Kleins paradoks

**Kleins paradoks** skapte grunnleggende vanskeligheter for forståelsen av moderne kvantemekanikk i de første årene mens den ble etablert. Det ble oppdaget av Oskar Klein i 1929. Han benyttet  Diracs ligning til å beskrive hvordan elektroner med hastigheter som nærmer seg lyshastigheten, spredes mot et elektrisk potensial. Hans beregninger viste at når dette overstiger en viss størrelse, vil flere partikler bli reflektert tilbake fra potensialet enn det antall som ble sendt inn mot det. Kvantemekanikken slik som den da var formulert, tillot ikke at partikler kunne oppstå av seg selv slik at man dermed hadde et paradoks.

Dirac-ligningen var opprinnelig ment å gjelde for ett elektron som beveget seg så raskt at man må ta hensyn til Einsteins relativitetsteori. Men den medfører at ligningen beskriver samtidig både elektronet og dets antipartikkel (positron). Når tilstrekkelig energi er tilgjengelig som for eksempel i et sterkt, elektrisk potensial, vil de kunne frigjøres. Løsningen av paradokset fremkommer når man tar hensyn til denne muligheten. Dette ble først klarlagt mange år senere da kvantefeltteori ble grundig forstått som en utvidelse av den opprinnelige kvantemekanikken. Et tilsvarende fenomen er pardannelse hvor en partikkel skapes samtidig med sin antipartikkel. 

Den kvantemekaniske dannelse av partikkel-antipartikkel par ligger til grunn for løsnigen av Kleins paradoks. På lignende vis kan også Hawking-stråling fra sorte hull forklares som tilsvarende  pardannelse ved hendelseshorisonten.

## Ikke-relativistisk bakgrunn

En elektrisk ladet partikkel med elektrisk ladning *e* og masse *m&thinsp;* som beveger seg inn i et svakt, elektrisk potensial *V*, vil i klassisk mekanikk få sin hastighet *v&thinsp;* litt redusert. Det skjer fordi noe av dens kinetiske energi  der  er dens impuls, går over til å bli potensiell energi *eV*. Når potensialet er så sterkt at  klarer ikke partikkelen å trenge inn i det, og den spredes til siden eller tilbake. Det er som om den treffer en hard vegg.

Samme prosess kan beskrives kvantemekanisk ved bruk av Schrödinger-ligningen. Da kan bevegelsen til partikkelen fremstilles som en bølge på ligninende hvis som når lys beveger seg fra et medium til et annet med en litt forskjellig brytningsindeks. En del av lyset vil i så fall bli reflektert tilbake og resten fortsetter inn i det nye mediet med en litt annet hastighet bestemt av dets brytningsindeks.

### Spredning mot potensialstepp

Beskrivelsen av prosessen er enklest når man tenker seg at partikkelen beveger seg langs *x*-aksen der den møter et konstant potensial i *x* = 0. Dens potensielle energi er da

: U(x) = \begin{cases} 0, & x 

Den éndimensjonale Schrödinger-ligningen for bølgefunksjonen *&psi;*(*x*) kan skrives som

:  \left[ -{1\over 2m}{d^2\over dx^2} + U(x) \right] \psi(x) = E\psi(x) 

når man benytter naturlige enheter der den reduserte Planck-konstanten . Løsningen av ligningen til venstre for steppet består av to ledd,

:  \psi(x) = \sqrt{1\over p} e^{ipx} + R\,\sqrt{1\over p} e^{-ipx}, \quad x 

De representerer henholdsvis den innkommende partikkelen og den reflekterte hvor *R&thinsp;* er sannsynlighetsamplituden for at det skal skje. På den andre siden av steppet er løsningen på samme vis 

:  \psi(x) =  T\sqrt{1\over q} e^{iqx}, \quad x > 0 

og beskriver en partikkel som beveger seg til høyre inn i potensialet med amplitude *T&thinsp;* og impuls  *q* = &radic;(2*m*(*E* - *eV*)). Disse to løsningene må gå kontinuerlig over i hverandre i punktet *x* = 0 og betyr at 

:  R(q) = {1 - \kappa\over 1 + \kappa}, \quad T(q) = {2\sqrt{\kappa} \over 1 + \kappa} .

hvor *&kappa;* = *q*/*p*.

### Partikkelbevarelse

Sannsynligheten for at partikkelen skal bli reflektert tilbake, er nå

:  |R|^2 = {(1 - \kappa)^2\over (1 + \kappa)^2} ,

Hvis et stort antall partikler blir sendt mot potensialet, vil antallet som bare skifter retning og beveger tilbake, være proporsjonal med denne sannsynligheten. På samme måte er strømmen av partikler som trenger inn i potensialet og fortsetter mot høyre, gitt ved

:   |T|^2 = {4\kappa \over (1 + \kappa)^2} 

De to størrelsene oppfyller 

:    |R|^2 +  |T|^2 = 1 

Denne sammenhengen som gjelder for en slik ikke-relativistisk partikkel, sier at i sitt møte med potensialet vil den enten bli reflektert tilbake eller fortsette videre. Sannsynligheten for at noe annet skal skje, er null så lenge potensialet er svakt og tilfredsstiiler  Antall partikler som opptrer i prosessen, forblir uforandret. Det er typisk for ikke-relativistisk kvantemekanikk.

### Tunnelering

Når potensialet blir så sterkt at det oppfyller   vil en klassisk partikkel ikke kunne trenge inn i det slik at den blir reflektert tilbake. Kvantemekanisk skyldes dette at impulsen *q&thinsp;* i dette tilfellet blir et rent imaginært tall. Dermed blir |*R*&thinsp;|&thinsp;2 = 1 som betyr at partikkelen med sikkerhet blir reflektert. 

Samtidig er transmisjonskoeffisienten |*T*&thinsp;|&thinsp;2 = 0  da bølgefunksjonen *e**iqx* i dette tilfellet blir reell og avtar eksponentielt inne i potensialet. Det vil derfor ikke bli noen partikkelstrøm som beveger seg mot høyre inne i potensialet selv om sannsynligheten for å finne en partikkel i dette området ikke er helt lik null. Det er dette kvantemekaniske fenomenet som kalles  tunnelering og har mange viktige konsekvenser.

## Relativistiske partikler

Ett år etter at Dirac-ligningen var etablert for relativistiske elektroner på begynnelsen av 1928, påviste Oskar Klein at den resulterte i merkelige resultat for spredning mot et 1-dimensjonalt potensialstepp. Ligningen er i overenstemmelse med den spesielle relativitetsteorien på samme måte som den allerede kjente Klein-Gordon-ligningen for partikler med spinn *s* = 0 eller bosoner. I begge tilfeller kan man beregne sannsynlighetene |*R*&thinsp;|&thinsp;2 og |*T*&thinsp;|&thinsp;2 for at partikkelen reflekteres tilbake eller transmitteres inn i potensialet. Disse koeffisientene viser seg å ha samme form som for ikke-relativistiske partikler, men uttrykt ved en  modifisert parameter *&kappa;&thinsp;*. Det skyldes at sammenhengen mellom energi og impuls for relativistiske partikler er annerledes. 

Ved fortsatt bruk av naturlige enheter, kan lyshastigheten antas å ha verdien .  Impulsen til partikkelen til venstre for steppet er da

:   p = \sqrt{E^2 - m^2}, 

mens den til høyre for dette er

:   q = \sqrt{(E - eV)^2 - m^2} . 

Den ikke-relativistiske situasjonen med et svakt potensial tilsvarer at  og *q&thinsp;* er reell. Denne impulsen blir imaginær når potensialet blir sterkere slik at |*E - eV*&thinsp;|  \left[- {d^2\over dx^2} + m^2\right]\psi(x)  = (E - U)^2\psi(x) 

Til venstre for steppet er igjen løsningene på formen *e*&thinsp;&plusmn;*ipx*  hvor nå *p&thinsp;* er gitt ved sitt relativistiske uttrykk. Det gjelder  også løsningene  på høyre side. Ved å oppfylle kravet om at bølgefunksjonen *&psi;*(*x*) er kontinuerlig i punktet *x* = 0, kan nå amplitudene *R&thinsp;* og *T&thinsp;* for refleksjon og transmisjon beregnes. De får nøyaktig samme form som i det ikke-relativistiske tilfellet bare med den forskjell at nå involverer  de relativistiske impulsene. Det betyr at de tilsvarende sannsynlighetene fremdeles oppfyller 

:    |R|^2 +  |T|^2 = 1 

så lenge *q* > 0. Dette resultatet kan tolkes som at man har partikkelbevarelse også i det kritiske tilfellet  En nærmere undersøkelse av denne situasjonen viser at det likevel ikke er tilfelle.

### Dirac-partikler

Elektroner har spinn *s* = 1/2 er beskrevet ved Dirac-ligningen. For det tilfellet at et elektron beveger seg i det gitt potensialsteppet, tar ligningen formen

:  \left[-i\alpha_x{d\over dx} + \beta m\right]\psi(x) = (E - U)\psi(x) 

hvor *&alpha;<sub>x</sub>&thinsp;* og *&beta;&thinsp;* er 4&times;4 Dirac-matriser. Bølgefunksjonen er nå en spinor med fire komponenter som kan beregnes. Resultatet kan igjen sammenfattes ved amplituder *R&thinsp;* og *T&thinsp;* for refleksjon og transmisjon. De har igjen samme form som for Klein-Gordon-partikler, men den kinematiske variable *&kappa;&thinsp;* har en litt annen form,

:  \kappa =  {q\over p} {E + m\over E - eV + m} 

Den er positiv for svake potensial   men blir negativ i det motsatte tilfellet  selv om *q&thinsp;* da igjen er positiv. Med  vil derfor  mens transmisjonsamplituden *T&thinsp;* blir rent imaginær. Tilsammen oppfyller de nå

:    |R|^2 - |T|^2 = 1 

Det vil nå blir reflektert flere partikler tilbake mot venstre enn hva som kommer inn mot steppet på den siden. Med den forståelsen av Dirac-ligningen at den beskriver kun én partikkel, kan dette ikke skje og man har Kleins paradoks.

En nærliggende vei ut av paradokset er å la impulsen *q&thinsp;* i løsningen av Dirac-ligningen være negativ i det kritiske tilfellet med   Da ville  og derfor gi  Men et slik valg måtte da benyttes også i Klein-Gordon-løsningen som ville gitt  for disse partiklene som dermed hadde overtatt paradokset.

## Antipartikler

Både Klein-Gordon-ligningen og Dirac-ligningen i sterke potensial  beskriver partikler med negativ, kinetisk energi. Det følger fra spesiell relativitetsteori hvor denne er gitt som *mdt*/*d&tau;* der den deriverte av tidskoordinaten er med hensyn til partikkelens egentid.  Partikkelens totalenergi er bevart under bevegelsen fra venstre mot høyre da det ytre potensialet som den befinner seg i, er statisk. Derfor er 

:  m{dt\over d\tau}|_{left} =  m{dt\over d\tau}|_{right} + eV 

Da venstresiden her er større enn hvilemassen *m*, må *mdt*/*d&tau;* på høyresiden være negativ når  og derfor se ut til å beskrive en bevegelse bakover i tiden. Problemet med slike løsninger var lenge lite forstått, men etter oppdagelsen av positronet i 1932 var det klart at de har å gjøre med eksistensen av antipartikler. En løsning med negativ kinetisk energi og 3-impuls *q&thinsp;* beveger seg formelt bakover i tiden, men beskriver en antipartikkel som beveger seg fremover i tiden med impuls -*q&thinsp;* og motsatt elektrisk ladning. 

### Pardannelse

Løsningene av begge bølgeligningene kan nå sammenfattes som

:  p_1 + Rp_2 = T n_1 

Her beskriver *p*1(*x*) den innkommende partikkelen *e**ipx* med positiv energi i området *x* 2(*x*) den reflekterte bølgen *e*-*ipx* i det samme området. I området til høyre der  beskriver *n*1(*x*) på samme måte en løsning *e**iqx* med negativ kinetisk energi og som derfor beveger seg bakover i tiden. Det er nå ekvivalent med at den representerer en antipartikkel som kommer inn fra høyre med positiv energi og beveger seg mot potensialsteppet med impuls -*q*. Lignende, klassisk bevegelse av relativistiske partikler ble omtalt av Feynman allerede i 1948 og identifisert med antipartikler.

Den matematiske sammenhengen mellom disse løsningene kan nå tolkes som at den innkommende bølgen fra venstre blir delvis spredt tilbake med sannsynlighet

:  \sigma = |R(q)|^2 
 
og delvis bøyd bakover mot fortiden med sannsynlighet

:  \omega = |T(q)|^2 

Fysisk er det ekvivalent med sannsynligheten for at en antipartikkel kommer inn fra høyre og annihilerer partikkelen som kommer inn fra venstre. Men det betyr igjen at den samme sannsynligheten beskriver også den reverserte prosess hvor en partikkel og antipartikkel skapes samtidig i potensialsteppet og beveger seg  så bort fra dette som frie partikler. Denne form for pardannelse ved høye energier er i dag påvist i mange andre sammenhenger.

## Løsning av paradokset

Selv om Friedrich Hund allerede i 1940 påpekte i at pardannelse av partikkel-antipartikler ligger til grunn for det paradokset Klein hadde oppdaget, tok det likevel mange år før en tilfredsstillende forståelse av problemet var funnet. På denne tiden var kvantefeltteori i ferd med å bli etablert, og det var klart at både Dirac-ligningen og Klein-ligningen må betraktes som klassiske feltligninger for de tilsvarende kvantefeltene. 

Den fulle og mer intuitive forståelse av løsninger med negativ energi og antipartikler kom først med Feynman da kvanteelektrodynamikken ble etablert rundt 1950. Denne innsikten ble benyttet av Nikishov i 1970 for relativistisk spredning av partikler mot ytre potensial og spesielt anvendt av Hansen og Ravndal i 1981 på den situasjonen hvor Klein hadde påpekt sitt paradoks. 

### Bosoner

Klein-Gordon-ligningen beskriver bosoner med spinn *s* = 0. Mange av dem kan eksistere i samme kvantetilstand. Det betyr at hvis ett partikkel-antipartikkel par kan skapes, vil også 2, 3, ... slike par kunne dannes så lenge potensialsteppet eksisterer. Kalles denne sannsynligheten for *C*, kan den bestemmes ut fra kravet om at enten skapes ingen par, eller så skapes ett, eller to par og så videre. Det betyr at

:  C(1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \cdots) = 1 

der *&omega;* \begin{align} \bar{n} &= C(\omega + 2\omega^2 + 3\omega^3 + \cdots)  \\ &= {C\omega\over (1 - \omega)^2} = {\omega\over 1 - \omega} \end{align}

Partikkelen som skapes i paret, beveger seg bort fra steppet mot venstre, mens antipartikkelen beveger seg med motsatt impuls mot høyre.

Ved å bruke at *&omega;* = |*T*&thinsp;|&thinsp;2 = 1 - |*R*&thinsp;|&thinsp;2 for bosoner kan midlere antall produserte par skrives som

:   \bar{n} = {|T(q)|^2\over |R(q)|^2} = |T(-q)|^2 

som er i ovensstemmelse med det opprinnelig resultatet til Hund. Det kan tolkes som sannsynligheten for at en partikkel med negativ energi kan tunnelere  gjennom potensialsteppet og komme ut som en fri partikkel som beveger seg mot venstre.

### Fermioner

Partikler som er beskrevet ved Dirac-ligningen, er fermioner og oppfyller Paulis eksklusjonsprinsipp. Det betyr at maksimalt én partikkel kan være i hver kvantetilstand. Den spontane pardannelsen kan derfor bare gi ett par med energi *E&thinsp;* som sammenfatter kvantetallet for slike tilstander her. Sannsynligheten *C* for at potensialet ikke bryter sammen, er derfor nå gitt ved

:  C(1 + \omega) = 1 

som gir *C* = 1/(1 + *&omega;*). Midlere antall spontant produsert par er dermed

:  \bar{n} = C\omega =  {\omega\over 1 + \omega} 

For løsninger av Dirac-ligningen er *&omega;* = |*T*&thinsp;|&thinsp;2 = |*R*&thinsp;|&thinsp;2  - 1. Dermed gjelder Hunds resultat
  \bar{n} = |T(-q)|^2  også for fermioner.

### Spredning

Den relative sannsynligheten for at den innkommende partikkelen skal reflekteres tilbake, er *&sigma;* = |*R*&thinsp;|&thinsp;2. Igjen må dette korrigeres med faktoren *C&thinsp;* for å gi den absolutte sannsynligheten . For fermioner er  slik at

:  S_0 =  {|R|^2\over 1 + |T|^2} = 1 

som betyr at den med sikkerhet vil bli totalreflektert. På grunn av Paulis eksklusjonsprinsipp vil ingen par kunne skapes med samme kvantetall som det innkommende fermionet, men det hindrer ikke par med andre kvantetall å skapes. 

For bosoner er situasjonen den motsatte. Her vil den totalreflekterte partikkelen øke sannsynligheten for at par skapes med samme kvantetall. Dette er den samme kvanteeffekten som i lasere hvor sannsynligheten for emisjon blir stimulert med en faktor *n* + 1 hvis det allerede er *n&thinsp;* bosoner tilstede i denne tilstanden. Dette betyr at sannsynligheten for at det innkommende bosonet skal totaleflekteres uten parproduksjon, er   = |*R*&thinsp;|4 fordi i dette tilfellet er . Totalrefleksjon med produksjon av *n&thinsp;* par har dermed sannsynligheten

:  S_n= C\sigma (n + 1) \omega^n . 

Da alle disse sannsynlighetene oppfyller

:  C\sigma\sum_{n = 0}^\infty (n + 1) \omega^n  = {C\sigma\over (1 - \omega)^2} = 1, 

gir dette en fullstendig beskrivelse av hva som skjer nå ett boson sendes inn mot potensialsteppet i det kritiske tilfellet  Partikkelen blir også totalreflektert for svakere potensial som oppfyller  |*E - eV*&thinsp;| k*(*x*) og *nk*(*x*) når de har henholdsvis positiv og negativ, kinetisk energi og *k&thinsp;* representerer ett eller flere kvantetall som angir energien til en partikkel. Det er to sett med slike løsninger avhengig av de [[Vekselvirkningsbildet#Spredningsteori|asymptotiske egenskapene]] langt borte fra potensialet. Den kvantiserte feltoperatoren kan da uttrykkes ved disse funksjonene som

: <math> \psi(x) = \sum_k [a_k p_k(x) + b^\dagger_k n_k(x) ] </math>

eller på den samme måten ved bruk av det andre settet med løsninger. Koffiesientene foran funksjonene er [[Stigeoperator#Kreasjons- og annihilasjonsoperatorer|kreasjons- og annihilasjonsoperatorer]]. Disse har standard kommutatorer eller antikommutatorer på formen

: <math> a_k a^\dagger_{k'} + \varepsilon a^\dagger_{k'} a_k = \delta_{kk'} </math>

hvor *&epsilon;* =  1 for fermioner og *&epsilon;* =  -1 for bosoner.

De forskjellige sammenhengene mellom løsningene av feltligningene gir tilsvarende relasjoner mellom disse operatorene. Det gjør det mulig å beregne alle mulige spredningsprosesser i det gitte potensialet hvor også parproduksjon vil naturlig opptre. Resultatene kan uttrykkes ved to refleksjons- og transmisjonsamplituder *R&thinsp;* og *T&thinsp;* som er forbundet ved

: <math>   |R|^2 - \varepsilon |T|^2 = 1 </math> 

Disse amplitudene opptrer først i énpartikkelløsningene av de klassiske feltligningene, men er på denne måten direkte forbundet  med statistikken til de utvidete mangepartikkelsystemene som ligningene også beskriver.

===Sauter-potensial===

Det rektangulære potensialsteppet som opprinnelige ble benyttet av Klein, er en matematisk forenkling som ikke lar seg realisere i praksis. Grunnen er at det [[elektrisk felt|elektriske feltet]] er uendelig stort i steppet da det er gitt ved den deriverte av potensialet. Men denne fysiske forenklingen er ikke årsaken til at paradokset opptrer. Det ble vist av [[Fritz Sauter]] allerede i 1931 da han løste Dirac-ligningen i det glatte potensialet

: <math> U(x) = {1\over 2} eV \tanh{ax\over 2} </math>

Det inneholder også en potensialforskjell &Delta;*U* = 2*eV* mellom *x* &rarr; + &infin; og *x* &rarr; - &infin;, men det elektriske feltet i området rundt *x* = 0 er endelig og kontinuerlig. Sauter kunne beregne eksakte verdier for refleksjons- og transmisjonsamplitudene *R&thinsp;* og *T&thinsp;* som funksjoner av parameteren *a*. De er i overensstemmelse  med Kleins spesielle verdier som gjenfinnes i grensen *a*  &rarr; &infin;. Dette gjelder også for løsninger av Klein-Gordon-ligningen i det samme potensialet.

Likså viktig er at dette potensialet gjør det mulig å beregne parproduksjon i et konstant, elektrisk felt *E*. Det oppstår i den motsatte grensen *a* &rarr; 0 samtidig med at *V*  &rarr; &infin; på en slik måte at *aV* &rarr; 4*E*. Midlere antall produserte partikler kan nå finnes og blir

: <math>  \bar{n} = e^{-\pi m^2/eE} </math>

Det er uavhengig av energien til de produserte partiklene, men øker raskt med størrelsen til feltet *E*. Noen få år senere kom  [[Hans Euler|Euler]] og [[Heisenberg]] frem til samme resultat i sine studier av [[kvanteelektrodynamikk]] i sterke, elektriske felt,

===Tunnelering===
Et konstant, elektriske felt gir partikkelen den potensielle energien .  Den vil da befinne seg i et klassisk, forbudt område når |*&varepsilon;* - *U*&thinsp;| < *m&thinsp;* der *&varepsilon;&thinsp;* er dens totale energi. Det befinner seg derfor mellom  og  Hvis man nå benytter Diracs opprinnelige forslag at løsninger med negativ energi utgjør en [[Dirac-ligning#Diracs partikkelsjø|«sjø»]] med besatte tilstander, kan man tenke seg at en av disse [[Kvantetunnelering|tunnelerer]] gjennom det forbudte området. Den kommer da ut til venstre som en fri partikkel, samtidig som den etterlater seg et «hull» i sjøen. Dette opptrer som en antipartikkel som beveger med motsatt impuls til høyre.

Denne antikvariske beskrivelsen av pardannelse gjelder opplagt ikke for antipartikler beskrevet ved Klein-Gordon-ligningen, men gir likevel et mentalt bilde som man kan bruke til en viss grad innen kvantefeltteorien. Sannsynligheten for at en slik partikkel da skal kunne trenge gjennom det forbudte området, kan beregnes ved bruk av [[WKB-approksimasjon#Kvantetunnelring|WKB-approksimasjonen]] som gir 

: <math> |T(-q)|^2 = \exp(-2\int_{x_1}^{x_2}dx k(x)) </math>

hvor den imaginære impulsen i det forbudte området er

: <math> k(x) = \sqrt{m^2 - (\varepsilon - eEx)^2} </math>

Ved å bruke Hunds formel  <math>  \bar{n} = |T(-q)|^2 </math> for midlere antall produserte par, finner man igjen Sauters resultat  <math>  \bar{n} = e^{-\pi m^2/eE}. </math> En mye mer grundig, teoretisk behandling av denne prosessen i sterke felt ble først mulig etter andre verdenskrig ved etableringen av moderne kvanteelektrodynamikk.

==Hawking-stråling==

[[Stephen Hawking]] viste i 1975 at et [[sort hull]] vil emittere stråling som et [[sort legeme]] med en temperatur gitt ved massen til hullet. Han kom frem til dette overraskende resultatet ved bruk av kvantefeltteori i [[Schwarzschilds løsning|gravitasjonspotensialet]] fra det sorte hullet. Året etter kunne Damour og Ruffini vise at denne strålingen kunne forklares mer direkte som [[kvantetunnelering]] gjennom [[hendelseshorisont]]en. Dermed frigjøres en partikkel, mens den tilsvarende antipartikkel i det skapte paret blir oppslukt av hullet. Mekanismen som ligger bak den utsendte strålingen, har derfor mange likhetspunkter med den fysikken som forklarer Kleins paradoks.

Ved å bruke løsningen av Kleins paradoks kunne [[Sigurd Sannan]] noen år senere gi en mer direkte utledning av antall produserte partikler fra et sort hull. Sannsynligheten for å skape ett par var funnet av Damour og Ruffini å være <math> \omega = e^{-8\pi GM\epsilon} </math> der *M&thinsp;* er massen til hullet, *G* er [[Gravitasjonskonstant|Newtons gravitasjonskonstant]] og *&varepsilon;&thinsp;* er energien til partikkelen som blir frigjort. Dermed er sannsynligheten for at ingen par blir skapt, gitt som  for bosoner og  for fermioner. Midlere antall produserte partikler i denne kvantetilstanden kan da i begge tilfeller skrives som

: <math> \bar{n} = {\omega\over 1 \pm \omega} = {1\over e^{8\pi GM\epsilon} \pm 1} .</math>

Fordelingen av skapte partikler har derfor en termisk form som enten er gitt ved  [[Bose-Einstein statistikk]] eller [[Fermi-Dirac statistikk]], men med en temperatur som i begge tilfellene er gitt som

: <math> k_BT = {1\over 8\pi GM} = {\hbar c^3\over 8\pi GM}</math>

hvor *kB&thinsp;* er [[Boltzmanns konstant]]. Den siste formen av resultatet gjelder når man ikke lenger benytter [[Naturlige enheter#HEP-enheter|naturlige enheter]] der [[Plancks konstant]]  og [[lyshastighet]]en .

==Referanser==
<references/>

==Eksterne lenker==

* H. Wergeland, [https://cds.cern.ch/record/125265/files/1988_001.pdf *On the Present Status of the Klein Paradox*], Arkiv for Det Fysiske Seminar, Trondheim (1980).
* N. Dombey et al, *History and physics of the Klein paradox*, Contemp. Phys. *'40''',  313-321 (1999). PDF