Hyperbolsk funksjon

**Hyperbolske funksjoner** er matematiske funksjoner av en variabel. De er analoge til de mer vanlige trigonometriske funksjonene som er forbundet med egenskaper til sirkelen. På samme måte er de hyperbolske funksjonene forbundet med egenskaper til hyperbelen.  De viktigste av disse funksjonene er **sinh** (sinus hyperbolicus), **cosh** (cosinus hyperbolicus) og **tanh** (tangens hyperbolicus). 

De ble først studert av den sveitsiske matematiker Leonhard Euler noen få år før 1750. Men deres geometriske innhold og matematiske betydning ble klarlagt vel ti år senere av den italienske matematiker Vincenzo Riccati og hans samtidige Johann Heinrich Lambert. Den sistnevte har også gitt funksjonene de navnene som fremdeles brukes. Han kom frem til dem i forbindelse med sine undersøkelser av det som i dag kalles hyperbolsk geometri.

De trigonometriske funksjonene \sin og \cos kan benyttes til å parametrisere en sirkel. I et kartesisk koordinatsystem er denne  beskrevet ved ligningen x^2+y^2=1 når den har radius r=1. Ved å skrive x=\cos \alpha og y=\sin \alpha hvor vinkelen \alpha angir et punkt på sirkelen målt fra xaksen, følger den fundamentale sammenhengen 

:\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 

I samme, kartesiske koordinatsystem er en hyperbel beskrevet ved ligningen x^2-y^2=1. De to viktigste, hyperbolske funksjonene kan nå defineres ved parametriseringen x=\cosh a og y=\sinh a hvor den variable a kalles den *hyperbolske vinkelen*. Den kan identifiseres med arealet som er begrenset av hyperbelen vist i figuren. Innsatt vil disse to funksjonene derfor måtte oppfylle den fundamentale ligningen

:\cosh^2\! a - \sinh^2\! a = 1 

I motsetning til de trigonometriske funksjonene, kan disse to hyperbolske funksjonene derfor ta vilkårlige store verdier. Den tredje hyperbolske funksjonen er definert som \tanh a=\sinh a/\cosh a og tar verdier som alltid ligger mellom -1 og +1. Likedan kan man definere \coth a=1/\tanh a som kan ta vilkårlige verdier.

## Definisjoner

Det geometriske innholdet til funksjonene som følger fra egenskaper ved hyperbelen, kan videre benyttes til å vise at de kan eksplisitt uttrykkes ved Eulers eksponensialfunksjon. Kalles argumentet nå for x, finner man da at

* **Hyperbolsk cosinus:**
::\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x}

* **Hyperbolsk sinus:**
::\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x}

* **Hyperbolsk tangens:**
::\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}

Dette kan også tas som definisjonene av disse tre funksjonene.  Videre er det vanlig å definere i tillegg de følgene funksjonene 

* **Hyperbolsk cotangens:**
::\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}

* **Hyperbolsk secans:**
::\operatorname{sech}\,x = \left(\cosh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1}

* **Hyperbolsk cosecans:**
::\operatorname{csch}\,x = \left(\sinh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1}

### Algebraiske identiteter

Fra definisjonene kan man nå lett verifisere at den fundamentale identiteten

:\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1

er oppfylt.

Dersom en dividerer med \cosh^2 x\, på begge sider av likhetstegnet får en:
:1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x\,.
Dersom en dividerer med \sinh^2 x\, på begge sider av likhetstegnet får en:
:\coth^2 x - 1 = \operatorname{csch}^2 x\,.

Videre følger **addisjonssetningene**

:\sinh{(x+y)} = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y
:\cosh{(x+y)} = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y

De er analoge til relasjonene for de tilsvarende trigonometriske funksjonene med summen av to vinkler som argument. Setter man her x=y, følger det fra den første identiteten at

:\sinh 2x = 2\sinh x \cosh x, 
mens fra den siste følger det at 

:\cosh 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 2\sinh^2 x + 1

Derfor har man også at 
:\cosh^2 x = \tfrac 12(\cosh 2x + 1)
:\sinh^2 x = \tfrac 12(\cosh 2x - 1)

På samme måte gjelder

:\tanh{(x+y)} = {\tanh x + \tanh y\over 1 + \tanh x\tanh y}

slik at

:\tanh 2x = \frac{2\tanh x}{1 + \tanh^2\!x}
 
Herav følger de tilsvarende relasjonene  

:\sinh 2x = \frac{2\tanh x}{1-\tanh^2\! x}, \quad \cosh 2x = \frac{1+ \tanh^2 x}{1-\tanh^2\! x} 

### Deriverte

Ettersom den deriverte av eksponensialfunksjonen tilfredsstiller 

:{\mathrm{d}\over\mathrm{d}x} e^x = e^x,

er de deriverte av de hyperbolske funksjonene ganske enkelt gitt ved

:\begin{align}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sinh x &= \cosh x \\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cosh x &= \sinh x \\
\end{align}

Det kan så benyttes til å vise at 

:\begin{align}

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tanh x &= 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x} \\ 
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\coth x &= 1 - \coth^2 x = -\operatorname{csch}^2 x = -\frac{1}{\sinh^2 x} && x \neq 0 \\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \operatorname{sech}\,x &= - \tanh x  \operatorname{sech}\, x \\ 
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \operatorname{csch}\,x &= - \coth x  \operatorname{csch}\,x && x \neq 0 \\
\end{align}

### Taylor-utviklinger

Fra  Taylor-rekken til eksponensialfunksjon følger direkte at

:\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} +\ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

og viser tydelig at det er en odde funksjon, nemlig \sinh(-x) = -\sinh x. På samme måte er

:\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}

i overensstemmelse med at den er en like funksjon, nemlig \cosh(-x) = \cosh x. Taylor-rekken til tangens-funksjonene blir dermed

:\tanh x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} - \frac{17x^7}{315} + \ldots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!},\quad |x| 

:\coth x = x^{-1} + \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} + \frac{2x^5}{945} + \ldots = x^{-1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!},\quad 0  

der B(n) er n-te det Bernoulli-tallet.

## Hyperbolsk vinkel

Alle likhetspunkter mellom hyperbolske og trigonometriske funksjoner gjør det også naturlig å spørre om det geometriske innholdet av den hyperbolske vinkelen, det vil si argumentet i de hyperbolske funksjonene. 

Betrakter man en sirkel  x^2 + y^2 = 1 , kan den parametrisere ved funksjonene  x = \cos\theta  og   y = \sin\theta  der *&theta;* er en vinkel som varierer mellom 0 og 2*&pi;*. Samtidig gir den arealet *A* av en sektor til sirkelen som ligger mellom 0 og *&theta;&thinsp;* som *A* =  *&theta;*/2, noe som følger direkte fra arealene til små, likesidet trekanter som den kan bli delt opp i. 

Men alternativt kan dette arealet også finnes fra arealet av den rettvinklete trekanten med grunnlinje cos&thinsp;*&theta;&thinsp;* og høyde sin&thinsp;*&theta;&thinsp;* pluss den delen som ligger utenfor trekanten og under sirkelen. Det betyr at

:  A = {1\over 2}\sin\theta\cos\theta + \int_{\cos\theta}^1 dx\sqrt{1 - x^2} 

Integralet her kan utføres ved å skrive *x* = cos&thinsp;*&alpha;* og benytte at den vanlige, trigonometriske identiteten for sin2*&alpha;* uttrykt ved cosinus til den dobbelte vinkel. Det gir

:  A = {1\over 2}\sin\theta\cos\theta + \int_0^\theta\! d\alpha\sin^2\alpha = {1\over 2}\sin\theta\cos\theta + {\theta\over 2} - {1\over 4}\sin 2\theta = {\theta\over 2} 

som er det forventete resultatet.

For hyperbelen  x^2 - y^2 = 1  kan man nå gjøre det samme. En sektor defineres her på tilsvarende måte ved det området som er begrenset av en radiell linje fra origo til et punkt  på hyperbelen og hyperbelbuen over *x*-aksen. Den har et areal *A* som nå er gitt ved en trekant minus den delen som ligger under hyperbelbuen, det vil si

:  A = {1\over 2}\sinh a\cosh a - \int_1^{\cosh a} dx\sqrt{x^2 - 1} 

Ved å innføre her den nye variable *x* = cosh&thinsp;*&alpha;* og benytte identiteteten som knytter sinh2*&alpha;&thinsp;* til cosh2*&alpha;*, finner man

:  A = {1\over 2}\sinh a\cosh a + {a\over 2} - {1\over 4}\sinh 2a = {a\over 2} 

etter å ha benyttet at \sinh 2a = 2\sinh a\cosh a.  Det hyperbolske argumentet kan derfor igjen forstås som arealet av en sektor som er definert på tilsvarende vis som for en sirkel.

## Inverse hyperbolske funksjoner

Da argumentet til de hyperbolske funksjonene har betydning av et areal, kalles de inverse funksjonene ofte for **arealfunksjoner**.  For eksempel, den inverse funksjonen til **sinh** kalles derfor **arsinh** og den inverse til **cosh** er **arcosh**. De må alle oppfylle det basale kravet til inverse funksjoner, for eksempel må

:\operatorname{arsinh}(\sinh u) = u

Denne ligningen kan nå løses ved å skrive x = \sinh u slik at  u=\operatorname{arsinh}x. Ved å bruke definisjonen av hyperbolsk sinus, finner man direkte ligningen 
:e^u-e^{-u}=2x

eller
: e^{2u} -2x e^u - 1 = 0

som er en andregradsligning for e^u. Da denne må være positiv, er det bare en løsning 
:e^u=x+\sqrt{x^2+1} 
eller

:\operatorname{arsinh} x = \ln \left( x+\sqrt{x^2+1} \right)

Det er lett å sjekke at dette stemmer da 
:x+\sqrt{x^2+1}=\sinh u + \cosh u =e^u

På samme måte for de andre funksjonene finner man så tilsvarende at

:\operatorname{arcosh} x= \ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right);\quad x\ge 1

:\operatorname{artanh} x= \tfrac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x};\quad |x|

:\operatorname{arcoth} x= \tfrac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x-1};\quad |x|>1

### Deriverte

:{\mathrm{d}\over\mathrm{d}x} \operatorname{arsinh} x =\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}

:{\mathrm{d}\over\mathrm{d}x} \operatorname{arcosh} x =\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}

:{\mathrm{d}\over\mathrm{d}x}\operatorname{artanh}  x =\frac{1}{1-x^2}

:{\mathrm{d}\over\mathrm{d}x} \operatorname{arcoth}  x =\frac{1}{1-x^2}

### Taylor-utviklinger

:\begin{align}
\operatorname{arsinh} x & = x - \left( \frac{1}{2} \right) \frac{x^3}{3} + \left( \frac{1\cdot 3}{2\cdot 4} \right) \frac{x^5}{5} - \left( \frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6} \right) \frac{x^7}{7} + \ldots \\
                       & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2} \right) \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)}, \quad |x| 

:\begin{align}
\operatorname{arcosh} x & = \ln 2x - \left( \left( \frac{1}{2} \right) \frac{x^{-2}}{2} + \left( \frac {1\cdot 3}{2\cdot 4} \right) \frac{x^{-4}}{4} + \left( \frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6} \right) \frac{x^{-6}}{6} + \ldots \right) \\
                      & = \ln 2x - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2} \right) \frac{x^{-2n}}{(2n)}, \quad x > 1 
\end{align}

:\operatorname{artanh} x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \frac{x^7}{7} + \ldots 
                      = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)} , \quad |x| 

og hvorfra man også har:
:\operatorname{arcoth} x = \operatorname{artanh}(1/x)

## Standardintegral

Fra de deriverte av de vanlige, hyperbolske funksjonene følger direkte integralene

:\int\sinh ax\,dx = {1\over a}\cosh ax + C

:\int\cosh ax\,dx = {1\over a} \sinh ax + C

:\int \tanh ax\,dx = {1\over a} \ln(\cosh ax) + C

:\int \coth ax\,dx = {1\over a} \ln(\sinh ax) + C

hvor *C&thinsp;* er en integrasjonskonstant. 
Andre integral kan uttrykkes ved de inverse funksjonene. For eksempel, i integral som involverer &radic;(*x<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>)* kan man sette  slik at kvadratroten . Sammen med  gir det for eksempel integralet

:\int{\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}}=\operatorname{arsinh} \frac{x}{a}+C

Samme metode med  gir likedan

:\int{\frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}}= \operatorname{arcosh} \frac{x}{a} +C, 

mens substitusjonen  gjør det mulig å gjøre integralet

:\int{\frac{dx}{a^{2}-x^{2}}}= {1\over a}\operatorname{artanh} \frac{x}{a} +C 

når *|x| < |a|*. Hvis ikke, er svaret gitt ved arcoth*(x/a)*. Mer kompliserte integral kan finnes med de samme substitusjonene analogt med tilsvarende integral som kan uttrykkes ved trigonometriske funksjoner.

## Komplekse hyperbolske funksjoner

Eksponensialfunksjon en e*x* kan utvides til å gjelde for alle komplekse argument *z = x* + i*y*. Den resulterende, komplekse funksjonen 

:e^z = e^{x + iy} = e^x\cdot e^{iy} = e^x(\cos y + i\sin y)

er da definert i hele det  komplekse planet med verdier som finnes fra Eulers likhet. Den samme utvidelsen kan benyttes til å definere de tilsvarende, komplekse utvidelsene \,\sinh z og \,\cosh z av de hyperbolske funksjonene. De vil dermed bli periodiske med periode 2&pi;&thinsp;i i den imaginære retningen. Her er i den imaginære enheten. Egenskapene til de deriverte funksjonene vil dermed være de samme som for de reelle funksjonene gitt tidligere og finnes ganske enkelt derav ved å la x \to z.

:

De tidligere addisjonsteoremene gjelder også for disse komplekse utvidelsene slik at man har

:\begin{align}
    \cosh(x+iy) &= \cosh x \cos y + i \sinh x \sin y \\
     \sinh(x+iy) &= \sinh x \cos y + i \cosh x \sin y \\
\end{align}

Herav følger de viktige sammenhengene
:\begin{align}
    \cosh iy &= \cos y \\
    \sinh iy &= i \sin y \\
   \tanh iy &= i \tan y \\
\end{align}

som også kan leses direkte ut av definisjonene for disse funksjonene.

## Lorentz-transformasjonen

Hyperbolske funksjoner kan benyttes i spesiell relativitetsteori til å beskrive Lorentz-transformasjoner mellom forskjellige inertialsystem. For eksempel, en slik transformasjon mellom et system med koordinatene (*x',t')* som beveger seg med konstant hastighet *v* langs *x*&thinsp;-&thinsp;aksen i forhold til et annet system med koordinatene (*x,t)* kan skrives som

:\begin{align}
    x &= x'\cosh\theta + ct'\sinh\theta \\
    ct &= ct'\cosh\theta + x'\sinh\theta \\
\end{align}

hvor *c* er lyshastigheten. Her er videre

:  \cosh\theta = {1\over\sqrt{1 - v^2/c^2}} 

den berømte Lorentz-faktoren og

:  \sinh\theta = {v/c\over\sqrt{1 - v^2/c^2}} 

slik at cosh2*&theta;* - sinh2*&theta; = 1*. Derfor er  slik at dette **tidromintervallet** er uforandret eller invariant under Lorentz-transformasjonen. Man kan betrakte den som en vanlig rotasjon i et rom hvor tidskoordinaten er it med i imaginær enhet, altså imaginær.

### Rapiditet

Parameteren *&theta;&thinsp;* i Lorentz-transformasjonen er i utgangspunktet et areal, men kalles i fysikken for *rapiditet* og benyttes til å uttrykke hastigheten til en partikkel. Sammenhengen mellom de to størrelsene er gitt ved

:  v = c\tanh\theta 

eller ved den inverse relasjonen *&theta;* = artanh*(v/c)*. Mens den fysiske hastigheten til en partikkel aldri kan bli større en lyshastigheten, kan dens rapiditet bli vilkårlig stor. Derfor brukes rapiditet ofte for å skille mellom hastighetene til ekstremt relativistiske partikler, for eksempel i elementærpartikkelfysikken.

Betrakter man en partikkel med hastighet *u'&thinsp;* langs *x*' - aksen i (*x',t')* - systemet, vil den ha en hastighet i  - systemet som er gitt ved den relativistiske formelen 

:  u = {u' + v\over 1 + u'v/c^2} 

for addisjon av hastigheter. Bare ved hastigheter mye mindre enn lyshastighetn forenkles denne til det vanlige resultatet . Med bruk av rapiditeter er  og  slik at denne formelen ikke er noe annet enn uttrykket for hyperbolsk tangens til en sum av to areal,

:  \tanh(\phi' + \theta) = {\tanh\phi' + \tanh\theta\over 1 + \tanh\phi'\tanh\theta} 

Det betyr at rapiditene ganske enkelt adderer seg som *&phi; = &phi;' + &theta;* selv ved meget store hastigheter.

Hvis en partikkel med masse *m* ligger i ro i (*x',t')* - systemet, vil den der ha energien  og impuls . Sett fra   - systemet vil den bevege seg langs *x* -aksen med hastighet *v*. Energien og impulsen til den vil da være gitt ved den samme Lorentz-transformasjonen, det vil si

:\begin{align}
    p &= mc\sinh\theta \\
    E &=  mc^2\cosh\theta  \\
\end{align}

Rapiditeten til partikkelen kan nå skrives som

:  \theta = \operatorname{artanh}{pc\over E} = {1\over 2}\ln{E + pc\over E - pc} 

Dette  uttrykket er også gyldig når partikkelen beveger seg i en vilkårlig retning med impulsen *p*. For en masseløs partikkel som fotonet har det liten mening å benytte rapiditet da det beveger seg med lyshastigheten i alle inertialsystemer.

## Litteratur

* M. Abramowitz and I.A. Stegun, *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables*, Dover Books, New York (1964). ISBN 0-486-61272-4.

## Eksterne lenker

* J. H. Barnett, ''The Early Drama of Hyperbolic Functions'', Mathematics Magazine, **77**, no. 1, 15 - 30 (2004).