Black-Scholes

**Black-Scholes** er et begrep hentet fra matematisk finans som brukes løst om tre ulike ting:

* Den stokastiske differensialligningen som ofte brukes som modell for et verdipapir, som for eksempel en aksje.
* Den partielle differensialligningen som utledes fra modellen i punktet over.
* Løsningen av den partielle differensialligningen i punktet over.

Begrepet tar sitt navn fra forfatterne Fisher Black og Myron Scholes som arbeidet med prissetting av en Europeisk opsjon på begynnelsen av 1970-tallet. Sammen med Robert C. Merton, som først innførte begrepet, løste de problemet med å finne en rettferdig pris på en Europeisk opsjon gitt visse betingelser. Senere ble Merton og Scholes tildelt Sveriges Riksbanks pris i økonomisk vitenskap til minne om Alfred Nobel for sitt arbeid i 1997, mens Black ikke kunne motta prisen da han døde i 1995.

## Black-Scholes som en stokastisk prosess

Som en stokastisk differensialligning er Black-Scholes-modellen formulert på følgende vis:
:d S_t = \alpha S_t dt + \sigma S_t d W_t,

under antagelsene at både driften \alpha og volatiliteten \sigma er konstante. Videre er "støyen" W_t en standard Brownsk bevegelse, og følgende antagelser er gjort med tanke på markedet og aksjen:
* Short-salg er tillatt.
* Det er ingen transaksjonskostnader.
* Markedet er arbitrasje-fritt.
* Aksjen betaler ikke ut fortjeneste.
* Handel foregår kontinuerlig.
* Man kan handle fraksjoner av en aksje.
* Man kan låne penger i banken til en gitt risiko-fri rente.

Denne modellen kan løses analytisk og gir da en pris for en Europeisk opsjon under disse antagelsene kombinert med startbetingelsen S_0. Dette gjøres blant annet på online opsjonskalkulatore slik den Oslo Børs benytter http://www.oslobors.no/ob/opsjonskalkulator?menu2show=1.3.1.5.

## Black-Scholes som en partiell differensialligning

Fra Black-Scholes modellen over kan man utlede en partiell differensialligning. Dette kan gjøres på flere måter, avhengig av hvilken teknikk man bruker. 

### Arbitrasje-fri utledning

Under antagelsene at man har et komplett marked kan man bruke Feynman-Kacs teorem samt den karakteristiske generatoren assosiert med Black-Scholes stokastiske differensialligningen. Fra dette får man den partielle differensialligningen
:u_t + \frac{1}{2}\sigma^2 x^2 u_{xx} + r x u_x - xu=0
med sluttbetingelsen 
:u(x,T)=\max(S-K,0).

### Utledning med delta-hedging

Ved å komponere en portefølje bestående av en aksje og en opsjon kan man finne en arbitrasje-fri pris ved bruk av delta hedging. Vi tar utgangspunkt i at aksjedynamikken beskrives ved
:d S_t = \alpha S_t dt + \sigma S_t d W_t,
og at opsjonen kan beskrives som en funksjon av denne, slik at 
:V:=V(S,t)=\left( \alpha S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt + \sigma S \frac{\partial V}{\partial S} d W_t
ved bruk av Itôs lemma.

Nå konstruerer vi en portefølje med én opsjon og n aksjer, og får da følgende:
:\Pi=V+n S.
Dersom vi holder antallet aksjer fiksert over et lite tidsintervall dt vil porteføljens verdi forandre seg etter relasjonen
:d\Pi = d V +  n d S.
Setter vi nå inn for dV og dS gitt over finner vi at 
:d\Pi = \sigma S \left( \frac{\partial V}{\partial S} - n \right) d W_t + \left( \alpha S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + \frac{\partial V}{\partial t} - \alpha n S \right) dt. 
Siden vi ønsker at all usikkerhet skal bort – vi vil hedge – velger vi n=\frac{\partial V}{\partial S} i starten av tidsintervallet dt. Nå har vi en portefølje hvor usikkerheten er fjernet og endringen er helt deterministisk:
:d \Pi = \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt.

Ved arbitrasjeargumenter må verdien til porteføljen være r \Pi dt, og vi finner at 
:r \Pi dt = \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt.
Setter vi nå inn for \Pi og n finner vi Black-Scholes partielle differensialligning:
:\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} +  rS \frac{\partial V}{\partial S} -rV=0.

## Kritikk

Portfolio.com ved Michael Lewis skrev i 2008 en kritisk artikkel som omhandler denne modellen.

## Referanser