Primitive ligninger

De **primitive ligningene** er en versjon av Navier-Stokes-ligningene som skildrer hydrodynamisk strøm i en sfære når man antar at den vertikale bevegelsen er mye mindre enn den horisontale bevegelsen, og at væskelaget er tynt i forhold til sfærens radius. Dette er en god tilnærmelse på global strøm i atmosfæren og blir brukt i de fleste globale klimamodeller. Ved å linearisere de primitive ligningene kan man få Laplaces tidevannsligninger.

Vanligvis inneholder de primitive ligningene nesten alltid de fem variablene (u,v,ω,T,φ) og hvordan de varierer i tid og rom.

## Definisjoner

***<math>u</math>** er den sonale farten (øst/vest fartsretning tangentielt til sfæren)
***<math>v</math>** er den meridionale farten (nord/sør fartsretning tangentielt til sfæren)
***<math>\omega</math>** er den vertikale farten.
***<math>T</math>** er temperatur
***<math>\phi</math>** er geopotensial
***<math>f</math>** er Coriolisparameteren som er lik 2 \Omega sin(\phi), der \Omega er Jordens angulære fart (2 \pi/24 radianar/time), og \phi er breddegraden.
***<math>R</math>** er gasskonstanten
***<math>p</math>** er trykk
***<math>c_p</math>** er spesifikk varme
***<math>J</math>** er varmetransport per tid per masse
***<math>\pi</math>** er exnerfunksjonen
***<math>\theta</math>** er potensiell temperatur

## De primitive ligningene
Utseendet til de primitive ligningene er avhengig av hva slags koordinatsystem de opptrer i, slik som trykkoordinater, log trykkoordinater eller sigmakoordinater. I tillegg kan fart, temperatur og geopotensial dekomponeres til gjennomsnittlige og perturberte komponenter ved å bruke Reynolds dekomponering. 

### Vertikalt trykk, kartesiske koordinater

På denne formen blir trykket valgt som vertikale koordinater og de horisontale koordinatene er skrevet på kartesisk form (f.eks. i et plan tangentielt til et punkt på jordoverflaten). Denne formen tar ikke med jordens krumning, men er nyttig for å vise enkelte av de fysiske prosessene som ligningene skildrer. 

Merk at «D» i ligningene nedenfor står for den totalderiverte.

* De geostrofiske bevegelsesligningene, også kalt for momentumligningene.

:\frac{Du}{Dt} - f v = -\frac{\partial \phi}{\partial x}

:\frac{Dv}{Dt} + f u = -\frac{\partial \phi}{\partial y}

* Hydrostatisk ligning, et spesielt tilfelle av den vertikale bevegelsesligningen der man ikke har vertikal akselerasjon i bakgrunnen. 

:0 = -\frac{\partial \phi}{\partial p} - \frac{R T}{p}

* Kontinuitetsligningen, som binder sammen horisontal divergens/konvergens med vertikal bevegelse.

:\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial \omega}{\partial p} = 0

* Den termodynamiske energiligningen, som kommer av termodynamikkens første hovedsetning

:\frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} + v \frac{\partial T}{\partial y} + \omega \left( \frac{\partial T}{\partial p} + \frac{R T}{p c_p} \right) = \frac{J}{c_p}

Hvis man også har med en ligning om bevaring av vanndamp, vil disse seks ligningene danne grunnlaget for et oppsett til numeriske værvarslingsmodeller. 

### Primitive ligninger ved sigma koordinatsystem og polar stereografisk projeksjon
I dette koordinatsystemet blir de primitive ligningene forenklet til følgende ligninger: 

*Temperatur:             ∂T/∂t = u (∂Tx/∂X) + v (∂Ty/∂Y) + w (∂Tz/∂Z)
*Vind i øst-vest retning:   ∂u/∂t = ηv - ∂Φ/∂x – Cp θ (∂π/∂x) – z (∂u/∂σ) – [∂(u2 + y) / 2] / ∂x
*Vind i nord-sør retning:   ∂v/∂t = -η(u/v) - ∂Φ/∂y – Cp θ (∂π/∂y) – z (∂v/∂σ) – [∂(u2 + y) / 2] / ∂y
*Vann i form av nedbør:      ∂W/∂t = u (∂Wx/∂X) + v (∂Wy/∂Y) + z (∂Wz/∂Z)
*Trykktykkelse:         ∂(∂p/∂σ)/∂t = u [(∂p/∂σ)x /∂X] + v [(∂p/∂σ)y /∂Y] + z [(∂p/∂σ)z /∂Z]

Disse forenklingene gjør det lettere å forstå hva som skjer i en modell. Temperatur (eller potensiell temperatur) og vann i form av nedbør flytter seg bare med vinden fra et gitterpunkt til et annet. Vinden blir derimot utregnet på en litt annen måte. Den bruker geopotensialet, spesifikk varme, exnerfunksjonen π og endringen av sigmakoordinatene. 

## Løsning av de primitive ligningene
Den analytiske løsningen av de primitive ligningene inneholder en sinusformet svinging i tid og lengdegrad som er modulert av en koeffisient knyttet til høyde og breddegrad. 

: \begin{Bmatrix}u, v, \phi \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}\hat u, \hat v, \hat \phi \end{Bmatrix} e^{i(s \lambda + \sigma t)} 

s er sonalt bølgetall og \sigma angulær frekvens. Løsningen representerer atmosfæriske bølger og tidevann. 

Denne analytiske løsningen er bare mulig når de primitive ligningene er linearisert og forenklet. 
Uheldigvis vil mange av disse forenklingene (som ingen dissipasjon og isoterm atmosfære) ikke gjelde i den virkelige atmosfæren. På grunn av dette blir en numerisk løsning, der disse forenklingene ikke er gjort, brukt i generelle sirkulasjonsmodeller og klimamodellar.

### Vindvektorene u og v
Vanligvis vil de to komponentene fart og retning utgjøre vind. I en modell vil vind være sammensatt av vinden i nord-sør retning (v) og av vinden i øst-vest retning (u). 

Vind i øst-vest retning er: 
*	u = W (cos d)

Vind i nord-sør retning er:
*  v = W (sin d)

der W er farten og d er retning i grader. 

Man bør merke seg at selv om vinden i meteorologi blir målt i grader fra nord (0 er nord, 90 er øst, 180 er sør og 270 er vest), blir de trigonometriske gradene målt fra øst (0 er øst, 90 er nord, vest er 180 og sør er 270). Derfor må vindretningen omformes til den trigonometriske standarden for å regnes ut på en datamaskin eller en kalkulator. Omformingen man kan bruke er -θ + 90. Hvis resultatet blir mindre enn null må man legge til 360, og hvis resultatet er over 360 må man trekke fra 360. Resultatet skal da bli mellom 0 og 360 grader. 

### Temperatur
Temperaturen i denne typen datamodeller er ofte den enkleste parameteren å regne ut i et punkt. Man tar temperaturendringen for hver kilometer i nord-sør retning og multipliserer med vindfarten i samme retning. Da får man temperaturendringen som kommer av nord-sørkomponenten av vinden. Det samme kan man gjøre for øst-vest retningen. Ved å se på temperaturendringen som kommer av begge disse vindretningene, får man den totale temperaturendringen per time. Dersom man da tar den opprinnelige temperaturen og legger til temperaturendringen, får man et temperaturvarsel for et tidspunkt fremover i tid. 

### Nedbør og trykk
Man kan bruke samme metode for å regne ut nedbør og trykk som for temperatur. Det mest krevende er derimot å regne ut vinden mellom tidsintervallene i modellen.

## Kilder
*Beniston, Martin. *From Turbulence to Climate: Numerical Investigations of the Atmosphere with a Hierarchy of Models.* Berlin: Springer, 1998.
*Firth, Robert. *Mesoscale and Microscale Meteorological Model Grid Construction and Accuracy.* LSMSA, 2006.
*Thompson, Philip. *Numerical Weather Analysis and Prediction.* New York: The Macmillan Company, 1961.
*Pielke, Roger A. *Mesoscale Meteorological Modeling.* Orlando: Academic Press, Inc., 1984.
*U.S. Department of Commerce, National Oceanic and Atmospheric Administration, National Weather Service. *National Weather Service Handbook No. 1 – Facsimile Products.* Washington, DC: Department of Commerce, 1979.

## Se også
*Hydrostatisk likning
*Klimamodell
*Eulerligningene
*Væskedynamikk
*Generell sirkulasjonsmodell