Variansanalyse

**Variansanalyse** (**ANOVA**, fra det engelske «analysis of variance») er en fellesbetegnelse for en rekke statistiske metoder for å teste likhet mellom to eller flere utvalg, der én eller flere faktorer gjør seg gjeldende. Variansanalyse er i de enkle tilfellene et alternativ til Z/t-testene for å sammenligne gjennomsnitt i populasjoner.

De to grunnleggende formene for variansanalyse beskrives gjerne som 'enveis' og 'toveis' variansanalyse. I enveistilfellet hensyntar man kun én egenskap som varierer mellom gruppene, i toveistilfellet hensyntar man i tillegg egenskaper som varierer mellom individene i gruppene.

## Variansanalyse med én faktor
Det enkleste tilfellet for variansanalyse er tilfellet der man har I grupper med like størrelser J, og ønsker å sammenligne gjennomsnittene til gruppene. Den brukes gjerne der man ønsker å sammenligne forskjeller i respons på forskjellige behandlinger (treatments) i forskjellige grupper.

Hypotesen man tester er for et antall populasjoner I
#  H_0: \ \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_I 
#  H_A: minst to av gruppene er forskjellige.

Forutsetningene for testen er at alle observasjonene er uavhengige normalfordelte tilfeldige variable med lik varians.

### Kvadratavvik og varians
De fundamentale størrelsene i variansanalysen er kvadratavvik totalt (SST), kvadratavvik mellom individ og gruppe (SSE) og kvadratavvik mellom gruppe og totalt gjennomsnitt (SSTr). Disse er definert ved 
 SST = \sum_i\sum_j (x_{ij} - \overline{x}_{..})^2 = \sum_i\sum_j x_{ij}^2 - \frac{x_{..}^2}{IJ}
 SSTr = \sum_i\sum_j (\overline{x}_{i.} - \overline{x}_{..})^2 = \frac{\sum_i X_{i.}^2}{J} - \frac{x_{..}^2}{IJ}
 SSE = \sum_i\sum_j (x_{ij} - \overline{x}_{i.})^2 

Sammenhengen mellom disse gir opphav til *den fundamentale ANOVA-identiteten* SST = SSTr + SSE. Videre har vi at
MSTr = \frac{SSTr}{I - 1}
MSE  = \frac{SSE}{I(J-1)}

Dette gir opphavet til det man kaller en ANOVA-tabell:

### Test av nullhypotesen
For å teste nullhypotesen, bruker man ofte en f-test. Testobservatoren er gitt ved
f = \frac{MSTr}{MSE}

som er tilnærmet F_{I - 1, I(J - 1)}-fordelt. Forkastningsområdet for H_0 er f \geq F_{\alpha, I-1, I(J-1)} for ønsket signifikansnivå \alpha

### Tukeys prosedyre
F-testen er ment for å sammenligne gjennomsnittene i flere populasjoner, men den gir ikke svar på hvilke av populasjonene som er signifikant ulike hverandre. Tukeys prosedyre bruker en Q-fordeling til å beregne hvilke intervaller gjennomsnittene i populasjonen kan ligge i for å være signifikant like hverandre. For et signifikansnivå \alpha definerer vi w som

w =  Q_{\alpha, I, I(J - 1)}\sqrt{MSE / J}

De gjennomsnittene som har større differanse enn w er være signifikant ulike, med signifikansnivå \alpha

### Relasjon til t-testen
For tilfellet med to populasjoner, vil variansanalyse og en alminnelig t-test gi samme resultat for hypotesen H_0: \ \mu_1 = \mu_2 mot H_A: \ \mu_1 \neq \mu_2. T-testen er mer fleksibel, da man og kan teste hvorvidt et gjennomsnitt er større enn, eller mindre enn et annet.

For I > 2 kan man i prinsippet også utføre t-tester for alle kombinasjoner av grupper, men dette vil gi større sannsynlighet for type 1-feil.

## Referanser


## Kilder
* Jay L. Devore and Kenneth N. Berk: *Modern Mathematical Statistics with Applications*. Thomson 2007.