Ferromagnetisme

**Ferromagnetisme** er ein eigenskap med nokre materialar som gjer at dei har mykje større permeabilitet enn dei fleste andre materialar og dei kan verta magnetiserte ved å plassera dei i eit magnetfelt. Magnetiseringa er kraftig ulineær og demagnetiseringa fylgjer ikkje same bane som magnetiseringa. Magnetiseringa-demagnetiseringa er difor hysterisk, noko som betyr at dei i større eller mindre gard vert permanent magnetiserte. Ferromagnetiske materialar med ei brei hysteresekurve held betre på magnetiseringa enn dei med ei smal kurve. Permanentmagnetar vert difor laga av denne typen materiale.  

Ferromagnetiske materialar spelar ein viktig rolle i produkt som elektriske generatorar og motorar, spolar og transformatorar, aktuatorar, sensorar etc.

## Fysisk opphav

Ferromagnetiske er etter måten komplisert og kan ikkje forklarast utan å nytta kvantemekanikk. Opphavet til ferromagnetisme er magnetisk moment, på grunn av elektronspinn, og i mindre grad på grunn av det orbitalt moment (magnetiske momentet med opphav i rørsla til elektronet rundt atomkjernen). I fylgje Feynman et al. utgjer ikkje bidraget frå dei orbitale magnetiske momenta meir enn 5–10 % av det totale magnetiske momentet. Det magnetiske momentet på grunn av spinn er polarisert i ein av to kvantetilstandar, identifisert med eit magnetisk-spinn-kvantetal m_s. Elektronar er fermionar, så m_s er anten 1/2 eller -1/2. Kvantetalet m_s=1/2 blir òg kalla *opp-spinn*  (\uparrow) og -1/2 blir kalla *ned-spinn* (\downarrow), men dette har ikkje noko med orientering i rommet å gjera. Tabell 1 gjev eit samandrag av dei ulike kvantetilstandane (n, \ell, m_{\ell} og m_s). Kvantetalet n viser til eit skal, det orbitale (asimut) kvantetalet \ell viser til eit underskal, og det magnetiske kvantetalet m_{\ell} viser til eit bestemt orbital i eit underskal.

**[[Paulis eksklusjonsprinsipp]]** stipulerer at to eller fleire fermionar ikkje kan ha same kvantetilstand. Kvar orbital kan difor ha berre to elektron, med motsett spinn. Så for kvar sett av kvantetal n,\ell,m_{\ell} er det to moglege kvantetilstandar, ein for m_s=1/2 og ein for m_s=-1/2.

Måten elektrona plasserer seg på rundt kjernen vert bestemt av **[[aufbauprinsippet]]** og **[[Hunds regel]]**. Aufbauprinsippet spesifiserer rekkjefylgda underskala vert fylte med elektronar, medan Hunds regel spesifiserer i kva rekkjefylgda dei ulike orbitalane i underskala vert fylte. I fylgje aufbauprinsippet vil elektronane fyrst fylla underskala som har lågast energitilstand, for så gradvis fylla underskal med høgare energitilstand. Hunds regel stipulerer at obitalane fyrst vert fylte med enkeltelektronar, og at dei fyrst vert para med elektron med motsett spinn når det ikkje er plass til fleire enkeltelektron. Hunds regel skildrar òg korleis elektrona vert plasserte slik at det totale spin-momentet vert maksimalisert. Grunnen til dette er det minimaliserer energtilstanden i atomet. Fig. 2 syner orbitaldiagrammet for jarn, der vi ser at elektrona i 4s-skalet har eit lågare energinivå enn elektrona i 3d-skalet. 

I diamagnetiske materialar inngår alle elektrona i pardanningar, slik at halvparten av elektrona har opp-spinn og den andre halvparten har ned-spinn, så dei magnetiske momenta kansellerer kvarandre. I diamagnetiske og ferromagnetiske materialar inngår ikkje alle elektrona i pardanningar, så atomane har eit netto magnetisk moment. I diamagnetiske materialar fører termisk eksitasjon til at dei magnetiske momenta er orienterte hulter til bulter, så materialet er ikkje magnetisk. Om eit diamagnetisk materiale vert plassert i eit magnetfelt vil ein liten fraksjon av dei magnetiske momenta orientera seg parallelt med feltet, men når feltet forsvinn vil termisk eksitasjon atter føra til at momenta peikar i tilfeldige retningar. Paramagnetiske materialar vert difor ikkje permanent magnetiserte.

Ferromagnetisme har vist seg å vera vanskeleg å forklara, men den vanlege aksepterte forklaringa er at i ferromagnetiske materialar samverkar elektrona i naboatoma med kvarandre, slik at bølgefunksjonane deira overlappar og dannar eit kopla system med lågare energi enn om dei ikkje var kopla. Når orbitalane med upara elektronar i valensskala overlapper kvarandre er fordelinga av dei elektriske ladningane i rommet lenger frå kvarandre når elektronane har parallelle spinn enn når dei har motsette spinn. Dette fører til at den elektrostatiske energien til elektronar med parallelle spin er mindre enn når spinna er antiparallelle. Ein parallell spinntilstand er difor meir stabil enn ein antiparallell spinntilstand. Energidifferansen vert kalla utvekslingsenergien.

### Bethe-Slater-kurva

Å finna eit uttrykk for kreftene mellom fleire atomkjernar og elektron er komplisert, men Bethe og Slater har løyst Schrödingerlikninga for to atomar. Potensialenergien i Schrödingerlikninga vil då inkludera utvekslingskreftene mellom dei to atomkjernane a og b, mellom dei to elektron 1 og 2, og mellom kjernane og naboelektrona. Dette fører til eit sokalla utvekslingsintegral,

-\frac{1}{r_{a2}} - \frac{1}{r_{b1}} + \frac{1}{r_{12}} \right]d\tau,|}}

der \Psi_a(1) og \Psi_b(2) er bølgjefunksjonane til dei to elektrona, r_{ab} er avstanden mellom atoma, r_{a2} og r_{b1} er avstanden mellom atomkjernene og dei to naboelektrona og r_{12} er avstanden mellom dei to elektrona. Bethe og Slater kom fram til at materialar med positiv I_{ex} er ferromagnetiske. For at I_{ex} skal vera positiv må avstanden r_{12} mellom elektrona vera så liten at bølgjefunksjonane deira overlappar, som er det same som at radiusen r_{d} til 3d-orbitalen er liten. Vi ser vidare at I_{ex} er positiv når avstandane r_{a2} og r_{b1} mellom kjernen og dei to naboelektrona er stor. Fig. 4 syner Bethe-Slather-kurva, der elementa som ligg over den horisontale a/r=r_{ab}/r_d-aksen er ferromagnetiske og dei som ligg under er antiferromagnetiske. Vi ser at metalla jarn (\alpha-Fe), kobolt (Co), nikkel (Ni) og den sjeldne jordarten gadolinium (Gd) ligg over a/r-aksen. 
Ved romtemperatur er det berre dei fire grunnstoffa kobolt, jarn, nikkel (i d-blokka i periodesystemet) og det sjeldne jordmetallet gadolinium (i f-blokka) som er ferromagnetiske (gadolinium under 20 °C). 

Fig. 2 syner korleis elektrona er plasserte i jarn. Vi ser at det er fire orbital i 3d-skalet som ikkje inngår i pardanningar, så kvart atom har eit netto magnetisk moment på fire Bohrmagnetonar, der ein Bohrmagneton er

der e er elementærladning, \hbar=h/2\pi er Dirackonstanten, h er Planckkonstanten og m_e er massen til elektronet. Den ferromagnetisme eigenskapen er ikkje bestemt berre av den kjemiske samansetninga av materialet, men krystallstrukturen spelar òg ein viktig rolle. 

I tillegg til desse er det fleire materialar som er ferromagnetiske ved låge temperaturar, og mange legeringar er ferromagnetiske.
Det finns ferromagnetiske legeringar (kalla Heusler-legeringar) der dei einskilde komponentane ikkje i seg sjølve er ferromagnetiske. På den andre sida finst det legeringar, som til dømes rustfritt austenittisk stål, som ikkje er ferromagnetiske, sjølv om dei er sett saman av så godt som berre ferromagnetiske metall. 

### Magnetiske domene

I ferromagnetiske materialar vil spinnet til elektrona i ufylte skal spontant inretta seg parallellt til kvarandre og danna magnetiske domene  av storleik 1–100 <math>\mu\mbox{m}</math> (atomar har storleiksorden 100 pm). Domena er magnetiserte til mettingsgrensa, men retninga til dei magnetiske momenta i dei ulike domena er forskjellige, slik at dei kansellerer kvarandre, så materialet er i utgangspunktet ikkje magnetisert. 

Grunnen til at eit umagnetisert ferromagnetisk materiale består av mange små domene et at det minimaliserer den interne enrgien. Om alle elektronspinna i eit krystall var orienterte i same retning ville det oppstå nord- og sørpolar på motsette endar av krystallet, som ville skapa kraftige eksterne magnetfelt, som illustrert i fig. 6 a). Om krystallet er delt i to domene som har dei magnetiske momenta i motsett retning til kvarandre, som illustrert i fig. 6 b), vil dei på grunn av Paulis eksklusjonsprinsipp ha motsett spinn i høve til kvarandre. Nord- og sørpolane kjem då tettare på kvarandre og dei eksterne magnetfelta får mindre utstrekning og inneheld mindre energi. Om det dannar seg fleire domene som leiar magnetfeltet mellom dei to domena vil energien i magnetfelta verta minimalisert, som illustrert i fig. 6 c). Domena dannar seg spontant når temperaturen er under Curietemperaturen.

Når eit domene vert splitta i to oppstår det ein sokalla domenevegg mellom dei, der magnetiske moment som er orienterte i ulike retningar ligg innåt kvarandre. Utvekslingsinteraksjonen freistar å justere dei magnetiske momenta i nærleiken slik at dei er orienterte i same retning. Men å reorientera dei magnetiske momenta krev energi. Å oppretta ein ny domenevegg krev difor ekstra energi, kalla *domeneveggenergi*, som er proporsjonal med arealet til veggen. Talet på domene er difor ein balanse mellom reduksjonen av energi når domena vert splitta og energien som skal til for å oppretta nye domeneveggar. 

### Magnetisering

Når eit ferromagnetisk materiale vert plasser i eit magnetfelt vil domena verta reorienterte, som illustrert i fig. 7.
I vakuum er den magnetiske felttettleiken (med eining T)

  
der \mu_0=4\pi \cdot 10^{-7} H/m er permeabiliteten i vacuum og H (med eining A/m) er den magnetiske feltstyrken. Men når eit ferromagnetisk materiale vert plassert i eit magnetfelt vil dei magnetiske domena auka i storleik og orienterer seg i same retning. Dei forsterkar då det eksterne magnetfeltet med ein faktor \mu_0 M, slik at den magnetiske felttettleiken blir

der 

vert kalla magnetiseringa. I () er V volumet til materialet og \vec m_i er dei magnetiske momenta. Magnetiseringa er med andre ord lik tilhøvet mellom magnetisk moment og volum. Etter som dei magnetiske momenta til atomane generelt er orienterte i ulike retningar er \vec m_ivektorar. Magnetiseringa \vec M er difor òg ein vektorstorleik, men ofte er ein berre interessert i magnetiseringa i ei bestemt retning, og då skrive ein \vec M som ein skalar M i ().

I nokre ferromagnetiske materialar, som blautt jarn, er magnetiseringa ustabil, slik at ho delvis forsvinn når det eksterne magnetfeltet vert fjerna. Denne eigenskapen gjer ferromagnetiske materialar attraktive som kjerne i spolar og transformatorar, der retninga på magnetfeltet snur fleire gong per millisekund, eller til og med per nanosekund i høgfrekvenskrinsar. Men M er kraftig ulineær i ferromagnetiske materialar og magnetiseringa/demagnetiseringa er hysterisk. Ferromagnetiske materialar som ikkje held på magnetismen har ei smal hysteresekurve.

Ferromagnetiske materialar med ei brei hysteresekurve vert permanent magnetiserte, og vert då kalla permanentmagnetar. Slike materialar inkluderer jarn, kobolt, nikkel, neodyn og fleire legeringar, som alnico (51% Fe, 8% Al, 14% Ni, 24% Co, 3% Cu). Det som held fast dei magnetiske domena i same retning er at domena er irregulære og det krevst tilførsel av energi for å skaka dei ut av plassane sine i materialet. Den naudsynte energien kan tilførast i form av eit eksternt magnetfelt, ved terminsk eksitasjon (oppvarming), eller ved ein mekanisk impuls, til dømes eit slag med ein hammar eller i nokre tilfelle ved at magneten vert sleppt ned på golvet.  Temperaturen der magnetiseringa forsvinn på grunn av termisk eksitasjon vert kalla Curietemperaturenen. Tabell 2 syner Curietemperaturen for nokre materialar.

## Magnetiseringskurva

Den relative permeabiliteten \mu_r er kraftig ulineær, som illustrert i fig. 8 og 9. Tilhøvet mellomfelttettleiken B og feltstyrken H er difor òg kraftig ulineært, så det er vanleg å framstilla samanhengen i form av magnetiseringskurver, som vist i fig. 8 og 9. Ferromagnetiske materialar kan ikkje magnetiserast meir enn til ein materialspesifikk maksimalverdi. Når magnetiseringa når dette nivået går materialet i metting, noko ein kallar *mettingsmagnetisering*. Stigningskoeffisienten 

til magnetiseringskurva flatar ut når magnetiseringa når mettingsgrensa, som vist i fig. 8 og 9, og \mu fell av som vist i fig. 8. Etter som  magnetiseringa M ikkje aukar når materialet er metta er mettingskurva til magnetiseringa M_{sat} heilt flat, som illustrert til venstre i fig. 10. Felttettleiken B, derimot aukar proporsjonalt med \mu_0 H, som illustrert til høgre i fig. 10; B_{sat} er summen av \mu_o M_{sat} og B_0=\mu_0 H.

Når materialet ikkje er i metting har \mu_r har ein verdi på fleire tusen (\mu = \mu_o \mu_r). Men når det er i metting er \mu_r\approx 1, så auken i B-feltet er proporsjonalt med auken i H-feltet. Dette kan ofte vera vanskeleg å sjå ut frå publiserte magnetiseringskurver at B-feltet held fram med å auka etter at materialet har gått i metting, men i fig. 9 er det tydeleg. I praksis er ein som oftast berre interessert i kurva før materialet går i metting, så produsentane syner ikkje mettingsområdet. Det er òg tydeleg frå fig. 9 at ulike materialar har svært forskjellige magnetiseringskurver. Mettingsnivået for jarn er 2,2 T, for kobolt 1,8 T og fro nikkel 0,6 T.

## Hysterese

Om eit ferromagnetisk materiale er heilt avmagnifisert når feltstyrken H tek til å auka frå null er tangenten til permabiliteten \mu=\mu_i liten, så akkurat i starten auka felttettleiken B sakte, men krummar så oppover og kurva vert snøgt steil, som illustrert i fig. 11. B-kurva held fram med å stiga til materialet byrjar å gå i metting. Kurva flater då ut, men ho held fram med å stiga sakte når H-feltet aukar, som illustrert i fig. 10.

Når H-feltet avtek fylgjer ikkje magnetiseringskuva same bane som når det auka, men kurva ligg noko høgare. Når H-feltet er nede på null er verdien til felttettleiken B_r. Denne restmagnetiseringa vert kalla remanens. Den fysiske forklaringa er at mange av dei magnetiske domena framleis er orienterte slik at dei magnetiske momenta forsterkar magnetfeltet. Materialet har med andre ord vorte til ein permanentmagnet, men med eit B-felt som ligg under mettingsnivået B_s. 

B-feltet er ikkje nede på null før H-feltet har nådd den negative verdien -H_c, som vert kalla den koersive feltstyrken. Når H-feltet når den negative verdien -B_s går materialet på nytt i metting, men det er no magnetisert med motsett polaritet. Når H-feltet igjen aukar (talverdien minkar) og når null har verdien til B-feltet nådd remanensverdien -B_r. B-feltet når ikkje opp til null før H-feltet har nådd den koersive verdien H_c. Når H-feltet aukar fylgjer det ikkje same bane som då materialet var heilt avmagnetisert. Dette forløpet til magnetiseringskurva, som vert kalla hysterese, syner at magnetiseringa er avhengig av den tidlegare magnetiseringshistoria til materialet. Vi er difor ikkje i stand til å skildra  magnetiseringskurva i form av ein matematisk funksjon. I praksis er materialet aldrig heilt avmagnetisert, så at kurva startar i origo er berre teoretisk. I fig. 11 er det òg vist ei stripla linje merka \mu_{max}, som berører magnetiseringskurva der \mu=\mu_{max}, noko ein òg kan sjå i fig. 8.

### Hysteresetap

Til skilnad frå eit domene, som er ein del av eit einskild krystall, så er jarn sett saman av mange ulike krystall, med aksane i ulike retningar, som vist i fig. 12. Kvar av desse krystalla kan innehalda fleire domene. Når eit slikt materiale vert plassert i eit svakt magnetfelt vil domeneveggane ta til å flytta seg og domene som frå før er magnetiserte i same retning som det eksterne magnetfeltet vil auka i storleik. Om magnetfeltet vert fjerna vil denne omstruktureringa av domena verta reversert. Dette er området med svak magnetisering i nærleiken av origo i fig. 11 (\mu=\mu_i). 

Krystallstrukturen er ikkje perfekt, og uregelmessigheier i strukturen og forureingar skapar indre spenningar, som fører til at domeneveggane i staden for å gli lett hektar seg fast i kvarandre når magnetfeltet aukar. Når feltet aukar litt til vil dei plutseleg sleppa taket, slik at domeneveggane kan flytta seg. Dei flyttar seg difor ikkje jamt og fint, men i rykk og napp, som illustrert i fig. 13. Dette fenomenet vert kalla barkhauseneffekten. Når domeneveggane plutseleg flyttar seg vil òg magnetfelta til domena endra seg plutseleg, noko som genererer virvekstraumar i krystalla. Dette fører til ohmske tap, slik at litt av energien i magnetfeltet går over til termisk energi i krystalla, så temperaturen aukar. Når domeneveggane flyttar seg fører magnetostriksjon til at lengda og volumet av domena endrar seg litt. Etter som endringane skjer plutseleg vert det generert lydpulsar som forplantar seg gjennom materialet. Det er desse som er opphavet til den karakteristiske brummelyden frå transformatorar: . Når magnetfeltet avtek skjer den same prosessen, men domena endrar seg ikkje på nøyaktig same måte. Dette skjer der magnetiseringskuva stig snøgt. Når alle domena er magnetiserte er det framleis nokre krystall som ikkje snur slik at dei ikkje vert magnetiserte før feltet nærmar seg B_s. Dette skjer i overgangen mellom området med bratt stigninga av B-kurva og mettingsområdet der ho berre stig proporsjonalt med \mu_0 H. 
Noko energi går tapt på dette viset og er opphavet til hysteresen i magnetiseringskurva. Til breiare kurva er, fig. 14, til større vert energitapet for kvart omløp av magnetiseringskurva. I spolar og transformatorar nyttar ein difor blautt jarn, som har ei smal hysteresekurve.

## Kjernar for høgfrekvente signal
Etter som energien som går tapt er den same for kvart omløp av hysteresekurva er effekttapet proporsjonalt med frekvensen. Høgfrekvente signal fører difor til større tap enn når frekvensen er låg. Transformatorane i elnettet arbeider med ein frekvens på 50 Hz, men straumen har alltid ein del overharmoniske komponentar. 

I høgfrekvente spolar og transformatorar vert det difor nytta ferrittkjerner, som er ferrimagnetiske. Desse er dårlege leiarar av elektrisk straum, så virvelstraumstapet er lågt.
Transformatorane i svitsja spenningsregulatorar arbeider med tilnærma firkantkurver med frekvensar på fleire hundre kHz, som inneheld langt meir overharmoniske komponentar i MHz-området.

## Referansar




## Sjå òg
* Ferrimagnetisme
* Ferrofluid