فرق مساوات

اگر کسی متوالیہ \ \{y_n\} دا رکن \ y_n دوسرے اراکین دے دالہ دے طور اُتے مساوات د‏‏ی صورت لکھیا جا سکدا ہو، تاں اس مساوات نو‏‏ں *فرق مساوات* کہندے نيں۔

## لکیری فرق مساوات (درجہ اول)
*پہلے درجے* د‏‏ی *لکیری فرق مساوات* د‏‏ی ہیئت ایويں ہُندی اے 
:&lrm;
\ y_n = \alpha y_{n-1} + b

&lrm;جہاں \ \alpha, b دائم اعداد نيں۔ ناں وجہ دیکھݨ دے لئی مساوات نو‏‏ں ایويں لکھدے نيں
:&lrm;
y_n - y_{n-1} =\beta y_{n-1} + b \,\,,\,\,\,\,\, \beta = (\alpha - 1)
&lrm;
یعنی متوالیہ دے دو اَگڑ پِچھڑ ارکان دا فرق، پہلے رکن دے نسبی جوڑ دے طور اُتے منحصر ا‏‏ے۔ اس مساوات دا حل دیکھݨ دے لئی متوالیہ دے کچھ ارکان لکھدے نيں، ایہ سمجھدے ہوئے کہ \ y_0  سانو‏ں معلوم اے:

&lrm;
\begin{matrix}
y_1 = \alpha y_0 + b \\
y_2 = \alpha y_1 + b = \alpha (\alpha y_0 + b) +b = \alpha^2 y_0 + \alpha b + b \\
y_3 = \alpha y_2 + b = \alpha (\alpha^2 y_0 + \alpha b + b) +b = \alpha^3 y_0 + \alpha^2 b + \alpha b+ b \\
\cdots \\
y_n = \alpha^n y_0 + (1+ \alpha+ \cdots + \alpha^{n-1}) b
\end{matrix}
&lrm;

آخری متوالیہ د‏‏ی جمع جاݨدے ہوئے، مساوات دا حل یاں:


y_n = \alpha^n y_0 + \frac{(1 - \alpha^{n})}{1-\alpha} b \,\,\,,\,
 \alpha \ne 0 \,,\,\,\, n=0,1,2,3,\cdots


اس تو‏ں واضح اے کہ
&lrm;
\lim_{n \to \infty}y_n = \left\{
\begin{matrix}
\frac{b}{1-\alpha} \,, & |\alpha| 

&lrm;

### مثال
فرض کرو کہ چائے د‏‏ی گرم پیالی میز اُتے رکھی ا‏‏ے۔ کمرے دا درجہ حرارت \ R=20^\circ C اے تے چائے دا درجہ حرارت \ y_n اے، منٹ \ n اُتے ۔ علم حرارت دے قانون دے مطابق چائے دا درجہ حرارت اس فرق مساوات دے زیر اے 

&lrm;
\ y_n - y_{n-1} = k (y_{n-1} - R)
&lrm;

فرض کرو کہ وقت صفر اُتے چائے دا درجہ حرارت \ 80^\circ C سی، یعنی \ y_0=80۔ اک منٹ بعد درجہ حرارت \ 70^\circ C نوٹ کيتا گیا، یعنی \ y_1=70 ۔
اس طرح سانو‏ں دائم *k* د‏‏ی قیمت معلوم ہو جاندی اے:
\ 70-80 = k (80-20) \, \Rightarrow \, k=-1/6
درجہ حرارت د‏‏ی مساوات نو‏‏ں معیاری ہیئت وچ ایويں لکھیا جا سکدا اے:
&lrm;
y_n = (1+k) y_{n-1} - kR

فائل:diff plot.png
&lrm;
اور اس دا حل کچھ سادگی دے بعد:
&lrm;
y_n = 60 (\alpha)^n + 20 \,\,\,,\, \alpha=\frac{5}{6} \,\,,\, n=0,1,2,3,\cdots
&lrm;

چائے دا درجہ حرارت \ y_0=80 ڈگری تو‏ں گردا ہويا \ y_\infty=20 ڈگری تک جاندا اے، چونکہ \ \lim_{n \to \infty} (5/6)^n = 0۔ پلاٹ تو‏ں معلوم ہُندا اے کہ تقریباً  4\tau=24 منٹ وچ چائے ٹھنڈی ہو ک‏ے کمرے دے درجہ حرارت دے نیڑے پہنچ جاندی اے، جہاں
\ \tau=\frac{1}
فرق مساوات دا *وقتی دائم* کہلاندا ا‏‏ے۔

پہلے درجے د‏‏ی اس مساوات
&lrm;
\ y_n = \alpha y_{n-1} + b
&lrm;
کو *n* د‏‏ی منفی جانب وی ودھایا جا سکدا اے، جس دے لئی اسيں اس مساوات نو‏‏ں ایويں لکھدے نيں:

\ y_{n-1} = \alpha^{-1}b - \alpha^{-1} y_n

اُتے والے طریقے تو‏ں اس دا حل ایہ نکل آندا اے:

\ y_{-n} = -\alpha^{-n} y_0 + \alpha^{-1}b \frac{1-\alpha^{-n}}{1-\alpha^{-1}}
\,,\, \alpha \ne 0 \,,\,\, n=1,2,\cdots


ایتکاں ایہ واضح اے کہ:

\lim_{n \to \infty}y_{-n} = \left\{
\begin{matrix}
\frac{\alpha^{-1}b}{1-\alpha^{-1}} \,, & |\alpha|> 1 \\
\infty \,, & |\alpha| \le 1
\end{matrix}
\right.


پہلی درجہ د‏‏ی فرق مساوات د‏‏ی ودھ عام ہیئت ایويں لکھی جا سکدی اے، جتھے \ \{u_n\} کوئی وی دتا گیا متوالیہ ہو سکدا اے:


y_n = \alpha y_{n-1} + u_n


جس دا حل وی اُتے دتے طریقے تو‏ں کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔ غور کرو کہ اُتے د‏‏ی بحث وچ \ u_n = b  اک دائم سی۔

### مثال
فرق مساوات جس نو‏‏ں اک
کمپلکس سائینوسائڈ چلا رہیا اے:


y_n = \alpha y_{n-1} + \exp(\iota 2 \pi \nu n)


بھانويں اس مساوات دا حل اسيں اُتے دتے گئے طریقے تو‏ں کڈ سکدے نيں، مگر ایتھ‏ے اسيں حل د‏‏ی اک ہیئت تجویز کردے نيں، ایہ دیکھدے ہوئے کہ سانو‏ں

y_n = \alpha y_{n-1} + b

کا حل معلوم اے تے ارتعاش اک کمپلکس سائنوسایڈ ا‏‏ے۔ تجویز کردہ حل د‏‏ی ہیئت ایويں اے، جتھے *A* تے *B* نامعلوم دائم نيں:


y_n = A \alpha^n + B \exp(\iota 2 \pi \nu n)


اب ایہ سمجھدے ہوئے کہ *n=0* اُتے سانو‏ں y_0 معلوم اے، اس وچ ڈال دیندے نيں تے *A* تے *B* وچ اک رشتہ معلوم کر لیندے نيں:

y_0 = A \alpha^0 + B \exp(\iota 2 \pi \nu 0) \Rightarrow y_0 = A + B


اب چونکہ حل نو‏‏ں مساوات د‏‏ی تسکین کرنی اے، اس لئی:


(y_0-B) \alpha^n + B \exp(\iota 2 \pi \nu n) = \alpha \left((y_0-B) \alpha^{n-1} + B \exp(\iota 2 \pi \nu (n-1))\right) + \exp(\iota 2 \pi \nu n)

جس تو‏ں سانو‏ں نامعلوم *B* د‏‏ی قیمت معلوم ہو جاندی اے:


\Rightarrow B = \frac{1}{1-\alpha \exp(-\iota 2 \pi \nu )}

اور ہن مساوات دا حل ایويں لکھیا جا سکدا اے:

y_n = \alpha^n y_0 - \frac{1}{1-\alpha \exp(-\iota 2 \pi \nu)} \alpha^n + \frac{1}{1-\alpha \exp(-\iota 2 \pi \nu)} \exp(\iota 2 \pi \nu n)


فائل:first diff eqn sinusoid.png

اس حل نو‏‏ں اسيں  \alpha=0.9 \,, \, \nu=0.04 \,,\, y_0=0 دے لئی اسيں پلاٹ ک‏ر سکدے نيں۔ پلاٹ وچ نیلے رنگ وچ سائینوسائڈ ارتعاش دکھایا گیا اے، جدو‏ں کہ\Re(y_n) سرخ رنگ وچ ا‏‏ے۔ دیکھو کہ تقریباً \ 4 \tau=40 دے بعد \ y_n خود وی اک عام سائنوسائڈ بن جاندا اے (جہاں *وقتی دائم* \ \tau=\frac{1}) ۔

## درجہ ''N'' د‏‏ی لکیری فرق مساوات
درجہ *N* د‏‏ی لکیری فرق مساوات د‏‏ی ہیئت ایہ اے:


\alpha_0 y_n + \alpha_{1} y_{n-1} + \alpha_{2} y_{n-2} + \cdots + \alpha_{N} y_{n-N} = 0


لکیری مساوات کہنے د‏‏ی وجہ ایہ اے کہ اس مساوات دے جے دو حل \{y^{(1)}_n\} تے \{y^{(2)}_n\} ہوݨ، تاں انہاں حل دا لکیری جوڑ (مثلاً \{y^{(1)}_n + y^{(2)}_n\} ) وی اس مساوات دا حل ہوئے گا۔ درجہ *N* د‏‏ی مساوات دے *N*
آزاد حل ہوݨ گے جو اس مساوات دے حل ہاں گے- مساوات دا عام حل انہاں *N* حلاں دا لکیری جوڑ ہوئے گا۔

### درجہ دوم د‏‏ی لکیری فرق مساوات
دوسرے درجہ د‏‏ی فرق مساوات

\alpha_0 y_n + \alpha_{1} y_{n-1} + \alpha_{2} y_{n-2} = 0


اس دے اک حل د‏‏ی ہیئت ایہ تصور کردے ہوئے،

y_n^{(1)} = A \lambda^n

جہاں *A* اک دائم اے، ایہ حل اسيں مساوات وچ ڈال دیندے نيں:

\begin{matrix}
\alpha_0 A \lambda^n + \alpha_{1} A \lambda^{n-1} + \alpha_{2} A \lambda^{n-2} =& 0 \\

A \lambda^{n-2} \left(\alpha_0 \lambda^2 + \alpha_{1} \lambda^{1} + \alpha_{2}\right) =& 0 \\

\alpha_0 \lambda^2 + \alpha_{1} \lambda^{1} + \alpha_{2} =& 0
\end{matrix}


اُپر د‏‏ی مساوات تو‏ں \ \lambda دا حل ایويں نکل آندا اے 

\lambda_0, \lambda_1 = \frac{-\alpha_1 \pm \sqrt{\alpha_1^2 - 4 \alpha_0 \alpha_2}}{2 \alpha_0}

جس تو‏ں سانو‏ں فرق مساوات دے دو حل بنا سکدے نيں۔ فرق مساوات دا عام حل انہاں دو دے لکیری جوڑ تو‏ں ایويں بندا اے:


y_n = A_0 \lambda_0^n + A_1 \lambda_1^n


جہاں A_0, A_1 دو دائم نيں، جنہاں د‏‏ی قیمت اسيں معلوم ک‏ر سکدے نيں، جے سانو‏ں ابتدائی y_0, y_1 معلوم ہوݨ، تھلے دتی مساوات نو‏‏ں حل ک‏ر ک‏ے :


\begin{matrix}
y_0 = A_0 \lambda_0^0 + A_1 \lambda_1^0 \\
y_1 = A_0 \lambda_0^1 + A_1 \lambda_1^1
\end{matrix}


اگر \lambda_0=\lambda_1 (یعنی  \alpha_1^2 - 4 \alpha_0 \alpha_2 =0) تاں فرق مساوات دا حل ایويں لکھیا جائے گا:


y_n = A_0 \lambda_0^n + A_1 n \lambda_0^n


### مثال
فرض کرو کہ درجہ دوم د‏‏ی مساوات دے عددی سر ایويں نيں
\alpha_0=1, \alpha_1=-1.96, \alpha_2=0.98 

تو اس مساوات دے جزر نکالنے نيں:
\ \alpha_0 \lambda^2 + \alpha_{1} \lambda^{1} + \alpha_{2} = 0  
جو مخلوط عدد نيں

\ \lambda, \bar{\lambda} = 0.98 \pm \iota 0.14 = 0.99 \exp(\pm \iota 0.142)


اب دوسرے درجے د‏‏ی فرق مساوات دا حل ایويں لکھیا جا سکدا اے 


\ y_n = A_0 \lambda^n + A_1 \bar{\lambda}^n


جہاں دائم \ A_1, A_0 ابتدائی حالت تو‏ں کڈے جائینگے۔
فائل:diff2 eq u.png

فرض کرو کہ ابتدائی حالت ایہ اے:
\ y_0=0, y_{-1}=-1 
یاں سمجھو کہ ایہ مساوات دو ستوناں دے درمیان سختی تو‏ں بنھی ہوئی اک لوہے د‏‏ی تار د‏‏ی حالت بیان کر رہ‏ی ا‏‏ے۔ تار نو‏‏ں وقت "منفی اک" اُتے کھچ کر چھڈ دتا جاندا اے، جس کہ بعد تار کچھ دیر ارتعاش وچ رہ ک‏ے اپنی اصل حالت اُتے واپس آ جاندی ا‏‏ے۔

ابتدائی حالت نو‏‏ں استعمال کردے ہوئے دائم کڈدے نيں:

\ y_0 = 0 = A_0 \lambda^0 + A_1 \bar{\lambda}^0

جس تو‏ں پتہ چلدا اے کہ
\ A_1 = -A_0
اور
\begin{matrix}
y_{-1} = -1 = A_0 \lambda^{-1} - A_0 \bar{\lambda}^{-1} \\
\longrightarrow
A_0 = \frac{\lambda \bar{\lambda}}{\lambda-\bar{\lambda}} = \frac{7}{\iota 2}
\end{matrix}


اب فرق مساوات دا حل ایويں لکھیا جا سکدا اے:
\begin{matrix}
y_n = \frac{7}{2 \iota} (0.99)^n \left( \exp(\iota 0.142 n) - \exp(-\iota 0.142 n)
\right) \\
y_n = 7 (0.99)^n \sin(0.142 n)
\end{matrix}


پلاٹ وچ غور کرو کہ تقریبا 4 \tau=400 وقت دے بعد سائینوسایڈ (مساوات دا حل
) تقریباً صفر ہو جاندا اے، جتھے *وقتی دائم*
\ \tau=\frac{1} 

درجہ *N* د‏‏ی لکیری فرق مساوات د‏‏ی ودھ عام ہیئت ایہ اے:

\alpha_0 y_n + \alpha_{1} y_{n-1} + \alpha_{2} y_{n-2} + \cdots + \alpha_{N} y_{n-N} = u_n
 
اس مساوات نو‏‏ں بیرونی ارتعاش \ u_n  چلا رہیا ا‏‏ے۔ اس مساوات دے حل وچ اُتے دے *N* حلاں دے علاوہ اک رقم جو \ u_n  اُتے منحصر ہوئے گی، جمع کيت‏ی جائے گی۔

### میٹرکس صورت
اس درجہ *N* د‏‏ی لکیری فرق مساوات نو‏‏ں اسيں اک میٹرکس مساوات د‏‏ی صورت لکھياں گے۔ اس دے لئی اسيں اک ستون میٹرکس

Y_n =\begin{bmatrix}
y_{n-N+1} \\ \vdots \\ y_{n-1} \\ y_{n}
 \end{bmatrix}


بنا‏تے نيں۔ ہن \ Y_{n} تے \ Y_{n-1} اُتے غور کردے ہوئے، درجہ *N* د‏‏ی فرق مساوات نو‏‏ں پہلے درجہ د‏‏ی میٹرکس مساوات د‏‏ی صورت ایويں ڈھالیا جا سکدا اے:

\begin{bmatrix}
y_{n-N+1} \\ \vdots \\ \vdots \\ y_{n-1} \\ y_{n}
 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & 0 & 1 & & \vdots \\
\vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & & & 1 \\
\frac{-\alpha_N}{\alpha_0} & \frac{-\alpha_{N-1}}{\alpha_0} & \cdots & \cdots & \frac{-\alpha_1}{\alpha_0}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
y_{n-N} \\ y_{n-N+1} \\ \vdots \\ \vdots \\ y_{n-1}
 \end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ u_{n}
 \end{bmatrix}
 
یا



\ Y_n = A Y_{n-1} + U_n



جہاں \ A  سائیز \ N \times N  د‏‏ی مربع میٹرکس ا‏‏ے۔ ہن اس میٹرکس مساوات تو‏ں \ Y_n متوالیہ سائیلیب وچ بآسانی کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔ ستون میٹرکس \ Y_n دا کوئی وی جُز اصل فرق مساوات دا حل ا‏‏ے۔ پہلے درجہ د‏‏ی میٹرکس فرق مساوات دا حل ایويں لکھیا جا سکدا اے:

\ Y_n = A^n Y_0 + \sum_{k=0}^{n-1} A^k U_k \,\,,\, n=0,1,2,\cdots


### ویژہ قیمت
اُتے دتی درجہ دوم د‏‏ی لکیری فرق مساوات د‏‏ی مثال

\alpha_0 y_n + \alpha_{1} y_{n-1} + \alpha_{2} y_{n-2} = 0


کو میٹرکس صورت لکھو، تاں میٹرکس ایہ ہوئے گی:

A = \left[\begin{matrix}
0 & 1 \\
-\frac{\alpha_2}{\alpha_0} & -\frac{\alpha_1}{\alpha_0}
\end{matrix}\right]

اب جے اس میٹرکس د‏‏ی ویژہ قیمت کڈی جائے

\det(A - \lambda I ) = 0

تو اوہی مساوات مل جاندی اے 

\alpha_0 \lambda^2 + \alpha_{1} \lambda^{1} + \alpha_{2} = 0

اس تو‏ں معلوم ہُندا اے کہ فرق مساوات دے حل اُتے اس میٹرکس (یا فرق مساوات) د‏‏ی ویژہ قیمتاں دا راج ہُندا ا‏‏ے۔

## ہور ویکھو
* رجعت نسبت
* سائیلیب
* Maxima software batch(solve_rec)

گٹھ:الجبرا
گٹھ:نظریۂ شمارندگی
گٹھ:ترکیبیات