ਟੌਪੌਲੌਜੀ

ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, **ਟੌਪੌਲੌਜੀ** (ਗਰੀਕ ਤੋਂ τόπος, ਸਥਾਨ, ਅਤੇ λόγος, ਅਧਿਐਨ) ਖੁੱਲੇ ਸੈੱਟਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਸੈੱਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸ ਬਣਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਗਣਿਤ ਦਾ ਸਪੇਸ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ ਨਿਰੰਤਰ ਤੋੜ ਮਰੋੜਾਂ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ ਵੀ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ ਖਿੱਚਣਾ, ਮੋੜਨਾ, ਪਰ ਫਾੜਨਾ ਜਾਂ ਚਿਪਕਾਉਣਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕਨੈੱਕਟਡਨੈੱਸ (ਸੰਪਰਕਤਾ) ਅਤੇ ਕੰਪੈਕਟਨੈੱਸ (ਸੁੰਗੜਤਾ) ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।

ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਜੀਓਮੈਟਰੀ (ਰੇਖਾਗਣਿਤ) ਅਤੇ ਸੈੱਟ ਥਿਊਰੀ ਦੇ ਵਿੱਚੋਂ, ਸਪੇਸ, ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ (ਅਯਾਮ), ਅਤੇ ਟਰਾਂਸਫੌਰਮੇਸ਼ਨ (ਪਰਿਵਰਤਨ) ਵਰਗੇ ਸੰਕਲਪਾਂ ਦੇ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਰਾਹੀਂ, ਅਧਿਐਨ ਦੇ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਿਕਸਿਤ ਹੋਈ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਵਿਚਾਰ 17ਵੀਂ ਸਦੀ ਵਿੱਚ ਗੌੱਟਫਰੇਡ ਲੈਬਨਿਜ਼ ਵੱਲ ਲਿਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਜਿਸਨੇ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰੀਆ ਸਾਇਟਸ (“ਸਥਾਨ ਦੀ ਜਿਓਮੈਟਰੀ” ਲਈ ਗਰੀਕ-ਲੈਟਿਨ ਸ਼ਬਦ) ਅਤੇ ਐਨਾਲਾਇਸਿਸ ਸਾਇਟਸ (“ਸਥਾਨ ਤੋਂ ਅਲੱਗ ਚੁੱਕਣਾ” ਲਈ ਗਰੀਕ-ਲੈਟਿਨ ਸ਼ਬਦ) ਸ਼ਬਦਾਂ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕੀਤੀ। ਲੀਓਨਹਾਰਡ ਇਲੁਰ ਦੀ ਕੋਨਿਗਜ਼ਬਰਗ ਦੇ ਸੱਤ ਪੁਲਾਂ ਵਾਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਅਤੇ ਪੌਲੀਹੀਡ੍ਰਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਯਕੀਨ ਨਾਲ ਇਸ ਖੇਤਰ ਦੀਆਂ ਪਹਿਲੀਆਂ ਥਿਊਰਮਾਂ ਹਨ। ਸ਼ਬਦ “ਟੌਪੌਲੌਜੀ” 19ਵੀਂ ਸਦੀ ਵਿੱਚ ਜੌਹਾੱਨ ਬੈਨੇਡਿਕਟ ਲਿਸਟਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਭਾਵੇਂ ਇੱਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸ ਦੇ ਵਿਕਸਤ ਹੋਣ ਤੱਕ 20ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਦਹਾਕੇ ਤੱਕ ਅਜਿਹਾ ਨਹੀਂ ਹੋਇਆ ਸੀ। 20ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਮੱਧ ਤੋਂ, ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਗਣਿਤ ਦੀ ਵੱਡੀ ਸ਼ਾਖਾ ਬਣ ਗਈ ਹੈ।

 ਦੀ ਤਿੰਨ-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ ਤਸਵੀਰ, ਜੋ ਸਰਲਤਮ ਗੈਰ-ਸੂਖਮ ਨੌੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ]]

**ਟੌਪੌਲੌਜੀ** ਦੀਆਂ ਕਈ ਸਬਫੀਲਡਾਂ (ਉੱਪ-ਖੇਤਰ) ਹਨ:

*	ਜਨਰਲ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦੇ ਮੁਢਲੇ ਪਹਿਲੂਆਂ ਦੀ ਸਥਾਪਨਾ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਪੜਤਾਲ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸਾਂ ਪ੍ਰਤਿ ਲਾਜ਼ਮੀ ਸੰਕਲਪਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ [ੜਤਾਲ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਪੋਆਇੰਟ-ਸੈੱਟ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, ਜੋ ਹੋਰ ਸਾਰੀਆਂ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਮੁਢਲੀ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਹੈ (ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੰਪੈਕਟਨੈੱਸ ਅਤੇ ਕਨੈੱਕਟਡਨੈੱਸ ਵਰਗੇ ਵਿਸ਼ੇ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ)।
*	ਅਲਜਬਰਿਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ, ਹੋਮੋਲੌਜੀ ਅਤਵੇ ਹੋਮੋਟੌਪੀ ਵਰਗੀਆਂ ਅਲਜਬਰਿਕ ਬਣਤਰਾਂ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਕਨੈਕਟੀਵਿਟੀ ਦੀਆਂ ਡਿਗਰੀਆਂ ਨੂੰ ਨਾਪਣ ਦਾ ਯਤਨ ਕਰਦੀ ਹੈ।
* ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਟੌਪੌਲੌਜੀ, ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਉੱਤੇ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਵਰਤਣ ਵਾਲੀ ਫੀਲਡ ਹੈ। ਇਹ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਜੀਓਮੈਟਰੀ (ਰੇਖਾਗਣਿਤ) ਨਾਲ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਤੌਰ ਤੇ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਦੋਵੇਂ ਇਕੱਠੀਆਂ ਰਲ ਕੇ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਦੀ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਥਿਊਰੀ ਰਚਦੀਆਂ ਹਨ।
* 	ਜੀਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਮੁੱਖ ਤੌਰ ਤੇ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਅਤੇ ਹੋਰ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਵਿੱਚ ਇਹਨਾਂ ਦੇ ਜੜੇ ਹੋਏ ਸਥਾਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ ਤੇ ਕ੍ਰਿਆਸ਼ੀਲ ਖੇਤਰ ਲੋ-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਲ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਹੈ, ਜੋ ਚਾਰ ਜਾਂ ਚਾਰ ਤੋਂ ਘੱਟ ਅਯਾਮਾਂ ਵਾਲੇ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਿਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਨੌੱਟ ਥਿਊਰੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, ਜੋ ਗਣਿਤਿਕ ਨੌੱਟਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਹੈ।

## ਇਤਿਹਾਸ
 ਇੱਕ ਇਲੁਰ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸਮੱਸਿਆ ਸੀ]]

ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਕੁੱਝ ਸਵਾਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਪੜਤਾਲ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਈ ਸੀ। ਲੀਓਨਹਾਰਡ ਇਲੁਰ ਦੇ 1736 ਵਿੱਚ ਕੋਨਿਗਜ਼ਬਰਗ ਦੇ ਸੱਤ ਪੁਲ ਉੱਤੇ ਪੇਪਰ ਨੂੰ ਅਜੋਕੀ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਵਿੱਚ ਵਿੱਦਿਅਕ ਲੇਖਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਪਹਿਲਾ ਲੇਖ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਸ਼ਬਦ ਟੌਪੌਲੌਜੀ 1847 ਵਿੱਚ ਜਰਮਨੀ ਵਿੱਚ ਜੋਹੱਨ ਬੈਂਡਿਕਟ ਲਿਸਟਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਵਰਸਟਡੀਨ ਜ਼ੁਰ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਜੋ ਇਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ਛਾਪੇ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇਸ ਸ਼ਬਦ ਨੂੰ ਦਸ ਸਾਲ ਤੱਕ ਪੱਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤਦਾ ਰਿਹਾ। ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦੀ ਅੰਗਰੇਜੀ ਕਿਸਮ ਨੂੰ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ 1883 ਵਿੱਚ ਲਿਸਟਿੰਗ ਦੇ ਮ੍ਰਤਿਯੂਲੇਖ ਵਿੱਚ ਜਰਨਲ ਨੇਚੁਰ ਵਿੱਚ “ਸਧਾਰਨ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਤੋਂ ਗੁਣਾਤਮਕ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਨੂੰ ਵੱਖਰਾ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ” ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਸੀ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਮਾਤ੍ਰਿਕ (ਨਾਪ ਸਬੰਧੀ) ਸਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਮੁੱਖ ਤੌਰ ਤੇ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸ਼ਬਦ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਰਸਾਲੇ ਸਪੈਕਟੇਟਰ ਵਿੱਚ 1905 ਵਿੱਚ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ੈਸ਼ਕ ਦੇ ਅਰਥਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਫੇਰ ਵੀ, ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਵਰਤੋ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦੀ ਅਜੋਕੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨਾਲ ਪੂਰੀ ਤਰਾਂ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦੀ। 
ਮਾਡਰਨ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਜੋਰਦਾਰ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸੈੱਟ ਥਿਊਰੀ ਦੇ ਵਿਚਾਰਾਂ ਉੱਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਹੈ, ਜੋ 19ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਬਾਦ ਵਾਲੇ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ ਜੌਰਜ ਕੈਨਟੋਰ ਦੁਆਰਾ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਨ। ਸੈੱਟ ਥਿਊਰੀ ਦੇ ਮੁਢਲੇ ਵਿਚਾਰਾਂ ਦੀ ਸਥਾਪਨਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ, ਕੈਨਟੋਰ ਨੇ ਫੋਰੀਅਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੇ ਆਪਣੇ ਅਧਿਐਨ ਦੇ ਇੱਕ ਹਿੱਸੇ ਵਜੋਂ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਸੈੱਟਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਵਿਚਾਰਿਆ।

ਹੈਨਰੀ ਪੋਆਇਕੇਅਰ ਨੇ 1895 ਵਿੱਚ ਐਨਾਲਾਇਸਿਸ ਸਾਇਟਸ ਛਾਪਿਆ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹੋਮੋਟੌਪੀ ਅਤੇ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦੇ ਸੰਕਲਪਾਂ ਨਾਲ ਜਾਣ ਪਛਾਣ ਕਰਵਾਈ ਗਈ, ਜੋ ਹੁਣ ਅਲਜਬਰਿਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਮੰਨੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।

ਜੌਰਜ ਕੈਨਟੋਰ, ਵੀਟੋ ਵੋਲਟੇੱਰਾ, ਸੀਜ਼ਾਰੇ ਅਰਜ਼ੇਲਾ, ਜੈਕਿਓਇਸ ਹਦਾਮਰਡ, ਗਿਊਲੀਓ ਅਸ਼ੋਲੀ ਅਤੇ ਹੋਰਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਪੇਸਾਂ ਉੱਤੇ ਕੰਮ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੌਰਿਸ਼ ਫਰੈਚਿਤ ਨੇ 1906 ਵਿੱਚ ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਪੇਸ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ। ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਹੁਣ ਕਿਸੇ ਆਮ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹਿੱਸਾ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 1914 ਵਿੱਚ, ਫੈਲਿਕਸ ਹੌਜ਼ਡਰੱਫ ਨੇ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸ ਸ਼ਬਦ ਉਛਾਲਿਆ ਅਤੇ ਹੌਜ਼ਡਰੱਫ ਸਪੇਸ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦਿੱਤੀ। ਅੱਜਕੱਲ, ਇੱਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸ ਹੌਜ਼ਡਰੱਫ ਸਪੇਸਾਂ ਦਾ ਜਰਾ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕਰਨ ਹੈ, ਜੋ 1922 ਵਿੱਚ ਕੈਜ਼ੀਮੀਅਰਜ਼ ਕੁਰਾਟੋਵਸਕਿ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੀ।

ਹੋਰ ਜਾਣਕਾਰੀਆਂ ਲਈ, ਦੇਖੋ ਪੋਆਇੰਟ-ਸੈੱਟ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਅਤੇ ਅਲਜਬਰਿਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ

## ਜਾਣ ਪਛਾਣ
ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਨੂੰ “ਕੁੱਝ ਚੀਜ਼ਾਂ (ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਟੌਪੌਲੀਜੀਕਲ ਸਪੇਸਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਦੀਆਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਮਿਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ” ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿਸੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਿਸਮ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ (ਜਿਸ ਨੂੰ ਨਿਰੰਤਰ ਨਕਸ਼ਾ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ) ਹੇਠਾਂ ਬਦਲਦੀਆਂ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਉਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਜੋ ਕਿਸੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਿਸਮ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ (ਜਿਸਨੂੰ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ) ਹੇਠਾਂ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸੈੱਟ X ਉੱਤੇ ਥੋਪੀ ਗਈ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਬਣਤਰ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵੀ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਪਰਿਵਰਤਨ ਕਰਨ ਤੇ, ਇਕੱਠਾ ਹੋਣ (ਕਨਵਰਜੰਸ), ਸੰਪਰਰਕਤਾ (ਕਨੈਕਟਡਨੈੱਸ), ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰਤਾ (ਕੰਟੀਨਿਊਟੀ) ਵਰਗੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦਾ ਸਗੀ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਧਿਆਨ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਕਿਸੇ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੈੱਟ X ਨੂੰ ਲਾਜ਼ਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ।

ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸਾਂ ਕੁਦਰਤੀ ਤੌਰ ਤੇ ਲਗਭਗ ਗਣਿਤ ਦੀਆਂ ਸਭ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਸਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਗੱਲ ਨੇ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਨੂੰ ਗਣਿਤ ਦੇ ਮਹਾਨ ਏਕਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਵਿਚਾਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਬਣਾਇਆ ਹੈ।

ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦੇ ਪਿੱਛੇ ਦੀ ਪ੍ਰੇਰਣਾਤਮਿਕ ਬੁੱਧੀ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਕੁੱਝ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਪ੍ਰਯੋਗ ਅਧੀਨ ਚੀਜ਼ਾਂ ਦੇ ਇੰਨਬਿੰਨ ਅਕਾਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀਆਂ, ਸਗੋਂ ਉਸ ਤਰੀਕੇ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਉਹ ਰੱਖੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਵਰਗ ਅਤੇ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਗੁਣ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਹਨ: ਦੋਵੇਂ ਇੱਕ ਅਯਾਮੀ ਚੀਜ਼ਾਂ ਹਨ (ਇੱਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਤੋਂ) ਅਤੇ ਦੋਵੇਂ ਕਿਸੇ ਸਤਹਿ ਨੂੰ ਦੋ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਅੰਦਰ ਵਾਲਾ ਹਿੱਸਾ ਅਤੇ ਬਾਹਰ ਵਾਲਾ ਹਿੱਸਾ।

ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਪੇਪਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿੱਚ, ਲੀਓਨਹਾਰਡ ਇਲੁਰ ਨੇ ਸਮਝਾਇਆ ਕਿ ਕੋਨਿਗਜ਼ਬਰਗ (ਹੁਣ ਕਾਲੀਨੀਗਰਾਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਦੇ ਕਸਬੇ ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਰਸਤਾ ਲੱਭਣਾ ਅਸੰਭਵ ਸੀ ਜੋ ਇਸਦੇ ਸੱਤ ਪੁਲਾਂ ਨੂੰ ਸਹੀ ਸਹੀ ਇੱਕ ਵਾਰ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੋਵੇ। ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਪੁਲਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਸੀ, ਨਾ ਹੀ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਤੋਂ ਆਪਸੀ ਦੂਰੀ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਸੀ।, ਸਗੋਂ ਸੰਪਰਕਤਾ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਉੱਤੇ ਹੀ ਨਿਰਭਰ ਸੀ: ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਪੁਲ ਕਿਹੜੇ ਦੀਪਾਂ ਜਾਂ ਨਦੀ ਕਿਨਾਰਿਆਂ ਨੂੰ ਜੁੜਦਾ ਹੈ। ਅਰੰਭਿਕ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ, ਜਿਸ ਨੂੰ ਕੋਨਿਗਜ਼ਬਰਗ ਦੇ ਸੱਤ ਪੁਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨੇ ਗ੍ਰਾਫ ਥਿਊਰੀ ਨਾਮਕ ਗਣਿਤ ਦੀ ਸ਼ਾਖਾ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੱਤਾ।

 ਦੀ ਇੱਕ ਡ੍ਰੌਨੁਟ (ਟੋਰੁਸ) ਅਤੇ ਪਿੱਠ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਤੋੜ-ਮਰੋੜ (ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਦਾ ਇੱਕ ਰੂਪ)]]

ਇਸੇ ਤਰਾਂ, ਅਲਜਬਰਿਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦੀ ਹੇਅਰੀ ਬਾਲ ਥਿਊਰਮ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ “ਇੱਕ ਕਾਓਲਿੱਕ (ਵਾਲਾਂ ਦਾ ਗੁੱਛਾ) ਬਣਾਏ ਬਗੈਰ ਕਿਸੇ ਵਾਲਾਂ ਵਾਲੀ ਗੇਂਦ ਉੱਤੇ ਵਾਲਾਂ ਨੂੰ ਫਲੈਟ ਨਹੀਂ ਵਾਹਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ”। ਇਹ ਤੱਥ ਜਿਆਦਤਰ ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਤੁਰੰਤ ਯਕੀਨ ਦਵਾਉਣ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਉਹ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਜਿਆਦਾ ਰਸਮੀ ਕਥਨ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਪਹਿਚਾਣਦੇ ਹੋ ਸਕਦੇ, ਕਿ ਕਿਸੇ ਸਫੀਅਰ ਉੱਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਅਲੋਪ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਨਿਰੰਤਰ ਸਪਰਸ਼ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਜਿਵੇਂ ਕੋਨਿਗਜ਼ਬਰਗ ਦੇ ਪੁਲਾਂ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਨਤੀਜਾ ਸਫੀਅਰ ਦੇ ਅਕਾਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ; ਇਹ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸੁਚਾਰੂ ਗੋਲੇ ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿੰਨੀ ਦੇਰ ਤੱਕ ਇਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸੁਰਾਖ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।

ਜਿਹੜੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਦੀ ਇੰਨਬਿੰਨ ਸ਼ਕਲ ਉੱਤੇ ਨਹੀਂ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀਆਂ, ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਵਰਤਣ ਲਈ, ਇਹ ਗੱਲ ਸਪਸ਼ਟ ਕਰ ਲੈਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਕਿਹੜੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਜਰੂਰਤ ਤੋਂ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਪੁਲ ਨੂੰ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਵਾਰ ਪਾਰ ਕਰਨ ਦੀ ਅਸੰਭਵਤਾ ਕੋਨਿਗਜ਼ਬਰਗ ਵਿੱਚ ਪੁਲਾਂ ਪ੍ਰਤਿ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਕ ਪੁਲਾਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਿਸਟਮ ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਹੇਅਰੀ ਬਾਲ ਥਿਊਰਮ ਕਿਸੇ ਗੋਲੇ ਪ੍ਰਤਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਕ ਸਪੇਸ ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਸਹਿਜ ਗਿਆਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ, ਦੋ ਸਪੇਸਾਂ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਕ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਸਪੇਸ ਦਾ ਬਗੇਰ ਕੱਟੇ ਜਾਂ ਜੋੜੇ ਦੂਜੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਤੋੜ ਮਰੋੜ ਕੇ ਅਕਾਰ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੋਵੇ। ਇੱਕ ਪਰੰਪਰਿਕ ਚੁਟਕਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਟੌਪੌਲਿਜਸਟ ਕਿਸੇ ਕੌਫੀ ਦੇ ਮੱਗ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਛੱਲੇ ਵਰਗੇ ਕੇਕ ਵਿੱਚ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਜਰੂਰਤ ਮੁਤਾਬਕ ਲਚਕੀਲੇ ਛੱਲੇ ਵਰਗੇ ਕੇਕ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਟੋਆ ਬਣਾ ਕੇ ਅਤੇ ਫੇਰ ਹੌਲੀ ਹੌਲੀ ਉਸਨੂੰ ਵਧਾ ਕੇ ਕਿਸੇ ਕੌਫੀ ਦੇ ਕੱਪ ਦੀ ਸ਼ਕਲ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂਕਿ ਸੁਰਾਖ ਨੂੰ ਹੈਂਡਲ ਵਿੱਚ ਸੰਗੋੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਮੁਢਲੀ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਮਾਨਤਾ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਹੋਰ ਹੋਮੋਟੌਪੀ ਸਮਾਨਤਾ ਵੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਤਕਨੀਕੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਬਗੈਰ ਇਸਨੂੰ ਸਮਝਾਉਣਾ ਕਠਿਨ ਹੈ, ਪਰ ਲਾਜ਼ਮੀ ਸੰਕਲਪ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਚੀਜ਼ਾਂ ਹੋਮੋਟੌਪੀ ਤੌਰ ਤੇ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੇਕਰ ਉਹ ਦੋਵੇਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਕਿਸੇ ਵੱਡੀ ਚੀਜ਼ ਨੂੰ ਤੋੜ ਕੇ ਬਣਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹੋਣ।

ਇੱਕ ਜਾਣ ਪਛਾਣ ਵਾਲਾ ਅਭਿਆਸ ਅੰਗਰੇਜੀ ਲਿਪੀ ਦੇ ਵੱਡੇ (ਕੈਪੀਟਲ) ਅੱਖਰਾਂ ਨੂੰ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਅਤੇ ਹੋਮੋਟੌਪੀ ਸਮਾਨਤਾ ਮੁਤਾਬਕ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਨਤੀਜਾ ਅੰਸ਼ਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਵਰਤੇ ਗਏ ਫੋਂਟਾਂ ਉੱਤੇ ਵੀ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਨੱਸ-ਸੈਰਿਫ ਮਿਰੀਆਡ ਫੋਂਟ ਵਰਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਹੋਮੋਟੌਪੀ ਸਮਾਨਤਾ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਨਾਲੋਂ ਇੱਕ ਰੱਫ (ਰੁੱਖਾ/ਮੋਟਾ) ਸਬੰਧ ਹੈ; ਕੋਈ ਹੋਮੋਟੌਪੀ ਸਮਾਨਤਾ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਕਈ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਰੱਖ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉੱਪਰ ਦਰਸਾਇਆ ਹੋਮੋਟੌਪੀ ਸਮਾਨਤਾ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਦਾ ਸਰਲ ਮਾਮਲਾ ਇੱਥੇ ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਨੂੰ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਅੱਖਰ ਹੋਮੋਟੌਪੀ ਤੌਰ ਤੇ ਸਮਾਨ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, O ਅੱਖਰ P ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ P ਦੀ ਪੂੰਛ ਨੂੰ ਸੁਰਾਖ ਵਾਲੇ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਪੀਸਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਇਹ ਹਨ:

* 	ਕੋਈ ਸੁਰਾਖ ਨਹੀਂ
* 	ਕੋਈ ਸੁਰਾਖ ਨਹੀਂ, ਤਿੰਨ ਪੂੰਛਾ
* 	ਕੋਈ ਸੁਰਾਖ ਨਹੀਂ, ਚਾਰ ਪੂੰਛਾਂ
* 	ਇੱਕ ਸੁਰਾਖ, ਕੋਈ ਪੂੰਛ ਨਹੀਂ
* 	ਇੱਕ ਸੁਰਾਖ, ਇੱਕ ਪੂੰਛ
* 	ਇੱਕ ਸੁਰਾਖ, ਦੋ ਪੂੰਛਾਂ
* 	ਦੋ ਸੁਰਾਖ, ਕੋਈ ਪੂੰਛ ਨਹੀਂ, ਅਤੇ
*	ਚਾਰ ਪੂੰਛਾਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਬਾਰ (ਡੰਡਾ) (ਅੱਖਰ *K* ਉੱਤੇ ਬਾਰ ਦੇਖਣ ਲਈ ਬਹੁਤ ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ)

ਹੋਮੋਟੌਪੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਵੱਡੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਪੂੰਛਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਪੀਸਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇਹ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ:

* ਇੱਕ ਸੁਰਾਖ
* 	ਦੋ ਸੁਰਾਖ, ਅਤੇ
* 	ਕੋਈ ਸੁਰਾਖ ਨਹੀਂ

ਅੱਖਰਾਂ ਨੂੰ ਸਹੀ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਲਾਜ਼ਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਇਹ ਦਿਖਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕੋ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਵਾਲੇ ਦੋ ਅੱਖਰ ਸਮਾਨ ਹਨ ਅਤੇ ਵੱਖਰੀਆਂ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲਏ ਦੋ ਅੱਖਰ ਵੱਖਰੇ ਹਨ। ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਬਿੰਦੂ ਚੁਣ ਕੇ ਅਤੇ ਇਹ ਦਿਖਾ ਕੇ ਅਜਿਹਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਹਟਾਉਣਾ ਅੱਖਰਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਅੱਲਗ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, X ਅਤੇ Y ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਕ ਨਹੀਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ X ਦਾ ਕੇਂਦਰੀ ਬਿੰਦੂ ਹਟਾਉਣ ਨਾਲ ਇਸਦੇ ਚਾਰ ਪੀਸ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ; ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ Y ਵਿੱਚ ਜਿਹੜਾ ਬਿੰਦੂ ਸਬੰਧਤ ਹੈ, ਉਸਦੇ ਹਟਾਉਣ ਨਾਲ ਤਿੰਨ ਪੀਸ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਹੋਮੋਟੌਪੀ ਸਮਾਨਤਾ ਵਾਲਾ ਮਾਮਲਾ ਜਰਾ ਕਠਿਨ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਵਿਸਥਾਰਪੂਰਵਕ ਤਰਕ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਅਲਜਬਰਿਕ ਸਥਿਰਤਾ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਫੰਡਾਮੈਂਟਲ ਗਰੁੱਪ, ਜੋ ਮੰਨੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਉੱਤੇ ਵੱਖਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਅੱਖਰ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਸਟੈਂਸਿਲ ਟਾਇਪੋਗ੍ਰਾਫੀ ਵਿੱਚ ਅਮਲੀ ਸਬੰਧ ਰੱਖਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਬ੍ਰਾੱਗਾਡੋਕੀਓ ਫੋਂਟ ਸਟੈਂਸਿਲਾਂ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਇੱਕ ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਟੁਕੜੇ ਤੋਂ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

## ਧਾਰਨਾਵਾਂ
### ਸੈੱਟਾਂ ਉੱਤੇ ਟੌਪੌਲੌਜੀਆਂ
ਸ਼ਬਦ ਟੌਪੌਲੌਜੀ, ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਕਹੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਗਣਿਤ ਦੇ ਖੇਤਰ ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗਣਿਤਿਕ ਕੇਂਦਰੀ ਵਿਚਾਰ ਵੱਲ ਵੀ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਗੈਰਜਰੂਰੀ ਤੌਰ ਤੇ, ਇੱਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਸੈੱਟ ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਪ੍ਰਤਿ ਸਥਾਨਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹਨ। ਇੱਕੋ ਸੈੱਟ ਵੱਖਰੀਆਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਟੌਪੌਲੀਜੀਆਂ ਰੱਖ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਵਾਸਤਵਿਕ ਰੇਖਾ, ਕੰਪਲੈਕਸ ਪਲੇਨ, ਅਤੇ ਕੈਨਟੋਰ ਸੈੱਟ ਨੂੰ ਵੱਖਰੀਆਂ ਟੌਪੌਲੀਜੀਆਂ ਵਾਲੇ ਇੱਕੋ ਸੈੱਟ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਰਸਮੀ ਤੌਰ ਤੇ, ਮੰਨ ਲਓ X ਕੋਈ ਸੈੱਟ ਹੈ ਅਤੇ τ ਇਸ X ਦੇ ਸਬਸੈੱਟਾਂ ਦਾ ਪਰਿਵਾਰ ਹੈ। ਫੇਰ τ ਨੂੰ X ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇਗਾ ਜੇਕਰ:

#	ਖਾਲੀ ਸੈੱਟ ਅਤੇ X ਦੋਵੇਂ ਹੀ τ ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟ ਹੋਣ 
#	τ ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸੰਘ (ਯੂਨੀਅਨ) τ ਦਾ ਇੱਕ ਐਲੀਮੈਂਟ ਹੋਵੇ 
#	τ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੀ ਸੀਮਤ ਤੌਰ ਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਕਾਟ (ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ) ਵੀ τ ਦਾ ਇੱਕ ਐਲੀਮੈਂਟ ਹੋਵੇ।

ਜੇਕਰ τ ਕੋਈ X ਉੱਤੇ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਜੋੜੇ (X, τ) ਨੂੰ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਧਾਰਨਾ*Xτ* ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਟੌਪੌਲੌਜੀ τ ਨਾਲ ਸੰਪਨ ਕਿਸੇ ਸੈੱਟ X ਨੂੰ ਲਿਖਣ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।

τ ਦੇ ਮੈਂਬਰਾਂ ਨੂੰ ਓਪਨ (ਖੁੱਲੇ) ਸੈੱਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ X ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। X ਦੇ ਕਿਸੇ ਸਬਸੈੱਟ ਨੂੰ ਕਲੋਜ਼ਡ (ਬੰਦ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ τ ਵਿੱਚ ਇਸਦੇ ਪੂਰਕ ਵੀ ਹੋਣ (ਯਾਨਿ ਕਿ ਇਸਦੇ ਪੂਰਕ ਖੁੱਲੇ ਹੋਣ)। X ਦਾ ਕੋਈ ਸਬਸੈੱਟ ਖੁੱਲਾ, ਬੰਦ, ਦੋਵੇਂ (ਕਲੋਪਨ ਸੈੱਟ), ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਖਾਲੀ ਸੈੱਟ ਅਤੇ X ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਹਮੇਸ਼ਾ ਦੋਵੇਂ ਗੁਣਾਂ ਬੰਦ ਅਤੇ ਖੁੱਲੇ ਵਾਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਬਿੰਦੂ x ਰੱਖਣ ਵਾਲਾ ਕੋਈ ਖੁੱਲਾ ਸੈੱਟ x ਦਾ ਗਵਾਂਢੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇੱਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਸੈੱਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

### ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮਾਂ
ਇੱਕ ਟੌਪੌਲੀਜੀਕਲ ਸਪੇਸ ਤੋਂ ਦੂਜੀ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸ ਤੱਕ ਦੇ ਮੈਪ ਜਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਤਾਂ ਕੰਟੀਨਿਊਸ (ਨਿਰੰਤਰ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਖੁੱਲੇ ਸੈੱਟ ਦੀ ਉਲਟੀ ਤਸਵੀਰ ਵੀ ਖੁੱਲੀ ਹੋਵੇ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਤੱਕ ਮੈਪ ਕਰਦਾ ਹੈ (ਨਕਸ਼ਾ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ) (ਸਟੈਂਡਰਡ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਵਾਲੀਆਂ ਦੋਵੇਂ ਸਪੇਸਾਂ), ਤਾਂ ਇਹ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦੀ ਇਹ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਕੈਲਕੁਲਸ ਵਿੱਚ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਅਤੇ ਔਨਟੂ (ਉੱਪਰ) ਹੋਵੇ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟਾ ਵੀ ਨਿਰੰਤਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਰੇਂਜ ਪ੍ਰਤਿ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਕਹਿਣ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੋਲ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਤੱਕ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸ਼ਾਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਦੋ ਸਪੇਸਾਂ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਕ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਬਰਾਬਰ ਹੀ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਤੌਰ ਤੇ ਬਰਾਬਰ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਊਬ (ਘਣ) ਅਤੇ ਸਫੀਅਰ (ਗੋਲਾ) ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕੌਫੀ ਕੱਪ ਅਤੇ ਛੱਲੇ ਦੀ ਸ਼ਕਲ ਦਾ ਕੇਕ। ਪਰ ਚੱਕਰ ਛੱਲੇਦਾਰ ਕੇਕ ਪ੍ਰਤਿ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।

### ਮੈਨੀਫੋਲਡ (ਬਹੁਪਰਤਾਂ)
ਜਦੋਂਕਿ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸਾਂ ਵਿਵਿਧ ਅਤੇ ਅਜੀਬ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਖੇਤਰ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਨਾਮਕ ਸਪੇਸਾਂ ਦੀ ਹੋਰ ਜਾਣੀ ਪਛਾਣੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਉੱਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦ੍ਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਅਜਿਹੀ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੋ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਨੇੜੇ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਨਾਲ ਮਿਲਦੀ ਜੁਲਦੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਹੋਰ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਨਾਲ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਕਿਸੇ n-ਅਯਾਮੀ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਦਾ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਗਵਾਂਢ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਜੋ n-ਅਯਾਮੀ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਪ੍ਰਤਿ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਰੇਖਾਵਾਂ ਅਤੇ ਚੱਕਰ, ਪਰ ਅੱਠ ਅੰਕ ਦੀ ਤਸਵੀਰ ਨਹੀਂ, ਇੱਕ ਅਯਾਮੀ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਨੂੰ ਸਤਹਿਾਂ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਪਲੇਨ, ਸਫੀਅਰ, ਅਤੇ ਟੌਰੁਸ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਅਨੁਭਵ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਕਲੇਇਨ ਬੋਤਲ ਅਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਿਵ ਪਲੇਨ ਨੂੰ ਨਹੀਂ।

## ਵਿਸ਼ੇ
### ਆਮ ਟੌਪੌਲੌਜੀ
ਆਮ ਟੌਪੌਲੌਜੀ, ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦੀ ਉਹ ਸ਼ਾਖਾ ਹੈ ਜੋ ਮੁਢਲੀਆਂ ਸੈੱਟ-ਸਿਧਾਂਤਕ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਅਤੇ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਬਣਤਰਾਂ ਨਾਲ ਵਰਤਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾਤਰ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਦਾ ਅਧਾਰ ਹੈ ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਟੌਪੌਲੌਜੀ, ਰੇਖਗਣਿਤਿਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ, ਅਤੇ ਅਲਜਬਰਿਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਆਮ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਹੋਰ ਨਾਮ ਬਿੰਦੂ-ਸੈੱਟ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਹੈ।

ਬਿੰਦੂ-ਸੈੱਟ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਵਿੱਚ ਮੁਢਲੇ ਸੰਕਲਪ ਕੰਟੀਨਿਊਟੀ (ਨਿਰੰਤਰਤਾ), ਕਮਪੈਕਟਨੈੱਸ (ਸੰਘਣਤਾ), ਅਤੇ ਕਨੈਕਟਡਨੈੱਸ (ਸੰਪਰਕਤਾ) ਹਨ। ਸਹਿਜ ਗਿਆਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ, ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੇੜੇ ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਨੇੜੇ ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੱਕ ਲੈਂਦੇ ਹਨ। ਕੰਪੈਕਟ ਸੈੱਟ ਉਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਮਨਮਰਜੀ ਦੇ ਛੋਟੇ ਅਕਾਰ ਦੇ ਕਈ ਸੀਮਤ ਸੈੱਟਾਂ ਰਾਹੀਂ ਕਵਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਨੈਕਟਡ ਸੈੱਟ ਉਹ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਅਜਿਹੇ ਦੋ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਜੋ ਦੂਰ ਹੋਣ। ਸ਼ਬਦਾਂ “ਨੇੜੇ, ਮਨਮਰਜੀ ਦੇ ਛੋਟੇ, ਅਤੇ ਦੂਰ” ਨੂੰ ਖੁੱਲੇ ਸੈੱਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋ ਨਾਲ ਸ਼ੁੱਧ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਖੁੱਲੇ ਸੈੱਟਾਂ ਦੀ ਪਰਿਣਾਸ਼ਾ ਬਦਲ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਬਦਲ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਕਮਪੈਕਟ ਸੈੱਟ, ਅਤੇ ਕਨੈਕਟਡ ਸੈੱਟ ਕੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਖੁੱਲੇ ਸੈੱਟਾਂ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਪ੍ਰਤਿ ਹਰੇਕ ਚੋਣ ਨੂੰ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਸੈੱਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਪੇਸਾਂ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਜਿੱਥੇਂ ਦੂਰੀਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਨਾਮਕ ਨੰਬਰ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਦਾ ਹੋਣਾ ਕਈ ਸਬੂਤਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਿਆਦਾਤਰ ਆਮ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸਾਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਪੇਸਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

### ਅਲਜਬਰਿਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ
ਅਲਜਬਰਿਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਗਣਿਤ ਦੀ ਉਹ ਸ਼ਾਖਾ ਹੈ ਜੋ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸਾਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਲਈ ਅਮੂਰਤ ਅਲਜਬਰੇ ਤੋਂ ਸਾਧਨ ਵਰਤਦੀ ਹੈ। ਮੁੱਖ ਮੰਤਵ ਅਜਿਹੇ ਅਲਜਬਰਿਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਲੱਭਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸਾਂ ਨੂੰ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਤੱਕ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧ ਕਰਦੇ ਹੋਣ, ਭਾਵੇਂ ਜਿਆਦਾਤਰ ਹੋਮੋਟੌਪੀ ਸਮਾਨਤਾ ਤੱਕ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਇਹਨਾਂ ਸ਼ਥਿਰਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੋਮੋਟੌਪੀ ਗਰੁੱਪ, ਹੋਮੌਲੌਜੀ, ਅਤੇ ਕੋਹੋਮੋਲੌਜੀ ਹਨ।

ਭਾਵੇਂ ਅਲਜਬਰਿਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਮੁਢਲੇ ਤੌਰ ਤੇ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਵਰਤੋ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਫੇਰ ਵੀ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋ ਅਲਜਬਰਿਕ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ ਵੀ ਕਦੇ ਕਦੇ ਸੰਭਵ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਲਜਬਰਿਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਅਸਾਨ ਸਬੂਤ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਸੁਤੰਤਰ ਗਰੁੱਪ ਦਾ ਕੋਈ ਉੱਪ-ਗਰੁੱਪ ਫੇਰ ਇੱਕ ਸੁਤੰਤਰ ਗਰੁੱਪ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

### ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਟੌਪੌਲੌਜੀ
ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਉਹ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਉੱਤੇ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਵਰਤਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਜੀਓਮੈਟਰੀ (ਰੇਖਾਗਣਿਤ) ਨਾਲ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਤੌਰ ਤੇ ਸਬੰਧਤ ਹੈ ਅਤੇ ਇਕੱਠੇ ਮਿਲ ਕੇ ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਦੀ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਥਿਊਰੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।

ਜੋਰ ਜਿਆਦਾ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ ਤੇ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਅਜਿਹੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਅਤੇ ਬਣਤਰਾਂ ਨੂੰ ਵਿਚਾਰਦੀ ਹੈ ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਸੇ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਉੱਤੇ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਸੁਚਾਰੂ ਬਣਤਰ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਵਾਧੂ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਬਣਤਰਾਂ ਵਾਲੇ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਨਾਲੋਂ ਸੁਚਾਰੂ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਜਿਆਦਾ ਕੋਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜੋ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਕੁੱਝ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਅਤੇ ਤੋੜਾਂ-ਮਰੋੜਾਂ ਪ੍ਰਤਿ ਰੁਕਾਵਟਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਵੌਲੀਊਮ (ਘਣਫਲ) ਅਤੇ ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਕਰਵੇਚਰ ਅਜਿਹੇ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹਨ ਜੋ ਇੱਕੋ ਸੁਚਾਰੂ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਉੱਤੇ ਵੱਖਰੀਆਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਬਣਤਰਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖਰਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ- ਯਾਨਿ ਕਿ, ਕੁੱਝ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਨੂੰ ਸੁਚਾਰੂ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਪੱਧਰਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਰਨ ਲਈ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਤੋੜਨਾ-ਮਰੋੜਨਾ ਪਵੇ ਅਤੇ ਕਰਵੇਚਰ ਅਤੇ ਵੌਲੀਊਮ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਨਾ ਪਵੇ।

### ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ
ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ, ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦੀ ਉਹ ਸ਼ਾਖਾ ਹੈ ਜੋ ਮੁਢਲੇ ਤੌਰ ਤੇ ਨਿਮਰ-ਅਯਾਮੀ (ਲੋ-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਲ, ਯਾਨਿ ਕਿ 2, 3, ਅਤੇ 4 ਅਯਾਮੀ) ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ (ਬਹੁਪਰਤਾਂ) ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਰੇਖਗਣਿਤ ਨਾਪ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਉੱਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦ੍ਰਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਇਸ ਵਿੱਚ ਕੁੱਝ ਉੱਚ-ਅਯਾਮੀ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੀਆਂ ਕੁੱਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਉਰੀਐਂਟੀਬਿਲਟੀ (ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸਤਿਹਾਂ ਦਾ ਉਹ ਗੁਣ ਜੋ ਇਹ ਨਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਸਤਹੀ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਸਥਿਰ ਚੋਣ ਕਰਨੀ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ ਨਹੀਂ), ਹੈਂਡਲ ਵਿਯੋਜਨ, ਲੋਕਲ ਫਲੈਟਨੈੱਸ (ਸਥਾਨਿਕ ਪੱਧਰਾਪਣ), ਅਤੇ ਪਲੇਨਾਰ ਅਤੇ ਉੱਚ-ਅਯਾਮੀ ਸ਼ੋਨਫਾਈਲ ਥਿਊਰਮ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।

ਉੱਚ-ਅਯਾਮੀ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਵਿੱਚ, ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਇੱਕ ਮੁਢਲਾ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੈ ਅਤੇ ਸਰਜਰੀ ਥਿਊਰੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਥਿਊਰੀ ਹੈ।

ਨਿਮਰ-ਅਯਾਮੀ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਇੱਕ ਤਾਕਤਵਰ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ 3 ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਯੂਨੀਫੌਮਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰਮ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ- ਹਰੇਕ ਸਤਹਿ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਕਰਵੇਚਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀ ਹੈ; ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ, ਇਸਦੀਆਂ 3 ਸੰਭਵ ਜਿਓਮੈਟਰੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: ਪੌਜ਼ੇਟਿਵ ਕਰਵੇਚਰ/ਸਫੈਰੀਕਲ, ਜ਼ੀਰੋ ਕਰਵੇਚਰ/ਫਲੈਟ, ਨੈਗੈਟਿਵ ਕਰਵੇਚਰ/ਹਾਇਪਰਬੋਲਿਕ- ਅਤੇ ਜਿਵੇਂ 3 ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਜ਼ੇਸ਼ਨ ਕੰਜੈਕਚਰ (ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਕਰਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ, ਹੁਣ ਥਿਊਰਮ) ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ- ਹਰੇਕ 3-ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਨੂੰ ਦੋ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਰੱਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦੀਆਂ ਅੱਠ ਸੰਭਵ ਜਿਓਮੈਟਰੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

2-ਅਯਾਮੀ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ (ਅਸਥਿਰਾਂਕ) (ਰੀਮਾੱਨ ਸਤਿਹਾਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵਕਰਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ) ਵਿੱਚ ਯੂਨੀਫੌਰਮਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰਮ ਰਾਹੀਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਹਰੇਕ ਕਨਫਰਮਲ (ਸਮਾਨਤਾ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀ) ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਕਿਸੇ ਨਿਰਾਲੀ ਕੰਪਲੈਕਸ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ 4-ਅਯਾਮੀ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ (ਕੰਪਲੈਕਸ ਸਤਿਹਾਂ) ਵਿੱਚ ਕੰਪਲੈਕਸ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਦੇ ਨਜ਼ਰੀਏ ਤੋਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਹਰੇਕ 4-ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਕਿਸੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਬਣਤਰ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ।

### ਜਨਰਲਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨਾਂ
ਜਿਆਦਾਤਰ ਮੌਕਿਆਂ ਉੱਤੇ, ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦੇ ਸਾਧਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ, ਪਰ “ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸੈੱਟ” ਉਪਲਬਧ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਬਿੰਦੂਹੀਣ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਵਿੱਚ ਇਸਦੀ ਜਗਹ ਖੁੱਲੇ ਸੈੱਟਾਂ ਦੀ ਲੈੱਟਿਸ (ਜਾਲੀ) ਨੂੰ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਮੁਢਲੀ ਧਾਰਨਾ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂਕਿ ਗ੍ਰੋਥੈਂਡੀਐੱਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀਆਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਮਨਚਾਹੀਆਂ ਸ਼੍ਰੇਣਿੀਆਂ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਬਣਤਰਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਉਹਨਾਂ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਉੱਤੇ ਢੇਰਾਂ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦੇਣ, ਅਤੇ ਜੋ ਸਧਾਰਨ ਕੋਹੋਮੌਲੌਜੀ ਥਿਊਰੀਆਂ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੋਣ।

## ਉਪਯੋਗ
### ਜੀਵ ਵਿਗਿਆਨ
ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼ਾਖਾ, ਜਿਸਨੂੰ ਨੌੱਟ ਥਿਊਰੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, DNA ਉੱਤੇ ਕੁੱਝ ਐਨਜ਼ਾਈਮਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨ ਲਈ ਜੀਵ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਐਨਜ਼ਾਈਮ ਡੀਐੱਨਏ ਨੂੰ ਧੀਮੀ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਫੋਰੇਸਿਸ ਵਰਗੇ ਪਰਖੇ ਜਾਣਯੋਗ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਨਾਲ ਗੱਠ ਦਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਕੱਟਦੇ, ਵਟਾ ਦਿੰਦੇ, ਅਤੇ ਮੁੜ ਤੋਂ ਜੋੜਦੇ ਹਨ। ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋ ਉਤਪਤੀ ਜੀਵ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਫੀਨੋਟਾਈਪ ਅਤੇ ਜੀਨੋਟਾਈਪ ਦਰਮਿਆਨ ਸਬੰਧ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਫੀਨੋਟਾਈਪਿਕ ਕਿਸਮਾਂ ਜੋ ਕੱਫੀ ਵੱਖਰੀਆਂ ਦਿਸਦੀਆਂ ਹਨ, ਸਿਰਫ ਕੁੱਝ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਰਾਹੀਂ ਹੀ ਵੱਖਰੀਆਂ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਇਸ ਗੱਲ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਕਿ ਵਿਕਾਸ ਦੌਰਾਨ ਜੀਨੈਟਿਕ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਫੀਨੋਟਾਈਪਿਕ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਤੱਕ ਨਕਸ਼ਾ ਕਿਵੇਂ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ।

### ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ
ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਆਂਕੜਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ, ਅਲਜਬਰਿਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਵਾਲੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੇ ਇਸਤੇਮਾਲ ਨਾਲ ਕਿਸੇ ਸੈੱਟ ਦੀ ਵਿਸ਼ਾਲ ਪੈਮਾਨੇ ਦੀ ਬਣਤਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰਦਾ ਹੈ (ਜਿਵੇਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨਾ ਕਿ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਬੱਦਲ ਗੋਲ ਹੈ ਜਾਂ ਟੋਰੋਆਇਡਲ (ਅੰਡਾਕਾਰ ਵਰਗੇ ਅਕਾਰ) ਹੈ। ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਆਂਕੜਾ ਵਿਸ਼ੇਲਸ਼ਣ ਰਾਹੀਂ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਧੀਆਂ ਇਹ ਹਨ:

# 	ਆਂਕੜਾ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਸੈੱਟ ਨੂੰ ਸਿੰਪਲੀਕਲ ਕੰਪਲੈਕਸਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਪਰਿਵਾਰ ਨਾਲ ਬਦਲ ਦਿਓ, ਜੋ ਇੱਕ ਪ੍ਰੌਕਸੀਮਿਟੀ ਪੈਰਾਮੀਟਰ (ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਮਾਪਦੰਡ) ਰਾਹੀਂ ਸੂਚਕਾਂਕਿਤ ਕੀਤਾ ਹੋਵੇ। 
# 	ਇਹਨਾਂ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਕੰਪਲੈਕਸਾਂ ਦਾ ਅਲਜਬਰਿਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ- ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਪਰਸਿਸਟੈਂਟ (ਨਿਰੰਤਰ) ਹੋਮੌਲੌਜੀ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਰਾਹੀਂ। 
# 	ਕਿਸੇ ਆਂਕੜਾ ਸੈੱਟ ਦੀ ਨਿਰੰਤਰ (ਪਰਸਿਸਟੈਂਟ) ਹੋਮੌਲੌਜੀ ਨੂੰ ਬੈੱਟੀ ਨੰਬਰ ਦੇ ਇੱਕ ਮਾਪਦੰਡੀਕ੍ਰਿਤ ਰੂਪ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਕੇਂਤਬੱਧ (ਐੱਨਕੋਡ) ਕਰੋ, ਜਿਸਨੂੰ ਇੱਕ ਬਾਰਕੋਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

### ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ
ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਅਤੇ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡ ਵਿਗਿਆਨ ਵਰਗੇ ਕਈ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਇੱਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ (ਜਾਂ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਜਾਂ TQFT) ਅਜਿਹੀ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਇਨਵੇਰੀਐਂਟਾਂ (ਸਥਿਰਾਂ) ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਂਦੀ ਹੈ।

ਭਾਵੇਂ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀਆਂ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਨੇ ਖੋਜੀਆਂ ਸਨ, ਪਰ ਫੇਰ ਵੀ ਹੋਰ ਚੀਜ਼ਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ, ਨੌੱਟ ਥਿਊਰੀ ਅਤੇ ਅਲਜਬਰਿਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਵਿੱਚ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਦੀ ਥਿਊਰੀ, ਅਤੇ ਅਲਬਰਿਕ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਮੌਡਿਊਲੀਆਇ ਸਪੇਸਾਂ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੋਣ ਕਾਰਨ ਇਹ ਗਣਿਤਿਕ ਦਿਲਚਸਪੀ ਵਾਲੀਆਂ ਵੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਡੋਨਾਕਡਸਨ, ਜੋਨਸ, ਵਿੱਟਨ, ਅਤੇ ਕੌਂਟਸੇਵਿਚ ਸਭ ਨੇ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਕੰਮ ਕਾਰਣ ਫੀਲਡ ਮੈਡਲ ਜਿੱਤੇ ਹਨ।

ਬ੍ਰਹਿਮੰਡ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਬ੍ਰਹਿਮੰਡ ਦਾ ਸਾਰੇ ਦਾ ਸਾਰਾ ਅਕਾਰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

### ਰੋਬੋਟਿਕਸ
ਕਿਸੇ ਰੋਬੋਟ ਦੀਆਂ ਵਿਭਿੰਨ ਸੰਭ ਪੁਜੀਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਕਨਫਿਗਰੇਸ਼ਨ ਸਪੇਸ ਨਾਮਕ ਇੱਕ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਗਤੀ ਯੋਜਨਾ (ਮੋਸ਼ਨ ਪਲੈਨਿੰਗ) ਦੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਰਮਿਆਨ ਰਸਤਿਆਂ ਦੀ ਖੋਜ ਰਚਨਾ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਰਸਤੇ ਰੋਬੋਟ ਦੇ ਜੋੜਾਂ ਦੀ ਗਤੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਮਨਚਾਹੀ ਸਥਿਤੀ ਅਤੇ ਮੁਦ੍ਰਾ (ਪੋਜ਼) ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਹਿੱਸਿਆਂ ਦੀ ਗਤੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੇ ਹਨ।

ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਗਣਿਤ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਰੇਖਾਗਣਿਤ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ