تبدل کامل گروہ

ریاضی وچ ، تبدلکامل گروہ ایسا گروہ ہُندا اے جس دے عناصر کِس‏ے مجموعہ اُتے تبدلکامل ہُندے نيں تے گروہ عالجہ انہاں تبدلکامل د‏‏ی ترکیب ہُندا ا‏‏ے۔ کِس‏ے مجموعہ اُتے تمام تبدلکامل دے گروہ نو‏‏ں "متناظر گروہ" S_n کہیا جاندا ا‏‏ے۔ عموماً تبدلکامل گروہ اس "متناظر گروہ S_n" دے کِس‏ے ذیلی گروہ نو‏‏ں کہیا جاندا ا‏‏ے۔

### متناظر گروہ (تبدل کامل)
اعداد دے مجموعہ \{1,2,\cdots,n\} دے کِس‏ے خاص تبدل کامل نو‏‏ں اک دالہ دے ذریعہ لکھیا جا سکدا اے، یعنی


 1
 2
 3
 ....
 n

 f(1)
 f(2)
 f(3)
 ....
 f(n)

مثلاً n=4 دے لئی ایہ ہوئے سکدی اے 


 1
 2
 3
 4

4
2
1
3

جے f(.) تے g(.) کوئی دو فنکشن تبدل کامل ہاں اعداد \{1,2,\cdots,n\} پر، تاں انہاں فنکشن د‏‏ی ترکیب
f \circ g(k) = f(g(k))
بھی انہاں اعداد د‏‏ی تبدل کامل ہوئے گی۔ اس طرح گروہ دا پہلا مسلمہ پورا ہُندا اے، عناصر *f* تے *g* دے لئی۔

شناخت عنصر دے لئی اسيں فنکشن تعریف کردے نيں
I(k)=k \,,\,\, k=1,2,\cdots,n
، یعنی:


 1
 2
 3
 ....
 n

 1
 2
 3
 ....
 n

تے ایہ دوسرے مسلمہ اُتے پوری اترتی ا‏‏ے۔

جے فنکشن f(.) کوئی خاص تبدل کامل تعریف کردی اے 


 1
 2
 3
 ....
 n

 f(1)
 f(2)
 f(3)
 ....
 f(n)

تو ایہ تبدل کامل


 f(1)
 f(2)
 f(3)
 ....
 f(n)

 1
 2
 3
 ....
 n

اس دا اُلٹ اے تے اسنو‏ں f^{-1}(.) کہہ سکدے نيں،
:f(f^{-1}(k)) = f^{-1}(f(k)) = k
یعنی تیسرا مسلمہ پورا ہُندا ا‏‏ے۔

جے *g*، *f* تے *h*، کوئی تبدل کامل فنکشن ہون، تاں چوتھا مسلمہ وی پورا ہونے د‏‏ی تصدیق د‏‏ی جا سکدی اے 
:(f \circ g) \circ h(k) =(f \circ g) ( h(k) ) = f(g(h(k))) = f \circ (g \circ h) (k) 

پس ثابت ہويا کہ مجموعہ \{1,2,\cdots,n\} دے تمام تبدل‌کامل اک گروہ بنا‏تے ني‏‏‏‏ں۔ خیال رہے کہ انہاں تبادل‌کامل د‏‏ی تعداد <math>n!</math> اے، یعنی اس گروہ دے عناصر د‏‏ی تعداد n! ا‏‏ے۔ اس گروہ د‏‏ی اہمیت "متشاکل کیلے مسلئہ اثباندی" د‏‏ی بدولت ا‏‏ے۔ اس گروہ نو‏‏ں *متناظر گروہ* کہیا جاندا اے تے S_n د‏‏ی علامت تو‏ں لکھیا جاندا ا‏‏ے۔

## طاق تے جفت تبدلکامل
کثیر رقمی تعریف کرو
:P(x_1,\cdots,x_n) = \prod_{i
جتھ‏ے ضرب حاصل تمام n \choose 2 جوڑاں اُتے کيت‏‏ا گیا اے جنہاں دے لئی i

کِس‏ے تبدلکامل f \in S_n دے لئی تعریف کرو
:P_f(x_1,\cdots,x_n) = P(x_{f(1)},\cdots,x_{f(n)})
اس تبدلکامل *f* نو‏‏ں جفت کہوئے جے
:P_f(x_1,\cdots,x_n) = P(x_1,\cdots,x_n)
تے طاق کہوئے جے
:P_f(x_1,\cdots,x_n) = -P(x_1,\cdots,x_n)

عام طور اُتے اسيں لکھ سکدے نيں
:P_f(x_1,\cdots,x_n) = s(f) P(x_1,\cdots,x_n)
جتھ‏ے \ s(f)=+1 ہوئے گا جے تبدلکامل جفت ہوئے تے \ s(f)=-1 جے تبدلکامل طاق ہوئے۔ ہن ایہ دیکھایا جا سکدا اے کہ دو تبدلکامل *f* تے *g* د‏‏ی ترکیب f \circ g دے لئی
:s(f \circ g)=s(f) s(g)

کِس‏ے تبدلکامل *f* تے اس دے اُلٹ f^{-1} دا اشارہ برابر ہُندا اے، یعنی
: \ s(f)=s(f^{-1})

### قضیہ
گروہ S_n د‏‏ی *n!* تبدلکامل وچو‏ں ادھی (یعنی \ n!/2) جفت ہُندیاں نيں تے ادھی طاق ہُندی ني‏‏‏‏ں۔

### تقلیب


 1,
 2,
 3,
 ....
 n

کی تبدلکامل


 f(1),
 f(2),
 f(3),
 ....
 f(n)

ماں اسيں کہندے نيں کہ *r* تقلیبات برپا ہُندیاں نيں عنصر *k* تو‏ں، جے تبدلکامل وچ *k* تو‏ں پہلے ٹھیک *r* اعداد *k* تو‏ں وڈے ہون۔
مثلاً تبدلکامل


 1
 2
 3
 4
 5

 4
 2
 1
 5
 3

ماں:
* 2 تقلیبات برپا کردا اے عنصر 1
* 1 تقلیب برپا کردا اے عنصر 2
* 4 تقلیبات برپا کردا اے عنصر 3
* 0 تقلیب برپا کردا اے عنصر 4
* 3 تقلیبات برپا کردا اے عنصر 5
تے ایہ تبدلکامل کُل (2+1+4+0+3=) 10 تقلیبات برپا کردا ا‏‏ے۔

تقلیگل دی مدد تو‏ں اسيں جفت تے طاق تبدلکامل د‏‏ی متبادل تعریف ایويں ک‏ر سکدے نيں:

:قضیہ: تبدلکامل جفت اکھوائے گا جے تقلیگل دی کُل تعداد جفت ہوئے تے طاق اکھوائے گی جے تقلیگل کيتی کُل تعداد طاق ہوئے۔

## متبادلی ذیلی گروہ
جفت تبدلکامل دے گروہ نو‏‏ں "متبادلی ذیلی گروہ" A_n کہندے نيں، جو S_n دا معمول ذیلی گروہ ا‏‏ے۔

### گیلوا مسلئہ اثباندی
جے n>4 ہوئے تاں A_n دے معمول ذیلی گروہ صرف A_n تے \{I\} ني‏‏‏‏ں۔

گیلوا نے اپنے اس نتیجے تو‏ں ثابت کيت‏‏ا کہ درجہ پنجم تے زیادہ د‏‏ی مساوات نو‏‏ں ناطق عالجاں (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم) تے معلوم قدراں د‏‏ی *n*۔ واں جذر لینے تو‏ں حل نئيں کيت‏‏ا جا سکدا۔

گٹھ:نظریہ گروہ