Fresnels formler

**Fresnels formler** bekriver hvordan amplituden til lys eller en elektromagnetisk bølge forandres når den blir reflektert eller brytes i en plan grenseflate mellom to medier eller material. Mens Snells lov angir retningen til det reflekterte og transmitterte lyset, bestemmer Fresnels formler derfor intensitene i de to forskjellige retningene.

På begynnelsen av 1800-tallet utviklet den franske fysiker Augustin Fresnel en teori for lys som transverse bølger i en mekanisk eter. På den måten kunne han forklare lysets polarisasjon og dobbeltbrytning. Den samme, mekaniske modellen gjorde det også mulig å beregne hvordan de transverse amplitudene forandres når en slik bølge beveger seg fra et material til et annet. De resulterende formlene viste seg å forbli de samme da James Maxwell omtrent femti år senere etablerte sin elektromagnetiske teori som er uavhengig av en mekanisk eter. En lysbølge består nå av transverse svingninger av elektriske og magnetiske felt.

Når man ser bort fra mulig absorbsjon av lyset i de to mediene, er deres optiske egenskaper gitt ved deres brytningsindekser *n*1 og *n*2. Formlene til Fresnel vil derfor  helt generelt involvere disse sammen med retningen til de forskjellige lysstrålene samt deres polarisasjon. I det enkleste tilfellet der lyset kommer vinkelrett inn mot grenseflaten mellom de to mediene, reduseres disse til

:  R = \left({n_1 - n_2\over n_1 + n_2}\right)^2 

Den angir hvor stor del av det innfallende lyset som reflekteres tilbake. For overgangen mellom luft med  og glass med , gir den . Bare fire prosent av lyset vil i dette viktige tilfellet bli reflektert. Derimot er refleksjonen nesten 100% fra metallflater, en effekt som blant annet benyttes i speil.
 
## Refleksjon og transmisjon

Det innfallende lyset antas å være en plan bølge hvis retning er gitt ved bølgevektoren **k**1 i medium 1. Denne danner «innfallsvinkelen» *&theta;*1&thinsp; med normalen til grenseflaten som vanligvis i denne sammenhengen omtales som  «innfallsloddet». Ved speilende refleksjon blir en del av lyset reflektert tilbake i en retning **k**1' som igjen danner vinkelen  med innfallsloddet, men på den andre siden av dette. 

Resten av lyset fortsetter ved transmisjon inn i et nytt materiale 2 på den andre siden av grenseflaten. Denne skiller to medier med forskjellige brytningsindekser *n*1 og *n*2. Når disse er dielektriske materialer, kan de antas å være reelle størrelser. Retningen til det transmitterte lyset **k**2 danner vinkelen *&theta;*2&thinsp; med innfallsloddet og følger fra Snells lov

: n_1 \sin \theta_1  = n_2 \sin \theta_2  

Når lyset beveger seg fra et optisk tynnere inn i et optisk tettere medium, vil *n*2 > *n*1. Da vil brytningsvinklen  og det innfallende lyset blir brudt mot innfallsloddet.

Både loven for refleksjon og brytning kan forklares på forskjellige måter. Begge fenomenene følger fra Huygens prinsipp om partialbølger eller Fermats prinsipp om korteste, optiske lengde for lyset. Disse to lovene har sitt utgangspunkt i at lyshastigheten *c&thinsp;* er redusert til  i et medium med brytningsindeks *n*. En mer fullstendig beskrivelse av lys som elektromagnetiske bølger følger fra Maxwells ligninger. De gir også en detaljert forklaring av dets refleksjon og transmisjon i grenseflaten mellom to medier. Den inneholder også resultatet for de relative amplitudene til lyset i disse to retningene og utgjør innholdet av Fresnels formler.

### Grensebetingelser

Det elektriske feltet til en plan bølge med vinkelfrekvens *&omega;&thinsp;* varierer i tid og rom som

:  \mathbf{E}(\mathbf{x}, t) = \mathbf{E}_0 \cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t) 

hvor **E**0 er en konstant amplitude. Den står vinkelrett på bølgevektoren **k** som gir bølgens utbredelsesretning. Bølgetallet *k* = |**k**| = *n&omega;*/*c&thinsp;* hvor *n&thinsp;* er brytningsindeksen til mediet som bølgen beveger seg i. Når den møter en plan grenseflate mot et annet medium, vil den splittes opp i en reflektert og en transmittert bølge slik at det totale, elektriske feltet på hver side av denne oppfyller grensebetingelsen

:   \mathbf{n}\times (\mathbf{E}_1 -  \mathbf{E}_2) = 0 

Den følger direkte fra Maxwells ligninger. Her er **n** en enhetsvektor langs innfallsloddet som står vinkelrett på grenseflaten. Den samme bølgen inneholder også et magnetisk felt **H** som står vinkelrett både på **k** og **E**. Ved grensefllaten må det på samme vis oppfylle betingelsen

:   \mathbf{n}\times (\mathbf{H}_1 -  \mathbf{H}_2) = 0 

De *tangentiale* komponentene til begge feltene er derfor de samme på de to sidene av grensefllaten.

### Innfallsplan og polarisasjon

På den ene siden av grenseflaten er det både en innkommende og en reflektert bølge, mens på den andre siden er det bare en trransmittert bølge. Langs grenseflaten må de tilsvarende feltene oppfylle grensebetingelsene. For at det skal være mulig for alle punkt **x**0 på grensefleten, må man ha at

:   \mathbf{k}_1\cdot \mathbf{x}_0 =  \mathbf{k}_1'\cdot \mathbf{x}_0 =  \mathbf{k}_2\cdot \mathbf{x}_0  = 0 

Da man alltid kan skrive **x**0 = **n** &times; **x** for et helt vilkårlig punkt **x** i rommet, vil derfor 

:   (\mathbf{k}_1 -  \mathbf{k}'_1)\cdot (\mathbf{n}\times\mathbf{x}) =  (\mathbf{k}_1\times\mathbf{n} - \mathbf{k}'_1\times\mathbf{n})\cdot \mathbf{x} 

og likedan for likheter med **k**2. Det betyr at

:   \mathbf{k}_1\times\mathbf{n} = \mathbf{k}'_1\times\mathbf{n}  = \mathbf{k}_2\times\mathbf{n} 

fordi denne sammenhengen skal være gyldig for alle **x**. De tre bølgevektorene ligger derfor i samme plan som kalles for **innfallsplanet**. Den første likheten her gir refleksjonsloven , mens den andre er Snells lov  Slik fremkommer begge lovene som en direkte konsekvens av elektromagnetisk teori.

Retningen av det elektriske feltet **E** til en elektromagnetisk bølge benyttes vanligvis for å angi dens polarisasjon. Da det kun finnes to uavhengige retninger for denne, velges de ofte i optikken å være parallell (*p*) med innfallsplanet eller vinkelrett (*s*) på dette. Denne betegnelsen  kommer opprinnelig fra tysk *senkrecht* som betyr loddrett. En ekvivalent betegnelse er TE da retningen til det elektriske feltet er transvers eller vinkelrett på innfallsplanet. Tilsvarende vil *p*-polarisasjon da kalles for TM da det magnetiske feltet i det tilfellet står vinkelrett  på innfallsplanet.

## Utledning

Retningen til det magnetisk feltet er forbundet med den til det elektriske feltet ved Maxwell-ligningen  For en plan bølge med frekvens *&omega;&thinsp;* og  bølgevektor **k** har den som direkte konsekvens at

:  \mathbf{k}\times\mathbf{E} = \omega\mu_0 \mathbf{H} 

hvor den magnetiske permeabiliteten i de to mediene settes lik med den magnetiske konstanten *&mu;*0. Herav kan retningene til de tre vektorene **E**, **H** og **k** finnes ved  bruk av høyrehåndsregelen.

### TM: ''p''-polarisasjon

Ved *p*-polarisasjon vil de elektriske feltene i de tre lysstrålene alle ligge i innfallsplanet med retninger som i utgangspunktet kan velges fritt. Det betyr at de kan være forskjellige i uiike  lærebøker. Retningene til de tilsvarende magnetfeltene følger så fra dette valget og lysstrålenes bevegelsesretninger. De tangentiale komponentene til de magnetiske feltene langs grenseflaten må da oppfylle ligningene

:  n_1 E_i + n_1 E_r =  n_2 E_t 

På samme måte må den tangentiale komponenten til det totale, elektriske feltet være like stor på begge sidene av denne. Det gir ligningen 

:  \cos\theta_1 E_i - \cos\theta_1 E_r =  \cos\theta_2 E_t 

Herav kan både den reflekterte *E<sub>r</sub>&thinsp;* og den transmitterte amplituden *E<sub>t</sub>&thinsp;* uttrykkes ved den innfallende amplituden *E<sub>i</sub>&thinsp;*. De relative amplitudene er da gitt ved koeffisientene 

:  r_p := {E_r\over E_i} = {n_2 \cos\theta_1 - n_1 \cos\theta_2\over n_2 \cos\theta_1 + n_1 \cos\theta_2} 

:  t_p := {E_t\over E_i} = {2 n_1 \cos\theta_1\over n_2 \cos\theta_1 + n_1 \cos\theta_2} 

Ved å benytte den trigonometriske identiteten  2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)   og Snells lov  n_2 = n_1\sin\theta_1/\sin\theta_2,  kan refleksjonskoeffisienten skrives som

: \begin{align} r_p  &= {\sin\theta_1 \cos\theta_1 - \sin\theta_2 \cos\theta_2\over \sin\theta_1 \cos\theta_1 + \sin\theta_2 \cos\theta_2} \\ &= {\sin 2\theta_1 - \sin 2\theta_2\over \sin 2\theta_1 + \sin 2\theta_2} = {\sin(\theta_1 - \theta_2) \cos(\theta_1 + \theta_2)\over\sin(\theta_1 + \theta_2) \cos(\theta_1 - \theta_2)} \\ &= {\tan(\theta_1 - \theta_2)\over\tan(\theta_1 + \theta_2)} \end{align}

Hvis denne koeffisienten blir negativ, betyr det bare at den antatte retningen av det elektriske feltet til det reflekterte lyset er feil.

### TE: ''s''-polarisasjon

Når de elektriske feltene står vinkelrett på innfallsplanet, er de også alle tangentiale til grenseflaten. De elektromagnetiske grensebetingelsene blir da

:   E_i +  E_r =  E_t 

:  n_1\cos\theta_1 E_i - n_1\cos\theta_1 E_r =  n_2\cos\theta_2 E_t 

Herav finner man refleksjonskoeffisienten

:  r_s := {E_r\over E_i} = {n_1 \cos\theta_1 - n_2 \cos\theta_2\over n_1 \cos\theta_1 + n_2 \cos\theta_2} 

og transmisjonskoeffisienten

:  t_s := {E_t\over E_i} = {2 n_1 \cos\theta_1\over n_1 \cos\theta_1 + n_2 \cos\theta_2} 

Igjen kan refleksjonskoeffisienten forenkles ved bruk av en enklere, trigonometrisk identitet og Snells lov. Det gir

: \begin{align} r_s &=  {\sin\theta_2 \cos\theta_1 - \sin\theta_1 \cos\theta_2\over \sin\theta_2 \cos\theta_1 + \sin\theta_1 \cos\theta_2} \\ &= - {\sin(\theta_1 - \theta_2)\over\sin(\theta_1 + \theta_2)}\end{align} 

Når lyset beveger seg fra et optisk tynnere til et optisk tettere medium, er *n*1 2. Snells lov gir dermed at *&theta;*1 > *&theta;*2 slik at denne refleksjonskoeffisienten blir negativ. Den reflekterte bølgen får dermed en ekstra faseforskyvning på 180&deg; for alle verdier av innfalllsvinkelen.

## Kommentarer

Refleksjonskoeffisienten *r<sub>s</sub>&thinsp;* varierer fra verdien

:  r_s(\theta_1 = 0)  = {n_1 - n_2\over n_1 + n_2} 

ved loddrett innfall til *r<sub>s</sub>&thinsp;* = -1 for horisontalt innfall *&theta;*1 = 90&deg;&thinsp;. Den er derfor alltid negativ når *n*1 2 som for eksempel for lys som går fra luft til glass eller vann. 

Derimot vil refleksjonskoeffisienten *r<sub>p</sub>&thinsp;* i denne situasjonen skifte fortegn ved den samme variasjonen av innfallsvinkelen. Den starter ut med den positive verdien

:  r_p(\theta_1 = 0)  =   {n_2 - n_1\over n_1 + n_2} 

for vertikalt innfall og ender opp med *r<sub>p</sub>&thinsp;* = -1 for tangentialt innfall for *&theta;*1 = 90&deg;&thinsp;. Denne koeffisienten må derfor bli null for en mellomliggende verdi *&theta;<sub>B</sub>&thinsp;* av innfallsvinkelen.  Dette er Brewsters vinkel hvor bare den *s*-polariserrte delen av lyset blir reflektert,  = 0. Fra formelen for *r<sub>p</sub>&thinsp;* skjer dette ved en innfallsvinkel som må oppfylle . Bortsett fra den trivielle løsningen  = 0&deg;, må derfor . Det betyr at Brewsters vinkel oppfyller betingelsen  

:  \theta_1 + \theta_2 = 90^\circ 

slik at den reflekterte lysstrålen står vinkelrett på den transmitterte. Dette resultatet følger også direkte fra det trigonometriske uttrykket for *r<sub>p</sub>&thinsp;* da . Snells lov gir nå  eller

:  \tan\theta_B = {n_2\over n_1} 

For overgangen fra luft med  til glass med  blir denne vinkelen . Det reflekterte lyset er fullstendig *s*-polarisert ved denne innfallsvinkelen. Hvis det innkommende lyset er *s*-polarisert, vil brøkdelen *R<sub>p</sub>* = |*r<sub>p</sub>*&thinsp;|&thinsp;2 bli reflektert. For overgangen fra luft til glass blir dette omtrent 15&thinsp;%. De resterende 85&thinsp;% blir transmittert inn i glasset med en brytningsvinkel  = 34&deg;. For upolarisert, innkommende lys ville det transmitterte lyset i dette tilfellet også inneholde 100&thinsp;% av den *p*-polariserte delen.

### Totalrefleksjon

Når lyset går fra et medium som vann til et optisk tynnere medium som luft, er *n*2 1. Snells lov  sier da  at innfallsvinkelen *&theta;*1 må være mindre enn en kritisk vinkel gitt ved

:  \sin\theta_c = {n_2\over n_1} 

da brytningsvinkelen *&theta;*2 ikke kan være større enn 90&deg;&thinsp;. Ved denne  kritiske vinkelen er begge refleksjonskoeffisientene

:  r_s(\theta_1 = \theta_c) =  r_p(\theta_1 = \theta_c) = 1 

da tan&thinsp;(*&theta;<sub>c</sub>* - 90&deg;) = tan&thinsp;(*&theta;<sub>c</sub>* + 90&deg;) og sin&thinsp;(*&theta;<sub>c</sub>* - 90&deg;) = - sin&thinsp;(*&theta;<sub>c</sub>* + 90&deg;). Det betyr at ved denne og større innfallsvinkler blir alt lys reflektert uavhengig av dets polarisasjon. Dette fenomenet er derfor kjent som totalrefleksjon.

### Atomistisk utledning

Fresnel beregnet disse koeffisientene ut fra sin mekaniske forståelse av lys som transverse svingninger i en elastisk eter for to hundre års siden. Denne beskrivelsen ble erstattet av Maxwells elektromagnetiske teori femti år senere. Men selve opprinnelsen av lys ble først forklart ved etableringen av moderne kvantefysikk hvor det fremkommer fra bevegelsen til elektroner i atomer. Basert på denne innsikten kunne Feynman i sine forelesninger utlede Fresnels formler ved å undersøke hvordan lys spredes fra elektronene i faste stoffer og dermed gi opphav til dets refleksjon og transmisjon.

Denne beskrivelsen gir også en atomistisk forklaring av brytningsindeksen til materialet. Den skyldes egenskapene til atomene dypt inne i dette. Derimot skyldes refleksjon av lyset atomene som er plassert i dets overflate. Det elektriske feltet i den innkommende lysbølgen får elektronene i disse atomene til å oscillere med samme frekvens og dermed sende ut nye lysbølger. De må ha en slik fordeling at de kansellerer den innkommende bølgen inne i materialet. Samtidig genererer disse oscillasjonene den brutte lysstrålen og den reflekterte på en slik måte at de kun opptrer i de retninger som er gitt ved Snells lover.

## Intensiteter

Energien i den innkommende strålingen blir overført til reflektert og transmittert energi. Så lenge man betrakter materialer med reellle brytningsindekser, vil ikke noe av energien forsvinne. Intensiteten av den innkommende strålingen må derfor være lik med  summen av intensitetene  til den reflekterte og  transmitterte strålingen.

Disse intensitetene kan beregnes fra Poyntings vektor **S** = **E**&thinsp;&times;&thinsp;**H** som sier hvor mye energi som strømmer per tidsenhet gjennom en flate som står vinkelrett på stråleretningen og har et enhetlig areal. Hvis man derfor betrakter et areal *A&thinsp;* i grenseflaten mellom de to mediene, vil det innfallende og reflekterte lyset som treffer dette, gå gjennom areal som er *A*&thinsp;cos*&theta;*1&thinsp;. På samme vis vil det transmitterte lyset ha et tverrsnitt *A*&thinsp;cos*&theta;*2&thinsp;. Energibalansen gir dermed

:  n_1E_i^2\cos\theta_1 = n_1E_r ^2\cos\theta_1 + n_2E_t^2\cos\theta_2 

Leddet på venstre side representerer den innkommende intensiteteten, mens de to leddene på høyre side representerrer henholdsvis den reflekterte og den transmitterte intensiteten. Det er derfor naturlig å definere en **refleksjonsfaktor**

:  R  = \left({E_r\over E_i}\right)^2 = r^2 

og en **transmisjonsfaktor**

:  T =  {n_2\cos\theta_2\over n_1\cos\theta_1} \left({E_t\over E_i}\right)^2 =  {n_2\cos\theta_2\over n_1\cos\theta_1} t^2 

De vil da oppfylle

:  R + T = 1 

som kan verifiseres eksplisitt både for *s*- og *p*-polarisasjon ved å benytte de tilsvarende refleksjons- og transmisjonskoeffisientene.

## Metallisk refleksjon

Et gjennomsiktig eller transparent materiale er karakterisert ved en reell brytningsindeks. Dette er i motsetning til metaller som ikke slipper lys igjennom. Formelt kan det beskrives ved at de har en kompleks brytningsindeks og er en direkte konsekvens av Maxwells ligninger. Grunnen er at metall har en ledningsevne *&sigma;&thinsp;* som gir opphav til en elektrisk strøm **J** = *&sigma;*&thinsp;**E** når det påvirkes av det elektriske feltet **E** i lyset. Det vil da beskrives ved en bølgeligning som er den samme som utenfor metallet bortsett fra at den vil inneholde en effektiv, elektrisk permittivitet

:  \varepsilon(\omega) = \varepsilon_0 + i{\sigma\over\omega} 

hvor *&omega;&thinsp;* er vinkelfrekvensen til lyset. Det betyr at brytningsindeksen også vil få en tilsvarende avhengighet av frekensen. og Fra dens definisjon har man da

:  n^2(\omega) = 1 + {i\sigma\over\omega\varepsilon_0} 

For typiske metaller og synlig lys er *&sigma;* >> *&omega;&epsilon;*0 slik at *n*&thinsp;2 er et rent imaginært tall. Hvis man derfor skriver brytningsindeksen som , vil 
:  n^2 = a^2 - b^2 + 2iab 

slik at

:  a = b = \sqrt{\sigma\over 2\omega\varepsilon_0} 

Når man benytter denne komplekse brytningsindeksen i Fresnels former for de to refleksjonskoeffisientene, vil de begge bli komplekse. Det betyr at de generelt inneholder en fasefaktor som vil resultere i at det reflekterte lyset er elliptisk polarisert og avhengig av innfallsvinkelen på en komplisert måte. Dette ble først eksperimentelt påvist av David Brewster rundt 1820 og fikk nesten umiddelbart denne teoretiske forklaringen fra Fresnel.

### Loddrett innfall

Refleksjon fra et metall kan nå beskrives ved en brytnings *n*1 = 1 utenfor overflaten og   innenfor denne. Da formlene til Fresnel fortsatt gjelder, er det enklest å benytte dem for loddrett innfall.  Brøkdelen av lyset som reflekteres er i det tilfellet

: R = \Big| {1 -a - ai\over 1 + a + ai}\Big|^2 = {1 - 2a + 2a^2\over 1 + 2a + 2a^2}  

for begge polarisasjonsretningene. Ved nå å benytte at *a* >> 1, forenkles dette til

:  R = 1 - {2\over a} = 1 - \sqrt{8\omega\varepsilon_0\over\sigma}

Da det siste leddet er lite, nærmer refleksjonsfaktoren seg den maksimale verdien *R* = 1. Det er den viktigste grunnen for å benytte metalloverflater i speil. For refleksjon fra glass eller vannflater er den tilsvarende faktoren mye mindre og av størrelsesorden bare noen prosent.
Resultatet viser også at intensiteten til det reflekterte lyset avtar med økende frekvens, noe  som også ble eksperimentelt påvist av Heinrich Rubens på begynnelsen av 1900-tallet. Det skyldes at brytningsindeksen til metallet da avtar og blir reell slik at det er gjennomsiktig ved tilstrekkelig høy frekvens.

## Referanser


## Eksterne lenker

* G.A. Smith, ''Fresnel Equations'', enkel introduksjon, University of Arizona.
* OpenCourseWare, ''Fresnel Equations and EM Power Flow'', forelesningsnotat fra MIT
* J.L. Edmunds, ''Fresnels Equations at an Angle'', YouTube video