Greens teorem

**Greens teorem** uttrykker en sammenheng mellom et integral i planet langs en lukket kurve og et integral over flaten som kurven omslutter. For to vilkårlige, men glatte funksjoner  P = P(x,y)  og  Q = Q(x,y)  kan det skrives som 

: \oint_{C}(P\, dx + Q\, dy) = \iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dx\,dy 

hvor *C* = &part;*D* er randen eller omkretsen til flaten *D*. Det er en enkel utgave av det mer generelle Stokes' teorem for det spesielle tilfelle at den lukkete kurven ligger i et plan.

Teoremet har sitt navn fra den engelske matematiker George Green som levde på begynnelsen av 1800-tallet. Han skrev et stort arbeid som ble publisert i 1828 med mange viktige resultat innen vektoranalysen, men ikke noe om dette spesielle teoremet. Derimot gjorde han bruk av divergensteoremet som derfor ofte bærer hans navn i tillegg til Gauss' navn. Greens teorem kan betraktes som divergensteoremet i et plan.
Flere år senere benyttet Cauchy teoremet i forbindelse med komplekse integrasjoner i planet. Først i 1851 ga Riemann et bevis for det.

## Todimensjonalt divergensteorem

Betrakter man et vektorfelt **F** = (*Q*, -*P*&thinsp;) i et todimensjonalt plan der *Q* = *Q*(*x,y*) og *P* = *P*(*x,y*), sier divergensteoremet at

:   \oint_{C} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds = \int_D \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{F}\, dA   

hvor  **n** er en normalvektor til kurven *C* = &part;*D&thinsp;* som er randen eller omkretsen til flaten *D*. For et differensielt linjeelement  d\mathbf{s} = (dx, dy)  vil da  \mathbf{n}\,ds = (dy, - dx)  da disse to vektorene står vinkelrett på hverandre. Dermed blir

:  \oint_{C}(P\, dx + Q\, dy) = \int_D\left({\partial Q\over\partial x} - {\partial P\over\partial y} \right) dx \,dy 

som er Greens teorem.

## Et lengre bevis
Først beviser vi teoremet for et rektangel R. Da vil teoremet se slik ut:

\oint_{\partial R}Pdx+Qdy = \iint_{R}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dxdy   

Ved lineariteten til Riemann-Integralet skriver vi dobbeltintegralet over R om til følgende:

\iint_{R}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dxdy =\iint_{R}\frac{\partial Q}{\partial x}\,dxdy - \iint_{R}\frac{\partial P}{\partial y}\,dxdy                                                                                                                                     

Siden R er et rektangel lar vi R=[a,b]\times [c,d]   , betrakt først integralet:

\iint_{R}\frac{\partial Q}{\partial x}\,dxdy= \int_{a}^b\int_{c}^d \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}dxdy =\int_{c}^d (\int_{a}^b \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}dx)dy                                                                                                                                                                                             

Ved Fundamentalteoremet i Kalkulus ser vi at

\int_{c}^d (\int_{a}^b \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}dx)dy=\int_{c}^d (Q(b,y)-Q(a,y))dy                                                                                                                                                                                             

Og for - \iint_{R}\frac{\partial P}{\partial y}\,dxdy                                                                                                                                       får vi at 

- \iint_{R}\frac{\partial P}{\partial y}\,dxdy =- \int_{a}^b (\int_{c}^d \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}dy)dx =- \int_{a}^b (P(x,d)-P(x,c))dx                                                                                                                                                                                  

Disse resultatene gir oss et nytt uttrykk for høyre side av det opprinnelige uttrykket vårt

\iint_{R}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dxdy = \int_{c}^d (Q(b,y)-Q(a,y))dy - \int_{a}^b (P(x,d)-P(x,c))dx      

For linjeintegralet deler vi opp rektangelet i fire linjer som åpenbart har positiv orientering.

C_1, C_2, C_3, C_4    

Vi kan parametrisere den første kurven med 

\alpha(t)=(t,c)     hvor t \in [a,b]    

den andre kurven med

\beta(t)=(b,t)     hvor t \in [c,d]    

den tredje kurven med

\gamma(t)=(b+a-t,d)     hvor t \in [a,b]    

og til slutt:

\delta(t)=(a,d+c-t)     med t \in [c,d]    

Med disse parametriseringene kan vi uttrykke linjeintegralet slik:

\oint_{\partial R}Pdx+Qdy = \oint_{\cup^{4}_{i=1}C_i }Pdx+Qdy = \sum\limits_{j=1}^4 \oint_{C_i}Pdx+Qdy                                                                                          

Vi betrakter først

\sum\limits_{j=1}^4 \oint_{C_i}P(x,y)dx=\oint_{C_1}P(x,y)dx + \oint_{C_2}P(x,y)dx + \oint_{C_3}P(x,y)dx + \oint_{C_4}P(x,y)dx                                                                                          

Vi ser umiddelbart at integralene over C_2                                                                                           og C_4                                                                                           vil bli null, det er siden den eneste variabelen som endrer seg medfører endringer på y-koordinatene og ikke x-koordinatene i det hele tatt.

\sum\limits_{j=1}^4 \oint_{C_i}P(x,y)dx = \oint_{C_1}P(x,y)dx + \oint_{C_3}P(x,y)dx                                                                                          

Ved definisjonen til linjeintegralet får vi at 

\oint_{C_1}P(x,y)dx + \oint_{C_3}P(x,y)dx = \int_{a}^b P(t,c)dt - \int_{a}^b P(b+a-t,d ) dt                                                                                          

\int_{a}^b P(t,c)dt - \int_{a}^b P(b+a-t,d ) dt = \int_{a}^b P(t,c)dt - \int_{a}^b P(t,d ) dt                                                                                           

\int_{a}^b P(t,c)dt - \int_{a}^b P(t,d ) dt = \int_{a}^b (P(t,c)-P(t,d))dt                                                                                           

Ser vi på \sum\limits_{j=1}^4 \oint_{C_i}Q(x,y)dy     observerer vi at integralene over C_1                                                                                           og C_3    blir null. Vi får derfor at

\oint_{C_2}Q(x,y)dy + \oint_{C_4}Q(x,y)dy = \int_{c}^d Q(b,t)dt - \int_{c}^d  Q(a,d+c-t ) dt                                                                                          

\int_{c}^d Q(b,t)dt - \int_{c}^d  Q(a,d+c-t ) dt =  \int_{c}^d Q(b,t)dt - \int_{c}^d Q(a,t ) dt                                                                                           

\int_{c}^d Q(b,t)dt - \int_{c}^d Q(a,t ) dt = \int_{c}^d Q(b,t)-Q(a,t)dt                                                                                           

Vi får derfor at vårt opprinnelige linjeintegral er lik: \int_{c}^d (Q(b,t)-Q(a,t))dt + \int_{a}^b (P(t,c)-P(t,d))dt                                                                                              , Plugger vi dette uttrykket inn i samme ligning som uttrykket vårt for dobbeltintegralet får vi:

\int_{c}^d Q(b,t)-Q(a,t)dt + \int_{a}^b P(t,c)-P(t,d)dt = \int_{c}^d (Q(b,t)-Q(a,t))dt - \int_{a}^b (P(t,d)-P(t,c))dx                                                                                               Som er ekvivalent til at 0=0    , altså uttrykkene er like.

Siden alle regioner i \R^2   kan bli tilnærmet så nærme som vi vil med en sum av rektangler må Greens teorem også holde for mer generelle områder. Dette er fordi for to rektangler R_1                                                                                              og R_2   

som tangerer hverandre med R=R_1 \cup R_2     så vil \oint_{\partial R_1}Pdx+Qdy + \oint_{\partial R_2}Pdx+Qdy = \oint_{\partial R}Pdx+Qdy   , dermed kan vi si at beviset er fullført. \blacksquare   

## Eksterne lenker

* E.W. Weisstein, ''Green's Theorem'', Wolfram MathWorld.
* HaraldHVL,  «Greens teorem - Eksempler», Youtube video
* Harald Hanche-Olsen, ''Intro til Greens teorem'', forelesning ved NTNU

## Referanser