ڈیٹرمیننٹ

اک 2\times 2 میٹرکس A = \left[\begin{matrix}a & b \\c & d\end{matrix}\right] دا *دترمینان* ایويں تعریف کيت‏‏ا جاندا اے:

\ \det(A) = ad - bc
 
انگریزی وچ اسنو‏ں determinant کہندے ني‏‏‏‏ں۔ **دترمینان** دے ہندسہ معنی دے لئی تھلے "مسلئہ اثباندی 4" دیکھو۔

## دترمینان
اک 3\times 3 میٹرکس
:
A = \left[\begin{matrix}
a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,2} \\
a_{1,0} & a_{1,1} & a_{1,2} \\
a_{2,0} & a_{2,1} & a_{2,2}
\end{matrix}\right]

کا دترمینان ایہ ہوئے گا
:
\det(A) = a_{0,0} a_{1,1} a_{2,2}
+ a_{0,1} a_{1,2} a_{2,0}
+ a_{0,2} a_{1,0} a_{2,1}
- a_{0,2} a_{1,1} a_{2,0}
- a_{0,1} a_{1,0} a_{2,2}
- a_{0,0} a_{1,2} a_{2,1}


اسی طرح اک n\times n میٹرکس *A* دا دترمینان ایويں لکھیا جا سکدا اے 
:
\det(A) = \sum \pm a_{0,k_0} a_{1,k_1} \cdots a_{n-1,k_{n-1}}

جتھ‏ے

\{k_0, k_1, \cdots, k_{n-1} \}

اک تَبَدُّلِ کامل اے، اعداد

\{0, 1, \cdots, n-1 \}

کی، اس طرح کہ اک رقم وچ دو \ a_{i,j} اک قطار تو‏ں نہ ہاں تے نہ ہی دو \ a_{i,j} اک ستون تو‏ں ہون۔ غور کرو کہ ایتھ‏ے \ n! رقماں جمع ہوئے رہیاں نيں۔ ہر رقم مثبت یا منفی ہوتٰی اے اس بنا اُتے کہ تَبَدُّلِ کامل دا نمبر جفت عدد اے یا طاق عدد۔

(ایتھ‏ے \ n! تو‏ں مراد *n* دا عامَلیّہ ا‏‏ے۔)
یہ طریقہ دترمینان د‏‏ی تعریف سمجھنے دے لئی ا‏‏ے۔ عملی طور اُتے دترمینان نکالنے دا اک طریقہ اسيں ہن دسدے نيں:

### دترمینان نکالنے دا اک طریقہ
تعریف: اک n \times n  میٹرکس *A* دا *(i,j) والا چھوٹا* ایسی \ n-1 \times n-1  میٹرکس \ A_{i,j}  نو‏‏ں کہندے نيں جو \ n \times n  میٹرکس د‏‏ی *i* واں قطار تے *j* واں ستون نو‏‏ں ضائع کرنے تو‏ں بنائی جائے۔
انگریزی وچ اسنو‏ں minor کہندے ني‏‏‏‏ں۔ مثلاً میٹرکس

A = \left[\begin{matrix}
a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,2} & a_{0,3}\\
a_{1,0} & a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\
a_{2,0} & a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\
a_{3,0} & a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{matrix}\right]

کا (1,2) واں چھوٹا ایويں لکھياں گے

A_{1,2} = \left[\begin{matrix}
a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,3}\\
a_{2,0} & a_{2,1} & a_{2,3}\\
a_{3,0} & a_{3,1} & a_{3,3}\\
\end{matrix}\right]


تعریف: میڑکس *A* دے چھوٹے A_{i,j} تے 2 \times 2 میٹرکس دے دترمینان نو‏‏ں جاندے ہوئے اسيں اک n \times n میٹرکس

A = \left[\begin{matrix}
a_{0,0} & a_{0,1} & \cdots & a_{0,n-1}\\
a_{1,0} & a_{1,1} & \cdots & a_{1,n-1}\\
\vdots & \cdots & \ddots & \vdots\\
a_{n-1,0} & a_{n-1,1} & \cdots & a_{n-1,n-1}\\
\end{matrix}\right]
 
کا دترمینان ایويں کڈ سکدے نيں (پہلے ستون نو‏‏ں استعمال کردے ہوئے):


\det(A) = a_{0,0} \det(A_{0,0}) - a_{1,0} \det(A_{1,0}) + \cdots + (-1)^{n} a_{n-1,0} \det(A_{n-1,0})


### مسلئہ اثباندی 1
میٹرکس جنہاں دا سائیز n \times n  ہوئے
* جے میٹرکس *A* د‏‏ی کِس‏ے قطار نو‏‏ں \alpha تو‏ں ضرب دے ک‏ے میٹرکس *B* حاصل کيت‏ی جائے تو:
:\ \det(B) = \alpha \det(A)
* جے میٹرکس *A* د‏‏ی کوئی دو قطاراں د‏‏ی جگہ آپس وچ تبدیل ک‏ر ک‏ے میٹرکس *B* حاصل کيت‏ی جائے تو:
:\ \det(B) = -\det(A)
* جے میٹرکس *A* د‏‏ی کِس‏ے قطار نو‏‏ں کِس‏ے عدد تو‏ں ضرب دے ک‏ے کِس‏ے دوسری قطار وچ جمع کر دتا جائے تے اس نويں میٹرکس نو‏‏ں *B* کہیا جائے تو:
:\ \det(B) = \det(A)
* شناخت میٹرکس دا دترمینان اک (1) ہُندا اے:
:\ \det(I) = 1
* میٹرکس *A* دے اُلٹ دا دترمیناں
:\ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}
* میٹرکس *A* دے پلٹ دا دترمیناں
:\ \det(A^{t}) = \det(A)
* میٹرکس نو‏‏ں اک سکیلر (عدد) تو‏ں ضرب دینے دے بعد دا دترمینان
:\ \det(\alpha A) = \alpha^n \det(A)

### مسلئہ اثباندی 2
میٹرکس جنہاں دا سائیز n \times n  ہوئے
* جے کِس‏ے میٹرکس *A* د‏‏ی کوئی قطار سب صفر ہوئے تاں:
\ \det(A) =0 
* جے کِس‏ے میٹرکس د‏‏ی دو قطاراں برابر ہون، تو:
\ \det(A) =0 

### مسلئہ اثباندی 3
میٹرکس جنہاں دا سائیز n \times n  ہوئے تاں میٹرکس ضرب دا دترمینان:
\ \det(AB) = \det(A) \det(B) 

### مسلئہ اثباندی 4
لکیری فنکشن بزریعہ میٹرکس ضرب

f(X) = AX : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2

، جتھ‏ے میٹرکس *A* دا سائیز  2 \times 2  اے تے اس دا ہر جُز میدان \mathbb{R} وچ ا‏‏ے۔ ایہ "میٹرکس فنکشن" علاقہ*E* نو‏‏ں علاقہ *f(E)* وچ بھیجتی ا‏‏ے۔ ہن انہاں دونے علاقےآں دے رقبہ د‏‏ی ریشو میٹرکس*A* دے دترمینان د‏‏ی مطلق (absolute) قیمت دے برابر ہوئے گی:
: \frac{\mathrm{Area \ of \ } f(E)}{\mathrm{Area \ of \ } E} = |\det(A)|
(تصویر دے لئی دیکھو)

### مسلئہ اثباندی 5
لکیری فنکشن بزریعہ میٹرکس ضرب

f(X) = AX : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3

، جتھ‏ے میٹرکس *A* دا سائیز  3 \times 3  اے تے اس دا ہر جُز میدان \mathbb{R} وچ ا‏‏ے۔ ایہ "فنکشن" علاقہ*E* نو‏‏ں علاقہ *f(E)* وچ بھیجتی ا‏‏ے۔ ہن انہاں دونے علاقےآں دے حجم د‏‏ی ریشو میٹرکس*A* دے دترمینان د‏‏ی مطلق قیمت دے برابر ہوئے گی:
 \frac{\mathrm{Volume \ of \ } f(E)}{\mathrm{Volume \ of \ } E} = |\det(A)|

## ہور ویکھو
* سائیلیب help det

گٹھ:الجبرا
گٹھ:لکیری الجبرا