Relasjonsalgebra

**Relasjonsalgebra** er et formelt matematisk språk brukt til å beskrive matematiske relasjoner og til å konstruere nye relasjoner mellom relasjonene. Relasjonsalgebra er en type predikatlogikk.

## Historie

Relasjonsalgebra ble først beskrevet av Edgar F. Codd i 1970, som et modelleringsspråk for hans relasjonsmodell for data. Dette språket var ment å være en basis for databasers spørrespråk. Senere databaseadministrasjonssystemer har brukt språk som i større eller mindre grad har vært bygget på Codds idéer, med enkelte tillegg. Språket SQL er delvis basert på relasjonsalgebraen.

## Introduksjon

Som annen algebra er relasjonsalgebra basert på atomiske operander og på operatorer. 

I relasjonsalgebraen er de atomiske operandene enten variable, som betegner relasjoner, eller konstanter, som er endelige relasjoner. I klassisk relasjonsalgebra er alle operander mengder, det samme vil da gjelde resultatene av relasjonsalgebraiske uttrykk.

## Operasjoner

Det finnes fire hovedgrupper operasjoner:
# De vanlige mengdeoperandene &ndash; union, snitt og differens
# Operasjoner som fjerner deler av en relasjon &ndash; projeksjon og seleksjon
# Operasjoner som kombinerer tupler &ndash; Kartesiske produkter og forskjellige skjøter (*joins*)
# Operasjoner som ikke forandrer tuplene i relasjonene, men f.eks. endrer navn på attributter

### Grunnleggende mengdeoperasjoner

De tre grunnleggende operasjonene i mengdelæren gjelder også i relasjonsalgebraen.

*Unionen* av relasjonene R og S er mengden elementer som finnes i R eller i S eller i begge. Et element som finnes i begge relasjonene vil bare finnes én gang i unionen av relasjonene. Notasjonen for en union mellom R og S er *R* &cup; *S*.  

*Snittet* av relasjonene R og S er mengden elementer som finnes i både R og S. Notasjonen for dette er *R* &cap; *S*.

*Differansen* mellom relasjonene R og S er mengden elementer som er i R men ikke i S. Det finnes to måter å skrive dette på, enten *R* − *S* eller *R* \setminus *S*.

For at disse tre operasjonene skal være gyldige må R og S har identiske attributter. Domenene til attributtene må også være like. 

#### Eksempel

Har man de to relasjonene R og S

vil unionen, snittet og differansen bli som følger:

### Projeksjon

Projeksjonsoperatoren brukt på en relasjon R vil frembringe en ny relasjon som bare har enkelte av attributtene til R. En projeksjon skrives \pi_{a_1, ...,a_n}( R ), der a_1,...,a_n er en mengde attributtnavn og R er en relasjon. 

#### Eksempel

Gjør man projeksjonen \pi_{A,B}( R ) vil bare kolonnene A og B fra R komme med i den nye relasjonen. Med projeksjonen \pi_{A}( R ) vil bare kolonne A fra R beholdes.

### Seleksjon

Seleksjonsoperatoren brukt på en relasjon R gir en ny relasjon som har en undermengde tuplene i R. Tuplene som blir med er de som tilfredsstiller en betingelse C som går på attributter i R. Seleksjon skrives \sigma_{C}(R), der C er betingelsen og R en relasjon. 

#### Eksempel

Gjør man seleksjonen \sigma_{A=1}(R) vil alle tupler som ikke har verdien 1 for attributtet A forsvinne. Med seleksjonen \sigma_{C>6}(R) vil alle tupler som ikke har en verdi større enn 6 for attributtet C forsvinne.

### Kartesisk produkt

Det kartesiske produktet (også kalt kryssprodukt) av de to relasjonene R og S er mengden par som skapes ved å pare alle elementer i R med alle elementene i S. Dette skrives R\times S. Da elementene i R og S er tupler vil resultatet av å pare et tuppel fra R med et tuppel fra S bli et tuppel med en lengde som er lik summen av lengden på tuplene i R og i S. Komponentene i dette nye tuplet vil være komponentene i de to opprinnelige tuplene.

#### Eksempel

### Omnavning

Man kan ofte ønske å gi relasjoner eller attributter nye navn. Vil man gi relasjonen R det nye navnet S skrives dette \rho_{S(A_1, ...,A_n)}(R), der A_1, ...,A_n er attributtnavnene 
i den nye relasjonen S.

#### Eksempel

Her har relasjonen fått det nye navnet S, samtidig som attributtene har fått nye navn. Verdiene i tuplene har ikke blitt endret.

### Skjøter

En skjøt (engelsk: *join*) er en spesiell form for produkt der relasjoner pares på bestemte måter.

I en *naturlig skjøt* mellom relasjonene R og S pares tuplene i de to relasjonene på de attributtene de har felles. Dette skrives  R \triangleright\!\!\triangleleft\, S. Tupler som ikke matcher tupler i den andre relasjonen på ett eller flere felles attributter blir ikke med i den nye relasjonen.

En ''theta''*-skjøt* mellom to relasjoner R og S fungerer som en naturlig skjøt, med det unntak at tupler pares på en bestemt betingelse, kalt theta (&theta;). Dette skrives R \triangleright\!\!\triangleleft\,_{\mathrm{\theta}} S.

En *ytre skjøt* (*outer join*) er en skjøt der tupler som ikke overholder kravet i skjøten likevel blir med i produktet. En ytre skjøt på relasjonene R og S gjøres ved å gjøre en skjøt mellom de to relasjonene, deretter legges de mistede tuplene inn igjen med en nullverdi i attributtene de mangler.

#### Eksempel

Tar man en naturlig skjøt på relasjonene R og S vil resultatet bli en ny relasjon der tuplene er matchet på felles attributter. I dette eksempelet vil tupler som har samme verdi for attributtet A bli paret.

En theta-skjøt mellom to relasjoner vil først føre med seg et kryssprodukt av relasjonene. Deretter fjernes alle tupler som ikke overholder betingelsen(e). Betingelsen i dette eksempelet er at tuplene må ha samme verdi for attributtene A og E.

## Referanser


## Litteratur
* Codd, Edgar F. : «A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks» i «Communications of the ACM» 6/13/1970, s. 377–387. (PDF-versjon, 1,4 MB)