Régola dla caden-a

Dàite le fonsion reaj ëd variàbil real f,g con f derivàbil an x e g derivàbil an f(x), la **régola dla caden-a** a fortiss che la fonsion g\circ f a l'é derivàbil an x e soa derivà a l'é
:g'[f(x)]f'(x).

## La dimostrassion
Da j'ipòtesi i soma che
:f(x+h)=f(x)+f'(x)h+ \sigma_1(h)h e g(f(x)+k)=g(f(x))+g'(f(x))k+ \sigma_2(k)k,
andoa  \lim_{h \rightarrow 0} \sigma_1(h)=0, \lim_{k \rightarrow 0} \sigma_2(k)= \sigma_2(0)=0.
Pijà antlora k=f(x+h)-f(x)=f'(x)h+ \sigma_1(h)h, i trovoma che
:g(f(x+h))=g(f(x))+g'(f(x))f'(x)h+σ(h)h,
anté ch'a l'é butasse
: \sigma (h)=g'(f(x)) \sigma_1(h)+ \sigma_2(f'(x)h+ \sigma_1(h)h)(f'(x)+ \sigma_1(h)).
Dagià che  \lim_{h \rightarrow 0}(f'(x)+ \sigma_1(h))h=0 e  \sigma_2 a l'é continua, e a val 0 an 0, a-i na ven che  \lim_{h \rightarrow 0} \sigma (h)=0.
Sòn a conclud la dimostrassion.

## Chèich esempi d'aplicassion
*Ch'as consìdera la fonsion h(x)= \sqrt{1-x^2} .
:Costa a l'é la composission g \circ f dle fonsion f(x)=1-x^2 e g(y)= \sqrt{y}.
Dagià che f'(x)=-2x e g(y)= \frac 1{2 \sqrt{y} } , an dovrand la régola as oten
:h'(x)= \frac 1{2 \sqrt{1-x^2} } (-2x)=- \frac x{ \sqrt{1-x^2} }.
*La régola dla caden-a a peul esse dovrà ëdcò për dle composission ëd pì che doe fonsion. Për esempi, consideroma la fonsion h(x)=e^{ \cos 3x }.
:As agiss dla composission dle fonsion
::φ(x)=3x,
::ψ(y)=cosy, dont na prima aplicassion dla régola dla caden-a a smon ( \psi \circ \varphi )'(x)=-3 \sin 3x,
::g(z)=e^z.
:N'àutra aplicassion dla régola dla caden-a an dà
:h'(x)=-3e^{ \cos 3x} \sin 3x.

## Generalisassion a dimension pì grande
La régola ëd derivassion dle fonsion componùe a peul esse generalisà a dimension pì grande.
Consideroma, për esempi, na fonsion f:E \subseteq \mathbb R^2 \to \mathbb R  e suponoma che f a sia tut afàit diferensiàbil ant ël pont P_0=(x_0,y_0) \in E, che donca a resta a l'anterior d'E.
Si  \varphi , \psi :I \to \mathbb R  a son fonsion derivàbij an t_0, e a pijo ij valor  \varphi (t_0)=x_0, \psi (t_0)=y_0, antlora la fonsion F(t)=f( \varphi (t), \psi (t)) a l'é derivàbil an t_0 e i l'oma:
:F'(t_0)= \frac{ \partial f}{ \partial x} (x_0,y_0) \varphi'(t_0)+ \frac{ \partial f}{ \partial y} (x_0,y_0) \psi'(t_0).

An dovrand le notassion ëd Leibniz, costa relassion a peul esse scrivùa  \frac{df}{dt} = \frac{ \partial f}{ \partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{ \partial f}{ \partial y} \frac{dy}{dt}.

*Dimostrassion.*
Dagià che φ e ψ a son continue an t_0, për Δt an n'anviron forà ëd 0 i l'oma che ( \varphi (t_0+ \Delta t), \psi (t_0+ \Delta t)) \in E.
Antlora, si x= \varphi (t_0+ \Delta t),y= \psi (t_0+ \Delta t), a-i na ven che
:F(t_0+ \Delta t)-F(t_0)=f(x,y)-f(x_0,y_0)=
:= \frac{ \partial f}{ \partial x} (x_0,y_0) \Delta x+ \frac{ \partial f}{ \partial y} (x_0,y_0) \Delta y+ \sigma \sqrt{ \Delta x^2+ \Delta y^2},
andoa  \Delta x= \varphi (t_0+ \Delta t)- \varphi (t_0), \Delta y= \psi (t_0+ \Delta t)- \psi (t_0) e σ a l'é infinitésim për  \sqrt{ \Delta x^2+ \Delta y^2} \rightarrow 0 e donca ëdcò për  \Delta t \rightarrow 0.
I na otnoma che
: \frac{F(t_0+ \Delta t)-F(t_0)}{ \Delta t} = \frac{ \partial f}{ \partial x} (x_0,y_0) \frac{ \Delta x}{ \Delta t} + \frac{ \partial f}{ \partial y} (x_0,y_0) \frac{ \Delta y}{ \Delta t} +
:::+ \sigma \sqrt{( \frac{ \Delta x}{ \Delta t} )^2+( \frac{ \Delta y}{ \Delta t} )^2}.
Dagià che
: \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{ \Delta x}{ \Delta t}= \varphi' (t_0), \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{ \Delta y}{ \Delta t}= \psi'(t_0), \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \sigma =0,
as peul conclude che
: \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{F(t_0+ \Delta t)-F(t_0)}{ \Delta t}= \frac{ \partial f}{ \partial x} (x_0,y_0) \varphi'(t_0)+ \frac{ \partial f}{ \partial y} (x_0,y_0) \psi' (t_0).

Regola dla caden-a