Anel

## Definission
As ciama **anel** na strutura algébrica  (A,+, \cdot ) , anté che:
* (A,+) a l'é në strop comutativ, dont l'element identità a l'é 'd sòlit denotà 0 o 0_A;
* (A, \cdot ) a l'é un semistrop, visadì ël prodot (o multiplicassion)  \cdot  a l'é associativ: a(bc)=(ab)c për tuti j'a,b,c \in A;
* a son vàlide le doe distributività:  a \cdot (b+c)=a \cdot b+a \cdot c  e  (a+b) \cdot c=a \cdot c+b \cdot c  për tuti j'a,b,c \in A.

J'element a,b dl'anel A as diso *përmutàbij* si ab=ba.
Për minca cobia d'element përmutàbij ëd n'anel a val la fórmola dël binòmi.
N**anel comutativ'' a l'é n'anel anté che la multiplicassion a l'é comutativa: <math>ab=ba</math> për tuti j'<math>a,b \in A</math>.

N**anel con unità* a l'é n'anel anté ch'a-i é n'element, ëd sòlit denotà 1 o <math>1_A</math>, ch'a l'é element identità për ël prodot, visadì <math>1_Aa=a1_A=a</math> për minca <math>a \in A</math>.
An d'àutre paròle, n'anel con unità a l'é n'anel anté che <math>(A, \cdot )</math> a l'é un [[monòid]].

== Esempi d'anej ==
* Ch'as consìdera në strop comutativ G. Definioma an G un prodot an butant <math>xy=0_G</math> për minca <math>x,y \in G</math>. Antlora <math>(G,+, \cdot )</math> a l'é n'anel.
* L'[[ansem]] dle class ëd [[congruensa]] con soe [[operassion]] a l'é n'anel.
* Ch'as fissa në strop abelian (G,+) e ch'as consìdera l'ansem E ëd tuti ij morfism dë strop <math>G \to G</math>, con l'adission f+g an E definìa da
::<math> \forall x \in G,(f+g)(x)=f(x)+g(x)</math>.
:Parèj, (E,+) a ven a esse në strop abelian. Consideroma tanme prodot an E l'operassion ëd composission. Costa operassion a l'ha n'element unità, ch'a l'é l'identità ëd G. An dzorpì, a valo le propietà distributive d'ës prodot rëspet a l'adission. An efet, për minca <math>f,g,h \in E</math> e <math>x \in G</math>,
::[f(g+h)](x)=f[(g+h)(x)]=f[g(x)+h(x)]=fg(x)+fh(x)=(fg+fh)(x) e
::[(f+g)h](x)=(f+g)[h(x)]=f[h(x)]+g[h(x)]=(fh)(x)+(gh)(x)=(fh+gh)(x).
:Donca, rëspet a coste operassion, E a l'é n'anel con unità (an general nen comutativ). A l'é dit anel dj'endomorfism dlë strop G.
* N'esempi d'anel nen comutativ e sensa unità as peul oten-e an partend da lë strop {0,1,2,3} dle class ëd resta mòdol 4 e definendje un prodot përparèj:
::<math>0 \cdot x=x \cdot 0=0</math>,
::<math>1 \cdot 1=1,1 \cdot 2=2,1 \cdot 3=3</math>,
::<math>2 \cdot 1=2 \cdot 2=2 \cdot 3=0</math>,
::<math>3 \cdot 1=1,3 \cdot 2=2,3 \cdot 3=3</math>.
* L'ansem <math> \R^{ \R }</math> dle [[fonsion]] reaj ëd variàbil [[nùmer real|real]] a l'é n'anel con j'operassion d'adission e multiplicassion pontoal:
::(f+g)(x)=f(x)+g(x),
::(fg)(x)=f(x)g(x).
* J'[[anej ëd Boole]].

== Chèiche propietà elementar ==
Ch'as consìdera n'anel A.
Da la [[definission]] as peulo dimostresse vàire propietà elementar.
* <math>a0_A=0_Aa=0_A</math> për minca <math>a \in A</math>.
An efet, <math>a0_A=a(0_A+0_A)=a0_A+a0_A</math> e <math>0_Aa=(0_A+0_A)a=0_Aa+0_Aa</math>.
Dagià che (A,+) a l'é në strop, as peul gavesse <math>a0_A</math> da minca banda dla prima [[equassion]] e <math>0_Aa</math> da minca banda dla sconda e oten-e la conclusion vorsùa.
* (-a)b=a(-b)=-(ab) për minca <math>a,b \in A</math>.
An efet, <math>ab+((-a)b)=(a+(-a))b=0_Ab=0_A=a0_A=a(b+(-b))=ab+a(-b)</math>.
* Për minca [[nùmer natural]] n e minca <math>a,b \in A</math> a valo j'[[ugualianse]] (na)b=n(ab)=a(nb).
An efet, an dovrand la propietà distributiva, (na)b=(a+a+...+a)b=ab+ab+...+ab=n(ab).
Ant l'istessa manera, a(nb)=a(b+b+...+b)=ab+ab+...+ab=n(ab).
* Ël prodot a l'é distributiv ëdcò rëspet a la diferensa: për minca <math>x,y,z \in A</math>, a valo j'ugualianse x(y-z)=xy-xz e (x-y)z=xz-yz.
An efet, x(y-z)=x[y+(-z)]=xy+x(-z)=xy+(-xz)=xy-xz.
Ant l'istessa manera, (x-y)z=[x+(-y)]z=xz+(-y)z=xz+(-yz)=xz-yz.

A l'é possìbil che an n'anel con unità <math>0_A=1_A</math>, ma ant ës cas-sì da le propietà sì-dzora a-i ven che <math>A= \{ 0_A \} </math>.
An efet, pijà qualsëssìa <math>x \in A</math>, i l'oma che <math>0_A=x0_A=x1_A=x</math>.

== Sot-anej ==
Un sot-ansem B ëd n'anel A as dis *stàbil*, o *sarà*, si <math>x+y,xy \in B</math> për qualsëssìa <math>x,y \in B</math>.<br />
Un sot-anel d'A a l'é 'n sot-ansem ëstàbil d'A ch'a sia ëdcò chiel n'anel, dotà dj'operassion d'A.

Condission necessaria e bastèivola përchè un sot-ansem B d'A a na sia un sot-anel e l'é che <math>0_A \in B</math> e <math>a+b,ab,-a \in B</math> për minca <math>a,b \in B</math>.
Na condission equivalenta a l'é che <math>0_A \in B</math> e <math>a-b,ab \in B</math> për minca <math>a,b \in B</math>.

Minca sot-anel ëd n'anel comutativ a l'é 'dcò chiel comutativ.

=== Esempi ===
* Antra ij sot-anej ëd n'anel A a-i son sempe <math> \{ 0_A \} </math> e A midem, ch'a son dit *sot-anej impròpi*. Tuti j'àutri sot-anej, s'a-i na son, a son dit *pròpi*.
* Si B a l'é sot-anel d'A e C a l'é sot-anel ëd B, antlora C a l'é sot-anel d'A.
* Si B e C a son sot-anej d'A e <math>C \subseteq B</math>, antlora C a l'é ëdcò sot-anel ëd B.
* Dàita na famija nen veuida <math> \mathcal F </math> ëd sot-anej d'A, l'antërsession ëd costa famija a l'é 'n sot-anel d'A. Donca a esist ëdcò ël pì cit sot-anel ch'a conten minca element d'<math> \mathcal F </math>: as treuva an pijand l'antërsession ëd tuti ij sot-anej ch'a conten-o l'union d'<math> \mathcal F </math> (e a-i na j'é almanch un, visadì A midem). An general, l'union d'<math> \mathcal F </math> a l'é nen un sot-anel.
* Ant l'anel <math> \mathbb Z_6= \{ 0,1,2,3,4,5 \} </math> dle class ëd resta mòdol 6, ël sot-ansem B={0,2,4} a l'é 'n sot-anel.
* Për minca nùmer natural n, l'ansem <math> n \mathbb Z </math> dij mùltipl [[nùmer antregh|antregh]] d'n a l'é 'n sot-anel ëd <math> \mathbb Z </math>. Për <math>n \in\{ 0,1 \} </math> i l'oma ij sot-anej impròpi. Armarcoma che, për <math>n \geq 2</math>, as trata 'd sot-anej sensa unità.
* Consideroma un sot-ansem I ëd n'anel A e definioma <math>C_I= \{ a \in A \mid \forall u \in I,au=ua \} </math>. As agiss d'un sot-anel d'A. An efet:
::<math>0_A \in C_I</math>;
::pijà <math>a_1,a_2 \in C_I</math> e <math>u \in I</math> i l'oma <math>(a_1-a_2)u=a_1u-a_2u=ua_1-ua_2=u(a_1-a_2)</math> e <math>(a_1a_2)u=a_1(a_2u)=a_1(ua_2)=(a_1u)a_2=(ua_1)a_2=u(a_1a_2)</math>; donca <math>a_1-a_2,a_1a_2 \in C_I</math>.
:Ël sot-anel <math>C_A</math> a l'é dit ël *sènter* ëd l'anel A.
* Ch'as consìdera l'anel <math> \mathbb Z \times \mathbb Z </math> con j'operassion definìe për componente:
::<math>(m,n)+(h,k)=(m+h,n+k)</math>,
::<math>(m,n)(h,k)=(mh,nk)</math>.
:As agiss ëd n'anel con unità (1,1). Ël sot-ansem <math> \mathbb Z \times\{ 0 \} </math> a l'é 'n sot-anel, con unità 'dcò chiel, ma soa unità a l'é (1,0).

== Anej prodot ==
Ch'as consìdera na famija nen veuida <math> \{ R_i \}_{i \in I}</math> d'anej.
L*'anel prodot diret* a l'é otnù dal [[prodot cartesian]] <math>R= \prod_{i \in I}R_i</math> an definend j'operassion për componente:
* (a+b)(i)=a(i)+b(i),
* (ab)(i)=a(i)b(i).
Ël zero dl'anel prodot a l'é l'element definì da <math>0_R(i)=0_{R_i}</math>, për minca <math>i \in I</math> e l'opòst -a ëd l'element <math>a \in R</math> a l'é definì da (-a)(i)=-a(i) për minca <math>i \in I</math>.<br />
Da costa definission a-i ven, an particolar, che R a l'é comutativ si e mach si minca <math>R_i</math> a-l l'é.
Si tuti j'anej ëd la famija a l'han n'unità, antlora ëdcò ël prodot diret a-l l'ha: a l'é l'element dont tute le componente a son l'unità ant ël fator corëspondent.

Si për minca <math>j \in J</math> i pijoma un sot-anel <math>B_j</math> d'<math>R_j</math>, i otnoma un sot-anel <math> \prod_{j \in J}B_j</math> dël prodot diret.

== Divisor ëd zero ==
An n'anel A, n'element x diferent da <math>0_A</math> as dis *divisor ëd zero a snistra* s'a esist n'element y an A, diferent da <math>0_A</math> tal che <math>xy=0_A</math>.
Ant l'istessa manera as definisso ij divisor ëd zero a drita.
Noté che si x a l'é divisor ëd zero a snistra, e <math>y \neq 0</math> a l'é tal che <math>xy=0_A</math>, antlora y a l'é divisor ëd zero a drita.

As dis che an n'anel a val ël *prinsipi d'anulament dël prodot* si l'ùnica manera për un prodot d'esse <math>0_A</math> a l'é che almanch un dij doi fator a sia <math>0_A</math>, visadì ch'a-i sio pa ëd divisor ëd zero.

=== Esempi ===
* Ant l'anel <math> \mathbb Z_6</math> dle class ëd resta mòdol 6 a-i son ëd divisor ëd zero; tutun ël sot-anel {0,2,4} a-n n'ha pa.
* Fissà 'n nùmer natural <math>n \geq 1</math>, l'ansem dle [[matris]] quadrà reaj d'órdin n con soe operassion d'adission e prodot riga për colòna a l'é n'anel. Si <math>n \geq 2</math>, ël prodot a l'é nen comutativ e a-i son ëd divisor ëd zero: për esempi, denotà <math>E_{ij}</math> la matris fàita tuta da 0, gavà n'1 al pòst (i,j), si <math>j \neq h</math> i l'oma che <math>E_{ij}E_{hk}</math> a l'é la matris con tuti 0.

*'Propietà.** An n'anel A a valo le laj ëd simplificassion dël prodot si e mach si a-i son nen ëd divisor ëd zero.

''Dimostrassion.'' Si an A a-i son ëd divisor ëd zero, ch'as consìdero doi element x e y diferent da <math>0_A</math> taj che <math>xy=0_A</math>.
Antlora <math>xy=x0_A</math>, ma <math>y \neq 0_A</math>.
Ant l'istessa manera as fa vëdde che ël prodot as peul nen simplifichesse a drita.<br />
Për l'anvers, suponoma che ël prodot a sia nen simplificàbil a snistra (l'istess rasonament as fa s'a l'é nen simplificàbil a drita).
Antlora a-i son d'element <math>x,y,z \in A</math>, con <math>x \neq 0_A</math> e <math>y \neq z</math>, taj che xy=xz.
A-i na ven che <math>x(y-z)=xy-xz=0_A</math> e donca ch'a-i son ëd divisor ëd zero.

Armarché che dì che n'anel A a l'ha pa 'd divisor ëd zero a l'é l'istess che dì che <math>A- \{ 0_A \} </math> a l'é 'n sot-semistrop dël semistrop <math>(A, \cdot )</math>.

N'anel comutativ sensa divisor ëd zero as dis [[domini d'antegrità]].

== La caraterìstica 'd n'anel ==
Consideroma n'anel A e n'element <math>x \in A</math>.
A peul desse ch'a esisto dij nùmer naturaj positiv n taj che <math>nx=0_A</math>.
Ant ës cas-sì, ël pì cit ëd costi nùmer a l'é dit ''caraterìstica'' d'x.
S'a-i é gnun nùmer parèj, as dis che x a l'ha caraterìstica zero (o infinìa).

La caraterìstica 'd n'anel A a l'é, s'a esist, ël pì cit nùmer natural positiv N tal che <math>Nx=0_A</math> për tuti j'<math>x \in A</math>.
S'un nùmer parèj a esist nen, antlora as dis che la caraterìstica d'A a l'é zero (o infinìa).

**Propietà.**
An n'anel con unità, la caraterìstica dl'anel a l'é cola 'd soa unità.

''Dimostrassion.''
Si la caraterìstica d'<math>1_A</math> a l'é m>0, pijà un qualsëssìa <math>x \in A</math> i l'oma
:<math>mx=m(1_Ax)=(m1_A)x=0_Ax=0_A</math>.
Si nopà la caraterìstica d'<math>1_A</math> a l'é zero, antlora cola d'A a peul nen esse positiva, e donca a l'é zero 'dcò chila.

**Propietà.**
An n'anel, tuti j'element ch'a son nen divisor ëd zero a l'han la midema caraterìstica.

''Dimostrassion.''
Consideroma d'element x e y ch'a sio nen divisor ëd zero e foma l'[[ipòtesi]] che la caraterìstica d'x a sia m>0.<br />
Antlora: <math>0_A=0_Ay=(mx)y=x(my)</math>.
Dagià che x a l'é nen divisor ëd zero, a dev esse <math>my=0_A</math>; donca la caraterìstica d'y a l'é positiva e a l'é al màssim cola d'x.
An baratand ël ròl d'x e y i otnoma che soe caraterìstiche a son j'istesse.

=== Esempi ===
* J'anej <math> \mathbb Z </math> dj'antregh, <math> \mathbb Q </math> dij [[nùmer rassional|rassionaj]], <math> \mathbb R </math> dij reaj a l'han caraterìstica 0, përchè costa a l'é la caraterìstica dl'1.
* J'anej <math> n \mathbb Z </math> dij mùltipl antregh dël natural n>0 a l'han tuti caraterìstica 0.
* J'anej <math> \mathbb Z_n</math> dle class ëd resta mòdol <math>n \geq 2</math> a l'han caraterìstica n. Parèj, la caraterìstica ëd <math> \mathbb Z_6</math> a l'é 6; sò sot-anel {0,2,4} a l'ha, nopà, caraterìstica 3. Noté però che la caraterìstica ëd n'element an n'anel o ant un sot-anel a resta la midema.

== Ideaj ==
Un sot-anel I ëd n'anel A a l'é dit ''ideal ësnistr'' si <math> \forall x \in I, \forall a \in A,ax \in I</math>; a l'é dit ''ideal drit'' si <math> \forall x \in I, \forall a \in A,xa \in I</math>.
N'ideal ch'a sia tant ësnistr che drit a l'é ciamà ''ideal bilateral'', o bele mach ''ideal'' (ant j'anej comutativ, ideaj snistr, drit e bilateraj a son l'istess).<br />
An minca anel, l'ideal nul <math> \{ 0_A \} </math> e A midem a son d'ideaj bilateraj, dit ''ideaj banaj''; j'àutri ideaj, s'a-i na son, a son dit ''pròpi''.<br />
N'ideal (snistr, drit o bilateral) d'A a l'é ëdcò ideal (snistr, drit o bilateral) ëd minca sot-anel B d'A ch'a lo conten-a.<br />
J'deaj bilateraj a l'han an teorìa dj'anej un ròl parèj ëd col dij sot-ëstrop normaj an teorìa djë strop.

**Propietà.** Si n'anel A a l'ha n'unità, costa a aparten a gnun ideal pròpi dl'anel.

''Dimostrassion.'' Si l'unità a sta an n'ideal I, për minca <math>a \in A</math> i l'oma <math>a=1_Aa \in I</math>.

=== Esempi ===
* Fissà un nùmer antregh n, an qualsëssìa anel A l'ansem <math> \{ na \mid a \in A \} </math> a l'é n'ideal bilateral d'A.
* L'ansem dle matris reaj quadrà d'órdin 2 con seconda riga nula a l'é n'ideal drit, ma nen ësnistr, ant l'anel dle matris reaj quadrà d'órdin 2.
* Pijà 'n sot-ansem X ëd n'anel A, l' ''anulator ësnistr'' d'X a l'é l'ansem <math> \{ a \in A \mid \forall x \in X,ax=0_A \}  </math>. As trata 'd n'ideal ësnistr d'A. An efet, <math>0_A</math> a jë sta andrinta; pijà a,b an st'ansem e <math>x \in X</math> i l'oma <math>(a-b)x=ax-bx=0_A</math>. Për finì, pijà a ant l'anulator ësnitr e <math>b \in A</math> i l'oma che, për minca <math>x \in X</math>, <math>bax=0_A</math>. Ant l'istessa manera as definisso l**anulator drit* e l'anulator d'X (ës darié a l'é l'ansem dj'<math>a \in A</math> taj che <math>ax=xa=0_A</math> për minca <math>x \in X</math>): ël prim a l'é n'ideal drit d'A, lë scond n'ideal bilateral.
* Considerà na famija nen veuida <math> \mathcal F </math> d'ideaj (snistr, drit o bilateraj) ëd n'anel, l'antërsession <math> \bigcap \mathcal F </math> a l'é n'ideal (snistr, drit o bilateral). Donca, pijà un qualsëssìa sot-ansem S ëd n'anel, ël pì cit ideal (drit, snistr o bilateral) ch'a conten S a l'é l'antërsession ëd la famija ëd tuti j'ideaj (snistr, drit o bilateraj) ch'a conten-o S. Cost-sì as dis ideal *generà* da S.
* Si I e J a son doi ideaj (snistr, drit o bilateraj) ëd n'anel A, l'ideal generà da <math>I \cup J</math> a l'é l*'ideal soma* <math>I+J= \{ i+j \mid i\in I,j \in J \} </math>. An efet, <math>0_A \in I+J</math> e pijà <math>i,i' \in I,j,j' \in J</math>, i l'oma che <math>i+j-(i'+j')=i-i'+j-j' \in I+J</math>. Për finì, butoma che I e J a sio d'ideaj snistr (istess rasonament s'a son drit o bilateraj); pijà <math>i \in I,j \in J,a \in A</math>, i l'oma che <math>a(i+j)=ai+aj \in I+J</math>.
* Ant un prodot diret <math> \prod_{j \in J}R_j</math> d'anej, si për minca fator <math>R_j</math> i pijoma n'ideal (snistr, drit o bilateral) <math>B_j</math>, ël prodot <math> \prod_{j \in J}B_j</math> a resta n'ideal (snistr, drit o bilateral).
* La *soma direta* dla famija nen veuida d'anej <math> \{ R_h \}_{h \in J}</math> a l'é ël sot-ansem dël prodot diret ëd coj element ch'a l'han tute le componente nule, gavà na quantità finìa. A l'é n'ideal bilateral, dagià che ël prodot ëd qualsëssìa cobia d'element dël prodot diret a l'ha componenta nula andoa che almanch un dij doi fator a l'ha componenta nula. Cand J a l'é n'ansem finì, la soma direta a coincid con ël prodot diret.

=== Ideaj massimaj ===
N'ideal M ëd n'anel A a l'é dit *massimal* si <math>M \neq A</math> e a-i é gnun ideal U tal che <math>M \subset U \subset A</math>.
Për esempi, j'ideaj massimaj ëd <math> \mathbb Z </math> a son j'ansem dij mùltipl ëd chèich [[nùmer prim]].

Ant l'anel <math>R= \mathcal C ([0,1], \mathbb R )</math> dle [[fonsion continua|fonsion continue]] da l'antërval [0,1] ant ij reaj, l'ideal <math>M_{ \gamma }= \{ f \in R \mid f( \gamma )=0 \} </math>, anté che <math> \gamma\in [0,1]</math>, a l'é massimal.<br />
Pr'ës-ciaré sòn, pijoma n'ideal U ch'a conten-a ëd fasson pròpia M e na fonsion <math>g \in U-M</math>.
Antlora, <math>g( \gamma )= \alpha\neq 0</math>.
D'àutra part, <math>h(x)=g(x)- \alpha\in M \subseteq U</math> e donca la fonsion costanta α, diferensa ëd g(x) e h(x), a l'é an U.
A-i na ven che <math>1= \alpha\alpha^{-1} \in U</math> e U=R.<br />
As peul mostresse che tuti j'ideaj massimaj d'R a son ëd cost tipo.

== Anel cossient ==
Pijà n'ideal I ëd n'anel A e n'element <math> a \in A </math>, dagià che (I,+) a l'é 'n sot-ëstrop d'(A,+) as peul consideresse ël cossient A/I.
Ansima a cost cossient, ëdcò la multiplicassion as definiss ëd fasson natural an butand (a+I)(b+I)=ab+I e A/I a arzulta esse n'anel, dit *anel cossient*.<br />
Armarché che sa definission ëd prodot a veul nen dì che l'ansem dij prodot <math> \{xy \mid x \in a+I,y \in b+I \} </math> a sia l'ansem ab+I, dagià che an general a val mach l'anclusion
:<math> \{ xy \mid x \in a+I,y \in b+I \}\subseteq ab+I</math>.
Për dimostré costa relassion a basta noté che, pijà qualsëssìa <math>u,v \in I</math> i l'oma
:<math>(a+u)(b+v)=ab+av+ub+uv \in ab+I</math>.

Si A a l'é comutativ, ëdcò A/I a-l l'é.

=== Esempi ===
* Për minca nùmer natural <math>n \geq 1</math>, l'anel <math> \mathbb Z /n \mathbb Z </math>, cossient dj'antregh rëspet a l'ideal dij mùltipl d'n, a l'é l'anel dle class ëd resta mòdol n.
* Sa costrussion a peul generalisesse: pijà n'anel A e n'antregh n, l'anel A/nA as ciama l*'anel ridot* d'A mòdol n.

=== N'àutra costrussion dj'anej cossient ===
Ch'as consìdera na [[relassion d'equivalensa]] <math> \sigma </math> ansima a n'anel A e foma l'[[ipòtesi]] che <math> \sigma </math> a sia compatìbil rëspet a j'operassion, visadì:
:<math>x \sigma x' \wedge y \sigma y' \Rightarrow x+y \sigma x'+y' \wedge xy \sigma x'y' </math>.
As peulo antlora definì d'operassion ëd soma e prodot ansima al cossient <math>A/ \sigma </math> përparèj:
:<math>[x]_{ \sigma }+[y]_{ \sigma }=[x+y]_{ \sigma }</math>,
:<math>[x]_{ \sigma }[y]_{ \sigma }=[xy]_{ \sigma }</math>.
Con coste operassion, <math>A/ \sigma</math> a ven a esse n'anel, ciamà *anel cossient* d'A rëspet a <math> \sigma </math>.<br />
Si A a l'é comutativ, ëdcò <math>A/ \sigma </math> a-l l'é; si A a l'ha n'unità <math>1_A</math>, antlora ëdcò <math>A_{ \sigma }</math> a-l l'ha e costa-sì a l'é <math>[1_A]_{ \sigma }</math>.

Le doe costrussion a arzulto esse equivalente.
An efet, a val la propietà sì-dapress.

*'Propietà.*' Na relassion d'equivalensa σ a l'é compatìbil con j'operassion si e mach si la [[partission]] ch'a detèrmina a l'é cola dij lateraj ëd n'ideal bilateral.

*Dimostrassion.* Dàita σ compatìbil, i l'oma che
:<math>a \sigma b \Leftrightarrow a-b \in [0_A]_{ \sigma }</math>
e <math>[0_A]_{ \sigma }</math> a l'é n'ideal bilateral dont le class ëd σ a son ij lateraj.
Viceversa, dàit n'ideal bilateral I, la [[relassion binaria|relassion]]
:<math>a \sigma_I b \Leftrightarrow a-b \in I</math>
a l'é na relassion d'equivalensa compatìbil con j'operassion.<br />
Le fonsion <math> \sigma\mapsto [0_A]_{ \sigma },I \mapsto\sigma_I</math> a son anverse un-a dl'àutra.

== Morfism ==
Considerà j'anej A e A', un *morfism* (o *omomorfism*) d'anej antra A e A' a l'é na fonsion <math>f:A \to A'</math> ch'a conserva j'operassion, visadì
:f(x+y)=f(x)+f(y),
:f(xy)=f(x)f(y),
për minca <math>x,y \in A</math>.<br />
Un morfism surietiv as dis ëdcò *epimorfism* e un morfism inietiv *monomorfism*.

Si A,B,C a son d'anej e <math>f:A \to B,g:B \to C</math> a son ëd morfism, antlora soa composission <math>gf:A \to C</math> a l'é 'n morfism.

=== Nos d'un morfism ===
La *nos* d'f a l'é <math>kerf= \{ a \in A \mid f(a)=0_{A'} \} </math>.
As trata 'd n'ideal.
An efet, a l'é la nos d'un morfism dë strop, donca a l'é 'n sot-ëstrop d'A.
An dzorpì, për tuti j'<math>a \in kerf</math> e tuti ij <math>b \in A</math>,
:<math>f(ab)=f(a)f(b)=0_{A'}f(b)=0_{A'}</math> e <math>f(ba)=f(b)f(a)=f(b)0_{A'}=0_{A'}</math>,
donca sia ab che ba a stan an kerf.

=== Esempi ===
* Pijà n'anel A e un sò ideal I, la projession <math>A \to A/I</math> ch'a manda minca <math>a \in A</math> an <math>a+I \in A/I</math> a l'é 'n morfism.
* Ch'as consìdera la fonsion <math> \mathbb Z \to \mathbb Z_6</math> ch'a manda mìnca nùmer antregh an soa class ëd resta. As trata 'd n'epimorfism. Noté che antant che an <math> \mathbb Z </math> minca nùmer diferent da 0 a l'ha caraterìstica zero e <math> \mathbb Z </math> a l'ha pa 'd divisor ëd zero, minca element ëd <math> \mathbb Z_6</math> diferent da zero a l'ha caraterìstica finìa e <math> \mathbb Z_6</math> a l'ha 'd divisor ëd zero.
* A-i é mach n'epimorfism <math> \mathbb Z_6 \to \mathbb Z_2</math>. Noté che antant che 3 a l'é 'n divisor ëd zero an <math> \mathbb Z_6</math>, soa plancia 1 a-l l'é nen an <math> \mathbb Z_2</math>.
* Le projession canòniche <math> \pi_h: \prod_{m \in J}R_m \to R_h</math> d'un prodot diret ansima ai sò fator a son d'epimorfism. J'iniession canòniche <math>j_h:R_h \to \prod_{m \in J}R_m</math> definìe an manera che <math>j_h(a)</math> a l'ha a tanme componenta d'ìndes h e tute j'àutre componente nule, a son ëd monomorfism. Pijà <math>h,k \in J</math>, la composission <math> \pi_hj_k:R_k \to R_h</math> a l'é l'identità cand h=k e ël morfism ch'a manda tut an <math>0_{R_h}</math> dësnò. Le projession canòniche rëstrenzùe a la soma direta a son ancor dj'epimorfism e la plancia ëd minca iniession canònica a l'é un sot-ansem dla soma direta.

=== Chèiche propietà sempie ===
* Dàit un morfism d'anej <math>f:A \to A'</math> e un sot-anel B d'A, f(B) a l'é sot-anel d'A'. An particolar, la plancia d'f a l'é 'n sot-anel d'A'.
*Dimostrassion.* Ël sot-ansem f(B) a l'é 'n sot-ëstrop d'A', dagià che f a l'é ëdco 'n morfism dë strop.
Pijà peui <math>x,y \in A</math>, i l'oma che <math>f(x)f(y)=f(xy) \in f(B)</math>.
* Dàit un morfism antra anej <math>f:A \to A'</math> e un sot-anel B' d'A', <math>f^{-1}(B')</math> a l'é 'n sot-anel d'A.
*Dimostrassion.* I l'oma che <math>f^{-1}(B')</math> a l'é 'n sot-ëstrop d'A.
An dzorpì, pijà <math>x,y \in f^{-1}(B')</math>, i l'oma <math>f(xy)=f(x)f(y) \in B'</math> e donca <math>xy \in f^{-1}(B)</math>.
* La plancia omomorfa ëd n'anel comutativ a l'é comutativa.
*Dimostrassion.* A basta armarché che ant ës cas-sì f(x)f(y)=f(xy)=f(yx)=f(y)f(x).
* Si A a l'é n'anel con unità e <math>f:A \to A'</math> a l'é n'epimorfism antra anej, con <math>f(1_A)=0_{A'}</math>, antlora <math>A'= \{ 0_{A'} \} </math>.
*Dimostrassion.*
S'i pijoma qualsëssìa <math>a' \in A'</math> e <math>a \in A</math> con f(a)=a', i l'oma che <math>a'=f(a)=f(1_Aa)=f(1_A)f(a)=0_{A'}a'=0_{A'}</math>.
* Si <math>f:A \to A'</math> a l'é n'epimorfism antra anej e A a l'ha n'unità <math>1_A</math>, antlora <math>f(1_A)</math> e l'é l'unità d'A'; an dzorpì, si <math>a \in A</math> a l'é anvertìbil, ëdcò f(a) a-l l'é e <math>[f(a)]^{-1}=f(a^{-1})</math>.
*Dimostrassion.* Pijà <math>a' \in A'</math> e <math>a \in A</math> con f(a)=a', i l'oma <math>f(1_A)a'=f(1_A)f(a)=f(1_Aa)=f(a)=a'</math> e donca <math>f(1_A)</math> a l'é unità an A'.
Si <math>a \in A</math> a l'é anvertìbil, con anvers <math>a^{-1}</math>, a-i ven che <math>f(a)f(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(1_A)=1_{A'}</math> e donca <math>f(a^{-1})</math> a l'é l'anvers d'f(a).
* La plancia ëd n'ideal I (snistr, drit o bilateral) a travers n'epimorfism <math>f:A \to A'</math> a l'é n'ideal (snistr, drit o bilateral, a sconda dij cas).
*Dimostrassion.* Butoma che I a sia n'ideal ësnistr d'A (istess rasonament s'as trata ëd n'ideal drit o bilateral). Pijoma <math>x \in A',a \in I</math> për fé vëdde che <math>xf(a) \in f(I)</math>. Antlora a-i é <math>y \in A</math> con f(y)=x. Parèj, <math>xf(a)=f(y)f(a)=f(ya) \in f(I)</math>.
* La contra-plancia 'd n'ideal J (snistr, drit o bilateral) a travers un morfism d'anej <math>f:A \to A'</math> a l'é n'ideal (snistr, drit o bilateral) d'A.
*Dimostrassion.* Për ël cas ëd n'ideal ësnistr (l'istess a val për n'ideal drit o bilateral), pijoma <math>x \in A,a \in f^{-1}(J)</math>.
Antlora <math>f(xa)=f(x)f(a) \in J</math> e donca <math>xa \in f^{-1}(J)</math>.

=== Isomorfism ===
Un morfism d'anej ch'a l'é na bijession a l'é dit [[isomorfism]] e ij doi anej *isomorf''.
A-i na ven che n'isomorfism a conserva ëdcò (cand ch'a-i son) l'unità e j'anvers, visadì
:f(1_A)=1_{A'},
:f(x^{-1})=[f(x)]^{-1} për minca x \in A.

La relassion d'isomorfism  \simeq  antra anej a l'é na relassion d'equivalensa.

### Fatorisassion dij morfism
Ch'as pija un morfism antra anej f:A \to B e n'ideal I d'A.
Butoma che I \subseteq kerf.
Antlora a-i é 'n morfism d'anej g:A/I \to B tal che g(a+I)=f(a) për tuti j'a \in A.

An efet, g a l'é bin definì e a l'é un morfism dë strop, dagià che f a-l l'é.
Për la multiplicassion, i l'oma
:g((a+I)(b+I))=g(ab+I)=f(ab)=f(a)f(b)=g(a+I)g(b+I).

A-i na ven che minca omomorfism antra anej f:A \to A' a peul decomponse tanme f=j \varphi\pi  anté che:
*  \pi :A \to A/kerf  a l'é la projession canònica, ch'a l'é n'epimorfism;
*  \varphi (x+kerf)=f(x) a l'é n'isomorfism;
* j a l'é ël fongament d'f(A) andrinta a A', ch'a l'é un monomorfism.

An particolar, armarcoma che:
* minca ideal bilateral a l'é la nos ëd n'omomorfism d'anej;
* A/kerf a l'é isomorf a f(A);
* për I= \{ 0_A \} , A/I a l'é isomorf a A;
* për I=A i l'oma che A/I a l'é isomorf a  \{ 0_A \} ;
* si I a l'é n'ideal bilateral d'A, la projession canònica  \pi :A \to A/I a génera na bijession antra la famija dj'ideaj (snistr, drit, bilateraj) d'A ch'a conten-o I e la famija dj'ideaj (snistr, drit, bilateraj) d'A/I.
* dàit un morfism d'anej f:A \to A', n'ideal bilateral I \subseteq A e n'ideal bilateral I' \subseteq A', si f(I) \subseteq I' antlora f a passa al cossient e a génera un morfism  \bar f :A/I \to A'/I' definì da  \bar f (a+I)=f(a)+I'.

### Esempi
* Ch'as consìdera la fonsion f: \mathbb Z [X] \to \mathbb Z  cha assòssia a minca polinòmi a coeffisient antregh sò tèrmin costant. As trata d'un morfism, dont la nos a l'é l'ansem dij polinòmi ëd tèrmin costant nul e f/kerf \simeq \mathbb Z . Minca lateral ëd kerf a l'é formà dai poliòmi ch'a partagio ël midem tèrmin costant.
* N'esempi ch'a jë smija a l'é ël morfism f: \mathbb R^{ \mathbb R } \to \mathbb R ch'a assòssia a minca f \in \mathbb R^{ \mathbb R } ël valor f(0). L'ideal I dle fonsion ch'a valo 0 ant l'orìgin a l'é la nos d'ës morfism; dagià che la plancia a l'é  \mathbb R  (a basta mach consideré le fonsion costante) i otnoma che ( \mathbb R^{ \mathbb R })/I \simeq \mathbb R .

## Arpresentassion ëd n'anel an n'anel d'endomorfism
Cosideroma n'anel A.
Për minca a \in A ch'as consìdera la fonsion f_a:A \to A definìa an butand  \forall x \in A,f_a(x)=ax, ciamà multiplicassion a snistra për a.
As agiss d'un morfism dlë strop abelian (A,+):
:f_a(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f_a(x)+f_a(y).
An sa manera i l'oma definì na fonsion f da a l'anel dj'endomorfism ëd lë strop abelian (A,+).
Costa-sì a l'é 'n morfism d'anej:
:f(a+b)(x)=(a+b)x=ax+bx=f(a)(x)+f(b)(x)=[f(a)+f(b)](x);
:f(ab)(x)=abx=f(a)f(b)x.
La nos d'ës morfism a l'é  \{ a \in A \mid \forall x \in A,ax=0_A \} , visadì l'anulator snistr d'A.

Ant ël cas A a l'abia n'unità 1_A, dagià che a1_A=0_A \Leftrightarrow a=0_A, cost morfism a l'é 'n monomorifsm.
Donca A a resta isomorf a l'anel dle multiplicassion a snistra.
Parèj i l'oma otnù che minca anel con unità a l'é isomorf a n'anel d'endomorfism ëd sò strop abelian aditiv.

Categorìa:Àlgebra