Hyperbel

En **hyperbel** er i matematikk en type kjeglesnitt, en plan kurve dannet som skjæringslinjen mellom et plan og en kjegleflate.  Andre typer
kjeglesnitt er ellipser og parabler.  

En hyperbel kan defineres geometrisk som en samling av punkt der avstanden til et gitt punkt og avstanden til en gitt rett linje har et konstant proporsjonalitetsforhold, og
der proporsjonalitetskonstanten er større enn 1.  Proporsjonalitetskonstanten kalles *eksentrisiteten*, og hyperbelen er et kjeglesnitt med eksentrisitet større enn 1.  

Alternativt kan en hyperbel defineres som en kurve der avstanden til to gitte punkt har en konstant differens. 

Hyperbel består av to *grener*, separate kurver som ligger symmetrisk om et punkt kalt sentrum.  Begrepet «hyperbel» brukes både om en enkelt gren og om samhørende par av grener.  
Kurven har to asymptoter, som skjærer hverandre i hyperbelens sentrum.  

Analytisk kan en hyperbel beskrives ved hjelp av en andregradsligning i to variable.  For at ligningen skal framstille en hyperbel må *diskriminanten* definert ved ligningskoeffisientene være positiv.  
I visse tilfeller kan hyperbelen degenerere til to kryssende linjer. Standardformen for en hyperbel med sentrum i origo og halvakser a og b er

:\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

## Geometrisk definisjon
En hyperbel kan defineres som det geometriske sted for et punkt der avstanden til et gitt punkt og avstanden til en gitt rett linje har et konstant proporsjonalitetsforhold, og
der proporsjonalitetskonstanten er større enn 1.  Punktet kalles for *brennpunktet* eller *fokus*,
og linjen kalles *styrelinje* eller *direktrise*.  Generelt er et kjeglesnitt det geometriske sted for et punkt der avstanden fra brennpunktet er proporsjonal med avstanden til styrelinjen,
og proprosjonaliteteskonstanten kalles *eksentrisiteten*.  En hyperbel er altså et kjeglesnitt med eksentrisitet større enn 1.

Et plan som skjærer en rett kjegleflate med sirkulær basis vil framstille en hyperbel dersom toppvinkelen i kjeglen er *større* enn vinkelen som planet danner med kjegleaksen. Når kjegleflaten består av to
kapper med et felles toppunkt, vil skjæringskurven ha to adskilte hyperbelgrener.  

De to hyperbelgrenene dannes av hvert sitt sett av brennpunkt og styrelinjer, som ligger symmetrisk om sentrum.  En hyperbel har altså *to* brennpunkt.  Linjen gjennom disse to brennpunktene kalles
*hyperbelaksen* eller *hovedaksen*.  

## Polarform

Gitt en styrelinje og et brennpunkt *F*, og la avstanden mellom disse være h.  
For et vilkårlig punkt på hyperbelgrenen *P* er avstanden til styrelinjen alltid proporsjonal med avstanden til brennpunktet:

:|FP| = e|SP| 

Proporsjonalitetsfaktoren e kalles *eksentrisiteten*, og for en hyperbel er denne større enn 1. 
Linjen normalt på styrelinjen gjennom brennpunktet kalles *aksen* til hyperbelen.  
I polarkoordinater (r, \theta), med polen definert i brennpunktet og akse langs hyperbelaksen, kan dette skrives som

:
\begin{alignat}{2}
r &= e(h + r \cos \theta) \\
&= \frac{eh}{1 - e\cos \theta}  \qquad  |\theta| 

Vinkelen \theta^\ast er definert ved e \cos \theta^\ast = 1.  Dette er lik vinkelen en asymptote danner med hyperbelaksen.  
Hyperbelgrenen skjærer x-aksen i ett *toppunkt*, for \theta = 180^\circ.  Avstanden fra dette toppunktene til brennpunktet *F* er

:
\begin{alignat}{2}
g = r(\theta = 180^\circ) = \frac{eh}{1+e}  \\
\end{alignat}


Korden mellom to punkt på hyperbelen, parallelt med styrelinjen og gjennom brennpunktet, kalles *latus rectum*.  Lengden l av denne er

:l = 2 r(\theta = 90^\circ) = 2eh

Halve korden kalles semi-latus rectum, med lengde p = l/2 = eh.

### Dobbelt sett av brennpunkt og styrelinje

Polarformen av hyperbelen kan brukes til å vise at kurven har et alternativt sett av brennpunkt og styrelinje. La et valgt brennpunkt være F_1 i en avstand h
fra styrelinjen L_1, og la e være en valgt eksentrisitet.  Definer et punkt F_2 på hyperbelaksen, i avstanden s fra brennpunktet F_1, der

:s = \frac{2e^2h}{e^2 - 1}  \qquad (A) 

Punktet F_2 skal velges slik at styrelinjen ligger *mellom* punktene F_1 og F_2.  En linje L_2 legges parallelt med L_1, mellom
de to punktene F_1 og F_2, i en avstand h fra F_2.  

La P være et vilkårlig punkt på hyperbelen, og la
r_1 og r_2 være avstandene fra punktet P til de to punktene F_1 og F_2.  Linjestykkene F_1P og F_2P 
danner vinklene \theta_1 og \theta_2 med hyperbelaksen.  Fra den geometriske definisjonen er

:r_1 = e(h + r_1\cos \theta_1)

Fra cosinussetningen er

:
\begin{alignat}{2}
r_1^2 &= r_2^2 + s^2 - 2r_2 s \cos \theta_2 \\
r_2^2 &= r_1^2 + s^2 - 2r_1 s \cos ( \pi - \theta_1 ) = r_1^2 + s^2 + 2r_1 s \cos \theta_1 
\end{alignat}


Ved å kombinere disse to ligningene finner en

:r_1 \cos \theta_1 = - r_2 \cos \theta_2 + \frac{r_2^2 - r_1^2}{s}  \qquad (B) 

Avstanden fra punktet P til hyperbelaksen gir ligningen

:r_1 \sin \theta_1 = r_2 \sin \theta_2   \qquad  (C) 

Fra kvadratet av den geometriske definisjonen finner en

:
r_1^2 = e^2(h^2 + 2h r_1\cos \theta_1 + r_1^2 \cos^2 \theta_1)  \qquad (D)


Kombinasjon av ligningene *A*-*D* gir relasjonen

:r_2^2 = e^2(r_2\cos \theta_2 - h)^2

Avstanden mellom de to punktene F_2 og P er r_2, og størrelsen i parantesen på høyre side i ligningen over er avstanden fra linjen F_2 til punktet P. 
Ligningen viser altå at disse to avstandene er proporsjonale, med samme proporsjonalitetskonstant e som det valgte brennpunktet F_1 og styrelinjen L_1.  
Paret F_2 og L_2 er altså et alternativt sett av brennpunkt og styrelinje for hyperbelgrenen.  Tilsvarende vil begge to settene også være brennpunkt og styrelinjer for
en hyperbelgren som ligger symmetrisk om sentrum i hyperbelen, det vil si symmetrisk om midtpunktet mellom de to brennpunktene.

Avstanden fra sentrum og et brennpunkt er gitt ved lengden s/2.  

### Effekt av eksentrisiteten

Når eksentrisiteten øker mot uendelig vil toppunktet i hyperbelgrenen nærme seg styrelinjen.  For en fast avstand mellom brennpunktet og styrelinjen vil latus rectum gå mot uendelig, det vil si at
hyperbelen vier seg mer og mer ut.

Når eksentrisiteten går mot 1, så vil toppunktet nærme seg brennpunktet.  Latus rectum avtar mot grenseverdien h, slik at hyperbelen klapper mer og mer sammen.  

### Sammenheng mellom geometriske definisjoner

Polarformen kan brukes til å vise at de to geometriske definisjonene for hyperbelen er ekvivalente.  Gitt et vilkårlig punkt *P* på hyperbelen, og la avstanden fra dette punktet
til de to styrelinjene være henholdsvis l_1 og l_2. Tilsvarende la r_1 og r_2 være avstanden fra punktet til de to brennpunktene.  
Fra definisjonen med brennpunkt og styrelinje følger det at

:
\begin{alignat}{2}
 r_1 = e l_1 \\
 r_2 = e l_2
\end{alignat}


Siden |l_1 - l_2| er lengden mellom styrelinjene følger det direkte at differensen av avstandene fra brennpunktet er konstant:

:|r_1 - r_2 | = e |l_1 - l_2|

## Standardformer i kartesiske koordinater

Det eksisterer flere standardformer for hyperbelen, også kalt kanoniske former.   En kanonisk form er ligning i kartesiske koordinatene (x,y) som framstiller hyperbelen på en enklest mulig måte.  
Et alternativ for en kanonisk form framkommer når x-aksen defineres langs hovedaksen,
y-aksen defineres parallelt med styrelinjen og origo velges i sentrum av hyperbelen:

:\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 

Ligningen har to parametre, lengdene a og b av de to *halvaksene*. For hyperbelen er det ikke et krav at a \ge b.  Kurven har reelle verdier bare når
|x| \ge a.  

En korde gjennom sentrum, mellom to punkt på hver sin hyperbelgren, kalles en *diameter* i hyperbelen.  Diameteren mellom de to toppunktene kalles den *reelle* aksen og har lengden 2a.
Den *imaginære* aksen står normalt på denne og har lengden 2b.  Dette er også lengden av en korde mellom asymptotene, normalt på hovedaksen og gjennom toppunktet på en hyperbelgren.  
Asymptotene har ligningene

:a x \pm by = 0

Brennpunktene ligger i en avstand ae og styrelinjene i avstanden a/e fra origo.  Eksentrisiteten er gitt fra
ligningskoeffisientene ved

:e = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{a^2}}.

En alternativ kanonisk form framkommer ved å legge origo i det ene brennpunktet:

:  {(x - \frac{a}{e})^2\over a^2} - {y^2\over b^2} = 1 

En hyperbel der a = b kalles *likesidet*, *ekvilateral* eller *rektangulær*, og for en slik hyperbel brukes også en tredje kanonisk form:

:  xy = k^2 

## Parametrisk form

En hyperbel på standardformen med origo i sentrum kan skrives som en parameterframstilling på formen

:x(t) = \pm a \cosh t  \qquad   y(t) = b \sinh t  \qquad  t \in (-\infty, \infty) 

## Konjugerte hyperbler

To hyperbler er *konjugerte* dersom hovedaksene til hver av hyperblene står normalt på hverandre, samt at den reelle aksen i den ene er lik den imaginære aksen i den andre
og omvendt.  To konjugerte hyperbler har identiske asymptoter.  På standardformen med origo i sentrum kan ligningene for de to konjugerte hyperblene skrives

:
\begin{alignat}{2}
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} &= 1 \\
\frac{x^2}{a^2} - \frac{b^2}{a^2} &= - 1 
\end{alignat}


Dersom de to hyperblene har eksentrisitet henholdsvis e_1 og e_2, så vil a e_1 = b e_2 .  De fire brennpunktene til de to hyperblene ligger
på en sirkel med radius ae_1.  

## Generell kvadratisk form

En generell kvadratisk form

: f(x,y) =  Ax^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0 

vil framstillen en hyperbel dersom *diskriminanten* d er positiv:

:d = B^2 - 4AC > 0

Ligningen kan overføres til standardformen ved hjelp av en koordinattransformasjon: en translasjon og en rotasjon.  

## Degenerert hyperbel

En hyperbel med diskriminant lik null vil degenerere til to kryssende rette linjer dersom determinanten til matriseformen av ligningen er lik null.  Matriseformen er

:
\mathsf{x} \mathsf{R} \mathsf{x}^\operatorname{T} = 0


:
\begin{alignat}{2}
\mathsf{x} &= (x,y,1) \\ [3pt]
\mathsf{R} &= \left( \begin{matrix}A & B/2 & D/2 \\B/2 & C & E/2 \\ D/2 & E/2 & F \end{matrix} \right) \\  [3pt]
\end{alignat}


Determinanten \Delta_3 til matrisen \mathsf{R} er gitt ved

:\Delta_3 = \det \mathsf{R} = 
\begin{vmatrix} A & B/2 & D/2\\B/2 & C & E/2\\ D/2 & E/2 & F\end{vmatrix}


## Egenskaper

### Symmetri

Hyperbelen er symmetrisk om både den reelle og den imaginære aksen, og dermed også om sentrum.   

### Tangentlinjer

For en hyperbel på standardformen med origo i sentrum er ligningen for tangenten i punktet (x_0, y_0) gitt ved

:\frac{xx_0}{a^2} - \frac{yy_0}{b^2} = 0

### Konjungerte diametre

En diameter i hyperbelen er en korde som går gjennom sentrum, mellom to punkt på hyperbelen 
To diametre i hyperbelen er konjugerte dersom enhver korde parallell med den ene diameteren blir delt i to like deler av den andre.  

## Anvendelser

For en ideell gass med konstant temperatur vil variasjon i trykk og volum beskrive en hyperbel.  

## Referanser





## Litteratur

* 

* 

*
 
*