Differensial (matematikk)

**Differensial** benyttes i matematikken til å beskrive variasjon av en kontinuerlig funksjon som skyldes en liten forandring i dens argument. Det er derfor direkte forbundet med den deriverte av funksjonen og betegnes med bokstaven *d* som kan føres tilbake til Gottfried Leibniz. Regning med differensialer omtales som *differensialregning* og kan betraktes som en del av matematisk analyse.

For en funksjon  av en variabel *x* defineres dens differensial som

:  dy = f'(x) dx 

Alternativt kan det også skrives som *df&thinsp;* slik at *df*(*x*) er dets verdi i punktet *x*. Her er *dx* differensialet av den trivielle funksjonen *y = x*. Den deriverte *f'&thinsp;* av funksjonen for argumentsverdien *x* kan derfor skrives som

:  {dy\over dx} = f'(x) 

og kalles ofte for en *differensialkoeffisient*. I dette og lignende uttrykk betraktes differensialene som vanlige størrelser av samme natur som *x* og *y* selv om de historisk forbindes med å være uendelige små eller *infinitesemale*. Regning med differensialer kalles derfor noen ganger fremdeles for *infinitesimalregning*.

Fra definisjonen følger at differensialet av forskjellige funksjoner kan finnes fra kjennskap til deres deriverte. Et enkelt eksempel er funksjonen  som på den måten har differensialet  *df* = 3*x*2&thinsp;*dx*. Av samme grunnen kan differensialet av sammensatte funksjoner finnes fra produktregelen for derivasjon som medfører at differensialet til produktet av to funksjoner *f* og *g* er gitt ved

:  d(fg) = (df)g + f(dg) 

Denne loven bærer vanligvis navnet til Leibniz som sammen med Isaac Newton regnes som oppfinnerne av differensialregningen.

I fysikk og annen naturvitenskap brukes ofte betegnelsen *dx* for en liten variasjon &Delta;*x* eller &delta;*x* av en variabel *x*. Dette kan være en noe forvirrende notasjon og er bare indirekte forbundet med et matematisk differensial i moderne forstand.

## Definisjon

Betrakter man en kontinuerlig funksjon , vil den kunne fremstilles som en glatt kurve i *xy*-planet. I et bestemt verdi av *x*0 av argumentet vil den ha en verdi  som tilsvarer et punkt (*x*0, *y*0) på kurven. Den vil ha et stigningstall som er gitt ved den deriverte *f'&thinsp;*(*x*0) av funksjonen i dette punktet.

I et nærliggende punkt *x* + &Delta;*x* hvor økningen &Delta;*x* er tilstrekkelig liten, har funksjonsverdien forandret seg med

:  \Delta y = f(x_0 + \Delta x) -  f(x_0) ,

mens tangenten gjennom  (*x*0, *y*0) har økt med 

:  dy = f'(x_0)\Delta x 

Denne økningen kalles for **differensialet** av funksjonen. I det spesielle tilfellet at funksjonen er gitt som , vil da  slik at man i det generelle tilfellet kan skrive at differensialet  i et vilkårlig punkt.

Denne direkte sammenhengen mellom differensialet til funksjon og dens deriverte, gjør det mulig å beregne differensialet av en funksjon *F* som avhenger av flere variable. Når det er *n* av disse og de betegnes med , vil differensialet være

:  dF(x^1, x^2, \ldots, x^n) = {\partial F\over\partial x^1} dx^1 + {\partial F\over\partial x^2} dx^2 + \cdots {\partial F\over\partial x^n} dx^n

hvor &part;*F*/&part;*x<sup>k</sup>* er den partiellderiverte med hensyn på den variable *x<sup>k</sup>*. Det betegnes noen ganger som det *totale differensialet* av funksjonen. 

Som et eksempel kan man betrakte funksjonen *z* = *x*3*y* + 3*xy*2. Da blir

: \begin{align} dz &= d(x^3y) + d(3xy^2) = 3x^2ydx + x^3dy + 3y^2dx + 6xydy\\ &= 3y(x^2 + y)dx + x(x^2 + 6y)dy   \end{align} 

Beregning av differensialet av slike funksjoner tilsvarer utregning av gradienten til funksjonen slik som den benyttes i vektoranalysen.

## Historisk utvikling

Både integralregning og differensialregning var opprinnelig basert på å betrakte små størrelser som skulle adderes eller subtraheres i grensen der de ble forsvinnende små. Denne fremgangsmåten kan føres helt tilbake til gresk matematikk og spesielt arbeidene til Arkimedes.

Med fremveksten av analytisk geometri på 1600-tallet ble den nærme sammenhengen mellom stigningstallet til en funksjon i et punkt og retningen av tangenten til kurven som funksjonen fremstiller i samme punkt, klarlagt. Denne er gitt ved en sekant som går gjennom to nærliggende punkt på kurven i grensen der separasjonen mellom punktene forsvinner. For en funksjon  vil man dermed ha et tilnærmet uttrykk

:  k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = {f(x + \Delta x) - f(x)\over \Delta x} 

for stigningstallet når størrelsen &Delta;*x&thinsp;* blir forsvinnende liten. Denne fremgangsmåten ble først benyttet av Fermat i Frankrike og omtrent samtidig av Barrow i England. Mer systematisk ble denne tenkemåten videreutviklet av hans elev Newton og av Leibniz i Tyskland som dermed la grunnlaget for moderne, matematisk analyse. Stigningstallet som på dette viset kunne beregnes,  er i dag den deriverte av funksjonen.

Selv om denne nye metoden viste seg å gi overbevisende resultat, ble den også mye kritisert. Hovedgrunnen var at det ønskede resultat først kom frem når størrelsen  der også forandringen . I denne grensen kalte Leibniz de infinitesemale størrelsene  for *dx* og *dy* slik at den deriverte kan skrives som

:  k = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta y\over\Delta x} = {dy\over dx} 

Dette ser ut som det ubestemte uttrykket  {0 \over 0} og kan derfor ikke ha noen veldefinert verdi. Men da likevel metoden ga meningsfulle resultat, måtte likevel disse størrelsene tillegges betydning. Av den grunn ble differensialene  *dx* og *dy* noen ganger omtalt som «gjenferd av forsvunne størrelser» og måtte gis et klarere innhold. Denne usikkerheten ble først fjernet på begynnelsen av 1800-tallet da grundigere behandling av matematiske grenseverdier ble gitt av Cauchy.
 
I nyere tid har differensialet *df* av en funksjon fått en utvidet betydning som en differensialform **d***f*. Denne kan betraktes som en ny funksjon som i hvert punkt også kan ta en vektor **v** som argument. På den måten vil den gi den retningsderiverte av funksjonen som  **d***f*(**v**). Bruk av slike differensialformer er nå utstrakt i moderne differensialgeometri og ble etablert av Élie Cartan på begynnelsen av 1900-tallet.

## Referanser