Vekselstrøm

**Vekselstrøm** refererer til elektrisk strøm som endrer sin retning (polaritet) syklisk med tiden, slik at  positive og negative øyeblikksverdier er gjentagende, og slik at middelverdien av strømmen over tid er lik null. Ordet brukes også generelt som en benevnelse for et elektrisk kraftsystem med vekselspenning. Det motsatte av vekselstrøm er likestrøm, der strømmen og spenningens polaritet ikke skifter.

På verdensbasis er praktisk talt all elektrisk energiforsyning basert på sinusformet vekselstrøm. Årsakene til dette er at produksjon, overføring, transformering, omforming (endring av frekvens) og bruk av elektrisitet med vekselspenning er det mest økonomiske og tekniske optimale. For husholdninger er enfase vekselstrøm det mest vanlige, mens for all annen energioverføring er trefasestrøm enerådende.

Høyfrekvente vekselstrømmer blir brukt i telekommunikasjon, i medisinsk utstyr og i en rekke annet type elektronisk utstyr.

Teknikken for å beskrive, beregne og kalkulere komponenter og systemer for vekselstrøm gjør bruk av en rekke matematiske teknikker. Det er utviklet metoder som har til hensikt å forenkle beregningene ved hjelp av forskjellige transformasjoner. Dermed kan enkle konsepter fra kretsanalyse for likestrøm benyttes. For eksempel er behandling av vekselstrøm og -spenning som tidsvariable reelle trigonometriske funksjoner tungvint, mens transformasjon over til kompleksplanet gjør beregningene betydelig enklere.

## Begrepsavklaring

International Electrotechnical Commission (IEC) definerer vekselstrøm slik: «En strøm som er en periodisk funksjon av tid der likestrømkomponenten er lik null, eller som er så liten at den kan neglisjeres.» Definisjonen av vekselspenning i IEC's termliste er eksakt lik, og i elektroteknikken forekommer disse to størrelsene som gjensidig avhengige fysiske størrelser, der impedansen i lasten (som strømmen går gjennom og spenningen ligger over) gir forholdet mellom dem.

Både i dagligtale og i fagsammenheng betegner vekselstrøm elektrisk energiforsyning (kraftforsyning eller kraftoverføring) basert på sinusformet vekselspenning og -strøm. Konseptuelt spiller det ingen stor rolle om et slikt kraftsystem omtales med sin sinusformede spenning eller strøm. Uttrykket brukes ofte for å poengtere forskjellen fra likestrøm, uavhengig om det egentlig dreier seg om en spenning. I dagligtale er strøm brukt for elektrisitet generelt (strøm og spenning), mens i fagspråk benyttes begrepene strøm og spenning strikt adskilt. 

I engelsk språkbruk brukes begrepet *AC* som står for «Alternating current» og som direkte oversatt betyr «vekslende strøm», dette i motsetning til *DC* som står for «Direct current», altså likestrøm. Også i engelsk språkbruk er det vanlig å omtale elektrisk kraftforsyning som AC.

## Historisk utvikling

### De aller første forsøkene med en elektrisk motor
Den første generator som produserte en spenning basert på elektromagnetisk induksjon ble konstruert i 1832 av den franske instrumentmakeren Hippolyte Pixii. Dette ble diskutert på et møte i Det franske vitenskapsakademiet (Académie des Sciences) i september 1832, og allerede i juli ble oppfinnelsen omtalt i *Annales de Chimie*. Denne enkle generatoren består som tegningen til høyre viser av en hesteskoformet permanentmagnet som roterer under to spoler. Utover 1800-tallet var det mange forsøk på å lage en fungerende og praktisk nyttig generator og elektrisk motor, men få lykkes med å få noen særlig stor ytelse ut av sine maskiner.

Den tyske ingeniøren og fysikeren Moritz Hermann von Jacobi holdes for å være den første til å lage en praktisk anvendbar elektrisk motor. Han skrev i *Annalen der Physik* i mai 1834 at han hadde konstruert en elektrisk motor som utviklet en effekt på 15 W. Et år tidligere hadde den amerikanske smeden Thomas Davenport gjort det kjent at han hadde konstruert en elektrisk motor som kunne yte 4,5 W. Det virkelige gjennombruddet kom da von Jacobi lykkes med å konstruere en motor som kunne yte 300 W. Han brukte motoren til å drive en båt, som han under en demonstrasjon fraktet 14 personer over en elv i St. Petersburg. For å drive motoren hadde båten sinkbatterier med en samlet vekt på 200 kg. Denne båtturen fant sted den 13. september 1838. I årene etter og frem til 1866 ble det tatt ut hele 100 patenter på elektriske motorer bare i England.

### En generator til en vellykket motor
Det ble gjort fremskritt for å utvikle en brukbar elektrisk motor, men problemet var vekten og kostnadene for batteriene. R. Hunt skrev i *British Philosophical Magazine* i 1850 at det kostet 25 ganger så mye å bruke en elektrisk motor enn en dampmaskin, målt fra det samme arbeidet. Oppfinnerne måtte innse at en vellykket motor også måtte ha tilknytting til en generator for å produsere elektrisk energi billig og rasjonelt. Både en god konstruksjon av en generator og et kraftsystem måtte se dagens lys, før en elektrisk motor kunne bli noen suksess.

### Strømkrigen

Alle de tidlige eksperimentene med elektriske motorer og generatorer skjedde med likespenning. På slutten av 1800-tallet ble elektrisitet først og fremst brukt til belysning. For å drive  lysbuelamper, som på denne tiden var vanlig, fungerte det fint å bruke likestrøm. I USA bygget Thomas Edison opp et stort forretningsimperium bygget på systemer for likestrøm. En av verdens første kraftstasjoner, Pearl Street Station, ble satt i drift i New York i 1882, og det var Edisons firma som sto bak. Edison var grunnlegger av General Electric.

En av Edisons store rivaler var oppfinneren og industrimannen George Westinghouse. Westinghouse ble oppmerksom på den serbisk-amerikanske ingeniøren Nikola Tesla som gjorde flere fremskritt med systemer for vekselstrøm. Tesla arbeidet med eksperimenter med tofasede generatorer, overføringslinjer med fire *faseledere* og tilhørende motorer. Edison på sin side uttrykte liten tro på at noe vellykket vekselstrømsystem noen gang ville se dagens lys. Disse stridighetene er kjent som strømkrigen.

Imidlertid har kraftsystemer basert på likestrøm den store ulempen at avstanden mellom kraftverket med generatorene, og forbrukerne ikke kan være særlig lang. Grunnen er at disse systemene ikke kan få noen særlig høy spenning. Dette har blant annet sin årsak i konstruksjonsmessige forhold i en likestrømsgenerator. En annen ting er at en innretting for å heve spenningen, som en transformator gjør i et vekselstrømssystem, ikke var mulig før moderne kraftelektronikk ble utviklet. Disse forholdene gjør at spenningen må holdes lav og dermed vil spenningsfallet bli stort over lengre avstander.

### Vanskene med en fungerende vekselstrømsmotor
 

Den italienske professoren Galileo Ferraris lyktes å bygge en liten tofase asynkronmotor i 1885. Ferraris trodde feilaktig at en slik maskin aldri kunne oppnå en større virkningsgrad en 50 %. Han mistet derfor interessen for videreutvikling av sitt prinsipp. På denne tiden var det flere i Europa som arbeidet med å lage en praktisk anvendbar vekselstrømsmotor. 

Den første som både konstruerte en trefasemotor og lyktes med å få denne satt i produksjon var sveitsisk-russeren Mikhail Dolivo-Dobrovolskij. Han var sjefingeniør ved Allgemeine Elektricitäts-Gesellschaft (AEG), og i 1889 fant han opp en trefase asynkronmotor som virket svært lovende. Samtidig oppfant han flere andre viktige oppfinnelser, blant annet av en transformator som han også fikk patent på i 1889. Dolivo-Dobrowolsky var også den første til å finne ut at *vinklingene* i en motor eller generator kan kobles i *stjerne* eller *trekant*. Han fant videre ut at et trefasesystem ikke behøver mer enn tre ledere for overføring av elektrisk energi. Samtidig fikk svensken Jonas Wenström i april 1889 patent på et trefasesystem. Wenström bygde i 1893 en 13 km lang trefase kraftledning i Sverige. Han hadde sannsynligvis gjort sine eksperimenter uten å vite at andre også utviklet trefasesystemer.

### Utviklingen av transformator for kraftoverføring

Høsten 1884 ble de tre ingeniørene Károly Zipernowsky, Ottó Titusz Bláthy og Miksa Déri (kjent som ZBD-gruppen) tilknyttet den ungarske fabrikken Ganz. I 1885 sendte de inn en felles patentsøknad for nye transformatorer (senere kalt ZBD-transformatorer). Her ble to konstruksjoner beskrevet med lukkede magnetiske kretser hvor viklingene av kobber enten var rundt en ringkjerne av jerntråd,  eller omgitt av en jernkjerne. I løpet av høsten 1884 hadde Ganz-fabrikken utført leveringer av verdens fem første høyeffektive transformatorer for vekselstrøm, den første av disse enhetene forlot fabrikken den 16. september 1884. Denne første enheten hadde følgende spesifikasjoner: 1400&nbsp;VA, 40&nbsp;Hz, 120/72&nbsp;V, 11,6/19,4&nbsp;A, enfase og mantelkjerne. De nye transformatorene var 3,4 ganger mer effektiv enn de tidligere konstruksjoner med åpen jernkjerne. 

ZBD-gruppens patenter inkluderte to andre store nyvinninger: I stedet for å seriekoble lastene lot de forbruksapparatene heller være parallellkoblede. Den andre oppfinnelsen gikk ut på å ha veldig stort *vindingsforhold*, forholdet mellom antallet *vindinger* i viklingen på transformatorens primær- og sekundærside. Dermed kunne spenningen i forsyningsnettet være mye høyere (opprinnelig 1400 til 2000 V) enn spenningen som ble benyttet til lampene (lastene) (100 V ble opprinnelig brukt). Med parallellkoblede laster i distribusjonsnettet og lukket jernkjerne i transformatorene var det endelig teknisk og økonomisk mulig å anvende vekselstrøm til belysning utendørs og i boliger og bedrifter. Bláthy hadde foreslått bruk av lukkede jernkjerner, Zipernowsky hadde ideen om parallellkoblede belastninger og Déri hadde utført de praktiske forsøkene.

I 1886 konstruerte ZBD-gruppen verdens første kraftverk (Roma-Cerchi kraftverket) som brukte vekselstrømsgeneratorer til å forsyne det elektriske nettverket. Her var det igjen Ganz-fabrikken som leverte alt elektrisk utstyr.

### Den internasjonale elektrotekniske utstilling i Frankfurt am Main

Gjennombruddet for vekselstrøm regnes å være Den internasjonale elektrotekniske utstillingen i 1891 i Frankfurt am Main i Tyskland. Til denne utstillingen ble det bygget en 175 km lang kraftlinje med en spenning på 25 kV. Dette var en trefaselinje som kunne overføre 220 kW, og energien ble brukt til å drive en pumpe som sørget for vann i et kunstig fossefall i en av paviljongene på utstillingen. Det var for øvrig Dolivo-Dobrowolsky som konstruerte kraftledningen og Maschinenfabrik Oerlikon og AEG som produserte utstyret.

Til denne utstillingen kom det ingeniører og industriherrer fra hele verden. Disse skjønte raskt at bare et system basert på vekselstrøm kunne overføre store energimengder over store avstander. De store foretakene som Siemens, General Electric og Westinghouse begynte etter dette å utvikle systemer og komponenter for vekselstrøm. Nikola Tesla ble engasjert av Westinghouse for å bygge den første kraftledningen i USA for trefase vekselspenning. Denne stod ferdig i 1896, og gikk fra Niagarafallene til Buffalo i delstaten New York.

## Moderne kraftforsyning
### Betydningen av høy spenning

Vekselstrøm demonstrerte sin overlegenhet i forhold til likestrøm i 1890-årene, spesielt med tanke på overføring av elektrisk energi over store avstander. Etter dette skjedde en rask utbygging av kraftsystemer over hele verden. Som påpekt i avsnittene over var det en grunnforutsetning med høy spenning for overføring av elektrisitet over lange avstander. Dette har å gjøre med tapene i kraftledningene som er gitt av forholdet P = RI2, der P er effekten som utvikles i kraftledningen (og fører til varmetap), R er den ohmske motstanden i kraftledningen og I er strømmen som skal overføres. Strømmen skal kvadreres slik at det betyr mye for tapene om denne er stor. 

Effekten som skal overføres er gitt av uttrykket P = IU. Av dette enkle uttrykket ser en at om det skal overføres en gitt effektmengde, er det likegyldig om I eller U er stor. Derimot spiller dette en stor rolle for tapene; derfor velges en stor spenning, og dermed reduseres strømmen og varmetapene i overføringen. På lignende måte reduseres også spenningsfallet i kraftledningen. Med en sinusformet strøm og spenning kan transformatorer brukes mellom forskjellige nettnivåer, slik at spenningen tilpasses det som er teknisk/økonomisk optimalt. 

For store generatorer i kraftstasjoner er spenningen typisk i området 11–35 kV. I kraftoverføringen i sentralnettet er spenningen mellom 230–500 kV, men dette varierer mye fra land til land. I Nord-Amerika er 500 kV ofte høyeste spenning, i Europa noe lavere. I regionalnettet er spenningen ofte mellom 69–138 kV og for distribusjonsnettet ligger den mellom 4,0–34,5 kV. Som forbrukerspenning er 120 og 240 V vanlig i Nord-Amerika, mens i Europa og mange andre regioner er spenningen typisk 230 V.

Siden 1950-årene ble det forsket på likeretterteknologi for å overføre store energimengder over svært store avstander. Dermed ble likestrøm for kraftoverføring i spesielle situasjoner attraktivt. Dette konseptet kalles for HVDC (*High Voltage Direct Current*). Det første kommersielle anlegget var strømforsyningen fra Fastlands-Sverige til øygruppen Gotland i 1954. Her ble det brukt en sjøkabel på 96 km. Konseptet med HVDC brukes som nevnt i spesielle tilfeller, dette gjelder kraftoverføring på over 500 km og i forbindelse med kabler lengre enn 50 km. Fremdeles er det vekselstrøm som har klart størst utbredelse. 

### Trefaset vekselstrøm for motordrift

Som nevnt i den historiske oversikten eksperimenterte Tesla og andre med systemer for én- og tofase vekselstrøm, men uten at dette førte frem til en vellykket motor. Det var først med trefasesystemet at en fikk motorer som gav stor praktisk nytte. Årsaken til dette er at med trefasestrøm er det mulig å få et roterende symmetrisk magnetfelt. Dermed vil drivmoment på rotoren være høyt både ved oppstart og drift ved normalt turtall. Ved å endre på antallet og distribusjonen av de elektriske viklinger (spoler) i en motor kan forskjellige hastigheter oppnås.  Dette er et viktig grunnlag for vekselstrømsmotorer (asynkron- eller synkronmaskiner). Riktignok vil en- eller tofasemotorer kunne rotere, men tilstrekkelig startmoment og ujevnt moment er blant ulempene. Det finnes mange typer elektriske motorer som ikke trenger forsyning med trefasestrøm, men disse konstrueres sjeldent for store ytelser.

En ulempe med vekselstrømsmotorer er at de i sin natur har en hastighet gitt av frekvensen til spenningen. Med utviklingen av halvlederteknologi er det imidlertid i dag vanlig med små og billige omformere som kan styre turtallet for elektriske motorer innenfor et stort område. Disse ulempene med vekselstrømsmotorer er årsaken til at strømforsyning til tog, trikker og tunnelbaner tidligere kun ble forsynt med likespenning. I slike motordrifter er hastighetsstyring vesentlig og likestrømsmotorer utmerker seg med sin enkle kontroll av turtallet.

Vekselstrøm har store fordeler sammenlignet med likespenning ved at kraftsystemene kan ha flere forskjellige spenningsnivåer. Store kraftsystemer har fordeler ved at systemene kan ha stor pålitelighet uten at den totale reservekapasiteten må gjøres uforholdsmessig stor. Forskjellige energikilder kan utnyttes over et stort geografisk område, for eksempel er praktisk talt hele Nord-Amerika sammenkoblet til ett stort kraftnett. Av andre fordeler kan nevnes at vekselstrømsgeneratorer er mye enklere i sin oppbygging enn generatorer for likestrøm. På samme måte er også vekselspenningsmotorer enklere og billigere.

### Vekselspenningskilden

Synkronmaskinen er i dag så å si enerådende som generator. Synkrongeneratorens navn henspiller på at frekvensen til spenningen som blir generert er proporsjonal med turtallet til rotoren. Rotoren kalles også polhjulet og har elektriske viklinger som gir et magnetisk felt. Rotoren forsynes via sleperinger fra en ytre likespenningskilde. Altså motsatt av animasjonen til høyre der den ytre kretsen er koblet til rotoren via sleperingene.

For mindre lokal elektrisitetsforsyning kan strømforsyningen gjøre bruk av vekselrettere basert på halvlederelektronikk, også kalt kraftelektronikk. Det kan for eksempel være snakk om solcellepaneler som produserer likestrøm som må omformes til vekselstrøm for å kunne overføres over kraftnettet. Et annet tilfelle kan være reservestrømforsyning, som brukes ved brudd i overliggende kraftnett, der elektriske batterier som gir likespenning omformes til vekselspenning.

## Andre bruksområder for vekselstrøm
Innenfor luftfart, maritime installasjoner, marinefartøyer og romfart brukes det i en viss utstrekning systemer for kraftforsyning med 400 Hz. Fordelen med dette er at vekten av apparater kan bli mindre og at motorer kan ha høye hastigheter.

Vekselstrøm med høye frekvenser brukes til induktiv oppvarming i forbindelese med induksjonsplater. Her er det vanlig med vekselstrøm med frekvenser mellom 20 – 100 kHz. Oppvarmingen skjer ved at det oppstår virvelstrømmer i kjeler med bunn av ferromagnetisk materiale (jern).

Et annet bruksområde er dielektrisk oppvarming, for eksempel lameller av tre som en ønsker å lime sammen og gi spesielle former. Ved at det settes opp et elektrisk felt med høy frekvens utvikles det varme i limet og dette tørker hurtig. Dette kan være aktuelt ved møbelproduksjon. 

Innenfor en rekke elektroniske anvendelsesområder brukes høyfrekvent vekselstrøm, som telefoni, radio, fjernsyn og radarer. Innenfor disse fagfeltene er gjerne den høye frekvensen en egne utfordring ved at skinneffekt oppstår i lederne. Det vil si at strømmen går i overflaten av lederne og at bare en liten del av tverrsnittet bærer strøm. En måte å bøte på dette er å gi lederne meget tynne kordeler.

## Matematisk beskrivelse
### Sinusformet vekselstrøm og spenning

Av fundamental betydning for all energiforsyning med vekselstrøm er at strømmer og spenninger  varierer som en sinusfunksjon med tiden. En generell sinusformet vekselstrøm og -spenning kan skrives:

:i(t)=\hat i \cos(\omega t + \phi)

:v(t)=\hat u \cos(\omega t + \phi)

der
:i = momentanverdien av strømmen i tidspunktet t [A]
:u = momentanverdien spenningen i tidspunktet t [V]
:\hat i  = maksimumsverdi for strømmen, også kalt amplitude [A]
:\hat v  = maksimumsverdi for spenningen, også kalt amplitude [V]
:\omega \,  = vinkelfrekvens i radianer [s-1]
:t = tiden [s]
:\phi = fasevinkel, faseforskyvning [rad]

Tiden for en periode, *sykluser*, *perioden* eller *periodetiden* er:

:T=\frac{2\pi}{\omega}\, 

Antall perioder per sekund, *frekvensen* eller *periodetallet* er:

:f = \frac {\omega} {2 \pi} = \frac {1} {T} \, 

Vinkelfrekvensen som er brukt i funksjonene over er gitt av følgende sammenheng med frekvensen:

:\omega = 2 \pi \cdot f

Enheten for frekvens er Hz, for periodetiden [s-1] og for vinkelfrekvens [rad/s].

### Karakteristiske størrelser for en vekselstrøm eller spenning





I figuren til høyre er det vist fire forskjellige størrelser for en sinusformet vekselspenning, disse vil være de samme for vekselstrøm. Størrelsene kan beskrives slik:

# Amplitude eller toppverdien \scriptstyle \hat u 
# Topp-til-toppverdien \scriptstyle u_{topp-topp} (engelsk peak-to-peak value). For symmetrisk sinusformet strøm eller spenning er denne dobbelt så stor som toppverdien
# Effektivverdi eller RMS-verdien. Forholdet mellom RMS-verdi og amplitudeverdi er gitt av \scriptstyle U_{rms} = \frac{\hat u}{\sqrt {2}}. Amplitudeverdien er \scriptstyle \sqrt {2} = 1,414 ganger større enn effektivverdien. Utledningen av denne verdien blir vist nedenfor
# Periodelengden er tiden for et helt forløp av sinuskurven. Denne størrelsen er forklart i avsnittet over.

Med en nettfrekvens 60 Hz som brukes i USA og Canada har en periodetid på T = 16,67 ms, mens med en frekvens på 50 Hz blir periodetiden T = 20 ms. For banestrømforsyning i Sveits, Østerrike, Tyskland, Sverige og Norge er 16 ⅔ Hz vanlig, og periodetiden for denne er 60 ms.

### Effektivverdi – RMS

Tidsvarierende spenninger og strømmer er upraktiske størrelser for kalkulasjoner og beregninger, og en generell måte å beskrive en størrelse som kan være både positiv og negativ er effektivverdier eller rms. Begrepet rms er vanlig i norsk ordbruk, og står for *root-mean-square*. En norsk oversettelse av rms kan være «kvadratroten av det kvadrerte gjennomsnittet». Metoden går ut på at størrelsen, her en kontinuerlig sinusfunksjon for strøm eller spenning først kvadreres, så finner en gjennomsnittet og deretter tas kvadratroten av dette. Ut fra dette kvadreres først sinusfunksjonen for strømmen (eller spenningen) over én periode (én sinusperiode):

:i^2(t)=\hat i^2 \cdot\cos^2(\omega t)

her er det antatt at faseforskyvningen  er lik null (α=0º) og at alle størrelsene er de samme som definert lenger opp. Fra trigonometrien brukes en sammenheng for kvadrering av en  sinusfunksjonen:

: \cos^2 A= \frac{1} {2} (1+ \cos 2A)

innsatt gir dette:

:i^2 = \hat i^2 \frac{1}{2} (1+ \cos2 \omega t) = \frac{1}{2} \hat i^2 + \frac{1}{2} \hat i^2 \cos2 \omega t

Gjennomsnittet av cos 2ωt er null fordi dette er en funksjon som er positiv i en halvperiode og negativ den andre. Gjennomsnittet av i2 er dermed \scriptstyle \frac{\hat i^2} {2}. Til sist skal kvadratroten av uttrykket finnes, dermed er sammenhengen mellom toppverdien og effektivverdien gitt av:

:I_{rms} = \frac{\hat i} {\sqrt {2}}

Dette kalles effektivverdien eller rms av en sinusformet vekselstrøm. Som nevnt er formelen og utledningen for en vekselspenning identisk:

:U_{rms} = \frac{\hat u} {\sqrt {2}}
 
Ofte skriver en bare U eller I når en mener rms-verdien for disse størrelsene. Faktoren  \sqrt{2} kalles i engelskspråklig litteratur *crest factor* og dette ordet brukes også en del på norsk. Faktoren vil være forskjellig alt etter strømmen eller spenningens form. En annen størrelse er *formfaktoren* som angir forholdet mellom effektivverdien av strømmen eller spenningen og middelverdien over en halv periode:

:K_f = \frac{I_{eff}}{I_{Mid}}

Ved sinusformet strøm og spenning er formfaktoren 1,11.
For øvrig er formelen for rms-formelen for en generell tidsvarierende strøm i(t):

:I_\mathrm{rms}=\sqrt{\frac{1}{T} \int_0^{T}{[i(t)]^2 dt}}.

og for en spenning:

:U_\mathrm{rms}=\sqrt{\frac{1}{T} \int_0^{T}{[u(t)]^2 dt}}.

Som et eksempel kan en finne toppverdien av spenningen som er vanlig i distribusjonsnettet. I Europa er 230 V vanlig og ved å multiplisere denne med \scriptstyle \sqrt{2} finner en at toppverdien er 325 V.

### Vekselstrømmotstand

I vekselstrømsteknikken brukes ordet impedans for motstand, denne deles inn i to størrelser, resistans og reaktans. Resistansen, eller ohmsk motstand, er det samme som i en vekselstrømskrets, mens reaktansen er en type motstand som gir spenningsfall over spoler og kondensatorer. En gir impedansen symbolet Z, resistansen symbolet R og reaktansen X.

#### Resistans
Om elementet Z, i kretsen over til høyre er en motstand med en gitt resistans R, (Z = R) og spenningskilden gir en sinusformet vekselspenning vil det gå en sinusformet strøm gjennom kretsen. I henhold til Ohms lov vil det oppstå en spenning over motstanden, som funksjon av tiden vil denne bli:

:u_R(t)= Z \hat i \cos \omega t

Spenningen og strømmen er begge proporsjonal med \sin \omega t. Relasjonen mellom strøm og spenning er den samme som i en likestrømkrets. Brukes effektivverdier kan spenningen over en ohmsk motstand skrives:

:V_R=IR

#### Induktans i en vekselstrømskrets – Induktiv reaktans

Elementet Z i kretsen over til høyre byttes ut med en spole, også kalt reaktor eller induktans, denne forutsettes å være ideell, altså at den er uten ohmsk motstand. Induktivitet er en egenskap med alle elektriske ledere og har sammenheng med det magnetiske feltet som en elektrisk strøm fører med seg. For å forsterke denne effekten brukes det ofte en vikling med mange vindinger, omtrent som sytråd på en trådsnelle. Vindingene er isolert fra hverandre ved at lederne er dekket av et isolerende materiale, vindingene selv er typisk laget av kopper. Denne komponenten kalles altså for en spole.

I henhold til Faradays lov vil dette oppsettet føre til en indusert spenning i spolen:

:u= \frac{d \Phi}{dt} = L\frac{di}{dt}

Når det nå settes på en sinusformet spenning vil det igjen gå en sinusformet strøm i kretsen, og spolen vil reagere med å sette opp en spenning som er motsatt rettet av strømretningen gjennom den. Matematisk kan dette utledes slik:

:u=L\frac{d}{dt} \hat i \cos \omega t = -\hat i \omega L \sin \omega t

der L er induktansen i spolen med måleenheten Henry [H]. En kan bruke identiteten  \scriptstyle -sin A = cos(A + 90^\circ) og dermed omskrive uttrykket slik:

:u=\hat i \omega L \cos ( \omega t+90^\circ)

Det vil oppstå en motindusert spenning i spolen ved økende strøm som er proporsjonal med endringshastigheten av strømmen. Der strømmen har sin største endringshastighet, altså der sinuskurven er brattest, vil størst spenning oppstå. Likeledes vil strømmen ha sin laveste endringshastighet ved maksimum- og minimumspunktet på sinuskurven, og her vil spenningen over spolen være null. 

I ligningen over er vinkelen 90º et uttrykk for at strømmen er etter spenningen. Det er alltid vanlig å bruke spenningen som referanse.

Brukes effektivverdier for strøm og spenning kan uttrykket over skrives uten tilknytning til den trigonometriske funksjonen, slik at spenningsfallet over en spole skrives:

:V_L=I \omega L

Begrepet *induktiv reaktans* defineres som XL = ω L og da kan spenningsfallet skrives slik:

:V_L=I X_L

Enheten for reaktans er Ohm (Ω), det samme som for ohmsk motstand. Reaktans er en egenskap som i praksis oppstår i alle ledere og kretselementer som fører vekselstrøm. I en kraftledning fører det til spenningsfall og er en størrelse en derfor prøver å redusere. Størrelsen av reaktansen er direkte proporsjonal med frekvensen, noe som er en egenskap som i mange tilfeller er ønsket. I elektriske og elektroniske kretser er det ofte spenninger og strømmer med forskjellige frekvenser. En spole kan tilpasses for å slippe gjennom noen og stanse andre frekvenser: Et lavtpassfilter slipper gjennom lave frekvenser, men blokkerer for høye. Dette er tilfelle for en basshøytaler der det er ønskelig at bare de lave frekvensene skal slippe inn.

#### Kapasitans i en vekselstrømskrets – Kapasitiv reaktans

Om en i kretsen over til høyre setter inn en kondensator med kapasitans *C* vil det gå en strøm i kretsen når det påtrykkes vekselspenning. Forholdet mellom strøm (*i*) og ladning (*Q*) er gitt av selve definisjonen av kapasitans:

:i = \frac{dQ}{dt} = C\ \frac{du}{dt}

Når det settes på en sinusformet vekselspenning vil strømmen gjennom kretsen kunne uttrykkes slik:

:i = \frac{dQ}{dt} = \hat i \cos \omega t

Ved å integrere uttrykket får en:

:Q = \frac{I}{\omega}\sin \omega t

Ved å sette inn for definisjonen av kapasitans, *Q = C u<sub>C</sub>,* i uttrykket over fås:

:u_C = \frac{I}{ \omega C}\sin \omega t

Av ligningene som er utledet her kan en se at øyeblikksverdien av strømmen er proporsjonal med endring av ladningen og med endringen av spenningen. Med å bruke den trigonometriske identiteten  \sin A = \cos(A-\frac{\pi}{2}), kan uttrykket over skrives slik:

:v_C = \frac{I}{ \omega C}\cos ( \omega t - 90^\circ)

Vinkelen – 90º sier at spenningen over en kondensator blir faseforskjøvet med en kvart periode. Dette kan også sies som at toppverdien av spenningen over kondensatoren oppstår 90º etter at strømmen har sin toppverdi. Det er vanlig å definere dette som den fysiske størrelsen *kapasitiv reaktans*, som uttrykkes matematisk slik:

:X_C = \frac{1}{ \omega C}

Og ved å bruke denne størrelsen og effektivverdier av strøm og spenning kan spenningen over en kondensator i en vekselspenningskrets skrives:

:V_C = IX_C

Enheten for kapsitiv reaktans er Ohm (Ω), det samme som for ohmsk motstand og induktiv reaktans. Kapasitiv reaktans er en egenskap med kondensatorer som får dem til å oppføre seg motsatt av spoler: En kapasitans har en reaktans som er invers proporsjonal med størrelsen av kapasistansen og med frekvensen. Den blokkerer for lave frekvenser og for likestrøm, men slipper høye frekvenser gjennom. I elektriske kretser og i elektronikken brukes disse som høypassfiltre når en vil oppnå slike egenskaper.

### Forholdet mellom impedans, resistans og reaktans

En elektrisk vekselstrømskrets kan bestå av både impedans, resistans og reaktans. Forholdet mellom disse tre størrelsene uttrykkes slik:

:Z = \sqrt{R^2+X^2}

Lenger ned vil det bli vist noen basale sammenhenger for strøm, spenning og impedans i forskjellige vekselstrømskretser.

### Effekt i vekselstrømskretser

#### Effekt utviklet i en resistans

Når det går vekselstrøm gjennom en resistans er strømmen og spenningsfallet over den i fase, som figuren til høyre viser. Her er momentanverdien av effekten vist som en kurve som er produktet av momentanverdien av strøm og spenning. Legg merke til at kurven for effekt alltid er over x-aksen, noe som uttrykker at resistansen alltid mottar energi. Imidlertid er ikke effekten konstant, men varierer med samme periodisitet som strøm og spenning. Effektkurven er symmetrisk om en verdi  som er nøyaktig halvparten av dens toppverdi, dette tilsvarer også middelverdien av effekten. Denne kan dermed skrives slik:

:P_{Middel} = \frac{1}{2}\hat v \hat i

På samme måte kan dette uttrykkes ved hjelp av rms-verdiene av strøm og spenning:

:P_{Middel} = \frac{\hat v}{\sqrt{2}} \frac{\hat i}{\sqrt{2}} = V_{rms} I_{rms}

Ohms lov gjelder for rms-verdier, altså V_{rms} = I_{rms} R og dermed kan effekten uttrykkes i alle de tre grunnformene for effekt i en resistans:

:P_{Middel} = I_{rms}^2 R = \frac{V_{rms}^2}{R} = V_{rms} I_{rms}

Vanligvis er det underforstått at det er middeldefekten som er av interesse og som omtales, dermed skriver en som regel kun P.

#### Effekt utviklet i en spole eller kondensator

Figuren til høyre viser et tilfelle der vekselspenning og -strøm er 90º faseforskjøvet. Strømmen ligger etter spenningen, men andre ord er dette en ideell induktiv krets. Effekten er vist som den fiolette kurven som en symmetrisk om x-aksen. Effekten er altså positiv en halvperiode og negativ i  den andre. Det betyr at middeleffekten er null, men allikevel utveksles det energi i kretsen. Når effekten er positiv fornyes spolen med energi for å bygge opp magnetfeltet og når effekten er negativ betyr det at magnetfeltet svekkes slik at energien gis tilbake. 

Med en kondensator hadde kurvene sette like ut, men strømmen hadde kommet før spenningen. Kurven for effekt hadde hatt samme form, og middeleffekten ville også i dette tilfellet vært null. I en slik krets utveksles det effekt mellom kondensator og spenningskilden ved at det elektriske feltet i kondensatoren bygges opp og ned. En kaller dette for reaktiv effekt som gis symbolet Q og denne måles i VAr (uttales «voltampere reaktiv»).

#### Effekt i en krets med både motstand, spole og kondensator

I tilfelle der faseforskyvningen mellom strøm og spenning er mindre enn 90° betyr dette at kretsen kan være sammensatt av både motstand, spole og kondensator. I figuren til venstre er faseforskyvningen rundt 45°, noe som betyr at kretsen både er resitiv og induktiv. Fordi  strømmen er etter spenning er det snakk om induktiv reaktans. Formelen for gjennomsnittlig aktiv og reaktiv effekt er henholdsvis:

:P_{Middel} = \frac{\hat v \hat i}{2} \cos (\theta_v -\theta_i)

:Q_{Middel} = \frac{\hat v \hat i}{2} \sin (\theta_v -\theta_i)

der:
:\theta_v = spenningens faseforskyvning
:\theta_i = strømmens faseforskyvning
:de andre størrelene er de samme som ovenfor. 

Som regel er det alltid middeleffekten som er av interesse og dermed skriver en bare P eller Q. Det er vanlig å definere den relative vinkelforskjellen mellom spenningen og strømmen som *effektfaktorens vinkel* og cosinus til denne kalles *effektfaktoren*. Effektfaktor eller bare cos φ, som defineres slik:

: \cos \varphi = \cos (\theta_v -\theta_i) 

I figuren til venstre er den relative faseforskyvningen rundt 45° og effektfaktoren blir da 0,707. For å gjøre forskjell på induktiv og kapasitiv effektfaktor kunne en ha brukt fortegn, men misforståelser unngås om en heller skriver «cos φ = 0,7 kapasitiv» eller «cos φ = 0,9 induktiv».

En annen viktig størrelse er syneffekten som er produktet av spenning og strøm:

:S_{Middel} = \frac{\hat v \hat i}{2}

eller om det brukes effektivverdier:

:S_{Middel} = V_{rms} I_{rms}

Lenger opp ble det vist at formelen for aktiv effekt utviklet i en motstand, P, hadde samme form. Det vil altså si at i en rent ohmsk krets er S = P. Derimot i en sammensatt krets av alle de tre typene elektrisk effekt vil sammenhengen være slik:

:S = \sqrt{P^2 + Q^2}

Når effekten for en elektrisk maskin oppgis, for eksempel en transformator, generator eller reaktor snakker en gjerne om tilsynelatende effekt (S) med måleenheten [VA] (uttales: «Voltampere»). Når en snakker om omsatt nyttiggjort effekt i en elektrisk motor, altså effekten ut på akslingen, er det vanlig å bruke aktiv effekt (P) som måles i [W]. Det samme gjelder for en lyspære eller en varmeovn.

### Fasevektor for sinusformede strømmer og spenninger

Bearbeidelse av trigonometriske funksjoner ved analyse av vekselstrømskretser er tungvint og et mye brukt system er fasevektorer. Eulers formel sier generelt at en eksponentialfunksjon kan uttrykkes som en sinusfunksjon:

:e^{\pm j \theta } = \cos \theta \pm j\sin \theta \!

der symbolene betyr:
: *e* = grunntallet for den naturlige logaritmen
: *j* = den imaginære enheten
:\theta = et hvilket som helst reelt tall.

Cosinusfunksjonen kan sees på som den reelle delen av eksponentialfunksjonen og sinusfunksjonen som den imaginære:

:\cos \theta= \mathfrak {Re} ({e^{j \theta}} ),  den reelle delen
:\sin \theta = \mathfrak{Im} ({e^{j \theta}} ), den imaginere delen

der  \mathfrak{Re} står for realdelen og  \mathfrak{Im} står for imaginærdelen. Har en som her valgt å uttrykke sinusformet strømmer og spenninger ved hjelp av cosinus-funksjonen trenger en kun å bruke den første sammenhengen over. Dermed kan cosinus-funksjonen som ble introdusert hel først i dette kapittelet omskrives slik:

:i(t)= \hat i \cos( \omega t + \theta) = \hat i \mathfrak{Re}({e^{j \omega t + \theta}}) = \hat i \mathfrak{Re}({e^{j \omega t} e^{j \theta}}) = \mathfrak{Re}({ \hat i e^{j \omega t} e^{j \theta}})

I uttrykket over er ledet \hat i e^{j \omega t} et tall som overfører informasjon om strømmens amplitude og fasevinkel. Videre er det komplekse tallet e^{j \theta} et ledd som gir informasjon om amplitudeverdien ved et gitt tidspunkt (t). Det siste leddet er av liten interesse fordi det er det relative forholdet mellom strømmer og spenninger som er av viktighet. Dermed er selve definisjonen av en fasevektor slik den brukes i elektroteknikken slik:

: \mathbf{I}= \hat i e^{j \theta} = \mathfrak{P} (\hat i \cos ( \omega t + \theta))

De  \mathfrak{P} er symbolet for fasevektortransformasjonen. En sier at fasevektortransformasjonen overfører sinusfunksjonen fra tidsplanet til kompleksplanet.  Formen over kalles for polarform eller polar koordinat, men kartesisk form er like vanlig, da får uttrykket over denne formen:

: \mathbf{I}= \hat i \cos \theta + j \hat i \sin \theta 

I elektroteknikken innføres notasjonen \scriptstyle 1\angle \theta = 1e^{j+ \theta} som er enklere å skrive. Som et eksempel på bruken av dette kan en se på spenning og strøm i en vanlig elektrisk motor. Si at den får en spenning på 230 V, at strømmen er 5 A, frekvensen er 50 Hz og at effektfaktoren er cos φ = 0,7 induktiv. Det vil si at det er en faseforskyvning mellom strøm og spenning på φ = 45º, og at denne strømmen ligger etter spenningen. Dette kan uttrykkes slik for 
spenningen:

: v(t) = \sqrt{2}\cdot 230 \cos (2 \cdot 50 \pi t) V = 325 \cos (314 \cdot t) V

Spenningen transformert over til fasevektor gir det betydeligere enklere uttrykket: \scriptstyle \mathbf{V} = 325 \angle{0}^\circ V

For strømmen i den samme motoren:

:i(t) = \sqrt{2}\cdot 5 \cos (2 \cdot 50 \pi t -45^\circ) A = 7,1 \cos(314 \cdot t -45^\circ) A

Strømmen transformert over til fasevektor gir:\scriptstyle \mathbf{I} = 7,1 \angle{-45^\circ}A

Om en heller vil uttrykke dette som effektivverdier blir dette \scriptstyle 230 \angle{0}^\circ V og \scriptstyle 5 \angle{0}^\circ A Spenningen forutsettes som nevnt å være referanse, derfor minustegnet foran faseforskyvningene for strømmen.

Et annet eksempel er en motstand og en spole i serie. Si at en har en ohmsk motstand på R = 5 Ω og  at reaktansen er X = 3 Ω. Dette kan en da enkelt skrive med kartesiske koordinater på kompleks form: Z = 5+j3 Ω. Om den induktive reaktansen byttes ut med en kapasitans som er like stor skrives dette på samme måte, men med negativt fortegne for imaginærdelen: Z = 5–j3 Ω.

En stor fordel med disse komplekse størrelsene er at kretsanalyse, altså beregninger av spenninger,  strømmer og andre størrelser i et elektrisk system, blir meget enklere enn om tidsvariable størrelser benyttes. Kretsen transformeres over til kompleksplanet som en sier, og deretter kan kretsen manipuleres matematisk som om den var en likestrømkrets.

### Forhold mellom strøm, spenning og impedans i noen enkle kretser
#### Seriekrets

I kretsen til høyre er det Zn seriekoble impedanser som hver kan bestå av resistans, indutiv reaktans og kapasitiv reaktans. Forutsett at det settes en vekselspenningskilde på terminalene (markert med sirkler) og at denne har spenningen **V**ab. Strømmen gjennom alle impedansene er den samme og spenningen over terminalene blir:

:\mathbf V_{ab} = Z_1 \mathbf I + Z_2 \mathbf I + ... + Z_n \mathbf  I

Summen av alle impedansene, eller ekvivalent impedans blir:

:Z_{ab} = \frac {\mathbf U_{ab}}{\mathbf I} =  Z_1 + Z_2 + ...+Z_n 

For øvrig gjelder Kirchhoffs spenningslov:

:\mathbf V_1 + \mathbf V_2 + ... \mathbf V_n +\mathbf V_{ab} = 0

Altså at summen av alle spenningene i en krets er lik null.

#### Parallellkrets

I kretsen til høyre er det Zn parallellkoblede impedanser. Forutsett at det settes en vekselspenningskilde på terminalene (markert med sirkler) og at denne har spenningen **V**ab. 

Spenningen over hver av disse er lik og strømmen gjennom en av dem er:

:\mathbf  I_{ab} = \frac{\mathbf U_{ab}}{Z_{n}}

Strømmene gjennom alle er:

:\mathbf I_{ab} = \frac {\mathbf  U_{ab}}{Z_1} + \frac {\mathbf  U_{ab}}{Z_2} + ... + \frac {\mathbf  U_{ab}}{Z_n} 

Summen av alle impedansene, eller ekvivalent impedans blir:

:\frac {1}{Z_{ab}} = \frac {1}{Z_1} + \frac {1}{Z_2} + ... +\frac {1}{Z_{n}}

For det spesielle tilfelle med bare to impedanser i parallell har en at:

:Z_{ab} = \frac {Z_1 Z_2}{Z_1+Z_2}

#### Kirchhoffs lover
Kirchhoffs spenningslov for fasevektorer av spenning for kretser av typene vist over (og alle andre kretser):

:\mathbf V_1 + \mathbf V_2 + ... \mathbf V_n +\mathbf V_{ab} = 0

Altså at summen av alle spenningene i en krets er lik null. Og Kirchhoffs strømlov for fasevektorer av strøm:

:\mathbf I_1 + \mathbf I_2 + ... \mathbf I_n +\mathbf I_{ab} = 0

### Trefasestrøm og spenning
#### Grunnleggende definisjoner

Som nevnt over har trefase vekselstrømsystemer praktisk talt vært enerådende kraftsystemer helt siden 1890-tallet. Den meget stiliserte kretsen til venstre viser sterkt forenklet hvordan trefase vekselspenning kan induseres. Om de tre terminalene L1, L2 og L3 tilknyttes en ekstern krets, for eksempel en motor, vil det kunne gå en strøm i lederne og energi overføres til denne. Legg merke til at de tre spolene er (rød, brun og grønn) er orientert i rommet slik at det er 120º mellom dem (2π/3 radianer) om en setter senter i midten av den roterende magneten. Spenningen vil være symmetrisk om spolene har like mange vindinger, og fordi spolene er orientert i rommet som nevnt over vil spenningene for hver av terminalene være faseforskjøvet med 120º.

Ideell syklisk symmetrisk sinusformet trefase spenning eller strøm er vist i figuren øverst til venstre. Generelt beskrives de tre spenningene av følgende trigonometriske funksjoner:

:v_{L1}(t)=\hat v_{L1} \cos(\omega t )
:v_{L2}(t)=\hat v_{L2} \cos(\omega t-120^\circ)
:v_{L3}(t)=\hat v_{L3} \cos(\omega t+120^\circ)

Der symbolene er de samme som tidligere, og L1, L2 og L3 tilsvarer fasene henholdsvis 1, 2 og 3 i figuren. Funksjonene for strømmen er identiske. Som sagt i forrige avsnitt er det mye enklere å behandle sinusformede vekselstrømmer og spenninger som fasevektorer. Ved transformasjon av de tre ligningene over kan de tre funksjonene over skrives slik:

:\mathbf V_{L1} = \hat v_{L1} \angle 0^\circ
:\mathbf V_{L2} = \hat v_{L2} \angle -120^\circ
:\mathbf V_{L3} = \hat v_{L3} \angle +120^\circ

Dette er illustrert i figuren til venstre med de tre pilene eller vektorene. *Fasesekvens* er et viktig begrep i forbindelse med trefasespenning. Positiv sekvens er definert slik at om fasene roterer mot klokken vil faserekkefølgen da være a, b, c, eller L1, L2, L3 eller RST. I et elektrisk anlegg er dette viktig å ikke forveksle, for eksempel ved å bytte om på faselederne, ellers vil elektriske motorer rotere motsatt veg av hva de er tiltenkt. 

Enda en viktig forhold i et trefasesystem er at summen av strømmer og spenninger til enhver tid er null:

:\mathbf V_{L1} + \mathbf V_{L2} + \mathbf V_{L3} = 0

#### Stjernekobling

Figuren øverst til venstre viser en *stjernekoblet* (Y-koblet) trefase vekselspenningskilde (generator) som gir ut spenningene **V**1, **V**2, **V**3. Den er tilknyttet en belastning som er en Y-kobling av impedansene Zy, og strømmene **I**1, **I**2, **I**3 blir overført. Kretsen er symmetrisk hvis spenningene er *syklisk symmetriske* og de tre impedansene er like store. Det vil da også gå symmetriske strømmer i kretsen. I selve *stjernepunktet* (senteret) i generatoren og lasten er det et symbol som viser tilknytningen til jordpotensiale. Det vil si at de to stjernepunktene har elektrisk tilknytting, selv om det ikke er tegnet inn noen leder. Om en kaller spenningen i disse punktene for **V**N, vil denne spenningen være null på grunn av betingelsene fastsatt over. Et annet navn for stjernepunkt er *nøytralpunkt* (N eller n) og om det tilknyttes en egen leder kalles denne *nøytralleder* (*N-leder*)  (nulleder forekommer også).

Om en nå ser på spenningene vil det være to nivåer i kretsen. Spenningen mellom terminalene på generatoren til venstre i tegningen kan defineres som **V**12, **V**23 og **V**31. Videre kan spenningene **V**1n, **V**2n og **V**3n mellom hver av terminalene og nøytralpunktet (n) defineres. Forholdet mellom disse spenningene kan uttrykkes slik:

:\begin{align}
\mathbf  V_{12} &= \mathbf V_1 - \mathbf V_2 = (\mathbf V_\text{Ln}\angle 0^\circ) - (\mathbf V_\text{Ln}\angle {-120}^\circ) \\
       &= \sqrt{3}\mathbf V_\text{Ln}\angle 30^\circ, \\

\mathbf V_{23} &= \mathbf V_2 - \mathbf V_3 = (\mathbf V_\text{Ln}\angle {-120}^\circ) - (\mathbf V_\text{Ln}\angle 120^\circ) \\
       &= \sqrt{3}\mathbf V_\text{Ln}\angle {-90}^\circ, \\

\mathbf V_{31} &= \mathbf V_3 - \mathbf V_1 = (\mathbf V_\text{Ln}\angle 120^\circ) - (\mathbf V_\text{Ln}\angle 0^\circ) \\
       &= \sqrt{3}\mathbf V_\text{Ln}\angle 150^\circ. \\
\end{align}

Altså er forholdet mellom spenningen mellom hver av terminalene og nøytralpunktet \scriptstyle \sqrt{3} = 1,73. Videre er faseforskyvningene mellom fasevektorene 30º. I elektroteknikken kalles spenningene **V**12, **V**23 og **V**31 for *hovedspenninger* eller *linjespenninger*, mens spenningene **V**1n, **V**2n og **V**3n kalles for *fasespenninger*. Videre kalles strømmene i hver av lederne for *linjestrømmer*. For et Y-Y-arrangement som vist her vil linjestrømmer og fasestrømmer være like, dette i motsetning til i en trekantkobling. 

#### Trekantkobling

Med en *trekantkoblet* (*D-koblet*) last som i figuren til venstre er det ikke noen forskjell på spenningen mellom faselederne og spenningen over impedansene (Z&Delta;). Derimot er det strømmene som er forskjellige i lederne frem mot lasten og over de tre impedansene. For strømmene **I**12, **I**23 og **I**32 som går over impedansene følger:  

: \mathbf I_{12} = \mathbf I_\theta \angle (0^\circ) 

: \mathbf I_{23} = \mathbf I_\theta \angle (-120^\circ) 

: \mathbf I_{32} = \mathbf I_\theta \angle (120^\circ) 

Her er størrelsen **I**ϕ brukt for å markere strøm per fase og **I**12 er benyttet som referanse. For å finne forholdet mellom linjestrømmer og fasestrømmer benyttes Kirchhoffs strømlov:

: \mathbf I_1 = \mathbf I_{12} - I_{31} = \mathbf I_\theta \angle (0^\circ) - \mathbf I_\theta \angle (120^\circ) = \sqrt{3} \mathbf I_\theta \angle (-30^\circ)

: \mathbf I_2 = \mathbf I_{23} - I_{12}= \mathbf I_\theta \angle (120^\circ) - \mathbf I_\theta \angle (0^\circ) = \sqrt{3} \mathbf I_\theta \angle (-150^\circ)

: \mathbf I_3 = \mathbf I_{31} - I_{23}=\mathbf I_\theta \angle (120^\circ) - \mathbf I_\theta \angle (120^\circ) = \sqrt{3} \mathbf I_\theta \angle (90^\circ)

Her er størrelsen som nevnt størrelsen **I**ϕ brukt for å markere strøm per fase. For øvrig er det vanlig at denne markerer per fase enheter for spenning (**V**ϕ), effekt (Pϕ), reaktiv effekt (Qϕ) og impedans (Zϕ)

Ligningene over viser at størrelsen av linjestrømmene (**I** er \scriptstyle \sqrt{3} ganger større en fasestrømmene, samt at faseforskyvningen mellom disse er 30º. Når det gjelder impedansene i den D-koblede lasten kan en ved *stjerne-trekanttransformasjon* vise at impedansen i hvert av greinene i stjernen (ZΔ) er lik en tredjedel av impedansen i hver side av trekanten (ZY). Altså slik:

:Z_{\Delta}/3 = Z_{\text{Y}}

I en krets med trefase vekselspenning og strømmer som er syklisk symmetrisk er det unødvendig å beskrive de tre fasene hver for seg. Bare i tilfelle av usymmetrisk belastning eller feiltilstander (kortslutninger) som gir usymmetriske strømmer eller spenninger må en ta hensyn til alle tre fasene. For dette benyttes en teknikk kjent som *symmetriske komponenter*.

Ved analyse av et trefasesystem foretas såkalt per fase-transformasjon, og en behandler kretsen som om den var en enfasekrets. En må imidlertid huske å gjøre forskjell på faseverdier og linjeverdier. Dessuten er det som regel effektivverdier (rms) som er av interesse og ikke toppverdier, ligningene og sammenhengene blir uansett de samme.

#### Effekt i stjerne og trekantkoblinger

Om en har en Y-koblet last som vist i figuren over vil midlere effekten som utvikles i hver av impedansene (ZY) i greinene være gitt av:

:P_1=P_2=P_3=V_{ \phi} I_{ \phi}\cos \phi 

Der faseverdier er innført for alle størrelsene som er en mulighet forklart lenger opp. Vinkelen ϕ er eventuelt faseforskyvning fordi lasten kan bestå av både resistans (R) og reaktans (X). Det er den totale effekten i hver av grenene som er av interesse og denne finnes slik:

:P_T = 3 P_{ \phi} = 3 V_{ \phi}I_{ \phi} \cos  \phi 

Det er videre ønskelig å uttrykke effekten som effektivverdier (rms) av linjespenning (VL) og strøm (IL). Tidligere er det vist at spenningen (fasespenningen) over hver impedans i grenene av en Y-kobling er \scriptstyle \sqrt{3} mindre enn linjespenningen. Dermed kan det utledes at:

:P_T = 3 \left ( \frac{V_L}{\sqrt{3}}\right)I_L = \sqrt{3}V_L I_L \cos \phi

Videre kan det for total reaktiv effekt vises at:

:Q_T = 3 ( \frac{V_L}{\sqrt{3}}) I_L = \sqrt{3}V_L I_L \sin \phi

Tilsynelatende effekt er vektorproduktet av strøm og spenning som kan uttrykkes slik for effekten i hver gren av den Y-koblede lasten:

:S = P + jQ = \mathbf{V_L} \mathbf{I_L}^*

Der symbolet * betyr den komplekskonjugerte av strømmen. Uttrykket kan også skrives uten bruke av fasevektorer. For total effekt fås:

:S_T = 3 S_{ \phi} = \sqrt{3} V_L I_L

I en D-koblet last er det som nevnt strømmen som er \scriptstyle \sqrt{3} mindre enn linjestrømmen. Dermed kan total midlere effekt skrives slik for en D-koblet last:

:P_T = 3 P_{ \phi} = 3 V_{ \phi}I_{ \phi} \cos \phi =  3 V_L ( \frac{I_L}{\sqrt{3}}) = \sqrt{3}V_L I_L \cos \phi

Dette er altså helt identisk med ligningen for effekt fra en Y-koblet last. Også uttrykkene for reaktiv og tilsynelatende effekt blir de samme.

### Overharmoniske
Konseptuelt ønsker en at en generator for vekselstrøm skal produsere en sinusformet spenning, samt gi en sinusformet strøm når den belastes. De to animasjonene over av henholdsvis enfaset og trefaset generator vil på ingen måte produsere en slik spenning, men gi en spenning som fraviker mye fra en sinusform. En virkelig generator konstrueres med distribuerte viklinger rundt statoren, i tillegg til at spesielle teknikker tas i bruk for å optimalisere maskinen for å få en sinusformet spenning. Samtidig lages rotoren med det for øye at magnetfeltet som settes opp skal bli sinusformet. Disse konstruksjonsmessige tiltakene gjøres for at spenningen skal bli sinusformet, men helt perfekt blir allikevel ikke resultatet. Forvrenginger av sinuskurven må forventes fra alle generatorer, og kan være i størrelsen 1-2 %.

En  matematisk metode for å analysere forvrenginger av en sinusfunksjon er fouriertransformasjon. I korthet går dette ut på at et vist antall av sinusfunksjoner med høyere frekvenser enn grunnfrekvensen (50 Hz eller 60 Hz) identifiseres i en gitt spenning eller strøm. Oftest er disse hele multipler av grunnfrekvensen og da kalles dette for overharmoniske. En spenning fra en synkrongenerator kan for eksempel sies å ha et visst innhold av 5. og 7. harmoniske. Om den er konstruert for spenning med 50 Hz, finnes det da sinuskomponenter med henholdsvis 5·50 = 250 Hz og  7·50 = 350 Hz i spenningen fra generatoren. 

Når en last blir påsatt en sinusformet spenning vil strømmen som trekkes av denne være bestemt av dens impedans. Strømmen som trekkes vil for en såkalt *lineær belastning* være sinusformet. Eksempler på slike laster er varmeovner, glødelamper og andre rent ohmske apparater, men også spoler og kondensatorer kan trekke sinusformede strømmer. Derimot er en *ulinæer last* en som ikke trekker sinusformet strøm, som eksempel kan nevnes et lysstoffrør, kvikksølvlampe og apparater med kraftelektronikk (likeretter og vekselretter i sammenheng med  elektroniske apparater og motordrifter). Et annet eksempel er transformatorer der magnetiseringsstrømmen er svært ulik en sinusfunksjon. Dette vil spesielt være merkbart om transformatoren går i tomgang, altså er ubelastet. Samme fenomen har en i elektriske motorer der magnetfelt i jernet i rotor og stator er vesentlig del av denne typen maskiner. 

En vanlig kvalitetsindeks for spenningens innhold av overharmoniske er den såkalte THD-faktoren. På engelsk betyr dette «Total harmonic distortion» som oversatt betyr *total harmonisk forvrengning*. Denne er definert slik:

:
\mathrm{THD} \,= \,\frac{ \sqrt{V_2^2 + V_3^2 + V_4^2 + \cdots} }{V_1}


hvor Vn er RMS-spenningen av den n'te harmoniske og n = 1 er den grunnharmoniske  frekvensen. Bruk av denne formelen gir et desimaltall mellom 0 og 1, ofte gjøres dette om til et prosenttall. Formelen gjelder også for strømmer. I det ideelle tilfellet er THD = 0, altså at en kun har en sinusformet spenning eller strøm.

Ulempen med overharmoniske komponenter av strømmer og spenninger i et kraftsystem er flere. I elektriske motorer og transformatorer fører dette ekstra tap i jernet som magnetfeltene går gjennom (rotor og stator i elektriske maskiner er laget av stål, det samme med kjernen i en transformator). Et annet fenomen er at overharmoniske fører vibrasjoner (rippel-moment) i motorer, som i verste fall kan gi resonanssvingninger som ødelegger motoren og tilknyttet utstyr.

## Se også
*Energikilde

## Noter



## Referanser


## Litteratur

*
*
*

## Eksterne lenker

* «Vekselstrøm», fra Nasjonal digital læringsarena