Linearna jednačina

**Linearna jednačina** je algebrska jednačina u kojoj je svaki član bilo konstanta ili proizvod konstante i jedne promenljive prvog reda.

O pravcu se može razmišljati kao o najkraćoj udaljenosti između dviju točaka ili kao o krivulji s beskonačno velikim radijusom zakrivljenosti. Pojmovi kao što su točke i pravci te njihovi jednostavni i složeniji odnosi u prostoru jedan su od temelja Euklidske geometrije, a kasnije i analitičke geometrije kakvu je danas poznajemo.

## '''Jednadžba pravca'''
### Implicitna jednadžba pravca

Razmatramo li jednakost oblika

: Ax+By+C=0 \, 

ustanovit ćemo da postoji beskonačan broj parova *x,y* koji udovoljavaju jednakosti. Kako svaki uređen par brojeva u kartezijanskom koordinatnom sustavu *x0y* određuje koordinate jedne točke, grafički prikaz svih točaka daje nam sliku pravca u ravnini, a gore prikazanu jednadžbu nazivamo implicitnom ili općom jednadžbom pravca.

### Eksplicitna jednadžba pravca

Preuredimo li implicitnu jednadžbu pravca

: Ax+By+C=0 \, 

u drugi oblik kako slijedi

: By=-Ax-C \, 

: y=   -\frac{A}{B}x- \frac{C}{B}\, 

naći ćemo i eksplicitnu jednadžbu pravca koja se može zapisati i u obliku

: y= ax+b \, 

gdje a i b ovise o A, B i C na način da je

: a = -\frac{A}{B}

: b = -\frac{C}{B}

Eksplicitna jednadžba pravca izravno prikazuje koficijent smjera pravca, odn. nagib pravca *a* te odsječak *b* koji pravac određuje na y-osi, odn. ordinati.

### Segmentna jednadžba pravca

Preuredimo li sada eksplicitnu jednadžbu pravca

: y= ax+b \, 

u treći oblik kako slijedi

: y-ax= b \, 

:\frac{y}{b} - \frac{ax}{b} = 1 \, 

:\frac{y}{b} + \frac{x}{\frac{-b}{a}} = 1 \, 

naći ćemo i jednadžbu pravca u segmentnom obliku gdje su b i -b/a segmenti ili odsječci na y, odn. x-osi. Segmentna jednadžba pravca može se zapisati i u sljedećem obliku

:   \frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1 \, 

gdje su

: m = -\frac{b}{a}, \,

: n = b. \, 

### Druge oznake

Ponekad se implicitna jednadžba pravca iskazuje u obliku

: ax+by+c=0 \, 

gdje se tada eksplicitna jednadžba pravca prikazuje kao

: y= kx+l \, 

gdje je *k* koeficijent smjer pravca, a *l* odsječak na y-osi.

## Određenost pravca

Pravac je u ravnini određen ili sa zadanom točkom kroz koju prolazi pravac i koeficijentom smjera ili s dvjema zadanim točkama kroz koje pravac prolazi.

### Pravac određen točkom i koeficijentom smjera

Neka je pravac određen točkom  *T* (x_1, y_1)  i koeficijentom smjera *a*. Jednadžba pravca se u tom slučaju uobičajeno prikazuje u obliku

: y-y_1= a(x-x_1) \, .

### Pravac određen dvjema točkama

Pravac je po definiciji određen dvjema točkama koje nisu jednake, a jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke  *T_1*(x_1, y_1)  i  *T_2* (x_2, y_2)  prikazuje se uobičajeno u obliku

: y-y_1= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1) \, .

## Značaj
Pravac, njegovu grafičku i matematičku interpretaciju nalazimo u brojnim područjima matematike i ne samo matematike. Naime, razmotrimo li eksplicitni oblik jednadžbe pravca

: y= ax+b \, 

i ukoliko definiramo da je *x* slobodna promjenljiva veličina, odn. nezavisna varijabla, a *y* zavisna varijabla gdje će nezavisna varijabla poprimati vrijednosti iz domene realnih brojeva i gdje će se svakom elementu domene pridružiti jedan i samo jedan odgovarajući element kodomene, tada gore prikazani izraz možemo nazvati funkcijom gdje je

: y= f(x) = ax+b  \, 

Kodomenu nazivamo i područjem vrijednosti funkcije, a u slučaju gdje je funkcija oblika:  y= ax+b , 
funkciju nazivamo i linearnom funkcijom, a pravac grafom ili grafičkim prikazom takve funkcije. Linearna funkcija uključuje i proporcionalnu, odn. razmjernu funkciju oblika

: y= f(x) = ax  \, 

koju slijede brojni prirodni zakoni i pojave u svim područjima znanosti.

## Literatura

* 
* Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2008, .
* Bernd Aulbach: Gewöhnliche Differenzialgleichungen. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 2004, .
* Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen. 7. Auflage. Vieweg, 2009, .
* Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2010, .
* Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 17. Auflage. Vieweg Verlag, 2009, .
* Günter Gramlich: Lineare Algebra. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, 2003, .
* Jürgen Jost: Partielle Differentialgleichungen: Elliptische (und parabolische) Gleichungen. 1. Auflage. Springer-Verlag, 2009, .

## Vanjske veze
* Linear Equations and Inequalities  Open Elementary Algebra textbook chapter on linear equations and inequalities.
*