Hall-effekt

**Hall-effekt** er en elektrisk spenning som oppstår i et strømførende materiale som befinner seg i et magnetfelt. Den skyldes at den elektriske strømmen påvirkes av Lorentz-kraften fra magnetfeltet slik at det bygger seg opp en ladningsforskjell i lederen og dermed et elektrisk felt på tvers av den gitte strømretningen.

Når magnetfeltet *B* står vinkelrett på en plan, elektrisk leder med tykkelse *a* og som fører strømmen *I*, kan Hall-spenningen skrives som

:  U_H = R_H {IB\over a} 

der *R<sub>H</sub>&thinsp;* kalles **Hall-koeffisienten**. Den er bestemt ved egenskaper til materialet i lederen og kan variere med temperaturen. Koeffisienten må ikke forveksles med **Hall-motstanden**  som er en elektrisk motstand karakteristisk for effekten. Når Hall-koeffisienten er konstant, vil Hall-motstanden øke proporsjonalt med magnetfeltet.

Effekten ble oppdaget av Edwin Hall i 1879 da han ville undersøke hvordan et magnetfelt kunne påvirke den elektriske ledningsevnen til materialer. Siden er den blitt praktisk viktig for måling av styrken til magnetfelt. I det omvendte tilfellet når styrken av dette er kjent, kan den benyttes til å skaffe seg et bilde av hvordan den mikroskopiske  ladningstransporten foregår i materialet. 

Spesielt stor interesse har Hall-effekten hatt etter 1980 da den tyske fysiker Klaus von Klitzing oppdaget at Hall-motstanden antar spesielle, diskrete verdier ved lave temperaturer og sterke magnetfelt. Dette fenomenet skyldes kvantemekanikken og omtales i dag som den kvantiserte Hall-effekten. Den har i dag stor teoretisk og praktisk betydning.

### Elektrisk strøm i magnetfelt

Den klassiske Hall-effekten kan forklares i Drude-modellen for ladningstransport i elektriske ledere. I det enkleste tilfelle antar man at den skyldes ladningsbærere med ladning *q* og tetthet *n* som beveger seg med driftshastigheten **v**. Det resulterer i en strømtetthet av størrelse  . Hvis denne strømmen befinner seg i et magnetfelt **B**, vil hver ladningsbærer bli utsatt for den magnetiske Lorentz-kraften  som tvinger ladningen bort i en retning vinkelrett både til **J** og **B**.

Hvis den plane lederen ligger i *xy*-planet og *B*-feltet normalt til dette, vil Lorentz-kraften skyve ladningene i den negative *y*-retningen. Det medfører at et ladningsunderskudd oppstår på den motsatte siden og bygger opp et elektrisk felt **E** i denne retningen. Når dette har økt til å gi en like stor elektrisk kraft *q*&thinsp;**E** som Lorentz-kraften, vil ladningstransporten i *x*-retning fortsette uhindret. Det skjer derfor når størrelsen til det elektriske feltet er blitt  eller

:  E_y = {1\over nq}J_x B 

Hvis lederen har bredde *b*, er den tilsvarende Hall-spenningen *U<sub>H</sub>* = *E<sub>y</sub>&thinsp;b*. Da kan strømtettheten også uttrykkes ved den totale strømmen *I* =  *J<sub>x</sub>&thinsp;ab* der *a* er tykkelsen til lederen. Den klassiske verdien til Hall-koeffisienten er derfor 

:  R_H = {1\over nq} 

og er uavhengig av magnetfeltet.  På samme måte er også den elektriske motstanden i strømretningen uavhengig av dette. I denne beskrivelsen av Hall-effekten er det derfor ikke noen magnetoresistans. Hall-motstanden kan nå skrives som   og øker proporsjonalt med magnetfeltet *B* i denne klassiske teorien.

I metaller skjer ladningstransporten ved flytting av elektroner.  Ladningen *q* er derfor negativ slik at Hall-koeffisienten forventes å være negativ. Det er også i overensstemmelse med målinger. Men det finnes unntak, som for eksempel for  sink Zn. Det kan forklares ved en mer komplisert ladningstransport i dette metallet enn antatt i den klassiske Drude-modellen basert på frie elektroner. Siden elektronets ladning er kjent, vil en måling av Hall-effekten gi direkte informasjon om tettheten *n* i lederen.

Mer generelt i halvledere kan ladningstransporten i tillegg forgå ved transport av *hull* med motsatt ladning enn elektronet. Her består ladningstransporten derfor av to komponenter slik at uttrykket for Hall-koeffisientene blir mer komplisert.

### Kvantisert Hall-effekt

I tynne skikt mellom halvledere som ble kjølt ned til lave temperaturer og utsatt for meget sterke magnetfelt, viser Hall-motstanden et klart avvik fra å være proporsjonal med dette feltet slik som det er forventet i den klassiske Drude-modellen. Derimot varierer den i klare stepp med verdier som kan skrives på den enkle formen *R<sub>xy</sub>* = *R<sub>K</sub>*/*&nu;* hvor 

:  R_{K} =  {h\over e^2} = 25 812,807\ 4555 (59) \text{ohm} 

er **von Klitzings konstant**. Dens meget presise verdi er uavhengig av materialets egenskaper. Den inneholder Plancks konstant *h* og *&nu;* er et helt tall (1, 2, 3, . .) eller en brøk (1/3, 2/5, 3/7, . .). Dette fenomenet kalles nå for den kvantiserte Hall-effekten som fra engelsk betegnes med QHE. I det første tilfellet dreier det seg om en heltallig QHE eller IQHE, mens for rasjonelle verdier av *&nu;* har man en fraksjonell QHE eller FQHE.

Forklaringen av denne effekten kan finnes i kvantemekanikken. Under de forholdene som eksistrerer ved disse målingene vil elektronene i halvledersjiktet bevege seg kun i to dimensjoner. Det sterke magnetfeltet vil føre til at hver av dem utfører en syklotronbevegelse rundt en sirkel med senter i planet. På grunn av Paulis eksklusjonsprinsipp vil hver slik bane kun inneholde et elektron hvis man ser bort fra dets spinn. Antall elektroner som kan delta i ladningstransporten er da lik med antall slike syklotronbaner. Ved bruk av Landau-kvantisering gir det en ladningstetthet som er et helt multiplum *&nu;* av *eB*/*h*.  I den klassiske grensen *h* &rarr; 0 vil derfor heltallet *&nu;* bli stort. 

Da Hall-motstanden kan skrives som   hvor *na* er den todimensjonale tettheten av elektroner i grensen der tykkelsen *a* blir veldig liten, tar denne derfor verdiene   Dette gir en grov forklaring av den heltallige, kvantiserte Hall-effekten IQHE. Men det overraskende er hvorfor  en slik enkel beskrivelse kan gi et slikt numerisk korrekt resultat.

Den fraksjonelle Hall-effekten er ikke like godt forstått. Spesielt er spørsmålet om hvilke brøker *&nu;* som kan opptre, ennå uavklart. Men den avgjørende forskjellen fra IQHE er at for FQHE spiller Coulomb-kraften mellom elektrone en avgjørende rolle.

## Referanser