Grop (matematicas)

En matematicas, e pus particularament en algèbra, l'estructura de **grop** es una abstraccion de la nocion d'operacion dins un ensemble quand existís una operacion invèrsa : per exemple l'addicion, pron que la sostraccion i siá definida. Aquesta estructura permet de modelizar de situacions fòrça divèrsas, que se rescòntran non solament en matematicas, mai tanben en fisica e en quimia.

## Estructura de grop
### Definicions
L'estructura algebrica de **grop** consistís en un monoïde que totei seis elements son simetrizables. Autrament dich, un grop notat (G,\, *) es un ensemble G provesit d'una lèi de composicion intèrna * satisfasent leis axiòmas seguents :
* associativitat :  \forall\, x \in G,\, \forall\, y \in G,\, \forall\, z \in G, x * (y * z) = (x * y)* z 
* existéncia d'un element neutre : \exists\, e \in G,\, \forall x \in G, x * e = e* x = x ; se saup que *e* es unic
* tot element de G es simetrizable : \forall\, x \in G,\, \exists\, x' \in G, x * x' = x' * x = e ; se saup que per cada element x de G , l'element x' es unic : es sonat **simetric** de x.

Se ditz que G es l**'ensemble sosjacent** au grop (G,\, *). Lo grop es dich *finit* se l'ensemble sosjacent es finit e en aqueu cas, l**'òrdre** dau grop es lo nombre d'elements de l'ensemble sosjacent ; senon lo grop es dich *infinit*.

**Terminologia** : en luòga de dire que lo pareu (G,\, *) es un grop, se ditz sovent que  ; se i a pas d'ambigüitat, lo grop se poirà notar G en plaça de (G,\, *) (l'operacion intèrna es sosentenduda).

### Commutacion e commutativitat
Siá un grop (G,\, *) .
#### Commutacion d'elements
Se ditz que dos elements *a*, *b* de *G* **commutan** se \ a * b = b * a .

Per exemple, tot element *a* commuta :
* amb eu meteis : \ a * a = a * a
* amb l'element neutre : \ a * e = e * a = a
* amb son simetric : \ a * a' = a' * a = e

#### Grop commutatiu
Lo grop es dich **commutatiu** (o *abelian*) se, de mai, la lèi dins *G* es commutativa, çò es :
* \ \forall\, x \in G,\, \forall\, y \in G,\, x * y = y * x (commutativitat)

Un grop es commutatiu se e solament se totei seis elements commutan a cha dos.

### Notacions
La notacion multiplicativa e la notacion additiva son particularament frequentas.

#### Grop multiplicatiu
Quand la lèi dins *G* es notada multiplicativament, lo grop es dich *multiplicatiu* :
:* s'escriu : *x* **·** *y* o *x* *y* en plaça de : \ x * y

:* l'element neutre se nòta "1" o "1*G*" (**element unitat** de *G*)

:* per tot element *x*, lo simetric es sonat **invèrs** de *x* e se nòta x^{-1} 

#### Grop additiu
Quand la lèi dins *G* es notada additivament, lo grop es dich *additiu* :
:* s'escriu : *x* + *y* en plaça de : \ x * y

:* l'element neutre se nòta "0" o "0*G*" (**element nul**, o **zèro** de *G*)

:* per tot element *x*, lo simetric es sonat **opausat** de *x* e se nòta -x 

Es convengut qu'un grop additiu es totjorn commutatiu (s'emplega jamai la notacion additiva per un grop non commutatiu).

### Premierei proprietats
Estent un grop (G,\, *) onte lo simetric de cada element *x* se nòta *x' * :

* *e' * = *e* (lo simetric de l'element neutre *e* es *e*)

* \forall\, x \in G,\, \forall\, y \in G,\, (x * y)' = y' * x' (simetric dau compausat de dos elements)

* \forall\, x \in G,\, (x')' = x (simetric dau simetric d'un element)

### Exemples
* L'ensemble \mathbb{Z} deis entiers, provesit de l'addicion, es un grop commutatiu. Ansin es de l'ensemble \mathbb{Q} dei racionaus, de l'ensemble \mathbb{R} dei reaus, e de l'ensemble \mathbb{C} dei complèxes.

* L'ensemble \mathbb{Q}^\ast dei racionaus diferents de 0, provesit de la multiplicacion, es un grop commutatiu. Ansin es de l'ensemble \mathbb{R}^\ast dei reaus diferents de 0, e de l'ensemble \mathbb{C}^\ast dei complèxes diferents de 0.

* L'ensemble \mathcal{S}(X) dei permutacions d'un ensemble *X*, provesit de la composicion deis aplicacions, es un grop ; tre que *X* a aumens tres elements, aquest grop es pas commutatiu.

* L'ensemble dei matritz carradas (d'òrdre ''n'' fixat), provesit de l'addicion, es un grop commutatiu.

* L'ensemble dei matritz carradas invertiblas (d'òrdre ''n'' fixat), provesit de la multiplicacion, es un grop ; tre que *n* es diferent de 1, aquest grop es pas commutatiu.

* Siá \mathcal{E} = \mathcal{P}(\Omega) l'ensemble dei partidas d'un ensemble \ \Omega . Estent dos elements *A*, *B* de \mathcal{E} , se definís sa **[[diferéncia simetrica]]**, notada \ A \vartriangle B :
:\ A \vartriangle B = (A\, \setminus B) \cup (B\, \setminus A) = (A \cup B)\, \setminus (A \cap B) .
: L'ensemble \mathcal{E} , provesit de l'operacion de diferéncia simetrica, es un grop commutatiu. L'element neutre es la partida vueja \varnothing, e cada element de \mathcal{E} es son pròpri simetric : per tota partida *A* de \ \Omega,
::\ A \vartriangle \varnothing = A e \ A \vartriangle A = \varnothing

### Còntraexemples
* L'ensemble \mathbb{N} deis entiers naturaus, provesit de l'addicion, es un monoïde que son element neutre es 0 ; mai es pas un grop : lo solet element simetrizable dins \mathbb{N} es 0.
* L'ensemble dei matritz carradas (d'òrdre *n* fixat), provesit de la multiplicacion, es un monoïde que son element neutre es la matritz unitat ; mai es pas un grop : existisson de matritz carradas non invertiblas.
* L'ensemble dei partidas d'un ensemble non vuege, provesit de l'operacion d'union ensemblista, es un monoïde que son element neutre es la partida vueja ; mai es pas un grop : lo solet element simetrizable es la partida vueja.

## Iterats d'un element per la lèi dau grop
S'es ja vist la nocion d'iterats d'un element per la lèi d'un monoïde. Se limitam aicí au cas d'un grop multiplicatiu e d'un grop additiu (la soleta diferéncia entre lei dos cas es la notacion).

### Poténcias d'un element d'un grop multiplicatiu
Estent un grop multiplicatiu (G,\, \cdot) , un element *x* de *G* e un entier naturau *m* diferent de 0, se pausa :
*  x^m = x \cdots  x (produch de *m* factors egaus a *x*)

* \ x^{-m} = (x')^m (produch de *m* factors egaus a l'invèrs *x' *) ; en particular,  x^{-1} = x', çò que justifica la notacion usuala de l'invèrs

* \ x^0 = 1_G

Se definís ansin una aplicacion \ \mathbb{Z} \times G \to G,\, (n,\, x) \mapsto x^n sonada *exponenciacion*, qu'es un exemple de lèi de composicion extèrna dins *G*. Se ditz que l'element  x^n es la **poténcia d'exponent** *n* de *x*.

#### Proprietats de l'exponenciacion
 \forall\, n \in \mathbb{Z},\, \forall\, p \in \mathbb{Z}, \forall x \in G :
*  x^{n+p} = x^n \cdot x^p

*  \left(x^n\right)^{\,p} = x^{n\, p}

**Avís** : estent dos elements *x*, *y* de *G* e un entier *n*, en generau  (x \cdot y)^n \neq x^n \cdot y^n. Pasmens, se leis elements *x*, *y* commutan, e en particular se lo grop es commutatiu :  (x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n

### Multiples d'un element d'un grop additiu
Estent un grop additiu (G,\, +) , un element *x* de *G* e un entier naturau *m* diferent de 0, se pausa :
* m \cdot x = x + \cdots + x (soma de *m* tèrmes egaus a *x*)

*  (-m) \cdot x = m \cdot x' (soma de *m* tèrmes egaus a l'opausat *x' *) ; en particular,  (-1) \cdot x = x', çò que justifica la notacion usuala de l'opausat

* 0 \cdot x = 0_G

Se definís ansin una aplicacion \ \mathbb{Z} \times G \to G,\, (n,\, x) \mapsto n \cdot x qu'es un exemple de lèi de composicion extèrna dins *G*. Se ditz que l'element \ n \cdot x es lo **multiple de coefficient** *n* de *x*.

#### Proprietats
 \forall\, n \in \mathbb{Z},\, \forall\, p \in \mathbb{Z},\, \forall\, x \in G,\, \forall\, y \in G :
*  (n+p) \cdot x = (n \cdot x) + (p \cdot x)

*  n \cdot (p \cdot x) = (n\, p) \cdot x

*  n \cdot (x + y) = (n \cdot x) + (n \cdot y)

## Sosgrop
### Definicion
Un sosgrop d'un grop *G* es un sosensemble *non vuege* *H* de *G* qu'es estable per la lèi de *G*, e qu'es un grop per la lèi inducha, autrament dich :
* \forall\, x \in H,\, \forall\, y \in H,\, x * y \in H
* \forall\, x \in H,\,\, x' \in H

Se pòt caracterizar ansin un sosgrop *H* de *G* : es un sosensemble *non vuege* tau que :
*  \forall\, x \in H,\, \forall\, y \in H,\, x * y' \in H

### Exemples
Dins un grop *G* :
* l'ensemble \{e\} que l'element neutre es son solet element es un sosgrop
* l'ensemble Z(G) deis elements que commutan amb totei leis elements de *G* es un sosgrop sonat *centre de G*:
:Z(G) = \{x \in G \mid \forall\, y \in G,\, x* y = y *x\}

## Morfisme de grops
Un morfisme de grops es una aplicacion compatibla amb l'estructura algebrica.

### Definicions
* Sián dos grops (G_1,\, \ast) (d'element neutre e_1) e (G_2,\, \star) (d'element neutre e_2) . Un **morfisme** de (G_1,\, \ast) vèrs (G_2,\, \star) es per definicion una aplicacion f : G_1 \to G_2 tala que
: \ \forall\, (x,\, y)\in G_1^2,\; f(x * y) =f(x) \star f(y)

* En particular, un **endomorfisme** dau grop (G,\, \ast) es un morfisme de (G,\, \ast) vèrs eu meteis.

* Estent un morfisme \ f de (G_1,\, \ast) vèrs (G_2,\, \star) , se definís ansin son **nuclèu** (sosensemble de \ G_1 ), notat \ \ker(f) , e son **imatge** (sosensemble de \ G_2 ), notat \ \mathrm{im}(f) :
: \ker(f) = \{ x \in G_1 \mid f(x) = e_2\} = f^{-1}(\{e_2\})

: \ \mathrm{im}(f) = \{ y \in G_2 \mid \exists\, x \in G_1,\, f(x) = y\} = f(G_1)

* Un **isomorfisme** de grops es un morfisme bijectiu. En particular, un endomorfisme bijectiu d'un grop es sonat **automorfisme** dau grop (es un isomorfisme dau grop vèrs eu meteis).

* Se ditz que dos grops son **isomòrfs** s'existís un isomorfisme d'un vèrs l'autre (aiçò significa qu'an exactament lei meteissei proprietats algebricas : per exemple, s'un dei dos es commutatiu, ansin es de l'autre) ; dau ponch de vista de l'algèbra, dos grops isomòrfs son indestriables.

### Proprietats
* Siá un morfisme \ f de (G_1,\, \cdot) vèrs (G_2,\, \cdot) (lei dos grops son notats multiplicativament). Alora :
** \ f(e_1) = e_2 : l'imatge per \ f de l'element neutre dau premier grop es l'element neutre dau segond grop.
** Per tot element *x* de \ G_1, \ f(x^{-1}) = f(x)^{-1} : l'imatge per \ f de l'invèrs d'un element es l'invèrs de l'imatge d'aquest element.
** Pus generalament, per tot pareu (*x*, *n*) onte *x* es dins \ G_1 e *n* es un entier : f\left(x^{n}\right) = (f(x))^{\,n}.

* L'aplicacion identica de \ G_1 es un automorfisme de (G_1,\, \cdot) .

* La compausada de dos morfismes de grops es un morfisme de grops : sián tres grops multiplicatius (G_1,\, \cdot) , (G_2,\, \cdot) , (G_3,\, \cdot) e dos morfismes \ f de (G_1,\, \cdot) vèrs (G_2,\, \cdot) , \ g de (G_2,\, \cdot) vèrs (G_3,\, \cdot) .  Alora, l'aplicacion compausada  \ g \circ f es un morfisme de (G_1,\, \cdot) vèrs (G_3,\, \cdot).  En particular, la compausada de dos isomorfismes de grops es un isomorfisme de grops.

* L'imatge d'un morfisme de grops es un sosgrop. Pus generalament, l'imatge d'un sosgrop per un morfisme de grops es un sosgrop.

* L'imatge invèrs d'un sosgrop per un morfisme de grops es un sosgrop. En particular, lo nuclèu es un sosgrop.

* La bijeccion recipròca d'un isomorfisme de (G_1,\, \cdot) vèrs (G_2,\, \cdot) es un isomorfisme de (G_2,\, \cdot) vèrs (G_1,\, \cdot) dich **isomorfisme recipròc**.

### Exemples
* Estent un reau *a*, l'aplicacion f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, x \mapsto a\, x es un endomorfisme dau grop additiu \mathbb{R} ; se \ a \neq 0 , f es un automorfisme e l'automorfisme recipròc es l'aplicacion f^{-1} : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, x \mapsto a^{-1}\, x

* L'aplicacion f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^\ast_+,\, x \mapsto \exp{x} es un isomorfisme dau grop additiu \mathbb{R} vèrs lo grop multiplicatiu \mathbb{R}^\ast_+ (çò que pròva qu'aquestei grops son isomòrfs):
** es bijectiva
** \ \forall\, (x,\, y)\in \mathbb{R}^2,\; \exp(x + y) = \exp(x) \cdot \exp(y)
: L'isomorfisme recipròc es l'aplicacion f^{-1} : \mathbb{R}^\ast_+ \to \mathbb{R},\, y \mapsto \ln{y}

## Annèxas

### Liames intèrnes

* Algèbra.
* Matematicas.

### Bibliografia

* **[[francés|(fr)]]** Jean Fresnel, *Groupes*, Hermann, 2001.
* **[[francés|(fr)]]** Roger Godement, *Introduction à la théorie des groupes de Lie*, Springer, 2004.
* **[[francés|(fr)]]** Felix Ulmer, *Théorie des groupes - Cours et exercices*, Ellipses, 2012.

### Nòtas e referéncias