ویژہ قدر

اک سمتیہ فنکشن \ f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n  دے لئی جے سمتیہ د‏‏ی ایسی قیمت \ X=X^* موجود ہوئے جس دے لئی،

\ f(X^*) = \lambda X^* \,\,, \lambda \in \mathbb{C}

جتھ‏ے \ \lambda اک ساکن ہوئے تاں اس \ \lambda نو‏‏ں فنکشن د‏‏ی *ویژہ قدر* تے \ X^* نو‏‏ں *ویژہ سمتیہ* کہندے نيں۔ انگریزی وچ انہاں نو‏ں eigenvalue تے eigenvector کہندے نيں۔

اک لکیری سمتیہ فنکشن نو‏‏ں میٹرکس ضرب دے طور اُتے لکھیا جا سکدا اے 
\ f(X) = A X
جتھ‏ے *X* اک \ n \times 1  میٹرکس (سمتیہ) اے تے *A* دا سائیز \ n \times n  ا‏‏ے۔ ہن سانو‏ں ایداں دے *X* تے \ \lambda نکالنے نيں کہ

\ A X = \lambda X

اس مساوات نو‏‏ں ایويں لکھیا جا سکدا اے (جتھ‏ے *I* شناخت میٹرکس اے )

\ A X - \lambda X = 0 
\ (A - \lambda I) X = 0 
اب ایہ ايس‏ے صورت ممکن اے، جدو‏ں کہ کبھے ہتھ د‏‏ی میٹرکس دا دترمینان صفر ہو
\ \det(A - \lambda I) = 0 
اس طرح سانو‏ں \ \lambda وچ درجہ *n* د‏‏ی مساوات مل جاندی اے، جس دا حل سانو‏ں \ \lambda د‏‏ی *n* قدراں دے سکدا ا‏‏ے۔ انہاں وچو‏ں کِس‏ے وی ویژہ قدر \ \lambda دے لئی میٹرکس \ A - \lambda I دا رتبہ *n* تو‏ں کم ہوئے گا، اس لئی سمتیہ *X* دے اک جُز د‏‏ی کوئی قدر فرض ک‏ر ک‏ے اسيں باقی اجزا د‏‏ی قدر *n-1* یکلخت لکیری مساوات نو‏‏ں حل ک‏ر ک‏ے کڈ سکدے نيں۔ اس طرح سانو‏ں میٹرکس *A* دا اک ویژہ سمتیہ معلوم ہوئے جائے گا۔

### مثال 1
میٹرکس
A =\left[ \begin{matrix}
3 & 4 \\
4 & 3
\end{matrix}\right]
 
کے ویژہ قدراں تے ویژہ سمتیے کڈدے نيں۔

اب دترمینان دے ذریعہ
\det \left[ \begin{matrix}
3-\lambda & 4 \\
4 & 3-\lambda
\end{matrix}\right] = 0
 
سانو‏ں ایہ مساوات ملدی اے، جسنو‏ں حل ک‏ر ک‏ے دو ویژہ قدراں مل جاندیاں نيں:

(3-\lambda)(3-\lambda) - 16 =0 
\lambda^2 -6 \lambda - 7 =0 
\lambda = \frac{-(-6) \pm \sqrt{6^2 -4 (1)(-7)}}{2(1)} 
تے اس طرح سانو‏ں دو وہژہ قدراں مل جاندیاں نيں:
\lambda_0 = 7\,,\, \lambda_1= -1 
اب پہلی ویژہ قدر نو‏‏ں استعمال کردے ہوئے دو یکلخت لکیری مساوات ملدی نيں۔

 \left[ \begin{matrix}
3-7 & 4 \\
4 & 3-7
\end{matrix}\right]
\left[ \begin{matrix}
x_0 \\
x_1
\end{matrix}\right]
= 0
  
\begin{matrix}
-4 x_0 &+& 4 x_1 &=& 0 \\
 4 x_0 &-& 4 x_1 &=& 0
\end{matrix}
 

غور کرو تاں دوسری مساوات نو‏‏ں &lrm;-1 تو‏ں ضرب دے ک‏ے پہلی مساوات حاصل ہوئے جاندی اے، یعنی مساوات لکیری آزاد نہيں۔ اس لئی اسيں دوسری مساوات وچ \ x_0=1 فرض کر لیندے نيں، تاں  x_1=1  مل جاندا ا‏‏ے۔ ايس‏ے طرح دوسری ویژہ قدر دے لئی وی ویژہ سمتیہ کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔ ایہ دو ویژہ سمتیے ایويں نيں:

V_0 = \left[ \begin{matrix}
1 \\
1
\end{matrix}\right] , \,\,
V_1 \left[ \begin{matrix}
1 \\
-1
\end{matrix}\right]

ویژہ سمتیہ د‏‏ی میٹرکس ایويں لکھی جا سکدی اے:

V =\left[ \begin{matrix}
V_0 & V_1
\end{matrix}\right]
=\left[ \begin{matrix}
1 & 1\\
1 & -1
\end{matrix}\right]

فائل:eig sym matrix ellipse.png
تصویر وچ دیکھو کہ ایہ میٹرکس تفاعل نیلے دائرے نو‏‏ں سرخ بیضوی شکل وچ بھیجتی ا‏‏ے۔ بیضوی شکل د‏‏ی لمبائی تے چوڑائی دا تناسب (ratio) 7 اے، جو اس میٹرکس د‏‏ی دو ویژہ قدراں دا تناسب ا‏‏ے۔ ویژہ سمتیہ نو‏‏ں تصویر وچ کالی لکیراں تو‏ں دکھایا گیا ا‏‏ے۔ ملاحظہ ہوئے کہ ایہ سمتیہ بیضوی شکل دے دُھرا (axis) دے متوازی نيں تے آپس وچ قائم الزاویہ نيں۔ (جے میٹرکس متنانظر (symmetric) نہ ہُندی، تاں ویژہ سمتیہ آپس وچ قائم الزاویہ نہ ہُندے۔) غور کرو کہ عام فضا (جس وچ نیلا دائرہ اے ) دے بنیاد سمتیہ ایہ نيں (تصویر وچ تانے بانے د‏‏ی لکیراں وچ دیکھو) :

\left[ \begin{matrix}
1 \\
0
\end{matrix}\right] , \,\,
\left[ \begin{matrix}
0 \\
1
\end{matrix}\right]

جو شناخت میٹرکس دے ویژہ سمتیہ نيں۔

اک میٹرکس د‏‏ی کچھ ویژہ قدر مختلط عدد وی ہوئے سکدیاں نيں، جس صورت وچ ویژہ سمتیہ وی مختلط ہون گے تے انہاں د‏‏ی جیومیٹریکل سمجھ پیدا نئيں ہُندی۔ ایہ وی ہوئے سکدا اے کہ اک تو‏ں زیادہ ویژہ قدر برابر ہاں (منفرد نہ ہاں) تے اس صورت وچ پورے *n* ویژہ سمتیہ نہ کڈے جا سکن ۔

### مسلئہ اثباندی 1
جے اک  n \times n  مربع میٹرکس *A* د‏‏ی تمام ویژہ قدراں اصل (مختلط نئيں) عدد \ \lambda_0, \lambda_1, \cdots, \lambda_{n-1}  ہاں تے اس میٹرکس دے *n* لکیری آزاد ویژہ سمتیہ \ V_0, V_1, \cdots, V_{n-1}  کڈے جا سکدے ہاں (ایتھ‏ے ہر ویژہ سمتیہ اک \ n \times 1 میٹرکس اے )،

اب ویژہ سمتی نو‏‏ں اکٹھا بطور میٹرکس تے ویزہ قدراں نو‏‏ں اک وتر میٹرکس دے بطور ایويں لکھدے ہوئے:

\begin{matrix} V=[V_0 & V_1 & \cdots & V_{n-1}]
\end{matrix}\,,\,

\Lambda =\left[\begin{matrix}
\lambda_0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_1 & \cdots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_{n-1}
\end{matrix}\right]\,,
 

یہ سچ ہوئے گا کہ
 A = V \Lambda V^{-1} 

اسنو‏ں ایويں وی لکھیا جا سکدا اے، یعنی اک میٹرکس نو‏‏ں وتر میٹرکس وچ بدلا جا سکدا اے، ویژہ سمتیہ میٹرکس کی
مدد سے

 \Lambda = V^{-1} A V 

اس تو‏ں ایہ نتیجہ وی اخذ کیتا جا سکدا اے کہ
 \det(A) = \det(\Lambda) = \prod_{j=0}^{n-1} \lambda_j

چونکہ  \det(V^{-1}) = 1 / \det(V)

### مسلئہ اثباندی 2
جے میٹرکس *A* اک متناظر میٹرکس ہوئے تاں اُتے والا مسلئہ اثباندی 1 د‏‏ی شرائط ہمیشہ پوری ہونگی تے اس دے علاوہ ویژہ سمتیہ آپس وچ قائم الزاویہ ہون گے۔ تے

 A = V \Lambda V^{-1}  
 \Lambda = V^{-1} A V

جے تمام ویژہ سمتیہ د‏‏ی مطلق قدراں نو‏‏ں 1 کر کیتا جائے، تاں ویزہ سمتیہ د‏‏ی میٹرکس *V* قائم الزاویہ ہوئے گی تے اس لئی \ V^{-1}=V^t  (جتھ‏ے\ V^t میٹرکس *V* دا پلٹ کر بندی اے )۔ اس صورت وچ 

 A = V \Lambda V^{-1} = V \Lambda V^{t} 
 \Lambda = V^{-1} A V = V^{t} A V


### مثال 2
اُتے والی مثال 1 وچ :
 V \Lambda V^{-1} = 
\left[ \begin{matrix}
1 & 1\\
1 & -1
\end{matrix}\right]
\left[ \begin{matrix}
7 & 0\\
0 & -1
\end{matrix}\right]
\left[ \begin{matrix}
1 & 1\\
1 & -1
\end{matrix}\right]^{-1}
=
\left[ \begin{matrix}
3 & 4\\
4 & 3
\end{matrix}\right]
=A
 

تے ایہ وی تسکین کر لو دے کہ


\det(A) = 3 \times 3 - 4 \times 4 = -7 \,,\, \det(\Lambda)=7 \times -1 = -7

تصویر وچ دیکھو کہ سرخ بیضوی شکل دا رقبہ \ |\det(A)|=7  گنیا اے بہ نسبت نیلے دائرہ دے رقبہ دے ۔

چونکہ،

\left[ \begin{matrix}
1 & 1\\
\end{matrix}\right]
\left[ \begin{matrix}
1 \\
1
\end{matrix}\right]
=2

، ویژہ سمتیہ د‏‏ی مطلق قدر اے  \sqrt{2} ،
اس لئی اُتے والی ویژہ میٹرکس نو‏‏ں اسيں  \sqrt{2}  تو‏ں تقسیم ک‏ر ک‏ے قائم الزاویہ میٹرکس بنا لیندے نيں:

V =\left[ \begin{matrix}
V_0 & V_1
\end{matrix}\right]
=\left[ \begin{matrix}
1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2}\\
1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2}
\end{matrix}\right]

اب مسلئہ اثباندی 2 د‏‏ی رو تو‏ں (یاد رہے کہ *A* متناظر میٹرکس تھی)
 V \Lambda V^t = 
\left[ \begin{matrix}
1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2}\\
1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2}
\end{matrix}\right]
\left[ \begin{matrix}
7 & 0\\
0 & -1
\end{matrix}\right]
\left[ \begin{matrix}
1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2}\\
1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2}
\end{matrix}\right]
=
\left[ \begin{matrix}
3 & 4\\
4 & 3
\end{matrix}\right]
=A
 

## ویژہ کثیر رقمی
\ n \times n مربع میٹرکس \ A دے لئی،\ \det(A - \lambda I) = 0، متغیر \lambda وچ اک درجہ *n* دا کثیر رقمی اے، جس نو‏‏ں *ویژہ کثیر رقمی* (characteristic polynomial) کہندے نيں۔
:\ p(\lambda) = \det(A-\lambda I)= 
a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + a_{1} \lambda + a_0


## ہور ویکھو
* میٹرکس
* چکوری ہئیت
* فرق مساوات وچ ویژہ قدر دا تصور
* "کیلے ہمیلٹن" مسلئہ اثباندی
* میٹرکس فنکشن
* سائیلیب (help spec)

## حوالے

گٹھ:تجریدی الجبرا

گٹھ:ریاضیا‏تی فزکس
گٹھ:لکیری الجبرا
گٹھ:ریاضی