Hyperbolsk funksjon

Ein **hyperbolsk funksjon** er funksjonane *sinh* (sinus hyperbolicus), *cosh* (cosinus hyperbolicus), *tanh* (tangens hyperbolicus), *coth* (cotangens hyperbolicus), *sech* (secans hyperbolicus) og *csch* (cosecans hyperbolicus).

Her er e grunntalet i det naturlege logaritmesystemet.

Dei hyperbolske funksjonane har eigenskapar som er analoge med dei trigonometriske funksjonane. På same måte som  \sin x  og  \cos x  kan nyttast til å parametrisere ein sirkel, kan dei hyperbolske funksjonane  \sinh x  og  \cosh x  parametrisere ein hyperbel. 

## Standard algebraiske uttrykk

Dei hyperbolske funksjonane er :

* Hyperbolsk sinus:
::\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x}

* Hyperbolsk cosinus:
::\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x}

* Hyperbolsk tangens:
::\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}

* Hyperbolsk cotangens:
::\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}

* Hyperbolsk secans:
::\operatorname{sech}\,x = \left(\cosh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1}

* Hyperbolsk cosecans:
::\operatorname{csch}\,x = \left(\sinh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1}

Hyperbolske funksjonane kan introduserast via imaginære sirkelvinklar:

* Hyperbolsk sinus:
::\sinh x =  - {\rm{i}} \sin {\rm{i}}x \!

* Hyperbolsk cosinus:
::\cosh x = \cos {\rm{i}}x \!

* Hyperbolsk tangens:
::\tanh x = -{\rm{i}} \tan {\rm{i}}x \!

* Hyperbolsk cotangens:
::\coth x = {\rm{i}}  \cot {\rm{i}}x \!

* Hyperbolsk sekant:
::\operatorname{sech}\,x = \sec { {\rm{i}} x} \!

* Hyperbolsk cosecant:
::\operatorname{csch}\,x = {\rm{i}}\,\csc\,{\rm{i}}x \!

der *i* er den imaginære eininga definert som *i*2 = −1.

Dei komplekse formene i definisjonane over kjem frå Eulerformelen.

## Nyttige forhold
:\sinh(-x) = -\sinh x\,\!
:\cosh(-x) =  \cosh x\,\! 

Dermed:

:\tanh(-x) = -\tanh x\,\!
:\coth(-x) = -\coth x\,\!
:\operatorname{sech}(-x) =  \operatorname{sech}\, x\,\!
:\operatorname{csch}(-x) = -\operatorname{csch}\, x\,\!

Ein kan sjå at cosh *x* og sech *x* er jamne funksjonar, medan dei andre er odde funksjonar.

:\operatorname{arsech}\,x=\operatorname{arcosh} \frac{1}{x}

:\operatorname{arcsch}\,x=\operatorname{arsinh} \frac{1}{x}

:\operatorname{arcoth}\,x=\operatorname{artanh} \frac{1}{x}

Hyperbolsk sinus og cosinus tilfredsstiller identiteten
:\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\,
som liknar den pythagoreiske trigonometriske identiteten. Ein har òg
:\tanh ^{2}x=1-\operatorname{sech}^{2}x
:\coth ^{2}x=1+\operatorname{csch}^{2}x
for dei andre funksjonane.

Den hyperbolske tangensen er løysinga til det ikkje-lineære grenseverdiproblemet:

:\frac 1 2 f* = f^3 - f \qquad ; \qquad f(0) = f'(\infty) = 0</math>

Det kan visast at arealet under kurva til cosh&nbsp;*x* alltid er like bogelengda:
:<math>\text{areal} = \int_a^b{ \cosh{x} } \ dx= \int_a^b\sqrt{1+\left(\frac{d}{dx} \cosh{x}\right)^2} \ dx = \text{bogelengd}. </math>

==Inverse funksjonar som logaritmar==
:<math>\operatorname {arsinh} \, x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1} \right)</math>

:<math>\operatorname {arcosh} \, x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right);x\ge 1</math>

:<math>\operatorname {artanh} \, x=\tfrac{1}{2}\ln  \frac{1+x}{1-x} ;\left| x \right|<1</math>

:<math>\operatorname {arcoth} \, x=\tfrac{1}{2}\ln  \frac{x+1}{x-1} ;\left| x \right|>1</math>

:<math>\operatorname {arsech} \, x=\ln  \frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x} ;0<x\le 1</math>

:<math>\operatorname {arcsch} \, x=\ln \left( \frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{\left| x \right|} \right)</math>

==Deriverte==
:<math> \frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x \,</math>

:<math> \frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x \,</math>

:<math> \frac{d}{dx}\tanh x = 1 - \tanh^2 x = \hbox{sech}^2 x = 1/\cosh^2 x \,</math> 

:<math> \frac{d}{dx}\coth x = 1 - \coth^2 x = -\hbox{csch}^2 x = -1/\sinh^2 x \,</math>

:<math> \frac{d}{dx}\ \hbox{csch}\,x = - \coth x \ \hbox{csch}\,x \,</math>

:<math> \frac{d}{dx}\ \hbox{sech}\,x = - \tanh x \ \hbox{sech}\,x \,</math>

:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsinh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}</math>

:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcosh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}</math>

:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{artanh}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}</math>

:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcsch}\,x =-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}}</math>

:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsech}\,x =-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}</math>

:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcoth}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}</math>

==Standardintegral==

:<math>\int\sinh ax\,dx = a^{-1}\cosh ax + C</math>

:<math>\int\cosh ax\,dx = a^{-1}\sinh ax + C</math>

:<math>\int \tanh ax\,dx = a^{-1}\ln(\cosh ax) + C</math>

:<math>\int \coth ax\,dx = a^{-1}\ln(\sinh ax) + C</math>

:<math>\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C</math>

:<math>\int{\frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C</math>

:<math>\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\tanh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}<a^{2}</math>

:<math>\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\coth ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}>a^{2}</math>

:<math>\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=-a^{-1}\operatorname{sech}^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C</math>

:<math>\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=-a^{-1}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C</math>

Where *C* is the [[constant of integration]].

==Taylorrekkjer==
Det er mogeleg å uttrykke funksjonane over som [[Taylorrekkje]]:

:<math>\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>
Funksjonen sinh&nbsp;*x* har ei Taylorrekkje med berre odde eksponentar for *x*. Dermed er han ein [[oddefunksjon]], som er −sinh&nbsp;*x*&nbsp;=&nbsp;sinh(−*x*), og sinh&nbsp;0&nbsp;=&nbsp;0.

:<math>\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}</math>

Funksjonen cosh&nbsp;*x* har ei Taylorrekkje med berre jamne eksponentar for *x*. Derfor er han ein [[jamn funksjon]], altså symmetrisk med omsyn til *y*-aksen. Summen av sinh- og cosh-rekkjene er ei [[uendeleg rekkje]] av [[eksponentialfunksjonen]].

:<math>\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2} </math>

:<math>\coth x = x^{-1} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = x^{-1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi </math> ([[Laurentrekkje]])

:<math>\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2} </math>

:<math>\operatorname {csch}\, x = x^{-1} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = x^{-1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi </math> ([[Laurentrekkje]])

der

:<math>B_n \,</math> er det *n*-te [[Bernoullital]]et
:<math>E_n \,</math> er det  *n*-te [[Eulertal]]et

==Kjelder==
<div class="references-small">
**Denne artikkelen bygger på «Hyperbolic function» frå ,  den 21. november 2011.* 
*** oppgav desse kjeldene:''


## Bakgrunnsstoff