ਸੱਤ-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲਾ ਕਰੌਸ-ਪ੍ਰੋਡਕਟ

ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਸੱਤ-ਅਯਾਮੀ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ, ਸੱਤ-ਅਯਾਮੀ ਯੂਨਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ R7 ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ a,b ਤੇ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ a × b ਵੀ R7 ਵਿੱਚ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਤਰਾਂ ਹੀ ਸੱਤ-ਅਯਾਮੀ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਐਂਟੀ-ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ a × b ਦੋਹਾਂ a ਅਤੇ b ਤੋਂ ਔਰਥਾਗਨਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮਾਂ ਤੋਂ ਵਿਰੁੱਧ, ਇਹ ਜੈਕੋਬੀ-ਆਇਡੈਂਟਿਟੀ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। (ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਜੈਕੋਬੀ ਆਇਡੈਂਟਿਟੀ ਕਿਸੇ ਬਾਇਨਰੀ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਦਾ ਉਹ ਗੁਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਲਈ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਤਪੱਤੀ ਦੀ ਵਿਵਸਥਾ ਕਿਵੇਂ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰਦੀ ਹੈ)। ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਕਰੌਸ-ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਕਿਸੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਤੱਕ ਯੂਨੀਕ ਰਹਿਂਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਕਈ ਸੱਤ-ਅਯਾਮੀ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਹਨ। ਸੱਤ-ਅਯਾਮੀ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਔਕਟੋਨੀਅਨਾਂ (ਅੱਠ-ਅਯਾਮੀ ਅਲਜਬਰਾ) ਪ੍ਰਤਿ ਓਹੀ ਰਿਸ਼ਤਾ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਜੋ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਗੁਣਨਫਲ ਕੁਆਰਟਰੋਨੀਅਨਾਂ (ਨੰਬਰ-ਸਿਸਟਮ ਜੋ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਵਧਾਉਂਦਾ ਹੈ) ਲਈ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।

ਸੱਤ-ਅਯਾਮੀ ਕਰੌਸ-ਪ੍ਰੋਡਕਟ, ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮਾਂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਰੌਸ-ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਦੋ-ਰੇਖਿਕ ਗੁਣਨਫਲ ਕਰਨ ਦਾ ਹੋਰ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਇਹੀ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਹੀ ਹੈ, ਜੋ ਵੈਕਟਰ ਮੁੱਲ ਵਾਲਾ, ਗੈਰ-ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਅਤੇ ਔਰਥਾਗਨਲ ਹੈ। ਹੋਰ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਤਿੰਨ ਜਾਂ ਤਿੰਨ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਵੈਕਟਰ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਇਹਨਾਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਅਤੇ ਬਾਇਵੈਕਟਰਾਂ (2 ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ) ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨਾਲ ਬਾਇਨਰੀ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਮਨਜੂਰ ਕਰਦੇ ਹਨ। 
 
## ਗੁਣਨਫਲ ਟੇਬਲ
ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮਲਟੀਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਚਾਰਟ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਇੱਥੇ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਚਾਰਟ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਾਂ ei ਅਤੇ ej ਦੇ 1 ਤੋਂ 7 ਤੱਕ ਦੇ ਹਰੇਕ ਮੁੱਲ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਚਾਰਟ ਵਾਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਲਈ;

:\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_3 =-\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_1

ਇਹ ਚਾਰਟ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, x × y ਦਾ e1 ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਨੂੰ ਰਚਣ ਵਾਲੇ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰ ਚੁੱਕੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਮਿਲ ਸਕੇ;

:\left(\mathbf{ x \times y}\right)_1 = x_2y_3 - x_3y_2 +x_4y_5-x_5y_4 + x_7y_6-x_6y_7.
This can be repeated for the other six components.

ਇਸ ਨੂੰ ਬਾਕੀ ਦੇ ਛੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਲਈ ਦੋਹਰਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਲਈ ਅਜਿਹੇ 480 ਟੇਬਲ ਹਨ, ਜੋ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੇ ਖਰੇ ਉਤਰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਟੇਬਲ ਇਸ ਸਬੰਧ ਰਾਹੀਂ ਸੰਖੇਪ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ;

:\mathbf{e}_i \mathbf{\times} \mathbf{e}_j = \varepsilon _{ijk} \mathbf{e}_k, 

ਜਿੱਥੇ \varepsilon _{ijk} ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਪੌਜੇਟਿਵ +1 ਵਾਲਾ ਪੂਰੀ ਤਰਾਂ ਉਲਟ-ਸਮਿੱਟਰਿਕ ਟੈਂਸਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ

ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365

ਇਸ ਟੇਬਲ ਦਾ ਉੱਪਰਲਾ ਖੱਬਾ 3 × 3 ਕੋਨਾ ਤਿੰਨ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।

## ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਕਿਸੇ ਯੂਕਿਨਲਡਨ ਸਪੇਸ V ਉੱਤੇ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ V × V ਤੋਂ V ਤੱਕ ਦਾ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਮੈਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ V ਵਿੱਚ x ਅਤੇ y ਦਾ V ਵਿੱਚ ਹੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਵੈਕਟਰ x × y ਤੱਕ ਮੈਪ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x × y ਦੀਆਂ ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ;

*ਔਰਥੋਗੋਨਲਟੀ:
::\mathbf{x} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \cdot \mathbf{y}=0,
*ਮਾਤਰਾ:
::|\mathbf{x} \times \mathbf{y}|^2 = |\mathbf{x}|^2 |\mathbf{y}|^2 - (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y})^2 

ਜਿੱਥੇ (x•y) ਯੂਕਿਲਡਨ ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਹੈ ਅਤੇ |x| ਵੈਕਟਰ ਨੌਰਮ ਹੈ। ਪਹਿਲੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਬਿਆਨ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਗੁਣਨਫਲ ਇਸਦੇ ਰਚਣ ਵਾਲਿਆਂ ਤੋਂ ਸਮਕੋਣ ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂਕਿ ਦੂਜੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਐਂਗਲ ਥੀਟੇ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਇਸਦੇ ਸਮਾਨਤਾ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਇਹ ਬਣੇਗੀ;

:|\mathbf{x} \times \mathbf{y}| = |\mathbf{x}| |\mathbf{y}| \sin \theta, 

ਜੋ ਦੋ ਸਾਈਡਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਏ ਗਏ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਪਲੇਨ x ਅਤੇ y ਵਿੱਚ ਬਣਨ ਵਾਲੀ ਪਰਲੈਲੋਗਰਾਮ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ। ਮਾਤਰਾ ਦੀ ਸ਼ਰਤ ਦੀ ਤੀਜੀ ਸਟੇਟਮੈਂਟ ਇਹ ਹੈ;

: |\mathbf{x} \times \mathbf{y}| = |\mathbf{x}| |\mathbf{y}|~\mbox{if} \ \left(\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \right)= 0.

## ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ 
ਬਾਇਲੀਨੀਅਰਟੀ, ਔਰਥੋਗੋਨਲਟੀ ਅਤੇ ਮਾਤਰਾ ਦੀਆਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨਾਲ, ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਸਿਰਫ ਤਿੰਨ ਅਤੇ ਸੱਤ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਹੀ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਲਈ ਜਰੂਰੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਿਖਾ ਕੇ, ਅਤੇ ਫੇਰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਬਣਾ ਕੇ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸਿਰਫ ਉਦੋਂ ਹੀ ਖਰੀ ਉਤਰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ 0, 1, 3, ਜਾਂ 7 ਹੋਣ। ਜੀਰੋ-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਜੀਰੋ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਇੱਕ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਵੈਕਟਰ ਸਮਾਂਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸਲਈ ਦੋਵੇਂ ਕੇਸਾਂ ਵਿੱਚ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਜੀਰੋ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।

0, 1, 3, ਜਾਂ 7 ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੀ ਪਾਬੰਧੀ ਹਰਵਿਟਜ਼ ਦੀ ਥਿਊਰਮ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹੈ ਕਿ ਨੌਰਮ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਅਲਜਬਰਾ ਸਿਰਫ 1, 2, 4, ਅਤੇ 8 ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਹੀ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਨੌਰਮ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਅਲਜਬਰੇ ਨੂੰ 0,1, 3, ਜਾਂ 7 ਕਾਲਪਨਿਕ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀਆਂ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਤੱਕ ਰੋਕ ਕੇ ਇਸਦਾ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਰਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਿਰਫ ਤਿੰਨ ਅਤੇ ਸੱਤ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਹੀ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।

ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਤੋਂ ਵਿਰੁੱਧ, ਜੋ ਯੂਨੀਕ (ਚਿੰਨ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਸੱਤ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਬਾਇਨਰੀ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਸੰਭਵ ਹਨ। ਇਸ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਨਾ ਹੈ ਕਿ x ਅਤੇ y ∈ ℝ7 ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਜੋੜੇ ਲਈ, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ v ਜਿਸਦੀ ਮਾਤਰਾ |v| = |x||y| sin θ ਹੋਵੇ, x ਅਤੇ y ਰਾਹੀਂ ਫੈਲਾਈ ਪਲੇਨ ਤੋਂ ਸਮਕੋਣ ਪੰਜ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਮਲਟੀਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਟੇਬਲ ਨਾਲ ਕੋਈ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਖੋਜਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ x × y = v ਹੋਵੇ। ਇਹ ਉਸਤਰਾਂ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ x × y = a × b ਤੋਂ ਇਹ ਅਰਥ ਨਹੀਂ ਨਿਕਲਦਾ ਕਿ a ਅਤੇ b ਉਸੇ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ ਜਿਸ ਵਿੱਚ x ਅਤੇ y ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦੀਆਂ ਹੋਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਇਹ ਪਛਾਣਾਂ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ:

#**1.	ਐਂਟੀ-ਕਮਿਊਟੇਟੀਵਿਟੀ (ਗੈਰ-ਵਟਾਂਦਰਾ ਸਬੰਧ ਰੱਖਣੇ):**
#: \mathbf{x} \times \mathbf{y} = -\mathbf{y} \times \mathbf{x} 
#**2.	ਸਕੇਲਰ ਟਰਿਪਲ ਪ੍ਰੋਡਕਟ:**
#: \mathbf{x} \cdot (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) = \mathbf{y} \cdot (\mathbf{z} \times \mathbf{x}) = \mathbf{z} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y})
#ਮਾਲਸੀਵ ਆਇਡੈਂਟਿਟੀ
#: (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \times (\mathbf{x} \times \mathbf{z}) = ((\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \times \mathbf{z}) \times \mathbf{x} + ((\mathbf{y} \times \mathbf{z}) \times \mathbf{x}) \times \mathbf{x} + ((\mathbf{z} \times \mathbf{x}) \times \mathbf{x}) \times \mathbf{y}
#: \mathbf{x} \times (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = -|\mathbf{x}|^2 \mathbf{y} + (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}) \mathbf{x}.

ਹੋਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਸਿਰਫ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਹੀ ਲਾਗੂ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਸੱਤ-ਅਯਾਮੀ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਰਾਹੀਂ ਖਰੀਆਂ ਨਹੀਂ ਉਤਰਦੀਆਂ, ਜੋ ਇਹ ਹਨ,#[ਵੈਕਟਰ ਟਰੀਪਲ ਪ੍ਰੋਡਕਟ;
#: \mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{z}) \mathbf{y} - (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}) \mathbf{z} 
#ਜੈਕੋਬੀ ਅਡੈਂਟਿਟੀ;
#: \mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) + \mathbf{y} \times (\mathbf{z} \times \mathbf{x}) + \mathbf{z} \times (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = 0

## ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਦਰਸਾਓ
ਕੋਈ ਖਾਸ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਪਰੋਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਔਰਥੌਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ {ej} ਚੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਟੇਬਲ ਮੁਹੱਈਆ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸਾਰੇ ਗੁਣਨਫਲ {ei × ej} ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦਾ ਹੋਵੇ। ਇੱਕ ਸੰਭਵ ਮਲਟੀਲੀਕੇਸ਼ਨ ਟੇਬਲ ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਨਿਰਾਲਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਤਿੰਨ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਤੋਂ ਉਲਟ, ਕਈ ਟੇਬਲ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਹਰੇਕ ਜੋੜਾ ਬਾਕੀ ਦੇ ਪੰਜ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਤੋਂ ਸਮਕੋਣ ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।, ਜੋ ਹਰੇਕ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਲਈ ਕਈ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। 
ਇੱਕ ਵਾਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਟੇਬਲ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਫੇਰ ਇਸਨੂੰ, ਬਾਇਲੀਨੀਅਰਟੀ ਰਾਹੀਂ x × y ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਅਤੇ ਬੇਸਿਸ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ x ਅਤੇ y ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਕੇ ਆਮ ਵੈਕਟਰਾਂ x ਅਤੇ y ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

 Using **e**1 to **e**7 ਜਾਣ ਪਛਾਣ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗੁਣਨਫਲ ਟੇਬਲ ਤੋਂ ਵੱਖਰੇ ਟੇਬਲ ਰਾਹੀਂ e1 ਤੋਂ e7 ਤੱਕ ਦੇ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰ ਵਰਤ ਕੇ, ਐਂਟੀਕਮਿਊਟੇਟੀਵਿਟੀ ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਮਿਲਦਾ ਹੈ;

by
:\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_4, \quad \mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_4 = \mathbf{e}_1, \quad \mathbf{e}_4 \times \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_2,

:\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3 = \mathbf{e}_5, \quad \mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_5 = \mathbf{e}_2, \quad \mathbf{e}_5 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_3,

:\mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_4 = \mathbf{e}_6, \quad \mathbf{e}_4 \times \mathbf{e}_6 = \mathbf{e}_3, \quad \mathbf{e}_6 \times \mathbf{e}_3 = \mathbf{e}_4,

:\mathbf{e}_4 \times \mathbf{e}_5 = \mathbf{e}_7, \quad \mathbf{e}_5 \times \mathbf{e}_7 = \mathbf{e}_4, \quad \mathbf{e}_7 \times \mathbf{e}_4 = \mathbf{e}_5,

:\mathbf{e}_5 \times \mathbf{e}_6 = \mathbf{e}_1, \quad \mathbf{e}_6 \times \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_5, \quad \mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_5 = \mathbf{e}_6,

:\mathbf{e}_6 \times \mathbf{e}_7 = \mathbf{e}_2, \quad \mathbf{e}_7 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_6, \quad \mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_6 = \mathbf{e}_7,

:\mathbf{e}_7 \times \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_3, \quad \mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_3 = \mathbf{e}_7, \quad \mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_7 = \mathbf{e}_1.

ਜਿਆਦਾ ਸੰਖੇਪਤਾ ਨਾਲ ਇਸ ਤਰਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

: \mathbf{e}_i \times \mathbf{e}_{i+1} = \mathbf{e}_{i+3}

ਜਿੱਥੇ i = 1...7 ਮੋਡਿਉਲੋ 7 ਅਤੇ ਸੂਚਕਾਂਕ i, i + 1 ਅਤੇ i + 3 ਜਿਸਤ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਦੂਜੇ ਸਥਾਨ ਤੇ ਰੱਖਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਐਂਟੀਕਮਿਊਟੇਟੀਵਿਟੀ ਨਾਲ ਇਕੱਠਾ ਲਿਆ ਗਿਆ ਇਹ ਤਰੀਕਾ ਗੁਣਨਫਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਨਿਯਮ, ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ ਜ਼ੀਰੋਆਂ ਵਾਲੇ ਡਾਇਗਨਲ ਤੋਂ ਤੁਰੰਤ ਨਾਲ ਲਗਦੇ ਦੋ ਡਾਇਗਨਲ ਸਿੱਧਾ ਹੀ ਰਚਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਹੀ, ਨਤੀਜਿਆਂ ਉੱਤੇ ਉਪਭਾਗ (ਸਬਸੈਕਸ਼ਨ) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਡੈਂਟਿਟੀ ਤੋਂ

: \mathbf{e}_i \times \left(\mathbf{e}_i \times \mathbf{e}_{i+1}\right) =-\mathbf{e}_{i+1} = \mathbf{e}_i \times \mathbf{e}_{i+3} \,
ਜੋ ਹੋਰ ਬਾਹਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਡਾਇਗਨਲ ਰਚਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰਾਂ ਅੱਗੇ। 
ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ x × y ਦਾ ej ਕੰਪੋਨੈਂਟ, ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ ej ਦੇ ਸਾਰੇ ਸਾਥਾਨਾਂ ਨੂੰ ਚੁਣ ਕੇ, ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਕਾਲਮ ਤੋਂ x ਅਤੇ ਉੱਪਰਲੀ ਕਤਾਰ ਤੋਂ y ਦੇ ਸਬੰਧਿਤ ਕੰਪੋਨੈੰਟ ਚੁਣ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਮਿਲਦਾ ਹੈ;
:\begin{align}\mathbf{x} \times \mathbf{y}
 = (x_2y_4 - x_4y_2 + x_3y_7 - x_7y_3 + x_5y_6 - x_6y_5)\,&\mathbf{e}_1 \\
 {}+ (x_3y_5 - x_5y_3 + x_4y_1 - x_1y_4 + x_6y_7 - x_7y_6)\,&\mathbf{e}_2 \\
 {}+ (x_4y_6 - x_6y_4 + x_5y_2 - x_2y_5 + x_7y_1 - x_1y_7)\,&\mathbf{e}_3 \\
 {}+ (x_5y_7 - x_7y_5 + x_6y_3 - x_3y_6 + x_1y_2 - x_2y_1)\,&\mathbf{e}_4 \\
 {}+ (x_6y_1 - x_1y_6 + x_7y_4 - x_4y_7 + x_2y_3 - x_3y_2)\,&\mathbf{e}_5 \\
 {}+ (x_7y_2 - x_2y_7 + x_1y_5 - x_5y_1 + x_3y_4 - x_4y_3)\,&\mathbf{e}_6 \\
 {}+ (x_1y_3 - x_3y_1 + x_2y_6 - x_6y_2 + x_4y_5 - x_5y_4)\,&\mathbf{e}_7
\end{align}.

ਕਿਉਂਕਿ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਓਪਰੇਟਰ x×– ਨੂੰ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇਹ ਸ਼ਕਲ ਲੈ ਲੈਂਦਾ ਹੈ ;

:T_{\mathbf x} = \begin{bmatrix}
 0 & -x_4 & -x_7 & x_2 & -x_6 & x_5 & x_3 \\
 x_4 & 0 & -x_5 & -x_1 & x_3 & -x_7 & x_6 \\
 x_7 & x_5 & 0 & -x_6 & -x_2 & x_4 & -x_1 \\
-x_2 & x_1 & x_6 & 0 & -x_7 & -x_3 & x_5 \\
 x_6 & -x_3 & x_2 & x_7 & 0 & -x_1 & -x_4 \\
-x_5 & x_7 & -x_4 & x_3 & x_1 & 0 & -x_2 \\
-x_3 & -x_6 & x_1 & -x_5 & x_4 & x_2 & 0
\end{bmatrix}.

ਫੇਰ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ

:\mathbf{x} \times \mathbf{y} = T_{\mathbf{x}}(\mathbf{y}).

### ਅਲੱਗ ਅਲੱਗ ਗੁਣਨਫਲ ਟੇਬਲ
ਇਸ ਆਰਟੀਕਲ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵੱਖਰੇ ਗੁਣਨਫਲ ਟੇਬਲ ਵਰਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਅਤੇ ਹੋਰ ਵੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਟੇਬਲਾਂ ਨੂੰ ਫਾਨਿ ਟੇਬਲਾਂ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ; ਉੱਪਰਲੇ ਪਾਸੇ ਸਬਨਿਨ, ਸਬਿਟਨੇਵਾ, ਅਤੇ ਸ਼ੇਸਤਾਕੋਵ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਇੱਕ ਫਾਨੋ ਪਲੇਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਥੱਲੇ ਵਾਲੇ ਪਾਸੇ ਲਿਉਨੈਸਟੋ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਫਾਨੋ ਟੇਬਲ ਹੈ। ਫਾਨਿ ਡਾਇਗਰਾਮ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਨੰਬਰ (ਡਾਇਗਰਾਮ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ), ਹਰੇਕ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਸੱਤ ਸੁਤੰਤਰ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਲਈ ਸੂਚਕ ਅੰਕਾਂ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ijk → ei × ej = ek ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਿਆਨ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਗੁਣਨਫਲ ਟੇਬਲ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਾ ਨਿਯਮ ਅਪਣਾ ਕੇ ਫਾਨੋ ਟੇਬਲ ਤੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਪਿੱਛਾ ਕਰਕੇ, ਜਾਂ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ ਚੱਕਰ ਤੋਂ, ਤੀਰਾਂ ਰਾਹੀਂ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਨਿਸ਼ਾਨ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀ ਲਿਸਟ ਵਿੱਚ, e1 ਨਤੀਜਾ ਦੇਣ ਵਾਲੀ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ (ਰੋਅ) ਫਾਨਿ ਡਾਇਗਰਾਮ ਵਿੱਚ e1 ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਤਿੰਨ ਰਸਤੇ ਅਪਣਾ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ: ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਰਸਤਾ e2 × e4, ਤਿਰਛਾ ਰਸਤਾ e3 × e7, ਅਤੇ ਕਿਨਾਰੇ ਵਾਲਾ ਰਸਤਾ e6 × e1 = e5 ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਵਾਂਗ ਉੱਪਰ ਲਿਖੀਆਂ ਅਡੈਂਟਿਟੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਨੂੰ ਵਰਤ ਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ:

:\mathbf{e}_6 \times \left(\mathbf{e}_6 \times e_1 \right) = -\mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_6 \times \mathbf{e}_5, 

ਜਾਂ

: \mathbf{e}_5 \times \mathbf{e}_6 =\mathbf{e}_1, 

ਵੀ ਡਾਇਗਰਾਮ ਤੋਂ ਸਿੱਧਾ ਹੀ ਇਹ ਨਿਯਮ ਅਪਣਾ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਓਸੇ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਤੀਜੇ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜੁੜੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਤੀਰਾਂ ਦੇ ਮੁਤਾਬਿਕ ਹਨ।

ਇਹ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਓਸੇ ਫਾਨਿ ਡਾਇਗਰਾਮ ਤੋਂ ਸਿਰਫ ਯੁਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਨਾਮ ਦੇ ਕੇ, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰੀ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਸਮਝ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਬੇਸਿਸ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਭਵ ਪਰਮਿਉਟੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਲੈ ਕੇ 480 ਗੁਣਨਫਲ ਟੇਬਲ ਬਣਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸਲਈ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ 480 ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਬਣਦੇ ਹਨ।

### ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਅਲਜਬਰਾ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ
ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਜੀਊਮੈਟ੍ਰਿਕ ਅਲਜਬਰਾ ਵਰਤ ਕੇ ਵੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਗੁਣਨਫਲ ਬਾਹਰੀ ਗੁਣਨਫਲ, ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਬਾਇਵੈਕਟਰ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

:\mathbf{B} = \mathbf{x} \wedge \mathbf{y} = \frac{1}{2}(\mathbf{xy} - \mathbf{yx}).

ਇਹ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ, ਬਦਲਿਆ ਹੋਇਆ ਰੂਪ, ਮਨਮਰਜੀ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ ਵੈਕਟਰ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਵੈਕਟਰ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ, ਇਸ ਬਾਇਵੈਕਟਰ ਦੀ ਇੱਕ ਟਰਾਇਵੈਕਟਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਤਿੰਨ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਸਕੇਲਰ ਫੈਕਟਰ ਤੱਕ ਸਿਰਫ ਇੱਕੋ ਟਰਾਇਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਪੇਸ ਦੀ ਸੂਡੋਸਕੇਲਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਉੱਪਰ ਲਿਖੇ ਬਾਇਵੈਕਟਰ ਦਾ ਦੋ ਯੂਨਿਟ ਟਰਾਇਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਗੁਣਨਫਲ ਵੈਕਟਰ ਰਿਜ਼ਲਟ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਬਾਇਵੈਕਟਰ ਦਾ ਡਿਊਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਸੱਤ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਰਲਦੀ ਮਿਲਦੀ ਕੈਲਕੁਲੇਸ਼ਨ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਸਿਵਾਏ ਇਸਦੇ ਕਿ ਕਿਉਂਕਿ ਟਰਾਇਵੈਕਟਰ ਇੱਕ 35-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ ਸਪੇਸ ਰਚਦੇ ਹਨ, ਇਸਲਈ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਟਰਾਇਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਸੀ, ਜਿਹਨਾਂ ਰਾਹੀਂ ਸਿਰਫ ਕੋਈ ਵੀ ਟਰਾਇਵੈਕਟਰ ਇੰਝ ਨਹੀਂ ਕਰੇਗਾ। ਉੱਪਰ ਲਿਖੀ ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਟਰਾਂਸਫੌਮ ਦੀ ਤਰਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇਣ ਵਾਲਾ ਟਰਾਇਵੈਕਟਰ ਇਹ ਹੈ;

:\mathbf{v} = \mathbf{e}_{124} + \mathbf{e}_{235} + \mathbf{e}_{346} + \mathbf{e}_{457} + \mathbf{e}_{561} + \mathbf{e}_{672} + \mathbf{e}_{713}.

ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੇਣ ਲਈ ਇਸਨੂੰ ਬਾਹਰੀ ਗੁਣਨਫਲ ਨਾਲ ਮਿਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;
 
: \mathbf{x} \times \mathbf{y} = -(\mathbf{x} \wedge \mathbf{y}) ~\lrcorner~ \mathbf{v} 

ਜਿੱਥੇ ਨੂੰ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਅਲਜਬਰੇ ਵਿੱਚ ਖੱਬੀ ਕੰਟਰੈਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

## ਔਕਟੋਨੀਅਨਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧ
ਜਿਵੇਂ 3-ਅਯਾਮੀ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਕੁਆਟਰਨੀਔਨਜ਼ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਉਸੇ ਤਰਾਂ 7-ਅਯਾਮੀ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਔਕਟੋਨੀਅਨਜ਼ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ℝ7 ਨੂੰ ਕਾਲਪਨਿਕ ਔਕਟੋਨੀਅਜ਼ ਨਾਲ ਪਛਾਣ ਕੇ (O ਵਿਚਲੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਔਰਥੋਗੋਨਲ ਪੂਰਕ), ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਔਕਟੋਨੀਅਨ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
:\mathbf x \times \mathbf y = \mathrm{Im}(\mathbf{xy}) = \frac{1}{2}(\mathbf{xy}-\mathbf{yx}).

ਇਸ ਤੋਂ ਵਿਪਰੀਤ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨਾਲ V ਇੱਕ 7-ਅਯਾਮੀ ਯੂਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਹੈ। ਤਾਂ ℝ⊕V ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਗੁਣਨਫਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ;

:(a,\mathbf{x})(b,\mathbf{y}) = (ab - \mathbf{x}\cdot\mathbf{y}, a\mathbf y + b\mathbf x + \mathbf{x}\times\mathbf{y}).

ਫੇਰ, ਇਸ ਗੁਣਨਫਲ ਵਾਲੀ ਸਪੇਸ ℝ⊕V ਨੂੰ, ਔਕਟੋਨੀਅਨਾਂ ਪ੍ਰਤਿ, ਆਇਜ਼ੋਮੌਰਫਿਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਸਿਰਫ ਤਿੰਨ ਅਤੇ ਸੱਤ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਹੀ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਉੱਪਰ ਲਿਖੇ ਵਾਂਗ ਇੱਕ ਹੋਰ ਉੱਪਰ ਵਾਲੀ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ ਵਾਲੀ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਕੋਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਸਪੇਸ ਦਾ “ਨੌਰਮਡ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਅਲਜਬਰਾ” ਹੋਣ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹੁਰਵਿਟਜ਼ ਥਿਊਰਮ ਰਾਹੀਂ ਅਜਿਹੇ ਅਲਜਬਰੇ ਸਿਰਫ ਇੱਕ, ਦੋ, ਚਾਰ, ਅਤੇ ਅੱਠ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਹੀ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਜੋ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ 0,1,3 ਜਾਂ 7 ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। 0 ਅਤੇ 1 ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਫਲ ਟਰੀਵੀਅਲ (ਸੂਖਮ) ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਗੈਰ-ਟਰੀਵੀਅਲ (ਅਸਥੂਲ) ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਸਿਰਫ ਤਿੰਨ ਅਤੇ ਸੱਤ ਅਯਾਮਾਂ (ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ) ਵਿੱਚ ਹੀ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

7-ਅਯਾਮੀ ਕਰੌਸ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਜੈਕਬੀ ਅਡੈਂਟਿਟੀ ਤੇ ਖਰੀ ਉਤਰਨ ਤੋਂ ਅਸਫਲ ਰਹਿਣਾ ਔਕਟੋਨੀਅਨਾਂ ਦੀ ਗੈਰ-ਸਹਿਯੋਗਤਾ (ਨੌਨ-ਐਸੋਸੀਏਟੀਵਿਟੀ) ਕਾਰਣ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ,

:\mathbf{x}\times(\mathbf{y}\times\mathbf{z}) + \mathbf{y}\times(\mathbf{z}\times\mathbf{x}) + \mathbf{z}\times(\mathbf{x}\times\mathbf{y}) = -\frac{3}{2}[\mathbf x, \mathbf y, \mathbf z]

ਜਿੱਥੇ [x, y, z] ਨੂੰ ਇੱਕ ਐਸੋਸੀਏਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

## ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ
ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਗਰੁੱਪ SO(3) ਦੇ ਐਕਸ਼ਨ ਹੇਠਾਂ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ, ਇਸਲਈ, ਰੋਟੇਟ ਕੀਤੇ (ਘੁਮਾਏ) ਜਾਣ ਤੋਂ ਬਾਦ x ਅਤੇ y ਦਾ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ,x × y ਦੀ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਅਧੀਨ ਤਸਵੀਰ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪਰ ਇਹ ਸਥਿਰਤਾ ਸੱਤ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸੱਚ ਨਹੀਂ ਰਹਿੰਦੀ; ਯਾਨਿ ਕਿ, ਸੱਤ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਵਾਲੇ ਗਰੁੱਪ SO(7) ਵਿੱਚ, ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਸਥਿਰ ਨਹੀਂ ਰਹਿੰਦਾ। ਇਸਦੀ ਵਜਾਏ ਇਹ SO(7) ਦੇ ਇੱਕ ਸਬਗਰੁੱਪ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮਿੱਥੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਝੂਠੇ ਗਰੁੱਪ G2 ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।

## ਸਮਾਨੀਕਰਣਾਂ (ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨਜ਼)
ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਬਾਇਨਰੀ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਸਿਰਫ ਤਿੰਨ ਅਤੇ ਸੱਤ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਹੀ ਮੌਜੂਦ ਰਗਿੰਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਗੁਣਨਫਲ ਤਾਂ ਸੰਭਵ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ ਇਹ ਪਾਬੰਧੀ ਹਟਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਵੇ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਬਾਇਨਰੀ ਗੁਣਨਫਲ ਹੋਣਾ ਜਰੂਰੀ ਹੈ। ਸਾਡੀ ਸ਼ਰਤ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਬਹੁਰੇਖਿਕ (ਮਲਟੀਲੀਨੀਅਰ), ਅਲਟਰਨੇਟਿੰਗ (ਬਦਲਣ ਯੋਗ), ਵੈਕਟਰ–ਮੁੱਲ ਵਾਲਾ, ਆਪਣੇ ਰਚਣ ਵਾਲੇ ਇਨਪੁੱਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਤੋਂ ਔਰਥੋਗਨਲ ਹੋਣਾ ਹੈ। ਔਰਥੋਗਨਲਟੀ ਦੀ ਸ਼ਰਤ ਤੋਂ ਭਾਵ ਹੈ ਕਿ n ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, n-1 ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਹੋਰ ਵੈਕਟਰ ਨਹੀਂ ਵਰਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ। ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਕਿਨਾਰਿਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਰਤ ਕੇ ਬਣੀ ਪਰਲੈਲੋਟੋਪ ਦੇ ਵੌਲੀਊਮ (ਘਣਫਲ) ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਗਰਾਮ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਵਰਤ ਕੇ ਕੈਲਕੁਲੇਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸ਼ਰਤਾਂ ਇਹ ਹਨ;

*ਔਰਥੋਗਨਲਟੀ:
::\left(\mathbf{a}_1 \times \ \cdots \ \times \mathbf{a}_k\right) \cdot \mathbf{a}_j = 0
*ਗਰਾਮ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ:
:|\mathbf{a}_1 \times \ \cdots \ \times \mathbf{a}_k |^2 = \det (\mathbf{a}_i \cdot \mathbf{a}_j) = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_2 & \dots & \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_k\\
\mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_2 & \dots & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_k\\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
\mathbf{a}_k \cdot \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_k \cdot \mathbf{a}_2 & \dots & \mathbf{a}_k \cdot \mathbf{a}_k\\
\end{vmatrix}
 

a1, ..., ak ਕਿਨਾਰਿਆਂ ਵਾਲੀ ਪਰਲੈਲੋਟੋਪ ਦਾ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਘਣਫਲ ਗਰਾਮ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। 
ਇਹਨਾਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਨੌਨ-ਟਰੀਵੀਅਲ (ਅਸਥੂਲ) ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਸਿਰਫ ਇਹਨਾਂ ਰੂਪਾਂ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ:

* •	ਤਿੰਨ ਅਤੇ ਸੱਤ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਾਇਨਰੀ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ
* •	n ≥ 3 (ਤਿੰਨ ਜਾਂ ਤਿੰਨ ਤੋਂ ਵੱਧ) ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ n -1 ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਬਾਹਰੀ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਹੌਜ-ਡਿਊਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ
* •	ਅੱਠ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ

ਅੱਠ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਇੱਕ ਰੂਪ ਇਹ ਹੈ;: \mathbf{a} \times \mathbf{b} \times \mathbf{c} = (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}) ~\lrcorner~ (\mathbf{w} - \mathbf{ve}_8)

ਜਿੱਥੇ v ਓਹੀ ਟਰਾਇਵੈਕਟਰ ਹੈ ਜੋ ਸੱਤ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਫੇਰ ਤੋਂ ਲੈਫਟ ਕੰਟਰੈਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤੇ w = −ve12...7 ਇੱਕ 4-ਵੈਕਟਰ ਹੈ।

ਸੂਖਮ ਗੁਣਨਫਲ ਵੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ ਪਹਿਲਾਂ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਬਾਇਨਰੀ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਸਿਰਫ 7,3,1 ਅਤੇ 0 ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਹੀ ਮੌਜੂਦ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਆਖਰੀ ਦੋ 0 ਬਰਾਬਰ ਹਨ। ਹੋਰ ਸੂਖਮ ਗੁਣਨਫਲ ਇਵਨ (ਜਿਸਤ) ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਉੱਠਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਵੈਕਟਰ ਲੈਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਲੈਫਟ ਕੰਟਰੈਕਸ਼ਨ ਰਾਹੀਂ, ਕਿਸੇ ਢੁਕਵੇਂ ਬਾਇਵੈਕਟਰ ਦੀ ਮਦਦ ਨਾਲ ਉਸੇ ਮੁੱਲ ਦਾ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਇਸ ਤੋਂ ਔਰਥੋਗਨਲ (ਸਮਕੋਣ ਤੇ) ਚੁਣਦੇ ਹਨ। ਦੋ–ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਇਸਨੂੰ 90 ਡਿਗਰੀ ਤੇ ਇੱਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ।

ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਗਣਿਤ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ