Stirlings formel

**Stirlings formel** er en approksimasjon til fakultetsfunksjonen for store verdier av argumentet  oppkalt etter den skotske matematiker James Stirling. Mest vanlig er det å skrive formelen uttrykt ved logaritmefunksjonen på den korte formen

:  \ln n! = n \ln n - n 

hvor man utelater termer av størrelsesorden ln&thinsp;*n*. Ekvivalent kan man derfor skrive at *n*&thinsp;! = *n<sup>n</sup>&thinsp;e<sup>-n</sup>*.

Navnet på denne formelen er til en viss grad misvisende da den først ble funnet av den franske matematiker Abraham de Moivre som viste at

:  n! = C n^{n+1/2}e^{-n}  

hvor *C* er en numerisk konstant med en verdi av størrelsesorden en. Det var Stirling som klarte å beregne denne konstanten og fant *C* = √(2*π*&thinsp;) = 2,5066... I de aller fleste tilfeller av praktisk betydning er resultatet til de Moivre mer enn godt nok.

## Enkel utledning

Fra definisjonen for ''n'' fakultet har man at

:   \ln n! = \ln 1 + \ln 2 + \ln 3 + \dots + \ln n 

Når argumentet *n* er stort, kan man nå erstatte summasjonen med en integrasjon,

:   \ln n!  = \int_1^n\!dx\ln x  = \left|x\ln x - x \right|_1^n = n\ln n - n + 1 

Det siste ett-tallet her kan neglisjeres i denne approksimasjonen hvor *n* er mye større enn 1.

## Systematisk utledning
En mer nøyaktig utledning av formelen kan finnes ved bruk av gammafunksjonen til Euler. Den tilsier at

:  n! = \int_0^\infty\!dx \, x^n e^{-x} 

Nå kan man skrive at  *x<sup>n</sup>* = e*n*&thinsp;ln*x* slik at integralet er på formen

:   I = \int_0^\infty\!dx e^{-f(x)} 

med *f(x)* = *x* - *n*&thinsp;ln*x*. Denne funksjonen har et minimum for *x*0 = *n* og antar positive verdier for større verdier av argumentet og når dette nærmer seg null. Verdien av integralet er derfor med stor nøyaktighet bestemt av hvordan funksjonen  *f(x)* varierer rundt *x*0. Dette kommer frem fra en Taylor-utvikling av funksjonen rundt dette punktet,

:  f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + {1\over 2} f*(x_0)(x - x_0)^2 + \cdots </math>

Da  *f(x)* har et minimum for *x =  x0*&thinsp;, er den førstederiverte *f'&thinsp;(x0)* = 0. Første, ikke-trivielle ledd i Taylor-utviklingen er da gitt verd den andrederiverte *f"&thinsp;(x0)*. Ser vi i denne omgang bort fra høyere ordens ledd, er derved integralet gitt ved

: <math>  I = e^{-f(x_0)}\int_0^\infty\!dx e^{-(1/2)f*(x_0)(x - x_0)^2} 

I denne tilnærmelsen kan vi nå med tilsvarende nøyaktighet ta den nedre integrasjonsgrensen til - &infin;  slik at integralet antar formen

:  I_0 = \int_{-\infty}^\infty\!dx e^{-(1/2)ax^2} = \sqrt{2\pi\over a} 

som bærer navnet Gauss-integralet. 

For funksjonen *f(x)* som opptrer her, er *f(x<sub>0</sub>) = n - n*&thinsp;ln*n* og *f"&thinsp;(x<sub>0</sub>)* =  1/*n*. Dermed oppnås resultatet

:  n! = \sqrt{2\pi n} n^n e^{-n} 

og kan med rette kalles **Stirlings formel**. Konstanten *C* som han regnet ut, er ikke noe annet enn verdien av integralet til Gauss.

Denne metoden tillater også beregning av høyere ordens korreksjoner til formelen. Tar man med neste ledd i Taylor-utviklingen som ble benyttet, finner man

:  n! = \sqrt{2\pi n} n^n e^{-n}\left( 1 + {1\over 12 n}\right) 

Her kan man nå benytte at 1 + 1/12*n* &asymp; &radic;(1 + 1/6*n*) som tillater å skrive formelen på formen

:  n! = \left({n\over e}\right)^n \sqrt{\big( 2n + 1/3\big)\pi} 

Den er nå nøyaktig selv for små verdier av argumentet *n*. Ved å sette inn numeriske verdier, finner man at for *n* > 2 gir den et resultat som har en nøyaktighet bedre enn 0,1 %. For større verdier av *n*, blir nøyaktigheten tilsvarende enda bedre.

## Eksterne lenker
* Stirlings Approximation in MathWorld