Bestemthet (matriser)

I lineær algebra sies en symmetrisk, reell *n* &#xD7; *n*-matrise M å være **positivt bestemt **(også kalt **positivt definitt**) dersom skalaren z^{\mathrm{T}}Mz er positiv for enhver ikke-null kolonnevektor z av n reelle tall. Her symboliserer z^{\mathrm{T}} den transponerte av z.

Mer generelt sies en Hermitsk *n* × *n*-matrise M å være **positivt bestemt** hvis skalaren z^{*}Mz er reell og positiv for alle ikke-null kolonnevektorer z av n komplekse tall. Her symboliserer z^{*} den konjungerte transponeringen av z.

En Hermitesk matrise sies å være **negativt bestemt  **(**negativt definitt**) dersom uttrykket z^{\mathrm{T}}Mz eller z^{*}Mz alltid er negativt. Matrisen kalles **semi-positivt bestemt **dersom uttrykket z^{\mathrm{T}}Mz eller z^{*}Mz er ikke-negativ (større enn eller lik null), og **semi-negativt bestemt** dersom uttrykket er ikke-positivt (mindre enn eller lik null).

En Hermitesk matrise som hverken er positivt bestemt, negativt bestemt, semi-positivt bestemt eller semi-negativt bestemt, kalles **ubestemt** (**indefinitt**).

Noen forfattere bruker mer generelle definisjoner av positivt og negativt bestemthet, som inkluderer noen ikke-symmetriske reelle matriser, eller ikke-Hermiteske komplekse matriser.

## Egenverdier
* En Hermitesk *n* &#xD7; *n-*matrise er positivt bestemt hvis og bare hvis alle dens egenverdier er positive. 
* En Hermitesk *n* &#xD7; *n-*matrise er negativt bestemt hvis og bare hvis alle dens egenverdier er negative.
* En Hermitesk *n* &#xD7; *n-*matrise er semi-positivt bestemt hvis og bare hvis alle dens egenverdier er ikke-negative (større enn eller lik null).
* En Hermitesk *n* &#xD7; *n-*matrise er semi-negativ bestemt hvis og bare hvis alle dens egenverdier er ikke-positive (mindre enn eller lik null).
* En Hermitesk *n* &#xD7; *n-*matrise er ubestemt hvis og bare hvis den har både positive og negative egenverdier.

## Eksempler
* Identitetsmatrisen  I =  \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}  er positivt bestemt. Sett som en reel matrise, er den symmetrisk, og for enhver ikke-null kolonnevektor *z* med reelle elementer *a* og *b*, har vi
::  z^{\mathrm{T}}I z = \begin{bmatrix} a & b\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix}= a^2 + b^2.
: Sett som en kompleks matrise, for enhver ikke-null kolonnevektor z med komplekse elementer *a* og *b,* har vi
::  z^*I z = \begin{bmatrix} a^* & b^*\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix}=a^*a +b^*b = |a|^2 + |b|^2.
: Uansett er resultatet positivt, siden *z* ikke er nullvektoren (det vil si at minst én av elementene *a* og *b* er forskjellig fra null).
* Den reelle symmetriske matrisen
::  M = \begin{bmatrix} 2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2 \end{bmatrix} 
: er positivt bestemt, siden for enhver ikke-null kolonnevektor *z* med elementer *a*, *b* og *c*, har vi
:: \begin{align} z^{\mathrm{T}}M z = (z^{\mathrm{T}}M) z &= \begin{bmatrix} (2a-b)&(-a+2b-c)&(-b+2c) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b\\c \end{bmatrix} \\
&= 2{a}^2 - 2ab + 2{b}^2 - 2bc + 2{c}^2 \\
&= {a}^2+(a - b)^{2} + (b - c)^{2}+{c}^2.
\end{align} 
: Dette resultatet er en sum av kvadrater, og derfor ikke-negativt. Dessuten er det bare null hvis *a* = *b* = *c* = 0, men det skjer kun hvis *z* er nullvektoren.
* Den reelle symmetriske matrisen
:: N =  \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1\end{bmatrix} 
: er ikke positivt bestemt. Hvis *z* er vektoren \begin{bmatrix} -1\\ 1\end{bmatrix}, har vi  z^{\mathrm{T}}N z = \begin{bmatrix} -1 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1\end{bmatrix}= -2 
* For enhver ikke-singulær matrise A er produktet  A^{\mathrm{T}} A  en positivt bestemt matrise. Et enkelt bevis er at for enhver ikke-null vektor  z , gjelder z^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}} A z = \| A z \|_2^2 > 0,  siden den ikke-singulære matrisen A betyr at Az \neq 0.
Eksemplene *M* og *N* ovenfor viser at en matrise med noen negative elementer likevel kan være positivt bestemt, og motsatt, at en matrise med bare positive elementer ikke nødvendigvis er positivt bestemt.

## Referanser