Subrejeccion

thumb|200px|Una aplicacion subrejectiva.
thumb|200px|Una aplicacion '''non''' subrejectiva (l'element C dau codomeni es pas dins l'imatge).
En matematicas, una **subrejeccion** o **aplicacion subrejectiva** (var. **sobrejeccion**, **suberjeccion**, o...) es una aplicacion que sei valors emplisson tot lo codomeni.

## Definicion
Estent dos ensembles *X* e *Y*, una aplicacion *f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;→&nbsp;*Y* es dicha **subrejectiva** se e solament se :
: per tot element *y* dau codomeni *Y*, existís aumens un element *x* dau domeni *X* tau que *f*(*x*)&nbsp;=&nbsp;*y*.
Autrament dich, *f* es subrejectiva se e solament se son imatge *f*(*X*) es egau au codomeni *Y*.

## Exemples e còntraexemple
* Per tot ensemble *X*, l'aplicacion identica de *X* es subrejectiva.

* L'aplicacion *u*&nbsp;:&nbsp;**N**&nbsp;→&nbsp;**N** definida per *u*(*n*)&nbsp;= Ent(*n* / 2) (onte per tot reau *x*, "Ent(*x*)" es la partida entiera de *x*) es subrejectiva : per tot element *p* dau codomeni **N**, existís aumens un element *n* dau domeni **N** tau que *u*(*n*)&nbsp;= *p* : per exemple 2 *p* ; mai l'element 2 *p* + 1 convèn tanben e se pòt verificar que per tot entier naturau *p*, l'eqüacion *u*(*n*)&nbsp;= *p* d'inconeguda *n* a pas d'autra solucion que :
: *n' * = 2 *p* e *n" * = 2 *p* + 1.

* L'aplicacion *v*&nbsp;:&nbsp;**N**&nbsp;→&nbsp;**N** definida per *v*(*n*)&nbsp;= 2 *n* + 1 es *pas* subrejectiva, car (per exemple) existís ges d'entier naturau *n* tau que *v*(*n*)&nbsp;= 6. Pus explicitament, l'imatge de l'aplicacion *v* es l'ensemble deis entiers naturaus impars : es diferent dau codomeni **N**.

* La foncion *f*&nbsp;:&nbsp;**R**&nbsp;→&nbsp; definida per *f*(*x*)&nbsp;= *x*2 es subrejectiva, car per tot element dau codomeni, valent a dire per tot reau positiu *y*, se pòt definir lo reau x = \sqrt{y} , e *f*(*x*)&nbsp;=&nbsp;*y*.

* La foncion *g*&nbsp;:&nbsp;**R**&nbsp;→&nbsp;**R** definida per *g*(*x*)&nbsp;= *x*2 es *pas* subrejectiva, car se se chausís dins lo codomeni un reau *y* tau que *y* 2 = *y*. Pus explicitament, l'imatge de la foncion *g* es l'ensemble  dei reaus positius : es diferent dau codomeni **R**.

* La foncion logaritme neperian \ln :\; ]0,+\infty[ \to \mathbf{R} : x \mapsto \ln{x} es subrejectiva.

## Proprietats
* Una aplicacion *f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;→&nbsp;*Y* es subrejectiva se e solament s'existís una aplicacion *g*&nbsp;:&nbsp;*Y*&nbsp;→&nbsp;*X* tala que *f*&nbsp;o&nbsp;*g* siá egala a l'aplicacion identica de *Y* (aquesta proposicion es equivalenta a l'axiòma de la chausida).

* Se *f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;→&nbsp;*Y* e *g*&nbsp;:&nbsp;*Y*&nbsp;→&nbsp;*Z* son d'aplicacions subrejectivas, alora l'aplicacion compausada *g*&nbsp;o&nbsp;*f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;→&nbsp;*Z* es subrejectiva.

* Se *g*&nbsp;o&nbsp;*f* es subrejectiva, alora *g* es subrejectiva (mai se pòt que *f* o siá pas)

* *f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;→&nbsp;*Y* es subrejectiva se e solament se, quinei que sián leis aplicacions *g*, *h*&nbsp;:&nbsp;*Z*&nbsp;→&nbsp;*X*, la relacion *g*&nbsp;o&nbsp;*f*&nbsp;= *h*&nbsp;o&nbsp;*f* implica *g*&nbsp;=&nbsp;*h*.

* Se *f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;→&nbsp;*Y* es subrejectiva e *B* es un sosensemble de *Y*, alora *f*(*f*&nbsp;−1(*B*))&nbsp;=&nbsp;*B*.  Ansin, en aquest cas, se pòt retrobar *B* a partir de l'imatge invèrs *f*&nbsp;−1(*B*).

* Tota aplicacion *f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;→&nbsp;*Y* pòt èsser descompausada sota la forma *f*&nbsp;= *i*&nbsp;o&nbsp;*s*, onte :
** *s*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;→&nbsp;*f*(*X*) definida per *s*(*x*)&nbsp;= *f*(*x*) es subrejectiva
** *i*&nbsp;:&nbsp;*f*(*X*)&nbsp;→&nbsp;*Y* definida per *i*(*y*)&nbsp;= *y* es injectiva (es l'injeccion canonica de l'imatge *f*(*X*) de *f* dins lo codomeni *Y* de *f* ).

* Tota subrejeccion indutz una bijeccion d'un ensemble quocient de son domeni vèrs son codomeni. Pus precisament, estent una aplicacion subrejectiva *f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;→&nbsp;*Y*, se pòt definir ansin una relacion binària dins *X* : per tot pareu (*x*, *x' *) d'elements de *X* :
:: *x* ~ *x' * se e solament se *f*(*x*) = *f*(*x' *).
: Es de bòn veire qu'es una relacion d'equivaléncia ; per tot element *x* de *X*, se notarà [*x*] sa classa d'equivaléncia. Coma *f* es constanta sus cada classa d'equivaléncia (per definicion de la relacion binària), existís una aplicacion unica *f*~:&nbsp;*X* /~&nbsp;→&nbsp;*Y* tala que per tot element [*x*] de l'ensemble quocient *X* /~ : *f*~([*x*]) = *f*(*x*) (es la proprietat universala de l'ensemble quocient).
:: a) La subrejectivitat de *f*~ resulta d'aquela de *f* : per tot element *y* de *Y*, existís *x* element de *X* tau que *f*(*x*)&nbsp;=&nbsp;*y*, donc *f*~([*x*])&nbsp;=&nbsp;*y*.
:: b) De mai, se [*x*] e [*x' *] son doas classas d'equivaléncia talei que *f*~([*x*]) = *f*~([*x' *]), alora *f*(*x*) = *f*(*x' *), donc *x* ~ *x' *: se'n dedutz l'egalitat dei doas classas d'equivaléncia, donc l'injectivitat de *f*~.
:: c) Ansin, l'aplicacion *f*~:&nbsp;*X* /~&nbsp;→&nbsp;*Y* es bijectiva, çò qu'èra de demostrar.

* S'existís una aplicacion subrejectiva *f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;→&nbsp;*Y*, alora *X* a aumens tant d'elements coma *Y*, au sens dei nombres cardinaus.

* Se *X* e *Y* son d'ensembles finits qu'an lo **meteis nombre** d'elements, alora per tota aplicacion *f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;→&nbsp;*Y*, lei proposicions seguentas son equivalentas :
** *f* es subrejectiva
** *f* es injectiva
** *f* es bijectiva

## Vejatz tanben
* ensemble
* aplicacion
* injeccion
* bijeccion