Absoluttverdi

**Absoluttverdien** eller **tallverdien** til et reelt tall er i matematikk den numeriske verdien til tallet uten hensyn til fortegnet.  For eksempel vil absoluttverdien til både 3 og −3 være lik 3.  Absoluttverdien av et tall *x* skrives |*x*|.  Definisjonen av absoluttverdi kan også utvides til å omfatte komplekse tall, og begrepet **modulus** eller **modul**  brukes da ekvivalent med absoluttverdi.

Absoluttverdi er også definert for andre typer matematiske objekter, som vektorer og matriser. I et endelig-dimensjonalt vektorrom kan betegnelsen absoluttverdi av en vektor bli brukt som synonym for den euklidske vektornormen.  Dette svarer til den geometriske lengden til vektoren.

Absoluttverdien kan defineres formelt som en funksjon definert på en ordnet ring.

## Absoluttverdien av  reelle tall
 
### Formell definisjon
Absoluttverdien av et reelt tall er definert som funksjonen f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}^+  gitt ved

:f(x) =\left\{\begin{matrix}
x, & x \ge 0 \\
-x, & x 

Funksjonen skrives vanligvis som f(x) = |x|.

Absoluttverdien kan alternativt defineres som funksjonen

:|x| = \sqrt{x^2}. \, 

### Fundamentale egenskaper
Absoluttverdien for reelle tall har følgende fundamentale egenskaper:

:
\begin{alignat}{2}
&|a|  \ge 0  \\[5pt]
&|a| = 0 \iff a = 0 \\[5pt]
&|ab| = |a||b|.  
\end{alignat} 


Absoluttverdien definerer en metrikk i \mathbf{R}, et avstandsmål mellom to tall.

### Trekantulikheten
Trekantulikheten har forma

: |a+b|  \le |a| + |b|.  

En nedre grense for absoluttverdien av en sum er gitt ved

: | \; |a| - |b| \; |  \le |a+b|.  

Disse skrives ofte sammen som

: | \; |a| - |b| \; | \le |a+b|  \le |a| + |b|.  

### Derivert
Den deriverte av absoluttverdifunksjonen for positive verdier av argumentet er lik 1 og for negative verdier lik −1.  Den deriverte er ikke definert i vanlig forstand i punktet x = 0, der funksjonen har et knekkpunkt.  I en utvidet klasse av distribusjoner er den deriverte av absoluttverdifunksjonen definert overalt lik tegnfunksjonen, definert som

: \sgn(x) = \begin{cases}
-1 & \text{ hvis } \ x  0. \end{cases}
 
### Antiderivert
Absoluttverdifunksjonen er integrerbar, og den antideriverte er gitt ved

:\int|x|dx=\frac{x|x|}{2}+C.

### Intervalldefinisjon med absoluttverdi
Et åpent intervall av relle tall blir ofte definert ved hjelp av absoluttverdifunksjonen som

:D_1 = \left \{x|  \; |x-a| 

Her er a midtpunktet i intervallet, og lengden av intervallet er lik 2b.  Et lukket intervall defineres tilsvarende som

:D_2 = \left \{ x|  \; |x-a| \le b \right \}. \, .

### Absolutt konvergens for rekker
En rekke \sum a_n sies å *konvergere absolutt* dersom rekken \sum | a_n | konvergerer.  Dersom \sum a_n konvergerer, mens \sum | a_n | divergerer, sies rekken å *konvergere betinget*.

## Absoluttverdien av komplekse tall
### Formell definisjon

Absoluttverdien eller modulus til et komplekst tall er definert som funksjonen f: \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{R}^+ gitt ved

:|z| = \sqrt{zz^*}= \sqrt{(\text{Re}\; z)^2 + (\text{Im}\;z)^2}. \, 

Her er *z** den kompleks konjugerte av z.  Videre er \text{Re } z realdelen av z, og \text{Im } z er imaginærdelen.  Dersom imaginærdelen er lik null, samsvarer definisjonen for komplekse tall med definisjonen for reelle tall.

### Geometrisk tolkning
Ved hjelp av absoluttverdien, samt polarvinkelen \phi, kan ethvert komplekst tall skrives på eksponensialformen

:z = |z| e^{i \phi}. \, 

I et Argand-diagram, der et komplekst tall representeres ved et punkt i et to-dimensjonalt koordinatsystem, svarer absoluttverdien av det komplekse tallet til lengden av vektoren fra origo til punktet.  I figuren til høyre er |z| = r.

### Egenskaper
For komplekse tall gjelder de samme fundamentale egenskapene som for reelle tall.  Også trekantulikheten har samme form.   I tillegg gjelder relasjonene

: |z| \ge |\text{Re}\; z| \ge \text{Re}\; z \;    
: |z| \ge |\text{Im}\; z| \ge \text{Im}\; z. \;    

Dersom a_1, a_2, ..., a_n> og b_1, b_2, ..., b_n> er komplekse tall, så gjelder Cauchy–Schwarz’ ulikhet på forma

:| \sum_{i=1}^n a_i b_i^* |^2 \le  \sum_{i=1}^n a_i ^2 \sum_{i=1}^n b_i ^2. 

## Absoluttverdien av vektorer

### Formell definisjon
For vektorer i et endelig-dimensjonalt euklidsk vektorrom definerer en del lærebøker absoluttverdien til en vektor til å være lik normen til vektoren.  For en koordinatvektor  v = (x,y,z) i et tredimensjonalt rom er absoluttverdien da definert ved

:|v| = ||v||_2 = \sqrt{x^2 + y^2 +z^2} \, 

Absoluttverdien er da lik den geometriske lengden av vektoren.

### Egenskaper
Trekantulikheten gjelder for vektorer på samme form som for reelle tall.  Den geometriske tolkningen av denne ulikheten er at den korteste veien mellom to punkt er en rett linje.  Den geometriske illustrasjonen av trekantulikheten viser øverste et eksempel med streng ulikhet, nederst et eksempel med likhet i relasjonen.

## Absoluttverdi av matriser
### Formell definisjon
Absoluttverdien til en matrise A =  \lbrace a_{ij}\rbrace betegnes med |A| eller |A|_{abs} og er definert lik en matrise med elementer lik absoluttverdien av elementene i den opprinnelige matrisen:

|A|_{abs} = 
  \begin{bmatrix}
    |a_{11}| & |a_{12}| & \cdots & |a_{1m}| \\
    |a_{21}| & |a_{22}| & \cdots & |a_{2m}| \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    |a_{n1}| & |a_{n2}| & \dots & |a_{nm}|
  \end{bmatrix}


Notasjonen |A| er også en vanlig form for determinanten til matrisen A.

### Egenskaper
Trekantulikheten gjelder også for absoluttverdien av matriser:

:|A+B|_{abs} \le |A|_{abs} + |B|_{abs} \; 

Dersom matriseproduktet *AB* er definert, så er

:|AB|_{abs} \le |A|_{abs} |B|_{abs} \; 

## Diverse
I programmeringsspråk kalles absoluttverdifunksjonen ofte .

## Historie
Både Augustin Louis Cauchy (1789-1857) og Jean Robert Argand (1768-1822) brukte skriveformen *mod x*, som en forkortelse for *modulen til x*.  Siden *mod* i matematikk også brukes som notasjon for modulo, er denne skriveformen i dag ikke så vanlig.  Notasjonen med bruk av to vertikale streker |*x*| for absoluttverdi ble første gang brukt av den tyske matematikeren Karl Weierstrass (1815-1897) i et arbeid fra 1841, der bruken omfattet komplekse tall.

Navnet «absoluttverdi» er avledet av det latinske verbet «absolvere», som kan bety å gjøre fri fra.  Absoluttverdien er gjort «fri» fra fortegnet.  Før introduksjon av notasjonen |*x*| var det vanlig å referere til absoluttverdien som den *numeriske* verdien av et tall.

## Referanser





## Litteratur

*

*

*

*

*

## Eksterne lenker
* Absoluttverdi (definisjon) - matematikk.net