ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ

ପ୍ରମାତ୍ର ପରିସଂଖ୍ୟାନ ଅନୁସାରେ ଉଷ୍ମାଗତିକ ସନ୍ତୁଳନ (ଈଂରାଜୀରେ Thermodynamic Equilibrium)ରେ ରହିଥିବା ଏବଂ ପରସ୍ପରକୁ ପ୍ରଭାବିତ କରୁନଥିବା କଣିକାମାନେ କେଉଁ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଶକ୍ତି ଅବସ୍ଥା ପ୍ରାପ୍ତ କରିପାରିବେ ତାହା ଦୁଇଟି ଉପାୟରେ ନିରୂପିତ ହୋଇପାରେ । ଏହି ଦୁଇଟି ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଦିଗ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ହେଲା - ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ (ଈଂରାଜୀରେ Bose–Einstein Statistics ବା B–E Statistics) । ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ପାଳନ ବା ଅନୁସରଣ କରୁଥିବା ଓ ଏକ ପ୍ରକାରର ଶକ୍ତି ଅବସ୍ଥାରେ ରହିଥିବା କଣିକାମାନଙ୍କ ଏକତ୍ରିକରଣ ଯୋଗୁଁ ଲେଜର୍ ଆଲୋକର ସମ୍ମିଳିତ ପ୍ରବାହ ଓ ଅତିତରଳ ହିଲିୟମର ଘର୍ଷଣହୀନ ପ୍ରବାହ ପରି ପ୍ରଭାବ ପରିଦୃଷ୍ଟ ହୁଏ ।  କଣିକାମାନଙ୍କର ଏପରି ବ୍ୟବହାର ୧୯୨୪-୨୫ ମସିହାରେ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ନାଥ ବୋଷଙ୍କଦ୍ୱାରା ଆବିଷ୍କୃତ ହୋଇଥିଲା । ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ଜାଣି ପାରିଥିଲେ ଯେ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ଦିଶୁଥିବା କଣିକାମାନେ ଏହିଭଳି ବିନ୍ୟାସରେ ରହିପାରିବେ । ଏହି ଭାବନାକୁ ଆଇନଷ୍ଟାଇନ୍ ଗ୍ରହଣ କରିଥିଲେ ଓ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ରଙ୍କ ସହ ମିଳିତ ଉଦ୍ୟମରେ ଏହାର ପ୍ରସାର କରିଥିଲେ । 

ପଲିଙ୍କ ଏକାନ୍ତିକ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ (ଈଂରାଜୀରେ Pauli Exclusion Principle) ଅନୁସାରେ ଦୁଇଟି କଣିକା ଉଷ୍ମାଗତିକ ସନ୍ତୁଳନରେ ରହିଥିଲା ବେଳେ ସେମାନଙ୍କ ସମସ୍ତ ପ୍ରମାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ । ଦୁଇଟି କଣିକାର ତିନୋଟି ପ୍ରମାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ଏକା ହୋଇପାରେ କିନ୍ତୁ ସେମାନଙ୍କ ଚତୁର୍ଥ ପ୍ରମାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ନିଶ୍ଚିତ ଭାବେ ଅଲଗା ହେବେ । ପଲିଙ୍କ ଏକାନ୍ତିକ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଅନୁସରଣ କରୁନଥିବା କଣିକାମାନଙ୍କ ଶକ୍ତି ଅବସ୍ଥା ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ମାଧ୍ୟମରେ ନିରୂପଣ କରାଯାଏ ।  ଏପରି କଣିକାମାନଙ୍କର ଆଭ୍ୟନ୍ତରୀଣ ଆବର୍ତ୍ତନର ମାପ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥାଏ ଓ ଏମାନଙ୍କୁ “ବୋଜୋନ୍” ବା "ବୋଷନ୍" କୁହାଯାଏ ।

## ସିଦ୍ଧାନ୍ତ 
ନିମ୍ନ ତାପମାତ୍ରାରେ ବୋଜୋନ୍ କଣିକାମାନଙ୍କ ପ୍ରକୃତି ଫର୍ମିୟନଠାରୁ ଭିନ୍ନ । ଫର୍ମିୟନ୍ ସାଧାରଣତଃ ଫର୍ମି-ଡିରାକ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ଅନୁସରଣ କରନ୍ତି । ନିମ୍ନ ତାପମାତ୍ରାରେ ଅସୀମ ସଂଖ୍ୟକ ବୋଜୋନ୍ ଘନୀଭୂତ ହୋଇ ସମାନ ଶକ୍ତି ଅବସ୍ଥାରେ ରହିପାରନ୍ତି । ଏପରି ବିଶେଷ ପ୍ରକୃତିବିଶିଷ୍ଟ ପଦାର୍ଥମାନଙ୍କୁ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ଘନପଦାର୍ଥ (ଈଂରାଜୀରେ Bose–Einstein Condensate) ବୋଲି କୁହାଯାଏ ।  ପ୍ରମାତ୍ରିକ ପ୍ରଭାବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ଦରକାରୀ ହେଲେ ଓ କଣିକାମାନେ ପରସ୍ପରଠାରୁ ଅଭିନ୍ନ ମନେହେଲେ, ଫର୍ମି-ଡିରାକ୍ ଓ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ଉପଯୋଗ କରାଯାଏ । କଣିକାମାନଙ୍କର ଘନୀକରଣ ଯୋଗୁଁ ନିମ୍ନ ପ୍ରଦତ୍ତ ଅବସ୍ଥା ସୃଷ୍ଟି ହେଲେ ପ୍ରମାତ୍ର ପ୍ରଭାବ ଦେଖାଯାଏ ।

: \frac{N}{V} \ge n_q, 

ଏଠାରେ N ହେଉଛି କଣିକାମାନଙ୍କର ସର୍ବମୋଟ ସଂଖ୍ୟା, V ହେଉଛି ଘନଫଳ ଓ  ପ୍ରମାତ୍ର ସଂକେନ୍ଦ୍ରଣ (Quantum Concentration) । କଣିକାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ତାପୀୟ ଡି ବ୍ରୋଗଲି ତରଙ୍ଗଦୈର୍ଘ୍ୟ (ଈଂରାଜୀରେ Thermal de Broglie Wavelength) ସହିତ ସମାନ ହେଲେ ସେମାନଙ୍କ ତରଙ୍ଗଫଳ ପରସ୍ପର ଉପରେ ଅଧିବ୍ୟାପ୍ତ ହୁଅନ୍ତି ନାହିଁ ଓ ପ୍ରମାତ୍ର ସଂକେନ୍ଦ୍ରଣ ପ୍ରଭାବ ସୃଷ୍ଟି ହୁଏ । 

ପଲିଙ୍କ ଏକାନ୍ତିକ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଅନୁସରଣ କରୁଥିବା ଫର୍ମିୟନ୍ କଣିକାମାନ ଫର୍ମି-ଡିରାକ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ମଧ୍ୟ ସମର୍ଥନ କରନ୍ତି । ବୋଷ୍-ଆଇନଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ବୋଜୋନ୍ କଣିକାମାନଙ୍କ ପାଇଁ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ । ପ୍ରମାତ୍ର ସଂକେନ୍ଦ୍ରଣ ତାପମାତ୍ରା ଉପରେ ନିର୍ଭରଶୀଳ । ଅଧିକ ଘନତ୍ୱବିଶିଷ୍ଟ ଶ୍ୱେତ ବାମନ ନକ୍ଷତ୍ର ବ୍ୟତୀତ ଉଚ୍ଚ ତାପମାତ୍ରାରେ ପାରମ୍ପରିକ ମାକ୍ସୱେଲ୍-ବୋଲ୍ଜମ୍ୟାନ୍ ସୀମା ମଧ୍ୟରେ ରହିଥାନ୍ତି । ଫର୍ମି- ଡିରାକ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ଓ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ଉଚ୍ଚ ତାପମାତ୍ରା ବା କମ୍ ସଂକେନ୍ଦ୍ରଣରେ ମାକ୍ସୱେଲ୍-ବୋଲ୍ଜମ୍ୟାନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନରେ ପରିଣତ ହୁଅନ୍ତି । 

୧୯୨୪ ମସିହାରେ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ନାଥ ବୋଷ୍ ଫୋଟୋନ୍ମାନଙ୍କ ପାଇଁ ଏହି ପରିସଂଖ୍ୟାନ ପ୍ରକାଶ କରିଥିଲେ । ୧୯୨୪-୨୫ ମସିହାରେ ବୋଷଙ୍କ ସହିତ ଗବେଷଣା କରି ଆଇନଷ୍ଟାଇନ୍ ପରମାଣୁମାନଙ୍କ ପାଇଁ ସର୍ବ ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ ତଥ୍ୟ ପ୍ରକାଶ କଲେ । 
ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମୟରେ କେତୋଟି କଣିକା ବୋଷ୍-ଆଇନଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ଶକ୍ତି ସ୍ତର *i*ରେ ରହିପାରିବେ ତାହା ନିମ୍ନ ସମୀକରଣରୁ ଜାଣିହେବ : 

: n_i(\varepsilon_i) = \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i - \mu)/kT} - 1}

ଏହି ସମୀକରଣରେ ,  ଶକ୍ତିସ୍ତରରେ କେତୋଟି କଣିକା ରହିଛନ୍ତି ତାହାର ମାପ ହେଉଛି ,   ହେଉଛି  ସ୍ତରରେ ରହିଥିବା କଣିକାଙ୍କ ପାଇଁ କ୍ଷୟଶୀଳ ଶକ୍ତିସ୍ତର,  ହେଲା *i*ତମ ଅବସ୍ଥାର ଶକ୍ତି, *μ* ହେଉଛି ରାସାୟନିକ ବିଭବ, *k* ବୋଲ୍ଜମ୍ୟାନ୍ ସ୍ଥିରାଙ୍କ ଓ *T* ତାପମାତ୍ରାର ସୂଚକ ।

ଫର୍ମି-ଡିରାକ୍ କଣିକା ଶକ୍ତି ବିତରଣର ନିୟମର ମଧ୍ୟ ଏହା ସହିତ ତୁଳନୀୟ । କେତୋଟି ଫର୍ମିୟନ୍ \epsilon_i ଶକ୍ତିସ୍ତରରେ ରହିବେ ତାହା ନିମ୍ନଲିଖିତ ଫର୍ମି-ଡିରାକ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନରୁ ଜାଣିହେବ । 

: \bar{n}_i(\epsilon_i) = \frac{g_i}{e^{(\epsilon_i - \mu)/kT} + 1}

 kT \gg \epsilon_i - \mu  ହେଲେ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ହୋଇ ନିମ୍ନଲିଖିତ ରେଲେ-ଜିଅନ୍ସ୍ ନିୟମ (Rayleigh–Jeans Law)ରେ ରୂପାନ୍ତରିତ ହୁଏ । 

: n_i = \frac{g_i kT}{\varepsilon_i - \mu} 

## ଇତିହାସ 
ଢାକା ବିଶ୍ୱବିଦ୍ୟାଳୟରେ ବିକିରଣ ଓ ଅତିବାଇଗଣୀ ବିନାଶ ସମ୍ବନ୍ଧରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟାନ ଦେଉଥିବା ବେଳେ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ନାଥ ବୋଷ ସେହି ସମୟର ପ୍ରଚଳିତ ସିଦ୍ଧାନ୍ତଗୁଡ଼ିକ ଏହି ପ୍ରଭାବ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ବୈଜ୍ଞାନିକ ପରୀକ୍ଷଣକୁ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଭାବେ ପ୍ରମାଣିତ କରୁନଥିବା କଥା ନିଜ ଛାତ୍ରମାନଙ୍କ ସମ୍ମୁଖରେ ଉପସ୍ଥାପନ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରିଥିଲେ । ସେ ସମୟରେ ଢାକା ବା ବର୍ତ୍ତମାନର ବଙ୍ଗଳାଦେଶ ବ୍ରିଟିଶ୍ ଶାସନାଧୀନ ଭାରତର ଅଂଶ ଥିଲା । କିନ୍ତୁ ସେହିଦିନ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ନାଥ ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଉପଯୋଗ କରି ଏହାର ବିଶ୍ଳେଷଣ କରିବା ବେଳେ ଏକ ଛୋଟ ଭୁଲ କରିବସିଲେ । କିନ୍ତୁ ପ୍ରୟୋଗ କରିଥିବା ସେହି ଭୁଲ ତଥ୍ୟ ଯୋଗୁଁ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ ହୋଇଗଲା । ଏହା ସମସାମୟିକ ପରୀକ୍ଷଣର ସମର୍ଥନ ମଧ୍ୟ କରୁଥିବାରୁ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ହୃଦବୋଧ କରିଥିଲେ ଯେ ତାଙ୍କର ଭୁଲ ମଧ୍ୟରେ ହିଁ ସମାଧାନର ବାଟ ରହିଛି । ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ରଙ୍କ ମନରେ ଧାରଣା ଜାଗ୍ରତ ହେଲା ଯେ ମାକ୍ସୱେଲ୍-ବୋଲ୍ଜମ୍ୟାନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ସମସ୍ତ କ୍ଷୁଦ୍ର କଣିକା ପାଇଁ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ । ତେଣୁ କଣିକାର ଅବସ୍ଥିତି ଓ ସଂବେଗକୁ ଗୋଟିଏ ପରିବର୍ତ୍ତନୀୟ ଅଙ୍କ ବୋଲି ବିଚାର କରି ବିଭିନ୍ନ ଅବସ୍ଥାରେ ଏକ କଣିକାକୁ ପାଇବାର ସମ୍ଭାବନା ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କଲେ । 

ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ନିଜର ସିଦ୍ଧାନ୍ତକୁ ଏକ ଲେଖା ବା ନିବନ୍ଧ “ପ୍ଲାଂକଙ୍କ ନିୟମ ଓ ଆଲୋକ କ୍ୱାଣ୍ଟା ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ତଥ୍ୟ” (Planck's Law and the Hypothesis of Light Quanta) ଭାବେ ପ୍ରକାଶ କରିବାକୁ ଇଛ୍ଛା କଲେ । ସେ ଏହି ଲେଖାକୁ ଫିଲୋସୋଫିକାଲ୍ ମ୍ୟାଗାଜିନକୁ ପଠାଇଲେ କିନ୍ତୁ ଏହି ଲେଖାଟି ପ୍ରକାଶକଙ୍କୁ ଆକର୍ଷିତ କରିପାରିଲା ନାହିଁ । ଏଥିରେ ବିଚଳିତ ନ ହୋଇ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ନିଜ ଲେଖାଟିକୁ ଭୌତିକ ବିଜ୍ଞାନ ଜର୍ଣ୍ଣାଲ୍ (Zeitschrift für Physik)ରେ ପ୍ରକାଶ କରିବା ପାଇଁ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଲିପିଟିକୁ ଆଲବର୍ଟ୍  ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନଙ୍କ ପାଖକୁ ପଠାଇଥିଲେ । ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ଏଥିରେ ନିଜର ସହମତି ଦର୍ଶାଇ ଏହି ଲେଖାଟିକୁ ଈଂରାଜୀରୁ ଜର୍ମାନ୍ ଭାଷାରେ ଅନୁବାଦ କରିଥିଲେ । ଏହା ପୂର୍ବରୁ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ମଧ୍ୟ ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ଦ୍ୱାରା ଲିଖିତ ସାଧାରଣ ଆପେକ୍ଷିକ ତତ୍ତ୍ୱକୁ ଜର୍ମାନରୁ ଈଂରାଜୀରେ ଅନୁବାଦ କରିଥିଲେ । ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ଏହି ଲେଖାର ପ୍ରକାଶ କରାଇଥିଲେ । ପରେ ନିଜର ବିଶ୍ଳେଷଣ ମଧ୍ୟ ଏଥିରେ ଯୋଡ଼ି ଏହାକୁ ସମୃଦ୍ଧ କରିଥିଲେ ଓ ଦୁହିଙ୍କ ଲେଖା ପ୍ରକାଶ କରାଇଥିଲେ । ୧୯୨୪ ମସିହାରେ ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନଙ୍କ ସମର୍ଥନ ପରେ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ରଙ୍କ ଲେଖାକୁ ଓ ଆବିଷ୍କାରକୁ ସମ୍ମାନ ମିଳିପାରିଲା । 

ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାକୁ ଉପରକୁ ଫିଙ୍ଗିଲେ ବା ଟସ୍ (Toss) କଲେ ଦୁଇଥର ମୁଣ୍ଡପଟ / ଚିତ୍ / ଚିତୁ (Head) ଆସିବାର ସମ୍ଭାବନା କେତେ ?
ପ୍ରଥମ ମୁଦ୍ରାର ମୁଣ୍ଡପଟ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବନା ୧/୨ ଓ ଦ୍ୱିତୀୟ ମୁଦ୍ରାର ମୁଣ୍ଡପଟ ପଡ଼ିବାର ସମ୍ଭାବନା ମଧ୍ୟ ୧/୨ । ତେଣୁ ଦୁଇଟି ମୁଣ୍ଡପଟ ପଡ଼ିବାର ସମୁଦାୟ ସମ୍ଭାବନା ୧/୨ * ୧/୨ = ୧/୪ । ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ଦୁଇଟି ସମ୍ଭାବନା ନିରୂପଣ କରି ତାହାର ଗୁଣନଫଳ ଗଣନା କରିବାର କାରଣ ହେଉଛି ଯେ ମୁଦ୍ରା ଦୁଇଟି ଏକ ନୁହଁନ୍ତି ; ସେମାନେ ଦୁହେଁ ପରସ୍ପରଠାରୁ ଭିନ୍ନ । ସେହିଦିନ ଭାଷଣ ଦେବା ସମୟରେ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର କିନ୍ତୁ ଏକ ଛୋଟ ଭୁଲ କରିବସିଥିଲେ । ଯଦି ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ମୁଦ୍ରାର ସମ୍ଭାବନା ନଗଣି ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାରେ କଣ ପଡ଼ିବ ତାହାକୁ ଗଣନା କରାଯାଏ ତେବେ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଫଳଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ – ଦୁଇ ମୁଦ୍ରାରେ ମୁଣ୍ଡପଟ ପଡ଼ିବା, ଦୁଇମୁଦ୍ରାରେ ଲାଞ୍ଜପଟ  ପଡ଼ିବା ଓ ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାରେ ପରସ୍ପରଠାରୁ ଅଲଗା ପଟ ପଡ଼ିବା । ତିନୋଟି ସମ୍ଭାବନା ହେତୁ ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାରେ ମୁଣ୍ଡପଟ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବନା ୧/୩ । ଯଦି ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରା ଯେକୌଣସି ପ୍ରକୃତିରେ ପରସ୍ପରଠାରୁ ଭିନ୍ନ ହୁଅନ୍ତି ତେବେ ପ୍ରଥମ ଉପାୟ ମୁଣ୍ଡପଟ ପଡ଼ିବାର ସମ୍ଭାବନା ଦର୍ଶାଇବ । କିନ୍ତୁ ଯଦି ମୁଦ୍ରାଦ୍ୱୟ କୌଣସି ପ୍ରକୃତିରେ ଭିନ୍ନ ନୁହଁନ୍ତି ତେବେ ଦ୍ୱିତୀୟ ଉପାୟ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ ହେବ । ଏହି ଉଦାହରଣରେ ମୁଦ୍ରାଗୁଡ଼ିକୁ କଣିକାମାନଙ୍କଦ୍ୱାରା ବଦଳାଇ ଦିଆଯାଉ । ଫୋଟୋନ୍ ପରି କଣିକାମାନେ ପରସ୍ପରଠାରୁ ଅଭିନ୍ନ ନୁହଁନ୍ତି । ସମାନ ଶକ୍ତି ସ୍ତରରେ ଥିବା ଦୁଇଟି ଫୋଟୋନ୍ ଦୁଇଟି “ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଫୋଟୋନ୍” ବୋଲି କହିହେବନାହିଁ । ତେଣୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ଗ୍ରହରେ ରହିଥିବା ଫୋଟୋନ୍ ଯଦି ଏକ ମୁଦ୍ରା ଓ ଆମ ପରୀକ୍ଷାଗାରରେ ସୃଷ୍ଟ ଫୋଟୋନ୍ ଯଦି ଅନ୍ୟ ଏକ ମୁଦ୍ରା, ତେବେ ପ୍ରକୃତରେ ଦୁଇଟି ମୁଣ୍ଡପଟ ପଡ଼ିବାର ସମ୍ଭାବନା ୧/୩ ହେବ । ପାରମ୍ପରିକ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ମୁଦ୍ରା ଚିନ୍ତାଧାରାରେ ସମ୍ଭାବନା ୧/୨ ହେବ । ସେହି ଦିନ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ରଙ୍କ ଏହି ଭୁଲ ପରେ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନରେ ବିକଶିତ ଓ ପ୍ରସିଦ୍ଧ ହେଲା । ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ଓ ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ଏହି ଚିନ୍ତାକୁ ପରମାଣୁ ଉପରେ ପ୍ରୟୋଗ କରି ଏହାର ପ୍ରଚାର ଓ ପ୍ରସାର କରାଇଥିଲେ । ୧୯୯୫ ମସିହାରେ ବୋଷନ୍ କଣିକାମାନଙ୍କ ଏକତ୍ରୀକରଣରେ ପ୍ରସ୍ତୁତ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ଘନପଦାର୍ଥ ବିଷୟରେ ପରୀକ୍ଷଣରୁ ଜଣା ପଡ଼ିଲା ।
## ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ବିତରଣର ଦୁଇଟି ଦିଗ
### ଗ୍ରାଣ୍ଡ୍ କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ଏନ୍ସେମ୍ବଲ
ପରସ୍ପର ଉପରେ ପ୍ରଭାବ ପକାଉନଥିବା ବୋଷନମାନଙ୍କ ପ୍ରମାତ୍ର ବ୍ୟବସ୍ଥାର ରୂପ ଗ୍ରାଣ୍ଡ୍ କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ଏନ୍ସେମ୍ବଲରୁ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ବିତରଣ (Bose–Einstein distribution) ଅତି ସହଜରେ ନିରୂପିତ ହୋଇପାରିବ । ଏଠାରେ ବିତରଣ ଶବ୍ଦଟି ଗାଣିତିକ ଅର୍ଥରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇଛି । ଏହି ବ୍ୟବସ୍ଥାଟି T ତାପମାତ୍ରା ଓ µ ରାସାୟନିକ ବିଭବଯୁକ୍ତ ଏକ ଉତ୍ସ ସହିତ ଶକ୍ତି ଓ କଣିକା ବିନିମୟ କରିପାରେ ।  
ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ପ୍ରଭାବହୀନ ଥିବାରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ କଣିକା (ଯାହାର ଶକ୍ତିସ୍ତର ϵ), ଉତ୍ସ ସହିତ ସଂଲଗ୍ନ ଏକ ଉଷ୍ମାଗତିଜ ବ୍ୟବସ୍ଥା ପରି ମନେହୁଏ । କଣିକା ଦୃଷ୍ଟିକୋଣରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ କଣିକା ନିଜେ ଏକ କ୍ଷୁଦ୍ର ଗ୍ରାଣ୍ଡ୍ କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ଏନ୍ସେମ୍ବଲ । ବୋଷନମାନଙ୍କ ପାଇଁ କଣିକାସଂଖ୍ୟା Nର କୌଣସି ସୀମା ନଥିବା ବେଳେ ଅଭିନ୍ନତା କାରଣରୁ ସର୍ବମୋଟ ଶକ୍ତିସ୍ତରକୁ Nϵ ବୋଲି ଅଭିହିତ କରାଯାଉ । ଗୋଟିଏ କଣିକାପାଇଁ ଏହି ଫଳନକୁ ଏକ ଜ୍ୟାମିତିକ ପ୍ରଗତି ଭଳି ଲେଖାଯାଇପାରିବ:

: \begin{align}\mathcal Z & = \sum_{N=0}^{\infty} \exp(N(\mu - \epsilon)/k_B T) = \sum_{N=0}^\infty [\exp((\mu - \epsilon)/k_B T)]^N \\& = \frac{1}{1 - \exp((\mu - \epsilon)/k_B T)}\end{align} 

ସେହି ଅବସ୍ଥା ପାଇଁ ହାରାହାରି କଣିକା ସଂଖ୍ୟା ହେଲା : 

: \langle N\rangle = k_B T \frac{1}{\mathcal Z} \left(\frac{\partial \mathcal Z}{\partial \mu}\right)_{V,T} = \frac{1}{\exp((\epsilon-\mu)/k_B T)-1}  

ଏହି ବିନ୍ୟାସ ସମସ୍ତ କଣିକାପାଇଁ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ ଓ ଏହି ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ବିତରଣ ସମଗ୍ର ବ୍ୟବସ୍ଥାର ଅବସ୍ଥା ଦର୍ଶାଏ । ଉତ୍ତାପର ପରିବର୍ତ୍ତନ ଯୋଗୁଁ କଣିକା ସଂଖ୍ୟାର ପରିବର୍ତ୍ତନ ନିରୂପଣ କରିବା ପାଇଁ ନିମ୍ନ ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରିହେବ :  

: \langle (\Delta N)^2 \rangle = k_B T \left(\frac{d\langle N\rangle}{d\mu}\right)_{V,T} = \langle N^2\rangle - \langle N\rangle^2  

ପରସ୍ପଠାରୁ ଭିନ୍ନ କଣିକାପାଇଁ କଣିକାସଂଖ୍ୟାର ପରିବର୍ତ୍ତନର ମାତ୍ରା ଅଧିକ ଓ ତାହା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାର ସୂତ୍ରକୁ ପଇଜନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ (Poisson statistics) କୁହାଯାଏ । 

:\langle (\Delta N)^2 \rangle = \langle N\rangle^2 

### କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ପଦ୍ଧତି
କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ପଦ୍ଧତିର ବିନିଯୋଗରେ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ସୂତ୍ର ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରିହେବ । ଏହି ପଦ୍ଧତି ଦୀର୍ଘତର ଏବଂ ଶେଷରେ ଗ୍ରାଣ୍ଡ୍ କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ଏନ୍ସେମ୍ବଲର ଗଣନା ସହିତ ସମାନ ହୁଏ । ଏକ କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ଏନ୍ସେମ୍ବଲରେ ବୋଷନମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ସୀମିତ । ଡାରୱିନ୍-ଫାଉଲର୍, ମ୍ୟୁଲର୍-କିର୍ଷ୍ଟେନ୍, ଡିଂଗଲ୍ ଆଦିଙ୍କଦ୍ୱାରା କରାଯାଇଥିବା ଗାଣିତିକ ବିଶ୍ଳେଷଣର ବ୍ୟବହାର କରି କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ବ୍ୟବସ୍ଥାରେ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ ।
ମନେ କରାଯାଉ \displaystyle i ସଂଖ୍ୟକ ଶକ୍ତିସ୍ତର ରହିଛି, ପ୍ରତ୍ୟେକ ଶକ୍ତିସ୍ତରର ଶକ୍ତି ହେଲା \displaystyle \varepsilon_i ଓ ସମୁଦାୟ \displaystyle n_iଟି କଣିକା ରହିଛି । ମନେ କରାଯାଉ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ତରରେ \displaystyle g_i ଗୋଟି ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଉପସ୍ତର ରହିଛି । ଏହି ସମସ୍ତ ଉପସ୍ତର ଶକ୍ତି ସମାନ ଓ ସେମାନେ ସହଜରେ ବାରି ହୋଇପାରିବେ । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ ସମାନ ଶକ୍ତିଥିବା ଦୁଇଟି କଣିକାର ସଂବେଗ ଭିନ୍ନ, ତେଣୁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ପ୍ରକୃତିରେ ଭିନ୍ନତା ଯୋଗୁଁ ସେମାନଙ୍କୁ ଆମେ ସହଜରେ ବାରି ପାରିବା । \displaystyle i ସ୍ତରରେ \displaystyle g_iର ପରିମାଣକୁ ସେହି ସ୍ତରର କ୍ଷୟଶୀଳତା କୁହାଯାଉ । ଏକ ସମୟରେ ଅନେକ ବୋଷନ୍ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଉପସ୍ତରେ ରହିପାରିବେ । 
ପୁଣି, ମନେ କରାଯାଉ ଯେ \displaystyle n କଣିକାକୁ \displaystyle g ଉପସ୍ତରରେ \displaystyle w(n,g) ପ୍ରକାର ଉପାୟରେ ବିତରଣ ବା ବିନ୍ୟାସ କରି ରଖାଯାଇପାରିବ ।  \displaystyle n ଗୋଟି କଣିକାକୁ ଗୋଟିଏ ଉପସ୍ତରରେ କେବଳ ଗୋଟିଏ ପ୍ରକାରର ବିତରଣରେ ରଖାଯାଇପାରିବ ; ତେଣୁ  \displaystyle w(n,1)=1 । ୨ଟି ଉପସ୍ତରରେ \displaystyle nଟି କଣିକାର \displaystyle (n+1) ପ୍ରକାରର ବିତରଣ \displaystyle nକୁ ନିମ୍ନ ଆକାରରେ ଲେଖାଯାଇପାରିବ :
:w(n,2)=\frac{(n+1)!}{n!1!}
୩ଟି ଉପସ୍ତରରେ \displaystyle n କଣିକାର ଯେତୋଟି ଉପାୟରେ ବିତରଣ ହୋଇପାରିବ, ତାହା ହେଲା :   
:w(n,3) = w(n,2) + w(n-1,2) + \cdots + w(1,2) + w(0,2)
ଯେପରିକି
:w(n,3)=\sum_{k=0}^n w(n-k,2) = \sum_{k=0}^n\frac{(n-k+1)!}{(n-k)!1!}=\frac{(n+2)!}{n!2!}
ଏଠାରେ ଦ୍ୱିପଦ ଗୁଣାଙ୍କ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ନିମ୍ନ ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଆମେ ବ୍ୟବହାର କରିଛେ :
:\sum_{k=0}^n\frac{(k+a)!}{k!a!}=\frac{(n+a+1)!}{n!(a+1)!}.
ଏହି ପ୍ରଣାଳୀକୁ ଆଗକୁ ବଢ଼ାଇଲେ ଆମେ ଜାଣିବା ଯେ \displaystyle w(n,g) କେବଳ ଏକ ଦ୍ୱିପଦ ଗୁଣାଙ୍କ ନୁହେଁ । 
:w(n,g)=\frac{(n+g-1)!}{n!(g-1)!}

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ ୨ଟି କଣିକା ୩ଟି ଉପସ୍ତରରେ ରହିବାର ବିଭିନ୍ନ ସମ୍ଭାବନା ହେଲା – ୨୦୦, ୧୧୦, ୧୦୧, ୦୨୦, ୦୧୧ ଓ ୦୦୨ । ତେଣୁ ୪!/(୨!୨!) = ୬ଟି ସମ୍ଭାବନା ରହିଛି । ଏପରି \displaystyle n_i ଅବସ୍ଥିତିର ପୁରା ବିନ୍ୟାସ ଜାଣିବାକୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପସ୍ତର କଣିକାମାନଙ୍କଦ୍ୱାରା କିପରି ପୂର୍ଣ୍ଣ ହୁଏ ତାହାର ଗୁଣନଫଳ ବାହାର କରିବାକୁ ହେବ । 

:W = \prod_i w(n_i,g_i) =  \prod_i \frac{(n_i+g_i-1)!}{n_i!(g_i-1)!}\approx\prod_i \frac{(n_i+g_i)!}{n_i!(g_i)!}

ଏଠାରେ n_i \gg 1କୁ ଆଧାର କରି ଉପରୋକ୍ତ ସୂତ୍ର ଧାର୍ଯ୍ୟ ହୋଇଛି । 

କଣିକାସଂଖ୍ୟା ଓ ଶକ୍ତିର ପରିମାଣ ସୀମିତ ରଖି ଏବଂ ମ୍ୟାକ୍ସୱେଲ୍-ବୋଲ୍ଜମ୍ୟାନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନରେ ବ୍ୟବହୃତ ପଦ୍ଧତିର ଉପଯୋଗ କରି \displaystyle n_iର ଏକ ସେଟ୍ ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରାଯାଇପାରିବ, ଯେଉଁଥିରେ *W*ର ପରିମାଣ ସର୍ବାଧିକ ହେବ ।  \displaystyle n_iର ସେହି ସମାନ ପରିମାଣ ବେଳେ \displaystyle W ଓ \displaystyle \ln(W)ର ଏହି ସର୍ବାଧିକ ମାନ ପରିଲକ୍ଷିତ ହେବ । ଲାଂଗ୍ରାଞ୍ଜ୍ ଗୁଣକର ବ୍ୟବହାର କରି ଏହି ଫଳନକୁ ଲେଖିଲେ : 

:f(n_i)=\ln(W)+\alpha(N-\sum n_i)+\beta(E-\sum n_i \varepsilon_i)

n_i \gg 1 ହେଲେ ଓ ଷ୍ଟରଲିଂଗ୍ ସନ୍ନିକଟତା ବ୍ୟବହାର କଲେ \left(x!\approx x^x\,e^{-x}\,\sqrt{2\pi x}\right) ନିମ୍ନ ଲିଖିତ ଉତ୍ତର ମିଳିବ

:f(n_i)=\sum_i (n_i + g_i) \ln(n_i + g_i) - n_i \ln(n_i) +\alpha\left(N-\sum n_i\right)+\beta\left(E-\sum n_i \varepsilon_i\right)+K.

ଏଠାରେ *K* ହେଉଛି n_iର ଫଳନ ହୋଇନଥିବା ସଂଖ୍ୟାଙ୍କ ସମଷ୍ଟି । \displaystyle n_iକୁ ଭିତ୍ତି କରି ଡେରିଭେଟିଭ୍ ବାହାର କଲେ, ପ୍ରାପ୍ତ ଫଳର ମୂଲ୍ୟ ଶୂନ ହେଲେ ଓ \displaystyle n_iକୁ ସମାଧାନ କଲେ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ସଂଖ୍ୟାମାନ ପ୍ରାପ୍ତ କରିହେବ । 

:n_i = \frac{g_i}{e^{\alpha+\beta \varepsilon_i}-1}

## ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ପ୍ରୟୋଗ
ଏକ ସମ୍ଭାବନାର ପରିସଂଖ୍ୟାନ ସମ୍ପର୍କିତ ତତ୍ତ୍ୱ ହୋଇଥିବାରୁ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ଅନେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ । 
- ତଥ୍ୟ ପୁନରୁଦ୍ଧାର କରିବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ ପଦ୍ଧତି ଏହି ପରିସଂଖ୍ୟାନର ବ୍ୟବହାର କରେ ଓ ଅନିୟମିତତାରୁ ଅପସରଣ (Divergence From Randomness - DFR) ମଡେଲ୍ ଗୁଡ଼ିକରେ ଏହା ଏହା ବିଶେଷ ଭାବେ ସହାୟକ ହୋଇଥାଏ । 
- ୱଲ୍ଡ୍ ୱାଇଡ୍ ୱେବ୍ (WWW) ଓ ବ୍ୟବସାୟ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ଅନେକ ଜଟିଳ ବ୍ୟବସ୍ଥାରେ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ଘନୀକରଣର ନେଟୱର୍କ୍ ତତ୍ତ୍ୱ ଓ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ । 

## ଆଧାର
ଶ୍ରେଣୀ:ଗଣିତ
ଶ୍ରେଣୀ:ପଦାର୍ଥ ବିଜ୍ଞାନ