Relativistisk Doppler-effekt

**Relativistisk Doppler-effekt** beskriver hvordan frekvensen eller bølgelengden for lys eller annen elektromagnetisk stråling forandres ved at lyskilden eller mottageren beveger seg  relativt til hverandre. 
I den akustiske Doppler-effekten inngår både hastigheten til lydkilden og hastigheten til mottageren som måler frekvensen av lyden. Samme relativhastighet mellom kilde og mottager gir i alminnelighet ikke samme frekvensforskyving. Det skyldes at hastighetene måles i forhold til mediet (luften) som lydbølgen beveger seg gjennom. Luften er en eter for lydbølgene. Hvis det fantes en eter for lysbølger, ville man for dem forvente en lignende Doppler-effekt som for lyd. Det er aldri blitt observert. 

I den spesielle relativitetsteorien er det ingen eter og lyshastigheten er den samme i alle inertialsystemer.  Albert Einstein viste i 1905 at Doppler-forskyvningen kun avhenger av den *relative* hastighet mellom kilde og mottager. Denne symmetrien er en direkte konsekvens av at også oppfatning av tid er forskjellig for forskjellige observatører  og kommer til uttrykk ved tidsdilatasjonen i den spesielle relativitetsteorien.

## Longitudinell effekt

Man kan først anta at lyskilden beveger seg med hastighet *v* langs den positive *x*-aksen mot mottageren som er lokalisert på denne aksen.  Etter å ha mottatt en bølgetopp, må han vente en tid *T<sub>R</sub>* til han mottar neste.  Nå er *c - v* den *relative* hastigheten mellom kilde og mottager slik at  er bølgelengden han ser at lyset har. Frekvensen til det observerte lyset er *&nu;' = c/&lambda;'&thinsp;* som nå blir

:  \nu' = {1\over 1 - v/c} {1\over T_R} 

Nå er tiden *T<sub>R</sub>* mellom to bølgetopper målt i et inertialsystem hvor mottageren er i ro og kilden beveger seg. På grunn av tidsdilatasjonen tilsvarer det tiden  i et system hvor kilden ligger i ro og *&gamma; = 1/&radic;(1 - v<sup>2</sup>/c<sup>2</sup>)* er den berømte Lorentz-faktoren. Men tiden *T&thinsp;* mellom to bølgetopper i dette systemet er direkte gitt ved frekvensen *&nu; = 1/T&thinsp;*. Innsatt gir det den observerte frekvensen

:  \nu' = {\sqrt{1 - v^2/c^2}\over 1 - v/c}\,\nu = \sqrt\,\nu  

for mottageren som ser lyskilden nærme seg. Som ventet er den større enn hvilefrekvensen. Faktoren foran *&nu;* som gir denne Doppler-forskyvningen, kalles noen ganger  for *K-faktoren* og danner grunnlaget for K-kalkulus.

### Bevegelig mottager

I dette tilfellet kan man tenke seg at lyskilden sitter i ro i *x = 0*, mens mottageren nærmer seg med hastighet *v*. Er perioden til det utsendte lyset *T* i dette referansesystemet, så er frekvensen *&nu; = 1/T* og bølgelengden *&lambda; = cT*.  Perioden *T* er  tiden mellom  utsendelsen av to bølgetopper som ankommer mottageren med en tidsforskjell *T<sub>S</sub>&thinsp;* observert i kildens hvilesystem. Denne kan beregnes  fra sammenhengen *&lambda; = (c + v)T<sub>S</sub>* siden relativhastigheten mellom en bølgetopp  som blir sendt ut og mottageren som nærmer seg, nå  er *c + v*. 

Frekvensen av lyset som mottageren registrerer, er gitt som *&nu;' = 1/T'&thinsp;* hvor tiden *T' * er tiden mellom to bølgetopper målt i hans eget inertialsystem. Igjen fra formelen for tidsdilatasjon følger at *T' = T<sub>S</sub>&thinsp;/&gamma;* som nå gir den observerte frekvensen

:  \nu' = {1 + v/c\over \sqrt{1 - v^2/c^2}}\,\nu  = \sqrt\,\nu 

Det er det samme resultatet som for bevegelig kilde. Frekvensforsandringen kalles for den **[[langsgående akse|longitudinelle]] Doppler-effekten** da mottageren beveger seg direkte mot lyskilden. For lys avhenger den kun av den relative hastigheten mellom lyskilde og mottager.

### Utledning fra Lorentz-transformasjonen

Det er interessant å se hvordan dette resultatet for Doppler-forskyvningen følger fra Lorentz-transformasjonen. I det siste tilfellet med bevegelig mottaker, vil dennes avstand fra origo være &thinsp; hvor  *x<sub>0</sub>* er avstanden ved tiden  Ved dette tidspunktet blir første bølgetopp sendt ut fra origo og ved tiden  sendes den neste. Derfor kan man betrakte *T* som perioden til lyset målt i dette referansesystemet som er lyskildens hvilesystem. Ankomsten av de to bølgetoppene hos mottakeren er hendelsene 1 og 2 i figuren til høyre.

Den første bølgetoppen ankommer ved mottakeren ved tiden *t<sub>1</sub>* etter å ha tilbakelagt en strekning  Men samtidig er &thinsp; slik at  Den andre bølgetoppen blir sendt ut *T* sekunder senere og ankommet mottakeren ved tiden  *t<sub>2</sub>&thinsp;*. Den har derfor tilbakelagt  meter. Herfra kan *t<sub>2</sub>* beregnes på samme måte som for *t<sub>1</sub>*. Differansen  mellom de to ankomsttidene stemmer med hva som ble utledet over.

Fra disse koordinatene i det stasjonære inertialsystemet kan man nå beregne de samme ankomsttidene målt av mottageren i hans hvilesystem ved bruk av Lorentz-transformasjonen. Den første bølgetoppen ankommer derfor ved den lokale tiden

:    t'_1 = \gamma(ct_1 + vx_1/c) 

hvor den negative hastigheten *-v* inngår da mottageren her beveger seg mot origo. Innsetning av resultatene for *t<sub>1</sub>* og *x<sub>1</sub>* gir etter litt ordning at  Et tilsvarende resultat finnes for *t<sub>2</sub>'&thinsp;* uttrykt ved  *t<sub>2</sub>&thinsp;*. I mottagerens hvilesystem er nå 

:  T' = t_2' - t_1' = \gamma {1 - v^2/c^2\over 1 + v/c}\, T =  \sqrt\, T 

perioden til lyset da det er tiden mellom to bølgetopper. Den er kortere enn perioden i kildens hvilesystem og tilsvarer derfor en høyere frekvens  Dette er i overensstemmelse med resultatet funnet over fra en mer intuitiv beregningsmetode.

## Generell Doppler-effekt

I det mer generelle tilfellet vil lysbølgene bevege seg i en annen retning enn det mottageren eller kilden gjør. En plan lysbølge i det stasjonære referansesystemet med bølgelengde *&lambda;* er beskrevet ved det elektriske feltet

:  \mathbf{E}(\mathbf{x},t) = \mathbf{E}_0\cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t) 

hvor **E**0 er en konstant vektor. Retningen til bølgen er gitt ved bølgevektoren **k** hvor *k* = |**k**| = *2&pi;/&lambda;* er bølgetallet, mens *&omega; = 2&pi;&nu;* er vinkelfrekvensen med *&nu; = c/&lambda;*. Fasen **k**&sdot;**x** - *&omega;t* inneholder informasjon om hvor mange bølgetopper passerer et punkt i tidrommet med disse koordinatene. I det følgende er det enklest å anta at bølgevektoren ligger i *(x,y)*&thinsp;-&thinsp;planet og danner vinkelen *&theta;* med *x*-aksen. Da er **k**&sdot;**x** = *k<sub>x</sub>x + k<sub>y</sub>y* hvor komponentene er *k<sub>x</sub> = k&thinsp;*cos*&theta;* og *k<sub>y</sub> = k&thinsp;*sin*&theta;*.

Man kan nå betrakte denne bølgene fra det bevegelige intertialsystemet som beveger seg med hastighet *v* langs *x*-aksen. Det fjerner seg altså lyskilden. Forandringen av fasen kan finnes ved å innføre de Lorentz-transformerte uttrykkene for *t* og *x*.  Det gir

:  \mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t = \gamma k_x(x' + vt') + k_y y -\omega\gamma(t' + vx'/c^2)  

Dette kan skrives som **k**'&sdot;**x**' - *&omega;'&thinsp;t'&thinsp;* hvis man innfører de transformerte størrelsene 

:  \omega' = \gamma(\omega - vk_x) \, , \;\;\;  k_x' = \gamma(k_x - v\omega/c^2)

sammen med *k'<sub>y</sub> = k<sub>y</sub>* da den transverse koordinaten *y* forblir uforandret.  I det bevegelige referansesystemet ser man derfor også en plan lysbølge, men med litt andre verdier for frekvens og bølgevektor.

Ved å benytte at *k = &omega;/c* i uttrykket for den transformerte frekvensen, ser man at denne kan skrives som

:  \omega' = {1 - (v/c)\cos\theta\over\sqrt{1 - v^2/c^2}}\,\omega 

Dette generelle resultatet kan utledes mye mer direkte ved bruk av kovariant relativitetsteori.

Fra uttrykket for *k'<sub>x</sub>* = *k*&thinsp;cos*&theta;'&thinsp;* hvor *k' =&omega;'/c*, finnes nå også sammenhengen mellom retningen til bølgen i de to inertialsystemene,

:  \cos\theta = {\cos\theta' + v\over 1 + (v/c)\cos\theta'} 

Denne gjør det mulig å uttrykke frekvensforskyvningen ved vinkelen *&theta;'&thinsp;* i det bevegelige systemet,

:  \omega = {1 + (v/c)\cos\theta'\over\sqrt{1 - v^2/c^2}}\,\omega' 

som ikke er noe annet enn den inverse transformasjonen fra det bevegelige systemet til det stasjonære. Disse formlene er de generelle uttrykk for den «relativistiske Doppler-effekten».  

Man kan nå se på noen spesielle tilfeller. Ved å sette *&theta; = 0*, finner man igjen det tidligere resultatet for den longitudinelle effekten i dette tilfellet hvor mottageren fjerner seg og ser en rødforskyvning *&omega;' < &omega;* av lyset. Dette resultatet må være ekvivalent med at en lyskilde i det bevegelige systemet sender ut en bølge med frekvens *&omega;'&thinsp;* bakover mot mottakeren i det stasjonære systemet ved *x = 0*. Da må *&theta;' = &pi;&thinsp;* som  i den siste formelen igjen gir *&omega; < &omega;'&thinsp;*. Som ventet er dette den samme rødforskyvningen.

### Transversell effekt

Den transverselle Doppler-effekten opptrer når det utsendte lyset blir registrert vinkelrett på mottakerens bevegelsesretning. Hvis vinkelen *&theta; = &pi;/2*, vil det beskrive en slik situasjon hvor en bevegelig kilde med egenfrekvens *&omega;'&thinsp;* sender ut lys. I det stasjonære systemet blir dette lyset da observert med frekvensen 

:  \omega = \omega'\sqrt{1 - v^2/c^2} 

som igjen er en rødforskyving *&omega;' < &omega;&thinsp;*. Denne transverselle effekten er ikke noe annet enn en tidsdilatasjon. Mottageren ser lyskilden i bevegelse og vil derfor se alle elektromagnetiske svingninger i den foregå langsommere. På samme måte hvis man setter *&theta;' = &pi;/2*, vil det gi den observerte frekvensen i det bevegelige systemet når lyset blir sendt ut med frekvens *&omega;* i det stasjonære referansesystemet. Man ser da at *&omega;' < &omega;* med den samme rødforskyvningen.

Effekten kan påvises eksperimentelt ved å betrakte emisjon av lys fra ioner i sirkulær bevegelse i en partikkelakselerator eller ved å registrere radiosignal fra en satellitt i banebevegelse omkring Jorden. I dette siste tilfellet må man også ta hensyn til den gravitasjonelle rødforskyvningen som er en konsekvens av generell relativitsteori.

### Aberrasjon
Mens retningen til lysbølgen i det stasjonære systemet er gitt ved vinkelen *&theta;*, vil retningen i det bevegelige systemet være litt annerledes og bestemt ved vinkelen *&theta;'&thinsp;*. Sammenhengen mellom disse to kan nå finnes ved å beregne tan*&theta;' = k'<sub>y</sub>/k'<sub>x</sub>&thinsp;*. Det gir

:  \tan\theta' = {\sin\theta \sqrt{1 - v^2/c^2}\over \cos\theta - v/c} 

og er den relativistiske formelen for aberrasjon. Man kan skrive om dette uttrykket på den mer symmetriske formen

:   \tan{\theta'\over 2} = \sqrt{1 + v/c\over1 - v/c}\,\tan{\theta\over 2} 

Dette er en effekt som er viktig ved observasjoner innen astronomi hvor bevegelsen av Jorden vil påvirke de målte verdiene for retningene til forskjellige objekter eller hendelser ute i Universet.

## Litteratur

* W. G. V. Rosser, *Introduction to Special Relativity*, Taylor & Francis Ltd, London (1991). ISBN 0-85066-839-7.
* H. D. Young and R. A. Freedman, *University Physics*, Addison Wesley, New York (2004). ISBN 0-321-20469-7.