Ideell linje

En **ideell linje** er en enkel telefonlinje. Telefonlinjer er det eldste og mest oversiktlige transmisjonsmediet som er utviklet, og danner grunnlaget for det enkleste og grunnleggende transmisjonssystemet. Det er derfor naturlig å ta utgangspunkt i en slik linje når en skal beskrive transmisjonsmedier og systemer. Slike linjer brukes fremdeles ofte, og noen av telefonlinjenes egenskaper er allmenngyldige innen transmisjonsteknikken.

Den ideelle overføringslinje defineres som et overføringssystem, hvor tapsfaktorene i det induktive felt og det kapasitive felt er like store. Denne overføringslinjen innfører ikke forvrengning av signaler. I den virkelige verden eksisterer ikke slike linjer ,men ved dimensjonering av overføringslinjer vil en tilstrebe å dimensjonere linjen slik at den ligger så tett opp mot den ideelle linje som mulig. For å beskrive og forklare fremgangsmåten for dimensjonering av overføringslinjer tar en som beskrevet gjerne utgangspunkt i en telefonlinje og dens egenskaper da disse er allmenngyldige. Dette er også utgangspunktet for de beskrivelser som gis i denne artikkelen.

## Telefonsamband
Beregningene nedenfor tar utgangspunkt i linjer og kabler. Disse kan benyttes å ulike måter. Eksempler på dette er: entråd, totråd  og firtråd telefonsamband overført over enten luftlinje (blanktråd eller uisolert tråd) eller trådkabel. Entrådforbindelsen brukes nå svært lite, men var mer vanlig i tidligere tider. Denne forbindelsen utnytter jord som returledning, og har en tendens til å ta opp støy fra andre jordede elektriske systemer. Telefonlinjen beskrives ved et sett karakteristiske størrelser eller konstanter, som definerer linjens egenskaper som transmisjonsmedium. De fleste meldinger eller informasjon som omformes til elektriske spenninger eller strømmer for overføring over telefonlinjen, vil inneholde signalkomponenter med ulike frekvenser. Signalfrekvensene spiller en så dominerende rolle i transmisjonsteknikken at det er naturlig å beskrive systemets karakteristiske størrelser i forhold til frekvens.

## Symmetrering
Totrådledninger eller også kalt totrådkabler for signaloverføring er symmetriske mot jord. Er de to ledningene strukket parallelt, vil de likevel over lengre avstander summere opp en viss u-symmetri, noe som kan forårsake forvrengning. For å unngå dette må ledningene revolveres.

For kabler skiller vi mellom tre hovedtyper av revolvering:

* Parrevolvering: her blir to tråder (ledere) snodd sammen til et par. De enkelte par er så snodd sammen til bunter. Dette er en enkel revolveringsmåte, og benyttes derfor mye i kabelproduksjon.
* Diagonalrevolvering eller firerrevolvering : denne revolveringsmåten tilsvarer revolvering av luftlinjer. Diagonalen utgjøres av par. Metoden er mye brukt.
* Dieselhorst-Martin-revolvering: her blir først to par revolvert sammen som i parrevolvering (pkt.1). Deretter blir to par snodd sammen. Dette er en kostbar og omstendelig revolvering, og benyttes ikke så ofte.

De ulike revolveringsmåter tar sikte på å beholde symmetri over lengre avstander og å unngå påvirkninger fra naboledninger. Ulempen for alle kabler eller også kalt overføringslinje som er bygd opp på denne måten er at de ikke er perfekte for overføring av signaler ved høye frekvenser, og dette kan forårsake forvrengning av signalet.

## Den «ideelle overføringslinje»
Den ideelle overføringslinje defineres som et overføringssystem, hvor RC = LG, det vil si at tapsfaktorene i det induktive felt og det kapasitive felt er like store. Denne overføringslinjen innfører ikke forvrengning av signaler. Ved beregninger av den ideelle overføringslinje er det behov for noen primære og sekundære konstanter:

### Primære konstanter
Primære konstanter har en avhengighet mot telefonlinjens konstruksjon, det vil si av de materialer som inngår i linjen og dens geometriske utforming.

#### Motstand
Motstanden blir oppgitt i Ω/km dobbeltlinje for en telefonlinje. For likestrøm og lavfrekvent vekselstrøm:

:::{\displaystyle R0={4000V\over{\pi{d^2}}}\varrho}

når *d* settes inn i mm og \varrho står for resistiviteten (Ω x mm^2/m). Denne formelen tar ikke hensyn til temperaturvariasjoner. For Vekselstrøm med høyere frekvens:

:::{\displaystyle {R= {167.2\sqrt{f}\cdot{1\over{d}}\cdot10^{-4}}}[\Omega/km]]}

Vekselstrømsmotstanden er proporsjonal med kvadratroten av frekvensen. Dette skyldes såkalt strømfortregning, eller ladningsbærerens tendens til å følge lederens overflate ved høyere frekvenser, slik at det effektive ledertverrsnittet blir mindre. Ved vurderinger av måleresultater for høyfrekvenskretser må vi ha oversikt over hvor mye strømfortregning betyr.

#### Selvinduktans
Selvinduktansen blir oppgitt i mH/km dobbeltlinje. å en telefonlinje fører strøm, oppstår det et elektromagnetisk felt omkring linjen. Strømmen varierer ved signaltransformasjon, og feltet bygges opp og bryter sammen vekselvis. Det induseres da en elektromotorisk kraft i linjen som motvirker variasjonene.

:::U = -L {di\over {dt}}

Selvinduktansen vokser med den innbyrdes avstand mellom de to lederne og med lengden av lederne. Fo en dobbeltlinje med lederdiameter *d* og avstand mellom lederne, *a*, får vi selvinduktansen.

:::L = 0,921 lg {2a\over{d}}+0,1\mu_r{mH/km}

:::\mu_r = 1 for ikke-magnetiske materialer.

#### Kapasitans
Kapasitansen oppgis i \mu{F{/km}} dobbeltlinje, og er et mål for linjens evne til å lagre elektrisk ladning. Ledernes overflater danner "kondensatorplatene", og rommet mellom lederne danner "dielektrikum". Kapasitansen er større jo tettere lederne ligger og jo større ledernes overflate er. Ved blanktrådledninger hvor dielektrikumet består av luft, kan kapasitansen regnes ut etter følgende formel:

:::C = {1\over{82,9 \cdot{lg{2a\over{d}}}}}\mu{F/km}

hvor *a*  er avstanden mellom trådene og *d* er lederdiameter. For kabler er isolasjonen mellom lederne avgjørende for kapasitansen.

#### Avledning
Avledningen oppgis i μS/km. Som ved ohmsk motstand består avledningen ved vekselstrøm av to deler. De to delene er en likestrømsavledning som er lik inversverdien av isolasjonsmotstanden mellom to ledere målt med likestrøm, og en frekvensavhengig del, som skyldes vekselstrømstap i admitansen mellom de to trådene. Avledningen øker med kapasitansen og frekvensen, og kan beregnes av formelen:

:::G = \omega C tan \delta

hvor \delta = \arctan{G\over{\omega}C} er den såkalte tapsvinkel. Ved luftlinjer er tapsvinkelen avhengig av fuktigheten i luften og andre klimatiske forhold. Tapsvinkelen, eller tapsfaktoren, oppgis av kabelprodusentene for ulike typer kabler.

#### Primære konstanter - oppsummert
Primære konstanter har en avhengighet mot telefonlinjens konstruksjon, det vil si av de materialer som inngår i linjen og dens geometriske utforming.

* L : Selvinduktansen blir oppgitt i mH/km. Når en linje fører strøm, oppstår det et elektromagnetisk felt omkring linjen. Strømmen varierer ved signaltransmisjon, og feltet bygges opp og bryter sammen vekselvis. Det induserer da en elektromotorisk kraft i linjen som motvirker variasjonene.
* C : Kapasitansen oppgis i μF/km, og er et mål for linjens evne til å lagre elektrisk ladning. Ledernes overflater danner kondensatorplatene, og rommet mellom lederne danner dielektrikum. Kapasitansen er større jo tettere lederne ligger og jo større ledernes overflate er.
* G : Avledning oppgis i μS/km. Som ved ohmsk motstand består avledningen ved vekselstrøm av to deler. De to delene er en likestrømsavledning som er lik inversverdien av isolasjonsmotstanden mellom to ledere målt med likestrøm, og en frekvensavhengig del, som skyldes vekselstrømstap i admittansen mellom de to trådene.
* R : Motstanden blir oppgitt i Ω/km dobbeltlinje.

### Sekundære konstanter
De primære konstanter er oftest vanskelige å måle, spesielt der hvor linjen har en viss lengde. Det er derfor vanlig å beskrive en linje ved hjelp av såkalte sekundære, eller av avledede, konstanter. De primære konstanter inngår i formeluttrykken for de sekundære konstanter.

#### Karakteristisk impedans
Den mest brukte størrelsen er karakteristisk impedans, som kalles "karakteristikken" for vedkommende linje eller del av et  transmisjonssystem

Den karakteristiske impedansen defineres som inngangsimpedansen for en uendelig lang linje.

En linje som vi antar er uendelig lang, vil ikke kunne føre signalenergi fram til den andre enden. Den vil derfor ikke kunne reflektere signalenergi tilbake til inngangen, uansett avledningsimpedans. Kopler vi en spenning til inngangen av en slik linje, vil strømmen som spenningen gir avhengig bare av linjens egen impedans. Den er uavhengig av hvilken impedans linjen er avsluttet med.

Sett at vi har målt en karakteristisk impedans, på inngangen av en uendelig lang linje. Bryter vi så linjen i et kort stykk fra utgangspunktet og måler igjen, vil vi fortsatt måle den samme karakteristiske impedansen fordi linjen er tilnærmet uendelig lang, også sett fra det nye målepunktet. Dersom vi avslutter linjen med den karakteristiske impedansen i dette punktet, vil vi fra det opprinnelige målepunkt ikke merke noen endring i impedansverdien. En kort linje avsluttet med sin karakteristiske impedans, virker som en uendelig lang linje. Vi vil fremdeles måle den samme impedansen på inngangen og linjen vil være refleksjonsfri, og der er i grunnen det viktigste.

Hensikten med å beregne karakteristisk impedans for linjer, eller transmisjonsledd i det hele tatt, er å finne avslutninger som gir minst refleksjon av signalverdi.

Karakteristisk impedans kan uttrykkes ved hjelp av formelen: 
:::{\displaystyle Z={\sqrt  \over {G+j\omega {C}}}}} = {\sqrt{L\over{C}}}

#### Dempings- eller gangkonstant
Den andre sekundære konstant for et transmisjonsledd er dempingen, eller gangkonstanten, som beskriver signalenergiens forplantning gjennom leddet.

Gangkonstanten er en vektoriell størrelse, \gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{()({G+j\omega {C}}})}  hvor det er reelldelen som representerer selve dempingen i neper pr. kmog hvor imaginærdelen representerer fasevridningen i radianer pr. km.

Dempingskonstanten, \alpha, og fasekonstanten,  β, kan finnes av disse ligningene, men en ender opp med uttrykk som er lite praktiske, og som oftest kan man greie seg med følgende uttrykk: \alpha = \sqrt{C\over{L}}} + {R\over{2}}\sqrt{L\over{C}}, og \beta= \omega{\sqrt{LC}}

#### Sekundære konstanter - oppsummert
De primære konstanter er oftest vanskelige å måle, spesielt der hvor linjen har en viss lengde. Det er derfor vanlig å beskrive en linje ved hjelp av såkalte sekundære, eller av avledede, konstanter. De primære konstanter inngår i formeluttrykken for de sekundære konstanter.

* β : Fasekonstanten kan uttrykkes som: \beta= \omega{\sqrt{LC}}
* \alpha : Dempingen kan skrives slik: \alpha = \sqrt{C\over{L}}} + {R\over{2}}\sqrt{L\over{C}}
*\gamma : Gangkonstanten er en vektoriell størrelse definert som: \gamma = \alpha + j\beta
*Z : Karakteristisk impedans, som kalles *"karakteristikken"* for vedkommende linje eller del av et transmisjonssystem. Den karakteristiske impedans defineres som inngangsimpedansen for en uendelig lang linje. Karakteristisk impedans kan beregnes ved hjelp av formelen: {\displaystyle Z={\sqrt  \over {G+j\omega {C}}}}} = {\sqrt{L\over{C}}}
### Tilnærmelser av den ideelle overføringslinje
Som forklart er det er vanlig å beskrive en linje ved hjelp av såkalte sekundære konstanter, eller avledede konstanter. De sekundære konstanter blir i dette tilfellet forenklet slik:

::: {\displaystyle Z={\sqrt  \over {G+j\omega {C}}}}} = {\sqrt{L\over{C}}}   og   \gamma =\sqrt{()({G+j\omega {C}}})}  som også kan skrives slik:  \gamma =j\omega\sqrt{LC}\sqrt{(+1)({G\over{}j\omega {C}}}+1)}

Setter vi inn betingelsen for ideell linje, **RC = LG**, eller skrevet på en annen måte, {R\over L}={G\over C}, reduseres det siste rotuttrykket i ligningene for den karakteristiske impedansen (Z) til 1 slik at vi får:

:::Z =\sqrt{L\over C}
:::
:::\gamma =j\omega\sqrt{LC}{(+1)}} = j\omega\sqrt{LC}{(+1)}}   som også kan skrives slik:   \gamma = G\sqrt{L\over C} + j\omega\sqrt{LC}

Tar vi så utgangspunkt i definisjonen av gangkonstanten ({\displaystyle \gamma =\alpha +j\beta }) får vi følgende uttrykk for dempingen (\alpha) og fasekonstanten (β): \alpha = G\sqrt{L\over C}   \beta = \omega\sqrt{LC}

Vi ser at dempingen (\alpha) er frekvensuavhengig (inneholder ikke "*j"*), slik at alle frekvenskomponenter dempes likt ut over linjen.

Vi sammenligner det uttrykket vi fikk for dempingen \alpha = G\sqrt{L\over C}  med ligningen, \alpha = \sqrt{C\over{L}}} + {G\over{2}}\sqrt{L\over{C}}

Hvis vi setter inn betingelsen for ideell linje, G = {RC\over L}, kan ligningen  \alpha = G\sqrt{L\over C}  omformes til  \alpha = R\sqrt{C\over L} .

Betrakter vi det andre leddet i  \alpha = \sqrt{C\over{L}}} + {G\over{2}}\sqrt{L\over{C}}, ser vi at for overføringssystemer med neglisjerbar avledning (G), kan dette leddet sløyfes.

Forskjellen mellom  \alpha = \sqrt{C\over{L}}} + {G\over{2}}\sqrt{L\over{C}} og \alpha = G\sqrt{L\over C} blir da at den teoretiske ideelle linje bare gir halvparten av dempingen i forhold til en virkelig linje med neglisjerbar avledning:

:::\alpha = \sqrt{C\over{L}}}

:::\alpha = }

Både i teori og praksis ser vi at dempingen blir mindre hvis vi øker induktansen (L). Dette har ført til konstruksjon av linjer hvor man med hensikt øker induktansen.

## Forenklede formler for spesielle linjetyper
Ved praktiske beregninger av luftlinjer og kabler benyttes tilnærmende formler for karakteristisk impedans (Z), dempings (\alpha)- og fasekonstant (β).

### Ledninger med stor selvinduktans
Luftlinjer har oftest stor selvinduktans (L) i forhold til ohmsk motstand (R), og vi kan sette: {\displaystyle Z={ }}} \approx {j\omega {L}}

Avledningen (G) er forsvinnende ved godt konstruerte linjer, og vi kan sette: {\displaystyle { }}} \approx {j\omega {C}}. Den karakteristisk impedansen (Z) blir da:

::: {\displaystyle Z={\sqrt  \over {j\omega {C}}}}} \approx {\sqrt  \over }}

Vi ser at denne karakteristiske impedansen (Z) er ohmsk og uavhengig av frekvensen. Størrelsesorden for impedansen vil i praksis være i området 600-800 Ω. Dette er riktig for lave frekvenser, men når frekvensen blir så høy at det oppstår strømfortregning, vil både motstand og avledning øke slik at vi da må bruke den fullstendige formell.

### Ledninger med liten selvinduktans
Selvinduktansen er liten i forhold til den ohmske motstanden, og vi kan tilnærmet sette: {\displaystyle Z={ }}} \approx 

Avledningen (G) er forsvinnende i det lavere frekvensområdet i forhold til den kapasitive ledningsevne, og vi kan sette: {\displaystyle { }}} \approx {j\omega {C}}. Den karakteristisk impedansen (Z) for kabler blir i det lavere frekvensområdet:

:::{\displaystyle Z\approx{\sqrt }}} \left \vert Z  \right \vert = \sqrt }\left [ \frac{1}{cos 45 + jsin 45} \right ]= \sqrt {R\over{\omega{C}}}:

Som vi ser vil den karakteristiske impedansen (Z) for kabler være sterkt frekvensavhengig.

Gangkonstanten (\gamma) kan, med de samme forenklinger som ble brukt for karakteristisk impedans (Z), skrives:

:::\gamma = \alpha + j\beta =\sqrt{()({G+j\omega {C}}})} \approx {\sqrt{Rj\omega{C}}} 

:::\alpha = {\beta={1\over{2}}\sqrt{2}\sqrt{\omega{RC}}=\sqrt{2\omega\over{RC}}}

Som vist er både demping (\alpha) og fasekonstanten (β) sterkt frekvensavhengige.

Det er mulig å måle tomgangs- og kortslutningsimpedansen, for deretter å regne ut den karakteristiske impedans (Z), uten å gå veien om de primære konstanter. En lignende framgangsmåte er også mulig for gangkonstanten (\gamma). Det er her nødvendig å bruke begrepet *[[speilimpedans]]*.

## Referanser