Ipèrbuli unitària

Nni la giometrìa, l**'ipèrbuli unitària** jè lu nsemi di punti (*x*,*y*) ntô pianu cartesiano chi soddisfanu l'equazzioni implìcita x^2 - y^2 = 1. Ntô studiu di li gruppi ortogonali indefiniti, l'ipèrbuli unitària forma la basi pi un *lungu radiali alternu*: r = \sqrt {x^2 - y^2}. Mentri lu circulu unitariu arricumpogna lu so centru, l'ipèrbuli unitària richiedi la ipèrbuli cunzigghiata y^2 - x^2 = 1 pi cumplimintàri lu pianu. Stu parìu di iperbuli spartinu li asintuti *y* = *x* e *y* = −*x*. Quannu si usa l'ipèrbuli cunzigghiata di l'ipèrbuli unitària, lu longu radiali alternu jè r = \sqrt{y^2 - x^2}.

L'ipèrbuli unitària jè un casu spiciali di l'ipèrbuli rettangulari, cu un'orientazzioni, pusizzioni, e scala particulari. Accussì, la so eccentricità jè uguali a \sqrt{2}.

L'ipèrbuli unitària trova applicazzioni unni lu circulu hâvi a jèssiri rimpiazzatu cu l'ipèrbuli pi scopi di giometrìa analìtica. Un esempiu prominenti jè la rapprisintazzioni di lu spaziutempu comu un spaziu pseudo-euclidianu. Ddocu l'asintuti di l'ipèrbuli unitària formanu un conu di luci. Supercchiù, l'attenzioni a l'arii di li settori iperbòlichi di Gregoire de Saint-Vincent purtau a la funzioni logaritmica e la parametritazzioni muderna di l'ipèrbuli attraversu l'arii di li settori. Quannu si capisciunu li nuzioni di iperbuli cunzigghiati e anguli iperbòlichi, li nummira cumpressi classici, chi sunnu custruiti attornu ô circulu unitariu, ponnu jèssiri rimpiazzati cu nummira custruiti attornu ô l'ipèrbuli unitària.

## Asintuti
Giniralmenti, li asintuti di na curva s'avvicinanu a la curva. Ntô campu di la giometrìa algèbrica e la tèurica di li curvi algèbrichi c'è un approcciu differenti pi li asintoti. La curba veni nterpretata ntô pianu pruggittivu usannu li coordinati omogenei. Poi, li asintuti sunnu lini tangenti a la curba pruggittiva nta un puntu a l'infinitu, accussì si evitanu cunziddi di distanzi e cunvergenza. Ntô stissu cuntestu, li coordinati omogenei sunnu (*x, y, z*) e la ligna a l'infinitu veni ditta di *z* = 0. Pi esempiu, C. G. Gibson scrissi:C.G. Gibson (1998) *Elementary Geometry of Algebraic Curves*, p 159, Cambridge University Press :Pi l'ipèrbuli rettangulari standard f = x^2 - y^2 -1 ntô \mathbb{R}^{2}, la curva pruggittiva currispunnenti jè F = x^2 - y^2 - z^2, chi scontra *z* = 0 ntô punti *P* = (1 : 1 : 0) e *Q* = (1 : −1 : 0). Tuttu dui *P* e *Q* sunnu simplici supra *F*, cu tangenti *x* + *y* = 0, *x* − *y* = 0; accussì si ricuperanu li "asintuti" fimiliari di la giometrìa elementari.

## Diagramma di Minkowski
Lu diagramma di Minkowski veni disignatu ntô pianu spaziutempu unni l'aspetti spaziali sunnu ristrette a na sola diminsiuni. Li unitati di distanzi e tempu supra stu pianu sunnu: unitati di 30 centìmitri di lunghezza e nanosecunni, o unitati astronòmichi e intervalli di 8 minuti e 20 secunni, o anniluci e anni.Ognuna di sti scale di coordinati porta a cunnissioni di fotoni tra eventi supra lini diagonali di pendenza plus o minus unu.Cinqui elementi custituiscinu lu diagramma usatu di Hermann Minkowski pi discrèviri li trasfurmazzioni di relatività: l'ipèrbuli unitària, la so ipèrbuli cunzigghiata, li assi di l'ipèrbuli, un diamitru di l'ipèrbuli unitària, e lu diametru cunzigghiatu.Lu pianu cu l'assi rifirisci a un sistema di rifirimentu a riposu. Lu diamitru di l'ipèrbuli unitària rapprisenta un sistema di rifirimentu n muvimentu cu rapidità *a* unni tanh *a* = *y*/*x* e (*x*,*y*) jè lu puntu finali di lu diamitru supra l'ipèrbuli unitària. Lu diamitru cunzigghiatu rapprisenta lu *pianu iperbolicu di simultaneità* currispunnenti a rapidità *a*.Ntô cuntestu, l'ipèrbuli unitària veni usata comu *ipèrbuli di calibraturi*.Anthony French (1968) *Special Relativity*, page 83, W. W. Norton & CompanyW.G.V. Rosser (1964) *Introduction to the Theory of Relativity*, figure 6.4, page 256, London: ButterworthsGiniralmenti ntô studiu di la relatività si pigghia l'ipèrbuli cu l'assi virticali comu principali::La freccia di lu tempu va di lu funnu a lu cimi di la figura — na cunvinzioni aduttata di Richard Feynman ntêi so diagrammi cèlibbri. Lu spaziu veni rapprisintatu di pianuri pènniculàri a l'assi di lu tempu. Lu "qui e ora" jè na singularità ntô centru.A.P. French (1989) "Learning from the past; Looking to the future", acceptance speech for 1989 Oersted Medal, American Journal of Physics 57(7):587–92La cunvinzioni di l'assi di lu tempu virticali veni di Minkowski ntô 1908, e jè macari illustrata a pagina 48 di *The Nature of the Physical World* (1928) di Eddington.

## Parametritazzioni

Un mètudu dirittu pi parametritari l'ipèrbuli unitària cumincia cu l'ipèrbuli *xy* = 1 parametritata cu la funzioni esponenziali: ( e^t, \ e^{-t}).

Sta ipèrbuli veni trasfurmata ntô l'ipèrbuli unitària attraversu un mappatura lineari cu matrici A = \tfrac {1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix}\ ::(e^t, \ e^{-t}) \ A = (\frac{e^t + e^{-t}}{2},\ \frac{e^t - e^{-t}}{2}) = (\cosh t,\ \sinh t).

Stu parametru *t* jè l**'angulu iperbòlicu**, chi jè l'argumentu di li funzioni iperbòlichi.