Akselerasjon

**Akselerasjon** er i fysikk endringen av hastigheten til et legeme med hensyn på tiden. Et legemes akselerasjon er netto resultat av alle de krefter som virker på legemet, som beskrevet av Newtons andre lov. SI-enhet for akselerasjon er meter per sekund i andre potens , eller meter per sekund per sekund.

I dagligtale er akselerasjon relatert til endring av fart. For eksempel, akselererer en bil når den øker farten fra en 50-sone til en 60-sone. Men akselerasjon i fysikken er også definert som endring av retningen til et legeme i bevegelse. Dermed akselererer bilen også når den kjører gjennom en kurve, selv om speedometret viser konstant hastighet. På grunn av dette brukes vektorer når akselerasjon skal behandles matematisk. Negativ akselerasjon (bremsing) henvises ofte til som **retardasjon** (fra latin, «forsinkelse»).

## Definisjon og beskrivelse
### Gjennomsnittlig akselerasjon
Et legemes gjennomsnittlige akselerasjon \bar{a} over en tidsperiode er dets forandring av fart  \Delta \mathbf{v} dividert med varigheten av perioden  \Delta t som uttrykkes:

:\bar{a} = \frac{v_2-v_1}{t_2-t_1} = \frac{\Delta v}{\Delta t} ,

der  v_1  og  v_2  er hastigheten ved henholdsvis start og enden av perioden, og  t_1  og  t_2  er tiden ved henholdsvis start og enden av den samme perioden.

På samme måte er fartens gjennomsnittsverdi \bar{v} over en tidsperiode, forandring av posisjon (vei)  \Delta \mathbf{s} dividert med varigheten av perioden  \Delta t som uttrykkes:

:\bar{v} = \frac{s_2-s_1}{t_2-t_1} = \frac{\Delta s}{\Delta t} ,

der  s_1  og  s_2  henholdsvis posisjonene ved start og enden av den samme tidsperioden.

;Eksempel på beregning for å finne endringen av hastigheten

En bil beveger seg ved tiden t_1=0\,\mathrm s med en hastighet på v_1=10\,\mathrm{\tfrac{m}{s}} på veien (eller 36&nbsp;km/h). Ti sekunder senere, ved tiden t_2=10\,\mathrm s, er hastigheten økt til v_2=30\,\mathrm{\tfrac{m}{s}} (eller 108&nbsp;km/t). Hva er bilens gjennomsnittlige akselerasjon? 

Den gjennomsnittlige akselerasjon av bilen i dette tidsintervallet finnes slik:

:a_{gj}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1} = \frac{30-10}{10-0} = 2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} 

Hastigheten har altså gjennomsnittlig endret seg 2&nbsp;m/s (eller 7,2&nbsp;km/h) over de ti sekundene.

### Momentant akselerasjon

Momentan akselerasjon er grenseverdien av gjennomsnittlig akselerasjon over et uendelig lite (infinitesimal) tidsintervall. Det vil si at om en vil finne akselerasjonen i posisjon 1 der hastigheten er  v_1  lar en målepunktet for posisjon 2 der hastigheten er  v_2 , og tilhørerne tidspunkter  t_1  og  t_2 , komme nærmere og nærmere posisjon 1. Slik blir den gjennomsnittlige akselerasjonen \bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t}  en stadig mindre hastighetsendring over et stadig mindre tidsintervall. Det innebærer at  \Delta v  og \Delta t blir stadig mindre, men forholdet mellom dem blir nødvendigvis ikke lite. I matematikken sier en at grenseverdien av  \frac{\Delta v}{\Delta t}  når \Delta t går mot null er den deriverte av farten med hensyn på tiden:

:a = \lim_{t_1-t_0} = \frac{\Delta \vec{a}}{\Delta t} ,

Gjennomsnittlig akselerasjon er en vektor med samme retning som den vektorielle gjennomsnittlige hastighet. Den momentane vektorielle akselerasjon blir definert på samme måte som akselerasjon for forandring av fart, altså:

:\vec{a} = \lim_{\Delta t}= \frac{d\vec{v}}{dt},

altså den deriverte av hastighetsvektoren \vec{v} med hensyn på tiden . 

Det er vanlig å betrakte fart bare som en absoluttverdi, mens hastighet beskrives både som størrelse og retning, altså en størrelse som beskrives som en vektor.

Bevegelse og akselerasjon kan også være noe som skjer i tre dimensjoner, altså ikke en hendelse i planet, men i rommet, dermed er det vanlig å dekomponere akselerasjonen i x-, y- og z-komponenter. For momentan akselerasjon blir definisjonen av disse komponentene:

: a_x = {dv_x \over dt}, \ a_y = {dv_y \over dt} \ og \ a_z = {dv_z \over dt},

der  v_x ,  v_y  og  v_z  er hastigheten i henholdsvis x-, y- og z-retningene.

Uttrykt med enhetsvektorer blir dette en akselerasjonsvektor slik:

: \vec{a} = {dv_x \over dt} \mathbf {i} + {dv_y \over dt} \mathbf {j} + {dv_z \over dt} \mathbf {k} 

der **i**, **j** og **k** er enhetsvektorene i henholdsvis x-, y- og z-retningene.

Siden hver av akselerasjonskomponentene er den dobbeltderiverte av strekningen kan dette også uttrykkes:

: a_x = {d^2 s_x \over dt},\  a_y = {d^2 s_y \over dt}\  og \  a_z = {d^2 s_z \over dt},

der  s_x ,  s_y  og  s_z  er hastigheten i henholdsvis x-, y- og z-retningene. Og akselerasjonsvektoren blir etter dette:

: \vec{a} = {d^2 s_x \over dt} \mathbf {i} + {d^2 s_y \over dt} \mathbf {j} + {d^2 s_z \over dt} \mathbf {k}, 

## Tangential og sentripetalakselerasjon

Hastigheten til et legeme som beveger seg i en buet bane som en funksjon av tiden kan skrives som:

:\vec{v} (t) =v(t) \frac {\vec {v}(t)}{v(t)} = v(t) \vec {u}_\mathrm{t}(t) , 

med *v*(*t*) som er lik hastigheten for bevegelse langs banen, og: 

:\vec{u}_t = \frac {\vec{v}(t)}{v(t)} \ , 

som er en tangentiell enhetsvektor til banen som peker i bevegelsesretningen på det valgte øyeblikk i tid. Tatt i betraktning både skiftende hastighet  v(t) og skiftende retning av  \vec u_t, kan akselerasjonen til en partikkel som beveger seg i en buet bane, skrives med kjerneregelen for derivering for et produkt av to funksjoner av tid som:

:\begin{alignat}{3}
\vec{a} & = \frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{d}t} \\
           & =  \frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d}t} \vec{u}_\mathrm{t} +v(t)\frac{d \vec{u}_\mathrm{t}}{dt} \\
           & = \frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d}t} \vec{u}_\mathrm{t}+ \frac{v^2}{r}\vec{u}_\mathrm{n}\ , \\
\end{alignat}

der  \vec u_n er enhetsnormalvektoren (innover) til legemets bane (også kalt *hovednormalen*), og *r* er dens momentane kurveradius basert på den aktuelle krumningssirkelen for tidspunktet *t*. Disse komponentene blir kalt henholdsvis *tangentiell akselerasjon* og *normal-* eller *radiell akselerasjon* (eller sentripetalakselerasjon i sirkulær bevegelse).

### Sirkelbevegelse

*Uniform sirkulær bevegelse* vil si at det er konstant fart langs en sirkulær bane, som er et eksempel på at et legeme akselererer. Selv om farten er konstant, endrer retningen av hastigheten seg konstant. Retningen av legemets bevegelse er tangentiell til sirkelen, og er en vektor som er i stadig forandring. Denne akselerasjonen er en radial akselerasjon  a_{rad}  siden det alltid er rettet mot midten av sirkelen. Absoluttverdien uttrykkes:

: a_{rad} = 

der v er legemets lineære fart langs den sirkulære bane og r er radius til sirkelbanen. Denne størrelsen kan også beregnes ut fra legemets vinkelhastighet \omega:

: a_{rad} = {\omega^2} r 

Med ikke-uniform sirkulær bevegelse menes at hastighet langs den sirkulære banen endres, dette betyr at det også virker en akselerasjon som er parallell med den momentane hastigheten. Denne akselerasjonen er i tillegg en tangent til sirkelbanen. Denne komponenten  a_{tan}  uttrykkes:

: a_{tan} = {d | \vec {v} | \over {r}}

der  | \vec {v} |  er absoluttverdien av hastighetsvektoren, altså farten. En annen sammenheng som gjelder for farten og periodetiden  T , altså tiden for legemet å gjennomløpe en runde i sirkelbanen:

: v = { 2 \pi r \over {T}},

og ved å sette denne sammenheng inn i formelen for radialakselerasjon over fås denne sammenhengen:

: a_{rad} = { 4 \pi^2 r \over T^2},

Denne akselerasjonskomponenten kan også finnes ut fra vinkelhastigheten, den er proporsjonal med endring av vinkelhastigheten rundt sirkelen ganger radius *r*:

: a_{tan}= {\omega^2}  r  

## Sammenheng mellom akselerasjon og kraft
Ved anvendelse av Newtons andre lov på kraften *F*, kan en finne en sammenheng mellom akselerasjon og kraften som virker på et legeme:

:  \vec {F} = m \vec {a} ,  

der m er massen av legemet.

Akselerasjonen og nettokraften som virker på et legeme i uniform sirkulær bevegelse er rettet mot midten av sirkelen. Denne kraften er kalt sentripetalkraften. Mens den såkalte sentrifugalkraften som synes å opptre i motsatt retning på legemet, er i virkeligheten en fiktiv kraft som kun oppleves i selve referansesystemet til et legeme i sirkulær bevegelse.

Størrelsen av nettokraften som virker på et legeme i uniform sirkulær bevegelse er gitt av:

:  F = m a_{rad} = m {v^2 \over r},  

der størrelsene er de samme som før.

## Ekvivalensprinsippet og generell relativitet

Ekvivalensprinsippet sier at det ikke er noe gravitasjonsfelt i et fritt fallende referansesystem. Det går tilbake til betraktningene til Galileo Galilei og Isaac Newton, som erkjente at alle legemer som akselererer på grunn av gravitasjon, gjør det uavhengig av deres masse. En observatør i et laboratorium kan ikke avgjøre om hennes eller hans laboratorium er i vektløs tilstand eller befinner seg i fritt fall. Observatøren kan heller ikke fastslå om laboratoriet flyttes med jevn akselerasjon, eller om det er i et eksternt homogent gravitasjonsfelt som virker gjennom det (for eksempel at laboratoriet står på jorden).

## Eksempler på størrelsen av akselerasjon
Størrelsen av typiske akselerasjoner fra hverdagen og fra universet:
* Et passasjertog oppnår typisk en akselerasjon på cirka 0,5 m/s2,
* I løpet av de første stegene i en sprint kan akselerasjoner på cirka 4 m/s2 oppnås for en utøver.
* Ved kulestøt oppstår en akselerert kastfase på cirka 10 m/s2.
* I en vaskemaskin virker det en akselerasjon på mer enn 3000&nbsp;m/s2 på klærne i trommelen.
* Nålen i en symaskin kan komme opp i akselerasjoner på 60 000&nbsp;m/s2
* Tyngdens akselerasjon på overflaten av en nøytronstjerne er 2·1011&nbsp;m/s2

## Se også
* Treghet
* Akselerometer
* Høyereordens deriverte av posisjon

## Referanser


## Litteratur
*

* 

## Eksterne lenker

* Measurespeed.com – Akselerasjons kalkulator.