Fresnel-integral

**Fresnel-íntegral** definerer matematiske funksjoner som opptrer i forbindelse med diffraksjon av lys. Dette fenomen ble først systematisk studert og gitt en matematisk beskrivelse av den franske ingeniør og fysiker Augustin Fresnel på begynnelsen av 1800-tallet.

Det finnes to standardiserte og reelle slike funksjoner. De er gitt ved integralene

:  C(t) = \int_0^t \! du \cos u^2, \;  S(t) = \int_0^t \! du \sin u^2 

Hvis argumentet til de trigonometriske funksjonene multipliseres med faktoren *&pi;&thinsp;*/2, går funksjonene over til det som kalles **normaliserte** Fresnel-integral.

De to funksjonene gir en parameterfremstilling av en plan kurve (*x* = *C*(*t*&thinsp;), *y* = *S*(*t*&thinsp;)) som heter klotoide eller Cornu-spiral. Både dens buelengde og krumning er proporsjonale med parameteren *t&thinsp;*. Kurven har to asymptotiske punkt i grensen der *t* &rarr; &plusmn; &infin;&thinsp;. Det første følger fra det komplekse Fresnel-integralet  definert ved kombinasjonen *C*(&infin;) + *i&thinsp;S*(&infin;) med verdien

:  \int_0^\infty\!dx \, e^{ix^2} = \sqrt{\pi\over 8} (1 + i) 

og tilsvarende for det andre. Disse integral og tilsvarende funksjoner ble først studert av Leonhard Euler på 1700-tallet i forbindelse med bøyning av elastiske bånd uten at Fresnel synes å hatt kjennskap til det.

## Egenskaper

For små verdier av argumentet kan rekkeutviklinger av Fresnel-integralene finnes ved å benytte tilsvarende rekker for de trigonometriske funksjonene som inngår i deres definisjoner. Det gir

: \begin{align} C(x) &= \sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!} \\ &= x-\frac{x^{5}}{10}+\frac{x^{9}}{216}-\cdots \end{align} 

: \begin{align}  S(x) &= \sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!} \\ &= \frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{7}}{42}+\frac{x^{11}}{1320}-\cdots \end{align} 

Da begge seriene består av ledd *x<sup>n</sup>&thinsp;* hvor *n&thinsp;* er et oddetall, er Fresnel-integralene antisymmetriske funksjoner, 

:  C(-x) =  -  C(x), \quad  S(-x) =  - S(x) 

Dette følger også indirekte fra definisjonen. Deres midtpunkt er i *x* = 0 hvor de begge er null. For større verdier av argumentet er disse rekkene lite egnet for numerisk beregning av funksjonene.

### Asymptotiske verdier

De to Fresnel-funksjonene kan kombineres ved bruk av Eulers formel. Det gir det komplekse integralet

:  F(x) = C(x) + i S(x) = \int_0^x \! dt\, e^{it^2} 

For store verdier av argumentet nærmer begge funksjonene seg verdien av det komplekse integralet *F*(&infin;). Den kan finnes ved kompleks integrasjon av funksjonen  f(z) = \exp(iz^2)  rundt en lukket vei som på figuren. Da den ikke inneholder noen singulariteten, vil derfor

:  \oint\! dz \, e^{iz^2} = 0 

ifølge residueteoremet. Den søkte verdien *F*(&infin;) vil nå fremkomme fra integrasjonen langs *x*-aksen, mens bidraget fra sirkelbuen med radius *R&thinsp;* vil forsvinne i grensen *R* &rarr; &infin;. Langs den rette veien hvor *z* = *t*&thinsp;exp(*i&pi;&thinsp;*/4), er *z* = *it* 2  slik at teoremet gir

:   \int_0^\infty \! dt\, e^{it^2} - e^{i\pi/4} \int_0^\infty \! dt\, e^{-t^2} = 0 

Da det andre leddet er gitt ved det vanlige Gauss-integralet som (1/2)&radic;*&pi;&thinsp;*, blir resultatet

:  F(\infty) = {1\over 2} e^{i\pi/4} \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi\over 8} (1 + i) 

Dermed er de asymptotiske verdiene *C*(&infin;) = *S*(&infin;) = &radic;(*&pi;*&thinsp;/8) = (1/2)&radic;(*&pi;*&thinsp;/2). Euler fant disse på en helt annen måte ved bruk av gammafunksjonen.

Etter omskrivningen

:  C(x) = \int_0^x \! du \cos u^2 = \sqrt{\pi\over 8} - \int_x^\infty \! du \cos u^2  

kan Fresnel-integralene beregnes mer nøyaktig i den asymptotiske grensen. I det siste leddet på høyre side  innføres den nye integrasjonsvariable  som ved  partiell integrasjon gir 

:   \int_x^\infty \! du \cos u^2 = {1\over 2} \int_{x^2}^\infty {\cos v\over\sqrt{v}} =  - {\sin x^2\over 2x} + \cdots 

Leddene som her droppes vil bli neglisjerbare når *x* &rarr; &infin;&thinsp;. På den måten kommer man frem til de mer nøyaktige uttrykkene

: \begin{align}  C(x) &= \sqrt{\pi\over 8} + {\sin x^2\over 2x} \\ S(x) &= \sqrt{\pi\over 8}  - {\cos x^2\over 2x} \end{align} 

i denne grensen. Funksjonene oscillerer derfor med en jevnt avtagende amplitude rundt sine asymptotiske verdier.

## Normaliserte integral

I noen sammenhenger er det vanlig å definere Fresnel-integralene på en litt annen måte. Spesielt i optikken gjør dette deres praktiske bruk noe enklere.
De omtales ofte som **normaliserte** Fresnel-integral og er gitt som

:  C_n(x) = \int_0^x \! dt \cos {\pi\over 2} t^2, \;  S_n(x) = \int_0^x \! dt \sin {\pi\over 2} t^2 

Med et skifte av integrasjonsvariabel finner man herav sammenhengen 

:  C_n(x) = {1\over k}\, C(kx), \; S_n(x) = {1\over k}\, S(kx) 

med de standardiserte integralene hvor nå *k* =  &radic;(*&pi;*&thinsp;/2). De asymptotiske verdiene blir dermed enklere

:  C_n(\infty) = S_n(\infty) = {1\over 2} 

Vanligvis blir indeksen som angir at funksjonen er normalisert, utelatt som i figuren ved siden av.

### Ekstremalpunkt

De to normaliserte Fresnel-integralene oscillerer rundt sine asymptotiske verdier. Deres maksima og minima kan finnes fra de deriverte som er

:  {dC \over dx} =  \cos {\pi\over 2} x^2 , \; {dS \over dx} =  \sin {\pi\over 2} x^2 

Den første funksjonen har derfor slike ekstremalverdier for 

:  x^2_n = 2n - 1 = 1, 3, 5, \cdots 

Når *n* = 1, er dette et maksimum for , mens   gir et minimum for  = 1.732.. Slik fortsetter funksjonen *C*(*x*) med vekselvis maksima og minima mot den asymptotiske verdien 1/2 når 
 

På samme vis har funksjonen *S*(*x*) ekstremalverdier når argumentet er

:  x^2_n = 2n = 2, 4, 6, \cdots 

Den har sitt første maksimum for  = 1.414.. etterfulgt av et minimum for  og så videre.

Disse funksjonene gir en naturlig parametrisering av klotoiden. Den er definert som

:  x(s) = C(s), \; y(s) = S(s) 

hvor *s&thinsp;* er dens buelengde målt fra dens midtpunktet (0, 0). Kurven har to asymptotiske punkt

:  (x,  y) = \pm \Big({1\over 2}, {1\over 2} \Big) 

som fremkommer i grensen der *s* &rarr; &plusmn; &infin;&thinsp;.

Ekstremalverdiene til *S*(*s*) gir nå de verdier av argumentet hvor stigningstallet 

:  {dy\over dx} = {dS\over dC} = \tan {\pi\over 2} s^2 

er null, noe som betyr at kurven har horisontale tangenter. Tilsvarende gir ekstremalverdiene til *C*(*s*) de verdier av buelengden hvor tangentene er vertikale. Det betyr at for lengdene  langs kurven vil den vekselvis ha en horisontal og  en påfølgende vertikal tangent der  og så videre. Slik fortsetter den med stadig tettere viklinger om det asymptotiske punktet (0.5, 0.5) og dermed også raskt økende krumning.

## Referanser


## Eksterne lenker

* E.W. Weisstein, ''Fresnel Integrals'', Wolfram MathWorld.