Camp (matemàtica)

An matemàtica, un **camp** a l'é na strutura algébrica. Pì ëd precis, a l'é n'ansem anté ch'as peulo fesse d'adission, sotrassion, multiplicassion e division (për bon-a part dj'element).

Ij camp pì clàssich a son ël camp dij nùmer rassionaj (denotà \mathbb{Q}), ël camp dij nùmer reaj (denotà \mathbb{R}), ël camp dij nùmer compless (denotà \mathbb{C}) e ël camp \mathbb{F}_p dle class ëd resta mòdul p anté che p a l'é un nùmer prim.

La teorìa dij camp a l'é ciamà da cheidun teorìa ëd Galois; tutun, la teorìa ëd Galois a l'é bin ël métod dë studi ch'as àplica an particolar ai camp, lòn ch'a na forma l'esempi stòrich, ma a së spantia ëdcò a motobin d'àutri setor, dont lë studi dj'equassion diferensiaj (teorìa ëd Galois diferensial), o dj'arvestiment.

## Definission e esempi
### Definission
Un camp a l'é n'ansem *K* dotà ëd doe operassion, denotà soens + e ×, ch'a sodisfo le proprietà sì-da press: 
* (*K*, +) a forma un grop comutativ dont l'element nèutr a l'é denotà 0;
* (*K* - {0}, ×) a forma un grop comutativ (cheidun ant la definission ëd camp a ciama nen che la multiplicassion a sia comutativa; d'àutri, ant ës cas-sì, a parlo ëd còrp);
* la multiplicassion a l'é distributiva rëspet a l'adission, visadì 
: \forall (a,b,c) \in K^3, \quad a\times (b + c) = a \times b + a \times c;

As parla antlora dël camp **(K, +, ×)**.

Ij prim camp ëstudià a son ëstàit j'ansem ëd nùmer (rassionaj, réaj, compless, algébrich).

### Esempi ëd camp
* L'ansem dij nùmer rassionnaj, (\mathbb Q, + ,\times) a l'é un camp.
* L'ansem dij nùmer reaj (\mathbb R, + ,\times) a l'é un camp.
* L'ansem dij nùmer compless (\mathbb C, + ,\times) a l'é un camp.
* An aritmética modular, l'ansema (\mathbb Z/p\mathbb Z, + ,\times) anté che *p* a l'é un nùmer prim a l'é un camp.
* L'ansem ëd tute le fonsion rassionaj reaj a l'é 'n camp, rëspet a j'operassion d'adission e multiplicassion ëd fonsion.

Un *sot-camp* d'un camp K a l'é 'n sot-ansem nen veuid L ëd K, stàbil rëspet a + e \times, tal che L con j'operassion ardità da K a sia ancor un camp.

## Caraterìstica
S'a-i é n'antregh natural n>0 tal che 1 + 1 + \cdots + 1 (con n termo) a l'é zero, as dis che la *caraterìstica* dël camp ël pì cit antegr nen nul ch'a l'ha costa proprietà. S'a-i na i-é gnun, as dis che ël camp a l'é ëd caraterìstica zero (o infinìa).

Ël camp \R a l'ha caraterìstica zero, mentre che ël camp (\mathbb Z/p\mathbb Z) a l'é ëd caraterìstica *p*. As dimostra ch'un camp a l'ha tavòta caraterìstica 0 opura un nùmer prim.

## Camp finì
Costi a son ij camp dont ël nùmer dj'element a l'é finì. Lë studi dij camp finì a l'é rivà tard ant lë studi dij camp. As dimostra che un ant un còrp finì la multiplicassion a l'é tavòta comutativa, e che soa cardinalità a l'é un nùmer prim.

## Camp e anel
L'ansema (\mathbb Z, +, \times) a l'é pà un camp përchè la pì part dj'element ëd \mathbb Z^* a son nen anvertìbij: për esempi, a-i é gnun antegr relativ *n* tal che 2n = 1, donca 2 a l'é nen anvertìbil.

Pì an general, n'ansem *A* dotà ëd doe operassion + e × taj che:
* (A, +) a forma un grop comutativ dont l'element nèutr a l'é denotà 0;
* (A-{0}, ×) a forma un monòid;
* la multiplicassion a l'é distributiva për l'adission (a snistra tanme a drita); 
a l'é n'anel unitari.

Se l'anel a l'é 'n domini d'antegrità, visadì a l'é comutativ e
: \forall (a,b) \in A^2, \quad ab=0 \Rightarrow a=0 \hbox{ opura } b=0, 
l'anel a l'é scasi un camp përchè a-j manca mach pì l'anvertibilità për la multiplicassion. As a dimostra antlora che as a peul mojé l'anel an sò camp dle frassion, che a l'é ël pì cit camp ch'a conten l'anel.

Esempi : \mathbb Q a l'é ël camp dle frassion ëd \mathbb Z.

## Camp e spassi vetoriaj
An ancaminand con ël camp \R, a l'é natural d'anteressesse a  \R^n, l'ansem dj'n-uple ëd reaj. As peulo definisse ëd fasson natural n'adission e na multiplicassion për un real. La strutura definìa parèj (n'adission anterna ch'a dà a l'ansem na strutura ëd grop comutativ e na multiplicassion esterna ch'a l'ha dle proprietà ëd distributività e d'assossiatività) a l'é ciamà spassi vetorial ansima a \R. A ven antlora natural defini lòn ch'a l'é në spassi vetorial ansima a un camp K qualsëssìa.

## Camp e equassion algébriche
Lë studi dij polinòmi a coefissient ant un camp e l'arserca ëd soe rèis a l'ha motobin dësvlupà la nossion ëd camp. Si f a l'é un polinòmi ëd gré *n* ansima a un camp K, l'equassion f(x) = 0 a l'é n'equassion algébrica an K. Se, an dzorpì, f a l'é un polinòmi ireduvìbil, l'equassion as dis ireduvìbil. Cand *n* a l'é ugual o pì grand che doi, trové le solussion ëd n'equassion parèj a ciama ëd butesse ant un camp pì grand che K, visadì n'estension ëd camp.

Për esempi, l'equassion x^2-2 = 0 a l'é ireduvìbil an \mathbb Q ma a l'ha 'd rèis an  \mathbb R o, con pì precision, an \mathbb Q[\sqrt 2]. L'equassion x^2+1 = 0 a l'ha nen ëd solussion an \mathbb R ma a 'n n'ha an \mathbb C o, con pì precision, an \mathbb Q[i].

Ël camp dë s-cianch d'un polinòmi a l'é un camp minimal ch'a conten K e na rèis d**f''. 

Ël [[camp ëd dëscomposission]] ëd ''f'' a l'é ël pì cit camp ch'a conten K parèj che tute le rèis d**f*.

Lë studi dij camp ëd dëscomposission d'un polinòmi e dël [[grop ëd përmutassion]] ëd soe rèis a forma la branca dla matemàtica ch'as ciama la teorìa ëd Galois.

== Camp ordinà ==
Un *'camp ordinà*' a l'é un camp *K* dotà ëd na [[relassion d'órdin]] <math> \leq </math> ch'a sodisfa le condission:
:<math> \forall x,y,z \in K,x \leq y \Rightarrow x+z \leq y+z </math>,
:<math> \forall x,y,z \in K,z \geq 0 \wedge x \leq y \Rightarrow zx \leq zy </math>.
Da sòn a-i ven ëdcò che
:<math>z>0 \wedge x<y \Rightarrow zx<zy</math>.
An dzorpì, për minca element *x*, un a l'ha <math>x^2 \geq 0</math>.
An efet, <math>0^2=0 \geq 0</math> e <math>x^2 \geq x0=0</math> cand x>0; si nopà x<0, antlora 0<-x e donca da x<0 un a oten <math>-x^2<-x0=0</math>, dont <math>0<x^2</math>.<br />
'Me conseguensa, <math>0<1^2=1</math> e, si x>0, ëdcò x+1>0 dagià che 0<1<x+1.

Për tut camp ordinà *K* a-i é, e a l'é ùnica, n'iniession <math> \rho : \mathbb Q \to K</math> ch'a rispeta la strutura, visadì:
*<math> \rho (0)=0, \rho (1)=1</math>,
*<math> \rho (x+y)= \rho (x)+ \rho (y), \rho (xy)= \rho (x) \rho (y)</math>,
*<math>x \leq y \Leftrightarrow\rho (x) \leq\rho (y)</math>.
L'órdin ëd tut camp ordinà a l'é satì e a l'ha ni element mìnim, ni màssim.

=== Esempi ===
Ël camp ëd le fonsion rassionaj reaj a l'é ordinà da la [[relassion binaria|relassion]]
:<math>f \leq g \Leftrightarrow\exists x, \forall y \geq x,f(y) \leq g(y)</math>.
As trata d'un camp nen [[camp archimedien|archimedien]].

== Àutre branche dë studi ==
As artreuva la teorìa dij camp ant lë studi ëd chèiche fonsion tanme le fonsion rassionaj o le [[fonsion elìtiche]].

== Stòria ==
Fin-a al [[sécol ch'a fa XIX]], j'ansem ëd nùmer a smijavo tant naturaj che gnun a l'era preocupasse ëd dèje un nòm, e gnanca ëd defini con precision soa strutura. Tutun, con lë s-ciòde dlë studi dij nùmer algébrich, a son ëspontà ansem ëd nùmer diferent daj rassionaj, ij reaj e ij compless. A l'é vnuje da manca ëd precisè la strutura ëd camp, peui la nossion d'antegr ansima a's camp e, për finì, la nossion d'anel. Coste nossion a son euvra dla scòla alman-a. A l'é sàit [[Richard Dedekind]] che a l'ha definì për la prima vira la strutura ëd camp (*Körper* an [[lenga tedesca|alman]]) e costa a l'é la rason për che soens ij camp a son denotà *K''. 
La strutura ëd camp a rintra an na gerarchìa ch'a comprend ij monòid, ij grop, j'anej, ij còrp e a l'é a l'adoss dla definission dë spassi vetorial, e d'àlgebra.

Camp matemàtica