Rotor (matematika)

U vektorskoj analizi i teoriji polja, **rotor** ili **rotacija** (rot, eng. *curl*) je veličina koja odražava svojstva vektorskoga polja u prostoru. Najviše se primjenjuje u fizici, pogotovo u elektromagnetizmu i hidrodinamici.

## Definicija

Pogledajmo linijski integral vektorskog polja \overrightarrow{W} duž zatvorne krivulje C koja ograničava površinu S. Premostimo krivulju
nekim lukom, tako da je vanjska krivulja razdvojena na dvije (C_1+C_2=C). Pri integriranju sada udio imaju samo vanjski dijelovi početne
linije, jer se po luku integrira jednom u jedom, a drugi put u suprotom smijeru pa se taj integral poništava (v. sl.). Naravno, isto se događa i
za velik broj razdioba početne površine S:

:\oint \overrightarrow{W} d\vec{S}=\int\limits_C \overrightarrow{W} d\vec{S}=\sum_{i=1}^N \int\limits_{C_i} \overrightarrow{W} d\vec{S}_i.

Uzmimo sada omjer te vrijednosti i *infinitezimalno* malog dijela površine A_i koji okružuje krivulja C_i. Pustimo li da N \mapsto
\infty, odnosno A_i \mapsto 0, dobivamo graničnu vrijednost koja predstavlja skalarnu veličinu pridruženu određenoj točki prostora, pa je
stoga možemo smatrati komponentom vektora. Pomnožimo li dati izraz s vektorom normale \hat{n}, dolazimo upravo do definicije **rotacje** ili
**rotora** vektorskog polja:

:\hat{n} \cdot \mbox{rot} \overrightarrow{W} \stackrel{def.}{=}\lim_{A_i \rightarrow 0} \frac{\int\limits_{C_i}\overrightarrow{W} d\vec{S}}{A_i} =
\lim_{\Delta S \rightarrow 0} \frac{\oint \overrightarrow{W} d\vec{S}}{\Delta S}.

## Svojstva i pretpostavke
**Nije nužno** da ploha omeđena krvuljom koju promatramo **leži u ravnini**, traži se jedino da ta ploha *nema [[singularnost]]i*.

Nadalje,
pretpostavlja se da se vektor normale \hat{n} ne mijenja dok se element plohe smanjuje k nuli. 
Rotor je, kao i Divergencija, također **[[invarijanta]] vektorskog
polja**.

## Rotor u kartezijevu sustavu

Kako bismo izveli izraz za rotor u kartezijevu sustavu, napravimo integraciju po rubu
pravokutnika paralelnog s xOy - ravinom (\hat{n} = \hat{z}), kao na sl.

:\oint \overrightarrow{W} d \vec{S} = \int\limits_{C_1}
\overrightarrow{W} d \vec{S} + \int\limits_{C_2}
\overrightarrow{W} d \vec{S} + \int\limits_{C_3}
\overrightarrow{W} d \vec{S} + \int\limits_{C_4}
\overrightarrow{W} d \vec{S} =

:=\int\limits_{C_1} W_x
(x,y_0,z_0) dx +\int\limits_{C_2} W_y (x_0+\Delta x,y,z_0) dy - 

:-\int\limits_{C_3} W_x (x,y_0+\Delta y,z_0) dx - \int\limits_{C_4}
W_y (x_0,y,z_0) dy = 

:=\int \Bigl[ W_x(x,y_0,z_0) -
W_x(x,y_0+\Delta y,z_0) \Bigr] dx +

: + \int \Bigl[ W_y(x_0+\Delta
x,y,z_0) - W_y(x_0,y,z_0) \Bigr] dy =  

:=\frac{\partial W_y}{\partial x} \cdot \Delta x \Delta y -
\frac{\partial W_x}{\partial y} \cdot \Delta x \Delta y =

:=\Delta S \cdot \Bigl (\frac{\partial W_y}{\partial x} -
\frac{\partial W_x}{\partial y} \Bigr).

Uvršatavanjem u
definiciju rotacije, te potpunom analogijom, imamo:

:\hat{z}\cdot \mbox{rot} \overrightarrow{W} = \lim_{\Delta S
\rightarrow 0} \frac{\oint \overrightarrow{W} d \vec{S}}{\Delta S}
=\lim_{\Delta S \rightarrow 0} \frac{\Bigl (\frac{\partial
W_y}{\partial x} - \frac{\partial W_x}{\partial y} \Bigr) \Delta
S}{\Delta S} = \Bigl (\frac{\partial W_y}{\partial x} -
\frac{\partial W_x}{\partial y} \Bigr)=(\mbox{rot}
\overrightarrow{W})_z. 

:(\mbox{rot}
\overrightarrow{W})_x=\Bigl (\frac{\partial W_z}{\partial y} -
\frac{\partial W_y}{\partial z} \Bigr)

:(\mbox{rot}
\overrightarrow{W})_y=\Bigl (\frac{\partial W_x}{\partial z} -
\frac{\partial W_z}{\partial x} \Bigr)

:(\mbox{rot}
\overrightarrow{W})_z= \Bigl (\frac{\partial W_y}{\partial x} -
\frac{\partial W_x}{\partial y} \Bigr)

:\mbox{rot}
\overrightarrow{W}=\hat{x}\Bigl (\frac{\partial W_z}{\partial y} -
\frac{\partial W_y}{\partial z} \Bigr) + \hat{y}\Bigl
(\frac{\partial W_x}{\partial z} - \frac{\partial W_z}{\partial x}
\Bigr) + \hat{z}\Bigl (\frac{\partial W_y}{\partial x} -
\frac{\partial W_x}{\partial y} \Bigr).

Očito u danoj
fomuli možemo prepoznati simbolički zapisanu determinantu:

:
\mbox{rot} \overrightarrow{W}= \left|
    \begin{array}{ccc}
        \displaystyle{\hat{x}} & \displaystyle{\hat{y}} & \displaystyle{\hat{z}} \\
        \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}} & \displaystyle{\frac{\partial}{\partial y}} & \displaystyle{\frac{\partial}{\partial z}}\\
        \displaystyle{W_x} & \displaystyle{W_y} & \displaystyle{W_z}
    \end{array}
\right|. 

Nadalje, očito je

:\mbox{rot}
\overrightarrow{W}=\Bigl(\hat{x}\frac{\partial}{\partial
x}+\hat{y}\frac{\partial}{\partial
y}+\hat{z}\frac{\partial}{\partial z}\Bigr) \times (\hat{x}W_x +
\hat{y}W_y + \hat{z}W_z)=\vec{\nabla} \times \overrightarrow{W},
 
pa \mbox{rot} \overrightarrow{W} često označavamo s
\vec{\nabla} \times \overrightarrow{W}, gdje je \vec{\nabla} Hamiltonov operator.

## Rotacija i Stokesov teorem

Za rotaciju vrijedi Stokesov teorem
:\int\limits_S \mbox{rot} \overrightarrow{W} \cdot d\vec{A} = \int\limits_C \overrightarrow{W} \cdot d\vec{S}.

## Izrazi za rotaciju u drugim koordinatnim sustavima

* u cilindričnom:
:|(\mbox{rot} \overrightarrow{W})_{\rho}| = \frac{1}{\rho} \frac{\partial W_z}{\partial \varphi}- \frac{\partial W_{\varphi}}{\partial z}
:|(\mbox{rot} \overrightarrow{W})_{\varphi}|=\frac{\partial W_{\rho}}{\partial z} - \frac{\partial W_z}{\partial \rho}
:|(\mbox{rot} \overrightarrow{W})_z|=\frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho}(\rho W_{\varphi}) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial
    W_{\rho}}{\partial \varphi}
:\mbox{rot}\overrightarrow{W}=\biggl[\frac{1}{\rho} \frac{\partial W_z}{\partial \varphi}- \frac{\partial W_{\varphi}}{\partial z}\biggr]\hat{\rho}+
    \biggl[\frac{\partial W_{\rho}}{\partial z} - \frac{\partial W_z}{\partial \rho} \biggr]\hat{\varphi}+
    \biggl[\frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho}(\rho W_{\varphi}) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial W_{\rho}}{\partial \varphi}\biggr]\hat{z}

* u sfernom:
:|(\mbox{rot} \overrightarrow{W})_r| = \frac{1}{r\sin\vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta}(W_{\varphi}\sin\vartheta)-
    \frac{1}{r\sin\vartheta} \frac{\partial W_{\vartheta}}{\partial \varphi}
:|(\mbox{rot} \overrightarrow{W})_{\vartheta}|=\frac{1}{r\sin\vartheta} \frac{\partial W_r}{\partial\varphi} -\frac{1}{r}\frac{
    \partial }{\partial r}(rW_{\varphi})
:|(\mbox{rot} \overrightarrow{W})_{\varphi}|=\frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r}(r W_{\vartheta}) - \frac{1}{r} \frac{\partial
    W_{r}}{\partial \vartheta}
:\mbox{rot}\overrightarrow{W}=\biggl[\frac{1}{r\sin\vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta}(W_{\varphi}\sin\vartheta)-
    \frac{1}{r\sin\vartheta} \frac{\partial W_{\vartheta}}{\partial \varphi}\biggr]\hat{r}+
    \biggl[\frac{1}{r\sin\vartheta} \frac{\partial W_r}{\partial\varphi} -\frac{1}{r}\frac{
    \partial }{\partial r}(rW_{\varphi}) \biggr]\hat{\vartheta}+\biggl[\frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r}(r W_{\vartheta}) - \frac{1}{r} \frac{\partial
    W_{r}}{\partial \vartheta}\biggr]\hat{\varphi}.

## Rotacija i algebarske operacije

Neka su dana vektorska polja \vec{u} i \vec{v}, skalar U,
skalarna funkcija f(U) i radij-vektor \vec{r}. Tada vrijedi:
* \textrm{rot}(\vec{u}+\vec{v})=\textrm{rot}\vec{u}+\textrm{rot}\vec{v}
* \textrm{rot}(U \cdot \vec{v})=U \cdot \textrm{rot}\vec{v}-\vec{v} \times \mbox{grad} U
* \textrm{rot}[f(U) \cdot \vec{v}]=f(U)\cdot \textrm{rot}\vec{v}-\vec{v} \times f_U^{'}(U)\textrm{grad} U
* \textrm{rot}\vec{r}=0
* \mbox{rot}(\vec{u} \times \vec{v})= \vec{u} \mbox{div} \vec{v} - \vec{v} \mbox{div}\vec{u}+(\vec{v} \cdot \vec{\nabla})\vec{u}-(\vec{u}
     \cdot \vec{\nabla})\vec{v}
* \mbox{grad}(\vec{u} \cdot \vec{v})= \vec{v} \times \mbox{rot} \vec{u} + \vec{u} \times\mbox{rot} \vec{v} +(\vec{v} \cdot \vec{\nabla})
    \vec{u}+(\vec{u} \cdot \vec{\nabla})\vec{v}
*  \mbox{div}(\vec{u} \times \vec{v})= \vec{v}\mbox{rot}\vec{u}-\vec{u}\mbox{rot}\vec{v}.

## Primjeri

* **Rotor elektrostaskog polja točkastog naboja**, \overrightarrow{E}=
\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{q}{r^3}\vec{r}: 
:\mbox{rot} \overrightarrow{E} = \mbox{rot} \Bigl(\frac{1}{4
\pi \varepsilon_0}\frac{q}{r^3}\vec{r}
\Bigr)\stackrel{(2.)}{=}\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}
\mbox{rot}\vec{r} -\vec{r} \times \mbox{grad} \frac{q}{4 \pi
\varepsilon_0 r^3} = -\frac{3q}{4 \pi \varepsilon_0
r^4}\frac{\vec{r}}{r}
\times\vec{r} = [\vec{r}\times\vec{r}=0]=0.

* **Rotor vektorskog polja [[obodna brzina|obodne kružne brzine]]**, \vec{v}=\vec{\omega} \times \vec{r} (v. sl.).

: \vec{v}=\vec{\omega} \times \vec{r}= \left|
    \begin{array}{ccc}
        \hat{x} & \hat{y} & \hat{z}\\
        \omega_x & \omega_y & \omega_z\\
        x & y & z
    \end{array}
\right|=\hat{x} (z
\omega_y-y\omega_z)+\hat{y}(x\omega_z-z\omega_x)+\hat{z}(y\omega_x-x\omega_y);

: \mbox{rot} \vec{v}= \left|
    \begin{array}{ccc}
        \hat{x} & \hat{y} & \hat{z}\\
        \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\
        (z \omega_y-y\omega_z) & (x\omega_z-z\omega_x) & (y\omega_x-x\omega_y)
    \end{array}
\right|=2\omega_x\hat{x}+2\omega_y\hat{y}+2\omega_z\hat{z}=2\vec{\omega}.

Odatle se lako mogu iščitati komponente kutne brzine:

:\omega_x=\frac{1}{2}\Bigl( \frac{\partial v_z}{\partial y}
- \frac{\partial v_y}{\partial z}\Bigr)
:\omega_y=\frac{1}{2}\Bigl( \frac{\partial v_x}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial x}\Bigr)
:\omega_z=\frac{1}{2}\Bigl( \frac{\partial v_y}{\partial x}
- \frac{\partial v_x}{\partial y}\Bigr).

Na ovom primjeru primijetimo: vektor brzine
\vec{v} je polarni vektor, a vektor
\mbox{rot}\vec{v} je aksijalni vektor. Međutim, to
vrijedi i
općenito: *rotor polarnog vektora je aksijalni vektor, a rotor aksijalnog vektora je polarni vektor.*

## Vezani pojmovi
* Tok polja
* Gradijent
* Divergencija
* Vektorsko polje
* Elektromagnetizam
* Električno polje
* Magnetsko polje
* Hidrodinamika
* Vektorske operacije u zakrivljenim koordinatama

## Vanjske veze
* Gradijent, divergencija i rotacija
* Divergencija i rotacija. Specijalna polja
* Wolfram: Curl