Treghetsbølge

**Treghetsbølger** eller **treghetssvingninger** er mekaniske bølger som oppstår i roterende fluider. I motsetning til havbølger, som man ofte ser på strender eller i badekaret, forplanter treghetsbølgene seg i selve vannmassen, og ikke på overflaten. Som alle andre typer bølger oppstår treghetsbølgene på grunn av en tilbakeføringskraft og kjennetegnes ved sin bølgelengde og frekvens. Mens treghetsbølger har corioliskraften som sin tilbakeføringskraft, har derimot bølgelengden og frekvensen et uvanlig forhold sammenlignet med mange andre bølger. Treghetsbølger er transverse. Oftest ser man denne typen bølger i atmosfæren, havet, innsjøer og i laboratoriumeksperimenter. Rossbybølger, geostrofisk strøm og geostrofisk vind er alle eksempler på treghetsbølger. Det er også sannsynlig at det eksisterer treghetsbølger i Jordens kjerne.

## Tilbakeføringskraft
For å forstå konseptet bak en tilbakeføringskraft, kan man tenke seg en gitarstreng. Når strengen er i likevekt er den i spenn og rett, og er holdt i ro i begge ender. Ved å slå på strengen flytter den seg bort fra likevektsposisjonen. Spenningen i strengen trekker så strengen tilbake mot likevekt, men den går for langt slik at strengen deretter bøyer seg i motsatt retning. Spenningen fører så igjen til at strengen blir trukket tilbake mot likevektspunktet, og den vil igjen gå for langt, og slik holder det på til strengen til slutt står i ro igjen. Siden spenningen fører strengen tilbake til likevekt, blir den kalt for en tilbakeføringskraft. Uten denne vil ikke strengen kunne vibrere, og man kunne ikke ha hatt en bølge på strengen. 

På samme måte er det åpne havet i likevekt når overflaten er helt blank og flat. Hvis noe (som vind) fører til at havoverflaten stiger og danner en topp, vil toppen med en gang bli dratt tilbake mot likevekt av tyngdekraften. Som med gitarstrengen vil vannflaten gå forbi likevektspunktet, og toppen blir en slags dal, som gjør at det nærliggende vannet danner topper. Disse blir så trukket tilbake mot likevekt av tyngdekraften, og slik fortsetter syklusen. På den måten er tyngdekraften tilbakeføringskraften for bølger på det åpne hav, og blir derfor kalt for tyngdebølger.

Alle bølger har en tilbakeføringskraft. Bølger på en streng blir ført tilbake av spenningen. Bølger på det åpne hav blir ført tilbake av tyngden. Bølger i grunt vann (f.eks. brytende bølger på en strand) har kapillære krefter som tilbakeføringskraften og blir kalt for kapillærbølger. Lydbølger har trykk som tilbakeføringskraft, noe som fører til at de ikke kan forplante seg i vakuum. Lys, radiobølger og røntgenstråler er forskjellige typer elektromagnetiske bølger som kan forplante seg i vakuum, fordi tilbakeføringskraften er en samhandling mellom det elektriske feltet og det magnetiske feltet.

Treghetsbølger har corioliskraften som tilbakeførende kraft, som følge av rotasjon. Mer presist kan man si at corioliskraften (sammen med sentrifugalkraften) oppstår i et roterende system som følge av at et slikt system alltid akselererer. Man kan derfor ikke ha treghetsbølger uten rotasjon. Corioliskraften virker med en vinkel på 90º på bevegelsesretningen, og styrken avhenger av væskens rotasjonsrate. Disse to egenskapene fører til kjennetegnene til treghetsbølgene.

## Kjennetegn
Treghetsbølger kan bare oppstå i roterende væsker, og oppstår i selve vannmassen, og ikke på overflaten. Som lysbølger er treghetsbølgene transverse, som betyr at vibrasjonen oppstår vinkelrett på retningen bølgen forflytter seg i. Det motsatte er langsgående bølger, der vibrasjons- og bølgeretningen er den samme. Treghetsbølger har en fasefart (viser væskens retning), som er *vinkelrett* på gruppefarten (viser forplantingen av energien). 

Treghetsbølger kan bare eksistere innenfor et visst frekvensintervall, fra null til to ganger væskens rotasjonsrate. Lyd- og elektromagnetiske bølger kan derimot eksistere for alle frekvenser. I tillegg blir treghetsbølgens frekvens bestemt av hvilken retning bølgen forplanter seg i. Bølger som forplanter seg vinkelrett på rotasjonsaksen har null frekvens, og blir av og til kalt for den geostrofiske modusen. Bølger som forplanter seg parallelt med aksen har størst frekvens (to ganger rotasjonsraten), mens bølger som forplanter seg med andre vinkler har frekvensene mellom null og to ganger rotasjonsraten. 
I en lukket boks har man derimot flere restriksjoner på hvilke frekvenser treghetsbølgene kan ha. I en sfære har man f.eks. visse frekvenser som treghetsbølgene ikke kan ha i det hele tatt.

## Eksempel
Alle slags væsker kan ha treghetsbølger: Vann, olje, flytende metall, luft og andre gasser. Treghetsbølger ser man oftest i atmosfæren (Rossbybølger, geostrofisk vind) og i hav og innsjøer (geostrofisk strøm), der de fører til mye av omrøringen som skjer. Treghetsbølger som blir påvirket av havbunnens helling blir ofte kalt for rossbybølger.

## Matematisk skildring
Væskestrøm er styrt av bevegelsesligningene (ofte kalt for Navier-Stokes-ligningene) som i hovedsak er en omforming av Newtons andre lov for væsken. Farten \vec{u} i en væske med viskositet \nu, trykk P og rotasjonsrate \Omega som endrer seg med tiden t kan skrives som 


\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}
+ (\vec{u} \cdot \vec{\nabla}) \vec{u}
= - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla}P
+ \nu \nabla^2 \vec{u}
- 2\vec{\Omega} \times \vec{u}


\vec{u} er farten til væsken observert i et roterende referansesystem. Siden et roterende referansesystem alltid akselererer (et såkalt ikke-treghetssystem) må man ha med to krefter i tillegg: sentripetalkraften og corioliskraften. I ligningen over er sentripetalkraften faktisk en del av det generaliserte trykket P, altså er P relatert til det vanlige trykket p avhengig av avstanden fra rotasjonsaksen r ved


P = p + \rho r^2 \Omega^2


Det siste leddet på høyre side av bevegelsesligningen over er coriolisleddet. Det første leddet til høyre står for trykk, og det andre står for viskøs diffusjon.

Når rotasjonsraten blir stor, blir corioliskraften og sentripetalkraften store sammenlignet med de andre leddene. Dermed kan diffusjonsleddet og det «konvektivt deriverte» leddet (det andre leddet til venstre) fjernes. Ved å ta vektorrotasjonen på begge sider og ved å bruke kjente vektorforhold blir resultatet: 


\frac{\partial}{\partial t} \times \vec{u} 
= 2 ( \vec{\Omega} \cdot \vec{\nabla} ) \vec{u}.


Løsningen til denne ligningen er bølger som tilfredsstiller to vilkår. Det første, hvis \vec{k} er bølgevektoren,


\vec{u} \cdot \vec{k} = 0,


altså må bølgen være transvers, som nevnt over. Den andre løsningen krever en frekvens \omega som oppfyller dispersjonsforholdet


\omega = 2 \hat{k} \cdot \vec{\Omega} = 2 \Omega \cos{\theta},


der \theta er vinkelen mellom rotasjonsaksen og retningen til bølgen. Disse særskilte løsningene er kjent som treghetsbølger. 

Dispersjonsforholdet er ganske likt coriolisleddet i bevegelsesligningen. Merk rotasjonsraten og faktoren på to. Dette gir de mulige frekvensene til treghetsbølger, og forholdet mellom frekvensen og retningen til bølgene.

## Kilder
*Aldridge, K. D.; I. Lumb (1987). "Inertial waves identified in the Earth's fluid outer core". Nature 325: 421-423. 
*Greenspan, H. P. (1969). The Theory of Rotating Fluids. Cambridge University Press. 
*Landau, L. D.; E. M. Lifschitz (1987). Fluid Mechanics, Second Edition. New York: Elsevier. ISBN 0-7506-2767-0.