Lèi de composicion intèrna

En matematicas, e pus particularament en algèbra, una **lèi de composicion intèrna** (var. **lei de composicion intèrna**)
dins un ensemble *E* es una operacion qu'en tot pareu d'elements de *E* fa correspòndre
un tresen element de *E*, qu'es lo resultat de l'operacion.

Per exemple, dins l'ensemble \mathbb N deis entiers naturaus, l'addicion e la multiplicacion
son doas lèis de composicion intèrna :
* l'addicion associa en tot pareu (*n*, *p*) d'entiers naturaus un tresen entier naturau notat *n* + *p*, la *soma* de *n* e *p*
* la multiplicacion associa en tot pareu (*n*, *p*) d'entiers naturaus un tresen entier naturau notat *n* \cdot *p*, lo *produch* de *n* e *p*

Aquelei doas operacions an de proprietats remarcablas (que son pas necessariament verificadas per d'autreis operacions) :
* son associativas, valent a dire que per tot triplet (*n*, *p*, *q*) d'entiers naturaus :
** (*n* + *p*) + *q* = *n* + (*p* + *q*) (per exemple : (9 + 3) + 4 = 9 + (3 + 4), estent que 12 + 4 = 9 + 7)
** (*n* \cdot *p*) \cdot *q* = *n* \cdot (*p* \cdot *q*) (per exemple : (9 \cdot 3) \cdot 4 = 9 \cdot (3 \cdot 4), estent que 27 \cdot 4 = 9 \cdot 12)
* an caduna un element neutre :
** per l'addicion, es "0" : la soma d'un entier naturau *n* amb "0" es aquest entier : *n* + 0 = *n*, e 0 + *n* = *n*
** per la multiplicacion, es "1" : lo produch d'un entier naturau *n* amb "1" es aquest entier : *n* \cdot 1 = *n*, e 1 \cdot *n* = *n*
* son commutativas : quand se calcula la soma o lo produch de dos entiers naturaus, lo resultat depend pas de l'òrdre, valent a dire que per tot pareu (*n*, *p*) d'entiers naturaus, *n* + *p* = *p* + *n* e *n* \cdot *p* = *p* \cdot *n*

**Remarca** : la sostraccion e la division son pas de lèis de composicion intèrna dins \mathbb N :
* se pòt pas definir la diferéncia 2 − 3 dins \mathbb N
* se pòt pas definir lo quocient 2 / 3 dins \mathbb N

Coma se passa sovent en matematicas, çò qu'es inicialament impossible se pòt faire dins un quadre pus
generau, en apondent d'elements "novèus" en d'ensembles "insufisents".

Ansin, se pòt definir la sostraccion coma lèi de composicion intèrna dins l'ensemble \mathbb Z deis entiers (qu'es format en "apondent" a \mathbb N leis entiers negatius). Parierament, se pòt definir la division coma lèi de composicion intèrna dins l'ensemble \mathbb Q^\ast dei racionaus diferents de 0.

## Definicion
Estent un ensemble (non vuege) *E*, una **lèi de composicion intèrna** dins *E* (o **operacion intèrna** dins *E*) es una aplicacion
: \psi : E^2 = E \times E \to E,\, (x,\, y) \mapsto \psi(x,\, y)
que son domeni es lo carrat cartesian de *E* e son codomeni es *E*. Se ditz que *x*, *y* son leis **operands** e que \psi(x,\, y) es lo **resultat**.

**Remarca** : dins aquest article, se poirà abreujar *lèi de composicion intèrna* en *lèi*.

### Notacions
Lo pus sovent, s'utiliza una notacion *infixada* per designar lo resultat de l'operacion : un simbòl d'operacion es plaçat entre leis operands. Dins la teoria generala expausada aicí, se chausirà lo simbòl " * " e s'escriurà x * y en plaça de \psi(x,\, y) .

Dins lei cas "concrets", s'emplega mai que mai :
* lo simbòl " + " (se parla de **notacion additiva** ; la lèi es sonada *addicion*); lo resultat de l'operacion se nòta *x* + *y*
* un dei simbòls " \times ", " \cdot " (se parla de **notacion multiplicativa** ; la lèi es sonada *multiplicacion*) ; lo resultat de l'operacion se nòta x \times y o x \cdot y , o encara *x* *y* per simpla escritura juxtapausada deis operands
* lei simbòls \bigcup\;,\; \bigcap\;,\; \setminus\;,\, \Delta\; dins lo contèxte d'operacions sus de partidas d'un ensemble

### Exemples
Vaquí quauqueis exemples de lèis dins d'ensembles divèrs, en mai dei precedents (addicion e multiplicacion dins \mathbb N ) :
* l'exponenciacion dins \mathbb N : es l'aplicacion \mathbb N^2 \to \mathbb N qu'en tot pareu (*n*,*p*) d'entiers naturaus fa correspòndre l'entier naturau n^p .
* la composicion deis aplicacions de *A* dins *A*. Sián *A* un ensemble e E = \mathcal{F}(A,\, A) = A^A l'ensemble deis aplicacions A \to A. Se *f*, *g* son d'elements de *E*, la compausada f \circ g : A \to A es tanben un element de *E*.

: L'aplicacion E^2 \to E,\, (f,\, g) \mapsto f \circ g es una lèi de composicion intèrna dins *E*.

:Per exemple, se A = \mathbb R e se se definís : f : \mathbb R \to \mathbb R,\, x \mapsto x^2 e g : \mathbb R \to \mathbb R,\, x \mapsto x +1 , alora per tot reau *x* :

:(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)^2 = x^2 + 2 x + 1

:(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 1 (e se remarca qu'en aquest cas, f \circ g \neq g \circ f)

## Partida establa e lèi inducha
Estent una lèi " \ * " dins un ensemble *E*, se ditz qu'una partida non vueja *A* de *E* es **establa** per la lèi se per tot pareu (*x*, *y*) d'elements de *A*, \ x * y es un element de *A*. Dins aquest cas, l'aplicacion :
: \ *' : A^2 \to A,\, (x,\, y) \mapsto x * y
es una lèi de composicion intèrna dins *A*, qu'es dicha **lèi inducha** dins *A* (es generalament notada, abusivament : " \ * ").

### Exemples, còntraexemple
* Sián dins l'ensemble \mathbb{N} , provesit de l'addicion, l'ensemble *A* (respectivament *B*) deis entiers naturaus pars (respectivament impars). Lo premier es estable : la soma de dos entiers naturaus pars es para. Lo segond o es pas.

* Siá *E* l'ensemble deis foncions de \mathbb{R} dins \mathbb{R} , provesit de la composicion deis aplicacions. Se ditz qu'un element *f* de *E* es una foncion afina s'existisson dos reaus *a*, *b* taus que per tot reau *x*, *f*(*x*) = *a* *x* + *b*. La partida *A* de *E* constituida dei foncions afinas es establa : se *f*, *g* son d'elements de *A*, existisson 4 reaus *a*, *b*, *c*, *d* taus que, per tot reau *x*, *f*(*x*) = *a* *x* + *b* e *g*(*x*) = *c* *x* + *d* :
: alora, per tot reau *x*, (*f* \circ *g*)(*x*) = *f*(*g*(*x*)) = *a* *g*(*x*) + *b* = *a* (*c* *x* + *d*) + *b* = *a* *c* *x* + *a* *d* + *b* = *u* *x* + *v* (onte *u* = *a* *c*, e *v* = *a* *d* + *b*),
: donc la compausada *f* \circ *g* es afina : es tanben un element de *A*, çò que ne pròva l'estabilitat.

## L'estructura de magma
Lo pareu (E,\;*) d'un ensemble *E* e d'una lèi de composicion intèrna dins *E*
es una estructura algebrica sonada **magma**. Per exemple :
* lei pareus (\mathbb N,\, +) , (\mathbb N,\, \times) son de magmas, dichs respectivament additiu, multiplicatiu
* lo pareu (A^A, \circ) es un magma

L'estructura generala de magma es "paura". Leis exemples interessants son aquelei onte la lèi es dotada de proprietats particularas coma l'associativitat, e / o d'autrei qu'anam definir.

### Associativitat
Se ditz que la lèi es **associativa** se, per tot triplet (*x*, *y*, *z*) d'elements de *E*
: \ (x * y) * z = x * (y * z)
Lei parentèsis son **prioritàrias** : se comença lo calcul per leis expressions que contènon ; ansin, per definicion :
: \ (x * y) * z = u * z , onte \ u = x * y\; , e
: \ x * (y * z) = x * v , onte \ v = y * z\;
En cas d'associativitat, se pòt escriure sens ambigüitat : \ x * y * z en ometent lei parentèsis (mai en s'avisant de l'òrdre deis operands). Un magma (E,\,*) que sa lèi es associativa es sonat **magma associatiu**.

#### Exemples
* lei dos magmas (\mathbb N,\, +) e (\mathbb N,\, \times) son associatius

* lo magma (A^A, \circ) es associatiu : per tot triplet (*f*, *g*, *h*) d'aplicacions A \to A ,
: (f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)

* la sostraccion, considerada coma lèi dins \mathbb Z , es pas associativa : per totei lei triplets (*n*, *p*, *q*) d'entiers taus que *q* ≠ 0,
: (n - p) - q \neq n - (p - q) .
: L'escritura \ n - p - q  a un sens perque, **per convencion**, leis operacions i son efectuadas en partent de senèstra

* l'exponenciacion, considerada coma lèi dins \mathbb N , es pas associativa : existisson de triplets (*n*, *p*, *q*) d'entiers naturaus taus que
: (n^p)^q \neq n^{(p^q)} .
: Per exemple, (3^3)^3 = 3^9\; e 3^{(3^3)} = 3^{27} son diferents, e una escritura sensa parentèsis coma 3^{3^3} a pas de significacion precisa (a mens, coma *supra*, d'una convencion sus l'òrdre deis operacions).

### Commutativitat
Se ditz que la lèi dins *E* es **commutativa** se per tot pareu (*x*, *y*) d'elements de *E*
: \ x * y = y * x
Un magma (E,\, *) que sa lèi es commutativa es sonat **magma commutatiu**.

La non commutativitat de la lèi significa qu'existís aumens un pareu (*a*, *b*) d'elements de *E* taus que
: a * b \neq b * a

#### Exemples
* lei dos magmas (\mathbb N,\, +) e (\mathbb N,\, \times) son commutatius

* lo magma (A^A, \circ) es pas commutatiu, levat se *A* es un singleton (valent a dire qu'a ren qu'un element).

:D'efècte, la commutativitat es clara quand *A* es un singleton, qu'en aquest cas, A^A n'es un eu tanben ; se supausa desenant que se pòdon trobar dins *A* dos elements ***diferents*** *a*, *b* e se definís lei doas aplicacions constantas seguentas, qu'apartènon a A^A :
:: \gamma_a : A \to A,\, x \mapsto \gamma_a(x) = a
:: \gamma_b : A \to A,\, x \mapsto \gamma_b(x) = b
:Alora, per tot element *x* de *E* :
:: (\gamma_a \circ \gamma_b)(x) = \gamma_a(\gamma_b(x)) = \gamma_a(b) = a
:: (\gamma_b \circ \gamma_a)(x) = \gamma_b(\gamma_a(x)) = \gamma_b(a) = b
:e coma a \neq b : \gamma_a \circ \gamma_b \neq \gamma_b \circ \gamma_a , çò que pròva la non commutativitat de la lèi quand *A* es pas un singleton

* la sostraccion, considerada coma lèi dins \mathbb Z , es pas commutativa : per totei lei pareus (*n*, *p*) d'entiers taus que *n* ≠ *p*,
: n - p \neq p - n 

* l'exponenciacion, considerada coma lèi dins \mathbb N, es pas commutativa : existisson de pareus (*n*, *p*) d'entiers naturaus taus que n^p \neq p^n ; per exemple, 2^3 \neq 3^2 .

**Remarca** : la notacion additiva e la notacion multiplicativa dei lèis apareisson dins de contèxtes fòrça divèrs. Se convèn que la notacion additiva es jamai utilizada per de lèis non commutativas.

### Element neutre
Siá (E,\, *) un magma. Se ditz qu'un element *e* de *E* es **neutre** se per tot element *x* de *E* :
: \ e * x = x \, , e  \ x * e = x \,
Un magma (E,\, *) qu'a un element neutre *e* (que son unicitat serà provada *infra*) es sonat **magma unitari**.

**Remarca** : quand existís,
* l'element neutre d'una lèi notada additivament se nòta "0" o "0*E* (element nul, o zèro de *E*) ;
: per tot element *x* de *E*, \ 0 + x = x \, e \ x + 0 = x \,
* l'element neutre d'una lèi notada multiplicativament se nòta "1" o "1*E* (element unitat de *E*) ;
: per tot element *x* de *E*, \ 1 \cdot x = x \, e \ x \cdot 1 = x \,

#### Exemples
* s'es ja vist que
** dins lo magma (\mathbb N,\, +) , 0 es element neutre
** dins lo magma (\mathbb N, \times) , 1 es element neutre
* dins lo magma (A^A, \circ) , l'aplicacion identica id_A : A \to A,\, x \mapsto x es element neutre. D'efècte, per tot element *f* de A^A\; :
: id_A \circ f = f , e f \circ id_A = f
* la sostraccion, considerada coma lèi dins \mathbb Z , a pas d'element neutre. Un element neutre eventuau *e* verificariá l'identitat seguenta :
: per tot entier *p* , \ e - p = p ; autrament dich : **per tot** entier *p* , 2\, p = e , çò qu'es absurde.
* l'exponenciacion, considerada coma lèi dins \mathbb N , a pas d'element neutre. Un element neutre eventuau *e* verificariá l'identitat seguenta :
: per tot entier naturau *p* , \ e^p = p .
: Aiçò implicariá \ e^2 = 2 : es absurde puei que *e* deu èsser un entier naturau.

#### Unicitat de l'element neutre
Quand existís un element neutre, es unic.

D'efècte, se *e' * e *e" * son d'elements neutres, alora :
: \ \forall x \in E,\, e' * x = x \, e  \forall\ x \in E ,\ x * e' = x \,
: \ \forall y \in E,\, e* * y = y \,</math> e <math> \forall\ y \in E ,\ y * e* = y \,
En particular :
* en chausissent *x* = *e" *, s'obtèn : \ e' * e* = e*
* en chausissent *y* = *e' *, s'obtèn : \ e' * e* = e'</math>
Se'n dedutz l'egalitat *e' * = *e" *, valent a dire l'unicitat de l'element neutre.

=== Elements regulars ===
Siá <math>(E,\, *)</math> un magma.
* un element* a* de *E* es dich *'regular a senèstra** (o ''simplificable a senèstra'') se per tot pareu (''x'', ''y'') d'elements de ''E'' :
:<math> ( a * x = a * y )\;</math> implica (x = y)
* un element'' a'' de ''E'' es dich **regular a drecha** (o ''simplificable a drecha'') se per tot pareu (''x'', ''y'') d'elements de ''E'' :
:<math> ( x * a = y * a )\;</math> implica (x = y)
* un element ''a'' es dich **regular** o **simplificable** s'es ''regular'' ''a senèstra'' e ''a drecha''

==== Exemples ====
* dins lo magma <math>(\mathbb N,\, +)</math> , tot element es regular : se ''a'', ''x'', ''y'' son tres entiers naturaus, (''a'' + ''x'' = ''a'' + ''y'') implica (''x'' ='' y'').
* dins lo magma <math>(\mathbb N,\, \times)</math> , tot element **non nul*' es regular : se *a*, *x*, *y* son tres entiers naturaus, e se <math>a \neq 0</math> , (*a* *x* = *a* *y*) implica (*x* = *y*) ; mai l'element nul es pas regular : per exemple, 0 <math>\cdot</math> 2 = 0 <math>\cdot</math> 3 , e 2 ≠ 3.
* dins lo magma <math>(A^A, \circ)</math> :
** tota [[injeccion (matematicas)|injeccion]] <math>f : A \to A</math> es regulara a senèstra
** tota [[subrejeccion]] <math>f : A \to A</math> es regulara a drecha
** per ansin, tota [[bijeccion]] <math>f : A \to A</math> es regulara


:D'efecte, sián *f*, *g*, *h* tres aplicacions de *A* dins *A*.
# Supausem *f* injectiva e <math>f \circ g = f \circ h</math> . Per tot element *x* de *A*, <math>\ f(g(x)) = f(h(x))</math> ; coma *f* es injectiva, se'n dedutz, per tot element *x* de *A*, <math>\ g(x) = h(x)</math> , donc *g* = *h*. Aiçò pròva la regularitat de *f* a senèstra.
# Supausem *f* subrejectiva e <math>g \circ f = h \circ f</math> . Coma *f* es subrejectiva, per tot element *x* de *A*, existís (aumens) un element *w* de *A* tau que <math>\ f(w) = x</math> ; alora <math>\ g(x) = g(f(w)) = (g \circ f)(w) = (h \circ f)(w) = h(f(w)) = h(x)</math> , donc *g* = *h*. Aiçò pròva la regularitat de *f'' a drecha.

## Vejatz tanben
* monoïde