Kinetisk energi

**Kinetisk energi** er i fysikken den energi som er knyttet til et legemes bevegelse, derav ofte kalt for **bevegelsesenergi**. Formelt defineres det som arbeidet nødvendig for å akselerere tyngdepunkt til et legeme fra ro til en gitt hastighet. Den avhenger derfor av legemets masse og dets hastighet. Bevegelsen til legemet kan også bestå av en ren rotasjon som også gir opphav til kinetisk energi. Den totale kinetiske energi vil derfor i alminnelighet bestå av en sum av disse to bevegelsesenergiene.

Som all annen energi kan også kinetisk energi forvandles til andre former som potensiell energi eller kjemisk energi. Omvendt kan disse energiformene gi opphav til kinetisk energi. Energiprinsippet sier at ved slike omvandlinger er den totale energien bevart i overensstemmelse med termodynamikkens første hovedsetning.

Betydningen av kinetisk energi kan føres tilbake til Leibniz. Han observerte at en størrelse *mv*2 forble uforandret ved forskjellige elastiske kollisjoner. Denne størrelsen ble omtalt som vis viva og spilte en viss rolle i utviklingen av klassisk mekanikk. Den fulle betydning av kinetisk energi kom først med en bedre forståelse av Newtons bevegelseslover.

## Definisjon

For en punktpartikkel med masse *m* og hastighet *v* som fører partikkelen i en viss retning, er den kinetiske energien

:  E_{kin} = {1\over 2}mv^2 

Bruker man SI-enheter hvor massen måles i kg og hastigheten i meter per sekund, blir enheten for kinetisk energi Joule. For eksempel, en masse  som beveger seg med hastighet , har en kinetisk energi .

En klassisk punktpartikkel kan ikke rotere om seg selv. Den har derfor heller ikke noe treghetsmoment. Men et legeme har per definisjon en utstrekning og derfor rotere om sitt eget tyngdepunkt. Er vinkelhastigheten for rotasjonen *&omega;* og *I&thinsp;* treghetsmomentet om rotasjonsaksen, så er den kinetiske energien til legemet

:  E_{rot} = {1\over 2}I\omega^2 

Den totale, kinetiske energien kan generelt derfor skrives som

:  E_{tot} = {1\over 2}mv^2 +  {1\over 2}I\omega^2 

hvor nå *m* er den totale massen til legemet og tyngdepunktet beveger seg med hastighten *v*. Både translasjonshastigheten *v* og rotasjonshastigheten *&omega;* avhenger av referansesystemet som benyttes til å beskrive legemets bevegelse. Derfor er også kinetisk energi en relativ størrelse.

### Eksempel

En kule som ruller uten å gli på et horisontalt bord, har både en translasjonsenergi og en rotasjonsenergi. Den har et treghetsmoment I = \tfrac 2 5 \, m r^2 når *m* er massen og *r* er dens radius.. Hvis tyngdepunktet beveger seg med hastigheten *v*, vil rotasjonshastigheten være  \omega = v/r  ut fra antagelsen at den ikke glir. Den har dermed en total kinetisk energi

:  E_{tot} = \frac 1 2 m v^2 + \frac 1 2 \cdot \frac 2 5 m r^2 \cdot \omega^2 = \frac 7 {10} m v^2 

På samme måte vil en pistolkule som roterer, ha større kinetisk energi enn en som ikke gjør det, men beveger seg med samme hastighet. Den vil derfor også ha en større, ødeleggende virkning.

## Newtons mekanikk

Når en konstant kraft *F* virker på tyngdepunktet til et legeme slik at det beveger seg en veilengde *s*, har kraften per definisjon utført arbeidet . Men ifølge Newtons andre lov har denne kraften også gitt legemet en akselerasjon  når det har massen *m*. Hvis kraften starter å virke ved tiden  når legemet er i ro, vil det etter en tid *t* ha fått en hastighet  og derved beveget seg en distanse  i den retningen kraften virker. Ut fra definisjonen vil da legemets kinetiske energi *E<sub>kin</sub>* være lik med det arbeidet som kraften har utført i samme tidsrom, det vil si

:  E_{kin} = W = Fs =  m a \cdot \frac 1 2 a t^2 = \frac 1 2 m v^2 

Den kinetiske energien for en samling av flere partikler er lik med summen av de kinetiske energiene til hver av partiklene.

### Translasjonsenergi

Mer generelt kan man betrakte en kraft **F** som virker på en partikkel med masse *m*. Beveger den seg med hastigheten **v**, har den da en bevegelsesmengde (impuls) . Newtons andre lov kan da skrives som .

Virker denne kraften over et infinitesemalt tidsrom *dt*, vil partikkelen forflyttes en liten veilengde *d*&thinsp;**x** = **v***dt*. Dermed er det utført et lite arbeid

: \mathbf{F} \cdot d \mathbf{x} = \frac{d \mathbf{p}}{d t} \cdot \mathbf{v} d t = \mathbf{v} \cdot d \mathbf{p}  

som øker partikkelens kinetiske energi.  Her kan man nå skrive  =  . Virker kraften over et endelig tidrom *t*, får partikkelen derved en kinetisk energi

: E_{kin} = \int_0^t \mathbf{F} \cdot d \mathbf{x} = {m\over 2} \int_0^v dv^2 = \frac{1}{2}mv^2  

når den ved tiden *t* = 0 har hastigheten *v* = 0. Denne måten å beregne kinetiske energi kan også benyttes når partikkelen beveger seg så raskt at Newtons mekanikk ikke gjelder lenger, men må erstattes med relativistisk mekanikk.

### Relativ bevegelse

Hvis en samling av partikler med masser *m<sub>i</sub>* befinner seg i et referansesystem hvor de beveger seg med hastighetene **v***a*, er deres totale translasjonsenergi 

:  E_{kin} = \sum_a {1\over 2} m_a\mathbf{v}^2_a 

Tyngdepunktet til partiklene beveger seg da med hastigheten **V** bestemt ved ligningen

:  M\mathbf{V} =  \sum_a m_a\mathbf{v}_a 

hvor *M* er summen av alle massene til partiklene. Relativt til et referansesystem som følger med tyngdepunktet, vil hver partikkel ha en hastighet  . Den kinetiske energien kan nå skrives som 

:  E_{kin} = \sum_a {1\over 2} m_i(\mathbf{u}_a + \mathbf{V})^2 =  \sum_a {1\over 2} m_a\mathbf{u}^2_a + \mathbf{V}\cdot\sum_i m_a\mathbf{u}_a  
                    + {1\over 2}V^2\sum_im_i  

Det første leddet er den kinetiske energien *E<sub>CM</sub>&thinsp;* som partiklene har i referansesystem hvor tyngdepunktet er i ro. I siste ledd gir summen over alle massene den totale massen *M*, mens det midtre leddet er null ut fra definisjonen til den relative hastigheten **u***a*. Dermed har man det viktige resultatet

:  E_{kin} = E_{CM} + {1\over 2}MV^2 

for den totale kinetiske energien. En tilsvarende formel kan også utledes i relativistisk mekanikk. Massesenteret er da bestemt ut fra impulsene til hver av partiklene, ikke lenger av deres hastigheter slik som her i Newtons mekanikk.

### Rotasjonsenergi

Hvis alle partiklene i en slik samling er i felles bevegelse som skyldes en rotasjon med omdreiningshastighet **&omega;**, vil hver partikkel bevege seg med hastighet   når den har en posisjonsvektor **r***a* i referansesystemet som benyttes. Størrelsen til denne hastigheten kan skrives som |**v***a*&thinsp;| = *&omega;&rho;<sub>a</sub>* hvor *&rho;<sub>a</sub>* er avstanden til partikkelen fra rotasjonsaksen. Den kinetiske energien for bevegelsen er da

:  E_{kin} = {1\over 2}\sum_a m_a (\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}_a)^2 
                         = {1\over 2}\omega^2 \sum_a m_a  \rho_a^2 =  {1\over 2}I\omega^2 

hvor *I&thinsp;* er treghetsmomentet til alle partiklene om rotasjonsaksen definert ved **&omega;**. Dette vil opplagt være avhengig av retningen til denne i forhold til punktenes posisjoner og må regnes ut for hver ny rotasjonsakse.

For å unngå dette, kan man alternativt skrive ut kvadratet av kryssproduktet som gir 

:  E_{kin}  = {1\over 2}\sum_a m_a (\omega^2r_a^2 - (\boldsymbol{\omega}\cdot \mathbf{r}_a)^2)  

I et kartesisk koordinatsystem blir dette gitt ved den dobbelte summen

:  E_{kin} = {1\over 2} \sum_{i,j} I_{ij} \omega_i \omega_i 

hvor summasjonene går over de tre kartesiske retningene, og 

:   I_{ij} = \sum_a m_a( r_a^2 \delta_{ij} - x_{ai}x_{aj})

er «treghetstensoren». Her er *x<sub>ai</sub>&thinsp;* *i*-te komponent av vektoren **r***a* og *&delta;<sub>ij</sub>&thinsp;* er Kronecker-symbolet. 

Da komponentene til treghetstensoren danner en symmetrisk matrise, kan man alltid finne et koordinatsystem hvor den bare har diagonale komponenter *I<sub>x</sub>*, *I<sub>y</sub>* og *I<sub>z</sub>*. For et stift legeme kan nå disse regnes ut en gang for alle og benyttes uavhengig av rotasjonsretning. 

I dette  spesielle «hovedaksesystemet» kan da rotasjonsenergien skrives på den forenklete formen

:  E_{kin} = {1\over 2}I_x \omega_x^2 + {1\over 2}I_y \omega_y^2 + {1\over 2}I_z \omega_z^2 

hvor *&omega;<sub>x</sub>*, *&omega;<sub>y</sub>* og *&omega;<sub>z</sub>*&thinsp; er de kartesiske komponentene til vinkelhastigheten **&omega;**&thinsp; i det samme koordinatsystemet.

## Relativistisk mekanikk

En partikkel med masse *m* som beveger seg med en hastighet *v* som nærmer seg lyshastigheten *c*, må beskrives ved relativistisk mekanikk. Da kan impulsen til partikkelen skrives som  hvor Lorentz-faktoren

:  \gamma = {1\over\sqrt{1 - v^2/c^2}} 

Den har en kinetisk energi som kan beregnes på samme måte som for en ikke-relativistisk partikkel. Hvis den i utgangspunktet har null hastighet, vil den etter akselerasjonen ha energien

: E_{kin} = \int_0^t \mathbf{v} \cdot d \mathbf{p} = m \int_0^v \mathbf{v} \cdot d(\gamma\mathbf{v}) 

Etter en partiell integrasjon blir dette

:\begin{align}  E_{kin}  &= m\gamma \mathbf{v}\cdot \mathbf{v} -  m \int_0^v \gamma\mathbf{v}\cdot d\mathbf{v} = m\gamma v^2 -{m\over 2} \int_0^v \gamma dv^2 \\
     &=  m\gamma v^2 + {1\over 2}mc^2 \int_0^v \gamma d(1 - v^2/c^2) = m \gamma v^2 + m c^2 (1 - v^2/c^2)^{1/2} - mc^2\\
     &= mc^2(\gamma - 1) \end{align} 

Ved ikke - relativistiske hastigheter *v*   E_{kin} =  \frac{1}{2} m v^2 + \frac{3}{8} m v^4/c^2 + \cdots 

Slike relativistiske korreksjoner er viktige i atomfysikk, kjernefysikk og astrofysikk. Selv om hastigheten ikke kan overstige lyshastigheten, kan den kinetiske energien til en partikkel likevel bli vilkårlig stor.

## Se også
* Energikilde
* Bevegelsesmengde
* Newtons lover
* Hamilton-mekanikk

## Referanser


## Eksterne lenker

* A. Pascolini, ''Historical aspects in the development of the concept of energy'', 2014.