Minimalni polinom

U različitim područjima matematike, **minimalni polinom** objekta *a* je u određenom smislu normirani polinom *p* najmanjeg mogućeg stupnja takav da je *p*(*a*)&nbsp;=&nbsp;0. Posebno je značajan pojam minimalnog polinoma u linearnoj algebri i teoriji polja.

## Linearna algebra

U linearnoj algebri, **minimalni polinom** kvadratne matrice *A* je monični polinom *p* najmanjeg mogućeg stupnja takav da je
:*p*(*A*)&nbsp;=&nbsp;0.
Svaka matrica *A* ima jednoznačno određen minimalni polinom; on se najčešće označuje sa &mu;*A*. Minimalni polinom matrice dijeli svaki od polinoma koji je poništavaju, tako da se može odrediti i kao njihov najveći zajednički djelitelj, odnosno kao monični generator glavnog ideala
:&#123;&nbsp;*p*&nbsp;&isin;*K*&#091;X&#093;&nbsp;&#058;&nbsp;*p*(*A*)&nbsp;=&nbsp;0&nbsp;&#125;&nbsp;=&nbsp;(&mu;*A*)
u prstenu polinoma *K*&#091;*X*&#093;.

Slične matrice imaju jednake minimalne polinome. Minimalni polinom linearnog operatora *L* je minimalni polinom bilo koje od njegovih matrica (koje su sve međusobno slične). Istovremeno, to je i monični polinom *p* najmanjeg stupnja takav da je *p*(*L*)&nbsp;=&nbsp;0.

Minimalni i karakteristični polinom matrice imaju jednake skupove nula, moguće različitih kratnosti. Drugi način da se iskaže ovo svojstvo je relacija
:&mu;*A*&nbsp;&#124;&nbsp;&phi;*A*&nbsp;&#124;&nbsp;&mu;*A**n*.
Relacija &mu;*A*&nbsp;&#124;&nbsp;&phi;*A* je posljedica Cayley-Hamiltonovog teorema, prema kojem je &phi;*A*(*A*)&nbsp;=&nbsp;0. Na osnovu ovog svojstva, minimalni polinom matrice se u praksi najčešće nalazi tako što se prvo izračuna i na čimbenike razloži njen karakteristični polinom, a zatim se minimalni polinom traži među njegovim djeliteljima sa istim skupom nula. Minimalni polinom kvadratne matrice reda *n* je stupnja najviše *n*.

### Minimalni polinom, svojstvene vrijednosti i kanonski oblici matrice

Nule karakterističnog, pa dakle i minimalnog, polinoma matrice su njene svojstvene vrijednosti. Posebice, ako *n*&nbsp;&times;&nbsp;*n* matrica ima *n* različitih svojstvenih vrijednosti &lambda;1,&nbsp;&lambda;2,&nbsp;...,&nbsp;&lambda;*n*, tada se njen minimalni i karakteristični polinom podudaraju i oba su jednaka
:(*X*&nbsp;&minus;&nbsp;&lambda;1)&sdot;(*X*&nbsp;&minus;&nbsp;&lambda;2)&nbsp;&hellip;&nbsp;(*X*&nbsp;&minus;&nbsp;&lambda;*n*).
Općenito, svaka matrica ima Jordanov normalni oblik, jednoznačno određen do na redoslijed blokova, po nekoliko njih za svaku svojstvenu vrijednost matrice, i koja joj je slična, te tako ima isti minimalni i karakteristični polinom. Ako matrica *A* ima svojstvene vrijednosti &lambda;1,&nbsp;&lambda;2,&nbsp;&hellip;,&nbsp;&lambda;*k* sa algebarskim kratnostima *r*1,&nbsp;*r*2,&nbsp;&hellip;,&nbsp;*r**k* (tako da je *r*1&nbsp;+&nbsp;*r*2&nbsp;+&nbsp;...&nbsp;+&nbsp;*r**k*&nbsp;=&nbsp;*n*), i ako su, za svako 1&nbsp;&le;&nbsp;*i*&nbsp;&le;&nbsp;*k*, &nu;1(*i*)&nbsp;&le;&nbsp;&nu;2(*i*)&nbsp;&le;&nbsp;&hellip;,&nbsp;&le;&nbsp;&nu;*si*(*i*) dimenzije Jordanovih blokova koji odgovaraju svojstvenoj vrijednosti &lambda;*i* (tako da je &nu;1(*i*)&nbsp;+&nbsp;&nu;2(*i*)&nbsp;+&nbsp;...&nbsp;+&nbsp;&nu;*si*(*i*)&nbsp;=&nbsp;*r**i*), tada je
:\phi_A=(X-\lambda_1)^{r_1}(X-\lambda_2)^{r_2}\cdots(X-\lambda_k)^{r_k}, \mu_A=(X-\lambda_1)^{\nu_{s_1}(1)}(X-\lambda_2)^{\nu_{s_2}(2)}\cdots(X-\lambda_k)^{\nu_{s_k}(k)}.
Posebno se minimalni i karakteristični polinom matrice podudaraju ako i samo ako svakoj njenoj svojstvenoj vrijednosti odgovara po točno jedan Jordanov blok, odnosno ako i samo ako su geometrijske kratnosti svih svojstvenih vrijednosti (za svojstvenu vrijednost &lambda;*i* to je *s**i*, broj odgovarajućih Jordanovih blokova) jednake 1.

Matrica je dijagonalizabilna nad nekim poljem *F* ako i samo ako je njen minimalni polinom umnožak različitih linearnih faktora nad *F*.

Matrice kod kojih se minimalni i karakteristični polinom podudaraju se pogodno karakteriziraju upravo kao matrice koje su slične nekoj cikličkoj matrici; linearni operatori koji odgovaraju takvim matricama se i sami nazivaju cikličkim operatorima. Općenito, ako su *A*1,&nbsp;*A*2,&nbsp;....,&nbsp;*A**l* kanonski ciklički blokovi matrice *A* i &phi;1&nbsp;&#124;&nbsp;&phi;2&nbsp;&#124;&nbsp;...&nbsp;&#124;&nbsp;&phi;*l* njihovi karakteristični (i istovremeno minimalni) polinomi, invarijantni djelitelji matrice *A*, tada je
:&phi;*A*&nbsp;=&nbsp;&phi;1&phi;2...&phi;*l*,&nbsp;&nbsp;&mu;*A*&nbsp;=&nbsp;&phi;*l*.

### Poopćenja
Rabeći teorije Galoisa se ustanovljava da minimalni polinom matrice ne ovisi od polja nad kojim se ona promatra: ako je *K* potpolje nekog polja *L* i *A* matrica nad poljem *K*, tada je minimalni polinom matrice *A* kao matrice nad poljem *K* istovremeno i njen minimalni polinom kao matrice nad poljem *L*.

Minimalni polinom se definira i za matrice nad bilo kojim glavnoidealskim prstenom *S* kao generatorom ideala polinoma koji poništavaju matricu *A* u prstenu polinoma *S*&#091;*X*&#093;, za koji se pak dokazuje da je onda i sam glavnoidealski; u tom slučaju on je definiran jednoznačno do na množenje jedinicama prstena *S*.

Minimalni polinom se također može definirati i za linearne operatore *L* na prostorima proizvoljne (moguće beskonačne) dimenzije kao monični polinom *p* najmanjeg stupnja takav da je *p*(*L*)&nbsp;=&nbsp;0, ako takav polinom postoji. Na primjer, u funkcionalnoj analizi, svaki operator projekcije *P* u prostoru proizvoljne dimenzije je idempotentan, pa zadovoljava jednadžbu *P*2&nbsp;&minus;&nbsp;*P*&nbsp;=&nbsp;0. Stoga je njegov minimalni polinom uvijek jedan od polinoma *X* (za operator projekcije na nul-potprostor), *X*&nbsp;&minus;1 (za identični operator) ili *X*2&nbsp;&minus;&nbsp;*X* (za sve ostale operatore projekcije).