ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ

ਦੇ ਸੈਂਟਰ ਔਫ ਨਿਊ ਟੈਕਨੌਲੀਜੀਜ਼ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਇੱਕ ਯਾਦਗਾਰ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ]]
ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ, **ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ** ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਕਿਸੇ ਅਜਿਹੇ ਭੌਤਿਕੀ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਵਕਤ ਬੀਤਣ ਉਪਰੰਤ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕੁਆਂਟਮ ਪ੍ਰਭਾਵ, ਜਿਵੇਂ ਵੇਵ-ਪਾਰਟੀਕਲ ਡਿਊਲਿਟੀ, ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਕੁਆਂਟਮ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਲਈ ਇੱਕ ਕੇਂਦਰੀ ਨਤੀਜਾ ਮੰਨੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਮੀਲਪੱਥਰ ਰਹੀ ਸੀ। ਇਸਦਾ ਨਾਮ ਐਰਵਿਨ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਦੇ ਨਾਮ ਤੋਂ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਜਿਸਨੇ 1925 ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕੀਤੀ ਸੀ ਅਤੇ 1933 ਵਿੱਚ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਨੋਬਲ ਪ੍ਰਾਈਜ਼ ਜਿੱਤਣ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦੇਣ ਵਾਲੇ ਉਸਦੇ ਕੰਮ ਦਾ ਅਧਾਰ ਰਚਦੇ ਹੋਏ 1926 ਵਿੱਚ ਛਾਪੀ ਸੀ। 
ਇਹ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਤਰੰਗ-ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਜਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦੀ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੈ, ਜੋ ਤਰੰਗਾਂ ਦੀ ਹਿੱਲਜੁੱਲ ਦੇ ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਮਾਡਲ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ।

ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ, ਨਿਊਟਨ ਦਾ ਦੂਜਾ ਨਿਯਮ () ਕੋਈ ਗਣਿਤਿਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗਿਆਤ ਅਰੰਭਿਕ ਸ਼ਰਤਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਸੈੱਟ ਅਪਣਾਉਣਾਂ ਹੋਇਆ ਕੋਈ ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਸਿਸਟਮ ਕਿਹੜਾ ਰਸਤਾ ਅਪਣਾਏਗਾ। ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ, ਕਿਸੇ ਕੁਆਂਟਮ ਸਿਸਟਮ (ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਐਟਮ, ਮੌਲੀਕਿਊਲ, ਅਤੇ ਸਬਐਟੌਮਿਕ ਕਣ, ਚਾਹੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੋਣ, ਚਾਹੇ ਬੰਨੇ ਹੋਏ ਜਾਂ ਸਥਾਨਬੱਧ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਹੋਣ) ਵਾਸਤੇ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ, ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦਾ ਤੁੱਲ (ਐਨਾਲੌਗ) ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਕੋਈ ਸਰਲ ਅਲਜਬ੍ਰਿਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਸਗੋਂ ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਅੰਸ਼ਿਕ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ (ਜਿਸਨੂੰ ਅਵਸਥਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਦੀ ਸਮਾਂ-ਉਤਪਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਰਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਇੱਕ ਬੁਨਿਆਦੀ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦਾ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤੱਥ ਤੋਂ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਮਾਂ-ਉਤਪਤੀ ਓਪਰੇਟਰ ਜਰੂਰ ਹੀ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਲਾਜ਼ਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਇਸੇ ਕਰਕੇ ਕਿਸੇ ਸਵੈ-ਅਡਜੋਆਇੰਟ ਓਪਰੇਟਰ ਦੇ ਐਕਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਦੁਆਰਾ ਪੈਦਾ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਕੁਆਂਟਮ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਸਮਝਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਕੌਪਨਹਾਗਨ ਵਿਆਖਿਆ ਅੰਦਰ, ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਸੰਪੂਰਨ ਵੇਰਵਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿਸੇ ਭੌਤਿਕੀ ਸਿਸਟਮ ਬਾਰੇ ਦਿੱਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। **ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ** ਪ੍ਰਤਿ ਹੱਲ ਨਾ ਕੇਵਲ ਮੌਲੀਕਿਊਲਰ, ਐਟੌਮਿਕ, ਅਤੇ ਉੱਪ-ਪ੍ਰਮਾਣੂ ਸਿਸਟਮ ਹੀ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਸਗੋਂ ਮੈਕ੍ਰੋਸਕੋਪਿਕ ਸਿਸਟਮ ਵੀ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਸੰਭਵ ਤੌਰ ਤੇ ਸਾਰਾ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡ ਵੀ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਸਮੇਤ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀਆਂ ਸਭ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਪ੍ਰਤਿ ਕੇਂਦਰੀ ਹੈ, ਜੋ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਨੂੰ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਨਾਲ ਮੇਲਦੀ ਹੈ। ਸਟਰਿੰਗ ਥਿਊਰੀ ਵਰਗੀਆਂ ਕੁਆਂਟਮ ਗਰੈਵਿਟੀ ਦੀਆਂ ਥਿਊਰੀਆਂ ਵੀ **ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ** ਨੂੰ ਸੁਧਾਰਦੀਆਂ ਨਹੀਂ ਹਨ।

ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਸ਼ਰੋਡਿੰਗਰ ਸਮੀਕਰਨ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਫਿਜਿਕਲ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਕੁਆਂਟਮ ਦਸ਼ਾ ਸਮੇਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦੀ ਹੈ। ਇਹ ੧੯੨੫ ਵਿੱਚ ਤਿਆਰ ਅਤੇ ੧੯੨੬ ਵਿੱਚ ਆਸਟਰੀਆ ਦੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਇਰਵਿਨ ਸ਼ਰੋਡਿੰਗਰ ਵੱਲੋਂ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ।
 ਜੋ  ਨਾਲ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਖਾਲੀ ਸਪੇਸ ਰਾਹੀਂ ਸੁਤੰਤਰ ਤੌਰ ਤੇ ਯਾਤਰਾ ਕਰ ਰਹੇ ਕਿਸੇ ਕਣ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਾਸਤਵਿਕ ਹਿੱਸਾ ਇੱਥੇ ਵਾਹਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।]]
{{Equation box 1
|indent=:
|title=**ਸਮੇਂ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ** *(ਆਮ)*
|equation=i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = \hat H \Psi(\mathbf{r},t)
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}
ਜਿੱਥੇ 
* ਕਾਲਪਿਨਕ ਇਕਾਈ ਹੈ, 
* ਘਟਾਇਆ ਹੋਇਆ ਪਲੈਂਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੈ ਜੋ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:\hbar = \frac{h}{2 \pi}, 
*ਚਿੰਨ , ਟਾਈਮ  ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ,
* (ਗ੍ਰੀਕ ਅੱਖਰ ਸਾਈ) ਕੁਆਂਟਮ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,
* ਅਤੇ  ਕ੍ਰਮਵਾਰ, ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਟਾਈਮ ਹਨ, ਅਤੇ
* ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਜੋ ਪ੍ਰਸਥਿਤੀ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ ਲੈਂਦਾ ਹੋਇਆ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ ਨੂੰ ਲੱਛਣਬੱਧ ਕਰਦਾ ਹੈ)।

 ਲਈ ਸਮੇਂ-ਤੇ-ਨਿਰਭਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਖੱਬੇ: ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਾਸਤਵਿਕ ਹਿੱਸਾ (ਨੀਲੇ ਰੰਗ ਵਿੱਚ) ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਹਿੱਸਾ (ਲਾਲ ਰੰਗ ਵਿੱਚ)। ਸੱਜੇ: ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਉੱਤੇ ਇਸ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਾਲੇ ਕਣ ਨੂੰ ਖੋਜਣ ਦੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ। ਸ਼ਿਖਰਲੀਆਂ ਦੋ ਕਤਾਰਾਂ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ, ਜੋ ਸਟੈਂਡਿੰਗ ਤਰੰਗਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਰੱਖਦੀਆਂ ਹਨ। ਤਲ ਵਾਲੀ ਕਤਾਰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਅਵਸਥਾ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ ਜੋ ਕੋਈ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਸੱਜਾ ਕਾਲਮ ਸਮਝਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਉਂ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਹੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।]]

ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਉਦਾਹਰਨ ਕਿਸੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ (ਪਰ ਕਿਸੇ ਚੁੰਬਕੀ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ: ਪੌਲੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇਖੋ) ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਕਿਸੇ ਸਿੰਗਲ ਕਣ ਵਾਸਤੇ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੈ;

{{Equation box 1
|indent=:
|title=**ਸਮੇਂ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ***(ਸਿੰਗਲ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਕਣ)*
|equation=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \left [ \frac{-\hbar^2}{2\mu}\nabla^2 + V(\mathbf{r},t)\right ] \Psi(\mathbf{r},t)
|cellpadding
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

ਜਿੱਥੇ
* ਕਣ ਦਾ ਘਟਾਇਆ ਹੋਇਆ ਪੁੰਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,
* ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ ਹੁੰਦੀ ਹੇ,
* ਲੈਪਲਾਸੀਅਨ (ਇੱਕ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਓਪਰੇਟਰ) ਹੈ, ਅਤੇ
* ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ (ਹੋਰ ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ, ਇਸ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ, ਇਸਨੂੰ ਪੁਜੀਸ਼ਨ-ਸਪੇਸ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ)। ਸਧਾਰਨ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਕਾਇਨੈਟਿਕ ਐਨਰਜੀ ਪਲੱਸ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਐਨਰਜੀ, ਪਰ ਹੇਠਾਂ ਸਮਝਾਏ ਕਾਰਨਾਂ ਕਰਕੇ ਰਕਮਾਂ ਬੇਪਛਾਣ ਰੂਪ ਲੈ ਲੈਂਦੀਆਂ ਹਨ।

ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੁੰਦੇ ਖਾਸ ਡਿਫ਼੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਓਪਰੇਟਰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ, ਇਹ ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਡਿਫਿਊਜ਼ਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਹੀਟ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਤੋਂ ਉਲਟ, ਇਹ ਟ੍ਰਾਂਜ਼ੀਐਂਟ ਰਕਮ ਅੰਦਰ ਹਾਜ਼ਰ ਕਾਲਪਿਨਕ ਯੂਨਿਟ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ ਇੱਕ ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਸ਼ਬਦ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਆਮ ਇਕੁਏਸ਼ਨ (ਉੱਪਰਲਾ ਪਹਿਲਾ ਬੌਕਸ) ਵੱਲ ਵੀ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਾਂ ਖਾਸ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਵਰਜ਼ਨ (ਉੱਪਰਲਾ ਦੂਜਾ ਬੌਕਸ ਅਤੇ ਉਸਦੀਆਂ ਵੇਰੀਏਸ਼ਨਾਂ) ਵੱਲ ਵੀ। ਆਮ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਸੱਚਮੁੱਚ ਕਾਫੀ ਆਮ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਰੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਲਈ ਵਿਭਿੰਨ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਭਰ ਕੇ ਡੀਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਤੋਂ ਲੈ ਕੇ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਤੱਕ ਹਰੇਕ ਚੀਜ਼ ਵਾਸਤੇ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਖਾਸ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਵਰਜ਼ਨ ਵਾਸਤਵਿਕਤਾ ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਸੰਖੇਪਾਤਮਿਕ ਲੱਗਪਗਤਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਈ ਪ੍ਰਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਹੋਰਾਂ ਅੰਦਰ ਬਹੁਤ ਗਲਤ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ (ਦੇਖੋ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅਤੇ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ)।

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਪਲਾਈ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਿਸਟਮ ਵਾਸਤੇ ਹੈ ਓਪਰੇਟਰ ਸੈੱਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਰਚਣਹਾਰੇ ਕਣਾਂ ਦੀ ਕਾਇਨੈਟਿਕ ਅਤੇ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ ਲਈ ਜ਼ਿੰਮੇਵਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਫੇਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਪਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜਨ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਹੱਲ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਸਿਸਟਮ ਬਾਬਤ ਸੂਚਨਾ ਰੱਖਦੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

### ਵਕਤ-ਸੁਤੰਤਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ 
ਉੱਪਰ ਦਰਸਾਈ ਸਮੇਂ-ਤੇ-ਨਿਰਭਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਟੈਂਡਿੰਗ ਤਰੰਗਾਂ ਰਚ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾਵਾਂ (ਔਰਬਿਟਲ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਐਟੌਮਿਕ ਔਰਬਿਟਲਾਂ ਜਾਂ ਮੌਲੀਕਿਊਲਰ ਔਰਬਿਟਲਾਂ ਵਿੱਚ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧ ਕਰਕੇ ਸਮਝਿਆ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਵਸਥਾ ਲਈ ਸਮੇਂ-ਤੇ-ਨਿਰਭਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਅਸਾਨ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਇੱਕ ਸਰਲ ਕਿਸਮ ਰਾਹੀਂ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। (ਇਹ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਖੁਦ ਹੀ ਸਮੇਂ ਉੱਤੇ ਸਪਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਿਰਭਰ ਨਾ ਕਰਦਾ ਹੋਵੇ। ਫੇਰ ਵੀ, ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਵੀ, ਕੁੱਲ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਜੇ ਵੀ ਇੱਕ ਸਮਾਂ ਨਿਰਭਰਤਾ ਰੱਖਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।)

{{Equation box 1
|indent=:
|title=**ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ** (*ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ*)
|equation=\operatorname{\hat H}\Psi=E\Psi
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}
ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਬਿਆਨ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ:
::*ਜਦੋਂ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਕਿਸੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ  ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਤੀਜਾ ਓਸੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ  ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ (ਪ੍ਰੋਪੋਸ਼ਨਲ) ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ  ਇੱਕ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਨੁਪਾਤਕ ਸਥਿਰਾਂਕ , ਅਵਸਥਾ  ਦੀ ਊਰਜਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।*

ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੋਰ ਥੱਲੇ ਚਰਚਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਲੀਨੀਅਰ ਅਲਜਬਰਾ ਨਿਯਮਾਵਲੀ ਅੰਦਰ, ਇਹ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇੱਕ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਪ੍ਰਗਟਾਅ ਕਿਸੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਫੀਲਡ (ਪਰ ਕੋਈ ਚੁੰਬਕੀ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ) ਵਿੱਚ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਕਿਸੇ ਸਿੰਗਲ ਕਣ ਵਾਸਤੇ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:

{{Equation box 1
|indent=:
|title=**ਸਮਾੰ-ਸੁਤੰਤਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ** (*ਸਿੰਗਲ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਕਣ*)
|equation=\left[ \frac{-\hbar^2}{2\mu}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right] \Psi(\mathbf{r}) = E \Psi(\mathbf{r})
|cellpadding
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
ਜਿਸਦੀਆਂ ਉੱਪਰ ਵਾਂਗ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

## ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ 
ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਅਜੋਕੀ ਸਮਝ ਵਿੱਚ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਮੇਂ t ਉੱਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ \Psi(t) ਰਾਹੀਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਲੀਨੀਅਰਟੀ ਸਦਕਾ, ਸਮੇਂ t’ ਉੱਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਰੂਰ ਹੀ  \Psi(t')=U(t',t) \Psi(t)  ਰਾਹੀਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੇ, ਜਿੱਥੇ U(t', t) ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਮਾਂ-ਉਤਪਤੀ ਜਰੂਰ ਹੀ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨੌਰਮ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ  U(t',t)  ਲਾਜ਼ਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰ ਰਹੇ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਗਰੁੱਪ ਦਾ ਕੋਈ ਮੈਂਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ  t' = t  ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਜਰੂਰ ਹੀ  U(t,t) = 1  ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, t ਦੇ ਬਹੁਤ ਨਜ਼ਦੀਕ t’ ਲਈ, ਓਪਰੇਟਰ  U(t',t)  ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ  U(t',t) = 1 - i H (t' - t)  ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ H ਇੱਕ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਤੱਥ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਗਰੁੱਪ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸਮਾਂ-ਅੰਤਰ t' - t  ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸੂਖਮ ਹੱਦ ਤੱਕ ਲੈਂਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਹੁਣ ਤੱਕ, H ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਅਮੂਰਤ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਓਪਰੇਟਰ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਕੌਰਸਪੌਂਡੈਂਸ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਦਿਖਾਉਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ, ਕਲਾਸੀਕਲ ਹੱਦ ਵਿੱਚ, H ਦੀ ਐਕਸਪੈਕਟੇਸ਼ਨ ਵੈਲੀਊ ਸੱਚਮੁੱਚ ਹੀ ਕਲਾਸੀਕਲ ਊਰਜਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕੌਰਸਪੌਂਡੈਂਸ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਅਨਸਰਟਨਟੀ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਕਰਕੇ ਕੁਆਂਟਮ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਦੀ ਕਿਸਮ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰਾਂ ਫਿਕਸ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ, ਅਤੇ ਇਸ ਕਰਕੇ, ਕੁਆਂਟਮ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਦੀ ਸ਼ੁੱਧ ਕਿਸਮ ਜਰੂਰ ਹੀ ਅਨੁਭਵ-ਸਿੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਫਿਕਸ ਕੀਤੀ ਜਾਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਵ

## ਨਤੀਜੇ 
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਹੱਲਾਂ ਨੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦਰਾਰ ਦਾਖਲ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਆਪਣੀ ਕਿਸਮ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਸੀ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਹੱਲਾਂ ਨੇ ਅਜਿਹੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਵੱਲ ਪ੍ਰੇਰਣਾ ਦਿੱਤੀ ਜੋ ਵਕਤ ਲਈ ਬਹੁਤ ਹੀ ਅਸਧਾਰਨ ਅਤੇ ਬੇਉਮੀਦ ਸਨ।

### ਕੁੱਲ ਗਤਿਜ ਅਤੇ ਸਥਿਤਿਕ ਊਰਜਾ 
ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਸਾਰੀ ਦੀ ਸਾਰੀ ਕਿਸਮ ਅਸਧਾਰਨ ਜਾਂ ਉਮੀਦ ਤੋਂ ਪਰੇ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਊਰਜਾ ਦੀ ਸੁਰੱਖਿਅਤਾ ਦਾ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਵਰਤਦੀ ਹੈ। ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਰਕਮਾਂ ਨੂੰ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵਿਆਖਿਆਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਿਸਟਮ ਗਤਿਜ ਊਰਜਾ ਜਮਾਂ ਸਿਸਟਮ ਸਥਿਤਿਕ ਊਰਜਾ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਕਲਾਸੀਕਲ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅੰਦਰਲੀ ਊਰਜਾ ਵਾਂਗ ਹੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।

### ਨਿਰਧਾਰੀਕਰਨ 
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਕੁੱਝ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨਾਪੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਨਿਰਧਾਰੀਕ੍ਰਿਤ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਸਿਰਫ ਖਾਸ ਅਨਿਰੰਤਰ ਮੁੱਲ ਹੀ ਮੌਜੂਦ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਊਰਜਾ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ: ਕਿਸੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੀ ਊਰਜਾ ਕਿਸੇ ਐਟਮ ਅੰਦਰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ਡ ਊਰਜਾ ਲੈਵਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਲੈਵਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਐਟੌਮਿਕ ਸਪੈਕਟ੍ਰੋਸਕੋਪੀ ਰਾਹੀਂ ਖੋਜਿਆ ਇੱਕ ਤੱਥ ਹੈ। (ਊਰਜਾ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਥੱਲੇ ਚਰਚਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ। ਇਹ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਐਟਮ ਦੇ ਬੋਹਰ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਾਨਤਾ ਸੀ, ਪਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇਹ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਨਾਪ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ ਕੋਈ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ ਕੀਤਾ ਨਤੀਜਾ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦਾ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਪੌਜ਼ੀਟ੍ਰੌਨ, ਮੋਮੈਂਟਮ, ਟਾਈਮ, ਅਤੇ (ਕੁੱਝ ਪ੍ਰਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ) ਊਰਜਾ ਕਿਸੇ ਨਿਰੰਤਰ ਰੇਂਜ ਦੇ ਆਰਪਾਰ ਕੋਈ ਮੁੱਲ ਰੱਖਦੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।

### ਨਾਪ ਅਤੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ 
ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ, ਇੱਕ ਕਣ, ਹਰੇਕ ਪਲ ਉੱਤੇ, ਇੱਕ ਸਹੀ ਸਹੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਹੀ ਸਹੀ ਮੋਮੈਂਟਮ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤਮਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਬਦਲ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਹੀ ਕਣ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਮੁਤਾਬਿਕ ਗਤੀ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਕੌਪਨਹਾਗਨ ਵਿਆਖਿਆ ਅਧੀਨ, ਕਣ ਸਹੀ ਸਹੀ ਨਿਰਧਾਰਤਮਿਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦੇ ਹੁੰਦੇ, ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨਾਪੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਕਿਸੇ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਤੋਂ ਮਨਚਾਹੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕੱਢ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਵਿਸਥਾਰ-ਵੰਡਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਪਰ ਮੁਢਲੇ ਤੌਰ ਤੇ ਹਰੇਕ ਨਾਪ ਦੇ ਸਹੀ ਸਹੀ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੀ।

ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਦਾ ਅਨਸਰਟਨਟੀ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ ਜਨਮਜਾਤ ਨਾਪ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ ਦਾ ਕਥਨ ਹੈ। ਇਹ ਬਿਆਨ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਕਣ ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਜਿੰਨੀ ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਗਿਆਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਉੰਨੀ ਹੀ ਘੱਟ ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਉਸਦਾ ਮੋਮੈਂਟਮ ਗਿਆਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਉਲਟ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ।

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਕਣ ਦੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ (ਨਿਰਧਾਰਤਮਿਕ) ਉਤਪਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਭਾਵੇਂ ਚਾਹੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਗਿਆਤ ਵੀ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਵੀ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਨਾਪ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।

### ਕੁਆਂਟਮ ਟੱਨਲਿੰਗ 
। ਖੱਬੇ ਪਾਸਿਓਂ ਆ ਰਿਹਾ ਕੋਈ ਕਣ ਬੈਰੀਅਰ ਟੱਪਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਊਰਜਾ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦਾ। ਫੇਰ ਵੀ, ਇਹ ਕਦੇ ਕਫਦੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਜਾਣ ਲਈ ਸੁਰੰਗ ਬਣਾ ਲੈਂਦਾ ਹੈ।]]
ਕਲਾਸੀਕਲ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅੰਦਰ, ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਗੇਂਦ ਕਿਸੇ ਵੱਡੇ ਪਹਾੜ ਦੇ ਉੱਤੇ ਹੌਲੀ ਹੌਲੀ ਰੋੜੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਰੁਕ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਥੱਲੇ ਆਉਣ ਲਗਦੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਪਹਾੜ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਜਾਣ ਲਈ ਪਹਾੜ ਦੇ ਸ਼ਿਖਰ ਤੱਕ ਚੜਨ ਵਾਸਤੇ ਇਸ ਕੋਲ ਲੋੜੀਂਦੀ ਊਰਜਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਫੇਰ ਵੀ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਸੂਖਮ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਗੇਂਦ ਪਹਾੜ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਚਲੀ ਜਾਏਗੀ, ਭਾਵੇਂ ਸ਼ਿਖਰ ਤੱਕ ਜਾਣ ਲਈ ਇਸ ਕੋਲ ਬਹੁਤ ਹੀ ਘੱਟ ਊਰਜਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਲੋੜੀਂਦੀ ਊਰਜਾ ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਕੁਆਂਟਮ ਟਨਲਿੰਗ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਊਰਜਾ ਦੀ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ: ਭਾਵੇਂ ਦੀ ਕਲਪਿਤ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਪਹਾੜ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਉੱਤੇ ਹੁੰਦੀ ਦਿਸਦੀ ਹੈ, ਫੇਰ ਵੀ ਇਸਨੂੰ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਖੋਜਣ ਦਾ ਇੱਕ ਚਾਂਸ (ਮੌਕਾ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

### ਤਰੰਗਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਣ 
ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਗੈਰ-ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਮਕ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਅਕਸਰ ਇਹ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਣ ਤਰੰਗਾਂ ਵਰਗੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਵਰਗਾ ਵਰਤਾਓ ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਕੁੱਝ ਅਜੋਕੀਆਂ ਵਿਆਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਇਹ ਵੇਰਵਾ ਉਲਟਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ- ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ, ਯਾਨਿ ਕਿ, ਤਰੰਗ, ਹੀ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਅਸਲੀ ਭੌਤਿਕੀ ਵਾਸਤਵਿਕਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਢੁਕਵੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਅਧੀਨ ਇਹ ਕਣ-ਵਰਗੇ ਵਰਤਾਓ ਦੇ ਲੱਛਣ ਦਿਖਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਬੈਲੈਂਟੀਨ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਜਿਹੀ ਕੋਈ ਵਿਆਖਿਆ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ-ਯੁਕਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਬੈਂਲੈਂਟੀਨ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂਕਿ ਕਿਸੇ ਭੌਤਿਕੀ ਤਰੰਗ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸਿੰਗਲ ਕਣ ਨਾਲ ਜੋੜਨਾ (ਸਬੰਧਤ ਕਰਨਾ) ਤਰਕਯੋਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਜੇ ਵੀ ਸਿਰਫ ਇੱਕੋ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਤਰੰਗ ਸਮੀਕਰਨ ਕਈ ਕਣਾਂ ਲਈ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਹ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ:
:*"ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਭੌਤਿਕੀ ਤਰੰਗ ਫੀਲਡ ਨੂ੍ੰ ਕਿਸੇ ਕਣ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਕਿਸੇ ਕਣ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੇਵ-ਪੈਕਟ ਨਾਲ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਕਰਦੇ N ਕਣਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਕਰਦੀਆਂ N ਤਰੰਗਾਂ ਵੀ ਸਧਾਰਨ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਜਰੂਰ ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ। ਪਰ (4.6) ਮੁਤਾਬਿਕ, ਅਜਿਹਾ ਮਾਮਲਾ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਇਸਦੇ ਸਥਾਨ ਤੇ ਕਿਸੇ ਅਮੂਰਤ 3N-ਅਯਾਮੀ ਰਚਨਾ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਇੱਕੋ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਾਈ ਦੀ ਕਿਸੇ ਭੌਤਿਕੀ ਤਰੰਗ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਗਲਤ-ਵਿਆਖਿਆ ਸਧਾਰਨ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਸੰਭਵ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਜਿਆਦਾਤਰ ਸਾਂਝੇ ਉਪਯੋਗ ਇੱਕ-ਕਣ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਪ੍ਰਤਿ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਲਈ ਰਚਨਾ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਸਧਾਰਨ ਸਪੇਸ ਆਇਸੋਮਰਫਿਕ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।"*

ਦੋ-ਸਲਿਟ ਡਿਫ੍ਰੈਕਸ਼ਨ ਉਹਨਾਂ ਅਜੀਬ ਵਰਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ ਜੋ ਅਜਿਹੀਆਂ ਤਰੰਗਾਂ ਨਿਯਮਿਤ ਤੌਰ ਤੇ ਪ੍ਰਦ੍ਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀਆਂ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਕਣਾਂ ਨਾਲ ਸਹਿਜ ਸਮਝ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸਬੰਧਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਦੋਵੇਂ ਸਲਿੱਟਾਂ ਤੋਂ (ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ) ਔਵਰਲੈਪਿੰਗ (ਉੱਪਰ ਚੜਨ ਵਾਲੀਆਂ) ਤਰੰਗਾਂ ਕੁੱਝ ਸਥਾਨਾਂ ਵਿੱਚ ਪਰਸਪਰ ਤੌਰ ਤੇ ਰੱਦ ਹੋ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਸਥਾਨਾਂ (ਲੋਕੇਸ਼ਨਾਂ) ਤੇ ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨਮੂਨਾ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਦੂਜੀ ਵਿੱਚ ਜੁੜ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਹਿਜ ਸਮਝ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਸਲਿਟਾਂ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਸਿੰਗਲ ਕਣ ਨੂੰ ਫਾਇਰ ਕਰਨ ਤੋਂ ਇਸ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕੀਤੀ ਜਾਣੀ ਨਹੀਂ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਕਣ ਇੱਕ ਸਲਿਟ ਵਿੱਚ ਨੂੰ ਜਾਂ ਦੂਜੀ ਸਲਿਟ ਰਾਹੀਂ ਲੰਘਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਨਾ ਕਿ ਦੋਹਾਂ ਸਲਿੱਟਾਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਓਵਰਲੈਪ ਵਿੱਚ ਨੂੰ ਹੀ ਲੰਘਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।

ਕਿਵੇਂ ਨਾ ਕਿਵੇਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇੱਕ ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਕੋਈ ਸਿੰਗਲ ਕਣ ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਡਬਲ-ਸਲਿੱਟ ਰਾਹੀਂ ਲੰਘਣ ਲਈ ਫਾਇਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੇ ਤਾਂ ਇਹੀ ਨਮੂਨਾ ਪ੍ਰਦ੍ਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ (ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦੇਖੋ)। ਧਿਆਨ ਦੇਓ ਕਿ: ਪ੍ਰਯੋਗ ਜਰੂਰ ਹੀ ਕਈ ਵਾਰ ਦੋਹਰਾਇਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਤਾੰ ਜੋ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨਮੂਨਾ ਪੈਦਾ ਹੋ ਸਕੇ। ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਸਹਿਜ ਸਮਝ ਵਿਰੋਧੀ ਹੈ, ਫੇਰ ਵੀ ਅਨੁਮਾਨ ਸਹੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ; ਖਾਸ ਕਰਕੇ, ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਡਿਫ੍ਰੈਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਨਿਊਟ੍ਰੌਨ ਡਿਫ੍ਰੈਕਸ਼ਨ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਸਮਝੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਇੰਜਨੀਅਰਿੰਗ ਵਿੱਚ ਵੱਡੇ ਪੱਧਰ ਤੇ ਵਰਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।

ਡਿਫ੍ਰੈਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ, ਕਣ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇੰਟ੍ਰਫੇਰੈਂਸ ਵੀ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ।

ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਕਿਸੇ ਕਣ ਨੂੰ ਦੋ ਜਾਂ ਜਿਆਦਾ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਕਿਸੇ ਕੁਆਂਟਮ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਹੋਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੱਦੀ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਇਹ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ ਕੋਈ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਉਹ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ, ਜੋ ਕੋਈ ਸਿਸਟਮ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਿਸੇ ਪੁਜੀਸ਼ਨ  ਤੇ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਨਾ ਕਿ ਸਿਸਟਮ ਸੱਚਮੁੱਚ ਹੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ  ਉੱਤੇ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਇਹ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਕਣ ਖੁਦ ਹੀ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਦੋ ਕਲਾਸੀਕਲ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸੱਚਮੁੱਚ, ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਪੂਰੀ ਤਰਾਂ ਨਾਪ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਵਾਸਤੇ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਨ ਪ੍ਰਤਿ ਅਯੋਗ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।

### ਮੈਨੀ-ਵਰਲਡ ਵਿਆਖਿਆ 
ਡਬਲਿਨ ਵਿਖੇ 1952 ਵਿੱਚ, ਐਰਵਿਨ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੇ ਇੱਕ ਲੈਕਚਰ ਦਿੱਤਾ ਸੀ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੱਲ ਉੱਤੇ ਉਸਨੇ ਮਜ਼ਾਕ ਦੇ ਲਹਿਜੇ ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਸਰੋਤਿਆਂ ਨੂੰ ਸਾਵਧਾਨ ਕੀਤਾ ਕਿ ਉਹ ਜੋ ਕਹਿਣ ਵਾਲਾ ਹੈ ਪਗਲਪਣ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਉਹ ਸਮਾਂ ਸੀ, ਜਦੋਂ ਉਸਦੀਆਂ ਉੱਤਮ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿਭਿੰਨ ਵੱਖਰੇ ਇਤਿਹਾਸਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਦਿਸਦੀਆਂ ਸਨ, ਜੋ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦਾ ਬਦਲ ਨਹੀਂ ਸਨ, ਪਰ ਸਭ ਸੱਚਮੁੱਚ ਹੀ ਇਕੱਠੇ ਵਾਪਰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਮੈਨੀ-ਵਰਲਡ ਇੰਟ੍ਰਪ੍ਰੈਟੇਸ਼ਨ ਪ੍ਰਤਿ ਅਰੰਭਿਕਾਤਮਿਕ ਗਿਆਤ ਹਵਾਲਾ ਸੀ।

## ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ 
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕੈਲਕੁਲੇਟ ਕਰਨ ਅਤੇ ਕਿਵੇਂ ਕੋਈ ਸਿਸਟਮ ਵਕਤ ਵਿੱਚ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਤੌਰ ਤੇ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਕੈਲਕੁਲੇਟ ਕਰਨ ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਰਸਤਾ ਮੁਹੱਈਆ ਕਰਵਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ ਤੇ ਨਹੀਂ ਕਹਿੰਦੀ ਕਿ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀਆਂ ਵਿਆਖਿਆਵਾਂ ਸਵਾਲਾਂ ਦੀ ਗੱਲ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਜੋ ਵਾਸਤਵਿਕਤਾ ਲਈ ਜ਼ਿੰਮੇਵਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਯੋਗਿਕ ਨਾਪਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਕੀ ਸਬੰਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਪਹਿਲੂ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੋਲੈਪਸ ਦਰਮਿਆਨ ਸਬੰਧ ਹੈ। ਪੁਰਾਤਨਾਤਮਿਕ ਕੌਪਨਹਾਗਨ ਵਿਆਖਿਆ ਅੰਦਰ, ਕਣ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੋਲੈਪਸ ਦੌਰਾਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਉਹ ਪੂਰੀ ਤਰਾਂ ਅਲੱਗ ਹੀ ਵਰਤਾਓ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਕੁਆਂਟਮ ਡੀਕੋਹਰੰਸ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਖੋਜ ਨੇ ਬਦਲਵੇਂ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣਾਂ (ਜਿਵੇਂ ਐਵਰੈਟ ਮੈਨੀ-ਵਰਲਡਜ਼ ਵਿਆਖਿਆ ਅਤੇ ਅਨੁਕੂਲ ਇਤਿਹਾਸਾਂ) ਨੂੰ ਆਗਿਆ ਦਿੱਤੀ, ਜਿੱਥੇ ਕਿ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਖਰੀ ਉਤਰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੋਲੈਪਸ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਕਿਸੇ ਨਤੀਜੇ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵਿਆਖਿਅਤ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।

## ਇਤਿਹਾਸਿਕ ਪਿਛੋਕੜ ਅਤੇ ਵਿਕਾਸ 
]]

ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਮੈਕਸ ਪਲੈਂਕ ਦੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ (ਬਲੈਕ ਬੌਡੀ ਰੇਡੀਏਸ਼ਨ ਦੇਖੋ) ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਲਬ੍ਰਟ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਨੇ ਪਲੈਂਕ ਦੇ ਕੁਆਂਟਾ ਨੂੰ ਫੋਟੌਨਾਂ ਦੇ ਹੋਣ ਵਜੋਂ ਵਿਆਖਿਅਤ ਕੀਤਾ, ਜੋ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ੀ ਕਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਸਤਾਵਿਤ ਕੀਤਾ ਕਿ ਕਿਸੇ ਫੋਟੋਨ ਦੀ ਊਰਜਾ ਉਸਦੀ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਤਰੰਗ-ਕਣ ਡਿਊਲਿਟੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਲੱਛਣਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਸੀ। ਕਿਉਂਕਿ ਊਰਜਾ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਉਸੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ਅਤੇ ਵੇਵਨੰਬਰ, ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿੱਚ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਕਿਸੇ ਫੋਟੋਨ ਦਾ ਮੋਮੈਂਟਮ  ਇਸਦੀ ਵੇਵਲੈਂਥ  ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਵੇਵਨੰਬਰ  ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ (ਪ੍ਰੋਪੋਸ਼ਨਲ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

:p = \frac{h}{\lambda} = \hbar k

ਜਿੱਥੇ  ਪਲੈਂਕ ਦਾ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੈ। ਲੁਇਸ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲਿ ਨੇ ਪਰਿਕਲਪਿਤ ਕੀਤਾ ਕਿ ਸਾਰੇ ਕਣਾਂ ਲਈ ਇਹ ਸੱਚ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨਾਂ ਵਰਗੇ ਪੁੰਜ ਵਾਲੇ ਕਣ ਹੀ ਕਿਉਂ ਨਾ ਹੋਣ। ਉਸਨੇ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ, ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਪਦਾਰਥਕ ਤਰੰਗਾਂ ਆਪਣੇ ਕਣ ਵਿਰੋਧੀਸਾਥੀਆਂ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਸੰਚਾਰਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ, ਸਟੈਂਡਿੰਗ ਤਰੰਗਾਂ ਰਚਦੇ ਹਨ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਸਿਰਫ ਕੁੱਝ ਅਨਿਰੰਤਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨਲ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀਆਂ ਹੀ ਨਿਊਕਲੀਅਸ ਦੁਆਲੇ ਕਿਸੇ ਐਟਮ ਲਈ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਇਹ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ਡ ਔਰਬਿਟ ਡਿਸਕ੍ਰੀਟ (ਅਨਿਰੰਤਰ) ਊਰਜਾ ਪੱਧਰਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਨੇ ਐਨਰਜੀ ਲੈਵਲਾਂ ਲਈ ਬੋਹਰ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਪੈਦਾ ਕੀਤਾ। ਬੋਹਰ ਮਾਡਲ ਇਸ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਮੁਤਾਬਿਕ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ  ਦੀ ਮੰਨੀ ਹੋਈ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਉੱਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਸੀ:
: L = n{h \over 2\pi} = n\hbar
ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਮੁਤਾਬਿਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਤਰੰਗ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਤਰੰਗ-ਲੰਬਾਈਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਨੰਬਰ ਜਰੂਰ ਹੀ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੇ ਔਰਬਿਟ ਦੇ ਘੇਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਫਿੱਟ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ:

:n \lambda = 2 \pi r.\,
ਇਹ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ (ਰੇਡੀਅਸ)  ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰੀ ਔਰਬਿਟ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ, ਲਾਜ਼ਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਵਿੱਚ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਤਰੰਗ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।

1921 ਵਿੱਚ, ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਅਰਥਰ ਚੀ ਲੁੱਨ ਨੇ ਸ਼ੀਕਾਗੋ ਦੀ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ ਵਿਖੇ, ਹੁਣ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਸਬੰਧ ਕਹੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਊਰਜਾ-ਮੋਮੈਂਟਮ 4-ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਪੂਰਤੀ ਉੱਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਓਹੀ ਤਰਕ ਵਰਤਿਆ ਸੀ। ਬ੍ਰਗੋਲਿ ਤੋਂ ਉਲਟ, ਲੁੱਨ ਅਜਿਹੀ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕਰਨ ਗਿਆ ਜਿਸਨੂੰ ਹੁਣ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਐਟਮ ਲਈ ਇਸਦੇ ਊਰਜਾ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਤੱਕ ਗਿਆ। ਬਦਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਉਸਦਾ ਪੇਪਰ ਫਿਜ਼ੀਕਲ ਰੀਵੀਊ ਰਾਹੀਂ ਰੱਦ ਕਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ, ਜਿਵੇਂ ਕੈਮਨ ਰਾਹੀਂ ਦੁਬਾਰਾ ਗਿਣਿਆ ਗਿਆ।

ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲਿ ਦੇ ਵਿਚਾਰਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਪੀਟਰ ਡਿਬਾਇ ਨੇ ਇੱਕ ਇੱਕਦਮ ਟਿੱਪਣੀ ਕੀਤੀ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕਣ ਤਰੰਗਾਂ ਦੀ ਤਰਾਂ ਵਰਤਾਓ ਕਰਦੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਉਹ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਕਿਸੇ ਕਿਸਮ ਦੀ ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਡੀਬਾਇ ਦੀ ਟਿੱਪਣੀ ਤੋਂ ਪ੍ਰੇਰਣਾ ਲੈ ਕੇ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਲਈ ਇੱਕ ਢੁਕਵੀਂ 3-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਲ ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਖੋਜਣ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰ ਲਿਆ। ਉਸਦਾ ਮਰਗ ਦਰਸ਼ਣ ਵਿਲੀਅਮ ਰੋਵਨ ਹੈਮਿਲਟਨ ਦੀ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅਤੇ ਔਪਟਿਕਸ ਦਰਮਿਆਨ ਤੁੱਲਤਾ (ਐਨਾਲੌਗੀ) ਨੇ ਕੀਤਾ, ਜਿਸ ਦੇ ਨਿਰੀਖਣ ਵਿੱਚ ਇਹ ਸਕੇਂਤਬੱਧ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਸੀ ਕਿ, ਔਪਟਿਕਸ ਦੀ ਜ਼ੀਰਿ-ਤਰੰਗਲੰਬਾਈ ਸੀਮਾ ਕਿਸੇ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਿਸਟਮ ਨਾਲ ਮਿਲਦੀ ਜੁਲਦੀ ਹੈ- ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਕਿਰਨਾਂ ਦੇ ਵਕਰਿਤ ਪਥ ਤਿੱਖੇ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜੋ ਫਾਰਮਟ ਦੇ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਲੀਸਟ ਐਕਸ਼ਨ ਸਿਧਾਂਤ ਦਾ ਇੱਕ ਤੁੱਲ (ਐਨਾਲੌਗ) ਹੈ।ਉਸਦੇ ਤਰਕ ਦਾ ਇੱਕ ਅਜੋਕਾ ਵਰਜ਼ਨ ਥੱਲੇ ਫੇਰ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਦੁਆਰਾ ਖੋਜੀ ਗਈ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇਹ ਹੈ:

:i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},\,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\mathbf{r},\,t) + V(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r},\,t).

ਫੇਰ ਵੀ, ਓਸ ਵਕਤ ਤੱਕ, ਅਰਨਾਲਡ ਸੋਮਰਫੈਲਡ ਨੇ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਸੁਧਾਰਾਂ ਸਦਕਾ ਬੋਹਰ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਸੁਧਾਰ ਦਿੱਤਾ ਸੀ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੇ (ਕੁਦਰਤੀ ਯੂਨਿਟਾਂ ਵਿੱਚ) ਕਿਸੇ ਕੂਲੌਂਬ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਅੰਦਰ ਕਲੇਇਨ-ਜੌਰਡਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਹੁਣ ਜਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਖੋਜਣ ਲਈ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਮੋਮੈਂਟਮ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਸੀ:

:\left(E + {e^2\over r} \right)^2 \psi(x) = - \nabla^2\psi(x) + m^2 \psi(x).

ਉਸਨੇ ਇਸ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਸਟੈਂਡਿੰਗ ਤਰੰਗਾਂ ਖੋਜੀਆਂ, ਪਰ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਸੁਧਾਰ ਸੋਮਰਫੈਲਡ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨਾਲ ਅਸਹਮਿਤ ਰਹੇ। ਮਾਯੂਸ ਹੋ ਕੇ, ਉਸਨੇ ਆਪਣੇ ਹਿਸਾਬ –ਕਤਾਬਾਂ ਨੂੰ ਪਰੇ ਰੱਖ ਦਿੱਤਾ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਦਸੰਬਰ 1925 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬੰਦ ਪਹਾੜੀ ਕੈਬਿਨ ਵਿੱਚ ਤਨਹਾ ਕਰ ਲਿਆ।
ਜਦੋਂਕਿ ਇਸ ਕੈਬਿਨ ਉੱਤੇ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੇ ਫੈਸਲਾ ਕੀਤਾ ਕਿ ਉਸਦੀਆਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੇਲਕੁਲੇਸ਼ਨਾਂ ਛਪਣ ਲਈ ਉੱਤਮ ਹੋਣ ਯੋਗ ਹਨ, ਅਤੇ ਭਵਿੱਖ ਲਈ ਸਾਪੇਖਿਕ ਸੁਧਾਰਾਂ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੱਤਾ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਵਾਸਤੇ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਆਉਂਦੀਆਂ ਕਠਿਨਾਈਆਂ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ (ਉਸਨੇ ਆਪਣੇ ਦੋਸਤ ਗਣਿਤਸ਼ਾਸਤਰੀ ਹਰਮਨ ਵੇਇਲ ਤੋਂ ਮਦਦ ਮੰਗੀ ਸੀ) ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੇ ਪ੍ਰੋਟੌਨ ਰਾਹੀਂ ਬਣਾਈ ਕਿਸੇ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਵੈੱਲ  ਵਿੱਚ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਕਿਸੇ ਤਰੰਗ  ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਿਸੇ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਐਟਮ ਦੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਨੂੰ ਟ੍ਰੀਟ ਕਰਕੇ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਸਪੈਕਟ੍ਰਲ ਸੀਰੀਜ਼ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਇਆ ਸੀ। ਇਸ ਹਿਸਾਬ-ਕਤਾਬ ਨੇ ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਬੌਹਰ ਮਾਡਲ ਦੇ ਊਰਜਾ ਲੈਵਲਾਂ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਪੈਦਾ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਇੱਕ ਪੇਪਰ ਵਿੱਚ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੇ ਖੁਦ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮਝਾਇਆ ਸੀ:

ਇਸ 1926 ਦੇ ਪੇਪਰ ਨੂੰ ਉਤਸ਼ਾਹਪੂਰਵਜ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਰਾਹੀਂ ਸਮਰਥਨ ਮਿਲਿਆ, ਜਿਸਨੇ ਪਦਾਰਥਕ-ਤਰੰਗਾਂ ਨੂੰ ਕੁਦਰਤ ਦੇ ਇੱਕ ਸਹਿਜ-ਸਮਝ ਵਾਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਦੇਖਿਆ, ਜੋ ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਦੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਮਕੈਨਿਕਸ ਤੋਂ ਉਲਟ ਸੀ, ਜਿਸਨੂੰ ਉਸਨੇ ਜਰੂਰਤ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਰਸਮੀ ਮੰਨਿਆ।

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ  ਦੇ ਸੁਭਾਅ ਦਾ ਵੇਰਵਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਪਰ ਇਸਦੀ ਫਿਤਰਤ ਬਾਰੇ ਕੁੱਝ ਨਹੀਂ ਦੱਸਦੀ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੇ ਆਪਣੇ ਚੌਥੇ ਪੇਪਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚਾਰਜ ਡੈਂਸਟੀ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਇਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕੀਤੀ, ਪਰ ਅਸਫਲ ਰਿਹਾ।

1926 ਵਿੱਚ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਦੇ ਚੌਥੇ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪੇਪਰ ਦੇ ਛਪਣ ਤੋਂ ਸਿਰਫ ਕੁੱਝ ਦਿਨਾਂ ਬਾਦ ਹੀ, ਮੇਕਸ ਬੌਰਨ ਨੇ ਸਫਲਤਾਪੂਰਵਕ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ  ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕੀਤੀ, ਜਿਸਦਾ ਸ਼ੁੱਧ ਸਕੁਏਅਰ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਡੈਂਸਟੀ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਿਸਦੇ ਹੱਲ ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਤਰੰਗ-ਵਰਗੀਆਂ ਗਤੀਆਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅੰਦਰਲੀਆਂ ਤਰੰਗ ਸਮੀਕਰਨਾਂ (ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ) ਆਮਤੌਰ ਤੇਹੋਰ ਭੌਤਿਕੀ ਨਿਯਮਾਂ ਤੋਂ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ- ਸਟਰਿੰਗਾਂ ਉੱਤੇ ਅਤੇ ਪਦਾਰਥ ਵਿੱਚ ਮਕੈਨੀਕਲ ਕੰਪਨਾਂ ਲਈ ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਤੋਂ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਵਿਸਥਾਪਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੈਕਸਵੈੱਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਤੋਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਤਰੰਗਾਂ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਅਤੇ ਚੁੰਬਕੀ ਫੀਲਡਾਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਲਈ ਅਧਾਰ, ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਊਰਜਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦਾ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਇੱਕ ਵੇਰਵਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਧਾਰਨਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ; ਜਿਵੇਂ ਫੇਇਨਮਨ ਇਸ ਬਾਰੇ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ:

ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਬੁਨਿਆਦ ਕਲਾਸੀਕਲ ਊਰਜਾ ਸੁਰੱਖਿਅਤਾ ਉੱਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਕਿਸੇ ਰੇਖਿਕ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੋਣ ਪ੍ਰਤਿ ਰਚੀ ਗਈ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਸਬੰਧਾਂ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਹੈ। ਹੱਲ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ  ਹੈ, ਜੋ ਉਹ ਸਾਰੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਜੋ ਵੀ ਸਿਸਟਮ ਬਾਬਤ ਜਾਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੋਵੇ। ਕੌਪਨਹਾਗਨ ਵਿਆਖਿਆ ਅੰਦਰ,  ਦਾ ਮੌਡੂਲਸ ਅਜਿਹੇ ਕਣਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ, ਵਕਤ ਦੇ ਕਿਸੇ ਪਲ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ (ਸਥਾਨਿਕ) ਬਣਤਰ ਵਿੱਚ ਹੁੱਦੇ ਹਨ।  ਲਈ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਅਤੇ ਖਾਸ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਅਧੀਨ ਕਣ ਕਿਵੇਂ ਵਰਤਾਓ ਕਰਨਗੇ।

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਸਿਧਾਂਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਤੋਂ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਜੋ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਕਣਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਗੈਰ-ਰਸਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਅੱਗੇ ਲਿਖੇ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਵਾਂਗ ਰਚੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਠੋਸ ਵਿਵਰਣ ਲਈ Resnick *et al*.
: \Psi(\mathbf{r},t) = \frac{1}{(\sqrt{2\pi})^3}\int\Phi(\mathbf{k})e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}d^3\mathbf{k} \,\!
ਜਿੱਥੇ  -ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਵੌਲੀਊਮ ਐਲੀਮੈਂਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਸਾਰੀ -ਸਪੇਸ ਤੇ ਕਬਜ਼ਾ ਕਰ ਲੈਂਦੇ ਹਨ। ਮੋਮੈਂਟਮ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ  ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ ਵਿੱਚ ਪੈਦਾ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਸਪੇਸ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਫੋਰੀਅਰ ਟ੍ਰਾਂਸਫੌਰਮ ਹੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

### ਡੀ-ਬ੍ਰਗੋਲਿ ਸਬੰਧਾਂ ਨਾਲ ਅਨੁਕੂਲਤਾ 
 ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਮਾਤ੍ਰਾਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਚਿਤ੍ਰਾਤਮਿਕ ਸਾਰਾਂਸ਼, ਜਿਵੇਂ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਦੀ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਅਤੇ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਹੱਦ ਕਿਵੇਂ ਅਤੇ ਕਿਹੜੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਲੈਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਬਹੁਤ ਸਾਵਧਾਨੀ ਮੰਗਦੀ ਹੈ।

ਸੀਮਤ ਛੋਟੀ ਤਰੰਗਲੰਬਾਈ ਸਿਫਰ ਹੋ ਰਹੇ  ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਕਣ ਦੀ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਪ੍ਰਤਿ ਵੇਵ-ਪੈਕਟ ਲੋਕਲਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਵਧਾਉਣ ਦਾ ਸੀਮਤ ਮਾਮਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)। ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਲਈ ਹੇਜ਼ਨਬ੍ਰਗ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ ਸਿਧਾਂਤ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਵਿੱਚ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ ਜ਼ੀਰੋ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਿਓਂ ਹੀ  ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ:
: \sigma(x) \sigma(p_x) \geqslant \frac{\hbar}{2} \quad \rightarrow \quad \sigma(x) \sigma(p_x) \geqslant 0 \,\!
ਜਿੱਥੇ ,  ਅਤੇ  (ਅਤੇ ਇਸੇਤਰਾਂ  ਅਤੇ -ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਾਸਤੇ ਵੀ) ਵਿੱਚ (ਰੂਟ ਮੀਨ ਸਕੁਏਅਰ) ਨਾਪ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਭਾਵ ਹੈ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਇਸ ਹੱਦ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਕਿਸੇ ਮਨਚਾਹੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਤੱਕ ਹੀ ਗਿਆਤ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਆਪਣੀ ਜਨਰਲ ਕਿਸਮ,
: i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi\left(\mathbf{r},t\right) = \hat{H} \Psi\left(\mathbf{r},t\right) \,\!
ਵਿੱਚ ਹੈਮਿਲਟਨ-ਜੇਕਬੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ (HJE) ਨਾਲ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਤੌਰ ਤੇ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ;
: \frac{\partial}{\partial t} S(q_i,t) = H\left(q_i,\frac{\partial S}{\partial q_i},t \right) \,\!
ਜਿੱਥੇ;
* ਐਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ
* ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਓਪਰੇਟਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ)। 
ਇੱਥੇ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ,  ਲਈ (ਹੈਮਿਲਟਨ-ਜੈਕਬੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ) ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ) ਵਿੱਚ 

### ਵਕਤ ਸੁਤੰਤਰ 
ਜੇਕਰ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਵਕਤ ਦਾ ਕੋਈ ਸਪਸ਼ਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਅਤੇ ਟੈਂਪੋਰਲ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਨਿਖੇੜਨਯੋਗ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਆਮਤੌਰ ਤੇ, ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਹ ਰੂਪ ਲੈ ਲੈਂਦਾ ਹੈ:
:\Psi(\text{space coords},t)=\psi(\text{space coords})\tau(t)\,.
ਜਿੱਥੇ  ਸਿਰਫ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਰਚਣ ਵਾਲੇ ਕਣਾਂ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ) ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ  ਸਿਰਫ ਵਕਤ ਦਾ ਹੀ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। 
 ਨੂੰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਸਬੰਧਤ ਅਯਾਮਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਕਣਾਂ ਦੀ ਸਬੰਧਤ ਸੰਖਿਆ ਲਈ ਭਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਦੇ ਨਿਖੇੜ ਰਾਹੀਂ ਹੱਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਭਾਵ ਹੈ ਸਮਾਂ-ਨਿਰਭਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਹੱਲ ਇਹ ਕਿਸਮ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਸਿਰਫ ਹਰੇਕ ਕਣ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਕੁੱਲ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ ਹਰੇਕ ਕਣ ਲਈ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:
: V(x_1,x_2,\cdots x_N) = \sum_{n=1}^N V(x_n) \, .
ਅਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹਰੇਕ ਕਣ ਲਈ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
: \Psi(x_1,x_2,\cdots x_N,t) = e^{-i{E t/\hbar}}\prod_{n=1}^N\psi(x_n) \,,
ਗੈਰ-ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਕਰਦੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਕਣਾਂ ਲਈ, ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ, ਅਜੇ ਵੀ ਇੱਕ ਜੋੜ ਹੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਰਾ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ- ਇਹ ਕਣ ਵਟਾਂਦਰੇ ਲਈ ਜ਼ਿੰਮੇਵਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੋਇਆ, ਵੱਖਰੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀਆਂ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਜੋੜ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਮਤੌਰ ਵਿੱਚ, ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਕਰਦੇ ਕਣਾਂ ਲਈ, ਉਪਰੋਕਤ ਵਿਯੋਜਨ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ।

#### ਸੁਤੰਤਰ ਕਣ 
ਜ਼ੀਰੋ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਲਈ,  ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਕਣ ਸੁਤੰਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇੰਝ ਪੜਦੀ ਹੈ: ਅਤੇ ਲੈਟਿਸਾਂ ਵਿੱਚ ਐਟਮਾਂ ਜਾਂ ਆਇਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ, ਅਤੇ ਸੰਤੁਲਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨਜ਼ਦੀਕ ਹੋਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਪਰਚਰਬੇਸ਼ਨ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦਾ ਅਧਾਰ ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਫੈਮਲੀ ਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ- ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਬੇਸਿਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਹੱਲ ਇਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ; 
: \psi_n(x) = \sqrt{\frac{1}{2^n\,n!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot e^{
- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar}} \cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right) 
ਜਿੱਥੇ 
* ਹੈ, ਅਤੇ
*ਫੰਕਸ਼ਨ  ਹਰਮਾਈਟ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

### ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਉਦਾਹਰਨਾਂ 
ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਤੋਂ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮਾਂ ਤੱਕ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਸਿੱਧਾ ਹੀ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਸਾਰੇ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਓਪਰੇਟਰ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਰਾਹੀਂ ਬਦਲ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਸਪੇਸ ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਓਪਰੇਟਰ ਰਾਹੀਂ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਣ ਲਈ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
: \hat{H} = \frac{\hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{p}}}{2m} + V(\mathbf{r}) \,, \quad \hat{\mathbf{p}} = -i\hbar \nabla 
ਜੋ ਇਹ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ:
: -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r}) = E\psi(\mathbf{r}) 
ਜੋ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾ ਹੱਲਾਂ ਵਾਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:
: \Psi(\mathbf{r},t) = \psi(\mathbf{r}) e^{-iEt/\hbar} 
ਜਿੱਥੇ ਕਣ ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ  ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਲਾਭਕਾਰੀ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਇਹ ਹਨ;
*ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ  ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ
*ਸਫੈਰੀਕਲ ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ  ਹੁੰਦਾ ਹੈ। 
ਬੇਸ਼ੱਕ, ਹੋਰ ਔਰਥੋਗਨਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਕੁੱਝ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਮਰੂਪਤਾਵਾਂ ਵਾਲੇ ਸਿਸਟਮਾਂ ਲਈ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਭਕਾਰੀ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ। 
ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਅੰਦਰ,  ਕਣਾਂ ਲਈ, ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
: \hat{H} = \sum_{n=1}^{N}\frac{\hat{\mathbf{p}}_n\cdot\hat{\mathbf{p}}_n}{2m_n} + V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots\mathbf{r}_N) \,,\quad \hat{\mathbf{p}}_n = -i\hbar \nabla_n 
ਜਿੱਥੇ;
*ਕਣ  ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ  ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ
*ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਓਪਰੇਟਰ ਕਣ ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ) ਪ੍ਰਤਿ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡੈਰੀਵਿਟਿਵ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। 
ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ) ਅੰਦਰ, ਕਣ  ਲਈ, ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ  ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂਕਿ, ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਅਤੇ ਲੈਪਲਾਸੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਇਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:
:\nabla_n = \mathbf{e}_x \frac{\partial}{\partial x_n} + \mathbf{e}_y\frac{\partial}{\partial y_n} + \mathbf{e}_z\frac{\partial}{\partial z_n}\,,\quad \nabla_n^2 = \nabla_n\cdot\nabla_n = \frac{\partial^2}{{\partial x_n}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial y_n}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial z_n}^2}
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:
: -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{m_n}\nabla_n^2\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots\mathbf{r}_N) + V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots\mathbf{r}_N)\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots\mathbf{r}_N) = E\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots\mathbf{r}_N) 
ਜੋ ਇਹਨਾਂ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾ ਹੱਲਾਂ ਵਾਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:
: \Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2\cdots \mathbf{r}_N,t) = e^{-iEt/\hbar}\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2\cdots \mathbf{r}_N) 
ਫੇਰ ਤੋਂ, ਗੈਰ-ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਕਰਦੇ ਨਿਖੇੜਨਯੋਗ ਕਣਾਂ ਲਈ, ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ, ਕਣ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;
: V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots \mathbf{r}_N) = \sum_{n=1}^N V(\mathbf{r}_n) 
ਅਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਣ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;
: \Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2\cdots \mathbf{r}_N,t) = e^{-i{E t/\hbar}}\prod_{n=1}^N\psi(\mathbf{r}_n) \, . 
ਗੈਰ-ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਕਰਦੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਕਣਾਂ ਲਈ, ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ, ਇੱਕ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਦੀਆਂ ਪਰਮਿਉਟੇਸ਼ਨਾਂ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪਿਛਲੀਆਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਕਰਦੇ ਕਣਾਂ ਤੇ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਅੱਗੇ, ਉਹ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਸਹੀ ਹੱਲ ਗਿਆਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹੋਰ ਵਿਵਰਣਾਂ ਲਈ ਮੁੱਖ ਲੇਖਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖੋ।

#### ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਐਟਮ 
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਇਸ ਕਿਸਮ ਨੂੰ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਐਟਮ ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਫੈਰੀਕਲ ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
: \psi(r,\theta,\phi) = R(r)Y_\ell^m(\theta, \phi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)
ਜਿੱਥੇ;
* ਰੇਡੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਹੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ
* ਡਿਗਰੀ  ਅਤੇ ਔਰਡਰ  ਵਾਲੇ ਸਫੈਰੀਕਲ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। 
ਇਹ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਐਟਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਸਹੀ ਤੌਰ ਤੇ ਹੱਲ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਮਲਟੀ-ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਐਟਮ ਸੰਖੇਪਤਾ ਵਿਧੀਆਂ ਮੰਗਦੇ ਹਨ। ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਫੈਮਲੀ ਇਹ ਹੈ:
: \psi_{n\ell m}(r,\theta,\phi) = \sqrt {{\left (\frac{2}{n a_0} \right)}^3\frac{(n-\ell-1)!}{2n[(n+\ell)!]} } e^{- r/na_0} \left(\frac{2r}{na_0}\right)^{\ell} L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}\left(\frac{2r}{na_0}\right) \cdot Y_{\ell}^{m}(\theta, \phi) 
ਜਿੱਥੇ:
* a_0 = \frac{4 \pi \varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}  ਬੋਹਰ ਦਾ ਰੇਡੀਅਸ ਹੈ,
* L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(\cdots)  ਡਿਗਰੀ  ਦੇ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। 
* ਕ੍ਰਮਵਾਰ, ਮੁੱਖ, ਐਜ਼ੀਮਿਊਥਲ, ਅਤੇ ਚੁੰਬਕੀ ਕੁਆਂਟਮ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਜੋ ਇਹ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦੇ ਹਨ:
: 
\begin{align} 
n & = 1,2,3, \dots \\
\ell & = 0,1,2, \dots, n-1 \\
m & = -\ell,\dots,\ell \\
\end{align}

NB: ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਵੱਖਰੇ ਵਿਦਵਾਨਾਂ ਰਾਹੀਂ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ- ਇਹਨਾਂ ਉੱਤੇ ਮੁੱਖ ਲੇਖ ਦੇਖੋ ਅਤੇ ਹਾਈਡੌਜਨ ਐਟਮ ਦੇਖੋ।

#### ਦੋ-ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਐਟਮ ਜਾਂ ਆਇਨ 
ਕਿਸੇ ਦੋ-ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਸਿਸਟਮ ਲਈ ਇਕੁਏਸ਼ਨ, ਜਿਵੇਂ ਨਿਊਟ੍ਰਲ ਹੀਲੀਅਮ ਐਟਮ (He, ), ਨੈਗਟਿਵ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਆਇਨ (H−, ), ਜਾਂ ਪੌਜ਼ਟਿਵ ਲੀਥੀਅਮ ਅਇਨ (Li+, ) ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:
:{ \partial \over \partial t} \rho\left(\mathbf{r},t\right) + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0, 
ਜਿੱਥੇ; 
:\rho=|\Psi|^2=\Psi^*(\mathbf{r},t)\Psi(\mathbf{r},t)\,\!
ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਘਣਤਾ (ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਪ੍ਰਤਿ ਯੂਨਿਟ ਵੌਲੀਊਮ,,  ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ) ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ
: \mathbf{j} = {1 \over 2m} \left(\Psi^*\hat{\mathbf{p}}\Psi - \Psi\hat{\mathbf{p}}\Psi^* \right)\,\!
ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਕਰੰਟ (ਜੋ ਪ੍ਰਤਿ ਯੂਨਿਟ ਖੇਤਰਫਲ ਵਹਿੰਦਾ ਹੈ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਤੋਂ ਅਨੁਮਾਨ, ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਸੁਰੱਖਿਅਤਾ ਦੀ ਉਲੰਘਣਾ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ।

### ਪੌਜ਼ਟਿਵ ਐਨਰਜੀ 
ਜੇਕਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਹੇਠਾਂ ਤੋਂ ਬੰਨਿਆ ਹੋਇਆ ਹੋਵੇ, ਯਾਨਿ ਕਿ, ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ ਦੀ ਕੋਈ ਨਿਊਨਤਮ ਕੀਮਤ ਹੁੰਦੀ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਆਈਗਨ-ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਜਿਹੀ ਊਰਜਾ ਵਾਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਥੱਲੇ ਤੋਂ ਬੰਨੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਵੇਰੀਏਸ਼ਨਲ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। (ਥੱਲੇ ਵੀ ਦੇਖੋ) 
ਥੱਲੇ ਤੋਂ ਬੰਨੇ ਹੋਏ ਕਿਸੇ ਵੀ ਲੀਨੀਅਰ ਓਪਰੇਟਰ  ਲਈ, ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਵਾਲਾ ਆਈਗਨ-ਵੈਕਟਰ, ਵੈਕਟਰ  ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇਸ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਸਾਰੇ  ਉੱਤੇ ਮਿਨੀਮਾਈਜ਼ (ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ) ਕਰਦਾ ਹੈ:
: \langle \psi |\hat{A}|\psi \rangle 
ਜੋ ਮਾਨਕੀਕ੍ਰਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
: {\partial \over \partial \tau} X(\mathbf{r},\tau) = \frac{\hbar}{2m} \nabla ^2 X(\mathbf{r},\tau) \,, \quad X(\mathbf{r},\tau) = \Psi(\mathbf{r},\tau/i)
ਜੋ ਡਿਫਿਊਜ਼ਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਕਿਸਮ ਵਰਗੀ ਕਿਸਮ ਦਾ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਡਿਫਿਊਜ਼ਨ ਗੁਣਾਂਕ  ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਓਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਘੁਲਮਿਲਤਾ (ਡਿਫਿਊਜ਼ੀਵਿਟੀ), ਮਾਰਕੋਵ ਪ੍ਰੋਸੈੱਸ ਮੁਤਾਬਿਕ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਸਬੰਧ ਪੈਦਾ ਕਰਦੀ ਹੈ।

### ਨਿਯਮਿਤਿਤਾ 
ਸਕੁਏਅਰ-ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਬਲ ਡੈਂਸਟੀਆਂ ਦੀ ਸਪੇਸ L^2 ਉੱਤੇ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਅਰਧ-ਸਮੂਹ (ਸੇਮੀ-ਗਰੁੱਪ) e^{it\hat{H}}, ਇੱਕ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਊਤਪਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਲਈ ਇਹ ਵਿਸ਼ਾਤਮਿਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਪ੍ਰਵਾਹ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ i\partial_t u = \widehat{H}u ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਵਿਸਥਾਰ-ਵੰਡ ਅਰਥ ਵਿੱਚ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਢੁਕਵੇਂ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨਾਂ (ਜਿਵੇਂ, ਕਿਸੇ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਰਾਹੀਂ ਸੰਭਵ ਤੌਰ ਤੇ ਸੋਧਿਆ ਹੋਇਆ ਲੈਪਲੈਸ ਓਪਰੇਟਰ) ਲਈ \widehat{H}, L^2, ਅੰਦਰ ਬੰਨਿਆ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਰਧ-ਸਮੂਹ ਪ੍ਰਵਾਹ ਆਮਤੌਰ ਵਿੱਚ ਸੋਬੋਲਲੇਵ ਨਿਯਮਿਤਿਤਾ ਦੀ ਕਮੀ ਵਾਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸਦੀ ਜਗਹ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਹੱਲ ਕਿਸੇ ਸਟ੍ਰਿਚਾਰਟਜ਼ ਅਨੁਮਾਨ ਤੇ ਖਰੇ ਉਤਰਦੇ ਹਨ।

## ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ 
ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਉੱਥੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅਤੇ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਇਕੱਠੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹੋਣ। ਆਮਤੌਰ ਵਿੱਚ, ਕਲਾਸੀਕਲ ਊਰਜਾ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਊਰਜਾ-ਮੋਮੈਂਟਮ ਸਬੰਧ ਤੋਂ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਬਣਾਉਣੀਆਂ ਪਸੰਦ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। 
:E^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2 \,, 
ਕਲੇਇਨ-ਜੌਰਡਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਤੇ ਡੀਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੋ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਹਨ। ਕਲੇਇਨ-ਗੌਰਡਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ, 
: \frac {1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi - \nabla^2 \psi + \frac {m^2 c^2}{\hbar^2} \psi = 0. ,
ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਅਜਿਹੀ ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਸੀ।, ਜੋ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਨੌਨ-ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਤੋਂ ਵੀ ਪਹਿਲਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਲਈ ਗਈ ਸੀ, ਅਤੇ ਇਹ ਪੁੰਜ-ਯੁਕਤ ਸਪਿੱਨ-ਹੀਣ ਕਣਾਂ ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਡੀਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ, ਦੋ ਅਜਿਹੇ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਵੇਵ ਓਪਰੇਟਰ ਨੂੰ ਫੈਕਟ੍ਰਾਇਜ਼ ਕਰਨ ਨਾਲ ਕਲੇਇਨ-ਗੌਰਡਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲੈਂਦੇ ਹੋਏ, ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ- ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਓਪਰੇਟਰ ਸਾਰੀ ਦੀ ਸਾਰੀ ਡੀਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਲਈ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿੱਚ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕਿਸਮ ਸੱਚ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਦੀ ਸਪਸ਼ੱਟਤਾ ਘਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਿਸੇ ਪੁੰਜ  ਅਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਚਾਰਜ  ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਕਣ ਲਈ, ਕਿਸੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ (ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨਟਿਜ਼ਮ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲਾਂ  ਅਤੇ  ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ) ਅੰਦਰ, ਡੀਰਾਕ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
:\hat{H}_{\text{Dirac}}= \gamma^0 \left[c \boldsymbol{\gamma}\cdot\left(\hat{\mathbf{p}} - q \mathbf{A}\right) + mc^2 + \gamma^0q \phi \right]\,, 
ਜਿਸ ਵਿੱਚ,  ਅਤੇ , ਕਣ ਦੇ ਸਪਿੱਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਡੀਰਾਕ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਡੀਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਸਾਰੇ  ਕਣਾਂ ਲਈ ਸੱਚ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪ੍ਰਤਿ ਹੱਲ,  ਸਪਿੱਨੌਰ ਫੀਲਡਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਦੇ ਦੋ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਕਣ ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਰੱਖਣ ਵਾਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਦੇ ਦੋ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਐਂਟੀ-ਪਾਰਟੀਕਲ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਕਲੇਇਨ-ਗੌਰਡਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਲਈ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕਿਸਮ ਵਰਤਣੀ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ, ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਡੀਰਾਕ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਪ੍ਰਤਿ ਕਿਸੇ ਤੁੱਲ ਤਰੀਕੇ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਬੱਧ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ। ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡਾਂ ਵਾਸਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੋਰ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿਸੇ ਲਗ੍ਰਾਂਜੀਅਨ ਘਣਤਾ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਫੀਲਡਾਂ ਲਈ ਇਲੁਰ-ਲਗ੍ਰਾਂਜ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਜਾਂ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਥਿਊਰੀ ਵਰਤ ਕੇ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੁੱਝ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਸਪਿੱਨ (ਅਤੇ ਪੁੰਜ) ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਸੁਤੰਤਰ ਕਣ ਲਈ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਆਮਤੌਰ ਵਿੱਚ, ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਭਰਿਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਸਿਰਫ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਓਪਰੇਟਰਾਂ (ਅਤੇ ਸੰਭਵ ਤੌਰ ਤੇ ਸਮੇਂ) ਦਾ ਹੀ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਸਗੋੰ ਸਪਿੱਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਵੀ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਹੀ,  ਸਪਿੱਨ ਵਾਲੇ, ਕਿਸੇ ਪੁੰਜ-ਯੁਕਤ ਕਣ ਲਈ, ਕਿਸੇ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਤਰੰਗ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਤਿ ਹੱਲ, ਕੰਪਲੈਕਸ ਮੁੱਲਾਂ ਵਾਲੀਆਂ  ਸਪਿੱਨੌਰ ਫੀਲਡਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

## ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ 
ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ (ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ) ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਵੀ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਅਤੇ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਗੈਰ-ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਦੋਵੇਂ ਕਿਸਮ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਲਈ ਅਜਿਹਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਹੱਲ  ਕਿਸੇ ਤਰੰਗ ਦੇ ਤੌਰ
ਤੇ ਵਿਆਖਿਅਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ, ਸਗੋਂ ਕਿਸੇ ਫੋਕ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਮੌਜੂਦ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਓਪਰੇਟਰ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵਿਆਖਿਅਤ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
## ਪਹਿਲੀ ਘਾਤ ਵਾਲੀ ਕਿਸਮ 
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਓਸੇ ਅੰਦਾਜ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਹਿਲੇ ਦਰਜੇ ਦੀ ਕਿਸਮ ਤੋਂ ਵੀ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਲੇਇਨ-ਜੌਰਡਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਡੀਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਤੋਂ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। 1 D ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਦਰਜੇ ਦੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ;
:
\begin{align}
-i \partial_z \psi = (i \eta \partial_t + \eta^\dagger m) \psi 
\end{align}

ਇਹ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ ਸਪਿੱਨ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਉਪਰੋਕਤ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰਨ ਨਾਲ 1 D ਵਿੱਚ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ  \eta  ਅੱਗੇ ਲਿਖੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦੇ ਹਨ;
:
\begin{align}
\eta^2=0 \\
(\eta^\dagger)^2=0 \\
\left\lbrace \eta, \eta^\dagger \right\rbrace= 2 I
\end{align}

ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦਾ 3-ਅਯਾਮੀ ਵਰਜ਼ਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; 
:
\begin{align}
-i \gamma_i \partial_i \psi = (i \eta \partial_t + \eta^\dagger m) \psi 
\end{align}

ਇੱਥੇ 
* \eta=(\gamma_0+i \gamma_5)/\sqrt{2}  ਇੱਕ 4 \times 4 ਨਿਲਪੋਟੈਂਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ
* \gamma_i  ਡੀਰਾਕ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (i=1,2,3) ਹੁੰਦੇ ਹਨ। 
3 D ਅੰਦਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਉਪਰੋਕਤ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਕੁਏਅਰ (ਵਰਗ) ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਨੌਨ-ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਹੱਦ E-m \simeq E' ਅਤੇ E+m \simeq 2m ਵਿੱਚ, ਓਪਰੋਕਤ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਡੀਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਤੋਂ ਵਿਓਂਤਬੱਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

## ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ 
*ਇਖਾਓਸ ਇਕੁਏਸ਼ਨ
*ਫ੍ਰੈਕਸ਼ਨਲ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ
*ਐਨਾਲਿਟੀਕਲ ਹੱਲਾੰ ਵਾਲੇ ਕੁਆਂਟਮ-ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ
*ਲੌਗਰਿਥਮਿਕ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ
*ਗੈਰ-ਰੇਖਿਕ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ
*ਕੁਆਂਟਮ ਕਾਰਪੈਟ
*ਕੁਆਂਟਮ ਰੀਵਾਈਵਲ
*ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਦਰਮਿਆਨ ਸਬੰਧ
*ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਫੀਲਡ
*ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਤਸਵੀਰ
*ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰਜ਼ ਕੈਟ
*ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਲਈ ਸਿਧਾਂਤਿਕ ਅਤੇ ਪ੍ਰਯੋਗਿਕ ਪੁਸ਼ਟੀ

## ਨੋਟਸ 
## ਹਵਾਲੇ 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## ਬਾਹਰੀ ਲਿੰਕ 
* 
* Quantum Physics  – textbook by Benjamin Crowell with a treatment of the time-independent Schrödinger equation
* Linear Schrödinger Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* Nonlinear Schrödinger Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* The Schrödinger Equation in One Dimension  as well as the directory of the book .
* All about 3D Schrödinger Equation 
*Mathematical aspects of Schrödinger equations are discussed on the Dispersive PDE Wiki .
* Web-Schrödinger: Interactive solution of the 2D time-dependent and stationary Schrödinger equation 
* An alternate reasoning behind the Schrödinger Equation 
* Online software-Periodic Potential Lab Solves the time-independent Schrödinger equation for arbitrary periodic potentials.
*What Do You Do With a Wavefunction?
*The Young Double-Slit Experiment


ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਵੇਵ ਮਕੈਨਿਕਸ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਆਸਟਰੀਅਨ ਖੋਜਾਂ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ