ہیملٹونیئن (کوانٹم مکینکس)

کوانٹم مکینکس وچّ ہیملٹونیئن زیادہتر معاملیاں وچّ سسٹم دی کلّ اورجا نال سبندھت ہندا ہے۔ اسنوں عامطور تے **H** نال لکھیا جاندا ہے اتے **Ȟ** جاں **Ĥ** وی لکھیا جاندا ہے۔ اسدا سپیکٹرم سسٹم دی کلّ اورجا ناپن ویلے نکلن والے سنبھوَ نتیجیاں دا سیٹ ہندا ہے۔ کسے سسٹم دی وقت اتپتی نال اسدے نزدیکی سبندھ ہون کارن کوانٹم تھیوری دی زیادہتر فارمولا ویونتبندی وچّ ایہہ بنیادی مہتتا والا ہے۔ 

ہیملٹونیئن دا نام سر ولیئم روون ہیملٹن (1805-1865) دے نام تے رکھیا گیا ہے جو اک آئرش بھوتک وگیانی، کھگول-شاستری اتے گنت شاستری سی جو نیوٹونیئن مکینکس دی اپنی پنر-پھارمولا ویونتبندی لئی چنگی طرحاں جانیا جاندا ہے جسنوں ہن ہیملٹونیئن مکینکس کہندے ہن۔ 

## جان پچھان

سسٹم نال سبندھت کناں دی پٹینشل اورجا اتے سارے کناں دیاں کائنیٹک اورجاواں دے جوڑ نوں ہیملٹونیئن کہندے ہن۔ وکھریاں پرستھتیاں جاں کناں دیاں سنکھیاواں واسطے ہیملٹونیئن وکھرا ہندا ہے کیونکہ ایہہ کناں دیاں کائنیٹک اورجاواں دا جوڑ شامل کردا ہے اتے اس وچّ پرستھتی نال سبندھت پٹینشل اورجا فنکشن نوں شامل ہندا ہے۔

## شروڈنجر ہیملٹونیئن

### اک کن

کلاسیکل مکینکس نال سمانتا مطابق ہیملٹونیئن نوں سانجھے طور تے اس ہیٹھاں لکھے روپ وچّ کسے سسٹم دیاں کائنیٹک اتے پٹینشل اورجاواں نال سبندھت اوپریٹراں دے جوڑ دے طور تے لکھیا جاندا ہے؛ 

: \hat{H} = \hat{T} + \hat{V} 

جتھے

: \hat{V} = V = V(\mathbf{r}،t) 
 
پٹینشل اورجا اوپریٹر ہندا ہے اتے

:\hat{T} = \frac{\mathbf{\hat{p}}\cdot\mathbf{\hat{p}}}{2m} = \frac{\hat{p}^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2

کائنیٹک اورجا اوپریٹر ہندا ہے جس وچّ m کن دا پنج ہندا ہے، بندو (ڈوٹ) ویکٹراں دے ڈوٹ پروڈکٹ نوں درساؤندا ہے اتے 

: \hat{p} = -i\hbar\nabla 

مومینٹم اوپریٹر ہندا ہے جدونکھ  **∇** ڈیل اوپریٹر ہندا ہے۔ **∇** دا اپنے آپ نال ڈوٹ پروڈکٹ لیپلیسیئن ∇2 ہندا ہے۔ کارٹیزیئن نردیشانکاں دی ورتوں کردے ہوئے تنّ ایاماں اندر لیپلیسیئن اوپریٹر ایہہ ہندا ہے؛

:\nabla^2 = \frac{\partial^2}_n\cdot\mathbf{\hat{p}}_n}{2m_n}+ V(\mathbf{r}_1،\mathbf{r}_2\cdots\mathbf{r}_N،t) \\
 & = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^N \frac{1}{m_n}\nabla_n^2 + V(\mathbf{r}_1،\mathbf{r}_2\cdots\mathbf{r}_N،t)
\end{align} 

پھیر وی، کئی-شریر سمسیا وچّ جٹلتاواں پیدا ہو سکدیاں ہن۔ کیونکہ پٹینشل اینرجی کناں دی ستھانک ووستھا اتے نربھر کردی ہے، اس لئی کائنیٹک اینرجی وی اورجا نوں سرکھات کرن واسطے ستھانک بنتر اتے نربھر کریگی ۔ کسے وی اک کن کارن گتی سسٹم وچلے ہور کناں دی گتی کارن تبدیل ہوویگی ۔ اس کارن کارن کائنیٹک اینرجی واسطے آرپار رقماں ہیملٹونیئن وچّ دس سکدیاں ہن: جو دو کناں واسطے گریڈیئنٹاں دا اک مشرن ہندیاں ہن:  

:-\frac{\hbar^2}{2M}\nabla_i\cdot\nabla_j 

جتھے **M** چنہ کناں دے سموہ دے پنج نوں درساؤندے ہن جو اس اترکت گتج اورجا نوں جنم دندے ہن۔ اس قسم دیاں رقماں نوں پنج پولرائزیشن ٹرماں کیہا جاندا ہے اتے ایہہ کئی الیکٹرین ایٹماں دے ہیملٹونیئن وچّ دسدیاں ہن (تھلے دیکھو) ۔  

پرسپر کریا کردے N-کناں واسطے، یانِ کہ، جو کن اک کئی-شریر پرستھتی رچدے ہن، پٹینشل اورجا فنکشن V سرل طور تے وکھرے پٹینشلاں دا اک جوڑ نہیں ہندا (اتے نشچت طور تے اک گننپھل وی نہیں ہندا، کیونکہ ایہہ ایامک طور تے غلط ہندا ہے)۔ پٹینشل اینرجی فنکشن صرف اپر لکھے وانگ ہی لکھیا جا سکدا ہے: ہریک کن دیاں ستھانک پزیشناں دا اک فنکشن ۔   

پرسپر کریا نہ کرن والے کناں واسطے، یانِ کہ، جہڑے کن ستنترتا نال گتی کردے ہن، سسٹم دا پٹینشل ہریک کن واسطے وکھری پٹینشل اینرجیآں دا جوڑ ہندا ہے،  یانِ کہ، 

: V = \sum_{i=1}^N V(\mathbf{r}_i،t) = V(\mathbf{r}_1،t) + V(\mathbf{r}_2،t) + \cdots + V(\mathbf{r}_N،t) 

اس معاملے وچّ، ہیملٹونیئن دا سرو سدھارن روپ ایہہ ہندا ہے:

:\begin{align} \hat{H} & = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{m_i}\nabla_i^2 + \sum_{i=1}^N V_i\\
 & = \sum_{i=1}^{N}\left(-\frac{\hbar^2}{2m_i}\nabla_i^2 + V_i \right) \\
 & = \sum_{i=1}^{N}\hat{H}_i \\
\end{align}

جتھے جوڑ وچّ سارے کناں نوں شامل کیتا جاندا ہے اتے اوہناں دے سبندھت پٹینشلاں نوں وی شامل کیتا جاندا ہے؛ نتیجہ ایہہ نکلدا ہے کہ سسٹم دا ہیملٹونیئن ہریک کن واسطے وکھرے ہیملٹونیئناں دا جوڑ ہندا ہے۔ ایہہ اک آدرشیکرت پرستھتی ہندی ہے- ابھیاس وچّ کن ہمیشاں ہی کسے نہ کسے پٹینشل توں پربھاوت ہندے رہندے ہن، اتے کئی-شریر پرسپر کریاواں ہندیاں رہندیاں ہن۔ کسے دو-شریر پرسپر کریا دی چارج کیتے ہوئے کناں کارن الیکٹروسٹیٹک پٹینشل واسطے اک اجیہی اداہرن ہے جتھے ایہہ روپ لاگوُ نہیں ہو سکیگا، کیونکہ اوہ اک دوجے نال کولومب پرسپر کریا (الیکٹروسٹیٹک بل) دوارا پرسپر کریا کردے ہن، جویں تھلے دکھایا گیا ہے۔

## شروڈنجر اکئیشن

ہیملٹونیئن کوانٹم اوستھاواں دی وقت اتپتی نوں جنم دندا ہے۔ جیکر کسے وقت t اتے سسٹم دی اوستھا   \left| \psi (t) \right\rangle  ہووے، تاں

: H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle.

اس سمیکرن نوں شروڈنجر اکئیشن کیہا جاندا ہے۔ ایہہ ہیملٹن-جیکبی اکئیشن ورگا روپ لے لیندی ہے، جو **H** نوں ***ہیملٹونیئن*** کہن دے کارناں وچوں اک کارن ہے۔ کسے شروعاتی سمیں (t = 0) اتے دتی ہوئی اوستھا واسطے، اسیں اسنوں کسے اگلے وقت دے پل اتے اوستھا پراپت کرن لئی حلّ کر سکدے ہاں ۔ خاص کرکے، جیکر **H** وقت توں ستنتر ہووے، تاں

: \left| \psi (t) \right\rangle = e^{-iHt/\hbar} \left| \psi (0) \right\rangle.

شروڈنجر اکئیشن دے سجے پاسے اتے ایکپونینشل اوپریٹر عامطور تے **H** وچ سبندھت پاور سیریز دوارا پربھاشت ہندا ہے۔ ایہہ نوٹ کیتا جا سکدا ہے کہ ہریک جگہ پربھاشت نہ کیتے گئے غیر-حد والے اوپریٹراں دے پاور سیریز جاں پولینومیئلاں نوں لینا گنتک ارتھ نہیں رکھدا ۔ ٹھوس پوروک، غیر-سیماواں والے اوپریٹراں نوں لین واسطے، اک پھنکشنل کیلکلس چاہیدا ہے۔ ایکپونینشل فنکشن دے معاملے وچّ، نرنتر، جاں صرف ہولومرپھک پھنکشنل کیلکلس ضرور پوری کرن واسطے کافی ہے۔ اسیں پھیر نوٹ کردے ہاں کہ، پھیر وی، سانجھیاں کیلکلیشناں واسطے بھوتک وگیانیآں دی فارمولا ویونتبندی بہت کافی ہے۔ 

پھنکشنل کیلکلس دی ہومومورپھزم وشیشتا راہیں، اوپریٹر 

: U = e^{-iHt/\hbar} 
 
اک یونائٹری اوپریٹر ہندا ہے۔ ایہہ کسے بند کوانٹم سسٹم دا وقت اتپتی اوپریٹر، جاں پرسارک ہندا ہے۔ جیکر ہیملٹونیئن وقت توں ستنتر ہووے، تاں {U(t)} اک اک-ماپدنڈ والا یونائٹری گروپ (کسے اردھ-گروپ توں زیادہ) رچدا ہے؛ ایہہ وستھارپوروک سنتلن دے بھوتکی سدھانت نوں جنم دندا ہے۔

## ڈیراک فارمولا ویونتبندی

بے شکّ، ڈیراک دی ہور زیادہ سرو سدھارن فارمولا ویونتبندی وچّ، ہیملٹونیئن نوں ہیٹھاں دسے طریقے نال کسے ہلبرٹ سپیس اتے اک اوپریٹر دے روپ وچّ وشیش طور تے لاگوُ کیتا جاندا (رکھیا) ہے:

H دے آئیگنکیٹّ (آئیگنویکٹر)، جہناں نوں \left| a \right\rang  نال لکھیا جاندا ہے، ہلبرٹ سپیس واسطے اک اؤرتھونورمل بیسس مہئیا کرواؤندے ہن۔ سسٹم دے پروانت اورجا لیولاں دا سپیکٹرم آئگنملاں دے سیٹ راہیں پراپت ہندا ہے، جسنوں {*E*a} لکھیا جاندا ہے، اکئیشن حلّ کردے ہوئے؛

: H \left| a \right\rangle = E_a \left| a \right\rangle.

کیونکہ H اک ہرمشن اوپریٹر ہندا ہے، اسلئی اورجا ہمیشاں ہی اک واستوک نمبر رہندی ہے۔  

اک ٹھوس گنتک درشٹیکون توں، اپر لکھیاں دھارناواں واسطے ساودھانی ورتنی ضروری ہے۔ اننت-ایامی ہلبرٹ سپیساں اپر اوپریشناں لئی آئیگنملاں دا ہونا ضروری نہیں ہے (آئیگنملاں دے سیٹ دا کسے اوپریٹر دے سپیکٹرم نال میل کھانا ضروری نہیں ہے) ۔ پھیر وی، ساریاں روزانہ کوانٹم مکینیکل کیلکلیشناں بھوتکی فارمولا ویونتبندی ورتکے کیتیاں جا سکدیاں ہن۔

## ہیملٹونیئن لئی سمیکرناں

### اک کن لئی سرو سدھارن روپ
### ستنتر کن
### ستھر-پٹینشن کھوہ
### سرل ہارمنک اؤسیلیٹر
### ٹھوس روٹر
### الیکٹروسٹیٹک جاں کولومب پٹینشل
### کسے الیکٹرک پھیلڈ اندر الیکٹرک ڈائیپول
### کسے الیکٹرومیگنیٹک پھیلڈ اندر چارج والے کن

## اورجا آئیہن-کیٹّ وناش، سمروپتا، اتے سرکھئتا نیم

## ہیملٹن دیاں سمیکرناں

## ایہہ وی دیکھو

## حوالے