Fórmole ëd Taylor

La **fórmola ëd Taylor** a compariss dël 1715 an *Methodus incrementorum directa et inversa*, ëd Brook Taylor.
Soa amportansa a l'é restà dësconossùa fin-a al 1772, cand Joseph-Louis Lagrange a l'ha dila *ël fondament prinsipal dël càlcol diferensial*.

Cand ël pont d'achit a l'é l'orìgin, la fórmola a la diso *fórmola ëd Maclaurin*.

## Fórmola ëd Taylor con resta ëd Peano
Ch'as consìdera na fonsion f derivàbil n vire ant ël pont x_0.
Antlora a val la **fórmola ëd Taylor con resta ëd Peano**, con pont d'achit x_0:
:f(x)= \sum_{k=0}^n \frac 1{k!} f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n).
L'adend o((x-x_0)^n) a l'é la resta d'órdin n ant la forma ëd Peano.
Notoma che cost adend a l'é dla forma R_n(x-x_0), anté che R_n(h)= \frac{h^n}{n!} \omega (h), con  \lim_{h \rightarrow 0} \omega (h)= \omega (0)=0.

### Esempi
Ël dësvlup ëd la fonsion esponensial ant l'orìgin con resta ëd Peano a l'é
:e^x= \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} +o(x^n).

### Dimostrassion
Për dimostré costa fórmola, a basta fé vëdde che
: \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-[f(x_0)+hf'(x_0)+ \ldots + \frac{h^n}{n!} f^{(n)}(x_0)]}{h^n} =0,
visadì
: \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)- \ldots - \frac{h^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n-1)}(x_0)}{h^n}= \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} .
Sòn as peul oten-e an aplicand n-1 vire ël teorema ëd l'Hôpital.

## Fórmola ëd Taylor con resta ëd Lagrange
Ch'as consìdera na fonsion f real definìa ansima a n'antërval duvert J ch'a conten ël pont x_0.
Si f a l'é derivàbil n vire ëd fasson continua ansima a s'anterval, e la derivà d'órdin n+1 a esist an tut J gavà miraco ël pont x_0, antlora për minca  x \in J  a-i é un nùmer  c_x  ch'as treuva antrames tra x_0 e x con la proprietà che la diferensa an tra 'l valor dla fonsion e col dël polinòmi ëd Taylor d'órdin n a l'é
: f(x)-p_n(x)= \frac {f^{(n+1)}(c_x)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1} .
Costa diferensa  R_n(x)= \frac {f^{(n+1)}(c_x)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}  as ciama *resta ëd Lagrange*.

### Esempi
La fonsion esponensial, dësvlupà ant l'orìgin an dovrand la fórmola ëd Taylor con resta ëd Lagrange, a smon:
:e^x= \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}+ \frac{e^{x_0}}{(n+1)!} x^{n+1},
për chèich x_0 antra 0 e x_0.

### Dimostrassion
Për ancaminé, ch'as consìdera h>0.
An butand
:q(h)= \frac{R_n(h)}{h^{n+1}} 
i l'oma
:f(x_0+h)-f(x_0)-hf'(x_0)- \ldots - \frac{h^n}{n!} f^{(n)}(x_0)-h^{n+1}q(h)=0.
Consideroma adess la fonsion  \varphi :[x_0,x_0+h] \rightarrow \mathbb R  definìa da
: \varphi (x)=f(x_0+h)-f(x)- \frac{x_0+h-x}{1!} f'(x)-
:::- \ldots - \frac{(x_0+h-x)^n}{n!} -(x_0+h-x)^{n+1}q(h).
Dagià che f a l'ha derivà continue findi a l'órdin n ant l'antërval duvert J, a-i na ven che  \varphi  a l'é continua ant l'antërval sarà [x_0,x_0+h].
An dzorpì,  \varphi  a val 0 a j'estrem ëd cost antërval e a l'é derivàbil an minca pont ëd l'antërval (x_0,x_0+h], con derivà
: \varphi'(x)=- \frac{(x_0+h-x)^{n}}{n!} f^{(n+1)}(x)+(n+1)(x_0+h-x)^nq(h).
Donca a l'é possìbil apliché a  \varphi  ël teorema ëd Rolle, ch'an dis ch'a-i é almanch un pont c_x \in (x_0,x_0+h) anté che  \varphi'(c_x)=0, visadì
:q(h)= \frac 1{(n+1)!} f^{(n+1)}(c_x),
lòn ch'an basta a conclude.
Për hf^{(n+1)} a l'é limità an J- \{ x_0 \} , visadì ch'a-i sia n'M>0 tal che |f^{(n+1)}(x)| \leq M për minca x.
Antlora, la resta a sodisfa la limitassion
:|R_n(h)| \leq \frac{|h|^{n+1}}{(n+1)!} M
për minca h tal che x_0+h \in J.
Sòn an përmet dë stimé l'eror ch'as fà an rampiassand f(x_0+h) con ël polinòmi ëd Taylor d'órdin n con pont d'achit x_0.

## Fórmola ëd Taylor për fonsion ëd doe variàbij
La fórmola ëd Taylor as peul adatesse a na fonsion ëd pì che un-a variàbil real.
Ch'a consìdera, për esempi, na fonsion f:E \subseteq \mathbb R^2 \to \mathbb R .
Ch'as pijo doi pont (x_0,y_0),(x_0+h,y_0+k) ch'a l'abio tut ël segment an tra 'd lor ant l'anterior d'E.
Si an E a-i son e a son contìnoe le derivà parsiaj d'f fin-a a l'órdin  n+1 , antlora:
 f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+ 
+ \sum_{j=1}^n \frac 1{j!} \left(h \frac{ \partial }{ \partial x} +k \frac{ \partial }{ \partial y} \right)^jf(x_0,y_0)+ \frac 1{(n+1)!} \left(h \frac{ \partial }{ \partial x} +k \frac{ \partial }{ \partial y} \right)^{n+1}f( \xi , \eta ) ,
anté che ( \xi , \eta ) a l'é 'n pont convenient ant l'anterior dël segment.

### Dimostrassion
Ij pont dël segment a l'han coordinà  \left \{
\begin{matrix}
x & = & x_0+ht \\
y & = & y_0+kt
\end{matrix} \right . ,

për t \in [0,1].
Se un a considera la fonsion componùa F(t)=f(x_0+ht,y_0+kt), për la fórmola ëd Maclaurin për le fonsion con mach na variàbil aplicà ant l'antërval [0,1], a-i é  \theta\in ]0,1[ tal che F(1)=F(0)+F'(0)+ \ldots + \frac 1{n!} F^{(n)}(0)+ \frac 1{(n+1)!} F^{(n+1)}( \theta ) e da sòn a-i ven l'arzultà an butand  \xi =x_0+h \theta , \eta =y_0+k \theta .

Ël darié tèrmin
 \frac 1{(n+1)!} F^{(n+1)}( \theta )= \frac 1{(n+1)!} \sum_{r=0}^{n+1} \left ( 
\begin{matrix}
n+1 \\
r
\end{matrix}
\right )
\frac{ \partial^{(n+1)}f}{ \partial x^r \partial y^{n+1-r}} ( \xi , \eta )h^rk^{n+1-r}
dl'adission as ciama *termo complementar* o *eror* dla fórmola ëd Taylor.

Lassand da banda ël termo complemetar, a-i resta un polinòmi ëd gré n ant le variàbij h,k ch'a apròssima f(x_0+h,y_0+k) për (h,k) \rightarrow (0,0).
Për x_0=y_0=0 i otnoma la fórmola ëd Maclaurin:
:f(x,y)=f(0,0)+\sum_{j=1}^n\left(x \frac{ \partial }{ \partial x}+y \frac{ \partial }{ \partial y} \right)^jf(0,0)+
:::+ \frac 1{(n+1)!} \left(x \frac{ \partial }{ \partial x} +y \frac{ \partial }{ \partial y} \right)^{n+1}f( \theta x, \theta y), con  \theta \in ]0,1[.

Ël cas particolar dla fórmola ëd Taylor cand n=1 as ciama **teorema dla mojen-a dël càlcol diferensial** për na fonsion z=f(x,y):
 f(x_1,y_1)-f(x_0,y_0)= \frac{ \partial f}{ \partial x} ( \xi , \eta )(x_1-x_0)+ \frac{ \partial f}{ \partial y} ( \xi , \eta )(y_1-y_0), 
andoa che ( \xi , \eta ) a l'é antern al segment ch'a l'ha 'me estrem ij pont (x_0,y_0),(x_1,y_1).

Formole ed Taylor