Naturlige enheter

**Naturlige enheter** er målenheter basert på størrelser som forekommer i naturen og dermed er uavhengig av menneskeskapte definisjoner eller konvensjoner. Disse størrelsene kan være fysiske konstanter som opptrer i forskjellige naturlover eller karakteriserer andre fundamentale egenskaper i naturen. 

Fordelen med en slik naturlig enhet er at den kan sies å være «dimensjonsløs» og ha verdien 1. Den matematiske formen av mange naturlover tar dermed en enklere form. For eksempel hvis man velger å måle astronomiske avstander i lysår, tilsvarer det å sette lyshastigheten . Masseenergiloven *E* = *mc*&thinsp;2 vil da skrives som *E = m* som er noe enklere og viser samtidig at energi og masse har samme dimensjon. Denne naturlige enheten brukes derfor ofte i relativistisk fysikk slik at tid og lengde har samme dimensjon. På samme måte ville beregninger i kvantefysikk kunne forenkles hvis man brukte naturlige enheter basert på at Plancks konstant . Da energien til et foton med frekvens *&nu;&thinsp;* er *E* = *h&nu;*, ville dermed denne få dimensjon som inverse sekund eller annen tidenhet.

Dagens SI-system består av måleenheter som også er baserte på verdiene til slike naturkonstanter. Men i denne sammenhengen benyttes disse til å gi verdier av de fundamentale enhetene som brukes og gjøres derfor ikke dimensjonsløse.

## Historisk bakgrunn

Hvor mange og hva slags måleenheter man behøver, er ikke naturgitt. Mens SI-systemet er bygget opp rundt syv fundamentale enheter, er det tidligere CGS-systemet i utgangspunktet basert på tre slike enheter som benyttes for lengdedimensjonen L, tidsdimensjonen T og massedimensjonen M. De tilsvarende enhetene ble valgt å være cm for lengde, sekund s for tid og gram g for masse, Andre størrelser får sammensatte dimensjoner og tilsvarende enheter basert på definisjoner og fysiske lover. For eksempel fra Newtons andre lov følger at kraft har dimensjon LMT -2. Ved bruk av CGS-systemet kalles den tilsvarende enheten for dyn, mens den i SI-systemet måles i newton.

At masse må betegnes som en egen dimensjon, er ikke opplagt. Fremdeles kan begrepene vekt og tyngde blandes sammen. De er begge forbundet via Newtons gravitasjonslov. Først på slutten av 1800-tallet ble det innsett å være praktisk nødvendig å innføre en egen gravitasjonskonstant *G*. Tidligere hadde Carl Friedrich Gauss foreslått å måle masse i enheter som tilsvarer å sette *G* = 1. Ut fra gravitasjonsloven vil derfor masse ha dimensjon L3T -2. Da Coulombs lov har samme matematiske form, ville dermed elektrisk ladning og masse få samme dimensjon og kunne uttrykkes med samme enhet. I dag virker dette upraktisk, men ble anbefalt av James Clerk Maxwell i 1873 i hans store og banebrytende verk *A Treatise On Electricity and Magnetism*.

Omtrent på samme tid foreslo George Johnstone Stoney at basisenhetene cm, g og s for L, M og T ikke skulle defineres ut fra mer tilfeldige forhold her på Jorden, men måtte baseres på fundamentale størrelser i Naturen. Han forslo å bruke lyshastigheten *c*, gravitasjonskonstanten *G&thinsp;* og elementærladningen *e*. Denne mente han var ladningen til en fundamental partikkel som måtte finnes og som han ga navnet elektron. Verdien var på den tiden tilnærmet kjent fra Faradays lov for elektrolyse. Dette representerer det første forslaget på det som nå kalles «naturlige enheter». Nesten tredve år senere forslo Max Planck et tilsvarende sett med enheter, men da basert på hans konstant *h&thinsp;* istedenfor elektronets ladning. I årene som fulgte med etableringen av kvantemekanikk ble lignende enheter innført for atomfysikk, elementærpartikkelfysikk og mange andre sammenhenger.

## Relativistiske enheter

Einsteins relativitetsteori er basert på at ikke noe vanlig legeme kan bevege seg raskere enn lyshastigheten *c*. Det gjelder overalt og til alle tider. Derfor utgjør den en naturlig enhet for alle andre hastigheter, selv om det ville være noe upraktisk under vanlige forhold. Dette tilsvarer å sette . Alle hastigheter ville da være dimensjonsløse og ha numerisk mindre verdier.

Med et slikt valg måtte man da finne måleenheter  t_R  for tid og  \ell_R  for lengde slik at

:  c = 1\, \ell_R\cdot t_R^{-1} 

Hvis man fortsatt ønsket å måle tid i enheter av sekund s, ville da lengdeenheten  \ell_R = c\, t_R  kunne kalles ett «lyssekund» med en størrelse på ganske nøyaktig . Energi ville få samme dimensjon som impuls og masse og derfor måtte uttrykkes i samme enhet. Den kan velges fritt, for eksempel i vanlige kilogram kg. Andre, fysiske størrelser ville få tilsvarende sammensatte enheter. For eksempel akselerasjon som har dimensjon LT -2, ville da kunne uttrykkes i inverse tidsenheter som s&thinsp;-1.

Elektromagnetiske størrelser lar seg elegant uttrykke i gaussiske enheter. Når man velger relativistiske enheter definert ved , vil denne størrelsen ikke lenger opptre i Maxwells ligninger som dermed blir enda enklere. Det samme gjelder for Heaviside-Lorentz-systemet som har noen fordeler. I SI-systemet tilsvarer dette valget av relativistiske enheter at man setter den elektriske konstanten  og den magnetiske konstanten . Hvis man i tillegg har definert en enhet for energi, kan måleenheten for elektriske og magnetiske felt finnes fra det fysiske kravet at deres kvadrat har samme dimensjon som en energitetthet.

## Geometriske enheter

Når spesiell relativitetsteori utvides til generell relativitetsteori, vil den også beskrive gravitasjon. Dermed vil den også inneholde gravitasjonskonstanten *G&thinsp;* i tillegg til lyshastigheten *c*. Den matematiske beskrivelsen vil derfor forenkles hvis man benytter «geometriske enheter» definert ved  i tillegg til . Da dimensjonen til *G&thinsp;* er , vil dermed masse kunne uttrykkes i samme enheter som lengde eller tid.

Med verdiene til disse to fundamentale konstantene i SI-systemet, finner man at 

:  {G\over c^2} = 7.425 \times 10^{-28} {\text{m}\over \text{kg}}  

Det betyr at en masse på 1&thinsp;kg tilsvarer  7.425 \times 10^{-28}  meter i geometriske enheter. Solen har en masse  M_{\odot} = 1.989 \times 10^{30}  kg som kan derfor sies å være lik med 1477&thinsp;m i disse enhetene. Det vanlige utttrykket for Schwarzschild-radius  R_S = 2GM/c^2  forenkles på denne måten til  R_S = 2M  og er nesten 3000&thinsp;m for et sort hull med samme masse som Solen.

### Konvertering

Med de kjente verdier til *c&thinsp;* og *G&thinsp;* i SI-systemet, kan fysiske størrelser i dette systemet forandres til geometriske enheter. Det er da vanlig at disse velges å være forskjellig potenser av lengdeeenheten meter m. Da er

:  1\, \text{kg} = 6.674\times 10^{-11} {1\over G} {\text{m}^3\over \text{s}^2} = {6.674 \times 10^{-11}\over 8.988\times 10^{16}} \left({c^2\over G}\right) \text{m}

som i geometriske enheter betyr at 

:  1\, \text{kg} \leftrightarrow 7.425 \times 10^{-28} \text{m} 

SI-enheten for akselerasjon er m/s&thinsp;2. I geometriske enheter blir dette nå

:  1\,{\text{m}\over \text{s}^2} = {c^2\over 8.988 \times 10^{16}} \text{m}^{-1} \leftrightarrow 1.113 \times 10^{-17} \text{m}^{-1} 

og har dimensjon invers lengde. Dermed konverteres enheten for kraft til

:  1\, \text{N} = 1\,\text{kg}\, {\text{m}\over \text{s}^2} \leftrightarrow 8.261 \times 10^{-45 }

og blir derfor dimensjonsløs. 

Energi er definert som kraft multiplisert med vei og måles i enheter av  i SI-systemet. Målt i geometriske enheter, vil derfor energi uttrykkes som et visst antall meter på lignende måte som masse. Mer konkret er sammenhengen

:  1\, \text{J} = 1\,\text{kg}{\text{m}^2\over \text{s}^2} \leftrightarrow 8.261 \times 10^{-45 } \text{m} 

Da geometriske enheter er definerte ved *c* = 1, vil det bety at verdien til den elektriske konstanten 

: \varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\, \text{C}^{2}\,\text{N}^{-1}\,\text{m}^{-2}  

må settes lik 1 sammen med verdien til den magnetiske konstanten  Coulombs lov for den elektriske kraften mellom to ladninger *q*1 og *q*2 i avstand *r&thinsp;* fra hverandre, tar da formen 

:  F = {q_1 q_2\over 4\pi r^2} 

Da denne kraften er dimensjonsløs i geometriske enheter, må elektrisk ladning ha dimensjon lengde og måles i meter i disse enhetene. Konvertering finnes fra verdien til  som gir

: \begin{align} 1\,\text{C}^2 &= {\varepsilon_0\over 8. 854 \times 10^{-12}}\, \text{kg}\, {\text{m}\over \text{s}^2}\, \text{m}^2 = 9.330\times 10^{-34} \left({\varepsilon_0\over G}c^4\right) \; \text{m}^2 \end{align}  

Settes her *&epsilon;*0 = *c* = *G* = 1, fremkommer da sammenhengen

:  1\,\text{C} \leftrightarrow 3.054 \times 10^{-17} \text{m} 

Konvertering av andre elektromagnetiske enheter kan finnes på tilsvarende vis.

## Stoney-enheter

Omtrent samtidig som Maxwell i 1873 argumenterte for å innføre det som ble CGS-systemet basert på centimeter cm for lengde, gram g for masse og sekund s for tid, foreslo Stoney et mer fundamentalt målesystem. Han hadde innsett at eksperimentelle resultat fra elektrolyse av forskjellige substanser må bety at elektrisk ladning alltid opptrer som et helt antall elementærladninger *e*. Denne minste ladningsbæreren ga han navnet elektron. Sammen med verdiene for gravitasjonskonstanten *G&thinsp;* og lyshastigheten *c&thinsp;* kunne han dermed konstruere enheter for de basale størrelsene lengde, masse og tid som var uavhengig av de menneskeskapte enhetene centimeter, gram og sekund. Dermed hadde han skapt det første målesystemet med naturlige enheter.

Elektronets ladning er gitt ved elementærladningen

:  e = 1.602\times 10^{-19}\, \text{C} 

Når denne verdien kombineres med verdiene for *G&thinsp;* og *c*, får man sammenhengen

:  e^2 = (1.602 \times 10^{-19})^2 \cdot 9.330\times 10^{-34} \left({\varepsilon_0\over G}c^4\right) \; \text{m}^2 

Det betyr at 

:  1\,\text{m} = 2.044 \times 10^{35}\, \ell_S  

hvor 

:  \ell_S = \sqrt{Ge^2\over \varepsilon_0 c^4} = 4.892 \times 10^{-36} \,\text{m}  

er den fundamentale lengdeenheten når man benytter slike Stoney-enheter. Den tilsvarende tidsenheten er

:  t_S = \ell_S c^{-1} = \sqrt{Ge^2\over \varepsilon_0 c^6} = 1.632 \times 10^{-44} \,\text{s} 

Stoney-lengden ℓ*S*&thinsp; kan konverteres til en tilsvarende Stoney-masse *m**S*&thinsp; ved bruk av de to andre konstantene, 

:  m_S = {c^2\over G} \ell_S = \sqrt{e^2\over\varepsilon_0 G} = 6.590\times 10^{-9}\,\text{kg} 

Det er masseenheten i disse naturlige enhetene. Den er av størrelsesorden mikrogram, men har likevel ingen klar, fysisk interpretasjon.

## Planck-enheter

For å forklare egenskapene til varmestråling ble Max Planck rundt 1900 nødt til å innføre en ny naturkonstant som snart fikk hans navn. Ved bruk av SI-systemet har den verdien
 
:  \hbar = {h\over 2\pi} = 1.055 \times 10^{-34} \text{J} \, \text{s} 

og forbinder måleenheten for energi med tidsenheten. Planck innså med en gang at denne nye konstanten ville gi fundamentale enheter for både lengde, masse og tid når den kombineres med verdiene for de to andre naturkonstantene *c&thinsp;* og *G*.

Enhetene for energi og lengde er forbundet ved produktet

:  \hbar c = 3.160\times 10^{-26}\, \text{kg}\, \text{m}^3 \text{s}^{-2} 

Forholdet *ħc*/*G&thinsp;* har nå dimensjon M&thinsp;2 og definerer en fundamental enhet for masse. Det er *Planck-massen* med verdien

:  m_P = \sqrt{\hbar c\over G}  = 2.176\times 10^{-8}\, \text{kg} 

Den tilsvarende lengdeenheten er *Planck-lengden* 

:  \ell_P = {G\over c^2} m_P  = \sqrt{\hbar G\over c^3} = 1.616 \times 10^{-35}\, \text{m} 

Dermed er *Planck-tiden* 

:  t_P = {1\over c}  \ell_P =  \sqrt{\hbar G\over c^5} = 5.391 \times 10^{-44}\, \text{s}  

tidsenheten i dette naturlige målesystemet.

Planck-enhetene er av samme størrelsesorden som de tilsvarende Stoney-enhetene. Det er bare en faktor omtrent lik 3 som skiller dem og skyldes finstrukturkonstanten *&alpha;* = 1/137. Man kan finne den nøyaktige sammenhengen ved for eksempel å betrakte Stoney-massen

: \begin{align} m_S &=  \sqrt{e^2\over\varepsilon_0 G} = \sqrt{e^2\over 4\pi\varepsilon_0\hbar c}  \sqrt{4\pi\hbar c\over G} \\ &= \sqrt{4\pi\alpha}  \, m_P \end{align} 

hvor den numeriske faktoren  \sqrt{4\pi\alpha} = 0.303.   

Fra sine studier av varmestrålingen innførte Planck og ga også navnet til Boltzmanns konstant med verdien

:  k_B = 1.381 \times 10^{-23} \text{J}\, \text{K}^{-1}   
 
når temperatur måles i Kelvin-grader. Da energi nå måles i enheter av *m<sub>P</sub>c*&thinsp;2,  kan man dermed også definere en fundamental *Planck-temperatur* ved

:  k_B T_P = \sqrt{\hbar c^5\over G}   

Dens numeriske verdi blir  T_P = 1.417 \times 10^{32}  \text{K}. 

### Fysisk betydning

Da Planck-enhetene inneholder både *ħ&thinsp;* og *G*, bør de være anvendelige for fysiske fenomen der både kvantemekanikk og gravitasjon gjør seg samtidig gjeldende. En konsistent, teoretisk beskrivelse av slik fysikk blir omtalt som *kvantegravitasjon*, men er ennå ikke utviklet. Ut fra størrelsen på enhetene kan man si at slike fenomen ville bli synlige hvis man kunne studere Naturen på avstander mindre enn 10-35&thinsp;m eller ved energier høyere enn *m<sub>P</sub>*&thinsp;/*c*&thinsp;2 som tilsvarer omtrent 1019&thinsp;GeV. Med dagens teknologi er dette ikke mulig her på Jorden, men fenomenene kan likevel manifestere seg under de ekstreme forhold som eksisterte i Universet ved Big Bang.

En *kvantepartikkel* beskrives ved kvantefeltteori. Den har vanligvis en viss masse *M&thinsp;* og andre egenskaper, men har ingen vanlig utstrekning og omtales derfor også ofte som en *punktpartikkel*. Men kvantemekanikken gir den likevel en viss størrelse som er gitt ved dens Compton-bølgelengde med størrelsesorden *ħ&thinsp;*/*Mc*. Denne avtar for økende masser, mens dens tilsvarende Schwarzschild-radius 2*GM*&thinsp;/*c*&thinsp;2 blir større. Dette betyr at når massen til partikkelen blir større enn Planck-massen, så er Schwarzschild-radien større en Compton-bølgelengden. Partikkelen er da gått over til å bli et sort hull og kan ikke lenger beskrives ved den kvantemekanikk vi kjenner i dag.

## HEP-enheter

Elementærpartikkelfysikk er vanligvis synonymt med *høyenergifysikk* da den er basert på eksperiment med partikler som har energier vel over 1&thinsp;GeV. Det  tilsvarer omtrent protonets hvilemasse 938&thinsp;MeV/*c*&thinsp;2. Partiklene må derfor beskrives ved relativistisk kinematikk som derfor gjør det naturlig å benytte relativistiske måleenheter hvor *c* = 1. Samtidig er dette kvantefysikk hvor de matematiske formlene forenkles ved å sette  Dette valget definerer det som ofte blir omtalt som «HEP-enheter» basert på engelsk *High Energy Physics*.

Fra SI-verdien til Plancks konstant 

:  \hbar = 6.582\,\times 10^{-16}\, \text{eV} \,\text{s} 

følger det at tid målt i sekunder kan konverteres til inverse energienheter når man setter  I høyenergifysikken er det naturlig å velge denne enheten å være 1&thinsp;GeV = 109&thinsp;eV slik at man dermed har sammenhengen

:  1\,{\text{GeV}}^{-1} \leftrightarrow 6.582\,\times 10^{-25} \,\text{s} 

Den tilsvarende lengdeenheten følger herav ved å samtidig sette *c* = 1. Dermed uttrykkes også denne i inverse energienheter som

:  1\,{\text{GeV}}^{-1} \leftrightarrow c \cdot 6.582\,\times 10^{-25} \,\text{s} = 1.973 \times 10^{-16} \,\text{m} 

Alternativt kan dette sammenfattes i den nyttige formelen

:  \hbar c  = 197.3 \, \text{MeV}\, \text{fm} 

når man måler lengder i femtometer fm = 10-15&thinsp;m som også kalles  for **fermi**. Den tilsvarer

:  1 \,\text{fm}  \leftrightarrow 5.068  \text{GeV}^{-1}  

Spredningstverrsnitt for kjernefysiske prosesser måles vanligvis i enheter av 1&thinsp;b = 10-24&thinsp;cm&thinsp;2  som kalles *barn*. I elementærpartikkelfysikken ved høyere energier bruker man heller den mindre enheten *millibarn* mb som nå blir

:  1\,\text{mb} = 0.1\, \text{fm}^2  \leftrightarrow 2.568\, \text{GeV}^{-2} 

De elektriske ladningene til partiklene måles i enheter der den elektriske konstanten  tilsvarende at . Finstrukturkonstanten blir derfor *&alpha;* = *e*&thinsp;2/4*&pi;* slik at elementærladningen har verdien  e = \sqrt{4\pi\alpha} = 0.303  i HEP-enheter.

### Dimensjoner av kvantefelt

Ved bruk av HEP-enheter måles energi *E* i enheter av GeV. Det er ekvivalent med å si at energi har dimensjon 

:  \text{dim}\, E = 1 

når man i denne forbindelse definerer dimensjonen ved den tilsvarende eksponenten. En lengde *L* måles nå i inverse energienheter og har da på samme vis   \text{dim}\, L = -1.   En energitetthet *u* = *E*/*L*3 får dermed dimensjonen  \text{dim}\, u = 1 + 3 = 4 .  Det vil da også være dimensjonen til Lagrange-tettheten som definerer en kvantefeltteori. For et fritt Klein-Gordon-felt er denne funksjonen nå

:    {\mathcal L} = {1\over 2} (\partial_\mu\phi)^2 - {1\over 2} m^2 \phi^2  

der hver term må ha samme dimensjon. Da  \text{dim}\,m  = 1,  må derfor  \text{dim}\, \phi = 1  for at  \text{dim}\,  {\mathcal L} = 4.  Det er i overensstemmelse med at  \text{dim}\, \partial_\mu\phi = 2.  Samme argumentasjon gir at det elektromagnetiske gaugefeltet *A<sup>&mu;</sup>* har dimensjon som *&phi;&thinsp;* slik at vektorfeltene **E** og **B** begge har dimensjon 2. Derimot vil Dirac-feltet *&psi;* få dimensjon 3/2 da dets Lagrange-tetthet er lineær i dets førstederiverte.

## Atomære enheter

Egenskapene til atomer kan forklares ved at bevegelsen til elektronene i Coulomb-feltet fra atomkjernen beskrives ved bruk av kvantemekanikk. Uansett atomnummer er energien og utstrekningen til de forskjellige atomene av samme størrelsesorden som for hydrogenatomet. Naturlige enheter i atomfysikken kan derfor finnes ved å velge  og en enhet for lengde som tilsvarer Bohr-radius  til H-atomet i sin grunntilstand. Når *m<sub>e</sub>&thinsp;* er elektronets masse og *e&thinsp;* dets ladning, kan denne skrives som

:  a_0 = {\hbar^2\over m_e e^2k_e} = 5.291\times 10^{-11} \text{m} 

der *k<sub>e</sub>&thinsp;* er Coulomb-konstanten. I SI-systemet har den verdien . Valg av denne radien som enhet for lengde, vil da tilsvare å sette  og  i tillegg til  Hadde man benyttet det tidligere CGS-systemet hvor , ville det ha betydd at også elementærladningen  som tilsvarer elektronets ladning.

Atomære, naturlige enheter ble først systematisk benyttet av den engelske fysiker Douglas Hartree og bærer derfor vanligvis også hans navn. Da finstrukturkonstanten har den ganske nøyaktige verdien 

: \alpha = k_e {e^2 \over \hbar c}= {1\over 137}, 

vil lyshastigheten i disse enhetene være dimensjonsløs og ha verdien *c* = 137. Den har denne forholdsmessig store verdien da elektronenes hastigheter er typisk rundt 1 og slik at deres bevegelse kan beskrives ikke-relativistisk. 

Basert på lengdenheten *a*0 kan man nå definere en enhet for energi

:  E_H =  k_e {e^2\over a_0}  = \alpha^2 m_e c^2 = 4.360 \times 10^{-18} \text{J} 
 
Den kalles for *Hartree-energien* og er den dobbelte av Rydberg-konstanten. Mens lengdeenheten nå er  \ell_H = a_0,  er tidsenheten 

:  t_H = {E_H\over\hbar} = 2.419  \times 10^{-17} \text{s}

Det betyr at hastigheter måles i enheter av   \ell_H/t_H = a_0 E_H/\hbar = \alpha c   som forventet. Andre enheter kan beregnes på tilsvarende vis. Hamilton-operatoren for H-atomet tar nå den enklere formen

:  \hat{H} = -{1\over 2}\nabla^2 - {1\over r} 

og på lignende vis for atom med flere elektroner.

## Referanser


## Eksterne lenker
* Riemannium, ''Natural units'', oversiktlig blogg
* M.J. Duff, L.B. Okun and G. Veneziano, ''Trialogue on the number of fundamental constants'', arXiv:0110060