Aberrasjon (astronomi)

**Aberrasjon** av lys er i astronomien er en tilsynelatende egenbevegelse av en stjerne eller et annet himmellegeme. Dette skyldes Jordens bevegelse og at lyshastigheten har en endelig verdi. Effekten arter seg ved at den tilsynelatende posisjonen til en stjerne varierer periodisk rundt den sanne posisjonen. 
Hvis lyskilden befinner seg rett over observatøren som beveger seg med hastigheten *v*, vil den i enkleste tilnærmelse se ut til å befinne seg en vinkel *&alpha;* fra vertikalen der

:  \tan\alpha = {v\over c} 

og *c* er lyshastigheten når denne antas å være mye større enn *v*. Effekten er analog til den praktiske erfaringen man har med å holde en paraply litt på skrå når man går gjennom loddrett fallende regn.

Størst aberrasjon er forårsaket av Jordens bevegelse rundt Solen. Denne årlige variasjonen er omtrent 20 buesekunder og ble oppdaget  i 1727 av  James Bradley som på den tiden var den tredje Astronomer Royal. Han kunne også forklare effekten basert på Newtons beskrivelse av lys som en strøm av små partikler eller «korpuskler». Basert på de observerte verdiene av aberrasjonen kom han frem til en ny bestemmelse av lysets hastighet uavhengig av den tidligere fremgangsmåten til Ole Rømer basert på bevegelsen til Jupiters måner.

På begynnelsen av 1800-tallet ble det klart at lys måtte være bølgebevegelse i en eter som fylte hele verdensrommet. Men denne nye forståelsen gjorde samtidig forklaringen av aberrasjon mer komplisert. En endelig løsning av disse problemene kom ikke før i 1905 da Einstein la frem sin spesielle relativitetsteori. Det ble da klart at man ikke lenger behøver en eter for å forstå egenskapene til lys og dets utbredelse.

## Forklaringer

I Newtons verdensbilde ligger Solen og stjernene i ro i et «absolutt rom» hvor hans mekaniske lover gjelder. I dette referansesystemet sender stjernen ut lyspartikler som beveger seg med hastigheten *c&thinsp;* i en retning som danner vinkelen *&theta;&thinsp;* med planet som Jorden beveger seg i rundt Solen. Ved å benytte et kartesisk koordinatsystem med *x*-aksen i samme retning som Jorden beveger seg med hastighet *v*, kan partikkelens bevegelse beskrives. Når *y*-aksen velges normalt på baneplanet, vil den ha hastigheten  langs denne aksen og  langs *x*-aksen.

Hvis lyspartikkelen observeres i et nytt referansesystemet som beveger seg med Jorden og med akser i tilsvarende retninger, vil hastigheten i *y'&thinsp;*-retning være uforandret og derfor . Men i den horisontale retningen vil partikkelen få en hastighetskomponent  som er litt større da partikkelen i dette systemet synes å komme mot observatøren. Retningen til partikkelen er derfor i det bevegelige referansesystemet litt annerledes. Den kan angis med vinkelen *&phi;&thinsp;* som partikkelens hastighet danner med vertikalen og har størrelsen

:  \tan\phi = \frac{u'_y}{u'_x} = {u_y\over u_x - v} = {\sin\theta\over \cos\theta + v/c} 

Dette resultatet er basert på addisjon av hastigheter i newtonsk mekanikk. Lys er beskrevet som en strøm av partikler, og formelen har vist seg å være i full overenstemmelse med alle observasjoner. 

I det spesielle tilfellet at den sanne posisjonen til stjernen er rett over Jorden, er vinkelen *&theta;* = 90&deg; slik at  og . Dermed blir det observerte avviket gitt ved  Men nå er vinkelen  som betyr at  slik at man er tilbake til Bradleys uttrykk for aberrasjonen.

Fra Keplers lover for Jordens bevegelse rundt Solen finner man at den har en hastighet på 30&thinsp;km/s i sin bane som er en titusendel av lyshastigheten. For en stjerne som Polaris som ligger rett over oss, vil derfor aberrasjonen ha en størrelse *v*&thinsp;/*c* = 10-4 radian som er ganske nøyaktig 20 buesekunder. Den tilsynelatende posisjonen til denne stjernen vil da se ut til å varierer periodisk mellom +20" og -20" i løpet av et år. Det var akkurat det som Bradley kunne observere.

### Lysbølger i eteren

På begynnelsen av 1800-tallet viste Thomas Young at lys kunne gi opphav til interferens. Fenomenet kunne bare forklares hvis lys ikke var en strøm av små partikler, men en bølgebevegelse i et mekanisk medium eller eter som fylte verdensrommet. Dette var i overensstemmelse med hva Christian Huygens hadde argumentert for mer enn hundre år tidligere, men blitt forkastet av Newton da han mente at et slikt medium ville hindre planetene i deres bevegelse.

For å forstå aberrasjon i denne bølgeteorien for lys understreket Young at eteren måtte ligge uforstyrret i ro mens Jorden beveget seg fritt gjennom den. Mer poetisk formulerte han denne konklusjonen som at «eter beveger seg i all materie med liten eller ingen motstand, like lett kanskje som vinden suser gjennom en klynge trær.» Hvis eteren i motsatte tilfelle ble dratt med i Jordens bevegelse, ville det ikke oppstå noen aberrasjon og man ville ha *fullstendig eterdragning*.

Omtrent på samme tid påpekte François Arago at siden hastigheten til lyset fra en fiksstjerne ville variere litt med årstidene på Jorden på grunn av dennes bevegelse, ville derfor brytningsindeksen i det optiske instrumentet som ble benyttet i observasjonen, også variere. Et tilsvarende spørsmål ble om de vanlige lovene for refleksjon og refraksjon av dette lyset skulle gjelde for den tilsynelatende eller sanne retningen til stjernen. Arago gjorde slike undersøkelser over flere år og kunne ikke påvise noen effekt.

### Etervind
For å få en mulig forklaring av de forskjellige observasjonene, spurte Arago sin venn og kollega Augustin Fresnel som på den tiden var en overbevist tilhenger av en bølgeteori for lyset. Fresnel betraktet disse fenomene i hvilesystemet til Jorden.  Ifølge Young skulle her eteren opptre som en *etervind* og suse gjennom all materie med hastighet *v*. Hvis man der har et legeme med brytningsindeks *n*, ville derfor hastigheten til lyset være *c*&thinsp;/*n* - *v*&thinsp;  hvis det beveger seg mot etervinden. Men her påpekte Fresnel at hvis eteren bare ble delvis dratt med i en redusert hastighet *v*/*n*&thinsp;2, kunne alle spørsmålene til Arago besvares og observasjonene forklares. I forhold til Jorden er lyshastigheten i denne retningen nå istedet

:  c' = {c\over n} - {v\over n^2} 

Derfor blir den 

:  c_0 = c' + v = {c\over n} + v(1 - 1/n^2) 

i stjernens og eterens hvilesystem. Da vanlig luft har brytningsindeks *n* = 1 med god tilnærmelse, vil ikke denne eterdragningen til Fresnel forandre den vanlige forståelsen av aberrasjon utenfor teleskopet. Alle andre optiske fenomen skulle også nå kunne foregå som om Jorden ikke beveget seg relativt til eteren.

Ut fra denne argumentasjonen skulle også lys kunne blir dratt med av andre medier enn eter. Dette ble verifisert i 1851 i Fizeaus eksperiment hvor lysets hastighet i rennende vann ble målt og funnet i overensstemmelse med formelen til Fresnel.

Det ble snart klart at forklaringen til Fresnel også skapte nye problem. En viktig innvending var at lys med forskjellig bølgelengde vil ha forskjellig brytningsindeks i et materiale. Derfor måtte det eksistere en eter for hver bølgelengde, noe som var vanskelig å akseptere. I tillegg hadde Fresnel selv forklart dobbeltbrytning av lys ved at det består av transverse svingninger i en eter som må være et fast stoff. For å komme unna noen av disse innvendingene, foreslo George Stokes i 1845 en mer komplisert eter som blir fullstendig dratt med Jorden i dens umiddelbare nærhet, men forblir uanfektet av dennes bevegelse i større avstander.

### Fresnels korreksjon

Eterdragningen til Fresnel kan argumenteres for på forskjellige måter. En enkel måte ble benyttet av Hendrik Lorentz. Han tenkte seg en blokk av glass med brytningsindeks *n&thinsp;* liggende horisontalt i laboratoriet på Jorden. Lys fra en stjerne som har en sann posisjon som ligger rett over, vil observeres å komme inn under en vinkel *&alpha;&thinsp;* med den vertikale aksen og gitt som . Da denne er meget liten, kan man likså godt sette  når den måles i radianer.

Når en lysstråle fra stjernen går inn i glasset, vil det brytes inn mot vertikalen og danne en vinkel *&beta;&thinsp;* med denne. Størrelsen er gitt ved Snells brytningslov som . Aberrasjonsvinkelen *&alpha;&thinsp;* kan forklares i hvilesystemet til eteren der Jorden beveger seg slik at den opplever en etervind i motsatt retning. I luften utenfor glassblokken har denne hastigheten *v*. Hvis den nå har samme hastighet inni glassblokken, vil lyset bli avbøydd et stykke *vt&thinsp;* i horisontal retning der *t&thinsp;* er tiden det behøver til å tilbakelegge et stykke *L&thinsp;* i vertikal retningen. Da dets hastighet i denne retning er *c*/*n*, blir . Netto resultat er at lyset blir avbøydd en vinkel . Men dette er en faktor *n*&thinsp;2 større enn vinkelen *&beta;&thinsp;* som følger fra Snells lov. For at at forklaringen basert på etervinden skal stemme, må derfor dens hastighet i glasset være redusert med en tilsvarende faktor og blir *v*/*n*&thinsp;2.

### Lorentz' elektronteori

Den moderne forklaringen av lys ble gitt av James Maxwell i 1865. Det består av elektriske og magnetiske svingninger beskrevet ved Maxwells ligninger. 
Ifølge Maxwell gjelder disse i hvilesystemet til en eter. Da Heinrich Hertz i 1886 kunne generere elektromagnetiske bølger med de egenskaper som fulgte fra Maxwells teori, utviklet Hertz en egen teori for eteren som skulle følge Jorden i dens bevegelse. Men denne antagelsen viste seg av mange grunner uholdbar.

En mer velfundert teori for elektromagnetiske fenomen og elektriske ladninger ble på samme tid utviklet av Hendrik Lorentz. Han antok at eteren ligger i ro i forhold til fiksstjernene og Maxwells teori kun gjelder i dette referansesystemet. På denne måten spiller eteren samme rolle som Newtons absolutte rom gjør for mekaniske fenomen.

For å kunne forklare observasjoner av elektromagnetisk fenomen som foregår i bevegelige referansesystem, viste Lorentz hvordan de kunne relateres til tilsvarende fenomen som foregår i den urørlige eteren ved spesielle transformasjoner.  Hvis det bevegelige systemet forflytter seg langs *x*-aksen med hastighet *v*, har man sammenhengen  mellom koordinatene i de to systemene som i newtonsk fysikk. Men i tillegg ble han nødt til å innføre en «lokal tid»

:  t' = t - vx/c^2 

i det bevegelige systemet. De plane bølgefrontene til lyset fra stjernen vil da observeres fra Jorden med en litt annen innfallsvinkel. På den måten kunne den observerte aberrasjonen forklares med samme resultat uavhengig av om Jorden er i ro i eteren og stjernen beveger seg eller omvendt. Ingen antagelse om en etervind var lenger nødvendig og problemet med en frekvensavhengig brytningsindeks opptrådte ikke. Likevel ville et lyssignal i det bevegelige systemet gjennom et medium med brytningsindeks *n&thinsp;* observeres med en hastighet i det stasjonære systemet i overensstemmelse med hva Fresnel hadde antatt.

Da resultatet av Michelson-Morley-eksperimentet ble kjent i 1887, måtte Lorentz utvide sin teori med at det også måtte opptre en lengdekontraksjon i beveglsesretningen. Lignende betraktninger ble gjort av Joseph Larmor og Henri Poincaré slik at rundt 1900 var det klart at Maxwell-ligningene var invariante under Lorentz-transformasjoner. Derfor kunne de benyttes direkte i det bevegelige referansesystemet. Behovet for en eter var dermed blitt mindre, men Lorentz mente at dens eksistens likevel var nødvendig.

### Spesiell relativitetsteori

Mens Lorentz hadde beholdt de Galileis relativitetsprinsipp for tid og rom slik de benyttes for mekaniske system beskrevet ved Newtons lover, hadde han også vist at de samme transformasjonene var i motstrid med Maxwells lover. Da Einstein rundt 1900 ville formulere et nytt relativitetsprinsipp som kunne benyttes for både mekaniske og elektromagnetiske fenomen, hadde han da valget mellom å beholde de galileiske transformasjonene og forkaste den elektromagnetiske teorien eller beholde denne og finne nye transformasjoner for tid og rom. Han valgte den siste muligheten og bygde sitt prinsipp på at lyshastigheten skulle være den samme i alle inertialsystem uavhengig av lyskildens bevegelse. Dette medførte at sammenhengen mellom tid og rom i to slike referansesystem er gitt ved Lorentz-transformasjonene som Lorentz selv hadde innført, men med en annen forståelse.

Einstein publiserte sin spesielle relativitetsteori i 1905 i et arbeid med tittel «Zur Elektrodynamik bewegter Körper» eller *Elektrodynamikk for legemer i bevegelse*. Det viser at det var spesielt problemene rundt elektromagnetiske fenomen i forskjellige referansesystem han ville løse og ga en forklaring av aberrasjon som et eksempel. I stjernens hvilesystem sendes lyset mot Jorden i en retningen som danner vinkelen *&theta;* med baneplanet til Jorden. Beveger denne seg langs *x*-aksen med hastighet *v* og *y*-aksen velges vinkelrett på baneplanet, vil lyspartiklene eller fotonene ha hastighetskomponentene  og  i dette referansesystemet hvor . Fra Lorentz-transformasjonene følger det så at det samme lyset vil ha komponentene

: u_x' = {u_x - v \over 1 - u_x v/c^2} 
: u_y' =  {u_y\over 1 - u_x v/c^2 }\sqrt{1 - v^2/c^2} 

når det observeres på Jorden. Igjen har man  som bekrefter at lyshastigheten er den samme i dette bevegelige systemet. 

For aberrasjon er hastigheten *v*  \tan\phi = \frac{u'_y}{u'_x} = {u_y\over u_x - v} = {\sin\theta\over \cos\theta + v/c} 

som er nøyaktig det opprinnelige resultatet til Bradley. Når man velger å beskrive lyset som en bølge istedenfor en strøm av fotoner, finnes samme formel for vinkelen.  Det følger fra transformasjonsligningene for frekvens og bølgelengde i de to referansesystemene.

Uttrykket for *x*-komponenten av hastigheten er den generelle formelen for addisjon av hastigheter i samme retning, Den forklarer også Fresnel-korreksjonen for lys som beveger seg i et materiale med brytningsindeks *n&thinsp;* som vist av Max von Laue. Ligger materialet i ro i det merkete systemet, vil det der ha hastigheten . I det stasjonære systemet observeres det derimot med en hastighet som er

: u_x = {u'_x + v \over 1 + u'_x v/c^2} =  {c\over n} + v(1 - 1/n^2) 

når man reduserer uttrykket til laveste orden i *v*/*c*. Her er dette resultatet en direkte konsekvens av relativistisk kinematikk og har ingenting med en etervind  å gjøre. I Einsteins relativitetsteori er det ikke lenger noe behov for en eter. Alle inertialsystem er like gode og all bevegelse er relativ til et av disse.

## Generell aberrasjonsvinkel

Aberrasjonsvinkelen kan defineres som differansen mellom retningen til stjernes sanne posisjon og dens tilsynelatende posisjon. Denne siste er gitt ved vinkelen *&phi;&thinsp;* som følger fra formelen

:  \tan\phi = {\sin\theta\over v/c + \cos\theta} 

når antagelsen *v*  \sin\phi = {\sin\theta\over 1 + {v\over c}\cos\theta}, \;\;\;  \cos\phi = { v/c + \cos\theta\over 1 + {v\over c}\cos\theta}. 

Ved direkte utregning finnes da

:  \sin\theta - \sin\phi = {v\over c} \sin\theta \cos\theta 

Men samtidig gir en annen identitet at

:   \sin\theta - \sin\phi = 2\sin{1\over 2}(\theta - \phi) \cos{1\over 2}(\theta + \phi) = (\theta - \phi)\cos\theta 

siden  *&theta;&thinsp;* og *&phi;&thinsp;* omtrent er like store. Ved sammenligning av disse to uttrykkene, finner man

:  \alpha = \theta - \phi = {v\over c} \sin\theta 

som sier hvordan denne vinkelen varier med stjernens høyde over horisonten. Når lyset kommer fra en stjerne som ligger ved en av himmelpolene, er *&theta;* = 90&deg;. Da blir som forventet  og stjernen ser ut til å følge en liten, sirkelformet bane med angulær radius *v*/*c&thinsp;* i løpet av et år. For stjerner med mindre deklinasjon, er   og banen blir ellipseformet. For en stjerne på himmelekvator vil banen degenerere til en linje hvor den ser ut til å utføre en årlig svingning frem og tilbake.

Uttrykket for aberrasjonsvinkelen i det generelle tilfellet kan også finnes mer direkte fra sinussetningen for trekanter. I dette tilfellet har trekanten en meget spiss vinkel *&alpha;&thinsp;* med motstående side *vt&thinsp;* hvis man betrakter stjernens bevegelse over et lite tidsrom *t*. De to andre vinklene *&theta;&thinsp;* og *&phi;&thinsp;* er omtrent like store med motstående sider tilnærmet lik *ct*. Da sier denne trigonometriske setningen at

:  {\sin\alpha\over vt} = {\sin\theta\over ct} 

som gir den generelle formelen når man setter sin*&alpha;* = *&alpha;*.

## Referanser


## Litteratur
* A. Berry, ''A Short History of Astronomy'', Dover Publications, New York (1961).  ISBN 0-486-20210-0.
* M. Janssen and C. Lehner, *The Cambridge Companion to Einstein*, Cambridge University Press, England (2014). ISBN 978-0-521-53542-7.

## Eksterne lenker
* C. Seligman, ''Bradley's Discovery of Stellar Aberration'' 
* Mathpages, ''Stellar Aberration'' 
* J.D. Norton, ''Discovering the Relativity of Simultaneity''