Stern-Gerlach-eksperimentet

**Stern-Gerlach-eksperimentet** er av grunnleggende betydning i kvantemekanikken og viste for første gang  kvantisering av spinn. Det ble utført av de tyske fysikerne Otto Stern og Walther Gerlach i 1922. 

En stråle med sølvatomer ble sendt gjennom et inhomogent magnetfelt og ble dermed splittet i to. Det skjer uavhengig av retningen til feltet. Ifølge klassisk fysikk skulle strålen fordeles jevnt utover. Først noen få år senere ble det klart at oppsplittingen i akkurat to stråler skyldes at elektronet har spinn *s* = 1/2. Det kan kun innstille seg i to retninger, langs med eller mot et ytre magnetfelt.

I årene som fulgte ble lignende eksperimenter benyttet til å vise at også atomkjerner har spinn. Ved å la magnetfeltet raskt variere som i en elektromagnetisk bølge, viste Isidor Rabi på lignende vis at man kunne forandre retningen av spinnet til atomene i strålen. Dette viste seg å ha mange anvendelser og ligger til grunn for dagens bruk av MR-tomografi i medisinsk sammenheng.

Eksperimentet Stern og Gerlach utviklet viser flere fundamentale prinsipper ved kvantemekanikken. Det blir fremdeles benyttet til å demonstrere disse på en enkel måte samt at det danner et mye brukt utgangspunkt for mer teoretiske betraktninger.

## Bakgrunn og gjennomføring
Ifølge Bohrs atommodell fra 1913 roterte elektronene i et atom i sirkulære baner omkring kjernen. Denne bevegelsen ga atomet en dreieimpuls og dermed også et magnetisk moment som var kvantisert. Det måtte være et helt antall av en minste enhet som snart ble kalt for en Bohr magneton.

Denne modellen ble utvidet lav Arnold Sommerfeld i 1916 som innførte en mer generell kvantisering av klassisk bevegelse. I tillegg til at den viste at elektronet i et atom  også kan bevege seg i ellipsebaner, betydde den at dreieimpulsen må peke i bestemte, kvantiserte retninger i rommet. Dette resultatet ble omtalt som *romkvantisering* eller kanskje bedre som «retningskvantisering».

Etter å ha tjenestegjort i første verdenskrig ville Otto Stern og Walther Gerlach undersøke denne forutsigelsen eksperimentelt. Stern og mange andre hadde stilt seg skeptiske til retningskvantisering da det stred mot rotasjonsinvarians. Når man skal angi retningen til dreieimpulsen, må det nemlig gjøres i forhold til en valgt akse. Og for et fritt atom kan denne peke i hvilken som helst retning.

Eksperimentet ble igangsatt ved Universitetet i Frankfurt i 1921. Det ble bestemt å bruke sølvatomer da disse kunne gjøres synlige på en glassplate med fotografiske teknikker hvis det kunne samles nok av dem. Metallisk sølv ble varmet opp i en ovn til 1000&deg;. Dampen ble sluppet ut i vakum gjennom en smal spalte som skapte en stråle med atomer. Den gikk gjennom et inhomogent magnetfelt og ble deretter stoppet av en glassplate. Etter lang nok tid ble denne eksponert. 

På begynnelsen av 1922 rapporterte Stern og Gerlach at de hadde påvist at strålen med sølvatomer var blitt  splittet i to deler. De tok det som bekreftelse på retningskvantisering av atomets dreieimpuls. Ut fra størrelsen til oppsplittingen viste de kort tid deretter at det magnetiske momentet til atomet var én Bohr-magneton.

## Kvantemekanisk forklaring
Et magnetisk moment  eller dipol **&mu;** som befinner seg i et magnetfelt **B**, vil få en potensiell energi gitt ved

:  V_m = - \boldsymbol{\mu}\cdot \mathbf{B} 

Når man velger *z*-aksen langs feltet og dette er konstant, vil vektoren **&mu;** presesere om denne aksen slik at komponenten *&mu;<sub>z</sub>&thinsp;* er konstant.  Hvis feltet varierer i denne retningen, vil de to endene av dipolen bli påvirket av ulike krefter. Det virker da en nettokraft på denne som blir

:  F_z = \mu_z {\partial B_z\over \partial z} 

samtidig som dipolen fortsetter å presesere om feltet. Hvis man nå har en smal stråle med atomer som har sine magnetiske moment likt fordelt i alle retninger, ville man forvente at den ville bli smurt jevnt ut i *z*-retningen hvis den gikk gjennom et slikt inhomogent magnetfelt.

### Halv-klassisk kvantemekanikk
Et elektron som som går i en lukket bane med dreieimpuls **L** = **r**&thinsp;&times;&thinsp;**p**,  gir opphav til et magnetisk moment

:  \boldsymbol{\mu} = {e\over 2m_e}\mathbf{L} 

når det har elektrisk ladning *e* og masse *m<sub>e</sub>*. Opprinnelige i sin atommodell fra 1913 hadde Niels  Bohr kvantisert denne dreieimpulsen og vist at den måtte være et helt multiplum av den reduserte Planck-konstanten *ħ*. Det magnetiske momentet til atomer skulle derfor opptre i enheter av

:  \mu_B = {e\hbar\over 2m_e} 

som fikk navnet «Bohr-magneton».

I 1922 hadde bildet av av atomets indre struktur blitt mer detaljert. Det ble godt summert opp av Bohr da han mottok nobelprisen i fysikk samme år. Hver tillatt bane for elektronene kunne angis ved symbolet *n<sub>k</sub>* hvor *n* = 1, 2, 3,.. er hovedkvantetallet og kvantetallet *k* = 1, 2, .., *n&thinsp;*  angir størrelsen på dreieimpulsen til elektronet i banen. Sirkulære baner tilsvarer den maksimale verdien *k* = *n*. Bohr forklarte  i sin Nobel-forelesning hvordan hele det periodiske systemet kunne bygges opp på denne måten.

Noen få år tidligere hadde Sommerfeld vist at ikke bare størrelsen på dreieimpulsen var kvantisert, men også dens retning i rommet relativt til en vilkårlig *z*-akse. Disse tillatte retningene var gitt ved et nytt, «magnetisk kvantetall», *m*. Det anga størrelsen  til denne  komponenten av dreieimpulsen og kunne anta heltallige verdier |*m*&thinsp;| &le; *k*. Det ga i alt 2*k* mulige retninger da *m* = 0 ikke var tillatt ifølge Bohr.

Sølvatomet Ag har ladningstall *Z* = 47 som angir antall elektroner det inneholder. Av disse var 46 plassert i lukkete skall som til sammen ikke bidro til noen netto dreieimpuls. Det siste elektronet hadde Bohr plassert i banen  51, det vil si med *k* = 1. Atomet ville derfor kunne anta kun to retninger i rommet. Da dette også var i overenstemmelse med hva som ble observert i eksperimentet, kunne Gerlach med en gang etterpå informere Bohr at han hadde hatt rett. Ikke bare retningskvantisering var påvist, men størrelsen av effekten stemte også med teorien.

### Moderne kvantemekanikk

Werner Heisenberg og Erwin Schrödinger la grunnlaget for moderne kvantemekanikk i 1925-26. Den gjorde det klart at det halv-klassiske kvantetallet *k* som bestemmer dreieimpulsen til en partikkel, må erstattes med ℓ = 0, 1, 2, .., *n* - 1. Det magnetiske kvantetallet |*m*&thinsp;| &le; ℓ tilsvarer nå  forskjellige retninger i rommet da *m* = 0 er tillatt. 

Et sølvatom i sin grunntilstand består fremdeles av 46 elektroner i lukkede skall, men det siste elektronet er i en 5s-tilstand med dreieimpuls . Det vil derfor ikke gi atomet et magnetisk moment. Alternativet ville være å plassere det i en tilstand med . Men da ville strålen med atomer bli splittet opp i tre deler og ikke to som observert.

Dette problemet ble løst ved erkjennelsen av at elektronet har et eget spinn **S** med kvantetall . Det kan da innta to forskjellige retninger i rommet tilsvarende egenverdiene  langs *z*-aksen. Det er dette spinnet som gir elektronet og dermed også atomet et magnetisk moment. Det er hensiktsmessig å skrive dette analogt med det orbitale bidraget som

:  \boldsymbol{\mu} = g_e {e\over 2m_e}\mathbf{S} 

hvor faktoren *g<sub>e</sub>&thinsp;* er det gyromagnetiske forholdet til elektronet. Da eksperimentet til Stern og Gerlach hadde vist at det magnetiske momentet til sølvatomet var én Bohr-magneton, må denne faktoren være . Denne størrelsen fikk i årene som fulgte stor betydning i den videre utvikling av kvantemekanikken til kvanteelektrodynamikk og mer generell elementærpartikkelfysikk.

## Tenkte SG-eksperiment
Stern-Gerlach-eksperimenetet blir benyttet i mange sammenhenger for å illustrere fundamentale forhold ved kvantemekaniske system. Richard Feynman gjorde utstrakt bruk av det i sine berømte forelesninger om kvantemekanikk for lavere grads studenter ved Caltech på midten av 1960-tallet. Senere har det jevnlig blitt diskutert i mer populære fremstillinger om forskjellige kvantefenomen.

For å forstå de mer bisarre egenskaper ved spinn-1/2 partikler, tenker man seg vanligvis flere Stern-Gerlach-apparat (SG) etter hverandre. I hvert apparat deler strålen seg i to. Man kan eventuelt blokkere den ene og la den andre fortsette videre til neste apparat. 

Eksperimentene man kan tenke seg å utføre, har mange likhetspunkter med hva man kan observere ved å la polarisert lys gå gjennom forskjellige filtre eller polarisatorer.

### Første eksperiment
Det første SG-apparatet virker langs *z*-aksen og splitter strålen i to deler. En av dem kalles  *z*+ og blir avbøyd oppover, mens *z*- går litt nedover og blir blokkert,

Hvert spinn i den øvre strålen vil være i kvantetilstanden  |\! +z\rangle  når man benytter Dirac-formalismen med bra-ket-vektorer. Hvis man nå lar den øvre strålen gå gjennom et nytt SG-apparat som også er orientert langs *z*-aksen, vil alle spinnene igjen bli avbøyd langs denne retningen *z*+ og ingen langs *z*-. Dette er en måling eller observasjon av spinnene i den øvre strålen. Resultatet kan derfor skrives som  \langle +z\,| +z\rangle = 1  og  \langle - z\,| +z\rangle = 0.  Etter målingen vil spinnet befinne seg i den observerte egentilstanden.

### Andre eksperiment
I det andre eksperimentet undersøker man igjen den øvre strålen  *z*+  fra det første apparatet, men denne gangen med et SG-apparat som er orientert lang *x*-aksen. Rent klassisk vil ikke denne strålen kunne splittes i dette apparatet da alle spinnene har retning *z*+ og kan derfor ikke avbøyes av et magnetfelt i *x*-retning. Men kvantemekanikken sier at man vil observere at halvparten av spinnene vil ble avbøyd lang *x*+ og halvparten langs *x*-. Det betyr at de **i gjennomsnitt** ikke vil bli avbøyd langs *x*-aksen, i overensstemmelse med den klassiske prediksjonen.

Matematisk kan man uttrykke disse observasjonene med sannsynlighetsamplitudene  \langle +x\,| +z\rangle = 1/\sqrt{2} \;  og  \langle - x\,| +z\rangle = 1/\sqrt{2}.  Det betyr at egentilstanden for spinn opp kan skrives som superposisjonen uttrykt ved 

:   |\! +z\rangle = \sqrt{1\over 2} \big( |\! +x\rangle +  |\! -x \rangle \big) 

I dagligtale ville man si at det samtidig peker både til høyre og til venstre, selv om det i vår makroskopiske verden høres meningsløst ut.

### Tredje eksperiment
Man kan igjen blokkere strålen som kommer ut langs *x*- i det andre SG-apparatet. Den øvre strålen inneholder da spinn som kun peker langs den positive *x*-aksen, og den blir så analysert i et tredje SG-apparat. Når dette er orientert langs *z*-aksen, vil man igjen observere at halvparten blir avbøyd oppover langs *z*+ og halvparten nedover. Selv om alle i retningen *z*- ble blokkert i det første apparatet, dukker de derfor opp igjen ved denne nye målingen. 

Igjen har man dermed påvist en superposisjon gitt ved

:   |\! +x\rangle = \sqrt{1\over 2} \big( |\! +z\rangle +  |\! -z \rangle \big) ,

og må konkludere med at hver måling av systemet endrer dets egenskaper. Matematisk skyldes det at spinnoperatorene *S<sub>x</sub>&thinsp;* og *S<sub>z</sub>&thinsp;* ikke kommuterer med hverandre. Det tilsvarer at operatorene for posisjon og impuls for en partikkel heller ikke kommuterer, og dermed gir opphav til Heisenbergs uskarphetsrelasjon.

## Referanser


## Eksterne lenker
* Youtube, 100 Years anniversary: Stern-Gerlach Experiment 1922
* Physics World, ''How the Stern–Gerlach experiment made physicists believe in quantum mechanics'', november 2022.
* Scientific American, ''100 Years Ago, a Quantum Experiment Explained Why We Don’t Fall through Our Chairs'', februar 2022.