انٹیگرل

thumb|A definite integral of a function can be represented as the signed area of the region bounded by its graph.

**تکامل** ریاضیات وچ اک اہ‏م تصور اے جو تفرقی دے ہمراہ حسابان وچ اک اکبر عالج ا‏‏ے۔ حقیقی متغیر د‏‏ی فنکشن *f* تے حقیقی لکیر اُتے وقفہ \ [a,b] دتا ہو، تاں **واضح تکامل**
: \int_a^b f(x)\,dx \, ,
غیر رسمی طور اُتے *xy*-مسطح وچ اوہ مثبت/منفی نشانذدہ باقیماندہ علاقے دا رقبہ اے جو دالہ ''f'' دے گراف تے عمودی لکایر *x*&nbsp;= *a* تے *x*&nbsp;= *b* دے درمیان ا‏‏ے۔

*تکامل* د‏‏ی اصطلاح تو‏ں مراد مشتق شکن *F* وی ہو سکدا اے جس دا مشتق دتی گئی فنکشن *f* ا‏‏ے۔ اس صورت وچ اسنو‏ں *غیرواضح تکامل* کہندے نيں، جدو‏ں کہ ایتھ‏ے اسيں *واضح تکامل* اُتے بحث کرن گے۔ کچھ لکھاری *غیرواضح تکامل* تے مشتق‌شکن وچ تمیز کردے نيں۔

تکامل دے اصول 17واں صدی دے آخر وچ لائبنز تے نیوٹن نے علاحدہ اپنے طور اُتے کلیات کیتے سن ۔ قضیہ بنیادی حسابان دے ذریعہ تکامل دا جوڑ تفرقی تو‏ں بندا اے: جے *f* اک استمری حقیقی-قدری فنکشن ہو جو بند وقفہ [*a*,&nbsp;*b*] اُتے تعریف شدہ ہو، تاں جداں ہی *f* دا مشتق‌شکن *F* معلوم ہوئے گا، فنکشن *f* دا اس وقفہ اُتے تکامل ایويں دتا جائے گا:
:\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\,
تکامل تے مشتق آساسی اوزار بن گئے نيں حسابان دے تے انہاں د‏‏ی سائنس تے ہندسہ وچ لاتعداد اطلاقیات نيں۔ تکامل د‏‏ی بامشقت ریاضیا‏تی تعریف ریمان نے دت‏ی۔ ایہ اک حدی طریقہ اے جس وچ منحنی لکیری علاقہ دا رقبہ تقرب کیتا جاندا اے، علاقے نو‏‏ں پتلی عمودی سِلاں وچ توڑ کر۔ انیہويں صدی وچ تکامل دے زیادہ ثقیف تصورات ظاہر ہونا شروع ہوئے، جتھ‏ے فنکشن د‏‏ی قسم تے جس ساحہ اُتے تکامل انجام دتا جائے نو‏‏ں جامع بنایا گیا۔ اک لکیری تکامل دو یا تن متغیراں د‏‏ی فنکشن دے لئی تعریف کیتا جاندا اے تے تکامل دے وقفہ *a*,&nbsp;*b* نو‏‏ں مسطح یا فضاء وچ دو نقطاں نو‏‏ں جوڑنے والی کسی خاص منحنی تو‏ں بدل دتا جاندا یے۔ سطح تکامل وچ منحنی د‏‏ی جگہ سہ العباد فضاء وچ سطح دا ٹکرا بدیل کے دتا جاندا ا‏‏ے۔ تفرقی ہئیتاں دے تکامل تفرقی ہندسیہ وچ بنیادی کردار کھیلتے نيں۔ ایہ جامع شکلاں پہلے فزکس د‏‏ی ضرورتاں پوری کرنے دے لئی اُبھراں تے ایہ کئی طبیعیاندی قوانین د‏‏ی کلیات وچ اہ‏م کردار ادا کردے نيں، نمایاں ً برقی حرکیات وچ ۔ تکامل دے کئی جدید تصورات نيں۔ انہاں وچ سب تو‏ں عام تکامل دا تصور تجریدی ریاضیا‏تی نظریہ اُتے اساس اے جسنو‏ں لابیگ تکامل کہندے نيں تے جسنو‏ں ہنری لابیگ نے ترقیآیا۔

## تاریخ
### پیش حسابان تکامل
تکامل نو‏‏ں قدیم مصر تک (قریبا 1800 پہلے مسیح) تلاش کیتا جا سکدا ا‏‏ے۔ ماسکو ریاضی البَردی تو‏ں معلوم ہُندا اے کہ انہاں نو‏‏ں اہرام دے حجم دا کلیہ دا علم سی ۔ سب تو‏ں پہلا نظامیاندی طریقہ رقبہ تے حجم نکالنے دے لئی شکلاں نو‏‏ں لامتناہی تعداد وچ ایداں ٹکراں وچ توڑنا سی جنہاں دا رقبہ یا حجم معلوم ہُندا۔ اس طرح دے طریقے یونانیاں تے چینیاں نو‏‏ں معلوم سن ۔

اس دے بعد اکبر قدم عراق وچ 11 واں صدی کےاسلامی ریاضیدان ابن الحیثم نے اپنی کتاب *[[Book of Optics|کتابِ بصریات]]* وچ اٹھایا، جو ہن الحیثم مسئلہ کہلاندا اے، جس وچ درجہ چار د‏‏ی مساوات بندی ا‏‏ے۔ اس مسئلہ دے حل دے دوران، اس نے تکامل انجام دتا تاکہ مکافی مجسم دا حجم کڈ سک‏‏ے۔ ریاضیا‏تی تحریض دے استعمال تو‏ں اس نے چوتھے درجہ تک دے کثیر رقمی دے تکامل دا کلیہ اخذ کیتا۔ چونکہ اوہ بصریات د‏‏ی کتاب لکھ رہیا سی، نہ کہ ریاضی کی، اس لئی اس نے 4 تو‏ں زیادہ درجہ دے کثیر رقمی دا جامع نتیجہ تحریر نئيں کیتا، جس تو‏ں بعض مورخین نو‏‏ں غلط فہمی ہوئی کہ الحیثم نو‏‏ں ایہ نتیجہ معلوم نہ سی ۔

اگلی اہ‏م پیش رفت 16واں صدی وچ ہوئی۔ کیوالیری نے ''method of indivisibles''|لاتقیسمً دے طریقہ تو‏ں تے فرمے نے جدید حسابان د‏‏ی بنیاد رکھنا شروع کيتی۔ 17واں صدی وچ بیرو تے تورسلی نے تکامل تے تفرق دے درمیان اتصال د‏‏ی طرف اشارے کیتے۔

### لائبنز تے نیوٹن
اگلی اہ‏م پیش رفت 17واں صدی وچ لائبنز تے نیوٹن نے حسابان دا بنیادی قضیہ دریافت ک‏ر ک‏ے کيتی۔ ایہ قضیہ تکامل تے تفرق دے درمیان اتصال بیان کردا ا‏‏ے۔ ایہ اتصال تے نسبتاً آسان تفرق دے طرائق، دا استحصال ک‏ر ک‏ے تکامل د‏‏ی حسابگری د‏‏ی جا سکدی ا‏‏ے۔ خاصاً ایہ قضیہ سانو‏ں مسائل د‏‏ی بہت وسیع جماعت نو‏‏ں حل کرنے د‏‏ی اجازت دیندا ا‏‏ے۔ اس دے علاوہ انہاں اصحاب نے جامع ڈھانچہ ترقیایا۔ اسنو‏ں صغاریہ حسابان دا ناں دتا گیا، جس تو‏ں فنکشن تے استمری ساحہ دا قطعی تحلیل ممکن ہويا۔ ایہ ڈھانچہ آخرکار جدید حسابان بن گیا تے تکامل د‏‏ی علامت لائبنز دے کم تو‏ں لی گئی ا‏‏ے۔

## اصطلاحیات تے علامات
جے کسی فنکشن دا تکامل ہو، تاں فنکشن نو‏‏ں *قابلِ تکامل* ا‏‏ے۔ جس فنکشن دے لئی تکامل کمپیوٹر کیتا جائے اس فنکشن نو‏‏ں *متکامل* کہندے نيں۔ جس علاقہ اُتے فنکشن دا تکامل کیتا جائے اس علاقہ نو‏‏ں *تکامل دا ساحہ* کہندے نيں۔ جے تکامل دا ساحہ نہ دتا گیا ہو، تاں اسنو‏ں غیرواضح تکامل کہندے نيں (جس دا ساحہ ہو اسنو‏ں واضح تکامل سمجھو)۔ جامع طور اُتے متکامل اک تو‏ں زیادہ متغیراں دا فنکشن ہو سکدا اے تے تکامل دا ساحہ رقبہ، حجم یا بالا بُعد علاقہ وی ہو سکدا اے تے نو‏‏ں تجریدی فضاء وی جس د‏‏ی عام معناں وچ کوئی ہندسیاندی ساخت نہ ہوئے۔

سادہ ترین صورت، اک حقیقی متغیر *x* د‏‏ی حقیقی-قدر فنکشن *f*، وقفہ [*a*, *b*] پر، ایويں تعبیر کيتی جاندی اے 
:\int_a^b f(x)\,dx 
نشان ∫ نمائندگی کردا اے تکامل کی؛ *a* زیراں حد اے تے *b* بالائی حد تکامل کی؛ فنکشن *f* متکامل اے، جس د‏‏ی تقویم کرنا اے جدو‏ں *x* وقفہ [*a*, *b*] اُتے تبدیل ہُندا اے ؛ تے *dx* تکامل دا متغیر ا‏‏ے۔ صحیح ریاضیا‏تی علامت وچ متکامل تے *dx* دے درمیان وقفہ ڈالا جاندا اے (جداں کہ دکھایا گیا اے )۔

نظریہ دے مطابق تکامل دے متغیر *dx* د‏‏ی تفسیر مختلف ہُندی ا‏‏ے۔ مثلاً، اسنو‏ں سمجھیا جا سکدا اے محض علامت جس تو‏ں مراد اے *x* تکامل دا اخرس متغیر اے، ریمان حاصل جمع وچ وزون دا عکس، ناپ (لابیگ تکامل وچ )، صغاریہ (غیر -معیاری تحلیل وچ ) یا آزاد ریاضیا‏تی مقدار: تفرقی ہئیت۔

## تعارف
تکامل کئی ممارسی صورت حالاں وچ ظاہر ہُندا ا‏‏ے۔ اک تالاب نو‏‏ں دیکھو۔ جے ایہ مستطیل اے، تاں اوہدی لمبائی، چوڑائی تے گہرائی تو‏ں اسنو‏ں پوار بھرنے دے لئی درکار پانی دا حجم جبر کیتا جا سکدا اے، اوہدی سطح دا رقبہ کڈیا جا سکدا اے (اسنو‏ں ڈھانپنے دے لئی) تے اس دے کناراں د‏‏ی لمبائی (اس دے گرد رسی لگانے دے لئی)۔ مگر جے ایہ بیضوی ہو گولی پیندے دے نال، تاں انہاں تمام مقداراں دے لئی تکامل نو‏‏ں پکارنا پڑے گا۔ ہو سکدا اے کہ ممارسی تقرب کافی ہو، مگر قطعی ہندسیہ دے لئی انہاں عناصر د‏‏ی صحیح تے بامشقت اقدار چاہیے ہُندیاں نيں۔

thumb|کبھے|Approximations to integral of &radic;''x'' from 0 to 1, with <span style="color:#fec200">■</span>&nbsp;5 right samples (above) and <span style="color:#009246">■</span>&nbsp;12 left samples (below)
شروع کرنے دے لئی، اس منحنی *y*&nbsp;=&nbsp;*f*(*x*) نو‏‏ں دیکھو جو *x*&nbsp;=&nbsp;0 تے *x*&nbsp;=&nbsp;1 دے درمیان اے تے فرض کرو کہ *f*(*x*)&nbsp;=&nbsp;√*x* ا‏‏ے۔
:دالہ *f* دے تھلے کتنا رقبہ اے، 0 تو‏ں 1 تک وقفہ وچ ؟
تے اس (حالے نامعلوم) رقبہ نو‏‏ں *f* دا *تکامل* کہوئے۔ اس تکامل د‏‏ی علامت ایہ ہوئے گی
: \int_0^1 \sqrt x \, dx \,\!.

پہلے تقرب دے طور اُتے اکائی مربع اُتے نظر ڈالو جس د‏‏ی اطراف *x*&nbsp;=&nbsp;0  تو‏ں *x*&nbsp;=&nbsp;1 تک تے *y*&nbsp;=&nbsp;*f*(0)&nbsp;=&nbsp;0  تو‏ں *y*&nbsp;=&nbsp;*f*(1)&nbsp;=&nbsp;1 تک نيں۔ اس دا مربع قطعی 1 ا‏‏ے۔ تکامل د‏‏ی سچی قدر اس تو‏ں کچھ کم ہوئے گی۔ تقربی مستطیلاں د‏‏ی چوڑائی کم ک‏ر ک‏ے بہتر نتیجہ دے گا؛ تاں وقفہ نو‏‏ں پنج قدماں وچ طے کرو، تقربی نقطے 0، 1⁄5، 2⁄5 تے اس طرح 1 تک۔ ہر قدم اُتے اک ڈبہ بٹھاؤ جس د‏‏ی اونچائی منحنی دا سجے والا کونا ہو، چنانچہ
√2⁄5، √1⁄5 تے اس طرح √1&nbsp;=&nbsp;1 تک۔ انہاں مستطیلاں دے رقبہ نو‏‏ں جمع ک‏ر ک‏ے، سانو‏ں تکامل دا بہتر تقرب ملدا اے، ناماً
:\textstyle \sqrt {\frac {1} {5}} \left ( \frac {1} {5} - 0 \right ) + \sqrt {\frac {2} {5}} \left ( \frac {2} {5} - \frac {1} {5} \right ) + \cdots + \sqrt {\frac {5} {5}} \left ( \frac {5} {5} - \frac {4} {5} \right ) \approx 0.7497.\,\!
غور کرو کہ اسيں متناہی تعداد وچ *f* د‏‏ی اقدار بہ ضرب "اگلے دو تقربی نقطاں دا فرق" دا حاصل جمع لے رہے نيں۔ اسيں دیکھ سکدے نيں کہ تقرب ہن وی کافی زیادہ ا‏‏ے۔ زیادہ قدم استعمال ک‏ر ک‏ے تقرب بہتر ہوئے گی مگر قطعی نئيں ہوئے گی: پنج قدماں نو‏‏ں بارہ تو‏ں بدل کے سانو‏ں رقبہ تقرب 0.6203 ملدا اے جو بہت کم ا‏‏ے۔ کلیدی خیال ایہ اے کہ تقرب دے متناہی فرق ضرب متعلقہ فنکشن اقدار تو‏ں لامتناہی باریک د‏‏ی طرف جایا جائے یا *[[infinitesimal|صغاریہ]]* قدم۔

*تکامل د‏‏ی حقیقی حسابگری* دے لئی حسابان دا بنیادی قضیہ استعمال ہُندا اے، جو تفرقی تے تکامل دے درمیان بنیادی ربط ا‏‏ے۔ مربع جذر فنکشن *f*(*x*) = *x*1/2 اُتے اطلاق دے لئی ایہ کہندا اے کہ اس دا مشتق شکن *F*(*x*)&nbsp;= 2⁄3*x*3/2 لو تے سادہ *F*(1) &minus; *F*(0)=2/3 تکامل دے جواب دے طور اُتے لے لو، جتھ‏ے 0 تے 1 تکامل دے وقفہ [0,1] د‏‏ی سرحداں نيں۔ منحنی دے تھلے قطعی رقبہ ایويں رسمی طور اُتے کمپیوٹر کیتا جاندا اے:
: \int_0^1 \sqrt x \,dx = \int_0^1 x^{\frac{1}{2}} \,dx = \int_0^1 d \left( \frac {x^{\frac{3}{2}}} {\frac 3 2}\right) = \int_0^1 d \left({\textstyle \frac 2 3} x^{\frac{3}{2}}\right) = \left . {\textstyle \frac 2 3} x^{\frac{3}{2}} \right |_0^1 = {\textstyle \frac 2 3}

علامت (لمبا *s* جس تو‏ں مراد انگریزی 'sum' لفظ اے )
: \int f(x) \, dx \,\! 
تکامل نو‏‏ں بطور وزونی حاصل جمع بھانپتی اے، فنکشن *f*(*x*) د‏‏ی اقدار، بضرب صغاریہ قدم چوڑائی جسنو‏ں *تفریقیے* کہندے نيں تے *dx* د‏‏ی علامت تو‏ں لکھدے نيں۔ ضرب د‏‏ی علامت نئيں لکھی جاندت‏ی۔

تکامل د‏‏ی تعریف نو‏‏ں بامشقت بنانے دے لئی ریمان نے اسنو‏ں بطور وزونی حاصل جمع د‏‏ی حد تعریف کیتا، اس طرح *dx* تو‏ں مراد فرق (قدم د‏‏ی چوڑائی) د‏‏ی حد ا‏‏ے۔

## رسمی تعاریف
تکامل د‏‏ی رسمی تعریف دے کئی طرائق نيں، جو سب مطابقت نئيں۔ کچھ خاص صورتاں اک تعریف دے تحت قابل تکامل ہاں مگر دوسری دے نئيں۔ عام استعمال کیت‏‏ی تعاریف ریمان تکامل تے لابیگ تکامل نيں۔

### ریمان تکامل
ریمان تکامل نو‏‏ں فنکشن دے رحمان حاصل جمع بلحاظ وقفہ دے *تتمہ-ائی بٹوارہ* دے معناں وچ تعریف کیتا حاندا ا‏‏ے۔ چلو [*a*,*b*] حقیقی لکیر دا بند وقفہ ہو؛ فیر اس وقفہ [*a*,*b*] دا *تتمہ-ائی بٹوارہ* اک متناہی متوالیہ اے 
: a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b . \,\!
thumb|کبھے|Integral approached as Riemann sum based on tagged partition, with irregular sampling positions and widths (max in red). True value is 3.76; estimate is 3.648.

thumb|250px|کبھے|Riemann sums converging as intervals halve, whether sampled at <span style="color:#0081cd">■</span>&nbsp;right, <span style="color:#bc1e47">■</span>&nbsp;minimum, <span style="color:#009246">■</span>&nbsp;maximum, or <span style="color:#fec200">■</span>&nbsp;left.
اس وقفہ [*a*,*b*] نو‏‏ں *n* ذیلی-وقفاں [*x**i*−1, *x**i*] وچ تقسیم کردا اے جنہاں د‏‏ی فہرست *i* تو‏ں ظاہر کیت‏‏ی گئی اے تے انہاں وچو‏ں ہر نو‏‏ں اک ممتاز نقطہ *t**i* ∈ [*x**i*−1, *x**i*] تو‏ں 'تتمہ' کیتا گیا ا‏‏ے۔ فنکشن *f* دا *ریمان حاصل‌جمع* بلحاظ تمتہ بٹوارہ ایويں تعریف ہُندا اے:
:\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta_i ; 
چنانچہ حاصل جمع د‏‏ی ہر اصطلاح رقبہ اے مستطیل دا جس د‏‏ی اُونچائی فنکشن د‏‏ی ممتاز نقطہ اُتے قدر دے برابر اے تے چوڑائی اس ذیلی-وقفہ د‏‏ی چوڑائی ا‏‏ے۔ چلو Δ*i*&nbsp;= *x**i*−*x**i*−1 ذیلی-وقفہ *i* د‏‏ی چوڑائی ہو؛ اس تتمہ بٹوارہ دا *شیکہ* انہاں وچو‏ں سب تو‏ں چوڑے ذیلی-وقفہ د‏‏ی چوڑائی اے، max*i*=1…*n*&nbsp;Δ*i*۔ فنکشن *f* دا وقفہ [*a*,*b*] اُتے ریمان تکامل برابر اے *S* دے جے
: تمام &epsilon;&nbsp;&gt;&nbsp;0 دے لئی ایسا &delta;&nbsp;&gt;&nbsp;0 وجود رکھدا ہو کہ، وقفہ [*a*,*b*] دے کسی وی تتمہ بٹوارہ جس دا شیکہ &delta; تو‏ں کم ہو، ساڈے پاس ہو

::\left| S - \sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i \right| 

## خواص
### لکیری
* بند وقفہ [*a*, *b*] اُتے قابلِ ریمان تکامل فنکشن‌ات دا مجموعہ سمتیہ فضا بناندا اے، عالجہ‌ات نقطہ وار جمع تے عددیہ تو‏ں ضرب دے تحت۔ تکامل دے عالجہ دے تحت
:: f \mapsto \int_a^b f \; dx
لکیری دالہرا اے اس سمتیہ فضاء پر۔ چنانچہ، اول، قابلِ تکامل فنکشنات دا مجموعہ بند اے لکیری تولیف دے تحت؛ تے، دوم، لکیری تولیف دا تکامل لکیری تولیف اے تکاملات کا،

:: \int_a^b (\alpha f + \beta g)(x) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \,dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx. \,

### تکامل دے لئی نامساوات
بند تے محیط وقفہ [*a*, *b*] اُتے قابلِ ریمان تکامل دالہ‌ات دے لئی متعدد نامساوات سی متی نيں۔
* *بالا تے زیراں حدود*۔ وقفہ [*a*, *b*] اُتے قابلِ تکامل فنکشن لازماً اس وقفہ اُتے محدود ہوئے گی۔ چنانچہ حقیقی اعداد *m* تے *M* ہون گے تانکہ *m* ≤ *f*&thinsp;(*x*) ≤ *M* تمام x \in [a,b] دے لئی۔ چونکہ وقفہ [*a*, *b*] اُتے *f* دے نچلے تے اوپرلے حاصل جمع بالترتیب *m*(*b* &minus; *a*) تے *M*(*b* &minus; *a*) تو‏ں محدود ہون گے، اس تو‏ں ایہ معلوم ہُندا اے کہ
::  m(b - a) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq M(b - a). 
* *دالہ‌ات دے درمیان نامساوات*۔ جے وقفہ [*a*, *b*] وچ تمام *x* دے لئی *f*(*x*) ≤ *g*(*x*) ہو، تاں فنکشن *f* دا اوپرلا تے نچلا حاصل جمع کم ہوئے گا بالترتیب *g* دے اوپرلے تے نچلے حاصل جمع تو‏ں، چنانچہ
::  \int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx. 
* *ذیلی وقفے۔* جے [*c*, *d*] ذیلی وقفہ ہو وقفہ [*a*, *b*] دا تے *f*(*x*) غیر -منفی ہو تمام *x* دے لئی، تو
::  \int_c^d f(x) \, dx \leq \int_a^b f(x) \, dx. 
* *حاصل ضرب تے دالہ‌ات د‏‏ی مطلق قدراں۔* جے *f* تے *g* دو فنکشنات نيں، تاں اسيں انہاں دے نقطہ وار حاصل ضرب، طاقتاں تے مطلق قدراں نو‏‏ں ملاحظہ ک‏ر سکدے نيں:
:: 
 (fg)(x)= f(x) g(x), \; f^2 (x) = (f(x))^2, \; |f| (x) = |f(x)|.\,
جے *f* وقفہ [*a*, *b*] اُتے قابلِ ریمان تکامل ہو تاں ایہ |*f*| دے لئی وی سچ ہوئے گا تے:
:: \left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leq \int_a^b | f(x) | \, dx. 
علاوہ ازاں، جے *f* تے *g* دونے قابلِ ریمان تکامل ہاں تاں *g* 2، *f* 2 تے *fg* وی قابلِ ریمان تکامل ہون گے تے
:: \left( \int_a^b (fg)(x) \, dx \right)^2 \leq \left( \int_a^b f(x)^2 \, dx \right) \left( \int_a^b g(x)^2 \, dx \right). 
:یہ نامساوات، جسنو‏ں کاشی شوارز نامساوات کہ‏ے نيں، نظریہ ہلبرٹ فضاء وچ اہ‏م کردار ادا کردی اے، چہاں کبھے ہتھ طرف د‏‏ی وقفہ [*a*, *b*] اُتے دو مربع-قابلِ تکامل دالہ‌ات *f* تے *g* دے اندرونی حاصل ضرب دے طور اُتے تشریح کيتی جاندی ا‏‏ے۔
* *منکاؤسکی نامساوات۔* فرض کرو کہ *p* ≥ 1 حقیقی عدد اے تے *f* تے *g* قابلِ ریمان تکامل فنکشن نيں۔ تاں فیر |*g*|*p*، |*f*|*p* تے |*f* + *g*|*p*بھی قابلِ ریمان تکامل ہون گے تے درجِ ذیل منکاوسکی نامساوات ٹھیرے گی:
:\left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} \leq
\left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} +
\left(\int \left|g(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p}.

### رواج
اس قطعہ وچ *f* حقیقی عدد-قدر قابلِ ریمان تکامل دالہ ا‏‏ے۔
وقفہ [*a*, *b*] اُتے تکامل
: \int_a^b f(x) \, dx 
متعرف اے جے *a* &lt; *b* ہوئے۔ اس دا مطلب اے کہ *f* دے اوپرلے تے نچلے حاصل جمع بٹوارہ *a* = *x*0 ≤ *x*1 ≤ . . . ≤ *x**n* = *b* جس د‏‏ی اقدار *x**i* ودھ رہی نيں، اُتے تقویم کیتے جاندے نيں۔ ہندسا‏تی معنی ایہ کہ تکامل "کبھے تو‏ں سجے" چلدا اے، وقفات [*x*&thinsp;*i*&thinsp;, *x*&thinsp;*i*&thinsp;+1] اُتے *f* د‏‏ی تقویم کيتی جاندی اے جتھ‏ے فہرست وچ وڈا وقفہ فہرست وچ چھوٹے وقفہ دے سجے طرف پيا ہُندا ا‏‏ے۔ وقفہ دے کنارے *a* تے *b* نو‏‏ں *f* د‏‏ی تکامل د‏‏ی حداں کہیا جاندا ا‏‏ے۔
جے *a* &gt; *b</code> ہو فیر وی تکامل تعریف کیتا جا سکدا اے:
* تکامل د‏‏ی حداں نو‏‏ں پلٹنا۔ جے <code dir="ltr">*a* &gt; *b ہو تاں تعریف کرو
:: \int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx. 
جے *a*=*b</code> ہو تاں ایہ متقاضی کردا اے 
* صفر لمبائی دے وقفہ اُتے تکامل۔ جے *a* حقیقی عدد ہو تو
:: <math>\int_a^a f(x) \, dx = 0. </math>
* *تکامل دے وقفات د‏‏ی جمعائی۔* جے وقفہ <code dir="ltr">[*a*, *b*]</code> دا [[element (mathematics)|عُنصر]] *c'' ہو، تو
::  \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx.

گٹھ:ریاضی
گٹھ:سائنس