Jones-kalkulus

**Jones-kalkulus** er en matematisk fremstilling som benyttes til å beskrive polarisert lys eller elektromagnetiske bølger mer generelt. All informasjon om dets polarisasjon kan da sammenfattes i en **Jones-vektor**. Effekten av en optisk innretning som virker på lyset, kan da gis ved en tilsvarende «Jones-matrise» som virker på denne vektoren. Resultatet av flere slike påfølgende innretninger vil nå være gitt ved vanlig matriseregning. 

Denne beskrivelsen ble utviklet av Robert Clark Jones ved Harvard University i 1941 og gjelder for lys som er fullstendig polarisert. For lys som er upolarisert eller delvis polarisert, må Stokes-vektorer benyttes.

## Formalisme

Det er vanlig å beskrive en monokromatisk, elektromagnetisk bølge i et koordinatsystem hvor den beveger seg langs *z*-aksen. Dens polarisasjon er gitt ved den elektriske feltvektoren som da befinner seg i *xy*-planet. Denne vektoren har to komponenter og kan ta komplekse verdier. Det gjør det enklere å ta vare på den relative faseforskyvningen som generelt vil eksistere mellom komponentene.

På denne måten fremkommer en matematisk beskrivelse av polarisert lys som har er lik med  Diracs bra-ket formalisme for et to-komponent system i kvantemekanikken. Denne sammenhengen har vært utnyttet i noen lærebøker.

### Jones-vektorer

En slik fasevektor kan fremstilles ved en tokomponent kolonnematrise

:  E = \begin{pmatrix} E_x \\ E_y \end{pmatrix} 

når man ser bort fra den harmoniske bevegelsen til bølgen i tid og rom. Den inneholder all informasjon om bølgens polarisasjon og kan multipliseres med en fasefaktor  e^{i\alpha}  uten at dette innholdet forandres.

Da bølgens intensitet er gitt ved det reelle produktet  E^*E = E_x^* E_x +  E_y^* E_y  som er en konstant, kan man sette den å ha verdien  E^*E = 1.  Når man i tillegg lar den øvre komponenten ha samme verdi, vil  en Jones-vektor ha den generelle formen

:  E = {1\over \sqrt {1 + z^*z}} \begin{pmatrix} 1 \\ z \end{pmatrix} 

hvor *z&thinsp;* er et vilkårlig, komplekst tall. Det beskriver hva slags polarisasjon bølgen har og tilsvarer et punkt på Poincaré-sfæren. Når *z&thinsp;* er reell, ligger dette punktet på ekvator til denne kuleflaten og karakteriserer lineær polarisasjon i en viss retning. For  er den rettet langs *x*-aksen, mens for  er den langs *y*-aksen. Nord- og sydpolen til Poincaré-sfæren tilsvarer  og beskriver sirkulær polarisasjon.

### Basispar

De enkleste Jones-vektorene tilsvarer de to basisvektorene langs *x*- og *y*-aksen. Det var vanlig å si at de beskriver lys som er polarisert i henholdsvis den horisontale eller den vertikale retningen,

:  H = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \quad V = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} 

På samme måte som basisvektorene, står disse vinkelrett på hverandre da  H^*V = V^*H = 0.  Av den grunn beskriver de «motsatt», lineær polarisasjon.

Nesten like så viktig er vektorene som tilsvarer polarisasjon i den diagonale retningen som danner 45&deg; med *x*-aksen, og den tilsvarende antidiagonale retningen som danner -&thinsp;45&deg; med denne aksen,

: \begin{align} D &= \sqrt{1\over 2} \Big( H + V \Big) = \sqrt{1\over 2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ A &=  \sqrt{1\over 2} \Big( H - V \Big) = \sqrt{1\over 2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align} 

De beskriver igjen motsatt rettet polarisasjon da de står vinkelrett på hverandre. Disse to basisvektorene kan finnes ved en rotasjon av de to første. En rotasjon med en vinkel *&theta;&thinsp;* er gitt ved matrisen

:  \mathbf{R}(\theta) =  \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} 

Når *&theta;* = 45&deg;, er cos*&theta;* = sin*&theta;* = &radic;(1/2) slik at for eksempel

:  D = \mathbf{R}(45^\circ) H = \sqrt{1\over 2}  \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} 

som alternativt også kan dannes ved den motstatte rotasjon som  D =  \mathbf{R}(-45^\circ) V. 

Ved sirkulær polarisasjon eksisterer det en faseforskjell på 90&deg; mellom de to komponentene til den elektriske feltvektoren. De tilsvarende Jones-vektorene blir dermed komplekse og kan skrives som

: \begin{align} R &= \sqrt{1\over 2} \Big( H + iV \Big) = \sqrt{1\over 2} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \\ L &=  \sqrt{1\over 2} \Big( H - iV \Big) = \sqrt{1\over 2} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} \end{align} 

for henholdsvis høyrevridd og venstrevridd polarisasjon. Da det eksisterer to forskjellige konvensjoner for deres definisjon, er her den mer moderne benyttet. Igjen er disse motsatt rettet i den matematisk forstand at  R^*L = L^*R = 0,  mens de har standard normering  R^*R = L^*L = 1. 

## Jones-matriser

En optisk innretning som en polarisator eller faseforsinker vil modifisere de to komponentene til det innkommende lyset. Dermed vil dets Jones-vektor *E&thinsp;* også forandres. Resultatet kan skrives som en ny vektor *E'&thinsp;* med komponenter som generelt vil avhenge av de opprinnelige komponentene. Så lenge denne innretning er lineær, vil den matematiske sammenhengen også være det. Da har man at

:  E' = \mathbf{M} E 

hvor **M** er en 2&times;2 **Jones-matrise**. Dens element kan være komplekse da den optiske innretningen også kan forandre fasene til de to komponentene. Hvis lyset  går gjennom flere slike innretninger **M**1, **M**2, .... **M***n*&thinsp;  etter hverandre, kan den deres totale effekt sammenfattes i matrisen

:  \mathbf{M} = \mathbf{M}_n\cdots\mathbf{M}_2\cdot\mathbf{M}_1 

Lysets polarisasjon vil generelt forandres i denne prosessen, med den forblir hundre prosent og kan angis som et bevegelig punkt på Poincaré-sfæren.

### Polarisatorer

Når den optiske innretningen er en polarisator, slipper den kun lys igjennom som er lineært polarisert i én bestemt retning, For eksempel, når denne transmisjonsretningen er langs *x*-aksen, er den tilsvarende Jones-matrisen

:   \mathbf{P}(0^\circ) =  \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}  

Dens komponenter finnes fra egenskapene **P**(0&deg;)*H* = *H&thinsp;* og **P**(0&deg;)*V* =  0&thinsp; den må ha.

På samme vis er Jones-matrisene for en polarisator som bare slipper lys igjennom som er polarisert i *y*-retning

:   \mathbf{P}(90^\circ) =  \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},  

mens den er

:   \mathbf{P}(\pm 45^\circ) = {1\over 2}  \begin{pmatrix} 1 & \pm 1 \\ \pm 1 & 1 \end{pmatrix}  

når transmisjonsretningen er langs * D&thinsp;* og *A*. Da er **P**(45&deg;)*D* = *D&thinsp;* og **P**(45&deg;)*A* = 0&thinsp;  sammen med tilsvarende  egenskaper for polarisatoren **P**(-&thinsp;45&deg;). Elementene i disse Jones-matrisene består av komponentene til de tilsvarende Jones-vektorene. Dermed er det lett å finne lignende matriser

:   \mathbf{P}(R/L) = {1\over 2}  \begin{pmatrix} 1 & \mp i \\ \pm i & 1 \end{pmatrix}  

for sirkulære polarisatorer som isolerer lys med høyrevridd (*R*) og venstrevridd polarisasjon (*L*). De har den ønskede virkning  sammen med   og likedan for **P**(*L*).

Alle Jones-matriser for polarisatorer har den spesielle egenskapen at når de virker etter hverandre, er resultat det samme som virkningen av bare én, det vil si

:  \mathbf{P}^2 = \mathbf{P} 

Det betyr at en slik matrise har egenverdier *&lambda;&thinsp;* som må tilfredsstille  Egenvektoren som tilsvarer  beskriver den polarisasjonen som slipper gjennom, mens egenverdien   tilsvarer den som blir stengt ute. På denne måten virker polarisatorene som «projeksjonsoperatorer» i kvantemekanikken.

### Rotasjoner

Jones-matrisen for en lineær polarisator som er rotert en vinkel *&theta;&thinsp;* fra *x*-aksen, er

:   \mathbf{P}(\theta) = \begin{pmatrix} \cos^2\theta & \cos\theta\sin\theta \\ \cos\theta\sin\theta  & \sin^2\theta  \end{pmatrix}  

Den fremkommer ved at *x*-komponenten har en projeksjon cos*&theta;&thinsp;* langs transmisjonsretningen. Den har så komponentene cos2*&theta;&thinsp;* langs *x*-aksen og cos*&theta;&thinsp;*sin*&theta;&thinsp;* langs *y*-aksen. De to andre elementene i matrisen finnes ved å se på projeksjonen sin*&theta;&thinsp;* av den opprinnelige *y*-komponenten langs transmisjonsretningen.

Som en illustrasjon kan man betrakte *H*-polarisert lys som kommer inn mot denne polarisatoren. Resultatet er da Jones-vektoren

:  E =  \mathbf{P}(\theta)H = \begin{pmatrix} \cos^2\theta \\ \cos\theta\sin\theta  \end{pmatrix}  = \cos\theta \begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta  \end{pmatrix}

for lyset som slipper igjennom med intensitet  I(\theta) = E^* E = \cos^2\theta .  Det er i overensstemmelse med loven til Malus.

Mer systematisk kan man finne en slik rotert Jones-matrise ved bruk av den generelle rotasjonsmatrisen **R**(*&theta;*). Ved å benytte at en rotasjon av en vektor med vinkelen *&theta;&thinsp;* er ekvivalent med en motsatt rotasjon med den samme vinkel av  selve koordinataksene, kan Jones-matrisen   **P**(*&theta;*) finnes fra **P**(0&deg;)  som

:  \begin{align} & \mathbf{P}(\theta) =  \mathbf{R}(\theta)  \mathbf{P}(0^\circ) \mathbf{R}^{-1} (\theta) \\ &= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}  \end{align} 

Den første rotasjonen lengst til høyre orienterer den nye *x*-aksen langs retningen til poharisatoren, så benyttes den lineære polarisatoren langs denne retningen og til slutt roteres resultatet  tilbake til det opprinnelige koordinatsystemet. De sirkulære polarisatorene **P**(*R*/*L*) forblir uforandret under slike rotasjoner.

### Faseforsinkere

Mens en polarisator generelt vil redusere intensiteten til lyset som slipper igjennom, lar en faseforsinker den forbli den samme. Den er orientert slik at enten *x*- eller *y*-aksen faller sammen med den optiske aksen til den dobbeltbrytende krystallen den inneholder. Dermed vil kun fasene til de to komponentene av feltvektoren langs disse aksene forandres. Effekten av en slik faseforinker kan da uttrykkes ved Jones-matrisen

:   \mathbf{U}_\phi(0^\circ) =  \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\phi} \end{pmatrix}  

hvor *&phi;&thinsp;* er den relative faseforskjellen som oppstår mellom disse to komponentene. Matrisen kan i alminnelighet bli multiplisert med en felles fasefaktor uten at dens praktiske virkning forandres. Da den hermetisk konjugerte matrisen er lik med den inverse,

:    \mathbf{U}_\phi^\dagger(0^\circ) = \mathbf{U}_\phi^{-1}(0^\circ) =  \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{-i\phi} \end{pmatrix} , 

er denne Jones-matrisen **unitær**. Det betyr i praksis at den ikke reduserer intensiteten til lyset.

En kvartbølgeplate gir en forsinkelse *&phi;* = 90&deg; og er derfor beskrevet ved Jones-matrisen

:   \mathbf{U}_{\lambda/4}(0^\circ) =  \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}  

Når den virker på lys som er planpmolarisert i *D*-retningen, gir den Jones-vektoren

:  \sqrt{1\over 2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} =  \sqrt{1\over 2} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} 

som er høyrevridd, sirkulærpolarisert lys. Det er denne effekten som utnyttes i Fresnels parallellepiped.
 
På samme måte som en polarisator, kan også en faseforsinker roteres. Den representeres da av matrisen

:   \mathbf{U}_{\lambda/4}(\theta) = \mathbf{R}(\theta)  \mathbf{U}_{\lambda/4}(0^\circ) \mathbf{R}^{-1} (\theta) 

For den spesielle rotasjonsvinkelen *&theta;* = 45&deg; tar den formen

:  \begin{align} \mathbf{U}_{\lambda/4}(45^\circ) &=  {1\over 2} \begin{pmatrix} 1 + i  & 1- i \\ 1 - i & 1 + i \end{pmatrix}  \\ &= \sqrt{1\over 2} \, e^{i\pi/4} \begin{pmatrix} 1  & - i \\ - i & 1 \end{pmatrix}  \end{align} 

Den gir derfor venstrevridd, sirkulærpolarisert lys når *H*-polarisert lys blir sendt inn mot den.

Halvbølgeplaten  

:   \mathbf{U}_{\lambda/2}(0^\circ) =  \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}  

virker som en refleksjon om *x*- aksen av retningen til planpolarisert lys,

:   \mathbf{U}_{\lambda/2}(0^\circ) \begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\alpha \\ - \sin\alpha \end{pmatrix} 

Det sees også fra den roterte halvbølgeplaten

:  \begin{align}  \mathbf{U}_{\lambda/2}(\theta) &= \mathbf{R}(\theta)  \mathbf{U}_{\lambda/2}(0^\circ) \mathbf{R}^{-1} (\theta) \\ &=  \begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{pmatrix} \end{align} 

Når den virker på *H*-polarisert lys, fremkommer en ny, planpolarisert tilstand i en retning som er dreidd en vinkel *&theta;&thinsp;* fra retningen til den langsomme aksen i halvbølgeplaten, det vil si en vinkel 2*&theta;&thinsp;* fra *x*-aksen.

## Referanser


## Eksterne lenker

* M. Chekhova, ''The Jones vector and the Jones matrices'', forelesninger ved Max Planck Institute for the Science of Light.
* PhysicsLibreTexts, [''Creating and Manipulating Polarisation States''](https://phys.libretexts.org/Bookshelves/Optics/BSc_Optics_(Konijnenberg_Adam_and_Urbach)/04%3A_Polarization/4.03%3A_Creating_and_Manipulating_Polarisation_States), introduction to Jones calculus.
* FOSCO, ''Jones Matrix Calculus'', praktiske anvendelser