Fermi-Dirac statistikk

**Fermi-Dirac statistikk** benyttes i statistisk fysikk til å beskrive egenskapene til et stort antall indentiske partikler som oppfyller Paulis eksklusjonsprinsipp. De kan bevege seg fritt og er i termisk likevekt. Dette gjelder oftest elektroner i metaller eller nøytroner i stjerner.
Den tilsvarende, statistiske sannsynlighetsfordelingen ble funnet samtidig i 1926 av den italienske fysiker Enrico Fermi og den engelske fysiker Paul Dirac. Hvis *n<sub>r</sub>&thinsp;* er det midlere antall partikler som har energi *E<sub>r</sub>&thinsp;* ved temperaturen *T*, kan den skrives som

:  {n_r\over g_r} = {1\over {e^{(E_r- \mu)/k_BT} + 1}} 
 
hvor *&mu;&thinsp;* er partiklenes kjemiske potensial og *k<sub>B</sub>&thinsp;* er Boltzmanns konstant. I tillegg er *g<sub>r</sub>&thinsp;* et tall som angir hvor mange kvantetilstander energinivået *E<sub>r</sub>&thinsp;* inneholder.

Mens Fermi-Dirac statistikk gjelder for fermioner som har halvtallig spinn  *s* = 1/2, 3/2 og så videre, gjelder Bose-Einstein statistikk for bosoner. De har heltallig spinn hvorav de mest kjente er helium med  og fotonet med . Begge er eksempel på det som omtales som kvantestatistikker da kvantemekanikken bestemmer deres egenskaper. Ved tilstrekkelig høye temperaturer går de over til Maxwell-Boltzmann statistikk hvor partiklene følger klassisk mekanikk.

Spesielt Fermi-Dirac statistikk har praktisk betydning da den ligger til grunn for ledning av elektrisk strøm som skjer ved transport av elektroner. Uten denne manifestasjon av fundamental kvantemekanikk ville ikke moderne elektronikk ha vært mulig.

## Degenerasjon

Paulis eksklusjonsprinsipp sier at to fermioner ikke kan befinne seg i samme kvantetilstand. Disse er løsninger av Schrödinger-ligningen for hver enkelt partikkel. Den gir de mulige egenverdiene *E<sub>r</sub>&thinsp;* som energien  til hver av dem kan ha.  Hvis ligningen er uavhengig av partikkelens spinn *s*, vil det finnes  kvantetilstander med denne energien tilsvarende de kvantiserte retningene til spinnet. Man sier at denne egenverdien er «degenerert» siden flere egenverdier har falt sammen til én.

I  sin opprinnelig utledning av denne kvantestatistikken betraktet Enrico Fermi fermioner som befinner seg i et tredimensjonalt, harmonisk oscillatorpotensial. Schrödinger-ligningen gir da egenverdier 

:  E_{n_x,n_y, n_z} = \hbar\omega(n_x + n_y + n_z + 3/2) 

hvor *&omega;&thinsp;* er vinkelfrekvensen til oscillatoren,   er  den reduserte Planck-konstanten og  er kvantetall som hver kan ta verdiene 0, 1, 2 og så videre. Laveste energinivå eller «grunntilstanden» er derfor gitt som  med energi  Første, eksiterte nivå har energien , men inneholder tre tilstander ,   og  Dets degenerasjon er derfor . Generelt kan energien til hvert energinivå skrives som  med degenerasjon  hvor det effektive kvantetallet *r* = 0, 1, 2 og så videre.

### Frie partikler

En klassisk partikkel med masse *m&thinsp;* har energi *E* = *p*&thinsp;2/2*m&thinsp;*  når den har impulsen *p*. Kvantemekanisk må man da tenke seg at den beveger seg fritt innen et makroskopisk stort volum *V* =  *L*3. Hvis den skal ha null sannsynlighet for å ikke kunne finnes utenfor dette, må veggene til volumet beskrives som hardt frastøtende. Det tilsvarer at den befinner seg i et uendelig dypt, tredimensjonalt kassepotensial med sidekanter *L*. Dens kvantiserte energier blir da

:   E_{n_x,n_y, n_z} = {\hbar^2\pi^2 \over 2m L^2} (n_x^2 + n_y^2 + n_z^2) 

hvor komponentene til vektoren **n** =  er de tre kvantetallene som er positive heltall.

Når sidekanten *L&thinsp;* er stor, vil alle egenverdiene kunn angis med punkt som ligger tett på et kubisk gitter. Antall tilstander med energier mellom *E&thinsp;* og  er da gitt av antall punkt i første kvadrant med kvantetalll mellom *n&thinsp;* og  hvor . Denne degenerasjonen blir da

:  {1\over 8} \cdot 4\pi n^2 dn = {V\over 4\pi^2} \left({2m\over \hbar^2}\right)^{3/2} E^{1/2} dE 

når man benytter sammenhengen  E =  (\hbar^2\pi^2 /2m L^2) n^2 .  Dette er i overenstemmelse med  Vd^3p/h^3 = 4\pi V p^2 dp/(2\pi\hbar)^3  som også benyttes for partikler som følger Maxwell-Boltzmann statistikk. I tillegg kommer en multiplikativ spinn-degenerasjon  som gir en ekstra faktor 2 for elektroner og nukleoner som har  Dette resultatet for antall mikrotilstander kan alternativt finnes ved bruk av periodiske grensebetingelser  for bølgefunksjonen istedenfor å anta harde vegger i et kassepotensial som gjort her.

## Statistisk fordeling

Ved en beskrivelse av de fysiske egenskapene til et stort antall identiske partikler er det umulig å følge hver enkelt partikkel. I statistisk mekanikk kan man i stedet beregne sannsynlighetsfordelinger for at grupper av partiklene opptrer med bestemte egenskaper. Dette ble først gjennomført for frie partikler som følger Maxwell-Boltzmann statistikk. 

Omtrent samme fremgangsmåte kan også benyttes for frie fermioner. Selv om det ikke er noen krefter som virker mellom dem, vil de likevel være påvirket av hverandre på grunn av Paulis eksklusjonsprinsipp. Det sier at fermioner ikke kan opptre i samme kvantetilstand. Hvis de da befinner seg i et åpent volum, kan ikke to slike partikler være på samme sted hvis de samtidig har spinn som er like. Resultatet kan da sies å være at de holder seg borte fra hverandre på grunn av en fiktiv «Pauli-kraft» som virker frastøtende.

Et system med *N&thinsp;* fermioner vil fordele seg over de forskjellige energinivåene  på en slik måte at fordelingen har den største sannsynlighet. Denne er proporsjonal med hvor mange ganger man kan fordele *n*0&thinsp; partikler i laveste nivå *E*0&thinsp; samtidig som det er *n*1&thinsp; partikler i neste nivå *E*1&thinsp; og så videre. Hvis man betrakter et slikt nivå *E<sub>r</sub>&thinsp;* som består av *g<sub>r</sub>&thinsp;* kvantetilstander, har den første partikkelen i dette nivået *g<sub>r</sub>&thinsp;* tilgjengelige tilstander. Den neste kan da fylle én av de *g<sub>r</sub>* - 1 ledige tilstandene uten å være i konflikt med Pauli-prinsippet. Med to partikler i dette nivået, er det nå  i alt  mulige plasseringer av de to første partiklene da de er identiske. Med i alt *n<sub>r</sub>&thinsp;* partikler på dette nivået kan de dermed plasseres på 

: \begin{align} W_r &= g_r (g_r -1) (g_r - 2)\cdots (g_r - n_r +1)/n_r !  \\ &= {g_r ! \over (g_r - n_r)! \, n_r!}  \end{align} 

forskjellige måter. Det totale antall tilstander som denne fordelingen av alle *N&thinsp;* partikler kan befinne seg i, er derfor produktet

:  W = W_0 W_1 W_2\cdots = \prod_r W_r 

Herav kan den mest sannsynlige fordelingen finnes ved å maksimalisere *W&thinsp;* med bibetingelsen at antalll partikler  N = \sum_r n_r  er gitt samtidig som at den totale energien   E = \sum_r n_r E_r  holdes konstant. Dette kan gjøres på samme vis som for Maxwell-Boltzmann  fordelingen. Fra Boltzmanns ligning  S = k_B \ln W  for systemets entropi, vil denne fordelingen med maksimal sannsynlighet også da ha maksimal entropi i overensstemmelse med termodynamikkens andre lov.

### Maksimalisering

Ved bruk av Stirlings formel  \ln n! = n\ln n - n ,  er

:  \ln W = \sum_r [g_r \ln g_r - n_r \ln n_r  - (g_r - n_r)\ln (g_r - n_r) ]  

Maksimum av dette antallet kan finnes ved bruk lav variasjonsregning der man foretar en lliten forandring   n_r \rightarrow n_r + \delta n_r  av okkupasjonstallene. Det betyr at den resulterende forandringen 

:  \delta \ln W = \sum_r [\, \ln(g_r - n_r) - \ln n_r]\delta n_r 

skal være null samtidig som at bibetingelsene er oppfylte. Det kan gjøres ved å innføre to Lagrange-multiplikatorer *&alpha;&thinsp;* og *&beta;&thinsp;* slik at kravet for et maksimum blir at den totale varriasjonen  \delta (\ln W - \alpha N- \beta E) = 0 .  Det gir

:  \ln n_r - \ln(g_r - n_r) + \alpha + \beta E_r = 0 

Det gir Fermi-Diracs resultat 

:   n_r  = {g_r \over {e^{\alpha + \beta E_r} + 1}} 

for okkupasjonstallene av fermioner når de er i termisk likevekt. De to ukjente størrelsene *&alpha;&thinsp;* og *&beta;&thinsp;*  kan bestemmes fra hva fordelingen gir ved høy temperatur når den skal. være i overensstemmelse med klassisk  Maxwell-Boltzmann statistikk. Det gir  og  hvor *&mu;&thinsp;* er det kjemisk potensial for systemet av partikler.

### Termisk likevekt

Istedenfor å bestemme den mest sannsynlige fordeling av partiklene, kan man anta at systemet befinner seg i termisk likevekt. Det har da en viss temperatur *T&thinsp;* som blir vedlikeholdt ved at det utveksles energi og et visst kjemisk potensial *&mu;&thinsp;* ved at det  utveksles partikler med omgivelsene. For eksempel når en partikkel med energi *E<sub>r</sub>&thinsp;* blir overført fra omgivelsene til systemet, er den eneste forandringen i okkupasjonstalene at . Det medfører en tilsvarende forandring i systemets entropi,

:  \begin{align} \Delta S &= k_B \ln {g_r ! \over (g_r - n_r - 1)! \, (n_r + 1)!} - k_B \ln {g_r ! \over (g_r - n_r)! \, n_r!}  \\ &= k_B \ln {g_r - n_r\over n_r + 1} \end{align}

Her kan man i nevneren til logaritmen la *n<sub>r</sub>* + 1 &rarr; *n<sub>r</sub>&thinsp;* som allerede er anvendt ved bruken av Stirlings formel. Denne entropiforandringen skjer samtidig med en forandring  i systemets indre energi og en økning  i antall partikler som det inneholder. Fra termodynamikkens første lov er disse tre forandringene forbundet ved  =  . Det betyr nå at 

:  {n_r\over g_r} = {1\over {e^{(E_r- \mu)/k_BT} + 1}} 

som er den ønskede formen av fordelingen.

## Se også

* Fermi-gass
* Maxwell-Boltzmann statistikk
* Bose-Einstein statistikk

## Referanser