Krystalloptikk

**Krystalloptikk**  omhandler optikk i anisotrope materialer. Vanligvis betyr det læren om hvordan lys går gjennom og brytes i krystaller,  men kan også mer generelt beskrive utbredelse av elektromagnetisk stråling i andre medier. Dette kan være flytende krystaller eller materialer som er gjort anisotrope ved pålagte,  mekaniske spenninger eller elektromagnetiske felt. Slike fenomen omtales vanligvis som dobbeltbrytning.

I alminnelighet vil lys i et anisotropt medium ha en brytningsindeks som er avhengig av både dets retning og  dets polarisasjon. En upolarisert lysstråle vil generelt splittes opp i to som hver er polarisert vinkelrett på hverandre. Mens det i en  **enakset** krystall finnes en spesiell retning som ikke gir noen slik dobbeltbrytning, er det to slike spesielle retninger i en **toakset** krystall.

Krystalloptikk ble eksperimentelt og teoretisk utforsket i Frankrike på begynnelsen av 1800-tallet. Spesielt var det arbeidene til Augustin Fresnel som la grunnlaget for den beskrivelse av denne delen av optikken som fremdeles gjelder i dag. Dette skjedde på tross av at man på den tiden ikke hadde noen forståelse av lys som et elektromagnetisk fenomen, men bygde på forestillingen at det bestod av svingninger i en mekanisk eter.

## Indeksellipsoiden

Det elektriske feltet **E** og er forbundet med forskyvningsfeltet **D** gjennom permittiviteten *&epsilon;* ved den lineære sammenhengen **D** = *&epsilon;*&thinsp;**E**. I isotrope materialer er denne den samme i alle retninger og har derfor kun en verdi. Men i et anisotropt materiale er vektorene **E** og **D** ikke lenger parallelle. Det tilsvarer at permittiviteten har forskjellig verdier i ulike retninger slik at hver komponent av forskyvningsfeltet er en lineærkombinasjon av de elektriske feltkomponentene,

:  D_i = \varepsilon_{ix}E_x + \varepsilon_{iy}E_y + \varepsilon_{iz}E_z 

Da både **D** og **E** er vektorfelt, må størrelsene *&epsilon;<sub>ij</sub>&thinsp;* utgjøre komponentene til en tensor. Denne kan representeres ved en 3&times;3 matrise. Bevarelse av elektromagnetisk energi uttrykt ved Poyntings vektor medfører at denne matrisen er symmetrisk i den forstand at . Det betyr at man kan finne et annet, kartesisk koordinatsystem hvor matrisen tar den diagonale formen

:  \begin{bmatrix}
\varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\
\varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz}\\
\varepsilon_{zx}& \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz}
\end{bmatrix} \Longrightarrow \begin{bmatrix}
\varepsilon_x & 0 & 0 \\
0 & \varepsilon_y & 0 \\
0 & 0 & \varepsilon_z
\end{bmatrix} 

I dette spesielle koordinatsystemet har derfor permittiviteten kun tre verdier tilsvarende de tre **hovedretningene** til materialet. Komponentene til forskyvningsfeltet blir dermed ,   og .

Da permittiviteten i alle medier bestemmer dets brytningsindeks, er det hensiktsmessig å skrive dens komponenter i et anisotropt medium som  hvor *&epsilon;*0 er permittiviteten i vakuum og de dimensjonsløse tallene *n<sub>k</sub>* kan betraktes som brytningsindeksene for et anisotropt materiale i de tre hovedretningene.

Den elektriske feltenergitettheten som funksjon av dette feltet blir dermed

:  u_{el} = {1\over 2} \mathbf{E}\cdot\mathbf{D} = {1\over 2\varepsilon_0} \Big({D_x^2\over n_x^2} + {D_y^2\over n_y^2} + {D_z^2\over n_z^2}\Big) 

I et kartesisk koordinatsystem med koordinater (*x*, *y*, *z*) proporsjonale med (*D<sub>x</sub>*, *D<sub>y</sub>*, *D<sub>z</sub>*) vil derfor energitettheten være konstant på ellipsoiden

:  {x^2\over n_x^2} + {y^2\over n_y^2} + {z^2\over n_z^2} = 1 

med halvakser *n<sub>x</sub>*, *n<sub>y</sub>* og *n<sub>z</sub>*. Den kalles for materialets **indeksellipsoide** og bestemmer dets optiske egenskaper. For noen krystaller er indeksene langs to av aksene like store. Ellipsoiden er da rotasjonssymmetrisk om den tredje aksen som sies å være krystallens **optiske akse**.  I det generelle tilfellet hvor de tre indeksene alle er forskjellige, vil krystallen ha to optiske akser med spesielle egenskaper for lysets gang.

### Elektrisk felt som normalvektor

På samme måte som man fra ligningen til en ellipse kan man finne dens tangent i hvert punkt, er tangentplanet til indeksellipsoiden i et punkt  gitt som

:  {xx_0\over n_x^2} + {yy_0\over n_y^2} + {zz_0\over n_z^2} = 1 

Sammenligner man dette med formelen for et generelt plan, ser man at vektoren

:  \mathbf{N} = \Big({x_0\over n_x^2}, {y_0\over n_y^2}, {z_0\over n_z^2}\Big) 

er en normal til ellipsoideflaten. Da koordinatene som benyttes her er proporsjonale med komponentene til forskyvningsfeltet **D**, betyr det at  normalvektorene **N** er proporsjonal med det elektriske feltet **E**. Bortsett fra langs hovedaksene, danner de to vektorene **E** og **D** en vinkel med hverandre siden de i allminnelighet ikke er proporsjonale med hverandre i et anisotropt materiale.

### Fresnel-ellipsoiden

Indeksellipsoiden fremkommer fra den elektriske energitettheten i et kartesisk koordinatsystem hvor koordinatene er proporsjonale med komponentene til forskyvningsfeltet **D**. Man kunne alternativt også uttrykke den samme energitettheten ved komponentene til det elektriske feltet **E**. Det ville gi opphav til den relaterte ellipsoiden

:  n_x^2 x^2 + n_y^2 y^2 + n_z^2 z^2 = 1 

med halvakser 1/*n<sub>x</sub>*, 1/*n<sub>y</sub>* og 1/*n<sub>z</sub>*. Den spiller også en viktig rolle for utbredelse av lys i krystaller. Da den  ble først benyttet av Augustin Fresnel, er hans navn knyttet til den for å unngå forveksling med indeksellipsoiden.

## Plane bølger

Lys består av elektromagnetiske bølger. De forskjellige feltene som det inneholder, er koblet sammen gjennom de to  Maxwell-ligningene

: \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}, \;\;\;  \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H} = \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}

Her er de to magnetiske feltene forbundet ved **B** = *&mu;*&thinsp;**H** via permeabiliteten *&mu;*. For at lyset skal kunne fritt utbre seg, må det befinne seg i et dielektrisk materiale som er gjennomsiktig.  Slike stoffer er umagnetiske, og man kan derfor med god nøyaktighet sette deres permeabilitet lik med den i vakuum. Det betyr at  =  som også kalles den «magnetiske konstanten».

Det elektriske feltet i en plan bølge med bølgevektor **k** og  vinkelfrekvens *&omega;*  kan skrives som en fasevektor

:  \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)} 

hvis man betrakter det elektriske feltet i bølgen. De andre feltene tilhørende den samme bølgen kan skrives på samme form. Benytter man at en tidsderivasjon &part;/&part;*t*&thinsp; nå vil tilsvare en multiplikasjon med -*i&omega;* og nabla-operatoren **&nabla;** gir en tilsvarende faktor *i*&thinsp;**k**, reduseres de to Maxwell-ligningene til

:  \mathbf{k} \times \mathbf{E} = \omega \mathbf{B},  \;\;\;   \mathbf{k} \times \mathbf{H} = - \omega  \mathbf{D} 

Med **B** = *&mu;*0**H** i den første ligningen, finner man det magnetiske feltet **H** uttrykt ved det elektriske feltet **E**.  Innsatt i den andre ligningen, får man da resultatet

:  (\mathbf{k}\times\mathbf{E})\times\mathbf{k} = k^2\mathbf{E} - \mathbf{k}(\mathbf{k}\cdot\mathbf{E}) = \mu_0\omega^2 \mathbf{D} 

som kan benyttes til å bestemme de elektriske feltene for bølgen. Den er ekvivalent med den elektromagnetiske bølgeligningen i det anisotrope materialet.

### Fresnel-ligningen
En løsning av bølgeligningen vil gi hvordan vinkelfrekvensen *&omega;* varierer med bølgevektoren **k** til den plane bølgen. Dette gjøres mest direkte i det spesielle koordinatsystemet som har akser langs hovedaksene til krystallen. Komponentene til de to feltene er da forbundet med den enkle relasjonen  hvor indeksen *j* tar de tre verdiene *x*, *y* og *z*. Dermed reduseres den sektorielle bølgeligningen til tre vanlige ligninger

:  k^2E_j - (\mathbf{k}\cdot\mathbf{E})k_j = \mu_0\omega^2 D_j 

De danner et homogent, lineært ligningssystem for det elektriske feltet. Ikke-trivielle løsninger for feltkomponentene vil da bare eksistere når determinanten til koeffisientene i ligningene er null. Det gir en ligning som kalles **Fresnel-ligningen**. Den kan benyttes til å finne dispersjonsrelasjonen *&omega;* =  *&omega;*(**k**).

Denne ligningen kan utledes enklere ved å løse ut komponentene til forskyvningsfeltet fra de tre ligningene. Det gir

:  D_j = {\varepsilon_0  k_j n_j^2\over k^2 - (\omega n_j/c)^2} (\mathbf{k}\cdot\mathbf{E}) 

etter å ha innført den kvadrerte lyshastigheten *c*2 = 1/*&epsilon;*0*&mu;*0 i vakuum. Men Gauss' lov  tar nå formen  = 0. Det betyr at vektoren **D** står vinkelrett på bølgevektoren **k**. Dette gjelder derfor også i et anisotropt materiale, men ikke for den elektriske feltvektoren **E**. På denne måten har man dermed Fresnel-ligningen

:  {k_x^2 n_x^2\over  k^2 - (\omega n_x/c)^2} + {k_y^2 n_y^2\over  k^2 - (\omega n_y/c)^2} + {k_z^2 n_z^2\over  k^2 - (\omega n_z/c)^2} = 0 

Dette resultatet kan omskrives på forskjellige former. Benytter man at *k<sub>x</sub>*2 + *k<sub>y</sub>*2 + *k<sub>z</sub>*2 = *k*2, finner man den ekvivalente ligningen

:  {k_x^2\over  k^2 - (\omega n_x/c)^2} + {k_y^2\over  k^2 - (\omega n_y/c)^2} + {k_z^2\over  k^2 - (\omega n_z/c)^2} = 1 

Når ligningen skrives om som et polynom, fremkommer en andregradsligning for *&omega;*2. For hver verdi av bølgevektoren **k**, vil det derfor være to løsninger *&omega;*1 og *&omega;*2. Det at fortegnet til vinkelfrekvensen ikke spiller noen rolle, tilsvarer at for hver slik løsning vil det være en tilsvarende for -&thinsp;**k**.

## Ortogonale løsninger

Hver av de to løsningene *&omega;*1(**k**) og *&omega;*2(**k**) av Fresnel-ligningen kan fremstilles som deler av en sammensatt flate i **k**-rommet med kartesiske koordinater *k<sub>x</sub>*, *k<sub>y</sub>* og *k<sub>z</sub>*. I dette rommet vil en vektor **k** skjære flaten i to punkt som tilsvarer de to løsningene. Denne flaten har i litteraturen ulike navn, men kan kalles «bølgevektorflaten», «bølgenormalflaten» eller ganske enkelt **bølgeflaten**.

For hver slik bestemmelse av de to tillatte vinkelfrekvensene for gitt verdi av bølgatallet, kan så de elektriske feltene **E**1 og  **E**2 bestemmes fra de opprinnelige ligningene. De tilsvarende forskyvningsfeltene  **D**1 og  **D**2 er da ortogonale som betyr at de står vinkelrett på hverandre. Det følger fra

: \begin{align} \mathbf{D}_1\cdot\mathbf{D}_2 &= \varepsilon_0^2  \sum_{j=x,y,z} {k_j n_j^2 \over k^2 - (\omega_1 n_j/c)^2}\cdot{k_j n_j^2 \over k^2 - (\omega_2 n_j/c)^2} (\mathbf{k}\cdot\mathbf{E}_1)(\mathbf{k}\cdot\mathbf{E}_2) \\ &= {\varepsilon_0^2  c^2\over \omega_1 - \omega_2} \sum_{j=x,y,z}\left[{k_j^2 n_j^2 \over k^2 - (\omega_1 n_j/c)^2} - {k_j^2 n_j^2 \over k^2 - (\omega_2 n_j/c)^2}\right] (\mathbf{k}\cdot\mathbf{E}_1)(\mathbf{k}\cdot\mathbf{E}_2)  \end{align}

Men hver av summene her er null på grunn av Fresnels ligning. Dermed har man at . De to løsningene representerer derfor bølger som er polariserte i plan som danner 90&deg; med hverandre.

Vinkelfrekvensen *&omega;* bestemmer  brytningsindeksen *n* til bølgen via fasehastigheten *u* = .  Da løsningene *&omega;*1,2 avhenger av bølgevektoren **k**, vil brytningsindeksen vanligvis i et anisotropt materiale derfor være avhengig av retningen til bølgene. De to løsningene sies å være «ekstraordinære» for å skille dem fra ordinære bølger i isotrope medier hvor brytningsindeksen er den samme i alle retninger.

### Geometrisk konstruksjon

De to planpolariserte løsningene av Fresnel-ligningen kan finnes ved en geometrisk konstruksjon basert på indeksellipsoiden. Et plan gjennom sentrum som har en  flatenormal i samme retning som bølgevektoren **k**, er beskrevet ved ligningen **k**&sdot;**x** = 0.  Da vil skjæringsflaten være en ellipse hvor de to halvaksene peker i de ortogonale retningene tilsvarende vektorene **D**1 og **D**2 som angir polarisjonen til bølgene . Samtidig vil lengden av halvaksene være de to tilsvarende brytningsindeksene  *n*1 og *n*2.

For en generell krystall med hovedbrytningsindekser *n<sub>x</sub>* &ne; *n<sub>y</sub>* &ne; *n<sub>z</sub>* vil planet i to spesielle retninger føre til at snittellipsen blir en sirkel. Disse retningene definerer krystallens  to «optiske akser». De to mulige bølgene langs disse spesielle retningene vil da kunne forplante seg med samme brytningsindeks. Krystallen sies i dette tilfellet å være **toakset**.

## Enaksete krystaller

I mange krystaller er to av hovedindeksene like store. Det er da vanlig å benytte et koordinatsystem slik at disse tilsvarer *x*- og *y*-retningene. En slik krystall vil da bare ha en optisk akse som ved dette koordinatvalget tilsvarer *z*-aksen. I tillegg kalles *n<sub>x</sub>* = *n<sub>y</sub>* for den «ordinære» brytningsindeksen  *n<sub>o</sub>*, mens  *n<sub>z</sub>*  er den «ekstraordinære» indeksen  *n<sub>e</sub>*. Et kvantitativt uttrykk for størrelsen til dobbeltbrytningen en slik krystall kan frembringe er gitt ved differensen

:  \Delta n = n_e - n_o 

Er denne større enn null, sies krystallen å være **postiv**. I motsatt fall er den **negativ**.

Bølgeflaten for en enakset krystall fremkommer fra Fresnel-ligningen som i dette tilfellet kan faktoriseres til å gi

:  \left(\frac{\omega^2}{c^2} - \frac{k_x^2}{n_o^2} - \frac{k_y^2}{n_o^2} - \frac{k_z^2}{n_o^2} \right)\left(\frac{\omega^2}{c^2} - \frac{k_x^2}{n_e^2}  - \frac{k_y^2}{n_e^2} - \frac{k_z^2}{n_o^2} \right) = 0 

Den første faktoren her gir en løsning med brytningsindeks *n<sub>o</sub>* som er uavhengig av rettning til vektoren **k** gitt ved komponentene . Denne delen av bølgeflaten er derfor en kule som tilsvarer den ordinære bølgen.

Men i tillegg har bølgeflaten et annet lag som kommer fra den andre faktoren på venstresiden av ligningen. Settes den lik null, har man

:  {\omega^2\over c^2} = {k_x^2 + k_y^2\over n_e^2} + {k_z^2\over n_o^2} 

som fremstiller en ny, rotasjonssymmetrisk ellipsoide i **k**-rommet. For en postiv krystall som har *n<sub>e</sub>* > *n<sub>o</sub>*, er den sammentrykket ved polene (oblat). Derimot er ellipsoiden for en negativ krystall sammentrukket ved ekvator (prolat). Den fulle bølgeflatene er sammensatt av disse to flatene med den ene inni den andre slik at de berører hverandre ved polene. For positive krystaller ligger kuleflaten inni ellipsoiden og omvendt for negative krystaller.

Hvis **k**-vektoren danner vinkelen *&theta;* med *z*-aksen, er *k<sub>z</sub>* = *k*&thinsp;cos*&theta;*, mens  Ellipsoiden gir derfor opphav til den retningsavhengig  brytningsindeksen

:  {1\over n^2(\theta)} =  {\sin^2\theta\over n_e^2} + {\cos^2\theta\over n_o^2} 

for den ekstraordinære bølgen. Langs den optiske aksen der *&theta;* = 0, blir den like stor som for den ordinære bølgen, . Derimot for en retning normalt på den optiske aksen, blir denne ekstraordinære indeksen lik med  *n<sub>e</sub>*, mens den ordinære løsningen fortsatt har brytningsindeks *n<sub>o</sub>*.

### Polarisasjon

Fra den geometriske konstruksjonen av løsningene følger direkte polarisasjonen til de to løsningene. Ordinære bølger vil alltid være polariserte normalt på den optiske aksen. Ligger den langs *z*-aksen, vil da begge vektorene **E** og **D** være i *xy*-planet. De vil også i dette tilfellet ha samme retning da  Samtidig befinner magnetfeltene seg i det ortogonale planet som den optiske aksen danner sammen med bølgevektoren.

Derimot har ekstraordinære bølger sine elektriske vektorer **E** og **D** i det planet definert av den optiske aksen og bølgevektoren **k**. Men i dette tilfellet har **E** og **D** en liten vinkel seg i mellom. Det magnetiske feltet er nå i *xy*-planet slik at vektoren **H** står vinkelrett både på **E** og **k**.

## Poyntings vektor

Det elektriske forskyvningsfeltet **D** er alltid vinkelrett på bølgevektoren **k**, også i   i en anisotrop krystall. Men da det elektriske feltet **E** ikke alltid har samme retning som **D**, vil heller ikke Poyntings vektor    generelt peke i samme retning som **k**, men danne en vinkel med denne som er like stor som vinkelen mellom **E** og **D**.

Fra Maxwells to ligninger  og  for en plane bølge med bølgevektoren **k**, vinkelfrekvensen *&omega;* uttrykkes ved Poyntings vektor. Multipliseres den første med **H** og den andre med **E**, finner man

:  \omega = {(\mathbf{k}\times\mathbf{E})\cdot\mathbf{H}\over \mathbf{B}\cdot\mathbf{H}} = - {(\mathbf{k}\times\mathbf{H})\cdot\mathbf{E}\over \mathbf{D}\cdot\mathbf{E}}

Her kan de to trippelproduktene i tellerne skrives om til **k**&sdot;(**E**&thinsp;&times;&thinsp;**H**) = **k**&sdot;**S**. Begge nevnerne er derfor like store slik at summen av den elektriske og den magnetiske feltenergitettheten  er ganske enkelt gitt som *U* = **D**&sdot;**E**. Dermed har man den fundamentale sammenhengen

:  \omega = {\mathbf{k}\cdot\mathbf{S}\over U} 

som selvsagt også gjelder for en elektromagnetisk bølge i et isotropt medium der vektorene **k** og **S** er parallelle.

Dette resultatet kan betraktes som en dispersjonsrelasjonen. Den tilhørende gruppehastigheten er dermed

:  \mathbf{v} = \boldsymbol{\nabla}_\mathbf{k} \omega = {\mathbf{S}\over U} 

og er rettet langs Poynting-vektoren som transporterer energien til bølgen. Det er denne retningen som definerer den tilsvarende lysstrålen som kan påvises ved observasjon eller måling. I krystalloptikken blir derfor **v** vanligvis kalt for **strålehastigheten**.

### Spredningsvinkelen
Da bølgeflaten *&omega;* = konstant kan betraktes som en ekvipotensialflate i **k**-rommet, betyr det at vektorene **v** og **S** står vinkelrett på denne flaten. Da den også står vinkelrett på det elektriske feltet **E**, er dette en tangentvektor til bølgeflaten. I tillegg står bølgevektoren **k** vinkelrett på forskyvningsfeltet **D** slik at  vinkelen mellom **k** og **S** er den samme som mellom **D** og **E**.

Vinkelen omtales noen ganger for «spredningsvinkelen»  da den er et uttrykk for hvor mye den ekstraordinære strålen spredes fra den ordinære ved dobbeltbrytning. Hvis den kalles for *&alpha;*, vil da **D**&sdot;**E** = *DE*&thinsp;cos*&alpha;*. Størrelsen til Poyntings vektor er *S* = *EH* der magnetfeltet er bestemt av Maxwell-ligningen  som gir   der  er fasehastigheten til bølgen. Dermed er  slik at

:  \cos\alpha = {u\over v} 

Det kan gis et enkelt, geometrisk argument for dette resultatet. Da en plan bølgefront med retning **k** beveger seg fremover med fasehastigheten *u*, må lysstrålen til et punkt på denne som ligger en vinkel *&alpha;* til siden, bevege seg med en hastighet *v* slik at *u* = *v*&thinsp;cos*&alpha;* for at fronten skal forbli plan.

### Enaksete krystaller

For en enakset krystall er bølgeflaten for den ordinære strålen kuleformet slik at **S** peker i samme retning som **k**. Dermed har den også en strålehastighet som er lik med fasehastigheten, . Den ekstraordinære strålen derimot har en ellipsoideformet bølgeflate som er rotasjonssymmetrisk om den optiske aksen som vanligvis legges langs *k<sub>z</sub>* -aksen.  Da vil Poyntings vektor **S** ikke lenger være parallell med **k** som danner vinkelen *&theta;* med den optiske aksen. Betegner man den tilsvarende vinkelen  for **S** med *&chi;*, vil da differansen  være spredningsvinkelen.

I *k<sub>y</sub>* -planet danner bølgeflaten for den ekstraordinære strålen en ellipse som har en halvakse med lengde *n<sub>e</sub>* langs *k<sub>x</sub>* -aksen,  mens den andre halvaksen  langs *k<sub>z</sub>* -aksen har lengde *n<sub>o</sub>*. Ved å ta den deriverte av ligningen for ellipsen, følger at  . Nå er  lik med stigningstallet for tangenten til ellipsen i punktet  der . Men vektoren **S** står vinkelrett på bølgeflaten, det vil si på denne tangenten. Bortsett fra fortegnet er da tangens til vinkelen *&chi;* som den danner med  *k<sub>z</sub>* -aksen,  derfor like stor som dette stigningstallet,

:  \tan\chi = {n_o^2\over n_e^2}\tan\theta 

Herav kan man finne spredningsvinkelen *&alpha;* uttrykt ved vinkelen *&theta;* for bølgevektoren **k** ved å benytte den trigonometriske identiteten for tangens til en differans av to vinkler. Den gir

:  \tan\alpha = {\tan\theta - \tan\chi\over 1 + \tan\theta\tan\chi} = {(n_e^2 - n_o^2)\tan\theta\over n_e^2 + n_o^2\tan^2\theta}  

og er positiv eller negativ avhengig av differansen  som også bestemmer om krystallen er positiv eller negativ. Det er dette som avgjør om vektoren **k** eller **S** ligger nærmest den optiske aksen.

## Stråleflaten

Spredningsvinkelen bestemmer strålehastighten *v* når fasehastigheten *u* er kjent. Men denne vinkelen kan i allminnelighet ikke uten videre beregnes fra hovedbrytningsindeksene *n<sub>x</sub>*, *n<sub>y</sub>* og *n<sub>z</sub>*. Men på samme måte som Fresnel-ligningen med den tilhørende bølgeflaten gir de tillatte løsningene for brytningsindeksene og dermed for fasehastighetene, kan det utledes en analog ligning som bestemmer de tillatte strålehastighetene. Denne nye ligningen har løsninger som kan fremstilles som punkter på en **stråleflate** som på et vis kan sies å være den «resiproke» bølgeflaten.

Denne nye flaten kan igjen utledes ved å bruke de samme to Maxwell-ligningene for en plan bølge med bølgenormal **k**. Istedenfor å uttrykke forskyvningsfeltet **D** ved det elektriske feltet **E**, skrives disse nå om slik at man kan finne **E** fra **D**. Det kan gjøres ved å benytte at vektorene **S**, **E** og **D** ligger i samme plan. Generelt kan man da skrive vektoren **D** som lineærkombinasjonen

:  \mathbf{D} = p \mathbf{E} + q \mathbf{S} 

hvor koeffisientene *p* og *q* må bestemmes. Ved å benytte at **S** er vinkelrett på **E**, har man med en gang at  slik at  Dermed har man den lineære sammenhengen . Bortsett fra den ennå ukjente faktoren *p*, har den samme struktur som ligningen

:   k^2\mathbf{E} - (\mathbf{k}\cdot\mathbf{E})\mathbf{k} = \mu_0\omega^2 \mathbf{D} 

som ble brukt til å utlede Fresnel-ligningen. Ved å multiplisere denne skalart med **S** og den forrige med **k**, vil en sammenligning av de to resulterende uttrykkene gi at

:  p\mu_0\omega^2S^2 = (\mathbf{k}\cdot\mathbf{S})^2 = k^2S^2\cos^2\alpha 

Dermed er koeffisienten *p* bestemt. Resultatet kan forenkles ved å skrive cosinus til spredningsvinkelen som  = *&omega;*/*kv*. Dermed er  slik at den ønskede, lineære sammenhengen blir

:  S^2\mathbf{D} - (\mathbf{S}\cdot\mathbf{D})\mathbf{S} = {U^2\over\mu_0} \mathbf{E}  

hvor  energitettheten *U* = *S*/*v&thinsp;* opptrer. Igjen har man et lineært ligningssystem for de tre komponentene av det elektriske feltet. Det har bestemte løsninger bare for visse verdier av denne tettheten hvis man antar at strålevektoren **S** er gitt. På denne måten kan også strålehastigheten *v* finnes.

Når man benytter koordinatsystemet gitt ved hovedaksene til permittivitetstensoren der den har de diagonale komponentene *&epsilon;<sub>k</sub>* = *&epsilon;*0*n<sub>k</sub>*2, kan de tre ligningene skrives på formen
 
:  E_k = {\mu_0  S_k c_k^2\over S^2 - (Uc_k)^2} (\mathbf{S}\cdot\mathbf{D}) 

etter å ha innført lyshastighetene *c<sub>k</sub>* = *c*&thinsp;/*n<sub>k</sub>* langs de tre aksene. Da , har man dermed den ene ligningen

:  {S_x^2 c_x^2\over  S^2 - (Uc_x)^2} + {S_y^2 c_y^2\over  S^2 - (Uc_y)^2} + {S_z^2 c_z^2\over  S^2 - (Uc_z)^2} = 0 

til bestemmelse av strålehastigheten i retningen gitt ved **S**. Den har helt samme struktur som Fresnel-ligningen i **k**-rommet og kan sies å være den resiproke (eller *duale*) til denne. For en gitt vektor **S** er den en andregradsligning for energitettheten *U* og har dermed også i allminnelighet to løsninger for denne og den tilhørende strålehastigheten. Løsningene ligger på en sammensatt flate gitt ved *U* = konstant som definerer **stråleflaten** i **S**-rommet.

### Geometrisk konstruksjon

De to løsningene for strålehastigheten *v* kan også finnes ved en geometrisk konstruksjon basert på Fresnel-ellipsoiden på samme måte som fasehastigheten *u* kunne bestemmes fra indeksellipsoden ved å snitte den med et plan gjenom sentrum. Snittplanet  **S**&sdot;**x** = 0 er vinkelrett på strålevektoren **S** og går gjennom sentrum av Fresnel-ellipsoiden som det skjærer i en ellipse. Halvaksene til denne ellipsen har lengder som gir de to løsningene for strålehastigheten målt i enheter av den vanlige lyshastigheten *c*. Samtidig vil retningene til halvaksene angi polarisasjonen for den tilsvarende strålen.

Fresnel-ellipsoiden for en enakset krystall er rotasjonssymmetrisk om den optiske aksen med  *n<sub>x</sub>* = *n<sub>y</sub>* =  *n<sub>o</sub>*. Den ene halvaksen til snittellipsen vil da ha en konstant lengde. Denne representerer den ordinære strålen som brer seg utover med den konstante strålehastigheten  *c*&thinsp;/*n<sub>o</sub>*. Den andre halvaksen har en lengde som varierer med vinkelen *&chi;* som strålevektoren **S** danner med den optiske aksen,

### Enaksete krystaller

Den duale Fresnel-ligningen  forenkles for enaksete krystaller der *c<sub>x</sub>* =  *c<sub>y</sub>* =  *c<sub>o</sub>* = *c*&thinsp;/*n<sub>o</sub>* og *c<sub>z</sub>* = *c<sub>e</sub>* =   Den kan da faktoriseres og tar formen

:  \left(U^2 - \frac{S_x^2}{c_o^2} - \frac{S_y^2}{c_o^2} - \frac{S_z^2}{c_o^2} \right)\left(U^2 - \frac{S_x^2}{c_e^2} -  \frac{S_y^2}{c_e^2} -  \frac{S_z^2}{c_o^2}  \right) = 0 

Andregradsligningen er derfor et produkt av to faktorer som hver for seg beskriver en del av den fulle stråleflaten. Fra den første faktoren ser man at den ordinære strålen sprer seg ut som en kulebølge med den konstante strålehastigheten  *c<sub>o</sub>*. Den andre faktoren beskriver en ellipsoide med halvakser *c<sub>e</sub>*, *c<sub>e</sub>* og *c<sub>o</sub>* i de tre hovedretningene som er stråleflaten for den ekstraordinære bølgen.

Hvis man innfører vinkelen *&chi;* som strålevektoren **S** danner med den optiske aksen, er dens komponent langs denne aksen . Da vil også  =  slik at strålehastigheten  i retning *&chi;* er gitt som

:  {1\over v^2(\chi)} =  {\sin^2\chi\over c_e^2} + {\cos^2\chi\over c_o^2} 

I hvert plan som inneholder den optiske aksen, brer de ekstraordinære strålene seg derfor utover med en hastighet som beskriver en ellipse. Langs den optiske aksen beveger den ordinære og ekstraordinære strålen seg med samme hastighet. Dette resultatet for strålehastigheten har samme form som uttrykket for brytningsindeksen *n*(*&theta;*) i retning *&theta;&thinsp;* for den ekstraordinære bølgen.

## Strålegang i enaksete krystaller

 
Når en lysstråle går gjennom en krystall, vil den vanligvis splittes i to deler. Hver del er polarisert vinkelrett til den andre og beveger seg med ulike hastigheter bestemt av retningene til de optiske aksene.  Denne strålegangen kan enklest beskrives for enaksete krystaller. Det er også de som er vanligvis blir benyttet i praktiske sammenhenger basert på slik dobbeltbrytning.

I det enkleste tilfellet faller lyset vinkelrett på en sideflate til krystallen med den optiske aksen i innfallsplanet. Er den og loddrett på sideflaten, vil både den ordinære og den ekstraordinære bevege seg langs denne aksen. De vil derfor ha samme hastighet og følge samme, rette linje gjennom krystallen.

Hvis derimot den optiske aksen er parallell med sidekanten, vil de to bølgene bevege seg vinkelrett på den optiske aksen. De to resulterende strålene med motsatt polarisasjon forplanter seg derfor  inn i krystallen i samme retning, men med ulike hastigheter *c*&thinsp;/*n<sub>o</sub>* og *c*&thinsp;/*n<sub>e</sub>*. Denne viktige effekten blir gjort nytte av i forskjellige polarisatorer.

Når man beskriver utbredelse av bølgen ved bruk av Huygens-Fresnels prinsipp, vil hvert punkt på den innkommende bølgefronten gi opphav til nye elementærbølger som bygger opp en ny bølgefront inni krystallen. De ordinære elementærbølgene beveger seg med samme hastighet *c*&thinsp;/*n<sub>o</sub>* i alle retninger og utgjør en kulebølge. Men de ekstraordinære elementærbølgene har en strålehastighet *v*(*&chi;*) som varierer med retningen og vil gi en utbredelse med samme form som den tilsvarende stråleflaten, det vil si en ellipse i innfallsplanet. Likevel vil de i dette tilfellet bygge opp en ny bølgefront som blir parallell med sideflaten. Ved Huygens konstruksjon er den tangenten til alle disse ellipseformede strålefrontene. Den tilsvarende strålevektoren **S** står derfor også vinkelrett på krystallens sideflate og er parallell med bølgevektoren **k**.

### Snells brytningslov

I begge disse tifellene med lys som faller loddrett inn på en sideflate, er det antatt at bølgeretningen inne i krystallen har samme retning. Dette er en konsekvens av Snells brytningslov når den generaliseres til dette tilfellet hvor den brutte bølgen består av to deler, hver med sin egen brytningsindeks. Den ordinære bølgen som er polarisert vinkelrett på planet som inneholder den optiske aksen, har brytningsindeksen *n*0 som er en konstant. Men den ekstraordinære bølgen som er polarisert i dette planet, har en brytningsindeks *n*(*&theta;*) som varierer med vinkelen som bølgevektoren danner med den optiske aksen.

For begge bølgene kan den tilsvarende brytningsloven utledes ved bruk av grensebetingelsene for feltene i overgangen fra luft til krystall på samme måte som for vanlig lysbrytning. Setter man brytningsindeksen i luft lik med en, vil da brytningsvinkelen *&theta;**o*2&thinsp; for den ordinære bølgen være gitt ved

:  \sin\theta_1 = n_o\sin\theta_{o2} 

der *&theta;*1 er innfallsvinkelen.  Dette er den vanlige brytningsloven. På samme måte blir brytningsvinkelen *&theta;**e*2&thinsp; for den ekstraordinære bølgen bestemt ved ligningen

:  \sin\theta_1 = n(\theta)\sin\theta_{e2} 

hvor nå *&theta;* vil avhenge av denne brytningsvinkelen. Derfor kan denne ligningen bare løses tilnærmet ved numeriske metoder. Men i det spesielle tilfellet med loddrett innfall, blir begge brytningsvinklene null som allerede antatt.

At de to brytningsvinklene er null for loddrett innfall gjelder også når den optiske aksen ligge i samme plan, men danner en vinkel med sideflaten. Denne vinkelen er da også vinkelen *&theta;* mellom **k**-vektor for den ekstraordinære bølgen og den optiske aksen. Den tilsvarende, ekstraordinære strålen vil da danne vinkelen *&alpha;*  med innfallsretningen gitt ved det etablerte resultatet

:  \tan\alpha  = {(n_e^2 - n_o^2)\tan\theta\over n_e^2 + n_o^2\tan^2\theta}  

Stråleretningen **S** ligger derfor nærmere eller lenger fra den optiske aksen enn bølgevektoren **k** avhengig av om krystallen er positiv eller negativ. I dette spesielle tilfellet med loddrett innfall splittes derfor den innkommende strålen i to ved å trenge inn i krystallen. Den ordinære strålen fortsetter rett frem, mens den ekstraordinære går ut til siden i en retning gitt ved denne vinkelen.

### Skjevt innfall

Mer komplisert er det å beregne retningen til den ekstraordinære strålen når det innfallende lyset danner en vinkel *&theta;*1 > 0 med innfallsloddet. Det enkleste tilfellet fremkommer når den optiske aksen står vinkelrett på sideflaten. Bølgevektoren til denne strålen danner da samme vinkel *&theta;*2 med innfallsloddet som med den optiske aksen slik at . Ved å benytte uttrykket

:  n(\theta) = {n_o n_e\over\sqrt{ n_o^2\sin^2\theta + n_e^2\cos^2\theta}}\; , 

i Snells lov for denne ekstraordinære strålen, har dens bølgevektor inni krystallen en retning *&theta;*2 som er implisitt gitt ved ligningen

:  \sin\theta_1 = {n_o n_e\tan\theta_2\over\sqrt{n_e^2 + n_o^2\tan^2\theta_2}} 

Den kan kvadrereres og dermed lett løses med resultatet

:  \tan\theta_2 = {n_e\sin\theta_1\over n_o\sqrt{n_e^2 - \sin^2\theta_1}} 

Når denne vinkelen er kjent, finnes retningen til den ekstraordinære stråleretningen fra den generelle sammenhengen  \tan\chi = (n_o^2/n_e^2)\tan\theta  som gir

:  \tan\chi = {n_o\sin\theta_1\over n_e\sqrt{n_e^2 - \sin^2\theta_1}} 

Samme resultatet kommer man frem til ved å betrakte denne retningen slik som når den bestemmes ved  Huygens konstruksjon.

## Se også

* Lysbrytning
* Dobbeltbrytning

## Referanser


## Litteratur

* E.A. Wood, *Crystals and Light: An Introduction to Optical Crystallography*, Dover Publications, New York (1977). ISBN 0-486-23431-2.