Spassi doal

An matemàtica lë **spassi doal** (o, mej, **spassi doal algébrich**) ëd në spassi vetorial (*V*,K) a l'é në spassi vetorial dont j'element a son ij fonsionaj linear definì ansima a *V*. Ël concet dë spassi doal a arcor an tante aplicassion dla matemàtica e dla fìsica dagià ch'a l'é a fondament ëd la nossion ëd tensor.

## Definission
Ch'as consìdera në spassi vetorial *V* ansima a 'n camp **K**. Un fonsional linear a l'é n'aplicassion linear da *V* ant ël camp **K**. Definioma la soma antra doi fonsionaj linear *f* e *g*, e ël prodòt antra *f* e në scalar α an sa manera-sì:
: (f + g)(w) := f(w) + g(w) 
: (\alpha f)(w)  := \alpha f(w) 
Con coste operassion l'ansem ëd tuti ij fonsionaj linear ëd *V* an **K** a forma në spassi vetorial, ciamà **spassi vetorial doal** *V** ëd *V*.

## Esempi
### Dimension finìa
Se *V* a l'ha dimension  finìa, antlora *V** a l'ha la midema dimension ëd *V*. An efet se (*e*1, ...,*e**n*) a l'é na base për *V*, lë spassi *V** a l'ha na **base doal** (*e*1,...,*e**n*) definìa an sa manera-sì:

:
e^i (e_j)= \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{se }i = j \\ 0, & \mbox{se } i \ne j \end{matrix}\right.


An d'àutre paròle, ël fonsional *e**i* a l'é definì tanme l'ùnich fonsional ch'a manda *e**i* an 1 e tuti j'àutri element *e**j* dla base an zero.

Ëd na fasson pì concreta, se **R***n* a l'é lë spassi dij vetor colòna con *n* component, lë spassi doal **R***n** a l'é lë spassi dij vetor riga con *n* component: minca vetor riga *v* a peul esse an efet antërpretà tanme un fonsional ch'a manda ël vetor colòna *w* ant lë scalar *v* &middot; *w* otnù an moltiplicand *v* e *w* për mojen sla sòlita moltiplicassion antra matris. An cost cas, se (*e**i*) a l'é la base canònica ëd **R***n*, antlora *e**i* a l'é bele mach la traspòsta ëd *e**i*.

### Dimension infinìa
Se *V* a l'ha dimension infinìa, la costrussion ëd *e**i* descrita sì-dzora a smon dij vetor linearman indipendent an *V**, ma nen na base: costi vetor a basto pà për generè tuti ij fonsionaj linear. An efet *V** a l'ha dimension pì granda che *V*, ant ël sens ch'a l'é ancor infinìa ma con cardinalità pì granda. 
Për esempi, lë spassi **R**(&omega;) dle sequense ëd nùmer reaj  ch'a l'han mach un nùmer finì d'element nen zero a l'ha dimension numeràbil. Lë spassi doal a peul esse identificà con lë spassi **R**&omega; ëd tute le sequense ëd nùmer reaj, e a l'ha dimension pì che numeràbil (a l'ha la midema cardinalità ëd **R**). L'identificassion a-i riva ant sa manera-sì: na sequensa (*a**n*) ëd **R**&omega; a l'é identificà con ël fonsional ch'a manda l'element (*x**n*) ëd **R**(&omega;) ant lë scalar  &sum;*n**a**n**x**n*.

## Traspòsta ëd n'aplicassion linear
Se *f*: *V* &rarr; *W* a l'é n'aplicassion linear antra spassi vetoriaj, i definioma soa **trasposta** t*f*: *W** &rarr; *V** parèj:
:
  ({}^t f) (\phi ) = \phi \circ f, \, &nbsp;&nbsp; anté che  \phi  a l'é un fonsional an W*.
An d'àutre paròle, un a assòcia un fonsional ansima a *V* a un ansima a *W* për mojen dla composission con *f*.

Se *A* a l'é la matris assossià a n'aplicassion linear *f* rëspet a doe base ëd *V* e *W*, antlora la traspòsta *t**A* a l'é la màtris assossià a t*f* rëspet a le bas doal ëd *W** e *V**.

Ant ël lengagi dla teorìa dle categorìe, l'operassion ch'a trasforma jë spassi vetoriaj e ij sò morfism ant jë spassi vetoriaj doaj con ij mòrfism traspòst a l'é un fontor covariant da la categorìa djë spassi vetoriaj ansima a **K** an chiel-midem.

## Forme bilinear e spassi bidoal
Për lòn ch'a l'é stàit dit sì-dzora, se *V* a l'ha dimension finìa jë spassi *V* e *V** a son isomòrf: l'isomorfism antra ij doi spassi a l'é però pà *canònich*, ant ël sens che për definilo a venta fé na sernia, cola ëd na base për *V*. Sernie diferente a smon-o d'isomorfism diferent: minca isomorfism &Phi; da V an V* a definiss na forma bilinear nen degénera ansima a *V* an costa manera-sì:

: \langle v,w \rangle = (\Phi (v))(w) \, 

e, ëd fasson sìmil, minca forma bilinear nen degénera a definiss n'isomorfism antra *V* e *V**.

Lë **spassi bidoal** *V*** ëd në spassi vetorial a l'é otnù pijand ël doal dlë spassi *V**. Se *V* a l'ha dimension finìa, cost a l'ha tavòta la midema dimension ëd *V*. A diferensa ëd *V**, lë spassi *V*** a l'é però isomòrf ëd fasson canònica con *V*, për mojen ëd n'isomorfism *canònich* &Psi;:*V* &rarr; *V*** ch'a dipend da gnun-e sernie, definì për parèj: 

: (\Psi(v))(\phi) = \phi(v) \, 

anté che *v* a l'é an *V* e &phi; an *V**. Se *V* a l'ha dimension infinìa, la mapa &Phi; a l'é mach inietiva.

## Spassi doal topològich
### Definission
Se *V* a l'é në spassi vetorial topològich, e a l'é donca dotà ëd na topologìa aproprià (për esempi se a l'é në spassi ëd Hilbert o ëd Banach), as peul generalisesse la nossion smonùa dzora, antroduvand lë **spassi doal topològich** ëd *V*. Chiel-sì a l'é definì tanme lë spassi dij fonsionaj continuo ansima a *V*, e a l'é ëd sòlit denotà V'. Lë spassi doal topològich a l'é motobin dovrà ant l'anàlisi matemàtica, dzortut përchè ansima a chiel as peulo definì dë struture topològiche anteressante. 

Ch'as armarca che la definission smonùa sì-dzora dë *spassi doal algébrich* a l'é l'istess ëd cola dë spassi doal topològich cand lë spassi vetorial *V* a l'é echipagià con la topologìa discreta (dagià che tuti ij fonsionaj a son continuo con costa topologìa).

Ël doal topològich *V' * ëd në spassi normà (për esempi në spassi ëd Banach o ëd Hilbert) a l'é ëdcò chiel në spassi normà. La norma ||&phi;|| d'un fonsional linear continuo &phi; ansima a *V* a l'é definìa tanme: 
:\|\phi \| = \sup \{ |\phi ( x )| : \|x\| \le 1 \}
La continuità ëd &phi; a garantiss che ||&phi;|| a l'é un nùmer finì. Se *V* a l'é në spassi ëd Banach, ëdcò *V' * a-l l'é. Dl'istessa fasson, un prodòt ëscalar ansima a *V* a na spòrz un ansima a *V' * an manera che se *V* a l'é ëd Hilbert ëdcò *V' * a-l l'é.

Se *V* a l'ha dimension finìa, jë spassi doal *V** e *V' * a son l'istess, përchè tuti ij fonsionaj linear a son continuo. Cost a l'é pà vera an general cand *V* a l'ha dimension infinìa.

### Esempi
Ch'as pija un nùmer real p, con 1. Lë spassi l<sup>p</sup> a l'é l'ansem ëd tute le sequense **a** = (*a**n*) taj che  
:\|\mathbf{a}\|_p = \left ( \sum_{n=0}^\infty |a_n|^p \right) ^{1/p}
Ch'a sia *p** ël nùmer tal che 1/*p* + 1/*p** = 1. Antlora ël doal topològich ëd *l <sup>p</sup>* a l'é identificà an manera natural con *l <sup>p*</sup>* parèj: dàit un fonsional continuo &phi; ansima a *l <sup>p*</sup>*, l'element ch'a-j corëspond an *l <sup>p*</sup>* a l'é la sequensa (&phi;(**e***n*)) anté che **e***n* a l'é la sequensa dont ël termo *n*-esim a l'é 1 e tuti j'àutri a son zero. D'àutra part, dàit n'element **a** = (*a**n*) &isin; *l <sup>p*</sup>*, ël fonsional linear continuo ch'a-j corëspond &phi; ansima a *l <sup>p</sup>* a l'é definì tanme &phi;(**a**) = &sum;*n* *a**n* *b**n* për minca **a** = (*a**n*) &isin; *L<sup>p</sup>*. L'identificassion a deuvra la disuguajansa ëd Holder.

Armarcoma che *p*** = *p*: ëdcò an cost contest lë spassi a l'é isomòrf ëd fasson natural con sò bidoal. Sòn a l'é però pà vera an general:
ël doal topològich ëd *l <sup>1</sup>* a l'é identificà ëd fasson natural con lë spassi *l <sup>&infin;</sup>* dle sequensa limità, ma ël doal topològich ëd *l <sup>&infin;</sup>* a l'é në spassi pì gròss che *l <sup>1</sup>*.

### Bidoal e spassi arflessiv
Ël **bidoal topològich**  ëd V a l'é definì donca tanme ël doal topològich ëd *V' *. Ëd na fasson sìmila a lòn ch'a l'é stàit dit sì-dzora, a esist na mapa canònica inietiva
:\Psi:V\to V*. </math>
A diferensa ëd lòn ch'a l'é stàit armarcà dzora, costa mapa a peul esse surietiva ëdcò cand *V* a l'ha dimension infinìa: an cost cas lë spassi *V* as dis *'arflessiv*'. 

Minca spassi ëd Hilbert a l'é arflessiv. Ëdcò jë spassi ëd Banach [[spassi Lp|*Lp*]] për *p*>1 a son arflessiv, ma *L''1 e L^{\infty} a-l lo son pà.

Categorìa:Anàlisi matemàtica
Categorìa:Geometrìa