Snells brytningslov

**Snells brytningslov** er en enkel formel brukt til å regne ut brytningsvinkelen  &theta;2 for lys som går fra medium 1 til et annet medium 2. Den kalles noen ganger for **sinusloven** da den sier at  sinus til denne vinkelen er proporsjonal med sinus til innfallsvinkelen &theta;1. Denne lovmessigheten ble påvist i 1621 av  den nederlandske matematiker  Willebrord Snellius (1580–1626) og ble først forsøkt forklart av den franske filosof og naturviter Rene Descartes (1596 - 1650). 

Rundt 1660 ga den franske jurist og matematiker Pierre de Fermat (1601 - 1665) den riktige forklaringen basert på antagelsen at lyset går langsommere  i et medium enn i vakuum. Denne reduksjonen av hastigheten er karakterisert ved mediets brytningsindeks. Dermed fikk loven sin endelige form

: n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2\, 

hvor *n<sub>1</sub>* og *n<sub>2</sub>* er brytningsindeksene i de to mediene. Det er dette resultatet til Fermat som vanligvis blir omtalt som Snells brytningslov.

## Historie

Det var velkjent at for eksempel når en lysstråle går fra luft ned i vann, vil den avbøyes eller brytes inn mot normalen til vannflaten. Hver innfallsvinkel *&theta;*1 gir en bestemt brytningsvinkel *&theta;*2. Hvis medium 1 er luft og medium 2 er vann, er altså *&theta;*2 1. Det var ingen enkel, lineær sammenheng mellom disse to vinklene.  Men i 1621 fant  Snell at sinus til disse to vinklene var proporsjonale med hverandre. Matematiske kan dette sammenfattes i ligningen

: \sin\theta_1 = n_{12}\sin\theta_2\, 

hvor konstanten *n*12 > 1 for overgangen fra luft til vann. Dette er den opprinnelige brytningsloven til Snell.

### Descartes
Allerede  Kepler hadde tidligere foreslått å bruke matematiske metoder til å beskrive lysets gang. På den tiden var det ikke kjent hvor fort lyset beveget seg, men Kepler mente at det måtte gå uendelig raskt. Disse ideene tok Descartes opp igjen i første del av sitt store verk *Discours de la Méthode* fra 1637 hvor han behandlet flere probemstillinger innen optikken. 

I det mekaniske verdensbildet til Descartes tenkte han seg lys som bevegelse av små kuler eller partikler. Når de treffer grenseflaten mellom to medier, vil impulsen *p* til hver partikkel forandres, men komponenten langs flaten er bevart. Den er *p<sub>x</sub>* = *p*&thinsp;sin*&theta;* når impulsvektoren danner vinkelen *&theta;* med normalen til flaten. Hvis massen til hver partikkel er *m*, så blir impulsen *p = mv* når den beveger seg med hastighet *v*. Dermed kommer man frem til at  da massen er konstant.

Descartes argumenterte videre med at når lyspartikkelene gikk gjennom grenseflaten mellom de to mediene, ville hastigheten deres øke slik at *v*2 > *v*1. Dermed hadde han en utledning av Snells lov med *n*12 = *v*2/*v*1. Antagelsen den bygger på, sier derfor at lyspartiklene går raskere i et tett medium som vann enn i et tynt medium som luft. Men dette viste seg senere ikke å stemme og virker også intuitivt feil i en slik mekanisk beskrivelse.  På Descartes sin tid  var lyshastigheten ukjent, man visste ikke engang om den var endelig. Først rundt 1675 ble den målt av Ole Rømer og da ikke i et medium, men i vakuum.

### Fermat

Så snart utledningen og resultatet til Descartes ble kjent, ble det kritisert av Fermat. Spesielt var han imot antagelsen om at lyspartiklene beveget seg raskere desto tettere mediet var. Dette problemet tok han opp igjen rundt 1660. I stedet for en mekanisk modell for lys, foreslo han at lyset alltid beveger seg langs den raskeste veien. Idag kalles dette Fermats prinsipp. Allerede fra antikken var det kjent at dette var tilfelle ved refleksjon av lys. Når lys går inn i et tettere medium som ved refraksjon, antok Fermat at lyshastigheten blir mindre. Er den *c*0 i vakuum, er den da *c* = *c*0/*n* i mediet hvor *n* > 1 er brytningsindeksen. Ved å benytte hans prinsipp om minste tid, følger da at

: n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2\, 

som er akkurat Snells lov.

Som en illustrasjon av denne forklaringen av brytningsloven basert på Fermats prinsipp om kortest tid, kan man tenke seg en badevakt stasjonert på stranden. Han kan her løpe raskere enn hva han klarer å svømme i vannet. Hvis nå en badende person skulle begynne å drukne uti vannet, ville ikke badevakten starte ut med et løp direkte mot den druknende. Derimot ville han først løpe et stykke langs stranden og så legge på svøm. Hans vei frem til den nødstedte blir dermed en brukket linje med en brytningsvinkel som oppfyller Snells lov.

### Huygens

Descartes og Fermat betraktet lysstråler som beveger seg langs rette linjer i et medium. I sitt store verk *Traité de la lumière* fra  1690 argumenterte derimot Christian Huygens for at lys måtte være en bølge. For å beskrive dens utbredelse, utviklet han sitt eget prinsipp som i dag kalles Huygens-Fresnels prinsipp. Dette bygger på den antagelse at hvert punkt på en bølgefront sender ut nye elementærbølger som bygger opp en ny bølgefront. Når en slik bølgefront treffer et nytt medium med en annen brytningsindeks, vil disse elementærbølgene bevege seg med lyshastigheten i dette mediet. Snells brytningslov kommer da frem ved en enkel, geometrisk betraktning. På samme måte som Fermat, antok Huygens også at lyshastigheten ville være mindre i et optisk tettere medium. 

Huygens brukte samme prinsipp til å forklare dobbeltbrytning i krystaller. En vanlig lysstråle vil i en krystall splittes i to deler hvorav bare den ene beveger seg med samme hastighet i alle retninger. Den andre delen derimot beveger seg med en hastighet som avhenger av retningen den har i krystallen. Denne antagelsen fikk en teoretisk bekreftelse 150 år senere gjennom arbeidene til den franske fysiker Augustin Fresnel.

Rundt 1850 ble lyshastigheten i vann målt av Fizeau og funnet å ha en verdi mindre enn i vakuum. Derfor var antagelsen til Descartes feil, mens Fermat og Huygens hadde rett. Men i Frankrike blir brytningsloven fortsatt ofte omtalt som  «Descartes lov».

## Brytning av lysbølger

Det var Maxwell som rundt 1860 viste at lys er bølger i det elektromagnetiske feltet. En plan bølge er karakterisert ved en vinkelfrekvens *&omega;* og en bølgevektor **k** som angir  utbredelsesretingen av bølgen. I et optisk transparent medium er sammenhengen mellom disse to størrelsene  der *c* er lyshastigheten i vakuum og *n* er brytningsindeksen til mediet.

Betrakter man det elektriske feltet i en slik elektromagnetisk bølge, vil det variere harmonisk i tid og rom som

:  \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}_0 \cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t + \phi) 

hvor  **E**0 er en konstant amplitude og *&phi;* er en vilkårlig fasefaktor. Det magnetiske feltet vil variere på en tilsvarende måte gitt ved Maxwells ligninger.

Beveger bølgen seg fra et medium til et annet, vil bølgevektoren forandres når brytningsindeksen tar en ny verdi. Samtidig vil amplituden **E**0 endres sammen med den magnetiske amplituden da Maxwells ligninger også gir betingelser på disse i grenseflaten mellom de to mediene. For at betingelsene skal være oppfylt, finner man at  den innkommende bølgen må opptre sammen med både en brutt og en reflektert bølge i et gjensidig forhold gitt ved Fresnels formler.

Retningene til det reflekterte og det brutte lyset følger fra de samme grensebetingelsene når man betrakter den periodiske variasjonen i bølgene. Da de må variere i takt med tiden, må frekvensen *&omega;*1 for det innkommende lyset være den samme som *&omega;*1' for det reflekterte lyset og *&omega;*2 for det brutte lyset. Kalles de tre tilsvarende bølgevektorene for **k**1,  **k**1 og  **k**2, må man ha romlig harmoni uttrykt ved at  = **k**2&sdot;**r** i grenseflaten. 

Konsekvensen av dette kravet blir mer tydelig ved å skrive ut bølgevektorene uttrykt ved deres retninger *&theta;*1,  *&theta;*1' og *&theta;*2 målt mot 
innfallsloddet som man kan velge som *y*-aksen hvis  innfallsplanet faller sammen med et *xy*-plan i et kartesisk koordinatsystem. Grenseflaten mellom de to mediene er da gitt som . I dette planet er nå  **k**1 =  og tilsvarende for de to andre bølgevektorene. Ved å sette  i de tre grensebetingelsene får man da at

:  k_1\sin\theta_1 = k_1'\sin\theta_1' =  k_2\sin\theta_2 

I den første likheten kan man sette  *k*1 =  *k*1' da begge bølgevektorene befinner seg  i samme medium og *&omega;*1 = *&omega;*1'. På den måten kommer derfor frem at refleksjonsvinkelen *&theta;*1'  må være lik med innfallsvinkelen *&theta;*1. 

Den samme betingelsen mellom frekvensene i den siste likheten gir på samme måte at

: n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2\, 

da bølgetallene *k*1 og *k*2 er proporsjonale med  brytningsindeksene  *n*1 og  *n*2. Dette er igjen Snells brytningslov.

### Fotoner

Det er interessant å se likheten mellom denne utledningen basert på bølger og hvordan man ville ha beskrevet det samme fenomenet  i kvantemekanikken hvor lys kan betraktes som fotoner. Lys med vinkelfrekvens *&omega;* inneholder slike «lyspartikler» med energi *E = ħ&omega;* hvor *ħ* er den reduserte Planck-konstanten. Denne energien opptrer med en tilsvarende impuls *p =  ħk* hvor *k* er bølgetallet.

Når fotonet beveger seg fra et medium 1 til medium 2, kan man som Descartes bruke impulsbevarelse langs grenseoverflaten. Dette kravet medfører betingelsen  som igjen gir Snells lov. Men i dette tilfellet går fotonene langsommere i det optiske tettere mediet i motsetning til hva Descartes antok. Hans bilde av lyspartiklene var basert på en klassisk forståelse hvor impulsen er proporsjonal med hastigheten som for materielle partikler. I kvantemekanikken derimot er impulsen for fotoner omvendt proporsjonal med hastigheten.

## Se også

* Lysbrytning
* Brytningsindeks
* Fermats prinsipp
* Dobbeltbrytning
* Huygens-Fresnels prinsipp

## Referanser


## Litteratur

* F. A. Jenkins and H. E. White, *Fundamentals of Optics*,  McGraw-Hill Book Company, New York (1957). 
* M. Born and E. Wolf, *Principles of Optics*, Pergamon Press, Oxford (1965).

## Eksterne lenker

* A. Kwan, J. Dudley and E. Lantz, ''Who really discovered Snell’s law?'', Physics World, April 2002.