ویکٹر سپیس

ایداں دے عناصر دا مجموعہ جتھ‏ے جمع/تفریق دے عمل ممکن ہون تے عناصر نو‏‏ں چھوٹا وڈا کيتا جا سکدا ہو، **سمتیہ مکان** کہلاندا ا‏‏ے۔ ہن اسيں مکمل تعریف دیندے نيں۔ جے کسی مجموعہ *V* دے عناصر *X*، *Y*، *Z*، وغیرہ مندرجہ ذیل قواعد اُتے پورے اتراں، تاں ایداں دے مجموعہ نو‏‏ں *سمتیہ مکان* کدرے گے تے عناصر نو‏‏ں *سمتیہ*:
### قواعد
* جمع
# *X+Y* &nbsp; مجموعہ *V* دا عنصر ہو
# *X+Y* = *Y+X* &nbsp; (مبدلی)
# *(X+Y) + Z* = *X + (Y+Z)* &nbsp; (مشارکی)
# *X+0*=*X* &nbsp; ( صفر شناخت عنصر (0) د‏‏ی موجودگی)
# *X+(-X)*=*0* &nbsp; (جمعیاندی اُلٹ، تفریق ممکن)

اعداد *a*، *b*، وغیرہ دے لئی
* اعداد تو‏ں ضرب
# *aX* &nbsp; مجموعہ *V* دا عنصر ہو
# *(ab)X*=*a(bX)* &nbsp; (مشارکی)
# *(a+b)X*=*aX+bX* &nbsp; (توزیعی )
# *a(X+Y)*=*aX+aY* &nbsp; (توزیعی)
# *1 X*=*X* &nbsp; ضربی شناخت عنصر (1) د‏‏ی موجودگی

انگریزی وچ سمتیہ نو‏‏ں vector تے سمتیہ مکان نو‏‏ں vector spaceکہندے نيں۔

## مثال <math> \mathbb{R}^2 </math>
فائل:Simtia vetor single.png
اک مُسْتَوی (Plane)ماں کسی وی نکتہ نو‏‏ں دو پیمائشاں دے ذریعہ ڈھونڈا جا سکدا اے، اک ابتدا (origin) مقرر ک‏ر ک‏ے، افقی پیمائیش نو‏‏ں عموماً *x* لکھیا جاندا اے تے عمودی پیمائیش نو‏‏ں *y*۔ اس طرح اس نکتہ نو‏‏ں عموماً *(x, y)* لکھیا جاندا ا‏‏ے۔ انہاں دو اعداد (جو میدان  \mathbb{R}  وچ نيں) نو‏‏ں اک \ 2 \times 1  میٹرکس دے بطور یاں
\left[\begin{matrix} x \\ y\end{matrix}\right]
لکھیا جا سکدا ا‏‏ے۔ یعنی پلین دے کسی وی نکتہ نو‏‏ں بطور سمتیہ یاں
\left[\begin{matrix} x \\ y\end{matrix}\right]
لکھیا جا سکدا ا‏‏ے۔ ہن چونکہ ایہ سمتیہ اک میٹرکس نيں، اس لئی میٹرکس حساب دے قائدے استعمال کردے ہوئے سمتیہ مکان د‏‏ی تمام لوازمات پوری ہُندیاں نيں۔ اس لئی  \mathbb{R}^2  دے نکتے اک سمتیہ مکان بنا‏تے نيں۔  \mathbb{R}^2  وچ سمتیہ د‏‏ی قطبی صورت دے لئی دیکھو۔ سمتیہ
U=\left[\begin{matrix} x \\ y\end{matrix}\right]
کو قطبی صورت وچ مطلق قیمت
 r = {(U^tU)}^{1/2} = \sqrt{x^2 + y^2}
اور زاویہ
 \theta = \tan^{-1}\frac{y}{x} 
سے دتا جاندا اے تے سمتیہ نو‏‏ں تصویری صورت وچ ابتدا (0,0) تو‏ں نکتہ (x,y) تک اک تیر دے نشان تو‏ں دکھایا جاندا اے، جس د‏‏ی لمبائی *r* تے سجے افقی دھُرا (x-axis) تو‏ں زاویہ \theta ہُندا ا‏‏ے۔ غور کرو کہ قطبی صورت وچ وی نکتہ نو‏‏ں دو اعداد تو‏ں لکھیا جاندا اے (مطلق قیمت تے زاویہ) مگر انہاں دو مقداراں نو‏‏ں بطور میٹرکس نئيں لکھیا جا سکدا (یعنی میٹرکس حساب دے قاعدے لاگو نئيں کیتے جا سکدے)۔

شکل 2 وچ نکتہ *(x=a, y=b)* نو‏‏ں سمتیہ *U* تو‏ں دکھایا اے، جتھ‏ے ابتدا *(x=0, y=0)* اُتے ا‏‏ے۔ ايس‏ے طرح شکل 2 دے نکات نو‏‏ں سمتیہ دے روپ وچ (بطور میٹرکس) ایويں لکھدے نيں:

U=\left[\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}\right] \,,\,
V=\left[\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}\right] \,,\,
W=\left[\begin{matrix} e \\ f \end{matrix}\right]



 
 شکل 2
 شکل 3
 
 
 فائل:simtia vector add.png
 فائل:simtia translated.png
 
 

اب سمتیہ *U* تو‏ں سمتیہ *V* د‏‏ی طرف ہٹاؤ سمتیہ *R* تو‏ں دکھایا گیا ا‏‏ے۔ اسنو‏ں میٹرکس ریاضی دے قواعد دے مطابق ایويں لکھیا جا سکدا اے 

R= V - U =
\left[\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}\right] -
\left[\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}\right] =
\left[\begin{matrix} c-a \\ d-b \end{matrix}\right]

غور کرو کہ سمتیہ *R* د‏‏ی سمت نکتہ *(x=a, y=b)* تو‏ں نکتہ *(x=c, y=d)* سیدھی لکیر د‏‏ی طرف اے تے سمتیہ د‏‏ی لمبائی (مطلق قیمت) انہاں نکات دے درمیان وچ سیدھی لکیر وچ فاصلہ ا‏‏ے۔ اس لئی اس سمتیہ نو‏‏ں انہاں نکات دے درمیان وچ ہٹاؤ کہیا جاندا ا‏‏ے۔ ایہ وی دیکھو کہ سمتیہ *R* چونکہ دو نکتاں دے درمیاں اے، اس لئی جے ابتدا نو‏‏ں کسی تے نکتہ اُتے لے جایا جائے، تاں اس دا اس سمتیہ *R* اُتے کوئی اثر نئيں پئے گا۔ اس لئی اکثر کہیا جاندا اے کہ سمتیہ ایسی شے اے جو اک *مطلق قیمت* (magnitude) تے مکان وچ اک *رُخ* (direction) تو‏ں تعریف ہوئے جاندا ا‏‏ے۔
اسی طرح نکتہ *(x=c, y=d)* تو‏ں نکتہ *(x=e, y=f)* دے درمیان وچ ہٹاؤ سمتیہ *G* اے، جو سمتیہ *V* نو‏‏ں سمتیہ *W* وچو‏ں تفریق ک‏ر ک‏ے حاصل ہُندا ا‏‏ے۔

G= W-V =
\left[\begin{matrix} e \\ f \end{matrix}\right] -
\left[\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}\right] =
\left[\begin{matrix} e-c \\ f-d \end{matrix}\right]

فرض کرو کہ اسيں نکتہ *(x=a, y=b)* تو‏ں نکتہ *(x=c, y=d)* ہٹتے نيں (سمتیہ *R* ) تے فیر نکتہ *(x=e, y=f)* د‏‏ی طرف ہٹ جاندے نيں (سمتیہ *G* )۔ ہن ساڈا کُل ہٹاؤ سمتیہ *B* اے جو سمتیہ *R* تے سمیتہ *G* د‏‏ی جمع ا‏‏ے۔

B= R + G =
\left[\begin{matrix} c-a \\ d-b \end{matrix}\right] -
\left[\begin{matrix} e-c \\ f-d \end{matrix}\right] =
\left[\begin{matrix} e-a \\ f-b \end{matrix}\right] =
W - U

غور کرو کہ سمتیہ *B* صرف اپنے شروع تے آخر دے نکات تو‏ں نکل آندا اے (سفر د‏‏ی ابتدا تے آخری منزل تے درمیانی منزل تو‏ں آزاد اے )۔

اب چونکہ سمتیہ اپنی مطلق قیمت تے رُخ تو‏ں تعریف ہوئے جاندا اے، اس لئی کسی سمتیہ نو‏‏ں اس دے متوازی گھسیٹا جا سکدا ا‏‏ے۔ شکل 3 وچ اساں سمتیہ *R*، *B*، *W*، نو‏‏ں گھسیٹ کر انہاں د‏‏ی دُم ابتدا اُتے رکھ د‏تی نيں۔

### سمتیہ تفریق: جیومیٹری
اب جیومیٹری دے نقطہ نظر تو‏ں سمتیہ تفریق اُتے نظر ڈالدے نيں۔ سمتیہ *B* وچو‏ں *R* نو‏‏ں تفریق ک‏ر ک‏ے سمتیہ *G* ملدا اے، *G=B-R*۔ اس دا طریقہ ایويں ہويا کہ *B* تے *R* د‏‏ی دُماں ملیا دو تے *R* دے سر تو‏ں *B* دے سر تک سمتیہ فرق *G* ا‏‏ے۔

### سمتیہ جمع: جیومیٹری
اسی طرح جیومیٹری دے نقطہ نگاہ تو‏ں سمتیہ جمع اُتے نظر ڈالدے نيں۔ سمتیہ *R* تے *G* نو‏‏ں جمع ک‏ر ک‏ے سمتیہ *B* ملدا اے، *B=R+G*۔ اس دا طریقہ ایويں ہويا کہ سمتیہ *G* د‏‏ی دُم سمتیہ *R* دے سر دے نال جوڑو تے فیر *R* د‏‏ی دُم تو‏ں *G* دے سر تک سمتیہ جمع *B* ا‏‏ے۔

## مثال <math> \mathbb{R}^n </math>
بعینہ  \mathbb{R}^n  مکان وچ نکتاں نو‏‏ں بطور \ n \times 1 میٹرکس لکھیا جا سکدا اے تے ایہ نکتے اک سمتیہ مکان بنا‏تے نيں۔ (یاد رہے کہ بعض اوقات نکات نو‏‏ں بجائے \ n \times 1 میٹرکس دے اک \ 1 \times n میٹرکس دے بطور وی لکھیا جاندا ا‏‏ے۔) اک سمتیہ نو‏‏ں ایويں لکھیا جائے گا:

X = \left[\begin{matrix}
x_0 \\
x_1 \\
\vdots \\
x_{n-1}
\end{matrix}\right]\,\,,\, x_k \in \mathbb{R}


مثال دے طور اُتے تن رُخی مستطیل مکان وچ کِسے جسم دا مقام تن پیمائیشاں *z*، *y* ،*x*، تو‏ں دتا جا سکدا اے تے اس طرح اس جسم د‏‏ی سمتار وی تن اعداد تو‏ں دتی جا سکدی ا‏‏ے۔ اس طرح وقت *k* اُتے جسم دے مقام تے سمتار اُتے مبنی 6رُخی سمتیہ ایويں لکھیا جا سکدا اے:

X_k = \left[\begin{matrix}
x \\
y \\
z \\
v_x \\
v_y \\
v_z
\end{matrix}\right]


## مدیدی سمتیہ
*تفصیلی مضمون* : مدیدی سمتیہ

ایداں دے سمتیہ دا مجموعہ، جنہاں دے خطی اجتماع تو‏ں مکان دا کوئی وی سمتیہ بن جاندا ہو، اس مکان دے لئی *مدیدی سمتیہ* (spanning vectors) دا مجموعہ کہلاندا ا‏‏ے۔

 شکل 4
 
 فائل:Simtia basis r2.png
 

شکل 4 وچ \mathbb{R}^2 دا مستوی دکھایا گیا ا‏‏ے۔ سرخ دھُرا اُتے واقعہ سمتیہ
e_0=\left[\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}\right]
اور
e_1=\left[\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}\right]
(شکل 4 وچ سرخ نکتے) \mathbb{R}^2 دے قدرتی بنیاد سمتیہ کہلاندے نيں، کیونجے \mathbb{R}^2 مکان دا کوئی وی نکتہ انہاں دو سمتیاں دے لکیری تولیف دے طور اُتے لکھیا جا سکدا ا‏‏ے۔ مثلاً نکتہ*(x,y)* ایويں لکھ سکدے نيں:
\left[\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}\right] = x e_0 + y e_1


غور کرو کہ سرخ دھُرا د‏‏ی بجائے اسيں سبز دھُرا وی استعمال ک‏ر سکدے نيں۔ اس دے لئی شکل 4 وچ سبز نکتاں تو‏ں دو سمتیہ دکھائے گئے نيں، جو (سرخ دھُرا دے حوالے تو‏ں ) ایويں نيں:
v_0=\left[\begin{matrix}1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{matrix}\right]
اور
v_1=\left[\begin{matrix}-1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{matrix}\right]
اب نکتہ *(x,y)* نو‏‏ں انہاں سبز سمتیہ دے لکیری تولیف دے طور اُتے ایويں لکھیا جا سکدا اے:
\left[\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}\right] = a v_0 + b v_1
= a \left[\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{matrix}\right]
+ b \left[\begin{matrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{matrix}\right]

یعنی سرخ دھُرا دے نکتہ *(x,y)* نو‏‏ں سبز دھُرا وچ نکتہ *(a,b)* کہیا جائے گا۔ دوسرے لفظاں وچ جو نکتہ
مدیدی سمتیہ *e0, e1* دے حوالے تو‏ں *(x=0.8, y=1.4)* سی، اوہی نکتہ مدیدی سمتیہ *v0, v1* دے حوالے تو‏ں *(a=1.56, b=0.42)* اکھوائے گا۔

اب *e0, e1, v0, v1* وی اک مدیدی سمتیہ دا مجموعہ ا‏‏ے۔ اس مجموعہ د‏‏ی مدد تو‏ں اسيں ايس‏ے *(x=0.8, y=1.4)* نکتہ نو‏‏ں لکھ ک‏ے دیکھدے نيں:

\left[\begin{matrix}
0.8 \\ 1.4 \end{matrix}
\right]
= c_0 e_0 + c_1 e_1 + c_2 v_0 + c_3 v_1
= c_0 \left[\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}\right] +
c_1 \left[\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}\right] +
c_2 \left[\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{matrix}\right] +
c_3 \left[\begin{matrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{matrix}\right]


یا


\left[\begin{matrix}
1 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
0 & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
c_0 \\ c_1 \\ c_2 \\ c_3
\end{matrix}\right] =
\left[\begin{matrix}0.8 \\ 1.4 \end{matrix}\right]

غور کرو کہ اس میٹرکس دے ستون مدیدی سمتیہ نيں تے سانو‏ں ایہ یکلخت لکیری مساوات دا نظام
 \begin{matrix}
c_0 + \frac{1}{\sqrt{2}} c_2 - \frac{1}{\sqrt{2}} c_3 &=& 0.8 \\
c_1 + \frac{1}{\sqrt{2}} c_2 + \frac{1}{\sqrt{2}} c_3 &=& 1.4
\end{matrix}

حل ک‏ر ک‏ے *c0, c1, c2, c3* کڈنا نيں۔ ہن چونکہ مساوات صرف دو نيں جدو‏ں کہ متغیر چار، اس لئی اسيں کسی وی دو متغیر نو‏‏ں اپنی مرضی د‏‏ی قیمت دے ک‏ے باقی دو متغیر د‏‏ی قیمتاں مساوات تو‏ں کڈ سکدے نيں۔ دوسرے لفظاں وچ مساوات دے لامحدود حل نيں، جنہاں وچو‏ں چند ایہ نيں:

 Possible representations of (x,y) w.r.t. spanning vectors e0, e1, v0, v1
 
 c0
 c1
 c2
 c3
 
 
  0.5
  0.5
  0.85
  0.42
 
 
 0.1
  0.7
 1.0 
 0 
 
 
 2
 &lrm;-3
 2.26
 3.96
 
 
اس تو‏ں پتہ چلا کہ مدیدی سمتیہ*e0, e1, v0, v1* دے حوالہ تو‏ں نکات دا اک واحد روپ نئيں۔ شکل 4 تو‏ں ظاہر اے کہ \mathbb{R}^2 وچ کوئی وی دو سمتیہ جو آپس وچ متوازی نہ ہون، نکات دا واحد روپ نکالنے دے لئی کافی نيں۔ \mathbb{R}^2 وچ دو تو‏ں زیادہ سمتیہ چننے تو‏ں اک ہی نکتہ دے بوہت سارے روپ ممکن ہوئے جاندے نيں۔ ایہ گل سانو‏ں اگلے موضوع بنیاد سمتیہ د‏‏ی طرف لے جاندی ا‏‏ے۔

## بنیاد سمتیہ
*تفصیلی مضمون*: بنیاد سمتیہ

جداں کہ اُتے بیان ہويا کہ ایداں دے سمتیہ دا مجموعہ v_0, v_1, \cdots, v_{n-1} جنہاں دے لکیری تولیف (linear combination) تو‏ں سمتیہ مکان دا کوئی وی سمتیہ v ایويں لکھیا جا سک‏‏ے: 
v= c_0 v_0 + c_1 v_1 + \cdots + c_{n-1} v_{n-1}

ایداں دے مجموعہ نو‏‏ں *مدیدی سمتیہ* کہندے نيں تے نو‏‏ں انہاں مدیدی سمتیے دے حوالے سے
\begin{matrix}c_0, c_1, \cdots, c_{n-1}\end{matrix}
کو سمتیہ v
کی *صورت* (representation) کہندے نيں۔ اساں دیکھیا کہ ایسا ممکن ہوئے سکدا اے کہ کسی مدیدی سمتیہ مجموعہ دے حوالہ تو‏ں اک ہی سمتیہ د‏‏ی اک تو‏ں زیادہ صورتاں ممکن ہون۔

### بنیاد سمتیہ (تعریف)
مدیدی سمتیہ دا ایسا مجموعہ جس دے حوالہ تو‏ں مکان دے کسی وی سمتیہ د‏‏ی صرف اک واحد صورت ممکن ہو، ایداں دے مجموعہ نو‏‏ں سمتیہ مکان دا بنیاد سمتیہ مجموعہ (basis vectors) کہندے نيں۔

### مسلئہ اثباندی (بنیاد سمتیہ د‏‏ی لکیری آزادی)
بنیاد سمتیہ مجموعہ دے تمام سمتیہ آپس وچ باہمی لکیری آزاد ہُندے نيں۔ یعنی بنیاد سمتیہ مجموعہ وچو‏ں کسی سمتیہ نو‏‏ں باقی ماندہ بنیاد سمتیہ دے لکیری تولیف دے طور اُتے نئيں لکھیا جا سکدا۔ دوسرے لفظاں وچ جے v_0, v_1, \cdots, v_{n-1} بنیاد سمتیہ دا مجموعہ اے، تاں درج زیل مساوات دا کوئی حل ممکن نئيں 
c_0 v_0 + c_1 v_1 + \cdots + c_{n-1} v_{n-1} = 0

یعنی ایداں دے کوئی \begin{matrix}c_0, c_1, \cdots, c_{n-1}\end{matrix} نئيں جو اس مساوات د‏‏ی تسکین کر سکن۔

### <math>\mathbb{R}^n</math> وچ قدرتی بنیاد سمتیہ
\mathbb{R}^n وچ تھلے دتے قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ دے مجموعہ نو‏‏ں \mathbb{R}^n دا *قدرتی بنیاد سمتیہ* (مجموعہ) کہیا جاندا ا‏‏ے۔
\begin{matrix}
e_0 = \left[\begin{matrix}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix}\right],
e_1 = \left[\begin{matrix}0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix}\right],
\cdots ,
e_{n-1} = \left[\begin{matrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{matrix}\right]
\end{matrix}


### مثال
شکل 4 وچ \mathbb{R}^2 دے لئی ایہ جوڑے بنیاد سمتیہ دا کردار ادا ک‏ر سکدے نيں:
# e0, e1
# e0, v0
# e0, v1
# e1, v0
# e1, v1
یعنی کوئی وی دو ایداں دے سمتیہ جو آپس وچ متوازی نہ ہون، بنیاد سمتیہ دا کردار ادا ک‏ر سکدے نيں۔

### بنیاد سمتیہ دے حوالے تو‏ں (منفرد) صورت
فرض کرو کہ سمتیہ مکان *V* دے بنیاد سمتیہ دا اک مجموعہ v_0, v_1, ..., v_{n-1} اے (ان بنیاد سمتیہ د‏‏ی تعداد *n* اے )۔ ہن *V* دے کسی وی سمتیہ *v* نو‏‏ں انہاں بنیاد سمتیہ دے لکیری تولیف دے طور اُتے ایويں لکھیا جا سکدا اے:

v = c_0 v_0 + c_1 v_1 + ... + c_{n-1} v_{n-1}

گویا اس بنیاد سمتیہ مجموعہ دے حوالے تو‏ں سمتیہ *v* د‏‏ی صورت نو‏‏ں \mathbb{R}^n دے اک رکن دے بطور ایويں لکھیا جا سکدا اے:
c=\left[\begin{matrix}
c_0 \\
c_1 \\
\vdots \\
c_{n-1}
\end{matrix}\right]


### <math>\mathbb{R}^n</math> دے بنیاد سمتیہ دے حوالے تو‏ں صورت نکالنے دا طریقہ
\mathbb{R}^n وچ دتے گئے بنیاد سمتیہ دے مجموعہ دے حوالے تو‏ں کسی سمتیہ
X=
\left[\begin{matrix} x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_{n-1}
\end{matrix}\right]
کی صورت نکالنے دا طریقہ ایہ ا‏‏ے۔ بنیاد سمتیہ دے مجموعہ v_0, v_1, \cdots, v_{n-1} نو‏‏ں میٹرکس صورت وچ لکھو، یعنی ایسی میٹرکس جس دا ہر ستون اک بنیاد سمتیہ ہو:

V= \left[\begin{matrix}
v_0 \, v_1 \cdots v_{n-1}
\end{matrix}\right]


جسنو‏ں زیادہ تفصیل وچ ایويں لکھیا جا سکدا اے (ہر ستون اک سمتیہ اے )

V= \left[\begin{matrix}
v_{0,0} & v_{1,0} & \cdots & v_{n-1,0} \\
v_{0,1} & v_{1,1} & \cdots & v_{n-1,1} \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
v_{0,n-1} & v_{1,n-1} & \cdots & v_{n-1,n-1}
\end{matrix}\right]


اب درج ذیل یکلخت لکیری مساوات دا نظام دا حل کڈھو 

V \left[\begin{matrix}
c_0 \\ c_1 \\ \vdots \\ c_{n-1}
\end{matrix}\right] = X

یہ حل
\begin{matrix}c_0, c_1, \cdots, c_{n-1}\end{matrix}
ان بنیاد سمتیہ دے حوالے تو‏ں سمتیہ *X* د‏‏ی *صورت* (representation) ہوئے گا۔

### قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ
ایداں دے بنیاد سمتیہ دا مجموعہ v_0, v_1, \cdots, v_{n-1} جس وچ شامل تمام سمتیہ آپس وچ قائم الزاویہ ہون، ایداں دے مجموعہ نو‏‏ں قائم الزاویہ (orthogonal) بنیاد سمتیہ دا مجموعہ کہیا جاندا ا‏‏ے۔ یعنی 
v_{i}^t v_{j} = 0 \,,\, i \ne j

v_{i}^t v_{i} = 1 

دوسرے لفظاں وچ قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ د‏‏ی میٹرکس
V=[v_0 \, v1 \cdots v_{n-1}]
دے لئی ضروری اے کہ
V^t V = I جتھ‏ے *I* شناخت میٹرکس ا‏‏ے۔

شکل 4 وچ ایہ جوڑے (جو آپس وچ نوے درجہ دے زاویہ اُتے نيں) قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ دا جوڑا بنا‏تے نيں:
# e0, e1
# v0, v1
یعنی \mathbb{R}^2 وچ قدرتی بنیاد سمتیہ *e0, e1* د‏‏ی میٹرکس
\left[\begin{matrix}
 1 & 0 \\
 0 & 1
\end{matrix}\right]

قائم الزاویہ (میٹرکس) ا‏‏ے۔ ايس‏ے طرح \mathbb{R}^2 وچ بنیاد سمتیہ *v0, v1* د‏‏ی میٹرکس
V= \left[ \begin{matrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{matrix}\right]
قائم الزاویہ (میٹرکس) ا‏‏ے۔ یعنی
V^t V = I جتھ‏ے *I* شناخت میٹرکس ا‏‏ے۔

اُتے اساں "بنیاد سمتیہ دے حوالے تو‏ں صورت نکالنے دا طریقہ" دیکھیا۔ قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ د‏‏ی صورت وچ c_0 د‏‏ی مساوات ایويں بندی اے:

c_0 =X^t v_0= x_0 v_{0,0} + x_1 v_{0,1} + ... + x_{n-1} v_{0,n-1}


دوسرے لفظاں وچ نکتہ (سمتیہ) *X* د‏‏ی سمتیہ v_0 اُتے پروجیکشن (projection) c_0 ا‏‏ے۔

## سمتیہ ذیلی مکان
*تفصیلی مضمون*: لکیری ذیلی مکان

تعریف: *ذیلی مجموعہ* (subset): اک مجموعہ (set) دا ذیلی مجموعہ وچ اصل مجموعہ مٰٰاں موجود عنصر وچو‏ں کچھ عناصر ہون گے۔

سمتیہ مکان دے مجموعہ دا ایسا ذیلی مجموعہ جو خود وی اک سمتیہ مکان ہو، نو‏‏ں *سمتیہ ذیلی مکان* کہندے نيں۔ انگریزی وچ اسنو‏ں vector subspace کہندے نيں۔ کوئی وی ذیلی مجموعہ سمتیہ مکان دے قواعد 2 تو‏ں 5 پورے کريں گا۔ ایہ جاننے دے لئی ذیلی مجموعہ اک سمتیہ مکان اے یا نہٰاں، سانو‏ں صرف اسنو‏ں قواعد 1 دے لئی پرکھنا ہُندا ا‏‏ے۔

مثال: جے \ m \le n، تاں سمتیہ مکان \mathbb{R}^n د‏‏ی سمتیہ ذیلی مکان \mathbb{R}^m ہوئے گی۔

فائل:simtia planes 3 2.png
مثال: تصویر وچ معکب مکان \mathbb{R}^3 د‏‏ی اک سمتیہ ذیلی مکان نیلے پلین تو‏ں دکھایا گئی ا‏‏ے۔ \mathbb{R}^3 وچ سمتیہ تن اعداد (معکب د‏‏ی تن سمتاں *X*، *Y*، *Z*، د‏‏ی اطراف پیمائیش، ابتدا تو‏ں ) تو‏ں ایويں دتا جاندا اے،
\left[\begin{matrix}x \\y \\z \end{matrix}\right]
، جدو‏ں کہ سمتیہ ذیلی مکان (نیلا پلین) اُتے سمتیہ ایويں اے 
\left[\begin{matrix}x \\y \\-6x+17y \end{matrix}\right] 

جو میٹرکس تفاعل دے ذریعہ ایويں لکھیا جا سکدا اے 
\left[\begin{matrix}x \\y \\-6x+17y \end{matrix}\right]
=\left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
-6 & 17 & 0
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}x \\y \\z\end{matrix}\right]

غور کرو کہ اگرچہ نیلا پلین صرف دو رُخی اے مگر" قدرتی بنیاد سمتیہ" (e0,e1,e2) دے لحاظ تو‏ں فیر وی اس دا کوئی نکتہ لبھن دے لئی تن عدد چاہیے نيں۔ جے اسيں انہاں قدرتی بنیاد سمتیہ نو‏‏ں ایداں دے گھماواں کر دو بنیاد سمتیہ نیلے پلین دے متوازی ہوئے جاواں، تاں انہاں نويں بنیاد سمتیہ د‏‏ی رو تو‏ں نیلے پلین دا کوئی وی نکتہ لکھدے ہوئے تیسرا عدد صفر ہوئے گا۔ اس تناظر وچ لکیری استحالہ وچ مثال 1 وی دیکھو، جس د‏‏ی رو تو‏ں نیلے پلین دے کسی نکتہ نو‏‏ں لکھنے دے لئی دو عدد کافی ہوئے سکدے نيں۔ گویا نیلا پلین \mathbb{R}^3 د‏‏ی سمتیہ ذیلی مکان اے جس دا بُعد (ڈائیمینشن) 2 ا‏‏ے۔

## ہور ویکھو
* میٹرکس
* لکیری استحالہ

گٹھ:تجریدی الجبرا
گٹھ:ریاضیا‏تی ساختاں
گٹھ:سمتیہ
گٹھ:خطی الجبرا
گٹھ:نظریہ گروہ
گٹھ:طبیعیاندی تصورات