Strop

Jë **strop** a son n'esempi dë strutura algébrica.
As trata d'un-a dle nossion pì amportante ant la matemàtica, dzortut ant l'àlgebra, e a l'é motobin rica d'aplicassion, për esempi ant la fìsica e ant la chìmica.

Ël nòm a ven dal fransèis *groupe*: a l'é 'l nòm dovrà da Galois, che dël 1832 a l'é ancorzusse dl'amportansa dë studié ëd fasson sistemàtica la strutura general dle përmutassion dle rèis dj'equassion polinomiaj.
Na definission formal astrata dë strop a l'é stàita smonùa dël 1854 da Arthur Cayley; na codificassion dla teorìa djë strop as treuva ant ël *Traité des substitutions* ëd Camille Jordan dël 1870.

## Definission
La definission dë strop astrat a ven da E.H. Moore.
Në *strop* a l'é un monòid G=(G,\cdot ) anté che minca element a l'ha n'anvers, visadì a l'é n'ansem nen veuid G con n'operassion binaria \cdot  ch'a l'ha coste proprietà:
*l'operassion a l'é associativa: (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c);
*a-i é n**element nèutr'', visadì n'element <math>1_G\in G</math> con la proprietà che <math>1_G \cdot a = a \cdot 1_G=a </math> për minca element <math>a\in G</math>;
*për minca element <math>a</math> an <math>G</math> a-i é n**anvers*, visadì n'element ëd <math>G</math>, denotà <math>a^{-1}</math>, con la proprietà che <math>a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a =1_G</math>.
S'a-i é gnun privo ëd confondse, soens ël sign dl'operassion <math> \cdot </math> a l'é sotantendù e a së scriv mach ab pitòst che <math>a \cdot b</math>.

Dj'element a,b a son ciamà *përmutàbij* cand ab=ba.
Se an në strop G a-i val la proprietà che <math>a \cdot b=b \cdot a</math> për tuti j'<math>a,b \in G</math>, G as dis *strop comutativ* o *abelian*.
Soens jë strop abelian a së scrivo an notassion aditiva (e a son ciamà *mòdoj*).

Në strop a peul avèj na quantità finìa o infinìa d'element.
Ël nùmer d'element ëd në strop finì a l'é ciamà *órdin* ëd lë strop.

== Esempi ==
<math>( \mathbb Z ,+)</math>, <math>( \mathbb Q ,+)</math>, <math>( \mathbb R ,+)</math>, <math>( \mathbb Q \setminus\{ 0 \}, \cdot )</math>,<math>( \mathbb R \setminus \{ 0 \} , \cdot )</math>, <math>( \mathcal P (I), \triangle )</math>, <math>( \mathbb Z [X],+)</math> a son dë strop abelian.

<math>(GL (n, \mathbb R ), \cdot )</math> a l'é në strop, nen abelian si n>1.
Lë strop ëd përmutassion su n'ansem con pì che n'element a l'é nen abelian.

N'esempi amportant dë strop a l'é l'ansem dle [[simetrìe]] ëd na figura geométrica, con l'operassion ëd composission.

D'àutri esempi anteressant dë strop as ancontro an ëstudiand la strutura dij [[cristal|cristaj]].
Ant un cristal, j'[[àtom]] ch'a lo formo a son piassà an configurassion regolar, le reitin-e cristalin-e, ch'as arpeto ëd fasson periòdica ant lë [[spassi]]: le simetrìe ëd na reitin-a cristalin-a a formo në strop, lë *strop cristalogràfich* ëd la reitin-a.<br />
La classificassion djë strop cristalogràfich a përmet d'oten-e na classificassion sempia e coerenta dla gran quantità dij cristaj ch'a-i son an [[natura]].

== Prime conseguense dla definission ==
Da la definission dë strop a-i ven-o vàire proprietà elementar.

*'Proprieta.** An në strop minca element a l'ha mach n'anvers.<br />
''Dimostrassion.'' Si a e b a son tuti doi anvers ëd c, a-i ven che a=a(cb)=(ac)b=b.

J'[[assiòma]] ëd definission ëd në strop smonù dëdzora a son nen ij pì conòmich possìbij.

**Proprietà.** Na strutura algébrica G dotà ëd n'operassion assossiativa a l'é në strop s'a l'ha n'element nèutr u a snistra e minca <math>a \in G</math> a l'ha n'anvers a snistra a' rëspet a u.
L'istess për le proprietà a drita.<br />
''Dimostrassion''. Da a'a=u a-i ven a'au=a'a.
Da sì, <math>a''a'au=a''a'a</math>, dont uau=ua e au=u, ch'a veul dì che u a l'é element nèutr ëdcò a drita.
Apress, a'aa'=ua'=a' e <math>a''a'aa'=a''a'=u</math>, visadì aa'=u e a' a l'é ëdcò anvers d'a a drita.

**Proprietà.** <math>(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}</math>.<br />
''Dimostrassion.'' <math>xyy^{-1}x^{-1}=1_G=y^{-1}x^{-1}xy</math>.

Ant jë strop a valo le proprietà dë scancelassion.

**Proprietà.** <math>ca=cb \Rightarrow a=b</math>.
L'istess për la scancelassion a drita.<br />
''Dimostrassion.'' <math>ca=cb \Rightarrow c^{-1}ca=c^{-1}cb \Rightarrow a=b</math>.

An dzorpì, an në strop j'equassion linear ax=b e ya=b a l'han tavòta n'ùnica solussion: <math>x=a^{-1}b</math> e <math>y=ba^{-1}</math>.
Da sòn a-i ven la proprietà sì da press.

**Proprietà.** Fissà <math>a \in G</math>, le [[traslassion]] snistra <math> \sigma_a(x)=ax</math> e drita <math> \tau_a(x)=xa</math> a son ëd bijession <math>G \to G</math>.

=== Potense ===
Pijà n'element a an në strop G as peulo definisse soe potense [[nùmer antregh|antreghe]] pr'[[andussion]]:
:<math>a^0=1_G</math>,
:<math>a^{n+1}=a^na</math>,
:<math>a^{-n}=(a^n)^{-1}</math>.
A-i na ven antlora, sempe për andussion, che
:<math>a^ma^n=a^{m+n}</math>,
:<math>(a^m)^n=a^{mn}</math>.
Donca, doe potense d'un midem element a son sempe përmutàbij: <math>a^ma^n=a^na^m</math>.

== Morfism ==
Un ''morfism'' o ''omomorfism'' antra jë strop G e G' a l'é na [[fonsion]] <math> \varphi :G \to G'</math> tal che <math> \forall g,h \in G, \ \varphi (gh)= \varphi (g) \varphi (h)</math>.<br />
Si <math> \varphi </math> a l'é surietiv, as ciama ëdcò ''epimorfism''; s'a l'é inietiv as ciama ëdcò ''monomorfism''; cand <math> \varphi </math> a l'é na bijession, antlora a l'é n'[[isomorfism]] e G e G' as diso isomòrfich e sòn as peul ëscrivse <math>G \simeq G'</math>.
N'isomorfism <math>G \to G</math> antra në strop G e chiel-midem a l'é ëdcò ciamà ''automorfism'' ëd G.

**Proprietà.** Si <math> \varphi :G \to G'</math> a l'é 'n morfism, <math> \varphi (1_G)=1_{G'}, \varphi (a^{-1})=[ \varphi (a)]^{-1}</math>.<br />
''Dimostrassion.'' <math> \varphi (1_G)= \varphi (1_G1_G)= \varphi (1_G) \varphi (1_G)</math>, dont <math> \varphi (1_G)=1_{G'}</math>, pr'ëscancelassion.<br />
<math> \varphi (a^{-1}) \varphi (a)= \varphi (a^{-1}a)=1_{G'}= \varphi (aa^{-1})= \varphi (a) \varphi (a^{-1})</math>.

**Proprietà.** Si <math> \varphi :G \to G'</math> a l'é n' epimorfism e G a l'é abelian, antlora ëdcò G' a-l l'é.<br />
''Dimostrassion.'' <math> \varphi (a) \varphi (b)= \varphi (ab)= \varphi (ba)= \varphi (b) \varphi (a)</math>.

=== Automorfism anterior ===
Fissoma n'element a ant lë strop G; consideroma la fonsion <math> \mu_a:G \to G</math> definìa da <math> \mu_a(x)=a^{-1}xa</math>.
As trata ëd n'automorfism ëd G, dit ''automorfism anterior'' generà da l'element a.
J'automorfism anterior ëd në strop G a formo a soa vira në strop, ciamà lë ''strop anterior'' ëd G.<br />
Si G a l'é në strop abelian, antlora sò strop anterior a l'ha mach l'element identità, e viceversa.

== Sot-ëstrop ==
Si <math>H \subseteq G</math> e H a l'é ancor në strop rëspet a la restrission dl'operassion ëd G, antlora H as dis ''sot-ëstrop'' ëd G.<br />
Për vëdde si un sot-ansem nen veuid <math>H \subseteq G</math> a l'é 'n sot-ëstrop ëd G, a basta verifiché che <math>hk^{-1} \in H</math> për minca <math>h,k \in H</math>.
An efet, sota se [[ipòtesi]], <math>1_G=hh^{-1} \in G</math> e <math>k^{-1}=1_Gk^{-1} \in G</math> për minca <math>k \in H</math>.

Për esempi, <math>n \mathbb Z = \{ nz \mid z \in \mathbb Z \} </math> a l'é 'n sot-ëstrop ëd <math> \mathbb Z </math>.<br />
Dàita na famija nen veuida <math> \mathcal F </math> ëd sot-ëstrop ëd G, l'antërsession ëd la famija a l'é 'n sot-ëstrop ëd G.<br />
N'àutr esempi ëd sot-ëstrop ëd në strop G a l'é 'l ''normalisant'' d'un sot-ansem <math>A \subseteq G</math>, visadì <math>N_A= \{ x \in G \mid \forall a \in A \ \exists b \in A, \ xa=bx \} </math>.

Për <math>A \subseteq G</math> as definiss ëdcò ël sot-ëstrop ëd G generà da A, visadì ël pì cit sot-ëstrop ëd G ch'a conten A 'me sot-ansem.<br />
Në strop ës dis ''sìclich'' s'a l'é generà da n'ùnich element.
N'esempi a l'é <math> \mathbb Z </math>.

Si <math> \varphi :G \to G'</math> a l'é 'n morfism, <math>ker( \varphi )= \{ g \in G \mid \varphi (g)=1_{G'} \} </math> a l'é 'n sot-ëstrop ëd G, ciamà la ''nos'' ëd <math> \varphi </math>, e <math> \varphi (G)</math> a l'é 'n sot-ëstrop ëd G'.
Pì an general, si H a l'é 'n sot-ëstrop ëd G e H' a l'é un sot-ëstrop ëd G', antlora <math> \varphi (H)</math> a l'é un sot-ëstrop ëd G' e <math> \varphi^{-1}(H')</math> a l'é un sot-ëstrop ëd G.

== Sot-ëstrop normaj ==
Si H a l'é un sot-ëstrop ëd G con la proprietà che <math> \forall g \in G, \ g^{-1}Hg=H</math>, antlora H as dis ''sot-ëstrop normal'' ëd G.
Për esempi, tuti ij sot-ëstrop ëd në strop abelian a son normaj.

Ij sot-ëstrop normaj ëd G a son tuti e soj coj sot-ëstrop ch'a son nos ëd chèich morfism ch'a l'han G 'me domini.<br />
Esempi ëd sot-ëstrop normaj a son ël sènter <math> \{ x \in G \mid \forall a \in G , \ ax=xa \} </math> e ël derivà (visadi ël sot-ëstrop generà da l'ansem ëd tuti ij comutator <math>[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy</math>).

**Proprietà.** Si H e K a son sot-ëstrop ëd G e H a l'é normal, antlora ël sot-ëstrop <math>H \vee K</math> generà da <math>H \cup K</math> a l'é HK.<br />
''Dimostrassion.'' Dagià che <math>H \cup K \subseteq HK \subseteq H \vee K</math> a basta fé vëdde che HK a l'é 'n sot-ëstrop.
Pijà <math>h,l \in H,k,m \in K</math>, <math>hk(lm)^{-1}=hkm^{-1}l^{-1}=hp^{-1}km^{-1}</math> për chèich <math>p \in H</math>, donca <math>hk(lm)^{-1} \in HK</math>.

**Proprietà.** Si H a l'é 'n sot-ëstrop normal ëd G e <math> \varphi :G \to G'</math> a l'é n'epimorfism, antlora f(H) a l'é 'n sot-ëstrop normal ëd G'.<br />
''Dimostrassion.'' Si <math>h \in H,y \in G'</math>, ch'as pija <math>x \in \varphi^{-1}(y)</math>.
Antlora <math>y^{-1} \varphi (h)y= \varphi (x^{-1}hx)= \varphi (h')</math>, për chèich <math>h' \in H</math>, donca <math>y^{-1} \varphi (h)y \in \varphi (H)</math>.

**Proprietà.** Si <math> \varphi :G \to G'</math> a l'é 'n morfism e H' a l'é 'n sot-ëstrop normal ëd G', <math> \varphi^{-1}(H')</math> a l'é 'n sot-ëstrop normal ëd G.<br />
''Dimostrassion.'' Pijà <math>x \in G,h \in \varphi^{-1}(H')</math>, as oten che <math> \varphi (x^{-1}hx)= \varphi (x^{-1}) \varphi (h) \varphi (x) \in H'</math>.

== Strop sempi ==
Si G a l'ha mach <math> \{ 1_G \} </math> e G midem 'me sot-ëstrop normaj, antlora G as dis ''sempi''.<br />
Për esempi, jë strop sempi con un [[nùmer dëscobi]] d'element a son pròpe jë strop ëd [[rotassion]] ëd [[polìgon]] regolar con un [[nùmer prim]] ëd bande.
Në strop alternà su n litre a l'é sempi, gavà ël cas n=4.

== Strop cossient ==
Si H a l'é 'n sot-ëstrop normal ëd G, as peul definisse lë ''strop cossient'' G/H, dont j'element a son ij lateraj gH, për <math>g \in G</math>, e l'operassion a l'é definìa 'me fHgH=fgH.
La projession canonica <math>g \mapsto gH</math> a l'é n'epimorfism <math>G \to G/H</math>.

N'esempi dë strop cossient a l'é l'ansem dle class ëd resta mòdol n: <math> \mathbb Z_n= \mathbb Z /n \mathbb Z </math>.
As trata ëd në strop sìclich.
An efet minca strop sìclich infinì a l'é isomòrfich a <math> \mathbb Z </math> e minca strop sìclich finì a l'é isomòrfich a chèich <math> \mathbb Z_n</math>.

**Proprietà.** Si H e K a son sot-ëstrop normaj ëd G e <math>H \subseteq K</math>, antlora <math>G/K \simeq (G/H)/(K/H)</math>.

**Proprietà.** Si H e K a son sot-ëstrop ëd G, con K normal, a ven che <math>H/(H \cap K) \simeq HK/K.</math>

**Teorema fondamental djë strop.*' Si <math> \varphi :G \to G'</math> a l'é 'n morfism dë strop, <math>G/ker \varphi \simeq \varphi (G)</math>.

== Strop arzolùbij ==
Në strop G as ciama *arzolùbil'' s'a-i son dij sot-ëstrop  \{ 1_G \} =N_0 \subseteq N_1 \subseteq \ldots \subseteq N_{r-1} \subseteq N_r=G, anté che minca N_{i-1} a l'é normal an N_i e N_i/N_{i-1} a l'é abelian.

Categorìa:Àlgebra