Diferencijalna jednačina

**Diferencijalna jednačina** je jednačina koja izražava vezu između nezavisne promenljive, nepoznate funkcije i njenih izvoda: F(x, y, y',y*,..., y<sup>(n)</sup>) = 0. Najviši red izvoda u toj jednačini se naziva red diferencijalne jednačine. Na primer y"+ ky³ = 0 je diferencijalna jednačina drugog reda. Najprostija diferencijalna jednačina je prvog reda, u eksplicitnom obliku to je y' = f (x).

Svaka funkcija koja identički zadovoljava diferencijalnu jednačinu zove se rešenje ili integral te jednačine. Opšte rešenje treba da identički zadovoljava datu diferencijalnu jednačinu, i oblika je y = φ(x, C<sub>1</sub>, C<sub>2</sub>, ... , C<sub>n</sub>), gde su C<sub>1</sub>,...,C<sub>n</sub> proizvoljne integracione konstante. Partikularno rešenje je svaka funkcija koja se dobija iz opšteg rešenja za posebne vrednosti [[konstanta|konstanti]]. Singularno rešenje je ono koje identički zadovoljava datu jednačinu, a ne nalazi se u opštem rešenju. Kad nepoznata funkcija zavisi od dveju ili više promenljivih, diferencijalnu jednačinu nazivamo [[parcijalna diferencijalna jednačina|parcijalnom]].

Mnoge diferencijalne jednačine su matematički modeli raznovrsnih procesa u prirodi, društvu, prirodnim i društvenom i tehničkim naukama i kao takve imaju mnogobrojne primene. Teorija diferencijalnih jednačina i teorija parcijalnih diferencijalnih jednačina su značajne i široko razvijene oblasti matematike. Njihov poseban deo čine diferencijalne jednačine [[matematička fizika|matematičke fizike]].

U [[sistem diferencijalnih jednačina|sistemu diferencijalnih jednačina]] se javljaju dve ili više funkcija iste promenljive (odnosno istih promenljivih).

== Historija ==

Diferencijalne jednačine su nastale nakon što su [[Isaac Newton|Njutn]] i [[Gottfried Leibniz|Lajbnic]] proizveli [[infinitezimalni račun]]. U drugom poglavlju njegovog rada "Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum" iz 1671, Isak Njutn navodi tri tipa diferencijalnih jednačina: jednačine sa dva izvoda <math>\dot{x},\dot{y}</math> i jednom nediferenciranom promenljivom <math>x</math>; jednačine sa <math>\dot{x},\dot{y},x</math> i <math>y</math>; i jednačine sa više od dva izvoda.
Kao primeri tri slučaja, data su rešenja jednačina:
*:<math>\dot{y}\dot{y}=\dot{x}\dot{y}+\dot{x}\dot{x}xx</math>,
*:<math>\dot{y}ax-\dot{x}xy-aa\dot{x}=0</math>, i
*:<math>2\dot{x}-\dot{z}+\dot{y}x=0</math>, respektivno.

Ovi primeri i niz drugih su rešeni koristeći infinitivne serije. Diskusija nejedinstvenosti rešenja je takođe data.

[[Jacob Bernoulli|Jakob Bernuli]] je rešio [[Bernulijeva diferencijalna jednačina|Bernulijevu diferencijalnu jednačinu]] 1695. Ona je [[obična diferencijalna jednačina]] oblika

: <math>y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,</math>

za koju je on odredio konačna rešenja.

Istorijski, problem vibracionog vlakna kao što je [[muzički instrument]] su izučavali [[Jean le Rond d'Alembert|Žan le Ron d'Alamber]], [[Leonhard Euler|Leonard Ojler]], [[Daniel Bernoulli|Danijel Bernuli]], i  [[Joseph-Louis Lagrange|Žozef Luj Lagranž]]. Godine 1746, d’Alamber je otkrio jednodimenzionalnu talasnu jednačinu, a tokom naredne dekade Ojler je otkrio tridimenzionalnu talasnu jednačinu.

[[Ojler–Lagranžova jednačina]] je razvijena tokom 1750-tih u kontekstu Ojlerovih i Lagranžovih izučavanja [[Tautohrona kriva|tautohron]]og problema. Radi se o problemu određivanja krive na koju izmerena čestica pada u fiksnu tačku u fiksnom vremenskom intervalu, nezavisno od početne tačke. Lagranž je rešio taj problem 1755. godine i poslao je rešenje Ojleru. Oni su zajedno dalje razvili Lagranžov metod i primenili ga na [[mehanika|mehaniku]], što je dovelo do formulacije [[Lagranžova mehanika|Lagranžove mehanike]].

Furijer je objavio svoj rad o [[Prenos toplote|prenosu toplote]] u *Théorie analytique de la chaleur* (knjizi Analitička teorija toplote), u kojoj je bazirao svoje razmatranje na [[Konvektivni prenos toplote|Njutnovom zakonu hlađenja]], naime da je prenos toplote između dva susedna molekula proporcionalan ekstremno malim razlikama njihovih temperatura. Ta knjiga sadrži Furijeov predlog [[Jednačina toplotne provodnosti|jednačine toplotne provodnosti]] za difuziju toplote. Ta parcijalna diferencijalna jednačina se u današnje vreme sreće u većini nastavnih planova matematičke fizike.

== Primer ==
U [[Klasična mehanika|klasičnoj mehanici]], kretanje tela se opisuje njegovom pozicijom i brzinom u funkciji vremena. [[Njutnovi zakoni kretanja|Njutnovi zakoni]] omogućavaju (za datu poziciju, brzinu, ubrzanje i različite sile koje deluju na telo) dinamičko izražavanje jedne od tih promeljivih u obliku diferencijalne jednačine za nepoznatu poziciju tela u funkciji vremena.

U nekim slučajevima se ta diferencijalna jednačina (zvana [[jednačine kretanja|jednačina kretanja]]) može eksplicitno rešiti.

Primer modelovanja problema realnog sveta koristeći diferencijalne jednačine je određivanje brzine kugle koja pada kroz vazduh, uzimajući u obzir gravitaciju i otpor vazduha. Ubrzanje lopte u smeru Zemlje je ubrzane usled gravitacije minus otpor vazduha. Gravitacija se smatra konstantnom, dok se za otpor vazduha uzima da je proporcionalan sa brzinom kugle. To znači da je ubrzanje kugle, koje je izvod njene brzine, zavisno od brzine (kok je brzina zavisna od vremena). Određivanje brzine kao funkcije vremena se vrši rešavanjem diferencijalne jednačine i verifikacijom njene validnosti.

== Glavne teme ==
=== Obične diferencijalne jednačine ===

[[Obična diferencijalna jednačina]] (*'ODE**) je jednačina koja sadrži funkciju jedne [[Zavisne i nezavisne promenljive|nezavisne promenljive]] i njenih izvoda. Termin „''obična''“ se koristi kao kontrast terminu [[parcijalna diferencijalna jednačina]], koja može da obuhvata više nezavisnih promenljivih.

Linearne diferencijalne jednačine sa rešenjima koja se mogu sabirati i množiti koeficijentima, su dobro definisane i izučene, i egzaktna rešenja zatvorenog oblika su dobijena. U kontrastu s tim, obične diferencijalne jednačine kojima nedostaju aditivna rešenja su nelinearne, i njihovo rešavanje je daleko složenije, pošto se one retko mogu prikazati u obliku [[Elementarna funkcija|elementarnih funkcija]] u zatvorenom obliku. Umesto toga, egzaktna i analitička rešenja tih jednačina se dobujaju u obliku serija ili integralnih formi. Grafički i [[Numerički metodi za obične diferencijalne jednačine|numerički]] metodi, koji se primenjuju manuelno ili uz pomoć računara, u mnogim slučajevima mogu da proizvedu aproksimativna rešenja običnih diferencijalnih jednačina. Ovi pristupi se prevashodno koriste u odsustvu egzaktnih analitičkih rešenja.

=== Parcijalne diferencijalne jednačine ===

[[Parcijalna diferencijalna jednačina]] (**PDE**) je diferencijalna jednačina koja sadrži nepoznate [[Analiza više promenljivih|multivarijabilne funkcije]] i njihove [[Parcijalni derivat|parcijalne izvode]]. (To je u kontrastu sa običnim diferencijalnim jednačinama, koje obuhvataju funkcije jedne promenljive i njihove derivate.) Parcijalne diferencijalne jednačine se koriste za formulisanje problema koji obuhvataju funkcije sa više promenljivih, i one se bilo ručno rešavaju, ili se koriste za kreiranje relevantnih [[računarski model|računarskih modela]].

Parcijalne diferencijalne jednačine se mogu koristiti za opisivanje širokog opsega različitih fenomena kao što su [[zvuk]], [[toplota]], [[elektrostatika]], [[Klasičan elektromagnetizam|elektrodinamika]], [[Dinamika fluida|protok fluida]], [[Elastičnost (fizika)|elastičnost]], ili [[kvantna mehanika]]. Ove naizgled različite fizičke pojave se mogu slično formulisati u smislu parcijalnih diferencijalnih jednačina. Kao što obične diferencijalne jednačine najčešće opisuju jednodimenzionalne [[dinamički sistem|dinamičke sisteme]], parcijalne diferencijalne jednačine se obično odnose na [[multidimenzionalni sistem|multidimenzionalne sisteme]]. [[Stokastičke parcijalne diferencijalne jednačine]] su generalizacija parcijalnih diferencijalnih jednačina.

== Linearne i nelinearne jednačine ==

Obične i parcijalne diferencijalne jednačine se uglavnom ne klasifikuju kao **linearne** i **nelinearne**.

*[[Linearna diferencijalna jednačina|Diferencijalna jednačina je **linearna**]] ako su funkcija i njeni derivati prvog stepena (produkti nepoznate funkcije i njenih derivata nisu dozvoljeni), mada same funkcije mogu da budu [[Nonlinearni sistem|**nelinearne**]]. Karakteristično svojstvo linearnih jednačina je da njihova rešenja formiraju [[afini prostor|afini potprostor]] odgovarajućeg funkcionalnog prostora, što dovodi do znatno razvijenije teorije linearnih diferencijalnih jednačina. **Homogene** linearne diferencijalne jednačine su dalje potklasa čiji prostor rešenja je linearni potprostor, i.e. suma bilo kog seta rešenja ili njihovog proizvoda je takođe rešenje. Koeficijenti nepoznate funkcije i njenih derivata u linearnoj diferencijalnoj jednačini mogu da budu (poznate) funkcije nezavisnih promenljivih. Ako su ti koeficijenti konstante onda se govori o **konstantnom koeficijentu linearne diferencijalne jednačine**.
* Postoji veoma mali broj metoda za egzaktno rešavanje nelinearnih diferencijalnih jednačina. Oni koji su poznati su tipično zavisni od toga da li jednačina ima specifične [[Simetrija|simetrije]]. Nelinearne diferencijalne jednačine mogu da ispolje veoma kompleksno ponašanje na dužim vremenskim rasponima, poput [[Teorija haosa|haosa]]. Čak i fundamentalna pitanja postojanja, jedinstvenosti, i proširivosti rešenja nelinearnih diferencijalnih jednačina, i posedovanje inicijalnih i graničnih vrednosti su teški problemi u slučaju nelinearnih jednačina. Kad rešenja postoje u specijalnim slučajevima, to se smatra značajnim napretkom u matematičkoj teoriji (cf. [[Navijer–Stoksovo postojanje i glatkost]]). Međutim, ako je diferencijalna jednačina korektno formulisana reprezentacija smislenog fizičkog procesa, onda se očekuje da postoji rešenje.

Linearne diferencijalne jednačine se često javljaju kao [[linearizacija|aproksimacije]] nelinearnih jednačina. Te aproksimacije su jedino validne pod ograničenim uslovima. Na primer, jednačina harmonijskog oscilatora je aproksimacija nelinearne jednačine klatna, koja je validna samo za male amplitude oscilacije.

=== Primeri ===

U prvoj grupi primera, ''u'' je nepoznata funkcija od ''x'', a ''c'' i ''ω'' su poznate konstante.

* Nehomogena obična diferencijalna jednačina prvog reda sa konstantnim koeficijentom:

:: <math> \frac{du}{dx} = cu+x^2. </math>

* Homogena obična diferencijalna jednačina drugog reda:

: <math> \frac{d^2u}{dx^2} - x\frac{du}{dx} + u = 0. </math>

* Homogena obična diferencijalna jednačina drugog reda sa linearnim konstantnim koeficijentom, koja opisuje [[harmonički oscilator]]:

:: <math> \frac{d^2u}{dx^2} + \omega^2u = 0. </math>

* Nehomogena nelinearna obična diferencijalna jednačina prvog reda:

:: <math> \frac{du}{dx} = u^2 + 4. </math>

* Nelinearna (zbog sinusne funkcije) obična diferencijalna jednačina drugog reda koja opisuje kretanje [[klatno|klatna]] dužine ''L'':

:: <math> L\frac{d^2u}{dx^2} + g\sin u = 0. </math>

U sledećoj grupi primera, nepoznata funkcija ''u'' zavisi od dve promenljive ''x'' i ''t'' ili ''x'' i ''y''.

* Homogenena linearna parcijalna diferencijalna jednačina prvog reda:

:: <math> \frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0. </math>

* Homogena linearna parcijalna diferencijalna jednačina drugog reda eliptičkog tipa sa konstantnim koeficijentom, [[Laplasova jednačina]]:

:: <math> \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0. </math>

* Nelinearna diferencijalna jednačina trećeg reda, [[Korteveg de Vrijeva jednačina]]:

:: <math> \frac{\partial u}{\partial t} = 6u\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}. </math>

== Postojanje rešenja ==

Rešavanje diferencijalnih jednačina se razlikuje od rešavanja [[algebrska jednačina|algebarskih jednačina]]. Njihova rešenja često nisu jasna. Međutim kad su rešenja jedinstvena ili bar postoje, ona su obično od znatnog interesa.

Za probleme sa inicijalnom vrednošću prvog reda, lako se može utvrditi da li jedinstveno rešenje postoji. Za bilo koju tačku <math>(a,b)</math> u xy-ravni, definiše se pravougaoni region <math>Z</math>, tako da su <math>Z = [l,m]\times[n,p]</math> i <math>(a,b)</math> u <math>Z</math>. Ako je data diferencijalna jednačina <math>\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = g(x,t)</math> i inicijalni uslov <math>x(t_{0}) = x_{0}</math>, onda postoji jedinstveno rešenje za tu inicijalnu vrednost problema, ako su <math>g(x,t)</math> i <math>\frac{\partial g}{\partial x}</math> neprekidni na <math>Z</math>. To jedinstveno rešenje postoji na nekom intervalu sa centrom u <math>a</math>.

Međutim, to je jedino korisno kod problema inicijalne vrednosti prvog reda. Pretpostavimo da imamo problem linearne inicijalne vrednosti n-tog reda:

:<math>
f_{n}(x)\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n} + \cdots + f_{1}(x)\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x} + f_{0}(x)y = h(x)
</math>
tako da
:<math>
y(x_{0})=y_{0}, y'(x_{0}) = y'_{0}, y''(x_{0}) = y''_{0}, \cdots
</math>

Za svaku <math>f_{n}(x)</math> vrednost različitu od nule, ako su <math>\{f_{0},f_{1},\cdots\}</math> i <math>g</math> neprekidne na nekom intervalu koji sadrži <math>x_{0}</math>, <math>y</math> je jedinstveno i postoji.

== Srodni koncepti ==

* [[Diferencijalna jenačina zakašnjenja]] ( - DDE) je jednačina funkcije jedne promenljive, obično **vremena*', u kojoj je derivat funkcije u datom vremenu dat u obliku vrednosti funkcije u ranijim vremenima.
* [[Stokastička diferencijalna jednačina]] (SDE) je jednačina u kojoj je nepoznati kvantitet [[stokastički proces]] i jednačina obuhvata neki nepoznati stokastički proces, na primer, [[Vinerov process]] u slučuaju jednačina difuzije.
* [[Algebrijska diferencijalna jednačina]] (DAE) je diferencijalna jednačina koja se sastoji od diferencijalnih i algebrijskih članova, datih u implicitnoj formi.

== Veza sa jednačinama razlika ==

Teorija diferencijalnih jednačina je blisko srodna sa [[jednačine razlika|jednačinama razlika]], u kojima koordinate poprimaju diskretne vrednosti, i odnos obuhvata vrednosti nepoznate funkcije ili funkcija i vrednosti obližnjih koordinata. Mnogi metodi za izračunavanje numeričkih rešenja diferencijalnih jednačina ili studiranje vrednosti diferencijalnih jednačina obuhvataju aproksimaciju rešenja diferencijalne jednačine rešenjem korespondirajuće jednačine razlika.

== Primena i veze sa drugim oblastima ==
=== Opšta primena ===
Izučavanje diferencijalnih jednačina je široko polje u [[čista matematika|čistoj]] i [[primenjena matematika|primenjenoj matematici]], [[fizika|fizici]], i [[inženjerstvo|inžinjerstvu]]. Sve te discipline se bave svojstvima diferencijalnih jednačina različitih tipova. Čista matematika ima fokus na postojanju i jedinstvenosti rešenja, dok primenjena matematika naglašava rigorozno dokazivanje metodima za aproksimaciju rešenja. Diferencijalne jednačine imaju važnu ulogu u modelovanju praktično svakog fizičkog, tehničkog, ili biološkog procesa, od nebeskih kretanja, do dizajna mostova, do interakcija između neurona. Diferencijalne jednačine kao što su one koje se koriste za rešavanje problema u realnom životu nisu uvek direktno rešive, i.e. nemaju rešenja [[rešenje zatvorene-forme|zatvorene forme]]. Umesto toga mogu se naći aproksimovativna rešenja koristeći [[Numeričke metode za obične diferencijalne jednačine|numeričke metode]].

Mnogi fundamentalni zakoni [[fizika|fizike]] i [[hemija|hemije]] se mogu formulisati kao diferencijalne jednačine. U [[biologija|biologiji]] i [[ekonomija|ekonomiji]], diferencijalne jednačine se koriste za [[matematički model|modelovanje]] ponašanja kompleksnih sistema. Matematička teorija diferencijalnih jednačina je prvobitno razvijena zajedno sa naukama iz kojih su jednačine potekle i u kojima su rezultati našli primenu. Međutim, raznovrsni problemi, koji ponekad dolaze iz sasvim različitih naučnih polja, mogu da proizvedu identične difrencijalne jednačine. Kad god do toga dođe, matematička teorija iza tih jednačina se može smatrati ujedinjujućim principom različith fenomena. Na primer, propagacija svetla i zvuka u atmosferi, i talasa na površini jezera. Svi ti procesi se mogu opisati istom [[parcijalna diferencijalna jednačina|parcijalnom diferencijalnom jednačinom]] drugog reda, [[talasna jednačina|talasnom jednačinom]], što nam omogućava da mislimo o svetlu i zvuku kao formama talasa, koje su slične talasima na vodi. Provođenje toplote, opisano teorijom koju je razvio [[Joseph Fourier]], se podvrgava jednoj drugoj parcijalnoj diferencijalnoj jednačini drugog reda, [[jednačina toplote|jednačini toplote]]. Ispostavlja se da se mnogi procesi [[difuzija|difuzije]], mada su naizgled različiti, mogu opisati istom jednačinom; [[Model Blek–Šoulza|Blek–Šoulzova]] jednačina iz oblasti financija je na primer srodna sa jednačinom toplote.

=== Fizika ===
;Klasična mehanika
Dokle god je sila koja deluje na česticu poznata, [[Drugi Njutnov zakon]] je dovoljan za opisivanje njenog kretanja. Kad su nezavisne relacije za svaku silu koja deluje na česticu poznate, one se mogu zameniti u Njutnovom drugom zakonu, čime se dobija [[obična diferencijalna jednačina]], koja se naziva *jednačina kretanja*.

;Elektrodinamika
[[Maksvelove jednačine]] su skup [[parcijalna diferencijalna jednačina|parcijalnih diferencijalnih jednačina]] koje, zajedno sa zakonom [[Lorencova sila|Lorencove sile]], formiraju osnov [[klasičan elektromagnetizam|klasične elektrodinamike]], klasične [[optika|optike]], i [[električno kolo|električnih kola]]. Ta polja su u osnovi modernih električnih i komunikacionih tehnologija. Maksvelove jednačine opisuju način na koji se [[električno polje|električna]] i [[magnetno polje|magnetna polja]] generišu i menjaju jedno drugo, kao i njihove promene posredstvom [[Električni naboj|naelektrisanja]] i [[električna struja|struja]]. One nose ime škotskog fizičara i matematičara [[James Clerk Maxwell|Maksvela]], koji je objavio prvobitnu formu tih jednačina u periodu između 1861. i 1862.

;Opšta relativnost
[[Ajnštajnove jednačine polja]] (EFE - ; takođe poznate kao "Ajnštajnove jednačine") su skup od deset [[parcijalna diferencijalna jednačina|parcijalnih diferencijalnih jednačina]] u [[Albert Einstein|Ajnštajnovoj]] [[Opšta relativnost|opštoj teoriji relativnosti]] koja opisuje [[Fundamentalne interakcije|fundamentalnu interakciju]] [[gravitacija|gravitacije]] kao rezultat [[Zakrivljenost|zakrivljenja]] [[prostor-vreme|prostorvremena]] [[materija|materijom]] i [[energija|energijom]]. Ajnštajn ju je prvobitno objavio 1915. kao [[tenzorska jednačina|tenzorsku jednačinu]], u kojoj je EFE jednaka lokalnom zakrivljenju prostorvremena (izrađenog kao [[Ajnštajnov tenzor]]) dejstvom lokalne energije i [[Momenat|momenta]] unutar tog prostorvremena (izrađenog u obliku [[tenzor energije stresa|tenzora energije stresa]]).

;Kvantna mehanika
U kvantnoj mehanici, analog Njutnovog zakona je [[Šredingerova jednačina]] (parcijalna diferencijalna jednačina) kvantnog sistema (obično atoma, molekula, i subatomskih čestica bilo da su slobodne, vezane, ili lokalizovane). Ona nije jednostavna algebrijska jednačina, nego opšta [[linearna diferencijalna jednačina|linearna]] [[parcijalna diferencijalna jednačina]], koja opisuje vremenku evoluciju sistema [[talasna funkcija|talasnih funkcija]] (koje se takođe nazivaju "funkcije stanja").

;Druge važne jednačine
* [[Ojler–Lagranžova jednačina]] u klasičnoj mehanici
* [[Hamiltonijan|Hamiltonove jednačine]] u klasičnoj mehanici
* [[Radioaktivni raspad]] u [[nuklearna fizika|nuklearnoj fizici]]
* [[Njutnov zakon hlađenja]] u [[termodinamika|termodinamici]]
* [[Talasna jednačina]]
* [[Jednačina toplote]] u [[termodinamika|termodinamici]]
* [[Laplasova jednačina]], koja definiše [[harmonijska funkcija|harmonijske funkcije]]
* [[Poizonova jednačina]]
* [[Geodezijska linija|geodezijska jednačina]]
* [[Navijer–Stokesova jednačina]] u [[dinamika fluida|dinamici fluida]]
* [[Jednačina difuzije]] u [[stokastički proces|stokastičim procesima]]
* [[Jednačina konvekcione difuzije]] u [[dinamika fluida|dinamici fluida]]
* [[Kauči–Rimanova jednačina]] u [[kompleksna analiza|kompleksnoj analizi]]
* [[Poizon–Boltcmanova jednačina]] u [[molekulska dinamika|molekulskoj dinamici]]
* [[Jednačine plitke vode]]
* [[Univerzalna diferencijalna jednačina]]
* [[Lorenzov atraktor|Lorenzove jednačine]] čija rešenja manifestuju haotični protok.


=== Biologija ===
;Jednačine predatora i plena
[[Jednačina Lotka–Voltera|Jednačine Lotka–Voltera]], takođe poznate kao jednačine predatora i plena, su par nelinearnih diferencijalnih jednačina prvog reda koje se frekventno koriste za opisivanje [[dinamički sistem|dinamike]] [[Sistemska biologija|bioloških sistema]] u kojima dve vrste interaguju, jedna kao predator, a druga kao plen.
;Druge važne jednačine
*[[Verhulstova jednačina]] – biological population growth
*[[Von Bertalanffy|Fon Bertalanfijev model]] – biološki individualni rast
*[[Dinamika replikacije]] – prisutna u teoretskoj biologiji
*[[Hodžkin–Hukslijev model]] – neuronski akcioni potencijali

=== Hemija ===
;Jednačina brzine
*Zakon brzine* ili [[jednačina brzine]] [[hemijska reakcija|hemijske reakcije]] je diferencijalna jednačina koja povezuje [[brzina hemijske reakcije|brzinu reakcije]] sa koncentracijama ili pritiscima reaktanata i konstantnim parametrima (normalno koeficijentima brzine i parcijalnim [[red reakcije|redovima reakcije]]). Da bi se odredila brzina reakcije za specifični sistem kombinuje se brzina reakcije sa [[balans mase|balansom mase]] sistema.

=== Ekonomija ===
;Važnije jednačine
*Ključna jednačina [[Solou–Svonov model|Solou–Svonovog modela]] je: <math>\frac{\partial k(t)}{\partial t} = s [k(t)]^\alpha - \delta k(t)</math>
*[[Black–Scholes|Blak–Šolesova PDE]]
*[[Maltusijanov model rasta]]
*[[Setijev model|Vidal–Volfov model oglašavanja]]

== Povezano ==
*[[Kompleksna diferencijalna jednačina]]
*[[Egzaktna diferencijalna jednačina]]
*[[Početni uslovi]]
*[[Integralne jednačine]]
*[[Numerički metodi]]
*[[Pikard–Lindelofova teorema]] o postojanju i jedinstvenosti rešenja

== Reference ==


== Literatura ==

* P. Abbott and H. Neill, *Teach Yourself Calculus*, 2003 pages 266-277
* P. Blanchard, R. L. Devaney, G. R. Hall, *Differential Equations*, Thompson, 2006
* E. A. Coddington and N. Levinson,  *Theory of Ordinary Differential Equations*, McGraw-Hill, 1955
* E. L. Ince, *Ordinary Differential Equations*, Dover Publications, 1956
* W. Johnson, [http://www.hti.umich.edu/cgi/b/bib/bibperm?q1=abv5010.0001.001 *A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations*] , John Wiley and Sons, 1913, in [http://hti.umich.edu/u/umhistmath/ University of Michigan Historical Math Collection]
* A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, *Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)*, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. .
* R. I. Porter, *Further Elementary Analysis*, 1978, chapter XIX Differential Equations
* 
* D. Zwillinger, *Handbook of Differential Equations (3rd edition)*, Academic Press, Boston, 1997.
* G. H. Golub, J. M. Ortega: *Wissenschaftliches Rechnen und Differentialgleichungen. Eine Einführung in die Numerische Mathematik*. Heldermann Verlag, Lemgo 1995, .
* G. Oberholz: *Differentialgleichungen für technische Berufe – vierte Auflage*. Verlag Anita Oberholz, Gelsenkirchen 1995, .
* P.J. Olver *Equivalence, Invariants and Symmetry* Cambridge Press 1995.
* L. Papula: *Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2*. Viewegs Fachbücher der Technik, Wiesbaden 2001, .
* H. Stephani *Differential Equations: Their Solution Using Symmetries.'' Edited by M. MacCallum, Cambridge University Press 1989.
* Benker, H.: "Differentialgleichungen mit MATHCAD und MATLAB", Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York 2005.

## Vanjske veze

* Teorija i zadaci  na http://www.matematiranje.com
* Lectures on Differential Equations MIT Open CourseWare Videos
* Online Notes / Differential Equations Paul Dawkins, Lamar University
* Differential Equations, S.O.S. Mathematics
* Differential Equation Solver  Java applet tool used to solve differential equations.
* Introduction to modeling via differential equations Introduction to modeling by means of differential equations, with critical remarks.
* Mathematical Assistant on Web  Symbolic ODE tool, using Maxima
* Exact Solutions of Ordinary Differential Equations
* Collection of ODE and DAE models of physical systems  MATLAB models
* Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers An introductory textbook on differential equations by Jiri Lebl of UIUC
* Khan Academy Video playlist on differential equations  Topics covered in a first year course in differential equations.
*  MathDiscuss Video playlist on differential equations