Assiòma ëd selession

L**'assiòma ëd selession** (AC: *axiom of choice*) a l'é n'assiòma dla teorìa dj'ansem, formolà da Zermelo ant ël 1904.
A fortiss che se  \mathcal F  a l'é na famija d'ansem nen veuid, a-i é na fonsion ëd selession për  \mathcal F , visadì na fonsion  f  dont ël domini a l'é  \mathcal F  e ch'a l'ha la proprietà che  f(X)\in X  për tuti j' X \in \mathcal F .
A diferensa da j'àotri assiòma ch'a fortisso l'esistensa d'ansem (cobia, separassion, union, potensa, infinì, rampiass), l'assiòma ëd selession a l'é nen costrutiv, përchè a dà nen na descrission dl'ansem (ant ës cas sì, dla fonsion) dont a fortiss l'esistensa.
A l'é për lòn che vàire matemàtich a preferisso nen dovrelo o, cand ch'a lo deuvro, armarché ciàir andoa a l'é dovrà.
La teorìa dj'ansem ëd Zermelo-Fraenkel a ven ciamà ZF.
An giontand-je l'assiòma ëd selession a l'é denotà ZFC.

## Equivalent dl'assioma ëd selession
A-i son vàire afermassion che ant la teorìa ZF a son equivalente a l'assiòma ëd selession.
An efet, l'enonsià originari postulà da Zermelo a fortìa che, për minca famija  \mathcal E  d'ansem nen veuid a doi a doi disgionzù, a esist n'ansem seletor, visadì ch'a rancontra minca mèmber d' \mathcal E  an n'ùnich element.

### Ij prinsipaj
Ij prinsipaj equivalent ëd l'assiòma ëd selession a son:

#### Lema ëd Zorn
Si X a l'é n'ansem parsialman ordinà andoa che tute le caden-e a son magiorà, antlora X a l'ha n'element massimal.

#### Prinsipi dël bon ordinament
Ël prinsipi dël bon ordinament, o teorema ëd Zermelo, a fortiss che minca ansem a l'ha 'n bon ordinament, visadì n'ordinament andoa tuti ij sot-ansem nen veuid a l'han ën mìnim.

Na conseguensa d'ës prinsipi-sì a l'é che minca ansem infinì a l'ha cardinalità ugual a chèich  \aleph_{ \alpha }, anté che \alpha a l'é 'n nùmer ordinal.

#### Teorema ëd Tychonov
Ël prodot dë spassi squasi-compat a l'é squasi-compat.

### D'àutri equivalent
#### Prinsipi dla caden-a massimal
An minca ansem ordinà (ëd fasson parsial) a-i é na caden-a massimal rëspet a l'anclusion.

## Coerensa e indipendensa
An giontand-je l'assiòma ëd selession o soa negassion a la teorìa ZF a-i é gnun privo ëd creé ëd contradission.
Sòn, mersì ai doi teorema sì da press:
**Teorema** (ëd Gödel; l'arzultà a l'é nonsià ant ël 1938, na trassa dla dimostrassion a seurt dël 1939, ij detaj a son publicà dël 1940).
Si ZF a l'é na teorìa coerenta, ëdcò ZFC a-l l'é.
**Teorema** (ëd Cohen, 1963).
Si ZF a l'é na teorìa coerenta, ëdcò ZF+ \neg AC a-l l'é.

## Prinsipi ëd selession déboj
A-i son ëdcò ëd forme pì déboj dl'assiòma ëd selession ch'a ven-o mincatant dovrà al pòst ëd col pien (për esempi cand as gionto d'àutri assiòma a la teorìa ch'a sarìo an contrast con l'assiòma pien).
Dontré dij pì comun a son:

### Prinsipi dle selession dipendente (DC)
Si  E  a l'é na relassion binaria ansima a n'ansem nen veuid  A  e për qualsëssìa  a\in A  a-i é un  b\in A  con la proprietà che  aEb , antlora a-i é na sequensa  a_0,a_1, \dots  an  A  ch'a l'ha la proprietà che  a_nEa_{n+1}  për tuti j' n\in \mathbb N .

### Prinsipi dle selession numeràbij (<math>AC_{ \omega }</math>)
A l'é l'assiòma ëd selession limità a cand la famija  \mathcal F  a l'é numeràbil.

Ël prinsipi dle selession numeràbij a l'é pì débol dël prinsipi dle selession dipendente, ma an efet vàire arzultà dont la dimostrassion natural a deuvra DC a son conseguensa, con chèich ësfòrs an pì, d'AC_{ \omega }.

## Ël debà an sl'assiòma
L'assiòma ëd selession a l'ha fàit dlongh nasse dle discussion pen-a ch'a l'é stàit formolà.
Già dël 1905, ël Bulletin de la Société mathématique de France a publicava un debà antra Baire, Borel, Hadamard e Lebesgue an sl'assiòma ëd Zermelo e, dl'istess ann, vàire artìcoj dij Mathematische Annalen a son ëstàit consacrà a cost argoment.
Antra ij pì goregn opositor dl'assiòma a-i ero Baire, Borel e Lebesgue.

A venta dì che, già prima ch'a fussa formolà con precision da Zermelo, l'assiòma ëd selession a l'era stàit dovrà vàire vire ëd fasson amplìssita an matemàtica clàssica, an particolar ant l'anàlisi.
Tutun, tute coste aplicassion clàssiche a peulo esse giustificà an basand-se mach an sl'assiòma dle selession dipendente e, an efet, la pì part a l'han mach damanca dël pì débol prinsipi dle selession numeràbij.

Categorìa:Teorìa dj'ansem