Dobbeltbrytning

**Dobbeltbrytning** er et optisk fenomen der en lystråle spaltes i to ved å gå gjennom et krystallinsk materiale. Effekten ble først observert i kalkspat (islandspat) ved at en bakomliggende figur eller tekst ble sett dobbelt. I noen retninger gjennom krystallen er der ingen dobbeltbrytning. En slik retning kalles en **optisk akse**. Da den er en retning og ikke en bestemt linje gjennom krystallen, kan den alltid flyttes parallelt med seg selv.

Hver av de to nye lysstrålene er begge lineærpolariserte vinkelrett på hverandre og beveger seg gjennom materialet med forskjellige hastigheter eller tilsvarende brytningsindekser. De vil i allminnelighet variere med retningen lyset har i krystallen. Av den grunn kan dobbeltbrytende materialer deles opp i to hovedklasser. Når bare en brytningsindeks varierer med retningen, har den bare en optisk akse og krystallen sies å være «enakset» (engelsk: *uniaxial*). Derimot når begge indeksene tar forskjellige verdier i forskjellige retninger, har den to optiske akser slik at den omtales som «toakset» (engelsk: *biaxial*). 

Kalkspat er enakset og én av krystallene hvor effekten er størst. Lysstrålen med konstant brytningsindeks kalles den **ordinære** og følger Snells brytningslov, mens den andre med variabel brytningsindeks er den **ekstraordinære**. Hos en toakset krystall er begge lysstrålene ekstraordinære.

Dobbeltbrytning kan også frembringes ved å utsette et materiale for et mekanisk spenning,  elektriske eller magnetiske felt. Effekten anvendes i mange optiske instrument. Et av de første var Nicols prisme som kan benyttes både til å produsere og analysere polarisert lys.  I dag benyttes effekten i LCD dataskjermer med flytende krystaller. Tidligere ble solbriller fremstilt med lignende materialer for å redusere sjenerende, reflektert lys. De første ble fremstilt av Polaroid Corporation.

## Historie

Dobbeltbrytning ble for første gang grundig studert av den danske matematiker Rasmus Bartholin som hadde fattet interesse for effekten i kalsittkrystaller som ble funnet på  Island. Resultatet av sine undersøkelser publiserte han i 1669 i en avhandling med tittel *Experimenta chrystalli Islandici*. Ved å rotere krystallen, oppdaget han at  det ene bildet av et punkt også roterte, mens det andre forble i ro som å se gjennom vanlig glass. Det første bildet tilskrev han en *ekstraordinær* lysstråle, mens det andre ble dannet av en *ordinær* stråle.

Den nederlandske fysiker Christian Huygens fattet også interesse for det samme fenomenet. I sitt store verk *Traité de la lumière* fra 1690 beskrev han lys som bølger og kunne dermed forklare de fleste observerte fenomen i optikken. Utbredelse av en slik bølge var gitt ved det som i dag omtales som Huygens prinsipp. Det sier at hvert punkt i en eksisterende bølgefront gir opphav til små kulebølger som bygger opp en ny bølgefront tilhørende en ordinær lysstråle. 

I en dobbeltbrytende krystall kan det på en eksisterende bølgefront, ikke bare dannes nye kulebølger, men også bølger som brer seg utover i forskjellige retninger med ulike hastigheter. Istedenfor å danne en kulebølge, vil man dermed i hvert punkt også få dannet en ny bølge med form som en ellipsoide. Det er disse som bygger opp den ekstraordinære lysstrålen.

Denne beskrivelsen til Huygens fikk liten oppslutning i de følgende årene da Newtons beskrivelse av lys som en strøm av partikler var blitt den dominerende teorien. Dette forandret seg på begynnelsen av 1800-tallet da franske fysikere oppdaget polarisasjon av reflektert lys som de studerte ved hjelp av dobbeltbrytende krystaller. 

Som følge av mange eksperimentelle undersøkelser og teoretiske betraktninger kom Augustin Fresnel til at Huygens forståelse av lys som en bølgebevegelse var den riktige, men med den avgjørende forskjellen at svingningene i bølgene måtte være transverse. De skulle foregå i en elastisk eter som måtte ha spesielle egenskaper. Dobbeltbrytning ville oppstå i et slikt medium hvis det ikke var isotropt slik at bølgehastigheten ville bli ulik i forskjellige retninger.

Omtrent femti år senere viste Maxwell at lys er transverse, elektromagnetiske bølger. På begynnelsen av 1900-tallet kom Einstein frem til at Maxwells teori er uavhengig av en eter. Dobbeltbrytning skyldes at noen dielektrisk materialer er anisotrope på grunn av deres krystallstruktur eller egenskapene til molekylene og atomene de består av.

## Lysbølger i krystaller

Lys beveger seg gjennom et materiale på en måte som er styrt av Maxwells ligninger. Når materialet er transparent, er det dielektrisitetskonstanten *&epsilon;* som  bestemmer de optiske egenskapene til materialet. Den forbinder det elektriske feltet **E** med forskyvningsfeltet  slik at de er parallelle i et isotropt materiale.  For en plan, elektromagnetisk bølge med vinkelfrekvens *&omega;&thinsp;*  kan dets variasjon i tid og rom beskrives som en kompleks fasevektor

:  \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)} 

hvor bølgevektoren **k** angir dens bevegelsesretning. På samme vis vil de andre feltene **D**, **B** og **H** variere. De er forbundet gjennom Maxwells ligninger. Bølgen fyller hele rommet, men slik at feltene ved et visst tidspunkt vil være de samme der fasen **k**&sdot;**r** - *&omega;t&thinsp;* er konstant. Dette definerer et plan som utgjør en bølgefront. Da den har **k** som normal. kalles derfor også denne vektoren for bølgens «normalvektor».

Forholdet  er bølgens utbredelseshastighet i materialet. Da den er utledet fra fasen, brukes ofte navnet «fasehastighet» for å understreke denne sammenhengen. Når materialet er isotropt, gir de elektromagnetiske  ligningene at den blir *u* = *c*&thinsp;/*n&thinsp;*. Her er *c&thinsp;* lyshastigheten i vakum, mens  er  brytningsindeksen til materialet. Den er derfor den samme i alle retninger.

### Anisotrope materialer

Forskyvningsfeltet **D** i en anisotrop krystall er ikke nødvendigvis parallelt med det elektriske feltet **E**. Men det finnes likevel alltid et kartesisk koordinatsystem hvor komponentene til disse feltene er proporsjonale med hverandre slik at ,  og . Da forskyvningsfeltet må oppfylle Maxwell-ligningen  må derfor . På samme vis gir den tilsvarende ligningen  for magnetfeltet **B** at begge disse vektorfeltene står vinkelrett på bølgevektoren.

De fleste krystaller kan betraktes som dielektrika med en permeabilitet som kan settes lik med den magnetiske konstanten. Derfor har man den enkle sammenhengen  mellom de to magnetfeltene, De er koblet sammen med de elektriske feltene ved de to resterende Maxwell-ligninger. Fra sirkulasjonsloven   følger nå at  slik at disse tre vektorene står vinkelrett på hverandre.

Energitransporten i bølgen kan nå beregnes fra Poyntings vektor   Da feltvektorene **E** og **D** ikke lenger er parallelle, vil derfor **S** og **k** generelt ikke ha samme retning i et anisotropt materiale. Det er derfor vanlig å si at bølgevektoren **k** gir retningen til bølgen, mens **S** angir retningen til den tilsvarende lysstrålen. Det er energien i denne som kan registreres, mens en bølges normalvektor ikke uten videre kan observeres.

For å finne ut hva slags lysbølger som kan forekomme i en gitt krystall, må den siste Maxwell-lligningen løses med de sammenhengene mellom feltene som nå er etablert. Det er induksjonsligningen   som for en plan bølge gir  For en gitt retning av bølgevektoren **k** vil en løning av disse koblete ligningene bety en beregning av dens størrelse *k&thinsp;* og dermed også fasehastighten  til bølgen. Dette er den sentrale delen av moderne krystalloptikk. Man finner da generelt for hver retning til **k** to løsninger med hver sin retning **S** av den tilsvarende lysstrålen og hver sin fasehastighet. I tillegg er hver av dem polarisert vinkelrett på hverandre der polarisasjonen angis ved retningen til forskyvningsfeltet **D**. Denne er alltid vinkelrett på bølgevektoren **k**. I dette generelle tilfellet vil begge disse løsningene representere ekstraordinære lysstråler. med egenskaper som varierer med retningen i krystallen.

### Indeksellipsoider

Den elektromagnetiske feltenergien til bølgen er gitt som  og må være konstant. Ved å skrive de tre permittivitene som   og  gir denne energitettheten ligningen

:   {x^2\over n_x^2}  + {y^2\over n_y^2} + {z^2\over n_z^2} = 1 

der koordinatene  er proporsjonale med . Den beskriver en ellipsoide med halvakser gitt ved de tre brytningsindeksene *n<sub>x</sub>*, *n<sub>y</sub>* og *n<sub>z</sub>.* Av denne grunn kalles den også for indeksellipsoiden til det anisotrope materialet. Dens betydning for dobbeltbrytning ble først klarlagt av Augustin Fresnel som kom frem til den i sin mekaniske modell for lysets gang i et anisotropt materiale. På hans tid hadde man ikke noen elektromagnetisk forståelse av lysets egenskaper.

Hver tillatt verdi av forskyvningsfeltet **D** til bølgen må tilsvare et punkt på denne ellipsoiden. I tillegg må betingelsen  være oppfylt. Den betyr at en slik løsning også må ligge på et plan gjennom dens sentrum. Planet vil da skjære ellipsoiden i en ellipse som har halvakser  med lengder  og  som kan regnes ut fra kjennskap til retningen **k**. Disse to størrelsene er brytningsindeksene som tilsvarer to mulige fasehastigheter for bølgen. I hver retning eksisterer det derfor to tillatte bølger med  vinkelrette polarisasjonsplan gitt ved retningene til de to hovedaksene. Da begge bølgene generelt har hastigheter som varierer med retningen, er de ekstraordinære og vil ikke uten videre følge Snells lov for lysbrytning.

Alternativt kan man også uttrykke den konstante feltenergien ved komponentene til det elektriske feltet **E**. Det gir på samme vis ligningen for ellipsoiden

:   {x^2\over c_x^2}  + {y^2\over c_y^2} + {z^2\over c_z^2} = 1 

med halvakser gitt ved de prinsipale lyshastighetene    og   For å skille denne fra indeksellipsoiden, omtales den vanligvis som **Fresnel-ellipsoiden**. Den kan benyttes til å bestemme hastighten til ekstraordinære lysstråler i forskjellige retninger.

## Enakset krystall

I det spesielle tilfellet at  = *n*z&thinsp; blir indeksellipsoiden en kule. Den geometriske løsningsmetoden gir derfor snittflater som alltid vil være sirkler slik at  brytningsindeksen er den samme i alle retninger. Slike symmetriske materialer har en  kubisk krystastallstruktur. Det mest kjente er kanskje diamant.

Når bare to av disse indeksene er like store, vil Indeksellipsoiden være symmetrisk om den tredje aksen slik at den er en «rotasjonsellipsoide» eller sfæroide. Det er vanlig å la *z*-aksen være denne tredje aksen. Snittellipsen gjennom denne ellipsoiden sentrum vil nå ha en halvakse med konstant lengde uavhengig av retningen **k** da den ligger i *xy*-planet. Det er derfor naturlig å kalle den tilsvarende brytningsindeksen *n<sub>o</sub>* =  for den «ordinære brytningsindeksen».  Den tredje indeksen  er da den «ekstraordinære». Slike enaksete materialer har en krystallstruktur som er trigonal, tetragonal eller heksagonal. I denne sammenhengen er kalsitt med en trigonal struktur mest kjent.

Når bølgeretningen **k** er langs den tredje aksen, vil snittellipsen være en sirkel med begge halvakser lik med *n<sub>o</sub>*. Begge polarisasjonsretningene tilsvarer derfor bølger som beveger seg med samme hastighet. Denne tredje retningen, som er rotasjonsaksen til ellipsoiden, er derfor også den optiske aksen i materialet. 

For en vilkårlig bølgeretning **k** som danner vinkelen *&theta;&thinsp;* med den optiske aksen, har snittellipsen en halvakse med lengde *n<sub>o</sub>&thinsp;* og forskyvningsfelt **D** vinkelrett på både denne retningen og den optiske aksen. Dette representerer den ordinære bølgen. Men samtidig opptrer en ekstraordinær bølge som tilsvarer den andre halvaksen med lengde *n<sub>&theta;</sub>*. Dens endepunkt *P&thinsp;* på ellipsen har koordinater  og  i koordinatplanet . Innsatt i ligningen for ellipsoiden, følger da at

:  {1\over n_\theta^2} = {\cos^2\theta\over n_o^2} + {\sin^2\theta\over n_e^2}

Når  *&theta;* = 0, blir denne effektive brytningsindeksen lik med *n<sub>o</sub>&thinsp;*.  Det betyr at begge bølgene sprer seg med samme hastighet langs den optiske aksen hvor den ene er polarisert langs *x*-aksen og den andre langs *y*-aksen. Men når vinkelen øker til , blir . Denne verdien gir hastigheten til den ekstraordinære bølgen normalt til den optiske aksen, mens den ordinære bølgen utbrer seg i samme retning med fasehastighet bestemt av *n<sub>o</sub>*. Bølgene har igjen motsatt polarisasjon.

Det meste kjente eksempel på en slik enakset krystall, er kalkspat som har  og sies å ha «negativ dobbelbrytning».Den tilsvarende indeksellipsoiden er da en oblat sfæroide som i figuren. Mer utbredt i naturen er bergkrystaller som også er enakset. De fremviser en positiv dobbeltbrytning, men den er meget liten og derfor vanskelig å observere.

### Strålehastigheter

Brytningsindeksen *n<sub>&theta;</sub>&thinsp;* = *n*(*&theta;*) bestemmer fasehastigheten *u* = *c*&thinsp;/*n&thinsp;* som en plan bølge har i en retning **k**. For en énakset krystall er den bestemt ved vinkelen *&theta;*. Bølgen har en Poynting-vektor  som beskriver dens utstråling av elektromagnetisk energi i retningen **S**. Denne utbredelsen av energi skjer med en hastighet  som for et isotropt materiale er lik med fasehastigheten. Men i et anisotropt medium er de forskjellige og vil også variere med retningen på en annen måte. Den betegnes vanligvis som *v&thinsp;* og omtales  som bølgens **strålehastighet**.

På samme måte som fasehastigheten kan beregnes fra indeksellipsoiden, kan strålehastighten finnes ved hjelp av Fresnel-ellipsoiden. Den fremkommer ved å plotte bølgens energitetthet i et aksekors gitt ved det elektriske feltet **E** = (*E<sub>x</sub>*, *E<sub>y</sub>*,*E<sub>z</sub>*). Ellipsoidens halvakser er gitt ved materialkonstantene *c<sub>x</sub>*, *c<sub>y</sub>* og *c<sub>z</sub>* som hver inneholder den inverse av brytningsindeksen i den tilsvarende retningen. For en gitt retningen av vektoren **S** vil de tilsvarende løsningene av Maxwell-ligningene måtte ligge på snittellipsen mellom ellipsoiden og planet  

For en énakset kan man angi retningen til **S** med den vinkel *&chi;&thinsp;* som vektoren danner med *z*-aksen. Uavhengig av denne vinkelen har snittellipsen en halvakse med konstant lengde *c<sub>o</sub>* = *c<sub>x</sub>* = *c<sub>y</sub>*. Det tilsvarende **E**-feltet ligger i *xy*-planet vinkelrett på den optiske aksen og representerer den ordinære lysstrålen i krystallen. Den andre halvaksen har en variabel lengde  gitt ved

:  {1\over v_\chi^2} = {\cos^2\chi\over c_o^2} + {\sin^2\chi\over c_e^2} 

hvor *c<sub>e</sub>* = *c<sub>z</sub>*. Dette er strålehastighten for den ekstraordinære strålen hvor den tilsvarende **E**-vektoren ligger i samme plan som den optiske aksen.

Det var Christiaan Huygens som for mer enn tre hundre år siden forklarte dobbeltbrytning i en kalsittkrystall ved at det oppstår to bølger inni i den hvorav den ene, ekstraordinære har en variabel strålehastighet. Han gjorde selv målinger av denne effekten og kom frem til at denne hastigheten måtte ha verdier som ligger på en ellipse når utbredelsen av lyset foregår i plan som inneholder den optiske aksen. Denne observasjonen fikk først sin forklaring ved Fresnels innføring av en mekanisk eter, mens den endelige beskrivelsen måtte vente til etter at Maxwell hadde funnet sine elektromagnetiske ligninger.

### Bølgeflaten

Strålehastigheten *v&thinsp;* må ikke forveksles med fasehastigheten *u*. Hvis man tenker seg bølger sendt ut fra et punkt i krystallen, vil det i hver retning **k** gå ut plane bølgefronter med forskjjelige fasehastigheter. Hvis alle disse bølgene ble sendt ut samtidig, vil de tilsammen definere en ny flate som er omhyllingsflaten til alle disse plane flatene. Den omtales med forskjellige navn som *bølgeflaten* eller «stråleflaten». Dens tangentplan utgjøres av de plane bølgefrontene som definerer den. En systematisk beregning av denne flaten er en sentral del av krystalloptikken.

For en énakset  krystall er dette en kuleflate for den ordinære strålen med radius *c<sub>o</sub>*, mens det for den ekstraordinære strålen er det en ellipsoide med halvakse *c<sub>o</sub>&thinsp;* langs den optiske aksen og *c<sub>e</sub>&thinsp;* normalt på denne. Ellipsoiden berører derfor kuleflaten langs den optiske aksen slik at at de to bølgene beveger seg med samme hastighet i denne retningen.

Radius til hvert punkt på flaten gir den tilsvarende strålehastigheten til bølgen i en retning som tilsvarer Poynting-vektoren **S**. I planet *y* = 0 er snittet av flaten for den ekstraordinære bølgen i en  énakset  krystall gitt ved ellipsen

:   {x^2\over c_e^2}  + {z^2\over c_o^2} = 1 

når den optiske aksen ligger langs *z*-aksen. Vektoren **S** danner her vinkelen *&chi;* med denne aksen og bestemmer strålehastighten  Den tilsvarende fasehastigheten kan finnes geometrisk ved at den må tilhøre en bølgefront som tangerer ellipsen i samme punkt. Retningen **k** til fronten er bestemt ved at den må være vinkelrett på dette tangentplanet og dermed danner vinkelen *&theta;* med *z*-aksen. Fasehastigheten  er da avstanden fra ellipsens sentrum til bølgefronten.

Retningen til Poynting-vektoren **S** tilsvarer et punkt *P* = (*x*0, *z*0) på ellipsen som angir strålehastigheten  . Tangenten i dette punktet har ligningen

:   {xx_0\over c_e^2}  + {zz_0\over c_o^2} = 1 

for en rett linje. Da den samtidig må stå vinkelrett på bølgevektoren **k**, kan den også skrives som

:  x\sin\theta + z\cos\theta = u 

der fasehastighten *u* = OQ. Det betyr at tangenten skjærer *z*-aksen  i *u*&thinsp;/cos*&theta;* over sentrum O. Fra disse to ligningene kan koordinatene (*x*0, *z*0) til punktet *P&thinsp;* bestemmes uttrykt ved vinkelen *&theta;&thinsp;* og hastigheten *u*. Da de må oppfylle ellipseligningen, kommer man frem til relasjonen

:  u^2 = c_e^2 \sin^2\theta + c_o^2\cos^2\theta 

Den er I overensstemmelse med hva som tidligere ble utledet da fasehastighten  er relatert til den variable brytningsindeksen ved *u* = *c*&thinsp;/*n<sub>&theta;</sub>*.

Tangenten i punktet P har stigningstallet

:  {dz\over dx} = - {c_o^2\over c_e^2} {x_0\over z_0} = - {n_e^2\over n_o^2} \tan\chi 

Da dette samtidig må være like med -&thinsp;tan*&theta;*, har man også den viktige sammenhengen  n_e^2 \tan\chi = n_o^2 \tan\theta  som lett kan verifiseres ved eksperiment.

Fra denne geometriske konstruksjonen har man også ammenhengen *u* = *v*&thinsp;cos*&alpha;&thinsp;* mellom de to hastighetene der vinkelen  er negativ for en negativ krystall. Den avgjør om det er **k** eller **S** som er nærmest *z*-aksen.

## Huygens konstruksjon

En kvantitativ beskrivelse av dobbeltbrytning av lys i uniaksiale krystaller kan gis på to måter. Enten kan man gjøre bruk av den variable fasehastigheten  i Snells brytningslov når den uttrykkes ved den tilsvarende ekstraordinære brytningsindeksen *n<sub>&theta;</sub>*, eller man kan benytte den variable strålehastighten  i Huygens-Fresnels prinsipp. Denne fremgangsmåten er mer fysisk og gir også anledning til en direkte, geometrisk konstruksjon av de brutte strålene.

Når den innkommende bølgefronten treffer en side av krystallen, vil hvert punkt på den sende ut to typer sekundærbølger. De ordinære har samme strålehastighet i alle retninger, mens de ekstraordinære har hastigheter som varierer med retningen de har relativt til den optiske aksen. Den resulterende stråleretningen for hver av disse gruppene med sekundærbølger er gitt ved tangentene innen hver gruppe. Polarisasjonen til den ordinære strålen er vinkelrett på den optiske aksen, mens den ligger i samme plan som denne aksen for den ekstraordinære strålen.

For det enkle tilfellet at den optiske aksen ligger i innfallsplanet for den innkommende bølgen, kan dobbeltbrytning nå lett illustreres ved å anta i tillegg at innfallsvinkelen er null grader. De ordinære sekundærbølgene bygger opp en ny bølgefront som ved et gitt tidspunkt utgjør et felles tangentplan parallelt med den innkommende fronten. På samme vis vil de  ekstraordinære sekundærbølgene med variable hastigheter fordelt langs en ellipse, gi en ny bølgefront som også er parallell med denne. Men den har en annen stråleretning da denne er gitt ved tangentpunktene på ellipsene,

I dette spesielle tilfellet med loddrett innfall, fortsetter o-strålen i samme retning og utgjør vinkelen *&theta;&thinsp;* med den optiske aksen. Retningen til e-strålen danner samtidig vinkelen *&chi;&thinsp;* med den samme aksen og kan finnes fra formelen

:  \tan\chi = {n_o^2\over n_e^2} \tan\theta 

For en negative krystall er *n<sub>o</sub>* > *n<sub>e</sub>&thinsp;* og derfor *&chi;* > *&theta;*. Denne sammenhengen var kjent for Étienne-Louis Malus allerede på begynnelsen av 1800-tallet og ble verifisert på denne måten ved dobbeltbrytning for vinkelrett innfall.

### Skjevt innfall

En annen situasjon som som lett kan forklares ved Huygens konstruksjon, er refraksjon for en vilkårlig innfallsvinkel *&theta;*1 når den optiske aksen OA er parallell med innfallsloddet. Den står da vinkelrett på siden av krystallen der lyset trenger inn. Her vil den ordinære strålen bevege seg med hastighet *c<sub>o</sub>* i en retning *&theta;*o som kan finnes fra brytningsloven

:  \sin\theta_1 = n_o\sin\theta_o 

Ved et bestemt tidspunkt senere vil den tilsvarende bølgefronten berøre den sekundære kulebølgen fra O i et punkt B. Samtidig treffer den innkommende bølgefronten krystallflaten i et punkt D på *x*-aksen i en avstand   fra sentrum.

Den ekstraordinære bølgen fra O vil ved samme tidspunkt ha beveget seg frem til et punkt  på ellipsen. Tangenten

:   {xx_0\over c_e^2}  + {zz_0\over c_o^2} = 1 

i dette punktet utgjør nå den ekstraordinære bølgefronten. Da den må skjære *x*-aksen i det nevnte punktet D, er derfor . Men her er nå  da OC danner vinkelen  med *x*-aksen. Ved å sammenholde disse to resultatene for strekningen OD, må man dermed ha

:  v\sin\chi = {c_e^2\over c_o} \sin\theta_o 

Strålehastigheten *v&thinsp;* kan her uttrykkes ved vinkelen *&chi;*&thinsp;, og *&theta;*o er gitt ved innfallsvinkelen *&theta;*1. Ved å benytte disse sammenhengene, finner man dermed det eksplisitte resultatet 

:  \tan\chi = {n_o\sin\theta_1\over n_e\sqrt{n_e^2 - \sin^2\theta_1}} 

for retningen til den ekstraordinære strålen. Også dette uttrykket ble eksperimentelt verifisert av Malus i hans arbeid med å utforske Huygens' teori. Det var på en tid da både han selv og de fleste andre trodde at lys besto av en strøm med små partikler eller «korpuskler» som de ble kalt.

## Biaksiale krystaller

Når Fresnel-ellipsoiden for en vilkårlig krystall med hovedbrytningsindekser *n<sub>x</sub>* &ne; *n<sub>y</sub>* &ne; *n<sub>z</sub>* snittes av et plan gjennom dens sentrum og med normal **S**, vil snittet generelt være en ellipse. Lengdene  *v*1 og *v*2 av dens halvakser  gir da to forskjellige strålehastigheter og tilsvarer to ekstraordinære stråler i retningen **S**.  Ren geometri viser nå at i to spesielle retninger degenererer snittellipsen til en sirkel slik at de to utbredelseshastighetene blir de samme. Langs disse to retningene vil derfor begge strålene bevege seg like raskt uten noen dobbeltbrytning. De utgjør derfor krystallens to optiske akser.

Slike biaksiale krystaller ble først undersøkt av David Brewster i 1813 som påviste fenomenet blandt annet i topas. Strålegangen gjennom dem kunne ikke like enkelt forklares ved Huygens prinsipp. Men ved å bygge på dette lyktes det Fresnel om lag ti år senere å gi en fullstendig beskrivelse av dobbeltbrytning også i disse krystallene. Istedenfor en bølgeflate bestående av en ellipsoide og kuleflate som berører hverandre langs den optiske aksen som for uniaksiale krystaller, er den nå gitt som løsningen av en fjerdegradsligning. Den beskriver en flate som består av to deler hvor den indre delen går over i den ytre delen i fire spesielle punkt. De ligger slik i forhold til hverandre at de definerer to retninger som tilsvarer de optiske aksene i krystallen. I grensen der to av brytningsindeksene blir like store, går de to aksene over i hverandre og utgjør den optiske aksen i en uniaksial krystall slik at man igjen kan benytte Huygens konstruksjon for stråelgangen.

## Se også

* Anisotropisk dielektrikum
* Krystalloptikk
* Nicol-prisme

## Referanser


## Eksterne lenker

* Sixty Symbols, ''Double Vision'', Youtube video som illustrerer dobbeltbrytning i en kalsittkrystall.
* YouTube, ''Optic Axis and Birefringence'', betydning av optisk akse