Derivasjon av trigonometriske funksjoner

**Derivasjonen av trigonometriske funksjoner** er den matematiske prosessen for å finne ut hvor fort en trigonometrisk funksjon endres med hensyn til en variabel. Vanlige trigonometriske funksjoner omfatter sin(*x*), cos(*x*) og tan(*x*). For eksempel, ved derivasjon av *f*(*x*) = sin(*x*), beregner man en funksjon *f*&nbsp;′(*x*) som beregner hvor fort sin(*x*) endrer seg ved et spesielt punkt *a*. Verdien som viser hvor fort funksjonen endrer seg ved *a* er dermed gitt av *f*&nbsp;′(*a*). Kunnskap om derivasjon fra grunnprinsippene er nødvendig, sammen med kompetanse i bruk av trigonometriske identiteter og grenser. Alle funksjoner involverer den vilkårlige variabelen *x*, med all derivasjon utført med hensyn til *x*.

Det viser seg at med en gang man kjenner de deriverte til sin(*x*) og cos (*x*), kan man enkelt beregne de deriverte av de andre sirkulære trigonometriske funksjonene fordi de alle kan uttrykkes ved sinus eller cosinus; regelen for derivasjon av en kvotient blir dermed iverksatt for å derivere dette uttrykket. Beviser for de deriverte av sin(*x*) og cos(*x*) er gitt i avsnittet for beviser. Resultatene er sitert for å gi bevisene til de deriverte av de andre sirkulære trigonometriske funksjonene. Å finne de deriverte av de inverse trigonometriske funksjonene involverer bruk av implisitt derivasjon og de deriverte av vanlige trigonometriske funksjoner er også gitt i avsnittet for beviser.

## Deriverte av trigonometriske funksjoner og deres inverse

: \left(\sin(x)\right)' = \cos(x)
: \left(\cos(x)\right)' = -\sin(x)
: \left(\tan(x)\right)' = \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)' = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x)= \frac{1}{\cos^2(x)} = \sec^2(x)
: \left(\cot(x)\right)' = \left(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right)' = \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)} = -(1+\cot^2(x)) = -\frac{1}{\sin^2(x)} = -\csc^2(x)
: \left(\sec(x)\right)' = \left(\frac{1}{\cos(x)}\right)' = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos(x)}.\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sec(x)\tan(x)
: \left(\csc(x)\right)' = \left(\frac{1}{\sin(x)}\right)' = -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} = -\frac{1}{\sin(x)}.\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = -\csc(x)\cot(x)
: \left(\arcsin(x)\right)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
: \left(\arccos(x)\right)' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}
: \left(\arctan(x)\right)' = \frac{1}{x^2+1}
: \left(\arccot(x)\right)' = \frac{-1}{x^2+1}
: \left(\arcsec(x)\right)' = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}
: \left(\arccsc(x)\right)' = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}

## Beviser for deriverte av sinus- og cosinusfunksjonene
### Bevis for  <math>\lim_{x\to 0}{\frac{\sin(x)}{x}}=1</math>

I diagrammet over, er arealet av trekant OPA 0 

Arealet av trekant OPA er \frac{1}{2}r^2 \sin(x). Arealet av sektor OPA er \frac{1}{2}r^2 x. Arealet av trekant OAQ er \frac{1}{2}r^2\tan(x). Da har vi

:\sin(x) 

:\frac{\sin(x)}{x}

:x 

:x\cos(x) 

:\frac{\sin(x)}{x} > \cos(x)

:\cos(x) 

Når -\frac{\pi}{2} 

:\sin(-x) 

:-\sin(x) 

:\sin(x) > x \,\!

:\frac{\sin(x)}{x} 

:x>\tan(x) \,\!

:x\cos(x) > \sin(x) \,\!

:\frac{\sin(x)}{x} > \cos(x)

:\cos(x) 

Derfor, når -\frac{\pi}{2}  for x \ne 0

:\cos(x) 

Siden\lim_{x \to 0} \cos(x) = 1 blir uttrykket «klemt flat» mellom 1 og 1, og vi konkluderer med at

:\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1

### Derivasjon av sinusfunksjonen

Definisjonen av den deriverte av en funksjon *f*(*x*):

:f' (x)=\left(\lim_{h\to 0}{\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)}\right)\left(\lim_{h\to 0}{\frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}}\right)=\cos(x)

### Derivasjon av cosinusfunksjonen

Fra den trigonometriske identiteten

:\cos(x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)

Som vist over, siden

:\frac{d}{dx}(\sin(x))=\cos(x)

Derfor,

:\frac{d}{dx}(\cos(x))=\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=-\sin(x)

## Beviser for deriverte av inverse trigonometriske funksjoner
De følgende deriverte er funnet ved å sette en variabel *y* lik den inverse trigonometriske funksjonen vi vil derivere. Ved å bruke implisitt derivasjon og deretter løse med hensyn på *dy*/*dx*, blir den deriverte til den inverse funksjonen funnet uttrykt ved *y*. For å konvertere *dy*/*dx* tilbake til å være uttrykt ved *x*, kan vi tegne en referansetrekant på enhetssirkelen, og la *θ* være *y*. Ved å bruke Pythagoras' læresetning og definisjonen av de vanlige trigonometriske funksjonene, kan vi endelig uttrykke *dy*/*dx* ved *x*.

### Derivasjon av den inverse sinusfunksjonen
Vi lar

:y=\arcsin x\,\!

Der

:-\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{\pi}{2}

Så

:\sin y=x\,\!

Ved å bruke implisitt derivasjon og å løse med hensyn på dy/dx:

:{d \over dx}\sin y={d \over dx}x

:{dy \over dx}\cos y=1\,\!

Ved substitusjon av  \cos y = \sqrt{1-\sin^2 y} fra uttrykket over,

:{dy \over dx}\sqrt{1-\sin^2 y}=1

Ved substitusjon av x=\sin\, y fra uttrykket over,

:{dy \over dx}\sqrt{1-x^2}=1

:{dy \over dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

### Derivasjon av den inverse cosinusfunksjonen
Vi lar

:y=\arccos x\,\!

Der

:0 \le y \le \pi

Så

:\cos y=x\,\!

Ved å bruke implisitt derivasjon og å løse med hensyn på dy/dx:

:{d \over dx}\cos y={d \over dx}x

:-{dy \over dx}\sin y=1

Ved substitusjon av \sin y = \sqrt{1-\cos^2 y}\,\! fra uttrykket over, får vi

:-{dy \over dx}\sqrt{1-\cos^2 y} =1

Ved substitusjon av x=\cos y\,\! fra uttrykket over, får vi

:-{dy \over dx}\sqrt{1-x^2} =1

:{dy \over dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

### Derivasjon av den inverse tangensfunksjonen
Vi lar

:y=\arctan x\,\!

Der

:-\frac{\pi}{2} 

Så

:\tan y=x\,\!

Ved å bruke implisitt derivasjon og å løse med hensyn på dy/dx:

:{d \over dx}\tan y={d \over dx}x

:{dy \over dx}\sec^2 y=1

Ved substitusjon av 1+\tan^2 y = \sec^2 y\,\! fra uttrykket over,

:{dy \over dx}(1+\tan^2 y)=1

Ved substitusjon av x=\tan y\,\! fra uttrykket over,

:{dy \over dx}(1+x^2)=1

:{dy \over dx}=\frac{1}{1+x^2}

### Derivasjon av den inverse cotangensfunksjonen
Vi lar

:y=\arccot x\,\!

Der

: 0 

Så

:\cot y=x\,\!

Ved å bruke implisitt derivasjon og å løse med hensyn på dy/dx:

:{d \over dx}\cot y={d \over dx}x

:{dy \over dx}-\csc^2 y=1

Ved substitusjon av 1+\cot^2 y = \csc^2 y\,\! fra uttrykket over,

:{dy \over dx}-(1+\cot^2 y)=1

Ved substitusjon av x=\cot y\,\! fra uttrykket over,

:{dy \over dx}-(1+x^2)=1

:{dy \over dx}=-\frac{1}{1+x^2}

## Se også
* Trigonometri
* Kalkulus
* Derivasjon
* Tabell over deriverte

## Referanser


## Bibliografi
*Handbook of Mathematical Functions, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964).