Wiedemann-Franz’ lov

**Wiedemann-Franz' lov** sier at forholdet mellom termisk og elektrisk ledningsevne er omtrent det samme for forskjellige metall og øker proporsjonalt med temperaturen. Denne sammenhengen ble eksperimentelt etablert av Gustav Wiedemann og Rudolph Franz på midten av 1800-tallet. Variasjonen med temperaturen ble funnet noe senere av Ludvig Lorenz.

Loven ble først forklart av Paul Drude i 1900. Han antok at transport av varme og elektrisk strøm skjer ved at elektroner i metaller beveger seg fritt mellom kollisjoner med fastleggende ioner. Denne enkle Drude-modellen fikk et bedre teoretisk grunnlag ved etableringen av kvantemekanikken og dens anvendelse på faststoffysikk. Selv om denne forbedringen ga andre resultat for både den termiske og elektriske ledningsevnen, forble likevel deres forhold tilnærmet det samme og proporsjonalt med temperaturen.

## Matematisk formulering

Både den spesifikke, elektriske ledningsevnen *&sigma;&thinsp;* og varmeledningskoeffisienten *&kappa;&thinsp;*  varierer  vanligvis mellom ulike metaller og legeringer. I en serie med eksperiment ble disse størrelsene nøyaktig målt av Wiedemann og Franz for en serie med forskjellige materialer. I 1853 publiserte de resultatene sine som viste at forholdet *&kappa;*/*&sigma;&thinsp;* mellom dem hadde tilnærmet samme verdi.

Denne oppdagelsen ble senere undersøkt av den danske fysiker Ludvig Lorenz som i 1872 konkluderte med at forholdet mellom disse to ledningsevnene er proporsjonalt med den absolutte temperatur *T&thinsp;* til materialet. Lovmessigheten  som Wiedemann og Franz hadde oppdaget, kunne derfor matematisk formuleres som

: &nbsp; &nbsp;  {\kappa\over\sigma} = L\cdot T 

hvor *L&thinsp;* er en konstant som senere har fått navnet **Lorenz-tallet**. For de fleste metaller har det en verdi  i SI-enheter  som er

: &nbsp; &nbsp;  L = 2.6 \times 10^{-8}  \; {\mbox{V}^2\over \mbox{K}^2} 

med en variasjon på omtrent 10% for temperaturer mellom 0&deg; og 100&deg; Celcius.

### Drude-modellen

Etter oppdagelsen av elektronet på slutten av 1800-tallet ble det klart de fleste elektriske fenomen i forskjellige materialer kunne forklares ved at atomer og molekyler inneholdt disse partiklene. Forskjellen mellom gode og dårlige elektriske ledere var avhengig av hvor fritt elektronene kunne bevege seg. Metaller er gode ledere, og det var derfor naturlig å tenke seg at de inneholdt elektroner som i stor grad oppførte seg som en ideell gass.

Dette enkle bildet benyttet Paul Drude til å gi en forklaring på Wiedemann - Franz' lov i 1900. Han antok at også varmeledning skjedde ved transport av elektroner i termisk bevegelse selv om deres bidrag til metallers varmekapasitet ikke kunne påvises. Forholdet mellom termisk og elektrisk ledningsevne i denne Drude-modellen kan beregnes. Det øker proporsjonalt med temperaturen og gir resultatet

:  L =  {3\over 2} \left({k_B\over e}\right)^2  = 1.11 \times 10^{-8}  \; {\mbox{V}^2\over \mbox{K}^2}  

for Lorenz-tallet. Her er *k<sub>B</sub>&thinsp;* Boltzmanns konstant og *e* er elektronets ladning. Drude selv fant en verdi som var større med en faktor 2 og derfor i god overensstemmelse med de målte verdiene.

### Sommerfelds kvanteteori

Elektroner oppfyller Paulis eksklusjonsprinsipp da de er fermioner. Frie elektroner er derfor ikke en ideell gass, men i stedet en Fermi-gass. Det betyr at bare en liten brøkdel av elektronene som befinner seg i et metall, vil bidra til transport av elektrisk strøm og varme. Deres hastighet og varmekapasitet vil også bli annerledes enn i klassisk, kinetisk teori.

Den elektriske og termiske ledningsevnen for frie elektroner ble beregnet i den nye kvanteteorien av Arnold Sommerfeld allerede i 1927. Det resulterende  Lorenz-tallet ble

:  L = \frac{\pi^2} 3 \left(\frac{k_B} e \right)^2 = 2.44\times  10^{-8}  \; {\mbox{V}^2\over \mbox{K}^2} 

som er bedre i overensstemmelse med de målte verdiene.

Disse beregningene viste også hvorfor Drudes opprinnelige resultat var tilnærmet like godt selv om det var basert på klassisk teori. Denne sier at varmekapasiteten til elektronene
skal være  når *n&thinsp;* er tettheten av elektroner. Den er nesten en faktor 100 for stor ved vanlige temperaturer. Samtidig skal også den gjennomsnittlige hastigheten til elektronene være  der *m&thinsp;* er massen til ett av dem. Tallverdien av denne er også for stor omtrent med samme faktor. Men da disse to størrelsene opptrer både i teller og nevner til Lorenz-tallet, faller den store faktoren ut slik at den klassiske og den kvantemekaniske verdien for tallet blir omtrent den samme.

## Referanser



## Eksterne lenker

* HyperPhysics, The Wiedemann-Franz Law