Imaginær enhet

I matematikk er den **imaginære enhet** i et komplekst tall med egenskapen i^2=-1. Navnet er gitt fordi ethvert komplekst tall z kan skrives på formen z=a+bi, der a og b er reelle tall.  Dersom a er lik null sies det komplekse tallet å være *rent imaginært*

Komplekse tall er viktige i mange deler av matematisk analyse, og den imaginære enheten opptrer hyppig i matematiske formler.  Et viktig eksempel er Eulers formel, med spesialtilfellet Eulers likhet.

Historisk var innføringen av komplekse tall motivert av studiet av polynomligninger.  Den imaginære enhet er en rot i andregradsligningen x^2=-1.

## ''i'' og −''i''
Likningen x^2=-1 har to distinkte løsninger som er additive inverse. Når en løsning i av likningen er fastslått, er også -i\,(\ne i) en løsning. 

Den mest presise forklaringen er å si at selv om det komplekse feltet definert ved
\R[X]/(X^2+1) er unikt opp til isomorfisme, er det ikke unikt opp til en unik isomorfisme &mdash; det er nøyaktig 2 feltautomorfismer fra \R[X]/(X^2+1), identiteten og automorfismen som sender X til -X. (Det må bemerkes her at dette ikke er de eneste automorfismene til \Complex; men de er de eneste feltautomorfismene til \Complex hvor den reelle del er fast.)

Et liknende problem oppstår hvis de komplekse tall fortolkes som  reelle 2 × 2-matriser, fordi både \begin{pmatrix} 0 & -1  \\ 1 & \;\; 0 \end{pmatrix} \mbox{ og } \begin{pmatrix} 0 & 1  \\ -1 & \;\; 0 \end{pmatrix}  er løsninger av likningen x^2=-1. I dette tilfelle kommer de tvetydige resultatene fra det geometriske valg av hvilken «retning» rundt enhetssirkelen som er «positiv». En mer presis forklaring er å si at automorfismegruppen til den spesielle ortogonale gruppen \mathrm{SO}(2,\R) har nøyaktig to elementer &mdash; identiteten og automorfismen som bytter om «med klokken»- og «mot klokken»-rotasjoner.

## Mulige falske løsninger
Den imaginære enhet noteres eller behandles ikke som \sqrt{-1}. Denne notasjonen er reservert enten den prinsipale kvadratrotfunksjonen, som bare defineres for reelle x>0, eller for den prinsipale grenen av den komplekse kvadratrotfunksjonen. Å forsøke å anvende beregningsregler for den prinsipale (reelle) kvadratrotfunksjonen for å håndtere den prinsipale gren av den komplekse kvadratrotfunksjonen vil frembringe falske løsninger:

:-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \cdot -1} = \sqrt{1} = 1

Beregningsreglen
:\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} er bare gyldig for de reelle, ikke-negative tall a og b.

## Potenser av ''i''

Potensene av i gjentas i en syklus:

:i^1 = i
:i^2 = -1
:i^3 = -i
:i^4 = 1
:i^5 = i
:i^6 = -1

Dette kan uttrykkes med følgende mønster hvor n er et vilkårlig heltall:

:i^{4n} = 1
:i^{4n+1} = i
:i^{4n+2} = -1
:i^{4n+3} = -i

## ''i'' og Eulers formel
Hvis man tar Eulers formel e^{ix}=\cos x + i \sin x, og setter inn x=\pi/2, får man

:e^{i\pi /2} = i

Hvis begge sider opphøyes i potensen i, idet man husker at i^2=-1, får man følgende identitet:

:i^i = e^{-\pi /2} = 0{,}2078795763\dots

Det er lett å fastslå at i^i har et uendelig antall løsninger på formen

:i^i = e^{-\pi / 2 + 2 \pi N}

hvor N er et vilkårlig heltall.

## Alternativt symbol
I elektrofag og beslektete områder blir den imaginære enhet ofte skrevet som j for å unngå sammenblanding med betegnelsen for elektrisk vekselstrøm.