Equipoténcia

En teoria deis ensembles, se ditz que dos ensembles *E* e *F* son **equipotents** (o *eqüipotents*) e se nòta *E* ≈ *F*, s'existís una bijeccion f : E \to F. Per definicion, dos ensembles (finits o non) an la meteissa cardinalitat, valent a dire lo meteis nombre d'elements, se son equipotents.

## Proprietats de l'equipoténcia
L'equipoténcia a lei proprietats seguentas :
* es reflexiva : per tot ensemble *E*, *E* ≈ *E* (existís aumens una bijeccion de *E* vèrs *E* : l'aplicacion identica de *E*)

* es simetrica : estent dos ensembles *E* e *F*, se *E* ≈ *F*, alora *F* ≈ *E* (per ipotèsi, existís aumens una bijeccion f : E \to F ; alora la recipròca f^{-1} es una bijeccion F \to E)

* es transitiva : estent tres ensembles *E*, *F* e *G*, se *E* ≈ *F* e *F* ≈ *G*, alora *E* ≈ *G* (per ipotèsi, existís aumens una bijeccion f : E \to F e una bijeccion g : F \to G ; alora la compausada g \circ f : E \to G es una bijeccion)

Aiçò pròva que dins tot ensemble \mathcal{E} d'ensembles, la relacion binària d'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia, e que l'ensemble quocient \mathcal{E} / \approx\quad pòt èsser identificat a l'ensemble dei cardinaus deis elements de \mathcal{E}. Per exemple, se \mathcal{E} = \mathcal{P}(\Omega) es l'ensemble dei partidas d'un ensemble \Omega, l'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia dins \mathcal{E}.

Mai es pas possible de dire que l'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia dins l'ensemble de totei leis ensembles : dins la teoria classica deis ensembles, l'ensemble de totei leis ensembles existís pas.

## Teorèma de Cantor-Bernstein
Lo teorèma de Cantor-Bernstein (o teorèma de Cantor-Bernstein-Schröder) es una caracterizacion de l'equipoténcia. S'enóncia ansin :

Estent dos ensembles *E* e *F*, s'existisson doas injeccions i : E \to F e j : F \to E, alora *E* ≈ *F*.

## Exemples e còntraexemples
* L'ensemble \mathbb{N} deis entiers naturaus e l'ensemble deis entiers naturaus pars, notat aicí \mathcal{P}, son equipotents : l'aplicacion \mathbb{N} \to \mathcal{P},\, n \mapsto 2\, n es bijectiva

* Cas deis intervals de l'ensemble \mathbb{R} dei nombres reaus.
** Sián dos reaus *a*, *b* taus que a , e leis intervals  [a,\, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\} , \,]a,\, b[\, = \{x \in \mathbb{R} \mid a  [a,\, b[\, = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x  , \,]a,\, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a 
*** Leis intervals [a,\, b]  e [0,\, 1] son equipotents : l'aplicacion [a,\, b] \to [0,\, 1],\, x \mapsto \frac{x - a}{b - a} es bijectiva.
*** Parierament, leis intervals \,]a,\, b[\,  e \,]0,\, 1[\, (o encara [a,\, b[\,  e [0,\, 1[\, ...) son equipotents.
** Leis intervals \,]0,\, 1[\, e [0,\, 1] son equipotents :
*** l'aplicacion i : \,]0,\, 1[\, \to [0,\, 1],\, x \mapsto x  es injectiva (en fach, es l'injeccion canonica)
*** l'aplicacion j : [0,\, 1] \to \,]0,\, 1[\,,\, x \mapsto \frac{x + 1}{3}  es injectiva
*** l'equipoténcia de \,]0,\, 1[\, e [0,\, 1] es alora consequéncia dau teorèma de Cantor-Bernstein
** Leis intervals \mathbb{R} = \,]-\infty,\,+\infty[\, e \,]-1,\, +1[\, son equipotents : l'aplicacion \mathbb{R} \to \,]-1,\, +1[\,,\, x \mapsto \frac{x}{1 + |x|} es bijectiva.
** En fach, se pòt generalizar aquò : dos intervals de \mathbb{R} quins que sián (pron que cadun contengue aumens dos ponchs) son equipotents.

* Estent un ensemble \Omega , l'ensemble \mathcal{P}(\Omega) de sei partidas es equipotent a l'ensemble \{0,\, 1\}^\Omega dei foncions \Omega \to \{0,\, 1\} .  Per o provar, s'associa en tota partida *A* de \Omega sa foncion caracteristica \chi_A : \Omega \to \{0,\, 1\} . Se definís ansin: per tot element *x* de \Omega , \chi_A(x) = 1  se x \in A e \chi_A(x) = 0  se x \notin A.  L'aplicacion \mathcal{P}(\Omega) \to \{0,\, 1\}^\Omega,\, A \mapsto \chi_A es bijectiva : se *f* es una foncion \Omega \to \{0,\, 1\}  e se se definís A = \{x \in \Omega \mid f(x) = 1\}, es clar que *A* es la soleta partida de \Omega tala que \chi_A = f .

* Segon un teorèma classic de Cantor (cf. argument diagonau de Cantor), l'ensemble \mathbb{N} deis entiers naturaus *es pas* equipotent a l'ensemble \mathbb{R} dei reaus.  Pus generalament, *existís ges* d'ensemble \Omega que siá equipotent a l'ensemble \mathcal{P}(\Omega) de sei partidas (en fach, segon l'argument de Cantor, una aplicacion \Omega \to \mathcal{P}(\Omega) es jamai subrejectiva).

## Cas deis ensembles finits e deis ensembles infinits
### Ensembles equipotents a un ensemble finit
Se *E* es un ensemble finit, leis ensembles equipotents a *E* son aquelei que son finits e qu'an lo meteis nombre d'elements que *E*.

### Ensembles equipotents a un ensemble infinit
Tot ensemble equipotent a un ensemble infinit es tanben infinit. Mai se saup dempuei lo sègle XIX e leis òbras de Georg Cantor qu'existisson d'ensembles infinits que son pas equipotents, valent a dire qu'an pas la meteissa cardinalitat (cf. çai subre).

## Vejatz tanben
* bijeccion
* nombre cardinau
* teoria deis ensembles