Arkimedes

**Arkimedes** (fødd 287 fvt i Siracusa på Sicilia og død 212 fvt) var ein gresk matematikar, fysikar, ingeniør, astronom, og filosof i den greske antikken. Sjølv om lite er kjent frå livet hans og få av skriftene hans er verna, blir han rekna som ein av dei viktigaste vitskapsmennene i den klassiske antikken. I tillegg til at han gjorde viktige oppdagingar innanfor matematikk og geometri, har han fått æra for å ha laga maskiner og innretningar som var langt føre si tid. 

Historikarar i Romarriket viste stor interesse for Arkimedes og skreiv fleire biografiar om livet og virket hans, og dei få kopiane som vart verna av avhandlingane hans skulle få stor innverknad på vitskapsfolk under renessansen. 

Arkimedes er blant folk flest mest kjend å ha oppdaga lova om oppdrifta til lekamar i vatn (kjend som Arkimedes-lova), medan han blant etterfølgjarane sine innanfor matematikken nok er mest kjend for å ha vore den første som gjorde ei summering av ei uendeleg rekkje med ein metode som er i bruk enno. 

## Biografi

Arkimedes vart fødd rundt år 287 f.kr i hamnebyen Syrakus på Sicilia, som då var ein koloni for Magna Graecia. Fødselsåret er rekna ut i frå den bysantinske historikaren Johannes Tzetzes opplysningar om at han var 75 år då han døydde. I verket ψαμμιτης (Psammites) oppgjev Arkimedes Phidias som namnet til faren sin, han skal ha vore astronom men utover dette er inkje kjent om han. Plutark skreiv at Arkimedes var i slekt med kong Hiero II av Syrakus. Ein biografi om Arkimedes skal ha vorte skrive av ein ven av han ved namn Herakleides, men denne er gått tapt og vi har ingen samtidige kjelder om livet til Arkimedes. Det er t.d. ikkje kjent om han var gift eller hadde born. Det er trudd at Arkimedes var delar av ungdomen sin i Alexandria i Egypt, der han i tilfelle var samstundes som Konon frå Samos og Eratosthenes. Denne blir underbygd av at nokre av dei matematiske arbeida til Arkimedes vart skrive i form av brev til Eratosthenes, som var sjefsbibliotekar i Alexandria. 

Arkimedes døydde 212 f.kr då Syrakus vart inntatt av romerske styrkar under Marcus Claudius Marcellus etter to års kringsetjing. Ifølgje den populære versjonen frå Plutark sin *Livsskildringar* sat Arkimedes fordjupa over eit matematisk diagram då byen vart innteken. Ein romersk soldat gav han ordrar om å bli med til Marcellus, men Arkimedes nekta og sa han måtte fullføre arbeidet med diagrammet først. Soldaten skal då ha vorte så sint at han drap Arkimedes med sverdet sitt. Marcellus vart etter sigande rasande då han høyrde at Arkimedes hadde vorte drepen, sidan han hadde gjeve ordrar om at han skulle sparast. 

Arkimedes siste ord skal ifølgje tradisjonen ha vore «Ikkje rør sirklane mine» (på gresk: μή μου τούς κύκλους τάραττε, men oftast attgjeve på latin: *Noli turbare circulos meos*). Det finst likevel ikkje pålitelege bevis for at dette skal vere sant. 

På grava til Arkimedes var yndlingsdiagrammet hans hogd inn, ei framstilling av ei kule inni ein sylinder med same høgd og diameter. Arkimedes hadde bevist at volumet og overflatearealet av kula ville vere to tredjedelar av sylinderen. I 75 f.Kr vitja den kjende romerske talaren Cicero grava til Arkimedes i Syrakus, 137 år etter han døydde. Grava var då overgrodd, men Cicero fekk han rydda og reinsa slik at han kunne sjå diagrammet og lese versa som hadde vorte føydd til som ein inskripsjon. 

Skildringa om kringsetjinga av Syrakus som Polybios gjev i si «Historier» vart skriven om lag 70 år etter Arkimedes døydde, og var hovudkjelda for Plutark og Titus Livius. Polybios var oppteke av krigsmaskinane Arkimedes skal ha konstruert, og ikkje av Arkimedes som person. 

## Oppdagingar og oppfinningar
 
Den mest kjende anekdoten som har vorte fortalt om Arkimedes er om korleis han oppdaga prinsippet for oppdrift. I følgje Vitruvius skulle kong Hieron II ha fått ei ny krone forma som ein laurbærkrans, og Arkimedes vart beden om å fastslå om krona verkeleg var av reint gull, eller om ein uærleg gullsmed hadde tilsett sølv. Arkimedes måtte løyse dette problemet utan å skade krona, så han kunne ikkje smelte han for å måle tettleiken til materialet i terningform, noko som ville ha vore den enkelaste måten å løyse problemet på. Tettleiken til krona ville vere lågare dersom billegare materialar med mindre tettleik enn gull hadde vore lagt til. Då han tok seg eit bad, la han merke til at vasstanden steig då han kom ned i vatnet. Han skjønte at denne effekten kunne brukast til å avgjere volumet til krona, og slik òg tettleiken dersom han vog ho. Han vart så begeistra over oppdaginga si at han gløymde å kle på seg, men sprang ut naken på gata medan han ropte *Eureka!* (eg har funne det!). 

Historia om gullkrona finst ikkje i nokre av dei kjende verka til Arkimedes, men i avhandlinga si *Om flytande lekamar* forklarar han det hydrostatiske prinsippet som i dag er kjent som *Arkimedes-prinsippet*: På ein lekam som er senka ned i ei væske vil det virke ei oppdriftskraft som er like stor som vekta av væska lekamen har pressa bort. 

Ei anna oppfinning som ber namnet hans er Arkimedes-spiralen, ein maskin med eit roterande spiralforma blad inni eit røyr. Innretninga vart driven med handmakt, og kunne brukast til å pumpe opp vatn. Pumper som er konstruert etter dette prinsippet vert enno nytta i somme delar av verda, og det same prinsippet blir òg brukt i gruver og under boring av tunnellar for å transportere ut den utgravde massen. Arkimedes-spiralen slik han vart skildra av Vitruvius kan ha vore ei forbetra utgåve av innretninga som vart brukt til å vatne dei hengjande hagane i Babylon.

Sjølv om Arkimedes ikkje fann opp vektstonga, gav han dei første utførlege skildringane av vektstongprinsippet. Han viste korleis krafta (dreiemomentet) ville auke proporsjonalt med lengda på vektstonga. Vektstonglova hans seier: 

:*Storleiark er i likevekt på avstandar gjensidig proporsjonale til vekta deira.* 

I følgje Pappus frå Alexandria skal Arkimede sitt studium av vektstongprinsippet fått han til å utbryte: «Gje meg eit fast punkt, og eg skal røre heile jorda!» Plutark skildrar korleis Arkimedes utvikla eit system med trinser og taljer som lét sjøfolk bruke vektstangprinsippet til å heve gjenstandar som elles ville ha vore alt for tunge til å flytte på.

Ein stor del av konstruksjonane til Arkimedes vart laga ut frå behova i heimbyen hans Syrakus. Athenaios skildrar korleis kong Hieron hyrte Arkimedes for å teikne det store skipet *Syrakusia*. Dette skipet skal ha vore 55 meter langt, og det har vore hevda at det var det største transportskipet i antikken. I følgje Athenaios hadde det rom for 600 menneske, og inneheldt hagedekorasjoner, eit gresk gymnasium og eit tempel vigd til Afrodite. Sidan eit så stort skip bygd med teknologien på den tida ville ta inn store mengder vatn, skal Arkimedes-spiralen ha vorte utvikla med føremålet å lense *Syrakusia*.

Det har vorte hevda at byen Syrakus var i stand til å forsvare seg så lenge mot romerske åtak under han den andre punarkrigen først og fremst fordi Arkimedes konstruerte nye og geniale våpen. Av desse er dei mest kjende dei såkalla Arkimedes-dødsstrålen og Arkimedes-kloa. Den nøyaktige konstruksjonen av desse våpna er ikkje kjend, men dødsstrålen skal ha vore ein innretning som kunne fokuserer sollys gjennom spegl eller optiske linser mot dei romerske skipa og slik setje dei i brann. Arkimedes-kloa skal ha vore ein slags krok med gripehaker festa til ein kranliknande konstruksjon. Ved hjelp av denne innretninga skal forsvararane på bymuren ved hamna ha kunna løfte og dermed kantre romerske skip. Det er særs usikkert om nokre av desse våpna har eksistert. Meir truleg er det at Arkimedes medverka til tekniske utbetringar av katapultar og liknande.

Arkimedes skal òg under den første punarkrigen ha konstruert det første odometeret (kilometerteljar) i verda. Dette skal ha vore ei vogn med ein innretning som slapp ein liten ball i ein behaldar for kvar kilometer som vart tilbakelagt.

Cicero skreiv at etter at han hadde erobra Syrakus tok Marcellus med seg to mekaniske innretningar til Roma, og at desse vart brukt som hjelpemiddel innan astronomi. Cicero gjev Thales og Eudoksos æra for å ha konstruert desse instrumenta. Det eine instrumentet viste rørslane til sola, månen og fem planetar, og det vart demonstrert for Cicero 150 år seinare av ein mann ved namn Gallus. Ciceroar skildrar hendinga som følgjer:


*Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat ut soli luna totidem conversionibus in aere illo quot diebus in ipso caelo succederet, ex quo et in [caelo] sphaera solis fieret eadem illa defectio, et incideret luna tum in eam metam quae esset umbra terrae, cum sol e regione.* -  Når Gallus rørte globen, skjedde det at månen følgde sola så mange gonger på denne bronsen [innretninga] som på himmelen sjølv, frå kva for ein òg på himmelen sola si globe fekk same omkretsing, og månen kom så til den posisjonen som var skuggen [av han på] jorda når sola var på linje.


Den innretninga Cicero skildrar er mekanisk planetarium. I følgje Pappus hadde Arkimedes skrive eit manuskript (som no er tapt) om konstruksjonen av slike apparat kalla *Om å lage glober*. Å konstruere slike innretningar krev ein omfattande kjennskap til tannhjulteknikk. Det var trudd at slike mekanismar var utanfor rekkjevidde for den teknologien som var tilgjengeleg i antikken, men funne av Antikytheramekanismen i 1902 viste at slike konstruksjonar fanst i det antikke Hellas.

## Matematiske oppdagingar
Sjølv om Arkimedes ofte blir rekna først og fremst som ein som konstruerte mekaniske apparat, gav han òg svært viktige bidrag innanfor matematikken. Plutark skreiv: «Han la heile sin elsk og ambisjon i dei reinare spekulasjonane der det ikkje er nokon referanse til livet sitt vulgære behov.»

Nokre av Arkimedes matematiske bevisføringar inkluderer ei nytte av infinitesimalar som ikkje er ulik den vi finn i moderne integralrekning. Ved å føresetje at ei førehandstru var sann, og så vise at dette ville føre til ei sjølvmotseiing, kunne Arkimedes gje svar på til ein vilkårleg grad av nøysemd, samstundes som han innsnevra området svaret kunne liggje innanfor. Denne innsnevringsmetoden brukte han for å avgjere talverdien til π (pi). Han gjorde dette ved å teikne to mangekantar (polygonar), ein større utanfor ein sirkel og ein mindre inni sirkelen. Desse låg så tett til sirkelen som mogleg, altså slik at både den ytre n-kanten og den indre n-kanten rørte sirkelen n gonger. Etterkvart som han auka mengder kantar samanfalt mangekantane meir og meir med sirkelen. Ved hjelp av 96-kantar klarte han å rekne ut at verdien til π låg mellom 31/7 og 310/71, altså mellom 3,1429 og 3,1408. Verdien av π uttrykt med ti desimalar er 3,1415926536. Å fastslå π med slik nøysemd var ein framifrå prestasjon, sidan det greske talsystemet den gongen var tungvint og bestod av bokstavar i staden for posisjonsnotasjonen som blir brukt i dag.

Ved same innsnevringsmetode kunne Arkimedes rekne ut verdien til kvadratrota av talet tre til mellom  265/153 og 1351/780, altså at verdien låg mellom 1,732 og 1,7320512. Den verkelege verdien er ca. 1,7320508076, noko som gjer dette til ei særs nøyaktig tilnærming.

Arkimedes beviste òg at arealet til ein sirkel var lik π gonger kvadratet av radiusen.

Eit anna kjent matematisk verk av han er Sand-oppteljaren. I dette verket har han sett seg føre å berekne kor mange sandkorn som universet kan innehalde. Ved å gjere dette utfordra han ideen om at mengda sandkorn var for stort til å kunne teljast. Han skreiv: «Det er nokon, kong Gelon [Gelon II, son av Hieron II] som trur at sand[korna sine] mengder er ubestemmeleg.» Ved å talfeste sandkorna ville han motprove dette, og han presiserte «Eg meiner med sand ikkje berre det som finst rundt Syrakus og resten av Sicilia, men òg det som finst i kvart og eit område, anten det er busett eller ikkje.» For å løyse problemet utvikla han eit system for teljing basert på *[[myriade|myriadar]]*. Myriade vart i gresk språk brukt både om uendeleg (det greske ordet for uteljeleg var *murios*) og som ti tusen (104. Han foreslo eit teljesystem der ein brukte myriadar av myriade som eining (hundre millionar) og konkluderte med at mengder sandkorn måtte vere 8 x 1063 (moderne talnotasjon).

 

Innanfor geometri beviste Arkimedes at arealet som blir danna mellom ein parabel og ei rett linje er 4/3 av arealet av ein trekant med same grunnlinje og høgd.

Han uttrykte løysinga på dette problemet som ein geometrisk uendeleg rekkje med ein ratio på 1/4:

: \sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4\over 3} \; . 

Det første leddet er her arealet til trekanten, det andre summen av dei to trekantane som blir danna ved at ein deler den opphavlege trekanten si grunnlinje som vist på illustrasjonen og så vidare. Beviset er ein variant av den uendelege rekkja 1/4 + 1/16 + 1/64 +1/256 + ... som kan summerast til 1/3. 

Det har vore foreslått at Arkimedes kan ha kjent til Heron-formelen for å rekne ut arealet av ein trekant frå lengda av sidene. Den første kjende referansen til denne formelen er likevel Heron av Alexandria i boka *Metrica* frå rundt år 60 e.kr

## Kjelder

**Denne artikkelen bygger på «[[:nb:Arkimedes|Arkimedes]]» frå ,  den 30. oktober 2011.* 
*** oppgav desse kjeldene:*

## Bakgrunnsstoff

* Rorres, Chris: Archimedes - Ei samling informasjon om Arkimedes
* O'Connor, John J., og Robertson, Edmund F.: «Archimedes». MacTutor History of Mathematics archive.
* Heath, Thomas: «The works of Archimedes»