Kjedelinje

**Kjedelinje** er den kurven som fremkommer når en kjede henges opp mellom to faste holdepunkt. Den kalles også en **katenær kurve** etter *catena* - kjede på latin.  På hvert stykke virker kun tyngdekraften og strekkraften langs kjeden. Nærmest opphengingspunktene er kurven brattest, da den der bærer mest av kjedens vekt.  

Formen til en ideell kjedelinje minner meget om en parabel, men nøyaktig sett gjelder det kun for den laveste delen. Hele kjedelinjen er derimot beskrevet matematisk ved en hyperbolsk cosinus-funksjon som igjen kan uttrykkes ved eksponentialfunksjoner. Dette ble vist allerede rundt 1690.

Eksempler på kjedelinjer man kan se i dagliglivet, er en kjetting som er utspent mellom to stolper eller en høyspentlinje som henger mellom to master. En gammeldags, enkel hengebro danner også en slik kjedelinje. Derimot beskriver bærekablene som holder kjørebanen på en moderne hengebro, en parabel. Det skyldes at her opptrer i tillegg en jevnt fordelt last forårsaket av vekten til kjørebanen.

## Historie
I sitt store verk *Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze*  fra 1638 diskuterte Galileo Galilei formen til en hengende kjede. Han mente at den kunne beskrives som en parabel i en tilnærmelse som ble bedre desto mindre nedheng kjeden hadde. Men i 1646 kunne Christiaan Huygens, som da bare var 17 år gammel, vise ved bruk av geometriske metoder, at kurven ikke kunne være en eksakt parabel. 

Rundt 1670 studerte  Robert Hooke formen til den mest stabile konstruksjon av en bue. Han kom frem til at det måtte være en kjedelinje snudd opp-ned selv om han ikke kjente den matematiske formen til denne kurven. Den ble først funnet i 1691 etter at Jakob Bernoulli året før hadde utlyst en konkurranse om en matematisk utledning av denne. Geometriske løsninger ble da presentert av Huygens og Leibniz, mens Johann Bernoulli presenterte sin løsning basert på den nye differensialregningen som Leibniz hadde vært med på å utvikle. I den matematiske notasjon som brukes i dag, ble den først flere tiår senere skrevet ned av Leonhard Euler etter at han hadde funnet egenskapene til eksponensialfunksjonen.

## Matematisk form

En kjede består av mange små ledd som kan vri seg fritt i forhold til hverandre. Derfor kan det ikke være noen vridningskrefter langs kjeden,  den kan kun overføre et strekk *T&thinsp;* som i alminnelighet vil variere langs kjeden. Hvert ledd er påvirket av denne kraften tangensielt til kjeden pluss virkningen av tyngdekraften. Beskriver man kjeden i et koordinatsystem *(x,y)* og *y*&thinsp;-&thinsp;aksen er rettet oppover, vil da tyngdekraften virke nedover. 

Man antar vanligvis at alle leddene i kjeden er like. Dermed vil massen *m&thinsp;* til en kjedelengde *s&thinsp;* øke proporsjonalt med denne. Det vil si at  hvor *&lambda;&thinsp;* er den lineære massetettheten. Tyngdekraften på dette kjedestykket vil da ha en størrelse *g&lambda;s&thinsp;* hvor *g&thinsp;* er tyngdeakselerasjonen. 

### Mekanisk stabilitet

Kjedelinjens form kan utledes ved å betrakte linjestykket fra det laveste punktet **c** og frem til et vilkårlig punkt **r**. Her er strekkraften **T** tangensiell til kurven og danner vinkelen *&theta;&thinsp;* med  *x*&thinsp;-&thinsp;aksen. I det laveste punktet **c** er den tilsvarende kraften **T**0 horisontal. Når kjeden henger i ro, må den totale kraften på dette linjestykket være null. I  *x*&thinsp;-&thinsp;retning får man da betingelsen , mens i *y*&thinsp;-&thinsp;retning må man ha at  hvor *s* er lengden av kjeden mellom punktene **c** og **r**. Vinkelen som kurven danner med *y*&thinsp;-&thinsp;aksen, er da gitt ved  etter å ha innført konstanten . Men da man i tillegg kan skrive at tan*&theta; = dy/dx*, følger at

:  {dy\over dx} = {s\over a} 

Dette er den fundamentale differensialligningen for den ideelle kjedelinjen. Den kan løses ved å bruke at for et differensielt lite linjestykke er
*ds<sup>2</sup> = dx<sup>2</sup> + dy<sup>2</sup>* slik at

:  {ds\over dx} = \sqrt{1 + (dy/dx)^2} 

Settes inn her for *dy/dx*, kommer man frem til den ekvivalente differensialligningen

:  {dx\over ds} = {a\over \sqrt{a^2 + s^2}} 

Denne kan nå løses ved direkte integrasjon ved bruk av hyperbolske funksjoner. Det gir

:  x = a \operatorname{arsinh}{s\over a} + x_0 

hvor *x<sub>0</sub>&thinsp;* er en integrasjonskonstant. Ved å bestemme at det laveste punktet til kjedelinjen har *x*&thinsp;-&thinsp;koordinaten *x = 0*, kan den settes lik null. På den måten er man kommet frem til svaret

:  s = a\sinh{x\over a} = {a\over 2}\Big( e^{x/a} - e^{-x/a}\Big) 

for hvordan kjedelengden varierer med *x*&thinsp;-&thinsp;koordinaten. Dette resultatet er uttrykt ved den hyperbolske sinus-funksjonen.

Den tilsvarende variasjonen med *y*&thinsp;-&thinsp;koordinaten finnes likedan ved å bruke at

:  {dy\over ds} = {dy/dx\over ds/dx} = {s\over \sqrt{a^2 + s^2}} 

som lett kan integreres til å gi *y = &radic;(a<sup>2</sup> + s<sup>2</sup>) + y<sub>0</sub>&thinsp;*. Integrasjonskonstanten *y<sub>0</sub>&thinsp;* kan igjen settes lik null ved å si at det laveste punktet til kjeden har *y*&thinsp;-&thinsp;koordinaten *y = a*. Derved har man at

:  y = \sqrt{a^2 + s^2} 

Settes her inn det tidligere resultatet for *s(x)*, følger direkte at

:  y = a\cosh{x\over a} = {a\over 2}\Big( e^{x/a} + e^{-x/a}\Big)

da de hyperbolske funksjonene tilfredsstiller 1 + sinh2 = cosh2. Dette gir det endelige svaret for formen til en ideell kjedelinje. 

I nærheten av kjedens laveste punkt er *x < a*, og man finner da tilnærmet at *y = a + x<sup>2</sup>/2a&thinsp;* ved å ekspandere  de to eksponensialfunksjonene i den eksakte løsningen. Kjeden har derfor i dette området formen til en parabel som observert av Galileo.

### Tensjon
Fra balanseringen av kreftene som virker på linjestykket *s*, fulgte at den horisontale komponenten  av strekket eller **tensjonen** i kjeden er konstant lik *T<sub>0</sub>&thinsp;*. Derimot varierer den vertikale komponenten  langs kjeden og øker desto lengre bort man er fra det laveste punktet. Det betyr også at vinkelen *&theta;&thinsp;* som kjeden danner med  *x*&thinsp;-&thinsp;aksen, vil variere tilsvarende. Denne variasjonen finnes fra den tidligere sammenhengen . Bruker man her resultatet for , finner man at

:  \tan\theta = \sinh{x\over a} 

Ved å benytte at cos2*&theta;* = 1/(1 + tan2*&theta;*), er derfor . Da den fulle tensjonen i kjeden er *T = T<sub>0</sub>*&thinsp;/cos*&theta;*, varierer den derfor langs kjeden som

:  T = T_0\cosh{x\over a} 

Det betyr at tensjonen i et punkt på kjeden er direkte proporsjonal med høyden *y&thinsp;* det har over det laveste punktet. Matematisk uttrykt sier dette resultatet at . Da *T<sup>2</sup> = H<sup>2</sup> + V<sup>2</sup>* og , betyr det igjen at den vertikale komponenten av tensjonen kan skrives som . Det er nå lett å sjekke at dette stemmer med   som var den opprinnelige definisjonen.

## Praktiske anvendelser

I en hengende kjede er det en strekkspenning som går fra ledd til ledd og er derfor rettet tangensielt til kjeden. Konstruerer man derfor en stiv bue med formen til en kjedelinje snudd på hodet, vil trykkspenningen i denne også gå tangensielt til buen. På den måten blir skjærspenningene i konstruksjonen minimalisert og den blir spesielt stabil.  Det var akkurat denne egenskapen ved kjedelinjen som Robert Hooke oppdaget rundt 1670. Derfor er slike **kjedebuer** senere blitt benyttet i mange broer og bygg.

### Belastning

I praktiske anvendelser av hengende kjedelinjer og stående kjedebuer, vil det ofte være ekstra krefter som virker på grunn av vekten som en bue eller kjede må holde oppe. Dette vil gi opphav til et eller flere nye ledd i ligningene som beskriver kraftbalansen til hver del av kjeden. Dermed kan også den resulterende kurven få en litt annen form enn den for en ideell kjedelinje.

Betrakter man for eksempel en moderne hengebro, så må bærekablene holde oppe kjørebanen. Antar man at den er horisontal i *x*&thinsp;-&thinsp;retning med en vekt *w* per meter, vil balansen av de vertikale kreftene som virker på linjestykket mellom **c** og **r**, forandres til  . Da kraftbalansen i den horisontale retningen forblir uforandret, blir derfor hellningsvinkelen til kjeden nå bestemt av ligningen

:  \tan\theta = {dy\over dx} = {s\over a} + kx 

hvor konstanten *k = w/T<sub>0</sub>&thinsp;*. Denne differensialligningen kan ikke lenger løses analytisk som tidligere, men må behandles med numeriske metoder.

Men kan man anta at bærelasten er mye tyngre enn vekten av selve kabelen, kan man se bort fra det første leddet i denne ligningen for hellningsvinkelen. Da blir *dy/dx = kx&thinsp;* som gir med en gang resultatet  når man igjen ser bort fra en integrasjonskonstant. Den resulterende kurven er en parabel som dermed er formen til bærekablene i dette praktisk viktige tilfellet.

### Generaliserte kjedelinjer

Ved utledning av formen til den ideelle kjedelinjen er det gjort flere antagelser. I praksis er ikke alle disse nøyaktig oppfylt, og den resulterende kjeden vil se noe annerledes ut. For eksempel vil en virkelig kjede være litt elastisk, slik at den blir litt forlenget når den blir utsatt for strekkraften *T*. Denne effekten kan tas hensyn til, og man kan også for en slik situasjon beregne analytisk formen som kjeden beskriver.

Man kan også være interessert i å benytte en kjede som har en variabel massetetthet *&lambda;*. Dette skyldes at strekkraften *T* kan forårsake brudd i kjeden hvis denne kraften blir for stor. Det gjelder spesielt de delene av kjeden som er nærmest opphengingspunktene, da kjeden der må bære en stor del av vekten til hele kjeden. For å unngå det kan man benytte en kjede som har en lavere massetetthet *&lambda;* på midten enn ved disse endepunktene hvor kjeden gjøres sterkere.

Formen til en slik generalisert kjedelinje er ofte gitt ved ligningen *y = a&thinsp;*cosh(*bx)&thinsp;* som involverer to parametre *a* og *b*. Den ideelle kjedelinjen tilsvarer at *ab = 1*. Den 192 meter høye *Gateway Arch* i St. Louis som ble tegnet av den finske arkitekten Eero Saarinen, er en generalisert kjedebue beskrevet ved denne ligningen med parametre *a = 68,8* og *b = 0,01* inntegnet på en minneplakett ved byggverket.

## Variasjonsberegning

I stedet for å betrakte kreftene som virker på kjeden, kan man beregne dens potensielle energi. Når kjeden henger i ro, har denne et minimum. Tenker man seg at kjeden er beskrevet ved kurven *y = y(x)* som forbinder de to opphengingspunktene A og B, betyr det at

:  g\lambda\int_A^B\!ds y  = g\lambda\int_A^B\!dx y\sqrt{1 + (dy/dx)^2} = \text{minimal} 

da den potensielle energien for et lite stykke *ds* av kjeden er *gydm = gy&lambda;ds* der *y* er høyden det har i tyngdefeltet. Å finne en funksjon *y = y(x)* som gjør integralet minst mulig, er et typisk problem som kan løses ved bruk av variasjonsregning. Men man må samtidig ta hensyn til at kjeden har en viss lengde

:  L = \int_A^B\!ds  = \int_A^B\!dx \sqrt{1 + (dy/dx)^2} 

som må betraktes som konstant under beregningen. Det kan gjøres ved bruk av en Lagrange-multiplikator  slik at variasjonsproblemet blir

:  \int_A^B\!dx (y + \chi)\sqrt{1 + y'^2} = \text{minimal} 

hvor *y' = dy/dx* og *&chi;&thinsp;* er en slik ukjent multiplikator. Den resulterende Euler-Lagrange-ligningen kan nå beregnes og blir . Det er en andre ordens differensialligning som ikke uten videre er så lett å løse.

Dette variasjonsproblemet er matematisk identisk med å finne banen til en lysstråle i et medium med en brytningsindeks *n = y + &chi;* ved bruk av Fermats prinsipp. Som der kan man forenkle problemet ved bruk av *Beltramis metode*. Den er anvendelig her da integranden *F* er uavhengig av den variable *x*.  Da er  en konstant. Kaller man den for *a*, gir det

:  y' (y + \chi){y'\over\sqrt{1 + y'^2}} - (y + \chi)\sqrt{1 + y'^2} = - {y + \chi\over\sqrt{1 + y'^2}}  = a 

På den måten inngår bare den første deriverte *y' = dy/dx* som kan separeres ut ved å kvadrere ligningen,

:  {dx\over dy} = {a\over\sqrt{(y + \chi)^2 - a^2}} 

Denne ligningen er av samme form som ved forrige metode basert på kraftbalansering. Den kan igjen integreres direkte og resultatet uttrykkes ved en hyperbolsk funksjon som  hvor *x<sub>0</sub>* er ny integrasjonskonstant. Løser man ut den avhengige variable *y*, har man derfor 

:  y + \chi = a\cosh{x - x_0\over a} 

Herav følger at Lagrange-multiplikatoren kan identifiseres med *y<sub>0</sub> = - &chi;&thinsp;* som angir det laveste punktet til kjeden og som ble satt lik null. På samme måte har dette punktet en *x*&thinsp;-&thinsp;koordinat som nå kan identifiseres med integrasjonskonstanten *x<sub>0</sub>*. Settes den også lik null, har man samme form for kjedelinjen som ved den forrige metoden.

### Alternativ parametrisering

Man kan komme raskere frem til samme svar ved å velge en annen parametrisering i variasjonsberegningen. Hvis man velger koordinaten *y* som uavhengig variable slik at den søkte funksjonen er av formen *x = x(y)*, vil den da kunne bestemmes fra kravet

:  \int_A^B\!dy (y + \chi)\sqrt{1 + x'^2} = \text{minimal} 

hvor *x' = dx/dy* og *&chi;&thinsp;* fremdeles er Lagrange-multiplikatoren. Da integranden *F* denne gangen bare inneholder *x'&thinsp;* og ikke den variable *x*, betyr det at denne koordinaten nå er en såkalt syklisk variabel. Det betyr at *&part;F/&part;x*' er en konstant som man igjen kan kalle *a*. Dermed har man at

:  (y + \chi){x'\over\sqrt{1 + x'^2}} = a 

Herav kan man nå løse ut *x' *. Det gir

:  x' = {dx\over dy} = {a\over\sqrt{(y + \chi)^2 - a^2}} 

som er akkurat samme resultat som ble funnet med den andre parametriseringen. Denne fremgangsmåten gir derfor formen til kjedelinjen på en mer direkte måte.

## Referanser


## Litteratur

* E. H. Lockwood, *A Book of Curves*, Cambridge University Press, England (1967). ISBN 0-5210-4444-8.
* J. J. Fahie,  *Galileo, his life and work*, J. Murray, London (1903).
* J. Heyman, *Structural Analysis: A Historical Approach*, Cambridge University Press, England (2007). ISBN 0-5210-4135-X.

## Eksterne lenker
* H.Kragh Sørensen, ''Kædelinjen'' , avløsningsoppgave ved Aarhus Universitet (1996).
* I. Todhunter, ''A treatise on analytical statics'', Google Book.
* P. Block, M. DeJong and J. Ochsendorf, ''As hangs the Flexible Line: Equilibrium of Masonry Arches.* [[MIT]] (2006).
* J.B. Calvert, [http://planetmath.org/equationofcatenaryviacalculusofvariations *The Catenary''.]