Zlatni rez

**Zlatni presek** (simbol: \varphi) je matematičko-strukturalni pojam kojeg se najčešće veže za umjetnost, jer je u istoriji umjetnosti najčešće korišten. To je način podjele neke vrijednosti s faktorom od približno 1.6.

Zlatni presek je kompozicijski zakon u kojem se manji dio prema većem odnosi kao veći dio prema ukupnom. 
U praksi, ako želimo podijeliti nešto na taj način, podijelimo ga na 13 jednakih dijelova i onda to podijelimo u omjeru *8:5*, ili ga pak podijelimo na 21 jednaki dio pa to onda u omjeru *13:8*, itd. Na što se više dijelova podjeli, to smo bliži točnom *zlatnom preseku*, ali do tačnog zlatnog preseka nikada se ne dolazi jer je taj broj zapravo aproksimacija, a matematička formula glasi mu:

:\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\approx 1.618\,033\,989\,.

Teorija zlatnog preseka započeta je još u antici, a svoj procvat imala je u renesansi, kada su umjetnici i matematičari (ali i fizičari i astrolozi) tražili savršenstvo u kompozicijama poznatih struktura.
Nakon mnogo stoljeća teorije smatra se da je zlatni presek najsavršeniji presek u prirodi, potpuno savršen ljudskom oku, harmonija između linearne, nepodnošljive preciznosti i nepravilne, netočne nesavršenosti.

U Italiji postoji mnogo primjera crkvi i dvoraca u toj kompoziciji. Također, na savršenom ljudskom tijelu sve je u odnosu 1:1.618.
## Historija
Teorija zlatnog reza započeta je u antici, a svoj procvat imala je u renesansi kada su umjetnici, matematičari, fizičari i astrolozi tražili savršenstvo u kompozicijama poznatih struktura.

Herodot (484. - 424. pne) 
„Jedan egipatski svećenik  govoreći o obliku Keopsove piramide spomenuo mi je da je kvadrat nad njezinom visinom jednak površini bočnog trougla“

v= 	\frac{a}{2}\sqrt{\varphi}

b= 	\frac{a}{2}\sqrt{\varphi +2}

\alpha =arctg\sqrt{\varphi}

\beta =arctg\sqrt{\frac{\varphi}{2}}

Grčki kipar Fidije u V vijeku pne.. primijenio je zlatni rez u dizajnu svojih skulptura i gradnji Partenona.

Platon (grčki filozof, V. i IV. vijek pne.) u „Timoteju“ opisuje pet pravilnih geometrijskih tijela kao osnovu harmonične strukture svijeta. Zlatni rez igra ključnu ulogu u dimenzijama i oblikovanju nekih od ovih tijela.

Pitagorejci (oko 500. god.pne.)  dolaze do jednog od najvažnijih otkrića u matematici: 
- dijagonala i stranica kvadrata ( pravilnog peteugla) su nesamjerljive 

\frac{d}{a_5}= \varphi

Grčki matematičar Euklid prvi je ovaj broj uočio i matematički izrazio. Oko 300 godina prije Krista napisao je knjigu „Elementi“ u kojoj navodi prvu zabilježenu definiciju zlatnog reza.

Datu dužinu podijeliti tako da pravougaonik obuhvaćen cijelom dužinom i jednim odsječkom,bude jednak kvadratu na drugom 
odsječku.

a(a-x)=x^2

x^2+ax-a^2=0

x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}a

Vijek pne sva znanja starih Grka objedinio je rimski arhitekt Marcus Vitruvius Polio u svom  djelu „De architectura libri decem“ ili „Deset knjiga o arhitekturi“, posvećenom imperatoru Augustu. Pisao je o simetriji hramova, a njihove proporcije upoređuje s razmjerima čovječjeg tijela. Vitruvije je ucrtao ljudsko tijelo u kružnicu, što je  kasnije ponovo interpretirao Leonardo Da Vinci

Fra Luca Pacioli (1446. - 1510.) štampao je u Veneciji 1509. djelo ”De divina proportione” koje je imalo veliki uticaj i nakon kojeg zlatni rez doživljava pravu renesansu. U njemu opisuje harmonijske osobine “božanske razmjere". Knjigu je 
ilustrirao Leonardo da Vinci.

Martin Ohm 1835. g. u drugom izdanju udžbenika Die reine Elementar -Mathematik ( Čista elementarna matematika )
prvi put koristi termin zlatni rez.

Oznaku \varphi   je 1909. g. predložio američki matematičar Mark Barr u čast slavnom starogrčkom kiparu 
Fidiji (Phidias 480. -430.pne )

## Izračunavanje

Za dvije veličine (pozitivni brojevi) *a* i *b* se kaže da su u *zlatnom rezu* *ϕ* ako vrijedi

: \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi\,.

Ova jednačina jednoznačno definiše *ϕ*.

Desna jednačina pokazuje da je *a = bϕ*, što se može zamijeniti u lijevi dio, dajući

:\frac{b\varphi+b}{b\varphi}=\frac{b\varphi}{b}\,.

Poništavanjem *b* na obe strane, dobijamo

:\frac{\varphi+1}{\varphi}=\varphi.

Množenjem obe strane sa *ϕ* i premještanjem članova vodi do:

:{\varphi}^2 - \varphi - 1 = 0.

Jedino pozitivno rješenje ove kvadratne jednačine je

:\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803\,39887\dots\,

## Prikazi broja <math>\varphi</math>

\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}= 0,618033988...

\frac{1+\sqrt{1}}{\varphi}=\varphi - 1=0.618033988...

\varphi^2= \varphi+1

\varphi= \sqrt{1+\varphi}=\sqrt{1+\sqrt{1+\varphi}}

\varphi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1}...}}

\varphi= 1+\frac{1}{\varphi}=1 + \frac{1}{1+\frac{1}{\varphi}}=...  

\varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}

\varphi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}
## Vanjske veze
*Zlatni rez (PDF)
*Zlatni rez u radovima suvremenog slikara Alfreda F. Krupe