Babinets prinsipp

**Babinets prinsipp** sier at intensiteten til lys som avbøyes ved Fraunhofer-diffraksjon på grunn av en hindring, er den samme som fremkommer for den komplementære hindringen. Denne er da definert slik at den sammen med den opprinnelige hindringen ikke slipper gjennom noe lys. 

Hvis for eksempel hindringen er en tynn tråd, vil den komplementære hindringen være en smal spalte i en vegg med samme bredde som tråden. Diffraksjonsmønsterene for disse to situasjonene vil derfor være de samme. Omvendt vil en åpning i en vegg som kombineres med den komplementære åpningen, gi ingen hindring  av lyset. Generelt  definerer én eller flere åpninger en tilsvarende hindring.

Prinsippet gjelder ikke helt på samme måte for Fresnel-diffraksjon som må benyttes når lyset observeres nærmere hindringen. Da har man i stedet en direkte sammenheng mellom amplitudene for de to komplementære situasjonene. Men de resulterende intensiteter vil i alminnelighet da være forskjellige.

Disse forholdene ble undersøkt av den franske fysiker Jacques Babinet på midten av 1800-tallet. Han studerte i tillegg mange andre, optiske fenomen.

## Utledning

Diffraksjon ble opprinnelig forklart ved Huygens-Fresnels prinsipp hvor man tenkte seg at en bølgefront beveger seg ved å sende ut sekundære kulebølger i hvert punkt. Ved interferens mellom disse bygges så opp en senere bølgefront. Denne beskrivelsen fikk senere en mer matematisk utforming som Kirchhoffs diffraksjonsteori ved at den fremkom som en løsning av bølgeligningen. 

Denne teoretiske fremstilling omhandler monokromatisk lys med en viss bølgelengde. Dette sendes mot en veg med en åpning *S* med koordinater (*x'&thinsp;*,*y'&thinsp;*). Amplituden til bølgen bak veggen er nå gitt ved integralet

:  E(x, y, z) =  - {i\over \lambda}\iint_S \! dx'dy' E(x', y', 0) \frac{e^{ikr}}{r}   

hvor *r&thinsp;* er avstanden fra punktet (*x'&thinsp;*,*y'&thinsp;*) i åpningen til observasjonspunktet (*x*,*y*,*z*). Istedenfor bølgelengden *&lambda;* opptrer her bølgetallet  i eksponenten til den lokale kulebølgen. Her  vil amplituden *E*(*x'&thinsp;*,*y'&thinsp;*,0) i åpningen være konstant når det innkommende lyset er en plan bølge  *E*0&thinsp;*e**ikz*&thinsp; langs *z*-aksen.  Den observerte intensiteten av det avbøyde lyset er nå gitt ved kvadratet av absoluttverdien til den modifiserte amplituden.

Diffraksjonsamplituden *E<sub>C</sub>&thinsp;*(*x*,*y*,*z*) for den komplementære åpningen *S<sub>C</sub>&thinsp;* er gitt ved det tilsvarende integralet. Summen av disse to blir da

: \begin{align}  E(x, y, z) + E_C(x,y,z) &=  - {i\over \lambda} E_0 \iint_{-\infty}^\infty \! dx'dy' \frac{e^{ikr}}{r} \\ & = E_0 \, e^{ikz}  \end{align}

da de to åpningene tilsammen fjerner i praksis hele veggen eller hindringen. Det gjenstående integralet på høyre side gir da bare en forflytning av den innkommende, plane bølgen.  Intensiteten av diffraksjonsbildet til den komplementære åpningen blir nå

:  I_C(x,y,z) =  |E_0 \, e^{ikz} -  E(x, y, z) |^2 

Det inneholder interferensledd mellom de to termene slik at diffraksjonsbildet  blir forskjellig fra bildet av den opprinnelige åpningen.

### Eksempel

På aksen til en sirkulær åpning kan diffraksjonsamplituden regnes ut eksakt.  Når den har radius *a*, blir  resultatetet

:  E(0,0,z) =   E_0\big( e^{ikz}  - e^{ik\sqrt{a^2 + z^2}}\big) 

Den komplementære åpningen er nå en skive med samme radius. Babinets prinsipp sier nå at den gir opphav til amplituden

:  E_C(0,0,z) = E_0e^{ik\sqrt{a^2 + z^2}} 

Intensiteten på aksen bak skiven er derfor konstant. Den betyr et lysende punkt i et ellers mørkt område og kalles for Poissons flekk. Historisk betydde den eksperimentelle bekreftelse på dette matematiske resultatetet til Augustin Fresnel  mye for at lys ble akseptert  å være et bølgefenomen.

### Fraunhofer-diffraksjon

Diffraksjonsamplituden på aksen (*x* = 0,*y* = 0)  bak en skive tilsvarer avbøyning i fremoverretning *&theta;* = 0. I retninger  bort fra denne kan ikke amplituden vanligvis beregnes analytisk, men må finnes ved numeriske metoder i det generelle tilfellet med slik Fresnel-diffraksjon. Men i store avstander fra denne eller andre hindringer kan det generelle diffraksjonsintegralet  forenkles. Man har da  Fraunhofer-diffraksjon som ofte tillater en analytisk beregning i retninger *&theta;* > 0.

Denne approksimasjonen kan gjøres når Fresnel-tallet *F* &le; 1. Integralet tar da den enklere formen

:  E(x, y, z) =  - {i\over \lambda z} \int_S \! dx'dy' E(x', y', 0)\, e^{- ik(xx' + yy')/z} 

og tilsvarende for den komplementære åpningen. Med en innkommende, plan bølge  blir nå summen av disse to amplitudene 

: \begin{align}  E(x, y, z) + E_C(x,y,z) &=  - {i\over \lambda z} E_0 \iint_{-\infty}^\infty \! dx'dy' \, e^{- ik(xx' + yy')/z}  \\ & = -i\lambda z E_0\, \delta(x)\delta(y) \end{align}

når man gjør bruk av Diracs deltafunksjon. Den uttrykker verdien av integralet

:  \int_{-\infty}^\infty\!{du\over 2\pi} e^{iAux} =  \delta(Ax) = {1\over A}\delta(x) 

Da funksjonen er null for alle argument *x* &ne; 0, betyr det at summen av de to amplitudene også er null i alle retninger bortsett fra i fremoverretning. Men da denne er eksperimentelt utilgjengelig på grunn av det innkommende lyset, er de to amplitudene like store, men med motsaatt fortegn. Intensiteten bak en åpning er derfor den samme som bak den komplementære åpningen ved Fraunhofer-diffraksjon.

## Referanser


## Eksterne lenker
* M. Kohl, ''Babinet'sche Theorem: Das Beugungsmuster von Draht und Spalt sind gleich!'', YouTube video som viser eksperimentelt at diffraksjonsbildet fra tråd og komplementær spalte er det samme.

*  Farside, ''Babinet's Principle'' forelesninger ved University of Texas.