Pauli-matrise

**Pauli-matriser** er tre 2&thinsp;&times;&thinsp;2 matriser som ble innført av Wolfgang Pauli for å beskrive ikke-relativistiske partikler med spinn-1/2.  De er hermitiske og kan benyttes til å beskrive alle andre kvantemekaniske system som har et todimensjonalt Hilbert-rom. 

Et viktig eksempel  er en qubit som er den minste enheten i en kvantedatamaskin. Tillatte tilstander for slike system kan representeres av punkter på en kuleflate som kalles en «Bloch-sfære».

Matrisene er definerte som:

:\sigma_1 = \sigma_x =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
:\sigma_2 = \sigma_y =\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}
:\sigma_3 = \sigma_z =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

hvor *i* = &radic;-1 er den imaginære enheten. De utgjør den fundamentale representasjonen av generatorene til Lie-gruppen SU(2) som beskriver rotasjoner. Samtidig kan de betraktes som basiselementene i Clifford-algebraen Cℓ(3,0). Dirac-ligningen og dens løsninger for relativistiske partikler med spinn-1/2 er fundert på Pauli-matriser.

## Algebraiske egenskaper

Ved direkte utregning finner man

:  \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I 

hvor  I  er 2&thinsp;&times;&thinsp;2 enhetsmatrisen. Den blir ofte utelatt i mange sammenhenger der den ikke har noen betydning. Når matrisene er forskjellige, finner man på samme måte

:  \sigma_1 \sigma_2 = - \sigma_2 \sigma_1 =  i\sigma_3 
:  \sigma_2 \sigma_3 = - \sigma_3 \sigma_2 =  i\sigma_1 
:  \sigma_3 \sigma_1 = - \sigma_1 \sigma_3 =  i\sigma_2 

Det betyr at  \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = i.  Disse forskjellige produktene kan sammenfattes delvis i kommutatoren

: \begin{align} \left[\sigma_a,\sigma_b\right] &\equiv \sigma_a\sigma_b - \sigma_b\sigma_a \\ &= 2i\varepsilon_{abc} \sigma_c  \end{align} 

når man benytter det antisymmetriske Levi-Civita-symbolet og Einsteins summekonvensjon, samt **antikommutatoren**

: \begin{align} \{\sigma_a,\sigma_b \} &\equiv \sigma_a\sigma_b + \sigma_b\sigma_a \\ &= 2\delta_{ab} \end{align} 

ved bruk av  Kronecker-deltaet. Addisjon av disse to uttrykkene gir den fundamentale sammenhengen

:  \sigma_a \sigma_b = \delta_{ab} + i\varepsilon_{abc} \sigma_c 

Den inneholder alle de algebraiske egenskapene til Pauli-matrisene.

I tillegg til at matrisene er  hermitiske, har også deres determinanter (det) og spor (tr) bestemte verdier,

: \begin{align} \det{\sigma_a} &= -1 \\ \text{tr}\,\sigma_a &= 0\end{align} 

Grunnen for dette er at de alle har de samme to egenverdiene +1 og -1.

## Pauli-vektorer

I mange sammenhenger er det hensiktsmessig å betrakte de tre Pauli-matrisene som komponentene til en vektor  \boldsymbol{\sigma} = (\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z).  Det gjør det mulig å beregne dens komponent langs en vilkårlig annen vektor **u** = (*u<sub>x</sub>*, *u<sub>y</sub>*, *u<sub>z</sub>*&thinsp;} som

:  \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{u} = \sigma_x u_x + \sigma_y u_y + \sigma_z u_z = \begin{pmatrix} u_z & u_x - i u_y \\ u_x + iu_y & - u_z \end{pmatrix} 

På denne måten konstrueres en «Pauli-vektor» med determinant 

:  \det(\boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{u}) = -(u_x^2  + u_y^2 + u_z^2 ) =  - \mathbf{u}\cdot \mathbf{u} 

Dens kvadrat kan skrives som 

:  (\boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{u})^2 =  \begin{pmatrix} u_x^2  + u_y^2 + u_z^2  & 0 \\ 0 & u_x^2  + u_y^2 + u_z^2  \end{pmatrix} =  \mathbf{u}\cdot \mathbf{u} 

når man dropper enhetsmatrisen på høyre side.

Mer generelt  produktet mellom to forskjellige Pauli-vektorer

: \begin{align} (\boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{u})(\boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{v}) &= \sigma_a \sigma_b u_a v_b =  (\delta_{ab} + i\varepsilon_{abc} \sigma_c) u_a v_b \\ &= \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} + i\boldsymbol{\sigma} \cdot (\mathbf{u}\times \mathbf{v})  \end{align} 

da vektorproduktet kan uttrykkes ved Levi-Civita-symbolet som inngår i det siste leddet.

Pauli-matrisene kan benyttes ved Lorentz-transformasjoner slik de opptrer i kovariant relativitetsteori. Sammen med enhetsmatrisen utgjør de da en firevektor med kovariante komponenter  \sigma_\mu = (I, \boldsymbol{\sigma} ).  Hvis nå  u^\mu = (u_0, \mathbf{u})   er en firevektor, kan den fremstilles som en kovariant Pauli-vektor

:  u^\mu \sigma_\mu = u_0 I +  \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{u} = \begin{pmatrix} u_0 + u_z & u_x - i u_y \\ u_x + iu_y & u_0 - u_z \end{pmatrix} 

Dens determinant er nå

:  \det(u^\mu \sigma_\mu) = u_0^2 - \mathbf{u}\cdot\mathbf{u} = \eta_{\mu\nu} u^\mu u^\nu 

slik at  metrikken i Minkowski-rommet kommer riktig ut.

## Bloch-sfære

Wolfgang Pauli viste at en partikkel med  spinn *s* = 1/2 har en spinnvektor som kan fremstilles ved de tre matrisene 

:  \mathbf{S} = {\hbar\over 2}\boldsymbol{\sigma} = {\hbar\over 2}(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z) 

hvor *ħ&thinsp;* er den reduserte Planck-konstanten. De to egenverdiene &pm;1 til *&sigma;<sub>z</sub>&thinsp;* tilhører to ortogonale egenvektorer som representeres ved spinorene  

:  \psi(+z) = \, \uparrow \; = \begin{pmatrix} 1 \\ 0  \end{pmatrix}, \quad  \psi(-z) = \, \downarrow \; = \begin{pmatrix} 0 \\ 1  \end{pmatrix} 

der  \sigma_z\! \uparrow = +\! \uparrow   og  \sigma_z \!\downarrow = - \! \downarrow.  Man sier derfor at de to tilstandene beskriver et spinnet som peker i retning +*z&thinsp;* eller den motsatte retningen  -*z*.

Spinn i andre retninger kan beskrives ved spinorer på den generelle formen  \psi = a \! \uparrow + \, b \! \downarrow  hvor *a&thinsp;* og *b&thinsp;* er komplekse komponenter. For eksempel er

:  \psi(+y) = \sqrt{\textstyle{1\over 2}} (\uparrow + \,i\! \downarrow) = \sqrt{1\over 2} \begin{pmatrix} 1 \\ i  \end{pmatrix}  

en egentilstand for *&sigma;<sub>y</sub>&thinsp;* med egenverdi +1. Spinoren beskriver tilstanden hvor spinnet peker langs *y*-aksen.

Spinn i en vilkårlig retning gitt i kulekoordinater ved enhetsvektoren **n** = (sin*&theta;&thinsp;*cos*&phi;*, sin*&theta;&thinsp;*sin*&phi;*, cos*&theta;*), må tilsvare en egentilstand av matrisen

:  \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{n} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta\, e^{-i\phi}  \\ \sin\theta\, e^{i\phi}  & -\cos\theta \end{pmatrix} 

med egenverdi +1. Den kan finnes mest direkte ved å rotere egentilstanden  \uparrow med spinnet langs *z*-aksen slik at det får sin retning langs **n**. Anvendes rotasjonsmatrisene for spinn-1/2, først med *&theta;&thinsp;* om *y*-aksen og så *&phi;&thinsp;* om *z*-aksen, går spinoren over til

:  \begin{align}\psi(+\mathbf{n}) &= e^{-i\sigma_z\phi/2} e^{-i\sigma_y\theta/2} \uparrow \\ &= \begin{pmatrix} e^{-i\phi/2} & 0 \\ 0  & e^{i\phi/2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos{\theta\over 2} & -\sin{\theta\over 2} \\ \sin{\theta\over 2}  & \cos{\theta\over 2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0  \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos{\theta\over 2} e^{-i\phi/2} \\ \sin{\theta\over 2}e^{i\phi/2}  \end{pmatrix} = e^{-i\phi/2} \big(\textstyle{\cos{\theta\over 2}} \uparrow + \; e^{i\phi} \sin{\textstyle{\theta\over 2}}\downarrow\! \big)  \end{align} 

Hver slik egentilstand er éntydig gitt ved koordinatene (*&theta;*, *&phi;*) som angir et punkt på en kuleflate. Denne kalles ofte for en «Bloch-sfære» etter Felix Bloch når den anvendes i denne sammenhengen.

## Se også
* Kvantisert dreieimpuls
* Pauli-ligning

## Referanser


## Eksterne lenker

* Professor M, The Pauli matrices, Youtube video.
* E.W. Weisstein, Pauli Matrices, Wolfram MathWorld
* B. Zwiebach, Spin One-half, Bras, Kets, and Operators, MIT OpenCourseWare, YouTube video (2013).