Transferfunksjon

**Transferfunksjon**,  **systemfunksjonen** eller **overføringsfunksjon** definerer eit kontinuerleg lineært system i s-planet, eller eit diskret lineært system z-planet. Både s- og z-planet er synonyme med frekvensplanet, der frekvensen generelt er kompleks, slik at han òg modellerer demping. Føremonen med å arbeida med transferfunksjonar og signal i s-planet eller z-planet er at mange matematiske operasjonar er enklare i s-planet og z-planet enn i tidsplanet. Transferfunksjonar spelar ei viktig rolle i samband med signalhandsaming, reguleringsteknikk, telekommunikasjon, elektroakustikk, elektronikk, osb.

## Kontinuerleg system

Transferfunksjonen til eit tids-kontinuerleg SISO-system er generelt ein rasjonal funksjon av forma 
:
H(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{ \mathcal L \{ y(t) \}}{\mathcal L\{ u(t) \} }
 = \frac{B(s)}{A(s)} 
 
:
 = \frac{b_0+b_1s^{-1}+b_2s^{-2}++b_3s^{-3}+\cdots + b_Ms^{-M}}{1+a_1s^{-1}+a_2s^{-2}+a_3s^{-3}+ \cdots +a_Ns^{-N}} 
 
:
= \frac{\sum_{i=0}^M b_is^{-i}}{1 + \sum_{j=1}^N a_js^{-j}},
 
der Y(s)=\mathcal L \{ y(t) \} er Laplace-transforma til utgangssignalet y(t) og U(s)=\mathcal L \{ u(t) \} er Laplace-transforma til inngangssignalet u(t). Når transferfunksjonen er kjend kan vi finna utgangssignalet som produktet av transferfunksjonen og Laplace-transforma av inngangssignalet:
:
Y(s) = H(s) U(s).


I tidsplanet finn ein utgangssignalet som foldinga av impulsresponsen  h(t) og inngangssignalet u(t):
:
y(t) = h(t)*u(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t)u(t-\tau)d\tau.


Multiplikasjon er ein enklare operasjon enn folding, så det er som oftast lettare å arbeida med transferfunksjonar enn med impulsresponsar og signal i tidsplanet.

### Polar og nullpunkt
Om vi faktoriserer tellar- og nevnar-polynomena B(s) respektivt A(s) får vi H(s)
på forma:
:
 H(s)=b_{0}\frac{(s-z_{1})(s-z_{2})\cdots(s-z_{M})}{(s-p_{1})(s-p_{2})\cdots(s-p_{N})}s^{N-M} 
 = b_{0}\frac{\prod_{i=1}^{M}(s-z_{i})}{\prod_{i=1}^{N}(s-p_{i})}s^{N-M}.

Når s er lik en av røtene til tellarpolynomet (s=z_{i}) ser vi at
H(s)=0. Dei M komplekse verdiene z_{i}, som resulterer i at H(s) blir lik null, blir difor kalla «nullpunkta» til transferfunksjonen H(s). Tilsvarende ser vi at når s er lik en av røtene til nevnerpolynomet (når s=p_{i}) går verdien til H(s) mot \infty. Røtene til nevnarpolynomet blir kalla «polane» til transferfunksjonen. Transferfunksjonen H(s) er fullstendig bestemt av polene og nullpunktene, saman med konstanten b_0.  

## Diskret system
Transferfunksjonen til eit tids-diskret LTI-system SISO-system har forma
:
H(z) = \frac{Y(z)}{U(z)} = \frac{ \mathcal Z \{ y(n) \}}{\mathcal Z\{ u(n) \} }
= \frac{B(z)}{A(z)},
 
:
 = \frac{b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}++b_3z^{-3}+\cdots + b_Mz^{-M}}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}+a_3z^{-3}+ \cdots +a_Nz^{-N}} 
 
:
 = \frac{\sum_{i=0}^M b_iz^{-i}}{1 + \sum_{j=1}^N a_jz^{-j}},
 
der Y(z)=\mathcal Z \{ y(n) \} er Z-transformasjonen til utgangssekvensen y(n) og U(z)=\mathcal Z \{ u(n) \} er Z-transformasjonen til inngangssekvensen u(n) (Med sekvens meiner ein sampla signal). Når transferfunksjonen er kjend kan vi finna utgangssignalet som produktet av transferfunksjonen og Z-transforma av inngangssekvensen:
:
Y(z) = H(z) U(z).

I tidsplanet finn ein utgangssekvensen som foldinga av impulsresponsen  h(n) og inngangssignalet u(n):
:
y(n) = h(n)*u(n) = \Sigma_{m=-\infty}^{\infty} h(m)u(n-m).

Føremonen med å arbeida i z-planet er den same som for s-planet, at matematiske operasjonar er enklare enn i tidsplanet.

### Polar og nullpunkt
Om vi faktoriserer tellar- og nevnar-polynomena B(z) respektivt A(z) får vi H(z)
på forma:
:
 H(z)=b_{0}\frac{(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots(z-z_{M})}{(z-p_{1})(z-p_{2})\cdots(z-p_{N})}z^{N-M} 
 = b_{0}\frac{\prod_{i=1}^{M}(z-z_{i})}{\prod_{i=1}^{N}(z-p_{i})}z^{N-M}.

Når z er lik en av røtene til tellarpolynomet (z=z_{i}) ser vi at
H(z)=0. Dei M komplekse verdiene z_{i}, som resulterer i at H(z) blir lik null, blir difor kalla «nullpunkta» til transferfunksjonen H(z). Tilsvarende ser vi at når z er lik en av røtene til nevnerpolynomet (når z=p_{i}) går verdien til H(z) mot \infty. Røtene til nevnarpolynomet blir kalla «polane» til transferfunksjonen. Transferfunksjonen H(z) er fullstendig bestemt av polene og nullpunktene, saman med konstanten b_{0}.  
 
## Referansar

## Sjå òg
* Impulsrespons
* s-planet
* z-planet
* Laplace-transformasjon
* Z-transformasjon