Miller-indeks

**Miller-indekser** benyttes innen faststoffysikk og strukturkjemi for å betegne plan i en krystall som er parallelle og har samme, gjensidige avstand. De består av tre heltall (*hkl*&thinsp;) hvor en strek over tallet angir at det er negativt. Indeksene ble innført i 1839 av den engelske mineralogen William Hallowes Miller.

Orienteringen til et plan kan angis ved de tre punktene hvor det skjærer krystallaksene som er gitt ved basisvektorene  \mathbf{a} ,  \mathbf{b}  og  \mathbf{c} . Miller-indeksene tilsvarer disse tre skjæringspunktene. Alternativt kan en familie med slike parallelle plan angis ved deres felles normalvektor. Ved bruk av de tre resiproke basisvektorene  \mathbf{a}^* ,  \mathbf{b}^*  og  \mathbf{c}^*, er denne proporsjonal med

:  \mathbf{N} = h\mathbf{a}^* + k \mathbf{b}^* + l \mathbf{c}^* 

når den uttrykkes ved Miller-indeksene til planene. På denne måten gis de også et geometrisk innhold. Avstanden mellom planene er gitt ved den inverse lengden til denne vektoren.

Ved spredning av røntgenstråling viste Max von Laue i 1912 at hvert plan i en krystall gir opphav til forsterket stråling i  diskrete retninger som direkte kan angis ved Miller-indeksene til de tilsvarende planene ved Braggs lov. De kan derfor bestemmes eksperimentelt og danner grunnlaget for strukturbestemmelse av slike materialer ved røntgendiffraksjon.

## Definisjon

De tre basisvektorene  \mathbf{a} ,  \mathbf{b}  og  \mathbf{c}  står vanligvis ikke vinkelrett på hverandre og har lengder *a*, *b* og *c*. Sammen danner de et aksekors med origo som kan velges i et vilkårlig gitterpunkt. 

Et gitterplan skjærer krystallaksene i tre punkt  som man kan skrive som **A** = **a**/*h'&thinsp;* , **B** = **b**/*k'&thinsp;* og **C** = **c**/*l'&thinsp;*. Her er tallene *h'&thinsp;*, *k'&thinsp;* og *l'&thinsp;* enten hele tall eller brøker. Etter en eventuell multiplikasjon med en felles faktor, kan de omgjøres til tre heltall. De angis som (*hkl*&thinsp;) og utgjør Miller-indeksene til planet. Vanligvis velges multiplikasjonsfaktoren slik at tallene blir minst mulig. Hvis planet er parallelt med en av aksene, vil skjæringspunktet ligge uendelig langt borte slik at den tilsvarende Miller-indeksen blir null.

Verdien til indeksene kan synes å være avhengige av hvor man velger origo. Men fra definisjonen følger det at hvis man flytter dette slik at for eksempel vektoren **A** øker med en viss faktor, vil den samme faktoren også opptre for punktene **B** og **C**. Når Miller-indeksene for det samme planet nå beregnes disse nye vektorene, vil denne faktoren forsvinne slik at indeksene er uavhengige av valg av origo for krystallaksene.

Som en illustrasjon kan man betrakte tilfellet der skjæringspunktene har avstandene *A* = 2*a*, *B* = 4*b* og *C* = 3*c* fra origo. Da er *h'&thinsp;* = 1/2, *k'&thinsp;* = 1/4 og *l'&thinsp;* = 1/3. Multipliseres disse tre brøkene med 12, går de over til å gi Miller-indeksene (6,3,4).

## Normal til gitterplan

Orientringen til et geometrisk plan er vanligvis gitt ved dets normalvektor. Den står vinkelrett på alle vektorer i planet. Fra definisjonen  følger at begge vektorene **A** - **B** og **B** - **C** ligger i gitterplanet gitt ved Miller-indeksene (*hkl*&thinsp;). Kryssproduktet   er derfor en ny vektor som står vinkelrett på planet og har derfor samme retning som dets normal **N**. Dette vektorproduktet kan forenkles og er proporsjonalt med 

: \begin{align} (\mathbf{A} - \mathbf{B})\times (\mathbf{B} - \mathbf{C}) &= \mathbf{A}\times\mathbf{B} + \mathbf{B}\times\mathbf{C} + \mathbf{C}\times\mathbf{A} \\ &= {\mathbf{a}\times\mathbf{b}\over hk} + {\mathbf{b}\times\mathbf{c}\over kl} + {\mathbf{c}\times\mathbf{a}\over lh}  \end{align}

og kan uttrykkes ved basisvektorene   \mathbf{a}^* ,  \mathbf{b}^*  og  \mathbf{c}^* i det resiproke gitteret. De er proporsjonale med henholdsvis  \mathbf{b}\times\mathbf{c} ,   \mathbf{c}\times\mathbf{a}  og  \mathbf{a}\times\mathbf{b}  slik at gitterplanet har normalvektoren

:  \mathbf{N} = h\mathbf{a}^* + k \mathbf{b}^* + l \mathbf{c}^* 

I Braggs beskrivelse av røntgendiffraksjon fra krystaller skjer dette ved refleksjon fra forskjellige parallelle gitterplan. Retningen til den spredte røntgenstrålen gir dermed direkte informasjon om Miller-indeksene til planet.

## Avstand mellom gitterplan

Miller-indeksene betegner en familie med parallelle plan hvorav ett kan tenkes å gå gjennom et gitterpunkt i origo og det nærmeste har skjæringspunktene **a**/*h*, **b**/*k* og **c**/*l* med krystallaksene. Avstanden mellom disse to planene kalles for **gitteravstanden** *d* og er gitt ved projeksjonen av en av disse vektorene inn på planets normalvektor **N**. Hvis man velger vektoren langs **a** og benytter at denne alltid vil stå vinkelrett på de resiproke vektorene  \mathbf{b}^*  og  \mathbf{c}^*, blir denne avstanden

:  d = {\mathbf{a}\over h}\cdot {\mathbf{N}\over |\mathbf{N}|} = {1\over |\mathbf{N}|} \mathbf{a}\cdot\mathbf{a}^* 

Skalarproduktet av en basisvektor og dens resiproke er definert til å være én eller 2*&pi;*. Med det siste valget er derfor gitteravstanden gitt som

:  d = {2\pi\over |\mathbf{N}|}

Den kan generelt beregnes utfra gittervektorenes lengder og retninger.

### Ortogonale krystallsystem

For de kubiske, ortorombiske og tetragonale krystallsystemene står basisvektorene vinkelrett på hverandre. Det vil derfor også de resiproke vektorene gjøre. Da disse har lengdene 2*&pi;*&thinsp;/*a*, 2*&pi;*&thinsp;/*b* og 2*&pi;*&thinsp;/*c*, kan lengden av normalvektoren **N** for planet (*hkl*&thinsp;) finnes. Gitteravstanden for slike krystaller er derfor gitt ved formelen

:  {1\over d^2} = {h^2\over a^2}+ {k^2\over b^2} + {l^2\over c^2}

I det tetragonale systemet kan man sette  *a* = *b*, mens i det kubiske systemet er gitteravstandene *a*, *b* og *c* like store.

## Referanser


## Eksterne lenker

* Youtube, ''Miller indices'', enkel innføring
* LibreTexts, [''The Orientation of a Lattice Plane is Described by its Miller Indices''](https://chem.libretexts.org/Bookshelves/Physical_and_Theoretical_Chemistry_Textbook_Maps/Physical_Chemistry_(LibreTexts)/31%3A_Solids_and_Surface_Chemistry/31.02%3A_The_Orientation_of_a_Lattice_Plane_Is_Described_by_its_Miller_Indices), gode websider om krystallstruktur