Tallsystem

Det finnes en rekke **tallsystemer** som er og har vært i bruk. De mest kjente er romertallene og desimalltallene/titallsystemet, som er i bruk i dag. Det finnes også en del tallsystemer som brukes i sammenheng med datamaskiner som totallsystemet/binærtall, åttetallsystemet, sekstentallsystemet og 64-tallsystemet. Tallsystemet vi bruker i dagliglivet er titallsystemet. Det vil si et tallsystem bygget opp av tierpotenser. For eksempel er tallet 100 = 10². Tallsystemet som brukes i databehandling er det såkalte totallsystemet (binære tall). Tallene i dette systemet bygges opp av toerpotenser. For eksempel er tallet 8 = 2³ Det finnes også andre tallsystemer, som tolvtallsystemet (dusin) og sekstitallsystemet (brukes i beregninger av tid og vinkler).  Symbolene som tallene i et tallsystem skrives med kalles siffer eller talltegn.

## Historiske tallsystemer
Det finnes en rekke tallsystemer som ikke lenger er i bruk eller som brukes mest av historiske årsaker.  Et eksempel på dette er det romerske tallsystemet.  Aztekerne og mayaene brukte et 20-tallsystem og sumererne brukte et 60-tallsystem (seksagesimalsystemet).

## Moderne tallsystemer

### Heltall

I moderne tallsystemer, som for eksempel
*det desimale tallsystemet (titallsystemet),
*det binære tallsystemet (totallsystemet),
*det oktale tallsystemet (åttetallsystemet) 
*det duodesimale tallsystemet (tolvtallsystemet) og
*det heksadesimale tallsystemet (sekstentallsystemet),

kan alle heltall uttrykkes som en sekvens av sifre på formen

:(a_n a_{n-1} \dots a_2 a_1 a_0)_b

der b er grunntallet og hver a_i er et siffer.
Hvert siffer er større enn eller lik 0 og mindre enn grunntallet b.
Eksempler på dette er (4D2)16, (2322)8,
(10011010010)2 og (1234)10, som alle uttrykker den samme
tallverdien, den vi skriver i desimalnotasjon som 1234.

Det er normalt å utelate grunntallet når det er underforstått hvilket grunntall
som er brukt.  Da uttrykkes tallet som

:a_n a_{n-1} \dots a_2 a_1 a_0

som for eksempel 4D2, 2322, 10011010010 eller 1234.

Verdien av et slikt tall, med grunntall b, er

:a_n b^n + a_{n-1}b^{n-1} + \cdots + a_2 b^2 + a_1 b + a_0

For eksempel, (4D2)16 i titallsystemet blir

:(4)_{16}(16)_{10}^2 + (D)_{16}(16)_{10} + (2)_{16}
:=(4)_{10}256_{10} + (13)_{10}(16)_{10} + (2)_{10}
:=(1024)_{10} + (208)_{10} + (2)_{10}
:=(1234)_{10}

### [[Desimaltall]]

Som for heltall er det normalt å utelate grunntallet når det er underforstått hvilket grunntall som er brukt. Da uttrykkes tallet som

:a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0, a_{-1} a_{-2} \dots

Verdien av et slikt tall, med grunntall b, er

:a_n b^n + a_{n-1}b^{n-1} + \cdots + a_1 b + a_0  + a_{-1} b^{-1} + a_{-2} b^{-2} + \cdots

## Omgjøring av tall i ett tallsystem til det tilsvarende tallet i titallsystemet

For å gjøre om et tall i f.eks. et totallssystem til det tilsvarende tallet i et titallssystem må tallet multipliseres med en toerpotens. Størrelsen på potensen bestemmes av verdien av sifferet i tallet (altså tierplassen, hundreplassem osv). Tallet 1011 (i et totallssystem) vil da bli 1*2³ + 0*2² + 1*2 + 1*2° = 11 i et titallssytem. Det samme gjør du med et utgangspunkt i f.eks. et tolvtallsystem, bare med potenser av tallet 12 istedenfor toerpotenser.

## Omgjøring av tall i titallsystemet til det tilsvarende tallet i et annet tallsystem

For å gjøre om et tall i titallsystemet til det tilsvarende tallet i et annet tallsystem, må tallet deles med den gjeldende potensen helt til det når 0, og alle rester må taes i betraktning. For eksempel vil tallet 83 (i titallsystemet) regnes om på denne måten, for å gjøre det om til totallsystemet:
 83:2 blir 41, med rest **1**,
 41:2 blir 20, med rest **1**,
 20:2 blir 10, med rest **0**,
 10:2 blir  5, med rest **0**,
  5:2 blir  2, med rest **1**,
  2:2 blir  1, med rest **0**,
  1:2 blir  0, med rest **1**.
For å finne hva tallet 83 (i titallsystemet) blir i totallsystemet, begynner vi med restene nedenifra. Tallet blir dermed 1010011 i totallsystemet. Hvis et tall skal gjøres om til det tilsvarende tallet i f.eks femtallsystemet, må man dele tallet på 5:
 83:5 blir 16, med rest **3**,
 16:5 blir  3, med rest **1**,
  3:5 blir  0, med rest **3**.
Altså blir dette 313 i femtallsystemet.

## Se også

* Tall