Apollonios’ problem

I euklidsk plan-geometri er **Apollonios’ problem** oppgaven å konstruere sirkler som er tangentielle til tre gitte sirkler i planet (figur&nbsp;1). Problemet ble formulert og løst av Apollonios fra Perga (ca. 262–190 f.Kr.) i hans verk  (**', «Berøringer»). Selve verket er gått tapt, men en redegjørelse for resultatene er bevart i en fremstilling fra 300-tallet e.Kr. av [[Pappos fra Alexandria]].

For tre generelt plasserte sirkler finnes det i alt åtte forskjellige sirkler som er tangentielle til dem (figur&nbsp;2). Disse opptrer i par, ett for hver måte de tre gitte sirklene kan deles i to delmengder på (det finnes fire måter å dele en mengde med [[kardinalitet]] 3 i to deler).

På 1500-tallet løste [[Adriaan van Roomen]] problemet ved hjelp av skjæringspunktene mellom [[hyperbel]]er, men denne løsningen benytter metoder som ikke er begrenset til klassiske [[passer og linjal|passer-og-linjal-konstruksjoner]]. [[François Viète]] fant derimot en passer-og-linjal-løsning ved å utnytte [[grensetilfelle (matematikk)|grensetilfeller]]: enhver av de tre gitte sirklene kan enten krympes til et punkt (radius null) eller utvides til uendelig radius (en rett linje). Viètes fremgangsmåte, som løser mer kompliserte tilfeller ved hjelp av enklere grensetilfeller, regnes som en plausibel rekonstruksjon av Apollonios’ egen metode.

Van Roomens metode ble senere forenklet av [[Isaac Newton]], som viste at Apollonios’ problem er ekvivalent med å bestemme en posisjon ut fra differansene mellom avstander til tre kjente punkter. Dette har praktiske anvendelser innen navigasjon og posisjonsbestemmelse, blant annet i systemer som [[LORAN]].

Senere matematikere innførte algebraiske metoder som oversetter det geometriske problemet til [[algebraisk ligning|algebraiske ligninger]]. Disse metodene ble ytterligere forenklet ved å utnytte de [[symmetri (matematikk)|symmetrier]] som er iboende i Apollonios’ problem: løsningssirkler forekommer som regel i par, der den ene løsningen omslutter de gitte sirklene som den andre utelukker (figur&nbsp;2). [[Joseph Diaz Gergonne]] brukte denne symmetrien til å gi en elegant passer-og-linjal-løsning, mens andre matematikere benyttet [[geometrisk transformasjon|geometriske transformasjoner]], som [[inversjon (geometri)|sirkelinversjon]], for å forenkle konfigurasjonen av de gitte sirklene.

Disse utviklingene danner et geometrisk rammeverk for algebraiske metoder (blant annet via [[Lie-sfæregeometri]]) og muliggjør en klassifikasjon av løsningene i 33 prinsipielt forskjellige konfigurasjoner av de gitte sirklene.

Apollonios’ problem har gitt opphav til omfattende videre arbeid. Generaliseringer til tre dimensjoner – konstruksjon av en kule som er tangent til fire gitte kuler – og videre til [[høyere dimensjon]]er er blitt studert. Spesielt har konfigurasjonen av tre gjensidig tangentielle sirkler fått stor oppmerksomhet. [[René Descartes]] gav en formel som knytter sammen radiene til løsningssirklene og de gitte sirklene; denne er kjent som [[Descartes’ teorem]]. En iterativ løsning av Apollonios’ problem i dette tilfellet leder til den såkalte [[apollonsk pakning|apollonske pakningen]], en av de tidligste [[fraktal]]ene beskrevet i trykt form, og av betydning i [[tallteori]] blant annet via [[Ford-sirkel]]e og [[Hardy–Littlewood-sirklemetoden]].

== Historie ==

Apollonios fra Perga formulerte og løste problemet i verket **' (*Epaphaí*, «Berøringer»), som senere er gått tapt. Kunnskapen om resultatene er likevel bevart gjennom en omtale fra 300-tallet e.Kr. hos Pappos fra Alexandria, som refererer Apollonios’ fremgangsmåte og hovedpunkter.

Den første «nye» løsningsmetoden i nyere tid ble publisert i 1596 av Adriaan van Roomen, som reduserte problemet til å finne skjæringspunkter mellom to hyperbler (se nedenfor). Metoden ble senere forenklet av Isaac Newton, som i *Principia* viste at problemet kan omformes til et posisjoneringsproblem: finn et punkt ut fra kjente differanser i avstander til tre kjente punkter (en form for hyperbolsk trilaterasjon).

I samme periode ble et sentralt «kvalitetskrav» tydelig: klassisk euklidisk geometri søker konstruksjoner som kan utføres med bare passer og linjal. Van Roomen bruker hyperbler, og det viser ikke i seg selv om problemet kan løses innenfor passer-og-linjal-rammen. François Viète utviklet derfor en metode som nettopp holder seg til passer og linjal, ved å bruke grenseoverganger (der en sirkel «krymper» til et punkt eller «vokser» til en linje) for gradvis å bygge opp fra enklere deltilfeller til den generelle situasjonen.

Utover 1700- og 1800-tallet kom både mer rene geometriske forenklinger og mer algebraiske metoder. En standard referanse for den klassiske gjennomgangen av problemfeltet (inkludert historiske linjer) er Coolidge.

## Tidlige løsningsmetoder

De tidlige metodene kan grovt deles i to spor:

Geometriske konstruksjoner (passer og linjal, eventuelt supplert med kjeglesnitt): Viète og senere flere 1800-tallsbidrag utviklet elegante, konstruktive løsninger som utnytter likformighetssentre, potens av et punkt, pol–polar-dualitet m.m.

Analytiske/algebraiske metoder: Ved å skrive «berøring» som ligninger for avstand mellom sentre og radier, får man et ligningssystem som i prinsippet kan løses eksplisitt. Dette gir også et naturlig rammeverk for å telle antall løsninger og forstå symmetrier (løsninger opptrer ofte i konjugerte par).

## Hyperbel- og trilaterasjonsformuleringen

### Van Roomen: skjæring mellom hyperbler (1596)

Van Roomen reduserer først den generelle situasjonen (tre gitte sirkler) til et delproblem: finn sirkler som berører to gitte sirkler, f.eks. C_1 og C_2. La r_s være radius i løsningssirkelen, og r_1, r_2 radiene i de gitte sirklene. Dersom løsningssirkelen berører C_1 og C_2 utvendig, er avstanden mellom sentrene henholdsvis d_1=r_1+r_s og d_2=r_2+r_s. Ved innvendig berøring blir tilsvarende d_1=r_s-r_1 (og analogt for d_2), forutsatt at r_s \ge r_1.

Poenget er at differansen d_1-d_2 alltid blir en konstant som ikke avhenger av r_s (radiustermen kansellerer). Dermed må sentrum for løsningssirkelen ligge på en hyperbel med brennpunkter i sentrene til C_1 og C_2, siden en hyperbel nettopp kan karakteriseres ved konstant differanse i avstander til to faste punkter (brennpunktene). En tilsvarende hyperbel bygges fra paret (C_2, C_3) med konsistent valg av innvendig/utvendig berøring. Skjæringspunktene (hvis de finnes) gir sentrene for løsningssirkler som oppfyller de valgte berøringsbetingelsene. Ved å gå gjennom alle kombinasjoner av innvendig og utvendig berøring mot de tre gitte sirklene, får man hele løsningsmengden (typisk åtte).

### Newton: omforming til trilaterasjon (1687)

Newton omformulerer problemet i et språk som i moderne termer ligger nær trilaterasjon: Finn et punkt Z slik at differansene i avstand fra Z til tre kjente punkter A, B, C er kjente størrelser. Disse punktene svarer til sentrene i de tre gitte sirklene, mens Z er sentrum i løsningssirkelen. Når berøringsforholdene oversettes til avstander mellom sentre, opptrer igjen konstante avstandsdifferanser (for utvendig berøring: d_i=r_i+r_s; for innvendig: d_i=r_s-r_i), og radien r_s kan elimineres fra differanser på samme måte som hos van Roomen.

I stedet for å arbeide direkte med to hyperbler, konstruerer Newton hyperblenes direktriser og bruker at for en hyperbel er forholdet mellom avstanden til et brennpunkt og avstanden til en direktrise konstant (eksentrisiteten). Skjæringen mellom relevante direktriser gir et punkt T som bestemmer en linje som Z må ligge på. Videre er også et bestemt forhold mellom avstander kjent, og da følger at Z ligger på en sirkel definert ved et fast forhold mellom avstander til to faste punkter (ofte omtalt som en «Apollonios-sirkel»). Dermed reduseres problemet til å finne skjæringspunkter mellom en linje og en sirkel.

Denne omformuleringen er også grunnen til at Apollonios’ problem har fått en tydelig «anvendt» etterhistorie: tilsvarende geometri ligger under hyperbolsk posisjonering, der man finner posisjon fra differanser i avstander (eller ankomsttider) til kjente sendere.

## Tidlige matematiske formuleringer

Den opprinnelige ideen om uendelig mange aper ble lenge brukt som et retorisk bilde snarere enn et presist matematisk utsagn. Først på begynnelsen av 1900-tallet fikk den en form som tilfredsstilte moderne sannsynlighetsteori.

Émile Borel var blant de første som eksplisitt knyttet metaforen til sannsynlighetsregning. I artikkelen «*La mécanique statique et l’irréversibilité*» (1913) brukte han aper ved skrivemaskiner som et tankeeksperiment for å illustrere hvor ekstremt usannsynlige, men ikke umulige, visse mikroskopiske tilstander er innen statistisk mekanikk.

Borels poeng var ikke at slike hendelser var praktisk relevante, men at sannsynlighetsteorien tillater hendelser med ekstremt liten sannsynlighet uten at de dermed er logisk umulige.

## Formulering som sannsynlighetsteorem

I moderne språkdrakt kan setningen om uendelig mange aper uttrykkes som et utsagn om tilfeldige sekvenser:

: Gitt en uendelig følge av uavhengige og identisk fordelte tilfeldige variabler, der hver bokstav i et endelig alfabet har positiv sannsynlighet, vil enhver endelig streng nesten helt sikkert forekomme uendelig mange ganger.

Her betyr «nesten helt sikkert» at hendelsen har sannsynlighet 1, ikke at den inntreffer i endelig tid eller med praktisk rimelighet.

Denne formuleringen kan avledes direkte fra den andre Borel–Cantelli-lemmatet, som sier at dersom summen av sannsynlighetene for uavhengige hendelser divergerer, vil uendelig mange av dem inntreffe med sannsynlighet 1.

## Blokkargumentet

En klassisk og pedagogisk tilnærming er det såkalte blokkargumentet. Man deler den uendelige teksten i ikke-overlappende blokker med samme lengde som målteksten. Hver blokk har en fast, positiv sannsynlighet for å være identisk med målteksten. Siden det finnes uendelig mange slike blokker, følger det at teksten nesten helt sikkert vil forekomme minst én gang, og i praksis uendelig mange ganger.

Argumentet er konservativt, ettersom teksten også kan forekomme på tvers av blokkgrensene. Det styrker konklusjonen ytterligere.

## Flere aper og parallelle prosesser

Setningen kan generaliseres til situasjoner med mange samtidige «aper». En uendelig samling aper som hver skriver en endelig tekststreng, er matematisk ekvivalent med én ape som skriver uendelig lenge.

Dette viser at parallellisering ikke endrer den grunnleggende sannsynlighetsstrukturen: Det avgjørende er ikke antallet aper, men det uendelige antallet uavhengige forsøk.

## Normalitet og tallteori

En alternativ formulering benytter tallteori. Dersom man tolker en uendelig bokstavrekke som en representasjon av et reelt tall i et gitt tallsystem, tilsvarer det å skrive «tilfeldig» å velge et tall uniformt fra intervallet [0,1].

Nesten alle reelle tall er såkalte normale tall, det vil si at alle endelige siffersekvenser forekommer med korrekt frekvens.

Dette innebærer at nesten alle uendelige sekvenser inneholder enhver endelig tekst, inkludert hele Shakespeare-verker, Bibelen eller enhver annen spesifisert bokstavrekke.

## Begrensninger og misforståelser

En vanlig misforståelse er å tolke setningen som et utsagn om hva som vil skje i fysisk virkelighet. Teoremet er rent matematisk og sier ingenting om realistiske tidsrammer eller fysiske ressurser.

Som Arthur Eddington påpekte, finnes det sannsynligheter som er så små at de i praktisk fysikk må behandles som umulige, selv om de formelt ikke er det.

Setningen om uendelig mange aper illustrerer derfor først og fremst skillet mellom matematisk mulighet og fysisk realiserbarhet.

## Formelt sannsynlighetsbevis

Setningen om uendelig mange aper kan formuleres og bevises presist innen moderne sannsynlighetsteori. Beviset bygger på standardantagelser om uavhengighet og positiv sannsynlighet, og er et klassisk eksempel på anvendelse av Borel–Cantelli-lemmatet.

### Modellantagelser

Anta at vi har et endelig alfabet \mathcal{A} med |\mathcal{A}| = k symboler, der hvert symbol har sannsynlighet minst p > 0 for å bli valgt ved hvert tastetrykk. Tastetrykkene antas å være statistisk uavhengige og identisk fordelte.

La w være en fast, endelig streng av lengde m over alfabetet \mathcal{A}.

### Sannsynlighet for én forekomst

Sannsynligheten for at strengen w forekommer på en bestemt, forhåndsvalgt posisjon i teksten, er da minst

:P = p^m > 0.

Dette følger direkte av uavhengighet og at hvert enkelt tegn har positiv sannsynlighet.

### Uavhengige forsøk

Del den uendelige tekststrømmen inn i ikke-overlappende blokker av lengde m. La E_n være hendelsen at blokk nummer n er identisk med w.

Hendelsene E_1, E_2, E_3, \ldots er uavhengige, og hver har sannsynlighet minst P.

Summen av sannsynlighetene divergerer:

:\sum_{n=1}^{\infty} P(E_n) = \sum_{n=1}^{\infty} P = \infty.

### Anvendelse av Borel–Cantelli

Ved den andre Borel–Cantelli-lemmatet følger det da at sannsynligheten for at uendelig mange av hendelsene E_n inntreffer, er lik 1.

Dette innebærer at strengen w nesten helt sikkert forekommer uendelig mange ganger i den uendelige teksten.

### Generalisering

Beviset generaliseres umiddelbart til:
* vilkårlig endelig tekst,
* vilkårlig endelig alfabet,
* flere samtidige «aper» (parallelle, uavhengige sekvenser),
* ikke-uniforme fordelinger, så lenge alle symboler har positiv sannsynlighet.

Dermed er setningen om uendelig mange aper et direkte utsagn om strukturen til uendelige tilfeldige sekvenser, ikke om praktisk sannsynlighet eller fysisk realiserbarhet.

### Tolkning

Resultatet sier ikke at teksten vil bli skrevet i endelig tid, eller innenfor realistiske ressurser. Det sier kun at sannsynligheten for at den aldri forekommer, er null.

Dette skillet mellom sannsynlighet 0 og umulighet er sentralt i moderne sannsynlighetsteori, og er kilden til mange misforståelser rundt teoremet.

## Evolusjon og bruk av geometriske analogier

I populærvitenskapelig litteratur har matematiske strukturer knyttet til Apollonios’ problem, særlig Apollonsk pakning, tidvis blitt brukt som metaforer for biologisk evolusjon og fremvekst av kompleksitet. Slike analogier forekommer blant annet i formidlingslitteratur inspirert av evolusjonsbiologen Richard Dawkins, hvor matematisk orden brukes pedagogisk for å illustrere hvordan komplekse mønstre kan oppstå uten bevisst design.

Denne typen analogibruk har imidlertid klare begrensninger. Apollonios’ problem er et fullstendig deterministisk geometrisk system. Gitt tre objekter i planet følger alle løsninger nødvendigvis av de geometriske betingelsene. Systemet er tidløst og uten historisk utvikling: alle gyldige løsninger eksisterer samtidig og er implisitt bestemt av utgangsbetingelsene.

Biologisk evolusjon skiller seg grunnleggende fra dette. Evolusjon er et historisk og irreversibelt fenomen, preget av mutasjon, naturlig seleksjon, genetisk drift og miljømessige begrensninger. Utfallet er ikke entydige løsninger på et forhåndsdefinert problem, men midlertidige tilpasninger som kontinuerlig endres over tid. Samme biologiske utgangspunkt kan føre til svært ulike resultater, avhengig av ytre forhold og tilfeldige hendelser.

Problemer oppstår når matematisk nødvendighet tolkes som analog til biologisk plausibilitet. At et geometrisk system har mange strukturerte løsninger innebærer ikke at biologisk kompleksitet må oppstå på tilsvarende måte. I matematikken er løsningene implisitt til stede fra starten; i biologien må strukturer faktisk realiseres gjennom historiske prosesser under begrensede og ofte ugunstige betingelser.

Dette skillet er velkjent innen vitenskapsfilosofien. Matematiske modeller kan være illustrative, men er ikke forklarende når de brukes utenfor sitt formelle domene. Apollonios’ problem kan tjene som en pedagogisk illustrasjon av hvordan orden kan følge av formelle regler, men kan ikke forklare hvordan levende systemer oppstår, reproduseres og utvikler seg.

Av denne grunn bør geometriske analogier i evolusjonsdiskusjoner forstås som pedagogiske hjelpemidler snarere enn som argumenter. Brukt presist kan de tydeliggjøre forskjellen mellom matematisk struktur og biologisk prosess; brukt upresist kan de skape en misvisende forestilling om nødvendighet der biologien i realiteten preges av kontingens og historisk tilfeldighet.

## Se også
* Apollonios’ teorem
* Apolloniospunkt
* Descartes' teorem
* Apollonsk pakning
* Euklids geometri

## Referanser


## Litteratur
* 
* 
* 

## Eksterne lenker
* 
*