Pytagoras’ læresetning

**Pytagoras’ læresetning** eller **den pytagoreiske læresetning** er  i euklidsk geometri et fundamentalt teorem om sammenhengen mellom sidelengdene i en rettvinklet trekant:

:*«I en rettvinklet trekant er summen av kvadratene på katetene lik kvadratet på hypotenusen.»*

De to katetene er de korteste sidene i trekanten, og hypotenusen er den lengste. Den rette vinkelen er motstående til hypotenusen.  Kaller man lengdene av katetene henholdsvis a og b samt lengden av hypotenusen for c, så kan læresetningen uttrykkes som en ligning, ofte kalt **Pytagoras ligning**:

:a^2 + b^2 = c^2.

Heltall som oppfyller Pytagoras’ læresetning kalles pytagoreiske tripler.  Et velkjent trippel er (3,4,5).  Dersom sidelengdene i en trekant danner et pytagoreiske trippel, så er trekanten rettvinklet.  

Det eksisterer mange generaliseringer av Pytagoras’ teorem.  En generalisering til en vilkårlig trekant kalles *den utvidede pytagoreiske læresetning* eller cosinussetningen.

Det historiske opphavet til teoremet er bare mangelfullt kjent og har vært gjenstand for mye diskusjon.  Navnet har teoremet fått fordi mange tradisjonelt har knyttet læresetningen til den greske matematikeren Pytagoras, som levde omkring 500 f.Kr.  Det eksisterer imidlertid ikke gode indikasjoner eller bevis for at han eller noen av hans følgesvenner skal ha vært opphavsmann til teoremet. Pytagoreiske tripler og andre former for teoremet har vært kjent i babylonsk, egyptisk, kinesisk og indisk matematikk lenge før pytagoreerne.  Kanskje har læresetningen blitt oppdaget flere steder og til flere tider uavhengig av hverandre.  Det eldste deduktive bevis vi kjenner, er fra Euklids ''Elementer'', skrevet omkring 300 f.Kr.  I dag eksisterer det en lang rekke alternative bevis for teoremet.  

## Bevis

Pytagoras’ læresetning antas å være et av de teoremene i matematikk som er bevist på flest alternative måter. Boken *Pythagorean Proposition* av Elisha Scott Loomis inneholder hele 370 bevis.  I boken er 109 bevis karakterisert som algebraiske og 255 som geometriske.  De resterende seks er basert på vektorregning eller dynamiske argument.  Et *geometrisk* bevis bygger ifølge Loomis på sammenligning av arealet til de tre kvadratene konstruert fra sidelengdene, mens et *aritmetisk* er basert på lineære relasjoner mellom sidelengder eller areal, for eksempel ved bruk av formlike trekanter.  Denne inndelingen er kanskje ikke entydig, og mange bevis har innslag av både geometri og algebra.  

### Euklids bevis
I Euklids *Elementer*, teorem 47 i bok I, finner man det eldste kjente beviset for Pytagoras’ teorem.  Det er vanlig å referere til Euklids bøker med romertall for bindet og et vanlig tall for den gjeldende satsen, slik at Pytagoras’ teorem er I.47.
Beviset for I.47 er basert på en sammenligning av areal.

La A, B og C være hjørnene i en rettvinklet trekant, med den rette vinkel ved A som vist på figuren. Til hver side i trekanten er det tegnet et kvadrat.  En normal fra hjørnet A til hypotenusen BC deler kvadratet på hypotenusen i to rektangler, på figure vist i blått og rosa.  Euklid beviste setningen ved å vise at arealet til hver av de to minste kvadratene er lik arealet av ett av rektanglene, vist med fargene i figuren.  Arealsummen av de to minste kvadratene er dermed lik arealet til det største kvadratet.

Beviset bygger på flere hjelpesetninger, som Euklid viser tidligere i bok I.  Disse vil bli brukt videre, uten bevis her.
# Hvis to trekanter er slik at to sider i den ene er lik tilsvarende to sider i den andre, og den mellomliggende vinkel er lik i begge, så er trekantene kongruente.
# Arealet av en gitt trekant er lik halvparten av arealet i et vilkårlig parallellogram med samme grunnlinje og høyde.
# Arealet av et  rektangel er lik produktet av to tilstøtende sider.   
# Arealet av et kvadrat er lik produktet av to sider.

Beviset er som følger:
#La ACB være en rettvinklet trekant, med den rette vinkelen gitt ved \angle BAC.
#På hver av sidene BC, AB og CA tegnes kvadrater, henholdsvis CBDE, BAGF og ACIH.
#Fra A trekkes en linje parallell med BD og CE. Den krysser BC og DE i rett vinkel ved henholdsvis K og L.
#Forbind CF og AD. Derved dannes trekantene BCF og ADB.
#Vinklene \angle CAB og \angle BAG er begge rette. Punktene C, A og G ligger derfor på samme linje. Tilsvarende ligger B, A og H på en rett linje.
#Vinklene \angle CBD og \angle FBA er begge rette. Dermed er \angle ABD lik \angle FBC, siden begge er summen av en rett vinkel og den felles \angle ABC.
#Siden AB og BD er tilsvarende like med FB og BC, må trekanten ABD være kongruent med trekanten FBC.
#Ved bruk av hjelpesetning nr.2 må rektangelet BDLK være dobbelt så stort som trekanten ABD.
#Ved bruk av hjelpesetning nr.2 må rektangelet BAGF være dobbelt så stort som trekanten FBC.
#Dermed må rektangelet BDLK ha samme areal som kvadratet BAGF, det vil si at AB^2 = BD \times BK.
#Tilsvarende kan det vises at rektangelet CKLE må ha samme areal som kvadratet ACIH, det vil si at AC^2 = KL \times KC.
#Ved å addere disse to resultatene: AB^2 + AC^2 = BD \times BK + KL \times KC.
#Siden BD = KL, så er  BD \times BK + KL \times KC = BD(BK \times KC) = BD \times BC.
#Dermed er AB^2 + AC^2 = BC^2, siden CBDE er et kvadrat.

Beviset har tidligere vært pensum i norsk realskole. Det finnes enklere bevis, men gjennomgang av fremgangsmåten kan være en egnet øvelse i matematisk tenkning.

Figuren til Euklids bevis, med hjelpelinjer til alle fire kvadrater, er berømt. Den er blitt beskrevet som en «vindmølle», en «brudestol» og en «påfugl-hale».
Også navnet pons asinorum er blitt brukt om figuren.  Dette latinske utrrykket betyr
«eselbroen» eller «idiotbroen», og uttrykket knyttes vanligvis til en annen Euklid-figur, brukt i forbindelse med *Elementer* I.5.

### Bevis ved bruk av formlike trekanter

Mange av bevisene for Pytagoras’ setning er basert på forhold mellom sidelengder i to formlike trekanter. Elisha Scott Loomis omtaler dette som det korteste av alle Pytagoras-bevisene og kaller det også for «Legendre-beviset».
En lærebok i geometri fra 1858, basert på arbeid av Adrien-Marie Legendre, gjengir beviset.  Thomas Heath foreslår dette som ett alternativ for et bevis som kan ha vært brukt av pytagoreerne.

La ABC være en rettvinklet trekant.  Den rette vinkelen er ved C, slik figuren viser. Høyden fra hjørnet C treffer siden AB i fotpunktet H. 
Trekanten ACH er formlik med trekanten ABC, da begge er rettvinklede og vinkelen ved A er felles.  Tilsvarende er trekanten CBH formlik med ABC. 
Til sammen resulterer dette i følgende forhold mellom sidelengder:

: \frac{a}{c}=\frac{HB}{a} \qquad \text{og} \qquad \frac{b}{c} = \frac{AH}{b} \ .

Dette kan skrives som 

:a^2=c\times HB \qquad \text{og} \qquad b^2= c \times AH \ .

Summasjon av de to uttrykkene gir 

:
a^2+b^2=c\times HB+c\times AH=c\times(HB+AH)=c^2 .


### Garfields bevis

James Garfield er opphavsmann for det følgende beviset. 
Han var jurist og medlem av den amerikanske Kongressen, og han oppdaget beviset i 1876 som følge av en matematisk diskusjon med andre kongressmedlemmer.  Garfield ble president i USA i 1881, men han ble skutt og drept etter bare fire måneder i embetet.  

Arealet av et generelt trapes med høyde h og lengder av de to parallelle sidene s_1 og s_2 er gitt ved

:A=\frac{h}{2}(s_1 + s_2).

Da er arealet av trapeset vist i figuren:
:A=\frac{(a+b)}{2}(a + b) = \frac{(a+b)^2}{2} .

Trekant 1 og 2 er identiske, med areal

:A_1 = A_2 = \frac{ab}{2}..

Trekant 3 er rettvinklet, og arealet er lik halvparten av kvadratet på hypotenusen:

:A_3 = \frac{c^2}{2}. 

Et alternativt uttrykk for arealet til trapeset finner en ved å summere arealene til de tre trekantene:

: A = A_1 + A_2 + A_3 = \frac{ab}{2} + \frac{ab}{2} +  \frac{c^2}{2} = ab +  \frac{c^2}{2} \ .

En sammenstillingen av de to uttrykkene for trapesarealet gir

:
\begin{alignat}{2}
\frac{(a+b)^2}{2} \ &= \ ab +  \frac{c^2}{2} \\[5pt]
a^2 + 2ab + b^2 \ &= \ 2ab +  c^2  \\[5pt]
a^2 + b^2 \ &= \ c^2 .
\end{alignat}


### Bevis ved reorganisering

Det eksisterer flere bevis basert på å reorganisere areal.  Et eksempel er vist i figuren til venstre.  De to store kvadratene i figuren er like store, begge med sidelengde a + b.
De to kvadratene skiller seg kun ved den innvendige plasseringen av de fire trekantene. Arealet av de hvite områdene i de to store kvadratene må derfor være like, og dette gir Pytagoras’ setning.

Thomas Heath omtaler dette beviset og et forslag fra de to matematikerne Carl Anton Bretschneider og Hermann Hankel om at dette kan ha vært kjent av pytagoreerne.
Heath vil ikke avvise en slik teori, men mener selv at det er mer sannsynlig at pytagoreerne kjente beviset basert på formlike trekanter.  

### Algebraisk bevis

Et algebraisk bevis kan gjennomføres ved å betrakte fire identiske trekanter plassert i hjørnene til et større kvadrat.
Beviset er gjengitt av den indiske matematikeren Bhaskara, som levde på 1200-tallet.  

Sidelengdene i trekantene er A, B og C, og det store kvadratet har sidelengde A + B.

Arealet S_T av hver av de fire trekantene er gitt ved:

:S_T = \frac{1}{2} AB \ .

I hver trekant er motstående vinkel til A-siden og B-siden komplementvinkler. Også det blå området er derfor et kvadrat, med areal lik C^2. 
Arealet S til det store kvadratet med sidelengde (A + B) er gitt ved

:S = (A + B)^2

Alternativt kan dette uttrykkes som arealsummen for de fire trekantene og det blå kvadratet:

:S = 4S_T + C^2 = 4\left(\frac{1}{2}AB \right) + C^2 \ .

En sammenstilling av de to uttrykkene for S gir Pytagoras’ teorem.  

## Det omvendte teoremet

Euklid viste i teorem I.48 at også det omvendte Pytagoras’ teorem er gyldig, der en bytter forutsetning og konklusjon:

:*«For tre vilkårlige, positive tall a, b og c der , finnes det en rettvinklet trekant med sider a, b og c. Den rette vinkelen er mellom sidene med lengde a og b.»*

Teoremet kan bevises som følger:

La ABC være en trekant med sidelengder a, b og c.  Anta også at a^2 + b^2 = c^2. Konstruerer en ny rettvinklet trekant KLM, med den rette vinkelen mellom sider med lengde a og b. Fra Pytagoras’ setning følger det at hypotenusen i trekant KLM har lengde c. Trekantene ABC og KLM har tre like sider og er derfor kongruente. Følgelig har de også like vinkler. I trekant ABC må derfor vinkelen mellom sidelengdene a and b være en rett vinkel.

## Pytagoreiske tripler

Et pytagoreisk trippel består av tre positive heltall a, b, og c, slik at a^2 + b^2 = c^2.
En vanlig skrivemåte for et slikt trippel er (a, b, c).  Et pytagoreiske trippel representerer sidelengdene i en rettvinklet trekant, når alle tre lengdene har heltallsverdier. Eksempler på pytagoreiske tripler er (3,4,5) og (5,12,13).

Dersom (a, b, c) er et pytagoreisk trippel, så vil også (na, nb, nc) være det, for et vilkårlig heltall n.  Dersom de tre tallene a, b, og c ikke har noen felles faktor, så kalles de tre tallene for et *primitivt* trippel.  Tallene er da relativt primiske.  Mens (3, 4, 5) er et primitivt trippel, er (6, 8, 10) et trippel med en felles faktor 2. 

Pytagoreiske tripler kan brukes til å konstruere rette vinkler og til å kontrollere om en gitt vinkel er rett.  Et hendig trippel er (60,80,100), et ikke-primitivt trippel som kan dannes ved å multiplisere tallene i (3,4,5)
med 20.  En vinkel i et innvendig hjørne i et rom kan kontrolleres ved å avsette henholdsvis 60&nbsp;cm langs den ene veggen, 80&nbsp;cm langs den andre. Om nå en meter-lengde passer mellom merkene, så er vinkelen rett. 

## Konsekvenser og bruk av læresetningen

### Inkommensurable lengder og irrasjonale tall
En konsekvens av Pytagoras’ teorem er at det er mulig å konstruere inkommensurable lengder, det vil si lengder med et forhold lik et irrasjonalt tall. Et enkelt eksempel er gitt ved rettvinklet trekant der begge katetene har lengde 1. Pytagoras’ setning gir at hypotenusen i en slik trekant har lengde lik kvadratroten av 2.  At dette tallet er et irrasjonalt tall, kan vises ved et enkelt algebraisk bevis, se Kvadratroten av 2.

For greske matematikere var en irrasjonell størrelse definert som et forhold mellom lengder og ikke som et tall. Det skulle gå lang tid før en forståelse av irrasjonale *tall* skulle bli etablert.  
Eksistensen av inkommensurable lengder har opphav hos pytagoreerne, men det er ikke kjent nøyaktig når og hvordan kjennskap til slike størrelser ble etablert. Historikeren Proklos, som levde i det femte århundre etter Kristus, gir æren til Pytagoras selv, men ifølge Thomas Heath er det mest sannsynlig at kunnskapen oppstod en god stund etter at Pytagoras var død. En av flere alternative historier om pytagoreeren Hippasos et at han ble druknet, etter å ha røpet kunnskapen om inkommensurable størrelser.
Euklid bruker bok X til å diskutere inkommensurable lengder og areal. 

### Distanse i euklidske rom
Metrikken eller avstandsmålet i euklidsk geometri er basert på Pytagoras’ teorem.   Hvis  a = (x_1,y_1) og b = (x_2, y_2) er kartesiske koordinater til to punkt i planet, så er avstanden mellom disse gitt ved 

:d(a,b) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}. 

Dette avstandsmålet kalles *euklidsk avstand* eller *euklidsk metrikk*.

I et generelt euklidsk n-dimensjonalt rom er avstanden mellom to vektorer v_1 = (a_1,a_2,\dots,a_n) og v_2 = (b_1,b_2,\dots,b_n) definert ved

:d(v_1,v_2) = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2}.

### Bruk i kompleks analyse

Et vilkårlig komplekst tall kan skrives på formen

:z = x + iy.

Absoluttverdien eller modulus til dette tallet er definert ved

:r = |z|=\sqrt{x^2 + y^2}.

Sammenhengen mellom de tre størrelsene r, x og y er gitt ved Pytagoras’ ligning:

:r^2 = x^2 + y^2.

Absoluttverdien r er alltid definert positiv, selv om x og y kan ha både positive og negative verdier.  Geometrisk er r avstanden fra origo til z i det komplekse planet.  

Avstanden mellom to komplekse tall z_1 og z_2 kan defineres ved

:|z_1 - z_2|=\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}.

Denne avstanden og de to gitte tallene er igjen relatert ved en ligning tilsvarende Pytagoras’ ligning:

:|z_1 - z_2|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2.

### Den pytagoreiske trigonometriske identiteten

For en rettvinklet trekant, som vist nederst i figuren til høyre, kan de trigonometriske funksjonene sinus og cosinus defineres ved

:
\begin{alignat}{2}
\sin \theta &= \frac{b}{c} \\
\cos \theta &= \frac{a}{c}
\end{alignat}


Ved å bruke Pytagoras' teorem, følger det fra disse definisjonene at

:\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1 

Denne grunnleggende identiteten blir kalt enhetsformelen og noen ganger også *den pytagoreiske trigonometriske identiteten*.  For to formlike trekanter er forholdet mellom samsvarende sidelengder det samme,
og dette vil også gjelde for de to trekantene i figuren.  Den øverste rettvinklet trekanten har hypotenusen med lengde 1, og katetene har lengde \sin \theta og \cos \theta.

## Generaliseringer

### Cosinussetningen

Pytagoras’ teorem er et spesialtilfelle av et mer generelt teorem om forholdet mellom sidelengder i en vilkårlig trekant, kjent som  cosinussetningen eller *den utvidede pytagoreiske læresetning*.
For en vilkårlig trekant med sidelengder a, b og c er

:a^2+b^2-2ab\cos{\gamma}=c^2 .

Her er \gamma vinkelen mellom sidene med lengde a og b.  For \gamma lik 90 grader er \cos \gamma = 0, og ligningen reduserer seg til den vanlige 
pytagoreiske ligningen.

Cosinussetningen gir en enkel metode for å bestemme om en trekant er rett, spissvinklet eller stumpvinklet. Siden cosinus-funksjonen er positiv for en spiss vinkel, men negativ for en stump vinkel, så gjelder følgende: 

* a^2 + b^2 = c^2 hvis og bare hvis trekanten er rettvinklet.
* a^2 + b^2  hvis og bare hvis trekanten er spissvinklet.
* a^2 + b^2 > c^2 hvis og bare hvis trekanten er stumpvinklet.

Her er forutsatt at c er den lengste siden.  En vanlig notasjon er å la vinklene i trekanten være \alpha, \beta, \gamma, slik at \alpha er motstående til sidelengden a og \beta motstående til sidelengden b.  Forholdene over kan da også uttrykkes slik:

* I en spissvinklet trekant er \alpha + \beta > \gamma og a^2 + b^2 .
* I en stumpvinklet trekant er \alpha + \beta  og a^2 + b^2 > c^2.

Edsger Dijkstra har samlet disse resultatene ved hjelp av fortegnsfunkjonen:

:\sgn(\alpha + \beta - \gamma) = \sgn(a^2 + b^2 - c^2)

### Parallellogramloven

Parallellogramloven er en generalisering av Pytagoras’ sats til et vilkårlig parallellogram, tilskrevet Apollonios fra Perge.

: 2(AB)^2+2(BC)^2=(AC)^2+(BD)^2\ .

For et rektangel er de to diagonalene like lange:  AC = BD, og parallellogramloven reduserer seg til Pytagoras’ læresetning.

### Formlike figurer
Pytagoras’ læresetning kan tolkes som en relasjon mellom arealet til kvadrater på sidekantene.  Ved å multiplisere alle tre leddene i Pytagoras’ ligning med \pi /8, ser en umiddelbart at samme
relasjon også gjelder for arealene til halvsirkler med diameter langs sidekantene.  Dette resultatet er referert uten bevis av Hippokrates fra Khíos, som levde i det femte århundre før Kristus.
Euklid viste i bok VI av *Elementer* et bevis for a resultatet gjelder for vilkårlige formlike konvekse polygon.  I ettertid er det vist at resultatet er gyldig for vilkårlige formlike 
figurer, også figurer der sider er definerte ved kurver: 

:*«Hvis en reiser formlike figurer på sidene av et rett trekant, så er summen av arealene på de to minste sidene lik arealet av figuren på den største siden.»*

De tre sidelengdene i den rette trekanten er lik sidelengder i de tilstøtende figurene, slik at disse må være formlike i forholdet a:b:c.  Den grunnleggende idéen bak generaliseringen er at i formlike 
figurer er forholdet mellom arealet og kvadratet av en vilkårlig karakteristisk lengde det samme:

:
\begin{alignat}{2}
&\frac{A}{a^2} = \frac{B}{b^2} = \frac{C}{c^2} \\[7pt]
&\Rightarrow A + B = \frac{a^2}{c^2}C + \frac{b^2}{c^2}C = C
\end{alignat}


 

### Pappos arealteorem
Pappos  (3-4. århundre) gir et *arealteorem* han selv kaller en utviding av Euklid I.47.
Dersom en på to sider i en vilkårlig trekant tegner to vilkårlige parallellogram, så kan en konstruere et parallellogram på den tredje siden, slik at arealet av dette er lik summen
av arealene til de to første.  

 

### Romgeometri

En lengde i det tredimensjonale rommet kan defineres ved gjentatt bruk av Pytagoras’ setning.  I figuren til høyre kan en finne lengden av linjestykket AD ved å bruke den rettvinklede trekanten ABD:

: AD^2 = AB^2 + BD^2 \ .

Kateten BD i denne er gitt ved å bruke Pytagoras’ sats på trekanten BCD:

: BD^2 = BC^2 + CD^2 \ .

Kombinasjon av disse to ligningene gir

: AD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 \ .

Resultatet er det tredimensjonale uttrykket for lengden av en vektor \mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3), basert på komponentene.  Vektoren svarer til diagonalen AD

:\|\mathbf{v}\|^2 = \sum_{i=1}^3 v_i^2.

### de Guas teorem
I tre romdimensjoner er de Guas teorem en generalisering av Pytagoras’ læresetning til et tetraeder:

:*«Hvis et tetraeder har et rettvinklet hjørne, så er kvadratet av arealet på den motstående side til den rette vinkel lik summen av kvadratene av arealene på de tre andre sidene.»*

Et rettvinklet hjørne er som hjørnet i en kube.  Teoremet er navngitt etter Jean Paul de Gua de Malves (1713-1785).   

### Indreproduktrom

Pytagoras’ sats kan generaliseres til et vilkårlig indreproduktrom, som igjen er en generalisering av det euklidske rommet i to og tre dimensjoner.  
Et indreproduktrom kan ha både endelig og uendelig dimensjon.  Elementene i et indreproduktrom, vektorene, kan for eksempel være funksjoner. 
I et indreproduktrom kan en definere lengden av elementer, avstanden mellom to elementer og også vinkelen mellom to elementer.  

Indreproduktet mellom to elementer \mathbf{u} og \mathbf{v} kan betegnes som \langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle, og dette generaliserer det vanlige skalarproduktet mellom to endelig-dimensjonale vektorer.
To vektorer står ortogonalt på hverandre dersom indreproduktet mellom dem er lik null.  Lengden av en vektor er definert ved normen:

:\| \mathbf{u} \| = \sqrt{\langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle} \, .

I et indreproduktrom sier Pytagoras’ teorem at for to ortogonale vektorer \mathbf{u} og \mathbf{v} gjelder at 

:\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2 \ .

Vektorene \mathbf{u} og \mathbf{v} spiller samme rolle som katetene i en rettvinklet trekant, med hypotenusen gitt som vektorsummen \mathbf{u} + \mathbf{v}.
Teoremet følger av egenskaper til indreproduktet:

:\left\| \mathbf{u} + \mathbf{v} \right\|^2 =\langle \mathbf{ u+v},\ \mathbf{ u+v}\rangle = \langle \mathbf{u},\ \mathbf{ u}\rangle +\langle \mathbf{v},\ \mathbf{v}\rangle +\langle\mathbf{ u,\ v }\rangle + \langle\mathbf{ v,\ u }\rangle \ = \left\| \mathbf{u}\right\|^2 + \left\| \mathbf{v}\right\|^2 . 

Ligningen kan generaliseres til et vilkårlig endelig antall parvis ortogonale vektorer:

:\left\|\,\sum_{k=1}^{n}\mathbf{u}_k\,\right\|^2 = \sum_{k=1}^n \|\mathbf{u}_k\|^2.

Også parallellogramloven kan generaliseres til et vilkårlig indreproduktrom, da med formen

::2\|\mathbf{u}\|^2 +2 \|\mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf {u + v} \|^2 +\| \mathbf{u-v}\|^2 \ . 

### Differensialgeometri

I differensialgeometri blir det for det tredimensjonale euklidske rommet definert en infinitesimal lengde ds ved

:ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2.

Dette svarer til bruk at Pytagoras’ setning for en infinitesimal avstand mellom to punkt.  For en glatt parametrisk kurve gitt på formen

:\mathbf{r}(t) = x(t)\mathbf{i}+ y(t)\mathbf{j} + z(t)\mathbf{k} \qquad  t \in [a,b] \, 

brukes dette til å definere buelengden av kurven:

:L =  \int_a^b \sqrt{ x'^2 + y'^2 +  z'^2} \; dt \ . 

### Ikke-euklidsk geometri
Pytagoras’ setning er basert på aksiomer i euklidsk geometri, og den euklidske formen er ikke gyldig i ikke-euklidsk geometri.  I 
sfærisk geometri vil for eksempel alle tre sidene i en rettvinklet trekant som begrenser en oktant i en enhetskule, ha sidelengder \pi/2. 
Dette bryter opplagt med Pytagoras’ ligning.  

For ikke-euklidsk geometri kan en utlede alternative former for Pytagoras’ teorem.  I sfærisk geometri gjelder det at 
for enhver rettvinklet sfærisk trekant, på en kule med radius R, kan Pytagoras’ teorem skrives som:

: \cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\,\cos \left(\frac{b}{R}\right).

Når radien R går mot uendelig, vil kuleflaten nærme seg en plan flate.  Tilsvarende vil den sfæriske formen på Pytagoras’ teorem gå mot den euklidske formen.  
Dette kan vises ved å utvikle cosinus-leddene som maclaurinrekker.  

I en hyperbolsk geometri med uniform krumning 1 / R^2 kan Pytagoras’ teorem uttrykkes som:

: \cosh \frac{c}{R}=\cosh \frac{a}{R}\,\cosh \frac{b}{R}

Ved å rekkeutvikle den hyperbolske funksjonen som en maclaurinrekke, vil (når man tar med de to første leddene) \cosh x \approx 1 + x^2/2. Det kan da vises at når en hyperbolsk trekant blir lite (altså når *a*, *b* og *c* alle går mot null), vil den hyperbolske formen av teoremet gå mot den euklidske formen.

## Historie

Opphavet og historien til Pytagoras’ teorem har gjennom tidene skapt mye diskusjon, og mange teorier er fremsatt. Det kan være vanskelig å skille mellom fakta, tolkninger, grunngitte hypoteser og rene gjetninger. Kanskje har kunnskapen om sammenhengen mellom trekantsidene oppstått på ulike steder til ulike tider, uavhengig av hverandre.

Samtidig har mye kunnskap også blitt utvekslet på tvers av landegrenser og tidsepoker, uten at vi i dag har kjennskap til dette.  At en forståelse av teoremet har eksistert svært lenge før Pytagoras levde og virket, er nå allment akseptert. Antagelig har forståelsen for teoremet vokst fram gjennom ulike stadier: en oppfatning av en rett vinkel, kunnskap om pytagoreiske tripler, kjennskap til sammenhengen mellom sidene i en rettvinklet trekant, kjennskap til sammenhengen mellom trekantvinkler og endelig teoremets bevis.

Det er verdt å være oppmerksom på at bruk av begrep som «Pytagoras’ teorem» og «bevis» i forbindelse med oldtidens matematikk lett kan skape feil inntrykk. Et utsagn som «xxx hadde et bevis for Pytagoras teorem tusen år før Pytagoras» kan som regel møtes med mange spørsmål, både når det gjelder kildebruk, tidsbestemmelse, formen på «teoremet» og kvaliteten av «beviset».  

### I forhistorisk matematikk
Oppmåling av europeiske og egyptiske megalittiske monumenter fra ca. 2500 år f.Kr. har ført til at det er framsatt teorier om at steinene i disse monumentene er plassert i former basert på rettvinklede trekanter med heltalssider. Den nederlandske matematikeren Bartel Leendert van der Waerden gjetter på at de involverte pytagoreiske triplene ble funnet algebraisk.

### I babylonsk matematikk

Funn av steintavler fra viser at babylonerne var godt fortrolige med ulike former for algebra, inkludert beregning av pytagoreiske tripler.  
Det har vært spekulert i hva babylonerne brukte de pytagoreiske triplene til, og en mulighet kan ha vært i løsning av systemer av andregradsligninger med to ukjente.  
Babylonerne var også kjent med sammenhengen mellom en rettvinklet trekant og pytagoreiske tripler.  

En svært viktig kilde til kunnskap er kileskrifttavlen Plimpton 322 fra Mesopotamia, skrevet i perioden 1822-1784 f.Kr. Den antas å stamme fra den babylonske byen Larsa. Tavlen inneholder en tabell 
med fire kolonner og 15 rader.  Kolonne nummer fire fra venstre nummererer radene, med tall fra 1 til 15.  Kolonne nummer en er delvis ødelagt.  Kolonne nummer to og tre har som overskrift henholdsvis
«Bredde» og «Diagonal».  Tabellen er tolket som å inneholde tall brukt for å konstruere pytagoreiske tripler, inkludert de følgende:

:
\begin{alignat}{2}
(56, 90, 106) \\
(119, 120, 169) \\
(12709, 13500, 18541)
\end{alignat}
.

En slik tolkning viser at babylonerne hadde metoder til å regne ut triplene, og tallene i tavlen kan indikere at de kjente Diofants konstruksjonsmåte.

En annen tavle i kileskrift, fra Hammurabi-dynastiet (1829–1530 f.Kr.), finnes nå i British Museum. 
Tavlen inneholder et geometrisk problem, med løsning gitt i det seksagesimale tallsystem:

Løsningen i tavlen kan skrives som:

:0;18^2 = 0;30^2 - 0;24^2\ . 

Dette svarer til Pytagoras’ sats på formen  a^2 = c^2 - b^2.  Fra denne kilden fremgår imidlertid ikke om babylonerne kjente noe matematisk bevis.

Ifølge historikeren Jamblikos skal Pytagoras ha oppholdt seg tolv år i Babylon.  

### I egyptisk matematikk

En vanlig oppfatning er at egyptisk matematikk ikke nådde like langt som den babylonske, spesielt ikke innenfor algebra. 
Om de utviklet *ny* geometrisk kunnskap er omdiskutert.  Gjennom landmåling la imidlertid egypterne et grunnlag for den etterfølgende greske geometrien, og egypterne har brukt 
pytagoreiske tripler til hjelp for å konstruere rette vinkler.  En tau-ring med tolv ekvidistante knuter kan brukes til å danne en trekant med sidene 3,4,5, og derved danne en rett vinkel.  

Det er lite funn av direkte kilder om egyptisk kjennskap til den pytagoreiske læresetningen.  Verken Moskva-papyrusen eller Rhind-papyrusen nevner problemstillinger der denne er i bruk.  
Berlin-papyrus 6619 er skrevet mellom 2000 og 1786 f.Kr. i Mellomriket, og her forekommer fire ligninger som alle er basert på det pytagoreiske trippelet 
(3,4,5):

:
\begin{alignat}{2}
1^2 + ( \frac{3}{4} )^2 &= ( 1\frac{1}{4} )^2 \\
8^2 + 6^2 &= 10^2 \\
2^2 + ( 1\frac{1}{2} )^2 &= ( 2\frac{1}{2} )^2 \\
16^2 + 12^2 &= 20^2 
\end{alignat}


Papyrusen inneholdet imidlertid ingen referanse til trekanter.

Mye av kunnskapen om egyptisk geometri kommer fra greske kilder.
Den antikke historikeren Herodot forteller om egyptisk landmåling og gir dette æren for opphavet til geometri.  
Proklos forteller at grekeren Tales fra Milet reiste til Egypt og lærte geometri der.
Også Pytagoras skal ha vært på reise i Egypt.
Demokrit skryter av at ingen har overgått ham i geometrisk kunnskap, ikke en gang de egyptiske «tau-strekkerne».

### I indisk matematikk

Śulbasūtraene er en samling av indiske sutra-tekster fra engang mellom det 8. og 2. århundre f.Kr.  Dette verket er en del av en større samling av religiøse tekster, 
og delen omtaler matematikk for å kunne konstruere brennalter og for å sette opp en kalender over religiøse høytider
Tittelen kan oversettes med «Regler for bruk av snoren».
Teksten lister fem pytagoreiske tripler, gir en form for Pytagoras’ teorem og viser i tillegg at teoremet er gyldig for en likesidet trekant.

Der eksisterer minst fire versjoner av Sulbasutraene, men geometri-beskrivelsen er relativt like i disse fire.
Versjonen som skal være laget av Baudhayana er anslått å være fra omkring 600 f.Kr., det vil si rundt hundre år før Pytagoras. Mye tyder på at kunnskapen som er samlet i teksten kan være betydelig eldre.  
Baudhayana-Sulbasutra drøfter flere problem der oppgaven er å konstruere en figur med samme areal som en eller flere andre figurer.  I Sutra 50 gir teksten en oppskrift for å summere arealet av to kvadrat, illustrert ved figuren til høyre:

Sutra 50, 51 og 54 gir sammen en form for godtgjøring for at Pytagoras’ sats er riktig. Om dette kan gjelde som et generelt «bevis» er omdiskutert.

Det er blitt foreslått at inderne hentet kunnskap fra Mesopotamia, men også motsatt, at Mesopotamia fikk kunnskap fra India.

### I kinesisk matematikk

Også kinesisk matematikk har i lang tid kjent til former for Pytagoras’ teorem.
Den eldste kjente kinesiske matematiske teksten er antagelig *[[Soluret og himmelens sirkler|Zhoubi suanjing]]* (*Soluret og himmelens sirkler*). 
Tidfestingen av gamle kinesiske matematiske verk er svært usikker, og datering varierer sterkt i ulike kilder. Historien til *Zhoubi suanjing* kan gå helt tilbake til 1200 f.Kr, men verket har kanskje fått
en endelig form en gang mellom 500 f.Kr. og 200 e.Kr.  Innholdet er astronomiske beregninger, men også geometri for trekanter og litt om brøkregning.  I likhet med både babylonske, indisk og egyptiske tekster, er dette en samling av problemer, med løsning. 
Blant de 246 problemene som er med i verket, inngår en figur som viser at kineserne kjente til den pytagoreiske læresetningen, med en trekant med sidelengder 
3, 4 og 5.  
Figuren er gjengitt til høyre. Den vertikale teksten til venstre for figuren er som følger: 

:勾股幂合以成弦幂
:*gōu gǔ mì hé yǐ chéng xián mì* 

Nesten like gammelt som *Zhoubi suanjing*, og kanskje vel så innflytelsesrikt, er verket *[[Ni kapitler om den matematiske kunst|Chiu chang suan shu]]* («Ni kapitler om den matematiske kunst»).
Også dette er en problem-samling, med løsning på 263 matematiske problemer. I det niende og siste kapittelet omtales pytagoreiske tripler og rette trekanter. 
Et klassisk problem, som en også finner i indiske tekster, er «problemet med den brukne bambusen»: Et bambustre som er 10 lengder høyt, knekker.  Toppen når da bakken 3 lengder fra foten av stammen.  Hvor høyt oppe er
bambusen brukket?  Løsningen krever bruk av Pytagoras’ sats.  Hvis x er høyden til fra foten til knekkpunktet, så er

:
\begin{alignat}{2}
&(10 - x)^2 = x^2 + 3 \\
&\Rightarrow 20x = 91
\end{alignat}


En kommentar til *Chiu chang suan shu*, med tittel *[[Jiuchang suan shu]]*, ble skrevet av Liu Hui i året 263 e.Kr. Her blir det gitt et bevis i kapittel 9.

Den pytagoreiske læresetningen var kjent i Kina under navnet *Gōugŭ* (勾股), «base og høyde». For en trekant med sidene 3, 4 og 5 ble læresetningen kalt *Gōugŭ-teoremet* (勾股定理, Gōugŭ Dìnglĭ).

### Pytagoras’ rolle

 
Svært lite håndfast er kjent om personen Pytagoras. Det er ikke funnet noe skriftlig verken fra ham eller fra miljøet rundt ham, og all kunnskap kommer fra senere omtale.  Nøyaktig leveår for Pytagoras er ikke kjent, men det er antatt at han levde i perioden 580-475 f.Kr. Beretninger om Pytagoras reiser til Babylonia og Egypt, fortalt av blant annet Jamblikos, har i ettertiden blitt møtt med både tillit og skepsis, men det er grunn til å tro at de inneholder en kjerne av sannhet. Pytagoras ble leder for et filosofisk, matematisk og religiøst brorskap i Kroton, kjent som pytagoreerne.  

Hvor mye kunnskap pytagoreerne hadde om sammenhengen mellom sidene i en rettvinklet trekant, er ikke kjent. Både Pytagoras og senere følgesvenner var nok fortrolige med pytagoreiske tripler, og etter tradisjonen skal kjennskapen til (3,4,5) ha kommet fra Egypt. Om de hadde et bevis for sammenhengen mellom sidelengdene i en trekant, er omdiskutert.  Thomas Heath gir flere bevis som *kan* ha vært brukt av pytagoreerne.  Det er heller ikke kjent hva som ga støtet til kunnskapen om inkommensurable størrelser.  Muligens kom dette fra arbeid med pentagramet, som var viktig for pytagoreerne, men det er også naturlig å anta at en likesidet trekant har vært involvert.  
 
En tidlig kilde som tilegner teoremet til Pytagoras, skal ha vært en Apollodoros Arithmetikos, og han blir sitert av flere senere kilder.  Detaljer om Apollodoros liv er ikke kjent. Verset som blir sitert etter Apollodoros er heller ikke entydig:

Apollodoros sier ingenting om hvilken «berømt tegning» han viser til.  Det greske ordet brukt om «tegning» kan også tolkes som «teorem».  Fortellinger om dyreoffer som takk for kunnskap var også tidligere blitt knyttet til andre, inkludert til Tales.  Diogenes Laertios (3. århundre f.Kr.) og flere andre går ut fra at verset gjelder oppdagelsen av Pytagoras’ sats.  Romeren Cicero (106-43 f.Kr.) bruker fortellingen om Pytagoras og dyreofferet, uten å spesifisere hvilken geometrisk oppdagelse det gjaldt.  Han er imidlertid skeptisk, fordi dyreoffer ikke var godtatt blant pytagoreerne.  En annen romer, Vitruvius (ca. 80-ca.15 f.Kr.), knytter fortellingen til oppdagelsen av det pytagoreiske trippelet (3,4,5). Plutark (45-120) var kritisk til å tolke verset i tilknytning til Pytagoras’ teorem. Trass denne uenigheten, var det mange som i ettertid ga Pytagoras æren for å ha oppdaget teoremet. Proklos i det femte århundre etter Kristus stadfester dette, uten selv å ta stilling til sannhetsinnholdet. Ifølge Proklos bør Euklid bli gitt største æren, for han var den ga bevis for teoremet.

I sitt store verk om historien til gresk matematikk, sier Thomas Heath i avsnittet om Pytagoras’ teorem:

I ettertiden har det vært stor uenighet om Pytagoras’ rolle, og flere hypoteser er gjeldende:
* Pytagoras overtok satsen fra babylonerne. Han var kun en formidler av orientalsk kunnskap til grekerne. Dette er synet til vitenskapshistorikeren Walter Burkert.  
* Pytagoras oppdaget og beviste satsen uavhengig av orientalsk matematikk. Dette var en vanlig oppfatning i antikken og er også synet til vitenskapshistorikeren Leonid Zhmud.
* Pytagoras støttet seg til orientalske kilder, men var den første som fant et bevis. Egypterne og babylonerne var primært interessert i satsens anvendelse og ikke i et generelt bevis. 
* Pytagoras hadde selv få eller ingen bidrag. Andre pytagoreere kan på et senere tidspunkt ha funnet et bevis og så har dette blitt knyttet til Pytagoras.

Oppfatningen til Thomas Heath ligger kanskje et sted mellom de to siste hypotesene.    

### Euklids rolle

Euklid hadde mesteparten av sitt virke i Alexandria, omkring 300 f.Kr.  
Beviset som Euklid bruker for Pytagoras’ teorem i I.47 er antagelig hans eget.  Det betyr ikke at det ikke eksisterte eldre bevis eller at Euklid ikke kjente til disse.  Euklid bygger opp *Elementer* svært systematisk, og beviser satsene steg for steg.  Beviset for I.47 ble antagelig valgt fordi det ikke trengte bruk av formlike figurer og forhold mellom lengder.  Dette emnet ble først introdusert i bok V.  Pytagoras’ teorem og det omvendte teoremet avslutter bok I, som høydepunkt.  Så om beviset for I.47 i dag kan synes unødig komplisert, så er Euklids fortjeneste at han greidde å gjennomføre dette kun basert på innholdet i bok I.  

Euklids *Elementer* ble antagelig skrevet som en lærebok og ikke som et forsøk på å samle all kjent geometrisk kunnskap eller presentere ny kunnskap. Ingenting blir nevnt om opphavet til innholdet, og heller ikke Pytagoras er nevnt. Det er antatt at store deler av innholdet i bok I, II, IV og VI var kjent for pytagoreerne. Euklid gjør ingen krav på originalitet, men han har antagelig laget nye bevis der dette har vært nødvendig for sammenhengen. Det store bidraget til Euklid var den systematiske oppbyggingen av teorien, der alt blir stringent bevist.

## I kulturen
Pytagoras’ læresetning er gjennom tidene referert til eller gjengitt i en lang rekke sammenhenger:

* Et vers i «Generalmajorens sang» i musikalen *The Pirates of Penzance* av Gilbert og Sullivan har referansen: «About binomial theorem I'm teeming with a lot o' news, With many cheerful facts about the square of the hypotenuse.»
* Fugleskremselet Scarecrow i Trollmannen fra Oz gir en referanse til teoremet idet han mottar eksamensbevis fra trollmannen. Han fremviser umiddelbart sin «kunnskap» ved å gjengi en radbrukket og ukorrekt versjon av teoremet: «Summen av kvadratroten på to tilfeldige sider av en likesidet trekant er lik kvadratroten av den siste siden. Oh, hurra! Jeg har vel en hjerne!»
* I en episode av *[[Simpsons|The Simpsons]]*, etter å ha funnet Henry Kissingers briller på toalettet i Springfield Nuclear Power Plant, tar Homer dem på og gjengir Oz Scarecrows forenklede versjon av teoremet. En mann i nærheten roper ut: «Det er en rettvinklet trekant – din idiot!»
* I talesynteseprogramvaren i Mac OS X finnes en stemme kalt Ralph, som gjengir teoremet i en eksempeltekst. 
* For en *Past Master* bruker frimuerereet symbol som er et diagram Euklid brukte i sitt bevis av teoremet.
* I Neal Stephensons spekulative fiction *Anathem* er Pytagoras’ teorem gjengitt som *the Adrakhonic theorem*. Et geometrisk bevis er gjengitt på et romskip, for å vise eiernes kunnskap om matematikk.
* I den engelske versjonen av den syttende boken om Asterix, *The Mansions of the Gods*, benytter Julius Cæsar seg av tjenesten til arkitekten *Squareonthehypotenus* (*Kvadratetpåhypotenusen*).
* I 2000 utga Uganda en mynt med form som en rett trekant. Myntens bakside har en illustrasjon av Pytagoras og Pytagoras’ teorem, sammen med teksten «Pythagoras Millennium». 
* Hellas, Japan, San Marino, Sierra Leone og Surinam er alle land som har gitt ut frimerker med motiver av Pytagoras og Pytagoras’ teorem.

Historien om dyreofferet til Pytagoras har inspirert dikteren Adelbert von Chamisso til en sonett, *Vom pythagoreischen Lehrsatz*, der første vers lyder:

Oversatt til norsk kan det gjengis slik:

## Referanser


## Litteratur

**På norsk**:

*

**På engelsk:**

*
* 
*
*
*
*
*
*

**På tysk:**

*
*
*

## Eksterne lenker
* 
*  
*  
*  
*