Drude-modell

**Drude-modell** ble tidligere benyttet til å forklare hvordan metaller kan lede elektrisk strøm og varme ved bruk av klassisk fysikk. Den ble foreslått av den tyske fysiker Paul Drude i 1900 og ga et teoretisk grunnlag for Wiedemann-Franz' lov. Men modellen viste seg snart å inneholde antagelser som var i motstrid med andre observasjoner. Ved å basere den i stedet på kvantemekanikk viste Arnold Sommerfeld nesten  tredve år senere at den gir resultat i bedre overensstemmelse med eksperiment. Med denne forbedringen benyttes den i dag innen faststoffysikken på lignende måte som Bohrs atommodell ennå brukes i moderne atomfysikk for å anskueliggjøre hvordan elektronene beveger seg rundt en atomkjerne.

På den tiden Drude-modellen ble foreslått visste man ikke at alle materialer er bygget opp av atomer. Men elektronet var nettopp blitt oppdaget, og man hadde påvist at disse kunne frigjøres fra et metall ved at det ble tilstrekkelig oppvarmet i form av en katode. Med denne bakgrunnen foreslo Drude at elektronene inne i et metall kunne beskrives som en ideell gass mellom fastliggende, positive ioner. Elektronene ble antatt å fare fritt omkring mellom hvert støt med et slikt ion på lignende måte som en kule i et flipperspill. 

Mens ledningselektronene I et metall beveger seg nesten fritt, vil elektronene i et dielektrisk materiale være bundet til de positive ionene. Deres bidrag til materialets egenskaper er beskrevet ved Lorentz-oscillatoren som på noen måter kan betraktes som en utvidelse av modellen til Drude.

I den kvantemekaniske beskrivelsen danner elektronene i et metall en Fermi-gass som betyr at bare en liten brøkdel av elektronene bidrar til metallets egenskaper. Hvis denne gassen blir påvirket av et elektrisk felt, vil den få en jevn drift i motsatt retning av feltet. Denne langsommere bevegelsen av elektronene tilsvarer en elektrisk strøm gjennom materialet.

## Elektroners bevegelse

Elektrisk strøm i et metall foregår ved transport av elektroner gjennom et gitter av stasjonære, positive ioner. Hovedantagelsen i Drude-modellen er at elektronene kan beveges seg fritt mellom hver kollisjon med et slikt ion. Dermed vil de virre omkring inne i metallet og kunne beskrives som en ideell gass. Hver kollisjon forandrer retningen til elektronet på en tilfeldig måte. Mellom hver kollisjon har det en gjennomsnittlig hastighet *v* som er avhengig av temperaturen til metallet og kan bestemmes ut fra kinetisk teori. Etter mange kollisjoner har elektronet i middel ikke beveget seg bort fra begynnelsespunktet. 

Hvis man definerer en driftshastighet **v***d* til elektronet som gjennomsnittshastigheten etter mange kollisjoner, vil den derfor raskt gå mot null. Denne forandringen med tiden *t&thinsp;*  kan beskrives ved differensialligningen

:  {d\mathbf{v}_d\over dt} =  - {1\over\tau}\mathbf{v}_d 

hvor konstanten  *&tau;* er den gjennomsnittlige tiden mellom to påfølgende kollisjoner. Når elektronet har en viss driftshastighet **v***d*&thinsp;(0) ved tiden *t* = 0, gir ligningen at denne varierer med tiden som

:  \mathbf{v}_d(t) = \mathbf{v}_d(0) e^{-t/\tau} 

og går derfor mot null etter noen få kollisjonstider *&tau;*.

### Elektrisk ledningsevne

Når metallet er utsatt for en elektrisk spenning, vil hvert elektron bli påvirket av en kraft  hvor  er elektronets ladning og **E** er det elektriske feltet som spenningen skaper. Driftshastigheten vil dermed forandres og beregnes fra ligningen

:  m{d\mathbf{v}_d\over dt} = q\mathbf{E} - {m\over\tau}\mathbf{v}_d 

som følger fra Newtons andre lov når *m* er elektronets masse. Kollisjonsleddet kan her betraktes som en konstant friksjonskraft som virker på elektronet.

Det elektriske feltet betyr nå at elektronene får en konstant driftshastighet .  Det betyr at de gir opphav til en elektrisk strømtetthet  der *n* er tettheten av slike ladningsbærere. Når resultatet for driftsqettheten benyttes, kan strømmen skrives som  hvor 

: \sigma = n\tau{e^2\over m} 

På denne måten gir Drude-modellen en mikroskopisk forklaring av Ohms lov med et eksplisitt resultat for elektrisk ledningsevne *&sigma;*. Et lignende resultat oppnås ved bruk av mer moderne metoder basert på en kvantemekanisk beskrivelse av elektronene. Dette er hovedgrunnen til at Drude-modelllen fremdeles benyttes i forskjellige sammenhenger.

Ved økende temperatur vil elektronene i lederen bevege seg raskere mellom hver kollisjon. Dermed blir kollisjonstiden *&tau;* kortere og konduktiviteten tilsvarende mindre. Slik kan også Drude-modellen forklare hvorfor den elektriske motstanden vanligvis øker med økende temperatur.

### Oscillerende felt
Når det ytre feltet **E** varierer med tiden, vil også drifthastighten **v***d* variere på en tilsvarende måte. Denne variasjonen er enklest å beskrive når tidsvariasjonen er periodisk med en fast vinkelfrekvens *&omega;* = 2*&pi;*&thinsp;*f*. Dette ville være tilfelle når metallet ble utsatt for elektromagnetisk stråling med en viss frekvens *f*. Det elektriske feltet kan da beskrives på kompleks form som den reelle delen av . Da vil drifthastigheten få samme frekvensavhengighet slik at bevegelsesligningen til et elektron tar formen

:  -im\omega \mathbf{v}_d(\omega) =  q\mathbf{E}(\omega) - {m\over\tau}\mathbf{v}_d (\omega)

Den resulterende strømmen  \mathbf{J}(\omega) = nq \mathbf{v}_d(\omega)  kan da skrives som

:  \mathbf{J}(\omega) = \sigma(\omega) \mathbf{E}(\omega) 

hvor den frekvensavhengige ledningsevnen for metaller derfor blir

:  \sigma(\omega) = {\sigma \over 1 - i\omega\tau} 

Her er  \sigma = n\tau{q^2/m}  = \sigma(0)  den statiske verdien. Grunnen til at ledningsevnen er kompleks, skyldes at elektronene i denne modellen behøver en tid *&tau;&thinsp;* til å reagere på forandringer i det elektriske feltet. Fasen til resulterende strømmen får derfor en ekstra faseforskyvning.

## Kvantemekanisk forbedring

I den klassiske formuleringen av Drude-modellen kan den gjennomsnittlige hastigheten *v* til elektronene mellom hver kollisjon finnes fra den absolutte temperaturen *T* til metallet. Ved bruk av kinetisk teori er denne sammenhengen *v* = &radic;(3*k<sub>B</sub>T*/*m*)&thinsp; der *k<sub>B</sub>* er Boltzmanns konstant. Ved romtemperatur *T* = 300&thinsp;*K* gir dette en hastighet som er mange størrelsesordner høyere enn typiske driftshastigheter *v<sub>d</sub>*. Kollisjonstiden kan nå beregnes fra  *&tau;* = *&lambda;*/*v* hvor avstanden *&lambda;* forventes å være av samme størrelsesorden som avstanden mellom to ioner i metallet. Ut fra disse verdiene kan ledningsevnen *&sigma;* beregnes med et resultat som viser seg å være minst en faktor 10 for lite. Den klassiske Drude-modellen gir derfor en enkel beskrivelse av elektrisk ledningsevne, men et kvantitativt resultat som er feil.

Elektroner er fermioner og må ifølge kvantemekanikken beskrives som en Fermi-gass inni et metall. Da vil bare de som har energier nær Fermi-energien *E<sub>F</sub>* bidra til transport av elektrisk strøm og varme. Denne energien varierer lite med temperaturen og gir de bevegelige elektronene en gjennomsnittlig hastighet *v<sub>F</sub>* = &radic;(2*E<sub>F</sub>*/*m*). Hvis denne verdien benyttes sammen med den observerte ledningsevnen, finner man en midlere kolldisjonslengde *&lambda;* som er mye større enn avstanden mellom ionene i metallet. Forestillingen om elektronene som kuler i et flipperspill er derfor kvantemekanisk feil. I stedet beveger elektronene seg omtrent fritt i et metall uten urenheter. Hvis de fastliggende ionene hadde en perfekt krystallstruktur, ville et elektron kunne bevege seg uhindret gjennom metallet som en Bloch-bølge. Det ville derfor ikke møte noen elektrisk motstand.

## Varmeledning

I Drude-modellen skyldes varmen til et metall den termisk bevegelsen til elektronene. Den gir opphav til en indre energi *U* som varierer med temperaturen *T*. Når den ikke er konstant i metallet, vil den utjevnes ved varmeledning som tilsvarer at en del av denne energien strømmer til et område med lavere temperatur.

Betrakter man et punkt i metallet, vil denne strømmen av energi i *x*-retning være gitt ved  hvor avstanden mellom to kollisjoner i denne retningen er *&Delta;x* = *v<sub>x</sub>&tau;* da den er bestemt av *x*-komponenten av hastigheten **v**. Denne lille energiforskjellen beveger seg med samme hastighet slik at energien som transporteres i denne retningen er *&Delta;U&sdot;v<sub>x</sub>*.  Det tilsvarer en varmestrøm med *x*-komponent

:  J_x =  - v_x^2 \tau{\partial U\over\partial x} 

der minustegnet skyldes at den er rettet mot det stedet hvor temperaturen er lavere. Det kommer tydeligere frem ved å uttrykke den indre energien ved metallets varmekapasitet *C<sub>V</sub>* = (&part;*U*&thinsp;/&part;*T*)*V*&thinsp; slik at &part;*U*&thinsp;/&part;*x* = *C<sub>V</sub>*&thinsp;(&part;*T*&thinsp;/&part;*x*). Varmestrømmen kan derfor generelt skrives som **J** = - *&kappa;*&thinsp;**&nabla;***T* hvor varmeledningskoeffisienten er 

:  \kappa = {1\over 3}v^2 \tau\, C_V 

Her er benyttet at *v<sub>x</sub>*2 =  (1/3)*v*2 da elektronene kan bevege seg likt i alle retninger slik at *v<sub>x</sub>*2 = *v<sub>y</sub>*2 = *v<sub>z</sub>*2. Resultatet kan også uttrykkes ved  som er den midlere fri veilengde for elektronene i metallet.

Den opprinnelige antagelsen i Drude-modellen var at elektronene i metallet kan beskrives som en klassisk, ideell gass. Da villle den ha gitt et bidrag *C<sub>V</sub>* = (3/2)*k<sub>B</sub>&thinsp;n* til varmekapasiteten, men det kunne ikke eksperimentelt påvises. Når kvantemekanikk benyttes i stedet og elektronene utgjør en Fermi-gass, finner man at dette bidraget i virkeligheten skal være mye mindre. Samtidig viser det seg da at hastigheten til elektronene er mye høyere enn hva den klassiske beskrivelsen gir slik at disse to effektene delvis opphever hverandre.

### Wiedemann-Franz' lov

Varmeledningskoeffisienten *&kappa;* og den elektriske ledningsevnen *&sigma;* inngår i Wiedemann-Franz' lov. Tar man forholdet mellom disse to størrelsene slik de følger fra Drude-modellen, finner man

:  {\kappa\over\sigma} =  {3\over 2} \left({k_B\over e}\right)^2 T 

når man benytter både den klassiske verdien *v*2 = (3*k<sub>B</sub>T*/*m*)&thinsp; for den gjennomsnittlige hastigheten til elektrone og  for deres varmekapasitet. Selv om begge disse antagelsene er feil, gir likevel den klassiske modellen et resultat som er omtrent halvparten av hva de målte verdiene gir. Dette er overraskende godt når en er klar over hvor dårlige hver enkelt av de klassiske antagelsene er. 

Den mer korrekte, kvantemekaniske beregningen gir samme form for dette forholdet, men med en numerisk faktor *&pi;*&thinsp;2/3 istedenfor 3/2. Denne moderne beskrivelsen er derfor i god overensstemmelse med eksperiment og gir det samme resultatet for alle metaller der elektronene dominerer transport av elektrisk strøm og varme.

## Referanser


## Eksterne lenker
* YouTube, ''Drude model''