Spredningstverrsnitt

**Spredningstverrsnitt** eller **virkningstverrsnitt** er en størrelse som benyttes innen kjernefysikk og partikkelfysikk for å uttrykke sannsynligheten for at en vekselvirkning mellom to partikler skal inntreffe. Det måles ved å sende en partikkel mot en annen partikkel som kan ligge i ro eller beveger seg motsatt retning. Generelt blir en slik vekselvirkning kalt for spredning.

Spredningstverrsnittet  betegnes ved den greske bokstaven *&sigma;&thinsp;* og har samme dimensjon som et geometrisk areal. Dette uttrykkes  vanligvis  i enheter av  som er tverrsnittet av en typisk atomkjerne. I stedet for spredningstverrsnitt sier man ofte «virkningstverrsnitt» da det angir størrelsen til det effektive arealet som de to partiklene må befinne seg innenfor for at de skal kunne vekselvirke med hverandre. 

Spredningsprosessen er *elastisk* når de to partiklene bare forandrer bevegelsesretning. I motsatt fall har man en *uelastisk* spredningsprosess. Da kan indre egenskaper ved den ene eller begge partiklene forandres eller helt nye partikler kan oppstå. Ofte vil disse mulighetene opptre i samme spredningseksperiment slik at det totale spredningstverrsnittet blir summen av de partielle tverrsnittene for hver av prosessene.

I en klassisk beskrivelse av spredning vil man forvente at størrelsen på virkningstverrsnittet er gitt ved den geometriske størrelsen til de spredende partikler. Dette er også tilfellet når de vekselvirker over en avstand som er kortere enn deres utstrekning. Men skyldes vekselvirkningen den elektriske Coulomb-kraften som har lang rekkevidde, er det totale spredningstverrsnittet veldig stort selv om partiklene har forsvinnende liten utstrekning.

Dette gjelder også ofte i en kvantemekanisk beskrivelse. Det totale spredningstverrsnittet mellom to protoner ved ikke altfor høye energier er av størrelsesorden 4&times;10&thinsp;-26&thinsp;cm2 som kan tilskrives en radius for protonet på omtrent 10&thinsp;-13&thinsp;cm. Derimot er det tilsvarende høyenergetiske virkningstverrsnittet for et nøytrino mot et proton så lite som  10&thinsp;-41&thinsp;cm2. I dette tilfellet skyldes vekselvirkningen den svake kjernekraften som ikke er direkte avhengig av protonets størrelse.

## Litt historie

Den første spredningsprosess som ble grundig studert, var spredning av lys i atmosfæren på grunn av molekyler og andre, mikroskopiske partikler. I sine arbeider fra  1871 utledet Lord Rayleigh det tilsvarende spredningstverrsnittet  som viste seg å avta raskt med bølgelengden til det innkommende lyset. Dette forklarer hvorfor himmelen er blå. 

Vel tredve år senere regnet J. J. Thomson ut virkningstverrsnittet  for spredning av lys mot frie elektroner. Det gjorde det mulige å måle antall elektroner i atomet ved hjelp av røntgenstråling og var derved viktig i etableringen av moderne atomfysikk. 

I 1911 målte Ernest Rutherford spredningstverrsnittet for kollisjoner mellom  og gullatomer. Denne prosessen omtales i dag som Rutherford-spredning. Den resulterte i oppdagelsen av atomkjernen. På lignende vis kunne man ved Compton-spredning i 1924 vise eksperimentelt at fotonet er en partikkel. Dette betydde at klassisk elektrodynamikk måtte erstattes med  kvanteelektrodynamikk. 

På slutten av 1960-tallet kunne man fra virkningstverrsnittet for spredning av høyenergetiske elektroner på protoner ved SLAC konstatere at disse består av mindre partikler som etter kort tid viste seg å være kvarker. Ved enda høyere energier ble Higgs-bosonet oppdaget i 2012 på CERN ved spredning av protoner mot protoner.

## Definisjon

Spredningseksperiment blir ikke gjort ved å sende én og én partikkel mot en annen. I stedet sendes en stråle av partikler mot en spreder som inneholder mange andre partikler. Disse kan være samlet i et fast materiale eller være i flyttende form, alternativt som gass. For å unngå at én partikkel forårsaker flere kollisjoner, må ikke tettheten av partikler i sprederen være for stor eller så må den være tilstrekkelig tynn. 

Hvis tykkelsen av sprederen kalles *&Delta;x* og den har det geometriske tverrsnittet *A*, vil det projiserte arealet av alle partiklene i sprederen være *n&sigma;A&Delta;x* når *&sigma;* er spredningstverrsnittet og *n* er deres tetthet. Forholdet mellom dette arealet og hele arealet *A* vil nå være sannsynligheten *P&thinsp;* for at en innkommende partikkel kolliderer eller spredes,

:  P = n\sigma\Delta x 

Denne sannsynligheten er samtidig forholdet mellom intensiteten til spredte og innkommende partikler.

Når den innkommende strålen av partikler går gjennom flere lag med spredere, vil dens intensitet *I*(*x*)  svekkes. I et tynt lag med tykkelse *dx* er denne reduksjonen nå gitt ved

:  {dI(x)\over I(x)}  = - n\sigma dx 

Denne differensialligningen kan løses ved bruk av eksponensialfunksjonen med resultatet

:  I(x) = I_0e^{-n\sigma x} 

og viser hvordan intensiteten avtar  med økende *x* innover i en tykk spreder. Samme lovmessighet ble funnet for flere hundre år siden for spredning av lys og omtales i den sammenheng som Beer-Lamberts lov.

## Geometrisk virkningstverrsnitt

Når en kule med radius *R&thinsp;* blir projisert på et plan, vil den utgjøre et areal *&pi;&thinsp;R*2 som er dens geometriske tverrsnitt. For en bred strøm av innkommende punktpartikler vil kun de som befinner seg innenfor dette arealet, kunne vekselvirke med kulen ved mekanisk kontakt, Det totale virkningstverrsnittet for spredning av den klassiske punktpartikkeln mot kulen er derfor

:  \sigma = \pi R^2 

På samme vis er spredningstverrsnittet for to klassiske kuler med radier henholdsvis *R&thinsp;* og *r&thinsp;* gitt som

:  \sigma = \pi (R + r)^2 

Det følger fra å anta for eksempel at kule *R* ligger i ro og *r&thinsp;* beveger seg mot denne. For at det skal bli mekanisk kontakt mellom dem, må sentrum til kule *r&thinsp;* komme innenfor en sirkel med radius *R* + *r*.

Ved disse klassiske kollisjonene ville de tilsvarende virkningstverrsnittene vært større hvis partiklene og kulene kunne virke på hverandre over større avstander enn deres geometriske utstrekning. Det ville være tilfellet hvis de for eksempel hadde elektrisk ladning.

## Differensielt spredningstverrsnitt

Det totale spredningstverrsnittet *&sigma;&thinsp;* sier ingenting om retning til partiklene etter kollisjonen mellom dem. Eksperimentelt er dette av stor viktighet og beskrives ved det **differensielle** virkningstverrsnittet. 

Benyttes et kulekoordinater (*r*,*&theta;*,*&phi;*) med origo i sprederen, vil det gi et antall *dN&thinsp;* partikler som spredes i en retning gitt ved vinklene (*&theta;*,*&phi;*) innen det differensielle romvinkelelementet 

:  d\Omega = \sin\theta\, d\theta\, d\phi 

Dette antallet er proporsjonalt med antall partikler *N<sub>s</sub>* = *nA&Delta;x* i sprederen hvis denne har volum *A&Delta;x*  og tetthet *n*. Antall spredte partikler i denne retningen kan da skrives som

:  {dN\over d\Omega} = N_s I_0 {d\sigma\over d\Omega} 

der *I*0 er fluksen av innkommende partikler og *d&sigma;*/*d&Omega;&thinsp;* er det differensielle virkningstverrsnittet. Det har dimensjon som et areal og avhenger av retningen (*&theta;*,*&phi;*) samt energien til de innkommende partiklene. Er denne vinkelavhengigheten kjent, kan det totale spredningstverrsnittet finnes ved integrasjon,

:  \sigma =  \int_0^{\pi}\! d\theta\,\sin\theta \int_0^{2\pi}\! d\phi\, {d\sigma\over d\Omega}(\theta,\phi) 

Fra denne definisjonen av det diifferensielle spredningstverrsnittet følger at det kan benyttes både for elastiske og uelastiske prosesser. Det avhenger av hva slags partikler med hvilke egenskaper man registrerer i den gitte retningen.

## Støtparameter

En klassisk kollisjon mellom to partikler kan beskrives som et tolegemeproblem hvor den innkommende partikkelen beveger seg i kraftfeltet fra den andre som utgjør sprederen. Denne antas å være veldig tung slik at dens posisjon ikke forandres, bare retningen til partikkelen som den spreder. 

Avgjørende for størrelsen til spredningsvinkelen *&theta;&thinsp;* er  energien til den innkommende partikkelen og den minste avstand denne ville hatt fra sprederen hvis den ikke hadde noen virkning på bevegelsen. Denne avstanden kalles kollisjonens *støtparameter* og betegnes vanligvis ved bokstaven *b*. Ved bruk av klassisk mekanikk kan spredningsvinkelen *&theta;&thinsp;* beregnes for hver verdi av denne parameteren når man antar at vekselvirkningen er rotasjonssymmetrisk. Det betyr at man teoretisk kan finne funksjonen *b* = *b*(*&theta;*) selv om dette i praksis kan være vanskelig å gjøre.

I denne klassiske beskrivelsen vil alle innkommende partikler som går gjennom en liten ring med areal  spredes den samme vinkelen *&theta;* innen en romvinkel  Det differensielle virkningstverrsnittet følger nå fra

:  {d\sigma\over d\Omega} = {b\over\sin\theta} {db\over d\theta} 

hvor man tar den positive verdien hvis den deriverte *db*/*d&theta;* er negativ.

### Eksempel

Det enkleste eksempel på en slik klassisk beregning av det differensielle spredningstverrsnittet har man når en liten partikkel kolliderer med en massiv, hard kule. Skjer dette med støtparameter *b*, vil treffpunktet på kula være gitt ved vinkelen *&alpha;&thinsp;* slik at  når *R* er kulens radius. Partikkelen vil reflekteres fra kulens overflate med samme vinkel slik at spredningsvinkelen blir . Dermed har man sammenhengen 

:  b = R\cos{\theta\over 2} 

Ved å benytte den trigonometriske identiteten  \sin\theta = 2\sin{\theta\over 2}\cos{\theta\over 2}  og samtidig ignorere et minustegn, finner man herav det differensielle tverrsnittet

:  {d\sigma\over d\Omega} = {1\over 4} R^2 

Det er uavhengig av vinkelen *&theta;* slik at de innkommende partiklene blir spredt like mye i alle retninger. Ved idirekte ntegrasjon følger det totale spredningstverrsnittet  \sigma = \pi R^2  da den totale romvinkel *&Omega;* = 4*&pi;*.

Mer komplisert er Rutherford-spredning av to partikler som forårsakes av en frastøtende Coulomb-kraft mellom dem. Når den ene er mye tyngre enn den andre, vil bevegelsen til den andre følge en hyperbel på tilsvarende måte som at en planet ifølge Keplers lov beveger seg rundt solen i en ellipse når kraften mellom dem er tiltrekkende. Støtparameteren er i dette tilfellet gitt ved hyperbelens hovedakse *a* og spredningsvinkelen ved sammenhengen

:  b = a\cot{\theta\over 2} 

Den gir nå det differensielle spredningstverrsnittet

:  {d\sigma\over d\Omega} = {a^2\over 4\sin^4(\theta/2)} 

som divergerer I fremover-retning der *&theta;* &rarr; 0. Det skyldes at Coulomb-kraften har i prinsippet uendelig lang rekkevidde slik at de innkommende partiklene vil spredes uansett hvor stor deres støtparameter er.

## Klassisk lysspredning

Klassisk beskrives lys som en elektromagnetisk bølge. Spredning av lys skjer ved at det elektriske feltet i bølgen påvirker ladninger i sprederen som så stråler ut nytt lys i forskjellige retninger ifølge Maxwells ligninger. Spredningstverrsnittet for en slik prosess kan defineres på tilsvarende vis som for spredning av partikler ved at fluksen av partikler i forskjellige retninger erstattes med intensiteten av strålingsenergi i disse retningene. Når lys beskrives kvantemekanisk som en strøm av fotoner, vil det ikke lenger være noen prinsipiell forskjell mellom disse to beskrivelsene.

Vanligvis er lysets bølgelengde mye større en utstrekningen til den elektrisk ladete partikkel som spreder det, vil den sende ut lys som er elektrisk dipolstråling når den settes i bevegelse av den innkommende bølgen. Den utstrålte energien innen romvinkelen *d&Omega;&thinsp;* i retning **n** = (*&theta;*,*&phi;*) er da

:  {dP\over d\Omega}  = {\omega^4 |p_0|^2\over 32\pi^2\varepsilon_0 c^3}\sin^2\alpha 

hvor *&omega;* er vinkelfrekvensen til det innkommende lyset med et elektrisk felt som danner vinkelen *&alpha;* med utstrålingsretningen **n**. Dette resultatet omtales ofte som Larmors formel. Størrelsen til denne spredte energien er gitt ved dipolmomentet *p*0 til sprederen.

### Lorentz-oscillatoren

En enkel, men realistisk modell for klassisk lysspredning gir Lorentz-oscillatoren hvor den spredende partikkel er et elektron som er bundet i et molekyl ved en harmonisk kraft som gjør at det kan oscillere med en egenfrekvens *&omega;*0. Den innkommende bølgen med elektrisk amplitude *E*0 gir det bundne elektronet i oscillatoren dipolmomentet

:  p_0 = {e^2\over m} {E_0\over \omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega} 

hvor konstanten *&gamma;* beskriver en mulig dempning av oscillatorens svingninger. Da intensiteten til den innkommende bølgen er , blir nå det differensielle spredningstverrsnittet 

:  {d\sigma\over d\Omega} =  {1\over I_0} {dP\over d\Omega} = {r_0^2 \omega^4\over ( \omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2\omega^2}  \sin^2\alpha 

hvor *r*0 = *e*2/4*&pi;&thinsp;&epsilon;*0*mc*2 er den klassiske elektronradius. Det avhenger av vinkelen *&alpha;* som igjen er bestemt av vinkelen mellom spredningsretningen 

:  \mathbf{n} = (\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta) 

og det elektriske feltet til den innkommende bølgen. Tverrsnittet gjelder derfor for spredning av polarisert lys.

Hvis man antar at lyset kommer inn langs *z*-aksen, er vinkelen *&alpha;&thinsp;* bestemt ved  = sin*&theta;*&thinsp;cos*&phi;*  når det er polarisert langs *x*-aksen eller  = sin*&theta;*&thinsp;sin*&phi;*  for polarisasjon langs *y*-aksen. Det differensielle tverrsnittet for spredning av upolarisert lys er middelverdien av disse to tverrsnittene og derfor proporsjonalt med 1 - *n<sub>x</sub>*2 + 1 - *n<sub>y</sub>*2 = 1 + *n<sub>z</sub>*2, det vil si

:  {d\sigma\over d\Omega}|_{upol} = {\omega^4\over ( \omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2\omega^2} {r_0^2 \over 2}\left(1 + \cos^2\theta\right) 

Spredningstverrsnittet har et maksimum når lyset har samme frekvens som egenfrekvensen til Lorentz-oscillatoren. Denne generelle effekten skyldes resonans mellom disse to svingningene.

Så lenge dempningsparameteren *&gamma;* &ne; 0, vil en del av den innkommende energien absorberes av oscillatoren. Det totale virkningstverrsnittet vil derfor være litt større enn det som skyldes spredning og tilsvarer integrasjon av dette differensielle spredningstverrsnittet.

### Anvendelser
Når elektronet er løst bundet eller frekvensen til lyset er tilstrekkelig høy, kan man sette *&omega;* &gg; *&omega;*0,*&gamma;* og spredning på Lorentz-oscillatoren går over til å bli tilnærmet Thomson-spredning på frie elektroner med differensielt tverrsnitt

:  {d\sigma\over d\Omega}|_{Thom} = {r_0^2 \over 2}\left(1 + \cos^2\theta\right) 

I den motsatte grensen hvor elektronet er sterkt bundet til et molekyl slik at *&omega;*0 &gg; *&omega;*,*&gamma;*,  går resultatet over til å gi tverrsnittet 

:  {d\sigma\over d\Omega}|_{Ray} =  {r_0^2 \over 2}\left({\omega\over\omega_0}\right)^4 \left(1 + \cos^2\theta\right) 

for Rayleigh-spredning. Det er mye mindre enn Thomson-tverrsnittet, men øker raskt med frekvensen *&omega;*. Det er denne variasjonen som gjør at himmelen er blå.

## Kvantemekanisk spredning

På samme måte som i klassisk mekanikk kan vekselvirkningen mellom to ikke-relativistiske partikler i kvantemekanikken beskrives som et tolegemeproblem og dermed reduseres til å omhandle én partikkel som påvirkes av den andre gjennom et statisk potensial. Hvis den innkommende partikkelen med masse *m&thinsp;* har kinetisk energi *E* = *p*2/2*m*, vil dens impuls skrives som *p* = *ħ*&thinsp;*k* hvor *k* er bølgetallet i Schrödingers bølgefunksjon som beskriver den når *ħ* er den reduserte Plancks konstant.

Når denne partikkelen beveger seg langs *z*-aksen med bølgevektor **k**, kan den beskrives ved den plane bølgefunksjonen *e**ikz*. Etter spredningen vil den bevege seg i retningen  (*&theta;,&phi;*) i forhold til *z*-aksen. Det er tilfelle når spredningspotensialet er rotasjonssymmetrisk.  Langt borte fra dette potensialet vil man dermed ha en utgående kulebølge med en viss amplitude *f*&thinsp;(*&theta;&thinsp;*). Spredningsprosessen kan derfor i dette området sammenfattes i den kombinerte bølgefunksjonen

:  \psi(\mathbf{r}) =  e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}  + f(\theta,\phi) {e^{ikr}\over r} 

da **k**&sdot;**r** = *kz* = *kr*&thinsp;cos*&theta;* i det første leddet. Det differensielle spredningstverrsnittet for kollisjonen er nå gitt som

:  {d\sigma\over d\Omega} = |f(\theta,\phi)|^2 

der spredningsamplituden *f*&thinsp;(*&theta;,&phi;*) har samme dimensjon som en lengde. Den kan i prinsippet beregnes ved å løse Schrödinger-ligningen.

### Born-approksimasjon

Når potensialet som virker mellom de kolliderende partiklene er beskrevet ved funksjonen *V*(**r**), vil den spredte bølgen være en løsning av den stasjonære Schrödinger-ligningen  som tar formen til en inhomogen Helmholtz-ligning,

:  (\nabla^2 +  k^2) \psi(\mathbf{r}) = {2m\over\hbar^2} V(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r})  

Den har en generell løsning som er gitt ved

:   \psi(\mathbf{r})  = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}  + {2m\over\hbar^2} \int \! d^3 r' G(\mathbf{r},\mathbf{r'}) V(\mathbf{r'})\psi(\mathbf{r'})

hvor den plane bølgen i det første leddet er en løsning av den homogene ligningen og *G*(**r**,**r**') er dens Green-funksjon. Denne er definert ved ligningen

:  (\nabla^2 +  k^2) G(\mathbf{r},\mathbf{r'})  = \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r'}) 

som har løsningen

:  G(\mathbf{r},\mathbf{r'}) =  - \frac{e^{ik|\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime|}} {4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime|}  \longrightarrow - {e^{ikr}\over 4\pi r} e^{-i\mathbf{k'}\cdot\mathbf{r'}} 

hvor det siste uttrykket gjelder for store avstander fra sprederen der *r* &gg; *r'&thinsp;* og **k'&thinsp;** = *k*&thinsp;**r**/*r* kan betraktes som bølgevektoren for den spredte  partikkelen. Det generelle resultatet for spredningsamplituden kan derfor leses ut fra det siste leddet i den formelle løsningen. Her kan man for *&psi;*(**r**') sette inn det tilsvarende uttrykket og kan på den måten komme frem til en rekke for spredningsamplituden hvor de første leddene  representerer én enkel spredning på potensialet, to påfølgende spredninger og så videre.
 
Den laveste Born-approksimasjonen betyr å beholde bare det første leddet i  rekkeutviklingen. Det tilsvarer første ordens perturbasjonsteori og gir det eksplisitte resultatet

:  f(\theta,\phi) = -  {m\over 2\pi\hbar^2} \int \!d^3 r' e^{i(\mathbf{k} - \mathbf{k'})\cdot\mathbf{r'}}V(\mathbf{r'}) 

for spredningsamplituden. Den er gitt som en Fourier-transformasjon av spredningspotensialet.

### Coulomb-spredning

Den enkleste og viktigste anvendelse av første Born-approksimasjon er for Rutherford-spredning der det spredende potensial er Coulomb-potensialet

:   V(\mathbf{r}) = - {Ze^2\over  4\pi\varepsilon_0 r } 

som virker mellom to partikler med elektrisk ladninger -*e* og *Ze*. De to bølgevektorene **k** og **k'&thinsp;** har samme lengde *k* og danner vinkelen *&theta;&thinsp;* med hverandre. Derfor har vektoren  lengden

:  Q = 2k\sin{\theta\over 2} 

hvor bølgetallet *k* er gitt ved energien *E* = *ħ*2*k*2/2*m* til den innkommende partikkelen.

Fourier-transformasjonen av Coulomb-potensialet kan finnes fra det mer generelle integralet

:  \int\!d^3r\, e^{i\mathbf{Q}\cdot\mathbf{r}} {e^{-\kappa r}\over 4\pi r}\; = {1\over Q^2 + \kappa^2} 

ved å ta grensen *&kappa;* &rarr; 0. Dette er ikke avhengig  av den asimutale vinkelen *&phi;* da potensialet er rotasjonssymmetrisk. Spredningsamplituden blir dermed

:  f(\theta) = {1\over  4\pi\varepsilon_0} {Ze^2\over 4E\sin^2(\theta/2)} ,

og det differensielle tverrsnittet for Coulomb-spredning er

:  {d\sigma\over d\Omega} = k_e^2 {Z^2e^4\over 16E^2 \sin^4(\theta/2)} 

hvor *k<sub>e</sub>* = 1/4*&pi;&thinsp;&epsilon;*0 er Coulomb-konstanten i SI-systemet. Selv om denne beregningen er basert på kvantemekanikk, er Plancks konstant fallt ut av resultatet som er i nøyaktig overensstemmelse med hva den klassiske beregningen gir. Dette er spesielt for Coulomb-potensialet hvor høyere ledd i Born-approksimasjonen ville ha resultert i en kompleks fasefaktor i spredningsamplituden som ikke ville ha forandret virkningstverrsnittet.

## Partialbølger

En viktig fremstilling av en generell spredningsprosess får man ved en partialbølgeutvikling av spredningsamplituden. Den er basert på at potensialet er rotasjonsymmetrisk slik kollisjonen er uavhengig av den asimutale vinkelen *&phi;*. Spredningsamplituden kan da uttrykkes ved en uendelig rekke basert på Legendre-polynomene *P*ℓ(cos*&theta;*) og har formen

: f(\theta) =  {1\over k} \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) e^{i \delta_\ell} \sin\delta_\ell P_\ell(\cos \theta)

Ekspansjonsparameteren ℓ er her kvantetallet som angir dreieimpulsen til partikkelen som spredes. Desst lavere energi denne har, desto mindre verdier har denne størrelsen og desto færre termer behøver man å ta med i rekkeutviklingen. Hver verdi av ℓ angir dermed en utgående kulebølge og parameteren *&delta;*ℓ kalles dens **faseskifte**. De bestemmer størrelsen til spredningstverrsnittet og har reelle verdier for elastisk spredning.

Ved å bruke ortogonalitet mellom Legendre-polynomene finner man herav det integrerte spredningstverrsnittet

:  \sigma = 2\pi\int_{-1}^1\!d\cos\theta  |f(\theta)|^2  = {4\pi\over k^2}  \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) \sin^2\delta_\ell 

Dette uttrykket er i overensstemmelse med det optiske teoremet som sier at tverrsnittet også er gitt ved den imaginære delen av spredningsamplituden i fremover-retning *&theta;* = 0,

:  \sigma = {4\pi\over k}\text{Im} f(0)  

Partialbølgemetiden kan også benyttes ved uelastisk spredning der den innkommende partikkelen taper energi eller ved at andre partikler blir samtidig skapt i prosessen. Dette kan formelt beskrives ved å la faseskiftene ta komplekse verdier. Da vil det være en forskjell mellom det totale virkningstverrsnittet som følger fra det optiske teoremet og det integrerte spredningstverrsnittet. Differensen omtales vanligvis for det «absorptive tverrsnittet» siden det skyldes et tap av partikler fra den innkommende strålen.

### Småvinkelspredning

Kvantetallet ℓ i partialbølgeutviklingen angir dreieimpulsen til den spredte partikkelen. Denne er proporsjonal med impulsen  til partikkelen som spredes. Ved høye energier vil derfor partialbølger med stadig høyere verdier av ℓ bidra. I tillegg viser eksperiment i kjernefysikk og partikkelfysikk ved slike energier at spredningen er konsentrert innen små vinkler.

Under slike forhold kan summen over alle partialbølger  ℓ erstattes med en integrasjon over en klassisk støtparameter *b* definert ved  Samtidig kan Legendre-polynomet i ekspansjonen for små vinkler erstattes med *P*ℓ(cos*&theta;*) = *J*0(ℓ*&theta;*) hvor Bessel-funksjonen er definert ved

:  J_0(x) = \int_0^{2\pi}\!{d\phi\over 2\pi} e^{ix\cos\phi} 

Spredningsamplituden kan dermed skrives som

:  \begin{align}  f(\theta) &= ik\int_0^\infty\!dbb \,J_0(kb\theta) \big[1 - e^{2i\delta(b)}\big] \\ &= {ik\over 2\pi} \int d^2b\, e^{i\mathbf{Q}\cdot\mathbf{b}}  \big[1 - e^{2i\delta(b)}\big] \end{align} 

hvor vektoren **Q** har lengde *Q* = *k&theta;*. På denne måten vil hele spredningsamplituden kunne beregnes fra kjennskap til profilfunksjonen *&delta;*(*b*) som beskriver egenskapene til sprederen.

### Eikonalapproksimasjon

I store avstander fra sprederen beskrevet ved potensialet *V*(**r**) må bølgefunksjonen til den spredte partiklen oppfylle ligningen

:   \psi(\mathbf{r})  = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}  -  {m\over 2\pi \hbar^2}{e^{ikr}\over r} \int \! d^3 r'  e^{-i\mathbf{k'}\cdot\mathbf{r'}}\, V(\mathbf{r'})\psi(\mathbf{r'}) 

Det siste leddet her gir direkte spredningsamplituden i laveste Born-approksimasjon når man setter  i integralet på høyre side. Et mer nøyaktiig resultat kan finnes ved  å benytte eikonalapproksimasjonen som brukes  i optikken og er basert på en tilsvarende Helmholtz-ligning ved korte bølgelengder og småvinkel avbøyning. Denne tilnærmelsen gir det mer presise uttrykket

:   \psi(\mathbf{r}) = \exp{\Big[i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - {i\over\hbar v} \int_{-\infty}^z \! dz' V(x,y,z')\Big] } 

for den spredte bølgen hvor *v* = *p*/*m* er hastigheten til partikkelen. Denne modifikasjonen av den plane bølgen involverer Plancks konstant *ħ* og er derfor en kvantekorreksjon som kan føres tilbake til WKB-approksimasjonen i atomfysikken.

Uttrykket for spredningsamplituden tar nå formen

:  f(\theta) =  - {m\over 2\pi \hbar^2} \int\! d^2b\int_{-\infty}^\infty\! dz\, e^{i\mathbf{Q}\cdot\mathbf{r}} \,V(\mathbf{b},z)  \exp{\Big[- {i\over\hbar v} \int_{-\infty}^z \! dz' V(\mathbf{b},z')\Big] } 

etter oppsplittelsen **r** = (**b**,*z*) og innføring av **Q** = **k** - **k'&thinsp;**. Det gjenstående integralet  kan bli ytterligere forenklet ved å benytte først at **Q**&sdot;**r** = **Q**&sdot;**b** for små spredningsvinkler. I tillegg kan de to siste faktorene i integralet kombineres til den deriverte av en eksponensialfunksjon slik at integrasjonen over *z* kan utføres. Dermed tar spredningsamplituden formen

:  f(\theta)  =  {ik\over 2\pi}  \int d^2b\, e^{i\mathbf{Q}\cdot\mathbf{b}}  \big[1 - e^{2i\delta(b)}\big] ,

men med det eksplisitte resultatet 

:  2\delta(b) = - {1\over\hbar v} \int_{-\infty}^\infty \! dz\, V(\mathbf{b},z) 

for den generaliserte faseforskyvningen. For et gitt spredningspotensial kan denne derfor bestemmes ved en enkel integrasjon. Skulle potensialet ta komplekse verdier, vil dette bety absorpsjon av de innkommende partiklene og bety at funksjonen *&delta;*(*b*) også ville ta komplekse verdier.

### Diffraksjonsspredning

Faseforskyvningen *&delta;*(*b*) vil bli kompleks hvis det spredende potensialet *V*(*r*) virker absorberende på de innkommende partiklene. I det mest ekstreme tilfelle kan man tenke seg at alle partikler innenfor en radius *a*&thinsp; absorberes, mens ingen spredes eller absorberes utenfor denne avstanden. Man sier da at man har spredning på en totalt absorberende kule eller «sort disk». Det betyr at fasefaktoren *e*2*i&delta;* = 1 for støtparametre *b* > *a&thinsp;* og null ellers. Spredningsamplituden er da gitt ved integralet

:  f(\theta) = ik\int_0^a \!dbb \,J_0(kb\theta) =  ika^2 {J_1(ka\theta)\over ka\theta} 

som er det samme som opptrer for diffraksjon av lys gjennom en sirkulær åpning eller absorberende disk. Spredningstverrsnittet for partikler i denne grensen blir derfor vanligvis omtalt som «diffraksjonsspredning».

Det integrerte spredningstverrsnittet blir nå

:  \sigma = 2\pi \int_0^\pi d\theta\, |f(\theta)|^2 = \pi a^2 

med stor nøyaktighet. Det er likt med det geometriske tverrsnittet til sprederen.

For beregning av det totale virkingstverrsnittet *&sigma;<sub>T</sub>&thinsp;* kan man benytte det optiske teoremet. Da *J*1(*x*)/*x* &rarr; 1/2 i grensen *x* &rarr; 0, er spredningsamplituden i fremover-retning *f*(0) = *ika*2/2 og er rent imaginær. Dette tverrsnittet blir dermed

:  \sigma_T =  {4\pi\over k}\text{Im} f(0) = 2\pi a^2 

og er dobbelt så stort som det geometriske tverrsnittet. I tillegg til spreningstverrsnittet inneholder det også tverrsnittet for absorpsjon som har samme størrelse.

## Se også
* Rayleigh-spredning
* Mie-spredning
* Rutherford-spredning
* Thomson-spredning
* Compton-spredning

## Referanser


## Eksterne lenker
*  HyperPhysics, http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/Hbase/nuclear/nucrea.html#c3 and http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/Hbase/nuclear/crosec.html#c1, Georgia State University

* Particle Data Group