Fourier-transformasjon

**Fourier-transformasjon** (ofte forkorta til **FT**) er ei lineæravbilding som transformerer ein funksjon av reelle variablar med komplekse verdiar til ein annan. I applikasjonar som signalhandsaming transformerer ein typisk frå tidsplanet til frekvensplanet. Dette kan samanliknast med at ein akkord i musikk kan skildrast av notane som vert spelt. Så i praksis så dekomponerer fouriertransformasjonen ein funksjon, eller eit signal, i ein sum av oscillerande funksjonar, som kan uttrykkast som \cos- og \sin-funksjonar, eller som ein sum av eksponentialfunksjonar.

Fourier-transformasjon og generaliseringane er emne i Fourier-analyse. Det er mogeleg å definere Fourier-transformasjonen til ein funksjon av fleire variablar, noko som til dømes er viktig i det fysiske studiet av bølgjer og biletehandsaming. Det er òg mogleg å generalisere Fourier-transformasjonen på diskrete strukturar som endelege grupper.

## Definisjon
Det finst fleire vanlege måtar å definere fouriertransformasjonen av ein integrerbar funksjon. Denne artikkelen nyttar definisjonen: 

:
X(\omega) := \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\ e^{-j\omega t}\,dt, 
&nbsp; for t ∈ [-\infty,\infty],

der j=\sqrt{-1}. Når variabelen x(t) representerer *tid* (med SI-eininga sekund), representerer transformasjonsvariabelen X(\omega) vinkelfrekvens, som kan konverterast til temporal frekvens f=\omega/(2\pi) (i Hz). Etter som Fourier-transformasjonen dekomponerer signalet x(t)  i frekvenskomponentar X(\omega), med ulik frekvens og amplitude, vert ho kalla *analyselikninga*.

## Invers Fourier-transformasjon
Invers transformasjon, som typisk transformerer frå frekvensplanet til tidsplanet, vert definert som
:
x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)\ e^{j\omega t}d\omega,
 &nbsp; for alle reelle *t*.

Faktoren 1/(2\pi) er ein skaleringskonstant, som syter for at energien er den same i tids- og frekvensplanet; sjå Parsevals teorem. Etter som den inverse Fourier-transformasjonen syntiserer eit signalet x(t) i tidsplanet, som ein sum av ulike oscillerande bølgjer (frekvenskomponentar) X(\omega), med ulik frekvens og amplitude, vert ho kalla *symteseselikninga*.

## Samanhengen med Laplace-transformasjonen
Fourier-transformasjonen kan sjåast på som eit spesialtilfelle av den to-sidige Laplace-transformasjonen. Laplace-transformasjonen transformerer eit signal til det komplekse s-planet, der s=\sigma+j\omega er ein kompleks frekvensvariabel. I samband med Fourier-transfroma er realdelen \sigma sett til null. slik at ein ender ein opp med den imaginære delen av frekvensvariabelen j\omega, som ligg på den imaginære aksen i s-planet. At dei ulike Fouirer-komponentane (frekvens-komponentane) ligg på den imaginære aksen betyr at dei er periodiske. Fourier-transformasjonen er med andre ord eit speialtilfelle av Laplace-transformasjonen, som vert nytta når signalet x(t) er periodiskt.

## Eigenskapar

### Linearitet
Fouriertransformasjonen er ei lineæravbilding:

: \mathcal{F}\left[af(t) + bg(t)\right] = a\mathcal{F}[f(t)] + b\mathcal{F}[g(t)] = aF(\omega) + bG(\omega)

### Funksjonsprodukt og folding
For produkt av funksjonar gjeld

: \begin{alignat}{2}
\mathcal{F}[f(t)*g(t)] &= F(\omega)G(\omega)  \\
\mathcal{F}[f(t)g(t)] &= \frac{1}{2\pi} F(\omega)*G(\omega),  \\
\end{alignat}
 
her markerer * ein foldingsoperator (konvolusjon).

### Tids- og frekvensforskyving

: \begin{alignat}{2}
\mathcal{F}[f(t-T)] &= e^{-i\omega T}F(\omega) \\
\mathcal{F}[e^{i\Omega t}f(t)] &= F(\omega-\Omega). \\
\end{alignat}
 

### Derivasjon
For deriverte av funksjonar gjeld

: \begin{alignat}{2}
\mathcal{F}\left[\frac{d^{(n)}f(t)}{dt^{(n)}}\right] &= (i\omega)^{(n)}F(\omega) \\
\mathcal{F}[(-it)^n f(t)] &= \frac{d^{(n)}F(\omega)}{d\omega^{(n)}}. \\
\end{alignat}
 

## Referansar