Irrasjonale tal

**Irrasjonelle tal** er reelle tal som *ikkje* kan skrivast på brøkform som \frac{m}{n}, der *m* er eit heiltal og *n* eit naturleg tal. Døme er \sqrt{2} og \pi. Mengda av irrasjonelle tal vert stundom på symbolform uttrykt som \mathbb{R} - \mathbb{Q}, men formar ikkje ein vanleg algebraisk struktur. Dei rasjonelle tala er ei tett, utellbar og ikkje-samanhengande delmengd av dei reelle tala.

## Eigenskapar

### Det finst irrasjonelle tal
Dersom *N* ikkje er eit kvadrattal, så er \sqrt{N} eit irrasjonelt tal. Spesielt er \sqrt{2} irrasjonelt. Eit geometrisk argument for dette vart funne for 2500 år sidan av pytagorearen Hippasus av Metapontum (eller, det er i alle fall han som har vorte tilegna funnet). Eit meir moderne prov er ved motsegn: Anta at √2 = m/n, der m og n er naturlege tal (me veit at √2 er positiv) og m + n minst mogleg. Då er også \sqrt2 = \frac{2n - m}{m - n} = \frac{2n - \sqrt2n}{2n - n} = \frac{2 - \sqrt2}{\sqrt2 - 1}, men 2n - m + m - n = n . 

Anta at det finst naturlege tal *m* og *n* slik at \sqrt{2} = m/n. Me vel *m* og *n* slik at *n* er minst mogleg. Då må 2n^2 = m^2, så 2 må dela m^2. Då må 2 også dela *m*, så 4 deler m^2 og dermed også 2n^2. Det fylgjer at 2 også deler n^2 og dermed også *n*, så både *m* og *n* er partal. Dette vil seia at me også har \sqrt{2} = (m/2)/(n/2) med naturlege tal *m*/2 og *n*/2. Dette er eit motsegn, sidan her er teljaren endå mindre enn i brøken me starta med.

Eit anna irrasjonelt tal er log 2. Me har igjen eit motseiingsprov:

Anta at et finst naturlege tal *m* og *n* slik at \log{2} = m/n. Me vel *m* og *n* slik at *n* er minst mogleg. Då må 10^{m/n} = 2, så 2^m \cdot 5^m  = 2^n. Sidan 2 er eit primtal, så må då *m* = 0 og dermed log 2 = 0, noko som ikkje er tilfelle.

Det skal seiast at begge desse prova fyrst vert fullstendige når me har vist at dei gjevne tala faktisk eksisterer. For kvadratrota av 2 finst eit enkelt, geometrisk argument: Hypotenusen x til ein rettvinkla trekant med katetar 1 og 1 tilfredsstiller 2 = x2. Sidan hypotenusen eksisterer, så eksisterer dermed også ei kvadratrot til 2. Eit argument som byggjer direkte på komplettleiksprinsippet finst også: Studerer me mengda *A* = {*x* : *x* 2 2 > 2 og x > 0}, så difor må (sup A)^2 = 2. (Dersom sup A er med i A, så finst det eit tal høgare enn sup A som også er med i A', og dersom sup A er med i A', så finst det eit tal lågare enn sup A som også er med i A'. Dette strid mot at sup A er den minste øvre grensa til A.)

### Dei irrasjonelle tala dannar inga vanleg algebraisk struktur
Dei irrasjonelle tala er korkje lukka under addisjon eller multiplikasjon:
* (2 + \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2}) = 4 er ikkje eit irrasjonelt tal, sjølv om begge addendane er det.
* (2 + \sqrt{2}) \cdot (2 - \sqrt{2}) = 2 er ikkje eit irrasjonelt tal, sjølv om begge faktorane er det.

I tillegg kan me observera at det heller ikkje er tilfelle at dersom *a* og *b* er irrasjonelle, så er nødvendigvis a^b irrasjonell. Me ser på \sqrt{2}^{\sqrt{2}}:
* Dersom \sqrt{2}^{\sqrt{2}} er rasjonell, så er resultatet vist umiddelbart.
* Dersom \sqrt{2}^{\sqrt{2}} er irrasjonell, så er (\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^\sqrt{2} = 2 det ettersøkte moteksemplet.

### Dei irrasjonelle tala har inga periodisk desimalutvikling
I motsetnad til rasjonelle tal har ikkje irrasjonelle tal ei periodisk desimalutvikling. Beviset går ut på å gå ut frå at ei slik desimalutvikling finst og visa at då må talet vera rasjonelt.

## Sjå også
* Inkommensurabilitet