CIE-1931 fargesystem

**CIE-1931 fargesystem** er et fargerom som definerer sammenhengen mellom det visuelle spektret og det menneskelige øyes oppfattelse av forskjellige farger. Det ble etablert i 1931 av Commission internationale de l’éclairage (CIE) og er basert på «standard observatører» slik at det kommer med koordinater som kan benyttes for fargestyring på en éntydig måte. Det er derfor av stor, praktisk betydning i alle sammenhenger der farger skal skapes på elektroniske skjermer, gjengis i grafiske trykk eller skapes ved forskjellige lyskilder.

Systemet kan betraktes som en videreføring av trikromatisk teori fra begynnelsen av 1800-tallet der forskjellige farger fremkom ved ulike signal til hjernen fra tre forskjellige tapper i øyet. Gjennom eksperimentelle undersøkelser av James Clerk Maxwell der han og hans kone var observatører av forskjellige fargeblandinger, fikk denne teorien et mer kvantitativt innhold der en kunne tilordne tall til forskjellige fargenyanser.

På midten av 1920-tallet gjennomførte to forskningsgrupper i England lignende, men mer nøyaktige observasjoner av farger som fremkommer ved  blandinger av rødt, grønt og blått lys fra veldefinerte kilder. Deres resultat dannet grunnlaget for CIE da de i 1931 etablerte dette nye fargesystemet. Ved å se bort fra styrken eller luminansen til en farge, vil den nå kunne karakteriseres ved to variable *x&thinsp;* og *y*. Hver synlig farge kan dermed angis ved et punkt i et todimensjonalt «kromatisitetsdiagram». På denne måten kan man dermed éntydig beskrive hver farge ved hjelp av tre tall. De tilsvarende variable i andre fargemodeller kan uttrykkes ved disse, noe som gjør det mulig å angi nøyaktig samme farge uavhengig av hvilken modell man benytter.

I årene som fulgte er dette systemet blitt forbedret og utvidet på flere forskjellige måter. En av de mest kjente variantene er kanskje CIE-Lab som opptrer under forskjellige navn.

## Bakgrunn

På begynnelsen av 1900-tallet var det klart at hver farge kunne uttrykkes ved tre primærfarger. Disse kunne være nesten hva som helst så lenge de var tilstrekkelig forskjellige og at ingen av dem kunne uttrykkes som en kombinasjon av de to andre. Ved å benytte lett tilgjengelige spektralfarger var det blitt enighet om å benytte rødt (**R**} med en bølgelengde *&lambda;&thinsp;* rundt 700&thinsp;nm, grønt **G** med en bølgelengde 546&thinsp;nm og blått (**B**) med 436&thinsp;nm.

Hver farge **Q** kan nå uttrykkes som en fargevektor

:  \mathbf{Q} = R\mathbf{R} + G\mathbf{G} + B\mathbf{B} 

i et vektorrom hvor **R**, **G** og **B** kan betraktes som basisvektorer. Komponentene (*R,G,B*) er gitt ved mengden av hver av disse primærfargene som inngår i blandingen. I utgangspunktet skulle de derfor alle være positive tall. Men Maxwell hadde allerede eksperimentelt påvistt at for noen farger og da spesielt andre spektralfarger, vil en eller flere av komponentene være negative i denne vektorielle beskrivelsen. Denne oppdagelsen spiller en avgjørende rolle i oppbygningen av CIE-systemet.

Intensiteten til hver av basisfargene er ikke nødvendigvis kjent, men er definert slik at hvitt lys skal ha komponenter som er like store. Denne fargen kan derfor sies å ha RGB-koordinatene (1,1,1) når man ser bort fra en felles faktor.

### Maxwells trekant

Hvis man øker mengden av hver basisfarge med samme faktor, vil intensiteten av den resulterende fargen øke med samme faktor, men fargetonen forblir uendret. Derfor er kun forholdet mellom disse tre tallene avgjørende for fargens **kromatisitet**. De omtales ofte som «tristimulusverdier» og kan betraktes å være en slags fargekoordinater i denne basisen.

Når man ser bort fra den absolutte intensiteten av fargen, kan man derfor angi den med den relative koordinaten

:  r = {R\over R + G + B} 

og tilsvarende definert *g&thinsp;* og *b*. De oppfyller derfor sammenhengen 

:  r + g + b = 1. 

og kan betraktes som triangelkoordinater hvor én av dem er gitt ved de to andre. Hver farge vil da angis ved et punkt innen en trekant når alle tre koordinatene er positive. Mens Maxwell valgte å benytte en likesidet trekant, kan man også velge en rettvinklet trekant med kateter som for eksempel tilsvarer *r*- og *g*-aksen. Primærfargen **R** har dermed koordinatene (1,0), **G** er gitt ved (0,1) og **B** utgjør origo (0,0) i dette koordinatsystemet.
Det teoretiske hvitpunktet er nå gitt ved (*r, g*)-koordinatene (1/3,1/3). Siden spektralfargene har minst én vektorkomponent som er negativ, vil disse derfor ligge på en kurve utenfor denne Maxwell-trekanten og kan omtales som «spektralkurven». Den omslutter trekanten bortsett i de tre punktene som tilsvarer basisfargene.

Med de gitte basisfargene **R**, **G** og **B** ble en serie nøyaktige målinger av de tilsvarende trikromatiske koordinatene for en rekke spektralfarger gjennomført i 1929 av William David Wright og hans gruppe ved NPL i England. Omtrent på samme tid ble disse resultatene bekreftet av en annen gruppe ledet av John Guild. Dette var en videreføring av fargetilpasningene som Maxwell tidligere hadde gjennomført, men nå mer systematisk og med større nøyaktighet.

## Fargetilpasningsfunksjoner

Lys med en vilkårlig farge består av elektromagnetiske bølger. Dets energi er fordelt over et vidt spektrum av bølgelengder *&lambda;* og kan formelt angis ved en spektralfordeling *P*(*&lambda;*). Den sier hvor mye energi som er inneholdt ved hver bølgelengde. Hvitt lys kan defineres ved at denne funksjonen har en konstant verdi. 

Fra Wright and Guilds målinger kan man bestemme de trikromatiske koordinatene ved hver bølgelengde. Disse kan uttrykkes ved funksjoner  \bar{r}(\lambda),   \bar{g}(\lambda)  og  \bar{b}(\lambda)  som ble tilpasset til hver spektralfarge slik at man også hadde overensstemmelse i luminans. Selv om energien i en farge med gitte tristimuliverdier kan defineres å være proporsjonal med *R* + *G* + *B*, vil dens luminans være en annen kombinasjon av disse tre størrelsene da øyet har en variabel følsomhet *V*(*&lambda;*) over det synlige spektret. 

Sammenhengen mellom disse to beskrivelsene for en generell farge er nå gitt ved

:  R = \int_0^\infty\!d\lambda \ \bar{r}(\lambda) \ P(\lambda) 
:  G = \int_0^\infty\!d\lambda \ \bar{g}(\lambda) \ P(\lambda) 
:  B = \int_0^\infty\!d\lambda \ \bar{b}(\lambda) \ P(\lambda) 

CIE gjorde bruk av disse tilpasningsfunksjonene da de etablerte sitt nye fargesystem i 1931. For at hvitt lys med  *P*(*&lambda;*) = konstant skal få samme verdi for disse trikromatiske koordinatene, er det nødvendig at arealene under de tre tilsvarende grafiske fremstillingene av funksjonene er like store.

### Spektralkurven

En spektralfarge har en bestemt bølgelengde *&lambda;*0 slik at dens spektralfordeling *P*(*&lambda;*) er proporsjonal med Diracs deltafunksjon *&delta;*(*&lambda;* - *&lambda;*0). Verdiene av de tre integralene for *R*, *G* og *B* blir dermed ganske enkelt proporsjonale med   \bar{r}(\lambda_0),   \bar{g}(\lambda_0)  og  \bar{b}(\lambda_0).   De relative, trikromatiske koordinatene (*r, g*)  for denne bølgelengden er dermed

:  (r,g) =  {(\bar{r}(\lambda_0), \bar{g}(\lambda_0))\over \bar{r}(\lambda_0) + \bar{g}(\lambda_0) + \bar{b}(\lambda_0)} 

Dette gir en parametrisk fremstilling av spektralkurven når bølgelengden *&lambda;*0&thinsp; varierer.

## Standardobservatører

RGB-koordinatene kunne i prinsippet gi et standardisert fargesystem. Men da måtte man kunne arbeide med at noen av disse koordinatene ville være negative. Dette betydde også at noen av tilpasningsfunksjonene kunne anta negative verdier. For praktiske anvendelser vurderte CIE at det ville være fordelaktig hvis dette kunne unngås. 

Matematisk skyldes de negative verdiene at de fysiske basisfargene **R**, **G** og **B** ikke utspenner en stor nok del av det abstrakte fargerommet. Derfor ble enighet i CIE om å definere nye basisfarger **X**, **Y** og **Z** slik at hver farge kan uttrykkes ved kun positive koordinater (*X,Y, Z*). Denne nye basisen er ikke lenger gitt ved fysiske farger og må derfor betraktes å være «imaginær». Man må da tenke seg at det også finnes «standardobservatører» som kan benytte disse nye basisfargene ved fargetilpasninger på tilsvarende vis som det ble gjort med den fysiske RGB-basisen.

I tillegg til kravet om positive vektorkomponenter vedtok også CIE at den andre koordinaten *Y&thinsp;* skulle gjøres mest lik med luminansen til hver farge. Med kjennskap til luminansene til hver av basisfagene **R**, **G** og **B**, kunne denne uttrykkes ved de tilsvarende koordinatene som

:  L = 0.177 R + 0.813 G + 0.010 B 

Den er dominert av det grønne innslaget i fargen som også representerer de bølgelengder hvor det menneskelige øyet er mest følsomt.

### Fra RGB til XYZ

Ut fra trikromatisk teori må de gamle basisfargene **R**, **G** og **B** kunne uttrykkes som lineære kombinasjoner av de nye, imaginære basisfagene **X**, **Y** og **Z**. Det medfører at de tilsvarende vektorkomponentene også vil forandres. Sammenhengen kan beskrives som en generell transformasjon i et skjevvinklet koordinatsystem. Den er definert ved en transformasjonsmatrise som kan kalles   {\cal Mat}  og som her vil ha dimensjon 3 &times; 3. 

Formelt kan nå denne sammenhengen uttrykkes ved matriseligningen

:  (\mathbf{R},\mathbf{G},\mathbf{B}) = (\mathbf{X},\mathbf{Y},\mathbf{Z})\cdot {\cal Mat} 

Med samme notasjonen kan en vilkårlig  fargevektor skrives som

:  \mathbf{Q} = (R, G, B)\cdot  \begin{pmatrix}\mathbf{R} \\ \mathbf{G} \\ \mathbf{B} \end{pmatrix} = (X, Y, Z)\cdot  \begin{pmatrix}\mathbf{X} \\ \mathbf{Y} \\ \mathbf{Z} \end{pmatrix} 

Det betyr at koordinatene til fargen i den nye basisen er derfor gitt ved den samme matrisen,

:   \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix}  =   {\cal Mat} \cdot \begin{pmatrix} R \\ G \\ B \end{pmatrix} 

Med de krav som var stilt til denne sammenhengen, vedtok CIE i 1931 at den har det numeriske innholdet

:   {\cal Mat}  = \begin{pmatrix} 0.490 & 0.310 & 0.200 \\ 0.177 & 0.813 & 0.010 \\ 0.000 & 0.010 & 0.990 \end{pmatrix} 

Summen av elementene i hver horisontal rad er èn. Likedan gir andre rad at  Y =  0.177 R + 0.813 G + 0.010 B  som oppfyller kravet om at denne komponenten skal gi luminansen  L  til fargen.

### Transformerte tilpasningsfunksjoner

Da RGB-koordinatene er gitt ved integral over spektralfordelingen til lyset multiplisert med de tilsvarende, fysiske fargetilpasningsfunksjonen, kan nå XYZ-koordinatene uttrykkes på samme måte, men med transformerte tilpasningsfunksjoner   \bar{x}(\lambda),    \bar{y}(\lambda)  og  \bar{z}(\lambda).   Da er

:  X = \int_0^\infty\!d\lambda \ \bar{x}(\lambda) \ P(\lambda) 
:  Y = \int_0^\infty\!d\lambda \ \bar{y}(\lambda) \ P(\lambda) 
:  Z = \int_0^\infty\!d\lambda \ \bar{z}(\lambda) \ P(\lambda) 

Fra matrisesammenhengen mellom  (X.Y,Z)  og  (R.G,B),  vil man derfor ha at

:   \begin{pmatrix}  \bar{x}(\lambda)  \\  \bar{y}(\lambda) \\  \bar{z}(\lambda)  \end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix} 0.490 & 0.310 & 0.200 \\ 0.177 & 0.813 & 0.010 \\ 0.000 & 0.010 & 0.990 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}  \bar{r}(\lambda)  \\  \bar{g}(\lambda)  \\  \bar{b}(\lambda)  \end{pmatrix} 

På samme måte som arealene under kurvene for de opprinnelige tilpasningsfunksjonene er alle like, vil nå også de tilsvarende arealene for de transformerte funksjonene være like store. Det er garantert av at summen av elementene i hver horisontal rad til transformasjonsmatrisen er den samme.

Når integralet for luminansen  Y  sammenlignes med integralet for den tilsvarende lysstyrken,  ser man at den nye tilpasninqsfunksjonen   \bar{y}(\lambda)  kan identifiseres med følsomhetsfunksjonen *V*(*&lambda;*) når man ser bort fra en normaliseringsfaktor. Begge funksjonene har et maksimum i det grønne området rundt  og avtar raskt for større og mindre bølgelengder.

## xyY-koordinater

Da *Y*-koordinaten er valgt å angi luminansen til fargen, vil de to andre *X&thinsp;* og *Z&thinsp;*  inneholde informasjon om dens kromatisitet. Denne kan beskrives på en ekvivalent måte ved de to relative koordinatene

:  x = {X\over X + Y + Z} 
:  y = {Y\over X + Y + Z} 

som er uavhengig av deres normalisering og som varierer mellom 0 og 1. Da er  X = (Y/y) x  og  Z = (Y/y) (1 - x - y). 

På samme måte som spektralkurven kan beregnes i (*r, g*)-koordinater, kan den nå også gis en parametrisk form uttrykt ved de nye tilpasningsfunksjonene. Den blir

:  (x, y) =  {(\bar{x}(\lambda), \bar{y}(\lambda))\over \bar{x}(\lambda) + \bar{y}(\lambda) + \bar{z}(\lambda)} 

Siden hvitt lys igjen vil ha (X,Y, Z)-koordinater som er proporsjonale med (1, 1, 1), vil det ha kromatisitetskoordinater (*x, y*) som er (1/3, 1/3). I en rettvinklet Maxwell-trekant markeres det vanligvis med bokstaven E (fra engelsk *equal*) og omtales noen ganger som «hvitpunktet».

Hvert punkt innenfor spektralkurven angir en fargenyanse eller kulør og kan angis numerisk ved de to koordinatene (*x, y*). Dette utgjør kromatisitetsdiagrammet for en viss luminans. Geometrisk kan man trekke en rett linje fra hvitpunktet gjennom fargepunktet og avlese dens dominerende bølgelengde der denne skjærer spektralkurven. På motsatt side skjærer den spektralkurven i den komplementære farge. Desto nærmere fargepunktet ligger hvitpunktet, desto mer hvitt inneholder fargen. På denne måten blir for eksempel rosa farge beskrevet som rødt innblandet en viss mengde hvitt. På tilsvarende vis sies fargen å ha stor grad av «metning» desto nærmere den ligger spektralkurven. Det betyr at spektralfargene selv er maksimalt mettet.

Spektralkurven er en moderne utgave av Newtons fargesirkel, men er i tillegg også eksperimentelt bestemt. Formen ligner en hestesko hvor de to åpne endene tilsvarer dypt rødt og blått. De er forbundet med en rett linje som vanligvis kalles for «purpurlinjen». Den angir farger som ikke finnes i det synlige spektret, men som øyet kan oppfatte.

### Planck-kurven

Koordinatene (*x, y*)  i kromatisitetsdiagrammet er forbundet med hvitpunktet E. Det har koordinater (1/3,1/3) som følger fra antagelsen av at hvitt lys har en spektralfordeling som er uavhengig av bølgelengden *&lambda;*. En mer korrekt betegnelse for dette punktet er «teoretisk hvitpunkt» da det hvite lyset som omgir oss, har en spektralfordeling som avviker litt fra denne idelle situasjonen. Dette tas også hensyn til ved fargefotografering hvor man kan justere hvitbalansen i bildet.

Naturlig, hvitt lys kommer fra Solen som lyser som et sort legeme med en absolutt temperatur på omtrent 6000&thinsp;K. Alle slike legemer vil lyse med en viss farge når de blir tilstrekkelig oppvarmet, fra dypt rødt når de begynner å gløde, så over i oransje som går over i hvitt og lyseblått ved høyere temperaturer. Intensiteten av dette lyset er gitt ved Plancks strålingslov

:  P(\lambda, T) = {2hc^2\over \lambda^5} {1\over e^{hc/\lambda k_B T} - 1} 

hvor *h&thinsp;* er Plancks konstant, *c&thinsp;* er lyshastigheten og *k<sub>B</sub>* er Boltzmanns konstant. 
For hver verdi av temperaturen *T&thinsp;* kan man benytte denne spektralfordelingen til å regne ut kromatisitetskoordinater (*x, y*) og dermed den tilsvarende fargen til legemet. På den måten kan hver temperatur forbindes med en viss farge som er dens fargetemperatur.

Hvitt lys midt på dagen viser seg å være godt beskrevet ved spektralfordelingen fra et sort legeme med en temperatur  Det omtales som D65 og har koordinater 

:  x_{\text{D}65} = 0.313, \quad y_{\text{D}65} = 0.329 

Det ligger derfor like i nærheten av det teoretiske hvitpunktet  x_{\text{E}} = 0.333, y_{\text{E}} = 0.333 .  I praksis benyttes også flere andre definisjoner av hvitt lys som hver for seg gir sine egne hvitpunkt i samme naboskap av diagrammet. De alle representerer en svært lys gråtone.

## Se også

* Fargesirkel
* Fargeblanding

## Referanser


## Eksterne lenker

* Medium, A Beginner’s Guide to (CIE) Colorimetry
* Ocean Optics, Chromaticity
* Phil Service, FROM CIE-1931 RGB to XYZ
* Fransk Wikiversity, Colorimétrie : CIE XYZ 1931,
* Craig Blackwell, Color Vision 2: Color Matching, Youtube video