Dobbeltspalteeksperiment

**Dobbeltspalteeksperimentet** viser at lys har egenskaper som tilsier at det består av partikler som i dag omtales som fotoner. Når det blir utført på samme vis med materielle partikler, kan eksperimentet bare forklares ved at disse har bølgeegenskaper som lys. På den måten bekrefter det den grunnleggende idé i kvantemekanikken med antagelsen om de Broglies bølgelengde.

Eksperimentetet består av en koherent stråle med lys eller partikler som blir sendt mot en skjerm med to smale, parallelle spalter. Dermed oppstår det i stor avstand bak spaltene et interferensmønster. Et slikt eksperiment ble først utført i 1803 av Thomas Young for å demonstrere lysets bølgenatur i en tid da Newtons idé om lys som partikler var dominerende. Først i 1961 ble eksperimentet gjennomført med elektroner. Senere er det blitt utvidet til å inkludere også atomer og molekyler i full overensstemmelse med kvantemekanikken.

Det er særlig forelesningene til Richard Feynman som har bidratt til at dobbeltspalteeksperimentet har fått en viktig posisjon i diskujonen rundt bølge-partikkel-dualitet. I denne sammenhengen har han sagt at eksperimentet inneholder selve kjernen av kvantemekanikkens mysterium. Partikler som fotoner og elektroner kan hverken betraktes som klassiske partikler eller bølger, men kan kun forstås som noe nytt som ligger utenfor den erkjennelse vi har med oss fra våre klassiske omgivelser.

## Youngs eksperiment

Under normale forhold beskrives lys som bølger av  elektromagnetiske felt som oppfyller Maxwells ligninger. Når det inneholder en bestemt frekvens *&nu;*, vil hver komponent av den tilsvarende bølgeligningen ta formen

:  (\boldsymbol{\nabla}^2 + k^2) U(\mathbf{x}) = 0 

Den omtales vanligvis som Helmholtz-ligningen der nå bølgetallet  hvor  er lysets  bølgelengde. Funksjonen *U*(**x**) representerer en av komponentene til det elektromagnetiske feltet i punktet **x** og  \boldsymbol{\nabla} er nabla-operatoren. Funksjonen *U*(**x**)  er en fysisk, målbar størrelse, og dens kvadrat gir lysintensiteten i det samme punktet. Ligningen danner det matematiske grunnlaget for Huygens prinsipp for diffraksjon av lys.

Koherent lys, det vil si lys med samstemte bølger som svinger i takt, kan dannes ved å la det gå gjennom en liten åpning eller smal spalte med omtrent samme utstrekning som dets bølgelengde. I en avstand *r&thinsp;* fra dette kildepunktet gir løsninger av Helmholtz-ligningen at feltet da varierer som cos(*kr* + *&delta;*) når man ser bort fra finere detaljer og *&delta;&thinsp;* er en fasefaktor. 

Når denne bølgen treffer skjermen med de to spaltene, vil hver av dem danne en ny kilde for slike utgående bølger. I et punkt *P&thinsp;*  på en skjerm bak spaltene er da det totale feltet gitt som summen av feltene fra hver av åpningene,

:  U_P = A_0(\cos kr_1 + \cos kr_2) 

hvor *A*0 er den felles amplituden til disse to partialbølgene, *r*1 og *r*2 er avstanden til de to spaltene. Punktet *P&thinsp;* har avstanden *r&thinsp;* til midtpunktet mellom spaltene i skjermen, og det antas å ligge i en retning som danner vinkelen *&theta;&thinsp;* med normalen til denne. Da er forskjellen mellom avstandene til spaltene

:  r_1 - r_2 = a\sin\theta 

hvor *a&thinsp;* er avstanden mellom dem og *P&thinsp;* ligger tilstrekkelig langt borte. Ved å bruke den  trigonometriske identiteten 

:   \cos kr_1 + \cos kr_2 = 2\cos{kr_1 +  kr_2\over 2} \cos{kr_1 -  kr_2\over 2} 

blir lysintensiteteten i punktet P

:  I_P = U_P^2 = I_0 \cos^2\Big({\pi a\over\lambda}\sin\theta\Big) 

Den varierer periodisk med sin*&theta;&thinsp;* og gir et sett med lyse og mørke striper på detektorskjermen. Med noe større bredde på spaltene, ville bare de mest sentrale stripene være synlige. Interferensmønsteret er typisk for klassiske bølger som beveger seg gjennom to smale spalter. 

### Lav lysintensitet

Detektorskjermen kan være en fotografisk film eller en CCD databrikke som brukes i moderne digitalkamera. Stripene som fremkommer etter at lyset har passert spaltene, skyldes da punkter i filmen eller digitale piksel som er blitt aktivert og danner dette mønsteret. Med avtagende intensitet på det innkommende lyset blir det færre og færre slike aktiverte punkt slik at mønsteret gradvis forsvinner. Alternativt kan man benytte en meget lav intensitet over lengre tid. Da vil man i begynnelsen  kunne se at ett og ett enkeltpunkt blir aktivert uten å utgjøre noe synlig mønster. Det fremkommer som parallelle striper først etter en lengre tid.

Denne observasjonen at det svake lyset aktiverer enkeltpunkt på skjermen, viser at det må beskrives som bestående av fotoner.  Når intensiteten er tilstrekkelig lav, vil eksperimentet inneholde i gjennomsnitt bare ett av disse fotonene. Hver av dem må derfor på et vis «interferere med seg selv» for at stripene skal fremkomme etter at mange nok har gått gjennom apparaturen. Det betyr at et foton som går gjennom skjermen med to spalter, er påvirket av at begge finnes. Hvis fotonet kunne splittes i to, kunne kanskje hver halvdel gå gjennom hver sin spalt og så forenes ved interferens bak spaltene. Men fotoner kan ikke deles opp på denne måten. Deres egenskaper er gitt av kvantemekanikken.

## Fotoner og kvantepartikler

Et foton kan ikke tilskrives noe elektromagnetisk felt. Det er en kvantemekanisk partikkel eller «kvantikkel» som derimot er beskrevet ved en kompleks bølgefunksjon &Psi;(**x**,*t*). Denne forenkles til en funksjon *&psi;*(**x**) når man betrakter foton med samme energi  hvor *h&thinsp;* er Plancks konstant og *&nu;&thinsp;* lysets frekvens. 

Det finnes ingen éntydig bølgefunksjon for fotoner. De fremkommer når det elektromagnetiske feltet kvantiseres, men deres egenskaper kan bare tilnærmet beskrives ved en skalar bølgefunksjon *&psi;*(**x**). Den oppfyller da Helmholtz-ligningen

:  (\boldsymbol{\nabla}^2 + k^2) \psi(\mathbf{x}) = 0 

hvor bølgetallet  *k* = 2*&pi;*&thinsp;/*&lambda;*.  Bølgefunksjonen er ikke et fysisk felt som kan måles, men gir sannsynligheten *&psi;**(**x**)*&psi;*(**x**) for å finne et foton i posisjon **x**. Richard Feynman har vist at en slik forenklet fremstilling kan forklare mange  fundamentale fenomen der lys og fotoner opptrer.

### Interferens med ett foton

Helmholtz-ligningen for fotoner kan løses på samme vis som i det klassiske tilfellet for lys. Den eneste forskjellen er at løsningene nå er komplekse funksjoner. For ett foton som går gjennom en skjerm med to spalter, blir da den resulterende bølgefunksjonen 

:  \psi_P = A_0(e^{ikr_1} + e^{ikr_2}) 

i et punkt *P&thinsp;* bak disse. Her er *i&thinsp;* den imaginær enheten og de andre symbolene betyr det samme som over.  Det første leddet blir tolket som sannsynlighetsamplituden for at fotonet går gjennom den ene spalten, mens det siste leddet er den tilsvarende amplituden for at det går gjennom den andre. Den totale sannsynlighetsamplitude eller bølgefunksjon for at fotonet skal detekteres, er derfor summen av sannsynlighetsamplitudene for hver alternativ måte dette kan skje på. Denne innsikten ligger til grunn for Feynmanns veiintegeralformalisme. 

Sannsynligheten for at fotonet skal registreres i punktet *P*, er nå

:  \begin{align} I_P &= \psi_P^*\psi_P = 2|A_0|^2 [1 + \cos k(r_1 - r_2)] \\  &= I_0 \cos^2\Big({\pi a\over\lambda}\sin\theta\Big) \end{align} 

Dette er nøyaktig samme resultatet som fremkommer for lysbølger. Omvendt kan man si at det klassiske resultatet er en direkte konskvens  av de kvantemekaniske egenskapene til hvert foton. På samme måte kan man tenke seg et fotografisk bilde i meget lav belysning som bestående av mange enkeltstående, aktiverte punkt på en film uten noe tydelig mønster. Først ved å øke belysningen kommer dette frem og kan beregnes ved vanlige, optiske metoder.

## Elektroninterferens
I sine forlesninger i fysikk ved Caltech i 1962–63 benyttet Feynman dobbeltspalteeksperimentet med innkommende elektroner som en innledning til kvantemekanikken. Ved normale hastigheter er de beskrevet ved Schrödinger-ligningen. Den går over til Helmholtz-ligningen når de beveger seg fritt med en viss energi *E* = *p*&thinsp;2/2*m&thinsp;* der *p&thinsp;* er deres impuls og *m&thinsp;* deres masse. Denne ligningen vil nå inneholde et bølgetall  der  er de Broglies bølgelengde. Løsningen vil være av samme form som for fotoner og dermed gi nøyaktig samme interferensmønster. På den måten kan elektroners bølgeegenskaper demonstreres. Det er de som for eksempel benyttes i moderne elektronmikroskop.

Feynman omtalte eksperimentet som vanskelig å gjøre i praksis, men synes å ha vært uvitende om at det allerede var utført av Claus Jönsson i 1961 ved Universitetet i Tübingen. En viktig gunn til at  det er mer komplisert å utføre med elektroner, er at deres kvantemekaniske bølgelengde er mye mindre enn for synlig lys. Dette bestemmer også i en viss grad størrrelsen på spaltene og deres gjensidige avstand.

### Ett elektron om gangen

Når strømmen av innkommende elektroner blir gradvis redusert, vil man komme til punkt der ett og ett elektron beveger seg gjennom apparaturen. Det har da ikke lenger mulighet for å interferere med hverandre, men likevel bygges gradvis det samme mønster med striper opp etter en viss tid. Mest nærliggende er det da å konkludere med at hvert elektron på et vis interfererer med seg selv, noe som karakteriserer en kvantepartikkel.

Hvis ektronene hadde vært klassiske partikler i dette eksperimentet, vil de ha gått gjennom den ene eller den andre spalten. På detektorskjermen ville det da ha fremkommet kun to flekker som en avbildning av de to spaltene. Interferensmønsteret må derfor bety at hvert elektron er påvirket av at det finnes to spalter og at det ikke kan sies å gå gjennom én spalte alene. 

Man kan prøve å registrere hvilken spalte elektronet går gjennom ved for eksempel å belyse denne, men da vil Interferensmønsteret forsvinne med en gang. Det erstattes av to flekker som for klassiske partikler. Denne fundamentale egenskapen omtales noen ganger i populærvitenskapelig litteratur som at «elektronet beveger seg som en partikkel når man ser det, ellers oppfører det seg som en bølge».

### Sum over veier

Kvantemekanikken ble opprinnelig formulert som bølgemekanikk av Erwin Schrödinger og matrisemekanikk av Werner Heisenberg. Etter andre verdenskrig etablerte Richard Feynman en tredje formulering som ligger tettere opp til en klassisk beskrivelse. Den inneholder veiintegral som er basert på den fundamentale antagelsen at ethvert kvantemekanisk system kan bevege seg på alle mulig måter med samme sannsynlighet mellom to tilstander. For en partikkel tilsvarer en slik bevegelse at den følger en viss vei som gir dens posisjon som funksjon av tiden. Sannsynlighetsamplituden for at den følger akkurat denne veien, er gitt ved virkningen, *S*, til denne bevegelsen.

Anvendt på dobbeltspalteeeksperimentet er de mest sannsynlige veiene for elektronet at det går gjennom den ene spalten med virkning *S*1 eller gjennom den andre med virkning *S*2 som begge tilsvarer den klassiske bevegelsen. Det betyr at det har en sannsynlighetsamplitude som er proporsjonal med

:  \psi = e^{iS_1/\hbar} + e^{iS_2/\hbar} 

for å gå gjennom apparaturen der *ħ* = *h*/2*&pi;&thinsp;* er den reduserte Planck-konstanten. Da virkningen til en fri partikkel er dens energi multiplisert med bevegelsens varighet, vil virkningen

:  S = {1\over 2} mv^2 t = mr^2/2t 

hvis den forflytter seg en strekning *r&thinsp;* i løpet av tiden *t*. Sannsynlighten for at elektronet blir detektert i et punkt *P&thinsp;* bak spaltene, vil derfor variere  som

:   |\psi|^2 = 2[1 + \cos(S_1 - S_2)/\hbar] 

Nå er

: \begin{align}  S_1 - S_2 &= {m\over 2t}(r_1^2 - r_2^2)\\ &= mv (r_1 - r_2) \end{align} 

da dets midlere hastighet fra spaltene mot *P&thinsp;* er *v* = *r*&thinsp;/*t*. Her er *p* = *mv&thinsp;* elektronets impuls og *p*/*ħ* = *k* det tilsvarende bølgetallet. Denne alternative beskrivelsen gir dermed samme  interferensmønster som løsning av Schrödinger-lligningen.

### Tyngre partikler

Både fotonet og elektronet er «punktpartikler» uten indre struktur. Deres egenskaper er derfor i stor grad kvantemekaniske. Derimot er tyngre partikler som nøytronet sammensatt av mindre kvarker og har derfor en endelig utstrekning. Med samme hastighet vil tyngre partikler få en stadig mindre de Broglie bølgelengde som derfor kan bli mindre enn partikkelens fysiske utstrekning. Et spørsmål som da kan stilles, er om deres kvantemekaniske egenskaper i så fall blir «skjult» eller ikke.

Dobbeltspalteeksperiment med tyngre partikler som nøytron og hele atom er i nyere tid blitt utført med resultat som bekrefter tilsvarende interferensmønster  som for elektron. For makroskopiske partikler forventer man at dette vil forsvinne da disse per definisjon beveger seg ifølge klassisk mekanikk. Man kan derfor undre seg om det finnes en klar grense mellom  vanlige partikler og kvantepartikler.

Nå er eksperimentet blitt utført med enda større partikler som er buckminsterfulleren, det vil si C60 molekyl bestående av 60 karbonatom. Igjen er tydelig interferensmønster påvist. Lignende molekyl kan i prinsippet lages enda større, og man kan dermed nærme seg partikler med samme størrelse som de minste virus.

## Referanser


## Eksterne lenker

* R.P. Feynman, ''Probability and uncertainty: The quantum mechanical view of nature'', Messenger Lectures at Cornell University (1964) og YouTube hvor dobbeltspalteeeksperimentet blir gjennomgått.
* Physics LibreTexts, [''Double Slit''](https://phys.libretexts.org/Bookshelves/Quantum_Mechanics/Quantum_Mechanics_(Walet)/13%3A_Miscellaneous_Quantum_Mechanics_Topics/13.04%3A_Double_Slit), enkel introduksjon.
* Royal Institution, ''Double Slit Experiment explained!'', Youtube video 
* R. Rollleigh, ''The Double Slit Experiment and Quantum Mechanics'', detaljert gjennomgang. PDF, 
* Veritasium, ''Single Photon Interference'', Youtube video