Nepravi integral

:*Preporučuje se čitaocu da, prije čitanja članaka, bude upoznat sa [[antiderivacija]]ma, [[integral]]ima i [[granična vrijednost|graničnim vriejdnostima]].*

U kalkulusu, **nepravi integral** je granična vrijednost određenog integrala, kao se posjednja tačka intervala integracije približava bilo određenom realnom broju ili &infin; ili &minus;&infin;, ili, u nekim slučajevima, kada sa dvije strane teži ka graničnoj vrijednosti.

U nekim slučajevima, integral

:\int_a^c f(x)\,dx\,

se *definiše* bez obzira na granicu

:\lim_{b\to c^-}\int_a^b f(x)\,dx\,

ali se drugačije ne može izračunati. Ovo se najčešće dešava kada se funkcija *f*, koja se integriše od *a* do *c*, ima vertikalnu asimptotu u *c*, ili ako *c*&nbsp;=&nbsp;&infin; (pogledajte: **Slika 1** i **Slika 2**).

U nekim slučajvima, integral od *a* do *c* nije ni definisan, jer su integrali i pozitivnih i negativnih dijelova *f*(*x*)&nbsp;*dx* od *a* do *c* beskonačni, ali granična vrijednost, ipak, može postojati. Takvi slučajevi su "pravi nepravi" integrali, npr. njihove vrijednosti se ne mogu definisati, osim kao te granične vrijednosti.


Integral
:\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^2}
*može* se interpretirati kao
:\lim_{b\to\infty}\int_0^b\frac{dx}{1+x^2}=\lim_{b\to\infty}\arctan{b}=\frac{\pi}{2},

ali, prema matematičkoj analizi, nije *neophodno* interpretirati ga na taj način, jer se može interpretirati kao Lebesgueov integral u intervalu (0, &infin;). Na drugu stranu, korištenje granične vrijednosti određenih integrala u zatvorenom intervalu, je jako korisno samo ako se računaju tačne vrijednosti.

U suprotnosti,

:\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx

*ne može* biti interpretiran kao Lebesgueov integral, pošto je

:\int_0^\infty\left|\frac{\sin(x)}{x}\right|\,dx=\infty.

Zbog toga je to "pravi" nepravi integral, čije vrijednosti su date preko

:\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_0^b\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}.

Možemo govoriti o *singularitetima* nepravog integrala, misleći na one tačke produžene brojne linije realnih brojeva u kojim je korištena granična vrijednost.

Takvi integrali se često zapisuju simbolično kao i standardni pravi integrali, možda sa *beskonačnosti* kao granicom integracije. Ali to prikriva proces traženja granične vrijednosti. Korištenjem "naprednije" Lebesgueovog integrala, umjesto Riemannovog integrala, može se, u nekim slučajevima, zaobići ovaj problem, ali ako se jednostavno želi dobiti određeni rezultat, ta metoda nam možda neće pomoći.

## Beskonačne granice integracije
Najosnovniji od nepravih integrala su integrali tipa: 

:\int\limits_0^\infty {dx \over x^2+1}.

Kako je gore rečeno, ovo ne mora biti definisano kao nepravi integral, jer se, umjesto toga, može računati kao Lebesgueov integral. Međutima, u svrhu tačnog *izračunavanja* ovog integrala, bolje ga je tretirati kao nepravog integrala, npr. izračunati ga kada je gornja granica integracije konačna, a zatim računati graničnu vrijednost, ako ta granica teži ka &infin;.
Antiderivacija funkcije koja se integriše je arctan&nbsp;*x*. Integral je

:\lim_{b\rightarrow\infty}\int\limits_0^b\frac{dx}{1+x^2}=\lim_{b\rightarrow\infty}\arctan b-\arctan 0=\pi/2-0=\pi/2.

Nepravi integral konvergira samo ako i granična vrijednost konvergira. Ovo je primjer integrala, koji ne oknvergira:
:\int\limits_1^\infty {dx \over x} = \lim_{b\rightarrow\infty}\int\limits_1^b\frac{dx}{x}=\lim_{b\rightarrow\infty}\ln b=\infty

Nekada će obje granice biti beskonačne. U tom slučaju, integral se može razbiti na sumu dva neprava integrala:
:\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,dx = \int\limits_{-\infty}^a f(x) \,dx + \int\limits_a^{+\infty} f(x) \,dx
gdje je *a* arbitražni konačni broje.

U ovom slučaju, nepravi integral konvergira samo ako oba integrala konvergiraju. Ako jedan integral divergira u pozitivnu beskonačnost, a drugi divergira u negativnu beskonačnost, tada je integral nedefinisan, te se mogu dobiti različiti razultati, u zavisnosti od toga u kakvom su odnosu granične vrijednosti ta dva integrala. Pogledajte Cauchyjevu principijalnu vrijednost.

## Vertikalne asimptote u granicama integracije
Razmotrimo

:\int_0^1 \frac{dx}{x^{2/3}}.

Ova je integral funkcije sa vertikalnom asimptotom u *x* = 0.

Ovaj integral se može izračunati ako računamo u granicama od *b* (broj veći od nule) do 1, a zatim izračunati graničnu vrijednosti kada *b* teži 0 sa desne strane (pošto je interval naše integracije sa desne strane od 0). Treba primijetiti da je antiderivacija funkcije iznad upravo 3 x^{1/3},, tako da se integral može računati kao

:\lim_{b\rightarrow 0^+}\int_b^1\frac{dx}{x^{2/3}}=3 \cdot 1^{1/3}-\lim_{b\rightarrow 0^+}3 b^{1/3}=3-0=3.

Nepravi integral konvergira samo ako granična vrijednost konvergira. Ovo je primjer integrala koji ne konvergira:

:\int_0^1 {dx \over x} = \lim_{b\rightarrow 0^+}\int_b^1\frac{dx}{x}=\lim_{b\rightarrow 0^+}-\ln b=\infty

Ponekad se vrši integracija iznad intevala koji siječe vertikalna asimptota. U tom slučaju, može se integral rastaviti na sumu dva neprava integala sa obe strane:

:\int_a^c f(x) \,dx = \int_a^b f(x) \,dx + \int_b^c f(x) \,dx
gdje je *b* lokacija vertikalne asimptote.

U ovom slučaju, nepravi integral konvergira samo ako oba integrala konvergiraju. Ako jedan integral divergira u pozitivnu beskonačnost, a drugi divergira u negativnu beskonačnost, tada je integral nedefinisan, te se mogu dobiti različiti razultati, u zavisnosti od toga u kakvom su odnosu granične vrijednosti ta dva integrala. Pogledajte Cauchyjevu principijalnu vrijednost.

## Cauchyjeva principijalna vrijednost

Razmotrimo razliku u vrijednostima ova dva limesa:

:\lim_{a\rightarrow 0+}\left(\int_{-1}^{-a}\frac{dx}{x}+\int_a^1\frac{dx}{x}\right)=0,

:\lim_{a\rightarrow 0+}\left(\int_{-1}^{-a}\frac{dx}{x}+\int_{2a}^1\frac{dx}{x}\right)=-\ln 2.

Prethodni je **Cauchyjeva principijalna vrijednost** predhodno nedefinisanog izraza

:\int_{-1}^1\frac{dx}{x}{\  }
\left(\mbox{which}\  \mbox{gives}\  -\infty+\infty\right).

Slično tome, imamo

:\lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^a\frac{2x\,dx}{x^2+1}=0,

ali

:\lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-2a}^a\frac{2x\,dx}{x^2+1}=-\ln 4.

Prethodni je principijalna vrijednost prethodno nedefinisanog izraza

:\int_{-\infty}^\infty\frac{2x\,dx}{x^2+1}{\  }
\left(\mbox{which}\  \mbox{gives}\  -\infty+\infty\right).

Sve prethodne granične vrijednosti su u nedefinisanoj formi &infin; &minus; &infin;.