Spassi vetorial topològich

An matemàtica, në **spassi vetorial topològich** (o ëdcò **spassi topològich linear**) a l'é në spassi anté ch'a son definìe sia na strutura topològica che na strutura dë spassi vetorial, an manera da esse compatìbij antra 'd lor, visadì che j'operassion a sio continue. Jë spassi vetoriaj topològich a son d'oget motobin ëstudià ant l'anàlisi fonsional. L'arserca ansima a jë spassi vetoriaj topològich a l'é stàita anandià da Stefan Banach ant j'agn '30, tanme generalisassion pròpe djë spassi ëd Banach.

## Definission matemàtica
Ch'as denòta  \mathbb{K}  ël camp dij nùmer reaj o compless, con soa topologìa sòlita. Në spassi topològich vetorial  X  ansima a  \mathbb{K} , a l'é në spassi vetorial ansima a  \mathbb{K}  dotà ëd na topologìa  \mathcal{T}  con le proprietà che:
* L'aplicassion  (x,y) \to x+y  a sia continua da  X \times X  an  X .
* L'aplicassion  (k,y) \to k x  a sia continua da  \mathbb{K} \times X  an  X .

An tuti ij doi cas, jë spassi prodòt a son dotà dla topologìa prodòt. Në spassi topològich vetorial a l'é ant ës sens-sì na strutura che nen mach a sodisfa a j'ipòtesi dë spassi vetorial e topològich, ma a garantiss ëdco na compatibilità antra le doe.

## Proprietà
La rason ch'a rend jë spassi vetoriaj topològich n'utiss motobin dovrà an matemàtica, a l'é ch'as trata d'un concet motobin general: vàire spassi dovrà soens a son dë spassi vetoriaj topològich; ant ël midem temp le teorìe matemàtiche ch'as peul fess-ie ansima a son pitòst riche.

### Ansem limità
Un sot-ansem  A  ëd lë spassi vetorial topològich  X  as dis *limità* s'a-i son n'antorn  I  ëd  0 \in X e në scalar  k  \in \mathbb{K}  taj che  k I  a conten  A . La possibilità ëd parlé d'ansem limità, ant n'àmbit astrat parèj, a l'é stait da na mira stòrica un dij fator ch'a l'han contribuì al dësvlup dlë studi djë spassi topològich vetoriaj.

### Doalità
Le nossion ëd doalità a son motobin amportante ant l'àmbit dlë studi djë spassi topològich vetoriaj.

Dàit në spassi topològich vetorial  X , a l'é natural consideré sò spassi doal  X^\star , visadì l'ansem dont j'element a son tute j'aplicassion linear continue  \xi : \mathit{X} \to \mathbb{K} . Ansima a  X  a-i resta antlora definìa na topologìa  \mathcal{T}^\star , tanme la topologìa pì débola ch'a rend continuo tuti j'element d' X^\star . Costa topologìa  \mathcal{T}^\star  a l'é ciamà topologìa débol (dagià ch'a l'é pì débol ëd  \mathcal{T} ). Ël fàit armarchèivol a l'é che l'ansem  X  echipagià dla topologia  \mathcal{T}^\star  a l'é ancor në spassi vetorial topològich.

### Convessità
Jë spassi vetoriaj topològich a son dë struture motobin generaj anté ch'a l'é possìbil traté le nossion ëd convessità. Jë studi an costa diression a l'han ëmnà a definì e analisé jë spassi localman convess.

### Fonsion a valor an në spassi vetorial topològich
La class pì general ëd fonsion për la qual as conòssa na teorìa dl'antëgrassion a l'é la class dj'aplicassion da në spassi mzuràbil a valor an në spassi vetorial topològich. Costa nossion a l'é conossùa tanme antëgral ëd von Neumann.

### Stabilità sota a prodòt
Dàita na famija (finìa o infinìa) dë spassi vetoriaj topològich  X_i , sò prodòt cartesian  \Pi_i X_i  a l'ha na strutura natural sia dë spassi topològich che dë spassi vetorial. Cost prodòt a arzulta ëdcò esse në spassi vetorial topològich.

## Esempi
Lë spassi euclideo  \mathbb{R}^n  a l'é në spassi vetorial topològich, se echipagià dla topologìa euclidea e con la strutura sòlita dë spassi vetorial. Motobin pì an general, tuti jë spassi ëd Banach a son dë spassi vetoriaj topològich (con la topologìa ch'a ven da soa norma). Tutun, a-i son dë struture motobin naturaj an matemàtica ch'a son dë spassi vetoriaj topològich, ma a son pà dë spassi ëd Banach. Për esempi, dàit në spassi ëd Banach  X , i podoma consideré la topologìa débol  \mathcal{T}^\star  ansima a  X . Con costa topologìa,  X  an general a l'é nen në spassi ëd Banach (a fan ecession jë spassi ëd dimension finìa); tutun a resta në spassi vetorial topològich.

Jë spassi L<sup>''p'' </sup> a son dë spassi vetoriaj topològich, për qualsëssìa p con  0 , ma a son dë spassi localman convess mach për  1 \leq p \leq \infty.

Categorìa:Anàlisi matemàtica
Categorìa:Geometrìa