Binær operasjon

En  **binær operasjon** eller en **binæroperasjon** er i matematikk en operasjon som har *to* argumenter fra samme mengde og der også resultatet tilhører samme mengde. De grunnleggende aritmetiske regneartene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon for reelle tall er alle binære.  

Den vanligste definisjonen av en binæroperasjon krever at resultatet ligger i samme mengde som argumentene.  En del forfattere vil likevel bruke begrepet mer generelt om operasjoner som involverer to argument, uten hensyn til resultatet.  Ifølge den første definisjonen vil indreproduktet mellom to vektorer *ikke* være en binær operasjon, mens den vil være det ifølge den mer generelle definisjonen.   

## Formell definisjon
Formelt kan en definere en binær operasjon som en funksjon  f: *M* × *M* →  *M*.  Denne funksjonen har aritet lik 2, det vil si at den tar *to* argument.  

Mengden *M* kalles definisjonsmengden. 

### Notasjon
Dersom (*a*,*b*) er et ordnet par i det kartesiske produktet *M* × *M* kan en skrive en generell binær operasjon \ast på formen

: a \ast b = \ast (a,b) \in M  \quad \forall a,b \in M. \, 

Når operatorsymbolet \ast i en binær operasjon plasseres *mellom* argumentene kalles notasjonen for *infiks*, og dette er den vanligste skriveformen.  En *prefiks*- og en *postfiks* notasjon er også mulig, med operatorsymbolet plassert henholdsvis før eller etter det ordnede paret.  Polsk notasjon bruker prefiks notasjon, mens omvendt polsk notasjon er basert på postfiks.  

### Veldefinerte binære operasjoner
En binær operasjon \ast er *veldefinert* dersom *a* = *b* og *c* = *d* medfører at \ast(a,c) = \ast(b,d).  All vanlige binære operasjoner er veldefinerte.  

Et eksempel på en binær operasjon som *ikke* er veldefinert er gitt ved det følgende definisjonen av en addisjonsoperasjon i mengden av rasjonale tall:

: \frac{x}{y} + \frac{a}{b} = \frac {x + a}{y + b}. \, 
   
At definisjonen ikke er veldefinert ser en ved å bruke *x*/*y* = 1/3 = 2/6 og *a*/*b* = 1/2 = 7/14.  

## Egenskaper til binære operasjoner

### Kommutativitet
En binær operasjon \ast  er kommutativ i *M* dersom den følgende relasjonen er oppfylt:

:\ast (a,b) = \ast (b,a)   \quad \forall a,b \in M. \, 

Addisjon av reelle tall er kommutativ, mens divisjon ikke er det.  

### Assosiativitet

En binær operasjon \ast  er assosiativ i *M* dersom 

\ast  (a, \ast(b,c)) = \ast(\ast(a,b),c)   \quad \forall a,b,c \in M. \,  

Addisjon av reelle tall er assosiativ, mens subtraksjon ikke er assosiativ.
### Enhetselement
En binær operasjon \ast  har et *enhetselement* dersom det eksisterer et element *e* i *M*, slik at 

:\ast (a,e) = \ast (e,a) = a  \quad \forall a \in M. \, 

Addisjon av reelle tall har enhetselementet 0.  Subtraksjon har ikke noe enhetselement.
Enhetselement kalles også for *nøytralelement*.

### Invers
Dersom en binær operasjon \ast  har enhetselement *e*, så kan et element *a* i *M* ha en *invers* betegnet med *a*-1, dersom 

:\ast (a,a^{-1}) = \ast (a^{-1},a) = e. 

Det er mulig at enkelte element i *M* har en invers, mens andre ikke har det.  

### Idempotens
En binær operasjon \ast  er *idempotent* dersom

:\ast (a,a) = a  \quad \forall a \in M. \, 

Operasjonen som tar maksimumsverdien av to reelle tall er idempotent, da *max*(*a*,*a*) = *a*. 

## Regnearter i aritmetikk
I aritmetikk regner man med fire grunnleggende *regnearter*, som alle er binære operasjoner:

;Addisjon
*Addend + addend = sum
Addisjon i mengden av reelle tall **R** er kommutativ, assosiativ og har enhetselementet 0.

;Subtraksjon
*Minuend − subtrahend = differanse
Subtraksjon i **R** er hverken kommutativ eller assosiativ, og operasjonen har ikke enhetselement.

;Multiplikasjon
*Faktor × faktor = produkt
Multiplikasjon i **R** er kommutativ og assosiativ, med enhetselement 1. 

;Divisjon
*Dividend / divisor = kvotient
Divisjon i **R** er hverken kommutativ eller assosiativ, og operasjonen har ikke enhetselement.
## Referanser