Criteri ëd Cauchy

## Criteri ëd Cauchy për le sequense
Dàita na sequensa  x_n  ant në spassi métrich, as dis che sa sequensa a l'é na **sequensa ëd Cauchy** o ch'a sodisfa 'l **criteri ëd Cauchy** si për minca nùmer real  \varepsilon >0  a-i é 'n nùmer natural N tal che për tuti ij naturaj  p \geq N  e  q \geq N  la distansa an tra  x_p  e  x_q  a l'é pì cita che  \varepsilon .

### Esempi
*Minca sequensa monoton-a e limità ëd nùmer rassionaj a l'é na sequensa ëd Cauchy.
Butoma për esempi che a_n a sia nen dechërsenta e limità dëdzora.
Sòn a veul dì che:
: \forall n, a_n \leq a_{n+1},
: \exists M, \forall n, a_n \leq M.
Si a_n a fussa nen ëd Cauchy, a-i sarìa  \varepsilon >0 tal che
: \forall N, \exists n,m,\ n>m>N, a_n-a_m \geq\varepsilon .
An particolar, pijà N=0, i trovoma n_0>m_0>0 taj che a_{n_0}-a_{m_0} \geq\varepsilon .
Pijoma adess N=n_0; i trovoma n_1>m_1>n_0 taj che a_{n_1}-a_{m_1} \geq\varepsilon .
Andasend anans përparèj, i trovoma na sot-sequensa a_{n_k} tal che a_{n_k}-a_{n_0} \geq k \varepsilon , contra l'ipòtesi ëd limitatëssa.

Për esempi, consideroma la sequensa definìa ëd fasson andutiva da
:x_0=a,
:x_{n+1}=x_n- \frac{x_n^p-b}{px_n^{p-1}} ,
anté che p \geq 2 a l'é 'n natural, b>0 e a>0 a son taj che a^p>b.
Antlora as peul mostresse për andussion che  \forall n, 0, e an efet b \leq x_n^p, e donca la sequensa x_n a l'é ëd Cauchy.
Si  \lim_{n \rightarrow\infty }x_n= \lambda , antlora  \lambda^p=b: an efet  \lambda\neq 0 dagià che da λ=0 a jë vnirìa che  \lim_{n \rightarrow\infty }x_n^p=0, contra x_n^p \geq b>0; e antlora an passand al lìmit ant la relassion arcorenta i l'oma  \lambda = \lambda - \frac{ \lambda^p-b}{p \lambda^{p-1}} .
Tutun, fissà un rassional positiv b, an general a-i é nen un rassional λ tal che  \lambda^p=b.
Donca cost a resta n'esempi ëd na sequensa ëd Cauchy an  \mathbb Q  nen convergenta (an  \mathbb Q ).

*N'àutr esempi ëd sequensa ëd Cauchy ëd rassionaj nen convergenta an  \mathbb Q  a l'é la sequensa chërsenta
:e_n=1+ \frac 1{1!}+ \frac 1{2!}+ \dots + \frac 1{n!}.
Pr'ës-ciairé ch'a l'é limità, as fa vëdde che
: \forall n>3, \frac 52 .
An efet,  \frac 1{n!} \leq \frac 1{2^{n-1}} e donca
: \frac 52 =1+ \frac 1{1!} + \frac 1{2!} 
::=1+ \frac{1-( \frac 12 )^n}{1- \frac 12 } - \frac 1{12} .
S'a fussa  \lim_{n \rightarrow\infty }e_n=l \in \mathbb Q , i l'avrìo  \frac 52 \leq l \leq \frac{35}{12} , d'anté ch'a-i ven che
:l= \frac pq 
con q \geq 2.
Sòn a ìmplica che
: \lim_{n \rightarrow\infty }q!e_n=q!l \in \mathbb N .
Pijà n>q, as treuva che
:q!e_n=(q!+q!+3 \cdot 4 \cdot\dots\cdot q+4 \cdot 5 \cdot\dots\cdot q+ \dots +q+1+R_n,
andoa
:R_n= \frac 1{q+1} + \frac 1{(q+1)(q+2)}+ \dots + \frac 1{(q+1)(q+2) \cdot\dots\cdot n} .
Ma  \frac 1{q+1} \leq R_n \leq \frac 12 , dagià che
:R_n \leq \frac 13 + \frac 1{3^2} + \dots + \frac 1{3^{n-q}} = \frac 13 \frac{1-( \frac 13 )^{n-q}}{1- \frac 13 } 
Donca R_n a peul nen converge a 'n nùmer antregh.

### Criteri ëd Cauchy e convergensa
**Proposission.** Minca sequensa ëd Cauchy an në spassi métrich a l'é limità.

*Dimostrassion.* I soma ch'a-i é n'ìndes N tal che
: \forall n,m>N, d(a_n,a_m).
An particolar,
: \forall n>N,d(a_n,a_{N+1})
e donca a_n a l'é contnù ant la bala ëd sènter a_{N+1} e raj 1.
Sòn a veul dì che la sequensa a l'é limità a la finitiva e donca limità.

**Proposission.** Minca sequensa convergenta an në spassi métrich a l'é na sequensa ëd Cauchy.

*Dimostrassion.* Consideroma na sequensa a_n e butoma che  \lim_{n \rightarrow\infty }a_n=l.
Fissoma  \varepsilon >0.
Donca a-i é n'ìndes N tal che për minca n>N i l'oma d(a_n,l).
Pijà antlora qualsëssìa n,m>N, i l'oma che
:d(a_m,a_n) \leq d(a_m,l)+d(l,a_n) .

**Proposission.** Na sequensa ëd Cauchy ch'a l'abia na sot-sequensa convergenta a l'é convergenta.

*Dimostrassion.* Butoma che
: \lim_{k \rightarrow\infty }a_{n_k}=l
e fissoma ε>0.
I trovoma an corispondensa N,K \in \mathbb N , andoa i podoma fé cont che n_K>N, taj che
: \forall n,m>N, d(a_n,a_m),
: \forall k>K, d(a_{n_k},l).
Antlora, pijà qualsëssìa h>n_K i l'oma
:d(a_h,l) \leq d(a_h,a_{n_{K+1}})+d(a_{n_{K+1}},l).

Nopà, a l'é nen dit che an general na sequensa ëd Cauchy an në spassi métrich a convergia an së spassi.
D'àutra part, na sequensa ëd Cauchy ëd nùmer reaj o compless a convergg (an  \mathbb R  o  \mathbb C , rispetivaman).

Në spassi métrich X a l'é dit *complet* si minca sequensa ëd Cauchy a l'ha 'n lìmit andrinta a X.
Dait në spassi métrich qualsëssìa (X,d), a-i é në spassi métrich complet ( \hat X , \hat d ) tal che (X,d) a l'é 'n sot-ëspassi d'( \hat X, \hat d ) e X a l'é satì an  \hat X .
Cost ëspassi a l'é ùnich a manch ëd n'isometrìa e a l'é ciamà ël *completament* d'(X,d).
A val la propietà che X a l'é separàbil si e mach si  \hat X  a-l l'é.

### Esempi
Consideroma na sequensa a_n e butoma ch'a-i sia un nùmer k, con 0 \forall n,d(a_{n+2},a_{n+1}) \leq kd(a_{n+1},a_n).
Antlora la sequensa a_n a l'é na sequensa ëd Cauchy e, si lë spassi métrich a l'é complet, a convergg.
An efet, da le relassion
:d(a_2,a_1) \leq kd(a_1,a_0),
:d(a_3,a_2) \leq kd(a_2,a_1) \leq k^2d(a_1,a_0)
e via fòrt, i na tiroma che
: \forall n,d(a_{n+1},a_n) \leq k^nd(a_1,a_0).
Donca, fissà un p>0 qualsëssìa,
:d(a_{n+p},a_n) \leq d(a_{n+p},a_{n+p-1})+ \dots +d(a_{n+1},a_n) \leq 
:: \leq (k^{n+p-1}+ \dots +k^n)d(a_1,a_0)=k^n(1+k+ \dots +k^{p-1})d(a_1,a_0)=
::=k^n \frac{1-k^p}{1-k} d(a_1,a_0) \leq \frac{k^n}{1-k} d(a_1,a_0),
quantità che, për n grand ch'a basta, a peul esse rendùa pì cita ëd qualsëssìa  \varepsilon >0.

### Aplicassion a le serie
An aplicand a na serie real o complessa ël criteri ëd Cauchy për le sequense, i otnoma che la serie  \sum_{n=0}^{ \infty }a_n a convergg si e mach si pijà qualsëssìa  \varepsilon >0 a-i é N \in \mathbb N  tal che për minca n>N e minca p a val
:|a_n+a_{n+1}+ \dots +a_{n+p}|.
Tanme corolari a-i na ven che la sequensa dij tèrmin ëd na serie convergenta a l'é infinitésima.
Armarcoma però che a-i é dle serie con tèrmin general infinitésim e nen convergente, tanme la serie armònica.

## Criteri ëd Cauchy për le fonsion
Dàit në spassi topològich X e në spassi métrich E, as dis che na fonsion  f:X \to E  a sodisfa ël **criteri ëd Cauchy** ant n'anviron dël pont  a\in X  si për qualsëssìa real  \varepsilon >0  a-i é n'anviron V d'a tal che, për minca  x,y \in V  la distansa an tra f(x) e f(y) a l'é pì cita che  \varepsilon .

### Criteri ëd convergensa ëd Cauchy
Ch'as consìdero na fonsion f:I \subseteq \mathbb R \to \mathbb R  e un pont x_0 \in \mathbb R , taj che I a conten-a n'anviron forà d'x_0.
Antlora, condission necessaria e suficenta përchè a esista l \in \mathbb R  tal che  \lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=l a l'é che për minca  \varepsilon >0 a-i sia n'anviron forà d'x_0, V \subseteq I, tal che për qualsëssìa x,y \in V a vala la relassion |f(x)-f(y)|.

#### Dimostrassion
Si  \lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=l, antlora fissà ε>0 a-i é n'anviron forà V d'x_0 tal che
: \forall x \in V,|f(x)-l|.
Antlora, pijà x,y \in V, i l'oma
:|f(x)-f(y)| \leq |f(x)-l|+|l-f(y)|.

Për ël convers, ch'as consìdera na sequensa z_n convergenta a x_0, con tuti ij tèrmin diferent da x_0.
Fissà ε>0, denotoma V_{ \varepsilon } l'anviron forà d'x_0 garantì da j'ipòtesi.
A-i é antlora n'ìndes N tal che për minca n>N i l'oma z_n \in V_{ \varepsilon }.
Donca, për minca n,m>N, a val la relassion |f(z_n)-f(z_m)| e la sequensa |f(z_n)| a sodisfa ël criteri ëd Cauchy dle sequense.
Dagià che  \mathbb R  a l'é complet, costa sequensa a l'ha un lìmit, ciamomlo l.
Pijà qualsëssìa sequensa w_n convergenta a x_0 con tuti ij tèrmin diferent da x_0, la sequensa otnùa an mës-ciand z_n e w_n, visadì
:u_{2n}=z_n,
:u_{2n+1}=w_n,
a convergg a x_0 e dagià che f(u_n) a l'é torna na sequensa ëd Cauchy con na sot-sequensa convergenta a l, a-i na ven che
: \lim_{n \rightarrow\infty }f(u_n)=l
e che
: \lim_{n \rightarrow\infty }f(w_n)=l.
Donca,  \lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=l.

Categorìa:Anàlisi matemàtica