Laplacetransformasjon

**Laplacetransformasjon** er en matematisk operasjon som overfører en funksjon fra tidsdomenet til frekvensdomenet. Laplace brukes ofte til analyse av forskjellige dynamiske systemer. Ved å bruke transformasjonen vil spesielt løsning av lineære, ordinære differensialligninger og dets relaterte initialverdiproblem – samt systemer av disse – kunne utføres lettere.

En ordinær differensialligning blir ofte forkortet som ODE (Ordinary Differential Equation), som brukt videre i denne artikkelen.

## Definisjon
Den ensidige laplacetransformasjonen er definert:

F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\} = \int_{0}^\infty e^{-st} f(t) \, dt

der s\! er variabelen man bruker i laplacedomenet og f(t)\! er funksjonen som skal transformeres. Her er s\! en kompleks variabel:

\ s=\sigma + i\omega



## Invers laplacetransformasjon
Den inverse laplacetransformasjonen er definert ved følgende

f(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{ F(s)\right\} = \frac{1}{2 \pi i} \lim_{T\to\infty}\int_{ \gamma - i T}^{ \gamma + i T} e^{st} F(s)\,ds

Dette impliserer videre at

\mathcal{L}^{-1}\left\{ \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\}\right\} = f(t)

og 
\mathcal{L}\left\{ \mathcal{L}^{-1}\left\{ F(s)\right\}\right\} = F(s)



## Linearitet
Laplacetransformasjonen er en lineær operasjon; hvilket betyr at, for en hver funksjon f(t)\! og g(t)\! som har eksisterende transformasjoner, kan man dele opp transformasjonen slik:



\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} + b \mathcal{L}\left\{g(t)\right\}



## Vekstrestriksjon
Per definisjon har en funksjon f(t)\! en laplacetransformasjon hvis den ikke vokser for fort. Det er gitt en vekstrestriksjon for alle t \geqq 0\! på følgende måte:


\left\vert f(t) \right\vert \leqq M e^{k t}


der M\! og k\! er konstanter. Siden f(t)\! er stykkevis kontinuerlig, vil også e^{-st}f(t)\! være integrerbar over et hvert Intervall intervall på t-aksen. Fra forrige ligning, kan man da utlede bevis for eksistens:

\left\vert \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\} \right\vert = \left\vert \int_{0}^\infty e^{-st} f(t) \, dt \right\vert \leqq \int_{0}^\infty \left\vert f(t) \right\vert e^{-st} \, dt \leqq \int_{0}^\infty M e^{k t} e^{-st} \, dt = \frac{M}{s - k} 

Hvis en funksjon f(t)\! er definert og stykkevis kontinuerlig på et hvert intervall der t \geqq 0\! og tilfredsstiller vekstrestriksjonen for alle t \geqq 0\! og konstantene M\! og k\! , vil laplacetransformasjonen \mathcal{L}\left\{f(t) \right\}\! eksistere for alle s > k\!.



## Transformasjoner av differensialkvotienter og integraler
### Laplacetransformasjon av første- og andreordens differensialkvotient
Transformasjonen av første- og andreordens differensialkvotient av f(t)\!, tilfredsstiller følgende:

*\mathcal{L}\left\{f' \right\} = s \mathcal{L}\left\{f\right\} - f(0)
*\mathcal{L}\left\{f* \right\} = s^2 \mathcal{L}\left\{f\right\} - sf(0) - f'(0)</math>
<br />

=== Laplacetransformasjon av differensialkvotienter i alle ordener===
Det kan bevises ved bruk av [[Matematisk induksjon|induksjon]] at hvis en stykkevis kontinuerlig funksjon <math>f\!</math> har <math>n - 1\!</math> antall kontinuerlige deriverte for <math>t \geqq 0\!</math>, og den tilfredsstiller vekstrestriksjonen, vil transformasjonen av <math>f^{(n)}\!</math> tilfredsstille:

<math>\mathcal{L}\left\{f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\left\{f \right\} - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)</math>
<br />
<br />

=== Laplacetransformasjon av integraler ===
La <math>F(s)\!</math> være den laplacetransformerte av funksjonen <math>f(t)\!</math> som er stykkevis kontinuerlig for <math>t \geqq 0\!</math> og tilfredsstiller vekstrestriksjonen. Da, for <math>s > 0\!</math>, <math>s > k\!</math> ( i forhold til vekstrestriksjonen), og <math>t > 0\!</math>, er
<br />
<br />
<math>\mathcal{L}\left\{\int\limits_{0}^{t}f(\boldsymbol{\tau})\, d\boldsymbol{\tau} \right\} = \frac{1}{s}F(s)</math>
<br />
<br />
som også gir:
<br />
<br />
<math>\int\limits_{0}^{t}f(\boldsymbol{\tau})\, d\boldsymbol{\tau}  = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}F(s)\right\}</math>
<br />
<br />

== Laplace og ODE'er ==
=== Prosess for løsing av lineære ODE'er ===
Prosedyren for å løse disse ligningene ved bruk av Laplacetransformasjon består av tre steg:
* *'Steg 1.** Den oppgitte ODE transformeres til en [[algebraisk ligning]], ved bruk av Laplacetransformasjon. Denne er ofte referert som en [[hjelpeligning]].
* **Steg 2.** Denne hjelpeligningen løses deretter ved bruk av vanlige [[algebra|algebraiske]] manipuleringer.
* **Steg 3.''' Løsningen i Steg 2 transformeres tilbake ved bruk av invers-laplacetransformasjon, som gir løsningen på den opprinnelige ODE.


### Fordeler framfor vanlig framgangsmåte
* I. Problemene blir løst mer direkte: Initialverdiproblemer blir løst uten å først måtte bestemme en generell løsning. Inhomogene ODE'er blir løst uten å først måtte løse den korresponderende homogene ODE'en.
* II. Mer viktig: bruken av Heavisides stegfunksjon og Diracs deltafunksjon gjør metoden særlig mektig for problemer med inndata som er usammenhengende eller representerer korte impulser eller kompliserte periodiske funksjoner.



## Tabell over noen kjente laplacetransformasjoner

## Se også
* Fouriertransformasjon	 

## Kilder
* .