ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ

ਗਣਿਤ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਵਿੱਚ, **ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ** ਜਾਂ ਵੈਕਟਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (ਕੁੱਝ ਮੌਕਿਆਂ ਤੇ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਮਹੱਤਤਾ ਤੇ ਜੋਰ ਦੇਣ ਲਈ ਖੇਤਰ ਗੁਣਨਫਲ ਵੱਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ), ਤਿੰਨ-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਲ ਸਪੇਸ (R3) ਵਿੱਚ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਾਇਨਰੀ (ਦੋ-ਰੇਖਿਕ) ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹ × ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਆਤਮਨਿਰਭਰ ਵੈਕਟਰ a ਅਤੇ b ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ a × b, ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਵੈਕਟਰ ਬਣੇਗਾ ਜੋ ਦੋਹਾਂ ਤੋਂ ਪਰਪੈਂਡੀਕਿਊਲਰ (ਸਮਕੋਣ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਕਰ ਕੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਰੱਖਣ ਵਾਲੀ ਪਲੇਨ (ਸਤਹਿ) ਤੋਂ ਨੌਰਮਲ (90 ਡਿਗਰੀ ਤੇ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਦੀਆਂ ਗਣਿਤ, ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ, ਇੰਜੀਨਿਅਰਿੰਗ, ਅਤੇ ਕੰਪਿਊਟਰ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ (ਉਪਯੋਗ) ਹਨ। ਇਸਨੂੰ ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਗੁਣਨਫਲ) ਨਹੀਂ ਸਮਝਣਾ ਚਾਹੀਦਾ।
## ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 
 ਦੁਆਰਾ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਖੋਜਣਾ]]

ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ

:\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left\| \mathbf{a} \right\| \left\| \mathbf{b} \right\| \sin \theta \ \mathbf{n}

## ਨਾਮ 
 ਮੁਤਾਬਿਕ, ਕਿਸੇ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਡਿਟ੍ਰਮੀਨੈਂਟ ਵਿੱਚ ਆਰਪਾਰ ਤਿਰਛੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਤੱਤਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਗੁਣਨਫਲ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ]]

## ਕਰੋਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣਾ 
### ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਧਾਰਨਾ 
 ਵੈਕਟਰ (**i**, **j**, **k**, ਅਤੇ **e**1, **e**2, **e**3) ਅਤੇ **a** (**a**x, **a**y, **a**z ਦੇ ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸੇ ਵੀ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ, ਅਤੇ **a**1, **a**2, **a**3) ਵੀ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ]]

### ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਧਾਰਨਾ 
ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ determinant:
:\mathbf{u\times v} = \begin{vmatrix}
 \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\
 u_1&u_2&u_3\\
 v_1&v_2&v_3\\
\end{vmatrix}

ਇਸ ਡਿਟ੍ਰਮੀਨੈਂਟ ਨੂੰ ਸਾਰੁੱਸ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਬਰਤੋ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਪਤਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਕੋਫੈਕਟਰ ਪ੍ਰਸਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋ ਨਾਲ ਵੀ ਪਤਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਸਾਰੁੱਸ ਨਿਯਮ ਨਿਯਮ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਫੈਲਦਾ ਹੈ
:\begin{align}
 \mathbf{u\times v} &=\\(u_2v_3\mathbf{i}+u_3v_1\mathbf{j}+u_1v_2\mathbf{k}) -
 (u_3v_2\mathbf{i}+u_1v_3\mathbf{j}+u_2v_1\mathbf{k})\\
 &=\\(u_2v_3 - u_3v_2)\mathbf{i} +(u_3v_1 - u_1v_3)\mathbf{j} +
 (u_1v_2 - u_2v_1)\mathbf{k}.
\end{align}

ਕੋਫੈਕਟਰ ਫੈਲਾਓ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਦੇ ਨਾਲ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੀ ਜਗਹ, ਇਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਫੈਲਦਾ ਹੈ
:\mathbf{u\times v} =
 \begin{vmatrix}
 u_2&u_3\\
 v_2&v_3
 \end{vmatrix}\mathbf{i} -
 \begin{vmatrix}
 u_1&u_3\\
 v_1&v_3
 \end{vmatrix}\mathbf{j} +
 \begin{vmatrix}
 u_1&u_2\\
 v_1&v_2
 \end{vmatrix}\mathbf{k}

ਜੋ ਨਤੀਜਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਪੁਰਜੇ ਸਿੱਧੇ ਹੀ ਦੇ ਦਿੰਦਾ ਹੈ

## ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ 
### ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਅਰਥ 
### ਅਲਜਬਰਿਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ 
### ਡਿੱਫਰੈਂਟੀਏਸ਼ਨ 
ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਕੈਲਕੁਲਸ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ-ਰੇਖਿਕ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਲਈ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

:\frac{d}{dt}(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \frac{d\mathbf{a}}{dt} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \frac{d\mathbf{b}}{dt}

ਜਿੱਥੇ **a** ਅਤੇ **b** ਉਹ ਵੈਕਟਰ ਹਨ ਜੋ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਸਥਿਰਾਂਕ *t* ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ।

### ਤੀਹਰਾ ਗੁਣਨਫਲ ਪ੍ਰਸਾਰ 
### ਬਦਲਵੀਂ ਫਾਤਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ 
### ਲਗਰਾਂਜ ਆਇਡੈਂਟਿਟੀ 
### ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅਤਿਸੂਖਮ ਜਨਰੇਟਰ 
## ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣ ਦੇ ਬਦਲਵੇਂ ਤਰੀਕੇ 
### ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ 
### ਟੈਂਸਰਾਂ ਵਾਸਤੇ ਸੂਚਕਾਂਕ ਚਿੰਨ੍ਹ 
### ਯਾਦਸ਼ਕਤੀ ਸ਼ਹਾਇਕ 
### ਆਰਪਾਰ ਦ੍ਰਿਸ਼ 
## ਉਪਯੋਗ 
### ਹਿਸਾਬ-ਕਿਤਾਬੀ ਰੇਖਾਗਣਿਤ 
### ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਅਤੇ ਟਾਰਕ 
### ਠੋਸ ਸਰੀਰ 
### ਲੌਰੰਟਜ਼ ਬਲ 
### ਫੁਟਕਲ 
## ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਚੀਜ਼ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ 
 ਹਨ, ਅਤੇ ਸਮਾਂਤਰ ਇਕਾਈ ਬਾਇਵੈਕਟਰ ਹਨ]]

## ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਅਤੇ ਮਰਜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ 
## ਸਰਵ-ਸਧਾਰੀਕਰਨਾਂ 
### ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ 
### ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ 
### ਔਕਟਨੀਔਨ 
### ਵੈੱਜ ਪ੍ਰੋਡਕਟ 
### ਬਹੁਰੇਖਿਕ ਅਲਜਬਰਾ 
### ਸਕਿਊਸਮਿੱਟਰਿਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ 
## ਇਤਿਹਾਸ 
## ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ 
* ਬਾਇਵੈਕਟਰ
* ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਪ੍ਰੋਡਕਟ – ਦੋ ਸੈੱਟਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ
* ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ
* ਬਾਹਰੀ ਅਲਜਬਰਾ
* ਮਲਟੀਪਲ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ –ਠਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਵਾਲੇ ਪ੍ਰੋਡਕਟ
* ਸੂਡੋਵੈਕਟਰ
* × (ਚਿੰਨ)

## ਨੋਟਸ 
* 
* E. A. Milne (1948) Vectorial Mechanics, Chapter 2: Vector Product, pp 11 &ndash;31, London: Methuen Publishing.
* 
* 

## ਬਾਹਰੀ ਲਿੰਕ 
* 
* 
*A quick geometrical derivation and interpretation of cross products
* C.A. Gonano and R.E. Zich (2014). *Cross product in N Dimensions - the doublewedge product*, Polytechnic University of Milan, Italy.
* Z.K. Silagadze (2002). Multi-dimensional vector product. Journal of Physics. A35, 4949  (it is only possible in 7-D space)
* Real and Complex Products of Complex Numbers
* An interactive tutorial  created at Syracuse University – (requires java)
* W. Kahan (2007). Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space. University of California, Berkeley (PDF).

ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਗਣਿਤ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਰੇਖਾਗਣਿਤ