Spinn

**Spinn** i kvantemekanikken refererer til indre dreieimpuls for en partikkel som ikke skyldes dens egen bevegelse. I klassisk mekanikk  oppstår det ved rotasjon om en akse gjennom tyngdepunktet. I kvantemekanikken måles det i enheter av den reduserte Planck-konstanten *ħ&thinsp;* og er angitt ved et kvantetall som vanligvis betegnes med bokstaven *s*. Typisk eksempel er elektronet som har *s* = 1/2 og fotonet med *s* = 1. De fleste atomkjerner har heltallig *s* = 0, 1, 2, ... eller halvtallig *s* = 1/2, 3/2, ... spinn og inneholder protoner og nøytroner. De har begge *s* = 1/2 og er igjen sammensatte partikler bestående av kvarker med  spinn *s* = 1/2. 

Partikler med heltallig spinn er bosoner som oppfyller Bose-Einstein statistikk. Dette er i motsetning til partikler med halvtallig spinn om er fermioner og må adlyde Pauli-prinsippet.

En partikkel med spinn har et magnetisk moment. Hvis dens spinn er gitt ved vektoren **S**, er dette

:  \boldsymbol{\mu}  =  g {e\over 2m}\mathbf{S} 

når den har elektrisk ladning *e&thinsp;* og masse *m*. Her omtales størrelsen *g&thinsp;* som partikkelens «*g*-faktor». For elementærpartikler som elektroner og kvarker er denne tilnærmet lik med *g* = 2, mens protonet har en ganske annen verdi. Nøytronet har null elektrisk ladning, men har likevel et magnetisk moment. Det kan skrives på samme vis og skyldes kvarkene som det inneholder.

## Historie

I den halv-klassiske Bohr-Sommerfeld-kvantisering til Niels Bohr og Arnold Sommerfeld måtte alle kvantetall være heltallige. Det kom derfor som en stor overraskelse da Alfred Landé i 1921 kunne delvis forklare den anomale Zeeman-effekten ved å anta at den orbitale dreieimpulsen for et elektron i et atom også kunne anta halvtallige verdier.

Året etter lanserte  Werner Heisenberg som da var student, sin  ''Rumpf''-modell hvor et elektron med dreieimpuls *kħ&thinsp;* kunne avgi *ħ*/2 til resten av atomet slik at det selv satt igjen med (*k* - 1/2)*ħ*. Han hadde ingen god forklaring av hvordan dette kunne skje. Men med denne antagelsen kunne Landé i 1923 konstruere en formel for ''g''-faktoren til atomene som stemte med observasjonene.

På slutten av 1924 offentliggjorte Wolfgang Pauli et viktig arbeid hvor han viste at Heisenbergs *Rumpf*-modell ikke kunne være riktig. At et elektron i et atom kunne få en halvtallig verdi for dreieimpulsen, kunne ikke ha noe med resten av atomet å gjøre. Den egenskapen måtte tilhøre elektronet alene, og han mente at det måtte ha en slags dobbelthet. Denne nye egenskapen karakteriserte han med et nytt kvantetall med verdiene *m<sub>s</sub>* = &pm;1/2 som opptrer i tillegg til kvantetallene ℓ og *m*ℓ for vanlig, orbital dreieimpuls. Med denne nye antagelsen kunne han beholde de gode resultatene til Landé samtidig som den ga bedre forståelse av spektret til den karakteristiske røntgenstrålingen og oppbygningen av det periodiske system. Det var i denne sammenhengen han innførte sitt nye eksklusjonsprinsipp.

Tidlig på året 1925 møtte Pauli tilfeldigvis studenten Ralph Kronig i Tübingen og ble fortalt at dette nye kvantetallet måtte bety at elektronet hadde en egenrotasjon. Pauli avviste denne muligheten, sannsynligvis fordi det ville bety at punkter på elektronets overflate da måtte rotere med en hastighet raskere enn lyshastigheten. Kronig gjorde  derfor ikke mer med dette forslaget.

Høsten samme år fikk Samuel Goudsmit og George Uhlenbeck samme idé. De kunne dermed forklare detaljer ved finstrukturen i energinivåene til hydrogenatomet. Elektronet har spinn *s* = 1/2 slik at når det befinner seg i en bane med orbital dreieimpuls ℓ, vil det få en total dreieimpuls med kvantetall

:  j = \ell \pm 1/2 

En matematisk beskrivelse av ikke-relativistiske partikler med spinn *s* = 1/2 utviklet Pauli i 1927. Den kalles for Pauli-ligningen og tilsvarer Schrödinger-ligningen for partikler med *s* = 0. Den kvantemekaniske spinnoperatoren kan da skrives som

:  \mathbf{S} = {\hbar\over 2}\boldsymbol{\sigma} 

hvor **&sigma;** utgjør de tre Pauli-matrisene.

Ved etableringen av Dirac-ligningen året etterpå for partikler med vilkårlig høye hastigheter, ble det klart at elektronets spinn er en direkte konsekvens av Einsteins spesielle relativitetsteori.

## Matematisk formulering

Spinnet tiil en partikkel er gitt ved egenverdiene til en kvantemekanisk vektoroperator  \hat\mathbf{S} = (\hat{S}_x. \hat{S}_y, \hat{S}_z). De tre komponentene kommuterer ikke med hverandre, men tilfredsstiller  \hat{S}_x \hat{S}_y  - \hat{S}_y \hat{S}_x = i\hbar \hat{S}_z  hvor *ħ&thinsp;* er den reduserte Planck-konstanten. Sammen med to andre kommutatorer  hvor indeksene er syklisk byttet om, kan de sammenfattes i den ene vektorproduktet

:  \hat\mathbf{S} \times \hat\mathbf{S} =  i\hbar  \hat\mathbf{S} 

Egentilstandene for spinn kan skrives som  |s,m_s\rangle  hvor kvantetallet *s&thinsp;* kan ta en av verdiene 1/2, 1, 3/2 og så videre. Det angir størrelsen til det totale spinnet, mens  *m<sub>s</sub>* = (*s*, *s* - 1, *s* - 2, ...,  -*s*) er egenverdien langs *z*-aksen,

:  \hat\mathbf{S}^2 |s,m_s \rangle = \hbar^2 s(s+1)|s,m_s\rangle 
:  \hat{S}_z |s,m_s\rangle = \hbar\, m_s|s,m_s\rangle 

Lineærkombinasjonene  \hat{S}_\pm = \hat{S}_x \pm i \hat{S}_y  er stigeoperatorer som forbinder disse  2*s* + 1 egenvektorene i en slik **spinnmultiplett**. Disse operatorene virker ifølge

:  \hat{S}_\pm |s, m_s\rangle = \hbar\sqrt{s(s + 1) - m_s(m_s \pm 1)} \,|s, m_s \pm 1 \rangle 

og kan benyttes til å representere spinnoperatorene som matriser.

### Spinn-1/2

Ved addisjon av mange spinn *s* = 1/2, kan tilstander med vilkårlig høye spinn beregnes. Derfor har beskrivelsen av spinn-1/2 en spesiell viktig plass både i elementærpartikkelfysikken og i teoretisk fysikk mer generelt. Man har da  å gjøre med bare to egenvektorer  som kan skrives på flere forskjellige måter,

:  |{\textstyle\frac 1 2}, + {\textstyle\frac 1 2} \rangle =  |+ {\textstyle\frac 1 2} \rangle = |+ \rangle = | \uparrow \rangle   
:  |{\textstyle\frac 1 2}, - {\textstyle\frac 1 2} \rangle =  |- {\textstyle\frac 1 2} \rangle = |- \rangle = | \downarrow \rangle 

som er ortogonale  \langle +|-\rangle = 0  og hvor

:  \hat{S}_z |\pm \rangle = \pm {\hbar\over 2} |\pm \rangle 

Ved å kombinere to slike egentilstander kan man finne egenvektorer 

:  |\psi \rangle = \psi_+ |\uparrow\rangle +\, \psi_-  |\downarrow \rangle   

for spinnet i vilkårlig andre retninger **n** tilsvarende operatoren \hat\mathbf{S}\cdot\mathbf{n}.   Den har to komponenter  \psi_+ = \langle +|\psi \rangle  som kan fremstilles som en tokomponent spinor

:  \psi = \begin{pmatrix} \psi_+ \\ \psi_- \end{pmatrix} = \psi_+ \! \uparrow + \; \psi_- \! \downarrow 

hvor de to basisspinorene er

:   \uparrow \; = \begin{pmatrix} 1 \\ 0  \end{pmatrix}, \quad  \downarrow \; = \begin{pmatrix} 0 \\ 1  \end{pmatrix} .

Operatoren  \hat{S}_z  kan da representeres ved den diagonale matrisen

:  S_z = {\hbar\over 2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} 

På tilsvarende vis kan  \hat{S}_+  fremstilles som en matrise fra dens definerende egenskaper   \hat{S}_+ |\downarrow\rangle = \hbar\, |\uparrow \rangle   og   \hat{S}_+ |\uparrow\rangle = 0.  Det kan man gjøre på tilsvarende måte for  \hat{S}_-  og man får 

:  S_+ =  \hbar\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \quad S_- =  \hbar\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} . 

Herav kan man finne matrisene  S_x og  S_y.   Resultatet er at alle spinnmatrisene kan skrives som de tre Pauli-matrisene (*&sigma;<sub>x</sub>*, *&sigma;<sub>y</sub>*, *&sigma;<sub>z</sub>*) multiplisert med *ħ*/2.

### Singlett og triplett

Når man  adderer sammen to spinn **S**1 og **S**2 hver med spinn *s* = 1/2, vil det resulterende spinn bli enten *s* = 1 eller *s* = 0. Den høyeste tilstanden er

:  |1, +1\rangle = | \uparrow \rangle |\uparrow\rangle 

Ved å anvende senkeoperatoren  \hat{S}_- = \hat{S_1}_-  + \hat{S_2}_-  på denne, genererer man to ny egentilstander med mindre egenverdier for  \hat{S}_z, 

:  |1, 0\rangle = \sqrt{1\over 2} \big(| \uparrow \rangle |\downarrow\rangle  + |\downarrow\rangle |\uparrow \rangle\big) 
:  |1, -1\rangle = | \downarrow \rangle |\downarrow\rangle 

Disse tre normerte tilstandene med *s* = 1 sies å utgjøre en «spinn triplett».

Av de opprinnelige fire tilstandene som legges sammen, er det én igjen. Det er kombinasjonen

:  |0, 0\rangle = \sqrt{1\over 2} \big(| \uparrow \rangle |\downarrow\rangle  - |\downarrow\rangle |\uparrow \rangle\big) 

som har spinn *s* = 0 og er ortogonal til de tre andre. Det er en «spinn singlett».

Disse sammensatte tilstandene spiller en viktig rolle i mange forskjellige sammenhenger fra magnetisme til metaller, kjemiske bindinger av atomer og molekyler til kreftene som virker i atomkjernene.

## Referanser


## Eksterne lenker

* YouTube-video, What is Spin?
* HyperPhysics, Electron Spin