Kryssprodukt

**Kryssprodukt** er i matematikk ein tostilt operasjon på vektorar i eit tredimensjonalt euklidsk rom. Operasjonen vert òg kalla **vektorprodukt** eller **ytterprodukt**, og er nært relatert til utvendig produkt. Han skil seg frå punktproduktet ved at svaret vert ein vektor, og ikkje ein skalar. Kryssproduktet til to vektorar er ortogonalt til begge to. 

## Definisjon
Kryssproduktet av vektorane **a** og **b** vert skrive **a** &times; **b** (handskrive brukar enkelte matematikarar **a**∧**b** for å unngå å blande saman kryssproduktet med bokstaven **x**). Den er definert som vektoren som er *perpendikulær* til både **a** og **b** med ein storleik som er lik arealet til parallellogrammet dei spenner over. Likninga er 

:\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{n} \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \sin \theta

der θ er vinkelen mellom **a** og **b** (0° ≤ θ ≤ 180°) i planet definert ut frå spennflata mellom vektorane, og **n** er ein einingsvektor perpendikulær til både **a** og **b**. 

Problemet med denne definisjonen er at der er *to* einingsvektorar som er perpendikulær til både **a** og **b**: visst **n** er prependikulær er òg **&minus;n** det. 

Kva vektor som er den «rette» er avhengig av *orienteringa* til vektorrommet&mdash;t.d. kva retning dei tre vektorane i koordinatsystemet peikar i (**i**, **j**, **k**). Kryssproduktet **a** &times; **b** er definert på ein slik måte at (**a**, **b**, **a** &times; **b**) vert høgrehandorientert (peikefingeren er ei retning, langfingeren ei anna retning og tommelen peikar oppover og representerer kryssproduktet) (**i**, **j**, **k**) er høgrehandsorientert, eller venstrehandsorientert viss (**i**, **j**, **k**) er venstrehandsorientert slik at **i**&times;**j**=**k**, **j**&times;**k**= **i** og **k**&times;**i**=**j**.

Ein enkel måte å finne retninga av resultatvektoren er «høgrehandsregelen». Viss koordinatsystemet er høgrehandsorientert, peikar ein rett og slett peikefingeren i retning til den første operanden, langefingeren i retninga til den andre operanden, og resultatvektoren vil då vere tommelen. 

Sidan kryssproduktet er avhengig av kva koordinatsystem ein vel, vert resultatet kalla ein «uekte vektor». I naturen har heldigvis dei fleste storleikar som vert målt to stykk kryssprodukt, slik at når ein gjer det andre kryssproduktet så har ikkje valet av koordinatsystem noko å sei. 

Kryssproduktet kan representerast grafisk, med omsyn på eit høgrehandsorientert koordinatsystem, som vist på figuren under. 

## Eigenskap
### Geometrisk tyding

Storleiken på kryssproduktet kan tolkast som arealet av eit parallelogram der **a** og **b** er sidene: 

: | \mathbf{a} \times \mathbf{b}| = | \mathbf{a} | | \mathbf{b}| \sin \theta \,\! 

Trippelproduktet gjev volumet *V* av ein parallelepiped forma av **a**, **b**, og **c**:

: V = \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c}) . \,\!

### Døme 1

Vi har to vektorar, *a* = (1,2,3) og *b* = (4,5,6). Kryssproduktet *a* &times; *b* er 

: *a* &times; *b* = (1,2,3) &times; (4,5,6) = ((2 &times; 6 - 3 &times; 5), (3 &times; 4 - 1 &times; 6), (1 &times; 5 - 2 &times; 4)) = (-3,6,-3).

### Døme 2

Vi har to vektorar, *a* = (3,0,0) og *b* = (0,2,0). Kryssproduktet *a* × *b* er

: *a* × *b* = (3,0,0) × (0,2,0) = ((0 × 0 - 2 × 0), -(3 × 0 - 0 × 0), (3 × 2 - 0 × 0)) = (0,0,6).

Svaret har følgjande tolkingar: 
# Arealet av parallelogrammet (eit rektangel i dette tilfellet) er 2 × 3 = 6.
# Den andre vektoren ligg i retning mot klokka i forhold til den første vektoren sidan svaret er positivt. 
# Normalvektoren til *alle* vektorpar i *xy*-planet vil alltid peike i *z*-retninga. 

### Algebraiske eigenskapar

Kryssproduktet er antikommutativt,
:**a** &times; **b** = −**b** &times; **a**,

fordelt ved addisjon
:**a** &times; (**b** + **c**) = (**a** &times; **b**) + (**a** &times; **c**), 

og samsvarar med skalar multiplisering slik at 
:(*r***a**) &times; **b** = **a** &times; (*r***b**) = *r*(**a** &times; **b**). 

Han er ikkje assosiativ, men oppfyller *[[Jacobi-identitet]]*:
:**a** &times; (**b** &times; **c**) + **b** &times; (**c** &times; **a**) + **c** &times; (**a** &times; **b**) = **0**.

Han følgjer ikkje kanselleringslova:
:Viss **a** &times; **b** = **a** &times; **c** og **a** ≠ **0** så kan vi skrive:
:(**a** &times; **b**) − (**a** &times; **c**) = **0** og ut frå fordelingslova over: 
:**a** &times; (**b** − **c**) = **0**
:Visst **a** no er parallel til (**b** − **c**), og viss **a** ≠ **0** er det mogeleg at (**b** − **c**) ≠ **0** og derfor at **b** ≠ **c**.

Men viss derimot både **a** · **b** = **a** · **c** *og* **a** &times; **b** = **a** &times; **c**, så *kan* vi konkludere at **b** = **c**. Dette kjem av at (**b** − **c**) ≠ **0**, slik at den sjølvsagt ikkje kan vere *både parallel og perpendikulær* til ein annan vektor **a** ulik null.

Men fordelinga, lineariteten, og Jacobi-identiteten viser at **R**3 i lag med vektoraddisjon og kryssproduktet dannar eit Lie algebra.

Vidare har vi at to vektorar **a** og **b**, som er ulik null, er parallel viss og berre viss **a** &times; **b** = **0**.

### Matrisenotasjon

Einingsvektoren **i**, **j** og **k** frå det ortogonale koordinatsystemet oppfyller følgjande likskapar: 
:**i** &times; **j** = **k** &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; **j** &times; **k** = **i** &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; **k** &times; **i** = **j**.

Med desse reglane kan ein enkelt rekne ut koordinatane til kryssproduktet av to vektorar utan at ein treng vite vinklane først. 

:**a** = *a*1**i** + *a*2**j** + *a*3**k** = [*a*1, *a*2, *a*3]

og

:**b** = *b*1**i** + *b*2**j** + *b*3**k** = [*b*1, *b*2, *b*3].

Slik at 
:**a** &times; **b** = [a2b3 &minus; a3b2, a3b1 &minus; a1b3, a1b2 &minus; a2b1].

Komponentnotasjonen over kan og skrivast som determinanten til ei matrise: 

:\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} 
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{bmatrix}. 

Determinanten til dei tre vektorane kan skrivast som 
:det (**a**, **b**, **c**) = **a** · (**b** &times; **c**). 

Kryssproduktet kan skildrast ved hjelp av Sarrus sitt skjem. Vi har tabellen
:
\begin{matrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} & \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 & a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 & b_1 & b_2 & b_3 
\end{matrix} 
Vi multipliserar dei tre første einingsvektorane med elementa på diagonalen til høgre (t.d. den første diagonalen vil innehalde **i**, *a*2 og *b*3). Dei tre siste einingsvektorane vert multiplisert med element langs diagonalen til venstre, og så omgjer vi produktet (t.d. den siste diagonalen inneheld **k**, *a*2 og *b*1). Kryssproduktet vert definert av summen av desse produkta: 
:
\mathbf{i}(a_2b_3) + \mathbf{j}(a_3b_1) + \mathbf{k}(a_1b_2) - \mathbf{i}(a_3b_2) - \mathbf{j}(a_1b_2) - \mathbf{k}(a_2b_1).


Sjølv om det her er skrive i form av koordinatar gjev den geometriske definisjonen over at kryssproduktet er invariant under rotasjon om aksen definert ved
\mathbf{a}\times\mathbf{b}, og vert invers ved å byte \mathbf{a} og \mathbf{b}.

## Sjå òg
* Lagrange sin formel
* Trippelprodukt
* Punktprodukt
* Kartesisk produkt