Kvantisert strålingsteori

**Kvantisert strålingsteori** omhandler kvantisering av elektromagnetisk stråling. Dette teoretiske gjennombruddet ble gjort av Paul Dirac i 1927 kort etter kvantemekanikken var etablert for partikler. Det viste at strålingen kan beskrives som masseløse partikler som Einstein allerede i 1905 hadde foreslått som en forklaring av fotoelektrisk effekt. I tillegg viste arbeidet til Dirac at fotonene oppfylte Bose-Einstein statistikk.

I den kvantiserte strålingsteorien kan fotoner emitteres og absorberes av partikler med elektrisk ladning. Deres totale antall er derfor ikke konstant. En tilsvarende teori for ikke-relativistiske partikler ble snart utviklet av Pascual Jordan og andre. Den blir i dag ofte omtalt som andrekvantisering. Med etableringen av Dirac-ligningen i 1928 ble relativistisk kvantefeltteori utviklet i årene som fulgte. Den opprinnelige strålingsteorien tok dermed etter hvert formen til moderne kvanteelektrodynamikk for kvantisert stråling  og elektroner. Det er den mest nøyaktige teori som noensinne er laget.

## Elektromagnetiske felt

Den klassiske teorien for elektromagnetiske felt er formulert ved Maxwells ligninger. De beskriver hvordan det elektriske  feltet \mathbf{E} = \mathbf{E}(\mathbf{x}, t)  og det magnetiske feltet \mathbf{B} = \mathbf{B}(\mathbf{x}, t)  varierer i tid og rom. Når feltene opptrer som stråling, består denne av elektromagnetiske bølger. Kvantisert strålingsteori beskriver de elektromagnetiske feltene som her opptrer,  i overensstemmelse med kvantemekanikkens prinsipper.

En kvantemekanisk beskrivelse er basert på Schrödinger-ligningen hvor strålingens Hamilton-operator inngår. Den bygger på den klassiske energien til systemet. For den frie strålingen er den gitt ved energitettheten

:  {\cal{H}}_0 = {\varepsilon_0\over 2} \mathbf{E}^2  + {1\over 2\mu_0}\mathbf{B}^2 

der *&epsilon;*0 og *&mu;*0 er henholdsvis elektrisk og magnetisk konstant i SI-systemet med måleenheter. De to feltene som opptrer her, er ikke uavhengige av hverandre, men er forbundet gjennom ligningene til Maxwell. Han innførte vektorpotensialet \mathbf{A} = \mathbf{A}(\mathbf{x}, t)   slik at

:   \mathbf{B} = \boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}, \quad  \mathbf{E}  = - {\partial\mathbf{A} \over\partial t} -  \boldsymbol{\nabla}\Phi 

hvor \Phi  er Coulomb-potensialet som er null for fri stråling. Dens klassiske Hamilton-funksjon tar dermed formen

:  H_0 = \int\! d^3x \Big[{\varepsilon_0\over 2}\Big({\partial\mathbf{A} \over\partial t} \Big)^2 + {1\over 2\mu_0}(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A})^2 \Big] 

og danner grunnlaget for kvantemekanisk fremstilling av strålingens egenskaper. Det vil innebære en kvantisering av vektorpotensialet \mathbf{A}  som er den grunnleggende variable i denne strålingsteorien.

Da vektorfeltet har tre komponenter, kan det derfor se ut til det også er antall frihetsgrader i denne feltteorien. Men på grunn av gaugeinvarians er det her naturlig å gjøre bruk av den ekstra betingelsen

:  \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{A} = 0 

Dette  kravet kalles for valg av *strålingsgauge* eller «transvers gauge». Det elektromagnetiske feltet inneholder derfor to frihetsgrader.

## Periodiske grensebetingelser

Klassisk strålingsteori er basert på lløsninger av Maxwells ligninger. Disse er avhengig av grensebetingelsene som feltene må oppfylle. En kvantisering av  vektorfeltet  kan på mange måter gjøres mest direkte ved å benytte dets Fourier-komponenter  i et stort volum *V* = *L*3  hvor det pålegges periodiske grensebetingelser. Da er

:  \mathbf{A}(\mathbf{x},t) = \sqrt{1\over V}  \sum_\mathbf{k}  \mathbf{A}_\mathbf{k}(t)\,e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}  

Da må bølgevektoren  \mathbf{k} =  2\pi\mathbf{n}/L   ha retningsvektoren   \mathbf{n} = (n_x, n_y, n_z)  med komponenter   n_i = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots  og så videre. Hvis nå for eksempel   x \rightarrow x + L,  vil feltet forbli uforandret.

Fourier-komponentene i denne fremstillingen er generelt komplekse, men oppfyller   \mathbf{A}^*_\mathbf{k} = \mathbf{A}_{-\mathbf{k}}  da feltet  \mathbf{A}(\mathbf{x},t)   er reelt. Det kan benyttes til å uttrykke den elektromagnetiske  feltenergien ved disse komponentene. Da det elektriske feltet nå tar formen

:  \mathbf{E}(\mathbf{x},t) =   - {\partial\mathbf{A}(\mathbf{x},t) \over\partial t} = - \sqrt{1\over V}  \sum_\mathbf{k}  \dot{\mathbf{A}}_\mathbf{k}(t)\,e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}  

hvor  \dot{\mathbf{A}}_\mathbf{k}(t) =  d\mathbf{A}_\mathbf{k}/ dt,  blir det elektriske bidraget til denne gitt ved integralet

:  \int\! d^3x\, \mathbf{E}^2 =  \sum_\mathbf{k}  \dot{\mathbf{A}}_\mathbf{k}\cdot \dot{\mathbf{A}}_{-\mathbf{k}}  =  \sum_\mathbf{k}  \dot{\mathbf{A}}_\mathbf{k}\cdot \dot{\mathbf{A}}^*_\mathbf{k} 

Her er gjort bruk av ortonormeringen

:   \int\! d^3x\, e^{i(\mathbf{k} - \mathbf{k'})\cdot\mathbf{x}} = V \delta_{\mathbf{k},\mathbf{k'}}  

som igjen følger fra det 1-dimensjonale integralet 

:   \int_0^L \! dx\, e^{i(k - k')x} =  {e^{i(k - k')L} - 1\over i(k - k')} = \left\{\begin{matrix} L, \quad k = k'  \\ 0,\quad k \ne k'  \end{matrix} \right. 

som opptrer her ved bruk av periodiske grensebetingelser og kan uttrykkes ved et Kronecker-delta på høyre side. Av samme grunn kan summen over alle mulige bølgevektorer erstattes med integralet

:    \sum_\mathbf{k}  = \Big({L\over 2\pi}\Big)^3  \sum_\mathbf{k} \Delta k_x\Delta k_y\Delta k_z \rightarrow V\int\! {d^3k\over (2\pi)^3} 

når volumet *V&thinsp;* blir veldig stort.

### Magnetisk bidrag
Det tilsvarende bidraget til feltenergien fra magnetfeltet

:  \mathbf{B}(\mathbf{x},t) = \boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}(\mathbf{x},t) = \sqrt{1\over V}  \sum_\mathbf{k}  i\mathbf{k}\times \mathbf{A}_\mathbf{k}(t)\,e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} 

blir på lignende måte 

:  \int\! d^3x\, \mathbf{B}^2 =  \sum_\mathbf{k} (i\mathbf{k}\times \mathbf{A}_\mathbf{k})\cdot (-i\mathbf{k}\times \mathbf{A}_{-\mathbf{k}}) = \sum_\mathbf{k} k^2 \mathbf{A}_\mathbf{k} \cdot  \mathbf{A}^*_\mathbf{k} 

når man benytter den transverse gaugebetingelsen som betyr at  \mathbf{k}\cdot \mathbf{A}_\mathbf{k} = 0. 
Summen av de elektriske og magnetiske bidragene til den fri feltenergien tar dermed den endellige formen

:   H_0 = {\varepsilon_0\over 2}  \sum_\mathbf{k} \big(\dot{\mathbf{A}}_\mathbf{k}\cdot \dot{\mathbf{A}}^*_\mathbf{k} +  \omega^2_\mathbf{k} \mathbf{A}_\mathbf{k} \cdot  \mathbf{A}^*_\mathbf{k} \big) 

hvor  \omega_\mathbf{k} = c|\mathbf{k}|  er vinkelfrekvensen forbundet med bølgevektoren **k** via lyshastigheten  c^2 = 1/\varepsilon_0\mu_0. 

### Polarisasjonsvektorer

Gaugebetingelsen   \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{A} = 0   betyr at Fourier-komponenten   \mathbf{A}_\mathbf{k}  ligger I et plan som står vinkelrett på bølgevektoren **k**. Det er derfor hensiktsmessig å innføre to ortogonale «polarisasjonsvektorer»  \mathbf{e}_\lambda = \mathbf{e}_\lambda(\mathbf{k}). De kan i alminnelighet være komplekse og kan normeres som

:   \mathbf{e}^*_\lambda\cdot \mathbf{e}_{\lambda'} = \delta_{\lambda\lambda'} 

Sammen med enhetsvektoren  \hat\mathbf{k} = \mathbf{k}/k  danner de et fullstendig sett av vektorer i det 3-dimensjonale rommet. De har derfor den spesielle egenskapen 

:   \sum_{\lambda =1,2} e_{\lambda i}e^*_{\lambda j} =   \delta_{ij} - k_i k_j/\mathbf{k}^2 

som har mange praktiske anvendelser.

Hver Fourier-komponent av vektorfeltet kan nå i denne basisen splittes opp i to komplekse vektorkomponenter

:  \mathbf{A}_\mathbf{k}(t) = \sum_{\lambda =1,2} A_{\mathbf{k}\lambda}(t) \mathbf{e}_{\lambda} 

slik dat hele feltenergien tar formen

:   H_0 = {\varepsilon_0\over 2}  \sum_{\mathbf{k}\lambda} \big(\dot{A}_{\mathbf{k}\lambda} \dot{A}^*_{\mathbf{k}\lambda} + \omega^2_\mathbf{k} A_{\mathbf{k}\lambda} A^*_{\mathbf{k}\lambda} \big) 

Her beskriver hvert ledd i den doble summen energien til en 2-dimensjonal harmonisk oscillator da utslaget  A_{\mathbf{k}\lambda}  til denne er en kompleks størrelse.

Polarisasjonsindeksen *&lambda;&thinsp;* kan ta to verdier tilsvarende de to retningene feltvekktoren kan ha i forhold til bølgevektoren **k**. Hvis denne er i en retning *z*, kan det elektriske feltet ha en retning langs *x*- eller *y*-aksen. Disse to retningene er beskrevet ved polarisasjonsvektorene **e***x*&thinsp; og **e***y*. Bølgen er da «lineært polarisert». Derimot er sirkulær polarisasjon beskrevet ved de komplekse vektorene

:   \mathbf{e}_{R/L} = \sqrt{1\over 2} (\mathbf{e}_x \pm i \mathbf{e}_y) 

tilsvarende høyrevridd (*R*&thinsp;) og venstrevridd (*L*&thinsp;) polarisasjon. Begge vektorene står vinkelrett på bølgevektoren **k**, men går over i hverandre når denne skifter retning.

## Feltkvantisering

I den elektromagnetiske feltenergien har komponenten  A_{\mathbf{k}\lambda}   en konjugert impuls  \Pi_{\mathbf{k}\lambda} =  \varepsilon_0 \dot{A}^*_{\mathbf{k}\lambda}  som også er kompleks. Den konjugerte impulsen til det magnetiske vektorpotensialet **A** er derfor det elektriske feltet **E**. Kvantisering kan nå gjennomføres ved å la disse to variable bli operatorer    A_{\mathbf{k}\lambda} \rightarrow \hat{A}_{\mathbf{k}\lambda}  og   \Pi_{\mathbf{k}\lambda}\rightarrow \hat{\Pi}_{\mathbf{k}\lambda}  som oppfyller de kanoniske kommutatorene

:  [\hat{A}_{\mathbf{k}\lambda} , \hat{A}_{\mathbf{k'}\lambda'}] = 0, \quad  [\hat{A}_{\mathbf{k}\lambda} , \hat{\Pi}_{\mathbf{k'}\lambda'}] = i\hbar\, \delta_{\mathbf{k}\mathbf{k'}}\delta_{\lambda\lambda'} 
 
Dermed er strålingen beskrevet ved Hamilton-operatoren

:   \hat{H}_0 = \sum_{\mathbf{k}\lambda} \left[{1\over 2\varepsilon_0} \hat{\Pi}^\dagger_{\mathbf{k}\lambda}\hat{\Pi}_{\mathbf{k}\lambda}  + {\varepsilon_0\over 2} \omega^2_\mathbf{k} \hat{A}^\dagger_{\mathbf{k}\lambda} \hat{A}_{\mathbf{k}\lambda} \right] 

for uendelig mange, kvantiserte «strålingsoscillatorer». Egenverdiene til operatorene finnes på vanllig måte ved å innføre kreasjons- og annihilasjonsoperatorer definert ved

:   \hat{A}_{\mathbf{k}\lambda} = \sqrt{\hbar\over 2\omega_\mathbf{k} \varepsilon_0} \left( \hat{a}_{\mathbf{k}\lambda} + \hat{a}^\dagger_{-\mathbf{k}\lambda} \right) 

:   \hat{\Pi}_{\mathbf{k}\lambda} = i\sqrt{\hbar\omega_\mathbf{k} \varepsilon_0 \over 2} \left( \hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}\lambda} - \hat{a}_{-\mathbf{k}\lambda} \right) 

De kanoniske kommutatorene tar nå formen

:  [\hat{a}_{\mathbf{k}\lambda} , \hat{a}_{\mathbf{k'}\lambda'} ] = 0, \quad  [\hat{a}_{\mathbf{k}\lambda} , \hat{a}^\dagger_{\mathbf{k'}\lambda'}]  = \delta_{\mathbf{k}\mathbf{k'}}\delta_{\lambda\lambda'} 

Derfor er  \hat{a}_{\mathbf{k}\lambda}  en annihilasjonsoperator, mens  \hat{a}^\dagger _{\mathbf{k}\lambda}  er en tilsvarende kreasjonsoperator som skaper et ekstra kvant i en elektromagnetiske mode (**k**,*&lambda;*). Det totale antall kvant i denne moden er gitt ved egenverdien tii antallsoperatoren  \hat{n} _{\mathbf{k}\lambda} = \hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}\lambda}\hat{a}_{\mathbf{k}\lambda}  som kan være 0, 1, 2 og så videre.

### Energi og impuls
Ved hjelp av disse nye stigeoperatorene tar nå Hamilton-operatoren for stråliingsfeltet formen

:  \begin{align} \hat{H}_0 &=  {1\over 2} \sum_{\mathbf{k}\lambda} \hbar\omega_\mathbf{k} \left(\hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}\lambda}\hat{a}_{\mathbf{k}\lambda} + \hat{a}_{-\mathbf{k}\lambda}\hat{a}^\dagger_{-\mathbf{k}\lambda}\right)\\ &= \sum_{\mathbf{k}\lambda} \hbar\omega_\mathbf{k} \Big(\hat{n} _{\mathbf{k}\lambda} + {1\over 2} \Big) \end{align} 

På denne måten er det klart at den kvantemekaniske beskrivelsen av elektromagnetisk stråling er matematisk ekvivalent med  et system av uendelige mange harmoniske oscillatorer. 

Klassisk teori viser at elektromagnetiske bølger utøver et strålingstrykk.  Det skyldes en fluks av impuls som kan finnes fra en utvidelse av Poyntings teorem, og har en tetthet  = . Dermed er den totale impulsen i feltet gitt ved

: \begin{align} \mathbf{P} &= \varepsilon_0\! \int\! d^3x\, \mathbf{E}\times \mathbf{B} \\ &= -i \varepsilon_0 \sum_{\mathbf{k}} \dot\mathbf{A}_{\mathbf{k}} \times (\mathbf{k}\times \mathbf{A}_{\mathbf{k}} ) \end{align} 

Vektorproduktet kan her forenkles ved bruk av gaugebetingelsen  \mathbf{k}\cdot\mathbf{A}_{\mathbf{k}} = 0.  Etter å ha innført komponentene av feltet langs de to polarisasjonsvektorene, blir den kvantemekanisk impulsoperatoren 

: \begin{align}  \hat\mathbf{P}  &= {1\over 2} \sum_{\mathbf{k}\lambda} \hbar\mathbf{k}\, (\hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}\lambda}\hat{a}_{\mathbf{k}\lambda} - \hat{a}_{-\mathbf{k}\lambda}\hat{a}^\dagger_{-\mathbf{k}\lambda}) \\ &=  \sum_{\mathbf{k}\lambda} \hbar\mathbf{k}\, \hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}\lambda}\hat{a}_{\mathbf{k}\lambda} \end{align} 

etter å ha latt  -\mathbf{k} \rightarrow \mathbf{k}  i den siste summen etterfulgt av et ombytte av de to operatorene.

### Fotontilstander

Egentilstander for både energi og impuls kan konstrueres ved bruk av kreasjonsoperatorene til feltet på samme måte som for den éndimensjonale oscillatoren. Den laveste tilstanden eller «grunntilstanden»  |0\rangle  inneholder ingen kvant og må derfor oppfylle

:  \hat{a}_{\mathbf{k}\lambda}|0\rangle = 0 

Energien til denne tomme tilstaden er ikke null, men

:  E_0 = {1\over 2} \sum_{\mathbf{k}\lambda} \hbar\omega_\mathbf{k}   

Denne summen er divergent eller uendelig stor da feltet inneholder uendelig mange oscillatorer. Men under andre forhold der utstrekningen til feltet er begrenset på en eller annen måte, kan en slik divergent sum likevel gi et endelig svar. Dette fenomenet omtales som Casimir-effekt og er blitt eksperimentelt påvist på mange forskjellige måter.

Tilstanden med ett kvant i moden (**k**, *&lambda;*) er nå

:  |\mathbf{k}\lambda\rangle = \hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}\lambda}|0\rangle 

Den har energi  E = \hbar\omega_{\mathbf{k}}  og impuls  \mathbf{p} = \hbar\mathbf{k}.   Da  \omega_{\mathbf{k}} = |\mathbf{k}|c,  er  E = pc.  Det betyr at dette kvantet er en masseløs partikkel som i dag bærer navnet foton. 

En generell tilstand med  n_{\mathbf{k}\lambda}  foton i denne moden  blir nå

:  |n_{\mathbf{k}\lambda} \rangle =  \sqrt{1\over n_{\mathbf{k}\lambda}!} \, (\hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}\lambda})^{n_{\mathbf{k}\lambda}} |0 \rangle 

Tilstanden er éntydig gitt ved antallet av fotoner med samme kvantetall (**k**,*&lambda;*) den inneholder. Ingen andre kjennemerker finnes for å skille dem fra hverandre og de må betraktes som identiske partikler. Da det ikke er noen begrensninger på hvor mange fotoner tilstanden kan inneholde, er de derfor bosoner og adlyder Bose-Einstein statistikk.

Ved bruk av en senkeoperator kan antall foton i tilstanden forandres på den måten at

:   \hat{a}_{\mathbf{k}\lambda} |n_{\mathbf{k}\lambda} \rangle = \sqrt{n_{\mathbf{k}\lambda}} |n_{\mathbf{k}\lambda} - 1\rangle

Den tilsvarende heveoperatoren gir i stedet

:   \hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}\lambda} |n_{\mathbf{k}\lambda} \rangle = \sqrt{n_{\mathbf{k}\lambda} + 1} |n_{\mathbf{k}\lambda} + 1\rangle

Det er dette algebraiske uttrykket som Dirac i 1927 viste kunne forklare sammenhengen mellom Einsteins strålingskoeffisienter.

### Tidsutvikling

De forskjellige kvantetilstandene har en tidsutvikling som er gitt ved Schrödinger-ligningen, mens operatorene forblir de samme. På den måten har man en beskrivelse av systemet i Schrödinger-bildet. Derimot er kvantisert feltteori vanligvis mest hensiktsmessig fremstilt i Heisenberg-bildet der tilstandene forblir uforanderlige, mens operatorene varierer med tiden. De følger da bevegelsesligningene som for annihilasjonsoperatorene gir

:  i\hbar {d\over dt} \hat{a}_{\mathbf{k}\lambda} = [ \hat{a}_{\mathbf{k}\lambda}, \hat{H}_0] = - \hbar\omega_{\mathbf{k}}\hat{a}_{\mathbf{k}\lambda} 

eller

:  \hat{a}_{\mathbf{k}\lambda} (t) = \hat{a}_{\mathbf{k}\lambda} e^{-i\omega_{\mathbf{k}} t} 

Sammen med resultatet for den tilsvarende kreasjonsoperatoren har man da for Forurier-komponenten

:   \hat{A}_{\mathbf{k}\lambda}(t) = \sqrt{\hbar\over 2\omega_\mathbf{k} \varepsilon_0} \left( \hat{a}_{\mathbf{k}\lambda}e^{-i\omega_{\mathbf{k}} t} + \hat{a}^\dagger_{-\mathbf{k}\lambda}e^{i\omega_{\mathbf{k}} t} \right) 

Det betyr at det kvantiserte vektorpotensialet tar den endelige formen

:   \hat{\mathbf{A}}(\mathbf{x},t) =  \sum_{\mathbf{k}\lambda} \sqrt{\hbar\over 2\omega_\mathbf{k} \varepsilon_0 V} \left[  \mathbf{e}_\lambda \hat{a}_{\mathbf{k}\lambda}\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{k}} t)} + \mathbf{e}^*_\lambda \hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}\lambda}\,e^{-i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{k}} t)} \right]  

i Heisenberg-bildet. Denne operatoren viser tydelig bølge-partikkel-dualiteten i beskrivelsen av et foton med kvantetallene (**k**,*&lambda;*). Feltoperatoren som beskriver skapelse og annihilasjon av denne partikkelen, er den klassiske bølgen hvor  amplituden er blitt en stigeoperator.

### Historisk tilbakeblikk
Denne forståelsen av det elektromagnetiske feltet  kan føres helt tilbake til Max Planck da han i 1900 oppdaget sin lov for sort stråling. Den kom han frem til ved å anta at strålingen var i kontakt med materielle partikler som bare kunne avgi eller motta energi i diskrete kvant. Selve strålingen mente han måte beskrives klassisk som et kontinuerlige felt styrt av Maxwells ligninger. Det var Einstein  som ved studier i 1905  av den fotoelektriske effekten kom frem til at energikvantene måtte betraktes som partikler eller fotoner i selve strålingen. En av de første som beskrev denne som harmoniske oscillatorer, var Peter Debye noen få år senere. Men det var først ved etableringen av den nye kvantemekanikken i 1925 og arbeidene til Pascual Jordan og Paul Dirac at den endelige, kvantefeltteoretiske formuleringen ble utarbeidet.

## Transvers fotonpropagator

I klassisk elektrodynamikk beregnes kobling av feltet til eksterne, elektriske strømmer ved hjelp av de retarderte løsningene av bølgeligningen. Disse er gitt ved Green-funksjon som tilfredsstiller spesielle grensebetingelser. Den tilsvarende, kvantemekaniske koblingen er også gitt ved en Green-funksjon, men med andre grenebetingelser først formulert ved Richard Feynman. Denne kalles vanligvis for en propagator til fotonet da den beskriver dets bevegelse.

Ved valg av Coulomb-gaugen er opptrer fotonet som et kvant for det transverse vektorfeltet **A**(**x**,*t*). På samme måte som for andre felt defineres propagatoren ved vakumforventningsverdien av et tidsordnet produkt av feltoperatoren i to forskjelige punkt. Det blir nå

:  \begin{align} & i\hbar\Delta^{tr}_{Fij}(\mathbf{x} - \mathbf{x}', t - t') = \langle 0|T\hat{A}_i(\mathbf{x},t)\hat{A}_j(\mathbf{x}',t') |0\rangle \\ &= \int\!  {d^3k\over (2\pi)^3} \sum_\lambda {\hbar \over 2\omega_\mathbf{k} \varepsilon_0} e_{\lambda i} e^*_{\lambda j}e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{x} - \mathbf{x}')} \left[\theta(t - t') e^{-i\omega_\mathbf{k}(t - t')} + \theta(t' - t)e^{i\omega_\mathbf{k}(t - t')} \right] \end{align} 

hvor tidsordningen er uttrykt ved Heavisides steppfunksjon og  \omega_\mathbf{k} = c|\mathbf{k}|. Ved å bruke definisjonen av denne som et komplekst integral, kan dette forenkles til

:  i\hbar\Delta^{tr}_{Fij}(\mathbf{x} - \mathbf{x}', t - t') = i\hbar\int\! {d^3k\over (2\pi)^3} \! \int \!{d\omega\over 2\pi} \Delta^{tr}_{Fij}(\mathbf{k},\omega) e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{x} - \mathbf{x}') - i\omega_\mathbf{k}(t - t')} 

på samme måte som for Klein-Gordon-feltet. Her kan

:   \Delta^{tr}_{Fij}(\mathbf{k},\omega) = {1\over\varepsilon_0} {1\over \omega^2 - c^2\mathbf{k}^2} \left( \delta_{ij} - {k_i k_j\over \mathbf{k}^2}\right) 

som den firedimensjonale Fourier-transformerte av den transverse fotonpropagatoren.

## Vekselvirkninger

Når det elektromagnetiske feltet er koblet til materie, kan det beskrives ved Maxwells ligninger som inkluderer deres ladniingtetthet   og strømtetthet    Ligningene følger fra Hamiltons virkningsprinsipp basert på den fundamentale Lagrange-tettheten 

:  \mathcal{L} =  {\varepsilon_0\over 2} \mathbf{E}^2 -  {1\over 2\mu_0} \mathbf{B}^2  + \mathbf{J}\cdot\mathbf{A}  - \rho\Phi 

hvor nå det elektriske potensialet  opptrer i tillegg til det magnetiske vektorpotensialet **A**. De to siste leddene beskriver vekselvirkningen mellom felt og materie.

Kvantisering av denne vekselvirkende teorien kan igjen gjennomføres ved å utvikle alle feltene i Fourier-rekker med periodise grensebetingelser. Det gir for den totale Lagrange-funksjonen

:  \begin{align}  L &=  \int\!d^3x \,\mathcal{L} = \sum_\mathbf{k} \big( {\varepsilon_0\over 2} \mathbf{E}_{\mathbf{k}}\cdot \mathbf{E}^*_{\mathbf{k}}  -  {1\over 2\mu_0}\mathbf{B}_{\mathbf{k}}\cdot  \mathbf{B}^*_\mathbf{k} \big)\\  &+  \sum_\mathbf{k} \big( \mathbf{J}_{\mathbf{k}}\cdot  \mathbf{A}^*_\mathbf{k}  - \rho_\mathbf{k} \Phi^*_{\mathbf{k}}\big) \end{align} 

hvor hver Fourier-komponent er kompleks, men slik at   \mathbf{A}^*_\mathbf{k} =  \mathbf{A}_{-\mathbf{k}}  og det samme for de andre. Den første summen *L*0 representerer Lagrange-funksjonen for det elektromagnetiske feltet, mens den andre *L*1 angir dets kobling til de materielle partiklene i systemet. Deres dynamikk må beskrives ved enda en Lagrange-funksjon som  avhenger av som de beveger seg relativistisk eller ikke.

Fourier-komponenten til det elektriske feltet  \mathbf{E}  = - \dot\mathbf{A} -  \boldsymbol{\nabla}\Phi  innehholder nå to ledd

:   \mathbf{E}_\mathbf{k} = - \dot\mathbf{A}_\mathbf{k} - i\mathbf{k}\, \Phi_\mathbf{k} , 

mens for det magnetiske feltet er den   \mathbf{B}_\mathbf{k} = i\mathbf{k}\times \mathbf{A}_\mathbf{k}.   Med  den transverse gaugebetingelsen   \mathbf{k}\cdot \mathbf{A}_\mathbf{k} = 0,   tar Lagrange-funksjonen følgelig formen

:  \begin{align}  L &=  \sum_\mathbf{k} \big[ {\varepsilon_0\over 2} (\dot\mathbf{A}_\mathbf{k}\cdot\dot\mathbf{A}_\mathbf{k}^*  + \mathbf{k}^2\Phi_\mathbf{k}\Phi_\mathbf{k}^*) -  {1\over 2\mu_0} \mathbf{k}^2 \mathbf{A}_{\mathbf{k}}\cdot \mathbf{A}^*_{\mathbf{k}}  \big]  \\ &+ \sum_\mathbf{k} \big[ \mathbf{J}_{\mathbf{k}}\cdot  \mathbf{A}^*_\mathbf{k}  - \rho_\mathbf{k} \Phi^*_{\mathbf{k}}\big]\end{align} 

Her er de uavhengige feltvariable vektorkomponentene  \mathbf{A}_\mathbf{k}  og de skalare  \Phi_\mathbf{k} .

### Feltligninger

Den tidsderiverte av skalarpotensialet opptrer ikke i Lagrange-funksjonen slik at det er ikke virkelig en dynamisk variabel. En variasjon   \Phi_\mathbf{k} \rightarrow \Phi_\mathbf{k} + \delta \Phi_\mathbf{k}  gir nå direkte bevegelsesligningen 

:   \Phi_\mathbf{k} =  {\rho_\mathbf{k}\over \varepsilon_0 \mathbf{k}^2}   

Dette er Gauss' lov   \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{E} =  \rho/\varepsilon_0  på komponentform. I denne transverse gaugen kan skalarpotensialet dermed uttrykkes direkte ved ladningstettheten til ladningene som uttrykt ved Coulombs lov. Av denne grunn sies derfor denne Lagrange-funksjonen å være i Coulomb-gauge.

På tilsvarende måte gir variasjonen   \mathbf{A}_\mathbf{k} \rightarrow \mathbf{A}_\mathbf{k} + \delta \mathbf{A}_\mathbf{k}  av vektorpotensialet opphav til bevegelsesligningen

:    \varepsilon_0 ( \ddot\mathbf{A}_\mathbf{k} + \omega_\mathbf{k}^2 \mathbf{A}_\mathbf{k}) =  \mathbf{J}_\mathbf{k}  

Den kan også betraktes som Ampères sirkulasjonslov på komponentform. På høyre side opptrer den tranverse  strømkomponenten da   \mathbf{k}\cdot \mathbf{J}_\mathbf{k} = 0.  Dette er i overensstemmelse med bølgeligningen for vektorpotensialet i Coulomb-gauge. Den viser også at med dette gaugevalget har hver feltkomponent  \mathbf{A}_\mathbf{k}  samme dynamikk som en drevet, harmonisk oscillator når feltet er koblet til materielle partikler.

## Hamilton-funksjoner

En kvantemekanisk beskrivelse av dette vekselvirkende er basert på dets Hamilton-operator. Den finnes fra den klassiske Hamilton-funksjonen. For feltet kan den avledes fra Lagrange-funksjonen ved først å bestemme den konjugerte impulsen til feltkomponenten  \mathbf{A}_\mathbf{k}.  Den er nå

:  \Pi_\mathbf{k} = {\partial L\over \partial\dot \mathbf{A}_\mathbf{k} } =  \varepsilon_0 \dot\mathbf{A}^*_{\mathbf{k}}  

som for det frie feltet. Den klassiske Hamilton-funksjonen for den elektromagnetiske delen av systemet blir dermed

: \begin{align} H &= \sum_\mathbf{k} \Pi_\mathbf{k}\cdot \mathbf{A}_\mathbf{k} - L \\ &=  H_0 + H_1 \end{align}   

Her er   H_0  Hamilton-funksjonen for det frie feltet og

:  H_1 =  \sum_\mathbf{k} \left[  {\rho_\mathbf{k} \rho^*_{\mathbf{k}} \over 2\varepsilon_0 \mathbf{k}^2} - \mathbf{J}_{\mathbf{k}}\cdot  \mathbf{A}^*_\mathbf{k} \right] 

angir dets vekselvirkning med de materielle partiklene. I denne Coulomb-gaugen skjer det gjennom det siste leddet hvor det transverse vektorpotensialet kobler til den elektriske strømmen skapt av partiklene i systemet. Det første leddet skyldes Coulomb-vekselvirkningen mellom disse partiklene.

Kvantisering av feltet kan nå gjøres som for det frie feltet ved et bestemt tidspunkt som vanligvis velges å være *t* = 0. Men den videre tidsutvikling kan ikke lenger beregnes fordi feltet også inngår i vekselvirkningen  H_1.  

For en fullstendig kvantisering av hele systemet, må også beskrivelsen av partiklene kvantiseres. Den må på samme vis ta utgangspunkt i en tilsvarende Lagrange-funksjon. For relativistiske partikler må man benytte kvantefelt tilsvarende Klein-Gordon-ligningen for bosoner eller Dirac-ligningen for fermioner. Når bevegelsen til partiklene derimot er ikke-relativistisk, kan man beskrive dem ved vanlig kvantemekanikk som ligger til grunn for Schrödinger-ligningen.

### Ikke-relativistiske partikler

Ved lave energier kan man beskrive partiklene i systemet som «punktpartikler», det viil si uten utstrekning. Hver av dem følger da klassisk en bane  \mathbf{x}_a =  \mathbf{x}_a(t)  og med hastighet  \mathbf{v}_a =  \dot\mathbf{x}_a(t).  Hvis denne partikkelen også har en elektrisk ladning  e_a,  vil de til sammen gi opphave til en total ladningstetthet og strømtetthet gitt som

:  \rho(\mathbf{x},t) = \sum_a e_a\delta\big(\mathbf{x} - \mathbf{x}_a (t)\big) 
:  \mathbf{J}(\mathbf{x},t) = \sum_a e_a \dot\mathbf{x}_a \delta\big(\mathbf{x} - \mathbf{x}_a (t)\big) 

Fourier-komponenten av ladningstettheten blir derfor i dette tilfellet

:  \rho_\mathbf{k}(t) = \sqrt{1\over V} \sum_a e_a e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}_a(t)} 

Dermed kan Lagrange-funksjonen for disse ikke-relativistiske partiklene nå skrives som

: \begin{align} L_m &= {1\over 2} \sum_a m_a \dot\mathbf{x}_a^2   -  \sum_\mathbf{k} {\rho_\mathbf{k} \rho^*_{\mathbf{k}} \over 2\varepsilon_0 \mathbf{k}^2}  + \int\!d^3x\, \mathbf{J} \cdot \mathbf{A}\\ &=  \sum_a \big[ {1\over 2}  m_a \dot\mathbf{x}_a^2 + e_a \dot\mathbf{x}_a \cdot \mathbf{A}(\mathbf{x}_a) \big]  \\ &- \sum_\mathbf{k} \sum_{a, b} {e_a e_b\over 2\varepsilon_0 V \mathbf{k}^2} e^{-i\mathbf{k}\cdot[\mathbf{x}_a(t) - \mathbf{x}_b(t)]} \end{align} 

Det første leddet er deres kinetiske energi, og det andre angir koblingen til de transverse komponentene av strålingsfeltet. Vekselvirkningen mellom partiklene får også et direkte bidrag fra det siste leddet. I grensen hvor volumet *V&thinsp;* blir veldig stort, kan  summen over bølgevektoren **k** erstattes med et integral som er av samme  form som opptrer i Yukawa-potensialet,

:   \int\! {d^3k\over (2\pi)^3} {e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} \over \mathbf{k}^2 + \kappa^2} = {e^{-\kappa |\mathbf{x}|}\over 4\pi |\mathbf{x}|} 

Ved å bruke dette integralet for *&kappa;* = 0 tar Lagrange-funksjonen for partiklene den endelige formen

:  L_m =  \sum_a \big[ {1\over 2}  m_a \dot\mathbf{x}_a^2 + e_a \dot\mathbf{x}_a \cdot \mathbf{A}(\mathbf{x}_a) \big]  - \sum_{a 

Det tredje leddet er en Coulomb-vekselvirking mellom par av partikler.  Den skjer instantant da den bruker ingen tid til å formidles fra den ene til den andre partikkelen. Ved første blikk kan dette virke i konflikt med den spesielle relativitetsteori, men kombinert med vekselvirkningen fra de transverse fotonene forsvinner dette problemet. Ved bruk av den kovariante fotonpropagatoren  i Lorenz-gauge kombineres disse to bidragene automatisk og gir hele vekselvirkningen som skyldes utveksling av ett foton, mellom to partikler i bevegelse.

For kvantiseringen av partiklene behøves deres kanoniske impuls,

:  \mathbf{p}_a = {\partial L_m\over \partial \dot\mathbf{x}_a} = m_a\dot\mathbf{x}_a(t) + e_a  \mathbf{A}(\mathbf{x}_a,t) 

Deres Hamilton-funksjon ved tiden *t* = 0 blir dermed

: \begin{align} H_m &= \sum_a \mathbf{p}_a \cdot\dot\mathbf{x}_a  - L_m \\ &= \sum_a {1\over 2m_a} \big[\mathbf{p}_a - e_a  \mathbf{A}(\mathbf{x}_a)\big]^2 + \sum_{a 

Basert på disse klassiske Hamilton-funksjonene kan Hamilton-operatoren etableres for hele systemet av vekselvirkende partikler og kvantisert stråling. Den vil da bestå av en del som beskriver frie partikler og fotoner pluss en del som inneholder deres vekselvirkninger. Koblingene skyldes ved dette gaugevalget en direkte Coulomb-vekselvirkning pluss utveksling av fotoner mellom dem beskrevet ved den transverse fotonpropagatoren. Bortsett fra noen svært få, spesielle tilfeller kan ikke dette systemet løses eksakt. Man må i stedet benytte perturbasjonsteori basert på at de elektriske ladningene til partiklene gir så svake koblinger at kun de laveste ordner av en slik perturbativ beskrivelse er nødvendig.

## Referanser