Таблїчни виводи

Єдна зоз операцийох у математичней анализи то находзенє виводох функциї. Ознаки *f*  и *g*  представяю диференциябилни функциї реалних числох, а *c* реалне число (константу). Формули у предлуженю достаточни же би ше диференцовала гоч хтора елементарна функция. 

Надпомнуце: У предлуженю за вивод функциї *f* хаснує ше ознака {\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} f(x) же би ше наглашело же ше глєда вивод по параметру *x*.
## Общи правила виводох
;Линеарносц
:\left({cf}\right)' = cf'
:\left({f + g}\right)' = f' + g'
;Вивод продукту
:\left({fg}\right)' = f'g + fg'
;Вивод количнїку
:\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0
;Вивод зложеней функциї
:(f \circ g)' = (f' \circ g)g'
; Вивод инверзней функциї
:(f^{-1})' = \frac{1}{f'\circ f^{-1}}.\,
## Виводи елементарних функцийох

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} c = 0

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} x = 1

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} cx = c

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} |x| = {|x| \over x} = \sgn x,\qquad x \ne 0

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} x^c = cx^{c-1}  дзе и *x<sup>c</sup>* и *cx<sup>c-1</sup>* дефиновани

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \left({1 \over x}\right) = {\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -{1 \over x^2}

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \left({1 \over x^c}\right) = {\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}}

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \sqrt{x} = {\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0

## Виводи екпоненциялних и лоґаритемских функцийох

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} c^x = {c^x \ln c },\qquad c > 0

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} e^x = e^x

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \log_c x = {1 \over x \ln c},\qquad c > 0, c \ne 1

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \ln x = {1 \over x},\qquad x > 0

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \ln |x| = {1 \over x}

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} x^x = x^x(1+\ln x)

## Виводи триґонометрийних функцийох

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \sin x = \cos x

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \cos x = -\sin x

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \tan x = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x}

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \sec x = \tan x \sec x

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \cot x = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x}

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \csc x = -\csc x \cot x

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \arcsin x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \arccos x = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \arctan x = { 1 \over 1 + x^2}

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \arcsec x = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \arccot x = {-1 \over 1 + x^2}

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \arccsc x = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}

## Виводи гиперболичних функцийох

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \sinh x = \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \cosh x = \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \tanh x = \operatorname{sech}^2\,x

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}\,\operatorname{sech}\,x = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}\,\operatorname{coth}\,x = -\,\operatorname{csch}^2\,x

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}\,\operatorname{csch}\,x = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}\,\operatorname{arcsinh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}\,\operatorname{arccosh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}\,\operatorname{arctanh}\,x = { 1 \over 1 - x^2}

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}\,\operatorname{arcsech}\,x = { -1 \over x\sqrt{1 - x^2}}

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}\,\operatorname{arccoth}\,x = { 1 \over 1 - x^2}

:{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}\,\operatorname{arccsch}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}
Катеґория:Наука
Катеґория:Математика