Hilbertov prostor

**Hilbertov prostor** je matematički koncept koji generalizuje euklidski prostor. U njemu se metode vektorske algebre i analize iz euklidske ravni i trodimenzionalnog prostora proširuju na prostor sa konačnim ili beskonačnim brojem dimenzija. Dobio je ime po Davidu Hilbertu.

Hilbertov prostor se često pojavljuje u matematici, fizici i inžinjerstvu, tipično kao preslikavanja beskonačnog broja dimenzija.

Geometrijske analogije imaju veliki značaj u razumevanju teorije Hilbertovih prostora. Za njih postoji ekvivalentna Pitagorina teorema i zakon paralelograma.

## Definicija i ilustracija
### Uvodni primer: euklidski prostor
Jedan od najjasnijih primera Hilbertovih prostora je euklidski prostor koji se sastoji iz trodimenzionalnih vektora, označavamo ga sa **R**3, u kome je definisan operator proizvoda. Ovaj proizvod uzima dva vektora **x** i **y** kao argumente i kao rezultat daje realan broj **x**·**y**. Ako su **x** i **y** predstavljeni u Dekartovim koordinatama, onda se operator proizvoda definiše kao:
:(x_1,x_2,x_3)\cdot (y_1,y_2,y_3) = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.
Operator proizvoda zadovoljava sledeće uslove:
# Simetričan je u odnosu na **x** i **y**: **x**·**y**&nbsp;=&nbsp;**y**·**x**.
# Linearan je u odnosu na prvi argument: (*a***x**1&nbsp;+&nbsp;*b***x**2)·**y**&nbsp;=&nbsp;*a***x**1·**y**&nbsp;+&nbsp;*b***x**2·**y** za bilo koje skalare *a*, *b* i vektore **x**1, **x**2 i **y**.
# To je pozitivna bilinearna forma: za sve vektore **x**, **x**·**x**&nbsp;≥&nbsp;0, gde znak jednakosti važi ako i samo ako je **x**&nbsp;=&nbsp;0.

Operacija nad parom vektora koja zadovoljava ova tri uslova se naziva vektorski proizvod. Svaki vektorski prostor sa konačnim brojem dimenzija u kome je definisan vektorski proizvod predstavlja Hilbertov prostor. Karakteristika goredefinisanog operatora množenja koja ga povezuje sa euklidskom geometrijom je što zavisi i od dužine (ili intenziteta) vektora, koji se označava sa ||**x**||, i od ugla &theta; između vektora **x** i **y**. Ta zavisnost se izražava formulom:

:\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \|\mathbf{x}\|\,\|\mathbf{y}\|\,\cos\theta.

Matematički niz 
:\sum_{n=0}^\infty \mathbf{x}_n
koji se sastoji iz vektora u **R**3 apsolutno konvergira pod uslovom da suma dužina konvergira (kao u slučaju niza realnih brojeva):
:\sum_{k=0}^\infty \|\mathbf{x}_k\| 
Slično nizu skalara, niz vektora koji apsolutno konvergira istovremeno konvergira ka nekom vektoru **L** u euklidskom prostoru, i to tako da:
:\left\|\mathbf{L}-\sum_{k=0}^N\mathbf{x}_k\right\|\to 0\quad\text{kada }N\to\infty.

### Definicija
Hilbertov prostor *H* je realan ili kompleksan vektorski prostor koji je istovremeno i Košijev metrički prostor u odnosu na metričku funkciju vektorskog proizvoda. Kakda kažemo da je *H* kompleksni vektorski prostor, to znači da u *H* postoji proizvod &lang;*x*,*y*&rang; koji paru elemenata *x*,*y'- iz *H*, pridružuje kompleksnu vrednost, pri čemu je:
* &lang;*y*,*x*&rang; je [[konjugovan kompleksan broj]] od &lang;*x*,*y*&rang;:
::<math>\langle y,x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}.</math>
* &lang;*x*,*y*&rang; je linearna po prvom argumentu. Za sve kompleksne brojeve *a* i *b*,
::<math>\langle ax_1+bx_2, y\rangle = a\langle x_1, y\rangle + b\langle x_2, y\rangle.</math>
* Proizvod je pozitivna [[bilinearna forma]]:
::<math>\langle x,x\rangle \ge 0</math>
:gde znak jednakosti važi za *x*&nbsp;=&nbsp;0.
Realni vektorski prostor se definiše na isti način, osim što vektorski proizvod ima realne vrednosti.

[[Intenzitet vektora]] definiše se kao proizvod &lang;•,•&rang; u obliku realne funkcije:
:<math>\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle},</math>
a rastojanje između tačaka *x*,*y* u *H* definiše se pomoću intenziteta na sledeći način:
:<math>d(x,y)=\|x-y\| = \sqrt{\langle x-y,x-y \rangle}.</math>
Ovo je funkcija metrike, što znači da (1) da je simetrična po *x* i *y*, (2) da je rastojanje između *x* i *x* nula, a da su ostala rastojanja između *x* i *y* pozitivna, (3) da važi [[nejednakost trougla]], što znači da dužina stranice a u trouglu *xyz* ne može biti duža od zbira preostale dve stranice:
:<math>d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z).</math>

Poslednja osobina je posledica [[Koši-Švarcova nejednakost|Koši-Švarcove nejednakosti]] koja tvrdi da:
:<math>|\langle x, y\rangle| \le \|x\|\,\|y\|</math>
gde znak jednakosti važi kada su *x* i *y* [[Linearna nezavisnost|linearno zavisni]].

Kada se funkcija udaljenosti definiše na ovaj način, kao [[funkcija metrike]], onda vektorski prostor postaje *'pre-Hilbertov prostor*'. Svaki kopmpletan pre-Hilbertov prostor je Hilbertov prostor. Kompletnost se definiše uslovom: ako za niz vektora važi <math>\textstyle{\sum_{k=0}^\infty u_k}</math> [[Apsolutna konvergencija|apsolutno konvergira]] tako da 
:<math>\sum_{k=0}^\infty\|u_k\| < \infty,</math>
tada niz konvergira u *H*, u smislu da parcijalne sume teže nekom elementu *H''.

Kao Košijevi normirani prostori, Hilbertovi prostori su po definiciji i Banahovi prostori. Oni su i topološki vektorski prostori u kojima su definisaani topološki pojmovi otvorenih i zatvorenih podskupova.

## Reference

## Vanjske veze
* Hilbertov prostor na Mathworld