Ballistisk koeffisient

**Ballistisk koeffisient** (**BC**, fra *engelsk* **ballistic coefficient**) er innen ballistikk et mål på et prosjektils evne til å overvinne luftmotstand. BC er omvendt proporsjonal med den negative akselerasjonen, et høyt BC-tall indikerer med andre ord lav negativ akselerasjon. Selv om det innebærer noen forenklinger, kan man si at en kule med høy BC har liten luftmotstand. BC er en funksjon av masse, diameter og luftmotstandskoeffisient. BC kan uttrykkes med enhetene kilogram per kvadratmeter (kg/m2) eller gammelengelsk pund per internasjonale kvadrattomme (lbs/in2) (hvor 1&nbsp;lbs/in2 tilsvarer 703,069 581&nbsp;kg/m2).

## Formler
### Generelt
: BC_{Fysikk} = \frac{M}{C_d \cdot A} = \frac{\rho \cdot l}{C_d}
Hvor:
* *BC<sub>Fysikk</sub>* = formel for ballistisk koeffisient brukt av fysikere og ingeniører
* *M* = massen
* *A* = tverrsnittsareal
* *C<sub>d</sub>* = luftmotstandskoeffisient
* *<math>\rho</math> (rho)* = gjennomsnittlig tetthet
* *l* = legemets lengde

### Ballistikk
For å kalkulere BC for små og større skytevåpen brukes følgende formel:
: BC_{prosjektil} = \frac{m}{ d^2 \cdot i} 
Hvor
* *BC<sub>prosjektil</sub>* = ballistisk koeffisient som brukt i punkt-masse-bane fra Siaccis teorem (mindre enn 20 grader)
* *m* = massen til kulen i **kg**
* *d* = tverrsnitt av prosjektilet (diameter) i **meter**
* *i* = formkoeffisient
Formkoeffisienten (*i*) kan brukes uavhengig av kast-modell, og det finnes 6 ulike metoder for å beregene *i:* G-modellen, Bugless/Coxe, 3 Sky Screen, 4 Sky Screen, Target Zeroing eller Doppler radar.

Det finnes flere metoder for å beregne ***i*** eller **C<sub>d</sub>**:
: i=\frac{2}{n} \cdot \sqrt{\frac{4n-1}{n}} 
Hvor
* *i* = formkoeffisient
* *n* = prosjektilets ogival
: Hvor *n* er ukjent:

:: n = \frac{(4 \cdot l^2 + 1)}{4} 

:: Hvor
:* *l* = lengden til hodet (ogivalen)

**eller**

luftmotstandskoeffisienten kan også regnes ut matematisk:
:  C_{d}= \frac{8}{ \rho \cdot v^2 \cdot \pi \cdot d^2} 
Hvor
* *C<sub>d</sub>* = luftmotstandskoeffisient
* *<math>\rho</math> (rho)* = prosjektilets tetthet
* *v* = prosjektilets hastighet over en gitt avstand
* *[[Pi|π]] (pi) ≈ 3,141 59*
* *d* = tverrsnitt av prosjektilet (diameter) i **meter**

**eller**

fra standard fysikk, som brukt i G-modellene:
: i = \frac{C_{G}}{C_{p}} 
Hvor
* *i* = formkoeffisient
* *C<sub>G</sub>* =  luftmotstandskoeffisient på 1,00 for en av G-modellenes referansetegninger
* 
* *C<sub>p</sub>* = luftmotstandskoeffisienten til det faktiske testprosjektilet over en viss avstand.

### Kommersiell bruk
Denne formelen brukes for å regne ut ballistisk koeffisient innen skytesport, men er redundant i forhold til ***BC<sub>prosjektil</sub>***:
: BC_{Smallarms} = \frac{SD}{i} 
Hvor:
* *BC<sub>Småvåpen</sub>* = ballistisk koeffisient
* *SD* = tverrsnittbelastning
* *i* = formkoeffisient

## Historisk forarbeid med BC og G-modell standarden

### Bakgrunn
I 1537 utførte Niccolò Tartaglia testskyting for å finne ut hvilken vinkel som gav maksimal skyteavstand. Konklusjonen var at den optimale vinkelen var nær 45 grader, og han noterte at kulebanen var kontinuerlig kurvet

I 1636 publiserte Galileo Galilei resultater i "Dialogues Concerning Two New Sciences", hvor han fant ut at et fallende legeme hadde konstant akselerasjon og beviste dermed at en kulebane var kurvet.

Omtrent i 1665 utledet Isaac Newton loven for luftmotstand, og sa at kulebanen var invers proporsjonal med luftmotstanden. Newton sine eksperimenter på luftmotstand ble utført både i luft og væske, og det ble vist at prosjektilets motstand økte proporsjonalt med tettheten til luften (eller væsken), og prosjektilets tverrsnittareal og vekt. Newton sine eksperiment ble bare gjort i lave hastigheter opp mot ca 260&nbsp;m/s.

Disse teoriene ble utfordret i 1718 utfordret av John Keill i «Continental Mathematica»: *«For å finne kurven som et prosjektil beskriver gjennom luften, med bakgrunn i antagelsene om gravitasjon og at tettheten til mediet er uniform, kan vi i stedet se på det dupliserte forholdet av hastigheten til luftmotstanden.»* Dette utfordret tankegangen om at luftmotstanden øker eksponentielt i forhold til prosjektilets hastighet, men Keill gav ingen løsning på problemet. Johann Bernoulli tok utfordringen, og løste problemet med luftmotstand som varierte som etter hastighet, kjent som Bernoulli-ligningen. Dette er forløperen til konseptene om standardprosjektiler.

I 1742 fant Benjamin Robins opp den ballistiske pendelen, et enkelt mekanisk verktøy som kunne måle hastigheten til et prosjektil. Robins rapporterte målte munningshastigheter fra 1400 til 1700&nbsp;ft/s (427 til 518&nbsp;m/s). Samme året publiserte han boken «New Principles of Gunnery» hvor han brukte numerisk integrasjon fra Eulers metode og fant ut at luftmotstand «varierer med kvadratet av hastigheten, men endrer seg rundt lydens hastighet.»

I 1753 demonstrerte Leonhard Euler hvordan en kulebane kunne kalkuleres teoretisk ved hjelp av hans metode (Eulers metode), som også hadde blitt brukt i Bernoulli-ligningen, men bare for motstand som varierte som kvadratet av hastigheten.

I 1844 ble den elektro-ballisiske kronografen oppfunnet, og i 1867 var den nøyaktig nok til å måle hastighet ned til en tiende milliondels av et sekund.

### Testskyting
Fra midten av 1800-tallet drev mange land og deres militære forsvar med testskyting av forskjellige typer prosjektiler for å undersøke deres egenskaper med tanke på luftmotstand. Testene ble loggført og lagret i store ballistiske tabeller. Noen nevneverdige testskytinger som ble utført er:

* Francis Bashforth ved Woolwich Marshes & Shoeburyness, England (1864-1889) med hastigheter opp til 2800&nbsp;ft/s (853&nbsp;m/s).
* M. Krupp (1865-1880) gjennom firmaet Friedrich Krupp AG i Meppen, Tyskland. Testskytingene hos Friedrich Krupp AG fortsatte helt frem til 1930.
* Testfyring utført av general Nikolai V. Mayevski, på den tiden oberst (1868-1869) i St. Petersburg, Russland.
* *Commission d'Experience de Gâvre* (1873-1889) i Le Gâvre, Frankrike, med hastigheter til 1830&nbsp;m/s.
* British Royal Artillery (1904-1906).

Testprosjektilene som ble brukt varierte mellom helt runde kuler, rotasjonsellipsoider og ogivaler (både hule, solide og med ulike kjerner) i kalibre 1, 1½, 2 og 3. Prosjektilene varierte i størrelse fra 75&nbsp;mm og 3&nbsp;kg, til 254&nbsp;mm og 187&nbsp;kg

### Metoder og standardprosjektiler
Mange forsvar brukte opp til 1860-tallet metoder fra matematisk analyse for å beregne kulebaner. De numeriske beregningene som trengtes for å beregne bare kulebanen til bare ett skudd måtte gjøres for hånd og tok veldig lang tid, og derfor begynte man å undersøke om man kunne utvikle enklere metoder ved hjelp av modeller for luftmotstand. Utviklingen ledet til store forenklinger i eksperimentell bruk av luftmotstand, nemlig konseptet om referansemodeller kalt standardprosjektil. Standardprosjektiler ble definert ved vekt og form, med spesifikke dimensjoner for ulike kalibre, og nye ballistiske tabeller ble laget ut ifra referansemodellene. Enklere kalkuleringer gjorde at man nå raskt kunne kalkulere ballistiske koeffisienter med god presisjon.

#### Bashforth-metoden
I 1870 publiserte Bashforth en rapport med sine ballistiske tabeller. Han hadde funnet ut at luftmotstanden til testprosjektilene hans varierte med kvadratet av hastigheten (v2) fra 253&nbsp;m/s til 131&nbsp;m/s, og med kuben av hastigheten (v3) fra 305 til 253&nbsp;m/s. I en rapport fra 1880 fant han at luftmotstanden varierte med med v6 335&nbsp;m/s til 317&nbsp;m/s. Bashforth brukte riflede våpen med løpsdiameter på 76&nbsp;mm (3 tommer), 127&nbsp;mm (5 tommer), 178&nbsp;mm (7 tommer) og 229&nbsp;mm (9 tommer), samt glattborrede våpen i tilsvarende kalibre for å skyte sfæriske kuler, og  haubitsere for å skyte forlengede prosjektiler med ogival tupp som hadde en radius tilsvarende 1.5 ganger radiusen til kaliberet.

Bashforth bruker *b* som variabel for ballistisk koeffisient. Når b er lik eller mindre enn v2, så er b lik P for luftmotstanden til et prosjektil. Bashforth fant ut at luften som traff prosjektilene fikk forskjellig retning avhengig av prosjektilets form. Dette førte til at man tok med den ekstra faktoren for b som kalles «form-koeffisienten» (i). Dette gjorde seg særlig gjeldende ved hastigheter høyere enn 253&nbsp;m/s. Derfor introduserte Bashforth det han kalte «den ukjente multiplikatoren» k som kunne ha hvilken som helst størrelse, og som skulle kompensere for ukjente effekter i luftmotstand over 253&nbsp;m/s, med k > i . Bashforth integrerte deretter k og i for å få K_v.

Selv om Bashforth ikke klarte å finne ut av alle de «begrensede sonene» så viste han matematisk at det var 5 begrensede soner. Bashforth foreslo ikke et standardprosjektil, men var klar over konseptet.

#### Mayevski-Siacci-metoden
I 1872 publiserte General Mayevski rapporten *Trité Balistique Extérieure* hvor han presenterte Mayevski-modellen.

## Forskjellige matematiske modeller og ballistiske koeffisienter

De fleste ballistiske matematiske modeller (også tabeller eller software) tar for gitt en bestemt funksjon som beskriver luftmotstand korrekt, og beregner dermed flyvekarakteristikken til kulen ut ifra den ballistiske koeffisienten. Modellene gjør ikke forskjell på ulike kuletyper eller former (f.eks. wadcutter, flatbase, spitzer, boat-tail osv.), men antar at luftmotstandsfunksjonen stemmer ut ifra BC som blir publisert av kuleprodusenten. Likevel finnes det flere ulike standardmodeller som har blitt optimalisert for ulike prosjektilformer som:
* G1 eller Ingalls (flatbase, 2 kaliber ogival nese - den mest populære standardmodellen)
* G2 (Aberdeen J prosjektil)
* G5 (kort 7.5° boat-tail, 6.19 kaliber lang-tangent ogival)
* G6 (flatbase, 6 kaliber lang-sekant ogival)
* G7 (lang 7.5° boat-tail, 10 kaliber tangent ogival, foretrukket av noen produsenter for kuler med svært liten motstand)
* G8 (flatbase, 10 kaliber lang-sekant ogival)
* GL (stutt nese)

Siden formene avviker mye mellom standardprosjektilene vil også BC variere ut ifra hvilken referansemodell man bruker for den samme kulen, og for å illustrere dette publiserer kuleprodusenter som Berger, Lapua og Nosler både G1 og G7 BC-er for nesten alle kulene sine. Hvor mye et prosjektil avviker fra referansemodellen er matematisk uttrykt av formkoeffisienten (*i*). Referanseprosjektilet man tar utgangspunkt i har alltid en formkoeffisient (*i*) på nøyaktig 1. Når et annet prosjektil har en lavere formkoeffisient (*i*) enn 1 tyder det på at prosjektilet har en lavere luftmotstand eller referansemodellen, mens en formkoeffisient større enn 1 indikerer at prosjektilet har mer luftmotstand enn referansemodellen. Generelt gir G1-modellen høyere BC-verdier for samme kulen enn G7, og brukes derfor ofte av ammunisjonsindustrien i reklame selv om kuleformen kanskje ligner mer på G7.

### Transienter i kulers ballistiske koeffisient
Variasjoner i påstått BC for den samme kulen kan forklares med forskjeller i lufttetthet brukt for å regne ut spesifikke verdier, eller forskjellige avstand-hastighet-målinger brukt for å regne ut påstått BC. BC endrer seg også under flyving, og deklarert BC fra produsenten er alltid et gjennomsnitt brukt for en bestemt avstand og kulehastighet. I fagfeltet eksternballistikk studerer man blant annet den variable naturen til et prosjektils BC gjennom flyvning, og impliserer dermed at det er like viktig å vite *hvordan* en BC ble bestemt, som å vite BC-verdien i seg selv.

For å beregne BC (eller luftmotstandskoeffisient) presist må man utføre målinger ved hjelp av Dopplerradar, men dette er dyrt utstyr som vanlige skyte- og aerodynamikkentusiaster ikke har tilgang til. Weibel 1000e eller Infinition BR-1001 dopplerradarer brukes av myndigheter, profesjonelle balistikere, forsvar og noen få ammunisjonsprodusenter for å samle reell data om et prosjektils oppførsel. Under er målinger med dopplerradar av en monolittisk dreid .50 BMG kule med svært lav motstand (Lost River J40 13&nbsp;mm (.510"), 50,1 gram (773 grain) i et løp med 1:380&nbsp;mm tvist (1:15"):

Testresultatene er gjennomsnitt av mange målinger. Den initielle økningen av BC verdi skyldes at prosjektilet alltid gir yaw og presesjon ut av løpet. Kulen hadde på forhånd en beregnet BC på 1,062 av kuleprodusenten Lost River Ballistic Technologies.

Målinger av forskjellige typer kuler med samme oppgitte BC kan gi helt andre resultat. For eksempel kan man se hvordan forskjellige hastigheter gir effekt på forskjellige 8.6&nbsp;mm (.338) kuler produsert av den finske ammunisjonsprodusenten Lapua i deres .338 Lapua Magnum brosjyre, hvor det er brukt Dopperradar for å etablere BC.

## Se også
* Klikktabell
* Ytreballistikk, et prosjektils oppførsel under flyving, påvirket av vind, jordrotasjon m.m.
* Overgangsballistikk, overgangen når et prosjektil går ut fra et løp og over til fri flukt

## Referanser