Varmestråling

**Varmestråling** er elektromagnetisk stråling som er i termisk likevekt med omgivelsene ved en gitt temperatur. Den har en intensitet som varierer med frekvensen. Ved normale temperaturer inneholder den primært frekvenser i den infrarøde delen av det elektromagnetiske spektrum og er derfor usynlig. Dette gjelder for eksempel for strålingen fra en vanlig ovn. Økes temperaturen til flere tusen grader, blir den synlig som strålingen fra en glødelampe eller fra Solen.

Alle varme stoffer eller legemer sender ut slik stråling. Graden av utstråling varierer fra stoff til stoff og varierer med temperaturen. Et svart legeme absorberer all stråling uansett frekvens og emitterer samtidig maksimalt med varmestråling som i dette tilfellet kalles **sort stråling**. Den kommer i alminnelighet fra elektroner som kan være mer eller bundne til atomer i materialet. Da stoffet eller legemet har en viss temperatur, betyr det at disse er i konstant bevegelse. Strålingen vil derfor ha et bredt frekvensspektrum i motsetning til linjespekteret fra atomer. Samtidig som denne emisjonen foregår, vil også elektronene absorbere stråling. Ved termisk likevekt må hver liten del av materialet emittere like mye stråling som den absorberer for at temperaturen skal forbli konstant. Dette er essensen av Kirchhoffs strålingslov som representerer den første lovmessighet som ble etablert for denne strålingen.

## Historie

Basert på målinger av utstrålingen fra glødende platinatråder, kunne den østerrikske fysiker Josef Stefan i 1879  vise at intensiteten til varmestrålingen varierte med fjerde potens av den absolutte temperaturen. Fem år etterpå viste hans tidligere student Ludwig Boltzmann at denne lovmessigheten kunne forklares ved bruk av de termodynamiske lover for strålingen. Den kalles derfor for Stefan-Boltzmanns lov og er av stor praktisk betydning. 

I 1893 viste den tyske fysiker Wilhelm Wien at variasjonen av intensiteten til den sorte strålingen ikke varierte uavhengig med temperatur og frekvens, men på en bestemt, sammenkoblet måte. Dette hadde som konsekvens at den mest intense bølgelengden alltid er omvendt proporsjonal med den absolutte temperaturen til strålingen, noe som stemmer med observasjoner. I dag heter dette Wiens forskyvningslov. Et par år senere brukte Wien denne innsikten til å foreslå en formel som skulle beskrive intensiteten ved alle frekvenser og temperaturer. Allerede året etter ble den bekreftet ved nøyaktige målinger for bølgelengder opp til 4&thinsp;&mu;m av F. Paschen som uavhengig hadde kommet frem til omtrent samme formel. 

Noen få år senere gjennomførte Lummer og Pringsheim nye eksperiment for bølgelengder opp til 18&thinsp;&mu;m som viste at loven likevel ikke var riktig for slike store bølgelengder. Ved å gjøre målinger på såkalte *Reststrahlen* for enda større bølgelenger ble dette avviket bekreftet av Rubens og Kurlbaum. Dette fikk den tyske fysiker Max Planck til å utlede en helt ny og revolusjonerende strålingsteori som viste seg å stemme med alle målinger.  De nye ideene som inngikk i denne utledningen, var begynnelsen på kvantemekanikken. Slik sett har forståelsen av varmestrålingen vært opphav til alt det som i dag kalles moderne fysikk.

## Strålingsintensitet
Intensiteten til strålingen sier noe om hvor kraftig den virker. Den er derfor et uttrykk for hvor mye energi den inneholder og hvordan den varierer med frekvensen *&nu;* til strålingen. Dette kan beskrives ved en **spektrale energitettheten** som man kan betegne med en funksjon *u<sub>&nu;</sub>* som forventes å variere med temperaturen *T*. Energien i et lite volumelement *dV* innen et lite frekvensintervall *d&nu;* kan dermed skrives som . Denne energitettheten er antatt å være den samme overalt  og gi samme intensitet i alle retninger. Det betyr at i et vilkårlig punkt med stråling, er intensiteten i en retning  gitt ved en liten romvinkel *d&Omega;* proporsjonal med  da strålingen består av elektromagnetiske bølger som beveger seg med lyshastigheten *c*.

Litt mer presist kan dette formuleres ved å betrakte et lite flateelement *dA* og stråling som kommer inn fra en retning *d&Omega;* som danner vinkelen *&theta;* med normalen til flatelementet. Derfor kan man skrive  hvor *&phi;* er den asimutale vinkelen. Energien av innkommende stråling fra denne retningen som går gjennom flateelementet, er da per tidsenhet lik med  fordi  er det effektive arealet til flateelementet som fanger opp strålingen. Her kalles 

:  B_\nu (T) = {c\over 4\pi} u_\nu (T) 

den **spektrale intensiteten** til varmestrålingen. Den fulle intensiteten finnes ved å integrasjon over alle frekvenser.

Man kunne også beskrive spekteret av strålingen ved bølgelengden *&lambda; = c/&nu;* hvor *c* er lyshastigheten. Energitettheten ville da for eksempel være karakterisert ved en spektral funksjon  Sammenhengen mellom de to spektralfordelingene er gitt ved at . Men da , har man at  . Alle spektrale ligninger forblir de samme. For eksempel er  og tilsvarende for andre relasjoner.

## Kirchhoffs lov
Veggen til det lukkede volumet eller hulrommet som inneholder varmestrålingen, har en viss konstant temperatur *T* når det er termodynamisk likevekt mellom strålingen og veggen. Den vil i alminnelighet både emittere stråling inn i hulrommet samtidig som den  absorberer en del av strålingen i hulrommet og reflekterer resten når det ikke er noe lekkasje gjennom veggen. I alminnelighet er disse prosessene avhengige av frekvensen *&nu;*. Brøkdelen av den innfallende strålingen som blir absorbert, kan man kalle . Den reflekterte brøkdelen er da . Et sort legeme absorberer all stråling og har derfor .

Hvis man nå betrakter et lite flateelement *dA* i veggen til hulrommet, må dette stråle ut like mye energi som det mottar fra hver retning *d&Omega;* og for hver frekvens *&nu;* for at det skal være termodynamisk likevekt. Da den mottatte energien per tidsenhet nå er , må det samtidig emitteres per tidsenhet og i samme retning en like stor mengde energi. Den tilsvarende, **spektrale energifluksen** må derfor ha formen

:  d\Phi_\nu(T) = I_\nu (T) d\Omega\cos\theta 

hvor *I<sub>&nu;</sub>&thinsp;(T) = a<sub>&nu;</sub>&thinsp;(T)&thinsp;B<sub>&nu;</sub>&thinsp;(T)* er den spektrale intensiteten eller emittansen til materialet i veggene. Den er direkte proporsjonal med absorpsjonsevnen til materialet. Desto mer energi et materiale absorberer, desto mer vil det emittere. Dette er det fysiske innholdet av Kirchhoffs strålingslov som nå er matematisk formulert. 

I tillegg ser man fra denne argumentasjonen at den emitterte strålingen fra en flate varierer med cosinus til vinkelen som strålingsretningen danner med normalen til flaten. Dette er innholdet av Lamberts lov og kommer her automatisk ut som en konsekvens av termisk likevekt.

Den utstrålte, spektrale fluksen i alle retninger fra et sort legeme finnes nå lett ved integrasjon,

:  \Phi_\nu(T) =  I_\nu (T)\int_0^{2\pi}\!d\phi \int_0^{\pi/2}\!d\theta\sin\theta\cos\theta = \pi I_\nu (T) 

Et sort legeme vil derfor gi en emittert, spektral fluks . Den totale fluksen er dermed  og gitt ved energitettheten *u(T)*  til den sorte strålingen.  I det generelle tilfellet følger den totale fluksen fra integralet

:  \Phi(T) = \pi\int_0^\infty\! d\nu a_\nu(T) B_\nu(T) 

Resultatet kan alltid skrives som *&epsilon;(T)(c/4)u(T)* hvor funksjonen  *&epsilon;(T)* nå defineres som emissiviteten til legemet. For et **grått legeme** som har en frekvensuavhengig absorpsjonsevne *a(T)*, er derfor  Alternativt kunne man ha skrevet resultatet på samme måte som for et helt sort legeme, men da uttrykt  ved  en effektiv temperatur . Det har ofte mange praktiske fordeler.

## Strålingstrykk

Fra Maxwells ligninger følger at elektromagnetisk stråling med en energifluks *&Phi;* utøver et trykk *P* = *&Phi;*/*c* på et flateelement som står normalt på fluksen. Dette gjelder både for absorpsjon og emisjon. Ved refleksjon av fluksen blir trykket dobbelt så stort. Danner normalen til flateelementet en vinkel *&theta;* med retningen til fluksen, blir trykket redusert med en faktor cos*&theta;*.

Ut fra dette følger nå at det sprektrale trykket fra sort stråling som kommer fra en retning gitt ved romvinkelelementet *d&Omega;*, er . Dette gjelder nå både ved refleksjon og for absorpsjon/emisjon. Her er . Integrert over hele den tilgjengelige romvinkelen, blir dermed trykket fra denne delen av frekvensspektret

:  P_\nu = {2u_\nu\over 4\pi}\int_0^{2\pi}\!d\phi \int_0^{\pi/2}\!d\theta\sin\theta\cos^2\theta  = {1\over 3} u_\nu   

Totaltrykket er derfor *P* = *u*(*T*)/3. Dette er et fundamentalt resultat innen all strålingsfysikk. Selv om det er her utledet ved en klassisk beregning,  viser resultatet seg også å være gyldig når varmestrålingen beskrives kvantemekanisk. Basalt er det en konsekvens av at fotonene er masseløse. Faktoren 1/3  skyldes at vårt rom har tre dimensjoner.

## Termodynamikk

Betrakter man elektromagnetisk stråling i et volum *V* som er i termodynamisk likevekt med atomene i veggene med temperatur *T*, vil den være et termodynamisk system med *T* og *V* som tilstandsvariable. Den totale, indre energi tl lstrålingen er  hvor *u(T)* er dens energitetthet. En liten forandring *dV* av volumet  vil forandre  entropien *S(T,V)* til strålingen med en tilsvarende liten størrelse gitt ved  som følger fra termodynamikkens første hovedsetning. Her er nå  trykket til strålingen. Da nå *dU = (dV)u + Vdu*, følger det at

:  dS = {V\over T}{du\over dT}\,dT + {4u\over 3T}\,dV 

Koeffisienten til *dV* i det siste leddet, er . Entropien til strålingen er dermed ganske enkelt  gitt som  med entropitettheten .

Videre følger det at *(&part;S/&part;T)<sub>V</sub> = Vdu/TdT*.  Men nå er *(&part;<sup>&thinsp;2</sup>S/&part;T&part;V)* = *(&part;<sup>&thinsp;2</sup>S/&part;V&part;T)* som betyr at

:   {1\over T}{du\over dT} = {\partial\over\partial T}\!\left({4u\over 3T}\right) = {4\over 3T}{du\over dT} - {4u\over 3T^2}  

Derfor må *du/dT = 4u/T* som ved direkte integrasjon gir  hvor *a* er en ukjent konstant. Dermed har man også tettheten   av entropien til strålingen.

I tillegg sier resultatet også at den utstålte energifluksen blir *&Phi; = &sigma;T<sup>4</sup>* som er Stefan-Boltzmanns lov. Deres ukjente konstant  er derfor direkte forbundet med en tilsvarende ukjent konstant for energiinnholdet til strålingen.  Den ble først funnet funnet av Max Planck fra hans strålingsteori. Variasjonen med temperaturen som er funnet ved denne utledningen, sees også å være gyldig for de tilsvarende spektrale størrelsene for energi, fluks og entropi.

### Adiabatisk ekspansjon

Under en adiabatisk forandring av volumet  *V* til strålingen, vil per definisjon den totale entropien  forbli uforandret. Det betyr at *VT<sup>3</sup>*  er konstant ved en adabatisk volumforandring. Er volumet kubisk med en sidekant *L*, vil derfor temperaturen avta som *1/L* ettersom *L* øker. Denne egenskapen ved strålingen ble benyttet av Wilhelm Wien ved utledningen av hans forskyvningslov som fastsetter bølgelengden for den mest intense delen av strålingen.

Samme fenomen ser man i temperaturen til den kosmiske bakgrunnsstrålingen som avtar ved Universets ekspansjon. Da Universet er et isolert system, er denne ekspansjonen adabatisk. Dets størrelse er gitt ved en skalaparameter  som har verdien *a = 1* i dag og var mindre tidligere. Da temperaturen til Universet er den samme som for bakgrunnsstrålingen som fyller det, har den avtatt som *1/a*.  Den var ekstremt høy like etter Big Bang og gjorde det først umulig at atomer kunne formes da fotonene i strålingen slo dem i stykker. Men etter at det hadde kjølt seg ned til 3000&thinsp;K,  begynte hydrogen og  heliumatomer å formes. Den kosmisk varmestrålingen ble dermed fri og fortsatte med å avkjøles som *1/a* til at den i dag har temperaturen  . Skalaparameteren til Universet var derfor  da de første atomene ble dannet. Det var 380.000 år etter Big Bang.

## Referanser


## Litteratur
* M. Planck, *The Theory of Heat Radiation*, Dover Publications, New York (2003). ISBN 0-486-66811-8
* P. Callin, J. Pålsgård, R. Stadsnes og C.T. Tellefsen,  *Fysikk 1*, Aschehoug, Oslo (2007).
* D. Halliday and R. Resnick, *Physics for Students of Sciences and Engineering*, John Wiley & Sons, Ltd., New York (1965).
* F. Reif, *Fundamentals of Statistical and Thermal Physics*, McGraw-Hill Kogakusha Ltd., Tokyo (1965).

## Eksterne lenker
* M. Planck, ''Vorlesungen über die Theorie der Wärmestrahlung'', Leipzig (1906). Digital utgave.