Polarkoordinatsystem

Eit **polarkoordinatsystem** er eit koordinatsystem der kvart punkt i eit  plan er avgjort ut ifrå avstanden frå eit gjeve punkt (vanlegvis origo) og vinkel i tilhøve til x-aksen. I eit vanleg kartesisk koordinatsystem blir punkta avgjort ut ifrå avstanden til kvar koordinatakse.

Prinsippet i polarkoordinatar er at ein angjev alle punkt ved hjelp av følgjande informasjon:
* Punktet sin **vinkel** (gradar eller radianar ) i tilhøve til kva ein ville kalle ''x''-aksen i eit rektangulært koordinatsystem, θ.
* Punktet sin **[[avstand]]** frå origo, *r*.

## Konvertering mellom polare og kartesiske koordinatar

Omrekning av polarkoordinatar til kartesiske koordinatar kan gjerast ved:
:x = r \cos \theta \,
:y = r \sin \theta, \,

Medan omrekninga frå kartesiske koordinatar til polarkoordinatar kan gjerast ved: 
:r = \sqrt{y^2 + x^2} \quad (gjeven ved Pythagoras’ læresetning),  og
:\theta =
\begin{cases}
0 & \mbox{viss } x = 0 \mbox{ og } y = 0\\
\arcsin(\frac{y}{r}) & \mbox{viss } x \geq 0 \\
\arcsin(\frac{y}{r}) + \pi & \mbox{viss } x 

Alle desse formlene føreset at referansepunktet for polarkoordinatsystemet er origo. 
Arcsinfunksjonen er den inverse funksjonen til sinusfunksjonen og gjev ei løysing i intervallet [−π/2,+π/2], så formelen for θ vil gje ei løysing i intervallet [−π/2,+π/2].  
Dersom ein vil finne θ i intervallet [0, 2π) kan ein òg bruke:

:\theta =
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{viss } x > 0 \mbox{ og } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + 2\pi & \mbox{viss } x > 0 \mbox{ og } y  0\\
\frac{3\pi}{2} & \mbox{viss } x = 0 \mbox{ og } y 

## Bruk av polarkoordinatar

Ei likning uttrykt i polarkoordinatar er kjent som ei polar likning. Normalt er desse likningane gjevne ved å definere *r* som ein funksjon av θ. Denne definisjonen gjev visse fordeler i bruken av polarkoordinatar i tilhøve til kva ein kan oppnå med rektangulære. Særleg fordelaktig er det å bruke polarkoordinatar der det inngår noko sirkulært. Det enklaste tenkjelege dømet er å framstille ein sirkel. Her er definisjonen av ein sirkel med radius 1. 


\left.
\begin{matrix}
x = r \cdot \cos(\varphi)\\
y = r \cdot \sin(\varphi)
\end{matrix}
\right\} \quad , r = 1 \quad , \quad \varphi \in [0 , 2\pi]


Lengda til det rørlege punktet vert altså sett til konstant å vere lik éin, som altså er avstanden frå origo til periferien. Deretter blir sett vinkelen til å variere mellom dei 0 og 2π eksklusiv (eller 0 og 360° i vinklar), der heile sirkelen er med.

### Arkimedisk spiral

Ein arkimedisk spiral er ein spiral som vart oppdaga av Arkimedes, som kan forklarast med polarkoordinatar. Spiralen har formelen 
:r(\theta) = a+b\theta. \,

Ved å forandre *a* vil spiralen skifte form, medan ***b*** er distansen mellom kurvene, som for ein gjeven spiral alltid er konstant. Den arkimediske spiralen har to kurver, ein for θ&nbsp;>&nbsp;0 og ein for θ&nbsp;r(\theta) = a \cos (k\theta + \phi_0)\,

For ein kvar konstant \phi_0 (inkludert 0). Dersom *k* er eit heiltal vil desse likningane gje kurver der «blomen» har *k* kronblad når *k*  er eit oddetal og 2*k*  kronblad når  *k* er eit partal. Dersom *k* er eit rasjonalt tal, men ikkje eit heiltal vil ein òg få fram ein blome der kronblada overlappar kvarandre. Her må derimot definisjonsintervallet for kurva vere større enn [0,&nbsp;2π) for at «blomen» skal bli komplett. Merk at det er umogeleg å definere ei kurve der ein får 4n +2, der n er eit heiltal, kronblad.
Variabelen *a* gjev lengda på kronblada.

### Kjeglesnitt
Alle kjeglesnitta kan òg uttrykkast ved hjelp av polarkoordinatar gjennom formelen:

: r = { \ell\over {1 + e \cos \theta}}

Der *e* er eksentrisiteten. og \ell er semi latus rectum

Dersom , vil likninga gje ein hyperbel;   gjev ein parabel medan  gjev ein ellipse. Spesialtilfellet  vil gje ein sirkel mad radius  \ell.

## Bruk i tre dimensjonar
Polarkoordinatar kan òg nyttast til bruk i tre dimensjonar. Kulekoordinatar og sylinderkoordinatar inneheld begge polarkoordinatplanet, utvida med ein ekstra akse.

### Sylinderkoordinatar

Sylinderkoordinatsystemet er ei utviding av polarkoordinatar med ein ekstra z-akse, på same måte som det kartesiske koordinatsystemet i tre dimensjonar. Den tredje koordinaten er vanlegvis uttrykt med ein *h* eller ein *z*, som skildrar høgda til det øvre planet i sylinderen. Alle tre koordinatane blir då skrive (*r*, θ, *h*).

Samanhengen mellom dei tre sylinderkoordinatane og dei respektive kartesiske koordinatane blir
: \begin{align}
x &= r \, \cos\theta \\
y &= r \, \sin\theta \\
z &= h.
\end{align} 

### Kulekoordinatar

Kulekoordinatsystemet er eit koordinatsystem basert på polarkoordinatar. Kulekoordinatar skil seg frå polarkoordinatar ved at høgda frå xy-planet blir skildra av ein vinkel φ frå z-aksen, og at radiusen på xy-planet *r* er skildra med *ρ* som er radiusen frå origo til flata til ein lekam på eit vilkårleg punkt. Vinkelen til φ varierer med storleikane 0°-180° eller 0-π radianar. Alle dei tre koordinatane blir då skrive (ρ, θ, φ).

Samanhengen mellom dei tre kulekoordinatane og dei respektive kartesiske koordinatane blir;

: \begin{align}
x &= \rho \, \sin\varphi \, \cos\theta \\
y &= \rho \, \sin\varphi \, \sin\theta \\
z &= \rho \, \cos\varphi.
\end{align} 

## Kjelder

* *Denne artikkelen bygger på «[[:nb:Polarkoordinatsystem|Polarkoordinatsystem]]» frå ,  den 9. januar 2012.*