Rekke (matematikk)

En **rekke** er i matematikk en sum av ledd i en følge.   En betegner rekken som henholdsvis endelig eller uendelig, avhengig av om antall ledd er endelig eller uendelig.

Dersom en uendelig rekke har en endelig sum sies rekken å være konvergent, ellers er den divergent.

Rekker opptrer i mange områder av matematikk, og studiet av rekker er en viktig del av matematisk analyse.  

## Formell definisjon
La \{ a_n \} være en følge.  En  rekke med *n*-te ledd lik a_n er definert som summen av alle *N* leddene i følgen, der *N* kan være endelig eller uendelig:

:s = \sum_{n=1}^N a_n \,  

Startindeksen for en rekke kan variere, tilsvarende som for en følge.

Til en uendelig følge \{ a_n \} kan en definere en assosiert følge \{ s_n \} der

:s_n = \sum_{i=1}^n a_i \,  

Dersom følgen \{ s_n \} konverger sier en at den uendelige rekken konverger, og 

:s = \sum_{n=1}^\infty a_n     \iff   s = \lim_{n \to \infty} s_n  

Leddet s_n kalles den *n*-te partialsummen til rekken. En alternativ definisjon av en rekkesum er gitt ved Cesàro-summering.

## Eksempler på rekker

### Eksempel 1: Aritmetisk rekke
En aritmetisk rekke er en rekke der differensen mellom leddene er konstant, det vil si at rekken er summen av en aritmetisk følge. Dersom det første leddet er *x*0 og *n*-te leddet er  , så er

:\sum_{n=0}^N x_n = \sum_{n=0}^N {(x_0 + nd)} = \frac{N+1}{2}(x_0 + x_N) = (N+1) x_0 + \frac{1}{2}N(N+1)d

En uendelig aritmetisk rekke er divergent.

### Eksempel 2: Geometrisk rekke
En geometrisk rekke er en rekke der forholdet mellom leddene er konstant, og en uendelig geometrisk rekke har formen:

:\sum_{n=0}^\infty {x^n}

Rekken konverger kun dersom absoluttverdien av *x* er strengt mindre enn 1, dvs dersom |*x*| \sum_{n=0}^\infty {x^n} = {1 \over {1 - x}}

En partialsum er gitt ved:

:\sum_{n=0}^N {x^n} = {1 - x^{N+1} \over {1 - x}}

### Eksempel 3: Harmonisk rekke
En harmonisk rekke er divergent

:\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}

Mer generelt vil den følgende rekken konvergere hvis og bare hvis p > 1:

:\sum_{n=1}^\infty {1 \over {n^p}}

### Eksempel 4
Den følgende rekken konvergerer for p > 1:

:\sum_{n=2}^\infty {1 \over {n (\log n)^p}}

### Eksempel 5: Eulertallet og eksponensialfunksjonen
Eulertallet e er ofte definert ved hjelp av den følgende  konvergente rekken:

:e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over {n !}}

Uttrykket i nevneren i brøken er n-fakultet.  Generelt kan  eksponentialfunksjonen defineres ved

:e^x = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}

### Eksempel 6: Endelige heltalsrekker
Summen av de *N* første naturlige tallene kan skrives som en endelig rekke, med et enkelt uttrykk for summen:

:\sum_{n=1}^{N} n = {N(N+1) \over 2}

Summen av de *N*  første kvadrattallene og kubikktallene kan skrives tilsvarende

:\sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{1}{6}N(N+1)(1 + 2N)     
  
:\sum_{n=1}^{N} n^3 = ( \sum_{n=1}^N  n)^2 

Summen av de *N*  første potensene av tallet 2:
 
:\sum_{n=0}^{N} 2^n = 2 \cdot 2^N - 1 

## Konvergens
En uendelig rekke vil konvergere bare dersom leddene utgjør en følge som konvergerer mot null.

En rekke \sum a_n sies å *konvergere absolutt* dersom rekken \sum | a_n | konvergerer.  Dersom \sum a_n konvergerer, mens \sum | a_n | divergerer, sies rekken å *konvergere betinget*.

Dersom \sum a_n og \sum b_n er to rekker av reelle positive tall, så siest den siste rekken å *konvergere langsommere* enn den første dersom 

:\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n} = \infty  

## Konvergenskriterier
Det eksisterer en rekke kriterier for å bestemme når en uendelig rekke er konvergent, uten krav til at en kjenner summen som rekken konverger mot.

### Forholdskriteriet
En rekke \sum a_n av reelle tall der alle leddene er ulik null, konvergerer absolutt dersom det eksisterer et reelt tall *q* mindre enn 1 og et naturlig tall *N* slik at

:\left | { a_{n+1} \over a_n } \right | \le q \ \mbox{for } n \ge N 

### Rotkriteriet
En rekke \sum a_n av reelle tall konvergerer absolutt dersom det eksisterer et reelt tall *q* mindre enn 1 og et naturlig tall *N* slik at

:\sqrt{ | a_n |}  \le q \ \mbox{for } n \ge N 

## Alternerende rekker
Alternerende rekker er rekker der leddene veksler fortegn, det vil si at annenhvert ledd er positivt negativt. 

Leibniz’ kriterium for alternerende rekker sier at rekken

:\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n 

er konvergent dersom  \{a_n\} er en monotont minkende følge av positive tall som konvergerer mot null.  Den følgende rekken er for eksempel konvergent:

:\sum_{n=1}^\infty (-1)^n {1 \over n} 

## Potensrekker
Potensrekker er rekker der leddene er relle eller komplekse tall, på forma

:\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n

Her er *c* kalt senter for rekken og a_n er koeffisientene.   En potensrekke vil generelt konvergere eller divergere avhengig av valg av variablene *x*, som kan være et vilkårlig reelt eller komplekst tall.  Til en hver potensrekke er det assosiert en *konvergenssirkel* i det komplekse planet, slik at rekken konverger dersom *x* ligger innenfor sirkelen.  Konvergenssirkelen har sentrum i *c*.  Radiusen til konvergenssirkelen kalles konvergensradiusen.

Rekken i det følgende eksempelet har konvergensradius lik 1:

:\sum_{n=1}^\infty (-1)^n {x^n \over n} 

## Taylorrekker og maclaurinrekker
:*Utdypende artikkel: [[Taylorrekke]]
En taylorrekke for en uendelig mange ganger deriverbar reell funksjon *f(x)* er en potensrekke med sentrum i et vilkårlig verdi *c* på forma

:<math>p_n(x) = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} f^{(n)}(c)(x - c)^n </math>

Her er den n-te deriverte av funksjonen betegnet med <math>f^{(n)}</math>. 

For argument innenfor konvergensradiusen til taylorrekken vil 

:<math>f(x) = p_n(x) \, </math>

En taylorrekke med senter i null kalles en  maclaurinrekke.

== Se også ==
* [[Abels teorem]] for potensrekker
* [[Grandis rekke]]
* [[Logaritme#Rekkeutviklinger for logaritmefunksjonen| Logaritmer]] – Seksjonen *Rekkeutviklinger for logaritmefunksjonen* 
* [[Niels Henrik Abel#Uendelige rekker| Niels Henrik Abel]] – Seksjonen *Uendelige rekker*

==Litteratur==
* 
* 
* 
* 
* 
*Sandvold, Øgrim, Bakken, Pettersen, Skrindo, Thorstensen, Thorstensen: *Gyldendals formelsamling i matematikk'', 1.utg. 2008,Gyldendal, ISBN 978-82-05-38499-6
*