Tilknytt legendre-funksjon

Ein **tilknytt legendre-funksjon** er i matematikk ei kanonisk løysing av **den generelle legendre-likninga** 

:(1-x^2)\,y* -2xy' + \left(\ell[\ell+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,y = 0,\,</math>

eller

:<math>([1-x^2]\,y')' + \left(\ell[\ell+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,y = 0,\,</math>

der indeksane <math>\ell</math> og *m* (som generelt er [[kompleks tal|komplekse]] storleikar) vert kalla graden og ordenen til den tilknytte legendre-funksjonen. Denne likninga har løysingar som er ikkje-singulære på [&minus;1,&nbsp;1] berre visst <math>\ell\,</math> og *m* er heiltal med 0 ≤ *m* ≤ <math>\ell</math>, eller med trivielle ekvivalente negative verdiar. Når *m* i tillegg er eit liketal, er funksjonen eit [[polynom]]. Når *m* er null og <math>\ell\,</math> eit heiltal er desse funksjonane identiske til [[legendre-polynom]].

Denne [[differensiallikning|ordinære differensiallikninga]] er ofte nytta i [[fysikk]] og andre tekniske felt. Særleg dukkar han opp i løysinga av [[laplace-likninga]] (og tilknytte [[partiell differensiallikning|partielle differensiallikningar]]) i [[sfæriske koordinatar]].  

==Dei første tilknytte legendre-polynoma==
Dei første tilknytte legendre-polynoma, inkludert dei for negative verdiar av *m*, er:

:<math>P_{0}^{0}(x)=1</math>

:<math>P_{1}^{-1}(x)=-\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}P_{1}^{1}(x)</math>
:<math>P_{1}^{0}(x)=x</math>
:<math>P_{1}^{1}(x)=-(1-x^2)^{1/2}</math>

:<math>P_{2}^{-2}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{24}\end{matrix}P_{2}^{2}(x)</math>
:<math>P_{2}^{-1}(x)=-\begin{matrix}\frac{1}{6}\end{matrix}P_{2}^{1}(x)</math>
:<math>P_{2}^{0}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}(3x^{2}-1)</math>
:<math>P_{2}^{1}(x)=-3x(1-x^2)^{1/2}</math>
:<math>P_{2}^{2}(x)=3(1-x^2)</math>

:<math>P_{3}^{-3}(x)=-\begin{matrix}\frac{1}{720}\end{matrix}P_{3}^{3}(x)</math>
:<math>P_{3}^{-2}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{120}\end{matrix}P_{3}^{2}(x)</math>
:<math>P_{3}^{-1}(x)=-\begin{matrix}\frac{1}{12}\end{matrix}P_{3}^{1}(x)</math>
:<math>P_{3}^{0}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}(5x^3-3x)</math>
:<math>P_{3}^{1}(x)=-\begin{matrix}\frac{3}{2}\end{matrix}(5x^{2}-1)(1-x^2)^{1/2}</math>
:<math>P_{3}^{2}(x)=15x(1-x^2)</math>
:<math>P_{3}^{3}(x)=-15(1-x^2)^{3/2}</math>

:<math>P_{4}^{-4}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{40320}\end{matrix}P_{4}^{4}(x)</math>
:<math>P_{4}^{-3}(x)=-\begin{matrix}\frac{1}{5040}\end{matrix}P_{4}^{3}(x)</math>
:<math>P_{4}^{-2}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{360}\end{matrix}P_{4}^{2}(x)</math>
:<math>P_{4}^{-1}(x)=-\begin{matrix}\frac{1}{20}\end{matrix}P_{4}^{1}(x)</math>
:<math>P_{4}^{0}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{8}\end{matrix}(35x^{4}-30x^{2}+3)</math>
:<math>P_{4}^{1}(x)=-\begin{matrix}\frac{5}{2}\end{matrix}(7x^3-3x)(1-x^2)^{1/2}</math>
:<math>P_{4}^{2}(x)=\begin{matrix}\frac{15}{2}\end{matrix}(7x^2-1)(1-x^2)</math>
:<math>P_{4}^{3}(x)= - 105x(1-x^2)^{3/2}</math>
:<math>P_{4}^{4}(x)=105(1-x^2)^{2}</math>

==Gjentakingsformel==

Desse funksjonane har fleire gjentakande eigenskapar: 

:<math>(\ell-m+1)P_{\ell+1}^{m}(x) = (2\ell+1)xP_{\ell}^{m}(x) - (\ell+m)P_{\ell-1}^{m}(x)</math>

:<math>2mxP_{\ell}^{m}(x)=-\sqrt{1-x^2}\left[P_{\ell}^{m+1}(x)+(\ell+m)(\ell-m+1)P_{\ell}^{m-1}(x)\right]</math>

:<math>P_{\ell+1}^{m}(x) = P_{\ell-1}^{m}(x) - (2\ell+1)\sqrt{1-x^2}P_{\ell}^{m-1}(x)</math>

:<math>\sqrt{1-x^2}P_{\ell}^{m+1}(x) = (\ell-m)xP_{\ell}^{m}(x) - (\ell+m)P_{\ell-1}^{m}(x)</math>

:<math>(x^2-1){P_{\ell}^{m}}'(x) = {\ell}xP_{\ell}^{m}(x) - (\ell+m)P_{\ell-1}^{m}(x)</math>

:<math>(x^2-1){P_{\ell}^{m}}'(x) = \sqrt{1-x^2}P_{\ell}^{m+1}(x) + mxP_{\ell}^{m}(x)</math>

:<math>(x^2-1){P_{\ell}^{m}}'(x) = -(\ell+m)(\ell-m+1)\sqrt{1-x^2}P_{\ell}^{m-1}(x) - mxP_{\ell}^{m}(x)</math>

Nyttige identitetar (initialverdiar for den første repetisjonen): 

:<math>P_{\ell}^{\ell}(x) = (-1)^l (2\ell-1)!!  (1- x^2)^{(l/2)}</math>
:<math>P_{\ell +1}^{\ell}(x) = x (2\ell+1) P_{\ell}^{\ell}(x)</math>

med !! som [[Faktor i matematikk|dobbelfaktor]].

==Kjelder==
<div class="references-small">
**Denne artikkelen bygger på «Associated Legendre function» frå ,  den 1. desember 2009.* 
*** oppgav desse kjeldene:*
** Arfken G.B., Weber H.J., *Mathematical methods for physicists*, (2001) Academic Press, ISBN 0-12-059825-6 *See Section 12.5*. (Uses a different sign convention.)
** A.R. Edmonds, *Angular Momentum in Quantum Mechanics*, (1957) Princeton University Press, ISBN 0-691-07912-9 *See chapter 2*.
** E. U. Condon and G. H. Shortley, *The Theory of Atomic Spectra*, (1970) Cambridge, England: The University Press.  *See chapter 3*
** F. B. Hildebrand, *Advanced Calculus for Applications*, (1976) Prentice Hall, ISBN 0-13-011189-9
** Belousov, S. L. (1962), *Tables of normalized associated Legendre polynomials'', Mathematical tables series Vol. 18, Pergamon Press.


## Bakgrunnsstoff
*Legendre-polynom på MathWorld