Dualrom

Et **dualrom** er innen matematikk et vektorrom definert som alle funksjonaler fra et gitt vektorrom X til skalarkroppen \mathbb{F}, der \mathbb{K} er de relle tallene \mathbb{R} eller de komplekse tallene \mathbb{C}. Dualrommet til et vektorrom V betegnes gjerne V^* eller V^', og er i seg selv også et vektorrom. Ofte skilles det mellom *algebraiske dualrom*, definert generelt, og *kontinuerlige dualrom*, definert som kontinuerlige operatorer over normerte rom.

Dualrom er sentrale innen funksjonalanalyse, der vektorrommene gjerne er funksjonsrom.

## Algebraiske dualrom
### Definisjon
La X være et vektorrom definert over en skalarkropp \mathbb{K}, der \mathbb{K} er \mathbb{R} eller \mathbb{C}. En lineær funksjon
:f : X \to \mathbb{K}.
kalles for en *lineær funksjonal*, og mengden av alle slike funksjonaler kalles for *dualrommet* til X. For å ikke blande dette med dualrom som definert under, kalles dette av og til også for *algebraiske dualrom*.

### Egenskaper
#### Vektorrom
La X være et vektorrom over \mathbb{K}, \alpha, \beta \in \mathbb{K} være skalarer, og f, g \in X^*. Da er også \alpha f + \beta g en funksjonal i X^*, definert ved
:(\alpha f + \beta g)(x) = \alpha f(x) + \beta g(x).

Dersom man bruker dette til å definere addisjon og skalarmultiplikasjon, og lar funksjonalen 0 være nullelement, gir dette at X^* også i seg selv er et vektorrom.

#### Dualbasis
Dersom X er endelig-dimensjonal med basis
:\{e_1, ..., e_n\}
kan man definere en basis for dualrommet X^* \{f_1, ..., f_n \} slik at
:( e_i, f_j ) = \delta_{ij}
der \delta_{ij} er funksjonen Kronecker-delta gitt ved
:\delta_{ij} = \begin{cases} 1 \qquad \text{hvis } i = j \\ 0 \qquad \text{hvis } i \neq j \end{cases}.
Dette definerer n funksjonaler, alle inneholdt i X^*, og disse definerer også en *basis* for X^*. Spesielt impliserer dette at X og X^* har samme dimensjon. Basisen \{f_1, ..., f_n \} kalles for *dualbasisen* korresponderende til \{e_1, ..., e_n\}.

##### Eksempel
Hvis \{e_1, ..., e_n\} er standardbasisen bestående av enhetsvektorene
:\{ [1, 0, ..., 0], [0, 1, ..., 0], ..., [0, 0, ..., 1] \}
gitt som kolonnevektorer, er den korresponderende dualbasisen nøyaktig enhetsvektorene
:\{ [1, 0, ..., 0], [0, 1, ..., 0], ..., [0, 0, ..., 1] \}
gitt som radvektorer, ettersom (e_i, e_j) = 1 hvis og bare hvis i = j.

## Kontinuerlige dualrom
### Definisjon
Dualrom kan definert generelt, men ofte er det spesielt interessant å se på kontinuerlige funksjonaler, der X er et normert rom. Noen ganger blir derfor dualrom definert begrenset til dette:

La X være et normert vektorrom definert over en skalarkropp \mathbb{K}, der \mathbb{K} er \mathbb{R} eller \mathbb{C}. En kontinuerlig lineær funksjon
:f : X \to \mathbb{K}.
kalles for en *lineær funksjonal*, og mengden av alle slike funksjonaler kalles for *dualrommet* til X.

Hvis man definerer en norm over X^*, vanligvis gitt ved
:|| f ||_{X^*} := \sup_{x \in X, x \neq 0} \frac{||x||_{X}}
er X^* også et normert vektorrom. Denne normen kalles for *dualnormen* indusert av normen til X.

### Egenskaper
Generelt arver kontinuerlige dualrom egenskaper fra algebraiske dualrom. Videre er X^* (tilordnet en norm) også et Banach-rom, siden både \mathbb{R} og \mathbb{C} er komplette.

### Riesz'–Fréchet-teoremet
Riesz'–Fréchet-teoremet, også kalt Riesz' representasjonsteoremet, sier at dersom H er et Hilbert-rom, har alle funksjonaler f \in H^* har et unikt korrepsonderende element y \in H. Mer presist, la H være et Hilbert-rom og x, y være elementer i H. Vi kan da definere en funksjonal ved indreproduktet definert for H,
:f_{y}(x) = (x, y).
Riesz'–Fréchet-teoremet sier at alle funksjonaler i H^* kan kan skrives slik:
:La H være et Hilbert-rom og f \in H^*. Da finnes en unik y \in H slik at
::f(x) = f_y(x) = (x, y)
:for alle x \in H. Videre er || f || = || y ||.

## Eksempler
### L<sup>p</sup>-rom

Det kan bevises (men er ikke trivielt) at dersom 1 \leq p , og q enten slik at
:\frac{1}{p} + \frac{1}{p} = 1
dersom p > 1, og q = \infty hvis p = 1, så er
:(L^{p})^* = L^q
og
:(\mathcal{l}^{p})^* = \mathcal{l}^q.

For L^p-rom kan man, for et gitt element f \in L^p og enhver g \in L^q, definere en funksjonal ved
:\int_{\Omega} f(t) g(t) dt
som er veldefinet (gitt ved Hölders ulikhet) er veldefinert og gir en kontinuerlig lineær funksjonal for L^p-funksjoner, og det kan videre bevises at for enhver g \in L^p finnes en slik f \in L^p.

For \mathcal{l}^{p}-rom kan man, for et gitt element a \in \mathcal{l}^{p} og enhver x \in \mathcal{l}^{q}, definere en funksjonal ved
:f_a (x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n x_n
og det kan videre bevises at for enhver x \in {\mathcal{l}^{p}}^* finnes en slik a \in \mathcal{l}^{p}.

## Referanser


## Litteratur
* 
* 

## Eksterne lenker
*