Lipschitz-kontinuitet

**Lipschitz-kontinuitet** er i matematisk analyse en form for kontinuitet, strengere enn uniform kontinuitet og intuitivt en begrensning på hvor raskt en funksjon kan endre seg. En funksjon sies å være **Lipschitz-kontinuerlig** dersom det finnes et reelt tall slik at, for hvert par (x, y) i funksjonens definisjonsmengde, er absoluttverdien av forskjellen mellom avbildningen av disse ganget med konstanten større enn absoluttverdien mellom punktene x og y. Begrepet er oppkalt etter den tyske matematikeren Rudolf Lipschitz.

En deriverbar funksjon er alltid Lipschitz-kontinuerlig, og en Lipschitz-kontinuerlig funksjon er alltid (uniformt) kontinuerlig. Det motsatte er ikke nødvendigvis sant; en funksjon kan være (uniformt) kontinuerlig uten å være Lipschitz-kontinuerlig, og en funksjon kan være Lipschitz-kontinuerlig uten å være deriverbar. Lipschitz-kontinuitet kan generaliseres til Hölder-kontinuitet.

## Definisjon
En funksjon f : X \to Y, der X og Y er delmengder av de relle tallene, sies å være *Lipschitz-kontinuerlig* (eller å være en *Lipschitz-funksjon*) dersom det finnes en konstant C slik at
:|f(x) - f(y)| \leq C |x - y|

Dersom det finnes en slik C, kalles denne for en *Lipschitz-konstant* for funksjonen f. Denne betingelsen kalles for *Lipschitz-betingelsen*.

Dette gjelder også i andre metriske rom enn de reelle tallene. Gitt to metriske rom (X, d_X) og (Y, d_Y), der d_X og d_Y angir metrikkene på henholdsvis mengdene X og Y, sier man at en funksjon f : X \to Y *Lipschitz-kontinuerlig* (eller at f er en *Lipschitz-funksjon*) dersom det finnes en konstant C slik at
:d_Y(f(x_1), f(x_2)) \leq C d_X(x_1, x_2)

Dersom betingelsen holder i en omegn rundt en x \in X sier man at funksjonen er *lokalt Lipschitz-kontinuerlig*.

Klassen av alle Lipschitz-kontinuerlige funksjoner over et intervall I angis av
:Lip(I) = \{ f : I \to \mathbb{R} | f \text{ er Lipschitz-kontinuerlig} \}
og for generelle metriske rom kan dette analogt defineres som
:Lip(X) = \{ f : X \to Y | f \text{ er Lipschitz-kontinuerlig} \}.

## Eksempler
;Lipschitz-kontinuerlige funksjoner
* Funksjonen f(x) = 2x er Lipschitz-kontinuerlig, siden
::|f(x) - f(y)| = |2x - 2y| = 2|x-y| \leq 2|x-y|
: for alle x, y \in \mathbb{R} (alle lineære funksjoner er Lipscitz-kontinuerlige).
* Funksjonen f(x) = \sin(x) er Lipschitz-kontinuerlig, siden sinus er kontinuerlig, og ved middelverdisetningen finnes en c \in (x, y) slik at
::f'(c) = \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \Rightarrow |f(x) - f(y)| = |f'(c)||x - y|
:Siden f'(x) = \cos(x) som er bundet ovenifra av 1, vil dette si at
::|\sin(x) - \sin(y)| = |\cos(c)||x - y| \leq 1 |x - y|.

;Funksjoner som ikke er Lipschitz-kontinuerlige
* Funksjonen f(x) = x^2 er ikke Lipschitz-kontinuerlig over hele \mathbb{R}, siden man alltid kan finne tall (x, y) som gjør at betingelsen ikke holder.
* Funksjonen f(x) = \sqrt{x} er ikke Lipschitz-kontinuerlig siden den blir uendelig bratt når x går mot 0. Hvis man antar (for motsigelse) at det finnes en konstant C, kan man se på en følge {x_n} som går mot 0, bruke middelverdisetningen og vise at funksjonen er større enn noe som går mot uendelig.

## Egenskaper
*Alle lineære funksjoner f : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n er Lipschitz-kontinuerlige.
*Dersom f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n er Lipschitz-kontinuerlig, avbilder den alle mengder med mål 0 til mengder med mål 0, og alle målbare mengder til målbare mengder.
*Dersom f : I \to \mathbb{R}, der I er et intervall i \mathbb{R} er deriverbar over I, der f' er bundet over I, er f Lipschitz-kontinuerlig; dette følger av middelverdisetningen.
*Dersom f : [a, b] \to \mathbb{R} er deriverbar med kontinuerlig derivert, altså f \in C^1([a, b]), er f Lipschitz-kontinuerlig over [a, b] (f \in Lip([a, b])). Videre, dersom f : [a, b] \to \mathbb{R} er Lipschitz-kontinuerlig, er f en absolutt kontinuerlig funksjon over [a, b] (f \in AC([a, b])). Dersom f : [a, b] \to \mathbb{R} er absolutt kontinuerlig, er f en funksjon med avgrenset variasjon over [a, b] (f \in BV([a, b])). Vi har altså at
::C^1([a, b]) \subseteq Lip([a, b]) \subseteq AC([a, b]) \subseteq BV([a, b])
*(*[[Rademachers teorem]]*) Lipschitz-kontinuerlige funksjoner er deriverbare nesten overalt.
*(*McShanes*, eller *[[McShane-Whitneys utvidelsesteorem]]*) Dersom f : X \to \mathbb{R} er Lipschitz-kontinuerlig med Lipschitz-konstant C, og X \subset \mathbb{R}, så finnes det en funksjon g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} slik at g_X (g definert over definisjonsmengden X) er lik f. Resultatet kan ikke generaliseres til alle metriske rom, for eksempel ikke for X delmengde av ℓ2, rommet av alle kvadratisk summerbare følger.
*(*[[Kirszbrauns teorem]]*) Det samme gjelder i flere dimensjoner – dersom f : X \to \mathbb{R}^n er Lipschitz-kontinuerlig med Lipschitz-konstant C, og X \subset \mathbb{R}^m, så finnes det en funksjon g : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n slik at g_X (g definert over definisjonsmengden X) er lik f.

## Referanser


## Eksterne lenker
*
*
*Lipschitz condition på *Encyclopedia of Mathematics*
*Lipschitz constant på *Encyclopedia of Mathematics*