London-ligningen

**London-ligningen** beskriver egenskapene til magnetfeltet i en superleder. Spesielt forklarer den Meissner-effekten der et ytre magnetfelt under en kritisk temperatur tvinges ut av dens indre. Ligningen inneholder bare en parameter som er «penetrasjonsdybden» *&lambda;* og angir hvor langt magnetfeltet kan trenge inn i superlederen. Denne fenomenologske beskrivelsen kan utledes fra den senere mer velfunderte Ginzburg-Landau-teorien.

Ligningen ble funnet av brødrene Fritz og Heinz London i 1935 mens de var i Oxford etter å ha flyktet fra Tyskland.

## Utledning

Da det var kjent at superledning først opptrer under en viss, kritisk temperatur, var det nærliggende å tro at fenomenet hadde noen felles trekk med Bose-Einstein-kondensasjon. Selv om elektronene i et metal er fermioner og ikke bosoner, tenkte man seg likevel at en del av disse med tetthet *n<sub>s</sub>* kunne danne et superledende kondensat. Over den kritiske temperaturen er denne lik null, mens for lavere temperaturer er  og materialet er superledende.

Kondensatet er antatt å bestå av ladningsbærere med masse *m* og elektrisk ladning *q*. De beveger seg i et magnetfelt som alltid kan uttrykkes ved vektorpotensialet **A** ved den fundamentale sammenhengen . Den sier at  de magnetiske feltlinjene er lukkete kurver. Fra klassisk mekanikk vil hver slik partikkel i dette feltet ha en hastighet **v** og impuls **p** som er forbundet ved relasjonen  som følger fra elektromagnetisk gaugeinvarians.

Bevegelsen til de superledende partiklene i kondensatet gir opphav til en elektrisk strømtetthet  London-ligningen kommer nå frem ved å anta at i et uniformt kondensat må partiklene ha impulsen **p** som også gjelder for partiklene i et Bose-Einstein-kondensat. Dermed har man sammenhengen

:  \mathbf{J}_s = - {n_s q^2\over m} \mathbf{A} 

som gir opphav til ligningen. På denne formen er den ikke gaugeinvariant, men bare for vektorpotensial som oppfyller betingelsen . Vanligvis sier man at dette tilsvarer å benytte Coulomb-gauge, men ved utledningen her kalles betingelsen likså ofte for bruk av «London-gauge». Uansett skyldes den at strømmen må tilfredsstille  som følger fra kontinuitetsligningen under stasjonære forhold.

London-ligningen på denne formen kommer frem på samme form fra den mer velbegrunnete Ginzburg-Landau-teorien og har derfor en gyldighet utover de enkle antagelsene gjort i denne utledningen. Den er også derfor konsistent med den mer fundamentale BCS-teorien hvorav det fremgår at de superledende ladningsbærerne er Cooper-par med tetthet *n<sub>s</sub>* bestående av to elektroner slik at ladningen .

### Formulert som differensialligning
Ligningen kan formuleres for magnetfeltet alene ved å bruke Ampères sirkulasjonslov   når man benytter SI-systemet hvor *&mu;*0 er den magnetiske konstanten. Tar man nå curl av London-ligningen og benytter fra vektoranalysen identiteten  **&nabla;**&thinsp;&times;(**&nabla;**&thinsp;&times;&thinsp;**B**) = **&nabla;**&thinsp;(**&nabla;**&sdot;**B**) - &nabla;2&thinsp;**B**, fremkommer differensialligningen

:  \nabla^2 \mathbf{B} = {1\over \lambda^2}\mathbf{B} 

da **&nabla;**&sdot;**B** = 0 gjelder alltid. Her er inngår parameteren *&lambda;*2 = *m*/*&mu;*0*n<sub>s</sub>q*2 som omtales som «penetrasjonslengden». Den sier hvor langt magnetfeltet kan trenge inn i en superleder. Når temperaturen øker og nærmer seg den kritiske verdien, vil  Det betyr at da vil *&lambda;* &rarr; &infin; og magnetfeltet kan da gå gjennom hele superlederen. Det er da ingen Meissner-effekt, og superlederen er gått over i den normale fasen.

## Enkel anvendelse

Man tenker seg en superleder som fyller rommet *x* > 0 som ellers består av et normalt materiale eller luft. Hele systemet befinner seg i et ytre magnetfelt som man kan anta er parallelt med *z*-aksen. Dette har en størrelse *B*0 i området   utenfor superlederen. Inni denne forenkles nå London-ligningen til

:  {d^2B\over dx^2} = {B\over\lambda^2} 

Den eneste løsningen som er kompatibel med de gitte gremnsebetingelsene, er

:  B(x) = B_0 e^{-x/\lambda} 

Magnetfelt inni superlederen går derfor mot null i avstander fra overflaten som er mye større en penetrasjonslengden *&lambda;*. Dette er Meissner-effekten.

## Litteratur
* F. London and H. London, ''The Electromagnetic Equations of the Supraconductor'', Proc. Roy. Soc. London, Ser. A **149** (866), 71-88 (1935).
* M. Tinkham, *Introduction to Superconductivity*, Dover Books, New York (2004). ISBN 978-0-486-43503-9.