Ideal i matematikk

I ringteori, ein del av abstrakt algebra, er eit **ideal** ein spesiell delmengd av ein ring. Idealkonseptet generaliserer på passande vis viktige eigenskapar ved heiltal, som «liketal» og «multipla av 3»

Til dømes reknar ein i ringar primideal i staden for primtal, og ein kan bevise ei generalisert utgåve av den kinesiske restklassesetninga om ideal.

Eit ideal kan nyttast til å konstruere ein kvotientring på same måte, som ei normal undergruppe i gruppeteori kan nyttast til konstruksjon av ei kvotientgruppe.

## Historie

Ideala vart først nytta av Richard Dedekind i 1876 i den tredje utgåva av boka hans *Vorlesungen über Zahlentheorie* (på norsk: *Førelesningar om talteori*.) Dei var ei generalisering av idealtala, som vart utvikla av Ernst Kummer. Seinare vart omgrepet utvida av David Hilbert og særleg Emmy Noether.

## Definisjonar

La *R* vere ein ring, der + er operatoren i den abelske gruppa til ringen. Ei delmengd *I* av *R* vert kalla eit **høgreideal** om 
* (*I*, +) er ei undergruppe av (*R*, +)
* *xr* er ein del av *I* for alle *x* i *I* og alle *r* i *R*

og eit **venstreideal** om 
* (*I*, +) er ei undergruppe av (*R*, +)
* *rx* er ein del av *I* for alle *x* i *I* og alle *r* i *R*

Venstreideala i *R* er nøyaktig høgreideala i den ringen *R*o, som kjem fram ved å snu multiplikasjonsoperasjonen i *R*, og på same måte er høyreideale nøyaktig venstreideala i *R*o. Når *R* er ein kommutativ ring, fell høgreideal og venstreideala saman, og det *tosida idealet* vert berre kalla eit *ideal*. For at halde definisjonane kortare, ser ein her berre på kommutative ringar. 

*I* vert kalla eit **ekte ideal** om han er ei ekte delmengd av *R*; det vil sei at *I* er forskjellig frå *R*.

Om *A* er ei vilkårleg delmengd av ringen *R*, kan ein definere *idealet frambrakt av A* til å vere det minste idealet av *R*, som inneheld alle element i *A*; han vert skriven 〈*A*〉 eller (*A*) og inneheld alle endelege summar på forma
: *r*1*a*1*s*1 + ··· + *r**n**a**n**s**n*,
der kvar *r**i* og *s**i* er ein del av *R* og alle *a**i* er ein del av *A*. Idealet vert sagt å vere *endeleg frambrakt*, om den frambringande mengda *A* er endeleg, og eit kvart element *x* ∈ *I* kan skrivast
: x = \sum_{k=1}^n r_k a_k,
der *a**k* ∈ *A* og {*r**k* | *k* = 1, ..., *n*} er ei endeleg delmengd av *R*.

## Døme
* Dei like heiltal dannar eit ideal i ringen **Z** av alle heiltal; han vert typisk skriven 2**Z**. Det er eit resultat av, at summen av to like heiltal er like, og at produktet av eit likt heiltal og eit kva som helst anna heiltal òg er likt. 
* I ringen **Z** er alle ideal frambrakt av eit enkelt tal (så **Z** vert kalla eit hovudidealområde,) og idealet bestemmer talet opp til forteikn. Konsepta om «ideal» og «tal» er derfor nesten identiske i **Z** (og eit kva som helst anna hovudidealområde.)
* Mengda av alle polynom med reelle koeffisientar, som går opp i polynomet *x*² + 1 er eit ideal i ringen av alle polynom.
* Mengda av alle *n*-gange-*n*-matriser, der den siste kolonnen er null, dannar eit venstreideal i ringen av alle *n*-gange-*n*-matriser. Det er ikkje eit høgreideal. Mengda av alle *n*-gange-*n*-matriser, der siste *rekke* er null, dannar eit høgreideal, men ikkje eit venstreideal.
* Ringen C(**R**) av alle kontinuerlege funksjonar *f* frå **R** til **R** inneheld eit ideal av alle kontinuerlege funksjonar *f*, så *f*(1) = 0. Eit anna ideal i C(**R**) er gjeven ved dei funksjonane der det finst eit reelt tal *L* > 0, så *f*(*x*) = 0 for |*x*| > *L*.
* {0} og *R* er ideal i alle ringar *R*. Om *R* er kommutativ, er *R* ein lekam visst og berre visst han har nøyaktig to ideal, {0} og *R*.

## Idealtypar
Ideal er viktige fordi dei opptrer som kjernen i ringhomomorfiar og tillet at ein kan definere ein kvotientring. Forskjellige idealtypar vert berekna, fordi dei kan nyttast il å konstruere forskjellige kvotientringar.

* **[[Maksimalt ideal]]**: Eit ekte ideal *I* vart kalla eit maksimalt ideal, om det ikkje finst eit anna ekte ideal *J*, så *I* er ei delmengd av *J*. Kvotientringen av eit maksimalt ideal er ein lekam.
* **[[Primideal]]**: Eit ekte ideal *I* vert kalla eit primideal i *R*, om det for alle *a* og *b* i *R* gjeld, at om *ab* er ein del av *i*, så er anten *a* eller *b* ein del av *I*. Kvotientringen av eit primideal er eit integritetsområde.
* **[[Hovudideal]]**: Eit ideal *I* vert kalla eit hovudideal i *R*, om det finst eit *d* ∈ *R*, så *I* = 〈*d*〉 - dvs. at idealet er frambrakt av eit enkelt element. 

## Nokre grunnleggande eigenskapar

* Eit ideal er ekte visst og berre visst det multiplikative nøytrale elementet, 1, ikkje er ein del av idealet.
* Dei ekte ideala kan partielt ordnast med delmengdeinklusjon, og som eit resultat av Zorns lemma gjeld, at kvart ideal er ein del av eit hovudideal.
* Då 0 er ein del av eit ideal, er eit ideal ei ikkje-tom mengd.

## Kjelder

**Denne artikkelen bygger på «[[:da:Ideal (ringteori)|Ideal (ringteori)]]» frå ,  den 11. september 2011.*