Algèbra

L**'algèbra** es una branca majora dei matematicas coma la teoria dei nombres, la geometria e l'analisi matematica. Apareguda tre l'Antiquitat, a conegut d'evolucions importantas dempuei lei sègles XVII e XVIII. Dins sa forma pus tradicionala, s'interèssa a la resolucion sistematica deis eqüacions e ai proprietats deis operacions. Es ansin a l'origina de l'introduccion de mai d'un simbòl dei matematicas modèrnas (« + », « × », etc.). Dins sa forma pus recenta, l'algèbra s'interèssa ais estructuras algebricas, es a dire ais ensembles d'elements munits d'un ò de plusors lèis de composicion (addicion, multiplicacion, etc.). Es fòrça liada a la teoria deis ensembles qu'es una dei teorias pus fondamentalas dei matematicas.

L'algèbra elementària es considerada coma una basa de l'ensenhament dei matematicas e constituís sovent una partida importanta dei programas deis escòlas elementàrias. Lei partidas pus complèxas forman l'algèbra abstracha qu'es una disciplina estudiada per de matematicians professionaus. Leis aplicacions de l'algèbra son nombrosas dins leis autrei disciplinas scientificas ò tecnicas car leis estructuras algebricas son fòrça utilizadas per modelizar de fenomèns naturaus (fisica, quimia, etc.) ò per representar de problemas abstrachs (informatica, etc.).

## Istòria

### L'emergéncia de l'algèbra

[thumb|right|Fac-simile d'una pagina dei ''[Lei Nòu Capítols sus l'art matematic|Nòu Capítols sus l'art matematic*.]]

L'algèbra es apareguda durant l'[[Antiquitat]] Auta en [[Egipte]] e en [[Mesopotamia]] coma o mòstra de tractats [[matematicas|matematics]] [[Egipte|egipicians]] ò [[Babilònia|babilonian]]s. Un dei pus vièlhs es lo [[papirús Rhind]], escrich durant la premiera mitat dau [[sègle XVIII avC]]. Es una compilacion de 87 problemas d'[[aritmetica]], d'algèbra e de [[geometria]]. Descriu lei metòdes utilizats per leis [[Egipte antica|Egipcians]] per resòuvre d'[[eqüacion]]s simples dau tipe *ax* = *b* ò *ax* + *bx* = *c* sensa mestrejar de mejans simples per nòtar lei [[fraccion (matematicas)|fraccion]]s. Per aquò, avián besonh de conóisser lei valors de *a*, de *b* e de *c*.

Durant la [[Dinastia Qin]], lei [[Republica Populara de China|Chinés]] desvolopèron d'aspèctes suplementaris regardant la resolucion d'[[eqüacion]]s simplas que son expausats dins *Lei Nòu Capítols sus l'art matematic*, obratge redigit entre lei sègles [[sègle II avC|II]] e [[sègle I avC|I avC]]. En particular, capitèron d'identificar la forma generala dei solucions d'una [[eqüacion]] de tipe *ax* = *b* quand lei valors de *a* e de *b* son desconegudas, d'utilizar de [[chifra]]s negativas e de [[fraccion (matematicas)|fraccions]] e de resòuvre d'[[eqüacion]]s amb mai d'una inconeguda.

La màger part dei resultats [[Republica Populara de China|chinés]] foguèron descubèrts, d'un biais independent, per lei [[Grècia antica|Grècs]]. La figura majora d'aqueu trabalh es [[Diofant d'Alexàndria]] ([[sègle II apC|sègle II]] ò [[sègle III apC|III apC]] ?) qu'es de còps subrenommat « lo paire de l'algèbra ». Èra capable de resòuvre d'[[eqüacion]]s de plusors inconegudas, d'utilizar de chifras negatives, de manipular de [[nombre]]s racionaus positius e de definir de signes especifics per marcar una inconeguda particulara ò per representar la [[sostraccion]].

=== Leis eqüacions dei segond, tresen e quatren gras ===

La cèrca sistematica dei solucions d'una [[eqüacion]] es una etapa importanta dins la formacion de l'algèbra car menèt a d'interrogacions sus la natura dei [[nombre]]s e deis operacions.

==== Lo segond gras ====

[[Fichièr:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|thumb|right|Fac-simile de la premiera pagina de l*'Abreujat dau calcul per la restauracion e la comparason* d'[[Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi|Al-Khawarizmi]] (mòrt en [[850]]), obratge considerat coma la fondacion de l'algèbra actuala.]]

Leis [[eqüacion dau segond gras|eqüacions dau segond gras]] (ò [[eqüacion quadratica|eqüacions qüadraticas]]) èran conegudas per lei [[matematicas|matematicians]] de [[Babilònia]] au [[sègle XVIII avC]]. Lei tecnicas de resolucion èran similaras ai metòdes actuaus amb d'adaptacions au [[sistèma sexagesimau]] [[Babilònia|babilonian]] e a l'impossibilitat d'utilizar de [[nombre]]s negatius. De mai, en l'abséncia de notacions algebricas, leis [[eqüacion|eqüacions]] e lei solucions èran presentadas sota forma de problema. Lei [[Grècia antica|Grècs]] aguèron de problemas similars dins l'ensemble dei [[nombre racionau|nombres racionaus]] positius. Desvolopèron ansin de metòdes de resolucion [[geometria|geometrica]].

Pasmens, lei [[Grècia antica|Grècs]] s'interessèron tanben a d'eqüacions fòrça complèxas dau tipe *ax*<sup>2</sup> + *bxy* + *cy*<sup>2</sup> + *dx* + *ey* + *f* = 0. Dichas [[eqüacion diofantiana|eqüacions diofantianas]], entraïnèron l'aparicion de l'[[analisi indeterminada]] que menèt au desvolopament d'un important domeni de l'algèbra a partir de la [[Renaissença]]. En parallèl, lei geomètras descurbiguèron de grandors derivadas de longor, çò que permetèt l'estudi d'expressions coma <math>\sqrt{a} + \sqrt{b}</math> ò <math>\sqrt{a} - \sqrt{b}</math>. Dichas [[apotòmi]]s, foguèron a l'origina de la nocion de [[binòmi]], de [[trinòmi]] e de [[polinòmi]].

Dins lo rèsta dau mond, leis [[Índia|Indians]], lei [[Republica Populara de China|Chinés]] e leis Arabs desvolopèron tanben de metòdes sofisticats de resolucion deis eqüacions dau segond gras. En particular, [[Brahmagupta]] ([[598]]-[[668]]) escriguèt la formula dau discriminant d'un biais clar e explicit. Puei, [[Abd al-Hamid ibn Turk]] ([[sègle IX]]) establiguèt l'existéncia de solucions negativas e [[Abu Kamil]] (vèrs [[850]]-[[930]]) aquela de solucions irracionalas. Durant aqueu periòde, lo matematician [[iran]]ian [[Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi|Al-Khawarizmi]] (mòrt en [[850]]) inventèt lo tèrme *algèbra* dins un obratge sus la resolucion d'[[eqüacion]]s. Enfin, [[Yang Hui]] ([[1238]]-[[1298]]) mostrèt l'existéncia d'[[eqüacion]]s amb de coefficients negatius.

==== Lo tresen e lo quatren gras ====

D'[[eqüacion]]s dau tresen gras (ò [[eqüacion cubica|eqüacions cubicas]]) èran conegudas per lei [[Babilònia|Babilonians]] segon de documents datant dau [[Sègle XX avC|sègle XX]] au [[sègle XVI avC]]. Foguèron tanben estudiadas per leis [[Egipte|Egipcians]], lei [[Grècia antica|Grècs]], leis [[Índia|Indians]] e lei [[Republica Populara de China|Chinés]]. Pasmens, lei limits dei [[matematicas]] [[Antiquitat|anticas]] complicavan lo problema en despiech de succès enregistrats per [[Diofant d'Alexàndria|Diofant]] e per l'autor dei *Nòu Capítols*. D'efiech, foguèt necessari d'esperar l'[[Edat Mejana]] per observar de progrès significatius amb lei trabalhs de [[Wang Xiaotong]] (vèrs [[580]]-[[640]]), que capitèt de resòuvre 25 tipes d'eqüacions cubicas, e de [[Omar Khayyam]] ([[1048]]-[[1131]]), que demostrèt la possibilitat de solucions multiplas, e de [[Sharaf al-Din al-Tusi]] ([[1135]]-[[1213]]) qu'introduguèt de metòdes novèus per analizar un [[polinòmi]] (calcul de la [[derivada]], etc.).

La resolucion sistematica deis [[eqüacion cubica|eqüacions cubicas]] foguèt l'òbra d'un ensemble de [[matematicas|matematicians]] [[Itàlia|italians]] de la [[Renaissença]]. Après de trabalhs mau coneguts de [[Scipione dal Ferro]] ([[1465]]-[[1526]]) e de [[Niccolo Tartaglia]] ([[1499]]-[[1557]]), [[Gerolamo Cardano]] ([[1501]]-[[1576]]) publiquèt un metòde de resolucion en [[1545]] permetent de trobar lei solucions deis eqüacions dau tresen e quatren gras. Dins aquò, [[Gerolamo Cardano|Cardano]] aguèt de dificultats amb leis [[eqüacion]]s de discriminant negatiu que tènon una solucion reala e doas solucions non realas.

==== La descubèrta dei nombres complèxes ====

[[Fichièr:Johannes Widmann-Mercantile Arithmetic 1489.jpg|thumb|right|Fac-simile de la premiera utilizacion dei signes « + » e « – » (en [[1489]]).]]



Se [[Gerolamo Cardano]] assaièt d'imaginar de solucions non realas ais eqüacions cubicas, esplechèt pas son idèa. Aquò foguèt l'òbra de [[Raffaele Bombelli]] ([[1526]]-[[1572]]), un de seis estudiants, qu'escriguèt un important tractat d'algèbra entre [[1557]] e [[1560]] onte mostrèt sa capacitat de manipular de racinas negativas. En estudiant lei formulas de [[Gerolamo Cardano|Cardano]], introduguèt l'[[unitat imaginària]], notada *i*, que son [[Carrat (algèbre)|carrat]] es egau a -1. Prepausèt tanben lei notacions *piu*, *meno*, *piu di meno* e *meno di meno* per exprimir respectivament l'[[addicion]], la [[sostraccion]], *+i* e *-i*.

Aquela descubèrta permetèt de concebre l'espaci dei [[Nombre complèxe|nombres complèxes]] e de resòuvre leis eqüacions amb un discriminant negatiu. Aguèt luòc dins un contèxte d'estructuracion dei sabers dau periòde que veguèt la mesa en plaça dei [[matematicas]] modèrnas e una definicion pus precisas deis operacions. En particular, foguèron definits :
* la notacion *x* per nòtar una inconeguda, idèa introducha per [[Michael Stifel]] ([[1486]] ò [[1487]] - [[1567]]).
* l'usatge de letras per designar lei grandors coneguts ò desconegudas. Fòrça importanta, aquela practica foguèt desvolopada per [[François Viète]] ([[1540]]-[[1603]]).
* la notacion 10<sup>*n*</sup>, imaginada per [[Nicolas Chuquet]] (entre [[1445]] e [[1455]] - [[1488]]), per escriure lei grands nombres.
* lei signes « + » e « – » inventats per [[Johann Widmann]] (vèrs [[1460]]-[[1498]]).
* lo signe « = » creat per [[Robert Recorde]] (vèrs [[1512]]-[[1558]]).
* lo signe « × » que son invencion es generalament atribuïda a [[William Oughtred]] ([[1574]]-[[1660]]).

=== La descubèrta deis estructuras algebricas ===

La descubèrta dei [[nombre complèxe|nombres complèxs]] e l'estabilizacion dei notacions permetèron ai [[matematicas|matematicians]] de realizar un ensemble de progrès que constituïsson lo fondament de l'algèbra actuala.

==== La descubèrta de l'anèu dei polinòmis ====

Au sègle XVII, l'estudi dei [[polinòmi]]s menèt a la descubèrta d'una novèla estructura abstracha qu'es uei dicha [[Anèu (matematicas)|anèu]]. Lei [[polinòmi]]s èran coneguts dempuei l'[[Antiquitat]] e lei temptativas de [[Diofant d'Alexàndria]] per resòuvre certaneis [[eqüacion]]s. Foguèron tornarmai estudiats per [[René Descartes]] ([[1596]]-[[1650]]) que s'interessèt ai proprietats dei [[polinòmi]]s de forma *P*(*x* ; *y*) = 0. Rapidament, mostrèron de proprietats particularas coma la possibilitat de realizar d'[[addicion]]s e de [[multiplicacion]]s onte lei gras s'ajustan. En parallèl, foguèron identificats, principalament per [[Simon Stevin]] ([[1548]]-[[1620]]), de [[polinòmi]]s impossibles de descompausar que tènon un ròtle similar ai [[nombre premier|nombres premiers]] dins l'ensemble ℝ. Ansin, foguèt descubèrt lo premier [[anèu intègre]] euclidian, causa importanta qu'entraïnèt l'emergéncia de la nocion d'[[estructura algebrica]].

==== La descubèrta dei quaternions ====

[[Fichièr:Quaternion 2.svg|thumb|right|Representacion grafica de la [[multiplicacion]] dins l'ensemble dei [[quaternion]]s.]]

L'exploracion de l'ensemble dei [[nombre complèx|nombres complèxs]] foguèt un aisse important dau desvolopament dei [[matematica]]s dei sègles XVII e XVIII. Aquò permetèt de melhorar lei conoissenças sus l'algèbra dins un còrs. Pasmens, lei recèrcas foguèron complicadas per la definicion, encara mau segura, dei nombres imaginaris. Vèrs la fin dau sègle XVIII e au començament dau sègle XIX, lei [[matematicas|matematicians]] [[Caspar Wessel]] ([[1745]]-[[1818]]), [[Jean Robert Argand]] ([[1768]]-[[1822]]) e [[John Warren]] ([[1796]]-[[1852]]) aguèron l'idèa d'utilizar una [[Coordenadas cartesianas|marca cartesiana]] per representar [[geometria|geometricament]] lei nombres complèxs. Aquò permetèt de'n facilitar la comprenença e la difusion. En [[1831]], aquò menèt a l'establiment definitiu dau tèrme « complèx » a l'iniciativa de [[Carl Friedrich Gauss]] ([[1777]]-[[1855]]).

Lèu, l'idèa de representar lei complèxs sus un plan entraïnèt de reflexions per assaiar de crear de nombres similars correspondent a tres dimensions. [[Jean Robert Argand|Argand]] foguèt un precursor d'aqueu trabalh que permetèt d'estudiar lei proprietats deis [[espaci vectoriau|espacis vectoriaus]]. L'etapa decisiva foguèt passada per [[William Rowan Hamilton]] ([[1805]]-[[1865]]) en [[1843]]. D'efiech, descurbiguèt l'impossibilitat d'establir un sistèma de nombres sus un espaci de tres dimensions mai trobèt l'existéncia d'un espaci de dimension 4. Dichs [[quaternion]]s, son basats sus lei nombres *i*, *j* e *k* e lei relacions *i*<sup>2</sup> = *j*<sup>2</sup> = *k*<sup>2</sup> = *ijk* = -1.

A respècte deis estructuras algebricas qu'èran conegudas avans leis [[ans 1840]], lei quaternions presentan la particularitat d'aver una [[multiplicacion]] qu'es distributiva e associativa sus l'[[addicion]] mai qu'es pas comutativa. Premier [[còrs (matematicas)|còrs]] non comutatiu, l'ensemble dei [[quaternion]]s marquèt ansin una etapa novèla dins la constitucion de l'algèbra.

==== Lei còrs de nombres algebrics ====

En parallèl dei recèrcas que menèron a la definicion dei [[quaternion]]s, de trabalhs foguèron menats sus la [[teoria dei nombres]] e sus leis ensembles eissits dei descubèrtas dei sègles XVIII e XIX. Lo pionier d'aqueu trabalh d'estructuracion foguèt lo [[matematicas|matematician]] [[Occitània|occitan]] [[Pèire de Fermat]] ([[1601]]-[[1665]]) que favorizèt l'adopcion de mai d'una notacion. Lei recèrcas sus sei teorèmas permetèron a [[Ernst Kummer]] ([[1810]]-[[1893]]) de fondar la [[teoria algebrica dei nombres]]. Desvolopada per [[Richard Dedekind]] ([[1831]]-[[1916]]) e per [[David Hilbert]] ([[1862]]-[[1943]]), permetèt de precisar lei nocions de [[monoïd]], de [[grop (matematicas)|grop]], d'[[anèu (matematicas)|anèu]] e de [[gròp (matematicas)|grop]] e lo [[vocabulari]] algebric ([[distributivitat]], [[associativitat]], [[comutativitat]]).

En particular, lo [[grop (matematicas)|grop]] conoguèt un desvolopament important gràcias a [[Évariste Galois]] ([[1811]]-[[1832]]). D'efiech, lo [[matematicas|matematician]] [[França|francés]] capitèt de l'aplicar a d'ensembles finits coma aqueu de la permutacion dei racinas d'una [[eqüacion algebrica]]. Una autra avançada importanta foguèt realizada per [[Félix Klein]] ([[1849]]-[[1925]]) que mostrèt que l'estructura de [[grop (matematicas)|grop]] permetiá de descriure la màger part de l'algèbra elementària.

=== Vèrs l'algèbra modèrna ===

[[Fichièr:George Boole color.jpg|thumb|right|Retrach de [[George Boole]], pionier de la formacion de l'[[algèbra abstracha]] modèrna.]]

La segonda mitat dau sègle XIX veguèt l'establiment de liames entre la [[geometria]] e l'algèbra gràcias au desvolopament de divèrsei nocions. La pus importanta foguèt probablament aquela d'[[espaci vectoriau]], formalament definida per [[Giuseppe Peano]] ([[1858]]-[[1932]]) en [[1888]]. Èra la consequéncia de trabalhs iniciats per [[Bernard Bolzano]] ([[1781]]-[[1848]]) en [[1804]] per realizar d'operacions sus lei [[ponch (matematicas)|ponchs]], lei [[drecha (matematicas)|drechas]] e lei [[plan (matematicas)|plans]] e perseguits per lei calculs [[baricentre|baricentrics]] d'[[August Ferdinand Möbius]] ([[1790]]-[[1868]]). Aquelei descubèrtas avián tanben permés de metre en plaça lo [[Matriça (matematicas)|calcul matriciau]] qu'es un autre aspècte major dau liame entre [[geometria]] e algèbra.

Durant la segonda mitat dau sègle XIX, un grop de [[matematicas|matematicians]] [[Reialme Unit|britanics]], principalament format a l'entorn d'[[Augustus De Morgan]] ([[1806]]-[[1871]]) e de [[George Boole]] ([[1815]]-[[1864]]), apliquèt lei principis de l'algèbra a la [[logica]]. Aquò entraïnèt la fondacion de la [[logica]] matematica modèrna e menèt a cercar d'aplicacions de l'algèbra a d'autrei domenis coma la [[geometria]], la [[mecanica]] ò lei [[Aplicacion (matematicas)|foncions]]. Aqueu trabalh de sintèsi e d'unificacion foguèt marcat per lei trabalhs d'[[Ernst Steinitz]] ([[1871]]-[[1928]]), d'[[Emil Artin]] ([[1898]]-[[1962]]) e d'[[Emmy Noether]] ([[1882]]-[[1935]]). Menèt a l'algèbra abstracha modèrna.

== Concèptes principaus ==

=== Algèbra elementària ===



L'[[algèbra elementària]] fa partida deis ensenhaments [[matematicas]] de basa. Compren tres ensembles principaus :
* la formulacion generala dei lèis aritmeticas simplas coma +, –, x e ÷ e sei proprietats coma *a* + *b* = *b* + *a*. Permèton d'explorar l'ensemble dei [[nombre reau|nombres reaus]].
* la formulacion e la resolucion d'[[eqüacion]]s simplas dau tipe *ax* + *b* = *c*. Aquò permet d'introdurre la resolucion de problemas simples.
* la formulacion dei [[Aplicacion (matematicas)|foncions]] simplas dau tipe *f(x)* = *ax* + *b*. Aquela partida permet de pausar lei tèrmes d'un problema implicant dei relacions foncionalas entre dos paramètres.

=== Polinòmis ===

[[Fichièr:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|Representacion d'una foncion polinomiala definida per un [[polinòmi]] cubic.]]



Un [[polinòmi]] es una expression unicament formada de [[produch (matematicas)|produchs]] e de [[soma (matematicas)|somas]] de constantas e d'indeterminadas dau tipe *ax*<sup>2</sup> + *bx* + *c* = *d*. Una expression polinomiala es una expression que pòu èsser escricha sota forma de [[polinòmi|polinòmis]] gràcias ai proprietats de [[comutativitat]], d'[[associativitat]] e de [[distributivitat]] de l'[[addicion]] e de la [[multiplicacion]]. Per exemple, (*x* + 3)(*x* — 1) es una expression polinomiala. Enfin, existís lei foncions polinomialas que son definidas per un [[polinòmi]] ò per una expression polinomiala.

Dins aqueu domeni, l'algèbra s'interèssa principalament a la [[factorizacion dei polinòmis]] e a la recèrca dau pus grand divisor comun de dos [[polinòmi]]s. Necessitant d'estudiar lei racinas d'un [[polinòmi]], aquelei problemas aguèron un ròtle major dins lo desvolopament de la conoissença deis estructuras algebricas. Uei, demòran centraus dins de sectors coma la seguretat [[informatica]].

=== Matriças ===

[[Fichièr:MatricaAES.png|thumb|right|Exemple de [[matriça]].]]



Una [[matriça]] es un tablèu d'elements (nombres, caractèrs, etc.) que permèton de realizar d'[[addicion]]s e de [[multiplicacion]]s sus aqueleis elements. Son fòrça utilizadas per representar de sistèmas de [[vector]]s ò d'[[eqüacion]]s. An ansin d'aplicacions multiplas dins de domenis [[sciéncia|scientifics]] ([[fisica]], etc.) ò [[tecnologia|tecnologics]] ([[informatica]], etc.). L'algèbra es necessària a son estudi car leis ensembles de [[matriça]]s forman d'[[estructura algebrica|estructuras algebricas]] (cf. aicí dessota).

=== Teorias deis ensembles ===



La [[teoria deis ensembles]] es una teoria fondamentala dei [[matematicas]] que permet de construrre divèrseis objèctes usuaus coma lei [[Aplicacion (matematicas)|foncions]], lei relacions e lei nombres ([[Nombre entièr|entiers]], [[nombre relatiu|relatius]], [[nombre racionau|racionaus]], [[nombre reau|reaus]], [[nombre complèx|complèxs]], etc.). Un ensemble es una colleccion d'elements liats entre elei per una relacion d'[[apartenéncia (matematicas)|apartenéncia]]. Es possible d'i realizar d'[[operacion ensemblista|operacions]] [[matematicas]]. Aquela teoria es fòrça liada a l'algèbra car son desvolopament permet d'estudiar leis estructuras algebricas de basa.



Una [[Aplicacion (matematicas)|foncion]] (ò [[Aplicacion (matematicas)|aplicacion]]) permet de definir un resultat (generalament numeric) per cada valor d'un ensemble dich domeni. Aqueu resultat pòu èsser obtengut a partir de calculs aritmetics, d'una lista de valors ò de procès de resolucions d'[[eqüacion]]s. Dins la [[teoria deis ensembles]], una foncion es una relacion entre dos ensembles.

=== Lèi de composicion ===



Una [[lèi de composicion]] es un element important que permet de definir una [[estructura algebrica]]. Se consideram dos ensembles *E* e *F*, una [[lèi de composicion]] sus *E* es una aplicacion de *F* × *E* dins un ensembe *G*. Es a dire qu'es una operacion qu'associa per un pareu d'elements (*x* ; *y*) de *F* × *E* un element de *G* generalament notat « *x* * *y* ». La lèi es dicha :
* de [[lèi de composicion intèrna|composicion intèrna]] se *E* = *F* = *G*.
* de [[lèi de composicion extèrna|composicion extèrna a senèstra]] se *E* ≠ *F* e *F* = *G*.
* de [[lèi de composicion extèrna|composicion extèrna a drecha]] se *E* ≠ *F* e *E* = *G*.
D'exemples famós de lèi de composicion son l'[[addicion]], la [[multiplicacion]] ò la [[composicion de foncions]].

=== Estructuras algebricas ===



==== Generalitats ====

Leis [[estructura algebrica|estructuras algebricas]] es una estructura formada d'un [[ensembe (matematicas)|ensemble]] combinat amb una ò plusors [[lèi de composicion|lèis de composicion]]. Pòdon èsser completadas per un [[òrdre topologic|òrdre]] ò una [[espaci topologic|topologia]] e respectar divèrseis [[axiòma]]s. Existís un nombre important d'[[estructura algebrica|estructuras algebricas]] :
* leis estructuras de basa que compòrtan unicament de [[lèi de composicion intèrna|lèis de composicion intèrna]] ([[grop (matematicas)|grops]], [[anèu (matematicas)|anèus]], [[còrs comutatiu|còrs comutatius]], etc.).
* leis estructuras d'operators extèrnes que son caracterizadas per un ensemble munit d'una [[lèi de composicion extèrna]] sus una estructura de basa. L'exemple pus conegut es l'[[espaci vectoriau]].
* leis estructuras algebricas ordonadas que son d'estructuras algebricas compatiblas amb una relacion d'òrdre ([[grop ordonat]], [[còrs ordonat]], etc.).
* leis estructuras algebricas topologicas que son d'estructuras algebricas amb de caracteristicas topologicas ([[anèu topologic]], [[còrs topologic]], etc.).

==== Grops ====

[[Fichièr:Rubik's cube.svg|thumb|Lei movements possibles d'un *Rubik's Cube* son un exemple de [[grop (matematicas)|grop]].]]



Un [[grop (matematicas)|grop]] es una estructura algebrica fondamentala. Es un ensemble munit d'una [[lèi de composicion intèrna]] associativa qu'admet un [[element neutre]] e, per cada element de l'ensemble, un element simetric. Es comuna a un nombre fòrça important d'ensembles de [[nombre]]s coma lei nombres entiers relatius munits de la lèi d'[[addicion]]. Pasmens, es una nocion centrala de l'algèbra modèrna car se tròba dins mai d'un autre ensemble e que tèn d'aplicacions importantas en [[fisica]] ([[relativitat generala|relativitat]], [[mecanica quantica]], etc.) e en [[quimia]].

Un [[element neutre]] *e* (ò element identitat) d'un ensemble per una [[lèi de composicion intèrna]] es un element d'aquel ensemble que laissa incambiat totei leis autreis elements quand es compausat amb elei per aquela lèi. Per una lèi notada *, respecta lei relacions *x* * *e* = *e* * *x* = *x*. Es generalament notat 0 per l'[[addicion]] e 1 per la [[multiplicacion]].

==== Anèus e còrs ====

Leis [[anèu (matematicas)|anèus]] e lei [[còrs (matematicas)|còrs]] son d'autreis [[estructura algebrica|estructuras algebricas]] fondamentalas. Leis [[anèu (matematicas)|anèus]] tènon doas [[lèi de composicion intèrna|lèis de composicion intèrna]] ([[addicion]] e [[multiplicacion]]) verificant de proprietats d'[[associativitat]] e de [[distributivitat]] e aguent d'elements neutres per l'[[addicion]] e la [[multiplicacion]]. Un element de l'[[anèu (matematicas)|anèu]] dèu tanben aver un opausat. 

Sus un ensemble, una [[lèi de composicion intèrna]] * es [[associativitat|associativa]] se, per tres elements *x*, *y* e *z* d'aquel ensemble, respecta la relacion (*x* * *y*) * *z* = *x* * (*y* * *z*). L'[[addicion]] e la [[multiplicacion]] son dichas [[distributivitat|distributivas]] se la relacion *x* × (*y* + *z*) = (*x* × *y*) + (*x* × *z*) es vericada. Enfin, l'[[anèu (matematicas)|anèu]] es dich [[commutativitat|commutatiu]] se la [[mutiplicacion]] es [[commutativitat|commutativa]] (es a dire se *x* × *y*= *y* × *x*) e [[anèu intègre|intègre]] s'es diferent de l'[[anèu nul]] e se tèn pas de [[divisor de zèro]].

Lei [[còrs (matematicas)|còrs]] son d'[[anèu (matematicas)|anèus]] onte leis [[element neutre|elements neutres]] de l'[[addicion]] e de la [[multiplicacion]] son diferents e onte cada element non nul a un invèrs multiplicatiu. Aquò permet d'i definir la [[sostraccion]] e la [[division (operacion)|division]]. Lei còrs pòdon tanben èsser [[commutativitat|commutatius]].

==== Espacis vectoriaus ====

[[Fichièr:Vector add scale.svg|thumb|right|Exemple d'[[addicion]] de dos [[vector]]s dins un [[espaci vectoriau]].]]



Un [[espaci vectoriau]] es un ensemble d'objèctes, dichs [[vector]]s, que pòdon èsser [[addicion]]ats entre elei ò multiplicats per un escalar (per demenir sa talha, realizar de rotacions, etc.). Es donc una estructura que permet la realizacion de combinasons linearas. Leis aplicacions son fòrça nombrosas en [[fisica]] amb d'escalars chausits au sen dei nombres reaus ò [[nombre complèxe|complèxs]].

== Annèxas ==

=== Liames intèrnes ===

<div style="-moz-column-count:4; column-count:4;">
* [[Albègra comuntativa]].
* [[Algèbra generala]].
* [[Algèbra lineara]].
* [[Algèbra omologica]].
* [[Eqüacion]].
* [[Estrctura algebrica|Estructuras algebricas]] ([[grop (matematicas)|grop]], [[anèu (matematicas)|anèu]], [[còrs (matematicas)|còrs]]).
* [[Geometria]].
* [[Geometria algebrica]].
* [[Matematicas]].
* [[Nombre]].
* [[Polinòmi]].
* [[Teoria deis ensembles]].
</div>

=== Bibliografia ===
<div style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
* *'(en)** Carl B. Boyer, ''A History of Mathematics'', John Wiley & Sons, 2 edicion, [[1991]].
* **(fr)** [[Jean Dieudonné]], ''Algèbre linéaire et géométrie élémentaire'', Hermann, [[1964]].
* **(en)** S. Gandz, "The Sources of Al-Khowārizmī's Algebra", ''Osiris'', 1936, **1** : 263–277.
* **(en)** I.N. Herstein, ''Topics in Algebra'', Ginn and Company, [[1964]].
* **(en)** George Gheverghese Joseph, ''The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics'', Penguin Books, [[2000]].
* **(en)** Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, Borin Van Loon, ''Introducing Mathematics'', Totem Books, [[1999]].
* **(fr)** [[Jules Vuillemin]], ''La philosophie de l'algèbr''e, PUF, [[1962]].
* **(fr)*' Adolf P. Youschkevitch, *Les Mathématiques Arabes, VIIIe-XVe siècles'', Vrin, 1976.


### Nòtas e referéncias