Lorentz-oscillator

**Lorentz-oscillatoren** er en klassisk modell for et atom med elektriske ladninger som er bundet fast med harmoniske krefter. Den kan gi en kvalitativ forklaring av mange elektromagnetiske egenskaper til forskjellige materialer, spesielt optisk dispersjon. Selv om modellen ble laget mange år før kvantemekanikken ble etablert, gir den likevel resultat som har mange likhetspunkter med hva som følger av denne mer moderne teorien. 
 
Denne modellbeskrivelsen av et atom ble utviklet over flere år på slutten av 1800-tallet for å skaffe en forståelse av hvordan elektromagnetiske felt vekselvirker med materie. Elektronet var ennå ikke oppdaget, og man hadde lite eller ingen kunnskap om atomenes oppbygning. Utledningen av Sellmeiers dispersjonsformel var basert på antagelsen at ladninger i dielektriske materialer var bundet av harmoniske krefter. Denne beskrivelsen ble forbedret av Helmholtz. Omtrent samtidig utviklet Paul Drude en lignende modell hvor bevegelsen til frie ladninger kunne forklare metallers elektriske ledningsevne. 

Modellen fikk et  gjennombrudd  i 1896 da  Hendrik Lorentz brukte den til å forklare Zeeman-effekten som akkurat da var oppdaget. I sine forelesninger ved Columbia University i 1906 presenterte han modellen i sin endelige form. I årene før hadde også Drude gjort lignende betraktninger. De var sammenfattet i hans lærebok i optikk som kom ut allerede i 1900. Derfor bærer Lorentz-oscillatoren også ofte Drudes navn.

## Matematisk beskrivelse

På slutten av 1800-tallet tenkte man seg materien bestående av små bestanddeler som ble kalt molekyler. Man antok at de kunne bestå av mindre deler som inneholdt elektrisk ladning. De kunne bevege seg i et elektrisk felt og ble omtalt som ioner. På denne måten hadde man en forståelse av elektrisk strøm . Betegnelsen atom ble brukt for udelelige bestanddeler som molekyler og ioner var bygget opp av. Nå i dag er det kjent at de elektriske ladningene som inngår i modellen, er elektroner etter at de ble oppdaget i 1897.

Lorentz-oscillatoren består av et elektron med ladning *e* og masse *m* som er bundet til sentrum av atomet med en attraktiv kraft som er proporsjonal med posisjonen **r** til elektronet. Den kan derfor skrives som  hvor *k* er den elastiske konstanten. Kraften virker derfor som en fjær og vil gi elektronet harmoniske svingninger hvis det ikke var påvirket av andre krefter.

Da elektromagnetisk stråling kan absorberes av materialet, betyr det at bevegelsen til elektronet vil bremses av en kraft som som er proporsjonal med dets hastighet **v** = *d*&thinsp;**r**/*dt*. Dette var foreslått av  Helmholtz og benyttet i Drude-modellen for metallers ledningsevne. Skriver man denne friksjonskraft som , blir elektronets bevegelsesligning

:  m{d^2\mathbf{r}\over dt^2} + f{d\mathbf{r}\over dt} + k\mathbf{r} = e\mathbf{E}(t) 

hvor **E**(*t*) er det elektriske feltet som virker på elektronet. Dette kan skyldes et ytre felt eller elektromagnetisk stråling som materialet er utsatt for.

### Stasjonære oscillasjoner

Bevegelsesligningen beskriver en dempet, harmonisk oscillator som er drevet av en ytre, elektrisk kraft . Generelt vil den forårsake en meget komplisert bevegelse, men i det spesielle tilfellet at det elektriske feltet varierer periodisk med tiden med en fast vinkelfrekvens , kan den stasjonære løsningen lett finnes. Feltet kan nå skrives på kompleks form  som den reelle delen av . Oscillatorens utslag vil da også variere periodisk med samme frekvens. Man kan da skrive det som den reelle delen av  hvor nå

:  \mathbf{r}(\omega) = {e\over m} {\mathbf{E}_0\over \omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega} 

etter å ha innført  størrelsene *&omega;*02 = *k*/*m* og *&gamma;* = *f*&thinsp;/*m*. Vinkelfrekvensen *&omega;*0 er den naturlige frekvens til oscillatoren når den ikke er dempet.

Forskyvningen **r** av elektronet i atomet gir det et elektrisk dipolmoment **p** = *e*&thinsp;**r**. Det kan skrives som  hvor den frekvensavhengige polarisasjonen

:  \alpha_e(\omega) = {e^2\over \varepsilon_0 m} {1\over \omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega} 

Denne funksjonen er det viktigste resultatet fra modellen og har mange anvendelser avhengig av hva slags materiale atomet er en bestanddel av.

## Materialoptikk

Den fysiske betydningen av den atomære polarisasjonen **p** kan finnes først når man vet hvordan materialet er bygget opp. Fra den frekvensavhengige funksjonen *&alpha;<sub>e</sub>*(*&omega;*) kan man da beregne dets elektriske susceptibiletet *&chi;<sub>e</sub>*(*&omega;*). Den relative permittiviteten 

:   \varepsilon_r(\omega) = 1 + \chi_e(\omega)   

vil generelt være kompleks og kan skrives på formen *&epsilon;<sub>r</sub>* = *&epsilon;*1 + *i&epsilon;*2&thinsp;. Derfor vil materialets  brytningsindeks også bli kompleks og kan skrives som

:  n(\omega) = \sqrt{ \varepsilon_r(\omega)} = n_1(\omega) + in_2(\omega)  

hvor

:  \varepsilon_1 = n_1^2 - n_2^2 \;\; \text{og} \;\; \varepsilon_2 = 2n_1n_2 .

Her kan den imaginære delen *n*2&thinsp; føres tilbake til dempningen *&gamma;&thinsp;* i Lorentz-oscillatoren. Det er den som forårsaker at lys og annen  elektromagnetisk stråling vil absorberes av materialet.

### Metaller

Et metall er karakterisert ved at det leder elektrisk strøm og varme godt. Dette skyldes at elektroner som ikke er bundet til bestemte atomer, men kan bevege seg fritt omkring i materialet. Da ingen elastisk kraft holder dem på plass, vil frekvensen *&omega;*0 = 0. Hvis hver volumenhet av metallet inneholder *N* elektroner, vil susceptibiliteten bli *&chi;<sub>e</sub>*(*&omega;*) = *N*&thinsp;*&alpha;<sub>e</sub>*(*&omega;*). Modellen resulterer derfor i en relativ permittivitet som det er hensiktsmessig å skrive som

:  \varepsilon_r(\omega) = 1 -  {\omega_p^2 \over \omega^2 + i\gamma\omega} 

hvor

:  \omega_p^2 = {Ne^2\over \varepsilon_0 m} 

er kvadratet av «plasmafrekvensen» til metallet. For frekvenser i intervallet *&gamma;* p* vil brytningsindeksen til metallet være tilnærmet gitt ved

: <math> n^2(\omega) = 1 -  {\omega_p^2 \over \omega^2} </math>

Da høyresiden her vil være negative, vil brytningsindeksen bli rent imaginær og metallet [[refleksjon (fysikk)|reflekterer]] all stråling. Det er derfor metallet virker glinsende.

For frekvenser mye høyere enn plasmafrekvensen, vil den relative permittiviteten nærme seg verdien , og strålingen går gjennom metallet som om det skulle vært [[vakuum]]. I virkeligheten ville det komme inn et ekstra bidrag fra resten av metallet som inneholder de stasjonære, positive ionene.

Fra [[Maxwells ligninger]] kan den [[Permittivitet#Dielektrisk ledningsevne|relative permittiviteten]] uttrykkes ved en frekvensavhengig, [[elektrisk ledningsevne]] *&sigma;*(*&omega;*) som 

: <math> \varepsilon_r(\omega) = \varepsilon_\infty + {i\sigma(\omega)\over\varepsilon_0\omega} </math>

Benyttes her resultatet 

: <math> \sigma(\omega) = {\sigma \over 1 - i\omega\tau} </math>

fra [[Drude-modell]]en for frie elektroner i et metall, kommer man frem til samme resultat for den relative permittiviteten som Lorentz-oscillatoren gir.  Da må  kollisjonstiden *&tau;* = 1/*&gamma;* og  = *Ne*<sup>2</sup>*&tau;*/*m&thinsp;* være den statiske ledningsevnen.

===Tynne dielektrika===

Når atomene i et [[dielektrisk materiale]] befinner seg langt fra hverandre, kan man se bort fra det elektriske feltet som skyldes naboatomer. Dette gjelder for gasser under normale forhold. Feltet som virker på hvert atom kan da settes likt med det ytre feltet.  Den relative permittiviteten til gassen er da *&epsilon;r* = . Når det siste leddet her antas å være lite, vil ikke brytningsindeksen forandres mye fra verdien  som den har i vakuum. Ved å benytte at , finner man derfor med god tilnærmelse
brytningsindeksen

: <math> n(\omega) = 1 + {Ne^2\over 2\varepsilon_0 m} {1\over \omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega} </math>

Den reelle delen blir

: <math> n_1(\omega) = 1 + {Ne^2\over 2\varepsilon_0 m} {\omega_0^2 - \omega^2\over (\omega_0^2 - \omega^2)^2 +\gamma^2\omega^2} </math>,

som er jevnt økende med frekvensen. Dette fenomenet kalles *normal* [[dispersjon]] og er typisk for gasser i visse frekvensintervall. Samtidig vil den 
imaginære delen 

: <math> n_2(\omega) = {Ne^2\over 2\varepsilon_0 m} {\gamma\omega\over (\omega_0^2 - \omega^2)^2 +\gamma^2\omega^2} </math>,

også øke til et maksimum der frekvensen til den påtrykte strålingen . Dette er typisk for en [[Harmonisk oscillator#Dempet oscillator|dempet oscillator]] ved  [[resonans]]. For økende frekvenser blir den reelle delen  som kalles *anomal* dispersjon.

Denne modellen beskriver de optiske egenskapene til en gass kvalitativt ganske godt for frekvenser i nærheten av et absorbsjonsmaksimum. Men reelle atomer vil oppvise mange frekvenser hvor stråling absorberes spesielt sterkt, noe som tilsvarer at et bundet elektron kan gå over i mange andre kvantetilstander. Denne effekten kan til en viss grad inkluderes i den klassiske beskrivelsen ved å la permittiviteten få bidrag fra flere Lorentz-oscillatorer med forskjellige verdier for bindingsfrekvensen *&omega;*<sub>0</sub> og tettheten *N*. Denne erstattes da med en «oscillatorstyrke» som må bestemmes ut fra målinger.

[[Richard Feynman]] har vist hvordan man kan komme frem til samme resultat for brytningsindeksen i en gass i en mer realistisk beskrivelse enn den enkle Lorentz-oscillatoren. Den innkommende strålingen gir elektronene i et atom en bevegelse som får dem til å utseende ny stråling i alle retninger med lyshastigheten *c*. Ved  [[interferens]] med den innkommende bølgen vil denne dermed få en litt annen fasehastighet *c*/*n* som akkurat gir brytningsindeksen til mediet. Denne forklaringen kan også føres tilbake til Lorentz.

===Tette dielektrika===

I et dielektrisk materiale hvor atomene ligger meget tett, vil deres polarisasjon  *'P** = ''N''&thinsp;**p*' gi opphav til et elektrisk felt som vil påvirke andre atom. Dette kommer i tillegg til det ytre feltet og gir en ny sammenheng mellom den atomære polarisasjonen *&alpha;e*(*&omega;*) og brytningsindeksen *n*(*&omega;*). Disse to størrelsene er nå forbundet ved [[Dielektrisk materiale#Molekylær polarisasjon|Clausius-Mossottis relasjon]] som gir

: <math> 3{n^2 - 1\over n^2 + 2} = N\alpha_e  = {Ne^2\over \varepsilon_0 m} {1\over \omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega}</math>

Denne relasjonen bærer også navnet til Lorentz og [[Ludvig Lorenz]]. Resultatet er et mer komplisert uttrykk for materialets dispersjon og kan tilpasses forskjellige observasjoner.

==Referanser==
<references />

==Eksterne lenker==

* J. Colton, [https://physics.byu.edu/faculty/colton/docs/phy581-fall20/lecture-39-lorentz-oscillator-model-of-the-dielectric-function.pdf *Lorentz Oscillator Model of the Dielectric Function*], forelesning ved [[Brigham Young University]] (2020)
* Youtube, [https://www.youtube.com/watch?v=PYRIpT-zNYI *Lorentz Oscillator Model''], EMPossible.