Kulekoordinater

**Kulekoordinater** er et tredimensjonalt  koordinatsystem. Posisjonen til et punkt er gitt ved en radiell koordinat *r* som angir avstanden fra et fast origo samt to vinkler (*&theta;,&phi;*) som angir retningen til punktet. Disse tre koordinatene tilsvarer derfor et punkt på en kuleflate med radius *r*, noe som har gitt opphav til navnet kulekoordinater. Alternativt blir også navnet **sfæriske koordinater** benyttet.

Vinkelen *&theta;* måles ut fra en polar akse som står loddrett på et plan. Projeksjonen av punktet ned i dette planet har en azimutal vinkel som er *&phi;*.
Denne varierer derfor i intervallet 0° - 360°, mens den polare vinkelen *&theta;* varierer i intervallet 0° - 180°. Uttrykt i radianer tilsvarer det at *&theta;* varierer mellom 0 og &pi;&thinsp;, mens *&phi;* varierer mellom 0 og 2&pi;&thinsp;. På Jordens overflate tilsvarer disse to vinklene geografiske koordinater hvor *&phi;* er lengdegrad og 90° - *&theta;* er breddegrad.

Benyttes et kartesisk koordinatsystem (*x,y,z*) med *z*-aksen langs den polare aksen, vil sammenhengen mellom koordinatene i disse to systemene være gitt som

: x=r \sin\theta \, \cos\varphi
: y=r \sin\theta \, \sin\varphi
: z=r \cos\theta

når den azimutale vinkelen måles ut fra *x*-aksen.

Kulekoordinater kan generaliseres til rom med et vilkårlig antall dimensjoner. For to dimensjoner tilsvarer de polarkoordinater. I alle dimensjoner vil en av koordinatene angi avstanden til et punkt fra origo, mens de andre angir et punkt på en multidimensjonal kuleflate. De kan benyttes også i generell relativitetsteori og kalles da for **Schwarzschild-koordinater** etter Karl Schwarzschild som benyttet dem til å finne den første beregning av et sort hull. Den radielle koordinaten *r* angir da ikke lenger en avstand fra et origo, men har en mer abstrakt betydning.

## Ulike konvensjoner
Det finnes ulike konvensjoner for hvilke symboler som brukes for de tre kulekoordinatene. I denne artikkelen viser *r* til radius, *&theta;* til polar vinkel og *&phi;* til azimutal vinkel. Dette er i tråd med ISO-standard 31-11, og er vanlig i fysikk og mer praktiske anvendelser. Noen ganger benyttes *&rho;* for den radielle koordinaten. I matematisk litteratur kan det forekomme at vinklene *&theta;* og *&phi;* byttes om eller får andre betegnelser.

## Differensielle egenskaper

Kulekoordinater blir brukt ved løsninger av differensialligninger og integrasjon av funksjoner som har enkle egenskaper under rotasjoner. Dette kan da lettere utføres ved å benytte egenskapene til koordinatene uttrykt ved det differensielle linjeelementet. I det omsluttende, kartesiske koordinatsystemet er dette    Ved direkte utregning fra transformasjonsligningene finner man da at det kvadrerte linjeelementet  =  kan skrives som

:  ds^2 = dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\!\theta\,d\varphi^2) 

Et differensielt flateelement på en kule med radius *r* er derfor  Hele kuleflaten har arealet

:  S = r^2\int_0^{2\pi}\!d\varphi \int_0^\pi\!\sin\theta d\theta = 4\pi r^2 

På tilsvarende vis er blir det differensielle volumelementet *dV =  r<sup>2</sup>&thinsp;*sin*&theta;d&phi;d&theta;dr*. Det kan benyttes til å finne volumet av en kule med radius *R*,

:  V = \int_0^R\!r^2 dr\int_0^{2\pi}\!d\varphi \int_0^\pi\!\sin\theta d\theta =  4\pi\int_0^R\!r^2 dr = {4\over 3}\pi R^3 

På denne måten kan man utføre alle integrasjoner hvor integranden bare avhenger av den radielle koordinaten *r*.

Dette kvadrerte linjeelementet kan også skrives som *ds<sup>2</sup> = g<sub>&mu;&nu;</sub>dx<sup>&mu;</sup>dx<sup>&nu;</sup>* for krumlinjete koordinater  når man benytter Einsteins summekonvensjon  over like indekser. Den metriske matrisen i kulekoordinater er derfor

: g_{\mu\nu}=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0\\ 0 & 0 & r^2\sin^2\theta
\end{bmatrix} 

Denne diagonale formen kan brukes til å konstruere Laplace-operatoren i kulekoordinater. Når den virker på en skalar funksjon  \Phi = \Phi(r,\theta,\varphi) , gir den Laplace-ligningen

: \nabla^2\Phi = {1\over r^2} {\partial\over\partial r}\left(r^2 {\partial\Phi\over\partial r}\right) + {1\over r^2\sin\theta} {\partial\over\partial\theta}\left(\sin\theta{\partial\Phi\over\partial\theta}\right) + {1\over r^2\sin^2\theta} {\partial^2\Phi\over\partial\phi^2} .

I det spesielle tilfellet at funksjonen er uavhengig av den radielle koordinaten *r*, blir løsningen av differensialligningen gitt ved sfærisk harmonisk funksjoner.

### Sfæriske basisvektorer

I kulekoordinater kan det differensielle linjeelementet nå skrives som  hvor de nye basisvektorene   er tangenter til koordinatlinjene  i dette koordinatsystemet.  Ved å sammenligne med linjeelementet i kartesiske koordinater, finner man da direkte fra transformasjonsligningene at

:\begin{align}
\mathbf{e}_r  &= \sin\theta\cos\varphi\,\mathbf{e}_x + \sin\theta\sin\varphi\,\mathbf{e}_y + \cos\theta\,\mathbf{e}_z \\
\mathbf{e}_\theta  &= r\cos\theta\,\cos\varphi\,\mathbf{e}_x  + r\cos\theta\,\sin\,\varphi\,\mathbf{e}_y - r\sin\theta\,\mathbf{e}_z\\
\mathbf{e}_\varphi &= -r\sin\theta\sin\varphi\,\mathbf{e}_x  + r\sin\theta\cos\,\varphi\,\mathbf{e}_y \\
\end{align} 

Mens basisvektoren **e***r*&thinsp; peker i radiell retning, er de angulære basisvektorene **e***&theta;*&thinsp; og **e***&phi;*&thinsp; tangentvektorer til en kule. Disse tre vektorene står i hvert punkt vinkelrett på hverandre. Det kommer til uttrykk ved at den metriske tensoren  har bare diagonale elementer. Disse angir de relative lengdene til vektorene.

### Christoffel-symbol
Basisvektorene har forskjellige retninger i forskjellige punkt. Flytter man seg fra et punkt til et nærliggende punkt separert med  , vil forandringen av vektorene være en lineærkombinasjon av de eksisterende basisvektorene. Dette kan skrives som

:  d\mathbf{e}_\mu = \mathbf{e}_\nu \Gamma^\nu_{\;\mu\alpha}dx^\alpha 

hvor koeffisientene  er Christoffel-symbolene for dette koordinatsystemet. De kan finnes ved en  direkte derivasjon av basisvektorene som gir

: \Gamma^r_{\;\theta\theta}=-r,\quad \Gamma^r_{\;\varphi\varphi}=-r\sin^2\theta,
: \Gamma^\theta_{\;r\theta} =\Gamma^\varphi_{\;r\varphi} = 1/r,
: \Gamma^\theta_{\;\varphi\varphi}=-\cos\theta\sin\theta,\quad \Gamma^\varphi_{\;\theta\varphi} =\mathrm{cot}\,\theta,

mens alle andre er null.

## Referanser


## Litteratur
* M. R. Spiegel, *Vector Analysis*, Schaum's Outline Series, New York, (1959).
* M.L. Boas, *Mathematical Methods in the Physical Sciences*, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.

## Eksterne lenker

* E. Weisstein, ''Spherical Coordinates'', Wolfram MathWorld.