Babbaafamaa

Herrega keessatti (keessattuu shallaggoo addummaa(differential calculus) keessatti), **babbaafamni** karaa saffisa jijjiirama battalaa agarsiisuudha: jechuunis, hamma warroomii tokko qabxii kenname tokko irratti jijjiiramaa jiru. warroomiiwwan lakkoofsota dhugaa irratti socho'aniif, innis dhundhula sarara moxobaa(tangent) tuqaa caattoo irratti argamuuti. Babbaafamni yeroo baayyee akka \tfrac{dy}{dx} ("dy irraa dx" , jechuun **garaagarummaa** y irraa **garaagarummaa** x tiin hirama). *d* jijjiiramaa miti, kanaaf haqamuu hin danda'u. Mallattoon beekamaan kan biraan immoo f'(x) —babbaafamni warroomii f qabxii x irratti, yeroo baay'ee " f'n kophxii x ". 

## Hiikkaa Babbaafamaa

Babbaafamni y x ilaalchisee jijjiirama y jijjiirama x irratti, akka fageenya gidduu jiruutti ibsama x_0 fi  x_1 daangaa hin qabne xiqqaa ta’a ( infinitesimal ). Jecha herregaatiin,  

: f'(a)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}

Kunis, akkuma fageenyi tuqaa x lamaan (h) gidduu jiru zeerootti dhihaachaa deemuun, dhundhulli sarara isaan gidduu jiru sarara tangeentii fakkaachuutti dhihaata.

## Babbaafama warroomiiwwanii

### Warroommii sararaawaa
Babbaafamni warroomii sararaawaa (faankshiniiwwan unkee mx+c ibsamoota lameetaa(quadratic) ykn ol’aanaa kan hin qabne) dhaabbataa dha. Kunis, babbaafama bakka tokko caattoo irratti argamu bakka biraa irrattis akkuma jirutti ta’a.

Yeroo jijjiiramaan hirkataan y kallattiin gatii x fudhata  ( y=x ), dhundhulli sararichaa bakka hundatti 1 waan ta’eef \tfrac{d}{dx}(x) = 1 ejjennoo sun eessa akka jiru osoo hin ilaalidha.

### warroomiiwwan aangoo
warroomiiwwan aangoo (bifa x^a ) warroomiiwwan sararaawaa irraa adda ta’ee amala qabu, sababiin isaas aangessoon isaanii fi dhundhulli isaanii garaagarummaa qaba.

warroomiiwwan aangoo, akka waliigalaatti, seera akka \tfrac{d}{dx}x^a = ax^{a-1} .  Kunis, yoo *a* lakkoofsi 6 kennine, egaa \tfrac{d}{dx} x^6 = 6x^5

Fakkeenyi biraa, kan hin mul’anne, warroomiiti f(x) = \tfrac{1}{x} . Kun bu’uuraan walfakkaataadha, sababiin isaas 1/x eksaapooneentota fayyadamuuf salphaa ta’uu danda’a:

: f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}
: f'(x) = -1(x^{-2})
: f'(x) = -\frac{1}{x^2}

Dabalataanis, hundeewwan jijjiiramuun eksaapooneentoota firaakshinii fayyadamuu ni danda’u, bakka bu’aan isaanii argamuu danda’utti:

: f(x) = \sqrt[3]{x^2} = x^\frac{2}{3}
: f'(x) = \frac{2}{3}(x^{-\frac{1}{3}})

### warroomiiwwan eksaapooneenshiyaalii
warroomiin eksaapooneenshiyaalii bifa ab^{f\left(x\right)}, eessa a fi b dhaabbataa ta’anii fi f(x) dalagaa kan x . Garaagarummaan eksaapooneenshiyaalii fi polinoomii gidduu jiru kan polinoomii keessa jiruudha x humna tokko tokkotti kan olkaafame yoo ta’u, eksaapooneenshiyaalii keessatti garuu  x  aangoo keessa jira.

#### Fakkeenya 1
\frac{d}{dx}\left( ab^{ f\left( x \right) } \right) = ab^{f(x)} \cdot f'\left(x \right) \cdot \ln(b)

#### Fakkeenya 2
Argachuu  \frac{d}{dx} \left( 3\cdot2^{3{x^2}} \right) .

 a = 3

 b = 2

 f\left( x \right) = 3x^2

 f'\left( x \right) = 6x 

Kanaaf,

 \frac{d}{dx} \left(3 \cdot 2^{3x^2} \right) = 3 \cdot 2^{3x^2} \cdot 6x \cdot \ln \left( 2 \right) = \ln \left(2 \right) \cdot 18x \cdot 2^{3x^2} 

### warroomiiwwan loogaritmii
Babbaafamaa logaarizimii fuggisoo   :  

: \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x} .

Fakkeenyaaf, . \frac{d}{dx}\ln\left(\frac{5}{x}\right) . Kunis gara (amaloota loogaritmii )tti hir’ifamuu danda’a:

: \frac{d}{dx}(\ln(5)) - \frac{d}{dx}(\ln(x))

Loogaritmiin 5 dhaabbataa waan ta’eef, bu’aan isaa 0 dha. Derivative kan \ln(x) dha \tfrac{1}{x} . Kanaaf,

: 0 - \frac{d}{dx} \ln(x) = -\frac{1}{x}

Derivaatiiwwan loogaritmii beezii *e* keessa hin jirreef, kan akka \tfrac{d}{dx}(\log_{10}(x)), kun gara:

: \frac{d}{dx} \log_{10}(x) = \frac{d}{dx} \frac{\ln{x}}{\ln{10}} = \frac{1}{\ln{10}} \frac{d}{dx} \ln{x} = \frac{1}{x \ln(10)}

### warroomiiwwan Rogkofa

: \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)
: \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)
: {\operatorname{d}\over\operatorname{d}\!x} cosec(x) = -cosec(x)cot(x)

\frac{d}{dx}\sec(x) = \sec(x)\tan(x) .

: {\operatorname{d}\over\operatorname{d}\!x}\tan(x)=\sec^2(x)
: {\operatorname{d}\over\operatorname{d}\!x} cot(x)=-cosec^2(x)
:

## Amaloota babbaafama (derivatives)
Derivaatiiwwan bakka bulfamuu danda’anitti kutaalee xixiqqootti qoodamuu danda’u (amaloota dalagaa armaan olii keessaa tokko qofa waan qabaniif). Fakkeenyaaf, \tfrac{d}{dx}(3x^6 + x^2 - 6) akka armaan gadiitti caccabuu danda’a:

: \frac{d}{dx}(3x^6) + \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(6)
: = 6 \cdot 3x^5 + 2x - 0
: = 18x^5 + 2x\,

## FAAYIDAALEE DARIVEETIIVII

### Gatiilee Fiixee
Akeekkoo 1 (Akeekkoo Gatiilee Fiixee) Yoo warroomiin 𝑓 intarvaalii cufaa [𝑎, 𝑏] irraatti ittifufaa ta'e, 𝑓'n [𝑎, 𝑏] irratti gatii guddaa fi gatii xiqqaa ni qabaata. Akeekkoo kana mirkaneessuun sadarkaa koorsii kanaa ol waan ta'eef, osoo hin mirkaneessin ittifayyadamna. 

Tiiramii 2 Mee warroomiin 𝑓 intarvaalii cufaa [𝑎, 𝑏] irratti ittifufaa fi intarvaalii banaa (𝑎, 𝑏) irratti dariveetivawaa haa ta'u. Yoo 𝑓 'n 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) irratti gatii fiixee qabaate, 𝑓 ′ (𝑐) = 0 ta'a.

Mirkana: Mee 𝑓 'n 𝑐 irratti gatii guddaa ni qaba haa jennu.

Tiiramii 3 (Tiiramii 'Rolle') Mee warroomiin 𝑓 intarvaalii cufaa [𝑎, 𝑏] irratti ittifufaa fi intarvaalii banaa (𝑎, 𝑏) irratti dariveetivawaa haa ta'u. Yoo 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) ta'e, lakkoofsi 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) kan 𝑓 ′ (𝑐) = 0 taasisu ni jiraata.

Mirkana: 1. Mee 𝑓 'n [𝑎, 𝑏] irratti dhaabbataa haa ta'u. ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) = 0 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 

2. Yoo 𝑓 'n dhaabbataa ta'uu baate, [𝑎, 𝑏] irratti ittifufaa waan ta'ee Tiiramii 3.1 'n gatiilee fiixee ni qabaata. 

⇒ ∃𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) kan 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑐)∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] taasisu. 

⇒ 𝑓 ′ (𝑐) = 0 (Tiiramii 3.2' n)

Tiiramii 3.4 (Tiiramii Gatii Qixxoomaa) Mee warroomiin 𝑓 intarvaalii cufaa [𝑎, 𝑏] irratti ittifufaa fi intarvaalii banaa (𝑎, 𝑏) irratti dariveetivawaa haa ta'u. Lakkoofsi 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) kan 𝑓 ′ (𝑐) = 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎 dhugoomsu yoo xinnate tokko ni jiraata. M

irkana :Tiiramii 3.3tti fayyadamuun mirkaneessi. 

Tiiramii 3.5 (Yaalii dariveetivii I) Mee 𝑓 'n intarvaalii 𝐼 irratti ittifufaa fi 𝑐 ∈ 𝐼 haa ta'an. 

I. Yoo 𝑓 ′ 'n 𝑐 irratti poozatiivii irraa gara negaatiiviitti jijjiirama ta'e, 𝑓(𝑐) 'n 𝐼 irratti gatii guddaa naannoo 𝑓 ta'a 

II. Yoo 𝑓 ′ 'n 𝑐 irratti negaatiivii irraa gara poozatiiviitti jijjiirama ta'e, 𝑓(𝑐) 'n 𝐼 irratti xiqqaa naannoo 𝑓 ta'a.

Fakkeenya 1.Yoo f(x)= x^3 + \tfrac{x}{3}  ta'e, intarvaalota 𝑓 'n irratti gatiilee fiixee horatu adda baasuun ibsi,

kanuma irraa 𝑓 ′ (𝑥) ≥ 0 ∀𝑥 ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞) fi 𝑓 ′ (𝑥) ≤ 0 ∀𝑥 ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1] yoo ta'u, 𝑓 ′ 'n −1 irratti poozatiivii irraa gara negaatiiviittii fi 1 irratti negaatiivii irraa gara poozatiiviitti jijjirame. Kanaafuu 𝑓(−1) = −4 gatii guddaa naannoo fi 𝑓(1) = 4 gatii xiqqaa naannoo 𝑓 ta'u