Fermats prinsipp

**Fermats prinsipp** ble foreslått av den franske jurist og matematiker  Pierre de Fermat (1601 - 1665) rundt 1660 for lysets bevegelse. I utgangspunktet sier  prinsippet sier at en lysstråle som beveger seg fra et punkt til et annet, velger den veien som leder raskest frem til målet. I den følgende tid ble tilsvarende prinsipp for mekaniske system funnet av den franske naturviter Pierre Louis Maupertuis (1698 - 1759) og den irske matematiker William Rowan Hamilton (1805 - 1865). Disse virkningsprinsippene danner i dag grunnlaget for all moderne fysikk og fikk først en dypere forklaring med kvantemekanikken. Spesielt har den amerikanske fysiker Richard Feynman (1918 - 1988) bidratt til dette.

Hastigheten  *c* til lys som går gjennom et medium, er mindre enn lyshastigheten  *c*0 i vakuum.  Matematisk uttrykkes dette som *c = c<sub>0</sub>&thinsp;/n* hvor    er brytningsindeksen  til mediet. Den kan variere med posisjonen **r** i mediet slik at man i alminnelighet har .  Lyset behøver derfor en tid  for å tilbakelegge en liten veilengde *ds*.  Går lyset langs en bestemt bane fra et punkt A til et punkt B, trenger det da en endelig tid   hvor

:  L =  \int_A^B\! ds n(\mathbf{r}) 

er den **optiske veilengden**. Denne beskrivelsen er gyldig når bølgelengden til lyset er mye mindre enn karakteristiske lengder i systemet man beskriver. Man kan da benytte denne form for geometrisk optikk.

Fermats prinsipp sier at lyset velger den banen som gir den minste tiden *T*. Mer generelt sier det at denne tiden skal være *ekstremal*, det vil si enten  være minimal eller noen ganger også maksimal.  Det ekvivalent med å si at denne skal være *stasjonær* under små forandringer. En liten variasjon av banen skal gi en forsvinnende liten variasjon av den optiske veilengden. Matematisk skrives dette som

:  \delta L = 0\,. 

Den fysiske banen kan nå beregnes ved bruk av variasjonsregning som for andre virkningsprinsipp.

## Refleksjon

Fermat foreslo dette nye prinsippet for å forklaring Snells brytningslov for avbøyning av lys når det går fra et medium til et annet. Den franske filosof og matematiker Descartes hadde tidligere forsøkt å gi en mekanisk utledning av denne loven. Men han måtte da anta at lyset beveget seg raskere i et tett medium som vann enn i et tynnere medium som luft. Dette fant Fermat vanskelig å akseptere, delvis kanskje fordi at det strider mot vanlig intuisjon. 

I stedet baserte han sin tenkning på bevegelsen av en lysstråle under refleksjon mot grenseflaten til et annet medium. Allerede fra antikken var det kjent at da vil innfallsvinkel  *&theta;* være like stor som utfallsvinkelen *&theta;*', begge målt mot normalen til grenseflaten. Går lyset fra punkt A til punkt B, er det ekvivalent med at den tilbakelagte strekningen  APB  er minst mulig. Det er lett å se ved å betrakte det reflekterte punktet B'. Da linjestykket PB = PB', er også veien APB = APB'. Og linjen APB' mellom A og B' er kortest mulig når den er en rett linje. Kun da vil vinklene *&theta; = &theta;' * som sees direkte ut av figuren for det tilfellet.

Denne refleksjonsloven kan nå vises å være en konsekvens av Fermats prinsipp. La punktet A ligge på *y*-aksen i avstand *y*1 fra *x*-aksen, mens punkt A har koordinatene (*x*2, *y*2). For et vilkårlig punkt P på *x* aksen blir da den optiske lengden mellom A og B

:  L = \sqrt{y_1^2 + x^2} + \sqrt{y_2^2 + (x_2 - x)^2} 

For at denne skal ha et minimum, må den deriverte med hensyn på koordinaten *x* til punktet P være null. Det gir

:  {x\over\sqrt{y_1^2 + x^2}} - {x_2 - x\over\sqrt{y_2^2 + (x_2 - x)^2}} = 0 

Fra figuren ser man nå at det første leddet er sin*&theta;*, mens det andre leddet er sin*&theta;' *. Fermats prinsipp gir derfor

:  \sin\theta = \sin\theta ' 

som er akkurat det forventete resultatet. I mer kompliserte situasjoner med refleksjon fra krumme flater gjør tilsvarende beregninger også det mulig  å beregne lysets gang.

## Snells brytningslov

Når lyset går fra et medium 1 til et annet medium 2, vil det i alminnelighet avbøyes. I enkleste tilfelle kan man tenke seg de to medier adskilt med en plan grenseflate som vist i figuren. Den optiske avstanden langs en vei fra A til B er da

:  L = n_1\sqrt{y_1^2 + x^2} + n_2\sqrt{y_2^2 + (x_2 - x)^2} 

hvor  *x* er koordinaten for et vilkårlig punkt P langs *x*-aksen hvor lysstrålen treffer grenseflaten, og *n*1 og  *n*2 er brytningsindeksene i de to mediene. For at denne skal ha et minimum, må den deriverte med hensyn på  *x* være null. Det gir

:  n_1 {x\over\sqrt{y_1^2 + x^2}} - n_2{x_2 - x\over\sqrt{y_2^2 + (x_2 - x)^2}} = 0 

Fra figuren ser man nå at det første leddet er sin*&theta;*1, mens det andre leddet er sin*&theta;*2 . Fermats prinsipp gir derfor

:  n_1\sin\theta_1= n_2\sin\theta_2 

som er Snells brytningslov. Hadde lyset gått den motsatte veien fra B til A, ville det opplagt ha fulgt den samme veien.

## Variabel brytningsindeks

Man generelt kan man tenke seg et medium med et brytningsindeks *n*(**r**) som varierer med posisjonen **r** i mediet. Banen som lyset vil følge, blir da en eller annen kurve **r** = **r**(*&sigma;*) hvor *&sigma;* er en vilkårlig parameter. Hvis begynnelsespunktet A for banen har parameterverdi *&sigma;<sub>A</sub>* og tilsvarende *&sigma;<sub>B</sub>* for sluttpunktet B, kan den optiske veilengden for den søkte banen beregnes fra integralet

:  L =  \int_A^B\! d\sigma\, n(\mathbf{r})\sqrt{\dot{\mathbf{r}}^2} 

hvor den deriverte \dot{\mathbf{r}} = *d*&thinsp;**r**/*d&sigma;*. Her har man benyttet at den kvadrerte buelengden *ds*2 = *d*&thinsp;**r**&sdot;*d*&thinsp;**r** med vektornotasjon.

For å beregne en stasjonær verdi for dette integralet, kan man nå benytte standard variasjonsregning for funksjonen  F = n(\mathbf{r})\sqrt{\dot{\mathbf{r}}^2} . Direkte derivasjon kan nå gjøres for hver komponent av den variable som her er posisjonsvektoren **r** for hvert punkt på den søkte banen. Resultatet kan sammenfattes på vektorform ved ligningene

:   {\partial F\over\partial\mathbf{r}} =  {\partial n\over\partial\mathbf{r}}\sqrt{\dot{\mathbf{r}}^2}  og

:   {\partial F\over\partial\dot{\mathbf{r}}} = {n\dot{\mathbf{r}} \over\sqrt{\dot{\mathbf{r}}^2}} 

slik at Euler-Lagrange-funksjonen blir

:  {d\over d\sigma}\!\left( {n\dot{\mathbf{r}} \over\sqrt{\dot{\mathbf{r}}^2}}\right) 
                        = (\boldsymbol{\nabla}n)\sqrt{\dot{\mathbf{r}}^2} 

På denne generelle formen er det vanskelig å si hva slags løsninger  differensialligningen har og hva de sier om lysets bevegelse.

### Parametrisering

Fermats prinsipp gjør det mulig og bestemme banen **r** = **r**(*&sigma;*) til en lysstråle. Den er en kurve i rommet, parametrisert ved *&sigma;* som til nå ikke er nærmere spesifisert. Ved et fornuftig valg av denne parameteren, kan løsningen av bevegelsesligningene forenkles. 

Den naturlige parametrisering for kurver er dens  buelengde *s*. Da blir  {\dot\mathbf{r}}^2 = 1  og den generelle Euler-Lagrange-ligningen  forenkles  til

:  {d\over ds}\!\left(n {d\mathbf{r}\over ds}\right)    = \boldsymbol{\nabla}n 

Denne er nå mer egnet til å utlede fysiske konsekvenser for lysets utbredelse. For eksempel, i et *laminært* system vil brytningsindeksen bare variere i en koordinatretning. Lar vi denne være *z*-aksen, vil da *n* = *n*(*z*). Høyresiden av bevegelsesligningen gir da null både i *x*- og *y*-retning. Derfor må  både *ndx*/*ds* og *ndy*/*ds* være konstante under lysets gang. Det betyr igjen at også *n&radic;(dx<sup>2</sup> + dy<sup>2</sup>)/ds* = *konst*. Her er faktoren som multipliserer *n*,  sinus til vinkelen *&theta;* som lysstrålen danner med *z*-aksen. Resultatet er derfor

:  n\sin\theta = konst 

som er Snells brytningslov. Men i dette laminære tilfellet gjelder den *lokalt* i hvert punkt langs lysstrålen.

### Optisk tid
En annen parametrisering er å velge *&sigma;* slik at  {\dot\mathbf{r}}^2 = n^2 .  Kaller vi denne parameteren for *&tau;*, blir derfor det differensielle linjeelementet *ds = n&thinsp;d&tau;*. Dermed opptrer denne nye parameteren  som en slags tid og gjør det mulig å betrakte brytningsindeksen *n* som hastigheten til lyset. Selv om *&tau;* har like lite å gjøre med fysisk tid som *n* har med fysisk hastighet å gjøre, kan man matematisk benytte slike begrep her.

Denne beskrivelsen av lysets gang, tilsvarer nå den som Descartes brukte for å forklare Snells brytningslov. Lyset har en fiktiv hastighet som er gitt ved brytningsindeksen og er derfor større i et tettere medium enn i et tynnere medium. Beveger det seg fra et tynnere medium mot en grenseflate til et tykkere medium, vil det bøyes inn mot normalen til grenseflaten.

Med denne parametriseringen forenkles nå Euler-Lagrange-ligningene til

:  \ddot{\mathbf{r}} = n(\boldsymbol{\nabla}n) = {1\over 2} \boldsymbol{\nabla} n^2 

Dette ser ut som Newtons andre lov for en partikkel som beveger seg i et potensial *V = - (1/2)n<sup>2</sup>*. Den vil bøyes i retning hvor potensialet avtar, det vil si hvor brytningsindeksen øker. Totalenergien til partikkelen 

:  E = {1\over 2}  {\dot\mathbf{r}}^2 + V(\mathbf{r}) 

er konstant da brytningsindeksen ikke varierer med denne optiske tiden. 

Man kan benytte denne beskrivelsen  i praktiske anvendelser. For eksempel, i  et optisk fiber avtar brytningsindeksen  med avstanden fra  sentrum. Det tilsvarer at det ekvivalente  potensialet *V* øker utover i fiberet og kan dermed holde lysstrålen på plass.

### Paraksial approksimasjon

For et optisk  system hvor lyset i hovedsak beveger seg i *z*-retning med mindre avvik i *x*- og *y*-retningene, er det naturlig å bruke koordinaten *z* som parameter. Dermed kan lysets gang beskrives ved de to funksjoner *x* = *x*(*z*) og *y* = *y*(*z*). Da vil

:  ds = \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2} = dz\sqrt{1 +  x'^2 + y'^2} 

hvor  *x' = dx/dz* og  *y' = dy/dz* angir lysstrålens retning i forhold til *z*-aksen. Når avviket fra denne er lite, kan man derfor med god nøyaktighet sette . Denne forenkling omtales som den *paraksiale approksimasjon* eller eikonalapproksimasjonen. Da vil lysstrålen følge en bane som er gitt ved ligningen

:  {d\over dz}\!\left(n {d\mathbf{r}\over dz}\right)  = \boldsymbol{\nabla}n 

Den kan løses for *x* = *x*(*z*) og *y* = *y*(*z*) når retningene *x'&thinsp;* og *y'&thinsp;* er gitt på et sted med parameter *z*0. For *z*-retningen reduseres ligningen til en enkel identitet.

## Laminær lysgang

I et laminært system varierer brytningsindeksen bare i en retning, det vil si at den avhenger bare av en koordinat. Lyset vil da kun avbøyes i denne retningen som her velges å være *y*-aksen  slik at *n = n(y)*. De andre koordinatene velges slik at lysets bane ligger i *xy*-planet. Den vil dermed beskrive en kurve *y = y(x)* med differensielt linjeelement

:  ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = dx\sqrt{1 + y'^2} 

hvor *y' = dy/dx*. Fra den optiske veilengden 

:  L = \int_A^B\! dx n(y) \sqrt{1 + y'^2} 

mellom punktene A og B følger nå Euler-Lagrange-ligningen

:  \sqrt{1 + y'^2} {dn\over dy} = {d\over dx} \left({ny'\over \sqrt{1 + y'^2}}\right) 

Den kan noe forenkles ved å gjennomføre derivasjonene. Det gir

:  {ny*\over 1 + y'^2} = {dn\over dy},  </math>

men likevel kan en slik andre ordens [[differensialligning]] vanskelig løses for en gitt funksjon *n = n(y)*. I det spesielle tilfellet at denne er konstant, er løsningen for lysbanen en rett linje *y' = konst* som forventet.

Integranden *F = n(y)&radic;(1 + y'&thinsp;2)* inneholder ingen eksplisitt avhengighet av den variable *x* som her spiller rollen som en slags tid som parametriserer banen. Derfor følger fra [[variasjonsregning]]  at størrelsen *K = F - pyy' *, hvor *py* er den konjugerte impulsen

: <math> p_y = {\partial F\over\partial y'} = {ny'\over \sqrt{1 + y'^2}}, </math>

har en konstant verdi analogt med bevarelse av energi i et mekanisk problem. Nå er 

: <math> K = {n\over\sqrt{1 + y'^2}} = n {dx\over ds} </math>

hvor *dx/ds* er [[Trigonometriske funksjoner#Sinus, cosinus og tangens|sinus]] til vinkelen *&theta;* som tangenten til lysbanen har, målt fra *y*-aksen. Derfor tilsvarer bevarelsen av denne størrelsen at [[Snells brytningslov]] gjelder lokalt i hvert punkt langs banen,

: <math> n(y)\sin\theta(y) = konst </math>

Variasjonsproblemet er nå redusert til å løse en første ordens [[differensialligning]] som vanligvis er enklere.

Man kan alternativt komme mer direkte frem til denne bevegelseskonstanten ved å parametrisere lysbanen ved den variable *y* i stedet for *x* som til nå. Da blir den optiske veilengden

: <math> L = \int_{y_A}^{y_B}\! dy n(y) \sqrt{1 + x'^2} </math>

hvor nå *x' = dx/dy*. I denne integranden opptrer ikke den variable *x*. Den er derfor [[variasjonsregning|syklisk]], og den konjugerte impulsen

: <math> p_x = {\partial F\over\partial x'} = {nx'\over \sqrt{1 + x'^2}} </math>

må være konstant, i.e.  *px = K*. Dette gir igjen den lokale utgaven av [[Snells brytningslov]] da *x'/&radic;(1 + x'&thinsp;2) = dx/ds* som er sinus til den lokale brytningsvinkelen.

===Eksempel===
Noen optiske fenomen som [[fata morgana]] skyldes at brytningsindeksen avtar med høyden på grunn av [[temperaturinversjon]]. Antar man en plan jordoverflate, vil da  og man kan beregne hvordan lyset går ved bruk av formalismen her. Som et enkelt eksempel kan man anta at brytningsindeksen varierer som

: <math> n(y) = n_0\sqrt{1 - ay} </math>

hvor *n0* er verdien på jordoverflaten *y* = 0 og *a* er en konstant. Denne beskrivelsen kan da brukes så lenge som *y* < 1/*a*. Brytningsvinkelen til lyset oppfyller nå  hvor verdiene på høyre side er de på jordoverflaten. Det betyr at banen til lyset er gitt ved .  Dette kan uttrykkes ved sin*&theta;* og sammen med den valgte funksjonen *n*(*y*) finner man at

: <math> {dy\over dx} = {1\over\sin\theta_0}\sqrt{\cos^2\theta_0 - ay} </math>

Direkte integrasjon gir nå løsningen

: <math> y = {ax(2x_0 - x)\over 4\sin^2\theta_0} </math>

hvor  *x*<sub>0</sub> = sin2*&theta;*<sub>0</sub>&thinsp;/*a* er  en integrasjonskonstant som er bestemt ut fra betingelsen at lyset går ut fra *x* = 0 på jordoverflaten *y* = 0.  Denne løsningen viser at det følger en [[parabel]] som når sitt høydepunkt *y*<sub>0</sub> = cos<sup>2</sup>*&theta;*<sub>0</sub>&thinsp;/*a* for  *x* = *x*<sub>0</sub> som definerer parabelens akse.

Dette problemet kan også undersøkes ved bruk av formalismen i forrige seksjon. Det effektive potensialet blir nå

:  <math> V = -{1\over 2}n^2 = -{1\over 2} n_0^2 + {1\over 2} ay n_0^2 </math>

Bevegelsesligningen *d*&thinsp;*'v**/''d&tau;'' = - **&nabla;**'V* gir da at hastigheten *vx* i *x*-retning er konstant, mens hastigheten *vy* i *y*-retning er utsatt for en konstant [[akselerasjon]]   Dette tilsvarer problemet med kast av ball i tyngdefeltet. Ved tiden &tau; = 0 er *vx* = *n*<sub>0</sub>&thinsp;sin&thinsp;*&theta;*<sub>0</sub> og *vy* = *n*<sub>0</sub>&thinsp;cos&thinsp;*&theta;*<sub>0</sub> da *v*<sup>2</sup> = *n*<sub>0</sub><sup>2</sup> ved dette tidspunktet, det vil si for  der  Ved senere tidspunkt blir da  og

: <math> y = n_0\cos\theta_0\tau - {1\over 4}an_0^2 \tau^2 </math>

Eliminerer man her den tidsvariable &tau; mellom disse to uttrykkene, finner man lett at

: <math> y = x\cot\theta_0 - {ax^2\over 4\sin^2\theta_0} </math>

som er akkurat resultatet som ble tidligere funnet.

==Referanser==
<references />

==Litteratur==

* F. A. Jenkins and H. E. White, *Fundamentals of Optics*,  McGraw-Hill Book Company, New York (1957). 

==Eksterne lenker==

* R.P. Feynman, [http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_26.html  *Principle of Least Time''], Feynman Lectures on Physics