Lp-rom

Innen matematikk er **-rommene** funksjonsrom definert som en naturlig generalisering av p-normen for endeligdimensjonale vektorrom. De kalles også for **Lesbesgue-rom**, navngitt etter Henri Lebesgue. -rom er også Banachrom, og utgjør en viktig klasse av topologiske vektorrom innen funksjonalanalyse. De spiller en nøkkelrolle i matematisk analyse av mål- og sannsynlighetsrom, og er derfor også viktig for det teoretiske grunnlaget for og diskusjonen rundt problemer innenfor blant annet fysikk, statistikk og finans.

## Definisjon
La (\Omega, A, \mu) være et målrom og 0  kan man definere en norm gitt ved
:|| f ||_p = ( \int_{\Omega} |f|^p d\mu)^{1/p}
for p , og
:|| f ||_\infty = inf \{M : |f| \leq M \}
nesten overalt (med hensyn til målet \mu). Da er det korresponderende Lp-rommet er definert som mengden av A-målbare funksjoner der dette integralet konvergerer (er endelig).

Man kan tenke på L^p-rom som en generalisering av *<math>L^2</math>-rom*, mengden av kvadratiske integrerbare funksjoner, der disse er definert som mengden av funksjoner hvis 
:| f |_2 = ( \int_{\Omega} |f|^2 d\mu )^{1/2}
er endelig. Dette tilsvarer normen indusert av det generelle indreproduktet
:\langle f, g \rangle = \int_{X} f \overline{g} d\mu
definert over et funksjonsrom.

### L<sup>p</sup>-rom over <math>\mathbb{R}^n</math>
Dersom \Omega \subseteq \mathbb{R}^n er det vanlig å referere til L^p-rommet som L^p (\Omega).

### L<sup>p</sup>-rom over følgerom
Dersom \mu er tellemålet er det vanlig å referere til L^p-rommet som \mathcal{l}^p (\Omega), eller bare \mathcal{l}^p.

## Egenskaper
### Grunnleggende egenskaper
For alle Lp-rom gjelder følgende:
#For alle f \in L^p og alle skalarer \alpha gjelder
#:|| \alpha f ||_p = |\alpha| || f ||_p
#L^{p} er et vektorrom
# For alle f \in L^p finnes det en følge av enkle funksjoner \{ s_n \}_{n=1}^{\infty} i Lp som konvergerer til f nesten overalt:
## s_n \to f
## || f - s_n ||_{p} \to 0
## \int_{\Omega} |s_n|^p d\mu \to \int{\Omega} |f|^p d\mu

### Hölders ulikhet
Hvis p og q er to (utvidet reelle) tall, slik at 1 \leq p \leq \infty og 1 \leq p \leq \infty, og slik at \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1, og f, g to A-målbare funksjoner, har vi at
:|| fg ||_1 = \int_{\Omega} | f g | d\mu \leq || f ||_p ||g ||_p
med likhet for p > 1 hvis og bare hvis det finnes to konstanter \alpha, \beta som ikke begge er 0, slik at
:\alpha|f|^p = \beta|g|^q.

Dette kalles for Hölders ulikhet, og hvis p = q = 2 får vi Cauchy–Schwarz’ ulikhet.

Dersom vi jobber med funksjonsrom over \mathbb{R}, der \Omega f.eks. kan være et interval [a, b] kan ulikheten uttrykkes som
:\int_a^b | f g | dx \leq || f ||_p ||g ||_p.

### Minkowskis ulikhet
La 1 \leq p \leq \infty igjen. Da gjelder 
:||f + g||_p \leq ||f||_p + ||g||_p
for alle f, g \in L^p (\mu).

Dette kalles for Minkowskis ulikhet.

### Riesz' teorem
For 1 \leq p \leq \infty er (L^p(\mu), || \cdot ||_p) et komplett metrisk rom med hensyn på normen gitt ved || \cdot ||_p, altså et Banach-rom.

Dette kalles for Riesz' teorem. For 0  har vi at L^p fortsatt er et vektorrom, men  er ikke lenger en norm – derimot kan man vise at det er en metrikk, så for 0  er L^p et metrisk rom. For p = 2 er L^p også et Hilbertrom.

## Referanser


## Litteratur
* 

## Eksterne lenker
*