Gresk astronomi

**Gresk astronomi** er astronomi skrevet på gresk i antikken. Den forstås dermed å inkludere bidrag fra antikkens Hellas samt den hellenistisk perioden inkludert de første hundreårene etter at Romerriket erobret dette området.. På den tiden ble det greske språket fortsatt benyttet i vitenskapelige sammenhenger. Etter en utvikling som varte mer enn fem hundre år måtte etableringen av moderne astronomi vente med mer enn femten hundre år.

Denne greske astronomi hadde sitt utspring i mer kosmologiske idéer basert på religiøse overbevisninger og mytologiske fortellinger. Mindre betydning hadde observasjoner og fastleggelse av lovmessigheter. Dette var i motsetning til babylonsk astronomi som i mye større grad var basert på innsamling av astronomiske data. En avgjørende forandring skjedde med pytagoreerne som gjorde matematiske argument til et bærende prinsipp i forståelsen av både kosmologiske og astronomiske forhold.

Erobringene til Alexander den store på 300-tallet f.Kr. gjorde grekerne kjent med babylonsk astronomi og ga dem tilgang til en stor mengde tilsvarende observasjoner. Dette hadde stor innflytelse på den greske astronomi som nå ble mer rettet mot å kunne gi kvantitative og rasjonelle forklaringer av slike fenomen. Jorden ble antatt å være Universets sentrum hvor planeter og stjerner beveger seg ifølge lover og beregninger basert i stor grad på geometriske forestillinger. Denne vitenskapelige revolusjonen ble i praksis avsluttet omtrent 150 e.Kr. med Klaudios Ptolemaios og hans store verk *[[Almagest]]*. Det ville ta nesten 1500 år til at denne greske astronomien ble erstattet med det heliosentriske verdensbildet til Kopernikus og Kepler.

## Bakgrunn

Fra Homers store fortellinger går det frem at man på den tiden tenkte seg vår jord eller Gaia som en skive omgitt av Okeanos eller det store havet forbundet med jordens elver. Over alt dette strakte det seg en himmel styrt av Uranos sammen med andre guder. På undersiden befant dødsriket  Tartaros seg hvor Hades regjerte.

Et mer vitenskapelig verdensbilde ble noen hundre år senere rundt 550 f.Kr. utarbeidet av Anaximander. Den inneholdt mindre av mystiske vesen og gammel overtro, men var likevel i stor grad spekulativ. Han tenkt seg Jorden som en endelig sylinder som befinner seg like langt fra alt annet i et kuleformet univers som derfor er uendelig stort i alle retninger. For første gang hadde vår verden også en underside som kunne være bebodd og med en himmel over seg. Verdensrommet utenfor oss inneholdt stjerner og planeter som lyste ved ild som brandt inni i deres ringformede baner, slapp ut gjennom små åpninger. Sol- og måneformørkelser kunne skje ved at noe kom i veien for disse hullene i banene. Anaximander diskuterte også størrelse og avstander til planeter og stjerner basert på deres lysstyrke. Han argumenterte for at det stoff som denne verden er laget av, måtte kunne bestå i all evighet.

Anaximander hadde vært elev av Thales fra Milet på den joniske kysten som hadde en rik, filosofisk tradisjon. Da dette området i stadig større grad ble truet av det ekspanderende Perserriket, flyktet mange av innbyggerne vestover. Noen av disse endte opp i Syd-Italia og samlet seg om den sagnomspunne filosof og matematiker Pythagoras. Lite er kjent om ham og hans virke, men han må ha samlet mange følgere i troen på at aritmetikk og geometri styrer verden omkring oss.

### Pytagoreerne

Vanligvis blir idéen om at Jorden er kuleformet tilskrevet pytagoreerne. Dette var basert på overbevisningen om at denne hadde den mest symmetriske eller perfekte form. Av samme grunn måtte alle himmellegemer bevege seg i sirkulære baner i «harmoniske» forhold på lignende måter som forskjellige toner i musikken kan høres.

Det som er kjent om disse spekulasjonene er stort sett knyttet til Filolaos og hans  verdensbilde. Jorden og de andre planetene er alle sfæriske og sirkler omkring en sentral ild, Hestia. Den bebodde siden av vår klode vender hele tiden bort fra denne så den forblir usynlig. Derimot gir den lys til de andre himmellegemene som vi kan observere. Da Jorden bruker et døgn i sin bundne rotasjon, vil vi se de andre himmellegemene rotere rundt oss med samme periode. I tillegg vil planetene få en litt annen, total hastighet på grunn av deres egen banebevegelse. Deres innbyrdes avstander var usikre, men man antok ofte at desto langsommere en planet beveget seg, desto lenger bort fra Jorden var den.

Filolaos antok også at det fantes en usynlig *Motjord* eller «Antijord» i en bane innenfor vår klode.  Den var alltid direkte bak Hestia og derfor usynlig. Det er uklart hvilken rolle den hadde i dette verdensbildet, men det kunne være basert på krav om en viss form for symmetri.

## Matematisk astronomi

Under den greske storhetstiden som hadde startet 479 f.Kr. med seieren over perserne, foregikk mye av den videre utvikling av gresk astronomi i Athen. Pythagoreiske idéer kombinert med direkte observasjoner av Solens gang på himmelkulen og planetenes vandringer langs dyrekretsen, hadde ført til at all denne bevegelse måtte foregå med Jorden som sentrum. Da den nå er i ro, må også alle stjernene delta i den daglige rotasjon. Dette var begynnelsen på det geosentriske verdensbildet som blant andre  Anaxagoras hadde argumentert for. De forskjellige himmellegemene ble ordnet etter deres lysstyrke slik at beregnet fra Jorden befant seg da henholdsvis Solen, Månen og så de andre planetene i sirkulære baner. Han mente også at Månen lyste med reflektert lys fra Solen slik at en måneformørkelse kunne forklares ved at Jorden skygget for dette lyset.

Dette verdensbildet ble videre debattert og utviklet ved Platons Akademi i Athen. Jorden i sentrum var nå med sikkerhet kuleformet, men planetenes rekkefølge ble fremdeles diskutert som det fremgår spesielt i hans verk Timaios. Men det var enighet om at Solen og Månen var «nære» planeter sammen med Merkur og Venus da de alltid fulgte Solen i sin bevegelse på himmelkulen. Derimot var Mars, Jupiter og Saturn «ytre» planeter som beveget seg langsommere. Alle disse sfæriske legemene beveget seg i perfekte sirkler omkring Jorden.

### Eudoksos

Selv om dette verdensbildet kunne gi en god forklaring på mange observerte fenomen, var det likevel alvorlige uoverstemmelser. Blandt disse var det spesielt planetenes retrograde bevegelse der de noenlunde regelmessig syntes å gå i motsatt retning. Dette var vanskelig å forstå hvis de var ment å bevege seg i sirkulære baner med konstant hastighet.

En elegant og viktig forklaring ble gitt av Eudoksos fra Knidos som viste at ved å kombinere flere slike sirkulære bevegelser kan resultatet bli noe som ligner baner med retrograde segment. Han tenkte da at hvert himmellegemene blir ført av flere roterende kuleskall med et felles sentrum i Jorden. Dette bildet blir derfor omtalt som hans «homosentriske system». Hvert skall har en rotasjonsakse som sitter fast i skallet utenfor og kan inneholde et skall som roterer om en annen akse. 

For Solen behøvde han i denne modellen i enkleste utgave to skall. Det ytterste skallet gir den daglige vandring fra øst til vest, mens det innerste skallet flytter den langsomt østover med en periode på ett år. Disse to rotasjonsaksene har en vinkel på 23&deg; mellom seg. Månen følger en litt annen bane, og det trenges minst tre slike roterende skall for å gi en full beskrivelse av dens bevegelse.

Den store fordelen med denne modellen var å kunne gi en viss forklaring på planetenes retrograde oppførsel. Eudoksos viste her at to slike homosentrisk kuleskall som rotererer i motsatt retning med samme hastighet og langs akser som danner en liten vinkel seg imellom, vil gi en resulterende bevegelse som ligner et 8-tall. Det ble omtalt som en «hippopede» og ligner på kurven med navn lemniskate. For en planet vil så dens fulle bevegelse bestå av disse to skallene pluss ett som bringer den rundt i sin bane pluss ett som gir den en daglig rotasjon over himmelhvelvet.

Det er ikke kjent om denne modellen ble benyttet til konkrete beregninger av planetenes baner. Men man vet at  Kallippos som var elev av Eudoksos, utvidet denne konstruksjonen med enda flere kuleskall. Dette ble sannsynligvis gjort i forsøk på å gjøre den mer nøyaktig i forhold til datidens observasjoner.

### Aristarkhos

Det var ikke klart om de «homosentriske sfærene» til Eudoksos virkelig var tenkt å eksistere eller bare var en illustrasjon av en underliggende mekanisme. Men uansett hadde den et tydelig problem forbundet med avstandene til de forskjellige himmellegemene. Spesielt planetene varierte i lysstyrke, noe som måtte bety at de beveget seg slik at deres avstander til Jorden forandret seg med tiden. Men i modellen til Eudoksos var disse konstante med det resultat at den snart fikk mindre troverdighet. Prinsippet om at bevegelsene måtte være i sirkler med konstante hastigheter, ble likevel beholdt.

Omtrent hundre år etter Eudoksos prøvde Aristarkhos å bestemme disse avstandene ved direkte målinger. Det nærmeste himmellegeme er Månen som må ligge mellom Jorden og Solen. Under en måneformørkelse kan man se skyggen av Jorden mot Månens overflate. Derav kan man anslå at forholdet mellom radiene i disse to legemene må omtrent være  . Dette anslaget kunne også Aristarkhos bekrefte utfra varigheten av en total måneformørkelse.

Månen forårsaker også solformørkelser som gjør det tydelig at både den og Solen sees under samme vinkel på himmelkulen. Den har en størrelse på omtrent   som tilsvarer *&theta;*  = *&pi;*&thinsp;/360  radianer. Avstanden *L<sub>M</sub>* til månen kan da bestemmes fra sammenhengen . Det betyr at  som nå gir en avstand til månen som er tilnærmet 75 jordradier. Sammenlignet med den riktige verdien på omtrent 60 jordradier, er dette et meget godt resultat og virkelig den første, beregnete astronomiske avstand. Fra det man vet om Aritsarchos kan det se ut til at han selv benyttet en vinkel *&theta;* = 2&deg; som ville ha gitt et mye dårligere resultat. Men den verdien kunne muligens bare ha vært benyttet som et eksempel da det er vanskelig å forstå at denne vinkelen ikke var godt kjent på den tiden.

Omtrent samtidig med Aristarchos levde også Arkimedes som i sitt verk *Sandregneren*.omtaler denne målingen av avstanden til Månen sammen med hans forsøk på å bestemme avstanden også til Solen. Dette var basert på forståelsen av at halvmåne opptrer når retningen fra Månen til Jorden og Solen er nøyaktig 90&deg;. Ved da å måle fra Jorden vinkelen *&alpha;&thinsp;* mellom Månen og Solen, kan avstanden *L<sub>S</sub>*&thinsp; til Solen bestemmes ved bruk av trigonometri. Med moderne notasjon er da
:  L_S = {L_M\over\cos\alpha} 

Aristiarkhos fant denne vinkelen å være *&alpha;* = 87&deg;. Forholdet mellom de to avstandene er dermed omtrent . Det tilsvarer at avstanden til Solen skal være 1500 jordradier. Den riktige verdien er nærmere 25000 jordradier. En absolutt verdi fikk man noen tiår senere da Eratosthenes klarte å måle Jordens radius *R<sub>E</sub>*. Forklaringen på det forholdsvis dårlige resultatet til Aristiarkhos skyldes at vinkelen *&alpha;&thinsp;* ved halvmåne er svært vanskelig å måle nøyaktig da dens størrelse ligger tett opp til 90&deg;. Men noe bedre resultat for avstanden til Solen ble ikke funnet de neste 1800 år.

På tross av unøyaktigheten i Aristiarkhos sin verdi hadde den likevel store konsekvenser. For det første betydde det at Solsystemet er mye større enn tidligere antatt. I tillegg er da  også Solen selv svært mye større enn Jorden. Dette kan derfor være en av grunnene til at Aristarkhos ifølge Arkimedes argumenterte for at det ville være mest naturlig å tenke seg et system av planeter med Solen i sentrum istedenfor den mye mindre Jorden. Det er dette heliosentriske verdensbildet som kanskje har gjort Aristarkhos mest kjent i ettertid. Men hans samtidige fant det i strid med daglige erfaringer, og det fikk lite gjennomslag. Mest avgjørende var kanskje at hvis det var riktig, skulle man være i stand til å måle en parallakse til andre planeter og stjerner i Jordens sirkulære bevegelse omkring Solen. Det var ikke mulig med datidens metoder.

## Hipparkhos

Et annet problem som Aristarchos sin heliosentriske modell hadde, var at den ikke ga noen enkel forklaring på at årstidene hadde forskjellige lengder. Dette hadde vært kjent siden Eudoxus og  undersøkelsene til hans elev Kallippos. De ble bestemt ved nøyaktig fastsettelse av jevndøgnene samt de to solhvervene hvert år. Den som trakk de største konsekvensene av disse observasjonene, var Hipparkhos. Han levde i perioden 190-120 f.Kr. og var avgjørende for etableringen av det greske, geosentriske verdensbildet.

Da Månen er det nærmeste himmellegeme til Jorden, var denne av spesiell interesse til Hipparchos da dens bevegelse kan studeres svært nøyaktig. Han fant ut at den beveger seg i en bane som danner en vinkel på 5&deg; med banen til Solen. For denne bevegelsen kunne han bestemme størrelsen til de forskjellige periodene i banen. Avstanden til Månen fant han med samme metode som Aristarkhos med et noe bedre resultat som tilsvarer 60-70 jordradier, avhengig av hva han antok for avstanden til Solen. Dette resultatet prøvde han også å bekrefte ved å analysere en tidligere solformørkelse som var observert på to forskjellige steder.

Hipparkhos hadde tilgang til babylonske observasjoner som strakte seg mange hundre år tilbake i tid. Kombinert med egne og andre greske observasjoner kunne han dermed beregne meget presist astronomiske posisjoner ved bestemte tidspunkt. Han fant da ut at det tropiske år er litt kortere enn 365 dager, mens det sideriske år er omtrent like mye lengre enn dette standardåret. Dette forklarte Hipparkhos ved at vårjevndøgnspunktet ikke ligger fast på himmelkulen, men flytter seg langs dyrekretsen med en hastighet som han anslo å være litt mer enn 1&deg; per århundre. I dag vet man at dette skyldes jordaksens presesjon som forgår med en periode på 26&thinsp;000 år. Dette var kanskje den største oppdagelsen til Hipparkhos.

### Eksentrisk sirkelbevegelse

De nøyaktige undersøkelsene som Hipparchos foretok av Månens og Solens bevegelser, viste at de begge hadde variable hastigheter i sine baner. Dette var enklest å påvise for Månen, men kunne også være grunnen til at årstidene hadde forskjellige lengder. Solen syntes å bevege seg raskere vinterstider enn resten av året.

Disse problemene var allerede tidligere blitt studert av matematikeren Apollonios fra Perge. Han hadde som utgangspunkt at bevegelsen til disse himmellegemene måtte foregå i  sirkler med konstant omløpshastighet, men han åpnet opp for at de ikke nødvendigvis må skje med observatøren på Jorden som sentrum. 

Hvis denne observatøren seg litt unna sirkelens sentrum, vil hen ha en variabel avstand til planeten og se at den beveger seg raskest når den er nærmest Jorden. Dette er dens perigeum. Samtidig viste han at denne eksentriske sirkelbevegelsen er matematisk ekvivalent med en episyklisk bevegelse hvor radius i episyklen er lik med *eksentrisiteten* i den første modellen når denne defineres som avstanden mellom observatør og sirkelsentrum.

Posisjonen til en  planet som beveger seg i en sirkel med radius *r&thinsp;* og med vinkelhastighet *&omega;&thinsp;*, kan angis i planet med koordinatene  og . De kan kombineres til en  kompleks posisjon  

:  z = x + iy = re^{i\omega t} 

når man gjør bruk av Eulers formel. Hvis Jorden befinner seg i origo og sirkelbevegelsen skjer om et punkt utenfor dette med sentrum i *a*, kan dermed en eksentrisk sirkelbevegelse beskrives matematisk som . Eksentrisiteten til banebevegelsen er nå gitt ved avstanden *a&thinsp;* fra origo til dette senteret. Avstanden til planeten fra Jorden vil da være *R* = |*z'&thinsp;*| og varierer med posisjonen til planeten.

At denne bevegelsen nå er ekvivalent med en episyklisk bevegelse, vises ved at planetens posisjon kan omskrives til

:  z' = re^{i\omega t} + ae^{i\omega t} e^{-i\omega t}  

Første ledd angir et punkt på deferenten eller «føringssirkelen» hvor sentrum til episyklen i siste ledd befinner seg. Den har radius *a*. Planeten befinner seg på episyklen, men roterer her nøyaktig motsatt til punktet på deferenten. I figuren er derfor linjestykket TO alltid parallelt med og like langt som PS hvor planeten befinner seg i S med Jorden i T som er sentrum til den sorte deferenten.

### Årstidene

For å beskrive Solens gang på himmelen og dermed lengden av årstidene, valgte Hipparkhos å gjøre bruk av den eksentriske beskrivelsen. Jorden befinner seg da i en viss, liten avstand fra sentrum til den sirkel som Solen følger. Retningen som forbinder disse to punktene, er apsidelinjen. Den forbinder banens apogeum med dens perigeum.

Vårjevndøgnspunktet var bestemt ved observasjoner og ble funnet å ligge omtrent 65&deg; fra apsidelinjen på den tiden Hipparkhos levde. Vinkelrett på linjen som forbinder de to jevndøgnspunktene, er linjen som knytter de to solhvervene sammen. Lengden på de forskjellige årstidene er nå gitt ved den tiden som Solen tilbringer i de fire sektorene av dens bane definert ved denne linjen og apsidelinjen. Da det ble antatt at bevegelsen i sirkelbanen skjer med konstant hastighet, er de dermed også gitt ved de tilsvarende buelengdene langs sirkelen. For eksempel er våren gitt ved tiden Solen tilbringer i sin ferd fra vårjevndøgn til sommersolhverv, mens sommerens lengde er gitt ved bevegelsen fra dette punktet til høstjevndøgn.

Lengdene til de forskjellige årstidene var allerede funnet et par hundre år tidligere av Kallippos. Mer presise observasjoner og beregninger av Hipparkhos viste at våren på den tiden var 94 dag, sommeren hadde en lengde på 92 dag, høsten var 88 dag lang, mens vinteren varte 90 dager. Det ga det tropiske året en total lengde på 365 dager.

Ut fra disse størrelsene og datidens trigonometri kunne nå eksentrisiteten i banen beregnes. Den er gitt ved avstanden fra Jorden til sirkelens sentrum. Mer generelt kan den angis som forholdet mellom denne avstanden og radius i sirkelen, 

:  e = {\text{OT}\over \text{OP}} = {1\over 24} 

Denne verdien fikk sin endelige forklaring nærmere 1800 år senere da Kepler viste at den riktige banen har form som en ellipse med en tilsvarende verdi for eksentrisiteten.

Lengden til de forskjellige årstidene er i dag litt forskjellig fra hva de var på Hipparkhos' tid. Det skyldes hovedsaklig at apsidelinjen dreier seg langsomt bort fra  vårjevndøgnspunktet. Mens vinkelen mellom dem på den tiden var rundt  65&deg;, er den i dag noe over 100&deg;. Det tilsvarer at vår og sommer nå er like lange med 93 dager, mens vinteren varer 89 dager og høsten én dag lenger.

### Trigonometri

Hipparkhos utvidet sin eksentriske modell for Solen til også å gjelde for Månens bevegelse. Den kunne han tilpasse til tidligere sol- og måneformørkelser slik at den også ga ham muligheten for å beregne når de samme fenomenene ville opptre igjen. Det synes ikke å være kjent at han utarbeidet noen lignende beskrivelse for planetenes bevegelser.

Bak disse betraktningene lå en stor mengde detaljerte beregninger som involverte sirkler og deres skjæringspunkt med rette linjer. For å forenkle disse og samtidig unngå gjentagelser, utarbeidet Hipparkhos de første, trigonometriske tabeller. De inneholdt lengdene til forskjellige korder i en sirkel som funksjon av periferivinkelen *v&thinsp;*/2  de utspenner. Hvis *r&thinsp;* er radius i sirkelen, er denne funksjonen ekvivalent med den moderne sinus-funksjonen da

:  \mbox{crd}\ v = 2r \sin {v\over 2} 

hvor 2*r&thinsp;* er diameteren i sirkelen. På denne måten er crd&thinsp;90&deg; = *r*&thinsp;&radic;2&thinsp; og . Herav kunne kordene til noen mindre vinkler beregnes ved en trigonometrisk identitet som gir sinus til den halve vinkel uttrykt ved sinus eller cosinus til den hele vinkel.

Denne sammenhengen kan bevises ved å betrakte en rettvinklet trekant ABC innskrevet i sirkelen hvor siden AB utgjør hypotenusen og dermed er en diameter. Siden BC er da en korde hvis periferivinkel er i hjørnet A slik at den har lengde  2*r&thinsp;*sin*v*. Linjen DF fra sirkelens sentrum D står vinkelrett på denne korden. Dermed er de to kordene BF og CF like lange og utspenner den samme periferivinkel *v*&thinsp;/2. Hvis man nå benytter Pythagoras' setning på trekanten BEF, er  eller

:  \Big(2r \sin {v\over 2}\Big)^2 = (r\sin v)^2 + (r - r\cos v)^2  

Det gir den ønskede identiteten

:  2 \sin^2 {v\over 2} = 1 - \cos v 

hvor man kan benytte at cos&thinsp;*v* = sin&thinsp;(90&deg; - *v*&thinsp;). Fra utgangspunktet sin&thinsp;30&deg; = 1/2 finner man nå 

:  \sin 15^\circ = {1\over 2} \sqrt{2 - \sqrt{3}} 

som dermed også gir sin&thinsp;&deg; på samme vis. På denne måten kunne Hipparchos beregne alle korder mellom 0&deg; og  90&deg; i stepp på &deg;. Mellomliggende verdier kunne så finnes ved interpolasjon.

## Antikythera-mekanismen

En viktig indikasjon på den nøyaktighet og presisjon som betegnet gresk astronomi på den tid Hipparkhos levde, er Antikythera-mekanismen. Restene av den ble funnet i et skipsvrak ved Antikythera utenfor Hellas i 1900. Etter rengjøring og lange undersøkelser er man kommet frem til at det var et slags astronomisk ur som viste planetenes gang på himmelkulen. Om dette skulle være en numerisk korrekt fremstilling eller bare en illustrasjon av de virkelige forhold til undervisningsformål, er fremdeles ikke klart. Noen kaller innretningen for verdens første, «mekaniske computer».

Ut fra restene å dømme hadde den omtrent samme størrelse som en moderne skoeske og befant seg inni en boks av tre. På frem- og baksiden befant det seg visere som indikerte posisjoner og tidspunkt. Mest sannsynlig var den utstyrt med en sveiv på den ene siden. Ved å dreie på denne, kunne hele innretningen settes i bevegelse, Den besto av omtrent 30 store og små tannhjul laget av bronse. Både utvendig og innvendig er det funnet en stor mengde tekstfragmenter som gir en viss forståelse av dens virkemåte. Mest sannsynlig viser den posisjonene til Solen, Månen og noen av planetene og hvordan de varierer med tiden. Det ville muliggjøre en forutsigelse av fremtidige sol- eller måneformørkelser. Dette nivået av finmekanikk ble ikke nådd igjen før nesten 1000 år senere med de første, arabiske armillarsfærene og noen hundre år deretter med forskjellige astronomiske ur som ble konstruert i Europa og andre steder.

## Ptolemaios

Høydepunktet av gresk astronomi ble nådd i det andre århundret e.Kr. med Klaudios Ptolemaios. Han gjorde selv observasjoner, men satte de største spor etter seg i teoretisk astronomi med utvikling av nye, matematiske fremgangsmåter og etablering av **ekvantteorien** for planetenes bevegelse. Dette var en utvidelse av episykelteorien til Apollonios og ga en mer nøyaktig forklaring på deres retrograde bevegelser. Storparten av hva vi i dag vet om gresk astronomi, stammer fra hans store verk *[[Almagest]]*. Det besto av 13 bøker som i logiske stepp bygger opp et fullstendig verdensbilde. I løpet av de neste 1500 år kom  det til å innta en like dominerende rolle i astronomien som Euklids *[[Euklids Elementer|Elementer]]* hadde innen matematikken.

Innledningen til verket er presentert i Bok I. Den inneholder de fundamentale antagelsene som han vil gjøre bruk av. De er i stor grad basert på aristoteliske idéer om en sfærisk verden med en ubevegelig Jord i dens sentrum. All bevegelse på himmelkulen skal være i form av sirkler. Det matematiske grunnlaget blir gjennomgått og en mer nøyaktig tabell over kordelengder blir utarbeidet. I denne forbindelse bevises Ptolemaios' setning. Basert på tidligere arbeid av Menelaos, gis her også en innføring i sfærisk trigonometri. Dette blir benyttet i Bok II til å forklare de daglige fenomen som er styrt av Solens gang på himmelkulen og hvordan de avhenger av tidspunkt og sted på Jorden. Hipparkhos eksentriske modell for Solen blir beskrevet i Bok III og denne blir omtrent uforandret overtatt i det følgende. Bok IV og V omhandler en beskrivelse av Månens mer kompliserte bevegelse og hvordan den er påvirket av Solen. Dette blir benyttet i Bok VI til å beregne sol- og måneformørkelser. I Bok VII og VIII presenterer han en stjernekatalog med koordinater for over 1000 stjerner i forskjellige konstellasjoner. De resterende bøkene omhandler de indre og ytre planetene med deres retrograde bevegelser. Det er her han utvikler ekvantteorien og beregner mange av dens konsekvenser.

Et annet verk «Planetariske hypoteser» gir en forenklet oppsummering av dette verdensbildet og de forskjellige resultat han er kommet frem til. Av særlig matematisk betydning fikk også hans verk *Planisphaerium* hvor han for første gang gjør bruk av en stereografisk projeksjon for å avbilde den krumme himmelkulen med dens stjerner og planeter på en plan flate ved en projeksjon fra en av kulens to poler. Den ligger til grunn for utformingen av dagens planisfærer.

### Ekvantteori

Apollonios hadde vist at en eksentrisk bane for Solen er ekvivalent med en beskrivelse hvor den befinner seg på en episykel hvor rotasjonen skjer i motsatt retning til bevegelsen av dens sentrum langs **deferenten** eller «styringssirkelen». Derimot når disse to rotasjonene skjer i samme retning, vil en planet på episykelen bevege seg periodevis i motsatt retningen til bevegelsen av dens sentrum. En slik fremstilling kan derfor gi en forholdsvis enkel forklaring på tilsynelatende retrograd bevegelse som alle planeter har. Samtidig oppfyller den det aristoteliske kravet om at all bevegelse skal skje på sirkler med jevn hastighet om deres senter,

Men ved mer nøyaktige undersøkelser fant Ptolemaios at denne beskrivelsen ikke kunne forklare detaljene ved de retrograde vandringene. Det gjaldt både for tidspunktene de opptrådte og deres varighet. Dette kan være en av grunnene til at Hipparkhos som kjente til episykelteorien, ikke hadde befattet seg i noen særlig grad med dette problemet.

Ptolemaios innså at han kunne oppnå mer nøyaktige resultat ved å la senteret til episyklene bevege seg på den sirkulære deferenten rundt et nytt **ekvantpunkt** som ikke lenger er dens sentrum. På samme måte som i den eksentriske modellen for Solen, plasserte han Jorden til siden for dette senteret og med det nye ekvantpunktet i samme avstand på motsatt side av dette. Dermed vil episykelsenteret bevege seg raskest når det blir sett fra Jorden og befinner seg nærmest denne i overensstemmelse med observasjonene. Men samtidig var dette også et brudd med det aristoteliske kravet.

Denne forbedrete teorien kunne benyttes både for de to indre planetene Merkur og Venus samt de tre ytre Mars, Jupiter og Saturn. Ptolemaios kjente ikke avstandene til noen av dem, men kunne bestemme forholdene mellom radius til episykel og radius til deferenten for hver av dem. Omløpstiden til episykelsenteret til de ytre planetene var lik med deres tropiske perioder, mens for planeten på selve episykelen var denne lik med planetens synodiske periode. Dette medførte at retningen til en ytre planet fra dens episykelsenter  er den samme som retningen fra Jorden til Solen. På lignende vis fant Ptolemaios at episykelsentrene til de to indre planetene alltid ligger på en rett linje med samme retning som denne. En slik sammenheng kunne han ikke gi noen forklaring på, men det var utgangspunktet for at Kopernikus over tusen år senere foreslo sitt heliosentriske verdensbilde.

### Heliosentrisk sammenheng

Selv om det nye verdensbildet til Kopernikus på mange måter var enklere enn hva Ptolemaios hadde tenkt seg, ga det ikke mer nøyaktige resultat for planetenes bevegelser. Det var en av grunnene til at det ikke fikk en raskere akseptans. Men det ga en enkel forklaring på hvorfor episykelteorien og dens utvidelser hadde vært så vellykket. Den nevar ikke noe annet enn en transformasjon av Kopernikus sine sirkulære planetbaner om Solen når de blir sett fra Jorden som beveger seg på samme måte. For en ytre planet tilsvarer da deferenten dens bane om Solen, mens episykelen beskriver Jordens bevegelse om Solen. At bevegelsen langs deferenten ikke er helt jevn og må tilskrives et eksentrisk ekvantpunkt, ble forst klarlagt av Kepler som viste at planetene beveger seg om Solen  ikke i sirkler, men langs ellipser.

Banen til planeten Mars har den største eksentrisiteten av de ytre planetene og er derfor den hvor ellipseformen er tydeligst. Ptolemaios hadde for denne planeten funnet eksentrisiteten   som er svært nær dagens verdi . Hans resultat for planetens bevegelse viser seg da å være i overensstemmelse med Keplers resultat når man ser bort fra korreksjoner proporsjonale med *e*&thinsp;2 og derfor kan neglisjeres.

En ekvantteoretisk beskrivelse av denne planeten vil plassere den på en sirkel med radius  = *a&thinsp;* med Solen i et punkt S med avstand  fra sentrum O. Ekvantpunktet E ligger like langt fra dette på motsatt side. Linjen EM danner vinkelen &Phi; med apsidelinjen AP og vokser proporsjonalt med tiden. Fra Solen danner retningen til planeten en vinkel &Psi;, mens fra sentrum sees den under vinkelen &Theta;. Ved å bruke sinussetningen på trekantene OME og OMS, har man sammenhengene

: \sin(\Theta - \Phi) = \sin(\Psi - \Theta) = e\sin\Theta 

Når eksentrisiteten *e&thinsp;* nå antas å være svært liten, betyr dette at  og . Denne siste sammenhengen tilsvarer  Keplers ligning hvor vinkelen &Phi; representerer den midlere anomalien og &Theta; står for den eksentriske anomalien. Retningen fra Solen til planeten uttrykkes ved den sanne anomalien &Psi;. Den varierer dermed med tiden som

:  \Psi = \Phi + 2 e\sin\Phi 

etter at man har satt &Theta; = &Phi; i siste ledd siden det allerede er proporsjonalt med eksentrisiteten. Dette er i overensstemmelse med hva som følger fra Keplers lpver til laveste orden i *e*.

Avstanden fra Solen til planeten er gitt ved lengden *r* =  SM. Ved å projisere punktet S ned på linjen OM, ser man at denne lengden er

:  r = a(1 - e\cos\Psi) 

når man igjen erstatter &Theta; med &Psi; i siste ledd. Dette er i overensstemmelse med Keplers første lov som sier at banen har form som en ellipse. Til første orden i eksentrisiteten *e&thinsp;* er dens to halvakser like store. Solen er i et fokus til ellipsen, mens ekvantpunktet er i det andre eller «tomme» fokuset.

## Se også

* Astronomiens historie
* Geosentrisme
* Episykel
* Heliosentrisme

## Referanser


## Litteratur
* Aaboe, Asger, *Episodes from the Early History of Astronomy*, Springer (2001).
* Dreyer, J.L.E. *A History of Astronomy from Thales to Kepler*, Dover Publications, New York (1953).
* Lloyd, G.E.R. *Early Greek Science: Thales to Aristotle*, W.W. Norton & Co, New York (1970).
* Toomer, G.J. *Ptolemy's [[Almagest]]*, Princeton University Press, New Jersey (1998). ISBN 0-691-00260-6.

## Eksterne lenker
* D.W. Duke, ''Planetary Model Animations'', FSU illustrative animasjoner (2004).
* The Antikythera Calculator (Italian and English versions)