Tales’ teorem

**Tales’ teorem**, også kalt **halvsirkelteoremet**, er en grunnleggende setning i euklidsk plangeometri.  Setningen sier at når en trekant er innskrevet i en sirkel med en side som diameter, 
så vil trekanten være rettvinklet.  
Teoremet er et spesialtilfelle av en setning om størrelsen til en periferivinkel og har mange anvendelser i geometri og trigonometri.
 
Ifølge tradisjonen er teoremet knyttet til Tales fra Milet, men også til Pytagoras. 
Tilnavnet «Tales’ teorem» er også brukt om andre teorem i geometri, primært om transversalteoremet for formlike trekanter.
 
## Historie

Historien om opphavet til teoremet og Tales rolle i denne historien er omdiskutert.  
Ingenting er bevart av skriftlig materiale etter Tales fra Milet, som levde i den greske bystaten Milet i det sjette århundre før Kristus. Kildene som omtaler Tales er også svært usikre.  
En viktig kilde er Proklos sitt sammendrag av Evdemos’ *Geometriens historie*, men dette sammendraget nevner ikke halvsirkelteoremet.
En annen viktig kilde er Diogenes Laertios, og han siterer Pamfilia, som gir Tales æren for å ha oppdaget setningen. 
Etter oppdagelsen skal Tales ha ofret en okse.

Hos Euklids ''Elementer'' er setningen gjengitt i tredje bok, i avsnitt 31.
Euklid gir ingen historisk bakgrunn for noen av de geometriske resultatene han presenterer.

Carl B. Boyer mener at setningen var kjent i babylonsk matematikk, kanskje over tusen år før Tales levde.  Tales kan dermed ha fått kunnskap om teoremet fra Babylonia.

Thomas Heath argumenterer for at Tales sannsynligvis ikke har kjent til resultatet, og at historien om okseofferet må skyldes en forveksling.  En historie om et okseoffer er også fortalt om Pytagoras, og flere kilder gir Pytagoras æren for halvsirkelteoremet. Dersom Tales kjente til resultatet for en rettvinklet trekant, er det svært nærliggende at han også skulle ha funnet setningen om at vinkelsummen i en trekant er to rette vinkler. Oppdagelsen om vinkelsummen i en trekant er imidlertid tillagt pytagoreerne. Tales kunne dermed heller ikke ha brukt vinkelsummen i et bevis for setningen. Heath drøfter likevel muligheten for at Tales har brukt et bevis som ikke bygger på vinkelsummen i en trekant.

Trass motforestillinger er tilnavnet «Tales’ teorem» brukt i ettertid om resultatet for den rette vinkelen.
Tilnavnet er en relativt ny konstruksjon, og første kjente forekomst er fra en fransk lærebok fra 1882, da knyttet til transversalteoremet.  
Historiske referanser ble på slutten av 1800-tallet vanlig brukt i lærebøker. I tyske lærebøker ble navnet «Tales’ teorem» knyttet til vinkelen i en halvsirkel, med første kjente forekomst i 1894. 
En nyere tolkning er at lærebokforfattere brukte den historisk tilknytningen for å gi teoremene ekstra tyngde. Dette er omtalt som «didaktisk rekonstruksjon» av historien, utført for å tjene
læringsformål og ikke for historisk nøyaktighet.

## Periferivinkelteoremet
 
Halvsirkelteoremet er et spesialtilfelle av et teorem for en periferivinkel.  Dette er en vinkel med toppunkt på en sirkelbue og der vinkelbeina spenner over en del av sirkelen.  
En vinkel med toppunkt i sentrum av sirkelen er en *sentralvinkel*.  Teoremet for periferivinkelen sier at størrelsen til vinkelen er lik halvparten av størrelsen til sentralvinkelen som spenner over samme sirkelbue:

:*«Gitt tre punkt P, A og B på en sirkel med sentrum i O.  Da er vinkelen <math>\angle</math>APB lik halvparten av vinkelen <math>\angle</math>AOB.»*

En halvsirkel svarer til 180&deg;, og en vinkel som spenner over denne er derfor rett.

## Teoremet og relaterte resultater

Teoremet om vinkelen i en halvsirkel kan også formuleres slik:

* Det geometriske sted for toppunktet i en rett vinkel med vinkelbein gjennom to punkt, er en sirkel som har diameter mellom de to punktene.  Enkelte lærebøker kaller denne sirkelen for «talessirkelen».
* En periferivinkel over en halvsirkel er en rett vinkel.

I en trekant *ABC* der *AB* er diameter i en sirkel, men *C* ligger *utenfor* sirkelen, vil vinkelen \angle*ACB* være spiss, det vil si mindre enn 90&deg;.  Tilsvarende er vinkelen
stump dersom *C* ligger inne i sirkelen.

## Bevis

Det finnes flere alternative bevis for dette teoremet.

### Bevis 1

I figuren til høyre er trekanten *ABC* innskrevet i en sirkel med sentrum i punktet *O*, slik at trekantsiden *AC* er en diameter. Punktet *O* må dermed ligge på linjestykket *AC*.  
Trekkes radien *OB* i sirkelen, så vil trekanten *AOB* være likebeint, da to av sidene er radier. Vinklene \angle*OAB* og \angle*ABO* må derfor være like.
Tilsvarende vil trekanten *COB* være likebeint, med to like vinkler. Da summen av vinklene i trekanten *ABC* er 180&deg;, vil

: \alpha+\left( \alpha + \beta \right) + \beta = 180^\circ .

Dette for vinkelen i hjørnet *B* at *&alpha; + &beta;* = 90&deg;.

### Bevis 2
Teoremet kan også vises med analytisk geometri og trigonometri.  La O = (0, 0), A = (-1, 0) og C = (1, 0). Punktet B ligger da på enhetssirkelen,
med koordinater (\cos \theta, \sin \theta). Stigningstallet til linjestykket AB er gitt ved

:m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta + 1} \ . 

Tilsvarende gjelder for linjestykket BC:

:m_{BC} = \frac{y_B - y_C}{x_B - x_C} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta - 1} \ .

Disse to linjestykkene står normalt på hverandre, som kan vises ved å vise at produktet av stigningstallene er lik -1:

:
\begin{align}
m_{AB} \cdot m_{BC} &= \frac{\sin \theta}{\cos \theta + 1} \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta - 1}\\[8pt]
&= \frac{\sin ^2 \theta}{\cos ^2 \theta -1}\\[8pt]
&= \frac{\sin ^2 \theta}{-\sin ^2 \theta}\\[8pt]
&= -1
\end{align}


Her er brukt den trigonometriske identiteten \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1.

### Bevis 3

Det følgende beviset skal være laget av en elev i sjuendeklasse.  La *ABC* være en trekant innskrevet i en sirkel med sentrum i *O* og med *AB* som diameter. Lag en ny trekant *ABD* ved å rotere
den opprinnelige trekanten 180&deg;.  Den valgte rotasjonen gjør at punktet *D* ligger på sirkelen.  I tillegg er linjestykkene *AD* og *BC* parallelle, og det samme gjelder *AC* og *BD*.  
Firkanten *ACBD* er dermed et parallellogram.  Diagonalene *AB* og *CD* i parallellogrammet er like lange, siden de begge er diametre i sirkelen.  Dette gjør at parallellogrammet
må være et rektangel, og vinkelen \angleACB er rett.

## Anvendelser

Halvsirkelteoremet brukes ofte i konstruksjoner og bevis i plangeometri.  De følgende avsnittene viser noen enkle anvendelser.

### Likebeint rettvinklet trekant

Gitt et linjestykke *AB*.  Konstruer en likebeint rettvinklet trekant med *AB* som grunnlinje.

Løsningen er å konstruere en midtnormal til linjestykket *AB*.  Midtnormalen deler linjestykket i et punkt *O*.  Tegn en halvsirkel med sentrum i *O* og med radius lik lengden av linjestykket *OA*.
Skjæringspunktet *C* mellom halvsirkelen og midtnormalen er toppunktet i den søkte trekanten.  Halvsirkelteoremet gir at vinkelen \angle*ACB* er rett, og symmetrien gir at linjestykkene
*AC* og *BC* er like lange.

### Tangenten til en sirkel

Gitt en sirkel med sentrum i *O* og et punkt *P* som ligger utenfor sirkelen.  Konstruer en tangent fra *P* til sirkelen.

Løsningen er å trekke linjestykke *OP* og deretter konstruere midtnormalen til dette linjestykket.  Midtnormalen deler *OP* i punktet *H*.  Slå så en sirkel med sentrum i *H* og med radius
lik lengden av linjestykket *HO*.  Denne sirkelen skjærer sirkelen om *O* i to punkt *T* og *T´*.  Både *PT* og *PT´* er tangenter til sirkelen gjennom *P*.

## Referanser


## Litteratur

*
*

## Eksterne lenker

*