Egenvektor

I matematikk er en **egenvektor** til en lineær transformasjon *T*: *V* → *V* et element i vektorrommet *V* som ikke endrer retning når den avbildes av transformasjonen.  **Egenverdien** er et uttrykk for hvor mye egenvektoren strekkes av den lineære transformasjonen.  En egenverdi og en egenvektor opptrer i samhørende par, og en gitt lineær transformasjon kan ha ingen eller mange slike par av egenverdier/egenvektorer. 

Begrepet *egenløsning* blir brukt til å referere til både egenverdi og egenvektor.  Dersom vektorrommet *V* er et rom av funksjoner brukes også navnet *egenfunksjon* synonymt med egenvektor.  Retninger bestemt av egenvektorer kalles av og til *egenretninger*.  Å finne sammenhørende verdier for egenverdi og egenvektor kalles å løse et *egenverdiproblem*.

Egenverdier og egenvektorer spiller en svært viktig rolle i studiet av lineære transformasjoner, blant annet for å kartlegge hvilke egenskaper til transformasjonen som er uavhengig av valg av basis i definisjonsmengden og verdimengden.  Mange problemstillinger i anvendt matematikk og fysikk kan formuleres som egenverdiproblem, for eksempel beskrivelse av svingninger i en membran.  

## Formell definisjon
### Egenverdi og egenvektor
En egenverdi og egenvektor til en lineær transformasjon *T*: *V* → *V* er et samhørende par av en skalar verdi \lambda og et ikkenull-element *x* i vektorrommet *V* som oppfyller ligningen

:T(x) = \lambda x \, 

Dersom *x* er en egenvektor, så vil også *kx* være det, der *k* er en skalar.  Egenvektoren med lengde 1 er en *enhetsegenvektor*. 

Absoluttverdien til den største egenverdien, dersom en slik verdi eksisterer, kalles *spektralradien* til transformasjonen.

### Egenrom
Til en og samme egenverdi \lambda kan det eksisterer flere egenvektorer.  Rommet utspent av egenvektorene til en gitt egenverdi kalles for *egenrommet* svarende til egenverdien.  Dimensjonen til dette rommet kalles for den *geometriske multiplisiteten* til egenverdien.

Egenrommet svarende til egenverdien \lambda er lik nullrommet til transformasjonen (*T* – \lambda*I*).

### Lineære transformasjoner på endeligdimensjonale rom
Dersom vektorrommet *V* har endelig dimensjon, så har den lineære transformasjonen en matriserepresentasjon, og definisjonen av egenløsning for en lineær transformasjon og for en matrise er sammenfallende.

For en kvadratisk matrise *A* er egenverdiene en løsning av det såkalte karakteristiske polynomet, definert ved

:p_A(\lambda) = \det( A - \lambda I ) \, .

Her er *I* enhetsmatrisen med samme dimensjon *n* som *A*.  Polynomet i \lambda har grad *n*, og tar en multiplisiteten med i betraktning vil alltid matrisen ha *n* komplekse egenverdier.  Faktorisert kan det karakteristiske polynomet skrives som

:p_A(\lambda) = ( \lambda - \lambda_1)^{d_1}  ( \lambda - \lambda_2)^{d_2} \dots ( \lambda - \lambda_k)^{d_k}    \, .

Her er \lambda_i en egenverdi, og *d*i kalles den *algebraiske multiplisiteten* til denne.  Sammenhengen mellom den algebraiske om den geometriske multiplisiteten til en egenverdi er komplisert, men den geometriske multiplisiteten er alltid mindre eller lik den algebraiske.

## Eksempel på egenløsninger

### Eksempel for endelig-dimensjonale rom
Gitt en transformasjon *T*: **R**2 → **R**2 definert ved den følgende matrisen

:
A =   \begin{bmatrix}    
    1 & 2 \\
    3 & 0  
 \end{bmatrix}


Transformasjonen har egenverdier lik 3 og -2, med tilhørende egenvektorer (1,1) og (2,-3).  For det første paret gjelder altså at 

:
\begin{bmatrix}    
    1 & 2 \\
    3 & 0  
 \end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}    
    1 \\
    1  
 \end{bmatrix} = 
3  
\begin{bmatrix}    
    1 \\
    1  
 \end{bmatrix}


### Eksempel for uendelig-dimensjonale rom
Gitt en transformasjon *T* definert på mengden av reelle funksjoner på intervallet [0,2π] som er to ganger deriverbare, og som har egenskapen *f*(*0*) = *f*(2*π*) = 0.  La *T* avbilde enhver funksjon på den andrederiverte av seg selv, det vil si

:T(f) = f* \, </math>

Transformasjonen har egenverdier lik *k*  = 1/*n* (*n* = 1,2,...) og egenfunksjoner *f*(*x*) = *sin kx*. 

=== Eksempel på ikke-eksistens av egenløsninger ===
Det er ikke gitt at en lineær transformasjon har egenløsninger.  Et eksempel på en transformasjon som ikke har egenløsning er gitt ved den følgende:

La *V* være vektorrommet av alle [[polynomfunksjon]]er. Definer transformasjonen *T* på dette rommet ved

:<math>T(p) = \int p(t) dt \, </math>

Siden integrasjon av et polynom øker graden til polynomet med én eksisterer det ingen egenløsninger til denne transformasjonen.

=== Eksempel på eksistens / ikke-eksistens ===
Gitt en transformasjon *T* definert ved matrisen

:<math>
A =   \begin{bmatrix}    
    0 & -1 \\
    1 & 0  
 \end{bmatrix}
</math>

Dersom *T* er definert som en transformasjon på mengden av reelle vektorer *'R**<sup>2</sup>, så eksisterer det ingen egenløsninger.  Definert som en transformasjon på mengden av komplekse vektorer **C*'<sup>2</sup> så eksisterer egenverdiene  *i* og (-*i*)  med de tilhørende egenvektorene (-1,*i*) og (1,*i*).  Her er *i* den [[imaginær enhet|imaginære enheten]]. 

== Egenskaper ==
I det følgende, la <math>\lambda</math> og *x* være samhørende egenverdi og egenvektor til transformasjonen  *T*: *V* → *V*.

* Egenvektorer svarende til to ulike egenverdier er [[linearitet#lineær avhengighet|lineært uavhengige]].  

* Egenverdiene er uavhengige av valg av [[basis (matematikk)|basis]] i vektorrommet *V*. 

* Dersom inversen *T* <sup>-1</sup> eksisterer, så har denne en egenvektor lik *x* og egenverdien (1/<math>\lambda</math>).

* Transformasjonen *T* <sup>2</sup> har en egenvektor lik *x* og egenverdien <math>\lambda</math><sup>2</sup>.

* En [[Matrise#Matrisetyper|Hermitsk matrise]] har kun reelle egenverdier.  Det samme gjelder for en reell [[symmetrisk matrise]].  Egenvektorene er parvis [[ortogonalitet|ortogonale]].

* En *idempotent matrise* er en kvadratisk matrise der *A*<math>^2</math> = *A*, og for en slik matrise er alle egenverdiene lik 0 eller 1.

* En *nilpotent matrise* er en kvadratisk matrise der *A*<math>^k</math> = *0* for et heltall *k*, og en slik matrise har alle egenverdier lik 0.

* For en reell ortogonal matrise er alle egenverdiene lik -1 eller 1.

* For en *n* × *n* matrise er [[Matrise#Determinanten til en kvadratisk matrise|determinanten]] lik produktet av de *n*  egenverdiene, og [[Matrise#Sporet til en kvadratisk matrise|sporet]] er lik summen av egenverdiene.

== Egenverdier til similære matriser ==
To matriser *A* og *B* er *similære* dersom de representerer den samme lineære transformasjon *T*: *V* → *V* med hensyn på to ulike basis-sett for *V*.  Det eksisterer da en ikke-singulær matrise *M* slik at

:<math>A = M^{-1}BM \, </math> 

Similære matriser har samme sett av egenverdier.

== Diagonalisering ==
Et viktig problem i Lineær Algebra er det såkalt *diagonaliseringsproblemet,* gitt en [[lineær transformasjon]] *T* på et endeligdimensjonalt vektorrom *V*, kan vi finne en [[Basis (matematikk)|basis]] β for *V* slik at den tilhørende [[Matrise|matrisa]] til *T* i basisen β er en diagonalmatrise? Siden regning med diagonalmatriser er enkelt vil en slik basis gi innsikt i transformasjonen, og gi en enkel løsning på mange praktiske problemer som involverer matriseregning. Løsningen på problemet, dersom den finnes, er å velge en basis av egenvektorene til *T*. For at dette skal være mulig må egenvektorene utspenne det *n*- dimensjonale vektorrommet *V,* og dette fører oss til en generell test for diagonaliserbarhet:  
# Det karakteristiske polynomet til *T* har *n* reelle røtter.  
# For hver egenverdi <math>\lambda</math> til *T* er den algebraiske multiplisiteten lik den geometriske multiplisiteten.   
Dersom disse kriteriene er oppfylt kan vi finne en basis for *V* bestående av egenvektorer, slik at matrisa til *T* i denne basisen er en diagonal matrise med de *n* reelle egenverdiene på diagonalen. Anta <math>A</math> er matrisa til *T* i en gitt basis*,* om *T* er diagonaliserbar finnes det altså en matrise <math>Q</math> bestående av egenvektorer til *T* slik at <math>A = QDQ^{-1}</math> for en diagonal matrise <math>D</math>.   

En reell symmetrisk matrise er alltid diagonaliserbar, og vil ha *n* distinkte reelle egenverdier. Da er det også alltid mulig å finne en ortonormal basis for *V* bestående av egenvektorer. Anta <math>B</math> er en symmetrisk matrise, og <math>M</math> er en ortogonal matrise bestående av (de ortonormale) egenvektorene til <math>B</math>. Da er <math>B = MDM^{-1} = MDM^{T}</math> der <math>D</math> er den diagonale matrise bestående av egenverdiene.  

== Generaliseringer ==
=== Singulærverdier ===
For ikke-rektangulære matriser representerer singulærverdiene en generalisering av egenverdi-konseptet.  For en vilkårlig matrise kan en vise at det alltid vil eksistere to [[matrise#matrisetyper|unitære]] matriser *U* = *U*<sub>*nn*</sub> og *V* = *V*<sub>*mm*</sub> slik at

:<math>U^TAV = \operatorname{diag}(\sigma_1, \sigma_2, .....,\sigma_p) \, </math>

der *p* er lik den minste av verdiene *m* og *n*.   Diagonalelementene <math>\sigma</math><sub>i</sub> kalles singulærverdiene til matrisen.  Singulærverdiene er alltid ikke-negative.

Singulærverdiene for en matrise *A* = *A*<sub>*nm*</sub>  er lik kvadratrøttene til egenverdiene til matriseproduktet (*A*<sup>H</sup>*A*) dersom *m* er større eller lik *n* og ellers lik egenverdiene til (*AA*<sup>H</sup>).   Her er bokstaven H brukt for å markere [[matrise#Konjungert transponering|konjungert transponering]] av en matrise.

=== Spektralteori ===
Spekteret til en lineær transformasjon er mengden av skalarer <math>\lambda</math> som gjør at inversen

:<math>(T - \lambda I)^{-1} \, </math>

ikke eksisterer eller ikke er [[norm (matematikk)#normen til en lineær transformasjon|begrenset]].  Skalarene inneholdt i spekteret kalles *spektralverdier* .  Mengden av egenverdier til *T* er inneholdt i spekteret til *T* og blir i denne sammenhengen kalt for *punktspekteret* til *T''.  

Studiet av spektralverdiene til en lineær transformasjon og egenskapene til disse blir kalt spektralteori.    

Generelt kan en transformasjon ha spektralverdier som ikke er egenverdier.  For en matrise er spekteret identisk med mengden av egenverdier.

## Referanser


## Litteratur
* 
* 
* 
* 

## Eksterne lenker
* EISPACK – Fortran-bibliotek for løsning av egenverdiproblem.  Besøkt 24. april 2010.
* LAPACK – Fortran90-bibliotek med rutiner for løsning av egenverdiproblem.  Besøkt 24. april 2010