Strutura algébrica

An matemàtica, pì an particolar ant l'àlgebra e ant la teorìa dij modej, na **strutura algébrica** a l'é formà da n'ansem combinà a un-a o vàire operassion (laj ëd composission) e relassion (për esempi n'órdin); chèich vira as gionta ëdcò na topologìa.
Ëd sòlit, as ciama che la strutura a sodisfa na chèica colession d'assiòma.

Cola dë strutura algébrica a l'é un-a dle grande idèje unificatris ëd la matemàtica dël di d'ancheuj.
Le pì conossùe antra le struture algébriche a son cole dij nùmer naturaj, dij nùmer antregh, dij nùmer rassionaj, dij nùmer reaj e dij nùmer compless.

## Struture algébriche pure
Coste struture a compòrto mach ëd laj ëd composission. 

### Struture ëd base
Coste a compòrto mach ëd laj ëd composission anterna. Le pì amportante a son le struture dë strop, d'anel e ëd camp.

#### Stropòid
Le struture algébriche le pì sempie a compòrto mach un-a operassion ëd composission anterna.

##### Esempi
*Un magma (o *stropòid*) a l'é n'ansem con na sola operassion ëd composission anterna. (Ambelessì a venta fé atension, che ël termo stropòid a l'ha n'àutr sens an teorìa dle categorìe.)
*Un parastrop a l'é un magma përmutativ, comutativ e regolar.
*N'antistrop a l'é un magma përmutativ, regolar e anvolutiv a drita.
*Në scasi-strop a l'é un magma simògen.
*Na liassa a l'é në scasi-strop unitari, visadì ch'a l'abia n'element nèutr.
*Un moufang a l'é na liassa nèutr-ativa.
*Un pre-strop o semistrop a l'é un magma assossiativ.
*Un monòid a l'é un pre-strop unitari.
*Në strop a l'é un monòid anvertìbil, visadì anté che minca element a l'ha n'anvers.
*Në strop abelian a l'é në strop comutativ; visadì un parastrop unitari e anvertìbil.

#### Anélid
Coste struture a compòrto doe laj ëd composission anterne.

*N'anel a l'é n'ansem dotà ëd na strutura dë strop (l'operassion ëd composission ch'a l'é ciamà adission) e ëd na strutura ëd magma assossiativ (l'operassion ëd composission corëspondenta a l'é ciamà multiplicassion), e anté che la multiplicassion a l'é distributiva an sl'adission. N'anel a l'é *unitari* (rëspetivaman *antregh*, *comutativ*) si la multiplicassion a l'é unitaria (rëspetivaman antrega, comutativa) e l'ansem a l'ha n'element nèutr për la multiplicassion (ant ël cas contrari, as trata d'un fàuss-anel).
*Un fàuss-anel a l'é n'anel nen unitari.
*Un semianel a la la midema definission dl'anel, mach che a l'ha nen anvers aditiv. L'ansem dotà ëd l'adission a forma donca nen në strop, ma mach un monòid.
*N'anel antregh, o domini d'antëgrità a l'é n'anel nen nul ch'a l'ha nen ëd divisor ëd zero, visadì anté che minca element nen nul a l'é regolar për la multiplicassion.
*N' anel comutativ a l'é n'anel dont la multiplicassion a l'é comutativa.
*Un còrp a l'é n'anel anté che l'element nèutr ëd l'adission a l'é nen col dla multiplicassion e anté che minca element nen nul a l'ha n'anvers multiplicativ.
*Un camp a l'é un còrp comutativ, visadì dont la multiplicassion a l'é comutativa.

### Struture a operator estern
Coste struture a peulo esse considerà da na mira *algébrica* o *geométrica*.

Da na mira algébrica, na *strutura esterna* a l'é n'ansem dotà ëd n'operassion ëd composission esterna ansima a na strutura ëd base, e miraco d'un-a o vàire laj ëd composission anterne. 

Da na mira geométrica, a l'é n'ansem ansima al qual a agiss n'ansem-operator, o ansem d'operator, ciamà ëdcò *scalar*. As agiss donca ëd n'ansem dotà ëd n'assion ëd l'ansem-operator ansima a cost ansem, visadì ëd n'aplicassion ëd l'ansem-operator ant l'ansem dj'aplicassion ëd cost ansem an chiel-midem.

La corëspondensa antra j'assion e le laj esterne a l'é bijetiva; e a l'é për lòn che le laj esterne a son soens ciamà *laj d'assion*.

Për esse rigoros, a ventrìa fe distinsion antra assion a snistra e a drita, e istess antra laj esterne a snistra e a drita. Ant le definission e j'assiòma ch'a ven-o sì da press, as pijëran an considerassion për fela pì curta le laj esterne a snistra.

#### Spassi omogeni
Coste struture a compòrto mach na sola operassion esterna.

* Në spassi omogeni (ansima a un monòid) a l'é n'ansem dotà ëd n'operassion esterna eso-assossiativa e eso-unitaria ansima a un monòid.

#### Modolòid
A l'é na strutura ch'a l'ha sia n'operassion ëd composission anterna che n'operassion ëd composission esterna.

*Në spassi ativ (an sn'ansem), o *strop a operator* (ant n'ansem) a l'é në strop dotà ëd n'operassion esterna ansima a n'ansem d'operator, distributiva rëspet a l'operassion dlë strop.
* Un mòdol (an sn'anel unitari) a l'é në spassi ativ dont l'operassion esterna:
::- a l'é an sn'anel unitari;
::- a l'é, relativaman a l'operassion dlë strop, eso-distributiva rëspet a l'adission ëd l'anel;
::- a forma në spassi omogeni an sl'ansem ëd base ëd l'anel dotà mach ëd soa multiplicassion.
*Në spassi vetorial (ansima a un camp) a l'é un mòdol ansima a un camp. Visadì a l'é në strop abelian dotà ëd n'operassion esterna ansima a un camp, operassion ch'a verìfica le quatr proprietà dë dzora (distributività, eso-distributività, eso-assossiatività e eso-unitarità).
*Në spassi afin (ansima a un camp) a l'é un parastrop dotà ëd n'operassion esterna ansima a un camp comutativ:
:- l'operassion anterna dël parastrop a l'é soens ciamà operassion median-a, përchè ant në spassi afin euclidéo costa operassion a l'é cola che a assòssia a doi pont ël pont ëd mes. An simetrisand costa operassion, as treuva në spassi vetorial, assossià a lë spassi afin;
:- l'operassion esterna dlë spassi afin a verìfica an dzorpì dle proprietà sìmij a cole ëd l'operassion esterna ëd në spassi vetorial.

#### Àlgebra
A l'é na strutura con doe laj ëd composission anterne e n'operassion esterna.

* N'àlgebra (ansima a 'n camp) a l'é un mòdol o në spassi vetorial dotà an dzorpì ëd n'operassion ëd composission anterna bilinear.
* N'àlgebra ansima a n'anel comutativ unitari a combin-a la strutura ëd mòdol e cola d'anel.
* N'àlgebra assossiativa a l'é n'àlgebra dont la multiplicassion a l'é assossiativa.
* N'àlgebra comutativa a l'é n'àlgebra dont la multiplicassion a l'é comutativa.
* N'àlgebra ëd Lie a l'é un tipo particolar d'àlgebra, an general nen assossiativa.
* N'àlgebra ëd Clifford a l'é n'àlgebra assossiativa dotà ëd n'aplicassion linear particolar.

## Struture algébriche ordinà
### Retìcoj
Ansems dotà ëd doe laj anterne, che a peulo ëdcò antërpretesse tanme l'estrem superior e l'estrem anferior dle cobie rëspet a n'órdin parsial.

* Un retìcol a l'é n'ansem dotà ëd doe laj ëd composission anterne comutative, assossiative e idempotente ch'a sodisfo la proprietà ëd surbiment.
* N'àlgebra ëd Boole a l'é un retìcol limità, distributiv e complementà.

## Struture algébriche topològiche
Le struture algébriche a peulo ëdcò avèj dle caraterìstiche topològiche adissionaj. Parèj, an bogiand-se dal general al particolar: 

* Na strutura algébrica a peul esse dotà ëd na topologìa, e a dventa parèj në spassi topològich: 
:* Në strop topològich a l'é në strop dotà ëd na topologìa tal che sia soa operassion ëd composission anterna che l'operassion ch'a assòssia a minca element sò anvers a son continue. 
:* Jë spassi vetoriaj topològich a formo n'àutr cas amportant.
:* Jë strop ëd Lie a na formo n'àutr.
* Pì an particolar, la strutura algébrica a peul esse dotà ëd na distansa, ch'a la fa dventé në spassi métrich.
:* Jë spassi métrich afin a na son l'esempi pì clàssich.
:* Jë spassi vetorial normà a son djë spassi vetoriaj dotà ëd na norma, ch'a definiss la longheur d'un vetor. Jë spassi normà a son djë spassi métrich, përchè a l'é sempe possìbil ëd fé la costrussion ëd na distansa a parte da na norma:
::- ant në spassi vetorial, an pijand tanme distansa antra vetor la norma ëd soa diferensa,
::- ant në spassi afin, dit antlora *spassi afin normà*, an pijand tanme distansa antra doi pont la norma dël vetor ch'a va dal prim al second.
::* Në spassi ëd Banach a l'é në spassi vetorial normà complet.
:* Jë spassi vetoriaj pre-hilbertian, a son djë spassi vetoriaj dotà d'un prodot ëscalar. Chèich cas amportant a l'han arsèivù un nòm: 
::* Në spassi vetorial euclideo a l'é në spassi vetorial ansima a \mathbb{R} ëd dimension finìa, dotà d'un prodot ëscalar dont la forma quadràtica corëspondenta a l'é définìa positiva. Cost ëspassi a l'é në spassi normà: a-i basta për esempi ëd pijé tanme norma dij vetor la rèis quadrà ëd sò quadrà scalar. Costa norma a la diso ëdcò *norma euclidéa* assossià al prodot ëscalar. Lë spassi afin assossià a në spassi vetorial euclideo a dventa në spassi afin euclideo cand cost a l'é dotà dla distansa, ciamà euclidéa, derivà dla norma euclidéa. Cost ëspassi a l'é col dla geometrìa clàssica d'Euclid.
::* Në spassi vetorial hermitian a l'é në *spassi vetorial* ansima a \mathbb{C} ëd dimension finìa, dotà d'un prodot ëscalar dont la forma hermitian-a corëspondenta a l'é definìa positiva. Cost ëspassi a l'é në spassi normà: a-i basta për esempi ëd pijé tanme norma dij vetor la rèis quadrà ëd sò quadrà scalar. Costa norma a la diso ëdcò *norma hermitian-a* assossià al prodot ëscalar.
::* Në spassi ëd Hilbert a l'é në spassi pre-prehilbertian separàbil e complet. A l'é donca në spassi ëd Banach particolar.

## Struture algébriche e categorìe
Tuta strutura algébrica a l'ha soa pròpria nossion d'omomorfism, n'aplicassion compatìbil con soe laj ëd composission. Ant ës sens-sì, tuta strutura algébrica a definiss na categorìa.

Categorìa:Àlgebra
Categorìa:Lògica matemàtica