Masseenergiloven

**Masseenergiloven** relaterer energien *E* til et legeme eller et system av partikler til en ekvivalent masse *m*. Omvendt kan man for en gitt masse regne ut en ekvivalent mengde energi. Albert Einstein utledet denne sammenhengen i 1905 ved å betrakte en spesiell prosess hvor et legeme taper energi ved å sende ut stråling. På matematisk form er resultatet  senere blitt kjent som 

:   E = mc^2 

der *c* er lysets hastighet i vakuum. Denne ligningen er en konsekvens av Einsteins spesielle relativitetsteori hvor energi er mer presist definert enn i Newtons fysikk.  Riktig bruk av formelen forutsetter at man har en klar forståelse av  begrepene masse og energi i denne sammenhengen.

I sine første arbeid brukte Einstein bokstaven *V* for lyshastigheten da den var brukt av Maxwell. Masseenergiloven hadde derfor opprinnelig formen . Men tidligere hadde Paul Drude innført notasjonen *c* som flere andre, tyske fysikere etter hvert hadde adoptert. Et par år senere benyttet også Einstein konsekvent denne notasjonen i alle sine arbeid.

## Historie

Selv om andre tidligere hadde foreslått en sammenheng mellom masse og energi var Albert Einstein den første som korrekt utledet denne ligningen. Han betraktet et legeme med masse *M* som ligger i ro i et bestemt referansesystem. Det avgir så en energimengde *E* som stråling i form av to halvdeler som forsvinner i hver sin motsatt retning. Etter utsendelsen ligger derfor legemet fremdeles i ro. 

Einstein betrakter så denne prosessen fra et annet referansesystem som beveger seg med en viss hastighet *v << c* i strålingsretningen. I dette systemet vil da legemet se ut til å bevege seg med motsatt hastighet og derfor med kinetisk energi *Mv<sup>2</sup>/2*. Også etter at strålingen har forsvunnet, vil det forsatt bevege seg med denne hastigheten. Men den ene halvdelen *E/2* av strålingen vil få en rødforskyving og den andre halvdelen *E/2* en blåforskyvning som resultat av Doppler-effekten. Energien som forsvinner som stråling, blir da litt større enn *E* i dette systemet. Da hastigheten til legemet er uforandret, vil bevarelse av den totale energien medføre at massen  til legemet etter emisjonen er blitt redusert med  *&Delta;M = E/c<sup>2</sup>*. Strålingsenergien er en manifestasjon av en ekvivalent reduksjon av massen til legemet. 

Allerede i dette arbeidet spekulerer Einstein på om denne oppdagelsen kan undersøkes i radioaktive prosesser. Den nye sammenhengen han hadde funnet mellom energi og masse, var en direkte konsekvens av den spesielle relativitetsteorien han hadde publisert tidligere samme år.

### Einsteins boks

Året etter at Einstein publiserte denne utledningen, presenterte han et nytt tankeeksperiment som resulterte i samme formel. Han tenkte seg en boks eller liten kasse med masse *M* som ligger i ro. Fra den venstre endeveggen sendes det ut en liten, kortvarig puls med stråling *E* som beveger seg vannrett mot den andre endeveggen.  Ifølge Maxwells teori for det elektromagnetisk stråling resulterer denne utstrålingen i at boksen mottar en rekyl med impuls *p = E/c*. Den får dermed  et lite dytt til venstre med hastighet *v = E/Mc*. 

Da ingen ytre krefter virker på dette systemet, må det ligge i ro under denne prosessen. Det betyr at det felles tyngdepunktet for boksen og strålingen ikke flytter seg. I et lite tidsrom *&Delta;t* flytter boksen seg *&Delta;x = v&Delta;t* til venstre. I det samme tidsrommet har pulsen beveget seg en avstand *c&Delta;t* til høyre. For at tyngepunktet for dette systemet ikke forandrer seg, må derfor strålingen tilskrives en masse *m* slik at *M&Delta;x = mc&Delta;t*. Boksens masse *M* og *&Delta;t* kansellerer ut og man står igjen med ligningen *m = E/c<sup>2</sup>*. Litt senere treffer pulsen den motsatte endeveggen og boksen blir igjen liggende i ro.

### Relativistisk energi og impuls

Den spesielle relativitetsteorien ble videreført gjennom  arbeider på samme tid av Max Planck og Hermann Minkowski. De viste at energi  *E*  og  impuls *p* (bevegelsesmengde) for en partikkel måtte defineres på nytt og vil variere med hastigheten på en annen måte enn i Newtonsk fysikk. I alminnelighet er de forbundet ved formelen

:   E^2 = p^2c^2 + m^2c^4 

hvor *m* er partikkelens trege masse. For impulser *p << mc* gir denne at *E = mc<sup>2</sup> + p<sup>2</sup>/2m*. Her er det siste leddet den vanlige, kinetiske energien til partikkelen. Men første ledd er nytt og representerer dens intrinsikke energi  *E<sub>0</sub>&thinsp;*.

I partikkelens hvilesystem definert ved *p = 0*, har den kun denne energien *E<sub>0</sub> = mc<sup>2</sup>*.  Omtrent samtidig rundt 1907 skriver Einstein en lengre artikkel om relativitetsteorien. Der sier han at enhver masse har et energiinnhold gitt ved denne formelen. I årene som følger blir det klart at sammenhengen mellom energi, impuls og masse som er utledet for partikler, gjelder for alle legemer, store som små. Men de må bevege seg fritt slik at de har en veldefinert impuls.

## Bevarelse av masse og energi

I Newtonsk fysikk beveger alle partikler og legemer seg med lave hastigheter *v << c*.  Effektene fra relativitetsteorien gir seg derfor ikke noen merkbare utslag. Ifølge termodynamikkens første hovedsetning er den totale energien for et isolert system bevart på samme måte som at den totale impulsen til alle partiklene i systemet også må være konstant. Men i denne "ikke-relativistiske" grensen er også massen til hver enkelt partikkel bevart. Forskjellige grunnstoffer kan gjennomgå kjemiske reaksjoner og danne nye stoffer, men ingen masse vil gå tapt eller oppstå.

Fra relativitetsteorien følger at kun den totale energi og impuls for et system er bevarte størrelser. De utgjør komponentene til en kovariant firervektor og oppfyller den generelle relasjonen gitt over.  Bevarelse av energi og impuls sammenfattes da i at den totale 4-impulsen til systemet er bevart. Da relativistisk energi er definert på en mer generell måte, betyr nå bevarelse av energi at massen som inngår i en prosess eller reaksjon, ikke lenger behøver å være konstant. 

### Eksperimentelt bevis

Innholdet av masseenergiloven ble første gang eksperimentelt verifisert av John Cockcroft og Ernest Walton i 1932. De utviklet en av verdens første partikkelakselratorer som gjorde det mulig å produsere protoner med energier opp til flere hundre kiloelektronvolt (keV). Eksperimentet besto i å sende disse mot materiale som inneholdt lithium 7Li. Da kunne de observere at to ''&alpha;''-partikler
ble skapt ifølge kjernereaksjonen

:  {}^{1}\mathrm {H} + {}^{7}\mathrm {Li} \to {}^{4}\mathrm {He} + {}^{4}\mathrm {He}  

Dette var første gang at et atom ble splittet på kunstig vis. Hver av *&alpha;*-partiklene hadde med god nøyaktighet energien 8.5 MeV og beveget seg bort fra kollisjonspunktet tilnærmet i motsatt retning. Det skyldes at massen til denne lithiumisotopen *M*&thinsp;(7Li) = 7.0160&thinsp;u målt i  atommasseenheter u og er derfor en god del tyngre enn massen til den innkommende H-kjernen. 

Mens massen til et H-atom er *M*&thinsp;(1H) = 1.0078&thinsp;u, har en alfapartikkel med sine to elektroner massen *M*&thinsp;(4He) = 4.0026&thinsp;u, Massseforskjellen mellom partiklene i begynnelsestilstand og sluttilstanden av reaksjonen er derfor

:  \Delta M =  (1.0078 + 7.0160 - 2\times 4.0026)\text{u} = 0.0186\,\text{u} 

Da 1&thinsp;u = 931&thinsp;MeV/*c*2, betyr det at den frigjorte energien i reaksjon vil være

:  \Delta E = \Delta M c^2 = 0.0186 \times 931\, \text{MeV}  = 17.3\, \text{MeV} 

ifølge Einstein. Og dette er med god tilnærmelse summen av de kinetiske energiene til de to alfapartiklene som ble observert i reaksjonen.

### Radioaktivt henfall

Som et enkelt eksempel på hvordan masse kan konverteres til av energi, er det instruktivt å betrakte et radioaktivt henfall *A &rarr; B + C*. Her er *A* en ustabil atomkjerne eller elementærpartikkel som opprinnelig ligger i ro med masse *M<sub>A</sub>*. Den henfaller til *B* og *C* med total masse *M<sub>B</sub> + M<sub>C</sub>* som antas å være litt mindre enn den opprinnelige massen *M<sub>A</sub>*. Disse to partiklene vil bevege seg bort fra hverandre med impulser **p** og **- p** som følger fra bevarelse av 3-impulsen. Samtidig skal energien være den samme før og etter henfallet. Det betyr at . Setter man inn her det ikke-relativistiske uttrykket for de to energiene, finner man

:   (M_A - M_B - M_C)c^2 = {p^2\over 2M_B} + {p^2\over 2M_C} 

Høyre side representerer den kinetiske energien *&Delta;E* = *&Delta;M&thinsp;c*2 hvor  er massen som er blitt borte i henfallet. På samme måte kan man forklare de store energimengder som frigjøres i andre kjernefysiske prosesser,

## Bruk og begrensninger

Ved å bruke massenergiloven kan vi finne ut f.eks. hvor mye energi en tomat på 0,1 kilogram tilsvarer. Ved å sette inn verdien  for lyshastigheten, finner man at den inneholder nesten 9 PJ (9&times;1015 joule). Til sammenlikning vil en tomat gi fra seg én joule til underlaget dersom man slipper den fra én meters høyde. Men denne enorme energimengden i form av masse kan ikke uten videre utnyttes til praktiske formål. Det nærmeste man er kommet, er i kjernefysiske prosesser hvor en liten brøkdel kan frigjøres.

Den mest synlige bruk av loven er kanskje hvordan massen til atomkjerner og elementærpartikler blir oppgitt i energienheten elektronvolt. For eksempel er massen til et nøytron *M<sub>n</sub>* = 939,57 MeV/c2 og til et proton *M<sub>p</sub>* = 938,27 MeV/c2. I betahenfall hvor et nøytron forvandles til et proton ved utsendelse av et elektron og et nøytrino, vil disse to partiklene derfor ha energien *&Delta;E = (M<sub>n</sub> - M<sub>p</sub>)c<sup>2</sup>* = 1,30 MeV.  Dette siste eksempelet viser hvordan henfall av en partikkel kan gi energi til nye partikler eller stråling ved at massen avtar. Omvendt kan stråling skape masse. For eksempel, to fotoner som kolliderer ved tilstrekkelig høy energi, kan skape et elektron og et positron eller andre massive partikler. 

Masseenergiloven ser ut til å si at masse og energi er to sider av samme sak.  Et legeme med masse *M* har i sitt hvilesystem energien . Hvis dette legemet er en elastisk fjær og den strekkes, vil dens potensielle energi økes. Det er det samme som at den indre energien *E<sub>0</sub>* er blitt litt større og dermed er også fjærens masse *M* blitt større. Under normale forhold er denne økningen selvsagt umerkelig liten. Energi er alltid bevart, men kan manifistere seg i forskjellige former. Det kan være som stråling, potensiell eller kjemisk energi - eller som masse.

Men man kan ikke si at et foton har masse selv om det alltid har en energi. Massen til et foton er alltid lik null. Det har heller ikke noe hvilesystem. Er frekvensen *&nu;* og bølgelengden *&lambda;*, har det energien *E = h&nu;* og impulsen *p = h/&lambda;* hvor *h* er Plancks konstant. Innsatt i den relativistiske formelen som forbinder dem, gir det *m = 0* da *&lambda;&nu; = c*. Feil bruk av formelen ville derfor være å si at massen til fotonet er .

### Gravitasjonell og relativistisk masse

Strålingspulsen med energi *E* som blir sendt ut i Einsteins boks, måtte tilskrives en masse *m = E/c<sup>2</sup>*. Dette synes å være i motstrid med at massen til fotonet alltid er null. Men i 1906 da Einstein presenterte dette argumentet, var det ennå uklart om fotonet virkelig var en normal partikkel med en bestemt impuls. Derfor snakket man på den tiden heller om stråling beskrevet ved Maxwells ligninger. 

Ifølge ekvivalensprinsippet er treg og gravitasjonell mass en og den samme. Det er derfor forståelig at Einstein noen år senere kom frem til at lys skulle avbøyes i gravitasjonsfeltet fra Solen som ville virke på denne massen. Men da han senere hadde utviklet sin generelle relatvitetsteori, ble det klart at den observerte lysavbøyningen skyldes at rommet rundt Solen er krummt. Fotonet har ingen masse.

I argumentet med Einsteins boks inngår også en ikke-relativistisk definisjon av massesenteret for boksen og strålingen. I dag defineres *massesentersystemet* som et inertialsystem hvor den totale 3-impulsen er lik null. Prosessen i boksen består da av stråling (eller ett foton) med impuls  som blir sendt mot høyre samtidig som boksen mottar en motsatt impuls som gir den en rekyl til venstre. Den totale impulsen er fremdeles lik null og derfor bevart. Det er ikke lenger nødvendig å tilordne noen masse til strålingen.

Hvis Einsteins boks varmes opp, vil den fylles med termisk stråling som består av fotoner. Denne strålingen vil bidra til at energien til boksen øker. Det er denne totale energien som skal benyttes for å regne ut den ekvivalente massen som den varme boksen har hvis man for eksempel skal beregne gravitasjonsfeltet rundt den. Så i dette tilfellet gir fotonene en gravitasjonell effekt. I boksens massesentersystem har denne strålingen kun energi, ikke noen impuls. I Einsteins generelle relativitetsteori er denne innsikt utviklet til sin fulle konsekvens. Gravitasjon oppstår ikke lenger på grunn av masse alene som i Newtons teori, men av  energi beskrevet ved energi-impulstensoren. Denne inneholder informasjon om energi og impulsinnholdet i all materie, partikler og stråling.

Det relativistiske uttrykket for energien til en partikkel som beveger  med hastighet *v*, kan skrives som  hvor
 er Lorentz-faktoren. I mange eldre lærebøker og vitenskapelige arbeider er derfor *&gamma;m* omtalt som partikkelens *relativistiske masse* som så kan benyttes i masseenergiloven. Massen *m* vil da være en *hvilemasse*. Men dette begrepet er omstridt da det er ofte uklart hvordan det skal benyttes i andre sammenhenger. I dag sier man derfor at en partikkel har en bestemt masse uten å kvalifisere det med at hvilemassen menes. Massen til en elementærpartikkel er entydig og oppstår gjennom Higgs-mekanismen.

## Referanser


## Litteratur

* M. Born, *Einstein's Theory of Relativity*, Dover Publications, New York (1962).
* E. F. Taylor and J. A. Wheeler, *Spacetime Physics*, W. H. Freeman and Company, San Francisco (1963).
* R. Resnick, *Introduction to Special Relativity*, John Wiley & Sons, New York (1968).

## Eksterne lenker
* YouTube, Einstein forklarer sin formel E = mc<sup>2</sup> (Youtube)