Greens funksjon

**Green-funksjoner** anvendes for å løse inhomogene differensialligninger med bestemte randbetingelser. De kan finnes som en spesiell løsning av en slik ligning og kan så brukes til å gi nye løsninger ved direkte integrasjoner. 

Slike funksjoner har fått sitt navn etter den engelske matematiker George Green (1793–1841) som introduserte dem på begynnelsen av 1800-tallet. Han benyttet dem for å besvare ulike, teoretiske spørsmål som omhandlet elektriske og magnetiske felt i forskjellige, praktiske sammenhenger. Resultatene han kom frem til trykket han opp på egen hånd i 1828 og de forble lite kjent inntil 1845 da de ble oppdaget av William Thomson, senere kjent som Lord Kelvin. Kelvin fikk dem publisert i den anerkjente *Crelles Journal&thinsp;* i Tyskland. De vakte da stor oppmerksomhet og ble etter hvert omtalt som «Greens funksjoner» etter at Riemann hadde benyttet dette navnet.

I årene som fulgte viste funksjonene seg å være svært anvendelige i mange andre sammenhenger. Dette gjaldt blant annet for elektromagnetiske problem etter at Maxwells ligninger ble etablert rundt 1860. Da Schrödinger-ligningen for kvantemekaniske partikler ble formulert rundt 1925, ble Green-funksjoner igjen anvendt til å beskrive deres spredning. En spesiell viktig rolle fikk de noen år senere i moderne kvantefeltteori der de omtales som propagatorer og beskriver bevegelsen til vekselvirkende elementærpartikler i overensstemmelse med  Einsteins relativitetsteori.

## Definisjon

Betydningen av det elektriske potensialet for forståelsen av elektrostatiske problem kan føres tilbake til Green. Det var viktig å kunne beregne dette i forskjellige posisjoner for gitte fordelinger av elektrisk ladning i nærvær av begrensende flater. Ved å bevise et spesielt resultat i vektoranalyse som i dag omtales som Greens identitet, kunne han etablere en generell fremgangsmåte for å løse slike problem. Denne ble senere omtalt som bruk av «Greens funksjon». Det viste seg snart at slike funksjoner kunne finnes for andre differensialligninger enn for Poissons ligning som bestemmer det elektriske potensialet under statiske forhold.

En lineær differensialligning som skal løses, kan skrives på formen

:  \hat{L} \psi(x) - \lambda  \psi(x) = f(x) 

der  \hat{L}  er en generell derivasjonsoperator, *&lambda;* er en konstant og  f(x)  er et kjent, inhomogent ledd,  Green-funksjonen  G(x,x')  for denne ligningen kan betraktes som en respons i et punkt *x&thinsp;* til noe som skjer i punktet *x*'. Den er da definert ved samme ligning, men med et inhomogent ledd som er gitt ved Diracs deltafunksjon, 

:  \hat{L} G(x,x') - \lambda G(x,x') = \delta(x - x') 

Da funksjonen vil avhenge av parameteren *&lambda;*, skrives den også som  G(x,x';\lambda).  Når denne Green-funksjonen er funnet, er løsningen av den aktuelle differensialligningen gitt som

:  \psi(x) = \int\! dx'\, G(x,x') f(x') 

Det verifiseres ved å benytte den sentrale egenskapen

:  \int\! dx'\delta(x - x') f(x') = f(x) 

ved deltafunksjonen. Hvis den søkte løsningen skal oppfylle grensebetingelser, kan disse anvendes ved bestemmelsen av Green-funksjonen. For eksempel, hvis man må ha at  \psi(x = a) = 0,  kan dette kravet oppfylles ved å forlange at  G(a,x') = 0.  Mer kompliserte grensebetingelser kan også bygges inn i denne funksjonen på tilsvarende måter.

### Enkelt eksempel

En partikkel med masse *m* kan bevege seg i et medium, men bremses med en kraft som er proporsjonal med hastighen *v*. Hvis den i tillegg påvirkes av en ytre kraft *f*&thinsp;(*t&thinsp;*), skal dens hastighet *f*&thinsp;(*t&thinsp;*) finnes som funksjon av tiden. Man kan anta at den er i ro inntil *t* = 0 da kraften begynner å virke.

Da bevegelsen vil foregå i én bestemt retning, sier Newtons andre lov at partikkelens hastighet kan finnes av differensialligningen

:  m{dv\over dt} +  kv = f(t) 

Green-funksjonen oppfyller samme ligning bare med en delta-funksjon *&delta;*(*t* - *t'&thinsp;*) på høyre side. Det tilsvarer at partikkelen ved tiden *t* = *t'&thinsp;*  blir utsatt for et støt som gir den en kraftimpuls. Dermed blir dens hastighet plutselig forandret fra null til . På grunn av friksjonen avtar denne ifølge ,  det vil si eksponensielt. Det tilsvarer at Green-funksjonen er

:   G(t,t') =  {1\over m}e^{- k(t - t')/m}  

for *t* > *t*', mens den er null ved tidligere tidspunkt. Med denne løsningen varierer partikkelens hastighet dermed som

:  v(t) =  {1\over m} \int_0^t \! dt' e^{- k(t - t')/m} f(t') 

når den blir utsatt for en vilkårlig kraft som begynner å virke ved tidspunktet *t* = 0.

## Formell løsning

Man kan anta at operatoren  \hat{L}  har  egenfunksjoner  u_n(x)  og tilsvarende 
egenverdier  \lambda_n definert ved

:  \hat{L} u_ n(x) = \lambda_n u_n(x)  

Egenfunksjonene kan da ortonormeres slik at

:  \int\!dx\, u_n^*(x)u_{n'} (x) :=  (u_n, u_{n'}) = \delta_{nn'} 

De utgjør et «fullstendig sett» som betyr at

:  \sum_n u_n(x)u_n^*(x') = \delta(x - x') 

En generell funksjon kan nå skrives som

:  \psi(x) = \sum_n a_n u_n(x) 

hvor koeffisientene er gitt som  a_n = (u_n,\psi).  I den gitte differensialligningen kan man utvikle det inhomogene leddet  på samme måte med koeffisienter  b_n = (u_n, f).   Den gir da at  a_n = b_n/(\lambda_n - \lambda).   På den måten har man resultatet

: \begin{align} \psi(x) &= \sum_n {b_n u_n(x) \over \lambda_n - \lambda} \\ & = \sum_n \int\! dx' {u_n^*(x') f(x') u_n(x) \over \lambda_n - \lambda} \end{align} 

da det betyr at Green-funksjonen formelt er gitt som

:  G(x,x') = \sum_n {u_n(x)u_n^*(x') \over \lambda_n - \lambda} 

Grensebetingelsene som skal være oppfylt, må nå benyttes i bestemmelse av egenfunksjonene.

## Tvungen svingning

En dempet,  harmonisk oscillator som er utsatt for en ytre kraft, er beskrevet ved en bevegelsesligning på formen

:  {d^2x\over dt^2} + 2\gamma {dx\over dt} + \omega_0^2 x = f(t) 

der *&omega;*0 er dens egenfrekvens. Green-funksjonen for dette systemet tilsvarer utslaget *x*(*t*&thinsp;) for en kraft  som beskriver et støt ved tiden . Det gir oscillatoren en hastighet  når man antar at den opprinnelig ligger i ro i likevektsposisjonen  Etter dette tidspunktet virker ikke denne kraften mer og utslaget er en dempet svingning med frekvens  \Omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} . Det gir Green-funksjonen

:  G(t - t') = {1\over\Omega}e^{-\gamma(t - t')} \sin\Omega(t - t')  

for *t* > *t'&thinsp;*, mens den er null for tidligere tidspunkt. Ved bruk av denne kan nå utslaget til oscillatoren finnes for en vilkårlig, påtrykt kraft. 

Av spesiell interesse er en ytre, harmonisk kraft *f*(*t*&thinsp;) = *b*&thinsp;cos*&omega;t*. Det gir da en  tvungen svingning

: \begin{align} x(t) &=  {b\over\Omega}\int_{-\infty}^t \! dt' e^{-\gamma(t - t')} \sin\Omega(t - t') \cos\omega t' \\ &= {b\over R}\cos(\omega t - \theta) \end{align} 

hvor amplituden er bestemt av  R = \sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}  og faseforskyvningen mellom kraft og utslag  er gitt ved vinkelen  \tan\theta = 2\gamma\omega/ (\omega_0^2 -\omega^2).  Dette resultatet beskriver resonans som opptrer i slike svingende systemer når den påtrykte frekvensen *&omega;&thinsp;* blir lik systemets egenfrekvens *&omega;*0.

### Formell metode

Ligningen for Green-funksjonen for den dempete oscillatoren kan skrives som

:  \hat{L} G(t,t') + \omega_0^2 G(t,t') = \delta(t - t') 

hvor den lineære differensialoperatoren er 

:  \hat{L} =   {d^2 \over dt^2} + 2\gamma {d\over dt}  

Den har egenfunksjoner  u_\omega(t) = e^{-i\omega t}  med egenverdier  \lambda _\omega = - \omega^2 - 2i\gamma\omega. Green-funksjon er da gitt ved integralet

:  G(t - t') = \int_{-\infty}^\infty\! {d\omega\over 2\pi} {e^{-i\omega (t - t')} \over \omega_0^2  - 2i\gamma\omega-  \omega^2}  

Det kan gjøres ved kompleks konturintegrasjon som må lukkes i nedre halvplan når , Der har nevneren i integranden to poler for  \omega = -i\gamma \pm \Omega  som gir tilbake det tidligere uttrykket for Green-funksjonen. Når  må integrasjonskonturen lukkes i øvre halvplan. Men der har integranden ingen poler slik at funksjonen er null som forventet i dette tilfellet.

### Fourier-transformasjon

Den formelle fremgangsmåten er ekvivalent med å beregne den Fourier-transformerte av utslaget,

:  x(t) =  \int_{-\infty}^\infty\! {d\omega\over 2\pi} x(\omega)\, e^{-i\omega t} 

Når den drivende kraften transformeres på samme måte, gir bevegelsesligningen for oscillatoren at

:  x(\omega) = {f(\omega)  \over \omega_0^2  - 2i\gamma\omega - \omega^2}  

Da Fourier-komponenten til kraften er

:  f(\omega) = \int_{-\infty}^\infty\! dt' f(t')\,  e^{i\omega t'} , 

finner man igjen samme formel som tidligere for Green-funksjonen.

## Poissons ligning

Det elektriske potensialet &Phi;(**x**) som er skapt av en statisk ladningsfordeling *&rho;*(**x**), kan finnes fra Poisson-ligningen

:  \nabla^2 \Phi(\mathbf{x}) = - {1\over\varepsilon_0} \rho(\mathbf{x}) 

der *&epsilon;*0 er den elektriske konstanten. En ligning av samme form beskriver gravitasjonspotensialet fra en gitt massefordeling. Begge ligningene kan løses ved å finne Green-funksjonen for Laplace-operatoren på venstre side av ligningen. Den skal tilfredsstille

:  \nabla^2 G(\mathbf{x},\mathbf{x}') =  \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}') 

og tilsvarer potensialet fra en enkelt ladning i punktet **x'&thinsp;**. Når denne ladning befinner seg fritt langt borte fra begrensende flater, er derfor

:  G(\mathbf{x},\mathbf{x}') = - {1\over 4\pi |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|} 

Potensialet fra en vilkårlig ladningsfordeling er dermed

:  \Phi(\mathbf{x}) =  \int d^3 x'{\rho(\mathbf{x}')\over 4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|}.  

En formell beregning av denne Green-funksjonen ville tatt utgangspunktet i egenfunksjonene  u_\mathbf{k} = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}  til Laplace-operatoren. De danner et fullstendig sett på den måten at

:  \int\! {d^3k\over (2\pi)^3} e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{x} - \mathbf{x}')} =  \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}') 

når man benytter definisjonen av Diracs deltafunksjon. Siden de tilsvarende egenverdiene for disse funksjonene er  \lambda_\mathbf{k} = - \mathbf{k}^2,  kan derfor Green-funksjonen skrives som

:   {1\over 4\pi |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|} = \int\! {d^3k\over (2\pi)^3} {1\over \mathbf{k}^2} e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{x} - \mathbf{x}')} 

Denne sammenhengen uttrykker derfor den Fourier-transformerte av Green-funksjonen til Poisson-ligningen.

## Helmholtz' ligning

Både i den klassiske fysikk og i kvantemekanikken opptrer  den inhomogene Helmholtz-ligningen 

:  (\nabla^2 + p^2) U(\mathbf{x}) = J(\mathbf{x}) 

i mange forskjellige sammenhenger. Her er *p&thinsp;* en parameter og *J*(**x**) er en eller annen kildefunksjon. Green-funksjonen for denne
differensialligningen vil da tilfredsstille

:  (\nabla^2 + p^2) G(\mathbf{x},\mathbf{x}';p) = \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}') 

Som for Poisson-ligningen er  u_\mathbf{k} = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}  egenfunksjoner til operatoren på venstre side slik at

:  G(\mathbf{x},\mathbf{x}';p) = - \int\! {d^3k\over (2\pi)^3} {e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{x} - \mathbf{x}')} \over \mathbf{k}^2 - p^2} 

Integralet kan utføres ved å benytte kulekoordinater med *z*-aksen langs vektoren **x** - **x'&thinsp;** som har en lengde *r*. Da blir

:  \begin{align} G(\mathbf{x},\mathbf{x}';p) &= - {1\over 4\pi^2}\int_0^\infty\! k^2 dk \int_{-1}^1\!d\cos\theta \; {e^{ikr\cos\theta} \over k^2 - p^2} \\ &= - {1\over 8\pi^2ir} \int_{-\infty}^\infty \! dk\left({1\over k - p} + {1\over k + p} \right) e^{ikr} \end{align} 

Her skal denne siste integrasjonen skje langs *k*-aksen. Men der møter man poler ved *k* = &plusmn; *p*. Dette problemet kan unngås ved å utvide integrasjonen til å foregå i det komplekse *k*-planet langs en lukket kontur som må bestemmes ut fra grensebetingelsene for problemet. Konturen må lukkes i det øvre halvplanet på grunn av eksponsialfunksjonen i integranden. Vanligvis forlanger man i tillegg  at Green-funksjonen kun skal gi utgående kulebølger, må konturen lukkes langs den reelle *k*-aksen ved at den går litt over polen ved  og litt under polen . Dermed vil bare denne siste bidra til integralet som gir

:  G(\mathbf{x},\mathbf{x}';p) = - {1\over 4\pi |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|} e^{ip|\mathbf{x} - \mathbf{x}'|} 

Dette resultatet benyttes for beregning av spredningstverrsnittet for kvantemekaniske partikler. Da er parameteren *p&thinsp;* gitt ved energien *E&thinsp;* til partiklene som  p = \sqrt{2mE}/\hbar  hvor *ħ* er den reduserte Planck-konstanten. 

Når parameteren *p&thinsp;* er rent imaginær slik at *p*2 = - *&kappa;*2, gir den samme beregningen Klein-Gordon-feltet *&phi;*(**x**) fra en statisk kilde. Det tilfredsstiller da ligningen

:  (\nabla^2 - \kappa^2) \phi(\mathbf{x}) = J(\mathbf{x}) 

For en punktkilde  J(\mathbf{x}) =  g\,\delta(\mathbf{x})  i origo varier feltet da som  \phi(\mathbf{x}) = - g\, e^{-\kappa r}/ 4\pi r  som er Yukawa-potensialet. Det resulterer på en lignende måte fra en  kompleks integrasjon som igjen må lukkes i øvre halvplan. Men i dette tilfellet vil kun den ene polen *k* = *i&kappa;&thinsp;* bidra.

### Bølgeligningen

En ladningsfordeling som varierer med tiden, gir opphav til bølger som oppfyller  den elektromagnetiske bølgeligningen. Løsninger kan finnes ved bruk av dens Green-funksjon som er bestemt av

: \begin{align} \Big(\nabla^2 - {1\over c^2}{\partial^2\over\partial t^2} \Big) G(x - x') &= \delta(x - x') \\ &= \delta(t - t')  \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}').\end{align} 

Den kan igjen finnes fra en Fourier-transformasjon

:   G(\mathbf{x} - \mathbf{x}', t - t') = \int_{-\infty}^\infty \! {d\omega\over 2\pi }\int\! {d^3k\over (2\pi)^3}\, G(\mathbf{k},\omega) \,e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{x} - \mathbf{x}')} e^{-i\omega(t - t')} 

hvor nå

:  G(\mathbf{k},\omega)  = - {1\over \mathbf{k}^2 - \omega^2/c^2} 

Integrasjonen over *k&thinsp;* er det samme  som for Helmholtz-ligningen med *p* = *&omega;*/*c*. Velger man her igjen den løsningen med utgående kulebølger, står man dermed igjen med

: \begin{align}  G_{ret}(\mathbf{x} - \mathbf{x}', t - t') &= -  {1\over 4\pi |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|} \int_{-\infty}^\infty \! {d\omega\over 2\pi } e^{-i\omega(t - t')} e^{i\omega|\mathbf{x} - \mathbf{x}'|/c} \\ &=  - {1\over 4\pi |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|} \delta(t - t' - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|/c) \end{align} 

Denne løsningen er den «retarderte Green-funksjonen»  og danner grunnlaget for all beregning av elektromagnetisk stråling.

### Masseløs propagator

Green-funksjonen for den elektromagnetiske bølgeligningen er den samme som for den masseløse Klein-Gordon-ligningen. Den kan anta forskjellig former avhengig av hvilke grensebetingelser man pålegger den. Dette reflekteres i hvordan man behandler singularitetene som oppstår under integrasjonene over *&omega;* og *k&thinsp;* i Fourier-transformasjonen. Siden disse er direkte forbundet ved funksjonens avhengighet av  er det hensiktsmessig å foreta integrasjonen over *k&thinsp;* først. Da er

: \begin{align}  G(\mathbf{x} - \mathbf{x}', t - t') &= \int_{-\infty}^\infty \! {d\omega\over 2\pi }\int\! {d^3k\over (2\pi)^3}\, G(\mathbf{k},\omega) \,e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{x} - \mathbf{x}')} e^{-i\omega(t - t')} \\ &= {1\over 4\pi^2 r} \int_{-\infty}^\infty \! {d\omega\over 2\pi } \int_0^\infty\! dk\, k\sin kr \,G(\mathbf{k},\omega) e^{-i\omega(t - t')} \end{align} 

hvor *r* = |**x** - **x**'|. Den retarderte Green-funksjonen kommer nå frem ved at den gjenstående integrasjonen foregår langs den reelle *&omega;*-aksen. Polene i integranden må samtidig forskyves litt ved å skrive

:  G(\mathbf{k},\omega)  = {c^2\over \omega^2 - c^2 \mathbf{k}^2 } \rightarrow  {c^2\over (\omega + i\varepsilon)^2 - c^2 \mathbf{k}^2 }

hvor den størrelsen *&epsilon;&thinsp;* til slutt må gå mot null. Integranden har dermed to poler   i det komplekse *&omega;*-planet. Fortegnet til den imaginære delen er valgt slik at for  må integrasjonskonturen lukkes i nedre halvplan slik at begge polene bidrar. I dette tilfellet blir dermed

:  \begin{align}  G_{ret}(x-x') &= - {ic\over 4\pi^2 r} \int_0^\infty\! dk\, \sin kr [e^{-ick(t - t')} - e^{ick(t - t')}] \\ &=  - {c\over 4\pi r} \delta (t - t' -r/c) \end{align}

Når *t <  t*', må konturen lukkes i øvre halvplan. Dermed bidrar ingen av polene og den retarderte løsningen er som forventet null. Men ved å skifte fortegn på *&epsilon;*, ligger begge polene i denne delen av det komplekse planet, og man finner den avanserte løsningen på samme måte.

I relativistisk kvantefeltteori beskrives partikler med propagatorer som er Green-funksjoner som oppfyller grensebetingelser som ble formulert av Richard Feynman. De gir automatisk også en beskrivelse av antipartikler og tilsvarer at man velger polen ved  for   og den ved  for . Integranden for Green-funksjonen må dermed ha formen

:  G_F(\mathbf{k},\omega) =  {c^2\over \omega^2 - c^2 \mathbf{k}^2 + i\varepsilon} 

Det gir den masseløse Feynman-propagatoren

:  \begin{align}  &G_F(x-x') = - {ic\over 4\pi^2 r} \int_0^\infty\! dk\, \sin kr \, e^{-ick|t - t'|} \\ &=  {ic\over 8\pi^2 r} \left({1\over c|t - t'| - r - i\epsilon} - {1\over c|t - t'| + r - i\epsilon}\right) \\ &= {ic\over 4\pi^2 } {1\over (x - x')^2 - i\varepsilon} \end{align}

etter å ha gjort bruk av integralet

:   {1\over x - i \varepsilon} = i \int_0^\infty\! dk\, e^{-ikx - k\varepsilon} 

hvor *&epsilon;&thinsp;* &rarr; 0. I motsetning til den retarderte og avanserte Green-funksjon, ser man herav at Feynman-propagatoren er Lorentz-invariant.

## Referanser


## Eksterne lenker

* Youtube, ''Green's functions: The genius way to solve DEs''
* University of Guelph, [''Green's functions''](https://www.physics.uoguelph.ca/chapter-12-greens-function#:~:text=for%20the%20Green's%20function%20associated%20with%20the%20wave%20equation.&text=ψ(t%2Cr)%3D,dt′dV′.&text=our%20final%20expression%20for%20the,positions%20r′%20within%20the%20source.).