Dihedral vinkel

**Dihedral vinkel** er definert som vinkelen mellom to plan. Navnet kommer fra det greske ordet  ἕδρα (*hedra*) som betyr flate. Vinkelen er definert å være null hvis planene er parallelle med hverandre. Hvis de ikke er det, er den lik vinkelen som de utgjør når planene begge betraktes langs deres felles skjæringslinje. Vinkelen benyttes ofte i forbindelse med romlig geometri og struktur av kjemiske forbindelser.

Et  plan i et 3-dimensjonalt rom er beskrevet ved ligningen  hvor *a*, *b*, *c* og *d* er konstanter. Et punkt på planet er angitt ved posisjonsvektoren . Ligningen kan skrives mer kompakt som **n**&sdot;**r** = *d* når man innfører vektoren  som står normalt på planet.

Er man gitt to plan, kan de beskrives ved ligningene  **n**&sdot;**r** = *d* og  **n**'&sdot;**r** = *d'&thinsp;*. Den dihedrale vinklen mellom dem er da gitt ved vinkelen *&phi;* mellom de to normalene **n** og **n**'. Når disse er kjente, kan størrelsen til vinkelen bestemmes fra det matematiske uttrykket

:  \cos\phi = {\mathbf{n}\cdot\mathbf{n'}\over |\mathbf{n}||\mathbf{n'}|} 

Den dihedrale vinkelen tar verdier mellom null og 180&deg;. I litteraturen benyttes ofte den ekvivalente betegnelsen *torsjonsvinkel*.

## Kjemiske anveldelser

En kjemisk binding mellom to atomer i en viss avstand mellom hverandre kan illustreres ved en vektor (matematikk) hvis retning angir den sterkeste bindingen. Egenskapene til et kjemisk forbindelse er bestemt av hvordan atomene i molekylene er satt sammen i forhold til hverandre. 

Tre atomer som ikke ligger på en rett linje, definerer et plan. Et fjerde atom gjør det da mulig å definere et nytt plan. Den relative posisjonen av fire atomer avhenger derfor av den dihedrale vinkelen mellom disse to planene. Denne vinkelen bestemmer med andre ord de kjemiske egneskapene til et molekyl med fire eller flere atomer.

Bindingsvektoren mellom de to første atomene kan man betegne med vektor (matematikk)en **b**1. Likedan kan  **b**2 være bindingsvektoren mellom det andre og det tredje atomet. Disse tre atomene ligger i et plan hvis normal da er  .

Hvis man nå antar at et fjerde atomet er bundet til det tredje med bindingsvektoren  **b**3, så blir egenskapene til denne konfigurasjonen av fire atomer avhengig av hvor langt det fjerde atomet befinner seg fra planet som utgjøres av de tre første atomene.  Dette er bestemt av den dihedrale vinkelen mellom dette opprinnelige planet og planet som utgjøres av vektorene **b**2 og **b**3. Da dette har normalvektoren , kan vinkelen nå finnes fra definisjonen

:  \cos\phi = {(\mathbf{b}_1\times\mathbf{b}_2)\cdot(\mathbf{b}_2\times\mathbf{b}_3)\over |(\mathbf{b}_1\times\mathbf{b}_2)||(\mathbf{b}_2\times\mathbf{b}_3)|} 

Komponentene til hver av bindingsvektoren kan finnes fra posisjonene til de fire atomene som må bestemmes på annen måte.

### Projiserte vektorer

Denne vinkelen kommer tydelig frem når man ser de fire atomene langs en akse parallell med bindingsvektoren **b**2. Langs denne ligger det andre og det tredje atomet som faller sammen i et punkt. Det første planet som inneholder det første atomet, ser da ut som en rett linje langs projeksjonen av **b**1 på et plan vinkelrett på **b**2. Den dihedrale vektoren er da vinkelen mellom denne projeksjonen og den tilsvarende projeksjonen av **b**3 på det samme planet.

Ut fra dette synspunktet kan man nå beregne den dihedrale vinkelen &phi; ved å beregne projeksjonene av de to vektorene **b**1 og **b**3 på planet normalt på **b**2. Matematisk kan det gjøres ved å innføre en operator *P*
som gir projeksjonen 

:  P(\mathbf{v}) = \mathbf{v} - {(\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}_2)\over (\mathbf{b}_2\cdot\mathbf{b}_2)}\mathbf{b}_2 

av en vilkårlig vektor **v**. Vektoren *P*(**v**) ligger nå i planet normalt til  **b**2. For eksempel er *P*(**b**2) = **0** som viser at projeksjonen av  **b**2 blir et punkt som forventet. Enhver vektor som er normal til **b**2, vil forbli uforandret under projeksjonen.

Med bruk av disse projiserte vektorene er nå den dihedrale vektoren gitt ved det ekvivalente uttrykket

:  \cos\phi = {P(\mathbf{b}_1)\cdot P(\mathbf{b}_3)\over |P(\mathbf{b}_1)||P(\mathbf{b}_3)|} 

Det kan man vise ved å bruke vektoridentiteten . Den relaterer produktet  til produktet   og gir i tillegg at |*P*(**b**1)| = |**b**1&times;&thinsp;**b**2|/|**b**2|. Tilsvarende gjelder for |*P*(**b**3)|.

## Litteratur

* J.P. Glusker, M. Lewis and M. Rossi, *Crystal Structure Analysis for Chemists and Biologists*, John Wiley & Sons, New York (1994). ISBN 0-89573-273-4.