Konusni presjek

U matematici **stožasti** ili **konusni presjek** (ponekad **stožnica**) označava krivulju koja se dobije presjecanjem stošca s ravninom. Konusni presjeci se proučavaju od 200. pne. kada je njihovo sistemnatsko proučavanje započeo Apolonije iz Perge.

Postoje različiti slučajevi presjeka.

Dijele se na:

*degenerisane
#tačka
# prava
#dvije prave koje se sijeku
*degenerisane krive II stepena čine 2 prave koje mogu biti
#par  pravi sa presjekom u konačnosti (ukrštene prave)
#par konjugovano imaginarnih pravi sa realnim presjekom u konačnosti (ukrštene imaginarne prave)
#par  pravi sa presjekom u beskonačnosti (paralelne prave)
#par konjugovano imaginarnih  pravi sa realnim presjekom u beskonačnosti (paralelne imaginarne prave)
#dvostruka realna prava u konacnosti
#dvostruka  prava u konačnosti i prava u beskonačnosti
#dvostruka beskonačno daleka prava
*nedegenerisane
Svaka kriva II stepana i prava u njenoj ravni mogu imati 2 zajedničke tačke. Te tačke mogu biti
#realne i različite - prava i kriva se sijeku
#realne i podadarne - prava i kriva se dodiruju
#konjugirano imaginarne - prava i kriva se  ne sijeku

Hiperbola je nedegenerisana kriva II stepena koju sijeće beskonačno daleka prava

Parabola je nedegenerisana kriva II stepena koju beskonačno daleka prava dodiruje u beskonačno dalekoj tački njene ose. 

Elipsa je nedegenerisana kriva II stepena koja nema realnih tačaka na beskonačno dalekoj pravoj 

Kupu II stepena možemo posmatrati kao skup pravi koji spajaju tačke neke nedegenerisane  konike s jednom tačkom u konačnosti koja ne leži u ravni te konike.
Istaknutu tačku nazivamo vrhom kupe, a spojnice tog vrha s tačkama konike izvodnicama kupe. 

Valjak II stepena možemo posmatrati kao skup pravi koji spajaju tačke neke nedegenerisane konike s jednom beskonačno dalekom tačkom koja ne leži u ravni te konike.
Te paralelne prave nazivamo izvodnicama valjka, a njihov beskonačno daleki presjek vrhom valjka. 

Ako ravan prolazi vrhom kupe ili valjka II stepena presječna kriva je degenerisana  konika.
(Ravan paralelna s izvodnicama valjka prolazi njegovim beskonačno dalekim vrhom).
Degenerisane konike koje mogu biti rezultat takvog sječenja su sljedeće:
#par realnih ukrštenih pravi (presjek može biti samo na kupi),
#par realnih paralelnih pravi (presjek može biti samo na valjku),
#jedna dvostruk prava (ravan je tangencijalna ravan kupe ili valjka),
# par konjugirano imaginarnih pravi sa presjekom u konačnosti (presjek može biti samo na kupi),
#par konjugirano imaginarnih paralelnih pravi (presjek može biti samo na valjku). 
Svaka ravan koja ne prolazi vrhom kupe II stepena sijeće tu kupu  po nedegenerisanoj konici.
Ta je konika:
#Hiperbola, ako je presječna ravan paralelna s 2 izvodnice kupe
#Parabola, ako je presječna ravan paralelna s jednom izvodnicom kupe
#elipsa, ako presječna ravan nije paralelna niti s jednom izvodnicom kupe

Za razliku od kupe, na kojem uvijek postoje sva tri tipa  nedegenerisanih konika, na valjku II stepena uvijek postoji samo jedan tip nedegenerisanih  konika.
Beskonačno daleka ravan prolazi beskonačno dalekim vrhom valjka i siječe ga u dvije izvodnice. Te izvodnice mogu biti:
#realne i različite,
#realne i podudarne (beskonačno daleka ravan tangencijalna je ravan valjka) 
#par konjugirano imaginarnih pravi.
Zavisno o tome kakav je njegov presjek s beskonačno dalekom ravni valjak II stepena je:
#hiperbolički
# parabolički 
#eliptički
Ravan koja nije paralelna s izvodnicama valjka II stepena siječe:
# hiperbolički valjak uvijek po hiperboli
# parabolički uvijek po paraboli
# eliptički uvijek po elipsi. 
U analitičkoj geometriji, konika se može definisati kao ravanska algebarska kriva II reda. 
Konike su značajne za mnoge oblasti:
*u astronomiji: nebeska tijela se kreću putanjama koje su konike
* u optici konstrukcija sočiva i ogledala
* u mehanici
*često se primjenjuju i u paleontologiji za razumjevanje izgleda određenih organizama.
Za konusne presjeke se definišu elementi konusnih presjeka:
#centar
#ose
#dijametri
#asimptote
#asimptotske prave
#polare i
#tangente

Za sve konike, osim kruga, važi da postoji tačka F koja se naziva žiža konike, i prava d koja se naziva direktrisa takve da je odnos rastojanja proizvoljne tačke M konike do žiže F' i direktrise d konstantan.
: e={\frac{MF}{d(M,d)}}
Taj odnos se naziva **ekscentricitetom** konike i označava sa e.
*za 0 konika je elipsa
*za e=0 konika je krug
*za e=1 konika je parabola
*za e > 1 konika je hiperbola.

r = \frac{l}{1-e \cos{\theta}}, 
l = \frac{b^2}{a}, gdje su a i b poluose konike.

d (direktrisa) konstantna veličina.

Žiža kruga je ujedno i njegov centar, a direktrisa je beskonačno daleka prava.
 
Elipsa i hiperbola imaju dvije žiže odgovarajuće direktrise. 

Parabola ima samo jednu žižu i jednu direktrisu.

Još jedna osobina zajednička za sve konike, osim parabole, je **linearni ekscentricitet**. Linearni ekscentricitet predstavlja udaljensost centra konike do njene žiže, ili jedne od žiža. Najčešće se označava sa c.

Tetiva koja prolazi kroz žižu ili jednu od dvije žiže konike i paralelna je direktrisi naziva se **latus rectum**. Žižni (fokusni) **parametar** konike je rastojanje između žiže, ili jedne od žiža konike, i direktrise. Označava se sa p.

## Dekartov koordinantni sistem
U Dekartovom koordinantnom sistemu, grafik kvadratne funkcije dvije nepoznate f(x, y) može biti konusni presjek.

Jednačina konusnih presjeka je oblika

f(x,y) \equiv Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
gdje A, B, C, D, E i F nisu svi jednaki nuli.

Kako skaliranje konstanti A, B, C, D, E i F ne utiće na skup nula funkcije f(x, y), konusni presjeci se mogu posmatrati kao tačke u petodimenzionom projektivnom prostoru P^5.

Linearni ekscentricitet je dat sa:
:c=\left(\frac{le}{1-e^{2}}\right)
Iz opštih formula, različiti konusni presjeci mogu u Dekartovim koordinatama biti predstavljeni na sljedeći način:
* Krug: x^2 + y^2 = r^2
* Elipsa: \frac{(x - \sqrt{a^2 - b^2})^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
* Parabola: y^2 = 4a(x + a)
* Hiperbola: \frac{(x + \sqrt{a^2 + b^2})^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

## Klasifikacija prema diskriminanti
Konusni presjeci dati ovom jednačinom mogu da se klasifikuju prema vrijednosti diskriminante
B^2 - 4AC .

Ako konusni presjeci nisu degenerisani, tada:
* za B^2 - 4AC , jednačina predstavlja elipsu
* zaA = C и B = 0, jednačina predstavlja krug,
* ако је B^2 - 4AC = 0, jednačina predstavlja parabolu
* za B^2 - 4AC > 0, jednačina predstavlja hiperbolu
*ako važi i A + C = 0, jednačina predstavlja pravougaonu hiperbolu

Kako bi razlikovali degenerisane slučajeve od standardnih (nedegenerisanih), neka je \Delta determinanta 3x3 matrice:

\begin{bmatrix}A & B/2 & D/2 \\ B/2 & C & E/2 \\ D/2 & E/2 & F \end{bmatrix}, tj. \Delta = (AC - B^2/4)F + BED/4 - CD^2/4 - AE^2/4.

Konusni presjek nije degenerisan ako i samo ako je \Delta\ne 0. 

Ako je \Delta = 0 u pitanju je neki od slučajeva degenerisanih konusnih preseka.

## Matrična notacija
Algebarska kriva drugog reda u ravni je skup tačaka opisan jednačinomoblika:

a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2 + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0

gdje je bar jedan od brojeva a_{11}, a_{12} ili a_{22} različit od nule.

*Matrica \begin{bmatrix}
a_{11}     &a_{12} & a_{13}    \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 
a_{31}     & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix} je **velika matrica** krive, gdje je uzeto a_{ij} = a_{ji}

*Matrica \begin{bmatrix}
a_{11}     &a_{12} & a_{13}    \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 
a_{31}     & a_{32} & a_{33} 
\end{bmatrix} je **mala matrica** krive, gdje je uzeto a_{ij} = a_{ji}.

*
A= \begin{vmatrix}
 a_{11}     &a_{12} & a_{13}    \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 
a_{31}     & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
*
A_{33}= \begin{vmatrix}
 a_{11}     &a_{12}   \\
a_{21} & a_{22}  \\ 
\end{vmatrix}
*S = a_{11} + a_{12}

Ako se u odnosu na neki drugi pravougli koordinatni sistem jednačina krive mijenja i njeni koeficienti su neki potencijalno drugi brojevi a'_ij važice:


A= \begin{vmatrix}
 a_{11}     &a_{12} & a_{13}    \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 
a_{31}     & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}=
 \begin{vmatrix}
 a'_{11}     &a'_{12} & a'_{13}    \\
a'_{21} & a_{22} & a'_{23} \\ 
a'_{31}     & a'_{32} & a'a_{33}
\end{vmatrix}

tj. A = A'. Važi i za brojeve A_{33}= A'_{33} i S_{33}= S'_{33}

Iz tog razloga se za ove brojeve kaže da su invarijante krive date jednačinom 
a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2 + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0

## Određivanje tipa konusnog presjeka

*Ako je A = 0 onda kriva data jednačinom

a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2 + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0 
nije konusni presjek.

*Ako je A \ne 0 onda:
#za A_{33} = 0 kriva jeparabola
#za A_{33}  kriva je hiperbola
#za A_{33} > 0 kriva je kružnica, elipsa ili prazan skup.

*Ako je A \ne 0 A_{33} > 0 onda
#Ako su S i A istog znaka kriva je prazan skup
#Ako su S i A istog znaka kriva je kružnica ili elipsa.

Ako je kriva kružnica onda u odnosu na svaki pravougli koordinatni sistem važi:

a_{11} = a_{22} , a_{12} = 0

Obrnuto, kakav god da je pravougli koordinatni sistem zadat, ako važi 

a_{11} = a_{22} , a_{12} = 0 onda
je kriva ili prazan skup ili kružnica.

## Odnos pravih i konusnih presjeka
Za pravu određenu vektorom {\alpha , \beta }\ne \overrightarrow{0}
tj ako



\begin{Bmatrix}
  {\alpha , \beta  }
\end{Bmatrix}\begin{bmatrix}
a_{11}     &a_{12}    \\
a_{21} & a_{22}  \\ 

\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\alpha    \\
\beta  \\ 

\end{bmatrix} =[0]
   

Svaka tačka u odnosu na koju je konusni presjek (centralno) simetričan naziva se **centar** konusnog presjeka .
Svaka prava u odnosu na koju je konusni presjek (osno) simetričan naziva se osa konusnog presjeka.

Kružnica, elipsa i hiperbola imaju tačno jedan centar.

Prava je osa kružnice ako i samo ako prolazi kroz njen centar.

Elipsa i hiperbola imaju tačno dvije ose. Te dvije ose se sijeku u tom centru i grade pravi ugao. 

Za parabolu ne postoji centar ali postoji tačno jedna osa.

Za kružnicu i elipsu ne postoje asimptotske prave. Za hiperbolu postoje tačno dvije asimptotske prave. Za parabolu postoji tačno jedna asimptotska prava i to je upravo prava njene ose.

Prave kroz centar konusnog presjeka koje su asimptotske prave nazivaju se ** asimptote** konusnog presjeka.

Hiperbola ima tačno dvije asimptote (i one odgovaraju asimptotskim pravama).
Parabola nema asimptote (ali ima jednu asimptotsku pravu). Kružnica i elipsa nemaju asimptote (a ni asimptotske prave).

Svaka prava sa bilo kojim konusnim presjekom može da ima 2, 1 ili nijednu zajedničku tačku. Svaka prava sa bilo kojom algebarskom krivom drugog reda može da ima 2, 1, nijednu zajedničku tačku ili, ako ih ima više od 2, onda cijela leži na toj krivoj. Ta kriva je onda: prava, par paralelnih pravi ili par pravih koje se sijeku u jednoj tački.
Prava koja sa konusnim presjekom ima tačno jednu zajedničku tačku a nije asimptotska prava naziva se **tangenta** konusnog presjeka.

U svakoj tački konusnog presjeka može da se postavi tačno jedna tangenta. Ako tačka nije na konusnom presjeku onda kroz nju prolazi 
* nijedna tangenta tog konusnog presjeka (ta  tacka je unutar konusnog presjeka)
*tačno dvije tangente ( ta tacka je van konusnog presjeka).

Asimptote i konusni presjek, preciznije hiperbola, nemaju zajedničkih tačaka.

Prave asimptotske prave a koje nisu asimptote imaju tačno jednu zajedničku tačku sa konusnim presjekom.

## Utvrđivanje odnosa prave i konusnog presjeka
Neka je data prava
p: 
\begin{cases} 
  x=x_0+at    \\
  y=y_0+bt   
\end{cases} t \in R

kroz tačku (x_0,y_0) u pravcu vektora {\alpha , \beta }\ne \overrightarrow{0}

Zamjenom u jednačini

a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2 + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0
dobija se jednačina oblika:


rt^2 + qt + s = 0
za neke brojeve r, q, s \in R. 
Neka je \triangle diskriminanta gornjeg polinoma.
* Prava je tangenta ako i samo ako r \in 0 i \triangle = 0.
*Prava je asimptotska prava ako i samo ako je r = 0
*Prava je asimptota ako i samo ako r = 0, q = 0, s \in 0.
*Prava sijeće konusni presjek u dvije različite tačke ako i samo ako r \ne 0, \triangle > 0.

Ako se parametarske jednačine prave p zapišu koristeći neku drugu njenu tačku i/ili neki drugi njen vektor pravca, i/ili ako se jednačine prave i konusnog presjeka posmatraju u odnosu na neki drugi pravougli koordinatni sistem, dobiće se neka jednačina

r't^2 + q't + sx' = 0 i odgovarajuća diskriminanta \triangle ' , gdje
( r', q', s') ne mora biti jednako sa (r, q, s), a ni \triangle ' ne mora biti isti broj kao i \triangle .

Međutim, uvijek će važiti jedan te isti slučaj od četiri gore navedenih. Ne može se desiti  da je prava tangenta gledano iz prve perspektive, a da gledano iz druge ona to nije.
## Dijametri konusnog presjeka
Neka je data neasimptotska prava vektorom \vec v  \ne  \vec 0 . Ako je l proizvoljna prava paralelna sa \vec v koja siježe konusni presjek u 2 različite tačke A_l i B_l označimo sa M_l središte duži A_lB_l. Postoji jedinstvena prava koja sadrži sva takva središta M_l za sve onakve prave l||\vec v. Ta prava se naziva dijametar spregnut (konjugovan) sa pravom određenim vektorom \vec v

Za kružnicu i elipsu važi prava je dijametar ako i samo ako  prolazi kroz centar.

Za hiperbolu važi prava je dijametar ako i samo ako nije asimptotska prava i prolazi kroz centar.

Za parabolu važi prava je dijametar ako i samo ako je paralelna sa osom parabole. 

Dakle svi dijametri parabole su paralelni međusobno i onog jedinstvenog su asimptotska prava ali spregnuti su sa neasimptotskom pravom.

*Ako su d_1 i d_2 dva dijametra onda se kaze da je d_1 spregnut (ili konjugovan) sa d_2 ako je d_1 spregnut sa pravcem prave d_2.
Važi: d_1 je konjugovan sa d_2 ako i samo ako je d_2 konjugovan sa d_1 (dakle ovo je simetricna relacija). U tom slucaju se kaze da d_1 i d_2 cine par konjugovanih dijametara.

Kod parabole uopšte i ne postoje dva dijametra od kojih je jedan spregnut sa onim drugim.
Ako su {\alpha_1,   \beta_1} {\alpha_2 , \beta_2  pravci dva konjugovana dijametra onda važi:

\alpha_{11}\alpha_1\alpha_2+\alpha_{12}(\alpha_1\beta_2+\alpha_2\beta_1)+\alpha_{22}\beta_1\beta_2


Kod kružnice vazi: 2 dijametra su konjugovana ako u samo ako su međusobno normalni.

Kod elipse i hiperbole, od svih parova konjugovanih dijametara tačno je jedan par konjugovanih dijametara koji su i i međusobno normalni. Taj par su upravo ose simetrije

Kod parabole samo je jedan dijametar normalan na pravu sa kojim je spregnut. Taj dijametar je osa parabole.
## Polare konusnih presjeka

Za par tačaka (A,B) se kaze da je (harmonijski) konjugovan sa parom tačaka (M,N)
ako su A,B,M,N četiri različite kolinearne tačke i ako postoji broj \lambda \ne 0 tako da važi

\overrightarrow{AM}= \lambda \overrightarrow{MB}

\overrightarrow{AN}= \lambda \overrightarrow{NB}

Ovaj poslednji uslov se označava i sa:


\frac{\overrightarrow{AM}}{\overrightarrow{MB}}=
\frac{\overrightarrow{AN}}{\overrightarrow{NB}}

Ovo nije dijeljenje vektora. Kaže se i da je tačka M konjugovana sa tačkom N u odnosu na par (A,B).

Ako su M, A,B tri različite kolinearne tačke onda: na pravoj MAB postoji tačka koja je konjugovana sa M u odnosu na (A,B). Ta tačka je jedinstvena ako i samo ako M nije središte duži AB.

Neka je data tačka P koja nije na konusnom presjeku. Ako je l proizvoljna prava koja prolazi kroz P koja konusni presjek siječe u 2 razlicite tačke A_l i B_l tako da P nije središte duži A_lB_l, označimo sa Q_l o tačku prave l
koja je konjugovana sa P u odnosu na par (A_l,B_l). Za Q_l se kaže da je (harmonijski) konjugovana
sa P u odnosu na dati konusni presjek.

Postoji jedinstvena prava koja sadrži sve takve tačke Q_l konjugovane sa P u odnosu na dati konusni presjek,
za sve onakve prave l. Ta prava se naziva **polara** za pol (ili sa polom) P. Tačka P je **pol** te polare.
## Nalaženje elemenata konusnih presjeka
Ako je jednačina konusnog presjeka K data koeficientima:


\begin{bmatrix}
a_{11}     &a_{12} &a_{13}   \\
a_{21} & a_{22}&a_{23}  \\ 
a_{31} & a_{32}&a_{33}
\end{bmatrix}    onda

Jednačina tangente u tački {x_0, y_0} sa tog konusnog presjeka je:

(a_{11}x_0 + a_{12}y_0 + a_{13)}x + (a_{21}x_0 + a_{22}y_0 + a_{23})y + (a_{31}x_0 + a_{32}y_0 + a_{33}) = 0

Jednačina polare sa polom P 

(a_{11}x_0 + a_{12}y_0 + a_{13)}x + (a_{21}x_0 + a_{22}y_0 + a_{23})y + (a_{31}x_0 + a_{32}y_0 + a_{33}) = 0

Jednačina dijametra konjugovanog sa (neasimptotskom) pravom određenom vektorom {\vec {\alpha, \beta}}
je:


(a_{11}x + a_{12}y + a_{13}) + (a_{21}x + a_{22}y + a_{23})\beta = 0

Jednačina asimptote u (asimptotskoj) pravoj određenoj vektorom {\eta (A +C) + \sqrt{(A - C)^2 + B^2}}}

gdje je \eta = 1 ako je determinanta matrice 3x3

\begin{bmatrix}A & B/2 & D/2 \\ B/2 & C & E/2 \\ D/2 & E/2 & F \end{bmatrix} negativna, a \eta =-1 ako je ta determinanta pozitivna.
## Invarijante konika
Trag i determinanta \begin{bmatrix}A & B/2\\B/2 & C\end{bmatrix} 
u invarijante u odnosu na rotaciju oko koordinatnih osa i translaciju ravni.

## Degenerisani konusni presjeci

File:Konusni_presek_-_Tacka.png|tačka
File:Konusni_presek_-_Prava_cela.jpg|prava
File:Konusni_presek_-_2_prave.png|2 prave


Degerisanim slučajem smatramo presjek ravni i konusa koji sadrži tjeme konusa. To mogu biti:
* tačka, kada je ugao između ravni i ose konusa veći od ugla između ose i izvodnice konusa (i manji od 180^o 
* ugao između ose i izvodnice konusa)
* prava, kada je ugao izmedju ravni i ose konusa isti kao ugao između ose i izvodnice konusa
* dvije prave koje se sijeku, kada je ugao između ravni i ose konusa manji od ugla između ose i izvodnice konusa.

## Konike u drugim oblastima
## Kosi hitac

Kretanje tijela koje se ispaljuje sa visine h, sa pocetnom brzinom \vec{v}_0 i pod uglom \alpha u odnosu na tlo, kosi hitac, a putanja koju tijelo opisuje ovim kretanjem je parabola. Primjetimo da, ako zanemarimo otpor vazduha, osim početnih uslova, na tijelo će djelovati i gravitaciono polje.
### Kretanja tijela Sunčevog sistema
Prvi Keplerov zakon kaže da se tijela Sunčevog sistema kreću oko Sunca po konici u čijoj se žiži nalazi Sunce. Večina planeta se kreće po približno kružnoj putanji, zato sto im je ekscentricitet blizak nuli (Zemljin 0.0167, a Jupiterov 0.0488). Interesantno je da Halejeva kometa ima ekscentricitet blizak jedinici (oko 0.995).

### Radio antene (u astronomiji)

USA.NM.VeryLargeArray.02.jpg
Parabola_-_zraci_ziza.png| Odbijanje zraka od reflektor


Radio antene se oslanjaju na optčke osobine konika. Radio talas, zbog velike talasne dužine, nije jednostavno detektovati, pa se zbog toga koriste paraboloidne antene, u čijoj se žiži nalazi prijemnik. Zbog velikih udaljenosti svi zraci koji padnu na površ su približno paralelni i odbiće se tačno u prijemnik (žižu paraboloida)

### Eliptički sto za bilijar

Elipticni_bilijar.png

Eliptički sto za bilijar koristi optičke osobine elipse. Ako bi se izveo udarac bez spina sa bijele tačke, u bilo kom pravcu, kugla bi ušla u rupu. Ta osobina stola se dobija time što se tačka sa koje se izvodi udarac i rupa nalaze u žižama elipse.

## Izvori

*Conic Section
*Can You Really Derive Conic Formulae from a Cone?
*OCCURRENCE OF THE CONICS
*conics
*Konusni presjeci
*RASPADNUTE (DEGENERIRANE) KONIKE REALNE PROJEKTIVNE RAVNINE 
*KLASIFIKACIJA KONIKA REALNE PROJEKTIVNE RAVNINE(prema vrsti sjecišta s beskonačno dalekim pravcem) 
*Konike kao presjeci stožaca i valjaka 2. stepena
* 
* Derivations of Conic Sectionsat
* Conic sections at Special plane curves.
* 
* Determinants and Conic Section Curves 
* Occurrence of the conics. Conics in nature and elsewhere.
* Conics . An essay on conics and how they are generated.
* See Conic Sections at cut-the-knot for a sharp proof that any finite conic section is an ellipse and Xah Lee for a similar treatment of other conics.
* Cone-plane intersection  MATLAB code
* Eight Point Conic  at Dynamic Geometry Sketches 
* An interactive Java conics grapher; uses a general second-order implicit equation.