Hamilton-mekanikk

**Hamilton-mekanikk** er en formulering av lovene som styrer klassisk mekanikk. Den er komplementær til den alternative formuleringen som kalles for Lagrange-mekanikk. Den ble utviklet rundt 1834 av den irske matematiske fysiker William Rowan Hamilton. Begge er i utgangspunktet basert på Hamiltons fundamentale virkningsprinsipp hvor *Lagrange-funksjonen* for systemet inngår.  Det er nesten ironisk at det var Hamilton som nesten 70 år etter Lagrange viste hvor viktig denne funksjonen er. I Hamilton-mekanikken inngår en partikkels posisjon og impuls på en likeverdig måte. Dermed  kommer en dyp, matematisk struktur klart frem, noe som i Lagrange-formuleringen forblir skjult.

Selv om disse to beskrivelsene opprinnelig var ment å benyttes kun for diskrete partikler, har det senere vist seg at de er begge velegnet til å anvendes også på kontinuerlige system som bølger og elektromagnetiske felt. Bruk av Hamiltons mekanikk er sentral i moderne kvantemekanikk hvor *Hamilton-funksjonen* styrer den dynamiske utviklingen. Derimot for relativistiske systemer beskrevet ved kvantefeltteorier, er det Lagrange-funksjonen som er mest egnet. Dette er forbundet med kravet om alltid å være i overensstemmelse med Einsteins spesielle relativitetsteori.

## Hamiltons prinsipp

Hamilton viste at de mekaniske lovene kunne utledes fra et nytt virkningsprinsipp. For et system av partikler beskrevet ved de *N* generaliserte koordinatene   som  varierer med tiden *t*,  er dette basert på  Lagrange-funksjonen

:  L = L(q,\dot{q},t) 

for systemet. Koordinaten *q* angir en gitt posisjon av systemet i et *N*-dimensjonalt *konfigurasjonsrom*. Her er den tidsderiverte  \dot{q}_n  = *dq<sub>n</sub>&thinsp;/dt* den *n*-te komponent av hastigheten til en partikkel. Lagrange-funksjonen kan vanligvis finnes ut fra kunnskap om systemets kinetiske og potensielle energier. For en bevegelse som starter i en gitt posisjon ved tiden *t = 0* og fortsetter frem til en annen, gitt posisjon ved et senere tidspunkt *t*, definerte Hamilton integralet

:  S = \int_0^t\!dt  L(q,\dot{q},t) 

som systemets **prinsipale funksjon**. I dag kaller man det i stedet for Hamiltons virkning. Han viste at et vilkårlig system vil alltid bevege seg slik at denne virkningen antar en ekstremal verdi som ofte er et minimum. Dette er Hamiltons virkningsprinsipp.

Bevegelsesligningene kan nå utledes ved vanlig variasjonsregning. Under en liten variasjonen *q(t) &rarr; q(t) + &delta;q(t)* av banen vil da virkningen forandres med

:  \delta S =  \int_0^t\! dt \left[ {\partial L\over\partial q}  - {d\over dt} {\partial L\over\partial \dot{q}} \right]\cdot \delta q  
                             + \left|{\partial L\over\partial \dot{q}}\cdot\delta q\right|_0^t 

etter å ha foretatt en partiell integrasjon. Her er &sdot; - symbolet innført som en mer kompakt notasjon for Einsteins summekonvensjon å summere over komponenter med samme indeks. Siden endepunktene til alle varierte baner er fikserte, vil her *&delta;q = 0* slik at randleddet  er null. I det gjenstående integralet er derimot variasjonen *&delta;q* ikke null og derfor må inneholdet av parentesen i integranden være null. Det gir

:  {\partial L\over\partial q_n}  - {d\over dt} {\partial L\over\partial \dot{q}_n}  = 0 

som er en Euler-Lagrange-ligning for hver variable. Tilsammen utgjør de *N* andreordens differensialligninger som representerer en generalisering av Newtons tredje lov.

## Hamiltons ligninger

For hver posisjonsvariabel *q<sub>n</sub>* kan man definere en *konjugert* impuls

:  p_n = {\partial L\over\partial \dot{q}_n} 

som vanligvis kalles for en komponent av **den kanoniske impulsen**.  Deres variasjon med tiden  er gitt av Euler-Lagrange-ligningen som nå kan skrives på formen

:  {dp_n\over dt} = {\partial L\over\partial q_n} 

Fra ligningen som definerer den kanoniske impulsen, kan man nå uttrykke hastighetskomponentene   \dot{q}_n  som en funksjon av *q<sub>n</sub>* og *p<sub>n</sub>*. Disse to set med variable kan så benyttes som nye variable i problemet. Dette er essensen av Hamiltons nye formulering av de mekaniske lovene.

Dette kan mer systematisk gjennomføres ved å betrakte differensialet

:  dL =  {\partial L\over\partial q}\cdot dq+ {\partial L\over\partial \dot{q}} \cdot d\dot{q} 
                       + {\partial L\over\partial t} dt  

hvor  q  og  \dot{q}  betraktes som to uavhengige variable. Ved å innføre den kanoniske
impulsen, kan dette nå skrives om på formen

:  d (p \cdot \dot{q} - L) =  -{\partial L\over\partial q} \cdot dq + \dot{q}\cdot dp  
                          - {\partial L\over\partial t} dt  

På høyre side opptrer ikke lenger differensialet av hastigheten  \dot{q} , men i stedet differensialet 
*dp*&thinsp;. Det betyr at hva som står på venstre side, er en funksjon av koordinatene *q*, impulsene *p* samt tiden *t*. Dette er **Hamilton-funksjonen** for systemet definert som

:  H(q,p,t)  = p \cdot\dot{q} - L(q,\dot{q},t)  

Den eksplisitte formen finnes ved å bruke uttrykket for den kanoniske impulsen til å finne  \dot{q}  som en funksjon av *q* og *p* og så sette dette inn på høyre side i denne definisjonen. Dette skiftet av uavhengige variable, kalles en Legendre-transformasjon som også blir utstrakt brukt innen termodynamikken.

Ved å sammenligne det generelle differensialet

:  dH =  {\partial H\over\partial q}\cdot dq + {\partial H\over\partial p} \cdot dp   
                       + {\partial H\over\partial t} dt  

med hva som ble utledet tidligere fra Lagrange-funksjonen, finner man sammenhengene

:   \dot{q}_n = {\partial H\over\partial p_n} ,  \;\;\;\;\;\;   \dot{p}_n = - {\partial H\over\partial q_n}  

som er  **Hamiltons ligninger**. Det er *2N* slike differensialligninger, alle av første orden, for de uavhengige variable *q* og *p*.  For å komme frem til den siste Hamilton-ligningen, er den ovenstående Euler-Lagrange-ligningen benyttet. Til hvert tidspunkt angir verdiene for *q* og *p* systemets tilstand som et punkt i et *2N*-dimensjonal *faserom*.

I tillegg følger fra den samme utledningen at

:  {\partial H\over\partial t} = - {\partial L\over\partial t} 

En eksplisitt avhengighet av tiden i Hamilton-funksjonen forekommer derfor kun når en slik forefinnes i Lagrange-funksjonen.

## Poisson-klammer

I noen praktiske sammenhenger kan man være interessert i å beregne forandringen med tiden av en funksjon *A = A(q,p,t)* av de dynamiske variable.  Denne er gitt ved den totale deriverte

:  {dA\over dt} = {\partial A\over\partial t} + {\partial A\over\partial q}\cdot \dot{q} + {\partial A\over\partial p}\cdot \dot{p}  

Setter man her inn for  \dot{q}  og  \dot{p}  fra Hamiltons ligninger, kan man skrive resultatet som

:  {dA\over dt} = {\partial A\over\partial t} + [A,H] 

etter å ha innført **Poisson-klammen** [*A,H*] mellom den variable *A* og Hamilton-funksjonen *H* definert som

:  [A,H] = {\partial A\over\partial q}\cdot {\partial H\over\partial p} - {\partial A\over\partial p}\cdot {\partial H\over\partial q} \equiv 
                             \sum_n\left({\partial A\over\partial q_n} {\partial H\over\partial p_n} 
                            - {\partial A\over\partial p_n}{\partial H\over\partial q_n}\right)                 

På samme måte defineres Poisson-klammen mellom to vilkårlige variable *A = A(q,p,t)* og *B = B(q,p,t)*. Den er antisymmetrisk i den forstand at [*A,B*] = - [*B,A*] slik at også [*A,A*] = 0.

Herav følger et viktig resultat. Ser man nå på den totale forandring av selve Hamilton-funksjonen, blir da ganske enkelt

:  {dH\over dt} = {\partial H\over\partial t} 

da [*H,H*] = 0 og hvor *&part;&thinsp;H/&part;&thinsp;t = - &part;&thinsp;L/&part;&thinsp;t*. Det betyr at når det ikke er noen eksplisitt tidshavhengighet i systemet, er Hamilton-funksjonen konstant. Den er en bevart størrelse som er energien til systemet og betegnes vanligvis med bokstaven *E*.

Man kan merke seg noen spesielle Poisson-klammer. For eksempel er [*q<sub>k</sub>,A*] = *&part;&thinsp;A/&part;&thinsp;p<sub>k</sub>* og [*p<sub>k</sub>,A*] = - *&part;&thinsp;A/&part;&thinsp;q<sub>k</sub>* slik at begge Hamilton-ligningene kan skrives på samme form

:  \dot{q}_k = [q_k, H], \;\;\;\;\;\;\;\; \dot{p}_k = [p_k, H] 

Dette viser klart symmetrien mellom disse to variable i Hamiltons formulering.

Videre finner man lett at [*q<sub>i</sub>&thinsp;,q<sub>j</sub>&thinsp;*] = [*p<sub>i</sub>&thinsp;,p<sub>j</sub>&thinsp;*] = 0, mens [*q<sub>i</sub>&thinsp;,p<sub>j</sub>&thinsp;*] = *&delta;<sub>i&thinsp;j</sub>* uttrykt ved Kroneckers deltasymbol *&delta;<sub>i&thinsp;j</sub>&thinsp;*. For en partikkel med dreieimpulsen **L** = **r**&thinsp;&times;&thinsp;**p** har Poisson-klammene mellom komponentene likedan de symmetriske verdiene [*L<sub>x</sub>&thinsp;,L<sub>y</sub>&thinsp;*] = *L<sub>z</sub>&thinsp;* etc. I kvantemekanikken erstattes Poisson-klammene med *kommutatorer* mellom de tilsvarende kvanteoperatorene.

## Harmonisk oscillator

Som et enkelt eksempel på bruk av Hamilton-formalismen, kan man betrakte en endimensjonal harmonisk oscillator med masse *m* og utslag *q* beskrevet ved Lagrange-funksjonen

:  L = {1\over 2}m\dot{q}^2 - {1\over 2}m\omega^2q^2  

hvor *&omega;* foreløbig er en konstant som bestemmer den potensielle energien. Den kanoniske impulsen er  p = m\dot{q} slik at Hamilton-funksjonen

:  H = {p^2\over 2m} + {1\over 2}m\omega^2q^2  

De to Hamilton-ligningene finnes herav å være *dq/dt = p/m* og *dp/dt = - m&omega;&thinsp;<sup>2</sup>q&thinsp;.* De er begge av første orden og kan løses hver for seg ved å benytte seg at energien *E* til oscillatoren her er konstant. I den første ligningen kan man derfor benytte at *p = &radic;(2mE - m<sup>2</sup>&omega;<sup>2</sup>q<sup>2</sup>).* Det gir differensialligningen

:  {dq\over dt} = \sqrt{2E/m - \omega^2 q^2} 

Ved å innføre den nye variable *x = &radic;(m/2E)&thinsp;&omega;q* kan denne lett løses ved direkte integrasjon. Resultatet blir

:  q(t) = \sqrt \sin(\omega t - \phi_0)  

hvor *&phi;<sub>0</sub>* er en integrasjonskonstant. Oscillatoren svinger derfor periodisk med vinkelfrekvens *&omega;&thinsp;.*

Løsningen for impulsen finnes nå fra * p = mdq/dt* som gir

:  p(t) = \sqrt{2Em} \cos(\omega t - \phi_0)  

Det er lett å sjekke at innsetning av disse to løsningene i Hamilton-funksjonen gir den konstante verdien *E*. I faserommet beskriver bevegelsen en ellipse.

## Den prinsipale funksjonen

Det tidsforløpet som systemet får fra løsningen av Euler-Lagrange-ligningene, kalles den *klassiske* bevegelsen. Fra definisjonen kan man direkte beregne den tilsvarende virkningen som derved blir en funksjon som avhenger av sluttpunktet *(q,t)* for bevegelsen samt koordinatene til begynnelsespunktet *q<sub>0</sub>&thinsp;*. Denne klassiske virkningen *S = S(q,t,q<sub>0</sub>&thinsp;)* ble av Hamilton kalt for *den prinsipale funksjonen*. Fra definisjonen følger direkte at *dS/dt = L* slik at

:  {\partial S\over \partial t} + {\partial S\over\partial q}\cdot \dot{q} = L 

Den deriverte *&part;S&thinsp;/&part;q* kan finnes ved å betrakte to nærliggende, klassiske bevegelser som starter i samme punkt, men ender i to nærliggende punkt separert med *&delta;q* ved et senere tidspunkt *t*. Disse to bevegelsene vil ha litt forskjellig, klassisk virkning *&delta;S* som kan leses ut fra den opprinnelige variasjonsregningen som ga Euler-Lagrange-ligningen. Kun randleddet vil nå bidra slik at *&delta;S = p&sdot;&delta;q* som betyr at

:  {\partial S\over\partial q_n} = p_n 

Innsatt i uttrykket over, betyr det at

:  {\partial S\over\partial t} = L - p\cdot\dot{q} = - H 

som følger fra definisjonen av Hamilton-funksjonen *H = H(q,p,t)*. Uttrykker man i denne impulsen som den deriverte *&part;S&thinsp;/&part;q*, fremkommer dermed differensialligningen

:  H\Big(q,{\partial S\over\partial q},t\Big) + {\partial S\over\partial t} = 0 

Løsningen av denne vil gi den prinsipale funksjonen og dermed all informasjon om bevegelsen. Hvordan dette er mulig, ble først avklart 1842 - 1843 av den tyske matematiker Carl Gustav Jacob Jacobi. Den kalles derfor for **Hamilton-Jacobi-ligningen**.

## Hamiltons virkningsprinsipp i faserommet

Som samme måte som Euler-Lagrange-ligningene kan utledes fra Hamiltons virkningsprinsipp, kan dette også gjøres for Hamiltons ligninger. Brukes sammenhengen mellom Lagrange-funksjonen og Hamilton-funksjonen, kan Hamiltons virkning skrives som

:  S = \int_0^t\! \big(p\cdot dq - Hdt\big) 

I integranden inngår nå *q* og *p* som uavhengige variable. En infinitesemal variasjon av disse resulterer i en variasjon

:  \delta S = \int_0^t\! \Big(\delta p\cdot dq + p\cdot\delta dq - {\partial H\over\partial q}\cdot\delta q dt
                                    - {\partial H\over\partial p}\cdot\delta p dt\Big) 
av virkningen. I andre ledd kan man benytte at *&delta;dq* = *d&delta;q* som etter en partiell integrasjon gir

:   \delta S = \int_0^t\! dt\Big(\dot{q} - {\partial H\over\partial p}\Big)\cdot\delta p   
                                   -  \int_0^t\! dt\Big(\dot{p} + {\partial H\over\partial q}\Big)\cdot\delta q   + \left| p\cdot\delta q\right|_0^t 

Her er randleddet null da *&delta;q = 0* i begge endepunktene av integrasjonen. Under integralene er *&delta;q* og *&delta;p* forskjellige fra null. For at variasjonen *&delta;S = 0* må derfor begge parentesene i integralene være null. Det gir nå de to Hamilton-ligningene.

## Maupertuis' virkningsprinsipp

I en beskrivelse av et mekanisk system basert på Hamiltons virkningsprinsipp *&delta;S = 0* betrakter man varierte baner som går fra et gitt begynnelsespunkt ved en gitt tid og som alle ankommer samtidig i et bestemt sluttpunkt ved et senere tidspunkt. De varierte bevegelsene vil derfor i alminnelighet ha annen energi enn den klassiske bevegelsen.

Oppgir man kravet om at de varierte banene skal ankomme til samme tidspunkt, er det mulig å reformulere dette virkningsprinsippet slik at man bare betrakter varierte baner med samme energi *E*. Variasjonen av virkningen vil derfor da måtte tilfredsstille *&delta;S + E&delta;t = 0*. Fra den generelle definisjonen av Hamiltons virkning har man i dette tilfellet at

:  S =  \int_0^q\! p\cdot dq - Et 

Det betyr at det nye virkningsprinsippet kan skrives som *&delta;W = 0* hvor *W = W(q,E,q<sub>0</sub>&thinsp;)* er *Maupertuis' virkning*

:  W = \int_0^q\! p\cdot dq 

Dette er Maupertuis' virkningsprinsipp som ble funnet allerede på midten av 17-hundreårstallet. Variasjonen *&delta;W* utføres her mellom et gitt begynnelsespunkt og sluttpunkt for bevegelsen under den betingelse at alle varierte baner har samme energi.

Hamilton så at dette virkningsprinsippet spiller samme rollen i mekanikken som Fermats prinsipp gjør i optikken. Denne nye virkningen kalte han for *den karakteristiske funksjonen* som er analog til den optiske veilengden i geometrisk optikk. Den tyske matematiker Carl Gustav Jacob Jacobi bidro til å avklare de matematiske aspektene ved disse forskjellige formuleringene.

Sammenhengen *S = W -  Et* kan sees på som en Legendre-transformasjon hvor man erstatter den variable *t* i funksjonen *S* med den variable *E* i funksjonen *W*. Da blir *&delta;S = &delta;W - E&delta;t - t&delta;E&thinsp;*. Men da *&delta;S + E&delta;t = 0&thinsp;*, må vi derfor ha  *&delta;W = E&delta;t&thinsp;*. Det betyr at

:  {\partial W\over\partial E} = t 

som er hva man venter ved en slik transformasjon av variable. Dette resultatet kan brukes til å bestemme tidsforløpet av en bevegelse når Hamiltons karakteristiske funksjon *W* er kjent.

## Kanoniske transformasjoner

I Lagrange-funksjonen er ikke valget av den *N* generaliserte koordinater *q* = *(q<sub>1</sub>, q<sub>2</sub>, ... , q<sub>N</sub>)* entydig. Et annet valg *Q = Q(q,t)* vil gi de samme Euler-Lagrange-ligningene. En slik forandring av koordinatene, kalles en *punkttransformasjon*. Hva man velger å bruke i praksis, bestemmes vanligvis av den matematiske forenkling i løsningen man kan oppnå i noen tilfeller.

Punkttransformasjonen *Q = Q(q,t)* lar også de resulterende Hamiltonske ligninger forbli uforandret. Men i denne formuleringen av mekanikken har man nå *2N* uavhengige variable *q* og *p*. Man kan nå tenke seg mer generelle transformasjoner *q &rarr; Q(q,p,t)* og *p &rarr; P(q,p,t)* hvorved Hamilton-funksjonen forandres til *H(q,p,t) &rarr; H'(Q,P,t)*. Disse kalles for *kanoniske transformasjoner* hvis de bevarer formen på Hamiltons ligninger, det vil si at de gir som resultat

:   \dot{Q}_n = {\partial H'\over\partial P_n} ,  \;\;\;\;\;\;   \dot{P}_n = - {\partial H'\over\partial Q_n}  

De nødvendige egenskapene de må ha, følger fra den tidligere utledningen av ligningene fra virkningsprinsippet i faserommet. Det betyr at de må resultere fra en ekstremalisering av virkningen

:  S' =  \delta\int_0^t\! \big(P\cdot dQ - H' dt\big) 

For at dette skal være i overensstemmelse med den tidligere virkningen *S* uttrykt ved de variable *q* og *p*, må de to integrandene være identiske eller mer generelt adskille seg fra hverandre med et totalt differensial *dF*. Dette vil nemlig i variasjonsregningen gi opp til et randledd som er lik null i beregningen. Man må derfor ha at

:  dF =  p\cdot dq - P\cdot dQ +  (H' - H) dt 

Hvis man nå betrakter funksjonen *F = F(q,Q,t)*, så vil man derfor måtte ha

:  p_n = {\partial F\over\partial q_n}, \;\;\; \;\;P_n = - {\partial F\over\partial Q_n} 

sammen med *H' = H + &part;&thinsp;F/&part;&thinsp;t&thinsp;.* Så hvis funksjonen *F* er kjent, har man dermed sammenhengen mellom de nye og de gamle koordinatene. Denne kanoniske transformasjonen oppstår fra funksjonen *F = F(q,Q,t)* som derfor vanligvis kalles for *den genererende funksjon*.

På samme måte kan man bruke genererende funksjoner gitt ved andre par av variable. For eksempel, vil man benytte *q* og *P* i stedet, kan man skrive om den ovenforstående betingelsen  til formen

:  d(F + P\cdot Q) =  p\cdot dq + Q\cdot dP +  (H' - H) dt 

Venstre side må nå være differensialet av en funksjon *G =G(q,P,t)*. Dette følger utfra hva som opptrer på høyre side av differensialer. Igjen er dette et eksempel på en Legendre-transformasjon hvor man bytter ut den variable *Q* med *P*. Resultatet av denne kanoniske transformasjonen er nå

:  p_n = {\partial G\over\partial q_n}, \;\;\; \;\;Q_n = {\partial G\over\partial P_n} 

hvor den nye Hamilton-funksjonen fremdeles er gitt som *H' = H + &part;&thinsp;G/&part;&thinsp;t&thinsp;.*

## Hamilton-Jacobi-ligningen

Med en matematisk løsning av Hamiltons ligninger mener man vanligvis at man kan bestemme funksjonene *q<sub>n</sub> = q<sub>n</sub>(q<sub>0</sub>&thinsp;,p<sub>0</sub>&thinsp;,t)* og *p<sub>n</sub> = p<sub>n</sub>(q<sub>0</sub>&thinsp;,p<sub>0</sub>&thinsp;,t)* som beskriver den fulle bevegelsen av systemet med partikler ut fra gitte verdier *q<sub>0</sub>* og *p<sub>0</sub>* ved et tidligere tidspunkt *t<sub>0</sub>&thinsp;*. Selv om dette kun er praktisk mulig i noen få, spesielle tilfeller, kan man nå ved hjelp av kanoniske transformasjoner i alle fall tenke seg til at man finner en genererende funksjon *S(q,P,t)* som er slik at den transformerte Hamilton-funksjonen *H' = 0*.  Fra Hamiltons ligninger følger da at de nye koordinatene *Q* og *P* alle er konstante. Dette er den mest enkle løsning man kan tenke seg.

Uttrykt ved den opprinnelig Hamilton-funksjonen *H = H(q,p,t)* hvor *p = &part;&thinsp;S/&part;&thinsp;q&thinsp;*, tilsvarer  *H' = 0* at

:  H\Big(q,{\partial S\over\partial q}, t\Big) + {\partial S\over\partial t} = 0 

Denne differensialligningen kalles for **Hamilton-Jacobi-ligningen**. Løsningen gir denne meget spesielle, genererende funksjonen  *S = S(q,P,t)* som da i prinsippet gir den fullstendige løsningen av dette mekaniske problemet.

Det er ikke uten grunn at denne genererende funksjonen betegnes med symbolet *S* som tilsvarer hva som brukes for Hamiltons prinsipale funksjon. Regner man uten den totalderiverte av den med hensyn på tiden, finner man

: {dS\over dt} = {\partial S\over\partial q}\cdot\dot{q} + {\partial S\over\partial t} = p\cdot\dot{q} - H = L 

som er akkurat definisjonen av denne funksjonen som også kalles for Hamiltons virkning.

Sammenhengen med det opprinnelige problemet uttrykt i koordinatene *q* og *p* følger nå fra transformasjonsligningene. Fra den første transformasjonsligningen *p<sub>n</sub> = &part;&thinsp;S/&part;&thinsp;q<sub>n</sub>* kan man ved begynnelsestidspunktet *t<sub>0</sub>&thinsp;* bestemme de ukjente *P<sub>n</sub>* fra begynnelsesverdiene *q<sub>0</sub>* og *p<sub>0</sub>&thinsp;*. Og når dette er gjort, kan man bruke den andre transformasjonsligningen *Q<sub>n</sub> = &part;&thinsp;S/&part;&thinsp;P<sub>n</sub>* ved tidspunktet *t<sub>0</sub>&thinsp;* til å bestemme *Q<sub>n</sub>* på samme måte. Ved et senere tidspunkt kan man så bruke denne ligningen til å finne *q<sub>n</sub> = q<sub>n</sub>(Q,P,t)* som er løsningen man er på jakt etter. Hvordan alt dette kan matematisk foregå, ble først grundig analysert av den tyske matematiker Carl Gustav Jacobi noen få år etter at Hamilton hadde utviklet denne formuleringen.

For systemer med konstant energi *E* kan Hamilton-Jacobi-ligningen omformes ved å benytte at *S = W - Et* hvor *W* er den karakteristiske funksjonen. Da tar ligningen formen

:      H\Big(q,{\partial W\over\partial q}\Big) = E    

Den spilte en viktig rolle de første årene i utviklingen av kvantemekanikken og spesielt i Bohr-Sommerfeld-kvantisering av elektronbevegelsen i de enkleste atomene. For hydrogenatomet kan den løses eksakt.

### Eksempel

For enkelt å illustrere bruk av Hamilton-Jacobi-ligningen, kan man igjen benytte den 1-dimensjonale harmoniske oscillatoren. Med konstant energi blir da ligningen

:  {1\over 2m}\Big({dW\over dq}\Big)^2 + {1\over 2}m\omega^2q^2  = E 

Løsningen av denne er gitt ved integralet

:  W = \int\!dq\sqrt{2mE - m^2\omega^2 q^2} 

som ganske lett kan finnes ved elementære funksjoner. Men hvis man kun er interessert i finne et uttrykk for selve bevegelsen som funksjon av tiden, kan man her benytte direkte at *t = &part;&thinsp;W/&part;&thinsp;E* som gir

:  t = \int {mdq\over\sqrt{2mE - m^2\omega^2 q^2}} 

Dette er samme integralet som oppsto tidligere ved direkte bruk av Hamiltons ligninger. Det gir igjen

:  q(t) = \sqrt \sin(\omega t - \phi_0)  

hvor *&phi;<sub>0</sub>* er en integrasjonskonstant som kan bestemmes enklest fra oscillatorens posisjon *q<sub>0</sub>* ved tidspunktet *t<sub>0</sub> = 0&thinsp;*.

## Klassisk mekanikk som geometrisk optikk

En ikke-relativistisk partikkel med masse *m*  er beskrevet ved  Hamilton-funksjonen * H = *'p**<sup>2</sup>/2m  + V(**x**)&thinsp;''  når den
har potensiell energi ''V(**x**)&thinsp;''. Denne er uavhengig av tiden, og partikkelen har derfor en gitt energi ''E&thinsp;''.

For å finne bevegelsen til partikkelen har man nå flere fremgangsmåter å benytte. Man kunne forsøke å løse den tilsvarende Euler-Lagrange-ligningen eller de tilsvarende Hamilton-ligningene. Ekvivalent kan man benytte [[Maupertuis' virkningsprinsipp]] eller Hamilton-Jacobi-ligningen. Det er her interessant å sammenligne fremstillingen som følger fra disse to metodene.

===Stråler med partikler===

Maupertuis' virkning er gitt ved integralet

: <math> W = \int \mathbf{p}\cdot d\mathbf{r}  </math>

Da impulsen **p** = ''md''&thinsp;**r**/''dt'' og differensialet ''d**r** '' er parallelle vektorer, er derfor ''W = &int;&thinsp;pds'' hvor størrelsen av impulsen er gitt ved ''p<sup>2</sup> = 2m(E - V)'' og linjeelementet ''ds'' = |''d**r**&thinsp;''|. Dermed kan virkningen finnes fra integralet

: <math> W = \int\! ds \sqrt{2m(E - V(\mathbf{x}))} </math>

Den klassiske banen finnes så ved [[variasjonsregning]] basert på kravet at ''&delta;W'' = 0 ved å sammenligne alle baner med samme energi ''E''. Er banen kort nok, er løsningen den banen som har den minste virkningen.

Matematisk er denne beregningen lik med å finne banen til en lysstråle med utgangspunkt i [[Fermats prinsipp]] som gjelder i geometrisk optikk. Dette sier at lyset velger den banen som har kortest mulig optisk veilengde

: <math> L =  \int_A^B\! ds n(\mathbf{x}) </math>

Her er ''n'' = ''n''(**x**) [[brytningsindeks]]en til mediet lyser beveger seg gjennom. Er lyshastigheten i vakuum ''c<sub>0</sub>&thinsp;'', er den ''c = c<sub>0</sub>&thinsp;/n'' i mediet. Man kan derfor løse det mekaniske problemet ved å finne banen for lys i et medium med brytningsindeks

: <math> n(\mathbf{x}) \propto \sqrt{E - V(\mathbf{x})} </math>

Når man snakker om en lysstråle i geometrisk optikk,  spiller det i den forbindelsen ingen rolle om den ''virkelig'' består av lyspartikler eller lysbølger. Men fra [[eikonalapproksimasjon]]en vet man at bølgebeskrivelsen gir effektivt lysstråler når lyset har en bølglelengde som er mye kortere enn alle andre karakteristiske lengder i systemet. Da oppfører lyset seg som klassiske partikler.

===Fronter av bølger===

I stedet for å bruke [[Maupertuis' virkningsprinsipp]] for å finne bevegelsen til partiklene, kan man også bruke  Hamilton-Jacobi-ligningen. Den karakteristiske funksjonen ''W = W(**x**)'' vil da for den gitte Hamilton-funksjonen måtte oppfylle differensialligningen

: <math> {1\over 2m} (\boldsymbol{\nabla} W)^2 +  V(\mathbf{x}) = E    </math>

Ut fra løsningen vil da ligningen ''W(**x**)'' = ''konst'' beskrive en flate i rommet. Da impulsvektoren til partikkelen er gitt som **p** = **&nabla;***W'', vil den overalt stå normalt på slike flater. Dette minner igjen sterkt om geometrisk optikk beskrevet i [[eikonalapproksimasjon]]en hvor bølgevektoren '''k''' står vinkelrett på faseflatene.

Da flatene ''W('''x''')'' = ''konst'' ligger fast i rommet, vil derimot flatene for den prinsipale funksjonen ''S = W - Et = konst'' bevege seg. I figuren er vist to nærliggende flater ''W = a'' og ''W = b&thinsp;''. Ved tiden ''t = 0'' sammenfaller de med de tilsvarende flatene ''S = a'' og ''S = b&thinsp;''. Men ved et litt senere tidspunkt ''dt'' har flaten  ''S = a''  flyttet seg til flaten ''W = a + Edt''. Likedan har flaten  ''S = b''  flyttet seg til flaten ''W = b + Edt''. Hastigheten som flatene beveger seg med, er ''u = ds/dt'' hvor ''ds'' er den lille distansen et punkt på flaten har beveget seg i denne korte tiden. I dette tidsrommet har ''S''-flaten beveget seg mellom to ''W''-flater med ''dW = Edt&thinsp;''. Men samtidig er også 
''dW'' = |'''&nabla;***W*&thinsp;|&thinsp;*ds* da gradienten *'&nabla;**''W'' står normalt på flaten. Dermed forflytter ''S''-flatene seg med en lokal hastighet

: <math> u  = {ds\over dt}  = {E\over |\boldsymbol{\nabla} W|} = {E\over p}  </math>

Aksepterer vi nå den optiske analogien, vil vi kunne kalle dette for en ''fasehastighet'' for flaten ''S = konst&thinsp;'' som opptrer her som en bølgefront. Den er i alminnelighet forskjellig fra hastigheten ''v = p/m'' til partikkelen.
===Eksempel===

En ball som blir kastet med hastighet ''v'' i en retning ''&theta;'' med ''x''-aksen, vil bevege seg i potensialet ''V'' = ''mgy'' når ''y''-aksen er rettet oppover og ''g'' er [[tyngdeakselerasjon]]en. Hamilton-Jacobi-ligningen for bevegelsen er da

: <math> \Big({\partial W\over\partial x}\Big)^2 + \Big({\partial W\over\partial y}\Big)^2 = 2m(E - mgy) </math>

Her er ''E'' = ''mv''<sup>&thinsp;2</sup>/2 ballens konstante energi og &part;''W''/&part;''x'' = ''mv''&thinsp;cos''&theta;'' dens bevarte impuls langs ''x''-aksen. Den fulle virkningsfunksjonen er dermed gitt ved integralet

: <math> W(x,y) = mvx\cos\theta + m \int_0^y\!dy\sqrt{v^2\sin^2\theta - 2gy} </math>

Impulsen langs ''y''-aksen er nå gitt som

: <math> p_y =  mv_y = {\partial W\over\partial y} = m \sqrt{v^2\sin^2\theta - 2gy} </math>

og blir null i en høyde ''y''<sub>''max''</sub> =  (''v''&thinsp;sin''&theta;'')<sup>2</sup>/2''g''&thinsp; der kvadratroten er null. I det punktet er ballens opprinnelige [[Kinetisk energi|kinetiske energi]] i ''y''-retningen gått over til ren [[potensiell energi]].

Ved å utføre integralet finner man virkningsfunksjonen som

: <math> W(x,y) = mvx\cos\theta - {m\over 3g}\big(v^2\sin^2\theta - 2gy\big)^{3/2} + {m\over 3g}(v\sin\theta)^3 </math>

Når den gis en serie med konstante verdier, vil den beskrive en serie krumme [[kurve]]r i ''xy''-planet. Ballen vil så bevege seg langs en [[parabel]] som overalt vil skjære disse kurvene [[vinkelrett]].

==Materiebølger==

På begynnelsen av 1920-tallet utforsket den franske fysiker [[Louis de Broglie]] muligheten for at partikler også kunne ha bølgeegenskaper på samme måte som lys. Det fikk han til å foreslå at en partikkel med energi ''E'' kan beskrives som en bølge med frekvens ''&nu; = E/h'' hvor ''h'' er [[Plancks konstant]]. Denne ide ble kort tid senere videreført av den østerrikske fysiker [[Erwin Schrödinger]] som så en sammenheng mellom disse [[Materiebølger|materiebølgene]] og bølgefrontene som finnes i Hamilton-Jacobi-ligningen.

Bølgen med amplitude ''&Psi;(**x**,t)'' for en partikkel med energi ''E'' vil da ha en bestemt vinkelfrekvens ''&omega; = 2&pi;&nu;'' slik at den har den harmoniske tidsavhengigheten

: <math> \Psi(\mathbf{x},t) = \psi(\mathbf{x}) e^{-i\omega t}  </math>

hvor ''i = &radic;(-1)'' er den [[imaginær enhet]]. Hvis man antar at disse bølgene oppfyller den vanlige [[bølge]]ligningen

: <math> \boldsymbol{\nabla}^2\Psi - {1\over u^2}\! \left({\partial\Psi\over\partial t}\right)^2 = 0 </math>

hvor nå ''u = E/p'' er [[fasefart|fasehastigheten]], vil funksjonen ''&psi;(**x*')* derfor måtte oppfylle den reduserte ligningen

:  \boldsymbol{\nabla}^2\psi + \Big({p\over\hbar}\Big)^2\psi = 0 

hvor det er naturlig å ha innføre den reduserte Planck-konstanten   *ħ = h/2π&thinsp;*. Men nå er for denne partikkelen *p<sup>2</sup> = 2m(E - V)* slik at ligningen kan skrives som

:  {-\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2\psi + V(\mathbf{x})\psi = E\psi 

Dette er den stasjonære Schrödinger-ligningen som viser seg å være riktig for å beskrive partikler på atomært nivå der kvantemekanikken erstatter den makroskopiske beskrivelsen. Man ser altså at klassisk mekanikk tilsvarer geometrisk optikk hvor de underliggende bølgeegenskapene ikke lenger viser seg.

## Se også
* Variasjonsregning
* Lagrange-mekanikk
* Virkningsprinsipp
* Hamiltons virkningsprinsipp
* Maupertuis' virkningsprinsipp

## Litteratur

* A. Sommerfeld, *Vorlesungen über Theoretische Physik, Band I: Mechanik*, Akademische Verlagsgellschaft, Leipzig (1964).
* H. Goldstein, *Classical Mechanics*, Addison-Wesley Publishing Company, New York (1959).
* L. N. Hand and J. D. Finch, *Analytical Mechanics*,  Cambridge University Press, England (2008).