Tilstandsromrepresentasjon

**Tilstandsrom** er ein matematisk representasjon av lineære system. Tilstandane til systemet vert representert med tilstandsvariablar som relater inngangs- og utgangs-signala med fyrste ordens differensiallikningar. For å forenkla notasjonen vert tilstandsvariablane og inngangs- og utgang-signala uttrykte med matrise-vektor notasjon. Dette fører til ein kompakt og oversiktleg representasjon, som er uavhengig av antal inn- og utgangar. 

Tilstandsrom-representasjon kan nyttast både for lineære og ulineære system, med vilkårlege starttilstandar. Omgrepet «tilstandsrom» viser til ein vektorrom, der tilstandsvariablane til systemet er representert ved aksane til rommet. 

## Tilstandsvariablar

Når eit fysisk system vert representert på tilstandsvariaberform er antal tilstandsvariablar lik med antal energilagrande element i det fysiske systemet. Når elektriske system vert representeret på tilstandsromform er antal tilstandsvariablar lik med antal energilagrande element (spolar og kondensatorar) i det elektriske systemet. Tilsvarande, når eit mekanisk system er representert på tilstandsromform er antal tilstandsvariablar lik med antal energilagrande massar og fjører. 

Tilstandsvariablane må vera lineært uavhengige (ein tilstadsvariabel kan ikkje vera ein lineær kombinasjon av andre tilstandsvariablar). Det minste antal tilstandsvariablar, *N*, som skal til for å representera eit system er som oftast lik orden til differensiallikninga som definerer systemet, eller til orden til nemnarpolynomet når systemet er representert på transferfunksjon-form, redusert til ein ekte brøk.

## Lineære system
Den generelle representasjonen av lineære system, med p inngangar, q utgangar og n tilstandsvariablar kan skrivast på forma:
: \dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)
: \mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)
der
:x(t) \in \mathbb{R}^n, 
:y(t) \in \mathbb{R}^q, 
:u(t) \in \mathbb{R}^p, 
:\operatorname{dim}[A(\cdot)] = n \times n, 
:\operatorname{dim}[B(\cdot)] = n \times p,
:\operatorname{dim}[C(\cdot)] = q \times n, 
:\operatorname{dim}[D(\cdot)] = q \times p, 
:\dot{\mathbf{x}}(t) := {d\mathbf{x}(t) \over dt}
:x(\cdot) er tilstandsvektoren, 
:u(\cdot) er inngangsvektoren (eller kontrollvektoren),
:y(\cdot) er utgangsvektoren (eller observasjonsvektoren)
:A(\cdot) er systemmatrisa (òg kalla tilstandsoppdateringsmatrisa),
:B(\cdot) er inngangsmatrisa,
:C(\cdot) er utgangsmatrisa og
:D(\cdot) er direktekoplingsmatrisa. 

I praksis er D(\cdot) ofte ei nullmatrise og systemet har ikkje noko direkte kopling frå inngang til utgang. 

I denne generelle representasjonen er alle matrisene tidsvarierande. Tidsvariabelen t kan vera tids-kontinuerleg, t \in \mathbb{R}, eller tids-diskret, t \in \mathbb{Z}. I det siste tilfellet er t=kT, der T er sampelintervalet. 

### Systemtypar
Ulike system kan representerast på tilstandsromform:

I dei to siste tilfella har ein gått ut frå at starttilstanden til systemet er null: \mathbf{x}(0) = 0 .

### Kontrolerbarheit og observerbarheit
Ein tidskontinuerleg tidsinvariant tilstandsrommodell er **kontrollerbar** om og berre om 
:rank\begin{bmatrix}B& AB& ...& A^{n-1}B\end{bmatrix} = n
Ein tidskontinuerleg tidsinvariant tilstandsrommodell er **observerbar** om og berre om 
:rank\begin{bmatrix}C\\ CA\\ ...\\ CA^{n-1}\end{bmatrix} = n

### Transferfunksjon-representasjon
Transferfunksjonen til eit tidskontinuerleg tidsinvariant system 

:\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t) 

kan finnast ved å Laplace-transformasjon

:s\mathbf{X}(s) = A \mathbf{X}(s) + B \mathbf{U}(s)
:(s\mathbf{I} - A)\mathbf{X}(s) = B\mathbf{U}(s)
:\mathbf{X}(s) = (s\mathbf{I} - A)^{-1}B\mathbf{U}(s)

Ein sett så uttrykket for \mathbf{X}(s) inn i utgangslikninga (eller opservasjonslikninga):

:\mathbf{Y}(s) = C\mathbf{X}(s) + D\mathbf{U}(s)
:\mathbf{Y}(s) = C((s\mathbf{I} - A)^{-1}B(s) + D(s))\mathbf{U}(s)

som gjev transferfunksjonen
:\mathbf{G}(s) = \frac{\mathbf{Y}(s)}{\mathbf{U}(s)} = C(s\mathbf{I} - A)^{-1}B + D

Denne MIMO-transferfunksjonen har dimensjon qxp og inneheld qp SISO-transferfunskjonar, mellom dei p inngangane og dei q utgangane.

### Stabilitet
Når ein studerer stabiliteten til eit tidskontinuerleg, tidsinvariant system, er det enklast å representera det som ein faktorisert transferfunksjon:

: \textbf{G}(s) = k \frac{ (s - z_{1})(s - z_{2})(s - z_{3})\cdots}{ (s - p_{1})(s - p_{2})(s - p_{3})(s - p_{4})\cdots}

Nemnaren til tranferfunksjonen G(s) er lik det karakteristiske polynomet til tilstandsmatrisa
: \lambda(s) = |sI - A|.
Røtene til dette polynomet (eigenverdiane) er polane til systemet. Om desse ligg på innsida av einingssirkelen i z-planet er systemet stabilt og om dei ligg *på* einingssirkelen er det marginalt stabilt. Om minst ein pol ligg på utsida av einingssirkelen er systemet ustabilt. Ein alternativ måte for å avgjera om systemet er stabilt er å nytta Lyapunov sitt stabilitetsteorem. 

Nullpunkta til systemet (røtene til tellarpolynomet i transferfunksjonen) avgjer om systemet har minium-, maksimum-, eller blanda-fase, men nullpunkta påverkar ikkje stabiliteten til systemet. 

Om det førekjem pol-nullpunkt-kanselleringar kan eit lineært system vera BIBO stabilt (Bounded Input Bounded Output, avgrensa innputt avgrensa utputt) sjølv om det ikkje er internt stabilt.

## Bibliografi
* Chu, C.K. og Chen, G., *Signal processing and systems theory: Selected topics*, Springer-Verlag, 1992.
* Kailath, T., *Linear systems*, Prentics-Hall, 1980.
* Kuo, B,C,, *Automatic contol systems*, Prentice-Hall, 6. utg., 1991.
* Ogata, K, *Discrete control systems*, Prentice-Hall, 1987.

## Sjå òg
* Lineære system
* Ulineære system
* Dynamiske system