Cramers regel

I lineær algebra er **Cramers regel** et teorem som gir uttrykk for løsningen til et lineært ligningssystem med like mange ukjente som ligninger, i tilfeller der en entydig løsning eksisterer.  

Teoremet er oppkalt etter Gabriel Cramer (1704&ndash;1752), som i 1750 publiserte teoremet i verket *Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques* (*Introduksjon til analyse av algebraiske kurver*).   Også Colin Maclaurin beskrev metoden i  avhandlingen *Treatise of Algebra*, utgitt i 1748.

Løsningen av ligningssystemet er uttrykt ved hjelp av determinanten til koeffisientmatrisen, samt determinanter til matriser dannet ved å erstatte en kolonne i koeffisientmatrisen med en vektor lik høyresiden i ligningssystemet.  

Cramers regel er ikke praktisk for løsning av ligningssystem der antall ukjente er høyt.  Teoremet blir sporadisk benyttet som er teoretisk resultat.

## Cramers regel for et 2  ×  2 system
Et lineært ligninssystem med to ukjente kan skrives på forma

:\begin{matrix}
ax+by &={\color{red}e}\\ 
cx + dy &= {\color{red}f}
\end{matrix}.  

På matriseform skrives ligninssystemet som

:\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}e} \\ {\color{red}f} \end{bmatrix}. 

De to ukjente *x* og *y* er gitt ved Cramers regel som

:x = \begin{vmatrix} \color{red}{e} & b \\ \color{red}{f} & d \end{vmatrix}/\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}  = { {\color{red}e}d - b{\color{red}f} \over ad - bc} 

:y = \begin{vmatrix} a & \color{red}{e} \\ c & \color{red}{f} \end{vmatrix}/\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}  = { a{\color{red}f} - {\color{red}e}c \over ad - bc}.

## Cramers regel for et 3  ×  3 system
Tilsvarende skrives et lineært ligningssystem med tre ukjente som

:\begin{matrix}
ax + by + cz&= {\color{red}j}\\
dx + ey + fz&= {\color{red}k}\\
gx + hy + iz&= {\color{red}l}\end{matrix}. 

Matriseforma er 

:\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}j} \\ {\color{red}k} \\ {\color{red}l} \end{bmatrix} 

Cramers regel sier at løsningen for de tre ukjente *x* og *y* og *z* er gitt ved 

:x = \frac { \begin{vmatrix} {\color{red}j} & b & c \\ {\color{red}k} & e & f \\ {\color{red}l} & h & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }, \quad y = \frac { \begin{vmatrix} a & {\color{red}j} & c \\ d & {\color{red}k} & f \\ g & {\color{red}l} & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }, \quad z = \frac { \begin{vmatrix} a & b & {\color{red}j} \\ d & e & {\color{red}k} \\ g & h & {\color{red}l} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }.

## Cramers regel for et generelt system

Et generelt ligningssystem med *n* ligninger og *n* ukjente kan skrives på matriseforma

: A\mathbf{x} = \mathbf{b} \,

Matrisen *A* er antatt å være ikke-singulær, slik at determinanten til *A* er ulik null og en entydig løsning til ligningssystemet eksisterer.  Kolonnevektoren  **x** = (*x*1, ..., *x**n*)*T* inneholder de ukjente i ligningssystemet. 

Cramers regel sier at løsningen av ligningssystemet kan skrives på forma

: x_k = \frac{\det A_k}{\det A} \qquad k = 1, \ldots, n \,   

der  *A<sub>k</sub>* er matrisen dannet ved å erstatte kolonne nummer *k* i matrisen *A* med kolonnevektoren  **b**.

## Litteratur

*

*