Reductio ad absurdum

**Reductio ad absurdum** (latin for «tilbakeførsel til det meningsløse»), **apagogisk argument** (gresk ἀπαγωγή [*apagōgē*] = «bortledning») eller **bevis ved kontradiksjon** (latin *contradictio* = «motsigelse») er en form for bevisførsel i logikken. Beviset går ut på at *[[sannhet|usannheten]]* av et utsagn er vist når man kan *[[deduksjon|dedusere]]* (avlede) en *[[kontradiksjon]]* (selvmotsigelse) fra dette utsagnet. *Sannheten* av et utsagn kan bevises indirekte når dette utsagnets *[[negasjon]]* (nektelse) på denne måten kan «føres ad absurdum» (eller «reduseres ad absurdum»).

## Eksempler
# Vi ønsker å bevise utsagnet «det eksisterer ikke noen minste positiv brøk». Vi bruker negasjonen av dette utsagnet som premiss og utleder en selvmotsigende konklusjon:
#* Premiss: «Det eksisterer en minste positiv brøk *x*»
#* Konklusjon 1: «Tallet *x* er den minste positive brøken»
#* Definisjon: «Tallet *y* defineres som halvparten av *x*»
#* Konklusjon 2: «Tallet *y* er en positiv brøk og mindre enn *x*»
#* Konklusjon 2 strider mot konklusjon 1. Altså må premisset være usant, og vårt opprinnelige utsagn sant.
# Det klassiske eksempelet på en reductio ad absurdum er Euklids bevis for at kvadratroten av 2 er et irrasjonalt tall (se beviset her).

## Formalisering
Utsagnslogisk kan en reductio ad absurdum formaliseres på en av de følgende måtene (der «&and;» står for «og», «&not;» for «ikke», og «&rarr;» for «hvis–så»):
#[(A \rarr B) \land (A \rarr \neg B)] \Rarr \neg A
#[(\neg A \rarr B) \land (\neg A \rarr \neg B)] \Rarr A
#\{[(A \land B) \rarr C] \land [(A \land B) \rarr \neg C)] \land B\} \Rarr \neg A
#\{[(\neg A \land B) \rarr C] \land [(\neg A \land B) \rarr \neg C)] \land B\} \Rarr A

Eksempelet med en minste positiv brøk er et tilfellet av den første formaliseringen:
: *A* = «Det eksisterer en minste positiv brøk *x*»
: *B* = «Tallet *x* er den minste positive brøken»
: *A* &rarr; *B*
: *A* &rarr; «*x* er en positiv brøk» &rarr; «\tfrac{x}{2} er en positiv brøk og mindre enn *x*» &rarr; &not;*B*
:*A* impliserer altså både *B* og &not;*B* og må dermed være usann.

Hvis en kontradiksjon er utledet fra et *sett* med premisser, viser dette at minst ett premiss er usant; men andre metoder må benyttes for å avgjøre hvilket.

I intuisjonistisk logikk anerkjennes bevisførslene 1 og 3, men ikke 2 og 4.

## Varianter
Det fins noen varianter av bevisførselen, som ofte omtales som «reductio ad absurdum» (i&nbsp;vid forstand), men egentlig utgjør svakere bevisformer:
# (egentlig) *reductio ad absurdum* («slutning til det meningsløse»): avledning av en selvmotsigelse;
# *reductio ad falsum* («slutning til det usanne»): avledning av en (annen) usannhet;
# *reductio ad impossibile* («slutning til det umulige»): avledning av en *[[empiri]]sk* umulighet;
# *reductio ad incommodum* («slutning til det ubeleilige»): avledning av en (annen) uforklarlig påstand.
# *reductio ad ridiculum* («slutning til det latterlige»): avledning av en (annen) usannsynlig påstand;

De to første formene er logisk allmenngyldige og kan derfor regnes som tvingende bevis.

Den tredje formen er bare gyldig i den grad det er absolutt *sikkert* at utledningen representerer en umulighet – men siden empiriske (f.eks. fysiske) utsagn aldri er sikre, kan ikke en *reductio ad impossibile* regnes som noe bevis i egentlig forstand. «Beviset» er uansett aldri sikrere enn den empiriske kunnskapen som legges til grunn.

De to sistnevnte formene kan ikke kalles bevis i det hele tatt, men fungerer kun som et mer eller mindre plausibelt argument eller som et retorisk virkemiddel. I&nbsp;hverdagsspråket brukes «reductio ad absurdum» gjerne i en av disse siste betydningene.

## Historie
Uttrykket kan spores tilbake til gresk (ἡ ἐις ἄτοπον ἀπαγωγη [*hē eis átopon apagōgē*] = «reduksjon til det umulige»). Det ble bl.a. brukt av Aristoteles.

## Litteratur
* 
*