Termodynamisk beta

I statistisk termodynamikk er **termodynamisk beta**, også kjent som **kulde**, resiprok av den termodynamiske temperaturen til et system:

: \beta = \frac{1}{k_{\rm B}T}

Hvor:

: T er temperaturen
: k_B er Boltzmanns konstant

Den ble opprinnelig introdusert i 1971 (som Kältefunktion "kaldhetsfunksjon") av Ingo Müller, en av forkjemperne for den rasjonelle tankegang, basert på tidligere forslag om en "gjensidig temperatur" -funksjon.

Termodynamisk beta har enheter resiprok med energien (i SI-enhet, resiprokjoule, [\beta] =  \textrm{J}^{-1}). I ikke-termiske enheter kan den også måles i byte per joule, eller mer praktisk, gigabyte per nanojoule; 1 K−1 tilsvarer omtrent 13 062 gigabyte per nanojoule; i romtemperatur:  = 300K, &#x3B2; ≈  ≈  ≈ . Konverteringsfaktoren er 1 GB/nJ = 8\ln2\times 10^{18} J−1.

## Beskrivelse
Termodynamisk beta er egentlig forbindelsen mellom informasjonsteorien og statistisk mekanikkfortolkning av et fysisk system gjennom dets entropi og termodynamikken knyttet til energien. Det uttrykker entropiens respons på en økning i energi. Hvis et system utfordres med en liten mengde energi, beskriver β mengden systemet vil randomisere.

Via den statistiske definisjonen av temperatur som en funksjon av entropi, kan kuldefunksjonen beregnes i det mikrokanoniske ensemblet fra formelen

: 
\beta = \frac1{k_{\rm B} T} \,  =\frac{1}{k_{\rm B}}\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_{V, N}

(dvs. delvis derivat av entropien *S* med hensyn til energien *E* ved konstant volum *V* og partikkelnummer *N*).

### Fordeler
Selv om β er fullstendig ekvivalent i konseptuelt innhold med temperatur, anses β generelt som en mer grunnleggende mengde enn temperatur på grunn av fenomenet negativ temperatur, der β er kontinuerlig når den krysser null, mens T har en egenart.

I tillegg har β fordelen av å være lettere å forstå årsaksvis: Hvis en liten mengde varme tilsettes et system, er β økningen i entropi delt på økningen i varme. Temperatur er vanskelig å tolke i samme forstand, da det ikke er mulig å "legge til entropi" til et system bortsett fra indirekte, ved å modifisere andre størrelser som temperatur, volum eller antall partikler.

## Statistisk tolkning
Fra et statistisk synspunkt er β en numerisk størrelse som relaterer to makroskopiske systemer i likevekt. Den eksakte formuleringen er som følger. Tenk på to systemer, 1 og 2, i termokontakt, med respektive energier E1 og E2. Vi antar at E1 + E2 =konstant  E. Antall mikrotilstander i hvert system vil bli betegnet med Ω1 og Ω2. Under våre antakelser avhenger Ωi bare av Ei. Vi antar også at en hvilken som helst mikrotilstand i system 1 som er i samsvar med E1 kan eksistere sammen med hvilken som helst mikrotilstand i system 2 som er i samsvar med E2. Dermed er antallet mikrotilstander for det kombinerte systemet

: \Omega = \Omega_1 (E_1) \Omega_2 (E_2) = \Omega_1 (E_1) \Omega_2 (E-E_1)  . \,

Vi vil utlede β fra den grunnleggende antagelsen om statistisk mekanikk:

: *Når det kombinerte systemet når likevekt, maksimeres tallet Ω.*

(Med andre ord søker systemet naturlig nok det maksimale antallet mikrostater.) Derfor, ved likevekt,

: 
\frac{d}{d E_1} \Omega = \Omega_2 (E_2)  \frac{d}{d E_1} \Omega_1 (E_1) + \Omega_1 (E_1) \frac{d}{d E_2} \Omega_2 (E_2) \cdot \frac{d E_2}{d E_1} = 0.


Men *E*1 + *E*2 = *E* tilsier

: \frac{d E_2}{d E_1} = -1.

Så

: \Omega_2 (E_2)  \frac{d}{d E_1} \Omega_1 (E_1) - \Omega_1 (E_1) \frac{d}{d E_2} \Omega_2 (E_2) = 0


det vil si

: 
\frac{d}{d E_1} \ln \Omega_1 = \frac{d}{d E_2} \ln \Omega_2 \quad \mbox{ved likevekt.}  


Ovennevnte forhold motiverer en definisjon av β:

: \beta =\frac{d \ln \Omega}{ d E}.

## Forbindelse av statistisk visning med termodynamisk utsikt
Når to systemer er i likevekt, har de samme termodynamisk temperatur * T *. Dermed ville man intuitivt forvente at * β * (som definert via mikrotilstander) på en eller annen måte var relatert til * T*. Denne lenken er gitt av Boltzmanns grunnleggende antagelse skrevet som

: S = k_{\rm B} \ln \Omega, \,

hvor *k*B er Boltzmann-konstanten, S er den klassiske termodynamiske entropien, og Ω er antallet mikrotilstander. Så

: d \ln \Omega = \frac{1}{k_{\rm B}} d S .

Å erstatte definisjonen av β fra den statistiske definisjonen ovenfor gir

: \beta = \frac{1}{k_{\rm B}} \frac{d S}{d E}.

Sammenligning med termodynamisk formel

: \frac{d S}{d E} = \frac{1}{T} ,

vi har

: \beta = \frac{1}{k_{\rm B} T} = \frac{1}{\tau}

hvor \tau kalles systemets grunntemperatur, og har energienheter.

## Referanser