سپیشل ریلیٹیوٹی

**سپیشل ریلیٹیوٹی** (مخصوص نسبیت) فزکس دا اک نظریا اے جیہنوں ایلبرٹ آئینسٹائن نے 1905 وچ پیش کیتا ۔

فزکس وچ سپیشل ریلیٹیوٹی (SR, جسنوں سپیشل تھیوری آف رلیٹیوٹی یا STR وی کیہا جاندا اے) خلاء (سپیس) اتے ویلے درمیان تعلقاں نوں درساؤندی سبھ ولوں قبول کیتی گئا بھوتکی اصول اے۔ ایہہ دو سوے-سدھ پرماناں اتے امشتمل اے: (1) کہ فزکس دے نیم سارے انرشیئل سسٹماں (ایکسلریٹ نہ ہو رہیاں ریپھرینس فریماں) وچ ستھر (آئڈینٹیکل) ہندے ہن؛ اتے (2) کہ ویکم (خلاء) وچ روشنی دی رفتار سارے ناظرین لئی اکو جہی رہندی اے, بھاویں روشنی دا سوما رفتار شیل ہی کیوں نہ ہووے۔ ایہہ اصول مول روپ وچ پرچے “الیکٹروڈائنیمکس آف موونگ باڈیز” (رفتار شیل چیزاں دے الیکٹروڈائنامکس اتے) وچ سن 1905 وچ البرٹ آئینسٹائین ولوں پیش کیتی گئی سی۔۔ الیکٹرومیگنٹزم دیاں میکسویلّ اکئیشناں نال نیوٹونیئن مکینکس دی بیمیلتا اتے کسے روشنی چھڈن والے ایتھر راہیں گزردی دھرتی دی رفتار کھوجن دی نہ-قابلیت نے سپیشل رلیٹیوٹی ول پریرنا دتی, جسنے روشنی دی رفتار دے نیڑے دیاں گتیاں والیاں پرحالات نال نبٹن لئی مکینکس نوں سودھیا۔ جویں اجکل دا, سپیشل رلیٹیوٹی کسے وی سپیڈ اتے رفتار دا سبھ توں زیادہ خالص ماڈل اے۔ تاں وی, نیوٹونیئن مکینکس روشنی دی سپیڈ دے ساپیکھک چھوٹیاں ولوسٹیاں اتے اک لگبھگ سنکھیپیؤ دے طور تے اجے وی معاون اے (اسدی سرلتا اتے اچّ-شدھتا کارن)۔
 
سپیشل رلیٹیوٹی نتیجیاں دے اک وڈا دائرے نوں متاثر کردی اے, جہناں نوں پریوگک طور تے ثابت کیتا جا چکا اے, جہناں وچ, لینتھ کنٹریکشن (لمبائی سنگھڑنی), ٹائم ڈلیشن (وقت دا کھچاؤ), رلیٹوسٹک ماس (ساپیکھک پنج), ماس-اینرجی اکئیویلینس (پنج-توانائی برابری), اک برہمنڈی سپیڈ حد, اتے سملٹینٹی (اکٹھیاں واقعے) دی رلیٹیوٹی۔ اسنے اک خالص برہمنڈی وقت دی روایتی دھارنا نوں اجیاے ٹائم دی دھارنا نال بدل دتا اے جو ریفرینس فریم اتے سپیشیئل (مقامی) پوزیشن اتے انحصار کردا اے۔ دو واقعے درمیان اک ستھر وقت عرصے دی جگہ, اک ستھر سپیسٹائیم وقفہ ہندا اے۔ فزکس دے ہور اصولاں نال ملاؤندے ہوئے, سپیشل رلیٹیوٹی دے دو سوے-سدھ نشان ماس اتے اینرجی دی برابری دا اندازا لگاؤندے ہن, جویں ماس-اینرجی برابری فارمولے E = mc2 وچ درسایا گیا اے, جتھے c نوں ویکمّ وچ روشنی دی سپیڈ کیہا جاندا اے۔

سپیشل رلیٹیوٹی دا متاثر کرن والا لچھن نیوٹونیئن مکینکس دیاں گیلیلیئن تبدیلیاں نوں لورنٹز تبدیلیاں نال بدلنا اے۔ ٹائم اتے سپیس نوں اک دوجے توں وکھرا متاثر نہیں کیتا جا سکدا اے۔ سگوں سپیس اتے ٹائم, سپیسٹائیم کاے جان والی اک سنگل نرنترتا وچ اندرونی طور تے پروئے ہندے ہن۔ جو واقعے کسے اک درشک لئی اکو وقت تے واپردیاں ہن, اوہی واقعے کسے ہور درشک لئی وکھرے وکھرے وقت وچ واپردیاں نظر آ سکدیاں ہن۔

تھیوری دا خاص ہونا اس گل کارن اے کہ ایہہ صرف اوہناں سپیشلا کیساں وچ ہی لاگوُ کیتی جاندی اے جتھے گریوٹی کارن سپیسٹائیم دا کرویچر ممولی ہندا اے۔ گریوٹی نوں شامل کرن لئی, آئینسٹائین نے 1915 وچ جنرل ریلیٹیوٹی پھارمولابدھّ کیتی۔ (سپیشل رلیٹیوٹی, کجھ پرانے وورناں توں خلاف, ایکسلریٹ کیتیاں گئیاں ریفرینس فریماں نال نبٹنیوگ اے)

جویں گیلیلیئن رلیٹیوٹی نوں ہن سپیشل رلیٹیوٹی دی اک سمیپیؤ دے طور تے لیا جاندا اے جو کہ گھٹ سپیڈاں اتے پروانت اے, اوسے طرحاں سپیشل رلیٹیوٹی نوں جنرل رلیٹیوٹی دی اک نیڑے دی سنکھیپیؤ دے طور تے لیا جاندا اے جو کمزور گریویٹیشنل پھیلڈاں لئی پروانت اے, یانِ کہ, ضرورت جنے چھوٹے پیمانے اتے آزاد گراوٹ دیاں شرطاں وچ پروانت اے۔ جتھے جنرل رلیٹیوٹی سپیسٹائیم دے جیؤمیٹرک کرویچر دے روپ وچ گریویٹیشنل پرجذبات نوں پرسعنصر کرن دے لئی, غیر-یوکلڈن جیؤمیٹری (جیؤمیٹری) نال سہویوگ کردی اے, اتھے سپیشل رلیٹیوٹی منکووسکی سپیس دے نام نال جانی جان والی فلیٹ سپیس تک محدود اے۔ اک مقامی طور تے لورینٹز ستھر فریم جو سپیشل رلیٹیوٹی دی پالنا کردی ہووے, کافی سوخم پیمانے اتے متاثر کیتی جا سکدی اے, اتھوں تک کہ کروڈ سپیسٹائیم وچ وی متاثر کیتی جا سکدی اے۔

گیلیلیؤ گیلیلی نے پہلاں ہی سوے-سدھ کر دتا سی۔ کہ ریسٹ (کوئی خاص حق حاصل ریفرینس فریم نہیں) دی خالص اتے چنگی طرحاں متاثر حالت نہیں ہندی, اس اصول نوں ہن گیلیلیؤ دا ساپیکھتا اصول کہندے ہن۔ آئینسٹائین نے اس اصول نوں اسطراں ودھایا کہ اسنے روشنی دی ستھر سپیڈ لئی منگ کیتی, اک اجیہا عمل جو تازہ سمیاں وچ مائیکلسن مورلے استعمال وچ دیکھیا گیا اے۔ اسنے ایہہ وی سدھ کیتا کہ ایہہ فزکس دے سارے نظریات دی پالنا کردا اے, جہناں وچ مکینکس اتے الیکٹروڈائنامکس دے اصول شامل ہن۔
 

## سوے-سدھ نشان

چاہے مکینکس جاں الیکٹروڈائنامکس دے ادوں دے معلوم نظریات دی صحیح پرمانکتا دے ہندے ہوئے وی, آئینسٹائین نے دو مڈھلے پرستاواں وچ فرق نوں پہچانیا جو سبھ توں زیادہ بھروسیمند لگدا سی۔ ایہہ تجویز روشنی دی سپیڈ دی استحکام اتے انرشیئل سسٹم دی چون توں بھوتکی نظریات (خاص کر کے روشنی دی سپیڈ دی استحکام) دی آزادی سن۔ 1905 وچ سپیشل رلیٹیوٹی بابت اپنی شروعاتی پیش کش وچ اسنے ایہناں سوے-سدھ پرماناں نوں اسطراں درسایا:

* رلیٹیوٹی دا اصول – جہناں نظریات راہیں بھوتکی سسٹماں وچ حالتاں تبدیل ہندیاں ہن, اوہ اصول بدلدے نہیں ہن, چااے ایہہ حالتاں دیاں تبدیلیاں اک دوجے دے ساپیکھک اکسار بدلدی رفتار ماتحت رفتار شیل دو سسٹماں وچوں اک جاں دوجے ول اشارہ کرن۔

* روشنی دی ستھر سپیڈ دا اصول – “…روشنی ہمیشاں ہی خالی سپیس وچ اک مقررہ ولوسٹی (سپیڈ) c نال سنچارت ہندا اے جو روشنی پیدا کرن والے سومے دی رفتار دی حالت توں آزاد ہندی اے۔” یانِ کہ, روشنی ویکمّ وچ سپیڈ c (اک پھکس ستھرانک, جو سمت توں مکت ہندا اے) نال انرشیئل کو-آرڈینیٹاں (سٹیشنری سسٹم) دے گھٹو گھٹ اک سسٹم وچ سنچارت ہندا اے, جو روشنی دے سومے دی رفتار دی حالت نوں نظر انداز کردا اے۔

سپیشل رلیٹیوٹی دی فارمولا رچنا نہ صرف صرف ایہناں دوویں باہری سوے-سدھ پرماناں تے انحصار کردی اے, سگوں کئی انکہیاں مون دھارناواں (جو فزکس دیاں لگبھگ سبھ تھیوریاں وچ بنیاں سن) تے وی انحصار کردی اے, جہناں وچ سپیس دی آئیسوٹروپی اتے ہوموجینیئٹی اتے ناپن والیاں چھڑیاں اتے اوہناں دے بھوتدور اتہاس توں گھڑیاں شامل ہن۔

سپیشل رلیٹیوٹی بابت 1905 والی آئینسٹائین دی مول پیش کش نوں اپناؤندے ہوئے, سوے-سدھ پرماناں دے کئی وکھرے سیٹ وی بہت ساریاں بدلویاں رچناواں اندر پیش کیتے گئے۔ پھیر وی, آئینسٹائین ولوں اسدے اپنے مول پیپر والا سوے-سدھ نشان سبھ توں زیادہ سانجھا سیٹ رہا اے۔ آئینسٹائین ولوں بعد وچ بیان کیتا گیا سپیشل رلیٹیوٹی متعلق اک ہور گنتک کتھن, جو اپر نہیں لکھی سرلتا دی دھارنا پیش کردا اے اوہ ایہہ اے:

رلیٹیوٹی دا سپیشل پرنسپل : جیکر کوآرڈینیٹ K دا کوئی سسٹم اسطراں چنیا جاندا اے کہ, اسدے نال تعلق وچ, بھوتکی اصول اپنی آسان ترین قسم وچ صحیح طرحاں لاگوُ رہندے ہن, تاں اوہی نیم کسے ہور کوآرڈینیٹاں دے سسٹم K’ لئی وی لاگوُ رہنگے, جو K توں اک اکسار تبدیلی ماتحت ساپیکھک رفتار کر رہا ہندا اے۔

ہینری پوآئنکیئر نے ایہہ ثابت کردے ہوئے رلیٹیووٹی تھیوری لئی گنتک ڈھانچہ مہئیا کروایا کہ “لورینٹز تبدیلیاں” اسدے “سمٹری تبدیلیاں والے پوآینکیئر گروپ” دیاں اک سبسیٹّ ہندیاں ہن۔ آئینسٹائین نے بعد وچ ایہناں تبدیلیاں (پرورتناں) نوں اپنے اصولاں توں رچیا۔

آئینسٹائین دے بہت سارے پیپر ایہناں دوویں نظریات اتے مشتمل لورینٹز پرورتن دی ویونتپتی پیش کردے ہن۔

آئینسٹائین نے لورینٹز انویریئنس (سپیشل رلیٹیوٹی دی لازمی کور) دی ویونتپتی نوں استحکام نال صرف دو مڈھلے ساپیکھتا نظریات اتے روشنی دی سپیڈ دی استحکام اتے مشتمل بنایا۔ اسنے لکھیا:

سپیشل رلیٹیوٹی دی تھیوری لئی مڈھلی گہری بدھی ایہہ اے: رلیٹیوٹی اتے روشنی دی ستھر سپیڈ دیاں دھارناواں تاں مطابق رہندیاں ہن جیکر واقعے دے “وقتاں” اتے نردیشانکاں دے وٹاندرے (کنورشن) لئی اک نویں قسم دے (لورینٹز ٹرانسپھورمیشن) تعلقاں نوں سدھ کیتا جاندا ہے… رلٹیوٹی دی سپیشل تھیوری دا برہمنڈی اصول اس سوے-سدھ وچ رکھیا اے: فزکس دے اصول لورینٹز ٹرانسپھورمیشناں (کسے اک انرشیئل فریم توں کسے ہور منمرضی نال چنے گئے انرشیئل سسٹم تک دا وٹاندرا) پرتِ ستھر رہندے ہن۔ ایہہ قدرتی قنوناں لئی اک پابندھی لگاؤن والا اصول اے۔

اسطراں سپیشل رلیٹیوٹی دے بہت سارے اجوکے علاج اسدا ادھار برہمنڈی لورینٹز کوویریئنس دے اکو سوے-سدھ نشان, جاں اسدے سامان ہی, منکووسکی سپیسٹائیم دے, اکو سوے-سدھ نشان تے بناؤندے ہن۔

روشنی دی سپیڈ دی استحکام نوں لئے وگویر رلیٹیوٹی دے اصول توں (یانِ کہ, سپیس دی آئیسوٹروپی اتے سپیشل رلیٹیوٹی دے اصول راہیں متاثر سمٹری ورتدے ہوئے) دکھایا جا سکدا اے کہ انرشیئل فریماں درمیان سپیسٹائیم پرورتن یونکلڈن, گیلیلیئن ہندے ہن جاں لورینٹزیئن وچوں کوئی وی ہندے ہن۔ لورینٹزیئن کیس وچ, تلناتمک وقفہ والیاں گلابانتاں حاصل کیتیاں جا سکدیاں ہن اتے اک مقررہ محدود سپیڈ دی حد حاصل کیتی جا سکدی اے۔ استعمال سجھاؤندے ہن کہ ایہہ سپیڈ ویکمّ وچ روشنی دی سپیڈ ہندی اے۔

روشنی دی سپیڈ دی استحکام میکسویلّ دی الیکٹرومیگنٹزم تھیوری توں راغب ہوئی سی۔ اتے چمکدار ایتھر لئی ثبوتاں دی کمی رہی۔ مائیکلسن مورلے استعمال دے نتیجے نہ نکلن ولوں آئینسٹائین کنی کو دیر متاثر رہا, اس گل دے پرسپر ورتکنیک ثبوت ہن۔ پھیر وی, مائیکلسن مورلے ایکسپیریمینٹ دے زیرو نتیجے نے روشنی دی سپیڈ دی استحکام نوں وڈا پدھر تے پھیلاؤن اتے تیزی نال سویکارن وچ مدد کیتی ۔

## سپیسٹائیم دا جیؤمیٹری
### منکووسکی سپیس

گنتک فزکس وچ, منکووسکی سپیس جاں منکووسکی سپیسٹائیم, یوکلڈن سپیس اتے ٹائم دا اک 4-سمتی مینیپھولڈ (بہپرت) وچ میل اے جتھے کسے وی دو واقعے درمیان سپیسٹائیم وقفہ (انٹرول) اوس انرشیئل فریم (ڈھانچے) توں آزاد رہندا اے جس وچ اس نوں ریکارڈ کیتا جاندا اے۔ بے شکّ شروعات وچ منکووسکی سپیسٹائیم دی گنتک بنتر, الیکٹرومیگنٹزم دیاں میکسویلّ اکئیشناں لئی گنتشعورت حرمن منکووسکی ولوں ترقی یافتہ کیتی گئی سی, پھیر وی اس نوں سپیشل رلیٹیوٹی (سپیشل ریلیٹیوٹی)دے سدھ نشان دے ترنت نتیجے دے روپ وچ دکھایا گیا سی۔
 
منکووسکی سپیس آئینسٹائین دی سپیشل رلیٹیوٹی (سپیشل ریلیٹیوٹی) دی تھیوری نال نزدیک طور تے جڑی اے, اتے ایہہ اوہ سبھ توں زیادہ سانجھی گنتک بنتر اے جس اتے سپیشل رلیٹیوٹی (سپیشل ریلیٹیوٹی) دے فارمولیاں دا سوتریکرن کرن کیتا گیا اے۔ جدونکھ یوکلڈن سپیس اتے ٹائم دے انفرادی کمپونینٹ لمبائی سنگڑن عمل (لینتھ کنٹریکشن) اتے ٹائم وچ دیری (ٹائم ڈلیشن) کارن اکثر فرق رکھنگے, منکووسکی سپیس وچ, ساریاں ریپھرینس فریماں واقعے درمیان سپیسٹائیم وچ کل دوری اتے سہمت ہندیاں ہن۔ کیونکہ ایہہ وقت نوں تن مقامی سمتاں نالوں وکھرے طریقے نال لیندی اے, اسلئی منکووسکی سپیس چار-سمتی یوکلڈن سپیس توں وکھری ہندی اے۔

آئیسومیٹری گروپ, جو کہ نیمت اندرونی گننپھل نال بھرپور اک یوکلڈن سپیس دے یوکلڈن ڈسٹینساں (وتھاں) نوں سرکھات کردا اے, یوکلڈن گروپ کیہا جاندا اے۔ منکووسکی سپیس لئی برابر دا آئسیمیٹری گروپ جو غیر-پوزیٹو مقررہ دو-ریکھک (بائلینیئر) اکار (اتھے اسنوں منکووسکی انر پروڈکٹ کیہا جاندا اے) سمیت سپیسٹائیم دے وقفےآں نوں سرکھئت کردا اے, پوآئنکیئر گروپ کیہا جاندا اے۔ منکووسکی اندرونی گننپھل (انر پروڈکٹ) دو واقعے درمیان سپیسٹائیم وقفہ پیدا کرن دے روپ وچ متاثر کیتا جاندا اے جدوں اوہناں واقعے دے نردیشانک انتر ویکٹر ترک دے طور تے دتے گئے ہون۔

#### منکووسکی سپیس دا اتہاس

##### چار-سمتی اقلیدسی سپیسٹائیم

1905 وچ, 1906 والی پبلیکیشن دے نال, ہینری پوآئنکیئر نے دکھایا کہ ٹائم نوں اک خیالی چوتھے سپیسٹائیم نردیشانک (√−1 c t) دے طور تے لے کے, اک لورنٹز ٹرانسپھورمیشن (پرورتن) نوں, تن اصلی نردیشانکاں راہیں پرسعنصر کیتی جا رہی سپیس اتے چوتھے سمت دے طور تے ٹائم نوں پرسعنصر کر رہا اک خیالی نردیشانک, یکت اک چار-سمتی یوکلڈن سپیس وچ نردیشانکاں دی اک روٹیشن (چکر) کیہا جا سکدا اے۔ کیونکہ پھیر سپیس اک سوڈو-یوکلڈن سپیس ہندی اے, اسلئی روٹیشن اک ہائیپربولک روٹیشن دی پرستتی ہندی اے, بے شکّ پوآئنکیئر نے ایہہ وضاحت نہیں دتی سی, اسدا مقصد جانی پچھانی یوکلڈن روٹیشن دے شبداں وچ صرف لورنٹز پرورتن نوں کھل کے سمجھاؤنا ہی سی۔

اس وچار دا حرمن منکووسکی ولوں پھلار کیتا گیا, جسنے چار سمتاں وچ لورنٹز پرورتن ماتحت اوہناں دے انویریئنس سدھے دکھاؤندے ہوئے میکسویلّ دیاں سمیکرناں نوں پنرکتھن کرن لئی اسدی ورتو کیتی۔ اسنے ہور اگے آئینسٹائین دی سپیشل رلیٹیوٹی (سپیشل ریلیٹیوٹی) دی اس وقت دی تازہ تھیوری نوں چار سمتاں وچ پنر سوتربدھّ کیتا۔ استوں اسنے ایہہ نتیجہ کڈھیا کہ ٹائم اتے سپیس نوں برابر ہی لینا چاہیدا اے, اتے اسطراں اسنے اک ایکیکرت چار-سمتی سپیسٹائیم نرنترتا وچ ہو رہیاں واقعے دے اپنے تجزیہ نوں اچا چکیا۔

##### منکووسکی سپیس

ہور اگے کسے ترقی لئی, اسنے اس وچار دے بدلے ہوئے روپ دے فارمولا سوتریکرن دتے جہناں وچ اک خیالی دی جگہ اصلی وقت والے نردیشانک ورتے گئے سن جو اک چار-سمتی اپھائین (بروبرابر تعلق سرکھات رکھن دی آگیا دین والی) سپیس وچ چار سپیس تے ٹائم دے استھرانکاں (x, y, z, t) نوں پرسعنصر کردے سن۔ اس سپیس وچ نقطہ سپیسٹائیم وچ واقعے نال متعلق ہندے ہن۔ اس سپیس وچ, ہریک نقطہ (اپر چتر دیکھو) نال اک مقررہ لائیٹ-کون جڑی ہندی اے, اتے لائیٹ-کون اتے نہ ہون والیاں واقعے نوں سپیسلائیک جاں ٹائیملائیک دے طور تے دھریاں نال اوہناں دے تعلقاں راہیں شرینیبدھّ کیتا جاندا اے۔ سپیسٹائیم دا مکھ طور تے ایہی نظریہ اجکل چل رہا اے, بھاویں خیالی وقت والے پرانے نظریہ نے وی سپیشل رلیٹیوٹی (سپیشل ریلیٹیوٹی) نوں متاثر کیتا اے۔ منکووسکی, جو اپنے ولوں بنائی گئی تھیوری دی مول پنربیانباجی بارے جاندا سی, نے کیہا,

**سپیس اتے ٹائم دے نظریہ جو میں تہاڈے اگے رکھنا چاہندا ہاں پریوگک فزکس دی دھرتی توں ابھرے ہن, اسلئی ایہناں وچ طاقت اے۔ ایہہ قدرتی طور تے مڈھلے نظریہ ہن۔ اسلئی سپیس اپنے آپ وچ, ٹائم اپنے آپ وچ, صرف پرچھاویاں وچ لپت ہون لئی دوشی پائے گئے ہن, اتے صرف ایہناں دوہاں دا میل ہی اک آزاد واستوکتا نوں سرکھئت کریگا ۔**
***---حرمن منکووسکی, 1907***

#### گنتک بنتر

اک معائنہ تجزیہ لئی, منکووسکی سپیس اک 4-ڈائمینشنل اصلی ویکٹر سپیس ہندی اے جس وچ سپیسٹائیم وچ ہریک نقطہ اتے سمرد سپیس اتے اک سہیسلامت (نونڈجنریٹ), سمروپ دو-ریکھک (سمٹرک بائلینیئر) اکار ہندا اے, اتھے جسنوں صرف (−,+,+,+) جاں (+,−,−,−) ہستاکھر والا منکووسکی اندرونی گننپھل کیہا گیا اے۔ مشق وچ, سمرد سپیساں نال واسطہ رکھن دی ضرورت نہیں پیندی۔ منکووسکی سپیس دی ویکٹر سپیس فطرت, خود منکووسکی سپیس اندر ویکٹراں (نقطےآں, واقعے) والے نقطےآں (واقعے) اتے سمرد سپیساں وچ ویکٹراں دی کانونیکل پچھان کرن دی آگیا دندی اے۔ کجھ مقصداں لئی اک نقطہ p اتے ڈسپلیسمینٹ ویکٹر نال سمرد ویکٹراں دی پچھان کرن دی اچھا رہندی اے, جو کہ, بے شکّ, اسے کانونیکل پچھان راہیں قبول یوگ ہندا اے۔

سگنیچر اوس چنہ ول اشارہ کردا اے جو منکووسکی اندرونی گننپھل پیدا کردا اے جدوں ترک تے طور تے ادھار ویکٹراں دے روپ وچ سپیس اتے ٹائم دتے ہوئے ہون۔ عامَ طور تے, گنت شعورت اتے جنرل رلیٹیوٹی وشیشک (−,+,+,+) سگنیچر نوں ترجیح دندے ہن جدونکھ بھوتک سائنسدان (+,−,−,−) سگنیچر نوں پسند کردے ہن۔ پہلے طریقے دے سگنیچر (خالص سپیس ویکٹر پوزیٹو “نورم-سکئیرڈ” سرجدے ہن) لئی ترک غیر-ساپیکھک حد c → ∞ نال متعلق یوکلڈن کیس توں نرنترتا شامل کردے ہن۔ بعد والے سگنیچر (خالص سپیس ویکٹر نیگٹو “نورم-سکئیرڈ” سرجدے ہن) لئی ترکاں وچ فزکس وچ ہور طریقیاں نال سرو-مکمل گھٹاؤ دے چناں دا مکّ جانا شامل اے۔

سپیسٹائیم وچ ہریک نقطہ اتے اس بائلینیئر (دو-ریکھک) اکار نال گنتک طور تے اک (0,2) قسم والا ٹینسر جڑیا ہندا اے, جسنوں منکووسکی میٹرک کہندے ہن۔ منکووسکی میٹرک, بائلینیئر اکار, اتے منکووسکی انر پروڈکٹ اصل وچ اکو چیز ہندے ہن۔ نردیشانکاں وچ, ایہہ 44 میٹرکس ہندا اے جو بائِلینیئر اکار نوں پرسعنصر کردا اے۔ اس گل نوں دھیان وچ رکھدے ہوئے اگے پڑنا سودھاجنک ہو سکدا اے۔

جنرل رلیٹیوٹی وچ, تلناتمک طور تے, اک لورنٹزیئن مینیپھولڈ L, میٹرک ٹینسر g یکت دی طرحاں ہندا اے, جو L دے ہریک نقطہ p اتے سمرد سپیس  اتے اک صحیح سلامت سمروپ دو-ریکھک (نونڈجنریٹ سمٹرک بائلینیئر) اکار ہندا اے۔ نردیشانکاں وچ, اسنوں “سپیسٹائیم پوزیشن تے انحصار کردے ہوئے” اک 44 میٹرکس راہیں درسایا جا سکدا اے۔ منکووسکی سپیس اسطراں لورنٹز مینیپھولڈ دا اک تلناتمک طور تے آسان خاص کیس اے۔ اسدا میٹرک ٹینسر, جسنوں منکووسکی میٹرک کیہا جاندا اے, نردیشانکاں وچ M دے ہریک نقطہ اتے اوہی سمروپ میٹرکس ہندا اے, اتے اسدے ترکاں نوں خود سپیسٹائیم وچ ویکٹراں دے طور تے لیا جا سکدا اے۔

ہور ووکیبولری نال جان پچھان کرواؤندے ہوئے (پر ہور بنتر نال نہیں), منکووسکی سپیس اسطراں اک سوڈو-یوکلڈن سپیس ہندی اے جسدیاں کل ڈائمینشناں n=4 ہندیاں ہن اتے سگنیچر (3, 1) جاں (1, 3) ہندے ہن۔ منکووسکی سپیس دے تتاں (ایلیمینٹاں) نوں اوینٹس (واقعے) کیہا جاندا اے۔ منکووسکی سپیس نوں چنے ہوئے سگنیچر تے زور دندے ہوئے اکثر  جاں  لکھیا جاندا اے, جاں صرف M لکھیا جاندا اے۔ ایہہ شاید سوڈو-ریمانیئن مینیپھولڈ دی آسان ترین اداہرن اے۔

##### سوڈو-یوکلڈن میٹرک سرو عام نیم

منکووسکی میٹرک η منکووسکی سپیس دا میٹرک ٹینسر اے۔ ایہہ اک سوڈو-یکلڈن میٹرک اے۔ اسطراں ایہہ اک نونڈیجنریٹ سمروپ دو-ریکھک اکار ہندا اے, اتے اک (0,2) قسم دا ٹینسر ہندا اے۔ ایہہ دو ترک قبول کردا اے؛  جو  وچ ویکٹر ہن, اتے M وچ نقطہ p اتے سمرد سپیس اے۔ خود M نال  دی اپر دسی کانونیکل پچھان کارن, ایہہ M وچ دواے u, v ترکاں نوں قبول کردا اے۔

سنکلپک پرمپرا دے طور تے, M وچ ویکٹراں v نوں 4-ویکٹر کیہا جاندا اے, جو بغیر نوکاں والے سنس سیرپھ اٹالک اکھراں وچ لکھے جاندے ہن, نہ کہ یوکلڈن سیٹنگ مطابق بولڈپھیس v دی طرحاں۔ بعد والا چنہ عامَ طور تے اک 4-ویکٹر دے 3-ویکٹر حصے لئی راکھواں رکھیا جاندا اے۔

تشریح

:u \cdot v =\eta(u, v)

M اتے اندرونی گننپھل وانگ بنتر پیدا کردی اے, جسنوں منکووسکی انر پروڈکٹ کیہا جاندا اے جو یوکلڈن انر پروڈکٹ وانگ اے, پر ایہہ وکھرے جیؤمیٹری نوں درساؤندا اے۔ اسدیاں ایہہ خاصیتاں ہن,

*\eta(au + v, w) = a\eta(u, w) + \eta(v,  w), \quad \forall  u, v \in M, \forall a \in \mathbb R \qquad \text{(linearity in first slot)}
*\eta( u,  v) = \eta( v,  u) \qquad \text{(symmetry)}
*\eta( u,  v) = 0 \quad \forall v \in M \Rightarrow u = 0 \qquad \text{(non-degeneracy)}

پہلیاں دو شرطاں بائلینیئرٹی (دو-ریکھکتا) درساؤندیاں ہن۔ اک متھّ-اندرونی گننپھل اتے اک اندرونی گننپھل درمیان متاثر کیتا جا رہا انتر ایہہ اے کہ پہلا گننپھل مقررہ طور تے پوزیٹو ہونا ضروری نہیں اے, یانِ کہ η(u, u) \pm\left[c^2(t_1 - t_2)^2 - (x_1 - x_2)^2 - (y_1 - y_2)^2 - (z_1 - z_2)^2\right],

چنی گئی انرشیئل فریم توں آزاد ہندا اے۔ پھیکٹر دا سرلمطلب ایہہ اے کہ سگنیچر دی چون کھلی چھڈّ دتی گئی اے۔ η دا سنکھئک ملّ, منکووسکی اندرونی گننپھل نوں پرسعنصر کر راے اک میٹرکس دے طور تے دیکھدے ہوئے, بائِلینیئر اکار دی تھیوری توں پتہ چلدا اے۔

کیونکہ ساہت (لٹریچر) وچ میٹرک دے سگنیچر وکھرے وکھرے متاثر کیتے گئے ہن, ایہہ مقدار استحکام نال نامبدھّ نہیں کیتی جاندی۔ وقفہ (جویں اتھے متاثر کیتا گیا اے) کدے کدے انٹرول سکئیرڈ ول اشارہ کردا اے۔ بھاویں موجودہ انٹرول دا طبقہ مول (سکئیئر روٹ) ملدا اے۔ جدوں سگنیچر اتے انٹرول پھکس کر لئے جاندے ہن, اسپشٹتا اجے وی بنی رہندی اے کہ وقت دا نردیشانک کہڑا اے۔ ایہہ چوتھا ہو سکدا اے, ایہہ پہلا (زیرو والا) ہو سکدا اے۔ ایہہ تجزیہ استھرتاواں دی کوئی پھلار پوروک لسٹ نہیں اے۔ ایہہ زندگی دی اک سچائی اے کہ جدوں رلیٹیوٹی لٹریچر دی صلاحَ لین لگے پربولیاں نوں جانچ لینا پہلی چیز ہندی اے۔

انرشیئل فریماں درمیان کو-آرڈینیٹ ٹرانسپھورمیشناں (نردیشانک پرورتناں) ماتحت انٹرول (وقفہ) دی انویریئنس (استحکام) اس ہیٹھاں لکھی مقدار (کسے وی چنہ لئی رکھواں) دے انویریئنس توں پتہ چلدی اے, بشرطے پرورتن لینیئر (ریکھک) ہووے ؛

:\pm\left[c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2\right]

اس کواڈریٹک اکار (ورگاکار) نوں پولرائیزیشن آئڈینٹٹی (دھروی-پہچان) راہیں ہیٹھاں لکھیا بائلینیئر اکار متاثر کرن لئی ورتیا جا سکدا اے؛

: u \cdot  v = \pm\left[c^2t_1t_2 - x_1x_2 - y_1y_2 - z_1z_2\right].

اس بائلینیئر اکار نوں بدلے وچ اس طرحاں لکھیا جا سکدا اے؛

: u \cdot  v =  u^{\mathrm T}[\eta] v,

جتھے [η] اک 44 میٹرکس ہندا اے جو η نال جڑیا ہندا اے۔ ممکن طور تے غلط فہمی بھرے انداز وچ, [η] نوں صرف η نال لکھ دینا رواج جیہا ہو گیا اے۔ میٹرکس واضع بائلینیئر اکار توں اس طرحاں پڑیا جاندا اے؛

:\eta = \pm \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix},

اتے بائلینیئر اکار نوں اسطراں پڑیا جاندا اے جس دے نال ایہہ سیکشن اسدی موجودگی نوں مندے ہوئے شروع کیتا گیا سی۔, جو ہن پچھانیا گیا اے؛

:u \cdot v =\eta(u, v),

نشچتتا اتے مختصر پرستتی لئی, سگنیچر (−,+,+,+) نوں ہن اپنا لیا گیا اے۔ چون دا کوئی بھوتکی مطلب نہیں اے۔ دوجی چون والے سگنیچر نال, سگنیچر دی اک چون والا بائلینیئر اکار سرکھات کردا سمٹری گروپ آئیسومرپھک ہندا اے۔ اسدا مطلب اے کہ دوویں چوناں رلیٹیوٹی دے سوے-سدھ پرماناں نال رضا مندی مطابق ہی رہندیاں ہن ۔

##### سٹینڈرڈ بیسس

منکووسکی سپیس لئی اک سٹینڈرڈ بیسس چار پرسپر اؤرتھوگنل ویکٹراں } دا اک اجیہا سیٹ ہندا اے کہ؛

:-\eta(e_0, e_0) = \eta(e_1, e_1) = \eta(e_2, e_2) = \eta(e_3, e_3) = 1 .

ایہناں شرطاں نوں مختصر روپ وچ انجھ لکھیا جا سکدا اے؛

:\eta(e_\mu, e_\nu) = \eta_{\mu \nu}.

سٹینڈرڈ بیسس دے ساپیکھک, کسے ویکٹر v دے کمپونینٹاں نوں  لکھیا جاندا اے جتھے  لکھن لئی آئینسٹائین دھارنا ورتی جاندی اے۔ کمپونینٹ نوں v دا ٹائیملائیک کمپونینٹ کیہا جاندا اے جدونکھ باقی تن کمپونینٹاں نوں سپیشیئل کمپونینٹ (مقامی حصے) کیہا جاندا اے۔ کسے 4-ویکٹر دے سپیشیئل کمپونینٹاں نوں اک 3-ویکٹر  دے طور تے پچھانیا جا سکدا اے۔

کمپونینٹاں دے شبداں وچ, دو ویکٹراں v اتے w درمیان منکووسکی انر پروڈکٹ نوں اسطراں حاصل کیتا جاندا اے؛

:\eta(v, w) = \eta_{\mu \nu} v^\mu w^\nu =  v^0 w_0 + v^1 w_1 + v^2 w_2 + v^3 w_3 = v^\mu w_\mu = v_\mu w^\mu,

اتے

:\eta(v, v) = \eta_{\mu \nu} v^\mu v^\nu =  v^0v_0 + v^1 v_1 + v^2 v_2 + v^3 v_3 = v^\mu v_\mu.

اتھے میٹریک ورتدے ہوئے اک سوچکانک نوں تھلے کیتا گیا اے۔ تکنیکی طور تے, اک نون-ڈیجنریٹ بائِلینیئر اکار, اک ویکٹر سپیس اتے اسدی دوہری (ڈیول) سپیس درمیان نقشہ مہئیا کرواؤندا اے, اس حوالہ وچ, میپ (نقشہ) M دیاں ٹینجینٹ (سمرد) سپیساں اتے کوٹینجینٹ سپیساں درمیان ہندا اے۔ M اندر کسے نقطہ اتے, ٹینجینٹ اتے کوٹینجینٹ سپیساں ڈیول ہندیاں ہن۔ جویں اک ترک پھکس کرکے کسے ویکٹر سپیس اتے اک بھروسے یوگ اندرونی گننپھل نوں, ریسز ریپریزینٹیشن تھیورم راہیں, ویکٹر سپیس اتے کسے لینیئر پھنکشنل دے ایکشن دے طور تے لکھیا جا سکدا اے, اویں ہی منکووسکی سپیس دے منکووسکی اندرونی گننپھل لئی وی ایہی کجھ لاگوُ ہندا اے۔

اسطراں جیکر  کسے ٹینجینٹ (سمرد) سپیس وچ کسے ویکٹر دے کمپونینٹ ہون, تاں  سہسمرد (کوٹینجینٹ, اک لینیئر پھنکشنل) سپیس وچ کسے ویکٹر دے کمپونینٹ ہونگے۔ M دے اپنے آپ وچ ویکٹراں نال سمرد سپیساں دے ویکٹراں دی پچھان کارن ایہہ زیادہتر اگنور کر دتا جاندا اے, اتے تھلے پیراں وچ لکھے سوچکانکاں (لوئر انڈیسیز) والے ویکٹراں نوں کوویریئنٹ ویکٹر کیہا جاندا اے۔ بعد والی اس وضاحت وچ, کوویریئنٹ ویکٹراں نوں (لگبھگ ہمیشاں ہی الجھاؤ نال) منکووسکی سپیس دی ڈیول سپیس وچ ویکٹراں (لینیئر پھنکشنلاں) دے طور تے پچھانیا جاندا اے۔ اپر لکھے جان والے سوچکانکاں (اپر انڈیسیز) والے ویکٹر کونٹرویریئنٹ ویکٹر کاے جاندے ہن۔ اسے انداز وچ, ٹینجینٹ توں کوٹینجینٹ سپیساں ول میپ دا الٹ, جو میٹرکس پرستتی وچ η دے انورس (1/ η) راہیں حاصل کیتا جاندا اے, کسے سوچکانک (انڈیکس) نوں اپر چکن نوں متاثر کرن لئی ورتیا جا سکدا اے۔ اس انورس (الٹ) دے کمپونینٹاں (حصیاں) نوں  لکھیا جاندا اے۔ کسے ویکٹر سپیس اتے اسدی ڈیول سپیس درمیان ایہناں نقشیاں نوں سنگیتک برابری راہیں  (پھلیٹ-ایٹا) and (شارپ-ایٹا) لکھیا جا سکدا اے۔

کدے کدے انڈیکس جمناسٹکس (سوچکانک کشمکش) کہی جان والی وقت راہیں مصدقہ مضبوطی اتے فارمولا سوتریکرن اپنے آپ وچ یقینی بنا دندی اے کہ ویکٹراں نوں آلے دوآلے گھماؤنا اتے کونٹراویریئنٹ توں کوویریئنٹ ویکٹراں وچ اتے کوویریئنٹ توں کونٹراویریئنٹ ویکٹراں وچ بدلنا گنتک طور تے سارتھک اے۔ غلط پرگٹاو چنہ اپنے آپ وچ پھٹاپھٹ ظاہر ہون لئی مجبور ہو جاندے ہن ۔

#### لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں اتے سمٹری

پوآئنکیئر گروپ وقفہ نوں سرکھات رکھن والے سارے پرورتناں دا گروپ اے۔ وقفہ (انٹرول) نوں 4-سمتاں وچ ٹرانسلیشن گروپ راہیں سرکھات ہندا اسانی نال دیکھیا جا سکدا اے۔ ہور پرورتن اوہ ہندے ہن جو وقفہ نوں سرکھات رکھدے ہن اتے ارجن نوں پھکس رکھدے ہن۔ منکووسکی میٹرک نال جڑے بائِلینیئر اکار دے دتے ہون تے, کلاسیکل گروپاں دی تھیوری (خاص کرکے تشریح) توں ڈھکویں گروپ دا پتہ چلدا اے۔ لنک کیتے آرٹیکل وچ, میٹرکس Φ دے نال η (اسدی میٹرکس پرستتی وچ) نوں پچھاننا چاہیدا اے۔

اس حوالہ وچ, ڈھکواں گروپ O(3,1) اے, جسنوں لورنٹز گروپ کیہا جاندا اے۔ اسدے ایلیمینٹاں نوں (ہوموجینیئس) لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں کیہا جاندا اے۔ ہور زیادہ بھوتکی موڑ نال ہور طریقے کھوجن لئی دیکھو لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں دیاں ڈیریویشناں۔

آسان ترین لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں وچوں اک لورنٹز بوسٹ اے۔ اشارے وجوں, x-سمت وچ اک بوسٹ اسطراں حاصل کیتی جاندی اے؛
:
\begin{bmatrix}
U'_0 \\ U'_1 \\ U'_2 \\ U'_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&-\beta \gamma&0&0\\
-\beta \gamma&\gamma&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
U_0 \\ U_1 \\ U_2 \\ U_3
\end{bmatrix},


جتھے

:\gamma = { 1 \over \sqrt{1 - {v^2 \over c^2}} }

نوں اک لورنٹز پھیکٹر کیہا جاندا اے, اتے

:\beta = { v \over c} \,. ہندا اے|

ہور لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں خالص روٹیشنل ہندیاں ہن, اتے اس کرکے O(3,1) دے سبگرپّ SO(3) دے ایلیمینٹ وی۔ اک عام ہوموجینیئس لورنٹز ٹرانسپھورمیشن خالص بوسٹ اتے خالص روٹیشن دا گننپھل ہندی اے۔ اک انہوموجینیئس لورنٹز ٹرانسپھورمیشن سپیس اتے ٹائم وچ اک بدلاؤ راہیں ہوئی ہوموجینیئس ٹرانسپھورمیشن ہندی اے۔ خاص ٹرانسپھورمیشناں (پرورتن) اوہ ہندیاں ہن جو سپیس نردیشانکاں اتے ٹائم نردیشانکاں نوں ترتیب وار الٹا دندے ہن, جاں دوواں نوں (PT)۔

منکووسکی سپیس وچ سارے دے سارے چارے ویکٹر لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں ماتحت اسے فارمولے مطابق بدل جاندے ہن۔ منکووسکی ڈائگرام لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں نوں سمجھاؤندا اے۔

#### کارناتمک بنتر

 

ویکٹراں v = (ct, x, y, z) = (ct, r) نوں  دے چنہ مطابق شرینیبدھّ کیتا جاندا اے۔ اک ویکٹر ٹائیملائیک ہندا اے جیکر  ہووے, سپیسلائیک ہندا اے جیکر , اتے نلّ جاں لائیٹلائیک ہندا اے جیکر  ہووے۔ اسنوں η(v,v) دے چنہ دے شبداں وچ وی درسایا جا سکدا اے, پر سگنیچر اتے انحصار کردا اے۔ کسے وی ویکٹر دی گٹھ ساریاں ریپھرینس فریماں وچ اوہی رہیگی, کیونکہ وقفہ ستھر رہندا اے۔
منکووسکی سپیس دی کسے گھٹنا اتے سارے نلّ ویکٹراں دا سیٹ اوس گھٹنا دی لائیٹکون رچدا اے۔ اک ٹائیملائیک ویکٹر v دتا ہون تے, اس نال جڑی ستھر ولوسٹی دی اک ورلڈلائین (دنیا ریکھا) ہندی اے, جسنوں منکووسکی ڈائگرام وچ اک سدھی ریکھا نال پرسعنصر کیتا گیا اے۔

اک وار وقت دی سمت چن لئی جان تے, ٹائیملائیک اتے نلّ ویکٹراں نوں ہور اگے کئی شرینیاں وچ وبھاجت کیتا (ونڈیا) جا سکدا اے۔ ٹائیملائیک ویکٹراں لئی ایہہ ہندا اے؛

* بھوکھ-سمت وچ ٹائیملائیک ویکٹر ہندے ہن جہناں دا پہلا کمپونینٹ پوزیٹو ہندا اے (ویکٹر دا اگلا پاسہ تصویر وچ خالص مستقبل دی سمت وچ ہندا اے) اتے
* بھوتکال-سمت وچ ٹائیملائیک ویکٹر ہندے ہن جہناں دا پہلا کمپونینٹ نیگیٹو ہندا اے (خالص بھوتدور)

نلّ ویکٹر تن شرینیاں وچ فٹ ہندے ہن؛

* زیرو ویکٹر, جسدے کمپونینٹ کسے وی بیسس وچ (0,0,0,0) (ارجن) ہندے ہن
* بھوکھ-سمت وچ نلّ ویکٹر جہناں دا پہلا کمپونینٹ پوزیٹو ہندا اے (اپرلی لائیٹکون), اتے
* بھوتکال-سمت نلّ ویکٹر جہناں دا پہلا کمپونینٹ نیگیٹو ہندا اے۔ (تھلے والی لائیٹکون)۔

سپیسلائیک ویکٹر ہور کتے ہندے ہن۔ ووکیبولری اس حقیقت توں اپجدی اے کہ سپیسلائیک وکھریاں ہوئیاں واقعے روشنی توں تیز سفر دی منگ کرن والے ویکٹراں نال جڑیاں ہندیاں ہن, اتے اسلئی اک دوجی نوں متاثر نہیں کر سکدیاں۔ سپیسلائیک اتے ٹائیملائیک دوویں اکٹھے ویکٹر کل 7 شرینیاں رکھدے ہن۔

منکووسکی سپیس لئی اک اؤرتھونورمل بیسس لازمی طور تے اک ٹائیملائیک اتے تن سپیسلائیک یونٹ ویکٹراں نال بنیا ہندا اے۔ جیکر کوئی غیر-اؤرتھونورمل بیسساں نال کم کرنا چاہندا ہووے تاں ویکٹراں دے ہور میل رکھنے ممکن ہن۔ اداہرن دے طور تے, اک نلّ بیسس کیہا جان والا سارے دے سارے نلّ ویکٹراں نال بنیا اک (نون-اؤرتھونورمل) بیسس اسانی نال رچیا جا سکدا اے۔ واستوکاں اپر, جیکر دو نلّ ویکٹر اؤرتھوگنل ہون (زیرو منکووسکی ٹینسر ملّ والے), تاں اوہ ضرور ہی انپاتک ہونے چاہیدے ہن۔ پھیر وی, کمپلیکس نمبراں نوں آگیا دین تے, اک نلّ ٹیٹراڈ حاصل کیتا جا سکدا اے, جو نلّ ویکٹراں نال بنیا بیسس ہندا اے, جہناں وچوں کجھ ویکٹر آپس وچ اؤرتھوگنل ہندے ہن۔

ویکٹر پھیلڈاں نوں ٹائیملائیک, سپیسلائیک جاں نلّ کیہا جاندا اے جیکر متعلق ہریک اوس نقطہ اتے ویکٹر ٹائیملائیک, سپیسلائیک جاں نلّ ہون جتھے فیلڈ نوں متاثر کیتا جاندا اے۔

##### کالکرم مطابق اتے کارنتامک تعلق

منّ لؤ x, y ∈ M ہون۔ اسیں کہہ سکدے ہاں؛

# x کالکرم مطابق (کرونوجیکلی) y توں اگے ہندا اے جیکر y – x بھوکھ-سمت والی ٹائیملائیک ہووے۔ اس تعلق دی ٹرانزیٹو خاصیت ہندی اے اتے اسلئی اسنوں x  \left\| v+w \right\| \ge \left\| v \right\| + \left\| w \right\| .

#### ہور فارمولا سوتریکرناں نال تعلق
##### سمتاں دی وکھری گنتی

سختی نال کہندے ہوئے, منکووسکی سپیس چار سمتاں وچ اک گنتک فارمولا سوتریکرن ول اشارہ کردی اے۔ پھیر وی, سمتاں دی کسے وی گنتی والی **“منکووسکی سپیس”** دے سامان اک رچنا لئی گنت نوں ودھایا جاں آسان کیتا جا سکدا اے۔ جیکر n ≥ 2 ہووے تاں n-سمتی منکووسکی سپیس n اصل سمت دی اک ویکٹر سپیس ہندی اے جس اتے سگنیچر (n − 1, 1) جاں (1, n − 1) دا اک ستھر لورنٹز میٹرک ہندا اے۔ ایہہ سرو عام کرن تھیوریاں وچ ورتے جاندے ہن جتھے سپیسٹائیم نوں 4-سمتاں توں زیادہ جاں گھٹ سمتاں والا سپیسٹائیم ہونا منیا جاندا اے۔ سٹرنگ تھیوری اتے M-تھیوری اجہیاں دو اداہرناں ہن جتھے n > 4 ہندا اے۔ سٹرنگ تھیوری وچ, کنپھورمل فیلڈ تھیوریاں 1 + 1 سپیسٹائیم سمتاں نال دسدیاں ہن۔

##### پدھری بنام وکرت سپیس

اک فلیٹ سپیس دے طور تے, منکووسکی سپیسٹائیم دے تن سپیشیئل (مقامی) کمپونینٹ (حصے) ہمیشاں پائیتھاگورس تھیورم دی پالنا کردے ہن۔ منکووسکی سپیس سپیشل رلیٹیوٹی (سپیشل ریلیٹیوٹی) لئی اک مطابق بیسس اے, گریویٹیشن اہمیت بغیر سسٹماں وچ محدود دوری اتے بھوتکی سسٹماں دا اک ونگا تذکرہ اے۔ پھیر وی, گریوٹی نوں دھیان وچ رکھن لئی, بھوتک سائنسدان جنرل رلیٹیوٹی دی تھیوری ورتدے ہن, جو غیر-یکلڈن جیؤمیٹری (جیؤمیٹری) دے گنت نال سوتربدھّ کیتی گئی اے۔ جدوں اس جیؤمیٹری (جیؤمیٹری) نوں بھوتکی سپیس دے ماڈل وجوں ورتیا جاندا اے, تاں اسنوں کروڈ (وکرت) سپیس کیہا جاندا اے۔

کروڈ سپیس وچ وی, منکووسکی سپیس اجے وی کسے نقطہ (گریویٹیشنل سنگلرٹیاں توں بناں) دوآلے اک اتسوکھم کھیتر (انپھنٹیسیمل رجن) وچ اک چنگا تذکرہ اے۔ ہور مختصر کہندے ہوئے, اسیں کہندے ہاں کہ گریوٹی سپیسٹائیم دی موجودگی اک 4-سمتی وکرت مینیپھولڈ راہیں درسائی جاندی اے جسدے لئی کسے نقطہ پرتِ ٹینجینٹ (سمرد) سپیس اک چار-سمتی منکووسکی سپیس ہندی اے۔ اسطراں, منکووسکی سپیس دی بنتر اجے وی جنرل رلیٹیوٹی دے تذکرہ وچ ضروری ہو جاندی اے۔

## حوالے

گٹھ:فزکس

گٹھ:سائنس