Spesifikk baneenergi

Den **spesifikke baneenergien**  \epsilon  spiller en viktig rolle i himmelmekanikk for å løse tolegemeproblemet. Man kan vise at størrelsen er konstant for en gitt bane under ideale forhold. Her gjelder altså også at summen av kinetisk energi og potensiell energi bevares
: \epsilon = \frac{v^2}{2} -\frac{\mu}{r} = const. 

Vis man forsetter ideen, kommer man til Vis-Viva ligningen, en fundamental ligning i himmelmekanikk.

Navnet *spesifikk* baneergi kommer fra at man ikke ser på den egentlige energien  E , men på energien per masse
: \epsilon = \frac{E}{m} 

Det betyr at SI-enhet er: m2·s−2.  m  betegner her den reduserte massen  \frac{1}{m} = \frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2} .

## Kraver
Det som følger trenger noen forenklende kraver som også gjelder for Newtons gravitasjonsteori.

Man ser på to punktformede masser  m_1  og  m_2  som er i avstand  r  fra hverandre. Tyngdekraften  \vec{F}=G\frac{m_1m_2}{r^2}\frac{\vec{r}}{r}  virker uten forsinkelse og over hvilken som helst distanse og er den eneste kraften. Koordinatsystemet er inersial.

Nå antar man at  m_1 \gg m_2 . Det betyr at  m_1  er sentrallegemet i origo, og at  m_2  er satellitten som går rundt den. Den reduserte massen er nå lik  m_2  og tolegemeproblemets ligning er
: \ddot{\vec{r}} = -\frac{\mu}{r^2}\frac{\vec{r}}{r} 

med «gravitasjonsparameteren»  \mu = Gm_1  og avstandsvektor  \vec{r}  (lengden er  r ) som peker fra origo (sentrallegemet) til satellitten fordi  m_1 \gg m_2 .

Det er viktig å ikke forveksle gravitasjonsparameteren  \mu  med den reduserte massen som blir ofte betegnet med den samme bokstaven  \mu .

## Spesifikk baneenergi

Man får den spesifikke baneenergien når man multipliserer (skalarprodukt) tolegemeproblemets ligning med hastighetsvektoren  \vec{v} 
: \vec{v} \cdot \ddot{\vec{r}} = - \vec{v} \cdot \frac{\mu}{r^2}\frac{\vec{r}}{r} 

Fra bildet til høyre får man
*  \ddot{\vec{r}} = \dot{\vec{v}} 
*  v\cos(\frac{\pi}{2}-\theta) = \dot{r}  (Endringen i den radiale komponenten til  \vec{r} , ikke lengden  v  av  \vec{v} )
*  \vec{r} \cdot \vec{v} = rv\cos(\frac{\pi}{2}-\theta) = r\dot{r} 

de følgende differnsialene gjelder
*  \frac{\mathrm{d} (\frac{v^2}{2}) }{\mathrm{d}t} = v\dot{v} 
*  \frac{\mathrm{d} (-\frac{\mu}{r}) }{\mathrm{d}t} = \frac{\mu}{r^2}\dot{r} 

og altså
: v\dot{v} + \dot{r} \frac{\mu}{r^3}r = \frac{\mathrm{d} (\frac{v^2}{2}) }{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d} (-\frac{\mu}{r}) }{\mathrm{d}t} = 0 

Det betyr at denne summen er konstant (blir bevart). Og dette er akkurat energien per masse til satelliten, man gjenkjenner den kinetiske energien per masse  \tfrac{v^2}{2}  og den potensielle energien per masse på grunn av gravitasjon  -\tfrac{\mu}{r}  
: \epsilon = \frac{v^2}{2} -\frac{\mu}{r} + c = const. 

med integrasjonskonstanten  c  som kan velges i forhol til når  \epsilon = 0  skal være. Vanligvis velger man  c = 0 .

I ord betyr ligningen at baneernegien blir større jo lengre satelliten er fra sentrallegemet og jo raskere den beveger seg. Valget  c = 0  betyr at energien er negativ når det lille legemet står i ro på overflaten til det større legemet eller når bane er lukket. Energien blir positiv når satellitten flykter ut av gravitasjonsfeltet.

## Vis-Viva ligning

Ligningen lengre opp kan omskrives til den tradisjonelle fromen av Vis-Viva ligningen. Det er nok å se på den spesifikke energien i et punkt av omløpsbanen (energien er konstant), f. eks. på periapsen. Med det spesifikke relative drivmomentet  h  blir hastigheten
: v_p = \frac{h}{r_p} 

For Keplerbaner gjelder i tillegg
*  h = \sqrt{\mu p} = \sqrt{\mu a(1-e^2)}
*  r_p = a(1-e) 

Til sammen blir den spesifikke baneenergien, med unntak av parabelen der  e=1 :
: \epsilon = \frac{v_p^2}{2} -\frac{\mu}{r_p} = \frac{\mu a(1-e^2)}{2a^2(1-e)^2} -\frac{\mu}{a(1-e)} = -\frac{\mu}{2a} 

Noen elementare omsrkivelser gir den tradisjonelle fromen av Vis-Viva ligningen 
: v^2 = \mu\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right) 

Den viktige sammenhengen  \epsilon = -\tfrac{\mu}{2a}  sier at energien til satellitten er bare avhengig av gravitasjonsparameteren til sentrallegemet og den store halvaksen til banen.

Dette gjelder for elliptiske baner:  a>0 ,  \epsilon som også inneholder sirkelen som spesialtilfellet med  a=r ; og for hyperboliske baner:  a,  \epsilon>0 . For grensetilfellet paraboliske bane er den spesifike baneenergien 0. Da befinner seg satellitten presist på grensen mellom *fengslet i gravitasjonsfeltet til sentrallegemet* og *flykt fra gravitasjonsfeltet til sentrallegemet*.

## Eksempler

## Se også
* Spesifikk relativ drivmoment, en annen størrelse som bevares i tolegemeproblemet.

## Fotnoter


## Referanser