Taylorrekkje

**Taylorrekkjer** er i matematikk ein måte å skrive ein funksjon som ein uendeleg sum av ledd rekna ut frå verdiane til dei deriverte av funksjonen i eit enkelt punkt. Rekkja kan reknast som grensa til taylorpolynoma. Taylorrekkjer er kalla opp etter den engelske matematikaren Brook Taylor. Om rekkjene er sentrert ved null, vert rekkjene òg kalla **maclaurinrekkjer** etter den skotske matematikaren Colin Maclaurin.

## Definisjon
Taylorrekkjer av ein reell eller kompleks funksjon *ƒ*(*x*) som er uendeleg differensierbar i omgjevnaden til ein reelt eller komplekst tal *a*, er ei potensrekkje som i ei meir kompakt form kan skrivast:

: \sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}

der *n*! står for fakultetsverdien til *n* og *ƒ*&nbsp;(*n*)(*a*) står for *n*-te deriverte av *ƒ* vurdert i punktet *a*; den nullte deriverte av *ƒ* er definert til å vere *ƒ* sjølv og  og 0! er begge definerte til å vere&nbsp;1.

I spesialtilfellet der  vert rekkna òg kalla ei **maclaurinrekkje**.

## Døme
Maclaurinrekkje for alle polynom er polynomet sjølv.

Maclaurinrekkje for  er den geometriske rekkja.

:1+x+x^2+x^3+\cdots\!

så Taylorrekkjene for *x*−1 ved  er 
:1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+\cdots.\!

Ved å integrere maclaurinrekkja over finn vi maclaurinrekkja for , der log er den naturlege logaritmen.

:x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+\frac{x^4}4+\cdots\!

og den tilsvarande taylorrekkja for log(*x*) ved  er

:(x-1)-\frac{(x-1)^2}2+\frac{(x-1)^3}3-\frac{(x-1)^4}4+\cdots.\!

Taylorrekkja for eksponentialfunksjonen e*x* ved *a*&nbsp;= 0 er

:1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots \quad = \quad 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots.\!

Utvidinga over er gyldig fordi den deriverte av e*x* er lik e*x* og e0 er lik&nbsp;1. Dette gjev att leddet  i teljaren og *n* i nemnaren for kvart ledd i den uendelege summen.

## Maclaurinrekkjer for nokre vanlege funksjonar
Her er ei liste over fleire viktige maclaurinrekkjer. Alle desse utvidingane er gyldige for komplekse argument *x*.

Eksponentialfunksjonen:

:\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\text{ for alle } x\!

Naturleg logaritme:

:\ln(1-x) = -\sum^{\infin}_{n=1} \frac{x^n}n\text{ for }|x|\le 1, \, x\not= 1

:\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n\text{ for }|x|\le 1, \, x\not= -1

Endeleg geometrisk rekkje:

:\frac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum^{m}_{n=0} x^n\quad\mbox{ for } x \not= 1\text{ og } m\in\mathbb{N}_0\!

Uendeleg geometrisk rekkje:

:\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\text{ for }|x| 

Variantar av uendelege geometriske rekkjer:

:\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad\mbox{ for }|x| 

:\frac{x}{(1-x)^2} = \sum^{\infin}_{n=1}n x^n\quad\text{ for }|x| 

Kvadratrot:
:\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n \text{ for }|x|

Binomrekkje (inkluderer kvadratrota for *α* = 1/2 og den uendelege geometriske rekkja for *α* = −1):

:(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ for alle }|x| 

med generaliserte binomkoeffisientar

: {\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.\!

Trigonometriske funksjonar:

:\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ for alle } x\!

:\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\text{ for alle } x\!

:\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots\text{ for }|x| 

::der *B<sub>s</sub>* er Bernoullital.

:\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\text{ for }|x| 

:\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!

:\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!

Hyperbolske funksjonar:

:\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots\text{ for alle } x\!

:\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\text{ for alle } x\!

:\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} = x-\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5-\frac{17}{315}x^7+\cdots \text{ for }|x| 

:\operatorname{arsinh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!

:\operatorname{artanh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \text{ for }|x| 

Lambert sin W-funksjon:

:W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\text{ for }|x| 

Tala *B**k* som dukkar opp i summasjonsutvidingane til tan(*x*) og tanh(*x*) er bernoullital. *E**k* i utvidinga av sec(*x*) er eulertal.

## Kjelder

* *Denne artikkelen bygger på «[[:en:Taylor series|Taylor series]]» frå , den 1. juli 2009.*