Wiens forskyvningslov

**Wiens forskyvningslov** er en lov i fysikken som sier at den spektrale energitettheten til sort stråling varierer ikke med bølgelengden og temperaturen uavhengig av hverandre, men på en sammenkoblet måte. Det ble vist av den tyske fysiker Wilhelm Wien i 1893. Han kom frem til dette fundamentale resultatet ved å kombinere de termodynamiske lovene med Doppler-effekten som strålingen utsettes for ved en langsom forandring av volumet som omslutter den. En direkte konsekvens er at den bølgelengden eller frekvensen hvor energitettheten er maksimal, er omvendt proporsjonal med den absolutte temperaturen til strålingen. Dette ble eksperimentelt verifisert av den tyske eksperimentalfysiker Friedrich Paschen allerede i 1895.

Loven var viktig i den videre utforskningen av egenskapene til strålingen som kulminerte med oppdagelsen i 1900 av Plancks strålingslov. Denne er kompatibel med Wiens forskyvingslov.

I plottet til høyre ser man at maksimum til kurven flytter seg til venstre etterhvert som temperaturen øker. Det blir forskjøvet. Wiens forskyvingslov har også den konsekvensen at slike kurver ved forskjellige temperaturer aldri vil skjære hverandre.  Den er en av de mest kjente eksempler på en skalalov i fysikken.

## Praktisk bruk

Loven sier strålingen er mest intens ved en absolutt temperatur *T*  for en bølgelengde *&lambda;<sub>m</sub>*  som er gitt ved relasjonen

:\lambda_m T = 2897,77\,\mu\mathrm{m\cdot K} 

Verdien av konstanten på høyre side følger fra Plancks strålingslov. Den første, presise målingen av denne konstanten ble gjort av de to tyske eksperimentalfysikerne O. Lummer og E. Pringsheim i 1900.

Solen har en overflatetemperatur på ca. 5780 K som gir   som tilsvarer synlig lys. Jorden med en overflatetemperatur på ca. 300 K, vil ha maksimal utstråling for bølgelengder rundt 10&thinsp;&mu;m som er i den infrarøde delen av det elektromagnetiske spekteret og blir absorbert i atmosfæren. Dette er en viktig grunn for drivhuseffekten. Den kosmiske bakgrunnstrålingen har en temperatur i dag på  som tilsvarer bølglengder omkring  eller frekvenser rundt 300&thinsp;GHz.

## Teoretisk begrunnelse
Ved bruk av termodynamikk hadde den østerrikske fysiker  Ludwig Boltzmann vist i 1884 at energitettheten økte med temperaturen *T* i fjerde potens. I denne forbindelse hadde Boltzmann sett på hva som skjer med strålingen, innesluttet i en sylinder med et stempel, når stemplet trekkes langsomt ut slik at volumet øker. En slik adiabatisk forandring betyr at entropien til strålingen forblir uforandret.

Denne prosessen ville Wien undersøke nærmere. Han betraktet et sfærisk hulrom med radius *R* med sort stråling. Ved en adiabatisk forandring av volumet *V* vil dermed entropien til strålingen  være konstant som betyr at *VT<sup>3</sup> = konst.* Derfor må produktet *RT* forbli uforandret, noe som betyr at temperaturen vil avta.

Wien antok at veggen i hulrommet var fullstendig reflekterende. Han kunne da  vise at bølgelengden *&lambda;* økte proporsjonalt med radius *R* på grunn av Doppler-effekten. Det betyr derfor at *&lambda;T* er konstant under denne utvidelsen hvor den tilsvarende frekvensen  avtar.

Men  Stefan-Boltzmanns lov må være oppfylt, også i hvert frekvensintervall. Sammenligner man derfor den spektrale energitettheten  ved to temperaturer  *T* og , må derfor

:  u_\nu(T)d\nu =  \left({T\over T'}\right)^4 u_{\nu'}(T')d\nu' = \left({T\over T'}\right)^3u_{\nu'}(T')d\nu 

Hvis man her setter at *&nu;' = konst*, har man dermed  at  for en eller annen funksjon *f(x)*. Det betyr at

:  u_\nu(T) = \nu^3 g(\nu/T) 

hvor funksjonen *g(x)* bare inneholder en variabel, men kan ikke bestemmes. Men den må avta tilstrekkelig raskt for høye frekvenser slik at den gir en integrert energitetthet som er endelig. Dette er den matematiske formen for **Wiens forskyvningslov**.

Den spektrale energitettheten kan også skrives som en funksjon  *u<sub>&lambda;</sub>(T)* av bølgelengden. Sammenhengen mellom disse to spektralfordelingene er gitt ved at . Men da , har man at   som også gir disse to funksjonene forskjellig dimensjon. Wiens forskyvingslov for denne energitettheten blir dermed

:  u_\lambda(T) = \lambda^{-5} h(\lambda T) 

hvor funksjonen *h(x)* igjen ikke kan beregnes fra en slik generell utledning. Hvis man plotter , vil alle målepunkter for forskjellige *&lambda;* og *T* falle på en kurve. Det er ensbetydende med at kurvene for *u<sub>&lambda;</sub>(T)* som funksjoner av bølgelengden ved forskjellige temperaturer, ikke vil skjære hverandre. Denne lovmessigheten og funksjonen *h(&lambda;T)* ble først eksperimentelt påvist av Lummer  og Pringsheim i 1899.

Wien brukte dette resultatet et par år senere til å forslå en form for denne funksjonen basert på Maxwell-Boltzmanns fordelingslov for hastighetene til molekylene i en gass. Resultatet kalles Wiens strålingslov og spilte en viktig rolle frem til Plancks strålingslov ble funnet i 1900.

## Forskyving av maksimum
Hvis funksjonen *u<sub>&lambda;</sub>(T)* har et maksimum for en bølgelengde *&lambda;<sub>m</sub>* ved en gitt temperatur *T*, kan den bestemmes fra kravet om at den deriverte av funksjonen *&lambda;<sup>-5</sup>h(&lambda;T)* skal være null for denne bølgelengden. Det gir ligningen

:  \lambda T h'(\lambda T) - 5h(\lambda T) = 0 

som vil ha en løsning for *&lambda;<sub>m</sub>T = konst.* Bølgelengden for maksimum til strålingsintensiteten vil altså forskyves mot kortere bølgelengder ved høyere temperaturer.

## Plancks strålingslov

I løpet av 1899 ble det gjort mer presise målinger av strålingsintensiteten som inneholdt data for lengre bølgelenger enn tidligere. De viste klart at Wiens strålingslov ikke kunne være generelt gyldig. Disse eksperimentene fikk Max Planck til å utvikle en ny strålingslov som kan skrives på formen

:u_\nu(T) = \frac{8\pi\nu^2 }{c^3} \frac{h\nu}{e^{h\nu /k_BT} - 1}  

Her er *k<sub>B</sub>* Boltzmanns konstant og *h* den nye konstanten han hadde vært nødt til å innføre. Denne nye loven var i overensstemmelse med både Wiens forskyvingslov og de nye målingene.

Frekvensen for maksimum av denne nye spektralfunksjonen finnes nå fra *&part;u<sub>&nu;</sub>/&part;&nu; = 0*. Ved å innføre *x = h&nu;/k<sub>B</sub>T* som ny variabel, gir nå derivasjonen ligningen

: \frac{8\pi h\nu^2 }{c^3}\left[{3\over e^x - 1} - {xe^x\over (e^x -1)^2}\right] = 0. 

Det betyr at *x/3 = 1 - e<sup>&thinsp;-x</sup>* som må løses numerisk. Det gir *x<sub>m</sub>* = 2,82144... ved maksimum. Den tilsvarende frekvensen er dermed

:{\nu_m\over T} = {x_m k_B\over h} = 58,789\, \mathrm{GHz}\cdot\mathrm{K}^{-1} 

For eksempel har den kosmiske bakgrunnsstrålingen en temperatur på 2,73 K og derfor en maksimum ved frekvenser rundt .

Men dette gir ikke maksimum til den relaterte spektralfunksjonen

:u_\lambda(T) = {8\pi h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda k_BT}-1} 

Det kan beregnes på samme måte ved å innføre  som ny variabel. Da er maksimum bestemt ved ligningen  som gir  ved maksimum. Den tilsvarende bølgelengden oppfyller dermed

:\lambda_m T = {hc\over x'_m k_B} = 2897,77\,\mu\mathrm{m\cdot K} 

Da *&nu;<sub>m</sub>* og *&lambda;<sub>m</sub>* bestemmer maksima for to forskjellige funksjoner, er *&nu;<sub>m</sub>&lambda;<sub>m</sub>/c* = 0,568 i stedet for 1,000 som man kanskje kunne ha forventet. For strålingen fra Solen med temperatur på omtrent 5800 K, er *&lambda;<sub>m</sub>* = 500&nbsp;nm som tilsvarer grønt lys midt i det synlige spekteret. Men beregner man frekvensen *&nu;<sub>m</sub>*, tilsvarer den en bølgelengde nærmere 900&nbsp;nm som er nesten i den infrarøde delen av spekteret.

## Referanser


## Litteratur

* P. Callin, J. Pålsgård, R. Stadsnes og C.W. Tellefsen,  *Ergo: Fysikk 1*, Aschehoug, Oslo (2007).
* R. Renstrøm, *Fysikkens historie*, Høyskoleforlaget, Oslo (2006).
* E. Lillestøl, O. Hunderi og J.R. Lien, *Generell Fysikk*, Universitetsforlaget, Oslo (2001).
* M. Planck, *The Theory of Heat Radiation*, Dover Publications, New York (2003). ISBN 0-486-66811-8.
* M. Longair, *Theoretical Concepts in Physics*, Cambridge University Press, England (2003). ISBN 978-0-521-82126-1.