Polarkoordinatsystem

Et **polarkoordinatsystem** er  et koordinatsystem hvor hvert punkt i et plan er bestemt ut ifra avstanden fra et gitt punkt (vanligvis origo) og vinkel i forhold til X-aksen. I et vanlig kartesisk koordinatsystem blir punktene bestemt ut ifra avstanden til hver koordinatakse.

Prinsippet i polarkoordinater er at man angir alle punkter ved hjelp av følgende informasjon:
* Punktets **vinkel** (grader eller radianer ) i forhold til hva man ville kalle ''x''-aksen i et rektangulært koordinatsystem, θ. 
* Punktets **[[avstand]]** fra origo, *r*.

## Konvertering mellom polare og kartesiske koordinater

Omregning polarkoordinater til kartesiske koordinater kan gjøres ved:
:x = r \cos \theta \,
:y = r \sin \theta, \,

Mens omregningen fra karteiske koordinater til poolarkoordinater kan gjøres ved:
:r = \sqrt{y^2 + x^2} \quad (Gitt ved Pythagoras’ læresetning),  og
:\theta =
\begin{cases}
0 & \mbox{hvis } x = 0 \mbox{ og } y = 0\\
\arcsin(\frac{y}{r}) & \mbox{hvis } x \geq 0 \\
\arcsin(\frac{y}{r}) + \pi & \mbox{hvis } x 

Alle disse formlene forutsetter at referansepunktet for polarkoordinatsystemet er origo. 
Arcsinfunksjonen er den inverse funksjonen til sinusfunksjonen og gir en løsning i intervallet [−*π*/2,+*π*/2], så formelen for *θ* vil gi en løsning i intervallet [−*π*/2,+*π*/2].  
Dersom man vil finne *θ* i intervallet [0, 2*π*) kan man også bruke:

:\theta =
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{hvis } x > 0 \mbox{ og } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + 2\pi & \mbox{hvis } x > 0 \mbox{ og } y  0\\
\frac{3\pi}{2} & \mbox{hvis } x = 0 \mbox{ og } y 

## Anvendelse av polarkoordinater

En ligning uttrykt i polarkoordinater er kjent som en polar ligning. Normalt er disse ligningene gitt ved å definere *r* som en funksjon av θ.  Denne definisjonen gir visse fordeler i anvendelsen av polarkoordinater i forhold til hva man kan oppnå med rektangulære. Særlig fordelaktig er det å bruke polarkoordinater hvor det inngår noe sirkulært. Det enklest tenkelige eksempel er å fremstille en sirkel. Her er definisjonen av en sirkel med radius 1. 


\left.
\begin{matrix}
x = r \cdot \cos\theta\\
y = r \cdot \sin\theta
\end{matrix}
\right\} \quad , r = 1 \quad , \quad \theta \in [0 , 2\pi]


Lengden til det bevegelige punktet, settes altså konstant til å være lik én, som altså er avstanden fra origo til periferien. Deretter settes vinkelen til å variere mellom 0 og 2&pi; eksklusiv (eller 0 og 360° i vinkler), hvor hele sirklen er med.

### Arkimedisk spiral

En arkimedisk spiral er en spiral som ble oppdaget av Arkimedes, som kan forklares med polarkoordinater. Spiralen har formelen

:r(\theta) = a+b\theta. \,

Ved å forandre *a* vil spiralen skifte form, mens ***b*** er distansen mellom kurvene, som for en gitt spiral alltid er konstant. Den Arkimediske spiralen har to kurver, en for θ&nbsp;>&nbsp;0 og en for θ&nbsp;r(\theta) = a \cos (k\theta + \phi_0)\,

For enhver konstant \phi_0 (Inkludert 0). Dersom *k* er et heltall vil disse ligningene gi kurver hvor «blomsten» har *k* kronblader når *k*  er et oddetall og 2*k*  kronblader når  *k* er et partall. Dersom *k* er et rasjonalt tall, men ikke et heltall vil man også få frem en blomst hvor kronbladene overlapper hverandre. Her må imidlertid definisjonsintervallet for kurven være større enn [0,&nbsp;2π) for at «blomsten» skal bli komplett. Merk at det er umulig å definere en kurve hvor man får 4n +2, hvor n er et heltall, kronblader.
Variabelen *a* angir lengden på kronbladene.

### Kjeglesnitt
Alle kjeglesnittene kan også uttrykkes ved hjelp av polarkoordinater gjennom formelen:

: r = { p\over {1 + e \cos \theta}}

Hvor *e* er eksentrisiteten og *p* er semi latus rectum

Derson , vil ligningen gi en hyperbel;   gir en parabel mens  gir oss en ellipse. Spesialtilfellet  vil gi en sirkel mad radius *p*.

## Anvendelse i tre dimensjoner
Polarkoordinater kan også anvendes til bruk i tre dimensjoner. Kulekoordinater og sylinderkoordinater inneholder begge polarkoordinatplanet, utvidet med en ekstra akse. De er viktige eksempel på mer generelle, krumlinjete koordinater.

### Sylinderkoordinater

Sylinderkoordinater systemet er en utvidelse av polarkoordinater med en ekstra z-akse, på samme måte som det kartesiske koordinatsytemet i tre dimensjoner. Den tredje koordinaten er vanligvis uttrykt med en *h* eller en *z*, som beskriver høyden til det øvre planet i sylinderen. Alle tre koordinatene blir da skrevet (*r*, *θ*, *z*).

Sammenhengen mellom de tre sylinderkoordinatene og de respektive kartesiske koordinatene blir

: \begin{align}
x &= r \, \cos\theta \\
y &= r \, \sin\theta \\
z &= z.
\end{align} 

### Kulekoordinater

Kulekoordinatsystemet er et koordinatsystem basert på polarkoordinater. Kulekoordinater skiller seg fra polarkoordinater ved at høyden fra xy-planet blir beskrevet av en vinkel *φ* fra z-aksen. Avstanden fra origo er *ρ* slik at radien i xy-planet blir *r* = *ρ*&thinsp;sin*&phi;*. Vinkelen *φ* varierer med en størrelsene 0°-180° eller 0-π radianer.  De tre koordinatene blir da skrevet  (*ρ, θ, φ*).

Sammenhengen mellom de tre kulekoordinatene og de respektive kartesiske koordinatene er dermed

: \begin{align}
x &= \rho \, \sin\varphi \, \cos\theta \\
y &= \rho \, \sin\varphi \, \sin\theta \\
z &= \rho \, \cos\varphi.
\end{align} 

Betegnelsene for disse tre koordinatene varierer. I fysikk og mer praktiske anvendelser er det vanlig å bytte navnene til de to vinklene. Ofte blir også avstanden fra origo gitt ved *r* i stedet for *ρ* slik at de kartesiske koordinatene kan skrives som

: \begin{align}
x &= r \, \sin\theta \, \cos\varphi \\
y &=  r \, \sin\theta \, \sin\varphi \\
z &=  r \, \cos\theta.
\end{align} 

## Litteratur

* J. Mathews and R.L. Walker, *Mathematical Methods of Physics*,  W.A. Benjamin, New York (1970). ISBN 0-8053-7002-1.
* M.L. Boas, *Mathematical Methods in the Physical Sciences*, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.