Produch cartesian

En matematicas, lo **produch cartesian** (var. **produit cartesian**) de dos ensembles *A* e *B* es l'ensemble de totei lei **[[pareu (matematicas)|pareus]]** que sa premiera componenta apartèn a *A* e la segonda a *B*. Se generaliza aisadament la nocion de produch cartesian de dos ensembles a aquela de produch cartesian d'un nombre finit d'ensembles, qu'es un ensemble de *n-uplets*.

Lei produchs cartesians devon son nom a René Descartes, qu'en creant la geometria analitica, foguèt lo premier qu'utilizèt en substància çò qu'en lengatge modèrne es sonat "ensemble dei pareus de nombres reaus" e notat \mathbb R \times \mathbb R o \mathbb R^2, per representar lo plan euclidian (rementem que \mathbb R  designa l'ensemble dei nombres reaus).

## Produch cartesian de dos ensembles
### Definicion

Per tot ensemble *A* e tot ensemble *B*, existís un ensemble unic qu'a per elements lei pareus (*a*, *b*) que sa premiera componenta apartèn a *A* e la segonda a *B*. Aquel ensemble se nòta « *A* x *B* » e es nomenat **produch cartesian** de *A* per *B*.

**Remarcas** :
* En particular, s'aumens un dei dos ensembles *A*, *B* es vuege, lo produch cartesian *A* x *B* es vuege.
* Dins lo cas que leis ensembles *A*, *B* son totei dos non vueges, *A* x *B* = *B* x *A* se e solament se *A* = *B*. Autrament dich, l'òrdre dei factors es important e en generau, se fau engardar de confondre lei produchs cartesians *A* x *B* e *B* x *A*.

#### Cas particular : carrat cartesian d'un ensemble

Per tot ensemble *A*, lo carrat cartesian de *A* es per definicion l'ensemble *A* x *A* dei pareus (*a*, *b*) que sei doas componentas apartènon a *A*. Se nòta *A*2.

### Exemple

Se *A* es l'ensemble { A, R, D, V, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } e *B* l'ensemble { pica, còr, carrèu, flor }, alora lo produch cartesian d'aquelei dos ensembles es l'ensemble seguent : 
:{ (A, pica), (R, pica), ... (2, pica), (A, còr), ... (3, flor), (2, flor) }
que se pòt identificar amb l'ensemble dei 52 cartas d'un jòc.

### Grafs

Se sòna **graf** tot sosensemble d'un produch cartesian *A* x *B*.

## Generalizacion : produch cartesian d'un nombre finit d'ensembles

### Produch cartesian de tres ensembles

Lo produch cartesian de 3 ensembles *A*, *B*, *C* se definís coma l'ensemble dei triplets (*a*, *b*, *c*) que sa premiera componenta apartèn a *A*, la segonda a *B* e la tresena a *C*. Aquel ensemble se nòta « *A* x *B* x *C* ». Aicí tanben, l'òrdre dei factors es important.

#### Cas particular : cube cartesian d'un ensemble

Per tot ensemble *A*, lo cube cartesian de *A* es per definicion l'ensemble *A* x *A* x *A* dei triplets (*a*, *b*, *c*) que sei tres componentas apartènon a *A*. Se nòta *A*3.

### Produch cartesian de ''n'' ensembles

Lei definicions precedentas se generalizan sensa dificultat au cas d'un nombre finit d'ensembles. Lo produch cartesian de *n* ensembles A_1, \dots, A_n se definís coma l'ensemble dei ''n''-uplets (a_1,\, a_2, \dots,\, a_n)\; que sa premiera componenta \ a_1 apartèn a \ A_1\;, la segonda componenta \ a_2 a \ A_2\;, ... e la *n*-ena componenta \ a_n a \ A_n.

Aquel ensemble se nòta :  A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n\;, o ben : \prod_{i = 1}^n A_i.

#### Cas particular: poténcia cartesiana''' ''n''-ena d'un ensemble '''

Per tot ensemble *A*, la **poténcia cartesiana** *n*-ena de *A* es per definicion l'ensemble *A* x ... x *A* (*n* factors) dei *n*-uplets que sei componentas apartènon totei a *A*. Se nòta *A**n*.

## Vejatz tanben
* Pareu
* Relacion binària