ਸਮਿੱਟਰੀ ਗਰੁੱਪ

ਅਮੂਰਤ ਅਲਜਬਰੇ ਅੰਦਰ, ਕਿਸੇ ਚੀਜ਼ (ਤਸਵੀਰ, ਸੰਕੇਤ ਆਦਿ) ਦਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਉਹਨਾਂ ਸਾਰਿਆਂ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦਾ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਹਨਾਂ ਅਧੀਨ ਗਰੁੱਪ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਬਣਤਰ ਨਾਲ ਚੀਜ਼ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵਾਲੀ ਸਪੇਸ ਲਈ, ਇਹ ਸਬੰਧਤ ਸਪੇਸ ਦੇ ਆਈਸੋਮੈਟਰੀ ਗਰੁੱਪ ਦਾ ਇੱਕ ਸਬ-ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਹੋਰ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਬਿਆਨ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ, ਤਾਂ ਇਹ ਆਰਟੀਕਲ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪਾਂ ਨੂੰ ਯੁਕਿਲਡਨ ਜੀਓਮੈਟਰੀ (ਰੇਖਾਗਣਿਤ) ਵਿੱਚ ਵਿਚਾਰੇਗਾ, ਪਰ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਵਿਸਥਾਰ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਹੋਰ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਸੰਦਰਭਾਂ ਵਿੱਚ ਵੀ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

## ਜਾਣ ਪਛਾਣ
“ਚੀਜ਼ਾਂ” ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਅਕਾਰ, ਤਸਵੀਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਮੂਨੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕੋਈ ਵਾਲਪੇਪਰ ਪੈਟਰਨ। ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਤਸਵੀਰ ਜਾਂ ਨਮੂਨੇ ਦੇ ਅਰਥਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਬਣਾ ਕੇ ਹੋਰੇ ਸ਼ੁੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਯਾਨਿ ਕਿ, ਰੰਗਾਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲਾਂ ਵਾਲੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੀ ਅਰਥ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਬਣਾ ਕੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਹੋਰ ਸ਼ੁੱਧ ਬਣਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਭੌਤਿਕੀ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ, ਉਹਨਾਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਭੌਤਿਕੀ ਬਣਤਰ ਨੂੰ ਵੀ ਲੈਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਪੇਸ ਦੀਆਂ ਆਇਸੋਮੀਟਰੀਆਂ ਦਾ ਗਰੁੱਪ ਇਸ ਅੰਦਰ ਵਸਤੂਆਂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਗਰੁੱਪ ਐਕਸ਼ਨ ਥੋਪਦਾ ਹੈ।

ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਨੂੰ ਕਦੇ ਕਦੇ ਪੂਰਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਇਸ ਗੱਲ ਤੇ ਜੋਰ ਦਿੱਤਾ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ ਇਸ ਵਿੱਚ ਦਿਸ਼ਾ-ਉਲਟਾਓ ਆਈਸੋਮੀਟਰੀਆਂ (ਜਿਵੇਂ ਰਿਫਲੈਕਸ਼ਨਾਂ, ਗਲਾਈਡ ਰਿਫਲੈਕਸ਼ਨਾਂ, ਅਤੇ ਅਧੂਰੀਆਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ) ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਅਧੀਨ ਅਕਾਰ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਦਿਸ਼ਾ-ਉਲਟਾਓ ਆਈਸੋਮੀਟਰੀਆਂ (ਯਾਨਿ ਕਿ, ਬਦਲਾਓ, ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ, ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਦੇ ਮਿਸ਼ਰਣ) ਦਾ ਸਬ-ਗਰੁੱਪ ਜੋ ਅਕਾਰ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਛੱਡ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਸਹੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦਾ ਸਹੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਇਸਦੇ ਪੂਰੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਤੇ ਸਿਰਫ ਜੇਕਰ ਵਸਤੂ ਚੀਰਲ ਹੋਵੇ (ਅਤੇ ਇਸੇ ਕਾਰਣ ਕੋਈ ਦਿਸ਼ਾ-ਪਲਟਣ ਵਾਲੀਆਂ ਆਈਸੋਮੀਟਰੀਆਂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਜਿਹਨਾਂ ਅਧੀਨ ਇਹ ਸਥਿਰ ਰਹੇ)।

ਕੋਈ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਜਿਸਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਸਥਿਰ ਕੀਤਾ ਬਿੰਦੂ ਰੱਖਦੇ ਹੋਣ, ਜੋ ਸਾਰੇ ਸੀਮਤ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪਾਂ ਵਾਸਤੇ ਸੱਚ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਹੱਦਾਂ ਵਾਲੇ ਅਕਾਰਾਂ ਦੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪਾਂ ਵਾਸਤੇ ਵੀ ਸੱਚ ਹੋਵੇ, ਉਸਨੂੰ ਕਿਸੇ ਫਿਕਸ ਕੀਤੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਉਰਿਜਿਨ ਨੂੰ ਚੁਣ ਕੇ ਔਰਥੋਗਨਲ ਗਰੁੱਪ O(n) ਦੇ ਇੱਕ ਸਬ-ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਗੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਫੇਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਔਰਥੋਗਨਲ ਗਰੁੱਪ SO(n) ਦਾ ਇੱਕ ਸਬ-ਗਰੁੱਪ ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ ਇਸਲਈ ਇਸਨੂੰ ਅਕਾਰ ਦਾ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਗਰੁੱਪ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇੱਕ ਅਨਿਰੰਤਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਪੇਸ ਦੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਵਾਸਤੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਵਿੱਚ ਆਈਸੋਮੀਟਰੀਆਂ ਅਧੀਨ ਬਿੰਦੂ ਦੀਆਂ ਤਸਵੀਰਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ ਇੱਕ ਅਨਿਰੰਤਰ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਅਨਿਰੰਤਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਤਿੰਨ ਕਿਸਮਾਂ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦੇ ਹਨ:

# ਸੀਮਤ ਬਿੰਦੂ ਗਰੁੱਪ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ, ਰਿਫਲੈਕਸ਼ਨਾਂ, ਉਲਟਾਓ, ਅਤੇ ਘੁੰਮ-ਉਲਾਟਓ (ਰੋਟੋਇਨਵਰਸ਼ਨ) ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ- ਇਹ ਸਿਰਫ O(n) ਦੇ ਸੀਮਤ ਸਬ-ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। 
# ਅਸੀਮਤ ਲੈੱਟਿਸ ਗਰੁੱਪ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਬਦਲਾਓ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ, ਅਤੇ
# ਅਸੀਮਤ ਸਪੇਸ ਗਰੁੱਪ, ਜੋ ਪਿਛਲੀਆਂ ਦੋਵੇਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਤੱਤਾਂ ਨੂੰ ਮੇਲਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਸਕ੍ਰੀਊ ਐਕਸਿਸ ਅਤੇ ਗਲਾਈਡ ਰਿਫਲੈਕਸ਼ਨ ਵਰਗੀਆਂ ਅਤਿਰਿਕਤ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ।

ਨਿਰੰਤਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਵੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਮਨਚਾਹੀਆਂ ਛੋਟੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦੇ ਬਦਾਲਾਵਾਂ ਜਾਂ ਮਨਚਾਹੇ ਛੋਟੇ ਐਂਗਲਾਂ ਦੀਆਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਰੱਖਦੇ ਹਨ। ਕਿਸੇ ਗੋਲੇ (ਸਫੀਅਰ) O(3) ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸਮਰੂਪਤਾਵਾਂ ਦਾ ਗਰੁੱਪ ਇਸਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਆਮਤੌਰ ਅਜਿਹੇ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਲਾਈ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਯੁਕਿਲਡਨ ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਸਬ-ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧਤਾ ਨਾਲ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧਤਾ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। 
 
ਦੋ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਅਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਿਸਮ ਵਾਲੇ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ, ਯੁਕਿਲਡਨ ਗਰੁੱਪ E(n) (Rn ਦਾ ਆਈਸੋਮੀਟਰੀ ਗਰੁੱਪ) ਦੇ ਕੰਜੂਗੇਟ ਸਬ-ਗਰੁੱਪ ਹੋਣ, ਜਿੱਥੇ ਗਰੁੱਪ G ਦੇ ਦੋ ਸਬ-ਗਰੁੱਪ H1, H2 ਕੰਜੂਗੇਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੇਕਰ g ∈ G ਕਿ  ਹੋਵੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ,

* ਦੋ 3D ਅਕਾਰ ਦਰਪਣ ਸਮਰੂਪਤਾ ਰੱਖਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਵੱਖਰੇ ਦਰਪਣ ਪਲੇਨਾਂ ਪ੍ਰਤਿ। 
* ਦੋ 3D ਅਕਾਰ 3-ਤੈਹੀ ਰੋਟੇਸ਼ਨਲ ਸਮਰੂਪਤਾ ਰੱਖਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਵੱਖਰੇ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ। 
* ਦੋ 2D ਨਮੂਨੇ ਟਰਾਂਸਲੇਸ਼ਨ ਸਮਰੂਪਤਾ ਰੱਖਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ; ਦੋਵੇਂ ਟਰਾਂਸਲੇਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕੋ ਲੰਬਾਈ ਰੱਖਦੇ ਹਨ ਪਰ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਦਿਸ਼ਾ ਰੱਖਦੇ ਹਨ।

ਆਈਸੋਮੀਟਰੀ ਗਰੁੱਪਾਂ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਵਕਤ, ਉਹਨਾਂ ਗਰੁੱਪਾਂ ਤੱਕ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਾਸਤੇ, ਆਈਸੋਮੀਟਰੀਆਂ ਅਧੀਨ ਤਸਵੀਰਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਤੌਰ ਤੇ ਬੰਦ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਅਨਿਰੰਤਰ ਆਈਸੋਮੈਟਰੀ ਗਰੁੱਪ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਸਮਰੂਪਤਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਵੀ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਕਿਸੇ ਰੇਸ਼ਨਲ ਨੰਬਰ ਦੁਆਰਾ ਟਰਾਂਸਲੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗਰੁੱਪ ਸ਼ਾਮਿਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ ਜਿਵੇਂ 1D ਵਿੱਚ ਉਦਾਹਰਨਾਂ। ਇਸ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਵਾਲਾ ਕੋਈ ਅਕਾਰ (ਡਰਾਇੰਗ ਵਿੱਚ) ਵਾਹਿਆ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦਾ ਅਤੇ ਮਨਚਾਹੇ ਵਧੀਆ ਵਿਵਰਣ ਤੱਕ ਹੋਮੋਜੀਨੀਅਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਸੱਚਮੁੱਚ ਹੋਮੋਜੀਨੀਅਸ ਹੋਏ ਬਗੈਰ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

## ਇੱਕ ਅਯਾਮ
ਪਹਿਲੇ ਅਯਾਮ ਵਿੱਚ ਉਹ ਆਈਸੋਮੈਟਰੀ ਗਰੁੱਪ ਜਿੱਥੇ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਾਸਤੇ ਆਈਸੋਮੈਟਰੀਆਂ ਅਧੀਨ ਤਸਵੀਰਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਤੌਰ ਤੇ ਬੰਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਹਨ:

*	ਸੂਖਮ ਗਰੁੱਪ C1
* 	ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰਿਫਲੈਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਪੈਦਾ ਕੀਤੇ ਦੋ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦਾ ਗਰੁੱਪ; ਜੋ C2 ਨਾਲ ਆਇਸੋਮਰਫਿਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ
*	ਕਿਸੇ ਬਦਲਾਓ ਦੁਆਰਾ ਪੈਦਾ ਕੀਤੇ ਅਸੀਮਤ ਅਨਿਰੰਤਰ ਗਰੁੱਪ; ਜੋ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜਨ ਵਾਲੇ ਗਰੁੱਪ Z ਨਾਲ ਆਇਸੋਮਰਫਿਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ
*	ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਰਿਫਲੈਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਟਰਾਂਸਲੇਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਪੈਦਾ ਕੀਤੇ ਅਸੀਮਤ ਅਨਿਰੰਤਰ ਗਰੁੱਪ; ਜੋ Z ਦੇ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕੀਤੇ ਡਾਇਹੀਡ੍ਰਲ ਗਰੁੱਪ Dih(Z) ਨਾਲ ਆਇਸੋਮਰਫਿਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਨ D∞ ਦੁਆਰਾ ਵੀ ਚਿੰਨਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਜੋ Z ਅਤੇ C2 ਦਾ ਇੱਕ ਅਰਧ-ਸਿੱਧਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ)
* ਸਾਰੀਆਂ ਟਰਾਂਸਲੇਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪੈਦਾ ਕੀਤਾ ਗਰੁੱਪ (ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਦੇ ਜੋੜਨ ਵਾਲੇ ਗਰੁੱਪ R ਨਾਲ ਆਇਸੋਮਰਫਿਕ); ਇਹ ਗਰੁੱਪ ਕਿਸੇ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ: ਇਹ ਹੋਮੋਜੀਨੀਅਸ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿਸ ਕਾਰਨ, ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਫੇਰ ਵੀ, ਇੱਕ ਇੱਕਸਾਰ ਇੱਕ-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਇਹੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਰੱਖਦੀ ਹੈ। 
* 	ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚ ਸਾਰਿਆਂ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਅਤੇ ਰਿਫਲੈਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪੈਦਾ ਕੀਤਾ ਗਰੁੱਪ; ਜੋ R ਦੇ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕੀਤੇ ਡਾਹੀਡ੍ਰਲ ਗਰੁੱਪ Dih(R) ਨਾਲ ਆਇਸੋਮਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

## ਦੋ ਅਯਾਮ
ਕੰਜੂਗੇਸੀ ਤੱਕ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸਾਂ ਅੰਦਰ ਅਨਿਰੰਤਰ ਬਿੰਦੂ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੀਆਂ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀਆਂ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ;

*	ਚੱਕਰੀ ਗਰੁੱਪ C1, C2, C3, C4, ... ਜਿੱਥੇ C*n* ਉਹਨਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਕਿਸੇ ਫਿਕਸ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਬਿੰਦੂ ਦੁਆਲੇ 360°/n ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਰਾਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
*	ਡਾਈਹੀਡ੍ਰਲ ਗਰੁੱਪ D1, D2, D3, D4, ..., ਜਿੱਥੇ D*n* (2n ਦੇ ਦਰਜੇ ਦੇ) ਫਿਕਸ ਕੀਤੇ ਬਿੰਦੂ ਰਾਹੀਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ n ਧੁਰਿਆਂ ਵਿੱਚ ਰਿਫਲੈਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ C*n* ਵਿੱਚ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕਠਾ ਲੈ ਕੇ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

C1 ਟਰੀਵੀਅਲ ਗਰੁੱਪ ਹੈ ਜੋ ਸਿਰਫ ਪਛਾਣ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਹੀ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਉਦੋਂ ਹੋਂਦ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਕਾਰ ਬਿਲਕੁਲ ਹੀ ਕੋਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਨਾ ਰੱਖਦਾ ਹੋਵੇ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, F ਅੱਖਰ।

C2 ਅੱਖਰ Z ਦਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਹੈ, C3 ਕਿਸੇ ਟ੍ਰਾਈਸਕੇਲੀਔਨ (ਤਿੰਨ-ਟੰਗੇ ਅਕਾਰ) ਦਾ,

C4 ਕਿਸੇ ਸਵਾਸਤਿਕ (ਸਮ-ਬਾਹੂ ਸਮਕੋਣ ਅਕਾਰ), ਅਤੇ C5, C6, ਆਦਿ ਚਾਰ ਦੀ ਵਜਾਏ ਪੰਜ, ਛੇ, ਆਦਿ ਬਾਹਾਂ ਵਾਲੇ ਅਕਾਰਾਂ ਵਰਗੇ ਸਵਾਸਤਿਕ ਅਕਾਰਾਂ ਦੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਹਨ

D1, 2-ਐਲੀਮੈਂਟ ਗਰੁੱਪ ਹੈ ਜੋ ਪਛਾਣ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਰਿਫਲੈਕਸ਼ਨ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਉਦੋਂ ਹੋਂਦ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਕਾਰ ਸਿਰਫ ਦੋ-ਤਰਫੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਇੱਕੋ ਇਕਲੌਤਾ ਧੁਰਾ ਰੱਖਦਾ ਹੋਵੇ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, A ਅੱਖਰ।

D2, ਜੋ ਕਲੇਇਨ ਚਾਰ-ਗਰੁੱਪ ਪ੍ਰਤਿ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਗੈਰ-ਸਮਭੁਜ ਸਮ-ਦੋ-ਭੁਜ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਹੈ, ਅਤੇ

D3, D4, ਆਦਿ ਨਿਯਮਿਤ ਪੌਲੀਗਨਾਂ (ਬਹੁਭੁਜਾਂ) ਦੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਹਨ।

ਇਹਨਾਂ ਸਾਰੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਮਾਮਲੇ ਵਿਚਲੇ ਅਸਲੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਾਸਤੇ ਅਜ਼ਾਦੀ ਦੀਆਂ ਦੋ ਡਿਗਰੀਆਂ ਰੱਖਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਡੀਹੀਡ੍ਰਲ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਦਰਪਣਾਂ ਦੀਆਂ ਪੁਜੀਸ਼ਨਾਂ ਵਾਸਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਡਿਗਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹਨ।

ਕਿਸੇ ਫਿਕਸ ਕੀਤੇ ਬਿੰਦੂ ਵਾਲੇ ਦੋ ਅਯਾਮਾਂ ਅੰਦਰ ਬਾਕੀ ਬਚੇ ਉਹ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਲਈ, ਆਈਸੋਮੈਟਰੀਆਂ ਅਧੀਨ ਤਸਵੀਰਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਤੌਰ ਤੇ ਬੰਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:

*	ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਔਰਥੋਗਨਲ ਗਰੁੱਪ SO(2) ਜੋ ਕਿਸੇ ਫਿਕਸ ਕੀਤੇ ਬਿੰਦੂ ਦੁਆਲੇ ਸਾਰੀਆਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਇਸਨੂੰ ਚੱਕਰ ਗਰੁੱਪ S1 ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸ਼ੁੱਧ ਮੁੱਲ ਦੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਹੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ C*n* ਦੀ ਨਿਰੰਤਰ ਸਮਾਨਤਾ ਦਾ ਵੀ ਸਹੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕੋਈ ਵੀ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਅਕਾਰ ਅਜਿਹਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਜੋ ਚੱਕਰ ਗਰੁੱਪ ਦਾ ਪੂਰਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਰੱਖਦਾ ਹੋਵੇ, ਪਰ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਵਾਸਤੇ ਇਹ ਲਾਗੂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ (ਥੱਲੇ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਾਲਾ ਮਾਮਲਾ ਦੇਖੋ)
*	ਔਰਥੋਗਨਲ ਗਰੁੱਪ O(2) ਜੋ ਕਿਸੇ ਫਿਕਸ ਕੀਤੇ ਬਿੰਦੂ ਦੁਆਲੇ ਸਾਰੀਆਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਓਸ ਫਿਕਸ ਬਿੰਦੂ ਰਾਹੀਂ ਗੁਜ਼ਰਨ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਧੁਰੇ ਵਿੱਚ ਰਿਫਲੈਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ Dih(S1) ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ S1 ਦਾ ਸਰਵ ਸਧਾਨ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਡਾਈਹੀਡ੍ਰਲ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਗੈਰ-ਹੱਦਬੰਦੀ ਵਾਲੇ ਅਕਾਰਾਂ ਵਾਸਤੇ, ਅਤਿਰਿਕਤ ਆਈਸੋਮੈਟਰੀ ਗਰੁੱਪਾਂ ਵਿੱਚ ਟਰਾਂਸਲੇਸ਼ਨਾਂ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ; ਬੰਦ ਗਰੁੱਪ ਇਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:

* 	ਫ੍ਰੀਜ਼ ਗਰੁੱਪ 
* 	17 ਵਾਲਪੇਪਰ ਗਰੁੱਪ 
*	ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਅੰਦਰਲੇ ਹਰੇਕ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਵਾਸਤੇ, ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਓਸ ਗਰੁੱਪ ਵਿੱਚਲੀਆਂ ਸਮਰੂਪਤਾਵਾਂ ਦਾ ਮੇਲ, ਅਤੇ ਸਮਕੋਣ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸਾਰੀਆਂ ਟਰਾਂਸਲੇਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗਰੁੱਪ 
* 	ਪਹਿਲੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਰੇਖਾ ਵਿੱਚ ਰਿਫਲੈਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਵੀ ਡਿੱਟੋ (ਇਸੇਤਰਾਂ)

## ਤਿੰਨ ਅਯਾਮ
ਕੰਜੂਗੇਸੀ ਤੱਕ, ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਬਿੰਦੂ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ 7 ਅਸੀਮਤ ਲੜੀਆਂ, ਅਤੇ 7 ਵੱਖਰੀਆਂ ਲੜੀਆਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕ੍ਰਿਸਟੈਲੋਗ੍ਰਾਫੀ (ਕ੍ਰਿਸਟਲ-ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ) ਵਿੱਚ, ਇਹ ਕਿਸੇ ਕ੍ਰਿਸਟਲ ਲੈੱਟਿਸ ਦੀਆਂ ਅਨਿਰੰਤਰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਸਮਰੂਪਤਾਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਹੋਣ ਤੋਂ ਰੋਕ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਬਿੰਦੂ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੀਆਂ ਅਸੀਮਤ ਫੈਮਲੀਆਂ ਦੀ ਇਹ ਕ੍ਰਿਸਟੈਲੋਗ੍ਰਾਫਿਕ ਪਾਬੰਧੀ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ 32 ਕ੍ਰਿਸਟੈਲੋਗ੍ਰਾਫਿਕ ਬਿੰਦੂ ਗਰੁੱਪਾਂ (7 ਅਸੀਮਤ ਲੜੀਆਂ ਤੋਂ 27, ਅਤੇ ਬਾਕੀ 7ਆਂ ਤੋਂ 5) ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।

ਕਿਸੇ ਫਿਕਸ ਬੁੰਦੂ ਵਾਲੇ ਨਿਰੰਤਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਵਿੱਚ ਇਹ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ:

*	ਸਲਿੰਡ੍ਰੀਕਲ ਸਮਰੂਪਤਾ ਜੋ ਧੁਰੇ ਪ੍ਰਤਿ ਕਿਸੇ ਸਮਕੋਣ ਸਤਹਿ ਸਮਰੂਪਤਾ ਤੋਂ ਬਗੈਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਹ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਿਸੇ ਬੋਤਲ ਵਾਸਤੇ ਅਕਸਰ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ
*	ਸਲਿੰਡ੍ਰੀਕਲ ਸਮਰੂਪਤਾ ਜੋ ਧੁਰੇ ਪ੍ਰਤਿ ਕਿਸੇ ਸਮਕੋਣ ਸਤਹਿ ਸਮਰੂਪਤਾ ਵਾਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ
*	ਸਫੈਰੀਕਲ (ਗੋਲਾਈ) ਸਮਰੂਪਤਾ

ਵਸਤੂਆਂ ਅਤੇ ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡਾਂ ਵਾਸਤੇ, ਸਲਿੰਡ੍ਰੀਕਲ ਸਮਰੂਪਤਾ ਤੋਂ ਭਾਵ ਹੈ ਰਿਫਲੈਕਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਖੜਵੀਆਂ ਸਤਹਿਾਂ। ਫੇਰ ਵੀ, ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਲਈ ਇਸਦਾ ਇਹ ਅਰਥ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ: ਕਿਸੇ ਧੁਰੇ ਪ੍ਰਤਿ ਸਲਿੰਡ੍ਰੀਕਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਅੰਦਰ,

\mathbf{A} = A_\rho\boldsymbol{\hat \rho} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi} + A_z\boldsymbol{\hat z}

ਸਿਰਫ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਹੀ ਧੁਰੇ ਪ੍ਰਤਿ ਸਲਿੰਡ੍ਰੀਕਲ ਸਮਰੂਪਤਾ ਰੱਖਦੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ

A_\rho, A_\phi, ਅਤੇ  A_z

ਇਹ ਸਮਰੂਪਤਾ ਰੱਖਣ, ਯਾਨਿ ਕਿ, ਇਹ φ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਾ ਹੋਣ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਰਿਫਲੈਕਸ਼ਨਲ ਸਮਰੂਪਤਾ ਸਿਰਫ ਤੇ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ

A_\phi = 0

ਹੋਵੇ।

ਸਫੈਰੀਕਲ (ਗੋਲ) ਸਮਰੂਪਤਾ ਵਾਸਤੇ ਅਜਿਹਾ ਕੋਈ ਵਖਰੇਵਾਂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਰਿਫਲੈਕਸ਼ ਦੀਆਂ ਸਤਹਿਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਕਿਸੇ ਫਿਕਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਬਗੈਰ ਨਿਰੰਤਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਸੀਮਤ ਹੈਲਿਕਸ ਵਰਗੇ ਸਕ੍ਰਿਊ ਐਕਸਿਸ (ਪੇਚਦਾਰ ਧੁਰੇ) ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ। ਯੁਕਿਲਡਨ ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਸਬ-ਗਰੁੱਪ ਵੀ ਦੇਖੋ।

## ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ਤੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ
ਲੰਬੇ ਚੌੜੇ ਸੰਦਰਭਾਂ ਅੰਦਰ, ਇੱਕ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਕਿਸੇ ਕਿਸਮ ਦਾ ਪਰਿਵਰਤਨ ਗਰੁੱਪ ਜਾਂ ਆਟੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਗਰੁੱਪ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਵਾਰ ਅਸੀਂ ਇਹ ਜਾਣ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸ ਕਿਸ ਦੀ ਗਣਿਤਿਕ ਬਣਤਰ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਵਰਤ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਕੱਢਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋ ਜਾਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਹੜੀ ਮੈਪਿੰਗ (ਨਕਾਸ਼ੀ) ਬਣਤਰ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਬਣਾਉਣਾ ਬਣਤਰ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਇਹ ਸਪਸ਼ਟ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਇਵੇਰੀਅੰਟ (ਸਥਿਰ) ਤੋਂ ਸਾਡਾ ਕੀ ਭਾਵ ਹੈ, ਜਿਸ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇਸਤੇ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਜਾਣੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: ਇਹ ਏਰਲਾਂਜਨ ਪ੍ਰੋਗ੍ਰਾਮ ਉੱਤੇ ਨਜ਼ਰ ਪਾਉਣ ਦਾ ਇੱਕ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਸੀਮਤ ਰੇਖਾਗਣਿਤਾਂ ਦੇ ਕੁੱਝ ਮਾਡਲਾਂ ਦੇ ਆਟੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਗਰੁੱਪ ਆਮ ਸਮਝ ਅਨੁਸਾਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ, ਭਾਵੇਂ ਉਹ ਸਮਰੂਪਤਾ ਰੱਖਦੇ ਹੋਣ। ਉਹ ਅਜਿਹਾ ਬਿੰਦੂ-ਸੈਟਾਂ ਦੀਆਂ ਫੈਮਲੀਆਂ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਕੇ ਕਰਦੇ ਹਨ ਨਾ ਕਿ ਬਿੰਦੂ-ਸੈੱਟਾਂ (ਜਾਂ ਵਸਤੂਆਂ) ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਕੇ।

ਉੱਪਰ ਵਾਂਗ, ਸਪੇਸ ਦੀਆਂ ਆਟੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮਾਂ ਦੇ ਗਰੁੱਪ ਇਸ ਅੰਦਰ ਵਸਤੂਆਂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਗਰੁੱਪ ਐਕਸ਼ਨ ਥੋਪਦੇ ਹਨ।

ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਅਕਾਰ ਦੇ ਵਾਸਤੇ, ਅੱਗੇ ਲਿਖੇ ਸਮਾਨਤਾ ਸਬੰਧ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ: ਸਪੇਸ ਦੀਆਂ ਦੋ ਆਟੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮਾਂ ਸਿਰਫ ਤੇ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਹੀ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੇਕਰ ਅਕਾਰ ਦੀਆਂ ਦੋ ਤਸਵੀਰਾਂ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਹੋਣ (ਇੱਥੇ “ਇੱਕ ਸਮਾਨ” ਦਾ ਅਰਥ “ਟਰਾਂਸਲੇਸ਼ਨ ਅਤੇ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਤੱਕ ਹੀ ਇੱਕ ਸਮਾਨ” ਨਹੀਂ ਹੈ, ਸਗੋਂ ਇਸਦਾ ਅਰਥ “ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਸਮਾਨ” ਹੈ)। ਤਾਂ ਫੇਰ ਪਛਾਣ ਦੀ ਸਮਾਨਤਾ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਅਕਾਰ ਦਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਸਮਾਨਤਾ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਅਕਾਰ ਦੇ ਇੱਕ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਕ ਵਰਜ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਸਮਾਨਤਾ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਜੋੜੇ ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ ਬਾਇਜੈਕਸ਼ਨ (ਦੋਭਾਜਨ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਪਹਿਲੀ ਸਮਾਨਤਾ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਦੀ ਕਿਸੇ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦਾ ਉਲਟ, ਦੂਜੀ ਦੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਸਾਰੀ ਸਪੇਸ ਦੇ ਕਿਸੇ ਸੀਮਤ ਆਟੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਇਸਦਾ ਦਰਜਾ, ਅਕਾਰ ਦੇ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਕ ਵਰਜ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ, ਅਕਾਰ ਦੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਦਾ ਦਰਜਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨਾਂ:

*	ਯੁਕਿਲਡਨ ਪਲੇਨ ਦੀਆਂ ਆਇਸੋਮੈਟ੍ਰੀਆਂ, ਅਕਾਰ ਇੱਕ ਆਇਤ (ਰੈਕਟੈਂਗਲ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਸਮਾਨਤਾ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਹਨ: ਹਰੇਕ ਵਿੱਚ 4 ਆਇਸੋਮੈਟ੍ਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। 
*	ਸਪੇਸ, ਯੁਕਿਡਲਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਕਿਊਬ (ਘਣ) ਹੁੰਦੀ ਹੈ; ਅਕਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਸਪੇਸ ਦੇ ਹੀ ਅਕਾਰ ਦੇ ਕਿਊਬ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਦੇ ਮੱਥਿਆਂ (ਫੇਸਾਂ) ਉੱਤੇ ਰੰਗ ਜਾਂ ਨਮੂਨੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ; ਸਪੇਸ ਦੀਆਂ ਆਟੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮਾਂ 48 ਆਇਸੋਮੈਟ੍ਰੀਆਂ ਹਨ; ਅਕਾਰ ਇੱਕ ਕਿਊਬ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਇੱਕ ਮੱਥੇ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਰੰਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਅਕਾਰ, 8 ਆਇਸੋਮੈਟ੍ਰੀਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, 9 ਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। 
*	ਅਕਾਰ ਦੇ 9 ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਕ ਵਰਜ਼ਨਾਂ ਵਾਸਤੇ, 8 ਆਇਸੋਮੈਟ੍ਰੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ।

ਲਗਰਾਂਜੀਅਨ ਦੀ ਥਿਊਰਮ (ਗਰੁੱਪ ਥਿਊਰੀ) ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਬੂਤ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।

ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਗਣਿਤ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ