Elektrostatikk

**Elektrostatikk** er den delen av fysikken som omhandler fenomen som oppstår i forbindelse med elektriske ladninger som ikke beveger seg. De sies derfor å være «statiske». I en slik tilstand vil de ha en viss fordeling i rommet og forårsake et elektrisk felt som ikke forandrer seg med tiden. Dette feltet inneholder elektrisk energi som kan forvandles til andre former.

Analogt til elektrostatikk er magnetostatikk som omhandler det magnetiske felt fra permanente magneter eller stasjonære, elektriske strømmer.  Så snart disse forandrer seg med tiden, vil det oppstå elektriske felt beskrevet ved Faradays induksjonslov. Likedan vil elektriske ladninger i bevegelse skape magnetfelt. Under slike forhold må både elektrostatikken og magnetostatikken erstattes med generell elektrodynamikk som er styrt av Maxwells ligninger.

Det er vanlig å skille mellom elektrostatikk og statisk elektrisitet som er navnet på det mer hverdagslige fenomenet man blant annet kan oppleve ved gnidning mellom forskjellig materialer. Dette skyldes frie ladninger i ustabile fordelinger på materielle overflater. Når de induseres ved gnidning, blir fenomenet omtalt som «gnidingselektrisitet» eller som en triboelektrisk effekt. Så lenge disse ladningene forblir i ro, beskrives deres fordeling og genererte felt som i elektrostatikken.

## Grunnleggende lover

Et statisk, elektrisk felt er forårsaket av elektriske ladninger i ro. En hvilken som helst fordeling av slike ladninger kan anses som en samling av punktladninger som hver gir opphav til et elektrisk felt beskrevet ved Coulombs lov. Kan disse punktladningene *q<sub>i</sub>*&thinsp; lokaliseres i bestemte posisjoner **r***i*, er feltet i et punkt **r**&thinsp; forårsaket av alle ladningene gitt som

:  \mathbf{E}(\mathbf{r}) =  \sum_i {q_i(\mathbf{r} - \mathbf{r}_i)\over 4\pi\varepsilon_0|\mathbf{r} - \mathbf{r}_i|^3}  

hvis man benytter vanlige målenheter som angitt i SI-systemet hvor 1/4*&pi;&thinsp;&epsilon;*0&thinsp; er Coulombs konstant. Denne summen viser at det totale feltet oppfyller superposisjonsprinsippet ved at bidraget fra hver ladning er uavhengig av tilstedeværelsen av de andre ladningene.

I mange tilfeller kan man erstatte en slik diskret fordeling av ladninger med en kontinuerlig fordeling med en ladningstetthet *&rho;*(**r**)&thinsp; slik at summen av feltene fra hver punktladning kan erstattes med integralet

:  \mathbf{E}(\mathbf{r}) =  \int d^3 x'{\rho(\mathbf{r}')(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\over 4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}

som går over hele rommet. Feltet går vanligvis mot null i stor avstand fra alle ladninger. Men det gjelder ikke for feltet utenfor en plan ladningsfordeling. Her kan det bare variere i en retning. Ved å utføre integrasjonen finner man at det må være konstant i dette spesielle tilfellet.

### Gauss' lov

Det elektriske feltet kan illustreres ved å tegne feltlinjer. De er kontinuerlige kurver som i hvert punkt har en tangent som er parallell med feltet i samme punkt. Hver slik feltlinje går fra en positiv ladning til en like stor negativ ladning. Desto tettere feltlinjene ligger, jo sterkere er feltet.

Dette bildet gjør det naturlig å innføre begrepet elektrisk fluks. Det matematiske uttrykket for det elektriske feltet fra en vilkårlig ladningsfordeling kan da erstattes med Gauss' lov. Den sier at den totale fluksen som går gjennom en vilkårlig tenkt og lukket «Gauss-flate» er lik med den totale ladningen innenfor flaten dividert med . Denne ekvivalente loven kan ofte gi en mer direkte bestemmelse av feltet som skal beregnes.

Et enkelt eksempel på bruk av denne er akkurat beregningen av feltet utenfor en uendelig plan og konstant ladningsfordeling. Man tenker seg da en lukket Gauss-flate med form av en sylinder med akse normalt på planet og topp og bunn på hver side av dette. Ut fra symmetri må det elektriske feltet *E*&thinsp; stå normalt på planet og derfor kun gå gjennom disse to endeflatene. Har hver av dem arealet *A*, er den totale fluksen gjennom sylinderen lik med 2*AE*. Hvis ladningstettheten på planet er *&sigma;*, er den totale ladningen innenfor sylinderen nå lik med *&sigma;A*. Gauss' lov sier da at feltet utenfor planet har den konstante verdien

:  E = {\sigma\over 2\varepsilon_0} 

Dette enkle resultatet har mange praktiske anvendelser innen elektrostatikken.

### Maxwells første ligning
Ved bruk av divergensteoremet kan den globale formuleringen av Gauss' lov skrives på den lokale formen

:  \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = {1\over\varepsilon_0}\rho(\mathbf{r})  

som gjelder i hvert punkt i rommet. Denne differensielle versjonen av Gauss' lov er Maxwells første ligning. Den gjelder også for ikke-statiske felt og ladningsfordelinger.

Benytter man det generelle uttrykket for feltet fra en kontinuerlig ladningsfordelingen og tar divergensen ved bruk av nabla-operatoren, må man derfor ha at

:  \boldsymbol{\nabla}\cdot {\mathbf{r} - \mathbf{r}'\over |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} = 4\pi\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}') 

som følger av definisjonen til Diracs deltafunksjon. Man kan derfor matematisk beskrive en punktladning *q*&thinsp; i posisjon **r**&thinsp;' som en kontinuerlig ladningsfordeling med en ladningstetthet

:  \rho(\mathbf{r}) = q\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}'). 

Denne ladningstettheten er null overalt bortsett fra i det punkt hvor ladningen befinner seg. Der er den er uendelig stor.

## Elektrostatisk potensial

Hvis man benytter det uttrykket for det elektriske feltet som er forårsaket av statiske ladninger, finner man at  da

:  \boldsymbol{\nabla}\times {\mathbf{r} - \mathbf{r}'\over |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} = 0 

At curl til det elektrostatiske feltet alltid er null, betyr at det kan skrives som gradienten av et skalart, elektrisk potensial. Kalles dette for *V*(**r**), har man da . Ved å bruke sammenhengen

:  \boldsymbol{\nabla} {1\over|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} = - {\mathbf{r} -  \mathbf{r}'\over|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} , 

er derfor potensialet fra diskrete punktladninger gitt som

:  V(\mathbf{r}) =  \sum_i{q_i\over 4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r} - \mathbf{r}_i|},  

mens det for en kontinuerlig ladningsfordeling kan beregnes fra integralet

:  V(\mathbf{r}) =  \int d^3 x'{\rho(\mathbf{r}')\over 4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}.  

Uttrykt ved dette potensialet går den lokale formen av Gauss' lov over i Poissons ligning

:  \nabla^2 V(\mathbf{r}) = - {1\over \varepsilon_0}\rho(\mathbf{r}) 

Den er vanligvis lettere å løse enn for loven på vektoriell form. I områder av rommet hvor det ikke finnes ladninger, oppfyller derfor det elektriske potensialet Laplace-ligningen 

Man kan alltid legge til en konstant til potensialet uten at det elektriske feltet forandres. Dette tilsvarer å gi potensialet en bestemt verdi i et «referansepunkt». For en endelig, lokalisert ladningsfordeling i tre dimensjoner velges dette referansepunktet vanligvis i dette uendelig hvor potensialet settes lik null.

### Ladet kuleskall
Da Coulombs lov har samme form som Newtons gravitasjonslov, betyr det at det elektriske feltet fra et kuleskall med jevnt fordelt ladning *Q&thinsp;* er det samme som feltet fra en punktladning *Q&thinsp;* i kulens sentrum.  Det er en konsekvens av Newtons skallteorem og i elektrostatikken i overensstemmelse med Gauss' lov. Men det betyr også at feltet innenfor kuleskallet er null slik at potensialet der er konstant.

Hvis kuleskallet har radius *R*, vil den jevnt fordelte ladningen *Q&thinsp;* tilsvare en konstant overflateladningstetthet . Potensialet i et punkt *P&thinsp;* med avstand *r&thinsp;* til kuleskallets sentrum kan finnes ved først å beregne potensialet av en ring på skallet hvor alle punktene har samme avstand *s&thinsp;* til *P*. Potensialet av denne ladete ringen med omkrets 2*&pi;R*&thinsp;sin*&theta;*&thinsp; er da  hvor dens ladning er

:  dq = \sigma\cdot 2\pi R\sin\theta \cdot R d\theta = {1\over 2} Q \sin\theta d\theta 

Åpningsvinkelen *&theta;&thinsp;* kan uttrykkes ved avstanden *s&thinsp;* ved bruk av cosinussetningen

:  s^2 = R^2 + r^2 - 2Rr\cos\theta 

som ved derivasjon gir sammenhengen *sds* = *Rr*&thinsp;sin*&theta;d&theta;*&thinsp; mellom differensialene. Ved integrasjon over  *s* fra den nedre grensen  til den øvre grensen  finnes dermed verdien

:  V = {Q\over 4\pi\varepsilon_0} \int_{r - R}^{r + R} {ds\over 2Rr} = {Q\over 4\pi\varepsilon_0 r} 

for potensialet fra hele kuleskallet. Dette er i overensstemmelse med potensialet for en punktladning *Q&thinsp;* i dets sentrum. Hvis punktet *P&thinsp;* ligger innenfor kuleskallet, vil denne beregningen kun forandres ved at den nedre grensen i integrasjonen vil være *R - r*, mens den øvre grensen er *R + r*. Det gir potensialet *Q*/4*&pi;&thinsp;&epsilon;*0*R&thinsp;* som derfor er konstant innenfor kuleskallet.

## Eksempel: Linjeladning

Et illustrerende eksempel er feltet fra en rett linjeladning med lineær ladningstetthet *&lambda;*. Er linjen uendelig lang, kan feltet beregnes enten ved direkte integrasjon eller ved bruk av Gauss' lov. I et punkt med avstand *&rho;&thinsp;* til linjen finner man da at det har størrelsen

:  E(\rho) = {\lambda\over 2\pi\varepsilon_0\rho} 

og er rettet normalt på linjen. Denne komponenten er gitt som gradienten -&part;*V*/&part;*&rho;*&thinsp; av potensialet *V*. Forskjellen i elektrisk potensial i punktet *&rho;&thinsp;* og et referansepunkt *&rho;*0&thinsp; er dermed

:  V(\rho) = - {\lambda\over 2\pi\varepsilon_0}\ln{\rho\over\rho_0} 

Mens referansepunktet for potensialet fra en punktladning vanligvis er uendelig langt borte hvor potensialet er null, må man for en linjeladning benytte et referansepunkt i endelig avstand fra linjen.

### Ladet linjestykke
 
Har linjeladningen en endelig lengde, vil ikke det elektriske feltet overalt stå normalt på den. Dette er spesielt fremtredende nær dens to endepunkt. Nøyaktig i forlengelsen av endepunktene vil feltet ha samme retning som linjen.

Det er enklest å beregne det elektriske potensialet. Har denne linære ladningsfordelingen lengde 2*L*&thinsp; og ligger langs *y*-aksen med sitt midtpunkt i origo, er potensialet i et punkt  i *xy*-planet gitt ved integralet

:  V(x,y) = {\lambda\over 4\pi\varepsilon_0}\int_{-L}^L\!{dy'\over\sqrt{x^2 + (y - y')^2}} 
                         = {\lambda\over 4\pi\varepsilon_0}\ln\left[{\sqrt{x^2 +(L - y)^2} + L - y\over\sqrt{x^2 +(L + y)^2} - L - y}\right]

Koordinaten *x&thinsp;* gir her avstanden fra feltpunktet til linjen. Da potensialet må være rotasjonssymmetrisk om *y*-aksen, vil det overalt ha denne formen med *x* erstattet med den generelle avstanden *&rho;*.

Dette resultatet kan forenkles ved å observere at

:  r_\pm = \sqrt{x^2 + (L \pm y)^2}  

er avstandene fra feltpunktet (*x,y*)&thinsp; til endepunktene for linjeladningen. Ved å innføre de nye variable

:  u = {1\over 2}( r_- + r_+), \;\;\;  v = {1\over 2}( r_- - r_+), 

kan nå uttrykket for potensialet forenkles til

:  V(u,v) = {\lambda\over 4\pi\varepsilon_0}\ln\left({u + v + L - y\over u - v - L - y}\right)  = {\lambda\over 4\pi\varepsilon_0}\ln\left({u + L\over u - L}\right) 

ved å benytte at *u &plusmn; v &plusmn; L - y* = (*u &plusmn; L*)(1 + *v/L*) siden *uv = - Ly*. Det er derfor uavhengig av *v*&thinsp; slik at ekvipotensialflatene er gitt ved betingelsen *u* = konstant. Men dette definerer en ellipse med linjestykkets endepunkt som brennpunkt. På samme måte er feltlinjene gitt ved *v* = konstant som betyr at de er hyperbler med de samme brennpunktene som ellipsen. På grunn av symmetrien om *y*-aksen, blir ekvipotensialflatene i tre dimensjoner sfæroider eller rotasjonsellipsoider.

I nærheten av midten til linjestykket er *x,y*   V(\rho) \approx  {\lambda\over 4\pi\varepsilon_0}\ln\left({\sqrt{\rho^2 +L^2} + L\over\sqrt{\rho^2 + L^2} - L}\right) \approx  - {\lambda\over 2\pi\varepsilon_0}\ln{\rho\over 2L} 

når man igjen kaller avstanden *x* for *&rho;*. For feltpunkt nær origo synes linjestykket å være uendelig langt, og man gjenfinner derfor resultatet for dette enklere tilfellet.

## Ledere og isolatorer

En isolator kan ikke lede elektrisk strøm da den ikke har frie ladningsbærere. Man kan fjerne noen av disse eller addere noen ekstra til med det resultat at isolatoren inneholder ladninger som sitter urørlig i faste plasser. Den er da ladet og inneholder et elektrisk felt som kan beregnes på vanlig måte.

Derimot inneholder en elektrisk leder elektroner som kan bevege seg fritt. Det betyr at under statiske forhold må  overalt inni lederen.
Hvis det ikke er tilfelle, ville det minste elektriske felt sette elektronene i bevegelse og fordele dem omkring i lederen på nytt slik at det igjen ble null og dermed gjenopprette den elektrostatiske likevekten.

Det er kun på overflaten av lederen at feltet kan være forskjellig fra null. Her må det være rettet normalt på overflaten. Hadde det hatt en komponent i overflaten, ville denne ha satt elektroner i bevegelse langs overflaten. Og det kan ikke forekomme under elektrostatiske forhold.

Hvis man tenker seg en liten, sylindrisk  Gauss-flate med akse normalt på overflaten og endeflater like over og under denne, vil det elektriske feltet **E**&thinsp; bare gå gjennom endeflaten som ligger utenfor metallet da det er null innenfor. Har denne arealet *A*, sier da Gauss' lov at  hvor *Q*&thinsp; er ladningen på overflaten som ligger innenfor sylinderen. Feltet utenfor en metallisk leder er derfor

:  E = {\sigma\over\varepsilon_0} 

hvor *&sigma; = Q/A*&thinsp; er overflateladningstettheten. Den vil i allminnelighet variere fra sted til sted. Da dette feltet står vinkelrett på overflaten, betyr det også at denne vil være en ekvipotensialflate hvor det elektriske potensialet *V* = konstant.

### Elektrostatisk skjerming

Det elektriske feltet fra en ytre ladning vil påvirke et metall på den måten at det vil gi opphav til en overflateladning på metallet som vil bli slik fordelt at den sammen med feltet fra den ytre ladningen gir et totalfelt  inni metallet. Dette er elektrostatisk induksjon.

Denne effekten kan illustreres ved å betrakte et metallisk kuleskall eller hul kule med en flyttbar ladning *+Q&thinsp;* inni dens hulrom slik plassert at den ikke kommer borti metallet. Elektriske feltlinjer vil gå fra denne ladningen til innerveggen og treffe denne vinkelrett slik at den er en ekvipotensialflate. Den induserte ladningstettheten på flaten vil variere med posisjonen til ladningen *Q*. Men den totale, induserte ladningen vil være . Det kan bevises ved å velge en sfærisk Gauss-flate *S* inne i metallet. Der må feltet være null slik at Gauss' lov gir

:\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{1}{\epsilon_0}(Q + Q_{ind})   = 0 .

Da denne hule kulen opprinnelig var uladet, betyr det at på den ytre overflaten må det må befinne seg en total, indusert ladning . Og denne er uniformt fordelt, uavhengig av posisjonen til ladningen *+Q&thinsp;* i hulrommet.

Feltet utenfor kuleskallet står normalt på dets ytrevegg og har samme størrelse som om det kom fra en punktladning *+Q&thinsp;* i kulens sentrum. Den metalliske kuleveggen «skjermer» det ytre feltet fra kjennskap til den flyttbare ladningens posisjon i hulrommet.

Hvis den flyttbare ladningen *+Q&thinsp;* plasseres utenfor kuleskallet, vil det fremdeles indusere en viss overflateladning på dets yttervegg. Men dens totale verdi er nå null. På den siden som vender mot den eksterne ladningen, vil elektriske feltlinjer gå vinkelrett inn mot ytterveggen slik at man der har en negativ overflateladning. Den blir kompensert med en tilsvarende positiv overflateladning på den motsatte side hvor elektriske feltlinjer går vinkelrett ut fra ytterveggen i samme retning som feltlinjene fra den flyttbare ladningen *+Q&thinsp;*. På innerveggen av kuleskallet vil det i dette tilfellet ikke finnes induserte ladninger da hulrommet nå er tomt. Det elektriske feltet her er null og potensialet derfor konstant. Den metalliske kuleveggen har avskjermet effekten til den ytre ladningen.

Denne skjermingen er uavhengig av den geometriske formen til det hulrommet som er skapt inne i lederen og dens form. I hvert slikt hulrom vil effekten av ytre ladninger ikke merkes. Det vil alltid induseres overflateladninger slik at det elektriske feltet er null i hulrommet. På innerveggene vil det ikke være overflateladninger, bare på hulrommenes yttervegger. Slike hulrom kalles Faraday-bur og har stor praktisk betydning.

## Historie

Den fysiske forståelse av elektrostatiske fenomen oppstod på begynnelsen av 1800-tallet etter oppdagelsen av Coulombs lov. Da denne hadde samme form som Newtons gravitasjonslov, kunne mange resultat fra beregninger av tyngdekraften tas direkte over til beregning av det elektriske feltet. Det betydde også at det elektriske potensialet måtte oppfylle Laplace-ligningen.

Begynnelsen av elektrostatikk som en ny gren av moderne fysikk kan settes til 1812 da Poisson presenterte arbeidet *Sur la Distribution de l’Électricité a la Surface des Corps Conducteurs* for det franske vitenskapsakademiet. Her viste han at frie ladningsbærere i elektrisk ledere må fordele seg på deres overflate på en slik måte at inne i dem er det elektriske feltet  under elektrostatiske forhold. Med denne forståelse beregnet han overflateladningstetthetene på to ladete, kuleformete ledere under gjensidig påvirkning. Spesielt elegant var den eksakte løsningen han fant for fordelingen av ladning på en leder formet som en ellipsoide. Er totalladningen *Q*&thinsp; og *a*, *b* og *c&thinsp;* halvaksene til ellipsoiden, er overflatettheten gitt som

:  \sigma = {Q\over 4\pi abc} {1\over\sqrt{x^2/a^4 + y^2/b^4 + z^2/b^4}} 

I grensen hvor ellipsoiden går over til å bli en sfærisk kule med radius *a*, går dette over i det trivielle resultatet *Q*/4*&pi;a*2.

Året etter viste Poisson at Laplace-ligningen ikke er generelt gyldig inni i en ladningsfordeling og må erstattes av det som i dag kalles Poisson-ligningen. Han kom frem til dette ved å studere nærmere integralet som gir potensialet fra en kontinuerlig ladningsfordeling med tetthet *&rho;*(**x**). Men dette uttrykket er bare gyldig hvis denne fordelingen er i et ubegrenset, uendelig stort rom. Hvis det finnes andre ledere til stede, må deres overflater være ekvipotensialflater. Disse utgjør derfor grensebetingelser som vil modifisere løsningen av Poissons differensialligning. I 1828 viste George Green i arbeidet *An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism* hvordan dette mer generelle problemet med større praktisk betydning kan løses på en helt ny og systematisk måte som siden er blitt omtalt som bruk av Green-funksjoner. Dette arbeidet åpnet veien for en mengde nye løsninger av elektrostatiske problem og markerte begynnelsen av en periode hvor engelske fysikere og matematikere overtok hegemoniet på dette feltet.

## Speilladninger

Med Greens nye metoder kan man beregne det elektriske potensialet fra gitte ladninger i nærvær av en eller flere ledende grenseflater. Ladningene vil indusere overflateladninger på lederne som igjen påvirker potensialet i rommet mellom lederne. I noen spesielle tilfeller der en eller flere av disse grenseflatene faller sammen med ekvipotensialflatene som oppstår på grunn av ekstra, *tenkte* ladninger, kan beregningen betraktelig forenkles. Slike tenkte ladninger kalles for **speilladninger**. De befinner seg alltid der potensialet ikke skal beregnes, det vil si vanligvis innenfor en grenseflate.

 
Et enkelt eksempel er å betrakte en punktladning *Q&thinsp;* utenfor i et uendelig stort og ledende plan i avstand *d&thinsp;* fra dette som man kan tenke seg som *xy*-planet. Det antas å ha potensialet . Fra ladningen i posisjon *z = d&thinsp;* går det ut feltlinjer som treffer planet vinkelrett og dermed induserer en overflateladning *&sigma;*&thinsp;(*x,y*). Hvis man nå fjerner det ledende planet og erstatter det med en punktladning *-Q&thinsp;* i speilpunktet  *z = -d&thinsp;* til den gitte ladningen, vil potensialet (og feltet) for *z > 0&thinsp;* være som i det gitte problemet med den ledende flaten i *z* = 0. Da det i dette området nå kan tilskrives to punktladninger, vil det være

:  V(x,y,z) =  {1\over 4\pi\varepsilon_0}\left({Q\over\sqrt{ x^2 + y^2 + (z -d)^2}} - {Q\over\sqrt{ x^2 + y^2 + (z + d)^2}} \right) 

På den måten er det opprinnelige problemet redusert til en beregning av potensialet fra den gitte ladningen og dens speilladning.

Det elektriske feltet har *z*-komponenten *E<sub>z</sub>* = - &part;*V*/&part;*z*&thinsp; slik at den induserte overflateladningen i det ledende planet er

:  \sigma(x,y) = -\left.\varepsilon_0{\partial V\over\partial z} \right|_{z=0} = {-Qd\over 2\pi (x^2 + y^2 + d^2)^{3/2}} 

Rett under ladningen *Q&thinsp;* er derfor ladningstettheten maksimal med størrelse *&sigma;*(0,0) = -*Q*/2*&pi;d*&thinsp;2. Integrerert over hele planet finner man som forventet at den totale, induserte ladningen er -*Q*.

Med flere slike grenseflater kan en punktladning gi opphav til flere speilladninger. Grenseflatene behøver heller ikke å være plane. For eksempel kan potensialet for en punktladning utenfor en ledende kuleflate beregnes på samme måte ved å lokalisere en passende speilladning inni kula.

## Elektrostatisk energi

Fra definisjonen av det elektriske potensialet *V&thinsp;* er den potensielle energien til en punktladning *q&thinsp;* gitt som . Skyldes potensialet en punktladning *q*1, vil energien til en annen punktladning *q*2&thinsp; i avstand *r*12 fra den første være

:  U_{12} = {q_1 q_2\over 4\pi\varepsilon_0 r_{12}} 

når vi setter potensialet i det uendelige fjerne lik null. Hvis nå en tredje ladning *q*3&thinsp; plasseres i potensialet fra de to første, vil den totale energien til disse tre punktladningene være

:  U = U_{12} + {q_3\over 4\pi\varepsilon_0}\left({q_1\over r_{13}} + {q_2\over r_{23}}\right) 
               = {1\over 2} \sum_{i = 1}^3q_i \sum_{j\ne i} {q_j\over 4\pi\varepsilon_0 r_{ij}}

hvor *r*13&thinsp; og *r*23&thinsp; er avstanden mellom denne nye ladningen og de to opprinnelige. Den siste summen på høyre side er potensialet *V<sub>i</sub>&thinsp;* fra de de to andre ladningene som virker på ladningen *q<sub>i</sub>*. Ved å legge til flere ladninger til dette systemet, vil man i det generelle tilfellet for en samling av *N&thinsp;* slike punktladninger kunne skrive den totale, potensielle energien som

:  U = {1\over 2} \sum_{i = 1}^N q_i V_i

hvor igjen

:  V_i = \sum_{j\ne i} {q_j\over 4\pi\varepsilon_0 r_{ij}} 

er potensialet fra alle andre ladninger som virker på *q<sub>i</sub>*. De må alle befinne seg i forskjellige posisjoner slik at ingen av de relative avstandene *r<sub>i&thinsp;j</sub>*&thinsp; er null.

### Selvenergier
Dette resultatet for den potensielle energien er kun gyldig for punktladninger. Hvis systemet består av en kontinuerlig fordeling av ladning, må man tenke seg at den består av en samling av punktladninger. For eksempel, et uniformt ladet kuleskall med total ladning *Q* har en elektrostatisk energi som nå kan beregnes. Hvis man betrakter en punktladning *q* på skallet, vil den ha en potensiall energi  hvor potensialet fra alle de andre ladningene på skallet er . Hvis man så summerer opp tilsvarende bidrag for samtlige punktladninger på skallet, vil &sum;*q* = *Q*&thinsp; slik at den totale, potensielle energien til skallet er

:  U_0 = {1\over 2}{Q^2\over 4\pi\varepsilon_0 R} = {1\over 2}QV 

Faktoren 1/2 foran signaliserer at dette er en **selvenergi**. Det betegner den potensielle energien til en ladning som befinner seg i potensialet skapt av den selv.

Man kan komme frem til samme resultat ved å bygge ladningen systematisk opp til verdien *Q*. Man tenker seg da at man bringer stadig nye ladninger fra det uendelige og plasserer de jevnt fordelt på kuleskallet. Hvis man da har samlet sammen ladningen *q*&thinsp; på kuleskallet, vil tilførsel av en infinitesemal ladning *dq*&thinsp; øke den potensielle energien med 
 hvor nå . Ved integrasjon blir derfor den totale, potensielle energien

:  U_0 = {1\over 4\pi\varepsilon_0 R}\int_0^Q dq\, q = {1\over 2}{Q^2\over 4\pi\varepsilon_0 R} 

som derfor gir det samme resultat. I grensen hvor radius *R*&thinsp; til kuleskallet går mot null, blir denne potensielle energien uendelig stor. Dette er et problem ved alle selvenergier og dukker også opp igjen ved en kvantemekanisk beregning.

### Elektrisk feltenergi

Det generelle uttrykket for den potensielle energien til en samling av punktladninger kan også benyttes til å finne energien for en kontinuerlig fordeling av slike ladninger. Den kan da beskrives ved en elektrisk ladningstetthet  som gir opphav til et potensial  En slik ladningsfordeling har dermed den potensielle energien

:  U_E = {1\over 2}\int\!d^3r\rho(\mathbf{r}) V(\mathbf{r}) 

hvor integrasjonen går over hele rommet. Her kan ladningstettheten uttrykkes ved det elektriske feltet via Gauss' lov som . Innsatt i uttrykket har man da

:  U_E = {1\over 2}\varepsilon_0\int\!d^3r (\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{E})V(\mathbf{r}) = {1\over 2}\varepsilon_0\int\!d^3r\Big(\boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{E}V) - \mathbf{E}\cdot \boldsymbol{\nabla}V\Big) 

Ved bruk av divergensteoremet kan det første leddet på høyre side skrives om som et integral over overflaten til integrasjonsvolumet. Hvis dette er uendelig stort, ligger denne overflaten uendelig langt borte hvor alle elektriske felt og potensial er lik null. Dette leddet bidrar derfor ikke. I det andre leddet kan man benytte sammenhengen **E** = - **&nabla;***V*&thinsp; som gir resultatet

:  U_E = {1\over 2}\varepsilon_0\int\!d^3r \,\mathbf{E}\cdot \mathbf{E} 

Integranden her kan nå forstås som en tetthet av potentiell energi,

:  u_E = {1\over 2}\varepsilon_0 E^2(\mathbf{r}) 

som ligger i det elektriske feltet. I motsetning til formelen i utgangspunktet for beregningen gir denne formen alltid et positivt resultat.  Det kan forklares ved at punktladningene har en uendelig stor selvenergi som ikke ble tatt med.

For et ladet kuleskall med radius *R* og ladning *Q*&thinsp; er det elektriske feltet null inni kulen og  utenfor. Dets totale, potensielle energi er derfor

:  U_E = {1\over 2}\varepsilon_0\int_R^\infty\!4\pi r^2 dr \Big({Q\over 4\pi\varepsilon_0 r^2}\Big)^2 =  {1\over 2}{Q^2\over 4\pi\varepsilon_0 R} 

i overensstemmelse med tidligere resultat. For en uniformt ladet kule er feltet inni kulen forskjellig fra null. Dette vil dermed også bidra til den potensielle energien. For en slik kule kan da resultatet for den potensielle energien skrives på samme måte, bare med faktoren 1/2 erstattet med 3/5.

## Maxwells spenningstensor

En oppladet platekondensator har ladninger &plusmn;*Q&thinsp;* på platene som holdes i en avstand *d&thinsp;* fra hverandre. Har de arealet *A*, tilsvarer det en ladningstetthet *&sigma; = Q/A&thinsp;* med motsatt fortegn på hver av dem. De gir igjen opphav til de motsatt rettete feltene &thinsp; hvis man antar at det ikke er luft mellom platene. Totalfeltet mellom dem blir da  = *Q/&epsilon;*0*A*, mens det blir null utenfor platene.

Da de to platene har motsatt ladning, virker de tiltrekkende på hverandre. Denne kraften *F&thinsp;* kan finnes ved å betrakte den ene platen med ladning *Q&thinsp;*  i feltet *E*1 fra den andre, det vil si  = *Q*2/2*&epsilon;*0*A*. Uttrykt ved totalfeltet *E&thinsp;* mellom platene, kan derfor tiltrekningskraften per flateenhet skrives som

:  F/A = {1\over2}\varepsilon_0 E^2 

som er et negativt trykk eller mekanisk spenning. Alternativt kan kraften finnes fra den totale, elektrostatiske energien

:  U  = {1\over2}\varepsilon_0 E^2Ad  

mellom platene. Dette er en potensiell energi som ved en forandring av avstanden *d* mellom platene gir opphav til kraften  i overensstemmelse med forrige resultat.
 
Mens den første beregning er et direkte resultat av Coulombs lov, er denne siste beregningen basert på eksistensen av et elektrisk felt. Maxwell var en av de aller første som innså betydningen av felt i fysikken. Basert på sin forståelse kunne han vise at mer generelle beregninger av elektrostatiske krefter på utstrakte legemer hvor Coulombs lov ikke strekker til, kan erstattes med bruk av en spenningstensor oppkalt etter han. Resultatet for *F/A&thinsp;* i en platekondensator er hovedkomponenten av denne tensoren i feltets retning. Den får også et tiltsvarende bidrag fra tilstedeværelsen av et magnetisk felt.

## Se også
* Coulombs lov
* Elektrisk potensial
* Magnetisk felt
* Magnetostatikk
* Elektromagnetiske felt
* Elektrodynamikk

## Referanser


## Eksterne lenker

* R.P. Feynman, ''Electrostatic Energy'', online Caltech forelesninger.