ਸਪਿੱਨੌਰ

ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਅਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਸਪਿੱਨੌਰ ਇੱਕ (ਕੰਪਲੈਕਸ) ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦੇ ਤੱਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਨਾਲ ਜੋੜੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ ਹੋਰ ਆਮ ਟੈਂਸਰਾਂ ਦੀ ਤਰਾਂ, ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਜਰਾ ਜਿੰਨਾ ਘੁੰਮਾਉਣ 'ਤੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਛੋਟੀਆਂ-ਛੋਟੀਆਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਪੂਰੀ ਅੰਤਿਮ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਰਚਣ ਲਈ ਬਣਾਈ (ਜੋੜੀ) ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੇਰ ਵੀ, ਨਤੀਜਨ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਇਸ ਗੱਲ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਛੋਟੀਆਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਕਿਹੜੀ ਲੜੀ ਵਰਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਜੋ ਕਿ ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ ਟੈਂਸਰਾਂ ਵਾਂਗ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਸਪੇਸ ਨੂੰ 0° ਤੋਂ 360° ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ ਘੁਮਾਉਣ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਸੱਪਿਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਾਫੀ ਹੱਦ ਤੱਕ ਮਿਲਦੀ-ਜੁਲਦੀ ਸਪਿੱਨੌਰ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨਾਲ ਜੋੜਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ ਜਿਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੇ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਪਰਿਵਰਤਨ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੀ ਭੂਮਿਕਾ(ਰੋਲ) ਅਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਸਪਿੱਨੌਰ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਇਲੇ ਕਾਰਟਨ ਵੱਲੋਂ 1913 ਵਿੱਚ ਲਿਆਂਦੇ ਗਏ ਸਨ। 1920ਵੇਂ ਦਹਾਕਿਆਂ ਵਿੱਚ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਅਨੀਆਂ ਨੇ ਖੋਜਿਆ ਕਿ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਅਤੇ ਹੋਰ ਉੱਪ-ਪ੍ਰਮਾਣੂ ਕਣਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਜਾਂ ਸਪਿੱਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਸਪਿੱਨੌਰ ਲਾਜ਼ਮੀ ਹਨ।

ਸਪਿੱਨੌਰ ਉਸੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜਿਸ ਰਾਹੀਂ ਇਹ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਅਧੀਨ ਵਰਤਾਓ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਨਾ ਕੇਵਲ ਅੰਤਿਮ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਉੱਤੇ ਹੀ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਸਗੋਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ (ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਫਰੁੱਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਰਸਤੇ ਰਾਹੀਂ) ਦੇ ਵਿਵਰਣ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਤੇ ਵੀ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਰਾਹੀਂ ਰਸਤਿਆਂ ਦੀਆਂ ਦੋ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਤੌਰ ਤੇ ਵੱਖਰੀਆਂ ਕਰਨ ਯੋਗ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ (ਹੋਮੋਟੌਪੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ) ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਉਸੇ ਪੂਰੀ ਦੀ ਪੂਰੀ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਬੈਲਟ ਟਰਿੱਕ ਬੁਝਾਰਤ ਰਾਹੀਂ ਸਮਝਾਇਅ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਸਮਾਨ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਉਲਟੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਾਲੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਪਿੱਨ ਸਮੂਹ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਦਾ ਦਰਜ(ਰਿਕਾਰਡ) ਰੱਖਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਘੇਰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਹਰੇਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਰਸਤੇ ਦੇ ਸਿਰੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸੁਤੰਤਰ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਇੱਕ (ਕੰਪਲੈਕਸ) ਲੀਨੀਅਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਰੱਖਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੇ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਲੀਨੀਅਰ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਹੋਮੋਟੌਪੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਉੱਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਭਾਵੇਂ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਇੱਕ ਸਪੇਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ (ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਸੂਖਮ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰੇ) ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵੀ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦੇ ਅਜਿਹੇ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਰੱਖਦੇ ਹੋਣ। ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ਇੱਕ ਸਬੰਧਤ ਅਲਜਬਰਾ ਹੈ ਜੋ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਤੋਂ ਇੱਕ ਬੇਸਿਸ ਮੁਕਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਦੋਵੇਂ, ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਅਤੇ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਜੜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ਅਸਾਨ ਹੈ। ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਦਾ ਇੱਕ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ ਚੁਣ ਲੈਣ ਤੋਂ ਬਾਦ, ਅਜਿਹੇ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਰਾਹੀਂ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਨੂੰ ਪੈਦਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਐਂਟੀ-ਕਮਿਉਟੇਸ਼ਨ ਸਬੰਧਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਉੱਤੇ ਖਰੇ ਉਤਰਦੇ ਹਨ। ਸਪਿੱਨੌਰ ਉਹ ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਉੱਤੇ ਇਹ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਤਿੰਨ ਯੁਕਿਲਡਨ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਪੌਲੀ ਸਪਿੱਨ ਮੈਟ੍ਰੀਸੀਜ਼ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਦੋ-ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਵਾਲੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰਾਂ ਉੱਤੇ ਇਹ ਮੈਟ੍ਰੀਸੀਜ਼ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਉਹ ਸਪਿੱਨੌਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਫੇਰ ਵੀ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਖਾਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਕਾਰਣ ਜੋ ਸ਼ੁੱਧ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ “ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰ” (ਜਾਂ ਸਪਿੱਨੌਰ) ਰਚਦੀ ਹੈ, ਉਸ ਵਿੱਚ, ਬੇਸਿਸ ਦੀ ਚੋਣ ਅਤੇ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰੀਸੀਜ਼ ਇੱਕ ਲਾਜ਼ਮੀ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦਾ ਇਹ ਅਨੁਭਵ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ ਦੇ ਔਡ ਹੋਣ ਤੇ ਜਾਂ ਤਾਂ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਘਟਾਇਆ ਨਾ ਜਾ ਸਕਣ ਯੋਗ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਾਂ “ਅੱਧਾ-ਸਪਿੱਨ” ਕਿਹਾ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਜੋੜ ਬਣ ਕੇ ਖਿੰਡ ਜਾਵੇਗਾ ਜੇਕਰ ਡਾਇਮੈਨਸਨ ਇਵਨ ਹੋਵੇ, ਜਿਸਨੂੰ ਵੇਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

## ਜਾਣ ਪਛਾਣ 
ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ ਹੋਰ ਟੈਂਸਰਾਂ ਤੋਂ ਕਿਹੜੀ ਚੀਜ਼ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਬਣਾ ਕੇ ਵੱਖਰਾ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਸਮਝਾਉਣਾ ਕਠਿਨ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਸਿਸਟਮ ਵਿਚਲੀ ਕੋਈ ਚੀਜ਼ ਹਿੱਲੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਸਿਰਫ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਹਿੱਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸਲਈ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਕਿਸੇ ਚੀਜ਼ ਉੱਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਹੋਵੇਗੀ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਵੈਕਟਰ, ਅਜਿਹੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਰੱਖਦੇ ਹਨ ਜੋ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਤਰਾਂ ਉਸੇ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਅਧੀਨ ਘੁੰਮ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਹੋਰ ਖੋਲ ਕੇ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਸਿਸਟਮ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਕਿਸੇ ਟੈਂਸਰ (ਜਿਵੇਂ ਕਿਸੇ ਮਾਧਿਅਮ ਦਾ ਸਟ੍ਰੈੱਸ/ਦਬਾਓ) ਅਜਿਹਾ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਵਿਵਰਣ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਜੋ ਖੁਦ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਿਸਟਮ ਪ੍ਰਤਿ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਲਈ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ ਅਡਜਸਟ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਭੌਤਿਕੀ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਵਿਵਰਣ ਦੇ ਇਸ ਪੱਧਰ ਉੱਤੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਨਹੀਂ ਏਦਾਂ ਕਰਦੇ ਦਿਸਦੇ, ਜਦੋਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਬੰਦ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨਾਲ ਹੀ ਸਿਰਫ ਵਾਸਤਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਗੋਂ, ਸਪਿੱਨੌਰ ਉਦੋਂ ਏਦਾਂ ਕਰਦੇ ਦਿਸਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਲਪਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਜਗਹ, ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਦਰਜਾਵਾਰ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ (ਨਿਰੰਤਰ ਤੌਰ ਤੇ) ਕਿਸੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਣਤਰ ਦਰਮਿਆਨ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਿਸਟਮ ਨਾਲ ਜੁੜੀਆਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਜਾਣੀਆਂ ਪਛਾਣੀਆਂ ਅਤੇ ਸਹਿਜ ਗਿਆਨ ਵਾਲੀਆਂ (ਟੈਂਸੋਰੀਅਲ) ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਲਈ, ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਾ ਨਿਯਮ ਅੰਤਿਮ ਬਣਤਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੇ ਪਹੁੰਚਣ ਤੇ ਤਰੀਕੇ ਦੇ ਸ਼ੁੱਧ ਵਿਵਰਣ ਉੱਤੇ ਨਹੀਂ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ। ਸਪਿੱਨੌਰ, ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਅਜਿਹੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਗੱਲ ਪ੍ਰਤਿ ਸੰਵੇਦਨਸ਼ੀਲ ਬਣਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦਾ ਦਰਜਾਵਾਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਉੱਥੇ ਕਿਵੇਂ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ: ਉਹ ਰਸਤੇ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਜੈ ਕਿ, ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅੰਤਿਮ ਬਣਤਰ ਲਈ, ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਦਰਅਸਲ ਦੋ (ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਤੌਰ ਤੇ) ਸਮਾਨ ਦਰਾਜਾਵਾਰ (ਨਿਰੰਤਰ) ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਉਸੇ ਬਣਤਰ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ (ਉਹੀ ਬਣਤਰ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ)। ਇਸ ਅਸਪਸ਼ਟਤਾ ਨੂੰ ਦਰਜਾਵਾਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਹੋਮੋਟੋਪੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬੈਲਟ ਟਰਿੱਕ ਬੁਝਾਰਤ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਦੋ ਵੱਖਰੀਅਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਇੱਕ 2π ਦੇ ਐਂਗਲ ਰਾਹੀਂ, ਅਤੇ ਦੂਜੀ 4π ਦੇ ਐਂਗਲ ਰਾਹੀਂ, ਜੋ ਉਹੀ ਬਣਤਰ ਰੱਖਦੀਆਂ ਹਨ, ਪਰ ਵੱਖਰੀਆਂ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਰੱਖਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਪਿੱਨੌਰ ਦਰਅਸਲ ਇੱਨ ਚਿੰਨ-ਉਲਟਾਓ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ ਜੋ ਵਾਸਤਵ ਤੌਰ ਤੇ ਇਸ ਹੋਮੋਟੋਪੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ ਹੋਰ ਟੈਂਸਰਾਂ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਨੂੰ ਮਹਿਸੂਸ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦਾ। 
 

ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਵਰਤ ਕੇ ਠੋਸ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪ੍ਰਦ੍ਰਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਤਿੰਨ ਯੁਕਿਲਡਨ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਤਿੰਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਧੁਰਿਆਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ (ਐੰਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਾ ਬਾਬਤ) ਪੌਲੀ ਸਪਿੱਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰ ਕੇ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਰਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕੰਪਲੈਕਸ ਐਂਟਰੀਆਂ ਵਾਲੇ 2×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹਨ, ਦੋ-ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰ ਜਿਹਨਾਂ ਉੱਤੇ ਇਹ ਮੈਟ੍ਰੀਸੀਜ਼, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਨਫਲ ਰਾਹੀਂ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਉਹ ਸਪਿੱਨੌਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ, 1 ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਵਾਲੇ 2×2 ਯੂਨਾਇਟਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਗਰੁੱਪ ਪ੍ਰਤਿ ਆਇਜ਼ੋਮਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕੁਦਰਤੀ ਤੌਰ ਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਲਜਬਰੇ ਅੰਦਰ ਬੈਠਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਗਰੁੱਪ, ਪੌਲੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਆਪਣੇ ਆਪ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਾਈ ਗਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਕੰਜੂਗੇਸ਼ਨ ਰਾਹੀਂ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਉਹਨਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਇਸਨੂੰ ਅਨੁਭਵ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰਾਂ (ਯਾਨਿ ਕਿ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ) ਉੱਤੇ ਵੀ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਹੋਰ ਆਮਤੌਰ ਤੇ, ਇੱਕ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ਕਿਸੇ (ਸਹੀ ਸਲਾਮਤ) ਕੁਆਡਰੈਟਿਕ (ਵਰਗਾਕਾਰ) ਕਿਸਮ ਨਾਲ ਭਰੀ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ V ਤੋਂ ਰਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਆਪਣੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਵਾਲੀ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਜਾਂ ਆਪਣੇ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਵਾਲੀ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ। ਕਿਸੇ ਢੁਕਵੇਂ ਨੌਰਮਲਾਇਜ਼ ਕੀਤੇ ਹੋਏ V ਦੇ ਬੇਸਿਸ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਨੂੰ, ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨਾਲ ਰਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਐਂਟੀ-ਕਮਿਉਟੇਸ਼ਨ (ਗੈਰ-ਵਟਾਂਦਰਾਂ) ਸਬੰਧਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਵਾਲੇ ਕਾਲਮ ਵੇਕਟਰਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਇਹ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਬੇਸ਼ੱਕ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ-ਮੁਕਤ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਫੇਰ ਵੀ, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਸਦਾ ਖਾਸ ਅਨੁਭਵ ਇਸ ਗੱਲ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰੀਸੀਜ਼ ਕਿਹੜੇ ਔਰਥੋਗਨਲ ਧੁਰਿਆਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਸਲਈ ਜੋ ਚੀਜ਼ ਸ਼ੁੱਧ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ “ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰ” (ਜਾਂ ਸਪਿੱਨੌਰ) ਨੂੰ ਰਚਦੀ ਹੈ, ਉਹ ਅਜਿਹੇ ਮਨਚਾਹੇ ਵਿਕਲਪਾਂ ਉੱਤੇ ਵੀ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਔਰਥੋਗਨਲ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ (ਯਾਨਿ ਕਿ, ਸੂਖਮ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ) ਅਤੇ ਕੁਆਡਰੈਟਿਕ ਕਿਸਮ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ, ਦੋਵੇਂ ਹੀ, (ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਤੌਰ ਤੇ) ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਵਿੱਚ ਆ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਹਰੇਕ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ, ਲਾਈ ਅਲਜਬਰੇ ਅਤੇ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਨੂੰ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ ਅਤੇ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਿਗਨੇਚਰ ਉੱਤੇ ਅਧਾਰਿਤ, ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦਾ ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਹ ਅਨੁਭਵ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਘਟਾਇਆ ਨਾ ਜਾ ਸਕਣ ਯੋਗ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਇਹ “ਅੱਧਾ-ਸਪਿੱਨ” ਨਾਮਕ ਵੇਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਡਿੰਕਪੋਜ਼ (ਟੁੱਟ) ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।

## ਸੰਖੇਪ ਜਾਣਕਾਰੀ 
ਕਿਸੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਲਈ ਦੋ ਲਾਜ਼ਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਢਾਂਚੇ ਹਨ।

ਇੱਕ ਢਾਂਚਾ ਸਿਧਾਂਤਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਹੈ। ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਨੂੰ ਜਲਦੀ ਹੀ ਪਤਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਔਰਥੋਗਨਲ ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀਆਂ ਕੁੱਝ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਆਮ ਟੈਂਸਰ ਬਣਤਰਾਂ ਰਾਹੀਂ ਨਹੀਂ ਰਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਇਹਨਾਂ ਗੁਆਚੀਆਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਨੂੰ ਫੇਰ ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਦਾ ਨਾਮ ਦੇ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਦੇ ਰਚਣ ਹਾਰਿਆਂ ਨੂੰ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦਾ ਨਾਮ ਦੇ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਜਰੂਰ ਹੀ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਗਰੁੱਪ SO(n, R) ਦੇ ਦੋਹਰੇ ਕਵਰ ਦੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਰੱਖਦਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ਤੇ, ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਿਗਨੇਚਰ (p, q) ਵਾਲੀਆਂ ਸਪੇਸਾਂ ਉੱਤੇ ਜਨਰਲਾਇਜ਼ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਔਰਥੋਗਨਲ ਗਰੁੱਪ  ਦੇ ਦੋਹਰੇ ਕਵਰ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦੋਹਰੇ ਕਵਰ ਲਾਈ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ Spin(n) ਜਾਂ Spin(p, q) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ, ਰਚੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ, ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੇ ਦੋਹਰੇ ਕਵਰਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ, ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੇ ਖੁਦ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਿਵ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਰਚਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਕਿਸੇ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੀ ਸੰਪੂਰਣ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨਾਲ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦੀਆਂ।

ਦੂਜਾ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਰੇਖਾਗਣਤਿਕ ਹੈ। ਸਪਿੱਨਰਾਂ ਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ ਤੌਰ ਤੇ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫੇਰ ਜਾਂਚ ਪਰਖ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਬੰਧਤ ਲਾਈ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਨ ਤੇ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਵਰਤਾਓ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਬਾਦ ਵਾਲੀ ਪਹੁੰਚ “ਸਪਿੱਨਰ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ” ਨੂੰ ਇੱਕ ਠੋਸ ਅਤੇ ਮੁਢਲਾ ਵਿਵਰਣ ਮੁਹੱਈਆ ਕਰਵਾਉਣ ਵਿੱਚ ਲਾਭਕਾਰੀ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਅਜਿਹਾ ਕੋਈ ਵਿਵਰਣ ਸੀਮਤ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਸਪਿੱਨਰਾਂ ਦੀਆਂ ਫੀਏਰਜ਼ ਆਇਡੈਨਟਿੱਟੀਆਂ (ਪਛਾਣਾਂ) ਵਰਗੀਆਂ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਪੈਂਦੀ ਹੈ।

### ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ 
ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਿਆਂ (ਕਦੇ ਕਦੇ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਅਲਜਬਰੇ ਵੀ ਕਹੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ) ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ, ਸਾਰੇ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੀਆਂ ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਦਰਮਿਆਨ ਕਈ ਤਰਾਂ ਦੇ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪੂਰੀ ਤਸਵੀਰ “ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਿਆਂ ਦੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀਵੰਡ” ਰਾਹੀਂ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਗੈਰ-ਜ਼ਰੂਰੀ ਬਣਤਰਾਂ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਮੁਕਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। 
 
ਵਿਸਥਾਰ ਵਿੱਚ, ਮੰਨ ਲਓ V ਇੱਕ ਸੀਮਤ-ਅਯਾਮੀ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੈ ਜੋ ਸਹੀਸਲਾਮਤ (ਨੌਨਡੀਜਨਰੇਟ) ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ (ਦੋ-ਰੇਖਿਕ) ਅਕਾਰ g ਵਾਲੀ ਹੈ। ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ Cℓ(V, g) ਓਹ ਅਲਜਬਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ V ਦੁਆਰਾ ਐਂਟੀਕਮਿਉਟੇਸ਼ਨ ਸਬੰਧ xy + yx = 2g(x, y) ਨਾਲ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਗਾਮਾ ਜਾਂ ਪੌਲੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਰਾਹੀਂ ਰਚੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਅਲਜਬਰੇ ਦਾ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ V = Cn ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ  ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਨੂੰ Cℓn(C) ਚਿੰਨ੍ਹ ਰਾਹੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ ਦੀ ਚੋਣ ਰਾਹੀਂ, ਨੌਨ-ਡੀਜਨਰੇਟ ਕਿਸਮ ਵਾਲੀ ਹਰੇਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਇਸ ਸਟੈਂਡਰਡ ਉਦਾਹਰਨ ਪ੍ਰਤਿ ਆਇਸੋਮਰਫਿਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਇਹ ਸੰਕਲਪ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ਤੇ ਖਰਾਬ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ (ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ)  ਹੋਵੇ। ਜੇਕਰ n = 2k ਇਵਨ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ  ਕੰਪਲੈਕਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਅਲਜਬਰੇ  ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ (ਇੱਕ ਗੈਰ-ਨਿਰਾਲੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ) Cℓn(C) ਆਇਸੋਮਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਅਰਟਿਨ-ਵੈੱਡਰਬਰਨ ਥਿਉਰਮ ਰਾਹੀਂ ਅਤੇ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਸਾਬਤ ਕਈਤੇ ਜਾਣਯੋਗ ਤੱਥ ਰਾਹੀਂ ਕਿ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ਕੇਂਦਰੀ ਤੌਰ ਤੇ ਸਰਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ)। ਜੇਕਰ n = 2k + 1 ਔਡ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ  ਕੰਪਲੈਕਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀਆਂ ਦੋ ਕਾਪੀਆਂ ਦੇ ਅਲਜਬਰੇ  ਪ੍ਰਤਿ, Cℓ2k+1(C) ਆਇਸੋਮਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਕੇਸ ਵਿੱਚ, Cℓ(V, g) ਦੀ ਇੱਕ ਨਿਰਾਲੀ (ਆਇਸੋਮਰਫਿਜ਼ਮ ਤੱਕ) ਇਰਰਿਡਿਊਸੇਬਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (ਜਿਸਨੂੰ ਸਰਲ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਮੌਡਿਊਲ/ਮਾਪ ਅੰਕ/ਮਾਪਾਂਕ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ), ਜਿਸਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਤੌਰ ਤੇ 2[n/2] ਅਯਾਮਾਂ ਵਾਲੇ ਚਿੰਨ੍ਹ Δ ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ so(V, g), ਲਾਈ ਬਰੈਕਿਟ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ਕਮਿਉਟੇਟਰ ਸਣੇ Cℓ(V, g) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲਾਈ ਸਬਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜੜਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਸਪੇਸ Δ ਵੀ so(V, g) ਦੀ ਇੱਲ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੁੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ n ਔਡ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਇਰਰਿਡਿਊਸੇਬਲ (ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਘਟਾਈ ਨਾ ਜਾ ਸਕਣਯੋਗ) ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ n ਇਵਨ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਦੋ ਇਰਰਿਡਿਊਸੇਬਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ  ਵਿੱਚ ਦੋਫਾੜ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵੇਲ ਜਾਂ ਅੱਧਾ-ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਅਜਿਹਿਆਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅੰਕਾਂ ਉੱਤੇ ਇਰਰਿਡਿਉਸੇਬਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਹੋਰ ਵੀ ਜਟਿਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਦੋਂ V ਕੋਈ ਵਾਸਤਵ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੋਵੇ, ਅਤੇ ਪਾਠਕਾਂ ਨੂੰ ਹੋਰ ਵਿਸਥਾਰਪੂਰਵਕ ਵਿਵਰਣ ਲੈਣ ਲਈ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ਆਰਟੀਕਲ ਪੜਨ ਦੀ ਸਲਾਹ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
 
### ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ 
ਸਪਿੱਨੌਰ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਰਚਦੇ ਹਨ, ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਉੱਤੇ ਰਚਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਗਰੁੱਪ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਾਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਰਾਹੀਂ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਟੁੱਟਦੀ। ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਹੋਮੋਟੋਪੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਦਾ ਰਿਕਾਰਡ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਬਾਬਤ ਮੁਢਲੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਸੰਕੇਤਬੱਧ ਕਰਨ ਲਈ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਪੈਂਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਗਰੁੱਪ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ਤੇ ਨਹੀਂ ਜੁੜਿਆ ਹੁੰਦਾ, ਪਰ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ਤੇ ਜੁੜਿਆ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਇਸਦਾ ਦੋਹਰਾ ਕਵਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ ਹਰੇਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਲਈ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਦੋ ਐਲੀਮੈਂਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਇਸਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਹੋਰ ਟੈਂਸਰ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਮਹਿਸੂਸ ਕਰ ਸਕਦੇ, ਪਰ ਉਹ ਉਲਟੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਪੈਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਉਹ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਅਧੀਨ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਸਪਿੱਨੌਰ ਤੇ ਅਸਰ ਪਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਨੂੰ, ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਪਰਿਵਾਰਾਂ ਦੀਆਂ ਹੋਮੋਟੋਪੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸੋਚ ਕੇ, ਹਰੇਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਲਈ ਰਸਤਿਆਂ ਦੀਆਂ ਦੋ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹੋਮੋਟੋਪੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ-ਮਾਪਦੰਡ ਪਰਿਵਾਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਰਿਬਨ ਦੀ ਤਰਾਂ ਦੇਖਿਆ ਜਾਵੇ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਓਸ ਰਿਬਨ ਦਾ ਆਰਕ ਲੰਬਾਈ ਮਾਪਦੰਡ (ਪੈਰਾਮੀਟਰ), ਪੈਰਾਮੀਟਰ (ਇਸਦਾ ਟੈਨਜੰਟ, ਨੌਰਮਲ, ਬਾਇਨੌਰਮਲ ਫਰੇਮ ਦਰਅਸਲ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ) ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹੋਮੋਟੋਪੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਬੈਲਟ-ਟਰਿੱਕ ਬੁਝਾਰਤ ਦੀਆਂ ਦੋ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਦੇਖੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਸਹਾਇਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਾਹਰੀ ਤੌਰ ਤੇ ਰਚੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਅੰਤ ਨੂੰ ਅਇਸੋਮਰਫਿਜ਼ਮ ਤੱਕ ਹੀ ਮੌਜੂਦ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਕੋਈ ਵੀ ਕੁਦਰਤੀ ਬਣਤਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ ਜੋ ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ (ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ) ਸਿਸਟਮਾਂ ਵਰਗੀਆਂ ਮਨਚਾਹੀਆਂ ਪਸੰਦਾਂ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਵੇ। ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਕਿਸੇ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ, ਜਿਵੇਂ ਕਿਸੇ ਸਹਾਇਕ ਗਣਿਤਿਕ ਚੀਜ਼ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਿਸੇ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਰੂਪ ਵਾਲੀ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਨਾਲ ਜੋੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਆਪਣੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਵਾਲੀ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ, ਜਾਂ ਆਪਣੇ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਵਾਲੀ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਨਾਲ। ਬਾਦ ਵਾਲੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਬੂਸਟ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ, ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਥਿਊਰੀ ਕਾਫੀ ਹੱਦ ਤੱਕ ਮਿਲਦੀ ਜੁਲਦੀ ਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

### ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ 
ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਪ੍ਰਕਾਰ ਦਾ ਸਪਿੱਨੌਰ, ਡੀਰਾਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਹੈ, ਜੋ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ  ਦੀ ਜਟਿਲਤਾ  ਦੀ ਮੁਢਲੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦਾ ਇੱਕ ਐਲੀਮੈਂਟ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ Spin(p, q) ਨੂੰ ਜੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ 2k-ਅਯਾਮੀ ਜਾਂ 2k+1 ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ, ਕਿਸੇ ਡੀਰਾਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਨੂੰ 2*k* ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। (ਦੇਖੋ ਸਪੈਸ਼ਲ ਯੂਨਾਇਟਰੀ ਗਰੁੱਪ)। ਇਵਨ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਰਿਡਿਊਸਿਬਲ (ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਤੋੜੀ ਜਾ ਸਕਣ ਯੋਗ) ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਦੋਂ Spin(p, q) ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਦੋ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਅਲੱਗ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ: ਖੱਬੇ-ਹੱਥ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਵਾਲੀਆਂ ਵੇਇਲ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ। ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਹੀ,  ਦਾ ਗੈਰ-ਜਟਿਲ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਰੂਪ ਕਦੇ ਕਦੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਛੋਟੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਰੱਖ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਮਾਜੋਰਾਨਾ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਕਿਸੇ ਇਵਨ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਮਾਜੋਰਾਨਾ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਕਦੇ ਕਦੇ ਦੋ ਮਾਜੋਰਾਨਾ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਟੁੱਟ ਜਾਵਗੀ: ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵੇਇਲ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਡੀਰਾਕ ਅਤੇ ਵੇਇਲ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਦੋਂਕਿ ਮਾਜੋਰਾਨਾ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਹਨ।

ਡੀਰਾਕ, ਲੌਰੰਟਜ਼, ਵੇਇਲ, ਅਤੇ ਮਾਜੋਰਾਨਾ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਤੌਰ ਤੇ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਾਸਤਵਿਕ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਅਧਾਰ ਤੇ ਸਮਝਾਏ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।

ਭਾਰੀ ਕਣ, ਜਿਵੇਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ, ਡੀਰਾਕ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਕਣ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਮਾਡਲ ਦਾ ਕਲਾਸੀਕਲ ਨਿਊਟ੍ਰੀਨੋ ਇੱਕ ਵੇਇਲ ਸਪਿੱਨੌਰ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਨਿਰੀਖਣ ਕੀਤੇ ਗਏ ਨਿਊਟ੍ਰੀਨੋ ਔਸੀਲੇਸ਼ਨ ਕਾਰਣ, ਹੁਣ ਇਹ ਮੰਨਿਆ ਜਾਣ ਲੱਗਾ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਵੇਇਲ ਸਪਿੱਨੌਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ, ਪਰ ਸ਼ਾਇਦ ਇਸਦੀ ਜਗਹ ਮਾਜੋਰਾਨਾ ਸਪਿੱਨੌਰ ਹਨ। ਇਹ ਗਿਆਤ (ਪਤਾ) ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਕੁਦਰਤ ਵਿੱਚ (ਸਪਿੱਨ-½) ਵੇਇਲ ਸਪਿੱਨੌਰ ਮੌਜੂਦ ਵੀ ਹਨ ਕਿ ਨਹੀਂ। 2015 ਵਿੱਚ, ਪ੍ਰਿੰਸਟਨ ਯੂਨੀਵਰਸਟੀ ਦੇ ਵਿਗਿਆਨਿਕਾਂ ਦੀ ਅਗਵਾਈ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਰਾਸ਼ਟਰੀ ਟੀਮ ਨੇ ਐਲਾਨ ਕੀਤਾ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਨੇ ਇੱਕ ਕੁਆਸੀਪਾਰਟੀਕਲ ਖੋਜਿਆ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਵੇਇਲ ਫਰਮੀਔਨ ਦੀ ਤਰਾਂ ਵਰਤਾਓ ਕਰਦਾ ਹੈ।

### ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨੌਰ 
ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਦੇ ਵੱਡੇ ਗਣਿਤਿਕ ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਉਪਯੋਗ, ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਔਰਥੋਗਨਲ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੇ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਿਆਂ ਦੀ ਰੇਖਿਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੀ ਸਪਸ਼ਟ ਬਣਤਰ ਨੂੰ ਸੰਭਵ ਬਣਾਉਣਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੀਆਂ ਆਪਣੀਆਂ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਨੂੰ ਸੰਭਵ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਤਾਕਤਵਰ ਲੈਵਲ ਉੱਤੇ, ਸਪਿੱਨੌਰ, ਅਤਿਯਾਹ-ਸਿੰਗਰ ਇੰਡੈਕਸ ਥਿਉਰਮ ਵੱਲ ਪਹੁੰਚ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਜੋਂ ਸਾਹਮਣੇ ਆਏ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਰਧ-ਸਰਲ (ਸੇਮੀਸਿੰਪਲ) ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੀਆਂ ਅਨਿਰੰਤਰ ਲੜੀ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਲਈ ਖਾਸ ਤੌਰ ਤੇ ਬਣਤਰਾਂ ਮੁਹੱਈਆ ਕਰਵਾਉਣ ਲਈ ਸਾਹਮਣੇ ਆਏ ਹਨ।

ਸਪੈਸ਼ਲ ਔਰਥੋਗਨਲ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਿਆਂ ਦੀਆਂ ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ, ਵੇਇਲ ਦੀ ਬਣਤਰ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਟੈਂਸਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਤੋਂ, ਵਜ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਜਿੱਥੇ ਕਿ ਟੈਂਸਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਦੇ ਵਜ਼ਨ, ਲਾਈ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਰੂਟਸ ਦੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਰੇਖਿਕ ਮੇਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਉੱਥੇ ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਰੇਖਿਕ ਮੇਲਾਂ ਦੇ ਅੱਧੇ ਅੰਕ ਵਾਲੇ ਮੇਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਸਪਸ਼ਟ ਵਿਵਰਣ ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਆਰਟੀਕਲ ਵਿੱਚ ਖੋਜੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।

### ਸਹਿਜ ਗਿਆਨ ਸਮਝ ਉੱਤੇ ਯਤਨ 
ਸਪਿੱਨੌਰ ਸਰਲ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, “ਸਪੇਸ ਦੇ ਵੈਕਟਰਾਂ” ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ “ਜਿਹਨਾਂ ਦਾ ਪਰਿਵਰਤਨ ਭੌਤਿਕੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤਰੀਕੇ ਵਿੱਚ ਜੁੜਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।” ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਕਥਨ ਕਰਦੇ ਹੋਏ:

ਸਪਿੱਨੌਰ […] ਅਯਾਮਾਂ ਦੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗਿਣਤੀ ਵਾਲੀ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਮੁਹੱਈਆ ਕਰਵਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਹਰੇਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਦੇ 2^\nu ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿੱਥੇ n = 2\nu+1 ਜਾਂ 2\nu ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਪਲੇਟ ਟਰਿੱਕ, ਟੈਂਗੋਲਾਇਡਾਂ ਅਤੇ ਓਰੀਐਂਟੇਸ਼ਨ ਇੰਟੈਂਗਲਮੈਂਟ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਦੀਆਂ ਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਾਉਣ ਦੇ ਕਈ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਸੂਤਰਬੱਧ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।

ਇੱਥੇ ਹੀ ਬੱਸ ਨਹੀਂ, ਇਹ ਸੰਕਲਪ ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਸਮਝਣ ਦੇ ਲਿਹਾਜ ਨਾਲ ਖੁੱਲੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਠਿਨ ਮੰਨਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਮਾਈਕਲ ਅਤਿਯਾਹ ਦੇ ਇਸ ਬਿਆਨ ਦਾ ਡੀਰਾਕ ਦੇ ਬਾਇਓਗਰਾਫਰ ਗ੍ਰਾਹਮ ਫਾਰਮੇਲੋ ਵਿੱਚ ਬਿਔਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:

ਕੋਈ ਵੀ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਨਹੀਂ ਸਮਝਦਾ। ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦਾ ਅਲਜਬਰਾ ਰਸਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਸਮਝ ਵਿੱਚ ਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਪਰ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਆਮ ਮਹੱਤਤਾ ਰਹੱਸਮਈ ਬਣੀ ਹੋਈ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਸਮਝ ਮੁਤਾਬਿਕ, ਸਪਿੱਨੌਰ ਰੇਖਗਣਿਤ ਦਾ “ਵਰਗਮੂਲ” ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ, ਜਿਵੇਂ “-1 ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ” ਦੀ ਸਮਝ ਨੇ ਸਦੀਆਂ ਲੈ ਲਈਆਂ, ਇਹੀ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਲਈ ਵੀ ਸੱਚ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੋਵੇਗਾ।

## ਇਤਿਹਾਸ 
ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਆਮ ਗਣਿਤਿਕ ਕਿਸਮ 1913 ਵਿੱਚ ਐੱਲੀ ਕਾਰਟਨ ਦੁਆਰਾ ਖੋਜੀ ਗਈ ਸੀ। ਸ਼ਬਦ “ਸਪਿੱਨੌਰ” ਪੌਲ ਐਹਰਨਫੈਸਟ ਦੁਆਰਾ ਆਪਣੇ ਕੁਆਂਟਮ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਉੱਤੇ ਕੰਮ ਵਿੱਚ ਘੜਿਆ ਗਿਆ ਸੀ।

ਸਪਿੱਨੌਰ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ 1927 ਵਿੱਚ ਵੋਲਫਗਾਂਗ ਪੌਲੀ ਦੁਆਰਾ ਗਣਿਤਿਕ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਨ।, ਜਦੋਂ ਉਸਨੇ ਆਪਣੇ ਸਪਿੱਨ ਮੈਟ੍ਰੀਸੀਜ਼ (ਬਹੁਵਚਨ-ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ) ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਸਨ। ਅਗਲੇ ਹੀ ਸਾਲ, ਪੌਲ ਡੀਰਾਕ ਨੇ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਅਤੇ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਗਰੁੱਪ ਦਰਮਿਆਨ ਸੰਬਧ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਸਪਿੱਨ ਦੀ ਪੂਰੀ ਤਰਾਂ ਰਿਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ (ਸਾਪੇਖਿਕ) ਥਿਊਰੀ ਖੋਜ ਲਈ। 1930ਵੇਂ ਦਹਾਕੇ ਤੱਕ, ਡੀਰਾਕ, ਪੀਏਟ ਹੇਇਨ ਅਤੇ ਹੋਰਾਂ ਨੇ ਨੀਏਲਜ਼ ਬੋਹਰ ਇੰਸਟੀਟਿਊਟ ਵਿਖੇ (ਜਿਸਨੂੰ ਉਦੋਂ ਕੌਪਨਹੀਗਨ ਦੀ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ ਦਾ ਥਿਊਰਿਟੀਕਲ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਲਈ ਇੰਸਟੀਟਿਊਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਸੀ), ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੇ ਕੈਲਕੁਲਸ ਦੇ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਅਤੇ ਸਮਝਾਉਣ ਲਈ ਟੈਂਗਲੋਆਇਡਾਂ ਵਰਗੇ ਖਿਡੌਣੇ ਬਣਾਏ। 
 
1930 ਵਿੱਚ ਜੀ. ਜੁਵੇਟ ਅਤੇ ਫਰਿਟਜ਼ ਸਾਉਟਰ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਲੈਫਟ (ਖੱਬੇ) ਆਦਰਸ਼ਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਸਪੇਸਾਂ ਨੂੰ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ। ਹੋਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ ਤੇ, ਪੌਲੀ ਵਾਂਗ, ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਕੰਪਲੈਕਸ ਮੁੱਲਾਂ ਵਾਲੇ 2D ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਵਜਾਏ, ਉਹਨਾਂ ਨੇ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਕੰਪਲੈਕਸ ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ 2 × 2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਖੱਬੇ ਕਾਲਮਾਂ ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟ ਹੀ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਅੰਦਾਜ਼ ਵਿੱਚ, ਸਪਿੱਨੌਰ ਸਪੇਸ, Mat(2, C) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਖੱਬਾ ਆਦਰਸ਼ ਬਣ ਗਈ।

1947 ਵਿੱਚ, ਮਾਰਸਲ ਰੀਏਸਜ਼ ਨੇ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਇੱਕ ਮਿਨੀਮਲ ਲੈਫਟ ਆਈਡੀਅਲ ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਪੇਸ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਰਚੀਆਂ। 1966/67 ਵਿੱਚ, ਡੇਵਿਡ ਹੇਸਟੀਨਜ਼ ਨੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਸਪੇਸਾਂ ਨੂੰ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਅਲਜਬਰੇ Cℓ1,3(**R**) ਦੇ ਇਵਨ ਸਬਅਲਜਬਰੇ Cℓ01,3(**R**)ਰਾਹੀਂ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ। ਇਵੇਂ ਹੀ 1980ਵੇਂ ਦਹਾਕੇ ਵਿੱਚ, ਡੇਵਿਡ ਬੋਹਮ ਅਤੇ ਬਾਸਿਲ ਹਿਲੇਅ ਦੇ ਨੇੜੇ ਤੇੜੇ ਬਿਰਕਬੈੱਕ ਕੌਲਜ ਵਿਖੇ ਸਿਧਾਂਤਕ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਗਰੁੱਪ ਕੁਆਂਟਮ ਥਿਊਰੀ ਪ੍ਰਤਿ ਅਲਜਬਰਿਕ ਪਹੁੰਚ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰ ਰਿਹਾ ਸੀ, ਜਿਸਨੇ ਸਾਉਟਰ ਅਤੇ ਰੀਏਸਜ਼ ਦੀ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਵਾਲੀ ਪਛਾਣ ਨੂੰ ਮਿਨੀਮਲ ਲੈਫਟ ਆਈਡੀਅਲ (ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਖੱਬੇ ਆਦਰਸ਼) ਉੱਤੇ ਬਣਾਇਆ।

## ਉਦਾਹਰਨਾਂ 
ਘੱਟ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀਆਂ ਕੁੱਝ ਸਰਲ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ  ਦੇ ਇਵਨ-ਗਰੇਡ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਸਬਅਲਜਬਰਿਆਂ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹ ਉਹ ਅਲਜਬਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਗੁਣਾਂ ਕਰਨ ਹੇਠਾਂ, ਪਰਸਪਰ ਔਰਥੋਗਨਲ ਵੈਕਟਰਾਂ n = p + q ਦੇ ਇੱਕ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ ਤੋਂ ਬਣਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ p ਨੌਰਮ +1 ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਿਸਦਾ q ਨੌਰਮ -1 ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਇਸ ਨਿਯਮ ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,

:e_i e_j = \Bigg\{ \begin{matrix} +1 & i=j, \, i \in (1 \ldots p) \\
 -1 & i=j, \, i \in (p+1 \ldots n) \\
 - e_j e_i & i \not = j. \end{matrix}

### ਦੋ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ 
ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ Cℓ2,0(**R**) ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਸਕੇਲਰ 1, ਦੋ ਔਰਥੋਗਨਲ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ *σ*1 ਅਤੇ *σ*2, ਅਤੇ ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਸੂਡੋਸਕੇਲਰ  ਦੇ ਇੱਕ ਬੇਸਿਸ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉੱਪਰ ਦੱਸੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ, ਇਹ ਸਪਸ਼ਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ;

: ,

: ਅਤੇ

: 

Cℓ2,0(**R**) ਦੇ ਇਵਨ ਦਰਜਾਬੱਧ ਕੀਤੇ ਹੋਏ (ਗਰੇਡਿਡ) ਬੇਸਿਸ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਰਾਹੀਂ ਫੈਲਾਇਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਇਵਨ ਸਬਅਲਜਬਰਾ Cℓ02,0(**R**), ਇਸਦੀਆਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਰਾਹੀਂ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ 1 ਅਤੇ *σ*1*σ*2 ਦੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਰੇਖਿਕ ਮੇਲਾਂ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, Cℓ02,0(**R**) ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ C ਦੀ ਫੀਲਡ ਪ੍ਰਤਿ ਆਇਸੋਮਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਇਹ ਇੱਕ ਕੰਜੂਗੇਸ਼ਨ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ (ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਜ਼ਨ ਦੇ ਸਮਾਨ), ਜਿਸਨੂੰ ਕਦੇ ਕਦੇ ਕਿਸੇ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਐਲੀਮੈਂਟ ਦਾ ਰਿਵਰਸ (ਉਲਟ) ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇਸ ਤਰਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

:(a+b\sigma_1\sigma_2)^* = a+b\sigma_2\sigma_1\,

ਜੋ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਸਬੰਧਾਂ ਦੁਆਰਾ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

:(a+b\sigma_1\sigma_2)^* = a+b\sigma_2\sigma_1 = a-b\sigma_1\sigma_2\,

ਵੈਕਟਰਾਂ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਇਵਨ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਐਲੀਮੈਂਟ  ਦਾ ਕਾਰਜ (ਐਕਸ਼ਨ), ਜੋ Cℓ2,0(**R**) ਦੇ 1-ਗਰੇਡਿਡ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਇੱਕ ਜਨਰਲ ਵੈਕਟਰ  ਤੋਂ ਇਸ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਵੈਕਟਰ ਤੱਕ ਨਕਸ਼ਾਂ ਬਣਾ ਕੇ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

:\gamma(u) = \gamma u \gamma^*\,,
 
ਜਿੱਥੇ *γ*∗ ਚਿੰਨ੍ਹ γ ਦਾ ਕੰਜੂਗੇਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਹਾਲਤ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। γ ਦੇ ਸਪਿੱਨੌਰ φ ਉੱਤੇ ਕਾਰਜ ਨੂੰ ਸਧਾਰਨ ਕੰਪਲੈਕਸ ਗੁਣਨਫਲ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਜੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

: \gamma(\phi) = \gamma\phi

ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦਾ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਗੁਣ ਸਧਾਰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਫਰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇਸ ਗੱਲ ਤੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਵਨ (ਜਿਸਤ) ਦਰਜੇ ਵਾਲੇ ਐਲੀਮੈਂਟ ਕਿਵੇਂ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਉੱਤੇ ਵੱਖਰੇ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਆਮਤੌਰ ਤੇ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਫਟਾਫਟ ਜਾਂਚ ਸਾਬਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇਵਨ ਗਰੇਡ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਐਲੀਮੈਂਟ ਸਧਾਰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਕੰਜੂਗੇਟ-ਕਮਿਉਟ (ਵਟਾਂਦਰਾ ਸਵੰਧ ਰੱਖਦੇ) ਕਰਦੇ ਹਨ।

: \gamma(u) = \gamma u \gamma^* = \gamma^2 u\,

ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ γ(φ) = γφ ਉੱਤੇ ਕਾਰਜ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਧਾਰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਊੱਤੇ γ ਦੀ ਕ੍ਰਿਆ, ਇਸਦੀ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਦੇ ਸਕੁਏਅਰ (ਵਰਗ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਪੱਧਰੀਆਂ (ਪਲੇਨ) ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਇਸਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਐਂਗਲ θ ਰਾਹੀਂ ਘੁਮਾਉਣਾ  ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਉੱਤੇ ਸਬੰਧਤ ਕਾਰਜ  ਰਾਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਆਮਤੌਰ ਤੇ, ਲੌਗਰਿਥਮਿਕ ਬਰਾਂਚਿੰਗ ਕਾਰਣ, ਕਿਸੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸਥਿਰਤਾ ਭਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਚੁਣ ਲੈਣਾ ਅਸੰਭਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਕਾਰਣ, ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਉੱਤੇ ਪਲੇਨ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਦੋ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਤੱਥ ਦਾ ਨਾਜਾਇਜ਼ ਲਾਭ ਉਠਾਉਣਾ ਆਮ ਗੱਲ ਹੋ ਗਈ ਹੈ ਕਿ ਇਵਨ ਗਰੇਡ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦਾ ਅਲਜਬਰਾ (ਜੋ ਸਿਰਫ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਛੱਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ) ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਪ੍ਰਤਿ ਮਿਲਦਾ ਜੁਲਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਦੁਰ-ਉਪਯੋਗ ਰਾਹੀਂ, ਦੋਵਾਂ ਦਾ ਅਕਸਰ ਮਿਸ਼ਰਣ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਫੇਰ “ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਦਾ ਕਾਰਜ” ਬਾਰੇ ਬੋਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਸੈਟਿੰਗ ਵਿੱਚ, ਅਜਿਹੇ ਕਥਨ ਅਰਥਹੀਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਪਰ 2 ਜਾਂ 3 ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ (ਜਿਵੇਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਗ੍ਰਾਫਿਕਸ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ), ਫੇਰ ਵੀ ਇਹ ਅਰਥ ਰੱਖਦੇ ਹਨ।

; ਉਦਾਹਰਨਾਂ

* ਇਵਨ ਗਰੇਡ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਐਲੀਮੈਂਟ

::\gamma = \tfrac{1}{\sqrt{2}} (1 - \sigma_1 \sigma_2) \,
 
:*&sigma;*1 ਤੋਂ *&sigma;*2 ਤੱਕ, 90° ਦੀ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਕੇ ਪਰਖੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ ਕਿ;

::\tfrac{1}{2} (1 - \sigma_1 \sigma_2) \, \{a_1\sigma_1+a_2\sigma_2\} \, (1 - \sigma_2 \sigma_1) = a_1\sigma_2 - a_2\sigma_1 \,

: ਫੇਰ ਵੀ, ਇਹ ਸਿਰਫ 45° ਤੱਕ ਦੀ ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨਾਲ ਹੀ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:

::\tfrac{1}{\sqrt{2}} (1 - \sigma_1 \sigma_2) \, \{a_1+a_2\sigma_1\sigma_2\}=
\frac{a_1+a_2}{\sqrt{2}} + \frac{-a_1+a_2}{\sqrt{2}}\sigma_1\sigma_2
 
* ਇਸੇ ਤਰਾਂ, ਇਵਨ ਗਰੇਡਿਡ ਐਲੀਮੈਂਟ  ਇੱਕ 180° ਦੀ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

:: (- \sigma_1 \sigma_2) \, \{a_1\sigma_1 + a_2\sigma_2\} \, (- \sigma_2 \sigma_1) = - a_1\sigma_1 -a_2\sigma_2 \,

: ਪਰ ਇਹ ਇੱਕ 90° ਦੀ ਹੀ ਸਪਿੱਨੌਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:

::(- \sigma_1 \sigma_2) \, \{a_1 + a_2\sigma_1\sigma_2\}
=a_2 - a_1\sigma_1\sigma_2

* ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ,ਇਵਨ ਗਰੇਡਿਡ ਐਲੀਮੈਂਟ γ = −1 ਇੱਕ 360° ਦੀ ਵੈਕਟਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਰੱਖਦਾ ਹੈ:

:: (-1) \, \{a_1\sigma_1+a_2\sigma_2\} \, (-1) = a_1\sigma_1+a_2\sigma_2 \,

: ਪਰ ਇਹ ਇੱਕ 180° ਦੀ ਹੀ ਸਪਿੱਨੌਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

### ਤਿੰਨ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ 
ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ Cℓ3,0(**R**) ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਸਕੇਲਰ 1, ਤਿੰਨ ਔਰਥੋਗਨਲ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ *σ*1, *σ*2 ਅਤੇ *σ*3, ਤਿੰਨ ਯੂਨਿਟ ਬਾਇਵੈਕਟਰਾਂ *σ*1*σ*2, *σ*2*σ*3, *σ*3*σ*1 ਅਤੇ ਸੂਡੋਵੈਕਟਰ  ਦੇ ਇੱਕ ਬੇਸਿਸ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਿੱਧਾ ਹੀ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ

: , and .
: ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇਵਨ ਗਰੇਡਿਡ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦਾ ਸਬ-ਅਲਜਬਰਾ ਇਹਨਾਂ ਸਕੇਲਰ ਡਿਲੇਸ਼ਨਾਂ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,

: u^{\prime} = \rho^{(1/2)} u \rho^{(1/2)} = \rho u, 

: ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਵੈਕਟਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

: u^{\prime} = \gamma \, u \, \gamma^*, 

: ਜਿੱਥੇ

: \left.\begin{array}{rcl} \gamma & = & \cos(\theta/2) - \{a_1 \sigma_2\sigma_3 + a_2 \sigma_3\sigma_1 + a_3 \sigma_1\sigma_2\} \sin(\theta/2) \\
& = & \cos(\theta/2) - i \{a_1 \sigma_1 + a_2 \sigma_2 + a_3 \sigma_3\} \sin(\theta/2) \\
& = & \cos(\theta/2) - i v \sin(\theta/2) \end{array}\right\} (1)
 
: ਜੋ ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ  ਰਾਹੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਐਂਗਲ θ ਰਾਹੀਂ ਘੁਮਾਉਣ ਤੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮਾਮਲੇ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਇਹ ਦੇਖਣਾ ਅਸਾਨ ਹੈ ਕਿ, ਜੇਕਰ  ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ *σ*1*σ*2 ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਪੁਨਰ ਰਚਨਾ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਸੈਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਵਿਚਾਰਿਆ ਗਿਆ ਸੀ; ਅਤੇ ਅਜਿਹੀ ਰੋਟੇਸ਼ਨ *σ*3 ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ

:(\cos(\theta/2) - i \sigma_3 \sin(\theta/2)) \, \sigma_3 \, (\cos(\theta/2) + i \sigma_3 \sin(\theta/2))
= (\cos^2(\theta/2) + \sin^2(\theta/2)) \, \sigma_3 = \sigma_3.

ਬਾਇਵੈਕਟਰ *σ*2*σ*3, *σ*3*σ*1 ਅਤੇ *σ*1*σ*2 ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਹੈਮਿਲਟਨ ਦੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ i, j ਅਤੇ k ਹਨ ਜੋ 1843 ਵਿੱਚ ਖੋਜੇ ਗਏ ਸਨ:

:\begin{matrix}\mathbf{i} = -\sigma_2 \sigma_3 = -i \sigma_1 \\
\mathbf{j} = -\sigma_3 \sigma_1 = -i \sigma_2 \\
\mathbf{k} = -\sigma_1 \sigma_2 = -i \sigma_3. \end{matrix}

ਕੁਆਟਰਨੀਔਨਾਂ ਦੇ ਅਲਜਬਰੇ H ਵਾਲੇ ਇਵਨ ਗਰੇਡਿਡ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਨਾਲ, ਜਿਵੇਂ ਦੋ-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਵਨ ਗਰੇਡਿਡ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੇ ਅਲਨਜਬਰੇ ਦੀ ਸਿਰਫ ਇੱਕੋ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਉਸ ਦੇ ਆਪਣੇ ਆਪ ਉੱਤੇ ਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਕਾਰਣ, ਤਿੰਨ-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ (ਵਾਸਤਵਿਕ) ਸਪਿੱਨੌਰ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਇਵਨ ਗਰੇਡਿਡ ਐਲੀਮੈਂਟ ਦਾ ਕਾਰਜ (ਐਕਸ਼ਨ) ਸਧਾਰਨ ਕੁਆਟਰਨੀਔਨਿਕ ਗੁਣਨਫਲ ਰਾਹੀਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਕਿਸੇ ਐਂਗਲ θ ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦਰਸਾਓ (1) ਵਿੱਚ, γ ਵਿੱਚ ਦਿਸਣ ਵਾਲਾ ਐਂਗਲ ਅੱਧਾ ਰਹਿ ਗਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਕਾਰਣ ਰੋਟੇਸ਼ਨ γ(ψ) = γψ (ਸਧਾਰਨ ਕੁਆਟਰਨੀਔਨਿਕ ਗੁਣਨਫਲ) ਸਪਿੱਨੌਰ ਨੂੰ ਸਬੰਧਤ ਵੈਕਟਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੇ ਐਂਗਲ ਦੇ ਨਾਪ ਤੋਂ ਅੱਧੇ ਐਂਗਲ ਰਾਹੀਂ ਘੁਮਾਏਗਾ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਫੇਰ ਤੋਂ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਤੱਕ ਚੁੱਕਣ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਵਾਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: ਸਮੀਕਰਨ ਦਰਸਾਓ (1) ਜੋ θ/2 ਦੀ ਜਗਹ (180° + θ/2) ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸੇ ਵੈਕਟਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪੈਦਾ ਕਰੇਗਾ, ਪਰ ਸਪਿੱਨੌਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦਾ ਨੈਗੈਟਿਵ ਹੋਵੇਗਾ।

3D ਵਿੱਚ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸਪਿੱਨੌਰ/ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਕੰਪਿਊਟਰ ਜੀਓਮੈਟਰੀ (ਰੇਖਾਗਣਿਤ) ਅਤੇ ਹੋਰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਪ੍ਰਚੱਲਿਤ ਹੋ ਰਹੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਬੰਧਤ ਸਪਿੱਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਿਚਾਰਯੋਗ ਸੰਖੇਪਤਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਰਲਤਾ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਧੁਰਿਆਂ ਦੁਆਲੇ ਲਗਾਤਾਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸੰਯੁਕਤ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇਕੱਠਿਆਂ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

## ਸਪਸ਼ਟ ਬਣਤਰਾਂ 
ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ ਤੌਰ ਤੇ ਠੋਸ ਅਤੇ ਸੰਖੇਪ ਬਣਤਰਾਂ ਨਾਲ ਰਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਬਣਤਰਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨਤਾ ਵਿੱਚ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੇ ਨਿਰਾਲਾਪਣ (ਯੂਨੀਕਨੈੱਸ) ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। 3 ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਣ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਦੇਖੋ ਤਿੰਨ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨੌਰ।

### ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਸਪਿੱਨੌਰ 
ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ V ਅਤੇ ਇੱਕ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਅਕਾਰ g ਦਿੱਤੇ ਹੋਣੇ ਤੇ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ  ਦੀ ਇੱਕ ਸਪਸ਼ਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਲਿਖੇ ਵਾਂਗ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। V ਲਈ ਇੱਕ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ  ਯਾਨਿ  ਚੁਣੋ ਜਿੱਥੇ μ ≠ ν ਲਈ  ਅਤੇ  ਹੋਵੇ। ਮੰਨ ਲਓ Let  ਹੈ।  ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ  ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਫਿਕਸ ਕਰੋ ਕਿ  ਹੋਵੇ (ਯਾਨਿ ਕਿਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਪ੍ਰੰਪਤਾ ਫਿਕਸ ਕਰੋ)। ਫੇਰ ਨਿਸ਼ਾਨਾ  ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਫੈਲਦਾ ਹੋਇਆ ਗੁਣਨਫਲ  ਪ੍ਰਤਿ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਵਿੱਚ ਮੋਨੋਮੀਅਲ  ਭੇਜ ਕੇ ਨਿਰਾਲੇ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਅਲਜਬਰਾ  ਤੱਕ ਫੈਲਦਾ ਹੈ। ਸਪੇਸ  ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਸੀਜ਼ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ ਹੁਣ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਅਜਿਹੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ ਤੌਰ ਤੇ ਰਚਣ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਤੀਜੇ ਅਯਾਮ ਵਿੱਚ, ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਪੌਲੀ ਸਿਗਮਾ ਮੈਟ੍ਰੀਸੀਜ਼ ਹੋਣਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਗੈਰਸਾਪੇਖਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਜਾਣੇ ਪਛਾਣੇ ਦੋ ਕੰਪਿਨੈਂਟਾਂ ਵਾਲੇ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸੇਤਰਾਂ, 4 × 4 ਡੀਰਾਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ 3+1 ਅਯਾਮੀ ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ 4 ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਵਾਲੇ ਡੀਰਾਕ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ, ਜਰੂਰਤ ਮੁਤਾਬਿਕ ਕਿਸਮ ਦੇ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਵੇਇਲ-ਬ੍ਰਾਉਇਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਬਣਤਰ ਵਿੱਚ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ Cℓ(V, g), the ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ so(V, g), ਅਤੇ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ Spin(V, g) ਦੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ, ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ ਅਤੇ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। ਇਹ ਪ੍ਰੰਪਰਾਵਾਂ ਉੱਤੇ ਗਲਤ ਵਹਿਮੀਆਂ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਟਰੇਸਾਂ ਵਰਗੇ ਸਥਿਰਾਂਕ ਚੋਣਾਂ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਖਾਸ ਕਰਕੇ, ਸਾਰੀਆਂ ਭੌਤਿਕੀ ਤੌਰ ਤੇ ਪਰਖੀਆਂ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੀਆਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਜਰੂਰ ਹੀ ਅਜਿਹੀਆਂ ਚੋਣਾਂ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਬਣਤਰ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਨੂੰ 2*k* ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਸੂਚਕਾਂਕਾਂ (ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ α, β, γ) ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਸਾਹਿਤ ਵਿੱਚ, ਸੰਖੇਪ ਸਪੇਸ ਸੂਚਕਾਂਕ ਅਕਸਰ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਲਿਖਣ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਚਾਹੇ ਇੱਕ ਸੰਖੇਪ ਸਪਿੱਨੌਰ ਬਣਤਰ ਹੀ ਵਰਤੀ ਜਾਵੇ।

### ਅਮੂਰਤ ਸਪਿੱਨੌਰ 
ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਅਮੂਰਤ ਤੌਰ ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਘੱਟੋ ਘੱਟੋ ਦੋ ਵੱਖਰੇ, ਪਰ ਲਾਜ਼ਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਬਰਾਬਰ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ  ਦੇ ਉਸਦੇ ਆਪਣੇ ਉੱਤੇ ਖੱਬੇ ਐਕਸ਼ਨ ਲਈ ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਆਦਰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ ਮੰਗਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀਆਂω ਨੂੰ ਰਚਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਬਸਪੇਸਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਖੱਬੇ ਗੁਣਨਫਲ: c : xω → cxω ਰਾਹੀਂ  ਦੇ ਸਪਸ਼ਟ ਕਾਰਜ ਨੂੰ ਮੰਨਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਵਿਸ਼ੇ ਵਿੱਚ ਦੋ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ: ਜਾਂ ਤਾਂ ਇੱਕ ਮੁਢਲਾ ਤੱਤ ω ਖੋਜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿੱਲਪੋਟੈਂਟ (ਪੌਜ਼ੇਟਿਵ ਇੰਟਗਰਲ ਪਾਵਰ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ ਤੇ ਜ਼ੀਰੋ ਬਰਾਬਰ) ਐਲੀਮੈਂਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਅਜਿਹਾ ਜੋ ਇਡੈੱਮਪੁਟੈਂਟ (ਆਪਣੇ ਆਪ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਾ ਵਗੈਰਾ ਕਰਨ ਤੇ ਨਾ ਬਦਲਿਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨਿਲਪੁਟੈਂਟਂ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਰਾਹੀਂ ਬਣਤਰ ਇਸ ਸਮਝ ਮੁਤਾਬਿਕ ਜਿਆਦਾ ਮੁਢਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਤੋਂ ਇੱਕ ਇਡੈੱਮਪੁਟੈਂਟ ਰਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀਆਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਦੀਆਂ ਸਬਸਪੇਸਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਦੂਜਾ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ V ਦੀ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਸਬਸਪੇਸ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਰਚਣਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫੇਰ ਓਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਪ੍ਰਤਿ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਕਾਰਕ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ ਹੈ।

ਦੋਹਾਂ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚ, ਮੁਢਲੀ ਧਾਰਨਾ ਇੱਕ ਆੀਸੋਟ੍ਰੋਪਿਕ ਸਬਸਪੇਸ W ਵਾਲੀ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਬਣਤਰ ਇਸ ਸਬਸਪੇਸ ਨੂੰ ਚੁਣਨ ਲਈ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਜ਼ਾਦੀ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। ਭੌਤਿਕੀ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਇਸ ਤੱਥ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਨਾਪ ਦਾ ਸਿਸਟਮ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਜੋ ਸਪਿੱਨ ਸਪੇਸ ਦੇ ਕਿਸੇ ਬੇਸਿਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦਾ ਹੋਵੇ, ਭਾਵੇਂ V ਦਾ ਕੋਈ ਤਰਜੀਹ ਵਾਲਾ ਬੇਸਿਸ ਹੀ ਕਿਉਂ ਨਾ ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਹੋਵੇ।

ਉੱਪ ਦੱਸੇ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ (V, g) ਨੂੰ ਇੱਕ ਨੌਨਡੀਜਨਰੇਟ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਕਿਸਮ ਨਾਲ ਭਰਪੂਰ ਇੱਕ n-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੀ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ V ਕੋਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ V ਨੂੰ ਇਦੇ ਕੰਪਲੈਕਸੀਫੀਕੇਸ਼ਨ  ਨਾਲ ਬਦਲ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸ ਉੱਤੇ ਥੋਪੀ ਗਈ ਦੋਰੇਖਿਕ ਕਿਸਮ ਨੂੰ g ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ W ਇੱਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਆਇਸੋਟ੍ਰੋਪਿਕ ਸਬਸਪੇਸ ਹੈ, ਯਾਨਿ ਕਿ, V ਦੀ ਇੱਕ ਵੱਡੀ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਅਜਿਹੀ ਸਬਸਪੇਸ ਕਿ g|W = 0 ਹੋਵੇ। ਜੇਕਰ n =  2k ਇਵਨ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ W ਪ੍ਰਤਿ ਪੂਰਕ (ਕੰਪਲੀਮੈਂਟਰੀ) ਸਬਸਪੇਸ  ਮੰਨ ਲਓ। ਜੇਕਰ n =  2k + 1 ਔਡ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ W* ਨੂੰ W ∩  = 0 ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਵੱਡੀ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਸਬਸਪੇਸ ਮੰਨ ਲਓ, ਅਤੇ U ਨੂੰ W ⊕  ਦਾ ਇੱਕ ਔਰਥੋਗਨਲ ਕੰਪਲੀਮੈਂਟ (ਪੂਰਕ) ਮੰਨ ਲਓ। ਦੋਵੇਂ ਇਵਨ ਅਤੇ ਔਡ ਅਯਾਮਾਂ ਦੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, W ਅਤੇ  ਦੀਆਂ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ k ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਔਡ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੇ ਕੇਸ ਵਿੱਚ, U ਇੱਕ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ u ਰਾਹੀਂ ਫੈਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

### ਸੂਖਮ ਆਦਰਸ਼ 
ਕਿਉਂਕਿ W′ ਆਇਸੋਟ੍ਰੋਪਿਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, Cℓ(V, g) ਦੇ ਅੰਦਰ W ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਤਿਰਛਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਕਾਰਣ W′ ਵਿਚਲੇ ਵੈਕਟਰ ਕਮਿਊਟ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਅਤੇ Cℓ(W′, g|W′) = Cℓ(W′, 0) ਸਿਰਫ ਬਾਹਰੀ ਅਲਜਬਰਅ Λ∗W′ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, W ਦਾ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ k-fold ਗੁਣਨਫਲ, *W*′*k*, ਇੱਕ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ω, *W*′*k* ਦਾ ਇੱਕ ਜਨਰੇਟਰ ਹੈ। W ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬੇਸਿਸ  ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਇਹ ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਦੀ ਹੈ;

:\omega=w'_1w'_2\cdots w'_k.

ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ  (ਯਾਨਿ ਕਿ, ω ਇੱਕ ਦਰਜਾ 2 ਵਾਲਾ ਨਿਲਪੁਟੈਂਟ ਹੈ), ਅਤੇ ਫੇਰ ਵੀ, ਸਾਰੇ ਹੀ ਮੈਂਬਰਾਂ  ਲਈ  ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਤੱਥ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਸਾਬਤ ਕੀਤੇ ਕਾ ਸਕਦੇ ਹਨ;

# ਜੇਕਰ n = 2k ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਖੱਬਾ ਆਦਰਸ਼ Δ = Cℓ(V, g)ω ਇੱਕ ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਖੱਬਾ ਆਦਰਸ਼ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਅੱਗੇ, ਇਵਨ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਐਕਸ਼ਨ ਪ੍ਰਤਿ ਪਾਬੰਧੀ ਉੱਤੇ, ਇਹ ਦੋ ਸਪਿੱਨ ਸਪੇਸਾਂ  ਅਤੇ  ਵਿੱਚ ਖਿੰਡ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 
 
#	ਜੇਕਰ n = 2k + 1 ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਖੱਬੇ ਆਦਰਸ਼ Cℓ(V, g)ω ਉੱਤੇ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ u ਦਾ ਕਾਰਜ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਆਇਸੋਮਰਫਿਕ ਇਰਰਿਡਿਊਸਿਬਲ ਆਈਗਨਸਪੇਸਾਂ (ਦੋਵੇਂ Δ ਨਾਲ ਲਿਖੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ) ਦੇ ਇੱਕ ਜੋੜੇ ਵਿੱਚ ਡਿਕੰਪੋਜ਼ ਕਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਆਈਗਨ ਮੁੱਲਾਂ +1 ਅਤੇ -1 ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਵਿਸਥਾਰਪੂਰਵਕ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ n ਇਵਨ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ Cℓ(V, g)ω ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਿਲ I ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਇਹ ω ਦੇ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾਂਕ ਸਮੇਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ ਕਿ I ਜਰੂਰ ਹੀ Cℓ(V, g)ω ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। 
W ਦਾ ਇੱਕ ਬੇਸਿਸ *w*i ਫਿਕਸ ਕਰੋ ਅਤੇ W ਦਾ ਇੱਕ ਕੰਪਲੀਮੈਂਟਰੀ ਬੇਸਿਸ *w*i′ ਫਿਕਸ ਕਰੋ, ਤਾਂ ਜੋ

:*w*i*w*j′ +*w*j′ *w*i = δij, ਅਤੇ

:(*w*i)2 = 0, (*w*i′)2 = 0

ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ I ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਐਲੀਮੈਂਟ, ਸਾਡੀ that I ⊂ Cℓ(V, g) ω ਵਾਲੀ ਮਾਨਤਾ ਕਾਰਣ, ਜਰੂਰ ਹੀ αω ਕਿਸਮ ਰੱਖਦਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਜਿਹਾ ਕੋਈ ਐਲੀਮੈਂਟ αω ∈ I ਹੈ। ਚੁਣੇ ਹੋਏ ਬੇਸਿਸ ਨੂੰ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ,

:\alpha = \sum_{i_1

ਜਿੱਥੇ *a*i1…ip ਸਕੇਲਰ ਹੈ।, ਅਤੇ *B*j ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਬਾਹਰੀ ਐਲੀਮੈਂਟ ਹਨ। ਹੁਣ ਦੇਖੋ ਕਿ ਗੁਣਨਫਲ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

:\alpha\omega = \sum_{i_1

α ਦੇ ਵਿਸਥਾਰ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਮੋਨੋਮੀਅਲ a ਚੁੱਕੋ ਜਿਸਦੀ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ *w*i ਵਿੱਚ ਵੱਡੀ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਹੋਮੋਜੀਨੀਅਸ ਡਿਗਰੀ ਹੋਵੇ:

:a = a_{i_1\dots i_{max}}w_{i_1}\dots w_{i_{max}} (no summation implied),

ਤਾਂ ਫੇਰ, ਜਰੂਰਤ ਮੁਤਾਬਿਕ;

:w'_{i_{max}}\cdots w'_{i_1}\alpha\omega = a_{i_1\dots i_{max}}\omega

ω ਦਾ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾਂਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਵਨ n ਲਈ, ਇਹ ਹਿਸਾਬ ਕਿਤਾਬ ਇਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵੀ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ;

:\Delta = \mathrm{C}\ell(W)\omega = (\Lambda^* W)\omega

ਅਖਰੀ ਬਰਾਬਰਤਾ ਸਮੀਲਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੁਬਾਰਾ ਫੇਰ ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਕਿ W ਆਈਸੋਟ੍ਰਿਪੋਕ ਹੈ। ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ Δ, ਕਿਸੇ ਵੈਕੱਮ ω ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਿਆਸ਼ੀਲ W ਵਿੱਚ ਐਂਟੀਕਮਿਊਟਿੰਗ ਕਰੀਏਸ਼ਨ ਓਪਰੇਟਰ ਵਰਤਕੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਰਚਦੀ ਹੋਈ ਕਿਸੇ ਫੋਕ ਸਪੇਸ ਵਾਂਗ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

### ਬਾਹਰੀ ਅਲਜਬਰਾ ਬਣਤਰ 
ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਆਦਰਸ਼ ਬਣਤਰ ਵਾਲੇ ਹਿਸਾਬ ਕਿਤਾਬ ਸੁਝਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਨੂੰ ਆਇਸੋਟ੍ਰੋਪਿਕ ਸਬਸਪੇਸ W ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਅਲਜਬਰਾ  ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਸਿੱਧਾ ਹੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ Δ = Λ∗ W ਚਿੰਨ੍ਹ W ਦੇ ਬਾਹਰੀ ਅਲਜਬਰੇ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਹੀ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੋਵੇ। ਇਹ ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਹੋਵੇਗੀ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟ ਸਪਿੱਨੌਰ ਕਹੇ ਜਾਣਗੇ।

Δ ਉੱਤੇ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦਾ ਕਾਰਜ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ Δ ਉੱਤੇ V ਦੇ ਇੱਕ ਐਲੀਮੈਂਟ ਦੇ ਕਾਰਜ ਰਾਹੀਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫੇਰ ਇਹ ਦਿਖਾ ਕੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਾਰਜ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਸਬੰਧ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਿਆਂ ਦੀ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਰਾਹੀਂ ਐਂਡੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਰਿੰਗ ਯੂਨੀਵਰਸਲ End(Δ) ਵਿੱਚ ਪੂਰੇ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਇੱਕ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਤੱਕ ਫੈਲਦਾ ਹੈ। ਵਿਵਰਣ ਇਸ ਗੱਲ ਦੇ ਮੁਤਾਬਕ ਜਰਾ ਵੱਖਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ V ਦਾ ਅਯਾਮ ਇਵਨ ਹੈ ਜਾਂ ਔਡ ਹੈ।

ਜਦੋਂ dim(V) ਇਵਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ, V = W ⊕ W′ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ W′ ਚੁਣਿਆ ਹੋਇਆ ਆਇਸੋਟ੍ਰੋਪਿਕ ਕੰਪਲੀਮੈਂਟ ਹੈ। ਇਸਲਈ ਕੋਈ ਵੀ v ∈ V ਨਿਰਾਲੇ ਤੌਰ ਤੇ w ∈ W ਨਾਲ  ਅਤੇ w′ ∈ W′ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਉੱਤੇ v ਦਾ ਕਾਰਜ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,

: c(v) w_1 \wedge\cdots\wedge w_n = (\epsilon(w) + i(w'))\left(w_1 \wedge\cdots\wedge w_n\right)

ਜਿੱਥੇ *i*(*w*′), V ਨਾਲ *V*∗ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਗੈਰ-ਡੀਜੈਨਰੇਟ ਕੁਆਡਰੈਟਿਕ ਕਿਸਮ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ w′ ਨਾਲ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ε(w) ਬਾਹਰੀ ਗੁਣਨਫਲ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ,

:*c*(*u*)*c*(*v*) + *c*(*v*)*c*(*u*) = 2 *g*(*u*,*v*),

ਅਤੇ ਇਸਲਈ c ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ End(Δ) ਤੱਕ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਤੋਂ ਇੱਕ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਤੱਕ ਫੈਲਦਾ ਹੈ।

ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ Δ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਇਸ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਤਰੀਕੇ ਰਾਹੀਂ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਤੋੜੀਆਂ ਨਾ ਸਕਣ ਵਾਲੀਆਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਜੋੜੇ ਵਿੱਚ ਟੁੱਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

:\Delta_+ = \Lambda^{even} W,\, \Delta_- = \Lambda^{odd} W

ਜਦੋਂ dim(V) ਔਡ ਹੋਵੇ,  ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ U, W ਪ੍ਰਤਿ ਔਰਥੋਗਨਲ ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਰਾਹੀਂ ਫੈਲਦੀ ਹੈ। ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਕਾਰਜ c ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ W ⊕ W′ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂਕਿ u ਦੇ (ਦੇ ਮਲਟੀਪਲ) ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਕਾਰਜ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ,

: c(u) \alpha = \left\{\begin{matrix}
\alpha&\hbox{if } \alpha\in \Lambda^{even} W\\
-\alpha&\hbox{if } \alpha\in \Lambda^{odd} W
\end{matrix}\right.

ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਇਹ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ c ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇੱਕ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਨੂੰ ਪ੍ਰੇਰਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।

### ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸਾਂ ਅਤੇ ਸਪਿੱਨੌਰ 
ਜੇਕਰ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ V ਦੀ ਅਜਿਹੀ ਵਾਧੂ ਬਣਤਰ ਹੋਵੇ ਜੋ ਇਸਦੀ ਕੰਪਲੈਕਸੀਫੀਕੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦੋ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਆਇਸੋਟ੍ਰੋਪਿਕ ਸਬਸਪੇਸਾਂ ਵਿੱਚ ਤੋੜ ਦੇਵੇ, ਤਾਂ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ (ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ) ਕੁਦਰਤੀ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਮੁੱਖ ਉਦਾਹਰਨ ਇਹ ਮਾਮਲਾ ਹੈ ਕਿ ਵਾਸਤਵਿਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ V ਇੱਕ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ (V, h) ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਯਾਨਿ ਕਿ, V ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਕੰਪਲੈਕਸ ਬਣਤਰ J ਸਮੇਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ V ਉੱਤੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ g ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਔਰਥੋਗਨਲ ਪਰਿਵਰਤਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਫੇਰ , J ਦੀਆਂ ±i ਆਇਗਨਸਪੇਸਾਂ ਵਿੱਚ ਟੁੱਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਆਈਗਨਸਪੇਸਾਂ g ਦੀ ਕੰਪਲੈਕਸੀਫਿਕੇਸ਼ਨ ਲਈ ਆਇਸੋਟ੍ਰੋਪਿਕ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ (V, J) ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟ (V, −J) ਨਾਲ ਪਛਾਣੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਕਿਸੇ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ (V, h) ਲਈ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸΛ (ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟ Λ*V*) ਛੁਪੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਯੁਕਿਲਡਨ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਉੱਪਰ ਦੱਸੇ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਕਾਰਜ ਨਾਲ, ਪਰ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਕਿਸਮ ਵਾਰਦੇ ਹੋਏ ਕੰਟਰੈਕਸ਼ਨ ਨਾਲ, ਇਹ ਬਣਤਰ ਇੱਕ ਲਗਭਗ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਦੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਸਪੇਸ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਗੱਲ ਦਾ ਕਾਰਣ ਹੁੰਫੀ ਹੈ ਕਿ ਕਿਉਂ ਹਰੇਕ ਲਗਭਗ ਕੰਪਲੈਕਸ ਮੈਨੀਫੋਲਡ (ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਸਿੰਪਲੈਟਿਕ ਮੈਨੀਫੋਲਡ) ਦੀ ਇੱਕ Spinc ਬਣਤਰ ਬਣਤਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰਾਂ, ਕਿਸੇ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਉੱਤੇ ਹਰੇਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰ ਬੰਡਲ ਇੱਕ Spinc ਬਣਤਰ ਬਣਤਰ ਚੁੱਕ ਕੇ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।

## ਕਲੈਬਸ਼-ਜੌਰਡਨ ਵਿਯੋਜਨ 
ਇੱਕ ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਨਾਲ ਟੈਂਸਰ ਗੁਣਨਫਲ ਉੱਤੇ ਕਈ ਕਲੈਬਸ਼-ਜੌਰਡਨ ਵਿਯੋਜਨਾਂ ਸੰਭਵ ਹਨ। ਇਹ ਵਿਯੋਜਨ ਔਰਥੋਗਨਲ ਗਰੁੱਪ ਦੀਆਂ ਵਿਕਲਪਿਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਟੈਂਸਰ ਗੁਣਨਫਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ।

ਵਾਸਤਵਿਕ ਜਾਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਵਿਕਲਪਿਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਇਹ ਹਨ,
 
* , ਰੈਂਕ r ਦੇ ਤਿਰਛੇ ਟੈਂਸਰਾਂ ਉੱਤੇ ਔਰਥੋਗਨਲ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ
 
ਵਾਸਤਵਿਕ ਔਰਥੋਗਨਲ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ, ਤਿੰਨ ਲੱਛਣ (ਇੱਕ-ਅਯਮੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ) ਹੁੰਦੇ ਹਨ;

* , ਜੇਕਰ R, V ਦੀ ਸਥਾਨਿਕ ਦਿਸ਼ਾ ਉਲਟਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ +1, ਜੇਕਰ R, V ਦੀ ਸਥਾਨਿਕ ਦਿਸ਼ਾ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ

*σ*+ : O(*p*, *q*) → {−1, +1} (ਵਿਸੇਸ਼ ਲੱਛਣ)

* , ਜੇਕਰ R, V ਦੀ ਸਥਾਨਿਕ ਦਿਸ਼ਾ ਉਲਟਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ +1, ਜੇਕਰ R, V ਦੀ ਸਥਾਨਿਕ ਦਿਸ਼ਾ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ

*σ*− : O(*p*, *q*) → {−1, +1} (ਵਿਸੇਸ਼ ਲੱਛਣ)
 
* *σ* = *σ*+*σ*− (ਦਿਸ਼ਾ ਲੱਛਣ)

ਕਲੈਬਸ਼-ਜੌਰਡਨ ਵਿਯੋਜਨ ਹੋਰ ਚੀਜ਼ਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਇਹ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਵੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ:

* 	ਵੈਕਟਰਾਂ ਉੱਤੇ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦਾ ਕਾਰਜ 
*	ਵਾਸਤਵਿਕ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੀਆਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਮੀਟ੍ਰਿਕ 
* 	ਹਰੇਕ ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਡੀਰਾਕ ਓਪਰੇਟਰ

### ਇਵਨ (ਸਮ) ਅਯਾਮ 
ਜੇਕਰ n = 2k ਇਵਨ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ Δ ਦਾ ਕੌਂਟਰਾਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਨਾਲ ਟੈਂਸਰ ਗੁਣਨਫਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਯੋਜਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

: \Delta\otimes\Delta^* \cong \bigoplus_{p=0}^n \Gamma_p \cong \bigoplus_{p=0}^{k-1} \left(\Gamma_p\oplus\sigma\Gamma_p\right)\, \oplus \Gamma_k

ਜਿਸਨੂੰ, ਵਿਯੋਜਨਯੋਗ ਤੱਤਾਂ αω ⊗ βω′ ਉੱਤੇ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਕਾਰਜ ਨੂੰ ਲੈ ਕੇ (ਬਾਹਰੀ ਬਣਤਰ ਵਿੱਚ) ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹੌੱਜ ਸਟਾਰ ਓਪਰੇਟਰ ਦੀਆਂ ਪਰਿਵਰਤਨ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਤੋਂ ਸਹੀ ਫਾਰਮੂਲਾ ਸੂਤਰੀਕਰਨ ਪਤਾ ਚਲਦੇ ਹਨ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਵਨ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਉੱਤੇ ਪਾਬੰਧੀ ਨਾਲ, ਰਕਮਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ  ਆਇਸੋਮਰਫਿਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਪੂਰੇ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਹੇਠਾਂ ਇਹ ਆਇਸੋਮਰਫਿਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ।

ਕਲਿਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਵਿੱਚ ਕੰਜੂਗੇਸ਼ਨ ਰਾਹੀਂ Δ ਦੀ ਇਸਦੀ ਕੌਂਟਰਾਗਰੇਡੀਅੰਟ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੀ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਪਛਾਣ ਹੁੰਦੀ ਹੈ;

:(\alpha\omega)^*=\omega(\alpha^*).

ਇਸਲਈ Δ ⊗ Δ ਵੀ ਉੱਪਰ ਦੱਸੇ ਅੰਦਾਜ਼ ਵਿੱਚ ਵਿਯੋਜਿਤ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਅੱਗੇ, ਇਵਨ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਅਧੀਨ, ਅੱਧਾ-ਸਮਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਇੰਝ ਵਿਯੋਜਨ ਹੋ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ;

: \begin{matrix}
\Delta_+\otimes\Delta^*_+ \cong \Delta_-\otimes\Delta^*_- &\cong& \bigoplus_{p=0}^k \Gamma_{2p}\\
\Delta_+\otimes\Delta^*_- \cong \Delta_-\otimes\Delta^*_+ &\cong& \bigoplus_{p=0}^{k-1} \Gamma_{2p+1}
\end{matrix}

ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਿਆਂ ਦੀਆਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਲਈ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਉੱਤੇ ਸਬੰਧਤ ਵਾਸਤਵਿਕ ਬਣਤਰ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਤੱਕ ਉਤਰ ਜਾਂਦੀ ਹੈ (ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ,ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਆਦਰਸ਼ਾਂ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਾਲੀ ਬਾਹਰੀ ਬਣਤਰ ਰਾਹੀਂ)। ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ Δ ਦੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟ Δ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਦੇਖੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ;

:\bar{\Delta} \cong \sigma_-\Delta^* 

ਖਾਸਕਰ ਕੇ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਔਰਥੋਕ੍ਰੋਨਿਸ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਦੀ Δ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਇੱਕ ਯੂਨਾਇਟਰੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਲੇਬਸ਼-ਜੌਰਡਨ ਵਿਯੋਜਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ,

:\Delta\otimes\bar{\Delta} \cong \bigoplus_{p=0}^k\left(\sigma_-\Gamma_p\oplus \sigma_+\Gamma_p\right).

ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਿਗਨੇਚਰ (p, q) ਵਿੱਚ, ਕੰਜੂਗੇਟ ਅੱਧਾ-ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀਆਂ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮਾਂ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ,

*	ਜੇਕਰ q ਇਵਨ ਹੋਵੇ ਤਾਂ \bar{\Delta}_+ \cong \sigma_-\otimes \Delta_+^* ਅਤੇ \bar{\Delta}_- \cong \sigma_-\otimes \Delta_-^*.
* 	ਜੇਕਰ q ਔਡ ਹੋਵੇ ਤਾਂ \bar{\Delta}_+ \cong \sigma_-\otimes \Delta_-^* ਅਤੇ \bar{\Delta}_- \cong \sigma_-\otimes \Delta_+^*. 
ਇਹਨਾਂ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ, ਅੱਧਾ-ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ  ਦੇ ਟੈਂਸਰ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਲਈ ਸਮਾਨਤਾ ਵਾਲੇ ਵਿਯੋਜਨ (ਡਿਕੰਪੋਜ਼ੀਸ਼ਨਾਂ) ਕੱਢੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।

### ਬਿਖਮ (ਔਡ) ਆਯਾਮ 
ਜੇਕਰ n = 2k + 1 ਔਡ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ

: \Delta\otimes\Delta^* \cong \bigoplus_{p=0}^k \Gamma_{2p}.

ਵਾਸਤਵਿਕ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਵਾਰ ਫੇਰ ਤੋਂ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਲਾਗੂ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ,

: \bar{\Delta} \cong \sigma_-\Delta^*.

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇੱਕ ਕਲੈਬਸ਼-ਜੌਰਡਨ ਵਿਯੋਜਨ (ਡਿਊਲਾਇਜ਼ ਕਰਨ ਲਈ ਫੇਰ ਤੋਂ ਹੌੱਜ ਸਟਾਰ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ

: \Delta\otimes\bar{\Delta} \cong \sigma_-\Gamma_0\oplus\sigma_+\Gamma_1\oplus\dots\oplus\sigma_\pm\Gamma_k

### ਨਤੀਜੇ 
ਸਪਿੱਨੌਰ ਸਪੇਸਾਂ ਦੇ ਕਲੈਬਸ਼-ਜੌਰਡਨ ਵਿਯੋਜਨਾਂ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਦੂਰ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਾਲੇ ਨਤੀਜੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਮੁਢਲਾ ਨਤੀਜਾ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੀ ਡੀਰਾਕ ਵਾਲੀ ਥਿਊੇਰੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚੋਂ ਮੁਢਲੀਆਂ ਜਰੂਰਤਾਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹਨ,

* 	ਦੋ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ϕψ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਨ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਹੋਣਾ। ਭੌਤਿਕੀ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਨੂੰ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਲਈ ਇੱਲ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। 
*	ਗੁਣਨਫਲ ψϕ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਨ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ। ਇਹ ਡੀਰਾਕ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਦਾ ਇੱਕ ਲਾਜ਼ਮੀ ਗੁਣ ਹੈ, ਜੋ ਸਪਿੱਨੌਰ ਫਾਰਮੂਲਾ ਸੂਤਰੀਕਰਨ ਨੂੰ ਭੌਤਿਕੀ ਸਪੇਸ ਦੇ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਨਾਲ ਬੰਨਦਾ ਹੈ। 
* 	ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਨ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼, ਜੋ ਇੱਕ ψvψ ਵਰਗੇ ਦਰਸਾਓ ਰਾਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਭੌਤਿਕੀ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਮੈਕਸਵੈੱਲ ਦੀ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਥਿਊਰੀ ਦੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਕਰੰਟ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਹੋਰ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ਤੇ, ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਕਰੰਟ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।

## ਨਿਮਰ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਰਾਂਸ਼ 
*	1-ਅਯਾਮ ਵਿੱਚ (ਇੱਕ ਸੂਖਮ ਉਦਾਹਰਨ), ਸਿੰਗਲ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਰਸਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਮਾਜੋਰਾਨਾ, ਵਾਸਤਵਿਕ 1-ਅਯਾਮੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਤਬਦੀਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ।
*	2-ਯੁਕਿਲਡਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਵਾਲੇ ਵੇਇਲ ਸਪਿੱਨੌਰ 1-ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਵਾਲੀਆਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਯਾਨਿ ਕਿ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਐਂਗਲ φ ਰਾਹੀਂ ਕਿਸੇ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਅਧੀਨ (ਘੁਮਾਉਣ ਤੇ) *e*±*iφ*/2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
*	3-ਯੁਕਿਲਡਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਿੰਗਲ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ 2 ਅਯਾਮੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਿਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। 3 ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਹੋਂਦ ਦਾ ਗਰੁੱਪਾਂ SU(2) ≅ Spin(3) ਦੀ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਕੰਪਲੈਕਸ 2-ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਵਾਲੇ ਕਾਲਮ (ਕਿਸੇ ਸਪਿੱਨੌਰ) ਉੱਤੇ Spin(3) ਦੇ ਕਾਰਜ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ; SU(2) ਦੇ ਰਚਣ ਵਾਲਿਆਂ (ਜਨਰੇਟਰਾਂ) ਨੂੰ ਪੌਲੀ ਮੈਟ੍ਰੀਸੀਜ਼ (ਬਹੁਵਚਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ) ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
*	4-ਯੁਕਿਲਡਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਬੰਧਤ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ Spin(4) ≅ SU(2) × SU(2) ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਦੋ ਅਸਮਾਨ (ਨਾ-ਬਰਾਬਰ) ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਿਕ 2-ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਵੇਇਲ ਸਪਿੱਨੌਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਹੀ SU(2) ਫੈਕਟਰਾਂ (ਹਿੱਸਿਆਂ) ਦੇ ਵਿੱਚੋਂ ਸਿਰਫ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਹੇਠਾਂ ਹੀ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
*	5-ਯੁਕਿਲਡਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਮਿਲਦੀ ਜੁਲਦੀ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ Spin(5) ≅ USp(4) ≅ Sp(2) ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਤੋਂ ਭਾਵ ਹੈ ਕਿ ਸਿੰਗਲ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ 4-ਅਯਾਮੀ ਅਤੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਿਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
*	6-ਯੁਕਿਲਡਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ Spin(6) ≅ SU(4) ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਦੋ 4-ਅਯਾਮੀ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੇਇਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਇੱਕ ਦੂਜੀ ਦੀਆਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
*	7-ਯੁਕਿਲਡਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਿੰਗਲ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ 8-ਅਯਾਮੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ; ਇਸ ਅਯਾਮ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣ ਤੇ, ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਲੜੀ (A ਜਾਂ C) ਤੋਂ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰੇ ਪ੍ਰਤਿ ਕੋਈ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ।
*	8-ਯੁਕਿਲਡਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਵੇਇਲ-ਮਾਜੋਰਾਨਾ ਵਾਸਤਵਿਕ 8-ਅਯਾਮੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ 8-ਅਯਾਮੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਵੈਕਟਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਨਾਲ ਸਪਿੱਨ ਦੀ ਇੱਕ “ਟਰੀਐਲਟੀ” ਨਾਮਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਰਾਹੀਂ ਸਬੰਧ ਰੱਖਦੀ ਹੈ।
*	d + 8 ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਵੱਖਰੀਆਂ ਇਰਰਿਡਿਊਸਿਬਲ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਾਸਤਵਿਕਤਾ (ਕਿ ਉਹ ਵਾਸਤਵਿਕ ਹਨ, ਮਿੱਥ ਹਨ, ਜਾਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਹਨ) d ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਬਣਤਰ ਦਾ ਢੋਂਗ ਰਚਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਅਯਾਮ 16 ਗੁਣਾਂ ਵੱਡੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ; ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਬਾਕੀ ਬਚੇ ਸਾਰੇ ਮਾਮਲੇ ਸਮਝਣ ਦੇ ਯੋਗ ਬਣਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਦੇਖੋ ਬੌੱਟ ਪੀਰੀਔਡੀਸਿਟੀ।
*	 p ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ (ਸਥਾਨਿਕ ਜਾਂ ਸਥਾਨ ਸਬੰਧੀ) ਅਤੇ q ਟਾਈਮ-ਲਾਈਕ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਾਲੀ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਵਿੱਚ, ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਉੱਤੇ ਅਯਾਮਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਅਯਾਮਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਣਾ, (p + q) ਅਯਾਮੀ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਾਂਗ ਹੈ, ਪਰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨਾਂ |p − q| ਯੁਕਿਲਡਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਬਣੀ ਬਣਤਰ ਦਾ ਢੋਂਗ ਰਚਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, 3+1 ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਗੈਰ-ਸਮਾਨ ਵੇਇਲ ਕੰਪਲੈਕਸ (2-ਅਯਾਮਾਂ ਵਾਲੀ ਵਾਂਗ) 2-ਕੰਪੋਨੈਂਟ (4-ਅਯਾਮਾਂ ਵਾਲੀ ਵਾਂਗ) ਸਪਿੱਨੌਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ SL(2, C) ≅ Spin(3,1) ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦੇ ਹਨ।

## ਹਵਾਲੇ
## ਹੋਰ ਪੜ੍ਹੋ
* .
* .
* 
* .
* .
* .
* .
* .
* 
* .
* .
* .
* .
* 

ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ