Levi-Civita-symbol

**Levi-Civita-symbolet** er et matematisk objekt som ofte opptrer i sammenheng med determinanter og antisymmetriske tensorer. Det omtales også som **permutasjonssymbolet** og angir fortegnet til en permutasjon av de naturlige tallene 1,2,3, ..., *N*. For hver verdi av *N* finnes et slikt symbol. Navnet er forbundet med den italienske matematiker Tullio Levi-Civita som var en av grunnleggerne av tensoranalysen.

## Definisjon

Levi-Civita-symbolet kan defineres som en tensor *&epsilon;* av rang *n* som er antisymmetrisk i alle sine indekser. Dets komponenter kan derfor skrives som *&epsilon;<sub>i<sub>1</sub></sub><sub>i<sub>2</sub></sub><sub> ... </sub><sub>i<sub>n</sub></sub>* og oppfyller betingelsen

:\varepsilon_{\dots i_p \dots i_q \dots }=-\varepsilon_{\dots i_q \dots i_p \dots } 

for hvert ombytte av to vilkårlige indekser. Hvis to eller flere av dem er like, har derfor symbolet verdien null. Antall komponenter som er forskjellig fra null, vil da være ''n''!. De kan alle finnes fra

:\varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n} = (-1)^p \varepsilon_{1 2 \dots n} 

hvor *p* kalles «pariteten» til permutasjonen av indeksene og   er dens fortegn. Den absolutte verdien av symbolet er dermed gitt ved   som vanligvis velges å ha verdien +1. Med dette valget vil

:  \varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n}\varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n} = n! 

når man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over alle par med like indekser.

### Determinanter

En determinant er antisymmetrisk i ethvert ombytte av to rader eller to kolonner. Determinanten til en *n&thinsp;&times;&thinsp;n* matrise *A* med elementer *A<sub>ij</sub>* kan derfor skrives på en kompakt form ved bruk av Levi-Civita-symbolet. Da er den gitt som

: \det(A) = \varepsilon_{i_1\dots i_n} A_{1i_1} \dots A_{ni_n} 

eller kan finnes fra den ekvivalente formen

: \det(A) = \frac{1}{n!} \varepsilon_{i_1\dots i_n} \varepsilon_{j_1\dots j_n} A_{i_1 j_1} \dots A_{i_n j_n},

når man igjen summerer over alle par med like indekser.

## Anvendelser

Betegnelsen «det *n*-dimensjonale Levi-Civita-symbolet» refererer til antall indekser som symbolet har. Den definerer samtidig dimensjonen til vektorromet eller mangfoldigheten hvor symbolet benyttes. Dets detaljerte egenskaper avhenger av denne dimensjonen.

### To dimensjoner

Når antall dimensjoner er *n* = 2, har symbolet bare to komponenter  og  som er forskjellig fra null. Det kan derfor representeres ved  matrisen

:  \varepsilon = \begin{pmatrix}
    \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} \\
    \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22}
  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
     0 & 1 \\
    -1 & 0
\end{pmatrix}

Komponentene oppfyller nå den viktige likheten

: \varepsilon_{ij} \varepsilon_{mn} = \delta_{im}\delta_{jn} - \delta_{in}\delta_{jm} 

hvor Kronecker-symbolet *&delta;<sub>ij</sub>* opptrer på høyre side.  Den får bare bidrag når  and  og må være antisymmetrisk i disse to indeksparene. Setter man *m = i*, blir dermed . Dermed er  som forventet i  dimensjoner.

Resultatet for produktet av to Levi-Civita-symbol kan skrives på den ekvivalente formen

:\varepsilon_{ij}\varepsilon_{mn}=\left|\begin{array}{cc} \delta_{im} & \delta_{in} \\ \delta_{jm} & \delta_{jn} \end{array}\right|

På denne formen kan resultatet generaliseres til å gjelde for et vilkårlig antall indekser.

Levi-Civita-symbolet i to dimensjoner benyttes spesielt i forbindelse med Weyl-spinorer som har to komponenter. De spiller en fundamental rolle i moderne teorier med supersymmetri. Tidligere ble slike spinorer benyttet til å beskrive masseløse nøytrinoer.

### Tre dimensjoner

Med tre indekser har symbolet 3! = 6 komponenter som er forskjellig fra null. De kan alle finnes fra *&epsilon;*123 = 1. Ved ombytte av indekser finner man da  *&epsilon;*213 = -1 og *&epsilon;*231 = 1. De tre like komponentene *&epsilon;*123 = *&epsilon;*231 = *&epsilon;*312 = 1 fremkommer ved syklisk ombytte av indeksene (1,2,3) i positiv retning, mens de tre odde komponentene *&epsilon;*132 = *&epsilon;*321 = *&epsilon;*213 = -1 finnes  ved det tilsvarende ombytte i motsatt retning.

Levi-Civita-symbolet i tre dimensjoner kan brukes til å forenkle mange beregninger i vektoranalysen. Kryssproduktet av to vektorer  og   er antisymmetrisk og kan nå skrives på den kompakte formen

:  \mathbf{u}\times\mathbf{v} = \varepsilon_{ijk}u_iv_j\mathbf{e}_k = (u_2v_3 - u_3v_2)\mathbf{e}_1 + (u_3v_1 - u_1v_3)\mathbf{e}_2 + (u_1v_2 - u_2v_1)\mathbf{e}_3 

ved bruk av Einsteins summekonvensjon. Det skalare trippelproduktet mellom tre vektorer **u**, **v** and **w** blir dermed

:  \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) = (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w} = \varepsilon_{ijk}u_iv_jw_k = \begin{vmatrix} 
  u_1 & u_2 & u_3 \\
  v_1 & v_2 & v_3 \\
  w_1 & w_2 & w_3 \\
\end{vmatrix}


Mer kompliserte vektorprodukt kan forenkles ved å bruke at

: \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{imn}=\delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km} 
: \varepsilon_{jmn} \varepsilon_{imn}=2\delta_{ij} 

som følger fra det generelle produktet

:\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn}=\left|\begin{array}{ccc} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in}\\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn}\\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn}\end{array}\right|

For eksempel, det  vektorielle trippelproduktet reduseres til

: \begin{align} \mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) &= \varepsilon_{ijk}\mathbf{e}_iu_j(\mathbf{v}\times\mathbf{w})_k = \varepsilon_{ijk}\mathbf{e}_iu_j\varepsilon_{kmn}v_mw_n\\
&= \mathbf{e}_i(\delta_{im}\delta_{jn} - \delta_{in}\delta_{jm})u_jv_mw_n = (\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})\mathbf{v} -  (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{w}\end{align} 

Resultatet er antisymmetrisk i vektorene **v** og **w** som det skal være.

På samme måte finner man for vektorproduktet av fire vektorer,

:   (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times(\mathbf{c}\times\mathbf{d}) = \varepsilon_{ijk}\mathbf{e}_ia_jb_k\cdot \varepsilon_{lmn}\mathbf{e}_lc_md_n
= (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{d}) - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{d})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})

når man benytter at **e***i*&sdot;**e***l* = *&delta;<sub>il</sub>&thinsp;* og summerer over alle like par med indekser. Tilsvarende forenklinger kan gjøres i vektoranalysen som involverer nabla-operatoren.

### Fire dimensjoner
I et firedimensjonalt, euklidsk rom har Levi-Civita-symbolet 4! = 24 komponenter som ikke er null. De kan alle bestemmes fra konvensjonen *&epsilon;*1234 = 1. Men i dette tilfellet er ikke verdien uforandret under syklisk ombytte. For eksempel blir *&epsilon;*4321 = - *&epsilon;*3214 =  - *&epsilon;*2134 =  *&epsilon;*1234 = 1, mens *&epsilon;*4123 = - *&epsilon;*1234 = - 1.

Symbolet benyttes også i relativistisk fysikk som finner sted i et firedimensjonalt Minkowski-rom med koordinater  hvor *c* er lyshastigheten og en diagonal metrikk med komponentene   og  . Sammen med de kontravariante komponentene  kan den benyttes til å heve og senke indekser. Hvis man i dette Minkowski-rommet nå definerer , vil dette Levi-Civitas-symbolet ha de kontravariante komponentene

:  \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} = \eta^{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}\eta^{\rho\gamma}\eta^{\sigma\delta}\varepsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} 

som gir  og på samme måte for alle andre komponenter med hevete indekser.

Herav kan man så utlede nyttige identiteter mellom produkter av symbolet. Av størst viktighet er

:  \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\varepsilon^{\mu\nu}_{\;\;\alpha\beta}  = -2(\eta_{\rho\alpha}\eta_{\sigma\beta}  - \eta_{\rho\beta}\eta_{\sigma\alpha}) 

som ved kontraksjon mellom indeksene *&alpha;* og *&rho;* gir

:   \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\varepsilon^{\mu\nu\rho}_{\;\;\;\;\beta} = -6\eta_{\sigma\beta} 

En videre kontraksjon mellom *&sigma;* og *&beta;* gir da som forventet

:   \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} = - 24 = - 4! 

da   \eta^{\sigma}_{\;\sigma} = 4  i fire dimensjoner.

Dette Levi-Civita-symbolet opptrer også i relativistisk kvantemekanikk når man foretar beregninger som involverer Dirac-matrisene  \gamma^\mu  og

:  \gamma_5 = \frac{i}{4!} \varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta} \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} \gamma^{\alpha} \gamma^{\beta} = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 .

Når man regner ut trasen (eller «sporet») til et produkt av slike matriser, kan man da benytte at

:  \mbox{Tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma_5) =  -4i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} 

Slike utregninger opptrer spesielt når partiklene som Dirac-ligningen beskriver, har retning på spinnet som er kjent eller skal måles.

## Levi-Civita-tensor

Determinanten til en *N&thinsp;&times;&thinsp;N* matrise *A* = (*A<sub>ij</sub>*) kan uttrykkes ved hjelp av Levi-Civita symbolet. Det betyr at man i alminnelighet har

: \varepsilon_{m_1m_2\dots m_N} A_{m_1n_1}A_{m_2n_2} \dots A_{m_Nn_N} = \det(A)\varepsilon_{n_1n_2\dots n_N} 

Hvis man i et *N*-dimensjonalt euklidsk rom med kartesiske koordinater *x<sup>m</sup>*&thinsp; innfører krumlinjete koordinater ved koordinattransformasjonen , er elementene til transformasjonsmatrisen *A*

:  A^m_{\;\;\mu} = {\partial x^m\over\partial x^\mu} 

Levi-Civita-symbolet i dette mer mer generelle koordinatsystemet vil da måtte oppfylle ligningen

: \varepsilon_{m_1m_2\dots m_N} {\partial x^{m_1}\over\partial x^{\mu_1}}{\partial x^{m_2}\over\partial x^{\mu_2}}\dots {\partial x^{m_N}\over\partial x^{\mu_N}} = \det(A)\varepsilon_{\mu_1\mu_2\dots\mu_N} 

Den viser at det transformerer som en fullstendig antisymmetrisk tensor av rang *N* under et slikt skifte av koordinater når man ser bort fra determinanten det(*A*) til transformasjonsmatrisen. Men den kan beregnes fra den nye metrikken

:  g_{\mu\nu} = {\partial x^m\over\partial x^\mu}{\partial x^n\over\partial x^\nu}g_{mn} 

hvor metrikken i det kartesiske koordinatsystemet er gitt ved Kronecker-delta som . Herav følger derfor at determinanten  er gitt som kvadratet av det(*A*). Definerer man derfor størrelsen

:  e_{\mu_1\mu_2\dots\mu_N} = \sqrt{g}\,\varepsilon_{\mu_1\mu_2\dots\mu_N}, 

vil den transformere som en vanlig tensor. Dette er **Levi-Civita-tensoren** som er fullstendig antisymmetrisk i alle indeksene og med den spesielle verdien

:  e_{12\dots N} = \sqrt{g} 

i et generelt koordinatsystem hvor *g* er determinanten til metrikken for disse koordinatene.

### Volumformen

Fra disse antisymmetriske tensorkomponentene kan man konstruere en differensiell ''N''-form

:  \mathbf{e} = {1\over N!} e_{\mu_1\mu_2\dots\mu_N}\mathbf{d}x^{\mu_1}\wedge\mathbf{d}x^{\mu_2}\wedge\dots\wedge\mathbf{d}x^{\mu_N} =  \sqrt{g}\, \mathbf{d}x^1\wedge\mathbf{d}x^2\wedge\dots\wedge\mathbf{d}x^N

som ofte blir omtalt som volumformen. Det kan man se når man for eksempel benytter kulekoordinater i tre dimensjoner

: x=r \sin\theta \, \cos\phi
: y=r \sin\theta \, \sin\phi
: z=r \cos\theta

Da blir denne 3-formen

:  \mathbf{e} = \mathbf{d}x\wedge\mathbf{d}y\wedge\mathbf{d}z =  r^2\sin\theta\,\mathbf{d}r\wedge\mathbf{d}\theta\wedge\mathbf{d}\phi 

og har størrelsen *dV* = *r*&thinsp;2&thinsp;sin*&theta;&thinsp;dr&thinsp;d&theta;&thinsp;d&phi;*&thinsp; som er det vanlige volumelementet i dette koordinatsystemet.

## Referanser