Variansanalyse

**Variansanalyse** (**ANOVA**, frå det engelske «analysis of variance») er eit fellesomgrep for ei rekkje statistiske metodar for å teste likskap mellom to eller fleire utval, der éin eller fleire faktorar gjer seg gjeldande. Variansanalyse er i dei enkle tilfella eit alternativ til Z/t-testane for å samanlikne gjennomsnitt i populasjonar.

Dei to grunnleggjande formene for variansanalyse skildrast gjerne som 'einvegs' og 'tovegs' variansanalyse. I einvegs tilfellet undersøkingar ein berre éin eigenskap som varierer mellom gruppene, i tovegstilfellet undersøkjer ein òg variasjonar innover i gruppene.

## Variansanalyse med éin faktor
Det enklaste tilfellet for variansanalyse er tilfellet der ein har I grupper med like storleikar J, og ønskjer å samanlikne gjennomsnitta til gruppene. Han nyttar gjerne der ein ønskjer å samanlikne skilnader i respons på forskjellige handsamingar (treatments) i forskjellige grupper.

Hypotesen ein testar er for ei mengd populasjonar I
#  H_0: \ \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_I 
#  H_A: minst to av gruppene er forskjellige.

Føresetnadene for testen er at alle observasjonane er uavhengige normalfordelte tilfeldige variable med lik varians.

### Kvadratavvik og varians
Dei fundamentale storleikane i variansanalysen er kvadratavvik totalt (SST), mellom individ og gruppe (SSE) og mellom gruppe og totalt gjennomsnitt (SSTr). Desse er definert ved 
 SST = \sum_i\sum_j (x_{ij} - \overline{x}_{..})^2 = \sum_i\sum_j x_{ij}^2 - \frac{x_{..}^2}{IJ}
 SSTr = \sum_i\sum_j (\overline{x}_{i.} - \overline{x}_{..})^2 = \frac{\sum_i X_{i.}^2}{J} - \frac{x_{..}^2}{IJ}
 SSE = \sum_i\sum_j (x_{ij} - \overline{x}_{i.})^2 

Samanhengen mellom desse gjev opphav til *den fundamentale ANOVA-identiteten* SST = SSTr + SSE. Videre har vi at
MSTr = \frac{SSTr}{I - 1}
MSE  = \frac{SSE}{I(J-1)}

Dette gjev opphavet til det ein kallar ein ANOVA-tabell:

### Test av nullhypotesen
For å teste nullhypotesen, brukar ein ofte ein f-test. Testobservatoren er gjeven ved
f = \frac{MSTr}{MSE}

som ein reknar har ein F_{I - 1, I(J - 1)}-fordeling. Forkastingsområdet for H_0 er f \geq F_{\alpha, I-1, I(J-1)} for ønskt signifikansnivå \alpha

### Tukeys prosedyre
F-testen er eit godt utgangspunkt for å samanlikne gjennomsnitta i fleire populasjonar, men han gjev ikkje svar på kva av populasjonane som er signifikant ulike kvarandre. Tukeys prosedyre nyttar ei Q-fordeling til å rekne ut kva intervall gjennomsnitta i populasjonen kan ligge i for å vere signifikant like kvarandre. For eit signifikansnivå \alpha definerer vi w som 

w =  Q_{\alpha, I, I(J - 1)}\sqrt{MSE / J}

Dei gjennomsnitta som har større differanse enn w vert rekna å vere signifikant ulike, med signifikansnivå \alpha

### Relasjon til t-testen
For tilfellet med to populasjonar, vil variansanalyse og ein alminneleg t-test gje same resultat for hypotesen H_0: \ \mu_1 = \mu_2 mot H_A: \ \mu_1 \neq \mu_2. T-testen er meir fleksibel, då ein og kan teste om eit gjennomsnitt er større enn, eller mindre enn eit anna. 

For I > 2 kan ein i prinsippet òg utføre t-testar for alle kombinasjonar av grupper, men dette vil gje større sannsyn for type 1-feil.

## Kjelder


**Denne artikkelen bygger på «[[:nb:Variansanalyse|Variansanalyse]]» frå ,  den 12. september 2011.* 
*** oppgav desse kjeldene:*
* Jay L. Devore and Kenneth N. Berk: *Modern Mathematical Statistics with Applications*. Thomson 2007.