Magnetisk flukskvant

Et **magnetisk flukskvant** er den minste verdi den magnetiske fluksen kan ha når den går gjennom en lukket sløyfe i en superleder under bestemte forhold. Det har en verdi som er uavhengig av materialets egenskaper og skyldes kvantemekanikk. Den totale fluksen gjennom en slik løkke er et helt multiplum av dette elementære flukskvantet. Da fluksen dermed ikke kan variere kontinuerlig, sies den å være kvantisert.

For størrelsen av det magnetiske flukskvantet har NIST i 2014 anbefalt verdien

: \Phi_0 = {h\over 2e} = 2.067\;833\;831\;(13)\times 10^{-15}\,\mathrm{Vs} 

hvor *h* er Plancks konstant og *e* er elementærladningen gitt ved elektronets elektriske ladning.

At en slik kvantisering av fluksen skulle finne sted, ble først vist av Fritz London i 1948. Hans formel for verdien av flukskvantet inneholdt ikke faktoren 2 i nevneren basert på overbevisningen om at ladningsbærerne i en superleder var elektroner. Knapt ti år senere ble det klart at de er Cooper-par bestående av to elektroner i en slags bundet tilstand. Dette ble eksperimentelt bekreftet i 1961 av B. S. Deaver og W. M. Fairbank samtidig med at R. Doll og M. Näbauer kunne vise det i et tilsvarende eksperiment.

Den inverse verdien er Josephson-konstanten  kan bestemmes eksperimentelt med meget stor presisjon da den opptrer i funksjonen til en SQUID. Det kan også von Klitzings konstant . Fra de målte verdiene til disse to konstantene, kan man bestemme både Plancks konstant og elektronets ladning med meget stor nøyaktighet.

## Enheter

Enheten til magnetisk fluks følger fra definisjonen. Magnetisk felt i SI-systemet måles i tesla T og et areal har dimensjon m2. Herav følger SI-enheten Wb (weber) for magnetisk fluks hvor

:  \text{Wb} = \text{T} \cdot \text{m}^2 

Fra Ampères kraftlov følger at enheten tesla tilsvarer T = N/A&sdot;m som betyr at

:  \text{Wb} = {\text{N}\over\text{A}\cdot\text{m}} \cdot \text{m}^2 = {\text{J}\over\text{A}} = {\text{A}\cdot\text{s}\cdot\text{V}\over\text{A}} = \text{V}\cdot\text{s} 

etter å ha benyttet energienheten joule definert som J = N&sdot;m = C&sdot;V hvor elektrisk ladning måles i coulomb C = A&sdot;s og spenning i V.

De mest brukte enhetene for det magnetisk flukskvantet er Wb = V&sdot;s. Som en konsekvens måles Josephson-konstanten dermed vanligvis i enheter av Hz/V&thinsp; når frekvens måles i hertz Hz = s&thinsp;-1.

## Type-II superleder

I en type-I superleder vil et ytre magnetfelt ikke kunne trenge inn i den. Der et utslag av Meissner-effekten. Derimot er en type-II superleder karakterisert ved at feltet vil kunne gå gjennom superlederen når det er sterkere enn en viss, kritisk verdi. Men denne penetreringen er ikke uniform, men foregår gjennom små virvler hvis senter ikke er superledende. Disse fordeler seg på en regelmessig måte over superlederen. Den magnetiske fluksen som går gjennom hvert slik virvel, er nøyaktig et flukskvantum . I middel over hele superlederen utgjør alle disse flukstubene et magnetfelt som er likt med det ytre, påtrykte feltet.

## Topologisk kvantisering

Egenskapene til en superleder kan beskrives ved Ginzburg-Landau-teori. Den er formulert ved en kompleks «ordensparameter»

:  \Psi(\mathbf{r}) = \sqrt{n_s} e^{i\theta(\mathbf{r})} 

hvor *n<sub>s</sub>&thinsp;* er tettheten av superledende ladningsbærere med elektrisk ladning *q* og masse *m*, mens *&theta;* er en kompleks faseparameter. Denne kan i hvert punkt økes med et helt antall 2*&pi;&thinsp;* uten at &Psi; forandrer seg.

Når superlederen er i et ytre magnetfelt  oppstår det i en elektrisk strøm som er generelt kan skrives som

:  \mathbf{J}_s = \frac{q}{m}\hbar \, \text{Re} \left[\Psi^*(-i\hbar\boldsymbol{\nabla} - q \mathbf{A}) \Psi \right] 

Dette forenkles til

:  \mathbf{J}_s = \frac{q}{m}\left(\hbar\boldsymbol{\nabla}\theta - q \mathbf{A}\right)n_s 

når man antar at den tettheten *n<sub>s</sub>&thinsp;* er konstant. Denne elektriske strømmen finnes bare i et tynt sjikt nær superlederens overflate.

Betrakter man nå en lukket kurve *C* =  &part;*S* inne i superlederen, vil man derfor ha  langs denne. Dermed er det tilsvarende linjeintegralet av strømtettheten langs kurven også lik null slik at

:  \hbar \oint_{\partial S}\!d\mathbf{r}\cdot \boldsymbol{\nabla}\theta = q\oint_{\partial S}\!d\mathbf{r}\cdot\mathbf{A} 

Integralet på høyre side kan ved hjelp av Stokes' teorem omskrives til

:  \oint_{\partial S}\!d\mathbf{r}\cdot\mathbf{A} = \int_S\!d\mathbf{S}\cdot (\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}) = \int_S\!d\mathbf{S}\cdot\mathbf{B}

Mens det er den magnetiske fluksen &Phi; som går gjennom flaten *S* som kurven &part;*S* omslutter, er integralet til venstre ganske enkelt likt med differansen

:  \oint_{\partial S}\!d\mathbf{r}\cdot \boldsymbol{\nabla}\theta = \oint_{\partial S}\! d\theta = \theta' - \theta 

i *&theta;*-verdien i samme punkt etter å ha gått rundt den lukkete kurven &part;*S*. Hvis denne kan kontinuerlig deformeres til en stadig mindre kurve som til slutt blir forsvinnende liten, vil forskjellen  som er i overenstemmelse med at fluksen gjennom kurven . Men hvis superlederen inneholder en endelig åpning eller område som ikke er superledende og kurven omslutter dette området, kan ikke kurven deformeres til null. Superlederen har da en ikke-triviell topologi, og differansen vil i allminnelighet være  hvor *n* er et helt tall. Det betyr at fluksen gjennom dette området kun kan ha verdiene

:  \Phi = {h\over q} n ,\;\;\; n = 0, 1, 2 ,3\ldots 

Fluksen er derfor et helt multiplum av flukskvantet &Phi;0 = *h*/*q*&thinsp; hvor i en normal superleder *q* = 2*e*. Dette kalles vanligvis for «topologisk kvantisering» da disse diskrete verdiene oppstår for en makroskopisk størrelse som magnetisk fluks og ikke skyldes direkte kvantemekanisk kvantisering av mikroskopiske variable.

## Referanser