Kružnica

**Aksioma prenošenja duži**

Na datoj polupravoj postoji jedna i samo jedna tačka B takva da je duž jednaka datoj duži .

**Posljedica**

Ako su B1i B dvije tačke poluprave h sa početkom u A takve da AB=A B1onda je B=B1
Odnosno dvije različite tačke poluprave h ne mogu imati jednako rastojanje od početka poluprave. 

## Opšti pojmovi
Neka je u ravni data tačka O i duž r. Tada , prema aksiomi prenošenja duži), na svakoj polupravoj čiji je početak tačka O i leži u ravni postoji jedinstvena tačka X takva da je OX=r.

;Definicija:

Skup svih tačaka ravni čija je udaljenost od date tačke O te ravni jednaka datoj duži nazivamo kružnica s centrom u O i poluprečnikom (radijusom) r.

Poluprečnik kružnice je duž koja spaja centar kružnice sa bilo kojom tačkom kružnice.

Prava koja prolazi kroz centar kružnice naziva se **centralna prava kružnice**. Centar O dijeli centralnu pravu na dvije poluprave koje imaju tačno jednu tačku sa kružnicom, odnosno centralna prava i kružnica imaju dvije zajedničke tačke.

Duž PQ koja spaja centralno simetrične tačke kružnice nazivamo ***'prečnik (dijametar ili promjer)***' kružnice. Ako je PQ prečnik kružnice onda je PO=OQ odnosno O je sredina prečnika.

Duž koja spaja dvije tačke kružnice nazivamo **tetiva.** Prečnik je tetiva na kojoj leži centar kružnice. 

Centralna prava dijeli ravan kružnice na dvije poluravni odnosno tačke kružnice dijeli na dva skupa.-
* skup koji leži u jednoj poluravni 
* skup koji leži u drugoj poluravni. Ovi skupovi su polukružnice. 
Kružnice koje imaju isti centar kažemo da su koncentrične.

Ugao čiji je vrh u centru kružnice nazivamom **centralni ugao.**

Dio kružnice koji pripada centralnom uglu nazivamo **luk.** Centralnom uglu odgovara određen luk. Luk koji odgovara ravnom uglu je polukružnica. 
Luk koji odgovara nultom uglu svodi se na tačku. 
Punom uglu odgovara kao luk cijela kružnica

U pravouglim koordinatama jednačina kružnice glasi

(x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2\,, где су ***(p,q)*** 

Ova je jednačina drugog reda.
Obim kružnice ***O(r)*** je 2r \pi \,, а kružnica predstavlja periferiju кrugа**.

Površina omeđena kružnicom je <math>r^2 \pi\,</math>.

Centralni ugao je dvostruko veći od perifernog ugla nad istom tetivom.

Periferni ugao nad prećnikom je prav
Ugao između tetive i tangente povučene iz jedne tačke kružnice jednak je perifernom uglu nad tom tetivom
Periferni uglovi nad istom tetivom su isti ili suplementni .

== Rastojanje tačke od kružnice ==
Spojimo tačku C sa tačkama kružnice K(O,r). Ovako dobijamo beskonačan skup duži za C ≠ O. U slučaju C = O to je nulta duž.

Postavlja se pitanje , postoji li u ovom skupu duž od koje ni jedna duž skupa nije manja i takva duž koja nije manja ni od jedne duži skupa?

To su duži CA i CB ,gdje su A, B tačke kružnice koje leže na centralnoj pravoj koja prolazi kroz C. Tačka A je s one strane tačke O s koje je C, a B sa suprotne strane.

;Definicija 2:

Element m skupa E ( u kome između elemenata postoji [[relacija]] < ili > ) koji nije veći ni od jednog elementa [[skup]]a naziva se minimum (najmanji element skupa E). Element koji nije manji ni od jednog elementa skupa je maximum (najveći) element skupa E.

U navedenom slučaju duži AB i AC su minimum i maximumu u skupu duži.

;Definicija 3:

Minimum skupa rastojanja date tačke od skupa naziva se rastojanje te tačke od skupa.

**Teorema 1**

Neka je data tačka C i kružnica K(O,r) i pri tom C ≠ O i neka su tačke A ,B tačke kružnice koje leže na centralnoj pravoj, koja prolazi tačkom C. Tačka A neka je s one strane s koje je tačka O, a B sa suprotne strane od O. Tada od svih tačaka križnice tačka A ima najmanje ,a tačka B najveće rastojanje od C i pri tome je 

CA = │CO - r│ i CB = CO + r

Beskonačni skupovi ne moraju imati minimumu i maximumu.

Primjer

Skup brojeva 1,1/2, ¼, 1/8,...ima maximumu a nema minimum

== Zajedničke tačke kružnica ==
Neka su zadane dvije kružnice K(C, R) i k(O,r). Odredimo međusobni položaj ovih kružnica. Povučemo li centralnu pravu CO ovih kružnica, sa A, B označimo tačke druge kružnice i to sa A onu koja leži sa one strane od tačke O sa koje je tačka C, a sa B tačku drugr kružnice. 

Posmatrajmo duži R – r, CO i R + r za R > r
Između ovih duži postoji jedan i samo jedan od ovih odnosa
# CO > R + r
# CO = R + r
# R –r < CO < R + r
# CO < R – r ( R >r)
# CO = R - r (R >r)

=== Presjek kružnica prazan skup ===
* Za CO > R + r <=> CO – r > R < => CA > R
Sve tačke jedne kružnice su izvan druge kružnice. 
* CO < R – r <=> CO –r < R < => CB < R
Sve tačke jedne kružnice su unutar druge kružnice.

=== Tangiranje kružnica ===
* CO = R + r < = > CO – r < R < => CA = R
Tačka A druge kružnice pripada tačkama prve kružnice. Sve ostale tačke su izvan prve kružnice. Za kružnice koje imaju jednu i samo jednu zajedničku tačku i ona leži na pravoj CO kažemo da se one dodiruju izvana u tački A.
* CO = R – r (R > r) < => CO - r = R < => CB = r
Tačka B pripada prvoj kružnici sve ostale tačke druge kružnice su unutar prve kružnice. Ako dvije kružnice imaju dijametralno raspoređene dvije zajedmočke tačke M na pravoj CO onda su one dijametralno suprotne za svaku od te dvije tačke koje leže na pravoj . za svaku od te dvije kružnice pa se one poklapaju. 

=== Presjek kružnica ===
R – r < CO < R + r ( R < r)
* A je u, B izvan K(C,R)
* R – r < CO => CB > R
B je van K (C,R)
CO < R + r => CA < RA je u kružnici.
Od svije dijametralno raspoređeme tačke jedna je u ,a druga van kružnice. Tačke A , B diele kružnicu na dva dijela

**Aksioma 2**

Ako se jedan kraj luka nalazi u kružnici a drugi izvan je onda taj luk sa kružnicom ima jednu i samo jednu zajednićku tačku.
Teorema 2

Zajednička tačka dviju kružnica koje se dodiruju leži na njihovoj zajedničkoj centralnoj pravoj i obratno dvije različite kružnice koje imaju zajedničku tačku na centrlnoj pravoj dodiruju se.
Ako dvije kružnice imaju zajedničku tačku koja ne leži na centralnoj pravoj imaju još jednu zajedničku tačku.

**Teorema 3**

Dvije kružnice K(C,R) i k(O,r)
* Nemaju zajedničkih tačaka ako i samo ako je 
** CO > R + r ( svaka od križnica je izvan druge kružnice)
** CO < R -r( kružnica manjeg prečnika je unutar kružnic večeg prečnika)
* Imaju jednu i samo jednu zajedničku tačku koja leži na zajedničkoj centralnoj pravoj
** CO = R + r sve tačke kružnice osim zajedničke su izvan druge kružnice 
* R – r < CO<R + r imaju dvije i samo dvije zajedničke tačke koje leže sa raznih strana centralne prave.

**Teorema 4'''

Da bi dvije kružnice imale zajedničkih tačaka u sličaju da se centar prve kružnice nalazi
# na drugoj kružnici
# u drugoj kružnici 
potrebno je i dovoljno da bude 
# R ≤ 2r
# CA < R < CB
gdje su CA i CB odsječci na koje centar O dijeli dijametar AB kružnice k(O, r).