Rotasjon i vektoranalyse

**Rotasjon** (ofte kalla *curl* på fagspråket) er i vektoranalyse ein vektoroperator som skildrar rotasjonen til eit vektorfelt. I kvart punkt i feltet er rotasjonen representert av ein vektor. Eigenskapane til denne vektoren (lengd og retning) skildrar rotasjonen i dette punktet.

Rotasjonsretninga er rotasjonsaksen, som skildra av høgrehandsregelen, og storleiken til curlen er rotasjonsstorleiken. Om vektorfeltet representerer væskestraum til ei væske i rørsle, så er rotasjonen sirkulasjonstettleiken til væska. Eit vektorfelt med rotasjon lik null vert kalla ikkje-roterande. Rotasjonen er ei form for differensiering for vektorfelt. Den tilsvarande forma av fundamentalteoremet i analyse er stokesteoremet, som knyter overflateintegralet til rotasjonen av eit vektorfelt til eit linjeintegral til vektorfeltet rundt ei avgrensa kurve.

Notasjonar som vert nytta for rotasjonen eller curlen er \scriptstyle\operatorname{rot}\ \mathbf{F} og \scriptstyle\nabla\times\mathbf{F} (sistnemnde er mykje nytta i Europa).

## Definisjon
Rotasjonen til eit vektorfelt **F**, skrive \scriptstyle\nabla \times \mathbf{F}, i eit punkt er definert som projeksjonen av forskjellige linjer gjennom dette punktet. Om \scriptstyle\mathbf{\hat{n}} er ein vilkårleg einingsvektor, så er projeksjonen av rotasjonen av **F** på \scriptstyle\mathbf{\hat{n}} definert som grenseverdien av eit lukka linjeintegral på eit plan ortogonalt til \scriptstyle\mathbf{\hat{n}} når ein i integralet kjem uendeleg nært punktet, delt på arealet som vert omslutta.

Slik sett mappar rotasjonsoperatoren C<sup>1</sup>-funksjonar frå **R**3 til **R**3 til C0-funksjonar frå **R**3 til **R**3. 

Implisitt er rotasjonen eller curlen definert som :

:(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{\hat{n}} \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lim_{A \to 0} \frac{\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}}{A}

Her er \scriptstyle\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} eit linjeintegral langs grensa til området det er snakk om (t.d. \scriptstyle C=\partial \mathcal A), og \scriptstyle\,A  er storleiken til området \scriptstyle\mathcal A. Om \scriptstyle\mathbf{\hat{\nu}} peikar utover i normalplanet, der \scriptstyle\mathbf{\hat{n}}  er einingsvektoren perpendikulær til planet (sjå figur til høgre), så er orienteringa av C vald slik at vektoren \scriptstyle\mathbf{\hat{\omega}}-tangent til C er positivt orientert visst og berre visst \scriptstyle\{\mathbf{\hat{n}},\mathbf{\hat{\nu}},\mathbf{\hat{\omega}}\} dannar ein positiv orientert base for **R**3 (høgrehandsregelen).

### Intuitiv tolking

Tenk at vektorfeltet skildrar fartsfeltet til ein væskestraum (som ein stor tank med vatn eller gass) og ein liten ball som ligg i væska eller gassen (senteret av ballen ligg i ro på eit fast punkt). Om ballen har ei ru overflate vil han rotere når væska strøymer forbi. Rotasjonsaksen (orientert i forhold til høgrehandsregelen) peikar i retninga til curlen av feltet i senteret av ballen, og vinkelsnøggleiken til rotasjonen er halve verdien av curlen i dette punktet.

Sjølv om alle straumlinjene er parallelle, kan ballen starta å rotere om væska renn raskare på eine sida enn den andre.

## Kjelder

**Denne artikkelen bygger på «[[:en:Curl (mathematics)|Curl (mathematics)]]» frå ,  den 30. november 2009.*
*** oppgav desse kjeldene:*
* Arfken, George B. og Hans J. Weber. *Mathematical Methods For Physicists*, Academic Press; 6. utg. (2005). ISBN 978-0120598762.
* 

## Bakgrunnsstoff
* Divergens og rotasjon