Injeccion (matematicas)

thumb|200px|Una aplicacion injectiva.
thumb|200px|Una aplicacion '''non''' injectiva.
En matematicas, una **injeccion** o **aplicacion injectiva** es una aplicacion que pren de valors diferentas en d'elements diferents de son domeni. 

## Definicion
Estent dos ensembles *X* e *Y*, una aplicacion *f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;&rarr;&nbsp;*Y* es dicha **injectiva** se e solament se, per tot pareu (*x*, *x' ) * d'elements de son domeni *X* :
: *f*(*x*)&nbsp;=&nbsp;*f*(*x' *) implica *x* = *x' * (o *x* &ne; *x' * implica *f*(*x*)&nbsp;&ne;&nbsp;*f*(*x' *)).
Autrament dich, l'aplicacion *f* es injectiva se e solament se, per tot element *y* dau codomeni *Y*, existís au mai un element *x* dau domeni *X* tau que *f*(*x*)&nbsp;=&nbsp;*y*.

## Exemples e còntraexemples
* Per tot ensemble *X*, l'aplicacion identica de *X* es injectiva.

* L'aplicacion *u*&nbsp;:&nbsp;**N**&nbsp;&rarr;&nbsp;**N** definida per *u*(*n*)&nbsp;= 2 *n* + 1 es injectiva.

* La foncion *f*&nbsp;:&nbsp;&nbsp;&rarr;&nbsp;**R** definida per *f*(*x*)&nbsp;= *x*2 es injectiva, car dos reaus positius qu'an lo meteis carrat son egaus.

* La foncion *g*&nbsp;:&nbsp;**R**&nbsp;&rarr;&nbsp;**R** definida per *g*(*x*)&nbsp;= *x*2 es *pas* injectiva, car (per exemple) *g*(1)&nbsp;= *g*(&minus;1).

* La foncion *h*&nbsp;:&nbsp;**R**&nbsp;&rarr;&nbsp;**R** definida per h(x) = x^3 - x  es pas injectiva, car (per exemple) *h*(0) = *h*(1).

* La foncion exponenciala \exp :\; \R \to \R : x \mapsto \mathrm{e}^x es injectiva.

* La foncion logaritme neperian \ln :\; ]0,+\infty[ \to \R : x \mapsto \ln{x} es injectiva.

* Pus generalament, dins lo cas que *X* e *Y* son totei dos de sosembles de la drecha reala **R**, una foncion *f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;&rarr;&nbsp;*Y* es injectiva se e solament se son graf a jamai mai d'un ponch d'interseccion amb una drecha orizontala.

## Injeccion canonica
Estent un sosemble (non vuege) *X' * d'un ensemble *X*, l'aplicacion *i*&nbsp;:&nbsp;*X' *&nbsp;&rarr;&nbsp;*X* definida per *i*(*x*)&nbsp;= *x* es injectiva.

Es sonada **injeccion canonica** de *X' * dins *X*.

## Proprietats
* Se *f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;&rarr;&nbsp;*Y* e *g*&nbsp;:&nbsp;*Y*&nbsp;&rarr;&nbsp;*Z* son d'aplicacions injectivas, alora l'aplicacion compausada *g*&nbsp;o&nbsp;*f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;&rarr;&nbsp;*Z* es injectiva.

* Se *g*&nbsp;o&nbsp;*f* es injectiva, alora *f* es injectiva (mai se pòt que *g* o siá pas).

* *f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;&rarr;&nbsp;*Y* es injectiva se e solament se, quinei que sián leis aplicacions *g*, *h*&nbsp;:&nbsp;*Z*&nbsp;&rarr;&nbsp;*X*, la relacion *f*&nbsp;o&nbsp;*g*&nbsp;= *f*&nbsp;o&nbsp;*h* implica *g*&nbsp;=&nbsp;*h*.

* Se *f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;&rarr;&nbsp;*Y* es injectiva e *A* es un sosemble de *X*, alora *f*&nbsp;&minus;1(*f*(*A*))&nbsp;=&nbsp;*A*. Ansin, en aquest cas, se pòt retrobar *A* a partir de l'imatge *f*(*A*).

* Se *f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;&rarr;&nbsp;*Y* es injectiva e *A* e *B* son dos sosensembles de *X*, alora :
: *f*(*A*&nbsp;&cap;&nbsp;*B*)&nbsp;= *f*(*A*)&nbsp;&cap;&nbsp;*f*(*B*).

* Tota aplicacion *f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;&rarr;&nbsp;*Y* pòt èsser descompausada sota la forma *f*&nbsp;= *i*&nbsp;o&nbsp;*s*, onte :
** *s*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;&rarr;&nbsp;*f*(*X*) definida per *s*(*x*)&nbsp;= *f*(*x*) es subrejectiva
** *i*&nbsp;:&nbsp;*f*(*X*)&nbsp;&rarr;&nbsp;*Y* definida per *i*(*y*)&nbsp;= *y* es injectiva (es l'injeccion canonica de l'imatge *f*(*X*) de *f* dins lo codomeni *Y* de *f* ).

* S'existís una aplicacion injectiva *f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;&rarr;&nbsp;*Y*, alora *Y* a aumens tant d'elements coma *X*, au sens dei nombres cardinaus.

* Se *X* e *Y* son d'ensembles finits qu'an lo **meteis nombre** d'elements, alora per tota aplicacion *f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;&rarr;&nbsp;*Y*, lei proposicions seguentas son equivalentas :
** *f* es injectiva
** *f* es subrejectiva
** *f* es bijectiva

## Vejatz tanben
* ensemble
* aplicacion
* subrejeccion
* bijeccion