Partiell derivasjon

**Partiell derivasjon** er en operasjon i matematikk for å finne den **partiellderiverte** til en flervariabel funksjon, som er funksjonens deriverte med hensyn på en variabel, mens de andre blir holdt konstant.

Notasjonen for den partiellderiverte for en funksjon f med variablene x, y... med hensyn på x skriver en som oftest på formen

: {\partial\over\partial x}f \ eller \ {\partial f\over\partial x},

men en kan også skrive han som f_1,f _x,f'_x,\partial _xf,D_1f\ eller\ D_xf. En les "den partiellderiverte av f med hensyn på x".

∂, en stilisert kursiv d, blir brukt for å vise til partiellderiverte og skiller det fra deriverte av envariable funksjoner, {dy\over dx}.

Den deriverte til en envariablet funksjon er stigningstallet til tangenten i punktet x_0. I en funksjon med to variabler er det uendelig mange tangenter i hvert punkt (x_0,y_0), men som oftest er det tangentene parallelt til enten x eller y-aksen som er av høyest interesse. Når en partiellderiverer finner vi stigningstallet til en av disse to tangentene.

## Definisjon

### R<sup>2</sup>
La f:R^2\rightarrow R være en funksjon av to variabler, x og y.

Den partiellderiverte til f med hensyn på x er definert som

: {\partial f\over\partial x}(x,y) = \lim_{\Delta x\to 0} {f(x+\Delta x,y)-f(x,y)\over \Delta x},

dersom grenseverdien eksisterer.

Korresponderende er den pariellderiverte med hensyn på y definert slik:

: {\partial f\over\partial y}(x,y) = \lim_{\Delta y\to 0} {f(x,y+ \Delta y)-f(x,y)\over \Delta y}

### R<sup>n</sup>
Vi kan generalisere definisjonen i andredimensjon til å gjelde for alle dimensjoner

La f:R^n\rightarrow R vere en funksjon av n variabler, x_1,x_2,...,x_n.

Vi definerer den partiellderiverte til f med hensyn på x_k slik:

: {\partial f\over\partial x_k}(x_1,...,x_n) = \lim_{\Delta x_k\to 0} {f(x_1,...,x_k+\Delta x_k,...,x_n)-f(x_1,...,x_n)\over \Delta x_k}

Hver funksjon i R^n har n partiellderiverte; en til hver variabel.

## Eksempel i R<sup>2</sup>
Vi har funksjonen f:R^2\rightarrow R

: f(x,y)=x^2+xy-y^2

Når en partiellderiverer med hensyn på en variabel behandler vi den andre som konstant. De to partiellderiverte til f er dermed

: \begin{align}
&{\partial f\over \partial x}(x,y)=2x+y \\
&{\partial f\over \partial y}(x,y)=x-2y
\end{align}

Stigningstalet til tangenten parallelt med x-aksen i punkt (1,1) er

: {\partial f\over \partial x}(1,1)=2\cdot1+1=3

Tilsvarende har vi stigingstalet til tangenten parallelt med y-aksen:

: {\partial f\over \partial y}(1,1)=1-2\cdot 1=-1

## Partiellderiverte av høyere orden
Slik som for funksjoner med en variabel, kan vi definere partiellderiverte av høyere orden for funksjoner med flere variabler. Dersom en partiellderivert er deriverbar kan en fortsette å derivere med hensyn på samme eller en annen variabel så langt det lar seg gjøre.

Deriverer vi en *førstepartiellderivert* med samme variabel finner vi den *andrepartiellderiverte*, og skriver følgende notasjoner:

:     {\partial\over \partial x} \bigg({\partial f\over \partial x}\bigg), {\partial^2f\over \partial x^2} \quad eller \quad f_{11}, f_{xx},\partial_{xx}f, \partial^2_x


Deriverer vi med en annen variabel får vi en *krysset andrepartiellderivert*

:     \begin{align}
&{\partial\over \partial x} \bigg({\partial f\over \partial y}\bigg), {\partial^2f\over \partial x\partial y} \quad eller \quad f_{12}, f_{xy}, \partial_{xy}f, \partial_x\partial_yf \\
\end{align}


*Symmetrien* eller *likheten av andre partiellderiverte* fastslår at rekkefølgen for å oppnå en krysset andrepartiellderivert er likegyldig

:     
\begin{align}
&{\partial\over \partial x} \bigg({\partial f\over \partial y}\bigg) = {\partial\over \partial y} \bigg({\partial f\over \partial x}\bigg) \\
&{\partial^2f\over \partial x\partial y} = {\partial^2f\over \partial y\partial x}
\end{align}


Deriverer vi en andrepartiellderivert får vi en *tredjepartiellderivert*, og så videre... Deriverer vi en funksjon n-ganger med samme variabel får vi *n-te ordens partiellderivert*

:     {\partial^nf\over \partial x^n}


Vi får en *n-te ordens kryssene partiellderivert* dersom vi deriverer en funksjon n ganger med m ulike variabler

:     \begin{align}
&{\partial^{i+j+...+k}f\over \partial x_1^i \partial x_2^j\cdot...\cdot\partial x_m^k} \\
&n=i+j+...+k
\end{align}


## Se også

* Retningsderivert
* Gradient
* Hessematrisen

## Referanser