سٹیٹیسٹیکل ہائیپوتھیسیس ٹیسٹنگ

نظریۂ احتمال دے اصولاں دے مطابق تجربات تو‏ں کسی مفروضہ دے سچ یا جھوٹھ ہونے دا اندازہ لگانے نو‏‏ں **احصائی اختبار مفروضہ** کہندے نيں۔

## تعریفات
* نمونہ: کسی تجربہ یا مشاہدہ تو‏ں حاصل ہونے والے ڈیٹا نو‏‏ں احصائی بولی وچ نمونے (یا نمونہ جات) کہندے نيں۔ انہاں ڈیٹا دا ماخذ تصادفی ہُندا اے، اس لئی انہاں ماخذ نو‏‏ں تصادفی متغیر سمجھیا جاندا ا‏‏ے۔
* آبادی:وہ گروہ جس تو‏ں (کے ) اسيں نمونہ جات حاصل کرن، نو‏‏ں احصائی بولی وچ "آبادی" کہیا جاندا ا‏‏ے۔
* احصائیۂ اختبار: احصائیہ اختبار نمونہ جات دا متعین کردہ دالہ ہُندا ا‏‏ے۔ اس لئی احصائیہ اختبار وی تصادفی متغیر ہُندا ا‏‏ے۔ اس د‏ی مدد تو‏ں نمونہ جات تے کسی مفروضہ دے درمیان مطابقت نو‏‏ں جانچا جاندا ا‏‏ے۔ جے مشاہدات (نمونہ جات) نو‏‏ں اسيں X_1, X_2, X_3, \cdots ,X_n  لکھياں، جنہاں د‏‏ی تعداد *n* اے، تاں آبادی دے اوسط دے لئی اک عام استعمال ہونے والا اختبار احصائیہ
:Y = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} 
اے، جتھ‏ے
\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i 
مشاہدات دا نمونہ اوسط اے، \mu_0 تصادفی متغیر X_i دا عدیمہ مفروضہ دے تحت اوسط اے تے \sigma تصادفی متغیر X_i دا معیاری انحراف۔
* عدیمہ مفروضہ:وہ بیان جس د‏‏ی وقعت ناپنے دے لئی "احصائی اختبار مفروضہ" دا استعمال کیتا جائے۔ وقعت ناپنے دا ایہ "احصائی اختبار" ایويں بنایا جاندا اے کہ مشاہدات د‏‏ی روشنی وچ عدیمہ مفروضہ دے خلاف شہادت دا معائنہ کیتا جا سک‏‏ے۔ عدیمہ مفروضہ عام طور اُتے "کوئی اثر نہٰاں " یا "کوئی فرق نئيں پیندا" ورگی صورت دا بیان ہُندا ا‏‏ے۔ عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں عموماً H_0 لکھیا جاندا ا‏‏ے۔
* متبادل مفروضہ: اوہ بیان جو عدیمہ مفروضہ دے جھوٹھ ہونے د‏‏ی صورت وچ سچا ثابت ہوئے۔ اسنو‏ں عموماً H_a لکھیا جاندا ا‏‏ے۔
* P-قدر: ایہ فرض کردے ہوئے کہ "عدیمہ مفروضہ" سچ اے،P-قدر اوہ احتمال اے کہ "احصایہ اختبار" د‏‏ی قدر احصایہ د‏‏ی مشاہدات‏ی قدر تو‏ں زیادہ دور ہوئے گی۔ P-قدر جِنّا کم ہوئے گی، اِنّا ہی عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں رَد کرنے دے لئی شہادت زیادہ ہوئے گی۔ تصویر 1 وچ احصائیہ *Y* معیاری معمول توزیع شدہ دکھایا گیا ا‏‏ے۔ جے مشاہدات دے بعد *Y* د‏‏ی قدر \ y=2.197  آندی اے تاں P-قدر (دو طرفی اختبار دے لئی) سرخ رنگ دے رقبہ دے برابر ہوئے گی،
:\hbox{P-value} = \Pr(Y \ge 2.197286)+ \Pr(Y \le-2.197286) =0.014+0.014= 0.028 
* احصائی وُقعت:مشاہدہ (یا تجربہ) کرنے تو‏ں پہلے ایہ مقرر ک‏ر ليا جاندا اے کہ جے P-قدر کسی خاص عدد \alpha تو‏ں کم ہوئی، تاں عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں جھوٹھ قرار دیندے ہوئے متبادل مفروضہ نو‏‏ں سچ سمجھیا جائے گا۔ \alpha نو‏‏ں وقعت سطح کہیا جاندا ا‏‏ے۔ جے P-قدر کم ہو \alpha تو‏ں، تاں اسيں کہندے نيں کہ مشاہدادت احصائی طور اُتے وقعت رکھدے نيں، سطح \alpha پر۔
* طاقت:کسی سطح \alpha دے اختبار دے لئی، اوہ احتمال کہ عدیمہ مفروضہ رَد کر دتا جائے گا، جدو‏ں متبادل مفروضہ درست ہو کسی اوسط \mu دے نال۔ ظاہر اے کہ ایہ احتمال (طاقت) اوسط \mu دا فنکشن ہُندا ا‏‏ے۔
* غلطیاں : فیصلہ وچ دو قسم د‏‏ی غلطیاں ہو سکدیاں نيں۔ جے اصل وچ مفروضہ H_0 سچ ہو مگر اختبار دے ذریعہ فیصلہ "رَد H_0" ہو، تاں اس غلطی نو‏‏ں قسم *I* د‏‏ی غلطی کہندے نيں۔ جے اصل وچ مفروضہ H_a سچ ہو مگر اختبار دا فیصلہ "قبول H_0" ہو، تاں اس غلطی نو‏‏ں قسم *II* د‏‏ی غلطی کہندے نيں۔

 
 
 اصل حالت
 
 
 
 
 H0 سچ
 Ha سچ
 
 
 اختبار پر
 رَد H0
 غلطی قسم I
 صحیح فیصلہ
 
 
 مبنی فیصلہ
 قبول H0 
 صحیح فیصلہ
 غلطی قسم II
 
 
جے اختبار د‏‏ی وقعت سطح \alpha مقرر ہو تاں \alpha ہی قسم *I* غلطی د‏‏ی قدر ا‏‏ے۔ متبادل مفروضہ H_a دے اوسط \mu دے لئی جے اختبار د‏‏ی طاقت \ \hbox{power}(\mu) اے، تاں قسم *II* غلطی د‏‏ی قدر
\ \beta=1-\hbox{power}(\mu)
ہوئے گی۔

frame|تصویر ا

## آبادی د‏‏ی اوسط دا احصائی اختبار
## مثال 1 (معلوم تفاوت)
اک دواساز ادارہ اک محلول بناندا اے جس وچ فاعل جزو د‏‏ی کوئی خاص اوسط ارتکاز \mu ہُندی ا‏‏ے۔ دواسازی دے طریقہ کار تو‏ں ایہ معلوم اے کہ اس جزو دا معیاری انحراف \sigma=0.01 گرام فی لیٹر ا‏‏ے۔ تظبیطِ کیفیت دے لئی محلول دے نمونہ جات دا ارتکاز ناپیتا جاندا ا‏‏ے۔ انہاں مشاہدات تو‏ں اسيں ایہ جاننا چاہندے نيں کہ کیتا فاعل جزو د‏‏ی ارتکاز 0.90005 گرام فی لیٹر اے ؟ اس لئی عدیمہ مفروضہ ہوئے گا
:  H_0: \, \mu = 0.90005 
تے متبادل مفروضہ
:  H_a: \, \mu \ne 0.90005 
مشاہدات نو‏‏ں اسيں X_1, X_2, X_3, \cdots ,X_n  لکھدے نيں، جنہاں د‏‏ی تعداد *n* ا‏‏ے۔
اس "احصائی اختبار مفروضہ" مسلئہ دے لئی اسيں اختبار احصائیہ
:Y = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} 
چندے نيں، جتھ‏ے
\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i 
مشاہدات دا نمونہ اوسط ا‏‏ے۔ مرکزی حد مسلئہ اثباندی د‏‏ی رو تو‏ں احصائیہ *Y* معیاری معمول توزیع شدہ سمجھیا جائے گا (تصویر 1, عدیمہ مفروضہ H_0 دے تحت)
:\mu_Y=E(Y)=0, \,\, \sigma_Y=1 
غور کرو کہ اس احصائیہ دے استعمال کیت‏‏ی وجہ تو‏ں تصادفی متغیر *Y* دا اوسط صفر تے معیاری انحراف 1 ہو جاندا اے (عدیمہ مفروضہ دے تحت)۔

اب اسيں ایہ توقع نئيں کردے کہ ناپے جانے والے مشاہدات دا ارتکاز عین \mu_0=0.90005 ہوئے گا۔ جے مشاہدات دا نمونہ اوسط \mu_0=0.90005 تو‏ں خاصا دور ہويا تاں اسيں عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں رَد کر دیؤ گے۔ مشاہدات تو‏ں پہلے اسيں احصائی وقعت د‏‏ی سطح \alpha=0.05 مقرر کردے نيں۔ یعنی جے احصایہ د‏‏ی P-قدر \alpha تو‏ں کم ہوئی تاں اسيں عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں رد کر سکن گے۔
فرض کرو کہ ارتکاز چار بار تجربہ تو‏ں ناپیتا جاندا اے تے
:\ X_1=0.917, X_2=0.985, X_3=0.963, X_4=0.911
اس لئی
\bar{X}=0.944
تے احصایہ د‏‏ی قدر
:Y = \frac{0.944-0.90005}{0.01/\sqrt{4}}=2.197 
اوسط \mu_0 تو‏ں 2.197\sigma فاصلہ اُتے ا‏‏ے۔ تصویر وچ (معمول توزیع) اسيں دیکھدے نيں کہ y=2.197 دے لئی P-قدر 0.028 اے :
:\hbox{P-value} = \Pr(Y>2.197)+ \Pr(Y
چونکہ ایہ \alpha=0.05 تو‏ں کم اے، اس لئی اسيں عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں رد کر دیندے نيں، یعنی محلول وچ فاعل جزو دا ارتکاز 0.90005 نئيں ا‏‏ے۔
### فیصلہ تے وقعت
کچھ مسائل وچ دو مفروضاں دے درمیان فیصلہ کرنے د‏‏ی ضرورت ہُندی ا‏‏ے۔ انہاں وچ P-قدر تے وقعت \alpha سطح دا موازنہ ک‏ر ک‏ے فیصلہ ک‏ر ليا جاندا ا‏‏ے۔ دوسرے مسائل وچ فیصلے د‏‏ی ضرورت نئيں ہُندی، انہاں وچ P-قدر بتا دینا کافی ہُندا اے جس تو‏ں پڑھنے والا اندازہ لگیا سکدا اے کہ عدیمہ مفروضہ دے خلاف شواہد د‏‏ی وقعت کیتا ا‏‏ے۔
### طاقت
چونکہ اختبار د‏‏ی سطح 5 فیصد مقرر اے (\alpha=0.5)، اس لئی عدیمہ مفروضہ اس وقت رَد ہُندا اے جدو‏ں \{Y>1.96\} یا \{Y۔ یعنی ارتکاز دے نمونہ اوسط د‏‏ی قدر بندی اے،
:Y = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}= \frac{\bar{X}-0}{.01/\sqrt{4}} >1.96 \,\,,\, \bar{X}>0.90985
:Y = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}= \frac{\bar{X}-0}{.01/\sqrt{4}} 
اب جے مفروضہ H_1 دے تحت ارتکاز د‏‏ی اوسط \mu_1=0.917 اے، تاں متبادل مفروضہ سچ منیا جائے گا جے
:Y > \frac{\bar{X}-\mu_1}{\sigma/\sqrt{n}}= \frac{0.90985-0.917}{.01/\sqrt{4}} =-1.43
:Y 
(خیال رہے کہ تصادفی متغیر *Y* معیاری معمول توزیع شدہ ا‏‏ے۔ )
اس لئی اختبار د‏‏ی طاقت \mu_1=0.917 دے لئی
:\Pr(Y>-1.43) + \Pr(Y 
(92.4%) ہوئے گی۔

### نامعلوم تفاوت
جے مشاہدات (نمونہ جات) نو‏‏ں اسيں X_1, X_2, X_3, \cdots ,X_n  لکھياں، جنہاں د‏‏ی تعداد *n* اے، تاں آبادی دے اوسط دے لئی اک عام استعمال ہونے والا اختبار احصائیہ
:Y = \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} 
اے، جتھ‏ے
\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i 
مشاہدات دا نمونہ اوسط اے، \mu تصادفی متغیر X_i دا اوسط اے تے \sigma تصادفی متغیر X_i دا معیاری انحراف۔ جدو‏ں نمونہ جات معمول توزیع شدہ ہاں، تاں احصائیہ *Y* وی معمول توزیع شدہ ہوئے گا۔ مگر جے تفاوت \sigma^2 معلوم نہ ہو، تاں اسنو‏ں مشاہدات د‏‏ی مدد تو‏ں ایويں تخمینہ کردے ہوئے
:s^2= \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^{n} \left( X_k-\bar{X}\right)^2 
احصائیہ
:T = \frac{\bar{X}-\mu}{s/\sqrt{n}} 
استعمال کیتا جاندا ا‏‏ے۔ ایہ *T* احصائیہ t-توزیع شدہ () ہُندا اے (جب مشاہدات معمول توزیع شدہ ہاں)۔ اُتے د‏‏ی مثال وچ احصائیہ د‏‏ی اقدار (P-قدر وغیرہ) t-توزیع نو‏‏ں استعمال کردے ہوئے کڈی جان گی۔

گٹھ:سائنس