Coulombs lov

**Coulombs lov** sier at kraften mellom to elektrisk ladde partikler er proporsjonal med produktet av ladningene og omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden mellom dem. Den har derfor samme form som Newtons gravitasjonslov hvor masser erstattes med elektriske ladninger.  Loven ble påvist av Charles Augustin Coulomb og dannet grunnlaget for utvikling av den moderne teori for elektromagnetisme. Siden den tid er den eksperimentelt verifisert på mange forskjellige måter. Den er en naturlov og ekvivalent med Maxwells første lov, også kalt Gauss' lov.

Kalles de to ladningene for  *q*1 og *q*2, skrives loven for den elektriske Coulomb-kraften *F&thinsp;* på formen

: F=k_e\frac{q_1q_2}{r^2} 

når *r* er avstanden mellom ladningene. Proporsjonalitetskonstanten *k<sub>e</sub>* kalles ofte for Coulombs konstant og har en størrelse som er avhengig av hva slags målenheter benyttes. I det vanlige  SI-systemet har den verdien

:  k_e = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 8.987 742 438 \times 10^9\; \mathrm{Nm^2C^{-2}} 

der *&epsilon;*0&thinsp; er den elektriske konstanten. Når de to ladningene har samme fortegn, er kraften frastøtende. Hvis ikke, får den motsatt fortegn som betyr at kraften er tiltrekkende.

Kraften mellom to ladninger i bevegelse får, i tillegg til Coulomb-kraften, et bidrag fra magnetiske krefter. For store hastigheter må disse kreftene beskrives ved spesiell relativitetsteori. Coulombs lov alene gir derfor ikke en fullgod beskrivelse. For veldig små avstander mellom partiklene blir Coulombs lov modifisert med bidrag fra kvanteelektrodynamikken.

## Historisk bakgrunn

Fra de første observasjoner av krefter mellom elektrisk ladete objekter på 1700-tallet var det klart at disse avtok med avstanden mellom dem. På den tiden var Newtons gravitasjonslov den eneste kjente matematiske lovmessighet for en kraft, så mange trodde at elektriske krefter ville oppføre seg på tilsvarende vis. Kvantitative målinger ble gjort på mange hold. 

Ved konstruksjon av meget nøyaktige torsjonsvekter lyktes det den franske fysikeren Charles Augustin Coulomb i 1784 å påvise at den elektriske kraften mellom punktladninger varierer med avstanden på samme måte som i Newtons tyngdelov. Tilsvarende målinger hadde tidligere blitt gjort av den engelske naturviter Henry Cavendish, men ble først kjent etter hans død.

Det er ennå ikke helt forstått hvorfor både Newtons gravitasjonslov og Coulombs elektriske lov gir krefter som avtar med avstanden. Ved bruk av kvantefeltteori kan man si at begge deler skyldes utveksling av masseløse partikler, henholdsvis graviton og foton. Alternativt kan man tenke seg, som i Kaluza-Klein-teori, at Universet har flere enn fire dimensjoner. En ren gravitasjonskraft i en slik verden vil da se ut som både gravitasjon og elektromagnetisme i vår verden med fire dimensjoner og med samme kraftlov.

## Matematisk formulering
Ved sine målinger fant Coulomb ikke bare ut at kraften mellom to ladete partikler avtar med kvadratet av avstanden mellom dem, men han viste også at kraften var rettet langs forbindelseslinjen mellom dem. I tillegg var den proporsjonal med produktet av de to ladningene. Kalles disse *q*1 og *q*2, kan Coulombs lov derfor skrives på vektoriell form som

:  \mathbf{F} = \frac{q_1q_2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \mathbf{e}_r 

hvor  **e***r*&thinsp; er enhetsvektor i samme retningen som vektoren **r**12  = **r**1 -  **r**2 som forbinder de to ladningene og med lengde *r* = |**r**12|. På denne formen uttrykker den kraften **F**&thinsp; mellom ladningene. Mer presist består denne av en kraft **F**1&thinsp; på 

ladning *q*1&thinsp; som skyldes tilstedeværelsen av ladning *q*2. Fullt ut kan da denne kraften skrives som

:  \mathbf{F}_1 = \frac{q_1q_2}{4 \pi \varepsilon_0}{\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2\over |\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2|^3}  

Etter Newtons tredje lov om kraft og motkraft, virker det en tilsvarende kraft **F**2&thinsp; på ladning *q*2&thinsp; med **F**1 = - **F**2.

På denne formen er loven ikke bare gyldig for punktladninger. Hvis den ene eller begge ladningene består av sfærisk symmetriske ladningsfordelinger, kan man benytte Newtons skallteorem til å vise at Coulombs lov fremdeles er gyldig. Det er på samme måte som at Newtons gravitasjonslov er gyldig for kraften mellom to store planeter så lenge disse er runde. For den elektriske kraften mellom to vilkårlig elektrisk ladete objekter som ikke har denne symmetrien, er ikke loven lenger gyldig.

### Coulomb-feltet

Kraften som virker på den første ladningen, kan skrives som **F**1 = *q*1**E**1&thinsp; hvor **E**1 = **E**(**r**1)&thinsp; er det elektriske feltet skapt av ladning  *q*2&thinsp; i posisjonen  til *q*1,

:  \mathbf{E}( \mathbf{r}) =  \frac{q_2}{4\pi\varepsilon_0}{\mathbf{r} - \mathbf{r}_2\over |\mathbf{r} - \mathbf{r}_2|^3} . 

Feltet er radielt rettet ut fra punktet **r**2 og avtar i styrke med kvadratet av avstanden fra dette punktet. Matematisk sett divergerer det i origo fordi det er skapt av en punktladning. En slik ladning har formelt ingen utstrekning, men forekommer ikke i virkeligheten. For eksempel har et proton en utstrekning på omtrent 10-15&thinsp;m. Et elektron er enda mindre, med en utstrekning som ikke er veldefinert på grunn av kvanteeffekter.

Det elektriske feltet utenfor mange slike ladninger er gitt ved summen av feltene fra hver av dem,

:  \mathbf{E}(\mathbf{r}) =  \sum_i {q_i(\mathbf{r} - \mathbf{r}_i)\over 4\pi\varepsilon_0|\mathbf{r} - \mathbf{r}_i|^3}.  

Dette er et eksempel på superposisjonsprinsippet. Hvis disse ladningene er kontinuerlig fordelt med en ladningstetthet *&rho;*(**r**), vil det resulterende feltet være gitt ved integralet

:  \mathbf{E}(\mathbf{r}) =  \int d^3 x'{\rho(\mathbf{r}')(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\over 4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}.  

I alminnelighet vil ikke disse beregningene gi et resulterende felt som har samme form som et Coulomb-felt. Men i det spesielle tilfellet at alle ladningene under betraktning har en sfærisk symmetrisk fordeling sentrert om origo, sier Newtons skallteorem at feltet utenfor disse ladningene er nøyaktig det samme som om alle var plassert i origo. Det vil derfor ha formen

:  \mathbf{E}( \mathbf{r})  = {Q\mathbf{r}\over  4\pi\varepsilon_0 r^3}  

hvor *Q&thinsp;* er summen av alle ladninger som ligger innenfor et skall med radius *r*. Alternativt kan man i dette tilfellet finne det samme resultatet ved bruk av Gauss' lov på integralform. Det har stor betydning i mange viktige sammenhenger i fysikken.

### Coulomb-potensialet

Coulomb-kraften er konservativ som betyr at den kan uttrykkes ved gradienten til en potensiell energi. Derfor kan man kan skrive det elektriske feltet som  hvor *V*&thinsp; er det elektriske potensialet. Ved å benytte at

:  \boldsymbol{\nabla} {1\over r} = - {\mathbf{r}\over r^3}  

er potensialet utenfor en sfærisk ladning *Q* sentrert om origo

:   V(\mathbf{r}) = {Q\over  4\pi\varepsilon_0r } 

Dette er Coulomb-potensialet. I atomfysikken inngår det i Schrödinger-ligningen for elektronene i et atom som holdes på plass av Coulomb-kraften fra atomkjernen.

## Korreksjoner

Coulombs lov er strengt tatt kun gyldig for partikler som er helt i ro. Dette er den elektrostatiske grensen av mer generell elektrodynamikk som beskriver elektrisk ladde partikler i bevegelse. Men beveger den ene partikkelen seg, vil den skape et magnetisk felt som kan påvirke den andre. Så lenge hastigheten **v**&thinsp; til partikkelen med ladning *q*&thinsp; er liten, er dette magnetfeltet gitt ved Biot-Savarts lov som

: \mathbf{B} = {\mu_0 q\over 4\pi r^3}\mathbf{v}\times\mathbf{r} 

hvor vektoren **r**&thinsp; forbinder denne partikkelen med den andre partikkelen med ladning *q*&thinsp;' og hastighet **v**&thinsp;'. Den blir derfor utsatt for en magnetisk kraft   som virker i tillegg til den vanlig Coulomb-kraften mellom partiklene. Denne effekten kan oppfattes som en korreksjon til Coulombs lov. Men den er ikke den eneste da avstanden mellom partiklene og deres hastigheter i alminnelighet også vil variere med tiden. Det vil derfor også magnetfeltet gjøre. På grunn av Faradays induksjonslov vil det dermed oppstå et elektrisk felt i tillegg til det som gir den vanlige Coulomb-kraften. Alt i alt vil mange slike korreksjoner inngå i en utvidet formel som tar hensyn til alle disse effektene.

Fra uttrykket for den magnetiske kraften ser man at det er av størrelsesorden *v*&thinsp;2/*c*&thinsp;2 der den kvadrerte lyshastigheten  og *v* er den omtrentlige hastigheten til partiklene. Disse magnetiske korreksjonene er derfor veldig små for vanlige hastigheter og sies å være «relativistiske» da de kan betraktes som en konsekvens av den spesielle relativitetsteorien. Selve begrepet kraft er da mer komplisert å benytte. 

I stedet er det enklere å fokusere på den potensielle energien for to ladete partikler som beveger seg. Denne korreksjonen til Coulomb-potensialet kalles Darwin-vekselvirkningen og kan gis en mer kompakt form. Da den vil avhenge av hastighetene til partiklene, vil den resulterende kraften mellom partiklene også avhenge av deres akselerasjon.

Denne utvidete kraften er ikke lenger rettet fra den ene ladningen til den andre. Kraften som den ene partikkelen utøver på den andre, ikke er like stor og motsatt rettet til kraften som den andre partikkelen utøver på den første. Den oppfyller derfor ikke Newtons tredje lov. Det er kanskje ikke så overraskende når spesiell relativitet gjelder.
I dette tilfellet er årsaken at det magnetiske feltet som opptrer sammen med det elektriske, har en elektromagnetiske impuls som varierer med tiden. Den tidsderiverte av denne  gir en ekstra kraft som balanserer det hele ut.

### Kvanteelektrodynamikk

Andre korreksjoner kommer fra kvantemekanikken. Da det elektriske feltet blir veldig sterkt i nærheten av en punktladning, tillater Heisenbergs usikkerhetsrelasjon at elektroner og positroner skapes i korte øyeblikk og vil avskjerme ladningen. Denne effekten kan beregnes fra kvanteelektrodynamikk og gir det modifiserte Coulomb-potensialet

:  V(r) = {Q\over 4\pi\varepsilon_0r} \Big[1 + {2\alpha\over 3\pi}\Big(\ln{\hbar\over rm_ec} - \gamma - {5\over 6} + \cdots \Big) \Big]

ved de minste avstander. Her er *ħ* den reduserte Planck-konstanten  og *m<sub>e</sub>*&thinsp; er elektronets masse. Videre er  finstrukturkonstanten, mens  er Euler-Mascheronis konstant. Med denne kvantekorreksjonen er Coulomb-potensialet gått over til å bli «Uehling»-potensialet». Effekten av det kan observeres i finstrukturen i atomers spektra.

## Referanser


## Eksterne lenker

* R. Williams, ''June 1785: Coulomb Measures the Electric Force'', APS News **25** (6), 2016.