Relacion binària

En matematicas, una **relacion binària** dins un ensemble *E* (que supausarem non vuege) es una proprietat relativa ai pareus d'elements de *E*, tala que per cada pareu, se pòt respòndre (de òc, o de non) a la question : "la proprietat es verificada per lo pareu considerat ?"
 
Per exemple, la relacion binària "èsser inferior o egau a" dins l'ensemble \mathbb R dei nombres reaus es la proprietat verificada per lei pareus (*x*, *y*) de reaus taus que x \leq y , coma (\sqrt{3},\, 2) , mai pas (3 ;\, -0,25) .
 
En teoria deis ensembles, **s'identifica** una relacion binària dins un ensemble *E* amb l'ensemble dei pareus d'elements de *E* que verifican la relacion (valent a dire la proprietat) : es un sosensemble dau carrat cartesian E \times E = E^2 . Per exemple, s'identifica la relacion binària precedenta dins \mathbb R amb lo sosensemble \mathcal{R} de \mathbb R^2 ansin definit :
: \mathcal{R} = \{ (x,\, y) \in  \mathbb R^2 \mid x \leq y\;\}

## Definicions e notacions
Formalament, una **relacion binària** dins un ensemble *E* es un sosensemble \mathcal{R} dau carrat cartesian E \times E = E^2 . Se ditz qu'un pareu (*x*, *y*) d'elements de *E* verifica la relacion \mathcal{R} se (x,\, y) \in \mathcal{R} .
 
Lo pus sovent, s'utiliza una notacion infixada e s'escriu : x \mathcal{R} y en plaça de : (x,\, y) \in \mathcal{R} .
 
### Exemples
* Dins un ensemble *E*, l**'egalitat** es la relacion binària definida per l'ensemble \Delta = \{ (x,\, x) \mid x \in E\;\} (la *diagonala* de \ E^2 ).

* Dins l'ensemble \mathbb Z , **aver la meteissa paritat** es una relacion binària ; per exemple −2 a la meteissa paritat que 6 (son pars totei dos), e 7 a la meteissa paritat que 23 (son impars totei dos) ; en convenent d'escriure aicí : a \equiv b quand l'entier *a* a la meteissa paritat que l'entier *b*, se pòt afiermar que -2 \equiv 6 e que 7 \equiv 23 .

* Dins l'ensemble \mathcal{E} = \mathcal{P}(\Omega) dei partidas d'un ensemble \ \Omega , l**'inclusion** es una relacion binària : estent un pareu (*A*, *B*) de partidas (o sosensembles) de \ \Omega , se *A* es inclusa dins *B*, s'escriu : A \subset B .

* Dins l'ensemble \mathbb{R} dei reaus, se definís :
** doas relacions binàrias dichas *inegalitats largas* (\leq, \geq ) e
** doas relacions binàrias dichas *inegalitats estrictas*  ().

* Dins l'ensemble \mathbb{N} deis entiers naturaus, la **divisibilitat** es una relacion binària. Estent un pareu (*a*, *b*) d'entiers naturaus, se ditz que *a* dividís *b*, o que *a* es un divisor de *b* (o encara que *b* es un multiple de *a*) s'existís un entier naturau *q* tau que *b* = *a* *q* (lo produch de *a* e *q*) ; en aqueu cas, s'escriu : a \mid b ; ansin : 3 \mid 15 .

## Classificacion
Citam aicí quauquei proprietats frequentas, e importantas, dei relacions binàrias : la reflexivitat, la simetria, l'antisimetria e la transitivitat.
 
Siá  \mathcal{R} una relacion binària dins un ensemble *E*;
### Reflexivitat
Se ditz que \mathcal{R} es **reflexiva** se per tot element *x* de *E* :
:x \mathcal{R} x

### Simetria
Se ditz que \mathcal{R} es **simetrica** se per tot pareu (*x*, *y*) d'elements de *E* :
: (x \mathcal{R} y) \Rightarrow (y \mathcal{R} x)

### Antisimetria
Se ditz que \mathcal{R} es **antisimetrica** se per tot pareu (*x*, *y*) d'elements de *E* :
: (x \mathcal{R} y) \wedge (y \mathcal{R} x) \Rightarrow (x = y)

### Transitivitat
* Se ditz que \mathcal{R} es **transitiva** se per tot triplet (*x*, *y*, *z*) d'elements de *E* :
: (x \mathcal{R} y) \wedge (y \mathcal{R} z) \Rightarrow (x \mathcal{R} z)
 
#### Exemples
* Dins un ensemble *E*, l'egalitat es una relacion binària reflexiva, simetrica e transitiva :
** se *x* es un element de *E*, alora *x* = *x* (reflexivitat)
** se *x*, *y* son d'elements de *E* taus que *x* = *y*, alora *y* = *x* (simetria)
** se *x*, *y*, *z* son d'elements de *E* taus que *x* = *y* e *y* = *z*, alora *x* = *z* (transitivitat)
* Dins l'ensemble \mathbb{Z} deis entiers, "aver la meteissa paritat" es una relacion binària reflexiva, simetrica e transitiva :
** se *x* es un entier, alora x \equiv x (reflexivitat)
** se *x*, *y* son d'entiers taus que x \equiv y, alora y \equiv x (simetria)
** se *x*, *y*, *z* son d'entiers taus que x \equiv y e y \equiv z, alora x \equiv z (transitivitat)
* Dins l'ensemble \mathcal{E} = \mathcal{P}(\Omega) , l'inclusion es una relacion binària reflexiva, antisimetrica e transitiva :
** se *A* es una partida de \ \Omega, alora A\subset A (reflexivitat)
** se *A*, *B* son de partidas de \ \Omega talei que A \subset B e B \subset A, alora *A* = *B* (antisimetria)
** se *A*, *B*, *C* son de partidas de \ \Omega talei que A \subset B e B \subset C, alora A \subset C (transitivitat)
* Dins l'ensemble \mathbb{R} dei reaus :
** caduna dei doas relacions d'inegalitat larga es reflexiva, antisimetrica e transitiva
** caduna dei doas relacions d'inegalitat estricta es transitiva
* Dins l'ensemble \mathbb{N} deis entiers naturaus, la relacion de divisibilitat es reflexiva, antisimetrica e transitiva

## Vejatz tanben
*Pareu
*Produch cartesian
*Relacion d'equivaléncia
*Relacion d'òrdre