Superfícia (matematicas)

En matematicas, e pus particularament en topologia, una **superfícia** (o *superficia*) es una varietat de dimension 2, o varietat bidimensionala. Lo concèpte matematic de  es una abstraccion de formas geometricas familiaras de l'espaci, coma lo bòrd de còrs solides. Lo caractèr bidimensionau significa que se pòt localizar cada ponch d'una superfícia per mejan de dos nombres reaus, que son sei coordenadas (dichas ) sus la superfícia. Per exemple, cada ponch d'una esfèra (lo bòrd d'una bola plena) se pòt localizar per sa latitud e sa longitud.

Una superfícia pòt èsser plana o non (çò es corba), boinada o non, sarrada o non, orientabla o non...

**Remarca**: la mesura d'una superfícia es son aira, e fau ben destriar lei doas nocions. Mai lo tèrme de *superfícia* se pòt emplegar coma sinonim d**aira'', e per exemple se parlarà indiferentament d' ''unitat d'aira'' o d' ''unitat de superfícia''. Lo [[castelhan]], lo [[catalan]] e l'[[italian]] an d'usatges analògs.

== Superfícia dins l'espaci euclidian de dimension 3 ==
[[Fichièr:Ripple Surface.png|right|400px]]
=== Definicions ===
I a tres biais usuaus de definir una ''superfícia'' dins un [[espaci euclidian]] de dimension 3 (provesit d'un sistèma de coordenadas cartesianas). Es possible de passar d'un a un autre, aumens dins cèrtei condicions. Segon lo cas, se ditz que la definicion es donada sota forma ''parametrica'', ''explicita'', o ''implicita''.

<ul>
<li> **Forma parametrica** - la superfícia se definís coma l'[[imatge (matematica)|imatge]] d'una [[foncion continua]] e [[foncion injectiva|injectiva]] de doas variablas realas dins l'[[espaci euclidian]] tridimensionau <math>\psi = (\psi_1, \psi_2, \psi_3): U \to \R^3</math>, onte ''U'' es una partida dubèrta dau plan <math>\R^2</math>.

Lei coordenadas cartesianas dei ponchs de la superfícia son donadas per leis ''eqüacions parametricas'':
:<math>x=\psi_1(u,v)</math>
:<math>y=\psi_2(u,v)</math>
:<math>z=\psi_3(u,v)</math>
onte lo ponch (''u, v'') percorre l'ensemble dubèrt ''U''. Se pòt considerar lei dos paramètres ''u, v'' coma lei coordenadas dau ponch ''M'' = (''x, y, z'') sus la superfícia.

<li>**Forma explicita** - la superfícia se definís coma [[grafic d'una foncion]] reala de doas variablas realas: estent una foncion continua <math>f: U \to \R</math> (onte ''U'' es una partida dubèrta de <math>\R^2</math>), la superfícia es l'ensemble dei ponchs (''x, y, f''(''x, y'')). Sovent se ditz simplament que la superfícia a per eqüacion:
:<math>z=f(x, y)\,</math>

<li> **Forma implicita** - la superfícia se definís coma l'ensemble dei ponchs que sei [[coordenadas cartesianas|coordenadas]] (''x, y, z'') verifican una ''eqüacion cartesiana'':

:<math>F(x,y,z)=0\,</math>
onte <math>F: V \to \R</math> es una [[foncion diferenciabla]] subre una partida dubèrta ''V'' de <math>\R^3\,</math>, amb un [[gradient]] jamai nul.

</ul>

=== Relacions entre lei definicions precedentas ===
La forma explicita de la definicion d'una superfícia es un cas particular de la forma parametrica; basta d'escriure:
:<math>x=u\,</math>

:<math>y=v\,</math>
:<math>z=f\,(u,v)</math>

La forma explicita de la definicion d'una superfícia tanben es un cas particular de la forma implicita; basta de definir:
:<math>F: U \times \R \to \R,\, (x,y,z) \mapsto F(x, y, z)=z-f(x, y)\,</math>. 

Mai en generau, se pòt pas passar de la forma parametrica o de la forma implicita de la definicion a una forma explicita, qu'una superfícia definida parametricament o implicitament es pas necessariament lo grafic d'una foncion de doas variablas. Autrament dich, la classa dei superfícias que se pòt definir explicitament es pus restrencha que lei doas autras.

Sota cèrtei condicions, una superfícia definida implicitament admet localament una definicion explicita; es un corollari dau
[[teorèma de la foncion implicita]].

== Superfícia abstracha ==
=== Definicion ===
[[Fichièr:Klein bottle.svg|thumb|right|La [[botelha de Klein]] es una superfícia que se pòt pas immergir dins <math>\R^3 </math>.]]
Una generalizacion independenta de l'espaci ambient (<math>\R^3</math> dins lei cas vists ''supra'') consistís a definir una **superfícia*' coma una [[varietat topologica]] de dimension 2. Lei definicions dau paragraf precedent balhan d'exemples de [[varietat immergida|superfícias immergidas]] dins l'espaci euclidian de dimension 3. Existisson de superfícias abstrachas que se pòdon pas immergir dins <math>\R^3 </math>, coma la botelha de Klein (que pasmens se pòt immergir dins <math>\R^4 </math>).

Es sovent preferible de definir una superfícia coma [[varietat diferenciabla]] puslèu que topologica.

=== Orientabilitat ===
[[Fichièr:Möbius strip.jpg|thumb|left| La [[benda de Möbius]] a una soleta fàcia.]]
Una superfícia es [[orientabilitat|orientabla]] s'a doas , non orientabla se n'a ren qu'una. L'esfèra es orientabla: se pòt destriar una fàcia intèrna e una fàcia extèrna. Un exemple celèbre de superfícia non orientabla es la [[benda de Möbius]].

== Superfícias remarcablas ==
* l'[[esfèra]]
* lo [[cilindre (geometria)|cilindre]]
* lo [[tòr (geometria)|tòr]]
* la [[benda de Möbius]]
* la [[botelha de Klein]]
* lo [[plan projectiu]]

== Nòtas ==
<references/>

== Vejatz tanben ==
* [[Aira]]
* [[Varietat (geometria)]]
* [[Classificacion dei superfícias]]

== Liames extèrnes ==
*  [http://www.mathcurve.com/surfaces/surfaces.shtml Exemples de superfícias] per *Mathcurve*, *Encyclopédie des formes mathématiques remarquables''