Laplace-operator

Ein **laplace-operator** er i matematikk og fysikk ein differensialoperator, kalla opp etter Pierre-Simon de Laplace, som er eit særleg viktig tilfelle av ein elliptisk operator som kan nyttast på mange område. Han vert skrive Δ, ∇2 eller ∇·∇. I fysikk vert han nytta i modellering av bølgjeforplanting, varmestraum og væskemekanikk. Han er sentral i elektrostatikk der han representerer ladinga til eit visst potensial. Han er ein viktig del av laplacelikninga for å bevare potensial, poissonlikninga for tyngdepontensialet tilknytt ein viss masse, og i helmholtzlikninga for vibrasjonane til ein sylinder. I kvantemekanikk representerer han den kinetiske energileddet i schrödingerlikninga. I matematikk vert funksjonar som inneheld forsvinnande laplaceoperatorar kalla harmoniske funksjonar. Laplaceoperatorane er kjernen i hodgeteori og resultatet av de Rham-kohomologi. 

## Definisjon
Laplaceoperatoren er ein andreordens differensialoperator i *n*-dimensjonalt euklidsk rom, definert som divergensen (\nabla\cdot) til gradienten (\nabla f). Så om *f* er ein dobbelderiverbar funksjon med reell verdi, så er laplaceoperatoren *f* definert som 

:\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f, &nbsp;&nbsp;&nbsp;(1)

Tilsvarande er laplaceoperatoren *f* summen av alle dei *ublanda* andregrads partiellderiverte i kartesiske koordinatar x_i:

:\Delta f = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 f}{\partial x^2_i}.&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2)

Som ein andreordens differnsialoperator mappar laplaceoperatoren ''C''<sup>k</sup>-funksjonar til *C*k−2-funksjonar for *k*&nbsp;≥&nbsp;2. Uttrykket (1) (er tilsvarande for (2)) definerer ein operator Δ : *C*k(**R**n) → *C*k−2(**R**n), eller meir generelt ein operator Δ : *C*k(Ω) → *C*k−2(Ω) for alle opne sett Ω.

Laplaceoperatoren til ein funksjon er òg sporet til hessematrisa til funksjonen: 

:\Delta f = \mathrm{tr}(H(f)).\,\!

## Motivasjon
### Diffusjon
Innan diffusjon oppstår laplaceoperatoren (via laplacelikninga) naturleg i den matematiske skildringar av likevekt. Meir spesifikt, om *u* er tettleiken ved likevekt av ein storleik som ein kjemisk konsentrasjon, så er nettofluksen til *u* gjennom grensa til ein glatt region *V* lik null, om det ikkje finst kjelder eller sluk i *V*:

:\int_{\partial V} \nabla u \cdot \mathbf{n}\, dS = 0,

der **n** er utoverretta einingsnormal til grensa til *V*.  Med divergensteoremet,

:\int_V \mathrm{div} \nabla u\, dV = \int_{\partial V} \nabla u\cdot\mathbf{n}\, dS = 0.

Sidan dette gjeld for alle glatte regionar *V*, kan det visast at dette impliserer
: \mathrm{div} \nabla u = \Delta u = 0.
Venstrehandssida av likninga i laplaceoperatoren. Sjølve laplaceoperatoren har ei fysisk tolking for ikkje-likevektsdiffusjon som graden eit punkt representerer ei kjelde eller eit sluk av ein kjemisk konsentrasjon, gjort presist av diffusjonslikninga.

### Tettleik tilknytt eit potensial
Om φ er elektrostatisk potensial tilknytt til ei ladingsfordeling *q*, så er ladingsfordelinga sjølv gjeven av laplaceoperatoren φ:

q = \Delta\phi.\,

Dette er ei følgje av gausslova. Så om *V* er eit glatt område, så får ein av gausslova at fluksen til det elektrostatiske feltet **E** er lik ladinga i feltet (medhøvande einingar):

:\int_{\partial V} \mathbf{E}\cdot \mathbf{n} = \int_{\partial V} \nabla\phi\cdot \mathbf{n} = \int_V q\,dV,

der den første likskapen nyttar faktumet at det elektrostatiske feltet er gradienten til det elektrostatiske potensialet. Divergensteoremet gjev no at 

:\int_V \Delta\phi\,dV = \int_V q\, dV,

og sidan dette gjeld for alle område *V*, følgjer ().

Den same tilnærmingsmåten gjev at laplaceoperatoren til eit tyngdepotensial er massefordelinga. Ofte er ladingsfordelinga (eller massefordelinga) gjeven, og det tilknytte potensialet ukjent. Å finne potensialfunksjonen som høver til passande grenseviklåer er det same som å løyse poissonlikninga.

### Energiredusering
Ein annan motivasjon for laplaceoperatoren i fysikk er at løysinga til  \Delta f = 0 i eit område *U* er funksjonar som gjev dirichletenergi funksjonell stasjonært:
:  E(f) = \frac{1}{2} \int_U \Vert \nabla f \Vert^2 \mathrm{d}x.

For å sjå dette må ein tenkje seg at
f\colon U\to \mathbb{R} er ein funksjon, og 
u\colon U\to \mathbb{R} er ein funksjon som forsvinn på grensa til *U*. Då har ein
: 
 \frac{d}{d\varepsilon}\Big|_{\varepsilon = 0} E(f+\varepsilon u) 
= \int_U \nabla f \cdot \nabla u \, \mathrm{d} x
= -\int_U u \Delta f \mathrm{d} x 

der den siste likskapen følgjer av den første greenidentiteten.
Denne utrekninga syner at om  \Delta f = 0, så er 
*E* stasjonær rundt *f*. Motsett, om *E* er stasjonær rundt f, så er \Delta f=0 av den grunnleggjande hjelpesetninga av variasjonsutrekning.

## Koordinatuttrykk
### To dimensjonar
Laplaceoperatoren i to dimensjonar er gjeven som

:\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}

der *x* og *y* står for dei vanlege kartesiske koordinatane i *xy*-planet.

I polarkoordinatar,

: \Delta f 
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left( r {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
. 


### Tre dimensjonar
I tre dimensjonar er det vanleg å arbeide med laplaceoperatorar i fleire forskjellige koordinatsystem. 

I kartesiske koordinatar,

:
\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.


I sylindriske koordinatar

: \Delta f 
= {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
  \left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right) 
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 }. 


I sfæriske koordinatar

: \Delta f 
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.


(her representerer φ asimutvinkelen og θ polarvinkelen).

### ''N'' dimensjonar
I sfæriske koordinatar i *N* dimensjonar, med parametriseringa *x*&nbsp;=&nbsp;*r*θ&nbsp;∈&nbsp;**R***N* med *r* som ein positiv reell radius og θ som eit element av einingssfæreen ''S''<sup>''N''&minus;1</sup>,

: \Delta f
= \frac{\partial^2 f}{\partial r^2}
+ \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}
+ \frac{1}{r^2} \Delta_{S^{N-1}} f


der \Delta_{S^{N-1}} er Laplace–Beltrami-operatoren på ein (*N*&minus;1)-sfære, òg kalla ein sfærisk laplaceoperator. Dei to radielle uttrykka kan skrivast om som

:\frac{1}{r^{N-1}} \frac{\partial}{\partial r} \Bigl(r^{N-1} \frac{\partial f}{\partial r} \Bigr).

Som følgje av dette er den sfæriske laplaceoperatoren ein funksjon definert som *S**N*&minus;1&nbsp;⊂&nbsp;**R***N* og kan reknast ut som den ordinære laplaceoperatoren til ein funksjon utvida til **R***N*\{0} slik at han er konstant langs stråler, t.d. , homogen i nulte grad.

## Generaliseringar
Laplaceoperatoren kan generaliserast på to måtar for ikkje-euklidske rom, der han kan vere elliptisk, hyperbolsk eller ultrahyperbolsk. 

I minkowskirom vert laplaceoperatoren d'Alembert-operatoren:
\square
=
\frac {1}{c^2}{\partial^2 \over \partial t^2 }
-
{\partial^2 \over \partial x^2 }
-
{\partial^2 \over \partial y^2 }
-
{\partial^2 \over \partial z^2 }.


D'Alembert-operatoren vert òg kalla bølgjeoperatoren, fordi han er den differensialoperatoren som dukkar opp i den firdimensjonale bølgjelikninga. Han er òg ein vesentleg del av Klein–Gordon-likninga. Forteiknet føre dei romleg deriverte er negative, medan dei ville ha vore positive i eit euklidsk rom. Tilleggsfaktoren *c* må ein ha om rom og tid er målt i forskjellige einingar. 

### Laplace–Beltrami-operator
Laplaceoperatoren kan òg generaliserast til ein elliptisk operator kalla **[[Laplace–Beltrami-operatoren]]** definert på ein riemannsk manifold.  D'Alembert-operatoren vert generalisert til ein hyperbolsk operator på pseudo-riemannsk manifold.  Laplace–Beltrami-operatoren kan òg generaliserast til ein operator som opererer på tensorfelt.

## Kjelder

**Denne artikkelen bygger på «[[:en:Laplace operator|Laplace operator]]» frå ,  den 25. november 2009.* 
*** oppgav desse kjeldene: *
*.
* .
* .
* .
*.



## Bakgrunnsstoff
* Derivation of the Laplacian in Spherical coordinates av Swapnil Sunil Jain