Cevas setning

**Cevas setning** er et teorem i geometrien som omhandler en bestemt egenskap ved en trekant. Hvis man trekker linjer gjennom hvert hjørne av trekanten, gir det en betingelse som må være oppfylt for at de tre linjene skal gå gjennom ett og samme punkt. Det ble oppdaget av den italienske matematikeren Giovanni Ceva på 1600-tallet, men var tidligere kjent i den arabiske verden. 

La hjørnene til trekanten ligge i punktene *A*, *B* og *C*. Trekker man rette linjer gjennom dem, vil de skjære de motsatte sidene i punktene *D*, *E* og *F*. Hver slik linje kalles for en **cevian**. Hvis den treffer den motsatte siden i dens midtpunkt, blir den en median.

Cevas setning sier at de tre cevianene i trekanten *ABC* skjærer hverandre i et bestemt punkt *O*&thinsp; hvis og bare hvis de deler de motstående sidene slik at betingelsen

: \frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1 

er oppfylt. I euklidsk geometri er hver brøk som for eksempel *AF/FB*, gitt ved forholdet mellom lengdene til linjestykkene *AF* og *FB*. Men denne setningen er mer generelt gyldig i affin geometri hvor den samme brøken er entydig gitt ved det tilsvarende delingsforholdet.

Oppdagelsen av dette teoremet gjorde Ceva i forbindelse med beregninger av tyngdepunktene til masser i forskjellige, geometriske konfigurasjoner. I samme forbindelse gjennoppdaget han også Menelaos' teorem som var blitt formulert omtrent fem hundre år tidligere. Det gir en tilsvarende betingelse for at tre punkter på sidene til en trekant ligger på en rett linje.

## Geometrisk bevis

Setningen omhandler kun punkter, linjer gjennom disse og skjæringspunkter mellom disse igjen. Den kan derfor bevises i affin geometri som er mer generell enn euklidsk geometri. Beviset for dens gyldighet blir da også enklere og automatisk også gyldig i euklidsk geometri.

Hvis de tre linjene skjærer hverandre i *O*, kan man angi det ved å benytte barysentriske koordinater basert på de tre hjørnepunktene  *A*, *B* og *C*&thinsp; til trekanten. Kaller man disse koordinatene for (*a,b,c*), vil da &thinsp; hvor . Hvis man nå betrakter for eksempel linjen fra hjørnet *A*, så vil dets skjæringspunkt *D* med motsatt side ligge på linjen mellom hjørnene *B* og *C*.  Da vil skjæringspunktet *O* ligge på linjen mellom *A* og *D*&thinsp; slik at man må ha at . Det betyr at . Dermed er størrelsen på delingsforholdet (*B,C;D*), som angir hvordan *D* deler linjestykket *BC*, gitt ved

:  {BD\over DC} = {c\over b} 

Ved samme betraktning for de andre hjørnene, finner man at *CE*/*EA* = *a*/*c*&thinsp; og *AF*/*FB* = *b*/*a*. Cevas setning følger nå ved å multiplisere disse tre delingsforholdene sammen.

## Mekanisk bevis

Giovanni Ceva kom frem til sin setning ved en beregning av tyngdepunktet til tre masser *m<sub>A</sub>, m<sub>B</sub>*&thinsp; og *m<sub>C</sub>*&thinsp; plassert i punktene *A*, *B* og *C*. Denne kan gjøres for eksempel ved å først finne tyngdepunket for massene  *m<sub>A</sub>*&thinsp; og *m<sub>B</sub>*&thinsp;. Det må ligge på linjestykket *BC* i et punkt *D* bestemt ved . Alle tre massene må derfor ha et felles tyngdepunkt liggende på linjen *AD* hvor punktet *D* oppfyller

:     {m_C\over m_B} = {BD\over DC}   

Ved å kombinere i stedet massene *m<sub>C</sub>*&thinsp; og *m<sub>A</sub>*, vil de ha et felles tyngepunkt *E* bestemt ved  . Likedan vil massene  *m<sub>A</sub>*&thinsp; og *m<sub>B</sub>*&thinsp; ha felles tyngepunkt *F* bestemt ved . Tyngepunktet for alle tre massene må derfor også ligge på linjene *BE* og *CF*. Og da dette må være ett bestemt punkt, betyr det at de tre linjene *AD*, *BE* og *CF* må alle gå gjennom samme punkt *O*. Betingelsen til Ceva følger nå fra produktet (*m<sub>B</sub>*/*m<sub>A</sub>*)&sdot;(*m<sub>C</sub>*/*m<sub>B</sub>*)&sdot;(*m<sub>A</sub>*/*m<sub>C</sub>*) = 1.

Dette mekaniske beviset forklarer hvorfor koordinatene benyttet i det geometriske beviset, blir omtalt som *barysentriske* da de kan identifiseres med de fiktive massene som inngår her.

## Noen konsekvenser

Den enkleste anvendelse av Cevas setning er beviset for at medianene i en trekant går gjennom et felles punkt. Hver slik median er definert som linjestykket fra et hjørne til midtpunktet av motsatte side. Da vil alle forholdene ,  og  slik at betingelsen til Ceva er oppfylt. De tre medianene går derfor gjennom punktet *O*.  Det er tyngdepunktet til trekanten når like masser er plassert i hvert hjørne.

### Ortosenter

En høyde i en trekant er definert ved et linjestykket fra et hjørne som står normalt eller *vinkelrett* på motsatte side. For en slik høyde vil da punktet *D* ligge slik at trekantene *ACE* og *BCE* er likeformede. Det gir at *CE/DC = BE/AD*. På samme måte vil da også *AF*/*EA* = *CF*/*BE* og *BD*/*FB* = *AD*/*CF*. Ved å multiplisere disse tre forholdene sammen resulterer . Cevas betingelse er derfor oppfylt. Det betyr at de tre høydene går gjennom et felles punkt  som vanligvis kalles trekantens *ortosenter*.

### Halveringslinjer

En halveringslinje fra hjørnet *A* halverer vinkelen mellom sidene *AB* og *AC* i trekanten. Ifølge halveringslinjesetningen vil den da skjære motstående side i et punkt *D* slik at . På samme måte vil halveringslinjen fra hjørnet *B* skjære siden *CA* i et punkt *E* slik at  og likedan fra hjørnet *C* som gir . Multipliseres disse tre forholdene sammen, finner man at Cevas betingelse  er oppfylt.

## Litteratur

* A. Søgaard og R. Tambs Lyche, *Matematikk for den høgre skolen*, vol I, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).
* D. Pedoe, *Geometry: A Comprehensive Course*, Dover Publications, New York (2013). ISBN  1-306-340551.

## Eksterne lenker

* Cut the Knot, Ceva's theorem, på engelsk.