Kvadratrise

**Kvadratrise** er en matematisk kurve som opprinnelig ble konstruert i antikkens Hellas for å løse problemet med vinkelens tredeling. Dette tilskrives Hippias fra Elis slik at den opprinnelig ble kalt **trisektrisen til Hippias**. Noe senere ble det vist at den kunne også løse problemet med sirkelens kvadratur, det vil si å konstruere et kvadrat med samme areal som innenfor en sirkel. Det var denne anvendelsen som ga kurven navnet **kvadratrise**. Etter linjen og sirkelen var dette den tredje kurven som fikk sitt eget navn.

Kurven fremkommer ved å betrakte to linjestykker i planet. Det ene roterer med jevn hastighet om et fast punkt *A*, mens det andre beveger seg med konstant hastighet parallelt til et annet linjestykke *AB* og vinkelrett på dette. Skjæringspunktet *F* mellom disse to linjestykkende genererer kvadratrisen  når begge linjestykkende når den horisontale posisjonen samtidig. Det roterende linjestykket beskriver en kvart sirkelbue *DB* etter at det har rotert 90&deg; fra utgangspunktet.

## Matematisk beskrivelse

For en matematisk beskrivelse av kvadratrisen er det enklest å tenke seg at den fremkommer ved den motsatte bevegelsen hvor de begge beveger seg fra en horisontal utgangsposisjon. Det roterende linjestykket vil da i hvert tidspunkt *t* danne en vinkel *&phi; = &omega;t* med den horisontale aksen hvor *&omega;* er den konstante rotasjonshastigheten. Punktet *F* vil samtidig ha beveget seg et stykke *y = vt* i vertikal retning når begge bevegelsene starter ved tiden 

Etter en viss tid *T* er rotasjonen på 90&deg; fullført. Da dette tilsvarer *&pi;/2* radianer, må derfor vinkelhastigheten være slik at  Den parallelle bevegelsen av linjestykket *AB* må da være slik at ved samme tidspunkt *T* har det tilbakelagt en strekning  hvor *a* er lengden av sidene   Det betyr at  slik at kvadratrisen er gitt ved den matematiske betingelsen

:  {y\over a} = {2\over\pi}\phi 

som alltid må være oppfylt. En fullstendig ligning for kurven avhenger av hvilke koordinater man vil benytte.

Ved bruk av polarkoordinater innfører man avstanden *r* = |*AF*&thinsp;| som en ny koordinat. Da er . Dermed kan ligningen for kvadratrisen i koordinatsystemet *(r,&phi;)* skrives som

:  {r\over a} = {2\over\pi}{\phi\over\sin\phi} 

Når helningsvinkelen *&phi; &rarr; 0*, vil sin*&phi; &rarr; &phi;* slik punktet *F* blir liggende på den horisontale aksen i en avstand  fra *A*. Denne ligningen er nå gyldig for  I grensen  vil punktet *F&thinsp;* bevege seg uendelig langt ut til venstre i diagrammet.

Hvis man i stedet benytter et kartesisk koordinatsystem *(x,y)* med *x*-aksen langs *AB*, origo i det faste punktet *A* og med *y*-aksen langs *AD*, vil man ha at  i tillegg til at . Derfor er  som etter innsettelse for *&phi;* gir den kartesiske ligningen for kurven,

:   x = y\cot{\pi y\over 2a} \, .

Når *y* øker, går *x* mot null for *y = a*. For større verdier av *y* blir *x* stadig mer negativ og går mot minus uendelig når  Det tilsvarer at *y* går mot grensen 

På denne formen kan kurveligningen nå også plottes for *y > 2a*. Man finner da en ny gren av funksjonen når *y* øker i intervallet  mens *x* avtar fra positiv uendelig til minus uendelig. Slik vil kvadratrisen i kartesiske koordinater fremstå som en kurve bestående av uendelig, ikke-sammenhengende grener som vist i figuren til venstre.

## Sirkelens kvadratur

Den greske filosof Proklos skriver at det var Hippias fra Elis som konstruerte denne kurven for å løse problemet med vinkelens tredeling. Noe senere gjorde en annen, gresk matematiker Dinostratos bruk av den til å løse problemet med sirkelens kvadratur. Han var bror til Menaikhmos og begge hadde vært elever av Platon. Siden den tid er kurven blitt omtalt som **kvadratrisen**.

Sirkelens kvadratur går ut på å bestemme siden i et kvadrat som har like stort areal som innenfor en sirkel. I moderne notasjon betyr det å bestemme verdien på konstanten ''&pi;'' eller mer nøyaktig, bestemme &radic;&pi;&thinsp;. Løsningen til Hippias tilsvarer den geometriske konstruksjonen vist i figuren til høyre. Hvis man setter lengden til siden *AB* lik med  vil lengden *AJ* være lik &thinsp; ut fra hvordan kvadratrisen er definert. Det gir i praksis allerede verdien på *&pi;*&thinsp;.

En mer eksplisitt verdi fås ved å trekke et linjestykke *JK* med lengde  parallelt til siden *BC* og dens forlengelse. Skjæringspunktet *L* med denne og forlengelsen av *AK* gir da linjestykket *BL* med lengde *&pi;/2*. Dette linjestykket sammen med et av lengde *1/2* brukes så som diameter *NQ* i en halvsirkel. Normalen *OR* på denne diameteren vil dermed bli *mellomproporsjonalen* eller den geometriske middelverdien av lengdene *NO* og *OQ*. Og det er *&radic;&pi;/2* som inneholder løsningen på problemet.

## Litteratur
* A. Holme, *Matematikkens historie, vol. 1*, Fagbokforlaget, Bergen (2002). ISBN 82-7674-678-0.
* C. B. Boyer, *A History of Mathematics*, Princeton University Press, New Jersey (1985). ISBN 0-691-02391-3.

## Eksterne lenker
* E.W. Weisstein, Quadratrix of Hippias, MathWorld.
* MacTutor, Quadratrix of Hippias, University of St. Andrews, Scotland.