Yukawa-potensial

**Yukawa-potensialet** benyttes for vekselvirkninger mellom subatomære partikler. Det ble opprinnelig funnet av den japanske fysiker Hideki Yukawa i 1935 for å forklare kreftene mellom nukleoner ved lave energier. I dag opptrer potensialet også i flere andre sammenhenger. Det har den matematiske formen

:  V(r) = {C\over r} e^{-\kappa r} 

hvor konstanten *C&thinsp;* angir  potensialets styrke, mens *&kappa;* bestemmer dets rekkevidde. 

Yukawa benyttet kvantefeltteori til å utlede dette resultatet. På samme måte som  Coulomb-potensialet mellom to elektriske ladninger kan forklares som utveksling av et masseløst foton, vil en tilsvarende utveksling av en massiv partikkel gi et Yukawa-potensial. Det vil ha en kortere rekkevidde bestemt av massen *m&thinsp;* til partikkelen som utveksles. Yukawa fant sammenhengen   hvor *c&thinsp;* er lyshastigheten og *ħ&thinsp;* er den reduserte Planck-konstanten. Derfor er denne konstanten lik med den inverse, reduserte Compton-bølgelengden til partikkelen.

Selv om teorien til Yukawa ikke var tilstrekkelig til å forklare alle aspekter ved den sterke kjernekraften, har likevel oppdagelsen av at slike krefter skyldes utveksling av partikler, blitt en permanent del av moderne, teoretisk fysikk. Alle vekselvirkninger mellom elementærpartiklene i standardmodellen er i dag forklart på denne måten. Yukawa fikk nobelprisen i fysikk for sitt arbeid i 1949. 

## Bakgrunn

Da nøytronet ble oppdaget i 1932, var det forskjellige meninger om dets egenskaper. Det eksisterte på den tiden en viss uvilje mot å måtte innføre nye elementærpartikler slik at flere mente at det måtte bestå av et proton tett bundet til et elektron. På det viset kunne man forstå at det kom ut elektroner fra noen atomkjerner som betastråling. 

Samme år gjorde Werner Heisenberg bruk av denne antagelsen til å forklare den sterke kjernekraften. På samme måte som det ioniserte hydrogenmolekylet H2- blir holdt sammen ved utveksling av et elektron mellom de to protonene i molekylet, tenkte Heisenberg at et proton og et nøytron kunne bindes til hverandre ved at elektronet fra nøytronet går over til protonet som dermed blir et nytt nøytronet. Så kan dette elektronet gå tilbake til sin opprinnelige posisjon og dermed fortsette å oscillere mellom de to nukleonene. På denne måten oppstår det en «utvekslingskraft» mellom dem. Den gir også en kraft mellom to nøytroner ved å utveksle to elektroner, men gir ingen kraft mellom to protoner. Her virker derimot den frastøtende Coulomb-kraften.

Denne modellen for den sterke kjernekraften viste seg raskt å gi feil resultat. I tillegg hadde den et alvorlig problem med spinnet til nøytronet som man mente var . I så fall var det vanskelig å forstå hvordan det kunne gå over til proton og elektron der begge også har spinn . Heisenberg tok ikke hensyn til dette og var åpen for at elektronet kunne være et boson med  inne i atomkjernen.

Dette problemet fikk en løsning i 1933 da Enrico Fermi lanserte sin teori for den svake kjernekraften. Ifølge denne eksisterer ikke elektronet som sees i betastråling, på forhånd inni atomkjernen. Det blir derimot skapt ved utsendelsen og opptrer sammen med et nøytrino som har spinn . Denne teorien representerte noe helt nytt da den var formulert som en kvantefeltteori hvor nye partikler kan oppstå og forsvinne. I tillegg kunne den gi en mer troverdig utvekslingskraft mellom proton og nøytron når et par med elektron og nøytrino oscillerer mellom dem.
De russiske fysikerne Igor Tamm og Dmitri Ivanenko viste i 1934 at denne kraften varierte som 1/*r*&thinsp;5 med avstanden *r&thinsp;* mellom nukleonene. Men dens styrke var altfor svak til å forklare den sterke kjernekraften.

## Yukawas teori

Hideki Yukawa hadde studert i Japan, men fulgte godt med utviklingen av kvantemekanikk og kjernefysikk i Europa. Han begynte å tenke på at den sterke kjernekraften kunne forklares på lignende måte som Heisenberg og Wolfgang Pauli i 1929 hadde utledet Coulomb-potensialet mellom to elektriske ladninger ved en utveksling av fotoner. Istedenfor at et proton og et nøytron utveksler elektron-nøytrino par, ville han heller beskrive slike par som et kvantisert «Fermi-felt» i analogi med det elektromagnetiske feltet og dets fotoner. Denne vekselvirkningen kan beskrives ved et potensial når partiklene det kobler til, beveger seg ikke-relativistisk eller ligger tilnærmet i ro.

Han betegnet dette nye feltet med bokstaven *U*. Da det måtte være bosonisk, antok Yukawa at det kunne beskrives ved Klein-Gordon-ligningen. På samme måte som Poisson-ligningen  bestemmer Coulomb-potensialet *V&thinsp;* fra en elektrisk ladningsfordelfng *J<sub>Q</sub>&thinsp;*, vil da *U*-feltet følge fra differensialligningen

:  \nabla^2 U - \kappa^2 U = - J_N 

der *J<sub>N</sub>&thinsp;* angir tettheten av nukleært materiale og   Her er *m* massen til partiklene som fremkommer når *U*-feltet kvantiseres.

Når nukleonene er omtrent i ro, kan de tilnærmet beskrives som om de befinner seg i ett punkt.  Velger man dette som **r** = 0, er deres tetthet da gitt ved Diracs deltafunksjon som

:  J_N(\mathbf{r}) = g\delta(\mathbf{r}) = g\!\int\!{d^3k\over (2\pi)^3} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} 

hvor *g* er en konstant som angir styrken til koblingen av *U*-feltet til neutron-proton-paret. Hvis man nå også foretar Fourier-transformasjonen

:  U(\mathbf{r}) = \int\!{d^3k\over (2\pi)^3} U(\mathbf{k}) e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} 

av *U*-feltet, gir differensialligningen at

:  (k^2 + \kappa^2) U(\mathbf{k}) = g 

Dermed følger det statiske feltet fra

:  U(\mathbf{r}) = \int\!{d^3k\over (2\pi)^3} {g\over k^2 + \kappa^2}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} = {g\over 4\pi r} e^{-\kappa r} 

Den potensielle energien mellom de to partiklene er nå koblingskonstanten *g* multiplisert med dette klassiske feltet.

### Resultat

Da Yukawa hadde utviklet sin teori på utveksling av en partikkel som hadde likhetspunkter med et massivt foton, var det opprinnelige potensialet hans positivt og derfor frastøtende. Det tilsvarer at Coulomb-potensialet også er repulsivt mellom like ladninger. I tillegg var resultatet uavhengig av spinnet til nukleonene. Også det var i motstrid med hva som man da visste om kraften som holder protonet og nøytronet sammen i deuteronet. 

Begge problemene regnet Yukawa ville forsvinne etter en mer nøyaktig beregning. Der ville man ta hensyn til de andre komponentene av *U*-feltet på samme måte som at utveksling av et foton gir opphav til magnetiske krefter. Dette nye feltet måtte også være komplekst da partiklene som utveksles, har elektrisk ladning. Derfor må det samme feltet også beskrive antipartikler med motsatt ladning. De vil nå kunne gi opphav til en sterk kjernekraft mellom protoner. Likevel fikk teorien til Yukawa til å begynne med lite eller ingen oppmerksomhet.

Yukawa hadde innført *U*-feltet som en erstatning for «Fermi-feltet» bestående av elektron og nøytrino. Det kunne derfor koble til disse to partiklene på lignende måte som til proton og nøytron, men da med en annen koblingksonstant *g'&thinsp;*. Hvis den tilsvarende *U*-partikkelen derfor hadde en masse som var større enn massen til disse to partiklene, vil den være ustabil og henfalle til disse to. Denne forutsigelsen skulle vise seg å være svært profetisk og tett opp til hva som senere ble oppdaget for pionet.

### Virtuelle partikler

Av større betydning enn den nøyaktige formen på potensialet, var Yukawas beskrivelse av hvordan subatomære krefter kan oppstå ved utveksling av massive partikler. En slik partikkel er ikke fri, men må betraktes som «virtuell» da den eksisterer bare et øyeblikk &Delta;*t* uten den vanlige sammenhengen mellom energi og impuls. Men den medfører en usikkerhet i energien &Delta;*E* som ifølge Heisenbergs uskarphetsrelasjon må oppfylle

:  \Delta E  \Delta t \ge \hbar 

I dette korte tidsrommet kan partikkelen bevege seg maksimalt en strekning *R* &le; *c*&Delta;*t&thinsp;* bort fra nukleonet. Samtidig må i dette tilfellet   når partikkelen har masse *m*. Derfor vil rekkevidden av denne utvekslingskraften være

:  R \approx {\hbar\over mc} 

Det er nøyaktig den sammenhengen som Yukawa matematisk kom frem til ved bruk av Klein-Gordon-ligningen. Han visste at den sterke kjernekraften hadde en rekkevidde som er av størrelsesorden 1 fm = 10-15&thinsp;m. Ifølge hans teori måtte derfor partiklene som formidler denne kraften, ha en masse ikke mye forskjellig fra 200&thinsp;MeV/*c*&thinsp;2. De vil derfor også være ustabile og henfalle til elektron og nøytrino. På den tiden var ingen slike partikler kjent.

## Mesoner

Yukawa forsto at det eneste sted hvor man muligens kunne observere slike massive *U*-partikler, måtte være i kosmisk stråling. På slutten av 30-tallet ble også slike ustabile partikler indirekte oppdaget på den måten. De amerikanske fysikerne Oppenheimer og Serber var blant de første som forbandt Yukawas partikler med disse oppdagelsene. I årene som fulgte ble de omtalt som «mesotroner», men etter hvert ble dette forkortet til mesoner da de har en masse mellom de tunge baryonene og de lette leptonene.

Da studiet av den kosmiske strålingen ble tatt opp igjen etter andre verdenskrig, ble det klart at de påviste mesonene ikke hadde en sterk vekselvirkning som forutsagt av Yukawa. Mer nøyaktige observasjoner av Cecil Powell ved universitetet i Bristol viste i 1947 at strålingen inneholdt to ustabile mesoner. Det som manglet den sterke vekselvirkningen, fikk navnet «*&mu;* - meson» som senere ble forkortet til myon. Det andre mesonet hadde de riktige egenskapene til å være Yukawas *U*-partikkel. Massen viste seg å være 140&thinsp;MeV/*c*&thinsp;2, og den har spinn *s* = 0. Derfor er den beskrevet ved Klein-Gordon-ligningen. Partikkelen fikk navnet «*&pi;* - meson» som snart ble til pion. 

Myonet  oppstår i den kosmiske strålingen som skaper pioner ved kollisjoner i atmosfæren. Da det er litt lettere enn pionet, vil dette henfalle til et muon og et nøytrino, 

:  \pi \rightarrow \mu + \nu 

på grunn av den svake kjernekraften i overensstemmelse med Yukawas teori. Her opptrer muonet som et tungt elektron, men sluttproduktet kan noen få ganger også være et vanlig elektron med sitt nøytrino.

## Referanser


## Eksterne lenker

* H. Yukawa, ''Meson theory in its developments'', Nobelpris forelesning (1949).