Kvantisert Hall-effekt

**Kvantisert Hall-effekt** (QHE) er en kvantemekanisk versjon av Hall-effekten i todimensjonale systemer av elektroner utsatt for meget lave temperaturer og sterke magnetfelter.  Under slike betingelser vil  Hall-motstanden ta diskrete verdier

:  R_{xy} =  {1\over\nu} {h\over e^2}  

hvor *h* er Plancks konstant og -*e* er elektronets ladning. I tillegg er *&nu;* et heltall (1, 2, 3, . .) eller er et rasjonalt tall (1/3, 2/5, 3/7, . .) med oddetall i nevneren. De første verdiene med hele tall ble observert i 1980 av Klaus von Klitzing og omtales som den heltallige Hall-effekten (IQHE). Han fikk Nobelprisen i fysikk for denne oppdagelsen i 1985.

Ved enda mer nøyaktige eksperiment ved kraftigere magnetfelt ble serien med rasjonelle verdier påvist av Horst Störmer og Daniel Tsui i 1982 og kalles den fraksjonelle Hall-effekten (FQHE). Den ble i stor grad forklart av Robert Laughlin og disse tre amerikanske fysikerne delte Nobelprisen i fysikk i 1998 for sine arbeid med den kvantiserte Hall-effekten.

Størrelsen av  Hall-motstanden i disse eksperimentene er gitt ved kombinasjonen *h*/*e*2&thinsp; av fundamentale naturkonstanter. Denne verdien har vist seg å være uavhengig av typen eller egenskapene til materialet som benyttes i eksperimentet og kan måles med usedvanlig stor nøyaktighet. Den har fått navnet **von Klitzings konstant**

:  R_{K} =  {h\over e^2} = 25 812,807\ 4555 (59) \text{ohm} 

og er derfor brukt som en ny standard for ohmsk motstand. Plancks konstant *h* og elementærladningen *e* inngår likedan i Josephson-konstanten som også kan bestemmes eksperimentelt meget nøyaktig. Derfor vedtok den internasjonale Generalkonferansen for mål og vekt den 16. november 2018 at disse to konstantene skal gis fikserte verdier som skal benyttes i   en redefinisjon av alle enhetene i SI-systemet. Denne bestemmelsen skal tre i kraft fra den 20. mai 2019 og vil ha som konsekvens at et kilogram vil få en ny betydning.

## Magnetotransport i to dimensjoner

Elektrisk strøm kan beskrives i klassisk fysikk ved bruke av Drudes modell. Man tenker seg vanligvis en gass av elektroner med ladning -*e* og med hastighet **v** som beveger seg under innflytelse av et elektrisk felt **E**, men kolliderer stadig med de faste atomene i krystallgitteret som karakteriserer den elektriske lederen. Den gjennomsnittlige tiden mellom hver kollisjon er *&tau;*. Hvis det samtidig også virker et magnetisk felt **B**, omtales den resulterende strømmen som en **magnetostransport**. I en slik sammenheng opptrer den vanlige Hall-effekten.

Da bevegelsen til hvert elektron også er påvirket av den magnetiske Lorentz-kraften, vil den være bestemt av Newtons andre lov

:  m{d\mathbf{v}\over dt} = -e( \mathbf{E} +  \mathbf{v}\times\mathbf{B}) - {m\over\tau}\mathbf{v} 

hvor det siste leddet på høyre side er en friksjonskraft som skyldes kollisjoner med atomene. En annen effekt av krystallgitteret er at massen *m* til elektronet har en mye mindre verdi enn for et helt fritt elektron. Fra denne bevegelsesligningen kan man nå beregne driftshastigheten. Når all bevegelse skjer i *xy*-planet og magnetfeltet står vinkelrett på dette, er denne stasjonære hastigheten gitt ved komponentene (*v<sub>x</sub>*,*v<sub>y</sub>*) som må oppfylle de to ligningene

:  {v_x\over\tau} + \omega_c v_y = - {e\over m}E_x, \;  \;   \;  {v_y\over\tau} - \omega_c v_x = - {e\over m}E_y

hvor *&omega;<sub>c</sub>* = *eB*/*m*&thinsp; er syklotronfrekvensen  for elektronene i magnetfeltet. Denne driftshastigheten tilsvarer strømtettheten  hvor *n* er tettheten av elektroner i planet. Fra de to komponentene gitt ved

:   \sigma E_x = J_x + \omega_c\tau J_y,  \;  \;   \;   \sigma E_y = J_y - \omega_c\tau J_x, 

hvor *&sigma;* = *ne*2*&tau;*/*m*, ser man at restiviteten *&rho;* kobler sammen strøm og felt med forskjellige retninger. Den kan derfor fremstilles som en tensor definert ved . De diagonale komponentene  =  er de samme som for en vanlig strøm og upåvirket av magnetfeltet. Men de to ikke-diagonale komponentene  = *&omega;<sub>c</sub>&tau;*/*&sigma;* = *B*&thinsp;/*ne* øker  proporsjonalt med *B*.

## Eksperimentelle resultat
Ved å la den påtrykte strømmen gå i *x*-retning, kan den skrives som *I* = *J<sub>x</sub>&thinsp;b* hvor *b* er bredden til den plane lederen. Dermed  oppstår det en transvers spenning  som skyldes at det har bygd seg opp en ladningsforskjell i *y*-retning som gjør at strømmen  *J<sub>y</sub>&thinsp;* i denne retningen er null. Det er denne spenningen som måles og uttrykkes ved **Hall-motstanden**

:  R_{xy} = {V_H\over I}  = {E_y\over J_x}  = \rho_{yx}  = -   \rho_{xy}

Når systemet er todimensjonalt, kan derfor resistiviteten direkte måles uavhengig av geometrien til lederen. For temperaturer og magnetfelt under normale forhold er denne gitt ved det klassiske resultatet *&rho;<sub>xy</sub>* =  *B*&thinsp;/*ne*. For en gitt ladningstetthet *n*, øker den linært med magnetfeltet i overensstemmelse med målingene.

 
I 1975 viste Ando, Matsumoto og Uemura at  Hall-effekten ville få en mer komplisert oppførsel ved lave temperaturer og sterke magnetfelt. Da må ladningstransporten forklares kvantemekanisk med den konsekvens at motstanden ikke lenger ville øke proporsjonalt med *B*, men i bestemte trinn av størrelsesorden *h*/*e*&thinsp;2.

Denne forutsigelsen ble eksperimentelt verifisert i 1980 av Klaus von Klitzing som benyttet den todimensjonale elektrongassen i en MOSFET transistor i et magnetfelt med en styrke på over 10&thinsp;T og temperaturer under 4&thinsp;K fra flytende helium. Trinnene i den målte Hall-motstanden var meget tydelige og kunne bestemmes med stor nøyaktighet som

:   \rho_{xy} = {1\over\nu} R_K 

hvor heltallet *&nu;* kan ta verdiene (1, 2, 3, ... ) og *R<sub>K</sub>* = *h*/*e*&thinsp;2 = 25813&thinsp;&Omega; er von Klitzings konstant. 
Siden dette var en makroskopisk konsekvens av kvantemekanikken, var det naturlig å si at Hall-effekten er kvantisert under slike forhold.

Så lenge Hall-motstanden forble konstant på et trinn, viste målingene at den longitudinale restiviteten .  I den klassiske Drude-modellen må det bety at kollisjonstiden *&tau;&thinsp;* for elektronene blir uendelig stor slik at det ikke er noen spredning i deres bevegelse.

Lignenede eksperiment under andre forhold og med forskjellige materialer ga resultat i overensstemmelse med disse første målingene. I 1982 viste Horst Störmer og Daniel Tsui at ved å gå til enda lavere temperaturer og sterkere magnetfelt med en plan transistor basert på GaAs, åpnet det seg større trinn i Hall-motstanden som tilsvarer rasjonelle verdier *&nu;* =  (1/3, 2/5, 3/7, . .). For denne oppdagelsen av den **fraksjonelle Hall-effekten** fikk  de Nobelprisen i fysikk i 1998.

Et enkelt lag med grafén er elektrisk ledende og er derfor virkelig todimensjonalt system på atom-nivå. Her er en kvantisert Hall-effekt blitt eksperimentelt påvist ved romtemperatur. Kvantiseringen av elektronene i dette materialet kan ikke beskrives ved den vanlige Schrödinger-ligningen, men må gjøres med den relativistiske Dirac-ligningen slik at trinnene i motstanden har en mer komplisert struktur.

## Kvantisert syklotronbevegelse

For et magnetisk *B*-felt langs *z*-aksen vil et ellers fritt elektron bevege seg i en sirkel i *xy*-planet med en omløpstid gitt ved   er syklotronfrekvensen . Radius til sirkelen er bestemt av elektronets energi som kan anta kontiuerlige verdier i klassisk mekanikk. Derimot vil bruk av kvantemekanikk vise at energien til denne bevegelsen kun tar diskrete verdier

:  E_n = (n + 1/2)\hbar\omega_c 

hvor *ħ* = *h*/2*&pi;&thinsp;* er den reduserte Planck-konstanten og kvantetallet *n* = (0, 1, 2, 3, ...). Dette kalles Landau-kvantisering som gyldig ned til null kelvingrader.

Syklotronbevegelsen til elektronet er nå beskrevet ved en bølgefunksjon som er sentrert i et visst punkt som tilsvarer det klassiske sentrum til en sirkel. På grunn av Paulis eksklusjonsprinsipp kan ikke flere elektroner i samme energitilstand befinne seg i samme punkt. Det betyr at antall elektroner som kan ha samme energi, må være proporsjonalt med arealet til planet de befinner seg i. Vanligvis uttrykkes det ved at hver slik Landau-tilstand har en degenerasjonsgrad  som er den maksimale tetthet av elektroner det er plass til med denne energien. Den kan skrives som  etter å ha innført verdien  av et magnetisk flukskvant.

I en halvleder som blir brukt ved målinger av Hall-effekten, vil det alltid være litt forurensing i materialet eller termiske svingninger av atomgitteret som elektronene befinner seg i. Det vil forårsake kollisjoner som vil forstyrre syklotronbevegelsen slik at de diskrete Landau-nivåene ikke opptrer. Men når et elektron rekker å gå rundt flere ganger mellom hver kollisjon, vil de bli avgjørende for ladningstransporten. Betingelsen for det er at *&omega;<sub>c</sub>&tau;* >> 1 som må være oppfylt for at den kvantiserte Hall-effekten skal bli eksperimentelt synlig. Det betyr sterke magnetfelt og lang kollisjonstid, det vil si meget rene materialer ved lave temperaturer.

### Bølgefunksjoner
På samme måte som de eksakte energiene til de forskjellige Landau-nivåene, kan også de tilsvarende egenfunksjonene finnes. De er de samme som for en kvantisert harmonisk oscillator i to dimensjoner. For et elektron i den laveste energitilstanden *n* = 0 er bølgefunksjonen spesielt enkel og kan skrives som

:  \psi_m(z) = z^m e^{-zz^*/4\ell_B^2} 

hvor   *z* = *x* + *iy&thinsp;* og kvantetallet  *m* &ge; 0 kan forstås som en kvantisert dreieimpuls til den tilsvarende, klassiske syklotronbevegelsen i en sirkel. Den magnetiske lengden

:  \ell_B = \sqrt{\hbar\over eB} 

setter størrelsen av radius til denne sirkelen med laveste energi *E*0  =  *ħ&omega;<sub>c</sub>&thinsp;*/2, uavhengig av kvantetallet *m*. Det er denne uavhengigheten som gir degenerasjonsgraden av energinivået.

Elektroner er fermioner og må oppfylle Paulis eksklusjonsprinsipp. Når det laveste Landau-nivået inneholder flere elektroner, må derfor den totale bølgefunksjonen være antisymmetrisk. Det betyr at hver partikkel må ha forskjellig verdi av kvantetallet *m*. Bølgefunksjonen kan da skrives som en Slater-determinant. For eksempel med *N* = 3 elektroner i det laveste Landau-nivået tar den formen

:  \begin{align} \Psi_0(z_1, z_2, z_3) &=
  \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1  \\
                   z_1 & z_2 & z_3  \\
                   z_1^2   & z_2^2  & z_3^2  
\end{vmatrix}  e^{-zz^*/4\ell_B^2} \\ &= (z_2z_3^2 - z_2^2z_3 - z_1z_3^2 + z_1^2z_3 + z_1z_2^2 - z_1^2z_2)e^{-zz^*/4\ell_B^2} = \prod_{i

Det er nå trivielt å generalisere denne siste produktformen av bølgefunksjonen til å gjelde for et vilkårlig antall *N* med elektroner i laveste Landau-nivå. Den viser eksplisit at ved å bytte om to elektroner skifter bølgefunksjonen fortegn som den skal for Fermi-Dirac statistikk. Når alle elektronene fyller nøyaktig opp dette energinivået, har man Hall-motstanden med fyllingsgrad *&nu;* = 1.

### IQHE

Det som tilsvarer fulle elektronskall i atomfysikken, er fulle Landau-nivå her. Hvis et ekstra elektron skal da inn i systemet, må dette plasseres i et høyere energinivå. Dette tilsvarer energigapet
*ħ&omega;<sub>c</sub>* mellom Landau-nivåene. Man forventer derfor at systemet utviser en form for stabilitet når tettheten av elektroner *n* er slik at nøyaktig et helt antall *&nu;* av Landau-nivå er fulle. Siden hvert nivå har plass til *D* elektroner per flateenhet, må man da ha *n = &nu;D*. Innsatt i uttrykket  for Hall-motstanden, blir da denne

:  \rho_{xy} = {B\over e\nu D} =  {B\over e\nu\cdot eB/h} = {h\over\nu e^2} 

For verdiene  *&nu;* = (1,2,3, ...) av fyllingsgraden er nå dette akkurat de kvantiserte verdiene for denne motstanden som karakteriserer den heltallige Hall-effekten IQHE. Fra denne enkle utledningen kunne en forvente at den minste forandring av temperatur eller renhetsgrad av materialet ville også forandre disse presise verdiene. Men Robert Laughlin har vist at de er upåvirket av slike forhold og forblir eksakte da den kvantiserte Hall-effekten er invariant undere elektromagnetisk gaugetransformasjoner.

Men det er egenskapene til et virkelig materiale med dets krystallstruktur, defekter og urenheter som er årsaken til at de kvantiserte verdiene av motstanden arter seg som konstante stepp med en endelig lengde når magnetfeltet varierer bort fra en av de spesielle verdiene som tilsvarer fulle Landau-nivå. Det vil da åpne seg nye kvantetilstander med nærliggende energi, men disse vil over et visst intervall tilsvare lokalisert bevegelse av elektronene som ikke bidrar til ledningsevnen. Derfor vil Hall-motstanden utgjøre et flatt nivå med en konstant verdi helt til det åpner seg nye kvantetilstander som kan bidra til den elektriske strømmen. Den transverse motstanden hopper da opp til neste stepp. På samme måte vil de de lokaliserte kvantetilstandene også bidra til at strømmen i *x*-retning ikke blir utsatt for noen spredning. Derfor vil den longitudinale motstanden  samtidig med at *&rho;<sub>xy</sub>&thinsp;* tar sine kvantiserte verdier.

## Fraksjonell Hall-effekt

Ved enda sterkere magnefelt blir degenerasjonsgraden *D* så stor at alle elektronene får plass i laveste Landau-nivå uten at dette fylles helt. Er i tillegg materialet, som elektronene beveger seg i, meget rent, vil den elektriske frastøtningen mellom bevirke at de fordeler seg slik at den totale Coulomb-energien blir minst mulig. Det er under slike forhold at Hall-motstanden *&rho;<sub>xy</sub>&thinsp;* tar diskrete verdier hvor faktoren *&nu;* er lik et rasjonelt tall. Dette er senere blitt omtalt som den fraksjonelle Hall-effekten.

Den første og mest prominente stepp av denne kategorien i Hall-motstanden tilsvarte *&nu;* = 1/3. Det ble kort tid etter forklart av Robert Laughlin som konstruerte en bølgefunksjon for elektronene som ga nøyaktig et slikt fenomen. Den ble raskt generalisert til å gjelde for alle brøker av formen  med  og skrives som

:   \Psi_p(z) = \prod_{i

For *p* = 0 går den over i bølgefunksjonen for tilstanden *&nu;* = 1. Når *p* > 0, vil den gå raskere mot null når to elektroner med posisjoner *z<sub>i</sub>&thinsp;* og *z<sub>j</sub>&thinsp;* nærmer seg hverandre. Det bidrar til å holde elektronene fra hverandre og dermed redusere Coulomb-frastøtningen. Laughlins bølgefunksjon er ingen eksakt løsningen av problemet, men numeriske undersøkelser av systemer med et lite antall elektroner har vist at den gir resultat som er svært nøyaktige.

### Kompositte fermioner

Spesielt i to dimensjoner kan et elektron på et vis absorbere et like antall 2*p&thinsp;* magnetisk flukskvant  uten å forandre fundamentale egenskaper. Et slikt fermion kalles et **kompositt fermion** da det er satt sammen av det opprinnelige elektronet og et like antall flukskvanta. De vil ha en sterkt redusert Coulomb-frastøtning og kan derfor betraktes som omtrent frie elektroner i et redusert magnetfelt  = *n*&thinsp;&Phi;0. Det betyr at disse kompositte fermionene med 2,4,6, osv. flukskvant fyller akkurat opp det laveste Landau-nivået i dette effektive magnetfeltet, det vil si med en fyllingsgrad  . For det opprinnelige systemet med elektroner tilsvarer det fyllingsgradene 

Denne enkle forklaringen har Jainendra Jain utvidet til å gjelde så sterke magnetfelt at disse kompositte fermionene kan fylle opp et heltall   med Landau-nivå i det reduserte magnetfeltet *B<sup>*</sup>*. Da man har at  = *n*&thinsp;&Phi;0, får man derfor sammenhengen

:  \nu = {\nu^*\over 2\nu^*p + 1} 

For to absorberte flukskvanta finner man derfor fyllingsgradene *&nu;* = 1/3, 2/5, 3/7 etc. med elektroner for *&nu;<sup>*</sup>* = 1, 2, 3 osv. fylte Landau-nivå med kompositte fermioner.

Men det effektive magnetfeltet *B<sup>*</sup>* kan også være negativt. Det gir på samme måte fyllingsgradene

:  \nu = {\nu^*\over 2\nu^*p - 1} 

eller  *&nu;* = 1, 2/3, 3/5 etc. for *&nu;<sup>*</sup>* = 1, 2, 3 osv. På denne måten kan man forstå alle fraksjonelle fyllingsgrader som opptrer.  Også andre egenskaper med den kvantiserte Hall-effekten i dette regimet kan forklares i dette bildet med kompositte fermioner.

## Referanser


## Eksterne lenker

* D. Tong, ''Lectures on the Quantum Hall Effect'', University of Cambridge (2016). arXiv:1606.06687