گیج تھیوری گریویٹی

**گیج تھیوری گریوٹی** (**GTG**)، جیؤمیٹری (جیؤمیٹری) الجبرے دی گنتک بولی وچ ڈھالی ہوئی اک گریویٹیشن دی تھیوری اے۔ جہڑے پاٹھک جنرل رلیٹیوٹی نال جانو ہن، اوہناں لئی، ایہہ ٹیٹراڈ فارمولا ویونتبندی دی یاد تازہ کرواؤدی اے بھاویں اہم دھارناتمک فرق وی ہن۔ سبھ توں زیادہ دھیان دین یوگ گل ایہہ اے کہ گیج تھیوری گریوٹی اندر بیکگراؤنڈ فلیٹ منکووسکی سپیسٹائیم ہندا اے۔ برابری اصول نوں نہیں منیا گیا، پر اسدے ستھان تے ایہہ ایہہ تتھّ نوں اپناؤندی اے کہ گیج کوویریئنٹ ڈیریویٹو گھٹ توں گھٹ طور تے میلے گئے ہن । جویں جنرل رلیٹیوٹی وچ ہندا اے، آئینسٹائین فیلڈ اکئیوشناں ورگیاں اکئیوشناں  تعمیری طور تے کسے ویریئیشنل پرنسپل توں ویونتبند ہندیاں ہن۔ اک سپن ٹینسر وی آئینسٹائین-کارٹن-سکیاما-کبلا تھیوری نال ملدے جلدے انداز وچ سپورٹ کیتا جا سکدا اے۔

گیج تھیوری گریوٹی پہلی وار لیزنبائ، ڈورن، اتے گل ولوں 1988 وچ 1993 دے پیش کیتے انشک نتیجیاں دی تکمیل دے طور تے پیش کیتی گئی سی۔ ایہہ تھیوری باقی بچی فزکس کمیونٹی ولوں وڈا پدھر تے اپنائی نہیں گئی اے، جہناں نے متعلق گیج گریویٹیشن تھیوری ورگے ڈفرینشیئل جیؤمیٹری واسطے نظریہ چنے ہن۔
## گنتی بنیاد
گیج تھیوری گریوٹی دی بنیاد دو نظریات توں آؤندی اے۔ پہلا، *پوزیشن-گیج انویریئنس* منگ کردا اے کہفیلڈاں دے منچاہے لوکل وستھاپن فیلڈ اکئیوشناں دی طبعیاتی برابری نوں متاثر نہیں کردے ۔ دوجا، *روٹیشن-گیج انویریئنس* منگ کردا اے کہ فیلڈاں دیاں منچاہیاں مقامی روٹیشناں فیلڈ اکئیوشناں دی طبعیاتی برابری نوں متاثر نہیں کردیاں ۔ ایہہ اصول ویکٹر فنکشناں، پوزیشن-گیج  فیلڈ اتے روٹیشن-گیج  فیلڈ، دے اک نویں جوڑے نال جان-پچھان ول لجاندے ہن۔ کسے منچاہے فنکشن *f* راہیں وضاحت
:x \mapsto x'=f(x)
اسدے اڈجوآئنٹ اتے میپنگ راہی متاثر پوزیشن-گیج  فیلڈ نوں جم دندا اے،
:\bar{\mathsf{h}}(a,x) \mapsto \bar{\mathsf{h}}'(a,x)=\bar{\mathsf{h}}(f^{-1}(a),f(x)),
جو اپنی پہلی آرگومینٹ وچ ویکٹر اے اتے *a* اک ستھرانک ویکٹر ہندا اے۔ اس طراں، کوئی منچاہے روٹر *R* ولوں اک روٹیشن، روٹیشن-گیج  فیلڈ نوں جنرل رلیٹیوٹی دندی اے؛
:\bar{\mathsf{\Omega}}(a,x) \mapsto \bar{\mathsf{\Omega}}'(a,x)=R\bar{\mathsf{\Omega}}(a,x)R^{\dagger}-2a\cdot\nabla RR^{\dagger}.
اسیں دو وکھرے کوویریئنٹ ڈیریویٹو متاثر کر سکدے نیں؛
:a \cdot D = a \cdot \bar{\mathsf{h}}(\nabla)+\frac{1}{2}\mathsf{\Omega}(\mathsf{h}(a))
:a \cdot \mathcal{D} = a \cdot \bar{\mathsf{h}}(\nabla)+\mathsf{\Omega}(\mathsf{h}(a))
جانکسے “کو-آرڈینیٹ سسٹم” دی سپیسیفکیشن نال
:D_{\mu} = \partial_{\mu}+\frac{1}{2}\Omega_{\mu}
:\mathcal{D}_{\mu} = \partial_{\mu}+\Omega_{\mu} \times ,
جتھے کمیوٹیٹر گننپھل درساؤندا اے۔

ایہناں ڈیریویٹواں وچوں پہلا ڈیریویٹو سپنوراں نال سدھے طور تے ورتن لئی زیادہ ڈھکواں رہندا اے جتھے کہ دوجا ڈیریویٹو اؤبزرویبلاں واسطے ڈھکواں اے۔ ریمانیئن ٹینسر دا گیج تھیوری گریوٹی تلّ، ایہناں ڈیریویٹواں دے کمیوٹیشن اصولاں توں بنایا جاندا اے۔
:[D_{\mu},D_{\nu}]\psi=\frac{1}{2}\mathsf{R}_{\mu\nu}\psi
:\mathcal{R}(a \wedge b)=\mathsf{R}(\mathsf{h}(a \wedge b))

## فیلڈ اکئیوشناں
آئینسٹائین-ہلبرٹن ایکشن نوں سوے-سدھ کرن نال ویونتبند کیتیاں فیلڈ اکئیوشناں گیج فیلڈاں دی حالت نوں کنٹرول کردیاں ہن، یعنی کہ،
:S = \int  \left[ {1 \over 2\kappa} \left( \mathcal{R} - 2 \Lambda \right) + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] (\det\mathsf{h})^{-1} \, \mathrm{d}^4 x.
دوویں گیج فیلڈاں دے حوالہ وچ ایکشن دی ویریئیشن نوں گھٹ توں گھٹ کرن نال ایہہ فیلڈ اکئیوشناں نتیجے وجوں ملدیاں ہن؛
:\mathcal{G}(a)-\Lambda a=\kappa \mathcal{T}(a)
:\mathcal{D} \wedge \bar{\mathsf{h}}(a) = \kappa \mathcal{S} \cdot \bar{\mathsf{h}}(a),
جتھے \mathcal{T} کوویریئنٹ اورجا-مومینٹم ٹینسر اے اتے \mathcal{S} کوویریئنٹ سپن ٹینسر ہندا اے۔ اہم طور تے، ایہہ اکئیوشناں سپیس ٹائم دے کسے پیدا ہو رہے کرویچر نہیں دندیاں سگوں صرف فلیٹ سپیسٹائیم اندرلیاں گیج فیلڈاں دی اتپتی ہی دندیاں ہن۔ ہور تاں ہور، سپنّ ٹینسر دی ہوند سپیسٹائیم نوں ٹورزن نہیں حاصل کردیاں ۔

## جنرل رلیٹیوٹی نال تعلق
جو پاٹھک جنرل رلیٹیوٹی نال جانو ہن، اوہناں واسطے ٹیٹراڈاں نال ملدے جلدے انداز وچ پوزیشن-گیج  فیلڈ توں اک میٹرک ٹینسر متاثر کرنا ممکن اے۔ ٹیٹراڈ فارمولا ویونتبندی اندر، چار ویکٹراں \^{\mu}\} دا اک سیٹ پیش کیتا جاندا اے۔ گریک اکھر *μ* سپیسٹائیم دے میٹرک ٹینسر نال گنا کرکے اتے سنگیڑ کے ودھا جاں گھٹا دتا جاندا اے । بریکٹاں اندرلا  لاطینی حرف*(a)* ہریک چار ٹیٹراڈاں واسطے اک لیبل اے، جو اسطراں ودھایا جاں گھٹایا جاندا اے جویں ایہہ کسے وکھرے منکووسکی میٹرک ٹینسر نال گنا کر کے سنگیڑیا گیا ہووے ۔ گیج تھیوری گریوٹی، موٹے طور تے، ایہناں سوچکانکاں دیاں کرداراں نوں پلٹ دندی اے۔ میٹرک نوں اکھاں مچ کے سپیسٹائیم الجبرے دی چون وچ منکووسکی ہونا منّ لیا جاندا اے۔ سوچکانکاں دے ہور سیٹ وچ رکھی جانکاری گیج فیلڈاں دے ورتاؤ راہیں شامل کر لیا جاندا اے۔

کسے وکرت سپیسٹائیم اندر، کسے کوویریئنٹ ویکٹر اتے کونٹراویریئنٹ ویکٹر لئی، اسیں ایہہ ایسوسیئیشناں بنا سکدے نیں؛
:g_{\mu}=\mathsf{h}^{-1}(e_{\mu})
:g^{\mu}=\bar{\mathsf{h}}(e^{\mu})
جتھے ہن یونٹ ویکٹر \{e_{\mu}\} سنے ہوئے سمت ادھار ہندے ہن۔ ایہہ اس اصول نوں ورتدے ہوئے میٹرک متاثر کر سکدے ہن؛
:g_{\mu \nu}=g_{\mu} \cdot g_{\nu}.
ایہہ تکنیک اپنا کے، ایہہ دکھاؤنا ممکن ہو جاندا اے کہ گیج تھیوری گریوٹی دے اؤبزرویبل اندازےآں دا زیادہتر حصہ، غیر-الوپ ہو راے سپنّ واسطے آئینسٹائین-کارٹن-سکیاما-کبلا تھیوری نال سہمت رہندا اے، اتے سپنّ نوں ختم کرن لئی جنرل رلیٹیوٹی بارے گھٹ جاندا اے۔ پھیر وی، گیج تھیوری گریوٹی، گلوبل ہلاں بارے وکھرے اندازا دندی اے۔ اداہرن دے طور تے، کسے نقطہ پنج دا مطالعہ، کسے نیوٹونیئن گیج دی چون، گلسٹرینڈ-پینلیونڈ سمتاں وچ شوارزچلڈ میٹرک نال ملدا جلدا اک حل پیدا کردا اے۔ جنرل رلیٹیوٹی اک شاخاں دی اجازت دندی اے جسنوں کرسکل-سزیکرس سمت دے طور تے جانیا جاندا اے۔ گیج تھیوری گریوٹی، دوجے پاسے، اجیہی کسے ساکھا توں منع کردی اے۔

## حوالے

## باہری لنک
* David Hestenes: Spacetime calculus for gravitation theory  – an account of the mathematical formalism explicitly directed to GTG

گٹھ:گریویٹیشن دیاں تھیوریاں
گٹھ:جیؤمیٹریکل الجبرا
گٹھ:گیج تھیوریاں
گٹھ:ریاضی