Sobolev-rom

Innen matematikk er **Sobolev-rom** et funksjonsrom som består av funksjoner som tilhører et <math>L^p</math>-rom, og hvis deriverte, opp til en viss orden og forstått som svake deriverte, også tilhører dette rommet. Intuitivt er Sobolev-rom funksjonsrom som har tilstrekkelig mange deriverte til å gi det teoretiske grunnlaget for visse anvendelser, der spesielt løsning av partielle differensialligninger er sentralt. Dette kommer av at flere viktige ligninger har løsninger som eksisterer i Sobolev-rom, men *ikke* i rom av kontinuerlige funksjoner der de deriverte er forstått på vanlig måte (sterke deriverte). Sobolev-rom er også viktige i det teoretiske grunnlaget for elementmetoden, som brukes for å finne numeriske løsninger av partielle differensialligninger.

Sobolev-rom tilordnes en norm definert som en sum av L^p-normen av funksjonen i seg selv og dens (svake) deriverte. Et Sobolev-rom er dermed et normert rom, og også komplett, hvilket gjør det til et Banach-rom. For p=2, altså der funksjonene og deres deriverte er L^2-funksjoner, er det også et indreproduktrom og dermed et Hilbert-rom. Sobolev-rom er oppkalt etter den russiske matematikeren Sergei Sobolev.

## Definisjon
La \Omega \subset \mathbb{R}^n for n \geq 1, s et ikke-negativt heltall og p et tall slik at 1 \leq p \leq \infty. *Sobolev-rommet* W^{k, p}(\Omega) består av alle lokalt deriverbare funksjoner u : \Omega \to \mathbb{R} slik at for alle multiindekser \alpha slik at |\alpha| \leq k, eksisterer de (svake) deriverte D^{\alpha}u og tilhører L^{p}(\Omega).

Dersom u \in W^{k, p} (\Omega) definerer vi den tilhørende *[[norm (matematikk)|normen]]* til å være
:
|| u ||_{W^{k, p} (\Omega)} = \begin{cases} \sum_{|\alpha| \leq k} \Big(\int_{\Omega} |D^{\alpha} u|^p dx \Big)^{1/p} \qquad \text{hvis } 1 \leq p 
der
:D^{\alpha} = \frac{\partial u^}{\partial x_1^{\alpha_1} ... \partial x_n^{\alpha_n}}
for en vektor \alpha = (\alpha_1, ... \alpha_n) der hver indeks igjen er et ikke-negativt heltall og \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \leq k.

Normen over er ekvivalent med normen
:|| u ||_{W^{k, p} (\Omega)} = \sum_{|\alpha| \leq k} || D^{\alpha} ||_{L^{p} (\Omega)}
for 1 \leq p \leq \infty.

## Egenskaper
### Lineære egenskaper
La u, v \in W^{k, p}(\Omega), og |\alpha| \leq k. Da gjelder
#D^{\alpha} u \in W^{k - |\alpha|, p} (\Omega)
#D^{\beta} (D^{\gamma} u) = D^{\gamma} (D^{\beta} u) = D^{\gamma + \beta} u dersom \beta og \gamma er multiindekser slik at |\beta| + |\gamma| \leq k
#Hvis \lambda, \mu \in \mathbb{R} er også \lambda u + \mu v \in W^{k, p}(\Omega) 
#Hvis \lambda, \mu \in \mathbb{R} er D^{\alpha} (\lambda u + \mu v) = \lambda D^{\alpha} (u) + \mu D^{\alpha} v 
#Hvis A er en åpen delmengde av \Omega er u \in W^{k, p} (A)
#Dersom f \in C_{c}^{\infty} (U) (mengden av uendelig deriverbare funksjoner med kompakt støtte i U) er også fu \in W^{k, p}(\Omega), og
#:D^{\alpha} (fu) = \sum_{\beta \leq \alpha} {\alpha \choose \beta} D^{\beta} f D^{\alpha - \beta} u (Leibniz' formel).

### Kompletthet
For enhver k = 1, 2, ... er Sobolev-rommet W^{k, p} (\Omega) komplett, og dermed et Banach-rom.

## Utvidelser
Under visse betingelser kan funksjoner i et Sobolev-rom W^{1, p} (\Omega), der \Omega \subset \mathbb{R}^n utvides til å også være funksjoner i Sobolev-rommet W^{1, p} (\mathbb{R}^n), altså fra en begrenset mengde til en ubegrenset mengde. Disse betingelsene er gitt i *utvidelsesteoremet*, og er nødvendig for å bevise flere av Sobolev-ulikhetene.

### Utvidelsesteoremet
Dersom \Omega \subset \mathbb{R}^n er begrenset og randen \partial \Omega er kontinuerlig (i C^{1}). Da finnes det en begrenset lineær operator E
:E : W^{1, p}(\Omega) \to W^{1, p} (\mathbb{R}^n)
slik at for enhver u \in W^{1, p}(\Omega), er
:Eu = u nesten overalt i \Omega,
og
:|| Eu ||_{W^{1, p} (\mathbb{R}^n)} \leq C || u ||_{W^{1, p} (\Omega)}
der C er en konstant avhengig av p og \Omega. E kalles for *utvidelsen* av u til \mathbb{R}^n.

## Traser
I flere tilfeller er det interessant å studere randen av \Omega, og (hvis de ikke allerede er definert) tilordne verdier til u langs denne. Dersom u er kontinuerlig i \overline \Omega  (tillukningen av den åpne mengden \Omega) har den allerede slike verdier; en generell u \in W^{1, p} (\Omega) kan imidlertid generelt være diskontinuerlig, og vil heller ikke nødvendigvis være definert på (hele) randen. Som for utvidelser kan man gjøre dette under visse (lignende) betingelser.

### Traseteoremet
Anta at 1 \leq p , og at \Omega \subset \mathbb{R}^n er begrenset og at randen \partial \Omega er kontinuerlig (i C^{1}). Da finnes det en begrenset lineær operator
:T : W^{1, p} (\Omega) \to L^{p}(\partial \Omega)
slik at
#Tu = u|_{\partial U} dersom u \in C (\overline{\Omega})
og
#||Tu||_{L^{p} (\partial U)} \leq C || u ||_{W^{1, p} (\Omega)}
for alle u \in W^{1, p} (\Omega), der C er en konstant avhengig av p og \Omega. T kalles for *sporet* til u på \partial \Omega.

Sporet T er altså sammenfallende med verdiene u allerede har dersom u er kontinuerlig i tillukningen av \Omega, og normen er begrenset oppad av en konstant multiplisert med normen til u i W^{1, p} (\Omega).

### Traser med verdi 0
Anta at \Omega \subset \mathbb{R}^{n} er begrenset og at randen \partial \Omega er kontinuerlig (i C^{1}), samt at u \in W^{1, p} (\Omega). Da er
:u \in W_{0}^{1, p} (\Omega) hvis og bare hvis Tu = 0 på \partial \Omega.

Her betegner W_{0}^{1, p} (\Omega) mengden av alle funksjoner u \in W^{1, p} (\Omega) som er slik at det finnes en følge \{ u_m \}_{m=1}^{\infty} av uendelig deriverbare funksjoner med kompakt støtte (u_m \in C_{c}^{\infty} (\Omega) for alle m) som konvergerer til u med hensyn på normen || \cdot ||_{W^{1, p} (\Omega)}.

## Sobolev-ulikhetene
Sobolev-ulikhetene er en klasse ulikheter som beskriver hvordan relasjonen mellom *n*, *p* og *k* sier noe om hvilke Sobolev-rom som er inneholdt i andre Sobolev- og L^p-rom.

For 1 \leq p  kan man definere *den Sobolev-konjugerte* av p til å være
:p^{*} := \frac{np}{n - p}
hvilket brukes gjennomgående i flere av ulikhetene under.

For to Banach-rom X, Y slik at X \subset Y sier vi at X er *[[embedding|kompakt embeddet]]* i Y dersom
#||u||_y \leq C ||u||_X for alle u \in X, for en konstant C, og
#for hver begrenset følge \{ u_k \}_{k=1}^{\infty} i X har denne en konvergent delfølge:
#:\lim_{j \to \infty} || u_{k_j} - u ||_{Y} = 0.

### Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-ulikheten
Anta at 1 \leq p . Da finnes en konstant C (kun) avhengig av p og n slik at
:|| u ||_{L^{p*} (\mathbb{R}^n)} \leq C || Du ||_{L^p (\mathbb{R}^n)}
for alle u \in C_{c}^{1} (\mathbb{R}^n).

Her betegner C_{c}^{1} (\mathbb{R}^n) rommet av *alle kontinuerlige funksjoner <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> med [[støtte (matematikk)|kompakt støtte]]*. Denne ulikheten ble bevist for 1  av Sergei Sobolev, og for p = 1 både av Emilio Gagliardo og Louis Nirenberg (uavhengig av hverandre).

Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-ulikheten impliserer at dersom u \in W^{1, p} (\Omega) er slik at Du = 0 nesten overalt i \Omega, så er også u = 0 nesten overalt i \Omega. Videre impliserer det også at for alle q \in [1, p*] gjelder ulikheten
:|| u ||_{L^{q} (\Omega)} \leq C || Du ||_{L^p (\Omega)}
der C er en konstant (kun) avhengig av p, q, n og |\Omega|.

### Morreys ulikhet
Anta at n . Da finnes det en konstant C, avhengig av (kun) p og n, slik at
:|| u ||_{C^{0, \gamma} (\mathbb{R}^n)} \leq C || u ||_{W^{1, p} (\mathbb{R}^n)}
for alle u \in C^{1} (\mathbb{R}), der || \cdot ||_{C^{0, \gamma}} angir Hölder-normen med eksponent \gamma, og \gamma er gitt ved
:\gamma := 1 - \frac{n}{p}.

Hvis u \in W^{1, p} (\mathbb{R}^n), så er u altså også *Hölder-kontinuerlig* med eksponent \gamma, gitt at man eventuelt tilordner verdier ti l u over en mengde med mål 0.

### Rellichs og Kondrachovs kompakthetsteorem
Anta at U er en begrenset, åpen delmengde av \mathbb{R}^n og at randen \partial U er kontinuerlig. Anta videre at 1 \leq p . Da er W^{1, p} (U) en kompakt embeddet i L^{p} (U) for alle q \in [1, p^{*}).

## Referanser


## Litteratur
*
*