Campu elèttricu

### Difinizzioni

Lu **campu elettricu** eni nu campu vitturiali dittu campu a **divirgenza assignata** e a **rutori nuddu** (l'ùrtima difinizzioni vali sulu ppi l'elettrustàtica) unni ppi ogni puntu dû spazziu è pussìbbili assuciari nu vitturi diciutu **forza di Coulomb**.

### Forza Coulombiana

Lu vitturi 'n quistioni pò vèniri scrivutu 'n ginirali comu prudottu scalari dô mòdulu ppi lu versu soi

:\mathbf{\vec F} =  \cdot\hat{U_r}  duva \left\{ \begin{align}
  & \mathbf =  {\frac {q_1 \;q_2}{4\; \pi \;\varepsilon_0}} \quad {\frac {1} {\vec r_1 - \vec r_2}}\\ 
 & \mathbf{\hat{U_r}} = {\frac {\vec r_1 - \vec r_2} } \\ 
 \end{align} \right.

ma ntô casu spicìficu, quannu zoè s'avi a chi fari cu armenu dui càrichi elèttrichi ppi ogniduna di li quali si ponnu nnividuari nu vitturi, si ponnu aviri dui situazzioni:

**1)** siddu la prima carica q_1 havi lu stissu signu dâ secunna càrica q_2 allura {\vec F_{1su2}} = - {\vec F_{1su2}}  (zoè la forza ca la prima carica subbisci dâ secunna havi la stissa ntisitati e versu uppostu dâ forza subbita dâ secunna pi òpira dâ prima) picciò

: {\vec F_{1su2}} = { {\frac {q_1 \;q_2}{4\; \pi \;\varepsilon_0}} \quad {\frac {1} {\vec r_1 - \vec r_2}} }\;\cdot\;{\frac {\vec r_1 - \vec r_2} }  mentra  {\vec F_{2su1}} = { {\frac {q_1 \;q_2}{4\; \pi \;\varepsilon_0}} \quad {\frac {1} {\vec r_1 - \vec r_2}} } \;\cdot\;{\frac {\vec r_2 - \vec r_1} }  ;

**2)** siddu li dui càrichi hannu signa uppusti allura

: {\vec F_{1su2}} = {\vec F_{2su1}} = { {\frac {q_1 \;q_2}{4\; \pi \;\varepsilon_0}} \quad {\frac {1} {\vec r_1 - \vec r_2}} }\;\cdot\;{\frac {\vec r_1 - \vec r_2} }  .

### Campu elèttricu e forza Coulombiana

Siddu si menti ntô spazziu nu corpu estesu e ntra li vicinanzi na càrica *q* diciuta **càrica di prova** , lu corpu risenti dô campu elèttricu dâ càrica di prova e 'n capu a la sò supirfici è distribbuita unifurmimenti na càrica *Q*.

: {\vec F_{tot}} =  \int { {\frac {q \; dQ}{4\; \pi \;\varepsilon_0}} \quad {\frac {1} {\vec r_1 - \vec r_2}} }\;\cdot\;{\frac {\vec r_1 - \vec r_2} } = { {\frac {q }{4\; \pi \;\varepsilon_0}} \quad {\frac {1} {\vec r_1 - \vec r_2}} }\;\cdot\;{\frac {\vec r_1 - \vec r_2} } \quad {Q} = {\vec E} \;\cdot\;{Q} \;\longrightarrow \; \mathbf{\vec E} = {\frac {\vec F} {Q}}  

Dâ difinizzioni nni veni ca l'unità di misura dû campu elettricu è \frac{N}{C}, zoè newton/coulomb (equivali a \frac{V}{m}, zoè volt/metru); e ca lu campu elettricu è rilativu a la pusizzioni dâ carica.

: {\vec E_{x,\;y,\;z}} =  {\frac {q }{4\; \pi \;\varepsilon_0}}\;\cdot\; {\frac {(x_1-x_2,\;y_1-y_2,\;z_1-z_2)}{[(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2]^{3\over 2}}}

### Travagghiu, putinziali e campu elèttricu

Calculari lu campu elettricu pò risurtari diffìcili pi chissu cummeni raggiunari 'n tèrmini di **travagghiu**. Siddu si havi nu filu d'estremitati "ab" misu ntô u spàzziu cu na càrica di prova ntra li vicinanzi, e si spizzedda lu filu pezzi pezzi 'n nfiniti vitturi 'n manera di carculari lu travagghiu fattu supra a ognidunu pizzuddu dâ càrica di prova, lu travagghiu *L* eni

 \mathbf{L} = \int_{a}^{b} {\vec F} \;\cdot\;d {\vec s} = \int_{a}^{b} {Q}\; {\vec E} \;\cdot\;d {\vec s} =  {Q}\cdot\int_{a}^{b}  \;\cdot\; \hat{U_r} \;\cdot\;d {\vec s} = {Q}\cdot\int_{a}^{b}  \;\cdot\;d {\vec r} = {\frac {q \; Q}{4\; \pi \;\varepsilon_0}} \int_{a}^{b} {\frac {1} {(\vec r)^2}} \  d {\vec r} = {Q}\;( {\frac {q}{4\; \pi \;\varepsilon_0\;\vec r_a}} \;\; {\frac {q}{4\; \pi \;\varepsilon_0\;\vec r_b}} )

unni  d {\vec r}  è la pruizzioni dû versu dû campu elettricu supra nu pizzuddu di filu, mentri ca

: {\frac {q}{4\; \pi \;\varepsilon_0\;\vec r_a}} \;\; {\frac {q}{4\; \pi \;\varepsilon_0\;\vec r_b}} = \Delta V_ {a\;b} \; \longleftarrow   **diffirenza di putinziali** .

### Flussu dû campu elèttricu

Ginirarmenti si parra di flussu dû campu elèttricu niscenti di na supirfici chiuruta (nfatti na supirfici po' èssiri addisignata pi menzu di nu vetturi, di mòdulu lu stissu a l'ampiezza dâ supirfici, e cu dirizziuni e versu rapprisintatu dû **versu nurmali a la supirfici** dittu  \mathbf{\hat{U_n}}  ; pi versu nurmali si ntenni nu versu pirpindiculari a la superfici, e quannu la superfici eni chiuruta, racchiudi zoè nu vulumi, si parra di versu nurmali nascenti dâ supirfici) e la liggi attraversu cui eni calculata è la **liggi di Gauss** difinita comu:

: \Phi_E = \oint {\mathbf{\nabla} \cdot \vec {F}} \; {\hat{U_n}} \;{d{Aria}} = \oint {\vec {E}} \; {\hat{U_n}} \;{d{Aria}} = {\frac {q_{int}}{\varepsilon_0}} 

**Dimustrazziuni dô tiorema di Gauss**

Si cunziddira na superfici no-riulari chiurata quarsiasi e, pi simprificari li calculi, si mmàggina la prisenza di na supirfici sfèrica dintra la supirfici no-riulari ca havi comu particularitati nu **versu nurmali radiali** e ànguli sòlidi  {d\;{\mathbf{\Omega}}} 

: {d\;{\mathbf{\Omega}}} = {\frac {A_{sfera}}  = {\frac {4\; \pi \; r^2} {r^2}} = 4\; \pi  (**steradianti**)  \rightarrow  ccu  0\; \leq \;{\mathbf{\Omega}} \; \leq {4\; \pi }  ;

allura \left\{ \begin{align}
  & \mathbf{d{A_{sfera}}} =  {d{A_s}} \;{\cos {\Theta}}\\ 
 & \mathbf{d{\Omega}} = {\frac { {d{A_s}} \;{\cos {\Theta}} } {r^2}}\\ 
 \end{align} \right. e vistu ca \left\{ \begin{align}
  & \mathbf{\hat{U_n}} =  {\hat{U_{radiali}}} \\ 
 & \mathbf{\hat{U_n}} \;\cdot \; \mathbf{\hat{U_{rad}}} = \cos {\Theta} \\
& \mathbf{\vec {E}} = {\frac {q} {4\; \pi \; \varepsilon_0}} \;\cdot \; {\frac {\hat{U_{radiali}}} {r^2} }\\ 
 \end{align} \right.

quinni  \rightarrow   \Phi_E = \oint { {\frac {q} {4\; \pi \; \varepsilon_0}} \;\cdot \; {\frac {\hat{U_{radiali}}} {r^2} } \quad } \;\cdot \;{d{A_s}}} } = \oint { {\frac {q} {4\; \pi \; \varepsilon_0}} \quad {d\;{\mathbf{\Omega}}} } = {\frac {q_{int} \; 4\; \pi } {4\; \pi \; \varepsilon_0}} = {\frac {q_{int}}{\varepsilon_0}} 

### Lìnii dû campu elèttricu

Lu campu elettricu veni rapprisintatu pi menzu di lìnii e campu, ca sunnu cchiù fitti 'n cìrculu a la càrica e su' cchiù picca ntâ luntananza. Si la càrica cunziddirata eni pusitiva, li lìnii dû campu si dìciunu niscenti (s'irraggianu 'n tutti li dirizziuni a cumiciari dâ càrica) e la càrica eni difinita **surgenti**; siddu la càrica cunziddirata eni nigativa, li lìnii dû campu sunnu diciuti trasenti (sunnu diriggiuti agghiri la càrica) e la càrica veni difinita **puzzu**.

### Càrculu dû campu elèttricu

* **Sfera cava**

Si mmàggina la prisenza di na sfera cava, ca racchiudi na prima, passanti pi nu ginèricu puntu *P* ;

 \Phi_{sfera} = \oint { {\vec {E}} \; {\hat{U_r}} \;{d{A}} } =  \; {4\; \pi \; r^2}  e vistu ca  \Phi = {\frac {q_{int}}{\varepsilon_0}}  allura   \rightarrow \; {\vec {E}} = {\frac {q} {4\; \pi \; \varepsilon_0} }\;\cdot \; {\hat{U_r}} 

[lu raggiu dâ sfera passanti pi lu puntu *P* ha' d'essiri cchiù granni dâ sfera cava, artrimenti, la sfera cava si cumporta comu si fussi na càrica puntifurmu, e la càrica si distribbuisci unifurmumentu 'n capu a la supirfici, mentri dintra càrica nun è].

* **Sfera china**

Si mmàggina la prisenza di na sfera cava passanti ppi nu ginèricu puntu *P* :

- siddu  r_p \; \geq \; r_{sfera}  annunca  \rightarrow \; {\vec {E}} = {\frac {q} {4\; \pi \; \varepsilon_0} }\;\cdot \; {\hat{U_r}} 

- siddu  r_p \; \, annunca  \Phi = {\frac {q_{int}}{\varepsilon_0}} = {\frac {\varepsilon_0}} = {\frac  {3\; \varepsilon_0}}  pirciò  \rightarrow \;  {\vec {E}} = {\frac  {4\; \pi \; 3 \; r^2 \; \varepsilon_0} }\;\cdot \; {\hat{U_r}} = {\frac  {3 \; \varepsilon_0} }\;\cdot \; {\hat{U_r}} 

* **Sfera china cu cavità nterna**
 {\vec {E_{sf.p.} }} = {\frac  {3 \; \varepsilon_0} }\;\cdot \; {\hat{U_r}} ,   {\vec {E_{cavit} }} = {\frac  {3 \; \varepsilon_0} }\;\cdot \; {\hat{U_r}} , pirciò \rightarrow \;  {\vec {E_{tot} }} =  {\frac  {3 \; \varepsilon_0} }\;\cdot \; {\hat{U_r}} 
* **làmina chiana**

Si mmàggina la prisenza di nu cilindru ca veni tagghiatu a mitati dâ làmina.

 \Phi_{E} = \oint_{sup.lat.}^{}{ {\vec {E}} \; {\hat{U_n}} \;{d{A}} } + 2\;\oint_{bas.}^{}{ {\vec {E}} \; {\hat{U_n}} \;{d{A}} } = 0 \; + 2 \;  \; A_b ; ma datusi ca  \Phi = {\frac {q_{int}}{\varepsilon_0}} = {\frac {\varepsilon_0}}  
 
annunca  \rightarrow \; {\vec {E}} = {\frac {\rho_s} {2\; \varepsilon_0}} \;\cdot \; {\hat{U_n}} .
* **filu rittilìniu**

Si mmàggina la prisenza di nu cilindru ca racchiudi lu filu.

 \Phi_{E} = \oint_{sup.lat.}^{}{ {\vec {E}} \; {\hat{U_n}} \;{d{A}} } + \oint_{bas.inf.}^{}{ {\vec {E}} \; {\hat{U_n}} \;{d{A}} } + \oint_{bas.sup.}^{}{ {\vec {E}} \; {\hat{U_n}} \;{d{A}} } = \oint_{sup.lat.}^{}{ {\vec {E}} \; {\hat{U_n}} \;{d{A}} } \;+ \;0 \;+ \;0 = \oint {  \; {d{A}} } =  \;\cdot \; {2\; \pi \; r \; h};

ma datusi ca  \Phi = {\frac {q_{int}}{\varepsilon_0}} = {\frac {\varepsilon_0}}  annunca  \rightarrow \; {\vec {E}} = {\frac {\rho_s} {2\; \pi \; r \; \varepsilon_0}} \;\cdot \; {\hat{U_n}} .

* **aneddu**

Si mmàggina di frantumari l'aneddu 'n pizzudda nichi ognidunu di li quali havi na càrica dQ , e la distanza ntra tutti sti pizzareddi eni "d".

 V_{an} = \int {\frac {d\;Q} {4\; \pi \; \varepsilon_0 \; d^2} } = {\frac {Q} {4\; \pi \; \varepsilon_0 \; d^2} } = {\frac {Q} {4\; \pi \; \varepsilon_0} } \;\cdot \; {\frac {1}{\sqrt{r^2 \; + \; x^2}} } 

 {\vec {E}} = - {\frac {\partial \;V} {\partial \;x}} \; = \; {\frac {Q} {4\; \pi \; \varepsilon_0} } \quad  {\frac {x}} \;\cdot \; {\hat{U_x}} 

* **Discu**
Si cunziddira lu discu comu s'iddu fussi fattu di tanti aneddi ca hannu nu raggiu  0 \; \leq \; r_{anel} \; \leq \; R_{disc} , ognidunu di li quali havi na parti nica e càrica dQ e  Q = \rho_l \;\cdot \; 2\; \pi \; r unni  \rho_l  eni la dinzità dâ càrica ca veni murtipricata ppi la circunfirenza.

 V_{disc} = \int_{0}^{R}{\frac {Q} {4\; \pi \; \varepsilon_0 \; d^2} } = \int_{0}^{R} {\frac {4\; \pi \; \varepsilon_0 \; \sqrt{r^2\;+\;x^2} }} \; d{\vec r} = {\frac {\rho_l} {2\; \varepsilon_0}} \;\cdot \; (\sqrt{r^2\;+\;x^2} \; - \; |x| )

 {\vec {E}} = - {\frac {\partial \;V} {\partial \;x}} = {\frac {\rho_l} {2\; \varepsilon_0}} \; \left( {\frac {x}  }\; - \; {\frac {x}{\sqrt{r^2\;+\;x^2}} }\right) \;\cdot \; {\hat{U_x}} 

----

### Vuci currilati
* vitturi
* Campu magneticu
* hypersfera

Catigurìa:Fìsica
Catigurìa:Scienzi