Magnetisme

**Magnetisme** er en kraft som virker på avstand og skyldes elektriske ladninger i bevegelse. Dens virkning kan beskrives ved et magnetisk felt.  Materialer som er magnetiske, kalles magneter. Jorden er en magnet som omgir seg med et jordmagnetisk felt som brukes ved navigasjon. Magnetisme opptrer i de minste atomer og 
i de største galakser og har mange anvendelser i moderne teknologi.

Alle stoffer kan gjøres mer eller mindre magnetiske under påvirkning av magneter eller elektriske strømmer. Dette benyttes i elektromagneter.  Virkningen til elektriske motorer skyldes magnetiske krefter. Denne sammenhengen mellom elektrisitet og magnetisme blir omtalt som elektromagnetisme.

Einstein viste i den spesielle relativitetsteori at elektriske og magnetiske krefter er to aspekt av samme fenomen, avhengig av hvordan de observeres. Magnetisme kan dermed forklares ved Coulombs lov brukt  på ladninger som beveger seg. Derfor inngår magnetisme som en sentral del av elektrodynamikk og opptrer i all elektromagnetisk stråling som dagens telekommunikasjon er basert på.

## Historie

Det har vært flyktig kjennskap til magneter og deres virkning i mange hundre år, omspunnet av en rekke myter. De gamle grekerne hadde mange filosofiske tanker om emnet uten at de nødvendigvis var basert på så mye praktisk erfaring. Kineserne var sannsynligvis de første til å oppdage at en magnet som svinger i et vannrett plan, alltid pekte i retningene nord og sør. De oppfant med andre ord kompasset. De oppdaget at magneter har to poler og at begge polene tiltrekker jern. To magnetpoler kan tiltrekke eller frastøte hverandre.

Kompasset kom til Europa på 1200-tallet. Den første som tok tak i dette var legen og forskeren William Gilbert. Han arbeidet i 18 år med boka *De Magnete Magneticisque Corporibus, et de Magno Magnete Tellure* (Om magneten og magnetiske legemer, og om den store magneten Jorden) som kom ut i 1600. Den er bedre kjent som *De Magnete* og var det første arbeidet i fysikk, av betydning, som hadde blitt produsert i England.

I Gilberts arbeid avkreftet han en rekke myter om magnetismen samtidig som han oppdaget nye fenomener, som at man kan magnetisere metallbiter ved å gni dem mot en magnet. Han oppdaget lovene om magnetisk tiltrekning og frastøting og foreslo at Jorden fungerer som en stor magnet med to poler. De ga han navnet  den magnetiske nordpol og den magnetiske sydpol. Denne beskrivelsen av Jordens magnetisme har vist seg gyldig frem til våre dager.

### Ørsteds elektromagnetisme

Arbeidet til Gilbert var så grundig at etter han ble det ikke tilført noen nye kunnskaper om magnetisme før Hans Christian Ørsted oppdaget elektromagnetisme i 1820. Frem til da trodde man at magnetisme kunne forklares analogt til elektrisitet ved at det fantes to væsker som transporterte ladninger tilsvarende magnetiske nord- og sydpoler.

Denne forklaringen ble grunnleggende forandret ved eksperimentet til Ørsted hvor han viste at en magnetnål ble påvirket av en elektrisk strøm.  Den vil slå ut til den ene eller den andre siden avhengig av om nålen er plassert over eller under ledningen som fører strømmen. Videre undersøkelser fikk han til å konkludere med at den skapte en «elektrisk konflikt» som er konstant i en sirkel med akse langs strømmen og en styrke som avtar med avstanden til kompassnålen.  Denne «konflikten» ble snart omtalt som det magnetiske feltet som blir skapt av strømmen. Hans observasjoner kan sammenfattes i det som ofte kalles for Ørsteds lover. Han selv foreslo å kalle denne sammenhengen mellom elektriske og magnetiske fenomen for elektromagnetisme.

Ørsted fulgte ikke opp sine oppdagelser med videre undersøkelser. Men de skapte med en gang stor oppsikt i utlandet. Spesielt i Frankrike ble de mottatt med begeistring og ble raskt fulgt opp av mer presise eksperiment og teoretiske betraktninger.

### Ampères elektrodynamikk

Mens Ørsted hadde publisert sin oppdagelse i en fire siders artikkel på latin i juli, 1820,  ble den allerede i september samme år demonstrert i det franske vitenskapsakademiet av François Arago. Medlemmene fant den så utrolig at han måtte gjenta den uken etter.
André-Marie Ampère var tilstede og gikk straks i gang med å gjenta eksperimentene på sin egen måte. Han kunne på en elegant måte gjennomføre dem uten påvirkning av Jordens magnetfelt. På den måten viste han kort tid senere at en magnetnål utenfor en elektrisk strømledning vil stille seg inn i et plan vertikalt på denne og også vertikalt på den korteste linje mellom ledningen og nålen. Strømmen i ledningen vil derfor få nålen til å slå ut 90° til siden, mens Ørsted hadde bare sett et maksimalt utsalg på 45° på grunn av  det jordmagnetiske bakgrunnsfeltet.

Ved videre eksperimentering fant Ampère at den magnetiske effekten fra den elektriske strømmen *I*&thinsp; var proporsjonal med denne og avtok omvendt proporsjonalt med avstanden *a*&thinsp; mellom nålen og den rette strømledningen.  Styrken til magnetfeltet *B*&thinsp; som skapes, kan derfor skrives matematisk som

:  B = {\mu_0 I\over 2\pi a} 

i SI-systemet hvor *&mu;*0&thinsp; er den magnetiske konstanten. Dette resultatet kan generaliseres for en vilkårlig, stasjonær strømfordeling **J**(**r**) til Ampères sirkulasjonslov. Ved bruk av vektoroperatoren curl kan den skrives på den moderne og mer kompakte formen

:  \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} 

I tillegg må magnetfeltet tilfredsstille **&nabla;**&sdot;**B** = 0 analogt med kontinuitetsligningen **&nabla;**&sdot;**J** = 0 for en stasjonær strøm. De magnetiske feltlinjene er derfor lukkete kurver som sirkler rundt en rett ledning.

Tidlig i sine undersøkelser mente Ampère at siden en strøm kan påvirke en magnetnål, så må også det eksistere magnetiske vekselvirkninger mellom strømførende ledninger.  Dette kunne han raskt påvise. To parallelle ledninger som fører strømmene *I*1&thinsp;  og *I*2&thinsp; i samme retning med gjensidig avstand *a*, tiltrekkes med en kraft per lengdeenhet som er

:  F/L = \mu_0{I_1 I_2\over 2\pi a} 

Reverseres en av strømmene, blir kraften frastøtende. Arbeidet med å finne loven for vilkårlige strømfordelinger skulle vise seg å bli en stor og krevende oppgave. Det endelige resultatet bærer i dag navnet Ampères kraftlov selv om den etterhvert fikk en annen form enn Ampère opprinnelig ville. Teorien for slike elektromagnetiske krefter mellom elektriske ladninger og strømmer kalte han for elektrodynamikk, et navn som siden er blitt standard.

Ampère foreslo at all magnetisme skyldes elektriske strømmer. Han viste at en strømførende spole oppfører seg som en stavmagnet med en nordpol og en sydpol. I magneter skal det finnes strømmer som går rundt i mikroskopiske, lukkete baner som ikke kan sees. Slike  **ampèrske strømmer** ble vel hundre år senere funnet i form av  elektronenes rundgang i atomene.

### Biot-Savarts lov

Mens Ampère la vekten i sitt arbeid på å finne loven for kraften mellom strømførende ledninger, konsentrerte omtrent samtidig hans kollegaer Jean-Baptiste Biot og Félix Savart seg om å finne den matematiske formen for det magnetiske feltet fra en vilkårlig, strømførende leder ved nøyaktige målinger. De skjermet av det jordmagnetiske feltet på en annen måte og observerte hvordan feltet virket på en liten magnetnål. Omtrent samtidig med Ampère høsten 1820 fant de at feltet fra en rett ledning avtok som 1/*a*&thinsp; hvor *a*&thinsp; er avstanden til ledningen.

Ved å anta at feltet er en sum av bidragene fra hver liten del *d*&thinsp;**s** langs ledningen som fører strømmen *I*, kunne de fra sine observasjoner allerede ved utgangen av året konkludere at dette bidraget måtte ha formen

:  d\mathbf{B} = \mu_0 \,{Id\mathbf{s}\times \mathbf{r}\over 4\pi r^3} 

hvor vektoren **r**&thinsp; forbinder strømelementet på ledningen med feltpunktet. Det totale feltet kan herav finnes ved integrasjon over bidragene fra hele ledningen. Er den rett, vil resultatet avta omvendt proporsjonalt med avstanden *a&thinsp;* til ledningen. Selv om denne matematiske utledningen først var omstridt, viste det seg med tiden at den er riktig.

Dette uttrykket for det magnetiske feltet er siden blitt kalt for Biot-Savarts lov. Den spiller samme, fundamentale rolle i magnetisk teori som Coulombs lov har i elektrostatisk teori.  Bidraget fra hvert element av strømmen til totalfeltet  er rettet normalt til planet som defineres av vektorene \mathbf{r} og  d\boldsymbol{l}  som danner vinkelen *&alpha;*.  Dets størrelse er proporsjonal med sinus til denne vinkelen og avtar med kvadratet av avstanden *r*.

### Faradays feltlinjer
Ved sine observasjoner av bevegelsen til en magnetnål i nærheten av en elektrisk strøm,  fant Ampère og Biot-Savart ut hvordan den virket på nålens nord- og sydpol. De påviste at  kraften som virket på en slik pol, ville føre den i en sirkel rundt en rett ledning.  Den magnetiske kraften som virker på en slik ladning, kalles i dag for et magnetisk felt som kan beregnes fra Biot-Savarts lov. Men på den tiden var det ingen av dem som tenkte på et felt som en formidler av magnetiske krefter. Og det gjaldt spesielt for Ampère som ville forklare alle magnetiske effekter ved direkte krefter mellom elektriske strømmer.

Feltbegrepet ble innført av Michael Faraday som hadde tatt stor interesse i arbeidene til Ørsted og Ampère. Allerede i 1822 viste han hvordan man kunne bruke disse nye oppdagelsene til å konstruere den første elektromagnetisk motor. Den var basert på en effekt som Ørsted hadde undersøkt i forbindelse med sine arbeider. Han tenkte at siden en elektrisk strøm kan få en magnet til å dreie seg, så kan en magnet i ro få en strømsløyfe til å rotere ut fra prinsippet om aksjon og reaksjon formulert ved Newtons tredje lov. For Ampère var denne konstruksjonen en ny, magnetisk effekt som var viktig i hans endelige formulering av sin kraftlov.

Ved å strø jernfilspon på et horisontalt stykke papir som ligger over en magnet, vil hvert lite spon virke som en kompassnål og rette seg inn etter det lokale feltet. På den måten kunne han gjøre de magnetiske feltlinjene synlige. De var for han et konkret uttrykk for det som i dag kalles magnetfeltet.

Dette bildet med feltlinjer gjorde han bruk av i sin videre utforskning av magnetismen.  Det spiller en sentral rolle i hans oppdagelse i 1831 av hvordan et tidsvariabelt magnetfelt **B** kan indusere et elektrisk felt **E** i en ledningssløyfe formulert ved det som nå kalles Faradays induksjonslov. I moderne notasjon skrives den som

: \boldsymbol\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}

og viser at det elektriske feltet i dette tilfellet ikke er konservativt slik at det ikke lenger kan uttrykkes ved et skalart potensial. Da så Faraday i 1845 viste at et magnetfelt kan forandre polarisasjonen til lys, var det første indikasjon på at også lys er et magnetisk fenomen. Denne Faraday-rotasjonen ble viktig for Maxwell i utviklingen av hans elektromagnetiske ligninger.

### Grassmanns forenkling

Ampères kraftlov for den magnetiske kraften mellom to strømførende ledningselement oppfylte Newtons lov om kraft og motkraft. Den var et nytt eksempel på en fjernvirkningsteori av tilsvarende type som Newtons gravitasjonslov hvor det i utgangspunktet ikke behøves noe felt som skal formidle kraften.  I 1845 ble denne kraftloven forenklet av den tyske matematikeren og gymnaslæreren Hermann Grassmann som nettopp hadde utvidet definisjonen av det tredimensjonale kryssproduktet til antisymmetriske produkt av vektorer i rom med høyere dimensjoner. Dette la grunnlaget for det som i dag kalles  ytre algebra.

Med denne matematiske motivasjon kan den differensielle kraften som virker på en liten del  d\boldsymbol{l} av en ledning som fører strømmen *I* skrives  i moderne notasjon som

:  d^2\mathbf{F} = Id\boldsymbol{l} \times d\mathbf{B} 

hvor *d*&thinsp;**B** er det magnetiske feltet gitt ved Biot-Savarts lov og skapt av et lite strømelement. Når strømmen og magnetfeltet står vinkelrett på hverandre, gir denne formelen  Ampères resultat for kraften mellom to parallelle strømledere.

Denne modifiserte kraftloven oppfyller ikke lenger i alminnelighet Newtons lov, men gir det samme resultatet som Ampères opprinnelige lov for lukkete strømsløyfer. Og da den elektriske strømmen alltid må gå i slike lukkete baner under stasjonære forhold på grunn av ladningsbevarelse, var det forståelig. Men det avgjørende punktet ble nå at denne modifiserte kraftloven til Grassmann krevde at kraften måtte forstås som at den ble formidlet av et magnetisk felt.

I de følgende årene fortsatte diskusjonen om riktigheten av Ampères fjernvirkningsteori i kontrast til feltbaserte teorier for magnetiske krefter. Det var disse siste gjennom arbeidene til Faraday og Maxwell som viste seg å være korrekte. Men likevel omtales Grassmanns enklere formel for den magnetiske kraften som Ampères kraftlov.

## Elektromagnetisk teori
En systematisk teori for magnetiske fenomen under stasjonære forhold som skulle tilsvare beskrivelsen av elektriske fenomen i elektrostatikken, ble først stilt opp av Poisson i 1825. Denne magnetostatiske teorien var basert på det eldre bildet at magnetisme skyldes to væsker med motsatt polaritet, tilsvarende magnetiske nord- og sydpoler. Hver væskepartikkel skulle frastøte en væskepartikkel av samme type med en kraft som følger Coulombs lov, mens to partikler fra ulike væsker skulle tiltrekke hverandre med den samme kraften. Magnetiske krefter kan dermed utledes fra et skalart, magnetisk potensial &Psi;(**x**) på samme måte som at elektriske krefter kan beregnes fra det elektriske potensialet &Phi;(**x**).

Videre ble det antatt at disse to væskene kun kunne bevege seg innen små væskeelement som hvert magnetisk materiale besto av. Hvert slikt mikroskopisk element skulle i tillegg inneholde like mye   av hver væsketype slik at det ville utgjøre en magnetisk dipol. Tettheten av slike dipoler er magnetiseringen **M** til materialet. Egenskapene til disse dipolene kunne på denne måten beskrives matematisk på samme måte som for elektriske dipoler. Kraften på en magnet i et ytre magnetfelt **B** kan da finnes fra den differensielle kraften

:  d\mathbf{F} = (d\mathbf{m}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{B} 

hvor *d*&thinsp;**m** = **M***dV* er dipolmomentet til et lite volumelement *dV*. Den totale kraften finnes så ved integrasjon over hele volumet til magneten.

Denne teorien til Poisson ble stående etter at Ampère hadde vist at magnetiske fenomen skyldes elektriske strømmer og ikke magnetiske ladninger. Grunnen er at en liten, ampèrsk strømsløyfe danner en magnetisk dipol som har akkurat de egenskapene som Poisson tidligere hadde benyttet seg av i utviklingen av sin beskrivelse. Hans resultat kan derfor i stor grad tas direkt inn i dagens magnetostatikk.

### Maxwells ligninger
Mens Faraday var en eksperimentalfysiker som ikke hadde en eneste formel i sine verker, satte Maxwell seg for å omsette hans oppdagelser formulert ved hjelp av elektriske og magnetiske feltlinjer, til en konsistent teori. I analogi med strømlinjer i hydrodynamikken, betraktet han disse som uttrykk for underliggende, elektriske og magnetiske vektorfelt som måtte knyttes sammen i en elektromagnetisk teori.

For å forklare de forskjellige fenomenene rundt elektromagnetisk induksjon, innførte Maxwell et fundementalt, magnetisk vektorpotensial **A**(**x**,*t*). Resultatene til Faraday kunne han dermed sammenfatte i ligningen

:   \mathbf{E} =  - {\partial\mathbf{A} \over\partial t} 

Ved å ta curl av denne ligningen, fremkommer induksjonsloven da det magnetiske fluksfeltet **B** er curl til **A**.  Et slikt elektrisk felt vil påvirke en ladning *q* med en kraft . Sammenlignes dette med Newtons andre lov som sier at denne kraften er den tidsderiverte av en impuls, betyr det at magnetfeltet vil gi en partikkel en ekstra impuls. Har den masse *m* og hastighet **v**, vil nå

:   m\mathbf{v} = \mathbf{p} - q\mathbf{A} 

hvor **p** nå er den kanoniske impulsen til partikkelen. Denne sammenhengen skulle senere i kvantemekanikken spille en viktig rolle med å forklare magnetiske egenskaper til materialer.

Ved utformingen av sin matematiske teori foretrakk Maxwell å arbeide med disse to potensialene. De inngikk i en mekanisk model for elektriske og magnetiske krefter som han benyttet i sitt arbeid. Da **B** = **&nabla;**&thinsp;&times;&thinsp;**A** er samme matematiske formel som gir hvirvling i hydrodynamikken uttrykt ved hastighetsfeltet, tenkte han seg at det magnetiske feltet er roterende væskeelement i en eter som skulle finnes overalt. Mellom disse elementene skulle det så finnes elektriske ladninger som vil lette den gjensidige rotasjonen. En elektrisk strøm foregår gjennom åpningene mellom væskeelementene. Da Ampères sirkulasjonslov ikke var i overensstemmelse med kontinuitetsligningen, antok Maxwell at væskeelementene er elastiske slik at de lett kan forskyves. Dette gir opphav til en ny, mulig bevegelse for de elektriske ladningene som er Maxwells forskyvningsstrøm. På den måten kom han i 1861 frem til den komplette ligningen

:  \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H} =  \mathbf{J}  + {\partial\mathbf{D}\over\partial t} 

hvor  det magnetiske feltet **H** = **B**/*&mu;*0 og det elektriske forskyvningsfeltet **D** = *&epsilon;*0**E**. Dette er nå Ampère-Maxwells sirkulasjonslov som også omtales som  Maxwells fjerde ligning. Herav følger direkte eksistensen av elektromagnetiske bølger med en utbredelseshastighet *c* = 1/&radic;(*&mu;*0*&epsilon;*0) som er lik med lyshastigheten. Dermed hadde Maxwell i 1865 vist at også lys er et magnetisk fenomen.

### Lorentz-kraften og relativitet

Etter etableringen av Faradays elektrolyselov ble det gradvis klart at elektrisk ladning hadde sitt opphav i diskrete elektroner og ikke kontinuerlige væsker. På slutten av 1800-tallet forsøkte Lorentz å konstruere en enhetlig teori for disse koblet til Maxwells elektromagnetiske felt. Disse kunne sprede seg ut i en eter som spilte samme rolle som Newtons antagelse om et  absolutt rom. I denne «elektronteorien» til Lorentz består en elektrisk strøm av slike ladninger  i bevegelse. En enkel ladning  *q* med hastighet **v** ville da påvirkes i et magnetfelt **B** med en kraft som må være i overensstemmelse med  Grassmanns forenklete versjon av Ampères kraftlov for et strømelement  Id\boldsymbol{l}. Siden dette nå tilsvarer  q\mathbf{v} , fremkommer dermed formelen for Lorentz-kraften

:  \mathbf{F} = q\mathbf{v}\times \mathbf{B}  

Denne loven forbinder egenskapene til feltene med bevegelsen til partiklene som skaper dem. Elektronet som partikkel spilte her en fundamental rolle, og man forsøkte å forklare dets masse som en ren elektromagnetisk effekt.

Lorentz mente at Maxwells ligninger kun var gyldige i hvilesystemet til eteren. Hastigheten **v** i hans kraftlov er målt relativ til dette spesielle referansesystemet. Hvis man derimot antar at denne formelen er gyldig i alle inertialsystem, kan man tenke seg å observere partikkelen i et system som beveger seg med partikkelen. Da vil den tilsynelatende ha null hastighet. Skal kraften på den fortsatt være den samme, må det da tilskrives et elektrisk felt

:   \mathbf{E} = \mathbf{v}\times \mathbf{B}  

i dette inertialsystemet slik at man kan skrive **F** = *q*&thinsp;**E**. På samme måte kan et elektrisk felt manifestere seg som et magnetisk felt i et inertialsystem som beveger seg.

Teorien til Lorentz ga en konsistent forklaring på alle elektromagnetiske fenomen bortsett fra Michelson–Morley-eksperimentet. Dette problemet ble i 1905 løst av Einstein med den spesielle relativitetsteori. Maxwells ligninger er der gyldig i alle inertialsystem, og det er ikke lenger nødvendig å anta eksistens av en eter.  Lyshastigheten er alltid den samme og dermed en naturkonstant.

## Magnetiske material

Magnetiske krefter er i utgangspunktet mye svakere enn de tilsvarende elektriske kreftene. Det kan illustreres ved å betrakte to ladete partikler som beveger seg i motsatt retning med samme hastighet *v*. I det øyeblikket de passerer hverandre er avstanden mellom dem *a*. Har hver av dem ladningen *q*, er da Coulomb-kraften mellom dem . Samtidig skaper den ene partikkelen et magnetfelt  som påvirker den andre med Lorentz-kraften . Forholdet mellom disse to kreftene er dermed  = *v*&thinsp;2/*c*&thinsp;2&thinsp; etter å ha innført den kvadrerte lyshastigheten  Den magnetiske kraften er derfor forsvinnende liten i forhold til den elektriske for all ikke-relativistisk bevegelse med *v*  \boldsymbol{\mu}  =  - g{e\over 2m_e}\mathbf{J} 

hvor  -*e* er elektronets ladning og *m<sub>e</sub>*&thinsp; er dets masse. Den numeriske størrelsen *g* er Landés g-faktor og avhenger av kvantetallene til elektronene i atomet. Et fritt elektron har *g* = 2, mens en partikkel uten spinn ville ha *g* = 1.

Permanente magneter omgir seg med et konstant magnetfelt som skyldes at et stort antall slike atomære dipolmoment påvirker hverandre slik at de peker i samme retning. Dette fenomenet omtales som ferromagnetisme og er en ren, kvantemekanisk effekt. Ved oppvarming vil de atomære dipolene svinge mer og mer om sine likevektsstillinger slik at de vil etterhvert vil begynne å peke i forskjellige retninger. Magnetiseringen til materialet vil derfor avta og bli null over en bestemt Curie-temperatur.

En elektromagnet kan også betraktes som en kunstig, permanent magnet. Her fremkommer magnetfeltet av en kraftig strøm som blir drevet rundt i konsentriske strømsløyfer. På samme måte kan  Jorden også kalles en permanent magnet selv om det jordmagnetiske feltet langsom forandrer seg med tiden. Det skyldes elektriske strømmer i dens indre som ennå ikke er fullstendig forstått.

### Indusert magnetisering

Da atomer og molekyler består av ladete partikler, vil alle materialer påvirkes av magnetiske felt selv om de ikke har noen permanent magnetisering. Men plasseres et slikt umagnetisk materiale i et magnetfelt, vil  den magnetiske fluksen som går gjennom hver atomær elektronbane, variere og dermed indusere en forandring i deres bevegelse. Ifølge Lenz' lov er denne forandringen slik at den prøver å motvirke eller svekke effekten av det ytre magnetfeltet **H**. Den resulterende magnetiseringen  vil derfor bli motsatt rettet slik at susceptibiliteten . Dette kalles for diamagnetisme og materialer med denne egenskapen, sies å være «diamagnetiske».

Noen materialer kan også inneholde atomer som har dipolmoment. I et ytre magnetfelt vil de rette seg inn langs dette og bidra til en magnetisering i samme retning. Dette kalles for paramagnetisme. Er denne effekten større enn den diamagnetiske, sies materialet å være «paramagnetisk» med en permeabiltet *&chi;* > 0.

### Magnetiske krefter

Et lite stykke materiale med volum *V* kan antas å ha en  konstant magnetisering **M** og dermed et magnetisk moment **m** = **M***V*. Skyldes magnetiseringen et ytre magnetfelt **H**,  vil . Denne sammenhengen er formelt også gyldig for ferromagnetiske materialer, men der vil susceptibiliteten i allminnelighet varierer med feltet på grunn av hysterese. Er det ytre magnetfeltet **H** = **B**/*&mu;*0 inhomogent, vil dette materialstykket bli utsatt for en magnetisk kraft som er gitt ved Poisson's formel. Den gir

:  \mathbf{F} = (\mathbf{m}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{B} = {\chi V\over 2\mu_0}\boldsymbol{\nabla}B^2 

som kommer frem ved å benytte at her er **&nabla;**&thinsp;&times;&thinsp;**B** = 0. Denne vekselvirkningen er derfor uavhengig av polariteten til magnetfeltet.  Et diamagnetisk materiale med *&chi;* 

## Eksterne lenker
* 
* This Month in Physics, ''Oersted and electromagnetism'',  APS News **17**, July (2008).
* Princeton University, ''Ampère's Theory of Magnetism''.
* W. Levin,  MIT, ''Lecture on Magnetic fields and Forces'', YouTube-video.
* V. Courtillot and J.-L. Le Mouël, ''The study of Earth's magnetism (1269–1950): A foundation by Peregrinus and subsequent development of geomagnetism and paleomagnetism'',  Reviews of Geophysics, **45**, RG3008 (2007).
* C. Blondel and B. Wolff, CNRS, ''Ampère lays the foundations of electrodynamics'', tidlig historie om Ørsteds og Ampères eksperiment.