Andregradsligning

En **andregradsligning**, **annengradsligning** eller **kvadratisk ligning**, er en matematisk ligning på formen
: ax^2+bx+c=0 \ ; \quad a \ne 0 \ .
Ligningen har tre koeffisienter a, b og c samt en ukjent x, som alle representerer reelle eller komplekse tall. Generelt har ligningen to løsninger, også kalt røtter.

Venstre side i ligningen er polynomfunksjonen f(x) = ax^2+bx+c, som i det reelle tilfellet grafisk fremstiller en parabel. Røttene i andre&shy;grads&shy;ligningen er lik nullpunktene til andregrads&shy;polynomet, det vil si de verdiene av x som gir f(x) = 0. Ligningen kan ha to, én eller ingen reelle røtter, avhengig av om funksjonen skjærer, tangerer eller ligger helt over eller under  

Røttene i andregradsligningen kan uttrykkes ved hjelp av den såkalte *ABC-formelen*.

## ABC-formelen
De to røttene til andregradsligningen kan skrives på formen
:x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\ \ ,
hvor symbolet «<big><big>&plusmn;</big></big>» indikerer at det eksisterer to løsninger:
:x_1 = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}
:::og
:x_2 = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\ \ .
Uttrykket under kvadratroten, (b^2 - 4ac), kalles *[[diskriminant]]en* (D). En ligning med reelle koeffisienter vil få to reelle røtter når diskriminanten er positiv (D > 0), to reelle sammenfallende røtter når diskriminanten er null (D = 0) og to kompleks konjungerte røtter når diskriminanten er negativ (D :
:
:
:
ABC-formelen kan også skrives som:
:x_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\ \ ,
som kan forenkles til:
:x_{1,2} = -\frac{\ b}{2a} \pm \sqrt{\left(-\frac{\ b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}}\ \ .
Denne formen egner seg godt når man bruker en kalkulator med kvadratrot-funksjon og én minneplass eller flere for å finne røttene til andregradsligninger. Uttrykket under kvadratroten er en diskriminant. Formen over passer også godt når komplekse røtter kan godtaes. Da vil uttrykket utenfor kvadratroten være den reelle delen og kvadratrot-uttrykket være den imaginære delen:
:x_{1,2} = -\frac{\ b}{2a} \pm i \sqrt{ \Big | \left(-\frac{\ b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a} \Big |}\ , \ \ 
i = \sqrt {-1} 

Ved hjelp av ligningens røtter kan andregrads&shy;polynomet faktoriseres på formen
:f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \ .

## Alternativ formel for løsningen
Hvis koeffisienten c \ne 0, så kan løsningene av andregradsligningen skrives på den alternative formen
:x_{1,2} =\frac{2c}{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }} \ .
Merk at hvis c = 0, så gir denne formen den ene korrekte løsningen, x_1 = 0, men ikke den andre løsningen, x_2 = -\frac{b}{a} \ .

## Viètes formler
Viètes formler gir en enkel sammenheng mellom røttene til en polynomligning og koeffisientene i ligningen. For andregrads&shy;ligningen har formlene formen
: 
\begin{alignat}{2}
x_1 + x_2 &= -\frac{b}{a} \ ,\\
x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} \ . \end{alignat}


Herav følger at:
:
\begin{alignat}{2}
x_1 &= -\frac{b}{a} - x_2 \ ,\\
x_2 &= -\frac{b}{a} - x_1  \end{alignat}

:og
:
\begin{alignat}{2}
x_1 &= \frac{c}{a} \Big / x_2 \ ,\\
x_2 &= \frac{c}{a} \Big / x_1 \ .\end{alignat}


Når koeffisientene og røttene i andregrads&shy;ligningen er relle, kan Vietes formler brukes for å beregne ekstremalverdien for polynom&shy;funksjonen f(x) = ax^2 + bx + c, det vil si maksimal- eller minimal&shy;verdien til funksjonen. Fra grafen til andregrads&shy;polynomet kan man i dette tilfellet se at ekstremal&shy;verdien f_e gitt for et argument x_e ligger *midtveis* mellom de to røttene. Fra Vietes første formel finner man
: x_e = \frac{1}{2}(x_1 + x_2) = -\frac{\ b}{2a} \ .
Ekstremalverdien finner man da ved innsetting i funksjonen
: f_e = f(x_e) = a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left (-\frac{b}{2a} \right)+c = - \frac{\ b^2}{4a} + c = - \frac{ b^2 - 4ac} {4a} \ .

## Eksempler

## Anvendelse på ligninger av høyere grad
I enkelte tilfeller kan en høyere grads ligning løses ved å innføre en variabel&shy;substitusjon som reduserer problemet til en andregradsligning. Et eksempel er ligningen
: 2x^6 - 70x^3 + 432 = 0 \ ,
som ved hjelp av substitusjonen  u = x^3 reduseres til
:  2u^2 - 70u + 432 = 0 \ .
Denne ligningen lar seg lett løse for u ved hjelp av ABC-formelen som gir to reelle røtter: u_1 = 27 og u_2 = 8\ . Dette fører videre til at
:x_{1} = \sqrt[3]{27} = 3\ ,\  x_{2,3} = -\frac{3}{2} \ \pm\ i\frac{3\sqrt{3}}{2} og
:x_{4} = \sqrt[3]{8} \ = \ 2\ ,\ x_{5,6} = -1\ \ \pm\ \ i\sqrt{3}\ \ .

## Utledning av ABC-formelen
Multipliserer man den opprinnelige andre&shy;grads&shy;ligningen med koeffisienten a, får den denne formen
:  a^2 x^2 + abx + ac = 0 \ . 
Ligningen blir lettere å arbeide med ved å innføre en ny variabel y = ax, 
:  y^2 + by + ac = 0 \ . 
Leddene som inneholder y kan gjøres om til et fullstendig kvadrat ved å legge til et ledd \frac{b^2}{4} på begge sider av likhetstegnet, samtidig som man flytter leddet ac over på høyre side av ligningen:
:  y^2 + by + \frac{b^2}{4} = \frac{b^2}{4} -ac \ . 
Ved hjelp av første kvadratsetning kan venstre side nå skrives som et fullstendig kvadrat:
:  \left(y + \frac{b}{2}\right)^2 = \frac{b^2}{4} -ac \ . 
Denne enkle andregradsligningen har to røtter, gitt ved
:  y + \frac{b}{2} = \pm \sqrt{\frac{b^2}{4} -ac}\ . 
En liten omforming gir 
:  y = - \frac{b}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{b^2 -4ac} \ .
Siden y = ax gir dette ABC-formelen.
## Historie
Andregradsligninger opptrer i mange praktiske problemer relatert til arealberegninger, og det er derfor ikke uventet at slike ligninger har en lang historie i matematikken. Problemer der andregrads&shy;ligningen opptrer har vært viktig for forståelsen av tall og begreper som rasjonale, irrasjonale og komplekse tall.

På babylonske leirtavler, datert mellom 1800 og 1600 f.Kr., finner man mange referanser til slike problemer, f.eks: *Finn lengden til et kvadrat der areal minus sidelengde er lik 870.* Både problemstilling og løsningsmetode er beskrevet med ord, men i dagens symbolform er dette ekvivalent til løsningen av ligningen
:x^2 - x = 870 \ .
Den beskrevne løsningsmetoden svarer også til bruk av den positive roten i ABC-formelen, og den korrekte løsningen: x = 30 er oppgitt.

Det skulle gå svært lang tid før det ble akseptert at andregradsligningen også kunne ha *negative* røtter. Helt frem til middelalderen konsentrerte studiet av andregradsligninger seg om de tre formene som kan ha en positiv rot:
:
\begin{alignat}{3}
x^2 + px &= q &i) \\
x^2 &= px + q \qquad &ii)\\
x^2 + q &= px &iii)\\
\end{alignat}

der p og q er ikke-negative tall. Man finner eksempler på alle disse tre typene i de babylonske tekstene.

Problemer der koeffisienten a \ne 1 løste babylonerne ved å innføre en substitusjonen y = ax som overførte det opprinnelige problemet til et ekvivalent problem for y med første koeffisienten lik 1. Med kjennskap til moderne symbolform for ligningen er dette i dag enkelt, men det vitner om betydelig matematisk innsikt når babylonerne kunne gjøre dette basert på en tekstbeskrivelse av ligning og løsning. Babylonerne løste også høyeregradsligninger ved å bruke substitusjon for å redusere problemet til en andregrads&shy;ligning.

Egyptisk matematikk nådde ikke like høyt som den babylonske, og løsning av andre&shy;grads&shy;ligninger med tre koeffisienter var ukjent for de gamle egypterne.

I den tiende delen av læreverket *[[Euklids Elementer|Elementer]]* ga den greske matematikeren Evklid, som levde omtrent 300 år f.Kr., en geometrisk metode for løsning av andregradsligningen på formen iii). Han drøftet også vilkårene for at koeffisienten p skal være kommensurabel med rotdelen av løsningen, dvs. at brøken
:p \over {\sqrt{p^2 - 4q}} &nbsp; er et rasjonalt tall.
Den greske matematikeren Diofant levde omtrent 500 år senere, og i verket *Arithmetica* var han den første til å innføre en synkopert algebra med en slags symbolnotasjon for ligninger. Ved hjelp av symboler for den ukjente, for ulike potenser av denne og for koeffisientene, skrev han både andre&shy;grads&shy;ligninger og høyeregrads ligninger på kompakt form. For andregrads&shy;ligninger ga Diofant bare den største roten, negative røtter ble ikke akseptert.

Den første matematikeren som oppga *negative* røtter til andregradsligningen var Brahmagupta, som levde i det sentrale India i det 7. århundre. På samme måte som Diofantes brukte Brahmagupta en slags symbolnotasjon for ligninger.

Vel 150 år senere, i det 9. århundre, skrev araberen Muhammad ibn Musa al-Khwârizmî verket *Al-jabr wa’l muqabalah* som inneholdt en oversikt over løsning av alle typer andre&shy;gradsligninger med positive røtter. I tilfeller med *to* positive røtter er begge oppgitt. Også betydningen av fortegnet til diskriminanten er omtalt. Navnet algebra er en omforming av første ordet *al-jabr* i tittelen på dette viktige verket, som innførte en ny systematikk i studiet av ligninger.

Et manuskript etter den tyrkiske matematikeren abd-al Hamid ibn-Turk inneholder mye av det samme materiale som i *Al-jabr*. Manuskriptet er skrevet omtrent samtidig med det arabiske manuskriptet, og det har derfor vært reist spørsmål om hvilket verk som kom først og om det ene bygger på det andre.

En rekke manuskripter fra det 11. og det 12. århundre viser at kinesiske matematikere brukte metoder tilsvarende det som i dag kalles Horners regel for å finne approksi&shy;mative røtter til polynomligninger av helt opp til fjortende grad.

Franskmannen François Viète (1540 – 1603) videreutviklet notasjonen for ligninger og innførte bruk av symboler også for *koeffisientene*. Symbolene + og - for addisjon og subtraksjon var allerede i bruk, men Viète tok i bruk en vokal A som symbol for den ukjente og konsonanter B, C, … for koeffisientene. Symbolbruken var likevel ikke helt gjennom&shy;ført, da x^2 ble betegnet A\ quadratus, multiplikasjon ble markert med det latinske ordet in og likhets&shy;relasjonen ble markert med ordet aequalis. Den generelle formen for andregrads&shy;ligningen kunne dermed skrives
:*B in A quadratus + C in A aequalis D*.
Viète utviklet også relasjoner mellom de ukjente og koeffisientene for de tilfeller der alle størrelsene er positive tall.

René Descartes' arbeid *La geometrie* er en av de tidligste matematiske tekstene som omhandler algebra som er mulig å følge i dag, uten å ha vansker med notasjonen. Dette ble publisert i 1637, som et appendiks til det større verket *[[Om metoden]]*. Det første bindet i appendikset inneholder en drøfting av løsning av andregradsligninger ved hjelp av en geometrisk konstruksjon. Som så mange før ham, neglisjerte Descartes i dette bindet negative løsninger. I det tredje bindet av *La geometrie* finnes en mer generell drøfting av løsning av algebraiske ligninger.

Først med teorien for komplekse tall, utviklet av blant andre Abraham de Moivre, Leonhard Euler og Carl Friedrich Gauss, fikk løsningen av andregradsligningen en komplett beskrivelse.

## Se også
* Caspar Wessel
* Tredjegradsligning
* Fjerdegradsligning
* Femtegradsligning

## Litteratur
* C.B.Boyer: *A history of mathematics*. John Wiley & Sons, Inc, 1968, 

## Eksterne lenker
* Kalkulator for å finne røtter i andregradslikninger, hos Kalkuler**.**no
* «Løs en andregradslikning», fra matematikk**.**org
* «Andregradslikninger», fra matematikk**.**net