Svingende streng

En **svingende streng** betegner en streng som er satt i bevegelse ved et anslag når den samtidig er festet i begge ender slik at den har en viss spenning. Den vil da kunne vibrere med visse, fundamentale toner og er derfor den enkleste model for alle strengeinstrument.

Etter et anslag vil strengen få et utslag fra likevektsstillingen som beveger seg som en bølge i begge retninger. For at utslaget skal være lik med null i begge endepunktene, vil det derfor reflekteres fra hver av disse slik at den resulterende bølgen kan bli svært komplisert. De enkleste svingetilstandene er slik at hvert punkt på strengen beveger seg som en harmonisk oscillator. Bevegelsen til hele strengen består da av en stående bølge som svinger med en viss «egenfrekvens».  Disse tilsvarer de rene tonene som strengen kan fremkalle. For hver slik svingetilstand eller «egenmode» vil strengen ha et visst antall, regelmessig fordelte punkt som ikke beveger seg i det hele tatt. Dette er modens «knuter» som også kaller «noder». I den enkleste egenmoden som er den første harmoniske svingetilstanden, har bevegelsen bare to noder som er strengens endepunkt. Da er utslaget for alle punktene på strengen på samme side av likevektsstillingen.

## Historie
Interessen for egenskapene til svingende strenger var opprinnelig knyttet til de musikalske toner de kunne frembringe. Allerede fra Pythagoras visste man at frekvensen ville variere omvendt proporsjonalt med lengden til strengen. Fra eksperiment på 1700-tallet viste Marin Mersenne at frekvensen også varierte med kvadratroten av  strengens spenning delt med dens egenvekt. Ved bruk av de nyetablerte Newtons mekaniske lover kunne Brook Taylor i 1715 vise dette matematisk for første gang. Han antok at hver liten del av strengen svinger som en pendel. På den måten fant han formen til strengen når den svinger i sin første, harmoniske egenmode. Noen år senere ble denne beregningen bedre matematisk formulert av Johann Bernoulli som fant en vanlig differensialligning for utslaget til strengen.  Den mest generelle, matematiske beskrivelse av en svingende streng ble publisert av  Jean le Rond d'Alembert i 1747. Han utledet en partiell differensialligning av andre orden som siden har blitt omtalt som d'Alemberts bølgeligning.

I spørsmålet om hvordan bølgeligningen skulle løses og tolkes, bidrog også Leonhard Euler og Daniel Bernoulli på avgjørende måte. Denne yngre Bernoulli, sønn til Johann Bernoulli, viste i denne forbindelse hvordan de harmoniske egenmodene kunne kombinereres til å gi mer kompliserte svingetilstander. Dette var den første formulering både av superposisjonsprinsippet og hva som senere ble kalt for Fourier-analyse.

## Bølgeligningen

Før strengen blir eksitert og begynner å svinge, kan man anta at den ligger langs *x*-aksen. Når den beveger seg med utslag i *y*-retning, vil utslaget derfor i hvert punkt variere med tiden *t* slik at det kan beskrives ved en funksjon *y*(*x,t*). Det er vanlig å betrakte bare små utslag slik at strengen alltid danner en liten vinkel med *x*-aksen. Betrakter man to nærliggende punkt på den, vil dette lille stykke av strengen derfor ha en liten lengde *&Delta;x*. Tensjonskreftene *T<sub>1</sub>&thinsp;* og *T<sub>2</sub>&thinsp;* som virker i hver ende av dette lille stykket, vil da være like store *T*, men ha litt forskjellig retning og derfor gi en nettokraft som trekker strengen tilbake til likevektsstillingen. Da vinkelen som dette stykket danner med *x*-aksen, er gitt ved den partiell deriverte &part;*y*/&part;*x*, blir størrelsen til denne nettokraften

:  \Delta T = T\Big({\partial y\over\partial x}|_{x + \Delta x} - {\partial y\over\partial x}|_x\Big) = T{\partial^2y\over\partial x^2}\Delta x 

Hvis strengen har en egenvekt *&rho;* og et tverrsnitt *A*, er massen til det lille stykket *&rho;A&Delta;x*. Dets bevegelse følger fra Newtons andre lov som nå gir 
**bølgeligningen** til d'Alembert

:   {\partial^2y\over\partial t^2} = {\sigma\over\rho} {\partial^2y\over\partial x^2}  

hvor *&sigma;* = *T/A*&thinsp;  er spenningen i strengen. Forholdet *&sigma;/&rho;*&thinsp; har samme dimensjon som kvadratet av en hastighet. Det er derfor vanlig å definere den som

:  v = \sqrt{\sigma\over\rho} 

og kalles bølgehastigheten. Den øker når spenningen blir større eller hvis tettheten blir mindre. Som for alle partielle differensialligningen vil løsningene avhenge av hvilke grensebetingelser som er pålagt. For den svingende strengen med lengde *L* og som er festet i begge ender, må alltid kravet  = 0&thinsp; være oppfylt.

### D'Alemberts løsning
Ved å innføre de to nye variable *&xi; = x - vt*&thinsp; og *&eta; = x + vt* i stedet for *x* og *t*, kan bølgeligningen til d'Alembert omformes til

:  {\partial^2y\over\partial\xi\partial\eta} = 0 

Det betyr at den generelle løsningen kan alltid skrives *y* = *U*(*&xi;*) + *V*(*&eta;*)&thinsp; eller på den generelle formen

:  y(x,t) = U(x - vt) + V(x + vt) 

Funksjonene *U* og *V* må bestemmes ut fra grensebetingelsene som pålegges utslaget til strengen. I praksis er disse oftest gitte som «begynnelsesbetingelser» som angir strengens utslag og hastighet ved et gitt tidspunkt. Den påfølgende bevegelsen kan da beregnes som vist allerede av d'Alembert.

Begynnelsestidspunktet kan settes til *t* = 0. Da settes utslaget *y*(*x*,0) = *f*(*x*)&thinsp; og hastigheten til hvert punkt på strengen  Derfor er

:  f(x) = U(x) + V(x), \;\;\; g(x) = v\big(U'(x) - V'(x)\big) 

Dette gjør det nå mulig å bestemme de to ukjente funksjonene *U* og *V* ved direkte integrasjon. Det gir

:  U(x) = {1\over 2}f(x) - {1\over 2v}\int_{x_0}^xg(s)ds,  \;\;\;  V(x) = {1\over 2}f(x) + {1\over 2v}\int_{x_0}^xg(s)ds

hvor punktet *x*0&thinsp; er vilkårlig. Kombineres disse to delresultatene, finnes den fullstendig løsningen til d'Alembert

:  y(x)  = {1\over 2}\big(f(x - vt) + f(x + vt)\big) + {1\over 2v}\int_{x - vt}^{x + vt} g(s)ds 

Trekkes for eksempel strengen ut til siden ved tiden *t* = 0, antar den et utslag gitt ved funksjonen *f*(*x*).  Slippes den så i ro derfra, vil  og det opprinnelige utslaget sprer seg ut til hver side med den halve amplituden. For at randbetingelsene i strengens to endepunkt skal være oppfylt, må funksjonene *f*(*x*)&thinsp; og *g*(*x*)&thinsp; fortsettes utenfor sitt opprinnelige definisjonsområde til å bli antisymmetriske.

## Stående bølger

Når strengen svinger som en stående bølge, beveger alle punktene seg synkront i fase med samme vinkelfrekvens *&omega;*. Utslaget må derfor ha den generelle formen  hvis man setter fasevinkelen i den periodiske funksjonen lik null. Innsatt i bølgeligningen  gir dette

:  {d^2U\over dx^2} + k^2 U = 0 

hvor nå *k = &omega;/v*. Dette er svingeligningen for en harmonisk oscillator med den generelle løsningen . Her må integrasjonskonstantene *A* og *B* bestemmes fra grensebetingelsene for strengen. Da den holdes fast i punktet *x* = 0, må *B* = 0 slik at løsningen for den stående bølgen blir

:  y(t,x) = A\sin kx\sin\omega t 

Da utslaget til strengen også må være null i det andre endepunktet *x = L*, gir denne grensebetingelsen at  hvor  er modenummeret til den harmoniske svingningen. Bølgelengden til mode nummer *n*&thinsp; er derfor . Hver slik mode har  noder hvis endepunktene telles med.

De tilsvarende vinkelfrekvensene finnes fra *&omega; = kv*&thinsp; og er

:  \omega_n = n{\pi\over L}v, \;\; 

hvor tallet  nummerer disse harmoniske svingningsmodene. Hver av dem har en tilsvarende egenfrekvens som karakteriserer bevegelsen til hele strengen. Moden *n* = 1&thinsp; gir «grunntonen» til strengene, mens modene *n* > 1 tilsvarer dens «overtoner».

### Egenfrekvenser

Toner er vanligvis angitt ved de normale frekvensene *f = &omega;*/2*&pi;*. Setter man inn for bølgehastigheten *v*, vil de mulige verdiene være

:  f_n = {n\over 2L}\sqrt{\sigma\over\rho},  

I stedet for spenningen *&sigma;&thinsp;* kan man også benytte tensionskraften *T = &sigma;A&thinsp;* hvis strengens tverrsnitt har areal *A*. Det gir

:  f_n = {n\over 2L}\sqrt{T\over \mu} 

hvor *&mu; = &rho;A*&thinsp; er den «lineære massetettheten» til strengen. Når tverrsnittet er sirkulært med diameter *D*, kan  dette alternativt skrives som

:  f_n = {n\over DL}\sqrt{T\over\pi\rho} 

Tensionen i strenginstrument kan variere typisk mellom 10 - 100&thinsp;N avhengig av hvilke toner som skal fremkomme.

Denne formelen for egenfrekvensene er i overensstemmelse med hva Mersenne hadde funnet rent empirisk. Betrakter man strenger laget av samme materiale, er de viktigste egenskapene:

* Desto kortere strenglengde, desto høyere frekvens (halveres lengden, dobbles frekvensen)
* Desto sterkere kraft i strengen, desto høyere frekvens (firdobles kraften, dobbles frekvensen)
* Desto tynnere streng, desto høyere frekvens (halveres diameteren, dobbles frekvensen)

## Superposisjon

Bølgeligningen er lineær i den forstand at hvis den har to forskjellige løsninger *y*1&thinsp; og *y*2, så er også summen  en løsning. Hvis disse delløsningene er stående bølger, vil derfor summen

:  y(x,t) = C_1\sin k_1x\sin(\omega_1t + \phi_1) + C_2\sin k_2x\sin(\omega_2t + \phi_2)

være en løsning med *k<sub>n</sub> = n&pi;/L*&thinsp; og *&omega;<sub>n</sub> = vk<sub>n</sub>*. Denne summen kalles en «superposisjon» av de to løsningene. Det er da av avgjørende betydning å beholde de relative faseforskjellene *&phi;<sub>n</sub>*&thinsp; mellom dem. En slik sammensatt løsning beskriver en svingning av strengen hvor to forskjellige harmoniske moder blir eksitert. Og det er akkurat det som vanligvis skjer når en svingende streng benyttes i musikalsk sammenheng. Da fremkommer både dens grunntone kombinert med høyere harmoniske moder. Dette superposisjonsprinsippet ble først formulert og forstått av Daniel Bernoulli.

### Fourier-rekker
Basert på dette prinsippet kan en generell løsning av bølgeligningen for en svingende streng som er holdt fast i begge ender, skrives som

: \begin{align} y(x,t) &= \sum_{n=1}^\infty C_n \sin{n\pi x\over L}\sin(\omega_nt + \phi_n) \\ 
                             &= \sum_{n=1}^\infty \sin{n\pi x\over L}\Big(A_n\cos\omega_nt + B_n\sin\omega_nt\Big)
\end{align} 

når man skriver ut sinus til en sum av to vinkler og innfører  og . Det tok lang tid før egenskapene til slike uendelige summer var skikkelig forstått. Først etter arbeidene til Joseph Fourier ble dette avklart. De omtales derfor som Fourier-rekker.

Konstantene *A<sub>n</sub>*&thinsp; og *B<sub>n</sub>*&thinsp;  kalles i denne sammenhengen for «Fourier-koeffisienter». De kan bestemmes fra grensebetingelsene for strengens bevegelse. Er disse gitt for tiden *t* = 0 ved at utslaget er *y*(*x*,0) = *f*(*x*)&thinsp; og hastigheten  , kan de beregnes ved bruk av integralet

:  \int_0^Ldx\sin{n\pi x\over L}\sin{m\pi x\over L} = {L\over 2}\delta_{mn} 

hvor *&delta;<sub>mn</sub>*&thinsp; er Kronecker-symbolet. Da blir

:  A_n =  {2\over L} \int_0^Ldx\sin{n\pi x\over L}f(x), \;\;\;  B_n =  {2\over n\pi v} \int_0^Ldx\sin{n\pi x\over L}g(x) 

Denne eksakte løsningen av bølgeligningen er et alternative til d'Alemberts opprinnelige fremgangsmåte som noen ganger kan være lettere å bruke på praktiske problem.

## Referanser


## Litteratur
* N.P. Callin, C.W. Tellefsen, S. Haagensen, J. Pålsgård og  R. Stadsnes, *ERGO Fysikk 2*, Aschehoug, Oslo (2008). ISBN 978-8-203-33720-8.
* A.P. French, *Vibrations and Waves*, M.I.T. Introductory physics series, Nelson Thornes, New York (1971). ISBN 0-393-09936-9.

## Eksterne lenker
* University of Salford, ''Waves on a String'' , webpages med numeriske demonstrasjoner av forskjellige bølger på en streng.
* Jiří Lebl, ''D’Alembert solution of the wave equation'', websider om løsning av differensialligninger.