Elwin Bruno Christoffel

**Elwin Bruno Christoffel** (født 10. november 1829 i Monschau, død 15. mars 1900 i Strassbourg) var en tysk matematiker som også bidro til utviklingen av teoretisk fysikk. Han er mest kjent som en av grunnleggerne av tensoranalysen som spilte en avgjørende rolle i Einsteins formulering av generell relativitetsteori.

Christoffel ble født i den lille byen  Monschau syd for Aachen hvor faren var kjøpmann. Her vokste han opp og fikk hjemme opplæring i språk og matematikk etter avsluttet folkeskole. I 1844 fikk han plass ved et gymnasium i Køln hvor han ble uteksaminert i 1849 med utmerkelse. 

I 1850 begynte Christoffel å studere matematikk ved Universitetet i Berlin. Her syntes matematikeren Dirichlet  å ha hatt størst betydning for hans senere utvikling. Men han fulgte også forelesninger i fysikk. Da han mottok sin doktorgrad i 1856 etter et års militærtjeneste, var denne også basert på en avhandling om elektrisk ledning i homogene materialer. Samme år reiste han tilbake til Monchau, delvis for å ta vare på sin aldrende mor. Han ble der i tre år og studerte videre på egen hånd. Etter dette oppholdet omtaler han seg som en «matematisk fysiker».

Da han i 1859 reiste tilbake til Berlin, ble han omtalt som en vanskelig og innesluttet person. Han mottok der sin habilitasjon slik at han kunne undervise som «Privatdozent» de  følgende tre år. Han fikk da en stilling som professor ved den tekniske høyskolen ETH i Zürich etter Dedekind. Der bygde han opp et nytt institutt i matematikk og naturvitenskap som fikk stor betydning. Han gjorde seg her bemerket både som foreleser og forsker. I 1868 ble han valgt inn som «korresponderende medlem» i det prøyssiske vitenskapsakademiet i Berlin.

Denne anerkjennelse bidro til at han samme år ble kallet til et professorat ved «Gewerbeakademie» i Berlin, det som idag er Technische Universität. Men Christoffel hadde vanskeligheter i sin nye stilling i konkurranse med det mer anerkjente universitetet i byen. Så da universitetet i Strassbourg skulle reorganiseres etter den fransk-prøyssiske krigen 1870-1871, aksepterte Christoffel oppgaven med å bygge opp i nytt og moderne institutt for matematikk der i byen. Han lyktes med dette på samme måte som tidligere i Zürich samtidig som han selv bidro aktivt til forskningsaktiviteten. 

Christoffel gikk av fra stillingen ved universitetet i Strassbourg da han var 65 år. Fem år senere døde han. Han hadde ikke vært gift og etterlot seg ingen arvinger.

## Vitenskapelige bidrag

Christoffel tok opp matematiske problem i mange forskjellige retninger. På den tiden han levde kom disse ofte fra mer praktiske problemstillinger innen fysikk som gjenomgikk en rask utvikling. Dette preget også Christoffels interesser slik at han også til en viss grad kan betegnes som en matematisk fysiker.

### Differensiell geometri

Av størst betydning har Christoffels arbeid vært innen differensialgeometri og tensoranalyse som han publiserte i 1869.  Dette var i perioden han flyttet over fra  Zürich til Berlin. Året før var et tidligere foredrag av Bernhard Riemann blitt offentliggjort. Her hadde han presentert grunnidéen til det som senere er blitt kalt for riemannsk geometri. Den var basert på en kvadratisk, differensiell form som er metrikken til en *n*-dimensjonal mangfoldighet. De detaljerte, matematiske beregningene ble først kjent flere år etter Riemanns død i 1866.

Christoffel undersøkte nærmere hvordan denne kvadratiske formen var invariant under koordinattransformasjoner og på den måten grunnla tensorregningen. Han innførte her kovariant derivasjon og utledet Riemanns krumningstensor.  For å gjøre fremstillingen av den mer oversiktiglig innførte han 3-indekssymbolene \begin{bmatrix} \mu \nu \\ \alpha \end{bmatrix}   og \begin{Bmatrix} \mu \nu \\ \alpha \end{Bmatrix}  som idag bærer hans navn og vanligvis skrives som henholdsvis  \Gamma_{\alpha\mu\nu}  og  \Gamma^\alpha_{\; \mu \nu} .

Det er uklart i hvor stor grad Christoffel var kjent med Riemanns resultat. Derfor blir også tensoren som beskriver krumningen til mangfoldigheten, ofte omtalt som «Riemann-Christoffels krumningstensor». Denne danner grunnlaget i Einsteins generelle relativitetsteori.

### Komplekse funksjoner

Omtrent på samme tid skrev Christoffel fire arbeid som videreførte en del av idéene som Riemann hadde lansert noen år tidligere om todimensjoanle avbildninger ved bruk av komplekse funksjoner. Hans mest berømte resultat i denne forbinelsen er den såkalte «Schwarz-Christoffel-transformasjonen». Den avbilder punkter på innsiden av en polygon til tilsvarende punkter innen en sirkel. Transformasjonen spiller en viktig rolle i bruk av komplekse funksjoner og ble omtrent samtidig funnet av Hermann Amandus Schwarz.

Christoffel fortsatte studiet av komplekse funksjoner også senere i livet. Han undersøkte abelske integral og deres egenskaper. Helt på slutten av sin forskningskarriere kom han tilbake til dette temaet og utviklet  theta-funksjoner for å studere hyperelliptiske funksjoner.

### Bølgeteori

Riemann hadde i 1860 undersøkt hvordan lyd utbreder seg på en slik måte i en gass at det oppstår sjokkbølger. Dette kom han frem til ved å studere de relevante partielle differensialligninger som beskriver denne bevegelsen som han begrenset til en dimensjon. I flere arbeider fortsatte Christoffel studiet at lignende fenomen. Han utvidet bølgebevegelsen til flere dimensjoner, og undersøkte også utbredelse i krystallinske materialer. Her er krystallstrukturen avgjørende. I 1877 publiserte han et arbeidet som gir bølgeligningen i et slikt material. Ligningen viser at det kan oppstå tre forskjellige bølgehastigheter, avhengig av retningen til bølgen. Den har senere fått navnet «Christoffel-ligningen» og spiller en viktig rolle i seismikk og annen bølgeutbredelse i faste stoffer.

## Referanser


## Litteratur

* P.L. Butzer and F. Fehér, *E.B. Christoffel: The Influence of his Work on Mathematics and the Physical Sciences*, Springer, Basel (1981). ISBN  978-3-0348-5453-5.