ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତ

କୌଣସି ଘଟଣା ଘଟିବାର ଗାଣିତିକ ସମ୍ଭାବନା “ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତ” ବା “ସମ୍ଭାବନା ସିଦ୍ଧାନ୍ତ” (ଈଂରାଜୀରେ Probability Theory)ଦ୍ୱାରା ନିରୂପିତ ହୋଇଥାଏ । ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଗଣିତର ଏକ ଶାଖା । ଗୋଟିଏ ଘଟଣା ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ଘଟିବାର ସମ୍ଭାବନା ରହିଥାଏ । ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ଏହାକୁ ଅନେକ ସ୍ୱୟଂସିଦ୍ଧ ସୂତ୍ରର ବ୍ୟବହାର କରି ଗାଣିତିକ ଭାଷାରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ ।  ସାଧାରଣତଃ ଏହି ସ୍ୱୟଂସିଦ୍ଧ ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ସମ୍ଭାବନାକୁ ଏକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ପରିସୀମା (ଈଂରାଜୀରେ Probability Space) ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କରନ୍ତି । ଏହି ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ପରିସୀମା ମଧ୍ୟରେ ଘଟଣାର ସମ୍ଭାବନାର ସର୍ବନିମ୍ନ ମାନ ୦ (ଶୂନ୍ୟ) ଓ ସର୍ବାଧିକ ମାନ ୧ ହୋଇପାରେ । ଯେଉଁ ସବୁ ପରିଣାମରୁ ସମ୍ଭାବନା ନିରୂପିତ ହୁଏ ତାଙ୍କୁ ସମୂହ ଭାବେ ପ୍ରତିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟି (ଈଂରାଜୀରେ Sample Space) ବୋଲି କୁହାଯାଏ ।  ପ୍ରତିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟିର କୌଣସି ଏକ ଉପସେଟ୍‍କୁ ଘଟଣା (ଈଂରାଜୀରେ Event) ବୋଲି କୁହାଯାଏ । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ : ୬ଟି ପାର୍ଶ୍ୱ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ପଶାକୁ ଗଡ଼ାଇଲେ ୬ ପଡ଼ିବାର ସମ୍ଭାବନା କେତେ – ତାହା ଜାଣିବା ପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ ପରିଣାମମାନଙ୍କ ସେଟ୍ ଗଢ଼ିଲେ ଆମେ {୧, ୨, ୩, ୪, ୫, ୬} ପାଇବା । ଏହା ହିଁ ଆମର ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟି । ୧ ପଡ଼ିବା, ୨ ପଡ଼ିବା, ୩ ପଡ଼ିବା ଇତ୍ୟାଦି ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଘଟଣା । 

ଯଦିଓ କୌଣସି ଏକ ଘଟଣା ଘଟିବାର ସମ୍ଭାବନ ବିଷୟରେ ପୂର୍ବାନୁମାନ କରିହେବ ନାହିଁ, ତଥାପି ଏହାକୁ ଏକ ଗାଣିତିକ ସମ୍ଭାବନାର ପରିଧି ମଧ୍ୟରେ ରଖାଯାଇପାରିବ । ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଦୁଇଟି ତତ୍ତ୍ୱ ହେଲେ ବୃହତ୍ ସଂଖ୍ୟାଙ୍କ ନିୟମ (ଈଂରାଜୀରେ Law of Large Numbers) ଓ ମଧ୍ୟ ଆବଦ୍ଧତା ପ୍ରମେୟ (ଈଂରାଜୀରେ Central Limit Theorem - CLT) । 

ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଶାଖା ପରିସଂଖ୍ୟାନ ନିରୂପଣର ଏକ ଉପଶାଖା ଓ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାର ତଥ୍ୟର ବିଶ୍ଳେଷଣ କରିବା ପାଇଁ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ବ୍ୟବହାର କରାଯାଏ । କୌଣସି ଜଟିଳ ବ୍ୟବସ୍ଥା ବିଷୟରେ ଆଂଶିକ ଜ୍ଞାନ ବା ବିବରଣୀ ରହିଥିଲେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ବ୍ୟବହାର କରି ଏହାର ଅନ୍ୟ ପ୍ରକୃତି ବିଷୟରେ କଳନା କରାଯାଏ । ପ୍ରମାତ୍ର ବିଜ୍ଞାନ (ଈଂରାଜୀରେ Quantum Physics)ରେ ଆଣବିକ ସ୍ତରରେ ଘଟୁଥିବା ବିଷୟମାନଙ୍କ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଜ୍ଞାନ ନଥିବା ବେଳେ, ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ପ୍ରୟୋଗ କରି ଏକବିଂଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ ଅନେକ ଅଗ୍ରଗତି ହୋଇପାରିଛି ।

ସମ୍ଭାବନାକୁ ପ୍ରକାଶ କରିବାର ଏକ ଉଦାହରଣ ହେଲା : 

## ଇତିହାସ
ସପ୍ତାଦଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ ଫ୍ରାଂସ୍ ଦେଶରେ ସେଭାଲିଏ ଡି ମେରେ ନାମକ ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି ବାସ କରୁଥିଲେ । ବିଭିନ୍ନ ସ୍ଥାନରେ ବାଜି ଲଗାଇବା ତାଙ୍କର ସଉକ ଥିଲା । ପଶାକୁ ଚାରିଥର ଗଡ଼ାଇଲେ ଥରେ ନିଶ୍ଚୟ ୬ ପଡ଼ିବ ବୋଲି ସେ ଦିନେ ପଇସା ବାଜି ଲଗାଇଲେ କିନ୍ତୁ ବାଜି ହାରିଲେ । ଏହା ପରେ ୨୪ ଥର ପଶାକୁ ଗଡ଼ାଇଲେ ଥରେ ନିଶ୍ଚୟ ୬ ପଡ଼ିବ ବୋଲି ଆଉ ଏକ ବାଜି ଲଗାଇ ମଧ୍ୟ ହାରିଗଲେ । ନିଜ ଦୁର୍ଭାଗ୍ୟ ବିଷୟରେ ସେ ନିଜ ଗଣିତଜ୍ଞ ବନ୍ଧୁ ପାସ୍କାଲଙ୍କୁ ଜଣାଇଥିଲେ । ପାସ୍କାଲ୍ ଆଉ ଜଣେ ସହକର୍ମୀ ଗଣିତଜ୍ଞ ପିଏରେ ଡି ଫେର୍ମାଟ୍‍ଙ୍କୁ ଚିଠି ଲେଖି ଏହି ବିଷୟ ଜଣାଇଥିଲେ । ପତ୍ର ମାଧ୍ୟମରେ ସେ ଦୁହିଁଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ହୋଇଥିବା ଚର୍ଚ୍ଚାରୁ ପରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଜନ୍ମ ହୋଇଥିଲା । 

ଷୋଡ଼ଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ ଗେରୋଲାମୋ କାର୍ଡାନୋ ଓ ସପ୍ତଦଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ ବ୍ଲେଇ ପାସ୍କାଲ୍ ତଥା ପିଏରେ ଡି ଫେର୍ମାଟ୍‍ଙ୍କଦ୍ୱାରା ଖେଳରେ ବାଜି ଲଗାଇ ଜିତିବାର ବିଶ୍ଳେଷଣ ଏହି ଗାଣିତିକ ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ମୂଳଦୁଆ ପକାଇଥିଲା । ୧୬୫୭ ମସିହାରେ ଖ୍ରୀଷ୍ଟିୟାନ୍ ହାଇଜେନ୍ସ୍ ଏହି ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ବିଷୟରେ ଏକ ପୁସ୍ତକର ପ୍ରକାଶନ କରାଇଥିଲେ । ଉନବିଂଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ ପିଏରେ ଲାପ୍ଲାସ୍ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତର କିଛି ଅଂଶକୁ ପୂର୍ଣ୍ଣତା ପ୍ରଦାନ କରିଥିଲେ ଯାହା ଆଜିର ସମୟରେ ପାରମ୍ପରିକ ବ୍ୟାଖ୍ୟା ଭାବେ ଜଣାଶୁଣା ।

ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ଅବସ୍ଥାରେ ଅଲଗା ଅଲଗା ଘଟଣା ପାଇଁ ସମ୍ଭାବନା ନିରୂପଣ ପାଇଁ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଉପଯୋଗ କରାଗଲା । ପରବର୍ତ୍ତୀ ସମୟରେ ଅନେକ ଘଟଣାକୁ ମିଶାଇ ଗୋଟିଏ ଅସ୍ଥାୟୀ ରାଶିର ସମାଧାନ ପାଇଁ ଏହି ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଉପଯୋଗ କରାଗଲା ।

ରିଚାର୍ଡ୍ ଭୋନ୍ ମିଜେସ୍‍ଙ୍କ ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟି ତତ୍ତ୍ୱ ସହିତ ଆଣ୍ଡ୍ରେ ନିକୋଲାଭିକ୍ କୋଲ୍ମୋଗ୍ରୋଭ୍ ଅନ୍ୟ କେତେକ ସୂତ୍ର ଓ ପ୍ରଣାଳୀ ମିଶାଇ ୧୯୯୩ ମସିହାରେ ଆଧୁନିକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ସ୍ୱୟଂସିଦ୍ଧମାନଙ୍କ ବ୍ୟାଖ୍ୟା ପ୍ରକାଶ କରିଥିଲେ । ବ୍ରୁନୋ ଡି ଫିନେଟ୍ଟି ଗଣନୀୟ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ସମଷ୍ଟି ପ୍ରଣାଳୀର ଆବିଷ୍କାର କରିଥିଲେ । 

## ପୃଥକ୍ ଘଟଣାରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣର ଉଦାହରଣ
ପୃଥକ୍ ଘଟଣାରେ ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟିର ସମସ୍ତ ପରିଣାମ ଗଣନା କରିହେବ । ଏପରି ଘଟଣାର ଉଦାହରଣମାନ ହେଲେ : ପଶା ଗଡ଼ାଇବା, ତାସ୍ ଖେଳର କାର୍ଡ୍ ଉଠାଇବା, ମୁଦ୍ରାକୁ ଟସ୍ କରିବା ଇତ୍ୟାଦି । ପାରମ୍ପରିକ ପରିଭାଷା ଅନୁଯାୟୀ ସମ୍ଭାବନା ସୃଷ୍ଟି କରୁଥିବା ସମସ୍ତ ପରିଣାମର ସଂଖ୍ୟାକୁ ସର୍ବମୋଟ ପରିଣାମ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱାରା ବିଭାଜିତ କଲେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପିତ ହୋଇପାରିବ ।

ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଉପରକୁ ଫିଙ୍ଗିଲେ ଚିତୁ ବା ମାକୁ ପଡ଼େ । ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟିରେ ସର୍ବମୋଟ ଦୁଇଟି ସମ୍ଭାବନା ରହିଛି । ତେଣୁ ଚିତୁ ପଡ଼ିବାର ସମ୍ଭାବନା ୫୦% ଓ ମାକୁ ପଡ଼ିବାର ସମ୍ଭାବନା ୫୦% । 

ଦୁଇଟି ପଶାକୁ ଗଡ଼ାଇଲେ ସମୁଦାୟ ୩୬ଟି ପରିଣାମ ମିଳିପାରେ । ତେଣୁ ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟିରେ  ୩୬ଟି ସମ୍ଭାବନା ରହିଛି । ଦୁଇଟି ପଶାରେ ପଡ଼ୁଥିବା ପରିଣାମକୁ (i,j) ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ ଆମକୁ (୧,୧), (୧,୨), (୧,୩), (୧,୪),....(୬,୫), (୬,୬) ଏପରି ସର୍ବମୋଟ ୩୬ଟି ସମ୍ଭାବନା ରହିଥାଏ । ମନେକର ଦୁଇଟି ପଶାରେ ପଡ଼ୁଥିବା ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ୬ ହେବ ବୋଲି ବାଜି ଲଗାଯାଉ । ଏପରି କ୍ଷେତ୍ରରେ ୫ଟି କ୍ଷେତ୍ରରେ ହିଁ - (୧,୫), (୨,୪), (୩,୩), (୪,୨), (୫,୧) ଜିତିବାର ସମ୍ଭାବନା ଅଛି । ତେଣୁ ଜିତିବାର ସମ୍ଭାବନା ୫/୩୬ ବା ୧୩.୮୯% ।

ସେହିପରି ପଶାକୁ ଗଡ଼ାଇଲେ ୧ରୁ ନେଇ ୬ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ପଡ଼ିବାର ସର୍ବମୋଟ ୬ଟି ସମ୍ଭାବନା ରହିଛି । ଏକ ସମସଂଖ୍ୟା (ଯଥା ୨, ୪,୬) ପଡ଼ିବାର ସମ୍ଭାବନା ହେଉଛି \tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2} । 
ଦୁଇଟି ଯାକ ପଶା ଏକା ଆକାର ଓ ପ୍ରକାରର ହେଲେ ଉପରୋକ୍ତ ତିନୋଟି (୧, ୫), (୨, ୪), (୩, ୩) ସମ୍ଭାବନା ଅଛି । କିନ୍ତୁ ପଶା ଦୁଇଟିଙ୍କୁ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ବୋଲି କହିଲେ (୧,୫), (୨,୪), (୩,୩), (୩,୩), (୪,୨), (୫,୧) ଏପରି ୬ଟି ସମ୍ଭାବନା ରହିପାରିବ । ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣର ଏପରି ଏକ ପରିଦୃଶ୍ୟରୁ ବୋଷ-ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ଜନ୍ମ ହୋଇଥିଲା । 

ଆଧୁନିକ ପରିଭାଷାରେ ଫଳନ ମାଧ୍ୟମରେ ପରିଭାଷାକୁ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇଥାଏ । ସମସ୍ତ ଗଣନୀୟ ପରିଣାମକୁ ନେଇ ଗଠିତ ସେଟ୍ ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟି \Omega ବୋଲାଏ । ପ୍ରତ୍ୟେକ ଘଟଣା x \in \Omega\, ଅର୍ଥାତ୍ ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟିର ଏକ ଉପସେଟ୍ । ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଘଟଣା ଘଟିବାର ସମ୍ଭାବନାକୁ f(x)\, ଆକାରରେ ଲେଖିବା । 

ଏହି ଫଳନ f(x)\,ର ମାନ ୦ରୁ ୧ ମଧ୍ୟରେ ରହିଥାଏ । କାରଣ ଘଟଣା ନଘଟିବାର ସମ୍ଭାବନା ୦% ଓ ଘଟଣା ଘଟିବାର ସର୍ବାଧିକ ୧୦୦% ।  ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟି *Ω*ର ସମସ୍ତ *x* ପାଇଁ  f(x)\,ର ମାନ ୦ରୁ ୧ ମଧ୍ୟରେ ରହିଥାଏ । ତେଣୁ f(x)\in[0,1]\mbox{ for all }x\in \Omega\,;
ପୁଣି ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟି *Ω*ର ସମସ୍ତ *x* ପାଇଁ  f(x)\,ର ମାନଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି ୧ । ଏହାକୁ ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ରଭାବେ ଲେଖିଲେ \sum_{x\in \Omega} f(x) = 1\,.
କୌଣସି ଏକ ଘଟଣା E\,ର ସମ୍ଭାବ୍ୟତାକୁ ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ରରେ ଲେଖିଲେ 
:P(E)=\sum_{x\in E} f(x)\,.
## ନିରନ୍ତର ଘଟଣାରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ବଣ୍ଟନ
ଅନେକ ଛୋଟ ଛୋଟ ବ୍ୟବଧାନରେ ଘଟୁଥିବା ଘଟଣାମାନଙ୍କ ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟିକୁ ନିରନ୍ତର ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟି କୁହାଯାଏ । 

ନିରନ୍ତର ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟିର ପାରମ୍ପରିକ ପରିଭାଷା ନାହିଁ । 

ଏକ ଅସ୍ଥିରାଙ୍କ *X*ର ସମସ୍ତ ପରିଣାମ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା (\mathbb{R})ମାନଙ୍କର ଏକ ସେଟ୍ ହେଲେ ବା ଏହି ସେଟ୍‍ର ଏକ ଉପସେଟ୍ ହେଲେ ଚକ୍ରବୃଦ୍ଧି ବଣ୍ଟନ ଫଳନ (Cumulative Distribution Function-CDF) F\,କୁ F(x) = P(X\le x) \, ଭାବେ ଲେଖାଯାଇପାରିବ । 

ଚକ୍ରବୃଦ୍ଧି ଫଳନ ବଣ୍ଟନ ପାଇଁ ନିମ୍ନ ଲିଖିତ ଅବସ୍ଥା ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ ପ୍ରମାଣିତ ହୋଇଥାଏ : 
# F\, ଏକ ନିରନ୍ତର ଫଳନ;
# \lim_{x\rightarrow -\infty} F(x)=0\,;
# \lim_{x\rightarrow \infty} F(x)=1\,.

## ଆଧାର
ଶ୍ରେଣୀ:ଗଣିତ