Stefan-Boltzmanns lov

**Stefan-Boltzmanns lov** i fysikken angir hvor mye energi per flateenhet og tidsenhet som blir sendt ut fra overflaten til et svart legeme i form av varmestråling som en funksjon av legemets temperatur. Den er oppkalt etter de østerrikske fysikerne Josef Stefan og Ludwig Boltzmann som fant den i siste halvdel av 1800-tallet.

Utsendt strålingsenergi per flateenhet og tidsenhet er en energifluks og kalles ofte i denne sammenheng for utstrålingstetthet eller emittans. Den  har dimensjon W/m2 i SI-systemet.  Loven sier at energifluksen *&Phi;* er proporsjonal med fjerde potens av den  absolutte temperaturen *T* til legemet. Matematisk skrives loven som

:  \Phi = \sigma T^4\,

hvor  *&sigma;* er Stefan-Boltzmanns konstant.  Denne ble rundt 1900 beregnet av Max Planck fra hans teori for varmestrålingen og er

: \sigma=\frac{2\pi^5 {k_B}^4}{15c^2h^3}= 5.670 400 \times 10^{-8}\, \mathrm{W m^{-2}K^{-4}}, 

der *k<sub>B</sub>* er Boltzmanns konstant, *h* er Plancks konstant, og *c* er lysets hastighet. Ved en temperatur på *T* = 100 K er energifluksen 5,67 W/m2, ved 1000 K blir den derfor 56 700 W/m2, osv.

Intensiteten til strålingen gir energifluksen per steradian og er gitt som *B(T) = &Phi;(T)/&pi; = (&sigma;/&pi;)T<sup>4</sup>* og følger fra Lamberts cosinuslov. Stefan-Boltzmanns lov kan på samme måte som Wiens forskyvningslov utledes fra Plancks strålingslov.

Et legeme som ikke absorberer all stråling, er kjent som et *grått legeme*. Det slipper ut mindre total energi enn et svart legeme. Ved en temperatur *T* vil det gi en energifluks

:  \Phi = \varepsilon(T)\sigma T^{4}  

hvor  funksjonen *&epsilon;(T) < 1* er legemets *emissivitet* og er forskjellig fra legeme til legeme. Et grått legeme vil derfor gi opphav til en utstråling av varme som strengt tatt ikke varierer med fjerde potens av temperaturen.

## Historie
Den østerrikske fysikeren Josef Stefan utledet loven i 1879 på grunnlag av eksperimentelle målinger gjort av den britiske fysikeren John Tyndall. Han hadde varmet opp tråder av platina og kunne måle varmeutsrålingen fra disse. Ved 525&thinsp;°C er disse rødglødende. Oppvarmes de så til 1200&thinsp;°C, blir de helt hvitglødende. Tyndall hadde funnet at varmestrålingen fra dem dermed økte med en faktor 11,7. Stefan observerte at hvis han regnet ut forholdet mellom de tilsvarende absolutte temperaturene 1200 + 273 og 525 + 273 og opphøyde resultatet i fjerde potens, ga det 11,6. Det fikk han til å tro at utstrålingen varierte med fjerde potens av den absolutte temperaturen. Etterhvert kunne han verifisere at denne lovmessigheten stemte med alle andre, kjente målinger.

Dette resultatet ble i 1884 begrunnet ved teoretiske betraktninger basert på bruk av termodynamikk av den østerrikske fysikeren Ludwig Boltzmann som hadde tidligere studert under Stefan.

### Boltzmanns utledning

Stråling i termisk likevekt i et volum *V* ved temperatur *T* har en energitetthet *u(T) = U/V*. Som i kinetisk teori for en gass med partikler, kan man da lett vise strålingen utøver et trykk *P = u/3*. Dette er en fundamental egenskap ved varmestråling som skyldes at den består av elektromagnetiske bølger som forplanter seg med lyshastigheten.

Boltzmann betraktet en Carnot-maskin som inneholder slik varmestråling som arbeidssubstans. Som alle slike maskiner, gjennomgår den fire delprosesser:

# I utgangspunktet har strålingen temperatur *T* og volum *V<sub>1</sub>*. Den gjennomgår så en ekspansjon ved konstant temperatur (isoterm) til et større volum *V<sub>2</sub>*. Den utfører dermed arbeidet *W = P(V<sub>2</sub> - V<sub>1</sub>)* hvor *P = u/3*. Samtidig økes den indre energien til strålingen med *U = u(V<sub>2</sub> - V<sub>1</sub>)*. I denne delprosessen absorberes det derfor en varmemengde * = (4/3)u(V<sub>2</sub> - V<sub>1</sub>)* fra et eksternt reservoar.
# Kontakten med reservoaret isoleres og strålingen gjennomgår en liten, adiabatisk ekspansjon. Temperaturen avtar da til .
# Ved denne nye temperaturen trykkes strålingen sammen isotermt til et mindre volum.
# I siste delprosess trykkes gassen igjen litt mer sammen, men adiabatisk slik at temperaturen øker til den opprinnelige verdien *T* ved samme volum som i utgangspunktet.

Nettoarbeidet som maskinen har utført i denne arbeidssyklusen, er gitt ved det skraverte arealet i *PV*-diagrammet. Det er lik  hvor nå *dP = du/3*. Bidragene fra de to adiabatiske delprosessene kan neglisjeres når *dT* går mot null. Siden dette nå er en Carnot-prosess, er virkningsgraden gitt ved temperaturforskjellen mellom de to reservoarene, det vil si

:  {\delta W\over Q} = {du/3\over 4u/3} = {dT\over T} 

Herav følger at *du/u = 4dT/T* som kan lett integreres opp til å gi *u(T) = aT<sup>4</sup>* hvor *a* er en ukjent integrasjonskonstant. Dette var resultatet til Bolzmann for energitettheten til varmestrålingen. Verdien til konstanten *a* kom først femten år senere med Plancks teori og gir også verdien for Stefan-Boltzmanns konstant *&sigma;*.

### Solens temperatur

Stefan brukte denne loven til å bestemme temperaturen *T<sub>S</sub>* på Solens overflate. Man antar da at den stråler som et svart legeme. Det kan gjøres ut fra kjennskap til solkonstanten *&Phi;<sub>0</sub>* = 1368&thinsp;W/m2. Den angir hvor mye varmestråling som blir mottatt i den øvre atmosfæren til Jorden. Avstanden til Solen er *D* = 150&times;109&thinsp;m og dens radius er *R<sub>S</sub>* = 7&times;108&thinsp;m. Da den utstrålte fluksen avtar med kvadratet av avstanden fra Solen, vil fluksen på dens overflate være

:  \Phi_S = \Phi_0\left({D\over R_S}\right)^2  = 1368\left({150\times 10^9\over 7\times 10^8 }\right)^2 \mathrm{W\over m^2}  = 6,28\times 10^7\,\mathrm{W m^{-2}} 

Dette skal nå settes lik *&sigma;T<sub>S</sub><sup>4</sup>*. Bruker man verdien over for Stefan-Boltzmanns konstant, gir det den søkte temperaturen . Stefan benyttet litt andre verdier og fikk derfor et resultatet som var litt mindre. Men dette var første gang man hadde en troverdig verdi for temperaturen.

Den totale mengde utstrålt energi fra Solen er *4&pi;R<sub>S</sub><sup>2</sup>&Phi;<sub>S</sub>* = 3,85&times;1026&thinsp;W.  Dette er dens luminositet og er en viktig  størrelse i astrofysikken.

## Kvantemekanisk beregning

Fra Plancks strålingsteori følger at den spektrale energitettheten for varmestrålingen er

:u_\nu(T) = \frac{8\pi\nu^2 }{c^3} \frac{h\nu}{e^{h\nu /k_BT} - 1}  .

Den fulle energitettheten *u(T)* finnes ved å integrere over alle frekvenser *&nu;* fra null til uendelig. Ved å skifte integrasjonsvariabel til , er den da gitt som

:u(T) = \frac{8\pi h }{c^3} \left(k_BT/h\right)^4 \int_{0}^{\infty}\!dx \frac{x^3}{e^x - 1} .

Integralet her har verdien *&pi;<sup>&thinsp;4</sup>/15* slik at resultatet kan skrives som *u = aT<sup>4</sup>* hvor konstanten *a* har verdien

: a = \frac{8\pi^5 k_B^4}{15c^3h^3} = 7,566 \times 10^{-16} \mathrm{J m^{-3} K^{-4}} 

Fra den generelle beskrivelsen av varmestråling følger at den har en fluks eller emittans . Skrives dette som , ser man at Stefan-Boltzmanns konstant  som stemmer med hva som er oppgitt tidligere.

## Hawking-stråling

Ifølge generell relativitetsteori kan ikke noe slippe ut fra overflaten (horisonten) til et sort hull. De enkleste er sfæriske med radius . Her er *M*  massen til hullet og *G* gravitasjonskonstanten.  Det klassiske, sorte hullet kan kun sluke opp all mulig materie og stråling som kommer utenfra. På det viset er det et perfekt, sort legeme.

Men i 1974 viste Stephen Hawking ved bruk av kvantefeltteori at det vil også stråle ut som et sort legeme. Det har en bestemt temperatur gitt som

:T=\frac {\hbar c^3}{8\pi Gk_BM} \ ,

hvor  er den reduserte Plancks konstant. Den utstrålte fluksen vil igjen være gitt ved Stefan-Boltzmanns lov, men med en konstant *&sigma;* som vil inkludere tilsvarende bidrag for utstråling av nøytrinoer og andre elementærpartikler.

Den utstrålte energien vil redusere energien  til det sorte hullet. Det betyr at det mister masse. Hvordan denne "fordampningen" varierer med tiden, er gitt ved

:  c^2{dM\over dt} = - 4\pi R^2 \sigma T^4 
 
Ved å sette inn her for *R* og *T* som funksjoner av massen *M*, kan man lett løse denne differensialligningen. Man finner da at svært små, sorte hull forsvinner veldig raskt ved denne Hawking-strålingen. Derimot vil sorte hull med masser mye større enn Solens masse ha en tilsvarende liten utstråling. Den er derfor meget vanskelig eller umulig å påvise og vil ha liten effekt på det sorte hullet.

## Kilder
* P. Callin, J. Pålsgård, R. Stadsnes, R og C.T. Tellefsen,  *Fysikk 1*, Aschehoug, Oslo (2007).
* D. Halliday and R. Resnick, *Physics for Students of Sciences and Engineering*, John Wiley & Sons, Ltd., New York (1965).
* J. Stefan, *Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur*, Sitzungsberichte der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, **79**, 391-428 (1879).
* L. Boltzmann, *Ableitung des Stefanschen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie*, Annalen der Physik und Chemie, **22**, 291-294 (1884).
* S.W. Hawking, *Black hole explosions?*,  Nature **248** (5443), 30 - 31 (1974).