Teorema dla fonsion duverta

Ël **teorema dla fonsion duverta** a l'é dovù a Banach.
A fortiss che si *E* e *F* a son dë spassi ëd Banach e *T* a l'é n'operador linear continuo e surietiv da *E* a *F*, antlora a-i é na costanta c>0 tal che la sfera ëd sènter 0 e raj *c* an *F* a l'é contnùa ant la plancia scond *T* dla sfera ëd sènter 0 e raj 1 d**E''.

Ës [[teorema]] a ìmplica che ''T'' a manda [[ansem]] duvert d' ''E'' an ansem duvert d**F*, dont sò nòm.
An efet, ch'as consìdera un sot-ansem duvert *U* d*'E* nen veuid e ch'as pija un pont <math>y_0 \in T(U)</math>.
Donca <math>y_0=T(x_0)</math> për chèich <math>x_0 \in U</math>.
Antlora a esist r>0 tal che, denotà <math> \mathcal B_r(x_0)</math> la sfera ëd sènter <math>x_0</math> e raj *r*, un a l'ha <math> \mathcal B_r(x_0) \subseteq U</math>, visadì <math>x_0+ \mathcal B_r(0)\subseteq U</math>.
Antlora <math>y_0+T( \mathcal B_r(0)) \subseteq T(U)</math>.
Për l'[[ipòtesi]], <math> \mathcal B_{rc}(0) \subseteq T( \mathcal B_r(0))</math>, dont <math> \mathcal B_{rc}(y_0) \subseteq T(U)</math> e T(U) a arzulta esse duvert.

== Un corolari ==
Ch'as consìdero jë spassi ëd Banach *E* e *F* e n'operador linear continuo e bijetiv <math>T:E \to F</math>.
Antlora <math>T^{-1}:F \to E</math> a l'é continuo.

*Dimostrassion.* Dal teorema, un a sa che për tuti j'<math>x \in E</math> taj che <math>||T(x)||<c</math> un a l'ha <math>||x||<1</math>.
Për omogenità,
:<math> \forall x \in E,||x|| \leq \frac 1c ||T(x)||</math>,
donca <math>T^{-1}</math> a l'é continuo.

=== N'aplicassion ===
Ch'as consìdera në [[spassi vetorial]] *E* dotà 'd norme <math>||x||_1</math> e <math>||x||_2</math> taj che *E* a sia në spassi ëd Banach rëspet a tute doe se norme.
Butoma, an dzorpì, che
:<math> \exists C \geq 0, \forall x \in E,||x||_2 \leq C||x||_1</math>.
Antlora
:<math> \exists c>0, \forall x \in E,||x||_1 \leq c||x||_2</math>,
visadì le doe norme a son equivalente.

A basta an efet apliché ël corolari a jë spassi ëd Banach <math>(E,|| \ ||_1),(E,|| \ ||_2)</math> e a la fonsion identità.

== La dimostrassion dël teorema ==
A conven fé la [[dimostrassion]] an toi tòch:

1. Si <math>T:E \to F</math> a l'é n'operador linear e surietiv, antlora
:<math> \exists c>0, \mathcal B_{2c}(0) \subseteq \overline{T( \mathcal B_1(0))} </math>

2. Si <math>T:E \to F</math> a l'é n'operador linear continuo ch'a sodisfa sa dariera relassion, antlora
:<math> \mathcal B_c(0) \subseteq T( \mathcal B_1(0))</math>.

=== Dimostrassion dla prima part ===
Për tut *n* [[nùmer natural|natural]] positiv, ch'as buta
:X_n=n \overline{T( \mathcal B_1(0))} </math>.
Dagià che *T* a l'é surietiv, a-i na ven che
:<math>F= \bigcup_{n=1}^{ \infty }X_n</math>
e dal [[teorema ëd categorìa ëd Baire]] as treuva <math>n_0</math> tal che
:<math>Int( \overline{T( \mathcal B_1(0))} ) \neq\emptyset </math>.
Ch'as pijo antlora <math>c>0,y_0 \in F</math> taj che
:<math> \mathcal B_{4c}(y_0) \subseteq \overline{T( \mathcal B_1(0))} </math>.
An particolar, <math>y_0 \in \overline{T( \mathcal B_1(0))}</math> e, për [[simetrìa]], ëdcò <math>-y_0 \in \overline{T ( \mathcal B_1(0))} </math>.
An [[somand]] e tnisend da ment che <math> \overline{T( \mathcal B_1(0))} </math> a l'é [[bombadura|bombà]], un a oten
:<math> \mathcal B_{4c}(0) \subseteq \overline{T( \mathcal B_1(0))} + \overline{T( \mathcal B_1(0))} =2 \overline{T( \mathcal B_1(0))} </math>,
dont la [[tesi]].

=== Dimostrassion dla sconda part ===
Ch'as fissa <math>y \in F</math> con <math>||y||<c</math>, con ël but ëd trové <math>x \in E</math> tal che <math>||x||<1</math> e T(x)=y.<br />
Da la condission admetùa, un a l'ha che
:<math> \forall\varepsilon >0, \exists z \in E,||z||< \frac 12 \wedge ||y-T(z)||< \varepsilon </math>.
An sernend <math> \varepsilon = \frac c2 </math> un a treuva <math>z_0 \in E</math> tal che
:<math>||z_0||< \frac 12 </math> e <math>||y-T(z_0)||< \frac c2 </math>.
An aplicand l'istess rasonament con <math>y-T(z_0)</math> al pòst d*'y* e con <math> \varepsilon = \frac c4 </math>, as treuva <math>z_1 \in E</math> tal che
:<math>||z_1||< \frac 14 </math> e <math>||y-T(z_0)-T(z_1)||< \frac c4 </math>.
An seghitand përparèj, un a fàbrica na [[sequensa]] <math>z_n</math> tal che
:<math> \forall n \in \mathbb N ,||z_n||< \frac 1{2^{n+1}} </math> e <math>||y-T( \sum_{i=0}^nz_i)||< \frac c{2^{n+1}} </math>.
Donca la sequensa <math>x_n= \sum_{i=0}^nz_i</math> a l'é ëd [[criteri ëd Cauchy|Cauchy]].
Ch'as denòta con *x* sò [[lìmit]].
Antlora <math>||x||<1</math> e y=T(x) përchè *T'' a l'é continuo.

Teoremadlafonsionduverta