Kvantisert dreieimpuls

**Kvantisert dreieimpuls** gir observerbare verdier og egenskaper til dreieimpulsen for en partikkel eller et mer generelt system når den eller det beskrives kvantemekanisk. Resultatene er gyldige både for dreieimpuls som skyldes orbital bevegelse i det tredimensjonale rommet, og for indre spinn til elementærpartikler.

Klassisk er dreieimpulsen for en partikkel i posisjon **r** og med impuls **p** gitt ved vektorproduktet  og kan ha en vilkårlig retning i rommet. Kvantemekanisk går de to dynamisk variable  over til å bli tilsvarende operatorer som tilsammen inngår i **dreieimpulsoperatoren** 

:  \hat\mathbf{L} = \hat\mathbf{r}\times \hat\mathbf{p}  

Kvantiseringen medfører at dens størrelse er gitt ved et kvantetall som kan ta verdiene *j* = 0, 1/2, 1, 3/2 og så videre. Den kvantiserte vektoroperatoren vil da bare kunne peke i 2*j* + 1 forskjellige retninger i rommet. Man sier derfor noen ganger at dreieimpulsen er «romlig kvantisert». 

Egenfunksjonene til dreieimpulsoperatoren for heltallige verdier av kvantetallet *j* er sfærisk harmoniske funksjoner. De varierer kontinuerlig med retningen i rommet og bestemmer i stor grad egenskapene til atom og molekyl samt deres kjemiske bindinger. For elementærpartikler kan ikke dreieimpulsen knyttes til noen bevegelse i rommet og omtales derfor vanligvis som spinn. Av fundamental betydning er partikler med spinnkvantetall *j* = 1/2 som leptoner og kvarker. De beskrives generelt ved Dirac-ligningen som automatisk inneholder deres spinn. Det opptrer her som en direkte konsekvens av Einsteins spesielle relativitetsteori.

## Grunnlag

Allerede i sitt første, felles *Dreimännerarbeit* som la det formelle grunnlaget for kvantemekanikken høsten 1925, kvantiserte Born, Heisenberg og Jordan dreieimpulsen for en partikkel. Det var basert på bruk av den kanoniske kommutatoren 

:  [\hat{x}_a, \hat{p}_b] = i\hbar\, \delta_{ab} 

hvor *ħ&thinsp;* er den reduserte Planck-konstanten, og som Heisenberg hadde kommet frem til om sommeren samme år. Her angir indeksen *a&thinsp;*  de tre komponentene til posisjonsoperatoren  \hat\mathbf{r} = (\hat{x}, \hat{y},\hat{z}).    På tilsvarende vis skrives da impulsoperatoren  \hat\mathbf{p} = (\hat{p}_x, \hat{p}_y,\hat{p}_z).   Denne fundamentale kommutatoren betyr at de tre komponentene 

: \begin{align} \hat{L}_x &= \hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y \\ \hat{L}_y &= \hat{z}\hat{p}_x - \hat{x}\hat{p}_z    \\ \hat{L}_z &= \hat{x}\hat{p}_y - \hat{y}\hat{p}_x \end{align}

til dreieimpulsoperatoren  \hat\mathbf{L} = \hat\mathbf{r}\times \hat\mathbf{p}  heller ikke vil kommutere med hverandre. For eksempel blir

:  \begin{align}  \left[\hat{L}_x, \hat{L}_y\right] &= [\hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y, \hat{z}\hat{p}_x - \hat{x}\hat{p}_z] = [ \hat{y}\hat{p}_z,\hat{z}\hat{p}_x]  + [ \hat{z}\hat{p}_y, \hat{x}\hat{p}_z] \\ &= \hat{y} [\hat{p}_z,\hat{z}] \hat{p}_x + \hat{x} [\hat{z},\hat{p}_z] \hat{p}_y = i\hbar ( \hat{x}\hat{p}_y - \hat{y}\hat{p}_x) = i\hbar\hat{L}_z \end{align}  

På samme måte finner man   \left[\hat{L}_y, \hat{L}_z\right] =  i\hbar\hat{L}_x  og   \left[\hat{L}_z, \hat{L}_x\right] =  i\hbar\hat{L}_y.  De tre komponentene opptrer på en syklisk symmetrisk måte. Man kan derfor sammenfatte dem i ett uttrykk ved bruk av Levi-Civita-symbolet. Det kan også benyttes i vektorproduktet slik at komponentene til dreieimpulsoperatoren kan skrives som  \hat{L}_a = \varepsilon_{abc}\hat{x}_b\hat{p}_c  når man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over de to parene med like indekser på høyre side. De tre kommutatorene mellom disse komponentene kan nå oppsummeres i den ene ligningen   \left[\hat{L}_a ,\hat{L}_b\right] =  i\hbar\,\varepsilon_{abc} \hat{L}_c . Den inneholder all informasjon som behøves for kvantisering av dreieimpulser.

## Egenverdier

I kvantemekanikken kan egenverdiene til to operatorer bare bestemmes samtidig når de kommuterer med hverandre. Derfor kan kun  egenverdiene til én av dreieimpulsens komponenter beregnes. Men størrelsen av den totale dreieimpulsen gitt ved operatoren

:  \hat{\mathbf{L}}^2 = \hat{L}_x^2  + \hat{L}_y^2  + \hat{L}_z^2 

kommuterer med alle komponentene,

: \begin{align} \left[\hat{\mathbf{L}}^2, \hat{L}_b\right] &= \left[\hat{L}_a\hat{L}_a, \hat{L}_b\right] = \hat{L}_a \left[\hat{L}_a, \hat{L}_b\right]  + \left[\hat{L}_a, \hat{L}_b\right]\hat{L}_a \\  &=  i\hbar\,\varepsilon_{abc}( \hat{L}_a \hat{L}_c +  \hat{L}_c \hat{L}_a) = 0 \end{align} 

da leddet i parentes på høyre side er symmetrisk i sine to indekser. Den totale dreieimpulsen kan derfor bestemmes sammen med egenverdiene til én av dens komponenter. Denne velges vanligvis alltid å være  \hat{L}_z  langs en tenkt *z*-akse.

Hvis man nå kaller egenverdiene for disse to kommuterende operatorene for *&lambda;* og *&mu;*, vil kvantiseringen bestå i å bestemme deres felles egenvektorer  |\lambda,\mu\rangle , det vil si løse ligningene

:  \hat{\mathbf{L}}^2  |\lambda,\mu\rangle = \lambda |\lambda,\mu\rangle ,\quad \hat{L}_z  |\lambda,\mu\rangle = \mu  |\lambda,\mu\rangle 

Da operatoren   \hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2  alltid vil gi en verdi som er positiv eller null, må de to egenverdiene oppfylle betingelsen  \lambda \ge \mu^2.  De kan beregnes rent algebraisk ved å innføre et par stigeoperatorer som ved kvantisering av en harmonisk oscillator.
### Stigeoperatorer

Istedenfor de to komponentene  \hat{L}_x  og  \hat{L}_y  er det hensiktsmessig å innføre lineærkombinasjonene

:  \hat{L}_\pm = \hat{L}_x \pm i \hat{L}_y 

Da er produktet

: \begin{align} \hat{L}_+\hat{L}_- &=  \hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2 - i \left[\hat{L}_x, \hat{L}_y\right] \\ &=  \hat{\mathbf{L}}^2 -  \hat{L}_z^2 + \hbar \hat{L}_z\end{align} 

På samme måte blir

:  \hat{L}_-\hat{L}_+ =  \hat{\mathbf{L}}^2 -  \hat{L}_z^2 - \hbar \hat{L}_z 

som gir differansen

:   \left[ \hat{L}_+, \hat{L}_-\right] = 2\hbar  \hat{L}_z 

Kommutatoren mellom   \hat{L}_z  og de to andre komponentene er nå erstattet med

:  \left[ \hat{L}_z , \hat{L}_\pm \right] = \pm\hbar  \hat{L}_\pm 

Dette betyr at når   \hat{L}_+  virker på en egentilstand til   \hat{L}_z,  vil dennes egenverdi forandres til

:  \begin{align} \hat{L}_z \hat{L}_+ |\lambda,\mu\rangle &= (\hat{L}_+ \hat{L}_z + \hbar \hat{L}_z) |\lambda,\mu\rangle \\ &= (\mu + \hbar) \hat{L}_+ |\lambda,\mu\rangle \end{align}

Det er derfor naturlig å kalle   \hat{L}_+  for en «heveoperator» da den øker egenverdien til   \hat{L}_z, . På samme måte ser man at   \hat{L}_-  virker som en «senkeoperator» da den reduserer denne egenverdien like mye.
Da disse forandringene er &pm;*ħ*, er det praktisk å måle størrelsen til komponentene av dreieimpulsen i enheter av denne konstanten.  Skriver man *&mu;* = *ħm,* vil *m* være et dimensjonløst kvantetall. 

### Egenvektorer
De to operatorene   \hat{L}_\pm  er eksempel på stigeoperatorer. Deres effekt på egentilstandene for dreieimpulsen kan  sammenfattes i egenskapene

:   \hat{L}_\pm | \lambda,m \rangle = | \lambda,  m \pm 1 \rangle 

Men man kan ikke øke kvantetallet *m&thinsp;* for mye da man hele tiden må oppfylle betingelsen  \lambda \ge \hbar^2 m^2 . Det må derfor finnes en spesiell, «høyeste tilstand»  |\lambda, j \rangle  definert ved at   \hat{L}_+ |\lambda, j \rangle = 0 . Anvendes her senkeoperatoren  \hat{L}_-  på denne, får man

: \begin{align} \hat{L}_-\hat{L}_+ |\lambda, j \rangle &=  (\hat{\mathbf{L}}^2 -  \hat{L}_z^2 - \hbar \hat{L}_z ) |\lambda, j \rangle \\ &= (\lambda - \hbar^2 j^2 - \hbar^2 j) |\lambda, j \rangle = 0 \end{align} 

som dermed gir det viktige resultatet  \lambda = \hbar^2 j(j + 1)  for størrelsen av den totale dreieimpulsen.

Her kan verdien av *j&thinsp;* være et vilkårlig, positivt reelt tall. Men det kan bestemmes ved anvendelse av senkeoperatoren    \hat{L}_-   på den høyeste tilstanden. Gjentas dette *n&thinsp;* ganger, vil man komme til en tilsvarende, «laveste tilstand»  |\lambda, j - n\rangle  som ikke kan senkes mer på grunn av det samme kravet som definerte den høyeste tilstanden. Da er  \hat{L}_- |\lambda, j - n\rangle = 0  som betyr at

: \begin{align} \hat{L}_+\hat{L}_- |\lambda, j - n\rangle &=  (\hat{\mathbf{L}}^2 -  \hat{L}_z^2 + \hbar \hat{L}_z ) |\lambda, j -n \rangle \\ &= (\lambda - \hbar^2 (j-n)^2 + \hbar^2 (j-n)) |\lambda, j -n \rangle = 0 \end{align} 

Benyttes her resultatet for egenverdien *&lambda;&thinsp;* uttrykt ved kvantetallet *j*, finner man at

:  j(j+1) - (j-n)^2 + (j-n) = 0 

Dets mulige verdier følger derfor fra 2*j*&thinsp;(*n* + 1) = *n*(*n* + 1) eller 2*j* = *n* hvor heltallet *n* = 0, 1, 2 og så videre. Kvantetallet som bestemmer størrelsen av dreieimpulsen, kan derfor kun anta verdiene *j* = 0, 1/2, 1, 3/2, 2 etc.

Egenvektorene til dreieimpulsoperatoren kan nå karakteriseres ved de to kvantetallene *j&thinsp;* og *m*. Dette siste, «magnetiske kvantetallet» kan anta verdiene *m* = (*j*, *j* - 1, *j* - 2, ..., -*j* + 1, -*j*&thinsp;) og kan tenkes å beskrive de  2*j* + 1 forskjellige retninger som dreieimpulsvektoren kan ha i et halv-klassisk bilde av denne operatoren.

Resultatet av kvantisering kan nå summeres opp ved

:  \begin{align} \hat{\mathbf{L}}^2 |j,m\rangle &= \hbar^2 j(j+1) |j,m\rangle \\ \hat{L}_z |j,m\rangle &= \hbar m |j,m\rangle  \end{align}

som gjelder for både heltallige og halvtallige verdier av kvantetallet *j*.

### Normering

Praktiske beregninger med kvantisert dreieimpuls er enklere når egenvektorene har en bestemt normering. Da de står ortogonalt på hverandre i Hilbert-rommet, velges denne vanligvis å være

:  \langle j,m |j',m' \rangle = \delta_{jj'}\delta_{mm'} 

Vektorene sies da å være *ortonormerte*. Virkningen av en heveoperator kan skrives som  \hat{L}_+ |j,m \rangle = N_{jm}|j, m + 1 \rangle  hvor koeffisienten  N_{jm}  sørger for at normeringen blir opprettholdt under operasjonen. Den kan bestemmes fra normeringsbetingelsen som betyr at  |N_{jm}|^2 = \langle j, m |\hat{L}_-\hat{L}_+ |j, m \rangle . Ved å benytte det tidligere resultatet for produktet av de to stigeoperatorene, er dens absolutte størrelse gitt. Sammen med en  tilsvarende betraktning rundt virkningen av en senkeoperator, har man dermed at

:  \hat{L}_\pm |j, m\rangle = \hbar\sqrt{j(j + 1) - m(m \pm 1)} \,|j, m \pm 1 \rangle 

når man velger det positive fortegnet for kvadratroten.

Kombinert med den tilsvarende virkningen av  \hat{L}_z  på den samme egenvektoren, kan man nå representere disse tre operatorene ved matriser med komponenter

:  (L_a)_{mm'} = \langle j,m |\hat{L}_a |j,m' \rangle 

Hver slik matrise vil ha en dimensjon (2*j* + 1)&thinsp;&times;&thinsp;(2*j* + 1). I det enkleste tilfellet er *j* = 1/2 hvor de kan uttrykkes ved 2&thinsp;&times;&thinsp;2 Pauli-matriser. For *j* = 1 finner man

:   {L}_x = {\hbar\over \sqrt{2}}  \begin{pmatrix} 0 & 1& 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\quad  {L}_y = {\hbar\over \sqrt{2}}  \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}, 

mens  L_z  er en diagonal matrise med egenverdiene +*ħ*, 0, -*ħ* langs denne. I dette spesielle tilfellet kan de samme matrisene finnes fra klassiske rotasjoner av en vanlig vektor i det tredimensjonale rommet.

## Egenfunksjoner

Ved å benytte en sett med basisvektorer i det abstrakte Hilbert-rommet for kvantisert dreieimpuls kan egenvektorene representeres ved kontinuerlige bølgefunksjoner. Mest vanlig er det å benytte egenvektorene til posisjonsvektoren \hat\mathbf{r}  som basis. For alt som har med rotasjon å gjøre er det naturlig å beskrive denne med kulekoordinater  (r, \theta, \phi) slik at de  kartesiske komponentene blir  x = r \sin\theta \cos\phi,   y = r \sin\theta \sin\phi  og   z = r \cos\theta.   Egenfunksjonen for en egentilstand  |j,m\rangle  av dreieimpulsoperatoren kan da defineres som

:  Y_{jm}(\theta, \phi) = \langle \theta,\phi | j,m\rangle  

De tre operatorene  (\hat{L}_x, \hat{L}_y, \hat{L}_z)  blir på denne måten derivasjonsoperatorer. De kan finnes fra  \mathbf{L} = \mathbf{r}\times \mathbf{p} når impulsen erstattes med  \mathbf{p}\rightarrow -i\hbar\boldsymbol{\nabla}  som  den gjør i Schrödinger-ligningen. På denne måten tar operatorene den konkrete formen

: \begin{align} L_\pm &= \hbar\, e^{\pm i\phi} \left(\pm \frac{\partial}{\partial\theta} + i\cot\theta \frac{\partial}{\partial\phi} \right) \\  L_z &= -i\hbar {\partial\over\partial\phi} \end{align} 

Da ketvektoren   |j,m\rangle  er en egentilstand for \hat{L}_z,   vil denne egenskapen nå ta formen

:  \langle \theta,\phi |\hat{L}_z |j,m\rangle = -i\hbar {\partial\over\partial\phi} Y_{jm}(\theta, \phi) = \hbar m Y_{jm}(\theta, \phi)  

Herfra følger at bølgefunksjonene må ha en variasjon med de to vinklene som kan skrives som

:  Y_{jm}(\theta, \phi) = e^{im\phi} y_{jm}(\theta) 

hvor funksjonen  y_{jm} (\theta)  foreløbig er ubestemt. Men variasjonen med den asimutale vinkelen *&phi;&thinsp;* er éntydig.

### Sfærisk harmoniske funksjoner
Et makroskopisk objekt som roteres 360&deg; eller  2*&pi;&thinsp;* radianer om en akse, vil komme tilbake til sin opprinnelige. stilling. Den tilsvarende bølgefunksjonen må derfor være den samme for *&phi;* = 0 som for *&phi;* =  2*&pi;*. Et slikt objekt må derfor ha et asimutal kvantetall *m* som er heltallig. Det betyr igjen at kvantetallet *j&thinsp;* også må ha slike verdier. For slik orbital bevegelse. er det derfor vanlig å angi det med symbolet ℓ som da tar verdiene ℓ = 0, 1, 2, 3 og så videre. De tilsvarende egenfunksjonene skrives nå som   og kalles for sfærisk harmoniske funksjoner.

Funksjonen *y*ℓ*m*(*&theta;*) kan finnes ved bruke senkeoperatoren  \hat{L}_-  på den høyeste egenvektoren  |\ell ,\ell \rangle.  Dens bølgefunksjon finnes fra definisjonen   \hat{L}_+  |\ell ,\ell \rangle = 0. 
Den gir differensialligningen 

:  \left(\frac{\partial}{\partial\theta} - \ell \cot\theta \right)y_{\ell\ell}(\theta) = 0 

med løsningen  \sin^\ell\!\theta . Den fulle bølgefunksjonen for denne tilstanden er derfor

:  Y_{\ell\ell}(\theta,\phi) = N_\ell  \sin^\ell\!\theta\, e^{i\ell\phi} 

hvor  N_\ell  er en normeringskonstant. Den bestemmes fra  \langle \ell,m |\ell',m' \rangle = \delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}  eller

:  \int_0^{2\pi}\! d\phi \! \int_0^\pi \! d\theta\sin\theta \,Y_{lm}^{*}(\theta,\phi) \, Y_{l'm'}(\theta,\phi) = \delta_{l\,l'} \, \delta_{mm'} 

for *m* = *m'&thinsp;* = ℓ. Benytter man da integralet

:  \int_0^\pi\!d\theta \sin^{2\ell +1}\!\theta = {2(2^\ell \ell!)^2\over (2\ell + 1)!}, 

finner man for normeringskonstanten verdien

:  N_\ell = {(-1)^\ell\over 2^\ell \ell!} \sqrt{(2\ell + 1)!\over 4\pi} 

hvor fortegnet er konvensjonelt bestemt.

Ved å anvende senkeoperatoren  L_-   på den høyeste egenfunksjonen, kommer man frem til den generelle egenfunksjonen 

:  Y_{\ell m}(\theta,\phi) = \sqrt{(\ell + m)!\over (2\ell)! (\ell - m)!} \left({L_- \over\hbar} \right)^{\ell - m} Y_{\ell\ell}(\theta,\phi) 

Dette kan forenkles ved å gjøre bruk av at

:  \left({L_- \over\hbar} \right)^{\ell - m} e^{i\ell\phi} \sin^\ell\!\theta =  e^{im\phi} \sin^{-m}\!\theta \left({d\over d\cos\theta}\right)^{\ell - m}\sin^{2\ell}\!\theta , 

slik at det endelige resultatet  for disse egenfunksjonene blir

:  Y_{\ell m}(\theta,\phi) = {(-1)^\ell \over 2^\ell \ell!} \sqrt{1\over\sin^m\!\theta} \left({ d\over d\cos\theta}\right)^{\ell - m}\sin^{2\ell}\!\theta \, e^{im \phi}  

I det spesielle tilfellet at *m* = 0 har man dermed at

:  Y_{\ell 0}(\theta,\phi) = \sqrt P_\ell(\cos\theta) 

kommer ut med konvensjonelt riktig fortegn når funksjonene reduseres til Legendre-polynom.

## Spinn-1/2

Når den kvantiserte dreieimpulsen har et halvtallig kvantetall *j*, kan den ikke skyldes noen vanlig rotasjon i vårt tredimensjonale rom. Den blir da vanligvis omtalt som spinn og er en egenskap ved elementærpartikler. De sies å være «punktpartikler» fordi alle observasjoner viser at de ikke har noen utstrekning. Av den grunn kan de heller ikke ha noen indre rotasjon og derfor en orbital dreieimpuls. Spinn til en partikkel kan føres tilbake til Einsteins spesielle relativitetsteori. For å skille det fra orbital dreieimpuls **L**, betegnes det vanligvis med symbolet **S** med et tilsvarende kvantetall *s*. Det enkleste eksempel er elektronet som har *s* = 1/2 og er beskrevet ved Dirac-ligningen. 

Kommutatorene for de tilsvarende spinnkomponentene  (\hat{S}_x,\hat{S}_y,\hat{S}_z)  er de samme som for dreieimpulsen og egentilstandene tilfredsstiller

:  \begin{align} \hat{\mathbf{S}}^2 |s, m\rangle &= \hbar^2 s(s +1) |s, m\rangle \\ \hat{S}_z |s,m\rangle &= \hbar m |s, m\rangle  \end{align}

hvor det magnetiske kvantetallet tar (2*s* + 1) forskjellige verdier mellom +*s* og -*s*. For en partikkel med *s* = 1/2, er det derfor bare to egenvektorer  |  {\textstyle\frac 1 2}, m\rangle = |m \rangle  med *m* = &pm;1/2. De omtales ofte som om at spinnet er oppeller ned langs en tenkt *z*-akse og betegnes i litteraturen på forskjellig vis, for eksempel

:  |{\textstyle\frac 1 2}, + {\textstyle\frac 1 2} \rangle =  |+ {\textstyle\frac 1 2} \rangle = |+ \rangle = | \uparrow \rangle   
:  |{\textstyle\frac 1 2}, - {\textstyle\frac 1 2} \rangle =  |- {\textstyle\frac 1 2} \rangle = |- \rangle = | \downarrow \rangle 

Det finnes ikke noe koordinatrom som nå kan benyttes til å finne tilsvarende egenfunksjoner. Men spinnoperatorene og egentilstandene kan representeres ved 2&thinsp;&times;&thinsp;2 matriser.

### Spinorer

En partikkel med spinn *s* = 1/2,  kan være i en vilkårlig spinntilstand 

:  |\psi \rangle = \psi_+ |\uparrow \rangle +\, \psi_- |\downarrow \rangle   

som er en superposisjon av to egentilstander. De to komponentene er gitt ved  \psi_m = \langle m| \psi \rangle  som i alminnelighet er komplekse tall. Sammen utgjør de en kolonnematrise

:  \psi = \begin{pmatrix} \psi_+ \\ \psi_- \end{pmatrix} 

som kalles en **spinor**. Det er i motsetning til en vektor som har tre komponenter i det tredimensjonale rommet. Egenvektorene kan nå representeres ved basisspinorene

:   \uparrow \; = \begin{pmatrix} 1 \\ 0  \end{pmatrix}, \quad  \downarrow \; = \begin{pmatrix} 0 \\ 1  \end{pmatrix} 

slik at en generell spinntilstand kan skrives som   \psi = \psi_+\! \uparrow + \; \psi_- \!\downarrow.  Dette er en slags diskret bølgefunksjon.

På samme måte kan operatorene representeres ved  2&thinsp;&times;&thinsp;2 matriser med komponenter

:   (S_a)_{mm'} = \langle m |\hat{S}_a | m' \rangle 

En direkte utregning gir da at

:  \mathbf{S} = {\hbar\over 2}\boldsymbol{\sigma} 

hvor **&sigma;** utgjør de tre Pauli-matrisene

:   \sigma_x =  \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \; \sigma_y  = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \; \sigma_z =  \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} .

Når partikkelen beveger seg og har en posisjon **r** som eventuelt kan variere med tiden, må man benytte basisvektorene  |\mathbf{r},m \rangle  i Hilbert-rommet. Dens komponenter er da  \psi_m(\mathbf{r}) = \langle m,\mathbf{r} | \psi \rangle  slik at den kan den kan fremstilles som

:  \psi (\mathbf{r}) = \begin{pmatrix} \psi_+ (\mathbf{r}) \\ \psi_- (\mathbf{r}) \end{pmatrix} = \psi_+(\mathbf{r}) \! \uparrow + \; \psi_- (\mathbf{r}) \!\downarrow 

Spinoren har en tidsutvikling som er beskrevet av Pauli-ligningen. Den er en utvidelse av Schrödinger-ligningen for partikler med spinn *s* = 1/2, men gjelder bare når bevegelsen er ikke-relativistisk. Når det ikke er tilfelle, må man i stedet benytte Dirac-ligningen hvor den tilsvarende Dirac-spinoren inngår og har fire komponenter.

### Rotasjon av spinorer

Den mest karakteristiske egenskap ved spinorer er at de forandrer fortegn under en rotasjon med 360&deg;. Dette er i motsetning til vanlige vektorer som alltid kommer tilbake til seg selv etter en slik rotasjon.

Størrelsen av en rotasjon kan beskrives ved en enhetsvektor **n** som angir retningen til rotasjonsaksen samt selve rotasjonsvinkelen *&phi;&thinsp;* om denne aksen. En kvantemekanisk tilstand  |\psi\rangle  vil da forandres som

:    |\psi\rangle \rightarrow |\psi\rangle' = \hat{R}(\boldsymbol{\phi}) |\psi\rangle 

hvor  \boldsymbol{\phi} = \mathbf{n}\,\phi  og

:  \hat{R}(\boldsymbol{\phi}) = e^{-i\hat{\mathbf{J}}\cdot \boldsymbol{\phi}/\hbar} 

er rotasjonsoperatoren uttrykt ved dreieimpulsoperatoren for tilstanden som roteres. For en spinor med spinn *s* = 1/2 vil denne operatoren da bli

:  R(\boldsymbol{\phi}) = e^{-i\boldsymbol{\sigma}\cdot \boldsymbol{\phi}/2} 

når den skrives i matriserepresentasjonen.

Effekten av denne operatoren kan tydeliggjøres ved å betrakte en rotasjon om *z*-aksen. Da tar den formen

:  \begin{align} R(\phi) &= e^{-i\sigma_z\phi/2} \\ &= 1 - i{\phi\over 2}\sigma_z + {1\over 2!} \left(-i{\phi\over 2}\sigma_z\right)^2 + {1\over 3!} \left(-i{\phi\over 2}\sigma_z\right)^3 + \cdots \end{align} 

Ved nå å benytte at  \sigma_z^2 = 1,  forenkles dette til

:  \begin{align} e^{-i\sigma_z\phi/2} &= \Big(1 -  {1\over 2!} \left({\phi\over 2}\right)^2 + \cdots \Big) - i\sigma_z\Big({\phi\over 2} -  {1\over 3!}\left({\phi\over 2}\right)^3 + \cdots \Big) \\ &=  \cos{\phi\over 2} -  i\sigma_z\sin{\phi\over 2} \end{align} 

Mer generelt vil en rotasjon *&phi;&thinsp;* om en vilkårlig akse gitt ved enhetsvektoren **n** resultere fra transformasjonen

:   R_\mathbf{n} (\phi) = e^{-i\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}\,\phi/2} = \cos{\phi\over 2} - i \boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}\sin{\phi\over 2} 

når man gjør bruk av at   (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n})^2 = 1.  En full rotasjon på 360&deg; som tilsvarer *&phi;* = 2*&pi;&thinsp;* radianer, gir da en rotasjonsmatrise som ganske enkelt er . Først etter to fulle omdreininger med *&phi;* = 4*&pi;&thinsp;* vil spinoren komme tilbake til seg selv. Dette resultatet er uavhengig av hvilken akse som rotasjonen foretas rundt.

## Total dreieimpuls

Den første antydning til at det fantes en indre dreieimpuls eller spinn **S** i atomene i tillegg til den orbitale dreieimpulsen **L**, var den anomale Zeeman-effekten. Vekselvirkningen eller spinn-banekobling mellom disse to dreieimpulsene ga opphav til et nytt ledd i Hamilton-operatoren til atomet som dermed tok den skjematiske formen

:  \hat{H} = \hat{H}_0(r) + g(r)\hat{\mathbf{L}}\cdot \hat{\mathbf{S}}

Mens den tidligere delen  \hat{H}_0  er rotasjonsinvariant og derfor gir egenverdier for energien som kan karakteriseres ved det orbitale kvantetallet ℓ, kommuterer ikke det siste leddet med dreieimpulsoperatoren  \hat{\mathbf{L}} . Det følger fra

: \begin{align} \left[\hat{L}_a, \hat{\mathbf{L}}\cdot \hat{\mathbf{S}}\right] &= \left[\hat{L}_a, \hat{L}_b\hat{S}_b\right] =  \left[\hat{L}_a ,\hat{L}_b\right]\hat{S}_b\\ &=  i\hbar\,\varepsilon_{abc} \hat{L}_c \hat{S}_b \end{align}

når man bruker Einsteins summekonvensjon og summerer over like indekser. Sammenlignes dette nå med den tilsvarende kommutatoren

:  \left[\hat{S}_a, \hat{L}_b\hat{S}_b\right] = \hat{L}_b \left[\hat{S}_a, \hat{S}_b\right]  = i\hbar\,\varepsilon_{abc} \hat{L}_b \hat{S}_c, 

vil

:  \left[\hat{L}_a + \hat{S}_a, \hat{\mathbf{L}}\cdot \hat{\mathbf{S}}\right] = i\hbar\,\varepsilon_{abc}(\hat{L}_c \hat{S}_b + \hat{L}_b \hat{S}_c) = 0 

da leddet i parentes er symmetrisk i de to indeksene, mens Levi-Civita-symbolet er antisymmetrisk i de samme indeksene. Dette betyr at den totale dreieimpulsoperatoren

:  \hat{\mathbf{J}} = \hat{\mathbf{L}} + \hat{\mathbf{S}} 

kommuterer med spinn-baneleddet slik at dens egenverdier kan brukes til å beregne egenverdiene for den fulle Hamilton-operatoren.

Hvis størrelsen til den nye operatoren er gitt ved et kvantetall *j*, vil den ha egenvektorer som oppfyller

:  \begin{align} \hat{\mathbf{J}}^2 |j,m\rangle &= \hbar^2 j(j+1) |j,m\rangle \\ \hat{J}_z |j,m\rangle &= \hbar m |j,m\rangle  \end{align}

hvor det magnetiske kvantetallet *m* igjen kan ta 2*j* + 1 forskjellige verdier mellom +*j&thinsp;* og -*j*. Det kan anta både heltallige og halvtallige verdier. Derfor kan dette både kalles for spinn og dreieimpuls.

### Addisjon av dreieimpulser

Konstruksjon av de egenvektorene  |j,m\rangle  til den totale dreieimpulsen  \hat{\mathbf{J}}  kan igjen gjøres ved å la senkeoperatoren   \hat{J}_-   virke på den høyeste egenvektoreren  |j,j\rangle. Den er igjen definert ved at  \hat{J}_+ |j,j\rangle = 0  og må være gitt ved produktet

:  |\ell + {\textstyle\frac 1 2}, \ell + {\textstyle\frac 1 2}\rangle  = |\ell,\ell \rangle |\uparrow \rangle 

Dens egenverdi for   \hat{J}_z = \hat{L}_z +   \hat{S}_z   gir det magnetiske kvantetalllet *m* = ℓ + 1/2 som derfor også må være verdien til kvantetallet *j*. Ved nå å anvende  \hat{J}_-  = \hat{L}_-  + \hat{S}_-    på denne tilstanden, vil man finne en ny med samme verdi for *j*, men med *m* = ℓ - 1/2. Utregningen gir

:   |\ell + {\textstyle\frac 1 2}, \ell - {\textstyle\frac 1 2}\rangle = \sqrt{2\ell\over 2\ell + 1} |\ell,\ell -1 \rangle |\uparrow  \rangle +   \sqrt{1\over 2\ell + 1} |\ell,\ell  \rangle |\downarrow \rangle 

Slik kan man fortsette og generere ny egenvektorer i den samme stigen hvor alle har samme kvantetall *j* = ℓ + 1/2, men stadig mindre kvantetall *m*. Til slutt står man igjen med den laveste tilstanden  |\ell + {\textstyle\frac 1 2}, -\ell - {\textstyle\frac 1 2}\rangle  = |\ell, -\ell \rangle |\downarrow \rangle.  En generell tilstand i denne stigen blir

: \begin{align}  |\ell + {\textstyle\frac 1 2}, m\rangle &= \sqrt{\ell + m + {\textstyle\frac 1 2}\over 2\ell + 1}|\ell, m - {\textstyle\frac 1 2} \rangle |\uparrow \rangle\\ &+ \sqrt{\ell - m + {\textstyle\frac 1 2}\over 2\ell + 1}|\ell, m + {\textstyle\frac 1 2} \rangle |\downarrow \rangle \end{align} 

Koeffisientene i slike lineærkombinasjoner av egentilstander for dreieimpuls kalles for «Clebsch-Gordan-koeffisienter» og kan utregnes en gang for alle.

Da egenvektoren   |\ell + {\textstyle\frac 1 2}, \ell - {\textstyle\frac 1 2}\rangle  er en lineærkombinasjon av to andre tilstander, kan man finne en ny vektor

:   |\ell - {\textstyle\frac 1 2}, \ell - {\textstyle\frac 1 2}\rangle = - \sqrt{1\over 2\ell + 1} |\ell,\ell -1 \rangle |\uparrow  \rangle +   \sqrt{2\ell\over 2\ell + 1} |\ell,\ell  \rangle |\downarrow \rangle 

som er ortogonal til denne. Den har et magnetisk kvantetall *m* = ℓ - 1/2. 
Når   \hat{J}_+   virker på denne egenvektoren, er resultatet null. Den må derfor være den høyeste tilstanden i en ny stige med *j* = ℓ - 1/2 og inneholdende  i alt  2*j* + 1 = 2ℓ andre tilstander med samme *j*. De to stigene består av tilsammen 2ℓ + 2 + 2ℓ = 2&sdot;(2ℓ +1) egenvektorer som er lik med antallet av de opprinnelige tilstandene. Man kan dermed konkludere at addisjon av dreieimpulsen ℓ og et spinn *s* = 1/2 gir en total dreieimpuls som kun kan være *j* = ℓ &pm; 1/2. Dette resultatet kan generaliseres til å gjelde for addisjon av vilkårlig store dreieimpulser.

Addisjon av to spinn *s* = 1/2 kan gjøres på samme måte. Det resulterende spinnet vil da enten bli *j* = 1 med tre tilstander eller *j* = 0 med én tilstand. Disse to multiplettene blir derfor omtalt som henholdsvis en **triplett** og en **singlett**.

## Referanser


## Eksterne lenker

* Professor M, ''Ladder operators in angular momentum'', YouTube video
* Cornell University, ''Orbital Angular Momentum And Spin Angular Momentum'', forelesningwsnotat
* B. Zwiebach, ''Angular Momentum'', MIT OpenCourseWare on YouTube