Kepler-problemet

**Kepler-problemet** er problemet med å avgjere vinkelen mellom to radiar som avgrensar ein elliptisk sektor med kjent areal. Dette spelar ei særs viktig rolle i teorien for planetrørslene. 

## Matematisk definisjon

Den sentrale krafta **F** som varierer i styrke med omvendte kvadratet av avstanden *r* mellom dei:

:
\mathbf{F} = \frac{k}{r^{2}} \mathbf{\hat{r}}


der *k* er ein konstant og \mathbf{\hat{r}} syner til einingsvektoren langs linja mellom dei.  Krafta kan vere anten tiltrekkjande (*k*0). Den samsvarande skalare potensialet (den potensielle energien til ein ikkje-sentral lekam) er:

:
V(r) = \frac{k}{r}


## Løysinga på Kepler-problemet

Rørslelikninga for radien r til ein partikkel med masse m som flyttar seg i eit sentralt potensial V(r) er gjeven av Lagrange-likningane 

:
m\frac{d^{2}r}{dt^{2}} - mr \omega^{2} = 
m\frac{d^{2}r}{dt^{2}} - \frac{L^{2}}{mr^{3}} = -\frac{dV}{dr}


:\omega \equiv \frac{d\theta}{dt} og vinkelmomentet L = mr^{2}\omega er bevart.  For å illustrere dette er det første leddet på venstesida null for sirkelforma omlaup, og den nytta innoverretta krafta \frac{dV}{dr} er lik sentripetalkrafta mr \omega^{2}, som venta.

Om *L* er ulik null så let definisjonen av vinkelmoment ei endring av den sjølvstendige variabelen frå t til \theta

:
\frac{d}{dt} = \frac{L}{mr^{2}} \frac{d}{d\theta}


gjeven den nye rørslelikninga som er tidsuavhengig

:
\frac{L}{r^{2}} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{L}{mr^{2}} \frac{dr}{d\theta} \right)- \frac{L^{2}}{mr^{3}} = -\frac{dV}{dr}
        
 
Utvidinga av første leddet er

\frac{L}{r^{2}} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{L}{mr^{2}} \frac{dr}{d\theta} \right) = -\frac{mr^{5}} \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2 + \frac{L^{2}}{mr^{4}} \frac{d^{2}r}{d\theta^{2}}
  

Denne likninga vert kvasilineær når ein byter variablane u \equiv \frac{1}{r} og multipliserer begge sider med \frac{mr^{2}}{L^{2}}  

:
\frac{du}{d\theta} = \frac{-1}{r^{2}} \frac{dr}{d\theta} 
 

:
\frac{d^{2}u}{d^{2}\theta^{2}} = \frac{2}{r^{3}} \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^{2} - \frac{1}{r^{2}} \frac{d^{2}r}{d\theta^{2}}  

Etter å byte inn og omarrangere:

:
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = -\frac{m}{L^{2}}  \frac{d}{du} V(1/u)


For ei omvendt kvadratlov som gravitasjons- eller elektrostatisk potensial, kan potensialet skrivast

:
V(\mathbf{r}) = \frac{k}{r} = ku

 
Banen u(\theta) kan ein få frå den generelle likninga

:
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = -\frac{m}{L^{2}}  \frac{d}{du} V(1/u) = -\frac{km}{L^{2}}


der løysinga er konstanten -\frac{km}{L^{2}} pluss ei enkel sinuskurve

:
u \equiv \frac{1}{r} = -\frac{km}{L^{2}} \left[ 1 + e \cos \left( \theta - \theta_{0}\right) \right]


der e (**eksentrisiteten**) og \theta_{0} (**faseforskyvinga**) er konstantar i integrasjonen. 

Dette er den generelle formelen for eit kjeglesnitt som har eit focus i origio;  e=0 svarar til ein sirkel, e svarar til ein ellipse, e=1 svarar til ein parabel, og e>1 svarar til ein hyperbel. Eksentrisiteten e er knytt til den totale energien E (jf. Laplace–Runge–Lenz-vektor)

:
e = \sqrt{1 + \frac{2EL^{2}}{k^{2}m}}


Samanliknar ein desse likningane syner ein at E svarar til ein ellipse (alle løysingar som er tette banar er ellipsar), E=0 varar til ein parabel, og E>0 svarar til ein hyperbel. E=-\frac{k^{2}m}{2L^{2}} for perfekte sirkelforma banar (den sentrale krafta er nøyaktig lik sentripetalkrafta, som avgjer den påkravde vinkelfarten for ein gjeven sirkelradius.

For ei fråstøytande kraft (*k*&nbsp;>&nbsp;0) gjeld berre *e*&nbsp;>&nbsp;1.

## Kjelder

**Denne artikkelen bygger på «[[:en:Kepler problem|Kepler problem]]» frå ,  den 20. juni 2016.* 
*** oppgav desse kjeldene:*