Fonsion continua

Ël concet ëd **fonsion continua** a l'é un dij pì amportant ant la matemàtica e a l'é gropà s-ciass a col ëd lìmit.
## Definission
Se X e Y a son dë spassi topològich, na fonsion f:X \to Y as dis *continua* si la contra-imàgin ëd minca sot-ansem duvert d'Y a l'é 'n sot-ansem duvert d'X.

## Formolassion equivalente
A-i son d'àutre manere equivalente ëd fortì la continuità 'd na fonsion.
Ch'as considera torna na fonsion f:X \to Y an tra jë spassi topològich X e Y:
* f a l'é continua si e mach si la contra-imàgin ëd minca sot-ansem sarà d'Y a l'é 'n sot-ansem sarà d'X;
* f a l'é continua si e mach si f( \bar S ) \subseteq \overline{f(S)}  për minca S \subseteq X.
Sa dariera formolassion a dà cont dl'intuission ch'a-i é daré al concet ëd fonsion continua: na fonsion a l'é continua cand, dàit n'ansem S e 'n pont x tacà s-ciass a S, l'imàgin d'x a l'é tacà s-ciass a l'imàgin d'S.

## Teorema fondamentaj an sle fonsion continue
La continuità 'd na fonsion f: X \to Y a dipend mach d'la topologìa ansima a f(X):

**Teorema.**
Na fonsion f:X \to Y a l'é continua si e mach si f:X \to f(X) a-l l'é.

**Teorema.**
Si f:X \to Y a l'é continua e A \subseteq X, antlora la restrission f|_A:A \to Y a l'é continua.

Për controlé si na fonsion a l'é continua a basta controlé la definission ansima a na bas dël codomini:

**Teorema.**
Ch'as considera na fonsion f:X \to Y e na bas B d'Y.
Antlora f a l'é continua si e mach si f^{-1}(U) a l'é duvert për minca U \in B.

Le fonsion continue a son sarà për composission:

**Teorema.**
Si f:X \to Y,g:Y \to Z a son continue, antlora ëdcò g \circ f:X \to Z a l'é continua.

## Esempi
* L'identità X \to X a l'é na fonsion continua.
* Si Y a l'é në spassi topològich banal, antlora minca f:X \to Y a l'é continua.
* Si X a l'é në spassi topològich discret, antlora minca f:X \to Y a l'é continua.
* La curva ëd Peano a l'é na fonsion continua [0,1] \to \mathbb R^2 .

## Fonsion continue e spassi métrich
La descrission ëd la continuità dle fonsion an tra spassi métrich as peul desse an dovrand le distanse o ij lìmit dle sequense:

**Teorema.**
Na fonsion f:X \to Y an tra jë spassi métrich (o bele mach pséudo-métrich) (X,d) e (Y,d') a l'é continua si e mach si, dàit \varepsilon >0 a-i é \delta >0 con la proprietà che d(a,b).

**Teorema.**
Na fonsion f:X \to Y an tra jë spassi métrich X e Y a l'é continua si e mach si për minca sequensa convergent (x_n) d'X, la sequensa (f(x_n)) a convergg e a val l'ugualiansa f( \lim_{n \rightarrow \infty } x_n)= \lim_{n \rightarrow \infty } f(x_n).

## Continuità ant un pont
Dàita la fonsion f:X \to Y an tra jë spassi topològich X e Y, e pijà un pont x \in X as dis che f a l'é continua an x si la contra-imàgin ëd minca anviron d'f(x) a l'é n'anviron d'x.
Ij concet ëd continuità e continuità ant un pont a son gropà dal teorema sì da press.

**Teorema.**
Na fonsion f:X \to Y an tra jë spassi topològich X e Y a l'é continua si e mach si a l'é continua an tuti ij pont d'X.

## Omeomorfism
Na bijession f:X \to Y an tra jë spassi topològich X e Y as dis n*'omeomorfism* cand sia f che soa anversa f^{-1} a son continue.
Ant ës cas-sì as dis che X e Y a son *omeomòrfich*.
N'omeomorfism a l'é na bijession ch'a conserva tute le proprietà topològiche.
La relassion d'omeomorfism a l'é na relassion d'equivalensa an tra jë spassi topològich.

#### Esempi
* Doi spassi banal, o doi spassi discret, a son omeomòrfich si e mach si a l'han la midema cardinalità.
* La linia real e minca anterval duvert, con soe topologìe sòlite, a son omeomòrfich.
* Doi antervaj sarà dla linia real, con soe topologìe sòlite, a son omeomòrfich.
* Ël pian euclidéo  \mathbb R ^2  e 'l sercc duvert \{ (x,y) \mid x^2+y^2 a son omeomòrfich.

## Topologìe déboj
Ël concet ëd fonsion continua a peul esse dovrà për la definission ëd na topologìa ansima a n'ansem X s'as dispon ëd na colession ëd fonsion a valor andrinta a dë spassi topològich: dàita na colession ëd fonsion F= \{ f_a:X \to Y_a \}  anté che minca Y_a a l'é në spassi topològich, a-i é na topologìa pì cita ëd tute ansima a X ch'a rend continue tute le fonsion f_a.
Costa topologìa as ciama *topologìa débol* generà da F.

Categorìa:Anàlisi matemàtica
Categorìa:Topologìa