Embedding

Innen matematikk er en **embedding** en funksjon som definerer en relasjon mellom en mengde *X* og en delmengde *Y*. Dersom en slik funksjon finnes, sier man at *X* er **embeddet** i *Y*. Embeddinger er isomorfier som bevarer visse egenskaper, avhengig av sammenhengen og hvilke matematiske strukturer *X* og *Y* representerer. Embeddinger brukes blant annet innen ordensteori, topologi, funksjonalanalyse og diskret matematikk.

## I ordensteori
La *X* og *Y* være totalt ordnede mengder, for hvis addisjon og multiplikasjon er definert, og la *Z* være en delmengde av *Y*. En *embedding* av er en isomorfi f : X \to Z, og vi sier at *X* er embeddet i *Y* hvis og bare hvis en slik isomorfi finnes.

En *isomorfi* er her bijektiv funksjon f : X \to Z som er slik at 
#x_1 
#f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2)
#f(x_1 \times x_2) = f(x_1) \times f(x_2)
og en funksjon som oppfyller dette kalles for *strukturbevarende*.

## I topologi og geometri
### I generell topologi
La *X* og *Y* være topologiske rom. Dersom det finnes en homeomorfi f : X \to Z, der Z \subseteq Y, sier vi at f er en *embedding* og at *X er embeddet i Y*.

Her er en homeomorfi en funksjon f : X \to Y slik at
#f er bijektiv
#f er kontinuerlig
#den inverse av f, f−1, er også kontinuerlig.

To embeddinger f : X \to Y og g : X \to Y sies å være ekvivalente dersom det finnes en homeomorfi h : Y \to Y slik at hf = g. Dette definerer en ekvivalensrelasjon.

### I differensialtopologi
La *X* og *Y* være glatte manifolder, av dimensjon *m* og *n*. En glatt avbildning f : X \to Y kalles for en *immersjon* dersom n \leq m og \operatorname{rank} f = n for ethvert punkt p \in X. f kalles for en *embedding* hvis den også er en homeomorfi fra *X* til bildet f(X). To embeddinger f, g : X \to Y er *isotopiske* dersom det finnes en glatt homotopi  h : X \times \mathbb{R} \to Y slik at for enhver t \in \mathbb{R} er også avbildningen
:h_{t} : X \to Y
en embedding.

Whitneys embeddingsteorem sier at ethvert mangfold av dimensjon *n* kan embeddes i \mathbb{R}^{2n + 1} som en lukket delmengde av \mathbb{R}^{2n + 1}.

## I funksjonalanalyse
Metriske rom er også topologiske rom, og vi sier som for topologiske rom at hvis *X* og *Y* er metriske rom, er X embeddet i Y dersom det finnes en homeomorfi *f* fra X til en delmengde i Y.

Videre sier vi at *f* er en *kontinuerlig embedding*, og at *X* er *kontinuerlig embeddet* i *Y*, dersom *f* er kontinuerlig (begrenset), og at *f* er en *kompakt embedding*, og at *X* er *kompakt embeddet* i *Y*, dersom *f* er en kompakt.

Gelfand-Naimark-teoremet sier at enhver C*-algebra er embeddet i B(H), rommet av begrensede operatorer (eller kontinuerlige operatorer) fra H til H, for et Hilbert-rom H.

## I diskret matematikk
### I grafteori

En *embedding* av en avbildning av en graf til et vektorrom, slik som for eksempel planet, og en graf *G* kan *embeddes* i dette vektorrommet hvis den kan tegnes slik at ingen kanter krysser hverandre (ikke har noen felles punkter utenom endepunktene, dvs. nodene).

En planar graf er en graf som kan tegnes (embeddes) i planet uten at kantene krysser hverandre. En slik *embedding* gir en oppdeling i disjunkte delmengder av planet, og disse kalles for *ansikter* (*faces*). Det er alltid ett ansikt som ikke er begrenset, og dette kalles for et *ytre ansikt* (*outer face*) eller *uendelig ansikt* (*infinite face*). Det finnes generelt mange ulike embeddinger av en villkårlig planar graf, og vi sier at to embeddinger er *ekvivalente* (som gir en ekvivalensrelasjon) dersom randen av ett ansikt i en embedding tilsvarer nøyaktig randen av ett ansikt i den andre.

## Referanser


## Litteratur
*
*
*
*
*
*

## Eksterne lenker
*