Elementær funksjon

En **elementær funksjon** er en matematisk funksjon av en enkelt variabel, laget ved algebraiske kombinasjoner av en liten gruppe grunnfunksjoner: rasjonale funksjoner, eksponetialfunksjoner, 
logaritmefunksjoner, trigonometriske funksjoner og den generelle potensfunksjonen.

Grunnfunksjonene kan settes sammen ved et endelig antall aritmetiske operasjoner addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon.  
I tillegg regner også sammensatte funksjoner av elementære funksjoner som elementære. 
Noen definisjoner utvider klassen ved også å inkludere alle inverse funksjoner av elementære funksjoner som elementære.

Elementære funksjoner kan være definert for en reell variabel eller for et komplekst argument.  

## Elementære grunnfunksjoner

Til de elementære grunnfunksjonene av en reell eller kompleks variabel regnes

* De rasjonale funksjonene, inkludert polynomfunksjonene
* Eksponentialfunksjonen
* Logaritmefunksjonen
* Trigonometriske funksjoner, inkludert arcus-funksjonene
* Den generelle potensfunksjonen

### Polynomfunksjoner

Polynomfunksjoner av en variabel er funksjoner på formen 

:f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0

hvor a_i er konstanter, og n er graden til polynomet, forutsatt at a_n er ulik null.  Polynomfunksjoner er kontinuerlige, glatte og hele.  

### Rasjonale funksjoner

En rasjonal funksjon er en funksjon definert som forholdet mellom to polynomfunksjoner:

:f(x) = {P(x) \over Q(x)}

Her er P og Q polynomfunksjoner.  Definisjonsmengden til en rasjonal funksjon er alle reelle eller komplekse verdier av x som ikke gjør nevneren 
Q(x) lik null.  

Siden en konstant i nevneren også er et polynom, regnes polynomfunksjonene som en delmengde av de rasjonale funksjonene.  

### Eksponentialfunksjonen

Eksponentialfunksjonen med grunntall b er en funksjon på formen

:f(x) = ab^x

der b er et positivt reelt tall.  

Grunnformen for denne typen funksjoner er definert med grunntallet e = 2,718...

:f(x)=e^x 

Funksjonen er vanligvis formelt definert som en uendelig potensrekke:

:e^x = \sum_{i=0}^\infty {x^i \over i!} = 1 + x + {x^2 \over 2} + {x^3 \over 6} + {x^4 \over 24} + \cdots 

### Logaritmefunksjoner

Logaritmefunksjonen med grunntall kan defineres som den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen:

:y = \log_b x  \ \iff \ x = b^y 

Spesielt viktig er funksjonen med grunntall e:

:y = \log_e x = \ln x 

### Trigonometriske funksjoner

De trigonometriske funksjonene er funksjoner som kan uttrykkes som et forhold mellom sidene i en rettvinklet trekant, når en vinkel i trekanten brukes som funksjonsargument.  Grunnleggende
funksjoner er sinus, cosinus og tangens.  De inverse funksjonene betegnes med arcus sinus, arcus cosinus og arcus tangens.  

### Potensfunksjoner

Den generelle potensfunksjonen har formen

:f(x) = x^c

der c er en konstant.  Funksjonen kan uttrykkes ved hjelp av logaritmer, som

:x^c = e^{c \ln x} 

## Eksempler på elementære funksjoner

Til de elementære funksjonene hører

* Konstante funksjoner, som f(x) = 2
* Funksjoner sammensatt av potens- og rot-uttrykk, som f(x) = 2x^{3\over 2} + \sqrt[4]{x}
* Hyperbolske funksjoner, som f(x) = \sinh x
* Inverse hyperbolske funksjoner, som f(x) = \operatorname{arccosh} x
* Sammensetninger som 

:
\begin{alignat}{2}
f(x) &= {e^{\tan x} \over {x^2 + 1}} \\
g(x) &= -i \ln ( x + i \sqrt{1 - x^2} )
\end{alignat}


Den siste funksjonen er lik \arccos x i hele det komplekse planet.

Som et eksempel på en funksjon som *ikke* er elementær kan nevnes gammafunksjonen:

:\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t} dt 

## Egenskaper til elementære funksjoner

Ved ikke å inkludere generelle inverse funksjoner oppnår en direkte fra definisjonen at mengden av elementære funksjoner er lukket under de aritmetiske operasjonene, samt sammensetning.

## Refereanser