Einstein-forhold (kinetisk teori)

**Einstein-forholdet** (også kjent som **Wright-Sullivan-forholdet**) er i fysikk (spesielt den kinetiske teorien om gasser) en tidligere uventet forbindelse avslørt uavhengig av William Sutherland i 1904, Albert Einstein i 1905, og av Marian Smoluchowski i 1906 i deres arbeid på Brownsk bevegelse. Den mer generelle formen på ligningen er

:  D = \mu \, k_\text{B} T, 

hvor 

: *D* er diffusjonskoeffisienten;
: *μ* er "mobiliteten", eller forholdet mellom partikkelens terminaldrifthastighet og en påført kraft, *μ* = *v*d/*F*;
: *k*B er Boltzmanns konstant;
: *T* er den absolutte temperaturen.

Denne ligningen er et tidlig eksempel på et forhold mellom svingninger og spredning.

To ofte brukte viktige spesielle former for forholdet er:

: D = \frac{\mu_q \, k_\text{B} T}{q} (**elektrisk mobilitetsligning**, for diffusjon av ladede partikler)

: D = \frac{k_\text{B} T}{6\pi\,\eta\,r}  (**Stokes-Einstein-ligning**, for diffusjon av sfæriske partikler gjennom en væske med lavt Reynolds-antall)  Hvor
:* *q* er den elektriske ladningen til en partikkel;
:* *μ<sub>q</sub>* er den elektriske mobiliteten til den ladede partikkelen;
:* *η* er den dynamiske viskositeten;
:* *r* er radien til den sfæriske partikkelen.

## Spesielle tilfeller

### Elektrisk mobilitetsligning

For en partikkel med elektrisk ladning *q*, dets elektriske mobilitet *μ<sub>q</sub>* er relatert til den generelle mobiliteten *μ* ved ligningen *μ* = *μ<sub>q</sub>*/*q*. Parameteren *μ<sub>q</sub>* er forholdet mellom partikkelens terminaldrifthastighet og et påført elektrisk felt. Derfor blir ligningen i tilfelle av en ladet partikkel gitt som

: D = \frac{\mu_q \, k_\text{B} T}{q},

hvor

* D er diffusjonskoeffisienten (\mathrm{m^2s^{-1}}).
* \mu_q er den elektriske mobiliteten(\mathrm{m^2V^{-1}s^{-1}}).
* q er den elektriske ladningen til partikkel (C, coulomb)
* T er elektrontemperaturen eller ionetemperaturen i plasma (K).

Hvis temperaturen er gitt i Volt, som er mer vanlig for plasma:

: D = \frac{\mu_q \,  T}{Z},

hvor

* Z er ladetallet på partikkelen (enhetsløs)
* T er elektrontemperatur eller ionetemperatur i plasma (V).

### Stokes–Einstein ligning

I grensen for lavt Reynolds-tall er mobiliteten μ den omvendte av dragkoeffisienten\zeta. En dempende konstant\gamma = \zeta / m brukes ofte for den omvendte momentumavslappingstiden (tid som trengs for at treghetsmomentet blir ubetydelig sammenlignet med det tilfeldige momenta) til det diffusive objektet. For sfæriske partikler med radius *r*, Stokes lov gir

: \zeta = 6 \pi \, \eta \, r,

hvor \eta er viskositeten til mediet. Dermed resulterer forholdet Einstein-Smoluchowski i forholdet Stokes-Einstein

: D = \frac{k_\text{B} T}{6\pi\,\eta\,r}.

Dette har blitt brukt i mange år for å estimere selvdiffusjonskoeffisienten i væsker, og en versjon i samsvar med isomorfteorien er bekreftet av datasimuleringer av Lennard-Jones-systemet. 

I tilfelle rotasjonsdiffusjon er friksjonen \zeta_\text{r} = 8 \pi \eta r^3, og rotasjonsdiffusjonskonstanten D_\text{r} er

: D_\text{r} = \frac{k_\text{B} T}{8\pi\,\eta\,r^3}.

### Halvleder
I en halvleder med en vilkårlig tilstandstetthet, dvs. et forhold mellom formen p = p(\varphi) mellom tettheten til hull eller elektroner p og tilsvarende kvasi Fermi-nivå (eller elektrokjemisk potensial) \varphi, Einstein-forholdet er

: D = \frac{\mu_q p}{q \frac{dp}{d\varphi}},

hvor \mu_q er den elektriske mobiliteten. Et eksempel som antar en parabolsk dispersjonsforhold for tilstandstettheten og Maxwell-Boltzmann-statistikken, som ofte brukes til å beskrive uorganiske halvledermaterialer, kan man beregne (se tilstandstetthet):

: p(\varphi) = N_0 e^{\frac{q \varphi}{k_\text{B} T}},

hvor N_0 er den totale tettheten av tilgjengelige energitilstander, som gir den forenklede relasjonen:

: D = \mu_q \frac{k_\text{B} T}{q}.

### Nernst-Einstein ligningen
Ved å erstatte diffusivitetene i uttrykkene for elektriske ioniske mobiliteter av kationene og anionene fra uttrykkene for ekvivalent ledningsevne til en elektrolytt, blir Nernst-Einstein ligningen avledet:

: \Lambda_e = \frac{z_i^2 F^2}{RT}(D_+ +  D_-).

## Referanser