Gaussisk heltall

**Gaussisk tall** er et komplekst tall hvor både realdelen og imaginærdelen er heltall. Typiske eksempel er derfor 7 + 6*i*,  5 - 3*i*, men også 2 og -4*i&thinsp;* hvor *i* = &radic;-1 er den imaginære enheten. Tallene utgjør en matematisk ring **Z**[*i*&thinsp;] hvor man kan utføre addisjon og multiplikasjon på vanlig måte. 

De gaussiske heltallene har mange av de samme egenskapene som de vanlige heltallene **Z**. I den utvidete ringen **Z**[*i*&thinsp;] kan primtall defineres, og hvert tall har en éntydig faktorisering som produkt av slike primtall i overensstemmelse med aritmetikkens fundamentalteorem. En bestemt klasse av vanlige primtall i **Z** kan faktoriseres i ringen **Z**[*i*&thinsp;] av gaussiske heltall.

Navnet til tallene viser tilbake til  den tyske matematiker Carl Friedrich Gauss. Han ga en systematisk fremstilling av deres egenskaper i sitt store verk *Disquisitiones Arithmeticae* fra 1801 i forbindelse med studiet av kvadratiske rester og deres utvidelse til kongruenser av høyere grad.

## Definisjon

Hvert gaussisk heltall kan skrives som

:  z = a + bi 

hvor *i* er  den imaginære enheten, mens  *a* og *b* er  heltall i den vanlige tallringen **Z**. De gaussiske heltallene er derfor spesielle, komplekse tall. Summen av to slike tall er dermed

:  z_1 + z_2 = a_1 +b_1i + a_2 + b_2i = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i 

som er et nytt tall av samme sort. Denne egenskapen har også produktet av de to heltallene,

:  z_1\cdot z_2 = a_1a_2 - b_1b_2 + (a_1b_2 + a_2 b_1)i  

slik at de danner en ny ring. Den betegnes vanligvis med **Z**[*i*&thinsp;] som en påminnelse om at den er en utvidelse av de vanlige heltallene **Z** basert på den imaginære enheten.

### Norm

Størrelsen av komplekse tall blir vanligvis angitt ved deres absoluttverdi. For gaussiske heltall er det mer vanlig å benytte kvadratet av denne som gir dets *norm*. For det gaussisk heltallet *z* = *a* + *bi* er den definert ved

:  N(a + bi) = a^2 + b^2 = (a - bi)(a + bi) = z^*z 

og er derfor et positivt heltall. Normen av et produkt oppfyller

:  N(z_1 z_2) = N(z_1)N(z_2) 

som betyr at

:  (a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2) = ( a_1a_2 - b_1b_2)^2 +  (a_1b_2 + a_2 b_1)^2 

Denne identiteten for summen av to kvadrat kan føres tilbake til Diofant og den indiske matematiker Brahmagupta som levde noen hundre år senere.

Gaussiske heltall som har norm *N* = 1, kalles for **enheter**. Det er fire av dem, nemlig 1, -1, *i&thinsp;* og -*i*. De har også den egenskapen at hver av dem *a* har sin egen invers *a*-1 slik at  i overensstemmelse med den vanlige definisjonen av enheter. For eksempel er (-1)&sdot;(-1) = 1 og -*i*&sdot;*i* = 1. Sammen danner disse fire tallene en syklisk gruppe generert av elementet *i*. Blant de vanlige heltallene **Z** er bare 1 og -1 enheter.

## Faktorisering

Noen vanlige primtall kan skrives som produkt av gaussiske heltall. For eksempel er 2 = (1 + *i*&thinsp;)(1 - *i*&thinsp;). Ved å ta med enheter kan man også skrive dette som 2 =  *i*&thinsp;(1 - *i*&thinsp;)2.  På samme måte er 5 = (2 + *i*&thinsp;)(2 - *i*&thinsp;), mens en slik oppsplitting er umulig for primtallene 3 eller 7. 

Faktorisering av vanlige tall kan systematisk gjennomføres ved bruk av Euklids algoritme. Den kan utvides til å gjelde også for gaussiske heltall. Hvis normen til *z*1 er større enn normen til *z*2, kan man da bestemme to nye gaussiske heltall *w*1 og *w*2 slik at

:  z_1 = w_1z_2 + w_2 

Her må resten  *w*2 ha en norm som er mindre enn den til  *z*2. Dette kan gjøres på flere forskjellige måter slik at hvert stepp i algoritmen ikke er helt éntydig. Men likevel gir den et éntydig resultat for største felles faktor for de to tallene *z*1 og *z*2. Dermed kan den også benyttes til å gi en éntydig faktorisering av hvert gaussisk heltall når man ser bort fra enheter. Den gaussiske heltallsringen **Z**[*i*&thinsp;] er derfor euklidsk.

### Gaussiske primtall

Resultatet av en fullstendig faktorisering av et gaussisk heltall *z* er et produkt av «gaussiske primtall». Hvert stepp i en slik faktorisering tilsvarer en oppsplitting *z* = *z*1&sdot;*z*2. Da normen til til *z* er produktet av normene til *z*1 og *z*2, vil hvert gaussisk heltall med en faktoriserbar norm være faktoriserbart. For eksempel har tallet *z* = 3 + *i* normen *N* = 10 = 2&sdot;5 og er derfor faktoriserbart. Nå er *N*(1 + *i*&thinsp;) = 2 og *N*(2 - *i*&thinsp;) = 5 slik at man har

:  3 + i = (1 + i)\cdot(2 - i) 

hvor begge faktorene er gaussiske primtall. Derimot er  3 + 2*i* et gaussisk primtall da *N*(3 + 2*i*&thinsp;) = 13 ikke kan faktoriseres i vanlige primtall.

Generelt for det gaussiske heltallet *z* = *a* + *bi* er normen *N*(*z*&thinsp;) = *a*2 + *b*2. Dette er et primtall når det kan skrives som 4*n* + 1 for et vanlig heltall *n*. Da det er en sum av to kvadrater, kalles det et pytagoreiske primtall. De resterende primtall på formen 4*n* + 3 kan ikke skrives på denne måten.

Hvis man ser bort fra enheter, har man da det minste, gaussiske primtallet som er 1 + *i&thinsp;* med norm 2. Det er et pytagoreisk primtall. Andre slike pytagoreiske primtall kan også faktoriseres i gaussiske primtall. For eksempel er 5 =  (2 + *i*&thinsp;)&sdot;(2 - *i*&thinsp;) og  13 = (3 + 2*i*&thinsp;)&sdot;(3 - 2*i*&thinsp;). Den siste gruppen av gaussiske primtall kan skrives som *a* + *bi&thinsp;* hvor *a* er et vanlig primtall på formen 4*n* + 3  og *b* = 0 eller omvendt. De befinner seg derfor kun langs de to aksene i det komplekse planet.

## Referanser


## Eksterne lenker

* E.W. Weisstein, ''Gaussian integer'', Wolfram MathWorld
* Youtube, ''The Basics of Gaussian Integers '', enkel orientering