Den generelle relativitetsteorien

**Den generelle relativitetsteorien** er en geometrisk teori som beskriver hvordan materie former egenskapene til tidrommet den befinner seg i og hvordan denne beveger seg i dette. Dermed gir teorien en helt ny forklaring av tyngdekrefter som tidligere ble beskrevet ved Newtons gravitasjonslov. Den ble utviklet av Albert Einstein og fikk sin endelige form i november 1915. Mens hans spesielle relativitetsteori kun gjelder for koordinatsystem som er forbundet ved lineære Lorentz-transformasjoner,  er hans generelle relativitetsteori gyldig for alle koordinattransformasjoner i tidrommet.

Under utformingen av teorien viste Einstein hvordan lys som passerer Solen, vil bli avbøyd av dens gravitasjonsfelt. Da dette ble bekreftet ved målinger under en solformørkelse i 1919, fikk teorien sitt gjennombrudd. Siden har andre forutsigelser som gravitasjonell rødforskyvning,  tidsdilatasjon og gravitasjonslinser blitt bekreftet. I 2016 ble gravitasjonsbølger for første gang eksperimentelt påvist. Innen moderne astrofysikk spiller teorien en avgjørende rolle og forklarer eksistensen av sorte hull.

All moderne kosmologi er basert på Einsteins generelle relativitetsteori hvor Universets ekspansjon er en naturlig følge. De mest presise konsekvenser av teorien er blitt verifisert ved egenskaper til den kosmiske bakgrunnsstrålingen.

## Sammenfatning

Mens den spesielle relativitetsteorien er basert på at lyshastigheten er den samme i alle inertialsystem, er den generelle teorien en konsekvens av ekvivalensprinsippet som forbinder akselerasjon og gravitasjon. Det betyr at i et lite område av rommet hvor det virker tyngdekrefter, kan man i et kort tidsrom alltid finne et referansesystem hvor disse ikke opptrer og hvor den spesielle teorien derfor er gyldig. På den måten er den generelle relativitetsteorien en utvidelse av den spesielle til å gjelde i alle referansesystem i vilkårlig bevegelse i forhold til hverandre.

Dette er analogt med at på en krum flate kan man alltid i et lite område bruke euklidsk geometri hvor der ikke er noen krumning. Hele flaten kan betraktes som sammensatt av slike mindre områder og må beskrives med todimensjonal, riemannsk geometri. På samme måte må tidrommet hvor der virker tyngdekrefter, beskrives med den samme geometrien utvidet til fire dimensjoner. Det som oppleves som tyngdekrefter, er effekten av krumningen til tidrommet uttrykt ved Riemanns krumningstensor .

Egenskapene til et rom beskrevet ved riemannsk geometri, er inneholdt i den metriske tensoren *g<sub>&mu;&nu;</sub>*. Den gir avstanden *ds* mellom to nærliggende punkt som er adskilt med en koordinatforskjell *dx<sup>&mu;</sup>* som kan uttrykkes ved kvadratet av den differensielle buelengden,

:   ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu 

Her og ellers i generell relativitetsteori brukes Einsteins summekonvensjon hvor man summerer over all like indekser. I tidrommet tilsvarer disse en tidskoordinat og tre romkoordinater. Komponentene til krumningstensoren finnes ved å ta deriverte av den metriske tensoren.

I Newtons teori er tyngdekrefter forårsaket av masser. Einstein viste i den spesielle teorien at masse er ekvivalent med energi. Dermed vil ren energi i en relativistisk gravitasjonsteori forårsake tyngdekrefter. Alle former for materie, om den består av massive partikler eller ren stråling, vil gi opphav til gravitasjon og derfor frembringe krumning. Størrelsen av den materielle innflytelse på krumningen av tidrommet er uttrykt ved energi-impulstensoren *T<sub>&mu;&nu;</sub>*. Denne sammenhengen mellom krumning og materie utgjør Einsteins feltligning

:  E_{\mu\nu}  = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} 

hvor  på venstre side *E<sub>&mu;&nu;</sub>&thinsp;* er Einsteins krumningstensor som kan avledes direkte av den til Riemann. Videre er *c*  lyshastigheten og *G* er gravitasjonskonstanten, mens *&Lambda;* er den kosmologiske konstanten som Einstein måtte ta med noe senere i kosmologisk sammenheng.

Denne fundamentale feltligningen utgjør i alt ti ligninger, en for hvert sett av uavhengige komponenter. Derfor omtales den også som «Einsteins feltligninger». For en gitt fordeling av energi og masse uttrykt ved energi-impulstensoren *T<sub>&mu;&nu;</sub>*, vil hver av komponentene til ligningen utgjøre en partiell differensialligning for komponentene til metrikken *g<sub>&mu;&nu;</sub>*. En løsning av ligningene vil da gi de metriske egenskapene til tidrommet. Materien vil bevege seg i denne geometrien ved at hver del beveger seg langs en geodetisk kurve.

Den generelle relativitetsteorien beskriver ikke bare ren gravitasjon, men også hvordan denne kobler til all annen materie. Dette skjer ved at ligningene som beskriver de fundamentale vekselvirkningene i Standardmodellen, må se likedan ut i alle valg av koordinatsystem. Ligningene sies å være **kovariante** da de bevarer sin form under vilkårlige koordinattransformasjoner. I praksis benytter man dette når man løser dem, ved å velge et koordinatsystem som gir de største forenklingene basert på symmetrier eller andre forhold.

## Historisk utvikling

Det var Hermann Minkowski i 1907 som viste at Einsteins spesielle relativitetsteori viste kan formuleres geometrisk i et firedimensjoanlt tidrom. Siden er dette omtalt som Minkowski-rommet. Det har en metrisk tensor som uttrykkes ved det kvadratiske linjeelementet

:  ds^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 

En klokke i bevegelse viser egentiden *d&tau; = ds*/*c*. Ved å innføre de fire koordinatene *x*&thinsp;0 = *ct*, *x*1 = *x*, *x*2 = *y* og *x*3 = *z&thinsp;*  kan dette skrives på standardformen som  slik at Minkowski-metrikken har de diagonale komponentene . Dette linjeelementet er invariant under Lorentz-transformasjoner. All fysikk og fysiske lover skal være de samme i inertialsystem forbundet med slike lineære koordinattransformasjoner. Det var med en gang klart at dette ikke lar seg gjøre når tyngdekrefter er tilstede.

Men i 1907 hadde Einstein «sitt livs beste idé» da han innså at det er umulig å skille mellom tyngdekrefter og treghetskrefter som skyldes akselerasjon..  Dette er innholdet av ekvivalensprinsippet. For en observatør i fritt fall vil  alle gjenstander i de nærmeste omgivelser være upåvirket av slike krefter og derfor sveve fritt, det vil si bevege seg som i et Minkowski-rom. Denne innsikten var begynnelsen på den generelle relativitetsteorien.

### Rødforskyvning og lysavbøyning

I dette arbeidet viser han at klokker vil gå med forskjellige hastigheter i et gravitasjonsfelt &Phi;. Det kan observeres ved å sende ut et periodisk signal eller en lysbølge med frekvens *&nu;*1 fra et sted hvor dette har verdien &Phi;1 til et annet sted med et potensial &Phi;2. Den observerte frekvensen *&nu;*2 på dette stedet er da forbundet med den opprinnelige frekvensen ved ligningen

:  \nu_1 = \nu_2(1 + \Phi/c^2) 

der  &Phi; nå er potensialforskjellen &Phi;2 - &Phi;1. Hvis lyset altså beveger seg til et sted med høyere potensial slik at &Phi; > 0, vil det få mindre frekvens og derfor være rødforskjøvet. Omvendt, hvis man betrakter en klokke på et sted med et høyere potensial enn der man er, vil man se at den går raskere enn den lokale klokken.

På dette første trinn i utviklingen av teorien prøvde Einstein å forklare dette fenomenet med at lyshastigheten kunne være avhengig av størrelsen til gravitasjonspotensialet slik at man kunne tilskrive det en effektiv brytningsindeks. Det ville i så fall bety at en lysstråle vil avbøyes av tyngdekraften.

Først i 1911 tok Einstein opp igjen disse tankene. Han utledet rødforskyvningen på en enklere måte, igjen basert på ekvivalensprinsippet. Videre innså han at gravitasjonell avbøyning av lys vanligvis er en så liten effekt, at den i beste fall kun ville kunne observeres når det passerer  meget nærme Solen hvor gravitasjonspotensialet  er spesielt sterkt. Han fant da resultatet

:  \theta' = {2GM\over bc^2} 

hvor *b* er avstanden fra sentrum til lystrålen. Ved å sette denne lik Solens radius, fant han at *&theta;*' = 0.87 buesekund. Selv for en slik meget liten vinkel mente Einstein at den skulle kunne observeres under en solformørkelse. En sådan ville finne sted i Russland i august 1914, og Einstein gikk i gang med å organisere en ekspedisjon dit ledet av hans venn og kollega Erwin Finlay-Freundlich. Men den måtte avlyses da første verdenskrig brøt ut på samme tid. Det var nesten godt da Einstein to år senere fant ut fra den endelige formuleringen av teorien at lysavbøyningen skulle være dobbelt så stor.

### Fra skalarfelt til tensorteori

Under sitt opphold i Prag fra 1911 til 1912 begynte Einstein å bli klar over at en ny, generell gravitasjonsteori måtte være gyldig i alle koordinatsystem tilsvarende ulik akselerasjon. Derfor kunne ikke euklidsk geometri i alminnelighet benyttes i tidrommet. I stedet måtte man gjøre bruk riemannsk geometri på samme måte som når man går fra en plan flate til en krum flate. Tilbake i Zürich kunne Einstein der få hjelp av sin venn og kollega Marcel Grossmann til å anvende denne matematikken på en generell relativitetsteori.

Etter ett års anstrengelser publiserte de resultatet av sitt samarbeid i en stor avhandling med tittelen *Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und eine Theorie der Gravitation* i 1913. I ettertid er denne viktige publikasjonen blitt omtalt som «Entwurf-avhandlingen» hvor det tyske ordet *Entwurf&thinsp;* betyr utkast. Einstein skrev den første delen som omhandlet hvordan tyngdekrefter kunne beskrives som en geometrisk effekt, mens den andre delen var skrevet av Grossmann og ga en presentasjon av riemannsk geometri og tensoranalyse.

I stedet for å beskrive gravitasjon ved en skalært potensial &Phi;, var det nødvendig å erstatte dette med de ti komponentene til den metriske tensoren *g<sub>&mu;&nu;</sub>* for tidrommet. For å få overensstemmelse med Newtons gravitasjonslov, måtte det eksistere en lineære sammenheng mellom energi-impulstensoren *T<sub>&mu;&nu;</sub>* og en geometrisk tensor forbundet med krumningen til tidrommet. Nøyaktig hvordan denne nye feltligningen skulle se ut, lykkes de ikke å finne ut av.

Omtrent på samme tid utviklet den finske fysiker Gunnar Nordstrøm en relativistisk gravitasjonsteori basert på det skalare gravitasjonspotensialet &Phi;. Einstein så med interesse på denne alternative teorien selv om den ikke hadde alle de fysiske egenskapene han ønsket seg. Sammen med sin student Adriaan Fokker viste han på begynnelsen av 1914  at den tillot bare tidrom hvor metrikken hadde den spesielle formen
 
:  g_{\mu\nu} = e^{2\Phi/c^2}\eta_{\mu\nu} 

Spesielt for denne teorien var at den ikke ville gi noen gravitasjonell lysavbøyning. For å avgjøre dette spørsmålet var derfor observasjon av fenomenet ved solformørkelsen om høsten samme år blitt enda viktigere.

Likedan viste Einstein og Fokker at den generelle ligningen for gravitasjonsfeltet &Phi; i denne skalare teorien kan skrives på den geometriske formen

:  R = {24\pi G\over c^4} T 

hvor *T* = *T<sup>&mu;</sup><sub>&mu;</sub>* er sporet av energi-impulstensoren, mens *R* = *R<sup>&mu;</sup><sub>&mu;</sub>* er sporet av Riccis krumningstensor *R<sub>&mu;&nu;</sub>*. Feltligningen hadde derfor samme struktur som i Entwurf-avhandlingen, men Einstein var likevel overbevist om at det fantes en enda mer generell teori.

### Feltligningen

Våren 1914 flyttet Einstein til Berlin. Arbeidet med en generell relativitetsteori var det som opptok han mest. Vel et år senere begynte en endelig formulering å ta form. I løpet av fire påfølgende presentasjoner i november 1915  la han frem stadig nye og forbedrete utkast til en slik generell teori ved ukentlige møter i det prøyssiske vitenskapsakademiet.

Ved møtet den 11. november mente han å funnet den nye feltligningen uttrykt ved Ricci-tensoren og energi-impulstensoren. Den kunne ganske enkelt skrives som  hvor konstanten . I det tomme rom hvor det ikke er noe materie, må metrikken derfor finnes fra de ti ligningene .

En uke senere ga han løsningen av disse ligningene utenfor en masse *M*. I Newtons teori vil den gi opphav til et gravitasjonspotensial  i radiell avstand *r* fra massen. Ved store avstander er dette svakt, noe som gjorde det mulig for Einstein å finne resultatet

:  ds^2 = (1 + 2\Phi/c^2)c^2dt^2 - (1 - 2\Phi/c^2)d\mathbf{x}^2 

for metrikken i dette området. Det første leddet på høyre side forklarer tidsdilatasjon og dermed også gravitasjonell rødforskyvning. I tillegg fant Einstein at denne løsningen også gir en korreksjon til Keplers lover for planetene. Denne er størst for Merkur som er nærmest Solen hvor &Phi; er mest negativ. Og korreksjonen Einstein beregnet, viste seg å være nøyaktig så stor som behøvdes for å forklare hvorfor perihelet til denne planet flyttet seg langsomt i årenes løp. Det viste at teorien kunne være korrekt.

Det siste leddet i metrikken viser at 3-rommet utenfor massen har en ikke-euklidsk geometri og derfor er krummet. En konsekvens av det er at lysavbøyningen vil få et ekstra bidrag og skal i stedet være

:  \theta = {4GM\over bc^2} 

Dette er dobbelt så stort som det som følger fra den opprinnelige bruken av ekvivalensprinsippet. En eksperimentell måling av denne vinkelen ville derfor være avgjørende for teoriens gyldighet.

På dette tidspunktet var Einstein klar over at hans teori ikke oppfylte kravet om bevarelse av energi og impuls. Men ved møtet den 25. november kunne han presentere den endelige formen på feltligningen

:  R_{\mu\nu} - {1\over 2}g_{\mu\nu}R = \kappa T_{\mu\nu} 

som også hadde denne egenskapen. Tensoren på venstre side er Einsteins krumningstensor som vanligvis skrives som *G<sub>&mu;&nu;</sub>* eller *E<sub>&mu;&nu;</sub>*. Ved å ta sporet av ligningen, finner man sammenhengen . Den kan derfor skrives på den ekvivalente formen

:  R_{\mu\nu} =  \kappa \big(T_{\mu\nu} - {1\over 2}g_{\mu\nu}T\big) 

I det tomme rom hvor , er denne ekvivalent med ligningen fra den 11. november. Derfor var også løsningen for metrikken i stor avstand fra en sentral masse fremdeles gyldig og dens fysiske konsekvenser. 
På nyåret 1916 skrev han sammen denne endelige formuleringen av teorien i en større artikkel i *Annalen der Physik*.

### David Hilbert

Sommeren 1915 tilbragte Einstein vel en uke ved Universitetet i Göttingen hvor han ga flere forelesninger om sitt arbeid med en generell relativitetsteori. Blant tilhørerne var den kjente matematiker David Hilbert som fattet stor interesse for disse nye ideene. Under oppholdet der utviklet de to et vennskap og forble i kontakt utover høsten mens Einstein prøvde å gjøre teorien ferdig. Samtidig viste Hilbert at den kovariante feltligningen kunne utledes mye mer direkte fra et virkningsprinsipp.

I moderne notasjon beskriver man materie ved en feltteori for et felt *&psi;* som er beskrevet ved en Lagrange-funksjon \cal{L}. Hilbert viste at når denne materien er i et gravitasjonsfelt beskrevet ved metrikken *g<sub>&mu;&nu;</sub>*, kan det hele beskrives ved virkningen

:  S = \int d^4x\sqrt{-g}\Big[{\cal L}(\psi) - {1\over 2\kappa}R(g_{\mu\nu})\Big] 

hvor *g* er determinanten til matrisen som *g<sub>&mu;&nu;</sub>* danner og *R* den skalare krumningen gitt ved sporet av Ricci-tensoren. En variasjon *&delta;&psi;*  av feltet vil gi bevegelsesligningen for dette, mens en variasjon *&delta;g<sub>&mu;&nu;</sub>* gir Einsteins feltligning.

Tidligere hadde Einstein også benyttet virkningsprinsippet til å komme frem til sin feltligning. Men han hadde valgt å benytte spesielle koordinater hvor determinanten . Hilberts utledning var derfor mer generell. I dag kalles denne fundamentale virkningen ofte for Einstein-Hilbert-virkningen.

### Schwarzschild-løsningen
Mens Einstein hadde funnet en tilnærmet løsning av sin feltligning i store avstander fra en sentral masse, viste Karl Schwarzschild tidlig i 1916 at det finnes en eksakt løsning gyldig overalt. Nesten samtidig ble en forbedret utgave av denne løsningen funnet av den nederlandske doktorgradsstudenten Johannes Droste. Med hans valg av koordinater kan metrikken utenfor massen *M* skrives som

: ds^2 = (1 - 2GM/rc^2)c^2dt^2 -  {dr^2\over 1 - 2GM/rc^2} - r^2d\Omega^2\,

hvor *d*&thinsp;&Omega;2 = *d&theta;*2 + sin2*&theta;&thinsp;d&phi;*2 er det kvadratisk romvinkelelementet i kulekoordinater *&theta;* og *&phi;*.

Det har blitt vanlig å kalle denne versjonen for Schwarzschilds løsning. I store avstander fra massen hvor potensialet  er svakt og etter en liten justering av den radielle koordinaten *r*, går løsningen over til det approksimative resultatet Einstein hadde funnet noen måneder tidligere.

### Kosmologisk konstant
Etter at Einstein hadde vist hvordan hans generelle relativitetsteori fant anvendelser i Solsystemet, gikk han i gang med å undersøke hvilke konsekvenser den kan ha for hele Universet slik det på den tiden var kjent. Utfra filosofiske betraktninger mente han at det måtte være uforanderlig med tiden og grenseløst i rommet. Det vil tilsvare en tredimensjonal generalisering av en todimensjonal kuleflate S2. Denne flaten har et endelig areal, men ingen grenser når man reiser omkring på den. Den romlige delen av Universet er derfor et krumt rom S3 som har et endelig volum, men hvor man ikke vil møte noen «yttergrense» hvis man reiser utover så langt man er i stand til. Derimot vil man etter en endelig tid komme tilbake til startpunktet for reisen.

Metrikken som Einstein derfor antok for Universet, kan skrives som

:  ds^2 = c^2dt^2 - {dr^2\over 1 - r^2/a^2} - r^2 d\Omega^2 

hvor *a* er radius til denne generaliserte kuleflaten som har en konstant og positiv krumning. Den radielle koordinaten *r* varierer mellom null og *a*. Hvert punkt i dette tredimensjoanle rommet er ekvivalent og kan tas som Universets sentrum. Plasserer vi oss selv der, kan vi si at vi befinner oss i punktet . Utenfor oss er tidrommet derfor beskrevet ved den vanlige Minkowski-metrikken så lenge  . Det er først over store avstander at vi vil merke at rommet har en krumning.

Ved å benytte i denne metrikken i løsningen av sin gravitasjonelle feltligning, oppdaget Einstein at han ikke kunne finne noen løsning som oppfylte kravet at Universets radius *a* skulle være konstant. Han ble derfor nødt til å modifisere ligningen ved å legge til en ekstra term som ville gi en stabiliserende effekt. Gravitasjonsligningen tok dermed formen

:  E_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} 

hvor &Lambda; er den kosmologiske konstanten som han måtte innføre. Den bestemmer størrelsen til dette Universet. Einstein fant at dets radius da ville være

:  a = \sqrt{1\over\Lambda} 

Denne nye konstanten virker som en slags frastøtende gravitasjon som virker mot de vanlige tyngdekreftene som prøver å trekke massen i Universet sammen. Har dette en konstant massetetthet *&rho;*, så er størrelsen til &Lambda; bestemt ved

:  \Lambda = {1\over 2}\kappa\rho c^2 

På den tiden trodde man at Universet bestod hovedsakelig av stjernene man kunne se i Melkeveien. Utfra det kunne man anslå at det hadde en midlere tetthet på omtrent . I Einsteins kosmologi tilsvarer det at Universet har en utstrekning gitt ved *a* = 107 lysår. Da dette var mye større enn utstrekningen 104 lysår til Melkeveien, kan det være en grunn til at Einstein i de følgende årene ikke gjorde mer med denne statiske modellen.

Men en mer sannsynlig grunn kan være at det snart ble klart at hans statiske univers var ustabilt. Hvis ikke massetettheten hadde nøyaktig den verdien &Lambda; tilsa, ville radien *a* ikke lenger være konstant med tiden. I så fall ville universet begynne å ekspandere eller falle sammen. At det kunne skje i det virkelige univers,  var ikke Einstein villig til å akseptere før mer enn ti år senere.

Einstein hadde kommet frem til den generelle gravitasjosteorien overbevist at det var materien som ga tidrommet en ikke-triviell geometri. Men allerede i samme år som &Lambda; ble innført, viste den nederlandske astronomen Willem de Sitter at en mulig kosmologisk modell uten materie kunne utledes fra feltligingen, bare inneholdende 
en kosmologisk konstant. I dag er det klart at den gir den enkleste beskrivelse av mørk energi som Universet inneholder og forårsaker dets akselerasjon. Langt inn i fremtiden vil det i så fall kunne beskrives som et de Sitter-univers.

### Verifikasjon

Den første og viktigste verifikasjon av Einsteins gravitasjonsteori fant sted i forbindelse med solformørkelsen som fant sted den i 29. mai 1919. To engelske ekspedisjoner ble utsendt, en til Vestkysten av Afrika og en til Sør-Amerika for å måle nøyaktig hvor stor lysavbøyningen ville være. Resultatene ble presentert på et spesielt møte i Royal Society den 6. november samme år. Begge ekspedisjonene hadde funnet verdier som passet godt med forutsigelsen fra teorien og kunne ikke forklares på noen annen måte. Dette gjorde Einstein til en internasjonal berømthet, og den generelle relativitetsteorien hadde åpnet opp et nytt verdensbilde i fysikken. Siden denne avgjørende verifikasjonen er teorien blitt funnet i full overensstemmelse med mange senere og mye mer presise tester.

## Mottagelse i Norge

Det tok tid før Einsteins generelle relativitetsteori ble generelt akseptert og spesielt av eldre fysikere. I Norge var det studenter ved Universitetet i Oslo som først ble begeistret for disse helt nye tankene. Allerede om våren 1918 holdt Ole Colbjørnsen et foredrag i Fysisk Selskap om teorien basert på Einsteins lengre presentasjon i *Annalen der Physik* i 1916.  Han kunne derfor berette både om presesjon av Merkurs bane og avbøyning av lys i Solens tyngdefelt.

Vilhelm Bjerknes som var en av de ledende fysikkprofessorene i Oslo, var tilstede på møtet i London da resultatene for lysavbøyningen ved solformørkelsen i 1919 ble lagt frem. Han ble likevel ikke overbevist om teoriens riktighet. I et foredrag i Det Norske Videnskaps-Akademi i januar 1920 uttalte han

På samme tid skrev den unge student Harald Schjelderup to populærvitenskapelige artikler  full av begeistring i Aftenposten om denne nye fysikken, mens Jørg Tofte Jebsen var i ferd med å skrive det første, norske vitenskapelige arbeid som gjorde bruk av teorien.  Disse studentene tilhørte en krets rundt professor Lars Vegard som hadde jevnlig kontakt med kollegaer ved Universitetet i Berlin hvor Einstein da var.

### Einstein i Oslo

Høsten 1919 var blant andre Ole Colbjørnson og  Jonas Schanche Jonasen valgt inn i styret i Det Norske Studentersamfund. Begge ivret for en forsonende linje overfor Tyskland etter den første verdenskrig. Året etter var studentene Schanche Jonasen og Schelderup i Berlin, mens Colbjørnsen var blitt valgt til nestformann i Studentersamfundet. Han var da med å få vedtatt at de skulle invitere Einstein til Oslo for å gi offentlige forelesninger om sine nye teorier. De to studentene i Berlin tok kontakt, og Einstein sa seg villig til å komme. Oppholdet fant sted i tidsrommet fra 13. til 20. juni 1920 der han holdt tre foredrag i Universitetets Aula hvor publikum måtte betale inngangspenger. Arrangementet var en suksess og ble avsluttet med en piknik ved Oslofjorden.

### Senere utvikling
Da Einsteins generelle teori var basert på Riemanns differensialgeometri som bare var kjent av et fåtall matematikere her i landet, var den vanskelig tilgjengelig for de fleste fysikere. Derfor ble den i de følgende årene bare sporadisk presentert i forskjellige forelesningsserier og seminarer ved Universitetet i Oslo og ved NTH, ofte etter ønske fra studentene. Mange av professorene mente nok også at såpass avansert, teoretisk fysikk ikke egnet seg for regulære kurs i studieplanen.

Dette endret seg i 1976 da Finn Ravndal ble ansatt ved Universitetet i Oslo og startet opp et fast kurs i generell relativitetsteori. Etter noen år ble det overtatt av Øyvind Grøn som har forelest kurset frem til sin avgang i 2013. I denne forbindelse har han skrevet flere lærebøker om samme tema, både for viderekomne studenter og for de med mindre bakgrunn. Ved NTNU blir dette også nå regelmessig forelest sammen med tilbudet innen astrofysikk og kosmologi.

## Geometrisk oppbygning

Den generelle relativitetsteorien er basert på den fundamental antagelsen at i hvert tilstrekkelig lite område av tidrommet kan man beskrive all fysikk på samme måte som i spesiell relativitetsteori, det vil si som i et Minkowski-tidrom. At dette området skal være «tilstrekkelig lite», betyr at alle effekter av kruming kan sees bort fra. Her kan man derfor benytte vanlige koordinater  for å angi tid *t* og sted **x** = (*x*,*y*,*z*) for hver hendelse.

Det er vanlig å beskrive relativistisk fysikk med naturlige måleenheter hvor lyshastigheten *c* = 1. Da vil en avstand kunne angis som den tid lyset behøver for å gå denne strekningen. På den måten oppstår lengdeenheten lysår. I det følgende vil slike enheter bli benyttet.

To nærliggende hendelser i tidrommet er adskilt ved en koordinatdifferans *dx<sup>&alpha;</sup>* som avhenger av hvilket referansesystem man velger å bruke. Men det kvadratiske linjeelementet *ds*2 = *dt*&thinsp;2 - *d*&thinsp;**x**2 forblir invariant under et slikt valg.
Ved å innføre Minkowski-metrikken med de diagonale komponentene , kan det kvadratiske linjeelementet i dette området da skrives som

:  ds^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = \eta_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta 

når man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over all like par med indekser. Dette linjelementet kan i alminnelighet være positivt, null eller negativt. I det første tilfellet sies det å være **tidlikt** og er adskilt med en tidsdifferans . Når *ds* = 0, er linjelementet **lyslikt** slik at de to hendelsene er forbundet med et lyssignal. I det siste tilfellet er det **romlikt**, og man kan finne et referansesystem hvor de to hendelsene skjer samtidig.

### Globale koordinater

På en krum flate kan man i hvert lite område bruke euklidsk geometri, men må benytte globale eller krumlinjete koordinater for å dekke større deler av flaten. Man kan gå frem på samme måte for et tidrom hvor der virker gravitasjonskrefter. Hvis man her kaller de lokale Minkowski-koordinatene for *x'<sup>&thinsp;&alpha;</sup>* og de globale for *x<sup>&mu;</sup>*, vil man ha en funksjonssammenheng

:  x'^\alpha = x'^\alpha(x) 

som forbinder de lokale Minkowski-rommene med hverandre, avhengig av hvilken verdi man velger for de globale koordinatene *x* til området man betrakter.  Denne sammenhengen er en koordinattransformasjon som man antar kan inverteres i hvert lokalt område. Den differensielle koordinatforskjellen

:  dx'^\alpha = {\partial x'^\alpha\over \partial x^\mu} dx^\mu 

kan derfor inverteres å gi

:  dx^\mu = {\partial x^\mu\over \partial x'^\alpha} dx'^\alpha 

ved å benytte at

:  {\partial x^\mu\over \partial x'^\alpha}{\partial x'^\alpha\over \partial x^\nu} = {\partial x^\mu\over \partial x^\nu} = \delta^\mu_{\;\nu} 

hvor resultatet på høyre side er gitt ved et Kronecker-delta som er 1 eller 0 avhengig av om de to indeksene er like eller ikke.

Nå kan det kvadratiske linjeelementet uttrykkes i de nye koordinatene og blir

:  ds^2 = \eta_{\alpha\beta}dx'^\alpha dx'^\beta = \eta_{\alpha\beta}{\partial x'^\alpha\over \partial x^\mu}{\partial x'^\beta\over \partial x^\nu} dx^\mu dx^\nu 

Man kan derfor skrive det som

:  ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu 

hvor

:  g_{\mu\nu}(x) = \eta_{\alpha\beta}{\partial x'^\alpha\over \partial x^\mu}{\partial x'^\beta\over \partial x^\nu}\eta_{\alpha\beta} 

er den metriske tensor til hele tidrommet. Ved å løse Einsteins gravitasjonsligning kan denne metrikken beregnes. Man kan da gjennomføre denne prosessen i motsatt retning ved å finne et lokalt område med Minkowski-koordinater *x'<sup>&thinsp;&alpha;</sup>* slik at metrikken der blir

:  \eta_{\alpha\beta} =  {\partial x^\mu\over \partial x'^\alpha}{\partial x^\nu\over \partial x'^\beta}g_{\mu\nu}(x) 

Strengt tatt er dette foreløbig bare mulig i ett punkt. Men det er mulig å finne slike koordinater for ethvert lite område i tidrommet ved bruk av riemannske normalkoordinater. Det tilsvarer at man i dette området har valgt koordinater i en fritt fallende «Einstein-elevator». På denne måten har man dermed en matematisk formulering av ekvivalensprinsippet.

### Geodetiske linjer

I et slikt fritt fallende koordinatsystem vil enhver fri partikkel følge en rett linje som er en geodetisk kurve i Minkowski-rommet. Denne bevegelsen er gitt ved differensialligningen

:  {d^2 x'^\alpha\over d\lambda^2} = 0 

hvor *&lambda;* er en affin parameter proporsjonal med partikkelens egentid. Ved nå å benytte at koordinatene *x'&thinsp;<sup>&alpha;</sup>* avhenger av de globale koordinatene 
*x<sup>&thinsp;&mu;</sup>*, kan dette skrives som

:  {d\over d\lambda}\Big({dx'^\alpha\over d\lambda}\Big) = {d\over d\lambda}\Big({\partial x'^\alpha\over\partial x^\mu}{dx^\mu\over d\lambda}\Big)  =  {\partial x'^\alpha\over\partial x^\mu}{d^2 x^\mu\over d\lambda^2} + {\partial^2 x'^\alpha\over\partial x^\mu\partial x^\nu}{dx^\mu\over d\lambda}{dx^\nu\over d\lambda} = 0 

ved bruk av kjerneregelen for derivasjon. Multipliseres dette med *&part;x<sup>&sigma;</sup>*/*&part;x'<sup>&thinsp;&alpha;</sup>*, forenkles resultatet slik at det kan skrives som

:  {d^2 x^\sigma\over d\lambda^2} + \Gamma^\sigma_{\;\mu\nu}{dx^\mu\over d\lambda}{dx^\nu\over d\lambda} = 0 

Dette er differensialligningen for en geodetisk kurve i globale koordinater hvor

:   \Gamma^\sigma_{\;\mu\nu} = {\partial^2 x'^\alpha\over\partial x^\mu\partial x^\nu}{\partial x^\sigma\over\partial x'^\alpha} 

er Christoffel-symbol av andre sort. Det er symmetrisk i sine to nedre indekser og opptrer alltid ved derivasjon i krumlinjete koordinater. Med sine tre indekser kan det se ut som en tensor, men det er det ikke da det ikke transformerer som sådan.

I den geodetiske differensialligningen representerer det første leddet med den andre deriverte av koordinaten partikkelens akselerasjon, mens det siste leddet med Christoffel-symbolet uttrykker gravitasjonskreftene som virker på den. De er derfor proporsjonale med kvadratet av partikkelens firehastighet *dx<sup>&mu;</sup>*/*d&lambda;*.

### Christoffel-symbol

Mens den globale metrikken *g<sub>&mu;&nu;</sub>* avhenger av de førstederiverte av *x'&thinsp;*-koordinatene, involverer  Christoffel-symbolene de andrederiverte av de samme koordinatene. De eksisterer derfor en mulighet for å uttrykke disse ved de førstederiverte av metrikken.  Disse følger fra definisjonen av denne og blir

:  {\partial g_{\mu\nu}\over\partial x^\sigma} = \eta_{\alpha\beta} {\partial^2 x'^\alpha\over\partial x^\mu\partial x^\sigma}{\partial x'^\beta\over\partial x^\nu} +  \eta_{\alpha\beta}{\partial x'^\alpha\over\partial x^\mu}{\partial^2 x'^\beta\over\partial x^\nu\partial x^\sigma} 

Her kan man uttrykke de andrederiverte ved Christoffel-symbolene slik at man får

:  {\partial g_{\mu\nu}\over\partial x^\sigma} = \eta_{\alpha\beta}\Gamma^\rho_{\;\mu\sigma}{\partial x'^\alpha\over\partial x^\rho}{\partial x'^\beta\over\partial x^\nu} +  \eta_{\alpha\beta}\Gamma^\rho_{\;\nu\sigma}{\partial x'^\alpha\over\partial x^\mu}{\partial x'^\beta\over\partial x^\rho} = g_{\rho\nu}\Gamma^\rho_{\;\mu\sigma} + g_{\rho\mu}\Gamma^\rho_{\;\nu\sigma} 

Ved å benytte at både den metriske tensoren og Christoffel-symbolene er symmetriske i sine to indekser, leder dette uttrykket til resultatet

:  g_{\sigma\rho}\Gamma^\rho_{\;\mu\nu} = {1\over 2}\left[{\partial g_{\sigma\nu}\over\partial x^\mu} +  {\partial g_{\sigma\mu}\over\partial x^\nu} - {\partial g_{\mu\nu}\over\partial x^\sigma}\right]

som kalles for Christoffel-symbol av første sort og skrives som &Gamma;*<sub>&sigma;&mu;&nu;</sub>*. Det er symmetrisk i de to siste indeksene.

Man kan skrive det første Christoffel-symbolet &Gamma;*<sup>&sigma;</sup><sub>&mu;&nu;</sub>* ved å innføre de inverse (eller kontravariante) komponentene *g<sup>&mu;&nu;</sup>* til den metriske tensoren ved å betrakte de kovariante komponentene *g<sub>&mu;&nu;</sub>* som elementene i en  4&times;4 matrise. Den inverse matrisen har da komponenter som vil oppfylle kravet

:  g_{\mu\nu}(x)g^{\nu\lambda}(x) = \delta^\lambda_{\;\mu} 

Disse inverse elementene kan formelt finnes fra

:  g^{\sigma\rho}(x) = \eta_{\alpha\beta}{\partial x'^\alpha\over\partial x^\mu}{\partial x'^\beta\over\partial x^\nu} 
 
da koordinattransformasjonen *x'&thinsp;* &rarr; *x* er antatt å være reverserbar. Ved å bruke disse kontravariante komponentene av metrikken, kan man da skrive Christoffel-symbolene av andre sort som

:  \Gamma^\rho_{\;\mu\nu} = {1\over 2} g^{\rho\sigma}\left[{\partial g_{\sigma\nu}\over\partial x^\mu} +  {\partial g_{\sigma\mu}\over\partial x^\nu} - {\partial g_{\mu\nu}\over\partial x^\sigma}\right] 

Når den metriske tensoren for tidrommet er kjent, kan dermed disse symbolene finnes ved direkte derivasjon. Man behøver også de kontravariante komponentene til metrikken, noe som krever å invertere en matrise. For mer kompliserte metrikker kan denne beregningen bli ganske omstendelig. Enklere kan de finnes direkte fra utledningen av den geodetiske ligningen fra et kovariant variasjonsprinsipp.

## Kovariant fysikk og gravitasjon

På en krum flate gir en geodetisk kurve vanligvis den korteste avstanden mellom to punkt. I spesiell relativitetsteori er de geodetiske kurvene rette linjer som forbinder to punkt i Minkowski-rommet som er separert med maksimal egentid. Har dette koordinater *x'<sup>&thinsp;&alpha;</sup>*, kan den tilsvarende bevegelsesligningen  finnes fra den kovariante Lagrange-funksjonen

:  L = {1\over 2}\eta_{\alpha\beta}{dx'^\alpha\over d\lambda}{dx'^\beta\over d\lambda} 

som her representerer en generalisering av den kinetiske energien til en partikkel som følger kurven. Parameteren *&lambda;* er proporsjonal med partikkelens egentid.

Etter å ha innført globale koordinater tar denne Lagrange-funksjonen den generelle formen

:  L = {1\over 2}g_{\mu\nu}(x){dx^\mu\over d\lambda}{dx^\nu\over d\lambda} 

Den beskriver bevegelsen til en relativistisk partikkel i et generelt gravitasjonsfelt. Ved å benytte Hamiltons virkningsprinsipp følger da direkte den kovariante ligningen for den geodetiske kurven med riktig form det andre Christoffel-symbolet.

Dette er et enkelt eksempel på essensen i den generelle relativitetsteorien. Den er kovariant ved at den ikke bare er en relativistisk teori for gravitasjon, men sier at alle fundamentale, fysiske lover må formuleres slik at de tar samme form i alle koordinatsystem. Da alle elementærpartikler er beskrevet ved bruk av kvantefeltteori, sier den derfor også hvordan alle slike partikler kobler til gravitasjon. Kjenner man en slik lov i Minkowski-rommet, kan den generaliseres til også å gjelde i et gravitasjonsfelt ved at den  flate metrikken *&eta;<sub>&alpha;&beta;</sub>* erstattes med den globale metrikken *g<sub>&mu;&nu;</sub>*. Samtidig må alle partiellderiverte *&part;<sub>&alpha;</sub>* erstattes med kovariant deriverte &nabla;*&mu;* på samme måte som i alle krumlinjete koordinatsystem.

For eksempel, kontinuitetsligningen for en elektrisk strøm med firevektor  kan skrives på kovariant vis i Minkowski-rommet som . Bevarelse av denne strømmen i et gravitasjonsfelt uttrykkes da som . På samme måte skrives bevarelse av energi og impuls for et system med energi-impulstensor *T<sup>&thinsp;&mu;&nu;</sup>* på kovariant form som .

Et tilsvarende eksempel gjelder ligningen for den geodetiske kurven som en fri partikkel følger. Ved å innføre firehastigheten , er bevegelsesligningen i et lokalt Minkowski-rom . Ved bruk av kjerneregelen for derivasjon kan dette skrives som

:  {\partial u'^\alpha\over\partial x'^\beta}{dx'^\beta\over d\lambda}   = 0 

eller på den mer kompakte formen *u'<sup>&thinsp;&beta;</sup>&part;'<sub>&beta;</sub>&thinsp;u'<sup>&thinsp;&alpha;</sup>* = 0. Denne ligningen kan så tas over i globale koordinater og blir dermed

:  u^\nu\nabla_\nu u^\mu = u^\nu{\partial u^\mu\over\partial x^\nu} + \Gamma^\mu_{\;\nu\sigma}u^\nu u^\sigma = 0 

Da det første leddet ikke er noe annet enn *du<sup>&mu;</sup>*/*d&lambda;*, er dette den geodetiske ligningen. Denne utledningen viser at den frie partikkelen i hvert øyeblikk fortsetter å gå i den retningen som firehastigheten angir.

## Newtonsk grense

Geometrien til tidrommet og dermed også all fysikk i det krumme tidrommet er gitt ved den metriske tensoren *g<sub>&mu;&nu;</sub>*. Den kan i det generelle tilfellet finnes som løsning av Einsteins feltligning. Denne fant Einstein i 1915 ved å forlange at den måtte være i overensstemmelse med Newtons gravitasjonslov for svake felt og gi Newtons andre lov for partikkelbevegelse ved lave hastigheter *v*  \nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho 

hvor *G* er gravitasjonskonstanten og *&rho;* = *&rho;*(**x**) er massetettheten i punktet **x**. Dette er en Poisson-ligning av samme form som for det elektriske potensialet i elektrostatikken.

Einstein resonnerte at en relativistisk generalisering av denne ligningen måtte på venstre side erstattes av ledd som inneholder den andrederiverte av den metriske tensoren. På høyre side måtte likedan den ikke-relativistiske massetettheten erstattes med energi-impulstensoren *T<sup>&mu;&nu;</sup>* som i alle relativistiske teorier samler all energi, impuls og masse i en større enhet. Da denne tensoren er symmetrisk, måtte det derfor finnes en annen, geometrisk tensor *E<sup>&mu;&nu;</sup>* på venstre side av ligningen som inneholder andrederiverte av metrikken. Ligningen måtte derfor ha formen

:  E^{\mu\nu} = \kappa T^{\mu\nu} 

hvor *&kappa;* måtte være en eller annen naturkonstant.

Fra Riemanns differensialgeometri visste Einstein og hans matematiske medarbeider Grossmann at det fantes kun to slike størrelser, nemlig Ricci-tensoren *R<sub>&mu;&nu;</sub>* og dens spor . Ut fra kravet  om bevarelse av energi og impuls, må derfor også  være oppfylt. Fra en Bianchi-identitet følger det da at den geometriske Einstein-tensoren må være den spesielle kombinasjonen

:   E^{\mu\nu} = R^{\mu\nu} - {1\over 2}g^{\mu\nu}R 

som dermed ga den endelige formen til den gravitasjonelle feltligningen.

### Ikke-relativistisk bevegelse

Når man velger å parametrisere bevegelsen til en partikkel som beveger seg i en statisk metrikk *g<sub>&mu;&nu;</sub>* med dens egentid *&tau;*, vil størrelsen til 
firehastigheten  være gitt ved . For en ikke-relativistsisk bevegelse er den største komponenten  da tidskoordinaten . Den geodetiske ligningen forenkles da til

:  {d^2 x^\mu\over d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\;00}\Big({dt\over d\tau}\Big)^2 = 0 

I en statisk metrikk hvor alle deriverte med hensyn på tiden er null, forenkles det andre Cristoffel-ssymbolet og gir

:  \Gamma^\mu_{\;00} = - {1\over 2}g^{\mu\nu}{\partial g_{00}\over\partial x^\nu} 

Da metrikken i denne grensen er antatt å skille seg lite fra den flate Minkowski-metrikken, kan man skrive

:  g_{\mu\nu}(x) = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}(x) 

hvor størrelsen til avviket  |*h<sub>&mu;&nu;</sub>*&thinsp;|  {d^2 x^k\over dt^2} =  - {1\over 2} {\partial h_{00}\over\partial x^k} 

Sammenlignes dette med Newtons bevegelsesligning  for en partikkel i gravitasjonspotensialet &Phi;, må man ha *h*00 = 2&Phi; og dermed

:  g_{00}(\mathbf{x}) = 1 + 2\Phi(\mathbf{x}) .

De andre komponentene til avviket *h<sub>&mu;&nu;</sub>* er ennå ikke kjent, bortsett fra antagelsen at de er uavhengige av tiden. Men det ligger sterke føringer på disse som følger fra feltligningen. Ved å summerer over dens diagonale komponenter, finner man at  der  er sporet av energi-impulstensoren etter å ha benyttet at  Ligningen til Einstein kan dermed skrives på den ekvivalente formen

:  R_{\mu\nu} =  \kappa \big(T_{\mu\nu} - {1\over 2}g_{\mu\nu}T\big) ,

I den newtonske grensen har energi-impulstensoren en dominerende komponent som er  massetettheten  Denne gir av samme grunn  også verdien for sporet . Feltligningen sier dermed at de forskjellige komponentene til  Ricci-tensoren må oppfylle betingelsene  og  For beregning av komponenten  behøver man bare å vite at  i den statiske grensen. Fra definisjonen følger det da direkte at

:  R_{00} = \nabla^2\Phi 

Da denne også skal ha verdien *&kappa;&rho;*/2, betyr det at  konstanten  når man sammenligner med  Newtons gravitasjonslov .

Betingelsen fra feltligningen som de romlige komponentene av Ricci-tensoren må oppfylle, gir nå med en gang at

:  R_{ij} = \delta_{ij}\nabla^2\Phi 

Det betyr at i tillegg til at *h*00 = 2&Phi;, må også de romlige komponentene til den metriske tensoren ha et avvik. Overensstemmelse finnes når disse  I den newtonske grensen er derfor  tidrommets metrikk

:  ds^2 = (1 + 2\Phi) dt^2 - (1 - 2\Phi)d\mathbf{x}^2 

Den siste termen her viser at ikke bare det 4-dimensjonale tidrommet er krummet, men også den 3-dimensjonale, romlige delen er ikke-euklidsk. For lys, som per definisjon beveger seg relativistisk, vil denne forandringen av geometrien gi en fordobling av den gravitasjonelle lysavbøyningen sammenlignet med hva den første termen i metrikken alene hadde gitt. Da denne forutsigelsen ble bekreftet ved solformørkelsen i 1919, markerte det begynnelsen på den universelle akseptansen av den generelle relativitetsteorien.

## Tid og rom i tidrommet

Av de fire koordinatene  vil det være en tidskoordinat som vanligvis betegnes som **koordinattid**  med tilhørende metrisk komponent .  De tre andre koordinatene angir romlig posisjon i tidrommet. Som i den spesielle relativitetsteorien tenker man seg at hver slik posisjon finnes en observatør som kjenner sine egne koordinater og er utstyrt med en standard klokke. Den viser observatørens egentid *&tau;* som i alminnelighet skiller seg fra koordinattiden *t*. Sammenhengen mellom disse to tidene er gitt ved det kvadratiske linjeelementet som gir

:  ds^2 = d\tau^2 = g_{00}(x) dt^2 

da *dx<sup>&thinsp;i</sup>* = 0 i en fast posisjon. Forskjellen mellom disse to tidene kan ikke merkes på samme sted. Men for eksempel, hvis det sendes ut et periodisk signal som lys med en viss frekvens fra et sted, vil dette kunne mottas med en annen periode av en observatør på et annet sted. Dette gir opphav til tidsdilatasjon og rødforskyvning i et gravitasjonsfelt.

Denne rødforskyvningen er lett å regne ut i en statisk metrikk, det vil si en hvor de metriske komponentene er uavhengige av koordinattiden *t*. Da vil lyssignalet hele tiden følge den samme, geodetiske kurve slik at perioden målt med en koordinatklokke forblir uforandret. Sendes signalet ut fra posisjon 1,  vil et tikk til standardklokken der være  som er perioden til lyset observert observert i denne posisjonen. Denne er igjen forbundet med frekvensen ved sammenhengen  når lyshastigheten . Dette signalet blir mottatt i posisjon 2 med periode  slik at man har sammenhengen

:  \nu_1\sqrt{g_{00}(\mathbf{x}_1)} = \nu_2\sqrt{g_{00}(\mathbf{x}_2)} 

mellom frekvensene. I den newtonske grensen hvor *g*00 = 1 + 2&Phi;, blir dermed formelen for rødforskyvningen

:  {\nu_1\over\nu_2} = {1 + \Phi(\mathbf{x}_2)\over 1 + \Phi(\mathbf{x}_1)} = 1 + \Phi(\mathbf{x}_2) - \Phi(\mathbf{x}_1) 

i overenstemmelse med hva man finner direkte fra ekvivalensprinsippet.

Alternativt kan man finne dette resultatet ved å betrakte lyssignalet som en strøm av fotoner. Hvert foton har da en fireimpuls som kan finnes fra den kovariante Lagrange-funksjonen *L* som

:  p_\mu = \partial L/\partial \dot{x}^\mu = g_{\mu\nu}\dot{x}^\nu 

hvor den prikkderiverte her er med hensyn på en kurveparameter *&lambda;*. Hvis nå metrikken er statisk og derfor uavhengig av koordinaten , er denne koordinaten syklisk slik at den konjugerte impulsen  har en konstant verdi.  Her, som i spesiell relativitetsteori, vil en observatør med firehastighet  måle en energi for fotonet med verdi . Da observatøren er i ro og man alltid har at , vil . Dermed er den observerte energien . Da denne er proporsjonal med frekvensen til fotonet og  er konstant, gir dette samme formel for rødforskyvningen.

### Romlig metrikk

Romlige avstander i det nærliggende området til en observatør i et punkt, kan måles ved «radarmetoden». Et lyssignal blir sendt ut mot et punkt i nærheten og reflektert tilbake til observatøren som registrerer refleksen det på et litt senere tidspunkt. Tidsforsinkelen han måler på sin standardklokke er da den dobbelte, romlige avstand til nabopunktet.

Lys beveger seg langs en geodetisk kurve som også må oppfylle kravet *ds*2 = 0. Splittes denne ligning opp i komponenter for tid og rom, kan man finne koordinattiden som går med for transmisjonen frem og tilbake, ved å løse en andregradsligning som gir

:   dx^0 = {1\over g_{00}}\Big(-g_{0k}dx^k +  \sqrt{(g_{0i}g_{0j} - g_{00}g_{ij})dx^i dx^j} \Big) 

Da refleksjonen tilbake har  *dx<sup>k</sup>* med motsatt fortegn, vil det totale tidsforløpet på standardklokken være

:  d\tau = \sqrt{g_{00}}dx^0 = 2\sqrt{(g_{0i}g_{0j}/g_{00} - g_{ij})dx^i dx^j}

Den kvadrerte avstanden til nabopunktet kan derfor skrives som

:  d\sigma^2 = \gamma_{ij} dx^i dx^j 

hvor

:  \gamma_{ij} = -  g_{ij} + {g_{0i}g_{0j}\over g_{00}} 

da er metrikken i det lokale, tredimensjonale rommet til denne observatøren.
 
Benyttes dette resultatet i det fulle linjeelementet *ds*2 til tidrommet, kan det nå skrives på det kompakte formen

:  ds^2 = d\tau^2 - d\sigma^2 

hvor nå det som var egentid, er blitt utvidet til å være gitt ved

:  d\tau = \sqrt{g_{00}}dx^0 + {g_{0k}dx^k\over \sqrt{g_{00}}} 

Med disse koordinatene for tid og rom har observatøren dermed etablert et lokalt Minkowski-rom hvor kinematikken er som i spesiell relativitetsteori.

Denne oppsplittingen er typisk for roterende koordinatsystem hvor den metriske tensoren har komponenter *g*0*k* &ne; 0. Et enkelt eksempel er geometrien på en roterende skive hvor metrikken i polarkoordinater er

:  ds^2 = (1 - \omega^2r^2) dt^2 - 2\omega r^2dt d\theta - dr^2 - r^2 d\theta^2 

hvis skiven roterer med vinkelhastighet *&omega;*. Det første leddet på høyre side har *g*00 &ne; 0 og representerer sentrifugalkraften som en observatør på skiven vil føle. Den kjennes ut som en tyngdekraft som tvinger han ut fra sentrum til skiven. Sender en observatør på skiven i en posisjon *r* > 0 og den sender et lyssignal inn mot sentrum av skiven, vil dette være rødforskjøvet. Likedan er det andre leddet et uttrykk for Coriolis-kraften. En observatør på skiven som benytter en standard målestav, vil finne at den har en geometri som er ikke-euklidsk da omkretsen av skiven er større en 2*&pi;&thinsp;r*.

Det sees også fra den romlige metrikken som i dette eksemplet blir

:  d\sigma^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + {(\omega r^2)^2 d\theta^2\over 1 - \omega^2r^2} =  dr^2 + {r^2d\theta^2\over 1 - \omega^2r^2} 

En observatør som står utenfor skiven vil forklare dette ved at en målestav som ligger i radiell retning på skiven, viser riktig avstand da den ikke utsettes for Lorentz-kontraksjon. Men en målestav som ligger vinkelrett på denne retningen, vil bevege seg med hastigheten *v = &omega;r* langs sin egen retning og derfor observeres som kortere enn en stav som ligger i ro. Av denne grunn behøves det flere målestaver for å dekke hele periferien til skiven som derfor må en omkrets > 2*&pi;&thinsp;r*.

### Lokalt aksekors
I hvert punkt i tidrommet kan en firevektor *u* uttrykkes ved de kontravariante  komponentene *u<sup>&thinsp;&mu;</sup>* på basisvektorene *e<sub>&mu;</sub>* til koordinatsystemet, det vil si . Alternativt kan man benytte den duale basis  *e<sup>&thinsp;&mu;</sup>* med de tilsvarende kovariante komponentene *u<sub>&mu;</sub>* slik at man har i stedet . De kovariante komponentene av den metriske tensoren er da gitt ved det indre produktet 

Slike koordinatkomponenter av en vektor eller tensor vil per definisjon forandres ved en koordinattransformasjon og kan ikke uten videre knyttes til direkte målinger. Det kan derimot gjøres ved å opprette i et punkt hvor målingene foretas, et ortonormert sett med basisvektorer

:  e_{\alpha'} =  e_\mu V^{\mu}_{\;\alpha'} 

hvor nå *V<sup>&thinsp;&mu;</sup><sub>&alpha;'</sub>&thinsp;* utgjør komponentene av en 4&times;4 transformasjonsmatrise. Denne basisen tilsvarer den som benyttes i et flatt, Minkowski-rom med metrikk som nå kan skrives som *&eta;<sub>&alpha;'&thinsp;&beta;'</sub>* = *e<sub>&alpha;'</sub>&sdot;e<sub>&beta;'</sub>&thinsp;*. Derfor må transformasjonsmatrisen oppfylle betingelsen

:  \eta_{\alpha'\beta'} =  g_{\mu\nu} V_{\;\alpha'}^\mu V_{\;\beta'}^\nu 
 
En slik ortonormert basis er et **lokalt aksekors** eller et *vierbein* på tysk (og engelsk) da det består av fire akser i et firedimensjonalt tidrom.

Fra den inverse transformasjonsmatrisen med elementer  *V<sup>&thinsp;&alpha;'</sup><sub>&mu;</sub>&thinsp;* som tilfredsstiller

:   V_{\;\;\mu}^{\alpha'} V^\mu_{\;\beta'} = \delta^{\alpha'}_{\;\beta'}  \;\;\;  \text{og} \;\; V^\mu_{\;\alpha'}V_{\;\;\nu}^{\alpha'} = \delta_{\;\nu}^{\mu}   ,

får man da den tilsvarende sammenhengen

:  g_{\mu\nu} = \eta_{\alpha'\beta'}V_{\;\;\mu}^{\alpha'}V_{\;\;\nu}^{\beta'} .

Den inverse transformasjonen av basisvektorene er dermed

:  e_\mu  =   e_{\alpha'} V_{\;\;\mu}^{\alpha'} .

For den duale basisen har man da på samme måte at

:  e^\mu  =   V^{\mu}_{\;\alpha'} e^{\alpha'} \;\;\;  \text{og} \;\;  e^{\alpha'} = V_{\;\;\mu}^{\alpha'} e^\mu  .

Enhver vektor eller tensor kan nå dekomponeres i sine komponenter på en slik orthonormert basis. For eksempel, for en firevektor har man

:  u = u^\mu e_\mu =  u^\mu e_{\alpha'} V_{\;\;\mu}^{\alpha'} 

slik at de kontravariante komponentene i denne transformerte basisen er

:   u^{\alpha'} = V_{\;\;\mu}^{\alpha'} u^\mu .

For de kovariante komponentene har man på samme måte

:   u_{\alpha'} =  u_\mu V^{\mu}_{\;\alpha'} .

Er den gitte metrikken *g<sub>&mu;&nu;</sub>* diagonal, vil også transformasjonsmatrisen mellom denne og Minkowski-metrikken være diagonal.

### Fysiske komponenter

De ortonormerte komponentene tilsvarer de vanlige, fysiske komponentene i et krumlinjet koordinatsystem. For eksempel, vil en fri partikkel med masse *m* ha en 4-impuls *p* i tidrommet som oppfyller  Hvis metrikken er uavhengig av koordinattiden , er komponenten *p*0 konstant, noe som uttrykker den relativistiske bevarelse av partikkelens energi. Er i tillegg metrikken diagonal, er den ortonormerte komponenten

:  E = p_{0'} =  p_0  V^0_{\;0'}

partikkelens fysiske energi. Da nå den metriske komponenten , følger det at . Derfor har man at den fysiske energien er gitt ved

:  E = {p_0\over\sqrt{g_{00}}} .

Dette er samme uttrykket som følger fra  der *u* er 4-hastigheten til observatøren som foretar målingene.

På samme måte utgjør de romlige komponentene *p<sub>k'</sub> = p<sub>k</sub>V<sup>k</sup><sub>k'</sub>&thinsp;* partikkelens fysiske 3-impuls **p** forbundet med energien ved standardrelasjonen

:  E^2 = \mathbf{p}^2 + m^2 .

Da dette gir *E = m* + **p**2/2*m* i den newtonske grensen der &radic;*g*00 = 1 + &Phi;, reduseres den relativistiske energibevarelsen for partikkelen til det ikke-relativistiske uttrykket

:  {\mathbf{p}^2\over 2m} + m\Phi = \text{konstant} 

for bevarelse av kinetisk pluss potensiell energi i gravitasjonspotensialet &Phi;.

## Gravitasjonsstråling

Einsteins gravitasjonsligning er ikke-lineær og lar seg ikke løse eksakt i de fleste tilfeller. Men når metrikken  *g<sub>&mu;&nu;</sub>*(*x*) til tidrommet skiller seg bare litt fra Minkowski-metrikken  *&eta;<sub>&mu;&nu;</sub>*, tar ligningen en lineær form og den forenkles til en lineær bølgeligning. Dette forutsetter at det finnes et globalt koordinatsystem hvor den metriske tensoren kan skrives på formen

:  g_{\mu\nu}(x) = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}(x) 

hvor avviket eller perturbasjonen må oppfylle *h<sub>&mu;&nu;</sub>* &thinsp;&mu;* &rarr; *x&thinsp;&mu;* + *&xi;&thinsp;&mu;* slik at denne oppsplittingen av metrikken vil bevare formen. Det eneste som skjer er at perturbasjonen får en litt annen verdi,

: <math> h_{\mu\nu} \rightarrow h_{\mu\nu} - \partial_\mu\xi_\nu  - \partial_\nu\xi_\mu </math>

på tilsvarende måte som det [[elektromagnetisk felt|elektromagnetiske]] potensialet *A&mu;* forandres under en [[gaugetransformasjon]]. Denne friheten kan man benytte til å pålegge potensialene en ekstra gaugebetingelse. I analogi med [[Gaugetransformasjon#Lorenz-gauge|Lorenz-gaugen]] *&part;&mu;&thinsp;A&mu;* = 0, er det her hensiktsmessig å gjør bruk av *'Hilbert-gaugen** som er definert ved

: <math> \partial_\mu h^\mu_{\;\nu}  - {1\over 2} \partial_\nu h^\mu_{\;\mu} = 0 </math>

Med dette valget forenkles Ricci-tensoren til

: <math> R_{\mu\nu} = - {1\over 2}\partial^2 h_{\mu\nu} </math>
 
og feltligningen kan skrives som

: <math> R_{\mu\nu} - {1\over 2}\eta_{\mu\nu}R = - {1\over 2}\partial^2\Big(h_{\mu\nu} - {1\over 2}\eta_{\mu\nu}h\Big) = 8\pi G T_{\mu\nu} </math>
 
hvor ''h = h<sup>&mu;</sup><sub>&mu;</sub>'' er sporet av perturbasjonen  ''h<sub>&mu;&nu;</sub>''. Ved å definere det modifiserte tensorfeltet

: <math> \bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - {1\over 2}\eta_{\mu\nu}h, </math>

tar da feltligningen den endelige formen

: <math> \partial^2\bar{h}_{\mu\nu} = - 16\pi G T_{\mu\nu} </math>

som  viser at perturbasjonen forplanter seg som en vanlig [[bølge]], drevet av energi-impulstensoren. Dette beskriver [[gravitasjonsbølge|gravitasjonsstråling]] som ble for første gang direkte observert i 2016.

===Harmonisk gravitasjonsbølge===

En plan, harmonisk bølge forplanter seg med en bestemt frekvens ''&omega;'' i en viss retning gitt ved en bølgevektor **k**. Utenfor kilden til bølgen kan man sette   og bølgeligningen gir direkte at . Dette viser at den beveger seg med [[lyshastigheten]] ''c'', noe som ble bekreftet i 2017 med meget stor nøyaktighet ved observasjon av gravitasjonsbølgen fra en sammensmelting av to [[nøytronstjerne]]r.

Selv etter å ha valgt Hilbert-gaugen, kan man fremdeles foreta spesielle koordinattransformasjoner. Egenskapene til en [[bølge#Plane bølger|plan bølge]] kommer klarest frem ved bruk av en **TT-gauge** hvor perturbasjonen ''T<sub>&mu;&nu;</sub>'' kun har komponenter i et plan som står vinkelrett på utbredelsesretningen (T for transvers) og samtidig har spor  (T for traseløs). Av de opprinnelige ti komponentene til perturbasjonen står det da bare to igjen. De representerer de to frihetsgradene til bølgen som tilsvarer polarisasjon i to forskjellige retninger som står normalt på forplantningsretningen **k*'.

Hvis man velger denne retningen langs *z*-aksen, vil den første polariserte moden *h*<sub>+</sub> gi komponentene . Den andre moden *h*<sub>&times;</sub> bidrar kun til de to ikke-diagonale komponentene . [[Metrisk tensor|Det kvadratiske linjeelementet]] til et tidrom med en plan gravitasjonsbølge tar derfor formen

: <math> ds^2 = dt^2 - (1 - h_+)dx^2 - (1 + h_+)dy^2 + 2h_\times dx dy - dz^2  </math>

Betrakter man en ring av partikler som står vinkelrett på bølgen, vil moden *h*<sub>+</sub>  i løpet av en halv [[periode (fysikk)|periode]] gi en sammentrekning av ringen i *x*-retning samtidig som den utvides i *y*-retning. I neste halvperiode er disse to bevegelsene byttet om. På samme måte gir moden *h*<sub>&times;</sub> tilsvarende utvidelser og sammentrekninger langs to retninger som danner 45&deg; med koordinataksene.

En [[Bølgeligning#Elektromagnetiske bølger|elektromagnetisk bølge]] inneholder energi og vil derfor modifisere geometrien til Minkowski-rommet. Ved bruk av Einsteins feltligning kan også denne metriske perturbasjonen beregnes, men det er vanskelig å tenke seg at effekten noensinne vil la seg observere.

==Se også==
* [[Spesiell relativitetsteori]]
* [[Kovariant relativitetsteori]]
* [[Ekvivalensprinsippet]]
* [[Schwarzschilds løsning]]

==Referanser==
<references />

==Litteratur==

* Ø. Elgarøy, [http://folk.uio.no/oelgaroy/forelesning_1.pdf *En kort introduksjon til generell relativitetsteori*], forelesningsnotater fra Universitetet i Oslo.
* S.M. Carroll, [https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9712019.pdf *Lecture Notes on General Relativity*], arXiv gr-qc/9712019.

== Eksterne lenker ==
* 
* [http://www.aftenposten.no/viten/Einsteins-generelle-relativitetsteori-93626b.html *Einsteins generelle relativitetsteori*], artikkel i [[Aftenposten]], 24. mars 2014.
* C. Hirata, [http://www.tapir.caltech.edu/~chirata/ph236/2011-12/ *General Relativity*], forelesninger om generell relativitet ved [[Caltech]].
* T. Damour, [https://www.youtube.com/watch?v=Hp05QzrdE9E *Einstein's Path to General Relativity''], Youtube talk (2024).