Gnomonikk

**Gnomonikk** er læren om virkemåten til solur og danner dermed grunnlaget for deres konstruksjon. Navnet kommer fra gnomon som er den sentrale delen i alle solur. Den skaper en skygge på en nærliggende flate som dermed virker som en urskive når Solen beveger seg over himmelhvelvingen. Retningen til skyggen er bestemt av dens timevinkel slik at den angir tiden på dagen.

Lengden av skyggen er avhengig av Solens høyde over horisonten og derfor av årstiden. I løpet av et døgn vil gnomonens spiss (*nodus*) tegne en kurve på urskiven som vil være litt forskjellig fra dag til dag. Slike kurver som generelt er kjeglesnitt, kalles datolinjer da deres plassering på urskiven prinsipielt kan benyttes til fastsette dato. Hver av disse kurvene er en avbildning av Solens gang langs en sirkel på himmelhvelvingen i løpet av en dag ved en sentralprojeksjon med sentrum i gnomonens spiss. Her kan den betraktes som sentrum i en himmelsk sfære slik at datolinjen kan sies å være en gnomonisk projeksjon av Solens bane. Tilsvarende avbildninger benyttes innen kartografi.

Det første grunnlaget for gnomonikken ble lagt av den greske filosof Anaximander mer enn fem hundre år før vår tidsregning. På den tiden besto solurene vanligvis bare av en loddrett stav eller obelisk som kastet en skygge på bakken. Nøyaktig fastsettelse av tiden ble stadig viktigere i århundrene som fulgte. Det førte til konstruksjon av mer presise solur basert på en stadig videreutvikling av gnomonikken etter som Solens bevegelse ble bedre forstått.

## Ekvatoriale solur

En gnomon med form som en stav eller stang og retning som er parallel med Jordens rotasjonsakse, danner grunnlaget for de enkleste solur. Den må være rettet mot nord og ha en helning mot bakken som er lik med stedets geografiske breddegrad *&phi;*. Gnomonen sies da å være *polrettet*. På Nordpolen vil den stå vertikalt og peker mot den nordlige himmelpolen.

Skyggen som en slik gnomon kaster på en flate i nærheten, vil nå kunne utgjøre viseren i et solur. I det enkleste tilfelle er dette et plan som står vinkelrett på gnomonen. Det er da parallelt med himmelekvator slik at skyggen på planet vil rotere med samme hastighet som den tilsynelatende bevegelsen til Solen har rundt Jorden. Den tilsvarer 360&deg; i løpet av 24 timer som betyr 15&deg; per time hvis man ser bort fra den lille tidsjevningen. Dette er derfor omdreiningshastigheten til viseren på et slikt ekvatorialt solur. Timelinjene er rette linjer med 15&deg; gjensidig avstand.

Solens høyde over himmelekvator er gitt ved dens deklinasjon *&delta;*. Denne varierer fra +23.5&deg; ved sommersolhverv til -23.5&deg; ved vintersolhverv. Den er null ved jevndøgnene. 

Når den polrettete gnomonen har lengde *b*, vil lengden av skyggen

:  s = b\cot\delta 

være tilnærmet konstant hvert døgn, men langsomt forandre seg fra dag til dag. Den blir veldig stor og lite anvendelig i nærheten av jevndøgnene. I sommerhalvåret med *&delta;* > 0 benyttes den ene siden av den ekvatoriale urskiven, mens undersiden må benyttes i vinterhalvåret når *&delta;*  \sin h = \sin\phi\cdot\sin\delta + \cos\phi\cdot\cos\delta\cdot\cos H  
:  \sin A\cdot\cos h = \cos\delta\cdot\sin H 
:   \cot A\cdot \sin H = \sin\phi\cdot\cos H - \cos\phi\cdot\tan\delta  

når den har timevinkel *H* og deklinasjon *&delta;*. Midt på dagen når , følger derfor solhøyden fra sin*h*0 = cos(*&phi;* - *&delta;*) som betyr at *h*0 =  . Tilsvarende resultat kan finnes ved midnatt  og gir *h*180 =  . Om sommeren vil denne solhøyden være positiv nord for Polarsirkelen og betyr midnattsol.

### Timelinjer

Ved et bestemt tidspunkt gitt ved tiimevinkelen *H* vil skyggen av den polrettete gnomonen være en en rett linje som forbinder dens feste i den horisontale urskiven og skyggen av gnomonens spiss eller *nodus*. Avstanden til dette punktet *P* fra den vertikale projeksjonen *O* av nodus ville være lengden *r* av skyggen til en loddrett plassert gnomon i punktet *O*. Når solhøyden er *h*, er denne lengden

:  r = a\cot h 

der *a* er høyden til nodus over den horisontale urskiven. Hvis den polrettete gnomonen har lengde *b*, er da .

For å beregne posisjonen til skyggens endepunkt *P* på urskiven, kan man benytte et kartesisk koordinatsystem med origo i *O* med *y*-akse rett nordover og *x*-akse mot øst. Da har dette punktet koordinater  og .  Her kan sin*A*&thinsp; og cos*A*&thinsp; uttrykkes ved timevinkelen *H* fra ved de to ligningene i koordinattransformasjonen. Det gir

:  x = a{\cos\delta\over\sin h} \sin H, \;\;\; y =  a{\cos\delta\over\sin h}\big(\sin\phi\cdot\cos H - \cos\phi\cdot\tan\delta\big) 

Når timevinkelen *H* har en viss verdi, er skyggen en rett linje som forbinder dette punktet *P* = (*x,y*) med det faste punktet  Ligningen for denne timelinjen kommer frem ved å skrive uttrykket for *y* som

:   y = {x\over\sin\phi\cdot\tan H} - {a\over\tan\phi} 

Linjen danner derfor en vinkel *&theta;* med *y*-aksen hvor

:  \tan\theta = \sin\phi\cdot\tan H 

Vinkelen er null midt på dagen, og skyggen peker rett nordover som skyldes at Solen da står i syd. Etter som tiden går og *H* øker, vil *&theta;&thinsp;* vokse og skyggeviseren dreier seg med klokken. Dette viktige uttrykket for horisontale solur kan utledes på flere andre måter.

### Deklinasjonslinjer

I løpet av en dag beveger skyggen seg over urskiven fra soloppgang der , til Solen går ned om kvelden når  igjen. Skyggen av nodus  beskriver dermed en kurve på den horisontale urskiven. Dens plassering og form er avhengig av deklinasjonen *&delta;* og vil derfor langsomt forandre seg fra dag til dag. Den omtales derfor som en  datolinje eller *deklinasjonslinje*.

Disse linjene kan bestemmes ved å eliminere timevinkelen *H* fra uttrykkene for koordinatene  til *P*. Fra *y&thinsp;* finnes cos*H* som innsatt i uttrykket for *x&thinsp;* gir sin*H*. Ved å benytte at , finnes dermed en sammenheng mellom *x* og *y* som er ligningen for kurven. Den kan skrives som

:  x^2\sin^2\!\delta + y^2(\sin^2\!\delta - \cos^2\!\phi) + 2ay\sin\phi\cdot\cos\phi = a^2(\sin^2\!\phi - \sin^2\!\delta) 

og fremstiller i allminnelighet et kjeglesnitt med hovedakser parallelle med koordinataksene og symmetrisk om *y*-aksen. Dets eksakte form er hovedsakelig bestemt av koeffisienten til *y*&thinsp;2-leddet. Den er positiv når *&phi;* >  slik at deklinasjonslinjen er del av en ellipse. Soluret må da være plassert nord for Polarsirkelen. I det spesielle tilfellet at *&phi;* =  blir denne spesielle datolinjen del av en parabel.

For steder lenger syd er koeffisienten alltid negativ, og deklinasjonslinjene er deler av hyperbler. Men ved begge jevndøgnene der *&delta;* = 0&deg;, går disse over til  den rette linjen *y* = *a*&thinsp;tan*&phi;* parallell med *x*-aksen. Solen befinner seg da i et plan som står vinkelrett på den polrettete gnomonen. Skyggen av nodus fremstiller en rett linje som beskriver Solens gang disse to spesielle dagene.

## Datolinjer som kjeglesnitt

Solens gang rundt polaksen gjør at lysstråler gjennom gnomonens spiss beskriver en kjegle med toppunkt i dette punktet. Da den har en høyde over himmelekvator som er lik med deklinasjonen *&delta;*, vil åpningsvinkelen til kjeglen være 2*&alpha;* der vinkelen *&alpha;* = 90&deg; -  *&delta;*. Hvis dens toppunkt plasseres i origo og den har sin akse langs enhetsvektoren **n**, er den beskrevet ved ligningen

:  (\mathbf{x}\cdot \mathbf{n})^2 = (\mathbf{x}\cdot \mathbf{x}) \sin^2\!\delta 

hvor den kartesiske vektoren **x** har komponenter (*x,y,z*). Som tidligere ligger *y*-aksen i horisontalplanet med retning mot nord, mens *z*-aksen står vinkelrett på dette planet.

I dette koordinatsystemet har retningsvektoren **n** som peker langs langs polaksen, komponentene **n** = . Ligningen for kjeglen tar dermed formen

:  (y\cos\phi + z\sin\phi)^2 = (x^2 + y^2 + z^2)\sin^2\!\delta 

Datolinjene fremkommer nå som skjæringslinjene mellom kjeglen og flaten som dannes av urskiven. Når denne er et horisontalt plan i avstand *a* under nodus, er den gitt ved . Det gir samme ligning for deklinasjonslinjene som den tidligere metoden. Fordelen med denne mer generelle fremgangsmåten er at den gir disse linjene på en plan urskive med en hvilken som helst orientering. Da polrettete gnomoner ofte monteres på husvegger som også utgjør urskiven, kan den anvendes i slike praktiske tilfeller. 

Ved de to jevndøgnene degenerer kjeglen til et plan. Datolinjen blir da skjæringslinjen mellom to plan og vil derfor være en rett linje uansett orientering til urskiven.

## Analemmatiske solur

Horisontale solur med loddrett gnomon har den ulempen at vinkelen som skyggen danner med *y*-aksen, varierer med årstiden. Man kan unngå dette problemet ved å flytte gnomonen langs denne aksen på en kompenserende måte med årstiden, det vil si med deklinasjonen.

Ved jevndøgnene er *&delta;* = 0&deg; slik at spissen til en loddrett gnomon i origo har koordinater *x* =  og *y* = . Skyggen danner derfor en rett linje fra origo beskrevet ved ligninen

:  y = x\sin\phi\cdot\cot H 

Flyttes nå gnomonen en avstand *d* = *d*(*&delta;*) langs *y*-aksen, vil skyggen danne en vinkel med denne retningen som er lik Solens asimut *A*. Derfor faller skyggen langs linjen . Ved å benytte ligningen for cot*A* uttrykt ved timevinkel *H* og deklinasjon *&delta;*, vil disse to skyggelinjene skjære hverandre i et punkt når 

:  d = x{\tan\delta\over\sin H}\cos\phi  

Dette kan nå gjøres uavhengig av årstiden ved å la den ukjente avstanden *d* variere som

:  d = m\tan\delta\cdot\cos\phi 

hvor lengden *m* er vilkårlig stor. Dermed blir  og . Skjæringspunktet  (*x,y*) ligger derfor på ellipsen

:  x^2 + {y^2\over\sin^2\!\phi} = m^2 

med en hovedakse med lengde *m* langs *x*-aksen og den andre med størrelse  *m*&thinsp;sin*&phi;* langs *y*-aksen i nordlig retning. Den kan betraktes som en vertikal projeksjon av en sirkulær deklinasjonslinje i et fiktivt, ekvatorialt oppstilt solur. Navnet *analemmatisk* kan komme av at forskyvningen *d*(*&delta;*) har en variasjon med årstiden som ligner den i et analemma.

Solur av denne typen finnes ofte i parker eller på offentlige plasser. Da er det vanlig å bruke en oppreist person som gnomon. Langs nord-syd retningen i ellipsen finnes det da markeringer som angir hvor hen skal stå avhengig av årstiden. For at skyggen skal nå frem til ellipsen, må ikke hovedaksen *m* i øst-vest retning være mye lengre enn et normalt menneske.

## Referanser


## Eksterne lenker

* Anne Bruvold, ''Litt av matematikken bak solur'', Nordnorsk Vitensenter, Tromsø (2005).
* PowerFromTheSun, ''The Sun's Position'', astronomiske betraktninger relevant for solur.
* Plus Magazine, ''Analemmatic sundials: How to build one and why they work'', June (2000).