Debye-lengde

I plasmaer og elektrolytter er **Debye-lengden** (også kalt **Debye-radius**), oppkalt etter Peter Debye, et mål på en ladningsbærers netto elektrostatiske effekt i en løsning og hvor langt den elektrostatiske effekten vedvarer. En **Debye-kule** er et volum hvis radie er Debye-lengden. For hver Debye-lengde blir ladninger i økende grad skjermet elektrisk. Hver Debye-lengde \lambda_D, det elektriske potensialet vil reduseres i størrelse med 1/e. Debye-lengde er et viktig parameter i plasmafysikk, elektrolytter og kolloider (DLVO teori). Den tilsvarende Debye-screeningbølgevektoren k_D={1\over \lambda_D} for partikler med tetthet n, ladning q ved temperatur T er gitt ved k_D^2 = {4\pi q^2\over k_B T} i gaussiske enheter. Uttrykk i MKS-enheter vil bli gitt nedenfor. De analoge mengdene ved veldig lave temperaturer (T\rightarrow 0) er kjent som Thomas–Fermi-lengden og Thomas–Fermi-bølgevektoren. De er av interesse for å beskrive oppførselen til elektroner i metaller ved romtemperatur.

## Fysisk opprinnelse
Debye-lengden oppstår naturlig i den termodynamiske beskrivelsen av store systemer for mobilavgifter. I et system av N forskjellige specier av ladninger, j  specier som bærer ladning q_j og har konsentrasjon n_j(\mathbf{r}) ved possisjon \mathbf{r}. Ifølge den såkalte "primitive modellen" fordeles disse ladningene i et kontinuerlig medium som bare er preget av sin relative statiske permittivitet., \varepsilon_r. Denne fordelingen av ladninger innenfor dette mediet gir et elektrisk potensial \Phi(\mathbf{r}) som tilfredsstiller Poissons ligningen:

:  \varepsilon \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = -\, \sum_{j = 1}^N q_j \, n_j(\mathbf{r}) - \rho_{\rm ext}(\mathbf{r}),

hvor \varepsilon \equiv \varepsilon_r\varepsilon_0, \varepsilon_0er den elektriske konstanten, og \rho_{\rm ext} er en ladetetthet utenfor (logisk, ikke romlig) til mediet.

De mobile ladningene bidrar ikke bare til å etablere \Phi(\mathbf{r}) men også bevege seg som svar på den tilhørende Coulomb-kraften,- q_j \, \nabla \Phi(\mathbf{r}).Hvis vi videre antar at systemet er i termodynamisk likevekt med et varmebad ved absolutt temperatur T, deretter vil konsentrasjonene av diskrete ladninger, n_j(\mathbf{r}), kan betraktes som termodynamiske (ensemble) gjennomsnitt og det tilhørende elektriske potensialet for å være et termodynamisk middelfelt. Med disse antagelsene, konsentrasjonen av j ladde specier bli beskrevet av Boltzmann-distribusjonen,

:  n_j(\mathbf{r}) = n_j^0 \, \exp\left( - \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_{\rm B} T} \right),

hvor k_{\rm B} er Boltzmanns konstant og hvor  n_j^0 er den gjennomsnittlige konsentrasjonen av ladninger av specie j.

Å identifisere de øyeblikkelige konsentrasjonene og potensialet i Poisson-ligningen med deres gjennomsnittsfelt-kolleger i Boltzmanns fordeling, gir Poisson-Boltzmann-ligningen:

:  \varepsilon \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = -\, \sum_{j = 1}^N q_j n_j^0 \, \exp\left(- \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_{\rm B} T} \right) - \rho_{\rm ext}(\mathbf{r}) .

Løsninger på denne ikke-lineære ligningen er kjent for noen enkle systemer. Løsninger for mer generelle systemer kan oppnås i grensen for høy temperatur (svak kobling), q_j \, \Phi(\mathbf{r}) \ll k_{\rm B} T,av Taylorutvidelsen eksponentiell:

:  \exp\left(- \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_{\rm B} T} \right) \approx
1 - \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_{\rm B} T}.

Denne tilnærmingen gir den lineariserte Poisson-Boltzmann-ligningen

:  \varepsilon \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) =
\left(\sum_{j = 1}^N \frac{n_j^0 \, q_j^2}{ k_{\rm B} T} \right)\, \Phi(\mathbf{r}) -\, \sum_{j = 1}^N n_j^0 q_j - \rho_{\rm ext}(\mathbf{r})


som også er kjent som Debye–Hückel-ligningen: Det andre begrepet på høyre side forsvinner for systemer som er elektrisk nøytrale. Begrepet i parentes delt på \varepsilon, har enhetene med en omvendt lengde i kvadrat og fører ved dimensjonsanalyse til definisjonen av den karakteristiske lengdeskalaen

:  \lambda_{\rm D} =
\left(\frac{\varepsilon \, k_{\rm B} T}{\sum_{j = 1}^N n_j^0 \, q_j^2}\right)^{1/2}

som ofte kalles Debye–Hückel-lengden. Som den eneste karakteristiske lengdeskalaen i Debye–Hückel-ligningen, \lambda_D setter skalaen for variasjoner i potensialet og i konsentrasjonene av ladede specier. Alle ladede specier bidrar til Debye–Hückel-lengden på samme måte, uavhengig av tegnet på ladningen. For et elektrisk nøytralt system blir Poisson-ligningen

:  \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) =
\lambda_{\rm D}^{-2} \Phi(\mathbf{r}) - \frac{\rho_{\rm ext}(\mathbf{r})}{\varepsilon}


For å illustrere Debye-screening, potensialet som produseres av en ekstern punktladning \rho_{\rm ext}=Q\delta(\mathbf{r}) is

:  \Phi(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon r}e^{-r/\lambda_{\rm D}}

Coulomb-potensialet blir eksponentielt screenet av mediet over en avstand av Debye-lengden.

Lengden på Debye–Hückel kan uttrykkes i form av Bjerrum-lengden \lambda_{\rm B} som

:  \lambda_{\rm D} =
\left(4 \pi \, \lambda_{\rm B} \, \sum_{j = 1}^N n_j^0 \, z_j^2\right)^{-1/2},

hvor z_j = q_j/e er heltallsladingstallet som relaterer ladningen på  j ioniske specier til elementærladningen e.

## I plasma
I et ikke-isotermisk plasma kan temperaturene for elektroner og tunge specier variere mens bakgrunnsmediet kan behandles som vakuum (\varepsilon_r = 1), og Debye-lengden er

:  \lambda_{\rm D} = \sqrt{\frac{\varepsilon_0 k_{\rm B}/q_e^2}{n_e/T_e+\sum_j z_j^2n_j/T_i}}

hvor

: λD er Debye-lengden,
: ε0 er permittiviteten til ledig plass,
: *k*B er Boltzmanns konstant,
: *q**e* er ladningen til et elektron,
: *T<sub>e</sub>* og *T<sub>i</sub>* er temperaturene til henholdsvis elektronene og ionene,
: *n<sub>e</sub>* er tettheten til elektroner,
: *n<sub>j</sub>* er tettheten til atomarter j, med positiv ionisk ladning *z<sub>j</sub>q**e*

Selv i kvasineutralt kaldt plasma, hvor ionebidrag praktisk talt ser ut til å være større på grunn av lavere ionetemperatur, faller ionebetegnelsen ofte, noe som gir

:  \lambda_{\rm D} = \sqrt{\frac{\varepsilon_0 k_{\rm B} T_e}{n_e q_e^2}}

selv om dette bare er gyldig når mobiliteten til ioner er ubetydelig sammenlignet med prosessens tidsskala.

### Vanlige verdier
I romplasmaer der elektrondensiteten er relativt lav, kan Debye-lengden nå makroskopiske verdier, slik som i magnetosfæren, solvinden, det interstellare mediet og det intergalaktiske mediet. Se tabellen nedenfor:

## I en elektrolyttløsning
I en elektrolytt eller en kolloid suspensjon er Debye-lengden for en monovalent elektrolytt betegnes vanligvis med symbolet *κ*−1

:  \kappa^{-1} = \sqrt{\frac{\varepsilon_{\rm r} \varepsilon_0 k_{\rm B} T}{2\times10^3 N_{\rm A} e^2 I}}

hvor

: *I* er ionestyrken til elektrolytten i molare enheter (M eller mol/L),
: ε0 er permittiviteten til vaccum,
: εr er den dielektriske konstant,
: *k*B er Boltzmanns konstant,
: *T* er den absolutte temperaturen i kelvin,
: *N*A er Avogadros tall.
: e er elementærladningen,

eller for en symmetrisk monovalent elektrolytt,

:  \kappa^{-1} = \sqrt{\frac{\varepsilon_{\rm r} \varepsilon_0 R T}{2\times10^3 F^2 C_0}}

hvor 

: *R* er gasskonstanten,
: *F* er Faradays konstant,
: *C*0 er elektrolyttkonsentrasjonen i molar enheter (M ellermol/L).

Alternativt,

:  \kappa^{-1} = \frac{1}{\sqrt{8\pi \lambda_{\rm B} N_{\rm A} \times 10^3 I}} 

hvor

: \lambda_{\rm B} er Bjerrum-lengden på mediet.

For vann ved romtemperatur, *λ*B ≈ 0.7&nbsp;nm.

Ved romtemperatur (20 ° C eller 70 ° F) kan man vurdere forholdet i vann:

:  \kappa^{-1}(\mathrm{nm}) = \frac{0.304}{\sqrt{I(\mathrm{M})}}

hvor

: *κ*−1 er utrykt i nanometer (nm)
: *I* er ionestyrken uttrykt i molar (M eller mol/L)

Det er en metode for å estimere en omtrentlig verdi av Debye-lengden i væsker ved bruk av ledningsevne, som er beskrevet i ISO-standard, og boka.

## I halvledere

Debye-lengden har blitt stadig viktigere i modelleringen av solid state-enheter ettersom forbedringer i litografisk teknologier har muliggjort mindre geometrier.

Debye-lengden på halvledere er gitt:

:  L_{\rm D} = \sqrt{\frac{\varepsilon k_{\rm B} T}{q^2 N_{\rm dop}}}

hvor

: *ε* er den dielektriske konstanten,
: *k*B er Boltzmanns konstant,
: *T* er den absolutte temperaturen i kelvin,
: *q* er elementærladning, og
: *N*dop er netto tetthet av dopanter (enten givere eller akseptorer).

Når dopingprofiler overstiger Debye-lengden, oppfører ikke majoritetsbærerne seg lenger i henhold til fordelingen av dopantene. I stedet gir et mål på dopinggradientprofilen en "effektiv" profil som bedre samsvarer med profilen til majoritetsbærertettheten.

I sammenheng med faste stoffer kalles Debye-lengden også Thomas–Fermi screeninglengde.

## Referanser