Operassion

Consideroma n'ansem E (ëd sòlit nen veuid).
As dis **operassion** (**binaria**), o **laj ëd composission anterna** ansima a E qualsëssìa fonsion
:f:E \times E \to E,
andoa E \times E a l'é 'l prodot cartesian d'E për chiel-midem.

L'operassion a assòcia donca a minca cobia ordinà (a,b) \in E \times E n'element c=f(a,b) \in E ch'as ciama *arzultà* dl'operassion f aplicà a la cobia ordinà (a,b).

Si  \circ  a l'é n'operassion ansima a n'ansem E, soens as deuvra la *notassion mesan-a*, an ëscrivend a \circ b pitòst che  \circ (a,b).
An dotand n'ansem E ëd n'operassion  \circ  as oten n'esempi dë strutura algébrica (E, \circ ).

Si  \circ  a l'é n'operassion an sl'ansem E e A \subseteq E, as dis che A a l'é *stàbil* rëspet a l'operassion si  \forall a,b \in A,a \circ b \in A.

### Esempi
* Ant la strutura ( \mathbb N ,+) l'ansem dij nùmer cobi a l'é stàbil, përchè l'adission ëd doi nùmer cobi a l'é sempe 'n nùmer cobi. Nopà, l'ansem dij nùmer dëscobi a l'é nen ëstàbil.
* Ant la strutura ( \mathbb N , \cdot ) l'ansem dij nùmer cobi e l'ansem dij nùmer dëscobi a son tuti doi stàbij, përchè la multiplicassion ëd doi nùmer cobi a l'é cobia e la multiplicassion ëd doi nùmer dëscobi a l'é dëscobia.

## Propietà dj'operassion
Consideroma n'operassion  \circ  definìa an sn'ansem E.
A peul esse anteressant ëstudié vàire propietà che l'operassion a peul sodësfé.

### Propietà associativa
As dis che l'operassion  \circ  a l'é *associativa* si
: \forall a,b,c \in E,(a \circ b) \circ c=a \circ (b \circ c).
Ant ës cas-sì, a-i é nen damanca ëd buté le paréntesi cand as fan d'aplicassion sucessive dl'operassion: i podoma bele mach ëscrive
:a \circ b \circ c
dagià che col ch'a sia l'órdin anté che j'operassion a son calcolà, l'arzultà a cambia pa.
L'istess a resta vàlid s'i l'oma pì che un terno d'element.

Na strutura algébrica dotà ëd n'operassion associativa a l'é ciamà semistrop.

### Propietà comutativa
J'element a,b as diso *përmutàbij* si a \circ b=b \circ a.
As dis che l'operassion  \circ  a l'é *comutativa* si
: \forall a,b \in E,a \circ b=b \circ a.

### Element neutral
N'element u \in E a l'é dit *neutral* (o *idèntich*, o *indiferent*) për l'operassion  \circ  si
: \forall a \in E,u \circ a=a \circ u=a.
Si la strutura (E, \circ ) a l'ha n'element neutral, a-i në j'é mach un: an efet, si u e v a fusso tuti doi d'element neutraj, i l'avrìo
:u=u \circ v=v.
Notassion comun-e për andiché l'element neutral an na strutura a son 1 (o 1_E, ciamà *un*) cand l'operassion a l'é denotà ëd fasson multiplicativa  \cdot , opura 0 (o 0_E, ciamà *zero*) si l'operassion a l'é scrivùa ëd fasson aditiva +.

### Element surbent
N'element u \in E a l'é sit *surbent* për l'operassion  \circ  si
: \forall a \in E,u \circ a=a \circ u=u.
Esempi d'element surbent a son 0 për la multiplicassion e  \emptyset  për l'antërsession.

## Propietà ch'a ìmplico vàire operassion
A-i é ëd propietà anteressante ch'a rësguardo vàire operassion considerà ansema.

Ch'as consìdero doe operassion  \circ_1 e  \circ_2 tute doe definìe ansima a E.

### Distributività
As dis che  \circ_1 a l'é *distributiva* rëspet a  \circ_2 si, për tuti j'a,b,c \in E,
:a \circ_1(b \circ_2c)=(a \circ_1b) \circ_2(a \circ_1c)
e
:(a \circ_2b) \circ_1c=(a \circ_1c) \circ_2(b \circ_1c).

## Morfism
Consideroma n'operassion  \circ_1 ansima a n'ansem A_1 e n'operassion  \circ_2 ansima a n'ansem A_2.
Na fonsion  \mu :A_1 \to A_2 a l'é dita *morfism* ëd le struture (A_1, \circ_1),(A_2, \circ_2) s'a l'é compatìbil con j'operassion, visadì
: \forall a,b \in A_1, \mu (a \circ_1b)= \mu (a) \circ_2 \mu (b).

### Esempi
* La fonsion
:: \mu : \mathbb N \to \mathbb N , \mu (x)=2x
:a l'é 'n morfism antra le struture ( \mathbb N ,+) e ( \mathbb N ,+), ma nen antra le struture ( \mathbb N , \cdot ) e ( \mathbb N , \cdot ).
* La fonsion esponensial
::x \mapsto e^x
:a l'é un morfism antra le struture ( \mathbb R ,+) e ( \mathbb R ,\cdot).

### Chèich propietà dij morfism
Ch'as consìdera un morfism  \mu :A_1 \to A_2 antra le struture (A_1, \circ_1),(A_2, \circ_2).
* La plancia  \mu (A_1) \subseteq A_2 a l'é 'n sot-ansem ëstàbil d'A_2.
* Si x,y a son element përmutàbij d'A_1, antlora μ(x),μ(y) a son element përmutàbij d'A_2.
* Si u a l'é element neutral d'A_1, antlora μ(u) a l'é element neutral d'A_2.

Categorìa:Àlgebra