Analisi matematica

L’**analisi** es la branca dei matematicas derivada dau calcul infinitesimau desvolopat au sègle XVII. Es la disciplina matematica que tracta dei calculs implicant la nocion d'infinit. Compren de nocions fondamentalas coma lo limit, la continuitat, la derivacion e l'integracion tant per lei nombres reaus que complèxes. L'estudi deis espacis metrics e topologics, lo calcul dei variacions e la teoria dei foncions fan egalament partida de l'analisi. Existís donc un nombre important de sosbrancas coma l'analisi reala, l'analisi complèxa, l'estudi deis eqüacions diferencialas, l'analisi armonica ò l'analisi numerica.

## Istòria

### Lo periòde antic

#### Lei calculs aprochats e leis irracionaus

[thumb|right|[Fotografia de la tauleta YBC 7289, representacion pus anciana d'un calcul de la valor aprochada de √2.]]

L'analisi es probablament apareguda durant l'Antiquitat Auta amb lei calculs aprochats mesopotamians fondats sus de procès de calcul illimitats. En particular, lei Babilonians avián calculat una valor aprochada de √2 entre 1900 e 1600 avC. Entre 800 e 500 avC, de prèires indians trobèron tanben una approximacion racionala de √2. Pasmens, lei metòdes utilizats per realizar aquelei calculs èran encara limitats. Ansin, lei trabalhs dau Grèc Eron d'Alexàndria († sègle I apC) marquèron una evolucion importanta en permetent d'estimar la valor de la racina carrada d'un nombre que que siegue. Segon son metòde, èra possible de trobar la racine d'un nombre *A* a partir d'una approximacion arbitrària *a*0 en calculant *a*1  = (*a*0 + *A*/*a*0)/2. Lo calcul èra repetit amb la valor novèla fins a l'obtencion d'una precision sufisenta.

La descubèrta dei nombres irracionaus es un autre element de basa de la fondacion de l'analisi. Es probablament anciana mai leis escrichs pus vièlhs que parlan clarament d'aqueu subjècte son grècs. Segon Aristòtel (384-322 avC), la pròva de l'existéncia d'aquelei nombres foguèt establida per lei pitagoricians a partir d'un estudi sus la valor de √2. L'estudi sistematic d'aquelei valors irracionalas foguèt realizada pus tard per Euclides (v. 325 - v. 265 avC) que definiguèt la nocion de rapòrt entre dos grandors. Dins aquò, la comprenença modèrna dei tèxtes grècs e dei descubèrtas dei matematicians dau periòde es malaisada en causa de l'usatge d'un vocabulari diferent dau lengatge modèrne dei matematicas. Ansin, certanei trabalhs grècs sus lei nombres irracionaus son desenant l'objècte d'interpretacions diferentas.

#### La question dei tangentas, dei diorismes e dei volums

Lei problemas de geometria ocupèron una plaça importanta dins lo desvolopament de l'analisi car sei problemas principaus foguèron la causa de recèrcas importantas fins a la Renaissença. Entre aquelei problemas, tres tenguèron un ròtle major – la question de la tangenta, lei diorismes e lei volums de certaneis objèctes – car apareguèron durant la recèrca de la quadratura dau ceucle. Per la tengenta, lo problema èra liat a l'existéncia « l'angle de contingéncia », es a dire l'angle entre la corba que limita una figura e la tangenta a aquela corba. Euclides declarèt impossible lo passatge d'una drecha entre la corba e la tangenta (unicitat de la tangenta). Pasmens, leis otís matematicas de l'Antiquitat e de l'Edat Mejana èran insufisents per descriure corrèctament un tal angle. Aquò entraïnèt fòrça debats que venguèron l'implicacion de filosòfs. Dins aquò, permetèron tanben de melhorar la visualizacion d'objèctes fòrça pichons.

Lei diorismes son liats a la question dei tangentas. Lo cas pus important per lei Grècs èra probablament aqueu de la parabòla elliptica, valent a dire l'eqüacion cubic. D'efiech, una tala eqüacion a pas totjorn doas racinas e lei matematicians grècs e arabs s'interessèron au cas limit de l'eqüacion amb una racina unica. L'estudi geometrica dei conicas mostrèt de liames entre aqueu cas e l'estudi dei tangentas. Apollonius de Perge (v. 240 avC - v. 190 avC) foguèt una figura importanta de l'estudi d'aquelei problemas

La question dau calcul dei volums es egalament, en partida, liada a la question dei tangentas. Es principalament l'òbra de Democrit d'Abdèra (v. 460 - v. 370 avC) e d'Eudox de Cnide (408-355 avC). D'efiech, per calcular lo volum d'una piramida ò d'un còn, utilizèron d'aproximacions que prefiguran lo calcul infinitesimau.

### De la descubèrta deis indivisibles au calcul diferenciau

#### Leis indivisibles e leis integralas

[thumb|right|''[Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota* ([[1653]]).]]



De la fin de l'[[Antiquitat]] a la fin de l'[[Edat Mejana]], lei progrès en analisi foguèron febles. Pasmens, gràcias ai [[traduccion]]s aràbias, una partida importanta dei sabers grècoromans foguèt pas perduda. De mai, quauquei progrès foguèron realizats en [[Republica Populara de China|China]] e en [[Índia]]. Dins la premiera region, [[Zu Chongzhi]] ([[429]]-[[500]]) descurbiguèt lo [[principi de Cavalieri]] (ò [[metòde deis indivisibles]]) tre lo [[sègle V apC]]. Dich [[metòde deis indivisibles]], aqueu principi consistís a devesir un volum en sosvolums simples per calcular pus aisament lo volum totau. Puei, dins la peninsula indiana, au sègle XII, [[Bhaskara II]] (v. [[1114]]-[[1185]]) utilizèt la [[derivada]] e descurbiguèt lo [[teorèma de Rolle]]. En [[Euròpa]], se fau egalament nòtar lei trabalhs dau matematician [[França|francés]] [[Nicole Oresme]] (v. [[1320]]-[[1382]]) qu'aguèt l'idèa d'utilizar de representacions graficas per visualizar lei [[aplicacion (matematicas)|foncions]]. Demostrèt tanben la divergéncia de la [[seguida armonica]] dins un tractat publicat en [[1360]]. Pasmens, aquelei descubèrtas demorèron isoladas e foguèron gaire esplechadas.

La represa dei progrès en analisi aguèt donc luòc en [[Euròpa]] a partir de la fin de la [[Renaissença]]. D'efiech, en [[1635]], [[Bonaventura Cavalieri]] ([[1598]]-[[1647]]) publiquèt *Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota*, un tractat que presentèt lo [[metòde deis indivisibles]] e que suscitèt un interès novèu per la disciplina au sen de l'elèit intellectuau dau [[continent]]. En particular, de personalitats coma [[René Descartes]] ([[1596]]-[[1650]]), [[Pèire de Fermat]] ([[1601]]-[[1665]]), [[Gilles Personne de Roberval]] ([[1602]]-[[1675]]) e [[Evangelista Torricelli]] ([[1608]]-[[1647]]) s'interessèron ai trabalhs de [[Bonaventura Cavalieri|Cavalieri]]. Aquò menèt au perfecionnament de son metòde e a la descubèrta deis [[integrala]]s. Pasmens, la premiera definicion de l'[[integrala]] èra unicament [[geometria|geometrica]] e foguèt encara necessari d'esperar 150 ans avans de veire la definicion modèrna d'aquela nocion.

==== Lei premierei basas dau calcul diferenciau ====

Lei premierei basas dau [[calcul diferenciau]] foguèron descubèrtas durant d'estudis sus lo traçat dei [[tangenta]]s ai corbas. [[Pèire de Fermat|Fermat]] e [[Gilles Personne de Roberval|Roberval]] s'interessèron fòrça a aqueu subjècte. Per aquò, trabalhèron sus de [[polinòmi]]s permetent de calcular lei racinas d'una [[eqüacion]] representar la [[tangenta]] en un ponch donat. Durant aquel estudi, [[Pèire de Fermat|Fermat]] estudièt lo cas de la drecha *y* = *ax* + *b* tangenta en *x*<sub><small>0</sub></small> a la corba descricha per lo polinòmi P(x). Per exprimir aquela tangenta, Fermat cerquèt lo zerò dau polinòmi *P*(*x*, *ax* + *b*).

Aquò li permetèt d'exprimir lo problema dei tangentas d'un biais novèu. Per eu, s'una [[aplicacion (matematicas)|foncion racionala]] *R*(*x*) a un extremom en *x*<sub><small>0</sub></small> e se *a* es pròche (mai diferent) de *x*<sub><small>0</sub></small>, alora l'eqüacion *R*(*x*<sub><small>0</sub></small>) = *R*(*a*) accèpta doas racinas *a* e *a* + *e* qu'enquadran *x*<sub><small>0</sub></small>. Se se condidèra l'egalitat *R*(*a*) = *R*(*a* + *e*) en factorizant *e*, alora ven una eqüacion de la forma *T*(*a*, *e*) = 0. Se *e* es chausida egala a 0, l'eqüacion *T*(*a*, 0) = 0 permet alora de calcular l'extremom cercat. Un tau metòde prefigura largament lo [[calcul diferenciau]] qu'aparéis tanben dins lei trabalhs de [[Johannes Kepler|Kepler]] ò de [[René Descartes|Descartes]].

==== Lei seguidas entieras ====

L'estudi dei [[seguida (matematicas)|seguidas]] conoguèt una certana popularitat en [[França]] e en [[Anglatèrra]] a partir dau [[sègle XIV]] amb de personalitats coma [[Richard Swineshead]] († [[1354]]). Pasmens, lei progrès foguèron lents fins a la segonda mitat dau [[sègle XVII]]. Lei matematicians [[Anglatèrra|anglés]] aguèron un ròtle centrau durant aqueu periòde que veguèt de progrès tant dins la teoria dei seguidas (invencion dau tèrme « seguida convergenta » per [[James Gregory]]) que dins leis aplicacions concrètas d'aqueu concèpte ([[binòmi de Newton]], desvolopament de [[foncions trigonometricas]]...). Puei, en [[1715]], [[Brook Taylor]] ([[1685]]-[[1731]]) establiguèt un liame entre lei seguidas e lo [[calcul diferenciau]] gràcias a l'estudi dei seguidas que [[Seguidas de Taylor|pòrtan son nom]].

==== La descubèrta dau calcul diferenciau ====

[[Fichièr:Newton's Principia title page.png|thumb|right|Edicion dei trabalhs de [[Isaac Newton]] en [[fisica]] que presentan una dei premierei versions dau calcul diferenciau.]]

La descubèrta dau [[calcul diferenciau]] modèrne es atribuïda a [[Isaac Newton]] ([[1642]]-[[1727]]) e a [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] ([[1646]]-[[1716]]). Lo premier s'interessèt au subjècte en desvolopament leis idèas d'[[Isaac Barrow]] ([[1630]]-[[1677]]) qu'èra estat son professor. [[Isaac Barrow|Barrow]] aviá sintetizat lei trabalhs de [[Pèire de Fermat|Fermat]] e imaginat l'utilizacion d'acreissements pichons per estudiar lo problema dei [[tangenta]]s. [[Isaac Newton|Newton]] desvolopèt aquelei recèrcas per leis adaptar ai grandors [[fisica]]s liadas au [[temps]] e ai formas [[geometria|geometricas]]. Aquò li permetèt de desvolopar sei teorias [[mecanica classica|mecanicas]] onte lo [[calcul diferenciau]] tèn un ròtle centrau.

[[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] foguèt puslèu influenciat per lei trabalhs matematics de [[René Descartes]] e de [[Christiaan Huygens]] ([[1629]]-[[1695]]). Sa vision foguèt pus teorica e pus matematica. Son article principau sus lo calcul diferenciau, publicat en [[1684]] dins la revista *Acta Eruditorum*, establiguèt per lo premier còp d'un biais clar lei règlas de basas per la diferenciacion d'una [[addicion|soma]], d'un [[multiplicacion|produch]] e d'un [[quocient]] de variablas. En mai d'aquò, la màger part de son vocabulari e de sei notacions (« [[aplicacion (matematicas)|foncion]] », « diferenciala », *dx*, *y* = *f*(*x*), lo simbòl de l'[[integrala]]...) foguèt adoptada per l'ensemble de la comunautat scientifica. Lo trabalh de vulgarizacion de [[Guillaume François Antoine de L'Hôpital|Guillaume de L'Hôpital]] ([[1661]]-[[1704]]) e lei descubèrtas majoras de sei discípols (lei fraires Bernoulli, [[Leonhard Euler|Euler]]) aguèron un ròtle important dins aquela difusion. La descubèrta dau [[calcul diferenciau]] (ò [[calcul infinitesimau]]) marca la fondacion de l'analisi matematica modèrna.

=== L'analisi modèrna ===

==== La nocion de foncion ====



Ja presenta dins leis [[escritura|escrichs]] de [[Isaac Barrow|Barrow]] e de [[Isaac Newton|Newton]], la nocion de [[aplicacion (matematicas)|foncion]] foguèt estructurada e difusada per lei trabalhs de [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] e de sei successors. D'efiech, de matematicians coma [[Sylvestre-François Lacroix]] ([[1765]]-[[1843]]), [[Daniel Bernoulli]] ([[1700]]-[[1782]]), [[Leonhard Euler]] ([[1707]]-[[1783]]), [[Jean Le Rond d'Alembert]] ([[1717]]-[[1783]]) e [[Joseph-Louis Lagrange]] ([[1736]]-[[1813]]) definiguèron de nocions majoras (continuïtat, discontinuïtat...) e establiguèron de liames amb lei [[seguida (matematicas)|seguidas]].

Lo sègle XIX es de còps considerat coma lo « sègle de la teoria dei foncions » en causa dei descubèrtas nombrosas dins aqueu domeni. [[Gaspard Monge]] ([[1746]]-[[1818]]), [[Joseph Fourier]] ([[1768]]-[[1830]]) e [[Augustin Cauchy]] ([[1789]]-[[1857]]) tenguèron un ròtle important dins la transicion entre lei matematicians dei Lutz e aquelei dau periòde seguent gràcias a sei descubèrtas sus lei foncions discontinuas e sus lo desvolopament dei [[foncions trigonometricas]] ([[seguida de Fourier|seguidas de Fourier]]). [[Gustav Lejeune-Dirichlet]] ([[1805]]-[[1859]]) completèt la teoria de [[Joseph Fourier|Fourier]] en [[1837]] e donèt la premiera definicion dei [[foncion unifòrma|foncions unifòrmas]]. Aquò menèt, dins leis [[ans 1840]], a l'adopcion de la definicion modèrna de la « foncion ». A son torn completat per [[Bernhard Riemann]] ([[1826]]-[[1866]]) e [[Georg Cantor]] ([[1845]]-[[1918]]), aqueu trabalh foguèt una fònt de la [[teoria deis ensembles]] que foguèt desvolopada per [[Camille Jordan]] ([[1838]]-[[1922]]), [[René Baire]] ([[1874]]-[[1932]]), [[Émile Borel]] ([[1871]]-[[1956]]) e [[Henri Lebesgue]] ([[1875]]-[[1941]]).

Durant la segonda mitat dau sègle XIX, de foncions novèlas foguèron egalament descubèrtas. Per exemple, en [[1872]], [[Karl Weierstrass]] ([[1815]]-[[1897]]) senhalèt l'existéncia d'una foncion continua qu'èra pas derivabla. En parallèl, se desvolopèt l'estudi dei foncions complèxas, çò que menèt ai [[foncion elliptica|foncions ellipticas]]. Aquela branca de l'analisi, relativament anciana, èra demorada marginala car [[Carl Friedrich Gauss]] ([[1777]]-[[1855]]), un dei sei pioniers importants, aviá pas publicat sei resultats. Dins aquò, de personalitats coma [[Niels Abel]] ([[1802]]-[[1829]]) e [[Carl Jacobi]] ([[1804]]-[[1851]]) capitèron de la popularizar. Tornèron tanben descubrir lei [[foncion elliptica|foncions ellipticas]] que foguèron pus tard estudiadas per [[Joseph Liouville]] ([[1809]]-[[1882]]), [[Arthur Cayley]] ([[1821]]-[[1895]]) e [[Charles Hermite]] ([[1822]]-[[1901]]). Aquò favorizèt la descubèrta dei [[foncion fuchsiana|foncions fuchsianas]] e [[foncion automòrfa|automòrfas]] que foguèron l'objècte dei recèrcas d'[[Henri Poincaré]] ([[1854]]-[[1912]]) e de [[Felix Klein]] ([[1849]]-[[1925]]).

==== Leis integralas ====



La descubèrta dau [[calcul infinitesimau]] permetèt de melhorar lo [[metòde deis indivisibles]]. Aquò menèt a la definicion modèrna de l'[[integrala]] tre la fin dau sègle XVII. De mai, lei notacions comencèron de s'estabilizar rapidament gràcias au trabalh de [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]], dei fraires Bernoulli, d'[[Leonhard Euler|Euler]] e de [[Augustin Cauchy|Cauchy]]. Au sègle XIX, divèrsei matematicians, coma [[Bernhard Riemann|Riemann]], s'interessèron a l'integracion dei foncions discontinuas. Finalament, la vision modèrna deis integralas definidas apareguèt a la fin dau sègle gràcias ai trabalhs de [[Gaston Darboux]] ([[1842]]-[[1917]]), de [[Thomas-Jan Stieltjes]] ([[1856]]-[[1894]]) e d'[[Henri Lebesgue]].

==== Lei seguidas ====



Coma per leis [[integrala]]s, la nocion de [[seguida (matematicas)|seguida]] prenguèt sa forma modèrna durant lo sègle XIX. [[Augustin Cauchy|Cauchy]], [[Gustave Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] e [[Bernhard Riemann|Riemann]] foguèron d'actors majors d'aquela evolucion. Per aquò, estudièron fòrça lei seguidas convergentas que venguèron un otís important dins mai d'una [[demonstracion matematica]], especialament en analisi. Lei seguidas divergentas foguèron mens l'objècte de recèrcas car son aspècte divergent èra jutjat « òrre » per plusors matematicians.

==== Lo calcul dei variacions ====



Lo [[calcul dei variacions]] es aparegut tre la fin dau sègle XVIII. Lo tèrme foguèt imaginat per [[Leonhard Euler|Euler]] per descriure l'estudi dei minimoms e dei maximoms de certaneis [[integrala]]s. Aguèt una gròssa importància en [[fisica]] e en [[quimia]] e foguèt estructurat per [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]]. Uei, lo [[calcul dei variacions]] es un otís major de l'[[analisi foncionala]], especialament dins lo quadre de l'estudi deis [[espaci vectoriau|espacis vectoriaus]].

==== Lo desvolopament deis eqüacions diferencialas ====



Leis [[eqüacion diferenciala|eqüacions diferencialas]] apareguèron durant la segonda mitat dau sègle XVII amb lei trabalhs de [[Isaac Newton|Newton]] e de [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]]. Durant lo sègle XVIII, sa comprenança se melhorèt gràcias ai descubèrtas sus lei [[aplicacion (matematicas)|foncions]] e sus leis [[integrala]]s. D'efiech, aquò permetèt pauc a pauc de preveire l'existéncia d'una solucion. En [[1734]], [[Leonhard Euler|Euler]] imaginèt l'eqüacion diferenciala de derivadas parcialas. Element important dau [[calcul diferenciau]], aquel objècte foguèt estudiat per [[Jean Le Rond d'Alembert|d'Alembert]] a partir de [[1747]]. La solucion sistematica deis eqüacions diferencialas de derivadas parcialas de premier e de segond òrdre foguèt trobada durant lo sègle XIX e de liames foguèron establits amb l'estudi dei superficias.

==== Lei nombres transcendants ====



Lei [[nombre transcendant|nombres transcendants]] foguèron l'objècte d'un estudi sistematic a partir dau sègle XIX. Aperavans, *π*, conegut dempuei l'[[Antiquitat]], èra estat lo subjècte de fòrça trabalhs assaiant de determinar sa natura e, mai que mai, sa valor precisa. Pasmens, en [[1844]], [[Joseph Liouville|Liouville]] capitèt de construrre d'autrei nombres d'aqueu tipe. Durant lo periòde seguent, [[Georg Cantor|Cantor]] mostrèt l'existéncia d'un ensemble de nombres transcendants. Enfin, en [[1872]], la transcendància de *e* foguèt demonstrada. Encara mau comprés, lei nombres transcendants son totjorn fòrça estudiats per de matematicians modèrnas coma [[Kurt Mahler]] ([[1903]]-[[1988]]).

== Concèptes principaus ==

=== Espaci metric ===

[[Fichièr:Coord system CA 0.svg|thumb|Representacion de l'[[espaci euclidian]], l'[[espaci metric]] pus conegut.]]



Un [[espaci metric]] es un ensemble onte la nocion de distància entre leis elements de l'ensemble es definida. Aqueleis elements son generalament dichs « ponchs ». Tot [[espaci metric]] es canonicament dotat d'una [[topologia]]. La màger part dei trabalhs d'analisi matematica an luòc dins d'[[espaci metric|espacis metrics]] coma l'[[espaci euclidian]] (lo pus famós amb sei tres dimensions *x*, *y* e *z*), lo [[plan complèxe]], leis [[espaci vectoriau|espacis vectoriaus]] ò la [[topologia de la drecha reala|drecha reala]].

Pasmens, l'usatge d'un [[espaci metric]] es pas indispensable a l'analisi matematica. Certanei brancas, coma l'[[analisi foncionala]], an generalament pas besonh d'aqueu concèpte.

=== Seguida ===



Una seguida es una familha d'elements, dichs « tèrmes », indexats per d'[[nombre entièr|entiers]] naturaus. Pòu èsser finida ò [[infinit|infinida]] e lei tèrmes aver una natura reala ò complèxa. Lei seguidas son liadas a la [[mesura (matematicas)|mesura]] (mesuras d'un fenomèn enregistradas a d'intervals regulars de [[temps]]) e a l'analisi coma equivalemnt discrèt dei foncions numericas continuas. Lei nocions de convergéncia e de limit d'una seguida son fòrça importantas en analisi matematica car an d'aplicacions en [[topologia]] e dins leis [[espaci metric|espacis metrics]].

== Brancas principalas ==

=== Analasi reala ===



L’[[analisi reala]] es la branca de l'analisi qu'estúdia leis ensembles de [[nombre reau|reaus]] e lei [[Aplicacion (matematicas)|foncions]] de variablas realas. Per aquò, estúdia principalament de concèptes coma lei [[seguida (matematicas)|seguidas]] e sei [[limit (matematicas)|limits]], la [[continuitat (matematicas)|continuitat]], la [[derivada|derivacion]], l'[[integracion]] e lei [[seguida (matematicas)|seguidas]] de [[Aplicacion (matematicas)|foncions]]. Es un domeni vièlh dei [[matematicas]] qu'a d'aplicacions importantas en causa de son liame amb lo reau. De mai, es la basa d'autrei brancas de l'analisi matematica.

=== Analisi complèxa ===



L'[[analisi complèxa]] es la branca de l'analisi qu'estúdia leis ensembles de [[nombre complèxe|nombres complèxes]], especialament lei [[Aplicacion (matematicas)|foncions]] de variablas complèxas que son [[derivada|derivablas]] a respècte d'au mens una variabla complèxa. Dins aqueu quadre, se fau nòtar l'importància dei [[foncion olomòrfa|foncions olomòrfas]] que son de foncions de valors complèxas definidas e derivablas en tot ponch d'un sosensemble dubèrt dau plan complèx ℂ. D'efiech, aquela condicion es pus fòrta que la derivabilitat reala e entraïna lo fach que la foncion es indefinidament derivabla e es egala a proximitat de cada ponch dau dubèrt a la sòma de sa [[seguida de Taylor|seria de Taylor]].

Leis aplicacions de l'[[analisi complèxa]] son nombrosas en causa de l'interès dei [[nombre complèxe|nombres complèxes]] dins lei calculs [[tecnologia|tecnics]]. Au nivèu [[matematicas|matematic]], mena a la definicion dei [[superficia de Riemann|superficias de Riemann]] e a la [[geometria complèxa]].

=== Analisi foncionala ===



L'[[analisi foncionala (matematicas)|analisi foncionala]] es la branca de l'analisi qu'estúdia leis espacis de [[aplicacion (matematicas)|foncions]]. L'origina dau tèrme « foncionala » tròba son origina dins lo calcul dei variacions, dins l'estudi dei transformacions ([[transformacion de Fourier]]...) e dins l'estudi deis [[eqüacion diferenciala|eqüacions diferencialas]]. A d'aplicacions nombrosas en causa de l'usatge massiu dei [[aplicacion (matematicas)|foncions]] dins lei domenis tecnics e scientifics. Lo succès pus importanta de la disciplina es probable sa demonstracion de l'estabilitat de l'[[atòm]] d'[[idrogèn]].

=== Analisi armonica ===

[[Fichièr:Harmonic analyser.jpg|thumb|right|Analisador armonic mecanic de [[William Thomson, Lord Kelvin|Lord Kelvin]].]]



L'[[analisi armonica (matematicas)|analisi armonica]] es la branca de l'analisi qu'estúdia la representacion dei [[aplicacion (matematicas)|foncions]] ò dei sinhaus coma superposicion d'[[onda]]s de basa dichas « armonicas ». Es una extension e una generalizacion dei nocions de [[seguida de Fourier|seguida]] e de [[transformada de Fourier]]. A d'aplicacions variadas en [[tractament dei sinhaus]], en [[mecanica quantica]] ò en [[neurosciéncias]]s e es considerada coma un aspècte major de l'[[engenhariá]] [[electronica]] modèrna.

=== Eqüacion diferenciala ===



Leis [[eqüacion diferenciala|eqüacions diferencialas]] son d'[[eqüacion]]s que seis [[inconeguda (matematicas)|inconegudas]] son de [[aplicacion (matematicas)|foncions]] e que se presenta coma una relacion entre aquelei [[aplicacion (matematicas)|foncions]] e sei [[derivada]]s successivas. N'existís dos tipes diferents :
* leis [[eqüacion diferenciala ordinària|eqüacions diferencialas ordinàrias]] son constituïdas de [[aplicacion (matematicas)|foncions]] que despendon d'una meteissa variabla.
* leis [[eqüacion diferenciala de derivadas parcialas|eqüacions diferencialas de derivadas parcialas]] pòdon despendre de plusors variablas independentas.
Leis [[eqüacion diferenciala|eqüacions diferencialas]] an un ròtle major dins lei [[sciéncia]]s e lei [[tecnica]]s modèrnas car fòrça fenomèns pòdon èsser [[modelizacion|modelizats]] per una [[eqüacion]] d'aqueu tipe.

=== Analisi numerica ===

[[Fichièr:FEM car crash1.jpg|thumb|right|Simulacion numerica d'un accident de [[veitura]], un exemple d'utilizacion de l'[[analisi numerica]].]]



L'[[analisi numerica]] es la branca de l'analisi qu'estúdia la mesa en plaça e l'utilizacion de metòdes permetent de resòuvre, per lo mejan de calculs numerics, de problemas d'analisi matematica. Per aquò, s'interèssa fòrça ais [[algoritme]]s que permèton de calcular de problemas continüs gràcias a de calculs de ponchs. Uei, es donc una branca aplicada que se situa a l'interfàcia entre lei [[matematicas]] e l'[[tecnologias de l'informacion|informatica]].

=== Analisi vectoriala ===



L'[[analisi vectoriala]] es la branca de l'analisi qu'estúdia lei camps d'[[escalar]]s e de [[vector]]s pron regulars deis [[espaci euclidian|espacis euclidians]], es a dire leis aplicacions diferenciablas d'un ensemble dubèrt d'un espaci euclidian *E* que sei valors se situan respectivament dins <math>\R</math> e dins *E*. Per lei matematicians, l'[[analisi vectoriala]] es considerada coma una branca de la [[geometria diferenciala]], domeni qu'inclutz d'otís pus poderós per analizar lei camps de vectors. Pasmens, l'[[analisi vectoriala]] es sovent classada coma una branca distinta en causa de son importància en [[fisica]] e dins lei sciéncias de l'engenhaire.

== Annèxas ==

=== Liames intèrnes ===
<div style="-moz-column-count:3; column-count:3;">
* [[Algoritme]].
* [[Analisi armonica (matematicas)|Analisi armonica]].
* [[Analisi complèxa]].
* [[Analisi foncionala (matematicas)|Analisi foncionala]].
* [[Analisi numerica]].
* [[Analisi reala]].
* [[Analisi vectoriala]].
* [[Calcul diferenciau]].
* [[Calcul infinitesimau]].
* [[Calcul integrau]].
* [[Derivada]].
* [[Eqüacion diferenciala]].
* [[Espaci metric]].
* [[Aplicacion (matematicas)|Foncion]].
* [[Infinit]].
* [[Integrala]].
* [[Limit (matematicas)|Limit]].
* [[Matematicas]].
* [[Nombre irracionau]].
* [[Nombre transcendant]].
* [[Seguida]].
</div>

=== Bibliografia ===
<div style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
* *'(fr)** Max Abraham e [[Paul Langevin]], « Analyse Vectorielle », dins ''Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées. Tome IV'', Gauthier-Villars, 1912-1914, p. 12.
* **(fr)** André Angot, ''Compléments de mathématiques à l'usage des ingénieurs de l'électrotechnique et des télécommunications'', Masson, 1949.
* **(fr)** Jacques Bouveresse, Jean Itard e Émile Sallé, ''Histoire des mathématiques'', Larousse, 1977.
* **(fr)** Henri Cartan, ''Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes'', Hermann, 1961.
* **(fr)** [[Jean Dieudonné]], ''Calcul infinitésimal'', 2 edicion, Hermann, 1980.
* **(fr)** Claude Gasquet e Patrick Witomski, ''Analyse de Fourier et applications : filtrage, calcul numérique et ondelettes'', Masson, 1990.
* **(de)** G. H. Golub e J. M. Ortega, ''Wissenschaftliches Rechnen und Differentialgleichungen. Eine Einführung in die Numerische Mathematik'', Heldermann Verlag, 1995.
* **(en)** Ivan Niven, ''Irrational Numbers'', Cambridge University Press, 1956.
* **(fr)** Benoît Rittaud, ''Le fabuleux destin de √2'', Le Pommier, 2006.
* **(en)** Walter Rudin, ''Principles of Mathematical Analysis'', 3 edicion, McGraw–Hill, 1976.
* **(en)** Walter Rudin, ''Real and Complex Analysis'', 3 edicion, McGraw-Hill, 1987.
* **(en)** [[Elias Menachem Stein]], ''Harmonic Analysis'', Princeton University Press, 1993.
* **(la)** [[Brook Taylor]], ''Methodus incrementorum directa et inversa'', 1715.
* **(fr)*' Michel Willem, *Analyse fonctionnelle élémentaire'', Cassini, 2003.


### Nòtas e referéncias