De Broglies bølgelengde

**De Broglies bølgelengde** er i kvantefysikken en bølgelengde som kan tilordnes alle massive partikler som beveger seg. Enhver slik partikkel er derfor knyttet til en tilsvarende  **materiebølge**. Denne  fundamentale egenskapen danner grunnlaget for bølge-partikkel-dualiteten som er det sentrale innholdet av både kvantemekanikken og kvantefeltteorien.

For en partikkel med impuls *p* er de Broglies bølgelengde

:  \lambda = {h\over p} 

hvor *h* er Plancks konstant. Formelen er også gyldig når partikkelen beveger seg med relativistiske hastigheter som nærmer seg lyshastigheten.

Dette uttrykket for bølgelengden ble utledet av den franske fysiker Louis de Broglie i 1924 basert på lovmessigheter som tidligere var funnet av Max Planck og Albert Einstein. Bare noen få år senere ble denne bølgeegenskapen ved partikler eksperimentelt påvist ved diffraksjon av elektroner som ble sendt mot krystaller. Nøyaktige målinger som også omfattet andre partikler, bekreftet innholdet i den matematiske formelen til de Broglie.

En bølgeligning for slike materiebølger ble utledet av den østerrikske fysiker Erwin Schrödinger i 1926. Den gjelder for ikke-relativistiske partikler. For relativistiske partikler med spinn *S* = 1/2 gjelder Dirac-ligningen, mens relativistiske partikler uten spinn er beskrevet ved Klein-Gordon-ligningen. Denne ble også først funnet av Schrödinger, men forkastet da den ikke syntes å stemme med egenskapene til hydrogenatomet.

## Opprinnelig utledning
Allerede i 1905 hadde Albert Einstein foreslått at energien i en lysbølge med frekvens *&nu;* er konsentrert i små kvant med energi  hvor *h* er Plancks konstant. Dette forklarte egenskaper ved den fotoelektriske effekt, og han ble for dette belønnet med Nobelprisen i fysikk i 1921. Da var det blitt klart at disse kvantene måtte betraktes som vanlige partikler da Einstein hadde vist at de også har en veldefinert impuls  hvor  er bølgelengden til lyset. Disse lyspartiklene kalles i dag for fotoner.

I sin opprinnelige utledning betraktet de Broglie en partikkel med masse *m* i sitt hvilesystem. Som følge av Einsteins masseenergilov  har partikkelen derfor energien . Ved å anta at hva som gjelder for et foton også må gjelde for en partikkel, kunne han dermed tilordne denne partikkelen en frekvens som generelt må være  og representerer en oscillasjon i partikkelen. Når den så beveger seg, viste han ved bruk av den spesielle relativitetsteorien at den blir fulgt av en bølge i samme retning og med bølgelengde  Her er  *p*  impulsen til partikkelen som generelt kan skrives som  når den har hastighet *v* og  er Lorentz-faktoren. De Broglies bølgelengde er derfor

:  \lambda = {h\over mv}\sqrt{1 - v^2/c^2} 

Denne materiebølgen  har en fasehastighet *u* = *&lambda;&nu;&thinsp;* = *E*/*p* der energien nå er  for partikkelen i bevegelse. Fasehastighten til bølgen er derfor i alminnelighet forskjellig fra partikkelens fysiske hastighet *v* og er gitt som . Den er alltid større enn lyshastigheten. Kun for fotonet med  blir fasehastigheten den samme som partikkelhastigheten..

Samme fasehastighet ble funnet av Hamilton i hans bølgebeskrivelse av klassisk mekanikk. Selv om hans utgangspunkt var ganske annerledes enn de Broglies, skulle det vise seg at hans betraktninger likevel skulle spille en viktig rolle i den videre utvikling av kvantemekanikken.

### Bølgevektor

Materiebølgen for en  partikkel med impuls *p* har en bølgelengde *&lambda; = h*/*p* og derfor et bølgetall  Det kan skrives som  der  er den reduserte Planck-konstanten. Da bølgen beveger seg i samme retning som impulsvektoren **p**, er den tilsvarende bølgevektoren gitt som **k** = **p**/*ħ*. Vinkelfrekvensen  til bølgen kan på samme måte skrives som  da .

I den spesielle relativitetsteorien utgjør energien *E* og impulsen **p** til en fri partikkel en firevektor som blir

:  p^\mu = (E/c, \mathbf{p}) = \hbar (\omega/c, \mathbf{k})  =  \hbar  k^\mu

hvor  bølgefirevektoren *k<sup>&mu;</sup>&thinsp;* karakteriserer dens materiebølge.  Denne kovariant sammenhengen mellom impuls og bølgetall gjelder også for et foton som har null masse. En plan bølge på formen

:  \Psi(\mathbf{x},t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)} = e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - Et)/\hbar} 

beskriver derfor likså godt elektromagnetiske bølger som materiebølger. Her kan nå fasen til bølgen skrives på kovariant form som   der firevektoren   og man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over like indekser.

### Gruppehastighet

Materiebølgene som de Broglie foreslo, skulle være like fysiske som elektromagnetiske bølger for fotonet. Men når bølgen har en gitt bølgelengde tilsvarende en gitt impuls for partikkelen, strekker den seg ut over hele rommet, mens partikkelen har en bestemt posisjon. Denne konflikten omtales som en bølge–partikkel-dualitet.

For å forstå hvordan en lokalisert partikkel kan beskrives ved hjelp av bølgeformalismen, forslo de Broglie at den skulle tilsvare en  bølgepakke av plane bølger. 
En slik pakke beveger seg med en  gruppehastighet  som nå kan skrives som .

For en relativistisk partikkel er sammenhengen mellom  energi og impuls i alminnelighet

:  E^2 = p^2c^2 + m^2c^4 

Derfor er  *EdE = c*2*pdp* slik at gruppehastigheten blir  Nå kan man i alminnelighet  også skrive energien som  og impulsen som  slik at gruppehastigheten blir  og er lik den fysiske hastigheten.

Uttrykket  for gruppehastigheten gjelder også for en ikke-relativistisk partikkel som har hastighet *v << c*&thinsp; slik at dens energi blir

:  E = mc^2 + {p^2\over 2m} 

Dropper man her hvileenergien *mc*2, er fortsatt gruppehastigheten  *v<sub>g</sub> =  dE/dp = p/m = v*. Men fasehastigheten til bølgen blir da  =  og er derfor mindre enn lyshastigheten. Vanligvis har et konstant tillegg til energien ingen konsekvens i ikke-relativistisk fysikk. Men at det ikke gjelder for disse materiebølgene, er en annen indikasjon på at de ikke kan ha en virkelig eksistens.

## Eksperimentell bekreftelse
Allerede i sine første arbeid i 1923 diskuterte de Broglie muligheten for at bølgeegenskapene til materielle partikler kunne påvises eksperimentelt ved interferens eller diffraksjon som for mer vanlige bølger. Slike effekter avhenger sterkt av bølgelengden som blir spesielt stor for lette partikler. Et elektron med masse *m&thinsp;* som blir akselerert  ved å gjennomløpe en elektrisk potensialforskjell *V*, får en impuls  gitt ved  der  -*e* er den elektriske ladningen til elektronet. Dermed får den tilsvarende materiebølgen bølgelengden

:  \lambda = {h\over\sqrt{2meV}}= {1.23\over\sqrt{V}}\text{nm} 

når spenningsforskjellen *V* måles i Volt. For eksempel, når *V* = 100&thinsp;V, blir bølgelengden 0.123&thinsp;nm = 1.23&thinsp;Å. Dette er av samme størrelsesorden som avstanden mellom  de regulært plasserte atomene i en krystall. De kan derfor benyttes til å påvise bølgeegenskapene til en elektronstråle på samme måte som for spredning av røntgenstråling.

Bruk av elektronstråler i mikroskop gjør det mulig å se mindre detaljer i et mikroskop. Mens et elektron med en kinetisk energi på 100&thinsp;eV, kan skille to punkt med en avstand  0.123&thinsp;nm, vil bruk av elektromagnetisk stråling med fotoner av samme energi kun gi en oppløsning på 12.4&thinsp;nm. Det er derfor elektronmikroskop gjør det mulig å studere de aller minste egenskaper i forskjellige materialer.

Den aller første påvisning av bølgeegenskapene til elektroner ble gjort av de amerikanske fysikerne Clinton Davisson og Lester Germer i perioden 1925-1927. Uavhengig av dem ble en lignende undersøkelse utført av den engelske fysiker George Thomson omtrent på samme tid. Han var sønn av J.J. Thomson som oppdaget elektronet i 1897. De Broglie kunne presentere deres verifikasjon av den teoretiske bølgelengden allerede på Solvaykonferansen i 1927. Han fikk Nobelprisen i fysikk i 1929 for sin teori om materiebølger, mens Davisson og Thomson delte Nobel-prisen i fysikk i 1937 for deres eksperimentelle påvisning.

I årene som fulgte ble avbøyning av tyngre partikler som nøytroner og forskjellige atomer observert og funnet å stemme med de Broglies forutsigelser.. Bølgeegenskapene ser ut til å være tilstede for alle partikler, uavhengig av deres masse. I nyere tid har man til og med påvist dette hos buckminsterfullerenet C60 som består av seksti karbonatom. Det ble gitt en hastighet på om lag 120&thinsp;m/s som tilsvarer en bølgelengde på . Partiklene ble sent mot et gitter laget av stående lysbølger med en gitteravstand på . En avbøyning på 18&thinsp;&mu;rad ble observert i full overensstemmelse med de Broglies formel.

## Bølgeligninger

Idéene til de Broglie vakte stor interesse.  Ved en forelesning i Zürich nevnte den nederlandske fysiker Debye at når det finnes en bølgelengde, må det også finnes en bølgeligning.  Erwin Schrödinger hørte dette og gikk i gang med å finne en slik ligning. Han tok utgangspunkt i  Hamiltons formulering av klassisk mekanikk som han mente kunne være en slags approksimasjon til en underliggende bølgemekanikk.

### Schrödinger-ligningen

Bølgeligningen for en bølge med amplitude &Psi;(**x**,*t*) og fasehastighet *u* er

:  \boldsymbol{\nabla}^2\Psi - {1\over u^2}\! \left({\partial\Psi\over\partial t}\right)^2 = 0   

En materiebølge for en partikkel med energi *E* og impuls *p* har en frekvens .  Bølgeamplituden vil derfor variere med tiden som

:  \Psi(\mathbf{x},t) = \psi(\mathbf{x}) e^{-i\omega t}  

når man skriver den på kompleks form hvor *i* = &radic;(-1) er den imaginær enhet og *&psi;*(**x**) er den «stasjonære bølgefunksjonen». Da fasehastigheten er , går bølgeligningen over i  differensialligningen . Den har samme form som Helmholtz-ligningen.

For en ikke-relativistisk partikkel som beveger seg i et statisk potensial *V*(**x**), er impulsen gitt ved *p*2 = 2*m*(*E - V*) slik at ligningen kan omskrives på formen

:  {-\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2\psi + V(\mathbf{x})\psi = E\psi 

Dette er bølgeligningen til Schrödinger han lanserte i 1926. Kort tid etterpå viste han at den ga de riktige energiene for energinivåene i hydrogenatomet.

### Klein-Gordon-ligningen

For en relativistisk partikkel følger impulsen fra *p*2 = (*E - V*)2/*c*2 - *m*2*c*2. Innsatt i ligningen for den stasjonære bølgefunksjonen tar den nå formen

:  \hbar^2\boldsymbol{\nabla}^2\psi + \Big({E - V\over c}\Big)^2\psi = m^2c^2\psi 

Denne ligningen hadde også Schrödinger funnet, men forkastet den da den ikke ga riktige verdier for de relativistiske energitilstandene i H-atomet. Noen år senere ble det klart at for å beregne disse energiene korrekt, må man også inkludere effektene av spinnet til elektronet i atomet. Den beregningen ble først gjennomført noen år senere ved innføringen av Dirac-ligningen.

I det enklere tilfellet med en fri partikkel er potensialet *V* = 0. Da energien kan finnes ved å la operatoren *iħ*&thinsp;&part;/&part;*t* virke på den tidsavhengige bølgefunksjonen, kan den relativistiske ligningen skrives som

:  \boldsymbol{\nabla}^2\Psi - {1\over c^2}{\partial^2\Psi\over\partial t^2} = \Big({mc\over\hbar}\Big)^2\Psi 

Den ble etterhvert kalt for Klein-Gordon-ligningen etter to av de fysikerne som fant den kort tid etter at Schrödinger hadde forkastet den. På høyre side inngår lengden  som er den reduserte Compton-bølgelengden for partikkelen. Ved bruk av kovariant notasjon, kan man skrive denne bølgeligningen som  hvor den kovariante deriverte er  =
(&part;/&part;*ct*,&thinsp;**&nabla;**&thinsp;). På denne kompakte formen er det tydelig at ligningen er invariant under Lorentz-transformasjoner som alle relativistiske bølgeligninger må være.

## Interpretasjon av bølgefunksjonen

Materiebølgene som de Broglie hadde forseslått og beskrevet ved bølgefunksjoner &Psi;(**x**,*t*) som følger fra Schrödingers ligning, var opprinnelig ment å være fysiske bølger som skulle erstatte det gamle bildet av partikler som små, harde kuler. Schrödinger hadde også den første tiden et slikt håp. Hver partikkel skulle kunne beskrives med sin bølge. Kvadratet av bølgefunksjonen skulle være et uttrykk for tettheten av energi/masse i et punkt i rommet på samme måte som kvadratet av det elektriske feltet gir den elektriske energitettheten i rommet.

Men allerede på slutten av året 1926 var det klart at dette klassiske bølgebildet ikke kunne være riktig. Max Born foreslo at den komplekse bølgefunksjonen  er en **sannsynlighetsamplitude** hvor det reelle produktet &Psi;*&Psi;(**x**,*t*) gir sannsynligheten for å finne partikkelen i punktet **x** ved tiden *t*. Med en slik interpretasjon har  den ikke  noen veldefinert posisjon før denne blir målt. Dette er direkte i motstrid med det klassiske bildet av en partikkel.

På samme måte finnes det tilsvarende en sannsynlighetsamplitude  &Psi;(**x**1, **x**2, **x**3, ...,*t*) som beskriver  en samling av flere partikler. Denne ene funksjonen har i alminnelighet lite å gjøre med en vanlig bølgebeskrivelse i vårt 3-dimensjonale rom. Den oppfyller den generelle Schrödinger-ligningen og tar komplekse verdier basert på konfigurasjoner i et multidimensjonalt «konfigurasjonsrom». Det er med denne København-interpretasjonen at moderne kvantemekanikk i dag blir forstått av de fleste.

En alternativ interpretasjon ble lansert av de Broglie allerede ved Solvay-konferansen i 1927 og tatt opp igjen av David Bohm i 1952. Denne gir en mer «realistisk» beskrivelse av kvantefenomen ved at hver partikkel følger en bestemt bane **x**(*t*) som i det klassiske bildet. Den er styrt av bølgefunksjonen som dermed gir en bevegelse som er forskjellig fra den som følger fra Newtons lover. Bølgefunksjonen er derfor en pilotbølge som reflekterer den eksperimentelle usikkerheten som ligger i å bestemme posisjonen til partikkelen. Selv om denne interpretasjonen fortsatt har noen tilhengere, har den fått lite gjennomslag.

Det som i dag ligger tettest opp til den opprinnelige beskrivelsen av partikler som materiebølger i moderne kvantemekanikk, er kvantefeltteori hvor partiklene opptrer som kvant av et klassisk felt . Dette oppfyller sin egen feltligning som er en bølgeligning. Maxwells ligninger er de klassiske feltligningene for fotonet, Dirac-ligningen er feltligningen for elektronet og fermioner med spinn , mens Klein-Gordon-ligningen beskriver Higgs-partikkelen og andre partikler uten spinn. De tilsvarende feltfunksjonene kan nå betraktes som en slags materiebølger. Men til forskjell fra de opprinnelige idéene til de Broglie og Schrödinger, så er det nå kun ett felt for alle partikler av samme sort. For eksempel beskriver Dirac-feltet alle elektroner og deres antipartikler (positronene) i hele Universet. Det er derfor alle elektroner er like, uansett hvor de finnes.

## Termisk bølgelengde

Fra klassisk, kinetisk teori vet man at i en samling identiske partikler med masse *m* i termisk likevekt ved absolutt temperatur *T&thinsp;* har hver partikkel en midlere energi av størrelsesorden  hvor *k<sub>B</sub>*&thinsp; er Boltzmanns konstant. Det tilsvarer at partikkelen har en typisk impuls gitt ved .

Etterhvert som temperaturen blir lavere, vil de Broglies bølgelengde  der  bli større og større. Det betyr at bølgefunksjonene for partiklene ved tilstrekkelig lave temperaturer vil få en så stor utstrekning at partiklene ikke lenger kan skilles fra hverandre. Man må da bruke kvantestatistikk for å beskrive deres egenskaper. Hvis det dreier seg om He4-atomer som er bosoner, ville det være Bose-Einstein-statistikk. De Broglies bølgelengde vil da opptre automatisk på formen

:  \Lambda = {h\over\sqrt{2\pi mk_BT}} 

Bortsett fra en numerisk faktor som er litt forskjellig, er dette det samme uttrykket som allerede ble funnet. Det er den **termiske bølgelengden** &Lambda;&thinsp; for partiklene. For He4-atomer ved romtemperatur er den om lag 1Å som er av samme størrelsesorden som atomets utstrekning og derfor ikke av betydning. Men ved mye lavere temperaturer nær det absolutte nullpunktet blir denne bølgeegenskapen ved partiklene avgjørende og resulterer i Bose-Einstein-kondensasjon.

## Referanser


## Eksterne lenker

* L. de Broglie,  ''Radiations - Ondes et quanta'', Comptes Rendus **177**, 507 - 510 (1923).
* L. de Broglie, *La Nouvelle Dynamique des Quanta*, in ''Électrons et Photons: Rapports et Discussions du Cinquième Conseil de Physique'',  pp.&nbsp;105 - 141, Gauthier-Villars, Paris (1928). Presentert ved Solvaykonferansen 1927.
* E. Schrödinger, ''An undulatory theory of the mechanics of atoms and molecules'', Physical Review **28**, 1049–1070 (1926).