Norm (matematikk)

En **norm** er i matematikk  en funksjon som tilordner en lengde til enhver vektor i et vektorrom.  Lengden er en reell skalar og vil være positiv for alle vektorer, bortsett fra for nullvektoren, som har lengde lik null.  

Et vektorrom der det er definert en norm kalles et normert vektorrom. Et gitt vektorrom kan være utgangspunkt for en rekke forskjellige normerte rom, alt etter hvilken norm som defineres i rommet.  
Normen definerer også en metrikk i rommet, et mål for avstanden mellom to vektorer. Metrikken vil også definere en topologisk struktur i rommet.
To normer sies å være ekvivalente dersom de fører til samme topologi.  

## Definisjon
La V være et vektorrom over en kropp K, der K er enten \mathbb{R} eller \mathbb{C}. En *norm* på V er en funksjon \lVert \cdot \rVert : V \to [0, \infty) slik at

:# \lVert x \rVert \geq 0  for alle x \in V med likhet hvis og bare hvis x = 0;
:# \lVert \alpha x \rVert = | \alpha | \lVert x \rVert  for alle \alpha \in K og alle x \in V; 
:# \lVert x + y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert  for alle x, y \in V. 

Den siste ulikheten kalles *trekantulikheten*.

En *seminorm* eller *pseudonorm* oppfyller de to siste vilkårene, men en svakere form for det første vilkåret, ved at «hvis og bare hvis» erstattes av «hvis».

## Egenskaper

### Metrikk

Fra normen kan en naturlig definere et avstandsmål mellom to vektorer, en metrikk, ved

:d(x,y) = \lVert x - y \rVert .

En metrikk vil alltid definere en topologi i rommet. Fra metrikkdefinisjonen følger det at

:d(x,0) = \lVert x \rVert ,

det vil si at normen til en vektor er lik avstanden mellom vektoren og null-vektoren.  

### Den omvendte trekantulikheten
En vilkårlig norm vil alltid oppfylle relasjonen

:\|x-y\| \ge | \; \|x\| - \|y\|\; | \, ,

som kalles *den omvendte trekantulikheten.* 

### Ekvivalente normer
To normer || ||1 og || ||2 definert i samme vektorrom sies å være ekvivalente dersom det eksisterer konstanter *m* og *M* slik at

:m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2 \, 

Ekvivalente normer fører til samme topologi, og to normerte rom med same topologi har ekvivalente normer. Ekvivalente normer kan i mange tilfeller erstatte hverandre, men ikke alltid: To ekvivalente normer vil gi opphav til to ulike metrikker.  

For endelig-dimensjonale rom er alle normer ekvivalente.
Egenskaper som kontinuitet og konvergens kan derfor undersøkes med en vilkårlig norm.
I uendelig-dimensjonale rom gjelder generelt ikke denne sammenhengen.

### Konveksitet

Fra trekantulikheten følger det direkte at normen er en konveks funksjon, det vil si at

:\lVert \lambda x + (1 - \lambda ) y \rVert \le \lambda \lVert x \rVert + (1-\lambda) \lVert y \rVert \qquad 0 .

## Norm for tallmengder

For vektorrommet definert ved tallmengden \mathbb{R} av reelle tall kan en definere en norm fra absoluttverdien:

:\Vert x \rVert = | x | \qquad x \in \mathbb{R}

Den samme definisjonen gjelder også for vektorrommet av komplekse tall \mathbb{C}.

## Euklidsk norm
En velkjent norm for vektorrommene \mathbb{R}^2 og \mathbb{R}^3 er den euklidske normen.  Definisjonen av denne normen samsvarer med det man normalt vil forbinde med lengden av en vektor eller et linjestykke.  

For en vektor v = (x, y) i planet \mathbb{R}^2 er den euklidske normen definert ved

:\|v\| = \sqrt{x^2 + y^2}.

For en vektor v = (x, y, z) i det tre-dimensjonale rommet \mathbb{R}^3 er den euklidske normen definert ved

:\|v\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.

Også i et rom av høyere dimensjon \mathbb{R}^n kan en definere en euklidsk norm tilsvarende. Navnet euklidsk norm brukes også i et rom E^n som er isomorft med \mathbb{R}^n
og der normen er isometrisk med den euklidske normen i  \mathbb{R}^n.

## Normer i koordinatrom

For vektorrommet \mathbb{R}^n, der n er et vilkårlig positivt heltall, vil en vektor kunne skrives på forma

: x = (x_1, x_2, ....., x_n)  \, , 

der x_i er koordinatene i rommet.  For et slikt koordinatrom kan en definere en familie av normer kalt *p-normer* eller også *Hölder-normer*:

: \|x\|_p = \left ( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right )^{1 \over p}   \qquad  p \ge 1 .

Den euklidske normen er identisk med 2-normen.  Den følgende normen regnes som et spesialtilfelle i familien, ved å la p gå mot uendelig:

: \|x\|_\infty = \max\{x_i\,|\,1\leq i\leq k\}

Figuren til høyre viser området i \mathbb{R}^2 definert av enhetssirkelen \|x\|_p = 1 for ulike verdier av p. 

Trekantulikheten for disse normene er et spesialtilfelle av Minkowskis ulikhet:

:\left( \sum_{i=1}^k |x_i + y_i|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{i=1}^k |x_i|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{i=1}^k |y_i|^p \right)^{1/p}

## Normer i funksjonsrom
Vektorrommet av funksjoner f(t) definert på intervallet mellom 0 og 1, og med egenskapen 

:\int_0^1 | f(t) |^p dt 

kan utstyres med normen

:\| f(t) \|_p = \left [ \int_0^1 | f(t) |^p dt \right ]^{1/p} 

Det normerte rommet betegnes ofte med L_p[0,1].

I et rom av funksjoner som er n ganger kontinuerlig deriverbare i intervallet mellom 0 og 1, kan en definere normen

:\lVert f \rVert = \max \sum_{k=0}^n \left \vert {d^k f \over {dt^k}} \right \vert .

Det normert vektorrommet betegnes \mathcal{C}^{[n]} \lbrack 0, 1 \rbrack.

## Normer for følger

For en følge x = \lbrace x_n \rbrace som oppfyller vilkåret at

:\sum_{n=1}^\infty |x_n|^p ,

kan en definere familien av normer

:\lVert x \rVert = \left ( \sum_{n=1}^\infty |x_n|^p \right )^{1 \over p} \qquad 1 \le p .

I et rom av begrensede følger kan en definere normen

:\lVert x \rVert_\infty = \sup_n \left ( |x_n| \right) . 

## Operatornormen
En lineær transformasjon T : V \to W mellom normerte vektorrom sies å være *begrenset* dersom det eksistere en konstant K slik at

:\|Tv\| \le K \|v\|  \quad \text{for alle } v \in V. 
 
Den minste mulige slike K  kalles *operatornormen* eller *sup-normen* til T. Definisjonen kan også uttrykkes ved

:\|T\| = \sup_{v \ne 0} \frac{\| Tv\| }{\|v\|}  = \sup_{\|v\| = 1} \| Tv\|  . 

## Matrisenormer
Siden en matrise A = \lbrack a_{ij} \rbrack_{mn} representerer en lineær transformasjon mellom endelig-dimensjonale rom, gjelder definisjonen av en norm for generelle lineære transformasjoner også for en matrise.  Basert på denne generelle definisjonen kan en lage en rekke ulike normer for matriser, og noen av disse opptrer under flere alternative navn.  Et velkjent eksempel er 2-normen, også kalt euklidsk norm, Froebenius-norm,  Hilbert-Schmidt-norm og Schur-norm:

:\|A\|_2 = \sqrt{tr(A^H A)} \, 

Her er A^H den konjungert transponerte matrisen til en kompleks matrise A, den vanlige transponerte metrisen for en reell matrise. Navnet euklidsk norm kan forklares med at rommet av (m \times n)-matriser er isomorrft
med \mathbb{R}^{mn}.

Maksimumsnormen for matriser er

:\lVert A \rVert_\infty = \max_{ij} ( |a_{ij}|) 

Rekkesumnormen er 

:\lVert A \rVert = \max_i \left ( \sum_j |a_{ij}| \right )  

Kolonnesum-normen defineres tilsvarende, ved å bytte indeksene i og j.

For en matrise er operatornormen lik spektralnormen, også kalt maksimum singulærverdi-normen:

:\lVert A \rVert = \sigma_{max} = \max (\sqrt{\lambda}) .

Her er \sigma_{max} den største singulærverdien, og \lambda er en egenverdi til matrisen (A^H A) .

Siden alle matrisenormer er ekvivalente kan en i praktiske anvendelser ofte velge den normen som er enklest og billigst å beregne.  

## Norm i indreproduktrom

I et indreproduktrom kan en naturlig definere en norm fra indreproduktet:

:\|x\| = \langle x,x \rangle^{1/2} \, . 

Det euklidske rommet er utstyrt med en euklidsk norm, avledet fra et indreprodukt.

### Hølders ulikhet

I et endelig-diensjonalt indreproduktrom med indreproduktet

:
\begin{alignat}{2}
x &= (x_1, x_2, \ldots, x_n) \\
y &= (y_1, y_2, \ldots, y_n) \\ [5pt]
\langle x, y \rangle &= \sum_i |x_i y_i|
\end{alignat}


gjelder *Hôlders ulikhet* for p-normene:

:\langle x, y \rangle \le \lVert x \rVert_p \lVert y \rVert_q \qquad {1 \over p} + {1 \over q} = 1.

Spesialtilfellet p = q = 2 kalles Schwarz' ulikhet eller Cauchy–Schwarz’ ulikhet. Hôlders ulikhet kan generaliseres til uendelig-dimensjonale rom.  

### Energinorm
Dersom T er en symmetrisk, positivt definit transformasjon T: V \to V, så er en *energinorm* i V definert ved

:\lVert x \rVert = \langle Tx,x \rangle^{1/2} \, . 

Transformasjonen er symmetrisk dersom

: \langle Tx,y \rangle =  \langle x,Ty \rangle \qquad x,y \in V.

Transformasjonen er positivt definit når

: \langle Tx,x \rangle > 0 \qquad x \in V \backslash \lbrace 0 \rbrace .

Navnet energinorm har opphav i bruk i studier av elastiske strukturer, der  \langle Tx,x \rangle representerer en energifunksjon.    

## Norm i produktrom
For et produktrom V \times W vil alle de følgende funksjonene være normer:

:
\begin{alignat}{2}
\lVert (v,w) \rVert &= \lVert v \rVert_V + \lVert w \rVert_W \\[5pt]
\lVert (v,w) \rVert &= ( \lVert v \rVert_V^p + \lVert w \rVert_W^p )^{1 \over p} \\[5pt]
\lVert (v,w) \rVert &= max ( \lVert v \rVert_V, \lVert w \rVert_W ) 
\end{alignat}


## Referanser



## Litteratur

*

*