Schiehallion-eksperimentet

**Schiehallion-eksperimentet** var et eksperiment som ble gjennomført i det 18. århundre for å bestemme Jordens midlere tetthet. Med finansiering fra Royal Society ble forsøket gjennomført sommeren 1774 ved fjellet Schiehallion i Perthshire i Skottland.

Forsøket innebar måling av meget små forskyvinger av en pendel på grunn av gravitasjonspåvirkning fra et nærliggende fjell. Schiehallion ble betraktet som en ideell plassering etter at en hadde lett etter passende kandidater. Dette på grunn av fjellets isolerte plassering uten andre nærliggende og forstyrrende fjell og den nær symmetriske formen som gjorde det lettere å beregne fjellet antatte tyngdepunkt og masse.

Eksperimentet var tidligere vurdert, men forkastet, av Isaac Newton som en demonstrasjon av hans teori om generell gravitasjon. Likevel var det en rekke vitenskapsmenn, særlig hoffastronom (Astronomer Royal) Nevil Maskelyne, som mente at effekten ville være målbar og påtok seg å gjennomføre forsøket. Pendelens utsving er bestemt av forholdet mellom den samlede masse av jorden og av det aktuelle fjellet. Mao. dersom en kunne bestemme massen og massens senter for Schiehallion kunne en beregne Jordens masse. Når denne er kjent, kan en også beregne tilnærmede verdier for massen til andre planeter, deres måner og solens masse. Tidligere hadde en bare en formening om deres relative masser. Som en sideeffekt ville en kunne bidra til å kartlegge fjellet og fastslå dets koter.

## Bakgrunn
I et ideelt gravitasjonsfelt, her fra jorden, vil en pendel henge rett ned. Dersom pendelen henges opp i nærheten av en større masse, slik som et fjell, vil gravitasjonen fra denne tilleggsmassen interferer med hovedfeltet fra Jorden og fjellet vil trekke på pendelen og bringe loddet noe ut fra vertikalen. Det svake utsvinget som loddlinen gjør sett mot et kjent objekt, som for eksempel en gitt stjerne, kunne måles ved å gjenta målingene på begge sider av fjellet. Hvis fjellets masse kan beregnes ut fra dets volum og gjennomsnittlige tetthet, så kan dette utnyttes til å ekstrapolere en verdi for Jorden tetthet og derved også jordens samlede masse når jordradiene er kjent.

Isaac Newton hadde fremlagt sine betraktninger i *[[Philosophiæ naturalis principia mathematica|Principia]]*, men antok at et reelt fjell ville gi et så lite utslag at det ville være nær umulig å måle med tilstrekkelig nøyaktighet.  Han var av den oppfatning at gravitasjonseffekter bare var målbare når masser på størrelse av planeter var involvert.  Newtons pessimisme var ubegrunnet. Selv om hans beregninger antydet et utsving på mindre enn 
2&nbsp;bueminutt (for et idealisert 5&nbsp;000&nbsp;m høyt fjell), ville denne lille vinkelen være innenfor kapasiteten til aktuelle måleinstrumenter på hans tid.

Et eksperiment kunne både gi bevis for Newtons teori om generell gravitation og gi et estimat for jordene tetthet og masse. På den tid var andre himmellegemers masse bare kjent som forholdet mellom dem og ikke som absolutte verdier. Kunnskap om Jordens masse ville også gi gode estimater for massen til andre planeter, deres måner og for solen. Slike data ville også kunne gitt verdier for gravitasjonskonstanten *G*. Noen verdi for *G* var imidlertid ikke en del av eksperimentet. *G* som begrep og erkjennelsen av *G* som en universell konstant dukket ikke opp i vitenskapelige artikler før nær hundre år senere.

## Søken etter et egnet fjell

### Chimborazo, 1738
De franske astronomene Pierre Bouguer og Charles Marie de La Condamine var de første som gjennomførte eksperimentet. De utførte sine målinger på den 6&nbsp;268&nbsp;m høye vulkanen Chimborazo i Ecuador i 1738. Med sin ekspedisjon forlot de Frankrike i 1735 i et forsøk på å måle lengden av en lengdegrad nær ekvator. Samtidig nyttet de anledningen til å gjennomføre et forsøk på å måle en pendels forskyvning. I desember 1738, med betydelige vanskeligheter grunnet klima og terreng, gjennomførte de to forsøk i en høyde på 4&nbsp;680 og 4&nbsp;340&nbsp;m.  Bouguer skrev i rapporten at de hadde lyktes med å detektere et utsving på 8&nbsp;buesekund, men nedtonet samtidig betydningen av sine resultater og foreslo at eksperimentet burde gjennomføres under mer velegnede forhold i Frankrike eller England.  Han la imidlertid til at de i alle fall hadde påvist at Jorden ikke kunne være et hult skall, slik Edmond Halley og flere andre mente kunne være tilfelle.

### Schiehallion, 1774

At ytterligere et forsøk burde foretas, ble foreslått for Royal Society i 1772 av Nevil Maskelyne, Astronomer Royal. Han mente at et slikt eksperiment ville «*Gjøre ære på den nasjon der det ble utført*» og foreslo Whernside i Yorkshire eller Helvellyn-Skiddaw massivet i Cumberland som passende kandidater. Royal Society satte ned en komité til å undersøke saken. Blant deltakerne var Maskelyne, Joseph Banks og Benjamin Franklin.  Komiteen utpekte astronom og landmåler Charles Mason til å finne et egnet fjell til forsøket.  Etter en omfattende leting sommeren 1773 etter et egnet sted, rapporterte Mason at den beste kandidaten var Schiehallion (på den tid stavet *Schehallien*), en nær 1&nbsp;083&nbsp;m topp som ligger mellom Loch Tay og Loch Rannoch i det sentrale  Scottish Highlands. Dette fjellet hadde ingen andre fjell i nærheten som kunne påvirke eksperimentet og den symmetriske formen ville lette beregningene. De bratte sidene på nord- og sørsiden ville gjøre det mulig å bringe pendelen nær opp mot fjellets tyngdepunkt og dermed gi maksimalt utsving.

Mason avslo imidlertid å gjennomføre arbeidet for den tilbudte godtgjøringen på en guinea per dag.  Oppgaven falt derved på Maskelyne som ble innvilget en midlertidig permisjon fra sin tjeneste som Astronomer Royal. Han fikk assistanse i arbeidet av matematiker og landmåler Charles Hutton og Reuben Burrow, en matematiker fra Greenwich-observatoriet. Et antall arbeidere ble engasjert til å bygge observatorier for astronomene og til å assistere med landmålingen. Vitenskapsmennene var meget godt utstyrt; de hadde tilgang til en 30&nbsp;cm kvadrant i messing  fra James Cooks første reise i 1769 for å studere Venuspassasjen, et 3,048&nbsp;m zenith teleskop, og en «regulator» - en presis pendelklokke for tidsmåling ved de astronomiske målingene.  De anskaffet også en teodolitt og et landmålerkjede (Gunter's chain) for å kunne gjennomføre landmåling av fjellet og et par barometere for måling av høyde.  En generøs finansiering var tilgjengelig idet det forelå ubrukte midler fra Venuspassasjeekspedisjonen. Disse midlene var stilt til rådighet for Royal Society av kongen.

## Målinger
### Astronomiske

Observatorier ble bygget på nord- og sørsiden av fjellet og et lagerbygg til å huse både utstyr og forskere. Mesteparten av arbeidsstyrken måtte imidlertid ta til takke med telt. Maskelyns astronomiske målinger ble utført først. Oppgaven var å bestemme vinkelavstanden mellom en rekke stjerner og loddlinen i det øyeblikk stjernen stod nøyaktig i syd.  Værforholdene var ofte dårlige med yr og regn. På det sydlige observatoriet lyktes han likevel med å ta 76 målinger mot 34 stjerner i en retning, deretter 93 nye målinger og 39 stjerner i en annen retning. På den nordlige siden oppnådde han ett sett med 68 observasjoner mot 32 stjerner og ett sett med 100 mot nye 37 stjerner.  Ved å utføre målingene vekselvis med zenith teleskopets måleplan mot henholdsvis øst og deretter mot vest oppnådde han å utligne mulig vertikalfeil ved oppstillingen av teleskopet.

For å kunne bestemme utsvinget grunnet fjellets masse må en ta i betraktning jordens krumning: En observatør vil oppleve et skifte i det lokale zenith tilsvarende skifte i breddegrad. Etter å ha tatt hensyn til effekter som skyldes presesjon, aberrasjon og nutasjon, påviste Maskedyne at forskjellen mellom den lokalt bestemte zenith nord og sør for fjellet var på 54,6&nbsp;buesekund.  Da landmålerteamet hadde fastslått at de to målestasjonene hadde en bredde-forskjell på 42,94" kunne denne vinkelen trekkes fra i målingene. Etter avrunding kunne han fastlå at forskjellen i utslag nord og sør for fjellet var 11,6".

Maskedyen publiserte sine innledende resultater i *[[Philosophical Transactions of the Royal Society]]* i 1775.  Han måtte da benytte foreløpige data for fjellets form og dermed posisjonen for tyngdepunktet. Dersom en antar at gjennomsnittlig tetthet av Schiehallion og jorden er lik, forventet han en forskyvning på 20,9".
  Siden den målte forskyving var omtrent halvparten av dette kom han til det foreløpige resultat at tetteheten av jorden er omtrent det dobbelte av tettheten for Schiehallion. En mer nøyaktig verdi måtte utstå til landmålingene var gjennomført for derved bedre å bestemme fjellets form og dermed masse.  Maskelyne noterte også i sin rapport at Schiehallion bevirket en gravitasjonstiltrekning og at alle fjell ville gjøre det. Herav trakk han den slutning at Newtons lov om universell gravitasjon var stadfestet.  Royal Society verdsatte hans resultater og tildelte ham Copley Medal i 1775. Biografen Chalmers skrev: «Om noen frem til nå skulle ha hatt mistro til Newtons system, så er en slik tvil nå ryddet av veien».

### Landmåling
Landmålerne fikk store forsinkelser grunnet det vanskelige været, og de ble ikke ferdige før i 1776.  For å finne volumet av fjellet valgte en å dele det opp i horisontale skiver og beregne volumet av hver skive. Trianguleringen som ble utført av Charles Hutton var formidabel. Landmålerne hadde tusenvis av peilinger mot mer enn tusen punkter rundt fjellet.  Det var ikke alltid at peilepunktene stemte overens med høydepunkter som landmålerne hadde tatt ut. For å kunne håndtere datamengden fant han ut at han kunne interpolere verdier mellom de målte og derved dele fjellet opp i like tykke skiver. På denne måten ble arbeidet med volumberegningen forenklet og samtidig fikk en av linjenes bølger og svinger et inntrykk av fjellets form sett ovenfra. I realiteten hadde Hutten funnet opp det vi i dag kaller kartkoter, som siden har vært i bruk både innen kartografi og for å beskrive gjenstander og mindre detaljer.

Etter at alle lagenes form var fastlagt, måtte Hutton beregne tiltrekningen som hvert enkelt lag hadde på loddet i loddlinen. Dette var et omstendelig arbeid som tok to år før han kunne presentere resultatene for Royal Society i 1778.  Han kom frem til at tiltrekningningskreftene mot Jorden og mot fjellet hadde et forhold på 9,933 gitt at tettheten av Jorden og Schiehallion var den samme.  Siden den målte forskyvningen på 11,6" indikerer et forhold på 17&nbsp;804:1, når en tar hensyn til høyde over havet og breddegrad, fastslo han Jordens midlere tetthet til å være \tfrac{17,804}{9,933}, eller ca \tfrac{9}{5} av fjellets tetthet.  Den omstendelige prosessen med landmålingen og den påfølgende beregningen hadde dermed ikke rokket ved Maskelyns tidligere beregninger. Hutten satte tettheten til Schiehallion til å være  og annonserte at Jordens gjennomsnittlige tetthet var . Sammenlignet med den i dag aksepterte verdi på , 
hadde en lyktes i å fastslå Jordens tetthet med en feil mindre enn 20 %.

At den gjennomsninttlige tettheten av Jorden var så mye høyere enn tettheten av stein som en finner på jordoverflaten, indikerer at de dypereliggende delene av Jorden har en betydelig høyre massetetthet. Hutton trakk den slutning at Jordens indre måtte innholde en vesentlig større andel av metallisk materiale enn det en finner på overflaten, og antydet en mulig tetthet på .  Han anslo denne metalliske andelen til å ugjøre i størrelsesorden 65 % av Jordens diameter.  Med en verdi for Jordens gjennomsnittlige tetthet kunne Hutton beregne masseverdier for andre himmellegemer som var angitt i Jérôme Lalandes planettabell. Tidligere var disse bare gitt som forholdstall.

## Cavendish-eksperimentet

En mer direkte og nøyaktigere metode for måling av Jordens gjennomsnittlige tetthet ble gjennomført 24 år senere i 1798 av Henry Cavendish. Cavendish brukte en ekstremt følsom torsjonsvekt for å måle tiltrekningen mellom kuler av bly. Cavendish' resultat,
, var bare 1 % fra den i dag aksepterte verdi: . Dette resultatet ble ikke nevneverdig forbedret av andre før i 1895 av Charles Vernon Boys. Den flid Cavenish utviste ved sitt eksperiment, og det nøyaktige resultat han oppnådde, har gitt opphav til at hans navn er knyttet til eksperimentet som ga et godt mål på Jordens tetthet. Hans eksperiment er også velegnet for å bestemme den generelle gravitasjonskonstanten *G*, selv om Cavendish selv ikke ga noen verdi for *G*.

## Senere målinger på Schiehallion
John Playfair gjennomførte en ny måling ved Schiehallion i 1811. På bakgrunn av en revurdering av fjellets strata kom han frem til en tetthet på 4&nbsp;560 til .  Den nå eldre Hutton var ikke enig og forsvarte den eldre verdien i 1821 i en artikkel til Royal Society.  Playfairs beregninger hadde økt verdien av jordens tetthet opp mot dagens anerkjente verdi, men var fremdeles dårligere enn verdien oppnådd av Cavendish noen år tidligere.

Schiehallion-experimentet ble gjentatt i 1856 av Henry James, generaldirektør for Ordnance Survey, som i stedet brukte fjellet Arthur's Seat i Edinburgh.  Med resultatene fra Ordonance Survey tilgjengelig utvidet James sine topgrafiske undersøkelser til en radius på 21 kilometer, en distanse som når helt til grensen til Midlothian. Han kom frem til en tetthet på ca. .  Ved et nytt forsøk i 2005 gjorde en en endring fra arbeidet i 1774. I stedet for å måle de lokale variasjonene i zenith, gjorde en meget nøyaktige målinger på svingetiden for en pendel på toppen og ved foten av Schiehallion. Perioden for en pendel er en funksjon av *g*, den lokale tyngdeakselerasjonen. Normalt vil en pendel i større høyde få en lengre periode grunnet større avstand fra jordens masse. Massen i fjellet vil imidlertid redusere en slik effekt. Fordelen er at dette er vesentlig enklere å gjennomføre. Imidlertid må en være istand til å fastslå perioden med en nøyaktighet på 1&nbsp;ppm.  Dette eksperimentet ga en verdi for jorden samlede masse på , som tilsvarer en gjennomsnittlig tetthet på .

En moderne gjennomgang av de geofysiske data har gjort det mulig å ta hensyn til faktorer som lå utenfor rekkevidde for teamet i 1774. Med en digital terrengmodell med radius 120 km, vesentig bedre kunnskap om geologien til Schiehallion og ikke minst tilgangen til moderne regnemaskiner, kom man i en rapport i 2007 frem til at jordens gjennomsnittlige tetthet er .  Sammenlignet med moderne verdier på , gir dette honnør til nøyaktigheten som Maskelyne utviste i sine astronomiske observasjoner.

## Matematisk prosedyre

I kraftdiagrammet til høyre er forskyvningen kraftig overdrevet. Analysen er også noe forenklet ved å gjennomføre eksperimentet bare på den ene siden av fjellet.
Et lodd med masse *m* er plassert i en avstand *d* fra *P*, gravitasjonssenteret for et fjell med masse *M<sub>M</sub>* og tetthet *ρ<sub>M</sub>*. Under disse betingelser blir den førskjøvet en liten vinkel *θ* på grunn av tiltrekningen *F* i retning *P* mens dens tyngde *W* er rettet mot jorden. Vektorsummen av *W* og *F* resulterer i et strekk *T* i pendelens snor. Jordens har masse: *M<sub>E</sub>*, radius: *r<sub>E</sub>* og tetthet: *ρ<sub>E</sub>*.

De to gravitasjonskreftene som virker på loddet er gitt ved Newtons lov om universell gravitasjon

:
F = \frac {G m M_M} {d^2} ,\quad W = \frac {G m M_E} {r_E^2}


Hvor *G* er Gravitasjonskonstanten. *G* og *m* kan elimineres gitt ved forholdet mellom *F* og *W*:

:
\frac {F} {W} 
= \frac {(G m M_M) / d^2} {(G m M_E) / r_E^2} 
= \frac {M_M}{M_E} {\left( \frac {r_E}{d} \right)}^2
= \frac {\rho_M} {\rho_E} \frac {V_M} {V_E} {\left( \frac {r_E}{d} \right)}^2


Hvor *V<sub>M</sub>* og *V<sub>E</sub>* er volumet av henholdsvis fjellet og jorden. Ved statisk likevekt kan de vertikale og horisontale komponentene i spenningen *T* i strengen relateres til gravitasjonskreftene og vinkelen *θ*:

:
W = T \cos \theta ,\quad F = T \sin \theta


Setter vi inn for *T*:

:
\tan \theta
= \frac {F} {W} 
= \frac {\rho_M}{\rho_E} \frac {V_M}{V_E} {\left( \frac {r_E}{d} \right)}^2


Siden *V<sub>E</sub>*, *V<sub>M</sub>*, *d* og *r<sub>E</sub>* alle er kjente størrelser og *θ* er påvist ved måling, kan en finne en verdi for forholdet *ρ<sub>E</sub>*&nbsp;:&nbsp;*ρ<sub>M</sub>*:

:
\frac {\rho_E}{\rho_M} = \frac {V_M}{V_E} {\left( \frac {r_E}{d} \right)}^2 \frac {1}{\tan \theta}


## Noter

## Referanser