Fibonaccitall

Et **Fibonacci-tall**, også skrevet **fibonaccitall**, er et ledd i en følge av heltall, kalt **Fibonacci-følgen**. De to første leddene i følgen er lik null og én, og påfølgende tall er definert som
summen av de to foregående. Følgen er oppkalt etter den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci.

Forholdet mellom to påfølgende fibonaccitall er lik det gyldne snitt. 

Fibonaccitall opptrer i mange sammenhenger i matematikk, og det finnes en rikholdig litteratur knyttet til fibonaccifølgen.  

## Tallfølgen

Ledd i fibonaccifølgen skrives ofte som F_n. De to første fibonaccitallene er definert som F_0 = 0 og F_1 = 1. De neste leddene i den uendelige følgen er definert rekursivt som

:F_n  = F_{n-1} + F_{n-2} \qquad n\ge 2.

En alternativ definisjon starter følgen med F_0 = 1 og F_1 = 1.

Fibonaccitallene kan også finnes ved å ta utgangspunkt i Pascals trekant og forskyve alle radene, slik at hver rad begynner én posisjon lengre til høyre enn raden over. Da vil den venstre delen se slik ut:
:
Summen (**Σ**) av hver enkelt rekke er et fibonaccitall.

Uttrykket *fibonaccirekken* forekommer i litteraturen, men fibonaccitallene danner formelt sett en følge og ingen rekke.

## Liste over fibonaccitall
De første fibonaccitallene er ()

:

## Egenskaper

### Største felles divisor

Den største felles divisor mellom to påfølgende ledd er lik 1.

Største felles divisor mellom to vilkårlige fibonaccitall er selv et fibonaccitall.

### Faktorisering

Med unntak av F_2, F_3, F_7 og F_{13} vil hvert fibonaccitall ha et nytt primtall i en faktorisering. Alle primtallene opptrer i faktoriseringer for fibonaccitallene.

### Cassinis identitet

Cassinis identitet gir en relasjon mellom ledd i Fibonacci-følgen:

:F_{n+1}^2 - F_n \cdot F_{n+2} = (-1)^n.

### Fibonacci-spiralen
Fra fibonaccitallene kan en lage en *fibonaccispiral* ved å sette sammen kvadrater med sidekant F_n. I hver firkant kan en innskrive en kvadratsirkel med radius lik fibonaccitallet. Tilsammen vil disse sirkelbuene danne en spiral. 

## Relasjon til det gyldne snitt
### Eksplisitt form
Fibonaccitallene kan uttrykkes eksplisitt, uten bruk av rekursjonsformelen.  Den lukkete formen er kjent som Binets formel, etter Jacques Philippe Marie Binet.

:a_n = = \over {\sqrt 5}}\, . 

Her er &phi; forholdstallet i det gyldne snitt, definert ved 
 
:\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618\,033\,988\,7\dots 

### Grenseverdi for forholdstall
Forholdet mellom to påfølgende fibonaccitall nærmer seg forholdstallet i det gylne snitt som grenseverdi:

:\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\varphi. 

## Bruk av fibonaccitall

Fibonaccitall kan gjenfinnes i naturen. To påfølgende blader på en stengel antas å være adskilt av en brøkdel av en hel rotasjon, der brøken er gitt som forholdet mellom to fibonaccitall. Epletrær har forholdet 2/5, mens pæretrær har 5/13.

Fibonaccifølgen kan på flere måter kobles til økonomifaget. For det første kan den kobles direkte til økonomiske teorier, som for eksempel ved en sentralbanks rentesetting, konsument- og investeringsadferd.  For det andre kan den brukes som måleinstrument for å tallfeste økonomiske parametre.

## Historie
De grunnleggende idéene bak fibonaccitallene ble først beskrevet av den indiske matematikeren Pingala, født ca. år 500 f. Kr. 

Til Europa ble følgen introdusert av den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci (1170&ndash;1250), i boka Liber Abaci (1202). Boka var viktig for bruk av det arabiske tallsystemet i Europa, som erstatning for romertallene. 
Tallfølgen brukte Fibonacci for å beskrive økningen i en idealisert kaninbestand. Antall par kaniner vil etter n måneder være lik F_n hvis følgende kriteria blir møtt:

* Den første måneden blir det bare født ett kaninpar,
* Nyfødte kaninpar blir produktive fra og med den andre måneden og utover,
* Innavl eksisterer ikke,
* Hver måned produserer hvert kjønnsmodent par ett nytt kaninpar, og
* Kaninene dør aldri.

Hvis en i måneden n har F_n kaniner og i måneden (n+1) har F_{n+1}  kaniner, så vil en i måneden (n+2) ha F_{n+2} = F_n+ F_{n+1} kaniner.
Hvert kaninpar føder ett nytt kaninpar hver måned, og det betyr at at F_n kaninpar føder et tilsvarende antall F_n par. Disse vil bli kjønnsmodne først etter to måneder, som er nøyaktig i måneden (n+2).

Navnene fibonaccitall og fibonaccifølge ble introdusert av den franske matematikeren Edouard Lucas (1841-1891).

Binets formel ble først utledet av de Moivre.  Grenseverdien for forholdstallet mellom leddene ble først påvist av Johannes Kepler.

## Referanser