Temperert stemming

**Temperert stemming** vil si at ved å jenke på harmonien i intervallene, stemmes instrumentet på en slik måte at det er mulig å skifte toneart helt fritt innenfor samme register, uten at det høres disharmonisk ut. Temperering er ikke det samme som likestemming. Likestemming kan sies å være *en* temperering, men når man bruker ordet temperering er det for å skille den aktuelle tempereringen fra likestemming (som er den vanligste stemmingen i vesten i vår tid).

## Utdypning og utviklingen
I primitive instrumenter er det naturlig å forholde seg til såkalte naturtoner, ettersom disse oppstår naturlig på mange instrumenter (særlig blåseinstrumenter) og er i veldig harmoni. Når man snakker om naturtoner mener man egentlig å si noe om forholdet tonene imellom. Dersom man har en grunntone, kan man spille noter som har 2 ganger grunntonens frekvens (en oktav), 3/2 ganger grunntonens frekvens, 4/3 grunntonens frekvens osv.. Dette er meget ryddige forhold matematisk, og det harmonerer godt. Dette fordi svingningene i luften (husk at en tones frekvens ganske enkelt sier hvor mange ganger i sekundet luften svinger) sammenfaller ofte. Oktavtonens svingning vil sammenfalle med grunntonens svingning annenhver gang, tonen som har 3/2 ganger grunntonens frekvens vil svinge samtidig med grunntonen hver tredje gang (da vil grunntonen ha svingt to ganger siden sist), osv.. Denne forklaringen er litt slurvete matematisk, ettersom den ikke sier noe om faseforskyvning. Hva som skjer eksempelvis tone A og tone B gjør samtidig x antall ganger i sekundet er å trekke luften i motsatt retning av hverandre, men når man spiller naturtoner vil man høre pene harmonier som kan forklares som pene akkurat på denne måten.

Problemet med naturtoner er at man på sett og vis har låst seg til grunntonen sin. Det høres fint ut med forhold som 2, 3/2, 4/3 osv., men hva hvis man begynner på tonen som har 3/2 ganger frekvensen til den opprinnelige grunntonen, og forsøker å spille en melodi herfra? Kanskje man vil bruke oktaven til den opprinnelige grunntonen. Forholdet mellom den gamle oktaven og den gamle 3/2 -tonen (som vi bruker som ny grunntone) er 2 / (3/2) = 4/3, blir det en fin og harmonisk klang, og vi har tilgjengelig fra vårt gamle grunntonereportoire en tone som har 4/3 ganger frekvensen til den nye grunntonen vår. Men om man ønsker seg en tone som har 3/2 ganger frekvensen til den nye grunntonen da? Den vil ha (3/2) * (3/2) = 9/4 ganger frekvensen til den gamle grunntonen, og dette er et forholdstall som vi antagelig ikke finner blant de tonene vi startet med (og som altså er de tonene vi hadde til rådighet på instrumentet). Isteden må vi kanskje nøye oss med den gamle oktaven, som har forhold 8/4 = 2 til den gamle grunntonen. Men det er tonen vi nettopp regnet ut at passet perfekt til å fylle 4/3-rollen med den nye grunntonen, så det er altså en helt annen tone. Faktisk er forskjellen mellom 9/4 og 8/4 meget hørbar. Den er omtrent like stor som forskjellen mellom F og G på et vanlig piano, eller som forskjellen mellom de første to tonene i «Lisa gikk til skolen». Dermed må vi kanskje nøye oss med et hull i skalaen dersom vi forsøker å spille ut ifra denne nye grunntonen, og slik vil det ofte være. Eller vi kan lete blant tonene vi har (som springer ut av den gamle grunntonen), og kanskje finne en dårlig erstatning for den tonen vi gjerne skulle hatt, men dette vil antagelig høres falskt ut fordi det ikke harmonerer like godt.

Det hjelper heller ikke på saken om vi flytter oss opp en oktav. Det er lett for en musiker å ta det for gitt at det å synge eller spille en oktav lysere er problemfritt, men hva hvis vi hopper en oktav opp og forsøker å finne en tone med 4/3 forholdstall herfra? 2 * 4/3 = 8/3, og har vi en tone som har 8/3 ganger frekvensen til den gamle grunntonen? Nei.

I antikkens Hellas var særlig pytagoreerne (sekten rundt og etter Pythagoras, ca. 500 år f.Kr.) opptatt av slike tallforhold i naturen. Deres tanke var at alle ting sto i heltallsforhold til hverandre (selv om det kunne være kompliserte forhold, eksempelvis 423428938/1948245), og det sies at de blant annet var fascinert av det faktum at dersom man varierer lengden på en streng, eksempelvis ved å holde en finger nede på strengen (som på en gitar) gir halvering av strengen, tredeling av strengen (og spilling på den delen som har 2/3 av lengden man begynte med) osv. fine harmonier. Dette har å gjøre med at frekvensen står i omvendt forhold til lengden på strengen, slik at de nevnte tonene får forhold 2 (en oktav), 3/2 osv. til tonen man begynte med. Pythagoreernes fascinasjon for proporsjonalitet har gjort at de har fått en stemming oppkalt etter seg, pythagoreisk stemming.

I pythagoreisk stemming forsøker man å ta utgangspunkt i forholdet 3/2. Dette er det forholdet som i vår tid er kjent som en ren kvint, og det regnes som svært velklingende og fundamentalt. Som illustrert over kan dette forholdet godt opptre sammen med forholdet 4/3, som i vår tid er kjent som en ren kvart. Tanken i pythagoreisk stemming er at dersom man mange nok ganger går oppover en ren kvint, vil man etterhvert nå noe som likner sånn noenlunde på den tonen man startet på, bare i en versjon som er flere oktaver høyere. Og man vil også ha vært innom en drøss med toner. Dersom man tar forskjellige oktaver av de tonene man har vært innom, og plasserer dem i stigende rekkefølge, vil man få en slags skala, der tonene seg imellom stort sett har ganske fine forhold. F.eks. kan man tenke seg at man går fra C opp til G og videre opp til D på et piano, tar den D-en man finner der, flytter den en oktav ned, og sier at man nå har de første to tonene i C dur skala (et piano er selvfølgelig stemt allerede, men dette er for å illustrere hvordan man kan lage en skala ved å bevege seg opp rene kvinter). Siden man ved å bevege seg kvinter oppover på denne måten skal komme tilbake til en versjon av tonen man begynte med, kalles dette en kvintsirkel.

Imidlertid fungerer dette bare sånn noenlunde: Det er matematisk umulig å gange en frekvens med 3/2 et heltall antall ganger og ende med en frekvens som er et helt antall oktaver over den man begynte med. Så man jukser. Man beveger seg rene kvinter oppover 11 ganger, og får dermed 12 forskjellige toner (inkludert den man begynte på). Den tolvte gangen man beveget seg opp en ren kvint, ville man endt på en tone som hadde (3/2)^{12} = 531441/4096 ganger frekvensen til den tonen man startet med. Men istedenfor å gjøre det, sier man seg fornøyd med å ha tolv toner (inkludert den man begynte med) i skalaen sin. Man tenker med andre ord at 531441/4096 er sånn ca. 128 (= 2^7, altså sju oktaver opp fra tonen man startet med), og at tonen man startet med gjør samme nytten i skalaen som denne tolvte kvinten. Resultatet er at overalt på instrumentet er det 100% perfekte forhold i kvintene (og kvartene, for en oktav er nøyaktig en ren kvint og derfra en ren kvart ( 3/2 * 4/3 = 12/6 = 2 )), bortsett fra dersom man forsøker å gå en kvint opp fra den siste tonen man fant. Her bommer man nemlig med 7153/4096, og det høres overraskende tydelig. Denne problematiske kvinten er kjent som en Wolf-kvint, og er kjent for å være noe komponister og musikanter lenge strakk seg langt for å unngå at ble spilt. Man kunne ikke hoppe fra toneart til toneart helt fritt, for da risikerte man gå på en smell. Dette problemet med at ting ikke går opp i opp er et vedvarende problem med renstemming, stemming der man ikke vil gjøre kompromisser med de rene og pene harmoniene. Det har blitt gjort mange forsøk på å omgå dette problemet.

For å fjerne dette problemet helt begynte man med *temperering*. I temperert stemming satser man ikke på å ha rene, fine harmonier overalt, men gjør isteden kompromisser her og der, og tanken er å spre avrundingen utover istedenfor å samle den opp til en sur Wolf-kvint. På J.S. Bachs tid var orgelbygging og dertil temperering et svært aktivt felt, og hans «Veltempererte klaver» gjenspeiler dette. Dette monumentale verket antas å skulle framheve forskjellige tonearters karakter i en ujevn temperering, og er et eksempel på et verk som ofte er blitt spilt på instrumenter temperert etter aktuelle stemminger fra den tiden. Disse stemmingene har egne navn, gjerne etter oppfinnerne, slik som Werckmeister III.

Likestemming er en ekstremversjon av temperering, der man tar utgangspunkt i en oktav og krever at forholdet mellom alle nabotonene innenfor denne oktaven skal være nøyaktig likt. Gjør man dette med alle oktavene får man et system der forholdet mellom frekvensen til to nabotoner er nøyaktig det samme overalt. Slik får man et system der det ikke har noenting å si for intervallene hvilken tone man begynner å spille på. Eksempelvis vil en kvint i et tolvtone-system som er likestemt (12 toner innenfor hver oktav, slik vi er vant til i vesten) ganske enkelt være definert som et intervall på 7 halvtoner (avstanden mellom to nabotoner kalles da en halvtone), og dette skal altså være det samme overalt.

Helt nøyaktig blir forholdet mellom to nabotoners frekvenser \sqrt[12]{2} = 1,059463... , ettersom dette må være et tall som man kan gange sammen tolv av for å få to (tolv halvtoner skal nemlig utgjøre en oktav, og hver skal ha like mye økt frekvens fra den forrige). Dette forholdstallet er ikke en pen brøk, slik som f.eks. 12/11. Faktisk er det et irrasjonelt tall, hvilket betyr at det ikke kan skrives som en brøk av to heltall i det hele tatt. Og dette gjelder ikke bare halvtonene: Faktisk vil forholdet mellom to hvilke som helst toner enten være et helt antall oktaver, eller noe som ikke kan skrives som en brøk av heltall i det hele tatt. Dette fordi: 

\left(\left(\sqrt[12]{2}\right)^{n}\right)^{12} = \left(\sqrt[12]{2}\right)^{12*n} = \left(\left(\sqrt[12]{2}\right)^{12}\right)^{n} = 2^n, slik at \left(\sqrt[12]2\right)^n 

er tolvteroten til et heltall, og videre fordi roten av et heltall er enten et heltall eller et irrasjonelt tall, samtidig som de eneste mulige heltallsrøttene av 2^n er toerpotenser (ettersom primtallsfaktoriseringen er entydig)).

Med andre ord vil *alle* andre intervaller enn oktaver være littegrann feil i forhold til renstemming, selv om kvinten man får vil ha frekvens som er 1,4983070768766814987992807320269... ganger den til grunntonen, hvilket er rimelig nære 3/2 = 1.5, og kvarten også kommer nær den rene kvarten (1,3348398541700343648308318811827... vs. 1.333333..). Kvinten og kvarten er viktige intervaller, men de øvrige intervallene, f.eks. tersen, blir ikke fullt så godt tilnærmet naturtone-versjonen dersom man bruker likestemming.

Man mister særegenheten forskjellige tonearter har i andre tempereringer, og man bruker et system der ingenting annet enn oktavene er nøyaktig harmoniske. Men systemet blir enkelt å forholde seg til, og det høres helt greit ut for de fleste. Tanken om likestemming har vært kjent siden før Bachs tid, men det er først i de siste par hundre årene at likestemming virkelig har slått an.

Flere komponister har på 1900-tallet og 2000-tallet uttrykt sin misnøye med likestemmingen. Selv om mange store verk nå er skrevet for likestemming, og kan sies å utnytte den til fulle, og likestemming lenge har vært utgangspunktet for de aller fleste, har det kommet ytringer om at likestemming er både pregløst og surt. En del komponister, deriblant mange norske, har forsøkt å bøte på dette ved å konstruere sinnrike apparater og stemminger.

En mye brukt fremgangsmåte har vært å bygge renstemte instrumenter som har fler enn 12 toner innenfor hver oktav (såkalt mikrotonalitet). Man kan gjøre som med pythagoreisk stemming, men istedenfor å stoppe etter den 11. kvinten (og dermed få 12 toner tilsammen) kan man fortsette to runder til, til man har fått 36 forskjellige toner tilsammen. Med såpass mange toner å velge mellom, og en annerledes siste tone i kvintsirkelen, slipper man å ha en kvint som så veldig tydelig skiller seg ut. Det finnes nemlig blant de 32 tonene man har funnet en tone som likner rimelig mye på den man ville fått om man fortsatte enda en kvint oppover.

Arabisk og indisk klassisk musikk løser problemet ved å oppdele oktaven i 53 eller 72 mikrointervaler, og danner skalaene sine ved å velge fra dem for deres *maqam* og *raga*, henholdsvis.

En rekke moderne komponister har også utforsket forskjellige former for temperering som ikke er likestemming. Det er selvfølgelig også mulig å temperere et mikrotonalt system istedenfor å renstemme det.

En norsk komponist som har arbeidet spesielt mye med moderne versjoner av renstemming er Eivind Groven, men det er få norske samtidskomponister fra siste halvdel av 1900-tallet som er fullstendig fremmed for eksperimentering med skalaer og stemminger.

## Se også
* Pianostemming

## Referanser


## Litteratur

## Se også
*Intervall