Sfærisk harmonisk funksjon

**Sfærisk harmoniske funksjoner** er spesielle funksjoner definert på overflaten til en kule. De kalles derfor ofte for **kuleflatefunksjoner**. Når Laplace-operatoren uttrykkes i kulekoordinater, er de egenfunksjoner til den vinkelavhengige delen av operatoren. På den måten spiller de en viktig rolle i løsning av mange partielle differensialligninger. Dette gjelder også for løsninger av Schrödinger-ligningen slik at funksjonene dermed bidrar til forståelse av egenskapene til atomer og molekyler.

Trigonometriske funksjoner er periodiske i vinkelkoordinaten på en sirkel. De kalles derfor alternativt for «sirkelfunksjoner». På tilsvarende vi er de sfærisk harmoniske funksjonene periodiske i de to koordinatene på en kuleflate. Betegnelsen «harmonisk» skyldes at de opptrer i løsningene av Laplace-ligningen  når denne uttrykkes i kartesiske koordinater *x*, *y* og *z*. Løsningene av denne ligningen er da homogene polynom i disse tre variable og sies å være harmoniske. De sfærisk harmoniske funksjonene fremkommer når disse polynomene uttrykkes i kulekoordinater *r*, *&theta;* og *&phi;*  som også omtales som «sfæriske koordinater».

Rent matematisk danner funksjonene grunnlaget for representasjoner av rotasjonsgruppen SO(3) i tre dimensjoner. Mer fysisk fremkommer de på tilsvarende vis ved kvantisering av dreieimpuls i kvantemekanikken.

## Definisjon

De kartesiske koordinatene *x*, *y* og *z&thinsp;* kan uttrykkes ved kulekoordinater  (r, \theta, \phi) som  x = r \sin\theta \cos\phi,   y = r \sin\theta \sin\phi  og   z = r \cos\theta.  Laplace-operatoren i tre dimensjoner tar dermed formen 

: \begin{align} \nabla^2 &= {\partial^2 \over \partial x^2} + {\partial^2 \over \partial y^2} + {\partial^2 \over \partial z^2}  \\ &= {\partial^2\over\partial r^2} + {2\over r}{\partial\over\partial r} + {1\over r^2}\!\left[{1\over\sin\theta} {\partial\over\partial\theta}\left(\sin\theta{\partial\over\partial\theta}\right) + {1\over\sin^2\theta} {\partial^2\over\partial\phi^2}\right] \end{align} 

Løsninger av Laplace-ligningen  \nabla^2 F(x,y,z) = 0   kan da skrives som et produkt  F(r,\theta,\phi) = R(r)Y(\theta,\phi)  av en radiell del  og en angulær del. Hvis denne siste delen skal være kontinuerlig og periodisk i begge sine koordinater, må den oppfylle den partielle differensialligningen

:  \left[{1\over\sin\theta} {\partial\over\partial\theta}\left(\sin\theta{\partial\over\partial\theta}\right) + {1\over\sin^2\theta} {\partial^2\over\partial\phi^2}\right] Y_{\ell m}(\theta,\phi) =  - \ell(\ell + 1) Y_{\ell m}(\theta,\phi) 

hvor ℓ er et heltall. Samtidig må indeksen *m* ligge i intervallet  og tar derfor  forskjellige verdier. Løsning av ligningen er de sfærisk harmoniske funksjonene.

## Beregning

Fra formen til differensialligningen som definerer kuleflatefunksjonene, følger at dens løsninger må kunne skrives som et produkt av to funksjoner,

: Y_{\ell m}(\theta,\phi) = \Theta_{\ell m}(\theta)\Phi_{m}(\phi) 

Disse må igjen tilfredsstille hver sin egen differensialligning. Den første er

:  {d^2\over d\phi^2} \Phi_m  + m^2\Phi_{m} = 0 

som har løsninger av formen  \Phi_{m}(\phi) = e^{im\phi}  eller reelle kombinasjoner av to slike. For at  \Phi_{m}(\phi) = \Phi_{m}(\phi + 2\pi),  må *m&thinsp;* være et heltall. Samtidig må den andre funksjonen oppfylle

:  {1\over\sin\theta} {d\over d\theta}\left(\sin\theta \, {d\Theta_{\ell m}\over d\theta}\right) + \Big[\ell (\ell + 1) - \frac{m^2}{\sin^2\theta} \Big]\Theta_{\ell m} = 0 

Denne differensialligningen definerer de assosierte Legendre-polynomene  P_\ell^{m}(\cos \theta).  På denne måten finner man at de sfæriske harmoniske funksjonene kan skrives som

: Y_{\ell m}(\theta, \phi) =  \sqrt{\frac{(2\ell+1)(\ell-m)!}{4\pi(\ell+m)!}}\ P_\ell^{m}(\cos \theta)\ e^{im\phi} , \quad -\ell \le m \le \ell 

når de normeres ved integralet

:  \int_0^{2\pi}\! d\phi \! \int_0^\pi \! d\theta\sin\theta \,Y_{lm}^{*}(\theta,\phi) \, Y_{l'm'}(\theta,\phi) = \delta_{l\,l'} \, \delta_{mm'} 

over hele kuleflaten. Da funksjonene er komplekse, er her konvensjonen

: Y_{\ell m}^*(\theta, \phi) = (-1)^m Y_{\ell, -m}(\theta, \phi) 

benyttet. I litteraturen forekommer også andre konvensjoner.

### Eksempel

De første sfærisk harmonisk funksjoner fra ℓ = 0 til og med ℓ = 3:

## Noen egenskaper

På en kuleflate med koordinater  \theta, \phi  danner de sfærisk harmoniske funksjoner et «komplett sett». Det betyr at en vilkårlig funksjon  f(\theta, \phi)  kan utvikles i en uendelig rekke som

:  f(\theta,\phi) = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell C_{\ell m} \, Y_{\ell m} (\theta,\phi) 

hvor koeffisientene *C*ℓ*m* kan finnes fra integralet

:  C_{\ell m} = \int_0^{2\pi}\!d\phi \int_0^\pi\! d\theta\,\sin\theta\, f(\theta,\phi)Y_{\ell m}^* (\theta,\phi) 

Dette tilsvarer å utvikle en funksjon på sirkelen som en uendelig Fourier-rekke med ledd som involverer de trigonometriske funksjonene sinus og cosinus.

### Addisjonsteorem

En variant av den vanlige cosinussetningen i planet eksistrer også på en kuleflate med sfærisk geometri. Der kan man angi et punkt med enhetsvektoren **n** i retning punktet (*&theta;*, *&phi;*). For to forskjellige retninger **n** og **n'&thinsp;** som danner vinkelen *&gamma;*, gjelder da setningen

:  \mathbf{n}\cdot\mathbf{n}' = \cos\gamma =   \cos\theta\cos\theta' +  \sin\theta\sin\theta' \cos(\phi - \phi') 

Ved å benytte at kuleflatefunksjonene utgjør et fullstendig sett, kan man da utlede den viktige forbindelsen

:  P_\ell( \mathbf{n}\cdot\mathbf{n}' ) = \frac{4\pi}{2\ell+1}\sum_{m=-\ell}^\ell Y_{\ell m}(\mathbf{n}) \, Y_{\ell m}^*(\mathbf{n}') 

med Legendre-polynom. Den kalles for *addisjonsteoremet* for sfærisk harmoniske funksjoner og har mange anvendelser.

## Kvantemekanikk

En partikkel i posisjon **r** og med impuls **p** har i klassisk mekanikk dreieimpulsen **L** = **r** &times; **p**. I en kvantemekanisk beskrivelse  blir impulsen erstattet med en operator **p** &rarr; -*iħ*&thinsp;**&nabla;** der *ħ&thinsp;* er den reduserte  Planck-konstanten. På denne måten blir også dreieimpulsen en operator

:  \hat{\mathbf{L}} = -i\hbar\mathbf{r}\times\boldsymbol{\nabla} 

Den kan kvantiseres ved bruk av komponentene  \hat{L}_\pm = \hat{L}_x \pm i\hat{L}_y  sammen med  \hat{L}_z = -i\hbar(x\partial_y - y\partial_x) . Ved bruk av kulekoordinater tar disse tre operatorene formen

: \begin{align} \hat{L}_\pm &= \hbar\, e^{\pm i\phi} \left(\pm \frac{\partial}{\partial\theta} + i\cot\theta \frac{\partial}{\partial\phi} \right) \\  \hat{L}_z &= -i\hbar {\partial\over\partial\phi} \end{align} 

Kvadratet av den totale dreieimpuls finnes da som

: \begin{align} \hat{\mathbf{L}}^2 &= \hat{L}_-\hat{L}_+  + \hat{L}_z^2 + \hbar\hat{L}_z\\ &= -\hbar^2\left[{1\over\sin\theta} {\partial\over\partial\theta}\left(\sin\theta{\partial\over\partial\theta}\right) + {1\over\sin^2\theta} {\partial^2\over\partial\phi^2}\right] \end{align}

Fra definisjonen av kuleflatefunksjonene ser man herav at de er egenfunksjoner til de to operatorene  \hat{\mathbf{L}}^2  og  \hat{L}_z, 

: \begin{align}  \hat{\mathbf{L}}^2 Y_{\ell m} &= \hbar^2\ell(\ell + 1) Y_{\ell m}\\ \hat{L}_z Y_{\ell m} &=  \hbar m Y_{\ell m} \end{align} 

Indeksen ℓ er derfor et kvantetall som angir størrelsen tilden totale, kvantiserte dreieimpuls. Den blir derfor ofte omtalt som det «orbitale kvantetallet». Da indeksen *m* samtidig gir egenverdien til dreieimpulsen langs *z*-aksen som ofte sammenfaller med retningen til et ytre magnetfelt, kalles denne vanligvis for det «magnetiske kvantetallet».

### Rotasjonsmatriser

En egentilstand til dreieimpulsoperatoren kan skrives som en ketvektor  |\ell,m\rangle . De sfærisk harmoniske funksjonene kan da betraktes som bølgefunksjoner

:  Y_{\ell m}(\theta, \phi) = \langle \theta,\phi | \ell, m\rangle 
 
i en posisjonsbasis dannet av punkter på kuleflaten. En rotasjon  av dette koordinatsystemet er nå gitt ved den kvantemekaniske rotasjonsoperatoren

:  \hat{R} (\boldsymbol{\alpha}) = e^{-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat\mathbf{L}/\hbar} 

hvor **&alpha;** = (*&alpha;*,*&beta;*,*&gamma;*) er de tre eulervinklene som definerer rotasjonen. Bølgefunksjonene til systemet vil da forandres og finnes fra

: \begin{align} Y_{\ell m}(\theta, \phi) &= \langle \theta',\phi' |\hat{R}(\boldsymbol{\alpha}) |\ell,m\rangle\\ &= \sum_{m' = -\ell}^\ell Y_{\ell m'} (\theta', \phi') D_{m' m}^{(\ell)} (\boldsymbol{\alpha}) \end{align}

etter å ha innført rotasjonsmatrisene 

:   D_{m' m}^{(\ell)} (\boldsymbol{\alpha}) = \langle \ell,m' | \hat{R} (\boldsymbol{\alpha}) |\ell, m \rangle 

til Eugene Wigner. De kan eksplisitt beregnes for hver verdi av det orbitale kvantetallet ℓ og har dimensjon (2ℓ +1)&times;(2ℓ + 1). For ℓ = 1 kan de finnes uten bruk av kvantemekanikk da de tilsvarer rotasjon av en tredimensjonal vektor.

## Se også

* Laplace-ligning
* Legendre-polynom
* Kvantisert dreieimpuls

## Referanser


## Eksterne lenker
* H. Haber, ''The Spherical Harmonics'', Phys. 116C, UC Santa Cruz  (2012).
* Professor M, ''The Spherical Harmonics'', YouTube video
* R.G. Littlejohn, ''Orbital Angular Momentum and Spherical Harmonics'', Physics 221A , UC Berkeley (2019).