Z-transformasjon

**Z-transformasjonen** (frå engelsk *Z-transform*) er ei lineæravbilding som konverterer tidsdiskrete signal (ein sekvens av reelle eller komplekse tal) over til ein representasjon på kompleks form i eit domene kalla Z-domenet, eller Z-planet. Z-transformasjonen opnar opp for å gjere analyse av ei større mengde av signal enn det fouriertransformasjonen er i stand til ettersom fourierdomenet er ei delmengde av Z-domenet.

Innanføre signalhandsaming gjev Z-transformasjonen òg eit matematisk grunnlag for analyse og design av digitale filter. Transferfunksjonen og difor òg frekvensresponsen til tidsdiskrete system/filter kan uttrykkjast på fleire måtar ved hjelp av Z-transformasjonen, som rasjonale transferfunksjonar, på pol-nullpunktform, tilstandsromform, etc.

Den tidskontinuerlege varianten av Z-transformasjonen, som tek utgangspunktet i tidskontinuerlege funksjonar i staden for tidsdiskrete, er kjend som Laplace-transformasjonen.

## Definisjon
Z-transformasjonen av eit tidsdiskret signal x[n] med intervall -\infty er definert som

X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n},

der n er eit heiltal og z=re^{j\omega T} er eit komplekst tal, der r er distansen frå origo, \omega er vinkelfrekvensen  og T er sampelintervallet. Det særskilde høvet for når r=1 vert kalla tidsdiskret fouriertransform (DTFT).

Om X(z)=\infty for alle z, dvs. det ikkje finst eit konvergensområde, så vert det sagt at Z-transformasjonen av signalet x[n] ikkje eksisterer.

## Motivering
Z-transformasjonen er nært relatert til fouriertransformasjonen. Under særskilde føresetnadar kan ein motivere Z-transformasjonen ut av fouriertransformasjonen, samstundes som ein òg kan vise at fourierdomenet er ei delmengde av Z-domenet.

Fouriertransformasjonen for eit tidsdiskret signal x[n] er definert som

\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n},

gjeve&nbsp;at signalet x[n] er absolutt summerbart

\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|.

Mange signal oppfyller ikkje dette kravet og då eksisterer ikkje fouriertransformasjonen for signalet. Til dømes er det ikkje mogleg å analysere ustabile LTI-system med fouriertransformasjonen ettersom impulsresponsen for ustabile LTI system ikkje oppfyller kravet ovanføre om absolutt summerbarhet av signalet.

Ei løysing for at inngangssignalet skal oppfylle det ovannemnde kravet er at inngangssignalet x[n] vert muliplisert med noko så det konvergerer mot ein verdi. Meir presist, at x[n]=x[n]e^{-\sigma n}. Då vil kravet om absolutt summerbarhet av signalet vere oppfyllt for særskilde verdiar for \sigma. Med andre ord vert transformasjonen definert til å vere;

\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-\sigma n}e^{-j\omega n}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-(\sigma+j\omega)n}.

Om ein nå definerer at z=e^{\sigma+j\omega}er eit komplekst tal, vert dette sjølve definisjonen av Z-transformasjonen.

## Eigenskapar

***[[Lineær|Linearitet]]**

:: \mathcal{Z}(\{a_1 x_1(n) + a_2 x_2(n)\}) = a_1 \mathcal{Z}(\{x_1(n)\}) + a_2 \mathcal{Z}(\{x_2(n)\})

* **[[Tidsforskyving]]** av eit signal med med k steg er det same som å multiplisere Z-transformasjonen med z^{-k}.

:: \mathcal{Z}(\{x(n-k)\}) = z^{-k}\mathcal{Z}(\{x(n)\})

* **[[Folding i signalhandsaming|Folding]]**. Z-transformasjonen av konvolusjonen av to signal er produkta av dei to individuelle Z-transformasjonane.

:: \mathcal{Z}(\{x(n)\}*\{y(n)\}) = \mathcal{Z}(\{x(n)\})\mathcal{Z}(\{y(n)\})

* **[[Derivasjon|Derivering]]**.

:: \mathcal{Z}(\{nx(n)\}) = -z {{d\mathcal{Z}(\{x(n)\})} \over dz}

## Z-planet
Z-domenet er kodomenet til Z-transformasjonen, med andre ord vektorrommet som Z-transformasjonen avbildar til. Det vert nytta til både analyse av signal og filter og design av filter. Til desse føremåla vert nullpunkt, polar og konvergensradiusen definerte.

### Nullpunkt
Mengda av alle verdiar z i Z-domenet som er 0, er kjend som nullpunkt (frå engelsk; «zeros»).

\mathrm{Nullpunkt} = \left\{ z : \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = 0\right\}

Eit filter som berre har nullpunkt og ingen polar er kjent som eit FIR-filter.

### Polar
Mengda av alle verdiane z i Z-domenet som er uendeleg, er kjend som polar (frå engelsk; «poles»).

\mathrm{Polar} = \left\{ z : \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} \geq \infty \right\}

Om eit filter har polar er det kjent som eit IIR-filter.

### Konvergensradius

Konvergensradius R, er mengda med ikkje-uendelege verdiar z i det komplekse planet. Inputsignalet til eit system/filter vil berre konvergere og såleis vere definert for særskilde verdiar for \sigma når z=e^{\sigma+j\omega}. Summen må gå mot eit tal «raskt nok» skal det konvergere, og «raskt nok» er avgjort av parameteren \sigma, eller meir presist z:

\rho = \left\{ z : \left|\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}\right| 

Konvergensradius vert nytta i analysen av både signal og filter. Antikausale signal har konvergensradius som går frå ytste pol og inn til origo. Kausale signal har komplementet av dette området som inneheld endeløysa. Om signalet både har ein kausal del og ein antikausal del så er konvergensradiusen snittet av konvergensradiusane for kvar av delane, altså eit tynt belte som går kring origo. 
Det er ein unik korrespondans mellom ein sekvens og Z-transformasjonen av han, om konvergensradius vert medrekna.

### Design av filter i Z-domenet
I Z-domenet vert eit filter designa ved å leggje til polar og nullpunkt i transferfunksjonen H(z) knytt til filteret. Polar hever fram magnituderesponsen til filteret/systemet medan nullpunkt undertrykkjer magnituderesponsen. For å undertrykkje frekvensen plasserer ein eit nullpunkt på einingssirkelen på vinkelen som svarer til frekvensen. For å heve fram frekvensar må ein plassere ein pol inni einingssirkelen nær frekvensen ein skal heve fram.

H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\left(\sum_{k=0}^M b_kz^{-k}\right)}{\left(1+\sum_{k=1}^N a_kz^{-k}\right)}

Røtene til polynomet i teljaren utgjer nullpunkta i H(z), medan røtene til polynomet i nemnaren utgjer polane til H(z). Faktoriserer ein polynoma, så får ein:

H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=b_0\frac{\prod_{k=0}^M (z-z_ke^{j\theta_k})}{1+\prod_{k=1}^N (z-p_ke^{j\phi_k})}

Det å leggje til ein pol eller eit nullpunkt vil svare til å leggje til ei rot i det tilsvarande polynomet, med andre ord gonga inn eit uttrykk på forma (z-d_ke^{j\theta_i}), der d_k er magnituden for nullpunktet/polen og \theta_i utgjer vinkelen han har i Z-domenet (frekvensen han verker på). Her er b_0 ein konstant som avgjer kor mykje nullpunkta skal vere vektlagde, altså kor mykje dei undertrykkjer frekvensane.

For å filtrere eit signal x[n] med filteret kan ein velje å multiplisere fouriertransformasjonen av impulsresponsen direkte med fouriertransformen av det aktuelle signalet x[n]. Eit anna alternativ er å ta invers Z-transformasjon av filteret ein nå har designa i Z-domenet og få filteret i tidsdomenet som ei differenslikning og nytte differenslikninga direkte på signalet x[n]. Invers Z-transformasjon av filteret gjev:

H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\left(\sum_{k=0}^M b_kz^{-k}\right)}{\left(1+\sum_{k=1}^N a_kz^{-k}\right)}

\left(1+\sum_{k=1}^N a_kz^{-k}\right)Y(z)=\left(\sum_{k=0}^M b_kz^{-k}\right)X(z)

&nbsp;Y(z)=-\left(\sum_{k=1}^N a_kz^{-k}\right)Y(z)+\left(\sum_{k=0}^M b_kz^{-k}\right)X(z)

Og nyttar Z-transformeigenskapen om at \mathcal{Z}(\{x(n-k)\}) = z^{-k}\mathcal{Z}(\{x(n)\}):

y[n]=-\sum_{k=1}^N a_k y[n-k]+\sum_{k=0}^M b_k x[n-k]

Og får tidsrepresentasjonen til filteret som ein har designa (differenslikninga):

\sum_{k=0}^N a_k y[n-k]=\sum_{k=0}^M b_k x[n-k]

#### Design av filtereigenskapar
For at filteret skal vere **reellt** må alle polar og nullpunkt òg ha ein tilsvarande komplekskonjugert i Z-domenet.

For **kausalitet** må konvergensradiusen gå frå einkvan sirkel og ut til endeløysa i Z-domenet, som er ekvivalent med at h[n]=0 for n i tidsdomenet. Dette er eit krav for filter som skal operere i sanntid.

For **stabilitet** må konvergensradiusen i Z-domenet innehalde einingssirkelen, som er ekvivalent i tidsdomenet med at impulsresponsen er absolutt summerbar. Dette må gjelde for å kunne implementerast på datamaskina. For FIR-filter er ein alltid garantert dette kravet ettersom eit slikt filter ikkje inneheld polar.

For **lineær fase** må det vere symmetri for polar og nullpunkt om einingssirkelen i Z-domenet. Dette svarar i tidsdomenet til einkvan symmetri i impulsresponsen.
## Referansar

## Sjå òg
* Laplace-transformasjon
* Diskret fouriertransformasjon

## Bakgrunnsstoff
*Uke 4: z-transformasjonen. Universitetet i Oslo.