Fizičko klatno

**Fizičko klatno** je sistem koji obrazuje čvrsto telo koje može da osciluje pod uticajem Zemljine teže oko horizontalne ose koja ne prolazi kroz centar mase tog tela.

## Diferencijalna jednačina oscilovanja
Ukoliko se zanemari otpor sredine može se pisati:
: I\frac{d^2\theta}{dt^2} = -mgh\sin\theta.
Ukoliko se u prethodnu jednakost zameni \frac{r^2}{h} + h = l, dobija se:
: l\frac{d^2\theta}{dt^2} = -g\sin\theta
Iz dobijenog obrasca se vidi direktna analogija između oscilovanja matematičkog klatna i fizičkog klatna preko veličine l koja se naziva redukovana dužina fizičkog klatna.

## Period oscilovanja
Pojednostavljen metod određivanja približne formule za period oscilovanja fizičkog klatna se sastoji u primeni analogije sa harmonijskim oscilovanjem i njenom daljem korišćenju u zakonima održanja.

Nešto složeniji princip zasniva se na primeni prethodno date diferencijalne jednačine oscilovanja.

Najpre levu stranu treba pomnožiti sa \frac{d^2\theta}{dt^2}dt = d\left(\frac{d\theta}{dt}\right), a desnu sa d\theta\,. Tako se dobija:
:l\frac{d\theta}{dt}d\left(\frac{d\theta}{dt}\right) = -g\sin\theta\, d\theta.
Integralisanjem:
: l\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 = 2g\cos\theta+C,
gde je C\, konstanta. Vrednost iste se nalazi iz:
:\theta = \pm \alpha\,\,\,, \frac{d\theta}{dt} = 0. 
Odakle se daljim sređivanjem dobija:
:C = -2g\cos\alpha\,
:\frac{d\theta}{dt} = 2\sqrt{\frac{g}{l}}\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}}.
Izdvajanjem promenljivih i integralisanjem:
: \sqrt{\frac{g}{l}}t = \int\limits_0^\theta{\frac{d\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}}}}.
Zamenom \sin\frac{\theta}{2} = \sin\frac{\alpha}{2}\sin\varphi dobija se:
: t = \sqrt\frac{l}{g}\int\limits_0^\varphi{\frac{d\varphi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\alpha}{2}\sin^2\varphi}}} = \sqrt\frac{l}{g} F\left(\varphi\setminus \alpha/2\right).
Za period oscilovanja pronalazi se formula:

: T = 4\sqrt\frac{l}{g}\,\int\limits_0^{\pi/2}{\frac{d\varphi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\alpha}{2}\sin^2\varphi}}} = 4\sqrt\frac{l}{g}\,K\left(\sin\frac{\alpha}{2}\right).


Ova formula se može dalje pojednostaviti uz korišćenje izvesnih aposkrimacija na sledeću:
T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgl}}

## Redukovana dužina fizičkog klatna

Zbog svođenja opšte formule za period oscilovanja kod fizičkog klatna na formulu za određivanje istog kod matematičkog klatna uvodi se veličina koja se naziva *redukovana dužina fizičkog klatna*.

Definiše se kao dužina niti koju ima ono matematičko klatno koje ima isti period oscilovanja kao i dato fizičko klatno.

U vidu formule se to piše u obliku l_0 = ,
gde je l_0 pomenuta veličina, m- masa, l- rastojanje centra mase od ose oscilovanja, I-moment inercije datog tela za obrtnu osu.

Ovaj obrazac se dobija direktnim upoređivanjem formula za period oscilovanja fizičkog i matematičkog klatna.
:T_m = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}
:T_f = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgl}}

## Matematičko klatno

Prethodno sprovedena analogija između fizičkog i matematičkog klatna je sasvim opravdana. Matematičko klatno je u stvari samo oblik fizičkog. Tu se telo može smatrati materijalnom tačkom momenta inercijeI={mr^2}. Zamenom ove formule u T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgl}} (gde je r=l ) se dobija T_m = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}, što upravo i predstavlja obrazac za period oscilovanja matematičkog klatna.
## Povezano
* Matematičko klatno
* Oscilacije
* Periodično kretanje
* Period oscilovanja