Sen (matemàtica)

Ël **sen** ëd n'àngol a l'é ël rapòrt antra l'ordinà dël pont estrem ëd n'arch determinà da s'àngol ch'a l'abia soa orìgin an sl'ass dj'assisse e sò sènter ant l'orìgin dle coordinà e ël raj ëd l'arch midem.
La fonsion sen a l'é denotà sin.
As peul definisse për mojen ëd la serie
: \sin x=x- \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots ,
ch'a sarìa sò dësvlup.

## Fonsion sinussoidaj
Le fonsion sinussoidaj a l'han la forma
:y=A \sin 2 \pi \left ( \frac tT +k \right ) 
anté che *A* e *T* a son positiv e *k* a l'é na costanta qualsëssìa.
An butand  \frac{2 \pi }T = \omega  la forma a dventa
:y=A \sin ( \omega t+ \alpha ).
Ël nùmer *A*, màssim ëd la fonsion, a n'é l*'ampiëssa*.
La costanta  \nu = \frac 1T  a l'é ciamà *frequensa*, antant che  \omega = \frac{2 \pi }T =2 \pi\nu  a l'é la *pulsassion* ëd la fonsion.
L'àngol  \omega t+ \alpha , fonsion linear ëd *t*, as ciama la *fas*.

Si, nopà dël sen, ant la fonsion a compariss ël cosen, as agiss ancor ëd na fonsion sinussoidal, dagià che
:A \cos ( \omega t+ \beta )=A \sin \left ( \omega t+ \beta + \frac{ \pi }2 \right ) .

### Studi dla fonsion sinussoidal
Le derivà sucessive ëd na fonsion sinussoidal a son ëd fonsion sinussoidaj.
An efet,
:y'=A \omega\cos ( \omega t+ \alpha )=A \omega\sin \left ( \omega t+ \alpha + \frac{ \pi }2 \right ) ,
:y*=-A \omega^2 \sin ( \omega t+ \alpha )=A \omega^2 \sin ( \omega t+ \alpha + \pi )=- \omega^2y</math>.
D'àutra part, le solussion ëd l'[[equassion diferensial]]
:<math>y*=- \omega^2y
a son le fonsion sinussoidaj.
An efet, a parte da s'equassion, un a oten
:2y'y*=- \omega^22yy'</math>
e, [[antëgrand]],
:<math>y'^2=- \omega^2y^2+C</math>
anté che *C* a l'é na costanta positiva.
As peul antlora butesse <math>C=A^2 \omega^2</math> e scrive
:<math>y'^2= \omega^2(A^2-y^2)= \omega^2A^2 \left ( 1- \frac{y^2}{A^2} \right ) </math>,
visadì
:<math>y'= \frac{dy}{dt} = \pm\omega A \sqrt{1- \frac{y^2}{A^2} } </math>.
An separand le variàbij e antëgrand,
:<math> \pm \frac{d \frac yA}{ \sqrt{1- \frac{y^2}{A^2}}} = \omega dt</math>
:<math> \arcsin \frac yA = \omega t+ \alpha </math>,
lòn ch'as peul ëscriv-se
:<math> \frac yA = \sin ( \omega t+ \alpha )</math>
visadì
:<math>y=A \sin ( \omega t+ \alpha )</math>.

=== Ël moviment armònich ===
Ël moviment d'un [[pont material]] *P* ëd [[massa (fìsica)|massa]] *m* ch'a bogia ansima a n'ass Ox conforma a la [[laj]] <math>x=A \sin ( \omega t+ \varphi )</math> a l'é dit *moviment alternà sempi* o *moviment vibratòri sempi* (o *sinussoidal*) o *moviment armònich*.

L'[[andi]] d'ës pont a l'é
:<math>v= \frac{dx}{dt} =A \cos ( \omega t+ \varphi ) </math>
e l'[[acelerassion]] a l'é
:<math> \gamma =- \omega^2x</math>.
La [[fòrsa]] aplicà a *P* ch'a produv ël moviment a l'é smonùa da
:<math>F=m \gamma =-m \omega^2x</math>.
Donca sa fòrsa a l'é dirigiùa da *P* vers *O* e a l'é [[proporsional]] a *x*, visadì ël pont *O* a esèrcita su *P* na fòrsa d'atrassion proporsional a soa distansa da *P*.

D'àutra part, si un pont material *P* a bogia an sn'ass fiss Ox tirà vers *O* da na fòrsa proporsional a OP, antlora ël moviment ëd *P* a l'é un moviment armònich.
An efet, la fòrsa a resta smonùa da
:<math>m \frac{d^2x}{dt^2} =-kx</math>, con k>0;
an marcand <math>k=m \omega^2</math>, visadì <math> \omega = \sqrt{ \frac km } </math>, un a oten
:<math>x=A \sin ( \omega t+ \varphi )</math>,
anté che le costante *A* e φ a dipendo dai valor inissiaj <math>x_0,v_0</math> ëd posission e andi:
:<math>x_0=A \sin\varphi </math>
:<math>v_0= \omega A \cos \varphi </math>,
dont
:<math>A^2=x_0^2+ \frac{v_0^2}{ \omega^2}</math>
:<math> \tan\varphi = \frac{ \omega x_0}{v_0}</math>.
Ël pont *P* a sbalansa antra ij doi pont estrem, d'assisse *A* e -A.

==== Energìa ëd moviment ====
L'[[energìa cinètica]], o fòrsa viva, dël pont material *P* a l'época *t* a l'é
:<math> \mathcal C = \frac 12 mv^2= \frac 12 A^2 \omega^2 \cos^2( \omega t+ \varphi )= \frac 12 m \omega^2(A^2-x^2)</math>.
L'[[energìa potensial]], ch'a l'é definìa a men ëd na costanta e ch'as peul pijesse nula për x=0, a l'é
:<math> \Pi = \frac 12 m \omega^2x^2</math>
dagià che
:<math> \frac{d \Pi }{dx} =m \omega^2x=-F= \frac{d \mathcal T }{dt}</math>,
anté che <math> \mathcal T </math> a l'é ël [[travaj]] ëd la fòrsa -F.<br />
L'[[energìa mecànica]] total, [[soma]] dl'energìa cinética e dl'energìa potensial, a l'é costanta e a resta ugual a
:<math> \frac 12 m \omega^2A^2= \frac 12 kA^2</math>.
Donca ël quadrà dl'ampiëssa <math>A^2</math> a mzura, a men d'un fator costant, l'energìa mecànica total dël moviment e a l'é soens ciamà *antensità dël moviment*.

=== Fonsion sinussoidal ësmortà ===
As ciama ëd sòlit *fonsion sinussoidal ësmortà* la fonsion
:<math>y=Ce^{-bt} \sin \left ( \frac{2 \pi t }T + \varphi \right ) </math>
anté che *T* (positiv), *C*, φ, *b* a son dle costante.<br />
La costanta *T* a l'é ël perìod ëd la fonsion sinussoidal <math>s=C \sin \left ( \frac{2 \pi t }T + \varphi \right ) </math> e a l'é ciamà *fàuss perìod* ëd la fonsion *y*.
La costanta *b* a caraterisa ël dësmortament ëd la fonsion e, ëd sòlit, a l'é 'dcò chila positiva.<br />
Ël nùmer <math> \lambda =b \frac T2 </math> a l'é ël *decrement logarìtmich* ëd la fonsion.

==== Studi dla fonsion ====
===== Zero dla fonsion =====
La fonsion sinussoidal ësmortà *y* as anula anté ch'as anula la fonsion sinussoidal *s'', visadì ant ij pont dàit da l'equassion
: \frac{2 \pi t}T + \varphi =K \pi , për K antregh,
dont
:t= \frac{-T \varphi }{2 \pi } +K \frac T2 .

Categorìa:Trigonometrìa