Vindskjev linje

I tredimensjonal geometri er to linjer **vindskjeve** når de verken krysser hverandre eller er parallelle. Et enkelt eksempel på vindskjeve linjer er paret av linjer gjennom motsatte kanter av et regulært tetraeder. To linjer som begge ligger i samme plan må enten krysse hverandre eller være parallelle, så vindskjeve linjer kan eksistere bare i tre eller flere dimensjoner. To linjer er vindskjeve hvis og bare hvis de ikke ligger i samme plan.

## Formler

### Teste for vindskjevhet
Hvis hver av et par skrå linjer er definert av to punkter, og disse fire punktene ikke ligger i samme plan, så vil de være hjørner i et tetraeder av endelig volum. Derfor kan vi teste om to par punkter definerer vindskjeve linjer ved å bruke formelen for volumet av et tetraeder gitt ved sine fire hjørner. Vi lar de fire hjørnenes koordinater være gitt ved 3-vektorene , , , og . Da kan vi sjekke om linjen gjennom  og  er vindskjev til linjen gjennom  og  ved å se om volumet til tetraederet definert av disse fire punktene er forskjellig fra null:

: V=\frac{1}{6}\left|\det\left[\begin{matrix}\boldsymbol{b}-\boldsymbol a \\ \boldsymbol c-\boldsymbol{a} \\ \boldsymbol{d}-\boldsymbol{a} \end{matrix}\right]\right| = \frac{1}{6}|(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})\cdot((\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})\times(\boldsymbol d-\boldsymbol a))|

### Nærmeste punkt
Vi uttrykker de to linjene som vektorer:

: \text{Linje 1:} \; \boldsymbol{v}_1=\boldsymbol{p}_1+t_1\boldsymbol{d}_1
: \text{Linje 2:} \; \boldsymbol{v}_2=\boldsymbol{p}_2+t_2\boldsymbol{d}_2

Vektor kryssproduktet av \boldsymbol{d}_1 og \boldsymbol{d}_2 er vinkelrett på begge linjene.

:  \boldsymbol{n}= \boldsymbol{d}_1 \times \boldsymbol{d}_2

Planet spent ut av Linje 2 og  \boldsymbol{n} inneholder punktet  \boldsymbol{p}_2 og er vinkelrett på  \boldsymbol{n}_2= \boldsymbol{d}_2 \times \boldsymbol{n}.

Skjæringspunktet mellom Linje 1 og dette planet, som også er punktet på Linje 1 som er nærmest Linje 2, er gitt ved

:  \boldsymbol{c}_1=\boldsymbol{p}_1+ \frac{(\boldsymbol{p}_2-\boldsymbol{p}_1)\cdot\boldsymbol{n}_2}{\boldsymbol{d}_1\cdot\boldsymbol{n}_2} \boldsymbol{d}_1

På samme måte er punktet på Linje 2 nærmest Linje 1 gitt ved 

:  \boldsymbol{c}_2=\boldsymbol{p}_2+ \frac{(\boldsymbol{p}_1-\boldsymbol{p}_2)\cdot\boldsymbol{n}_1}{\boldsymbol{d}_2\cdot\boldsymbol{n}_1} \boldsymbol{d}_2,

hvor  \boldsymbol{n}_1= \boldsymbol{d}_1 \times \boldsymbol{n}.

#### Avstand
De nærmeste punktene  \boldsymbol{c}_1 og  \boldsymbol{c}_2 danner det korteste linjestykket som forbinder Linje 1 med Linje 2:

:  d = \Vert \boldsymbol{c}_1 - \boldsymbol{c}_2 \Vert.

Dersom vi bruker kryssproduktet mellom \boldsymbol{d}_1 og \boldsymbol{d}_2 til å definere en enhetsvektor for linjen som forbinder de vindskjeve linjene:

:  \widehat\boldsymbol{n} = \frac{\boldsymbol{d}_1 \times \boldsymbol{d}_2}{\Vert \boldsymbol{d}_1 \times \boldsymbol{d}_2 \Vert}, 

Så kan avstanden mellom linjene også uttrykkes ved

:  d = |\widehat\boldsymbol{n} \cdot (\boldsymbol{p}_1 - \boldsymbol{p}_2)|.

Hvis \boldsymbol{d}_1\times\boldsymbol{d}_2 er null, så er linjene er parallelle og denne metoden kan ikke brukes.

## Litteratur

* .
* . Revised version in English: .

## Eksterne lenker

*