ਸਪਿੱਨ-½

ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ, ਸਪਿੱਨ, ਸਾਰੇ ਮੁਢਲੇ ਕਣਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਅੰਦਰੂਨੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਫਰਮੀਔਨ ਕਣ, ਜੋ ਸਧਾਰਨ ਪਦਾਰਥ ਨੂੰ ਰਚਦੇ ਹਨ, ਅੱਧਾ ਅੰਕ ਸਪਿੱਨ ਰੱਖਦੇ ਹਨ। ਸਾਰੇ ਗਿਆਤ ਐਲੀਮੈਂਟਰੀ (ਮੁਢਲੇ) ਫਰਮੀਔਨਾਂ ਦਾ ਸਪਿੱਨ ½ ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

## ਸੰਖੇਪ ਸਾਰਾਂਸ਼ 
 ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਕੋਨਾਂ ਦਾ ਹਿਉਰਿਸਟਿਕ ਚਿੱਤ੍ਰਣ]]
ਜਿਹੜੇ ਕਣਾਂ ਦਾ ਸ਼ੁੱਧ ਸਪਿੱਨ  ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰੋਟੌਨ, ਨਿਊਟ੍ਰੌਨ, ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ, ਨਿਊਟ੍ਰੀਨੋ, ਅਤੇ ਕੁਆਰਕ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ। ਸਪਿੱਨ- ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਕਲਾਸੀਕਲ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਰਤ ਕੇ ਸਹੀ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ: ਇਹ ਉਹਨਾਂ ਸਰਲਤਮ ਚੀਜ਼ਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਾਲ, ਸਪਿੱਨ- ਸਿਸਟਮਾਂ ਦੇ ਵਰਤਾਓ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦਾ ਕੇਂਦਰੀ ਹਿੱਸਾ ਸਿਰਜਦੇ ਹਨ।

ਇੱਕ ਸਪਿੱਨ- ਕਣ  ਦੇ ਸਪਿੱਨ **s** ਵਾਸਤੇ ਇੱਕ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਕੁਆਂਟਮ ਨੰਬਰ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ, ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਨੂੰ ਇਸ ਨੰਬਰ ਦੁਆਰਾ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਕੁੱਲ ਸਪਿੱਨ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,

:S = {{\sqrt{\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}+1\right)}}}\ \hbar = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\hbar .

ਫੇਰ ਵੀ, ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਧੁਰੇ, ਜਿਵੇਂ z-ਧੁਰੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਨੂੰ ਨਿਰੀਖਤ ਕਰਦੇ ਵੇਲੇ ਨਿਰੀਖਤ ਫਾਈਨ ਸਟ੍ਰਕਚਰ, ਇੱਕ ਚੁੰਬਕੀ ਕੁਆਂਟਮ ਨੰਬਰ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ ਕੀਤਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇਸ ਕੁੱਲ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਪੁਰਜੇ ਦੀ ਇੱਕ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ (ਨਿਰਧਾਰੀਕਰਨ) ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਸਿਰਫ ਇਹੀ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਮੁੱਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ

.

ਧਿਆਨ ਦੇਓ ਕਿ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਲਈ ਇਹਨ ਮੁੱਲ ਪੁੰਜ ਜਾਂ ਚਾਰਜ ਉੱਤੇ ਬਗੈਰ ਕੋਈ ਨਿਰਭਰਤਾ ਨਾਲ, ਘਟਾਏ ਹੋਏ ਪਲੈਂਕ ਸਥਿਰਾਂਕ (ਕਿਸੇ ਫੋਟੌਨ ਦੇ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ) ਦੇ ਸਿਰਫ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

## ਸਟ੍ਰਲਨ ਗਾਰਲੈਚ ਪ੍ਰਯੋਗ 
ਅੱਧਾ-ਅੰਕ ਸਪਿੱਨ ਪੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਸਟ੍ਰਲਨ-ਗਾਰਲੈਚ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਤੱਕ ਵਾਪਸ ਲਿਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਪ੍ਰਮਾਣੂਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਬੀਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤਾਕਤਵਰ ਹੇਟਰੋਜੀਨੀਅਸ ਚੁੰਬਕੀ ਫੀਲਡ ਰਾਹੀਂ ਗੁਜ਼ਾਰਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਫੇਰ ਪ੍ਰਮਾਣੂਆਂ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹੋਏ N ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਖਿੰਡ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਖੋਜਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਕਿ ਸਿਲਵਰ ਦੇ ਪ੍ਰਮਾਣੂਆਂ ਵਾਸਤੇ, ਬੀਮ ਦੋ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਖਿੰਡ ਜਾਂਦੀ ਹੈ- ਅਧਾਰ-ਅਵਸਥਾ ਇਸਲਈ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਭਾਵੇਂ ਚਾਹੇ ਪ੍ਰਮਾਣੂਆਂ ਦਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਕਿੰਨਾ ਵੀ ਸੰਭਵ ਕਿਉਂ ਨਾ ਹੋਵੇ, 1, ਬੀਮ ਤਿੰਨ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਖਿੰਡੇਗੀ, ਜੋ *Lz*= −1, 0, ਅਤੇ +1 ਵਾਲੇ ਪ੍ਰਮਾਣੂਆਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਨਿਰਣਾ ਇਹ ਨਿਕਲਿਆ ਸੀ ਕਿ ਸਿਲਵਰ ਪ੍ਰਮਾਣੂਆਂ ਦਾ ਸ਼ੁੱਧ ਅੰਦਰੂਨੀ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ . ਸੀ।

## ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ 
ਸਪਿੱਨ- ਚੀਜ਼ਾਂ ਸਭ ਫਰਮੀਔਨ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, (ਇੱਕ ਤੱਥ ਜੋ ਸਪਿੱਨ ਸਟੈਟਿਕਸਟਿਕਸ ਥਿਓਰਮ ਨਾਲ ਸਮਝਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਅਤੇ ਪੌਲੀ ਐਕਸਕਲੂਜ਼ਨ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਪਿੱਨ- ਕਣ ਆਪਣੇ ਸਪਿੱਨ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਾਈ ਚੁੰਬਕੀ ਮੋਮੈਂਟ ਰੱਖਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹ ਚੁੰਬਕੀ ਮੋਮੈਂਟ ਸਪਿੱਨ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਪ੍ਰਭਾਵ ਜੋ ਸਪਿੱਨ ਦੀ ਖੋਜ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸੀ, ਜ਼ੀਮਾੱਨ ਪ੍ਰਭਾਵ ਹੈ, ਜੋ ਕਿਸੇ ਸਥਿਰ ਚੁੰਬਕੀ ਫੀਲਡ ਦੀ ਹਾਜ਼ਰੀ ਵਿੱਚ ਕਈ ਪੁਰਜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਪੈਕਟ੍ਰਲ ਰੇਖਾ ਦਾ ਖਿੰਡਾਓ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਿਸਟਮਾਂ ਤੋਂ ਉਲਟ, ਕਿਸੇ ਸਪਿੱਨ-½ ਕਣ ਨੂੰ ਸਿਰਫ ਦੋ ਆਈਗਨ-ਵੈਕਟਰਾਂ ਜਾਂ ਆਈਗਨ-ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਮੇਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰੰਪਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਪਿੱਨ ਅੱਪ ਅਤੇ ਸਪਿੱਨ ਡਾਊਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਕਾਰਣ ਕਰਕੇ, ਕੁਆਂਟਮ-ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਪਿੱਨ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਨੂੰ ਸਧਾਰਨ 2×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਪੌਲੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਕਰੀਏਸ਼ਨ ਅਤੇ ਐਨਹੀਲੇਸ਼ਨ ਓਪਰੇਟਰ ਸਪਿੱਨ-½ ਵਸਤੂਆਂ ਵਾਸਤੇ ਰਚੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ; ਉਹ ਉਹੀ ਵਟਾਂਦ੍ਰਾਤਮਿਕਤਾ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਹੋਰ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਓਪਰੇਟਰ ਕਰਦੇ ਹਨ।

## ਅਨਸਰਟਨਟੀ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਨਾਲ ਸਬੰਧ 
ਸਰਵ-ਸਧਾਰਨ ਕੀਤੇ ਗਏ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦਾ ਇੱਕ ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਓਪਰੇਟਰ (ਜੋ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ *x*, *y*, ਜਾਂ *z* ਵਰਗੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨ ਨਾਪਦੇ ਹਨ), ਇਕੱਠੇ ਇੱਕੋ ਵਕਤ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਨਾਪੇ ਜਾ ਸਕਦੇ। ਭੌਤਿਕੀ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਕਣ ਕਿਸ ਧੁਰੇ ਦੁਆਲ਼ੇ ਘੁੰਮ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਪਿੱਨ ਦੇ z-ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਨਾਪ ਬਾਕੀ ਦੋ ਧੁਰਿਆਂ ਵਾਲੇ *x*- ਅਤੇ *y* ਹਿੱਸਿਆਂ ਨੂੰ ਨਸ਼ਟ ਕਰ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਜਰੂਰ ਹੀ ਪਹਿਲਾਂ ਪਤਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।

## ਕੰਪਲੈਕਸ ਫੇਜ਼ 
ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਪਿੱਨ ਕਲਾਸੀਕਲ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਜਾਣ ਵਾਂਗ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਰਾਹੀਂ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ। ਇਹ ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਦੋ ਪੁਰਜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਕਠਿਨ ਫਰਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਜੜਾਂ ਕਿਸੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਫੀਲਡ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦੇ ਵਰਤਾਓ ਤੱਕ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।

ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਸਪਿੱਨੌਰ 360° (ਇੱਕ ਪੂਰੇ ਮੋੜ) ਤੱਕ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਆਪਣੇ ਨੈਗਟਿਵ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫੇਰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਦੇ ਇੰਨੇ ਹੀ 360 ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਪੂਰੇ ਗੇੜੇ ਤੋਂ ਬਾਦ ਆਪਣੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਕੀਮਤ ਵੱਲ ਦੁਬਾਰਾ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਇਸਲਈ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕੁਆਂਟਮ ਥਿਊਰੀ ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਕਣ ਜਾਂ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ (ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ) *ψ* (ਸਾਈ), ਨਾਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਨਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਅਵਸਥਾ *ψ* ਵਿੱਚ ਹੋਣ ਨੂੰ ਖੋਜਣ ਦੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ

ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਦੇ ਸ਼ੁੱਧ ਮੁੱਲ ਦਾ ਵਰਗ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਕਿਸੇ ਡਿਟੈਕਟਰ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਕਿਸੇ ਕਣ ਨੂੰ ਨਾਪਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੋਵੇ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੁੱਝ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਡਿਟੈਕਟ ਕਰਨ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀਆਂ ਡਿਟੈਕਟਰ ਦੀ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹੋਣ। ਜਦੋਂ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ 360 ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨਿਰੀਖਤ ਨਤੀਜਾ ਅਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਉਵੇਂ ਹੀ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਪਰ ਕਿਸੇ ਅੱਧਾ-ਸਪਿੱਨ ਕਣ ਵਾਸਤੇ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ, ਇੱਕ -1 ਦੇ ਫੈਕਟਰ ਦੁਆਰਾ ਜਾਂ 360 ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਅੱਫਧ ਦੇ ਇੱਕ ਫੇਜ਼-ਸ਼ਿਫਟ ਤੱਕ ਬਦਲ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀਆਂ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ -1 ਦਾ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, (−1)2= 1, ਇਸਲਈ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਵਾਂਗ ਗੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਹੀ, ਕਿਸੇ ਅੱਧਾ-ਸਪਿੱਨ ਕਣ ਵਿੱਚ, ਸਿਰਫ ਦੋ ਸਪਿੱਨ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਦੋਹਾਂ ਲਈ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਓਸੇ -1 ਫੈਕਟਰ ਤੱਕ ਬਦਲਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਜੋ ਇੰਟਰਫੇਰੈਂਸ ਪ੍ਰਭਾਵ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਰਹਿਣ, ਜੋ ਉੱਚ-ਸਪਿੱਨਾਂ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਾਂਗ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਕੰਪਲੈਕਸ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਇੱਕ ਸਿਧਾਂਤਕ ਬਣਤਰ ਦਾ ਕੁੱਝ ਅਜਿਹਾ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਦੇਖਿਆ (ਨਿਰੀਖਤ ਕੀਤਾ) ਜਾ ਸਕਦਾ।

ਜੇਕਰ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਓਸੇ ਮਾਤਰਾ ਤੱਕ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਵੇ ਜਿਵੇਂ ਡਿਟੈਕਟਰ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਓਸ ਵੇਲੇ -1 ਦੇ ਫੈਕਟਰ ਦੁਆਰਾ ਬਦਲ ਜਾਣਗੇ ਜਦੋਂ ਪ੍ਰਯੋਗ-ਯੰਤਰ 180 ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ ਘੁਮਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਦਾ ਵਰਗ (ਸਕੁਏਅਰ) ਕਰਨ ਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਨਤੀਜਾ ਮੁੜ ਤੋਂ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਪ੍ਰਯੋਗ ਅਜਿਹਾ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ। ਜੇਕਰ ਡਿਟੈਕਟਰ ਨੂੰ 180 ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਪਿੱਨ ਅੱਧਾ-ਅੰਕ ਕਣਾਂ ਵਾਲੇ ਨਤੀਜੇ ਬਗੈਰ ਘੁਮਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਤੋਂ ਵੱਖਰੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਕਾਰਨ ਇੱਕ ਅੱਧ ਦਾ ਫੈਕਟਰ, ਥਿਊਰੀ ਨੂੰ ਪ੍ਰਯੋਗਾਂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਵਾਉਣਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕਰਨ ਵਾਸਤੇ ਲਾਜ਼ਮੀ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

## ਗਣਿਤਿਕ ਵਿਵਰਣ 
### ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ 
ਕਿਸੇ ਸਪਿੱਨ-½ ਕਣ ਦੀ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਸਪਿੱਨੌਰ ਨਾਮਕ ਇੱਕ ਦੋ-ਪੁਰਜਿਆਂ ਵਾਲ਼ੇ ਕੰਪਲੈਕਸ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਣ ਦੀਆਂ ਨਿਰੀਖਣਯੋਗ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਫੇਰ ਸਪਿੱਨ ਓਪਰੇਟਰਾਂ

:*Sx*, *Sy*, ਅਤੇ *Sz,*

ਅਤੇ ਕੁੱਲ ਸਪਿੱਨ ਓਪਰੇਟਰ

:**S**

ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

#### ਨਿਰੀਖਣਯੋਗ 
ਜਦੋਂ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤਿੰਨੇ ਸਪਿੱਨ ਓਪਰੇਟਰ (*Sx*, *Sy*, *Sz,*) 2×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨਾਲ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਪੌਲੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਦੇ ਆਈਗਨੋਮੁੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਓਪਰੇਟਰ *Sz*, *z* ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨ ਦੇ ਨਾਪ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ,

: S_z = \frac{\hbar}{2} \sigma _z = \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix}
1&0\\ 0&-1 \end{bmatrix} 

*Sz*,  ਦੇ ਦੋ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ, ਫੇਰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਆਇਗਨ-ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:

:\chi_+ = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \left \vert {s_z = +\textstyle\frac 1 2} \right \rang = | {\uparrow } \rang = | 0 \rang 
:\chi_- = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \left \vert {s_z = -\textstyle\frac 1 2} \right \rang = | {\downarrow} \rang = | 1 \rang. 

ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਵਾਸਤੇ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਣ ਅਧਾਰ ਰਚਦੇ ਹਨ ਜੋ ਸਪਿੱਨ-½ ਕਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦਾ ਰੇਖਿਕ ਮੇਲ ਸਪਿੱਨ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਭਵ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ *x*- ਅਤੇ *y*-ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵੀ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। 
ਲੈਡਰ ਓਪਰੇਟਰ ਇਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:

: S_+ = \hbar \begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix},
S_-= \hbar \begin{bmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{bmatrix}

ਕਿਉਂਕਿ 
,  and .

ਇਸ ਕਾਰਨ:

: S_x = \frac{\hbar}{2} \sigma _x = \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix} 
: S_y = \frac{\hbar}{2} \sigma _y = \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{bmatrix} 

ਇਹਨਾਂ ਦੇ ਮਾਨਕੀਕ੍ਰਿਤ ਆਈਗਨਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਆਮ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਖੋਜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। *Sx*ਵਾਸਤੇ, ਇਹ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਵਾਂਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:

: \chi^{(x)}_+ = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \left \vert {s_x = +\textstyle\frac 1 2} \right \rang 
: \chi^{(x)}_- = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \left \vert {s_x = -\textstyle\frac 1 2} \right \rang 

*Sy* ਵਾਸਤੇ, ਇਹ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਵਾਂਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:
: \chi^{(y)}_+ = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} = \left \vert {s_y = +\textstyle\frac 1 2} \right \rang 
: \chi^{(y)}_- = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix} = \left \vert {s_y = -\textstyle\frac 1 2} \right \rang 

### ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ 
ਜਦੋਂਕਿ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੱਧਾ-ਸਪਿੱਨ ਨੂੰ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ 2 ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਯੰਤ੍ਰਾਵਲੀ ਨੂੰ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਟਾਈਮ ਅੰਦਰ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਉੱਥੇ ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਸਪਿੱਨ ਨੂੰ 4 ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਯੰਤ੍ਰਾਵਲੀ ਨੂੰ 4-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

#### ਨਿਰੀਖਣਯੋਗ 
ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਅੰਦਰ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦੇ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਸੁਭਾਅ ਦੇ ਇੱਕ ਨਤੀਜੇ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਅਤੇ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲਾਂ (ਨਿਰੀਖਣਯੋਗਾਂ) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਸਤੇ 4×4 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

## ਕੁਆਂਟਮ ਥਿਊਰੀ ਅਤੇ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੇ ਮੇਲ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨ 
## ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ 
*ਸਪਿੱਨ
*ਸਪਿੱਨੌਰ
*ਫਰਮੀਔਨ
*ਪੌਲੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ
*ਸਪਿੱਨ-ਸਟੈਟਿਸਟਿਕ ਥਿਊਰਮ ਜੋ ਸਪਿੱਨ- ਅਤੇ ਫਰਮੀਔਨਿਕ ਸਟੈਟਿਸਟਿਕਸ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ

## ਨੋਟਸ 
## ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਪੜਨ ਵਾਸਤੇ 
*
*
* 

ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਰੋਟੇਸ਼ਨ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਕੁਆਂਟਮ ਨਮੂਨੇ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ