Anàlisi fonsional

L**'anàlisi fonsional** a l'é ël setor dla matemàtica, e an particolar dl'anàlisi, ch'a l'ha tanme but lë studi dë spassi ëd fonsion. A fonga soe rèis ëstòriche ant lë studi dle trasformà tanme la trasformà ëd Fourier e ant lë studi dj'equassion diferensiaj e antëgraj. La paròla *fonsional* a ven dal càlcol dle variassion, e as arferiss a na fonsion dont l'argoment a l'é na fonsion. Sò usage an sens motobin general a l'é atribuì a Volterra.

## Spassi vetoriaj normà
Ant la vision moderna, l'anàlisi fonsional a l'é considerà tanme lë studi dë spassi vetoriaj normà complet an sël camp real o compless. Costi spassi a son ciamà spassi ëd Banach. N'esempi amportant a son jë spassi ëd Hilbert anté che la nòrma a ven da 'n prodot antern. Costi spassi a son d'amportansa fondamental ant la formolassion matemàtica dla mecànica quantìstica. Motobin pì an general, l'anàlisi fonsional a comprend lë studi djë spassi ëd Fréchet e d'àutri spassi vetoriaj topològich nen dotà ëd na nòrma.

N'oget dë studi amportant ant l'anàlisi fonsional a son j'operator linear continuo definì su spassi ëd Banach e ëd Hilbert. An sa manera a l'é rivasse ëd fasson natural a la definission ëd C*-àlgebra e d'àutre àlgebre d'operator.

An dzorpì, l'anàlisi fonsional a treuva aplicassion ant lë studi dij métod numérich dovrà për l'arzolussion d'equassion diferensiaj, con l'agiut dl'ordinator. N'esempi ëd costi métod a l'é ël métod ëd Galerkin për aprossimé e arzòlve la formulassion débola dl'equassion diferensial.

### Spassi ëd Banach
Bon-a part dl'anteresse dl'anàlisi fonsional për jë spassi ëd Banach a l'é consentrà ant lë studi dlë spassi doal, visadì lë spassi ëd tuti ij fonsionaj linear continuo.
Në spassi ëd Banach a l'é nen an general isomòrf a sò doal, ma a-i é un monomorfism natural antra lë spassi e sò bi-doal (ël doal dël doal).
Ël concet ëd derivassion as estend a fonsion an tra spassi ëd Banach: la derivà ëd na fonsion ant un pont, s'a-i é, a l'é n'aplicassion linear continua.

### Spassi ëd Hilbert
Minca spassi ëd Hilbert a l'é determinà, a men d'isomorfism, da la cardinalità ëd na base.
Jë spassi ëd dimension finìa a son ëstudià dzortut da l'àlgebra linear.
L'anàlisi fonsional as anteressa dzortut a l'ùnich ëspassi ëd Hilbert ëd dimension  \aleph_0 .
Un dij problema duvert dl'anàlisi fonsional a l'é ëd fé vëdde che minca operator linear continuo ansima a në spassi ëd Hilbert a l'ha un sot-ëspassi invariant pròpe. Vàire cas particolar a son ëstàit dimostrà.

## Prinsipi fondamentaj
L'anàlisi fonsional as basa ansima a chèich arzultà fondamentaj dont a-i ven tuta la teorìa.

*Ël teorema ëd Hahn-Banach. A rësguarda l'estension ëd fonsionaj da 'n sot-ëspassi a lë spassi antregh, an manera da manten-e la nòrma. Mersì a sòn a l'é possìbil dësvlupè 'd na fasson sodisfacenta la teorìa dlë spassi doal ëd në spassi ëd Banach. La dimostrassion dël teorema ëd Hahn-Banach a deuvra l'assiòma ëd selession, ch'a arzulta donca n'assunsion fondamental ant l'anàlisi fonsional.
*Ël teorema ëd categorìa ëd Baire. 
*Ël teorema ëd Banach-Steinhaus, conseguensa dël teorema ëd categorìa ëd Baire.
*Ël teorema dla fonsion duverta.
*Ël teorema dël gràfich sarà, conseguensa dël teorema dl'aplicassion duverta.
*La teorìa dj'operator linear an tra spassi ëd Banach e ëd Hilbert. Costa a l'ha vàire aplicassion ant la teorìa dj'equassion diferensiaj linear e a l'é n'utiss fondamental ant la formolassion matemàtica dla mecànica quantìstica. An particolar an cost àmbit a l'han d'amportansa la teorìa dj'operator compat e ël teorema spetral che a forniss na fórmola antëgral për operator normaj su në spassi ëd Hilbert.

## Considerassion ëd lògica matemàtica
La pì part djë spassi considerà ant l'anàlisi fonsional a l'han dimension infinìa. Për mostré l'esistensa ëd na base për costi spassi as deuvra ël lema ëd Zorn (che a l'é equivalent a l'assiòma ëd selession). Vàire teorema motobin amportant a deuvro ël teorema ëd Hahn-Banach ch'a l'ha da manca dël lema ëd Zorn ant ël cas general ëd në spassi ëd dimension infinìa.

Analisi fonsional