Hilbert-rom

Et **Hilbert-rom** er et (ofte reelt eller komplekst) indreproduktrom som er et komplett metrisk rom med hensyn på metrikken indusert av indreproduktet. Det kan ses på som en spesialisering av klassen av vektorrom til rom med et begrep om (grader av) ortogonalitet. Hilbert-rom er viktige eksempler på Banach-rom.

Begrepet er oppkalt etter den tyske matematikeren David Hilbert (1862–1943).

## Indreproduktrom
La Vvære et vektorrom over \mathbb{C} (evt. \mathbb{R}). Et indreprodukt på V er en funksjon \langle \cdot, \cdot \rangle \colon V \times V \to \mathbb{C} slik at 

# (Positivitet) \langle v, v \rangle \geq 0  for alle v \in V  med likhet hvis og bare hvis v = 0; 
# (Additivitet i hver variabel) \langle u + v, w \rangle = \langle u, w \rangle + \langle v, w \rangle  for alle u, v, w \in V; 
# (Linearitet i første variabel) \langle \alpha u, v \rangle = \alpha \langle u, v, \rangle  for alle u, v \in V  og \alpha \in \mathbb{C}; 
# (Antisymmetri) \langle v, u \rangle = \overline{\langle u, v \rangle } for alle u, v \in V.

Et vektorrom utstyrt med et indreprodukt kalles et *indreproduktrom.* To umiddelbare konsekvenser av definisjonen er at 

# (Antilinearitet i andre variabel) \langle u, \alpha v \rangle = \bar{\alpha} \langle u, v \rangle  for alle u, v \in V  og \alpha \in \mathbb{C}; 
# (Additivitet i andre variabel) \langle u, v + w \rangle = \langle u, v \rangle + \langle u, w \rangle  for alle u, v, w \in V.

Definisjonen tilpasset enklet til vektorrom over reelle tall ved å fjerne alle konjugasjoner. 

Det er enkelt å sjekke at et indreprodukt \langle \cdot, \cdot \rangle \colon V \times V \to \mathbb{C} induserer en norm \lVert \cdot \rVert : V \to \mathbb{R} på V gitt ved \lVert v \rVert = \sqrt{\langle v, v \rangle}  for alle v \in V . Et indreproduktrom kalles et *Hilbert-rom* hvis det er et komplett metrisk rom med hensyn på denne normen. 

## Sentrale eksempler

### Euklidske og hermitiske rom
Det n-dimensjonale euklidske rommet \mathbb{R}^n er et Hilbert-rom under indreproduktet gitt ved \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{j=1}^n x_j y_j  for \mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n), \mathbf{y} = (y_1, \ldots, y_n) \in \mathbb{R}^n , som kalles det *euklidske indreproduktet.* Tilsvarende er \mathbb{C}^n   et indreproduktrom under det *hermitiske indreproduktet* gitt ved \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{j=1}^n x_j \overline{y_j}  for \mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n), \mathbf{y} = (y_1, \ldots, y_n) \in \mathbb{C}^n . 

### Kvadratsummerbare følger
Mengden \ell^2 ( \mathbb{N}) = \bigg\{ \mathbf{x} = (x_n)_{n=1}^\infty : \sum_{n=1}^\infty |x_n|^2  av kvadratsummerbare følger av komplekse tall er et Hilbert-rom med indreprodukt gitt ved \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{n=1}^\infty x_n \overline{y_n} \ for \mathbf{x} = (x_n)_{n=1}^\infty, \mathbf{y} = (y_n)_{n=1}^\infty \in \ell^2(\mathbb{N}) . 

### Kvadratintegrerbare funksjoner
La (X, \mathcal{A}, \mu)  være et målrom. Man definerer rommet av kvadratintegrerbare funksjoner ved 

\mathcal{L}^2(X, \mathcal{A}, \mu) = \bigg\{ f \colon X \to \mathbb{C} : f \text{ er } \mathcal{A}\text{-målbar og } \int_X |f|^2 \, d\mu 

Man kan forsøksvis definere et indreprodukt på \mathcal{L}^2(X, \mathcal{A}, \mu)  ved \langle f, g \rangle = \int_X fg \, d \mu , men denne funksjonen tilfredsstiller generelt ikke punkt 1 i definisjonen ovenfor da funksjoner som er 0 bortsett fra på en mengde av mål 0 vil få norm 0. Løsningen er å identifisere funksjoner som er like bortsett fra på en mengde av mål 0 og i steden studere det tilsvarende vektorrommet av ekvivalensklasser av funksjoner. Dette gjøres som følger: Definer en ekvivalensrelasjon \sim  på \mathcal{L}^2(X, \mathcal{A}, \mu)  ved 

f \sim g  \iff \mu( \{ x \in X : f(x) \neq g(x) \}) = 0 \quad \text{for alle } f, g \in \mathcal{L}^2(X, \mathcal{A}, \mu).  

For f \in \mathcal{L}^2(X, \mathcal{A}, \mu)  lar vi [f]  betegne ekvivalensklassen til f . Vi skriver L^2(X, \mathcal{A}, \mu) = \{[f] : f \in \mathcal{L}^2(X, \mathcal{A}, \mu) \} for mengden av slike, som arver en vektorromssstruktur fra \mathcal{L}^2(X, \mathcal{A}, \mu) . Vi kan nå definere et indreprodukt på L^2(X, \mathcal{A}, \mu )  ved \langle [f], [g] \rangle = \int_X fg \, d \mu  for [f], [g] \in L^2(X, \mathcal{A}, \mu). Riesz-Fischer-teoremet sier at dette rommet er komplett med hensyn på den induserte normen og således er et Hilbert-rom. Merk at forrige eksempel er et spesialtilfelle av denne konstruksjonen der det relevante målrommet er \mathbb{N}  med <math>\sigma </math>-algebraen bestående av alle delmengder og tellemålet. 

## Riesz' representasjonsteorem
Et av de viktigste grunnleggende resultater om Hilbert-rom generelt er Riesz' representasjonsteorem. **(Riesz' representasjonsteorem).** La \mathcal{H}  være et Hilbert-rom over \mathbb{K}  (enten \mathbb{R} eller \mathbb{C}) og anta at \phi : \mathcal{H} \to \mathbb{K}  være en begrenset lineær funksjonal. Da finnes en unik vektor y \in \mathcal{H}  slik at \phi(x) = \langle x, y \rangle   for alle x \in \mathcal{H}.  Dessuten er \lVert y \rVert = \lVert \phi \rVert.  Riesz' representasjonsteoremet gir en antilineær isometrisk isomorfi mellom Hilbert-rommet \mathcal{H}  og dualrommet \mathcal{H}^* . 

## Eksterne lenker
*