Eksakte trigonometriske konstanter

**Eksakte trigonometriske konstanter** er eksakte verdier som brukes for å uttrykke vinkler nøyaktig. Alle konstantene er utledet fra forholdet mellom to sider i en trekant. 

Alle eksakte verdier av sinus, cosinus og tangens til vinkler med 3-graders inkrementer er det mulig å utlede ved å bruke identitetene for halve vinkler, dobbelte vinkler og sum/differanse med verdiene for 0°, 30°, 36°, og 45°. Det tilsvarer at de er konstruerbare tall og basert på konstruksjon av regulære mangekanter. Disse spesielle vinklene som er listet, er de halve sentralvinklene i de tilsvarende mangekantene. Det er kun mulig å finne eksakte verdier for vinkler på formen  (gitt i radianer), der m og n er heltall slik at det går an å konstruere et polygoner med n eller m sider.

Konstantene oppgis på eksakt form, dvs. ved hjelp av røtter og brøker, uten avrunding til desimaltall, som kan lede til unøyaktigheter dersom man bruker de i videre beregninger. Mange av verdiene er irrasjonelle. Dersom man evaulerer funksjonene \sin x og \cos x med et rasjonalt argumenter, er de eneste mulige rasjonale løsningene 0, ±1 og ±.

## Velkjente konstanter

Følgende konstanter kan utledes for verdier ut fra en sekstendeling av enhetssirkelen; disse gjelder for verdiene man får av å dele en sirkel i åtte eller tolv like deler. Én hel omdreining er gitt ved 360° eller 2 \pi.

## Andre verdier
Verdier for vinkler utenfor området [0°, 45°] kan utledes fra disse verdiene ved bruk av formlene for symmetri i trigonometriske identiteter.  Merk at 1° = &pi;/180 radianer. 
### 0°: fundamental
: \sin 0=0\,
: \cos 0=1\,
: \tan 0=0\,
: \cot 0\mbox{ er undefinert}\,

### 3°: 60-sidet polygon
: \sin\frac{\pi}{60}=\sin 3^\circ=\tfrac{1}{16} \left[2(1-\sqrt3)\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2(\sqrt5-1)(\sqrt3+1)\right]\,
: \cos\frac{\pi}{60}=\cos 3^\circ=\tfrac{1}{16} \left[2(1+\sqrt3)\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2(\sqrt5-1)(\sqrt3-1)\right]\,
: \tan\frac{\pi}{60}=\tan 3^\circ=\tfrac{1}{4} \left[(2-\sqrt3)(3+\sqrt5)-2\right]\left[2-\sqrt{2(5-\sqrt5)}\right]\,
: \cot\frac{\pi}{60}=\cot 3^\circ=\tfrac{1}{4} \left[(2+\sqrt3)(3+\sqrt5)-2\right]\left[2+\sqrt{2(5-\sqrt5)}\right]\,

### 6°: 30-sidet polygon
: \sin\frac{\pi}{30}=\sin 6^\circ=\tfrac{1}{8} \left[\sqrt{6(5-\sqrt5)}-\sqrt5-1\right]\,
: \cos\frac{\pi}{30}=\cos 6^\circ=\tfrac{1}{8} \left[\sqrt{2(5-\sqrt5)}+\sqrt3(\sqrt5+1)\right]\,
: \tan\frac{\pi}{30}=\tan 6^\circ=\tfrac{1}{2} \left[\sqrt{2(5-\sqrt5)}-\sqrt3(\sqrt5-1)\right]\,
: \cot\frac{\pi}{30}=\cot 6^\circ=\tfrac{1}{2} \left[\sqrt3(3+\sqrt5)+\sqrt{2(25+11\sqrt5)}\right]\,

### 9°: 20-sidet polygon
: \sin\frac{\pi}{20}=\sin 9^\circ=\tfrac{1}{8} \left[\sqrt2(\sqrt5+1)-2\sqrt{5-\sqrt5}\right]\,
: \cos\frac{\pi}{20}=\cos 9^\circ=\tfrac{1}{8} \left[\sqrt2(\sqrt5+1)+2\sqrt{5-\sqrt5}\right]\,
: \tan\frac{\pi}{20}=\tan 9^\circ=\sqrt5+1-\sqrt{5+2\sqrt5}\,
: \cot\frac{\pi}{20}=\cot 9^\circ=\sqrt5+1+\sqrt{5+2\sqrt5}\,

### 12°: 15-sidet polygon
: \sin\frac{\pi}{15}=\sin 12^\circ=\tfrac{1}{8} \left[\sqrt{2(5+\sqrt5)}-\sqrt3(\sqrt5-1)\right]\,
: \cos\frac{\pi}{15}=\cos 12^\circ=\tfrac{1}{8} \left[\sqrt{6(5+\sqrt5)}+\sqrt5-1\right]\,
: \tan\frac{\pi}{15}=\tan 12^\circ=\tfrac{1}{2} \left[\sqrt3(3-\sqrt5)-\sqrt{2(25-11\sqrt5)}\right]\,
: \cot\frac{\pi}{15}=\cot 12^\circ=\tfrac{1}{2} \left[\sqrt3(\sqrt5+1)+\sqrt{2(5+\sqrt5)}\right]\,

### 15°: dodekagon
: \sin\frac{\pi}{12}=\sin 15^\circ=\tfrac{1}{4}\sqrt2(\sqrt3-1)\,
: \cos\frac{\pi}{12}=\cos 15^\circ=\tfrac{1}{4}\sqrt2(\sqrt3+1)\,
: \tan\frac{\pi}{12}=\tan 15^\circ=2-\sqrt3\,
: \cot\frac{\pi}{12}=\cot 15^\circ=2+\sqrt3\,

### 18°: dekagon
: \sin\frac{\pi}{10}=\sin 18^\circ=\tfrac{1}{4}\left(\sqrt5-1\right)=\tfrac{1}{2}\varphi^{-1}\,
: \cos\frac{\pi}{10}=\cos 18^\circ=\tfrac{1}{4}\sqrt{2(5+\sqrt5)}\,
: \tan\frac{\pi}{10}=\tan 18^\circ=\tfrac{1}{5}\sqrt{5(5-2\sqrt5)}\,
: \cot\frac{\pi}{10}=\cot 18^\circ=\sqrt{5+2\sqrt 5}\,

### 21°: summen 9° + 12°
: \sin\frac{7\pi}{60}=\sin 21^\circ=\tfrac{1}{16}\left[2(\sqrt3+1)\sqrt{5-\sqrt5}-\sqrt2(\sqrt3-1)(1+\sqrt5)\right]\,
: \cos\frac{7\pi}{60}=\cos 21^\circ=\tfrac{1}{16}\left[2(\sqrt3-1)\sqrt{5-\sqrt5}+\sqrt2(\sqrt3+1)(1+\sqrt5)\right]\,
: \tan\frac{7\pi}{60}=\tan 21^\circ=\tfrac{1}{4}\left[2-(2+\sqrt3)(3-\sqrt5)\right]\left[2-\sqrt{2(5+\sqrt5)}\right]\,
: \cot\frac{7\pi}{60}=\cot 21^\circ=\tfrac{1}{4}\left[2-(2-\sqrt3)(3-\sqrt5)\right]\left[2+\sqrt{2(5+\sqrt5)}\right]\,

### 22.5°: oktogon
: \sin\frac{\pi}{8}=\sin 22.5^\circ=\tfrac{1}{2}(\sqrt{2-\sqrt{2}}), 
: \cos\frac{\pi}{8}=\cos 22.5^\circ=\tfrac{1}{2}(\sqrt{2+\sqrt{2}})\,
: \tan\frac{\pi}{8}=\tan 22.5^\circ=\sqrt{2}-1\,
: \cot\frac{\pi}{8}=\cot 22.5^\circ=\sqrt{2}+1\,

### 24°: summen 12° + 12°
: \sin\frac{2\pi}{15}=\sin 24^\circ=\tfrac{1}{8}\left[\sqrt3(\sqrt5+1)-\sqrt2\sqrt{5-\sqrt5}\right]\,
: \cos\frac{2\pi}{15}=\cos 24^\circ=\tfrac{1}{8}\left(\sqrt6\sqrt{5-\sqrt5}+\sqrt5+1\right)\,
: \tan\frac{2\pi}{15}=\tan 24^\circ=\tfrac{1}{2}\left[\sqrt{2(25+11\sqrt5)}-\sqrt3(3+\sqrt5)\right]\,
: \cot\frac{2\pi}{15}=\cot 24^\circ=\tfrac{1}{2}\left[\sqrt2\sqrt{5-\sqrt5}+\sqrt3(\sqrt5-1)\right]\,

### 27°: summen 12° + 15°
: \sin\frac{3\pi}{20}=\sin 27^\circ=\tfrac{1}{8}\left[2\sqrt{5+\sqrt5}-\sqrt2\;(\sqrt5-1)\right]\,
: \cos\frac{3\pi}{20}=\cos 27^\circ=\tfrac{1}{8}\left[2\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2\;(\sqrt5-1)\right]\,
: \tan\frac{3\pi}{20}=\tan 27^\circ=\sqrt5-1-\sqrt{5-2\sqrt5}\,
: \cot\frac{3\pi}{20}=\cot 27^\circ=\sqrt5-1+\sqrt{5-2\sqrt5}\,

### 30°: heksagon
: \sin\frac{\pi}{6}=\sin 30^\circ=\tfrac{1}{2}\,
: \cos\frac{\pi}{6}=\cos 30^\circ=\tfrac{1}{2}\sqrt3\,
: \tan\frac{\pi}{6}=\tan 30^\circ=\tfrac{1}{3}\sqrt3\, 
: \cot\frac{\pi}{6}=\cot 30^\circ=\sqrt3\,

### 33°: summen 15° + 18°
: \sin\frac{11\pi}{60}=\sin 33^\circ=\tfrac{1}{16}\left[2(\sqrt3-1)\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2(1+\sqrt3)(\sqrt5-1)\right]\,
: \cos\frac{11\pi}{60}=\cos 33^\circ=\tfrac{1}{16}\left[2(\sqrt3+1)\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2(1-\sqrt3)(\sqrt5-1)\right]\,
: \tan\frac{11\pi}{60}=\tan 33^\circ=\tfrac{1}{4}\left[2-(2-\sqrt3)(3+\sqrt5)\right]\left[2+\sqrt{2(5-\sqrt5)}\right]\,
: \cot\frac{11\pi}{60}=\cot 33^\circ=\tfrac{1}{4}\left[2-(2+\sqrt3)(3+\sqrt5)\right]\left[2-\sqrt{2(5-\sqrt5)}\right]\,

### 36°: pentagon
: \sin\frac{\pi}{5}=\sin 36^\circ=\tfrac14[\sqrt{2(5-\sqrt5)}]\,
: \cos\frac{\pi}{5}=\cos 36^\circ=\frac{1+\sqrt5}{4}=\tfrac{1}{2}\varphi\,
: \tan\frac{\pi}{5}=\tan 36^\circ=\sqrt{5-2\sqrt5}\,
: \cot\frac{\pi}{5}=\cot 36^\circ=\tfrac15[\sqrt{5(5+2\sqrt5)}]\,

### 39°: summen 18° + 21°
: \sin\frac{13\pi}{60}=\sin 39^\circ=\tfrac1{16}[2(1-\sqrt3)\sqrt{5-\sqrt5}+\sqrt2(\sqrt3+1)(\sqrt5+1)]\,
: \cos\frac{13\pi}{60}=\cos 39^\circ=\tfrac1{16}[2(1+\sqrt3)\sqrt{5-\sqrt5}+\sqrt2(\sqrt3-1)(\sqrt5+1)]\,
: \tan\frac{13\pi}{60}=\tan 39^\circ=\tfrac14\left[(2-\sqrt3)(3-\sqrt5)-2\right]\left[2-\sqrt{2(5+\sqrt5)}\right]\,
: \cot\frac{13\pi}{60}=\cot 39^\circ=\tfrac14\left[(2+\sqrt3)(3-\sqrt5)-2\right]\left[2+\sqrt{2(5+\sqrt5)}\right]\,

### 42°: summen 21° + 21°
: \sin\frac{7\pi}{30}=\sin 42^\circ=\frac{\sqrt6\sqrt{5+\sqrt5}-\sqrt5+1}{8}\,
: \cos\frac{7\pi}{30}=\cos 42^\circ=\frac{\sqrt2\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt3(\sqrt5-1)}{8}\,
: \tan\frac{7\pi}{30}=\tan 42^\circ=\frac{\sqrt3(\sqrt5+1)-\sqrt2\sqrt{5+\sqrt5}}{2}\,
: \cot\frac{7\pi}{30}=\cot 42^\circ=\frac{\sqrt{2(25-11\sqrt5)}+\sqrt3(3-\sqrt5)}{2}\,

### 45°: kvadrat
: \sin\frac{\pi}{4}=\sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}=\frac{1}{\sqrt2}\,
: \cos\frac{\pi}{4}=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}=\frac{1}{\sqrt2}\,
: \tan\frac{\pi}{4}=\tan 45^\circ=1\, 
: \cot\frac{\pi}{4}=\cot 45^\circ=1\,

### 60°: trekant
: \sin\frac{\pi}{3}=\sin 60^\circ=\tfrac{1}{2}\sqrt3\,
: \cos\frac{\pi}{3}=\cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}\,
: \tan\frac{\pi}{3}=\tan 60^\circ=\sqrt3\, 
: \cot\frac{\pi}{3}=\cot 60^\circ=\tfrac{1}{3}\sqrt3\,

der  \varphi  er det gylne snitt.

## Se også
* Trigonometriske funksjoner
* Liste over trigonometriske identiteter

## Litteratur
* 
* 
** π/3 (60°) — π/6 (30°) — π/12 (15°) — π/24 (7.5°)
** π/4 (45°) — π/8 (22.5°) — π/16 (11.25°) — π/32 (5.625°)
** π/5 (36°) — π/10 (18°) — π/20 (9°)
** π/7 — *π/14*
** π/9 (20°) — π/18 (10°)
** π/11
** π/13
** π/15 (12°) — π/30 (6°)
** π/17
** *π/19*
** π/23
* 
* 
* 
*  
*  
*  
*   

## Eksterne lenker
* Constructible Regular Polygons
* Naming polygons 
* Decimal expansion of sine of * degrees, OEIS