Cosinussetningen

I trigonometrien er **cosinussetningen** en setning om sammenhengen mellom sidene i en generell trekant og cosinus til en av vinklene i trekanten. Ved å bruke notasjonen i figur 1, sier cosinussetningen at

:  c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma 

der *c* er den motstående siden til vinkel *γ* mellom sidene *a* og *b*.

Cosinussetningen generaliserer Pythagoras’ læresetning, som bare gjelder for rettvinklede trekanter: hvis vinkel *γ* er en rett vinkel (90 grader eller π/2 radianer), blir cos*γ* = 0, og da reduseres cosinussetningen til

: c^2 = a^2 + b^2 \,

som er Pythagoras' læresetning.

Cosinussetningen er nyttig for å regne ut den tredje siden i en trekant når to sider og den mellomliggende vinkelen er kjent, og for å regne ut vinklene i en trekant når alle tre sidene er kjent.

I sfærisk geometri på en kuleflate finnes det også en cosinussetning som det også gjør i  hyperbolsk geometri.

## Anvendelser

Setningen brukes i triangulering for å regne ut sider og vinkler i trekanter. Cosinussetningen kan brukes  for å finne (se figur 2)

* den tredje siden i en trekant der to sider og vinkelen mellom dem er kjent:  
::
* vinklene i en trekant der alle tre sidene er kjent:
::\,\gamma = \arccos \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\,;
* den tredje siden i en trekant der to sider og den motstående vinkelen til en av disse er kjent (man kan også bruke Pythagoras' læresetning til dette hvis trekanten er rettvinklet):
::\, a=b\cos\gamma \pm \sqrt{c^2 -b^2\sin^2\gamma}\,.

Disse formlene gir høye avrundingsfeil i flyttallsberegninger hvis trekanten er meget spiss, det vil si hvis *c* er liten i forhold til *a* og *b* eller *γ* er liten sammenlignet med 1.

Den tredje formelen vist over er løsningen av andregradsligningen *a*2&nbsp;−&nbsp;2*ab*&nbsp;cos*γ*&nbsp;+&nbsp;*b*2&nbsp;−&nbsp;*c*2 = 0 med hensyn på *a*. Denne ligningen kan ha 2, 1 eller ingen positive løsninger; antallet positive løsninger svarer til antall mulige trekanter som passer til betingelsene. Den vil ha to positive løsninger hvis *b*&nbsp;sin*γ*  *b* eller *c* = *b*&nbsp;sin*γ*, og ingen løsning hvis *c* 
\begin{align}
| \vec c |^2 & {} = \vec c \cdot \vec c \\
& {} = (\vec a - \vec b) \cdot (\vec a - \vec b) \\
& {} = \vec a \cdot \vec a + \vec b \cdot \vec b - 2 \vec a \cdot \vec b \\
& {} = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2 | \vec a | | \vec b | \cos \theta  
\end{align}


### Med avstandsformelen

Betrakt en trekant med sider *a*, *b*, *c*, der \theta er den motstående vinkelen til side *c*. Vi kan plassere denne trekanten i et koordinatsystem ved å plotte A(b\cos \theta ,\ b\sin \theta ),\ B(a,0),\ \text{and}\ C(0,0).  Ved å bruke avstandsformelen har vi c = \sqrt{(b\cos \theta - a)^2+(b\sin \theta - 0)^2}.  Nå arbeider vi bare videre med denne ligningen.

: 
\begin{align}
c^2 & {} = (b\cos \theta - a)^2+(b\sin \theta)^2 \\
c^2 & {} = b^2 \cos ^2 \theta - 2ab\cos \theta + a^2 + b^2\sin ^2 \theta \\
c^2 & {} = a^2 + b^2 (\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta ) - 2ab\cos \theta \\
c^2 & {} = a^2 + b^2  - 2ab\cos \theta.
\end{align}


En fordel med dette beviset er at man ikke behøver å ta i betraktning forskjellige tilfeller ut fra om trekanten er spiss eller stump.

### Med trigonometri

Tegn høyden på side *c*; vi får (se figur 3)

:c=a\cos(\beta)+b\cos(\alpha)\,.

(Dette er fortsatt sant hvis α eller β er stump; i et slikt tilfelle faller høyden utenfor trekanten.)  Multipliser hvert ledd med *c*:

:c^2 = ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha)\,.

Ved å betrakte de andre høydene får vi

:a^2 = ac\cos(\beta) + ab\cos(\gamma)\,,

:b^2 = bc\cos(\alpha) + ab\cos(\gamma)\,.

Ved å legge sammen de to siste ligningene får vi

:a^2 + b^2 = ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha) + 2ab\cos(\gamma)\,.

Ved å trekke den første ligningen fra den siste får vi

:a^2 + b^2 - c^2 = - ac\cos(\beta) - bc\cos(\alpha)+ ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha) + 2ab\cos(\gamma)\,

som kan forenkles til

:c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma).\,

Mange bevis behandler tilfellene med stump og spiss vinkel *γ* separat.

## Den utvidede cosinussetningen

Den utvidede cosinussetningen kan brukes til å finne den siste siden i en firkant hvor man kjenner 3 sider og vinklene mellom dem.


\begin{align}
DC          &{} = \sqrt{AD^2+\sqrt{AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos (b)}^2-2\cdot AD\cdot \sqrt{AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos (b)}\cdot \cos(a-\sin^{-1}(\frac{\sin(b)\cdot BC}{\sqrt{AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos (b)}})} \\
\end{align}


Som kan forkortes til:


\begin{align}
DC          &{} = \sqrt{AD^2+AC^2-2\cdot AD\cdot AC\cdot \cos(a-\sin^{-1}(\frac{\sin(b)\cdot BC}{AC})} \\
\end{align}


## Se også
* Triangulering
* Sinussetningen
* Tangenssetningen

## Eksterne lenker
* Mange utledninger av cosinussetningen på cut-the-knot