Dispersjon (optikk)

**Dispersjon** betegner i optikken at fasehastigheten til lyset i et materiale avhenger av dets frekvens. Det skjer ved spredning av lyset på atomer eller molekyler som materialet består av.  Denne vekselvirkningen varierer med lysets frekvens slik at dets brytningsindeksen vil også få  en slik avhengighet. Hvitt lys som inneholder mange forskjellige frekvenser, vil derfor splittes opp i forskjellige farger når det brytes i materialet.

Lys har i det tomme rom en fasehastighet som er lik lyshastigheten *c*. For en gitt frekvens *f&thinsp;*  bestemmer den da dets bølgelengde *&lambda;&thinsp;* ved sammenhengen *c* = *&lambda;&thinsp;f*. I et material med brytningsindeks *n* som varierer med frekvensen, er fasehastigheten  *v&thinsp;* på lignende vis gitt som

:  v = \lambda f = {c\over n(f)} 

Vanligvis er *n* > 1 slik at *v*  D = {dn\over d\lambda} 

gir et kvantitativt uttrykk for dispersjonen. Her er *&lambda;&thinsp;* bølgelengden til lyset i vakuum og éntydig gitt ved dets frekvens.

Fra rekkefølgen til fargene rødt (R), gult (G) og blått (B) i regnbuen har man at

:  1 

Da bølgelengden til rødt lys er lengre enn den til gult lys som igjen er lengre enn bølgelengden til blått lys, betyr det at  brytningsindeksen i vann avtar med økende bølgelengde, 

:   {dn\over d\lambda}  

Dispersjonen er negativ og sies å være **normal**. I motsatt fall ville man ha sagt at den var **anomal**. Anomal dispersjon er også karakterisert ved at materialet absorberer lys ved en eller flere nærliggende bølgelengder. For eksempel i rødt, gjennomsiktig glass kan en grovt sagt si at den komplimentære fargen grønt er absorbert av glasset. Blir dette nå benyttet som materiale i et prisme, vil de brutte fargene fra hvitt lys opptre i motsatt rekkefølge, mens grønnfargen ikke sees i det hele tatt.

### Abbetall

Et mer presist uttrykk for de dispersive egenskapene til et materiale er dets abbetall eller *V-tall*. I stedet for å angi brytningsindeksen for noen grovt definert farger, er det basert på nøyaktige verdier for noen bestemte bølgelengder som tilsvarer Fraunhofer-linjer i sollyset. Den synlige delen av spekteret avgrenses for korte bølgelengder ved den blå F-linjen og for lange bølgelengder ved den røde C-linjen. Velger man da den gule D-linjen i midten, er abbetallet for materialet definert som

:  V_D = \frac{ n_D - 1 }{ n_F - n_C } 

Jo høyere abbetallet er, desto mindre er dispersjonen. Det blir spesielt benyttet til å klassifisere egenskapene til forskjellige typer glass som benyttes til å fremstille akromatiske linser og prismer.

### Cauchys formel

Allerede i 1837 kunne  den franske matematiker Augustin Cauchy finne et matematisk uttrykk for hvordan brytningsindeksen til transparente materialer varierer med bølgelengden. Den har den generelle formen

:  n(\lambda) = A + \frac {B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4} + \cdots,

men vanligvis tar man bare med de to første termene på høyre side. Ved å angi de to konstantene *A* og *B* kan man da med ganske god nøyaktighet beregne verdier  for  brytningsindeksen i det synlige området. For bølgelengder utenfor dette blir overensstemmelsen dårligere,. Den kan heller  ikke benyttes til å beskrive anomal dispersjon.

Formelen til Cauchy ga ingen forklaring på fenomenet dispersjon i optikken. Det skyldes at på hans tid og gjennom årene som fulgte, hadde man ingen grunnleggende forståelse av hverken hvordan materien var bygget opp eller hva lys kunne være. Etter arbeidene til Fresnel var de fleste overbevist om at lys skyldes svingninger i en mekanisk eter. Dette synet forandret seg da Maxwells ligninger ble etablert rundt 1860.

## Sellmeiers formel

Grunnlaget for en fysisk forklaring av dispersjon ble lagt av Wolfgang Sellmeier i 1872. Spesielt var han opptatt av den anomale dispersjonen som nettopp var oppdaget. Året før hadde han gjort kjent hvordan hans nye teori kunne forklare denne spesielle effekten samtidig som den også ga bedre resultat for brytningsindeksen enn Cauchys formel kunne.

Sellmeier tenkte seg  at molekylene besto av mindre deler som ble holdt sammen ved elastiske krefter.  En ytre påvirkning ville dermed være i stand til å sette dem i periodiske svingninger rundt en likevektsstilling.
Sammen med dette bildet av materiens oppbygning, beskrev han lys med en gitt frekvens på den etablerte måten som en bølge i eteren med periodiske svingninger i tid og rom. Når denne virker på delene i et molekyl, vil man kunne beskrive det som et mekanisk system med en harmonisk oscillator påvirket av en periodisk kraft. Dermed kan eterbølgen tilføre molekylet energi, noe som tilsvarer at lyset absorberes.  Spesielt stort blir dette energitapet når eterbølgen har samme frekvens som molekyloscillatoren. Da får man resonans eller *Mitschwingungen* som han omtalte effekten.

Med denne enkle modellen for koblingen mellom lys og materie kom han frem til formelen

:  n^2(\lambda) = 1 + \sum_k \frac{A_k \lambda^2}{\lambda^2 - B_k} ,

for bytningsindeksen som funksjon av bølgelengden. Summen går over de egensvingningene som molekylet kan settes i karakterisert ved konstantene *A<sub>k</sub>&thinsp;* og *B<sub>k</sub>*. Når bølgelengden til det innkommende lyset nærmer seg de kritiske verdiene , blir brytningsindeksen veldig stor. Det skyldes at lys absorberes, noe som modellen ikke helt kan beskrive.

### Helmholtz, Drude og Lorentz

Helmholtz fant Sellmeiers formel av stor betydning og prøvde å gi den et bedre, teoretisk grunnlag. Han argumenterte for at molekyloscillatoren måtte utføre dempete svingninger slik at den kunne ta opp energi. Matematisk kunne det beskrives ved å la konstantene *B<sub>j</sub>&thinsp;* i Sellmeiers formel bli komplekse tall. Brytningsindeksen ville da også bli kompleks og dermed gi en bedre forståelse av hvordan lys absorberes. 

Denne oscillatormodellen ble videre bearbeidet av Paul Drude og Hendrik Lorentz. De la vekt på at den oscillerende delen i molekylet måtte ha elektrisk ladning. Det var nødvendig da man nå forsto at lys var  elektromagnetiske bølger. Etter 1897 var det også blitt klart at disse bevegelige ladningene var elektroner. Resultatet for brytningsindeksen ble dermed 

:  n^2(\omega) = 1 + {e^2\over \varepsilon_0 m_e} \sum_k {N_k \over \omega_k^2 - \omega^2 - i\omega\gamma_k} 

hvor *N<sub>k</sub>&thinsp;* er tettheten av elektroner med resonansfrekvens *&omega;<sub>k</sub>*. Videre er *e&thinsp;* elektronets ladning, *m<sub>e</sub>&thinsp;* dets masse og *&epsilon;*0 er permittiviteten til vakuum.
Bortsett fra den komplekse delen *&gamma;<sub>k</sub>* i nevneren, er dette Sellmeiers formel,  Men her er den skrevet som en funksjon av vinkelfrekvensen *&omega;* = 2*&pi;&thinsp;c*&thinsp;/*&lambda;* som er den samme både inni og utenfor materialet.

## Kvantemekanisk dispersjon
Optisk dispersjon spilte en viktig rolle i utviklingen av kvantemekanikken fra 1919 og  i årene som fulgte. Allerede etter etableringen av Bohrs atommodell i 1913 var det blitt klart at absorbsjon av lys foregikk ved at et elektron i et atom  ble eksistert fra en kvantetilstand til en tilstand med høyere energi. Det hadde også vært grunnlaget for Einsteins innføring av strålingskoeffisientene i 1916.
Men likevel ga ikke denne fremgangen noen forståelse av hva slags oscillatorer som kunne befinne seg i atomet for å gi et resultat for dispersjonen av samme form som Sellmeier hadde etablert.

Dette forandret seg  i 1921 da Rudolf Ladenburg ved eksperiment og teoretiske betraktninger viste at resonansfrekvensene måtte tilsvare Bohr-frekvensene 

:   \hbar\omega_{mn} = E_m - E_n 

for en overgang mellom en kvantetilstand med energi *E<sub>m</sub>&thinsp;* til en annen tilstand med energi *E<sub>n</sub>*. Hvis man antar at atomene befinner seg i «grunntilstanden» som har lavest energi *E*0, kan dermed dispersjonformelen forstås som en sum over eksitasjoner til høyere energinivå *E<sub>k</sub>&thinsp;* med frekvenser . 

Antall oscillatorer som bidrar til denne overgangen, ble nå skrevet som *N<sub>k</sub>* = *Nf<sub>k</sub>&thinsp;* hvor faktoren *f<sub>k</sub>&thinsp;*  kalles **oscillatorstyrken** for denne overgangen. Tidligere ble de forstått som brøkdelen av alle oscillatorer *N&thinsp;* som bidrar. Ladenburg knyttet dem til Einsteins strålingskoeffisienter som uttrykker sannsynligheter for mulige overganger i et atom.

### Hendrik Kramers

Den endelige generaliseringen av dispersjonsformelen ble funnet av Hendrik Kramers i 1924. Han videreførte Ladenburgs observasjoner og betraktet et atom inneholdende oscillatorer med frekvenser lik med alle overgangsfrekvensene *&omega;<sub>km</sub>&thinsp;*. Det tillot han å ta med bidrag til dispersjonen fra atomer som i utgangspunktet befinner seg ikke bare i grunntilstanden, men i vilkårlige tilstander med energier . På den måten kom han frem til et resultat som kan skrives på formen

:  n^2(\omega) = 1 + {e^2\over \varepsilon_0 m_e} \sum_{km} {N_m f_{km} \over \omega_{km}^2 - \omega^2 - i\omega\Gamma_{km}} 

hvor *N<sub>m</sub>&thinsp;* er antall atomer i tilstanden karakterisert med kvantetallet *m*. Her vil summasjonen over resulterende tilstander med kvantetall *k* og energier  tilsvare absorpsjon av stråling med oscillatorstyrker *f<sub>km</sub>* > 0. Dermot vil bidraget fra tilstandene med mindre energi tilsvare «negativ absorpsjon», det vil si stimulert emisjon som Einstein tidligere hadde oppdaget. For disse overgangene gjelder derfor at oscillatorstyrkene *f<sub>km</sub>&thinsp;* er negative. Dette nye bidraget til den anomale dispersjonen betyr at den vil avta med økende frekvenser i nærheten av en overgang med . Senere eksperiment har bekreftet slike variasjoner i brytningsindeksen.

Dispersjonsformelen til Kramers viste seg å være i overenstemmelse med den endelige formuleringen av kvantemekanikken som Werner Heisenberg startet 1925. Den gjorde det også mulig å beregne oscillatorstyrkene for forskjellige atom.

### Thomas-Reiche-Kuhn summeregel

Da de opprinnelige oscillatorstyrkene *f<sub>k</sub>* = *f**k*0  var definerte som brøkdelen av antall atomer som bidro med frekvensen , vil de måtte tilfredsstille «summeregelen» 

:  \sum_k f_k = \sum_k f_{k0} = 1 

Like etter at Kramers hadde utvidet gyldigheten av dispersjonformelen, ble dette kravet til oscillatorstyrkene også generalisert til

:  \sum_k f_{km} = 1 

for vilkårige tilstander med kvantetall *k*. Mange av bidragene til summeregelen vil nå være negative. Den følger fra å betrakte meget høye frekvenser *&omega;&thinsp;* i dispersjonsformelen. Da kan man se bort fra oscillatorfrekvensene *&omega;<sub>km</sub>*, og resultatet må være det samme som for dispersjonen fra frie elektron. Formelen bærer vanligvis navnene til Werner Kuhn ved instituttet til Niels Bohr i København samt Fritz Reiche og Willy Thomas som arbeidet i gruppen til Ladenburg ved universitetet i  Breslau.

### Kvantemekanikk
Summeregelen ble benyttet av Heisenberg i sitt første arbeid om matrisemekanikk. Så snart den nye kvantemekanikken ble mer generelt formulert, var det klart at summeregelen følger fra den kanoniske kommutatoren [x,p] = *iħ* mellom en koordinat x og den konjugerte impulsen p der *ħ* er den reduserte Planck-konstanten. Oscillatorstyrkene for et atom med ett aktivt elektron finnes nå som

:  f_{km} = {2m_e\omega_{km} \over 3\hbar} |\mathbf{x}_{km}|^2 

som inneholder matriseelementet **x***km* av elektronets posisjonsoperator **x**. Disse er positive eller negative avhengig av om overgangsfrekvensene *&omega;<sub>km</sub>&thinsp;* er positive eller negative.

Selv om det kvantemekaniske resultatet for brytningsindeksen har samme struktur som Sellmeiers opprinnelige formel, er fysikken bak den nå helt forskjellig. Istedenfor dipolmomentet   inngår her effektivt dets kvadrat, mens de klassiske oscillatorene er erstattet med overganger mellom  forskjellige kvantetilstander med sannsynligheter gitt ved tilsvarende oscillatorstyrker.

## Dispersjon fra lysspredning

Når lys vekselvirker med et atom, kan det eksisteres til et høyere energinivå. Hvis atomet forblir i denne eksisterte  tilstanden, vil en del av lyset være absorbert. Alternativt vil det sendes ut igjen i en eller annen retning. Da vil man si at det er blitt spredt. En slik spredning omtales som *elastisk* når den utsendte strålingen har samme frekvens som det innkommende lyset. Hvis ikke det er tilfelle, har man *elastisk* spredning. Dette vil også representere absorpsjon da lyset har mistet litt av sin opprinnelige energi med denne frekvensen.

Ved absorpsjon vil intensiteten av det innkommende lyset svekkes. Også lyset som blir elastisk spredt til side, representerer en reduksjon av intensiteten i den innfallende retningen. Fysisk skjer dette ved destruktiv interferens mellom innkommende bølge i fremover-retning og den elastisk spredte bølgen i samme retning. Denne er en kulebølge  med vinkelfrekvens *&omega;* og amplitude *f*&thinsp;(*&omega;,&theta;*&thinsp;) der *&theta;* er spredningsvinklen. Når begge bølgene samtidig er tilstede, vil lyset med den innkommende frekvensen dermed beskrives ved kombinasjonen

:  \psi(\mathbf{r}) = e^{ikr\cos\theta} + f(\omega,\theta) {e^{ikr}\over r} 

hvor bølgevektoren har størrelse *k* = *&omega;*/*c*. Det første leddet representerer den innkommende, plane bølgen som antas å ha amplitude . Interferensen mellom disse to bølgene i retning *&theta;* = 0 vil nå gi en korreksjon til intensiteten som er proporsjonal med den imaginære delen av spredningsamplituden *f*&thinsp;(*&omega;,&theta;* = 0) som generelt er kompleks i alle retninger.

Dette generelle resultatet er innholdet av det optiske teoremet som sier at reduksjon av intensiteten er gitt ved det totale spredningstverrsnittet 

:  \sigma_T(\omega) = {4\pi\over k} \text{Im} f(\omega, 0) 

I tillegg til bidraget fra elastisk spredning, inneholder det også tverrsnittet for absorpsjon. Når man har et materiale med *N* atomer per volumenhet, kan deres totale bidrag uttrykkes ved absorpsjonskoeffisienten *&kappa;* = *N&sigma;<sub>T</sub>*. Den inngår i Beer-Lamberts lov som beskriver hvordan intensiteten avtar innover i materialet. Samtidig kan denne koeffisienten også uttrykkes ved den imaginære delen  av brytningsindeksen, *&kappa;* = 2*kn*2. Resultatet av denne atomære beskrivelsen er derfor at brytningsindeksen helt generelt er gitt ved amplituden for elastisk spredning i fremover-retning,

:  n(\omega) = 1 + {2\pi N\over k^2}  f(\omega, 0)  

Da spredning er en kausal prosess, kan man herav matematisk vise at realdelen *n*1 av brytningsindeksen  for enhver frekvens er direkte relatert til et integral over den imaginære delen *n*2 ved en Kramers-Kronigs relasjon. Da absorpsjon av lys er lettere å måle eksperimentelt enn dets brytning, kan denne sammenhengen benyttes til å beregne den reelle delen av *n*(*&omega;*)  som ellers ikke ville være så lett å utforske eksperimentelt.

## Se også

* Lysbrytning
* Brytningsindeks
* Lorentz-oscillator
* Prisme (optikk)

## Referanser


## Eksterne lenker

* M. Janssen, ''At the End of the Rainbow: Optical Dispersion as the Bridge between the Old Quantum Theory and Matrix Mechanics'', forelesning ved PITP (2007).