مشتق

[thumb|200px|width=150|length=150|کالے رنگ وچ [دالہ دا منحنی|دالہ دا گراف تے سرخ رنگ وچ دالہ اُتے مماسی۔ مماسی لکیر دا مائل اس دالہ دے مارکہ نقطہ اُتے مشتق دے برابر ہے۔]]

ریاضیات د‏‏ی شاخ احصا وچ **مشتق** ناپ ہے کہ دالہ کس طرح تبدیل ہُندی ہے حب اس دا ادخال تبدیل ہوئے۔ عامی بولی وچ ، مشتق تو‏ں مراد ایہ اے کہ کوئی قدر کسی نقطہ اُتے کتنا تبدیل ہوئے رہی ہے ؛ مثلاً کسی گڈی دے مقام دا وقت دے حوالے تو‏ں مشتق گڈی دا لمحاندی سمتار ہے جس دے مطابق گڈی سفر کر رہ‏ی ہے۔ بالعکس، سمتار دا وقت اُتے متکامل گڈی دے مقام وچ تبدیلی دسدا ہ‏‏ے۔

فنکشن دا چنے ہوئے ادخال نقطہ اُتے مشتق اس نقطہ دے آس پاس فنکشن دے بہترین لکیری تقرب د‏‏ی توضیح کردا ا‏‏ے۔ اک متغیر د‏‏ی حقیقی قدر فنکشن دے لئی، کسی نقطہ اُتے فنکشن دا مشتق اس دالہ گراف وچ اس نقطہ اُتے مماسی دے مائل دے برابر ہُندا ا‏‏ے۔ زیادہ بُعد وچ ، کسی نقطہ اُتے فنکشن دا مشتق لکیری استحالہ اے جسنو‏ں لکیرانا کہندے نيں۔ اس تو‏ں ملدا جلدا تصور دالہ دا تفرقی دا ہے۔

مشتق دے لبھن دے عمل نو‏‏ں **[[تفریق (ضدابہام)|تفرق]]** کہندے نيں۔ حسابان دا بنیادی مسئلہ اثباندی دسدا اے کہ تفرق دا عمل تکامل دا مقلوب ا‏‏ے۔

کھبے|thumb|300px|وڈا دیکھنے دے لئی تصویر اُتے کلک کرو۔
ہر نقطہ اُتے ، فنکشن <math>\scriptstyle f(x)=1 + x\sin x^2</math> دا مشتق فنکشن دے گراف اُتے اس نقطہ اُتے مماسی لکیر دا مائل ا‏‏ے۔ ایہ لکیر نیلی منحنی دے ہمیشہ مماسی ہُندی اے ؛ اس لکیر دا مائل مشتق ا‏‏ے۔ غور کرو کہ مشتق مثبت ہوئے تاں اسنو‏ں سبز دکھایا گیا ہے، اَتے منفی ہوئے تاں سرخ، جے صفر ہوئے تاں کالا دکھایا گیا ا‏‏ے۔

## تفرق تے مشتق
**تفرق**، ادخال *x* وچ تبدیلی تو‏ں اخراج *y* وچ رونما ہونے والی تبدیلی د‏‏ی شرح نکالنے دا طریقہ ا‏‏ے۔ اس تبدیلی د‏‏ی شرح نو‏‏ں *x* د‏‏ی رو تو‏ں *y* دا **مشتق** کہیا جاندا ا‏‏ے۔ متغیر *y* دے *x* اُتے انحصار نو‏‏ں ریاضیا‏تی طور تے کہیا جاندا ہے کہ *y* دالہ اے *x* کا۔ اس دالاندی رشتہ نو‏‏ں عموماً *y* = *ƒ*(*x*) د‏‏ی علامت تو‏ں لکھدے نيں۔ جے *x* تے *y* حقیقی ہاں تے *y* نو‏‏ں *x* دے برخلاف بطور دالہ دے مخط نکشہ کيتا جائے، تاں مشتق گراف دے ہر نقطہ اُتے گراف دے مائل نو‏‏ں ناپتا ہے۔

سب تو‏ں سادہ ماجرا ایہ اے جدو‏ں *y* لکیری فنکشن ہوئے *x* کا، جس دا مطلب اے کہ *y* برخلاف *x* دا گراف خطی لکیر ہ‏‏ے۔ اس ماجرے وچ ، *y* = *ƒ*(*x*) = *m* *x* + *c* ، جتھ‏ے *m* تے *c* حقیقی اعداد نيں تے مائل *m* اس طرح دتی جاندی ہے 
:m={\mbox{change in } y \over \mbox{change in } x} = {\Delta y \over{\Delta x}}
جتھ‏ے علامت Δ (یونانی حرف ڈیلٹا) مختصر ہے "ميں تبدیلی (change in)" دے لئی۔ ایہہ کلیہ سچ ہے کیونجے
:*y* + Δ*y* = *ƒ*(*x*+ Δ*x*) = *m* (*x* + Δ*x*) + *c* = *m* *x* + *c* + *m* Δ*x* = *y* + *m*Δ*x*
اس تو‏ں پتہ چلدا اے کہ Δ*y* = *m* Δ*x

یہ سانو‏ں خطی لکیر د‏‏ی مائل د‏‏ی ٹھیک قدر بتا دیندا ہے۔ جے دالہ *ƒ* لکیری نہ ہوئے (یعنی اس دا گراف خطی لکیر نہ ہو)، تاں "*y* وچ تبدیلی" تقسیم "*x* وچ تبدیلی" مختلف ہوئے گی *x* د‏‏ی مختلف قدراں دے لئی؛ تفرق سانو‏ں اس "شرحِ تبدیلی" د‏‏ی ٹھیک قدر معلوم کرنے دا طریقہ دسدا ہے،*x* د‏‏ی کسی وی قدر دے لئی۔

[[فائل:Dydx.jpg|سجے|300px]]


[[فائل:Tangente2.gif|کھبے]]



یہ خیال، جس نو‏‏ں اشکال 1-3 وچ دکھایا گیا ہے، ایہہ ہے کہ شرح نو‏‏ں بطور <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> د‏‏ی [[دالہ د‏‏ی حد|حدی قدر]] شمارندی کيتا جائے جدو‏ں Δ*x* لامتنہائی چھوٹا ہُندا جائے۔
[[گوٹفریڈ ویلہم لائبہور|لائیبنز]] د‏‏ی علامت وچ *x* وچ لامتنہائتی تبدیلی نو‏‏ں *dx* لکھیا جاندا ہے اَتے *y* دا مشتق *x* د‏‏ی رُو تو‏ں، نو‏‏ں ایويں لکھیا جاندا ہے 
: <math> \frac{dy}{dx} \,\!</math>
جو انہاں دو لامتناہیندی اقدار دے تناسب دا خیال ذہن وچ پیدا کردا ہے۔ اس اظہار نو‏‏ں ایويں پڑھیا جاندا ہے، *y* دا مشتق *x* د‏‏ی رُو تو‏ں یا *dy* تو‏ں *dx* یا *dy* اُتے *dx* ۔

تصویر تو‏ں ظاہر اے کہ <math> \frac{dy}{dx}</math> نقطہ *P* اُتے مماسی لکیر د‏‏ی مائل ہے، جدو‏ں کہ <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> اصل دالہ *f* دا نقطہ *P* تو‏ں اگے "چڑھاؤ-اوپر-بھج" (rise-over-run) ہے۔

=== فرق قسیم تو‏ں تعریف ===
چلو <code dir="ltr">y=f(x)</code> تے جتھ‏ے *ƒ* حقیقی قدر والی دالہ ہوئے۔ کلاسیکی ہندسہ وچ نقطہ *a* اُتے مماسی لکیر اوہ ہُندی سی جو نقطہ <code dir="ltr"></code> تو‏ں گزرے مگر دالہ دے گراف نو‏‏ں کسی تے نقطہ اُتے قطع نہ کرے۔ اس صورت وچ *y* دا مشتق *x* د‏‏ی رُو تو‏ں نقطہ *x=a* اُتے اس مماسی لکیر دے مائل دے برابر ہ‏‏ے۔ اس مماسی د‏‏ی مائل ایسی لکیر جو نقطہ <code dir="ltr"></code> تے قریبی نقطہ <code dir="ltr"></code> تو‏ں گزر رہی ہوئے ک‏‏‏ے مائل تو‏ں وڈی نیڑے ہوئے گی۔ ایسی لکیراں نو‏‏ں "لکیرِ قاطع" کہندے نيں۔ جے *h* صفر دے نیڑے ہوئے تاں لکیر قاطع دا مائل وڈا نیڑے ہوئے گا مماسی دے مائل دے تے جے *h* د‏‏ی مطلق قدر جِنّی کم ہوئے تقرب اِنّا ہی بہتر ہوئے گا۔ لکیرِ قاطع دا مائل *m* انھاں نقاط اُتے جتھ‏ے ایہہ دالہ *f* نو‏‏ں قطع کردے نيں د‏‏ی "*y* اقدار دے فرق" نو‏‏ں "*x* اقدار دے فرق" تو‏ں تقسیم کرن تو‏ں ملدا ہے:
:<math>m = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.</math>
یہ اظہاریہ نیوٹن دا *'فرق قسیم** ہے۔ مشتق اس فرق قسیم د‏‏ی اوہ قدر اے جدو‏ں لکیرِ قاطع نیڑے تر ہُندی جاندی اے مماسی لکیر کے۔ رسمی طور اُتے فنکشن ''f'' دا ''a'' اُتے مشتق اس فرق قسیم د‏‏ی [[limit (mathematics|حد]] ہے 
:<math>f'(a)=\lim_{h\to 0}{f(a+h)-f(a)\over h}</math>
جب ''h'' صفر دے نیڑے تر ہُندا جائے، جے ایہہ حد وجود رکھدی ہوئے۔ جے اس حد دا وجود ہوئے تاں فنکشن ''f'' نقطہ ''a'' اُتے تفرقاً ہ‏‏ے۔ ایتھ‏ے <code dir="ltr">''ƒ''′ (''a'')</code> مشتق د‏‏ی بہت ساریاں علامتاں وچو‏ں اک ہ‏‏ے۔

مساوانہ، مشتق اس خاصہ د‏‏ی تسکین کردا اے 
:<math>\lim_{h\to 0}{f(a+h)-f(a) - f'(a)\cdot h\over h} = 0,</math>
جس د‏‏ی وجدانی تفسیر (شکل 1) اے کہ فنکشن ''f'' د‏‏ی مماسی لکیر نقطہ ''a'' اُتے ''f'' دا بہترین لکیری تقرب ہے 
:<math>f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h</math>
(چھوٹے ''h'' دے لئی)۔ دوسری طاقمات وچ اس تفسیر نو‏‏ں جامع کرنا آسان ترین ہے۔

جے ''h'' د‏‏ی جگہ ''0'' لگایا جائے تاں صفر تو‏ں تقسیم ہوئے جائے، اس لئی لکیر د‏‏ی مائل سیدھی طرح معلوم کرنا ممکن نئيں ہُندا۔ اس د‏ی بجائے فرق قسیم نو‏‏ں ''h'' د‏‏ی فنکشن دے طور اُتے <code dir="ltr">''Q''(''h'')</code> تعریف کيتا جاندا اے:
:<math>Q(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}.</math>
نقاط <code dir="ltr"></code> تے <code dir="ltr"></code> دے درمیان لکیرِقاطع دا مائل <code dir="ltr">''Q''(''h'')</code> ا‏‏ے۔ جے فنکشن ''f'' استمری ہو، یعنی اس دا گراف ثابت منحنی ہوئے بغیر وقفاں کے، تاں نقطہ ''h''&nbsp;=&nbsp;0 تو‏ں پرے ''Q'' وی استمری ا‏‏ے۔ جے حد <math>\textstyle\lim_{h\to 0} Q(h)</math> وجود رکھدی ہو، مطلب کہ ایسا طریقہ ہوئے کہ <code dir="ltr">''Q''(''0'')</code> د‏‏ی ایسی قدر چنی جا سک‏‏ے جو ''Q'' نو‏‏ں استمری فنکشن بنا دے، تاں فنکشن ''f'' تفرقاً اے نقطہ ''a'' اُتے تے اس دا مشتق نقطہ ''a'' اُتے <code dir="ltr">''Q''(''0'')</code> دے برابر ہے۔

ممارست وچ ، استمری <code dir="ltr">''Q''(''h'')</code> دا وجود نقطہ ''h''&nbsp;= 0 اُتے دکھانے دے لئی، numerator نو‏‏ں اس طرح مڑورا جاندا اے کہ ''h'' numerator تے denominator وچ کٹ جائے۔

=== مثال ===
مربعاندی فنکشن <code dir="ltr">''ƒ''(''x'') = ''x''<sup>2</sup></code> نقطہ ''x'' = 3 اُتے تفرقاً اے اَتے اس دا مشتق اوتھ‏ے 6 ا‏‏ے۔ اس نتیجہ نو‏‏ں ایويں قائم کيتا جاندا اے:
:<math>{f(3+h)-f(3)\over h} = {(3+h)^2 - 9\over{h}} = {9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} = {6h + h^2\over{h}} = 6 + h </math>
اب مشتق حاصل کرنے دے لئی اسيں <math>h\to 0</math> جانے دیندے نيں
:<math>\ (6 + h) \to 6 + 0 = 6 </math>
اُتے دے اظہاریہ تو‏ں معلوم ہُندا اے کہ قسیم ''6'' + ''h'' دے برابر ہے جدو‏ں ''h'' غیر صفر ہوئے تاں ناتعریف شدہ ہُندا اے جدو‏ں ''h'' صفر ہوئے۔ (یاد رہے کہ فرق قسیم د‏‏ی تعریف کيت‏ی رُو تو‏ں، فرق قسیم ''h'' د‏‏ی صفر قدر دے لئی کدی تعریف نئيں ہُندا)۔ البتہ صفر اُتے فرق قسیم د‏‏ی قدر پوری کرنے دا قدرتی طریقہ اے، جو ایتھ‏ے ''6'' ہے۔ اس لئی مربعاندی فنکشن دے گراف اُتے نقطہ <code dir="ltr">(3, 9)</code> اُتے مائل د‏‏ی قدر ''6'' ہے اَتے اس لئی ''x'' = 3'' اُتے مشتق د‏‏ی قدر <code dir="ltr">''ƒ'' '(3) = 6</code> ہ‏‏ے۔

جامعاندی طور پر، ايس‏ے طرح د‏‏ی شمارندگی تو‏ں پتہ چلدا ہے کہ ''x'' = ''a'' اُتے مربعاندی دالہ دا مشتق <code dir="ltr">''ƒ'' '(''a'') = 2''a''</code> ہ‏‏ے۔

خیال رہے کہ مشتق د‏‏ی اُتے تعریف (لکیرِ قاطع د‏‏ی حد) کلاسیکی ہندسہ وچ مماسی د‏‏ی تعریف اُتے منحصر نئيں۔ خاص طور اُتے کسی نقطہ اُتے ایويں معلوم ہون والا مماسی دالہ نو‏‏ں کسے تھاں قطع وی کر سکدا ہ‏‏ے۔

=== استمری تے تفرقاً ===
[[فائل:Right-continuous.svg|thumb|کھبے|اس دالہ دا نشانذہ نقطہ اُتے مشتق وجود نئيں رکھدا کیونجے دالہ ایتھ‏ے استمری نئيں۔]]
جے <code dir="ltr">''y'' = ''ƒ''(''x'')</code> دالہ ''a'' اُتے تفرقاً ہو، تاں لازمی طور اُتے دالہ ''a'' اُتے استمری ہوئے گی۔ مثال دے طور اُتے [[step function|قدم دالہ]] (تصویر) جو نقطہ <code dir="ltr">''x=a''</code> تو‏ں پہلے صفر ہے اتے <code dir="ltr">''x=a''</code> اُتے تے اس دے بعد 1، ایہ دالہ نقطہ <code dir="ltr">''x=a''</code> اُتے لاستمری ا‏‏ے۔ جے ''h'' منفی ہوئے تاں ''a+h'' قدم دے نچلے حصے اُتے ہوئے گا تے ''a+h'' تو‏ں ''a'' تک جاندی لکیر قاطع بہت ڈھلونی ہوئے گی۔ دوسر طرف ''h'' جے مثبت ہوئے تاں ''a+h'' قدم دے اوپرلے حصے اُتے ہوئے گا تے ''a'' تو‏ں ''a+h'' جاندی لکیر قاطع دا مائل صفر ہوئے گی۔ نتیجتاً لکیر قاطع کسی یکساں مائل د‏‏ی طرف نئيں جاندی، اس لئی قسیم د‏‏ی حد موجود نہيں۔ اس لئی ''x=a'' اُتے اس دالہ دا مشتق وجود نئيں رکھدا۔ اس دے باوجود اس نقطہ اُتے [[distribution (mathematics|توزیع]] دا نظریہ استعمال کردے ہوئے مشتق تعریف کيتا جا سکدا ہے۔

[[فائل:Absolute value.svg|کھبے|thumb|مطلق قدر دالہ (ہر جگہ) استمری اے، مگر نقطہ ''x''&nbsp;=&nbsp;0 اُتے تفرقاً ہونے اُتے ناکا‏م اے کیونجے کھبے تے سجے تو‏ں مماسی لکیراں اک قدر د‏‏ی طرف نئيں لپکتی۔]]
البتہ جے دالہ کسی نقطہ اُتے استمری وی ہوئے فیر وی ممکن اے کہ اوتھ‏ے تفرقاً نہ ہوئے۔ مثال دے طور اُتے [[absolute value|مطلق قدر]] دالہ نقطہ ''x=0'' اُتے استمری اے، مگر اوتھ‏ے تفرقاً نئيں۔ جے ''h'' مثبت ہوئے تاں ''0'' تو‏ں ''h'' تک لکیرِ قاطع دا مائل 1 اے، جدو‏ں کہ جے ''h'' منفی ہوئے تاں ''0'' تو‏ں ''h'' تک لکیرِ قاطع دا مائل <code dir="ltr">-1</code> ا‏‏ے۔ گرافی طور اُتے اسنو‏ں نقطہ صفر اُتے نوک دے طور اُتے دیکھیا جا سکدا ا‏‏ے۔

مختصراً ایہ کہ دالہ دے مشتق دے وجود رکھنے دے لئی [[جے بشرط جے#ضروری تے کافی|ضروری]] اے کہ دالہ استمری ہو، مگر استمری ہونا دالہ دے تفرقاً ہونے دے لئی [[جے بشرط جے#ضروری تے کافی|کافی]] نئيں۔

=== مشتق بطور دالہ ===
چلو ''f'' دالہ ہوئے جس دا اپنی [[ساحہ (ضدابہام)|ساحہ]] وچ ہر نقطہ ''a'' اُتے مشتق وجود رکھدا ہوئے۔ چونکہ ہر نقطہ ''a'' اُتے مشتق ہے، اس لئی اک دالہ ایسی اے جو نقطہ ''a'' نو‏‏ں دالہ دے مشتق وچ بھیجتی ہے۔ اس دالہ نو‏‏ں <code dir="ltr">''f′(x)''</code> لکھیا جاندا اے تے اسنو‏ں ''مشتق فنکشن'' کہندے نيں یا ''f'' دا مشتق۔

کدی ایويں وی ہُندا ہے کہ دا مشتق ساحہ دے زیادہ تر نقاط، مگر تمام نئيں، اُتے وجود رکھدا ا‏‏ے۔ ایسی دالہ جو نقطہ ''a'' اُتے ''f'' دے مشتق <code dir="ltr">''f′(a)''</code> دے برابر ہوئے جدو‏ں وی مشتق وجود رکھدا ہوئے اتے ہور نقاط اُتے غیر تعریف شدہ ہو، نو‏‏ں وی دالہ دا مشتق کہندے نيں۔ ایہ <code dir="ltr">''f′''</code> دالہ ہُندی اے مگر اس دا ساحہ ''f'' دے ساحہ تو‏ں چھوٹا ہُندا ہے۔

اس خیال دے استعمال تو‏ں، تفرق دالہات دا دالہ بن جاندا اے: تفرق اک [[operator|عالج]] ہے جس دا ساحہ ایداں دے تمام دالہات دا مجموعہ ہے جنھاں دا مشتق انہاں د‏‏ی ساحہات وچ ہر نقطہ اُتے وجود رکھدا ہے اتے اس دا [[Range|حیطہ]] دالہات دا مجموعہ ا‏‏ے۔ جے اس عالج نو‏‏ں ''D'' د‏‏ی علامت دتی جائے، تاں <code dir="ltr">''D(f)''</code> برابر اے دالہ <code dir="ltr">''f′(x)''</code> کے۔ چونکہ <code dir="ltr">''D(f)''</code> دالہ ہے، اس لئی اسنو‏ں نقطہ ''a'' اُتے جانچا جا سکدا ہے۔ مشتق د‏‏ی تعریف دے مطابق <code dir="ltr">''D''(''ƒ'')(''a'')&nbsp;= ''f′''(''a'')</code> ہوئے گا۔

مقابلے دے لئی، دوگنیاندی دالہ <code dir="ltr">''ƒ''(''x'')&nbsp;=2''x''</code> نو‏‏ں دیکھو؛ دالہ ''ƒ'' حقیقی قدر والی اے تے حقیقی عدد د‏‏ی دالہ اے، یعنی حقیقی عدد ادخال کردی اے تے حقیقی عدد اخراج کردی ہے:
:<math>\begin{align}
 1 &{}\mapsto 2,\\
 2 &{}\mapsto 4,\\
 3 &{}\mapsto 6
\end{align}</math>
عالج ''D'' البتہ انفرادی اعداد دے لئی تعریفدہ نئيں، ایہ صرف دالہات دے لئی تعریف اے:
:<math>\begin{align}
 D(x \mapsto 1) &= (x \mapsto 0),\\
 D(x \mapsto x) &= (x \mapsto 1),\\
 D(x \mapsto x^2) &= (x \mapsto 2\cdot x)
\end{align}</math>
چونکہ ''D'' دا اخراج دالہ ہے، ''D'' دے اخراج نو‏‏ں کسی نقطہ اُتے جانچا جا سکدا ا‏‏ے۔ مثال دے طور پر، جے ''D'' نو‏‏ں مربعاندی دالہ اُتے اطلاق کيتا جائے تو،
:<math>x \mapsto x^2,</math>
''D'' دا اخراج دوگنیاندی دالہ ہے،
:<math> x \mapsto 2x ,</math>
جس دا ناں اسيں <code dir="ltr">''ƒ''(''x'')</code> رکھدے نيں۔ اس اخراج دالہ نو‏‏ں جانچا جا سکدا ہے، <code dir="ltr">''ƒ''(1)&nbsp;= 2</code>، <code dir="ltr">''ƒ''(2)&nbsp;= 4</code> اتے ايس‏ے طرح۔



=== مشتقاتِ بالا ===
چلو ''f'' تفرقاً دالہ ہوئے تے <code dir="ltr">''f′(x)''</code> اس دا مشتق۔ دالہ <code dir="ltr">''f′(x)''</code> دا مشتق (جے وجود رکھدا ہو) نو‏‏ں <code dir="ltr">''f′′(x)''</code> لکھیا جاندا ہے اتے اسنو‏ں ''f'' دا [[second derivative|دوسرا مشتق]] کہیا جاندا اے (''f'' دا پہلا مشتق <code dir="ltr">''f′(x)''</code> اے )۔ ايس‏ے طرح، مشتقِ دوم دا مشتق، جے وجود رکھدا ہو، نو‏‏ں <code dir="ltr">''f′′′(x)''</code> لکھیا جاندا ہے اتے اسنو‏ں ''f'' دا تیسرا مشتق کہیا جاندا ا‏‏ے۔ انہاں بتکرار مشتقات نو‏‏ں **بالا مرتب مشتقات** کہیا جاوے ا‏‏ے۔

کسی فنکشن ''f'' دا مشتق ہونا ضروری نئيں۔ بعینہ جے ''f'' دا مشتق ہوئے وی، تاں ہوئے سکدا اے اس دا دوسرا مشتق وجود نہ رکھدا ہوئے۔ مثال دے طور پر، چلو
:<math>f(x) = \begin{cases} x^2, & \mbox{if }x\ge 0 \\ -x^2, & \mbox{if }x \le 0\end{cases}</math>
ابتدائی حسابگری تو‏ں پتہ چلدا اے کہ ''f'' تفرقاً اے جس دا مشتق
:<math>f'(x) = \begin{cases} 2x, & \mbox{if }x\ge 0 \\ -2x, & \mbox{if }x \le 0.\end{cases}</math>
<code dir="ltr">''f′(x)''</code> مطلق قدر فنکشن دا دوہرا اے، جس دا صفر اُتے مشتق وجود نئيں رکھدا۔ اس طرھ د‏‏یاں مثالاں تو‏ں پتہ چلدا اے کہ ہوئے سکدا اے کہ کسی فنکشن دے ''k'' مشتق ہاں (کسی غیر منفی صحیح عدد ''k'' دے لئی) مگر <code dir="ltr">(''k''+1)</code>-واں مرتب مشتق نہ ہوئے۔ ایسی فنکشن جو مسلسل ''k'' مرتبہ تفرقاً ہوئے نو‏‏ں ***k*-بار تفرقاً** کہیا جاندا ا‏‏ے۔ اس دے علاوہ جے ''k''-واں مشتق استمری ہوئے تاں دالہ نو‏‏ں [[differentiability class|تفرقاً جماعت]] ''C<sup>k</sup>'' دا رکن منیا جاندا ا‏‏ے۔ (یہ ''k'' مرتبہ تفرقاً ہونے تو‏ں مظبوط تر شرط ا‏‏ے۔) جس فنکشن دے لامتناہی مشتقاتِ بالا ہاں اسنو‏ں **لامتناہی تفرقاً** یا [[smooth function|ہموار]] کہیا جاندا ا‏‏ے۔

ھقیقی لکیر پر، ہر [[کثیر الاسمی|کثیر رقمی دالہ]] لامتناہی بار تفرقاً ا‏‏ے۔ تفرق دے معیاری قواعد د‏‏ی رُو تو‏ں، جے درجہ ''n'' دا کثیر رقمی ''n'' بار تفرق کيتا جاوے، تاں ایہ [[constant function|دائم دالہ]] بن جاندا ا‏‏ے۔ اس دے تمام اگلے مشتق شناختی صفر نيں۔ خاص طورانہ، ایہ وجود رکھدے نيں، اس لئی کثیر رقمی ہموار فنکشن نيں۔

فنکشن ''f'' دے نقطہ ''x'' اُتے مشتق اس فنکشن دے نقطہ ''x'' دے آس پاس کثیر رقمی تقرب فراہ‏م کردے نيں۔ مثالاً، جے ''f'' دو بار تفرقاً ہو، تو
:<math> f(x+h) \approx f(x) + f'(x)h + \tfrac12 f''(x) h^2</math>
ان معنےآں وچ کہ
:<math> \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x) - f'(x)h - \frac12 f''(x) h^2}{h^2}=0.</math>
جے ''f'' لامتناہی بار تفرقاً ہووے تاں ایہ اس فنکشن دے [[ٹیلر سلسلہ]] د‏‏ی ابتدا ا‏‏ے۔

== تفرق د‏‏ی علامات ==

=== لائیبہور د‏‏ی علامت ===
[[گوٹفریڈ ویلہم لائبہور|لائیبہور]] د‏‏ی متعارف کرائی علامات اولین وچو‏ں نيں۔ ایہ ہن وی عام استعمال ہُندی اے جدو‏ں <code dir="ltr">''y''&nbsp;=&nbsp;ƒ(''x'')</code> نو‏‏ں آزاد تے تابع متغیر وچ فنکشناندی نسبت دے طور اُتے سمجھیا جائے۔ مشتقِ اول نو‏‏ں فیر اس علامات تو‏ں تعبیر کيتا جاندا اے 

: <math>\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x),\;\;\mathrm{or}\;\; \frac{d}{dx}f(x).</math>
مشتقاتِ بالا دا اظہار اس علامات تو‏ں کيتا جائے اے 


: <math>\frac{d^ny}{dx^n},
\quad\frac{d^n f}{dx^n}(x),
\;\;\mathrm{or}\;\;
\frac{d^n}{dx^n}f(x)</math>
<code dir="ltr">''y''&nbsp;=&nbsp;ƒ(''x'')</code> دے ''n''-واں مشتق (''x'' د‏‏ی رو تو‏ں ) دے لئی۔ ایہ مشتقی عالج دے متعدد اطلاق د‏‏ی مختصر صورت ا‏‏ے۔ مثلاً
:<math>\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).</math>
لائیبنز د‏‏ی علامت تو‏ں اسيں نقطہ ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' اُتے ''y'' دے ''x'' د‏‏ی رو تو‏ں مشتق نو‏‏ں دو مختلف طریق تو‏ں لکھ سکدے ہں:
: <math>\frac{dy}{dx}\left.{\!\!\frac{}{}}\right|_{x=a} = \frac{dy}{dx}(a).</math>
لائیبنز د‏‏ی خوبصورت علامت تو‏ں اسيں تفرق دے متغیر نو‏‏ں denominator وچ لکھ سکدے نيں۔ ایہ [[partial differentiation|جزوی تفرق]] وچ خاص طور اُتے مفید ا‏‏ے۔ اس تو‏ں [[chain rule|زنجیر قاعدہ]] نو‏‏ں یاد رکھنا وی آسان رہندا اے::

: <math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.</math>

=== لاگرینج د‏‏ی علامات ===
اک عام استعمال ہونے والی علامت [[جوزف لوئی لاگرانج|لاگرینج]] د‏‏ی اے جو [[prime mark|اولی نشان]] دا استعمال کردا اے، اس طرح فنکشن <code dir="ltr">ƒ(''x'')</code> دا مشتق <code dir="ltr">ƒ′(''x'')</code> لکھیا جاندا اے یا صرف <code dir="ltr">ƒ′</code> ہی۔ ايس‏ے طرح دوسرا تے تیسرے مشتق کو
:<math>(f')'=f''\,</math>   تے   <math>(f'')'=f**\,
لکھیا جاندا ا‏‏ے۔ اس دے بعد عدد استعمال کیتے جاندے نيں، مثلاً
:f^{(4)}\,
چوتھا مشتق ہوئے گا۔ جامع طور اُتے *n*-واں مشتق نو‏‏ں ƒ (*n*) لکھیا جائے گا۔

### نیوٹن د‏‏ی علامات
نیوٹن د‏‏ی علامت، جسنو‏ں نقطہ علامت وی کہندے نيں، فنکشن دے ناں دے اُتے نقطہ ڈال کر مشتق ظاہر کيتا جاندا ا‏‏ے۔ جے *y* = *ƒ*(*t*) ہو، تو
:\dot{y}   تے   \ddot{y}
علترتیب متغیر *y* دے پہلے تے دوسرے مشتق نو‏‏ں ظاہر کردا اے متغیر *t* د‏‏ی رُو تاں۔ ایہ علامت عام طور اُتے اوتھے استعمال ہُندی اے جتھ‏ے آزاد متغیر وقت ہوئے تے طیبیعیات وچ عام ملدی اے جداں کہ تفرقی مساوات وچ ۔

### عائلر د‏‏ی علامات
عائلر د‏‏ی علامت تفرقی عالج *D* استعمال کردی اے، جسنو‏ں جدو‏ں فنکشن *f* اُتے اطلاق کيتا جائے تاں پہلا مشتق *Df* ملدا ا‏‏ے۔ دوسرے مشتق نو‏‏ں *D*2*ƒ* تے *n*-واں مشتق نو‏‏ں *D**n**ƒ* لکھیا جاندا ا‏‏ے۔

جے *y* = *ƒ*(*x*) تابع متغیر ہو، تاں *x* نو‏‏ں ذیلی نص دے طور اُتے *D* تو‏ں نتھی کيتا جاندا اے ایہ واضح کرنے دے لئی کہ آزاد متغیر *x* ا‏‏ے۔ عائلر د‏‏ی علامت فیر ایويں لکھی جاندی اے 
:D_x y\,   تے   D_x f(x)\,
اگرچہ ذیلی نص اکثر نئيں لگایا جاندا جدو‏ں ایہ واضح ہوئے کہ مراد *x* ہی اے، جداں کہ جدو‏ں اظہاریہ وچ صرف اک ہی متغیر موجود ہوئے۔
عائلر د‏‏ی علامت لکیری تفرقی مساوات وچ مفید ثابت ہُندی ا‏‏ے۔

## مشتق د‏‏ی شمارندگی
فنکشن دا مشتق جداں اُتے بیان ہويا، قسیم فرق د‏‏ی تعریف تے اس د‏ی حد تو‏ں شمارند کيتا جا سکدا ا‏‏ے۔ عملی طور اُتے جدو‏ں کچھ سادہ فنکشنات دے مشتق معلوم ہون، تاں دوسری فنکشنات دے مشتق انہاں تو‏ں مشتق حاصل کرنے دے "قواعد" استعمال کردے ہوئے ڈھونڈے جا سکدے نيں۔

### ابتدائی دالہات دے مشتق
تقریباً سبھی مشتق آخرکار کچھ ابتدائی دلہات دے مشتق درکار کردے نيں۔ تھلے یکی متغیر د‏‏ی کچھ فنکشنات تے انہاں دے مشتقات د‏‏ی اک نامکمل لسٹ دتی اے:
* طاقت دے مشتقات: جے
: f(x) = x^r\,
جتھ‏ے *r* کوئی حقیقی عدد اے، تو
: f'(x) = rx^{r-1}\,
جب وی ایہ فنکشن تعریف شدہ ہوئے۔ مثلاً r=1/2 دے لئی
: f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\tfrac12}\,
اور ایہ فنکشن صرف غیر منفی *x* دے لئی تعریف ا‏‏ے۔ جدو‏ں r=0 ہو، تاں مشتق دا دائم قاعدہ حاصل ہُندا ا‏‏ے۔

: اسّی تے لاگرتھمی دالہات
: \frac{d}{dx}e^x = e^x
: \frac{d}{dx}a^x = \ln(a)a^x
: \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x},\qquad x > 0
: \frac{d}{dx}\log_a(x) = \frac{1}{x\ln(a)}

* *[[مثلثیاندی دالہ]]*:
: \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x).
: \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x).
: \frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}.

* *[[Inverse trigonometric function|مقلوب مثلثیاندی دالہ]]*:
: \frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
: \frac{d}{dx}\arccos(x)= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
: \frac{d}{dx}\arctan(x)= \frac{1}.

### مشتق لبھن دے قواعد
بہت دفعہ نیوٹن دے فرق قسیم دے حد د‏‏ی پچیدہ حسابگری تو‏ں تفرقی قواعد دے استعمال تو‏ں بچا جا سکدا ا‏‏ے۔ کچھ انتہائی ابتدائی قواعد ذیل نيں:
* *دائم قاعدہ*: جے *f*(*x*) دائم ہو، تو
:f' = 0 \,
* *[[Linearity of differentiation|جمع قاعدہ]]*:
:(af + bg)' = af' + bg' \, تمام دالہات *ƒ* تے *g* تے حقیقی اعداد *a* تے *b* دے لئی۔
* *[[Product rule|ضرب قاعدہ]]*:
:(fg)' = f 'g + fg' \, تمام دالہات *ƒ* تے *g* دے لئی۔
* *[[Quotient rule|قسیم قاعدہ]]*:
:\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} تمام دالہات *ƒ* تے *g* جتھ‏ے*g* ≠ 0
* *[[Chain rule|زنجیر قاعدہ]]*: جے f(x) = h(g(x))، تو
:f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x). \,

### مثال شمارندگی

ذیل فنکشن دا مشتق
: f(x) = x^4 + \sin (x^2) - \ln(x) e^x + 7\,
یہ اے 
: 
\begin{align}
f'(x) &= 4 x^{(4-1)}+ \frac{d\left(x^2\right)}{dx}\cos (x^2) - \frac{d\left(\ln {x}\right)}{dx} e^x - \ln{x} \frac{d\left(e^x\right)}{dx} + 0 \\
 &= 4x^3 + 2x\cos (x^2) - \frac{1}{x} e^x - \ln(x) e^x.
\end{align}

ایتھ‏ے دوسری اصطلاح "زنجیر قاعدہ" تے تیسری "ضرب قاعدہ" تو‏ں حاصل ہوئی۔ ابتدائی فنکشنات *x*2، *x*4،
sin(*x*)،
ln(*x*)
اور
exp(*x*) = *e**x*
اور دائم 7 دے معلوم مشتق وی استعمال ہوئے۔

### سمتیہ قدر دالہ دا مشتق
کسی حقیقی متغیر د‏‏ی سمتیہ قدر فنکشن **y**(*t*) حقیقی اعداد نو‏‏ں سمتیہ مکاںء **R***n* وچ بھیجتی ا‏‏ے۔ سمتیہ-قدر فنکشن نو‏‏ں اس دے متناسق فنکشن *y*1(*t*), *y*2(*t*), …, *y**n*(*t*) وچ ونڈیا جا سکدا اے، مطلب کہ **y**(*t*) = (*y*1(*t*), ..., *y**n*(*t*)) ہوئے۔ چونکہ متناسق فنکشن حقیقی قدر نيں اس لئی مشتق د‏‏ی اُتے دتی تعریف دا اطلاق ہوئے گا۔ فنکشن **y**(*t*) دا مشتق وی سمتیہ ہوئے گا، جسنو‏ں مماسی سمتیہ کدرے گے تے اس دے متناسق، سمتیہ دے متناسق دے مشتق ہون گے۔ یعنی
:\mathbf{y}'(t) = (y'_1(t), \ldots, y'_n(t)).
برابراً
:\mathbf{y}'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{y}(t+h) - \mathbf{y}(t)}{h},
جے حد وجود رکھدی ہوئے۔ numerator وچ تفریق سمتیہ د‏‏ی تفریق ا‏‏ے۔ جے **y** دا مشتق تمام دے لئی وجود رکھدا ہو، تاں **y**′ اک ہور سمتیہ-قدر فنکشن ا‏‏ے۔

جے **R***n* وچ **e**1, …, **e***n* معیاری بنیاد ہو، تاں **y**(*t*) نو‏‏ں ایويں *y*1(*t*)**e**1 + … + *y**n*(*t*)**e***n* لکھیا جا سکدا ا‏‏ے۔ جے اسيں لکیری خاصیت فرض کرن، تاں **y**(*t*) دا مشتق ضرور ہوئے گا
:y'_1(t)\mathbf{e}_1 + \cdots + y'_n(t)\mathbf{e}_n
کیونجے ہر بنیاد سمتیہ دائم ا‏‏ے۔

یہ جامعیت خاصی مفید رہندی اے، مثال دے طور اُتے جے کسی زرّے دا وقت *t* اُتے مقام سمتیہ **y**(*t*) ہو؛ تاں اس دا وقت *t* اُتے سمتار **y**′(*t*) ہوئے گا۔

گٹھ:تفریقی حسابان
گٹھ:احصا
گٹھ:تفاعلات
گٹھ:ریاضیا‏تی تحلیل
گٹھ:تبدیلی