Maksimum og minimum

Et **maksimum** eller en **maksimumsverdi** er i matematikk et største element i en mengde.  Tilsvarende er et **minimum** eller en **minimumsverdi** et minste element.
For en funksjon er en maksimumsverdi den største verdien funksonen tar globalt eller lokalt.

En samlebetegnelse for maksimums- og minimumsverdier er **ekstrema** (flertall av **ekstremum**) eller **ekstremalverdier** (ikke til å forveksle med *[[ekstremverdi]]er*).

For en mengde S er en vanlig notasjon for maksimum og minimum \max S og \min S, og for en funksjon f = f(x) kan en tilsvarende skrive
\max f og \min f.

Karakterisering av ekstremalverdier er ofte viktig i analyse av både mengder og funksjoner, for eksempel i funksjonsdrøfting.
I optimering er et viktig mål å lokalisere globale ekstremalverdier.

## Maksimum og minimum i en mengde

I enkle tallmengder, som

:S_1 = \{1,2,3,4,5\} \qquad \qquad S_2 = [3,7] 

kan en ha en intuitiv  forståelse av hva som er det minste og det største elementet.  Mer formelt er i mengdelære en totalt ordnet mengde en mengde der det gitt en binær relasjon som definerer 
rekkefølgen til samtlige element i mengden.  En slik relasjon kan skrives som \le, og relasonen skal oppfylle tre aksiomer:

# Relasjonen er *antisymmetrisk* : Hvis a \le b og b \le a, så er a = b.   
# Relasjonen er *transitiv*: Hvis a\le b og b \le c, så er a \le c.    
# Relasjonen er *total*, slik at for to elementer a og b, så er enten a \le b eller b \le a.

Med grunnlag i en slik ulikhetsrelasjon kan en definere et største element i en mengde som

:\max S = x_0 \in S \ : \ (\ \forall x \in S\ )(\ x \le x_0\ ) ,

forutsatt at et slikt element eksisterer.   En minimumsverdi defineres tilsvarende.

En gitt ordnet mengde kan ha ekstremalverdier, men det trenger ikke være tilfelle.  To eksempler på mengder som *ikke* har ekstremalverdier
er det åpne intervallet (a,b) og mengden av reelle tall {\mathbb R}.

Hvis S er en delmengde av en større mengde A, så vil maksimum til S eksistere kun dersom S har en øvre skranke i A.
Hvis maksimum eksisterer, så vil supremum og maksimum til S være like.

## Maksimum og minimum til en funksjon

### Grunnleggende begrep

En reell funksjon f = f(x):  D \to \mathbb{R} av en eller flere variable kan ha flere ekstremalverdier.  Et argument x der funksjonen har en ekstremalverdi kalles et *ekstremalpunkt*, 
henholdsvis et *maksimumspunkt* eller et *minimumspunkt*.

De *globale* eller *absolutte*  ekstremalverdiene til funksjonen er lik ekstremalverdiene til verdimengden til funksjonen, forutsatt at disse finnes.  
Dette vil være minste og største verdi som funksjonen har, for alle argument i definisjonsmengden.  For den globale maksimalverdien gjelder at

:\max f = f(x_0) \ \text{for} \ x_0 \in D \quad \text{hvis} \quad (\ \forall x \in D\ )(\ f(x) \le f(x_0) \ ).

Den globale minimumsverdien defineres tilsvarende.  En global ekstremalverdi kan svare til flere ekstremalpunkter.

En funksjon kan også ha en *lokal* (eller *relativ*) ekstremalverdi for et punkt x = x_0 \in D, dersom definisjonmengden D er et metrisk rom.  I et slikt rom kan en definere en omegn 
I om punktet x_0.  Funksjonen har et lokalt ekstremalpunkt i x_0 dersom dette er et globalt ekstremalpunkt 
når funksjonen begrenses til å være definert i (D \cap I).  Ofte utelates ordet «lokal», for eksempel i en setning som «funksjonen har en maksimumsverdi for x=3», 
og det er da underforstått at maksimumsverdien er lokal.  Et globalt maksimumspunkt er også et lokalt maksimumspunkt.

En lokalt eller globalt maksimumsverdi er en *strikt* eller *streng* maksimumsverdi, dersom relasjonen \le i definisjonen kan erstattes med streng ulikhet .

Uformelt svarer enhver lokal topp i grafen til en kontinuerlig funksjon til en lokal maksimumsverdi.

### Ekstremalpunkt for en reell funksjon av én variabel

En reell funksjon av én reell variabel er en funksjon f = f(x):  D \to \mathbb{R} der D \cap \mathbb{R}.  Et ekstremalpunkt for en slik funksjon vil alltid være et kritisk punkt,
det vil si et punkt x = x_0 av en av de tre følgende typene:

* Et punkt der funksjonen er deriverbar, og f'(x_0) = 0.   Slike punkt kalles stasjonære punkt.
* Et punkt der funksjonen ikke er deriverbar.
* Et endepunkt i et intervall som inngår i definisjonsmengden D.

For et punkt der funksjonen er deriverbar, er det altså et *nødvendig* vilkår for å ha et ekstremalpunkt at den deriverte av funksjonen er lik null.

For et punkt x = x_0 der en funksjon er deriverbar vil hver av de to følgende testene gi *tilstrekkelige* vilkår for at punktet er et maksimumspunkt:

* x=x_0 er et lokalt strengt maksimumspunkt dersom f'(x_0) = 0 og den deriverte skifter fortegn fra positiv til negativ når x vokser gjennom x_0.
* x=x_0 er et lokalt strengt maksimumspunkt dersom f'(x_0) = 0 og f*(x_0) < 0 </math>.

Tilsvarende har en for et minimumspunkt:

* <math>x=x_0</math> er et lokalt strengt minimumspunkt dersom <math>f'(x_0) = 0</math> og den deriverte skifter fortegn fra negativ til positiv når <math>x</math> vokser gjennom <math>x_0</math>.
* <math>x=x_0</math> er et lokalt strengt minimumspunkt dersom <math>f'(x_0) = 0</math> og <math>f*(x_0) > 0 .

### Ekstremalverdisetningen

Ekstremalverdisetningen sier at dersom en reell funksjon er kontinuerlig på et lukket intervall [a, b], må f ha både en maksimums- og en minimumsverdi minst én gang på dette intervallet. 
Det vil si at det finnes tall c og d i [*a*, *b*] slik at

:f(c) \le f(x) \le f(d)\quad \text{for alle }x \in [a,b].

### Ekstremalpunkt for et skalarfelt

Et skalarfelt er en reell funksjon av flere variable, på formen

:y = f(x):  D \rightarrow \mathbb{R} \qquad D \subset \mathbb{R}^n .

Argumentet x = (x_1, x_2, x_3, ...,x_n) er her en *n*-dimensjonal vektor.

Dersom et skalarfelt har partiell deriverte av første og andre orden, så er de to følgende vilkårene til sammen tilstrekkelig for at funksjonen skal ha en lokalt 
ekstremalverdi:

* Gradienten til funksjonen er lik null.  Punkt der dette er oppfylt kalles *stasjonære punkt*.
* Egenverdiene til hessematrisen er alle positive, for en minimumsverdi, eller alle negative, for en maksimumsverdi.

Dersom hessematrisen har noen positive og noen negative egenverdier i et stasjonært punkt, så er dette et sadelpunkt.

### Ekstremalpunkt for en funksjonal

En funksjonal er en funksjon fra et vektorrom V inn i mengden av skalarer, vanligvis mengden av reelle tall:

:y = f(x):  V \rightarrow \mathbb{R} .

Vektorrommet V kan for eksempel være mengden av kontinuerlige funksjoner på et gitt intervall. Ekstremalverdiproblemer for funksjonaler studeres i variasjonsregning og i funksjonalanalyse.

Et nødvendig vilkår for at en funksjonal som er Gateaux-deriverbar skal ha en ekstremalverdi, er at Gateaux-deriverte i alle retninger er lik null.

### Matematisk optimering

En type problemstilling i matematisk optimering er å finne ekstremalpunkt for en funksjonal, gitt et sett av sidevilkår på de uavhengige variable.  Dersom sidevilkårene er gitt i form av
likheter, så gir bruk av Lagrange-multiplikatorer en metode for å løse problemet.
Et klassisk problem er å finne en funksjon x = x(t), slik at kurven til funksjonen har en fast lengde L, faste endepunkt og samtidig avgrenser 
et maksimalt areal A.  En matematisk formulering kan være å finne x(t) som gir \max A(x), når

:
\begin{alignat}{2}
&A(x) = \int_0^1 x(t) dt \\
&x(0) = x(1) = 0 \\
&\int_0^1 \sqrt{1 + (x')^2}dt = L
\end{alignat}


## Referanser


## Litteratur

*
*
*

## Eksterne lenker
*