Basis (matematikk)

En **basis** for et rom i matematikk er en mengde objekter som kan brukes til å generere alle objekter i rommet.  Måten objektene genereres på fra objekter i basisen vil avhenge av strukturen i rommet, det vil si hvilke regler som gjelder for å kombinere objekter og på den måten danne nye objekter.

En basis er *komplett* i den forstand at alle objekter i rommet kan genereres ut fra basisen.  En basis er også *minimal* i den forstand at den er en minste mengde som trengs for å generere alle andre objekter i rommet.  Et objekt i basisen kan ikke genereres fra de andre objektene i basisen.

Et eksempel på en basis finner en i bruken av de tre primærfargene rød, grønn, blå i RGB-fargemodellen. I denne fargemodellen kombineres primærfargene ved additiv fargesyntese til å beskrive andre farger i fargespekteret.  Alle tre primærfargene er nødvendige for å kunne generere hele fargespekteret.  En basisfarge som rød kan ikke beskrives ved hjelp av de to andre fargene grønn og blå.

En basis for et vektorrom er grunnlaget for definisjonen av dimensjon og koordinater.  Ulike basis-definisjoner inngår i mange deler av matematikk, for eksempel i algebra, i funksjonalanalyse, i geometri og i topologi.
 
## Algebraisk basis
La V være et vektorrom over en kropp \mathbb{K}. En endelig mengde av vektorer \{ v_1, \ldots, v_n \} kalles *lineært uavhengig* dersom ligningen 

\alpha_1 v_1 + \cdots \alpha_n v_n = 0

kun har den trivielle løsningen \alpha_1 = \cdots \alpha_n = 0. En mengde S \subseteq V kalles lineært uavhengig hvis hver endelige delmengde av S er lineært uavhengig. En mengde B \subseteq V kalles *basis* for V hvis B er lineært uavhengig og 

\text{span} \, B = \left\{ \sum_{j=1}^n \alpha_j v_j : \alpha_1, \ldots, a_n \in \mathbb{K}, v_1, \ldots, v_n \in B \right\} = V.

Man bruker innimellom uttrykkene *algebraisk basis* eller *Hamel-basis* for å skille en slik basis fra andre basisbegreper, eksempelvis en Schauder-basis (se nedenfor). Det følger av Zorns lemma at alle vektorrom har en basis. Man kan også vise at alle basiser for et gitt vektorrom har samme kardinalitet. Man kan derfor definere *dimensjonen* til V til å være kardinaliteten til en basis for rommet. Eksempelvis er \{(1,0), (0,1)\}  en basis for \mathbb{R}^2 , mens \{ (1,1), (0,2), (3,0) \}  ikke er en basis for \mathbb{R}^2  da den ikke er lineært uavhengig. 

Mer generelt kan man for en modul M  over en ring R  definere en basis for M  over R  som ovenfor. I motsetning til et vektorrom behøver ikke en modul over en ring nødvendigvis ha noen basis. En modul som har en basis kalles *fri.* 

## Schauder-basis for et Banach-rom
En Schauder-basis for et Banach-rom V  er en tellbar mengde vektorer \{v_n\}_{n=1}^\infty  med egenskapen at for enhver vektor v \in V  eksisterer det en følge (\beta_n)_{n=1}^\infty  av skalarer slik at

:\lim_{n \to \infty} \lVert v - \sum_{i=1}^n \beta_i v_i \rVert = 0 

Ikke alle Banach-rom har en Schauderbasis. En Schauder-basis vil ofte være mer velegnet enn en algebraisk basis for analyse av et uendeligdimensjonalt vektorrom. Dette kommer av at Hamel-basiser for uendeligdimensjonale Banach-rom minst har kardinaliteten til kontinuumet, og således er vanskelige å arbeide med i praksis. Den polske matematikeren Juliusz Schauder arbeidet med funksjonalanalyse og har fått navnet sitt knyttet til denne basisklassen. 

## Ortonormal basis i indreproduktrom
I indreproduktrom spiller *ortonormale* basiser en spesiell rolle. En mengde S  av vektorer i et indreproduktrom (V, \langle \cdot, \cdot \rangle)  kalles *ortonormal* dersom

:\langle u, v \rangle = \begin{cases} 
1, \quad \text{hvis } u = v, \\
0, \quad \text{ellers.} 
\end{cases} 

En basis som er ortonormal, kalles en *ortonormal basis*. 

Mange ortonormerte basiser har fått egne navn, spesielt knyttet til vektorrom av polynom:

* Chebyshev-polynom, oppkalt etter Pafnuty Chebyshev 
* Hermitske polynom, oppkalt etter Charles Hermite 
* Jacobi-polynom, oppkalt etter Carl Gustav Jacob Jacobi
* Laguerre-polynom, oppkalt etter Edmond Laguerre
* Legendre-polynom, oppkalt etter Adrien-Marie Legendre

## Basis i en topologi
En basis i en topologi er et sett av åpne mengder slik at en hver annen åpen mengde i topologien kan uttrykkes som en union av mengdene i basisen.  Basen er sagt å generere topologien.  En og samme topoplogi kan ha flere alternative basiser.

## Referanser




## Litteratur

*

*

*

*