Linjekoordinater

**Linjekoordinater** benyttes i analytisk geometri til å angi retning og posisjon for en rett linje i planet eller rommet på samme måte som vanlige punktkoordinater benyttes til å angi posisjonen til et punkt.

Linjekoordinater ble innført av Julius Plücker på midten av 1800-tallet. I dag benyttes de innen robotikk og CAD. 

## Rette linjer

En linje i planet med kartesiske koordinater {*x, y*&thinsp;} kan beskrives ved ligningen . Her angir *a* stigningstallet og *b* gir skjæringspunktet med *y*-aksen der . Dermed kan (*a, b*&thinsp;) sies å være koordinatene for slike linjer på samme måte som  (*x, y*&thinsp;) er koordinatene til et punkt. 

Mens den lineære ligningen  beskriver punkt langs en rett linje med koordinater  (*a, b*&thinsp;), kan man også betrakte den når punktet (*x, y*&thinsp;) holdes fast. Løsningene vil da gi koordinatene (*a, b*&thinsp;) for alle linjer som går gjennom dette punktet.

En kurve i planet fremkommer når punktkoordinatene oppfyller en ligning *f*(*x,y*&thinsp;) = 0 som har en løsning . Alternativt kan man anta at kurven kan uttrykkes ved en parameter *t&thinsp;* slik at  og . På samme måte vil løsningen til en ligning  mellom de to linjekoordinatene kunne skrives på parameterform som  og . Den beskriver de rette linjene  som utgjør en **linjeskare**. De danner omhyllingskurven som tilsvarer ligningen mellom de to linjekoordinatene..

## Homogene koordinater
De to linjekoordinatene (*a, b*&thinsp;) i planet er mangelfulle da de ikke kan beskrive linjer parallelle med *y*-aksen. Det kan gjøres ved å innføre en tredje koordinat slik at en rett linje skrives som

:  ux + vy + w = 0 

Nå vil linjekoordinatene (*u, v, w*&thinsp;) kunne angi alle linjer med både retning og posisjon   i planet. Men multipliseres de med en konstant *k*, vil (*ku, kv, kw*&thinsp;) angi den samme linjen som (*u, v, w*&thinsp;). De sies derfor å være **homogene linjekoordinater** av samme type som benyttes i projektiv geometri. 

Som et eksempel har linjen *y* = 2 - *x*/2 de homogene linjekoordinatene (1/2, 1, -2) som er ekvivalent med (1, 2, -4) eller  (-3, - 6, 12) og uendelig mange andre verdier.

### Projektivt plan
I det projektive planet **RP**2 definerer to punkt en linje på samme måte som at alle linjer har et skjæringspunkt. Linjer som skjærer hverandre uendelig langt borte, erstatter parallelle linjer i euklidsk geometri. Hvert punkt kan entydig angis ved tre homogene punktkoordinater (*x, y, z*&thinsp;). Mens punkter som ligger i det uendelige fjerne, er gitt ved , kan punkter i den endelige delen av planet angis ved å velge  da disse koordinatene er homogene.

Ligningen for en rett linje i dette planet er gitt ved

:  ux + vy + wz = 0 

der (*u, v, w*&thinsp;) ≠ (0, 0, 0) er de tre homogene linjekoordinatene for linjen. Punkter i det uendelige fjerne ligger på linjen (0, 0, 1), mens *x*-aksen er gitt ved linjen (0, 1, 0) og *y*-aksen har linjekoordinatene (1, 0, 0).

## Linjer i rommet

På parameterform kan en linje i rommet skrives som  hvor vektoren **n** angir dens retning og punktet **r**0&thinsp; ligger på linjen. Når rommet har tre dimensjoner, behøves det derfor i utgangspunktet 3 + 3 = 6 variable eller koordinater for å spesifisere den. Men retningen **n** behøver bare to koordinater, mens punktet **r**0&thinsp; kan flyttes til andre punkt på samme linje. Det har derfor også en mindre frihetsgrad slik at man i alt har 2 + 2 = 4 uavhengige linjekoordinater i tre dimensjoner.

Plücker bestemte disse koordinatene fra linjens projeksjoner på to av de tre kartesiske koordinatflatene. Velges disse å være *xz*- og *yz*-planene, er projeksjonene gitt ved de to ligningene

:  x = rz + \rho, \;\;\; y = sz + \sigma 

hvor (*r, s, &rho;, &sigma;*&thinsp;) er Plücker-koordinatene for den tredimensjonale linjen.

Disse koordinatene kan bestemmes ved å angi to punkt  og  som ligger på den. Plücker kunne uttrykke resultatet ved komponentene til de to vektorene  og  . Her gir **n** retningen i rommet til linjen, mens komponentene til **m** angir størrelsen av projeksjonene på de tre koordinatflatene av trekanten som punktene **x** og **y** danner med origo. Denne vektoren inneholder derfor informasjon om avstanden til linjen fra origo. Man har dermed , ,  og  slik at de seks komponentene (**n**; **m**) = (*n<sub>x</sub>*, *n<sub>y</sub>*, *n<sub>z</sub>*; *m<sub>x</sub>*, *m<sub>y</sub>*, *m<sub>z</sub>*) kan betraktes som homogene linjekoordinater. Men de er ikke uavhengige av hverandre da vektoren **m** alltid er vinkelrett på **n** som følger fra definisjonen av det vektorielle kryssproduktet. Det gir *Plücker-betingelsen*  og derfor effektivt bare fire frie koordinater.

### Projektivt rom

Hvis hvert punkt **x** i det tredimensjonale, projektive rommet **RP**3 beskrives ved fire homogene koordinater , vil punkter i den endelige delen tilsvare verdier som vanligvis beskrives ved å ta . De seks Plücker-koordinatene for en linje gjennom to punkt **x** og **y** kan da finnes fra den antisymmetriske matrisen  med elementer

:  P_{ij} = x_iy_j - x_jy_i 

De tidligere koordinatene gjenfinnes ved å sette  = 1 som gir  og . Plücker-betingelsen tilsvarer at determinanten .

Et plan i rommet kan beskrives ved ligningen *u*1*x*1 + *u*2*x*2 + *u*3*x*3 + *u*0 = 0 med bruk av ikke-homogene koordinater. Her angir vektoren  retningen til planets normal, mens *u*0 er en konstant. Sammen utgjør de fire homogene koordinater for planet. I det projektive rommet er derfor planet beskrevet ved ligningen

:  u_0x_0 + u_1x_1 + u_2x_2  + u_3x_3  = 0 

som viser at  er homogene koordinater for planet. Koordinatene for skjæringspunktet mellom planet og linjen
*P* = (**n**; **m**) er nå gitt ved

:  x_i = \sum_{j=0}^3 P_{ij} u_j 

som gir *x*0 = - **n**&sdot;**u** og **x** = **n***u*0 - **m**&times;**u**. Hvis linjen er parallell med planet, vil vektorene **n** og **u** stå vinkelrett på hverandre slik at det skalare produktet  . Da er den homogene koordinaten  som betyr at skjæringspunkt ligger i det uendelige fjerne.

### Dualitet

Ligningen for et plan i det projektive rommet er symmetrisk ved ombytte av de homogene koordinatene for punkt og plan. Dette danner grunnlaget for *dualitet* som er av sentral betydning i projektiv geometri.

På samme måte som to punkt definerer en linje i planet, vil også to plan med koordinater (*u*0,**u**) og (*v*0,**v**) entydig spesifisere en skjæringslinje. Dens retning vil være gitt ved kryssproduktet  som inngår i en ny Plücker-matrise *Q* = (*Q<sub>ij</sub>*&thinsp;) for linjen. Da punkter (*x*0,**x**) på denne ligger på begge planene, må man ha  og . Sammen gir de betingelsen  der . Dermed har man de duale Plücker-koordinatene  hvor betingelsen  er oppfylt. 

De enkelte komponentene til den duale Plücker-matrisen kan nå finnes fra det antisymmetriske produktet

:  Q_{ij} = u_iv_j - u_jv_i 

der **n** =  (*Q*23,*Q*31,*Q*12) og . Ved dualitet kan man herfra beregne koordinatene (*u*0,**u**) for planet som en vilkårlig linje  danner med et annet punkt (*x*0,**x**),

:  u_i = \sum_{j=0}^3 Q_{ij} x_j 

Mange andre, geometriske relasjoner mellom punkter, linjer og plan i rommet kan finnes ved tilsvarende metoder.

## Referanser


## Eksterne lenker

* Kristian Ranestad, ''Linjegeometri'', norsk foredrag (2006).