سپینور

ریکھاگنت اتے فزکس وچّ، سپنور اک (کمپلیکس) ویکٹر سپیس دے تتّ ہندے ہن جو یکلڈن سپیس نال جوڑے جا سکدے ہن ۔ ریکھاگنتک ویکٹراں اتے ہور عامَ ٹینسراں دی طرحاں، یکلڈن سپیس نوں ذرا جنا گھماؤن 'تے سپنور ریکھک طور 'تے پرورتت ہندے ہن ۔ جدوں اجہیاں چھوٹیاں-چھوٹیاں روٹیشناں دی اک لڑی پوری انتم روٹیشن نوں رچن لئی بنائی ( جوڑی) جاندی ہے، تاں پھیر وی، نتیجن سپنور پرورتن اس گلّ تے نربھر کردا ہے کہ چھوٹیاں روٹیشناں دی کہڑی لڑی ورتی گئی سی، جو کہ ویکٹراں اتے ٹینسراں وانگ نہیں ہے۔ اک سپنور سپیس نوں 0°توں 360°ڈگری تکّ گھماؤن اتے ااپنے لٹ دشا والے سپنور وچّ بدل جاندا ہے اتے ایہی وشیشتا سپنوراں نوں وشیش درساؤندی ہے۔ منکووسکی سپیس نوں اک کافی حد تکّ ملدی-جلدی سپنور دی دھارنا نال جوڑنا سنبھوَ ہے جس معاملے وچّ سپیشل رلیٹیوٹی دے لورنٹز پرورتن روٹیشناں والی بھومکا(رول) ادا کردے ہن ۔ سپنور ریکھاگنت وچّ الے کارٹن ولوں 1913 وچّ لیاندے گئے سن۔  1920ویں دہاکیاں وچّ بھوتک وگئنیاں نے کھوجیا کہ الیکٹرون اتے ہور اپّ-پرمانو کناں دے اندرونی اینگلر مومینٹم جاں سپنّ نوں درساؤن لئی سپنور لازمی ہن ۔   

سپنور اسے وشیش طریقے نال درسائے جاندے ہن جس راہیں ایہہ روٹیشناں ادھین ورتاؤ کردے ہن ۔ ایہہ وکھرے طریقیاں وچّ تبدیل ہندے ہن جو نہ کیول انتم روٹیشن اتے ہی نربھر کردا ہے، سگوں روٹیشن پراپت کرن (روٹیشن پھرپّ وچّ اک نرنتر رستے راہیں) دے وورن دے طریقے تے وی نربھر کردا ہے ۔ روٹیشناں راہیں رستیاں دیاں دو ٹوپولوجیکل طور تے وکھریاں کرن یوگ شرینیاں (ہوموٹوپی شرینیاں) ہندیاں ہن جو اسے پوری دی پوری روٹیشن نوں نتیجے وجوں دندیاں ہن، جویں پرسدھ بیلٹ ٹرکّ بجھارت راہیں سمجھائء گیا ہے۔ ایہہ دوویں سامان شرینیاں الٹے چنہ والے سپنور پرورتن دندیاں ہن ۔ سپنّ سموہ شرینی دا درج(ریکارڈ) رکھن والیاں ساریاں روٹیشناں دا سموہ ہندا ہے۔ ایہہ روٹیشن سموہ نوں دو وار گھیردا ہے، کیونکہ ہریک روٹیشن کسے رستے دے سرے دے روپ وچّ دو ستنتر طریقیاں نال پراپت کیتی جا سکدی ہے۔ سپنوراں دی سپیس پریبھاشا توں سپنّ گروپ دی اک (کمپلیکس) لینیئر پرستتی رکھدی ہے، جسدا ارتھ ہے کہ سپنّ گروپ دے ایلیمینٹ سپنوراں دے سپیس اتے لینیئر پرورتناں دے روپ وچّ اجیہے طریقے نال کریا کردے ہن، جو ہوموٹوپی شرینی اتے واستوک طور تے نربھر کردا ہے۔    

بھاویں سپنوراں نوں سپنّ گروپ دی اک سپیس پرستتی دے ایلیمینٹاں دے روپ وچّ (جاں اسدے سوخم روٹیشناں دے لائی الجبرے) شدھ طور تے پربھاشت کیتا جا سکدا ہے، تاں وی ایہناں نوں وشیش طور تے اک ویکٹر سپیس دے اجیہے ایلیمینٹاں دے روپ وچّ پربھاشت کیتا جاندا ہے جو کلپھورڈ الجبرے دی اک لینیئر پرستتی رکھدے ہون ۔ کلپھورڈ الجبرا اک سبندھت الجبرا ہے جو یکلڈن سپیس اتے اسدے اندرونی گننپھل توں اک بیسس مکت روپ وچّ بنایا جا سکدا ہے۔ دوویں، سپنّ گروپ اتے لائی الجبرا، کلپھورڈ الجبرے وچّ اک قدرتی طریقے نال جڑے ہندے ہن، اتے اپیوگاں وچّ، کم کرن لئی کلپھورڈ الجبرا اسان ہے۔ یکلڈن سپیس دا اک اؤرتھونورمل بیسس چن لین توں بعد، اجیہے گاما میٹرکساں راہیں کلپھورڈ الجبرے نوں پیدا کیتا جاندا ہے، جو کانونیکل اینٹی-کمیوٹیشن سبندھاں دے اک سیٹ اتے کھرے اتردے ہن ۔ سپنور اوہ کالم ویکٹر ہندے ہن جہناں اتے ایہہ میٹرکس کریا کردے ہن ۔ تنّ یکلڈن ڈائمینشناں وچّ، اداہرن دے طور تے، پولی سپنّ میٹریسیز گاما میٹرکساں دا اک سیٹ ہندے ہن، جہناں دو-کمپونینٹاں والے کمپلیکس کالم ویکٹراں اتے ایہہ میٹریسیز کریا کردے ہن، اوہ سپنور ہندے ہن ۔ پھیر وی، کلپھورڈ الجبرے دی خاص میٹرکس پرستتی، اتے اسے کارن جو شدھ روپ وچّ اک “کالم ویکٹر” (جاں سپنور) رچدی ہے، اس وچّ، بیسس دی چون اتے گاما میٹریسیز اک لازمی طریقے نال شامل ہندے ہن ۔ سپنّ گروپ دی اک پرستتی دے طور تے، کالم ویکٹراں دے روپ وچّ سپنوراں دا ایہہ انوبھوَ ڈائمینشن دے اؤڈ ہون تے جاں تاں ہور اگے گھٹایا نہ جا سکن یوگ ہووےگا، جاں “ادھا-سپنّ” کیہا جان والا اک جوڑ بن کے کھنڈ جاویگا جیکر ڈائمینسن اون ہووے، جسنوں ویل پرستتیاں کیہا جاندا ہے۔

## جان پچھان

سپنوراں نوں ریکھاگنتک ویکٹراں اتے ہور ٹینسراں توں کہڑی چیز وشیش بنا کے وکھرا کردی ہے، سمجھاؤنا کٹھن ہے۔ کسے سسٹم دے نردیشانکاں اتے اک روٹیشن لاگوُ کرن تے وچار کرو ۔ سسٹم وچلی کوئی چیز ہلی نہیں ہندی، صرف نردیشانک ہلے ہندے ہن، اسلئی سسٹم دی کسے چیز اتے لاگوُ کرن تے اوہناں نردیشانکاں دے ملاں وچّ اک بدلے وچّ تبدیلی ہمیشاں ہی ہوویگی ۔ اداہرن دے طور تے، ریکھاگنتک ویکٹر، اجیہے کمپونینٹ رکھدے ہن جو نردیشانکاں دی طرحاں اسے روٹیشن ادھین گھم جاندے ہن ۔ ہور کھولھ کے کہندے ہوئے، سسٹم نال جڑے کسے ٹینسر (جویں کسے مادھئم دا سٹریسّ/دباؤ) اجیہا نردیشانک وورن رکھدا ہے جو خود نردیشانک سسٹم پرتِ تبدیلیاں لئی بدلے وچّ اڈجسٹ ہو جاندا ہے۔ کسے بھوتکی سسٹم دے وورن دے اس پدھر اتے سپنور نہیں اےداں کردے دسدے، جدوں نردیشانکاں دے اک سنگل بند روٹیشن دیاں وشیشتاواں نال ہی صرف واسطہ ہندا ہے۔ سگوں، سپنور ادوں اےداں کردے دسدے ہن جدوں اسیں کلپنا کردے ہاں کہ اک سنگل روٹیشن دی جگہ، نردیشانک سسٹم نوں درجاوار طریقے نال (نرنتر طور تے) کسے شروعاتی اتے انتم بنتر درمیان گھمایا جاندا ہے۔ سسٹم نال جڑیاں کسے وی جانیاں پچھانیاں اتے سہج گیان والیاں (ٹینسوریئل) ماتراواں لئی، پرورتن دا نیم انتم بنتر اتے نردیشانکاں دے پہنچن تے طریقے دے شدھ وورن اتے نہیں نربھر کردا ۔ سپنور، دوجے پاسے، اجیہے طریقے نال بنے ہندے ہن، جو اوہناں نوں اس گلّ پرتِ سنویدنشیل بنا دندا ہے کہ نردیشانکاں دا درجاوار روٹیشن اتھے کویں پہنچدا ہے:  اوہ رستے توں ستنترتا دکھاؤندے ہن ۔ اس توں ایہہ نتیجہ نکلدا جےَ کہ، نردیشانکاں دی کسے وی انتم بنتر لئی، نردیشانک سسٹم دیاں دراصل دو (ٹوپولوجیکل طور تے) سامان دراجاوار (نرنتر) روٹیشناں ہندیاں ہن جو اسے بنتر دا نتیجہ دندیاں ہن (اوہی بنتر دندیاں ہن)۔  اس اسپشٹتا نوں درجاوار روٹیشن دی ہوموٹوپی شرینی کیہا جاندا ہے۔ بیلٹ ٹرکّ بجھارت پرسدھ طور تے دو وکھریئں روٹیشناں نوں سمجھاؤندی ہے، اک  2π دے اینگل راہیں، اتے دوجی 4π دے اینگل راہیں، جو اوہی بنتر رکھدیاں ہن، پر وکھریاں شرینیاں رکھدیاں ہن ۔ سپنور دراصل انّ چنہ-الٹاؤ دکھاؤندے ہن جو واستو طور تے اس ہوموٹوپی شرینی اتے نربھر کردا ہے۔ ایہہ اوہناں نوں ویکٹراں اتے ہور ٹینسراں توں وکھرا کردا ہے، جہناں وچوں کوئی وی شرینی نوں محسوس نہیں کر سکدا ۔ 
  

سپنوراں نوں کارٹیزیئن نردیشانکاں دی چون ورت کے ٹھوس وستواں دے طور تے پردرشت کیتا جا سکدا ہے۔ تنّ یکلڈن ڈائمینشناں وچّ، اداہرن دے طور تے، تنّ نردیشانک دھریاں نال سبندھت (اینگلر مومینٹا بابت) پولی سپنّ میٹرکساں دی چون کر کے سپنوراں نوں رچیا جا سکدا ہے۔ ایہہ کمپلیکس اینٹریاں والے 2�2 میٹرکس ہن، دو-کمپونینٹ کمپلیکس کالم ویکٹر جہناں اتے ایہہ میٹریسیز، میٹرکس گننپھل راہیں کریا کردے ہن، اوہ سپنور ہندے ہن ۔ اس معاملے وچّ، سپنّ گروپ، 1 ڈٹرمینینٹ والے 2�2 یونائٹری میٹرکساں دے گروپ پرتِ آئزومرپھک ہندا ہے، جو قدرتی طور تے میٹرکس الجبرے اندر بیٹھدا ہے۔ ایہہ گروپ، پولی میٹرکساں دے اپنے آپ دوارا پھیلائی گئی واستوک ویکٹر سپیس اتے کنجوگیشن راہیں کریا کردا ہے، اوہناں درمیان روٹیشناں دے اک گروپ دے طور تے اسنوں انوبھوَ کردا ہے، پر ایہہ کالم ویکٹراں (یانِ کہ سپنوراں) اتے وی کریا کردا ہے۔ 

ہور عامطور تے، اک کلپھورڈ الجبرا کسے (صحیح سلامت) کواڈریٹک (ورگاکار) قسم نال بھری کسے ویکٹر سپیس V توں رچیا جا سکدا ہے، جویں اپنے سٹینڈرڈ ڈوٹ پروڈکٹ والی یکلڈن سپیس جاں اپنے لورنٹز میٹرک والی منکووسکی سپیس ۔ کسے ڈھکویں نورملائز کیتے ہوئے V دے بیسس دتے ہون تے، کلپھورڈ الجبرے نوں، گاما میٹرکساں نال رچیا جا سکدا ہے، جو کانونیکل اینٹی-کمیوٹیشن (غیر-وٹاندراں) سبندھاں دے اک سیٹ نوں سنتشٹ کردے ہن، اتے سپنوراں دی سپیس    کمپونینٹاں والے کالم ویکٹراں دی سپیس ہندی ہے جس اتے ایہہ میٹرکس کریا کردے ہن ۔ بے شکّ کلپھورڈ الجبرے نوں اک نردیشانک-مکت طریقے نال سنکھیپ روپ وچّ پربھاشت کیتا جا سکدا ہے، پھیر وی، میٹرکساں دے اک وشیش الجبرے دے روپ وچّ اسدا خاص انوبھوَ اس گلّ تے نربھر کردا ہے کہ گاما میٹریسیز کہڑے اؤرتھوگنل دھریاں نوں پرستت کردے ہن ۔ اسلئی جو چیز شدھ روپ وچّ کسے “کالم ویکٹر” (جاں سپنور) نوں رچدی ہے، اوہ اجیہے منچاہے وکلپاں اتے وی نربھر کردی ہے۔ اؤرتھوگنل لائی الجبرا (یانِ کہ، سوخم روٹیشناں) اتے کواڈریٹک قسم نال جڑیا سپنّ گروپ، دوویں ہی، (کانونیکل طور تے) کلپھورڈ الجبرے وچّ آ جاندے ہن، اس لئی ہریک کلپھورڈ الجبرا پرستتی، لائی الجبرے اتے سپنّ گروپ دی اک پرستتی نوں وی پربھاشت کردی ہے۔ ڈائمینشن اتے میٹرک سگنیچر اتے ادھارت ، سپنوراں دا کالم ویکٹراں دے روپ وچّ ایہہ انوبھوَ ہور اگے گھٹایا نہ جا سکن یوگ ہو سکدا ہے جاں ایہہ “ادھا-سپنّ” نامک ویل پرستتیاں وچّ ڈنکپوز (ٹٹّ) ہو سکدا ہے۔ 

## سنکھیپ جانکاری

کسے سپنور دی دھارنا نوں دیکھن لئی دو لازمی طور تے ڈھانچے ہن ۔ 

اک ڈھانچہ سدھانتک پرستتی ہے۔ اس درشٹیکون وچّ، کسے نوں جلدی ہی پتہ ہندا ہے کہ اؤرتھوگنل گروپ دے لائی الجبرے دیاں کجھ پرستتیاں ہندیاں ہن جہناں نوں عامَ ٹینسر بنتراں راہیں نہیں رچیا جا سکدا ۔ ایہناں گواچیاں پرستتیاں نوں پھیر سپنّ پرستتیاں دا نام دے دتا جاندا ہے، اتے ایہناں دے رچن ہاریاں نوں سپنوراں دا نام دے دتا جاندا ہے۔ اس درشٹیکون وچّ، اک سپنور ضرور ہی روٹیشن گروپ  SO(n، R) دے دوہرے کور دی پرستتی نال سبندھ رکھدا ہونا چاہیدا ہے، جاں ہور زیادہ سدھارن طور تے، میٹرک سگنیچر (p، q) والیاں سپیساں اتے جنرلائز کیتے ہوئے وشیش اؤرتھوگنل گروپ   دے دوہرے کور نال سبندھت ہونا چاہیدا ہے۔ ایہہ دوہرے کور لائی گروپ ہندے ہن، جہناں نوں سپنّ گروپ  Spin(n) جاں Spin(p، q) کیہا جاندا ہے۔ سپنوراں اتے اوہناں دے اپیوگاں، رچیاں وستواں دیاں ساریاں وشیشتاواں، سپنّ گروپ وچّ پرگٹ ہندیاں ہن ۔ ایہناں گروپاں دے دوہرے کوراں دیاں پرستتیاں، گروپاں دے خود دیاں پروجیکٹو پرستتیاں رچدیاں ہن، جو کسے پرستتی دی سمپورن پریبھاشا نال نہیں ملدیاں ۔ 

دوجا درشٹیکون ریکھاگنتک ہے۔ سپنراں نوں سپشٹ طور تے بنایا جا سکدا ہے، اتے پھیر جانچ پرکھ کیتی جا سکدی ہے کہ سبندھت لائی گروپاں دے کریا کرن تے ایہہ کویں ورتاؤ کردے ہن ۔ ایہہ بعد والی پہنچ “سپنر کی ہندا ہے” نوں اک ٹھوس اتے مڈھلا وورن مہئیا کرواؤن وچّ لابھکاری ہے۔ پھیر وی، اجیہا کوئی وورن سیمت بن جاندا ہے، جدوں سپنراں دیاں پھیئیرز آئڈینٹٹیاں (پچھاناں) ورگیاں گنجھل دار وشیشتاواں دی ضرورت پیندی ہے۔ 

### کلپھورڈ الجبرے

کلپھورڈ الجبریاں (کدے کدے ریکھاگنتک الجبرے وی کہے جاندے ہن) دی بھاشا، سارے سپنّ گروپاں دیاں سپنّ پرستتیاں، اتے اوہناں پرستتیاں درمیان کئی طرحاں دے سبندھاں دی اک پوری تصویر “کلپھورڈ الجبریاں دی شرینیونڈ” راہیں دندی ہے۔ ایہہ غیر-ضروری بنتراں دی ضرورت نوں بہت ساری ماترا وچّ مکا دندی ہے۔ 
 
وستھار وچّ، منّ لؤ V اک سیمت-ایامی کمپلیکس ویکٹر سپیس ہے جو سہیسلامت (نونڈیجنریٹ) بائلینیئر (دو-ریکھک) اکار g والی ہے۔ کلپھورڈ الجبرا  Cℓ(V، g) اوہ الجبرا ہندا ہے جو V دوارا اینٹیکمیوٹیشن سبندھ xy + yx = 2g(x، y) نال پیدا ہندا ہے۔ ایہہ گاما جاں پولی میٹرکساں راہیں رچے جان والے الجبرے دا سنکھیپ روپ ہندا ہے۔ جیکر V = Cn ہووے ، تاں سٹینڈرڈ روپ  نال اسیں کلپھورڈ الجبرے نوں Cℓn(C) چنہ راہیں لکھدے ہاں ۔ کیونکہ کسے اؤرتھونورمل بیسس دی چون راہیں، نون-ڈیجنریٹ قسم والی ہریک کمپلیکس ویکٹر سپیس اس سٹینڈرڈ اداہرن پرتِ آئسومرپھک ہندی ہے، اسلئی ایہہ سنکلپ ہور زیادہ سدھارن طور تے خراب ہو جاندا ہے جیکر (ڈائمینشناں)  ہووے ۔ جیکر   n = 2k اون ہووے، تاں   کمپلیکس میٹرکساں دے الجبرے  پرتِ اک الجبرے دے طور تے (اک غیر-نرالے طریقے نال) Cℓn(C) آئسومرپھک ہندا ہے (ارٹن-ویڈربرن تھیورم راہیں اتے اسانی نال ثابت کئیتے جانیوگ تتھّ راہیں کہ کلپھورڈ الجبرا کیندری طور تے سرل ہندا ہے)۔ جیکر  n = 2k + 1 اؤڈ ہووے، تاں  کمپلیکس میٹرکساں دیاں دو کاپیاں دے الجبرے  پرتِ ، Cℓ2k+1(C) آئسومرپھک ہندا ہے۔ اسلئی، کسے وی کیس وچّ، Cℓ(V، g) دی اک نرالی (آئسومرپھزم تکّ) اررڈیوسیبل پرستتی ہندی ہے (جسنوں سرل کلپھورڈ موڈیول/ماپ انک/ماپانک وی کیہا جاندا ہے)، جسنوں سانجھے طور تے 2[n/2] ایاماں والے چنہ Δ نال لکھیا جاندا ہے۔ کیونکہ لائی الجبرا so(V، g)، لائی بریکٹ دے طور تے کلپھورڈ الجبرا کمیوٹیٹر سنے Cℓ(V، g) وچّ اک لائی سبئلجبرے دے روپ وچّ جڑیا ہندا ہے، اسلئی سپیس Δ وی so(V، g) دی الّ لائی الجبرا پرستتی ہندی ہے جسنوں سپنّ پرستتی کیہا جاندا ہے۔ جیکر n اؤڈ ہووے، تاں ایہہ لائی الجبرا پرستتی اررڈیوسیبل (ہور اگے گھٹائی نہ جا سکنیوگ) ہندی ہے۔ جیکر n اون ہووے، تاں ایہہ ہور اگے دو اررڈیوسیبل پرستتیاں   وچّ دوپھاڑ ہو جاندی ہے جہناں نوں ویل جاں ادھا-سپنّ پرستتیاں کیہا جاندا ہے۔ 

اجیہیاں معاملیاں وچّ واستوک انکاں اتے اررڈیوسیبل پرستتیاں ہور وی جٹل ہندیاں ہن جدوں V کوئی واستو ویکٹر سپیس ہووے، اتے پاٹھکاں نوں ہور وستھارپوروک وورن لین لئی کلپھورڈ الجبرا آرٹیکل پڑن دی صلاحَ دتی جاندی ہے۔
 
### سپنّ گروپ

سپنور اک ویکٹر سپیس رچدے ہن، عامطور تے کمپلیکس نمبراں اتے رچدے ہن، جو سپنّ گروپ دی اک ریکھک گروپ پرستتی والی ہندی ہے جو روٹیشناں دے گروپ دی پرستتی راہیں حصیاں وچّ نہیں ٹٹدی ۔ سپنّ گروپ روٹیشناں دا گروپ ہندا ہے جو ہوموٹوپی شرینی دا ریکارڈ رکھدا ہے۔ روٹیشناں دے گروپ دی ٹوپولوجی بابت مڈھلی جانکاری نوں سنکیتبدھّ کرن لئی سپنوراں دی ضرورت پیندی ہے کیونکہ ایہہ گروپ سدھارن طور تے نہیں جڑیا ہندا، پر سدھارن طور تے جڑیا سپنّ گروپ اسدا دوہرا کور ہندا ہے۔ اسلئی ہریک روٹیشن لئی سپنّ گروپ دے دو ایلیمینٹ ہندے ہن جو اسنوں پرستت کردے ہن ۔ ریکھاگنتک ویکٹر اتے ہور ٹینسر ایہناں دو ایلیمینٹاں درمیان فرق نہیں محسوس کر سکدے، پر اوہ الٹے چنہ پیدا کردے ہن جدوں اوہ پرستتی ادھین کسے ہور سپنور تے اثر پاؤندے ہن ۔ سپنّ گروپ دے ایلیمینٹاں نوں، روٹیشناں دے اک پیرامیٹر پریواراں دیاں ہوموٹوپی شرینیاں دے طور تے سوچ کے، ہریک روٹیشن نوں پچھان لئی رستیاں دیاں دو وکھریاں ہوموٹوپی شرینیاں راہیں پرستت کیتا جاندا ہے۔ جیکر روٹیشناں دا اک-ماپدنڈ پریوار سپیس وچّ کسے ربن دی طرحاں دیکھیا جاوے، جس وچّ اوس ربن دا آرک لمبائی ماپدنڈ (پیرامیٹر)، پیرامیٹر (اسدا ٹینجنٹ، نورمل، بائنورمل فریم دراصل روٹیشن دندا ہے) ہووے، تاں ایہہ دوویں وکھریاں ہوموٹوپی شرینیاں بیلٹ-ٹرکّ بجھارت دیاں دو اوستھاواں وچّ دیکھیاں جا سکدیاں ہن ۔ سپنوراں دی سپیس اک باہری سہائک ویکٹر سپیس ہندی ہے جو نردیشانکاں وچّ باہری طور تے رچی جا سکدی ہے، پر انت نوں ائسومرپھزم تکّ ہی موجود رہندی ہے کہ اوہناں دی کوئی وی قدرتی بنتر نہیں ہندی جو کو-آرڈینیٹ (نردیشانک) سسٹماں ورگیاں منچاہیاں پسنداں اتے نربھر ہووے ۔ سپنوراں دی کسے دھارنا نوں ، جویں کسے سہائک گنتک چیز دے طور تے، کسے کواڈریٹک روپ والی کسے ویکٹر سپیس نال جوڑیا جا سکدا ہے، جویں اپنے سٹینڈرڈ ڈوٹ پروڈکٹ والی یکلڈن سپیس، جاں اپنے لورنٹز میٹرک والی منکووسکی سپیس نال ۔ بعد والے معاملے وچّ، روٹیشناں وچّ لورنٹز بوسٹ شامل ہن، نہیں تاں تھیوری کافی حد تکّ ملدی جلدی ہی ہندی ہے۔   

### بھوتک وگیان وچّ شبداولی

سبھ توں زیادہ وشیش پرکار دا سپنور، ڈیراک سپنور ہے، جو کلپھورڈ الجبرے  دی جٹلتا  دی مڈھلی پرستتی دا اک ایلیمینٹ ہے، جس وچّ سپنّ گروپ Spin(p، q) نوں جڑیا جا سکدا ہے۔ کسے 2k-ایامی جاں 2k+1 ایامی سپیس اتے، کسے ڈیراک سپنور نوں 2*k*   کمپلیکس نمبراں دے اک ویکٹر دے روپ وچّ پرستت کیتا جا سکدا ہے۔ (دیکھو سپیشل یونائٹری گروپ) ۔ اون ڈائمینشناں وچّ، ایہہ پرستتی رڈیوسبل (ہور اگے توڑی جا سکن یوگ) ہندی ہے، جدوں Spin(p، q) دی اک پرستتی دے روپ وچّ لئی جاندی ہے اتے ہور اگے دو پرستتیاں وچّ الگّ کیتی جا سکدی ہے: کھبے-ہتھ اتے سجے ہتھ والیاں ویئل سپنور پرستتیاں ۔ اسدے نال ہی،  دا غیر-جٹل کیتا ہویا روپ کدے کدے اک ہور چھوٹی پرستتی رکھ سکدا ہے، جسنوں ماجورانا سپنور پرستتی کیہا جاندا ہے۔ جیکر اجیہا کسے اون ڈائمینشن وچّ واپردا ہے، تاں ماجورانا سپنور پرستتی کدے کدے دو ماجورانا پرستتیاں وچّ ٹٹّ جاوگی: جہناں نوں ویئل سپنور پرستتیاں کیہا جاندا ہے۔ ڈیراک اتے ویئل سپنوراں کمپلیکس پرستتیاں ہندیاں ہن جدونکھ ماجورانا سپنوراں واستوک پرستتیاں ہن ۔ 

ڈیراک، لورنٹز، ویئل، اتے ماجورانا سپنوراں اندرونی طور تے سبندھت ہندیاں ہن، اتے ایہناں دے سبندھ واستوک ریکھاگنتک الجبرے دے ادھار تے سمجھائے جا سکدے ہن ۔ 

بھاری کن، جویں الیکٹرون، ڈیراک سپنوراں دے طور تے درسائے جاندے ہن ۔ کن بھوتک وگیان دے سٹینڈرڈ ماڈل دا کلاسیکل نیوٹرینو اک ویئل سپنور دی اک اداہرن ہے۔ پھیر وی، نریکھن کیتے گئے نیوٹرینو اؤسیلیشن کارن، ہن ایہہ منیا جان لگا ہے کہ اوہ ویئل سپنور نہیں ہندے، پر شاید اسدی جگہ ماجورانا سپنور ہن ۔ ایہہ گیات (پتہ) نہیں ہے کہ قدرت وچّ (سپنّ-�) ویئل سپنور موجود وی ہن کہ نہیں ۔ 2015 وچّ، پرنسٹن یونیورسٹی دے وگیانکاں دی اگوائی والی اک انتر راشٹری ٹیم نے اعلان کیتا کہ اوہناں نے اک کواسیپارٹیکل کھوجیا ہے جو اک ویئل پھرمیؤن دی طرحاں ورتاؤ کردا ہے۔  

### پرستتی تھیوری وچّ سپنور

سپنوراں دی رچنا دے وڈے گنتک اپیوگاں وچوں اک اپیوگ، وشیش اؤرتھوگنل گروپاں دے لائی الجبریاں دی  ریکھک پرستتی دی سپشٹ بنتر نوں سنبھوَ بناؤنا ہے، اتے نتیجے وجوں گروپاں دیاں اپنیاں سپنور پرستتیاں نوں سنبھوَ کرنا ہے۔ ہور زیادہ طاقتور لیول اتے، سپنور، اتیاہ-سنگر انڈیکس تھیورم ولّ پہنچ دے کیندر وجوں ساہمنے آئے ہن، اتے اردھ-سرل (سیمیسمپل) گروپاں دیاں انرنتر لڑی والیاں پرستتیاں لئی خاص طور تے بنتراں مہیا کرواؤن لئی ساہمنے آئے ہن ۔  

سپیشل اؤرتھوگنل لائی الجبریاں دیاں سپنّ پرستتیاں، ویئل دی بنتر دوارا دتیاں جان والیاں ٹینسر پرستتیاں توں ، وزناں وچّ وکھریاں ہندیاں ہن ۔ جتھے کہ ٹینسر پرستتیاں دے وزن، لائی الجبرے دے روٹس دے پورن انک ریکھک میل ہندے ہن، اتھے سپنّ پرستتیاں ریکھک میلاں دے ادھے انک والے میل ہندے ہن ۔ سپشٹ وورن سپنّ پرستتی آرٹیکل وچّ خوجے جا سکدے ہن ۔  

### سہج گیان سمجھ اتے یتن

سپنور سرل شبداں وچّ، “سپیس دے ویکٹراں” دے روپ وچّ درسائے جا سکدے ہن “جہناں دا پرورتن بھوتکی سپیس وچّ روٹیشناں نال اک وشیش طریقے وچّ جڑیا ہندا ہے۔” وکھرے طریقے نال کتھن کردے ہوئے:

سپنور […] ایاماں دی کسے وی گنتی والی سپیس اندر روٹیشناں دے گروپ دی اک ریکھک پرستتی مہیا کرواؤندے ہن، ہریک سپنور دے  2^\nu  کمپونینٹ ہندے ہن جتھے  n = 2\nu+1  جاں 2\nu  ہندا ہے۔ 

پلیٹ ٹرکّ، ٹینگولائڈاں اتے اوریئینٹیشن انٹینگلمینٹ دیاں ہور اداہرناں دے شبداں وچّ روزانہ دیاں سمانتاواں نوں سمجھاؤن دے کئی طریقیاں دے فارمولے سوتربدھّ کیتے گئے ہن ۔ 

اتھے ہی بسّ نہیں، ایہہ سنکلپ عامطور تے سمجھن دے لحاظ نال کھلے طور تے کٹھن منیا گیا ہے، جویں مائیکل اتیاہ دے اس بیان دا ڈیراک دے بائیوگراپھر گراہم پھارمیلو وچّ بؤرا دتا گیا ہے:

کوئی وی سپنوراں نوں چنگی طرحاں نہیں سمجھدا ۔ سپنوراں دا الجبرا رسمی طور تے سمجھ وچّ آ جاندا ہے پر اوہناں دی عامَ مہتتا رہسمئی بنی ہوئی ہے۔ کسے سمجھ مطابق، سپنور ریکھگنت دا “ورگ مول” درساؤندے ہن اتے، جویں “-1 دے ورگ مول” دی سمجھ نے صدیآں لے لئیاں، ایہی سپنوراں لئی وی سچ ہو سکدا ہووےگا ۔

## اتہاس

سپنوراں دی سبھ توں زیادہ عامَ گنتک قسم 1913 وچّ ایلی کارٹن دوارا کھوجی گئی سی۔ شبد “سپنور” پول ایہرنپھیسٹ دوارا اپنے کوانٹم بھوتک وگیان اتے کم وچّ گھڑیا گیا سی۔ 

سپنور سبھ توں پہلاں 1927 وچّ وولپھگانگ پولی دوارا گنتک بھوتک وگیان تے لاگوُ کیتے گئے سن۔، جدوں اسنے اپنے سپنّ میٹریسیز (بہووچن-میٹرکس) پیش کیتے سن۔ اگلے ہی سال، پول ڈیراک نے سپنوراں اتے لورنٹز گروپ درمیان سمبدھ دکھاؤندی الیکٹرون سپنّ دی پوری طرحاں رلیٹیوسٹک (ساپیکھک) تھیوری کھوج لئی ۔ 1930ویں دہاکے تکّ، ڈیراک، پیئیٹ ہیئن اتے ہوراں نے نیئیلز بوہر انسٹیٹیوٹ وکھے (جسنوں ادوں کوپنہیگن دی یونیورسٹی دا تھیورٹیکل بھوتک وگیان لئی انسٹیٹیوٹ کیہا جاندا سی)، سپنوراں دے کیلکلس دے ماڈل بناؤن اتے سمجھاؤن لئی ٹینگلوآئڈاں ورگے کھڈونے بنائے ۔  
 
1930 وچّ جی. جویٹ اتے پھرٹز ساؤٹر دوارا اک میٹرکس الجبرے دے لیفٹ (کھبے) آدرشاں دے طور تے سپنور سپیساں نوں پیش کیتا گیا ۔  ہور وشیش طور تے، پولی وانگ، سپنوراں نوں کمپلیکس ملاں والے 2D کالم ویکٹراں دے طور تے پیش کرن دی وجائے ، اوہناں نے سپنوراں نوں کمپلیکس ملّ والے 2 � 2 میٹرکساں دے روپ وچّ پیش کیتا جہناں وچّ صرف کھبے کالماں دے ایلیمینٹ ہی غیر-زیرو ہندے ہن ۔ اس انداز وچّ، سپنور سپیس، Mat(2، C) وچّ اک گھٹو گھٹّ کھبا آدرش بن گئی ۔ 

1947 وچّ، مارسل ریئیسز نے کلپھورڈ الجبرے دے اک منیمل لیفٹ آئیڈیئل دے ایلیمینٹاں دے روپ وچّ سپیس سپنوراں رچیاں ۔ 1966/67 وچّ، ڈیوڈ ہیسٹینز نے سپنور سپیساں نوں سپیسٹائیم الجبرے Cℓ1،3(**R**) دے اون سبئلجبرے Cℓ01،3(**R**)راہیں بدل دتا ۔ اویں ہی 1980ویں دہاکے وچّ، ڈیوڈ بوہم اتے باسل ہلیء دے نیڑے تیڑے برکبیکّ کولج وکھے سدھانتک بھوتک وگیان گروپ کوانٹم تھیوری پرتِ الجبرک پہنچ وکست کر رہا سی، جسنے ساؤٹر اتے ریئیسز دی سپنوراں والی پچھان نوں منیمل لیفٹ آئیڈیئل (گھٹو-گھٹو کھبے آدرش) اتے بنایا ۔ 

## اداہرناں

گھٹّ ایاماں وچّ سپنوراں دیاں کجھ سرل اداہرناں کلپھورڈ الجبرے  دے اون-گریڈ کیتے ہوئے سبئلجبریاں تے وچار کرن توں پیدا ہندیاں ہن ۔ ایہہ اوہ الجبرا ہندا ہے جو جوڑن اتے گناں کرن ہیٹھاں، پرسپر اؤرتھوگنل ویکٹراں n = p + q دے اک اؤرتھونورمل بیسس توں بندا ہے، جسدا p  نورم +1 رکھدا ہے، اتے جسدا q نورم -1 والا ہندا ہے، جو بیسس ویکٹراں دے گننپھل دے اس نیم والا ہندا ہے،

:e_i e_j = \Bigg\{ \begin{matrix} +1 & i=j، \، i \in (1 \ldots p) \\
                                   -1  &  i=j، \، i \in (p+1 \ldots n)  \\
                                   - e_j e_i &   i \not = j. \end{matrix}

### دو ڈائمینشناں

کلپھورڈ الجبرا Cℓ2،0(**R**) اک یونٹ سکیلر 1، دو اؤرتھوگنل یونٹ ویکٹراں *σ*1 اتے *σ*2 ، اتے اک یونٹ سوڈوسکیلر   دے اک بیسس توں بنیا ہندا ہے۔ اپر دسی پریبھاشا توں، ایہہ سپشٹ ہندا ہے کہ ؛

: ، 

: اتے 

: 

Cℓ2،0(**R**) دے اون درجابدھّ کیتے ہوئے (گریڈڈ) بیسس ایلیمینٹاں راہیں پھیلایا جان والا اون سبئلجبرا  Cℓ02،0(**R**)، اسدیاں پرستتیاں راہیں سپنوراں دی سپیس نوں نردھارت کردا ہے۔ ایہہ 1 اتے *σ*1*σ*2  دے واستوک ریکھک میلاں توں بنیا ہندا ہے۔ اک واستوک الجبرے دے طور تے، Cℓ02،0(**R**) کمپلیکس نمبراں C دی پھیلڈ پرتِ آئسومرپھک ہندا ہے۔ نتیجے وجوں، ایہہ اک کنجوگیشن اوپریشن دی پالنا کردا ہے (کمپلیکس کنجوگیزن دے سامان)، جسنوں کدے کدے کسے کلپھورڈ ایلیمینٹ دا رورس (الٹ) وی کیہا جاندا ہے، جو اس طرحاں پربھاشت ہندا ہے؛  

:(a+b\sigma_1\sigma_2)^٭ = a+b\sigma_2\sigma_1\،

جو، کلپھورڈ سبندھاں دوارا، اسطراں لکھیا جا سکدا ہے

:(a+b\sigma_1\sigma_2)^٭ = a+b\sigma_2\sigma_1 = a-b\sigma_1\sigma_2\،

ویکٹراں اتے کسے اون کلپھورڈ ایلیمینٹ  دا کارج (ایکشن)، جو  Cℓ2،0(**R**) دے 1-گریڈڈ ایلیمینٹاں دے روپ وچّ کیہا جاندا ہے، نوں اک جنرل ویکٹر  توں اس ہیٹھاں لکھے ویکٹر تکّ نقشاں بنا کے نردھارت کیتا جاندا ہے:

:\gamma(u) = \gamma u \gamma^٭\،،
 
جتھے *γ*∗  چنہ γ دا کنجوگیٹ ہندا ہے، اتے گننپھل، کلپھورڈ گننپھل ہندا ہے۔ اس حالت وچّ، اک سپنور اک سدھارن کمپلیکس نمبر ہندا ہے۔ γ  دے سپنور φ  اتے کارج نوں سدھارن کمپلیکس گننپھل راہیں پراپت جیتا جا سکدا ہے:

: \gamma(\phi) = \gamma\phi

اس پریبھاشا دا اک مہتوپورن گن سدھارن ویکٹراں اتے سپنوراں درمیان فرق ہندا ہے، جو اس گلّ توں پرگٹ ہندا ہے کہ اون (جست) درجے والے ایلیمینٹ کویں ایہناں وچوں ہریک اتے وکھرے وکھرے طریقیاں نال کریا کردے ہن۔  عامطور تے، کلپھورڈ سبندھاں دی اک پھٹاپھٹ جانچ ثابت کردی ہے کہ اون گریڈ کیتے ہوئے ایلیمینٹ سدھارن ویکٹراں نال کنجوگیٹ-کمیوٹ (وٹاندرا سوندھ رکھدے) کردے ہن۔  

: \gamma(u) = \gamma u \gamma^٭ = \gamma^2 u\، 

دوجے پاسے، سپنوراں γ(φ) = γφ  اتے کارج نال تلنا کردے ہوئے، سدھارن ویکٹراں اوتے γ دی کریا، اسدی سپنوراں اتے کریا دے سکئیئر (ورگ) دے روپ وچّ ہندی ہے۔  

اداہرن دے طور تے، پدھریاں (پلین) روٹیشناں لئی اسدے پربھاواں اتے وچار کرو ۔ کسے ویکٹر نوں اک اینگل  θ  راہیں گھماؤنا  نال سبندھت ہندا ہے، تاں جو سپنوراں اتے سبندھت کارج  راہیں ہندا ہے۔ عامطور تے، لوگرتھمک برانچنگ کارن، کسے چنہ نوں کسے ستھرتا بھرے طریقے نال چن لینا اسمبھو ہندا ہے۔ اس کارن، سپنوراں اتے پلین روٹیشناں دو ملاں والیاں ہندیاں ہن ۔   

دو-ایاماں وچّ سپنوراں دے اپیوگاں وچّ، اس تتھّ دا ناجائز لابھ اٹھاؤنا عامَ گلّ ہو گئی ہے کہ اون گریڈ کیتے ہوئے ایلیمینٹاں دا الجبرا (جو صرف کمپلیکس نمبراں دا اک چھلا ہندا ہے) سپنوراں دی سپیس پرتِ ملدا جلدا ہندا ہے۔ اسلئی، بھاشا دے در-اپیوگ راہیں، دوواں دا اکثر مشرن کیتا جاندا ہے۔ پھیر “کسے ویکٹر اتے اک سپنور دا کارج” بارے بولیا جا سکدا ہے۔ اک سرو سدھارن سیٹنگ وچّ، اجیہے کتھن ارتھ ہین ہندے ہن ۔ پر 2 جاں 3 ایاماں وچّ (جویں کمپیوٹر گراپھکس وچّ لاگوُ کیتا جاندا ہے)، پھیر وی ایہہ ارتھ رکھدے ہن ۔   

؛ اداہرناں 

٭ اون گریڈ کیتے ہوئے ایلیمینٹ

::\gamma = \tfrac{1}{\sqrt{2}} (1 - \sigma_1 \sigma_2) \،
 
:*&sigma؛*1 توں *&sigma؛*2 تکّ، 90� دی اک ویکٹر روٹیشن نال سبندھت ہندے ہن جو ایہہ ثابت کرکے پرکھے جا سکدے ہن کہ؛

::\tfrac{1}{2} (1 - \sigma_1 \sigma_2) \، \{a_1\sigma_1+a_2\sigma_2\} \، (1 - \sigma_2 \sigma_1) = a_1\sigma_2 - a_2\sigma_1 \،

: پھیر وی، ایہہ صرف 45� تکّ دی اک سپنور روٹیشن نال ہی سبندھت ہندے ہن:

::\tfrac{1}{\sqrt{2}} (1 - \sigma_1 \sigma_2) \، \{a_1+a_2\sigma_1\sigma_2\}=
\frac{a_1+a_2}{\sqrt{2}} + \frac{-a_1+a_2}{\sqrt{2}}\sigma_1\sigma_2
  
٭ اسے طرحاں، اون گریڈڈ ایلیمینٹ   اک 180� دی اک ویکٹر روٹیشن نال سبندھت ہندا ہے:

:: (- \sigma_1 \sigma_2) \، \{a_1\sigma_1 + a_2\sigma_2\} \، (- \sigma_2 \sigma_1) = - a_1\sigma_1 -a_2\sigma_2 \،

: پر ایہہ اک 90� دی ہی سپنور روٹیشن ہندی ہے:

::(- \sigma_1 \sigma_2) \، \{a_1 + a_2\sigma_1\sigma_2\}
=a_2 - a_1\sigma_1\sigma_2

٭ ہور اگے جاری رکھدے ہوئے،اون گریڈڈ ایلیمینٹ γ = −1 اک 360� دی ویکٹر روٹیشن نال سبندھ رکھدا ہے:

:: (-1) \، \{a_1\sigma_1+a_2\sigma_2\} \، (-1) = a_1\sigma_1+a_2\sigma_2 \،

: پر ایہہ اک 180� دی ہی سپنور روٹیشن ہندی ہے۔ 

### تنّ ڈائمینشناں

کلپھورڈ الجبرا Cℓ3،0(**R**) اک یونٹ سکیلر 1، تنّ اؤرتھوگنل یونٹ ویکٹراں *σ*1، *σ*2 اتے *σ*3، تنّ یونٹ بائویکٹراں *σ*1*σ*2، *σ*2*σ*3، *σ*3*σ*1 اتے سوڈوویکٹر     دے اک بیسس توں بنیا ہندا ہے۔ ایہہ سدھا ہی ثابت کیتا جا سکدا ہے کہ

: ، and .
: ہندا ہے۔ 

اون گریڈڈ ایلیمینٹاں دا سب-الجبرا ایہناں سکیلر ڈلیشناں توں بنیا ہندا ہے،

: u^{\prime} = \rho^{(1/2)} u \rho^{(1/2)} = \rho u، 

: اتے ایہناں ویکٹر روٹیشناں توں بنیا ہندا ہے؛

: u^{\prime} = \gamma \، u \، \gamma^٭، 

: جتھے

: \left.\begin{array}{rcl} \gamma & = & \cos(\theta/2) - \{a_1 \sigma_2\sigma_3 + a_2 \sigma_3\sigma_1 + a_3 \sigma_1\sigma_2\} \sin(\theta/2) \\
& = & \cos(\theta/2) - i \{a_1 \sigma_1 + a_2 \sigma_2 + a_3 \sigma_3\} \sin(\theta/2) \\
& = & \cos(\theta/2) - i v \sin(\theta/2) \end{array}\right\} (1)
 
: جو اک یونٹ ویکٹر  راہیں پربھاشت اک دھرے دوآلے اک اینگل θ راہیں گھماؤن تے اک ویکٹر روٹیشن نال سبندھت ہندا ہے۔ 

اک وشیش معاملے دے طور تے، ایہہ دیکھنا اسان ہے کہ، جیکر  ہووے، تاں ایہہ *σ*1*σ*2 روٹیشن دی پنر رچنا کردی ہے جس نوں پچھلے سیکشن وچّ وچاریا گیا سی؛ اتے اجیہی روٹیشن *σ*3  دشا وچّ ویکٹراں دے گنانکاں نوں ستھر چھڈّ دندی ہے، کیونکہ 

:(\cos(\theta/2) - i \sigma_3 \sin(\theta/2)) \، \sigma_3 \، (\cos(\theta/2) + i \sigma_3 \sin(\theta/2))
= (\cos^2(\theta/2) + \sin^2(\theta/2)) \، \sigma_3 = \sigma_3.

بائویکٹر *σ*2*σ*3، *σ*3*σ*1 اتے *σ*1*σ*2  اصل وچّ ہیملٹن دے کواٹرنیؤن i، j  اتے k ہن جو 1843 وچّ خوجے گئے سن:

:\begin{matrix}\mathbf{i} = -\sigma_2 \sigma_3 = -i \sigma_1 \\
\mathbf{j} = -\sigma_3 \sigma_1 = -i \sigma_2 \\
\mathbf{k} = -\sigma_1 \sigma_2 = -i \sigma_3. \end{matrix}

کواٹرنیؤناں دے الجبرے H والے اون گریڈڈ ایلیمینٹاں دی پچھان نال، جویں دو-ڈائمینشناں دے معاملے وچّ ہندا ہے، اون گریڈڈ ایلیمینٹاں دے النجبرے دی صرف اکو پرستتی اس دے اپنے آپ اتے ہی ہندی ہے۔ اس کارن، تنّ-ڈائمینشناں وچّ (واستوک) سپنور کواٹرنیؤن ہندے ہن، اتے کسے سپنور اتے کسے اون گریڈڈ ایلیمینٹ دا کارج (ایکشن) سدھارن کواٹرنیؤنک گننپھل راہیں ملدا ہے۔ 

دھیان دیو کہ کسے اینگل θ راہیں اک ویکٹر روٹیشن لئی سمیکرن درساؤ (1) وچّ، γ وچّ دسن والا اینگل ادھا رہِ گیا ہندا ہے۔ اسے کارن روٹیشن γ(ψ) = γψ (سدھارن کواٹرنیؤنک گننپھل) سپنور نوں سبندھت ویکٹر روٹیشن دے اینگل دے ناپ توں ادھے اینگل راہیں گھمائیگا ۔ اک وار پھیر توں، اک ویکٹر روٹیشن نوں کسے سپنور روٹیشن تکّ چکن دی سمسیا دو ملاں والی ہندی ہے: سمیکرن درساؤ (1) جو  θ/2 دی جگہ (180  + θ/2) والا ہندا ہے، اسے ویکٹر روٹیشن نوں پیدا کریگا، پر سپنور روٹیشن دا نیگیٹو ہووےگا ۔ 

3D وچّ روٹیشناں دی سپنور/کواٹرنیؤن پرستتی کمپیوٹر جیؤمیٹری (ریکھاگنت) اتے ہور ایپلیکیشناں وچّ تیزی نال پرچلت ہو رہی ہے، کیونکہ سبندھت سپنّ میٹرکس دی وچار یوگ سنکھیپتا ہے، اتے سرلتا ہے جس نال ایہناں نوں وکھرے دھریاں دوآلے لگاتار روٹیشناں دے سنیوکت پربھاو دا حساب لگاؤن لئی اکٹھیاں گنا کیتا جا سکدا ہے۔

## سپشٹ بنتراں

سپنوراں دی اک سپیس نوں سپشٹ طور تے ٹھوس اتے سنکھیپ بنتراں نال رچیا جا سکدا ہے۔ ایہناں بنتراں دے سمانتا وچّ کمپلیکس کلپھورڈ الجبرے دی سپنور پرستتی دے نرالاپن (یونیکنیسّ) دا نتیجہ آؤندا ہے۔ 3 ڈائمینشناں وچّ اک سمپورن اداہرن لئی، دیکھو تنّ ڈائمینشناں وچّ سپنور ۔

### کمپونینٹ سپنور

اک ویکٹر سپیس V اتے اک کواڈریٹک اکار g دتے ہونے تے، کلپھورڈ الجبرے  دی اک سپشٹ میٹرکس پرستتی اسطراں اگے لکھے وانگ پربھاشت کیتی جا سکدی ہے۔ V لئی اک اؤرتھونورمل بیسس   یانِ     چنو جتھے   μ ≠ ν لئی  اتے  ہووے ۔ منّ لؤ Let  ہے۔   میٹرکساں دا اک سیٹ   اسطراں پھکس کرو کہ  ہووے (یانِ کگاما میٹرکساں لئی اک پرمپتا پھکس کرو) ۔ پھیر نشانہ    ریکھک طور تے پھیلدا ہویا گننپھل    پرتِ کلپھورڈ الجبرے وچّ مونومیئل   بھیج کے نرالے طور تے اک ہومومورپھزم الجبرا  تکّ پھیلدا ہے۔ سپیس    جس اتے گاما میٹرسیز کریا کردے ہن ہن سپنوراں دی اک سپیس ہندی ہے۔ پھیر وی، اجیہے میٹرکساں نوں سپشٹ طور تے رچن دی ضرورت پیندی ہے۔ تیجے ایام وچّ، گاما میٹرکساں نوں پولی سگما میٹریسیز ہونا پربھاشت کرنا گیرساپیکھک کوانٹم مکینکس وچّ ورتے جان والے جانے پچھانے دو کمپنینٹاں والے سپنوراں نوں پیدا کردا ہے۔ اسیتراں،  4 � 4 ڈیراک میٹرکس 3+1 ایامی ساپیکھک کوانٹم پھیلڈ تھیوری وچّ ورتے جان والے 4 کمپونینٹاں والے ڈیراک سپنوراں نوں پیدا کردا ہے۔ عامَ طور تے، ضرورت مطابق قسم دے گاما میٹرکساں نوں پربھاشت کرن لئی، ویئل-براؤئر میٹرکساں نوں ورتیا جا سکدا ہے۔ 

اس بنتر وچّ، کلپھورڈ الجبرا Cℓ(V، g)، the لائی الجبرا so(V، g)،  اتے سپنّ گروپ Spin(V، g) دی پرستتی، اؤرتھونورمل بیسس اتے گاما میٹرکساں دی چون تے نربھر ہے۔ ایہہ پرمپراواں اتے غلط وہمیاں پیدا کر سکدا ہے، پر ٹریساں ورگے ستھرانک چوناں توں ستنتر ہندے ہن ۔ خاص کرکے، ساریاں بھوتکی طور تے پرکھیاں جا سکن والیاں ماتراواں ضرور ہی اجہیاں چوناں توں ستنتر ہونیاں چاہیدیاں ہن ۔ اس بنتر وچّ، اک سپنور نوں   2*k* کمپلیکس نمبراں دے اک ویکٹر دے طور تے پرستتی کیتا جا سکدا ہے اتے سپنور سوچکانکاں (عامَ طور تے α، β، γ) نال لکھیا جاندا ہے۔ بھوتک وگیان دے  ساہت وچّ، سنکھیپ سپیس سوچکانک اکثر سپنوراں نوں لکھن لئی ورتے جاندے ہن ، چاہے اک سنکھیپ سپنور بنتر ہی ورتی جاوے ۔

### امورت سپنور

سپنوراں نوں امورت طور تے پربھاشت کرن لئی گھٹو گھٹو دو وکھرے، پر لازمی طور تے برابر دے طریقے ہن ۔ اک درشٹیکون  دے اسدے اپنے اتے کھبے ایکشن لئی گھٹو گھٹّ آدرشاں نوں پچھاننا منگدا ہے۔ ایہہ کلپھورڈ الجبرے دیاںω نوں رچن والیاں سبسپیساں ہندیاں ہن، جو کھبے گننپھل: c : xω → cxω راہیں  دے سپشٹ کارج نوں مندیاں ہن ۔ اس وشے وچّ دو تبدیلیاں ہندیاں ہن: جاں تاں اک مڈھلا تتّ ω کھوجیا جا سکدا ہے جو کلپھورڈ الجبرے دا اک نلپوٹینٹ (پوزیٹو انٹگرل پاور تکّ ودھاؤن تے زیرو برابر) ایلیمینٹ ہندا ہے، جاں اجیہا جو اڈیمپٹینٹ (اپنے آپ دوارا گنا وغیرہ کرن تے نہ بدلیا جان والا) ہندا ہے۔ نلپٹینٹں ایلیمینٹاں راہیں بنتر اس سمجھ مطابق زیادہ مڈھلی ہندی ہے کہ استوں اک اڈیمپٹینٹ رچیا جا سکدا ہے۔اس طریقے نال سپنور پرستتیاں دی پچھان کلپھورڈ الجبرے دیاں اپنے آپ دیاں سبسپیساں دے طور تے کیتی جاندی ہے۔ دوجا درشٹیکون V دی اک وکھری سبسپیس ورتدے ہوئے اک ویکٹر سپیس رچنا ہے، اتے پھیر اوس ویکٹر سپیس پرتِ کلپھورڈ الجبرے دے کارک نوں درساؤنا ہے۔  

دوہاں درشٹیکوناں وچّ، مڈھلی دھارنا اک آیسوٹروپک سبسپیس W والی ہے۔ ہریک بنتر اس سبسپیس نوں چنن لئی شروعاتی آزادی تے نربھر ہے۔ بھوتکی شبداں وچّ، ایہہ اس تتھّ نال سبندھت ہے کہ کوئی وی اجیہا ناپ دا سسٹم نہیں ہندا جو سپنّ سپیس دے کسے بیسس نوں درسا سکدا ہووے، بھاویں V دا کوئی ترجیح والا بیسس ہی کیوں نہ دتا ہویا ہووے ۔  

اپّ دسے وانگ، اسیں (V، g) نوں اک نونڈیجنریٹ بائلینیئر قسم نال بھرپور اک n-ڈائمینشناں والی کمپلیکس ویکٹر سپیس مندے ہاں ۔ جیکر V کوئی واستوک ویکٹر سپیس ہووے، تاں اسیں V نوں ادے کمپلیکسیپھیکیشن  نال بدل دندے ہاں اتے اس اتے تھوپی گئی دوریکھک قسم نوں g لکھدے ہاں۔ منّ لؤ W اک ودھ توں ودھ آئسوٹروپک سبسپیس ہے، یانِ کہ، V دی اک وڈی توں وڈی اجیہی سبسپیس کہ g|W = 0 ہووے ۔ جیکر n =  2k اون ہووے، تاں W پرتِ پورک (کمپلیمینٹری) سبسپیس  منّ لؤ ۔ جیکر n =  2k + 1 اؤڈ ہووے، تاں W٭ نوں W ∩  = 0 والی اک وڈی توں وڈی سبسپیس منّ لؤ، اتے U نوں W ⊕  دا اک اؤرتھوگنل کمپلیمینٹ (پورک) منّ لؤ ۔ دوویں اون اتے اؤڈ ایاماں دے معاملیاں وچّ، W اتے  دیاں ڈائمینشناں k ہندیاں ہن ۔ اؤڈ ڈائمینشناں والے کیس وچّ، U اک ڈائمینشنل ہندا ہے، جو یونٹ ویکٹر u راہیں پھیلایا جاندا ہے۔

### سوخم آدرش

کیونکہ W′ آئسوٹروپک ہندی ہے،  Cℓ(V، g) دے اندر W دے ایلیمینٹاں دا گننپھل  ترچھا ہندا ہے۔ اس کارن W′ وچلے ویکٹر کمیوٹ نہیں کردے اتے Cℓ(W′، g|W′) = Cℓ(W′، 0) صرف باہری الجبرء Λ∗W′ ہندا ہے۔ نتیجے وجوں،  W دا اپنے آپ نال k-fold گننپھل، *W*′*k*، اک ڈائمینشن والا ہندا ہے۔ منّ لؤ کہ ω ، *W*′*k* دا اک جنریٹر ہے۔  W وچّ اک بیسس  دے شبداں وچّ، اک سمبھاونا ایہہ سیٹ کرن دی ہے؛

:\omega=w'_1w'_2\cdots w'_k. 

نوٹ کرو کہ   (یانِ کہ، ω اک درجہ 2 والا نلپٹینٹ ہے)، اتے پھیر وی، سارے ہی میمبراں   لئی   ہندا ہے۔ ہیٹھاں لکھے تتھّ اسانی نال ثابت کیتے کا سکدے ہن؛ 

#     جیکر n = 2k ہووے، تاں کھبا آدرش Δ = Cℓ(V، g)ω  اک گھٹو گھٹّ کھبا آدرش ہندا ہے۔ ہور اگے، اون کلپھورڈ الجبرے دے ایکشن پرتِ پابندھی اتے، ایہہ دو سپنّ سپیساں   اتے  وچّ کھنڈ جاندا ہے۔ 
 
#	جیکر n = 2k + 1 ہووے، تاں کھبے آدرش Cℓ(V، g)ω  اتے یونٹ ویکٹر u دا کارج سپیس نوں آئسومرپھک اررڈیوسبل آئیگنسپیساں (دوویں Δ نال لکھیاں جاندیاں ہن) دے اک جوڑے وچّ ڈکمپوز کر دندا ہے، جو کرم وار آئیگن ملاں +1 اتے -1 نال سبندھت ہندیاں ہن ۔ 

وستھارپوروک، اداہرن لئی منّ لؤ کہ n اون ہے۔ منّ لؤ Cℓ(V، g)ω وچّ شامل I غیر-زیرو ہے۔ اسیں ایہہ ثابت کردے ہوئے کہ ایہہ ω دے اک غیر-زیرو سکیلر گنانک سمیت ہندا ہے، دکھاوانگے کہ I ضرور ہی Cℓ(V، g)ω برابر ہونا چاہیدا ہے۔ 
W دا اک بیسس *w*i پھکس کرو اتے W دا اک کمپلیمینٹری بیسس *w*i′ پھکس کرو، تاں جو

:*w*i*w*j′ +*w*j′ *w*i = δij، اتے

:(*w*i)2 = 0، (*w*i′)2 = 0

نوٹ کرو کہ I دا کوئی وی ایلیمینٹ، ساڈی that I ⊂ Cℓ(V، g) ω  والی مانتا کارن، ضرور ہی  αω قسم رکھدا ہونا چاہیدا ہے۔ منّ لؤ کہ اجیہا کوئی ایلیمینٹ αω ∈ I ہے۔ چنے ہوئے بیسس نوں ورتدے ہوئے، اسیں لکھ سکدے ہاں کہ،

:\alpha = \sum_{i_1 

جتھے *a*i1…ip  سکیلر ہے۔، اتے *B*j کلپھورڈ الجبرے دے باہری ایلیمینٹ ہن ۔ ہن دیکھو کہ گننپھل ایہہ ہندا ہے؛

:\alpha\omega = \sum_{i_1

α دے وستھار وچّ کوئی وی غیر-زیرو مونومیئل a چقو جسدی ایلیمینٹاں *w*i وچّ وڈی توں وڈی ہوموجینیئس ڈگری ہووے :

:a = a_{i_1\dots i_{max}}w_{i_1}\dots w_{i_{max}} (no summation implied)،

تاں پھیر، ضرورت مطابق؛

:w'_{i_{max}}\cdots w'_{i_1}\alpha\omega = a_{i_1\dots i_{max}}\omega 

ω دا اک غیر-زیرو سکیلر گنانک ہندا ہے۔ 

نوٹ کرو کہ اون n لئی، ایہہ حساب کتاب اس نوں اک ویکٹر سپیس دے طور تے وی دکھاؤندا ہے؛

:\Delta = \mathrm{C}\ell(W)\omega = (\Lambda^٭ W)\omega

اکھری برابرتا سمیلرن وچّ، اسیں دوبارہ پھیر اس گلّ دی ورتوں کیتی کہ W آئیسوٹرپوک ہے۔ بھوتک وگیان دے شبداں وچّ، ایہہ دکھاؤندا ہے کہ Δ، کسے ویکمّ ω اتے کریاشیل W وچّ اینٹیکمیوٹنگ کریئیشن اوپریٹر ورتکے سپنور رچدی ہوئی کسے پھوک سپیس وانگ بنے ہندے ہن ۔

### باہری الجبرا بنتر

گھٹو گھٹّ آدرش بنتر والے حساب کتاب سجھاؤندے ہن کہ اک سپنور پرستتی نوں آئسوٹروپک سبسپیس W دا باہری الجبرا  ورتدے ہوئے سدھا ہی پربھاشت کیتا جا سکدا ہے۔ منّ لؤ Δ = Λ∗ W چنہ W دے باہری الجبرے نوں ویکٹر سپیس دے طور تے ہی درساؤندا ہووے ۔ ایہہ سپنّ پرستتی ہوویگی اتے اسدے ایلیمینٹ سپنور کہے جانگے ۔ 

Δ اتے کلپھورڈ الجبرے دا کارج سبھ توں پہلاں Δ اتے V دے اک ایلیمینٹ دے کارج راہیں ملدا ہے، اتے پھیر ایہہ دکھا کے ملدا ہے کہ کارج کلپھورڈ سبندھ دی پالنا کردا ہے اتے کلپھورڈ الجبریاں دی برہمنڈی وشیشتا راہیں اینڈومورپھزم رنگ یونیورسل End(Δ) وچّ پورے کلپھورڈ الجبرے دے اک ہومومورپھزم تکّ پھیلدا ہے۔ وورن اس گلّ دے مطابق ذرا وکھرا ہندا ہے کہ V دا ایام اون ہے جاں اؤڈ ہے۔ 

جدوں dim(V) اون ہندا ہے تاں، V = W ⊕ W′ ہندا ہے جتھے W′ چنیا ہویا آئسوٹروپک کمپلیمینٹ ہے۔ اسلئی کوئی وی v ∈ V  نرالے طور تے w ∈ W نال  اتے w′ ∈ W′ وچّ ونڈیا جاندا ہے۔ کسے سپنور اتے v  دا کارج اسطراں ہندا ہے،

: c(v) w_1 \wedge\cdots\wedge w_n = (\epsilon(w) + i(w'))\left(w_1 \wedge\cdots\wedge w_n\right) 

جتھے  *i*(*w*′)، V نال *V*∗  دی پچھان کرن لئی غیر-ڈیجینریٹ کواڈریٹک قسم ورتدے ہوئے w′ نال اندرونی گننپھل ہندا ہے، اتے ε(w) باہری گننپھل درساؤندا ہے۔ ایہہ ثابت کیتا جا سکدا ہے کہ،

:*c*(*u*)*c*(*v*) + *c*(*v*)*c*(*u*) = 2 *g*(*u*،*v*)،

اتے اسلئی c  کلپھورڈ سبندھاں دی پالنا کردا ہے اتے End(Δ) تکّ کلپھورڈ الجبرے توں اک ہومومورپھزم تکّ پھیلدا ہے۔ 

سپنّ پرستتی Δ ہور اگے اس ہیٹھاں لکھے طریقے راہیں سپنّ گروپ دیاں ہور اگے توڑیاں نہ سکن والیاں کمپلیکس پرستتیاں دے اک جوڑے وچّ ٹٹّ جاندی ہے۔ 

:\Delta_+ = \Lambda^{even} W،\، \Delta_- = \Lambda^{odd} W

جدوں dim(V) اؤڈ ہووے،  ہندا ہے، جتھے U ، W پرتِ اؤرتھوگنل اک یونٹ ویکٹر راہیں پھیلدی ہے۔ کلپھورڈ کارج c  نوں پہلاں وانگ W ⊕ W′ اتے پربھاشت کیتا جاندا ہے، جدونکھ u دے (دے ملٹیپل) کلپھورڈ کارج نوں اسطراں پربھاشت کیتا جاندا ہے،

: c(u) \alpha = \left\{\begin{matrix}
\alpha&\hbox{if } \alpha\in \Lambda^{even} W\\
-\alpha&\hbox{if } \alpha\in \Lambda^{odd} W
\end{matrix}\right. 

پہلاں وانگ، ایہہ ثابت کیتا جاندا ہے کہ c کلپھورڈ الجبرے دی پالنا کردا ہے، اتے اسطراں اک ہومومورپھزم نوں پریرت کردا ہے۔

### ہرمشن ویکٹر سپیساں اتے سپنور

جیکر ویکٹر سپیس V دی اجیہی وادھو بنتر ہووے جو اسدی کمپلیکسیپھیکیشن نوں دو ودھ توں ودھ آئسوٹروپک سبسپیساں وچّ توڑ دیوے، تاں سپنوراں دی پریبھاشا (کسے وی طریقے نال) قدرتی بن جاندی ہے۔ 

مکھ اداہرن ایہہ معاملہ ہے کہ واستوک ویکٹر سپیس V اک ہرمشن ویکٹر سپیس  (V، h) ہندی ہے، یانِ کہ، V اک اجیہی کمپلیکس بنتر J سمیت ہندی ہے جو V اتے اندرونی گننپھل g پرتِ اک اؤرتھوگنل پرورتن ہندی ہے۔ پھیر    ، J دیاں  i آئگنسپیساں وچّ ٹٹّ جاندی ہے۔ ایہہ آئیگنسپیساں g دی کمپلیکسیپھکیشن لئی آئسوٹروپک ہندیاں ہن اتے کمپلیکس ویکٹر سپیس (V، J) اتے اسدی کمپلیکس کنجوگیٹ (V، −J) نال پچھانی جا سکدی ہے۔ اسلئی، کسے ہرمشن ویکٹر سپیس (V، h) لئی ویکٹر سپیسΛ ( اتے اسدی کمپلیکس کنجوگیٹ Λ*V*) چھپی واستوک یکلڈن ویکٹر سپیس لئی اک سپنور سپیس ہندی ہے۔  

اپر دسے کلپھورڈ کارج نال، پر ہرمشن قسم واردے ہوئے کنٹریکشن نال، ایہہ بنتر اک لگبھگّ ہرمشن مینیپھولڈ دے ہریک بندو اتے اک سپنور سپیس دندی ہے، اتے اس گلّ دا کارن ہنپھی ہے کہ کیوں ہریک لگبھگّ کمپلیکس مینیپھولڈ (خاص کرکے ہریک سمپلیٹک مینیپھولڈ) دی اک Spin<sup>c</sup> بنتر بنتر ہندی ہے۔ اسے طرحاں، کسے مینیپھولڈ اتے ہریک کمپلیکس ویکٹر بنڈل اک Spin<sup>c</sup> بنتر بنتر چکّ کے رکھدا ہے۔

## کلیبش-جورڈن ویوجن

اک سپنّ پرستتی دے اک ہور نال ٹینسر گننپھل اتے کئی کلیبش-جورڈن ویوجناں سنبھوَ ہن ۔ ایہہ ویوجن اؤرتھوگنل گروپ دیاں وکلپک پرستتیاں دے شبداں وچّ ٹینسر گننپھل درساؤندے ہن ۔ 

واستوک جاں کمپلیکس معاملے وچّ، وکلپک پرستتیاں ایہہ ہن،
 
٭ ،  رینک r دے ترچھے ٹینسراں اتے اؤرتھوگنل گروپ دی پرستتی
 
واستوک اؤرتھوگنل گروپاں دے نال نال، تنّ لچھن (اک-ایمی پرستتیاں) ہندے ہن؛ 

٭ ، جیکر R ، V دی ستھانک دشا الٹاؤندی ہے، اتے  +1، جیکر R ، V دی ستھانک دشا سرکھات کردی ہے، راہیں پراپت ہندا 

*σ*+ : O(*p*، *q*) → {−1، +1} (وسیش لچھن) 

٭ ، جیکر R ، V دی ستھانک دشا الٹاؤندی ہے، اتے  +1، جیکر R ، V دی ستھانک دشا سرکھات کردی ہے، راہیں پراپت ہندا

*σ*− : O(*p*، *q*) → {−1، +1} (وسیش لچھن)
 
٭ *σ* = *σ*+*σ*− (دشا لچھن) 

کلیبش-جورڈن ویوجن ہور چیزاں دے نال نال ایہہ پربھاشت کرن دی وی آگیا دندا ہے:  

٭ 	ویکٹراں اتے سپنوراں دا کارج 
٭	واستوک سپنّ گروپاں دیاں کمپلیکس پرستتیاں اتے اک ہرمشن میٹرک 
٭ 	ہریک سپنّ پرستتی اتے اک ڈیراک اوپریٹر

### اون (سمع) ایام

جیکر n = 2k اون ہووے، تاں Δ دا کونٹراگریڈیئنٹ پرستتی نال ٹینسر گننپھل اسطراں ویوجت ہندا ہے؛

: \Delta\otimes\Delta^٭ \cong \bigoplus_{p=0}^n \Gamma_p \cong \bigoplus_{p=0}^{k-1} \left(\Gamma_p\oplus\sigma\Gamma_p\right)\، \oplus \Gamma_k 

جسنوں، ویوجنیوگ تتاں αω ⊗ βω′ اتے، کلپھورڈ الجبرے دے کارج نوں لے کے (باہری بنتر وچّ) دیکھیا جا سکدا ہے۔ ہوجّ سٹار اوپریٹر دیاں پرورتن وشیشتاواں توں صحیح فارمولا سوتریکرن پتہ چلدے ہن ۔ نوٹ کرو کہ اون کلپھورڈ الجبرے اتے پابندھی نال، رقماں دے جوڑے  آئسومرپھک ہندے ہن، پر پورے کلپھورڈ الجبرے ہیٹھاں ایہہ آئسومرپھک نہیں ہندے ۔ 

کلپھورڈ الجبرے وچّ کنجوگیشن راہیں Δ دی اسدی کونٹراگریڈیئنٹ پرستتی دی اک قدرتی پچھان ہندی ہے؛

:(\alpha\omega)^٭=\omega(\alpha^٭). 

اسلئی Δ ⊗ Δ وی اپر دسے انداز وچّ ویوجت ہو جاندا ہے۔ ہور اگے، اون کلپھورڈ الجبرے ادھین، ادھا-سمنّ پرستتیاں انجھ ویوجن ہو جاندیاں ہن؛ 

: \begin{matrix}
\Delta_+\otimes\Delta^٭_+ \cong \Delta_-\otimes\Delta^٭_- &\cong& \bigoplus_{p=0}^k \Gamma_{2p}\\
\Delta_+\otimes\Delta^٭_- \cong \Delta_-\otimes\Delta^٭_+ &\cong& \bigoplus_{p=0}^{k-1} \Gamma_{2p+1}
\end{matrix}
 

کلپھورڈ الجبریاں دیاں واستوک کمپلیکس پرستتیاں لئی، کلپھورڈ الجبرے اتے سبندھت واستوک بنتر سپنوراں دی سپیس تکّ اتر جاندی ہے (اداہرن دے طور تے،گھٹو گھٹّ آدرشاں دے شبداں والی باہری بنتر راہیں) ۔ اس طریقے نال، اسیں پرستتی Δ دے کمپلیکس کنجوگیٹ Δ نوں پراپت کردے ہاں، اتے لاگوُ کرن لئی ہیٹھاں لکھی آئسومورپھزم دیکھی جاندی ہے؛

:\bar{\Delta} \cong \sigma_-\Delta^٭  

خاصکر کے، نوٹ کرو کہ اؤرتھوکرونس سپنّ گروپ دی Δ پرستتی اک یونائٹری پرستتی ہندی ہے۔ عامَ طور تے، کلیبش-جورڈن ویوجن ہندے ہن،

:\Delta\otimes\bar{\Delta} \cong \bigoplus_{p=0}^k\left(\sigma_-\Gamma_p\oplus \sigma_+\Gamma_p\right).

میٹرک سگنیچر (p، q) وچّ، کنجوگیٹ ادھا-سپنّ پرستتیاں لئی ہیٹھاں لکھیاں آئسومورپھزماں لاگوُ ہندیاں ہن،

٭	جیکر q اون ہووے تاں   \bar{\Delta}_+ \cong \sigma_-\otimes \Delta_+^٭ اتے \bar{\Delta}_- \cong \sigma_-\otimes \Delta_-^٭.

٭ 	جیکر q اؤڈ ہووے تاں   \bar{\Delta}_+ \cong \sigma_-\otimes \Delta_-^٭ اتے \bar{\Delta}_- \cong \sigma_-\otimes \Delta_+^٭.   
ایہناں آئسومورپھزماں دی ورتوں نال، ادھا-سپنّ پرستتیاں  دے ٹینسر گننپھلاں لئی سمانتا والے ویوجن (ڈکمپوزیشناں) کڈھے جا سکدے ہن ۔

### بکھم (اؤڈ) آیام

جیکر n = 2k + 1 اؤڈ ہووے، تاں

: \Delta\otimes\Delta^٭ \cong \bigoplus_{p=0}^k \Gamma_{2p}.

واستوک معاملے وچّ، اک وار پھیر توں آئسومورپھزم لاگوُ رہندا ہے،

: \bar{\Delta} \cong \sigma_-\Delta^٭. 

اسطراں اک کلیبش-جورڈن ویوجن (ڈیولائز کرن لئی پھیر توں ہوجّ سٹار ورتدے ہوئے) ہندا ہے، جو اسطراں ملدا ہے

: \Delta\otimes\bar{\Delta} \cong \sigma_-\Gamma_0\oplus\sigma_+\Gamma_1\oplus\dots\oplus\sigma_\pm\Gamma_k

### نتیجے

سپنور سپیساں دے کلیبش-جورڈن ویوجناں دے بہت سارے  دور تکّ پہنچن والے نتیجے ہن ۔ ایہناں وچوں سبھ توں زیادہ مڈھلا نتیجہ الیکٹرون دی ڈیراک والی تھیویری نال سبندھت ہے، جس وچوں مڈھلیاں ضرورتاں اسطراں ہن،

٭ 	دو سپنوراں ϕψ دے گننپھل ولّ اشارہ کرن دا انداز اک سکیلر دے طور تے ہونا ۔ بھوتکی شبداں وچّ، اک سپنور نوں کوانٹم اوستھا  لئی الّ پروبیبلٹی اینپلیٹیوڈ نردھارت کرنا چاہیدا ہے۔  
٭	گننپھل ψϕ ولّ اشارہ کرن دا انداز اک ویکٹر دے طور تے ۔ ایہہ ڈیراک دی تھیوری دا اک لازمی گن ہے، جو سپنور فارمولا سوتریکرن نوں بھوتکی سپیس دے ریکھاگنت نال بندا ہے۔  
٭ 	اک سپنور نوں کسے ویکٹر اتے کریا کرن دے طور تے اشارہ کرن دا انداز، جو اک ψvψ ورگے درساؤ راہیں ہندا ہے۔ بھوتکی شبداں وچّ، ایہہ میکسویلّ دی الیکٹرومیگنیٹک تھیوری دے الیکٹرک کرنٹ نوں پرستت کردا ہے، جاں ہور سدھارن طور تے، اک پروبیبلٹی کرنٹ نوں پرستت کردا ہے۔

## نمر ایاماں وچّ سارانش

٭	1-ایام وچّ (اک سوخم اداہرن)، سنگل سپنور پرستتی رسمی طور تے ماجورانا، واستوک 1-ایامی پرستتی ہندی ہے جو تبدیل نہیں ہندی ۔ 

٭	2-یکلڈن ایاماں وچّ، کھبے اتے سجے ہتھ والے ویئل سپنور 1-کمپونینٹ والیاں کمپلیکس پرستتیاں ہندیاں ہن، یانِ کہ کمپلیکس نمبر ہندے ہن جو اینگل φ راہیں کسے روٹیشن ادھین (گھماؤن تے)  *e* *iφ*/2 نال گنا ہو جاندے ہن ۔ 

٭	3-یکلڈن ایاماں وچّ، سنگل سپنور پرستتی 2 ایامی ہندی ہے اتے کواٹرنیؤنک ہندی ہے۔ 3 ایاماں وچّ سپنوراں دی ہوند دا گروپاں SU(2) ≅ Spin(3) دی آئسومورپھزم توں پتہ چلدا ہے جو سانوں کسے کمپلیکس 2-کمپونینٹ والے کالم (کسے سپنور) اتے Spin(3) دے کارج نوں پربھاشت کرن دی آگیا دندا ہے؛ SU(2) دے رچن والیاں (جنریٹراں) نوں پولی میٹریسیز (بہووچن میٹرکس) دے طور تے لکھیا جا سکدا ہے۔ 

٭	4-یکلڈن ایاماں وچّ، سبندھت آئسومورپھزم Spin(4) ≅ SU(2) � SU(2) ہندی ہے۔ دو اسمان (نہ-برابر) کواٹرنیؤنک 2-کمپونینٹ ویئل سپنور ہندے ہن، اتے اوہناں وچوں ہریک ہی SU(2) پھیکٹراں (حصیاں) دے وچوں صرف کسے اک ہیٹھاں ہی پرورتت ہندا ہے۔ 

٭	5-یکلڈن ایاماں وچّ، ملدی جلدی آئسومورپھزم Spin(5) ≅ USp(4) ≅ Sp(2) ہندی ہے جستوں بھاوَ ہے کہ سنگل سپنور پرستتی 4-ایامی اتے کواٹرنیؤنک ہندی ہے۔ 

٭	6-یکلڈن ایاماں وچّ، آئسومورپھزم Spin(6) ≅ SU(4) یقینی بناؤندی ہے کہ دو 4-ایامی کمپلیکس ویئل پرستتیاں ہندیاں ہن جو اک دوجی دیاں کمپلیکس کنجوگیٹ ہندیاں ہن ۔ 

٭	7-یکلڈن ایاماں وچّ، سنگل سپنور پرستتی 8-ایامی ہندی ہے اتے واستوک ہندی ہے؛ اس ایام دے شروع ہون تے، کسے ہور لڑی (A جاں C) توں لائی الجبرے پرتِ کوئی آئسومورپھزم موجود نہیں ہندی ۔ 

٭	8-یکلڈن ایاماں وچّ، دو ویئل-ماجورانا واستوک 8-ایامی پرستتیاں ہندیاں ہن جو 8-ایامی واستوک ویکٹر پرستتی نال سپنّ دی اک “ٹریئیلٹی”  نامک وشیش وشیشتا راہیں سبندھ رکھدی ہے۔ 

٭	d + 8 ایاماں وچّ، وکھریاں اررڈیوسبل سپنور پرستتیاں دی گنتی اتے اوہناں دی واستوکتا (کہ اوہ واستوک ہن، متھّ ہن، جاں کمپلیکس ہن) d ایاماں وچّ بنتر دا ڈھونگ رچدی ہے، پر اوہناں دے ایام 16 گناں وڈے ہندے ہن؛ ایہہ سانوں باقی بچے سارے معاملے سمجھن دے یوگ بنا دندا ہے۔ دیکھو بوٹّ پیریؤڈیسٹی ۔ 

٭	 p سپیشیئل (ستھانک جاں ستھان سبندھی) اتے q ٹائم-لائیک دشاواں والی سپیسٹائیم وچّ، کمپلیکس نمبراں اتے ایاماں دے طور تے ایاماں نوں دیکھنا،  (p + q) ایامی یکلڈن سپیس دے معاملے وانگ ہے، پر واستوک پروجیکشناں |p − q| یکلڈن ایاماں وچّ بنی بنتر دا ڈھونگ رچدیاں ہن ۔ اداہرن دے طور تے، 3+1 ایاماں وچّ، دو غیر-سامان ویئل کمپلیکس (2-ایاماں والی وانگ) 2-کمپونینٹ (4-ایاماں والی وانگ) سپنور ہندے ہن، جو آئسومورپھزم SL(2، C) ≅ Spin(3،1) توں پتہ چلدے ہن ۔




## حوالے

## ہور پڑھو
٭ .
٭ .
٭ 
٭ .
٭ .
٭ .
٭ .
٭ .
٭ 
٭ .
٭ .
٭ .
٭ .
٭