Navier-Stokes-likningane

**Navier-Stokes-likningane** er eit sett av likningar som skildrar rørsla til ei væske eller ein gass, og er kalla opp etter Claude-Louis Navier og George Gabriel Stokes. Desse likningane uttrykker at endringar i rørslemengda (akselerasjon) til væskepartiklane berre er produktet av endringane i trykket og dissipasjon av viskøse krefter (ein slags friksjon som virkar i sjølve væska). Desse viskøse kreftene kjem frå molekylære vekselverknadar og seier noko om kor «seig» (viskøs) væska er. Altså er Navier-Stokes-likningane ei dynamisk forklaring på dei forskjellige kreftene som virkar i kvart område av ei væske. 

Dei er nokre av dei mest nyttige likningane ein har, fordi dei skildrar fysikken i mange forskjellige fenomen av akademisk og økonomisk interesse. Dei vert nytta for å skildre vêret, havstraumar, vasstraum i røyrleidningar, rørslene til stjerner i ein galakse, og luftstraum rundt ei vengje. Desse likningane, både den fulle utgåva og enklare utgåver, vert derfor brukt i design av luftfartøy og bilar, i studiet av blodkrinslaup, design av kraftstasjonar, analyser av kva effekt forureining har osv. I lag med Maxwellikningane kan dei òg brukast til å modellere og studere magnetohydrodynamikk.

Navier-Stokes-likningane er differensiallikningar, som skildrar rørsla til ei væske. I forhold til algebraiske likningar vert ikkje desse likningane brukt til å gje samanhengar mellom variablane ein er interessert i (t.d. snøggleik og trykk), men prøver heller å fastslå forholdet mellom endringane, eller fluksane, til desse storleikane. I matematiske uttrykk er desse endringane dei deriverte av variablane. Så Navier-Stokes-likningane for det enklaste tilfellet, ei ideell væske med null viskositet, seier at akselerasjonen (endringsraten av farten) er proposjonal med den deriverte av det interne trykket. 

Berre dei enklaste problemstillingane kan løysast med vanleg differnsialrekning, og gje ei eksakt løysing. Desse tilfella involverer ofte ikkje-turbulent og stasjonær straum, der viskositeten er stor og farten er liten (lite reynoldstal).

For meir kompliserte tilfelle, som globale vêrsystem som El Niño eller løft på ei vengje, krevs det datamaskinar for å løyse Navier-Stokes-likningane. Fleire dataprogram er utvikla for å kunne løyse slike problemstillingar ved hjelp av diverse numeriske metodar. 

Sjølv om turbulens er eit daglegdags fenomen er det ekstremt vanskeleg å finne løysingar på slike problemstillingar. Clay Mathematics Institute i Massachusetts i USA tilbaud i 2000 $1&nbsp;000&nbsp;000 til dei som gjorde stor framgang i den matematiske teorien som krevs for å forstå fenomenet. 

## Grunnleggjande føresetnader

Navier-Stokes-likningane går ut frå at væska er eit kontinuum, altså at den ikkje er bygd opp av diskrete partiklar. Ei anna føresetnad er alle interessefelt som trykk, snøggleik, tettleik, temperatur, osv kan deriverast (til dømes ingen faseovergangar). 

Likningane er utleidd av det grunnleggjande prinsippet om bevaring av masse, rørslemengd og energi. Av og til må ein sjå på eit endeleg og vilkårleg volum, kalla eit kontrollvolum, der desse prinsippa gjeld. Dette endelege volumet vert uttrykt som \Omega og grenseflatene med \partial \Omega. Kontrollvolumet kan både vere stasjonært eller følgje væskestraumen. 

## Den lagrangsk deriverte
Endringar av eigenskapar i ei væske i rørsle kan målast på to forskjellige måtar. Ein kan måle ein spesifikk storleik ved enten å gjere målinga i eit fast punkt i rommet, medan væska strøymer forbi, eller ein kan følgje eit væskevolum langs straumlinja til pakken. Den deriverte til eit felt med omsyn på ein stasjonær posisjon i rommet vert kalla den *romlege* deriverte, medan deriverte som følgjer eit væskevolum vert kalla *lagrangsk* deriverte. 

Den lagrangsk deriverte er definert som operatoren: 

:\frac{D}{Dt}(\star ) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \frac{\partial(\star )}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla (\star )

der \mathbf{v} er farten til væska. Første leddet på høgre side av likninga er den vanlege eulersk deriverte (t.d. den deriverte i eit fast referansesystem), medan det andre leddet representerer endringane som kjem av at væska flyttar seg. Denne effekten vert òg kalla adveksjon.

Målingar av endringar i vindstyrken i atomsfæren kan gjerast med hjelp av eit anemometer på ein vêrstasjon, eller ved å feste det på ein vêrballong. I det første tilfellet måler ein vindstyrken frå eit fast punkt, medan ein i det andre tilfellet måler endringa av styrken medan instrumentet flyttar seg med lufta. 

## Bevaringslover
Navier-Stokes-likningane er utleidd frå bevaringsprinsippet av: 

* Masse
* Energi
* Rørslemengd
* Vinkelmoment

I tillegg må ein ha med eit fastsetjande forhold mellom desse storleikane eller tilstandslikninga for væska. 

På den mest generelle forma seier bevaringslova at endringa av ein ekstensiv storleik L definert i eit kontrollvolum, må vere lik mengda som forsvinn gjennom grensene til volumet pluss det som vert danna/brukt opp inne i kontrollvolumet. Dette er uttrykt i den følgjande likninga: 

:\frac{d}{dt}\int_{\Omega} L \; d\Omega = -\int_{\partial\Omega} L\mathbf{v\cdot n} d\partial\Omega+ \int_{\Omega} Q d\Omega

der **v** er farten til væska og Q er kjeldene og sluka i væska. 

Viss kontrollvolumet er stasjonært kan likninga uttrykkast som: 

:\frac{d}{d t} \int_{\Omega}  L d\Omega = -\int_{\Omega} \nabla\cdot ( L\mathbf{v} ) d\Omega + \int_{\Omega} Q d\Omega 

Divergensteoremet vart brukt i utleiinga av den siste likninga for å uttrykke det første leddet på høgresida på innsida av kontrollvolumet. Dermed: 

: \frac{d}{dt}\int_{\Omega} L d\Omega = - \int_{\Omega} (\nabla\cdot ( L\mathbf{v} ) - Q) d\Omega 

Uttrykket over gjeld for \Omega, som er eit stasjonært kontrollvolum. Sidan \Omega ikkje varierer med tida, er det mogeleg å bytte ut \frac{d}{dt} og  \int_{\Omega}^{} d\Omega operatorane. Og sidan uttrykket gjeld for *alle* område, kan ein i tillegg fjerne integralet. 

Ved å bruke den lagrangsk deriverte får ein når  Q = 0  (ingen kjelder eller sluk):

:\frac{\partial}{\partial t} L + \nabla\cdot\left(L \mathbf{v} \right) = \frac{D}{Dt}L + L \left(\nabla\cdot \mathbf{v}\right) = 0

#### Kontinuitetslikninga
Bevaring av masse vert skrive: 

:\frac{\partial \rho}{\partial t} + 
\nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right) = 0 
:
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho\nabla\cdot\mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \nabla \rho =0

:
\frac{D \rho}{D t} + \rho \nabla \cdot \mathbf{v} = 0


der \rho er massetettleiken (masse per volum), og *v* er farten til væska. 

Når ein har ei inkompressibel væske endrar ikkje lenger \rho seg langs ei straumlinje og likninga vert redusert til: 

:\nabla\cdot\mathbf{v} = 0

#### Bevaring av rørslemengd
Bevaring av rørslemengd vert uttrykt på liknande måte som kontinuitetslikninga, der vektorkomponentar av rørslemengda erstattar tettleiken, og med eit kjeldeledd i tillegg som skildrar kreftene som virkar på væska. 
Vi byttar ut \rho i kontinuitetslikninga med netto rørslemengd per volum i ein spesifikk retning, \rho v_i, der v_i er i^{te} komponenten av farten, t.d. farten langs *x*, *y*, eller *z*-retninga. 

:\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho v_i \right) + \nabla
\cdot (\rho v_i \mathbf{v}) =  
\rho f_i .

 \rho f_i  er den i^{te} komponenten av krafta som virkar på væska (eigentleg kraft per volum). Vanlege krefter er tyngdekrafta og trykkgradientar. Dette kan òg uttrykkast som: 

:\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho\mathbf{v}\right) + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}\otimes\mathbf{v}) = \rho \mathbf{f}

\mathbf{v}\otimes\mathbf{v} er ein tensor, og \otimes representerer tensorproduktet.

Ved å bruke kontinuitetslikninga kan ein gjere denne likninga enno enklare: 

:\rho\frac{D v_i}{D t}=\rho f_i
som ofte vert skriven som
:\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t}=\rho \mathbf{f}

Her kjenner vi igjen den vanlege **F**=m**a**.

## Likningane på generell form
Den generelle forma av Navier-Stokes-likningane for bevaring av rørslemengd er: 

:\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t} = \nabla \cdot\mathbb{P} + \rho\mathbf{f}

der \rho er væsketettleiken, *v* er fartsvektoren, og *f* er kraftvektoren som virkar på væska. Tensoren \mathbb{P} representerer overflatekreftene som virkar på ein væskepartikkel. Med mindre væska inneheld roterande fridomsgrader, som kvervling, så er \mathbb{P} ein symmetrisk tensor. På generell form har vi: 

:\mathbb{P} = \begin{pmatrix}
\sigma_{xx} &  \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} &  \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} &  \tau_{zy} & \sigma_{zz}
\end{pmatrix}
=
-
\begin{pmatrix}
p&0&0\\
0&p&0\\
0&0&p
\end{pmatrix}
+ 
\begin{pmatrix}
\sigma_{xx}+p &  \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_{yy}+p & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} &  \tau_{zy} & \sigma_{zz}+p
\end{pmatrix} 

der \sigma er normalt stress, \tau er tangentialt stress (skjerstress), og *p* er statisk trykk, assosiert med ein istrop del av stresstensoren. 

Sporet \sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz} er *alltid* -3p per definisjon (med mindre ein har bulk viskositet) *uansett om væska er i likevekt eller ikkje*. 

Til slutt har ein: 

:\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t} = -\nabla p + \nabla \cdot\mathbb{T} + \rho\mathbf{f}

der \mathbb{T} er den sporlause delen av \mathbb{P}.

Desse likningane er framleis ufullstendige. For å gjere dei fullstendige må ein lage ein hypotese på form av \mathbb{P}, altså ein treng ei fastsettjande lov for stresstensoren som vist under. 

Ein tenkjer seg at straumen kan differensierast og er kontinuerleg, som gjer at ein kan uttrykke bevaringslovene som partielle differensiallikningar. Når ein har ein inkompressibel straum (konstant tettleik), er storleikane som må løysast fartskomponenten og trykket. Dei tre komponentane i Navier-Stokes-likningane pluss kontinuitetslikninga gjev eit lukka system av differensiallikningar for desse variablane som kan løysast, i prinsippet, for passelege grensevilkår. Når ein har ein kompressibel straum, vert tettleiken ein ny ukjend i systemet, som ein kan finne ved å tilføre tilstandslikninga i systemet. Ei tilstandslikning inneheld vanlegvis temperaturen til væska, slik at likninga for bevaring av energi òg må løysast i lag med den førre likninga. Desse likningane er ikkje-lineære, og analytiske løysingar i lukka form er berre kjend for svært enkle grensevilkår. 

Likningane kan omformast til Wilkinson-likningar for dei sekundære variablane kvervling og straumfunksjon. Løysinga er avhengig av eigenskapane til væska (slik som viskositet, spesifikk varme og varmeleiingsevne), og på grensevilkåra i område ein studerer. 

## Spesialformer
Ein kan gjere visse forenklingar på desse likningane. 

#### Newtonsk væske
:*Sjå òg [[Newtonsk væske]]*

I newtonske væsker kan ein bruke følgjande føresetnad: 

:p_{ij}=-p\delta_{ij}+\mu\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i}-\frac{2}{3}\delta_{ij}\nabla\cdot\mathbf{v}\right)

der
:\mu er viskositeten til væska. 
:\delta_{ij} er Kronecker delta (1 for i=j; 0 for i \ne j).

For å sjå korleis ein «utleier» dette, må vi først merke oss at i likevekt, pij=-pδij. For ei newtonsk væske er utleiinga av stresstensoren frå denne likevektsverdien lineær i gradientane til farten. Han kan ikkje berre vere avhengig av sjølve farten, på grunn av Galileis kovarians. Med andre ord, pij+pδij er lineær i \partial_i v_j. Væskene som vi ser på her er rotasjonsinvariant (t.d. dei er ikkje flytande krystallar). pij+pδij kan dekomponerast til ein sporlaus symmetrisk tensor og eit spor. På liknande måte kan \partial_i v_j dekomponerast til ein sporlaus symmetrisk tensor, eit spor og ein antisymmetrisk tensor. Den sporlause symmetriske delen av \partial_i v_j er \partial_i v_j +\partial_j v_i - \frac{2}{d} \delta_{ij}\partial_k v_k der *d* er talet på romlege dimensjonar, og spordelen er \delta_{ij} \partial_k v_k. Dermed er den mest generelle rotasjonsinvariante og lineære funksjonen gjeve ved: 

:p_{ij}+p\delta_{ij}=\mu\left(\partial_i v_j+\partial_j v_i -\frac{2}{d}\delta_{ij}\nabla\cdot\mathbf{v}\right)+\mu_B \delta_{ij} \nabla\cdot \mathbf{v} 

for koeffisientane μ og μB. μ vert kalla skjerviskositet og μB vert kalla bulk viskositet. Empiriske observasjonar har vist at bulk viskosisteten kan neglisjerast for dei fleste væskene av interesse, og vert derfor ofte ikkje tatt med. Dette forklarar faktoren på −2/3 som oppstår i denne likninga. Denne faktoren må modifiserast i ein eller to romlege dimensjonar. 

:\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+ ( \mathbf{v} \cdot \nabla ) \mathbf{v}\right)=\rho \mathbf{f}-\nabla p +\mu\left(\nabla ^2 \mathbf{v}+\frac{1}{3}\nabla\left(\nabla\cdot \mathbf{v}\right)\right)

:\rho \left(\frac{\partial v_i}{\partial t}+v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}\right)=\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\mu\left(\frac{\partial ^2 v_i}{\partial x_j \partial x_j}+\frac{1}{3}\frac{\partial ^2 v_j}{\partial x_i \partial x_j}\right)

der vi har brukt Einstein-notasjon.

Når ein skriv likningane fullt ut ser ein kor komplekse desse likningane verkeleg er (men berre om ein skriv ut kvar enkelt komponent eksplisitt): 

Bevaring av rørslemengd:
:\rho \cdot \left({\partial u \over \partial t}+ u {\partial u \over \partial x}+ v {\partial u \over \partial y}+ w {\partial u \over \partial z}\right) = k_x -{\partial p \over \partial x} + {\partial \over \partial x} \left[ \mu \cdot \left(2 \cdot {\partial u \over \partial x}-\frac{2}{3}\cdot (\nabla \cdot \mathbf{v}) \right) \right] + {\partial \over \partial y}\left[\mu \cdot \left({\partial u \over \partial y} + {\partial v \over \partial x}  \right) \right] + {\partial \over \partial z}\left[\mu \cdot \left({\partial w \over \partial x} + {\partial u \over \partial z}  \right) \right]

: \rho \cdot \left({\partial v \over \partial t}+ u {\partial v \over \partial x}+ v {\partial v \over \partial y}+ w {\partial v \over \partial z}\right) = k_y -{\partial p \over \partial y} + {\partial \over \partial y} \left[ \mu \cdot \left(2 \cdot {\partial v \over \partial y}-\frac{2}{3}\cdot (\nabla \cdot \mathbf{v}) \right) \right] + {\partial \over \partial z}\left[\mu \cdot \left({\partial v \over \partial z} + {\partial w \over \partial y}  \right) \right] + {\partial \over \partial x}\left[\mu \cdot \left({\partial u \over \partial y} + {\partial v \over \partial x}  \right) \right]

: \rho \cdot \left({\partial w \over \partial t}+ u {\partial w \over \partial x}+ v {\partial w \over \partial y}+ w {\partial w \over \partial z}\right) = k_z -{\partial p \over \partial z} + {\partial \over \partial z} \left[ \mu \cdot \left(2 \cdot {\partial w \over \partial z}-\frac{2}{3}\cdot (\nabla \cdot \mathbf{v}) \right) \right] + {\partial \over \partial x}\left[\mu \cdot \left({\partial w \over \partial x} + {\partial u \over \partial z}  \right) \right] + {\partial \over \partial y}\left[\mu \cdot \left({\partial v \over \partial z} + {\partial w \over \partial y}  \right) \right]

Kontinuitetslikningar:
: {\partial \rho \over \partial t} + {\partial (\rho \cdot u) \over \partial x}+{\partial (\rho \cdot v) \over \partial y}+{\partial (\rho \cdot w) \over \partial z}=0 

Sidan *tettleik* er ein ukjend, må ein ha enno ei likning. 

Bevaring av energi:
: \rho \left({\partial e \over \partial t}+ u {\partial e \over \partial x}+ v {\partial e \over \partial y}+ w {\partial e \over \partial z}\right) = \left( {\partial \over \partial x} \left(\lambda \cdot {\partial T \over \partial x} \right) + {\partial \over \partial y} \left(\lambda \cdot {\partial T \over \partial y} \right) + {\partial \over \partial z} \left(\lambda \cdot {\partial T \over \partial z} \right) \right) - p \cdot \left( \nabla \cdot \mathbf{v} \right) + \mathbf{k} \cdot \mathbf{v} + \rho \cdot \dot{q}_s + \mu \cdot \Phi

der 
:\Phi = 2 \cdot \left[ \left({\partial u \over \partial x} \right)^2+\left({\partial v \over \partial y}\right)^2+\left({\partial w \over \partial z}\right)^2 \right]
+ \left({\partial v \over \partial x}+{\partial u \over \partial y} \right)^2
+ \left({\partial w \over \partial y}+{\partial v \over \partial z} \right)^2
+ \left({\partial u \over \partial z}+{\partial w \over \partial x} \right)^2
-\frac{2}{3} \cdot \left({\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z} \right)^2

\Phi vert stundom kalla «visøks dissipasjon». \Phi kan ofte neglisjerast med mindre ein handlar med ekstreme straumar som fly som går raskare enn lyden. 

Me tenkjer oss ein ideell gass:
:e = c_p \cdot T - \frac{p}{\rho}

Systemet over er eit system av seks likninga og seks ukjende (u, v, w, T, e og \rho), og dermed eit lukka system som kan løysast. 

#### Binghamvæsker
:*Sjå [[Binghamplastikk]]*

I Binghamvæsker har vi noko litt forskjellig:

:\tau_{ij}=\tau_0 + \mu\frac{\partial v_i}{\partial x_j},\;\frac{\partial v_i}{\partial x_j}>0 

Dette er væsker som kan ha litt skjer før dei startar å strøyme avgarde. Eit døme på slik væske er tannpasta. 

#### Kraftlovvæsker
:*Sjå [[Kraftlovvæske]]*

Ei kraftlovvæske er ei idealisert væske der skjerstresset, \tau, er gjeve av:

:\tau = K \left( \frac {\partial u} {\partial y} \right)^n 

Denne forma er nyttig for å tilnærme alle slags generelle væsker. 

#### Inkompressible væsker
:*Sjå [[Inkompressibel væske]]*

Navier-Stokes-likningane er
:
\rho\frac{Du_i}{Dt}=\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{\partial}{\partial x_j}\left[
2\mu\left(e_{ij}-\frac{\Delta\delta_{ij}}{3}\right)\right]
for bevaring av rørslemengd og
:\nabla\cdot\mathbf{v}=0
for bevaring av masse. 

der
:\rho er tettleik, 
:u_i (i=1,2,3) dei tre fartskomponentane, 
:f_i lekamkrefter (som gravitasjon), 
:p trykket, 
:\mu dynamisk viskositet, til væska i punktet:

:e_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right);
:\Delta=e_{ii} er divergens, 
:\delta_{ij} er Kronecker delta.

Viss \mu er uniform i heile væska, så vert momentumlikninga forenkla til

:
\rho\frac{Du_i}{Dt}=\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i}
+\mu
\left(
  \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_j}+                                                                                                                                         \frac{1}{3}\frac{\partial\Delta}{\partial x_i}\right)


Viss \mu=0, men væska er kompressibel, så får ein likningar kjend som Eulerlikningane, der ein mest omhandlar kompressibel straum og sjokkbølgjer.

Viss no i tillegg \rho vert sett til konstant, får ein det følgjande likningssystemet: 
: \rho \left({\partial v_x \over \partial t}+ v_x {\partial v_x \over \partial x}+ v_y {\partial v_x \over \partial y}+ v_z {\partial v_x \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_x \over \partial x^2}+{\partial^2 v_x \over \partial y^2}+{\partial^2 v_x \over \partial z^2}\right]-{\partial p \over \partial x} +\rho g_x
: \rho \left({\partial v_y \over \partial t}+ v_x {\partial v_y \over \partial x}+ v_y {\partial v_y \over \partial y}+ v_z {\partial v_y \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_y \over \partial x^2}+{\partial^2 v_y \over \partial y^2}+{\partial^2 v_y \over \partial z^2}\right]-{\partial p \over \partial y} +\rho g_y
: \rho \left({\partial v_z \over \partial t}+ v_x {\partial v_z \over \partial x}+ v_y {\partial v_z \over \partial y}+ v_z {\partial v_z \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_z \over \partial x^2}+{\partial^2 v_z \over \partial y^2}+{\partial^2 v_z \over \partial z^2}\right]-{\partial p \over \partial z} +\rho g_z

Kontinuitetslikninga (føreset inkompressibilitet):

: {\partial v_x \over \partial x}+{\partial v_y \over \partial y}+{\partial v_z \over \partial z}=0 

#### Sylindriske koordinater
:*Sjå [[sylindrisk koordinatsystem]]*

Navier-Stokes-kontinuitetslikninga for sylindriske koordinatar er: 

:{\partial u_r \over \partial r}+ {u_r \over \ r} + {1 \over \ r} {\partial u_\theta \over \partial \theta}+ {\partial u_z \over \partial z} = 0.

Navier-Stokes-likningane for sylindriske koordinatar er: 

*r*-retninga:

: \rho \left( {\partial u_r \over \partial t} + u_r {\partial u_r \over \partial r}    + {u_\theta \over r} {\partial u_r \over \partial \theta} + u_z {\partial u_r \over \partial z}-{u^2_\theta \over r} \right)

: = -
{\partial P \over \partial r}
+\mu \left({\partial^2 u_r \over \partial r^2}
+{1 \over r} {\partial u_r \over \partial r} 
- {u_r \over r^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2 u_r \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 u_r \over \partial z^2}
- {2 \over r^2}{\partial u_\theta \over \partial \theta}
\right)+F_r.

θ-retninga:
: \rho \left({
\partial u_\theta \over \partial t}
+ u_r {\partial u_\theta \over \partial r}
+ {u_r u_\theta \over r}
+ {u_\theta \over r} {\partial u_\theta \over \partial \theta}
+ u_z {\partial u_\theta \over \partial z}
\right)


: = -{1 \over r}{\partial P \over \partial \theta}
+\mu \left(  { {\partial^2 u_\theta \over \partial r^2} }
+{1 \over r}{\partial u_\theta \over \partial r}
- {u_\theta \over r^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2 u_\theta \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 u_\theta \over \partial z^2}
+ {2 \over r^2}{\partial u_r \over \partial \theta}
\right)+F_\theta.

*z*-retninga:

: \rho \left({
\partial u_z \over \partial t}
+ u_r {\partial u_z \over \partial r}
+ {u_\theta \over r} {\partial u_z \over \partial \theta}
+ u_z {\partial u_z \over \partial z}
\right)


: = -{\partial P \over \partial z}
+\mu \left( {\partial^2 u_z \over \partial r^2}
+ {1 \over r}  { {\partial u_z \over \partial r} }
+ {1 \over r^2} {\partial^2 u_z \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 u_z \over \partial z^2}
\right)+F_z.

Merk at Navier-Stokes-likningane berre kan skildra væskestraum tilnærma, og at på svært liten skala eller under ekstreme vilkår vil væsker blande seg slik at resultata vert annleis enn dei ein får frå dei kontinuerlege og homogene væskene ein brukar i Navier-Stokes-likningane. Avhengig av knudsentalet til problemstillinga, kan statistisk mekanikk stundom vere ein betre framgangsmåte. Navier-Stokes-likningane er likevel nyttige for svært mange praktiske problem, så lenge ein er klar over begrensingane. 

## Sjå òg

* Reynolds transportteeorem
* Reynoldstal
* Machtal
* Reynoldsmidla Navier-Stokes-likningar
* Fleirfasestraum
* Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant

## Kjelder

* Inge L. Rhyming, *Dynamique des fluides*, 1991, PPUR
* A.D. Polyanin, A.M. Kutepov, A.V. Vyazmin, and D.A. Kazenin, *Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering*, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27237-8

## Bakgrunnsstoff
* Detaljert skildring av Navier-Stokes-likningane
* Ei god utleiing av Navier-Stokes-likningane 
* ADFC Navier-Stokes-løysar (GNU-kode)