Normala

**Normala** je najopćenitije pravac ili vektor koji je okomit na objekt o kojem se govori (npr. *normala na krivulju*, *normala na površinu* i sl.) 

## Pravi ugao
Ako imamo dvije normalne prave a i b i uglove koje one čine α1; α2; α3 i  α4,. U simetriji sb preslikavaugao  α1 na α4, ugao α2;  na α3. Iz ovog zaključujemo da je **α<sub>1</sub>  = α<sub>4</sub>  i  α<sub>2</sub> = α<sub>3</sub>.**
;Definicija 1:

Svaki od uglova koje čine normalne prave je **pravi ugao**.

;Teorema 1:

Dvije različite prave u jednoj ravni normalne  na treću pravu u toj ravni su **paralelne prave**.

;Definicija 2:

Tačka X0, u kojoj normala u tački X na datu pravu a sijeće pravu a zove se ortogonalna projekcija tačke X na pravu a.
Ortogonalnu projekciju krače zovemo samo projekcija.
## Normalne 2 prave
Za dvije prave u ravni kažemo da su normalne ako zatvaraju pravi ugao.

Definiciju proširimo i na prave koji ne leže u istoj ravni, tj na mimoilazne pravce.

Neka su p i q dvije  mimosmjerna prave. Odaberimo jednu tačku A na pravoj p. Kroz tu tačku prolazi tačno jedan prava paralelna s pravcom q (prema Petom Euklidovom
aksiomu). Označimo tu pravu sa q_1.
Kažemo da su pravci
p i q su  norrmalne ako su  prave p i q_1 normalne.Pišemo 
p \perp  q.
## Normalnost prave i ravni
Kažemo da je prava p normalna na ravan \alpha ako je normalna na svaku pravu te ravni.

;Teorema

Prava je normalna na ravan ako je normalna na neke dvije neparalelne prave te ravni.

Ravan je određena jednom svojom tačkom i nekom pravom koja je normalna na nju

## Normalnost dvije  ravni

;Definicija

Kažemo da je ravan normalna na drugu ravan ako sadrži pravu koja je normalna na tu ravan.

Za datu tačku T i datu ravan \pi  postoji jedinstvens prava kroz T koja je normalna na ravan \pi

;Definicija

Ortogonalna  projekcija tačke T na ravan \pi je probodište ravni \pi i prave
q koja prolazi kroz T i normalna je na \pi.
## Teorema o tri normale

Ako je ortogonalna projekcija p' prave p na ravan \pi normalna na neku pravu
q te ravni, onda je i prava p normalna na q. 

Vrijedi i obratno

Ako je  prava p normalna  na q, onda je p' normalna na q.
## Normala na krivulju

Normalom na krivulju y = f(x)  u točki  x_0 nazivamo pravac koji prolazi kroz točku (x_0, f(x_0))   i okomit je na tangentu krivulje u toj točki. Budući da je interpretacija prve derivacije funkcije koeficijent smjera pravca - tangente, to je jednadžba normale

: y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0), 

uz pretpostavku da prva derivacija ne iščezaje u točki  x_0, tj. (f'(x_0) \neq 0). 

Ukoliko je f'(x_0) = 0 , tada je jednadžba normale x = x_0 , tj. normala je očito paralelna s y -osi. 

Vektor normale je vektor koji leži na prethodno definiranom pravcu - normali. Pod pojmom normala, dakle, nekad razumijevamo prethodno definirani pravac, a nekad vektor koji leži na tom pravcu. Vektor normale po dogovoru najčešće uvijek gleda "van" krivulje.

## Tangenta na površinu

Vektor normale na površinu u točki  T  je vektor okomit na tangencijalnu ravninu površine u točki  T . U slučaju ravne površine, očito je to vektor okomit na samu tu ravninu, i dan je vektorskim produktom bilo kojih dvaju vektora koja leže u ravnini. Ravnina, dakle, može imati normalu u dva smjera. 

Normala na opću površinu, parametriziranu sustavom krivolinijskih koordinata  \mathbf{x}(s, t), gdje su  s i  t realne varijable, dana je vektorskim umnoškom parcijalnih derivacija po respektivnim koordinatama:

:{\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}.

Normala na opću površinu, zadanu implicitno jednadžbom 

: f(x, y, z) = 0, 

u točki  T = (x, y, z)  dana je gradijentom:

: \nabla f(x,y,z). 

## Iznimke

Ako određena površina u nekoj točki nema definiranu tangencijalnu ravninu, onda tu nema definiranu ni normalu. Tako, npr., valjak nema definiranu normalu na spoju plašta i dna, stožac nema normale u vrhu; u dvije dimenzije, funkcija  f(x) = |x|  nema definiranu normalu u ishodištu. 

## Jedinstvenost

Već smo kod normale na krivulju mogli nazreti da normala nema jedinstven smjer - vektor normale na pravac već ima dva moguća smjera. Za orjentiranu površinu, normala se određuje pravilom desne ruke, tj., rečeno intuitivno, "gleda prema van". 

## Vanjske veze
* Tangenta i normala
* Java applet za traženje normale