Poissons flekk

**Poissons flekk** er et lysende punkt i midten av den mørke skyggen like bak en liten kule eller ugjennomsiktig skive. Den har fått sitt navn etter Siméon Poisson som i 1818 forutsa eksistensen av dette fenomenet som en konsekvens av Fresnels diffraksjonsteori hvor lys ble beskrevet som bølger. Poisson selv var negativ til denne teorien og mente at en slik lysende flekk var så absurd at den derfor viste at Fresnels beskrivelse av lys ikke kunne være riktig.

Kort tid etter denne forutsigelsen til Poisson lyktes Francois Arago å påvise flekken i et eksperiment han gjennomførte. Derfor blir den også omtalt som **Arago-flekken**. På denne måten fikk Fresnels teori en eksperimentell bekreftelse, og det ble alminnelig akseptert at lys må skyldes en bølgebevegelse i en  eter. Først femti år senere ble denne mekaniske beskrivelsen erstattet av Maxwells elektromagnetiske teori. 

Diffraksjonsbildet bak kuler og runde skiver var studert før Arago gjorde sitt eksperiment uten at noen lysende flekk i midten av skyggen var blitt observert. Grunnen kan være at disse diffraktorene hadde uregelmessigheter som var for store i forhold til bølgelengden til synlig lys  som er rundt nm. Arago benyttet en liten metallskive med radius  og kunne se flekken i en avstand *z&thinsp;* like bak denne. Det betyr at det dimensjonsløse  Fresnel-tallet  > 1 som er betingelsen for at denne type Fresnel-diffraksjon skal opptre.

## Forklaring

Augustin Fresnel baserte sin teori for diffraksjon på Huygens' prinsipp. Bevegelsen til en bølgefront forklares her ved at hvert punkt på denne sender ut sekundære kulebølger som ved interferens danner en ny bølgefront ved et senere tidspunkt. Når det innkommende lyset er en plan bølge som møter vinkelrett på en sirkulær skive, vil hvert punkt på aksen bak denne ha samme avstand til den delen av bølgefronten som ligger i konsentriske sirkler eller soner utenfor skiven. Da utsendelse av sekundærbølger fra punktene i hver slik sone skjer på et koherent vis, vil de alle nå et gitt punkt på aksen til samme tidspunkt og derfor forsterke hverandre. Dette er i utgangspunktet uavhengig av avstanden til skiven slik at alle punkt på aksen skulle være lysende med samme styrke

Dette er også i overenstemmelse med den enkleste beregning av amplituden til det avbøyde lyset kombinert med Babinets prinsipp. Hvis den innkommende bølgefronten tilsvarer den plane bølgen *E*0&thinsp;*e**ikz*&thinsp; langs *z*-aksen med bølgetall   finner man da den resulterende amplituden

:  E(0,z) = E_0e^{ik\sqrt{a^2 + z^2}} 

i avstand *z&thinsp;* fra skiven  i denne første tilnærmelse. Bortsett fra den komplekse fasefaktoren, er dette det samme som den innkommende amplituden *E*0&thinsp; og gir derfor samme, konstante lysintensitet   på aksen. Dette skal da gjelde for alle slike punkt, også de som ligger helt inntil skiven hvor avstanden . Men dette er et forenklet resultat som kan gjøres mer realistisk.

### Retningskorreksjon

Lysende punkt på aksen like bak skiven mottar sekundærbølger som blir sendt ut i retninger som danner store vinkler med normalen til skiven. Allerede Fresnel var klar over at disse måtte ha reduserte amplituder, men det var først i Kirchhoffs diffraksjonsteori at denne reduksjonsfaktoren kunne beregnes. Nærmere studier av dette resultatet førte Rayleigh og Sommerfeld til at denne korreksjonen måtte være gitt som cosinus til vinkelen som retningen til sekundærbølgen avviker fra normalen.

Effekten av denne korreksjonen kan beregnes analytisk for punkt på aksen. Hvis *I*0&thinsp;  er intensiteten av det innkommende lyset, blir den på aksen bak skiven 

:  I(0,z) = {z^2\over a^2 + z^2}  I_0 

når denne har en radius som er mye større enn bølgelengden til lyset. Intensiteten er derfor omtrent null like bak skiven og vokser til sin maksimale verdi *I*0 først i en avstand som er stor i forhold til størrelsen til skiven.

Når avstanden *z&thinsp;* vokser, oppstår det samtidig et mer komplisert diffraksjonsbilde i skyggen utenfor Poisson-flekken, Gradvis blir den skarpe overgangen mellom lys og mørke mer utydelige og varierer raskt med denne avstanden. Disse effektene kan studeres ved numeriske beregninger av diffraksjonsintegralet. De gir en mer fullstendig fremstilling av overgangen fra Fresnel-diffraksjon til Fraunhofer-diffraksjon i dette tilfellet.

### Radiell fordeling

Ved bruk av den mer nøyaktige formuleringen til Rayleigh og Sommerfeld er det også mulig å beregne intensiteten til lyset like utenfor aksen. Da er amplituden i en avstand *&rho;&thinsp;* fra sentrum gitt som

:   E(\rho,z) = - {i\over\lambda} E_0 \int_0^{2\pi} \! d\phi \int_a^\infty \rho'\, d\rho'\, \frac{e^{ikr}}{r} \cos\chi 

hvor igjen den retningsavhengig korreksjonen er cos*&chi;* = *z*/*r&thinsp;* og   Avstanden *r&thinsp;* følger nå fra cosinussetningen som

:  r^2 = z^2 + \rho^2  + \rho'^2 - 2\rho\rho' \cos(\phi - \phi') 

Når *&rho;&thinsp;* > *a&thinsp;* gir det en absoluttverdi for amplituden som blir

:   |E(\rho,z)| = E_0 J_0(ka\theta) 

der *&theta;* = *&rho;*/*z&thinsp;* er avbøyningsvinkelen og *J*0(*u*) er den laveste Bessel-funksjonen. Da , er dette resultatet i overensstemmelse med at intensiteten i fremoverretning *&theta;* = 0 er konstant og lik med intensiteten til det innfallende lyset. Bort fra denne retningen avtar funksjonen raskt mot et første nullpunkt for . Det gir derfor bredden til Poisson-flekken.

For stadig økende avstander *z&thinsp;* avtar Fresnel-tallet  og blir ved store avstander så lite at den fulle diffraksjonsamplituden kan beregnes i Fraunhofer-approksimasjonen. Den radielle fordeling av intensiteten er da igjen gitt ved en Bessel-funksjon som  som har omtrent samme form som *J*0(*u*) med et kraftig maksimum i fremoverretning.

## Referanser


## Eksterne lenker

* M. Kohl, ''Poisson-Fleck, oder: das Loch im Schatten - Optische Beugung'', eksperimentelle  påvisninger av Poisson-flekker.
* P. Bergström and J.B. Eriksson, ''Capturing the Arago spot using white light'', KTH, Stockholm (2015).