Tillukning (matematikk)

En **tillukning** av en delmengde *S* under en operasjon er den minste mengden *P* som inneholder *S* og som er **lukket** under operasjonen.
Mengden *P* er lukket under operasjonen når operasjonen utført på elementer i *P* produserer et resultat som er inneholdt i *P*. 

Mengden av naturlige tall *N* er lukket under addisjon, siden summen av to naturlige tall også er et naturlig tall. Derimot er *N* ikke lukket under subtraksjon, siden for eksempel (5 - 8) = -3 ikke er et naturlig tal.
Tillukningen av *N* under subtraksjon er mengden av heltall.  

Tillukning brukes i mange matematiske strukturer og fagdisipliner, som i algebra, topologi og i metrisk rom. En finner ofte spesielle definisjoner av tillukning, tilpasset individuelle typer struktur. En definisjon som omfatter alle typer tillukning må nødvendigvis bli generell og abstrakt.  

## Definisjon

Gitt en delmengde S i en mengde V der det er definert en operasjon f(x,y,z,...) på elemnter i x, y, z \ldots i V. Delmengden er *lukket* i S dersom
operasjonen f fra S alltid produserer et element i i S:

:S \text{ lukket i } V  \qquad \iff \qquad (\forall x, y, z \ldots \in S)( f(x, y, z, \ldots) \in S ).

Merk at en operasjon per definisjon er definert ved f: (V \times \times V \times \cdots  ) \to V, og resultatet av operasjonen ligger i V. Dette trenger generelt ikke være tilfelle i delmengden S.

Vanligvis vil en operasjon ha et endelig antall elementer, en endelig aritet. For å inkludere alle typer tillukning må en tillate at operasjonen også har uendelig aritet.

Sittet av to eller flere mengder som er lukket under en operajon, og som inneholder S, vil også ha de samme egenskapene.
*Tillukningen* av S i V er definert som snittet av *alle* slike mengder. Også tillukningen er lukket og inneholder S.
 
Potensmengden {\mathcal P}(V) til V sammen med inklusjonsoperatoren \subseteq er en partiell ordning, og tillukkingen er dermed
den *minste* delmengden i V som inneholder S og som er lukket under operasjonen.  

Notasjon for en tillukning av en mengde S varierer sterkt, og alle de følgende skrivemåtene er i bruk:

:\overline S \qquad S^{-} \qquad \operatorname{cl}S \qquad \operatorname{cl} (S) \qquad \operatorname{cl}_V S \qquad \operatorname{C} (S).

Operatoren  \operatorname{cl} kan skrives med både liten og stor bokstav C. Operatornavnet er forkortelse for engelsk «closure», i norsk faglitteratur vanlig omsatt med «tillukning».

En delmengde sies å være lukket under en *samling* av operasjoner dersom mengden er lukket under hver av operasjonene individuelt.{tr}}

En mengde som er lukket under en operasjon eller samling av operasjoner sies å tilfredsstille en *lukningsegenskap*.
Ofte omtaler en tillukningen uten å presisere at mengden er en *delmengde* av en større helhet. I noen tilfeller kan lukningsegenskapen innføres som et aksiom , som da kan kalles et *lukningsaksiom*.

En lukket mengde er lik sin egen tillukning: S = \overline{S}.

## Tillukningsoperatorer
Definisjonen over er gitt ved hjelp av snittet mellom alle lukkede mengder. Alternativt kan en bruke en ekvivalent definisjon ved hjelp av en tillukningsoperator. 
Dette er en funksjon \operatorname{cl} definert på potensmengden \operatorname{cl}: {\mathcal P}(V) \to {\mathcal P}(V) med følgende egenskaper for alle argument X:

:
\begin{alignat}{3}
&X \subseteq \operatorname{cl}(X) &&\text{ekstensiv} \\
&X \subseteq Y \Rightarrow \operatorname{cl}(X) \subseteq \operatorname{cl}(Y) \qquad &&\text{monoton} \\
&\operatorname{cl}(\operatorname{cl}(X)) = \operatorname{cl}(X) &&\text{idempotent}.
\end{alignat}


## Eksempler

Mengden som består bare av tallet 0 er lukket under addisjon, multiplikasjon og subtraksjon. 

Mengden av heltall er ikke lukket under divisjon, siden for eksempel *7/3* ikke er et naturlig tall.  

De reelle tallene er ikke lukket under kvadratrot, siden for eksempel  \sqrt{-1}=i  er et komplekst tall.

## Tillukning i algebraiske strukturer

Flere algebraiske strukturer er definerte som lukket under binære operasjoner:

* En gruppe er lukket under en generell operasjon, for eksempel addisjon eller multiplikasjon.
* En ring er lukket under to operasjoner, addisjon og multiplikasjon.
* En kropp er en kommutativ ring, så denne er lukket under to operasjoner
* Et vektorrom er lukket under addisjon og under multiplikasjon med en skalar.

Siden disse strukturene også postulerer eksistens av invers-elementer, så vil mengdene også være lukket invers-operasjoner, som subtraksjon og divisjon.

I et vektorrom V et den lineære utspenningen av en delmengde S det minste delvektorrommet i V som inneholder S.  Operatoren her er
lineærkombinasjoner av vektorer i S.

I rommet \mathbb{R}^3 er den konvekse omhylningen tillukningen av mengden under alle konvekskombinasjoner. 

Den algebraiske tillukningen av en tallkropp K er lik unionen av mengden og en mengde av alle røtter i polynom som har elementer i K som koeffisienter. For mengden av heltall er den algebraiske tillukningen lik mengden av komplekse tall.

## Tillukning i topologiske rom

I et topologisk rom V er en åpen mengde definert ved et sett av aksiomer. En lukket mengde er komplementet til en open mengde i V. En lukket
mengde vil inneholde alle sine opphopningspunkt.

Tillukningen til en mengde S i et topologisk rom kan defineres på flere alternative måter:

* Unionen av mengden S og mengden av alle opphopningspunkt til S.
* Snittet av alle lukkede mengder som inneholder S
* Unionen av S og randen til S.

## Tillukning i metriske rom

En mengde i et metrisk rom er lukket dersom alle Cauchy-følger i mengden konvergerer mot en grense i mengden.  Mengden er altså lukket under en grense-operator. Tillukningen av en vilkårlig mengde er tilsvarende en utviding av mengden til å inkludere alle grenser for Cauchy-følger i mengden.

## Tillukning av en binær relasjon

En binær relasjon R på S er en delmengde av ordnede par i S \times S.  For en slik relasjon kan en definere flere typer tillukning:

;Refleksiv tillukning''
:Den minste refleksive relasjonen på S som inneholder R, det vil si R \cup \{(x, x) \mid x \in X\}.  Den refleksive tillukningen av operatoren  («mindre enn») er \le («mindre eller lik»).

;Symmetrisk tillukning
:Den minste symmetriske relasjonen på S som inneholder R og som er lukket under en avbilding mellom (x,y) og (y,x), det vil si R \cup \{ (y, x) | (x, y) \in R \}.

;Transitiv tillukning
:Den minste relasjonen på S som inneholder R og som er transitiv.

## Referanser