Keplers lover

**Keplers lover** for planetenes bevegelser er Johannes Keplers viktigste bidrag til astronomi og astrofysikk. Kepler (1571&ndash;1630) var en tysk matematiker. Han studerte planetariske observasjoner gjort av den legendariske danske astronomen Tycho Brahe, og fant mellom 1605 og 1619 at disse observasjonene fulgte tre forholdsvis enkle matematiske lover. Den fysiske forklaringen på planetenes bevegelser kom imidlertid ikke før nesten 100 år senere, da Isaac Newton i sitt verk *[[Philosophiæ naturalis principia mathematica|Principia]]* viste hvordan Keplers lover kunne utledes fra sin bevegelseslov og gravitasjonslov ved hjelp av matematisk analyse. 

Lovene er:
#Planetenes baner er ellipser med sola i det ene brennpunktet.
#Baneradiene sveiper over like store flater på like lange tider.
#Forholdet mellom kvadratet av omløpstiden og middelavstanden fra Solen i tredje potens er det samme for alle planeter.

Selv om Kepler fant lovene for planetenes bevegelser i Solsystemet, ble det raskt klart at de gjelder for all bevegelse i et tolegemesystem som beveger seg ikke-relativistisk slik at Newtons gravitasjonslov er gyldig.

I dag utledes disse lovene mer direkte fra Runge-Lenz-vektoren som er konstant i dette tilfellet, eller mer generelt ved bruk av Lagrange-mekanikk.

## Kepler-bevegelse
Anta at planeten har masse *m* og beveger seg kun påvirket av  gravitasjonskraften fra Solen med masse *M*. Da er den potensielle energien til planeten *V = - GmM/r* hvor *G* er gravitasjonskonstanten. Denne avhenger bare av avstanden *r* og er derfor den samme i alle punkt rundt Solen med samme avstand til denne. Bevegelsen skjer da i et plan normalt til dreieimpulsen ***L''' = '''r'''&thinsp;&times;&thinsp;'''p*** hvor ***p*** er impulsen til planeten. Det er da hensiktsmessig å benytte polarkoordinater  (*r,&theta;*) i dette planet slik at den kinetiske energien kan skrives som

:  T = {m\over 2}\Big(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2\Big) 

Med disse koordinatene er nå 

:  L  = mr^2\dot{\theta}  

det konstante impulsmomentet. Ved bruk av Lagrangemekanikk ville man ha forklart dette ved at vinkelen *&theta;* er en *syklisk variabel*  da den ikke opptrer i uttrykket for energien til planeten.

Den totale energien til planeten 

:  E =  {m\over 2}\Big(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2\Big)  - m{GM\over r} 

er også konstant for bevegelsen. Det kan nå brukes til å finne ligningen *r = r(&theta;)* for banen til planeten. Det gjøres enklest ved å bruke den konstante dreieimpulsen til å skrive den tidsderiverte som

:  {d\over dt} = {\lambda\over r^2}{d\over d\theta} 

etter å ha innført den spesifikke dreieimpulsen *&lambda; = L/m*. I tillegg er det hensiktsmessig å benytte den inverse radialavstand *u = 1/r* som avhengig variabel. Da blir

:  \dot{r} = {d\over dt}\left({1\over u}\right) = \lambda u^2 {d\over d\theta} \left({1\over u}\right) = - \lambda {du\over d\theta} 

Benyttes denne omskrivningen i uttrykket for energien, tar den ligningen den nye formen

:  2\varepsilon =  \lambda^2 (u'^2 + u^2) - 2GMu  

etter å ha innført den spesifikke energien *&epsilon; = E/m* og hvor *u*' = *du/d&theta;*. Deriverer vi nå begge sidene her med hensyn på vinkelen *&theta;*, gir venstresiden null da energien til planeten er en konstant. Høyresiden gir da en andre ordens  differensialligning

:  {d^2u\over d\theta^2} + u = {GM\over\lambda^2} 

En løsning er opplagt *u = GM/&lambda;<sup>2</sup>*  som tilsvarer bevegelse i en sirkel. Dette spesielle tilfellet ser vi foreløbig bort fra. 

Hvis høyresiden var null, ville løsningen av differensialligningen være en oscillerende bevegelse *u = u<sub>0&thinsp;</sub>*cos*(&theta; - &theta;<sub>0</sub>)* hvor  *u<sub>0</sub>* og  *&theta;*0 er integrasjonskonstanter. Men her er høyresiden en positiv konstant slik at den generelle løsningen blir *u = u<sub>0&thinsp;</sub>*cos*(&theta; - &theta;*0) + *GM/&lambda;*2. Går man så tilbake til den opprinnelige koordinaten *r = 1/u*,  finner man at banen er gitt ved ligningen 

:  r ={p\over 1 + e \cos (\theta - \theta_0)} 

som beskriver et kjeglesnitt. Konstanten *p* =  *&lambda;<sup>2</sup>/GM* er semi latus rectum og *e = u<sub>0</sub>&thinsp;/p* er eksentrisiteten for banen. Denne kan finnes ved å sette denne løsningen inn i uttrykket for energien. Det gir at

:  e = \sqrt{1 + 2\varepsilon\!\left({\lambda\over GM}\right)^2} 

Når energien *&epsilon;* > 0 er derfor *e > 1* og banen er en hyperbel, mens for *&epsilon;*  1 slik at banen alltid må være en hyperbel. Dette er relevant i forklaringen av Rutherfords gullfolieeksperiment med spredning av positiv ladete &alpha; - partikler på positive ladete atomkjerner.

## Keplers tre lover
Basert på sine observasjoner av planeten Mars som han hadde gjort som assistent for Tycho Brahe, publiserte Kepler sine to første lover i 1609 i sitt verk *Astronomia Nova*. Ti år senere formulerte han sin tredje lov i det nye verket *Harmonices Mundi*.

### Første lov

Planeten beveger seg i en ellipse som er nærmest solen for *&theta; = &theta;<sub>0</sub>*. Det er hensiktsmessig å legge koordinatsystemet slik at  *&theta;<sub>0</sub>* = 0. Da er ellipsen beskrevet ved ligningen

:r=\frac{p}{1+ e\cos\theta} 	 

slik at for *&theta;* = 90&deg; blir *r* = *p* som vist i figuren ved siden av.

Når  *&theta;* = 0 er planeten i sitt perihelium (nærmest solen) ved minimumsavstanden	 

:   r_\mathrm{min}=\frac{p}{1+e} 	 

mens den  for *&theta;* = 180&deg; er ved sitt  aphelium (lengst fra solen) ved maksimumsavstanden
	 
: r_\mathrm{max}=\frac{p}{1-e} 	 
 
Den store halvaksen er det aritmetiske gjennomsnittet mellom *r*min og *r*max,

: a=\frac{p}{1-e^2} 	 

og den lille halvaksen er det geometriske gjennomsnittet 

:b=\frac p{\sqrt{1-e^2}}.

Herav følger at *b*2 = *ap*.

### Andre lov

Den andre loven sier at baneradien sveiper ut like store arealer i løpet av like lange tid. Denne loven er også kjent som *loven om like arealer*.

Om vi antar at en planet bruker en dag på å bevege seg fra punkt *A* til *B*, vil linjene fra solen til *A* og *B* som vist i figuren, utgjøre en vinkelsektor. Keplers andre lov sier at arealet av denne vinkelsektoren vil være like stort som arealet av sektoren som dannes mellom solen og *C* og *D*, dersom det også tar en dag for planeten å bevege seg fra *C* til *D*. 

Etter et kort tidsinterval gitt ved differensialet *dt*, vil  vinkelsektoren  få et tillegg fra en liten trekant som har sider *r* og *rd&theta;*. Den har arealet  *dA = (1/2)r<sup>2</sup>d&theta;* slik at **flatehastigheten** blir

:  {dA\over dt} = {1\over 2}r^2\dot{\theta} = {L\over 2m}  

Da dreieimpulsen *L* er konstant, vil også denne hastigheten være konstant og Keplers andre lov er bevist. 

Planeten får altså større fart jo nærmere solen den kommer. Dette skyldes at solens tyngdefelt akselererer planeten mens den nærmer seg mot solen, og bremser den mens den beveger seg bort fra solen. Kepler kjente imidlertid ikke til denne fysiske forklaringen av fenomenet, han bare fastslo at det var slik det skjedde og beskrev det matematisk.

De to lovene ga Kepler muligheten til å beregne posisjonen til en planet ut fra tiden *t* som var gått siden planeten befant seg i sitt perihelion, og dens omløpstid *T*. Beregningen kan gjøres i fire trinn:

:1. Beregn den midlere anomali *M* fra formelen
::M=\frac{2\pi t}{T}
:2. Beregn  den eksentriske anomali *E* ved å numerisk løse  **Keplers ligning**
::\ M=E-e\sin E
:3. Beregn vinkelen  *&theta;* som er den sanne anomali, fra ligningen
::\tan\frac \theta 2 = \sqrt{\frac{1+ e}{1- e}}\cdot\tan\frac E 2
:4. Beregn avstanden *r&thinsp;* til planeten fra den første loven
::r=\frac p {1+ e\cos\theta}

Det var ved en lignenede prosess at Kepler kom frem til sine epokegjørende oppdagelser.

### Tredje lov

Den tredje loven sier at forholdet mellom kvadratet av omløpstiden *T* og middelavstanden *a* fra Solen i tredje potens er det samme for alle planeter som går i bane rundt det samme legemet:

:  c={T^2 \over a^3};  T^2 \propto a^3 

Denne loven kan bevises ved å benytte at planeten i løpet av omløpstiden *T* beskriver en full ellipse med areal  *A = &pi;&thinsp;ab*. Men fra den konstante arealhastigheten følger at dette er også gitt som *A = &lambda;T/2*. Settes disse to uttrykkene lik hverandre, får man

:  \pi^2a^2b^2 = \left({\lambda\over 2}\right)^2 T^2 

ved å kvadrere begge sidene. Samtidig har man den geometriske sammenhengen *b<sup>2</sup> = a&thinsp;p*, som ble tidligere utledet, hvor nå *p = &lambda;<sup>2</sup>/GM*. Dermed blir resultatet

:  4\pi^2a^3 = GMT^2 

som er Keplers tredje lov. Forholdet *T&thinsp;<sup>2</sup>/a<sup>3</sup>* har altså samme verdi for alle planeter i Solsystemet. Ved å innføre vinkelhastigheten *&omega; = 2&pi;/T* for det periodiske omløpet, kan denne loven også skrives som *&omega;<sup>2</sup>&thinsp;a<sup>3</sup> = GM*.

Keplers lover gjelder for alle bundne planeter eller stjerner som beveger seg om en sentral masse. Spesielt kan den tredje loven brukes til å påvise nye masser i Universet. Ved å observere hvordan stjerner beveger seg rundt forskjellige galakser kan man utfra omløpstider *T*  for en stjerne og dens avstand fra sentrum bestemme massen *M* innenfor banen. Det var slike observasjoner  Vera Rubin gjorde og som først påvist eksistensen av ny, usynlig masse som måtte være tilstede i de fleste galakser. Dette kan være ukjent, mørk materie. Videre kan man studere hvordan stjernene beveger seg i sentrum av vår egen galakse. De roterer rundt et eller annet med en masse som tilsvarer flere millioner ganger massen til Solen. Mest sannsynlig er dette et supermassivt sort hull.

## Se også
* Spesifikk baneenergi
* Spesifikk relativ drivmoment, relativ enkel måte å bevise Keplers lover ut fra bevaring av drivmomentet (dreieimpulsen)

## Litteratur

* L. Motz and A. Duveen, *Essentials of Astronomy*, Columbia University Press, New York (1971).
* F. R. Moulton, *An Introduction to Celestial Mechanics*, Dover Publications Inc., New York (1970).
* D. L. Goodstein and J. R. Goodstein: *Feynman's Lost Lecture. The Motion of Planets Around the Sun*,  W. W. Norton & Company, New York (1996), ISBN 0-393-03918-8

## Eksterne lenker
*  F.K. Hansen,  ''Celestial Mechanics'', forelesninger AST1100 i astrofysikk, UiO 2008.
* Supermassive Black Hole   in Galactic Center.