Enhetssystem

**Enhetssystem** består av en samling av standariserte måleenheter som kan benyttes til å måle fysiske størrelse. En måling består i å sammenligne denne størrelsen med en enhet av samme sort. Slike system er viktige for mange praktiske formål og nødvendig i moderne naturvitenskap. Mekaniske størrelser kan bestemmes når man velger enheter for lengde, masse og tid. I dag brukes stort sett det internasjonale SI-systemet hvor disse er meter m, kilogram kg og sekund s. De fastsettes av generalkonferansen for mål og vekt (CGPM). 

Enheter for elektriske og magnetiske størrelser har tidligere vært vanskelige å bli enige om. Ett viktig skrit ble tatt av Carl Friedrich Gauss i 1832 da han viste hvordan styrken til et magnetisk felt kan angis ved bruk av mekaniske enheter. Disse ble i 1873 bestemt av British Science Association å være centimeter (cm), gram (g) og sekund (s) og fikk derfor navnet  CGS-systemet. Her ble også enheter for elektriske ladninger og strømmer definert. Heinrich Hertz viste i 1888 at ved å innføre lyshastigheten *c&thinsp;* kunne dette systemet forenkles og er senere blitt omtalt som gaussiske enheter. Storparten av moderne fysikk ble utviklet i dette enhetssysystemet.
 
De nye enhetene for elektriske og magnetiske størrelser viste seg snart å være mer egnet i vitenskapelig arbeid enn for praktiske anvendelser. Etter at meterkonvensjonen var blitt innført og la grunnlaget for MKS-systemet, vokste behovet for en fjerde enhet som ville forenkle beskrivelsen av elektriske og magnetiske fenomen. I 1954 vedtok CGPM MKSA-systemet med ampere A som den fjerde grunnenheten. Noen år senere ble systemet supplert med de to nye grunnenhetene kelvin K for temperatur og candela cd for lysstyrke. Systemet omtales på norsk som «det internasjonale enhetssystemet» fra det franske navnet *Système international d'unités* og har derfor forkortningen SI. 

## Bakgrunn

For de fleste praktiske og vitenskapelige gjøremål behøves måleenheter for lengde L, masse M og tid T. Under den franske revolusjon i 1791 ble lengdeenheten meter innført og definert som 1/107 av avstanden langs meridianen fra Nordpolen til Ekvator. Dermed kunne også ett kilogram defineres som massen til  én kubikkdesimeter dm3 med vann. Dette skulle være den nye masseenheten. Likedan ble tidsenheten sekund fastsatt som 1/86400 av ett middelsoldøgn. Dermed var enhetene for  L, M og T fastsatt i dette metriske systemet.

Basert på disse grunnenhetene kan man utlede sammensatte enheter og **dimensjoner** for andre fysiske størrelser. De kan defineres ut fra praktisk anvendelighet eller slik at fysiske lover tar enklest mulige form.  For eksempel vil hastighet ha dimensjon LT&thinsp;-1, mens akselerasjon har enheten  LT&thinsp;-2,

Den fysiske størrelsen kraft opptrer både i mekanikken og i elektromagnetismen. Den kan defineres ut fra Newtons andre lov som forbinder massen til et legeme og den akselerasjon som kraften gir legemet. Skrives denne loven som *F = ma*, vil kraft derfor ha dimensjonen MLT&thinsp;-2. Avhengig av enhetene som brukes for M, L og T, vil man få forskjellige kraftenheter. I SI-systemet benyttes newton N = kg&sdot;m&sdot;s&thinsp;-2, mens i CGS-systemet benyttes dyn = g&sdot;cm&sdot;s&thinsp;-2 = 10-5 N. På dette viset får energi som er kraft multiplisert med vei, dimensjonen ML&thinsp;2T&thinsp;-2. Den blir joule J i SI-systemet og erg = 10-7 J i CGS-systemet.

## Elektriske og magnetiske enheter

Mekaniske enheter for masse M, lengde L og tid T kan også benyttes ved måling av elektriske og magnetiske krefter. Dette ble første gang vist av Carl Friedrich Gauss og videreutviklet av hans kollega Wilhelm Eduard Weber på 1830-tallet i forbindelse med deres undersøkelser av Jordens magnetfelt. Fremgangsmåten kan beskrives ved å ta utgangspunkt i Ampères lov for den magnetiske kraften mellom to parallelle, strømførende ledninger med gjensidig avstand *r* mye mindre enn deres lengder. Betegnes de to strømmene som henholdsvis *I&thinsp;* og  *I*', kan kraften per lengdeenhet mellom dem da skrives som

:  F' = k_m {2II'\over r} 

hvor 

:  k_m = {\mu_0\over 4\pi}  =  10^{-7} {\mbox{N}\over\mbox{A}^2} 

er gitt ved den den magnetiske konstanten i SI-systemet. I dette enhetssystemet hvor elektriske strømmer blir angitt i enheter av ampere (A), kommer denne kraften derfor ut i enheter av N/m som tilsvarer dimensjonen MLT&thinsp;-2/L = MT&thinsp;-2 og kan uttrykkes i mekaniske enheter. Ved andre valg for den magnetiske konstanten, vil enheten for elektrisk strøm forandres og dermed definere et nytt enhetssystem..

### Elektromagnetiske enheter

Gauss innså at ved å anta at *k<sub>m</sub>* = 1, kan elektriske strømmer uttrykkes ved bruk av kun mekaniske enheter. Fra Ampères kraftlov følger at at produktet *II'&thinsp;* har dimensjon MLT&thinsp;-2. Benyttes CGS-systemet for M, L og T, vil derfor elektrisk strøm kunne angis i enheter av g1/2&thinsp;cm1/2&thinsp;s&thinsp;-1 som allerede er fastsatt. Denne strømenheten sies å være *absolutt* da den ikke er definert relativt til andre, lignende enheter. Den danner grunnlaget for det elektromagnetiske målesystemet da det er basert på den magnetiske kraften mellom elektriske strømmer. De tilsvarende måleenhetene omtales som EMU-*enheter* hvorav den grunnleggende er en **absolutt ampere**,

:  1\,\text{abA} = 1\cdot \text{g}^{1/2}\cdot \text{cm}^{1/2}\cdot \text{s}^{-1} = 1\cdot \text{dyn}^{1/2} 

Den betegnes også som abamp eller på lignende måte. Tidligere ble også denne enheten kalt for **biot** (Bi) etter den franske fysiker Jean-Baptiste Biot.

Fra definisjonen følger at kraften per lengdeenhet mellom to parallelle ledninger som hver fører 1&thinsp;abA, er 2&thinsp;dyn/cm når avstanden mellom dem er *r* = 1&thinsp;cm. Siden en vanlig ampere 1&thinsp;A i SI-systemet er definert ved at kraften mellom to slike ledninger med denne strømstyrken skal være 2&times;10-7&thinsp;N/m når de har en gjensidig avstand *r* = 1&thinsp;m, kan man dermed relatere disse to enhetene for elektrisk strøm. Det gir

:  1\,\text{abA} \leftrightarrow 10 \, \text{A} 

hvor den doble pilen indikerer att dette er ingen ligning, men relasjon mellom to enheter i forskjellige målesystem.

### Coulombs lov

Elektrisk strøm er definert som elektrisk ladning som flyttes per tidsenhet. I SI-systemet måles derfor ladning i enheter av coulomb definert som 1&thinsp;C = 1&thinsp;A&sdot;1&thinsp;s. På samme vis er enheten for elektrisk ladning i det elektromagnetiske systemet definert å være

:  1\,\text{abC} = 1\, \text{abA}\cdot\text{s} = 1\cdot \text{g}^{1/2}\cdot \text{cm}^{1/2} 

som er en **absolutt coulomb**. Den tilsvarer derfor 10&thinsp;C i SI-systemet. Dermed har et elektron med *e* = 1.60&times;10-19&thinsp;C  en emu-ladning med et måltall som er en tiendel av dette.

Kraften mellom to elektriske ladninger *Q* og *Q'&thinsp;* er gitt ved Coulombs lov

:  F = k_e {Q Q'\over r^2} 

hvor *k<sub>e</sub>&thinsp;* er Coulombs konstant. På samme måte som den magnetiske konstanten  *k<sub>m</sub>&thinsp;*, vil dens verdi være avhengig av enhetssystemet som benyttes. I SI-systemet har den tilnærmete verdien

:  k_e = {1\over 4\pi\varepsilon_0}  =  8.98\times 10^{9}\; {\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2\over\mbox{C}^2} 

Generelt ser man at forholdet mellom den elektriske kraften *F* og den magnetiske kraften *F'&thinsp;* per lengdeenhet har en dimensjon som er gitt ved (*k<sub>e</sub>*&thinsp;/*k<sub>m</sub>*)&sdot;L-1T&thinsp;2. Da dette må være proporsjonalt med en lengde L, må forholdet 

:  {k_e\over k_m} \propto {L^2\over T^2} 

Det er derfor gitt som kvadratet av en hastighet. Dens numeriske verdi ble først bestemt av W. Weber og R. Kohlrausch i 1856 ved å måle strømmen som oppstår ved utladning av en leidnerflaske med en kjent, elektrisk ladning. De fant at hastigheten var omtrent like stor som lyshastigheten *c*. Ved bruk av SI-enheter er

:  {k_e\over k_m} = {1\over\varepsilon_0\mu_0} = c^2 =  8.99\times 10^{16}\; {\mbox{m}^2\over\mbox{s}^2}  

Også i andre enhetssystem er dette forholdet gitt ved lyshastigheten som da blir angitt i tilsvarende enheter for tid og lengde. Den er tilnærmet 2.99&times;1010 cm/s i CGS-systemet.

I det elektromagnetiske systemet definert ved *k<sub>m</sub>* = 1, har nå Coulombs lov formen

:  F = c^2 {Q Q'\over r^2} 

For eksempel, kraften mellom to elektroner med avstand *r* = 1&thinsp;cm blir 

:  F =  (2.99\times10^{10}\mbox{cm}/\mbox{s})^2\cdot (1.60\times 10^{-20})^2\cdot\mbox{dyn}\cdot\mbox{s}^2 / (1\,\mbox{cm})^2 = 2.31\times 10^{-19}\;\mbox{dyn}

Samme svar ville man fått i SI-systemet når man benytter sammenhengen 1&thinsp;dyn = 10-5&thinsp;N mellom kraftenhetene.

### Elektrostatiske enheter

Det elektromagnetiske målesystemet er definert ved å velge den magnetiske konstanten  slik at  som dermed betyr at . Alternativt har man også muligheten til å velge  *k<sub>e</sub>* = 1. Coulombs lov vil da ha formen

:  F = {Q Q'\over r^2} 

som betyr at elektriske ladninger må angis i ny enheter basert på denne kraftloven mellom statiske ladninger. De utgjør derfor det som kalles det elektrostatiske målesystemet med tilsvarende ESU-*enheter*.

Kraften mellom to enhetsladninger med gjensidig avstand *r* = 1&thinsp;cm er definert å være *F* = 1&thinsp;dyn i CGS-systemet. Det gir den nye enheten

:  1\,\text{stC} = 1\cdot \text{dyn}^{1/2}\cdot\text{cm} = 1\cdot \text{g}^{1/2}\cdot \text{cm}^{3/2}\cdot \text{s}^{-1} 

og kalles for en *statisk coulomb* eller en *statcoulomb*. Tidligere gikk den også under navnet **franklin** (Fr) etter Benjamin Franklin som var en av de første som utforsket elektriske fenomen.

Ved å skrive om definisjonen av denne ESU-enheten i SI-enheter, finner man sammenhengen

:  1 \, \text{C} \leftrightarrow 2.99\times 10^{9}\, \text{stC} 

Et elektron med ladning *e* = 1.60&times;10-19&thinsp;C kan derfor sies å ha 4.80&times;10-10&thinsp;stC i dette nye målesystemet. Kraften mellom to elektroner med avstand *r* = 1&thinsp;cm blir nå

:  F = (4.80\times 10^{-10})^2\cdot\mbox{dyn}\cdot\mbox{cm}^2 / (1\,\mbox{cm})^2 = 2.31\times 10^{-19}\;\mbox{dyn}

som må være det samme som beregningen med elektromagnetiske enheter gir.

Når enheten for elektrisk ladning er gitt på denne måten, vil elektrisk strøm kunne måles som et visst antall *statampere* hvor

:  1\,\text{stA} = 1\, \text{stC}/\text{s} = 1\cdot \text{g}^{1/2}\cdot \text{cm}^{3/2}\cdot  \text{s}^{-2}

Den representerer en veldig svak strøm som tilsvarer (1/2.99)&times;10-9 vanlige ampere. Dette kommer til uttrykk i den magnetiske kraften mellom to parallelle ledninger som hver fører en strøm med denne styrke. I Ampères kraftlov vil den magnetiske konstanten ha verdien *k<sub>m</sub>* = 1/*c*&thinsp;2 slik at denne nå har formen

:  F' = {2II'\over c^2 r} 

Kraften mellom ledningene blir dermed *F'&thinsp;* = (2/8.98)&times;10-20&thinsp;dyn/cm når avstanden mellom dem er *r* = 1&thinsp;cm og hver av dem fører 1&thinsp;stA.
Dette kan sammenlignes med den tilsvarende sitasjonen hvor hver ledning fører en strøm på 1&thinsp;abA. Da er kraften 2&thinsp;dyn/cm ifølge definisjon av denne elektromagnetiske enheten.

## Konvertering mellom EMU og ESU

Sammenhengen mellom elektrisk ladning i de tre enhetssystemene er gitt ved Coulombs lov. Fra kraften *F&thinsp;* mellom to like ladninger *Q&thinsp;* med avstand *r* er da

:  Q =  r\sqrt{F\over k_e} 

Mens den elektriske konstanten er  k_e = 1/4\pi\varepsilon_0  i SI-systemet, er den  k_e = 1  i det elektrostatiske systemet ESU og  k_e = c^2  i det elektromagnetiske systemet EMU. For  Q = 1\,\mbox{stC}  skal denne kraften mellom ladningene være  F = 1\,\mbox{dyn} slik at

:   1\, \mbox{stC} \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ccc} 1\,\mbox{cm}\cdot\mbox{dyn}^{1/2}\cdot(4\pi\varepsilon_0)^{1/2} & =  & 10\, \mbox{C}/c_0  & \mbox{SI-system} \\ 1\,\mbox{cm}\cdot\mbox{dyn}^{1/2} \cdot c^{-1} & = & 1\,\mbox{abC}/c_0 & \mbox{EMU-system} \end{array}\right. 

når man skriver lyshastigheten i CGS-systemet som  c = c_0\cdot \mbox{cm}/\mbox{s}  hvor  c_0 = 2.99\,792\,458\times 10^{10} . Man kan derfor si at én elektromagnetisk enhet med elektrisk ladning inneholder *c*0 elektrostatiske enheter.

Hvis nå en ladning  Q  skrives som  Q_\text{esu}  når den uttrykkes i ESU-enheter og som  Q_\text{emu}  i EMU-enheter, vil derfor

:    {Q_\text{esu}\over Q_\text{emu} } = {c_0/10\,\mbox{stC}\over 1/10 \,\mbox{abC}} = c_0 {\text{cm}\over \text{s}} = c  

På midten av 1800-tallet viste Wilhelm Weber og hans kollega Rudolf Kohlrausch hvordan det var mulig å eksperimentelt bestemme begge størrelsene  Q_\text{esu}   og  Q_\text{emu}  ved å utlade en leidnerflaske. Fra forholdet mellom disse to størrelsene kunne de på den måten komme frem til en verdi for lyshastigheten som for første gang var målt i et laboratorium.

Dette ligger også til grunn for at finstrukturkonstanten  \alpha = 1/137.036..  i atomfysikken skrives på forskjellig vis i ulike målesystem. Den kan defineres i den klassiske Bohr-modellen for H-atomet som forholdet mellom elektronets hastighet i laveste tilstand og lyshastigheten. Det gir  \alpha = k_e\cdot e^2/\hbar c  der  \hbar  er den reduserte Planck-konstanten. Dermed har man

:  \alpha = {e_\text{esu}^2\over \hbar c} = c^2\cdot {e_\text{emu}^2\over \hbar c} = {e_\text{SI}^2\over 4\pi\varepsilon_0\hbar c}  

og har samme verdi i alle enhetssystem.

### Elektrisk potensial

Potensiell energi *U&thinsp;* til en elektrisk ladning *Q&thinsp;* i et elektrisk potensial *V&thinsp;* er definert som *U = QV*. Potensial blir målt i volt (V) i SI-systemet hvor denne enheten er definert ved

:  1\,\mbox{J} =  1\,\times 10^{-7}\mbox{erg} = 1\,\mbox{C}\cdot 1\,\mbox{V} 

Basert på de to nye enhetene stC og abC for elektrisk ladning i henholdsvis det elektrostatiske og det elektromagnetiske systemet, kan man definere to tilsvarende enheter for elektrisk potensial,

:  1\,\mbox{erg} = 1\,\mbox{stC}\cdot 1\,\mbox{stV} = 1\,\mbox{abC}\cdot 1\,\mbox{abV}

Uttrykt ved basisenhetene er de da

:  1\,\mbox{stV} = 1\,\mbox{erg}/1\,\mbox{stC} = 1\cdot \mbox{dyn}^{1/2}, \; \; \;  1\,\mbox{abV} = 1\cdot \mbox{dyn}^{1/2}\cdot\mbox{cm}/\mbox{s} , 

med de ekvivalente verdiene 

:  1\,\mbox{stV} \leftrightarrow 299.792\, 458 \,\mbox{V}, \; \; \;  1\,\mbox{abV} \leftrightarrow 1\,\times 10^{-8}\mbox{V}. 

Man obsereverer at det elektriske potensialet i esu-enheter har samme dimensjon som elektrisk strøm i emu-systemet.

### Elektrisk felt

I et elektrisk felt *E&thinsp;* blir en elektrisk ladning *Q&thinsp;* påvirket av en kraft *F = QE*. Feltet i en avstand *r&thinsp;* utenfor en punktladning *Q'&thinsp;* kan skrives som

:   E = k_e {Q'\over r^2} 

i de forskjellige målesystemene. I det elektrostatiske systemet er *k<sub>e</sub>* = 1 slik at *E*-feltet har dimensjon

:  [E]_\text{esu} = \mbox{dyn}/\mbox{stC} = \mbox{stC}/\mbox{cm}^2 = \mbox{stV}/\mbox{cm},

mens denne dimensjonen i det elektromagnetiske systemet med  *k<sub>e</sub>* = *c*&thinsp;2 blir

:  [E]_\text{emu} = \mbox{dyn}/\mbox{abC} =  \mbox{abV}/\mbox{cm} = \mbox{stV}/\mbox{s} . 

### Magnetisk felt

En rettlinjet strømleder som fører strømmen *I&thinsp;* og befinner seg i et magnetfelt *B*, er utsatt for en kraft per lengdeenhet *F'&thinsp; = IB&thinsp;*
når lederen overalt står vinkelrett på feltet og dette har konstant styrke. Det er tilfelle i en gitt avstand *r&thinsp;* utenfor en annen, rettlinjet leder som fører en elektrisk strøm *I'&thinsp;*,

:  B = k_m {2I'\over r}  

I det elektromagnetiske enhetssystemet emu er den magnetiske konstanten *k<sub>m</sub>* = 1 slik at *B*-feltet har dimensjon

:  [B]_\text{emu} =  \mbox{abA}/\mbox{cm} =  \mbox{dyn}/ \mbox{abA}\cdot \mbox{cm} 

når man benytter identiteten  1\,\mbox{dyn} = 1\,\mbox{abA}^2 . Den naturlige måleenheten for magnetisk felt i emu-systemet er derfor gauss (G) hvor

:  1\, \mbox{G} =  1\cdot\mbox{dyn}^{1/2}/\mbox{cm} = 1\cdot \text{g}^{1/2}\cdot \text{cm}^{-1/2}\cdot \text{s}^{-1}

og er den samme som måleenheten for elektrisk felt i esu-systemet.

Sammenhengen mellom denne magnetiske enheten og SI-enheten tesla (T) følger fra definisjonen

:  1\, \mbox{T} = 1\cdot\mbox{N}/\mbox{A}\cdot\mbox{m} = 10^3\cdot\mbox{dyn}/\mbox{A}\cdot\mbox{cm}  

Det betyr at  1\, \mbox{T} \leftrightarrow 10^4\, \mbox{G}  når man benytter sammenhengen  1\,\text{abA} \leftrightarrow 10 \, \text{A} .

Enheten for magnetisk fluks i emu-system har navnet maxwell (Mx) og er definert som

:  1\, \mbox{Mx} = 1\, \mbox{G}\times 1\, \mbox{cm}^2 

Sammenhengen med den tilsvarende SI-enheten weber (Wb) er derfor  1\, \mbox{Mx} \leftrightarrow 10^{-8}\, \mbox{Wb} , men brukes sjelden i dag.

Når man benytter  det elektrostatiske målesystemet, er den magnetiske konstanten *k<sub>m</sub>* = 1/*c*&thinsp;2 slik at magnetfeltet utenfor en rett ledning blir

:  B = {2I'\over r c^2}  

Det får derfor en annen dimensjon enn i emu-systemet. En tilsvarende enhet kunne kalles for eksempel «stT» eller «statgauss», men benyttes ikke da magnetiske størrelser nesten alltid beskrives i det elektromagnetiske systemet.

## Gaussiske enheter

Etter at Heinrich Hertz i 1888 hadde vist at elektromagnetiske bølger beveger seg med lyshastigheten *c* som forutsagt av James Clerk Maxwell, foreslo han med støtte fra Hermann von Helmholtz å innføre et nytt målesystem slik at Maxwells ligninger tok en enklere form. Det ble gitt navnet gaussisk system da det var basert på CGS-systemet som Carl Friedrich Gauss tidligere hadde formulert.

Den viktigste egenskapen til dette nye målesystemet er at et magnetisk felt er definert å ha samme dimensjon som et elektrisk felt. Når det beskrives ved elektrostatiske enheter hvor *k<sub>e</sub>* = 1 og *k<sub>m</sub>* = 1/*c*&thinsp;2, vil da feltet kunne uttrykkes i gauss. Elektriske strømmer og ladninger uttrykkes i tilsvarende esu-enheter.  

Kraften per lengdeenhet på en rettlinjet strøm *I&thinsp;* i et  konstant *B*-felt kan i det gaussiske systemet skrives som *F' = IB*/*k<sub>B</sub>&thinsp;* når strømmen går vinkelrett på feltet. For at feltet *B&thinsp;* skal ha samme dimensjon som et elektrisk felt *E*, må den nye konstanten *k<sub>B</sub>&thinsp;* ha samme dimensjon som en hastighet, og det er naturlig å identifisere den med lyshastigheten,  *k<sub>B</sub>* = *c*.   Lorentz-kraften på en ladning *q&thinsp;* med hastighet **v&thinsp;** i et generelt magnetfelt **B&thinsp;** vil dermed i gaussiske enheter være

:  \mathbf{F} = {q\over c} \mathbf{v} \times \mathbf{B} 

Det magnetiske feltet i en avstand *r&thinsp;* fra en annen, rettlinjet strøm *I'&thinsp;* er nå

:  B = k_B {2I'\over rc^2}  = {2I'\over rc} 

Det kan uttrykkes i enheter av gauss som i det elektromagnetiske systemet. Én gauss er feltet i en avstand *r* = 2&thinsp;cm fra en rett ledning som fører en strøm med styrke .

### Maxwells ligninger

Elektromagnetiske felt som skapes av generell ladningsfordelinger *&rho;*(**x**,*t*) og strømfordelinger **J**(**x**,*t*) er gitt ved Maxwells ligninger. I det tomme rom vil feltene spre seg med lyshastigheten som beskrevet ved bølgeligningen. Ligningene til Maxwell kan dermed generelt formuleres for både det elektrostatiske, elektromagnetiske og gaussiske enhetssystemet: 

:   \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{E} = 4\pi k_e\rho, \;\;\;   \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} = - {1\over k_B}\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}   

:   \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{B} = 0, \;\;\;  \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} =  4\pi {k_e k_B\over c^2}\mathbf{J} + {k_B\over c^2}\frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}

Både i det elektrostatiske og det elektromagnetiske systemet kan man her sette *k<sub>B</sub>* = 1. To av Maxwell-ligningene inneholder da den kvadrerte lyshastigheten samt faktoren 4*&pi;&thinsp;*. Derimot for det gaussiske systemet hvor *k<sub>B</sub>* = *c* og *k<sub>e</sub>* = 1, vil lyshastigheten kun opptre i første potens. I SI-systemet er  med  og . Faktoren 4*&pi;&thinsp;* er da borte, og dette målesystemet sies derfor å være «rasjonalisert».

### Heaviside-Lorentz-systemet

Det gaussiske systemet kan også rasjonaliseres slik at faktoren 4*&pi;&thinsp;* ikke opptrer i Maxwells ligninger. Da må man velge *k<sub>e</sub>* = 1/4*&pi;&thinsp;* sammen med  *k<sub>B</sub>* = *c*. Fordelene med dette målesystemet ble fremhevet av Oliver Heaviside og Hendrik Antoon Lorentz på slutten av 1800-tallet og har siden blitt oppkalt etter dem. Elektrisk ladning og strømstetthet måles da i nye, skalerte enheter som tilsvarer

:  \rho_{HL} = \sqrt{4\pi}\,  \rho_{gauss}, \; \; \;  \mathbf{J}_{HL} = \sqrt{4\pi}\,  \mathbf{J}_{gauss} 

mens elektriske **E** og magnetiske felt **B** blir tilsvarende redusert med den samme faktoren &radic;4*&pi;&thinsp;*. Deres dimensjon er derimot de samme som i det gaussiske systemet. Finstrukturkonstanten tar nå formen  \alpha = e_{HL}^2/4\pi\hbar c . 

Disse rasjonaliserte måleenhetene ble benyttet av Einstein i hans populærvitenskapelige fremstilling av relativitetsteorien i *The Meaning of Relativity* som ble publisert i 1922.  I dag blir de ofte  gjort bruk av i teoretisk fysikk og spesielt innen klassisk elektrodynamikk.

## Se også

* SI-systemet
* CGS-systemet
* MKS-systemet
* Elektrostatisk enhetssystem
* Elektromagnetisk enhetssystem
* Gaussisk målesystem
* Naturlige enheter

## Referanser


## Eksterne lenker

* D.O. Forfar, ''Maxwell on Physical Standards'', IEEE Microwave Magazine, 90-92, January (2021).
* R. Clarke, ''Unit Systems in Electromagnetism'' , University of Surrey