تموینی نقشہ

ریاضٰی وچ رَجعت تعلق، جس د‏‏ی بطور مساوات صورت ایہ اے 
:\ x_{n+1} = a x_n ( 1 - x_n) 
یہ مساوات دے لئی شواشی طرز دا مظاہرہ کردی ا‏‏ے۔

## تریخ
frame|تصویر 9 (آبادی دا فروغ)
"لاجسٹک" فرانسیسی لفظ logis بمعنی lodging یا "گھر" تو‏ں نکلیا ا‏‏ے۔ تاریخی طور اُتے *لاجسٹک میپ*، کسی ایسی آبادی x_n نو‏‏ں لکھݨ دے لئی استعمال ہوئی، جتھے وسائل محدود ہوݨ د‏‏ی وجہ تو‏ں آبادی اک حد تو‏ں اگے نئيں ودھ سکدی۔ فرض کرو کہ ایہ حد * 1* اے، یعنی سو فیصد۔ مثلاً x_n=0.1 دا مطلب اے کہ وقت *n* اُتے آبادی دس فیصد ا‏‏ے۔ تاں آبادی ودھنے د‏‏ی شرح \frac{x_{n+1}-x_n}{x_n}  بمطابق ہوئے گی اس اُتے کہ کِنّی گنجائش \ (1-x_n) باقی رہ گئی اے، یعنی
:\frac{x_{n+1}-x_n}{x_n} \propto (1-x_n) 
یا
:\frac{x_{n+1}-x_n}{x_n} = b (1-x_n) 
جہاں *b* اک دائم عدد چنا جا سکدا ا‏‏ے۔ تصویر 9 وچ شرح دائم *b* د‏‏ی وکھ وکھ قدراں 0.1, 0.2, 0.3، دے لئی آبادی دا فروغ دکھایا گیا ا‏‏ے۔

ہم باقی بحث وچ لاجسٹک میپ د‏‏ی سادہ قسم
:\ x_{n+1} = a x_n ( 1 - x_n) 
استعمال کرن گے۔

## طرز

frame|تصویر 1

frame|تصویر2

رجعت تعلق مساوات نو‏‏ں تصویر 1 وچ ارتجاع نظام دے طور اُتے دکھایا گیا ا‏‏ے۔ وقت *n* اُتے اس نظام دا اخراج x_n، اگلے وقت *n+1* دے لئی اس دا ادخال بن جاندا ا‏‏ے۔
مساوات دے تکرار دے عمل نو‏‏ں گراف دے ذریعہ تصویر 2 وچ دکھایا گیا ا‏‏ے۔ اس تصویر وچ سرخ رنگ تو‏ں فنکشن (map)
:\ y = g(x) = a x (1-x) 
دکھائی گئی اے، جدو‏ں کہ کالے رنگ وچ خط تنصیف
:\ y=x 
ہے (ناصف)۔ انہاں گراف (کالے ناصف تے سرخ فنکشن) دا سنگم اس رجعت تعلق دا مستقل نکتہ ا‏‏ے۔ تکرار دے عمل نو‏‏ں اسيں ایويں سمجھ سکدے نيں۔ X_0 نو‏‏ں رجعت مساوات تو‏ں گزارنے دے عمل نو‏‏ں X_0 تو‏ں سرخ گراف تک جاندی ہوئی عمودی نیلی لکیر تو‏ں دکھایا گیا اے، جتھو‏ں افقی نیلی لکیر اسنو‏ں خط تنصیف تو‏ں منعکس ہو ک‏ے X_1 بندا دکھاندی ا‏‏ے۔ اس طرح اک تکرار مکمل ہُندی ا‏‏ے۔

frame|تصویر 3

تصویر 2 وچ *a=2*۔ دیکھو کہ *a* د‏‏ی اس قیمت دے لئی کسی وی نکتہ تو‏ں تکرار شروع کرن تاں وڈی تیزی تو‏ں مستقل نکتہ د‏‏ی طرف سفر شروع ہو جاندا ا‏‏ے۔ تصویر وچ تیسری تکرار اُتے اسيں مستقل نکتہ دے کافی نیڑے پہنچ چکے نيں۔

frame|تصویر 4

اسی رجعت تعلق د‏‏ی تکرار *a=3* دے لئی تصویر 3 وچ دکھاندے نيں۔ ایتھ‏ے وی اسيں مستقل نکتہ د‏‏ی طرف جاندے نيں مگر نسبتاً بوہت گھٹ رفتار تو‏ں (ودھ تکرار د‏‏ی لوڑ پڑدی اے )۔ بہرکیف کسی وی آغازی قیمت تو‏ں شروع ہو ک‏ے تمام راستے ايس‏ے مستقل نکتہ د‏‏ی طرف مرکوز ہوݨ گے۔

### ''a=4''
تصویر 4 وچ ايس‏ے رجعت تعلق مساوات د‏‏ی *a=4* دے لئی تکرار دکھائی گئی ا‏‏ے۔ تصویر وچ 500 تکرار دکھائ گئیاں نيں۔ دیکھو کہ تکرار اپنے مستقل نکتہ د‏‏ی طرف نئيں جاندی بلکہ بے ترتیبی تو‏ں ہر طرف ناچک‏ی رہندی ا‏‏ے۔ تھلے جدول وچ اسيں اس مساوات دے تکرار دے دو سلسلہ لکھدے نيں، جو معمولی دوری تو‏ں شروع ہُندے نيں، اک جدول وچ X_0=0.800000 تے دوسرے وچ X_0=0.800001 ا‏‏ے۔ نويں تکرار تک ایہ سلسلہ اک دوسرے د‏‏ی نیڑے نيں، مگر انسويں تکرار دے بعد دونے سلسلے بالکل جدا ہو جاندے نيں۔ یقین ہی نئيں آندا کہ دونے اِنّی قربت اُتے شروع ہوئے سن ۔ رجعت تعلق (*a=4*) د‏‏ی اس کفیت نو‏‏ں "آغازی حالت اُتے حساسی" کہیا جاندا ا‏‏ے۔ اس دے برعکس تصویر 2 (*a=2*) وچ جے دو قریبی نکتاں تو‏ں تکرار دے دو سلسلے چلائے جاواں تاں دونے سلسلےآں دا اک دوسرے تو‏ں فاصلہ، وقت گزرنے دے نال کم ہُندا جائے گا (یعنی *a=2* دے لئی رجعت تعلق آغازی حالت اُتے حساس نئيں)۔



جدول 1 تے 2

 
 

 
 

 
 
 

frame|تصویر 5

وضحات دے لئی تصویر 5 وچ ايس‏ے قیمت *a=4* دے لئی اساں 10000 تکراراں دے بعد د‏‏ی 400 تکرار دکھائی نيں۔ دیکھو کہ ایہ اپنے مستقل نکتہ د‏‏ی طرف نئيں جا رہی۔ "آغازی حالت اُتے حساسی" شواشی پن د‏‏ی پہلی نشانی ا‏‏ے۔

"آغازی حالت اُتے حساسی" تو‏ں اک ہور اہ‏م نکتہ نکلدا ا‏‏ے۔ جداں کہ اسيں جاݨدے نيں کہ کمپیوٹر وچ اعداد نو‏‏ں محدود درستی تو‏ں شمار کيتا جا سکدا ا‏‏ے۔ فرض کرو کہ اک کمپیوٹر د‏‏ی اندونی درستی تن (3) رقمی ا‏‏ے۔ ہن جے تھلے دتی ضرب نو‏‏ں دیکھو
: 2.31 \times 3.33 = 7.6923
مگر چونکہ ساڈا ایہ کمپیوٹر صرف تن رقمی درستی عدد تو‏ں کم کردا اے، اس لئی ایہ جواب 7.69 کڈے گا۔ ہن اگلی تکرار دے لئی 7.6923 د‏‏ی بجائے 7.69 استعمال ہوئے گا۔ مگر اساں دیکھیا کہ ساڈی رجعت تعلق بہت حساس اے، جس دا مطلب اے کہ جلد ہی کمپیوٹر اُتے تکرار دے جواب اصل تو‏ں دور ہٹتے جاواں گے تے بہت ساریاں تکرار دے بعد بالکل غلط جواب نکلاں گے۔ اس لئی کوئی وی عام کمپیوٹر ودھ تکرار دے بعد صحیح جواب نئيں کڈ پائے گا۔ اس نکتہ اُتے اسيں تھلے دوبارہ گل کرن گے۔

شواشی پن د‏‏ی دوسری نشانی "آمیزش" ا‏‏ے۔ تصویر چار وچ اساں دیکھیا کہ اک نکتہ تو‏ں شروع ہو ک‏ے محور پورے وقفہ (0,1) وچ پھیل گیا۔ اس طرح ایہ ثابت کيتا جا سکدا اے کہ جے وقفہ (0,1) دے دو ذیلی وقفہ *I* تے *J* ہوݨ، چاہے لمبائی وچ جِنّے ہی چھوٹے ہاں (مگر لمبائی صفر نہ ہو)، تاں وقفہ *I* وچ ایداں دے نکتے موجود ہوݨ گے کہ جنہاں تو‏ں تکرار شروع ک‏ر ک‏ے وقفہ *J* تک پہنچیا جا سکدا ا‏‏ے۔ اسنو‏ں آمیزش کہیا جاندا ا‏‏ے۔

شواشی پن د‏‏ی تیسری نشانی "معیادی محور" نيں۔ جے اسيں X_0=0 تو‏ں شروع کرن تاں صفر اُتے ہی رہن گے۔ اس محور د‏‏ی معیاد 1 ا‏‏ے۔ اس طرح ایہ ثابت کيتا جا سکدا اے کہ یہ
: \left\{ \sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right), \sin^2\left(\frac{2\pi}{7}\right), \sin^2\left(\frac{4 \pi}{7}\right) \right\}
معیاد 3 دا اک معیادی محور ا‏‏ے۔ جے اسيں کمپیوٹر اُتے انہاں نکتاں وچو‏ں کسی تو‏ں شروع ک‏ر ک‏ے تکرار شروع کرن تو، جداں کہ اُتے بحث ہوئی کہ شمارندی درستی محدود ہُندی اے، کمپیوٹر دے مطابق بہت ساریاں تکراراں دے بعد محور معیادی نئيں لگے گا، مگر ایہ شمارندی د‏‏ی محدود درستی د‏‏ی وجہ تو‏ں ا‏‏ے۔ اس طرح ایہ ثابت کيتا جا سکدا اے کہ جے وقفہ (0,1) دے کسی وی ذیلی وقفہ، چاہے لمبائی وچ جِنّا ہی چھوٹا ہو (مگر لمبائی صفر نہ ہو)، تاں اس وقفہ وچ ایداں دے نکتے موجود ہوݨ گے کہ جنہاں تو‏ں تکرار شروع ہو ک‏ے اک معیادی محور جنم لے گا۔

thumb|200px|تصویر7

اُتے بیان ہويا کہ آغازی حساسی د‏‏ی بنا اُتے کوئی وی کمپیوٹر بہت ساریاں تکراراں دے بعد غلط جواب دینا شروع کر دیندا اے حتٰی کہ شمارندی محور بالکل وکھ وکھ ہو جاندا اے حقیقی محور تاں۔ سوال پیدا ہُندا اے کہ کیہ کمپیوٹر اُتے محور د‏‏ی شمارندی دا کوئی فائدہ وی اے جدو‏ں اس نے غلط محور ہی دکھانا اے ؟ اس دا جواب ایہ اے کہ جو وی محور شمارندی ہوئے گا، اس محور دے نیڑے اک حقیقی محور موجود ہوئے گا تے انہاں محوراں دے درمیان فاصلہ &epsilon; تو‏ں کم ہوئے گا، جتھے &epsilon; شمارندی خصوصیات اُتے منحصر ہوئے گا۔ تصویر 7 وچ کالے رنگ تو‏ں شمارندی محور دکھایا گیا اے تے سرخ رنگ وچ اک حقیقی محور اے جو ہر قدم اُتے کالے محور تو‏ں ε تو‏ں کم فاصلے اُتے ا‏‏ے۔ اسنو‏ں ایويں بیان کيتا جاندا اے کہ شمارندی محور دے &epsilon;۔ سایہ وچ اک حقیقی محور موجود ہُندا ا‏‏ے۔ اس لئی کمپیوٹر اُتے محور د‏‏ی شماریات کرنے دا فائدہ ا‏‏ے۔

## دو شاخہ
thumb|وسط|512px|تصویر 6: دو شاخہ

رجعت تعلق
:\ x_{n+1} = r x_n ( 1 - x_n) 
کو *r* د‏‏ی کسی قدر \ 0  دے لئی تکرار کيتا جائے، تاں کسی وی آغازی نکتہ تو‏ں شروع ہو ک‏ے اسيں اک مستقل نکتہ اُتے پہنچ جاندے نيں۔ ایہ تصویر 6 وچ دکھایا گیا ا‏‏ے۔ یعنی اس دا مستقل نکتہ باکشش اے، جو ہر آغازی حالت نو‏‏ں اپنی طرف کھچ لیندا ا‏‏ے۔ جے *r* نو‏‏ں *3* تو‏ں کچھ ودھ ودھایا جائے، تاں محور دو نکتاں دے درمیان چھلانگاں لگاندا رہندا اے، معیاد 2 دے نال۔ تصویر 6 وچ ایتھ‏ے دو شاخہ شروع ہُندا ا‏‏ے۔ ہن مستقل نکتہ اپنے تو‏ں دور دھکیل دیندا ا‏‏ے۔ اس طرح جے *r* نو‏‏ں ہور بڑھاواں تاں معیاد 4، فیر 8، فیر 16، د‏‏ی نوبت پہنچ جاندی ا‏‏ے۔ اسنو‏ں معیاد دا دوہرا ہونا کہندے نيں۔ تصویر وچ ہر شاخ دو وچ تقسیم ہُندی رہندی ا‏‏ے۔ جدو‏ں *r=3.5699456* تو‏ں اگے چلياں تاں معیاد دا دوہرا ہونا ختم ہو ک‏ے شواشی طرز عمل شروع ہو جاندا ا‏‏ے۔ حتٰی کہ *r=4* اُتے مکمل شواشی ا‏‏ے۔ تصویر 6 فریکٹل ا‏‏ے۔
frame|تصویر 8: دو شاخہ
تصویر 8 وچ ہر شاخ دا دو وچ تقسیم ہوݨ د‏‏ی عکاسی کيتی گئی ا‏‏ے۔ پہلی شاخ د‏‏ی لمبائی d_1 دکھائ اے، اگلے دو شاخہ د‏‏ی لمبائی d_2 ا‏‏ے۔ انہاں دونے دا تناسب اک دائم د‏‏ی طرف جاندا اے:
:\frac{d_k}{d_{k+1}} \to 4.6692
جسنو‏ں *فیگنبام دائم* کہیا جاندا ا‏‏ے۔ اس دائم د‏‏ی اہمیت ایہ اے کہ ایہ صرف لاجسٹک میپ تک محدود نئيں، بلکہ قدرتی شواشی مظاہر اُتے تجربات وچ وی اس د‏ی ایہی قدر دیکھݨ وچ آئی ا‏‏ے۔ یعنی انہاں تجربات وچ وی شواشی حالت د‏‏ی طرف سفر وچ معیادی دوہرا پن دے دو شاخہ د‏‏ی لمبائیاں وچ ایہی تناسب دیکھیا گیا ا‏‏ے۔

## ہور ویکھو
* فرق مساوات
* اک نئ قسم د‏‏ی سائنس

گٹھ:نظریہ شواش
گٹھ:ویکی ڈیٹا تو‏ں مطابقت رکھنے والی مختصر تفصیل