ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ (ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ)

ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਜਿਆਦਾਤਰ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਆਮਤੌਰ ਤੇ **H** ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ **Ȟ** ਜਾਂ **Ĥ** ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ ਨਾਪਣ ਵੇਲ਼ੇ ਨਿਕਲਣ ਵਾਲੇ ਸੰਭਵ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦਾ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਵਕਤ ਉਤਪਤੀ ਨਾਲ ਇਸਦੇ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਸਬੰਧ ਹੋਣ ਕਾਰਣ ਕੁਆਂਟਮ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਜਿਆਦਾਤਰ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਵਿੱਚ ਇਹ ਬੁਨਿਆਦੀ ਮਹੱਤਤਾ ਵਾਲਾ ਹੈ।

ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਦਾ ਨਾਮ ਸਰ ਵਿਲੀਅਮ ਰੋਵਨ ਹੈਮਿਲਟਨ (1805-1865) ਦੇ ਨਾਮ ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਆਇਰਿਸ਼ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ, ਖਗੋਲ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਅਤੇ ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਸੀ ਜੋ ਨਿਊਟੋਨੀਅਨ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਆਪਣੀ ਪੁਨਰ-ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਲਈ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਹੁਣ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਮਕੈਨਿਕਸ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ।

## ਜਾਣ ਪਛਾਣ
ਸਿਸਟਮ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਕਣਾਂ ਦੀ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ ਅਤੇ ਸਾਰੇ ਕਣਾਂ ਦੀਆਂ ਕਾਇਨੈਟਿਕ ਊਰਜਾਵਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਵੱਖਰੀਆਂ ਪ੍ਰਸਥਿਤੀਆਂ ਜਾਂ ਕਣਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਾਸਤੇ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਵੱਖਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਕਣਾਂ ਦੀਆਂ ਕਾਇਨੈਟਿਕ ਊਰਜਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਥਿਤੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

## ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ
### ਇੱਕ ਕਣ
ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਨਾਲ ਸਮਾਨਤਾ ਮੁਤਾਬਿਕ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਤੌਰ ਤੇ ਇਸ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਕਾਇਨੈਟਿਕ ਅਤੇ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;

: \hat{H} = \hat{T} + \hat{V} 

ਜਿੱਥੇ

: \hat{V} = V = V(\mathbf{r},t) 
 
ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ

:\hat{T} = \frac{\mathbf{\hat{p}}\cdot\mathbf{\hat{p}}}{2m} = \frac{\hat{p}^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2

ਕਾਇਨੈਟਿਕ ਊਰਜਾ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ m ਕਣ ਦਾ ਪੁੰਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਬਿੰਦੂ (ਡੌਟ) ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ

: \hat{p} = -i\hbar\nabla 

ਮੋਮੈਂਟਮ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂਕਿ **∇** ਡੈਲ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। **∇** ਦਾ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਲੈਪਲੇਸੀਅਨ ∇2 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਅੰਦਰ ਲੈਪਲੇਸੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

:\nabla^2 = \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial y}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial z}^2}

ਬੇਸ਼ੱਕ ਇਹ ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਦੀ ਤਕਨੀਕੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਫੇਰ ਵੀ ਇਹੀ ਓਹ ਰੂਪ ਹੈ ਜੋ ਇਹ ਜਿਆਦਾਤਰ ਸਾਂਝੇ ਤੌਰ ਤੇ ਧਾਰਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਮਿਲਾਓਣ ਤੇ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਜਾਣੀ ਪਛਾਣੀ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ:

:\begin{align}\hat{H} & = \hat{T} + \hat{V} \\
 & = \frac{\mathbf{\hat{p}}\cdot\mathbf{\hat{p}}}{2m}+ V(\mathbf{r},t) \\
 & = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+ V(\mathbf{r},t)\end{align}

ਜੋ ਇੱਕ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ **Ψ(r, t)** ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲ਼ੇ ਸਿਸਟਮਾਂ ਉੱਤੇ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਦੇ ਵੇਵ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਇਹ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਜਾਣ ਪਛਾਣਾਤਮਿਕ ਇਲਾਜ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਤੌਰ ਤੇ ਅਪਣਾਇਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਹੈ।

ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡਾਂ ਵਾਲੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਰਗੇ ਕੁੱਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਪ੍ਰਤਿ ਫਿੱਟ ਕਰਨ ਵਾਸਤੇ ਕੁੱਝ ਅਸਥਰਿਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਿਆ ਵੀ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

### ਕਈ ਕਣ
ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਨੂੰ N ਕਣਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

: \hat{H} = \sum_{n=1}^N \hat{T}_n + V 

ਜਿੱਥੇ

: V = V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2\cdots \mathbf{r}_N,t) 

ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਸਿਸਟਮ ਅਤੇ ਟਾਈਮ (ਵਕਤ ਦੇ ਕਿਸੇ ਪਲ ਉੱਤੇ ਸਥਾਨਿਕ ਪੁਜੀਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਖਾਸ ਸੈੱਟ ਇੱਕ ਬਣਤਰ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ) ਦੀ ਸਥਾਨਿਕ ਬਣਤਰ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ

: \hat{T}_n = \frac{\mathbf{p}_n\cdot\mathbf{p}_n}{2m_n} 

***nਵੇਂ** ਕਣ ਦਾ ਗਤਿਜ ਊਰਜਾ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
*ਅਤੇ ∇n, **n** ਵੇਂ ਕਣ ਵਾਸਤੇ ਗਰੇਡੀਅੰਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
*∇n2, ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕਣਾਂ ਵਾਸਤੇ ਲੈਪਲੇਸੀਅਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

:\nabla_n^2 = \frac{\partial^2}{\partial x_n^2} + \frac{\partial^2}{\partial y_n^2} + \frac{\partial^2}{\partial z_n^2}

ਇਹਨਾਂ ਸਭ ਨੂੰ ਮਿਲਾ ਕੇ N-ਕਣਾਂ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਾਸਤੇ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਬਣਦਾ ਹੈ:

:\begin{align} \hat{H} & = \sum_{n=1}^N \hat{T}_n + V \\
 & = \sum_{n=1}^N \frac{\mathbf{\hat{p}}_n\cdot\mathbf{\hat{p}}_n}{2m_n}+ V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2\cdots\mathbf{r}_N,t) \\
 & = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^N \frac{1}{m_n}\nabla_n^2 + V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2\cdots\mathbf{r}_N,t)
\end{align} 

ਫੇਰ ਵੀ, ਕਈ-ਸ਼ਰੀਰ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਜਟਿਲਤਾਵਾਂ ਪੈਦਾ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਐਨਰਜੀ ਕਣਾਂ ਦੀ ਸਥਾਨਿਕ ਵਿਵਸਥਾ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਕਾਇਨੈਟਿਕ ਐਨਰਜੀ ਵੀ ਊਰਜਾ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਨ ਵਾਸਤੇ ਸਥਾਨਿਕ ਬਣਤਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰੇਗੀ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਇੱਕ ਕਣ ਕਾਰਨ ਗਤੀ ਸਿਸਟਮ ਵਿਚਲੇ ਹੋਰ ਕਣਾਂ ਦੀ ਗਤੀ ਕਾਰਣ ਤਬਦੀਲ ਹੋਵੇਗੀ। ਇਸ ਕਾਰਣ ਕਾਰਨ ਕਾਇਨੈਟਿਕ ਐਨਰਜੀ ਵਾਸਤੇ ਆਰਪਾਰ ਰਕਮਾਂ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਵਿੱਚ ਦਿਸ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ: ਜੋ ਦੋ ਕਣਾਂ ਵਾਸਤੇ ਗਰੇਡੀਅੰਟਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਮਿਸ਼ਰਣ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ:

:-\frac{\hbar^2}{2M}\nabla_i\cdot\nabla_j 

ਜਿੱਥੇ **M** ਚਿੰਨ੍ਹ ਕਣਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੇ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਜੋ ਇਸ ਅਤਿਰਿਕਤ ਗਤਿਜ ਊਰਜਾ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਰਕਮਾਂ ਨੂੰ ਪੁੰਜ ਪੋਲਰਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਟਰਮਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਕਈ ਇਲੈਕਟ੍ਰੀਨ ਐਟਮਾਂ ਦੇ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਵਿੱਚ ਦਿਸਦੀਆਂ ਹਨ (ਥੱਲੇ ਦੇਖੋ)।

ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ N-ਕਣਾਂ ਵਾਸਤੇ, ਯਾਨਿ ਕਿ, ਜੋ ਕਣ ਇੱਕ ਕਈ-ਸ਼ਰੀਰ ਪ੍ਰਸਥਿਤੀ ਰਚਦੇ ਹਨ, ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ ਫੰਕਸ਼ਨ V ਸਰਲ ਤੌਰ ਤੇ ਵੱਖਰੇ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ (ਅਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਵੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਅਯਾਮਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਗਲਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ)। ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਐਨਰਜੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਿਰਫ ਉੱਪਰ ਲਿਖੇ ਵਾਂਗ ਹੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: ਹਰੇਕ ਕਣ ਦੀਆਂ ਸਥਾਨਿਕ ਪੁਜੀਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ।

ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ ਨਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਕਣਾਂ ਵਾਸਤੇ, ਯਾਨਿ ਕਿ, ਜਿਹੜੇ ਕਣ ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਨਾਲ ਗਤੀ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਹਰੇਕ ਕਣ ਵਾਸਤੇ ਵੱਖਰੀ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਐਨਰਜੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਯਾਨਿ ਕਿ,

: V = \sum_{i=1}^N V(\mathbf{r}_i,t) = V(\mathbf{r}_1,t) + V(\mathbf{r}_2,t) + \cdots + V(\mathbf{r}_N,t) 

ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਦਾ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

:\begin{align} \hat{H} & = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{m_i}\nabla_i^2 + \sum_{i=1}^N V_i\\
 & = \sum_{i=1}^{N}\left(-\frac{\hbar^2}{2m_i}\nabla_i^2 + V_i \right) \\
 & = \sum_{i=1}^{N}\hat{H}_i \\
\end{align}

ਜਿੱਥੇ ਜੋੜ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਕਣਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸਬੰਧਤ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਹਰੇਕ ਕਣ ਵਾਸਤੇ ਵੱਖਰੇ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਆਦਰਸ਼ੀਕ੍ਰਿਤ ਪ੍ਰਸਥਿਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ- ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਕਣ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਕਿਸੇ ਨਾ ਕਿਸੇ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਤੋਂ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਹੁੰਦੇ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਕਈ-ਸ਼ਰੀਰ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਕਿਸੇ ਦੋ-ਸ਼ਰੀਰ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ ਦੀ ਚਾਰਜ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਕਣਾਂ ਕਾਰਣ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਸਟੈਟਿਕ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਵਾਸਤੇ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਇਹ ਰੂਪ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕੇਗਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਕੂਲੌਂਬ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ (ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਸਟੈਟਿਕ ਬਲ) ਦੁਆਰਾ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਥੱਲੇ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

## ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ
ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਵਕਤ ਉਤਪਤੀ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਵਕਤ t ਉੱਤੇ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਅਵਸਥਾ  \left| \psi (t) \right\rangle ਹੋਵੇ, ਤਾਂ

: H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle.

ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਹੈਮਿਲਟਨ-ਜੈਕਬੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਰਗਾ ਰੂਪ ਲੈ ਲੈਂਦੀ ਹੈ, ਜੋ **H** ਨੂੰ ***ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ*** ਕਹਿਣ ਦੇ ਕਾਰਣਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਕਾਰਣ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਮੇਂ (t = 0) ਉੱਤੇ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਅਵਸਥਾ ਵਾਸਤੇ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਕਿਸੇ ਅਗਲੇ ਵਕਤ ਦੇ ਪਲ ਉੱਤੇ ਅਵਸਥਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਖਾਸ ਕਰਕੇ, ਜੇਕਰ **H** ਵਕਤ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ

: \left| \psi (t) \right\rangle = e^{-iHt/\hbar} \left| \psi (0) \right\rangle.

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਉੱਤੇ ਐਕਪੋਨੈਂਸ਼ਲ ਓਪਰੇਟਰ ਆਮਤੌਰ ਤੇ **H** ਵਿੱਚ ਸਬੰਧਤ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਜਗਹ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਗੈਰ-ਹੱਦ ਵਾਲੇ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਜਾਂ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲਾਂ ਨੂੰ ਲੈਣਾ ਗਣਿਤਿਕ ਅਰਥ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦਾ। ਠੋਸ ਪੂਰਵਕ, ਗੈਰ-ਸੀਮਾਵਾਂ ਵਾਲੇ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਨੂੰ ਲੈਣ ਵਾਸਤੇ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਕੈਲਕੁਲਸ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਐਕਪੋਨੈਂਸ਼ਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਨਿਰੰਤਰ, ਜਾਂ ਸਿਰਫ ਹੋਲੋਮਰਫਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਕੈਲਕੁਲਸ ਜਰੂਰ ਪੂਰੀ ਕਰਨ ਵਾਸਤੇ ਕਾਫੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਫੇਰ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ, ਫੇਰ ਵੀ, ਸਾਂਝੀਆਂ ਕੈਲਕੁਲੇਸ਼ਨਾਂ ਵਾਸਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਦੀ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਬਹੁਤ ਕਾਫੀ ਹੈ।

ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਕੈਲਕੁਲਸ ਦੀ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਰਾਹੀਂ, ਓਪਰੇਟਰ

: U = e^{-iHt/\hbar} 
 
ਇੱਕ ਯੂਨਾਇਟਰੀ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕਿਸੇ ਬੰਦ ਕੁਆਂਟਮ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਵਕਤ ਉਤਪਤੀ ਓਪਰੇਟਰ, ਜਾਂ ਪ੍ਰਸਾਰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਵਕਤ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ {U(t)} ਇੱਕ ਇੱਕ-ਮਾਪਦੰਡ ਵਾਲਾ ਯੂਨਾਇਟਰੀ ਗਰੁੱਪ (ਕਿਸੇ ਅਰਧ-ਗਰੁੱਪ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ) ਰਚਦਾ ਹੈ; ਇਹ ਵਿਸਥਾਰਪੂਰਵਕ ਸੰਤੁਲਨ ਦੇ ਭੌਤਿਕੀ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।

## ਡੀਰਾਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ
ਬੇਸ਼ੱਕ, ਡੀਰਾਕ ਦੀ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਵਿੱਚ, ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦੱਸੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਕਿਸੇ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਓਪਰੇਟਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ (ਰੱਖਿਆ) ਹੈ:

H ਦੇ ਆਈਗਨਕੈੱਟ (ਆਈਗਨਵੈਕਟਰ), ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ \left| a \right\rang ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਵਾਸਤੇ ਇੱਕ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ ਮੁਹੱਈਆ ਕਰਵਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਊਰਜਾ ਲੈਵਲਾਂ ਦਾ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਆਇਗਨਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ {*E*a} ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ;

: H \left| a \right\rangle = E_a \left| a \right\rangle.

ਕਿਉਂਕਿ H ਇੱਕ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਊਰਜਾ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।

ਇੱਕ ਠੋਸ ਗਣਿਤਿਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਤੋਂ, ਉੱਪਰ ਲਿਖੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਵਾਸਤੇ ਸਾਵਧਾਨੀ ਵਰਤਣੀ ਜਰੂਰੀ ਹੈ। ਅਨੰਤ-ਅਯਾਮੀ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸਾਂ ਉੱਪਰ ਓਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਆਈਗਨਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਹੋਣਾ ਜਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ (ਆਈਗਨਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਦਾ ਕਿਸੇ ਓਪਰੇਟਰ ਦੇ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਣਾ ਜਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ)। ਫੇਰ ਵੀ, ਸਾਰੀਆਂ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਕੈਲਕੁਲੇਸ਼ਨਾਂ ਭੌਤਿਕੀ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਵਰਤਕੇ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।

## ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ
### ਇੱਕ ਕਣ ਲਈ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ
### ਸੁਤੰਤਰ ਕਣ
### ਸਥਿਰ-ਪੁਟੈਂਸ਼ਨ ਖੂਹ
### ਸਰਲ ਹਾਰਮਿਨਿਕ ਔਸੀਲੇਟਰ
### ਠੋਸ ਰੋਟਰ
### ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਸਟੇਟਿਕ ਜਾਂ ਕੂਲੌਂਬ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ
### ਕਿਸੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਫੀਲਡ ਅੰਦਰ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਡਾਈਪੋਲ
### ਕਿਸੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ ਅੰਦਰ ਚਾਰਜ ਵਾਲੇ ਕਣ
## ਊਰਜਾ ਆਈਹਨ-ਕੈੱਟ ਵਿਨਾਸ਼, ਸਮਰੂਪਤਾ, ਅਤੇ ਸੁਰਖਿਅਤਾ ਨਿਯਮ
## ਹੈਮਿਲਟਨ ਦੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ
## ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ
## ਹਵਾਲੇ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਮਕੈਨਿਕਸ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਓਪਰੇਟਰ ਥਿਊਰੀ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਕੁਆਂਟਮ ਰਸਾਇਣ ਵਿਗਿਆਨ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਸਿਧਾਂਤਕ ਰਸਾਇਣ ਵਿਗਿਆਨ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਕੰਪਿਊਟੇਸ਼ਨਲ ਰਸਾਇਣ ਵਿਗਿਆਨ