 0.3. 

Primena merne nesigurnosti i sledivost su obavezne za akreditovane laboratorije [IEC 17025] 5.4.6.1, 5.4.6.2, 5.10.4.1; [ILAC] 4.8; [ILAC, OIML] 1., 2.; [NVLAP] 5.4.6, Annex B.1. Organizacije koje imaju sistem upravljanja kvalitetom prema ISO 9001:2008, su obavezne da obezbede sledivost rezultata merenja, a praktično su obavezne i na korišćenje merne nesigurnosti [ISO 9001] 7.6; [ISO 10012] 7.3.

Uputstvom [GUM] se preporučuje sledeći način određivanja rezultata merenja, merne nesigurnosti i stepena slobode [GUM] 8, 3.1.2, 3.2.3, 3.2.4, 4.1.5, 4.2.1, 4.2.6, 4.3.1; [Kostić] 9.1.

* rezultat merenja se dobija određivanjem dobre procene vrednosti merene veličine.
* za tu procenu se određuje standardna devijacija, koja se naziva standardna merna nesigurnost.
* za tu standardnu mernu nesigurnost se određuje stepen slobode.

**Standardna merna nesigurnost** (**standardna nesigurnost**) je dobra procena standardne devijacije rezultata merenja koji je dobra procena merene veličine [GUM] 4.1.5, 3.1.2, 3.2.4, 4.1.4; [Kostić] 9.1. Po metodi za određivanje, nesigurnosti se svrstavaju u dva tipa: standardne nesigurnosti izračunate statističkim metodama, tip A; i standardne nesigurnosti procenjene nestatističkim metodama, tip B [GUM] 0.7, 2.3.2, 2.3.3; [Kostić] 9.1.

Standardnu mernu nesigurnost dobre procene merene veličine proizvode jedino slučajne pojave i nesigurnosti korekcija. [GUM] 3.2; [Kostić] 9.1 

**Komponentne standardne nesigurnosti** su standardne nesigurnosti komponentnih vrednosti. [GUM] Foreword, 0; [Kostić] 9.1

### Standardna merna nesigurnost tipa A

**Standardna merna nesigurnost tipa A** (**standardna nesigurnost tipa A**) je statističkim metodama izračunata standardna devijacija dobre procene merene veličine. Za ovu standardnu nesigurnost se uvek daje stepen slobode. Ako nije drugačije navedeno podrazumeva se da procena merene veličine ima normalnu raspodelu. [GUM] 0.7, 8, 3.1.2, 3.2.4, 4.2.1, 4.2.3, 4.2.6; [Kostić] 9.2 

Standardna nesigurnost tipa A se označava sa *u**A*, a njen stepen slobode sa *ν**A*. [GUM] 0.7, 4.2.3, 4.2.6; [Kostić] 9.2

Dobra procena merene veličine se najčešće izračunava kao uobičajena aritmetička sredina *n* rezultata merenja iste veličine [GUM] 4.2.1. Ta sredina mora da bude korigovana za sve značajne sistematske greške [GUM] 3.2.3, 3.2.4, 3.4.4. Za korigovanu sredinu se izračunava standardna merna nesigurnost tipa A, *u**A*, kao uobičajena standardna devijacija aritmetičke sredine, *s**x̄* [GUM] 3.3.5, 4.2.3: 

*u**A* = *s**x̄* .

Ova standardna nesigurnost, ima stepen slobode, *ν**A*, jednak uobičajenom stepenu slobode standardne devijacije aritmetičke sredine [GUM] 4.2.6:

*ν<sub>A</sub> = n* – 1.

### Standardna merna nesigurnost tipa B

**Standardna merna nesigurnost tipa B** (**standardna nesigurnost tipa B**) je nestatističkim metodama određena dobra procena standardne devijacije dobre procene merene veličine. Za ovu nesigurnosti se uvek daje stepen slobode. Ako nije drugačije navedeno podrazumeva se da procena merene veličine ima normalnu raspodelu. [GUM] 0.7, 3.1.2, 3.2.4, 4.3.1

Standardna nesigurnost tipa B se označava sa *u<sub>B</sub>*, a njen stepen slobode sa *ν<sub>B</sub>*. [GUM] 0.7, G.4.2; [Kostić] 9.3

Standardna nesigurnost tipa B se određuje iz procenjene funkcije raspodele rezultata merenja, dobijene na osnovu sveobuhvatne procene verovatnoće ostvarivanja događaja [GUM] 3.3.5. Procene: raspodele, devijacije i stepena slobode devijacije; moraju da budu obavljene na osnovu naučno zasnovanih podataka [GUM] 4.3.1. Podaci pored ostalog mogu da budu iz sledećih izvora [GUM] 4.3.1:
* ranijih rezultata merenja
* iskustva ili opšteg znanja o svojstvima materijala i instrumenata
* podataka proizvođača materijala i instrumenata
* izveštaja o etaloniranju, ili drugih uverenja
* priručnika sa navedenim nesigurnostima podataka.

Zahteva se sveobuhvatna procena standardne nesigurnosti tipa B, sa ciljem da ta procena bude tačna približno kao standardna nesigurnost tipa A. Taj cilj se lako postiže kada je mali broj usrednjavanih rezultata za koje se daje standardna nesigurnost tipa A. Devijacija standardne devijacije aritmetičke sredine rezultata nije zanemarljiva u praktičnim slučajevima. [GUM] 4.3.1, 4.3.2, E.4.3

Ako se smatra da procena standardne nesigurnost tipa B ima zanemarljivu nesigurnost, pripisuje joj se beskonačan stepen slobode. Ako se smatra da ta procena ima značajnu nesigurnost, pripisuje joj se stepen slobode koji se može izračunati na način dat u [GUM] G.6.4 i G.4.2, ili [Kostić] 6.17 i 9.3.1. [GUM] G.6.4

Dobra procena merene veličine za koju se daje standardna nesigurnost tipa B, je najčešće dobijena uzimanjem pojedinačne vrednosti, ili procenjivanjem na osnovu malo podataka. [Kostić] 9.3; [GUM] 4.3

### Kombinovana standardna merna nesigurnost

**Kombinovana standardna merna nesigurnost** (**kombinovana standardna nesigurnost**) je dobra procena kombinovane standardne devijacije dobre procene merene veličine. Kombinovanu standardnu devijaciju proizvode nesigurnosti komponentnih vrednosti. [GUM] 0.7, 8, 5.1.2, 5.2.2

Kombinovana standardna nesigurnost se označava sa *u<sub>C</sub>*, a njen stepen slobode sa *ν<sub>C</sub>*. [GUM] 5.1.2; [Kostić] 9.4

Kombinovana standardna nesigurnost se računa kao kvadratni koren kombinovane standardne varijanse dobre procene merene veličine [GUM] 0.7, 8, 5.1.2, 5.2.2. Izračunavanje kombinovane standardne varijanse je dato u [GUM] 5.1 za nekorelisane komponentne vrednosti, i 5.2 za korelisane komponentne vrednosti, i takođe u [Kostić] 7.5. 

KOMBINOVANA STANDARDNA NESIGURNOST MORA DA OBUHVATA SVE NESIGURNOSTI KOJE JE ZNAČAJNO POVEĆAVAJU. [GUM] 8 1), 3.2.4, 3.4.4

Značajne nesigurnosti često potiču od: ● principa merenja, ● metode merenja, ● etalona, ● merila, ● posmatrača, ● mesta, ● uslova i ● vremena. [GUM] 3.3.2; [Handbook] 2.5.3.1.; [Kostić] 9.1

Stepen slobode kombinovane standardna nesigurnost se najčešće računa kao efektivni stepen slobode, Velš - Satertvajtovom formulom (eng. *Welch - Satterthwaite formula*) kako je opisano u [GUM] G.4.1, ili u [Kostić] 6.18. [GUM] G.4.1; [Handbook] 2.5.7.1.; [Kostić] 6.18

### Proširena merna nesigurnost

**Proširena merna nesigurnost** (**proširena nesigurnost**) je jednaka kombinovanoj standardnoj nesigurnosti pomnoženoj koeficijentom obuhvata. [GUM] 6.2.1

Proširena nesigurnost se označava sa *U*, a koeficijent obuhvata sa *k*. [GUM] 6.2.1

Kombinovana standardna nesigurnost se množi koeficijentom obuhvata, kako bi merena veličina bila sa potrebnom verovatnoćom u intervalu:

*REZULTAT_MERENJA ± U*.

Ovaj interval je interval poverenja, a pomenuta verovatnoća je nivo poverenja. [GUM] 6.2.1, 6.2.2, 0.7 5)

Proširena nesigurnost se daje u nekim komercijalnim, industrijskim i zakonskim dokumentima [GUM] 6.1.2. Tu se uz rezultat merenja daju: proširena nesigurnost i koeficijent obuhvata, eventualno, nivo poverenja, i raspodela rezultata [GUM] 6.2.3.

Koeficijent obuhvata je najčešće u opsegu 2 do 3, što u slučaju normalne raspodele daje nivo poverenja od 95,5 % do 99,7 %. [GUM] 6.3.1

U slučaju malog stepena slobode standardne nesigurnosti, kao i raspodele koja nije normalna, za određivanje koeficijenta obuhvata treba koristiti stvarnu raspodelu kako bi se dobio tačan interval poverenja sa potrebnim nivoom poverenja. [GUM] G.6.4, 6.3.2; [Kostić] 9.5

U slučaju t-raspodele koeficijent obuhvata se može odrediti iz odgovarajuće veze između nivoa poverenja, stepena slobode i koeficijenta obuhvata. Videti [GUM] G.6.4, ili [Kostić] 9.5. [GUM] G.6.4, 6.3.2; [Kostić] 9.5, 6.22

### Relativne standardne merne nesigurnosti

**Relativna standardna merna nesigurnost** (**relativna standardna nesigurnost**) u*R*(*y*), je jednaka količniku merne nesigurnosti rezultata merenja, u(*y*), i modula rezultata merenja, |*y*| [GUM] J; [Kostić] 9.6: 

uR(*y*) = u(*y*) / |*y*|.

Oznake relativnih standardnih nesigurnosti su [Kostić] 9.6:

* *u<sub>R</sub>*, relativna standardna nesigurnost
* *u<sub>AR</sub>*, relativna standardna nesigurnost tipa A
* *u<sub>BR</sub>*, relativna standardna nesigurnost tipa B
* *u<sub>CR</sub>*, relativna kombinovana standardna nesigurnost
* *U<sub>R</sub>*, relativna proširena nesigurnost.

## Postupanje sa rezultatima čija raspodela nije normalna

U slučaju ravnomerne raspodele niza rezultata, dobra procena vrednosti veličine je aritmetička sredina niza rezultata korigovanih za sistematsku grešku. Standardna nesigurnost i njen stepen slobode, se računju kao uobičajena standardna devijacija aritmetičke sredine i njen stepen slobode. Razlog je što zbir tri, ili više, vrednosti sa ravnomernom raspodelom, koje su približno istih širina, ima približno normalnu raspodelu sa standardnom devijacijom koja je jednaka kombinovanoj standardnoj devijaciji komponentnih ravnomernih raspodela. [GUM] 4.3.7, 4.4.5, C.3.2, G.2.2; [Kostić] 9.7, 6.23

U slučaju trougaone raspodele niza rezultata, dobra procena vrednosti veličine je takođe aritmetička sredina niza rezultata korigovanih za sistematsku grešku. Standardna nesigurnost i njen stepen slobode, se računaju kao uobičajena standardna devijacija aritmetičke sredine i njen stepen slobode. [GUM] 4.4.6, C.3.2; [Kostić] 9.7, 6.24

U slučaju nesimetrične raspodele rezultata, dobra procena vrednosti veličine je vrednost pri kojoj raspodela rezultata, korigovanih za sistematsku grešku, ima maksimum. Standardna nesigurnost i njen stepen slobode, se računaju kao uobičajena standardna devijacija aritmetičke sredine i njen stepen slobode. [Kostić] 9.7; [GUM] F.2.4.4, G.5.3

## Izražavanje standardne nesigurnosti nekorigovanog rezultata merenja

U [GUM] se preporučuje da rezultat merenja bude korigovana za sve značajne sistematske greške. Međutim, ima slučajeva kada može biti neekonomično, ili neizvodljivo, da se koriguje svaki rezultat merenja. Primer su merenja u proizvodnim procesima. [GUM] 3.2.3, 3.2.4, F.2.4.5; [Handbook] 2.5.8. 

U slučajevima kada je neopravdano vršiti korekciju svakog rezultata merenja, preporuka [GUM] je da se navode [GUM] F.2.4.5:
* 1) nekorigovan rezultat merenja, *y*
* 2) aritmetička sredina sabiraka korekcija za rezultate iz opsega od interesa *ā*, 
* 3) kombinovana standardna merna nesigurnost *u<sub>C</sub>*, koja obuhvata sve standardne devijacije:
* standardnu devijaciju koja potiče od usvajanja konstantne vrednosti sabirka korekcije *ā*,
* standardnu devijaciju polaznog sabirka korekcije,
* standardnu devijaciju nekorigovanog rezultata merenja.

Kada je potrebno, iz takvog zapisa se može odrediti dobra procena vrednosti merene veličine koja je jednaka *y + ā*. Takođe, u zavisnosti od potrebnog nivoa poverenja, *P*, se može izračunati koeficijent obuhvata *k*, i zatim interval poverenja [Kostić] 9.8:

[(*y + ā*) − (*k • u<sub>C</sub>*), (*y + ā*) + (*k • u<sub>C</sub>*)].

Rezultat merenja izražen u skladu sa prethodnim, omogućava korekciju, posle čega korigovana vrednost sa svojom standardnom nesigurnošću može da bude komponentna vrednost pri određivanju druge vrednosti i njene standardne nesigurnosti. [Kostić] 9.8

## Izražavanje standardne nesigurnosti

Da bi se izbegla pogrešna tumačenja, brojčanu vrednost standardne nesigurnosti treba izraziti na jedan od tri dole navedena načina. Dati su primeri za etalon nominalne mase *m<sub>E</sub>* = 100 g i kombinovane standardne nesigurnosti *u<sub>C</sub>* = 0,35 mg. Radi skraćivanja se mogu izostaviti objašnjenja u zagradama ako su ona već navedena u dotičnom dokumentu. [GUM] 7.2.2; [Kostić] 9.9

a) „*m<sub>E</sub>* = 100,019 47 g (kombinovane standardne nesigurnosti) *u<sub>C</sub>* = 0,35 mg“ [GUM] 7.2.2

b) „*m<sub>E</sub>* = 100,019 47 (35) g (U zagradi je data kombinovana standardna nesigurnost vrednosti veličine. Težina poslednje cifre nesigurnosti je jednaka težini poslednje cifre vrednosti veličine.)“ [GUM] 7.2.2; [SI] 5.3.5

c) „*m<sub>E</sub>* = 100,019 47 (0,000 35) g (U zagradi je data kombinovana standardna nesigurnost vrednosti veličine. Nesigurnost i vrednost veličine su u istim jedinicama.)“ [GUM] 7.2.2

Kada se navodi proširena nesigurnost *U*, zapis treba da bude poput prethodno navedenog. Pored toga na odgovarajućem mestu u dokumentu, ili uz svako navođenje proširene nesigurnosti, treba navesti i sledeće dato primerom [Kostić] 9.9; [GUM] 7.2.4:

„ ... (Proširena nesigurnost) *U = k • u<sub>C</sub>*, (koeficijent obuhvata) *k* = 2 za (nivo poverenja) *P* = 95 % (zasnovano na normalnoj raspodeli.)“.

Ako se u dokumentu uz vrednosti veličina daju različiti koeficijenti obuhvata (npr. da bi se obezbedio potreban nivo poverenja) zapis treba da sadrži i sledeće dato primerom [Kostić] 9.9; [GUM] 7.2.4:

„ ... (koeficijent obuhvata) *k* = 2,26 za (nivo poverenja) *P* = 95 % zasnovano na t-raspodeli sa (stepenom slobode) *ν* = 9 “.

## Reference
* [GUM] *BIPM, IEC, IFCC, ILAC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML; Evaluation of measurement data – Guide to the expression of uncertainty in measurement (JCGM 100:2008) (GUM 1995 with minor corrections); Joint Committee for Guides in Metrology, 2008. (Downloadable via Internet site of the [http://www.bipm.org/ BIPM].)*
* [Handbook] *NIST, Sematech; NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods; NIST, Sematech, August 2003. ([http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/ The latest version] downloadable via Internet site of the USA National Institute of Standards and Technology.)*
* [IEC 17025] SZS; Opšti zahtevi za kompetentnost laboratorija za ispitivanje i laboratorija za etaloniranje (JUS ISO IEC 17025:2001); Savezni zavod za standardizaciju, Beograd, 2001. 
* [ILAC] *ILAC; Guidance for the Implementation of a Medical Laboratory Accreditation System
(ILAC-G26:07/2012); International laboratory accreditation co-operation, 2012. (Downloadable via
Internet site of the [http://ilac.org/ ILAC].)*
* [ILAC, OIML] *ILAC, OIML; Guidelines for the determination of calibration intervals of measuring instruments (ILAC-G24:2007); International laboratory accreditation cooperation, International organization of legal metrology, 2007. (Downloadable via Internet site of the [http://ilac.org/ ILAC].)*
* [ISO 9001] *ISO; Quality management systems – Requirements (ISO 9001:2008(E)); the International Organization for Standardization, 2008.*
* [ISO 10012] *ISO; Measurement management systems – Requirements for measurement processes and measuring equipment (IS0 10012:2003); 2003.*
* [Kostić] Goran Kostić; Metrološki priručnik; Fileks, Leskovac, 2014. (Može se naručiti sa Internet strane ''Symmetry''-ja .)
* [NVLAP] *V. R. White, D. F. Alderman, C. D. Faison, ed.; National voluntary laboratory accreditation program - Procedures and general requirements (NIST handbook 150); National Institute of Standards and Technology, USA, 2001. (Downloadable via Internet site of the [http://www.nist.gov NIST].)*
* [SI] *BIPM; The International System of Units (SI) (8th edition); International Committee for Weights and Measures, 2006. (Downloadable via Internet site of the [http://www.bipm.org/ BIPM].)*
* [VIM] *BIPM, IEC, IFCC, ILAC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML; International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM) (JCGM 200:2012); Joint Committee for Guides in Metrology, 2012. (Downloadable via Internet site of the [http://www.bipm.org/ BIPM].)*

## Literatura
* *BIPM, IEC, IFCC, ILAC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML; Evaluation of measurement data - An introduction to the “Guide to the expression of uncertainty in measurement” and related documents (JCGM 104:2009); Joint Committee for Guides in Metrology, 2009. (Downloadable via Internet site of the [http://www.bipm.org/ BIPM].)*
* *BIPM, IEC, IFCC, ILAC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML; Evaluation of measurement data - Guide to the expression of uncertainty in measurement (JCGM 100:2008) (GUM 1995 with minor corrections); Joint Committee for Guides in Metrology, 2008. (Downloadable via Internet site of the [http://www.bipm.org/ BIPM].)*
* *BIPM, IEC, IFCC, ILAC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML; Evaluation of measurement data - Supplement 1 to the “Guide to the expression of uncertainty in measurement” - Propagation of distributions using a Monte Carlo method (JCGM 101:2008); Joint Committee for Guides in Metrology, 2008. (Downloadable via Internet site of the [http://www.bipm.org/ BIPM].)*
* BIPM, IEC, IFCC, ILAC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML; Vrednovanje mjernih podataka - Upute za iskazivanje mjerne nesigurnosti (JCGM 100:2008) (GUM 1995 s manjim ispravcima); Državni zavod za mjeriteljstvo, Zagreb, 2009. (Može se preuzeti sa Internet strane Hrvatskog Državnog zavoda za mjeriteljstvo.)
* *Cox, Harris; Uncertainty evaluation (DEM-ES-011); National Physical Laboratory, Teddington, UK, 2006. (Downloadable via Internet site of the [http://www.npl.co.uk/ UK National Physical Laboratory].)*
* *EA; Evaluation of the Uncertainty of Measurement in Calibration (EA-4/02 M: 2013); European co-operation for Accreditation, 2013. (Downloadable via Internet site of the [http://www.european-accreditation.org/ European co-operation for Accreditation].)*
* *Eisenhauer; Degrees of Freedom; Teaching Statistics, Vol. 30, No. 3, 2008. (Downloadable via Internet site of the [http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1467-9639.2008.00324.x/pdf John Wiley & Sons, Ltd].)*
* *Ferson, Kreinovich, Hajagos, Oberkampf, Ginzbur; Experimental Uncertainty Estimation and Statistics for Data Having Interval Uncertainty (SAND2007-0939); Sandia National Laboratories, Albuquerque and Livermore, USA, 2007. (Downloadable via Internet site of the [http://www.sandia.gov/ Sandia National Laboratories].)*
* *Integrated Sciences Group; Estimating Type B Degrees of Freedom Equation; Integrated Sciences Group, Bakersfiel, USA, 2004. (Downloadable via Internet site of the [http://www.isgmax.com/ Integrated Sciences Group].)*
* [Kostić] Kostić; Metrološki priručnik; Fileks, Leskovac, 2014. (Može se naručiti sa Internet strane ''Symmetry''-ja .)
* *NIST, Sematech; NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods; NIST, Sematech. ([http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/ The latest version] downloadable via Internet site of the USA National Institute of Standards and Technology.)*
* Perović; Račun izravnanja, teorija grešaka merenja, knjiga 1. (2. izdanje); „Naučna knjiga“ i Građevinski fakultet, Beograd, 1989.
* Tasić, Živković; Osnovi metrologije; Savezni zavod za mere i dragocene metale, Beograd, 2000.
* *Taylor, Kuyatt; Guidlines for Evaluating and Expressing the Uncertainty of NIST Measurement Results (NIST Technical Note 1297); National Institute of Standards and Technology, USA, 1994. (Downloadable via Internet site of the [http://www.nist.gov/ USA National Institute of Standards and Technology].)*