Normert vektorrom

Et **normert vektorrom** er i matematikk et vektorrom der det er definert en norm, det vil si et lengdemål for vektorene. Ett og samme vektorrom kan være utgangspunkt for flere normerte rom, ved å bruke forskjellige normer.

Et normert vektorrom er en spesiell type metrisk rom, der normen også definerer en metrikk i rommet. Denne metrikken definerer også en topologisk struktur i rommet. Et indreproduktrom kan gjøres til et normert vektorrom ved å definere normen fra indreproduktet.Normen gjør det mulig å studere egenskaper som kontinuitet og konvergens i rommet.

Et *komplett* normert vektorrom kalles et banachrom og er et vektorrom der alle cauchyfølger konvergerer mot en grense som også ligger i rommet. 

Studiet av normerte vektorrom og banachrom er en viktig del av det matematiske emneområdet funksjonalanalyse.  

## Definisjon
La V være et vektorrom over en kropp K, der K er enten \mathbb{R} eller \mathbb{C}. Vektorrommet er normert dersom det er definert en norm på V, det vil si en funksjon \lVert \cdot \rVert : V \to [0, \infty) med følgende egenskaper

:# \lVert x \rVert \geq 0  for alle x \in V med likhet hvis og bare hvis x = 0;
:# \lVert \alpha x \rVert = | \alpha | \lVert x \rVert  for alle \alpha \in K og alle x \in V; 
:# \lVert x + y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert  for alle x, y \in V. 

Den siste ulikheten kalles *trekantulikheten*.

En undermengde av et normert vektorrom kalles et *underrom* dersom det er lukket under de same operasjonene som i vektorrommet samt at det er utstyrt med samme norm som i vektorrommet.

### Eksempler

Mengden av reelle tall \mathbb{R} med normen definert fra absoluttverdien \Vert x \rVert = |x| er et normert vektorrom.

Mengden \mathbb{R}^3 med den euklidske normen er et normert vektorrom. Den euklidske normen i dette rommet er definert ved

:\|v\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \qquad v = (x,y,z).

Mengden av alle kontinuerlige funksjoner f: [0,1] \to \mathbb{R} kan gjøres til et normert vektorrom ved å definere normen

:\lVert f \rVert = \max_{t \in [0,1]} f(t) 

## Topologi i et normert vektorrom

Fra normen kan en definere en metrikk ved

:d(x,y) = \lVert x - y \rVert .

Metrikken definerer et globalt avstandsmål i rommet.  En definert metrikk i en mengde vil alltid introdusere en topologisk struktur.

Med normen som metrikk i rommet kan en studere egenskaper til elementene: i funksjonsrom ulike former for kontinuitet og derivasjon, i rom av følger ulike typer konvergens.

## Lineære transformasjoner og duale rom
Mengden av kontinuerlige, lineære transformasjoner mellom to vektorrom T: V \to W kan også definere et vektorrom. Dette rommet kan gjøres normert ved å definere en norm basert på normene i de to involverte vektorrommene:

:\|T\| = \sup_{v \ne 0} \frac{\| Tv\| }{\|v\|}  = \sup_{\|v\| = 1} \| Tv\|  .

Denne normen kalles *operatornormen* for transformasjonene.  Når både V og W har endelig dimensjon, så har T en matriserepresentasjon, og operatornormen er lik spektralnormen.

Mengden av kontinuerlige, lineære funksjonaler på et normert vektorrom V kalles det *normerte* duale rom (normerte dualen, normerte konjungerte) til vektorrommet.  Normen til en funksjonal l(x) er gitt ved

:\lVert l \rVert = \sup_{\lVert x \rVert = 1} | l(x) | \qquad x \in V.

Det duale rommet til V skrives ofte som V^*. Siden dette også er et vektorrom har det igjen et dualt rom V^{**}, og dette kalles den andre dualen til V. Duale rom har mange anvendelser i deler av matematikk som bruker vektorrom.  Sammenhengen mellom (normerte) vektorrom og duale rom studeres i funksjonalanalyse.
  
Et normert vektorrom er *refleksivt* dersom den andre dualen er lik rommet selv: V^{**} = V. Eksempler på refleksive normerte rom er \mathbb{R}^n og rommet av polynom med rasjonale koeffisienter.  

Et viktig teorem om lineære funksjonaler på et normert vektorrom er Hahn–Banach-teoremet.  

## Banachrom

Et banachrom er et normert vektorrom der alle cauchyfølger konvergerer mot en grense i rommet.  Det vil si at et banachrom er et *komplett*, normert vektorrom.

Dualen til et normert vektorrom er et banachrom.

## Indreproduktrom som normerte vektorrom

Et indreproduktrom kan gjøres til et normert vektorrom ved å definere normen fra indreproduktet:

:\|x\| = \langle x,x \rangle^{1/2} \, .

## Referanser



## Litteratur

*

## Se også

* Struktur (matematikk)