Bernoulli-tall

**Bernoulli-tall** er i matematikken  spesielle, rasjonale tall som er av stor betydning i tallteori og teoretisk fysikk. De betegnes med *B<sub>n</sub>&thinsp;* med . Tallene er negative når indeksen *n* er et liketall delelig med fire og positive hvis ikke. Når *n* er et oddetall, er de null bortsett fra  De første femten Bernoulli-tall er:

For store verdier av indeksen *n&thinsp;* vokser deres størrelse like raskt som fakultetsfunksjonen *n*&thinsp;!.

Den første opptreden av Bernoulli-tallene ble påvist av den sveitsiske matematiker Jakob Bernoulli i forbindelse med summasjon av potenser av naturlige tall. Dette ble publisert i samlingen av hans arbeid *Ars Conjectandi* innen sannsynlighetsregning som først kom på trykk i 1713 etter han var død. I ettertid ble det kjent at den japanske matematiker  Seki Takakazu hadde uavhengig oppdaget tallene omtrent på samme tid.

Tallenes videre betydning ble i stor grad klarlagt av den sveitsiske matematiker Leonhard Euler i forbindelse med det som i dag omtales som Riemanns zetafunksjon og Euler-Maclaurins formel. Det var gjennom disse arbeidene at Euler også knyttet Bernoulli-navnet til tallene.

Det som sies å være verdens første datamaskinprogram ble skrevet av Ada Lovelace i 1843. Det skulle i prinsippet kunne beregne stadig større Bernoulli-tall på den planlagte, mekaniske regnemaskinen til Charles Babbage som aldri ble ferdig bygget.

## Definisjon

Det er mange forskjellige måter å definere Bernoulli-tallene. En av de enkleste definisjonene og kanskje den med mest direkte, praktiske anvendelser ble først gitt av Euler. Han viste at hvis  funksjonen

:  G(t) = {t\over e^t - 1} 

utvikles i en Taylor-rekke, opptrer Bernoulli-tallene når rekkeutviklingen skrives som

:  {t\over e^t - 1} = \sum_{n=0}^\infty {B_n\over n!} t^n 

Direkte multiplikasjon med *e<sup>&thinsp;t</sup>* - 1&thinsp; på begge sider gir dermed til laveste orden

: \begin{align} t &= \left(t + {t^2\over 2!} + {t^3\over 3!} + \cdots \right)\left(B_0 + B_1t + {B_2\over 2!}t^2 + {B_3\over 3!}t^3 + \cdots \right) \\
&= tB_0 + {t^2\over 2!}\big(B_0 + 2B_1\big) + {t^3\over 3!}\big(B_0 + 3B_1 + 3B_2 \big)  + {t^4\over 4!}\big(B_0 + 4B_1 + 6B_2 + 4B_3 \big) \cdots \end{align}

For at høyresiden her skal ganske enkelt være lik med *t&thinsp;* for alle verdier av denne variable, må man for det første ha at  . Videre må koeffisienten til *t*&thinsp;2&thinsp; være null slik at . Videre fremkommer på samme måte at      og så videre. Bortsett fra  *B*1 ser Bernoulli-tallene med odde indeks ut til å være null. At det er generelt riktig, følger fra å betrakte den spesielle kombinasjonen

:  G(t) + {t\over 2} =  {t\over 2}{e^t + 1\over e^t - 1} = {t\over 2}\coth{t\over 2} 

Funksjonen på høyre side er en like funksjon av *t*. Derfor er også *G*(*t*&thinsp;) + *t*/2 en like funksjon slik at alle odde Bernoulli-tall  med  må være  null.

Notasjon og definisjon av Bernoulli-tallene har variert opp gjennom årene. Jakob Bernoulli selv skrev de første med like indekser som  , ,  og så videre. En tidligere mye brukt definisjon var basert på å definere Bernoulli-tallene ved funksjonen

:  G^*(t) = G(-t) = {t\over 1 - e^{-t}} 

En tilsvarende rekkeutvikling av denne funksjonen gir alternative Bernoulli-tall *B**n** som er nøyaktig de samme som *B**n*&thinsp; bortsett fra . I de fleste sammenhenger brukes ikke denne definisjonen lenger.

## Summasjon av potenser

Helt fra antikken har det vært interesse i å kunne beregne summen av potenser av de naturlige tallene,

:  S_p^*(n) = \sum_{k=1}^n k^p = 1^p + 1^p + 2^p + \cdots + n^p 

De første eksemplene er

: \begin{array}{lll}
 1 + 2 + 3 + \cdots + n &= \frac1 2 n^2 + \frac 1 2 n \\
 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 &=  \frac 1 3 n^3 + \frac 1 2 n^2 + \frac 1 6 n \\
 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 &=  \frac 1 4 n^4 + \frac 1 2 n^3 + \frac 1 4 n^2\\
 1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 &=  \frac 1 5 n^5 +  \frac 1 2 n^4 + \frac 1 3 n^3 - \frac {1} {30} n
\end{array}

Slike summer var tidligere blitt undersøkt av den tyske ingeniør og matematiker Johannes Faulhaber.  Han kunne utlede tilsvarende formler for rekker inneholdende opptil 17-potenser. Men det var Jakob Bernoulli som oppdaget systematikken i disse formlene og kunne generalisere dem til rekker med vilkårlig høye potenser.  Han påpekte blant annet at summene av *p*-potenser kan skrives som polynom i *n* hvor det ledende leddet alltid er *n*&thinsp;*p*+1/(*p* + 1). Likedan har neste ledd av grad *p* alltid en koeffisient lik 1/2. Dette er Bernoulli-tallet . Koeffisienten til leddet proporsjonalt med *n* er Bernoulli-tallet . Sammen med den generelle formelen for summen ble dette en del av hans verk *Ars Conjectandi*.

For å være i overenstemmelse med den moderne definisjonen av Bernoulli-tallene, er det mer naturlig å foreta summasjonen av potenser fra  0 til *n* - 1&thinsp; istedenfor fra 1 til *n*.  Generelt har man da å gjøre med summene

:  S_p(n) = \sum_{k=0}^{n-1} k^p = 0^p + 1^p + 2^p + \cdots + {(n-1)}^p 

som er direkte relatert til de opprinnelige ved den enkle sammenhengen

:  S_p(n) = S_p^*(n) - n^p 

Det betyr at  kun koeffisienten til leddet av grad *p* i polynomet skifter fortegn og tilsvarer den nyere konvensjonen med . I tillegg har man da for summen  når man definerer . Disse summene omtales vanligvis som **Faulhaber-polynomene**.

### Generell formel

Bernoulli kjente til at summen av vilkårlig mange polytopiske figurtall kan skrives som et nytt slikt figurtall. Ved å kombinere slike summer med koeffisienter fra Pascals trekant kom han frem til en general formel for summen av potenserte heltall. Svaret er gitt ved polynomet

: \begin{align} S_p(n) &= {1\over{p+1}}\sum_{k=0}^p{p+1\choose k}B_k\,n^{p+1-k}\\ 
& = {n^{p+1}\over p + 1} + B_1 n^p + {B_2\over 2!}pn^{p-1} + {B_3\over 3!}p(p-1)n^{p-2} + \cdots + {B_{p-1}\over 2!}pn^2 + B_p n  \end{align}

Tallene *B<sub>k</sub>*&thinsp; er konstanter, uavhengige av potensen *p* og er siden blitt kalt for Bernoulli-tall. Denne formelen reproduserte de allerede kjente polynomene til Faulhaber, men kunne nå benyttes for alle summer med vilkårlig høye potenser.

Beregningen er nå redusert til å finne et lite antall Bernoulli-tall. Jakob Bernoulli selv regnet disse ut opp til  Han hadde dermed for summen

:  1^{10} + 2^{10} + 3^{10} + \cdots + n^{10} =   \frac{1} {11} n^{11} + {1\over 2}n^{10} + {5\over 6} n^9 - n^7 + n^5 - {1\over 2} n^3 + {5\over 66}n 

Dette skapte tydelig så stor begeistring som han omtalte i *Ars Conjectandi*, etter at han nå kunne regne summen ut for *n* = 1000 på mindre enn et halvt kvarter med det store tallet  som resultat. Istedenfor å legge sammen tusen store tall, forenkler formelen beregningen i dette tilfellet til en summasjon av bare syv tall.

## Rekursjonsrelasjoner
Slik som Bernoulli-tallene opptrer i summasjonsformelen, er det klart at de må være relatert til hverandre på en bestemt måte. Bortsett fra *B*0 er de alle brøker, men likevel skal de gi et heltall for summen  for alle heltall *n*. Denne sammenhengen kan enklest tydeliggjøres ved å velge . For alle  er da summen  slik at formelen til Bernoulli gir

:  \sum_{k=0}^p{p+1\choose k}B_k = 0 

Ved å isolere leddet i denne rekken hvor *k = p*, kan sammenhengen skrives som

:  (p+1)B_p =  - \sum_{k=0}^{p-1}{p+1\choose k}B_k 

Dette er en rekursjonsrelasjon som gjør det umulig å beregne *B<sub>p</sub>*&thinsp; når man allerede kjenner de med indekser . Starter man med , får man til laveste orden  at  eller . I neste stepp følger dermed  = 1/2 som gir  . Slik kan man så fortsette. Det var denne formelen at Ada Lovelace programmerte for den planlagte regnemaskinen til Charles Babbage i 1843 for beregning av Bernoulli-tallene .

Setter man *n* = *p* + 1 I rekursjonsformelen, kan den skrives som

:   \sum_{k=0}^{n-1}{n\choose k}B_k =  \sum_{k=0}^n{n\choose k}B_k - B_n = 0 

hvor nå *n* &ge; 2. Denne summen har samme struktur som binomialformelen for (1 + *B*)*n*&thinsp; hvis man skriver Bernoulli-tallet  hvor *B* uten indeks behandles som et abstrakt symbol. Da kan rekursjonsformelen skrives på den kompakte formen  eller

:  B_n =  (B + 1)^n 

Fra *n* = 2 og oppover finner man herav de tidligere sammenhengene

: \begin{align} B_0 + 2B_1 &= 0  \\ B_0 + 3B_1 + 3B_2 &= 0 \\  B_0  + 4B_1 + 6B_2 + 4B_3 &= 0 \end{align}

som kan fortsettes på samme måte hvor koeffisientene finnes direkte fra Pascals trekant. Som tidligere er her *B*&thinsp;0 = 1.

## Matriseformulering
Rekursjonsrelasjonen som genererer Bernoulli-tallene, kan skrives på matriseform.. Skal man beregne for eksempel de tre første, kan de inngå i en kolonnevektor  **b** med komponenter **b**T = (*B*&thinsp;0, *B*1, *B*2, *B*3). Ved å innføre 4&times;4-matrisen

:  A  =   \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0  \\ 1 & 2& 0 & 0  \\ 1 & 3 & 3 & 0  \\1 & 4 & 6 & 4 \end{bmatrix} ,

kan de fire rekursjonsligningene skrives på den kompakte formen

:  A\cdot\mathbf{b} = \mathbf{e} 

hvor kolonnevektoren **e** har komponentene **e**T = (1, 0, 0, 0). Mer eksiplitt ser dette ut som den ene matriseligningen

:  \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0  \\ 1 & 2& 0 & 0  \\ 1 & 3 & 3 & 0  \\1 & 4 & 6 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}B_0 \\ B_1 \\ B_2 \\ B_3  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0  \end{bmatrix} 

Elementene til matrisen *A* er de samme som i Pascals trekant hvor linjen til høyre med bare 1-tall er fjernet. De kan uttrykkes ved binomialkoeffisientene som

:  A_{ij} = {i + 1\choose j}, \;\; j \le i 

og er null ellers.  Indeksene *i* og *j* går her fra 0 til 3. Hver kolonne i matrisen inneholder de polytopiske figurtallene. Disse matriseligningene kan lett generaliseres til *n*&times;*n*-matriser som gjelder for Bernoulli-tallene fra *B*&thinsp;0 opp til *B**n* - 1

Ved å beregne den inverse matrisen *A*−1 kan Bernoulli-tallene beregnes fra **b** =  *A*−1&sdot;**e**. De er derfor gitt ved elementene  i den første kolonnen til den inverse matrisen. I eksempelet over der *A* er en  4&times;4-matrise, finner man

:  A^{-1}  =   \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0  \\ -\frac 1 2  & \frac 1 2 & 0 & 0  \\ \frac 1 6 & - \frac 1 2 & \frac 1 3 & 0  \\0 & \frac 1 4 & - \frac 1 2 & \frac 1 4 \end{bmatrix} 

I tillegg til *B*&thinsp;0 = 1, ser man herav at *B*1 = -1/2, *B*2 = 1/6 og *B*3 = 0.

### Faulhaber-polynom

Formelen til Bernoulli for summasjon av potenser kan nå også lett utledes. Man kan da ta utgangspunkt i summen

: \begin{align} \sum_{k=0}^{n-1}\big[(k+1)^m - k^m] &= 1^m - 0^m + 2^m - 1^m + 3^m - 2^m + \cdots + n^m - (n-1)^m \\
&= n^m \end{align} 

når *m* &ge; 1. Men samtidig kan man omskrive summen på venstre side ved bruk av binomialformelen slik at man har

:  \sum_{p=0}^r  {r + 1\choose p}S_p(n) = n^{r+1}

etter å ha satt *m* = *r* + 1 og innført notasjonen *S<sub>p</sub>*(*n*) for summene av *p*-potenser over *n* heltall. Men dette settet med ligninger representerer igjen en enkelt matriseligning  hvor de to kolonnevektorene har komponenter   og  Ved å bruke den inverse matrisen kan ligningen omskrives til

:  \mathbf{s} = A^{-1}\cdot \mathbf{n} 

som gir summene uttrykt ved Faulhaber-polynomer i *n*. Dette er ikke noen annet Bernoullis summasjonsformel skrevet på matriseform.

Et enkelt eksempel er de fire første summene. De kan nå avleses fra

:  \begin{bmatrix}S_0 \\ S_1 \\ S_2 \\ S_3  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0  \\ -1/2  & 1/2 & 0 & 0  \\ 1/6 & - 1/2 & 1/3 & 0  \\ 0 & 1/4 & - 1/2 & 1/4 \end{bmatrix} \cdot  \begin{bmatrix} n \\ n^2 \\ n^3 \\ n^4  \end{bmatrix}

Denne fremgangsmåten er dermed redusert til å finne den inverse matrisen . Dette kan alltid gjøres med standard metoder fra lineær algebra for vilkårlig store matriser.

## Bernoulli-polynom

Ved å betrakte *B* som er abstrakt symbol, kan man fra den samme rekursjonsrelasjon lett definere spesielle polynom direkte forbundet med Bernoulli-tallene. Det er Bernoulli-polynomnene

:  B_n(x) = (B + x)^n = \sum_{k=0}^n{n\choose k}B_k\,x^{n-k} 

De fem første er

: \begin{align}B_0(x) &= 1\\  B_1(x) &= x-\frac{1}{2}\\ B_2(x) &= x^2-x+\frac{1}{6}\\ B_3(x) &= x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\\ 
B_4(x) &= x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}\end{align}

Fra definisjonen ser man at de har alle den spesielle egenskapen  for , mens  for . Disse polynomene kan derfor lett utvides til å bli periodiske funksjoner.

Summasjonsformelen til Bernoulli kan nå skrives på den kompakte formen

:  S_p(n) = {1\over p+1} \left[B_{p+1}(n) - B_{p+1}\right] 

De opprinnelige polynomene som Faulhaber fant for summene av potenser, kan derfor på denne måten enkelt  uttrykkes ved Bernoulli-polynom.

### Analytisk sammenheng
Bernoulli-polynomene kan forbindes ved derivasjon. Det følger fra å skrive den genererende funksjonen

:  G(t) = {t\over e^t - 1} = \sum_{k=0}^\infty {t^k\over k!} B_k 

for Bernoulli-tallene på den symbolske formen

:  G(t) = \sum_{k=0}^\infty  {t^k\over k!} B^k = e^{Bt} 

Det betyr at produktet *G*(*t,x*) = *G*(*t*&thinsp;)*e<sup>tx</sup>&thinsp;* blir

:  G(t,x) = {te^{xt}\over e^t - 1} = e^{(B + x)t} = \sum_{k=0}^\infty {t^k\over k!}B_k(x) 

En derivasjon av begge sidene av denne ligningen med hensyn på den variable *x*, gir nå

:  {\partial G\over\partial x}(t,x) = tG(t,x) =  \sum_{k=0}^\infty {t^k\over k!}B'_k (x) 

Ved å sammenligne koeffisientene til *t<sup>&thinsp;k</sup>*&thinsp; på begge sider, fremkommer den analytiske sammenhengen

:  B'_k (x) = kB_{k-1}(x) 

Da Faulhaber-summene kan uttrykkes ved Bernoulli-polynom, betyr dette at man kan finne summen  ganske enkelt  ved derivasjon av . Det følger fra

:  \begin{align}S'_p(n) &= {B'_{p+1}(n)\over p+1} = B_p(n) \\ &= pS_{p-1}(n) + B_p  \end{align}

Dette kan illustrereres for eksempel for *p* = 4. Da er

:  \begin{align} S'_4(n)  &= n^4 - 2n^3 + n^2 - {1\over 30}  = B_4(n) \\  &= 4S_3(n) + B_4 \end{align}

Men man kan også ut fra dette øke graden på Faulhaber-polynomene ved direkte integrasjon. Det gir

: \begin{align} S_p(n)  &= \int_0^n\!dx B_p(x) =  \sum_{k=0}^p{p\choose k}B_k{n^{p+1-k}\over p+1-k}\\ 
&= {1\over p+1}\sum_{k=0}^p{p+1\choose k}B_k\,n^{p+1-k}  \end{align}

som er den opprinnelige summasjonsformelen til Bernoulli.

## Bernoulli-tallene og zetafunksjonen
 
Det var Euler rundt 1735 som i forbindelse med løsningen av  Basel-problemet,  fant sammenhengen mellom Bernoulli-tallene og det som senere av Riemann skulle bli kalt zetafunksjonen *&zeta;*(*s*). Denne sammenhengen eksisterer spesielt for positive partall  *s* = 2*k*&thinsp; og kan da skrives som

:  \zeta(2k) = {1\over 1^{2k}} +  {1\over 3^{2k}} +  {1\over 3^{2k}} + \cdots  = (-1)^{k-1} {(2\pi)^{2k}\over 2(2k)!} B_{2k}

Når argumentet i zetafunksjonen blir stort og positivt, vil den første termen i rekken dominere slik at funksjonen går mot den konstante verdien 1.  Bernoulli-tallene for store indekser vil derfor vokse som

:  |B_{2k}| \sim \frac{2\,(2k)!}{(2\pi)^{2k}} 

som kan estimeres mer nøyaktig ved bruk av Stirlings formel for fakultetsfunksjonen. Det gir

:  |B_{2 k}| \sim 4\sqrt{\pi k}\left(\frac k{\pi e}\right)^{2k}.

og betyr at Taylor-rekken

:  {x\over e^x - 1} = \sum_{n=0}^\infty {B_n\over n!} x^n 

for Bernoulli-tallene er konvergent bare for |*x*&thinsp;|  \int_0^\infty\!dx {x^{2k-1}\over e^x - 1} = (2k - 1)!\zeta(2k) = (2\pi)^{2k}{|B_{2k}|\over 4k} 

De opptrer i statistisk kvantemekanikk for masseløse bosoner som for eksempel fotoner i sort stråling.

Ved å bruke omskrivningen

:  {1\over e^x + 1} = {1\over e^x - 1} - {2\over e^{2x} - 1}, 

finner man de tilsvarende integralene

:  \int_0^\infty\!dx {x^{2k-1}\over e^x +1} = (2\pi)^{2k}{|B_{2k}|\over 4k}\big(1 - 2^{1-2k}\big)

for masseløse fermioner som nøytrinoer i det tidlige Universet.

For negative heltall fant Euler at zetafunksjonen igjen kunne uttrykkes ved Bernoulli-tallene som

: \zeta(1-k) = (-1)^{k-1}\frac{B_k}{k}

Mer generelt er dette en konsekvens av Riemanns refleksjonsformel for zetafunksjonen. Det betyr at når dens  argumentet er et negativt partall, er den lik med null. Dette er funksjonens såkalte  trivielle nullpunkt.

Euler benyttet dette resultatet til å gi endelig svar for de divergente rekkene

:  1 + 2^p + 3^p + 4^p + \cdots = \zeta(-p) = - {B_{p+1}\over p+1} 

Mest kjent av disse er rekken med *p* = 1,

:  1 + 2 +3 + 4 + \cdots =  - {1\over 2}B_2 = - {1\over 12} 

som den indiske matematiker  Ramanujan gjorde berømt.

## Rekkeutviklinger

Bernoulli-tallene er definert ved rekkeutviklingen

:  \frac x{(2k)!} 

som er konvergent for |*x*|   \coth x ={e^x + e^{-x}\over e^x - e^{-x}} = {2\over e^{2x} - 1} + 1, 

har man derfor rekkeutviklingen

:  x \coth x = 1 + \sum_{k=1}^\infty B_{2k}{ (2x)^{2k}\over (2k)!}  

som konvergerer for |*x*|   \coth x = {1\over x} + {x\over 3} - {x^3\over 45} + {2x^5\over 945} + \cdots  

Ved å benytte identiteten  har man nå også rekkeutviklingen

:  x \tanh x =  \sum_{k=1}^\infty B_{2k}{ (2x)^{2k}\over (2k)!} (2^{2k}-1) 

Denne konvergerer nå for  |*x*|   \tanh x = x - {x^3\over 3} + {2x^5\over 15} - {17x^7\over 315} + \cdots  

Tilsvarende rekkeutviklinger for de trigonometriske funksjonene kan finnes fra sammenhengen cot*x* = *i*&thinsp;coth&thinsp;*ix* hvor *i*&thinsp; er den imaginære enheten.

Det finnes mange andre rekkeutviklinger hvor Bernoulli-tallene opptrer. Ofte er dette et resultat av Euler-Maclaurins formel for summasjon av rekker.

En spesiell rekke er

:  \sum_{k=1}^\infty {k^{4n+1}\over e^{2\pi k} - 1} = {B_{4n + 2}\over 8n + 4} 

som ble funnet av Ramanujan. Sammenlignes dette med det tidligere integralet

:  \int_0^\infty\!dx {x^{4n +1}\over e^{2\pi x} - 1} = {B_{4n + 2}\over 8n + 4}, 

får man en antydning om den viktige rollen Bernoulli-tallene har i matematisk analyse.

## Von Staudt - Clausens teorem

For store indekser vokser Bernoulli-tallene *B*&thinsp;2*k* raskt og kan skrives som uekte brøker. Det første som er større enn 1, er *B*14 = 7/6. Det eksisterer ingen enkel sammenheng mellom et av tallene i denne følgen og det neste. Derimot har de en spesiell, tallteoretisk egenskap slik at nevnerne i deres uekte brøker lett kan beregnes på forhånd. De første er

:  6, 30, 42, 30, 66, 2730, 6, 510, 798, 330, 138, 2730, 6, 870, 14322, 510, 6, 1919190, \cdots 

og det er tydelig at alle kan deles med 6. Alt dette er en konsekvens av teoremet til Karl von Staudt og Thomas Clausen som de utledet uavhengig av hverandre i 1840. Det sier at når man for hvert primtall *p* som er slik at *p* - 1 deler 2*k*, legger 1/*p* til Bernoulli-tallet *B*&thinsp;2*k*, så får man et heltall *I<sub>k</sub>*,

:  B_{2k}  + \sum_{(p-1)|2k}{\frac{1}{p}} = I_k 

I tillegg til at nevneren til Bernoulli-tallene må være delelige med 6, viser dette også at de ikke kan inneholde kvadrattall.

De første eksemplene på teoremets innhold er

: \begin{align} B_2 +  \frac{1}{2} + \frac{1}{3} &= 1\\
 B_4 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} &= 1 \\
B_6  + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} &= 1 \end{align}

Men heltallet på høyre side behøver ikke å være alltid lik med 1. For eksempel,

: \begin{align} B_{14} &= 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{7}{6}\\
B_{18} &= 56-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{7}-\frac{1}{19}=\frac{43\; 867}{798} \end{align}

Heltallene  *I<sub>k</sub>*&thinsp; opptrer på denne måten i rekkefølgen

:  1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, -6, 56, -528, \cdots 

Da teoremet bestemmer nevneren til Bernoulli-tallet og man kan estimere dets størrelse for eksempel ved bruk av Stirlings formel, er dette ofte nok til å kunne finne det eksakt som en uekte brøk.

## Referanser


## Eksterne lenker
* The Bernoulli number page
* Jakob Bernoulli, ''Ars Conjectandi'',  latinsk utgave, Basel (1713).