Fourier-transformasjon

**Fouriertransformasjon** er i matematikk en operator som avbilder en funksjon *f(t)* inn på en ny funksjon *F*(\omega) ved hjelp av integrasjon.   Operatoren er fått navn etter den franske matematikeren Jean Baptiste Joseph Fourier. Fouriertransformasjoner har stor betydning i fagfelt der det opptrer bølger og andre periodiske fenomener, for eksempel innen akustikk, hydrodynamikk, billedbehandling og digital signalbehandling.  Anvendelser spenner fra lagring av bilder, frekvensanalyse av lyd, analyse av krystallstrukturer, til løsning av differensialligninger. For mange grener av fysikk og matematikk er fouriertransformasjon et standardverktøy.

Både argument og funksjonsverdi i fouriertransformasjonen er i generell form en kompleks funksjon av en reell variabel.  Ofte vil argumentet *t* i den opprinnelige funksjonen representere *tid*, og argumentet \omega i den transformerte funksjonen representerer da *frekvens*.  Det er vanlig språkbruk å si at funksjonen *f* er definert i *tidsdomenet*, mens den transformerte *F* er definert i *frekvensdomenet*. Fouriertransformasjonen omformer et tidssignal til bølgefunksjoner.

Fouriertransformasjonen er definert for både kontinuerlige
og diskrete signaler. Denne artikkelen beskriver kun den kontinuerlig transformasjonen. For diskret versjon se fourieranalyse og diskret fouriertransform.

## Formell definisjon
La *f(t)* være en reell eller kompleks funksjon med et reelt argument *t*.  Fouriertransformasjonen av *f*, også kalt Fourier-integralet av *f*, er definert ved  

: F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t}\,dt

hvor *i* er den imaginære enheten \sqrt{-1}.  

Den reelle og den imaginære delen av *F* definerer henholdsvis *cosinus-transformasjonen* og *sinus-transformasjonen* av *f*.

Fouriertransformasjonen er et eksempel på en integraltransformasjon, definert med kjernen 

: k(t,\omega) = e^{-i\omega t}\, 

Alternative definisjoner for fouriertransfomasjonen finnes i litteraturen, som for eksempel

: F(\omega)  = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t}\,dt

## Invers transformasjon
Under nokså generelle vilkår eksisterer også den inverse fouriertransformasjonen, definert ved

:f(t) = \mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega  

## Egenskaper
Fouriertransformasjonen har følgende egenskaper

### Linearitet
Fouriertransformasjonen er en lineær transformasjon:
 
: \mathcal{F}\left[af(t) + bg(t)\right] = a\mathcal{F}[f(t)] + b\mathcal{F}[g(t)] = aF(\omega) + bG(\omega)

### Funksjonsprodukt og konvolusjon
For produkt av funksjoner gjelder

:\begin{alignat}{2}
\mathcal{F}[f(t)*g(t)] &= F(\omega)G(\omega)  \\
\mathcal{F}[f(t)g(t)] &= \frac{1}{2\pi} F(\omega)*G(\omega).  \\
\end{alignat}
 

Her markerer * en konvolusjonsoperator.

### Tids- og frekvensforskyvning

:\begin{alignat}{2}
\mathcal{F}[f(t-T)] &= e^{-i\omega T}F(\omega) \\
\mathcal{F}[e^{i\Omega t}f(t)] &= F(\omega-\Omega). \\
\end{alignat}
 

### Derivasjon
For deriverte av funksjoner gjelder 

:\begin{alignat}{2}
\mathcal{F}\left[\frac{d^{(n)}f(t)}{dt^{(n)}}\right] &= (i\omega)^{(n)}F(\omega) \\
\mathcal{F}[(-it)^n f(t)] &= \frac{d^{(n)}F(\omega)}{d\omega^{(n)}}. \\
\end{alignat}
 

## Se også
* Diskret fouriertransformasjon
* Rask fouriertransformasjon
* Fourieranalyse
* Laplacetransformasjon
* Z-transformasjon

## Litteratur
*