Radianti

U **radianti** (gìniralmenti innìcatu **rad** quannu nìcissariu), eni la unitati di misura di la larchizza di li anguli dû Sistema 'ntirnazziunali di unitati di misura. Tali misura rapprìsenta u rapportu tra la lunchizza di l'arcu di circunfirenza tracciatu da l'angulu e la lunchizza dû raggiu di tali circunfirenza; essennu u rapportu tra dui grannizzi omogenee eni nu nùmmaru puru.

## Definizione di radiante
Si pigghìassi na circunfirenza cu centru ntô vertici di l'angulu e lu sò arcu ntercìttatu da li dui semirette ca formanu l'angulu. Chiamammu l a lunchizza di tali arcu, r chidda dû raggiu, c chidda di la circunfirenza e \alpha l'ampiezza di l'angulu dìscrittu da l'arcu.

\alpha^{\mathrm{rad}} = \frac{l}{r}

l = r \cdot \alpha^{\mathrm{rad}}

Da ciò si evìnci ca u radianti eni nu nummaru puru, ossia eni **adimensionali**, datu ca esprimi u rapportu tra dui lunchizzi.

Infatti: **[rad] = [m] / [m] = [1]**.

Dìfinemmu comu radianti l'ampiezza di l'angulu ca suttènni nu arcu di circunfirenza ca, rettìficatu, avi lunchizza uguali a lu raggiu di la circunfirenza stissa. 'N paroli poviri nu radianti eni l'angulu ca si avi 'n currìspunnenza di nu arcu di lunchizza pari a lu raggiu di la circunfirenza.

Essennu a lunchizza di la circunfirenza c uguali a 2\pi r e lu raggiu longu r, l'angulu di nu cerchiu eni uguali a 2\pi.

:\alpha=\frac{2\pi r}{r}=2\pi.

Ricurdannu ca la misura di la lunchizza di la circunfirenza eni:

:c = 2 \pi r,

Si pò scriviri a seguenti prupurzioni:

:\frac{\alpha^{(\circ)}}{l} = \frac{360^\circ}{2\pi r},

\alpha arrìsulta funzioni di l:

:\alpha^{(\circ)} = f \left( l \right),

Ossia:

:\alpha^{(\circ)} (l) = \frac{360^\circ \cdot l}{2\pi r},

Da cui:

:\alpha^{(\circ)} (l) = \frac{l}{r} \cdot \frac{360^\circ }{2\pi}

Dunque, punnnu l=r, da l'equazzioni pricirenti si utteni:

:\alpha^{(\circ)} (l = r) = \frac{360^\circ }{2\pi} \approx 57{,}29578^\circ \approx 57^\circ \ 17' \ 44{,}8'' = 1\;\rm{rad}.

Formulamu ùora nu angulu giru 'n radianti:

:360^\circ = \frac{2\pi }{2\pi} \cdot  360^\circ = 2\pi \cdot \frac{360^\circ }{2\pi} =  2\pi\;\rm{rad}.

Cu la seguenti prupurzioni si ottènnu i formuli pì passari da radianti a gradi sessagesimali e viciversa:

:\frac{\alpha^{(\circ)}}{\alpha^{\mathrm{rad}}} = \frac{360^\circ}{2\pi}

:\alpha ^{(\circ)} = \frac{360^\circ}{2\pi} \cdot \alpha^{\mathrm{rad}}

:\alpha^{\mathrm{rad}} = \frac{2\pi }{360^\circ} \cdot \alpha ^{(\circ)}.

## Utilitati di la scelta dû radianti
A misura dû radianti cunsenti di aviri formuli trigonumetriche assai cchìu facili di chiddi ca si avissìru aduttannu i gradi sessagesimali o avutri unitati di misura di li anguli.

Sustanzialmenti i vantaggi dû radianti dìrivanu da lu fattu ca cu tali unitati si uttèni a semplici esprìssioni;

:\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

E da chista si ottènnu assai avutri eleganti identitati dû calculu infinitesimali ca hannu mpurtanti cunsicuenzi pratiche. Tra chisti:
 
: \frac{d}{dx} \sin x = \cos x 
: \sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} - \dots   
: \cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} - \dots .

Se si misurassìru li anguli 'n gradi o 'n avutri unitati di misura, formuli comu i pricirinti avissìru a essìri appìsantiti da custanti di cunvìrsioni e da loru putenzi.

## Cancìamentu gradi-radianti
Nu radianti eni uguali a 180/\pi gradi. Pì cunvirtiri radianti 'n gradi eni quinni sufficenti multiplicari pì 180/\pi:

: \alpha^{(\circ)} = \alpha^{(\mathrm{rad})} \cdot \frac {180^\circ} {\pi}.

Pì esempiu:

:1 \mbox{ rad} = 1 \cdot \frac {180^\circ} {\pi} \approx 57{,}2958^\circ 

:2{,}5 \mbox{ rad} = 2{,}5 \cdot \frac {180^\circ} {\pi} \approx 143{,}2394^\circ 

:\frac {\pi} {3} \mbox{ rad} = \frac {\pi} {3} \cdot \frac {180^\circ} {\pi} = 60^\circ .

Nta stissa maniera, pì cunvirtiri gradi 'n radianti si multiplicanu pì π/180:

:\alpha^{(\mathrm{rad})} = \alpha^{(\circ)} \cdot \frac {\pi} {180^\circ}.

Pì esempiu:

:1^\circ = 1 \cdot \frac {\pi} {180^\circ} \approx 0{,}0175 \mbox{ rad}

:23^\circ = 23 \cdot \frac {\pi} {180^\circ} \approx 0{,}4014 \mbox{ rad}

Si avi quinni:

:1 rad = 57,29577 95131 gradi = 3437,74677 07849 primi = 206264,80625 secunni
:1 gradu = 0,01745 32925 19943 rad; 
:1 primu = 0,00029 08882 08666 rad
:1 secunnu = 0,00000 48481 36811 rad

## Talìa puru
* Gradu d'arcu
* Gradu cintesimali
* Angulu
* Pi grecu
* Steradianti
* Millesimu di radianti

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