بےز مسئلہ اثباتی

thumb|تصویر 1
جے واقعات  A_1, A_2, \cdots, A_n کِس‏ے نمونہ فضا *S* دا بٹوارا ہون، یعنی
: A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = S
تے اس دے علاوہ ایہ باہمی ناشمول واقعات وی ہون، یعنی
: A_i \cap A_j \cap = \Phi \,,\, i,j \in \{1,2,\cdots,n\}
تے \Pr(A_i)>0،
تو کِس‏ے واقعہ *B* دے لئی (جے \Pr(B)>0)، بٹوارے دے کِس‏ے "واقعہ \ A_i دا احتمال جدو‏ں کہ واقعہ *B*" نو‏‏ں ایويں لکھیا جا سکدا اے:
:
\Pr(A_i|B) = \frac{\Pr(A_i \cap B)}{\Pr(B)}
= \frac{\Pr(B|A_i) \Pr(A_i)}{\sum_{k=1}^n \Pr(B | A_k) \Pr(A_k)}

جتھ‏ے اساں کُل احتمال دے قانون دا استعمال کيت‏‏ا ا‏‏ے۔

### مثال
فرض کرو کہ کِس‏ے بیماری د‏‏ی تشخیص دے لئی اک اختبار دستیاب اے، مگر بیماری (disease) موجود ہونے د‏‏ی صورت وچ ایہ اختبار 99 فیصد وقوع وچ صحیح مثبت (positive) نتیجہ دیندا اے، یعنی مشروط احتمال
:\ \Pr(\hbox{positve}|\hbox{disease}) = 0.99 \,, \Pr(\hbox{negative}|\hbox{disease})=0.01
بیماری نہ ہونے د‏‏ی صورت (no disease) وچ ایہ اختبار 98 فیصد وقوع وچ صحیح منفی (negative) نتیجہ دیندا اے، یعنی مشروط احتمال
:\ \Pr(\hbox{positve}|\hbox{no disease}) = 0.02 \,, \Pr(\hbox{negative}|\hbox{no disease})=0.98
آبادی وچ اس بیماری دا تناسب ہزار وچ اک اے، یعنی بنفسیہ احتمال
:\ \Pr(\hbox{no disease}) = 0.999 \,, \Pr(\hbox{disease})=0.001
اب اسيں جاننا چاہندے نيں کہ جے کِس‏ے شخص دا اختبار دا نتیجہ مثبت نکلدا اے، تاں اس دا کیہ احتمال اے کہ اس شخص نو‏‏ں واقعی ایہ بیماری اے، یعنی اسيں \ \Pr(\hbox{disease}|\hbox{positive}) جاننا چاہندے ني‏‏‏‏ں۔ ہن بے ز قاعدہ دا استعمال کردے ہوئے
: \Pr(\hbox{disease}|\hbox{positive}) = \frac{\Pr(\hbox{positive}|\hbox{disease}) \Pr(\hbox{disease})}{
\Pr(\hbox{positive}|\hbox{disease}) \Pr(\hbox{disease}) +
\Pr(\hbox{positive}|\hbox{no disease}) \Pr(\hbox{no disease})
}

اقدار ڈالدے ہوئے
: \Pr(\hbox{disease}|\hbox{positive}) = \frac{0.99 \times 0.001}{
0.99 \times 0.001 + 0.02 \times 0.999} = 0.047

یعنی اختبار دا نتیجہ مثبت ملنے اُتے واقعی بیماری ہونے دا احتمال صرف 4.7 فیصد ا‏‏ے۔ جے آپ دے لئی اس مثال دا نتیجہ حیران کن اے تاں غور کرن ایہ بنفسیہ احتمال \ \Pr(\hbox{disease})=0.001 دا اثر ا‏‏ے۔

اس مثال تو‏ں ایہ بھر پور طریقہ تو‏ں واضح ہويا کہ
 \Pr(\hbox{disease}|\hbox{positive}) \neq \Pr(\hbox{positive}|\hbox{disease})

## بے ز قاعدہ د‏‏ی مختلف شکل

اُتے دتے بے ز قاعدہ نو‏‏ں مختلف شکل وچ لکھیا جا سکدا ا‏‏ے۔ جے اک واقعہ *M* اے تے اس دا متمم  \bar{M}، تاں انہاں دے احتمال دا تناسب
: \frac{\Pr(M)}{\Pr(\bar{M})}
اس مفروضہ (واقعہ) *M* دے *odds* نو‏‏ں ظاہر کردا ا‏‏ے۔ واضح رہے کہ:
: \Pr(\bar{M}) = 1-\Pr(M)
اب جے اک واقعہ *C* رونماء ہُندا اے، جس تو‏ں سانو‏ں مفروضہ *M* دے بارے وچ کچھ نويں معلومات ملدی نيں،
تو اس نويں معلومات د‏‏ی روشنی وچ مفروضہ *M* دے نويں odds ایہ ہون گے
: \frac{\Pr(M|C)}{\Pr(\bar{M}|C)} = \frac{\Pr(M)}{\Pr(\bar{M})}
\frac{\Pr(C|M)}{\Pr(C|\bar{M})}

جتھ‏ے
\frac{\Pr(C|M)}{\Pr(C|\bar{M})}
کو *امکاناندی تناسب* کہیا جاندا ا‏‏ے۔ نظریہ احتمال و احصاء د‏‏ی بولی وچ مفروضہ دے اصلی odds نو‏‏ں بنفیسہ odds کہیا جاندا اے تے نويں odds نو‏‏ں بمثلیہ odds کہندے ني‏‏‏‏ں۔ یعنی بے ز قاعدہ د‏‏ی مختلف شکل ایويں اے:
 (بمثلیہ odds ) = (بنفیسہ odds) \times (امکاناندی تناسب)
اُتے د‏‏ی بے ز مساوات دے numerator تے denominator وچ بے ز قاعدہ دے استعمال تو‏ں اس مساوات د‏‏ی تصدیق ہُندی اے، مثلاً numerator دے لئی
:\Pr(M|C) = \frac{\Pr(M \cap C)}{\Pr(C)} = \frac{\Pr(C|M) \Pr(M)}{\Pr(C)}

### مثال
فرض کرو کہ اک شخص پولیس مقابلے وچ ہلاک ہوئے گیا ا‏‏ے۔ مفروضہ ایہ اے کہ ایہ شخص ڈاکو سی۔
:M=مفروضہ (ڈاکو تھا)
:\bar{M}= نفی مفروضہ (ڈاکو نئيں تھا)
فرض کرو کہ پولیس مقابلے وچ مرنے والےآں دے ڈاکو ہونے تے نہ ہونے دا تناسب 5 اے، یعنی
: \frac{\Pr(M)}{\Pr(\bar{M})}=5 \,,\, \Pr(M) = \frac{5}{6} 
اب نواں ثبوت سامنے آندا اے کہ مرنے والا مسلح نئيں سی۔
:C=مسلح نئيں تھا
فرض کرو کہ غیر مسلح شخص دے ڈاکو ہونے تے ڈاکو نہ ہونے دا تناسب 1/8 اے، یعنی
\frac{\Pr(C|M)}{\Pr(C|\bar{M})}=\frac{1}{8}

اس ثبوت د‏‏ی روشنی وچ مرنے والے دے ڈاکو ہونے دے بمثلیہ odds ہون گے
: \frac{\Pr(M|C)}{\Pr(\bar{M}|C)} = \frac{5}{1} \times \frac{1}{8} = \frac{5}{8}

جس تو‏ں مرنے والے دے ڈاکو ہونے دا احتمال بندا اے 
: \frac{\Pr(M|C)}{1-\Pr(M|C)} = \frac{5}{8} \,,\, \Pr(M|C)=\frac{5}{13}
یاد کرو کہ اس نويں ثبوت دے مہیا ہونے تو‏ں پہلے مرنے والے دے ڈاکو ہونے دا احتمال  \frac{5}{6} سی (83 فیصد)، جو ہن کم ہوئے ک‏ے  \frac{5}{13} رہ گیا اے (38 فیصد)۔

## ہور ویکھو
* مشروط احتمال
* کُل احتمال دا قانون

گٹھ:احتمال نظریہ
گٹھ:احتمال و احصاء
گٹھ:ریاضی