Teorìa dj'ansem

La **teorìa dj'ansem** a l'é cola branca dla lògica matemàtica anventà da Georg Cantor ch'a studia la nossion d'ansem e d'apartenensa coma fondament për tuta la matemàtica.

Conforma a l'antuission, n'ansem a l'é na colession \{ u\mid P(u)\} d'ogèt ch'a sodisfo chèich proprietà P.
Belavans, cost concèt d'ansem a l'é contraditòri, për via dël paradòss ëd Russell.
Sòn a l'é stàit në spron pr'ësmon-e n'assiomatisassion pì atenta, për podèj fé le vàire operassion ëd costrussion dj'ansem sensa droché an costa - o an d'àutre - contradission.
An dzorpì, tute le teorìe matemàtiche a j'ero giumaj smonùe an forma assiomàtica, dzortut cole ch'a rësguardavo dj'ent neuv.
Dle vàire assiomatisassion possìbij për la teorìa dj'ansem cola pì dovrà as basa an sj'assiòma sì-dapress.
Costi assiòma a son dovù a Zermelo (1908), gavà rampiass e regolarità.
Lë schema ëd rampiass a l'é dovù ëd fasson indipendenta a Fraenkel e a Skolem (1922), l'assiòma ëd regolarità a l'é stàit antrodòt da von Neumann (1925), bele che un prinsipi sìmil a l'era già stàit considerà da Skolem.
J'assiòma a son esprimù ant ël lengage dël prim órdin dla teorìa dj'ansem ch'a l'ha mach \in 'me sìmbol nen lògich.

1. Assiòma d'estensionalità: si X e Y a son d'ansem con j'istess element, antlora X=Y:
: \forall X \forall Y \ ( \forall z \ (z \in X \leftrightarrow z \in Y) \rightarrow X=Y )

2. Assiòma dla cobia: dàit a e b a-i é n'ansem \{ a,b \} dont j'element a son a e b:
: \forall a \forall b \exists z \forall u \ (u \in z \leftrightarrow u=a \vee u=b )

3. Schema d'assiòma ëd separassion: si \varphi(u,p) a l'é na fórmola, dàit un paràmeter p e n'ansem X a-i é n'ansem Y=\{ u\in X \mid \varphi (u,p) \} dont j'element a son tuti j'u\in X ch'a l'han la proprietà \varphi (u,p):
: \forall p \forall X \exists Y \forall u \ (u \in Y \leftrightarrow u \in X \wedge \varphi (u,p))

4. Assiòma dl'union: dàit n'ansem X a-i é n'ansem Y= \bigcup X ch'a l'é l'union ëd tuti j'element d'X:
: \forall X \exists Y \forall u \ (u \in Y \leftrightarrow \exists x \in X \ u \in x)

5. Assiòma dl'ansem potensa: dàit n'ansem X a-i é n'ansem Y= \mathcal P(X) ëd tuti ij sot-ansem d'X:
: \forall X \exists Y\forall u \ (u \in Y \leftrightarrow u \subseteq X)

6. Assiòma dl'infinì: a-i é n'ansem S con la proprietà che \emptyset\in S e minca vira che x\in S ëdcò x\cup\{ x\}\in S.

7. Schema d'assiòma ëd rampiass: si \varphi (x,y,p) a l'é na fórmola ch'a definiss na fonsion F, visadì \varphi (x,y,p)\wedge\varphi (x,y',p)\rightarrow y=y', antlora dàit un paràmeter p e n'ansem X a-i é n'ansem Y=\{ F(x)\mid x\in X\}, plancia d'X sota F.

8. Assiòma ëd regolarità: minca ansem nen veuid a l'ha n'element minimal për la relassion d'apartenensa.

9. Assiòma ëd selession: minca famija d'ansem nen veuid a l'ha na fonsion ëd selession.

J'assiòma da 1 a 8 a formo la teorìa ëd Zermelo-Fraenkel, ZF; an giontand-je l'assiòma ëd selession a s'oten la teorìa ZFC.

J'assiòma a son nen tuti indipendent.
La separassion as peul oten-se dal rampiass an aplicandlo a la fórmola  \varphi (u,p)\wedge y=u.

Costa teorìa sempia e eleganta a përmet ëd dësvlupé dij rasonament ch'a sburdisso s'as pensa a la gròssa conomìa dël lengage.

## Stòria
Bele che ël prim apròcc a j'ansem infinì a smija ch'a sia stàit ëd Bolzano, a l'é Cantor ch'as rend cont ëd l'amportansa dle fonsion bijetive e a smon la nossion ëd cardinalità 'd n'ansem.
Cantor a anandia la teorìa dij nùmer cardinaj e ordinaj e j'anvestigassion dla topologìa dla reta real.
J'arserche ëd Cantor a ancamin-o dël 1874, cand a dmostra che l'ansem dij nùmer reaj a l'é pì che numeràbil, antant che l'ansem dij reaj algébrich a l'é numeràbil.

Da antlora j'arserche an teorìa dj'ansem a l'han ëmnà a na caterva d'arzultà amportant e arvolussionari.
Coma ant la pì part ëd le dissiplin-e, ant ël dësvlup ëstòrich ëd la teorìa dj'ansem a-i son ëstaje djë sbilauciament e dij cangiament ëd but.

Al di d'ancheuj, lë studi dla teorìa dj'ansem a comprend, tra l'àutr, la combinatòria infinìa, le técniche ëd forsament, ij modej anterior, la teorìa descritiva dj'ansem, ij grand cardinaj, lë studi d'assiòma neuv.

### Përsonage amportant ant la stòria dla teorìa dj'ansem
*Bernhard Bolzano (1781-1848)
*Georg Cantor (1845-1918)
*Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925)
*Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953)
*Bertrand Russell (1872-1970)
*Thoralf Albert Skolem (1887-1963)
*Isaac Paul Bernays (1888-1977)
*Adolf Abraham Fraenkel (1891-1965)
*Alfred Tarski (1902-1983)
*John von Neumann (1903-1957)
*Kurt Gödel (1906-1978)
*Paul Joseph Cohen (1934-2007)

## D'àotre assiomatisassion dla teorìa dj'ansem
Da banda ëd ZFC, ëdcò d'àotri sistema assiomàtich a son ëstàit ëstudià për la teorìa dj'ansem.
An tra ij pì amportant a-i é la teorìa ëd Bernays-Gödel.

S'as gava l'assiòma ëd rampiass da la teorìa ëd Zermelo-Fraenkel, as oten la teorìa ëd Zermelo.

Categorìa:Teorìa dj'ansem