Diffraksjon

**Diffraksjon** er avbøyning av bølger når de utbrer seg nær en hindring eller gjennom en åpning. Dette kan observeres på overflaten av vann eller ved at lyd beveger seg rundt hushjørner. I kvantemekanikken kan partikler beskrives som materiebølger og vil derfor gi opphav til diffraksjon. Dette benyttes for eksempel i elektronmikroskopet.

Mest studert er fenomenet i forbindelse med utbredelse av lys som består av elektromagnetiske bølger. Diffraksjon av slike bølger gir dermed opphav til korreksjoner av geometrisk optikk. De kan man for eksempel se ved at kantene av skygger ikke er helt skarpe.

Navnet til dette optiske fenomenet stammer fra det latinske ordet *diffringere* som betyr å splitte opp. Det ble gitt av den italienske naturviter Francesco Maria Grimaldi som på midten 1600-tallet undersøkte egenskaper ved lysets utbredelse. På slutten av århundret omtalte Isaac Newton forskjellige manifestasjoner av slik avbøyning i sitt store verk *[[Opticks]]* selv om han samtidig argumenterte for at lys besto av en strøm med små partikler som han kalte *korpuskler*. 

Det første bevis på at lys måtte være en bølgebevegelse, ble etablert på begynnelsen av 1800-tallet av Thomas Young i hans dobbeltspalteeksperiment. Han kunne forklare det karakteristiske mønsteret som der forekommer, ved at to bølger kan kombineres ved interferens. Med denne bakgrunnen utviklet  Augustin Fresnel kort tid etterpå en full teori for diffraksjon basert på Huygens prinsipp. Den har siden vært i bruk frem til vår tid med små modifikasjoner.

Begrepene interferens og diffraksjon blir ofte benyttet om hverandre. Mer korrekt benevning er å benytte interferens når kun et lite antalll, lokaliserte bølger bidrar til fenomenet. Diffraksjon oppstår ved et samspill mellom uendelig mange bølger. Spredning av lys gjennom svært smale spalter vil da kunne omtales som interferens, mens spredning fra spalter som er mye bredere enn lysets bølgelengde, vil være diffraksjon.

## Teoretisk grunnlag

Omtrent alle diffraksjonsfenomen med lys kan forklares ved å anta at det består av skalare bølger istedenfor vektorfelt beskrevet ved Maxwells ligninger. Det er bare nødvendig de sjeldne ganger der  man må ta hensyn til dets polarisasjon. 

Denne antagelsen ligger også till grunn for at  Huygens prinsipp kan formuleres så enkelt. I sin opprinnelige form sier det at en lysbølge i en viss retning kan beskrives ved en bølgefront som er en flate med normalvektor som peker i bølgens bevegelsesretning. Hvert punkt på denne flaten har samme fase og gir opphav til kulebølger som sendes samtidig ut i alle retninger. Ved et senere tidspunkt fremkommer den nye bølgefronten som omhyllingsflaten eller «envelopen» til alle disse sekundærbølgene.

Fresnel modifiserte denne opprinnellige formuleringen av prinsippet til å si at den resulterende bølgefronten ikke fremkommer på denne geometriske måten, men oppstår ved interferens mellom de sekundære kulebølgene. Uavklart var likevel hvordan de fiktive punktene på en antatt bølgefront kunne sende ut lys.

Selv om det er på denne formen at prinsippet fremdeles blir anvendt, fikk det først en fysisk begrunnelse vel femti år seinere av Gustav Kirchhoff etter at Maxwells elektromagnetiske teori for lyset var etablert. Han studerte en ekvivalent, skalar bølgeligning der han tok nøye hensyn til grensebetingelsene i form av en omsluttende flate eventuelt med ulike åpninger som begrenser bølgens utbredelse. Dette rent matematiske studiet førte frem til den opprinnelige formuleringen til Huygens og Fresnel bortsett fra en retningsavhengig korreksjon til sekundærbølgenes utbredelse. Denne er lite vesentlig og blir vanligvis utelatt.

## Enkeltspalte

De viktigste egenskapene ved diffraksjon kan observeres når lys går gjennom en spalte. Når dens bredde *a&thinsp;* er av samme størrelsesorden som lysets bølgelengden *&lambda;*, vil det spredes jevnt i alle retninger som sylinderbølger. Men når bredden øker, vil det opptre mørke og lyse, parallelle striper bak spalten. Dette er det karakteristiske diffraksjonsmønsteret i dette tilfellet. Blir bredden ytterligere øket, vil man i stedet se en lysende flate med smalere diffraksjonsstriper nær kantene til de to geometriske skyggene.

Det er enklest å anta at lyset kommer vinkelrett inn mot spalten som en plan bølge

:  E(x,t) = E_0\cos(kx - \omega t) 

når den beveger seg langs *x*-aksen. Her er bølgetallet  og vinkelfrekvensen  der *c&thinsp;* er lyshastigheten. Ved eet visst tidspunkt vil en slik bølgefront fylle spalteåpningen *AC&thinsp;* og sende ut sekundære bølger. Samspillet mellom disse kan nå observeres bak spalten og gi opphav til diffraksjonmønstret. Hvis det blir betraktet langt unna, kan retningen til observasjonspunktet angis ved en vinkel *&theta;*.

De mørke stripene opptrer de hvor alle sekundærbølgene gjensidig slukker hverandre ut ved destrruktiv interferens. Det skjer når bølgen fra punkt *A&thinsp;* slukker ut den fra *B*, bølgen fra punktet like under *A&thinsp;* slukker ut den fra punktet like under *B&thinsp;* og så videre. Da må faseforskjellen mellom hvert slikt par være en halv bølgelengde, det vil si avbøyningsvinkelen må opppfylle

:  {a\over 2}\sin\theta_1 =  {\lambda\over 2} 

Første minimum i diffraksjonsmønstret er derfor gitt ved . Det befinner seg på hver side av et lysende maksimum i fremoverretning . Neste minimum kan finnes fra samme argument ved å dele spalten opp i fire deler som gjensidig slukker hverandre ut. Generelt kan man dele den opp i 2*m&thinsp;* like store stykker med *m* = 1, 2, 3 og så videre. Det gir vinklene 

:  \sin\theta_m = m  {\lambda\over a} 

for mørke striper. Man forventer seg lokale maksima eller lysende striper mellom disse selv om de ikke kan bestemmes like enkelt. For en svært bred spalte *a* >> *&lambda;&thinsp;* ligger disse så tett at de er vanskelige å observere. Det betyr at for grønt lys med bølgelengde *&lambda;* = 500&thinsp;nm må spalten ha en bredde *a* \begin{align} E_L(t,\theta) &= {E_0\over L} \int_{-a/2}^{a/2} \! dy \cos(kL + ky\sin\theta - \omega t)\\ &= 2E_0 {\sin (ka\sin\theta /2) \over kL\sin\theta} \cos(kL - \omega t) \end{align} 

der *L&thinsp;* er avstanden til observasjonspunktet når spalten er plassert i  og amplltuden er antatt å avta som 1/*x*. Når man ser bort fra den oscillerende, siste faktoren og innfører  vil den observerte intensiteten dermed variere som

:   I(\theta) = I_0 \left({\sin u\over u}\right)^2 

når den uttrykkes ved den nye variable *u* = *&pi;*&thinsp;(*a*/*&lambda;*)&thinsp;sin*&theta;*. Her er *I*&thinsp;0 intensiteten i fremoverrretning   da  i grensen der . 

I tillegg til dette maksimum i intensiteten, har den lokale minima der  for *u* > 0. Det skjer for  der *m* = 1, 2, 3 og så videre. Ved de tilsvarende vinklene sin*&theta;<sub>m</sub>* = *m*(*&lambda;*/*a*) er derfor intensiteten null og observeres som mørke striper.

Etter hovedmaksimum i fremoverrretningen ligger neste, sekundære maksimum mellom første  og andre  lokale minimum. Antar man at det ligger midt imellom disse to verdiene, vil det tilsvare  Dermed vil størrelsen av dette lokale maksimumet bare bli omtrent 1/20 av intensiteten i fremoverretningen.

Denne intensiteten er beregnet under den antagelse at diffraksjonsmønsteret blir observert langt borte fra spalten. Da kan sekundærbølgene som utgår fra den,  beskrives som plane bølger med samme retning og intensiteten antar en éntydig form. Dette omtales vanligvis som Fraunhofer-diffraksjon. I motsatt fall er det mye vanskeligere å beregne intensiteten nærme spalten. Da har man med Fresnel-diffraksjon å gjøre, og diffraksjonsmønstret vil ha en komplisert avhengighet av avstanden til spalten.

## Generell beregning

Diffraksjon for bølger kan i det generelle tilfellet beregnes fra  Kirchhoffs diffraksjonsteori. Hvis man antar at det gjelder én eller flere åpninger *S&thinsp;* med koordinater (*x'&thinsp;*,*y'&thinsp;*), kan Huygens-Fresnels  prinsipp da uttrykkes ved integralet

:  E(x, y, z) =  - {i\over \lambda}\int_S \! dx'dy' E(x', y', 0) \frac{e^{ikr}}{r}   

Her representerer *E*(*x'&thinsp;*,*y'&thinsp;*,0) den innkommende, plane bølgefronten i åpningen hvor det i hvert punkt blir sendt ut kulebølger på den komplekse formen *e**ikr*/*r&thinsp;* der

:  r = \sqrt{(x - x')^2 + (y - y')^2 + z^2} 

Integralet  gir amplituden til den avbøyde bølgen i et vilkårlig punkt (*x*,*y*,*z*) bak åpningen når man ser bort fra en ubetydelig faktor som avhenger av retningen  til separasjonen *r&thinsp;*.

Amplituden *E*(*x'&thinsp;*,*y'&thinsp;*,0) i åpningen blir en konstant *E*0 når det innkommende lyset er plane bølger som beveger seg vinkelrett mot den. Men likevel har det en så komplisert form at det vanligvis ikke kan beregnes eksakt, men må utføres ved numeriske metoder. Kun for spesielle geometrier eller med ekstra antagelser vil det gi analytiske resultat. Derimot kan en god, kvalitativ forståelse av det resulterende diffraksjonsmønsteret ofte oppnås ved  bruk av Fresnel-soner. 

### Sirkulær åpning

I det spesielle tilfellet at man har en sirkulær åpning, kan diffraksjonsamplituden beregnes eksakt på aksen  =  0  i en avstand *z&thinsp;* bak denne. Man kan da benytte polare koordinater

:  x' = \rho'\cos\phi' ,\; y' = \rho'\sin\phi' 

for punktene i åpningen til diffraktoren. Integralet tar dermed formen 

: .\begin{align} E(0,0,z) &= - {i\over\lambda} E_0 \int_0^a 2\pi \rho'\, d\rho'\, {e^{ik\sqrt{\rho'^2 + z^2}}\over\sqrt{\rho'^2 + z^2}} \\ &= E_0( e^{ikz}  - e^{ik\sqrt{a^2 + z^2}} ) \end{align} 

når *a&thinsp;* er radius til åpningen og man har *z* > *a*. Intensiteten langs aksen vil da variere som

:  .\begin{align} I(0,0,z) &= {1\over 2} E^*(0,0,z)E(0,0,z) \\  &= E_0^2 \left[ 1 - \cos(k\sqrt{a^2 + z^2} - kz )\right] \end{align} 

Like bak åpningen oscillerer denne raskt mellom null og en maksimalverdi. Det betyr at det finnes punkter langs aksen hvor intensiteten blir null og det observeres mørke punkt i diffraksjonsbildet. Det er i sterk kontrast til Poissons flekk som lyser langs hele aksen bak en sirkulær, absorberende  disk hvor man skulle ha forventet totalt mørke. Disse to fenomenene er forbundet ved Babinets prinsipp.

Når  avstanden til åpningen blir mye større en dennes utstrekning,  opphører oscillasjonene og intensiteten avtar på en jevnere måte. Beregningen  forenkles da til Fraunhofer-diffraksjon som gjør det mulig å finne intensiteten også i alle punkt utenfor aksen.

## Fraunhofer-approksimasjon

Når diffraksjonsmønsteret bak en  åpning observeres langt unna, inntar det en éntydig form som ikke forandrer seg mer med avstanden. Det fremkommer da ved Fraunhofer-diffraksjon og som kan beskrives ved å forenkle  det generelle integralet i to trinn. For det første kan man benytte binomialformelen til å skrive separasjonen *r&thinsp;* som

:  r = z + {(x - x')^2 + (y - y')^2\over 2z} + \cdots 

når *z&thinsp;* blir mye større enn de andre koordinatene. I nevneren til integralet kan man nå sette *r* = *z&thinsp;* da den varierer langsomt sammenlignet med eksponensialfunksjonen. Der må man beholde den første korreksjonen til denne avstanden. Det gir det noe enklere integralet

:  E(x, y, z) =  - {i\over \lambda z} \int_S \! dx'dy' E(x', y', 0)\, e^{r} \cos\chi 

hvor  r^2 = z^2 + \rho'^2  og   \cos\chi = z/r  er Rayleigh-Sommerfelds korreksjon. Ved å benytte at  \rho'\, d\rho' = r dr,  kan det beregnes som 

: .\begin{align} E(0,z) &= - ikz E_0 \int_{\sqrt{a^2 + z^2}}^\infty \! dr \, \frac{e^{ikr}}{r} \\ &= E_0 {z\over\sqrt{a^2 + z^2}} e^{ik\sqrt{a^2 + z^2}} \end{align}

etter en partiell integrasjon hvor randleddet kan neglisjeres. Det er tillatt når *ka* >> 1 som betyr at disken eller kulen har en radius som må være mye større enn bølgelengden til lyset. Intensiteten til lyset på aksen vil derfor variere med avstanden til disken som

:  I(0,z) = {z^2\over a^2 + z^2}  I_0 

Den er derfor omtrent null like bak skiven og vokser til den maksimale verdien *I*0 først i en avstand som er stor i forhold til størrelsen til skiven.

## Se også

* Interferens
* Huygens-Fresnels prinsipp
* Kirchhoffs diffraksjonsteori

## Referanser


## Eksterne lenker
* YouTube, ''Fresnel and Fraunhofer Diffrraction''
* PhysicsLibreTexts, [''Fresnel and Fraunhofer Diffraction Patterns''](https://phys.libretexts.org/Bookshelves/Electricity_and_Magnetism/Essential_Graduate_Physics_-_Classical_Electrodynamics_(Likharev)/08%3A_Radiation_Scattering_Interference_and_Diffraction/8.06%3A_Fresnel_and_Fraunhofer_Diffraction_Patterns)
* HyperPhysics, ''Diffraction'', mye forskjellig om diffraksjon.
* Farside, ''Wave Optics'', forelesninger ved University of Texas.