Beer-Lamberts lov

**Beer-Lamberts lov** eller **Beer–Lambert–Bouguer lov** beskriver matematisk reduksjonen av intensiteten til lys som passerer gjennom et absorberende medium. Reduksjonen avhenger av hvor langt lyset beveger seg inn i mediet samt konsentrasjon av absorberende stoffer. Den danner dermed  grunnlaget for moderne fotometri som analytisk metode. 

Basert på egne observasjoner ble loven oppdaget allerede på første halvdel av 1700-tallet av Pierre Bouguer. Han formulerte den ved å si at den relative reduksjonen av lysintensiteten over en kort strekning er konstant og proporsjonal med lengden av denne. 

Den nåværende, matematiske formen av loven ble funnet av Johann Heinrich Lambert noen tiår senere. Han viste at en slik lovmessighet tilsvarer at intensiteten avtar på en måte som kan matematisk beskrives ved eksponensialfunksjonen, det vil si

:  I(x) = I_0 e^{-\kappa x} 

Her er *x* den tilbakelagte veilengde og *&kappa;* er absorpsjonskoeffisienten.

På midten av 1800-tallet viste August Beer at absorpsjonskoeffisienten er proporsjonal med konsentrasjon av absorberende fargestoff i materialet. Dermed kan man fra målinger av lysets reduksjon i en kjemisk løsning bestemme konsentrasjon. Da forskjellige stoffer absorberer lys ved forskjellige bølgelengder, kan man på denne måten benytte lys med en variabel bølgelengde for å påvise bestemte slike stoffer.

Den samme loven gjelder også for andre typer stråling som røntgenstråling og radioaktiv stråling. Absorpsjonskoeffisienten vil da være proporsjonal med det totale spredningstverrsnittet som denne strålingen har i dens vekselvirkning med atomene i materialet.

## Matematisk utledning

Når lys går gjennom et gjennomsiktig materiale som luft eller en klar væske, vil det langsom avta i intensitet desto lenger det har beveget seg. For å beskrive denne prosessen, tenkte Pierre Bouguer at hele den tilbakelagte veistrekningen kunne deles opp i mindre deler med samme lengde. Han kom da frem til at tapet av intensitet ikke var like stort gjennom hver slik delstrekning. Det ville ført til at hele reduksjonen var gitt ved en aritmetisk rekke. Derimot konkluderte han at det resulterende tapet måtte være gitt ved en geometrisk rekke da hver del reduserte den innkommende intensiteten med den samme, numeriske faktoren. Det betydde at sammenhengen mellom tilbakelagt veilengde og intensitet måtte være logaritmisk.

Den opprinnelige intensiteten kan betegnes som *I*0. Etter å ha gått gjennom en liten delstrekning, vil den da være redusert med en konstant faktor *k*  I_N = k^N I_0 

Matematisk kan man derfor si at antall delstrekninger *N* er gitt ved logaritmen til intensiteten som går gjennom, når denne beregnes med faktoren *k* som grunntall. Dette er resultatet til Bouguer.

### Eksponensiell reduksjon

I stedet for å si at *N* varierer logaritmisk med intensiteten, kan man alternativt si at intensiteten avtar *eksponensielt* med tilbakelagt  veilengde da *k*  1. Hvis hver delstrekning har en liten lengde *&Delta;x*, vil reduksjonen av intensiteten være gitt ved faktoren

:  k = 1 - \kappa \Delta x 

Deler man nå hele strekningen med lengde *x* opp i *N* slike mindre biter, vil . Dermed kan man skrive

:  I_N = I_0 \Big(1 - {\kappa x\over N}\Big)^N 

Når *N* blir et veldig stort tall, kan man da benytte definisjonen   e = \lim_{N\to\infty} (1+ 1/N)^N  

av Eulers tall til å skrive den avtagende intensiteten som

:  I(x) = I_0 e^{-\kappa x} 

Dette er den moderne utgaven av lovmessigheten til Bouguer, Lambert og Beer.

Alternativt kan den finnes ved å benytte at lengden *&Delta;x* blir infinitesemal liten i grensen *N* &rarr; &infin; og blir et differensial *dx*. Tilsvarende vil intensiteten reduseres ved den infinitesemale størrelsen  ved å tilbakelegge denne korte veilengden. Dermed fremkommer den enkle differensialligningen

:  {dI\over dx} = -\kappa I 

Dens løsning er gitt ved eksponensialfunksjonen i overensstemmelse med resultatet som allerede er funnet.

## Referanser


## Eksterne lenker
* 
* T. Mayerhöfer et al, ''The Bouguer-Beer-Lambert Law: Shining Light on the Obscure'', ChemPhysChem **21** (18) 1-19 (2020).