ٹوپولوجی

گنت وچّ، ٹوپولوجی (گریک توں τόπος، تھاں، اتے λόγος، مطالعہ) کھلے سیٹاں دے اک مجموعہ دا مطالعہ اے، جس وچّ کسے دتے ہوئے سیٹ نوں اک ٹوپولوجیکل سپیس بنایا جاندا اے۔ ایہہ گنت دا سپیس دیاں خاصیتاں نال متعلق کھیتر اے جو جاری توڑ مروڑاں دے باو جود وی سرکھات رہندیاں ہن۔ جویں کھچنا، موڑنا، پر پھاڑنا جاں چپکاؤنا نہیں ہندا ۔ اہم ٹوپولوجیکل خاصیتاں وچّ کنیکٹڈنیسّ اتے کمپیکٹنیسّ (سنگڑتا) شامل ہن۔

ٹوپولوجی جیؤمیٹری (ریکھاگنت) اتے سیٹ تھیوری دے وچوں، سپیس، ڈائمینشن (ایام)، اتے ٹرانسفورمیشن ورگے سنکلپاں دے تجزیہ راہیں، مطالعہ دے اک کھیتر دے روپ وچّ ترقی یافتہ ہوئی اے۔ اجیاے وچار 17ویں صدی وچّ گوٹفریڈ لیبنز ولّ لجاندے ہن۔ جسنے جیؤمیٹریا سائٹس (“تھاں دی جیومیٹری” لئی گریک-لیٹن شبد) اتے اینالائسس سائٹس (“تھاں توں الگّ چکنا” لئی گریک-لیٹن شبد) شبداں دی سوچ کیتی ۔ لیؤنہارڈ الر دی کونگزبرگ دے ستّ پلاں والی سمسیا اتے پولیہیڈرن فارمولا یقین نال اس کھیتر دیاں پہلیاں تھیورماں ہن۔ شبد “ٹوپولوجی” 19ویں صدی وچّ جوہانّ بینیڈکٹ لسٹنگ ولوں پیش کیتا گیا سی، بھاویں اک ٹوپولوجیکل سپیس دے ترقی یافتہ ہون تکّ 20ویں صدی دے پہلے دہاکے تکّ اجیہا نہیں ہویا سی۔ 20ویں صدی دے مدھ توں، ٹوپولوجی گنت دی وڈی شاخاں بن گئی اے۔

ٹوپولوجی دیاں کئی سبفیلڈاں ہن:

*	جنرل ٹوپولوجی ٹوپولوجی دے مڈھلے پہلوآں دا قیام کردی اے اتے ٹوپولوجیکل سپیساں دیاں خاصیتاں دی جانچ پڑتال کردی اے اتے ٹوپولوجیکل سپیساں پرتِ لازمی سنکلپاں دی جانچ [ڑتال کردی اے۔ اس وچّ پوآئنٹ-سیٹنٹ ٹوپولوجی شامل اے، جو ہور ساریاں شاکھاواں وچّ ورتی جان والی مڈھلی ٹوپولوجی اے (جس وچّ کمپیکٹنیسّ اتے کنیکٹڈنیسّ ورگے موضوع شامل ہن) ।

*	الجبرک ٹوپولوجی ، ہومولوجی اتوے ہوموٹوپی ورگیاں الجبرک بنتراں ورتدے ہوئے کنیکٹیوٹی دیاں ڈگریاں نوں ناپن دا یتن کردی اے۔

* ڈفرینشیئل ٹوپولوجی، ڈفرینشیئل مینیفولڈاں اتے ڈفرینشیئل پھنکشناں نال ورتن والی فیلڈ اے۔ ایہہ ڈفرینشیئل جیؤمیٹری (ریکھاگنت) نال نزدیکی طور تے متعلق ہندی اے اتے دوویں اکٹھیاں رل کے ڈفرینشیئل مینیفولڈاں دی جیؤمیٹرک تھیوری رچدیاں ہن۔

* 	جیؤمیٹرک ٹوپولوجی مکھ طور تے مینیفولڈاں اتے ہور مینیفولڈاں وچّ ایہناں دے جڑے ہوئے ستھاناں دا مطالعہ کردی اے۔ اک خاص طور تے کریاشیل کھیتر لو-ڈائمینشنل ٹوپولوجی اے، جو چار جاں چار توں گھٹّ ایاماں والے مینیفولڈاں دا مطالعہ کردا اے۔ اس وچّ نوٹّ تھیوری شامل اے، جو گنتک نوٹاں دا مطالعہ اے۔

## اتہاس

ٹوپولوجی ریکھاگنت وچّ کجھ سوالاں دی جانچ پڑتال توں شروع ہوئی سی۔ لیؤنہارڈ الر دے 1736 وچّ کونگزبرگ دے ستّ پل اتے پیپر نوں اجوکی ٹوپولوجی وچّ ودئک لیکھاں وچوں پہلا لیکھ کیہا جاندا اے۔

شبد ٹوپولوجی 1847 وچّ جرمنی وچّ جوہن بینڈکٹ لسٹنگ ولوں ورسٹڈین زر ٹوپولوجی وچّ پیش کیتا گیا سی، جو اسدے پہلے چھاپے توں پہلاں اس شبد نوں دس سال تکّ پتراں وچّ ورتدا رہا ۔ ٹوپولوجی دی انگریزی قسم نوں پہلی وار 1883 وچّ لسٹنگ دے مرتیولیکھ وچّ جرنل نیچر وچّ “سدھارن ریکھاگنت توں گناتمک ریکھاگنت نوں وکھرا درساؤن لئی” ورتیا گیا سی جس وچّ ماترک (ناپ سبندھی) سبندھاں نوں مکھ طور تے ورتیا جاندا اے۔ شبد ٹوپولوجی رسالے سپیکٹیٹر وچّ 1905 وچّ ٹوپولوجی وچّ وشیشک دے ارتھاں وچّ ورتیا گیا سی۔ پھیر وی، ایہناں وچوں کوئی وی ورتو ٹوپولوجی دی اجوکی تشریح نال پوری طرحاں نہیں ملدی ۔
ماڈرن ٹوپولوجی زوردار طریقے نال سیٹ تھیوری دے وچاراں اتے مشتمل اے، جو 19ویں صدی دے بعد والے حصے وچّ جورج کینٹور ولوں ترقی یافتہ کیتے گئے سن۔ سیٹ تھیوری دے مڈھلے وچاراں دی ستھاپناں دے نال نال، کینٹور نے پھوریئر سیریز دے اپنے مطالعہ دے اک حصے وجوں یکلڈن سپیس وچّ بندو سیٹاں نوں وی وچاریا ۔

ہینری پوآئکیئر نے 1895 وچّ اینالائسس سائٹس چھاپیا، جس وچّ ہوموٹوپی اتے ٹوپولوجی دے سنکلپاں نال جان پچھان کروائی گئی، جو ہن الجبرک ٹوپولوجی دا حصہ منے جاندے ہن ۔

جورج کینٹور، ویٹو وولٹیرا، سیزارے ارزیلا، جیکیوئس ہدامرڈ، گیولیؤ اشولی اتے ہوراں دے فنکشن سپیساں اتے کم نوں اکٹھا کردے ہوئے، مورش پھریچت نے 1906 وچّ میٹرک سپیس پیش کیتی ۔ اک میٹرک سپیس نوں ہن کسے عامَ ٹوپولوجیکل سپیس دا اک خاص حصہ منیا جاندا اے۔ 1914 وچّ، پھیلکس ہوزڈرپھّ نے ٹوپولوجیکل سپیس شبد اچھالیا اتے ہوزڈرپھّ سپیس دی تشریح دتی ۔ اجکلّ، اک ٹوپولوجیکل سپیس ہوزڈرپھّ سپیساں دا ذرا سرو سدھارن کرن اے، جو 1922 وچّ کیزیمیئرز کراٹووسکِ ولوں دتی گئی سی۔

ہور جانکاریاں لئی، دیکھو پوآئنٹ-سیٹنٹ ٹوپولوجی اتے الجبرک ٹوپولوجی

## جان پچھان

ٹوپولوجی نوں “کجھ چیزاں (جہناں نوں ٹوپولیجیکل سپیساں کیہا جاندا اے) دیاں اجہیاں وشیشتامک خاصیتاں دے ادھٔین” دے روپ وچّ متاثر کیتا جا سکدا اے جو کسے نشچت قسم دے پرورتن (جس نوں جاری نقشہ کہندے ہن) ہیٹھاں بدلدیاں نہیں ہن، خاص کرکے اوہ خاصیتاں جو کسے نشچت قسم دے پرورتن (جسنوں ہومومورپھزم کہندے ہن) ہیٹھاں ستھر رہندیاں ہن۔

ٹوپولوجی نوں کسے سیٹ X اتے تھوپی گئی اک اجیہی بنتر ولّ اشارہ کرن لئی وی ورتیا جاندا اے، جو پرورتن کرن تے، اکٹھا ہون (کنورجنس)، سمپررکتا (کنیکٹڈنیسّ)، اتے نرنترتا (کنٹینیوٹی) ورگیاں خاصیتاں دا سگی طریقے نال دھیان رکھدے ہوئے کسے ٹوپولوجیکل سپیس دے روپ وچّ سیٹ X نوں لازمی طور تے خاص بناؤندی اے۔

ٹوپولوجیکل سپیساں قدرتی طور تے لگبھگّ گنت دیاں سبھ شاکھاواں وچّ دسدیاں ہن۔ اس گلّ نے ٹوپولوجی نوں گنت دے مہان ایکا کرن والے وچاراں وچوں اک بنایا اے۔

ٹوپولوجی دے پچھے دی پریرناتمک بدھی ایہہ اے کہ کجھ ریکھاگنتک سمسیاواں استعمال ماتحت چیزاں دے انبنّ اکار اتے نربھر نہیں کردیاں، سگوں اس طریقے اتے نربھر کردیاں ہن جس طریقے نال اوہ رکھیاں جاندیاں ہن۔ اداہرن دے طور تے، طبقہ اتے چکر وچّ بہت سارے گن آپس وچّ سانجھے ہن: دوویں اک ایامی چیزاں ہن (اک ٹوپولوجیکل نظریہ توں) اتے دوویں کسے ستہِ نوں دو حصیاں وچّ ونڈ دندے ہن، اندر والا حصہ اتے باہر والا حصہ ۔

ٹوپولوجی وچّ پہلے پیپراں وچوں اک وچّ، لیؤنہارڈ الر نے سمجھایا کہ کونگزبرگ (ہن کالینیگراڈ کیہا جاندا اے) دے قصبے راہیں اک اجیہا رستہ لبھنا اسمبھو سی جو اسدے ستّ پلاں نوں صحیح صحیح اک وار پار کردا ہووے ۔ ایہہ نتیجہ پلاں دیاں لمبائیاں اتے نربھر نہیں کردا سی، نہ ہی اک دوجے توں آپسی دوری اتے نربھر سی۔، سگوں سمپرکتا خاصیتاں اتے ہی نربھر سی: کہ کہڑا پل کہڑے دیپاں جاں ندی کناریاں نوں جڑدا اے۔ ارمبھک گنت وچّ، اس سمسیا، جس نوں کونگزبرگ دے ستّ پل کیہا جاندا اے، نے گراف تھیوری نامک گنت دی شاخاں نوں جم دتا ۔

اسے طرحاں، الجبرک ٹوپولوجی دی ہیئری بال تھیورم کہندی اے کہ “اک کاؤلکّ (والاں دا گچھا) بنائے بغیر کسے والاں والی گیند اتے والاں نوں فلیٹ نہیں واہیا جا سکدا” । ایہہ تتھّ جیادتر لوکاں نوں ترنت یقین دواؤن دندا اے، بھاویں اوہ تھیورم دے زیادہ رسمی کتھن نوں نہیں پہچاندے ہو سکدے، کہ کسے سپھیئر اتے کوئی وی الوپ نہ ہون والی جاری سپرش ویکٹر فیلڈ نہیں ہندی ۔ جویں کونگزبرگ دے پلاں وچّ ہندا اے، نتیجہ سپھیئر دے اکار اتے نربھر نہیں کردا؛ ایہہ کسے وی قسم دے سچارو گولے تے لاگوُ ہندی اے، جنی دیر تکّ اس وچّ کوئی سوراخ نہیں ہندا ۔

جہڑیاں سمسیاواں چیزاں دی انبنّ شکل اتے نہیں نربھر کردیاں، اجہیاں سمسیاواں نال ورتن لئی، ایہہ گلّ واضع کر لینی چاہیدی اے کہ ایہہ سمسیاواں کہڑیاں خاصیتاں اتے نربھر کردیاں ہن۔ اس ضرورت توں ہومومورپھزم دی دھارنا پیدا ہندی اے۔ ہریک پل نوں صرف اک وار پار کرن دی اسمبھوتا کونگزبرگ وچّ پلاں پرتِ ہومومورپھک پلاں دے کسے وی سسٹم تے لاگوُ ہندی اے، اتے ہیئری بال تھیورم کسے گولے پرتِ کسے وی ہومومورپھک سپیس تے لاگوُ ہندی اے۔

سہج علم دے طریقے نال، دو سپیساں ہومومورپھک ہندیاں ہن جیکر اک سپیس دا بگیر کٹے جاں جوڑے دوجی سپیس وچّ توڑ مروڑ کے اکار بدل دتا جا سکدا ہووے ۔ اک پرمپرک چٹکا ایہہ اے کہ اک ٹوپولجسٹ کسے کوفی دے مگّ اتے کسے چھلے ورگے کیک وچّ فرق نہیں کر سکدا، کیونکہ اک ضرورت مطابق لچکیلے چھلے ورگے کیک وچّ اک ٹوآ بنا کے اتے پھیر ہولی ہولی اسنوں ودھا کے کسے کوفی دے کپ دی شکل وچّ دوبارہ بنایا جا سکدا اے، جدونکھ سوراخ نوں ہینڈل وچّ سنگوڑیا جا سکدا اے۔

ہومومورپھزم نوں سبھ توں زیادہ مڈھلی ٹوپولوجیکل سمانتا منیا جا سکدا اے۔ اک ہور ہوموٹوپی سمانتا وی ہندی اے۔ تکنیکی جانکاری حاصل کیتے بغیر اسنوں سمجھاؤنا کٹھن اے، پر لازمی تجزیہ ایہہ اے کہ دو چیزاں ہوموٹوپی طور تے سامان ہندیاں ہن جیکر اوہ دوویں چیزاں کسے وڈی چیز نوں توڑ کے بنائیاں گئیاں ہون ۔

اک جان پچھان والا مشق انگریزی لپی دے وڈے (کیپیٹل) اکھراں نوں ہومومورفزم اتے ہوموٹوپی سمانتا مطابق کیٹیکرائزڈ کرنا اے۔ نتیجہ انشک طور تے ورتے گئے پھونٹاں اتے وی نربھر کردا اے۔ چتراں وچّ سانسّ-سیرپھ مریاڈ پھونٹ ورتے گئے ہن۔ ہوموٹوپی سمانتا ہومومورپھزم نالوں اک رپھّ (رکھا/موٹا) سبندھ اے؛ کوئی ہوموٹوپی سمانتا گٹھ کئی ہومومورپھزم کیٹیکریاں رکھ سکدی اے۔ اپر درسایا ہوموٹوپی سمانتا گٹھ دا سرل معاملہ اتھے ایہہ دکھاؤن نوں ورتیا جا سکدا اے کہ دو اکھر ہوموٹوپی طور تے سامان ہن۔ اداہرن دے طور تے، O اکھر P وچّ فٹّ ہو جاندا اے اتے P دی پونچھ نوں سوراخ والے حصے تکّ پیسیا جا سکدا اے۔

ہومومورفزم کیٹیکریاں ایہہ ہن:

* 	کوئی سوراخ نہیں
* 	کوئی سوراخ نہیں، تنّ پونچھا
* 	کوئی سوراخ نہیں، چار پونچھاں
* 	اک سوراخ، کوئی پونچھ نہیں
* 	اک سوراخ، اک پونچھ
* 	اک سوراخ، دو پونچھاں
* 	دو سوراخ، کوئی پونچھ نہیں، اتے
*	چار پونچھاں والا اک بار (ڈنڈا) (اکھر *K* اتے بار دیکھن لئی بہت چھوٹا ہندا اے)

ہوموٹوپی کیٹیکریاں وڈیاں ہندیاں ہن، کیونکہ پونچھاں نوں کسے بندو تکّ پیسیا جا سکدا اے۔ ایہہ ایہہ ہندیاں ہن:

* اک سوراخ
* 	دو سوراخ، اتے
* 	کوئی سوراخ نہیں

اکھراں نوں صحیح طریقے نال شرینیبدھّ کرن لئی، سانوں لازمی طور تے ایہہ دکھاؤنا چاہیدا اے کہ اکو گٹھ والے دو اکھر سامان ہن اتے وکھریاں کیٹیکریاں وچوں لئے دو اکھر وکھرے ہن۔ ہومومورپھزم دے معاملے وچّ، بندو چن کے اتے ایہہ دکھا کے اجیہا کیتا جا سکدا اے کہ ایہناں بندوآں دا ہٹاؤنا اکھراں نوں وکھرے طریقے نال الگ کردا اے۔ اداہرن دے طور تے، X اتے Y ہومومورپھک نہیں ہن کیونکہ X دا مرکزی بندو ہٹاؤن نال اسدے چار پیس ہو جاندے ہن؛ اس بندو نال Y وچّ جہڑا بندو متعلق اے، اسدے ہٹاؤن نال تنّ پیس ہو جاندے ہن۔ ہوموٹوپی سمانتا والا معاملہ ذرا کٹھن اے اتے اک ہور زیادہ وستھارپوروک ترک دی منگ کردا اے جو اک الجبرک ستھرتا دکھاؤندا اے، جویں پھنڈامینٹل گروپ، جو منیاں جاندیاں وکھریاں کیٹیکریاں اتے وکھرا ہندا اے۔

اکھر ٹوپولوجی سٹینسل ٹائپوگراپھی وچّ عملی سبندھ رکھدی اے۔ اداہرن دے طور تے، براگاڈوکیؤ پھونٹ سٹینسلاں پدمطلب دے اک جڑے ہوئے ٹکڑے توں بنے ہندے ہن۔

## نظریئے

### سیٹاں اتے ٹوپولوجیاں

شبد ٹوپولوجی، ٹوپولوجی کاے جان والے گنت دے کھیتر پرتِ اک خاص گنتک مرکزی وچار ولّ وی اشارہ کردا اے۔ غیرضروری طور تے، اک ٹوپولوجی دسدی اے کہ کسے سیٹ دے ایلیمینٹ اک دوجے پرتِ مقامی طور تے کویں متعلق ہن۔ اکو سیٹ وکھریاں وکھریاں ٹوپولیجیاں رکھ سکدا اے۔ اداہرن دے طور تے، واستوک ریکھا، کمپلیکس پلین، اتے کینٹور سیٹ نوں وکھریاں ٹوپولیجیاں والے اکو سیٹ دے روپ وچّ سوچیا جا سکدا اے۔

رسمی طور تے، منّ لؤ X کوئی سیٹ اے اتے τ اس X دے سبسیٹاں دا پروار اے۔ پھیر τ نوں X اتے اک ٹوپولوجی کیہا جاویگا جیکر:

#	خالی سیٹ اتے X دوویں ہی τ دے ایلیمینٹ ہون
#	τ دے ایلیمینٹاں دا کوئی وی سنگھ (یونین) τ دا اک ایلیمینٹ ہووے
#	τ دے بہت سارے ایلیمینٹاں دی سیمت طور تے کوئی وی کاٹ (انٹرسیکشن) وی τ دا اک ایلیمینٹ ہووے ۔

جیکر τ کوئی X اتے ٹوپولوجی ہووے، تاں جوڑے (X, τ) نوں ٹوپولوجیکل سپیس کیہا جاندا اے۔ دھارنا*X<sub>τ</sub>* خاص ٹوپولوجی τ نال سمپن کسے سیٹ X نوں لکھن لئی ورتی جا سکدی اے۔

τ دے میمبراں نوں اوپن (کھلے) سیٹ کیہا جاندا اے جو X وچّ ہندے ہن۔ X دے کسے سبسیٹّ نوں کلوزڈ (بند) کیہا جاندا اے جیکر τ وچّ اسدے پورک وی ہون (یانِ کہ اسدے پورک کھلے ہون)۔ X دا کوئی سبسیٹّ کھلا، بند، دوویں (کلوپن سیٹ)، جاں دوویں نہیں ہو سکدا اے۔ خالی سیٹ اتے X اپنے آپ وچّ ہمیشاں دوویں گناں بند اتے کھلے والے ہندے ہن۔ بندو x رکھن والا کوئی کھلا سیٹ x دا گوانڈھی کیہا جاندا اے۔

اک ٹوپولوجی والے کسے سیٹ نوں اک ٹوپولوجیکل سپیس کیہا جاندا اے۔

### جاری فنکشن اتے ہومومورفزماں

اک ٹوپولیجیکل سپیس توں دوجی ٹوپولوجیکل سپیس تکّ دے میپ جاں فنکشن نوں تاں کنٹینیوس (جاری) کیہا جاندا اے جیکر کسے کھلے سیٹ دی الٹی تصویر وی کھلی ہووے ۔ جیکر کوئی فنکشن واستوک نمبراں نوں واستوک نمبراں تکّ میپ کردا اے (نقشہ بناؤندا اے) (سٹینڈرڈ ٹوپولوجی والیاں دوویں سپیساں)، تاں ایہہ نرنترتا دی ایہہ تشریح کیلکلس وچّ نرنترتا دی تشریح دے برابر ہندی اے۔ جیکر کوئی جاری فنکشن اک-توں-اک اتے اؤنٹو (اپر) ہووے، اتے جیکر کسے فنکشن دا الٹا وی جاری ہووے، تاں فنکشن نوں اک ہومومورپھزم کیہا جاندا اے اتے اس فنکشن دی ڈومین نوں رینج پرتِ ہومومورپھک کیہا جاندا اے۔ اس نوں اک ہور طریقے نال کہن دا طریقہ ایہہ اے کہ فنکشن کول ٹوپولوجی تکّ اک قدرتی شاخاں ہندی اے۔ جیکر دو سپیساں ہومومورپھک ہون، تاں اوہناں دیاں برابر ہی ٹوپولوجیکل خاصیتاں ہندیاں ہن، اتے اوہناں نوں ٹوپولوجیکل طور تے برابر منیا جاندا اے۔ کیوب (گھن) اتے سپھیئر (گولہ) ہومومورپھک ہندے ہن، جویں کوفی کپ اتے چھلے دی شکل دا کیک ۔ پر چکر چھلیدار کیک پرتِ ہومومورپھزم نہیں ہندا ۔

### مینیفولڈ

جدونکھ ٹوپولوجیکل سپیساں وودھ اتے عجیب ہو سکدیاں ہن، ٹوپولوجی دے بہت سارے کھیتر مینیفولڈاں نامک سپیساں دی ہور جانی پچھانی گٹھ اتے دھیان کیندرت کردے ہن۔ اک مینیفولڈ اجیہی ٹوپولوجیکل سپیس ہندی اے۔ جو ہریک بندو نیڑے یکلڈن سپیس نال ملدی جلدی ہندی اے۔ ہور شدھتا نال کہندے ہوئے، کسے n-ایامی مینیفولڈ دا ہریک بندو اک گوانڈھ رکھدا اے جو n-ایامی یکلڈن سپیس پرتِ ہومومورپھک ہندا اے۔ ریکھاواں اتے چکر، پر اٹھ انک دی تصویر نہیں، اک ایامی مینیفولڈ ہندے ہن۔ دو-ایامی مینیفولڈاں نوں ستہاں وی کیہا جاندا اے۔ اداہرناں وچّ پلین، سپھیئر، اتے ٹورس شامل ہن۔ جہناں نوں تنّ ایاماں وچّ تجربہ کیتا جا سکدا اے، پر کلیئن بوتل اتے واستوک پروجیکٹو پلین نوں نہیں ۔

## موضوع

### عامَ ٹوپولوجی

عامَ ٹوپولوجی، ٹوپولوجی دی اوہ شاخاں اے جو مڈھلیاں سیٹ-اصولی پربولیاں اتے ٹوپولوجی وچّ ورتیاں جاندیاں بنتراں نال ورتدی اے۔ ایہہ ٹوپولوجی دیاں ہور زیادہتر شاکھاواں دا ادھار اے جہناں وچّ ڈفرینشیئل ٹوپولوجی، ریکھگنتک ٹوپولوجی، اتے الجبرک ٹوپولوجی شامل ہن۔ عامَ ٹوپولوجی لئی اک ہور نام بندو-سیٹو ٹوپولوجی اے۔

بندو-سیٹو ٹوپولوجی وچّ مڈھلے تجزیہ کنٹینیوٹی (نرنترتا)، کمپیکٹنیسّ (سنگھنتا)، اتے کنیکٹڈنیسّ (سمپرکتا) ہن۔ سہج علم دے طریقے نال، جاری فنکشن نیڑے دے بندوآں نوں نیڑے دے بندوآں تکّ لیندے ہن۔ کمپیکٹ سیٹ اوہ ہندے ہن جہناں نوں منمرضی دے چھوٹے اکار دے کئی سیمت سیٹاں راہیں کور کیتا جا سکدا اے۔ کنیکٹڈ سیٹ اوہ سیٹ ہندے ہن جہناں نوں اجیاے دو حصیاں وچّ نہیں ونڈیا جا سکدا جو دور ہون ۔ شبداں “نیڑے، منمرضی دے چھوٹے، اتے دور” نوں کھلے سیٹاں دی ورتو نال خالص بنایا جا سکدا اے۔ جیکر اسیں کھلے سیٹاں دی پرناشا بدل دندے ہاں، تاں اسیں اس تشریح نوں بدل دندے ہاں کہ جاری فنکشن، کمپیکٹ سیٹ، اتے کنیکٹڈ سیٹ کی ہندے ہن۔ کھلے سیٹاں لئی تشریح پرتِ ہریک چون نوں ٹوپولوجی کیہا جاندا اے۔ ٹوپولوجی والے کسے سیٹ نوں اک ٹوپولوجیکل سپیس کیہا جاندا اے۔

میٹرک سپیساں ٹوپولوجیکل سپیساں دی اک اہم گٹھ ہن جتھے جتھیں دوریاں نوں اک میٹرک نامک نمبر حاصل کیتا جا سکدا اے۔ اک میٹرک دا ہونا کئی ثبوتاں نوں سرل کردا اے، اتے زیادہتر عامَ ٹوپولوجیکل سپیساں میٹرک سپیساں ہندیاں ہن۔

### الجبرک ٹوپولوجی

الجبرک ٹوپولوجی گنت دی اوہ شاخاں اے جو ٹوپولوجیکل سپیساں دے مطالعہ لئی امورت الجبرے توں زریعہ ورتدی اے۔ مکھ مقصد اجیاے الجبرک ستھرانک لبھنے ہندے ہن جو ٹوپولوجیکل سپیساں نوں ہومومورپھزم تکّ شرینیبدھّ کردے ہون، بھاویں زیادہتر ہوموٹوپی سمانتا تکّ شرینیبدھّ کردے ہن۔
ایہناں شتھرانکاں وچوں سبھ توں زیادہ اہم ہوموٹوپی گروپ، ہومولوجی، اتے کوہومولوجی ہن۔

بھاویں الجبرک ٹوپولوجی مڈھلے طور تے الجبرے دی ورتو ٹوپولوجیکل سمسیاواں لئی کردی اے، پھیر وی ٹوپولوجی دی ورتو الجبرک سمسیاواں لئی وی کدے کدے ممکن ہندی اے۔ الجبرک ٹوپولوجی، اداہرن دے طور تے، اک اجیاے اسان ثبوت دی آگیا دندی اے کہ اک ستنتر گروپ دا کوئی اپّ-گروپ پھیر اک ستنتر گروپ ہی ہندا اے۔

### ڈفرینشیئل ٹوپولوجی

ڈفرینشیئل ٹوپولوجی اوہ کھیتر اے جو ڈپھرینشیئیبل مینیفولڈاں اتے ڈپھرینشیئیبل پھنکشناں نال ورتدا اے۔ ایہہ ڈفرینشیئل جیؤمیٹری (ریکھاگنت) نال نزدیکی طور تے متعلق اے اتے اکٹھے مل کے ایہہ دوویں ڈپھرینشیئیبل مینیفولڈاں دی ریکھاگنتک تھیوری بناؤندے ہن۔

زور زیادہ خاص طور تے کہندے ہوئے، ڈفرینشیئل ٹوپولوجی اجہیاں خاصیتاں اتے بنتراں نوں وچاردی اے جہناں نوں متاثر کرن لئی کسے مینیفولڈ اتے صرف اک سچارو بنتر دی ضرورت ہندی اے۔ وادھو ریکھاگنتک بنتراں والے مینیفولڈاں نالوں سچارو مینیفولڈ زیادہ کومل ہندے ہن۔ جو ڈفرینشیئل ٹوپولوجی وچّ موجود کجھ قسماں دیاں سمانتاواں اتے توڑاں-مروڑاں پرتِ رکاوٹاں دے طور تے کم کردے ہن۔ اداہرن دے طور تے، وولیؤم (گھنپھل) اتے ریمانیئن کرویچر اجیاے ستھرانک ہن جو اکو سچارو مینیفولڈ اتے وکھریاں وکھریاں ریکھاگنتک بنتراں نوں وکھرا کر سکدے ہن- یانِ کہ، کجھ مینیفولڈاں نوں سچارو طریقے نال پدھرا کیتا جا سکدا اے، پر اسطراں کرن لئی ہو سکدا اے کہ سپیس نوں توڑنا-مروڑنا پوے اتے کرویچر اتے وولیؤم نوں متاثر کرنا پوے ۔

### ریکھاگنتک ٹوپولوجی

ریکھاگنتک ٹوپولوجی، ٹوپولوجی دی اوہ شاخاں اے جو مڈھلے طور تے نمر-ایامی (لو-ڈائمینشنل، یعنی کہ 2, 3, اتے 4 ایامی) مینیفولڈاں (بہپرتاں) اتے اوہناں دیاں ریکھگنت ناپ پرسپر کریاواں اتے دھیان مرتکز کردی اے، پر اس وچّ کجھ اچّ-ایامی ٹوپولوجی وی شامل اے۔ ریکھاگنتک ٹوپولوجی وچّ موضوعاں دیاں کجھ اداہرناں وچّ اریئینٹیبلٹی (یکلڈن سپیس وچّ ستہاں دا اوہ گن جو ایہہ ناپدا اے کہ ہریک بندو اتے ستہی ویکٹر دی ستھر چون کرنی ممکن اے کہ نہیں)، ہینڈل ویوجن، لوکل پھلیٹنیسّ (مقامی پدھراپن)، اتے پلینار اتے اچّ-ایامی شونپھائیل تھیورم شامل ہن ۔

اچّ-ایامی ٹوپولوجی وچّ، خاص گن کیٹیکریاں اک مڈھلا ستھرانک اے اتے سرجری تھیوری اک پرمکھ تھیوری اے۔

نمر-ایامی ٹوپولوجی اک طاقتور ریکھاگنت اے، جویں 3 ایاماں وچّ یونیفومائزیشن تھیورم توں پتہ چلدا ہے- ہریک ستہِ اک ستھر کرویچر میٹرک دی پالنا کردی اے؛ ریکھاگنتک طور تے، اسدیاں 3 ممکن جیومیٹریاں وچوں اک جیومیٹری ہندی اے: پوزیٹو کرویچر/سفیریکل، زیرو کرویچر/فلیٹ، نیگیٹو کرویچر/ہائپربولک- اتے جویں 3 ایاماں وچّ جیومیٹرزیشن کنجیکچر (ریکھاگنتک کرن دا اندازا، ہن تھیورم) توں پتہ چلدا ہے- ہریک 3-مینیفولڈ نوں دو ٹکڑیاں وچّ رکھیا جا سکدا اے، جہناں وچوں ہریک دیاں اٹھ ممکن جیومیٹریاں وچوں اک جیومیٹری ہندی اے۔

2-ایامی ٹوپولوجی دا مطالعہ اک ویریئیبل (استھرانک) (ریمانّ ستہاں کمپلیکس وکراں ہندیاں ہن) وچّ یونیپھورمائزیشن تھیورم راہیں کمپلیکس ریکھاگنت دے روپ وچّ کیتا جا سکدا اے کہ میٹرکساں دی ہریک کنپھرمل (سمانتا درساؤن والی) گٹھ کسے نرالی کمپلیکس گٹھ سامان ہندی اے، اتے 4-ایامی ٹوپولوجی دا مطالعہ دو ویریئیبلاں (کمپلیکس ستہاں) وچّ کمپلیکس ریکھاگنت دے نظرئیے توں کیتا جا سکدا اے، بھاویں ہریک 4-مینیفولڈ کسے کمپلیکس بنتر دی پالنا نہیں کردا ۔

### جنرلائزیشناں

زیادہتر موقعیاں اتے، ٹوپولوجی دے سادھناں دی ورتوں کرن دی لوڑ پیندی اے، پر “بندوآں دا سیٹ” مہیا نہیں ہندا ۔ بندوہین ٹوپولوجی وچّ اسدی جگہ کھلے سیٹاں دی لیٹس (جالی) نوں تھیوری دی مڈھلی دھارنا دے روپ وچّ لیا جاندا اے، جدونکھ گروتھینڈیئیکّ ٹوپولوجیآں اجہیاں منچاہیاں کیٹیکریاں اتے متاثر بنتراں ہندیاں ہن جو اوہناں کیٹیکریاں اتے ڈھیراں دی تشریح دی آگیا دین، اتے جو سدھارن کوہومولوجی تھیوریآں دی تشریح نال متاثر ہون ۔

## ورتوں

### بائیولوجی

ٹوپولوجی دی اک شاخ، جسنوں نوٹ تھیوری کیہا جاندا اے، DNA اتے کجھ اینزائیماں دے اثراں دا مطالعہ کرن لئی جیو سائنس وچّ ورتی جاندی اے۔ اینزائیم ڈیئینئے نوں دھیمی الیکٹروفوریسس ورگے پرکھے جانیوگ اثراں نال گٹھّ دندے ہوئے، کٹدے، وٹا دندے، اتے مڑ توں جوڑدے ہن ۔ ٹوپولوجی دی ورتو اتشوہر جیو سائنس وچّ پھینوٹائیپ اتے جینوٹائیپ درمیان سبندھ پرسعنصر کرن لئی وی کیتی جاندی اے۔ پھینوٹائیپک قسماں جو کپھی وکھریاں دسدیاں ہن، صرف کجھ تبدیلیاں راہیں ہی وکھریاں کیتیاں جا سکدیاں ہن جو اس گلّ تے نربھر کردیاں ہن کہ ترقی دوران جینیٹک تبدیلیاں پھینوٹائیپک تبدیلیاں تکّ نقشہ کویں بناؤندیاں ہن۔

### کمپیوٹر سائنس

ٹوپولوجیکل آنکڑا تجزیہ، الجبرک ٹوپولوجی والیاں تکنیکاں دے استعمال نال کسے سیٹ دی وشال پیمانے دی بنتر نوں نردھارت کرن لئی کردا اے (جویں ایہہ نردھارت کرنا کہ بندوآں دا اک بدل گول اے جاں ٹوروآئڈل (انڈاکار ورگے اکار) اے۔ ٹوپولوجیکل آنکڑا وشیلشن راہیں ورتیاں جان والیاں مکھ ودھیاں ایہہ ہن:

# 	آنکڑا بندوآں دے کسے سیٹ نوں سمپلیکل کمپلیکساں دے اک پروار نال بدل دیو، جو اک پروکسیمٹی پیرامیٹر (نزدیکی ماپدنڈ) راہیں سوچکانکت کیتا ہووے ۔
# 	ایہناں ٹوپولوجیکل کمپلیکساں دا الجبرک ٹوپولوجی ولوں تجزیہ کرو- خاص کرکے پرسسٹینٹ (جاری) ہومولوجی دی تھیوری راہیں ۔
# 	کسے آنکڑا سیٹ دی جاری (پرسسٹینٹ) ہومولوجی نوں بیٹی نمبر دے اک ماپدنڈیکرت روپ دے روپ وچّ سکینتبدھّ (اینکوڈ) کرو، جسنوں اک بارکوڈ کیہا جاندا اے۔

### فزکس

فزکس وچّ، کوانٹم فیلڈ تھیوری اتے کائنات سائنس ورگے کئی کھیتراں وچّ ٹوپولوجی دی ورتو کیتی جاندی اے۔

اک ٹوپولوجیکل کوانٹم فیلڈ تھیوری (جاں ٹوپولوجیکل فیلڈ تھیوری جاں TQFT) اجیہی کوانٹم فیلڈ تھیوری ہندی اے جو ٹوپولوجیکل انویریئینٹاں (ستھراں) دا حساب لگاؤندی اے۔

بھاویں ٹوپولوجیکل کوانٹم فیلڈ تھیوریآں بھوتک سائنسدانآں نے کھوجیاں سن، پر پھیر وی ہور چیزاں دے نال نال، نوٹّ تھیوری اتے الجبرک ٹوپولوجی وچّ چار-ایامی مینیفولڈاں دی تھیوری، اتے البرک ریکھاگنت وچّ موڈیولیائ سپیساں دی تھیوری نال متعلق ہون کارن ایہہ گنتک دلچسپی والیاں وی ہندیاں ہن۔ ڈوناکڈسن، جونس، وٹن، اتے کونٹسیوچ سبھ نے ٹوپولوجیکل فیلڈ تھیوری نال متعلق کم کارن فیلڈ میڈل جتے ہن۔

کائنات سائنس وچّ، کائنات دا سارے دا سارا اکار درساؤن لئی ٹوپولوجی دی ورتو کیتی جا سکدی اے۔ اس کھیتر نوں سپیسٹائیم ٹوپولوجی کیہا جاندا اے۔

### روبوٹکس

کسے روبوٹ دیاں وکھ وکھ سمبھ پزیشناں نوں کنپھگریشن سپیس نامک اک مینیفولڈ راہیں درسایا جا سکدا اے۔ گتی سکیم (موشن پلیننگ) دے کھیتر وچّ، دو بندوآں درمیان رستیاں دی کھوج رچنا سپیس وچّ کیتی جاندی اے۔ ایہہ رستے روبوٹ دے جوڑاں دی گتی پیش کردے ہن اتے منچاہی جالت اتے مدرا (پوز) وچّ ہور حصیاں دی گتی پیش کردے ہن۔

گٹھ:گنت
گٹھ:ریکھاگنت
گٹھ:فزکس