Magnet

En **magnet** er et objekt som omgir seg med et magnetisk felt. Den kan være laget av et ferromagnetisk (eller ferrimagnetisk) materiale slik at den har en permanent magnetisering eller den kan være en elektromagnet som er avhengig av en elektrisk strømforsyning. Fysiske fenomen forbundet med magneter omtales som magnetisme som igjen er forklart ved elektromagnetisk teori. 

Magneter utnyttes i elektriske motorer, høyttalere, metalldetektorer, harddisker, lydbånd/databånd, følere i tyverialarmer, dørlukkere, teleslynger for høreapparater, katodestrålerør/TV-rør og MR-maskiner (bildedannelse ved magnetisk resonans). I mange hjem kan magneter sees sittende fast på kjøleskapsdører.  

Noen steiner har naturlige magnetfelt og var de første, permanente magneter. I dag kan magneter produseres industrielt. Navnet *magnet* kommer fra byen Magnisía i Hellas hvor det i oldtiden ble funnet det magnetiske mineralet magnetitt med den kjemiske formelen  Fe3O4. 

Av slike materialer ble det tidlig lagt kompass hvor den bevegelig delen er en permanent magnet. Den retter seg inn langs Jordens magnetfelt. På den måten sies den enden av magneten som peker mot Den magnetiske nordpolen å være en «nordpol» N for magneten, mens den andre enden kalles magnetens «sydpol» S. Man kan ikke isolere en enkelt N- eller S-pol. Slike magnetiske ladninger eller monopoler finnes ikke. Derimot fremkommer magnetiske effekter fra elektriske strømmer som ble vist av Ørsted, Ampère og formulert i Biot-Savarts lov.

De detaljerte egenskapene til magnetiske materialer ble først forstått ved etableringen av moderne kvantemekanikk. Deres magnetiske felt skyldes bevegelsen til elektronene i materialets atomer i samspill med deres spinn. Slik forklares også at egenskapene til permanente magneter forsvinner ved tilstrekkelig høy oppvarming.

## Historie - magnet

Lenge før magnetiske kompassnåler ble først brukt i Europa, var deres nytte kjent i Kina. Der var det kjent at en magnet som svinger i et vannrett plan, alltid peker i retningene nord og sør. De oppfant med andre ord kompasset. De gamle grekerne hadde mange filosofiske tanker om emnet uten at de nødvendigvis var basert på så mye praktisk erfaring.  Lucretius i sitt store verk *De Rerum Natura* omtalte hvordan en magnet kunne holde fast på en jernring. Dermed ble ringen magnetisert slik at den igjen kunne holde fast i andre ringer. På samme måte kunne en nål av jern bringes i nærheten av en permanent magnet og selv bli magnetisk.

Kompasset kom til Europa på 1200-tallet. Dets virkning var i mange år omgitt av myter og overtro. For eksempel mente noen at dets virkning skyldes Nordstjernen eller var forårsaket av spesielle forhold ved den geografiske Nordpolen.

På begynnelsen av 1900-tallet var de vanligste permanentmagnetene laget av jernlegeringer med wolfram, krom eller kobolt . Den sterke permanentmagneten av materialet alnico ble oppfunnet i 1932 . Den var minst 9 ganger sterkere enn alle eksisterende wolfram-baserte magneter og 1.5 ganger sterkere enn kobolt-baserte magneter. Ferritt-baserte magneter ble vanlige i løpet av 1950-tallet. I 1966 ble samarium-magneten oppfunnet og i 1983 ble neodym-magneten oppfunnet.

### Gilbert
Den første, vitenskapelige undersøkelse av magnetiske fenomen ble foretatt av William Gilbert som presenterte sine resultat i det kjente verket *De Magnete* i 1600.
Han viste at Jorden selv er en magnet som retter inn kompassnålene.  Videre bekreftet han mer presist at mens to ulike poler tiltrekker hverandre, vil to like poler som NN eller SS frastøte hverandre. Ved å dele en magnet i to mellom  N-polen og S-polen, fikk man ikke isolert disse, men derimot to nye magneter med hver sine N- og S-poler. Ved å gjenta denne oppdelingen, ville man fortsatt ikke kunne isolere en enkelt pol. Vanlige stavmagneter har to poler. Men magnetiseres en jernring, får man en ringmagnet uten poler. 

Med Gilberts forklaring er grunnen til at kompassnålens N-pol peker mot nord, at det finnes en magnetisk S-pol i området rundt den geografiske Nordpolen. Det betyr at  Den magnetiske nordpolen i virkeligheten er en magnetisk sydpol, og tilsvarende er Den magnetiske sydpolen en N-pol.

Ved bruk av kompassnåler som kan bevege seg både i det horisontale og vertikale planet, kan man kartlegge retningen til det jordmagnetiske feltet i hvert punkt. Denne retningen blir angitt ved to vinkler som angir den horisontale, magnetiske deklinasjon og den vertikale, magnetiske inklinasjon. Det ble tidlig klart at disse verdiene varierte langsomt med tiden. Allerede i 1692 foreslo Edmond Halley at dette skyldes at de magnetiske polene er festet til en bevegelig sfære inni Jorden. Denne forklaringen er ikke så forskjellig fra hva man vet idag der Jordens magnetfelt skyldes elektriske strømmer i dens indre.

### Coulomb

På samme måte som elektriske fenomen i tiden etter Gilbert ble forsøkt forklart ved strømninger av to væsker, prøvde man også å beskrive magnetiske fenomen ved en lignende  modell. Overskudd eller underskudd av disse væskene skulle da gi opphav til to typer magnetiske ladninger som manifester seg som tilsvarende magnetiske poler. N-polen skyldes positiv ladning og S-polen består av negativ ladning.  Som konvensjon ble valgt at de magnetiske kraftlinjene skal gå fra N-pol til S-pol analogt med elektriske feltlinjer.

Magnetiske krefter var forventet å opptre på samme måte som elektriske krefter, det vil si variere med kvadratet av avstanden som i Newtons gravitasjonslov. Kalles de to magnetiske ladningene for *q<sub>m</sub>* og *q'<sub>m</sub>*, skulle den forventete kraftloven da ha formen

:  F = k_m{q_m q_m'\over r^2} 

hvor *r*&thinsp; er den relative avstanden og *k<sub>m</sub>*&thinsp; er en konstant avhengig av hvilke målenheter som benyttes analogt med Coulombs konstant *k<sub>e</sub>*&thinsp;  for den elektriske kraften. I SI-systemet har den verdien  = 10-7&thinsp;N/A2 hvor *&mu;*0&thinsp; ofte omtales som den magnetiske konstanten. Enheten for magnetisk ladning *q<sub>m</sub>&thinsp;* er derfor A&sdot;m i dette mest brukte målesystemet. Denne loven for magnetiske krefter ble først tatt systematisk i bruk av John Michell.

På slutten av 1700-tallet gjorde Coulomb nøyaktige målinger av kreftene som virket på polene til magnetnåler. Hans resultat så ut til å være i overensstemmelse med denne loven, men den viste seg snart å ikke være generelt gyldig. Allerede da ble det klart at magnetiske krefter er mer kompliserte enn de tilsvarende elektriske kreftene. Med oppdagelsene til Ørsted og Ampère ble det klart at det er elektriske strømmer som gir opphav til magnetisme. Denne teoretiske forståelsen gjorde det mulig til å finne mer presise lovmessigheter for magnetiske krefter samtidig som den ga en bedre, mikroskopisk forklaring av egenskapene til magnetiske materialer.

## Materiale
Magnetitt er et naturlig forekommende magnetisk materiale, men i seg selv er det ingen god permanentmagnet. Det er blitt utviklet en rekke andre materialer som i dag brukes for permanentmagneter. De vanligste er ferritt-baserte magneter, alnico-baserte og magneter som inneholder sjeldne jordarter (neodym eller samarium). De sistnevnte er de sterkeste.

Ferritt er et keramisk materiale bestående av i hovedsak jernoksid. Magnetene som lages av ferritt er billige, men sprø, og må behandles mer eller mindre som annen keramikk. De brukes ofte til kjøleskapmagneter og lignende.

Alnico-magneter er laget av en legering mellom aluminium, nikkel, kobolt og jern. Inntil de sjeldne jordart-magnetene ble oppfunnet, var alnico-magneter de definitivt sterkeste. De ble oppfunnet i 1932.

Magneter som lages av sjeldne jordarter er de sterkeste permanentmagnetene vi i dag kjenner til. De ble først utviklet på 1970 og 1980-tallet. De vanligste består av neodym eller samarium. Disse magnetene er sprø og utsatte for korrosjon og blir derfor vanligvis platterte med et beskyttende materiale. Neodym-magneten er en legering av jern, neodym og bor. Samarium-magneten er en legering av samarium og kobolt. Selv om neodym-magneten er sterkere ved romtemperatur og mye billigere enn samarium-magneten, tåler samarium-magneten høyere temperatur .

## Magnetisering

Ved sine eksperimenter og analyse av disse ble Ampère overbevist om at alle magnetiske fenomen skyldes elektriske strømmer som går i lukkete sløyfer. Dette skulle gjelde også for det magnetiske feltet fra permanente magneter. I disse skulle det finnes mikroskopiske strømsløyfer som ga opphav til magnetiske effekter på nøyaktig samme måte som de han hadde observert fra strømførende ledninger. Hver slik strømsløyfe kan beskrives som en magnetisk dipol. Med fremveksten av moderne atomfysikk har dette bildet vist seg å være en meget profetisk antagelse da hans mikroskopiske strømsløyfer tilsvarer elektronenes gang i lukkete baner omkring atomene.

I denne modellen til Ampère gir alle de mikroskopiske strømsløyfene opphav til en kontinuerlig fordeling av magnetiske dipolmoment. Det er vanlig å betegne deres midlere tetthet med vektorfeltet  **M** som kalles materialets magnetisering. I prinsippet kan denne variere i rommet, men i mange praktiske situasjoner er den konstant både i størrelse og retning. Det magnetiske momentet til et lite volum *V* er da  og har dimensjon A&sdot;m2 i SI-systemet. 

En sylinderformet stavmagnet med magnetiseringen **M** rettet langs aksen vil ha nærliggende Ampère-strømmene inni magneten som kansellerer slik at man står igjen med en makroskopisk strøm langs sylinderoverflaten. De gir opphav til et magnetisk felt **B** som inni magneten er rettet langs dens akse. Dette kan regnes ut fra Biot-Savarts lov. Beregningen blir den samme som for en strømførende spole som leder en strøm per lengdeenhet på overflaten lik med *M*. Utenfor magneten ser feltet ut som fra en magnetisk dipol  når dens volum *V* er lite nok.

Man kan alternativt tenke seg en slik magnetisk dipol sammensatt av en positiv og en negativ magnetisk ladning &plusmn;*q<sub>m</sub>* i dens endepunkt. Hvis avstanden mellom dem er gitt ved vektoren **d**, vil de da sammen utgjøre en magnetisk dipol med moment **m** = *q<sub>m</sub>*&thinsp;**d** helt analogt med en elektrisk dipol. Selv om slike magnetiske ladninger ikke finnes, kan denne modellen til Gilbert ofte gi en nyttig forståelse av magnetiske krefter.

## Magnetiske felt

Utenfor en magnet finnes det et magnetisk induksjonsfelt **B** som kan beregnes ved å anta at den er beskrevet ved et magnetisk dipolmoment **m**. Som for en elektrisk dipol plassert  origo kan det skrives som

:  \mathbf{B}(\mathbf{r}) =  {\mu_0\over 4\pi r^3}\Big[3(\mathbf{m}\cdot\hat\mathbf{r})\hat\mathbf{r} - \mathbf{m}\Big]  

når man benytter enhetsvektoren \hat\mathbf{r} = **r**/*r* som angir retningen til feltpunktet i **r**. Ligger magnetens akse langs *x*-aksen, vil feltet lenger ut på denne aksen peke i samme retning og ha størrelse

:  B = {\mu_0 m\over 2\pi x^3} 

I et punkt på *y*-aksen er feltet motsatt rettet og har halvparten av denne verdien for samme avstand til magneten.

Dette resultatet kan man også komme frem til ved å beskrive magneten i Gilberts modell som bestående av to magnetiske ladninger  i avstand *d*. Bruk av Coulombs lov gir da det resulterende feltet fra disse to ladningene som

:  B = {\mu_0 q_m\over 4\pi}\Big({1\over x^2} - {1\over (x+d)^2}\Big) 

Når *x* >> *d*, kan innholdet av parentesen settes likt 2*d/x<sup>3</sup>&thinsp;* som da gir det samme resultatet når det magnetiske momentet .

### Magnetens indre

Utenfor magneten er det ikke noen magnetisering **M** slik at induksjonsfeltet kan uttrykkes på den vanlig måten **B** = *&mu;*0**H** ved det magnetiske feltet **H**. Men inni magneten vil disse to være ganske forskjellige og i alminnelighet forbundet ved definisjonen

:  \mathbf{B} = \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) 

Mens **B** kan beregnes fra de makroskopiske Ampère-strømmene på magnetens sideflater, er feltet **H** gitt ved de makroskopiske Gilbert-ladningene på magnetens endeflater. De tilsvarende feltlinjene går ut fra de positive ladningene (N-pol) og ender opp på de negative ladningene (S-pol). Da feltlinjene for **B**-feltet alltid er lukkete kurver, betyr det at inni magneten har **B** og **H** motsatt retning.

Har magneten endelig utstrekning og dens endeflater er plane, kan **H**-feltet like utenfor beregnes på samme måte som det elektrisk feltet utenfor en plan skive, nå med konstant  magnetisk flateladningstetthet . Like utenfor endeflaten står **H**-feltet normalt på endeflaten med tilnærmet størrelse . Er denne magneten lang og tynn (kompassnål), bidrar ikke ladningene fra den motsatte enden og det magnetiske fluksfeltet som passerer endeflaten er derfor med god nøyaktig . Et punkt inni magneten som er langt borte fra begge endeflatene, vil ha  og derfor  i en slik tilnærmet betraktning. 

I det motsatte tilfellet for en veldig kort magnet som ser ut som en skive med en konstant magnetisering **M** langs aksen, vil **H**-feltene fra de to endeflatene kansellere utenfor magneten og der gi *B* = 0. Inni magneten vil de ha samme retning slik at *H = - M*. Dette er analogt med det elektriske feltet fra en plan kondensator. **B**-feltet inni magneten er derfor null i denne approksimative beskrivelsen.

### Beregning av indre felt
I en sylinderformet stavmagnet med lenge *L* og radius *a* som har en uniform magnetisering *M*&thinsp; langs aksen, har hver endeflate med areal  en magnetisk ladning  
da den magnetiske ladningstettheten på hver av dem er . Størrelsen av **H**-feltet på midten av magneten kan da finnes fra Coulombs lov anvendt på disse fiktive ladningene,

:  H_{L/2} = 2\cdot {Q_m\over 4\pi (L/2)^2} = 2{a^2\over L^2}M 

der faktoren 2 skyldes at begge endeflatene bidrar med like mye. Samme resultat fås ved å benytte beregningen av det elektrisk feltet utenfor en plan disk med radius . Dette **H**-feltet er motsatt rettet magnetiseringen **M** slik at 
har størrelsen

:  B(L/2) = \mu_0 M\Big(1 - 2{a^2\over L^2}\Big)  

midt inni magneten.

På samme måte kan også feltet like utenfor en av endeflatene beregnes. Her vil ladningen på platen selv bidra med *M*/2 til **H**-feltet, mens bidraget fra den motsatte endeflaten i avstand *L* igjen kan finnes fra Coulombs lov som nå gir

:  H_L = {Q_m\over 4\pi L^2} = {a^2\over 4L^2}M 
og virker i motsatt retning. Da  utenfor magneten, blir derfor fluksfeltet der  eller

:  B(L) = {1\over 2}\mu_0 M\Big(1 - {a^2\over 2L^2}\Big) 

Dette er også verdien på **B**-feltet like innenfor endeflatene.

### Magnetisk hysterese

Virkelige magneter er vanligvis laget av ferromagnetisk materiale. Dette inneholder små domener hvor magnetiseringen er konstant. Utsettes dette materialet for et ytre magnetfelt **H**, vil disse rette seg inn i samme retning ved økende feltstyrke. Den makroskopiske magnetiseringen **M** vil øke med økende **H**, men denne forandringen er ikke lineær. Dette uttrykkes ved fenomenologisk ved en ikke-lineær relasjon *B* = *B*(*H*) som tilsvarer variabel permeabilitet for magnetmaterialet. Når *H* er blitt tilstrekkelig stor, peker magnetiseringen i alle domenene langs dette feltet, og det resulterende fluksfeltet *B* sies å ha gått i *metning*.

Hvis nå det ytre feltet *H* reduseres til null, vil fluksfeltet få et litt annet forløp uttrykt ved en modifikasjon av funksjonen . Når , vil det fremdeles være et fluksfelt  i materialet hvor *M<sub>r</sub>&thinsp;* er den remanente magnetiseringen. For å få den ned til null, må det ytre feltet øke i motsatt retning til verdien *H<sub>c</sub>* som angir materialets *koersivitet*. 
Ved å øke *H* ytterligere, går materialet i metning i motsatt retning. Hvis man så reverserer prosessen og øker *H* igjen, vil *B*-feltet få et nytt forløp  før det igjen går i metning i den opprinnelige retningen. Den fulle variasjonen av de to magnetfeltene er beskrevet ved en lukket «hysteresekurve» i *BH*&thinsp;-&thinsp;diagrammet.

### Permanent magnetisering

Hysteresekurvene er karakteristiske for materialet som benyttes i magneten, men uavhengig av hvordan den ser ut. Men den geometriske formen bestemmer hvor stor dens magnetisering blir. Hvis den er lang og tynn (kompassnål), er *H* = 0 i dens midte. Dens magnetisering er derfor gitt ved den remanente magnetiseringen  For en magnetisert kule er derimot de interne feltene relatert ved . Dette beskriver en rett linje i  *BH*&thinsp;-&thinsp;diagrammet med stigningstall -2. De resulterende verdiene for *B* og *H* finnes fra dens skjæringspunkt med hysteresekurven. Magnetiseringen følger så fra 

## Magnetiske krefter

Den enkleste utgave av en magnet er en magnetisk dipol. Det fysiske bildet av denne er en liten strømsløyfe som omslutter et areal *A*. Er strømmen i sløyfen *I*, har den et magnetisk moment med størrelse *m = IA* og rettet vinkelrett til sløyfens plan. Plasseres dipolen et ytre magnetfelt **B**, vil den påvirkes av en magnetisk kraft gitt ved Lorentz-kraften. Resultatet er at den vil påvirkes av et dreiemoment

:  \mathbf{T} = \mathbf{m}\times\mathbf{B} 

som vil prøve å rette inn dipolen etter feltet. Denne rotasjonskraften tilsvarer den potensielle energien 

:  V = - \mathbf{m}\cdot\mathbf{B}  

Disse to uttrykkene er av samme form som for en elektrisk dipol i et elektrisk felt og kan utledes på samme måte ved å bruke Gilbert-modellen med to motsatte, magnetiske ladninger for dipolen. 

Hvis magnetfeltet har en romlig variasjon **B**(**r**), vil dipolen også bli utsatt for en ekstra kraft

: \mathbf{F} = (\mathbf{m}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{B} = m_x{\partial\mathbf{B}\over\partial x}  + m_y{\partial\mathbf{B}\over\partial y}  + m_z{\partial\mathbf{B}\over\partial z}  

som prøver å flytte den. Dette uttrykket kan alternativt skrives som **F** = -**&nabla;**&thinsp;*V* da man har **&nabla;**&thinsp;&times;&thinsp;**B** = 0 i denne situasjonen. Denne translatoriske kraften kan også utledes ved å betrakte dipolen som en strømsløyfe.

Da gradientene til magnetfeltet rundt en stavpunkt er størst rundt dens ender, vil fritt bevegelig jernfilspon i størst grad samles der. Et konstant magnetfelt kan dreie, men ikke flytte en magnetisk gjenstand.

### Dipol-dipol kraft

Kraften mellom to magneter i tilstrekkelig stor avstand fra hverandre, kan beregnes ved å betrakte dem begge som magnetiske dipoler med momenter **m**1 og **m**2 ved bruk av formelen . Plasseres **m**1 i origo, er dens felt **B**1 gitt ved den vanlige dipoluttrykket. Med **m**2 i posisjon **r** finnes da kraften mellom magnetene som

:
  \mathbf{F} =   \frac{3\mu_0}{4 \pi r^4}\Big[(\mathbf{m}_1\cdot\hat\mathbf{r})\mathbf{m}_2 + (\mathbf{m}_2\cdot\hat\mathbf{r})\mathbf{m}_1 +
    (\mathbf{m}_1\cdot\mathbf{m}_2)\hat\mathbf{r} - 5(\mathbf{m}_1\cdot\hat\mathbf{r})(\mathbf{m}_2\cdot\hat\mathbf{r})\hat\mathbf{r} \Big]


Den avtar med fjerde potens av avstanden og har som forventet en komplisert avhengighet av den relative orienteringen av de to dipolene. Det kan forstås som resultatet av de fire magnetiske Coulomb-kreftene som virker mellom de to polene på den ene magneten og de to polene til den andre magneten.

I det spesielle tilfellet at begge magnetene ligger langs *x*-aksen med samme retning slik at N-polen på den ene magneten er hovedsakelig tiltrukket av S-polen på den andre, tar denne kraften en enkel form. Den kan i dette spesielle tilfellet beregnes mer direkte fra 

:  F = \Big(m_2{d\over dx}\Big) {\mu_0 m_1\over 2\pi x^3} = - \frac{3\mu_0}{2\pi} \frac{m_1 m_2}{x^4}

hvor minustegnet bekrefter at magneten tiltrekker hverandre. Kraften mellom magnetene avtar med avstanden i fjerde potens som er mye raskere enn kraften mellom to isolerte ladninger.

Denne dipolantagelsen bryter sammen når magnetene er nær hverandre. Da vil den generelle formelen bare gi et approksimativt svar. Men hvis begge magnetene er kuleformete og uniformt magnetiserte, er feltet utenfor hver av dem gitt nøyaktig som for en ideell dipol plassert i kulenes sentrum.

### Maxwell-spenning

Hvis begge endene til en stavmagnet bøyes slik at dens N-pol står direkte overfor sin egen S-pol, ville disse to polene trekkes mot hverandre med en magnetisk kraft. Er endeflatene plane, kan man anta at de etter bøyningen igjen er parallelle med hverandre slik at feltet i luftgapet mellom dem er homogent. Kraften mellom disse to magnetpolene kan da ikke beregnes i samme dipolapproksimasjon, men derimot som kraften mellom de to platene i en ladet plan kondensator. Hvis magneten har magnetiseringen *M*, er den magnetiske ladningen på den ene endeplaten  hvor *A* er arealet til denne platen. Det magnetiske feltet fra den andre er  slik at kraften mellom endeflatene blir 

:  F = Q_mB' = {1\over 2}\mu_0AM^2 

Men nå er det totale, magnetiske feltet i luftgapet *B* = 2*B' = &mu;*0*M*&thinsp; da ladningene på begge endeflatene bidrar til det. Attraktiv kraft per flateenhet er derfor det negative trykket

:  P = {F\over A} = {B^2\over 2\mu_0} = {1\over 2}BH 

da *B =  &mu;*0*H*&thinsp; i luftgapet. Dette kalles en «Maxwell-spenning» og har samme form som den tilsvarende spenningen i et elektrisk felt. De inngår begge som komponenter i Maxwells spenningstensor som kan benyttes til å beregne elektriske og magnetiske krefter på utstrakte legemer uten å kjenne direkte til de elektriske ladningene og strømmene som de inneholder.

### Regneeksempel

Ved å bruke verdien

:  {\mu_0\over 4\pi} = 10^{-7} \mbox{N}/\mbox{A}^2  

for den magnetiske konstanten, finner man for et magnetfelt  =  et Maxwell-trykk av størrelse . Dette tilsvarer fire ganger normalt lufttrykk som kan resultere i store krefter.

Det er denne effekten som gjøres bruk av når en hesteskomagnet benyttes til å løfte tunge metallgjenstander.  I dette tilfellet går den magnetiske fluksen fra N-polen, gjennom jernet tilbake til S-polen i en magnetisk krets. Ved å anta at magnetpolene har sirkulære endeflater med diameter på , finner man en kraft  fra hver pol. For hesteskomagneten med to slike luftgap blir derfor den totale kraften av størrelse . Dette er nok til å løfte et stykke jern med en masse rundt .

### Magnetisk feltenergi
Utvides luftgapet mellom de to magnetiske endeflatene med &Delta;*x*, må man utføre arbeidet *F*&Delta;*x*. Dette går med til å øke den magnetiske feltenergien i dette gapet. Har denne energitettheten *u<sub>B</sub>*, vil det utførte arbeidet gå med til å øke denne med

:  u_B\Delta V = F\Delta x 

der økningen i luftgapets volum er &Delta;*V* = *A*&Delta;*x*. Dette betyr at energitettheten i det magnetiske feltet er

:  u_B = {B^2\over 2\mu_0} = {1\over 2}BH 

En mer teoretisk betraktning viser at dette resultatet også holder når magnetfeltet varierer **B**(**r**) i rommet.  Mer generelt kan det utledes fra Poyntings teorem som en direkte konsekvens av Maxwells ligninger når feltet i tillegg varierer med tiden.

### Kjøleskapsmagnet

En kjøleskapsmagnet består av et tynt lag av ferromagnetisk materiale som på den ene siden har et belegg som kan brukes til bilder, tekst eller andre illustrasjoner.  Magnetiseringen består av regelmessige domener som er arrangert slik at magnetfeltet på siden mot kjøleskapsdøren ser ut som en serie med små hesteskomagneter av samme størrelse som domenene og med vekselende polaritet. Denne siden kan derfor festes til en kjøleskapsdør med høy magnetisk permeabilitet ved at det oppstår en attraktiv Maxwell-spenning i et tynt luftgap mellom døren og magneten.

De regelmessig arrangerte domenene gir et netto magnetfelt som går raskt mot null utenfor magneten da de virker i motsatt retning. I en avstand som tilsvarer størrelsen av disse, kan det settes tilnærmet lik null. Tiltrekningen mot kjøleskapsdøren blir likevel sterk når luftgapet er svært lite da den er bestemt av magnetiseringen til hver domene og er uavhengig av retningen til denne i hver domene.

## Se også

* Elektromagnet
* Magnetisk felt
* Magnetisme
* Ferromagnetisme
* Paramagnetisme
* Diamagnetisme

## Referanser


## Eksterne lenker
* C. Blondel et B. Wolff, CNRS, ''Les lois fondamentales de l'électricité et du magnétisme'', om Coulombs målinger av elektriske og magnetiske krefter.
* Trinity College, Dublin, PY5006: ''Magnetism and Magnetic Materials'', 15 forelesninger om magnetisme.
* W. Wang, University of Washington, ''Magnetism'', tekniske anvendelser av magneter.
* D.P. Stern, ''The Great Magnet, the Earth'', historie og mye annet om geomagnetisme.