Determinatëssa

La **determinatëssa** a l'é un soget dë studi ant la teorìa descritiva dj'ansem.

Për minca sot-ansem A d' \mathbb N^{ \mathbb N }  as costruiss un gieugh  G_A  giugà da doi giugador **I** e **II** parèj: a l'ancamin **I** a gieuga un nùmer natural  a_0 ; apress **II** a rëspond an giugand un nùmer natural  b_0 ; peui **I** a sern un nùmer natural  a_1 ; ël giugador **II** a sern  b_1  e via fòrt.
Ël gieugh a chita apress ω mòsse.
Si la sequensa  (a_0,b_0,a_1,b_1, \ldots )  a l'é an A, antlora **I** a vagna; dësnò a l'é **II** a vagné.

## Le definission
Pijà  A \subseteq \mathbb N^{ \mathbb N } , ch'as consìdera ël gieugh corëspondent  G_A .

Na *partìa* a l'é qualsëssìa sequensa  (a_0,b_0,a_1,b_1, \ldots ) \in \mathbb N^{ \mathbb N } .
Për minca  n \in \mathbb N^{ \mathbb N } ,  a_n  a l'é la *mòssa nùmer* n dël giugador **I** e  b_n  a l'é la *mòssa nùmer* n dël giugador **II**.

### Stategìe e strategìe ch'a vagno
Na **strategìa** (për **I** o për **II**) a l'é na régola ch'a dis al giugador che mòssa fé, an dipendensa dle mòsse già giugà da tuti doi.
Na strategìa a l'é na **strategia ch'a vagna** s'ël giugador corëspondent, an andasendje dapress, a vagna sempe.

Donca, na strategìa për **I** a l'é na fonsion σ dont ël domini a l'é l'ansem dle sequense ëd nùmer naturaj ëd longheur cobia e ij valor a son dij nùmer naturaj.
Ël giugador **I** a gieuga  (a_0,b_0,a_1,b_1, \ldots )  conforma a la strategìa σ si  a_0= \sigma ( \emptyset ),a_1= \sigma (a_0,b_0),a_2= \sigma (a_0,b_0,a_1,b_1)  e via fòrt.
Parèj, si **I** a gieuga conforma a σ, antlora la partìa a l'é determinà da σ e da la sequensa  b=(b_0,b_1, \ldots )  dle mòsse ëd l'àutr.
Sa partìa as denòta  \sigma *b .
Na strategìa σ për ël giugador **I** a l'é na strategìa ch'a vagna si  \{ \sigma *b \mid b \in \mathbb N^{ \mathbb N } \} \subseteq A , visadì cand tute le partìe che **I** a gieuga conforma a σ a son an A.

Ant l'istessa manera, na strategìa për **II** a l'é na fonsion τ dont ël domini a l'é l'ansem dle sequense ëd naturaj ëd longheur dëscobia e ij valor a son ëd nùmer naturaj.
Assignà  a \in \mathbb N^{ \mathbb N }  e na strategìa τ për **II**, con  a* \tau  as denòta la partìa anté che **I** a gieuga a e **II** a rëspond conforma a τ.
Na strategìa τ për **II** a l'é na strategìa ch'a vagna si  \{ a* \tau \mid a \in \mathbb N^{ \mathbb N } \} \subseteq \mathbb N^{ \mathbb N } \setminus A .

Ëd tansantan as consìdero ëdcò dij gieugh  G_A  anté che le mòsse a son nen ëd nùmer naturaj ma element ëd chèich ansem S.
Na partìa a l'é antlora na sequensa  p \in S^{ \mathbb N }  e l'arzultà dla partìa a dipend se  p \in A  o  p \notin A  (ambelessì A l'é un sot-ansem d' S^{ \mathbb N } ).

## L'assiòma ëd determinatëssa
Ël gieugh  G_A  as dis *determinà* si un dij doi giugador a l'ha na strategìa ch'a vagna.
Un dj'arzultà pi amportant ant la teorìa descritiva dj'ansem a l'é la dimostrassion ëd Martin che G_A a l'é determinà për minca sot-ansem borelian d' \mathbb N^{ \mathbb N }.
Ës teorema a l'é dël 1975; dël 1985, Martin a l'ha publicà na dimostrassion simplificà.

L**'assiòma ëd determinatëssa** (AD, proponù da Mycielski e Steinhaus dël 1962) a fortiss che për qualsëssìa  A \subseteq \mathbb N^{ \mathbb N }  ël gieugh  G_A  a l'é determinà.
Cost assiòma as peul limitesse a dle famije particolar d'ansem.
Për esempi, l**'assiòma ëd determinatëssa projetiva** (PD, *projective determinacy*) a l'é l'assiòma ch'a fortiss che G_A a l'é determinà për minca ansem projetiv.

An dij travaj dal 1963 al 1966, Mycielski a l'ha smonù na tratassion aprofondìa dle conseguense dl'assiòma ëd determinatëssa e ëd problema duvert lià.

Dagià che la quantità dë strategìe a l'é  2^{ \aleph_0} , un rasonament diagonal a fa vëdde che l'assiòma ëd determinatëssa a l'é incompatìbil con l'assiòma ëd selession:

**Teorema.** Sota l'assiòma ëd selession, a-i é  X \subseteq \mathbb N^{ \mathbb N } , tal che ël gieugh  G_X  a l'é nen determinà.
Cost teorema a l'é stàit dimostrà da Gale e Stewart dël 1953.

*Dimostrassion*. Pijoma d'enumerassion  \{ \sigma_{ \alpha } \mid \alpha  ëd tute le strategìe për **I** e për **II**.
Për andussion, as costruisso doi ansem  X= \{ x_{ \alpha } \mid \alpha : dàit  x_{ \xi },y_{ \xi }  për minca  \xi , pijé  y_{ \alpha }  ëd fasson che  y_{ \alpha }= \sigma_{ \alpha }*b  për chèich b e  y_{ \alpha } \notin \{ x_{ \xi } \mid \xi ; ant l'istessa manera, serne  x_{ \alpha }  con  x_{ \alpha }=a* \tau_{ \alpha }  për chèich a e  x_{ \alpha } \notin \{ y_{ \xi } \mid \xi \leq \alpha \} .
J'ansem X e Y a son disgionzù, për minca α a-i é b tal che  \sigma_{ \alpha }*b \notin X  e a-i é a tal che  a* \tau_{ \alpha } \in X .
Donca nì **I** nì **II** a l'han na strategìa ch'a vagna ant ël gieugh  G_X  e parèj  G_X  a l'é nen determinà.

D'àutra part, l'assiòma ëd determinatëssa a ìmplica na forma débola dl'assiòma ëd selession:

**Teorema.** L'assiòma ëd determinatëssa a ìmplica che minca famija numeràbil d'ansem nen veuid ëd nùmer reaj a l'ha na fonsion ëd selession.

*Dimostrassion*. Pijoma na famija  \{ X_n \mid n \in \mathbb N \}  ëd sot-ansem nen veuid d' \mathbb N^{ \mathbb N } për trovene na fonsion f ëd selession.
Consideroma ël gieugh sì-dapress: si **I** a gieuga (a_0,a_1,a_2, \ldots ) e **II** a gieuga b=(b_0,b_1,b_2, \ldots ), **II** a vagna si e mach si b \in X_{a_0}. Ël giugador **I** a peul nen avèj na strategìa ch'a vagna, dagià che si chiel-sì a ancamin-a an giugand a_0, **II** a peul vagné an pijand qualsëssìa b=(b_0,b_1,b_2, \ldots ) \in X_{a_0} e an giugand ij sò element un a la vira.
Donca, për l'ipòtesi ëd determinatëssa, a l'é **II** ch'a l'ha na strategìa ch'a vagna τ e as peul definì la fonsion ëd selession f parèj: f(X_n)= \tau *(n,0,0,0, \ldots ).

Categorìa:Lògica matemàtica