Napiers logaritme

**Napiers logaritmer** var det første eksempel på det som senere utviklet seg til moderne logaritmer. De ble utviklet av den skotske baron John Napier som i 1614 publiserte et stort antall numeriske verdier i det store verket *Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio*.  Først etter hans død ble fremgangsmåten bak disse beregningene kjent.

I ettertid er det blitt klart at Napiers logaritmer er nært knyttet til det som i dag kalles naturlige logaritmer. Betegnes de med symbolet NapLog, er denne logaritmen av tallet *N* gitt som

:  \text{NapLog}(N) = 10^7\times\ln{10^7\over N} 

Den avtar derfor med økende *N* i motsetning til vanlige logaritmer. Da man på Napiers tid ikke gjorde bruk av desimaltall for å beregne brøker, kunne man i stedet multiplisere en slik verdi med et stort tall som 107 =  og dermed få et heltall med tilsvarende mange siffer.

Omtrent samtidig med Napiers død i 1617 utga Henry Briggs nye tabeller med logaritmer basert på grunntallet 10. De brukes fremdeles i dag ved praktiske beregninger. Napier hadde innsett at disse Briggske logaritmene hadde bedre egenskaper enn hans egne, men han rakk ikke å bidra til deres utbredelse.

## Historisk bakgrunn
På Napiers tid var det et stort behov for numeriske beregninger basert på sfærisk geometri. Denne ble benyttet for å besvare astronomiske spørsmål knyttet til religiøse helligdager, navigasjon og oppstilling av horoskop. Allerede Hipparkos og Ptolemaios hadde konstruert slike trigonometriske tabeller for denne bruk. I løpet av 1500-tallet ble disse i stor grad utvidet av matematikere som Regiomontanus, Rheticus og andre. Tabellene inneholdt verdier med opp til ti siffers nøyaktighet av trigonometriske funksjoner for vinkler mellom 0&deg; og 90&deg; med ned til noen bueminutters avstand.

Da desimaltall ikke ble benyttet på den tiden, definerte man slike funksjoner med tanke på en sirkel med stor radius *R*. Mens de greske astronomene valgte *R* = 60, ble denne øket i middelalderen til  eller helt til  = 106 for å oppnå stor nok nøyaktighet. For eksempel, hvis man betrakter en vinkel *&theta;* = 10&deg;, så er sin&thinsp;10&deg; = 0.17364818 i moderne notasjon. På den tiden ville man i stedet betrakte verdiene til funksjonen Sin = *R*&sdot;sin. Med *R* = 106 ville man derfor si at Sin&thinsp;10&deg; = 173648 i dette tilfellet.

Ved anvendelser av sfærisk trigonometri må man multiplisere og dividere slike funksjonsverdier. I årene før Napier innførte sine logaritmer ble disse beregningene litt mindre tidkrevende ved bruk av det som ble kalt prostaferese. Denne metoden var basert på trigonometriske identiteter. Ved hjelp av logaritmer kunne disse beregningene gjøres enda raskere da de kunne utføres ved langt enklere addisjon og subtraksjon.

Napier valgte for sine trigonometriske funksjoner *R* = 107 og betraktet dem for hver vinkel fra 0&deg; til 90&deg; med ett bueminutta avstand. Det gir i alt 60&times;90 = 5400 forskjellige vinkler. Tabellene inneholdt logaritmer av funksjonene for hver av disse vinklene.

## Matematisk konstruksjon

Sammenhengen mellom en jevnt økende, aritmetisk rekke og en tilsvarende, geometrisk rekke må ha vært kjent blant matematikere på Napiers tid. Hvis man for eksempel ser på rekken 2 = 21, 4 = 22, 8 = 23, 16 = 24, ... og rekken 1, 2, 3, 4, ... , så gir en multiplikasjon av to tall i den første rekken et nytt tall i samme rekke med en eksponent som er summen av eksponentene til de to multiplikandene. Hvis grunntallet 2 i den første rekken var et tall mye nærmere 1, ville tallene i denne geometriske rekken bli liggende tettere sammen slik at denne metoden for multiplikasjon ville fått større, praktisk nytte.

Napier valgte denne multiplikative konstanten å ha verdien  Med valget  *R* = 107 er da de to første tallene i den geometriske rekken  og . Et generelt tall *N* i rekken kan på denne måten skrives som

:  N = 10^7\cdot (1 - 10^{-7})^L 

hvor nå *L* = NapLog(*N*&thinsp;) er den napierske logaritmen til *N*. Det betyr at NapLog(10 000 000) = 0 og NapLog(9 999 999) = 1.

Men dette er likevel ikke helt en logaritme i vanlig forstand. For eksempel har produktet av to tall *N*1 og *N*2 ikke en logaritme som er summen av logaritmene til de to faktorene i produktet. Derimot for fire tall som oppfyller *N*1/*N*2 = *N*3/*N*4, vil

:  \text{NapLog}(N_1) - \text{NapLog}(N_2) = \text{NapLog}(N_3) - \text{NapLog}(N_4)

Det betyr at hvis *N*2 er den geometriske middelverdi av *N*1 og *N*4 slik at *N*1/*N*2 = *N*2/*N*4, så vil

:  2 \text{NapLog}(N_2) = \text{NapLog}(N_1) +  \text{NapLog}(N_4) 

som for vanlig logaritmer da *N*22 = *N*1&sdot;*N*4.

## Analytisk beskrivelse

For å finne logaritmer for tall mye mindre enn  måtte Napier utføre beregningene *N* = *P<sub>n</sub>* = *R*&sdot;*k<sup>n</sup>&thinsp;* der  for *n* = 1,2,3 og så videre opp til svært høye tall. Det ville ha tatt enda mer tid enn alle de årene han virkelig brukte på dette store arbeidet. I stedet utviklet han en kinematisk modell hvor tallene *P<sub>n</sub>&thinsp;* betraktes som en geometrisk rekke som beveger seg i diskrete hopp fra *R* mot stadig mindre verdier ettersom *n* øker. Mens hoppene til *P<sub>n</sub>&thinsp;* blir kortere og kortere, vil tallene *n* utgjøre en aritmetisk rekke og øke med jevn hastighet. Med en slik diskret beskrivelse av de to rekkene kunne Napier gjennomføre sitt store bergeningsarbeid.

Når konstanten *k* betraktes som et tall som går mot grensen *k* = 1, kan disse to bevegelsene betraktes som kontinuerlige og beskrives ved analytiske funksjoner. Men Napier kunne ikke benytte moderne differensial- og integralregning som først ble utviklet på slutten av 1600-tallet. 

I den kontinuerlige beskrivelsen beveger en partikkel *P* seg på et linjestykke med lengde  fra et punkt *A* til et punkt *B* med en hastighet som er proporsjonal med avstanden  Den blir derfor stadig mindre. Samtidig beveger en annen partikkel *Q* seg med konstant hastighet langs en annen linje fra *C* til *D*. Denne konstante hastigheten er lik med hastigheten til den første partikkelen i utgangspunktet *A*, det vil si at den er lik med *R*. Settes nå , er den napierske logaritmen . De to bevegelsene er dermed gitt ved differensialligningene

:  {dx\over dt} = - bx, \;\;\;  {dy\over dt} = R 

hvor *t* er en kontinuerlig tidsparameter og *b* er en konstant. Den første ligningen har løsningen  hvor *a* er en integrasjonskonstant, mens den andre gir . Ved tiden  er  slik at . Samtidig skal hastigheten *dx*/*dt&thinsp;* til *P* være -*R* ved dette tidspunktet slik at . Derfor er  eller . Dermed er *y* = *R*&thinsp;ln(*R*/*x*) eller

:  \text{NapLog}(x) = 10^7\cdot \ln {10^7\over x} 

Dette resultatet kan også finnes mer direkte ved å benytte sammenhengen mellom heltallet  *N* og dets napierske logaritme,

:  N  = 10^7 \cdot(1 - 10^{-7})^{10^7\cdot (L/10^7)}  

Hvis man benytter definisjonen (1 - 1/*N*)*Nx* = *e**-x* av den naturlige eksponentialfunksjonen i grensen der *N* blir veldig stor, har man at

:  N  = 10^7 \cdot  e^{ -L/10^7} 

Da *L* = NapLog(*N*&thinsp;), blir igjen de napierske logaritmene direkte uttrykt ved naturlige logaritmer der nå *N* og *L* kan betraktes som reelle tall *x* og *y*,

## Numeriske verdier

For praktiske utregninger har man at

: \begin{align} \text{NapLog}(N) &= 10^7\cdot \ln {10^7\over N} = 10^7\cdot (7\ln 10 - \ln N)\\ &=  161180956  - 10^7\cdot\ln N \end{align}

når man bruker at ln&thinsp;10 = 2.3025851. Herav følger at logaritmen av et produkt blir

:  \text{NapLog}(N_1\cdot N_2) = \text{NapLog}(N_1) + \text{NapLog}(N_2) -161180956 

De napierske logaritmene for tall større enn 10 000 000 er negative, mens for mindre tall er de postive tall som blir svært store når *N* blir én eller enda mindre. 

Fra definisjonen følger at de kan utregnes ved å flytte desimalkomma i tallet *N* syv plasser til venstre, ta den naturlige logaritmen og så flytte komma syv plasser til høyre i resultatet. Logaritmen er da denne verdien med motsatt fortegn. For eksempel, hvis  = 0002357, så er ln(0.0002357) = -8.3529507 som gir

:   \text{NapLog}(2357) = 83\,529\,507  

Den napiersk logaritmen til alle tall mindre enn 10 000 000 er større enn 10 000 000.

## Referanser


## Eksterne lenker
* D. Roegel,  ''Napier’s Ideal Construction of the Logarithms'', (2021).