Neprekidne funkcije

## Neprekidnost funkcija
Neprekidne funkcije predstavljaju jednu od najvažnijih klasa funkcija koje se proučavaju u različitim matematičkim disciplinama. Za neku funkciju f kažemo da je neprekidna u nekoj tački x_0 ako funkcija uopšte posjeduje vrijednost u toj tački, te ako se njena vrijednost kada se sa lijeva ili desna približavamo posmatranoj tački također približava njenoj vrijednosti u posmatranoj tački. Za funkciju koja nije neprekidna u nekoj tački kažemo da je prekidna u toj tački, odnosno da ima prekid u posmatranoj tački.

Radi lakšeg opisivanja ponašanja (svojstava) neke funkcije, u praksi je od velikom značaja grafik funkcije, tj. grafički prikaz skupa vrijednosti posmatrane funkcije nad nekim podskupom njenog domena. Pojednostavljeno gledajući, za funkciju možemo reći da je neprekidna ako njen grafik možemo nacrtati bez da vrh olovke odvojimo od papira. No, ovo je veoma daleko od formalne definicije neprekidne funkcije, iz čistog razloga što se pojam "crtanja bez odvajanja od papira" ne može matematički predstaviti.

Današnju formalnu definiciju neprekidne funkcije dao je Karl Weierstraß krajem 19. vijeka.

## Neprekidnost funkcije u tački
U upotrebi je nekolicina različitih, ali ekvivalentnih definicija neprekidnosti funkcije u tački
* Za funkciju f definisanu u nekoj okolini tačke x_0 kažemo da je neprekidna (kontinuirana) funkcija u tački x_0 ako je

:\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\,=f(x_0)
* Za funkciju f definisanu u nekoj okolini tačke x_0 kažemo da je neprekidna (kontinuirana) funkcija u tački x_0 ako za dato \epsilon > 0 postoji broj \delta = \delta(\epsilon) > 0 takav da za sve x za koje je |x-x_0| vrijedi:

|f(x)-f(x_0)|
* Za funkciju f definisanu u nekoj okolini tačke x_0 kažemo da je neprekidna (kontinuirana) funkcija u tački x_0 ako je

\lim_{x - x_0 \rightarrow 0}(f(x) - f(x_0))\,= 0

Razliku x-x_0 nazivamo priraštaj nezavisne promjenljive i označavamo sa \bigtriangleup x, dok razliku f(x)-f(x_0) nazivamo priraštaj zavisno promjenljive i označavamo sa \bigtriangleup f(x) = \bigtriangleup y.
* Za funkciju f definisanu u nekoj okolini [x_0, x_0 + \delta) tačke x_0 kažemo da je neprekidna s desna tački x_0 ako je

\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)\,=f(x_0)
* Za funkciju f definisanu u nekoj okolini (x_0 - \delta, x_0] tačke x_0 kažemo da je neprekidna s lijeva tački x_0 ako je

\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)\,=f(x_0)
* Za funkciju f definisanu u nekoj okolini tačke x_0 kažemo da je neprekidna (kontinuirana) funkcija u tački x_0 ako je neprekidna s desna i neprekidna s lijeva u tački x_0
* Tačka gomilanja x_0 u kojoj funkcija f nije neprekidna naziva se tačka prekida (diskontinuiteta) funkcije f. Tačka x_0 postaje tačka prekida funkcije f, ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:
# Funkcija f nije definisana u tački x_0
# Barem jedna od graničnih vrijednosti \lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x), \lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x) ne postoji. Tačku prekida x_0 funkcije f za koju vrijedi ovaj uslov, nazivamo **tačkom prekida druge vrste**.
# Postoje granične vrijednosti \lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x), \lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x), ali je barem jedna od njih različita od vrijednosti funkcije f u tački x_0, tj. f(x_0). Tačku prekida x_0 funkcije f za koju vrijedi ovaj uslov, nazivamo **tačkom prekida prve vrste**.
# Ako postoje granične vrijednosti \lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x), \lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x) i \lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x), ali funkcija f nije definisana u tački x_0, onda funkciju f možemo proširiti stavljajući f(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x) tako da nova funkcija postane neprekidna u tački x_0. Ovakvu tačku x_0 nazivamo **tačkom otklonjivog prekida**.
* Ako su funkcije f i g neprekidne u tački x_0, onda su i funkcije f+g, fg neprekidne u tački x_0. Ako je g(x_0)\neq 0, onda je i funkcija \frac{f}{g} neprekidna u tački x_0.
* Ako je g neprekidna funkcija u tački x_0, a f neprekidna funkcija u tački g(x_0), onda je složena funkcija f(g) neprekidna u tački x_0.

## Primjeri funkcija sa različitim vrstama tačaka prekida
* Funkcija zadana sa f(x)=\frac{1}{x}, koja nije definisana za x = 0 ima prekid u tački x = 0. Tačka x = 0 predstavlja prekid *druge vrste* za ovu funkciju.
* Funkcija zadana sa f(x) = \left\{\begin{array}{cc} e^{x} &x \leq 0 \\ \ln{x}&x>0 \end{array}\right. ima prekid *druge vrste* u tački x = 0. Ovo je primjer funkcije koja je neprekidna s lijeva ali nije neprekidna s desna.
* Funkcija zadana sa \frac{x} posjeduje istovremeno prekid *prve vrste* (u tački x = 0) i prekid *druge vrste* (u tački x = 1).
* Funkcija zadana sa f(x) = \frac{x^3+8}{x + 2} posjeduje otklonjiv prekid u tački x = -2.

## Neprekidnost funkcija na zatvorenom intervalu
Za funkciju f definisanu na nekom intervalu ili uniji intervala D(f) kažemo da je **neprekidna** na D(f) ako je neprekidna u svakoj tački x_0\in D(f).

Ako je funkcija neprekidna na zatvorenom intervalu [a,b], ona je na tom intervalu i ograničena, te na tom intervalu poprima svoju najmanju i najveću vrijednost.

## Uniformna neprekidnost funkcija
Za funkciju f definisanu na nekom intervalu (a,b) kažemo da je **uniformno neprekidna** na tom intervalu, ako za svako \epsilon > 0 postoji \delta = \delta(\epsilon) > 0 takvo da za sve parove tačaka x_1,x_2\in (a,b) za koje je |x_2-x_1| vrijedi |f(x_2)-f(x_2)|.

Ako je funkcija f uniformno neprekidna na nekom intervalu, ona je očigledno i neprekidna na tom intervalu. Dakle, klasa uniformno neprekidnih funkcija je potskup klase neprekidnih funkcija. U slučaju zatvorenog intervala [a,b] ove dvije klase se poklapaju, tj. svaka neprekidna funkcija nad zatvorenim intervalom [a,b] je ujedno i uniformno neprekidna nad ovim intervalom. U slučaju otvorenih intervala, ovo ne vrijedi. Npr. funkcija f(x)=\frac{1}{x} je neprekidna na otvorenom intervalu (0,1), ali nije uniformno neprekidna na ovom intervalu.
## Vanjske veze