Equassion algébrica

N**'equassion algébrica** a l'é n'ugualiansa dla forma p(x)=0, anté che p(x) a l'é un polinòmi.
Ël gré dël polinòmi a l'é ëdcò ciamà gré dl'equassion.
Ij coefissient dël polinòmi a son ciamà coefissient ëd l'equassion.
Minca x ch'a sodisfa l'ugualiansa p(x)=0 a l'é ciamà *solussion* o *rèis*.

### Ël teorema fondamental dl'àlgebra
Ël teorema fondamental dl'àlgebra a fortiss che minca equassion algébrica a coefissient compless ëd gré n \geq 1 a l'ha 'd solussion.
Parèj, si p(x)=a_nx^n+ \ldots +a_0=0 a l'é l'equassion, con a_n \neq 0 e si x_1 a n'é solussion, për ël teorema 'd Ruffini l'equassion a resta equivalenta a a_n(x-x_1)q(x) anté che q(x) a l'é 'n polinòmi mònich ëd gré n-1.
Si n-1>0 as peul apliché torna 's rasonament fin-a a oten-e n'equassion equivalenta dla forma a_n(x-x_1)^{ \mu_1 } \cdot\ldots\cdot (x-x_r)^{ \mu_r }=0 anté che x_1, \ldots ,x_r a son le solussion distinte dl'equassion e  \mu_1, \ldots , \mu_r soe *multiplissità* (o *órdin*), con  \mu_1+ \ldots + \mu_r=n.
Da sòn a-i ven che përchè  \xi  a sia solussion ëd multiplissità  \mu  dl'equassion p(x)=0 a venta e a-i basta che p( \xi )=p' ( \xi )= \ldots =p^{( \mu -1)}( \xi )=0,p^{( \mu )}( \xi ) \neq 0, anté che p', \ldots , p^{( \mu )} a son le prime  \mu  derivà ëd p.

Ch'as considera adess n'equassion algébrica p(x)=0 dont tuti ij coefissient a sio 'd reaj e dont  \alpha +i \beta  a sia solussion ëd multiplissità  \mu ; antlora ëdcò  \alpha -i \beta  a l'é solussion dël midem órdin  \mu .
Donca minca equassion algébrica a coefissient reaj ëd gré dispar a l'ha almanch na solussion real.

### Fórmole d'arzolussion
J'equassion algébriche ëd gré fin-a al quart a admëtto fórmole *algébriche* për trové le solussion, visadì le solussion a son otnùe an fonsion dij coefissient an dovrand na quantità finìa d'adission, multiplicassion, sotrassion, division, estrassion ëd rèis.
Sòn a l'é già pì nen possìbil për j'equassion algébriche generaj ëd quint gré, 'me dimostrà da Abel dël 1824 (la dimostrassion a l'é stàita pùblicà an sël giornal ëd Crelle).

N'enonsià esplìcit ëd condission necessarie e bastèivoj për che n'equassion algébrica as peussa arzòlve ëd fasson algébrica a l'é stàit otnù da Galois.
An terminologìa moderna a fortiss che n'equassion algébrica a l'é arzolùbil për radicaj si e mach si lë strop ëd Galois associà a l'é në strop arzolùbil.

#### Equassion ëd 1<sup>m</sup> gré
Dàita n'equassion ëd prim gré ax+b=0 a coefissient ant un camp, con a \neq 0, l'ùnica solussion a l'é x=- \frac ba .

#### Equassion ëd 2<sup>nd</sup> gré
Përchè n'equassion ëd second gré ax^2+bx+c=0 a coefissient ant un camp, con a \neq 0, a l'abia 'd solussion, a venta e a-i basta ch'a-i sia ant ël camp n'element  \delta  tal che  \delta^2=b^2-4ac.
Ant ës cas-sì le solussion a son  \frac{-b \pm \delta }{2a} .

### Relassion an tra coefissient e rèis
Ant l'equassion algébrica a_nx^n+ \ldots +a_0=0 ëd gré n, la soma dij prodot dle solussion, arpetùe conforma a soe multiplissità, pijà a k a la vira, a resta ugual a (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n} .
An particolar la soma dle solussion a l'é - \frac{a_{n-1}}{a_n}  e sò prodot a l'é (-1)^n \frac{a_0}{a_n} .

### Discriminant
Ël *discriminant* dl'equassion algébrica a_nx^n+ \ldots +a_0=0 a l'é 'l nùmer
D=a_n^{2n-2}det \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
\alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \ldots & \alpha_n \\
\alpha_1^2 & \alpha_2^2 & \alpha_3^2 & \ldots & \alpha_n^2 \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
\alpha_1^{n-1} & \alpha_2^{n-1} & \alpha_3^{n-1} & \ldots & \alpha_n^{n-1}
\end{bmatrix} =a_n^{2n-2} \prod_{i>j} ( \alpha_i- \alpha_j)^2,
anté che  \alpha_1 , \ldots , \alpha_n a son le solussion arpetùe conforma a soe multiplissità.
Për esempi, ël discriminant ëd n'equassion ëd second gré a rèis reaj ax^2+bx+c=0 a l'é  \sqrt{b^2-4ac} .
Donca, për che n'equassion algébrica a l'abia solussion mùltiple, a venta e a-i basta che sò discriminant a sia zero.
Ël determinant ch'a compariss ant la fórmola dël discriminant as ciama *determinant ëd Cauchy-Vandermonde*.

### Nùmer algébrich
Ij nùmer compless ch'a son solussion ëd n'equassion algébrica a coefissient antregh as ciamo *nùmer algébrich*.
Tuti ij rassionaj a son algébrich, përchè solussion ëd n'equassion ëd prim gré a coefissient antregh.
Ij nùmer nen algébrich as diso *trassendent*.

L'ansem dij nùmer algèbrich a l'é numeràbil, antant che col dij nùmer trassendent a-l l'é nen.

## Stòria
Ij prim esempi d'equassion algébriche ch'a son rivane as treuvo ant ël papir *Rhind*, apopré dël 1700 o 1650 aGC.

Categorìa:Àlgebra