Tilstandsromrepresentasjon

**Tilstandsrom** er en matematisk representasjon av lineære system. Tilstandene til systemet blir representert med tilstandsvariabler som relater inngangs- og utgangssignalene med første ordens differensialligninger. For å forenkle notasjonen blir tilstandsvariablene og inngangs- og utgangs-signalene uttrykte med matrise-vektor notasjon. Dette gir en kompakt og oversiktlig representasjon, som er uavhengig av antal inn- og utganger. 

Tilstandsrom-representasjon kan benyttes både for lineære og ulineære system, med vilkårlige starttilstander. Begrepet «tilstandsrom» viser til et vektorrom hvor tilstandsvariablene til systemet er representert ved aksene til rommet. 

## Tilstandsvariabler

Når et fysisk system blir representert på tilstandsvariaberform er antall tilstandsvariabler lik med antall energilagrende elementer i det fysiske systemet. Når elektriske system blir representeret på tilstandsromform er antal tilstandsvariabler lik med antal energilagrende element (spoler og kondensatorer) i det elektriske systemet. Tilsvarende, når et mekanisk system er representert på tilstandsromform er antal tilstandsvariabler lik med antal energilagrende masser og fjærer. 

Tilstandsvariablene må være lineært uavhengige (en tilstadsvariabel kan ikke være en lineær kombinasjon av andre tilstandsvariabler). Det minste antal tilstandsvariabler, N, som skal til for å representere et system er som oftest lik ordenen til differensialligningen som definerer systemet, eller til orden til nevnerpolynomet når systemet er representert på transferfunksjon-form, redusert til en ekte brøk.

## Lineære system
Den generelle representasjonen av lineære system, med p innganger, q utganger og n tilstandsvariabler kan skrives på formen:

: \dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)
: \mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)

hvor:

: ,x(t) \in \mathbb{R}^n
: ,y(t) \in \mathbb{R}^q
: ,u(t) \in \mathbb{R}^p
: ,\operatorname{dim}[A(\cdot)] = n \times n
: ,\operatorname{dim}[B(\cdot)] = n \times p
: ,\operatorname{dim}[C(\cdot)] = q \times n
: ,\operatorname{dim}[D(\cdot)] = q \times p
: \dot{\mathbf{x}}(t) := {d\mathbf{x}(t) \over dt}
: x(\cdot) er tilstandsvektoren,
: u(\cdot) er inngangsvektoren (eller kontrollvektoren),
: y(\cdot) er utgangsvektoren (eller observasjonsvektoren)
: A(\cdot) er systemmatrisen (også kalt tilstandsoppdateringsmatrisen),
: B(\cdot) er inngangsmatrisen,
: C(\cdot) er utgangsmatrisen og
: D(\cdot) er direktekoblingsmatrisen.

I praksis er D(\cdot) ofte en nullmatrise og systemet har ingen direkte kobling fra inngang til utgang.

I denne generelle representasjonen er alle matrisene tidsvariante. Tidsvariabelen t kan være tids-kontinuerlig, t \in \mathbb{R}, eller tids-diskret, t \in \mathbb{Z}. I det siste tilfellet er t=kT, der T er sampelintervallet.

### Systemtyper
Ulike system kan representeres på tilstandsromform:

I de to siste tilfellene har man gått ut fra at starttilstanden til systemet er null: .\mathbf{x}(0) = 0 

### Kontrollerbarhet og observerbarhet
En tidskontinuerlig tidsinvariant tilstandsrommodell er **kontrollerbar** hvis og bare hvis:

: rank\begin{bmatrix}B& AB& ...& A^{n-1}B\end{bmatrix} = n

En tidskontinuerlig tidsinvariant tilstandsrommodell er **observerbar** hvis og bare hvis:

: rank\begin{bmatrix}C\\ CA\\ ...\\ CA^{n-1}\end{bmatrix} = n

### Transferfunksjon-representasjon
Transferfunksjonen til et tidskontinuerlig tidsinvariant system skrives på formen:

: \dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t)

og kan finnes ved å laplacetransformasjonen:

: s\mathbf{X}(s) = A \mathbf{X}(s) + B \mathbf{U}(s)
: (s\mathbf{I} - A)\mathbf{X}(s) = B\mathbf{U}(s)
: \mathbf{X}(s) = (s\mathbf{I} - A)^{-1}B\mathbf{U}(s)

Man setter deretter uttrykket for \mathbf{X}(s) inn i utgangsligningen (eller opservasjonsligningen):

: \mathbf{Y}(s) = C\mathbf{X}(s) + D\mathbf{U}(s)
: \mathbf{Y}(s) = C((s\mathbf{I} - A)^{-1}B(s) + D(s))\mathbf{U}(s)

som gir transferfunksjonen:

: \mathbf{G}(s) = \frac{\mathbf{Y}(s)}{\mathbf{U}(s)} = C(s\mathbf{I} - A)^{-1}B + D

Denne MIMO-transferfunksjonen (multiple innputt, multiple utputt) har dimensjon qxp og inneholder qp SISO-transferfunskjonar (singel innputt, singel utputt), mellom de p inngangene og de q utgangene.

### Stabilitet
Når man studerer stabiliteten til et tidskontinuerlig, tidsinvariant system, er det enklest å representere det som en faktorisert transferfunksjon:

:  \textbf{G}(s) = k \frac{ (s - z_{1})(s - z_{2})(s - z_{3})\cdots}{ (s - p_{1})(s - p_{2})(s - p_{3})(s - p_{4})\cdots}

Nevneren til tranferfunksjonen G(s) er lik det karakteristiske polynomet til tilstandsmatrisen:

: \lambda(s) = |sI - A|.

Røttene til dette polynomet (egenverdiene) er polene til systemet. Om disse ligger på innsiden av enhetssirkelen i z-planet er systemet stabilt, og om de ligger *på* enhetssirkelen er det marginalt stabilt. Om minst en pol ligger på utsiden av enhetssirkelen er systemet ustabilt. En alternativ måte for å avgjøre om systemet er stabilt er å benytte Lyapunov sitt stabilitetsteorem.

Nullpunktene til systemet (røttene til tellerpolynomet i transferfunksjonen) avgjør om systemet har minium-, maksimum-, eller blandet-fase, men nullpunktene påvirker ikke stabiliteten til systemet.

Om det forekommer pol-nullpunkt-kanselleringar kan et lineært system være BIBO-stabilt (begrenset innputt, begrenset utputt) selv om det ikke er internt stabilt.

## Se også
* Systemdynamikk
* Lineære system
* Ulineært system
* Dynamisk system

## Referanser


### Bibliografi
* Chu, C.K. og Chen, G., *Signal processing and systems theory: Selected topics*, Springer-Verlag, 1992.
* Kailath, T., *Linear systems*, Prentics-Hall, 1980.
* Kuo, B,C,, *Automatic contol systems*, Prentice-Hall, 6. utg., 1991.
* Ogata, K, *Discrete control systems*, Prentice-Hall, 1987.