Nùmer real

__TOC__
An matemàtica, ij **nùmer reaj** a peulo, ëd fasson motobin informal, esse capì tanme ij nùmer assossià a na longheur o na grandëssa fìsica. As trata dij nùmer, positiv, negativ o 0, ch'a l'han n'arpresentassion decimal finìa o infinìa. Visadì, a son ij rassionaj (ch'a peulo scrivse sot forma ëd frassion) completà daj nùmer dont l'arpresentassion decimal a l'é infinìa nen periòdica (an efet, un nùmer real a l'é rassional se sò dësvlup decimal a l'é periòdich. Për esempi, 1/3=0,333333... a l'é rassional), parèj dla rèis quadrà ëd 2 e π. Costi-sì a son ciamà nùmer irassionaj.
Antra ij nùmer reaj as fa ëdcò distinsion antra ij nùmer algébrich e ij nùmer trassendent.

Ël termo *nùmer real* a l'ha fàit soa aparission për la prima vira dovrà da Georg Cantor ant ël 1883 an soe publicassion ansima ai fondament dla teorìa dj'ansem. A l'é na retronimìa, an rispòsta a l'anvension dij nùmer imaginari. Ij nùmer reaj a son al sènter dla dissiplin-a matemàtica dl'anàlisi real, a la qual a son debitor ëd gran part ëd soa stòria.

La notassion original dl'ansem dij nùmer reaj a l'é \textbf{R}. Tutun, le litre an grassèt a j'ero malfé da scrive ansima a na lavagna o la carta; antlora la notassion \mathbb{R} a l'é amponusse.

## Ant la vita ëd tuti ij di
Ij nùmer reaj a peulo arpresenté dle mzure, parèj che ël pressi d'un prodot, ël perìod ëd temp antra doi aveniment, l'autëssa (positiva o negativa) d'un leu geogràfich, la massa ëd n'àtom o la distansa dla pì leugna dle galassie. Ij nùmer reaj a son dovrà tuti ij di, për esempi an conomìa, an anformàtica, an matemàtica, an fìsica o an angegnerìa.

La pì part dël temp, mach chèich sot-ansem ëd reaj a son dovrà: 
* j'antregh naturaj
* j'antregh relativ
* ij nùmer rassionaj, esprimìbij sot forma ëd frassion a numerator e denominator antregh
* ij nùmer decimaj, ch'a son ij reaj ch'as peulo scrivse ëd fasson finìa an base 10
* ij nùmer algébrich, ch'a comprendo tut nùmer ch'as peul ëscrivse an dovrand le quatr operassion elementar e le rèis
* ij nùmer calcolàbij, ch'a comprendo scasi tut ij nùmer dovrà an siensa e an angegnerìa (dont ij pì avosà a son e e π)

Bele che tuti costi sot-ansem ëd reaj a son infinì, a son tuti numeràbij e a arpresento donca mach na part motobin cita dl'ansem dij reaj. Mincadun ëd costi a l'ha ëd soe proprietà. Doi a son particolarman ëstudià: ij nùmer rassionaj e ij nùmer algébrich; as ciamo *irassionaj* coj reaj ch'a son nen rassionaj e *trassendent* coj ch'a son nen algébrich. 

### An siensa
La fìsica a deuvra ij nùmer reaj tanme ansem dë mzura për doe rason essensiaj:

* J'arzultà d'un cont ëd fìsica a deuvro soens dij nùmer ch'a son nen rassionaj, sensa ch'ij fìsich a pijo an cont la natura ëd costi valor ant ij sò rasonament. 
* La siensa a deuvra dij concet tanme l'andi anstantani o l'acelerassion. Costi concet a son pont ëd partensa ëd teorìe matemàtiche anté che l'ansem dij reaj a l'é na necessità teòrica. An dzorpì, costi concet a l'han ëd propriétà fòrte e indispensàbij se l'ansem dle mzure a l'é lë spassi dij nùmer reaj.

D'àutra part, ël fìsich a peul nen realisé dle mzure ëd precission infinìa. L'arpresentassion numérica dl'arzultà d'un cont a peul esse aprocià ëd fasson precisa tant ch'as veul con un nùmer decimal. A lë stat dla fìsica dël di d'ancheuj, a l'é ëdcò impossìbil da na mira teòrica realisé dle mzure ëd precision infinìa. 
A l'é për sòn che, sia pr'ij sò bzògn ësperimentaj che teòrich, bele che ël fìsich a càlcola le mzure an \R, a esprim j'arzultà numérich sot forma ëd nùmer decimaj.

Parèj, ël fìsich a deuvra le proprietà dij nùmer reaj ch'a përmëtto ëd deje un sens a le mzure ch'a realisa e a eufro dij teorema potent për dimostré soe teorìe. Për ij valor numérich, as contenta dij nùmer decimaj. Cand a mzura la distansa che a përcor un sòlid ansima a un sercc complet, a deuvra ël valor π sensa posesse ëd chestion ansima a soa esistensa, ma un nùmer ëd decimaj soens cit a-j basta për ij sò cont.

Për finì, bele ch'ij nùmer reaj a peulo arpresenté un përfond ëd grandësse fìsiche, e che cost ëspassi a l'abia pì dë mzure ch'a sia nen possìbil ëd dovré, ij nùmer reaj a van nen bin për travajé ansima a vàire dij problema fìsich. D'ansem pì grand ch'a conten-o ij reaj a son ëstàit creà për podèj manipulé vàire spassi fìsich. Për esempi:
* lë spassi \mathbb{R}^n , për modelisé djë spassi vetoriaj ëd dimension pì granda che 1;
* l'ansem dij nùmer compless dont la strutura a l'ha dle proprietà pì fòrte che cola dl'ansem dij nùmer reaj.

### Considerassion tecnològiche
Ij nùmer reaj a peulo esse arpresentà sot forma d'un dësvlup decimal infinì. An teorìa, un përfond ëd grandësse a peul donca esse arpresentà ëd la sòrt. An pràtica, costi nùmer a dësvlup decimal infinì a son nen bon pr'ij cont e a son nen arpresentàbij ansima a j'ordinator. J'economista e j'anginié a-i deuvro an abreviand-ne o an arotondand-ne ël dësvlup decimal infinì. Ëd sòlit ant ël comersi as arotonda a doe gifre apress la vìrgola. 

J'anformàtich, ch'a l'han a soa disposission dij tipo ëd dàit parèj dla vìrgola mòbil e dla vìrgola fissa a deuvro ëdcò lor mach d'aprossimassion adate ai cont anformàtich. Për arpresenté ëd fasson finìa chèich reaj ansima a n'ordinator, a ventrìa dispon-e ëd na memòria infinìa o d'un processor dedicà ai càlcoj simbòlich.

### Prime armarche ansima a la nossion ëd ''dësvlup decimal infinì''
Minca nùmer real a peul esse arpresentà sot forma ëd nùmer a dësvlup decimal infinì. Costa definission a peul ësmijé pì sempia che d'àutre dovrà ëd sòlit dai matemàtich. Tutun, as vëd dlongh che costa a compòrta dle definission e dle dimostrassion motobin pì complicà. An efet ij nùmer reaj a son anteressant për la strutura e le proprietà dl'ansem che costi a formo: adission, multiplicassion, relassion d'órdin, e le proprietà ch'a gropo coste nossion. Coste proprietà a son mal contnùe ant la definission *dësvlup decimal infinì* e a-i comparisso dij problema teòrich:

* Chèich nùmer a l'han doe arpresentassion. 
:: Për esempi, ël nùmer x=0,9999... (ij 9 a van anans a l'infinì), a verìfica l'equassion 10x = 9+x. Ël nùmer y=1,000000... (ij 0 a van anans a l'infinì) a n'é ëdcò na solussion. L'esistensa e l'unissità ëd solussion për costa equassion a son doe proprietà essensiaj për na definission unìvoca dij reaj. Për armedié a costa situassion, a-i é da manca d'identifiché j'arpresentassion decimaj ch'a son solussion ëd na midema equassion linear: la definission a dventa pì complicà.

* Dovré un dësvlup *decimal* a fa gieughe un ròl privilegià a la base 10.
:: A costa dificoltà as peul passeje 'nsima. As peul dovresse na base qualsëssìa: as parla antlora ëd dësvlup an base p. A l'é antlora possìbil dimostré che j'ansem costruì a parte da coste base a son isomòrf e che le proprietà dij nùmer reaj a resto bon-e an tute coste base. Tutun le dimostrassion a ven-o pì dure, e la definission a perd ëd soa simplissità.

* Për finì j'algoritm naturaj për fé n'adission o na multiplicassion, a treuvo na limitassion ant la dobia arpresentassion dij nùmer decimaj. 
:: An efet, le reste as ten-o da ment da drita vers ësnistra, e n'algoritm efetiv a ciama ëd traté mach un nùmer finì ëd decimaj, visadì ëd tronché ij nùmer ansima ai quaj as fan ij cont: a peul ancapité donca che bele troncand tant leugn ch'as veul, un a l'abia mai ël decimal precis, për esempi ant ël cont 0,33...+0,66...=1. Passé dzora a costa dificoltà a ciama ëd fé arferiment a dle nossion ëd convergensa, ch'a men-o ëd fasson natural vers d'àutre manere ëd definì ij reaj.

Tutun, na vira stabilìa la strutura dl'ansem dij nùmer reaj, la notassion për mojen dij dësvlup decimaj a përmet dij cont efetiv, an goernand lë spìrit che a son pà tant ij decimaj precis d'un nùmer ch'a conto, ma pitòst soa posission rëspet a j'àutri reaj.

## Aspet ëstòrich
### Orìgin dij nùmer
#### Nàssita dle frassion
Da l'antichità l'arpresentassion ëd na grandëssa mzuràbil a l'ha rëspondù a në bzògn. La prima rispòsta a l'é stàita la costrussion dle frassion (an cossient ëd doi antregh positiv).  Costa solussion, butà an euvra motobin prest dai sumer e j'egissi, a l'ha marcià bin. Sòn a përmet d'avzinesse a na longheur qualsëssìa con tuta la precission ch'as veul.

#### Corëspondensa con le longheur

La prima formalisassion sistematisà ch'as conòssa a l'é l'arzultà dël travaj d'Euclid ant ël III sécol aGC. Soa costrussion, arportà ant j*Element*, a men-a doe ideje fiamenghe ëd grand amportansa ant la stòria dla matemàtica.

* La matemàtica a l'é formalisà con dj'assiòma, dij teorema e dle dimostrassion. As peul antlora costruì un sistema, con dij teorema anté che le dimostrassion as pògio ansima a d'àutri teorema. La matemàtica a l'é classificà an branche, dont la geometrìa e l'aritmética a na son le prinsipaj. Parlé ëd costrussion a l'ha antlora sò sens.

* Un pont a l'é fabricà antra coste doe categorìe. Costa manera 'd rasoné, ch'a përmet ëd dovré dj'arzultà d'un-a dle doe branche dla matemàtica për fé lus an sl'àutra a l'é dle pì produtive. Ij nùmer a son antlora butà an corëspondensa con dle longheur ëd segment.

### Problema d'incompletëssa
#### Irassionalità dla rèis quadrà ëd 2

L'apròcc d'Euclid a buta an evidensa la prima contradission antra la nossion ëd nùmer dl'época, le frassion, e ël ròl che a l'é atribuije, l'arpresentassion ëd na grandëssa mzuràbil.

* **Na longheur dont ël quadrà a l'é ugual a 2 a esist**. Un rasonament geométrich, gìa vej a l'época d'Euclid, a mostra ch'a l'é possìbil ëd costruì un quadrà B ëd surfassa dobia ëd cola d'un quadrà inissial A ch'as peul serne ëd banda ugual a 1. Se as denòta con d la longheur dël lat dël quadrà B, ch'a l'é ugual a la longheur dla diagonal dël quadrà A, l'ugualiansa d^2=2 a l'é antlora verificà.

* **Na longheur dont ël quadrà a l'é ugual a 2 a esist pà sot forma ëd frassion**. Chèich arzultà a son gìa conossù an aritmética, për esempi ël lema d'Euclid. À parte d'ës lema-sì as mostra che gnun nùmer a peul esse la rèis quadrà ëd 2. Ambelessì, nùmer a veul dì frassion positiva dagià che gnun-a àutra formalisassion a l'é ancor imaginàbil. 

J**Element'' d'Euclid as fondo ansima a n'assiomàtica anté ch'a smija podèisse prové che na proposission a l'é ansema vera e fàussa. A-i sarà da manca ëd pì'd 2000 agn për l'umanità për arzòlve costa aparent contradission, an dasens na spiegassion dël përchè ij rassionaj a arpresento mach an manera imperfeta la reta real e trové coma arpresentela mej.

A l'é da armarché che tre sécoj anans Euclid, a l'é bel fé che [[Pitàgora]] a fussa a conossensa dl'irassionalità ëd chèiche rèis. D'àutra part, la prima formalisassion d'un ver sistema matemàtich costruì a ven d'Euclid.

==== La rèis quadra ëd 2 a l'é irassional ====
Na [[dimostrassion për assurd]] ëd [[Paul Erdős]], a mostra che <math>\sqrt{2}</math> a l'é irassional.

Butoma donca che <math>\sqrt{2}</math> a sia un rassional. A esisto antlora doi antregh ''p'' e ''q'' (pì grand che 0) parèj che 
:<math>\sqrt{2} = \frac p q</math>. 

An semplificand con ël [[divisor comun pì grand]] ëd ''p'' e ''q'', i pudoma assume che ''p'' e ''q'' a sio prim antra 'd lor (la frassion <math>p/q</math> a l'é dita ireduvìbil).

Elevoma al quadrà ij doi mèmber për oten-e
:<math>2 =\frac{p^2}{q^2}</math>
An multiplicand për ''q''<sup>2</sup> ij doi mèmber, i otnoma antlora 
:<math>\ 2 \cdot q^2 =p^2</math>
I na concludoma che 2 a divid <math>p^2=p \cdot p</math> e d'apress ël lema d'Uclid, dagià che 2 a l'é [[nùmer prim|prim]], i pudoma dì che 2 a divid ''p'', donca a esist ''k'' antregh tal che ''p=2k''. I otnoma antlora an semplificand për 2:
:<math>\ q^2 =2 \cdot k^2</math> 
Costa ugualiansa a mostra, d'apress ël lema d'Uclid, che 2 a divid ''q''.

I l'oma donca fàit vëdde che 2 a divid p e q, lòn ch'a l'é contraditòri con l'[[ipòtesi]] ëd partensa, anté ch'i l'avìo pijà p e q prim antra 'd lor.

==== Dësvlup decimal ilimità nen periòdich ====
Se le frassion a permëtto an manera efetiva d'esprime minca longheur con la precision vorsùa, a venta tutun ten-e da ment che j'operassion, e an particolar la division, a dvento complicà se ël [[sistema ëd numerassion]] a l'é sernù pà bin.

A venta speté ël sécol ch'a fa V për che la scòla indian-a a anventa ël concet ëd zero e a dësvlupa un sistema ëd [[numerassion posissional|numerassion decimal e posissional]].

N'àutr problema a fa antlora soa aparission. Tute le frassion a l'han un dësvlup decimal s'as lassa che ës dësvlup-sì a sia infinì e periòdich, visadì che la sequensa dij decimaj a chita mai ma as arpet ansima a un nùmer finì ëd valor. La chestion a l'é ëd savèj che sust deje a n'oget caraterisà da na sequensa ëd decimaj nen periòdica. Për esempi, ël nùmer a dësvlup decimal infinì ch'as esprim tanme
:0,1010010001..., anté ch'ël nùmer ëd 0 antra le gifre 1 a chërs viaman, corespond-lo a na longheur?

==== Sequense e serìe ====
Ant la sconda mità dël sécol ch'a fa XVII, a-i é un dësvlup ëstrasordinari dla matemàtica ant ël setor dël calcòl dle [[serie]] e dle [[sequensa|sequense]].

[[Nicolaus Mercator]], ij Bernoulli, [[James Gregory]], [[Gottfried Wilhelm von Leibniz]],  e d'àutri a travajo ansima a dle serìe ch'a con convergente ma dont ël [[lìmit]] a l'é nen rassional. A l'é ël cas për esempi:
* dla serie ëd Mercator: <math>\sum_{k=1}^\infty {(-1)^k \over k} = 1 - \frac 12+\frac 13- \frac 14 + \cdots</math> che a convergg vers <math>\ln (2)\,</math>
* dla serìa ëd Gregory: <math>\sum_{k=0}^\infty {(-1)^k \over {2k+1}} = 1 - \frac 13+\frac 15- \frac 17 + \cdots</math> che a convergg vers <math>\pi/4\,</math>
Ëd fasson ancor pì sorprendenta, [[Joseph Liouville|Liouville]] dël 1844 a mostra l'esistensa ëd [[nùmer trassendent]] visadì ch'a son nen rèis d'un [[polinòmi]] a coefissient antregh; a-i basta nen donca ëd completé ij rassionaj an giontand-je ij [[nùmer algébrich]] për oten-e l'ansem ëd tuti ij nùmer reaj
* dle serìe dla forma <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{10^{k!}} = \frac{a_1}{10^{1}} + \frac{a_2}{10^{2}} + \frac{a_3}{10^{6}} + \frac{a_4}{10^{24}} + \cdots</math> arpresentant ij [[nùmer ëd Liouville]], anté che <math>(a_n)</math>  a l'é na sequensa d'antregh comprèis antra 0 e 9.

==== Ël calcòl infinitesimal ====

Durant la sconda part dël sécol ch'a fa XVII, [[Isaac Newton]] e Gottfried Wilhelm von Leibniz a anvento na branca dla matemàtica d'autut neuva. Al di d'ancheuj a la ciamo [[anàlisi matemàtica|anàlisi]], a l'época a l'avìo dila calcòl infinitesimal. Costa branca a pija dun-a na grand amportansa përchè a l'é la base ëd na neuva teorìa fìsica dl'univers: la teorìa dla [[gravitassion]] newtonian-a.

Donca, ël calcòl infinitesimal as peul nen dësvlupé ant l'ansem dij nùmer rassionaj. Se ij cont a son giust, costi a son esprimù ant un lengage ëd na gran complessità e le dimostrassion a travajo pì an dovrand l'antuission geométrica che an manera ciàira e rigorosa ant ël sens ëd nòstra época.

L'impossibilità dla costrussion dl'anàlisi ant l'ansem dle frassion a va sërcà ant ël fàit che costa branca dla matemàtica as fonda ansima a l'anàlisi d'infinitaman cit. Donca, as peul comparé ij nùmer rassionaj a n'infinità ëd cit gran ëd sabia (ëd dimension infinitaman cita) ansima a la reta real ch'a lasso infinitaman pì ëd ''përtus'' che ëd materia. L'anàlisi a peul nen contentesse d'un supòrt parèj, ma a ciama për supòrt në [[spassi complet]]. Ël termo a l'é ambelessì dovrà ant un sens dobi, ël sens antuitiv che a veul dì che l'infinità ëd ''cit përtus'' a deuv esse ''ampinìa'' e ël sens ch'ij matemàtich a deuvro al di d'ancheuj pì astrat ma rigorosaman formalisà.

Costa nossion a l'é tant amportanta che sòn a farà s-ciòde a l'ancamin dël sécol ch'a fa XX na gròssa branca dla matemàtica, ciamà [[topologìa]].

==== Përchè a-i é da manca d'<math> \mathbb R </math> ant l'anàlisi ====
L'anàlisi a fa cont che na [[fonsion]] real ëd na variàbil real a l'é essensialman conossùa për sò comportament infinitesimal. Për esempi, se l'acelerassion d'un [[pianeta]] a l'é conossùa a minca istant e che soa posission e soa velocità inissiaj a son conossùe, antlora a l'é possìbil trovene la trajetoria precisa. Na caden-a ëd teorema, cola dël [[teorema dj'aument finì]] ch'as preuva an dovrand ël [[teorema ëd Rolle]] ch'as a preuva për mojen dël [[teorema dle limitassion]] a dventa fàussa ansima a le frassion rassionaj. Se as arpresenta ës teorema-sì an termo pì concret, as peul escrive costi teorema ëd na fasson parèj: për ël teorema dj'aument finì, se na vitura a marcia për 120 km an 2 ore antlora costa vitora a viagia almanch un moment a 60 km/h; për ël teorema ëd Rolle (rispetivaman ël teorema dle limitassion), se na vitura a part e a riva ant ël midem pòst sensa cambié dë stra, antlora costa a l'é fërmasse almanch na vira për torné andré (e a-i é un moment che la vitura as treuva ant ël pont pì leugn da soa partensa).

As trata ëd teorema dont l'antuission a l'é ciàira, che un as ciama fin-a coma a l'é possìbil d'avèj da manca ëd dimostreje. Newton a l'ha possà tant leugn le conseguense ëd coste ''evidense'', che mach pòche përson-e a l'han podù a soa época capì da bon soa euvra pì granda, ''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica''. Le dimostrassion as fondavo a la fin fin sempe ansima a n''antuission''.

I butoma bin an ciàir përchè la dimostrassion dël teorema dle limitassion a ciama na comprension ancreusa dla natura topològica dij nùmer reaj. Për sòn as pijërà an considerassion la fonsion f ansima ai rassionaj dl'antërval <math>\left[1,3 \right]</math> an <math>\mathbb{Q}</math>, anté che <math>\mathbb{Q}</math> a denòta l'ansem dle frassion rassionaj, definìa parèj:
:<math>f(x)=\left\{\begin{matrix} x, & \mbox{si }x^2 < 2 \\ 3-x, & \mbox{si }x^2>2 \end{matrix}\right.</math>


La fonsion a sarìa dëscontinua ant un pont dont ël quadrà a fussa ugual a 2, ma ës pont-sì a esist nen ant ij rassionaj, la fonsion a l'é donca continua daspërtut anté ch'a l'é definìa. As armarca che ij ''cit përtus'' a dësblo nòstra nossion antuitiva ëd continuità. Na descrission ''infinitesimal'' a peul nen donca descrive për da bin la fonsion përchè ij ''cit përtus'' a permëtto dij ''sàut'' ch'a son nen descrivù dal comportament ''infinitesimal''. Nòstra nossion antuitiva ëd continuità a l'ha nen donca ël midem sens an <math>\mathbb{Q}</math> che an <math>\mathbb{R}</math>. Pì l'assissa as apròcia an sla reta a 'n pont ch'a esist nen an <math>\mathbb{Q}</math>, pì ël valor ëd na fonsion a peul aumenté. Parèj, a esist gnun pont ch'a toca ël valor pì àut.

==== La reta real ====
Se ij nùmer negativ a comparisso motobin prest ant la stòria (contribussion ëd la matemàtica indian-a), a venta speté fin-a al 1770 për che costi a oten-o mersì a [[Leonhard Euler|Euler]] në statù ëd nùmer për da bon e a chito sò caràter d'artifissi ëd cont. Ma a venta speté ancor un sécol për che l'ansem dij reaj a sia assossià a l'ansem dij pont ëd na reta orientà, ciamà reta real.

Ch'as consìdera na reta D ch'a conten un pont O ch'as ciamrà, për convension, origin. Ch'a sia I un pont diferent da O ch'aparten-a a D e ch'as identìfica col nùmer 1. Për convension, as dirà che la distansa da O a I a l'é ugual a 1 e che l'orientassion dla reta a l'é cola da O vers I. A tut pont M dla reta, as assòssia la distansa antra O e M. Se M e I a resto dl'istessa banda rëspet a O antlora la distansa a l'é considerà positiva, dësnò costa a l'é negativa.

Costa relassion che la formalisassion dël di d'ancheuj a ciama bijession a përmet d'identifiché un nùmer real a un pont ëd na reta.

<div style="text-align: center"></div>

=== Apress 2200 agn: la solussion ===
==== La costrussion ====

L'anàlisi a përmet n'antuission pì precisa ansima a la topologìa dij nùmer. A-i sarà da manca d'un sécol për rivé a na costrussion rigorosa dij nùmer reaj, visadì ''saré ij përtus''.


Tanme a-i ancàpita soens an matemàtica, na vira che ël problema a l'é vnù madur, cost a l'é arzolvù pà mach da un, ma da doi pensador.

Ël prim a avèj definì un concet për permëtte d'arzòlve la problemàtica dla costrussion dij nùmer reaj a l'é [[Augustin-Louis Cauchy]]. So apròcc a l'é restà ël pì dru e as àplica a vàire d'àutre situassion che ai nùmer reaj. Soa idèja a l'é costa: na sequensa ëd nùmer ''a dovrìa'' converge (visadì avèj un [[lìmit]]), se, ''passà un pòch ëd temp'', tuti j'element dla sequensa a son a na distansa da j'àutri tant cita ch'as veul. Costa idèja a l'é formalisà dal concet ëd [[sequensa ëd Cauchy]]. Ch'as pija an considerassion la sequensa 1, peui 1,4, peui 1,41 e via fòrt, an alineand un për un tuti ij decimaj ëd <math>\sqrt 2</math>, costa sequensa a verìfica ël [[critèri ëd Cauchy]]. Sò ''lìmit'' a l'é un bon candidà për arpresenté la rèis quadrà ëd 2 e cost apròcc a përmet ëd costruì ij nùmer reaj. A l'é da armarché che a l'é mach vers la fin dël sécol ch'a fa XIX che costa idèja a përmet na costrussion rigorosa dl'ansem dij reaj ch'a l'é realisà da doi matemàtich: Cantor ant ël 1872 e [[Charles Méray|Méray]] ant ël 1869.

Ël second a l'é [[Richard Dedekind]] che, ant ël 1872, a propon an soa euvra ''Was sind und was sollen die Zahlen'' (''Lòn ch'a son e lòn ch'a dovrìo esse ij nùmer'') un métod pì sempi an ëstudiand la relassion d'órdin ansima a le frassion. Soa idèja a consist a consideré ij [[taj ëd Dedekind|taj]], për esempi l'ansem ëd tuti ij nùmer negativ o dont ël quadrà a l'é pì cit che 2. Cost oget a l'é ëdcò un bon candidat për arpresenté la rèis quadrà ëd 2.

A esist n'àutr métod a parte d'ij dësvlup decimaj, tutun j'operassion d'adission e ëd multiplicassion a resto nen bel fé a definì. A l'é miraco për sòn che cost apròcc a l'é ël men popolar.

Costi métod a fàbrico tuti ël midem ansem, col dij nùmer reaj.

==== La solussion a l'é pì rica che lòn ch'as prevëdìa ====

Ël sécol ch'a fa XIX a mostra che costa neuva strutura, l'ansem dij nùmer reaj, soe operassion e soa relassion d'órdin, nen mach a manten soe promësse ma a va dëdlà.

* Nen mach ël paradoss dla <math>\sqrt{2}</math> a l'é arzolvù, ma as peul dimostresse un teorema potent: ël [[teorema dij valor mojen]] ch'a përmet ëd costruì le [[fonsion anverse]], për esempi le fonsion [[radicaj]] <math> x \mapsto \sqrt[n]{x}</math>, e j'anverse dle fonsion [[Trigonometrìa|trigonométriche]].
* Ij dësvlup decimaj infinì a l'han al di d'ancheuj un sens. An dzorpì, a l'é possìbil classifiché con pì precision ij nùmer reaj. Parèj, an dzorpì dle frassion rassionaj a l'é anventasse ël camp dij nùmer algébrich, visadì dij nùmer ch'a resto [[rèis (matemàtica)|rèis]] d'un polinòmi a coefissient antregh. Na neuva famija ëd nùmer a l'é smonùa: ij trassendent, ch'a son rèis ëd gnun-a equassion algébrica a coefissient antregh. Le proprietà ëd costi nùmer a permëtto la dimostrassion ëd veje congeture tanme la [[quadradura dël sercc]].
* Për finì, ël teorema ëd Rolle a l'é generalisà e a përmet la dimostrassion ëd n'arzultà essensial për l'anàlisi. Ël comportament infinitesimal ëd na fonsion, për esempi ël fàit che la [[derivà]] a sia sempe positiva, a përmet ëd conclude un comportament global. Sòn a veul dì për esempi, che se un sòlid as bogia ansima a na reta con na velocità anstantania sempe positiva, antlora ël sòlid a l'ha avansà, visadì cost a l'é bogiasse positivaman (vers "l'anans") rëspet a l'orìgin. Costa problemàtica ch'a l'avìa sburdì ij Grech, nen bon a arzòlve ij [[paradòss ëd Zenon]], a l'é capìa an manera definitiva. Për s'arzultà-sì, che për l'antuission a l'é bin ciàir, a-i son vorsuje ëd sécoj dë sfòrs.
* Ant ël dësvlup dij cont infinitesimaj, la manipulassion dl'infinitaman cit as peul antlora afrontesse ëd fasson diferenta. 

L'ansem dij nùmer reaj a podìa nen sodësfé tuti ij matemàtich. An j'agn 1960, Abraham Robinson a l'ha antroduvù la nossion ëd [[nùmer iper-real]], an përmetend ël dësvlup dl'[[anàlisi nen ëstandard]]. Costa neuva teorìa a përmet d'esprime e ëd dimostré ëd fasson pì sempia chèich arzultà fondamentaj tanme ël [[teorema ëd Bolzano-Weierstrass]].

== Natura: matemàtica e filosofìa ==
L'evolussion dij concet ëd nùmer real e ëd continuità a l'é tant [[filosofìa|filosòfica]] che matemàtica. Ch'ij nùmer reaj a formo na sostansa continua a veul dì ch'a-i é nen ëd "sàut" o ëd "bande vietà". Conforma a l'antuission, a l'é pròpe tanme la përcession uman-a ëd lë spassi o dlë score dël temp. Chèich filòsof a pensa che d'àutra part sòn a l'é vera për tuti ij fenòmeno naturaj. Ës concet-sì a l'é resumà për mojen dël mòt dël matemàtich e filòsof Leibniz: ''natura non facit saltus'', "la natura a fa nen ëd sàut".

=== D'la Grecia antica a j'achit dij temp modern ===
La stòria dla continuità a l'ha sò achit ant la [[Grecia]] antica. Ant ël I sécol aGC, j'[[atomism|atomista]] a chërdìo nen mach che la natura a l'é fàita ëd "sàut", ma ëdcò ch'a esisto dle partissele ëd base nen divisìbij, j'[[àtom]]. Ij [[sinechism|sinechista]] d'àutra part a fortivo che tut a l'é tacà, continuo. [[Demòcrit]] a l'era un ch'a chërdìa a na natura fàita d'àtom antërcalà ëd veuid, antant che [[Eudòss]] a fortìa ël contrari, an fasend ëd sò travaj un dij pì vej precursor dl'anàlisi. Costi-sì as son evolvusse pì tard an lòn ch'as conòss sot ël nòm ëd [[geometrìa euclidéa]].

Ancor dël sécol ch'a fa XVII, dij matemàtich a fortìo che na fonsion continua a l'é an efet costituìa ëd linie rete infinitaman cite, visadì infinitesimaj. Ël concet d'infinitaman cit, da na mira atomista, a peul ëmné a costa fasson ëd concepì la natura. La chestion dl'infinì a l'é donca sentral a la comprension dla continuità e dij nùmer reaj.

Ij paradòss ëd Zenon a ilustro la contra-antuitività dla nossion d'infinì. Un dij pì conossù a l'é col dla flecia, ch'a consist a pensé a na flecia ch'a vòla. A minca moment, la flecia as treuva a na posission precisa e se l'istant a l'é tròp curt, antlora la flecia a l'han nen ël temp ëd bogé e a resta ferma durant cost istant. Ant j'istant apress, costa a resta imòbil për la midema rason. La flecia a l'é sempe imòbil e a peul nen bogesse: ël moviment a l'é impossìbil. Për arzòlve ës paradòss-sì, a venta adissioné moviment infinitaman cit un nùmer infinì ëd vire, dovrand ël concet ëd lìmit, n'anvension rivà mersì a l'evolussion dl'anàlisi.

=== Stòria dl'anàlisi ===
Ël concet ëd continuità dij nùmer reaj a l'é sentral ant l'anàlisi, da j'achit ëd soa stòria. Na chestion fondamental a l'é cola ëd determiné se na fonsion dàita a l'é an efet na fonsion continua. Dël sécol ch'a fa XVIII, a l'é formulasse costa chestion tanme "na variassion infinitesimal an sò domini a pròvoca na variassion infinitesimal an soa imàgin?" Ant ël sécol ch'a fa XIX, costa formulassion a l'é stàita bandonà e rampiassà da cola ch'a deuvra ël concet ëd lìmit.

Dël sécol ch'a fa XVIII, j'infinitesimaj a finisso an dësgrassia: a resto d'utilità pràtica, ma a son nen precis, nen necessari e contraditòri. Cantor a-j dis fin-a na "maladìa anfetiva" dla matemàtica. Ij lìmit a-i rampiasso d'autut e, a parte d'l'ancamin dël sécol ch'a fa XX, j'infinitesimal a son mach ël sot-prodot dl'anàlisi. An matemàtica a resto ant ël canton dj'afé sensa sust, fin-a ch'a son torna antroduvù an prim pian ant la [[geometrìa diferensial]], an ëdventant la sorgiss matemàtica dij [[camp tensoriaj]].

Ant le siense aplicà, dzortut an fìsica e an angegnerìa, j'infinitesimaj as deuvro soens. La fasson dont a son dovrà a l'é ëd tansantan sorgiss ëd problema ëd comunicassion antra coste siense e la matemàtica.

== Definission assiomàtiche ëd <math>\mathbb R</math> e prima proprietà ==
Se as veul fela curta, as peul caraterisesse l'ansem dij nùmer reaj, ch'as denòta an general <math>\mathbb R</math>, con la frase ëd [[David Hilbert]]: <math>\mathbb R</math> a l'é ël pì gròss camp [[archimedeo]] ch'a l'é complet. "Pì gròss" a veul dì che minca camp archimedeo a l'é [[isomorfism|isomòrf]] a un sot-ansem d'<math>\mathbb R</math>. Ambelessì "isomòrf" a veul dì, da na mira antuitiva, che ''a l'ha la midema forma, o as compòrta ant l'istessa manera''.
Donca, ij camp isomòrf as peulo identifichesse.

=== Descrission assiomàtica ===

Na descrission assiomàtica a consist a caraterisé un concet con un-a o na serie ëd definission. Cost procediment, dont Hilbert a l'é ël precursor an sò formalism modern, ant ël sécol ch'a fa XX a l'é arvelasse esse na manera ëd pensé motobin drua. Dij concet 'me la topologìa, la [[teorìa dla mzura]], o la [[probabilità]] as definisso al di dj'ancheuj për mojen d'assiòma. Na descrission assiomàtica a smon na comprension perfeta dla strutura dont as parla e a përmet ëd dimostré ij teorema mach an basandse su coste definission. A l'é la rason për la qual ëd bon-e definission an matemàtica a peulo mostresse bin potente. La descrission assiomàtica d'<math>\mathbb R</math> a mostra tutun pà soa esistensa. A-i é antlora da manca ëd ''fabriché'' costa strutura.

La definission assiomàtica a l'é cola smonùa dëdzora. <math>\mathbb R</math> a l'é l'ùnich camp archimedeo complet. Ma a-i é ëdcò n'àutra definission assiomàtica pì sempia e ch'a l'é echivalenta. <math>\R</math> a l'é l'ùnich camp totalman ordinà che a sodisfa l'assiòma dl'estrem superior.
L'unissità a veul dì ambelessì che, se K a l'é un camp totalman ordinà ch'a l'abia la proprietà dl'estrem superior, a esist n'ùnich isomorfism antra K e <math>\R</math>.

* <math>\mathbb R</math> a l'é un camp. <math>\mathbb R</math> a l'ha donca na [[strutura algébrica]] pura, visadì tute soe laj a son anterior. An efet l'adission (rispetivaman la multiplicassion) as aplico a doi nùmer reaj për ëspòrze un ters nùmer real. <math>\mathbb R</math> a l'é un camp. Soe doe operassion, l'adission e la multiplicassion, a l'han donca tute le proprietà sòlite.
* <math>\mathbb R</math> a l'é un camp totalman ordinà. Sòn a veul dì che tuti ij nùmer a peulo esse comparà antra 'd lor (un peul esse pì grand, pì cit, o ugual a l'àutr) e che costa relassion a va d'acòrd con l'adission e la multiplicassion. An [[lengage]] matemàtich sòn a l'é formalisà parèj:
**: <math>\forall (a,b,c) \in \mathbb{R}^3 \quad a>b \; \Rightarrow a+c>b+c\;</math>;
**: <math>\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2, \forall c \in \mathbb{R}_+^*\quad a>b \; \Rightarrow a\times c>b\times c\;</math>
* L'assiòma dl'estrem superior as esprim parèj: se A a l'é n'ansem nen veuid e magiorà, visadì ch'a esist un nùmer dàit pì grand o ugual ëd minca element d'A; antlora A a l'ha [[estrem superior]], ch'a l'é ël pì cit dij magiorant.

Cost darié assiòma a diferensia <math>\mathbb R</math> da tut àutr camp. A-i é an efet n'infinità ëd camp totalman ordinà, ma mach un sol a sodisfa l'assiòma dl'estrem superior.
* <math>\mathbb R</math> a l'é archimedeo. Sòn a veul dì che se as pija un nùmer a positiv, e as considera la sequensa a, 2a, 3a, ..., antlora as oten na sequensa ëd nùmer grand tant ch'as veul. An lengage matemàtich, sòn a së scriv:
::<math>\forall (a,b) \in {\mathbb{R}_+^*}^2 \;\exists n \in \mathbb{N} \quad n\cdot a > b\;</math>
* <math>\mathbb R</math> a l'é un camp complet. Visadì minca sequensa ëd Cauchy real a convergg.

=== Dimostrassion ===
A venta dimostré l'echivalensa antra le doe definission assiomàtiche.

* **Se E\, a l'é un camp totalman ordinà ch'a verìfica la proprietà dl'estrem superior antlora E\, a l'é archimedeo**. Ch'a sia <math>a\,</math> n'element d'<math>E\,</math>, <math>a > 0\,</math> e <math> b\,</math> n'element d'<math>E\,</math>. A venta trové n'antregh <math>n\,</math> tal che <math>na \geq b\,</math>. 
** Se <math>a \geq b</math>, a-i basta ëd pijé <math>n= 1\,</math>
** Dësnò, ch'as considera l'ansem <math>A = \{na \mid n \in \mathbb N \wedge na < b\}</math>. <math>A\,</math> a l'é nen veuid e a l'é magiorà da <math>b\,</math> donca a l'ha n'estrem superior <math>c\,</math>. L'element <math>c-a\,</math> a l'é donca nen un magiorant d'<math>A\,</math>; a esist donca un natural <math>n\,</math> tal che <math>na >c-a\,</math>.
Antlora <math>(n+1)a > c\,</math> donca <math>(n+1)a \notin A</math>, dont a-i ven che <math>(n+1)a \geq b</math>.
* **Se E\, a l'é un camp totalman ordinà ch'a verìfica la proprietà dl'estrem superior antlora E\, a l'é complet.** Ch'a sia <math>(a_n)\,</math> na sequensa ëd Cauchy an <math>E\,</math>; a venta prové che <math>(a_n)\,</math> a convergg. Na sequensa ëd Cauchy a l'é tavòta limità. Parèj, l'ansem <math>A_n = \{a_m \mid m \geq n\}</math> a l'é nen veuid e limità, e a l'ha n'estrem superior <math>S_n\,</math> e n'[[estrem inferior]] <math>I_n\,</math>. As provrà che le sequense <math>(S_n)\,</math> e <math>(I_n)\,</math> a resto adiassente.
** <math>(S_n)\,</math> a l'é dechërsenta. An efet <math>S_n\,</math> a l'é un magiorant d'<math>A_n\,</math> donca d'<math>A_{n+1}\,</math> donca <math>S_n \geq S_{n+1}</math>.
** <math>(I_n)\,</math> a l'é chërsenta. Dimostrassion bele istessa.
** Për minca <math>\varepsilon > 0\,</math>, a esist <math>N\,</math> tal che, për minca <math>m\,</math> e <math>n\,</math> tal che <math>m \geq n \geq N</math>, <math>a_n-\varepsilon/2 \leq a_m \leq a_n + \varepsilon/2</math> (përchè la sequensa <math>(a_n)\,</math> a l'é ëd Cauchy). Parèj, <math>a_n + \varepsilon/2</math> a l'é un magiorant d'<math>A_n\,</math> donca <math>S_n \leq a_n + \varepsilon/2</math>. D'àutra part <math>I_n \geq a_n - \varepsilon/2</math>. Donca, <math>a_n-\varepsilon/2 \leq I_n \leq S_n \leq a_n + \varepsilon/2</math>, e <math>|S_n - I_n| \leq \varepsilon</math>. La sequensa <math>(S_n - I_n)\,</math> a convergg donca a 0.
: Doe sequense adiassente a convergio vers l'istess lìmit (costa a l'é na conseguensa direta dla proprietà dl'estrem superior). Ch'a sia <math>a\,</math> cost lìmit. As conòss che <math>I_n \leq a \leq S_n</math> . Da l'armarca dëdzora, a-i ven che për tut <math>\varepsilon > 0\,</math>, a esist <math>N\,</math> tal che, për minca <math>n \geq N</math>, <math>a_n-\varepsilon/2 \leq I_n \leq S_n \leq a_n + \varepsilon/2</math>. Dagià che <math>I_n \leq a \leq S_n</math>, a-i ven che <math>|a_n - a| \leq \varepsilon/2</math>. Lòn ch'a conferma che la sequensa <math>(a_n)\,</math> a convergg vers <math>a\,</math>.
* **Tut camp comutativ archimedeo complet a verìfica la proprietà dl'estrem superior.** La dimostrassion a l'é sìmil a cola dovrà për la costrussion dij nùmer reaj a parte da le sequense ëd Cauchy.

=== Prime proprietà ===

Costa session técnica a trata dle proprietà essensiaj e elementar për un travaj analìtich ansima a <math>\mathbb R</math>.

La proprietà sì-sota a ven dal fàit che <math>\R</math> a l'é archimedeo.

* Antra doi reaj diferent, a esisto tavòta un rassional e n'irassional.

J'àutre proprietà a son dle conseguense dla proprietà dl'estrem superior.

* Tut ansem nen veuid e minorà d'<math>\mathbb R</math> a admet n'estrem inferior.
* Tuta sequensa chërsenta e magiorà an <math>\mathbb R</math> a l'é convergenta.
* Tuta sequensa dechërsenta e minorà an <math>\mathbb R</math> a l'é convergenta.
* Doe sequense adassente a convergio vers l'istess lìmit. As ciamo ''sequense adiassente'' doe sequense, un-a ch'a chërs, l'àutra ch'a cala, dont la diferensa a tend a 0.
 
=== Dimostrassion ===
* **Tut ansem nen veuid e minorà d'\mathbb R a admet n'estrem inferior.** La dimostrassion a l'é bele parèj che cola dl'assiòma dl'estrem superior.
* **Tuta sequensa (u_n)\; chërsenta e magiorà an \mathbb R a l'é convergenta**. As pijërà an considerassion l'ansem dij valor ëd costa sequensa. A l'é nen veuid e magiorà. A admet donca n'estrem superior che i denotoma ''l''. Tut element rigorosaman pì cit che ''l'' a l'é pà un magiorant. A-i na ven:
::<math>(1)\quad \forall \epsilon > 0, \exists N\in \mathbb N, u_N> l-\epsilon</math>
:La sequensa <math>(u_n)\;</math> a l'é chërsenta; a-i na ven che la proposission (1) së scriv ëdcò:
::<math>(2)\quad \forall \epsilon > 0, \exists N\in \mathbb N, \forall n>N, |l-u_n|< \epsilon</math>
:La proposission (2) a l'é la definission dla convergensa dla sequensa <math>(u_n)\;</math>.
* **Tuta sequensa dechërsenta e minorà an \mathbb R a l'é convergenta.** La dimostrassion a l'é parèj ëd cola sì-dzora.
* **Doe sequense adiassente a convergio vers l'istess lìmit.** A l'é ël [[teorema dle sequense adiassente]].
* **Antra doi reaj diferent, a esist tavòta un rassional.** Pijoma doi reaj diferent. Denotoma ël pì cit <math>a\,</math> e ël pì gròss <math>b\,</math>. Mostroma ch'a esist un rassional antra ij doi. Ciamoma <math>d\,</math> un real pì grand che 0 e pì cit che <math>b-a\,</math>. Dagià che <math>\R</math> a l'é archimedeo, a esist n'antregh <math>q\,</math> tal che <math>1/d < q\,</math>. Ch'as consìdera antlora l'ansem dj'antregh relativ <math>p\,</math> tal che <math>\frac{p}{q}\leq a</math>. Dagià che <math>\R</math> a l'é archimedeo, cost ansem a l'é nen veuid e magiorà. A admët antlora un pì grand element <math>p_0\,</math> tal che <math>\frac{p_0}{q} \leq a < \frac{p_0}{q} + \frac{1}{q}< b</math>. Ël rassional <math>\frac{p_0+1}{q}</math> a l'é comprèis ës-ciass antra <math>a\,</math> e <math>b\,</math>.
* **Antra doi reaj diferent, a esist tavòta n'irassional.** Për sòn, i dovoma parte da n'irassional, për esempi <math>\sqrt 2\;</math>. Consideroma ij reaj <math>a' = \frac{a}{\sqrt 2}</math> e <math>b' = \frac{b}{\sqrt{2}}</math>. Për la proprietà dëdzora, a esist un rassional <math>r\,</math> comprèis antra <math>a'\,</math> e <math>b'\,</math>.
An mulitiplicand për <math>\sqrt2</math>, as treuva n'irassional <math>r\sqrt 2</math> comprèis antra <math>a\,</math> e <math>b\,</math>.

=== Saradura algébrica ===
A esist n'ansem ëd fonsion bomben anteressante, ij polinòmi. Un polinòmi a peul dle vire esse [[Fatorisassion dij polinòmi|fatorisà]]. Visadì as peul esprimse sot forma ëd prodot ëd polinòmi nen costant ëd gré pì cit. L'ideal a sarìa ëd podèj fatorisé tut polinòmi an fator ëd gré 1 (visadì dla forma <math>ax+b\;</math>). Costa proprietà a dipend dal camp ansima al qual as costruisso costi polinòmi. Për esempi ansima al camp dij rassionaj, ch'a sia <math>n</math> antregh superior o ugual a doi; a esisto dij polinòmi ëd gré <math>n</math> ireduvìbij, visadì ch'as a peul nen esprimje sot forma ëd prodot ëd polinòmi ëd gré pì cit.
Për ij nùmer reaj, as dimostra che ël pì grand gré d'un polinòm ireduvìbil a l'é ugual a doi. An d'àutri termo, se ël polinòmi as decompon nen, a l'é ch'a l'é dla forma <math>ax^2+bx+c\;</math>. Ij camp dont ij polinòmi ireduvìbij a son mach coj ëd gré 1 a-j diso [[algebricaman sarà]].

Se <math>\mathbb R</math> a l'é pà algebricaman sarà, as peul tutun mojé ës camp ant un camp pì gròss. As trata d'un camp neuv, ël camp dij nùmer compless. Tutun ës camp-sì a l'é pà globalman "mèj". L'esse algebricaman sarà a l'é na proprietà fòrt anteressanta, ma a l'ha un pressi: ël camp dij compless a peul nen avèj ëd relassion d'órdin compatìbij con soe doe operassion. An chèich sòrt, lòn ch'a l'é vagnà da na banda a l'é përdu da n'àutra.

=== Topologìa ===
La rason d'esse dij nùmer reaj a l'é dë spòrze n'ansem ëd nùmer con ëd proprietà ''bon-e'', për permëtte la costrussion dl'anàlisi. A son possìbij doi apròcc, ch'a deuvro doi concet diferent.
* As peul dovré la nossion dë [[spassi métrich]] che ansima a <math>\mathbb R</math> a assòssia la [[distansa]] sòlita. Costa distansa <math>d\;</math>, a l'era gìa dovrà da Uclid. A l'é definìa dla manera parèj:
::<math>\forall (x,y)\in \mathbb{R}^2, d(x,y)=|y-x|\;</math>
:Ës concet-sì a l'é ël pì davzin a l'antuission e an general a përmet dle dimostrassion un pòch pì naturaj. Soens a l'é a parte da si concet-sì che le proprietà analìtiche d'<math>\mathbb R</math> a son dësvlupà e provà. 
* As peul ëdcò dovré la teorìa dla topologìa. Costa teorìa a l'é pì general che cola assossià a la distansa. Tut ëspassi métrich a l'é në [[spassi topològich]]. Ma ël [[convers]] a l'é pà sempe vera.
L'elegansa a preferiss j'assiomatisassion pì déboj. Ant ël sécol ch'a fa XX un travaj d'arformulassion general dla matemàtica a l'é anandià da [[Nikolas Bourbaki]] e as concretisa ant la redassion ëd n'euvra ciamà ''Éléments de mathématique'' (''Element ëd matemàtica''). S'euvra a trata, ëd fasson rigorosa, na gròssa part dla matemàtica dël di d'ancheuj. Për costa rason, j**Element* a dësvlupo e a dimostro le proprietà dl'ansem dij reaj a parte dla topologìa.

=== Proprietà ===
* Ch'a sia <math>a\;</math> un nùmer real. N'[[anviron]] d'<math>a\;</math> a l'é n'ansem ch'a conten un antërval duvert ch'a conten <math>a\;</math>.
* <math>\mathbb R</math> a l'é në [[spassi separà]].
* <math>\mathbb Q</math> a l'é daspërtut ës-ciass an <math>\mathbb R</math>.
* Ij duvert ëd <math>\mathbb R</math> a resto j'[[union]] qualsëssìa d'antërvaj duvert.
* Ij sot-ëspassi [[spassi compat|compat]] d'<math>\mathbb R</math> a son j'ansem sarà e limità. Costa proprietà a përmet na dimostrassion sempia e curta dël [[teorema dle limitassion]]. An particolar ij segment a resto compat.
* Minca sequensa limità ëd <math>\mathbb R</math> a admët na sot-sequensa convergenta. A l'é ël teorema ëd Bolzano-Weierstrass.
* <math>\mathbb R</math> a l'é në [[spassi tacà]] e [[tacà ëd fasson sempia]].
* Ij sot-ansem tacà d'<math>\mathbb R</math> a son j'antërvaj. Costa proprietà a përmet na dimostrassion sempia e curta dël teorema dij valor mojen.
* Teorema dj'ansem sarà ambotià. Ch'a sia <math>(F_n)\;</math> na sequensa d'ansem sarà, limità, ambotià (visadì <math>F_{n+1} \subseteq F_n </math>), nen veuid. Antlora soa antërsession a l'é nen veuida:
::<math>\bigcap_{n \in \mathbb N} F_n\;\ne \varnothing \;</math>.
:An efet, as pija an considerassion na sequensa <math>(u_n)\;</math> ch'a verìfica la proprietà <math>u_n \in F_n\;</math>. A l'é na sequensa limità, a admët donca na sot-sequensa convergenta. So lìmit a l'é aderent a minca antërval <math>F_n\;</math> e dagià che costi ansem a son sarà, a conten-o tuti ij sò pont aderent.

=== Cardinalità ===
Vàire ch'a son ij nùmer reaj? N'infinità, ma vàire? A esisto un përfond ëd [[cardinalità|cardinaj]] infinì. Ambelessì ël concet ëd *cardinal* as peul pensesse tanme ël nùmer d'element contù an n'ansem. Cand j'ansem a son nen finì, nòstra prima antuission a l'é falà. Për ten-e da ment l'anghicio, comparoma ël cardinal dij nùmer antregh positiv e dij [[nùmer par]] positiv. Nòstra prima reassion a sarìa ëd fortì che ël cardinal dj'antregh positiv a l'é pì grand përchè cost ansem a conten nen mach ij nùmer par ma ëdcò ij nùmer dìspar, donca ël dobi ëd nùmer. Tutun, l'aplicassion che, a minca nùmer antregh positiv, a assòssia sò dobi a l'é na corëspondensa bijetiva, visadì a assossia a minca nùmer dl'ansem ëd partensa un mach un element ant l'ansem d'ariv. Nòstra prim reassion a l'era pà bon-a e a përmet nen ëd costruì la teorìa dij cardinaj. Ij doi cardinaj a son an efet uguaj. An efet, l'ansem dj'antregh positiv e l'ansem dj'antregh par positiv (o dìspar positiv) a corëspondo a un midem cardinal dit numeràbil. An d'àutre paròle, a-i son tanti nùmer antregh positiv che nùmer par (o dìspar) positiv.

Col ch'a l'é ël cardinal dij nùmer rassionaj? Cost a smija motobin pì grand che col dj'antregh përchè antra doi antregh a-i é n'infinità ëd [[frassion]]. Tutun, a l'é ancor possìbil ëstabili na bijession antra l'ansem dj'antregh e col dle frassion.

Ciamomse antlora la midema chestion për l'ansem <math>\mathbb R</math>. Sò cardinal a l'é pà numeràbil: a l'é pì grand ëd col dij nùmer antregh. Ël cardinal dij nùmer rassionaj a l'é denotà <math>\aleph_0\;</math> (alef 0). Col dij nùmer reaj a l'é denotà <math>c\;</math> o <math>2^{\aleph_0}\;</math> e a l'é ciamà ël cardinal dël continuo. D'anté ch'a-i ven ës cambiament ëd cardinal? An efet, ij rassionaj e ëdcò ij nùmer algébrich a l'han na cardinalità numeràbil. L'ansem dij nùmer reaj a l'ha la cardinalità dël continuo. Costi a resto donca *infinitaman'' ëd pì che ij nùmer algébrich e donca che ij nùmer antregh.
Georg Cantor, genial anventor dël rasonament dla diagonal, a stabiliss costa teorìa e as ciama la chestion dl'esistensa d'un cardinal pì gròss che col dij nùmer rassionaj e pì cit che col dij nùmer reaj. Soa ipòtesi, che un cardinal parèj a esist nen, as ciama l'ipòtesi dël continuo. Costa congetura a l'é fondamental ant la stòria dla matemàtica për doe rason:
* A l'ancamin la chestion dij cardinaj a l'é stait anglobà da Cantor an na teorìa pì spantià, la teorìa dj'ansem, che a serv al di dj'ancheuj ëd fondament a tuta la matemàtica. Tut ël formalism e le costrussion dla matemàtica a l'han për fondassion costa teorìa.
* Apress, la rispòsta a la chestion dl'ipòtesi dël continuo a l'é vreman dròla, e a l'ha ventà speté la sconda mità dël sécol ch'a fa XX për trovela: a l'é indessidìbil. Sòn a veul dì che da na part a l'é impossìbil dimostré l'esistensa ëd n'ansem ëd cardinalità comprèisa tra cola dj'antregh e cola dij reaj; da l'àutra a l'é ëdcò impossìbil fé vëdde che cost ansem a esist nen (se as modìfica nen la base assiomàtica dovrà, visadì la lògica).
Na legenda a fortiss che costa chestion a l'ha finì për fé ven-e Cantor fòl. Lòn ch'as peulo disse, a l'é che Cantor a l'ha travajà ansima a 's problema-sì, ch'a l'ha nen arzolvulo e ch'a l'é stàit pijà da na psicòsi maniaco-depressiva.

### Dimostrassion
Mostroma che ël cardinal dl'antërval \left[0,1 \right]\; a l'é nen numeràbil. Për sòn a venta fé vëdde che gnun-a sequensa (u_i)\; inietiva an \left[0,1 \right]\; a l'é ëdcò surietiva. A-i basta ëd trové un pont l\; ch'a sia pà ant l'ansem dij valor dla sequensa. Për sòn costruvoma doe sequense (a_i)\;, (b_i)\; definìe për mojen ëd n'arcorensa an manera da sodësfé la proposission sì-sota:
::(1)\quad\forall i
Ij valor inissiaj dle doe sequense a son:
::a_0=0\quad \mbox{ et } \quad b_0=1\;
a l'é ciàir che la proprietà (1) a l'é vera se n a l'é ugual a 0.
Definioma antlora nòstre sequense për l'ìndes n+1\;.
::a_{n+1}=\left\{\begin{matrix} (a_n+2b_n)/3, & \mbox{si }u_n \in \left[a_n,(a_n+b_n)/2 \right] \\ a_n, & {desno'} \end{matrix}\right.
:: b_{n+1}=\left\{\begin{matrix} b_n, & \mbox{si }u_n \in \left[a_n,(a_n+b_n)/2 \right] \\ (2a_n+b_n)/3, & {desno'.} \end{matrix}\right. \;

L'antërval \left[a_{n+1},b_{n+1} \right]\; a l'é contnù ant l'antërval \left[a_n,b_n \right]\;, a peul nen conten-e d'element dla sequensa (u_i)\; d'ìndes pì cit che n\; për l'ipotesi dl'arcorensa.
Për la costrussion dle sequense (a_i)\; e (b_i)\;, l'antërval \left[a_{n+1},b_{n+1} \right]\; a peul pì nen conten-e u_n\; e la proprietà (1) a l'é verificà.

\left[a_n,b_n \right]\; a l'é na sequensa d'antërvaj sarà ambotià. Soa antërsession a l'é nen veuida e a conten donca almanch n'element l\;. Për finì, a-i basta d'armarché che l\; a l'é pà un valor dla sequensa (u_i)\; për ij prim n\; valor. Dagià che n\; a l'é qualsëssia, i l'oma dimostrà la proposission.

N'àutra dimostrassion possìbil a deuvra un rasonament për diagonalisassion: dàita na lista qualsëssìa d'espansion decimaj
:0,a_{00}a_{01}a_{02} \ldots ,
:0,a_{10}a_{11}a_{12} \ldots ,
:0,a_{20}a_{21}a_{22} \ldots ,
:...
as fàbrica un nùmer neuv 0,b_0b_1b_2 \ldots  an definend la gifra b_i coma un nùmer comprèis antra 1 e 8 e diferent da a_{ii}.

Numer real