Eudoksos fra Knidos

**Eudoksos fra Knidos** (gresk: Εὔδοξος; født 410 eller 408 f.Kr., død 355 eller 347 f.Kr.) var en gresk astronom og matematiker. Ingen av hans verker har overlevd slik at det er kun gjennom andres omtale at disse er kjent. 

Innen matematikken etablerte han læren om proporsjoner som danner grunnlaget for bruk av reelle tall i dag.  Dette gjorde det mulig å etablere resultat for areal og volum av forskjellige, geometriske objekt ved utfyllingsmetoden. Den representerer det første forsøk på bestemt integrasjon ved slike utregninger. Som astronom konstruerte han den første modellen for bevegelsene til himmellegemene og organiserte stjerner i bestemte konstellasjoner på en himmelglobus.

Kratere både på Månen og på Mars er oppkalt etter Eudoksos.

## Biografi

Etter å ha vokst opp i den i doriske byen Knidos på en halvøy nær Rhodos, Der ble han noen ganger av sine venner kalt *Endoksos* som betyr «den berømte». Sin utdannelse fikk han hos pytagoreeren Arkhytas i Tarentum i Syd-Italia. Her ble han kjent med det teoretiske grunnlaget for tall og musikk samt problemet rundt kubens fordobling. Etter et besøk på Sicilia, kom han som 23-åring til Athen hvor han studerte ved Platons akademi. Han var så ubemidlet at han måtte bo i Pireus. Det tok han to timer å gå til fots hver vei.

Fra Athen returnerte Eudoksos til hjembyen Knidos. Flere år senere foretok han en reise til Egypt og tilbragte seksten måneder i Heliopolis hvor han studerte astronomi.
Denne interessen beholdt han da han var tilbake i Hellas og bygget etterhvert opp en stor skole rundt seg med et eget observatorium i Kyzikos ved Marmarahavet. I året 368 f.Kr. forflyttet han seg sammen med flere av sine elever til Athen og Akademiet. Han var nå høyt ansett og ble en viktig person i de filosofiske aktivitetene der.

Eudoxos var en rasjonell tenker som hadde lite interesse av overtro og okkulte spekulasjoner. Han hadde derfor ingen tro på astrologi og var mer opptatt av hva som kan observeres og måles. For å finne ut hva Solen består av, ville han heller dra dit og brennes opp, enn å hengi seg til nytteløse gjetninger. Denne holdningen kan kanskje også være grunnen til at forholdet til Platon ikke var helt enkelt. Han var sannsynligvis også klar over at han var en større matematiker enn Platon.

## Matematikk

I motsetning til geometri var aritmetikk lite utviklet før Eudoksos' og basert på naturlige tall og deres brøker. En rasjonell brøk er et forhold mellom to heltall, men kunne ikke benyttes til å uttrykke relasjoner mellom vilkårlige lengder eller arealer i geometrien. Etter at pytagoreerne hadde oppdaget at det finnes irrasjonale tall som &radic;2, var det ikke lenger klart hva slags egenskaper disse tallene hadde og hvordan de kunne benyttes. 

Rent geometrisk var dette ikke noe problem da de kunne konstrueres som lengden av diagonalen i et kvadrat. Hvis siden har lengde *s* og diagonalen har lengde *d*, er da forholdet *d:s* = &radic;2. Eudoksos generaliserte slike forhold mellom to generelle størrelser, men av samme sort. Det kunne gjelde forholdet mellom to lengder, mellom to flater eller mellom to tall. Derimot kan man ikke ha noe forhold mellom en linje og et areal eller mellom en linje og et tall. 

Hver slik størrelse *A* i et slikt forhold kan multipliseres med heltall. Det følger av at de kan adderes slik at man kan skrive *A* + *A* = 2*A* og så videre. Euklid gjorde bruk av slike forhold i sitt stor verk *[[Euklids Elementer|Elementer]]*. I Bind V sies det at et forhold mellom to størrelser eksisterer når et heltalls multiplum av den ene kan gjøres større enn den andre. En slik størrelse kan derfor ikke være null. For eksempel vil 1 og &radic;2 dermed ha et forhold da 1 × √2 > 1 og 2 × 1 > √2. Denne antagelsen kalles ofte for Arkimedes' aksiom da  Arkimedes  senere gjorde bruk av den, men han ga Eudoksos æren for definisjonen.

En proporsjon er en likhet mellom to forhold og kan generelt skrives som *A*&thinsp;:&thinsp;*B* = *a*&thinsp;:&thinsp;*b*. Her er størrelsene *A* og *B* av samme sort på samme måte som *a* og *b* er det, men ikke nødvendigvis av samme sort som *A* og *B*. De kunne for eksempel være heltall slik at deres forhold kan skrives som den rasjonelle brøken  .

Proporsjonen *A*&thinsp;:&thinsp;*B* = *a*&thinsp;:&thinsp;*b* eksisterer når man for vilkårlige heltall *m* og *n* har at *nA* er større, lik eller mindre enn *mB* når *na* er større, lik eller mindre enn *mb*. Alternativt kan man dermed si at forholdet *A*&thinsp;:&thinsp;*B* er større, likt eller mindre enn *m*/*n* når *a*&thinsp;:&thinsp;*b* er større, likt eller mindre enn *m*/*n*. Denne behandlingen av irrasjonale forhold ble diskutert i Bind X av *Elementer*. Dette ligger tett opp til den moderne definisjonen av irrasjonale tall som grensen av sekvenser med rasjonale tall og som ble etablert av Richard Dedekind over to tusen år senere.

Eudoksos kunne på denne måten bevise at arealet til en sirkel måte øke kvadratisk med dens diameter. Likedan fant han at volumet av en kjegle eller pyramide er 1/3 av volumet til en tilsvarende sylinder eller prisme med samme grunnflate og høyde. Han gjorde da bruk av utfyllingsmetoden som Arkimedes videreførte.

Navnet til Eudoksos forbindes noen ganger også med en spesiell kurve som kunne anvendes i forbindelse med kubens fordobling. I moderne notasjon kan den skrives som  *x*4 =  og kalles en *kampyle*. Hans lærer Arkhytas var kjent for å være opptatt med dette problemet.

## Astronomi

Eudoksos ble betraktet som datidens største astronom. Det skyldes hovedsakelig hans formulering av en matematisk modell for himmellegemenes bevegelse. Den representerer det første forsøk på å gi ikke bare en kvalitativ forklaring av en lang rekke forskjellige observasjoner på himmelhvelvingen, men også en kvantitativ beskrivelse som kunne gi praktiske prediksjoner av fenomen som eklipser og heliakisk oppgang av stjerner og planeter. 

Gresk astronomi på den tiden var på den tiden basert på Platons argumentasjon for at kuleflaten eller sfæren var den mest symmetriske og derfor måtte danne grunnlaget til en forklaring av observasjonene. Men spesielt den retrograde bevegelsen til planetene hadde gjort denne overbevisningen vanskelig å akseptere. Eudoksos' modell viste likevel at dette langt på vei kunne være mulig.
  
Jorden var akseptert å være en kule. Lengst fra den befinner fiksstjernene seg som man tenkte seg sittende fast på en himmelsk sfære med Jorden som sentrum. Den roterer jevnt rundt fra øst til vest i løpet av 24 timer som gir den daglige bevegelsen til stjernene. Nærmest Jorden befinner Månen seg. Eudoksos antok at dens bevegelse kan forklares ved å legge til to nye sfærer konsentrisk med Jorden. På den innerste av disse sitter Månen fast, mens den roterer om en diameter som er festet til den andre. Denne igjen roterer om en diameter som er festet til fiksstjernesfæren. Dermed får også Månen en daglig bevegelse gjennom et døgn, men denne er noe mer komplisert enn for stjernene på grunn av de to indre sfærene.

Utenfor Månen tenkte man seg Solen som også ble tilordnet to ekstra sfærer slik som for Månen. Det skyltes at man på den tiden ikke visste at Solen beveget seg langs ekliptikken, men fulgte en noe mer komplisert bane langs dyrekretsen. Ekliptikkens rolle ble først klarlagt av Hipparkhos omtrent hundre år senere. For Solen hadde derfor Eudoksos bare behøvd to sfærer i alt. Den ene er sfæren med fiksstjernene, mens den andre hvor Solen sitter fast, roterer rundt en diameter fra vest mot øst i løpet ett år. Denne diameteren er festet til fiksstjernesfæren slik at de to rotasjonsaksen danner omtrent 23&deg; med hverandre. På den måten kan de fire årstidene forklares.

Bevegelsen til de fem planetene Merkur og Venus mellom Månen og Solen samt Mars, Jupiter og Saturn lenger ut var mer komplisert på grunn av at de noen ganger så ut til å stoppe opp i banen og gå litt tilbake før de fortsatte i samme retning østover. For å forklare dette fenomenet innførte Eudoksos tre sfærer for hver av dem i tillegg til fiksstjernesfæren. Planeten selv var festet til den innerste eller fjerde sfæren. 

Denne var koblet til den tredje sfæren slik at når denne roterte om sin diameter, beskrev planeten en lukket kurve med samme form som en lemniskate eller 8-tall. Under den videre rotasjon av de to ytre sfærene vil denne kurven trekkes med langs dyrekretsen og gi en lignende bevegelse som observert for de forskjellige planetene. Det er ikke klart om alle disse sfærene var tenkt å bestå av noe materiale eller at de bare var ment som mentale konstruksjoner.

Ingen konkrete resultat fra denne sinnrike modellen er kjent. Men det er klart at Kallippos som var elev av Eudoksos, studerte dens konsekvenser nærmere. Han fant det nødvendig å innføre enda flere sfærer for å finne en tilfredsstillende overensstemmelse med observasjonene. Et av de vanskeligste problemene var å forstå hvorfor de forskjellige årstidene ikke inneholdt like mange dager. Det ble Hipparkhos som noe senere kunne gi en tilfredsstillende forklaring av dette viktige fenomenet. Hans modell var enklere og var basert på antagelsen at Solen går i en sirkel med sentrum litt utenfor Jorden. Da den kunne lett utvides ved å innføre episykler og dermed også forklare planetenes retrograde bevegelse, ble modellen til Eudoksos med alle sine konsentriske sfærer snart av mindre betydning.

## Se også

* Astronomiens historie
* Gresk astronomi

## Referanser


## Eksterne lenker
* MacTutor, ''Eudoxus'', University of St. Andrews, Scotland.
* N. Wildberger, ''Euclid and Proportions'', Youtube video
* MathCurve, ''Hippopede of Eudoxos'', matematisk beskrivelse av hippopede.