Aplicacion (matematicas)

En matematicas, lo concèpte d**'aplicacion** formaliza l'idèa intuitiva de dependéncia determinista entre dos elements qu'un d'elei (la *valor* de l'aplicacion) es entierament determinat per l'autre (la *variabla* de l'aplicacion).

D'un biais informau, una aplicacion *f* es la donada :
* de dos ensembles *X*, *Y* (que supausarem non vueges)
* d'un biais d'associar a cada element *x* de l'ensemble *X* un element unic *y* de l'ensemble *Y*, sonat **imatge** de *x* per *f*, o **valor** de *f* en *x*, e notat *f*(*x*)
Se ditz alora que *f* es una aplicacion de *X* dins *Y* (o de *X* vèrs *Y* ) e s'escriu f : X \to Y .

Per indicar qu'un element *x* de *X* a per imatge l'element *y* de *Y*, se pòt notar : x \mapsto y .

**Exemple** : l'esquèma çai sus (o *diagrama sagitau*) representa una aplicacion particulara d'un ensemble *X* de 3 elements (notats 1, 2, 3) dins un ensemble *Y* de 5 elements (notats *a*, ... , *e*). Se pòt interpretar *X* coma un ensemble de 3 objèctes destriables (son numerotats) e *Y* coma un ensemble de 5 boitas destriablas (son tanben "numerotadas"). Amb aquela interpretacion, cada aplicacion de *X* dins *Y* pòt èsser vista coma un dei biais de plaçar leis objèctes dins lei boitas : a cada objècte, l'aplicacion associa la boita ont es plaçat ; dins lo cas representat, leis objèctes "1", "2", "3" son plaçats respectivament dins lei boitas *a*, *c*, *d*.
De segur, i a d'autrei biais de lei plaçar (n'i a 53 = 125 en tot) : per exemple, se seriá poscut metre lei 3 objèctes dins la boita *b*, çò que seriá estat representat per l'aplicacion *g* de *X* dins *Y* tala que
:*g* (1) = *b*, *g* (2) = *b*, e *g* (3) = *b*.

**Remarca terminologica** : s'emplega sovent lo mot **foncion** per sinonim d**aplicacion de valors numericas'' (realas o complèxas). Ansin, una foncion es una aplicacion <math>f : X \to Y</math> , ont ''Y'' es un sosensemble de <math>\mathbb R</math> (l'ensemble dei [[nombre reau|reaus]]) o de <math>\mathbb C</math> (l'ensemble dei [[nombre complèxe|complèxes]]).

Per exemple, en geometria, l'[[aira]] ''a'' d'un carrat es una foncion de la longor <math>\ell</math> dau costat :
:<math>a = \ell^2</math> ;
la dependéncia entre <math>\ell</math> e ''a'' se representa per l'aplicacion <math>f : \mathbb R^+ \to \mathbb R^+,\, \ell \mapsto a = \ell^2</math> (l'ensemble dei reaus positius se nòta <math>\mathbb R^+</math>).

== Definicions ==
* Formalament, una **aplicacion** ''f'' d'un ensemble ''X'' dins (o ''vèrs'') un ensemble ''Y'' es un [[pareu (matematicas)#Triplets|triplet]] <math>f = (X,\, Y,\, \Gamma_f)</math> onte <math>\ \Gamma_f</math> es un sosensemble dau [[produch cartesian]] ''X'' x ''Y'' satisfasent la condicion seguenta :<br /> per tot element ''x'' de ''X'', existís un element ''unic'' ''y'' de ''Y'' tau que <math>(x,\, y) \in \Gamma_f</math> .
** L'element ''y'' ansin definit (dich ''associat'' a ''x'') se nòta ''f''(''x'') : es l**'imatge** de ''x'' per l'aplicacion ''f'', o la **valor** de ''f'' en ''x''.
** S'escriu <math>f : X \to Y</math> (que se liège : « ''f'' (es una) aplicacion de ''X'' dins ''Y'' »).
* Se ditz que l'ensemble ''X'' es lo **domeni** de ''f'' o l**'ensemble de definicion** de ''f''.
* Se ditz que l'ensemble ''Y'' es lo **codomeni** de ''f'' o l**'ensemble d'arribada** de ''f''.
* L'ensemble <math>\ \Gamma_f</math> es un sosensemble dau produch cartesian ''X'' x ''Y'' : es un graf. Se ditz qu'es lo **graf** de l'aplicacion ''f''. Per definicion :
:<math>\Gamma_f = \{(x,\, y) \mid (x \in X) \wedge (y \in Y) \wedge (y = f(x)\;\}</math> ;

:autrament dich :
:<math>\Gamma_f = \{(x,\, f(x)) \mid x \in X\}</math>

=== Aplicacion identica d'un ensemble ''X'' ===
Es l'aplicacion de ''X'' dins ''X'', notada <math>\ id_X</math> , qu'a cada element ''x'' de ''X'' associa lo meteis element ''x''.
:<math>id_X : X \to X,\, x \mapsto x</math> ; autrament dich : <math>\ id_X(x) = x</math> per tot ''x'' dins ''X''.
Lo graf de l'aplicacion identica de ''X'' es l'ensemble seguent (sonat ''diagonala'' dau [[produch cartesian#Cas particular : carrat cartesian d'un ensemble|carrat cartesian]] <math>\ X^2</math> de ''X'') :
:<math>\Delta_X = \{(x,\, y) \mid (x \in X) \wedge (y \in X) \wedge (y = x)\;\}</math>; autrament dich : <math>\Delta_X = \{(x,\, x) \mid x \in X\;\}</math>

=== Aplicacion constanta sus un ensemble ''X'' ===
Se ditz qu'una aplicacion <math>f : X \to Y</math> es **constanta** s'existís un element (fixat) <math>\ y_0</math> de ''Y'' tau que <math>\ f(x) = y_0</math> per tot element ''x'' de ''X'' : es una aplicacion tala que la valor de ''f'' en un ponch ''x'' siá independenta de ''x'' (totei leis elements de ''X'' an lo meteis imatge per ''f'' ; dins l'interpretacion ja donada, totei leis objèctes son plaçats dins la meteissa boita).

=== Egalitat de doas aplicacions ===
Segon la definicion ''supra'', doas aplicacions <math>f_1 : X_1 \to Y_1</math> e <math>f_2 : X_2 \to Y_2</math> son egalas se e solament se :
# <math>\ X_1 = X_2</math>
# <math>\ Y_1 = Y_2</math>
# <math>\ \Gamma_{f_1} = \Gamma_{f_2}</math> , çò qu'equivau a : <math>\{(x,\, f_1(x)) \mid x \in X_1\} = \{(x,\, f_2(x)) \mid x \in X_2\}</math>


Autrament dich, lei doas aplicacions <math>\ f_1</math> e <math>\ f_2</math> son egalas, çò que s'escriu <math>\ f_1 = f_2</math> , se e solament se, simultaneament :
# an lo meteis domeni, notat aicí ''X''
# an lo meteis codomeni, notat aicí ''Y''
# <math>\ f_1(x) = f_2(x)</math> per tot element ''x'' de ''X''

=== Ensembles d'aplicacions ===
L'ensemble deis aplicacions de ''X'' dins ''Y'' se nòta indiferentament <math>\mathcal{A}(X,\, Y)</math> o (coma una poténcia) <math>\ Y^X</math> .

== Imatge dirècte ==
Siá una aplicacion <math>f : X \to Y</math> .

=== Imatge d'una aplicacion ===
Un element ''y'' de ''Y'' es una ''valor'' de ''f'' se e solament s'existís (aumens) un element ''x'' de ''X'' tau que ''f''(''x'') = ''y''. Se sòna **imatge** de l'aplicacion ''f'' l'ensemble dei valors de ''f'' ; es un sosensemble dau codomeni ''Y'' que se nòta <math>\ \mathrm{im}(f)</math>. Per definicion :
:<math>\mathrm{im}(f) = \{(y \mid (y \in Y) \wedge (\exists x, (x \in X) \wedge (f(x) = y))\;\}</math> ;

:autrament dich :
:<math>\mathrm{im}(f) = \{f(x) \mid x \in X\;\}</math>

==== Exemples ====
* Dins l'exemple representat sus la figura en tèsta d'article, <math>\mathrm{im}(f) = \{a,\, c,\, d\;\}</math> . En interpretant ''f'' coma un biais particular de plaçar lei 3 objèctes dins lei 5 boitas, l'imatge de ''f'' es l'ensemble dei boitas que contènon aumens un objècte.
* Siá l'aplicacion <math>f_1 : \mathbb R \to \mathbb R,\, x \mapsto f_1(x) = x^2</math> . A per imatge <math>\mathrm{im}(f_1) = \mathbb R^+</math> , l'ensemble dei nombres reaus positius. Aquò se demòstra per inclusion dobla :
** Se ''y'' es dins l'imatge de <math>f_1</math> , existís un reau ''x'' tau que <math>\ y = x^2</math>, donc ''y'' es positiu, çò que pròva l'inclusion <math>\mathrm{im}(f_1) \subset \mathbb R^+</math> .
** Reciprocament, se ''y'' es un reau positiu, se pòt definir <math>x = \sqrt{y}</math> ; alora <math>\ f_1(x) = y</math> , donc ''y'' es dins l'imatge de <math>\ f_1</math> ; aiçò pròva l'inclusion <math>\mathbb R^+ \subset \mathrm{im}(f_1)</math> .
* Siá l'aplicacion <math>f_2 : \mathbb R \to \mathbb R^+,\, x \mapsto f_2(x) = x^2</math> . A per imatge <math>\mathrm{im}(f_2) = \mathbb R^+</math> (demostracion analòga).

Aquesteis exemples mòstran que, segon lei cas, l'imatge e lo codomeni d'una aplicacion pòdon èsser diferents o egaus : fau ''a priori'' s'avisar de pas confondre lei doas nocions. Se ditz qu'una aplicacion es [[Aplicacion subrejectiva|subrejectiva]] se son imatge coïncidís amb son codomeni (cada boita contèn aumens un objècte). Segon aquesta definicion, <math>f_2</math> es subrejectiva, e lei doas autreis aplicacions o son pas.

**Remarca** : leis aplicacions <math>f_1,\, f_2</math> an lo meteis domeni <math>\mathbb R</math> e lo meteis graf <math>\Gamma = \{(x,\, x^2) \mid x \in \mathbb R\} </math> , mai ''son diferentas'', qu'an pas lo meteis codomeni : la segonda es subrejectiva e la premiera o es pas.

=== Generalizacion ===
Estent un sosensemble (o ''partida'') ''A'' de ''X'', se definís l'ensemble :
:<math>f(A) = \{y \mid (y \in Y) \wedge (\exists x,(x \in A) \wedge (f(x) = y))\;\} </math> ;

:autrament dich :
:<math>f(A) = \{f(x) \mid x \in A\;\}</math>
Se ditz que <math>\ f(A)</math> es l**'imatge dirècte** de ''A'' per l'aplicacion ''f''. Es un sosensemble dau codomeni de ''f''.
* En particular, <math>\ \mathrm{im}(f) = f(X)</math> .

== Imatge invèrs ==
Siá una aplicacion <math>f : X \to Y</math> .

Estent un sosensemble (o ''partida'') ''B'' de ''Y'', se definís l'ensemble :
:<math>f^{-1}(B) = \{x \mid (x \in X) \wedge (f(x) \in B)\;\} </math>
Se ditz que <math>\ f^{-1}(B)</math> es l**'imatge invèrs** de ''B'' per l'aplicacion ''f''. Es un sosensemble dau domeni ''X'' de ''f''.

== Composicion d'aplicacions ==
Es una nocion essenciala. Compausar doas aplicacions consistís a leis encadenar. Estent <math>f : X \to Y</math> e <math>g : Y \to Z</math> d'aplicacions talei que lo codomeni ''Y'' de la premiera siá lo domeni de la segonda, se pòt, per cada element ''x'' de ''X'', determinar son imatge ''y'' = ''f''(''x'') per ''f'', qu'es un element de ''Y'', puei l'imatge ''z'' = ''g''(''y'') de ''y'' per ''g'', qu'es l'element <math>\ z = g(f(x))</math> de ''Z'' :
:::::::::<math>X \to \,\,Y\;\; \to \;\;\,Z</math>

:::::::::<math>x\; \stackrel{f}{\mapsto}\; f(x)\; \stackrel{g}{\mapsto}\; g(f(x))</math>

L'aplicacion de ''X'' dins ''Z'' qu'en tot element ''x'' de ''X'' associa l'element ''z'' de ''Z'' ansin definit es sonada **compausada** deis aplicacions ''f'', ''g'' (dins aquest òrdre). Se nòta <math>g \circ f</math> .
:<math>g \circ f : X \to Z,\; x \mapsto g(f(x))</math> ; autrament dich : per tot element ''x'' de ''X'', <math>(g \circ f)(x) = g(f(x))</math>

**Remarca** : còmpte tengut dei notacions, dins l'escritura <math>g \circ f</math> , la succession deis aplicacions se liège de la drecha vèrs la senèstra.

=== Associativitat de la composicion d'aplicacions ===
Estent tres aplicacions <math>f : X \to Y</math> , <math>g : Y \to Z</math> e <math>h : Z \to W</math> talei que lo codomeni ''Y'' de caduna dei doas premieras siá lo domeni de la seguenta. Alora :
:<math>h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f</math>

D'efècte, lei dos membres son d'aplicacions qu'an lo meteis domeni ''X'', lo meteis codomeni ''W'', e tot element ''x'' de ''X'' a lo meteis imatge <math>\ h(g(f(x)))</math> per aquelei doas aplicacions, çò que pròva l'egalitat.

Se ditz que la composicion d'aplicacions es **associativa**. Se pòt alora notar l'aplicacion compausada de ''f'', ''g'', ''h'' sensa parentèsis :
:<math>h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f = h \circ g \circ f : X \to W</math>

=== Compausada d'una aplicacion amb una aplicacion identica ===
Siá una aplicacion <math>f : X \to Y</math> . Alora (ben s'avisar de l'òrdre):
:::::::::::<math>f \circ id_X = f</math>

:::::::::::<math>id_Y \circ f = f</math>
Per exemple, se pòt verificar ansin la premiera d'aquelei doas relacions :
::::::::::<math>X \to \,\,X\;\; \to \;\;\,Y</math>

::::::::::<math>x\;\; \stackrel{id_X}{\mapsto}\;\; x\;\;\; \stackrel{f}{\mapsto}\;\; f(x)</math>

== Annèxas ==

=== Liames intèrnes ===

* [[Matematicas]].

=== Bibliografia ===

* **(fr)** Christian Houzel, « Fonction (notion de) », ''Dictionnaire des mathématiques – algèbre, analyse, géométrie'', Encyclopædia Universalis e Albin Michel, 1997.
* **(fr)*'  Stella Baruk, « Fonction », *Dictionnaire des mathématiques élémentaires'', Éditions du Seuil, 1995.

### Nòtas e referéncias