Pyramidetall

**Pyramidetall** er i aritmetikken  bestemte følger av figurtall som er forbundet med formen til en pyramide hvor grunnflaten er en regulær mangekant og sideflatene er trekanter. De utgjør en spesiell klasse av figurtall i den større gruppen av polyedertall basert på mer generelle polyeder i tre dimensjoner.
 
De mest kjente pyramidetallene er tetraedertallene

: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969,  1140, 1330, ...

hvor grunnflaten er en likesidet trekant og de **kvadratiske pyramidetallene**

: 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, ...

hvor grunnflaten er et kvadrat.

Et pyramidetall kan illustreres ved å arrangere et slikt antall baller eller kuler i en pyramideformet stabel. Antall kuler til en sidekant i grunnflaten angir da samtidig også antall lag opp til toppen av pyramiden hvor der ligger en kule. Det *n*-te laget er derfor også en polygon med samme form som grunnflaten og inneholder et antall kuler som er gitt ved det tilsvarende *n*-te polygontallet.

## Generell formel

Hvis *P**s*(*k*) er det *k*-te polygontallet for en regulær mangekant med *s* sider, så er det *n*-te pyramidetallet 
*M**s*(*n*) &thinsp; definert ved

:  M_s(n) = \sum_{k=1}^n P_s(k) = P_s(1) + P_s(2) + P_s(3) + \cdots + P_s(n) 

som tilsvarer summen av antall kuler i hvert lag som den er bygd opp av. Det betyr at pyramidetallene også kan defineres og regnes ut fra rekursjonsrelasjonen

:  M_s(n+1) =  M_s(n) + P_s(n+1)  

med  *M**s*(1) = 1 som tilsvarer kulen på toppen av pyramiden. Dette gir den generell formelen

:  M_s(n) =  {1\over 6} (s-2) n^3 + {1\over 2}n^2 - {1\over 6}(s-5) n 

som var kjent allerede for Arkimedes som brukte den til beregning av tredimensjonale volum.

Formelen kan bevises ved  matematiskinduksjon. Alternativt følger den direkte fra den generelle formelen

:   P_s(k) = \frac 1 2 (s-2)k^2 - \frac 1 2 (s-4)k 

for  det *k*-te polygontallet  Fra definisjonen av pyramidetallene har man da

:   M_s(n) = {1\over 2} (s-2) \sum_{k=1}^n k^2 - {1\over 2}(s-4)\sum_{k=1}^n k 

Mens den siste summen her er *n*(*n* + 1)/2, kan den første summen av kvadratene finnes fra egenskaper ved trekanttallene. Det gir

: \begin{align}  M_s(n) &= {1\over 2} (s-2) \Big( {1\over 3}n^3 + {1\over 2}n^2 + {1\over 6}n \Big) - {1\over 2}(s-4) \Big({1\over 2}n^2 + {1\over 2}n\Big)\\
&=  {1\over 6} (s-2) n^3 + {1\over 2}n^2 - {1\over 6}(s-5) n  \end{align}

I det spesielle tilfellet med en femkantet pyramide, faller det siste leddet bort slik at formelen gir

:  \begin{align} M_5(n) &=  {1\over 2}n^2(n+1)\\
 &= 1, 6, 18, 40, 75, 126, 196, 288, 405, 550, 726, 936, 1183, 1470, 1800, 2176, 2601, ...  \end{align} 

som er de **pentagonale pyramidetallene**.

### Trigonale pyramidetall
En triangulær pyramide ser ut som tetraeder. Derfor er de triangulære pyramidetallene de samme som tetraedertallene  *T<sub>n</sub>&thinsp;* og gitt ved

:  M_3(n) = {1\over 6}n(n+1)(n+2) =  T_n = {n+2\choose 3} 

De første tallene i denne klassen er dermed 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, ...

### Kvadratiske pyramidetall

For  *s* = 4 finner man de kvadratiske pyramidetallene gitt ved

:  M_4(n) = {1\over 6}n(n+1)(2n + 1) =  {1\over 3}n^3 + {1\over 2}n^2 + {1\over 6}n 

som representerer summen av de *n*  første  kvadrattallene. Hvert av disse kan skrives som summen av to påfølgende tetraedertall da

: \begin{align} M_4(n) &= {1\over 6}n(n+1)(n+ 2 + n - 1)\\ &=  T_n + T_{n-1}   \end{align} 

Dette algebariske resultatet kan også forklares geometrisk ved å dele pyramiden i to. På tilsvarende måte kan et oktaeder deles i to pyramider med kvadratiske grunnflater som adskiller seg ved at den ene har en kule mindre i sidekanten. Dette kommer til uttrykk i det *n*-te oktaedertallet som kan skrives som

:  O_n = M_4(n) + M_4(n-1) = {1\over 3}n(2n^2 + 1) 

De første, kvadratiske pyramidetallene er 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, ...

## Litteratur
* A. Holme, *Matematikkens Historie 1*,  Fagbokforlaget, Bergen (2001). ISBN 82-7674-678-0.
* R. Courant and H. Robbins, *What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods*, Oxford University Press, Oxford (1996). ISBN 0-195-10519-2.
* J.H. Conway and R.K. Guy, *The Book of Numbers*, Springer-Verlag, New York (1996). ISBN 978-1-4612-8488-8.