Težište

**Težište** materijalnog tijela je "točka u kojoj kao da je sadržana sva težina tijela". Mada se ne može smatrati preciznom formalnom definicijom, ovaj opis otkriva smisao pojma težišta, koji se najčešće odnosi na ostvarivanje statičke ravnoteže u gravitacijskom polju. Mogući slučajevi općenito su poznati iz svakodnevnih primjena: materijalno tijelo obješeno iznad težišta nalazi se u stabilnoj ravnoteži (ako ga malo zakrenemo, nastoji se vratiti u prvobitni položaj); tijelo obješeno (poduprto) ispod težišta nalazi se u labilnoj ravnoteži (miruje točno u tome položaju; no ako ga imalo zakrenemo, prevrće se); tijelo obješeno u težištu nalazi se u indiferentnoj ravnoteži (može mirovati u tome položaju, ali i u bilo kojem drugom položaju u koji ga dovedemo zakretanjem oko težišta).

Pojam *težište* u površnim se tekstovima često brka s pojmom ''centar masa'', jer se njihovi položaji kod manjih tijela na površini Zemlje tek neznatno razlikuju. U takvim slučajevima obično se za oba pojma koristi naziv *težište*, jer je taj pojam bliži svakodnevnom iskustvu i poznat još od drevnih vremena, dok se potreba za *centrom masa* javila tek u primjeni Newtonovih zakona. No, u ozbiljnijim udžbenicima definicije tih dvaju pojmova jasno su razgraničene. 

Precizna matematički formulirana definicija određuje težište materijalnog tijela kao hvatište njegove ukupne težine, tj. kao hvatište rezultantne sile koja zamjenjuje težine svih negovih dijelova (npr. težine svih čestica od kojih se tijelo sastoji). Hvatište rezultante nekog sistema sila određuje se pomoću momenata tih sila. Rezultanta, ako postoji, nije samo vektorski zbroj sila, nego ima takvo hvatište da je i njezin moment jednak zbroju njihovih momenata.

Iz toga proizlazi da položaj težišta materijalnog tijela nije određen samo građom tijela, nego ovisi i o obliku gravitacijskog polja u kojemu se tijelo nalazi. Zato općenito nisu uvijek ostvarivi svi spomenuti oblici statičke ravnoteže poznati iz iskustva u gravitacijskom polju na površini Zemlje. Za proizvoljni oblik gravitacijskog polja, položaj težišta ne mora biti jednoznačno određen (te u pravilu ovisi o orijentaciji tijela u polju), ili se uopće ne može odrediti – tj. tijelo uopće nema težišta (npr. u blizini točke gdje se gravitacijska polja Zemlje i Mjeseca dokidaju, može se tijelo orijentirati tako da težine njegovih dijelova čine spreg sila).

U ovome članku detaljnije se razmatra samo težište materijalnog tijela u gravitacijskom polju blizu površine Zemlje. Također, osim za materijalna tijela, uobičajeno je (u srpskohrvatskom jeziku) pojam težišta definirati i kod nematerijalnih geometrijskih objekata (geometrijskih tijela, likova i linijia). U nekim drugim jezicima isti se pojam naziva centrom masa. Jasno je da je takva upotreba spomenutih termina metaforička, jer geometrijski objekti nemaju ni mase ni težine, ali je opravdana zbog analogija s homogenim materijalnim objektima. No, neki tekstovi umjesto toga koriste naziv *centroid*.

## Težište materijalnog tijela
**Težište materijalnog tijela** je točka T koja je hvatište ukupne težine tijela (rezultante težina svih čestica od kojih se tijelo sastoji). Za tijelo od N čestica ta točka T, opisana vektorom položaja \scriptstyle \vec{r}_{T} , mora zadovoljiti jednadžbu koja zahtijeva da moment ukupne težine bude jednak zbroju momenata težina pojedinih čestica:
::: \vec r_T \times \vec G= \sum_{i=1}^N \vec r_i \times \vec G_i  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(gdje je&nbsp;&nbsp;  \vec G = \sum_{i=1}^N \vec G_i  &nbsp;&nbsp;ukupna težina tijela).

Pojedina čestica označena je simbolom "i" (i=1, 2, ... N). Njezina masa je \scriptstyle m_i , njezin vektor položaja je \scriptstyle \vec{r}_{i} , a njezina težina \scriptstyle \vec{G}_{i} = m_i \vec{g}_{i} računa se kao umnožak njezine mase i gravitacijskog polja \scriptstyle \vec{g}_{i} na mjestu gdje se čestica nalazi.

Iz same jednadžbe nije unaprijed jasno da li je uopće moguće odrediti makar jednu točku T za koju će jednadžba biti zadovoljena, jer to ovisi o gravitacijskom polju i rasporedu mase tijela u njemu. A ako za neku orijentaciju tijela u polju i postoji takva točka (u koju se može postaviti hvatište rezultantne težine), ona nije jednoznačno određena gornjom jednadžbom, jer će i svaka druga točka na pravcu rezultante zadovoljiti tu jednadžbu za istu orijentaciju tijela. No, tada se mogućnost jednoznačnog definiranja težišta ispituje tako da se varira orijentacija tijela u polju. Pritom se promatra i da li je moguće ostvariti različite oblike statičke ravnoteže vezane uz težište (labilnu, stabilnu, indiferentnu).

U stvarnom izračunu obično se, umjesto ogromnog broja diskretnih sastavnih čestica, zamišlja kontinuirana razdioba tijela na sve sitnije dijelove, koji se graničnim procesom prevode u diferencijalne elemente mase \scriptstyle dm, pa se sume iz gornje formule prevode u integrale, što omogućuje korištenje poznatih metoda diferencijalnog računa.

Ovdje se razmatra težište materijalnog tijela samo u homogenom gravitacijskom polju, te u približno homogenom polju blizu površine Zemlje.

### Težište materijalnog tijela u homogenom gravitacijskom polju
U ogromnoj većini praktičnih primjena može se smatrati da je gravitacijsko polje u blizini Zemlje posve homogeno na malim udaljenostima, tj. da u svakoj točki promatranog tijela polje ima isti iznos i smjer. Uz tu pretpostavku, težište T materijalnog tijela nalazi se u istoj točki kao i centar masa tijela, pa se može računati npr. po formuli
::: \vec r_T = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^N m_i \vec r_i   &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(gdje je&nbsp;&nbsp;  m = \sum_{i=1}^N m_i  &nbsp;&nbsp;ukupna masa sistema)

kao i po drugim formulama za određivanje centra masa tijela. Dokaz ove tvrdnje je jednostavan: u jednadžbi za momente treba samo zamijeniti različite vrijednosti gravitacijskog polja \scriptstyle \vec{g}_{i} s konstantnim vektorom \scriptstyle \vec g koji se može izlučiti iz sume tako da se dobije
:\scriptstyle \vec r_T \times m \vec g = (\sum_{i=1}^N m_i \vec r_i ) \times \vec g 
Izraz u zagradi jednak je (prema definiciji centra masa) umnošku \scriptstyle m \vec r_C  , i to za bilo koju orijentaciju tijela u polju, pa jednakost može biti ispunjena samo ako se težište nalazi u centru masa. Usto, nije teško pokazati da se za odgovarajuće točke ovjesa može postići stabilna, labilna i indiferentna ravnoteža.

U praktičnom računu, gornja vektorska jednadžba za vektor položaja težišta razlaže se na skalarne komponente, pa se zasebno računaju pojedine koordinate težišta. Pritom se obično koristi formula u kojoj je sumiranje zamijenjeno integriranjem, a masa opisana preko gustoće - kao kod računanja centra masa. Isto tako, sumiranje se uglavnom koristi kada je tijelo sastavljeno od nekoliko dijelova kojima su poznati položaji težišta; tada se, na primjer, y-koordinata težišta za tijelo ukupne mase \scriptstyle m računa kao
: y_T = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^N m_i y_i  

gdje je \scriptstyle m_i masa pojedinog dijela tijela, a y-koordinata težišta toga dijela je \scriptstyle y_i .

### Težište materijalnog tijela u stvarnom gravitacijskom polju blizu površine Zemlje
Stvarno Zemljino gravitacijsko polje nije homogeno: iznos mu opada s kvadratom udaljenosti od središta Zemlje, i usmjereno je prema središtu Zemlje. No, odstupanja od homogenosti vrlo su mala na manjim udaljenostima: blizu površine Zemlje jakost polja umanjuje se samo za oko 0,03% po jednom kilometru vertikalnog uspona, a smjerovi polja na horizontalnoj udaljenosti od 1 km zatvaraju kut od samo 0,009 stupnjeva. Zato se za objekte manjih dimenzija (nekoliko metara) može pretostaviti potpuna homogenost gravitacijskog polja, jer će npr. i neznatno trenje posve prikriti činjenicu da se položaj težišta može razlikovati od centra masa za koji djelić milimetra.

Međutim, razlika načelno postoji, te može imati izvjesnog značaja kod objekata većih dimenzija i kod preciznijih mjerenja. Za ilustraciju prikladno je razmotriti tanki štap (na skici desno), za koji će se radi jednostavnosti pretpostaviti da je homogen (ima posvuda jednaku gustoću).
Kad je štap u vertikalnom položaju (os y pokazuje uvis) njegovo težište T nalazi se ispod centra masa C (dakle, bliže kraju A štapa). To se naslućuje čak i intuitivno, zato što je donja polovica štapa teža (jer je u jačem gravitacijskom polju od gornje). No, za precizno određivanje položaja težišta zgodno je zamisliti vrlo mali otklon štapa od vertikale. Ako ga objesimo u nekoj točki malo ispod C, težina donjega dijela nastoji ga vratiti u vertikalni položaj, dok ga težina gornjega dijela nastoji otkloniti još dalje. Težište mora biti u onoj točki za koju se momenti težina gornjeg i donjeg dijela štapa točno poništavaju (pa će štap biti u stabilnoj ravnoteži ako se objesi bilo gdje iznad težišta). Račun pokazuje da se T nalazi vrlo blizu C: ako bi štap bio dugačak 1 kilometar, težište bi bilo samo nekoliko centimetara ispod centra masa.

No, ako se promotri isti štap u horizontalnom položaju, jasno je da težište više ne može biti bliže kraju A štapa: zbog simetričnosti gravitacijskog polja, ono mora biti jednako udaljeno od oba kraja štapa. I ne samo da se težište pomaklo u odnosu na štap, nego u modelu tankoga štapa za taj položaj više nije moguće uspostaviti indiferentnu ili stabilnu ravnotežu.

#### Aproksimacija paralelnog polja
Budući da je blizu površine Zemlje odstupanje gravitacijskog polja od stroge paralelnosti manje značajno nego njegovo opadanje s visinom, neki autori  računaju (približni) položaj težišta na Zemlji pomoću prosječne visinske raspodjele težine uz pretpostavku da su težine svih čestica paralelne (pa se ne opisuju kao vektori, nego samo kao iznosi težina koji ovise o visini):
::: \vec r_T = \frac{1}{G}\sum_{i=1}^N G_i \vec r_i   &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(gdje je&nbsp;&nbsp;  G = \sum_{i=1}^N G_i  &nbsp;&nbsp;ukupni iznos težine sistema).

Za tanki homogeni štap u verikalnom položaju (iz gornjeg primjera) na ovaj se način dobije isti položaj težišta kao uravnoteživanjem momenata za infinitezimalni otklon od vertikale.

### Težište kao izvor gravitacijskog polja
U engleskom jeziku za težište se koristi termin "centar gravitacije" (center of gravity). Sukladno takvom nazivu, težište ne mora označavati samo "točku u kojoj kao da je sadržana sva težina tijela koje se nalazi u vanjskom gravitacijskom polju", nego alternativno može označavati i "točku u kojoj kao da se nalazi izvor gravitacijskog polja koje tijelo proizvodi".

Ta točka (težište kao izvor polja) općenito ovisi o položaju promatrača (osim za sferno simetrična tijela). No, za pojedinog promatrača čiji je položaj određen vektorom \scriptstyle \vec r, težište kao izvor polja koje potječe od nekog tijela ili sistema čestica ukupne mase M jednoznačno je određeno izrazom :
:\frac {M (\vec{r}_\mathrm{T} - \vec{r})} {|\vec{r}_\mathrm{T} - \vec{r}|^3} = \sum_i \frac {m_i (\vec{r}_i - \vec{r})} {|\vec{r}_i - \vec{r}|^3}.

## Težište geometrijskog objekta
**Težište geometrijskog tijela, lika ili linije** je točka koja se označava simbolom T ili C (naziva se još i **centar masa** ili **centroid**), a računa se na isti način kao i centar masa homogenog materijalnog tijela:
::: \vec r_C = \frac{1}{V}\int_{V} \vec r \,\mathrm{d}V  &nbsp;&nbsp;&nbsp;(za tijelo); &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;  \vec r_C = \frac{1}{A}\int_{A} \vec r \,\mathrm{d}A  &nbsp;&nbsp;&nbsp;(za lik); &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;  \vec r_C = \frac{1}{l}\int_{l} \vec r \,\mathrm{d}l  &nbsp;&nbsp;&nbsp;(za liniju).

Integriranje po volumenu, plohi i liniji naznačeno je samo simbolički (slovima V, A te l).

Naziv "težište" za geometrijske objekte opravdan je zbog analogije s težištem homogenih materijalnih objekata u homogenom gravitacijskom polju: kod težišta geometrijskog tijela može se zamišljati da se radi o homogenom materijalnom tijelu, kod ravninskog lika analogija je tanka homogena ploča, kod ravne linije tanki homogeni štap itd.

Neovisno o tim analogijama, težište geometrijskog objekta, kao matematički pojam, ima različite primjene u matematici. Jedna od najpoznatijih primjena je računanje volumena rotacionih tijela i površine rotacionih ploha pomoću Pappus-Guldinovih pravila.

Osim primjena u matematici, težišta geometrijskih objekata često se računaju i koriste u tehničkoj mehanici, osobito kod elemenata konstrukcija.  

Određivanje težišta geometrijskih objekata znatno je jednostavnije kod simetričnih objekata, jer se težište nalazi na simetrali, pa se u najjednostavnijim slučajevima može odrediti kao presjecište simetrala. U dolje prikazanim primjerima većina objekata ima jednu os simetrije, duž koje je postavljena koordinatna os y na kojoj leži težište, a računa se samo y-koordinata težišta.

Često se geometrijski objekt sastoji od nekoliko dijelova kojima su poznati položaji njihovih težišta. Tada nije potrebno težište određivati integriranjem, nego se koristi jednostavno sumiranje po tim dijelovima. Primjerice, y-koordinata težišta ravninskog lika ukupne površine A računa se po formuli
: y_C = \frac{1}{A}\sum_{i=1}^N A_i y_i  

gdje je \scriptstyle A_i površina pojedinog dijela, a y-koordinata njegovog težišta je \scriptstyle y_i .

## Primjeri težišta nekih geometrijskih objekata
Ovdje se opisuje položaj težišta za neke često korištene linije, plohe i geometrijska tijela.

### Težišta linija

* **Dužina**
:Težište je na polovici dužine.

* **Kružni luk s [[polumjer]]om r i kutom <math> 2 \alpha</math>**
:Y_c=r\cdot \frac {sin \alpha} {\hat {\alpha}} 

gdje je  \hat {\alpha} polovica kuta sadržanoga ispod kružnog luka, a "kapa" nad simbolom označava da kut treba računati u radijanima.

### Težišta geometrijskih likova

* **Paralelogram**
:Težište je na presjeku dijagonala.

* **Trokut**
:Y_c=\frac {h}{3}

* **Kružni isječak**
:Y_c=\frac{2}{3} \cdot r \cdot \frac{sin \alpha}{\hat {\alpha}}

gdje je  \hat {\alpha} polovica kuta sadržanoga ispod kružnog luka, a "kapa" nad simbolom označava da kut treba računati u radijanima.

* **Kružni odsječak**
:Y_c=\frac{2}{3}\cdot r \cdot \frac{sin^3\alpha}{\hat {\alpha}-sin\alpha \cdot cos\alpha}

gdje je  \hat {\alpha} polovica kuta sadržanoga ispod kružnog luka, a "kapa" nad simbolom označava da kut treba računati u radijanima.


Datoteka:teziste_trokuta.png|Trokut
Datoteka:teziste_isjecka.png|Kružni isječak
Datoteka:teziste_odsjecka.png|Kružni odsječak


### Težišta geometrijskih tijela

* **Kocka, prizma, kugla** 
:Težište je u središtu.

* **Piramida i stožac**
:Y_c=\frac{h}{4}

* **Polukugla**
:Y_c=\frac{3}{8} \cdot r

* **Kalota (kuglin odsječak)**
:Y_c=\frac{3}{4} \cdot \frac{(2r-h)^2}{(3r-h)}

* **Kuglin isječak**
:Y_c=\frac {3}{8} \cdot (2r-h)


Datoteka:teziste_piramide.png|Piramida ili stožac
Datoteka:teziste_polukugle.png|Polukugla
Datoteka:teziste_kalote.png|Kalota
Datoteka:teziste_kuglinog_isjecka.png|Kuglin isječak


## Izvori