Legendre-transformasjon

En **Legendre-transformasjon** er i matematikken en metode for å omskrive en konveks funksjon av en variabel til en ny funksjon av den deriverte av den opprinnelige funksjonen. Den ble funnet i 1787 av den franske matematiker Adrien-Marie Legendre i forbindelse med hans interesse for såkalte *minimale flater* som han ville beskrive ved hjelp av deres tangentplan.

## Definisjon

En kontinuerlig funksjon *y = y(x)* er konveks når dens deriverte er en økende funksjon av den variable *x*. Det er ekvivalent med å si at den andrederiverte av funksjonen alltid er positiv. Det eksisterer da en entydig sammenheng mellom *x* og den deriverte *p = dy/dx*.  Dette er en implisitt ligning som gir .  Man kan nå konstruere en ny og ekvivalent funksjon som har *p* som argument ved å betrakte den rette linjen som er tangent til *y = y(x)* i punktet *(x,y*).  Denne linjen skjærer *y*-aksen i punktet . For hvert argument *x* vil den deriverte ha en verdi *p* som gir en entydig verdi 

: g = y - px 

som vist geometrisk i figuren til høyre. Man kan derfor betrakte *g = g(p)* som en funksjon av *p* når man benytter at . Dette er den Legendre-transformerte  funksjonen *g(p)* er den opprinnelige funksjonen *y(x)*. De to variable *x* og *p* sies ofte å være **konjugerte** med hverandre. Man kan også definere den Legendre-transformerte med motsatt fortegn av hva som er valgt her.

Tar man differensialet av den nye funksjonen *g = g(p)*, finner man *dg = dy - pdx - xdp*. Men nå er per definisjon  slik at . Derfor har man det viktige resultatet at *x = - dg/dp* som tilsvarer at *p = dy/dx* for den konjugerte variable. 

### Eksempel

Funksjonen *y = x<sup>2</sup>* kan benyttes til å gi en enkel illustrasjon av transformasjonen. I dette tilfellet er . Sammenhengen mellom *x* og *p* blir da ganske enkelt *x = p/2*. Uttrykt ved den opprinnelige variable, blir den transformerte funksjonen derfor . Dette resultatet kan nå skrives som en funksjon av den konjugerte variable, *g(p) = - (p/2)<sup>2</sup> = - p<sup>2</sup>/4*. Man sjekker nå lett at den Legendre-transformerte av denne funksjonen, er den opprinnelige.

## Funksjon av flere variable

Ofte inneholder den gitte funksjonen ekstra variable som ikke inngår direkte i transformasjonen. De sies å være *passive*. Med en ekstra variabel er da  hvor *t* er en passiv variabel.  Tangenten i *x*-retning har nå helningskoeffisient gitt ved den partiellderiverte  som beregnes ved å holde *t* konstant under derivasjonen. Igjen kan man definere en Legendre-transformert funksjon ved .   I differensialet  er nå  slik at man finner

: dg = \Big({\partial y\over\partial x} - p\Big)dx - xdp + {\partial y\over\partial t}dt 

Her er det første leddet lik null som følge av definisjonen . Dermed har man at . 
Funksjonen *g* kan derfor betraktes som en funksjon av den nye variable *p* samt den passive variable *t*, det vil si at . Videre ser man at denne nye funksjonen har   og  som er viktige relasjoner i praktiske anvendelser. Denne konstruksjonen kan opplagt utvides til å gjelde for funksjoner med flere passive variable.

### Eksempel

En enkel funksjon med en passive variabel er *y = tx*&thinsp;ln*x* som er konveks når *x > 0*. Da blir . Løses denne ligningen med hensyn på *x*, finner man at . Dermed  blir 

:  g = f - xp = tx\ln x - xt(1 +\ln x) = -xt 

som gir

:  g(p,t) = - {t\over e} e^{p/t} 

når man setter inn for *x*. Dette er den Legendre-transformerte funksjonen. Med dette resultatet kan man nå sjekke at  som forventet. Videre er  som er akkurat *&part;y/&part;t*.

## Anvendelser

Transformasjonen ble etablert av Legendre for å løse rent matematiske problemer han var konfrontert med. Fremdeles har den mange anvendelser innen ren matematikk.
I fysikken blir Legendre-transformasjoner benyttet spesielt innen klassisk mekanikk og termodynamikk. 

### Termodynamikk

En differensiell økning *dU* av den indre energien til et system i termisk likevekt som skyldes forandringene *dV* av dets volum og *dS* av dets entropi, er forbundet gjennom termodynamikkens andre hovedsetning.  Denne kan matematisk skrives som

: dU = -PdV + TdS 

hvor *P* er trykket som systemet er utsatt for og *T* er temperaturen det har. Dette er et uttrykk for energiens bevarelse. Man kan derfor betrakte den indre enrgien som en funksjon *U = U(S,V)* hvor *P = - (&part;U/&part;V)<sub>S</sub>&thinsp;* og  *T = (&part;U/&part;S)<sub>V</sub>&thinsp;*. Dette gjør det mulig å gjennomføre to forskjellige Legendre-transformasjoner. Enten kan man erstatte volumet *V&thinsp;* med den konjugerte variable som er trykket *P*, eller man kan erstatte entropien *S&thinsp;* med den konjugerte variable som er temperaturen *T*.

I det første tilfellet får man da  *H = U + PV&thinsp;* som er entalpien til systemet slik at *H = H(S,P)&thinsp;* med *V = (&part;H/&part;P)<sub>S</sub>&thinsp;* som følger fra definsjonen av den Legendre-transformerte. Videre er  da *S&thinsp;* er en passiv variabel. Den andre muligheten gir   hvor *F = F(T,V)&thinsp;* er Helmholtz fri energi. Da vil  og  da volumet *V&thinsp;* denne gangen er passiv. 

Denne frie energien kan man nå Legendre-transformeres videre ved å erstatte *V* med den konjugerte trykkvariable *P*. Det gir  som er Gibbs fri energi *G = G(T,P)&thinsp;* med deriverte   og  . Alle disse relasjonene mellom variable og tilsvarende deriverte som følger så direkte fra Legendre-transformasjonen, spiller en viktig rolle i beregninger av praktiske konsekvenser av de termodynamiske lover.

### Mekanikk

De mekaniske lovene kan formuleres på to tilsynelatende, forskjellige måter. Hvis man benytter Lagrange-mekanikk, kan de alle utledes fra  Lagrange-funksjonen for systemet. Hvis man betrakter bare en dynamisk variabel *q* som varierer med tiden *t*, er Lagrange-funksjon  hvor den deriverte  er en generalisert hastighet. Fra prinsippet om minste virkning følger da bevegelsesligningen

:  {\partial L\over\partial q} -  {d\over dt} \left({\partial L\over\partial q'}\right)  = 0 

som er en differensialligning av andre orden i tiden. Det siste leddet inneholder  som er definert som den kanoniske impulsen for systemet. Bevegelsesligningen kan derfor skrives som .

Ut fra definisjonen for impulsen ser man at Lagrange-funksjonen kan Legendre-transformeres til en ny funksjon  hvor man erstatter en hastighetsvariabel *q'&thinsp;* med en impulsvariabel  . Den transformerte funksjonen er da *H = H(q,p,t)* og kalles for Hamilton-funksjonen for systemet. Da *q* er en passive variabel under denne transformasjonen, vil   når man passer på at denne Legendre-transformasjonen har motsatt fortegn av hva som ble benyttet over. Av samme grunn vil derfor .

Hamilton-mekanikk er dermed ikke noe annet enn Legendre-transformert Lagrange-mekanikk. I stedet for å ha en andreordens differensialligning å løse, kan man da i stedet benytte de to førsteordens differensialligningene

: {dq\over dt} = {\partial H\over\partial p}\,,  \;\;\;\;\;\;   {dp\over dt} = - {\partial H\over\partial q} 

for å beregne bevegelsen. Mange ganger kan dette være enklere selv om fysikken er den samme. Dette er Hamiltons bevegelsesligninger og kan lett generaliseres for systemer med et vilkårlig antall dynamiske variable.

## Litteratur
* M.L. Boas, *Mathematical Methods in the Physical Sciences*, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.

## Eksterne lenker

* MathWorld: Legendre Transformation