Fresnel-sone

**Fresnel-sone** fremkommer I optikken som et område av en bølgefront når man tenker den delt opp på en slik måte at lyset fra nabosoner blir observert i motfase og dermed svekkes ved interferens. Slike soner gjør det mulig å forklare mange egenskaper ved diffraksjon som først ble vist av Augustin Fresnel på begynnelsen av 1800-tallet.

Oppdelingen av bølgefronten i Fresnel-soner er avhengig av bølgelengden *&lambda;&thinsp;* til lyset og avstanden til lyskilde og observatør. De bestemmer nærmeste avstanden *L&thinsp;* til lysfronten og dermed også til første Fresnel-sone. De andre sonene har dermed avstander *L* + (1/2)*&lambda;*, *L* + (2/2)*&lambda;*, *L* + (3/2)*&lambda;* og så videre da faseforskjellen  for lyset fra to nabosoner må være *&lambda;*/2 for at de skal være i motfase. Denne oppdelingen gjelder ikke bare for lysbølger, men like mye for lydbølger og radiobølger hvor lyskilde og observatør blir byttet ut med radiosender og mottager. Fresnel-soner benyttes derfor også i antenneteori.

Når en gjennomsiktig skive er delt opp i konsentriske ringer med radier som øker med kvadratroten av ringens nummer, vil hver ring representere en Fresnel-sone for lys som kommer vinkelrett inn mot skiven. Hvis så annenhver ring blir gjort ugjennomsiktig, vil lyset fra de resterende ringer ankomme med samme fase og dermed bli forsterket. Skiven kalles da en **soneplate** og kan benyttes som en optisk linse.

## Sirkulær geometri

Hvis lyskilden er uendelig langt borte, vil observatøren se  plane bølger komme mot seg. Ifølge Huygens-Fresnels prinsipp vil en bølgefront bevege seg fremover ved at den i hvert punkt sender ut sekundære bølger med samme bølgelengde. De beveger seg hovedsaklig i samme retning, men kan også gå i andre retninger med en reduksjon i amplituden som øker med avviket. Sekundærbølgene vil alle være i fase når de sendes ut, men vil observeres med en viss faseforskjell når de registreres avhengig av avstanden de har tilbakelagt frem til observatøren. Når *L&thinsp;* er avstanden som denne har til nærmeste punkt *O&thinsp;* på bølgefronten, vil et annet punkt på fronten med avstand *R&thinsp;* fra *O&thinsp;* samtidig ha en avstand *r&thinsp;* til observatøren bestemt ved

:  r^2 = L^2 + R^2 

Det betyr at alle punkt innen en avstand *R*1 fra *O&thinsp;* slik at den tilsvarende avstanden  *r*1 &le; *L* + (1/2)*&lambda;* vil mottas med omtrent samme fase og derfor virke forsterkende på hverandre. Denne radius gir derfor størrelsen av første Fresnel-sone og blir   da man alltid vil ha at *&lambda;* n&thinsp;* til *n*-te Fresnel-sone som dermed blir

: <math> R_n = \sqrt{n\lambda L} </math>

Den er ringformet med indre radius *R*<sub>*n*-1</sub> og har derfor arealet

: <math> A_n = \pi\big(R_n^2 - R_{n-1}^2\big) =  \pi\lambda L </math>

Alle Fresnel-sonene har dermed samme areal i denne geometrien.

===Rund åpning===

Hvis en observatør befinner seg på aksen bak en rund åpning i en vegg, vil amplituden til sekundærbølgene fra hver Fresnel-sone være omtrent de samme da de har samme areal. Men bølgene fra to nabosoner blir mottatt med motsatt fase slik at totalamplituden følger fra den alternerende summen

: <math> E = E_1 - E_2 + E_3 -  \cdots - (-1)^m E_m </math>

hvor *m&thinsp;* angir antall Fresnel-soner som kan sees gjennom åpningen. Når den har radius *&rho;*, er dette antallet

: <math> m = {\pi\rho^2\over A_n} =  {\rho^2\over \lambda L} </math>

og blir vanligvis omtalt som [[Diffraksjon#Fresnel-tallet|Fresnel-tallet]] *F*. Når et stort antall soner bidrar til amplituden, kalles prosessen for [[Fresnel-diffraksjon]], mens når *F* &le; 1, har man [[Fraunhofer-diffraksjon]]. Da bidrar hovedsaklig lys fra første Fresnel-sone og diffraksjonsbildet bak åpningen er enklere.


For det spesielle tilfellet hvor der ikke er noen åpning, vil uendelig mange soner bidra i summen. Den kan da skrives om til formen 
: <math>\begin{align} E &= {E_1\over 2} + \left({E_1\over 2} - E_2 + {E_3\over 2}\right) \\ &+ \left({E_3\over 2} - E_4 + {E_5\over 2}\right)  + \cdots \end{align} </math>

Da de enkelte amplitudene avtar langsomt i absoluttverdi, vil man med god nøyaktighet ha at *E*<sub>2</sub> er middelverdien av *E*<sub>1</sub>  og *E*<sub>3</sub> og likedan for de resterende amplitudene. Derfor kan alle leddene i parentes neglisjeres og totalamplituden tar verdien

: <math> E_0 = {E_1\over 2}  </math>

På denne måten kommer man frem til det overraskende resultatet at hvis man har en lyskilde som observeres med amplituden *E*<sub>0</sub> når det ikke er noen hindringer i veien, vil man observere den doble  amplituden og derfor fire ganger så stor intensitet, hvis man betrakter kilden gjennom en åpning i en vegg fra en avstand som tilsvarer at den omfatter kun den første Fresnel-sonen.

Når man for denne avstanden øker størrelsen på åpningen, vil man snart kunne se to soner. Den resulterende amplituden blir da  som er omtrent null. Intensiteten reduseres derfor når åpningen blir større. Flyttes observasjonen til et punkt like utenfor aksen, vil bare en mindre del av den andre sonen være synlig og dermed ha en mindre amplitude som ikke lenger gir en eksakt kansellering. Det mørke senteret på aksen vil derfor være omgitt av et lysere område. Går man enda lenger ut til siden, vil man se en serie av konsentriske, lyse og mørke ringer.

Ved å lage enda større åpning, vil man kunne se tre Fresnel-soner med resulterende amplitude *E*<sub>1</sub>/2 + *E*<sub>3</sub>/2 som også er stor. Langs aksen bak en sirkulær åpning vil man derfor observere en serie med mørke og lysende punkt når man varierer avstanden til den. Dette er i overensstemmelse med hva mer [[Diffraksjon#Sirkulær åpning|nøyaktige beregninger]] gir.

===Rund skive===

Mens intensiteten på aksen bak en sirkulær åpning varierer mellom lys og mørke, vil den på aksen bak en rund, ugjennomsiktig skive alltid være lysende. Dette overraskende fenomenet heter [[Poissons flekk]] og ble takket være Fresnels arbeid av stor betydning for etableringen av en bølgeteori for lys.

Et lysende punkt i midten av den klassisk forventede skyggen bak skiven fremkommer ved at en observatør i en viss avstand fra denne, ikke vil kunne se de innerste Fresnel-sonene til lyskilden. For eksempel, hvis skiven dekker de to første sonene, vil observatøren se den tredje, fjerde og alle andre, større soner. Disse kan summeres på samme måte som i tilfellet med ingen skive. Så i stedet for amplituden *E*<sub>1</sub>/2, vil man nå få summen *E*<sub>3</sub>/2. Da disse to er omtrent like store, vil intensiteten for punkt på aksen være den samme som om skiven ikke var der i det hele tatt. Like utenfor aksen vil litt av de indre Fresnel-sonene bli synlige og dermed kunne gi destruktiv interferens. Den lysende Poisson-flekken vil derfor være omgitt av én eller flere mørke ringer.

==Soneplate==


Når lyskilden er i en endelig  avstand *a&thinsp;* til en åpning, vil den sende ut [[Bølge#Sfæriske bølger|kulebølger]]. Likevel kan bølgefronten som ankommer åpningen, antas  å være tilnærmet plan når åpningsvinkelen *&theta;&thinsp;* er liten. Fresnel-sonene er nå bestemt ved at avstanden *PQ&thinsp;*  fra observatøren *P&thinsp;* til et punkt *Q&thinsp;* på den innkommende bølgefronten tar verdiene  hvor *b&thinsp;* er avstanden til sentrum *O*. Radius  *R&thinsp;* til den tilsvarende Fresnel-sonen kan identifiseres med *QH&thinsp;* og bestemmer  dermed lengden *P*<sub>0</sub>*H&thinsp;* som blir

: <math> P_0H = (a^2 - R^2)^{1/2} = a - {R^2\over 2a} </math>

Men denne lengden kan også uttrykkes på samme måte via avstanden *rn&thinsp;* ved å benytte sammenhengen *P*<sub>0</sub>*H* + *HP* = *a* + *b*. Det betyr at ytre radius til *n*-te Fresnel-sone er gitt ved

: <math> \left({1\over a} + {1\over b} \right) R_n^2 = n\lambda </math>

Dette er samme resultat som når lyskilden er uendelig langt borte og avstanden *L&thinsp;* erstattes med den [[Harmonisk gjennomsnitt|harmoniske middelverdien]] av *a&thinsp;* og *b&thinsp;*, det vil si 1/*L* = 1/*a* + 1/*b&thinsp;*. På denne måten får også disse Fresnel-sonene samme areal.

Selve soneplaten fremkommer nå ved annenhver Fresnel-sone blir svertet eller gjort ugjennomsiktig på annen måte. For eksempel, hvis lyset bare kommer gjennom sone 1, 3, 5, 7 og 9 vil den totale amplituden bli *E*<sub>1</sub> + *E*<sub>3</sub> + *E*<sub>5</sub> + *E*<sub>7</sub> + *E*<sub>9</sub> da de er alle i fase. I tillegg er de omtrent like store, så dette er nesten det samme som 5*E*<sub>1</sub> eller ti ganger amplituden man har for en uendelig stor åpning. En slik soneplate med fem åpne soner gir derfor en intensitet som er omtrent hundre ganger større.

===Optisk linse===

Når en soneplate med *N&thinsp;* ringer blir benyttet for lys med bølgelengde *&lambda;*, vil en lyskilde i en avstand *a&thinsp;* gi et lysende punkt i avstand *b&thinsp;* på den andre siden av platen. Sammenhengen mellom disse to avstandene vil nå være

: <math> {1\over a} + {1\over b} =   {1\over f} </math>

som er formelen for en [[Optisk linse|konveks linse]] når man identifiserer <math> f = R_N^2/N\lambda\, </math> med dens brennvidde. Alternativt kan den bestemmes fra størrelsen til den innerste ringen som gir <math> f = R_1^2/\lambda . </math> Mens en vanlig linse fungerer ved [[refraksjon]], virker en soneplate som en linse ved [[diffraksjon]]. Den kan derfor også benyttes for helt andre bølger som for eksempel [[røntgenstråling]]. 

I motsetning til en vanlig linse, har soneplaten flere svakere brennpunkt i avstand *f*&thinsp;/3, *f*&thinsp;/5 og så videre. De skyldes at for disse mindre verdiene vil hver gjennomsiktig ring kunne bli oppdelt i et ulike antall mindre Fresnel-soner hvor alle unntatt én tilnærmet vil utslukke hverandre. 

Typisk [[synlig lys]] er grønt med bølgelengde *&lambda;* = 500&thinsp;[[nanometer|nm]]. Hvis man da har en soneplate med indre radius *R*<sub>1</sub> = 1&thinsp;[[millimeter|mm]], vil den kunne virke som en linse med brennvidde *f* = 2&thinsp;[[meter|m]].

==Fresnel-striper==

Diffraksjon som skyldes en rettlinjet hindring, har ikke noen aksial symmetri og gir derfor heller ikke opphav til sirkulære Fresnel-soner. Hvis en slik hindring er en del av et plan med en kant i en viss retning, vil den gi et diffraksjonsmønster som er i orientert i samme retning. Det kan forklares med Fresnel-soner som nå er striper.

Når det innkommende lyset er plane bølger som faller loddrett inn mot *xy*-planet og kanten er parallell med *y*-aksen, vil en observatør på *z*-aksen med avstand *L&thinsp;* til dette [[planet]], kunne foreta en oppdeling av dette i striper slik at de ligger i avstander  med *n* = 1, 2, 3 og så videre. Det betyr at de har avstander *xn&thinsp;* fra *y*-aksen som er gitt ved


: <math> r_n^2 = L^2 + x_n^2 </math>
 
eller *xn* = &plusmn;&thinsp;&radic;(*n&lambda;L*). Den første Fresnel-stripen ligger nå mellom -*x*<sub>1</sub> og *x*<sub>1</sub>, mens den andre har en halvdel mellom *x*<sub>1</sub>  og *x*<sub>2</sub>  med en tilsvarende halvdel for negative *x*-verdier. Det gjelder også for de resterende stripene som nå blir smalere og smalere når tallet *n&thinsp;* øker.

En observatør med avstand *L&thinsp;* til *xy*-planet vil nå registrere en total amplitude

: <math> E = E_1 - E_2 + E_3 - \cdots </math>

når det ikke inneholder noen hindringer. Denne uendelige summen er tilnærmet  med tilsvarende argumentasjon som for sirkulær åpning. Hvis nå høyre halvdel av *xy*-planet blir stengt av en vegg, vil bare de halve Fresnel-stripene i venstre halvplan bidra. Det gir derfor en total amplitude *E*<sub>0</sub>/2 og derfor en intensitet som bare er en fjerdedel av den frie intensiteten. 

Når veggen blir flyttet mer til venstre, kommer den samme observatøren lenger inn i den geometriske skyggen. Flere av Fresnel-stripene for *x* > 0 blir blokkerte og intensiteten reduseres. Denne effekten vil jevnt øke slik at den observerte intensiteten raskt avtar mot null. Derimot vil den øke når veggen flyttes litt til høyre. Da åpnes den venstre halvdelen av den første stripen. Når kanten av veggen er ved *x*<sub>1</sub>, blir derfor den totale amplituden *E*<sub>0</sub>/2 + *E*<sub>1</sub>/2 = (3/2)*E*<sub>0</sub>, Intensiteten i dette punktet blir derfor mer enn det dobbelte av den frie. Flyttes veggen enda mer til høyre, vil den andre Fresnel-stripen begynne å bidra. Den kommer inn med motsatt fortegn og amplituden reduseres. Observatøren vil derfor se at den klassiske skyggen løser seg opp i parallelle lyse og mørke striper.

Selv om dette ligner på det som observeres, er den numeriske nøyaktigheten dårlig da betraktningen ikke tar hensyn til at arealene til de mest sentrale Fresnel-stripene er svært forskjellige. Av den grunn vil de tilsvarende amplitudene også variere raskere enn her antatt. En mer korrekt beregning kan gjennomføres ved bruk av [[Fresnel-integral]] og illustrert ved egenskapene til [[Fresnel-diffraksjon#Skarp kant|Cornus spiral]].

==Radiokommunikasjon==

Ved [[Radio|radiokommunikasjon]] sendes [[Elektromagnetisk bølge|elektromagnetiske bølger]] med en viss frekvens ut fra en antenne slik at de kan mottas via en lignende antenna på et annet sted. For at det mottatte signalet skal være mest mulig likt det som sendes ut, er det viktig at det ikke er fysiske hindringer mellom sender og mottaker. Ved [[Refleksjon (fysikk)|refleksjon]] fra slike objekt, vil bølgen vanligvis bli faseforskjøvet nærmere 180&deg; og dermed gi opphav til destruktiv interferens  i mottageren  når den kombineres med den direkte bølgen fra senderen.


Denne effekten kan reduseres ved at et område mellom sender og mottager som tilsvarer første Fresnel-sone, holdes fri for slike hindringer. For eksempel, hvis da en refleksjon skjer fra et objekt i den andre Fresnel-sonen, vil dens plassering som gir faseforskyvningen 180&deg;, pluss den som forårsakes ved refleksjonen, tilsammen tilnærmet oppheve hverandre. Den direkte bølgen vil derfor interferere konstruktivt med den reflekterte, og man får en forsterkning av signalet.

For at et punkt *P&thinsp;* skal ligge på overflaten til første Fresnel-sone, må dets avstander *AP&thinsp;* og *PB&thinsp;* til sender og mottager være lik med avstanden *D&thinsp;* mellom disse pluss *&lambda;*/2. Hvis nå *P&thinsp;* har avstanden *r&thinsp;* fra synslinjen mellom *A&thinsp;* og *B*, vil

: <math> AP = (d_1^2 + r^2)^{1/2} = d_1 + {r^2\over 2d_1} </math>

og tilsvarende for *PB&thinsp;* når man antar at *r* << *d*<sub>1</sub>,  *d*<sub>2</sub>. Betingelsen *AP* + *PB* = *AB* + *&lambda;*/2  hvor den direkte avstanden *AB&thinsp;* mellom *A&thinsp;* og *B&thinsp;* er *D* = *d*<sub>1</sub> + *d*<sub>1</sub>, betyr nå at *P&thinsp;* ligger på en [[ellipsoide]] med *A&thinsp;* og *B&thinsp;* som brennpunkt. Et vilkårlig punkt *P&thinsp;* mellom disse har derfor en radius

: <math> r = \sqrt{\lambda d_1 d_2\over d_1 + d_2} </math>

Den bestemmer minste avstand fra synslinjen til eventuelle hindringer mellom sender og mottaker.

==Referanser==
<references />

==Eksterne lenker==

* [[Purdue University]], [https://www.physics.purdue.edu/~jones105/phys42200_Spring2013/notes/Phys42200_Lecture40.pdf *Diffraction*], lectures (2013).
* YouTube, [https://www.youtube.com/watch?v=CK7iv-Iy0DA  *Fresnel half-period zones*], del av forelesningsserie.
* 4Gon, [https://www.4gon.co.uk/solutions/technical_fresnel_zones.php *Fresnel zones''], noen kommersielle  anvendelser i radiokommunikasjon.