د جوردان گاوس میتود

**د جوردان گاوس میتود **(د ړنگولو نامعلومه طریقه) — یو میتود دی چې د  جبري خطي معادلو سیستم لپاره کارول کېږي، د معکوس ماټریسونو لپاره ډېر کارول کېږي.
## پرمختللی الگورېتم د معکوس ماټریس د پیداکولو لپاره
**Пусть дано**:
:A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \quad a_{ii} \ne 0 \quad I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}

### مستقیم حرکت (د صفر د لاسته راوړلو الگاریتم د اصلي قطر څخه)
* Разделим первую строку матрицы А на a_{11} получим: a_{1j}^1 = \frac{a_{1j} }{a_{11} }, j — столбец матрицы А.
* Повторяем действия для матрицы I, по формуле: b_{1s}^1 = \frac{b_{1s} }{a_{11} }, s — столбец матрицы I
:**Получим: **
:A=\begin{pmatrix} 1 & a_{12}^1 & \cdots & a_{1n}^1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \qquad I=\begin{pmatrix} b_{11}^1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}
* Будем образовывать 0 в первом столбце : a_{2j}^1=a_{2j}-a_{1j}^1 a_{21} \; \dots \; a_{nj}^1=a_{nj}-a_{1j}^1 a_{n1}
* Повторяем действия для матрицы І, по формулам : b_{2s}^1=b_{2s}-b_{1s}^1 a_{21} \; \dots \; b_{ns}^1=b_{ns}-b_{1s}^1 a_{n1}
:**Получим:**
:A=\begin{pmatrix} 1 & a_{12}^1 & \cdots & a_{1n}^1 \\ 0 & a_{22}^1 & \cdots & a_{2n}^1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{2n}^1 & \cdots & a_{nn}^2 \end{pmatrix} \qquad I=\begin{pmatrix} b_{11}^1 & 0 & \cdots & 0 \\ b_{21}^1 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1}^1 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}
* продолжаем выполнять аналогичные операции, используя формулы : a_{ij}^k=\frac{a_{ij}^k}{a_{ii} } \qquad a_{ij}^k=a_{ij}^{k-1}-a_{kj}^k a_{ik}^{k-1}
:при условии, что k = 1 \rightarrow n,i = k + 1 \rightarrow n,j = 1 \rightarrow n
* Повторяем действия для матрицы І, по формулам : b_{ik}^k=\frac{b_{ik}^k}{a_{ii} } \qquad b_{is}^k=b_{is}^{k-1}-b_{ks}^k a_{ik}^{k-1}
:при условии, что k=1 \to n,\; i=k+1 \to n,\; s=1 \to n
:**Получим : **
:A=\begin{pmatrix} 1 & a_{12}^1 & \cdots & a_{1n}^1 \\ 0 & 1 & \cdots & a_{2n}^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \qquad I=\begin{pmatrix} b_{11}^1 & 0 & \cdots & 0 \\ b_{21}^2 & b_{22}^2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1}^n & b_{n2}^n & \cdots & b_{nn}^n \end{pmatrix}

### معکوس حرکت (د صفر دلاسته راوړلو الگاریتم د اصلي قطر څخه)
Используем формулу: a_{ij}^{k-1}=a_{ij}^{k-1}-a_{ij}^k a_{ik}^i, при условии, что k=n \to 1,\; i=1 \to k-1,\; j=1 \to n

Повторяем действия для матрицы І, по формуле : b_{is}^{k-1}=b_{is}^{k-1}-b_{is}^k a_{ik}^i, при условии, что k=n \to 1,\; i=1 \to k-1,\; s=1 \to n

**Окончательно получаем :**

A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \qquad I=A^{-1}

## مثالونه

Для решения следующей системы уравнений:
: \left\{\begin{array}{ccccccl}
a &+& b &+& c &=& 0\\
4a &+& 2b &+& c &=& 1\\
9a &+& 3b &+& c &=& 3 \end{array}\right.


Запишем её в виде матрицы 3&times;4, где последний столбец является свободным членом:
: 
  \begin{pmatrix}
    1 & 1 & 1 \!& \vline &\! 0 \\
    4 & 2 & 1 \!& \vline &\! 1 \\
    9 & 3 & 1 \!& \vline &\! 3
  \end{pmatrix}


Проведём следующие действия:
* К строке 2 добавим: −4 × Строку 1.
* К строке 3 добавим: −9 × Строку 1.

Получим:
: 
  \begin{pmatrix}
    1 &\  1 &\  1 \!& \vline &\! 0 \\
    0 & -2 & -3 \!& \vline &\! 1 \\
    0 & -6 & -8 \!& \vline &\! 3
  \end{pmatrix}


* К строке 3 добавим: −3 × Строку 2.
* Строку 2 делим на −2

: 
  \begin{pmatrix}
    1 &  1 &  1 \!& \vline &\!\ 0 \\
    0 & 1 & {3 \over 2} \!& \vline &\! -{1 \over 2} \\
    0 & 0 & 1 \!& \vline &\!\ 0
  \end{pmatrix}


* К строке 1 добавим: −1 × Строку 3.
* К строке 2 добавим: −3/2 × Строку 3.

: 
  \begin{pmatrix}
    1 & 1 & 0 \!& \vline &\!\ 0 \\
    0 & 1 & 0 \!& \vline &\! -{1 \over 2} \\
    0 & 0 & 1 \!& \vline &\!\ 0
  \end{pmatrix}


* К строке 1 добавим: −1 × Строку 2.

: 
  \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0 \!& \vline &\!\ {1 \over 2} \\
    0 & 1 & 0 \!& \vline &\! -{1 \over 2} \\
    0 & 0 & 1 \!& \vline &\!\ 0
  \end{pmatrix}


В правом столбце получаем решение:
: a = \frac{1}{2} \; ; \ b = -\frac{1}{2} \; ; \ c = 0 .

## سرچینې
* Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. «Schaum’s Outlines: Linear Algebra». Tata McGraw-hill edition. Delhi 2001. pp.&nbsp;69–80.

## باندیني لینکونه
**Примеры реализации алгоритма**:
* Algorithm for Gauss-Jordan elimination in Matlab
* Algorithm for Gauss-Jordan elimination in Python

وېیشنیزه:د خصي معادلو د حلولو طریقې