Brøk

En **brøk** er et forhold mellom to heltall eller et tall som kan uttrykkes ved et slikt forhold.  Brøken uttrykker en divisjon mellom to størrelser. En brøk lest som «to tredjedeler» kan skrives som

:{2 \over 3}

og i tekst også som 2/3. Tallet over brøkstreken kalles *teller*, og tallet under brøkstreken kalles *nevner*. Nevneren må være forskjellig fra null. 
I en *ekte* brøk er telleren mindre enn nevneren, ellers er brøken *uekte*.  I en stambrøk er telleren lik 1.

Et rasjonalt tall er et tall som kan representeres med en brøk. 

Brøker er viktige i mange praktiske anvendelser, for eksempel ved deling av en størrelse mellom ulike parter. Brøkregning er derfor sentralt i undervisning av matematikk på mange trinn i skoleverket.  

Brøker kan også defineres for andre datatyper enn heltall, som for rotuttrykk og polynom.

## Etymologi

Den indoeuropeiske roten er *bhreg*, med betydning «å brekke».
Dette er samme betydning som for det latinske verbet *frangere*, perfektum partisipp *fractus*, som har gitt opphav til engelsk *fraction* og norsk *fraksjon*.  Araberen Al-Khwârizmî (født ca 790) omtaler brøker med et arabisk ord for «brutte tall». Et tilsvarende uttrykk er av og til brukt i engelske bøker fra det 16. århundre. Til norsk kom ordet *brøk* via nedertysk *brok*, med betydning «brudd».

## Terminologi

;Telleren
:Tallet som står over brøkstreken, det vil si dividenden. Som huskeregel har det vært vanlig å si at **n**evneren står **n**ederst og **t**elleren står på **t**oppen. I brøken 2/3 er tallet 2 teller.

;Nevner
Tallet som står under brøkstreken, det vil si divisor. I brøken 2/3 er tallet 3 nevner.

;Fellesnevner
:Det minste felles multiplum til nevnerene til to eller flere brøker, det vil si det minste tallet som er delelig med alle nevnerne. Brukes når man skal sammenlikne, addere eller subtrahere brøker. Er nevnerne for eksempel lik 2, 3 og 5, blir fellesnevneren 30, idet *2 = 30:15*, *3 = 30:10* og *5 = 30:6*.

;Brøkstrek
:Vannrett strek som settes mellom telleren (over streken) og nevneren (under streken).

## Tekst og tale

I tekst kan en brøk skrives både med en horisontal brøkstrek og med en skråstrek, som i  eller 3/5. Brøken kan både skrives og uttales som tre femtedeler eller som tre femdeler. Den første måten bruker ordenstall + «deler» for nevneren.

En *brøkdel* er en del av en helhet som kan uttrykkes som en brøk.

## Formell definisjon

Intuitivt kan en brøk defineres som en divisjon mellom to heltall:

:{a \over b} = (a / b) = a : b, \qquad b \ne 0.

I en formell oppbygging av reelle tall kan en starte med å definere naturlige tall og kan derfra definere positive brøker, før en går videre til rasjonale tall og reelle tall. I en slik oppbygging i mengdelære er en brøk definert som et ordnet par, sammen med et sett av regneregler:

:{a \over b} = (a,b), \qquad b \ne 0.

To brøker (a/b) og (c/d) er ekvivalente, det vil si tilhører same ekvivalensklasse, dersom ac = bd.  Et rasjonalt tall kan representeres ved en ekvivalensklasse av brøker.  

Som eksempel på definisjon av en operasjon for brøker, kan en bruke addisjon:

:{a \over b} + {c \over d} = (a,b) + (c,d) \mathrel{\stackrel\mathrm{def}=} (ad + bc, bd)

### Generaliseringer

Definisjonen av en brøk som et forholdstall eller divisjon kan også brukes for andre typer matematiske størrelser, for eksempel en brøk av rotuttrykk.  Både teller og nevner kan igjen være brøker, i en *brudden* brøk.  

Også for komplekse tall kan en definere og bruke brøkuttrykk:

:{a + ib \over c + id } = {(a + ib)(c -id) \over (c^2 + d^2)} = {ac + bd \over (c^2 + d^2)} + {bc -ad \over (c^2 + d^2)} i 

Her er (a, b,c,d) reelle konstanter, og i er den imaginære enheten.
 
I algebra kan en brøk være et forhold mellom to polynom, kalt en *algebraisk* brøk, en *rasjonal* brøk eller et *rasjonalt* uttrykk.  En slik brøk er

:{x+1 \over x^2 + 4x + 2}.

Delbrøkoppspalting er en vanlig teknikk brukt for integrasjon av rasjonale brøker.  

## Brøktyper

### Ekte og uekte brøker

En ekte brøk representerer et tall der nevneren er mindre enn telleren og der tallet er mindre enn 1, for eksempel 2/3. I en uekte brøk er telleren er større eller lik nevneren.

Uekte brøker kan også skrives som et *blandet tall*, det vil si en kombinasjon av et heltall og en ekte brøk:

:\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}.

En ekte brøk kan også være definert ved to polynom, der polynomgraden til teller er lavere en graden til nevneren:

:.

### Stambrøk

En stambrøk er en positiv brøk med nevner lik 1. Alle brøker kan uttrykkes som en endelig sum av stambrøker, også kalt egyptisk brøk. Gjennom historien har stambrøker blitt svært mye brukt. 

### Brudden brøk
I en brudden brøk er teller og/eller nevner selv en brøk. I det følgende eksempelet kalles  \frac{a}{b}  og  \frac{c}{d}  for *småbrøker*, *a* og *c* for *småtellere* og *b* og *d* for «smånevnere». Brøkstreken mellom \frac{a}{b}  og  \frac{c}{d} kalles for hovedbrøkstrek. Brøken kan forenkles ved å regneregler for brøker.

:\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} : \frac{c}{d}   = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

På engelsk kalles en brudden brøk for «complex fraction», som altså ikke er en brøk av komplekse tall. 

### Dyadisk brøk

En dyadisk brøk er en brøk der nevneren er en potens av 2. 

### Seksagesimal brøk

En seksagesimal brøk har en nevner som er en potens av 60, altså skrevet i et seksagesimalsystem.

### Kjedebrøk
En kjedebrøk er en brøk der telleren kan skrives som en sum av et heltall og en ny brøk - og iterativt - der den nye brøken igjen kan skrives som en sum av et heltall og en ny brøk. Alle brøker har tellere lik 1.

### Vanlig brøk
Begrepet *vanlig brøk* (engelsk: simple fraction, common fraction, vulgar fraction) blitt brukt om brøker av to vilkårlige heltall, både for å skille fra stambrøker, desimalbrøker, seksagesimal brøker og brutte brøker.

## Representasjon av brøker

Historisk har flere system vært brukt for å representere en generell brøk.  

### Desimalbrøk
En desimalbrøk er en representasjon av en generell som en endelig eller uendelig sum av brøker der nevneren er en dekadisk enhet (10, 100, 1000, ....), slik at brøken enkelt kan uttrykkes som et endelig desimaltall.
Ofte skriver en desimaltallet med et endelig antall siffer, og underforstått bestemmer antallet siffer da enheten i nevneren:

:0.75 = {75 \over 100}

En *periodisk* desimalbrøk har uendelig mange siffer, der en gruppe siffer gjentar seg selv. Dette er en representasjon av en uendelig sum av desimalbrøker:

:{271 \over 360} = {7 \over 10} + {5 \over 100} + {2 \over 1000} + {7 \over 10000} + {7 \over 100000} + \ldots = 0.752\overline{77} 

Streken over en gruppe av tall indikerer at denne gjentar seg i det uendelige.  

### Prosent og promille

Prosent og promille er uttrykk for desimalbrøker: «Prosent» er hundredeler, og ordet betyr direkte oversatt «per hundre». Tyve prosent (20 %) svarer til 20/100. «Promille» betyr direkte oversatt «per tusen», og tre promille (3 ‰) er det samme som 3/1000.

### Egyptisk brøk

En egyptisk brøk er historisk en representasjon som en sum av stambrøker. En slik sum kan skrives på mange forskjellige måter.

:{271 \over 360} = {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 360}.

Brøken skrives (1/2)(1/4)(1/360), med summasjon underforstått.

### Astronomisk brøk

En astronomisk brøk er historisk en brøk uttrykt i et seksagesimalt system.

:{271 \over 360} = {271 \over 360} = {15 \over 60} + {1 \over 360} .

I notasjonen til Otto Neugebauer (1899 &ndash; 1990) kan dette skrives som 0;15,1.

## Sammenlikning av brøker

En sammenligning av brøker vil ha som mål å avgjøre om brøkene er like, eller hvilken som er størst og minst. Dette kan gjøres ved finne en felles nevner for brøkene, ved *utvidelse* eller ved *forkorting*.

### Utvidelse

En utviding av en brøk gjøres ved å multiplisere telleren *a* og nevneren *b* med samme tall. Dette gir en ekvivalent brøk, det vil si en ny brøk som representerer samme tall som den opprinnelige. 

:\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}

En sammenligning gjøres ved å utvide alle involverte brøker til en felles nevner. Brøker med samme nevner kalles *ensbenevnte*.

### Forkorting
Dersom både teller og nevner kan deles med et tall *c* uten at der blir en rest, kaller man for nevnernes største felles divisor.  Teller og nevner kan da divideres med dette tallet og gi en ekvivalent brøk. 

:\frac{a}{b} = \frac{a : c}{b : c}

Brøken sies å være forkortet med tallet *c*. I den følgende tall-eksemplet blir brøken forkortet med 2:

:\frac{6}{8} = \frac{6 : 2}{8 : 2} = \frac{3}{4}

Når nevner og teller ikke har andre felles faktorer enn 1, er de to tallene relativt primiske. Da er brøken forkortet så mye som mulig.

## Aritmetikk med brøker

Mange regneregler gjør det mulig å regne med brøker. Generelt kan det være mulig å forkorte brøken i svaret.

### Addisjon og subtraksjon
Hvis de to brøkene har *samme* nevner, kan man uten videre legge dem sammen eller trekke dem fra hverandre ved å addere eller subtrahere tellerne, og bevare nevneren:

:
\begin{alignat}{2}
\frac{a}{c} + \frac{b}{c} &= \frac{a + b}{c} \\
\frac{a}{c} - \frac{b}{c} &= \frac{a - b}{c}
\end{alignat}


Et tall-eksempel på en sum:

:\frac{1}{5} + \frac{3}{5} = \frac{1 + 3}{5} = \frac{4}{5}

Hvis brøkene har ulike nevnere, blir det nødvendig å utvide den ene eller begge, slik at de får like nevnere. Som felles nevner kan en bruke produktet av de to nevnerene:

:\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}.

De to neste tall-eksemplene viser bruk av utviding i addisjon og subtraksjon.

:
\begin{alignat}{2}
\frac{1}{2} + \frac{1}{3} &= \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \\
\frac{5}{6} - \frac{1}{10} &= \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{25}{30} - \frac{3}{30} = \frac{22}{30} = \frac{11}{15}
\end{alignat}


### Multiplikasjon
To brøker multipliseres ved å multiplisere tellerne for seg og nevnerne for seg:

:\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}.

Et tall-eksempel med multiplikasjon:

:\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 1}{5 \cdot 4} = \frac{3}{20}

### Resiproke brøker
Man finner den resiproke til en brøk ved å bytte om på brøkens teller og nevner:

:\frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a}

Den resiproke brøken til 3/4 lik 4/3. Når brøken som er utgangspunkt er ekte, er den resiproke uekte, og omvendt.  

### Divisjon
To vilkårlige tall (ulik null) kan alltid divideres ved å multiplisere dividenden med det resiproke tallet til divisoren, og
dette gjelder også for divisjon av brøker:

:\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}.

«Brøker divideres ved å multiplisere med den omvendte brøk.» Et tall-eksempel:

:\frac{4}{5} : \frac{2}{3} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = = 1 \frac{1}{5}

### Røtter og potenser
For en brøk finnes n-te-rot ved å trekke den samme roten av både teller og nevner:

:\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

Et tall-eksempel:

:\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}

Tilsvarende gjelder for den n-te potensen av en brøk:

:\left( \frac{a}{b} \right) ^n = \frac{a^n}{b^n}

### Logaritmer
Da en brøk er en divisjon, gjelder logaritmeregnereglen for divisjon også for en brøk:

:log \frac{a}{b} = \log a - \log b

### Brøk som eksponent
Hvis en brøk opptrer som eksponenten i en potens (med positivt grunntall), kan uttrykket omskrives til en rot:

:10^\frac{3}{5} = \left( \sqrt[5]{10} \right) ^3 \quad \text{ eller } \quad 10^\frac{3}{5} = \sqrt[5]{10^3} = \sqrt[5]{1000}

## Rasjonale tall

Et rasjonalt tall er et tall som kan representeres ved en brøk. Formelt er ordlyden viktig: En brøk *er* ikke et rasjonalt tall, men kan *representere* et slikt tall. To ekvivalente brøker representerer det samme rasjonale tallet, og til et hvert rasjonalt tall svarer det uendelig mange brøker. Formell innføring av reelle tall kan for eksempel følge en vei der en innfører først naturlig tall, så heltall, så brøker, så rasjonale tall, så reelle tall. I mer uformell sammenheng vil begrepene «brøk» og «rasjonale tall» kunne bli brukt om hverandre.

## Brøkregning i skolen

Brøkregning er en viktig del av matematikkundervisningen i skolen. Undervisning i brøkregning starter på femte trinn.

## Historie

I primitiv matematikk finner en ikke bruk av noe som representerer en del av en helhet, kanskje fordi en alltid kunne velge den minste enheten liten nok.  I Egypt fikk en imidlertid tidlig behov for å kunne beskrive en del av en landeiendom: Hvis Nilen tok en del av eiendommen, kunne det gi rett til reduksjon av skatter. Oldtidens egyptiske matematikk viser flittig bruk av stambrøker, men et generelt brøkbegrep ser ikke ut til å ha vært kjent. En etterspurt brøk ble uttrykt som en endelig sum av stambrøker, som ga opphavet til navnet *egyptisk brøk* for en slik sum.. Av en eller annen ukjent grunn har en imidlertid også tatt i bruk brøken 2/3, med et eget symbol. Rhind-papyrusen fra omkring 1550 f.Kr. inneholder mange eksempel på egyptisk brøkregning, og papyrusen starter med en tabell over 2/*n* uttrykt som en sum av stambrøker, for odde verdier av *n* fra 5 til 101.  

Babylonsk aritmetikk var generelt mer velutviklet enn egyptisk, og babylonerne regnet med brøker i sitt seksagesimalsystem.  Tallene (2(60)^1 + 2), (2 + 2(60)^{-1}) og (2(60)^{-1} + 2(60)^{-2} ble skrevet på akkurat samme måten, og bare
sammenhengen ville skille slike uttrykk. Forutsetningen var at de to potensene i et uttrykk var «naboer». Et generelt posisjonssystem for tall var ennå ikke utviklet, men babylonerne tok et steg på veien ved å oppdage at regning med slike spesielle uttrykk var teknisk sett uavhenging av potensgraden.

Det eldste, kjente kinesiske, matematiske manuskript *[[Soluret og himmelens sirkler]]* beskriver noen beregninger med brøker. Tidfesting av dette manuskriptet er svært usikker, og estimat varierer med over tusen år. Den versjonen som er bevart
er antagelig fra rundt 300 f.Kr. Kineserne var tidlig fortrolig med beregninger med generelle brøker, inkludert en fremgangsmåte for å finne en fellesnevner. Et titallssystem ble foretrukket, også for brøker.I regler for brøkregning ble telleren kalt «sønn» og nevneren «mor».

Studiet av svingende streng skal ha gjort grekeren Pytagoras (ca. 570 &ndash; ca. 490 f.Kr.) og pytagoreerne interessert i forholdstall, og de utviklet en lære om forholdstall som en viktig bestanddel av den iboende natur til alle ting. Et forholdstall uttrykte en relasjon mellom to heltall, og forholdstallet ble ikke betraktet som en egen størrelse. På en måte er en slik betraktning i tråd med den moderne formelle definisjonen av en brøk. Bruken av forholdstall kom til å bli dominerende i nesten to tusen år videre og i en viss grad til å stå i veien for utvikling av et mer generelt brøkbegrep.

Greske matematikere tok likevel generelle brøker i brukt, selv om de arvet egypternes forkjærlighet for stambrøker.  
Euklid (omkring 300 f.Kr.) skilte mellom «del» (i entall) for en stambrøk og «deler» (i flertall) for alle andre brøker.

Tidlige greske matematikere, inkludert Diofantos (ca.200 &ndash; ca. 284), skrev en brøk ved å plassere nevneren over telleren, altså stikk motsatt av det vi gjør i dag. En skrivemåte med telleren øverst ble først innført i en noe senere periode i Alexandria og spredde seg videre derfra.

I studiet av astronomi brukte Klaudios Ptolemaios (ca. 90 &ndash; ca.168) brøker basert på sekstitallssystem, slik babylonerne hadde gjort. 
Den store innflytelsen Ptolemaios' verk *[[Almagest]]* gjorde at slike brøker kom til å dominere tidsregning, astronomi og geografi.  
I latinske manuskript fra middelalderen ble en astronomisk brøk (15/60 + 1/360) beskrevet som 15 *minuta (prima)* (dvs «liten») og 1 *minuta secunda*.
Den engelske matematikeren John Wallis (1616 &ndash;1703) skrev dette som 15′1″.

I middelalderen levde de tre systemene for å uttrykke brøker side om side: astronomiske brøker, egyptiske brøker og *vanlige* brøker. Leonardo Fibonacci (ca.1170 &ndash; ca.1250) brukte egyptiske brøker i *Liber Abaci*, verket som en regner som en innføring av titallssystemet i Europa. Bruken gjør lesing vanskelig, for eksempel er 
99/100 skrevet som (1/25)(1/5)(1/4)(1/2). Fibonacci plasserte brøken i et blandet tall først: 2.

I tillegg til bruken i Kina finner en desimalbrøker anvendt også i arabisk matematikk og i Renessanse-Europa.  I et av hans tidlige verk, *Canon-mathematicus* (1579), argumenterte franskmannen François Viète (1540 &ndash; 1603) for å erstatte astronomiske brøker med desimalbrøker.  Bruken av desimalbrøker var imidlertid begrenset til et fåtall matematikere, og blant folk flest var titallssystemet for brøker og desimaltall ukjent. Den flamske matematikeren Simon Stevin (1548&ndash;1620) bidro sterkt til å endre dette, gjennom verket *De thiende* («Tieren»), første versjon publisert 1585.

Skrivemåten for brøker har variert sterkt gjennom historien. Den horisontale brøkstreken var brukt av Abu Bakr al-Hassar i det tolvte århundre og også av Fibonacci. Brøkstrek ble imidlertid først vanlig i det sekstende århundre.

En moderne introduksjon av brøker kom først med Richard Dedekind (1831 &ndash; 1916) og Georg Cantor (1845 &ndash; 1918), som del av arbeidet med å etablere et formelt fundament for rasjonale og reelle tall.

## Referanser


## Litteratur

*

## Eksterne lenker

*