Teorema ëd convergensa dël càlcol antëgral

Ij **teorema ëd convergensa dël càlcol antëgral** a son tre teorema (**teorema ëd B. Levi** o dla convergensa monoton-a, **lema ëd Fatou**, **teorema dla convergensa dominà ëd Lebesgue**) ch'a smon-o ëd condission për che ël lìmit ëd na sequensa ëd fonsion antëgràbij a sia antëgràbil.
Mincadun ëd si teorema a l'é consegoensa ëd col ch'a-i ven prima.

An tuti j'enonsià ch'a ven-o sì da press, (X, \Sigma , \mu ) a l'é në spassi dë mzura.

## Teorema ëd B. Levi
Ël teorema ëd Beppo Levi a l'é stàit dimostrà da Beppo Levi an n'artìcol dël 1906.

Si (f_n) a l'é na sequensa ëd fonsion reaj antëgràbij ansima a X con la proprietà che për minca n\in \mathbb N a sia f_n\leq f_{n+1} squasi daspërtut e che \sup_{n\in \mathbb N}\int f_n a sia finì, antlora la fonsion f limit pontoal dla sequensa a l'é antëgràbil e sò antëgral a resta \lim_{n\rightarrow\infty}\int f_n.

### La dimostrassion
Ancaminoma a traté ël cas f_0=0 scasi daspërtut e ch'a sia c= \lim_{n \rightarrow \infty } \int f_n.
Ch'as pija n'ansem co-trascuràbil E anté che f_0=0 e f_n \leq f_{n+1}.

Fissà a>0 e n \in \mathbb N , l'ansem H_n(a)= \{ x \in E \mid f_n(x) \geq a \}  a l'é mzuràbil e H_n(a) \subseteq H_{n+1}(a).
An dzorpì, a \chi_{H_n(a)} \leq f_n ansima a E, anté che  \chi_A a l'é la fonsion caraterìstica dl'ansem A.
Donca
:a \mu [H_n(a)]= \int a \chi_{H_n(a)} \leq \int f_n \leq c.
Ch'as consìdera H(a)= \cup_nH_n(a).
A-i na ven che
: \mu [H(a)]= \lim_{n \rightarrow \infty } \mu [H_n(a)] \leq \frac ca 
e parèj  \mu [H(a)] a l'é finì.
Dagià che
: \mu [ \cap_{k \geq 1}H(k)] \leq \inf_{k \geq 1} \mu [H(k)] \leq \inf_{k \geq 1} \frac ck =0,
l'ansem F=E \setminus \cap_{k \geq 1}H(k) a l'é co-trascuràbil.

Si x \in F, antlora x \notin H(k) për chèich k, visadì x \notin \cup_nH_n(k) e parèj f_n(x) për minca n.
Dagià che la sequensa (f_n(x))_n a l'é nen dechërsenta, f(x)= \lim_{n \rightarrow \infty }f_n(x) \in \mathbb R  e la fonsion f a l'é definìa scasi daspërtut e a l'é mzuràbil.
Për minca  \epsilon >0,  \{ x \in F \mid f(x) \geq \epsilon \} \subseteq H \left(\frac 12 \epsilon \right), donca  \{ x \in F \mid f(x) \geq \epsilon \}  a l'ha mzura finìa.

Adess, pijoma na fonsion sempia g tal che g \leq f scasi daspërtut e foma cont che g a sia limità dëdzora da M.
Armarcoma che H= \{ x \mid g(x) \neq 0 \}  a l'ha mzura finìa.
Fissoma ëdcò  \epsilon >0 e scrivoma G_n= \{ x \in F \mid g(x)-f_n(x) \geq \epsilon \} .
Antlora minca G_n a l'é mzuràbil e G_{n+1} \subseteq G_n; l'antërsession ëd costa sequensa a l'é
: \{ x \in F \mid g(x) \geq \epsilon + \sup_{n \in \mathbb N }f_n(x) \} \subseteq \{x \in F \mid g(x),
ch'a l'é trascuràbil.
D'àutra part  \mu (G_0).
Ëd conseguensa,  \lim_{n \rightarrow \infty } \mu (G_n)=0.
Ch'as pija n tal che  \mu (G_n) \leq \epsilon .
A-i na ven che
:g \leq f_n+M \chi_{g_n}+M \chi_{X \setminus E}+ \epsilon \chi_H
e donca
: \int g \leq \int f_n+M \mu (G_n)+M \mu (H \setminus E)+ \epsilon \mu (H) \leq c+ \epsilon [M+ \mu (H)],
lòn ch'a dà  \int g \leq c.

Da sòn a-i ven che la restrission f|_E\geq 0 a l'é antëgràbil e sò antëgral a l'é pà pì che c.
Da già che f=f|E scasi daspërtut, ëdcò f a l'é antëgràbil, con ël midem antëgral.
D'àutra part, për minca n \in \mathbb N , f \geq f_n scasi daspërtut, e parèj  \int f \geq \sup_{n \in \mathbb N } \int f_n=c.
Sòn a completa la dimostrassion cand f_0=0 scasi daspërtut.

Për ël cas general, ch'as considera la sequensa f'_n=f_n-f_0.

## Lema ëd Fatou
Consideroma na sequensa f_n ëd fonsion reaj antëgràbij dzora X anté che minca f_n a sia squasi daspërtut nen negativa e \liminf_{n \rightarrow\infty }\int f_n.
Antlora la fonsion \liminf_{n \rightarrow\infty }f_n a l'é antëgràbil e \int\liminf_{n \rightarrow\infty }f_n\leq\liminf_{n \rightarrow\infty }\int f_n.

### La dimostrassion
Ch'as pija c= \lim \inf_{n \rightarrow \infty } f_n.
Për minca n \in \mathbb N , ch'as considera n'ansem E_n co-trascuràbil, anté che f'_n=f_n|_{E_n} a sia mzuràbil e nen negativa e ch'a sia g_n= \inf_{m \geq n}f'_m.
Antlora, minca g_n, ansima a l'ansem co-trascuràbil  \cap_{m \geq n}E_m a l'é mzuràbil e nen negativa, e g_n\leq f_n scasi daspërtut; donca g_n a l'é antëgrabil con  \int g_n \leq \inf_{n \geq n} \int f_m \leq c.
D'àutra part,  \forall x \in domg_n, \ g_n(x) \leq g_{n+1}(x), parèj la sequensa g_n a sodisfa le condission dël teorema ëd Beppo Levi; parèj g= \lim_{n \rightarrow \infty }g_n a l'é antëgràbil, con  \int g= \lim_{n \rightarrow \infty } \int g_n \leq c.
Dagià che f'_n=f_n scasi daspërtut, a-i na ven che g= \liminf_{n \rightarrow \infty }f'_n=f scasi daspërtut, e  \int f a esist e a fa  \int g \leq c.

## Teorema ëd Lebesgue dla convergensa dominà
Si f_n a l'é na sequensa ëd fonsion reaj antëgràbij dzora X, si  f(x)= \lim_{n \rightarrow\infty } f_n(x) a esist finì pr'ësquasi tuti j'x\in X e si a-i é na fonsion antëgràbil g con |f_n| \leq g squasi daspërtut për minca n\in \mathbb N , antlora f a l'é na fonsion antëgràbil e \lim_{n \rightarrow\infty } \int f_n a esist e a l'é ugoal a \int f.

### La dimostrassion
Ch'as definissa  \bar f_n=f_n+g.
Dagià che 0 \leq \bar f_n \leq 2g, a-i na ven che c= \liminf_{n \rightarrow \infty } \int \bar f_n \in \mathbb R , e  \bar f = \liminf_{n \rightarrow \infty } \bar f_n a l'é antëgràbil, con  \int \bar f \leq c, për ël lema ëd Fatou.
D'àutra part, f= \bar f -g scasi daspërtut; parèj f a l'é antëgràbil, con
: \int f = \int \bar f - \int g \leq \liminf_{n \rightarrow \infty } \int \bar f_n- \int \bar g= \liminf_{n \rightarrow \infty } \int f_n.
Dl'istessa manera, an pijand la sequensa -f_n, un a oten
: \int (-f) \leq \liminf_{n \rightarrow \infty } \int (-f_n),
lòn ch'a veul dì
: \int f \geq \lim \sup_{n \rightarrow \infty } \int f_n.
Donca  \lim_{n \rightarrow \infty } \int f_n a esist e a fa  \int f.

Categorìa:Anàlisi matemàtica