Fasevektor

En **fasevektor** (engelsk: *phasor*&thinsp;) er en matematisk fremstilling av en harmonisk svingning eller bølge som en roterende vektor i det komplekse planet. Den ble innført som et hjelpemiddel i beregninger av systemer med vekselstrøm og har siden funnet anvendelser i mange andre felt innen fysikk og ingeniørfag. Spesielt blir mange beregninger innen optikk i forbindelse med interferens og diffraksjon forenklet.

I slike anvendelser er svingningene som beskrives, reelle størrelser. Men i kvantemekanikken opptrer bølger av komplekse sannsynlighetsamplituder som i mange tilfeller kan betraktes som fasevektorer. Dette ligger til grunn for Feynmans formulering av kvantemekanikken som veiintegral. De fremkommer fra en uendelig sum av fasevektorer for hver vei en partikkel kan bevege seg.

## Definisjon

Betrakter man en reell, harmonisk oscillasjon med utslag *x*(*t*&thinsp;) og vinkelfrekvens *&omega;*, har den en periodisk form som kan uttrykkes ved bruk av trigonometriske funksjoner. Generelt kan den da skrives som

:  x(t) = A\cos(\omega t + \phi) 

hvor *A* er svingningens amplitude som er lik med dens maksimale utslag. Vinkelen *&phi;* omtales som en «fasevinkel» og dens størrelse bestemmer utslaget ved tiden .

Denne svingningen kan nå uttrykkes på en ekvivalent måte ved å definere den tilsvarende fasevektoren

:  \hat{x}(t) = A e^{i(\omega t + \phi)} 

Hvis denne fremstilles som en vektor i det komplekse planet, vil den rotere mot viserne til en klokke med vinkelhastighet *&omega;*  
Ved bruk av Eulers formel kan den skrives som

:  \hat{x}(t) = A[\cos(\omega t + \phi) + i \sin(\omega t + \phi)] 

hvor  *i* = &radic;(-1) er den imaginære enheten.  I elektriske sammenhenger blir den i stedet ofte betegnet med symbolet *j* for ikke å blande den sammen med strømmen *i*.  Det fysiske utslaget *x*(*t*&thinsp;) er derfor den reelle delen av fasevektoren,

:  x(t)  = \text{Re}\, \hat{x}(t) 

som tilsvarer projeksjonen av fasevektoren på den horisontale eller reelle aksen.

De fleste matematiske operasjoner som kan utføres på de reelle utslagene, kan nå ofte enklere utføres på de tilsvarende fasevektorene. Det reelle svaret fremkommer deretter ved å beregne realdelen til den resulterende fasevektoren.

### Intensitet
Et oscillerende system har en viss kinetisk energi og bevegelsen til en  bølge har i tillegg en potensiell energi. Til sammen gir disse bølgen en viss intensitet. Alle disse størrelsene involverer kvadratet av utslaget *x*(*t*&thinsp;), det vil si

:  x^2(t) = A^2\cos^2(\omega t + \phi)  

Denne varierer vanligvis raskt med tiden. Et apparat som måler denne intensiteten, vil normalt reagere langsommere på disse hurtige oscillasjonene og bare registere den midlere verdien over et tidsrom som er mye lengre enn perioden *T* = 2*&pi;*&thinsp;/*&omega;*. Da kvadratet av cosinusunksjonenr varierer regelmessig mellom 0 og 1, vil det ha en midlere verdi 1/2. Dermed er den midlere intensiteten gitt som  *I* = *A*2/2.

Ved å representere denne oscillasjonen som en fasevektor, kan den samme, midlere  intensiteten finnes direkte fra produkt av vektoren med dens kompleks konjungerte,

:  I = {1\over 2}\hat{x}\hat{x}^* =  {1\over 2}A^2 e^{i(\omega t + \phi)}e^{-i(\omega t + \phi)} = {1\over 2}A^2 

Intensiteten til en bølge kan finnes på samme måte fra den tilsvarende fasevektoren.

### Derivasjon og integrasjon

Hastigheten til utslaget er gitt ved den deriverte

:  {dx\over dt} = -A\omega\sin(\omega t + \phi)  

når man vet at den deriverte av en cosinusfunksjon er minus sinusfunksjonen med det samme argumentet. Denne analytiske kjennskapen til de trigometriske funksjonene behøves ikke når man benytter fasevektorer. Da er den deriverte gitt ved

:  {d\hat{x}\over dt} = iA\omega\, e^{i(\omega t + \phi)} =  A\omega\, e^{i(\omega t + \phi + \pi/2)}

når man benytter Eulers formel som gjør omskrivningen *i* = *e**&thinsp;i&pi;*&thinsp;/2 mulig. Det ønskede resultatet er nå gitt ved den reelle delen av eksponentialfunksjonen på høyre side. Det betyr at

:  {dx\over dt} = A\omega\cos(\omega t + \phi + \pi/2)  =  -A\omega\sin(\omega t + \phi) 

når man benytter den trigonometriske identiteten cos(*&theta;* + *&pi;*&thinsp;/2) =  - sin&thinsp;*&theta;*.

Tilsvarende fremgangsmåte kan benyttes ved integrasjon. Da er

:  \int\!dt x(t) = {A\over\omega} \sin(\omega t + \phi) 

når man ser bort fra en uvesentlig integrasjonskonstant. Dette resultatet kan nå finnes fra realdelen til integralet

:  \int\!dt \hat{x}(t) = {A\over i\omega}e^{i(\omega t + \phi)} = {A\over\omega} e^{i(\omega t + \phi - \pi/2)} 

ved å benytte at cos(*&theta;* - *&pi;*&thinsp;/2) =  sin&thinsp;*&theta;*.

## Noen anvendelser
Interferens oppstår når to svingninger opptrer i samme punkt til samme tid. Vanligvis har de samme frekvens slik at den resulterende svingningen vil opptre med den samme frekvensene. Men denne vil i allminnelighet ha en annen amplitude og være forskjøvet i forhold til de to opprinnelige svingningene. Spesielt når enda flere svingninger skal adderes, kan dette forenkles ved bruk av fasevektorer.

### Addisjon av svingninger

I det enkleste tilfellet med to harmoniske svingninger gir de til sammen

:  A_1\cos(\omega t + \phi_1) + A_2\cos(\omega t + \phi_2) = A_3\cos(\omega t + \phi_3) 

hvor amplituden *A*3 og fasevinkelen *&phi;*3  kan beregnes ved de vanlige, trigonometriske formlene. Ved bruk av fasevektorer, betrakter man den tilsvarende summen

: \begin{align} \hat{x}_3 = \hat{x}_1 + \hat{x}_2 &= A_1 e^{i(\omega t + \phi_1)} + A_2 e^{i(\omega t + \phi_2)}\\ 
  &= (A_1 e^{i\phi_1} + A_2 e^{i\phi_2})e^{i\omega t} \end{align}

Den  komplekse amplituden kan her skrives som

:  \hat{A}_3 = A_3e^{i\phi_3} = A_1 e^{i\phi_1} + A_2 e^{i\phi_2} 

med absoluttverdi *A*3  som er bestemt ved

: \begin{align} A_3^2 &= \hat{A}_3\hat{A}^*_3 = (e^{A_1i\phi_1} + A_2 e^{i\phi_2})\cdot(A_1 e^{-i\phi_1} + A_2 e^{-i\phi_2})\\ 
&= A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos(\phi_1 - \phi_2) \end{align} 

Denne kunne alternativt ha vært beregnet geometrisk på samme måte som ved addisjon av to vanlige vektorer i planet ved bruk av cosinussetningen. Her har de to vektorene lengdene *A*1 og *A*2 og danner en vinkel   med hverandre. Denne geometriske betraktningsmåten kan også benyttes til å finne den resulterende fasevinkelen *&phi;*3. De to fasevektorene   \hat{A}_1  og   \hat{A}_2  danner et parallellogram med diagonal   \hat{A}_3 . Disse tre fasvektorene roterer synkront med vinkelhastigheten *&omega;*. Den resulterende, reelle svingningen er projeksjonen av   \hat{A}_3  på den horisontale aksen og er en ny, harmonisk oscillasjon.

### Elektriske kretser

Elektrisk strøm og spenning i en elektrisk krets knyttes vanligvis sammen ved Ohms lov. Den ble først etablert for likestrøm, men kunne senere utvides til å gjelde for kretser med vekselstrøm selv om de forskjellige spenningene i kretsen da ville ble faseforskjøvet i forhold til hverandre.

Ved å representere strømmene og spenningene som komplekse fasevektorer, kan man generalisere Ohms lov til å være gyldig for vekselstrømmer der den ohmske motstanden blir erstattet med en kompleks impedans.

En elektrisk vekselstrøm *I* = *I*0&thinsp;cos*&omega;t* kan uttrykkes ved realdelen til fasewvektoren

:  \hat{I}(t)  = I_0 e^{i\omega t} 

Hvis den går gjennom en motstand *R* vil spenningen *U<sub>R</sub>&thinsp;* over denne være gitt som realdelen av fasevektoren.

:  \hat{U}_R(t) = R\hat{I}(t)  = R e^{i\omega t} 

Denne er *U<sub>R</sub> = RI* = *RI*0&thinsp;cos*&omega;t* og er derfor i fase med strømmen.

Når den samme strømmen går gjennom en induktans *L*, er spenningen over denne gitt ved Faradays induksjonslov. Den tilsvarende fasevektoren er

:  \hat{U}_L(t) = L{d\hat{I}\over dt}(t)  = Li\omega I_0 e^{i\omega t} = \omega LI_0 e^{i(\omega t + \pi/2)}  

slik at den induserte spenningen  er faseforskøvet med *&pi;*&thinsp;/2, som tilsvarer 90&deg;, foran strømmen. Dens størrelse er gitt ved den induktive reaktansen .

På samme måte vil strømmen når den går gjennom en kapasitans *C*, bygge opp en spenning over denne gitt som *Q*/*C&thinsp;* der *Q* er ladningen som strømmen bygger opp i dette kretselementet. Da strømmen gjennom dette er den tidsderiverte *dQ*/*dt*, er fasevektoren for spenningen gitt ved integralet

:   \hat{U}_C(t) = {1\over C}\int\!dt \hat{I}(t) = {1\over i\omega C} I_0 e^{i\omega t} = {1\over\omega C} I_0 e^{i(\omega t - \pi/2)}
 
Den er derfor faseforskøvet med *&pi;*&thinsp;/2 eller 90&deg; etter strømmen og med en størrelse gitt ved  kapasitive reaktansen .

I en generell, elektrisk krets kan disse forskjellige fasevektorene for spenningene over de forskjellige komponentene settes sammen og ofte kunne uttrykkes som en kompleks impedans multiplisert med den påtrykte strømmen.

### RCL-krets

Som en illustrasjon av denne formalismen kan man betrakte en seriekoblet *RCL*-krets. Den fremkommer ved at en ohmsk motstand *R*, en induktans *L* og en kapasitans *C* er koblet sammen etter hverandre. Drives det en vekselstrøm  gjennom disse kretselementene, vil den eksterne spenningen *V* være gitt ved summen av delspenningene over hvert av disse elementene. Den gir en resulterende fasevektor

: \begin{align} \hat{V}(t) &= \hat{U}_R(t) + \hat{U}_L(t) + \hat{U}_C(t)
= R I_0e^{i\omega t} + i\omega LI_0 e^{i\omega t} + {1\over i\omega C}I_0 e^{i\omega t}\\
&= \left[R + i\Big(\omega L - {1\over\omega C}\Big)\right] I_0 e^{i\omega t} \end{align}

Dette kan skrives på den kompakte formen

:  \hat{V}(t) = \hat{Z} \hat{I}(t) 

hvor den komplekse impedansen er

:   \hat{Z} =  R + i\Big(\omega L - {1\over\omega C}\Big) 

Realdelen er gitt ved den ohmske motstanden *R*, mens imaginærdelen er her gitt ved differansen mellom den induktive og kapasitive reaktansen.  Den har en total størrelse som er gitt ved  absoluttverdien

:   Z = |\hat{Z}| = \sqrt{R^2 + \Big(\omega L - {1\over\omega C}\Big)^2} 

Denne har et minimum ved resonansfrekvensen *&omega;*0 = 1/&radic;*LC*) der de to reaktansene opphever hverandre.

Ikke bare i dette eksemplet, men i alminnelighet kan sammenhengen mellom påtrykt spenning og strøm uttrykkes ved en kompleks impedans som gir en generalisering av Ohms lov for vekselstrømkretser,

## Bølger og interferens

Den matematiske beskrivelsen av bølger er gitt ved bølgeligningen. De enkleste løsningene tilsvarer plane bølger som har en bestemt vinkelfrekvens *&omega;* og beveger seg i en retning gitt ved bølgevektoren **k**. En slik bølge varierer i hvert punkt **r** harmonisk med tiden og er gitt som

:  E(\mathbf{r}, t) = E_0 \cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t + \phi) 

hvor *E*0&thinsp; er amplituden og *&phi;&thinsp;* er en fasefaktor. Den er bestemt ved bølgens utslag ved tiden *t* = 0. For en elektromagnetisk bølge kan den skalare bølgen for eksempel representere det elektriske feltet når man ser bort fra dens polarisasjon. Da er størrelsen på bølgevektoren  hvor *c* er lyshastigheten. Det tilsvarer at *k* = 2*&pi;*&thinsp;/*&lambda;*&thinsp; der *&lambda;*&thinsp; er bølgelengden.

En slik harmonisk bølge kan representeres ved fasevektoren

:  \hat{E}(\mathbf{r}, t) = E_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t + \phi)} 

I hvert punkt **r** i rommet roterer den i det komplekse planet med klokken med vinkelhastigheten *&omega;*. Dens størrelse er gitt ved amplituden *E*0.

### Dobbeltspalteeksperimentet

Bruk av fasevektorer for beskrivelse av bølger er spesielt praktisk når man skal forklare deres interferens. Det enkleste eksempel på dette er dobbeltspalteeksperimentet som først ble utført av Thomas Young med lysbølger.

Beveger lyset seg mot to parallelle spalter fra en kilde langt unna, kan man anta at det innkommende lyset er en plan bølge med en gitt frekvens. Hver av spaltene virker nå som nye lyskilder og sender ut lysstråler i forskjellige retninger.  Observeres de i ett punkt **r** langt vekk fra spaltene, kan man anta at de beveger seg parallelt med hverandre mot dette punktet, men under en vinkel *&theta;* i forhold til den innkommende retningen. Der møtes begge bølgene og gir et totalt utslag

: \begin{align} \hat{E}_{tot}(\mathbf{r}, t) &= E_0\big( e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t + \phi_1)} +  e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t + \phi_2)}\big) \\ &= E_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}\big(e^{i\phi_1} + e^{i\phi_2}\big)  \end{align}

da amplitudene i de to spalteåpningene er like store og gitt ved *E*0. Men faseforskjellene *&phi;*1&thinsp; og *&phi;*2&thinsp; er ulike da den ene bølgene har beveget seg lengre enn den andre med en avstand *a*&thinsp;sin*&theta;* der *a* er avstanden mellom spaltene. De to bølgene har derfor en relativ faseforskyvning

:  \Delta = \phi_1 - \phi_2 = ka\sin\theta = {2\pi a\over\lambda}\sin\theta 

Den observerte lysintensiteten er nå

: \begin{align} I &= {1\over 2} \hat{E}_{tot} \hat{E}^*_{tot} = E_0^2 \big(1 + \cos( \phi_1 - \phi_2)\big)\\ &= 2 E_0^2 \cos^2{\Delta\over 2} =  2 E_0^2 \cos^2\big({\pi a\over\lambda}\sin\theta\big)\end{align} 

og vil derfor variere periodisk med sin&thinsp;*&theta;*. Det var denne variasjonen av intensiteten som Young brukte som bevis for at lys er bølger.

Etter at Louis de Broglie i 1923 hadde foreslått at også partikler kan tilskrives en kvantemekanisk bølgelengde, var det klart at de skulle også kunne oppvise det samme interferensmønster som i Youngs eksperiment ved å gå gjennom to parallelle spalter. Det ble for første gang verifisert i 1961 ved bruk av elektroner.

## Referanser