Epitrokoide

En **epitrokoide** er en trokoide hvor den bevegelige sirkelen ruller utenpå en annen, stasjonær sirkel. Hvis denne har radius *R* og den rullende sirkelen har radius *r*,  er kurven gitt ved den komplekse koordinaten

:  z(\theta) = (R + r)e^{i\theta} - se^{i(1 + R/r)\theta} 

hvor vinkelen  0  z(\theta) = (R + r)e^{i\theta} - se^{i(1 + R/r)\theta} 

Da *z* = *x* + *iy* kombinert med Eulers formel   e^{i\phi} = \cos\phi + i \sin\phi , kan de reelle koordinatene (*x,y*) til punktet på epitrokoiden finnes og blir

: x (\theta) = (R + r)\cos\theta - s\cos (1 + R/r)\theta 
: y (\theta) = (R + r)\sin\theta \; - s\sin (1 + R/r)\theta 

Samme formler kan utledes ved geometriske betraktninger som benyttes til å finne de tilsvarende ligningene for en episykloide. I det spesielle tilfellet er  som tilsvarer at det beskrivende punktet ligger på periferien til den rullende sirkelen.

Når *s* > *r&thinsp;* og forholdet *k* = *R*/*r* er et heltall, vil kurven være lukket med *k* mindre sløyfer.  Den vil også være lukket med et visst antall slike sløyfer når *k* er et rasjonalt tall. Derimot vil ikke punktet *P* komme tilbake til utgangspunktet når denne parameteren er irrasjonal, og kurven vil fylle en del av hele planet.

## Episykler

I det moderne verdensbildet der Jorden beveger seg om Solen sammen med de andre planetene, kan man med en viss nøyaktighet anta at de går i sirkler og i samme plan. Ved å bruke kompleks notasjon er da posisjonen til Jorden med Solen i origo gitt som  z_0 = r_0e^{i\omega_0t}  der *r*0 er radius til banen og vinkelhastigheten *&omega;*0 = 2*&pi;*&thinsp;/*T*0 når omløpstiden i denne banen er *T*0. På samme måte er den komplekse koordinaten for en planet  z_1 = r_1e^{i\omega_1t}  når man regner tiden fra et tidspunkt at den var på samme linje gjennom Solen og Jorden. Avstanden mellom dem er da *r*1 - *r*0.

På et senere tidspunkt når planeten observeres fra den bevegelig Jorden, vil dens posisjon være gitt ved den relative koordinaten

:  z = z_1 - z_0 = r_1e^{i\omega_1t} - r_0e^{i\omega_0t} 

Dette uttrykket beskriver en epitrokoide som er generert av to sirkler med radier *R* og *r&thinsp;* hvis relative størrelse kan beregnes fra forholdet *&omega;*1/*&omega;*0. Den absolutte størrelsen er da bestemt fra  mens lengden *s* kan identifiseres med *r*0. Avhengig av de numeriske verdiene til disse størrelsene, kan dette forklare at planeten synes å ha en tilsynelatende retrograd bevegelse ved bestemte tidspunkt.
 
For en ytre planet som Jupiter ville man i gresk astronomi forklare denne bevegelsen ved at planeten beveget seg på en episykel med radius *r*0 samtidig med at senteret til denne sirkelen beveget seg i samme retning langs en sirkulær deferent med radius *r*1. Denne opprinnelige teorien ble forbedret av Ptolemaios for å gi en nøyaktigere beskrivelse av lengden til den retrograde bevegelsen og når den opptrådte. Han måtte da innføre et nytt ekvantpunkt litt utenom senteret til deferenten og forlange at episykelens sentrum beveget seg med konstant hastighet om dette i stedet. Fra de observerte omløpstidene og lengden til de retrograde bevegelsene kunne Ptolemaios ha beregnet forholdet mellom radiene *r*1/*r*0 med god nøyaktighet for de forskjellige planetene. Dermed kunne han også ha funnet deres avstander til Solen uttrykt ved Jordens avstand til samme heliosentriske referansepunkt.

## Se også

* Episykloide
* Hyposykloide

## Referanser


## Litteratur
*  J.D. Lawrence, *A catalog of special plane curves*,  Dover Publications, New York (1972). ISBN 0-486-60288-5.

## Eksterne lenker

* Volker Jäkel, '''Epitrochoides'', deres egenskaper og animasjoner.