Hermann Weyl

**Herman Klaus Hugo Vajl** (; Elmshorn, 9. novembar 1885 — Cirih, 8. decembar 1955), nemački matematičar, jedan od najvećih matematičara dvadesetog veka. Iako je veći deo radnog veka proveo u Cirihu i potom u Prinstonu, Vajl je bio predstavnik getingenske matematičke škole, u tradiciji svog učitelja Davida Hilberta i Hermana Minkovskog. Najznačajniji, verovatno, su Vajlovi radovi u teoriji reprezentacija (neprekidnih) grupa, kojoj je udario temelje, sa primenama na probleme u geometriji i fizici, koje je i Vajl sam jednom značio kao svoja najbolja dostignuća. Njegova istraživanja su od izuzetnog značaja i u teorijskoj fizici i posebno kvantnoj mehanici, teoriji kalibarske invarijantnosti, i brojnim granama teorijske matematike poput harmonijske analize, teorije brojeva, kompleksne analize, diferencijalnih i integralnih jednačina, a zanimao se i za osnove matematike.

Vajl je bio jedan od ključnih članova prinstonskog Instituta za napredne studije u njegovim ranim godinama u stvaranju objedinjenog i međunarodnog pogleda i jedan od najuticajnijih matematičara dvadesetog veka uopšte. Objavio je mnoštvo stručnih i opštih radova na temu prostora, vremena, materije, filozofije, logike, simetrije i istorije matematike. Ukupno je napisao preko 200 radova i nekoliko knjiga. Bio je jedan od prvih da spoji opštu teoriju relativnosti sa zakonima elektromagnetike. Iako nijedan matematičar njegove generacije nije pretendovao na univerzalnost Anrija Poenkarea ili Davida Hilberta, Vajl je sigurno bio najbliži tom idealu. Majkl Atija je rekao da bi, kad god bi počeo da istražuje neku oblast, nalazio da mu je Vajl već prethodio.

Zbog sličnosti imena, Hermana Vajla često mešaju sa francuskim matematičarem Andreom Vejlom. Matematičari često u šali kažu da je ovo jedan od retkih primera u kojem greške u obraćanju koje bi ova zabuna izazvala ne bi uvredile nijednog od njih dvojice.

## Biografija
Herman Vajl, sin Ludviga i Ane Vajl, se rodio u Elmshornu, gradiću pokraj Hamburga u Šlezvigu (Nemačka).

Od 1904. do 1908, Vajl je studirao matematiku i fiziku u Getingenu i Minhenu. Doktorirao je na Univerzitetu u Getingenu, gde mu je mentor bio David Hilbert, kojeg je jako cenio, odbranivši 1908. disertaciju na temu „Singularne integralne jednačine“. O Hilbertu je kasnije rekao

Vajl je zatim nekoliko godina predavao u Getingenu, gde je 1910. habilitirao u privat-docenta (sa temom „O običnim diferencijalnim jednačinama sa singularitetima i odgovarajućim razvojima proizvoljnih funkcija"), a potom (1913.) odlazi za Cirih gde preuzima katedru za geometriju na Švajcarskoj saveznoj politehničkoj visokoj školi (ETH) u Cirihu. Na ETH je u to vreme radio Albert Ajnštajn, koji je razrađivao detalje teorije opšte relativnosti. Ajnštajn i Vajl su tako postali kolege; Ajnštajn je ostavio trajan uticaj na Vajla koji je postao fasciniran matematičkom fizikom i diferencijalnom geometrijom. 1918. godine je objavio svoj uticajni rad „Prostor-vreme-materija“. 1921. godine Vajl sreće Ervina Šredingera, kada je ovaj postavljen za redovnog profesora na Univerzitetu u Cirihu. Vremenom su postali najbliži prijatelji.

Od 1928. do 1929. godine je bio gostujući profesor na Univerzitetu Prinston. Vajl je prvobitno odbio poziv da se vrati u Getingen kako bi nasledio Feliksa Klajna, ali ipak napušta Cirih 1930. kako bi u Getingenu preuzeo katedru Davida Hilberta (nakon što se ovaj povukao u penziju). No već 1933. Vajl više nije bio u mogućnosti da predaje u Nemačkoj pod nacističkom upravom. Tok događaja ga je ubedio da se zaputi na skoro osnovani Institut za napredne studije u Prinstonu (Nju Džerzi, SAD), gde mu je profesura ponuđena godinu dana ranije i gde je već bio Ajnštajn. Tamo je ostao do penzionisanja 1951. Ostatak života proveo je sa suprugom pretežno u Cirihu, mada se svake godine vraćao na nekoliko meseci u Prinston. Proslava njegovog 70. rođendana je bila pravi skup njegovih prijatelja, saradnika i učenika. Nedugo nakon toga, 9. decembra 1955, Herman Vajl je umro u Cirihu.

Vajl je pisao književnim, gotovo poetičnim stilom, koji nije nestao čak ni nužnim prelaskom na engleski jezik; u svom uvodu u *Klasične grupe* iz 1939., Vajl u uobičajenom zanosu piše kako su „bogovi nametnuli mome pisanju jaram stranog jezika koji nije pevan uz moju kolevku“, itd.

Iz prvog braka sa Helenom Jozef iz Ribnica (Meklenburg), prevodiocem španske književnosti, Herman Vajl je imao dva sina, Frica Joakima (koji je i sam postao matematičar) i Mihaela. Nakon smrti njegove prve supruge 1948, Vajl se 1950. oženio Elenom Ber iz Ciriha. Među Vajlovim učenicima su i Ernst Mor, Sonders Meklejn i Gerhard Gencen.

## Rezultati
### Geometrijske osnove [[mnogostrukost]]i i fizike

1913. godine, Vajl je objavio knjigu *Pojam Rimanove površi* (), objedinjenu obradu teorije Rimanovih površi, nastalu tokom njegovih prvih predavanja u jesenjem semestru 1911/12. Vajl je prvi koristio opštu topologiju, iz Brauerovih ranih radova, kako bi dotadašnju teoriju Rimanovih površi algebarskih funkcija postavio na čvrste, precizne temelje kakvi bi zadovoljili Hilbertove zahteve za sadržajnom i metodološkom strogošću.

Godine 1918, je uveo pojam kalibra, i dao prvi primer rasuđivanja koje danas nazivamo teorijom kalibarske invarijantnosti. Vajlova teorija kalibarske invarijantnosti je bio neuspešan pokušaj da modelira elektromagnetsko i gravitaciono polje kao geometrijska svojstva prostor-vremena. Kalibar se menjao od tačke do tačke, pri čemu je varijacija oko zatvorene krive u prostor-vremenu imala sadržati podatke o elektromagnetskoj sili. Iako je sam Ajnštajn u dodatku Vajlovom radu kritikovao ideju iz fizičkih razloga, Vajlu se ideja činila previše lepom i elegantnom da bi se tek tako predao; i nekoliko godina kasnije, sa nastankom kvantne mehanike, Vajlove računice su dobile novu fizičku interpretaciju i danas su potpuno prihvaćene.

Vajlov tenzor u Rimanovoj geometriji je od izuzetnog značaja za razumevanje prirode konformne geometrije.

### Osnove matematike
U *Kontinuumu*, Vajl je razvio predikatsku analizu koristeći niže nivoe Raselove razgranate teorije tipova. Uspeo je da izvede najveći deo klasičnog kalkulusa ne koristeći aksiomu izbora, dokaz svođenjem na protivurečnost, ili Kantorove beskonačne skupove. Vajl se u ovom periodu često okretao radikalnom konstruktivizmu nemačkog romantičnog i subjektivističkog idealiste Johana Gotliba Fihtea.

Nedugo po objavljivanju *Kontinuuma*, Vajl je na kratko potpuno pomerio svoje stanovište ka Brauerovom intuicionizmu. U *Kontinuumu*, konstruktibilne tačke postoje kao diskretni entiteti. Vajl je želeo kontinuum koji nije tek skup tačaka. Napisao je kontroverzni članak u kojem je za sebe i Brauera proglasio „Mi smo revolucija“. Ovaj članak je bio daleko uticajniji u širenju intuicionističkih pogleda od izvornih radova samog Brauera.

#### Opklada!
Tokom skupa matematičara u Cirihu, 9. februara 1918, Đerđ Poja i Vajl su se pred 12 svedoka opkladili po pitanju budućeg pravca matematike, na konkretnom slučaju sledeća dva tvrđenja:
# Svaki ograničeni skup realnih brojeva ima najmanje gornje ograničenje ("aksioma supremuma"),
# Svaki beskonačan skup realnih brojeva sadrži prebrojiv podskup.
Vajl je prognozirao da će
* „u narednih 20 godina Poja, ili većina vodećih matematičara, shvatiti potpunu neodređenost, nejasnost pojmova kao što su realni brojevi, skupovi i prebrojivost, i štaviše, da je jednako nemoguće postavljati pitanje istinitosti tvrđenja (1) i (2) koliko i pitati o istini osnovnih Hegelovih tvrdnji o filozofiji prirode“, te da će
* „Poja, ili većina vodećih matematičara, prepoznati da su tvrđenja (1) i (2) netačna prema ma kojoj razumno mogućnoj, jasnoj interpretaciji njihovog doslovnog značenja, ili da će, ako se unutar ovog perioda nađe jasna interpretacija u kojoj je makar jedno od ovih tvrđenja tačno, za to biti potrebno stvaralačko postignuće, kojim će osnove matematike krenuti novim pravcem i pritom dati pojam broja i skupa o kojem danas ne znamo ništa."
Da je ova opklada zaista postojala potvrđuje precizan zapis koji je 1995. na ETH otkrio Jurij Gurevič, i kažu da su, kada je prijateljska opklada okončana 1937, okupljeni proglasili Poju za pobednika (pri čemu je jedino Kurt Gedel bio drugačijeg mišljenja). Iako je Vajl priznao poraz, ipak uz Pojino odobrenje nije morao da o tome objavi oglas u godišnjaku Nemačkog matematičkog društva, kako je u opkladi bilo precizirano.

#### Preokret
Međutim, za narednih par godina Vajl je odlučio da je Brauerov intuicionizam postavljao previše ograničenja na matematiku. „Krizni“ članak je uznemirio Vajlovog učitelja i formalistu Davida Hilberta, ali tokom kasnijih 1920-ih Vajl je delimično pomirio svoje stavove sa Hilbertovim.

Otprilike nakon 1928, Vajl je, čini se, odlučio da se matematički intuicionizam ne miri sa njegovim entuzijazmom za ideje Edmunda Huserla. U kasnijim decenijama, Vajl je isticao shvatanje matematike kao „simboličke konstrukcije“ i prešao na stanovište bliže ne samo Hilbertu već čak Ernstu Kasireru. Vajl je međutim retko pominjao Kasirera, i pisao je samo kratke članke ili fragmente obrazlažući svoja stanovišta.

### Matematika relativnosti

Vajl je ispratio razvoj teorije relativiteta u svojoj knjizi *Prostor, vreme, materija* () iz 1918, koja je već 1922. dostigla četvrto izdanje. Njegov pristup je bio zasnovan na fenomenološkoj filozofiji Edmunda Huserla, posebno u njegovoj knjizi „Ideje za čistu fenomenologiju i fenomenološku filozofiju. Prva knjiga: Opšti uvod u čistu fenomenologiju“ iz 1913. Izgleda da je ovo bio Vajlov način borbe sa Ajnštajnovim kontroverznim oslanjanjem na feneomenološku fiziku Ernsta Maha. Huserl je oštro reagovao na Fregeovu kritiku njegovog prvog rada o filozofiji aritmetike i istraživao je smisao matematičkih i drugih struktura, koje je Frege razlikovao od empirijskih odnosa. Stoga postoji dobar razlog za gledište da se teorija kalibarske invarijantnosti razvila iz Vajlovih ideja kao formalizam fizičkih merenja a ne kao teorija nečeg fizičkog, dakle kao naučni formalizam.

### Topološke grupe, Lijeve grupe i teorija reprezentacija
:*Osnovni članci: [[Piter-Vajl teorema]], [[Vajlova grupa]], [[Vajlov spinor]], [[Vajlova algebra]], [[Vajlova komora]], [[Vajlova karakterna formula]], [[Unitarni trik]].*
Vajlova prva istraživanja u teoriji grupa nalaze se u španskim predavanjima iz 1922, koji su kasnije objavljeni kao knjiga *Matematička analiza problema prostora*, a posvećene su joj i kasnije knjige *Teorija grupa i kvantna mehanika* (, 1928.) i *Klasične grupe* (, 1939.). Od 1923. do 1938. godine, Vajl je razvio teoriju linearnih reprezentacija kompaktnih grupa. Za slučaj kompaktnih Lijevih grupa, Vajl je dokazao temeljnu karakternu formulu, koja opisuje karaktere ireducibilnih reprezentacija i, posebno, omogućava izračunavanje njihovih dimenzija ili multipliciteta.

Osim što su započeli teoriju reprezentacija, matematičku disciplinu koja se danas koristi u granama od topologije i geometrije preko algebre do teorije brojeva, ovi rezultati su od temeljnog interesa u razumevanju simetrijske strukture kvantne mehanike, koju je Vajl postavio na grupno-teoretske temelje, uključujući tu i spinore. Skupa sa matematičkom formulacijom kvantne mehanike, koja najvećim delom potiče od Džona fon Nojmana, Vajlov rad o poluprostim grupama je dao obradu kvantne mehanike koju poznajemo od 1930. naovamo. Duboku ulogu u ovom opisu igraju i nekompaktne grupe i njihove reprezentacije, posebno Hajzenbergova grupa. Od ovog vremena, i svakako ne malom zaslugom upravo Vajlovih izlaganja, Lijeve grupe i Lijeve algebre su postali matični deo kako čiste matematike, tako i teorijske fizike.

Vajlove *Klasične grupe*, rasadan, težak i elegantan klasik u oblasti reprezentacija grupa, su ponovo razmotrile teoriju invarijanata. Pokrio je simetrične, pune linearne, ortogonalne i simplektičke grupe i rezultate o njihovim invarijantama i reprezentacijama.

### Harmonijska analiza i analitička teorija brojeva
:*Osnovni članci: [[Vajlov metod razlika]], [[Vajlova nejednakost]], [[Vajlov kriterijum za ravnomernu raspodelu]], [[Vajlov zakon]].*
Vajl je uveo eksponencijalne sume u teoriju diofantovskih aproksimacija svojim opštim kriterijumom za ravnomernu raspodelu nizova modulo 1. Ovo je bio ključan korak u razvoju analitičke teorije brojeva; na primer, sam Vajl je koristeći ovu tehniku pokazao da su umnošci ma kog iracionalnog broja ravnomerno raspodeljeni modulo 1. Vajlov metod razlika je elegantan i veoma opšti metod za ocenu eksponencijalnih suma koji je našao brojne primene, na primer u teoriji Rimanove zeta-funkcije, i predstavlja jedan od temelja aditivne teorije brojeva (kružni metod).

U harmonijskoj analizi, Vajlov zakon je opšta asimptotska formula za broj svojstvenih vrednosti Laplasijana na kompaktnim Rimanovim mnogostrukostima. Činjenicu da je vodeći član u takvom razvoju dat zapreminom mnogostrukosti su ranije predvideli fizičari polazeći od odnosa klasične i kvantne mehanike. U obliku Selbergove formule traga, koja vredi i za nekompaktne mnogostrukosti konačne zapremine i konstantne zakrivljenosti, ona dokazuje postojanje Masovih šiljkastih formi na aritmetičkim površima, ključnih objekata moderne analitičke teorije brojeva.

## Vanjske veze

*