Apollonios’ sirkel

**Apollonios' sirkel** er det geometriske sted for alle punkt som har avstander til to gitte punkt slik at forholdet mellom avstandene er konstant. Radius til sirkelen er gitt ved størrelsen til det konstante forholdet.

Dette kan benyttes som definisjon av en sirkel og ble først omtalt av Apollonios fra Perge. Hans navn er derfor knyttet til setningen.

## Geometrisk bevis

Det geometriske stedet er definert ved punkt *X* slik at forholdet *&lambda;* = *AX*/*BX* mellom avstandene til de to gitte punktene *A* og *B* er konstant. For å vise at dette er en sirkel, kan man konstruere et indre punkt *T<sub>i</sub>* og et ytre punkt *T<sub>a</sub>* som begge deler linjestykket *AB* med delingsforholdet *&lambda;*. Disse to punktene er dermed harmonisk konjugerte med *A* og *B*. Dermed vil  som igjen er lik med forholdet *XA*/*XB*.

Halveringslinjesetningen sier nå at linjen *XT<sub>i</sub>* halverer den indre vinkelen til hjørnet *X* i trekanten *AXB*. Da det samme argumentet viser at linjen *XT<sub>a</sub>* halverer den ytre vinkelen til *X&thinsp;* i samme trekant, vil vinkelen  være en rett vinkel. Fra  Tales’ teorem følger da at punktet *X&thinsp;* må ligge på en sirkel med linjestykket  som diameter. Dette er Apollonios' sirkel.

### Inversjonssirkel

Apollonios-sirkelen har sitt sentrum i *M* som er midtpunktet mellom punktene *T<sub>i</sub>* og *T<sub>a</sub>*. Vinkelen *MAX* vil da være like stor som *MXB* fordi linjene *XT<sub>i</sub>* og *XT<sub>a</sub>* halverer de to vinklene i *X*. De to trekantene *MAX* og *MXB* er derfor  likeformede da de har vinkelen *AMX* felles. Dermed er forholdene

:  {AX\over BX} =  \lambda = {MX\over MB} =  {MA\over MX} 

også like store.

Ved divisjon av de to siste forholdene følger at

:  MA\cdot MB = MX^2 

De to gitte punktene *A* og *B* er  derfor inverse av hverandre relativt til deres Apollonios-sirkel med radius .

Størrelsen til denne radius kan finnes ved å multipliseres de to siste forholdene sammen. Det resulterer i at . Hvis lengden av det gitte linjestykket , vil da  når . Radius i Apollonios-sirkelen er dermed .  Denne blir uendelig stor i det spesielle tilfellet at  og sirkelen degenerer til en rett linje som står vinkelrett på *AB* og halverer den.

## Analytisk fremstilling

Man kan benytte et kartesiske koordinater med origo i *A* og *x*-aksen langs linjen som forbinder den med *B*. Disse to gitte punktene har gjensidig avstand *a*, Kravet til et punkt *X* = (*x,y*) på det geometriske stedet er da at *XA*/*XB* = *&lambda;* skal være konstant. Det betyr at

:  \sqrt{x^2 + y^2} = \lambda \sqrt{\left ( x - a \right )^2 + y^2} ,

Ved å kvadrere denne ligningen kan den skrives på formen

:  x^2 + y^2 - \frac{2\lambda^2 ax}{\lambda^2 - 1} + \frac{\lambda^2a^2}{\lambda^2 - 1} = 0 .

Den beskriver en sirkel med sentrum i   a\lambda^2/(\lambda^2 - 1)   på *x*-aksen og med radius  r = a\lambda/|\lambda^2 - 1| . Når  \lambda \ll 1  ligger sirkelsentrum like til venstre for origo i *A*. Etterhvert som  \lambda  øker, flytter det seg ut til venstre, og radius øker. For den spesielle verdien  \lambda = 1  forsvinner senteret ut til venstre for så å dukke opp igjen langt ute til høyre for *B*. For enda  større verdier av  \lambda  nærmer det seg dette punktet, mens sirkelens radius samtidig går mot null.

## Referanser


## Eksterne lenker

* Cut-the-Knot, ''Locus of Points in a Given Ratio to Two Points''
* P. Pamfilos, ''Apollonian Circles'', Geometrikon.