Diferencijalna geometrija

**Diferencijalna geometrija** je matematička disciplina koja se bavi izučavanjem geometrijskih svojstava prostora na kojima se mogu primenjivati metode diferencijalnog računa, integralnog računa, linearne algebre i multilinearne algebre u izučavanju geometrijskih problema. Primeri takvih prostora su glatke mnogostrukosti, glatke orbistrukosti, stratificirane mnogostrukosti i slično. Teorija ravnih i prostornih krivih i površina u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru osnova je za razvoj diferencijalne geometrije tokom 18. i 19. veka.

Od kraja 19. veka diferencijalna geometrija je prerasla u polje koje se generalno odnosi na geometrijske strukture na diferecijabilnim mnogostrukostima. Diferencijalna geometrija je usko povezana sa diferencijalnom topologijom i geometrijskim aspektima teorije diferencijalnih jednačina. Diferencijalna geometrija površina obuhvata mnoge ključne ideje i tehnike koje su endemične ovom polju.

## Istorija razvoja

Diferencijalna geometrija je nastala i razvijala se kao rezultat i u kontekstu matematičke analize krivih i površina. Matematička analiza krivih i površina razvijena je kako bi odgovorilo na neka provokativna i neodgovorena pitanja koja su se pojavila u kalkulusu, poput razloga za odnose između složenih oblika i krivih, nizova i analitičkih funkcija. Ova neodgovorena pitanja ukazivala su na veće skrivene veze.

Smatra se da je generalnu ideju prirodnih jednačina za dobijanje krivih iz lokalne zakrivljenosti prvi razmatrao Leonard Ojler 1736. godine, a mnogi primeri sa prilično jednostavnim ponašanjem proučavani su tokom 1800-ih.

Kada je utvrđeno da su krive, površine zatvorene krivama i tačke na krivama kvantitativno i generalno povezane matematičkim oblicima, formalno proučavanje prirode krivih i površina postalo je polje proučavanja samo po sebi. To je bilo pospešeno Monžovim radom iz 1795. godine, kao i Gausovim objavljivanjem njegove publikacije pod naslovom „Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas”, u časopisu *Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores* 1827. godine.

Prvobitno primenjena na Euklidski prostor, dodatna istraživanja dovela su do neeuklidskog prostora, metričkog i topoloških prostora.

## Grane
### Rimanova geometrija

Rimanske geometrijske studije Rimanovih mnogostrukosti, glatkih mnogostrukosti sa *Rimanskom metrikom*. Ovo je koncept rastojanja izražen glatkim pozitivno definisanim simetrično bilinearnim oblikom definisanim u tangencijalnom prostoru u svakoj tački. Rimanova geometrija generalizuje Euklidsku geometriju na prostore koji nisu nužno ravni, mada oni još uvek infinitezimalno nalikuju na Euklidov prostor u svakoj tački, i.e. u prvom redu aproksimacije. Različiti koncepti zasnovani na dužini, kao što su dužina luka krivih, površina ravninskih područja i zapremina čvrstih tela, imaju prirodne analoge u Rimanovoj geometriji. Pojam usmerenog derivata funkcije iz multivarijabilnog računa je u Rimanovoj geometriji proširen na pojam kovarijantnog derivata tenzora. Mnogi koncepti i tehnike analize i diferencijalne jednačine su uopšteni na postavke Rimanovih mnogostrukosti.

Difeomorfizam koji se očuvava na rastojanjima između Rimanovih mnogostrukosti naziva se izometrija. Taj se pojam može definisati i lokalno, i.e. za mala susedstva tačaka. Bilo koje dve regularne krive su lokalno izometrične. Međutim, *teorema Egregium* Karla Fridriha Gausa je pokazala da za površine postojanje lokalne izometrije nameće jake uslove kompatibilnosti njihovih metrika: Gausove zakrivljenosti na odgovarajućim tačkama moraju biti iste. U višim dimenzijama, Rimanov tenzor zakrivljenosti je važan invarijantno povezan u tačkama sa Rimanovom mnogostrukosti koja meri koliko je blizu da bi bila ravna. Važna klasa Rimanovih mnogostrukosti su Rimanovi simetrični prostori, čija zakrivljenost nije nužno konstantna. Oni su najbliži analozi „običnoj” ravni i prostoru koji se razmatraju u Euklidskoj i neeuklidskoj geometriji.

### Pseudo-Rimanova geometrija
Pseudo-Rimanova geometrija generalizuje Rimanovu geometriju do slučaja u kome metrički tenzor ne mora da bude pozitivno-definitivan. Specijalan slučaj toga je Lorencova mnogostrukost, koja je matematička osnova Ajnštajnove generalne relativističke teorije gravitacije.

### Finslerova geometrija

Finslerova geometrija sadrži *Finslerove mnogostrukosti* kao svoj glavni predmet izučavanja. To je diferencijalna mnogostrukost sa *Finslerovom metrikom*, odnosno Banačovom normom definisanom na svakom tangentnom prostoru. Rimanove mnogostrukosti su posebni slučajevi generalnijih Finslerovih mnogostrukosti. Finslerova struktura na mnogostrukosti  je funkcija  takva da je:
#  za svako  u  i svako ,
#  je beskonačno diferencijabilna u ,
# Vertikalni Hesijan od  je pozitivno konačan.

## Izvori

## Vanjske veze