Bidomene-modellen

**Bidomene-modellen** er en matematisk modell av hjertemuskelens elektriske egenskaper. Den er en kontinuumsmodell basert på forskjeller mellom det ekstracellulære og instracellulære domenet – området på innsiden av og på utsiden av muskelceller – der hver av disse er antatt å eksistere overalt, definert ut fra et lokalt gjennomsnitt. Bidomene-modellen er formulert som et ligningssett, *bidomene-ligningene*, som sammen med gitte randbetingelser kan løses i et gitt domene.

Bidomene-modellen ble utviklet på slutten av 1970-tallet, første gang presentert av Leslie Tung i januar 1978. Den brukes i dag blant annet til å modellere defibrillering av hjertet.

## Grunnlag
Hjertemuskelen består av muskelceller, der man regner området som er på innsiden av disse som det *intracellulære* området og området som er rundt, utenfor, som det *ekstracellulære* området. I bidomene-modellen antar man at disse eksisterer overalt, og at hvert punkt i et gitt domene har egenskaper som tilhører hvert av disse. Som vanlig i kontinuumsmodeller er disse egenskapene basert på gjennomsnittsverdier i et lite område rundt et gitt punkt i domenet.

Spenningsforskjell i det ekstracellulære og det intracellulære området, membranpotensialet, karakteriserer alle muskelceller. Dette er vesentlig for hjertet og dets funksjonalitet. Bidomene-modellen kobler sammen ligninger som beskriver et legemets elektriske egenskaper generelt, og ligninger som karakteriserer denne forskjellen.

Muskelfibrene i hjertet er organisert i lag der hvert lag består av «rør» av sarkomerer. Disse er lokalt velorganisert og går i samme retning. Man kan derfor lokalt definere tre vektorer som henholdsvis angir retningen disse går i, retningen på tvers (men i samme lag) og normalen av disse, som vil være på hvers av lagene. Konduktansverdiene til hjertevevet avhenger av denne retningen, og antas å være sterkest i samme retning som muskelfibrene, dernest kommer på tvers av disse og minst i retning av normalen. Den er videre ulik i det ekstracellulære og det intracellulære området.

## Matematisk modell
### Standardformulering
Bidomene-ligningene er gitt ved
:
\begin{alignat}{2}
\nabla \cdot \left( M_i \nabla v \right) + \nabla \cdot \left( \left( M_i + M_e \right) \nabla v_e \right) & = 0 \\
\nabla \cdot \left(M_i \nabla v \right) + \nabla \cdot \left(M_i \nabla v_e \right) & = \chi \left( C_m \frac{\partial v}{\partial t} + I_\mathrm{ion} \right)
\end{alignat}

der \chi angir cellemembranens overflateareal, per enhetsvolum, C_m cellemembranens elektriske kapasitans per enhetsareal, v=v_i-v_e er v_i den intracellulære spenningen og v_e den ekstracellulære spenningen, og I_\mathrm{ion} ionestrømmen over membranen per enhetsareal.

Sammen med gitte randbetingelser kan man løse disse ligningene over et gitt domene numerisk.

### Utledning
La \Omega med rand \partial \Omega betegne alle punkter x i hjertet. I hvert punkt i \Omega kan vi definere en intra- og ekstracellulær spenning, samt en intra- og ekstracellulær strøm, kalt henholdsvis v_i, v_e, J_i og J_e. Konduktansen i det intra- og ekstracellulære domenet er videre gitt ved M_i og M_e.

Vi antar at forholdet mellom strøm, spenning og konduktans er gitt ved Ohms lov, hvilket gir
:
\begin{alignat}{2}
J_i & = -M_i \nabla v_i \\
J_e & = -M_e \nabla v_e.
\end{alignat}


Vi antar at ladning ikke akkumuleres i noe enkeltpunkt i \Omega – så total ladning er alltid bevart – hvilket gir
:
\nabla \cdot \left( J_i + J_e \right) = 0

som ved ligningene over kan skrives om til
:
\nabla \cdot \left( M_i \nabla v_i \right) + \nabla \cdot \left( M_e \nabla v_e \right) = 0

Denne ligningen sier at all strøm som går ut fra ett domene (enten det ekstracellulære eller det intracellulære) må gå inn i det andre.

Man kan anta at transmembranpotensialet, definert som v = v_i - v_e, er relatert til spenningsforskjellen ved
:v = \frac{q_i - q_e}{2 \chi C_m}
der q_i og q_e angir intra- og ekstracellulær ladning, \chi angir overflateareal per enhetsvolum og C_m cellemembranens kapasitans. Videre tar vi den tidsderiverte av dette, og antar vi at strømmen inn og ut av hvert domene er bevart. Fra dette kan vi utlede at
:J_t = \chi \left( C_m \frac{\partial v}{\partial t} + I_\mathrm{ion} \right)
hvilket kombinert gir
:
\nabla \cdot \left( M_i \nabla v \right) + \nabla \cdot \left( M_i \nabla v_e \right) = \chi \left( C_m \frac{\partial v}{\partial t} + I_\mathrm{ion} \right)
.
som er den andre bidomene-ligningen. 

### Konduktansverdier
Konduktansverdiene i henholdsvis samme retning som fibrene, på tvers av disse og normalt på hvert lag er ulik; videre er disse igjen ulike i det intracellulære og ekstracellulære området. Dette kan modelleres ved hjelp av diagonale matriser (annengrads tensorer), der konduktivitetsverdiene lokalt er angitt ved
:
M_i = \begin{bmatrix}
\sigma_{fi} & 0 & 0 \\
0 & \sigma_{ti} & 0 \\
0 & 0 & \sigma_{ni} \end{bmatrix}
\qquad
M_e = \begin{bmatrix}
\sigma_{fe} & 0 & 0 \\
0 & \sigma_{te} & 0 \\
0 & 0 & \sigma_{ne} \end{bmatrix}
,
der \sigma_{ij} angir konduktivitetverdi i henholdsvis retning \mathbf{e_f}, \mathbf{e_t}, \mathbf{e_n} (i retning fibrene, på tvers, normalt) for j \in {i, e} (intracellulært, ekstracellulært). Dette er lokale verdier som må omregnes til globale verdier ut fra vektorfeltet som definerer fibrenes geometri i et gitt punkt.

Disse verdiene er skalare estimerte verdier, og ikke gitt direkte i originalformuleringen av bidomene-modellen. Forskning på dette antyder at forholdet mellom verdiene er gitt ved 4:2:1, men ulike artikler oppgir ulike konduktansverdier.

Ved å anta at konduktansverdiene er proporsjonale i det intra- og ekstracellulære domenet, altså at M_i = \lambda M_e for en skalarverdi \lambda, kan modellen reduseres til monodomene-modellen.

### Randbetingelser
For å finne en løsning for ligningssettet over, må man angi randbetingelser. Dersom man antar at domenet er omgitt av et isolerende medium, kan man modellere dette som
:n \cdot J_i = 0 \qquad n \cdot J_e = 0
der n er overflatens normalvektor, og ligningene angir at henholdsvis at den intracellulære og ekstracellulære strømmen er null på randen. Ved å bruke ligningene over kan dette skrives om til
:n \cdot (M_i \nabla v + M_i \nabla v_e) = 0 \qquad n \cdot (M_e \nabla v_e) = 0

## Referanser


## Eksterne lenker
*Artikkel om bidomene-modellen på Scholarpedia