Основни триґонометрийни формули

## Функциуї єдного угла
: \sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1, \quad \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\tan \alpha, \quad \sin \alpha \cdot \csc \alpha = 1,
: \sec ^2 \alpha - \tan ^2 \alpha = 1, \quad \cos \alpha \cdot \sec \alpha = 1,
: \csc ^2 \alpha - \cot ^2 \alpha = 1, \quad \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha, \quad \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1.

## Медзисобне виражованє функцийох
:  \sin \alpha = \pm\sqrt{1 - \cos ^2 \alpha} = \pm\frac{ \tan \alpha}{ \sqrt{ 1 + \tan ^2 \alpha}},
: \cos \alpha = \pm\sqrt{1- \sin ^2 \alpha}=\pm\frac{1}{\sqrt{1+ \tan ^2 \alpha}} ,
: \tan \alpha = \pm\frac{\sin \alpha}{\sqrt{1- \sin ^2\alpha}}=\frac{1}{\cot \alpha},
: \cot \alpha = \pm\frac{\sqrt{1- \sin ^2\alpha}}{\sin \alpha}= \frac{1}{\tan \alpha}.

## Функциї суми и розлики углох
: \sin (\alpha \pm \beta )= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta,\,
: \cos (\alpha \pm \beta )= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta,
: \tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}, \quad \cot (\alpha \pm \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha},
: \tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}, \tan3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}.

## Функциї углох
: \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, \quad \sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha,
: \cos2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha, \quad \cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha,
: \tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}, \quad \tan3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha},
: \cot2\alpha=\frac{\cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha}, \quad \cot3\alpha=\frac{\cot^3\alpha-3\cot\alpha}{3\cot^2\alpha-1},
: \tan4\alpha=\frac{4\tan\alpha-4\tan^3\alpha}{1-6\tan^2\alpha+\tan^4\alpha}, \quad \cot4\alpha=\frac{\cot^4\alpha-6\cot^2\alpha+1}{4\cot^3\alpha-4\cot\alpha}.

За векше *n* хаснує ше Моаврова формула за комплексане число, розвита до биномного шору:

: \cos n \alpha +i \sin n \alpha = (\cos\alpha+ i \sin\alpha )^n = \,
::: \cos^n\alpha+in \cos^{n-1}\alpha \sin\alpha - C_n^2 \cos^{n-2}\alpha \sin^2\alpha -
 -iC_n^3 \cos^{n-3}\alpha \sin^3\alpha + C_n^4 \cos^{n-4}\alpha \sin^4\alpha + ..., 

дзе C_n^k = C(n, k) ={n \choose k} = \frac{n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)}{k \cdot (k-1) \cdots 1} = \frac{n!}{k!(n-k)!}  биномни коефициєнт.

Оталь шлїдзи:

: \cos n \alpha = \cos^n\alpha-C_n^2\cos^{n-2}\alpha \sin^2\alpha+C_n^4\cos^{n-4}\alpha \sin^4\alpha - C_n^6\cos^{n-6}\alpha \sin^6\alpha + ...,
: \sin n \alpha = n \cos ^{n-1} \alpha \sin \alpha - C_n^3 \cos ^{n-3} \alpha \sin ^3\alpha +C_n^5 \cos ^{n-5} \alpha \sin ^5 \alpha - ....

## Сума и розлика функцийох
: \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},
: \sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2},
: \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},
: \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2},
: \tan\alpha\pm\tan\beta=\frac{\sin (\alpha\pm\beta )}{\cos\alpha\cos\beta}, \quad \cot\alpha\pm\cot\beta=\frac{\sin (\beta\pm\alpha)}{\sin\alpha\sin\beta},
: \cot\alpha\pm\tan\beta=\frac{\cos (\alpha\mp\beta)}{\sin\alpha\cos\beta}.

## Продукт функцийох
: \sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)],
: \cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)],
: \sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)].

## Функциї половки угла
: \sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}, \quad \cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},
: \tan\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},
: \cot\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}.

## Ступньованє функцийох
: \sin^2\alpha=\frac{1}{2}(1-\cos2\alpha), \quad \cos^2\alpha=\frac{1}{2}(1+\cos2\alpha),
: \sin^3\alpha=\frac{1}{4}(3\sin\alpha-\sin3\alpha), \quad \cos^3\alpha=\frac{1}{4}(\cos3\alpha+3\cos\alpha),
: \sin^4\alpha=\frac{1}{8}(\cos4\alpha-4\cos2\alpha+3), \quad \cos^4\alpha=\frac{1}{8}(\cos4\alpha+4\cos2\alpha+3).

За рахованє \sin^n\alpha\, и \cos^n\alpha\, за векше *n* хаснує ше Моаврово формули.
Катеґория:Математика
Катеґория:Триґонометрия