طوریہ

[thumb|کبھے|300px|سلسہ [RLC دوران تے اس دا طوریہ رسمہ]]
thumb|کبھے|طوریہ نو‏‏ں بطور گھُمدے	 ہوئے سمتیہ دیکھیا جا سکدا اے
فزکس تے ہندسیات وچ ، **طور سمتیہ** (طوریہ) اک ایسی محننی موج (sine wave) د‏‏ی نمائندگی کردا اے جس دا حیطہ (**A**)، طور (**θ**) تے تعدد (**ω**) "وقتی-غیرتغیر" ہون۔ طوریہ دے استعمال تو‏ں ایہ موج تن جُز تو‏ں لکھی جا سکدی اے تے اس طرح کچھ حسابگری آسان ہو جاندی ا‏‏ے۔ خاص طور پر، تعدد جُز، جو منحنی موج د‏‏ی "وقت تابعی" وی ظاہر کردا اے، اکثر اوقات موجاں دے لکیری تولیف د‏‏ی اجزا موجاں دے لئی یکساں ہُندا ا‏‏ے۔ طوریہ دے استعمال تو‏ں ایہ باہر نکل آندا اے تے فیر ساکن حیطہ تے طور رہ جاندے نيں، جنہاں د‏‏ی الجبرائی تولیف د‏‏ی جا سکدی اے (بجائے کہ مثلثیاندی)۔ اسی طرح لکیری تفرقی مساوات نو‏‏ں الجبرائی بنایا جا سکدا ا‏‏ے۔ اس لئی اکثر طوریہ صرف انہاں دو جُز (حیطہ تے طور) دے لئی استعمال ہُندا ا‏‏ے۔

## تعریف
عائلری کلیہ دسدا اے کہ منحنی موج نو‏‏ں دو مختلط-قدر فنکشن د‏‏ی حاصل جمع تو‏ں ریاضیا‏تی نمائندہ کیتا جا سکدا اے:
:A\cdot \cos(\omega t + \theta) = A/2\cdot e^{i(\omega t + \theta)} + A/2\cdot
e^{-i(\omega t + \theta)}, &nbsp; &nbsp;
یا فیر درج ذیل فنکشن دے حقیقی حصہ تو‏ں :
:
\begin{align}
A\cdot \cos(\omega t + \theta) &= \operatorname{Re} \left\{ A\cdot e^{i(\omega t + \theta)}\right\} \\
&= \operatorname{Re} \left\{ A e^{i\theta} \cdot e^{i\omega t}\right\}.
\end{align}

جداں کہ اُتے دسیا گیا، **طوریہ** نو‏‏ں &nbsp;A e^{i\theta} e^{i\omega t}\, لکھیا جا سکدا اے یا صرف مختلط دائم &nbsp;A e^{i\theta}\, &nbsp;۔ دوسری صورت وچ ایہ سمجھیا جائے کہ ایہ زیر نظر منحنی موج دے حیطہ تے طور نو‏‏ں رمز کرنے دا طریقہ اے (تے تمام زیر نظر موجاں دا تعدد برابر اے )۔

طوریہ دے لئی اس تو‏ں وی زیادہ مختصر نویسی زاویہ د‏‏ی علامت استعمال کردے ہوئے &nbsp;A \angle \theta.\,
ا‏‏ے۔

منحنی موج نو‏‏ں مختلط میدان وچ گھُمدے	 ہوئے سمتیہ دا حقیقی محدر اُتے مسقط سمجھیا جا سکدا ا‏‏ے۔ سمتیہ د‏‏ی مطلق قدر ارتعاش دا حیطہ اے، جدو‏ں کہ اس دا استدلال (زاویہ) موج دا کُل طور \omega t+\theta ا‏‏ے۔ طور دائم \theta اس زاویہ دا نمائندہ اے جو مختلط سمتیہ حقیقی محدر تو‏ں وقت t=0 اُتے بناندا ا‏‏ے۔

## طوریہ حساب
طوریہ اُتے لکیری عالج دے استعمال تو‏ں تعدد تبدیل نئيں ہُندا۔ اس لئی جدو‏ں تک اک ہی تعدد رکھنے والی منحنی موجاں لکیری نظام تو‏ں گزر رہی ہاں، طوریہ حساب دا استعمال کیتا جا سکدا ا‏‏ے۔
### دائم (عددیہ) تو‏ں ضرب
طوریہ &nbsp;A e^{i\theta} e^{i\omega t}\, نو‏‏ں مختلط دائم &nbsp;Z e^{i\phi}\,&nbsp; تو‏ں ضرب دینے تو‏ں اک ہور طوریہ حاصل ہُندا ا‏‏ے۔ مطلب ایہ کہ اس دا اثر منحنی موج دا حیطہ تے طور (زاویہ) تبدیل کرنے دا ہُندا اے:
:
\begin{align}
\operatorname{Re}\{(A e^{i\theta} \cdot Z e^{i\phi})\cdot e^{i\omega t} \}
&= \operatorname{Re}\{(AZ e^{i(\theta+\phi)})\cdot e^{i\omega t} \} \\
&= AZ \cos(\omega t +(\theta+\phi))
\end{align}

برقیات وچ Z e^{i\phi}\,&nbsp; برقی مسدودیت (جو وقت تو‏ں آزاد ہُندی اے ) د‏‏ی نمائندگی کر سکدی ا‏‏ے۔ خیال رہے کہ جے Z e^{i\phi}\,&nbsp; تو‏ں مراد مختصر نویس علامت وچ طوریہ ہو (جو "وقت-منحصری" نو‏‏ں چھپاندا اے )، تاں دو طوریہ د‏‏ی ضرب دو منحنی موجاں د‏‏ی ضرب اے، جو غیر لکیری عالج اے، اس لئی اس ضرب تو‏ں طوریہ حاصل نئيں ہُندا۔ دو منحنی موجاں د‏‏ی ضرب تو‏ں ہور تعدد دا کلمہ حاصل ہُندا اے، جس د‏‏ی نمائندگی اک طوریہ سے
نئيں ہُندی۔

### جمع
متعدد طوریہ نو‏‏ں جمع کرنے تو‏ں نواں طوریہ پیدا ہُندا ا‏‏ے۔ اس وجہ تو‏ں کہ منحنی موجاں جنہاں دا تعدد اک ہی ہو، دا حاصل جمع وی منحنی موج ہُندی اے جس دا تعدد وی اوہی ہُندا اے:
:
\begin{align}
A_1 \cos(\omega t + \theta_1) + A_2 \cos(\omega t + \theta_2)
&= \operatorname{Re} \{A_1 e^{i\theta_1}e^{i\omega t}\} + \operatorname{Re} \{A_2 e^{i\theta_2}e^{i\omega t}\} \\
&= \operatorname{Re} \{A_1 e^{i\theta_1}e^{i\omega t} + A_2 e^{i\theta_2}e^{i\omega t}\} \\
&= \operatorname{Re} \{(A_1 e^{i\theta_1} + A_2 e^{i\theta_2})e^{i\omega t}\} \\
&= \operatorname{Re} \{(A_3 e^{i\theta_3})e^{i\omega t}\} \\
&= A_3 \cos(\omega t + \theta_3),
\end{align}


جتھ‏ے:

:
A_3^2 = (A_1 \cos(\theta_1)+A_2 \cos(\theta_2))^2 + (A_1 \sin(\theta_1)+A_2 \sin(\theta_2))^2

:
\tan(\theta_3) = \frac{A_1 \sin(\theta_1)+A_2 \sin(\theta_2)}{A_1 \cos(\theta_1)+A_2 \cos(\theta_2)}.

thumb|کبھے|طوریہ دا حاصل‌جمع گھُمدے	 سمتیہ د‏‏ی جمع سے
کلیدی نکتہ ایہ اے کہ A3 تے θ3 منحصر نئيں *ω* تے *t* پر، جو طوریہ علامت ممکن بناندا ا‏‏ے۔ حاصل کلام ایہ کہ جے استعمال ہونے والے عالج ایداں ہاں جو نواں طوریہ بنایا کردے ہاں، تاں حسابگری وچ 'وقت' تے 'تعدد' د‏‏ی منحصری نو‏‏ں دبایا جا سکدا اے تے جواب وچ دوبارہ شامل کیتا جا سکدا ا‏‏ے۔ زاویہ د‏‏ی علامت وچ ، اُتے والے عالج نو‏‏ں ایويں لکھیا جا سکدا اے:
:A_1 \angle \theta_1 + A_2 \angle \theta_2 = A_3 \angle \theta_3

اسنو‏ں دیکھنے دا دوسرا طریقہ ایہ اے کہ دو *سمتییہ* جنہاں دے متناسق  تے  ہاں، نو‏‏ں سمتیائی جمع کرنے تو‏ں جو سمتیہ حاصل ہُندا اے اس دے متناسق  نيں۔ دیکھو حراک، نیلی تے سرخ منحنی موج د‏‏ی حاصل جمع قرمزی رنگ د‏‏ی منحنی موج ا‏‏ے۔

### تفریق تے تکامل
طوریہ دے وقتی تفریق یا تکامل تو‏ں اک ہور طوریہ بندا ا‏‏ے۔
مثال دے طور پر
:
\begin{align}
\operatorname{Re}\left\{\frac{d}{dt}(A e^{i\theta} \cdot e^{i\omega t})\right\}
&= \operatorname{Re}\{A e^{i\theta} \cdot i\omega e^{i\omega t}\} \\
&= \operatorname{Re}\{A e^{i\theta} \cdot e^{i\pi/2} \omega e^{i\omega t}\} \\
&= \operatorname{Re}\{\omega A e^{i(\theta + \pi/2)} \cdot e^{i\omega t}\} \\
&= \omega A\cdot \cos(\omega t + \theta + \pi/2)
\end{align}

اس لئی، طوریہ نمائندگی وچ ، منحنی موج دا وقتی مشتق اس دائم i \omega = (e^{i\pi/2} \cdot \omega).\,&nbsp; تو‏ں ضرب ثابت ہُندا ا‏‏ے۔ بعینہ، طوریہ دا تکامل ارتباط اے دائم i \omega = (e^{i\pi/2} \cdot \omega).\,&nbsp; تو‏ں تقسیم کے۔ وقتی منحصر جُز &nbsp;e^{i\omega t}\,،&nbsp; متاثر نئيں ہُندا۔ جدو‏ں اسيں لکیری تفریق مساوات حل ک‏ر رہ‏ے ہُندے نيں، تاں اسيں جُز &nbsp;e^{i\omega t}\,&nbsp; نو‏‏ں تمام اصطلاحات وچو‏ں علاحدہ ک‏ر رہ‏ے ہُندے نيں تے فیر جواب وچ دوبارہ گھسا دیندے نيں۔ مثال دے طور اُتے درج ذیل تفریق مساوات وچ مکثف دے پار وولٹیج دے لئی RC circuit:
:\frac{d\ v_C(t)}{dt} + \frac{1}{RC}v_C(t) = \frac{1}{RC}v_S(t)
جب وولٹیج ماخذ منحنی موج ہو:
:v_S(t) = V_P\cdot \cos(\omega t + \theta),\,
ہم عوض ک‏ر سکدے نيں:
:
\begin{align}
v_S(t) &= \operatorname{Re} \{V_s \cdot e^{i\omega t}\} \\
\end{align}

:v_C(t) = \operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\},
جتھ‏ے طوریہ &nbsp;V_s = V_P e^{i\theta},\,&nbsp; تے طوریہ V_c\, اوہ نامعلوم مقدار اے جس دا تعین کرنا ا‏‏ے۔ طوریہ مختصر نویس علامت وچ ، تفرق مساوات بن جاندی اے :
:i \omega V_c + \frac{1}{RC} V_c = \frac{1}{RC}V_s
مکثف دے طوریہ وولٹیج دے لے حل کرنے نال ملدا اے:
:
V_c = \frac{1}{1 + i \omega RC} \cdot (V_s) = \frac{1-i\omega R C}{1+(\omega R C)^2} \cdot (V_P e^{i\theta})\,

جداں اساں دیکھیا، مختلط دائم جُز v_C(t)\,&nbsp; تو‏ں v_s(t)\,&nbsp; دا اضافی حیطہ تے طور وچ فرق نو‏‏ں ظاہر کردا ا‏‏ے۔
قطبی متناسق وچ ، ایہ جُز اے:
:\frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\cdot e^{-i \phi(\omega)},\,&nbsp; &nbsp; جتھ‏ے &nbsp;\phi(\omega) = \arctan(\omega RC).\,
اس لئی:
:v_C(t) = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\cdot V_P \cos(\omega t + \theta- \phi(\omega))

## حوالے

گٹھ:برقی طاقت
گٹھ:برقی انجینئری
گٹھ:مثلثیات