Kontinuerlig funksjon

En **kontinuerlig funksjon** f er intuitivt sett en funksjon som har den egenskapen at små endringer i 
x medfører små endringer i funksjonsverdien f(x). Overfører vi denne intuisjonen til geometrien
ser vi at funksjonsgrafen til en kontinuerlig funksjon kan skisseres uten å løfte pennen. For en presis matematisk definisjon av kontinuitet, se under. En funksjon som ikke er kontinuerlig kalles **diskontinuerlig**.

Skjæringssetningen og ekstremalverdisetningen følger av resultater for kontinuerlige reelle funksjoner.

## Kontinuitet for reelle funksjoner av en reell variabel
Se på funksjoner f hvor definisjonsmengden og verdimengden er delmengder av de reelle tall.
Ofte er slike funksjoner gitt ved formeluttrykk. Vi har følgende tre ekvivalente definisjoner: 

### Epsilon-delta-definisjon
La a være et punkt i definisjonsmengden til f. Vi sier at f er 
*kontinuerlig i <math>a</math>* dersom det for hver \epsilon>0 finnes en \delta>0
slik at
:|f(x)-f(a)| når |x-a| og x ligger i definisjonsmengden til f.
Funksjonen f kalles *kontinuerlig* dersom f er kontinuerlig i alle punkt i definisjonsmengden.

### Ved grenseverdier
La a være et punkt i definisjonsmengden til f. Vi sier at f er 
*kontinuerlig i <math>a</math>* dersom a er et isolert punkt i definisjonsmengden eller
grenseverdien \lim_{x\rightarrow a}f(x) eksisterer og er lik f(a).
Funksjonen f kalles *kontinuerlig* dersom f er kontinuerlig i alle punkt i definisjonsmengden.

### Ved sekvensielle grenseverdier
La a være et punkt i definisjonsmengden til f. Vi sier at f er 
*kontinuerlig i <math>a</math>* dersom for hver følge x_1,x_2,\ldots av punkt i definisjonsmengden med \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a, så eksisterer grenseverdien \lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n) og er lik f(a).
Funksjonen f kalles *kontinuerlig* dersom f er kontinuerlig i alle punkt i definisjonsmengden.

### Eksempler
Følgende funksjoner er kontinuerlige:
* f(x)=c, hvor c er en konstant.
* f(x)=x
* Absoluttverdien f(x)=|x|
* n-te potenser f(x)=x^n
* n-te røtter f(x)=\sqrt[n]{x}
* De trigonometriske funksjonene \sin(x), \cos(x) og \cot(x)
* Eksponentialfunksjonen f(x)=e^x
* Logaritmefunksjonen f(x)=\ln(x)
* Arcusfunksjonene \arcsin(x), \arccos(x) og \arctan(x)
* De hyperbolske funksjonenen \sinh(x), \cosh(x), \tanh(x) og \coth(x)

Funksjonen f(x)=\begin{cases}0&\operatorname{hvis}\quad x\neq0,\\ 1&\operatorname{hvis}\quad x=0\end{cases} er ikke kontinuerlig i 0.

Funksjonen f(x)=\begin{cases}0&\operatorname{hvis}\quad x\quad \operatorname{rasjonal},\\ 1&\operatorname{hvis}\quad x\quad \operatorname{irrasjonal}\end{cases} er ikke kontinuerlig i noe punkt.

### Å avgjøre kontinuitet
Dersom en reell funksjon f er gitt ved en formel, så er det upraktisk å bruke definisjonen til å avgjøre om f er kontinuerlig. I stedet bruker man teoremet som sier at dersom funksjonen f er bygget opp av kontinuerlige funksjoner ved operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og sammensetning, så er også f kontinuerlig i hele sin definisjonsmengde.

Eksempler:
* f(x)=x^2+4 kontinuerlig siden f er summen av de kontinuerlige funksjonene x^2 og 4.
* f(x)=\sin(2x) er kontinuerlig siden f er sammensetningen av \sin(x) med produktet 2x.
* f(x)=\frac{1}{x} er kontinuerlig siden f er den kontinuerlige funksjonen 1 delt på den kontinuerlige funksjonen x. Merk at f ikke er diskontinuelig i x=0, men kun udefinert i dette punktet. Videre er det umulig å utvide definisjonsområdet til f(x)=\frac{1}{x} slik at f blir kontinuerlig i 0.

### Viktige resultater

**Skjæringssetningen**: Anta at f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R} er en kontinuerlig funksjon hvor
f(a) og f(b) har motsatte fortegn. Da finnes et tall c mellom a og b slik at f(c)=0.

**Ekstremalverdisetningen**: La f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R} være en kontinuerlig funksjon
definert på et lukket, begrenset intervall. Da eksisterer både maksimumspunkt og minimumspunkt for f.

## Kontinuitet for komplekse funksjoner av en kompleks variabel
Kontinuitet for en kompleks funksjon f av en kompleks variabel z defineres på samme måte
som kontinuitet for reelle funksjoner av en reell variabel.

## Kontinuitet for funksjoner av flere variable
Kontinuitet for en funksjon f av flere variable (x_1,x_2,\ldots,x_n) defineres på samme måte
som kontinuitet for reelle funksjoner av en reell variabel.

Følgende eksempel viser at man må være litt forsiktig når man ser på kontinuitet til funksjoner av flere variable:
La f(x,y)=\begin{cases}1&\operatorname{hvis}\quad x=0\quad\operatorname{eller}\quad y=0,\\ 0 &\operatorname{ellers}.\end{cases} Selv om x\mapsto f(x,0) og y\mapsto f(0,y) begge er kontinuerlige i 0, så er ikke (x,y)\mapsto f(x,y) kontinuerlig i (0,0).

## Kontinuerlige funksjoner mellom metriske rom

### Epsilon-delta definisjon
La X og Y være metriske rom med metrikker d og \rho henholdsvis. En funksjon f:X\rightarrow Y er *kontinuerlig i punktet <math>a\in X</math>* dersom
det for alle \epsilon>0 finnes en \delta>0 slik at
: \rho(f(x),f(a)) for alle x\in X med d(x,a).
En funksjon er *kontinuerlig* dersom funksjonen er kontinuerlig i alle punkt a i X.

### Ved grenseverdier
La f:X\rightarrow Y være en funksjon mellom metriske rom og la a være et punkt i X. Vi sier at f er *kontinuerlig i <math>a</math>* dersom a er et isolert punkt i X eller grenseverdien \lim_{x\rightarrow a}f(x) eksisterer og er lik f(a).
Funksjonen f kalles *kontinuerlig* dersom f er kontinuerlig i alle punkt i X.

### Ved sekvensielle grenseverdier
La f:X\rightarrow Y være en funksjon mellom metriske rom og la a være et punkt i definisjonsmengden til f. Vi sier at f er *kontinuerlig i <math>a</math>* dersom for hver følge x_1,x_2,\ldots av punkt i X med \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a, så eksisterer grenseverdien \lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n) og er lik f(a).
Funksjonen f kalles *kontinuerlig* dersom f er kontinuerlig i alle punkt i X.

## Kontinuerlige funksjoner mellom topologiske rom

### Definisjon
En funksjon f:X\rightarrow Y mellom topologiske rom er *kontinuerlig* dersom
f^{-1}(U) er en åpen mengde i X for hver åpen mengde U
i Y.

En kan også gi en ekvivalent definisjon ved bruk av omegnsstrukturer. En slik definisjon
viser at kontinuitet er en lokal egenskap.

Merk at sammensetningnen av to kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig.

### Viktige resultater
Følgende to resultater generaliserer skjæringssetningen og ekstremalverdisetningen:

* Bildet av en sammenhengende mengde under en kontinuerlig funksjon er sammenhengende.
* Bildet av en kompakt mengde under en kontinuerlig funksjon er kompakt.

## Litteratur
* 
* 
* 
*