Estructura algebrica

En matematicas, e pus particularament en algèbra, una **estructura algebrica** pura es constituida d’un ensemble (dich *sosjacent*) provesit d'una lèi de composicion (intèrna o extèrna) o de mai d'una, regida(s) per d'axiòmas. Una estructura algebrica mixta i aponde un òrdre o una topologia amb d'axiòmas de compatibilitat.

## Estructuras algebricas puras

### Estructuras de basa

Compòrtan que de lèis de composicion intèrna. Lei pus importantas son leis estructuras de grop, d’anèu e de còrs.

#### Estructuras amb una lèi intèrna unica

* **[[magma (matematicas)|magma]]** : ensemble provesit d'una soleta lèi de composicion intèrna.

* **[[monoïde]]** : *magma* associatiu amb un element neutre.

* **[[Grop (matematicas)|grop]]** : *monoïde* onte tot element es simetrizable.

* **[[grop commutatiu]]** : *grop* que sa lèi es commutativa

#### Estructuras amb doas lèis intèrnas

* **[[Anneau (matematicas)|anèu]]** : ensemble provesit d’una estructura de *grop* additiu (d'element neutre notat "0") e d’una estructura de *monoïde* multiplicatiu (d'element neutre notat "1"), onte la multiplicacion es distributiva a respècte de l’addicion.

* **[[anèu intègre]]**: anèu e sensa divisor de zèro, valent a dire que tot produch d'elements non nuls de l'anèu es non nul.
 
* **[[anèu commutatiu]]** : *anèu* que sa multiplicacion es commutativa.

* **[[còrs (matematicas)|còrs]]** : *anèu* onte tot element non nul es invertible (a respècte de la multiplicacion). Un còrs pòt èsser commutatiu (valent a dire que sa multiplicacion es commutativa) o non.

### Estructuras amb aumens una lèi extèrna

#### Estructuras amb una lèi intèrna e una lèi extèrna

* **[[modul sus un anèu|modul]]** : grop additiu provesit d'una lèi de composicion extèrna : se definís lo produch d'un element de l'anèu e d'un element dau modul, somés en d'axiòmas de compatibilitat amb l'estructura de grop.

* **[[espaci vectoriau]]** (sus un còrs commutatiu) : *modul* sus un *còrs commutatiu*.

#### Algèbras : estructuras amb doas lèis intèrnas e una lèi extèrna

* **[[algèbra sus un anèu]]** : ensemble provesit au còp d'una estructura de modul sus un anèu e d'una estructura d'anèu (compatibla amb la precedenta ; la multiplicacion intèrna i es associativa)

* **[[algèbra sus un còrs commutatiu]]**, sovent sonada simplament *algèbra*.

* algèbra commutativa : algèbra que sa multiplicacion intèrna es commutativa.

## Estructuras algebricas ordenadas

* reticul : ensemble provesit d'una relacion d'òrdre parciau, onte tot pareu d'elements a una boina superiora e una boina inferiora. Se pòt definir d'un biais equivalent coma un ensemble provesit de doas lèis de composicion intèrna notadas "\vee" e "\wedge" satisfasent cèrts axiòmas (commutativitat, associativitat, idempoténcia, lèi d’absorpcion) ; per tot pareu (*x*, *y*) d'elements, x \vee y e x \wedge y s'interprètan respectivament coma la boina superiora e la boina inferiora dau pareu.

* algèbra de Boole : *reticul* boinat, distributiu e complementat.

## Estructuras algebricas topologicas

* Una estructura algebrica e una estructura topologica pòdon coexistir :
:* **[[grop topologic]]** : *grop* provesit d'una *topologia* tala que leis operacions (lèi intèrna e passatge au simetric) sián continuas.
:* **[[espaci vectoriau topologic]]**: un autre cas important.
:* **[[espaci vectoriau normat]]** : *espaci vectoriau* provesit d'una **[[nòrma (matematicas)|nòrma]]**, indicant la « longor » d’un vector. Un *espaci normat* es un cas particular d**espaci metric'', car se pòt definir una distància a partir de la nòrma.
:* **espaci de Banach** : ''espaci vectoriau normat'' [[complet]].
:* **espaci prehilbertian**, o **prehilbertian** : ''espaci vectoriau'' reau o complèxe provesit d'un [[produch escalar]]. Se i pòt definir una nòrma, dicha ''euclidiana'' dins lo cas d'un prehilbertian reau, e ''hermitiana'' dins lo cas d'un prehilbertian complèxe. Quauquei cas importants : 
::* **espaci euclidian** : ''prehilbertian reau'' de dimension finida. Provesit de son estructura afina, es lo quadre modèrne de la geometria classica d’[[Euclides]].
::* **espaci hermitian** : ''prehilbertian complèxe'' de dimension finida.
::* **espaci de Hilbert*' : *prehilbertian'' complet (de dimension finida o infinida). Es un cas particular d'espaci de Banach. L'espaci de Hilbert es essenciau en fisica qüantica.

La lista precedenta es pas exaustiva...