Henry Briggs

**Henry Briggs** (født 1561 i Halifax i West Yorkshire, død 27. januar 1630 i Oxford) var en engelsk matematiker. Han er mest kjent for å ha beregnet de første logaritmer med 10 som grunntall og har fått sitt navn knyttet til dette logaritmesystemet. Det var basert på tidligere arbeid til John Napier. I mange år var han knyttet til  Gresham College i London, men tilbrakte de ti siste årene av sitt liv som professor i geometri ved University of Oxford.

Et krater på Månen og et fjell i Antarktis er oppkalt etter Briggs.

## Liv og virke

Sin høyere utdannelse fikk Briggs ved St John's College i Cambridge hvor han i 1577 begynte å studere matematikk. Der ble han Master of Arts i 1585 og Fellow ved samme sted i 1588. I denne tiden ble han kjent med Edward Wright som vakte hans interesse for navigasjon.

Sin første stilling fikk han som professor i geometri i 1596 ved det nye Gresham College i London. Det var grunnlagt på testamenterte gaver fra Thomas Gresham og fikk etter hvert stor betydning for det akademiske livet i byen. Royal Society  ble startet der i 1663 og hadde sine møter på samme sted de første årene. 

Forelesningene til Briggs var åpne for publikum. I tillegg til  geometri, tok han opp tema innen navigasjon og astronomi. Han korresponderte med  Kepler og støttet hans banebrytende arbeid om planetenes bevegelse.

### Innføring av logaritmer
Da den første boken *Descriptio* av John Napier om logaritmer kom ut i 1614, fattet Briggs med en gang interesse for og gjorde denne nye beregningsmåten kjent gjennom sine forelesninger. Han så med en gang hvordan metoden kunne forbedres og reiste i 1615 til Edinburgh for å treffe Napier. Boken ble oversatt til engelsk av Edward Wright, men da han døde før den var ferdig, var det Briggs som fikk boken trykt i 1616. 

Samme år besøkte Briggs Napier igjen for å diskutere et nytt logaritmesystem med 10 som grunntall. Napier hadde også innsett fordelen med dette, men var blitt for gammel og svak til å bidra med mer. Det førte til at Briggs publiserte sitt første verk *Logarithmorum chilias prima* (De tusen første logaritmer) med dette nye grunntallet i 1617. Dette er de samme *briggske* logaritmer som brukes i dag.

John Napier døde i 1617 slik at bakgrunnen og fremgangsmåten for beregning av Napiers logaritmer ble utgitt i 1619 av hans sønn Robert i verket *Constructio*. Briggs hjalp med og skrev selv noen forklarende tillegg. På samme tid ble han tilbudt et nytt professorat i geometri ved Universitetet i Oxford og sa opp stillingen sin i London året etterpå.

### Siste år i Oxford
Hans hovedbeskjeftigelse forble utarbeidelse av mer nøyaktige logaritmetabeller og deres bruk. Første del av dette prosjektet publiserte han i 1624 i verket *Arithmetica Logarithmica* hvor han presenterte logaritmer for  alle tall mellom 1 til 20 000 samt for de mellom 90 000 til 100 000. Det var meningen at han skulle utgi logaritmene for de resterende tallene så snart de var beregnet, men i 1628 ble dette gjort av Adrian Vlacq i Gouda i Nederland selv om hans verdier var mindre nøyaktige. Disse tabellene inneholdt også de verdiene som tidligere var beregnet av Briggs. Da de utkom på flere språk, ble de i mange år et standard oppslagsverk.

De siste årene av sitt liv fortsatte Briggs numeriske beregninger av trigonometriske funksjoner og deres logaritmer. Dette prosjektet ble heller ikke fullført, men første del ble utgitt som *Trigonometria Britannica * i 1633 etter hans død i 1630. Han er gravlagt i Merton College hvor han hadde tilbrakt de mest produktive år av sitt liv.

## Briggske logaritmer

På den tiden Napier utviklet sine logaritmer, var ennå ikke bruken av desimaltall særlig utbredt etter at Simon Stevin hadde benyttet dem i et arbeid han ga ut i 1585.  Istedenfor å regne med mange desimalers nøyaktighet, benyttet man tilsvarende store heltall uten noe desimaltegn. Dette hadde som konsekvens at i trigonometrien hvor sinus til en vinkel i en rettvinklet trekant er definert som forholdet mellom motstående katet og hypotenusen, så ble lengden av kateten oppgitt som sinus for hver vinkel etter at hypotenusens lengde var fastsatt. Denne ble vanligvis betraktet som radius i den sirkel hvor hver vinkel kunne angis i grader og minutt. Napier hadde valgt denne radius å være  slik at alle sinus han betraktet var tall som var mindre enn dette. Det er ekvivalent med moderne konvensjon å angi sinus til en vinkel mellom 90&deg; og 0&deg; som et  positivt, reelt tall som er mindre enn 1.000 0000 og skrives med syv desimaler hvis man velger å benytte den nøyaktighet.

### Grunntall 10

Napier hadde konstruert sine logaritmer slik at sinus til 90&deg; skulle være null. Det kan nå skrives som  med radius  Da Briggs ble kjent med hans arbeide, så han muligheten for å gjøre dem mer anvendelige og ikke spesiallaget for beregninger innen trigonometrien. Der hadde radius *r&thinsp;* kun spilt en hjelperolle som en absolutt lengde for å sette graden av nøyaktighet i utregning av logaritmene. Briggs betraktet denne som et valg av enhet og forlangte at hans forbedrete logaritmer skulle oppfylle den mer generelle betingelsen Log&thinsp;1 = 0. En direkte konsekvens av denne nye definisjonen er da at

: \begin{align} \mathrm{Log}\, ( a \cdot b) &=  \mathrm{Log}\, a + \mathrm{Log}\, b \\   \mathrm{Log}{a\over b} &=  \mathrm{Log}\, a - \mathrm{Log}\, b \end{align} 

for to vilkårlige tall *a* og *b*. Da Briggs og Napier møttes for første gang i 1615, mente de begge at dette ville være en betydelig forbedring.

Generelt vil en multiplikasjon av et tall med 10 kun tilfører det en ekstra 0 i høyre ende av tallet slik at de øvrige sifrene forblir uforandret. Denne enkle systematikken mente Briggs burde reflekteres i definisjonen av logaritmen. Napier innrømmet ved samme møte at han hadde tidligere også innsett dette, men hadde ikke hadde hatt krefter til å ta hensyn til det i sin *Descriptio*. Men de ble enige om at de forbedrete logaritmene ville nå være entydig bestemt ved å sette  som tilsvarer en beregning av dem som heltall med ti siffer. Med bruk av desimaltall tilsvarer dette å skrive denne **briggske logaritmen** som 

Briggs hadde på denne tiden kommet frem til den moderne forståelse av logaritmer definert ut fra potenser av et grunntall som nå var valgt til å være 10. I moderne notasjon har man da sammenhengen 

:  x = 10^{\,\log x} 

mellom et tall *x* og dets briggske logaritme log&thinsp;*x*. Denne innsikten hadde som konsekvens at han kunne regne ut sine logaritmer på en helt annen måte enn Napier gjorde.

Da Briggs møtte Napier igjen i 1616, kunne han vise frem de første resultatene fra sine beregninger av de nye logaritmene. Han regnet nå med fjorten siffers nøyaktighet slik at  Året etter skrev han sammen disse verdiene for alle tall mellom 1 og 1000 i en liten trykksak  *Logarithmorum chilias prima* som besto av en enkel side introduksjon fulgt av femten sider med logaritmer i tabellform. Samme år døde Napier.

Først i 1624 i sitt store verk *Arithmetica Logarithmica* ga Briggs en detaljert beskrivelse av hvordan han hadde kommet frem til sine logaritmer. Dette presenteres sammen med detaljerte beregninger og noen eksempler på deres bruk i trigonometrien. Verket består av en innledning på 88 sider, mens logaritmetabellene for alle tall fra 1 til 20 000 og 90 000 til 100 000 med fjorten siffers nøyaktighet strekker seg over 300 sider.
Dette er fremdeles et sentralt verk i numerisk analyse og inneholder flere nye fremgangsmåter som i dag er blitt standard.

### Beregninger

I sin utregning av logaritmen til et tall, skrev Napier det som et produkt av et stort antall like faktorer som var meget nær 1. Briggs gikk frem på den motsatte måten og tok kvadratroten mange nok ganger av tallet slik at resultatet lå tett opp til 1.

Fra kvadratroten av 10 som er &radic;10 = 101/2 = 3.1622 7766 hvis man benytter åtte desimaler, følger med en gang at  slik at ,   = 2.5 og så videre. Ved å ta enda en kvadratrot av 10, finner man  med samme nøyaktighet. Det betyr igjen at  samt at  da 

Hver gang man fortsetter å ta kvadratroten på denne måten, blir resultatet mindre og mindre og nærmer seg 1. For tallet 10 gjorde Briggs dette 54 ganger  og oppdaget en viktig regelmessighet. Etter *n&thinsp;* kvadratrøtter av et vilkårlig tall *a* fant han at

:  a^{1/2^n} = 1 + x_n 

hvor *x<sub>n</sub>&thinsp;* er et meget lite tall. Når *n* blir tilstrekkelig stor, så han sammenhengen *x**n* + 1 = *x<sub>n</sub>*&thinsp;/2 innen den nøyaktigheten han hadde. Han kunne da avbryte prosessen og bestemme log&thinsp;*a* fra denne tilnærmelsen.

Med dagens kunnskap om logaritmen følger det fra

:  {1\over 2^n}\log a = \log(1 + x_n) = k\ln(1 + x_n) = kx_n 

der *k* er en konstant, og den naturlige logaritmen ln(1 + *x*) = *x* under den antagelse at *x* er svært liten. For det spesielle tilfellet at , kom Briggs frem til at konstanten *k* = 0.4342 9448 som er log*&thinsp;e* hvor *e* = 2.71828 1828 er Eulers tall. Det var dermed implisitt med  i Briggs beregninger omtrent hundre år før dens betydning var klarlagt.

Da hvert heltall kan skrives som et produkt av primtall, behøvde Briggs bare å beregne logaritmer til de laveste primtallene. De kunne nå finnes fra den generelle formelen

:  \log a = 2^n k x_n 

når *x<sub>n</sub>&thinsp;* var bestemt etter  å ha tatt *n&thinsp;* kvadratrøtter av *a*. For eksempel, med *a* = 2 gir denne fremgangsmåten  som igjen betyr at  = 0.6989 7000 4336. På samme måte kan log&thinsp;3, log&thinsp;7 og så videre regnes ut, noe som Briggs gjorde for alle primtall opp til 97. Var ikke det tilstrekkelig, kom han likevel frem til det ønskede resultat ved interpolasjon og andre, numeriske approksimasjonener.

## Referanser


## Eksterne lenker

* MacTutor, ''Henry Briggs'', University of St. Andrews, Scotland.
* R.P. Feynman, ''Feynman Lectures'', Volume I, beregning av logaritmer *a la* Briggs.
* Ian Bruce, ''Arithmetica Logarithmica'', MacTutor, University of St. Andrews, Scotland.
* Encyclopedia Britannica, ''Logarithm'', 11th Edition (1911). 
* S.O.S. Mathematics, ''Briggs-logaritmer for 1000 decimaltall mellom 1 og 10.''