Fehlschluss der bedingten Wahrscheinlichkeit

De **Druchschluss vunde b'dingde Warschoinlichskaid** (uff Englisch *conditional probability fallacy*) odda a ausm Englisch iwwanumme *Confusion of the inverse* (unn a „inverse fallacy“, alla „Umkehrungsfehlschluss“, „fallacy of the transposed probability“, alla „Fehlschluss vunde transponierde Wahschoinlischkaid“ unn „prosecutor’s fallacy“, alla „Druchschluss vum Oklega“) ischn logische Fehlschluss, alla än Druchschluss, wu g'machd werd, wonn ä b'dingde Wahschoinlischkaid midd ihra Umkehrung glaischgsedzd werd. Maddemadisch gsachd, gehdma d'vu aus, dass P(A|B) uugfehr glaisch P(B|A) isch odda die baide Wahschoinlischkeide vawegseld. De B'griff *Confusion of the inverse* kummd vum omerikonische Psischolog Robyn Dawes.

## Baischbiel

### Äfache Baischbiel
:Die maischde Ufell bassiern d'heem. Um sischa zu soi, sollma meschlischd wenisch d'heem soi.

:Ä Unnasuchung hodd g'zaisdchd, dass fasch jeda zwedde Terrorischd ä teschnischi Ausbildung hodd. Eldere, wu ihre Kinna ä teschnischi Ausbildung ermeschlischn, solldn sisch druff gfassd mache, dass ihr Kinnna Terrorischde werren.

:Ausde Wahscholischkaid vun x %, dass ä Professorschdell vunna Fraa bsedzd werd, folschd nedd, dass jedi vierd Fraa ä Professoreschdell hodd.

### Komplexare Baischbiel
De Druchschluss isch a bai Schdudende unn Aggdemigga waid vabraided unn fiehrd baim Vaschdendniss vun z. B. medizinische Teschergewnis zu grawierende Fehla.

Ä b'kondes Baischbiel kummd ausm Johr 1982 vum David M. Eddy, wua 100 Ärzd uff'fordad hodd, sisch zu dem Fall zu außare: Ä Patiendin hoddn Gnoode inde Bruschd. Ä Mammographie hodde Bfund gewwe, dass de Tumor besadisch isch. De Arzd weeß a:

* Bloß 1 % alla Bruschdtumore sinn besadisch.
* Mammographije erkennen än besadische Tumor in 80 % vunde Fell, wehrendsen in 20 % vunde Fell falsch als gudadisch oischdufn.
* Mammographije erkennen än gudadische Tumor in 90 % vunde Fell, wehrendsen in 10 % vunde Fell falsch als besadisch oischdufn.

Die maischde vum Eddy bfrochde Ärzd, hawwen g'änd, dass die Wahschoinlischkaid vunnem besadische Tumor baide Patiendin, 75 % (0,75) isch. Rischdisch isch, nochm Sadz vum Bayes, awwa bloß 7,5 % (0,075).

:
\begin{align}
& {}\qquad P(\text{besadisch}|\text{posidiv}) \\[8pt]
& = \frac{P(\text{posidiv}|\text{besadisch}) P(\text{besadisch})}{P(\text{posidiv}|\text{besadisch}) P(\text{besadisch}) + P(\text{posidiv}|\text{gudadisch}) P(\text{gudadisch})} \\[8pt]
& = \frac{(0,80 \cdot 0,01)}{(0,80 \cdot 0,01) + (0,10 \cdot 0,99)} = 0,075
\end{align}


Schun 1979 hawwen zwee Forscha aus Massachusetts ähnlische sisdemadische Missindabretazione bai vun ärzdlischa Vaordnunge vun Fruchdwassapungdzionn bai Schwongare uffgwiese.

Um Laid middna schwere Grong'ghaid innem frieje, gud hailbare Schdadium zu finne, komma z. B. ä großi Grubb von Laid unnasuche, alla ä Screening durschfiehre.

Og'numme, bloß 1 % vunde Grubb hodd die Grong'ghaid unde Reschd, alla 99 % sinn gsund unn ä Person werd zufellsich ausg'wehld, donn
isch

:P(\text{Grong'g}) = 1\% = 0.01\text{ unn }P(\text{Gsund}) = 99\% = 0.99.

Wonnde Screening Teschd baina Person g'machd werd, wu gsund isch, donn sich die Wahschoinlischkaid vunnem falsch-positive Ergewnis 1% unn die Wahschoinlischkaid vunnem rischdisch-negative Ergewnis 99%. Des heesd a die Schbezifided vum Teschd. Alla

:P(\text{posidiv}|\text{Gsund})=1\%,\text{ unn } P(\text{negadiv}|\text{Gsund})=99\%.

Wonnde Screening Teschd baina Person g'machd werd, wu gron'g isch, donn isch die Wahschoinlischkaid vunem falsch-nagdive Ergewnis1 % unn ie Wahschoinlischkaid vunnem rischdisch-posidive Ergewnis 99 %. Des heesd a die Sensidiwided vum Teschd. Alla

:P(\text{negadiv}|\text{Grong'g}) = 1\%\text{ unn }P(\text{posidiv}|\text{Grong'g}) = 99\%.

Midde b'dingde Wahschoinlischkaid reschnema, de Deel vunde Laid inde gsomde Grubb, wu gsund unn negadiv g'teschded worre sinn (rischdisch negadiv) isch

:P(\text{Gsund}\cap\text{negadiv}) = P(\text{Gsund})\times P(\text{negadiv}|\text{Gsund}) = 99\%\times99\% = 98.01\%.

De Deel vunde Laid inde gsomde Grubb, wu grong'g unn posidiv g'teschded worre sinn (rischdisch posidiv) isch

:P(\text{Grong'g}\cap\text{posidiv}) = P(\text{Grong'g})\times P(\text{posidiv}|\text{Grong'g}) = 1\%\times99\% = 0.99\%.

De Deel vunde Laid inde gsomde Grubb, wu ä falsch posidives Ergewnis hawwen isch

:P(\text{Gsund}\cap\text{posidiv})=P(\text{Gsund})\times P(\text{posidiv}|\text{Gsund})=99\%\times1\%=0.99\%.

De Deel vunde Laid inde gsomde Grubb, wu ä falsch negadives Ergewnis hawwen isch

:P(\text{Grong'g}\cap\text{negadiv})=P(\text{Grong'g})\times P(\text{negadiv}|\text{Grong'g}) = 1\%\times1\% = 0.01\%.

Zudem isch de Deel vunde posidiv gteschdede Laid inde gsomde Grubb

:
\begin{align}
P(\text{posidiv}) & {} =P(\text{Gsund}\cap\text{posidiv}) + P(\text{Grong'g} \cap \text{positive}) \\
& {} = 0.99\%+0.99\%=1.98\%.
\end{align}


unn die Wahschoinlischkeit, dass ä Person wirglisch grong'g isch, wonnde Teschd posidiv isch, isch

:P(\text{Grong'g}|\text{posidiv})=\frac{P(\text{Grong'g}\cap\text{posidiv})} {P(\text{posdtiv})} = \frac{0.99\%}{1.98\%}= 50\%.

Wonn dursch soen Screening jemond durschn Teschd *felschlichawai* als grong'g bfunne werd, werd die Person b'uruisch soi. Wonnse ohne än waidare unn sorgfeldischare Teschd midd Medikamende b'hondeld werd, konns zu Schede dursch Newewirgunge unn Koschde kumme.

In dem Baisbiel sinn die b'dingde Wahschoinlischkaid P(posidiv|Grong'g) (alla ä Person, wu grong' isch, werd a posidiv g'teschded) o'gnumme 99 % unn P(Grong'g|posdiv) (alla ä Person, wu posidiv gteschded worre isch, isch a wirglisch grong'g) isch 50 %. Midd dene o'gnummene Wahschoinlischkaide deden glaisch viele Laid inde G'nuss vunna frihzaidische B'hondlung kumme, wie onnare weschem em falsch-posidive Ergewniss Nochdeel hedden. Die erwinschde unn uerwinschde Folsche vunnem Screening soldma also o'gugge.

## Gugschd a uff
* Prävalenzfehla
* Sadz vum Bayes

## Vawais