Sekant

En **sekant** er en rett linje som skjærer i gjennom en kurve i minst to punkt. Den delen av sekanten som ligger mellom to nabopunkt, er en korde. I figuren er linjen *S* sekanten, mens det rette linjestykket *PQ* er korden. Ordet *sekant* kommer av det latinske ordet *secare* som betyr å kutte eller skjære over.

## Derivasjon

Sekanten kan anvendes til å finne tangenten til en kurve i et punkt. Når sekanten går gjennom de to punktene *P* og *Q*, så kommer sekanten til å nærme seg tangenten til kurven i punktet *P* når *Q* nærmer seg dette punktet langs kurven. Dette er illustrert i animasjonen til venstre.  

### Stigningstallet

Hellningen til sekanten er dens stigningstall. Dette kan beregnes når kurven er definert ved en funksjon *y = f(x)* i et kartesisk koordinatsystem. Har punktet *P* koordinatene *(x, f(x))* og punktet *Q* koordinatene *(x + h, f(x + h))*, blir stigningstallet for sekanten gjennom disse to punktene

:k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + h) - f(x)}{h} 

I grensen hvor *h &rarr; 0*, vil sekanten nærme seg tangenten i punktet *(x, f(x))* slik at dette stigningstallet blir lik den deriverte av funksjonen  *y = f(x)* i dette punktet. Både i analytiske og numeriske arbeider blir denne metoden benyttet til å utføre derivasjoner.

## Sirkelsekanter

For en sirkel vil en sekant gi maksimalt to skjæringspunkt. Faller de sammen, går sekanten over til å bli en tangent.  Den tilsvarende korden har størst lengde når sekanten går gjennom sirkelens sentrum. Korden er da en diameter i sirkelen.

To sekanter kan skjære en sirkel i maksimalt fire punkter.  Disse bestemmer vinkelen *&psi;&thinsp;* mellom de to sekantene. Ligger skjæringspunktet S inni sirkelen, er skjæringsvinkelen

:  \psi = {1\over 2} \big(\theta_1 + \theta_2\big) 

hvor vinklene *&theta;*1&thinsp; og *&theta;*2&thinsp; er de to sirkelbuene som ligger mellom sekantene. Dette sees ved å trekke korden BC i figuren til høyre. Vinkel DBC er da en periferivinkel. Den har derfor en størrelse som er lik halvparten av sirkelbuen DC, det vil si *&theta;*2/2&thinsp;. På samme måte er periferivinklen BCA lik halvparten av sirkelbuen AB, det vil si *&theta;*1/2&thinsp;. Da nå skjæringsvinklen *&psi;&thinsp;* er en utvendig vinkel i trekanten SBC, vil den være lik summen av periferivinklene DBC og BCA. Herav følger resultatet.

Hvis derimot skjæringspunktet S mellom sekantene ligger utenfor sirkelen som i den nederste figuren, vil skjæringsvinkelen *&psi;&thinsp;* mellom dem være gitt som

:  \psi = {1\over 2} \big(\theta_1 - \theta_2\big) 

Dette kan vises ved å trekke korden BD. Da er periferivinkelen BDA en utvendig vinkel i trekanten SBD og derfor lik skjæringsvinkelen pluss periferivinkelen DBS. Uttrykt ved gradtallene til vinklene,  betyr det  at   som er resultatet.

### Potensen til skjæringspunktet

Mens sirkelbuene mellom sekantenes skjæringspunkt med sirkelen bestemmer vinkelen mellom dem, er produktet av de to linjestykkestykkene mellom S og hvert av de to skjæringspunktene det samme for alle sekanter gjennom S som skjærer sirkelen. Hvis S ligger innenfor sirkelen, er for eksempel SA&sdot;SC =  SB&sdot;SD og med samme verdi for alle andre sekanter gjennom S. Når dette punktet ligger utenfor sirkelen, er på tilsvarende måte SA&sdot;SD =  SB&sdot;SC. Man kan forklare dette ved å benytte egenskapene til periferivinkelene og de trekantene hvor de inngår.

Dette konstante produktet kalles potensen til punktet S og var kjent allerede på Euklids tid. På 1800-tallet ble det utdypet nærmere av den sveitsiske matematiker Jakob Steiner.

## Elliptiske kurver

En sekant som skjærer gjennom en elliptisk kurve, vil ha maksimalt tre skjæringspunkt. Det skyldes at den er beskrevet ved en ligning av formen  hvor polynomet *P(x)&thinsp;* er av tredje grad. For noen sekanter kan det også bare opptre to skjæringspunkt, for eksempel når den er tangerer kurven i et punkt.

Elliptiske kurver er viktig i tallteori og har i de senere årene fått stor, praktisk  betydning i forbindelse med kryptering. Det er mulig da punktene på kurven kan adderes på en slik måte at det vil være umulig å finne ut av for en utenforstående. En sekant vil i alminnelighet ha tre skjæringspunktet P, Q og R med kurven. Summen P + Q kan nå defineres ut fra kjennskap til det tredje tallet R. Denne addisjonsloven betyr at P + Q = Q + P slik at resultatet er uavhengig av rekkefølgen til de to tallene. Den definerer derfor en abelsk gruppe med et identitetselement som tilsvarer punktet i det uendelig fjerne. Disse beregningene kan utføres i datamaskiner som benyttes i moderne datanettverk.

## Litteratur

* A. Søgaard og R. Tambs Lyche, *Matematikk for den høgre skolen*, vol II, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).
* A. Ash and R. Gross, *Elliptic Tales*, Princeton University Press, New Jersey (2012). ISBN  978-0-691-15119-9.