Oduzimanje

**Oduzimanje** je jedna od četiri osnovnih aritmetičkih operacija. Oduzimanje je suprotno od zbrajanja, što znači ako broju, recimo x, dodamo y i od dobivenog broja oduzmemo y ponovno ćemo dobiti x. Oduzimanje označujemo znakom minusa u infiksnoj notaciji.

Za oduzimanje ne vrijedi komutativnost pa dajemo imena članovima. Uobičajna imena su umanjenik, umanjitelj i razlika. U jednadžbi *a - b = c*, *a* je umanjenik, *b* umanjitelj, a *c* razlika. 

## Osnovno oduzimanje: cijeli brojevi

Zamislimo dužinu duljine *b* gdje je lijevi kraj označen sa slovom *a*, a desni kraj slovom *c*. Počevši od *a*, potrebno je *b* koraka udesno da dođemo do *c*. Ovakva kretnja se može matematički opisati zbrajanja:

*a + b = c*

Od *c* je potrebno *b* koraka ulijevo da se vratimo do *a*. Ovakva kretnja se može matematički opisati oduzimanjem:

*c - b = a*

Sad zamislimo dužinu označenu sa brojevima 1,2 i 3. Od položaja 3, nisu potrebni koraci ulijevo da se ostane na 3, dakle 3 - 0 = 3. Potrebna su dva koraka ulijevo da se dođe do položaja 1, dakle 3 - 2 = 1. Slika je neodgovarajuća da se prikaže što bi se dogodilo nakon 3 koraka ulijevo. Da bi se to prikazalo potrebno je produžiti dužinu.

Za oduzimanje prirodnih brojeva potrebno je početi sa polupravcem koji sadrži sve prirodne brojeve(0,1,2,3,4,5, ...). Od 3, potrebno je napraviti 3 koraka ulijevo da se dođe na 0, dakle 3 - 3 = 0. Ali, 3 - 4 nije moguće prikazati jer prelazi polupravac.

Rješenje je pravac sa cijelim brojevima(..., -3, -2, -1,0,1, 2, 3, ...). Od 3, potrebno je 4 koraka ulijevo da se dođe do -1:

3 - 4 = -1

## Oduzimanje kao zbrajanje

Postoje slučajevi gdje oduzimanje kao zasebna operacija postaje problematična. Primjerice, 3 - (-2) (oduzimanje -2 od 3) nije odmah očito na brojevnom pravcu jer nam nije odmah jasno što znači pomaknuti se -2 koraka ulijevo. Jedno rješenje je prikazati oduzimanje kao zbrajanje. Dodatan znak minusa označuje inverziju zbrajanja. Tada imamo 3 - (-2) = 3 + 2 = 5.
## Komutativnost  i asocijativnost
Ne važi komutativnost

a-b=a+(-b)=(-b)+a=-(b-a)

Ne važi asocijativnost

(a - b)- c \ne a- (b - c)

## Načini oduzimanja sa potpisivanjem
### Austrijska metoda


File:Vertical Subtraction Method B Step 1.JPG|1+...=3
File:Vertical Subtraction Method B Step 2.JPG|3-1=2
File:Vertical Subtraction Method B Step 3.JPG|9+...=5
File:Vertical Subtraction Method B Step 4.JPG


File:Vertical Subtraction Method B Step 5.JPG|9+...=15
File:Vertical Subtraction Method B Step 6.JPG|(4+1)+...=7
File:Vertical Subtraction Method B Step 7.JPG
File:Vertical Subtraction Method B Step 8.JPG

### Oduzimanje s lijeva na desno

File:LeftToRight Subtraction Step 1.JPG|7-4=3
File:LeftToRight Subtraction Step 2.JPG|
File:LeftToRight Subtraction Step 3.JPG|15-9=6
File:Vertical Subtraction Method B Step 8.JPG
File:LeftToRight Subtraction Step 5.JPG|(3-1=2

### Američka metoda

File:Vertical Subtraction Method A Step 1.JPG|3-1=...
File:Vertical Subtraction Method A Step 2.JPG
File:Vertical Subtraction Method A Step 3.JPG|5-9=...
File:Vertical Subtraction Method A Step 4.JPG
File:Vertical Subtraction Method A Step 5.JPG|15-9=...



File:Vertical Subtraction Method A Step 6.JPG|6-4
File:Vertical Subtraction Method A Step 7.JPG
File:Vertical Subtraction Method A Step 8.JPG


Još jedan način ovog oduzimanja


File:Trade First Subtraction Step 1.JPG|1-3
File:Trade First Subtraction Step 2.JPG|4-9
File:Trade First Subtraction Step 3.JPG|11-3=8
File:Trade First Subtraction Step 4.JPG|14-9=5
Trade First Subtraction Step 5.JPG|6-7=2

### Djelimična razlika


File:Partial-Differences Subtraction Step 1.JPG|700-400=300
File:Partial-Differences Subtraction Step 2.JPG|90-50=40
File:Partial-Differences Subtraction Step 3.JPG|3-1=2
File:Partial-Differences Subtraction Step 4.JPG|300-40+2


## Oduzimanje bez potpisivanja

### Brojanje do

 1234 - 567= 

567 + 3 = 570

570 + 30 = 600

600 + 400 = 1000

1000 + 234 = 1234 

3 + 30 + 400 + 234 = 667
### Razbijanjem umanjioca
1234 - 500 = 734

734 -60 = 674

674 -7 = 667 

### Jednaka promjena

Dodavanjem ili oduzimanjem istog broja umanjeniku i umanjiocu rezultat se ne mijenje.

1234 - 567 = 1237 - 570 = 1267 - 600 = 667

## Izvori
*Browell, W. A. (1939). Learning as reorganization: An experimental study in third-grade arithmetic, Duke University Press. 
*Subtraction in the United States: An Historical Perspective, Susan Ross, Mary Pratt-Cotter, *The Mathematics Educator*, Vol. 8, No. 1 (original publication) and Vol. 10, No. 1 (reprint.) http://math.coe.uga.edu/TME/Issues/v10n2/5ross.pdf