Nombre real

En matematicas, un **nombre real** es un nombre que pòt èsser representat per una partida entièra e una lista finida o infinida de desvolopament decimal. Aquesta definicion s'aplica donc als nombres racionals, que las decimalas tornan de biais periodic a partir d'un cèrt reng, mas tanben d'autres nombres dich* irracionals*, tals que la raiç carrada de 2, π e e.

La nocion de nombre real emergís progressivament de la manipulacion dels rapòrts de grandors geometricas autras que los rapòrts d'entièrs naturals dempuèi lor presa en compte per Eudòx de Cnidos al sègle IV AbC. S'insèra tanben dins l'approximacion de las solucions de problèmas algebrics e realiza, a la mitat del sègle XIX, la mesa en evidéncia de nombres transcendents. Mas la definicion dels nombres reals se formalizèt pas qu'unas decennias mai tard amb las construccions de Dedekind d'un costat e de Cantor e Méray de l'autre.

L'ensemble dels nombres reals, notat \mathbb R, es alara un còrs totalament ordonat, es a dire qu'es dotat des la quatre operacions aritmeticas satisfasent las mèsmas règlas qu'aquestas sus las fraccions e aquestas operacions son compatiblas amb la relacion d'òrdre. Mas satisfach en mai la proprietat de la bòrna superiora que fonda l'analisi reala. Fin finala, aquesye ensemble es caracterizat per Hilbert coma mai grand còrs arquimedian. Dins la drecha reala acabada las valors infinidas satisfason pas pus las règlas operatòrias de còrs, l'extension al còrs dels nombres complèxes fa impossible la relacion d'òrdre total compatible, alara que l'analisi non estandard adjunt dels nombres infinidament pichons qu'invalidan lo caractèr arquimedian.

L'adjectiu « real » es utilizat per qualificar de nombres a partie del sègle XVII, mas es explicitament definit per oposicion als nombres nombres imaginarix sonque a la fin del sègle Tanben foguèt opausat al « nombre formal » dins unes tractats de teologia o de filosofia de la mèsma epòca.
[vinheta|Representacion de la [Drecha (matematicas)|drecha dels reals amb d'exemples de constantas realas.]]

## Dins la vida videnta
Los nombres reals son utilizats per presentar quina que siá mesura fisica tala que: le prix d'un produit, la durée entre deux événements, l'altitud (positiva o negativa) d'un site geografic, la massa d'un atòma o la distància de la galaxia mai pròcha. Aquetas mesuras dependon de la causida d'una unitat de mesura, e lo resultat s'exprimís coma lo produch d'un nombre real per una unitat. Los nombres reals son utilizats cada jorn, per exemple en economia, en informatica, en matematica, en fisica o en engenheriá.

Mai sovent, sols unes sosensembles de reals son utilizats:

* los entièrs naturals ;
* los entièrs relatius ;
* los nombres decimals, que son los reals que se pòt escriure exactament en basa decimal ;
* los nombres racionals, exprimibles jos forma de fraccions amb numerators e denominators entièrs ;
* los nombres algebrics, que comprenon entre autres totes los nombres que se pòt escriure en utilizant las quatre operacions elementària e las raiças ;
* los nombres calculables, que comprenon gaireben tot lo nombres utilizats en sciéncia e en engenhariá (coma e e π).

Pasmesn se totes aquestes sosensembles dels reals sián de cardinal infinit, son totes denombrables e representon donc qu'una infima partida de l'ensemble dels reals. An cadun de proprietats pròpras. Dos son subretot estudiats pels matematicians: los nombres racionals e los nombres algebrics; se nomena « irracionals » los reals que son pas racionals e « transcendents » aquestes que son pas algebrics.

### En sciéncia
La fisica utiliza los nombres reals dins l'expression de las mesuras per doas rasons essenciala:

* Los resultats d'un calcul de fisic utilizan sovent de nombres que son pas racionals, sens que los fisicians prenon en compte la natura d'aquestas valors dins lors rasonaments qu'a pas de sens fisic.
* La sciéncia utiliza de concèptes coma la velocitat instantanèa o l'acceleracion. Aquestes concèptes son eissits de teorias matematicas per que l'ensemble dels reals es una necessitat teorica. Mai, aquestes concèptes dispausan de proprietats fòrtas e indispensablas se l'ensemble de las mesuras es l'espaci dels nombres reals.

Pasmens, lo fisician pòt pas realizar de mesuras de precision infinida. La representacion numerica del resultat d'un calcul pòt èsser aprochada tan precisament que lo vòl per un nombre decimal. Alara per de besonhs experimental e teorics, se lo fisician calcula las mesuras dins \R, lo fisician exprimís los resultats numerics jos forma de nombres decimals.

Atal lo fisician utiliza las proprietats dels nombres reals que permeton de donar un sens a la mesuras que realiza e ofrisson de teorèmas poderoses per mostrar sas teorias. Per las valors numericas, se contenta dels nombres decimals. Quand mesura la distança que percorrís un punt material sus un cercle complèt, utiliza la valor \pi sens se pausar de question sus son existéncia, mas un nombre de decimalas sovent pichon li sufís pels calculs.

Fin finala, pasmens se los nombres reals podon representar quina que siá grandor fisica, los nombres reals son pas adaptats melhors per l'estudi de plan fòrça problèmas fisics. De sobreensembles bastits a l'entorn dels reals foguèron creadas per poder manipular d'espacis fisics. Per exemple:

* l'espaci \R^n, per modelizar dels espacis, per exemple de dimension 2, 3 (o mai) ;
* l'ensemble dels nombres complèxes que l'estructura possedís de las proprietats mai fòrtas qu'aquesta de l'ensemble dels nombres reals.

### Autras remarcas sus la nocion de « desvelopament decimal infinit »
Tot nombre real pòt èsser presentat jos la forma de « nombre a desvelopament decimal infinit ». Aquesta definicion pòt semblar mai simple que d'autres utilizats de bias corrent pels matematicians, per exemple la limita d'una seguida convergenta. Pasmens, apareis rapidament coma pauc adaptada e implica de definicions e de demonstracions plan mai complèxas. En efièchs los nombres reals son interessants per l'estructura e las proprietats de l'ensemble que forman: addicion, multiplicacion, relacion d'òrdre, e las proprietats que ligan aquestas nocions. Aquestas proprietats son mal rebatidas per la definicion « desvelopament decimal infinit » e de problèmas teorics apareisson:

* De nombres possedisson doas representacions.
*: Per exemple, lo nombre *x* = 0,9999… (los 9 contunhan cap a l'infinit) verifica l'equacion 10*x* = 9 + *x*. Lo nombre *y* = 1,0000… (los 0 contunhan cap a l'infinit) n'es tanben la solucion. Mas l'existéncia e l'unicitat de solucion a l'equacion 10*t* = 9 + *t*, d'inconeguda *t*, son doas proprietats essencialas per una definicion univòca dels reals. Per remediar a aquesta situacion, ven necessari d'identificar las representacions decimalas que son solucions d'una mèsma equacion: la definicion ven mai complèxe.
* Utilizar un desvelopament **decimal** fa jogar un ròtla particular a la basa 10.
*: Aquesta dificultat es pas insurmontable. Es resolguda per l'utilizacion d'una basa quina que siá: se parla alara de desvelopaments en basa p. Es alara possible de mostrar que los ensembles bastits a partir d'aquestas basas son isomòrfas e que las proprietats dels nombres reals son valables dins totas aquestas basas. Pasmens las demonstracions venon pesugas, e la definicion pèrd de sa simplicitat.
* Fin finala, los algoritmes naturals per realizar una addicion o una multiplicacion, trapan lor limita causa de la dobla representacion dels nombres decimals.
*: En efièch, las « retengudas » se calculan de drecha cap a esquèrra, e un algorithme efectiu demanda de tractar pas qu'un nombre finit de decimalas (que pòt realizar sonque un nombre finit d'operacions), es e dire de troncar los nombres on se calcula: es donc possible que trocant tan luenh que se vòl, qu'aja jamai la mendre decimala exacta, per exemple sul calcul 0,33…+0,66…=1. Subremontar aqusta dificultat demanda d'utilizar des nocions de convergéncia, que mènan naturalament cap a d'autres mòdes de definicion des reals.

Pasmens, un còp establida l'estructura de l'ensemble dels nombres reals, la notacion per desvelopament decimal permet de calculs efectius, gardant a la ment qu'es pas tant las decimalas exactas d'un nombre que comptan, que la posicion del nombre al vejaire dels autres reals.

## Aspècte istoric

### Origina dels nombres

#### Mesa en plaça de las fraccions
Dempuèi l'Antiquitat la representacion d'una grandor mesurabla — per exemple una longor o una durada — respondèt a un besonh. La primièra responsa foguèt la construccion de las fraccions (quocient de dos entièrs positius). Aquesta solucion, realizada d'ora pels Sumerians e los Egipcians, es fin finala performanta. Permet d'aprochar una longor quina que siá amb tota la precision desirada.

#### Correspondéncia amb de longors
[esquèrra|vinheta|[Euclides, un dels paires de las matematicas.]]
La primièra formalizacion bastida en sistèma que se conéis es lo fruch del trabalh d'Euclides al sègle III AbC. Sa construccion, inscricha dins *[[Elements d'Euclides|sos Elements]]*, balha doas grandas idèas d'un apòrt màger dins l'istòria de las matematicas.

* **Las matematicas son formalizadas amb d'axiòmas**, de teorèmas e de demonstracions. Se pòt alara bastir un sistèma, amb de teorèmas que las demonstracions se pièjan sus d'autres teorèmas. Las matematicas son classificadas en categorias, la geometria e l'aritmetica ne son las dos mai grandas. Parlar de construccion pren alara tot son sens.
* **Un pont es bastit entre las doas grandas categorias**. Aqueste caminament, permetent d'utilizar de resultats d'una de las brancas de las matematicas per enlusir una autra branca es dels mai fecondas. Los nombres son alara plaçat en correspondéncia amb de longors de segments.

### Problèmas d'incompletud

#### Irracionalitat de la raiç carrada de 2
vinheta|L'airal del carrat blau es lo doble d'aquesta del carrat gris.
Supausam una longor donada causida coma unitat. Un rasonament geometric, de segur ja conegut dels babilonians, mòstra que se *A* es un carrat de costat l'unitat e *B* un carrat de costat egal a la diagonala *d* de *A*, alara l'airal de *B* es dobla d'aquesta de *A*, es a dire : *d* = 2.

Benlèu al sègle V AbC, de matematicians grècs mòstran que las longors de la diagonala del carrat e de son costat son incommensurables: existís pas de segment, tant petit que siá, que permeta de « mesurar » exactament aquestas doas grandors. Disèm uèi qu'aqueste rapòrt de longor, qu'es la raiç carrada de 2, es irracional, es a dire qu'es pas egal a una fraccion: s'èra una fracction *<span style="display:inline-block; vertical-align:-0.5em; font-size:85%; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em;">m</span><span style="position:absolute;left:-10000px;top:auto;width:1px;height:1px;overflow:hidden">/</span><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em; border-top:1px solid;">n</span></span>*, en divisant la diagonala du carrat en *m* partidas egalas e son costa en *n* partiadas egalas se donariá plan de segments totes de mèsme longors.

Aquò mòstra que las fraccions pòdan pas sufire per representar las grandors mesurablas.

Exist una demonstracion aritmetica simpla d'aqueste resultat, que repausa sus un argument de paritat. Al sègle IV AbC, Aristòtel i fa allusion dins un de sos escrichs. Se trapa mai detalalhada dins lo libre X dels ''Elements'' d'Euclida.

#### Desvelopament decimal illimitat non periodic
Se las fraccions permeton efectivament d'exprimir tota longor amb la precision desirada, cal pasmens comprene que las operacions e subretot la division venon complèxas se lo sistèma de numeracion es pas adaptat. Lo problèma es descrich per la fraccion egipciana.

Cal esperar lo sègle V per veire la matematica indiana descobrir lo concèpte del zèro e desvelopar un sistèma de numeracion decimal e posicional.

Un segon problèma aparéis alara. Totas las fraccions possedissent un desvelopament decimal dins la mesura qu'aqueste desvelopament es infinit e periodic, es a dire que la seguida de decimalas s'arrèsta pas mas bocla sus un nombre finit de valors. La question se pausa alara de saber quin sens donar a un objècte caracterizat per una seguida de decimalas non periodica. Per exemple, lo nombre de desvelopament decimal infinit que s'exprimís coma

: 0,1010010001... ont lo nombre de 0 entre los chifres 1 creis indefinidament, aquò correspond a une longor ?

#### Seguidas e serias
Dins la segonda mitat del sègle XVII, se realiza una extraordinària espelida de las matematicas dins lo domèni del calcul de las serias e de las seguidas.

Nicolaus Mercator, los Bernoulli, James Gregory, Gottfried Wilhelm Leibniz, e d'autres trabalhan sus de serias que semblan convergir mas que la limita es pas racionala. Es lo cas per exemple:

* de la serie da Mercator : \sum_{k=1}^\infty {(-1)^{k-1} \over k} = 1 - \frac 12+\frac 13- \frac 14 + \cdots que convergís cap a ln(2)
* de la seria de Gregory : \sum_{k=0}^\infty {(-1)^k \over {2k+1}} = 1 - \frac 13+\frac 15- \frac 17 + \cdots qui convergís cap a π/4

Pièger, Liouville en 1844, pròva l'existéncia de nombre transcendant es a dire non raiç d'un polinòma de coeficients entièrs. Sufís donc pas de completar los racionals i apondent los nombres algebrics per obténir l'ensemble de totes los nombres.

* de serias du tipe \sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{10^{k!}} = \frac{a_1}{10^{1}} + \frac{a_2}{10^{2}} + \frac{a_3}{10^{6}} + \frac{a_4}{10^{24}} + \cdots representant los nombres de Liouville, ont (*a<sub>n</sub>*) es una seguida d'entièrs compres entre 0 e 9.

#### Lo calcul infinitesimal
Pendent la partida del sègle XVII, Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz inventan una tota novèla branca de las matematicas. Se nomena ara l'analisi, a l'epòca èra coneguda jol nom de calcul infinitesimal. Aquesta branca fa lèu gran vam qu'es la basa d'una tota novèla teoria fisica universala: la teoria de la gravitat newtoniana. Une de las rasons del vam es la resolucion d'una vielha question, a saberr se la Tèrra vira a l'entorn del Solelh o lo contrari.

Mas lo calcul infinitesimal pòt pas se mostrar rigorosament dins l'ensemble dels nombres racionals. Se los calculs son justes, son exprimits dins un lengatge d'una granda complexitat e las *[[Demostracion matematica|pròvas]]* procedisson mai de l'intuicion geometrica que d'una explicitacion rigorosa al sens d'ara.

L'impossibilitat de la construccion de l'analisi dins l'ensemble de las fraccions ten dins lo fach qu'aquesta branca de las matematicas se fonda sus l'analisi dels infinidament petits. E, se pòt comparar los nombres racionals a una infinitat de petits grans de sable (de talha infinidament petita) sus la drecha reala daissant infinidament mai de *traucs* que de matèria. L'analisi pòt pas se contentar d'un tal supòrt. Demanda per supòrt un espaci complet.

Aquesta nocion es tant importanta que vendrà al sègle XX començar una larga branca de las matematicas nomenada topologia.

#### La drecha reala
Se l'existéncia dels nombres negatius aparéis d'ora dins l'istòria (matematicas indianas), cal esperar 1770 per qu'obtengan mercé a Euler un verai estatut de nombre e pèrdan lor caractèr d'artifici de calcul. Mas cal esperar encara un sègle per veire l'ensemble dels reals associat a l'ensemble dels punts d'una drecha orientada, nomenada drecha reala.

Se considèra una drecha D contenent un punt O que se nomenarà, per convention, origina. Siá un punt I distincte de O apartenent a D que s'identifica al nombre 1. Per convencion, se dirà que la distància de O a I es egala a 1 e que l'orientacion de la drecha es aquesta de O cap a I. Per tot punt M de la drecha, s'associa la distància entre O e M. Se M e I son del mèsme costat al respècte de O alara la distància es comptada positivament, senon es negativa.

Aquesta relacion que la formalizacion actuala nomena bijeccion permet d'identificar un nombre real a un punt d'una drecha.
centrat|vinheta|L'abscissi du point ''Q'' est égale à – ''<span class="texhtml"><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em;">OQ</span><span style="position:absolute;left:-10000px;top:auto;width:1px;height:1px;overflow:hidden">/</span><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em; border-top:1px solid;">OI</span></span>'' = –3, ''OI'' et ''OQ'' désignant les distances de ''O'' à ''I'' et de ''O'' à ''Q'' respectivement.

### Après 2 200 ans<span></span>: la solucion
Lo desvelopament de l'analisi pendent los sègle XVIII e XIX menèt los matematicians franceses e allemands a s'interrogar sus la natura dels nombres reals. Aquestas interrogacions los menèron a desgatjar de proprietats fondamentalas (completud, seguidas adjacentas, etc.) sus que se podavan fondar las construccions possiblas de ℝ, que foguèron formalizadas vèrs 1870 per Cantor, Méray e Dedekind.

## Natura<span></span>: matematicas e filosofia
L'evolucion dels concèptes de nombre real e de continuitat se fa dins lo domèni filosofic e matematic. Que los nombres reals forman una entitat continua vòl dire qu'i a pas de « saut » o de « bendas interditas ». Intuitivament, es parelh a la percepcion umana de l'espaci o de l'escorriment del temps. De filosòfs concebon que mai n'es lo mèsme per totes los fenomèns naturals. Aqueste concèpte es resumit per la devisa de matematician e filosòf Leibniz : *natura non facit saltus*, « la natura fa pas de sauts ».

### De la Grècia antica al començament dels Temps modèrnes
L'istòria de la continuita comença en Grècia antica. Al sègle V AbC, los atomistas creson que la natura es facha de « sauts », mas tanben qu'existís de particulas de basa non divisiblas, los atòms. Los sinequistas eles claman que tot es connectat, continú. Democrit ten partit d'una natura facha d'atòms intercalats de void, alara que Eudòxe lo contradich, fsent de sas òbras un dels mai ancians davancièrs de l'analisi. Aquestes evoluiguèron mai tard en çò que se conéis ara jol nom de geometria euclidiana.

Encora al sègle XVII, de matematicians enonciavan qu'una fonccion continua es de fach constituit de linhas drechas infinidament petitas, es a dire infinitesimalas. Es alara que lo concèpte d'infinidament petit, dins lo vejaire atomista, pòt promòure aqueste biais de concebre la nature. La question d'infinit es donc centrala per comprene la continuitat e dels nombres reals.

Los paradòxes de Zenon illustran la contraintuitivitat de la nocion d'infini. Un dels mai conegut es aqueste de la flècha, que s'imagina une flècha en vòl. A cada instant, la flècha se trapa a una posicion precisa e se l'instant es tròp cort, alara la flècha a pas lo temps de se desplaçar demora aa repaus pendent aqueste instant. Los instants seguents, demora immobila per la mèsma rason. La flècha es sempre immobila e pòt pas se deplaçar: lo movement es impossible. Per resòlvre aqueste paradòxe, cal addicionar aqueste infinidament petits un nombre infinit de còps, pel metòde de la limita, descobèrt pendent l'evolucion de l'analisi.

### Istòria de l'analisi
Lo concèpte de continuitat dels nombres reals es central en analisi, dampuèi lo començament de son istòria. Una question fondamentala es de determinar se une fonccion donada es de fach una fonccion continua. Al sègle XVIII, se formulava aquesta question atal « Provòca una variacion infinitesimala dins son domèni una variation infinitesimale dins son imatge ? ». Al sègle XIX, aquesta formulacion es abandonada e remplaçada per aquesta de las limitas.

A partir del sègle XVIII, las infinitesimalas cason en disgràcia: son dichas d'utilitat practica, mas erronèas, non necessàrias e contradictòria. Las limitas las remplaçan totalament e a partir degle XX, las infinitesimalas son pas pus basa de l'analisi. En matematicas demoran una mena de nonconcèptes, fins a que tornen fòrça en geometria diferenciala, lor donant l'estatut matematic de camp tensorial.

Dins las sciéncias aplicadas, subretot en fisica e enngenh, ncara s'utiliza las infinitesimalas. Aquò causa de segur de problèmas de comunicacion entre asaquest sciéncias e las matematicas.

## Definicions axiomaticas de ℝ e primièras proprietats
[vinheta|[David Hilbert.]]
Se pòt caracterizar brèvament l'ensemble dels nombres reals, que se nòta mai sovent ℝ, per la frasa de David Hilbert: *ℝ es lo darrièr còrs commutatiu arquimedian e es complet*. « Darrièr » significa que tot còrs commutatiu arquimedian es isomòf a un sosensemble de ℝ. Aquí « isomòrf » significa intuitivament que *possedís la mèsma forma, o se compòrta exactament del mèsme biais*, se pòt donc, sens gaire dificultat, dire que son los mèsmes.

### Vejaire axiomatic
Un apròche axiomatic consistís a caracterizar un concèpte per una seria de definicions. Aqueste vejaire, que Hilbert es lo davancièr dins son formalisme modèrne, e foguèt fòrça al sègle XX. De nocions coma la topologia, la teoria de la mesura, o las probabilitats se definisson ara per une axiomatica. Un apròche axiomatic supausa una compreneson perfiècha de la quita estructure en question e permet una demonstracion dels teorèmas unicament a partir d'aquestas definitions. Es la rason per que de bonas definicions pòdon en matematicas venir tan poderosas. Una definicion axiomatica de ℝ mòstra pasmens pas qu'un tl ensemble existís. Apareis alara necessari de *construire* aquesta estructura.

Avèm diferentas definicions axiomaticas equivalentas:

# ℝ es lo mai grand còrs totalament ordonat arquimedian.
# ℝ es l'unic còrs totalament ordonat arquimedian e complet.
# ℝ es l'unic còrs totalament ordonat verificant la proprietat de la bòrna superiora.
# ℝ es l'unic còrs totalament ordonat connèxe (per la topologia de l'òrdre).
# ℝ es l'unic còrs totalament ordonat verificant lo lème de Cousin.

La definicion 1 es presentada en començament de section. L'equivaléncia entre las definicions 2 e 3 es mostrada dins l'article Construccion dels nombres reals. L'equivaléncia entre las definicions 3 e 4 es essencialament un resultat suls ensembles ordonats.

L'unicitat es a l'isomorfisme (unic) près, es a dire que si K es un còrs totalament ordonat verificant las mèsmas ipotèsis, alara existís un (unic) isomorfisme estrictament creissent de K dins ℝ.

Detalham la definicion 2:

* ℝ es un còrs commutatiu, autrament dich las doas operacions, addicion e multiplicacion, possedisson totas las proprietats usualas, subretot la soma e lo produch de dos reals son reals, e tanben l'invèrs d'un real non nul (l'adjectiu *commutatiu* significa qu'un produch *ab* es sembre egal al produch *ba*).
* ℝ es un còrs totalament ordonat. Aquò significa que totes los nombres pòdon èsser comparats entre eles (l'un es o mai grand, o mai pichon, o egal a l'autre) e qu'questa relacion respècte l'addicion e la multiplicacion. En lengatge matematic avèm:
** \forall (a,b,c) \in\R^3 \quad a>b \; \Rightarrow a+c>b+c~;
** \forall (a,b) \in\R^2, \forall c \in\R_+^*\quad a>b \; \Rightarrow a\times c>b\times c.
* ℝ es arquimedian. Aquò significa que se consideram un nombre *a* estrictament positiu, per exemple 2 e que se considèra la guida *a*, *2a*, *3a*... es a dire dins nòstre exemple 2, 4, 6... alara s'obtiendrà dins la seguida, de nombres tan grands que se vòl. En lengatge matematic, aquò s'escrich:\forall (a,b) \in {\R_+^*}^2 \;\exists n \in\N\quad na > b.
* ℝ es complèt. Es a dire que dins ℝ, tota seguida de Cauchy convergís (dins ℝ ; notar la diferéncia amb ℚ. Tota seguida de Cauchy de ℚ convergís dins ℝ, mas la limita pòt l'èsser pas dins ℚ).

### Primièras proprietats
aquesta seccion es sobretot tecnica. Tracta de las proprietats essencialas e elementàrias per un trabalh analitic sus ℝ.

La proprietat seguent pòt se deduire del fach que ℝ es arquimedian.

* Entre dos reals distinctes, existís sempre una infinitat de racionals e d'irracionals (veire *[[Òrdre dens]]*).

Las autres proprietats son de consequéncia de la propriatat de la bòrna superiora.

* Tot ensemble non void e minorat de ℝ admet una bòrna inferiora (aquesta proprietat se deduch de l'axiòma de la bòrna superiora, per passatge al opausats).
* Tota seguida creissenta e majorada dins ℝ es convergenta (*[[Teorèma de la limita monotòna]]*).
* Tota seguida descreissenta e minorada dins ℝ es convergenta (tanben, per passatge als opausats).
* Doas seguidas adjacentas convergisson cap a la mèsma limita. Se nomena seguidas adjacentas doas seguidas, l'una creissenta, l'autra descreissenta, que la diferéncia tend cao a 0 (*[[Teorèma de las seguidas adjacentas]]*).

### Clausura algebrica
Existís un ensemble de foncions particularament interessantas, los polinòmis. Un polinòmi pòt a vegada se factorizar. Es a dire que s'exprimís jos la forma de produch de polinòmis non constants de gras mai pichons. L'ideal essent que se pòsca factorizar tot polinòmi en factors de gra 1 (es a dire jos la forma *ax + b*). aquesta proprietat depend del còrs ont se menan aquestes polinòmis. Per exemple sul còrs dels racionals, quin que siá *n* entièr superior o egal a 2, existís de polinòmis de gra *n* irreductibles, es a dire que se pòt pas los exprimir jos forma de produch de polinòmis de gras mai pichons.
Pels nombres reals, se mòstra que lo mai grand gra d'un polinòmi irreductible es egal a dos. En d'autres tèrmes, se lo polinòmi se descompausa pas, es qu'es de la forma *ax*2 + *bx + c*. Los còrs qu'an coma polinòmis irreductibles pas que los polinòmis de gra 1 son dich algebricament claus.

Se ℝ es pas algebricament claus, se pòt plaçar aqueste còrs dins un còrs mai vast. S'agís d'un còrs novèl, lo còrs dels nombres complèxes. Pasmens aqueste còrs es pas globalament « melhor ». Sa clausura algebrica es una proprietat fòrça interessanta, mas a un còst: lo còrs dels complèxes pòt pas possedir de relacion d'òrdre compatibla amb sas doas operacions. D'un biais, çò que se ganha d'un costat, se pèrd de l'autre.

### Topologia
La rason d'èsser dels nombres reals es d'ofrir un ensemble de nombres amb las *bonas* proprietats permetent la construccion de l'analisi. Dos vejaires utilizant dos concèptes diferents son possibles.

* Se pòt utilizar la nocion d'espaci metric que sus ℝ associa la distància usuala. Aquesta distància, que se nòta aquí *d*, èra ja utilizada per Euclides. Se definís del biais seguent:\forall (x,y)\in\R^2, d(x,y)=|y-x|.aqueste concèpte es lo mai intuitiu e en general demanda de demonstracions un pauc mai naturalas. Es sovent a partir d'aqueste concèpte que las proprietats analiticas de ℝ son desvelopadas e provadas.
* Se pòt tanben utilizar la teoria de la topologia. aquesta teoria es mai generala qu'aquesta associada a la distància: per tot espaci metric es associat un espaci topologic mas la recipròca es falsa.

L'elegància favoriza la basa axiomatica mai fèbla. Al ègle XX un trabalh de novèla formulacion generala de las matematicas es realizat per l'associacion Bourbaki e se traduch per la redaccion d'un obratge nomenat *[[Elements de matematica]]*. aqueste obratge tracta, de biais rigorós, d'una vasta partida de las matematicas actualas. Per aqueste rason, los *Elements* desvelòpan e mòstran las proprietats de l'ensemble dels reals a partir de la topologia. Es la causida seguida aquí.Propriatats

### Cardinalitat
Quant i a de nombres reals? Una infinitat, mas quina? Dos ensembles an mèsme cardinal (intuitivament: mèsme « nombre d'elements ») se son equipotents. Per exemple los ensembles ℕ, ℤ, ℚ o ℚ, plan qu'embostats e contenent mèsme cadun de « copias » du precedent, an mème « talha »: es lo cardinal dels ensembles denombrables, notat ℵ₀. Georg Cantor mostrèt qu'existís de cardinals infinits estrictament mai grands provesissents, per son argument diagonal, una pròva que ℝ es pas denombrable (Argument de la diagonala de Cantor).

Lo cardinal de l'ensemble dels nombres reals es nomenat la poténcia del continú e a vegada notat c. Es tanben notat 2ℵ₀ que ℝ es en fach equipotent a l'ensemble de las partidas de ℕ — çòque, per un autre teorèma de Cantor, dona una pròva mai precisa de sa nondenombrabilitat:ℵ₀ = card(ℕ) Cantor se pausèt pas la question de l'existéncia d'un cardinal estrictament compres entre ℵ₀ e c. Son ipotèsi, nomenada ipotèsi del continú, es qu'un tal cardinal existís pas. La question dels cardinals foguèt englobada per Cantor dins una teoria mai vasta, la teoria dels ensembles, que servís ara de fondament a la màger partida de las matematicas. Calguèt eperar la segonda mitat del sègle XX per trobar la responsa a la question de l'ipotèsi del contengut: es indecidabla dins la teoria dels ensembles usuala (ZFC). Aquò significa qu'es impossible de mostrat tanben l'existéncia que la nonexisténcia d'un tal cardinal se se modifica pas la basa axiomatica utilizada.

### Espaci vectorial sus ℚ
L'ensemble dels reals dona de l'addition usuala e de la multiplicacion per de racionals es un espaci vectorial sus ℚ (ensemble dels racionals). En 1905, pendent la recerca de solucions non continuas a l'equacion foncionala de Cauchy, Georg Hamel exibís una basa de ℝ considerada coma espaci vectorial sus \scriptstyle \Q. L'existéncia d'una tala basa es assegurada se supausam l'axiòma de la causida. Una basa de Hamel de ℝ es non denombrabla.

## Nòtas e referéncias

### Nòtas


### Referéncias


### Fonts istoricas

## Vejatz tanben

### Articles connèxes

* Construccion dels nombres reals
* Relacion d'òrdre
* Seguida de Cauchy
* Espaci complèt

### Ligams extèrnes

* Histoire des nombres
* Chronomath
* Construction des nombres réels
*  Une histoire des mathématiques
* J.J. O'Connor *et* E.F. Robertson, *School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews*.
**  Histoire des nombres réels, première partie : de Pythagore à Stevin ;
**  Histoire des nombres réels, seconde partie : de Stevin à Hilbert.
**  Étude plus approfondie.
* *(histoire des sciences)* L'article de 1874 de Cantor sur la non-dénombrabilité des réels en ligne et commenté sur le site BibNum.

### Bibliografia

#### Istòria de las matematicas

* Richard Mankiewicz, Christian Jeanmougin et Denis Guedj, *Une histoire des mathématiques*, Seuil
* Denis Guedj, *L'empire des nombres*, Gallimard, coll. « Découvertes Gallimard / Sciences et techniques » ()
* Jean Dhombres *<abbr class="abbr" title="et alii (et d’autres)">et al.</abbr>*, Mathématiques au fil des âges &#x5B;détail des éditions&#x5D;
* Nicolas Bourbaki, *Éléments d'histoire des mathématiques*, Masson

#### Libres istorics de matematicas

* Euclide, *Les Éléments Vol 4 Livre XI à XIII*, Puf
* Isaac Newton, préface de Voltaire et traduction d'Émilie du Châtelet,  (« Principes mathématiques de la philosophie naturelle »), Dunod

#### Referéncias suls nombres reals e l'analisi elementària

* N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale &#x5B;détail des éditions&#x5D;
* N. Bourbaki, *Éléments de mathématique, Livre IV - Fonctions d'une variable réelle*
* Roger Godement, *Analyse mathématique*