Aritmetica

[thumb|right|Simbòls dei quatre [operacion (matematicas)|operacions aritmeticas elementàrias per lei nombres usuaus.]]

L’**aritmetica** es la branca dei matematicas qu'estúdia lei nombres entiers naturaus, relatius, racionaus e reaus e sei relacions e proprietats en liame amb leis operacions elementàrias (adiccion, multiplicacion, raiç carrada, etc.). Dins una acceptacion pus rara qu'es utilizada per lei matematicians, l'aritmetica inclutz de concèptes pus largs eissits de la teoria dei nombres. Intègra alora de brancas complèxas dei matematicas modèrnas coma l'aritmetica modulara, la teoria algebrica dei nombres ò l'aritimetica dei polinòms.

## Istòria

### L'aritmetica primitiva

#### Lei sistèmas egipcian e mesopotamian

[thumb|right|Divèrsei chifras escrichas amb d'[Numeracion egipciana|ieroglifs egipcians.]]

La numeracion escricha egipciana èra fondada sus la basa 10. Cada poissança de 10 èra representada per un ieroglif pròpri. Un nombre èra ansin escrich en adiccionant lei simbòls permetent d'arribar a sa valor. I aviá pas d'òrdre particular per gravar aquelei signes. Pasmens, coma aquò podia menar a de representacions lòngas, existissiá de notacions simplificadas per certanei nombres. Leis Egipcians conoissián tanben certanei fraccions. Per lei representar, utilizavan lo meteis sistèma de signes en indicant la natura fraccionària dau nombre per un simbòl especiau. Lei multiplicacions e lei divisions èran realizadas per un metòde de duplicacion que foguèt utilizat dins mai d'una region fins au sègle XIX.

La numeracion mesopotamiana apareguèt durant la segonda mitat dau millenari IV. Sa branca pus coneguda es aquela desvolopada per lei matematicians babilonians. Èra fondada sus l'utilizacion d'una basa 10 per lei nombres pichons e d'una basa 60 per lei nombres pus grands. Aqueu sistèma es a l'origina de la nòstra mesura dau temps amb son ora devesida en 60 minutas. Per lei nombres pichons, son foncionament èra similar a la numeracion egipciana amb una representacion dei nombres per lo mejan d'una addicion ò, pus rarament, per d'una sostraccion de signes En revènge, per lei nombres pus importants, veniá en partida posicionala car certaneis elements avián una plaça reservada dins l'escritura d'un nombre. Lo zèro foguèt longtemps desconegut, mai una notacion apareguèt dins leis observacions astronomicas tardivas vèrs la fin dau sègle III avC. Lo sistèma mesopotamian permetiá de representar leis entiers e lei fraccions aguent una poissança de 60 coma denominator.

#### Lei sistèmas grèc e roman

[thumb|right|Divèrsei chifras escrichs amb lo sistèma de [numeracion romana|numeracion roman.]]

Lei matematicas grègas foguèron largament influenciadas per lei matematicas egipciana e babiloniana. Dins lo corrent de son istòria, lei Grècs utilizèron dos sistèmas diferents. Lo premier èra la numeracion attica qu'èra eissida dau sistèma ieroglific egipcian. Lo segond èra lo sistèma roman. Pasmens, lo premier aguèt una influéncia pus importanta car foguèt utilizat per mai d'un sabent important. Utilizava 27 letras per escriure lei nombres fins a . Un simbòl particular foguèt pus tard inventat per d'astronòms per representar un zèro. Per lei fraccions, lei Grècs foguèron incialament limitats ai fraccions conegudas per leis Egipcians. Pasmens, adoptèron pauc a cha pauc una notacion generala amb un numerator e un denominator per exprimir de rapòrts pus divèrs.

La numeracion romana èra basada sus un sistèma addicionau permetent de representar lei nombres 1, 5, 10, 50, 100, 500 e . Lei nombres escrichs avián un sens de lectura anant de la senèstra a la drecha. Èra possible de representar lei fraccions en utilizant una basa 12. Un sistèma d'abac permetiá de realizar rapidament d'operacions elementàrias. Aqueu sistèma es encara utilizat dins lo monde actuau per d'usatges particulars (notacion dei sègles, dei sobeirans, de l'annada de construccion d'un immòble, etc.).

#### Lo sistèma chinés

La numeracion chinesa es apareguda dins lo corrent dau millenari III avC. Constituïda de caractèrs chinés, es un sistèma de basa 10 qu'es fondat sus de principis posicionaus e addicionaus. Encara utilizada dins la China actuala, utiliza dos ensembles diferents de chifras : un jòc de chifras simplas (小写/小寫, « pichona escritura ») utilizat per lei notacions de la vida vidanta e un jòc pus sofisticat (大写/大寫, « granda escritura ») destinat ai notacions dins lei sectors bancaris e marchands.

### Lo desvolopament deis auxiliars de calcul

Leis auxiliars de calcul son un ensemble de procès, desvolopats per mai d'un pòble, destinats a facilitar lei calculs dins la vida vidanta. Van dei taulas d'operacions elementàrias ai taulas trigonometricas e logaritmicas. Amb lo calcul mentau e lo calcul digitau, aguèron una gròssa importància fins a l'aparicion dei mejans de calcul modèrnes. Lor istòria es ansin un pan major de l'istòria de l'aritmetica.

#### La numeracion decimala de posicion

La numeracion actuala, basada sus lei chifras araboindianas apareguèt en Índia dins lo corrent dau sègle VI. Descubèrt per leis Arabs, aqueu sistèma au sen dau monde musulman lòng dei rotas comercialas sota doas formas diferentas : lei chifras araboindianas occidentalas e lei chifras araboindianas orientalas. Arribant en Euròpa au sègle XII, lei premiers son a l'origina dei « chifras aràbias » utilizadas en Occident a l'ora d'ara. Pasmens, son usatge foguèt pas immediat, compres au sen de l'elèit sabent arabi, e foguèt esperar lo sègle XVI per veire la numeracion decimala de posicion araboindiana remplaçar lei sistèmas pus ancians eissits de la basa sexagesimala. Se fau nòtar que lei principis dei chifras indianas se difusèt tanben a l'èst ont inspirèt lo sistèma de notacion posicionala utilizat en China durant lo periòde Song.

#### Dei taulas logaritmicas ai maquinas de calcul

Amb lo desvolopament dei sciéncias, especialament aqueu de l'astronomia, de calculs pus complèxs apareguèron pus frequentament. Per lei resòuvre rapidament, mai d'un biais aproximatiu, divèrsei metòdes foguèron imaginats. Per exemple, a la fin dau sègle XVI e au començament dau sègle XVII, la prostaferèsi foguèt fòrça populara per calcular lei multiplicacions implicant de nombres compausats de plusors chifras. Èra fondada sus l'utilizacion de formulas coma, 2cos(*a*).cos(*b*) = cos (*a* + *b*) + cos (*a* – *b*), per remplaçar lei multiplicacions e lei divisions per d'addicion e de sostraccions. Foguèt la cèrca de tecnicas similaras que menèt a la descubèrta dei logaritmes per John Napier (1550-1617) en 1614.

L'invencion dei règlas de calcul per lo matematician anglés Edmund Gunter (1581-1626) foguèt una consequéncia d'aquelei trabalhs. Aquelei sistèmas permetián de realizar rapidament de calculs complèxes per lo mejan d'un mecanisme logic. Per exemple, en 1623, l'astronòm Wilhelm Schickard (1592-1635) concebèt un relòtge calculant. Pasmens, la maquina de calcular pus famosa es la Pascalina de Blasi Pascal (1623-1662). Producha a quauqueis exemplaris, èra capabla de realizar d'addicions e de sostraccions. Pascal assaièt de la comercializar mai poguèt jamai redurre son còst de fabricacion d'un biais significatiu.

30 ans pus tard, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) concebèt una maquina capabla de realizar de multiplicacions. En 1691, capitèt de'n fabricar un exemplari reau, mai lo mecanisme foguèt jamai comercializat. L'interès per lei maquinas de calcular destinadas au grand public demorèt important durant lo sègle XVIII amb plusors prototipes recensats, mai ges de modèls economicament interessants. Aquò cambièt amb l'Aritmomètre de Thomas de Colmar. Après un lòng trabalh de recèrca e d'engenhariá entre 1850 e 1915, poguèt brevetar una maquina capabla de realizar totei leis operacions elementàrias que foguèt venduda a  exemplaris entre 1850 e 1915. D'autrei modèls venguèron la concurrenciar a partir de la fin dau sègle XIX e lei maquinas de calcular conoguèron un desvolopament important fins a l'aparicion de l'informatica. Dispareguèron dins leis ans 1970 e foguèron remplaçadas per lei maquinas electronicas actualas.

### L'aritmetica teorica

#### Lo periòde ellenic

L'aritmetica teorica preellenica es mau coneguda car lei documents sus aqueu subjècte son rars. Pasmens, èra pas inexistenta coma o mòstra quauquei documents fenicians de la premier mitat dau millenari I avC. Lei Pitagoricians son generalament considerats coma lei premiers teoricians de l'aritmetica, mai sei trabalhs mesclavan filosofia, metafisica e matematicas. Pasmens, foguèt necessari d'esperar lei trabalhs d'estructuracion dei matematicians grècs pus tardius, en particular aquelei d'Euclides (vèrs 325-265 avC) e Diofant d'Alexàndria († sègle III apC ?), per impausar la demostracion de concèptes importants coma l'irracionalitat de √2. D'efiech, lei libres VII, VIII e IX deis *Elements* contènon una sintèsi dei conoissanças aritmeticas de l'epòca.

Lo libre VII desvolopava una teoria dei rapòrts racionaus fòrça rigorosa segon leis estandards dau periòde. Lei proprietats intuitivas de l'addicion i èran acceptadas (commutativitat, associativitat, etc.). Lo caractèr discrèt de l'ensemble ℕ dei nombres entiers naturaus i èra tanben exprimit per dos axiòmas principaus : l'unitat mesura tot nombre e tot ensemble d'entiers tèn un pus pichon element. Aquò li permetèt de prepausar un algoritme per calcular la pus granda mesura comuna de dos nombres. Fòrça important disn l'istòria de l'aritmetica, l'algoritme d'Euclides aguèt de desvolopaments importants car foguèt a l'origina de la teoria dei fraccions continuas durant lo sègle XVIII. Lo libre VIII s'interessava ai nombres entiers en progression geometrica, es a dire ai poissanças entieras dei fraccions. Pasmens, coma la nocion de nombre racionau i èra pas explicitada, Euclides poguèt unicament estudiar una partida de l'ensemble dei racionaus positius. Enfin, lo libre IX presentava de teorèmas importants coma aqueu de l'existéncia d'una infinitat de nombres premiers.

Diofant escriguèt una *Aritmetica* compausada de 13 libres que 6 son estats conservats. Son òbra aguèt una influéncia majora sus lei matematicians dei generacions seguentas, especialament François Viète (1540-1603), Claude-Gaspard Bachet (1581-1638) e Pèire de Fermat (1601-1665). Dins sei tèxtes, presentava lei solucions a de problemas en se basant sus lei proprietats especificas dei nombres entiers.

#### De Bachet a Lagrange

Se l'Edat Mejana veguèt de progrès majors en aritmetica practica amb la difusion de la numeracion decimala araboindiana, l'aritmetica teorica conoguèt pauc d'evolucions significativas avans lo sègle XVII. Bachet foguèt a l'origina d'un interès novèu per lo domeni amb sa traduccion de Diofant publicada en 1621. D'efiech, durant aqueu trabalh, establiguèt un important teorèma sus lei nombres premiers gràcias a l'algoritme d'Euclides. Quauqueis ans pus tard, Fermat legiguèt la traduccion de Diofant e descurbiguèt plusors resultats novèus. Lo pus conegut es son « Grand Teorèma », mai trobèt tanben d'autrei relacions importantas coma son eqüacion, sei nombres, seis estudis sus lei formas qüadraticas ò son trabalh sus lo metòde de descenda infinida.

Au sègle XVIII, Leonhard Euler (1707-1783) s'interessèt ai trabalhs de Fermat. Demostrèt son pichon teorèma en 1736 e o generalizèt en 1760 en definissent la foncion aritmetica indicatritz *φ*(*n*). Dona lo nombre deis entiers inferiors a *n* e premiers amb eu. De mai, Euler demostrèt que totei lei nombres de Fermat son pas premiers. Enfin, inicièt la demostracion dau teorèma de Bachet que foguèt finalament acabada per Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) en 1770. Euler la melhorèt tres ans pus tard e comencèt l'estudi dau Grand Teorèma. En parallèl, fondèt la teoria analitica dei nombres en introdusent la foncion *ζ* dins son *[[Introductio in analysin infinitorum]]* publicat en 1748. De son caire, Lagrange desvolopèt mai l'estudi dei formas qüadraticas e utilizèt l'algoritme dei fraccions continuas per demostrar divèrseis afiermacions de Fermat.

#### L'aritmetica dempuei lo sègle XIX

Durant lo sègle XIX, l'aritmetica venguèt una branca majora dei matematicas amb l'algèbra. La teoria dei fraccions continuas, la recèrca dei nombres premiers, lei formas qüadraticas e lo Grand Teorèma demorèron lei centres d'interès principaus deis aritmeticians, mai sei trabalhs venguèron pus rigorós e aguèron de consequéncias sus lo desvolopament generau dei matematicas. Adrien-Marie Legendre (1752-1833) foguèt una dei personalitats centralas de la premiera partida dau sègle XIX. Publiquèt en 1830 una *Teoria dei nombres* basada sus la teoria dei fraccions continuas. Avancèt de resultats importants coma la lèi de reciprocitat dei residüs qüadratics. L'autre matematician major dau periòde foguèt Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Actor centrau de l'introduccion de la rigor scientifica dins lei matematicas, estudièt lei congruéncias e establiguèt sièis demostracions diferentas per la lèi de reciprocitat dei residüs qüadratics. Lei congruéncias venguèron lo premier exemple conegut dei classas d'equivaléncia e tènon desenant un ròtle primordiau dins mai d'una branca dei matematicas.

Durant lo sègle XIX, lo Grand Teorèma de Fermat contunièt de preocupar leis aritmeticians. Lei metòdes avián permés de resòuvre quauquei cas, mai èran pas aplicablas a de situacions pus complicadas. Durant aqueu trabalh, Gauss aviá estudiat l'anèu dei nombres *a* + *bi* amb *a* e *b* dos entiers. Aquò suscitèt un certan interès per leis anèus e plusors matematicians prepausèron de demostracions basadas sus aqueleis estructuras. Pasmens, aquò entraïnèt l'aparicion de problemas implicant lei nombres premiers. Per contornejar aquela dificultat, Ernst Kummer (1810-1893) introduguèt la nocion de nombres ideaus dins lo corrent deis ans 1840 e, en 1847, capitèt de demostrar lo Grand Teorèma per totei lei nombres premiers regulars. En 1871, la teoria dei nombres ideaus foguèt transformada en la teoria deis ideaus per Richard Dedekind (1831-1916). Coma lei congruéncias quauquei decennis aperavans, venguèt un otís fòrça poderós amb d'aplicacions nombrosas. Finalament, lo Grand Teorèma foguèt demostrat en 1994 per Andrew Wiles.

En parallèl, leis aritmeticians s'interessèron a de problemas liats ai foncions. Per exemple, aquò foguèt lo cas de la question dau partiment dei nombres enonciat per Euler. Lei nombres contunièron tanben d'èsser un dei motors de la recèrca en aritmetica. Legendre estudièt de progressions dau tipe *ax* + *b* amb *a* e *b* premiers entre elei e Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) i demostrèt la preséncia d'una infinitat de nombres premiers. Pasmens, amb lo desvolopament dei proprietats coneguts dei nombres premiers, apareguèron de problemas novèus coma aqueu de la teoria dei substitucions.

## Concèptes principaus

### Lei nombres

Un nombre es un concèpte matematic que permet d'avalorar e de comparar de quantitats ò de rapòrts de grandors, mai tanben d'ordenar d'elements en indicant lor reng. Son generalament escrichs amb de chifras que varian segon lo sistèma de numeracion chausit. Lei nombres pòdon interagir entre elei per lo mejan d'operacions descrichas per de règlas de calcul.

#### Lei tipes diferents de nombres

[thumb|right|Representacion de la [topologia de la drecha reala|linha dei nombres onte son representats de nombres entiers (en negre), de nombres racionaus (en blau) e de nombres irracionaus (en verd).]]

En l'abséncia d'una deficion generala de la nocion de nombre, divèrsei tipes de nombres son estats introduchs dins lei matematicas. Lei pus simples son aquelei susceptibles d'èsser rescontrats dins la vida vidanta coma leis entiers naturaus, leis entiers relatius, leis entiers racionaus e, d'un biais generau, l'ensemble dei nombres reaus. Pasmens, d'autrei tipes de nombres existisson coma lei nombres complèxes, lei nombres p-adics ò lei nombres transfinits. Correspòndon pas a de grandors observablas dins la vida vidanta, mai son fòrça importants en sciéncia e en engenhariá.

#### Lei sistèmas de numeracion

[thumb|right|Taula d'equivaléncia entre lei [chifras araboindians e lei chifras de Kaktovik.]]

Un sistèma de numeracion es un ensemble de règlas que regisson una, ò de còps mai d'una, numeracion donada. Es a dire qu'es un ensemble de règlas d'utilizacion dei signes, dei mots ò de gèsts que permèton d'escriure, d'enonciar ò de mimar lei nombres. Quatre caracteristicas principalas permèron de descriure un tau sistèma :
* la basa designa la quantitat usuala utilizat per gropar d'ensembles d'elements en vista de simplificar lor manipulacion. Per exemple, dins lo sistèma indoarabi utilizat en Occitània, la basa es decimala. En revènge, dins lo sistèma de notacion dau temps utilizada dins la vida vidanta, la basa es sexagesimala.
* lo sistèma d'enonciacion designa lo biais de construrre lei nombres. Dins lo cas pus simple, lo nombre a una designacion pròpria coma es lo cas per *mila* en occitan. Pasmens, sovent, fau utilizar d'operacions coma l'addicion. Per exemple, totjorn en occitan, es lo cas de *dètz-e-sèt*. La lenga nòstra utiliza tanben la multiplicacion dins de nombres coma *tres mila*. Dins d'autrei lengas, d'autreis operacions pòdon s'utilizar coma la sostraccion en latin classic ò la division en breton. Enfin, certanei lengas an de sistèmas dichs auxiliars que son generalament basats sus l'utilizacion d'una basa segondària. Per exemple, es lo cas dau *quatre-vingt* francés.
* lo mima es utilizat per lei pòbles qu'utilizan de partidas dau còrs uman (sovent la man ò lei dets) per representar lei nombres. Per exemple, es lo cas dei Chepangs, un pòble de Nepal.
* lo sistèma de notacion es utilizat per lei pòbles aguent lo mestritge de l'escritura. Definís lei règlas regardant lei simbòls utilizats per representar lei nombres.

### Leis operacions

Leis operacions aritmeticas son de manieras de combinar, de transformar e de manipular lei nombres. Lei pus importantas son lei quatre operacions elementàrias (addicion, sostraccion, multiplicacion e division), mai d'autrei tipes d'operacions existisson coma lo logaritme.

#### L'addicion e la sostraccion

L'addicion es l'operacion que permet de combinar dos nombres per ne'n formar un solet que correspònd a la soma dei dos nombres addicionats. Son simbòl es lo signe « + ». La sostraccion es l'invèrs de l'addicion. Combina dos nombres per formar la diferéncia entre elei. Son simbòl es lo signe « - ». Dins lo sistèma araboindian, un exemple d'addicion es 2 + 2 = 4 e un exemple de sostraccion es 3 - 1 = 2. 

Dins leis ensembles de nombres usuaus, l'addicion es associativa e comutativa. Es a dire que l'òrdre dei tèrmes dins l'operacion ò l'òrdre deis operacions dins lei calculs demandant mai d'una etapa an pas d'influéncia sus lo resultat finau. Per exemple, lo resultat 2 + (3 + 4) ò de (3 + 2) + 4 demòra 9. L'addicion a tanben un element neutre qu'es notat « 0 ». En revènge, la sostraccion es antiassociativa e es pas comutativa. D'efiech, 6 - 3 e 3 - 6 an de resultats opausats. De mai, (6 - 3) - 1 e (3 - 1) - 6 an pas lo meteis resultat. Se fau tanben nòtar que la sostraccion parteja lo 0 de l'addicion coma element neutre unicament a drecha car 4 - 0 = 4, mai 0 - 4 = -4.

#### La multiplicacion e la division

La multiplicacion es l'operacion que permet de combinar dos nombres per ne'n formar un solet que correspònd au produch dei dos nombres multiplicats. Son simbòl tradicionau es « x », mai s'utilizan tanben « . » e « * ». La division es l'invèrs de la multiplicacion. Combina dos nombres per obtenir lor quocient (ò lor rapòrt). Sei simbòls principaus son « : », « ÷ » ò « / ». Dins lo sistèma araboindian, un exemple de multiplicacion es 2 x 3 = 6 e un exemple de division es 6 ÷ 3 = 2.

Dins leis ensembles de nombres usuaus, la multiplicacion es, coma l'addicion, associativa e comutativa. Ansin, 2 x 3 e 3 x 2 an lo meteis resultat. A un element neutre qu'es notat 1 e un element nul qu'es notat 0. En revènge, la division es ni associativa ni comutativa. Per exemple, 2 ÷ 3 e 3 ÷ 2 ò (12 ÷ 4) ÷ 3 e 12 ÷ (4 ÷ 3) an pas lei meteissei resultats.

#### L'exponenciala e lo logaritme

L'exponenciala es una operacion que consistís a montar un nombre, dich « basa », a la poissança d'un autre nombre, dich « exponent ». Pòu èsser representada per lo signe « ^ », mai es sovent simbolizada per l'escritura de l'esponent en aut a drecha de la basa. Per exemple, 2^3 es l'equivalent de 23. Lei racinas son un cas particular d'exponencionala onte l'exponent es una fraccion. Per exemple, la racina carrada es l'exponencionala d'exponent 1/2. L'operacion invèrsa es lo logaritme. Aquela operacion es notada « log » e sa basa es notada en indici en bas a drecha d'aqueu tèrme. Lo nombre transformat per l'operacion es generalament escrich entre parentèsis. Ansin, l'expressio log 2 (3) significa lo logaritme de basa 2 dau nombre 3. Ni l'exponenciala ni lo logaritime son d'operacions associativas ò comutativas.

### Leis ensembles aritmetics elementaris

Leis ensembles aritmetics elementaris recampan lei nombres usuaus, es a dire lei nombres utilizables dins la vida vidanta. Lo premier es l'ensemble dei nombres entiers naturaus non nuls (1 ; 2 ; 3 ; 4...). Es notat \N^{*}, ò \N quand lo nombre 0 i es integrat. En considerant lei nombres negatius, es possible de bastir l'ensemble dei nombres relatius (-2 ; -1 ; 0 ; 1...). Es generalament notat \Z. Puei, a partir de la division, es possible de definir de nombres que son lo quocient *a*/*b* de dos nombres *a* e *b*. Dichs nombres racionaus, pòdon aver una infinitat de chifras après la virgula, mai lo nombre a au mens un desvolopament decimau periodic. Per exemple, es lo cas de 4/3. La notacion tradicionala de l'ensemble dei racionaus es \Q. Enfin, l'ensemble dei nombres reaus \R es constituït per l'ensemble dei nombres racionaus e dei nombres irracionaus. Leis irracionaus son lei nombres qu'an una infinitat de chifras après la virgula, mai pas de desvolopaments decimaus regulars. Lei pus coneguts son π, √2 e *[[E (nombre)|e]]*.

## Annèxas

### Liames intèrnes

* Addicion.
* Chifra.
* Division.
* Element neutre.
* Element nul.
* Matematicas.
* Multiplicacion.
* Nombre.
* Operacion (matematicas).
* Racina d'un nombre.
* Sistèma de numeracion.
* Sostraccion.


### Bibliografia

**Istòria generala de l'aritmetica e dei matematicas :**
* **[[francés|(fr)]]** Florian Cajori, *A History of Mathematical Notations*, Open Court Publication, 1928.
* **[[anglés|(en)]]** Stephen Chrisomalis, *Numerical Notation: A Comparative History*, Cambridge University Press, 2010
* **[[francés|(fr)]]** Geneviève Guitel, *Histoire comparée des numérations écrites*, Flammarion, 1975, 851 p.
* **[[francés|(fr)]]** Georges Ifrah, *Histoire universelle des chiffres*, París, Seghers, 1981, 567 p.
* **[[anglés|(en)]]** Otto E. Neugebauer, *The Exact Sciences in Antiquity*, Nòva York, Dover Publications, 1969.
* **[[anglés|(en)]]** David Eugene Smith e Louis Charles Karpinski, *The Hindu–Arabic Numerals*, Boston, Ginn, 1911

**Istòria dei matematicas egipcianas e mesopotamianas :**
* **[[francés|(fr)]]** Donald E. Knuth, « Algorithmes babyloniens anciens », dins *Éléments pour une histoire de l'informatique*, CLSI Publications (Stanford) e Société mathématique de France, 2011.
* **[[francés|(fr)]]** Marianne Michel, *Les mathématiques de l'Égypte ancienne. Numération, métrologie, arithmétique, géométrie et autres problèmes*, Brussèlas, Safran, 2023, 604 p.
* **[[francés|(fr)]]** Christine Proust, « Quantifier et calculer : usages des nombres à Nippur », *Revue d'histoire des mathématiques*, vol. 14, n° 14-2,‎ 2008, pp. 143-209.
* **[[francés|(fr)]]** Christine Proust, « La multiplication babylonienne : la part non écrite du calcul », *Revue d'histoire des mathématiques*, vol. 6,‎ 2000, pp. 293-303.
* **[[francés|(fr)]]** Christine Proust, « Numération centésimale de position à Mari », *Florilegium Marianum*, vol. VI,‎ 2002, pp. 513-516.

**Istòria dei maquinas de calcular :**
* **[[anglés|(en)]]** Georges Ifrah, *The universal history of computing : From the Abacus to the Quantum Computer*, Nòva York, John Wiley & sons, 2001, 416 p.
* **[[francés|(fr)]]** Robert Ligonnière, *Préhistoire et histoire des ordinateurs : des origines du calcul aux premiers calculateurs électroniques*, París, Robert Laffont, 1987, 356 p.
* **[[francés|(fr)]]** Jean Marguin, *Histoire des instruments et machines à calculer : trois siècles de mécanique pensante, 1642-1942*, Hermann, 1994, 206 p.
* **[[francés|(fr)]]** René Taton, *Le calcul mécanique. Que sais-je ? n° 367*, Presses universitaires de France, 1963.

### Nòtas e référencias