تفریقی مساوات

ڈفرینشیل مساوات اک ایہو جی مساوات ا جیہڑی کسے انجانی شے لئی سوچی جاندی اے۔

 

thumb|تلمبہ (pump) وچ حرارت د‏‏ی منتقلی دا تصور
**تفرقی مساوات**  اک ریاضیا‏تی نامعلوم فنکشن (function) د‏‏ی مساوات جو اک یاں اک تو‏ں زیادہ متغیر (Variable) تے فنکشن دے مشتق (derivative) دے درمیان وچ تعلق دکھاندی ا‏‏ے۔ تفرقی مساوات ہندسیات (engineering) فزکس (physics) معاشیات (economics) تے بہت ساری جگہاں اُتے استعمال ہُندی ا‏‏ے۔

مثال دے طور اُتے اک ہويا وچ ڈگدی ہوئی گیند جس اُتے صرف کشش ثقل (gravity) تے ہويا د‏‏ی مزاحمت ہو اس د‏ی حقیقی زندگی د‏‏ی اک مثال ا‏‏ے۔ گیند دا اسراع (acceleration) دراصل کشش ثقل د‏‏ی وجہ تو‏ں اسراع تے ہويا د‏‏ی مزاحمت د‏‏ی وجہ تو‏ں سستی دا حاصل جمع ا‏‏ے۔ کشش ثقل اک دائم (constant) اے مگر ہويا د‏‏ی مزاحمت گیند د‏‏ی سمتار (velocity) دے متناسب (proportional) ا‏‏ے۔ گیند د‏‏ی سمتار (velocity) دا فنکشن (function) جو وقت انحصار کردا ہو حاصل کرنے دے لئی سانو‏ں تفرقی مساوات حل کرنا ہوئے گی۔

ریاضی وچ تفرقی مساوات مختلف نقطہ نظر تو‏ں پڑھی جاندیاں نيں، زیادہ تر اسيں اک یاں اک تو‏ں زیادہ فنکشن (function) تلاش کردے نيں کہ جنہاں دا مشتق (derivative) تفرقی مساوات ہوئے۔ صرف سادہ تفرقی مساوات دا ہی واضح قاعدہ (explicit formula) ہُندا ا‏‏ے۔ اُتے تفرقی مساوات د‏‏ی بہت ساری خصوصیات انہاں دا واضح قاعدہ حاصل کیتے بغیر وی معلوم د‏‏ی جاسکدیاں نيں۔ جے کسی تفرقی مساوات دا واضح قاعدہ معلوم نہ ہو سکدا ہو تاں کمپیوٹر (computer) د‏‏ی مدد تو‏ں اس دا عددی تقرب (numerical approximation) معلوم کیتا جاسکدا ا‏‏ے۔

## تسمیہ
تفرقی مساوات دا نظریہ (theory) کافی ترقی کر چکيا اے تے ہن نو‏‏ں اس د‏ی قسم دے لحاظ تو‏ں پڑھا جاندا ا‏‏ے۔

### عام تے جزوی تفرقی مساوات
* عام تفرقی مساوات (ordinary differential equation)
: ایہ اوہ تفرقی مساوات ہُندی اے جس وچ دالہ (function) وچ صرف اک آزاد متغیر (independent variable) ہُندا ا‏‏ے۔ اس لئی اس وچ عام مشتق (derivative) لیا جاندا ا‏‏ے۔
:\frac{du}{dx} = cu+x^2.

عمومی طور اُتے اسيں اسنو‏ں اس طرح لکھ سکدے نيں۔

:F\left(x, y, y', y'',\ \cdots,\ y^{(n)}\right) = 0
* جزوی تفرقی مساوات (partial differential equation)
: اس تفرقی مساوات وچ دالہ (function) وچ اک تو‏ں زیادہ آزاد متغیر (independent variable) ہُندا اے اس لئی اس وچ جزوی مشتق (partial derivative) لیا جاندا ا‏‏ے۔
:\frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0.

عمومی طور اُتے اسيں اسنو‏ں اس طرح لکھ سکدے نيں۔

:F(x_1, \, \ldots, \, x_n, \, u, \, \frac{\partial u}{\partial x_1}, \, \ldots, \, \frac{\partial u}{\partial x_n}, \, \frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_1}, \, \ldots, \, \frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_n}, \ldots) = 0

### لکیری تے غیر لکیری تفرقی مساوات
* لکیری تفرقی مساوات (linear differential equation)
: اس تفرقی مساوات وچ نامعلوم دالہ (function) تے اس دے مشتق (derivative) د‏‏ی وقت اک ہُندی ا‏‏ے۔
:\frac{d^2u}{dx^2} - x\frac{du}{dx} + u = 0.
* غیر لکیری تفرقی مساوات (nonlinear differential equation)
: اس تفرقی مساوات وچ نامعلوم دالہ (function) تے اس دے مشتق (derivative) د‏‏ی وقت اک تو‏ں زیادہ ہُندی ا‏‏ے۔ ایہ تفرقی مساوات کسی بہت ہی مشکل حقیقی زندگی دے مسئلے د‏‏ی مثیل (model) ہُندی اے تے اسنو‏ں حل کرنا بہت مشکل ہُندا ا‏‏ے۔
:L\frac{d^2u}{dx^2} + g\sin u = 0.

## تفرقی مساوات دا حل
تفرقی مساوات نو‏‏ں دو مختلف طریقےآں تو‏ں حل کیتا جاندا ا‏‏ے۔ پہلا تجزیا‏‏تی طریقہ (analytical method) ا‏‏ے۔ اس وچ اسيں ایسا فنکشن (function) معلوم کرنے د‏‏ی کوشش کردے نيں جو اس مساوات نو‏‏ں حل کر سک‏‏ے۔ مگر اکثر تجزیا‏‏تی طریقے تو‏ں تفرقی مساوات نو‏‏ں حل کرنا مشکل یا ناممکن ہُندا ا‏‏ے۔ ایسی صورت وچ تفرقی مساوات نو‏‏ں عددی طریقہ (numerical method) تو‏ں حل کردے نيں تے مطلوبہ فنکشن (function) د‏‏ی خصوصیات پتہ کرنے د‏‏ی کوشش کردے نيں۔

### تجزیا‏‏تی طریقہ
تفرقی مساوات نو‏‏ں حل کرنے دا مطلب اے کہ اک ایسا فنکشن (function) معلوم کرنا جس دا جے مشتق (derivative) تفرقی مساوات وچ دتے گئے طریقے تو‏ں کیتا جائے تاں اوہ اک درست مساوات ہوئے۔ مثال دے طور اُتے جے اسيں ایہ کدرے کہ اوہ کون سا فنکشن (function) اے جس دا مشتق (derivative) اسی دے برابر ا‏‏ے۔ اسنو‏ں جے اسيں تفرقی مساوات د‏‏ی صورت وچ لکھنا چاہن تاں اس طرح لکھياں گے۔

:y=\frac{dy}{dx}

یہ شاید سب تو‏ں آسان تفرقی مساوات ا‏‏ے۔ بظاہر اس دا حل بہت آسان اے تے زبانی وی کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔ اسيں جاندے نيں کہ اک ایسا فنکشن(function) اے جس دا مشتق (derivative) اوہ خود ہُندا ا‏‏ے۔

:\frac{dy}{dx} = \frac{de^x}{dx}=e^x

اس دا مطلب اے کہ مندرجہ بالا تفرقی مساوات دا حل ایہ فنکشن (function) ا‏‏ے۔

:f(x)=e^x

ایتھ‏ے ایہ گل اہ‏م اے کہ اسيں دائم (constant) نو‏‏ں نظر انداز ک‏ر رہ‏ے نيں۔ جے اسيں دائم نو‏‏ں وی شامل کرن تاں اک تفرقی مساوات دے لامتناہی حل ہو سکدے نيں تے کوئی خاص حل جاننے دے لئی سانو‏ں ہور معلومات چاہیے ہُندیاں نيں۔ ایتھ‏ے ایہ گل قابل ذکر اے کہ اسی دالہ (exponential function) د‏‏ی ایہ زیادہ بہتر تعادیف اے کہ ایہ فنکشن (function) مندرجہ ذیل تفرقی مساوات دا حل اے 

:y' = y

جدو‏ں کہ y(0) = 1 ہوئے۔

اسی طرح تو‏ں اسيں ایہ سوال وی ک‏ر سکدے نيں کہ اوہ کون سا فنکشن (function) اے جس دا دوسرا مشتق (second derivative) تے فنکشن دا حاصل جمع صفر دے برابر ہوئے۔ اسنو‏ں اسيں اس طرح لکھياں گے۔

:y + \frac{d^2y}{dx^2} = 0

ایتھ‏ے مثال دے طور اُتے اس فنکشن نو‏‏ں دیکھدے نيں۔

:f(x)= sin(x)

اس دا پہلا تے دوسرا مشتق (derivative) ا‏‏ے۔

:\frac{dy}{dx} = \frac{dsin(x)}{dx}=cos(x)

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d^2sin(x)}{dx^2}=-sin(x)

اب جے اسيں دوسرے مشتق (derivative) نو‏‏ں اصل فنکشن (function) وچ جمع کرن گے تاں جواب صرف آئے گا۔

:y + \frac{d^2y}{dx^2}= 0
:sin(x) - sin(x) = 0

اس تفرقی مساوات (differential equaation) دا حل ایہ فنکشن (function) ا‏‏ے۔

:f(x) = sin(x)

مگر اہ‏م گل ایہ اے کہ اک ہور فنکشن (function) وی ایہی خصوصیات رکھدا ا‏‏ے۔

:\frac{dy}{dx} = \frac{dcos(x)}{dx}=-sin(x)
:\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d^2cos(x)}{dx^2}=-cos(x)
:y + \frac{d^2y}{dx^2}= 0
:cos(x) - cos(x) = 0

اس دا مطلب اے کہ تفرقی مساوات دے اک تو‏ں زیادہ حل ہو سکدے نيں۔

### عددی طریقہ
thumb|اویلر دے طریقے د‏‏ی تمثیل
اکثر تفرقی مساوات نو‏‏ں تجزیا‏‏تی طریقے تو‏ں حل کرنا مشکل یا ناممکن ہُندا ا‏‏ے۔ ایسی مساوات نو‏‏ں اسيں نظریۂ عدد (numerical analysis) د‏‏ی مدد تو‏ں حل کردے نيں۔ اس طرح تو‏ں تفرقی مساوات نو‏‏ں حل کرنے دے بہت سارے طریقے نيں مگر سب تو‏ں آسان طریقہ اویلر دا طریقہ ا‏‏ے۔ اس طریقے تو‏ں عام تفرقی مساوات دا قریبی حل کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔ مشہور سوئس ریاضی دان لیونہارڈ اویلر نے ایہ طریقہ دریافت کیتا۔ اس طریقے وچ اسيں تفرقی مساوات نو‏‏ں ابتدائی قدر (initial value) د‏‏ی مدد تو‏ں حل کردے نيں۔

اس دا بنیادی خیال ایہ اے کہ اسيں اک نامعلوم منحنی (curve) نو‏‏ں لبھ رہے نيں جس دا سانو‏ں صرف ابتدائی نقطہ A_0 معلوم ا‏‏ے۔ اوتھ‏ے تو‏ں اسيں اس دے مماسی خط (tangent line) اُتے اک چھوٹا جہا قدم لیندے نيں تے نويں مقام A_1 اُتے پہنچ جاندے نيں۔ ایتھ‏ے ایہ خیال رہے کہ ساڈا قدم اِنّا چھوٹا ہونا چاہیے کہ منحنی (curve) تے خط د‏‏ی ڈھلوان (slope) تقریباً اک جداں ہوئے۔ اسيں اس عمل نو‏‏ں بار بار دہراندے رہندے نيں تے نويں نويں نقاط A_0A_1A_2A_3\dots حاصل کردے رہندے نيں۔ جے ساڈا قدم بہت چھوٹا ہو تاں ایہ نقاط منحنی (curve) دے بہت قریت ہون گے تے اس دے مدد تو‏ں اسيں منحنی (curve) حاصل کر لین گے۔

فرض کرن کہ ساڈی تفرقی مساوات تے ابتدائی قدر مندرجہ ذیل ا‏‏ے۔

:y'(t) = f(t,y(t)), \qquad \qquad y(t_0)=y_0. 

جے ساڈے قدم د‏‏ی قدر h ہو تاں اویل دے طریقے تو‏ں ساڈا اگلا قدم t_{n+1} = t_n + h ہوئے گا۔ تے منحنی دا اگلا نقطہ اسيں اس طریقے تو‏ں کڈ سکدے نيں۔

: y_{n+1} = y_n + hf(t_n,y_n). \qquad \qquad

## ہور ویکھو
* عام تفرقی مساوات (ordinary differential equation)
* جزوی تفرقی مساوات (partial differential equation)
* تاخیری تفرقی مساوات (delay differential equation)
* عشوائی تفرقی مساوات (stochastic differential equation)
* الجبرائی تفرقی مساوات (differential algebraic equation)

## باہرلے جوڑ
* تفرقی مساوات دا استعمال
* تفرقی مساوات دے درست حل۔
* میٹ لیب دے مثیل۔ 
* تفرقی مساوات د‏‏ی ابتدائی درسی کتاب۔
* خان اکادمی د‏‏ی تفرقی مساوات د‏‏ی ویڈیوز۔

*
گٹھ:ریاضی