ہومومورفزم

امورت الجبرے وچ، اک **ہومومورفزم** دو الجبرک بنتراں (جویں گروپاں، رنگاں، جاں ویکٹر سپیساں) درمیان اک بنتر-سرکھات کرن والا میپ (نقشہ) ہندا اے۔ شبد “ہومومورفزم” پرانی یونانی بولی توں آیا اے: ὁμός (ہوموز) جسدا مطلب اے “اکو جیہا” اتے μορφή (مورفِ) جسدا مطلب اے “سائز” جاں “قسم” । آئسومورفزمز، آٹومورفزمز، اتے اینڈومورفزمز ہوموفورمزماں دیاں خاص قسماں ہن ۔

## تشریح اتے ریکھانکن
### تشریح

اک ہومومورفزم، دو الجبری بنتراں درمیان چنی ہوئی بنتر نوں سرکھات کردا اے، جس وچ سرکھات رکھی جان والی بنتر ہومومورفزم دے نام توں پتہ چلدی اے۔

ہومومورفزم دیاں خاص پربولیاں وچ ایہہ شامل ہن؛
* اک سیمیگروپ ہومومورفزم اوہ میپ (نقشہ) ہندا اے جو اک ایسوسیئیٹو (معاون) بائنری اوپریٹر سرکھات کردا اے۔
* اک مونوآئڈ ہومومورفزم اوہ سیمیگروپ ہومومورفزم ہندا اے جو پچھان ایلیمینٹاں (عناصر) دا کوڈومین (کسے دتے ہوئے فنکشن دے سارے ممکن ملاں دا سیٹ) دی پچھان تک نقشہ بناؤندا اے۔
* 	اک گروپ ہومومورفزم اوہ ہومومورفزم ہندا اے جو گننفل بنتر نوں سرکھات کردا اے۔ اسنوں گروپاں درمیان اک سیمیگروپ ہومومورفزم دے طور دے وی برابر متاثر کیتا جا سکدا اے۔
* 	اک رنگ ہومومورفزم اوہ ہومومورفزم ہندا اے جو رنگ بنتر (سٹرکچر) نوں سرکھات کردا اے۔ چااے کوآڈینیٹس پچھان جو سرکھات کرنی ہووے ورتو والے رنگ دی تشریح تے ہی انحصار کردی ہووے ۔
* اک لینیئر میپ اوہ ہومومورفزم ہندا اے جو ویکٹر سپیس بنتر نوں سرکھات کردا اے، جسنوں ابیلیئن گروپ بنتر اتے سکیلر معکب کہندے ہن ۔ سکیلر قسم ہور اگے ہومومورفزم خاص طور تے درساؤندی ہون لئی درسائی جانی چاہیدی اے، جویں، ہریک R-لینیئر میپ اک Z-لینیئر میپ ہندا اے، پر ہریک Z-لینیئر میپ R-لینیئر میپ نہیں ہندا ۔
*	اک موڈیول ہومومورفزم اوہ میپ ہندا اے جو موڈیول (ماپ انک جاں ماپانک) بنتر سرکھات کردا اے۔
*	اک الجبرا ہومومورفزم اوہ ہومومورفزم ہندا اے جو الجبرا بنتر سرکھات کردا اے۔
*	اک فنکٹر دو کیٹیگریآں درمیان ہومومورفزم ہندا اے۔ کسے چیز ولوں رکھی جان والی ساری بنتر ہومومورفزم راہیں سرکھات کیتی جانی ضروری نہیں اے۔ اداہرن دے طور تے، دو مونوآئڈاں درمیان اک سیمیگرپّ ہومومورفزم ہو سکدی اے، اتے ایہہ اک مونوآئڈ ہومومورفزم نہیں ہوویگی جیکر ڈومین دی پاچھان دا کوڈومین تک نقشہ نہیں بناؤندی ہوویگی ۔

## قسماں

امورت الجبرے وچ، ہومومورفزم دیاں کئی وشیس قسماں اسطراں متاثر کیتیاں جاندیاں ہن:

*	اک آئسومورفزم اک بائجیکٹو (دوبھاجت) ہومومورفزم ہندی اے۔
*	اک ایپیمورفزم (کدے کدے اسنوں اک کور وی کیہا جاندا اے) اک سرجیکٹو (فنکشن دی تصویر اتے کومڈومین برابر ہندے ہن) ہومومورفزم ہندی اے۔ اسدے سامان ہی f: A → B اک ایپیمورفزم ہوویگی جیکر اسدا اک سجا انورس g ہووےگا : B → A, یانِ کہ، جیکر سارے b ∈ B لئی f(g(b)) = b ہووے۔
*	اک مونومورفزم (کدے کدے اسنوں اک ایمبیڈنگ جاں ایکسٹینشن/شاخاں) وی کیہا جاندا اے) اک انجیکٹو (دخل انداجی کرن والی) ہومومورفزم ہندی اے۔ اسدے سامان ہی، f: A → B اک مونومورفزم ہوویگی جیکر اسدا اک کھبا انورس g ہووےگا : B → A, یانِ کہ سارے a ∈ A لئی g(f(a)) = a ہووے۔
*	اک اینڈومورفزم کسے الجبرک بنتر دی اپنے آپ تک دی ہومومورفزم قسم ہندی اے۔
*	اک آٹومورفزم اک اجیہی اینڈومورفزم ہندی اے جو اک آئسومورفزم وی ہووے، یانِ کہ، کسے الجبرک بنتر دے اپنے آپ تک اک آئسومورفزم ۔
*	سوخم ہومومورفزم یونائٹل میگماواں درمیان اک ستھر میپ ہندا اے جو کوڈومین دے پچھان تتّ تک ہندا اے۔

ایہہ وورن ہور خاصیتاں پتہ کرن لئی ورتے جا سکدے ہن ۔ اداہرن دے طور تے، کیونکہ کوئی فنکشن صرف تے صرف تاں ہی بائجیکٹو ہندا اے جیکر ایہہ انجیکٹو تے سرجیکٹو دوویں خاصیتاں والا ہووے، امورت الجبرے وچ اک ہومومورفزم صرف تے صرف تاں ہی آئسومورفزم ہندی اے جیکر ایہہ مونومورفزم اتے ایپیمورفزم دوویں خاصیتاں والی ہووے ۔ اک آئسومورفزم دا ہمیشاں ہی اک الٹ *f*−1 ہو سکدا اے، جو ہومومورفزم وی ہندا اے۔ جیکر دو الجبری بنتراں درمیان آئسومورفزم ہووے، تاں اوہ پوری طرحاں وکھریاں بنتراں ہندیاں ہن، جتھوں تک بنتر دا سوال ہووے؛ اس معاملے وچ، ایہناں نوں آئسومورفک کیہا جاندا اے۔

گٹھ:ریاضی
گٹھ:فزکس