Landés g-faktor

**Landés g-faktor** er en numerisk størrelse som benyttes i atomfysikk til å angi størrelsen av det magnetiske momentet til et atom i forhold til dets kvantemekaniske spinn. Da et atomet kan befinne seg i forskjellige kvantetilstander, vil *g*-faktoren i alminnelighet avhenge av kvantetallene til den tilsvarende tilstanden. Man kan også på analogt vis tilordne forskjellige atomkjerner og elementærpartikler en slik faktor.

For et atom i en gitt tilstand med magnetisk moment ***&mu;'''&thinsp;'' og totalt [[spinn]] '''J''', defineres Landés ''g''-faktor ved sammenhengen

: <math> \boldsymbol{\mu} = - {eg\over 2m_e}\mathbf{J} </math>

hvor -''e'' er [[elektron]]s [[elektrisk ladning|elektriske ladning]] og ''m<sub>e</sub>&thinsp;'' dets masse. Den er derfor et dimensjonsløst tall. På grunn av minustegnet peker de to [[vektor (matematikk)|vektorene]]  ***&mu;**&thinsp;'' og **J** i motsatt retning.

Et [[nukleon]] eller atomkjerne har et magnetisk moment som kan skrives på tilsvarende måte. Men i definisjonen må da elektronets ladning -''e'' erstattes med [[proton]]ets ladning +''e'' og  ''m<sub>e</sub>&thinsp;'' med protonets masse  ''m<sub>p</sub>''. Selv om [[nøytron]]et har null elektrisk ladning, har det likevel et magnetisk moment og en ''g''-faktor definert på denne måten. For begge nukleonene skyldes deres ikke-trivielle ''g''-faktorer bevegelsen til [[kvark]]ene inni dem.

I [[klassisk fysikk]] vil et magnetiske moment som skyldes bevegelsen til en ladning i en lukket bane med en gitt [[dreieimpuls]], alltid medføre at ''g'' = 1. Det tilsvarer at det magnetiske momentet vil [[presesjon|presessere]] med [[magnetisk moment#Larmor-presesjon|Larmor-frekvensen]] i et ytre [[magnetfelt]]. Men i [[kvantemekanikk]]en vil elektronets [[spinn|egenspin]] ''s'' = 1/2  ha som konsekvens at ''g'' = 2 og kan beskrives ved [[Pauli-ligning]]en. Dette resulterte i at de magnetiske momentene til atomene som kan observeres i den [[Zeeman-effekt#Anomal Zeeman-effekt|anomale Zeeman-effekten]], i lang tid var vanskelig å forstå. Dette ble først oppklart rundt 1922 av den tyske fysiker [[Alfred Landé]] som innførte ''g''-faktoren og har fått sitt navn knyttet til den. Hans bidrag var dermed også avgjørende for den fundamentale oppdagelsen av elektronets spinn.

==Spinn i magnetfelt==

Når man beskriver  et [[elektron]] i et atom ved bruk av [[kvantemekanikk]],  har det et orbitalt spinn eller [[Kvantisert dreieimpuls|dreieimpuls]] **L** med en størrelse gitt ved det heltallige [[kvantetall]]et  ℓ = 0, 1, 2, ... og et [[spinn|intrinsikt spinn]] **S** gitt ved spinnkvantetallet ''s'' = 1/2. Det totale spinnet til elektronet er derfor gitt ved summen

: <math> \mathbf{J} =  \mathbf{L} +  \mathbf{S} </math>

som også er et kvantisert spinn karakterisert ved kvantetall ''j'' = ℓ &plusmn; 1/2. Det tar derfor halvtallige verdier. Hvis atomet befinner seg i et ytre [[magnetfelt]] **B** i ''z''-retning, har det totale spinnet **J** en komponent ''J<sub>z</sub>''&thinsp; i denne retningen gitt ved det magnetiske kvantetallet ''m''. Det kan ta 2''j'' + 1 ekvidistante verdier fra -''j&thinsp;'' til +''j&thinsp;''. Denne fremstillingen av spinnet er et resultat av å betrakte de to vektorene **L** og **S** som [[kvantemekanikk|kvantemekaniske operatorer]]. Dermed vil også **J** være en slik spinnoperator. 

Klassisk forestiller man seg en slik addisjon av spinn ved at de to vektorene  **L** og **S** [[presesjon|presesserer]] rundt en akse gitt ved resultanten **J**. Det tilsvarer at det er kun kvantetallene ''m<sub>ℓ</sub>&thinsp;'' og  ''m<sub>s</sub>&thinsp;'' for komponentene ''L<sub>z</sub>&thinsp;'' og ''S<sub>z</sub>&thinsp;'' med ''m'' = ''m<sub>ℓ</sub>'' + ''m<sub>s</sub>&thinsp;'' som kan spesifiseres.

I et ytre magnetfelt **B** vil elektronet i atomet få en [[Pauli-ligning|tilleggsenergi]]

: <math> E_B =  {e\over 2m_e}(\mathbf{L} + 2\mathbf{S})\cdot\mathbf{B} </math>

som er proporsjonal med ''L<sub>z</sub>'' + 2''S<sub>z</sub>&thinsp;'' når magnetfeltet er langs ''z''-aksen. Tallet ''g<sub>e</sub>'' = 2 foran spinnvektoren **S** er ''g''-faktoren til elektronet og er i virkeligheten en [[spesiell relativitetsteori|relativistisk]] effekt som kommer fra [[Dirac-ligning]]en. Det er denne fundamentale egenskapen ved elektronet som gjør de magnetiske egenskapene til atomet så kompliserte.

==Klassisk vektormodell==

Hvis elektronet i atomet er i en tilstand som kan spesifiseres med de to kvantetallene ''j&thinsp;'' og ''m'' for det totale spinnet **J**,  har ikke komponentene ''L<sub>z</sub>&thinsp;'' og ''S<sub>z</sub>&thinsp;'' fikserte verdier. Men benytter man en klassisk beskrivelse, kan de finnes fra projeksjonene av vektorene **S** og **L** på resultantvektoren **J**. Det gir

: <math> L_z = {\mathbf{J}\cdot\mathbf{L}\over \mathbf{J}^2}J_z \; \;\; S_z = {\mathbf{J}\cdot\mathbf{S}\over \mathbf{J}^2}J_z </math>

Ved å benytte at   **J**&sdot;**L** = **J**<sup>2</sup> - **J**&sdot;**S**, finner man dermed at 

: <math> E_B =  {e\over 2m_e}\Big(1 + {\mathbf{J}\cdot\mathbf{S}\over \mathbf{J}^2}\Big)J_z B </math>

Dette kan videre forenkles ved å bruke **L**<sup>2</sup>  =  **J**<sup>2</sup>  - 2**J**&sdot;**S** + **S**<sup>2</sup> som gir

: <math> E_B  = {e\over 2m_e}\Big(1  +  {\mathbf{J}^2 +  \mathbf{S}^2 -  \mathbf{L}^2\over  2\mathbf{J}^2} \Big) J_z B </math>

Sammenligner man dette resultatet med det klassisk uttrykket 

: <math> E_B = - \boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B} </math>

for energien til et [[magnetisk moment]] ***&mu;*** i et ytre magnetfelt **B**, er det naturlig å skrive dette som

: <math> \boldsymbol{\mu} = - {eg\over 2m_e}\mathbf{J} </math>

hvor den klassiske ''g''-faktoren er

: <math> g = 1  +  {\mathbf{J}^2 +  \mathbf{S}^2 -  \mathbf{L}^2\over  2\mathbf{J}^2} </math>

Formen til dette resultatet viser seg å beholdes når man forlater denne klassiske vektormodellen og gjør bruk av en mer korrekt, [[kvantemekanikk|kvantemekanisk]] beskrivelse.

==Kvantemekanikk==
Den klassiske formen til uttrykket for ''g''-faktoren vil bli bevart ved overgang til [[kvantemekanikk]] da det er basert på den lineære sammenhengen mellom vektoroperatorene **L**, **S** og **J**. Men størrelsen av dem vil være bestemt ved de tilsvarende kvantetallene. For en tilstand spesifisert ved kvantetallene ''j&thinsp;'' og ''m'', vil **J**<sup>2</sup> være gitt som  hvor ''ħ'' er den reduserte [[Plancks konstant|Planck-konstanten]], mens ''J<sub>z</sub>&thinsp;'' tar verdiene ''mħ''. Tilsvarende gjelder for  **L**<sup>2</sup> og  **S**<sup>2</sup> uttrykt ved sine kvantetall ℓ og ''s'', det vil si   og . Derimot har komponentene  ''L<sub>z</sub>&thinsp;'' og ''S<sub>z</sub>&thinsp;'' ingen bestemte verdier i en slik tilstand spesifisert med kvantetallene  ''j&thinsp;'' og ''m''.

Det kvantemekaniske uttrykket for ''g''-faktoren blir dermed

: <math> g_j =  1 + \frac{\,j(j+1) +s(s+1) - \ell(\ell+1)}{2j(j+1)} </math>

For et elektron er ''s'' = 1/2 slik at  ''s''(''s'' + 1) = 3/4. De to tilstandene med ''j'' = ℓ &plusmn; 1/2 har derfor ''g''-faktorer som i begge tilfellene kan skrives som

: <math> g_j = {2j+1\over 2l+1} </math>

Som et enkelt eksempel, kan man betrakte ''p''-tilstander som er karakterisert ved orbitalt spinn ℓ = 1. Tilstanden P<sub>1/2</sub> med ''j'' = 1/2, har derfor , mens tilstanden   med  har .

===Clebsch-Gordan-koeffisienter===

Egentilstandene for spinnoperatoren **J** kan uttrykkes ved egentilstandene for operatorene **L** og **S** ved bruk av «Clebsch-Gordan-koeffisienter». Mens de første kan betegnes ved <math> |j,m\rangle</math> der

: <math> \mathbf{J}^2|j,m\rangle = j(j+1)\hbar^2 |j,m\rangle , \;\;\; J_z |j,m\rangle = m\hbar |j,m\rangle </math>,

kan de andre skrives som <math> |\ell,s;m_\ell,m_s\rangle </math> med tilsvarende egenverdier for  **L**<sup>2</sup>, **S**<sup>2</sup>, ''L<sub>z</sub>&thinsp;'' og ''S<sub>z</sub>'' som tar verdiene ''m<sub>s</sub>'' = &plusmn;1/2 for elektronspinn ''s'' = 1/2. [[Kvantisert dreieimpuls#Addisjon av dreieimpulser|Egentilstandene]] for gitt totalspinn ''j'' = ℓ &plusmn; 1/2 er da

: <math>\begin{align} |j = \ell + 1/2,m\rangle &= \sqrt{\ell + m +1/2\over 2\ell + 1} |\ell,s;m - 1/2, 1/2 \rangle  + \sqrt{\ell - m +1/2\over 2\ell + 1} |\ell,s;m + 1/2, -1/2 \rangle \\ 
 |j = \ell - 1/2,m\rangle &= - \sqrt{\ell - m +1/2\over 2\ell + 1} |\ell,s;m - 1/2, 1/2 \rangle  + \sqrt{\ell + m +1/2\over 2\ell + 1} |\ell,s;m + 1/2, -1/2 \rangle \end{align} </math>

Den magnetiske energien til elektronet er gitt ved matriseelementet av operatoren   i disse to tilstandene. Mens ''J<sub>z</sub>&thinsp;'' ganske enkelt gir ''mħ'', kan matriselementet av ''S<sub>z</sub>'' nå  også regnes nøyaktig ut,

: <math> \begin{align}\langle j = \ell \pm 1/2, m\rangle |S_z | j = \ell \pm 1/2,m \rangle &= \hbar {(\ell \pm m + 1/2) (+1/2) + (\ell \mp m + 1/2)(-1/2)\over 2\ell + 1}\\ 
 &= \pm \hbar {m\over 2\ell + 1} \end{align} </math>

De forskjellige projeksjonene av spinnvektorene i den klassiske beskrivelsen erstattes derfor med kombinasjoner av kvadrerte Clebsch-Gordan-koeffisienter når man bruker kvantemekanikk. Men resultatet for ''g''-faktoren

: <math> g_{j = \ell \pm 1/2} = 1 \pm {1\over 2\ell + 1} = {2j + 1\over 2\ell + 1} </math>

er det samme for denne med bare et elektron som kobler til magnetfeltet.

==Atom med mange elektroner==

På grunn av [[Paulis eksklusjonsprinsipp]] vil [[elektronskall|lukkete skall]] med elektroner i et atom ikke bidra til dets totale spinn. Det skyldes bare elektroner i ikke-fulle skall og da ofte [[valenselektron]]ene. Hvert slikt elektron vil ha en dreieimpuls **L**<sub>''i''</sub>&thinsp; og et indre spinn  **S**<sub>''i''</sub>. Mellom elektronene virker ikke-sentrale [[Coulombs lov|Coulomb-krefter]] som resulterer i koblinger mellom alle disse spinnene. Også [[spinn-banekobling]]en har sin opprinnelse her. Resultatet er at de individuelle spinnene til de enkelte elektroner generelt ikke er bevarte. Men for de atomene hvor spinn-bane-koblingen er liten i forhold til de andre effektene, vil den totale dreieimpulsen  og det totale, intrinsikke spinnet   til elektronene være konstante og benyttes til å klassifisere egentilstandene til atomet. Dette gjelder for de atomer hvor ladningstallet ''Z''  < 40. Vekselvirkning mellom elektronene sies da å være beskrevet ved en [[spinn-bane-koblinge|Russell-Saunders-kobling]] eller «''LS''-kobling». Det totale spinnet til atomet er da

: <math> \mathbf{J} =  \mathbf{L} +  \mathbf{S} = \sum_i (\mathbf{L}_i + \mathbf{S}_i) </math>

med tilstander <math> |J,M\rangle</math> der kvantetallet ''J&thinsp;'' angir egenverdien  for **J**<sup>2</sup> og ''Mħ'' er egenverdien for ''J<sub>z</sub>''. Disse kan konstrueres ved hjelp av Clebsch-Gordan-koeffisienter fra egentilstandene <math> |L,S;M_L,M_S\rangle </math> med tilsvarende egenverdier for  **L**<sup>2</sup>, **S**<sup>2</sup>, ''L<sub>z</sub>&thinsp;'' og ''S<sub>z</sub>&thinsp;'' på helt analogt vis med det tidligere tilfellet for et elektron der ''S'' = 1/2. For et odde antall elektroner er ''S'' alltid halvtallig, mens dette kvantetallet er heltallig for et like antall elektroner. Når ''L'' > ''S'', vil ''J&thinsp;'' ta 2''S'' + 1&thinsp; ekvidistante verdier fra  til , mens for ''S'' > ''L'' vil man ha tilsvarende 2''L'' + 1&thinsp; verdier fra  til .

Det magnetiske momentet til et slikt atom er gitt som matriseelementet av operatoren

: <math> \boldsymbol{\mu} = - {e\over 2m_e} (\mathbf{L} + 2\mathbf{S}) </math>

som er definert til å være proporsjonalt med ''g''&thinsp;**J**.  Dermed kan ''g''-faktoren nå beregnes på tilsvarende måte som for ''S'' = 1/2. Mest direkte følger resultatet ved å multiplisere begge sider av definisjonen  med operatoren  **J**. Det gir 

: <math> g\mathbf{J}^2 = (\mathbf{L} + 2\mathbf{S})\cdot \mathbf{J} = \mathbf{J}^2 + \mathbf{J}\cdot\mathbf{S} </math>

der igjen 2**J**&sdot;**S** =  **J**<sup>2</sup>  + **S**<sup>2</sup> - **L**<sup>2</sup>. Dermed har man det generelle resultat for Landés g-faktor

: <math> g_J =  1 + \frac{\,J(J+1) + S(S+1) - L(L +1)}{2J(J+1)} </math>

for et atomet hvor elektronene er ''LS''-koblet til et totalt spinn gitt ved kvantetallet ''J''.

For spinn-dubletten ''S'' = 1/2, kan formelen forenkles. Det skjer også for spinn-tripletter ''S'' = 1 der ''J'' = ''L'' + 1, ''L'' og ''L'' - 1. Da gir den

: <math>\begin{align} g_{J = L+1} &= 1  + {1\over L+1} \\  g_{J=L} &= 1 + {1\over L} - {1\over L+1}\\ g_{J = L-1} &= 1 - {1\over L} \end{align} </math>

For D-tilstander som har ''L'' = 2, er derfor verdiene ''g''<sub>3</sub> = 4/3, ''g''<sub>2</sub>  = 7/6 og ''g''<sub>1</sub>  = 1/2. Summen av dem er lik med 3 = 2''S'' + 1. Dette viser seg å være tilfelle også for andre verdier av ''S'' og ''L'' så lenge som ''S'' < ''L''. Dette er et eksempel på en mer generell «summeregel».

==Landés utledning av g-faktoren==

Før Landé begynte å interessere seg for den anomale Zeeman-effekten i 1920, var det etablert med sikkerhet at de eksperimentelle resultatene for frekvensoppsplittingen &Delta;''&omega;'' av en [[spektrallinje]] i et ytre magnetfelt ''B'' alltid kunne skrives som

: <math> \Delta\omega = \omega_L {s\over r} </math>

hvor ''&omega;<sub>L</sub>'' = ''eB''/2''m<sub>e</sub>''&thinsp; er [[magnetisk moment#Larmor-presesjon|Larmor-frekvensen]] til elektronet og ''s'' og ''r'' er hele tall. Dette er [[Zeeman-effekt#Anomal Zeeman-effekt|Runges lov]]. Mye av det eksperimentelle og teoretiske arbeidet hadde dreidd seg om å bestemme disse tallene og finne lovmessigheter for dem i forskjellige [[Rydbergs formel|spektralserier]] og [[atomfysikk|multipletter]].

Samme år hadde [[Arnold Sommerfeld|Sommerfeld]] publisert et større arbeid om disse spørsmålene. Der foreslo han at da en spektrallinje i [[Bohrs atommodell]] oppstår ved en overgang mellom to energitilstander ''E''<sub>1</sub> og ''E''<sub>2</sub>&thinsp; til atomet, må dette gjelde også for den anomale Zeeman-effekten. Derfor må det forventes at Runges lov må ha den mer spesielle formen

: <math> \Delta\omega = \omega_L \Big({s_1\over r_1} - {s_2\over r_2}\Big) </math>

Runge-nevneren ''r'' er derfor et produkt mellom to andre, heltallige nevnere ''r''<sub>1</sub> og ''r''<sub>2</sub>&thinsp; som karakteriserer begynnelsestilstanden og sluttilstanden til atomet ved denne overgangen.

===Fenomenologisk etablering===

Ut fra grundig kjennskap til målte verdier av heltallene som inngikk i Runges lov, gikk Landé i gang med å knytte disse til de kjente kvantetallene for atomets ulike tilstander. Våren 1921 kunne han forklare alle egenskaper ved den anomale Zeeman-effekten ved å skrive den magnetiske forskyvningen av et energinivå i atomet som

: <math> E_B = \hbar\omega_L gm </math>

Her er ''m'' er det magnetiske kvantetallet for tilstanden og ''g'' en ny faktor avhengig av de andre kvantetallene, En overgang mellom nivåene ''E''<sub>1</sub> og ''E''<sub>2</sub>&thinsp; gir da en spektrallinje med forskyvningen

: <math> \Delta\omega = \omega_L(g_1m_1 - g_2m_2) </math>

som nå erstatter Runges lov. 

I sitt arbeid kunne Landé gi analytiske uttrykk for ''g''-faktoren både for [[Kvantisert dreieimpuls#Addisjon av dreieimpulser|dubletter]] og [[Kvantisert dreieimpuls#Addisjon av dreieimpulser|tripletter]] med energinivå. Oftest er den et [[rasjonalt tall]]. Men det som ble kontroversielt med denne fremstillingen, var at det magnetiske kvantetallet ''m'' måtte også kunne ta **halvtallige verdier**. Og det var helt i motstrid med både Bohrs atommodell og den mer moderne [[Bohr-Sommerfeld-kvantisering]]en.

===Heisenbergs ''Rumpf''-modell===

[[Werner Heisenberg]] var fremdeles student da han tidlig i 1922 publiserte en radikal forklaring av hvordan halvtallige spinnkvantetall kunne oppstå.Han tenkte seg et atom med et valenselektron som beveget seg utenfor en indre, spinnløs del eller «atomrest» som han på tysk kalte for ''Rumpf''. Den orbitale dreieimpulsen til valenselektronet var i utgangspunktet gitt ved [[Bohr-Sommerfeld-kvantisering|Bohr-Sommerfeld-kvantetallet]] ''k''. På et eller annet mekanisk vis vil nå dette ene elektronet avgi en dreieimpuls ''ħ''/2 til den sentrale atomresten og gi den et magnetisk moment. Det opprinnelige elektronet sitter igjen med det orbitale kvantetallet ''k'' - 1/2 for en banebevegelse som vil generere et indre magnetfelt som virker på atomresten. Denne vekselvirkningen gir igjen en spinn-banekobling slik at atomet får en total dreieimpuls som er summen av de to spinnene i atomet. Den er beskrevet ved et nytt kvantetall ''j&thinsp;'' som da kan ta de to verdiene ''k'' og ''k'' - 1. Det tilsvarer Sommerfelds **indre kvantetall** som karakteriserer de to energinivåene til dublettilstanden. Men for å ha overenstemmelse med Landés formel for energisplittingen i et ytre magnetfelt, må det magnetiske kvantetallet ''m'' i dette tilfellet ta halvtallige verdier med en maksimalverdi lik med .

For atomer med to valenselektroner postulerte Heisenberg på samme måte at hver av dem kunne avgi en dreieimpuls ''ħ''/2 til restatomet. Denne fikk dermed et totalt spinn som kunne være 0 eller 1 målt i enheter av ''ħ''. Det gir igjen opphav til singletter og tripletter med et indre kvantetall for hele atomet som kan ta verdiene ''j'' = ''k'', ''k'' - 1 eller ''k'' - 2. Maksimalverdien til det magnetiske kvantetallet skal i dette tilfellet være ''j''.

Selv om denne modellen til Heisenberg var i overensstemmelse med det meste, var den basert på antagelser som ikke hadde noen god begrunnelse i den kvanteteori som på den tiden var kjent. Også Landé var meget kritisk, men kunne ikke benekte at den foreslåtte fordelingen av spinn i atomet kunne ha noe for seg.

===Landés vektormodell===
Gjennom året som fulgte lyktes Landé med å formulere en vektormodell som inneholdt noen av Heisenbergs idéer og som var mer i overensstemmelse med hans egen forståelse av ''g''-faktoren for den anomale Zeeman-effekten. I denne beskrivelsen består atomet fremdeles av en ''rumpf'' eller atomrest omgitt av ett eller flere valenselektron. De har en total, [[orbital]] dreieimpuls **K** som er gitt ved et halvtallig kvantetall ''K''. Atomresten har et spinn **R** gitt ved kvantetallet ''R''. Dette satte han lik med halvparten av antall komponenter i den spinnmultipletten som oppstår ved spinn-banekoblingen mellom **K** og **R**. Det vil si at ''R'' = 1 for dubletter, ''R'' = 3/2 for tripletter og 1/2 for singletter. Totalspinnet for atomet er da gitt ved vektorsummen  med det tilsvarende kvantetallet ''J'' som dermed opptrer som Sommerfelds indre kvantetall. 

Det magnetiske kvantetallet ''M'' er gitt ved ''z''-komponenten til **J**. Ved å projisere de to andre dreieimpulsene inn på denne spinnvektoren, hadde han da for ''g''-faktorene

: <math> g = {3\over 2}  +  {\mathbf{R}^2 -  \mathbf{K}^2\over  2\mathbf{J}^2} </math>

Men når denne så uttrykkes ved hans tre kvantetall ''K'', ''R'' og ''J'', fikk han kun overensstemmelse med sine tidligere resultat ved å måtte skrive

: <math> g = {3\over 2} + {R^2 - K^2\over 2(J^2 - 1/4)} </math>

Dermed hadde han i 1923 den generelle formelen som var gyldig for alle verdier av spinnet til atomresten. Og det er denne som er blitt stående frem til i dag selv om den har fått et nytt innhold. For det første viste [[Wolfgang Pauli]] året etterpå at det ikke stemte med observasjoner å tillegge de indre elektronene eller atomresten et spinn **R**.  Dette måtte derfor også være en egenskap ved valenselektronene på samme måte som det orbitale spinnet **K**. Det siste skrittet ble tatt av  [[Samuel Goudsmit]] og [[George Uhlenbeck]] da  de i 1925 viste at spinnet **R** skyldes at hvert elektron har et [[spinn|egenspinn]] ''ħ''/2 slik at **R** ikke er noe annet en summen av disse og betegnes med **S** i dag. 

Da dette ble klart, innså man at kvantetallene som Landé hadde brukt, måtte alle skiftes med 1/2. Dette var også i overensstemmelse med den nye [[kvantemekanikk]]en som ble utviklet på samme tid. I formelen kan man da skrive nevneren  som ''J''(''J'' + 1)&thinsp; ved å la . Telleren  kan omskrives på samme måte ved å la  og  Dermed fikk Landés formel for ''g''-faktoren den form og innhold den har i dag.

==Summeregler==

Landés g-faktor kan skrives som 

: <math> g_J =  {3\over 2}  + \frac{S(S+1) - L(L +1)}{2J(J+1)} </math>

I det spesielle tilfellet at ''S'' = ''L'', er derfor ''g<sub>J</sub>'' = 3/2 uavhengig av kvantetallet ''J''. Når det ikke er tilfelle, oppfyller faktorene likevel enkle lovmessigheter i form av summeregler. Det følger fra omskrivningen . Hvis nå ''L'' > ''S'', kan man summere alle faktorene over de 2''S'' + 1 forskjellige verdiene av ''J&thinsp;'' fra  til  I summen vil da bare første og siste ledd overleve slik at

: <math>\begin{align} \sum_{J= J_{min}}^{J_{max}} g_J &=   {3\over 2}(2S + 1) + {1\over 2}(S - L)(S + L +1)\Big({1\over J_{min}} - {1\over J_{max} + 1}\Big) 
\\ &= 1\cdot (2S+ 1) \end{align} </math>

Tilsvarenede, når  ''L'' < ''S'' vil der være  2''L'' + 1 ledd i summen fra  til  med det resultat at 

: <math> \sum_{J= J_{min}}^{J_{max}} g_J = 2\cdot (2L + 1). </math>

Dette resultatet er ekvivalent med å si at gjennomsnittsverdien av ''g''-faktorene i dette tilfellet er ''g'' = 2, mens det i det første tilfellet med ''L''  > ''S'' var  ''g'' = 1.

===Paulis permanenssetning===

I sitt arbeid med å forstå den anomale Zeeman-effekten, oppdaget [[Wolfgang Pauli|Pauli]] en direkte forbindelse mellom denne og [[Zeeman-effekt#Paschen-Back-effekt|Paschen-Back-effekten]] ved sterkere magnetfelt. Den magnetiske vekselvirkningen i disse to situasjonene er forbundet ved den formelle operatorrelasjonen  Tar man nå matriseelementet av denne for tilstanden <math> |J,M\rangle</math>, får man på venstre side ganske enkelt ''M&thinsp;g<sub>J</sub>''. På høyre side kan man uttrykke egentilstanden for ''J<sub>z</sub>'' som en lineærkombinasjon av egentilstandene  <math> |M_L,M_S\rangle </math>  for  ''L<sub>z</sub>&thinsp;'' og ''S<sub>z</sub>&thinsp;'' ved bruk av Clebsch-Gordan-koeffisienter. Betegnes de her ved ''C<sub>J</sub>''&thinsp;(''M;M<sub>L</sub>,M<sub>S</sub>''), vil

: <math> |J,M\rangle = \sum_{M_L+M_S = M} C_J(M;M_L,M_S) |M_L,M_S\rangle </math>

Dermed får man sammenhengen 
: <math> Mg_J =  \sum_{M_L+M_S = M}(M_L + 2M_S) |C_J(M;M_L,M_S)|^2 </math>

mellom matriseelementene på de to sidene. Nå har Clebsch-Gordan-koeffisientene alltid egenskapen at

: <math> \sum_J |C_J(M;M_L,M_S)|^2 = 1 </math>

uavhengig av verdiene til ''M<sub>L</sub>&thinsp;'' og ''M<sub>S</sub>''. Summerer man nå uttrykket for ''g<sub>J</sub>&thinsp;'' på begge sider over ''J&thinsp;'' og bytter om på de to summasjonene på høyresiden, fremkommer resultatet

: <math> M\sum_J g_J = \sum_{M_L+M_S = M}(M_L + 2M_S) </math>

Dette er «Paulis permanenssetning». Venstre side angir summen av den magnetisk vekselvirkningsenergien ved svake felt, mens høyre side viser hvordan den fordeler seg over de forskjellige tilstandene som opptrer i Paschen-Back-effekten.

===Eksempel===
Pauli påpekte at denne sammenhengen kunne også benyttes til å beregne ''g''-faktorene på en enkel måte. Det kan illustreres ved igjen å  betrakte en tilstand med ''S'' = 1 og ''L'' = 2 som gir termen <sup>3</sup>D.  Den inneholder tilstander med  ''J'' = 3, 2 og 1 som splittes av spinn-banekoblingen i svake magnetfelt. Den maksimale verdien av ''J<sub>z</sub>''&thinsp; er ''M'' = 3 tilhørende den ene tilstanden ''J'' = 3. I sterke magnetfelt tilsvarer den den ene Paschen-Back-tilstanden <math>|2,1\rangle</math> som har   og  . Paulis setning gir derfor 3&sdot;''g''<sub>3</sub> = (2 + 2&sdot;1) = 4 som betyr at . 

Når , vil de to Paschen-Back-tilstandene <math>|2,0\rangle</math> og <math>|1,1\rangle</math> bidra, mens for  vil tre slike tilstander opptre. Setningen til Pauli gir dermed i disse to tilfellene ligningene

: <math>\begin{align} 2\cdot(g_3 + g_2) &= 5 \\ 1\cdot(g_3 + g_2 + g_1) &= 3\end{align}</math>

Med verdien  i første ligning  finner man ''g''<sub>2</sub> = 7/6 som igjen gir ''g''<sub>1</sub> = 1/2 fra siste ligning. Omvendt kan setningen benyttes til å finne hvilke tilstander vil opptre i Paschen-Back-effekten fra de observerte ''g''-faktorene i den anomale Zeeman-effekten.

==Elementærpartikler==

Ved utledning av ''g''-faktoren for et atom antas vanligvis at hvert elektron har ''g<sub>e</sub>'' = 2 som følger fra [[Dirac-ligning]]en. Men ved mer nøyaktige beregninger kommer små korreksjoner inn som skyldes [[kvanteelektrodynamikk]] og andre effekter fra [[standardmodell]]en for [[elementærpartikkel|elementærpartikler]]. Denne faktoren er på vanlig måte definert ved det [[magnetisk moment|magnetiske momentet]]

: <math> \boldsymbol{\mu}_e  =  -g_e {e\over 2m_e}\mathbf{S} </math>

der **S** er spinnvektoren til elektronet. En mer presis beregning av ''g''-faktoren gir

: <math> g_e = 2 + {\alpha\over \pi} + 0.656958 \Big({\alpha\over \pi}\Big)^2 + \cdots </math>

der ''&alpha;'' er [[finstrukturkonstant]]en med en tilnærmet verdi 1/137. Til nå er slike korreksjoner regnet ut til orden  ''&alpha;''<sup>&thinsp;5</sup> og gir

: <math> g_e =  2.002\,319\,304\,362\, 56(35)  </math>

hvor parentesen angir usikkerheten i de to siste sifferene. Dette er I full overensstemmelse med målte verdier og en av de mest presise størrelser som er kjent i moderne fysikk.

På samme måte har [[myon]]et en ''g''-faktor med en størrelse

: <math> g_\mu = 2.002\,331\,8418(13) </math>

Den er ikke like så nøyaktig bestemt som ''g''-faktoren for elektronet da myonet kobler til andre elementærpartikler på en litt annen måte. Eksperimentelle undersøkelser vil derfor muligens si noe om hva slags partikler dette kan være.

===Nukleoner===

De to nukleonene [[proton]] og [[nøytron]] regnes også med som elementærpartikler i forskjellige sammenhenger. De er begge [[fermion]]er med spinn  som elektronet og myonet. Men likevel er deres ''g''-faktorer vidt forskjellig fra den spesielle verdien ''g'' = 2 som karakteriserer [[Dirac-ligning|Dirac-partikler]]. Det skyldes at de består av [[kvark]]er som alle har denne kanoniske verdien og som derfor er å betrakte som enda mer elementære.

For begge disse nukleonene defineres ''g''-faktoren relativ til protonets masse ''m<sub>p</sub>&thinsp;'' som skiller seg litt fra nøytronmassen ''m<sub>n</sub>''. Det magnetiske momentet for disse sammensatte partiklene skrives derfor som

: <math> \boldsymbol{\mu}  =  g{e\over 2m_p}\mathbf{S} </math>

De eksperimentelt bestemte verdiene er  

: <math> g_p =  5.585 694 6893(16) </math>

og 

: <math> g_n =  -3.826 085 45(90). </math>

Nøytronet har derfor et magnetisk moment selv om det ikke har noen netto, [[elektrisk ladning]]. Dette skyldes at det inneholder kvarker som alle har en slik ladning. 

I den enkle [[kvark|kvarkmodellen]] kan man beregne disse ''g''-faktorene med en viss nøyaktighet under antagelser som ikke var så lett å begrunne før [[Sterk kjernekraft|kvantekromodynamikk]]en ga en teoretisk forklaring. Men hva som er bemerkelsesverdig, er at forholdet ''g<sub>n</sub>''&thinsp;/''g<sub>p</sub>&thinsp;'' er veldig nær -2/3 som følger fra de enkleste antagelser om kvarkenes dynamikk.

==Atomkjerner==

Nukleonene i en [[atomkjerne]] har [[sterk vekselvirkning|sterke vekselvirkninger]] og kan derfor ikke så lett beskrives som elektronene i et atom. Men i mange tilfeller kan man med en viss nøyaktighet anta at nukleonene beveger seg uavhengig av hverandre i et felles [[kjernefysikk|potensial]] som gir opphav til tilstander med gitte kvantetall. Dermed kan hvert nukleon tilordnes en viss orbital dreieimpuls **L** og spinn **S** med tilsvarende kvantetall ℓ og ''s'' = 1/2. Kjernens totale spinn er dermed gitt som  med en størrelse som er gitt ved kvantetallet . På den måten kan mange av metodene fra atomfysikken også benyttes i kjernefysikken.

Det magnetiske momentet til atomkjernen i en slik modell skyldes bidraget fra de nukleonene som ikke er «parret» med andre. I de enkleste tilfellene vil det være et slikt «fritt» proton eller nøytron som bidrar. På tilsvarende måte som ved beregningen av det magnetiske momentet for et atom basert på bidraget fra et elektron,  kan man derfor med disse antagelsene definere ''g''-faktoren for atomkjernen som

: <math> g\mathbf{I} = g_\ell\mathbf{L} +  g_s \mathbf{S} </math>

hvor ''g''<sub>ℓ</sub> = 1 for protonet og lik null for nøytronet da det ikke har noen elektrisk ladning. I tillegg representerer ''g<sub>s</sub>&thinsp;'' den magnetiske koblingen gitt ved de vanlige  ''g''-faktorene for de samme partiklene. Ved å multiplisere denne ligningen med det totale kjernespinnet **I*' fremkommer sammenhengen

: <math>\begin{align} g\mathbf{I}^2 &= g_\ell\mathbf{L}\cdot\mathbf{I} + g_s \mathbf{S}\cdot \mathbf{I}\\
&= {1\over 2}g_\ell (\mathbf{I}^2 + \mathbf{L}^2 - \mathbf{S}^2)  + {1\over 2}g_s (\mathbf{I}^2 + \mathbf{S}^2 - \mathbf{L}^2)\end{align}</math>

Her kan de forskjellige, kvadrerte spinnoperatorne uttrykkes ved deres kvantetall slik at

: <math> g = {1\over 2}(g_\ell + g_s) + {\ell(\ell+1) - 3/4\over 2i(i + 1)} (g_\ell - g_s) </math>

Dette kan forenkles og tar da formen 

: <math> g = g_\ell \pm {g_s - g_\ell\over 2\ell + 1}  </math>

for de to tilfellene med totalt spinn . 

Når det ekstra nukleonet er et nøytron, forenkles dette uttrykket ytterligere. Da er  og  slik at den totale *g*-faktoren blir  for  og  for .

==Referanser==
<references />

==Litteratur==
* D.J. Griffiths, *Quantum Mechanics*, Pearson International Edition, New Jersey (2005). ISBN 0-13-191175-9.
* H. Haken and H.C. Wolf, *Atomic and Quantum Physics*, Springer-Verlag, Berlin (1987). ISBN 0-387-17702-7.

==Eksterne lenker==

* HyperPhysics, [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/Lande.html Magnetic Interactions and the Landé g-Factor]
* F. Ravndal, [https://folk.uio.no/finnr/notes/chap10.pdf Notes on Quantum Mechanics], forelesninger ved Universitetet i Oslo (2006).
* H.E. White, [https://archive.org/details/IntroductionToAtomicSpectra/page/n151 *Introduction to Atomic Spectra''], McGraw-Hill Book Company, New York (1934). Web Archive.