Dirac-formalisme

**Dirac-formalisme**, elller **bra-ket-notasjon**, benyttes i lineær algebra hvor operatorer virker i et komplekst
vektorrom. Den ble oppfunnet av den engelske fysiker Paul Dirac i 1939 for bruk i kvantemekanikk, men kan lett benyttes ved andre anvendelser.

En vektor **v** omtales som en «ket-vektor» og betegnes med symbolet  |v \rangle , mens en dual vektor **u*** kalles en «bra-vektor» med betegnelsen  \langle u | . Dermed kan indreproduktet av disse to vektorene skrives som   \langle u| v \rangle.   På denne formen minner dette om en engelsk *bracket&thinsp;* hvor bokstaven *c&thinsp;* er erstattet med en loddrett strek som skiller vektorene.

## Matrisenotasjon
I et komplekst vektorrom \mathbf{C}^N  med en basis kan operatorer representeres som *N* &times; *N*  matriser. De virker på vektorer som er kolonnematriser og kan betraktes som ket-vektorer. Hvis vektorens komponenter er *v<sub>n</sub>&thinsp;* hvor indeksen *n* = 1, 2, ..., *N*, kan den derfor representeres ved kolonnevektoren

:  | v \rangle = (v_1, v_2, \ldots , v_N)^T 

hvor *T&thinsp;* står for transponering.

Når en operator  \hat{A}  virker på denne, vil den gi en ny ket-vektor  | v' \rangle = \hat{A} |v \rangle.  Da operatoren er representert ved matrisen *A* = (*A<sub>mn</sub>*) i denne basisen, er hver komponent til denne transformerte vektoren  gitt som

:  v'_m  = \sum_{n=1}^N A_{mn} v_n 

Den duale vektoren til ket-vektoren  | v \rangle  er bra-vektoren  \langle v |  med komponenter i en radvektor,

:  \langle v | = (v_1^*, v_2^*, \ldots , v_N^*) 

Formelt finnes den fra kolonnevektoren  | v \rangle  ved  kompleks konjugasjon etterfulgt av transponering.

Indreproduktet mellom en bra-vektor  \langle u |  og ket-vektoren  | v \rangle   kan uttrykkes ved vektorenes komponenter som

: \begin{align} \langle u| v \rangle &= \sum_{n=1}^N u_n^* v_n \\ &= u_1^*v_1 + u_2^*v_2 + \ldots + u_N^*v_N \end{align}

Formelt kan derfor bra- og ket-vektorer betraktes som rad- og kolonnevektorer med komplekse komponenter.

## Kvantemekanikk
Kvantemekaniske bølgefunksjoner kan beregnes fra en tilstandsvektor   | \psi\rangle  i et komplekst og lineært vektorrom kjent som et Hilbert-rom. Det kan ha uendelig mange dimensjoner og vektorene kan ha indekser som varierer kontinuerlig.

Med en diskret basis i Hilbert-rommet kan denne «ortonormeres» slik at

:  \langle m | n \rangle = \delta_{mn} 

hvor det vanlige Kronecker-deltaet opptrer på høyre side. I denne basisen kan man uttrykke tilstandsvektoren som

:  |\psi\rangle = \sum_n \psi_n |n\rangle ,

hvor komponenten    \psi_n = \langle n | \psi \rangle  er å betrakte som en «sannsynnlighetsamplitude» som angir graden av sannsynlighet for at systemet befinner seg i tilstand  |n\rangle .

For en partikkel som kan bevege seg langs en linje med kontinuerlig koordinat *x*, er det naturlig å benytte en koordinatbasis basert på egentilstander  |x \rangle . Deres normering er nå

:  \langle x' |x \rangle = \delta(x' - x) ,

hvor Diracs deltafunksjon opptrer på høyre side. 

Bølgefunksjonen til partikkelen er formelt komponenten \psi(x) = \langle x|\psi\rangle.   Den er sannsynlighetsamplituden for at partikkelen skal finnes i punktet *x*. Indreproduktet mellom to tilstandsvektorer  |\psi\rangle  og  |\phi\rangle  er nå gitt som

:   \langle \phi |\psi \rangle = \int_{-\infty}^\infty \!dx\, \phi^*(x) \psi(x) .

Denne beskrivelsen lar seg lett utvide til å gjelde for en kvantemekanisk partikkel som kan bevege seg i tre dimensjoner.

## Referanser