Inverz (matematika)

U matematici, pojam **inverznog elementa** predstavlja uopštenje pojmova negacije, u odnosu na sabiranje, i recipročnosti, u odnosu na množenje. Intuitivno, inverz može da *poništi* efekat kombinacije nekog elementa sa drugim datim elementom.

## Formalna definicija
Neka je S skup sa binarnom operacijom *. Ako je e neutralni element za (S,*) i a*b=e, onda je a **levi inverz** od b a b je **desni inverz** od a. Ako je element x ujedno i levi i desni inverz od y, onda se x naziva **dvostranim inverzom**, ili prosto **inverzom**, od y. Element koji ima dvostrani inverz u S se naziva **invertibilnim** u S. Element koji ima inverz samo sa jedne strane je **levo invertibilan**, ili **desno invertibilan**.

Kao što je za (S,*) moguće da ima više levih identiteta ili više desnih identiteta, moguće je da element ima više levih inverza ili više desnih inverza (ali treba imati u vidu da njihova gornja definicija koristi dvostrani identitet, e). Element može čak da ima više levih inverza *i* više desnih inverza.

Ako je operacija * asocijativna, onda ako element ima i levi i desni inverz, oni su jednaki i jedinstveni. U ovom slučaju, skup (levo i desno) invertibilnih elemenata je grupa koja se naziva grupom jedinica od S, u oznaci U(S) ili S^*.

## Računanje
Svaki realan broj x ima aditivni inverz (inverz u odnosu na sabiranje) jednak -x. Svaki realan broj različit od nule, x ima multiplikativni inverz (inverz u odnosu na množenje) jednak \frac 1{x}. Nula nema multiplikativni inverz.

Funkcija g je levi (ili desni) inverz funkcije f (za kompoziciju funkcija), ako i samo ako je g o f (ili f o g) funkcija identiteta na domenu (ili kodomenu) funkcije f.

Kvadratna matrica M sa elementima iz polja K je invertibilna (u skupu svih kvadratnih matrica iste dimenzije, u odnosu na množenje matrica) ako i samo ako je njena determinanta različita od nule. Ako je determinanta matrice M jednaka nuli, nemoguće je da ta matrica ima jednostrani inverz; stoga postojanje levog inverza implicira postojanje desnog (i obratno). Vidi invertibilna matrica za detaljniji opis.

Opštije, kvadratna matrica nad komutativnim prstenom R je invertibilna ako i samo ako je enjna determinanta invertibilna u R.

Nekvadratne matrice punog ranga imaju jednostrane inverze:
* Za A:m\times n \mid m>n postoji levi inverz:  \underbrace{ (A^{T}A)^{-1}A^{T} }_{ A^{-1}_\text{left} } A = I_{n} 
* Za A:m\times n \mid m postoji desni inverz:  A \underbrace{ A^{T}(AA^{T})^{-1} }_{ A^{-1}_\text{right} } = I_{m} 
Nijedna matrica koja nije punog ranga nema bilo kakav (ni jednostrani) inverz. Međutim, Mur-Penrouzov pseudoinverz postoji za sve matrice, i poklapa se sa levim ili desnim (ili dvostranim) inverzom ako on postoji.

## Primer
A:2\times 3 =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}


Dakle, kako je m, postoji desni inverz. A^{-1}_{desni} = A^{T}(AA^{T})^{-1}

AA^{T} =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 4\\
2 & 5\\
3 & 6
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
14 & 32\\
32 & 77
\end{bmatrix}


(AA^{T})^{-1}
=
\begin{bmatrix}
14 & 32\\
32 & 77
\end{bmatrix}^{-1}
=
\frac{1}{54} \begin{bmatrix}
77 & -32\\
-32 & 14
\end{bmatrix}


A^{T}(AA^{T})^{-1}
=
\frac{1}{54}\begin{bmatrix}
1 & 4\\
2 & 5\\
3 & 6
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
77 & -32\\
-32 & 14
\end{bmatrix}

=
\frac{1}{18}
\begin{bmatrix}
-17 & 8\\
-2 & 2\\
13 & -4
\end{bmatrix}
=
A^{-1}_{desni}


Levi inverz ne postoji, jer A^{T}A =
\begin{bmatrix}
1 & 4\\
2 & 5\\
3 & 6
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
17 & 22 & 27 \\
22 & 29 & 36\\
27 & 36 & 45
\end{bmatrix}

, što je singularna matrica, koja ne može da se invertuje.

## Reference