Affin geometri

**Affin geometri** er en forenklet utgave av euklidsk geometri. Den omhandler punkter og rette linjer i et affint rom, men inneholder ingen sirkler.  Man har derfor ikke muligheten for å konstruere en rett vinkel. Mer generelt kan man derfor heller ikke snakke om vinkelen mellom to linjer som skjærer hverandre. Dette har også som konsekvens at Pytagoras’ læresetning ikke gjelder slik at man ikke kan bestemme lengder av forskjellige linjestykker.

Men parallellaksiomet til Euklid skal være gyldig. Gitt et punkt utenfor en linje, kan man derfor alltid finne en linje gjennom dette punktet og parallell med den gitte linjen. Eksistensen av parallelle linjer gjør det også mulig å geometrisk dele opp et linjestykke i mindre deler med samme, relative lengder. På den måten er det mulig å angi lengden av et linjestykke i forhold til et annet linjestykke i samme retning. Dermed kan man benytte delingsforholdet til å beskrive relative avstander mellom punkt på samme linje.

## Punkter og linjer

Gjennom to punkt *P* og *Q* i  det affine rommet kan det trekkes en rette linje. Linjestykket *PQ* kan man tenke seg som en pil som starter i *P* og med spissen i *Q*. Matematisk kan man da skrive at  hvor vektoren  tilsvarer denne pilen. Den står for en forskyving eller forflytning fra *P* til *Q*. Punktet  kan da konstrueres og tilsvarer en dobbelt så lang forflytning fra utgangspunktet *P*.  Generelt kan punktet  nå finnes hvor *a* er et vilkårlig tall. Fra forskyvninger i motsatt retning, kan man likedan definere den negative vektoren . Ved parallellforskyvning kan disse vektorene tenkes å virke på ethvert punkt i det affine rommet hvor de vil gi tilsvarende forflytninger uansett utgangspunkt.

Hvis man har et tredje punkt *R* utenfor linjen gjennom *P* og *Q*, har man samtidig en ny vektor . Det gjør det så mulig å konstruere et fjerde punkt . Det kan skrives som  hvor vektoren  fremkommer ved vanlig addisjon av vektorer som er konsistent med at .

## Koordinatsystem

Da det ikke eksisterer noen rette vinkler i et affint rom, kan man ikke benytte et kartesisk koordinatsystem til å stedfeste punkter i rommet. Men da alle punkter kan angis i forhold til et endelig antall referansepunkter, er det likevel mulig å koordinatisere dette rommet på andre måter.  For det *n*-dimensjonale, affine rommet **A***n* behøver man  slike referansepunkt. Det tilsvarer at det kan inneholde maksimalt *n* lineært uavhengige vektorer.

Et vilkårlig punkt *X* på linjen gjennom *P* og  vil i alminnelighet kunne skrives som . Har parameteren *t&thinsp;* verdien , gir dette utgangspunktet *P*, mens for  finner man punktet *Q*. Er derimot , ligger punktet *X* utenfor *Q*, mens for  ligger det utenfor *P*. Da , har man sammenhengen 

:  X = P + t(Q - P) = (1 - t) P + t Q 

mellom disse punktene. Parameteren *t* bestemmer derfor posisjonen til  punktet *X* og kalles dets *koordinat* langs linjen.

### Affine koordinater

I stedet for å omtale abstrakte punkter, kan man også angi deres posisjon ved vektorer. Til det trenges et felles referansepunkt *O* som da vil være et origo til koordinatsystemet. Punktet *P* er forskjøvet fra dette med en vektor  som er dets *posisjonsvektor*.  Defineres på samme måte posisjonsvektorene **r***Q*&thinsp; og  **r***X*, kan da punkter på linjen gjennom  *P* og *Q&thinsp;* skrives som

:  \mathbf{r}_X = \lambda_1\mathbf{r}_P + \lambda_2\mathbf{r}_Q 

hvor koeffisientene (*&lambda;*1, *&lambda;*2) = (1 - *t*, *t*). De omtales som de affine koordinatene til punktet *X* og tilfredsstiller . Samtidig er de ekvivalente med normaliserte, barysentriske koordinater til *X* da dette punktet kan betraktes som massesenteret for en masse *&lambda;*1&thinsp; plassert i punktet *P* og en masse  *&lambda;*2&thinsp; plassert i punktet *Q*. De to gitte punktene *P&thinsp;* og *Q* har henholdsvis de barysentriske koordinatene (1,0)&thinsp; og (0,1), mens deres midtpunktet er gitt som .

Tre referansepunkt *P*1, *P*2&thinsp; og *P*3 som ikke ligger på samme linje, kan betraktes som hjørnene i en trekant og definerer dermed et plan. På tilsvarende måte vil da hvert punkt i dette planet kunne skrives som

:  P = \lambda_1 P_1 + \lambda_2P_2 + \lambda_3 P_3

hvor de affine koordinatene (*&lambda;*1, *&lambda;*2, *&lambda;*3) oppfyller betingelsen . For gitte verdier av disse koordinatene kan det tilsvarende punktet finnes ved å beregne tyngdepunktet for de tre gitte punktene med disse massene. Punkter innen trekanten som har de tre punktene som hjørner, har alle tre koordinater postive. For punkter utenfor er minst en av dem negativ. De tre hjørnene har henholdsvis  koordinatene (1,0,0), (0,1,0) og (0,0,1). Punkter på siden av trekanten som ligger motsatt punktet  *P*1, har alle *&lambda;*1 = 0&thinsp;. Likedan har punkter som ligger på linjer parallelle til sidekanten motsatt *P*1, samme verdi for koordinaten *&lambda;*1. Det samme gjelder for de andre hjørnene i trekanten og linjer parallelle med deres motsatte sider.

I affine rom med høyere dimensjoner kan slike barysentriske koordinater innføres på tilsvarende måte.

### Vektorkomponenter

For punkter i et affint plan er det bare to uavhengige, barysentriske koordinater da . Hvert punkt *P* i planet kan derfor skrives som . Her kan nå vektorene  og   betraktes som to basisvektorer i det affine planet. Ved å innføre posisjonsvektoren , er posisjonen til hvert punkt gitt ved vektoren

:  \mathbf{v} = \lambda_1\mathbf{v}_1 + \lambda_2\mathbf{v}_2  

hvor det tredje referansepunktet *P*3&thinsp; opptrer som et origo. På denne måten er hvert punkt nå gitt ved de to koordinatene . De kan ta alle verdier uavhengig av hverandre og kalles vektorens *komponenter* i dette koordinatsystemet. De kan også innføres på samme måte i affine rom med høyere dimensjoner.

## Eksempel: Menelaos' teorem

Mange geometriske bevis som bare involverer rette linjer og deres skjæringspunkt, er enklere i affin geometri enn i euklidsk geometri. Et eksempel er Menelaos' teorem som omhandler forholdene mellom linjestykkene som oppstår når en linje skjærer gjennom en trekant. Er denne gitt ved de tre hjørnepunktene *A*, *B* og *C*, kan man angi skjæringspunktene *D*, *E* og *F* med barysentriske koordinater på de tilsvarende sidene i trekanten. Da er  punktene  og  hvor man har . Likedan ligger skjæringspunktet *F* på samme linje som *A* og *B* som betyr at  med . Men dette punktet ligger også på linjen gjennom hjørnene *D* og *E&thinsp;* slik at man må kunne skrive  med . Settes her inn uttrykkene for *D* og *E*, får man betingelsen *ta' = - t'&thinsp;b* samtidig som at *c = t'&thinsp;b'&thinsp;* og *c' = ta*&thinsp; ved å sammenligne koeffisientene foran *A* og *B*. Elimineres herfra *t* og *t',* står man igjen med betingelsen  for at de tre skjæringspunktene ligger på samme linje.

Dette resultatet kan skrives mer konkret ved å uttrykke de barysentriske koordinatene ved delingsforhold. For eksempel, så er forholdet  hvor linjestykket *BD* har en retning slik at . I euklidsk geometri er dette forholdet lik forholdet mellom lengdene til de to linjestykkene, men det har også en veldefinert verdi i affin geometri. Betingelsen for at de tre punktene *D*, *E* og *F* skal ligge på en rett linje er derfor

: \frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = - 1 

Dette er Menelaos' teorem. Det tilsvarer Cevas setning som gir en lignende betingelse for at tre linjer fra hjørnene i en trekant skal gå gjennom samme punkt. I Menelaos' teorem er venstre side i betingelsen negativ da de to linjestykkene i delingsforholdet *AF/FB* er motsatt rettet. Det skyldes at punktet *F* ligger utenfor trekanten. Alltid når en linje skjærer en trekant, må et av skjæringspunktene ligge på en forlengelse av en av sidekantene.

## Endelige geometrier

Et affint rom med et endelig antall punkter og linjer, sies å ha en *endelig geometri*. Hver av disse kan formuleres som en insidensgeometri. Skal den være affin, må spesielt parallellaksiomet være oppfylt. Det garanterer at gjennom hvert punkt utenfor en linje går det nøyaktig en parallell linje.

De forskjellige koordinatene man bruker i affin geometri, er vanligvis reelle tall **R**. Det affine rommet med *m* dimensjoner over denne kroppen kan da betegnes som **A**m(**R**). Benytter man i stedet en  endelig tallkropp, vil man da få en endelig geometri. Da disse tallkroppene kalles Galois-kropper, blir den resulterende geometrien ofte omtalt som en *Galois-geometri*.

### Affine plan

De enkleste insidensgeometrier inneholder bare punkter og linjer. Disse vil derfor være plane geometrier. Et affint plan kan da defineres ved aksiomene:

# Gjennom to forskjellige punkter går det en linje.
# Gjennom et punkt utenfor en linje går det en parallell linje.
# Det finnes minst fire punkt hvor ikke tre av dem ligger på samme linje.

Mens det andre postulatet sikrer at det finnes parallelle linjer, vil det tredje garantere at geometrien er ikke-triviell. Det ville være tilfelle hvis alle punktene lå på en og samme linje. 

Utfra disse aksiomene kan man så bygge opp geometier for forskjellige, affine plan. Den eneste ukjente som da inngår, vil være antall punkter som ligger på samme linje. Denne parameteren kalles planets **orden** eller *kardinalitet*. Betegnes denne med bokstaven *n*, kan man da direkte fra aksiomene vise at det vil gå  linjer gjennom hvert punkt i planet. Det vil inneholde i alt *n<sup>2</sup>* slike punkt og  linjer.

### Galois-geometrier

Affine plan kan også konstrueres ved å gå ut fra endelige, Galois-kropper. Det enkleste tilfellet får man ved å benytte binære tall, 0 eller 1. Denne tallkroppen kalles vanligvis for **F**2. Et affint plan over denne endelig kroppen betegnes da med  og inneholder bare fire punkter. De har affine koordinater (0,0), (0,1), (1,0) og (1,1). Ingen andre punkt kan eksistere i dette affine planet. Det har orden .

Betegner man de to affine koordinatene som *(x,y)*, kan en linje i dette planet skrives som  hvor også koeffisientene *a* og *b* er binære tall. Det gir opphav til de fire linjene , ,  og . I tillegg har man de to "vertikale" linjene  og . Det gir i alt seks linjer som vist i figuren. På hver linje ligger det to punkt, mens gjennom hvert punkt løper det tre linjer. Til hver linje finnes det en parallell linje, det vil si at den ikke har noen felles punkt med den gitt linjen. Dette utgjør den såkalte *firepunktsmodellen* for det affine planet. 

En annen måte å betrakte den, er å tenke seg de fire punktene på hjørnene av et tetraeder. Sider som forbinder forskjellige hjørner, kan da betraktes å være parallelle hvis tetraederet brukes som en illustrasjon av dette affine planet.

Ved å benytte større tallkropper **F**n&thinsp; med *n > 2*&thinsp; tall, kan man på samme måte konstruere større, affine plan. Det vil da inneholde *n<sup>2</sup>* punkter. Hver linje vil inneholde *n&thinsp;* punkt som følger fra å angi dem med linjekoordinater. Hvis man tenker seg et punkt *P* utenfor en linje *p*, vil det være en linje gjennom *P* som er parallell med denne linjen. Alle andre linjer gjennom *P* må skjære linjen *p* i et punkt. Da den inneholder i alt *n* punkt, er det totale antall linjer gjennom hvert punkt *P* lik *n + 1*. Hver linje er av formen  hvor det er i alt  *n<sup>2</sup>* mulige kombinasjoner av koeffisientene *(a,b)*. I tillegg er det *n* *vertikale* linjer av formen  da også konstanten *k* må tilhøre tallkroppen **F**n. Det totale antall linjer i planet er derfor . Firepunktsmodellen har  og inneholder seks linjer som tidligere funnet.

Et annet eksempel er det affine planet med orden *n = 3*. Det har i alt ni punkter og tolv linjer. Disse kan organiseres i fire grupper, hver med tre parallelle linjer som vist i figuren.

## Se også
* Geometri
* Insidensgeometri
* Projektivt plan

## Litteratur

* J. N. Cederberg, *A Course in Modern Geometries*, Springer-Verlag, Berlin (2001). ISBN 0-387-98972-2.
* D. Pedoe, *Geometry: A Comprehensive Course*, Dover Publications, New York (2013). ISBN  1-306-340551.