Kvantisering i signalhandsaming

**Kvantisering** innan signalhandsaming er ein av to operasjonar (den andre operasjonen er sampling), som vert utførte for å konvertera eit tidskontinuerleg analogt signal u(t) til ein sekvens av binære tal u(n), n=0,1,2,..., som illustrert i fig. 1. Den binære sekvensen u(n) kan så analyserast og/eller prosesserast på ulike måtar. Signalet u(t) kan respresentera ein vilkårleg kvantitet, som til dømes ei elektrisk spenning eller straum, temperatur, lydtrykk, osb. Boksen merka «Algoritme» i fig. 1 er typisk ei eller anna form for digitalt filter som utfører ei eller annan oppgåve, som til dømes å fjerna støy. Om sekvensen er endra gjennom prosessering ynskjer ein ofte å attskapa det opphavlege tidskontinerlege analoge signalet, som illustrert til høgre i fig. 1. Denne artikkelen handlar om kvantiseringa og nøyaktigheita av denne operasjonen.  

## Kvantisering i tid og amplitude
Det analoge signalet *u*(*t*) er kontinuerleg både i tid og amplitude. At signalet er *tidskontinuerleg* tyder at verdien *u*(*t*) er definert for alle tidsverdiar *t*. At signalet er *analogt* tyder at alle verdiar, innan gitte minimum- og maksimumverdiar, er definerte, slik at signalet har ein kontinerleg varierande amplitude. 

Når eit slikt analogt signal skal konverterast til ein sekvens av binære ord må det kvantiserast både i tid og amplitude. Innan digital signalhandsaming vert kvantisering langs tids-aksen kalla sampling, tasting, eller punktprøving, og kvantisering langs amplitideaksen vert kalla «kvantisering». På det viset held ein kvantisering av tid og amplitude frå kvarandre. Å sampla er med andre ord det same som å ta prøvar av amplituden med faste tidsinterval, kalla sampelintervalet T, kalla sampelintervalet.  Denne operasjonen vert utført av blokka merka *Sampler* i Fig. 1. I staden for å nytta sampelintervalet arbeider ein ofte med  sampelfrekvensen f_s=1/T, som har eining Hz. Sampelfrekvensen kan variera over eit stort område, frå nokre Hz til fleie GHz. Men prinsippet for sampling og kvantisering er det same uavhengig av sampelfrekvensen. Men til høgare sampelfrekvensen er til meir reknekapasitet trengst det for å handsame signalet. 

I prinsippet spelar det ingen rolle kva for operasjon, sampling eller kvantisering, som vert utført fyrst, som illustrert i fig. 2. Men på grunn av at AD-omformaren treng litt tid til å konvertera frå det analoge signalet på inngangen til eit binært ord vert samplinga utført fyrst, slik som i Fig. 1. Uansett kva for fysisk parameter signalet u(t) representerer vert det alltid omforma til ei elektrisk spenning før omforming. AD-omformaren har som oppgåve å omforma spenninga u_s(t) på inngangen til ein binær verdi u(n). Spenninga u_s(t) må haldast stabil gjennom heile sampelintervalet T for at AD-omformaren skal vera i stand til å finna binærverdien u(n) som tilsvarar inngangsspenninga u_s(t). Brytaren i boksen merka «Sampler» i fig. 1 vert difor stengt i eit kort tidsinterval på starten av kvar sampelperiode, slik at spenninga på inngangen av bytaren vert lagra på ein liten kondensator, som illustrert i fig. 3. Brytaren vert så opna att, kondensatoren held spenninga u_s(t) på inngangen av AD-omformaren konstant gjennom resten av sampelintervalet, slik at AD-omformaren får tid til å finna fram til binærverdien som tilsvarar u_s(t). Dette vert kalla ein Sample and Hold-krins, ofte forkorta til S/H-krins. I praksis er brytaren ein transistor, som vert stengt/opna av eit klokkesignal C. 

## Kvantisering av amplituden

Einingar som mikroprosessorar og digitale signalprosessorar arbeider med binære tal, så spenninga u_s(t) må kvantiserast, som illustrert i fig. 4. Denne operasjonen vert utført av ein AD-omformar, som deler inngangsspenninga inn i 2^{B}diskrete nivå, der B er antal bit AD-omformaren er oppbygd med. Dei diskrete nivåa vert så representerte som binære tal, som illustrert i fig. 5. 

Kvantiseringsprosessen i AD-omformaren går difor ut på å identifisera det diskrete spenningsnivået som ligg nærast til den analoge inngangspenninga u_s(t) og representera dette nivået med eit binært tal. Denne operasjonen vert utført ein gong per sampelinterval. Til fleire bit ein AD-omformat har til mindre vert distansen q mellom dei ulike nivåa, så presisjonen til omformaren er proporsjonal til antal bit. Etter som eit B-bits binært ord kan representera 2^B diskrete verdiar vert ofte nøyaktigheita til AD- og DA-omformarar oppgjven i form av antal bit.
Ei CD-plate for musikk til dømes lagrar informasjonen i form av 16-bits binære ord, medan moderne lydkort nyttar 24 bit. Tabell 1 viser nokre døme på antal bit for ulike bruksområde. Når avstanden mellom alle nivåa er den same vert kvantiseringa kalla lineær. Dette er den vanlegaste typen.

## Kvansitering av bipolære signal

Når inngangssignalet er bipolært, som til dømes tale eller musikk, lyt ein nytta bipolar kvantisering, som kan omforma både positive og negative spenningar. Ein nyttar då ein bipolar AD-omformar, som genererer ein sekvens av bipolære bipolære ord, som oftast representert på toerkomplement-form. Ein nyttar ein kvantiseringskarakteristikk som vist i fig. 6 a), slik at utgangsverdien frå AD-omformaren har binærverdien 0 når u(t)=0. Om kvantiseringa fylgjer karakteristikken vist i fig. 6 b) vil ikkje det binære ordet på utgangen ha ein stabil verdi når u(t)=0. 

## Kvantiseringsstøy

Ein B-bit AD-omformar kan representera berre 2^B nivå, så det analoge inngangssignalet kan ikkje representerast eksakt. Feilen i representasjonen er ei form for støy, og vert kalla «kvantiseringsstøy». Fig. 7 illustreret korleis kvantiseringsstøyen \varepsilon(n) oppstår, på grunn av at ein lyt velgja det næraste nivået til inngangsignalet, som vist i fig. 7 a). Den resulterande feilen (kvantiseringsstøyen) er vist i fig. 7 b). Til fleire bit ein AD-omformar har til mindre vert kvantiseringsstøyen. Ein annan måte å illustrera dette på er vist i fig. 8, der den binære utgangssekvensen v_Q(n) består av summen av inngangssekvensen v(n) og kvantiseringsstøyen \varepsilon(n):


  v_Q(n) = v(n) + \varepsilon(n).


Som det går fram av fig. 7 ligg kvansiseringsstøyen i intervalet \left[-q/q,q/2\right], der q er distansen mellom to nivå. 

Som eit mål på kor nøyaktig kvantiseringa er nyttar vi signal-til-støytilhøvet, som er definert som tilhøvet mellom effekten \sigma_{u}^2 til inngangssekvensen u(n) og effekten \sigma_{\varepsilon}^2 til kvantiseringsstøyen \varepsilon(n):


  \mbox{SNR} = \frac{\sigma_{u}^2}{\sigma_{\varepsilon}^2}.


For å finna SNR lyt vi finna uttrykk for \sigma_{u}^2 og \sigma_{\varepsilon}^2. Vi finn \sigma_{\varepsilon}^2 som 


  \sigma_{\varepsilon}^2 = \int_{-\infty}^{\infty} \varepsilon^2 p(\varepsilon)d\varepsilon,


der p(\varepsilon) er sannsynstettleiksfunksjonen for kvantiseringsstøyen \varepsilon(n). Under ein hypotese om at alle verdiar i intervalet \left[-q/2,q/2\right] har same sannsyn kan vi skriva at p(\varepsilon)=1/q. Det kan visast at denne hypotesen held når amplituden til inngangssignalet u(n) er stor nok til at han svingar over fleire kvantiseringsnivå. Etter som vi veit at amplituden til \varepsilon må ligga i intervalet \left[-q/2,q/2\right] held det at vi integrerer frå -q/2 til q/2. Effekten til kvantiseringsstøyen kan difor uttrykkast 


  \sigma_{\varepsilon}^2 = \frac{1}{q} \int_{-q/2}^{q/2} \varepsilon^2 d\varepsilon = \frac{1}{q}\left[\frac{1}{3}\varepsilon^3 \right]_{-q/2}^{q/2} 


  \mbox{ } \mbox{ } \mbox{ } \mbox{ } = \frac{1}{3q}\left[\frac{q^3}{8} + \frac{q^3}{8}\right] = \frac{q^2}{12}. 


Signal-til-støy-tilhøvet blir da


  \mbox{SNR} = \frac{\sigma_u^2}{\sigma_{\varepsilon}^2} = \frac{\sigma_u^2}{q^2/12}. 


Kvantisering av eit bipolært signal med B-bit resulterer i


  q = \frac{2\hat{U}}{2^B},


der \hat{U} is maksverdien til inngangssignalet. Når vi sett dette uttrykket inn i uttrykket for SNR får vi


    \mbox{SNR} = \frac{\sigma_u^2}{\sigma_{\varepsilon}^2} = \frac{\sigma_u^2}{\frac{1}{12}\left(\frac{2\hat{U}}{2^B}\right)^2}.


Det er føremålstenleg å definera ein toppfaktor \Gamma=\hat{U}/\sigma_u, slik at 


    \mbox{SNR} = \frac{\hat{U}^2/\Gamma^2}{\frac{1}{12}\left(\frac{2\hat{U}}{2^B}\right)^2} = \left(  \frac{3}{\Gamma^2}\right)2^{2B}, 


eller uttrykt i dB: 


   \mbox{ } \mbox{SNR} = 2B\cdot 10\log_{10}(2) - 10\log_{10}\left( \frac{\Gamma^2}{3} \right) \mbox{ dB} 



 \mbox{ } \mbox{ } \mbox{ } \mbox{ } \mbox{ } = 6,02B\cdot 10\log_{10} - 10\log_{10}\left( \frac{\Gamma^2}{3} \right) \mbox{ dB}.


The fyrste ledde syner at SNR is proportional med antal bit B, medan det andre leddet syner at SNR avtek når toppfaktoren \Gamma aukar. 

For a sinus-signal er \Gamma=\sqrt{2} , så


  \mbox{SNR} = 6,02 + 1,76\mbox{ dB}.


For eit signal med uniform sannsynsfordeling (alle verdiane i intervalet \left[-\hat{U}, \hat{U}  \right] har same sannsyn) er \Gamma=\sqrt{3} , så


  \mbox{SNR} = 6,02 \mbox{ dB}.


Dei fleste fysiske posessar genererer signal med ei Gaussisk amplitudefordeling (normalfordeling). For denne typen signal kan amplituden av og til vera mykje større enn gjennomsnittsverdien, og det er så godt som umogleg å gardera seg mot at inngangssignalet u(t) av og til overstig maks inngangsverdi til AD-omformaren. Dette resulterer i at toppane vert klipte bort, noko som fører til at det vert generert forvrengningskomponentar. For å redusera risikoen for klipping lyt ein redusera nivået til inngangsspenninga u(t). Men når ein reduserer nivået til u(t) fører dette til at ein ikkje gjer seg nytte av heile dynamikkomdåret til AD-omformaren. I praksis lyt ein difor finna eit kompromiss, slit at ein utnyttar mest mogeleg av dynamikkområdet, samstundes som sannsynet for klipping ikkje vert for stort. Om vi til dømes krev at sannsynet for klipping ikkje overstig 10^{-5} ender vi opp med \Gamma=4,61 , som resulterer i eit signal-til-støy-tilhøve på  


  \mbox{SNR} = 6,02 - 8,5 \mbox{ }\mbox{ dB}.


Denne likninga syner at ei ordlengd på 16 bit resulterer i SNR = 87,8 dB, medan 24 bit resulterer i 136 dB når inngangssignalet har Gaussisk amplitudefordeling. Om ein derimot går at frå at amplitudefordelinga er uniform kjem ein fram til verdiane 96 og 144 dB. Men dei fleste fysiske prosessar har Gaussisk, eller tilnærma Gaussisk amplitudefordeling, så SNR på 87,8 respektivt 136 dB er ofte meir realistiske verdiar. 

## Antialaiasing og antispeilfiltre

Signal-til-støy-tilhøvet har implikasjonar for karakteristikkane til antialiasing- og antispeilfilera, og naudsynt demping D ved f_s/2 kan relaterast til antal bit B. Dempinga D ved f_s/2 lyt vera minst like stor som dynamikkområdet til AD-omformaren. Frå fig. 9 ser vi at \Delta f=f_s/2-f_c, der f_c er bandbreidda til inngangssignalet, så stor demping D, fører til at det trengst antialiasing- og antispeilfilter med stor steilheit. Etter som filtera er analoge er stor steilheit problematisk, både på grunn av kostnaden og av di analoge filtere med stor orden er følsame for komponenttoleransar.   

Ein kan omgå problemet med høg filterorden ved å auka sampelfrekvensen f_s, utan å endra knekkfrekvensen til filtera f_c, slik at breidda på transisjonabandet \Delta f aukar, som illustrert i fig. 10. Ulempa med å auka sampelfrekvensen er at ord-raten frå AD-omformaren aukar tilsvarande, noko som fører til at prosessoren som tek seg av etterfylgjande prosessering av datastraumen lyt hå høgare reknekapasitet, og det trengst meir RAM for å mellomlagring. I motsetning til analoge filtere er det enkelt å laga digitale filere med stor steilheit. Ved å kombinera oversampling med nedsampling av den digitale sekvensen kan dataraten reduserast. Dette vert kalla desimering. Denne teknologien høyrer inn under multirateprosessering og spelar ein viktig funksjon i <math>\Sigma\mbox{-}\Delta</math>-omformarar.

## Referansar