Einingsvektor

Ein **einingsvektor** i eit normert vektorrom er ein vektor (ofte ein romleg vektor) som har ei lengd lik 1 (einingslengda). Ein einingsvektor er ofte skrive med små bokstavar og ein cirkumfleks eller «hatt», som dette: {\hat{\imath}} (uttalt «i-hatt»). 

I eit euklidsk rom er prikkproduktet til to einingsvektorar rett og slett cosinus til vinkelen mellom dei. Dette følgjer frå formelen for prikkproduktet, sidan lengdene til begge er lik 1. 

Den **normaliserte vektoren** eller **versoren** \boldsymbol{\hat{u}} til ein vektor som er ulik null \boldsymbol{u} er einingsvektoren som går i same retning som \boldsymbol{u}, t.d.,

:\boldsymbol{\hat{u}} = \frac{\boldsymbol{u}}{\|\boldsymbol{u}\|}.

der \|\boldsymbol{u}\| er norma (eller lengda) til \boldsymbol{u}. Uttrykket **normalisert vektor** vert stundom nytta synonymt med einingsvektoren. 

Alle vektorar i rommet kan skrivast som ein lineær kombinasjon av einingsvektorar. Dei vanlegaste basane ein kartesiske, polare eller sfæriske koordinatar. Kvar nyttar forskjellige einingsvektorar etter symmetrien til kvart koordinatsystem. 

## Kartesiske koordinatar

I det tredimensjonale kartesiske koordinatsystemet går einingsvektorane i same retning som *x*-, *y*- og *z*-aksane, ofte kalla versorane til koordinatsystemet. 

:\mathbf{\hat{\boldsymbol{\imath}}} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf{\hat{\boldsymbol{\jmath}}} = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \,\,  \mathbf{\hat{\boldsymbol{k}}} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}

Desse vert ofte skrive ved å nytte normal vektornotasjon (t.d. ***i***, eller \vec{\imath}) i staden for med cirkumfleks, og i dei aller fleste tilfelle kan ein rekne med at ***i***, ***j*** og ***k***, (eller \vec{\imath}, \vec{\jmath}, og  \vec{k}) er vektorar i eit kartesisk koordinatsystem. Notasjonane (\boldsymbol\hat{x}, \boldsymbol\hat{y}, \boldsymbol\hat{z}), (\boldsymbol\hat{x}_1, \boldsymbol\hat{x}_2, \boldsymbol\hat{x}_3), (\boldsymbol\hat{e}_x, \boldsymbol\hat{e}_y, \boldsymbol\hat{e}_z) eller (\boldsymbol\hat{e}_1, \boldsymbol\hat{e}_2, \boldsymbol\hat{e}_3), med eller utan hatt, vert òg nytta, særleg i samanhengar der ***i***, ***j***, ***k*** kan forvekslast med andre storleikar (til dømes indekssymbol som *i*, *j*, *k*, som vert nytta til å identifisere element i eit sett eller ei følgje. 

## Sylindriske koordinatar

Einingsvektorane i sylindriske koordinatar er \boldsymbol{\hat{s}} (òg skrive \boldsymbol{\hat{r}} eller \boldsymbol{\hat \rho}), avstanden frå symmetriaksen; \boldsymbol{\hat \phi}, vinkelen mål mot klokka frå den positive *x*-aksen; og \boldsymbol{\hat{z}}. Dei er knytte til dei kartesiske basane \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} ved:

:\boldsymbol{\hat{s}} = \cos \phi\boldsymbol{\hat{x}} + \sin \phi\boldsymbol{\hat{y}}

:\boldsymbol{\hat \phi} = -\sin \phi\boldsymbol{\hat{x}} + \cos \phi\boldsymbol{\hat{y}}

:\boldsymbol{\hat{z}}=\boldsymbol{\hat{z}}.

Det er viktig å merke seg at \boldsymbol{\hat{s}} og \boldsymbol{\hat \phi} er funksjonar av \phi, og *ikkje* konstante i retning. Når ein deriverer eller integrerer i sylindriske koordinatar, må ein òg handsama sjølve einingsvektorane. Dei deriverte med omsyn til \phi er:

:\frac{\partial \boldsymbol{\hat{s}}} {\partial \phi} = -\sin \phi\boldsymbol{\hat{x}} + \cos \phi\boldsymbol{\hat{y}} = \boldsymbol{\hat \phi}

:\frac{\partial \boldsymbol{\hat \phi}} {\partial \phi} = -\cos \phi\boldsymbol{\hat{x}} - \sin \phi\boldsymbol{\hat{y}} = -\boldsymbol{\hat{s}}

:\frac{\partial \boldsymbol{\hat{z}}} {\partial \phi} = \mathbf{0}.

## Sfæriske koordinatar

Einingsvektorane i sfæriske koordinatsystem er \boldsymbol{\hat{r}}, avstanden frå origo; \boldsymbol{\hat{\phi}}, vinkelen i *x*-*y*-planet mot klokka frå den positive *x*-aksen, og \boldsymbol{\hat \theta}, vinkelen frå den positive *z*-aksen. For å minimere degenerasjon er polarvinkelen ofte rekna som 0\leq\theta\leq 180^\circ. Forholdet til det kartesiske koordinatsystemet er: 

:\boldsymbol{\hat{r}} = \sin \theta \cos \phi\boldsymbol{\hat{x}}  + \sin \theta \sin \phi\boldsymbol{\hat{y}} + \cos \theta\boldsymbol{\hat{z}}

:\boldsymbol{\hat \theta} = \cos \theta \cos \phi\boldsymbol{\hat{x}} + \cos \theta \sin \phi\boldsymbol{\hat{y}} - \sin \theta\boldsymbol{\hat{z}}

:\boldsymbol{\hat \phi} = - \sin \phi\boldsymbol{\hat{x}} + \cos \phi\boldsymbol{\hat{y}}

Dei sfæriske einingsvektorane er avhengig av både \phi og \theta, og derfor finst det fem mogelege derivative ulik null. Desse er: 

:\frac{\partial \boldsymbol{\hat{r}}} {\partial \phi} = -\sin \theta \sin \phi\boldsymbol{\hat{x}} + \sin \theta \cos \phi\boldsymbol{\hat{y}} = \sin \theta\boldsymbol{\hat \phi}

:\frac{\partial \boldsymbol{\hat{r}}} {\partial \theta} =\cos \theta \cos \phi\boldsymbol{\hat{x}} + \cos \theta \sin \phi\boldsymbol{\hat{y}} - \sin \theta\boldsymbol{\hat{z}}= \boldsymbol{\hat \theta}

:\frac{\partial \boldsymbol{\hat{\theta}}} {\partial \phi} =-\cos \theta \sin \phi\boldsymbol{\hat{x}} + \cos \theta \cos \phi\boldsymbol{\hat{y}} = \cos \theta\boldsymbol{\hat \phi}

:\frac{\partial \boldsymbol{\hat{\theta}}} {\partial \theta} = -\sin \theta \cos \phi\boldsymbol{\hat{x}} - \sin \theta \sin \phi\boldsymbol{\hat{y}} - \cos \theta\boldsymbol{\hat{z}} = -\boldsymbol{\hat{r}}

:\frac{\partial \boldsymbol{\hat{\phi}}} {\partial \phi} = -\cos \phi\boldsymbol{\hat{x}} - \sin \phi\boldsymbol{\hat{y}} = -\cos \theta\boldsymbol{\hat{\theta}} - \sin \theta\boldsymbol{\hat{r}}

## Kjelder


* *Denne artikkelen bygger på «[[:en:Unit vector|Unit vector]]» frå , den 21. juli 2009.* 
** * oppgav desse kjeldene:*
** 
** 
**