Relassion d'órdin

Na relassion binaria  \leq  ansima a n'ansem A a l'é dita **relassion d'órdin** (parsial) s'a l'é riflessiva, transitiva e anti-simétrica.
La relassion d'órdin  \leq  ansima a A a l'é ciamà n**órdin total'' si, an dzorpì, a val la propietà che për minca <math>x,y \in A</math>, almanch un-a dle relassion <math>x \leq y</math> o <math>y \leq x</math> a val.
Ant ës cas-si, as dis che l'ansem A a l'é ordinà an manera total, o na ''caden-a''.

Un sot-ansem P ëd n'ansem ordinà (an manera parsial) <math>(A, \leq )</math> a l'é dit n**anti-caden-a* si për minca <math>x,y \in P</math>, si <math>x \leq y</math> antlora x=y.

Si da na relassion d'órdin as gava la diagonal, visadì as definiss
<math>x<y \Leftrightarrow x \leq y \wedge x \neq y</math>,
as oten na relassion < d*'órdin s-ciass*.

===Element ëspeciaj ëd n'órdin===
Ch'as consìdera un sot-ansem X ëd n'órdin parsial <math>(A, \leq )</math> e n'element <math>p \in A</math>.
L'element p a l'é:
*un *minorant* d'X si <math>p \leq x</math> për minca <math>x \in X</math>;
**estrem anferior* d'X s'a l'é ël pì gròss dij minorant, visadì s'a l'é un minorant e, an dzorpì, për minca minorant y d'X a val <math>y \leq x</math>;
**mìnim* d'X s'a l'é n'estrem anferior d'X ch'a aparten a X;
*un *magiorant* d'X si <math>x \leq p</math> për minca <math>x \in X</math>;
**estrem superior* d'X s'a l'é 'l pì cit dij magiorant, visadì s'a l'é un magiorant e, an dzorpì, për minca magiorant y d'X a val <math>x \leq y</math>;
**màssim* d'X s'a l'é n'estrem superior d'X ch'a aparten a X.
Pijà n'element <math>a \in X</math> i disoma che a a l'é:
**minimal* an X si për tut element <math>x \in X</math> tal che <math>x \leq a</math>, i l'oma a=x;
**massimal* an X si për tut element <math>x \in X</math> tal che <math>a \leq x</math>, i l'oma a=x.

L'estrem anferior d'un sot-ansem X as denòta infX; l'estrem superior as denòta supX.<br>
N'órdin parsial anté che për minca <math>a,b</math> a-i son sia inf{a,b} che sup{a,b} a l'é un [[retìcol]].
N'órdin parsial andoa minca caden-a (comprèisa cola veuida) a l'ha n'estrem superior as dis *andutiv*.

==== Esempi ====
*Për minca ansem *A*, l'[[ansem potensa]] <math> \mathcal P (A)</math> sota la relassion d'anclusion a l'é andutiv.
*Dàit doi ansem *A* e *B*, l'ansem dle [[fonsion]] parsiaj, definìe ansima a 'n sot-ansem d*'A* a valor an *B*, sota la relassion d'anclusion, a l'é andutiv.

===Isomorfism===
Ch'as consìdero j'órdin <math>(P, \leq_P)</math> e <math>(Q, \leq_Q)</math>.
N'[[isomorfism]] antra ij doi órdin a l'é qualsëssìa bijession <math>f:P \to Q</math> tal che, për minca <math>x,y \in P</math>,
:<math>x \leq_Py \Leftrightarrow f(x) \leq_Qf(y)</math>.
S'a-i é n'isomorfism antra P e Q, ij doi órdin as diso *isomorf*.

===Operassion an sj'órdin===
A-i son vàire manere për fabriché n'órdin neuv an partend da órdin dàit.

L*'union disgionzùa* o *soma orisontal* ëd doi órdin disgionzù <math>(A, \leq_A),(B, \leq B)</math> a l'é l'órdin <math> \leq </math> definì ansima <math>A \cup B</math> an butand <math>x \leq y</math> si e mach si:
*<math>x,y \in A</math> e <math>x \leq_Ay</math>,
*opura <math>x,y \in B</math> e <math>x \leq_By</math>.

La *soma linear* o *soma vertical* ëd doi órdin disgionzù <math>(A, \leq_A)</math> e <math>(B, \leq_B)</math> a l'é l'órdin <math> \leq </math> ansima a <math>A \cup B</math> definì an butand <math>x \leq y</math> si e mach si:
*<math>x,y \in A</math> e <math>x \leq_Ay</math>,
*opura <math>x,y \in B</math> e <math>x \leq_By</math>,
*opura <math>x \in A,y \in B</math>.

== Órdin totaj ==
=== Ansem satì ===
Un sot-ansem *B* ëd n'órdin total *A* a l'é dit *satì* an *A* si
:<math> \forall x,y \in A, x<y \Rightarrow\exists b\in B,x<b<y</math>.

=== Órdin complet ===
N'órdin total a l'é *complet* si minca sot-ansem nen veuid ch'a l'ha un magiorant a l'ha n'estrem superior.

==== Esempi ====
L'órdin dij [[nùmer rassional|rassionaj]] a l'é nen complet, përchè l'ansem <math> \{ r \in \mathbb Q \mid r^2<2 \} </math> a l'é limità da dzora ma a l'ha gnun estrem superior.

=== Bon órdin ===
Un *bon órdin'' a l'é n'órdin total anté che tut sot-ansem nen veuid a l'ha un mìnim.

Categorìa:Àlgebra