سپیشل رلیٹیوٹی

فزکس چ سپیشل رلیٹیوٹی (SR، جسنوں  سپیشل تھیوری آف رلیٹیوٹی جاں STR وی کیہا جاندا ہے) خلاء(سپیس) اتے سمیں درمیان سبندھاں نوں درساؤندی سبھ دوارا سویکار کیتی طبعاتی تھیوری  ہے۔ ایہہ دو سوے-سدھ پرماناں اتے اادھارت ہے: (1) کہ بھوتک وگیان دے نیم سارے انرشیئل سسٹماں (ایکسلریٹ نہ ہو رہیاں ریپھرینس فریماں) وچّ ستھر (آئڈینٹیکل) ہندے ہن؛ اتے (2) کہ ویکم (پلاڑ) وچّ پرکاش دی گتی سارے درشکاں لئی اکو جہی رہندی ہے، بھاویں پرکاش دا سوما گتی شیل ہی کیوں نہ ہووے۔ ایہہ سدھانت مول روپ وچّ پرچے “الیکٹروڈائنیمکس آف موونگ باڈیز” (گتی شیل چیزاں دے الیکٹروڈائنامکس اتے) وچّ سنّ 1905 وچّ البرٹ آئینسٹائین دوارا پرستاوت کیتی گئی سی۔۔ الیکٹرومیگنٹزم دیاں میکسویلّ اکئیشناں نال نیوٹونیئن مکینکس دی بیمیلتا اتے کسے  روشنی چھڈن والے ایتھر راہیں گزردی دھرتی دی گتی کھوجن دی نہ-قابلیت نے سپیشل رلیٹیوٹی ولّ پریرنا دتی، جسنے پرکاش دی گتی دے نیڑے دیاں گتیاں والیاں پرستھتیاں نال نبٹن لئی مکینکس نوں سودھیا۔ جویں اجکلّ دا، سپیشل رلیٹیوٹی کسے وی سپیڈ اتے گتی دا سبھ توں زیادہ شدھ ماڈل ہے۔ تاں وی، نیوٹونیئن مکینکس پرکاش دی سپیڈ دے ساپیکھک چھوٹیاں ولوسٹیاں اتے اک لگبھگّ سنکھیپتا دے طور تے اجے وی سہائک ہے (اسدی سرلتا اتے اچّ-شدھتا کارن)۔ 
 
سپیشل رلیٹیوٹی نتیجیاں دے اک وشال دائرے نوں پربھاوت کردی ہے، جہناں نوں پریوگک طور تے ثابت کیتا جا چکا ہے، جہناں وچّ، لینتھ کنٹریکشن (لمبائی سنگھڑنی)، ٹائم ڈلیشن (وقت دا کھچاؤ)، رلیٹوسٹک ماس (ساپیکھک پنج)، ماس-اینرجی اکئیویلینس (پنج-اورجا سمانتا)، اک برہمنڈی سپیڈ حد، اتے سملٹینٹی (اکٹھیاں گھٹناواں) دی رلیٹیوٹی۔ اسنے اک شدھ برہمنڈی وقت دی پرمپراگت دھارنا نوں اجیہے ٹائم دی دھارنا نال بدل دتا ہے جو ریفرینس فریم اتے سپیشیئل (ستھانک) پوزیشن اتے نربھر کردا ہے۔ دو گھٹناواں درمیان اک ستھر وقت عرصے دی جگہ، اک ستھر سپیسٹائیم انترال ہندا ہے۔ بھوتک وگیان دے ہور نیماں نال ملاؤندے ہوئے، سپیشل رلیٹیوٹی دے دو سوے-سدھ پرمان ماس اتے اینرجی دی سمانتا دا انومان لگاؤندے ہن، جویں ماس-اینرجی سمانتا فارمولے E = mc2 وچّ درسایا گیا ہے، جتھے c نوں ویکمّ وچّ پرکاش دی سپیڈ کیہا جاندا ہے۔ 

سپیشل رلیٹیوٹی دا پربھاشت کرن والا لچھن نیوٹونیئن مکینکس دیاں گیلیلیئن تبدیلیاں نوں لورنٹز تبدیلیاں نال بدلنا ہے۔ ٹائم اتے سپیس نوں اک دوجے توں وکھرا پربھاشت نہیں کیتا جا سکدا ہے۔ سگوں سپیس اتے ٹائم، سپیسٹائیم کہے جان والی اک سنگل نرنترتا وچّ اندرونی طور تے پروئے ہندے ہن۔ جو گھٹناواں کسے اک درشک لئی اکو وقت تے واپردیاں ہن، اوہی گھٹناواں کسے ہور درشک لئی وکھرے وکھرے وقت وچّ واپردیاں نظر آ سکدیاں ہن۔ 

تھیوری دا وشیش ہونا اس گلّ کارن ہے کہ ایہہ صرف اوہناں سپیشلا کیساں وچّ ہی لاگوُ کیتی جاندی ہے جتھے گریوٹی کارن سپیسٹائیم دا کرویچر ممولی ہندا ہے۔ گریوٹی نوں شامل کرن لئی، آئینسٹائین نے 1915 وچّ جنرل ریلیٹیوٹی پھارمولابدھّ کیتی۔ (سپیشل رلیٹیوٹی، کجھ پرانے وورناں توں ورودھ، ایکسلریٹ کیتیاں گئیاں ریفرینس فریماں نال نبٹنیوگ ہے)

جویں گیلیلیئن رلیٹیوٹی نوں ہن سپیشل رلیٹیوٹی دی اک سمیپتا دے طور تے لیا جاندا ہے جو کہ گھٹّ سپیڈاں اتے پروانت ہے، اوسے طرحاں سپیشل رلیٹیوٹی نوں جنرل رلیٹیوٹی دی اک نیڑے دی سنکھیپتا دے طور تے لیا جاندا ہے جو کمزور گریویٹیشنل پھیلڈاں لئی پروانت ہے، یانِ کہ، ضرورت جنے چھوٹے پیمانے  اتے ستنتر گراوٹ دیاں شرطاں وچّ پروانت ہے۔ جتھے جنرل رلیٹیوٹی سپیسٹائیم دے جیؤمیٹرک کرویچر دے روپ وچّ گریویٹیشنل پربھاواں نوں پرستت کرن دے لئی، غیر-یوکلڈن جیؤمیٹری (ریکھاگنت) نال سہویوگ کردی ہے، اتھے سپیشل رلیٹیوٹی منکووسکی سپیس دے نام نال جانی جان والی فلیٹ سپیس تکّ سیمت ہے۔ اک ستھانک طور تے لورینٹز ستھر فریم جو سپیشل رلیٹیوٹی دی پالنا کردی ہووے، کافی سوخم پیمانے اتے پربھاشت کیتی جا سکدی ہے، اتھوں تکّ کہ کروڈ سپیسٹائیم وچّ وی پربھاشت کیتی جا سکدی ہے۔ 

گیلیلیؤ گیلیلی نے پہلاں ہی سوے-سدھ کر دتا سی۔ کہ ریسٹ (کوئی وشیش ادھیکار پراپت ریفرینس فریم نہیں) دی شدھ اتے چنگی طرحاں پربھاشت اوستھا نہیں ہندی، اس سدھانت نوں ہن گیلیلیؤ دا ساپیکھتا سدھانت کہندے ہن۔ آئینسٹائین نے اس سدھانت نوں اسطراں ودھایا کہ اسنے پرکاش دی ستھر سپیڈ لئی منگ کیتی، اک اجیہا گھٹناکرم جو تازہ سمیاں وچّ مائیکلسن مورلے پریوگ وچّ دیکھیا گیا ہے۔ اسنے ایہہ وی سدھ کیتا کہ ایہہ بھوتک وگیان دے سارے سدھانتاں دی پالنا کردا ہے، جہناں وچّ مکینکس اتے الیکٹروڈائنامکس دے سدھانت شامل ہن۔   
 

## سوے-سدھ پرمان

چاہے مکینکس جاں الیکٹروڈائنامکس دے ادوں دے گیات سدھانتاں دی صحیح پرمانکتا دے ہندے ہوئے وی، آئینسٹائین نے دو مڈھلے پرستاواں وچّ فرق نوں پہچانیا جو سبھ توں زیادہ بھروسیمند لگدا سی۔ ایہہ پرستاو پرکاش دی سپیڈ دی ستھرتا اتے  انرشیئل سسٹم دی چون توں بھوتکی سدھانتاں (خاص کر کے پرکاش دی سپیڈ دی ستھرتا) دی ستنترتا سن۔ 1905 وچّ سپیشل رلیٹیوٹی بابت اپنی شروعاتی پیش کش وچّ اسنے ایہناں سوے-سدھ پرماناں نوں اسطراں درسایا:

٭ رلیٹیوٹی دا سدھانت – جہناں سدھانتاں راہیں بھوتکی سسٹماں وچّ اوستھاواں تبدیل ہندیاں ہن، اوہ سدھانت بدلدے نہیں ہن، چاہے ایہہ اوستھاواں دیاں تبدیلیاں اک دوجے دے ساپیکھک اکسار بدلدی گتی ادھین گتی شیل دو سسٹماں وچوں اک جاں دوجے ولّ اشارہ کرن۔ 

٭ پرکاش دی ستھر سپیڈ دا سدھانت – “…پرکاش ہمیشاں ہی خالی سپیس وچّ اک نشچت ولوسٹی (سپیڈ) c نال سنچارت ہندا ہے جو پرکاش پیدا کرن والے سومے دی گتی دی اوستھا توں ستنتر ہندی ہے۔” یانِ کہ، پرکاش ویکمّ وچّ سپیڈ c (اک پھکس ستھرانک، جو دشا توں مکت ہندا ہے) نال انرشیئل کو-آرڈینیٹاں (سٹیشنری سسٹم) دے گھٹو گھٹّ اک سسٹم وچّ سنچارت ہندا ہے، جو پرکاش دے سومے دی گتی دی اوستھا  نوں نظر انداز کردا ہے۔ 

سپیشل رلیٹیوٹی دی فارمولا رچنا نہ کیول صرف ایہناں دوویں باہری سوے-سدھ پرماناں تے نربھر کردی ہے، سگوں کئی  انکہیاں مون دھارناواں (جو بھوتک وگیان دیاں لگبھگّ سبھ تھیوریاں وچّ بنیاں سن) تے وی نربھر کردی ہے، جہناں وچّ سپیس دی آئیسوٹروپی اتے ہوموجینیئٹی اتے ناپن والیاں چھڑیاں اتے اوہناں دے بھوتکال اتہاس توں گھڑیاں شامل ہن۔ 

سپیشل رلیٹیوٹی بابت 1905 والی آئینسٹائین دی مول پیش کش نوں اپناؤندے ہوئے، سوے-سدھ پرماناں دے کئی وکھرے سیٹ  وی بہت ساریاں بدلویاں رچناواں اندر پرستاوت کیتے گئے۔ پھیر وی، آئینسٹائین دوارا اسدے اپنے مول پیپر والا سوے-سدھ پرمان سبھ توں زیادہ سانجھا سیٹ رہا ہے۔ آئینسٹائین دوارا بعد وچّ بیان کیتا گیا سپیشل رلیٹیوٹی سبندھی اک ہور گنتک کتھن، جو اپر نہیں لکھی سرلتا دی دھارنا پیش کردا ہے اوہ ایہہ ہے:

رلیٹیوٹی دا سپیشل پرنسپل : جیکر کوآرڈینیٹ K دا کوئی سسٹم اسطراں چنیا جاندا ہے کہ، اسدے نال سبندھ وچّ، بھوتکی سدھانت اپنی سرلتم قسم وچّ صحیح طرحاں لاگوُ رہندے ہن، تاں اوہی نیم کسے ہور کوآرڈینیٹاں دے سسٹم K’ لئی وی لاگوُ رہنگے، جو K توں اک اکسار تبدیلی ادھین ساپیکھک گتی کر رہا ہندا ہے۔ 

ہینری پوآئنکیئر نے ایہہ ثابت کردے ہوئے رلیٹیووٹی تھیوری لئی گنتک ڈھانچہ مہئیا کروایا کہ “لورینٹز تبدیلیاں” اسدے “سمٹری تبدیلیاں والے پوآینکیئر گروپ” دیاں اک سبسیٹّ ہندیاں ہن۔  آئینسٹائین نے بعد وچّ ایہناں تبدیلیاں (پرورتناں) نوں اپنے نیماں توں رچیا۔ 

آئینسٹائین دے بہت سارے پیپر ایہناں دوویں سدھانتاں اتے ادھارت لورینٹز پرورتن دی ویونتپتی پیش کردے ہن۔ 

آئینسٹائین نے لورینٹز انویریئنس (سپیشل رلیٹیوٹی دی لازمی کور) دی ویونتپتی نوں ستھرتا نال صرف دو مڈھلے ساپیکھتا سدھانتاں اتے پرکاش دی سپیڈ  دی ستھرتا اتے ادھارت بنایا۔ اسنے لکھیا:

سپیشل رلیٹیوٹی دی تھیوری لئی مڈھلی گہری بدھی ایہہ ہے: رلیٹیوٹی اتے پرکاش دی ستھر سپیڈ دیاں دھارناواں تاں انوکول رہندیاں ہن جیکر گھٹناواں دے “وقتاں” اتے نردیشانکاں دے وٹاندرے (کنورشن) لئی اک نویں قسم دے (لورینٹز ٹرانسپھورمیشن) سبندھاں نوں سدھ کیتا جاندا ہے… رلٹیوٹی دی سپیشل تھیوری دا برہمنڈی سدھانت اس سوے-سدھ وچّ رکھیا ہے: بھوتک وگیان دے سدھانت لورینٹز ٹرانسپھورمیشناں  (کسے اک انرشیئل فریم توں کسے ہور منمرضی نال چنے گئے انرشیئل سسٹم تکّ دا وٹاندرا) پرتِ ستھر رہندے ہن۔ ایہہ قدرتی قنوناں لئی  اک پابندھی لگاؤن والا سدھانت ہے۔    

اسطراں سپیشل رلیٹیوٹی دے بہت سارے اجوکے علاج اسدا ادھار برہمنڈی لورینٹز کوویریئنس دے اکو سوے-سدھ پرمان، جاں اسدے سامان ہی، منکووسکی سپیسٹائیم دے، اکو سوے-سدھ پرمان تے بناؤندے ہن۔ 

پرکاش دی سپیڈ دی ستھرتا نوں لئے وگویر رلیٹیوٹی دے سدھانت توں (یانِ کہ، سپیس دی آئیسوٹروپی اتے سپیشل رلیٹیوٹی دے سدھانت راہیں پربھاشت سمٹری ورتدے ہوئے) دکھایا جا سکدا ہے کہ انرشیئل فریماں درمیان سپیسٹائیم پرورتن یونکلڈن، گیلیلیئن ہندے ہن جاں لورینٹزیئن وچوں کوئی وی ہندے ہن۔ لورینٹزیئن کیس وچّ، تلناتمک انترال والیاں گلابانتاں پراپت کیتیاں جا سکدیاں ہن اتے اک نشچت سیمت سپیڈ دی حد پراپت کیتی جا سکدی ہے۔ پریوگ سجھاؤندے ہن کہ ایہہ سپیڈ ویکمّ وچّ پرکاش دی سپیڈ ہندی ہے۔ 

پرکاش دی سپیڈ دی ستھرتا میکسویلّ دی الیکٹرومیگنٹزم تھیوری توں پریرت ہوئی سی۔ اتے چمکدار ایتھر لئی ثبوتاں دی کمی رہی۔ مائیکلسن مورلے پریوگ دے نتیجے نہ نکلن دوارا آئینسٹائین کنی کو دیر پربھاوت رہا، اس گلّ دے پرسپر ورودھی ثبوت ہن۔ پھیر وی، مائیکلسن مورلے ایکسپیریمینٹ دے  زیرو نتیجے نے پرکاش دی سپیڈ دی ستھرتا نوں وشال پدھر تے پھیلاؤن اتے تیزی نال سویکارن وچّ مدد کیتی ۔

## سپیسٹائیم دا ریکھاگنت
### منکووسکی سپیس

گنتک بھوتک وگیان وچّ، منکووسکی سپیس  جاں منکووسکی سپیسٹائیم، یوکلڈن سپیس اتے ٹائم دا اک 4-ایامی مینیپھولڈ (بہپرت) وچّ میل ہے جتھے کسے وی دو گھٹناواں درمیان سپیسٹائیم انترال (انٹرول) اوس انرشیئل فریم (ڈھانچے) توں ستنتر رہندا ہے جس وچّ اس نوں ریکارڈ کیتا جاندا ہے۔ بے شکّ شروعات وچّ منکووسکی سپیسٹائیم دی گنتک بنتر، الیکٹرومیگنٹزم دیاں میکسویلّ اکئیشناں لئی گنتشاستری حرمن منکووسکی دوارا وکست کیتی گئی سی، پھیر وی اس نوں سپیشل رلیٹیوٹی (وشیش ساپیکھتا)دے سدھ پرمان دے ترنت نتیجے دے روپ وچّ دکھایا گیا سی۔ 
  
منکووسکی سپیس آئینسٹائین دی سپیشل رلیٹیوٹی (وشیش ساپیکھتا) دی تھیوری نال نزدیک طور تے جڑی ہے، اتے ایہہ اوہ سبھ توں زیادہ سانجھی گنتک بنتر ہے جس اتے سپیشل رلیٹیوٹی (وشیش ساپیکھتا) دے فارمولیاں دا سوتریکرن کرن کیتا گیا ہے۔ جدونکھ یوکلڈن سپیس اتے ٹائم دے ویکتی گت کمپونینٹ لمبائی سنگڑن پرکریا (لینتھ کنٹریکشن) اتے ٹائم وچّ دیری (ٹائم ڈلیشن) کارن اکثر فرق رکھنگے، منکووسکی سپیس وچّ، ساریاں ریپھرینس فریماں گھٹناواں درمیان سپیسٹائیم وچّ کلّ دوری اتے سہمت ہندیاں ہن۔ کیونکہ ایہہ وقت نوں تنّ ستھانک ایاماں نالوں وکھرے طریقے نال لیندی ہے، اسلئی منکووسکی سپیس چار-ایامی یوکلڈن سپیس توں وکھری ہندی ہے۔ 

آئیسومیٹری گروپ، جو کہ نیمت اندرونی گننپھل نال بھرپور اک یوکلڈن سپیس دے یوکلڈن ڈسٹینساں (وتھاں) نوں سرکھات کردا ہے، یوکلڈن گروپ کیہا جاندا ہے۔ منکووسکی سپیس لئی برابر دا آئسیمیٹری گروپ جو غیر-پوزیٹو نشچت دو-ریکھک (بائلینیئر) اکار (اتھے اسنوں منکووسکی انر پروڈکٹ کیہا جاندا ہے) سمیت سپیسٹائیم دے انترالاں نوں سرکھئت کردا ہے، پوآئنکیئر گروپ کیہا جاندا ہے۔ منکووسکی اندرونی گننپھل (انر پروڈکٹ) دو گھٹناواں درمیان سپیسٹائیم انترال پیدا کرن دے روپ وچّ پربھاشت کیتا جاندا ہے جدوں اوہناں گھٹناواں دے نردیشانک انتر ویکٹر ترک دے طور تے دتے گئے ہون۔ 

#### منکووسکی سپیس دا اتہاس

##### چار-ایامی یوکلڈن سپیسٹائیم

1905 وچّ، 1906 والی پبلیکیشن دے نال، ہینری پوآئنکیئر نے دکھایا کہ ٹائم نوں اک کالپنک چوتھے سپیسٹائیم نردیشانک (√−1 c t) دے طور تے لے کے، اک لورنٹز ٹرانسپھورمیشن (پرورتن) نوں، تنّ واستوک نردیشانکاں راہیں پرستت کیتی جا رہی سپیس اتے چوتھے ایام دے طور تے ٹائم نوں پرستت کر رہا اک کالپنک نردیشانک، یکت اک چار-ایامی یوکلڈن سپیس وچّ نردیشانکاں دی اک روٹیشن (چکر) کیہا جا سکدا ہے۔ کیونکہ پھیر سپیس اک سوڈو-یوکلڈن سپیس ہندی ہے، اسلئی روٹیشن اک ہائیپربولک روٹیشن دی پرستتی ہندی ہے، بے شکّ پوآئنکیئر نے ایہہ ویاکھیا نہیں دتی سی، اسدا مقصد جانی پچھانی یوکلڈن روٹیشن دے شبداں وچّ صرف لورنٹز پرورتن نوں کھل کے سمجھاؤنا ہی سی۔ 

اس وچار دا حرمن منکووسکی دوارا وستھار کیتا گیا، جسنے چار ایاماں وچّ لورنٹز پرورتن ادھین اوہناں دے انویریئنس سدھے دکھاؤندے ہوئے میکسویلّ دیاں سمیکرناں نوں پنرکتھن کرن لئی اسدی ورتو کیتی۔  اسنے ہور اگے آئینسٹائین دی سپیشل رلیٹیوٹی (وشیش ساپیکھتا) دی اس وقت دی تازہ تھیوری نوں چار ایاماں وچّ پنر سوتربدھّ کیتا۔ استوں اسنے ایہہ نتیجہ کڈھیا کہ ٹائم اتے سپیس نوں برابر ہی لینا چاہیدا ہے، اتے اسطراں اسنے اک ایکیکرت چار-ایامی سپیسٹائیم نرنترتا وچّ ہو رہیاں گھٹناواں دے اپنے سنکلپ  نوں اچا چکیا۔ 

##### منکووسکی سپیس

ہور اگے کسے وکاس لئی، اسنے اس وچار دے بدلے ہوئے روپ دے فارمولا سوتریکرن دتے جہناں وچّ اک کالپنک دی جگہ واستوک وقت والے نردیشانک ورتے گئے سن جو اک چار-ایامی اپھائین (سمانتر سبندھ سرکھات رکھن دی آگیا دین والی) سپیس وچّ چار سپیس تے ٹائم دے استھرانکاں (x، y، z، t) نوں پرستت کردے سن۔ اس سپیس وچّ بندو سپیسٹائیم وچّ گھٹناواں نال سبندھت ہندے ہن۔ اس سپیس وچّ، ہریک بندو (اپر چتر دیکھو) نال اک نشچت لائیٹ-کون جڑی ہندی ہے، اتے لائیٹ-کون اتے نہ ہون والیاں گھٹناواں نوں سپیسلائیک جاں ٹائیملائیک دے طور تے دھریاں نال اوہناں دے سبندھاں راہیں شرینیبدھّ کیتا جاندا ہے۔ سپیسٹائیم دا مکھ طور تے ایہی درشٹیکون اجکلّ چل رہا ہے، بھاویں کالپنک وقت والے پرانے درشٹیکون نے وی سپیشل رلیٹیوٹی (وشیش ساپیکھتا) نوں پربھاوت کیتا ہے۔ منکووسکی، جو اپنے دوارا بنائی گئی تھیوری دی مول پنربیانباجی بارے جاندا سی، نے کیہا،  

**سپیس اتے ٹائم دے درشٹیکون جو میں تہاڈے اگے رکھنا چاہندا ہاں پریوگک بھوتک وگیان دی دھرتی توں ابھرے ہن، اسلئی ایہناں وچّ شکتی ہے۔ ایہہ قدرتی طور تے مڈھلے درشٹیکون ہن۔ اسلئی سپیس اپنے آپ وچّ، ٹائم اپنے آپ وچّ، صرف پرچھاویاں وچّ لپت ہون لئی دوشی پائے گئے ہن، اتے صرف ایہناں دوہاں دا میل ہی اک ستنتر واستوکتا نوں سرکھئت کریگا ۔** 
***---حرمن منکووسکی، 1907***

#### گنتک بنتر

اک نریکھن وشلیشن لئی، منکووسکی سپیس اک 4-ڈائمینشنل واستوک ویکٹر سپیس ہندی ہے جس وچّ سپیسٹائیم وچّ ہریک بندو اتے سپرش سپیس اتے اک سہیسلامت (نونڈجنریٹ)، سمروپ دو-ریکھک (سمٹرک بائلینیئر) اکار ہندا ہے، اتھے جسنوں صرف (−،+،+،+) جاں (+،−،−،−) ہستاکھر والا منکووسکی اندرونی گننپھل کیہا گیا ہے۔ ابھیاس وچّ، سپرش سپیساں نال واسطہ رکھن دی ضرورت نہیں پیندی۔ منکووسکی سپیس دی ویکٹر سپیس فطرت، خود منکووسکی سپیس اندر ویکٹراں (بندوآں، گھٹناواں) والے بندوآں (گھٹناواں) اتے سپرش سپیساں وچّ ویکٹراں دی کانونیکل پچھان کرن دی آگیا دندی ہے۔ کجھ مقصداں لئی اک بندو p اتے ڈسپلیسمینٹ ویکٹر نال سپرش ویکٹراں دی پچھان کرن دی اچھا رہندی ہے، جو کہ، بے شکّ، اسے کانونیکل پچھان راہیں سویکار یوگ ہندا ہے۔ 

سگنیچر اوس چنہ ولّ اشارہ کردا ہے جو منکووسکی اندرونی گننپھل پیدا کردا ہے جدوں ترک تے طور تے ادھار ویکٹراں دے روپ وچّ سپیس اتے ٹائم دتے ہوئے ہون۔ عامَ طور تے، گنت شاستری اتے جنرل رلیٹیوٹی وشیشک (−،+،+،+) سگنیچر نوں ترجیح دندے ہن جدونکھ بھوتک وگیانی (+،−،−،−) سگنیچر نوں پسند کردے ہن۔ پہلے طریقے دے سگنیچر (شدھ سپیس ویکٹر پوزیٹو “نورم-سکئیرڈ” سرجدے ہن) لئی ترک غیر-ساپیکھک حد c → ∞ نال سبندھت یوکلڈن کیس توں نرنترتا شامل کردے ہن۔ بعد والے سگنیچر (شدھ سپیس ویکٹر نیگٹو “نورم-سکئیرڈ” سرجدے ہن) لئی ترکاں وچّ بھوتک وگیان وچّ ہور طریقیاں نال سرو-ویاپک گھٹاؤ دے چناں دا مکّ جانا شامل ہے۔ 

سپیسٹائیم وچّ ہریک بندو اتے اس بائلینیئر (دو-ریکھک) اکار نال گنتک طور تے اک (0،2) قسم والا ٹینسر جڑیا ہندا ہے، جسنوں منکووسکی میٹرک کہندے ہن۔ منکووسکی میٹرک، بائلینیئر اکار، اتے منکووسکی انر پروڈکٹ اصل وچّ اکو چیز ہندے ہن۔ نردیشانکاں وچّ، ایہہ 4�4 میٹرکس ہندا ہے جو بائِلینیئر اکار نوں پرستت کردا ہے۔ اس گلّ نوں دھیان وچّ رکھدے ہوئے اگے پڑنا سودھاجنک ہو سکدا ہے۔ 

جنرل رلیٹیوٹی وچّ، تلناتمک طور تے، اک لورنٹزیئن مینیپھولڈ L، میٹرک ٹینسر g یکت دی طرحاں ہندا ہے، جو L دے ہریک بندو p اتے سپرش سپیس  اتے اک صحیح سلامت سمروپ دو-ریکھک (نونڈجنریٹ سمٹرک بائلینیئر) اکار ہندا ہے۔ نردیشانکاں وچّ، اسنوں “سپیسٹائیم پوزیشن تے نربھر کردے ہوئے” اک  4�4 میٹرکس راہیں درسایا جا سکدا ہے۔ منکووسکی سپیس اسطراں لورنٹز مینیپھولڈ دا اک تلناتمک طور تے سرل وشیش کیس ہے۔ اسدا میٹرک ٹینسر، جسنوں منکووسکی میٹرک کیہا جاندا ہے، نردیشانکاں وچّ M دے ہریک بندو اتے اوہی سمروپ میٹرکس ہندا ہے، اتے اسدے ترکاں نوں خود سپیسٹائیم وچّ ویکٹراں دے طور تے لیا جا سکدا ہے۔  

ہور شبداولی نال جان پچھان کرواؤندے ہوئے (پر ہور بنتر نال نہیں)، منکووسکی سپیس اسطراں اک سوڈو-یوکلڈن سپیس ہندی ہے جسدیاں کلّ ڈائمینشناں  n=4 ہندیاں ہن اتے سگنیچر (3، 1) جاں (1، 3) ہندے ہن۔ منکووسکی سپیس دے تتاں (ایلیمینٹاں) نوں اوینٹس (گھٹناواں) کیہا جاندا ہے۔ منکووسکی سپیس نوں چنے ہوئے سگنیچر تے زور دندے ہوئے اکثر  جاں  لکھیا جاندا ہے، جاں صرف M لکھیا جاندا ہے۔ ایہہ شاید سوڈو-ریمانیئن مینیپھولڈ دی سرلتم اداہرن ہے۔ 

##### سوڈو-یوکلڈن میٹرک سرو سدھارن نیم

منکووسکی میٹرک η منکووسکی سپیس دا میٹرک ٹینسر ہے۔ ایہہ اک سوڈو-یکلڈن میٹرک ہے۔ اسطراں ایہہ اک نونڈیجنریٹ سمروپ دو-ریکھک اکار ہندا ہے، اتے اک  (0،2) قسم دا ٹینسر ہندا ہے۔ ایہہ دو ترک سویکار کردا ہے؛   جو  وچّ ویکٹر ہن، اتے  M وچّ بندو p اتے سپرش سپیس ہے۔ خود M نال  دی اپر دسی کانونیکل پچھان کارن، ایہہ M وچّ دوہے u، v ترکاں نوں سویکار کردا ہے۔  

سنکلپک پرمپرا دے طور تے، M وچّ ویکٹراں v  نوں 4-ویکٹر کیہا جاندا ہے، جو بغیر نوکاں والے سنس سیرپھ اٹالک اکھراں وچّ لکھے جاندے ہن، نہ کہ یوکلڈن سیٹنگ مطابق بولڈپھیس v دی طرحاں۔ بعد والا چنہ عامَ طور تے اک 4-ویکٹر دے 3-ویکٹر حصے لئی راکھواں رکھیا جاندا ہے۔  

پریبھاشا

:u \cdot v =\eta(u، v)

M اتے اندرونی گننپھل وانگ بنتر پیدا کردی ہے، جسنوں منکووسکی انر پروڈکٹ کیہا جاندا ہے جو یوکلڈن انر پروڈکٹ وانگ ہے، پر ایہہ وکھرے ریکھاگنت نوں درساؤندا ہے۔ اسدیاں ایہہ وشیشتاواں ہن،

٭\eta(au + v، w) = a\eta(u، w) + \eta(v،  w)، \quad \forall  u، v \in M، \forall a \in \mathbb R \qquad \text{(linearity in first slot)}
٭\eta( u،  v) = \eta( v،  u) \qquad \text{(symmetry)}
٭\eta( u،  v) = 0 \quad \forall v \in M \Rightarrow u = 0 \qquad \text{(non-degeneracy)}
 
پہلیاں دو شرطاں بائلینیئرٹی (دو-ریکھکتا) درساؤندیاں ہن۔ اک متھّ-اندرونی گننپھل اتے اک اندرونی گننپھل درمیان پربھاشت کیتا جا رہا انتر ایہہ ہے کہ پہلا گننپھل نشچت طور تے پوزیٹو ہونا ضروری نہیں ہے، یانِ کہ η(u، u) \pm\left[c^2(t_1 - t_2)^2 - (x_1 - x_2)^2 - (y_1 - y_2)^2 - (z_1 - z_2)^2\right]،

چنی گئی انرشیئل فریم توں ستنتر ہندا ہے۔ پھیکٹر � دا سرلارتھ ایہہ ہے کہ سگنیچر دی چون کھلی چھڈّ دتی گئی ہے۔ η دا سنکھئک ملّ، منکووسکی اندرونی گننپھل نوں پرستت کر رہے اک میٹرکس دے طور تے دیکھدے ہوئے، بائِلینیئر اکار دی تھیوری توں پتہ چلدا ہے۔ 

کیونکہ ساہت (لٹریچر) وچّ میٹرک دے سگنیچر وکھرے وکھرے پربھاشت کیتے گئے ہن، ایہہ ماترا ستھرتا نال نامبدھّ نہیں کیتی جاندی۔ انترال (جویں اتھے پربھاشت کیتا گیا ہے) کدے کدے انٹرول سکئیرڈ ولّ اشارہ کردا ہے۔ بھاویں موجودہ انٹرول دا ورگ مول (سکئیئر روٹ) ملدا ہے۔ جدوں سگنیچر اتے انٹرول پھکس کر لئے جاندے ہن، اسپشٹتا اجے وی بنی رہندی ہے کہ وقت دا نردیشانک کہڑا ہے۔ ایہہ چوتھا ہو سکدا ہے، ایہہ پہلا (زیرو والا) ہو سکدا ہے۔  ایہہ سنکلپ استھرتاواں دی کوئی وستھار پوروک سوچی نہیں ہے۔ ایہہ زندگی دی اک سچائی ہے کہ جدوں رلیٹیوٹی لٹریچر دی صلاحَ لین لگے پربھاشاواں نوں جانچ لینا پہلی چیز ہندی ہے۔ 

انرشیئل فریماں درمیان کو-آرڈینیٹ ٹرانسپھورمیشناں (نردیشانک پرورتناں) ادھین انٹرول (انترال) دی انویریئنس (ستھرتا) اس ہیٹھاں لکھی ماترا (کسے وی چنہ � لئی رکھواں) دے انویریئنس توں پتہ چلدی ہے، بشرطے پرورتن لینیئر (ریکھک) ہووے ؛ 

:\pm\left[c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2\right] 

اس کواڈریٹک اکار (ورگاکار) نوں  پولرائیزیشن آئڈینٹٹی (دھروی-پہچان) راہیں ہیٹھاں لکھیا بائلینیئر اکار پربھاشت کرن لئی ورتیا جا سکدا ہے؛

: u \cdot  v = \pm\left[c^2t_1t_2 - x_1x_2 - y_1y_2 - z_1z_2\right]. 

اس بائلینیئر اکار نوں بدلے وچّ اس طرحاں لکھیا جا سکدا ہے؛

: u \cdot  v =  u^{\mathrm T}[\eta] v، 

جتھے  [η]  اک  4�4 میٹرکس ہندا ہے جو η نال جڑیا ہندا ہے۔ سنبھوَ طور تے غلط فہمی بھرے انداز وچّ، [η] نوں صرف η نال لکھ دینا رواج جیہا ہو گیا ہے۔ میٹرکس سپشٹ بائلینیئر اکار توں اس طرحاں پڑیا جاندا ہے؛

:\eta = \pm \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}،

اتے بائلینیئر اکار نوں اسطراں پڑیا جاندا ہے جس دے نال ایہہ سیکشن اسدی موجودگی نوں مندے ہوئے شروع کیتا گیا سی۔، جو ہن پچھانیا گیا ہے؛

:u \cdot v =\eta(u، v)، 

نشچتتا اتے سنکھیپ پرستتی لئی، سگنیچر (−،+،+،+) نوں ہن اپنا لیا گیا ہے۔ چون دا کوئی بھوتکی ارتھ نہیں ہے۔ دوجی چون والے سگنیچر نال، سگنیچر دی اک چون والا بائلینیئر اکار سرکھات کردا سمٹری گروپ آئیسومرپھک ہندا ہے۔  اسدا ارتھ ہے کہ دوویں چوناں رلیٹیوٹی دے سوے-سدھ پرماناں نال سہمتی مطابق ہی رہندیاں ہن ۔

##### سٹینڈرڈ بیسس

منکووسکی سپیس لئی اک سٹینڈرڈ بیسس چار پرسپر اؤرتھوگنل ویکٹراں   دا اک اجیہا سیٹ ہندا ہے کہ؛

:-\eta(e_0، e_0) = \eta(e_1، e_1) = \eta(e_2، e_2) = \eta(e_3، e_3) = 1 . 

ایہناں شرطاں نوں سنکھیپ روپ وچّ انجھ لکھیا جا سکدا ہے؛

:\eta(e_\mu، e_\nu) = \eta_{\mu \nu}.

سٹینڈرڈ بیسس دے ساپیکھک، کسے ویکٹر v دے کمپونینٹاں نوں  لکھیا جاندا ہے جتھے  لکھن لئی آئینسٹائین دھارنا ورتی جاندی ہے۔ کمپونینٹ نوں v دا ٹائیملائیک کمپونینٹ کیہا جاندا ہے جدونکھ باقی تنّ کمپونینٹاں نوں سپیشیئل کمپونینٹ (ستھانک حصے) کیہا جاندا ہے۔ کسے 4-ویکٹر دے سپیشیئل کمپونینٹاں نوں اک 3-ویکٹر  دے طور تے پچھانیا جا سکدا ہے۔ 

کمپونینٹاں دے شبداں وچّ، دو ویکٹراں v اتے w درمیان منکووسکی انر پروڈکٹ نوں اسطراں پراپت کیتا جاندا ہے؛

:\eta(v، w) = \eta_{\mu \nu} v^\mu w^\nu =  v^0 w_0 + v^1 w_1 + v^2 w_2 + v^3 w_3 = v^\mu w_\mu = v_\mu w^\mu،

اتے

:\eta(v، v) = \eta_{\mu \nu} v^\mu v^\nu =  v^0v_0 + v^1 v_1 + v^2 v_2 + v^3 v_3 = v^\mu v_\mu.

اتھے میٹریک ورتدے ہوئے اک سوچکانک نوں تھلے کیتا گیا ہے۔ تکنیکی طور تے، اک نون-ڈیجنریٹ بائِلینیئر اکار، اک ویکٹر سپیس اتے اسدی دوہری (ڈیول) سپیس درمیان نقشہ مہئیا کرواؤندا ہے، اس سندربھ وچّ، میپ (نقشہ) M دیاں ٹینجینٹ (سپرش) سپیساں اتے کوٹینجینٹ سپیساں درمیان ہندا ہے۔ M اندر کسے بندو اتے، ٹینجینٹ اتے کوٹینجینٹ سپیساں ڈیول ہندیاں ہن۔ جویں اک ترک پھکس کرکے کسے ویکٹر سپیس اتے اک بھروسے یوگ اندرونی گننپھل نوں، ریسز ریپریزینٹیشن تھیورم راہیں، ویکٹر سپیس اتے کسے لینیئر پھنکشنل دے ایکشن دے طور تے لکھیا جا سکدا ہے، اویں ہی منکووسکی سپیس دے منکووسکی اندرونی گننپھل لئی وی ایہی کجھ لاگوُ ہندا ہے۔  

اسطراں جیکر  کسے ٹینجینٹ (سپرش) سپیس وچّ کسے ویکٹر دے کمپونینٹ ہون، تاں   سہسپرش (کوٹینجینٹ، اک لینیئر پھنکشنل) سپیس وچّ کسے ویکٹر دے کمپونینٹ ہونگے۔ M دے اپنے آپ وچّ ویکٹراں نال سپرش سپیساں دے ویکٹراں دی پچھان کارن ایہہ زیادہتر اگنور کر دتا جاندا ہے، اتے تھلے پیراں وچّ لکھے سوچکانکاں (لوئر انڈیسیز) والے ویکٹراں نوں کوویریئنٹ ویکٹر کیہا جاندا ہے۔ بعد والی اس ویاکھیا وچّ، کوویریئنٹ ویکٹراں نوں  (لگبھگّ ہمیشاں ہی الجھاؤ نال) منکووسکی سپیس دی ڈیول سپیس وچّ ویکٹراں (لینیئر پھنکشنلاں) دے طور تے پچھانیا جاندا ہے۔ اپر لکھے جان والے سوچکانکاں (اپر انڈیسیز) والے ویکٹر کونٹرویریئنٹ ویکٹر کہے جاندے ہن۔ اسے انداز وچّ، ٹینجینٹ توں کوٹینجینٹ سپیساں ولّ میپ دا الٹ، جو میٹرکس پرستتی وچّ η دے انورس (1/ η) راہیں پراپت کیتا جاندا ہے، کسے سوچکانک (انڈیکس) نوں اپر چکن نوں پربھاشت کرن لئی ورتیا جا سکدا ہے۔ اس انورس (الٹ) دے کمپونینٹاں (حصیاں) نوں  لکھیا جاندا ہے۔ کسے ویکٹر سپیس اتے اسدی ڈیول سپیس درمیان ایہناں نقشیاں نوں سنگیتک سمانتا راہیں  (پھلیٹ-ایٹا) and (شارپ-ایٹا) لکھیا جا سکدا ہے۔ 

کدے کدے انڈیکس جمناسٹکس (سوچکانک کشمکش) کہی جان والی وقت راہیں پرمانت مضبوطی اتے فارمولا سوتریکرن اپنے آپ وچّ یقینی بنا دندی ہے کہ ویکٹراں نوں آلے دوآلے گھماؤنا اتے کونٹراویریئنٹ توں کوویریئنٹ ویکٹراں وچّ اتے کوویریئنٹ توں کونٹراویریئنٹ ویکٹراں وچّ بدلنا گنتک طور تے سارتھک ہے۔ غلط پرگٹاو چنہ اپنے آپ وچّ پھٹاپھٹ ظاہر ہون لئی مجبور ہو جاندے ہن ۔

#### لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں اتے سمٹری
 

پوآئنکیئر گروپ انترال نوں سرکھات رکھن والے سارے پرورتناں دا گروپ ہے۔ انترال (انٹرول) نوں 4-ایاماں وچّ ٹرانسلیشن گروپ راہیں سرکھات ہندا اسانی نال دیکھیا جا سکدا ہے۔ ہور پرورتن اوہ ہندے ہن جو انترال نوں سرکھات رکھدے ہن اتے ارجن نوں پھکس رکھدے ہن۔ منکووسکی میٹرک نال جڑے بائِلینیئر اکار دے دتے ہون تے، کلاسیکل گروپاں دی تھیوری (خاص کرکے پریبھاشا) توں ڈھکویں گروپ دا پتہ چلدا ہے۔ لنک کیتے آرٹیکل وچّ، میٹرکس  Φ دے نال η (اسدی میٹرکس پرستتی وچّ) نوں پچھاننا چاہیدا ہے۔ 

اس سندربھ وچّ، ڈھکواں گروپ O(3،1) ہے، جسنوں لورنٹز گروپ کیہا جاندا ہے۔ اسدے ایلیمینٹاں نوں (ہوموجینیئس) لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں کیہا جاندا ہے۔ ہور زیادہ بھوتکی موڑ نال ہور طریقے کھوجن لئی دیکھو لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں دیاں ڈیریویشناں۔ 

سرلتم لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں وچوں اک لورنٹز بوسٹ ہے۔ اشارے وجوں، x-دشا وچّ اک بوسٹ اسطراں پراپت کیتی جاندی ہے؛ 
:
\begin{bmatrix}
U'_0 \\ U'_1 \\ U'_2 \\ U'_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&-\beta \gamma&0&0\\
-\beta \gamma&\gamma&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
U_0 \\ U_1 \\ U_2 \\ U_3
\end{bmatrix}، 


جتھے

:\gamma = { 1 \over \sqrt{1 - {v^2 \over c^2}} }

نوں اک لورنٹز پھیکٹر کیہا جاندا ہے، اتے

:\beta = { v \over c} \،. ہندا ہے|
 
ہور لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں شدھ روٹیشنل ہندیاں ہن، اتے اس کرکے O(3،1) دے سبگرپّ SO(3) دے ایلیمینٹ وی۔ اک سدھارن ہوموجینیئس لورنٹز ٹرانسپھورمیشن شدھ بوسٹ اتے شدھ روٹیشن دا گننپھل ہندی ہے۔ اک انہوموجینیئس لورنٹز ٹرانسپھورمیشن سپیس اتے ٹائم وچّ اک بدلاؤ راہیں ہوئی ہوموجینیئس ٹرانسپھورمیشن ہندی ہے۔ وشیش ٹرانسپھورمیشناں (پرورتن) اوہ ہندیاں ہن جو سپیس نردیشانکاں اتے ٹائم نردیشانکاں نوں کرم وار الٹا دندے ہن، جاں دوواں نوں (PT)۔ 

منکووسکی سپیس وچّ سارے دے سارے چارے ویکٹر لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں ادھین اسے فارمولے مطابق بدل جاندے ہن۔ منکووسکی ڈائگرام لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں نوں سمجھاؤندا ہے۔

#### کارناتمک بنتر

 

ویکٹراں  v = (ct، x، y، z) = (ct، r) نوں  دے چنہ مطابق شرینیبدھّ کیتا جاندا ہے۔  اک ویکٹر ٹائیملائیک ہندا ہے جیکر   ہووے،  سپیسلائیک ہندا ہے جیکر ،  اتے نلّ جاں لائیٹلائیک ہندا ہے جیکر  ہووے۔ اسنوں η(v،v) دے چنہ دے شبداں وچّ وی درسایا جا سکدا ہے، پر سگنیچر اتے نربھر کردا ہے۔ کسے وی ویکٹر دی شرینی ساریاں ریپھرینس فریماں وچّ اوہی رہیگی، کیونکہ انترال ستھر رہندا ہے۔ 
منکووسکی سپیس دی کسے گھٹنا اتے سارے نلّ ویکٹراں دا سیٹ اوس گھٹنا دی لائیٹکون رچدا ہے۔ اک ٹائیملائیک ویکٹر v دتا ہون تے، اس نال جڑی ستھر ولوسٹی دی اک ورلڈلائین (سنسار ریکھا) ہندی ہے، جسنوں منکووسکی ڈائگرام وچّ اک سدھی ریکھا نال پرستت کیتا گیا ہے۔ 

اک وار وقت دی دشا چن لئی جان تے، ٹائیملائیک اتے نلّ ویکٹراں نوں ہور اگے کئی شرینیاں وچّ وبھاجت کیتا (ونڈیا) جا سکدا ہے۔ ٹائیملائیک ویکٹراں لئی ایہہ ہندا ہے؛

٭ بھوکھ-دشا وچّ ٹائیملائیک ویکٹر ہندے ہن جہناں دا پہلا کمپونینٹ پوزیٹو ہندا ہے (ویکٹر دا اگلا پاسہ تصویر وچّ شدھ بھوکھ دی دشا وچّ ہندا ہے) اتے 
٭ بھوتکال-دشا وچّ ٹائیملائیک ویکٹر ہندے ہن جہناں دا پہلا کمپونینٹ نیگیٹو ہندا ہے (شدھ بھوتکال)

نلّ ویکٹر تنّ شرینیاں وچّ فٹّ ہندے ہن؛

٭ زیرو ویکٹر، جسدے کمپونینٹ کسے وی بیسس وچّ (0،0،0،0) (ارجن) ہندے ہن 
٭ بھوکھ-دشا وچّ نلّ ویکٹر جہناں دا پہلا کمپونینٹ پوزیٹو ہندا ہے (اپرلی لائیٹکون)، اتے 
٭ بھوتکال-دشا  نلّ ویکٹر جہناں دا پہلا کمپونینٹ نیگیٹو ہندا ہے۔ (تھلے والی لائیٹکون)۔ 

سپیسلائیک ویکٹر ہور کتے ہندے ہن۔ شبداولی اس تتھّ توں اپجدی ہے کہ سپیسلائیک وکھریاں ہوئیاں گھٹناواں پرکاش توں تیز یاترا دی منگ کرن والے ویکٹراں نال جڑیاں ہندیاں ہن، اتے اسلئی اک دوجی نوں پربھاوت نہیں کر سکدیاں۔ سپیسلائیک اتے ٹائیملائیک دوویں اکٹھے ویکٹر کلّ 7 شرینیاں رکھدے ہن۔ 

منکووسکی سپیس لئی اک اؤرتھونورمل بیسس لازمی طور تے اک ٹائیملائیک اتے تنّ سپیسلائیک یونٹ ویکٹراں نال بنیا ہندا ہے۔ جیکر کوئی غیر-اؤرتھونورمل بیسساں نال کم کرنا چاہندا ہووے تاں ویکٹراں دے ہور میل رکھنے سنبھوَ ہن۔ اداہرن دے طور تے، اک نلّ بیسس کیہا جان والا سارے دے سارے نلّ ویکٹراں نال بنیا اک (نون-اؤرتھونورمل) بیسس اسانی نال رچیا جا سکدا ہے۔ واستوکاں اپر، جیکر دو نلّ ویکٹر اؤرتھوگنل ہون (زیرو منکووسکی ٹینسر ملّ والے)، تاں اوہ ضرور ہی انپاتک ہونے چاہیدے ہن۔ پھیر وی، کمپلیکس نمبراں نوں آگیا دین تے، اک نلّ ٹیٹراڈ پراپت کیتا جا سکدا ہے، جو نلّ ویکٹراں نال بنیا بیسس ہندا ہے، جہناں وچوں کجھ ویکٹر آپس وچّ اؤرتھوگنل ہندے ہن۔  

ویکٹر پھیلڈاں نوں ٹائیملائیک، سپیسلائیک جاں نلّ کیہا جاندا ہے جیکر سبندھت ہریک اوس بندو اتے ویکٹر ٹائیملائیک، سپیسلائیک جاں نلّ ہون جتھے پھیلڈ نوں پربھاشت کیتا جاندا ہے۔  

##### کالکرم انوسار اتے کارنتامک سبندھ

منّ لؤ x، y ∈ M ہون۔  اسیں کہہ سکدے ہاں؛

# x کالکرم انوسار (کرونوجیکلی) y توں اگے ہندا ہے جیکر  y – x بھوکھ-دشا والی ٹائیملائیک ہووے۔ اس سبندھ دی ٹرانزیٹو وشیشتا ہندی ہے اتے اسلئی اسنوں  x  \left\| v+w \right\| \ge \left\| v \right\| + \left\| w \right\| .

#### ہور فارمولا سوتریکرناں نال سبندھ
##### ایاماں دی وکھری گنتی

سختی نال کہندے ہوئے، منکووسکی سپیس چار ایاماں وچّ اک گنتک فارمولا سوتریکرن ولّ اشارہ کردی ہے۔ پھیر وی، ایاماں دی کسے وی گنتی والی **“منکووسکی سپیس”** دے سامان اک رچنا لئی گنت نوں ودھایا جاں سرل کیتا جا سکدا ہے۔ جیکر n ≥ 2 ہووے تاں n-ایامی منکووسکی سپیس n واستو ایام دی اک ویکٹر سپیس ہندی ہے جس اتے سگنیچر (n − 1، 1) جاں (1، n − 1) دا اک ستھر لورنٹز میٹرک ہندا ہے۔ ایہہ سرو سدھارن کرن تھیوریاں وچّ ورتے جاندے ہن جتھے سپیسٹائیم نوں 4-ایاماں توں زیادہ جاں گھٹّ ایاماں والا سپیسٹائیم ہونا منیا جاندا ہے۔ سٹرنگ تھیوری اتے M-تھیوری اجہیاں دو اداہرناں ہن جتھے n > 4 ہندا ہے۔ سٹرنگ تھیوری وچّ، کنپھورمل پھیلڈ تھیوریاں 1 + 1 سپیسٹائیم ایاماں نال دسدیاں ہن۔ 

##### پدھری بنام وکرت سپیس

اک فلیٹ سپیس دے طور تے، منکووسکی سپیسٹائیم دے تنّ سپیشیئل (ستھانک) کمپونینٹ (حصے) ہمیشاں پائیتھاگورس تھیورم دی پالنا کردے ہن۔ منکووسکی سپیس سپیشل رلیٹیوٹی (وشیش ساپیکھتا) لئی اک انوکول بیسس ہے، گریویٹیشن مہتتا بغیر سسٹماں وچّ سیمت دوری اتے بھوتکی سسٹماں دا اک ونگا وورن ہے۔ پھیر وی، گریوٹی نوں دھیان وچّ رکھن لئی، بھوتک وگیانی جنرل رلیٹیوٹی دی تھیوری ورتدے ہن، جو غیر-یکلڈن جیؤمیٹری (ریکھاگنت) دے گنت نال سوتربدھّ کیتی گئی ہے۔ جدوں اس جیؤمیٹری (ریکھاگنت) نوں بھوتکی سپیس دے ماڈل وجوں ورتیا جاندا ہے، تاں اسنوں کروڈ (وکرت) سپیس کیہا جاندا ہے۔  

کروڈ سپیس وچّ وی، منکووسکی سپیس اجے وی کسے بندو (گریویٹیشنل سنگلرٹیاں توں بناں) دوآلے اک اتسوکھم کھیتر (انپھنٹیسیمل رجن) وچّ اک چنگا وورن ہے۔ ہور سنکھیپ کہندے ہوئے، اسیں کہندے ہاں کہ گریوٹی سپیسٹائیم دی موجودگی اک 4-ایامی وکرت مینیپھولڈ راہیں درسائی جاندی ہے جسدے لئی کسے بندو پرتِ ٹینجینٹ (سپرش) سپیس اک چار-ایامی منکووسکی سپیس ہندی ہے۔ اسطراں، منکووسکی سپیس دی بنتر اجے وی جنرل رلیٹیوٹی دے وورن وچّ  ضروری ہو جاندی ہے۔

## حوالے

گٹھ:فزکس
 گٹھ:سائنس