ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਗਣਿਤਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ

ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀਆਂ ਗਣਿਤਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀਆਂ ਉਹ ਗਣਿਤਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਸੂਤਰੀਕਰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਇੱਕ ਠੋਸ ਵਿਵਰਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਅਜਿਹੇ ਸੂਤਰੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਅਮੂਰਤ ਗਣਿਤਿਕ ਬਣਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੁਆਰਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ 1900ਵੇਂ ਦਹਾਕੇ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਵਿਕਸਿਤ ਥਿਊਰੀਆਂ ਵਾਸਤੇ ਗਣਿਤਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀਆਂ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਅਨੰਤ-ਅਯਾਮੀ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸਾਂ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਸਪੇਸਾਂ ਉੱਤੇ ਓਪਰੇਟਰ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਬਣਤਰਾਂ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਤੋਂ ਬਣਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸ਼ੁੱਧ ਗਣਿਤ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਸ਼ੋਧ-ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋਕ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀਆਂ ਜਰੂਰਤਾਂ ਦੁਆਰਾ ਅੰਸ਼ਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ, ਐਨਰਜੀ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਵਰਗੇ ਭੌਤਿਕੀ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲਾਂ (ਨਿਰੀਖਣਯੋਗਾਂ) ਦੇ ਮੁੱਲ ਫੇਜ਼ ਸਪੇਸ ਉੱਪਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਨਹੀਂ ਲਏ ਜਾਂਦੇ, ਸਗੋਂ ਆਈਗਨਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ; ਹੋਰ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਨਾਲ; ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਰੇਖਿਕ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਸਪੈਕਟ੍ਰਲ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ (ਬਿੰਦੂ ਵਰਣਕ੍ਰਮ+ਸ਼ੁੱਧ ਨਿਰੰਤਰ+ਸਿੰਗੁਲਰ ਨਿਰੰਤਰ ਵਰਣਕ੍ਰਮ)।

ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀਆਂ ਇਹ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀਆਂ ਅੱਜਕੱਲ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਣੀਆਂ ਜਾਰੀ ਹਨ। ਵਿਵਰਣ ਦੀ ਜਾਨ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ ਦੇ ਵਿਚਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਹੈ ਜੋ ਭੌਤਿਕੀ ਵਾਸਤਵਿਕਤਾ ਦੇ ਪੁਰਾਣੇ ਮਾਡਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਗਏ ਵਿਚਾਰਾਂ ਤੋਂ ਸਪਸ਼ਟ ਤੌਰ ਤੇ ਵੱਖਰੇ ਹਨ। ਜਦੋਂਕਿ ਗਣਿਤ ਕਈ ਅਜਿਹੀਆਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਪ੍ਰਯੋਗਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਨਾਪੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਫੇਰ ਵੀ ਮੁੱਲਾਂ ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਿਧਾਂਤਕ ਸੀਮਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਇਕੱਠਿਆਂ ਹੀ ਨਾਪਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੋਵੇ। ਇਹ ਕਮੀ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਸੋਚ ਪ੍ਰਯੋਗ ਰਾਹੀਂ ਸਪਸ਼ਟ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਅਤੇ ਜਿਸਨੂੰ ਕੁਆਂਟਮ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੀ ਗੈਰ-ਵਟਾਂਦਰਾਤਮਿਕਤਾ ਰਾਹੀਂ ਨਵੀਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਵਿੱਚ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਥਿਊਰੀ ਵਜੋਂ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਜਨਮ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਗਣਿਤ ਮੁੱਖ ਤੌਰ ਤੇ ਰਸਮੀ ਗਣਿਤਿਕ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੋਇਆ ਸੀ।, ਜੋ ਕੈਲਕੁਲਸ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋ ਕੇ, ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਅਤੇ ਅੰਸ਼ਿਕ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਤੱਕ ਦੀ ਗੁੰਝਲਦਾਰਤਾ ਵਿੱਚ ਵਧ ਰਿਹਾ ਸੀ। ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਥਿਊਰੀ ਸਟੈਟਿਸਟੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਸੀ। ਜੀਓਮੈਟਰੀ (ਰੇਖਾਗਣਿਤ) ਸਹਿਜ ਗਿਆਨ ਨੇ ਪਹਿਲੀਆਂ ਦੋ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਭੂਮਿਕਾ ਨਿਭਾਈ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੀਆਂ ਥਿਊਰੀਆਂ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਸੰਕਲਪਾਂ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਪੂਰੀ ਤਰਾਂ ਫਾਰਮੂਲਾਬੱਧ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਨ। ਕੁਆਂਟਮ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੀ ਫੀਨੋਮੀਨੌਲੌਜੀ ਲੱਗਪਗ 1895 ਅਤੇ 1915 ਦੇ ਦਰਮਿਆਨ ਪੈਦਾ ਹੋਈ, ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਥਿਊਰੀ ਦੇ ਜਨਮ ਤੋਂ 10 ਤੋਂ 15 ਕੁ ਸਾਲ ਪਹਿਲਾਂ (ਲੱਗਪਗ 1925 ਵਿੱਚ) ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਨੇ ਉਹਨਾਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਅੰਦਰ ਕੁਆਂਟਮ ਥਿਊਰੀ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣਾ ਜਾਰੀ ਰੱਖਿਆ ਜਿਸਨੂੰ ਹੁਣ ਕਲਾਸੀਕਲ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਉਹਨਾਂ ਹੀ ਗਣਿਤਿਕ ਬਣਤਰਾਂ ਅੰਦਰ ਸੋਚਣਾ ਜਾਰੀ ਰੱਖਿਆ। ਇਸਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਜਟਿਲ ਉਦਾਹਰਨ ਸੋਮਰਫੈਲਡ-ਵਿਲਸਨ-ਇਸ਼ਿਵਾਰਾ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਨਿਯਮ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਰੇ ਦਾ ਸਾਰਾ ਕਲਾਸੀਕਲ ਫੇਜ਼ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ।

## ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਦਾ ਇਤਿਹਾਸ
### ਪੁਰਾਣੀ ਕੁਆਂਟਮ ਥਿਊਰੀ ਅਤੇ ਨਵੇਂ ਗਣਿਤ ਦੀ ਜਰੂਰਤ
1890ਵੇਂ ਦਹਾਕੇ ਵਿੱਚ, ਪਲੈਂਕ, ਬਲੈਕਬੌਡੀ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਸਫਲ ਰਿਹਾ ਸੀ। ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਾਦ ਵਿੱਚ ਇਹ ਗੈਰ-ਪ੍ਰੰਪਰਾਵਾਦੀ ਧਾਰਨਾ ਬਣਾਉਣ ਰਾਹੀਂ ਕਲਾਸੀਕਲ ਅਲਟ੍ਰਾਵਾਇਲਟ ਕੈਟਾਸਟ੍ਰੋਫ ਤੋਂ ਬਚਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ ਕਿ, ਪਦਾਰਥ ਨਾਲ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਰੇਡੀਏਸ਼ਨ ਦੀ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ ਵਿੱਚ, ਊਰਜਾ ਸਿਰਫ ਅਨਿਰੰਤਰ ਇਕਾਈਆਂ (ਯੂਨਿਟਾਂ) ਵਿੱਚ ਹੀ ਵਟਾਂਦਰਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਉਸਨੇ ਕੁਆਂਟਾ ਕਿਹਾ।ਪਲੈਂਕ ਨੇ ਰੇਡੀਏਸ਼ਨ ਦੀ ਫਰੀਕੁਐਂਸੀ ਅਤੇ ਓਸ ਫਰੀਕੁਐਂਸੀ ਉੱਤੇ ਊਰਜਾ ਦੇ ਕੁਆਂਟਮ ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ ਸਿੱਧਾ ਅਨੁਪਾਤ ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ।ਅਨੁਪਾਤਿਕ ਸਥਿਰਾਂਕ h, ਹੁਣ ਉਸਦੇ ਮਾਣ ਵਜੋਂ ਪਲੈਂਕਸ ਕੌਂਸਟੈਂਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 
 
1905 ਵਿੱਚ, ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਨੇ ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਫੋਟੋਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦੀਆਂ ਕੁੱਝ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕੀਤਾ ਕਿ ਪਲੈਂਕ ਦਾ ਊਰਜਾ ਕੁਆਂਟਾ ਦਰਅਸਲ ਕਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਦਾ ਬਾਦ ਵਿੱਚ ਫੋਟੌਨ ਨਾਮ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ।

ਇਹ ਸਾਰੇ ਵਿਕਾਸ ਫੀਨੋਮੀਨੌਜੀਕਲ ਸਨ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਨੇ ਉਸ ਵਕਤ ਦੀ ਸਿਧਾਂਤਕ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਨੂੰ ਚੁਨੌਤੀ ਦਿੱਤੀ।ਬੋਹਰ ਅਤੇ ਸਮਰਫੀਲਡ, ਪਹਿਲੇ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਤੋਂ ਬੋਹਰ ਮਾਡਲ ਰਚਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਵਿੱਚ ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਨੂੱ ਸੋਧਣ ਤੱਕ ਗਏ।ਉਹਨਾਂ ਨੇ ਪ੍ਰਸਤਾਵ ਰੱਖਿਆ ਕਿ, ਕਿਸੇ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਿਸਟਮ ਦੁਆਰਾ ਉਸਦੀ ਆਪਣੀ ਫੇਜ਼ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਟਰੇਸ ਕੀਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਬੰਦ ਕਲਾਸੀਕਲ ਔਰਬਿਟਾਂ ਵਿੱਚੋਂ, ਦਰਅਸਲ ਸਿਰਫ ਉਹ ਇੱਕ ਔਰਬਿਟ ਹੀ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਅਜਿਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਬੰਦ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਪਲੈਂਕ ਦੇ ਸਥਿਰਾਂਕ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਾਂਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਜਟਿਲ ਰੂਪ ਸਮਰਫੀਲਡ-ਵਿਲਸਨ-ਇਸ਼ੀਵਾਰਾ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਸੀ। ਭਾਵੇਂ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਐਟਮ ਦਾ ਬੋਹਰ ਮਾਡਲ ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸਮਝਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਸੀ।, ਫੇਰ ਵੀ ਹੀਲੀਅਮ ਐਟਮ (ਕਲਾਸੀਕਲ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਅਣ-ਸੁਲਝਾਉਣਯੋਗ 3-ਬਾਡੀ ਸਮੱਸਿਆ) ਦਾ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਸੀ। ਕੁਆਂਟਮ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਗਣਿਤਿਕ ਬਣਤਰ ਕੁੱਝ ਵਕਤ ਵਾਸਤੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰਹੀ।

1923 ਵਿੱਚ, ਡੌ ਬ੍ਰੋਗਲਿ ਨੇ ਪ੍ਰਸਤਾਵ ਰੱਖਿਆ ਕਿ ਵੇਵ-ਪਾਰਟੀਕਲ ਦੋਹਰਾਪਣ ਨਾ ਕੇਵਲ ਫੋਟੌਨਾਂ ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਸਗੋਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨਾਂ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਹੋਰ ਭੌਤਿਕੀ ਸਿਸਟਮ ਉੱਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

1925-1930 ਦੌਰਾਨ ਪ੍ਰਸਥਿਤੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਬਦਲ ਗਈ, ਜਦੋਂ ਐਰਵਿਨ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ, ਵਰਨਰ ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ, ਮੈਕਸ ਬੌਰਨ, ਪਾਸਕਲ ਜੌਰਡਨ ਦੇ ਤਰਥਲੀ ਮਚਾਉਣ ਵਾਲੇ ਕੰਮ ਰਾਹੀਂ ਅਤੇ ਜੌਹਨ ਵੌਨ ਨਿਊਮਾਨ, ਹਰਮਾੱਨ ਵੇਇਲ ਅਤੇ ਪੌਲ ਡੀਰਾਕ ਦੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਕੰਮ ਰਾਹੀਂ ਸਫਲ ਗਣਿਤਿਕ ਬੁਨਿਆਦਾਂ ਖੋਜੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਨ, ਅਤੇ ਵਿਚਾਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਤਾਜ਼ਾ ਸੈੱਟ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕਈ ਵਿਭਿੰਨ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਗਿਆ।ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਭੌਤਿਕੀ ਵਿਆਖਿਆ ਨੂੰ ਵਰਨਰ ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਦੁਆਰਾ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ ਸਬੰਧਾਂ ਖੋਜਣ ਤੋਂ ਬਾਦ ਅਤੇ ਨੀਲ ਬੋਰਹ ਦੁਆਰਾ ਪੂਰਕਤਾ ਦੇ ਵਿਚਾਰ ਪੇਸ਼ ਕਰਨ ਉਪਰੰਤ ਇਹਨਾਂ ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸਪਸ਼ਟ ਵੀ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ।

### ਨਵੀਨ ਕੁਆਂਟਮ ਥਿਊਰੀ
ਵਰਨਰ ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਦਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਮਕੈਨਿਕਸ ਐਟੋਮਿਕ ਸਪੈਕਟ੍ਰਾ ਦੀ ਨਿਰੀਖਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੀ ਨਕਲ ਉਤਾਰਨ ਲਈ ਪਹਿਲਾ ਸਫਲ ਯਤਨ ਸੀ। ਉਸੇ ਸਾਲ ਬਾਦ ਵਿੱਚ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੇ ਅਪਣਾ ਵੇਵ ਮਕੈਨਿਕਸ ਰਚਿਆ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਦੀ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਸਮਝਣ, ਦੇਖਣ ਅਤੇ ਕੈਲਕੁਲੇਟ ਕਰਨ ਵਾਸਤੇ ਅਸਾਨ ਮੰਨਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲੈ ਕੇ ਜਾਂਦਾ ਸੀ, ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਤੋਂ ਹੀ ਆਉਂਦਾ ਸੀ। ਇਹ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਥਿਊਰੀਆਂ ਸਮਾਨ ਹੀ ਸਨ।

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸੰਭਾਵਾਤਮਿਕ ਫਿਤਰਤ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਸਮਝਦਾ ਸੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਉਸ ਨੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸ਼ੁੱਧ ਵਰਗ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ, ਇੱਕ ਫੈਲੇ ਹੋਏ, ਸੰਭਵ ਤੌਰ ਤੇ ਅਨੰਤ ਸਪੇਸ ਦੇ ਘਣਫ਼ਲ ਯੁਕਤ ਕਿਸੇ ਚੀਜ ਦੀ ਚਾਰਜ ਡੈਨੱਸਟੀ ਦੇ ਤੋਰ ਤੇ ਕੀਤੀ ਜਾਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਮੈਕਸ ਬੌਰਨ ਸੀ ਜਿਸਨੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸ਼ੁੱਧ ਵਰਗ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ-ਵਰਗੀ ਚੀਜ਼ ਦੇ ਸਥਾਨ ਦੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਵਿਸਥਾਰ ਵੰਡ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ। ਬੌਰਨ ਦਾ ਵਿਚਾਰ ਜਲਦੀ ਹੀ ਕੌਪਨਹੀਗਨ ਵਿੱਚ ਨੀਲ ਬੋਹਰ ਦੁਆਰਾ ਅਪਣਾ ਲਿਆ ਗਿਆ ਜੋ ਫੇਰ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਕੌਪਨਹੀਗਨ ਵਿਆਖਿਆ ਦਾ ਪਿਤਾਮਾ ਬਣ ਗਿਆ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਦਾ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਲਾਸੀਕਲ ਹੈਮਿਲਟਨ-ਜੈਕਬੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਤੌਰ ਤੇ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਦੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ, ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਨਾਲ ਮੇਲਜੋਲ ਹੋਰ ਵੀ ਜਿਆਦਾ ਸਪਸ਼ਟ ਸਨ, ਭਾਵੇਂ ਕੁੱਝ ਨਾ ਕੁੱਝ ਜਿਆਦਾ ਰਸਮੀ ਸਨ। ਆਪਣੇ ਪੀ. ਐੱਚ. ਡੀ. ਥੀਸਿਸ ਵਿੱਚ, ਪੌਲ ਡੀਰਾਕ ਨੇ ਖੋਜਿਆ ਕਿ ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਕਹੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਅੰਦਰ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਵਾਸਤੇ ਸਮੀਕਰਨ, ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਵਿਚਲੀਆਂ ਕੁੱਝ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦੀ ਗਤੀਸ਼ੀਲਤਾ ਵਿਗਿਆਨ ਵਾਸਤੇ ਕਲਾਸੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਤੌਰ ਉਦੋਂ ਤੇ ਬਦਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਪੋਆਇਸ਼ਨ ਬਰੈਕਟਾਂ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਮ ਨਾਲ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਤਰੀਕਾ ਹੈ।

ਹੋਰ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ, ਪੋਸਟਡਾਕਟਰਲ ਯੁਵਾ ਸਾਥੀ ਵਰਨਰ ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਨੇ ਅਪਣਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਮਕੈਨਿਕਸ ਖੋਜਿਆ, ਜੋ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਹੀ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਲਾਜ਼ਮੀ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਸੀ। ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਦੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਮਕੈਨਿਕਸ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਅਨੰਤ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਅਲਜਬਰੇ ਉੱਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਸੀ।, ਜੋ ਕਲਾਸੀਕਲ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਗਣਿਤ ਦੀ ਰੋਸ਼ਨੀ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਉੱਜਵਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਸੀ, ਭਾਵੇਂ ਉਸਨੇ ਉਸ ਵਕਤ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗਕਾਰੀਆਂ ਦੀ ਸੂਚਕਾਂਕ-ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਜਿਸਨੂੰ ਇਹ ਵੀ ਨਹੀਂ ਪਤਾ ਸੀ ਕਿ ਉਸਦੀਆਂ “ਇੰਡੈਕਸ-ਸਕੀਮਾਂ” ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਸਨ, ਜਿਵੇਂ ਜਲਦੀ ਹੀ ਬੌਰਨ ਨੇ ਉਸਨੂੰ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕੀਤਾ। ਦਰਅਸਲ, ਇਹਨਾਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਾਲਾਂ ਦੌਰਾਨ, ਰੇਖਿਕ ਅਲਜਬਰਾ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਦਰਮਿਆਨ ਆਪਣੀ ਵਰਤਮਾਨ ਕਿਸਮ ਵਾਂਗ ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਨਹੀਂ ਸੀ।
ਭਾਵੇਂ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੇ ਇੱਕ ਸਾਲ ਬਾਦ ਖੁਦ ਹੀ ਆਪਣੇ ਵੇਵ-ਮਕੈਨਿਕਸ ਅਤੇ ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਦੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰ ਦਿੱਤਾ ਸੀ, ਦੋਵੇਂ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣਾਂ ਦਾ ਮੇਲ ਅਤੇ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਗਤੀ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਹਨਾਂ ਦੀ ਅਜੋਕੀ ਸੰਖੇਪਤਾ ਦਾ ਸ਼੍ਰੇਅ ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਪੌਲ ਡੀਰਾਕ ਨੂੰ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੇ ਆਪਣੀ 1930 ਦੀ ਕਲਾਸੀਕ ਪੁਸਤਕ “ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲਜ਼ ਔਫ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ” ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਪਸ਼ਟ ਕਾਰਣ ਲਿਖਿਆ। ਉਹ ਇਸ ਖੇਤਰ ਦਾ ਤੀਜਾ, ਅਤੇ ਸੰਭਵ ਤੌਰ ਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਥੰਮ ਹੈ (ਜਲਦੀ ਹੀ ਉਹ ਇਕਲੌਤਾ ਹੀ ਉਹ ਬਣ ਗਿਆ ਜਿਸਨੇ ਥਿਊਰੀ ਦੇ ਇੱਕ ਸਾਪੇਖਿਕ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨਕਰਨ ਨੂੰ ਖੋਜਿਆ ਸੀ)। ਉਸਦੇ ਉੱਪਰ ਹਵਾਲਾ ਦਿੱਤੇ ਕਾਰਣ ਵਿੱਚ, ਉਸਨੇ ਬਰਾ-ਕੈੱਟ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ, ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਸੰਖੇਪ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਨਾਲ ਇਕੱਠੀ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ; ਉਸਨੇ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਕਿ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਅਤੇ ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਦੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਇੱਕੋ ਥਿਊਰੀ ਦੀਆਂ ਦੋ ਅਲੱਗ-ਅਲੱਗ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਸਨ, ਅਤੇ ਉਸਨੇ ਇੱ ਤੀਜੀ, ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਖੋਜੀ, ਜਿਸਨੇ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਡਾਇਨਾਮਿਕਸ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ। ਉਸਦਾ ਕੰਮ ਖੇਤਰ ਦੇ ਸਾਰੀ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨਕਰਨਾਂ ਲਈ ਖਾਸਤੌਰ ਤੇ ਲਾਭਕਾਰੀ ਸੀ।
ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲੀ ਸੰਪੂਰਣ ਗਣਿਤਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ, ਜਿਸਨੂੰ ਡੀਰਾਕ-ਵੌਨ ਨਿਉਮਾੱਨ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਦਾ ਸ਼੍ਰੇਅ ਆਮਤੌਰ ਤੇ 1932 ਵਿੱਚ ਛਪੀ ਜੌਹਨ ਵੌਨ ਨਿਉਮਾੱਨ ਦੀ ਪੁਸਤਕ ਮੈਥੇਮੈਟੀਕਲ ਫਾਉਂਡੇਸ਼ਨਜ਼ ਔਫ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਨੂੰ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਹਰਮਾੱਨ ਵੇਇਲ ਨੇ ਆਪਣੀ 1927 ਵਿੱਚ ਛਪੀ ਪੁਸਤਕ ਅਤੇ ਕਲਾਸੀਕ ਪੇਪਰ ਵਿੱਚ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸਾਂ ਵੱਲ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰ ਦਿੱਤਾ ਸੀ (ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਉਸਨੇ ਯੂਨਾਇਟਰੀ ਸਪੇਸਾਂ ਕਿਹਾ ਸੀ)। ਇਸਦਾ ਵਿਕਾਸ ਰੇਖਿਕ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਉੱਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਗਣਿਤਿਕ ਸਪੈਕਟ੍ਰਲ ਥਿਊਰੀ ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੋਇਆ ਸੀ ਨਾ ਕਿ ਕੋਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਕਿਸਮਾਂ ਉੱਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਹੋਇਆ ਸੀ ਜੋ ਇਸ ਤੋਂ ਇੱਕ ਪੀੜੀ ਪਹਿਲਾਂ ਦੇ ਡੇਵਿਡ ਹਿਲਬਰਟ ਦੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਸਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਸ ਦਿਨ ਤੱਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀਆਂ ਥਿਊਰੀਆਂ ਦੀ ਉਤਪਤੀ ਹੁੰਦੀ ਜਾਣੀ ਜਾਰੀ ਹੈ, ਫੇਰ ਵੀ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਗਣਿਤਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਵਾਸਤੇ ਇੱਕ ਬੁਨਿਆਦੀ ਢਾਂਚਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਜਿਆਦਾਤਰ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣਾਂ ਪਿੱਛੇ ਛੁਪਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਸਨੂੰ ਟਰੇਸ ਕਰਕੇ ਜੌਹਨ ਵੌਨ ਨਿਉਮਾੱਨ ਦੇ ਗਣਿਤਿਕ ਕੰਮ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਥਿਊਰੀ ਦੀਆਂ ਵਿਆਖਿਆਵਾਂ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾਵਾਂ, ਅਤੇ ਇਸਦੀਆਂ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾਵਾਂ ਜਿਆਦਾਤਰ, ਗਣਿਤਿਕ ਬੁਨਿਆਦਾਂ ਬਾਬਤ ਸਾਂਝੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਉੱਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਕਰਕੇ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।

### ਬਾਦ ਦੇ ਵਿਕਾਸ
ਨਵੀਨ ਕੁਆਂਟਮ ਥਿਊਰੀ ਦੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨਟਿਜ਼ਮ ਪ੍ਰਤਿ ਉਪਯੋਗਾਂ ਨੇ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੱਤਾ, ਜੋ 1930 ਦੇ ਲੱਗਪੱਗ ਵਿਕਸਿਤ ਹੋਣੀ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਈ ਸੀ। ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਨੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਹੋਰ ਵੀ ਜਿਆਦਾ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਨੂੰ ਤੋਰਿਆ, ਜਿਸ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਥੇ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਇੱਕ ਸਰਲ ਖਾਸ ਕੇਸ ਹੈ।

* ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ
* ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਫੇਜ਼ ਸਪੇਸ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਅਤੇ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ
* ਸਾਈਨ ਕੀਤੀ ਹੋਈ ਕਣ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ
* ਵਕਰਿਤ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਅੰਦਰ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ
* ਸਵੈ-ਸਿੱਧ, ਅਲਜਬਰਿਕ ਅਤੇ ਰਚਨਾਤਮਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ
* C* ਅਲਜਬਰਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀਆਂ
* ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦਾ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕੀਤਾ ਸਟੈਟਿਸਟੀਕਲ ਮਾਡਲ

ਕਿਸੇ ਵੱਖਰੇ ਵੱਖਰੇ ਮੋਰਚੇ ਉੱਤੇ, ਵੌਨ ਨਿਉਮਾੱਨ ਨੇ ਮੂਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਟੁੱਟਣ ਉੱਤੇ ਆਪਣੇ ਅਪ੍ਰਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤ ਵਾਲਾ ਕੁਆਂਟਮ ਨਾਪ ਜਾਰੀ ਕੀਤਾ, ਜੋ ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੰਦਾ ਸੀ। ਮੱਧ ਵਿਚਕਾਰਲੇ 70 ਸਾਲਾਂ ਦੌਰਾਨ, ਨਾਪ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਇੱਕ ਸਕ੍ਰਿਅ ਖੋਜ ਦਾ ਖੇਤਰ ਬਣ ਗਈ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਆਪ ਹੀ ਇਸਨੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀਆਂ ਕੁੱਝ ਨਵੀਆਂ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀਆਂ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੱਤਾ।

* ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਸਾਪੇਖਿਕ ਅਵਸਥਾ /ਕਈ ਸੰਸਾਰ ਵਿਆਖਿਆ
* ਡੀਕੋਹਰੰਸ
* ਸਥਿਰ ਇਤਿਹਾਸ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ
* ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਕੁਆਂਟਮ ਲੌਜਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ

ਇੱਕ ਸਬੰਧਤ ਵਿਸ਼ਾ ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਪ੍ਰਤਿ ਸਬੰਧ ਹੈ। ਕੋਈ ਵੀ ਭੌਤਿਕੀ ਥਿਊਰੀ ਪੁਰਾਣੀਆਂ ਸਫ਼ਲ ਥਿਊਰੀਆਂ ਨੂੰ ਕੁੱਝ ਸੰਖੇਪਤਾ ਤੱਕ ਘਟਾਉਂਦੀ ਮੰਨੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਾਸਤੇ, ਇਹ ਸਭ ਕੁੱਝ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਕਲਾਸੀਕਲ ਹੱਦ ਨਾਮਕ ਅਧਿਐਨ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਹੀ, ਜਿਵੇਂ ਬੋਹਰ ਨੇ ਜੋਰ ਦੇ ਕਿਹਾ ਕਿ, ਇਨਸਾਨੀ ਗਿਆਨ ਯੋਗਤਾਵਾਂ ਅਤੇ ਭਾਸ਼ਾ ਕਲਾਸੀਕਲ ਖੇਤਰ ਨਾਲ ਅਭਿੰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜੁੜੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਲਾਸੀਕਲ ਵਿਵਰਣ ਕੁਆਂਟਮ ਵਿਵਰਣਾਂ ਨਾਲੋਂ ਕੁਦਰਤੀ ਤੌਰ ਤੇ ਜਿਆਦਾ ਵਰਤੋਂ ਵਿੱਚ ਆਉਣ ਯੋਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਖਾਸ ਕਰਕੇ, ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ, ਜੋ ਕੁਆਂਟਮ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਬਣਤਰ ਦਾ ਨਾਮ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਕਲਾਸੀਕਲ ਹੱਦ ਇੱਕ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਅਤੇ ਗਿਆਤ ਕਲਾਸੀਕਲ ਥਿਊਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਕੁਆਂਟਮ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦਾ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਖੇਤਰ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਕੁਆਂਟਮ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਨ ਵਾਲਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁੱਝ (ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਅਤੇ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੋਟ ਕਰਨ ਯੋਗ ਹਨ) ਇਸ ਗੱਲ ਨਾਲ ਨਾਖੁਸ਼ ਸਨ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਨੇ ਜੋ ਸੋਚਿਆ ਉਹ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ ਨਤੀਜੇ ਸਨ। ਖਾਸ ਕਰਕੇ, ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਨੇ ਇਹ ਰੱਵਈਆ ਅਪਣਾਇਆ ਕਿ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਜਰੂਰ ਹੀ ਅਧੂਰਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਗੱਲ ਨੇ ਛੁਪੇ ਅਸਥਰਿਾਂਕਾਂ ਦੀਆਂ ਥਿਊਰੀਆਂ ਦੀ ਖੋਜ ਨੂੰ ਪ੍ਰੇਰਣਾ ਦਿੱਤੀ।ਛੁਪੇ ਅਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਦਾ ਮਾਮਲਾ ਹਿੱਸੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕੁਆਂਟਮ ਔਪਟਿਕਸ ਦੀ ਮਦਦ ਨਾਲ ਇੱਕ ਪ੍ਰਯੋਗਿਕ ਮਾਮਲਾ ਬਣ ਗਿਆ।

* ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਡੀ ਬ੍ਰਗੋਲਿ-ਬੋਹਮ-ਬੈੱਲ ਪੀਲੌਟ ਵੇਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ
* ਬੈੱਲ ਦੀਆਂ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ
* ਕੋਚਨ-ਸਪੈਕਰ ਥਿਊਰਮ

## ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਗਣਿਤਿਕ ਬਣਤਰ
ਕੋਈ ਭੌਤਿਕੀ ਸਿਸਟਮ ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਤਿੰਨ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸਮੱਗਰੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: ਅਵਸਥਾਵਾਂ; ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ; ਅਤੇ ਡਾਇਨਾਮਿਕਸ (ਜਾਂ ਵਕਤ ਉਤਪਤੀ ਦੇ ਨਿਯਮ) ਜਾਂ, ਹੋਰ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ਤੇ, ਭੌਤਿਕੀ ਸਮਰੂਪਤਾਵਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਗਰੁੱਪ ਦੁਆਰਾ।ਕੋਈ ਕਲਾਸੀਕਲ ਵਿਵਰਣ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਇੱਕ ਫੇਜ਼ ਸਪੇਸ ਮਾਡਲ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਜਾਇਜ ਸਿੱਧੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਦਿੱਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਕਿਸੇ ਸਿੰਪਲੈਕਟਿਕ ਫੇਜ਼ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ ਇਸ ਉੱਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਵਕਤ ਉਤਪਤੀ ਫੇਜ਼ ਸਪੇਸ ਦੇ ਸਿੰਪਲੈਕਟਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਇੱਕ-ਮਾਪਦੰਡ ਵਾਲੇ ਗਰੁੱਪ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਭੌਤਿਕੀ ਸਮਰੂਪਤਾਵਾਂ ਸਿੰਪਲੈਕਟਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਰਾਹੀਂ ਅਨੁਭਵ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇੱਕ ਕੁਆਂਟਮ ਵਿਵਰਣ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਦਾ ਬਣਦਾ ਹੈ, ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਸੈਲਫ ਅਡਜੋਆਇੰਟ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਵਕਤ ਉਤਪਤੀ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਯੂਨਾਇਟਰੀ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਇੱਕ-ਮਾਪਦੰਡ ਵਾਲੇ ਗਰੁੱਪ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਭੌਤਿਕੀ ਸਮਰੂਪਤਾਵਾਂ ਯੂਨਾਇਟਰੀ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਰਾਹੀਂ ਅਨੁਭਵ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।

### ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤ
ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਗਣਿਤਿਕ ਢਾਂਚੇ ਦਾ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖਿਆ ਸੰਖੇਪ ਸਾਰਾਂਸ਼ ਡੀਰਾਕ-ਵੌਨ ਨਿਉਮਾੱਨ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਤੋਂ ਅੰਸ਼ਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਟਰੇਸ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

* ਹਰੇਕ ਭੌਤਿਕੀ ਸਿਸਟਮ ਇਨਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ) ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਨਿਖੇੜਨਯੋਗ ਕੰਪਲੈਕਸ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ H ਨਾਲ (ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਤੌਰ ਤੇ) ਜੁੜਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। H ਵਿੱਚ ਕਿਰਨਾਂ (ਇੱਕ-ਅਯਾਮੀ ਸਬ-ਸਪੇਸਾਂ) ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨਾਲ ਜੁੜੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਭੌਤਿਕੀ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ H ਅੰਦਰ 1 ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮਾਨਤਾ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਦੀ ਭੌਤਿਕੀ ਵਿਆਖਿਆ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਨਿਰਾਲੇ ਤੌਰ ਤੇ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਨਿਰੀਖਣ ਕਾਫੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
* ਕਿਸੇ ਸੰਯੁਕਤ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ, ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਾਲੇ (ਕੰਪੋਨੈਂਟ) ਸਿਸਟਮਾਂ ਨਾਲ ਜੁੜੀਆਂ ਅਵਸਥਾ ਸਪੇਸਾਂ ਦਾ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਟੈਂਸਰ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। (ਜਿਵੇਂ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਜੇ. ਐੱਮ. ਜਾਓਚ ਦੀ ਪੁਸਤਕ ‘ਫਾਉਂਡੇਸ਼ਨ ਔਫ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ’ ਦਾ ਸੈਕਸ਼ਨ 11-7)।ਵੱਖਰਾ ਕਰਨਯੋਗ ਕਣਾਂ ਦੀ ਕਿਸੇ ਸੀਮਤ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਕਣਾਂ ਨਾਲ ਬਣੇ ਕਿਸੇ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ ਸਿਸਟਮ ਵਾਸਤੇ, ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਸਿਸਟਮ, ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਕਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
* ਭੌਤਿਕੀ ਸਮਰੂਪਤਾਵਾਂ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਯੂਨਾਇਰੀ ਤੌਰ ਤੇ ਜਾਂ ਐਂਟੀ-ਯੂਨਾਇਟਰੀ ਤੌਰ ਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਸਦਾ ਕਾਰਣ ਵਿਜਨਰ ਦੀ ਥਿਊਰਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲਾਂ ਨੂੰ H ਉੱਤੇ ਹਰਮਿਸ਼ੀਅਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਅਵਸਥਾ ਅੰਦਰ ਸਿਸਟਮ ਵਾਸਤੇ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ A ਦਾ ਉਮੀਦ ਮੁੱਲ (ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਸਮਝ ਮੁਤਾਬਿਕ), ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ψ ∈ H ਰਾਹੀਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;

::\langle\psi\mid A\mid\psi\rangle

ਸਪੈਕਟ੍ਰਲ ਥਿਊਰੀ ਦੁਆਰਾ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਵਸਥਾ ψ ਅੰਦਰ A ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਨਾਪ ਦਾ ਸਬੰਧ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦਿਖਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਵਸਥਾ ਅੰਦਰ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ A ਦੇ ਸੰਭਵ ਮੁੱਲ ਜਰੂਰ ਹੀ A ਦੇ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਜਿਸ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਵਿੱਚ A ਕੇਵਲ ਅਨਿਰੰਤਰ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਹੀ ਰੱਖਦਾ ਹੋਵੇ, ਉਸ ਵਿੱਚ A ਨੂੰ ਨਾਪਣ ਦੇ ਸੰਭਵ ਨਤੀਜੇ ਇਸਦੇ ਆਈਗਨਮੁੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹੋਰ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਨਾਲ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ A ਦੇ ਆਈਗਨ-ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਬੇਸਿਸ ਅੰਦਰ ਅਵਸਥਾ ψ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਆਈਗਨ-ਵੈਕਟਰ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਹਿੱਸਿਆਂ ਦੇ ਮੌਡਿਊਲ ਦਾ ਵਰਗ (ਸਕੁਏਅਰ), ਇਸਦੇ ਸਬੰਧਤ ਆਈਗਨਮੁੱਲ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰਨ ਦੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਹੋਰ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਿਸੇ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਡੈੱਨਸਟੀ ਓਪਰੇਟਰ ਨਾਮਕ ਓਪਰੇਟਰ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇੱਕ ਟ੍ਰੇਸ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਗੈਰ-ਨੈਗਟਿਵ ਸੈਲਫ-ਅਡਜੋਆਇੰਟ ਓਪਰੇਟਰ ρ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਟਰੇਸ 1 ਹੋਣ ਤੱਕ ਨੌਰਮਲਾਇਜ਼ ਕੀਤਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਵਸਥਾ ρ ਅੰਦਰ A ਦਾ ਉਮੀਦ ਕੀਤਾ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਮੁੱਲ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

:: \operatorname{tr}(A\rho)

ਜੇਕਰ ρψ ਅਜਿਹਾ ਔਰਥੋਗਨਲ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਰ ਹੋਵੇ ਜੋ |ψ⟩ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਾਈ ਜਾਂਦੀ H ਦੀ ਇੱਕ-ਅਯਾਮੀ ਸਬ-ਸਪੇਸ ਉੱਪਰ ਔਰਥੋਗਨਲ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ

:: \operatorname{tr}(A\rho_\psi)=\left\langle\psi\mid A\mid\psi\right\rangle

ਡੈੱਨਸਟੀ ਓਪਰੇਟਰ ਉਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਇੱਕ-ਅਯਾਮੀ ਔਰਥੋਗਨਲ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕਨਵੈਕਸ ਹੱਲ (ਉੱਤਲ ਛਿਲਕੇ) ਦੇ ਬੰਦ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਇੱਕ-ਅਯਾਮੀ ਔਰਥੋਗਨਲ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਰ, ਡੈੱਨਸਟੀ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਦੇ ਹੱਦ-ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ, ਇੱਕ-ਅਯਾਮੀ ਔਰਥੋਗਨਲ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ੁੱਧ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਵੀ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਹੋਰ ਡੈੱਨਸਟੀ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਨੂੰ ਮਿਸ਼ਰਿਤ (ਮਿਕਸਡ) ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ।

ਇਸ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਅਵਸਥਾ ਅੰਦਰ ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਦਾ ਅਨਸਰਟਨਟੀ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਬਿਆਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਬੇਸ਼ੱਕ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦਾ ਇੰਨਬਿੰਨ ਇਤਿਹਾਸਿਕ ਲੜੀਕ੍ਰਮ, ਜੋ ਇਸ ਗੱਲ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸਨੇ ਕਿਸ ਢਾਂਚੇ ਅਧੀਨ ਕਿਸ ਚੀਜ਼ ਦੀ ਖੋਜ ਕੀਤੀ, ਇਸ ਆਰਟੀਕਲ ਦੀ ਗੁੰਜਾਇਸ਼ ਤੋਂ ਪਰੇ ਦੀਆਂ ਇਤਿਹਾਸਿਕ ਜਾਂਚ-ਪੜਤਾਲਾਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਾ ਹੈ।

ਹੋਰ ਅੱਗੇ, ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਲਈ ਸਪਿੱਨ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਅਤੇ ਪੌਲੀ ਦੇ ਐਕਸਕਲੂਜ਼ਨ ਸਿਧਾਂਤ ਉੱਤੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਕਥਨਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਜੋੜਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਦੇਖੋ ਥੱਲੇ।

### ਡਾਇਨਾਮਿਕਸ ਦੀਆਂ ਤਸਵੀਰਾਂ
* ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਤਸਵੀਰ ਕਹੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ, ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਡਾਇਨਾਮਿਕਸ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:

ਅਵਸਥਾ ਦੀ ਵਕਤ ਉਤਪਤੀ, ਸਿਸਟਮ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਪ੍ਰਤਿ, ਵਕਤ ਦੇ ਪਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ R ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਏਸ਼ਨ-ਯੋਗ (ਡੋੱਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ) ਫੰਕਸ਼ਨ ਰਾਹੀਂ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਨਕਸ਼ਾ ਇੱਕ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਾਤਮਿਕ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਵਕਤ t ਉੱਤੇ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ |ψ(t)⟩ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:

: i\hbar\frac{d}{d t}\left|\psi(t)\right\rangle=H\left|\psi(t)\right\rangle

ਜਿੱਥੇ H, ਇੱਕ ਠੋਸ ਤੌਰ ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਵੈ-ਅਡਜੋਆਇੰਟ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਸਿਸਟਮ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, i ਕਾਲਪਿਨਕ ਇਕਾਈ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ħ ਸੋਧਿਆ ਹੋਇਆ ਪਲੈਂਕ ਦਾ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, H, ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇਸਦੇ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਟੋਨ ਦੀ ਥਿਊਰਮ ਦੁਆਰਾ ਇਹ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਤੌਰ ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਇੱਕ-ਮਾਪਦੰਡ ਵਾਲਾ ਯੂਨਾਇਟਰੀ ਗਰੁੱਪ U(t): H → H ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਾਰੇ ਵਕਤਾਂ s, t ਵਾਸਤੇ, ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ;

:\left|\psi(t+s)\right\rangle=U(t)\left|\psi(s)\right\rangle

ਇੱਕ ਸਵੈ-ਅਡਜੋਆਇੰਟ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ H ਦੀ ਹੋਂਦ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ-ਮਾਪਦੰਡ ਵਾਲੇ ਯੂਨਾਇਟਰੀ ਗਰੁੱਪਾਂ ਉੱਤੇ ਸਟੋਨ ਦੀ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

:U(t)=e^{-(i/\hbar)t H}

ਇਹ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ H, ਵਕਤ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਅਤੇ  ਉੱਤੇ ਬੇਤਰਤੀਬੀ (ਪਰਚਰਬੇਸ਼ਨ) ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ; ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਜਰੂਰ ਹੀ ਡੇਅਸਨ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਰਸਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਇੰਝ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;

:U(t)=\mathcal{T}\left[\exp\left(-\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t \,{\rm d}t'\, H(t')\right)\right]\,,

ਜਿੱਥੇ {\mathcal{T}} ਨੂੰ ਡੇਅਸਨ ਦਾ ਵਕਤ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

(ਇਹ ਚਿੰਨ੍ਹ ਇਸ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀ ਕਿਸਮ

: B_1(t_1)\cdot B_2(t_2)\cdot\dots \cdot B_n(t_n)

ਦੇ ਗੈਰ-ਵਟਾਂਦਰਾਤਮਿਕ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਨਿਰਾਲੇ ਤੌਰ ਤੇ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਪੁਨਰ-ਵਿਵਸਥ ਸਮੀਕਰਨ

:B_{i_1}(t_{i_1})\cdot B_{i_2}(t_{i_2})\cdot\dots \cdot B_{i_n}(t_{i_n})

ਵਿੱਚ

:t_{i_1}\ge t_{i_2}\ge\dots\ge t_{i_n}\,.

ਨਾਲ ਵਟਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਕਾਰਣਾਤਮਿਕ ਲੜੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਉੱਤੇ ਭੂਤਕਾਲ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਕਾਰਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਉੱਤੇ ਵਰਤਮਾਨ ਪ੍ਰਭਾਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ)

* ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਤਸਵੀਰ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲਾਂ ਉੱਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦ੍ਰਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਵਕਤ ਅੰਦਰ ਬਦਲਦੀਆਂ ਸਮਝਣ ਦੀ ਜਗਹ, ਇਹ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਮੰਨ ਕੇ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਦਾ ਮੰਨਦੀ ਹੈ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਤੋਂ ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਦੀ ਤਸਵੀਰ ਵੱਲ ਜਾਣ ਵਾਸਤੇ ਇਸ ਕਾਰਣ, ਵਕਤ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਅਤੇ ਵਕਤ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਪੈਂਦੀ ਹੈ:

:\left|\psi\right\rangle = \left|\psi(0)\right\rangle
:A(t) = U(-t)AU(t). \quad

ਫੇਰ ਇਹ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਚੈੱਕ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਾਰੇ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲਾਂ ਦੇ ਉਮੀਦ ਮੁੱਲ ਦੋਵੇਂ ਤਸਵੀਰਾਂ ਅੰਦਰ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ,

:\langle\psi\mid A(t)\mid\psi\rangle=\langle\psi(t)\mid A\mid\psi(t)\rangle

ਅਤੇ ਵਕਤ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਓਪਰੇਟਰ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਉੱਤੇ ਖਰੇ ਉਤਰਦੇ ਹਨ;

:\frac{d}{dt}A(t)=\frac{i}{\hbar}[H,A(t)]+\frac{\partial A(t)}{\partial t},

ਜੋ ਵਕਤ ਤੇ ਨਿਰਭਰ A = A(t) ਵਾਸਤੇ ਸੱਚ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਕਮਿਉਟੇਟਰ ਦਰਸਾਓ ਉਦੋਂ ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਰਸਮੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਓਪਰੇਟਰ ਅਜ਼ਾਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂ੍ੰ ਅਰਥ ਭਰਪੂਰ ਬਣਾਉਣ ਵਾਸਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦਰਸਾਉਣੀ ਹੋਵੇਗੀ।

* ਡੀਰਾਕ ਤਸਵੀਰ ਜਾਂ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ ਤਸਵੀਰ ਵਕਤ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਅਤੇ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲਾਂ ਵਾਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਵੱਖਰੇ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨਾਂ ਪ੍ਰਤਿ ਉਤਪੰਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਤਸਵੀਰ ਉਦੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਲਾਭਕਾਰੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲਾਂ ਦੀ ਉਤਪਤੀ ਨੂੰ, ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਉਤਪਤੀ ਪ੍ਰਤਿ ਕਮੀਆਂ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰਕੇ, ਸਹੀ ਤਰਾਂ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੋਵੇ।ਇਸ ਕਾਰਣ ਕਰਕੇ, ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲਾਂ ਦੇ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਨੂੰ “ਮੁਕਤ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ” ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਵਾਸਤੇ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਨੂੰ “ਇੰਟ੍ਰੈਕਸ਼ਨ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ” ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੰਨਾ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

: i\hbar\frac{d }{dt}\left|\psi(t)\right\rangle ={H}_{\rm int}(t) \left|\psi(t)\right\rangle
i\hbar{d \over d t}A(t) = [A(t),H_{0}].

ਭਾਵੇਂ, ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ ਤਸਵੀਰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ।ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀਆਂ ਵਿੱਚ, ਹਾਗ ਦੀ ਥਿਊਰਮ ਬਿਆਨ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ ਤਸਵੀਰ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ।ਅਜਿਹਾ ਇਸ ਲਈ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸੁਪਰ-ਵਿਕਲਪ ਖੇਤਰ ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਮੁਕਤ ਅਤੇ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰ ਰਹੇ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਤੋੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ।ਹੋਰ ਤਾਂ ਹੋਰ, ਇੱਥੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਜੇਕਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਵਕਤ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਾ ਕਰੇ, ਯਾਨਿ ਕਿ  ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਵੀ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਇਹ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਘੱਟੋ ਘੱਟ, ਜੇਕਰ V,  ਨਾਲ ਕਮਿਊਟ ਨਾ ਕਰਦਾ ਹੋਵੇ, ਕਿਉਂਕਿ

:H_{\rm int}(t)\equiv e^{{(i/\hbar})tH_0}\,V\,e^{{(-i/\hbar})tH_0}

ਇਸਲਈ ਉੱਪਰ ਹਵਾਲਾ ਦਿੱਤਾ ਡੇਅਸਨ ਸੀਰੀਜ਼ ਕਿਸੇ ਨਾ ਕਿਸੇ ਤਰਾਂ ਵਰਤਣਾ ਹੀ ਪੈਂਦਾ ਹੈ।

ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਤਸਵੀਰ ਕਲਾਸੀਕਲ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ (ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਉੱਪਰ ਲਿਖੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਸਣ ਵਾਲੇ ਕਮਿਉਟੇਟਰ ਸਿੱਧੇ ਹੀ ਕਲਾਸੀਕਲ ਪੋਆਇਸ਼ਨ ਬਰੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਜਾਂਦੇ ਹਨ); ਪਰ ਇਹ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਉੱਵ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਵਾਲੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਤਸਵੀਰ ਜਿਆਦਾਤਰ ਲੋਕਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਿਸਣ ਅਤੇ ਸਮਝਣ ਲਈ ਅਸਾਨ ਮੰਨੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਸਿੱਖਿਆ ਸਬੰਧੀ ਜਾਂਚ ਦੇ ਹਿਸਾਬ ਨਾਲ ਪਰਖਿਆ ਜਾਵੇ।ਡੀਰਾਕ ਤਸਵੀਰ ਨੂੰ ਪਰਚਰਬੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰੀ ਅੰਦਰ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਅਤੇ ਕਈ-ਸ਼ਰੀਰ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਨਾਲ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਬੰਧ ਰੱਖਦੀ ਹੈ।

ਭੌਤਿਕੀ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਸਮਰੂਪਤਾਵਾਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਇੱਕ-ਮਾਪਦੰਡ ਵਾਲੇ ਯੁਨਾਇਟਰੀ ਗਰੁੱਪ ਵਾਸਤੇ ਮਿਲਦੀਆਂ ਜੁਲਦੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਿਖੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਵਕਤ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਢੁਕਵੇਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਨਾਲ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਯੂਨਾਇਟਰੀ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਮਾਪਦੰਡੀਕਰਨ ਕਰਦਾ ਹੋਵੇ (ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਇੱਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਐਂਗਲ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੂਰੀ) ਅਤੇ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਮਾਤਰਾ ਨਾਲ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸਮਰੂਪਤਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਐਂਗੁਲਰ ਜਾਂ ਰੇਖਿਕ ਮੋਮੈਂਟਮ)।

### ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦਾ ਮੂਲ ਰੂਪ ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਦੇ ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਕਮਿਉਟੇਸ਼ਨ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਖਾਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਚੁਣੇ ਜਾਣ ਉੁੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸਟੋਨ=ਵੌਨ ਨਿਉਮਾੱਨ ਥਿਊਰਮ ਬਿਆਨ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸੀਮਤ-ਅਯਾਮੀ ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਵਟਾਂਦਰਾਤਮਿਕ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਨਾ ਤੋੜੀਆਂ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਯੁਨਾਇਟਰੀ ਤੌਰ ਤੇ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸੁਚਾਰੂ ਸਮਝ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਫੇਜ਼ ਸਪੇਸ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਵੱਲ ਜਾਣ ਦੀ ਪ੍ਰੇਰਣਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਪੂਰੀ ਫੇਜ਼ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ ਨਾ ਕਿ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰਾਂ ਇਹ ਕਲਾਸੀਕਲ ਹੱਦ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਕੁਦਰਤੀ ਸਮਝ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਤਸਵੀਰ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਪ੍ਰਤਿ ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਤੋਂ ਸੁਧਾਰੀ ਗਈ ਸ਼ਾਖਾ ਹੈ।

ਕੁਆਂਟਮ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਔਸੀਲੇਟਰ ਇੱਕ ਸਹੀ ਤਰਾਂ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲਾ ਸਿਸਟਮ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਵੱਖਰੀਆਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉੱਥੇ, ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ, ਜਾਂ ਸ਼੍ਰੋਡਿ੍ੰਜਰ (ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਜਾਂ ਮੋਮੈਂਟਮ), ਜਾਂ ਫੇਜ਼-ਸਪੇਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਫੋਕ (ਨੰਬਰ) ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਅਤੇ ਸੀਗਲ-ਬਾਰਗਮੱਨ (ਫੋਕ-ਸਪੇਸ ਜਾਂ ਕੋਹਰੰਟ ਅਵਸਥਾ) ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ (ਜਿਸਦਾ ਨਾਮ ਇਰਵਿੰਗ ਸੀਗਲ ਅਤੇ ਵੇਲੰਟਾਈਨ ਬਰਗਾਮੱਨ ਦੇ ਨਾਮ ਤੋਂ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ) ਨਾਲ ਵੀ ਸਾਹਮਣਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਾਰੀਆਂ ਚਾਰੇ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਯੁਨਾਈਟਰੀ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਹਨ।

### ਇੱਕ ਓਪਰੇਟਰ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵਕਤ
ਹੁਣ ਤੱਕ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਢਾਂਚਾ ਵਕਤ ਨੂੰ ਅਜਿਹੇ ਮਾਪਦੰਡ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਕਲੌਤਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਸਭ ਕੁੱਝ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਫਾਰਮੂਲਾਬੱਧ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ ਵਕਤ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਵੈ-ਅਡਜੋਆਇੰਟ ਓਪਰੇਟਰ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਇੱਕ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ ਬਣ ਜਾਵੇ। ਕਲਾਸੀਕਲ ਪੱਧਰ ਉੱਤੇ, ਇੱਕ ਗੈਰ-ਭੌਤਿਕੀ ਮਾਪਦੰਡ s ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕਣਾਂ ਦੇ ਵਕਰਿਤ ਰਸਤਿਆਂ ਨੂੰ ਮਨਮਰਜੀ ਨਾਲ ਮਾਪਦੰਡ ਦੇਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਵਕਤ t, ਭੌਤਿਕੀ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਇੱਕ ਵਾਧੂ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਪੱਧਰ ਉੱਤੇ, s ਵਿਚਲੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਇੱਕ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ H – E ਦੁਆਰਾ ਪੈਦਾ ਹੋਣਗੇ, ਜਿੱਥੇ E, ਊਰਜਾ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ H, ਸਧਾਰਨ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਕਿਉਂਕਿ s ਇੱਕ ਗੈਰ-ਭੌਤਿਕੀ ਮਾਪਦੰਡ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਭੌਤਿਕੀ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਜਰੂਰ ਹੀ s-ਉਤਪਤੀ ਦੁਆਰਾ ਸਥਿਰ ਛੱਡ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜਾਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰਾਂ ਭੌਤਿਕੀ ਅਵਸਥਾ ਸਪੇਸ H – E ਦਾ ਕਰਨਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (ਇਸ ਵਾਸਤੇ ਵਿਵਸਥ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਨੌਰਮ ਦੇ ਮਾਨਕੀਕਰਨ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਪੈਂਦੀ ਹੈ)

ਇਹ ਮਜਬੂਰ ਕੀਤੇ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਅਤੇ ਗੇਜ ਥਿਊਰੀਆਂ ਦੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ। “ਘਟਨਾਵਾਂ” ਦੀ ਕਿਸੇ ਕੁਆਂਟਮ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਵੀ ਸੰਭਵ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਵਕਤ ਇੱਕ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਦੇਖੋ ਡੀ. ਐਡਵਰਡਜ਼)।

### ਸਪਿੱਨ
ਆਪਣੀਆਂ ਹੋਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ, ਸਾਰੇ ਕਣ ਇੱਕ ਸਪਿੱਨ ਨਾਮਕ ਮਾਤਰਾ ਰੱਖਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਇੱਕ ਅੰਦਰੂਨੀ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨਾਮ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਕਣ ਕਿਸੇਡੁਰੇ ਦੁਆਲ਼ੇ ਸੱਚਮੁੱਚ ਨਹੀਂ ਘੁੰਮਦੇ, ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਪਿੱਨ ਦਾ ਕਲਾਸੀਕਲ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਮੇਲਜੋਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਅੰਦਰ, ਇੱਕ ਸਪਿੱਨ-ਹੀਣ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪੁਜੀਸ਼ਨ r ਅਤੇ ਵਕਤ t ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਿਰੰਤਰ ਅਸਥਿਰਾਂਕ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ψ = ψ(r, t) ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਸਪਿੱਨ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਸਤੇ ਸਪਿੱਨ ਇੱਕ ਅਤਿਰਿਕਰ ਅਨਿਰੰਤਰ ਅਸਥਿਰਾਂਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਇੰਝ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: ψ = ψ(r, t, σ), ਜਿੱਥੇ σ ਇਹ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਮੁੱਲ ਲੇਂਦਾ ਹੈ;

:\sigma = -S \hbar, -(S-1) \hbar, \dots, 0, \dots,+(S-1) \hbar,+S \hbar \,.

ਯਾਨਿ ਕਿ, ਸਪਿੱਨ S ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਸਿੰਗਲ ਕਣ ਦੀ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਕੰਪਲੈਕਸ ਮੁੱਲਾਂ ਵਾਲੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ (2S + 1)- ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਸਪਿੱਨੌਰ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਬਹੁਤ ਜਿਆਦਾ ਵੱਖਰੇ ਵਰਤਾਓ ਵਾਲੇ ਕਣਾਂ ਦੀਆਂ ਦੋ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਵਿੱਚ ਬੋਸੌਨ ਅਤੇ ਫਰਮੀਔਨ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਬੋਸੌਨਾਂ ਦਾ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਸਪਿੱਨ (S = 0, 1, 2...) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਰਮੀਔਨ ਅੱਧਾ-ਅੰਕ ਸਪਿੱਨ (S = 1⁄2, 3⁄2, 5⁄2, ...) ਰੱਖਦੇ ਹਨ।

### ਪੌਲੀ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ
ਸਪਿੱਨ ਦੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ N ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਕਣਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਇੱਕ ਹੋਰ ਮੁਢਲੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: ਜਿਸਨੂੰ ਪੌਲੀ ਦਾ ਐਕਸਕਲੂਜ਼ਨ ਸਿਧਾਂਤ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਅੱਗੇ ਲਿਖੇ ਹੋਏ ਇੱਕ N-ਕਣ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਟਾਂਦਰੇ ਦਾ ਇੱਕ ਨਤੀਜਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਇੱਕ ਵਾਰ ਫੇਰ ਤੋਂ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਅੰਦਰ, ਇਹ ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਜਰੂਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ N ਕਣਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਦੋ ਕਣਾਂ ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਦੇ ਵਟਾਂਦਰੇ (ਸਥਾਨਾਂਤਰਨ) ਵਾਸਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇਹ ਇਹ ਹੋਣਾ ਜਰੂਰੀ ਹੈ;

:\psi (\dots, \,\mathbf r_i,\sigma_i, \, \dots, \,\mathbf r_j,\sigma_j, \,\dots) = (-1)^{2S}\cdot \psi (\dots, \,\mathbf r_j,\sigma_j, \, \dots, \mathbf r_i,\sigma_i,\, \dots)

ਯਾਨਿ ਕਿ, ਕਿਸੇ ਦੋ ਕਣਾਂ ਦੀਆਂ ਪੁਜੀਸ਼ਨਾਂ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਵਟਾਉਣ (ਸਥਾਨਾਂਤਰਨ) ਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪੂਰਵ ਹਿੱਸੇ  ਤੋਂ ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ ਦੁਬਾਰਾ ਪੈਦਾ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਬੋਸੌਨਾਂ ਵਾਸਤੇ +1 ਹੁੰਦਾ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਪਰ ਫਰਮੀਔਨਾਂ ਵਾਸਤੇ (-1) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ, S = ½ ਵਾਲੇ ਫਰਮੀਔਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ; ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੇ ਕੁਆਂਟੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ S=1 ਵਾਲੇ ਬੋਸੌਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ ਸਾਰਤੇ ਕਣ ਜਾਂ ਤਾਂ ਬੋਸੌਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਾਂ ਫਰਮੀਔਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ; ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਥਿਊਰੀਆਂ ਅੰਦਰ ਸੁੱਪਰਸਮਰੂਪ ਥਿਊਰੀਆਂ ਵੀ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ ਕੋਈ ਕਣ ਇੱਕ ਬੋਸੌਨਿਕ ਅਤੇ ਇੱਕ ਫਰਮੀਔਨਿਕ ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ (ਲੀਨੀਅਰ) ਮੇਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਿਰਫ ਅਯਾਮ d = 2 ਅੰਦਰ ਹੀ ਅਜਿਹੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ ਰਚੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ  ਨੂੰ ਮੁੱਲ 1 ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਮਨਚਾਹੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਦੁਆਰਾ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਐਨੀਔਨਜ਼ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਭਾਵੇਂ ਸਪਿੱਨ ਅਤੇ ਪੌਲੀ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ ਸਿਰਫ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀਆਂ ਸਾਪੇਖਿਕ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨਕਰਨਾਂ ਤੋਂ ਹੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਆਖਰੀ ਦੋ ਪੈਰਾਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿੱਚ ਹਵਾਲਾ ਦਿੱਤੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ ਹੱਦ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹਨ। ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕਰਕੇ, ਕੁਦਰਤੀ ਵਿਗਿਆਨ ਅੰਦਰਲੀਆਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਰਸਾਇਣ ਵਿਗਿਆਨ ਦਾ ਪੀਰੀਔਡਿਕ ਸਿਸਟਮ, ਦੋਵੇਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਹਨ।

## ਨਾਪ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ
ਪਿਛਲੇ ਪੈਰਾਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਤਸਵੀਰ ਕਿਸੇ ਪੂਰੀ ਤਰਾਂ ਬੰਦ (ਆਇਸੋਲੇਟਡ) ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਵਿਵਰਣ ਲਈ ਕਾਫੀ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਇਹ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅਤੇ ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦਰਮਿਆਨ ਮੁੱਖ ਫਰਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਸਤੇ ਅਸਫਲ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਯਾਨਿ ਕਿ, ਨਾਪ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ। ਜਦੋਂ ਸਿਸਟਮ ਕਿਸੇ ਸ਼ੁੱਧ ਅਵਸਥਾ ψ ਵਿੱਚ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ, ਕਿਸੇ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ A ਦੇ ਕੁਆਂਟਮ ਨਾਪ ਦਾ ਵੌਨ ਨਿਉਮਾੱਨ ਵਾਲਾ ਵਿਵਰਣ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ, ਬੇਸ਼ੱਕ, ਵੌਨ ਨਿਉਮਾੱਨ ਦਾ ਵਿਵਰਣ 1930ਵੇਂ ਦਹਾਕੇ ਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਓਸ ਵਕਤ ਦੌਰਾਨ ਕੀਤੇ ਗਏ ਪ੍ਰਯੋਗਾਂ ਉੱਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਹੈ- ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਕਰੌੰਪਟਨ-ਸਿਮਨ ਪ੍ਰਯੋਗ; ਤਾਂ ਵੀ ਕੁਆਂਟਮ ਦਾਇਰੇ ਅੰਦਰ ਇਹ ਅੱਜਕੱਲ ਦੇ ਜਿਆਦਾਤਰ ਨਾਪਾਂ ਉੱਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ):

* ਮੰਨ ਲਓ A ਇਹ ਸਪੈਕਟ੍ਰਲ ਹੱਲ ਰੱਖਦਾ ਹੈ

: A = \int \lambda \, d \operatorname{E}_A(\lambda),

ਜਿੱਥੇ  ਹੱਲ ਦੀ ਓਹ ਪਛਾਣ ਹੈ ਜੋ A ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ (ਇਸਨੂੰ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਵਾਲਾ ਨਾਪ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ)। ਤਾਂ ਨਾਪ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ R ਦੇ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ B ਵਿੱਚ ਰੱਖੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ

ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਵਾਸਤੇ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਗਿਣਨਯੋਗ ਜੋੜਨ ਵਾਲੇ ਨਾਪ ਵਿਰੁੱਧ B ਦੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਾਤਮਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਨਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,

: \langle \psi \mid \operatorname{E}_A \psi \rangle. 

* ਜੇਕਰ ਨਾਪਿਆ ਗਿਆ ਮੁੱਲ B ਵਿੱਚ ਰੱਖਿਆ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਨਾਪ ਤੋਂ ਤੁਰੰਤ ਬਾਦ, ਸਿਸਟਮ (ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਗੈਰ-ਮਾਨਕੀਕ੍ਰਿਤ) ਅਵਸਥਾ  ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ। ਜੇਕਰ ਨਾਪਿਆ ਗਿਆ ਮੁੱਲ B ਵਿੱਚ ਨਾ ਰੱਖਿਆ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ B ਨੂੰ ਉੱਪਰਲੀ ਅਵਸਥਾ ਵਾਸਤੇ ਇਸਦੇ ਪੂਰਕ (ਕੰਪਲੀਮੈਂਟ) ਨਾਲ ਬਦਲ ਦਿਓ।

ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਵਸਥਾ ਸਪੇਸ n-ਅਯਾਮੀ ਕੰਪਲੈਕਸ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ  ਹੈ ਅਤੇ A, ਆਈਗਨਮੁੱਲ  ਵਾਲਾ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ ਜੋ ਆਈਗਨ-ਵੈਕਟਰ  ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਤਾਂ ਫੇਰ ,  ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ-ਮੁੱਲ ਵਾਲਾ ਨਾਪ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,

: \operatorname{E}_A (B) = | \psi_i\rangle \langle \psi_i|, 

ਜਿੱਥੇ B ਇੱਕ ਬੋਰਲ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸਿਰਫ ਸਿੰਗਲ ਆਈਗਨਮੁੱਲ  ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਅਵਸਥਾ

:| \psi \rangle \, 

ਵਿੱਚ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ ਤਾਂ  ਮੁੱਲ ਵਾਪਿਸ ਦੇਣ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਨਾਪ ਦੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਨੂੰ  ਉੱਪਰ ਇਸ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਸਪੈਕਟ੍ਰਲ ਨਾਪ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ;

: \langle \psi \mid \operatorname{E}_A \psi \rangle 

ਇਹ ਸੂਖਮਤਾ ਨਾਲ ਇਹ ਦਿੰਦਾ ਹੈ,

: \langle \psi| \psi_i\rangle \langle \psi_i \mid \psi \rangle = | \langle \psi \mid \psi_i\rangle | ^2. 

ਵੌਨ ਨਿਉਮਾੱਨ ਨਾਪ ਵਿਧੀ ਦੀ ਗੁਣਾਤਮਿਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਉਸੇ ਨਾਪ ਨੂੰ ਦੋਹਰਾਓਣ ਤੇ ਉਹੀ ਨਤੀਜਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇੱਕ ਹੋਰ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ, ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਨਾਪ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪੌਜ਼ਟਿਵ-ਓਪਰੇਟਰ ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਨਾਪ (POVM) ਨਾਲ ਬਦਲ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਸਮਝਣ ਲਈ, ਫੇਰ ਤੋਂ ਸੀਮਤ-ਅਯਾਮੀ ਕੇਸ ਲਓ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਰੈਂਕ-1 ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨਾਂ

: | \psi_i\rangle \langle \psi_i| \,

ਨੂੰ ਪੌਜ਼ਟਿਵ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਸੈੱਟ

: F_i F_i^* \,

ਨਾਲ ਬਦਲਾਂਗੇ ਜਿਸਦਾ ਜੋੜ ਅਜੇ ਵੀ ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ ਪਛਾਣ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਪਛਾਣ ਦਾ ਹੱਲ)। ਜਿਵੇਂ ਸੰਭਵ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ {{math|{*λ*1&nbsp;...&nbsp;*λn*} }} ਕਿਸੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਨਾਪ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸੇ ਤਰਾਂ ਕਿਸੇ POVM ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਨਾਪ ਦਾ ਨਤੀਜਾ  ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਨਾਪ ਤੋਂ ਬਾਦ (ਗੈਰ-ਮਾਨਕੀਕ੍ਰਿਤ) ਅਵਸਥਾ

: | \psi_i\rangle \langle \psi_i |\psi\rangle \,

ਦੇ ਟੁੱਟਣ ਦੀ ਵਜਾਏ, ਸਿਸਟਮ ਹੁਣ ਇਸ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀ ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ;

: F_i |\psi\rangle. \, 

ਕਿਉਂਕਿ  ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਨੂੰ ਪਰਸਪਰ ਔਰਥੋਗਨਲ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਹੁਣ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਇਸਲਈ ਵੌਨ ਨਿਉਮਾੱਨ ਦਾ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਦੇਰ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਰਹਿੰਦਾ।

ਇਹੀ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਮਿਸ਼ਰਿਤ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਉੱਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਵੌਨ ਨਿਉਮਾੱਨ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਅੰਦਰ, ਨਾਪ ਕਅੜਨ਼ ਅਵਸਥਾ ਪਰਿਵਰਤਨ ਵਕਤ ਉਤਪਤੀ ਕਾਰਣ ਹੋਏ ਅਵਸਥਾ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਤੋਂ ਕਈ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵੱਖਰੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਵਕਤ ਉਤਪਤੀ ਨਿਰਧਾਰਾਤਮਿਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਯੂਨਾਇਟਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂਕਿ ਨਾਪ ਗੈਰ-ਨਿਰਧਾਰਾਤਮਿਕ ਅਤੇ ਗੈਰ-ਯੂਨਾਇਟਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਦੋਵੇਂ ਕਿਸਮ ਦੇ ਅਵਸਥਾ ਪਰਿਵਰਤਨ ਇੱਕ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਤੋਂ ਦੂਜੀ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਤੱਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸਲਈ ਇਹ ਫਰਕ ਕਈਆਂ ਦੁਆਰਾ ਗੈਰ-ਸੰਤੁਸ਼ਟੀਦਾਇਕ ਦੇਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। POVM ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ, ਨਾਪ ਨੂੰ ਕਈ ਹੋਰ ਕੁਆਂਟਮ ਓਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਦੇਖਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਅਜਿਹੇ ਪੂਰੀ ਤਰਾਂ ਪੌਜ਼ੇਟਿਵ ਨਕਸ਼ਿਆਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜੋ ਨਕਲ (ਟ੍ਰੇਸ) ਵਿੱਚ ਵਾਧਾ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ।

ਕਿਸੇ ਵੀ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਇਹ ਲਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉੱਪਰ ਹਵਾਲਾ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਹੀ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਵਕਤ ਉਤਪਤੀ ਨਾ ਕੇਵਲ ਕੁਆਂਟਮ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੀ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕਰੇ, ਸਗੋਂ ਲਾਜ਼ਮੀ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਲਾਸੀਕਲ ਨਾਪ ਯੰਤਰਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕਰਦੀ ਹੋਵੇ (ਦੇਖੋ ਉੱਪਰ)।

### ਸਾਪੇਖਿਕ ਅਵਸਥਾ ਵਿਆਖਿਆ
ਨਾਪ ਦੀ ਇੱਕ ਬਦਲਵੀਂ ਵਿਆਖਿਆ ਐਵਰੈੱਟ ਦੀ ਸਾਪੇਖਿਕ ਅਵਸਥਾ ਵਿਆਖਿਆ ਹੈ, ਜੋ ਬਾਦ ਵਿੱਚ ਕੁਆਂਟਮ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੀ ਕਈ-ਸੰਸਾਰ ਵਿਆਖਿਆ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੀ।

## ਗਣਿਤਿਕ ਔਜ਼ਾਰਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ
ਵਿਸ਼ੇ ਦੀ ਲੋਕਧਾਰਾ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਗਣਿਤਿਕ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਪੁਸਤਕ ਮੈਥਡਜ਼ ਔਫ ਮੈਥੇਮੈਟੀਕਲ ਫਿਜ਼ਿਕਸ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ ਜੋ ਰਿਚਰਡ ਕੋਰੰਟ ਦੁਆਰਾ ਡੇਵਿਡ ਹਿਲਬਰਟ ਦੇ ਗੋਟਿੰਜਨ ਯੂਨੀਵਰਸਟੀ ਦੇ ਕੋਰਸਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰਕੇ ਤਿਆਰ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। (ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਦੁਆਰਾ) ਕਹਾਣੀ ਸੁਣਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਨੇ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਖੋਜ ਹੋਣ ਤੱਕ ਪਦਾਰਥ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰ ਦਿੱਤਾ ਸੀ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਤਾਜ਼ਾ ਖੋਜ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਓਸ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਇਹ,ਹਿਸੂਸ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ ਕਿ ਨਵੀਨ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦਾ ਗਣਿਤ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਇਸ ਵਿੱਚ ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਇਹ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਨੇ ਆਪਣੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਮਕੈਨਿਕਸ ਬਾਬਤ ਹਿਲਬਰਟ ਨਾਲ ਸਲਾਹ ਕੀਤੀ ਸੀ, ਅਤੇ ਹਿਲਬਰਟ ਨੇ ਨਿਰੀਖਣ ਕੀਤਾ ਕਿ ਅੰਨਤ-ਅਯਾਮੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨਾਲ ਉਸਦਾ ਅਪਣਾ ਤਜੁਰਬਾ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਸਲਾਹ ਜੋ ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਨੇ ਰੱਦ ਕਰ ਦਿੱਤੀ, ਨੇ ਕੁੱਝ ਸਾਲ ਬਾਦ ਵੇਇਲ ਅਤੇ ਡੀਰਾਕ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੀ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਏਕਤਾ ਵਾਲਾ ਮੌਕਾ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ। ਲਘੂ-ਕਥਾ ਦਾ ਅਧਾਰ ਭਾਵੇਂ ਜੋ ਵੀ ਹੈ, ਥਿਊਰੀ ਦਾ ਗਣਿਤ ਉਸ ਵਕਤ ਪ੍ਰੰਪਰਿਕ ਸੀ, ਜਦੋਂਕਿ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਉੱਜਵਲਤਾ ਨਾਲ ਨਵੀਨ ਸੀ।

ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਔਜ਼ਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਇਹ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ:

* ਲੀਨੀਅਰ ਅਲਜਬਰਾ: ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ, ਆਈਗਨਵੈਕਟਰ, ਆਈਗਨਮੁੱਲ
* ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ: ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸਾਂ, ਲੀਨੀਅਰ ਓਪਰੇਟਰ, ਸਪੈਕਟ੍ਰਲ ਥਿਊਰੀ
* ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ: ਪਾਰਸ਼ਲ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਅਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਦਾ ਨਿਖੇੜ, ਸਧਾਰਨ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਸਟ੍ਰੱਮ=ਲੀਓਵਿੱਲੇ ਥਿਊਰੀ, ਆਈਗਨਫੰਕਸ਼ਨ
* ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ: ਫੋਰੀਅਰ ਪਰਿਵਰਤਨ

## ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ
ਕੁਆਂਟਮ ਥਿਊਰੀ ਅੰਦਰ ਗਣਿਤਿਕ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੀ ਸੂਚੀ

## ਹਵਾਲੇ 
* J. von Neumann, *Mathematical Foundations of Quantum Mechanics* (1932), Princeton University Press, 1955. Reprinted in paperback form.
* H. Weyl, *The Theory of Groups and Quantum Mechanics*, Dover Publications, 1950.
* A. Gleason, *Measures on the Closed Subspaces of a Hilbert Space*, Journal of Mathematics and Mechanics, 1957.
* G. Mackey, *Mathematical Foundations of Quantum Mechanics*, W. A. Benjamin, 1963 (paperback reprint by Dover 2004).
* R. F. Streater and A. S. Wightman, *PCT, Spin and Statistics and All That*, Benjamin 1964 (Reprinted by Princeton University Press)
* R. Jost, *The General Theory of Quantized Fields*, American Mathematical Society, 1965.
* J. M. Jauch, *Foundations of quantum mechanics*, Addison-Wesley Publ. Cy., Reading, Massachusetts, 1968.
* G. Emch, *Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory*, Wiley-Interscience, 1972.
* M. Reed and B. Simon, *Methods of Mathematical Physics*, vols I–IV, Academic Press 1972.
* T.S. Kuhn, *Black-Body Theory and the Quantum Discontinuity, 1894–1912*, Clarendon Press, Oxford and Oxford University Press, New York, 1978.
* D. Edwards, *The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics*, Synthese, 42 (1979),pp.&nbsp;1–70.
* E. Prugovecki, *Quantum Mechanics in Hilbert Space*, Dover, 1981.
* S. Auyang, *How is Quantum Field Theory Possible?*, Oxford University Press, 1995.
* N. Weaver, "Mathematical Quantization", Chapman & Hall/CRC 2001.
* G. Teschl, *Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators*, http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/, American Mathematical Society, 2009.
* V. Moretti, "Spectral Theory and Quantum Mechanics; With an Introduction to the Algebraic Formulation", Springer, 2013.
* B. C. Hall, "Quantum Theory for Mathematicians", Springer, 2013.
* David McMahon, "Quantum Mechanics Demystified", 2nd Ed., McGraw-Hill Professional, 2005.
* R. Shankar, "Principles of Quantum Mechanics", Springer, 1980.
* G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, "Geometric and Algebraic Topological Methods in Quantum Mechanics", World Scientific, 2005.

## ਨੋਟਸ 

ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦਾ ਇਤਿਹਾਸ