Primitive likningar

Dei **primitive likningane** er ein versjon av Navier-Stokes-likningane som skildrar hydrodynamisk straum i ein sfære når ein antar at den vertikale rørsla er mykje mindre enn den horisontale rørsla, og at væskelaget er tynt i forhold til radiusen av sfæren. Dette er ei god tilnærming på global straum i atmosfæren og blir brukt i dei fleste globale klimamodellar. Ved å linearisere dei primitive likningane kan ein få Laplace sine tidvasslikningar. 

Vanlegvis inneheld dei primitive likningane nesten alltid dei fem variablane (u,v,ω,T,φ) og korleis dei varierer i tid og rom. 

## Definisjonar

* **<math>u</math>** er den sonale farten (aust/vest fartsretning tangentielt til sfæren)
* **<math>v</math>** er den meridionale farten (nord/sør fartsretning tangentielt til sfæren)
* **<math>\omega</math>** er den vertikale farten. 
* **<math>T</math>** er temperatur
* **<math>\phi</math>** er geopotensial
* **<math>f</math>** er Coriolisparameteren som er lik 2 \Omega \sin(\phi), der \Omega er den angulære farten til Jorda (2 \pi/24 radianar/time), og \phi er breiddegraden.
* **<math>R</math>** er gasskonstanten
* **<math>p</math>** er trykk
* **<math>c_p</math>** er spesifikk varme
* **<math>J</math>** er varmetransport per tid per masse
* **<math>\pi</math>** er exnerfunksjonen
* **<math>\theta</math>** er potensiell temperatur

## Dei primitive likningane
Utsjånaden til dei primitive likningane er avhengig av kva slags koordinatsystem dei opptrer i, slik som trykkoordinatar, log trykkoordinatar eller sigmakoordinatar. I tillegg kan fart, temperatur og geopotensial dekomponerast til midla og perturberte komponentar ved å bruke Reynolds dekomponering. 

### Vertikalt trykk, kartesiske koordinatar

På denne forma blir trykket valt som vertikale koordinatar og dei horisontale koordinatane er skriven på kartesisk form (t.d. i eit plan tangentielt til eit punkt på jordoverflata). Denne forma tar ikkje med krumminga av jorda, men er nyttig for å syne enkelte av dei fysiske prosessane likningane skildrar. 

Merk at «D» i likningane nedanfor står for den totalderiverte. 

* Dei geostrofiske rørslelikningane, òg kalla momentumlikningane. 

:\frac{Du}{Dt} - f v = -\frac{\partial \phi}{\partial x}

:\frac{Dv}{Dt} + f u = -\frac{\partial \phi}{\partial y}

* hydrostatisk likning, eit spesielt tilfelle av den vertikale rørslelikninga der ein ikkje har vertikal aksellerasjon i bakgrunnen. 

:0 = -\frac{\partial \phi}{\partial p} - \frac{R T}{p}

* kontinuitetslikninga, som bind saman horisontal divergens/konvergens med vertikal rørsle. 

:\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial \omega}{\partial p} = 0

* Den termodynamiske energilikninga, kjem av termodynamikken si første lov

:\frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} + v \frac{\partial T}{\partial y} + \omega \left( \frac{\partial T}{\partial p} + \frac{R T}{p c_p} \right) = \frac{J}{c_p}

Viss ein òg har med ei likning om bevaring av vassdamp, vil desse seks likningane danne grunnlaget for eit oppsett til numeriske vêrvarslingsmodellar. 

### Primitive likningar ved sigma koordinatsystem og polar stereografisk projeksjon
I dette koordinatsystemet blir dei primitive likningane forenkla til følgjande likningar: 

* Temperatur: ∂T/∂t = u (∂Tx/∂X) + v (∂Ty/∂Y) + w (∂Tz/∂Z)
* Vind i aust-vest retning: ∂u/∂t = ηv - ∂Φ/∂x – Cp θ (∂π/∂x) – z (∂u/∂σ) – [∂(u2 + y) / 2] / ∂x
* Vind i nord-sør retning: ∂v/∂t = -η(u/v) - ∂Φ/∂y – Cp θ (∂π/∂y) – z (∂v/∂σ) – [∂(u2 + y) / 2] / ∂y
* Vatn i form av nedbør: ∂W/∂t = u (∂Wx/∂X) + v (∂Wy/∂Y) + z (∂Wz/∂Z)
* Trykktjukkleik: ∂(∂p/∂σ)/∂t = u [(∂p/∂σ)x /∂X] + v [(∂p/∂σ)y /∂Y] + z [(∂p/∂σ)z /∂Z]

Desse forenklingane gjer det lettare å forstå kva som skjer i ein modell. Temperatur (eller potensiell temperatur) og vatn i form av nedbør flyttar seg berre med vinden frå eit gridpunkt til eit anna gridpunkt. Vinden blir derimot utrekna på ein litt anna måte. Den brukar geopotensialet, spesifikk varme, exnerfunksjonen π og endringa av sigmakoordinatane. 

## Løysing av dei primitive likningane
Den analytiske løysinga av dei primitive likningane inneheld ei sinusforma svinging i tid og lengdegrad som er modulert av ein koeffisient knytt til høgd og breiddegrad. 

: \begin{Bmatrix}u, v, \phi \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}\hat u, \hat v, \hat \phi \end{Bmatrix} e^{i(s \lambda + \sigma t)} 

s er sonalt bølgjetal og \sigma angulær frekvens. Løysinga representerer atmosfæriske bølgjer og tidvatn. 

Denne analytiske løysinga er berre mogeleg når dei primitive likningane er linearisert og forenkla. 
Uheldigvis vil mange av desse forenklingane (som ingen dissipasjon og isoterm atmosfære) ikkje gjelde i den verkelege atmosfæren. På grunn av dette blir ei numerisk løysing, der desse forenklingane ikkje er gjort, brukt i generelle sirkulasjonsmodellar og klimamodellar.

### Vindvektorane u og v
Vanlegvis vil dei to komponentane fart og retning utgjere vind. I ein modell vil vind vere samanset av vinden i nord-sør retning (v) og av vinden i aust-vest retning (u). 

Vind i aust-vest retning er: 
*	u = W (cos d)

Vind i nord-sør retning er:
* v = W (sin d)

der W er farten og d er retning i grader. 

Ein bør merke seg at sjølv om vinden i meteorologi blir målt i grader frå nord (0 er nord, 90 er aust, 180 er sør og 270 er vest), blir dei trigonometriske gradene målt frå aust (0 er aust, 90 er nord, vest er 180 og sør er 270). Derfor må vindretninga omformast til den trigonometriske standarden for å reknast ut på ein datamaskin eller ein kalkulator. Omforminga ein kan bruk er -θ + 90. Visst resultat blir mindre enn null må ein legge til 360, og visst resultat er over 360, så må ein trekke frå 360. Resultatet skal då bli mellom 0 og 360 grader. 

### Temperatur
Temperaturen i denne typen datamodellar er ofte den enklaste parameteren å rekne ut i eit punkt. Ein tar temperaturendringa for kvar kilometer i nord-sør retning og multipliserer med vindfarten i same retning. Då får ein temperaturendringa som kjem av nord-sørkomponenten av vinden. Det same kan ein gjere for aust-vest retninga. Ved å sjå på temperaturendringa som kjem av begge desse vindretningane får ein den totale temperaturendringa per time. Visst ein då tar den opphavlege temperaturen og legg til temperaturendringa får ein eit temperaturvarsel for eit tidspunkt framover i tid. 

### Nedbør og trykk
Ein kan bruke same metode for å rekne ut nedbør og trykk som for temperatur. Det vanskelegaste er derimot å rekne ut vinden mellom tidsintervalla i modellen. 

## Referansar
* Beniston, Martin. *From Turbulence to Climate: Numerical Investigations of the Atmosphere with a Hierarchy of Models.* Berlin: Springer, 1998.
* Firth, Robert. *Mesoscale and Microscale Meteorological Model Grid Construction and Accuracy.* LSMSA, 2006.
* Thompson, Philip. *Numerical Weather Analysis and Prediction.* New York: The Macmillan Company, 1961.
* Pielke, Roger A. *Mesoscale Meteorological Modeling.* Orlando: Academic Press, Inc., 1984.
* U.S. Department of Commerce, National Oceanic and Atmospheric Administration, National Weather Service. *National Weather Service Handbook No. 1 - Facsimile Products.* Washington, DC: Department of Commerce, 1979.

## Sjå òg
* Hydrostatisk likning
* Klimamodell
* Eulerlikningane
* Væskedynamikk
* Generell sirkulasjonsmodell