open-index/open-wikipedia-markdown huggingface dataset:
Jean-Claude Pascal

**Žan Klod Paskal** ( 24. oktobar 1927, Pariz kao Žan Klod Vileminot – umro 5. maja 1992) je bio francuski glumac i pevač.

Godine 1944. se za vrijeme drugog svetskog rata prijavio u francusku vojsku i sudelovao u oslobađanju Strazbura. Posle rata Paskal je prvo studirao na Sorboni a zatim se posvetio dizajnu. Radeći kostime za predstave došao je u kontakt sa ljudima iz sveta glume i svoju prvu ulogu u filmu ostvario je 1949. godine (film *Quattro rose rosse*). Usledile su brojne uloge u filmovima (između ostalih i *Die schöne Lügnerin* 1959 i *Angélique et le sultan* 1968. godine).

Na Pesmi Evrovizije 1961. pobedio je nastupajući za Luksemburg sa pesmom *[[Nous Les Amoureux]]* (Mi ljubavnici). Pesmu je napisao Žak Datin a muziku je komponovao Moris Vidalin. Za Luksemburg je nastupao na istom takmičenju i 1981. godine sa pesmom *[[C'est peut-être pas l'Amérique]]* i osvojio je 11 mesto od 20 takmičara.

Paskal se 1980-ih bavio pisanjem krimi-romana.

## Diskografija
* *[[Lili Marleen]]*
* *Nous les amoureux*
* *C'est peut-être pas l'Amérique*

## Filmografija

* *Un grand patron*
* *Quattro rose rosse*
* *Ils étaient cinq*
* *Le Jugement de Dieu*
* *Le Plus heureux des hommes*
* *Le Rideau cramoisi*
* *La Forêt de l'adieu*
* *Un caprice de Caroline chérie*
* *Alerte au sud*
* *La Rage au corps*
* *Les Enfants de l'amour*
* *Le Cœur frivole ou La galante comédie*
* *Le Chevalier de la nuit*
* *Si Versailles m'était conté*
* *Le Grand jeu*
* *I Tre ladri*
* *Les Mauvaises rencontres*
* *Le Fils de Caroline chérie*
* *Milord l'Arsouille*
* *La Châtelaine du Liban*
* *Le Salaire du péché*
* *Las Lavanderas de Portugal*
* *Guinguette*
* *Pêcheur d'Islande*
* *Le Fric*
* *Die Schöne Lügnerin*
* *Préméditation*
* *Les Arrivistes*
* *La Encrucijada*
* *Le Rendez-vous*
* *La Salamandre d'or*
* *Vol 272*
* *Poppies Are Also Flowers*
* *Comment ne pas épouser un milliardaire*
* *Las 4 bodas de Marisol*
* *Indomptable Angélique*
* *Angélique et le sultan*
* *Unter den Dächern von St. Pauli*
* *Au théâtre ce soir: Les Français à Moscou*
* *Le Temps de vivre, le temps d'aimer*
* *Le Chirurgien de Saint-Chad*
* *Liebe läßt alle Blumen blühen*
* *Au théâtre ce soir: Adieu Prudence*

## Vanjske veze

*
Jugoistočna Evropa

**Jugoistočna Evropa** je relativno novi politički izraz za države na Balkanu. Zbog negativnih konotacija izraza *Balkan*, pisci kao Maria Todorova i Vesna Goldsworthy su predložili da se umjesto toga koristi izraz *Jugoistočna Evropa*. Korištenje izraza je posljednjih godina u porastu; inicijativa Evropske Unije za godinu 1999. je tako nazvana *[[Pakt stabilnosti za Jugoistočnu Evropu]]*, a online novine *Balkan Times* su se godine 2003. preimenovale u *[[Southeast European Times]]*.

## Povezano
* Balkan

## Reference
TV Slagalica

**TV Slagalica** je zabavan i poučan kviz na Radio-televiziji Srbije (RTS), koji okuplja čitavu porodicu. Za razliku od mnogih drugih kvizova, u ovom nije novac na prvom mjestu, nego znanje. 
 
## Nastanak kviza
Kviz je osmislio Nikola Nešković i nazvao ga "*Muzička slagalica*". Značajan doprinos prilikom pripreme kviza dali su članovi Enigmatskog društva "Dr. Đorđe Natošević" iz Sombora Željko Dimović i Tomislav Munišić. Prva emisija emitovana je 22. 11. 1993. godine, a prvi voditelj bio je Ivan Bauer. Ubrzo je "Muzička slagalica" promijenila ime u "TV Slagalicu" i postala ne samo najgledaniji kviz, već i najgledanija emisija na svim srpskim televizijama. Prikazuje se u kontinuitetu sve do danas, a već je emitovana preko 9000. emisija.

## Prikazivanje
"TV Slagalica" se prikazuje na Prvom programu RTS-a tokom cijele sedmice od 19 sati (UTC) , a svaka emisija traje 20-ak minuta. Trenutne voditeljke su Kristina Radenković, Marija Veljković-Milovanović, Milica Gacin i Jelena Simić, a supervizorka je Milka Canić.

## Aktuelne igre
Trenutno se "TV Slagalica" sastoji od ovih igara: *"Slagalica"* (permutiranje slova u cilju dobijanja što duže riječi), "*Moj broj"* (kombinovanje brojeva i matematičkih operacija da se dobije zadani broj), *"Korak po korak"* (igrači po rečenicama koje nešto opisuju nešto traže tačnu riječ), *"Skočko"* (pronalaženje kombinacije znakova; igra poznatija pod imenom mastermind), "*Ko zna, zna"* (igra opšteg znanja) i "*Asocijacije"*.

## Internet
Na sajtu RTS-a ne postoji zvanična stranica posvećena "TV Slagalici", osim ove najave superfinala na kojoj se vide voditeljka Danijela Pantić i supervizor Milka Canić, kao i izgled studija.

## Maskota
"TV Slagalica" ima i svoju maskotu. Zove se *Skočko*, kao i igra pronalaženja kombinacije znakova (mastermind). To je neobično biće, koje ima veliku oblu žutu glavu, s crvenim nosom i ustima, velikim očima, pipcima iznad očiju i nesrazmjerno velikim naočarima. Umjesto tijela, ima oprugu.
Katie Boyle

**Catherine "Katie" Boyle** (Firenca, 29. 5. 1926. – Manchester, 20. 3. 2018) je bila britanska TV voditeljica. Vodila je Eurovizije 1960-ih i 1970-ih. 

## Biografija
Rodila se u Firenci (Italija) kao Caterina Irene Elena Maria Imperiali Di Francavilla, kćer Marchese Demetrio Imperiali di Francavilla i Dorothy Kate Ramsden. U Ujedinjeno Kraljevstvo je došla 1946. i počela karijeru. Pojavila se u nekoliko filmova 1950-ih. Prvi film u kojem je nastupila bila je komedija *[[Old Mother Riley Headmistress]]* u kojem glumi lik Catherine Carleton. 

1960-ih je došla na televiziju i radila kao voditeljica. Vodila je igre i emisije *[[What's My Line?]]* i *[[Juke Box Jury]]*. Bila je voditeljica Eurovizije 1960, 1963, 1968. i 1974. godine. Umrla je u Manchesteru 20. marta 2018. godine.

## Filmografija
* *[[Not Wanted on Voyage]]* (1957)
* *[[The Truth About Women]]* (1957)
* *[[Intent to Kill]]* (1958)*

== Bibliografija ==
* *Dear Katie* (1975), 
* *What This Katie Did* (1980), autobiografija, 
* *Battersea Tales* (1997)

== Vanjske veze ==

* [http://www.bfi.org.uk/films-tv-people/4ce2ba93a520a Katie Boyle] na [[British Film Institute]]
* 
* [http://www.bigredbook.info/katie_boyle.html Katie Boyle] na *This Is Your Life''
Fred Gwynne

**Frederick Hubbard "Fred" Gwynne** (10. jul 1926 &ndash; 2. jul 1993) bio je američki glumac, koji se tokom karijere specijalizirao za karakterne uloge. Gwynne je najpoznatiji po ulogama Francisa Muldoona iu Herman Munster u popularnim sitkomima *[[Car 54, Where Are You?]]* i *[[The Munsters]]*, te Juda Crandalla u igranom filmu "Pet Semetary."

Gwynne se glumom počeo baviti za vrijeme studija na Harvardu, a profesionalno nakon službe u ratnoj mornarici za vrijeme drugog svjetskog rata. Karijeru je započeo na Broadwayu, a prva televizijska uloga mu je bila u sitkomu *[[The Phil Silvers Show]]* 1955. godine. 1980-ih je imao niz zapaženih karakternih uloga.

Posljednja uloga je bio sudac Chamberlain Haller u komediji *[[My Cousin Vinny]]* iz 1992. godine. Sljedeće godine je umro od raka gušterače, ostavivši iza sebe suprugu i četvoro djece.

## Reference

## Vanjske veze
* 
* 
* 
* Fred Gwynne at Biography.com 
*
Sakis Ruvas

**Anastasios "Sakis" Rouvas** (grčki Αναστάσιος "Σάκης" Ρουβάς; rođena 5. 1. 1972.; čije ime se često pogrešno izgovara kao 'Sakis') je popularni grčki pevač.

## Diskografija
### Albumi
* *Sakis Rouvas* (1991)
* *Min Andistekese* (1992)
* *Gia Sena* (1993)
* *Aima, Dakrya & Idrotas* (1994)
* *Tora Arhizoun Ta Dyskola* (1996)
* *Kati Apo Mena* (1998)
* *21os Akataallilos* (2000)
* *Ola Kala* (2002)
* *To Hrono Stamatao* (2003)
* *S'eho Erotefthi* (2005)
* *Iparhι Agapi Edo* (2006)
* *This Is My Lιve* (2007)
* ''Irthes (2008)

### Hitovi
* "Par'ta" (1991)
* "Theleis I Den Theleis" (1998)
* "Disco Girl" (2001)
* "Ola Kala" (2002)
* "Feelings" (2003)
* "Dis lui" (2003)
* "Pes Tis" (2003)
* "Hronia Polla" (2003)
* "Shake It" (2004)
* "Na M'agapas" (2005)
* "Zise Ti Zoi" (2007)
* "This Is Our Night" (2009)

## Vanjske veze

* Zvaničan vebsajt Sakis Ruvas
Ian Hendry

**Ian Hendry** (13. januar 1931 – 24. decembar 1984) bio je engleski filmski i televizijski glumac, najpoznatiji po nastupima u popularnim TV-serijama ranih 1960-ih, kao što su *[[The Avengers (TV serija)|The Avengers]]* te karakternim ulogama u igranim filmovima 1970-ih kao što je *[[Get Carter]]*.

Hendry je započeo televizijsku karijeru kao protagonist TV-seriji *[[Police Surgeon (UK)|Police Surgeon]]*, a njegov lik dr. Geoffreya Brenta je u mnogo čemu bio preteča lika dr. Davida Keela, protagonista TV-serije *Avengers*. Keel je bio zamišljen kao glavni lik, ali se s vremenom kao protagonist nametnuo njegov pomoćnik John Steed, pa je Hendry napustio seriju. Usprkos toga, s Macneejem je ostao prijatelj do kraja života.

Hendry je 1963. godine bio oženjen za glumicu Janet Munro, a brak, obilježen alkoholizmom od koga su oboje bolovali, ali u kome su imali dvoje djece, je završen kada je godine 1971. Munro umrla od infarkta. Hendry se poslije oženio za Sandru Jones, s kojom je imao kći Emmu.

Hendry je umro od unutrašnjeg krvarenja na Badnjak 1984. godine, nedugo nakon što je počeo glumiti u novoj sapunici *[[Brookside (TV serija)|Brookside]]*.

## Vanjske veze
*
Police Surgeon

***Police Surgeon*** (što bi grubo prevedeno s engleskog trebalo značiti: forenzički patolog) je naziv za dvije TV-serije:

* *[[Police Surgeon (UK)]]*, britanska TV-serija u produkciji mreže ITV, emitirana 1960. godine.
* *[[Police Surgeon (Kanada)]]*, kanadska TV-serija iz 1972-74. koja je počela snimanje pod nazivom *[[Dr. Simon Locke]]*
Police Surgeon (UK)

***Police Surgeon*** je bila britanska kriminalistička TV-serija koja se emitirala na programu ITV-a krajem 1960. Protagonist je bio forenzički patolog dr. Geoffrey Brent (čiji je lik tumačio Ian Hendry) i koji je pomagao policiji rješavati kriminalističke slučajeve. Od dvanaest 30-minutnih epizoda je danas očuvana samo jedna.

Seriji je kasnije važnost dala činjenica da je neposredno nakon nje započelo snimanje TV-serije *[[The Avengers]]* čiji je protagonist dr. Keel u mnogo čemu bio sličan dr. Brentu, te ga je tumačio isti glumac.

## Vanjske veze
* 
* ''Police Surgeon'' fan site
Car 54, Where Are You?

***Car 54, Where Are You?*** je američki televizijski sitkom koji se originalno prikazivao na programu mreže NBC od 1961. do 1963. Radnja je pratila komične pustolovine dvojice njujorških policajaca - niskog, koleričnog Gunthera Toodyja (koga je tumačio Joe E. Ross) i visokog, šutljivog Francisa Muldoona (koga je tumačio Fred Gwyne) - koji su radili u fiktivnoj 53. policijskoj stanici.

Za seriju je bilo karakteristično to da je, za razliku od većine tadašnjih televizijskih sitkoma, snimana na autentičnim lokacijama u New Yorku, kao i da su likovi bili etnički i rasno miješani. Snimana je u crno-bijeloj tehnici, što je ekipi omogućilo da koristi policijske automobile koji su se po boji razlikovali od pravih (zelena umjesto crvene) te nisu mogli uznemiriti građane New Yorka, ali koji su zbog istovjetne nijanse na crno-bijelim ekranima izgledali autentično.

## Glumačka postava

* Joe E. Ross kao policijski službenik Gunther Toody 
* Fred Gwynne kao policijski službenik Francis Muldoon 
* Hank Garrett kao policijski službenik Ed Nicholson 
* Jim Gormley kao policijski službenik Nelson 
* Albert Henderson kao policijski službenik Dennis O'Hara 
* Bruce Kirby kao policijski službenik Kissel 
* Al Lewis kao policijski službenik Leo Schnauser (1961-1963) 
* Beatrice Pons kao Lucile Toody 
* Charlotte Rae kao Sylvia Schnauser 
* Paul Reed kao policijski kapetan Martin Block 
* Joe Warren kao policijski službenik Steinmetz
* Nipsey Russell kao policijski službenik Anderson
* Ossie Davis kao policijski službenik Omar Anderson
* Frederick O'Neal kao policijski službenik Wallace

## Filmski remake iz 1994. godine
Godine 1994. je na osnovu serije snimljen igrani film *Car 54, Where Are You?*, a u kome je John C. McGinley glumio lik Muldoona, David Johansen lik Toodyja, a nastupala je i Rosie O'Donnell. Snimanje, koje se odvijalo u Torontu, je zapravo dovršeno 1990. godine, ali film nije pušten u distribuciju sve do 1994 zbog bankrota studija Orion Pictures .; Doživio je propast na kino-blagajnama te su ga sasjekli kritičari.

## Reference

## Vanjske veze
* 
* ''Car 54, Where Are You?'' at TV.com 
*
Joe E. Ross

**Joe E. Ross** (15. mart 1914 – 13. august 1982.) bio je američki glumac specijaliziran za komične uloge, u kojima je koristio svoj prepoznatljivi glas. Najpoznatiji je po ulozi narednika Ruperta Ritzika u humorističkoj TV-seriji *[[The Phil Silvers Show]]*, kao i policijskog službenika Gunthera Toodyja u TV-seriji *[[Car 54, Where Are You?]]*.

Ross je imao buran privatni život te se ženio čak jedanaest puta. Umro je od infarkta na pozornici.

## Reference

## Vanjske veze
* 
*
Honor Blackman

**Honor Blackman** (22. august 1925 - 5. april 2020.) je bila engleska glumica najpoznatija po ulozi Cathy Gale u popularnoj TV-seriji *[[The Avengers (TV serija)|The Avengers]]* te kao živopisna Bond djevojka Pussy Galore u filmu *[[Goldfinger (film)|Goldfinger]]*.

## Djelomična filmografija
* *[[Fame is the Spur]]* (1947) (filmski debi, van špice)
* *[[Quartet (film)|Quartet]]* (1948)
* *[[Conspirator (film)|Conspirator]]* (1949)
* *[[So Long at the Fair]]* (1950)
* *[[The Rainbow Jacket]]* (1954)
* *[[Breakaway (1955 film)|Breakaway]]* (1955)
* *[[The Glass Cage (1955 film)|The Glass Cage]]* (1955)
* *[[The Square Peg]]* (1958)
* *[[A Night to Remember (1958 film)|A Night to Remember]]* (1958)
* *[[Danger List]]* (1959) (kratkometražni)
* *[[A Matter of WHO]]* (1961)
* *[[Jason and the Argonauts (film)|Jason and the Argonauts]]* (1963)
* *[[Goldfinger (film)|Goldfinger]]* (1964)
* *[[The Secret of My Success]]* (1965)
* *[[Moment to Moment]]* (1965)
* *[[Life at the Top (film)|Life at the Top]]* (1965)
* *[[Shalako (film)|Shalako]]* (1968)
* *[[Lola (1969 film)|Twinky]]*, također poznat kao *Lola* (1969)
* *[[The Virgin and the Gypsy (film)|The Virgin and the Gypsy]]* (1970)
* *[[Fright (film)|Fright]]* (1971)
* *[[Something Big]]* (1971)
* *[[Popis epizoda Columbo#Druga sezona (1972-1973, 8 epizoda|Columbo: Dagger of the Mind]]* (1972) (TV)
* *[[To the Devil a Daughter]]* (1976)
* *[[The Cat and the Canary (1979 film)|The Cat and the Canary]]* (1979)
* *[[Minder on the Orient Express]]* (1985) (TV)
* *[[Bridget Jones's Diary (film)|Bridget Jones's Diary]]* (2001)

## Diskografija
* Everything I've Got (1964)

## Reference

## Vanjske veze

* 
* Official Website
* 'Word of Honor' show 
* Blackman presents Guy Hamilton with Cinema Retro award at Pinewood Studios Goldfinger reunion
* selected performances in the Theatre Archive, University of Bristol
Diana Rigg

**Dame Enid Diana Elizabeth Rigg** DBE (20. jul 1938. - 10. septembar 2020.) je engleska glumica, najpoznatija po ulozi Emme Peel u popularnoj TV-seriji *[[The Avengers (TV series)|The Avengers]]* te ulozi grofice Terese di Vicenzo u Bondovom filmu *[[On Her Majesty's Secret Service (film)|On Her Majesty's Secret Service]]*, Olene Tajrel u "Igri prestola".Dajana je bila ikona pozorišta, filma i televizije. Dobila je nagrade Bafta, Emi, Toni i Ivning Standard za svoj rad na sceni i ekranu.

## Vanjske veze

* 
* 
* 
* DianaRigg.net , neslužbeni website
Linda Thorson

**Linda Thorson** (rođena kao **Linda Robinson** 18. juna 1947. u Torontu, Ontario) je kanadska glumica, najpoznatija po ulozi Tare King u popularnoj TV-seriji *[[The Avengers]]*.

## Reference

## Vanjske veze
* 
* Linda Thorson at the Internet Broadway Database
* Audio interview at BBC Wiltshire
Patrick Macnee

**Patrick Macnee** (6. februar 1922 - 25. jun 2015) je engleski glumac, najpoznatiji po ulozi tajnog agenta Johna Steeda u popularnoj TV-seriji *[[The Avengers (TV serija)|The Avengers]]*.

## Reference

## Vanjske veze
* Patrick Macnee official website 
* 
* 
* Avengers: The Journey Back
Samosličnost

U matematici, **samosličan** objekt je točno ili aproksimativno sličan dijelu sebe, tj. cjelina ima isti oblik kao jedan ili više dijelova. Mnogi su objekti iz stvarnog svijeta, poput linije obale, statistički samoslični: njihovi dijelovi pokazuju ista statistička svojstva na raznim skalama. Samosličnost je tipično svojstvo fraktala.

Invarijantnost skale je točan oblik samosličnosti gdje za svako povećanje postoji manji djelić objekta koji je sličan cjelini. Primjerice, strana Kochove krivulje je i simetrična i skalno invarijantna - može biti kontinuirano povećana 3 puta bez promjene oblika.

## Definicija
A kompaktni topološki prostor *X* je samosličan ako postoji konačni skup *S* koji indeksira ne-surjektivne homeomorfizme \{ f_s \}_{s\in S} za koje

:X=\cup_{s\in S} f_s(X)

Ako je X\subset Y, tada *X* zovemo samosličnim ako je on jedini neprazni podskup od *Y* takav da je gornja jednadžba zadovoljena za \{ f_s \}_{s\in S}. 

:\mathfrak{L}=(X,S,\{ f_s \}_{s\in S}) 

zovemo samosličnom strukturom. Homeomorfizmi mogu biti iterirani, što rezultira sustavom iterirane funkcije. Kompozicija funkcija stvara algebarsku strukturu poznatu kao monoid. Kad skup *S* ima svega dva elementa, monoid je poznat kao diadički monoid. Diadički monoid može biti vizualiziran kao beskonačno binarno stablo - općenitije, ako skup *S* ima *p* elemenata, monoid može biti predstavljen p-adičkim stablom.

Automorfizam diadičkog monoida je modularna grupa - automorfizmi mogu biti naslikani kao hiperbolne rotacije binarnog stabla.

## Primjeri

Samosličnost također igra važnu ulogu u dizajnu računalnih mreža, s obzirom da tipičan mrežni promet ima samoslična svojstva. Primjerice, u telekomunikacijskom inženjerstvu, paketno preklopljeni uzorci prometa su naizgled statistički samoslični.. Ovo svojstvo znači da su jednostavni modeli koji koriste Poissonovu raspodjelu netočni, te da će mreže dizajnirane ne uzimajući u obzir samosličnost vrlo vjerojatno davati neočekivano ponašanje.

## Izvori

* "Copperplate Chevrons" - film zumiranja samosličnog fraktala
Cantorov skup

**Cantorov skup** je skup odvojenih točaka dužine koji se dobije konstantnim izbacivanjem srednje trećine svih preostalih segmenata. To je fraktal topološke dimenzije 0 (nula). Predstavio ga je njemački matematičar Georg Cantor 1883. godine.

## Konstrukcija
Uzmimo segment pravca u intervalu [0,1] te izuzmimo srednju trećinu bez krajnjih točaka (dakle, interval ). Sa svakim od preostala dva segmenta učinimo isto i nastavimo postupak s ostatkom. Točke koje ostanu nakon beskonačnog broja iteracija čine Cantorov skup. Zanimljivo je da je Cantorov skup ono što ostane od prvobitne crte Kochove krivulje.

## Sadržaj Cantorovog skupa
Cantorov je skup sve što ostane nakon oduzimanja srednjih trećina, pa zbroj duljina svih segmenata možemo dobiti tako da zbrojimo duljine svih izuzetih segmenata i oduzmemo ga od duljine početne dužine. U prvoj smo iteraciji oduzeli 1/3 ukupne duljine, u drugoj još 2/9 itd. Zbroj tog geometrijskog niza je:
: \frac{2^{n-1}}{3^n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} + \cdots =  \frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{2}{3}} = 1.

Drugim riječima, izgleda da smo sve izbacili. Isti smo rezultat mogli dobiti i drugačije, zbrojimo li sve što smo ostavili:
:\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdots = \left ( \frac{2}{3} \right )^{\infty} {\to} 0.

No, zaključiti da je Cantorov skup prazan nije ispravno. Dokaz tome je činjenica da smo uvijek ostavili krajnje točke skupa koji smo izbacivali. Dakle, ono što je ostalo su odvojene točke.

## Višedimenzionalni Cantorovi skupovi

Višedimenzionalni analogoni Cantorovom skupu obično se nazivaju **Cantorova prašina**. Postupak za dvodimenzionalni analogon je sličan: jedinični se kvadrat podijeli na 9 jednakih kvadrata od kojih se izbaci pet kvadrata koji ne sadrže vrh početnog kvadrata (izbace se kvadrati u obliku znaka +). Postupak se ponovi s ostala četiri kvadrata i tako beskonačno puta.

Trodimenzionalni se analogon naziva i Cantorov oblak. Kreće se od kocke koja se podijeli na 27 jednakih kocaka. Izostavi se 19 od njih koje ne sadrže vrhove kocke, odnosno ostavi se 8 kocaka koje sadrže dijelove triju stranica početne kocke. Postupak se ponovi s preostalim kockama.

## Povezano
* Fraktali
Trokut Sierpińskog

**Trokut Sierpińskog** je fraktal kojeg je opisao poljski matematičar Wacław Franciszek Sierpiński 1915. godine. Jedan je od najjednostavnijih primjera fraktala, fraktalna mu je dimenzija \frac{\log 3}{\log 2} \approx 1.585.

## Konstrukcija
Počinjemo s jednakostraničnim trokutom. Odredimo polovišta stranica te od početnog trokuta oduzmemo trokut koji nastaje spajanjem polovištâ. Ostaju tri jednakostranična trokuta dvostruko manjih duljina stranica od početnog; sa svakim ponovimo postupak. Trokutom Sierpińskog nazivamo skup točaka koji ostane kad broj oduzimanja (iteracija) teži nuli.

Drugi način konstrukcije trokuta Sierpińskog jest da se početni trokut skalira s faktorom 1/2 te se naprave dvije kopije koje se smjeste tako da jednim vrhom dodiruju drugu kopiju, a drugim početni (skalirani) trokut. Rezultat je, naravno, isti, ali se ova metoda može koristiti za razne druge oblike, kao na slici:

### Koristeći [[L-sistem|L-sustav]]

Trokut Sierpińskog je prvobitno bio predstavljen kao krivulja te se kao takav može prikazati Lindenmayerovim sustavom:
* **Početak:** A
* **Pravila:**
** A → B - A − B
** B → A + B + A
* **Značenje:**
** **A**, **B** = "crtaj naprijed"
** **-** = "zakreni u smjeru kazaljke na satu za 60°"
** **+** = "zakreni u smjeru suprotnom od smjera kazaljke na satu za 60°"

Dakle,

# nulta iteracija: A
# prva iteracija: B - A − B
# druga iteracija: A + B + A - B - A − B - A + B + A

itd.

### Kao [[sistem iterirane funkcije|sustav iteriranih funkcija]] (IFS)

Trokut Sierpińskog se može dobiti i primjenjujući ove transformacije:

## Tetraedar Sierpińskog

Nastaje analogijom trokuta Sierpińskog kojom se trokuti jednostavno zamijene tetraedrima. No, ne konstruira se oduzimanjem jednog manjeg, "naopakog" tetraedra iz sredine (jer se onda izvana ne bi vidjelo ništa osim početnog tetraedra), nego ostavljanjem četiri manja tetraedra i oduzimanjem svega ostalog. Zanimljiva je fraktalna dimenzija: pri svakoj iteraciji nastaju četiri nova dijela dvostruko manje duljine stranice, pa je ona \frac{\log 4}{\log 2} = 2

## Povezano

* Fraktali
* Tepih Sierpińskog
* Lindenmayerov sustav
* Sustavi iteriranih funkcija (IFS)
Zmajolika krivulja

**Zmajolika krivulja** (en. *Dragon curve*) je beskonačno gusta krivulja koja je dobila ime po mitološkom biću kojemu sliči. Ponekad se to ime koristi za sve fraktalne krivulje koje se mogu konstruirati rekurzivnim metodama kao što je Lindenmayerov sustav.

## Heighwayova zmajolika krivulja

Zmajolikom krivuljom (u užem smislu) obično se naziva ova krivulja. Prvi su je istraživali NASA-ini fizičari John Heighway, Bruce Banks i William Harter. Opisao ju je Martin Gardner u kolumni *Matematičke igre* (*Mathematical Games*) u časopisu Scientific American 1967. godine. Bila je nacrtana na naslovnim stranicama dijelova romana Michaela Crichtona Jurski park.

### Konstrukcija
Najčešće se crta pomoću L-sustava:

* **kut:** 90
* **početak:** *FX*
* **pravila:** 
** X \mapsto X + Y F +
** Y \mapsto - F X - Y
* **značenje:**
** **F** = "crtaj naprijed"
** **-** = "zakreni u smjeru kazaljke na satu za 90"
** **+** = "zakreni u smjeru suprotnom od smjera kazaljke na satu za 90"

Dakle,
* **prva iteracija:** F X + Y F +
* **druga iteracija:** F X + Y F + + - F X - Y F +
* **treća iteracija:** F X + Y F + + - F X - Y F + + - F X + Y F + - - F X - Y F +
* **četvrta iteracija:** F X + Y F + + - F X - Y F + + - F X + Y F + - - F X - Y F + + - F X + Y F + + - F X - Y F + - - F X + Y F + - - F X - Y F +

Osim toga, moguće ju je prikazati i kao sustav rekurzivnih funkcija u kompleksnoj ravnini:

:f_1(z)=\frac{(1+i)z}{2}
:f_2(z)=1-\frac{(1-i)z}{2}.

### Svojstva

Unatoč čudnom obliku, zmajolika krivulja ima relativno jednostavne **dimenzije**:

Površina se jednostavno može vidjeti iz njezina popločenja: površina slike gore jest pola kvadratne jedinice.

**Samosličnost** je jasno vidljiva: svaki "dio" je manji za \sqrt{2} i rotiran za 45˚.

Fraktalna dimenzija joj je, kao i svim beskonačno gustim krivuljama u ravnini 2, a fraktalna dimenzija njezine granice se procjenjuje na 1.5238.

## Davis-Knuthova zmajolika krivulja

Na engleskom poznatija pod nazivom *twindragon* ("zmajevi blizanci"). Dobije se postavljajući dvije zmajolike krivulje jednu do druge (leđa o leđa) ili sustavom iteriranih funkcija:
:f_1(z)=\frac{(1+i)z}{2}
:f_2(z)=\frac{(1+i)z+1-i}{2}.

## Povezano

* Fraktali
* Beskonačno guste krivulje
* Peanova krivulja
* Hilbertova krivulja
* Krivulja Sierpińskog
* Lindenmayerov sustav (L-sustav)

## Izvori
Hilbertova krivulja

**Hilbertova krivulja** je beskonačno gusta krivulja koju je opisao njemački matematičar David Hilbert 1891. godine.

## Konstrukcija
Konstrukcija je potpuno ista kao i kod Peanove krivulje. Nulta i prva iteracija su zadane takve kakve jesu. Druga se iteracija tvori tako da se u prvoj iteraciji pronađe svaki segment sličan krivulji iz nulte iteracije i zamijeni se cijelom prvom iteracijom. Daljnja se konstrukcija može shvatiti na dva načina, iako je rezultat potpuno isti:
* *n*-tu iteraciju dobijemo ako u iteraciji br. *n*-1 svaki segment sličan krivulji iz **nulte** iteracije zamijenimo cijelom **prvom** iteracijom.
* *n*-tu iteraciju dobijemo ako u iteraciji br. *n*-1 svaki segment sličan krivulji iz iteracije br. ***n''-2''' zamijenimo cijelom iteracijom br. ***n*-1*'.

Hilbertova krivulja nastaje nakon beskonačno mnogo iteracija.

### Koristeći [[L-sustav]]
* **Početak:** L
* **Pravila:**
** L → + R F − L F L − F R +
** R → − L F + R F R + F L −
* **Značenje:**
** **F** = "crtaj naprijed"
** **-** = "zakreni u smjeru kazaljke na satu za 90°"
** **+** = "zakreni u smjeru suprotnom od smjera kazaljke na satu za 90°"

## Trodimenzionalna Hilbertova krivulja
Može se napraviti jednostavnom analogijom.


Datoteka:Hilbert curve 3D 0th iteration.png|nulta iteracija
Datoteka:Hilbert curve 3D 1st iteration.png|prva iteracija
Datoteka:Hilbert curve 3D 2nd iteration.png|druga iteracija
Datoteka:Hilbert curve 3D iterations 0-2.png|iteracije 0-3


## Povezano

* Fraktali
* Beskonačno guste krivulje
* Peanova krivulja
* Krivulja Sierpińskog
* Zmajolika krivulja
* Lindenmayerov sustav (L-sustav)
Krivulja Sierpińskog

**Krivulja Sierpińskog** je beskonačno gusta krivulja koju je opisao poljski matematičar Wacław Franciszek Sierpiński. Za razliku od Peanove i Hilbertove, ova je krivulja zatvorena. Osim toga, složenija je jer, osim pravih, sadrži i kutove od 45°.

## Konstrukcija
Svaka se iteracija dobije tako da se prethodna upola smanji te se naprave još tri kopije. Te se četiri krivulje translatiraju tako da vrhovi "kosog" dijela iz prethodne iteracije budu na polovištima okomitih i vodoravnih stranica iz ove iteracije (vidi sliku desno). Tada se svakoj krivulji iz ove iteracije oduzme "kosa" stranica najbliža središtu kvadrata u kojem se krivulja crta te se vrhovi oduzetih stranica spoje s dva najbliža vrha susjednih oduzetih stranica. Krivuljom Sierpińskog nazivamo krivulju koja se dobije kad broj iteracija teži u beskonačno.


Datoteka:Sierpiński curve order 0.svg|nulta iteracija
Datoteka:Sierpiński curve order 1.svg|prva iteracija
Datoteka:Sierpiński curve order 2.svg|druga iteracija
Datoteka:Sierpiński curve order 3.svg|treća iteracija
Datoteka:Sierpiński curve order 4.svg|četvrta iteracija
Datoteka:Sierpiński curve order 5.svg|peta iteracija


## Svojstva
Duljina krivulje Sierpińskog jednaka je  l_n = {2 \over 3} (1+\sqrt 2) 2^n - {1 \over 3} (2-\sqrt 2) {1 \over 2^n} , gdje je *n* broj iteracije. Iz ovog se može vidjeti da duljina raste eksponencijalno s porastom broja iteracije.

Površina koju zatvara ova krivulja jest konačna. Najlakše ju je izračunati ako sliku prve iteracije podijelimo na 64 kvadrata (polje od 8 puta 8 kvadrata). Tada vidimo (jednostavnim brojenjem) da je unutar krivulje površina jednaka površini 22 kvadrata. Drugu iteraciju podijelimo na 256 jednakih kvadrata te izbrojimo površinu 102 kvadratića. Treću bismo iteraciju podijelili na 1024 kvadratića te izbrojili površinu od 422 unutar krivulje. Ukupna se površina može prikazati kao zbroj površine prve iteracije i geometrijskog reda kvocijenta 1/4:
:\frac{22}{64} + \left( \frac{14}{256} + \frac{14}{1024} + \cdots \right) = \frac{22}{64} + \frac{\frac{14}{256}}{1-\frac{1}{4}} = \frac{5}{12}.

## Povezano

* Fraktali
* Beskonačno guste krivulje
* Peanova krivulja
* Hilbertova krivulja
* Zmajolika krivulja

## Vanjske veze
* java applet
Beskonačno guste krivulje

**Beskonačno guste krivulje** su fraktalne krivulje koje nakon beskonačnog broja iteracija potpuno prekrivaju dio n-dimenzionalnog prostora u kojem se nalaze, n > 1. Tako će beskonačno gusta krivulja u ravnini zauzimati svaku točku npr. kvadrata, a u trodimenzionalnom prostoru svaku točku kocke. Prvi ih je opisao talijanski matematičar Giuseppe Peano pa se sve one ponekad nazivaju Peanovim krivuljama.

## Svojstva
Fraktalne dimenzije svih beskonačno gustih krivulja odgovaraju topološkoj dimenziji prostora u kojem se nalaze, baš zato što ispunjavaju cijeli taj prostor, iako je njihova topološka dimenzija uvijek 1. Dakle, fraktalna dimenzija beskonačno gustih krivulja na ravnini (jediničnom kvadratu) je 2, u prostoru (jediničnoj kocki) 3 itd.

## Uvod

Što znači da krivulja potpuno prekriva kvadrat? U teoriji to znači da ona nakon beskonačnog broja iteracija zauzima svaku točku kvadrata. U praksi se to može shvatiti korištenjem pojma razlučivosti koji označava broj točaka računalnog zaslona (ili slične naprave) koje su potrebne da se nacrta takav kvadrat. Ako nacrtamo sivi kvadrat od *n* puta *n* točaka i u njemu krivulju bijele boje te ako nakon njene *m*-te iteracije svaka od *n*2 točaka bude bijela, krivulja je beskonačno gusta (vidi sliku Hilbertove krivlje desno).

## Povezano
* Fraktali
* Peanova krivulja
* Hilbertova krivulja
* Krivulja Sierpińskog
* Zmajolika krivulja
Topološka dimenzija

**Topološka dimenzija** je ono što zovemo intuitivnom dimenzijom, odnosno (kako se često na jednostavan način objašnjava sâm pojam dimenzije) broj smjerova u kojima bismo mogli ići da smo u određenom objektu, odnosno broj "stupnjeva slobode". Tako je svaka linija (ravna ili zakrivljena) jednodimenzionalna jer postoji samo jedan stupanj slobode – dužina (lijevo-desno). Svaka je ploha (ravna ili svinuta) dvodimenzionalna jer postoje dva stupnja slobode – dužina i širina (lijevo-desno i gore-dolje). Topološka dimenzija uvijek je pozitivan cijeli broj ili nula.

Stručnije, topološka se dimenzija može definirati kao najmanja moguća vrijednost *n* tako da se bilo koji otvoreni pokrivač (pokrivač čiji su svi elementi otvoreni skupovi) može podesiti tako da svaka točka bude dio najviše *n*+1 elemenata. Primjerice, ako želimo odrediti topološku dimenziju kružnice, konstruirat ćemo joj pokrivač od otvorenih kružnih lukova. Nadalje, podesit ćemo taj pokrivač tako da smanjimo preklapanje njegovih elemenata na najmanju moguću mjeru, ali da cijela kružnica i dalje bude potpuno pokrivena. Pošto smo uzeli otvorene lukove, preklapanje je neizbježno, a može se podesiti tako da svaka točka kružnice bude dio samo jednog ili dva elementa pokrivača. Najveća je vrijednost *n* = 2, tako da topološka dimenzija iznosi *n* - 1 te zaključujemo da je kružnica jednodimenzionalna.

Ovo matematičko objašnjenje možda se čini nepotrebnim, ali ono je vrlo važno u nekim elementima više matematike, npr. u fraktalima.

## Povezano
* Fraktalna dimenzija
Tepih Sierpińskog

**Tepih Sierpińskog** je fraktal kojeg je opisao poljski matematičar Wacław Franciszek Sierpiński 1916. godine. Vrlo je sličan istoimenom trokutu, ali ima veću fraktalnu dimenziju, \frac{\log 8}{\log3} \approx 1.8928.

## Konstrukcija
Počinje se od kvadrata (nulta iteracija) koji se podijeli u 9 sukladnih kvadrata (duljine stranice 1/3 početnog). Srednji se kvadrad oduzme (prva iteracija), a postupak se ponavlja s preostalih 8. Tepih Sierpińskog nastaje nakon beskonačnog broja iteracija.


Image:Menger_0.PNG|nulta iteracija
Image:Menger_1.PNG|prva iteracija
Image:Menger_2.PNG|druga iteracija
Image:Menger_3.PNG|treća iteracija
Image:Menger_4.PNG|četvrta iteracija
Image:Menger_5.PNG|peta iteracija


### Kao [[sustav iteriranih funkcija]] (IFS)
Tepih Sierpińskog može se dobiti i primjenjujući ove transformacije:

## Mengerova spužva

Trodimenzionalni analogon tepihu Sierpińskog naziva se Mengerova spužva. Dobiva se jednostavnom analogijom gdje se umjesto kvadrata uzimaju kocke. No, ne oduzima se samo središnja od 27 kocaka prve iteracije, nego i još 6 kocaka u središtima strana početne kocke.

## Povezano

* Fraktali
* Trokut Sierpińskog
* Mengerova spužva
* Lindenmayerov sustav
* Sustavi iteriranih funkcija (IFS)
Mengerova spužva

**Mengerova spužva** je fraktal kojeg je opisao austrijski matematičar Karl Menger 1926. godine. To je trodimenzionalni analogon tepihu Sierpińskog. Često se naziva Sierpiński-Mengerovom spužvom ili, netočno, samo spužvom Sierpińskog. Svaka strana Mengerove spužve je tepih Sierpińskog, a svaka dijagonala Cantorov skup. Fraktalna joj je dimenzija \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2.7268.

## Konstrukcija
Počinje se s kockom (nulta iteracija) koja se podijeli na 27 jednakih kocaka (duljine stranice 1/3 početne). Nakon toga oduzme se 7 kocaka: središnja i 6 u središtima strana početne kocke (prva iteracija). Postupak se ponovi s preostalih 20 kocaka. Mengerova se spužva dobije kad broj iteracija teži u beskonačno. Na slici ispod su prikazane nulta i prve tri iteracije.

### Kao [[sustav iteriranih funkcija]] (IFS)
Moguće ju je načiniti pomoću 20 transformacija vjerojatnosti po 5%. Dvije su napisane u tablici, ostale se mogu dobiti analogijom iz transformacijâ za tepih Sierpińskog.

## Povezano

* Fraktali
* Tepih Sierpińskog
* Trokut Sierpińskog
* Sustavi iteriranih funkcija (IFS)
Mandelbrotov skup

**Mandelbrotov skup** je skup točaka *c* kompleksne ravnine za koje je Julijin skup (u užem smislu) povezan. Dobio je ime po francusko-američkom matematičaru Benoîtu Mandelbrotu.

## Konstrukcija

U Julijin skup (u užem smislu), kao što je već rečeno, može se uvrstiti bilo koji kompleksni broj *c*. Ovisno o tom broju, Julijin skup može biti povezan ili nepovezan. Ako na kompleksnoj ravnini označimo sve brojeve *c* pomoću kojih se dobiva povezan Julijin skup, definirali smo Mandelbrotov skup. Mandelbrotov se skup može prikazati na isti način na koji se najčešće prikazuje Julijin skup – bojeći točke koje pripadaju skupu crno, a ostale u raznim nijansama ovisno o tome koliko brzo divergiraju.

## Svojstva
### Osnovna

Mandelbrotov je skup zatvoren skup kojemu su sve točke unutar (zatvorenog) kruga polumjera 2 sa središtem u ishodištu. Štoviše, točka *c* pripada Mandelbrotovom skupu ako i samo ako vrijedi |f^n_c(0)|\leq 2 za sve n\geq 0. Drugim riječima, ako je apsolutna vrijednost f^n_c(0) za neki n\geq 0 veća od 2, niz će težiti u beskonačnost (divergirati). Presjek Mandelbrotovog skupa s realnom osi daje interval [−2, 0.25]. Površina se procjenjuje na 1.506 591 77 ± 0.000 000 08, te se vjeruje da je jednako \sqrt{6\pi -1} - e = 1.506591651 \ldots

### Samosličnost
Mandelbrotov je skup kvazi samosličan (vidi Podjela fraktala) jer se u njemu pojavljuju izmijenjene verzije njega samog. Izmijenjene su uglavnom zbog skupova točaka koji "vire" iz njih povezujući ih s glavnim dijelom (dio 1 u podnaslovu ispod, slika desno).

### Atraktori perioda-''n''

Zanimljivo je da u području označenu brojkom 1 na slici sa strane svaka točka konvergira samo jednoj vrijednosti (ne nužno istoj za svaku točku), odnosno tijekom iteracija stvara atraktor perioda-1 (vidi Bifurkacijski dijagram populacijske jednadžbe). Na području 2 svaka točka čini atraktor perioda-2. U Mandelbrotovom skupu postoji barem jedno područje za atraktor perioda-n, n\in \mathbb{N}. Područja koja su izravno spojena s područjem 1 tvore atraktor perioda-*n* ako iz njih "viri" *n*-1 "antena":

### Galerija uvećavanja
Svaka slika predstavlja jedan uvećani dio prethodne. Vidljiva je beskonačna složenost skupa i bogatstvo geometrijskih struktura. Uvećanje zadnje slike u odnosu na prvu je otprilije 60 000 000 000 : 1. Na prosječnom monitoru zadnja slika bi bila dio Mandelbrotovog skupa promjera oko 20 milijuna kilometara.

## Umjetnost i Mandelbrotov skup
Neki ljudi vole pronaći zanimljive geometrijske oblike u Mandelbrotovom skupu. Evo nekoliko primjera prekrasnih područja u ovoj sorti:

## Varijacije

Moguće je napraviti Mandelbrotov skup pomoću funkcije f(z_{n-1})=z_n^b+c, b>2. Takvi se skupovi popularno nazivaju multibrot skupovima.

## Vanjske veze
* "Mandelbrot set - The most advanced online generator"

## Povezano

* Fraktali
* Julijin skup
* Gorući brod (fraktal)
Gorući brod (fraktal)

**Gorući brod** je fraktal kojeg su opisali Michael Michelitsch i Otto E. Rössler 1992. Konstruira se na sličan način kao i Julijin skup: za svaku se točku kompleksne ravnine z_0 = x_0 + y_0i odredi niz točaka z_{n+1} = x_{n+1} + y_{n+1}i tako da je x_{n+1} = x_n^2 - y_n^2 - x_0 i y_{n+1} = 2|x_n y_n| - y_0. Točke koje nakon mnogo iteracija konvergiraju jednoj vrijednosti pripadaju skupu te se oboje jednom bojom. Ostale točke divergiraju i oboje se različitim nijansama ovisno o tome koliko brzo divergiraju.

## Povezano
* Fraktali
* Julijin skup
* Mandelbrotov skup

## Vanjske veze
* Aplikacija za ''zumiranje'' Jetra Lauhe, Video
T-ravnalo (fraktal)

**T-ravnalo** je fraktal fraktalne dimenzije 2, a topološke 1. Ime je dobio po crtaćem priboru.

## Konstrukcija
Počnimo od kvadrata (zvat ćemo ga graničnim kvadratom), bijele boje na slici ispod, i od njega oduzmimo kvadrat upola kraće stranice smješten u sredinu graničnog kvadrata, crne boje (prva iteracija). Granični kvadrat podijelimo na četiri jednaka kvadrata i ponovimo postupak (druga iteracija). Svaki od ta četiri kvadrata podijelimo na još četiri itd. T-ravnalom zovemo **granicu** crne i bijele površine.

## Svojstva
T-ravnalo je beskonačno duga krivulja, ali ona okružuje konačnu površinu. Duljina krivulje nakon prve iteracije jest 4, ako uzmemo da granični kvadrat (vidi iznad) ima dimenzije 2 &times; 2, a površina 1. Nakon prve iteracije od prvog kvadrata ostaju 4 dužine duljine po \frac{1}{2} te se dodaju još 4 kvadrata s dvije stranice duljine \frac{1}{2} i dvije duljine \frac{1}{4}, pa je to 2 + 6 = 8. Površina se poveća za \frac{3}{4} (četiri dodatna kvadrata površine \frac{1}{4}, ali bez svoje jedne četvrtine). Nakon druge iteracije, duljina krivulje jest 2 od prvog kvadrata, 3 od kvadratâ iz prve iteracije (od svakog od četiri kvadrata ostaje \frac{3}{4}) te 9 od novih kvadrata (duljina granice svakog od 12 kvadrata jest \frac{3}{4}), dakle 2 + 3 + 9 = 14. Površina se povećava za \frac{9}{16} (svaki od 12 kvadrata ima površinu \frac{3}{64}). Prema tome, nakon beskonačnog broja iteracija, duljina krivulje je beskonačna, a površina, prema formuli za sumu geometrijskog reda, četiri puta veća od prvog kvadrata, odnosno jednaka površini graničnog kvadrata:
:1 + \frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \cdots = \frac{1}{1-\frac{3}{4}} = 4.

## Povezano
* Fraktali
* Beskonačno guste krivulje
Teorija kaosa

**Teorija kaosa** ili **haosa** opisuje ponašanje nekih nelinearnih dinamičkih sustava u matematici i fizici koji se pod određenim uvjetima ponašaju na prividno nepredvidljiv način (pojam *kaos* obično označava nered ili slučaj).

## Determinizam i kaos
Povijest čovječanstva prepuna je događaja u kojima su ljudi nastojali kontrolirati okolinu. Kontrola je nužna da bi ljudi mogli zadovoljiti sve svoje potrebe (npr. kontroliranje vatre omogućilo je ljudima toplinu, zaštitu i bolju ishranu). Niz ovakvih uspjeha u povijesti, a posebno u prošlom stoljeću, naveli su čovjeka da razmišlja na deterministički način.

Determinizam znači određenost, jednoznačnost, svojstvo u koje ne sumnjamo. Kada bi svijet bio deterministički tada bi mogli predvidjeti svaki događaj te razviti sustav kontrole. Predviđanje se temelji na rješavanju jednadžbi koje opisuju ponašanje sustava koji nastojimo predvidjeti. 
U meteorologiji se koriste jednadžbe čija rješenja svaki dan pratimo u vremenskoj prognozi i uvijek s dozom skepticizma.

Tek se pojavom računala mogla razviti teorija kaosa jer jedino računala mogu rješavati jednadžbe za predviđanje događaja. To ne znači da kaos nije postojao već da ga u svakodnevnom životu nismo primjećivali. U početku su znanstvenici kaotične rezultate pokušavali objasniti na deterministički način pa su kaotične pojave pripisivali utjecaju smetnji na sustav.

Prvi slom determinizma nastupio je kada se za nemjerljivo male razlike u početnim uvjetima dobio različit ishod. U teoriji kaosa ova ekstremna osjetljivost na početne uvjete poznata je pod nazivom leptirov učinak, koji glasi: 
:"Ako leptir zamahne krilima u Pekingu, on može uzrokovati uragan na Floridi".

To ne znači da vjetar koji nastaje mahanjem leptirovih krila uzrokuje uragan, već da i mahanje leptirovih krila može promijeniti slijed događaja koji bi se zbio da leptir nije mahao krilima (svi smo bitni). Također bi se moglo reći i kako će zamah leptirovih krila spriječiti pojavu uragana na Floridi.
Kada bi uspjeli uvrstiti sve moguće utjecaje na početne uvjete, pokazalo bi se da i dalje ne bi mogli u potpunosti predvidjeti buduća zbivanja.

Drugi slom determinizma je prikaz realnog broja na računalu, odnosno dobivanje dva različita ishoda za dva različita prikaza realnog broja. Ova dva svojstva pojavljuju se samo u kaotičnim sustavima.

U razdoblju nakon 1989. kaos je prešao veliki put. Preobrazio se, posebno u popularnom tisku, u nešto što se naziva „teorijom kaosa“.

Međutim, kaos nije teorija, to je koncepcija, i to takva da se ne može smisleno odvojiti od ostatka dinamike.

Matematičke su tehnike toliko uznapredovale, da danas imamo strog dokaz da model koji je osmislio Edward Lorenz definitivno vodi u kaos.

Teorija kaosa je dobila družicu poznatu kao teorija kompleksnosti.

Teorija kaosa nam kaže da se jednostavni sustavi mogu ponašati kompleksno; teorija kompleksnosti kaže nam da se u kompleksnim sustavima može "pojaviti" jednostavno ponašanje.

## Vanjske veze
Lorenzov atraktor
Bifurkacijski dijagram

U matematici, posebno u dinamičkim sustavima, **bifurkacijski dijagram** pokazuje moguće dugoročne vrijednosti sustava kao funkciju.

## Populacijska jednadžba

Populacijska jednadžba nastala je kao pokušaj matematičkog predviđanja mijenjanja populacije određene vrste (biljaka, životinja...) na određenom području kroz godine:  x_{n+1}=rx_n(1-x_n). Konstanta *r*, koja može biti bilo koji racionalan broj između 0 i 4, naziva se kontrolnim parametrom i služi za reguliranje uvjeta preživljavanja (stupanj razmnožavanja, količina hrane, neprijatelja itd.), dok *x<sub>n</sub>* predstavlja omjer trenutnog i najvećeg mogućeg broja jedinki u *n*-toj godini (dakle, moguće su joj vrijednosti između 0 i 1). Ako bismo za vrijednost konstante *r* uzeli 2.5, te počeli od x_0 = 0.9, vidjeli bismo da rješenja konvergiraju jednoj vrijednosti (0.6). Drugim riječima, ona čine **atraktor perioda-1**. Ponovimo li postupak s *r* = 3.3, vidjet ćemo da rješenja naizmjenično konvergiraju dvijema vrijednostima (0.479427 i 0.823603), odnosno čine **atraktor perioda-2**. Tako se za različite vrijednosti *r* dobivaju atraktori perioda-4, perioda-8, perioda-16 itd. No, ako uzmemo *r* = 3.79, dobit ćemo potpuno kaotična rješenja.

Dosad smo crtali x_n / n dijagrame, prikazujući kretanje populacije kroz vrijeme, posebno za različite vrijednosti r. Nacrtajmo sada x_n / r dijagram da bismo vidjeli kako se rješenja mijenjaju za određene vrijednosti r. Za svaki r nacrtat ćemo u y-smjeru sva rješenja za 2000  3.79 ne vidimo nikakve logičnosti, odnosno vidimo da su rješenja kaotična, ne konvergiraju nijednom rješenju.

## Fraktalna svojstva
Ovaj dijagram sadrži fraktalna svojstva, jer se na nekim dijelovima crta dijagrama račva ponovno i ponovno. Izračun fraktalne dimenzije je vrlo složen, a pretpostavlja se da je jednak \frac{\log 2}{\log \delta} \approx 0.4498, gdje je δ Feigenbaumova konstanta, δ = 4.669201609102990671...

## Povezano
* Fraktali
** Julijin skup
** Perlinov šum
** Brownovo drvo
** Lorenzov atraktor
* Teorija kaosa
Lorenzov atraktor

**Lorenzov atraktor** je kaotično preslikavanje, istaknuto po svom leptirolikom obliku. Preslikavanje pokazuje kako stanje dinamičkog sustava (tri varijable trodimenzionalnog sustava) vremenski evolvira u složenom, neponavljajućem uzorku, često opisanom kao lijepim.

Sam atraktor, kao i jednadžbe iz kojih je izveden, je izmislio Edward Lorenz 1963., koji ih je izveo iz pojednostavljenih jednadžbi konvekcijskih uvrtanja koji izniču iz jednadžbi Zemljine atmosfere.

Sa tehničkog gledišta, sustav je nelinearan, trodimenzionalan i deterministički. 2001. je Warwick Tucker dokazao da za određene parametre sustav ispoljava kaotično ponašanje i pokazuje ono što je danas nazvano . Čudni atraktor je u ovom slučaju fraktal Hausdorffove dimenzije između 2 i 3. Grassberger (1983.) je procjenio njegovu Hausdorffovu dimenziju na 2.06 ± 0.01 i korelacijsku dimenziju na 2.05 ± 0.01.

Sistem izniče u laserima, dinamima i specifičnim vodenicama http://www.zeuscat.com/andrew/chaos/lorenz.html.

Jednadžbe koje upravljaju Lorenzovim atraktorom su:
:\frac{dx}{dt}  = \sigma (y - x)

:\frac{dy}{dt} = x (\rho - z) - y

:\frac{dz}{dt}  = xy - \beta z

gdje se \sigma zove **[[Prandtlov broj|Prandtlovim brojem]]** i \rho **[[Rayleighjev broj|Rayleighjevim brojem]]**. Svi su \sigma, \rho, \beta > 0, ali je obično \sigma = 10, \beta = 8/3 i \rho varira. Sustav ispoljava kaotično ponašanje za \rho = 28 i prikazuje čvoraste periodičke orbite za druge vrijednosti od \rho. Primjerice, uz \rho = 99.96 postaje *T*(3,2) torusni čvor.

## Učinak leptira u Lorenzovom atraktoru




## Rabeći različite vrijednosti za Rayleighjev broj




## Povezano
* Popis kaotičnih preslikavanja
* Takensov theorem
* Mandelbrot

## Izvori
* 
* 
* 
* 
* Jonas Bergman, *Knots in the Lorentz system*, Undergraduate thesis, Uppsala University 2004.
* 

## Vanjske veze

* Lorenzov atraktor (MathWorld članak)
* Lorenzova jednadžba  na planetmath.org
* Interaktivna animacija Lorenzovog atraktora (zahtijeva Adobe Shockwave dodatak)
* Levitated.net: računska umjetnost i dizajn
* 3D VRML Lorenzov atraktor  (zahtijeva dodatak VRML preglednika)
* JAVA applet  - leptirov učinak, Lorenzov i Rosslerov atraktor
* Eseji o Lorenzovim atraktorima u J-u - vidi programski jezik J
Apolonijeva mreža

**Apolonijeva mreža** ili **Apolonijev skup** je fraktal sastavljen od kružnica. Dobio je ime po grčkom matematičaru Apoloniju, a fraktalna mu se dimenzija procjenjuje na 1.3057.

## Konstrukcija

Počnimo trima kružnicama, A, B i C, od kojih svaka dodiruje preostale dvije te docrtajmo još dvije kružnice, D i E, koje dodiruju svaku od početnih kružnica. Te se dvije kružnice zovu *Apolonijeve kružnice* (vidi Descartesov teorem. Uzmimo sad jednu od docrtanih kružnica, npr. E, i promatrajmo ju u skupu s dvije od prve tri kružnice, npr. A i C. Te tri kružnice također imaju svoje Apolloniusove kružnice – jedna je kružnica B, a drugu označimo slovom F. Isto možemo učiniti s trojkom ABE, dobivajući kružnicu G, te s BCE, dobivajući H. Nastavljamo s trojkama ABD, ACD i BCD dobivajući nove tri kružnice. Postupak se ponavlja sa svim trojkama kružnicâ koje zadovoljavaju svojstvo iz prve rečenice. Skup kružnica koji se dobije nakon beskonačnog broja ponavljanja naziva se Apolonijeva mreža.

Nakon svake iteracije nastaje 2 \times 3^n novih kružnica. Ako kao nultu iteraciju označimo prvih pet kružnica, nakon n-te iteracije dobijemo 2+3^{n+1} kružnica.

## Trodimenzionalni analogon

Počinjemo četirima sferama od kojih svaka dodiruje preostale tri. Postoje još dvije sfere koje imaju svojstvo da dodiruju svaku od početnih sfera – jedna "između", a druga "izvan" njih. Nastavljamo kao kod dvodimenzionalne Apolonijeve mreže – za svaku četvorku sferâ koje se dodiruju dodamo još dvije, i tako u nedogled. Fraktalnu su dimenziju izračunali M. Borkovec, W. De Paris i R. Peikert te ona iznosi otprilike 2.4739.

## Povezano
* Fraktali
* Descartesov teorem

## Izvori
Descartesov teorem

**Descartesov teorem** govori o odnosu četiri kružnica koje se međusobno dodiruju, ali se ne sijeku. Teorem se može upotrijebiti za izračun četvrte kružnice od tri zadane.

## Izraz teorema
Za četiri kružnice radijusa *r<sub>i</sub>* (i=1,...,4) definirana je zakrivljenost *k* relacijom *k<sub>i</sub>*=1/*r<sub>i</sub>*. Ako se kružnice dodiruju tada se njihove zakrivljenosti odnose kao:
:(k_1+k_2+k_3+k_4)^2=2\,(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2).

Iz toga slijedi da je zakrivljenost četvrtog kruga:
:k_4=k_1+k_2+k_3\pm2\sqrt{k_1k_2+k_2k_3+k_3k_1}.

Pojava &plusmn; znaka upućuje na činjenicu da postoje *dva* riješenja: jedno je kružnica koja poisuje sve tri zadane kružnice, a drugo je kružnica koja se nalazi unutar njih.

## Povezano
* Apolonijeva mreža