Feynmans veiintegral

**Feynmans veiintegral** betegner en tredje formulering av moderne kvantemekanikk som på flere måter er mer generell enn bølgemekanikken til Erwin Schrödinger og matrisemekanikken til Werner Heisenberg. Den ble utviklet av Richard Feynman på begynnelsen av andre verdenskrig da han var student og var viktig for hans bidrag til utviklingen av kvanteelektrodynamikk i årene som fulgte dens avslutning. 

En første konsekvens av denne nye formuleringen ble bruk av Feynman-diagram ved beregninger i kvantefeltteori. Men det var først ved etableringen av standardmodellen for elementærpartikkelfysikk på 1970-tallet at bruk av veiintegral i stor grad ble enerådende for praktiske anvendelser og teoretiske undersøkelser. En viktig grunn er at denne fremstillingen er automatisk i overensstemmelse med  Einsteins relativitetsteori i motsetning til de tidligere formuleringene til Heisenberg og Schrödinger.

Denne alternative beskrivelsen er basert på den fundamentale antagelsen at et kvantemekanisk system kan bevege seg fra én tilstand *a&thinsp;* til en annen tilstand *b&thinsp;* på mange forskjellige måter som hver er like sannsynlige. Hver slik tidsutvikling eller «historie» har en sannsynlighetsamplitude *K&thinsp;* som kun avhenger av virkningen *S&thinsp;* til systemet. Denne kan beregnes fra systemets Lagrange-funksjon. Angis én spesiell historie med en indeks *n*, vil den da ha en amplitude

:   K_n(b;a) = e^{iS_n(b;a)/\hbar} 

hvor *ħ&thinsp;* er den reduserte Planck-konstanten. Sannsynligheten er gitt ved dens kvadrerte absoluttverdi  og er derfor den samme for alle historier. Vanligvis vil et stort antall forskjellige historier være mulig. Den resulterende amplituden for alle mulige tidsutviklinger følger i så fall fra summen av alle disse delamplitudene,

:   K(b;a) = \sum_n e^{iS_n(b;a)/\hbar} 

Denne formen til overgangsamplituden ligger til grunn for at Feynmans formulering ofte blir omtalt som en «sum av historier». Når den tilsvarende overgangssannsynligheten |*K*(*b;a*)|2 regnes ut, vil den gi opphav til interferens mellom de forskjellige bidragene på samme måte som når lys går gjennom to eller flere spalter.

For én partikkel som beveger seg i det tredimensjonale rommet, er dens historie gitt ved en kurve **x**(*t&thinsp;*) som angir den veien partikkelen følger i sin tidsutvikling. Da disse veiene går kontinuerlig over i hverandre, må summen over alle mulige veier erstattes med et integral. Den blir dermed et **veiintegral**. For mer kompliserte system, kan de forskjellige historiene ikke betraktes som slike enkle veier. Likevel sies deres kvantemekaniske egenskaper  å være beskrevet ved tilsvarende integral over alle tenkelige veier.

## Bakgrunn

Som doktorgradstudent ved Princeton University  arbeidet Feynman sammen med sin veileder John Wheeler med en teori for klassisk elektrodynamikk som ikke skulle inneholde frie, elektromagnetiske felt. Den hadde ingen anvendelig Hamilton-funksjon slik at den ikke kunne kvantiseres ved bruk av en Hamilton-operator som Schrödinger og Heisenberg hadde vist. Ved et nesten tilfeldig møte i 1941 med Herbert Jehle som hadde flyktet fra Europa, fikk Feynman vite om et tidligere arbeid av Paul Dirac hvor en kvantemekanisk overgangsamplitude kunne uttrykkes ved Lagrange-funksjonen til systemet. Etter at han hadde lest denne artikkelen, forstod han hvordan amplituden til Dirac kunne generaliseres og danne utgangspunkt for en helt ny formulering av kvantemekanikken.

### Diracs amplitude

Ved bruk av vanlig kvantemekanikk hadde Dirac i 1931 studert sannsynlighetsamplituden for at en partikkel som befinner seg i et visst punkt ved tiden *t<sub>a</sub>*, vil bli observert i et annet punkt ved et senere tidspunkt *t<sub>b</sub>*. For enkelhets skyld kan man anta at den bare kan bevege seg i én dimensjon med koordinaten *q*. Amplituden er da 

:  \langle q_b,t_b | q_a, t_a\rangle =  \langle q_b |e^{-i\hat{H}(t_b - t_a)/\hbar}| q_a \rangle 

hvor  \hat{H}  er Hamilton-operatoren til partikkelen. Hvis den har masse *m&thinsp;* og beveger seg med potensiell energi *V*(*q*), er denne operatoren

:  \hat{H} = {\hat{p}^2\over 2m}  + V(\hat{q}) 

der det første leddet representerer den kinetiske energien uttrykt ved impulsoperatoren  \hat{p}.  

For vilkårlige tidspunkt  *t<sub>b</sub>* > *t<sub>a</sub>* kan denne overgangsamplituden ikke uten videre regnes ut for et generelt potensial. Mye av grunnen for dette er at de to termene i Hamilton-operatoren ikke kommuterer med hverandre. Men når tidsforskjellen  blir svært liten, kan man benytte at

:  e^{\varepsilon\hat{A} + \varepsilon\hat{B}} = e^{\varepsilon\hat{A}}e^{\varepsilon\hat{B}} 

når man ser bort fra ledd som er av orden *&epsilon;*2 eller høyere.  Da har man

:  \langle q', t + \varepsilon| q, t \rangle = \langle q'| e^{-i\varepsilon{\hat{p}}^2/2m\hbar}|q\rangle \, e^{-i\varepsilon V(q)/\hbar}  

etter å ha benyttet at \hat{q} |q\rangle = q|q\rangle . Det gjenstående matriseelementet kan nå finnes ved å innsette et fullstendig sett med egentilstander for impulsoperatoren,

: \begin{align}  \langle q'| e^{-i\varepsilon{\hat{p}}^2/2m\hbar}|q\rangle &= \int_{-\infty}^\infty\! {dp\over 2\pi\hbar} \langle q'| e^{-i\varepsilon{\hat{p}}^2/2m\hbar}|p\rangle\langle p|q \rangle \\ &= \int_{-\infty}^\infty\! {dp\over 2\pi\hbar}e^{-i\varepsilon p^2/2m\hbar} e^{i(q' - q)p/\hbar} \end{align} 

Selv om integrasjonen over den klassiske impulsen her involverer komplekse størrelser, kan den likevel utføres som et vanlig Gauss-integral. Resultatet kan skrives som

: \begin{align} \langle q', t + \varepsilon| q, t \rangle &= A\, e^{im(q' - q)^2/2\hbar\varepsilon - i\varepsilon V(q)/\hbar} \\ &= A e^{i\varepsilon L(q,\dot{q})/\hbar} \end{align}

der 

:  A = \sqrt{m\over 2\pi i\hbar\varepsilon} 

og 

:  L(q,\dot{q}) = {m\over 2}\dot{q}^2 - V(q) 

er Lagrange-funksjonen til partikkelen hvor dens hastighet er gitt ved den tidsderiverrte  \dot{q} = (q' - q)/\varepsilon  når *&epsilon;&thinsp;* går mot null. I eksponenten opptrer  \varepsilon L(q)   som er virkningen for den korte bevegelsen mellom de to nærliggende tidspunktene. Det var denne sammenhengen som Feynman ble klar over da han leste Diracs arbeid.

## Definisjon

Arbeidet til Dirac viste også hvordan overgangsamplituden kan beregnes når tidsforskjellen mellom de to ytterpunktene er endelig. Ved å dele den opp i *N&thinsp;* like store biter, hver med lengde *&epsilon;* &rarr; 0,  kan man benytte det funne resultatet  for hver bit. Innsettes fullstendig sett med egentilstander av posisjonsoperatoren  \hat{q} ved hver slik mellomtid, tar denne amplituden dermed formen

: \begin{align} & K(b;a) = \langle q_b,t_b | q_a, t_a\rangle \\ &=  \int\!dq_1\cdots \int\!dq_{N-1}\langle q_b |e^{-i\varepsilon\hat{H}/\hbar}| q_{N-1} \rangle\cdots \langle q_2 |e^{-i\varepsilon\hat{H}/\hbar}| q_1 \rangle \langle q_1 |e^{-i\varepsilon\hat{H}/\hbar}| q_a \rangle \end{align} 

hvor *q<sub>N</sub>*  =   *q<sub>b</sub>*. I grensen der *&epsilon;* &rarr; 0 og *N* &rarr; &infin; slik at  forblir endelig, kan nå dette skrives på den kompakte formen

:  K(q_b,t_b ; q_a,t_a) = \int\! Dq \, e^{iS[q]/\hbar} 

som er Feynmans veiintegral for overgangsamplituden. Eksponenten inneholder

:  S[q] = \sum_{k=1}^N \varepsilon L(q_k, q_{k-1}) = \int_{t_a}^{t_b} \! dt L(q,\dot{q}) 

når man benytter at *q<sub>k</sub>* = *q*(*t<sub>k</sub>*). Dette er virkningen til partikkelen langs én vei *q*(*t*) som forbinder de to ytterpunktene til bevegelsen.  Utledningen gir i dette tilfellet integrasjonsmålet 

:   Dq = A^N dq_1 dq_2 \cdots dq_{N-1} 

i grensen der *N&thinsp;* blir veldig stor. Feynman så i integrasjonen over alle disse mellomliggende koordinatene en effektiv summasjon av alle veier som forbinder begynnelsesposisjonen *q<sub>a</sub>&thinsp;* med sluttposisjonen *q<sub>b</sub>*. Da sannsynlighetsamplituden for hver vei er proporsjonal med *e**iS*/*ħ*, vil de alle være like sannsynlige.

Klassiske system er karakteriserte ved å ha virkninger *S&thinsp;* som er mye større enn Plancks konstant. Hver delamplitude som inngår i veiintegralet, vil derfor variere svært raskt sammenlignet med amplitudene for nærliggende veier. Tilsammen virker de som ved destruktiv interferrens og gir et forsvinnende bidrag til veiintegralet. Kun de veier som har omtrent samme virkning, vil bidra konstruktivt og bestemmer tidsutviklingen  i den klassiske grensen . Som en direkte konsekvens av denne kvantemekaniske formuleringen finner man derfor Hamiltons virkningsprinsipp som styrer all bevegelse i klassisk mekanikk.

### Ikke-relativistisk propagator

Funksjonen *K*(*q<sub>b</sub>*,*t<sub>b</sub>*;*q<sub>a</sub>*,*t<sub>a</sub>*) er sannsynlighetsamplituden for at en partikkel som befinner seg i punktet *q<sub>a</sub>&thinsp;* ved tiden *t<sub>a</sub>&thinsp;*, kan observeres i  *q<sub>b</sub>&thinsp;* ved et senere tidspunkt *t<sub>b</sub>&thinsp;*. Dette er definisjonen av en propagator i kvantemekanikken. Mer generelt kan den benyttes til å beregne bølgefunksjonen *&psi;*(*q<sub>b</sub>*,*t<sub>b</sub>*) for partikkelen ved et senere tidspunkt når den tidligere er gitt som *&psi;*(*q<sub>a</sub>*,*t<sub>a</sub>*). 
Det følger fra den formelle sammenhengen

:  \begin{align} \psi(q_b,t_b) &= \langle q_b|\psi, t_b) = \langle q_b| e^{-i\hat{H}(t_b - t_a)/\hbar}|\psi, t_a \rangle  \\ &= \int\!dq_a \langle q_b| e^{-i\hat{H}(t_b - t_a)/\hbar}|q_a\rangle\langle q_a| \psi, t_a \rangle \\ &=  \int\! dq_a K(q_b,t_b;q_a,t_a)\psi(q_a,t_a) \end{align} 

Dette integralet representerer den kontinuerlige summen over all veier mellom *q<sub>a</sub>&thinsp;* og *q<sub>b</sub>*, hver vektet med sannsynlighetsamplituden  *&psi;*(*q<sub>a</sub>*,*t<sub>a</sub>*). Det er analogt med det tilsvarende  Kirchhoff-integralet som opptrer i beskrivelsen av diffraksjon basert på  Huygens-Fresnels prinsipp.

For en fri partikkel er potensialet *V* = 0. Den tilsvarende propagatoren *K*0 kan da beregnes eksakt på samme måte som over et kort tidsrom *&epsilon;*.  Av den grunn vil den være

:   K_0(q_b, t_b; q_a, t_a) = \left({m\over 2\pi i\hbar(t_b - t_a)}\right)^{1/2} e^{im(q_b - q_a)^2/2\hbar(t_b - t_a)} . 

I eksponenten opptrer virkningen til den klassiske bevegelsen av partikkelen. Den er karakterisert  ved at hastigheten mellom de to punktene har den konstante verdien  (. Propagatoren har samme form som løsningen av diffusjonsligningen med en punktformig kilde, men bevegelsen foregår her i imaginær tid.

### Schrödinger-ligning

Basert på sin antagelse at overgangsamplituden kunne skrives som et veiintegral, måtte Feynman vise at den var I overensstemmelse med vanlig kvantemekanikk. I praksis betyr det å vise at bølgefunksjonen oppfyller Schrödinger-ligningen. Dette gjorde han like etter at han hadde møtt Jehle og inngikk senere i hans doktorgradsarbeid. Først etter at andre verdenskrig var slutt, ble dette publisert.

Under et kort tidsrom *t* &rarr; *t* + *&epsilon;&thinsp;* forandrer bølgefunksjonen seg fra *&psi;*(*q*,*t*&thinsp;) til

:  \psi(q, t + \varepsilon) = \int\! dq' \, K(q,t + \varepsilon; q', t) \psi(q', t) 

Ved å innføre den nye variable *s* = *q' - q*, forvandles  dette integralet til

: \begin{align} & \psi(q, t + \varepsilon) =  A\int_{-\infty}^\infty \! ds \, e^{ims^2/2\hbar\varepsilon}  \\ & \cdot \left(\big[1 -  \varepsilon {i \over \hbar} V(q)\big] \psi(q,t)  +  s{\partial\psi \over \partial q} + {s^2\over 2} {\partial^2\psi \over \partial q^2} \right) \end{align} 

når man tar med kun de leddene som bidrar i grensen *&epsilon;* &rarr; 0. Alle integralene her kan beregnes fra det elementære Gauss-integralet. Da kombinasjonen 

:  {1\over\varepsilon} \left[\psi(q, t + \varepsilon) - \psi(q, t)\right] =  {\partial\psi \over \partial t}  ,  

gir de forskjellige leddene i veiintegralet dermed resullatet

:  i\hbar {\partial\psi \over \partial t} = \left[-{\hbar^2\over 2m}  {\partial^2 \over \partial q^2} + V(q)\right] \psi(q,t) 

På høyre side opptrer Hamilton-operatoren  \hat{H}.   Dette er Schrödinger-ligningen som beskriver den kvantemekaniske bevegelsen til partikkelen i dette tilfellet.

### Greens funksjon

Fra definisjonen av propagatoren for *t<sub>b</sub>* = *t<sub>a</sub>&thinsp;* følger at

:  K(q_b,t_a;q_a,t_a) = \delta(q_b - q_a) 

hvor Diracs deltafunksjon på høyre side uttrykker at partikkelen i dette tilfellet ikke kan bevege seg i det hele tatt. Propagatoren har derfor en komplisert funksjonsform  når *t<sub>b</sub>* nærmer seg *t<sub>a</sub>*. Denne kan finnes ut fra kravet at bølgefunksjonen *&psi;*(*q<sub>b</sub>*,*t<sub>b</sub>*) skal oppfylle Schrödinger-ligningen 

:  \left(i\hbar {\partial\over\partial t_b} - \hat{H}_b\right)\psi(q_b,t_b) = 0, \quad t_b > t_a 

Dette blir nå en betingelse som også propagatoren må oppfylle på formen

:  \left(i\hbar {\partial\over\partial t_b} - \hat{H}_b\right)K(q_b,t_a;q_a,t_a) =  i\hbar\, \delta(t_b - t_a)\delta(q_b - q_a) 

Den er derfor en Green-funksjon for Schrödinger-ligningen. Av den grunn kan andre fremgangsmåter benyttes til beregning av propagatoren enn direkte fra veiintegralet.

## Noen eksempel

Veiintegralet til Feynman kan utledes fra vanlig kvantemekanikk, men er mer generelt da det kan benyttes i sammenhenger hvor man ikke har noen Hamilton-funksjon. Derimot kan det skjelden eksakt beregnes slik at bare approksimative eller numeriske verdier vil finnes. Mange ganger har dets største fordel vist seg å være i forbindelse med mer formelle og anskuelige betraktninger rundt kvantemekanikkens fundamentale egenskaper.

Når Lagrange-funksjonen kun inneholder kvadratiske ledd som

:  L  =  a(t) \dot{q}^2 + b(t) q\dot{q} + c(t) q^2  + d(t) \dot{q} + e(t) q + f(t)  , 

kan veiintegralet  langt på vei utføres da det isåfall kun gir opphav til gaussiske integral. Resultatet kan skrives som

:  K(q_b,t_b ; q_a,t_a) = F(t_b, t_a) \, e^{iS_{cl}[q]/\hbar} 

hvor funksjonen *F&thinsp;* ikke avhenger av ytterpunktene *q<sub>a</sub>&thinsp;* og *q<sub>b</sub>*. De inngår derimot i den klassiske virkningen

:  S_{cl}[q] = \int_{t_a}^{t_b} \! dt L(q_{cl},\dot{q}_{cl}) 

hvor den spesielle veien *q<sub>cl</sub>*(*t*&thinsp;) er den klassiske bevegelsen til partikkelen. Den er en løsning av Euler-Lagrange-ligningen for den gitte Lagrange-funksjonen. Når de forskjellige koeffisientene i denne er uavhengige av tiden, vil funksjonen *F&thinsp;* bare avhenge av tidsdifferansen  fordi partikkelen da beveger seg under konstante forhold.

### Harmonisk oscillator

Bevegelsen til en kvantisert harmonisk oscillator er av grunnleggende betydning og kan forholdsvis enkelt utledes  i vanlig kvantemekanikk. Fullt så enkelt er det ikke ved bruk av veiintegral. Oscillatoren befinner seg i potensialet  som er kvadratisk i utslaget *q*. Den klassiske bevegelsen kan lett finnes og er gitt ved veien 

:  q_{cl}(t) = q_a {\sin\omega(t_b - t)\over \sin\omega(t_b - t_a)}  + q_b {\sin\omega(t - t_a)\over \sin\omega(t_b - t_a)} 

som oppfyller grensebetingelsene ved tidspunktene *t<sub>a</sub>&thinsp;* og *t<sub>b</sub>*. Herav finnes den klassiske virkningen ved direkte integrasjon,

:  S_{cl}[q] =  {m\omega\over 2\sin\omega(t_b - t_a)}\big[(q_a^2 + q_b^2)\cos\omega(t_b - t_a) - 2q_a q_b \big] 

Prefaktoren *F&thinsp;* i propagatoren kan nå beregnes fra fluktuasjonene rundt denne løsningen  og blir

:  F(t_b, t_a) = \left({m\omega\over 2\pi i\hbar\sin\omega(t_b - t_a)} \right)^{1/2} 

Dette er overensstemmelse med resultatet for en fri partikkel som finnes i grensen *&omega;* &rarr; 0 der potensialet blir null.

### Partikler i tre dimensjoner

Posisjonen til en partikkel som beveger seg i tre dimensjoner, kan angis ved tre kartesiske koordinater . Hver vei i dette rommet utgjør da en kurve . For en ikke-relativistisk bevegelse med potensiell energi  fra  punktet  til , kan veiintegralet for propagatoren skrives som

:  K(\mathbf{x}_b,t_b;\mathbf{x}_a,t_a) = \int_{\mathbf{x}_a}^{\mathbf{x}_b} \! D\mathbf{x}\, \exp\Big({i\over\hbar} \int_{t_a}^{t_b} \! dt \,\Big[ {1\over 2}m\dot{\mathbf{x}}^2 - V(\mathbf{x},t)\Big] \Big) 

Det har samme form som et produkt av tre éndimensjonale integral. Integrasjonsmålet i det diskrete tilfellet der tidsintervallet kan splittes opp som  blir da

:    D\mathbf{x} = A^{3N} d^3x_1  d^3x_2 \cdots d^3x_{N-1} 

hvor faktoren *A&thinsp;* er den samme som tidligere. Mens beregninger i vanlig kvantemekanikk vanligvis gjennomføres for potensial *V&thinsp;* som er uavhengige av tiden, er dette ikke noen begrensing i denne formuleringen.

Denne propagatoren er også en Green-funksjon for den tilsvarende Schrödinger-ligningen og oppfyller derfor den partielle differensialligningen

:  \left(i\hbar {\partial\over\partial t_b} - \hat{H}_b\right)K(\mathbf{x}_b,t_b;\mathbf{x}_a,t_a) =  i\hbar\, \delta(t_b - t_a)\delta(\mathbf{x}_b - \mathbf{x}_a) 

For en fri partikkel med Hamilton-operator  \hat{H}_0 = \hat\mathbf{p}^2/2m  blir nå propagatoren

:   K_0(b;a)  = \left({m\over 2\pi i\hbar(t_b - t_a)}\right)^{3/2} e^{im(\mathbf{x}_b - \mathbf{x}_a)^2/2\hbar(t_b - t_a)} .

for alle tidspunkt  . Det følger fra veiintegralet, men kan også utledes i dette tilfelle direkte fra egenfunksjonene til Hamilton-operatoren.

### Perturbasjonsteori

For et vilkårlig potensial *V*(*x*) kan ikke veiintegralet utføres eksakt. Men når det kan betraktes som tilstrekkelig svakt sammenlignet med den kinetiske energien, kan man gjøre bruk av at det ikke involverer operatorer, men vanlige funksjoner som kommuterer med hverandre.  Det er én av fordelene med Feynmans formulering av kvantemekanikken. Da kan den delen av eksponentialfunksjonen som inneholder potensialet, utvikles i en Taylor-rekke som inneholder dette i stadig høyere potenser. Dermed kan den vekselvirkende propagatoren splittes opp i summen

:  K(b;a) = K_0(b;a) + K_1(b;a) + K_2(b;a) + \cdots 

hvor *K*(*b; a*) er den frie propagatoren. Til første orden i potensialet får denne en korreksjon som nå kan skrives på den kompakte måten

:  K_1(b;a) = \Big(-{i\over\hbar} \Big) \int_{-\infty}^\infty\! d^4x_1 K_0(b;x_1)V(x_1)K_0(x_1;a) 

når man benytter notasjonen *d*4*x* = *d*3*x&thinsp;dt&thinsp;*. Denne første korreksjonen kan tolkes som at partikkelen starter i punktet *a&thinsp;* hvorfra den beveger seg fritt til punktet *x*1 hvor den vekselvirker med potensialet. Derfra beveger den seg så fritt igjen til sluttpunktet *b*. Til neste orden i denne rekkeutviklingen finner man på samme måte korreksjonen

:  K_2(b;a) = \Big(-{i\over\hbar}\Big)^2 \int_{-\infty}^\infty\! d^4x_2 \int_{-\infty}^\infty\! d^4x_1 K_0(b;x_2)V(x_2)K_0(x_2;x_1) V(x_1) K_0(x_1;a) 

Den involverer på tilsvarende vis to vekselvirkninger med potensialet. Påfølgende ledd i rekkeutviklingen kan nå lett finnes. Hvert av dem kan illustreres
med et Feynman-diagram som i dette tilfellet er en brukket linje mellom punktene *a&thinsp;* og *b&thinsp;* hvor hver brekk angir hvor potensialet virker.

Når potensialet *V*(*x*) er tilstrekkelig svakt, vil bare de første leddene i denne rekken være av betydning. Man har dermed et resultat for den fulle propagatoren som også kan beregnes i perturbasjonsteori. Rekkeutviklingen tilsvarer Born-approksimasjonen som benyttes for spredning av elementærpartikler.

Propagatorer for relativistiske partikler kan også defineres. Men de kan ikke uten videre skrives som veiintegral. I motsetning til den ikke-relativistiske propagatoren beveger de partikler både fremover og bakover i tiden. Det skyldes at de tilsvarende bølgeligningene inneholder løsninger som beskriver   partikler med negativ energi. De tilsvarer antipartikler som beveger seg fremover i tiden.

## Statistisk mekanikk

Bevegelsen til et kvantemekanisk system er styrt av tidsutviklingsoperatoren

:    \hat{U}(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar}  

hvor  \hat{H}   er dets Hamilton-operator. Det samme systemet i termisk likevekt ved temperatur *T*, er beskrevet  ved tetthetsoperatoren

:    \hat{\rho}(\beta) = e^{-\beta \hat{H}}  

der nå *&beta;* = 1/*k<sub>B</sub>T&thinsp;* hvor Boltzmanns konstant *k<sub>B</sub>&thinsp;* inngår. Denne operatoren gjør det mulig å beregne alle termodynamiske egenskapene til systemet. På grunn av den formelle likheten melllom  \hat{U}  og  \hat{\rho} ,  kan også matriseelement av tetthetsoperatoren beregnes ved hjelp av veiintegral. Dette vil da være en integrasjon over veier i «imaginær tid» på grunn av den matematiske sammenhengen

:  it \rightarrow \beta \hbar 

Men denne overgagen til maginær tid er ikke bare en praktisk fremgangsmåte i statistisk mekanikk, men er også av teoretisk betydning. Det skyldes at  mer generelle veiintegral er matematisk bedre definerte når de utføres etter en slik overgang.

### Partisjonsfunksjon

Mange av de termiske egenskapene til et system kan beregnes fra dets partisjonsfunksjon. Den er definert ved  summen

:  Z(\beta) = \sum_n e^{-\beta E_n} 

der dets energier *E<sub>n</sub>&thinsp;* følger fra egentilstandene til Hamilton-operatoren,  \hat{H} | n \rangle = E_n |n\rangle.  Derfor er

:  Z(\beta)  = \sum_n \langle n |e^ {-\beta\hat{H}} |n \rangle  \equiv \operatorname{Tr} \hat{\rho}(\beta ) 

når man innfører tetthetsoperatoren. Summen over egenverdiene har dermed gått over til en sum over alle diagonale matriseelement av denne operatoren. Det utgjør dens matrisespor uttrykt ved operasjonen   \operatorname{Tr}.   Verdien av dette er uavhengig av hvilken basis matriseelementene blir beregnet i.

For en partikkel som beveger seg i én dimensjon med koordinat *q*, kan dette matrisesporet beregnes i posisjonsbasis hvor tetthetsoperatoren er representert ved tetthetsmatrisen med element 

:   \rho(q_b, q_a;\beta) = \langle q_b|e^ {-\beta\hat{H}} | q_a \rangle 

Dette matriseelementet er nå gitt ved propagatoren i imaginær tid som   K(q_b, t_a - i\beta\hbar ; q_a, t_a).  Sporet av tetthetsmatrisen følger så ved én siste integrasjon over de diagonale elementene med *q<sub>a</sub>* = *q<sub>b</sub>*, 

:  Z(\beta) = \int_{-\infty}^\infty\! dq\, \langle q |e^ {-\beta\hat{H}} | q \rangle 

Partisjonsfunksjonen til partikkelen er på denne måten omformet til et nytt veiintegral som beskriver alle mulige  bevegelser fra en posisjon tilbake til samme posisjonen i løpet av en viss, imaginær tid bestemt av systemets temperatur.

### Harmonisk oscilllator

Veiintegralet til en harmonisk oscillator kan utføres eksakt da dens energi er kvadratisk både i hastighet og posisjon.  Det resulterer i at dens propagator *K*(*q<sub>b</sub>*,*t<sub>b</sub>*;*q<sub>a</sub>*,*t<sub>a</sub>*) kan utrykkes ved den klassiske virkningen. Etter å ha innført imaginær tid   i denne, tar den formen

:   {i\over\hbar} S_{cl} [q]  \rightarrow - S_{cl}^E [q] =  - {m\omega\over 2\hbar\sinh\beta\hbar\omega}\big[(q_a^2 + q_b^2)\cosh\beta\hbar\omega - 2q_a q_b \big] 

da de trigonometriske funksjonene går over til de tilsvarende  hyperbolske funksjonene. Det samme gjelder for prefaktoren i veiintegralet som blir

:  F(t_b, t_a) \rightarrow  F_E (\beta) = \left({m\omega\over 2\pi \hbar\sinh\beta\hbar\omega} \right)^{1/2} 

Ved å benytte identitetene cosh&thinsp;2*x* - 1 = 2&thinsp;sinh2*x&thinsp;* og  følger partisjonsfunksjonen fra det reelle Gauss-integralet

:  \begin{align} Z(\beta) &= F_E (\beta)  \int_{-\infty}^\infty\! dq\,\exp\Big(- (m\omega\, q^2/\hbar) \tanh\beta\hbar\omega/2 \Big)\\ &=  {1\over 2\sinh\beta\hbar\omega/2} \end{align} 

Ved høy temperatur der *&beta;ħ&omega;* = *ħ&omega;*/*k<sub>B</sub>T&thinsp;* &rarr; 0, går dette over til resultatet fra klassisk, statistisk mekanikk. Den indre energien er da *U* = *k<sub>B</sub>T&thinsp;* i ovensstemmelse med ekvipartisjonsprinsippet. Kvantemekanisk er nå denne energien derrimot

:  \begin{align} U &= - {\partial\over\partial\beta} \ln Z  =  {1\over 2}\hbar\omega \coth{1\over 2}\beta\hbar\omega \\
&=  {1\over 2}\hbar\omega  + {\hbar\omega\over e^{\beta\hbar\omega} - 1} \end{align} 

Den første termen her er nullpunktsenergien *ħ&omega;*/2 til oscillatoren som den har når *&beta;* &rarr; &infin;, det vil si ved null grader. Det andre leddet fremkommer mer direkte ved å utføre summasjonen i partisjonsfunksjonen med bruk av energiene  som følger fra kvantisering av oscillatoren.

## Euklidisk formulering

Partisjonsfunksjonen for et generelt system kan regnes ut ved et veiintegral i imaginær tid *&beta;ħ*. Igjen kan det enklest vises for en ikke-relativistisk partikkel i én dimensjon med Lagrange-funksjon

:  L = {m\over 2} \Big({dq\over dt}\Big)^2 - V(q) 

Ved å splitte opp tidsintervallet i *N&thinsp;* like store deler slik at *&beta;ħ* = *N&epsilon;*, kan fullstendige sett med mellomtilstander innsettes på samme måte som i reell tid. Det gir

: \begin{align} &Z(\beta) = \int_{-\infty}^\infty\! dq\, \langle q |e^ {-\beta\hat{H}} | q \rangle \\ &=  \int\!dq_1\cdots \int\!dq_N\langle q |e^{-\varepsilon\hat{H}/\hbar}| q_{N-1} \rangle\cdots \langle q_2 |e^{-\varepsilon\hat{H}/\hbar}| q_1 \rangle \langle q_1 |e^{-\varepsilon\hat{H}/\hbar}| q \rangle \end{align} 

hvor *q* = *q<sub>N</sub>*.  Endepunktet for bevegelsen er derfor det samme som utgangspunktet. Det som var Diracs overgangsamplitude for to nærliggende tidsrom, blir nå

:   \langle q_n |e^{-\varepsilon\hat{H}/\hbar}| q _{n-1} \rangle  =   A\, e^{-\varepsilon[m(q_n - q_{n-1})^2/\varepsilon^2 + V(q_n)] /\hbar} 

der prefaktoren i dette tilfelle er 

:  A_E = \sqrt{m\over 2\pi\hbar\varepsilon} 

På samme vis gjenkjennes i eksponenten til amplituden den «euklidiske Lagrange-funksjonen»

:  L_E(q,\dot{q})  = {m\over 2} \Big({dq\over d\tau}\Big)^2 + V(q) 

når man betrakter *q* = *q*&thinsp;(*&tau;*) som en funksjon av en imaginær tid . Da er   med .  Ved å la  og  slik at , kan dermed partisjonsfunksjonen skrives som veiintegralet

:  Z(\beta) =  \int\! Dq \, \exp{\Big[- \int_0^{\beta\hbar}\! d\tau L_E(q,\dot{q})/\hbar \Big]} 

Integrasjonsmålet er i denne euklidske formuleringen nå

:   Dq = A_E^N dq_1 dq_2 \cdots dq_N 

før den kontinuerlige grensen blir tatt. Veiene som det integreres over her, er **periodiske** i den forstand at  da partikkelen beveger seg fra et sted tilbake til samme sted ved et senere tidspunkt *&beta;ħ&thinsp;* i imaginær tid..

### Matsubara-frekvenser

Som en illustrasjon av denne formalismen, kan man igjen betrakte en harmonisk oscillator. Setter man dens masse til , er den euklidiske virkningen da

:  S_E[q] =  {1\over 2}\int_0^{\beta\hbar}\! d\tau \Big[\Big({dq\over d\tau} \Big)^2 + \omega^2 q^2\Big] 

Etter en partiell integrasjon av det første leddet hvor man gjør bruk av grensebetingelsen  tar den formen

:  S_E[q] =  {1\over 2}\int_0^{\beta\hbar}\! d\tau \, q(\tau)\big[ - \partial_\tau^2 + \omega^2 \big] q(\tau) 

Den periodiske egenskapen til hver vei gjør det mulig å omskrive den til en Fourier-rekke

:  q(\tau) = \sqrt{1\over\beta\hbar}\sum_{n=-\infty}^\infty q_n e^{i\omega_n\tau} 

hvor nå *q<sub>n</sub>&thinsp;* er komplekse Fourier-komponenter som må oppfylle *q<sub>n</sub>** = *q<sub>-n</sub>&thinsp;* da *q*(*&tau;*&thinsp;) er en reeell funksjon. Videre er *&omega;<sub>n</sub>&thinsp;* diskrete «Matsubara-frekvenser» med de spesielle verdiene

:  \omega_n = {2\pi\over\beta\hbar}n, \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots 

som følger fra grensebetingelsen.

### Helmholtz fri energi

Ved å gjøre bruk av normeringen

:  \int_0^{\beta\hbar}\! d\tau \, e^{i\omega_n\tau}e^{i\omega_m\tau} = \delta_{n,-m} 

blir den euklidiske virkningen en uendelig sum,

:   S_E[q] = {1\over 2}\sum_{n=-\infty}^\infty q_n^*(\omega_n^2 + \omega^2) q_n 

Dermed går veiintegralet over til et tilsvarende, uendelig produkt av vanlige integral,

:  Z(\beta) = C\prod_{n=--\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \!dq_n e^{-{1\over 2} q_n^*(\omega_n^2 + \omega^2) q_n/\hbar} 

hvor *C&thinsp;* er en konstant som oppstår fra integrasjonsmålet når man går fra de kontinuerlige veiene *q*&thinsp;(*&tau;*) til Fourier-komponentene *q<sub>n</sub>*. Hvert delintegral er igjen gaussisk og gir for den fri energien  til oscillatoren

:  F = {1\over 2\beta} \sum_{n=--\infty}^\infty \ln \big( \omega_n^2 + \omega^2) 

når man ser bort fra bidrag som kommer fra den ukjente konstanten og andre, numerisk faktorer som oppstår under integrasjonen. De opptrer på grunn av at den resulterende summen er divergent.

Disse ukjente bidragene forsvinner hvis man deriverer den uendelig summen med hensyn på frekvensen *&omega;*, På den måten fremkommer

:   {\partial F\over\partial\omega} = {\omega\over\beta} \sum_{n=--\infty}^\infty {1\over \omega_n^2 + \omega^2} 

som er en konvergent rekke. Summen har nå samme form som

:    \sum_{n=--\infty}^\infty {1\over n^2 + a^2} = {\pi\over a} \coth\pi a 

og resulterer i

:   {\partial F\over\partial\omega} = {\hbar\over 2}\coth {\beta\hbar\omega\over 2} 

En siste integrasjon gir den fri energien  \beta F = \ln(2\sinh\beta\hbar\omega/2)  i overenstemmelse med hva som finnes ved direkte utregning av det opprinnelige veiintegralet. Denne fri energien kan alternativt skrives på den mer kjente formen

:  F = {1\over 2}\hbar\omega + {1\over\beta}\ln \big(1 - e^{-\beta\hbar\omega}\big) 

når man igjen ser bort fra bidrag fra ukjente konstanter.

### Bose-Einstein gass

Et system av identiske partikler i termisk likevekt kan beskrives i det storkanoniske ensemblet.  Men partiklene kan også betraktes som eksitasjoner av et kvantefelt. Deres egenskaper ved endelig temperatur kan derfor beregnes ved bruk av veiintegral i imaginær tid .

Hvis partiklene er frie bosoner, er de kvant til et skalarfelt med Lagrange-funksjon

:   {\mathcal L} = {1\over 2} \left({\partial\phi\over\partial t}\right)^2 - {1\over 2} (\boldsymbol{\nabla}\phi)^2  - {1\over 2} m^2 \phi^2 

når man benytter naturlige enheter med *ħ* = *c* = 1. Partisjonsfunksjonen for systemet kan dermed formelt skrives som

:  Z(\beta) = \int\!D\phi \, e^{-S_E[\phi]} 

hvor *&phi;* = *&phi;*(*&tau;*,**x**). Virkningen er nå

:   S_E[\phi] = {1\over 2} \int_0^\beta\!d\tau \int\! d^3x \left[\left({\partial\phi\over\partial \tau}\right)^2 + (\boldsymbol{\nabla}\phi)^2 + m^2 \phi^2 \right] 

På denne formen er det blitt tydelig hvorfor det er naturlig å kalle denne «euklidisk» da både imaginær tid og romlige koordinater opptrer med samme fortegn.

Veiintegralet kan enklest utføres ved å la systemet befinne seg i en kubisk boks med volum  Med periodiske grensebetingelser kan da feltet utvikles i en Fourier-rekke

:  \phi(\tau,\mathbf{x}) = \sqrt{1\over V}  \sum_\mathbf{k}  \phi_\mathbf{k}(\tau)\,e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}  

hvor bølgevektoren tar de kvantiserte verdiene **k** = (2*&pi;*&thinsp;/*L*)&thinsp;**n** der vektoren **n** har komponenter som er positive og negative heltall. Den euklidiske virkningen blir dermed

:  S_E[\phi] =  {1\over 2}\sum_\mathbf{k}\int_0^\beta\! d\tau \, \phi_\mathbf{k}^*(\tau)\big[ - \partial_\tau^2 + \omega_\mathbf{k}^2 \big] \phi_\mathbf{k}(\tau) 

med *&omega;***k**2 = **k**2 + *m*2. For hver verdi av bølgevektoren **k** er dette virkningen til en harmonisk oscillator med frekvens *&omega;***k**. Mens partisjonsfunksjonen for hele feltet dermed blir et uendelig produkt  av partisjonsfunksjoner for hver oscillatormode, vil for eksempel den indre energien bli en uendelig sum av bidragene fra hver mode,

:  U =   \sum_\mathbf{k} \left( {1\over 2}\hbar\omega_\mathbf{k}  + {\hbar\omega_\mathbf{k}\over e^{\beta\hbar\omega_\mathbf{k}} - 1} \right) 

Det siste leddet her er i overensstemmelse med vanlig Bose-Einstein statistikk. For masseløse partikler *m* = 0 gir det innholdet av Plancks strålingslov og bidrar ikke når temperaturen  *T* &rarr; 0. Det gjør derimot det første leddet som i tillegg divergerer ved alle temperaturer. Opprinnelsen til dette bidraget kommer fra oscillatorens nullpunktsenergi. For et kvantefelt representerer det energien til det tomme rommet eller vakuumet. Under spesielle forhold kan dette leddet også gjøres endelig og gir opphav til Casimir-effekten.

## Referanser


## Eksterne lenker

* D. Tong, ''The Principle of Least Action'', fra virkning til integrasjon over veier.
* YouTube, ''How Feynman did quantum mechanics'' (''and you should too''), introduksjon til veiintegral.
* Veritasium, ''Something Strange Happens When You Trust Quantum Mechanics'', hvorfor veiintegral gir en ny forståelse av virkelighten.
* D.H. Rischke, ''Path Integrals in Quantum Mechanics'', forelesninger ved Frankfurt sommerskole (2021).