Felt (fysikk)

I fysikken er et **felt** en kvantitet som beskrives med en tallverdi eller tensor som har en verdi for hvert punkt i tid og rom. For eksempel kan vindens hastighet på et værkart oppfattes som et felt som er beskrevet ved å tildele en vektor til punkter på et kart. Hver vektor representerer hastigheten og retningen av bevegelsen til luften på et  gitt tidspunkt. Et elektrisk felt kan betraktes som en «tilstand i rommet», som skriver seg fra en elektrisk ladning og strekker seg ut i hele rommet. Når en elektrisk test ladning plasseres i dette elektriske feltet, akselererer partikkel på grunn av en kraft som virker på det.

Et felt kjennetegnes ved at det brer seg i rommet, inneholder energi, og ved sin tilstedeværelse eliminerer det eksistensen av ekte vakuum. I praksis er styrken i de fleste felt funnet til å avta med avstanden fra kilden, helt til det til slutt er umulig å oppdage. For eksempel styrken til  gravitasjonsfeltet eller *elektrostatiske feltet* i klassisk elektromagnetisme omvendt proporsjonalt med kvadratet av avstand fra kilden. En konsekvens er at jordens gravitasjonsfelt raskt blir umulig å oppdage på kosmiske avstander.

Et felt kan klassifiseres som en *[[skalarfelt]]*, et *[[vektorfelt]]*, en *[[spinor]]felt* eller en *[[tensorfelt]]* i henhold til hvorvidt den representerte fysisk størrelse er henholdsvis en skalar, en vektor, en *[[spinor]]* eller en *[[tensor]]*. For eksempel er det newtonske gravitasjonsfeltet et vektorfelt. Om en vil spesifisere dets verdi ved et punkt i rom og tid kreves tre tall, nemlig komponentene av gravitasjonsfeltvektorene ved dette punktet. Videre innenfor hver kategori, altså skalar, vektor eller tensor, kan et felt være enten et *klassiske felt* eller et *kvantefelt*, avhengig av om det karakteriseres av enten et tall eller *[[Operator (fysikk)|kvanteoperator]]*. Innenfor denne teorien er en representasjon for feltet en partikkel, nemlig et boson eller fermion.

## Historie

I Isaac Newtons lov om universell gravitasjon er kraften på grunn av gravitasjonen bare noe som handler om samvirke mellom par av objekter med masse. Om en betrakter bevegelsene til mange objekter i samspill med hverandre, slik som planetene i solsystemet, blir beregninger for en betraktningsmåte som kun ser på par av objekter hver for seg vanskelig. På 1700-tallet ble en ny parameter utviklet for å forenkle bokføring av alle disse gravitasjonskreftene. Denne mengden som ble kalt gravitasjonsfelt, anga den totale gravitasjonskraft ved hvert punkt i rommet som vil påvirke et objekt med masse i et gitt punkt. Dette endret ikke fysikken på noen måte, det spilte ingen rolle om en beregnet alle gravitasjonskrefter på et objekt individuelt og deretter la dem sammen, eller om en først la alle bidragene sammen som et gravitasjonsfelt, og deretter brukt det på et objekt.

Utviklingen av det uavhengige konseptet om et felt begynte for alvor på 1800-tallet med utviklingen av teorien om elektromagnetisme. I de tidlige stadiene kunne André-Marie Ampère og Charles Augustin Coulomb klare seg med Newton-lignende lover som uttrykte kreftene mellom par av elektrisk ladninger eller elektrisk strøm. Imidlertid ble det etter hvert mye mer naturlig å se på felt-tilnærming og uttrykke disse lovene i form av elektriske- og magnetiske felter. I 1849 ble Michael Faraday den første til prege begrepet «feltet».

Den uavhengige naturen til feltet ble mer tydelig med James Clerk Maxwells oppdagelse av bølger i disse feltene som forplanter seg med en gitt hastighet. Konsekvensen av dette er at kreftene på ladninger og strømmer ikke lenger bare er avhengig av posisjoner og hastigheter til andre ladninger og strøm på samme tid, men også av deres posisjoner og hastigheter i fortiden.

Maxwell benyttet ikke til å begynne med det moderne begrepet om et felt som en grunnleggende kvantum som kan eksistere uavhengig. I stedet antok han at elektromagnetiske felter kan betraktes som et uttrykt for deformasjon av en type eter, mye likt mekaniske spenninger som brer seg i en gummimembran. Hvis dette var tilfelle må den observerte hastighet av de elektromagnetiske bølger avhenger av hastigheten av observatøren i forhold til denne eteren. Til tross for store anstrengelser ble ingen eksperimentelle bevis for en slik effekt noensinne funnet. Problemet ble løst ved innføringen av den spesielle relativitetsteorien som Albert Einstein publiserte i 1905. Denne teorien endret måten å betrakte relevansen av hastigheten til observatører på, hastighet vil nemlig være den samme for elektromagnetiske bølger i Maxwells teori for alle observatører uavhengig av deres hastighet. Ved å bevege seg bort fra teorien om et etermedium åpnet veien seg for å begynne å tenke på felter som helt selvstendige enheter.

På slutten av 1920-årene ble de nye reglene for kvantemekanikk først brukt til å beskrive elektromagnetiske felter. I 1927 brukte Paul Dirac kvantefeltteorier for å kunne forklare hvordan et atom kan få en lavere kvantetilstand som fører til spontan emisjon av et foton, som altså er selve det minste kvantumet av det elektromagnetiske feltet. Dette ble snart etterfulgt av arbeidet til Pascual Jordan, Eugene Wigner, Werner Heisenberg og Wolfgang Pauli om at alle partikler, for eksempel elektroner og protoner, kunne forstås som kvanter i en kvantefeltteori. Dette heve statusen for felter som noe av de mest grunnleggende bestanddeler i naturen. Når det er sagt har John Archibald Wheeler og Richard Feynman seriøst vurdert Newtons tidlige feltetbegrep om virkning på avstand. Imidlertid har de satt denne vurderingen til side på grunn av det pågående arbeidet med feltet konseptet for forskning på generelle relativitet og kvanteelektrodynamikk.

## Klassiske felt

I fysikken er et felt en kvantitet, ofte et nummer, en tensor eller vektor som har en verdi for hvert punkt i tid og rom.

Det finnes flere eksempler på klassiske felt, altså fysiske felt som betraktes ut fra hvordan de virker sammen med materien gjennom feltligninger. Klassisk feltteorier forblir nyttig overalt hvor det ikke oppstår kvantemekaniske egenskaper, og er fremdeles aktive forskningsområder. Elastisitet i materialer, fluiddynamikk og innenfor elektromagnetisme der Maxwells ligninger benyttes er eksempler på slik tilfeller.

Noen av de enkleste fysiske feltene er vektorkraftfeltene. Historisk sett er første gang at felter ble studert på alvor da Michael Faraday beskrev feltlinjer for elektrisk felter. Gravitasjonsfelt ble deretter beskrevet på liknende måte.

Et elektrisk felt betraktes som en «tilstand i rommet» som kommer fra en elektrisk ladning og strekker seg ut i hele rommet. Når en elektrisk testladning plasseres i dette elektriske feltet, akselererer partikkel på grunn av en kraft som virker på den. Konseptet om felter er et praktisk verktøy for analyse av krefter, som har ført til at en tenker på en kraft som noe som følger av et felt. For øvrig menes det med en testpartikkelen at den har for liten ladning til å selv påvirke det elektriske feltet den utsettes for.

Et felt kan klassifiseres som en skalarfelt, et vektorfeltet, en spinor felt eller en tensorfelt i henhold til hvorvidt den representert fysisk størrelse er henholdsvis en skalar, en vektor, en spinor eller en tensor. Et felt har en unik tensorial karakter i hvert punkt der det er definert. Det vil si at et felt ikke kan være et skalarfelt et sted og et vektorfelt et annet sted. For eksempel er det newtonske gravitasjonsfeltet et vektorfelt. Om en vil spesifisere dets verdi ved et punkt i rom og tid kreves tre tall, nemlig komponentene av gravitasjonsfeltvektorene ved dette punktet. Videre innenfor hver kategori (skalar, vektor, tensor), kan et felt være enten et klassiske felt eller et kvantefelt, avhengig av om det karakteriseres av enten et tall eller kvanteoperator. Innenfor denne teorien er en tilsvarende representasjon for feltet en feltpartikkel, et såkalt boson.

I verdensrommet er det først og fremst gravitasjonsfelter som spiller noen rolle. Disse virker på svært store avstander når det er snakk om store massekonsentrasjoner. Elektriske og magnetiske felter spiller en liten rolle i kosmos fordi store konsentrasjoner av masser er elektrisk nøytrale, altså inneholder like stor andel negative- og positive ladninger. Sterk og svak vekselkraft er også felter som bare spiller noen rolle på atomnivå, og kan derfor sees bort fra.

### Newtonsk gravitasjon

En klassisk feltteori som beskriver gravitasjon er newtonsk-gravitasjon der tyngdekraften beskrives som en gjensidig interaksjon mellom to masser.

Et hvert objekt med masse *M* er forbundet med et gravitasjonsfelt **g**, som beskriver dets innvirkning på andre legemer med masse. Gravitasjonsfeltet til *M* i et punkt **r** i verdensrommet svarer til forholdet mellom kraften **F** som *M* utøver på en liten eller ubetydelig *test masse* *m* plassert ved **r** og testenmasse selv:

: \mathbf{g}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r})}{m}.

Det at *m* er mye mindre enn *M* sikrer at tilstedeværelsen av *m* har en ubetydelig påvirkning på atferden til *M*.

Ifølge Newtons gravitasjonslov er funksjonen **F** (**r**) gitt av:

:\mathbf{g}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r})}{m} = -\frac{G M}{r^2}\hat{\mathbf{r}}.

der \hat{\mathbf{r}} er en enhetsvektor som ligger langs linjen til *M* og *m* og peker fra *m* til *M*. Derfor er gravitasjonsfeltet til *M*:

:\mathbf{g}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r})}{m} = -\frac{G M}{r^2}\hat{\mathbf{r}}.

Den eksperimentelle observasjonen av at treghetsmasse og gravitasjonsmasse er likeverdige i en enestående grad av nøyaktighet fører til identiteten der gravitasjonsfeltstyrke er identisk med den akselerasjon som oppleves av en partikkel. Dette er utgangspunktet for ekvivalensprinsippet, som fører til generell relativitet.

Fordi tyngdekraften **F** er konservativt kan gravitasjonsfeltet **g** bli skrevet som gradienten av en skalar funksjon kalt gravitasjonspotensial Φ(**r**),

:\mathbf{g}(\mathbf{r}) = -\nabla \Phi(\mathbf{r}).

### Elektromagnetisme

Michael Faraday innså først betydningen av et felt som en fysisk størrelse under sine undersøkelser av magnetisme. Han innså at elektriske og magnetiske felter ikke bare er felter av krefter som styrer bevegelsen av partikler, men også har en selvstendig fysisk virkelighet fordi de bærer energi.

Disse ideene førte til slutt til opprettelsen av den første enhetlig feltteori i fysikken med innføringen av likningene for elektromagnetiske felter av James Clerk Maxwell. Den moderne versjonen av disse ligningene kalles Maxwells ligninger.

#### Elektrostatikk
En ladet testpartikkel med ladning *q* opplever en kraft **F** utelukkende på grunn av sin ladning.  På samme måte kan en beskrive et elektrisk felt **E** slik at . Ved bruk av dette og Coulombs lov kan det elektriske felt som en enkelt ladet partikkel er omgitt av skrives:

:\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{\mathbf{r}}.

Det elektriske felt er konservativ, og følgelig kan det beskrives som en skalar potensialfunksjon, *V* (**r**):

: \mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\nabla V(\mathbf{r}).

#### Magnetostatikk

En jevn strøm *I* som strømmer langs en bane *ℓ* vil utøve en kraft på nærliggende bevegelige ladede partikler som er kvantitativt forskjellig fra den elektriske feltstyrken som er beskrevet ovenfor. Kraften som utøves av *I* på en nærliggende ladning *q* med hastighet **v** er:

:\mathbf{F}(\mathbf{r}) = q\mathbf{v} \times \mathbf{B}(\mathbf{r}),

hvor **B** (**r**) er magnetfeltet som bestemmes ut fra *I* fra Biot-Savarts lov:

:\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \frac{d\boldsymbol{\ell} \times d\hat{\mathbf{r}}}{r^2}.

Det magnetiske feltet er ikke generelt konservativ, og kan følgelig vanligvis ikke være skrevet i form av et skalart potensial. Men det kan være skrevet i form av et magnetisk vektorpotensial, **A**(**r**):

: \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}(\mathbf{r}) 

#### Elektrodynamikk

I nærvær av både en ladningstetthet *ρ*(**r**,*t*) og en strømtetthet **J** (**r**,*t*), vil det generelt være både et elektrisk- og et magnetisk felt, der begge feltene vil variere i tid *t* og rom **r**. De er bestemt av Maxwells ligninger, et sett av differensialligninger som direkte relaterer **E** og **B** til *ρ* og **J**.

Alternativt kan systemet beskrive i form av sine skalar- og vektorpotensialer *V* og **A**. Et sett med integrallikninger kjent som *[[retarderte potensial]]er* tillater å beregne *V* og **A** ut fra *ρ* og **J** og derfra kan de elektriske og magnetiske feltene bestemmes via relasjonene:

: \mathbf{E} = -\boldsymbol{\nabla} V - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}
: \mathbf{B} = \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}.

Ved slutten av 1800-tallet ble det elektromagnetiske feltet forstått som en samling av to vektorfelt i rommet. I dag erkjennes dette som et *enkelt antisymmetrisk andrerangs tensorfeltet i rom og tid*.

### Gravitasjon i generell relativitetsteori

Einsteins gravitasjonsteori, som er beskrevet i den generelle relativitetsteorien, er et annet eksempel på en feltteori. Her er hovedfeltet en metrisk tensor, et symmetrisk andrerangs tensorfeltet i tid og rom. Dette erstatter Newtons gravitasjonslov.

### Bølger som felt
Bølger kan oppfattes som et felt på grunn av deres endelig forplantningshastighet og kausale natur når en forenklet fysisk modell av et isolert lukket system skal beskrives. Som felter er også bølger underlagt den inverse kvadratlov.

For elektromagnetiske bølger er optisk felter, og begreper som fjernt- og nærfelt danner grenser for diffraksjon. I praksis er allikevel feltteorier innenfor optikk avløst av den elektromagnetiske feltteorien til Maxwell.

## Kvantefelt

Innenfor rammene av moderne kvantefeltteori og uten å referere til noen test partikkel, kjennetegnes et felt ved at det opptar plass, inneholder energi, og ved sin tilstedeværelse eliminerer et felt eksistensen av ekte vakuum. Dette førte fysikere til å vurdere om Elektromagnetisk felter er en fysisk enhet, noe som gjør feltetkonseptet til et støttende paradigme for et byggverk for moderne fysikk. «Det faktum at det elektromagnetiske felt kan ha moment og energi gjør det meget ekte... en partikkel har et felt, og et felt som virker på en annen partikkel, og det felt har slike kjente egenskaper som energiinnhold og bevegelsesmengde, slik som partikler har».

I praksis er styrken i de fleste felt funnet til å avta med avstanden fra kilden, helt til det til slutt er umulig å oppdage. For eksempel styrken til mange relevante klassiske felt, for eksempel gravitasjonsfeltet i Newtons gravitasjonsteori eller elektrostatiske feltet i klassisk elektromagnetisme, som er omvendt proporsjonalt med kvadratet av avstand fra kilden, hvilket vil si at de følger Gauss' lov. En konsekvens er at jordens gravitasjonsfelt raskt blir umulig å oppdage på kosmiske avstander.

Det er nå antatt at kvantemekanikk ligger til grunn for alle fysiske fenomener. Dermed kan den klassisk feltteorien, i hvert fall i prinsippet, bli omformet i kvantemekaniske termer som gir kvantefeltteori. For eksempel vil kvantisering av klassisk elektrodynamik gi kvanteelektrodynamikk. Kvanteelektrodynamikk er den mest vellykkede vitenskapelig teori. Dette fordi eksperimentelle data bekrefter prediksjonene til et høyere nivå av nøyaktighet og presisjon (gir resultater med flere signifikante siffer) enn noen annen teori. De to andre grunnleggende teoriene er  kvantekromodynamikk og elektrosvak vekselvirkning.

I kvantekromodynamikk blir fargefeltlinjer kombinert med korte avstander med gluoner, som er polarisert av feltet og står på linje med det. Denne effekten øker innenfor korte avstander, på rundt én fm vekk fra kvarkene, noe som gjør at fargekraften øker innen kort avstand, confinementerer kvarker innenfor hadronene. Ettersom feltlinjene er trukket tett sammen med gluoner, har de ikke «bøy» utover i så stor grad som et elektrisk felt mellom elektriske ladninger.

Disse tre kvantefeltteoriene kan alle utledes som spesialtilfeller av den såkalte standardmodellen fra partikkelfysikken. Generell relativitet, beskrevet av Einsteins feltteori for tyngdekrafta, har ennå ikke lykkes å bli kvantifisert. Men en forlengelse er termisk feltteori som dreier seg om en kvantefeltteori innenfor *begrensede temperaturer*, noe som sjelden vurderes i kvantefeltteori.

I BRST-kvantisering ser en på odde-felt, for eksempel Faddeev–Popov-spøkelseer. Det er ulike beskrivelser av odde klassiske felt både på graderte mangfoldigheterer og supermangfoldigheter.

Som ovenfor med klassiske felt, er det mulig å nærme seg kvantemotsetningene fra et rent matematisk ståsted med lignende teknikker som før. Likningene som styrer kvantefeltene er faktisk partielle differensialligninger, eller i disse spesielle tilfellene relativistiske bølgelikninger. Dermed kan en tale om Yang–Mills-, Dirac-, Klein–Gordon- og Schrödinger felter som løsninger til deres respektive likninger. Et mulig problem er at disse relativistiske bølgelikningene kan håndtere kompliserte matematiske objekter med eksotiske algebraiske egenskaper (for eksempel er spinorer ikke tensorer, så det kan være nødvendig med en egen kalkulus for spinor felter), men disse kan i teorien fortsatt bli utsatt for analysemetoder gitt passende matematisk generalisering.

## Feltteori
Feltteori refererer vanligvis til en betraktningsmåte for dynamikken i et felt, det vil si en presisering av hvordan et felt endres over tid eller i forhold til andre uavhengige fysiske variabler som feltet er avhengig av. Vanligvis er dette gjort med en Lagrange- eller en Hamilton-beskrivelse av feltet, der det behandles med klassisk mekanikk (eller kvantemekanikk) for et system med et uendelig antall frihetsgrader. De resulterende feltteorier er referert til som klassiske- eller kvantefeltteorier.

Dynamikken i et klassisk felt er vanligvis angitt med en Lagrange-tetthet i form av feltkomponenter der dynamikken kan beskrives ved hjelp av virkningsprinsippet.

Det er mulig å konstruere enkle felt uten forutgående kunnskap om fysikken ved hjelp av bare matematikk fra flervariabelanalyse, potensielle teori og partielle differensialligninger. For eksempel kan skalare partielle differensialligninger brukes til å vurdere størrelser som feltets amplitude, tetthet og trykk for bølgeligningen og fluid dynamikk, temperatur-/konsentrasjonsfelt for varme-/diffusjonslikningen. Alle disse er eksempler på skalarfelt. Tilsvarende for vektorer, det brukes partielle differensialligninger med vektorer for forskyvning, hastighet og virvelfelt i anvendt matematisk fluiddynamikk, men vektorregning kan nå være nødvendig og i tillegg være kalkulus for vektorfelt. Mer generelle problemer i kontinuumsmekanikk kan innebære for eksempel retningsavhengig elastisitet, som kommer fra begrepet *tensor*, avledet fra latinske ordet for strekk, komplekse væskestrømmer eller anisotropisk diffusjon, som er innrammet som partielle differensialligning med matrisetensor, og deretter kreve matriser eller tensorfelt, derav matrise eller tensorkalkulus. Det bemerkes at skalarene, og dermed vektorer, matriser og tensorer, kan være reelle eller komplekse som begge er felter i abstrakt-algebraiske/ring-teoretisk betydning.

I en generell setting er klassiske felt beskrevet av deler av fiberbunter og deres dynamikk  formulert i form av jetmanifolder. (Covariant klassisk feltteori).

I moderne fysikk er de mest studerte områdene de som modellere de fire fundamentalkreftene som en dag kan føre til en enhetlig feltetteori.

### Symmetrier av felt
En praktisk måte å klassifisere et felt (klassisk- eller kvantefysikk) er ved symmetrier som de besitter. Fysiske symmetrier er vanligvis av to typer:

#### Symmetrier i tid og rom
Felter er ofte klassifisert etter sin oppførsel etter transformasjoner i rom og tid. Begrepene som brukes i denne klassifiseringen er:
* Skalarfelter, for eksempel temperatur, hvis verdier er gitt ved en enkelt variabel på hvert punkt i rommet. Denne verdien endres ikke under transformasjoner av rommet.
* Vektorfelteter, slik som størrelsen og retningen av krefter på et hvert punkt i et magnetfelt, som er spesifisert ved å sette en vektor til hvert punkt av rommet. Komponentene i denne vektoren omformer seg selv mellom kontravarians under rotasjoner i rommet. På samme måte festes et dobbelt (eller ko-) vektorfelt til en dobbel vektor for hvert punkt i rommet, og komponentene i hver dobbelvektor omformer kontravarierende.
* Tensorfelter, for eksempel spenningstensoren i et krystall, som er angitt av en tensor på hvert punkt i rommet. Under rotasjoner i rommet, vil komponentene til tensoren transformeres i en mer generell måte som avhenger av antallet av kovariante- og kontravariante indekser.
* Spinorfelter, som for eksempel Dirac-spinoren, som brukes i kvantefeltteori for å beskrive partikler med spinn som omformes til vektorer med unntak av én av deres komponenter. Altså  når et vektorfelt roterer 360° rundt en bestemt akse, blir vektorfeltet til seg selv, imidlertid blir spinorer i noen tilfeller til sine egne negativer.

#### Interne symmetrier
Felt kan ha interne symmetrier i tillegg til rom- og tidssymmetrier. For eksempel vil det i mange situasjoner være nødvendig med felter som er en liste over rom-tid skalarer: (φ1, φ 2 , ... φ*N*). I et værvarsel kan disse være temperatur, trykk, fuktighet, etcetra. I partikkelfysikk vil fargesymmetri for interaksjonen av kvarker være et eksempel på en intern symmetrien i sterk kjernekraft, som er isospin eller smakssymmetri.

Hvis det er symmetri i et problemet som ikke involverer tid og rom, hvorunder at disse komponentene transformere inn i hverandre, så er dette settet med symmetrier en *indre symmetri*. Man kan også lage en klassifisering av ladningene i feltene under interne symmetrier.

### Statistiske feltteori
Statistiske feltteori forsøker å forlenge feltets teoretisk paradigme mot multilegeme systemer og statistisk mekanikk. Som ovenfor kan den bli tilnærmet av det vanlige uendelige antallet frihetsgraderargumenter.

Mye som statistisk mekanikk har noe overlapp mellom kvante- og klassisk mekanikk, har statistisk feltteori lenker til både kvante- og klassiske feltteorier, spesielt førstnevnte som den deler mange metoder med. Et viktig eksempel er gjennomsnittlig feltteori.

### Kontinuerlige tilfeldige felt
Klassiske felt som beskrevet ovenfor, for eksempel elektromagnetiske feltet, er vanligvis beskrevet med uendelig deriverbare funksjoner, eller de er i alle fall nesten alltid to ganger differensierbare. I motsetning er generaliserte funksjoner ikke sammenhengende. Når en arbeider nøye med klassiske felt ved endelig temperatur, blir de matematiske metoder for kontinuerlige tilfeldige felt brukt, fordi termisk varierende klassiske felt ikke er deriverbar noe steder. Tilfeldige felter er indeksert sett av stokastisk variabele, et kontinuerlig tilfeldig felt er et vilkårlig felt som har et sett av funksjoner som sitt indeks-sett. Særlig er det ofte praktisk rent matematisk å sette et kontinuerlig tilfeldig felt til å ha et Schwartzrom av funksjoner som sin indeks-sett, i hvilket tilfelle den kontinuerlige vilkårlige feltet er en varmefordeling.

En kan tenke på en kontinuerlig stokastisk felt, som på en sterkt forenklet måte, er en vanlig funksjon som er \pm\infty (uendelig) nesten overalt, men slik at når en tar et vektet gjennomsnitt av alle uendeligheter over et endelig område fås et endelig resultat. Uendelighetene ikke er godt definert, men de endelige verdiene kan være forbundet med funksjoner som benyttes som vektfunksjonene for å få de endelige verdier, og som kan være veldefinerte. En kan definere en kontinuerlig stokastisk felt godt nok som en lineær transformasjon fra et rom av funksjoner av reelt tall.

## Se også
* Optikk
* Fluks

## Noter


## Referanser


## Litteratur
* 
* Landau, Lev D. and Lifshitz, Evgeny M. (1971). *Classical Theory of Fields* (3rd ed.). London: Pergamon. ISBN 0-08-016019-0. Vol. 2 of the Course of Theoretical Physics.
* 
*

## Eksterne lenker
* Enkel fremstilling av kvantefeltteori
* Enkel tekst om kvantefeltteori