Metrikk (matematikk)

En **metrikk** i matematikk er en funksjon som definerer en avstand eller distanse mellom to elementer i en mengde. En mengde med en definert metrikk kalles et metrisk rom.

I en euklidsk metrikk i rommet er avstanden mellom to punkter definert i samsvar med dagligdags bruk av avstandsbegrepet. I en generell definisjon av metrikk er egenskaper til avstandsbegrepet abstrahert, slik at en kan definere en «distanse» mellom to vilkårlige mengde-elementer, for eksempel mellom to funksjoner.   
For en vilkårlig mengde kan en definere mange alternative metrikker. Vanlig brukte metrikker kan opptre under flere alternative navn.  

## Formell definisjon
En metrikk for mengden V er en funksjon som  for to elementer i mengden returnerer et ikke-negativ reelt tall:

:d : V \times V \to \mathbb{R}^+ 

Funksjonen må oppfylle følgende krav for alle elementer x, y i V:

:\begin{array}{lll}
d(x,y) & \ge 0   & \mbox{Ikke-negativ} \\
d(x,y) & = 0 \iff x = y  \\
d(x,y) & = d(y,x) & \mbox{Symmetri} \\
d(x,y) & \le d(x,z) + d(z,y) \qquad &\mbox{Trekantulikheten} \\
\end{array}   

Definisjonen formaliserer intuitive egenskaper til en distansefunksjon: En avstand kan aldri være negativ. Avstanden mellom to element kan bare være lik null dersom elementene er like. Avstanden fra *x* til *y* er like lang som fra *y*  til *x*.  Den korteste avstanden mellom to punkt er en rett linje.

En *pseudometrikk* eller *premetrikk* er en funksjon som tilfredsstiller alle kravene, bort sett fra nummer to, som erstattes av et svakere vilkår:

:x = y \Rightarrow d(x,y) = 0.

En *kvasi-metrikk* eller *skeiv-metrikk* trenger ikke oppfylle symmetrivilkåret. En *semi-metrikk* oppfyller ikke trekantulikheten.

For en vilkårlig mengde er det mulig å konstruere uendelig mange metrikker.  

## Metrikker for tallmengder

### Absoluttverdi-metrikk
For vanlige tallmengder, som mengden av komplekse tall, mengden av reelle tall, mengden av rasjonale tall, mengden av heltall, er det vanlig å definere metrikken ved hjelp av absoluttverdi:

:d(x,y) = |x - y|.  

### p-adisk metrikk

For mengden av rasjonale tall kan en bruke en p-adisk, basert på et vilkårlig primtall p. Differensen mellom to rasjonale tall r og s er også et rasjonalt tall og kan skrives som en brøk.
Primtallsfaktorisering av denne brøken vil ta formen

:r - s = {p^\alpha m \over n}. 

Faktoren \alpha er er heltall, og heltallene m og n inneholder ikke primtallsfaktoren p.   Den p-adiske metrikken er definert ved

:d(r,s) = \begin{cases}
p^{-\alpha} & r \ne s \\
0 & r = s 
\end{cases}


Metrikken kan brukes til å utvide de rasjonale tallene til p-adiske tall.

## Metrikker for endelige n-tupler

En endelig n-tuppel av tall er på formen x = {x_1, x_2, \ldots, x_n}, der tallene kan være reelle, som i \mathbb{R}^n, eller komplekse, som i \mathbb{C}^n.
Dette inkluderer kartesiske koordinater i planet og i rommet. For disse rommene er flere metrikker i vanlig bruk.

I det følgende er y = {y_1, y_2, \ldots, y_n}, tilsvarende som for x.

### Drosjemetrikk, taxicab-metrikk, Manhattan-metrikk

Metrikken d_1 kalles drosjemetrikk, taxicab-metrikk eller Manhattan-metrikk.
En drosje som kjører på Manhattan vil måtte tilbakelegge avstander styrt av rutenettet av gater.                                                                                                                                                                                        

:d_1(x,y)= \sum^n_i |x_i - y_i| 

### Euklidsk metrikk

Metrikken d_2 er den *euklidske metrikken*, som er avstandsmålet i euklidsk geometri.  Dette er avstandsmålet kjent fra daglidags bruk.

:d_2(x,y)= ( \sum^n_i (x_i - y_i)^2 )^{1 \over 2} 

I to dimensjoner tar dette uttrykket formen

:d_2(x,y) = \sqrt{ (x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2}

### p-metrikk

En p-metrikk d_p er også kalt Minkowskis p-metrikk, etter matematikeren Hermann Minkowski.  Beviset for at denne er en metrikk bygger på Minkowskis ulikhet.
Både drosjemetrikken og den euklidske metrikken er spesialtilfeller av p-metrikken.

:d_p(x,y)= ( \sum^n_i (x_i - y_i)^p )^{1 \over p}

### Maksimumsmetrikk, Tjebysjev-metrikk

Maksimumsmetrikken, også kalt Tjebysjev-metrikken, er gitt ved 

:d_\infty = \max_i (|x_i - y_i|) 

Det siste navnet gitt etter Pafnutij Tsjebysjov.  Skrivemåten for det russiske navnet varierer.

### Andre metrikker for n-tupler

Hvis d(x,y) er en vilkårlig metrikk for n-tupler, så kan en definere en ny metrikk ved

:d^*(x,y) = 

## Metrikker for tallfølger

For uendelige følger av reelle tall x = (x_1, x2_2, \ldots) er

:d(x,y) = \sum_i^\infty {1 \over 2^i} 

en metrikk. For en del andre metrikker må en legge på tilleggsvilkår på følgen for å sikre at metrikken eksisterer:

:
\begin{alignat}{3}
 d_p(x,y)&= (\sum^\infty_i |x_i - y_i|^p)^{1\over p}  \qquad &\mbox{for følger der } \sum^\infty_i |x_i|^p 

## Metrikker i funksjonsrom

For mengden av alle kontinuerlige funksjoner x(t) på intervallet [0,1] er de følgende funksjonene metrikker:

:
\begin{alignat}{2}
 d_p(x,y)&= \left \lbrace \int^1_0 |x(t) - y(t)|^p \right \rbrace^{1\over p} \\
 d_\infty(x,y) &= \sup_{t \in [0,1]} (|x(t) - y_(t)|) 
\end{alignat}


Metrikken d_infty kalles noen ganger *uniform metrikk* eller *supremum-metrikk*.

For mengden av alle funksjoner x(t) der både x og x^2 er Lebegue-integrerbare på intervallet [0,1] kan en bruke metrikken

:d_2(x,y) = \left \lbrace \int^1_0 |x(t) - y(t)|^2 \right \rbrace^{1\over 2} 

To funksjoner betraktes som ekvivalente dersom integralet er lik null. Funksjonene trenger ikke være punktvis identiske, men kan være ulike på en mengde av [mål null].

== Metrikker for binære strenger ==
En [binær streng av lengde *N* er datastruktur, en sammensetning av 0-er og ett-tall: 00110011101. I mengden av alle slike kan en definere Hamming-avstandeen som en metrikk. 
Denne kan defineres som det minste antall utskiftninger som er nødvendig for å transformere den ene strengen til den andre.

## Diskret metrikk for alle mengder
For en vilkårlig mengde er den diskrete metrikken definert som følger

:\begin{alignat}{3}
d(x,y) & = 0 \qquad & \ \mbox{dersom } x = y  \\
d(x,y) & = 1   & \mbox{ellers} \\
\end{alignat}   

Denne metrikken viser at en vilkårlig mengde kan bli gjort til et metrisk rom. Metrikken kan også brukes til å vise at tilsynelatende opplagte egenskaper ikke trenger være oppfylt i alle metriske rom.

## Kontinuitet til metrikken
Som en følge av trekantulikheten er metrikken en kontinuerlig funksjon:

:(\lim x_n = x \text{ og } \lim y_m = y ) \Rightarrow  \lim d(x_n, x_m) = d(x,y)

## Kartesisk produkt

Gitt en endelig mengde av metriske rom \lbrace (S_1, d_1), (S_2, d_2), \ldots, (S_n, d_n) \rbrace. For det kartesiske produktet S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n 
kan en definere flere alternative produkt-metrikker:

:
\begin{alignat}{2}
d(x,y) &= \sum_i^n d_i (x_i,y_i) \\
d(x,y) &= \left \lbrace \sum_i^n (d_i (x_i,y_i))^2 \right \rbrace^{1 \over 2} \\
d(x,y) &= \max_i d_i(x_i,y_i)
\end{alignat}   

## Metrikk, norm og indreprodukt
For en mengde der det er definert en norm  \lVert \cdot \rVert , er en naturlig metrikk gitt ved

:d(x,y) = \lVert x - y \rVert .

Normen er da lik avstanden fra et element til null-elementet:

:\lVert x \rVert = d(x,0).

For et indreproduktrom med en norm definert fra indreproduktet \langle \cdot, \cdot \rangle  kan en ha samsvarende definisjoner:

:d(x,y) = \lVert x - y \rVert = \sqrt{ \langle x-y, x-y \rangle}.

## Metrikk og topologi
En metrikk vil definere en topologi i mengden, men ikke alle topologier kan defineres ut fra en metrikk. En topologi som kan avledes fra en metrikk sies å være *metriserbar*.

## Ekvivalente metrikker

To metrikker d_A og d_B i samme mengde sies å være (sterkt) ekvivalente dersom det eksisterer konstanter \alpha og \beta, slik at for alle elementer i mengden

:\alpha d_A(x,y) \le d_B(x,y) \le \beta d_A(x,y) .

Slik ekvivalens mellom metrikker er et noe svakere vilkår enn isometri, der to metrikker overalt er like.

To metrikker er topolgisk ekvivalente dersom de alle induserer samme topologi.  I \mathbb{R}^n er alle metrikker topologisk ekvivalente.

Sterk ekvivalens medfører topologisk ekvivalens, men generelt ikke motsatt.

## Metrikk i differensialgeometri

I differensialgeometri er en metrikk definert som en infinitesimal avstand mellom to nærliggende punkt.  I \mathbb{R}^3 kan en linjeelement uttrykkes som

:ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2

Ved å sette (x,y,z) = (x_1, x_2, x_3) kan en uttrykke et generelt koordinatskifte som x_i = x_i(x^1, x^2, x^3).  Etter koordinatskifte kan linjeelementet ved hjelp av Einsteins summekonvensjon da skrives

:ds^2 = g_{mn}dx^m dx^n

Koeffisientene g_{mn} er en andre-ordens, kovariant, symmetrisk tensor. Tensoren er positivt definit, som sikrer at avstanden er positiv og bare lik null for sammenfallende (infinetesimalt nærliggende) punkt.
Tensoren kalles en metrisk tensor, noen ganger løselig kalt en metrikk.  

Definisjonen av en metrisk tensor kan generaliseres til høyere-ordens rom. Det er også mulig å fire på kravet om at tensoren skal være positivt definit. En metrisk tensor som er positivt definit kalles en 
Riemann-metrikk, mens en pseudo-Riemann-metrikk kan være indefinit.  

## Referanser


## Litteratur

*