Elektromagnetisk felt

Et **elektromagnetisk felt** oppstår i alle situasjoner hvor det finnes elektrisk ladning. Er denne i ro, vil det bestå av et rent elektrisk felt. Så snart den beveger seg, vil ladningen også omgi seg med et magnetisk felt. Feltet er beskrevet ved Maxwells ligninger som viser at det utbrer seg i vakuum med lyshastigheten.

Egenskapene til det elektromagnetiske feltet lå til grunn for Einsteins utvikling av den spesielle relativitetsteorien i 1905. Den viser at komponentene til feltet utgjør en antisymmetrisk tensor i det firedimensjonale tidrommet. Om det skal ha hovedsakelig en elektrisk eller en magnetisk karakter, avhenger av hvordan det observeres. Feltet er invariant under gaugetransformasjoner slik at Maxwells ligninger definerer en gaugeteori. Siden 1983 har det vært kjent at det elektromagnetiske feltet inngår sammen med andre, tilsvarende felt for den svake kjernekraften i en enhetlig, elektrosvak gaugeteori. 

Elektromagnetiske felt spiller en stadig større rolle i vårt moderne samfunn. All telekommunikasjon, radar, fiberoptikk, elektrisk motorer, strømforsyning og mye annet er basert på de samme matematiske ligninger som ble funnet av Maxwell for omtrent 150 år siden.

## Maxwells ligninger

Grunnlaget for den moderne forståelse av det elektromagnetiske feltet ble lagt av Michael Faraday gjennom hans eksperimentelle undersøkelser av elektriske og magnetiske krefter. Disse forklarte han ved at de ble formidlet av et felt som han kunne beskrive ved hjelp av feltlinjer. Den matematiske beskrivelsen av dette elektromagnetiske feltet ble funnet av James Clerk Maxwell i 1862 uttrykt ved tyve partielle differensialligninger for de forskjellige komponentene til feltet. Et par tiår senere ble disse redusert til fire ligninger av Oliver Heaviside ved bruk av vektoranalyse. 

I denne moderne formuleringen er det elektromagnetiske feltet beskrevet ved to vektorfelt som kalles det elektriske feltet  og det magnetiske fluksfeltet .  Hvis bare det elektriske feltet er tilstede og det ikke varierer med tiden, kalles det for et elektrostatisk felt. Likedan, hvis kun det magnetiske feltet er tilstede og det ikke varierer med tiden, kalles det for et magnetostatisk felt. Men hvis bare et av disse to vektorfeltene har en tidsavhengighet, vil også det andre få det gjennom Maxwells ligninger.

For å beskrive feltet i materialer og forskjellige medier er det hensiktsmessig å innføre et elektrisk forskyvningsfelt  hvor *&epsilon;* er permittiviteten til materialet. På samme måte defineres et magnetisk felt **H** i et material med permeabilitet *&mu;* ved sammenhengen . I vakuum er disse to materialkonstantene gitt ved henholdsvis den elektriske konstanten *&epsilon;*0&thinsp; og den magnetiske konstanten *&mu;*0.

Kilden til det elektromagnetiske feltet er elektrisk ladning beskrevet ved en ladningstetthet  og elektriske strømmer beskrevet ved strømtettheten . Disse inngår i de to første Maxwell-ligningene som er

:   \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{D} = \rho, \;\;\;   \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} 

Den første er Gauss' lov for det elektriske feltet som har elektrisk ladning som kilde. Fra betydningen av divergens-operatoren følger at de tilsvarende feltlinjene går fra positive ladninger og ender opp på like store, negative ladninger. På samme vis viser den andre Maxwell-ligningen, hvor forskyvningsstrømmen  inngår, at elektriske strømmer er kilden til det magnetiske feltet. Ligningen omtales vanligvis som Maxwell-Ampères sirkulasjonslov da den er en generalisering av Ampères opprinnelige sirkulasjonslov for stasjonære strømmer til det generelle tilfellet hvor feltene varierer med tiden. Tar man divergensen av ligningen, fremkommer kontinuitetsligningen som et uttrykk for at elektrisk ladning er en bevart størrelse.

De to siste Maxwell-ligningene kan skrives som

:   \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{B} = 0, \;\;\;   \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} 

og er uten kilder. Den første betyr at magnetiske flukslinjer alltid vil være lukkete kurver da det er ingen ladninger hvor de kan starte eller ende opp på. At det ikke finnes slike magnetiske ladninger, betyr også at i denne klassiske, elektromagnetiske teorien finnes ikke magnetiske monopoler. Den siste ligningen her viser de hvordan elektriske og magnetiske felter er knyttet sammen i et elektromagnetisk felt slik at det ene kan gi opphav til det andre og representerer den matematiske formuleringen av Faradays induksjonslov.

### Elektromagnetiske potensial

Den magnetiske Maxwell-ligningen **&nabla;**&sdot;**B** = 0 er automatisk oppfylt ved å skrive 

:   \mathbf{B}  = \boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A} 

hvor  er det magnetiske vektorpotensialet. Det ble først innført av Franz Neumann og benyttet i stor grad av Maxwell i konstruksjon av sine ligninger. Bruker man denne definisjonen i Faradays induksjonslov, ser man at &thinsp; må være gradienten til en skalar funksjon. Den er gitt ved det elektriske potensialet  slik at man skrive det elektriske feltet generelt som

:   \mathbf{E}  = -  \boldsymbol{\nabla}\Phi - {\partial\mathbf{A} \over\partial t} 

I det statiske tilfellet forenkles denne relasjonen til **E** = - **&nabla;**&thinsp;&phi;. Det viser at dette potensialet da er direkte relatert til den potensielle energien til en partikkel som befinner seg i et slikt elektrisk felt. 

Derimot har det elektriske potensialet ingen slik direkte fysisk interpretasjon når feltet varierer med tiden da det alltid kan forandres ved en gaugetransformasjon. Det ser man ved å innføre en vilkårlig funkjon . Hvis man så definerer de transformerte potensialene, ved

:   \mathbf{A} \rightarrow   \mathbf{A}' = \mathbf{A} + \boldsymbol{\nabla} \chi, \;\;\;  \Phi \rightarrow  \Phi' =  \Phi - {\partial\chi\over\partial t} 

vil de transformerte elektriske og magnetiske feltene forbli uforandret. Maxwell-teorien sies derfor å være **gaugeinvariant**, noe som  på et vis definerer dens innhold.

Denne friheten kan også være av stor betydning ved bruk av teorien. Avhengig av hva man ønsker å oppnå kan man derfor anta at potensialene oppfyller en bestemt betingelse som medfører visse forenklinger. Så snart man tar en slik betingelse i bruk, sies man å arbeide innen en bestemt gauge. De mest vanlige gaugevalgene er Coulomb-gauge og Lorenz-gauge.

## Bølgeligninger
En viktig fordel ved å benytte potensial til å formulere lovene for det elektromagnetiske feltet, er det gir enklere bølgeligninger som beskriver feltets utbredelse i tid og rom.
For det magnetiske vektorpotensialet  kan den utledes fra definisjonen . Tar man curl av denne og bruker identiteten  =   sammen med Maxwells to ligninger for  og , får man

:  \boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{A} - {1\over c^2} {\partial^2\mathbf{A}\over\partial t^2}  - \boldsymbol{\nabla}\Big(\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{A} + {1\over c^2}{\partial\Phi\over\partial t}\Big) =  -  \mu\mathbf{J} 

hvor 

:  c = \sqrt{1\over\varepsilon\mu}  

er lyshastigheten i materialet der feltene befinner seg. Likedan, ved å ta divergensen av Gauss' lov på differensiell form hvor man i alminnelighet har  , kan resultatet skrives som

: \boldsymbol{\nabla}^2 \Phi + \frac{\partial}{\partial t} \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A \right ) = - \frac{\rho}{\varepsilon}. 

Dette er ingen vanlig bølgeligning for det elektriske potensialet. I tillegg involverer både dette og det forrige uttrykket begge potensialene &Phi; og **A** slik at an ikke uten videre kan holde disse to fra hverandre under en beregning. 

Ligningene forenkles betraktelig ved bruk av Lorenz-gaugen

:  \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{A} + {1\over c^2}{\partial\Phi\over\partial t} = 0. 

Det resulterer i  den inhomogene bølgeligningen

:  \boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{A} - {1\over c^2} {\partial^2\mathbf{A}\over\partial t^2} = -  \mu\mathbf{J} 

for det magnetiske vektorpotensialet. Samtidig vil det elektriske potensialet oppfylle den tilsvarende bølgeligningen

:  \boldsymbol{\nabla}^2\Phi - {1\over c^2} {\partial^2\Phi\over\partial t^2} =  - {\rho\over\varepsilon}. 

De to potensialene er dermed blitt koblet fra hverandre og deres bevegelsesligninger kan løses hver for seg. De er kun indirekte avhengig av hverandre gjennom gaugebetingelsen.

### Retarderte løsninger

For gitt kilder  og  kan begge bølgeligningene løses ved bruk av Greens funksjon. Siden et signal som er skapt i et kildepunkt **r**', vil bruke en tid  |**r** - **r**'|/*c*&thinsp; for å nå frem til et feltpunkt **r**, vil feltet i dette punktet ved tiden *t* være avhengig av hva som forgikk i kilden ved det tidligere eller **retarderte tidspunktet**

:   t'  =  t - \frac{c} 

Løsningene av bølgeligningene i vakuum med *&epsilon;* = *&epsilon;*0  og *&mu;* = *&mu;*0 kan da skrives generelt som

:  \Phi (\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\! d^3x' \frac{\rho (\mathbf{r'},  t')} 

:  \mathbf{A} (\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\! d^3x' \frac{\mathbf J (\mathbf{r'},  t')} 

De ble for første gang utledet av den danske fysiker Ludvig Lorenz på midten av 1800-tallet.
All elektromagnetisk stråling fra klassiske kilder kan beregnes fra disse to formlene. I enkleste approksimasjon beskrives kildene med sine dipolmoment som resultererer i elektrisk og magnetisk dipolstråling.

For statiske kilder forenkles disse løsningene. Ligningen for &Phi; gir det elektriske potensialet som skyldes en konstant ladningsfordeling, mens uttrykket for vektorpotensialet **A** er ekvivalent med Biot-Savarts lov for det magnetiske feltet frembrakt av en stasjonær strømfordeling.

### Coulomb-gauge

Bølgeligningene kan også løses i Coulomb-gaugen **&nabla;**&sdot;**A** = 0. Selv om løsningene da ser annerledes ut, vil de gi samme resultat  ved beregning av fysiske størrelser. Med dette gaugevalget, vil den siste ligningen for det skalare potensialet &Phi; forenkles til Poissons ligning

:  \boldsymbol{\nabla}^2 \Phi(\mathbf{r},t)  = - {1\over \varepsilon_0} \rho(\mathbf{r},t) 

som ikke er en vanlig bølgeligning. Den kan løses på samme måte som i det elektrostatiske tilfellet slik at man har

:  \Phi (\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\! d^3x' \frac{\rho (\mathbf{r'},  t)} 

Her opptrer samme tidspunkt både i kildepunktet og feltpunktet. Selv om det ikke er noen retardasjon i denne løsningen, vil likevel et fysisk signal fra kilden ta en viss tid å nå frem siden det er sammensatt med den delen som blir overført gjennom vektorpotensialet. Og det forplanter seg med retardasjon som kommer frem ved å skrive den resulterende bølgeligningen i denne gaugen som

:  \boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{A} - {1\over c^2} {\partial^2\mathbf{A}\over\partial t^2} = -  \mu_0\mathbf{J}_T 

etter å ha innført den **transverse** strømmen

:  \mathbf{J}_T  = \mathbf{J} - \varepsilon_0{\partial\over\partial t}\boldsymbol{\nabla}\Phi. 

Løsningen for det magnetiske vektorpotensialet ved bruk av Coulomb-gaugen kan derfor skrives på den retarderte formen

:  \mathbf{A} (\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\! d^3x' \frac{\mathbf J_T (\mathbf{r'},  t')}. 

Den avhenger av den transverse delen av strømtettheten som har sitt navn fra egenskapen

:  \boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{J}_T = \boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{J} -  \varepsilon_0{\partial\over\partial t}\boldsymbol{\nabla}^2\Phi =  
\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{J} + {\partial\rho\over\partial t} = 0 

når man benytter ligningen for det skalare potensialet sammen med kontinuitetsligningen for den elektriske strømmen.

For en partikkel med ladning *q* og en hastighet **v** som er mye mindre enn lyshastigheten, kan man se bort retardasjonen i beregning av vektorpotensialet. Mens det er  i Lorenz-gaugen, blir det nå i Coulomb-gaugen

:   \mathbf{A} = {\mu_0q\over 8\pi r}\left[ \mathbf{v} + {\mathbf{r} (\mathbf{r}\cdot\mathbf{v})\over r^2} \right] 

hvor **r** nå angir separasjonen mellom partikkelen og punktet der potensialet virker. Dette oppfyller betingelsen  som definerer dette gaugevalget. Den magnetiske Darwin-vekselvirkningen mellom to ladninger i bevegelse følger nesten direkte fra dette potensialet.

## Elektromagnetiske grensebetingelser

Når en elektromagnetisk bølge beveger seg fra et medium til et annet, vil dens forplantningshastighet forandres da materialkonstantene *&epsilon;&thinsp;* og *&mu;&thinsp;* tar nye verdier. Dette har viktige konsekvenser som for eksempel brytning og refleksjon av lys. Slike prosesser skjer i grenseflaten mellom de to mediene og er styrt av Maxwells ligninger. 

Grensebetingelsene som de elektriske og magnetiske feltene må oppfylle på flaten mellom de to mediene, følger direkte fra Maxwell-ligningene når de skrives på integralform. Gauss' lov  \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{D} = \rho  er da ekvivalent med divergensteoremet

:  \oint_{S} \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} = \int_V \rho \, dV  

hvor *&rho;&thinsp;* er tettheten av frie ladninger i volumet *V&thinsp;* innesluttet av flaten . Flateelementet  hvor normalvektoren **n** peker ut av volumet.

Man tenker seg nå et lite integrasjonsvolum *dV&thinsp;* med form som en rektangulær boks med topp- og bunnflater *A&thinsp;* plassert parallelt og på hver sin side av grenseflaten. Volumet av boksen er dermed  når *h&thinsp;* er dens mikroskopiske høyde. Ved å la *A&thinsp;* bli tilstrekkelig liten,  kan feltene **D**1 og **D**2 på topp- og bunnsiden antas å være konstante slik at divergensteoremet gir

:   \mathbf{n}_{12}\cdot (\mathbf{D}_1 -  \mathbf{D}_2) = \sigma

der vektoren **n**12 er vinkelrett på grenseflaten med retning fra medium 2 til 1, mens  er ladningstettheten på grenseflaten.

På tilsvarende vis vil Maxwell-ligningen  \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{B} = 0 \,  gi grensebetingelsen

:   \mathbf{n}_{12}\cdot (\mathbf{B}_1 -  \mathbf{B}_2) = 0 

Begge disse betingelsene er krav som feltkomponentene  normalt til grenseflaten  må oppfylle. 

### Parallelle komponenter
Lignende betingelser på komponentene **n** &times; **E** og **n** &times; **H** parallelt med grenseflaten følger fra de to andre Maxwell-ligningene. De involverer curl til feltene og kan skrives på integralform ved bruk av Stokes' teorem. Dermed kan Faradays induksjonslov skrives som

: \oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot d\boldsymbol{\ell} = - \int_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot d\mathbf{S} 

der integrasjonen går over en endelig flate *S* med omkrets *&part;S*. Her kan man velge denne å være et rektangel med to lange sidekanter *L&thinsp;* og to korte *h* &rarr; 0. Det er orientert slik at en langside ligger i medium 1 og den andre i medium 2. På høyre side av ligningen vil nå arealet  gå mot null, slik at venstresiden gir 

:   \mathbf{n}_{12}\times (\mathbf{E}_1 -  \mathbf{E}_2) = 0 

da bidragene til linjeintegralet fra de to kortsidene i rektangelet blir forsvinnende lite. På samme måte gir den siste Maxwell-ligningen
 
:   \mathbf{n}_{12}\times (\mathbf{H}_1 -  \mathbf{H}_2) =  - \mathbf{K} 

hvor **K** er en mulig strøm i grenseflaten med samme dimensjon som magnetfeltet **H**. Denne grensebetingelsen kan direkte relateres til magnetfeltet påå innsiden og utsiden av en strømførende og uendelig lang spole.

## Poyntings teorem
Når det elektromagnetiske feltet har både en elektrisk **E** og en magnetisk komponent **B**, vil kun det elektriske feltet utføre et arbeid på partiklene i feltet. Er disse beskrevet ved hastighetsfeltet , er Lorentz-kraften som virker på hvert volumelement av denne partikkelfordelingen med ladningstetthet ,  gitt ved ligningen  Arbeidet som den utfører i hvert volumelement og per tidsenhet er dermed 

:   \mathbf{f}\cdot\mathbf{v} = \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} 

der **J** = *&rho;*&thinsp;**v**&thinsp; er partiklenes strømtetthet.  Denne kan nå uttrykkes ved feltene ved bruk av Maxwell-ligningen .  Da vil produktet  oppstå. Dette kan omskrives ved bruk av identiten

:  \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{E} \times \mathbf{H}) = \mathbf{H}\cdot(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}) - \mathbf{E}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{H}) 

fra vektoranalysen. På samme måte kan man her benytte at . De leddene som på den måten oppstår, kan ordnes og skrives på formen

:  - \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = {\partial u\over\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{H})  

og uttrykker energibalansen i dette systemet. Dette matematiske resultatet omtales som **Poyntings teorem**.  I det første leddet oppter den skalare størrelsen 

:  u = {1\over 2}\Big(\mathbf{E}\cdot\mathbf{D} + \mathbf{B}\cdot\mathbf{H} \Big) 

som er den elektromagnetiske feltenergitettheten. I vakuum  består den av  =  som er bidraget fra det elektriske feltet **E**, mens  =   er den delen som skyldes det magnetiske feltet **B**. Da denne utledningen av teoremet følger direkte fra Maxwells ligninger, er det også gyldig i et dielektrisk materiale.

### Poyntings vektor

Ved å sammenligne det matematiske resultatet for energibalansen med kontinuitetsligningen for elektrisk ladning, ser man samme struktur som denne på høyre siden av ligning. Mens venstre side beskriver hvor mye energi som overføres til partiklene i et lite volumelemnt, vil leddet &part;*u*/&part;*t*&thinsp; si hvor raskt denne energien tas fra selve feltet. Det resterende leddet  **&nabla;**&sdot;**S** hvor vektoren

:  \mathbf{S} = \mathbf{E}\times\mathbf{H}, 

sier  hvor mye energi som strømmer ut av volumelementet. Den blir omtalt som Poyntings vektor. Mens *u*&thinsp; angir tettheten av elektromagnetiske feltenergi i hvert punkt, beskriver **S**&thinsp; strømmen av denne energien. 

Poyntings teorem sammenfatter bevarelse av elektromagnetisk energi på en kompakt form. Siden arbeidet **f**&sdot;**v** som feltet utfører, går med til å øke den indre energitettheten *w* til partiklene, kan man skrive teoremet på den alternative formen

:  {\partial\over\partial t}\big(u + w\big) + \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{S} = 0 

som gjør mer tydelig at den totale energien til både feltet og partiklene holder seg konstant. Øker den ene, vil den andre komponenten avta like mye - og omvendt.

### Elektromagnetisk impulstetthet

Mens  **f**&sdot;**v**&thinsp; angir hvor raskt energien til partiklene forandres gjennom deres vekselvirkning med feltet, vil selve volumkraften  si hvor raskt deres impuls forandres med tiden. Det følger fra Newtons andre lov  hvor **P** angir impulstettheten til partiklene. Igjen kan man uttrykke ladningstettheten *&rho;*&thinsp; og strømtettheten **J**&thinsp; ved feltene gjennom bruk av Maxwells ligninger. Etter noen vekoranalytiske omforminger, finner man da resultatet kan skrives på formen

:  {\partial\over\partial t}\big(\mathbf{P} + \mathbf{G}\big)  = \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\sigma}  

hvor vektoren **G** = **D**&thinsp;&times;&thinsp;**B** = **S**/*c*2&thinsp; må forstås som impulstettheten til det elektromagnetiske feltet. På høyre side av ligningen står divergensen av Maxwells spenningstensor. Den kan skrives som

:  \sigma_{ij} =  E_iD_j + B_iH_j - {1\over 2}\delta_{ij}\big(\mathbf{E}\cdot\mathbf{D} + \mathbf{B}\cdot\mathbf{H} \big)  

når man gjør bruk av Kronecker-deltaet *&delta;<sub>ij</sub>*. I denne ligningen for bevarelse av den totale impulsen til systemet, kan da tensoren  forstås som fluks av elektromagnetisk impuls på samme måte som Poynting-vektoren uttrykker fluks av elektromagnetisk energi.

## Kovariant formulering

Maxwellls teori for det elektromagnetiske feltet lå til grunn for Einsteins etablering av spesiell relativitetsteori. Det betyr at den også kan formuleres på kovariant måte slik at den er den samme i alle inertialsystem. Det elektriske potensialet &Phi;&thinsp; og det magnetiske vektorpotensialet **A** utgjør da en firevektor . Komponentene til to feltene **E** og **B** inngår da i den antisymmetriske tensoren

:  F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu -  \partial_\nu A_\mu 

hvor de kovariante komponentene av vektorpotensialet er *A<sub>&mu;</sub>* = *&eta;<sub>&mu;&nu;</sub>A<sup>&nu;</sup>* når man benytter Einsteins summekonvensjon og  Minkowski-metrikken *&eta;<sub>&mu;&nu;</sub>* med diagonale komponenter (1, -1,-1,-1). 

I mange sammenhenger er det hensiktsmessig å la de kovariante komponentene *A<sub>&mu;</sub>* være komponenter av en 1-form   \text{A} = A_\mu \text{d}x^\mu.  Dens  ytre deriverte   \text{F} = \text{d}\text{A}  er da en 2-form hvis komponenter er *F<sub>&thinsp;&mu;&nu;</sub>*. Fra  Poincairés lemma  \text{d}^2 = 0 
følger nå at  \text{d}\text{F} = 0  som gir to av Maxwellls to ligninger på formen  \partial_\lambda F_{\mu\nu} + \partial_\nu F_{\lambda\mu} + \partial_\mu F_{\nu\lambda} = 0. 

De kovariante komponentene til denne «Faraday-tensoren» er

: F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
                                      0      & E_x/c  & E_y/c  & E_z/c \\
                                    -E_x/c & 0      & -B_z   & B_y    \\
                                    -E_y/c & B_z    & 0      & -B_x   \\
                                    -E_z/c & -B_y   & B_x    & 0 \end{pmatrix}. 

Herav finnes også de kontravariante komponentene  *F<sup>&thinsp;&mu;&nu;</sup> = &eta;<sup>&mu;&rho;</sup>&eta;<sup>&nu;&sigma;</sup>F<sub>&rho;&sigma;</sub>* ved å skifte fortegn på de elektriske komponentene i denne matrisen.

### Feltligninger

De to andre av Maxwells ligninger kan kalles bevegelsesligningene til det elektromagnetiske feltet. Mest direkte kan de utledes  fra  Hamiltons virkningsprinsipp basert på en fundamental Lagrange-funksjon for feltene koblet til elektriske strømmer   og ladninger   Den er

:  \mathcal{L} =  {\varepsilon_0\over 2} \mathbf{E}^2 -  {1\over 2\mu_0} \mathbf{B}^2 - \rho\Phi + \mathbf{J}\cdot\mathbf{A} 

som nå kan skrives på den mer kompakte, kovariante formen

:  \mathcal{L}  =  - {1\over 4\mu_0} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} - J^\mu A_\mu 

etter å ha definert den elektriske firestrømmen som  

Under en variasjon *A<sub>&mu;</sub>* &rarr; *A<sub>&mu;</sub>* + *&delta;A<sub>&mu;</sub>* av vektorpotensialet sier 
Hamiltons virkningsprinsipp at den totale virkningen skal være stasjonær. Det vil si at den resulterende variasjonen

:  \delta S  = \delta\!\int\! d^4x \left[- {1\over 4\mu_0} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} - J^\mu A_\mu \right]  

skal være null. Her er 

:  \delta ( F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} ) = 2 F^{\mu\nu} \delta F_{\mu\nu} = 4 F^{\mu\nu} \partial_\mu \delta A_\nu 

slik at

:   \delta S =  \int\! d^4x \left[ {1\over \mu_0} \partial_\mu F^{\mu\nu}  - J^\nu\right]  \delta A_\nu 

etter en partielll integrasjon i første delen hvor overflateleddet kan sees bort fra. Dette gir de resterende to andre av Maxwell ligninger på den kovariante formen

:  \partial_\mu F^{\mu\nu}  = \mu_0 J^\nu 

For komponenten med  \nu = 0  gir dette Gauss' lov for det elektriske feltet når man benytter definisjonen  c^2 = 1/\mu_0\varepsilon_0  av lyshastigheten, mens de andre komponentene gir Ampères sirkulasjonslov for det magnetiske feltet.

## Plane bølger

I områder av rommet hvor det er hverken elektriske ladninger eller strømmer, vil det elektromagnetiske feltet bre seg utover som en fri bølge eller en superposisjon av slike. Den elektriske komponenten vil oppfylle bølgeligningen

:  \boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{E} - {1\over c^2} {\partial^2\mathbf{E}\over\partial t^2} = 0  

og tilsvarende for det magnetiske feltet som opptrer samtidig via Maxwell-ligningen **&nabla;**&thinsp;&times;&thinsp;**E** = - &part;**B**/&part;*t*.  Har bølgen vinkelfrekvensen *&omega;* = *c*&thinsp;|**k**|&thinsp; hvor **k** er bølgevektoren,  vil den enkleste, plane bølge kunne skrives som

:  \mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \mathbf{E}_0\cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t) 

hvor den konstante vektoren **E**0&thinsp; angir dens amplitude. Bølgen brer seg i retning **k** og fra  følger at .  Den elektriske feltvektoren står derfor vinkelrett på utbredelsesretningen, noe som karakteriserer en **transvers** bølge.  Denne transvere egenskapen har også det magnetiske feltet som er gitt ved . I vakum er **H** = **B**/*&mu;*0 slik at forholdet mellom det elektriske og det magnetiske feltet til bølgen er . Denne størrelsen kalles vanligvis for  «rommets bølgemotstand»  eller **vakumimpedansen** *Z*0. Settes inn størrelsene for den elektriske *&epsilon;*0&thinsp; og den magnetiske konstanten *&mu;*0, finner man at den har en verdi

:  Z_0 =  \mu_0 c  = \sqrt{\mu_0\over\varepsilon_0} = 377\, \text{ohm}. 

Det er den som bestemmer strålingsmotstanden i antenner.

### Energi og impuls

Den midlere energitetthet i en slik plan bølge med elektrisk amplitude **E**0 er

:  \langle u\rangle = {1\over 2}\langle\mathbf{E}\cdot\mathbf{D} + \mathbf{B}\cdot\mathbf{H} \rangle = {1\over 2}\varepsilon_0 E_0^2 

da faktoren cos2 i middel gir 1/2. På samme måte blir den midlere verdien av Poynting-vektoren

:  \langle\mathbf{S}\rangle = c\langle u\rangle \widehat{\mathbf{k}} 

hvor enhetsvektoren \widehat{\mathbf{k}} er i samme retning som bølgevektoren \mathbf{k}. Dette er i overensstemmelse med at **S** beskriver en strøm av energi med tetthet  som transporteres med lyshastigheten *c*. Dette gir nå direkte impulstettheten i bølgen som

:  \langle\mathbf{G}\rangle = {\langle u\rangle\over c} \widehat{\mathbf{k}} 

Når det elektromagnetiske feltet kvantiseres i kvanteelektrodynamikken, vil denne plane bølgen beskrives ved fotoner som hver har energien  uttrykt ved den reduserte Planck-konstanten *ħ* = *h*/2*&pi;*. Hvis den romlige tettheten av fotoner er *n*, vil man da ha sammenhengene  og &thinsp; da *&omega;*/*c* = *k*. Det tilsvarer at hvert foton har impulsen **p** = *ħ*&thinsp;**k** som ble først utledet av Einstein i hans forklaring av varmestrålingen.

### Polarisasjon

Denne plane bølgen har en elektrisk feltvektor som oscillerer langs en konstant retning gitt ved amplituden **E**0. Av denne grunn sies bølgen å være planpolarisert. Mer generelt vil retningen til denne feltvektoren ikke være konstant og bølgen sies å være **elliptisk polarisert**. Det kan enklest anskueliggjøres ved å betrakte en bølge som beveger seg langs *z*-aksen. Feltvektoren vil derfor ha en komponent *E<sub>x</sub>* langs *x*-aksen og en komponent  *E<sub>y</sub>* langs *y*-aksen. Hver komponent oppfyller den samme bølgeligningen, men løsningen av denne vil i alminnelighet inneholde en faseforskjell *&phi;* mellom disse to komponentene. Dermed vil det elektriske feltet for denne plane bølgen generelt skrives som

:  \mathbf{E}(z,t) = E_{0x}\cos(kz - \omega t) \mathbf{e}_x  + E_{0y}\cos(kz - \omega t +\phi ) \mathbf{e}_y 

hvor **e***x*&thinsp; og **e***y*&thinsp; er basisvektorer i de to transverse retningene. Komponentene *E**x*&thinsp; og  *E**y*&thinsp; til feltvektoren vil nå alltid oppfylle ligningen

:  \Big({E_x\over E_{0x}}\Big)^2  + \Big({E_y\over E_{0y}}\Big)^2 - 2\Big({E_x\over E_{0x}}\Big)\Big({E_y\over E_{0y}}\Big)\cos\phi 
 = \sin^2\phi 

som viser at de beveger seg på en ellipse med hovedakser som danner en viss vinkel med koordinataksene. I det generelle tilfellet sies derfor bølgen å være elliptisk polarisert. Ellipsen degenerer til en rett linje for det spesielle tilfellet  som gir en planpolarisert bølge. Når  faller ellipseaksene sammen med koordinataksene. For denne faseforskyvningen går ellipsen over til å bli en sirkel når   og bølgen sies å være sirkulært polarisert.

## Elektromagnetisk stråling

Mens det elektriske feltet fra en ladning i ro avtar med avstanden som 1/*r*&thinsp;2, vil det kunne avta som 1/*r* i stor avstand fra en strømfordeling som varierer med tiden. Dette kalles et **strålingsfelt** og kan beregnes fra den inhomogene bølgeligningen. Det gjøres enklest i  Lorenz-gaugen hvor vektorpotensialet er gitt ved integralet

:  \mathbf{A} (\mathbf{r}, t) = {\mu_0\over 4\pi}\int d^3x' \frac{\mathbf J (\mathbf{r'},  t')} 

hvor *t'&thinsp;* = *t* - |**r** - **r'&thinsp;**|/*c&thinsp;* er den retarderte tiden.  Når feltpunktet **r** ligger langt fra borte fra kildepunktet **r**', er det nærliggende å tro at integralet kan forenkles til

:  \mathbf{A} (\mathbf{r}, t) = {\mu_0\over 4\pi r}\int\! d^3x' \mathbf J (\mathbf{r'},  t - r/c) 

Men for at dette skal være riktig, må **r**' ikke forandre seg mye under integrasjonen. Hvis strømkilden derfor består av ladete partikler, må disse bevege seg med ikke-relativistisk  hastigheter *v* \mathbf{v} = \dot\mathbf{r}  kan beskrives som en punktpartikkel. Den gir opphav til strømtettheten

:  \mathbf{J}(\mathbf{r},t) = q\mathbf{v}(t)\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}(t)) 

hvor Diracs ''&delta;''-funksjon uttrykker at partikkelens utstrekning er forsvinnende liten. Vektorpotensialet finnes nå direkte som

:  \mathbf{A} (\mathbf{r}, t) = {q\mu_0\over 4\pi r}\mathbf{v}(t - r/c) 

Den retarderte tiden viser her at en forandring i hastigheten tar en tid *r*/*c* for å nå frem til feltpunktet som ligger i en avstand *r&thinsp;* fra partikkelen.

Magnetfeltet finnes fra definisjonen  som får to bidrag. Det første kommer fra derivasjon av faktoren . Det resulterer i et ledd som går som  og kan derfor neglisjeres ved store avstander. Men det er også en *r*&thinsp;-avhengighet i den retarderte tiden slik at

:  \boldsymbol{\nabla}t' = -{1\over c}\boldsymbol{\nabla}r  = - {\mathbf{n}\over c} 

hvor enhetsvektoren **n** = **r**/*r* peker mot feltpunktet i retning **r**. Ved å bruke kjerneregelen for derivasjon får man dermed for magnetfeltet

:  \mathbf{B} (\mathbf{r}, t) = {q\mu_0\over 4\pi r}\boldsymbol{\nabla}t' \times {d \mathbf{v}\over dt'}(t') = - {q\mu_0\over 4\pi rc} {\mathbf{n}\times\dot\mathbf{v}}(t - r/c) 

hvor  \dot\mathbf{v} = \mathbf{a} er akselerasjonen til partikkelen. Dette bidraget varierer som  og er det magnetiske strålingsfeltet.

### Elektrisk strålingsfelt

Det elektriske strålingsfeltet kan finnes fra betingelsen

:  \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{A} + {1\over c^2}{\partial\Phi\over\partial t} = 0. 

som definerer  Lorenz-gaugen. Her er nå på samme måte

:  c^2\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{A} = - {q\mu_0c\over 4\pi r} \mathbf{n}\cdot \dot\mathbf{v} = - {\partial\Phi\over\partial t} 

som ved integrasjon viser hvordan det elektriske potensialet varierer i tid og rom,

:  \Phi (\mathbf{r}, t) =  {q\mu_0c\over 4\pi r} \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}(t - r/c) 

Det elektriske feltet følger fra definisjonen

:   \mathbf{E}  = -  \boldsymbol{\nabla}\Phi - {\partial\mathbf{A} \over\partial t} 

hvor 

:  {\partial\mathbf{A} \over\partial t} = {q\mu_0\over 4\pi r}\dot\mathbf{v} = {q\mu_0\over 4\pi r}(\mathbf{n}\cdot\mathbf{n})\dot\mathbf{v}

Dermed blir

:  \mathbf{E} = {q\mu_0\over 4\pi r}\Big[\mathbf{n}(\mathbf{n}\cdot\dot\mathbf{v}) - (\mathbf{n}\cdot\mathbf{n})\dot\mathbf{v}\Big] = {q\mu_0\over 4\pi r} \mathbf{n}\times(\mathbf{n}\times\dot\mathbf{v}) 

Feltet  står  som forventet vinkelrett både på strålingsretningen og det magnetiske feltet da  **E** = *c*&thinsp;**B**&thinsp;&times;&thinsp;**n**. Men dette er ikke harmoniske bølger med et visst bølgetall og frekvens, men med en bølgeform som er gitt ved funksjonen  \dot\mathbf{v}(t - r/c) som beskriver partikkelens akselerasjonen.

### Larmors formel

Den utstrålte energien kan beregnes fra Poyntings vektor **S** = **E**&thinsp;&times;&thinsp;**H** hvor  i vakum. Med de funne strålingsfeltene blir

:  \mathbf{S} = {c\over\mu_0}\mathbf{B}^2(\mathbf{r},t) = {q^2\mu_0\over 16\pi^2r^2c}(\mathbf{n}\times\dot\mathbf{v})^2 \mathbf{n}

Betrakter man en liten romvinkel *d&Omega;* i avstand *r* fra partikkelen, blir intensiteten i denne retningen

:  {dP\over d\Omega} =  r^2\mathbf{n}\cdot\mathbf{S} =  {q^2\over 16\pi^2\varepsilon_0 c^3}(\mathbf{n}\times\dot\mathbf{v})^2

når man benytter at  *c&mu;*0  =  1/*c&epsilon;*0 fra definisjonen av lyshastigheten. Dette er Larmors formel som spiller en viktig rolle i mange sammenhenger.

Intensiteten retningen **r** av strålingen er naturlig å beskrive i kulekoordinater (*r, &theta;, &phi;*) med den polare aksen langs akselerasjonen  \mathbf{a} = \dot\mathbf{v}. Det gir

:  {dP\over d\Omega}  = {q^2 a^2\over 16\pi^2\varepsilon_0 c^3}\sin^2\theta 

hvor romvinkelelementet er *d&Omega;* = 2*&pi;*&thinsp;sin*&theta;d&theta;*.  Dette resultatet er Larmors formel og er den samme som for en oscillerende, elektrisk dipol. Intensiteten er maksimal normalt på akselerasjonen og er uavhengig av partikkelens hastighet. 

Utstrålt energi per tidsenhet alle retninger blir dermed

:  P = {q^2 a^2\over 16\pi^2\varepsilon_0 c^3}2\pi\!\int_0^{\pi}\!d\theta\sin^3\theta = {q^2 a^2\over 6\pi\varepsilon_0 c^3}

Dette energitapet betyr at partikkelen må miste kinetisk energi slik at dens hastighet reduseres. I klassisk mekanikk betyr det at strålingen må utøve en tilbakevirkende kraft på partikkelen. En slik effekt kalles for «strålingsreaksjon» og er vanskelig å gi en god beskrivelse.

### Sirkulær bevegelse

Den enkleste bruk av Larmors formel er når akselerasjon har en konstant en størrelse. I så fall har den da også en konstant retning eller den roterer med en konstant vinkelhastighet *&omega;* i en sirkulær bane. Har denne radius *R* og hastigheten til partikkelen er *v*, er  og  sentripetalakselerasjonen  = *&omega;v*. Utstrålt energi per tidsenhet blir da

:   {dP\over d\Omega} = {q^4 v^4\over 16\pi^2\varepsilon_0 R^2c^3}\sin^2\theta 

hvor vinkelen *&theta;* er relativ til akselerasjonen **a** som roterer med konstant hastighet. Strålingen er derfor konsentrert i retninger langs banen. Hastigheten *v* kan ikke bli større enn lyshastigheten. Men da må formelen generaliseres til å gjelde ved store hastigheter som i relativistisk elektrodynamikk. Samtidig øker denne strålingsenergien når baneradius *R* blir mindre.

I en syklotron beveger en ladet partikkel seg i en sirkelbane ved at den blir holdt på plass av et konstant magnetfelt *B*. Den får da en konstant vinkelhastighet gitt ved 
syklotronfrekvensen

:  \omega_c = {qB\over m} 

Ved økende hastighet må den bevege seg i sirkler med stadig større radius da *v = &omega;<sub>c</sub>R*.  Derimot i en synkrotron som kan akselerere partikler til enda høyere energier, beveger de seg i en sirkulær bane med konstant radius. Da må magnetfeltet øke i synkront i takt med økende hastigheter. Den energien som partikkelen stråler ut, kalles for synkrotronstråling.

Utstrålt energi er spesielt stort for lette partikler som for elektroner. Hvis det beveger seg om en positiv ladning som i et hydrogenatom, betyr strålingstapet at etter omtrent  sekund vil det ha falt inn mot sentrum. Atomer ville derfor ikke kunne eksistere som stabile byggestener i naturen.

Allerede før etableringen av Bohrs atommodell hadde Lorentz foreslått at elektronene  kunne være bundet i et atom hvor de beveget seg i lukkete baner. Han kunne dermed forklare det som i dag kalles den normale Zeeman-effekten. Det var i denne forbindelsen at Larmor fant sin formel for tapet av energi for et slikt bundet elektron. Strålingstapet ville gjøre atomet ustabilt. 

I Thomsons rosinbollemodell ble dette problemet unngått ved å plassere elektronene sammen med en kompenserende, positiv ladning jevnt utover hele atomet. Men etter at Rutherford  i sitt  gullfolieeksperimentet viste at den positive ladningen er konsentrert i en liten kjerne, unngikk Bohr  dette problemet ved å ganske enkelt postulere at det finnes stabile baner hvor elektronene ikke vil miste energi. Dette var et brudd på klassisk, elektromagnetisk teori og danner grunnlaget for moderne kvanteteori.

## Se også

* Elektrisk felt
* Magnetisk felt
* Elektromagnetisme
* Elektromagnetisk stråling

## Referanser


## Eksterne lenker
* Johannes Skaar, ''Elektromagnetisme'' , forelesninger ved UiO, 2017.
*  ETHW, Short history of Maxwell's equations.
* J.D. Jackson, ''Classical Electrodynamics'',  John Wiley & Sons, New York (1982). ISBN 0-471-43131-1. Digital utgave.