Barysentriske koordinater

**Barysentriske koordinater** benyttes til å angi posisjonen av et punkt i planet relativt til de tre hjørnene i en trekant som ligger i det samme planet. Likedan kan de benyttes til å angi posisjonen til et punkt på en linje relativt til endepunktene av et gitt linjestykke langs linjen eller posisjonen til et punkt i det tredimensjonale rommet relativt til de fire hjørnene av et tetraeder.

Koordinatene ble innført av August Möbius i 1827 og var det første eksempel på bruk av *homogene koordinater*.  Disse ble kort tid senere av stor betydning for en analytisk beskrivelse av projektiv geometri. De må ikke forveksles med de koordinater som benyttes i massesenteret til en samling av mekaniske masser selv om det eksisterer en nær sammenheng. Denne er også uttrykt i navnet barysentrisk som kommer fra det greske βαρύς (*barýs*) for tung eller massiv.

Flere tiår etter Möbius ble moderne vektorregning utviklet. Det gjorde det klart at hans koordinater opptrer på en naturlig måte i affine vektorrom. De benyttes fremdeles i dag innen spesielle sektorer av moderne datagrafikk.

## Definisjon

I et plan kan de tre hjørnene til et triangel angis ved posisjonsvektorene **r**1, **r**2 og **r**3 i et affint eller euklidsk rom. Hvis man plasserer masser *m*1, *m*2 og *m*3 i de samme punktene, vil massesenteret eller *tyngdepunktet* for dette systemet befinne seg i en posisjon **r***S*&thinsp; gitt ved

:  (m_1 + m_2 + m_3)\mathbf{r}_S = m_1\mathbf{r}_1 + m_2\mathbf{r}_2 + m_3\mathbf{r}_3 

Når dette er et mekanisk system, vil de tre massene være positive og massesenteret ligge inne i trekanten. Men Möbius ga denne sammenhengen et mer geometrisk innhold ved å tilordne hvert hjørne **x***k* en abstrakt vekt *m**k* som kunne både være positiv, negativ eller null. I planet vil da de tre tallene  entydig bestemme et *tyngdepunkt* ved bruk av den samme formelen og derfor sies å være dets koordinater. Hvis en av disse abstrakte massene er null, vil det tilsvarende punktet ligge på den siden i trekanten som forbinder de to hjørnene med masser. Hvis to masser er null, vil tyngdepunktet være i det hjørnet som har masse.

Denne definisjonen kan lett utvides for koordinater i et *n*-dimensjonalt vektorrom. Man behøver da *n* + 1 uavhengige posisjonsvektorer  **r**1, **r**2, ...,  **r***n*+1 som definerer hjørnene til et *n*-dimensjonalt simplex. Hvert punkt i dette rommet kan da angis ved *n* + 1 barysentriske koordinater . I alminnelighet kan disse tilhøre andre tallkropper enn de reelle tallene.

### Homogene koordinater
 
Hvis alle koordinatene  multipliseres med en og samme konstant, vil ikke tyngepunktet til massene forandres. Derfor representerer  samme punkt som . Slike koordinater sies å være **homogene** og benyttes i projektiv geometri. For å understreke at det kun er deres relative størrelser som betyr noe, angir man homogene koordinater av og til med et kolontegn istedet. Derfor angir man det gjeldende punktet som . Av disse *n* + 1 koordinatene er det derfor bare *n* som er uavhengige. For punkter i et plan, trenger man bare to som tilsvarer at det er todimensjonalt.

Med denne friheten i de barysentriske koordinatene, er det ofte hensiktsmessig å velge dem slik at de oppfyller

:  m_1 + m_2 + \cdots + m_{n+1} = 1 

og kalles for *normaliserte* koordinater. De er da ekvivalente med affine koordinater hvor et av hjørnene i simplexet spiller rollen som origo. Med denne normaliseringen vil da for eksempel de tre hjørnene til et referansetriangel i to dimensjoner få de homogene koordinatene (1:0:0), (0:1:0) og (0:0:1) uavhengig av dets form.

### Sammenheng med kartesiske koordinater

Hvis hjørnene i referansesimplexet er angitt i et kartesisk koordinatsystem, kan de barysentriske koordinatene beregnes. For eksempel, i et plan med  slike koordinater (*x, y*)  er de tre hjørnene i den brukte trekanten **r***k*&thinsp; gitt som (*x<sub>k</sub>*, *y<sub>k</sub>*) for *k* = 1,2 og 3. De homogene koordinatene for et vilkårlig punkt **r***S* = (*x<sub>S</sub>*, *y<sub>S</sub>*)&thinsp; kan da finnes fra

: \begin{align} x_S &= m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3 = m_1(x_1 - x_3) + m_2(x_2 - x_3)\\ y_S &= m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3 = m_1(y_1 - y_3) + m_2(y_2 - y_3) \end{align} 

når man benytter normaliseringen *m*1 + *m*2 + *m*3 = 1. Da de kartesiske koordinatene for de tre referansepunktene anses som kjente, er dette et lineært ligningssystem som kan løses for de to ukjente  *m*1 og  *m*2 for hvert punkt **r***S*&thinsp; i planet.

På matriseform kan de to ligningene skrives

:  \begin{bmatrix}
x_1 - x_3 & x_2 - x_3  \\
y_1 - y_3& y_2 - y_3  
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} m_1 \\ m_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_S \\ y_S \end{bmatrix}

Deres løsning kan finnes såfremt determinanten

: \begin{align} \det  \begin{bmatrix}
x_1 - x_3 & x_2 - x_3  \\
y_1 - y_3& y_2 - y_3  
\end{bmatrix} &=  \begin{vmatrix} x_1 - x_3 & x_2 - x_3 & x_3  \\ y_1 - y_3 & y_2 - y_3 & y_3  \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}\\  &=  \begin{vmatrix} x_1 & x_2  & x_3 \\ y_1 & y_2  & y_3  \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \end{align} 

er forskjellig fra null. Da den representerer det dobbelte arealet til referansetrekanten, er denne betingelsen allerede oppfylt. Ligningssettet som gir de barysentriske koordinatene, kan derfor skrives på den mer symmetriske måten som

:  \begin{bmatrix} x_1 & x_2  & x_3 \\ y_1 & y_2  & y_3  \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\cdot  \begin{bmatrix} m_1 \\ m_2 \\ m_3 \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} x_S \\ y_S \\ 1 \end{bmatrix}

da *m*1 + *m*2 + *m*3 = 1 for de normaliserte koordinatene for punkt i den endelige delen av planet. Hvis derimot , vil uttrykkene for *x<sub>S</sub>* og *y<sub>S</sub>&thinsp;* divergere. Tyngdepunktet ligger da uendelig langt bort.

## En dimensjon

Koordinaten for tyngdepunktet *S* til to masser *m*1 og *m*2 som ligger på en rett linjei  i posisjonene *x*1 og *x*2, er bestemt ved ligningen

:  (m_1 + m_2)x_s = m_1x_1 + m_2 x_2 

Den kan skrives om til

:  m_1(x_S - x_1) = m_2(x_2 - x_S)  

Hvis man innfører avstandene ℓ1 = *x<sub>S</sub>* -  *x*1 og ℓ2 = *x*2 -  *x<sub>S</sub>*,  tar den formen

:  m_1\ell_1 = m_2\ell_2 

Dette uttrykker vektstangprinsippet som sier at dreiemomentet om tyngdepunktet er null når de to massene befinner seg i et tyngdefelt. De to barysentriske koordinatene (*m*1: *m*2) for tyngdepunktet er derfor gitt ved forholdet *m*1/*m*2 = ℓ2/ℓ1. For punkt *S* mellom de to referansepunktene *x*1 og *x*2 er  begge avstandene  ℓ1 og ℓ2 positive slik at da vil koordinatene oppfylle *m*1/*m*2 > 0.

For midtpunktet mellom de to referansepunktene vil ℓ1 = ℓ2 som tilsvarer . De barysentriske koordinatene for dette punktet er derfor (1:1) som tilsvarer de normaliserte koordinatene (1/2 : 1/2).

Derimot vil en av avstandene ℓ1 og ℓ2 ta negative verdier når tyngdepunktet ligger utenfor referansestrekningen mellom  *x*1 og *x*2. Forholdet *m*1/*m*2 blir derfor negativt i dette tilfellet. Når det ligger til venstre for *x*1, vil .  I det motsatte fall at punktet ligger til høyre utenfor *x*2, vil derimot .

### Punkt i det uendelige
Når *m*1/*m*2 = -1 som tilsvarer at de to massene er like store med motsatt fortegn, vil tyngdepunktet *S* bevege seg ut til uendelig. Når det ligger uendelig langt borte til venstre vil dette tilsvare punktet - &infin;, mens det i motsatt fall går mot + &infin; til høyre. Men begge disse punktene har de samme, homogene koordinatene (1:-1) = (-1:1) som tilsvarer at da er . Så med homogene koordinater finnes det bare et punkt i det uendelig, og man kan ikke skille mellom + &infin; og - &infin;. De må identifiseres med hverandre.

### Harmonisk konjugert punkt

Kalles de to referansepunktene for *X*1 og *X*2, er tyngdepunktet *S* gitt som

:  S = {m_1X_1 + m_2X_2\over m_1 + m_2} 

Det deler linjestykket mellom disse to punktene i forholdet  *m*1/*m*2. For hvert slikt punkt mellom  referansepunktene finnes det et annet, harmonisk konjugert punkt *S'&thinsp;* som ligger utenfor linjestykket. Forholdet mellom dets avstander til referansepunktene er det samme, men med motsatt fortegn. Det er derfor gitt som

:  S' = {m_1X_1 - m_2X_2\over m_1 - m_2} 

Midtpunktet (1:1) mellom referansepunktene er derfor harmonisk konjugert med punket (1:-1) = (-1:1) i det uendelige.

## Koordinater i planet

Barysentriske koordinater har flest anvendelser i det todimensjonale planet. Det er da hensiktsmessig å betegne dem som  istedenfor . Er referansetrekanten gitt ved hjørnene *X*1, *X*2 og *X*3, kan et vilkårlig punkt *P* i planet angis ved den affine sammenhengen

:  P = uX_1 +  vX_2 +  wX_3 

når man benytter den vanlige normaliseringen  for punkter i den endelige delen av planet. De tre hjørnene har derfor de normaliserte koordinatene (1:0:0), (0:1:0) og (0:0:1) som er uavhengige av trekantens form. Punkt som ligger i det uendelig fjerne, har koordinater som oppfyller .

En rett linje i planet er i et kartesisk koordinatsystem beskrivet ved den lineære ligningen *y* = *kx* + *y*0. Da sammenhengen mellom de kartesiske koordinatene (*x, y*) og de tilsvarende barysentriske også er lineær, vil den samme linjen  ta formen

:  au + bv + cw = 0 

ved bruk av disse koordinatene. Her er *a*, *b* og *c&thinsp;* lineære kombinasjoner av de opprinnelige linjekoordinatene . De kan multipliseres med en konstant uten at linjen forandres. Derfor er  *a*, *b* og *c&thinsp;* homogene linjekoordinater og skrives som . Punktene i det uendelig fjerne ligger derfor på en linje med koordinater  En vilkårlig linje med koordinater  vil møte denne i det uendelige punktet . Summen av disse tre koordinatene er null.

Alle punkt på en rett linje mellom *X*1 og *X*2 vil ha . Da vil  som viser eksplisitt at punktet *P* ligger på en linje mellom *X*1 og *X*2. Likedan  vil ligningen  beskrive linjen mellom  *X*2 og *X*3 og tilsvarende for linjen .

### Linje mellom to punkt

Når man har gitt to punkt *P*1 = (*u*1: *v*1: *w*1) og  *P*2 = (*u*2: *v*2: *w*2), kan da forbindes med en linje av formen . Da både koordinatene for *P*1 og *P*2 må masse inn i denne, vil linjens koordinater  være gitt ved tre homogene, lineære ligninger. De er en entydig løsning kun når determinanten til koeffisientene til disse tre ukjente er null. Ligningen for linjen følger derfor fra betingelsen

:  \det  \begin{bmatrix} u_1 & v_1  & w_1 \\ u_2 & v_2  & w_2  \\ u & v & w \end{bmatrix} = 0 

Den gir (*v*1*w*2 - *v*2*w*1)*u* + (*w*1*u*2 - *w*2*u*1)*v* + (*u*1*v*2 - *u*2*v*1)*w* = 0 som inneholder de homogene koordinatene til linjen. For en linje mellom hjørnene  og  gir den igjen ligningen .

Som et annet, enkelt eksempel kan man beregne linjen som går gjennom *P*1 og trekanthjørnet *X*1.  Den linjen blir . Tilsvarende former tar ligningene for linjer gjennom de to andre hjørnene.

### Skjæringspunkt mellom to linjer

Når to linjer med koordinater   og  skjærer hverandre i den endelige delen av planet vil koordinatene til skjæringspunktet  oppfylle normaliseringen . Dets tre koordinater vil derfor være løsningen av to homogene pluss en inhomogen ligning som alle tre er lineære. De kan finnes direkte fra bruk av Cramers regel som gir

:   P = {1\over D}(b_1c_2 - b_2c_1: c_1a_2 - c_2a_1: a_1b_2 - a_2b_1) 

hvor  determinanten

:  D = \det  \begin{bmatrix} a_1 & b_1  & c_1 \\ a_2 & b_2  & c_2  \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} 

Hvis linjene er parallelle, er denne lik null og de vil møtes i samme punkt  i det uendelige. Da er ,  og  hvor *k* er en felles konstant slik at determinanten blir null.

Ligningen for en linje som går gjennom et gitt punkt og er parallell med en annen linje, kan nå finnes da den vil gå gjennom dennes punkt i det uendelige. Man kan derfor benytte ligningen for linjen mellom to gitte punkt.

## Arealkoordinater

De barysentriske koordinatene i planet kan gis et geometrisk tolkning slik at de kalles *arealkoordinater*. Hvis de tre hjørnene i referansekantene kalles *A*, *B* og *C*, vil et punkt *P* kunne angis som

:  (m_A + m_B + m_C)P = m_AA + m_BB + m_C C 

Dette uttrykket kan omformes ved å innføre et av tyngdepunktene til en av sidekantene i trekanten. Hvis man for eksempel velger punktet *L* på siden motsatt hjørnet *A*, er dette definert ved

:  (m_B + m_C)L  = m_B B + m_C C 

Avstanden til dette tyngdepuntet fra de to hjørnene *B* og *C* er gitt ved linjestykkene *BL* og *LC*. Som i det endimensjonale tilfellet vil man da ha . Nå kan dermed punktet *P* uttrykkes ved kombinasjonen

:  (m_A + m_B + m_C)P =  m_AA + (m_B + m_C)L  

som viser eksplisitt at *P* ligger på den rette linjen mellom *A* og *L*.

De to trekantene *PBL* og *PLC* har forskjellige grunnlinjer *BL* og *LC*, men samme høyde. Betegner man arealene til disse trekantene på samme måte, har man derfor

:  {PBL\over PLC} = {BL\over LC} = {m_C\over m_B} 

Av samme grunn vil dette også være forholdet mellom arealene *ABL* og *ALC*. Dermed er også

:  {m_C\over m_B}  = {ABL\over ALC} = {ABL - PBL\over ALC - PLC } = {PAB\over PAC} 

Her er *PAB* arealet av trekanten bestående av siden i trekanten motsatt av punktet *C* og med tredje hjørne i det felles tyngdepunkt *P*. Likedan består trekanten *PAC* av dette punktet og siden motsatt hjørne *B*.

Tilsvarende relasjoner kan finnes for forholdene *m<sub>B</sub>*/*m<sub>A</sub>* og *m<sub>A</sub>*/*m<sub>C</sub>* uttrykt ved de tilhørende arealene til de tre trekantene med felles hjørne i punktet *P*. Disse tre arealene kan derfor likså godt brukes som barysentriske koordinater. De normaliseres ved å dividere dem med arealet til hele referansetrekanten.

### Trilineære koordinater
 

Sannsynligvis uavhengig av Möbius viste Julius Plücker i 1829 at man kan definere tre lignende, *trilineære koordinater* for punkter i planet basert på tre linjer som skjærer hverandre. 
Disse koordinatene er definert ved avstandene som punktet har til de tre linjene. De kan ta både positive og negative verdier avhengig av på hvilken side av linjene punktet ligger når linjene har definerte retninger.

De tre gitte koordinatlinjene definerer en trekant *ABC&thinsp;* hvor de motstående sidene kan betegnes med *a*, *b* og *c*. Et punkt *P* i trekanten har da tilsvarende høyder *a'&thinsp;*, *b'&thinsp;* og *c'&thinsp;* på disse sidene som dermed utgjør de trilineære koordinatene til punktet i dette tilfellet.  Da de kan multipliseres med en vilkårlige konstant som tilsvarer arealet til trekanten, er de derfor også homogene koordinater. Dette gjorde Plücker god bruk av og etablerte på den måten grunnlaget for en analytisk fremstilling av projektiv geometri.

Disse koordinatene til Plücker er direkte forbundet med de barysentriske koordinatene til  Möbius. For et punkt *P* i trekanten har man for disse at for eksempel

:  {m_C\over m_B}  = {PAB\over PAC} = {cc'\over bb'} 

og tilsvarende for de andre koordinatene. Derfor vil dette punktet med de trilineære koordinatene *a'&thinsp;*, *b'&thinsp;* og *c'&thinsp;* ha barysentriske koordinater gitt ved sammenhengene

:  (m_A: m_B : m_C) = (aa' : bb' : cc') 

For en trekant med gitte sider kan man derfor fritt skifte mellom disse to koordinatsystemene.

## Referanser


## Eksterne lenker
* E.W. Weisstein, ''Barycentric Coordinates'', Wolfram MathWorld.
* Cut the Knot, ''Barycentric coordinates''
* P. Yiu, ''Introduction to the Geometry of the Triangle'' , Florida Atlantic University (2013).
* P. Pamfilos, ''Barycentrics''