Ansem

As ciama **ansem** na colession o cujìa d'oget, o *element*.

Për denoté che n'oget a a l'é element ëd n'ansem A a së scriv
:a \in A.
Si nopà a a l'é nen n'element d'A, i scrivoma
:a \notin A.
An costa concession antuitiva, n'ansem a l'é definì da j'element ch'a lo compon-o; sòn a veul dì che si A e B a son d'ansem con ij midem element, antlora A=B.

Antra tuti j'ansem a-i në j'é un sensa element: a l'é ciamà *ansem veuid* e denotà  \emptyset .

## Arpresentassion dj'ansem
Na manera për arpresenté n'ansem a l'é cola ëd buté antra paréntesi grafe na lista dij sò element: për esempi,
:A={0,1,2,3}.
Costa a l'é 'dcò dita *arpresentassion tabular* ëd l'ansem.

N'ansem {a} formà da n'element sol as dis ëdcò *singolèt*; n'ansem {a,b} con doi element a l'é ëdcò ciamà *cobia*.

## Sot-ansem
Si A e B a son d'ansem e minca element d'A a l'é ëdcò n'element ëd B, antlora as dis che A a l'é un sot-ansem ëd B (A *a l'é contnù an* B), lòn ch'as denòta
:A \subseteq B.
Si A a l'é nen contnù an B, i podoma scrive
: A \nsubseteq B.
La relassion  \subseteq  as ciama *anclusion*.
A l'ha le propietà sì-dapress:
* riflessività: A \subseteq A;
* transitività: A \subseteq B \wedge B \subseteq C \Rightarrow A \subseteq C;
* anti-simetrìa:A \subseteq B \wedge B \subseteq A \Rightarrow A=B.

### Esempi
*  \emptyset\subseteq A për qualsëssìa ansem A.
*  \{ 1,2,4 \}\subseteq\{ 1,2,3,4 \} ; \{ 1 \}\subseteq\{ 1,2 \} .
* L'ansem dij nùmer naturaj cobi a l'é 'n sot-ansem ëd l'ansem dij nùmer naturaj.

## Operassion antra ansem
Fissà j'ansem A e B, as peulo fabriché an manera natural d'àutri ansem:
* L'union A \cup B d**A'' e ''B''.
* L'[[antërsession]] <math>A \cap B</math> d'A e B.
* Ël [[prodot cartesian]] <math>A \times B</math> d**A* e *B*.
* As ciama *diferensa* d'A e B, denotà A-B (o <math>A \setminus B</math>) l'ansem ëd coj element ch'a aparten-o a A ma pa a B. Si, an particolar, <math>B \subseteq A</math>, l'ansem A-B a l'é ëdcò dit *complementar* ëd B andrinta a A.

=== Esempi ===
Fissoma A={4,5,6,7},B={2,3,4,7}.
Antlora:
* <math>A \cup B= \{ 2,3,4,5,6,7 \} </math>,
* <math>A \cap B= \{ 4,7 \} </math>,
* A-B={5,6},
* B-A={2,3}.

=== Propietà ===
Antra le propietà dj'operassion antra ansem a-i son cole sì-dapress:
* <math>A \cup B=B \cup A</math>, <math>A \cap B=B \cap A</math>,
* <math>(A \cup B) \cup C=A \cup (B \cup C)</math>, <math>(A \cap B) \cap C=A \cap (B \cap C)</math>,
* <math>A \subseteq A \cup B</math>, <math>B \subseteq A \cup B</math>,
* <math>A \cap B \subseteq A</math>, <math>A \cap B \subseteq B</math>,
* <math>A \cup B=A \Leftrightarrow B \subseteq A</math>,
* <math>A \cap B=A \Leftrightarrow A \subseteq B</math>,
* <math>A \cup A=A</math> ,<math>A \cap A=A</math>,
* <math>A \cup\emptyset =A</math>, <math>A \cap\emptyset = \emptyset </math>,
* <math>A- \emptyset =A</math>, <math>A-A= \emptyset </math>.
A gropé le doe operassion d'union e d'antërsession a-i son le *propietà distributive'':
* A \cup (B \cap C)=(A \cup B) \cap (A \cup C),
* A \cap (B \cup C)=(A \cap B) \cup (A \cap C).
Për esempi, për dimostré costa deriera ugualiansa, ch'as nòta dnans a tut che:
:A \cap B \subseteq A,A \cap C \subseteq A,
:A \cap B \subseteq B\cup C,A\cap C\subseteq B\cup C,
e donca
:(A \cap B) \cup (A \cap C) \subseteq A \cap (B \cup C).
Për l'àutra diression, ch'as consìdera un qualsëssìa x \in A \cap (B \cup C).
Antlora x \in A e o bin  x\in B opura x \in C.
Ant ël prim cas, x \in A \cap B, ant ël second, x \in A \cap C.
Comsëssìa, x \in (A \cap B) \cup (A \cap C).

Categorìa:Teorìa dj'ansem