Aljabar

**Aljabar** andre (dari bahasa Arab الجبر *"al-jabr"* ma na la fo'eluaha ia lamane, fangowuloi mbagia si no tekiko *("pengumpulan bagian yang rusak")*) ya'ia da'ö sambua mbagia wamahaö moroi ba Matematika, sifao ba *teori bilangan*, Geometri ba tola gö ba wo *Analisis matematis*. No si no oi la'ila niha, aljabar ya'ia da'ö fangi'ila ba ngawalö dandra-dandra *(simbol-simbol)* matematika ba goi-goi hewisa wo fangamöi tandra-tandra ni'oguna'ö ba wangerai andrö; aljabar no sambua wamahaö samarahu arakhagö fefu mbagia ba matematika. Baero da'ö, aljabar andre, no sambua dane-dane ba wangalui lala hewisa wo fosinöndra ngawalö ni'erai ba matetika simane *abstraksi grup matematika*, *Gelanggang matematika* ba *Medan matematika*. Idugu oya mbagia dane-dane moroi ba aljabar latötöi faoma *aljabar elementer*, na aljabar *abstrak* latötöi faoma *aljabar abstrak* mazui *aljabar modern*. Aljabar elementer sito'ölönia labali'ö soguna sibai ba wamahaö matematika, *ilmu pengetahuan*, mazui *teknik*, faoma *aplikasi* sifakhai ba *kesehatan* ba simanö göi ba wamahaö *ekonomi*. Aljabar abstrak sambua duho ba matematika salaŵa ma'ifu ma *tingkat lanjut*, ni'oguna'ö ya'ira si no *profesional* ba ere matematika.

Aljabar elementer faehu ma'ifu faoma Aritmetika ba wangoguna'ö *abstraksi*, simane mangoguna'ö hurufo ba wo salahini numero-numero si lö mu'ilana mazui tetehege tola ihalö oya zinöndra *(nilai)*. Simane duma-duma, ba x + 2 = 5 hurufo x lö mu'ila, ba hiza huku *inversi* tola la'oguna'ö ba wangalui sinöndra ma *nilai*: x=3. Bakha ba *(Ekivalensi massa-energi)*, hurufo E faoma m da'ö ni'oguna'ö tobali *variabel*, ba hurufo c sitobali *Konstanta (matematika)*, *kecepatan cahaya* bakha ba *vakum*. Aljabar ibe'e lala *metode* ba wangalui wamagölösi ba hewisa ba wo faehagö *rumus* saoha (khöra ya'ira si no to'ölö mangoguna'ö *konsep* da'a) moroi na i'oguna'ö *metode konvensional*, simane lasura fefu zinöndra faoma hurufo ma ngawua wehede.

Ngawua wehede *aljabar* andre, oya sibai la'oguna'ö ba ngawalö lala sakhökhö. Ngawalö gangolifa ba dandrösa matematika ba aljabar abstrak da'ö nifotöi "aljabar", fehede da'a la'oguna'ö, simane ba wanötöi aljabar linear faoma topologi aljabar.

Samösa gere matematika si no mamalua famareso ma ba li Indonesia lamane *penelitian* sanandrösa ba aljabar lakaoni faoma fanötöi; **aljabarwan**.

## Etimologi
Fehede *aljabar* tefoli moroi ba Bahasa Arab  (*al-jabr* molo'ö famo'eluaha moroi ba ngawua wehede andrö, eluahania ya'ia da'ö; "fangowuloi ngawalö zi no tekiko") fehede ma fanötöi da'a, tehalö moroi ba zi sambua mbuku nibe'e högö mbuku andrö *Al Kitaab al muhtasar fii hisaab al jabr wa'l muqabaala* nisura matematikawan ba astronom Persia, Al-Khwarizmi. Ngawua wehede da'a no möi ia ba bahasa Inggris ba abad si 15, he moroi ba Spanyol, Italia, mazui moroi ba Pertengahan Latin. Aljabar ba zi'oföna latötöi ia *prosedur operasi pengaturan patah* ma *dislokasi tulang*. Eluahania ba matematika si'oföna sibai lasura ba abad 16.

## Ngawalö geluaha "aljabar"
Ngawua wehede "aljabar" so lala wangoguna'ö ya'ia bakha ba matematika, sitobali fehede nitandrösaigö ba dandrösa mazui faoma *kualifikasi*.
* Sitobali fehede fanandrösa ba dandrösa ma *kata tunggal* si lö mangoguna'ö kata sandang, "aljabar" töi sambua wamahaö ba wamahaö matematika.
* Sitobali fehede fanandrösa ba dandrösa ma *kata tunggal* mazui ba wanötöi ha wa'oya, "aljabar" ifaehagö wenaeta ma *struktur* matematika faoma fa'akhökhö, ba famo'eluaha satulö, te balazigö hewisa gamöta dödö zanura ya'ia. Sito'ölönia fenaeta da'a so khönia wamonönö *(penambahan, perkalian, ba skalar perkalian)*. Ba ginötö zanura mangoguna'ö fehede "aljabar", lahaogö sambua *subset* moroi ba *asumsi tambahan* simane: *asosiatif, komutatif, unital, mazui/faoma *dimensi berhingga*. Bakha ba aljabar universal, fehede "aljabar" tefaolo ba *generalisasi* moroi ba *konsep* da'ö moroi yaŵa, tola manö; *n-ary* operasi.
* Faoma *kualifikasi*, so wa'afabö'ö sifagölö:
** Lö hadöi khönia *kata sandang*, eluahania no föfö moroi ba aljabar, simane *aljabar linier, aljabar elementer* ma *simbol-manipulasi* goi-goi nifaha'ö ba naha wamaha'ö ma *kursus sd* matematika sitobali dane-dane moroi ba wamahaö *pendidikan dasar* faoma *menengah*, mazui *aljabar abstrak*.
** Sangoguna'ö *kata sandang*, eluahania sambua duma-duma moroi ba *struktur abstrak*, simane *aljabar bentang*, *aljabar asosiatif*, mazui *aljabar operator verteks*.
** Fa'itaria dombua geluaha da'a la'oguna'ö ba wangerai sifagölö, simane bakha ba *kalimat*: *aljabar Komutatif adalah studi tentang gelanggang komutatif, yang merupakan aljabar komutatif atas bilangan bulat*.

== Aljabar moroi ba Matematika ==
Aljabar andre tebörötaigö moroi ba wangerai sifagölö ba [[Aritmetika]], sangoguna'ö hurufo ba wo salahini numero. Da'a tola möi sitobali dane-dane moroi ba zindruhunia heŵa'ae lö lafaogö khönia numero-numero. Simane duma-dumania, ba *persamaan kuadrat*
:<math>ax^2+bx+c=0,</math>
<math>a, b, c</math> tola tobali *bilangan* gofu hadia manö(kecuali bahwa <math>a</math> tidak dapat bernilai <math>0</math>), ba rumus kuadrat andre tola la'oguna'ö wa'alio ba aoha ba wanöndra *nilai-nilai* moroi *kuantitas* <math>x</math> si lö mu'ila ma ba wofönui *persamaan*. Rumus kuadrat la'oguna'ö ba wamatunö persamaan, ba aefa da'ö ba wanöndra hadia lala moroi ba *persamaan* da'ö.

Molo'ö waö-waö, ba famahaö ba ginötö iada'a, famareso aljabar tebörötaigö moroi hewisa ba wamosinöndra *persamaan* simane *persamaan kuadrat* da'ö yaŵa. Aefa da'ö, oya wanofu-wanofu sito'ölö, simane; "hadia *persamaan* simane da'ö so lala wamosinöndra ya'ia?", "hawa'oya lala nitörö ba wangasiwai ngawalö wamosinöndra *persamaan* da'a?", "hadia zitola lafaehagö moroi ba lala wamosinöndra fanofu andrö?". Fanofu-fanofu simane da'a, möi ba wa'atohare ngawalö mbua wangera-ngera sifakhai ba *bentuk, struktur* faoma *simetri*. *Sifat-sifat struktural* moroi ba *objek-objek non-numerik* ma si tenga numero, aefa da'ö awena la *abstraksi* ba wanutunö waö-waö *struktur-struktur* aljabar simane grup (matematika), *gelanggang* (matematika), faoma *medan (matematika).

Fatua lö abad si-16, matematika so ba zidombua *subbidang*, ya'ia da'ö Aritmetika faoma Geometri. Heŵa'ae ba zi ha'uga ngawalö *metode*, si no oföna mu'ehaogö, te da'ö ni'ila niha sitobali aljabar, ma fa'atohare aljabar faoma lö ara aefa da'ö, *Kalkulus infinitesimal* sitobali *subbidang* matematika ha ba gotalua abad si-16 ma abad si-17. Moroi ba dalu abad si-19, oya zibohou sifakhai ba matematika, nifaehagö moroi ba aritmetika faoma geometri, ba arakhagö fefu mangoguna'ö aljabar.

Ba ginötö iada'a, aljabar no idugu sökhi irege oya wamahaö moroi ba matematika zangoguna'ö simane sitola mufaigi ba Klasifikasi Subjek Matematika
hiza, lö hadöi he ha sambua moroi ba wenaeta si'oföna (dua digit entri) nifotöi *aljabar*. Iada'a aljabar no irugi 08-sistem-sistem aljabar umum, 12-teori medan dan Polinomial, 13-Aljabar Komutatif, 15-Aljabar Linear dan multilinear; teori matriks, 16-Aljabar Asosiatif, 17-Aljabar tak-Asosiatif, 18-Teori Kategori; Aljabar Homologis, 19-Teori-K, faoma 20-Teori Grup. Aljabar andrö la'oguna'ö göi ia molo'ö *ekstensif* bakha 11-Teori Bilangan faoma 14-Geometri Aljabar.

## Waö-waö ''(Sejarah)''

### Böröta aljabar ''(Sejarah awal aljabar)''

Ŵa'a moroi ba aljabar andre, tola mu'osisi'ö ofeta ba ginötö me Babilonia kuno, samazaewe ma sangodödögö fangi'ila sifakhai ba *sistem aritmetika lanjut* ni'oguna'ö ba wangerai *menurut gaya algoritme*. Bangsa Babilonia la odödögö ba wangi'ila *rumus* ba wangerai hewisa lala wanema li ma hewisa ba wangalui sinöndra moroi ba ngawalö zedöna la'erai ba ginötö iada'a, hiza ba wangalui sinöndrönania la'oguna'ö lala *persamaan linear, persamaan kuadrat*, faoma *persamaan taktentu*. Hiza, tenga fefu, so göi matematika Mesir Kuno ma ni'oguna'ö ira niha Mesir ba ginötö iada'a faoma Matematika Yunani ba matematika Tiongkok ba milenium 1 SM sito'ölönia lafosinöndra wanofu andrö faoma *metode geometris*, simane si no lafaehagö bakha ba *Papirus Matematika Rhind*, *Elemen Euklides*, faoma *Sembilan Bab mengenai Seni Matematika*. Karya geometris moroi Yunani, simane si no lasura bakha *Elemen*, no lahenagö döla-döla dödö ma *kerangka kerja* ba wame'e *rumus* ma na'i manalu'i moroi ba zinöndra nitötöna irege da'a nigo'ö zato ba wangalui sinöndra, heŵa'ae da'a lö si tehöngö fatua lö si muledo *Matematika Islam* ba *abad pertengahan*.

Ba ginötö Plato, matematika Yunani no so wa'atedou. Niha Yunani no la'ila nifotöi aljabar geometri, hiza moroi ba wamahaö andrö tefaehagö awa *suku-suku matematika*  tetötöi ia moroi ba *sisi-sisi* ba *objek geometri*, sito'ölönia simane famadölö ma *garis*, sangokhögö hurufo-hurufo sifakhai ba wangerai. Diofantus (abad si-3 Masehi) ya'ia da'ö samösa gere matematika ma laŵa'ö ba wehede lamane Matematikawan Yunani moroi ba mbanua *Iskandariyah* ba si no manura oya mbuku nifotöi *[[Arithmetica]]*. Sinura-sinura andre fakhai ia ba wamosinöndra ngawalö wanofu moroi ba *persamaan aljabar*, ba hiza no möi famarou ba si ba wangi'ila nifotöi *persamaan Diofantin* bakha ba *teori bilangan*.

Sito'ölö nifalui ba ginötö iada'a na la faedogö moroi ba ni fa'ema ba da'ö moroi yaŵa, no manandrösa ia ba Matematikawan bangsa Persia, Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (kira-kira 780–850). Aefa da'ö isura mbuku nibe'enia högö mbuku andrö:  *Buku Ringkasan tentang Perhitungan dengan Pelengkapan dan Penyetimbangan*, nifangamöi aljabar sitobali famahaö matematika ma *disiplin* matematika si lö mombalazigö geometri faoma aritmetika.

Matematikawan ba ginötö periode Helenistik, sotöi Heron moroi ba Iskandariyah faoma Diofantus, simanö göi Matematikawan India simane Brahmagupta manohugö sito'ölö lafalua ma tradisi-tradisi Mesir faoma Babilonia, heŵa'ae *Arithmetica*-nia Diophantus faoma *Brāhmasphuṭasiddhānta*-nia Brahmagupta so ba dadaoma sabölö alaŵa. Simane duma-dumania, lala wangalui aritmetika si'oföna *(termasuk solusi nol dan negatif)* soguna ba *persamaan kuadrat*, hulö simane si no ifaehagö  Brahmagupta ba mbukunia *Brahmasphutasiddhanta*. Aefa da'ö, Matematikawan Persia faoma Arab no la'odödögö hewisa ba wondrou'ö metode-metode aljabar ba wogamö wetaro sabölö alaŵa. Heŵa'ae Diofantus faoma bangsa Babilonia asese sibai mangoguna'ö metode *ad hoc* nifaehagö ni'oguna'öra ba wangalui sinöndra persamaan-persamaan, bua wangera-ngera Al-Khwarizmi no tobali dane-dane si sökhi. No i'asiwai persamaan linear faoma kuadrat si lö mangoguna'ö *simbolisme* aljabar, *bilangan negatif*, mazui *nol*, börö da'ö, andrö wa si lötolalö'ö i faehusi ngawalö persamaan.

Ba wamahaö aljabar andre, no la'ila niha ya'ia da'ö fakhai ia ba wamagölö ngawalö wangerai ma lamane *teori persamaan*, Matematikawan Yunani, sotöi Diofantus molo'ö wangi'ila niha sito'ölö, lakaoni ia faoma ere aljabar ma abölö enahöi wanötöi ya'ia, ya'ia da'ö:  "bapak aljabar" ba hiza ba wa'anumalö ginötö, oya wabu'a-bu'asa sifakhai khö gere tanöbö'ö simane sotöi *al-Khwarizmi*, sangahaogö fangi'ila nifotöi: *al-jabr*, tola göi lakaoni ia faoma *ama aljabar*. Ya'ira sifao khö zöndra Diofantus zanguŵa'ö wa aljabar nisöndra bakha ba *Al-Jabr* tehude ma'ifu moroi ba nisöndra ba *Arithmetica* ba börö da'ö *Arithmetica* no hulö ni'adogo'ö, na *Al-Jabr* ma'afefu no hulö *retoris*. Na ya'ira sifao ba zöndra Al-Khwarizmi sifakhai ma samaehagö nifotöi metode "reduksi" faoma "penyetimbangan" *(transposisi suku-suku yang diambil ke ruas lain suatu persamaan, yaitu, pencoretan suku-suku yang memiliki [[variabel (matematika)|variabel]] dan [[eksponensiasi|pangkat]] sama pada ruas lain suatu persamaan)*, nituturu ma ni aekhugö moroi ba *al-jabr* ba mböröta, ba no ifaehagö molo'ö wangi'ilania ngawalö wamosinöndra sifakhai ba *persamaan kuadrat* ma fangerai ba numeronia samösa, i'abe'e'ö dödö niha molo'ö ngawalö zi so khönia sitobali dane-dane *geometris*, sifao ba wangoguna'ö aljabar sitonali sambua dane-dane ma *disiplin* nifaehagö molo'ö fa'ato'ölö zangoguna'ö ya'ia. Aljabar andre, lö sa'ae i'angeragö ngawalö wangalui sinöndra ba ngawalö wanofu, hiza sambua *eksposisi* ba mböröta sifakhai ba *suku-suku primitif* ba ngawalö wangorudugö ba wamagölösi sinöndra, ba tetohugö ia molo'ö *eksplisit* ba wangalui sinöndra satulö". Ya'ia göi no i'alui wamagölösi ma *persamaan* soguna khönia samösa ba lala wangerai sito'ölö simane nifalua niha bö'ö, ba hiza no iföfögö ba wangalui sambua zinöndra si lö hadöi amozua ma abölö sökhi wanötöi ya'ia ba li Indonesia lamane: *tak terbatas*.

Matematikawan Persia tanöbö'ö, sotöi *Umar Khayyām* si no latema ngawalö wangi'ila ba woföfögö dane-dane *geometri aljabar* ba ya'ia samösa ere samaehagö *solusi geometris umum* ba wangerai famagölösi *fungsi kubik* ma *persamaan kubik*. Buku nisurania nibe'e högö mbuku: *Risalah tentang Peragaan Soal-Soal Aljabar* (1070), so honogöigö ngawalö *prinsip-prinsip aljabar*, si no angolifa moroi ba zifakhai ba Matematika, hiza Matematika Persia andre, sindruhunia la fa'ohe'ö ba Eropa. Matematikawan Persia tanöbö'ö, simane *Sharaf al-Din al-Tusi*, sanöndra lala wamosinöndra aljabar faoma numero ba ngawalö zifakhai ba wamagölösi fangerai kubik ma *persamaan kubik.* Dia juga mengembangkan konsep mengenai fungsi. Matematikawan India, sotöi Mahavira faoma Bhāskara II, Matematikawan Persia Al-Karaji, faoma Matematikawan Tiongkok, Zhu Shijie, mangasiwai ngawalö wangerai sifakhai ba *persamaan kubik*, *persamaan kuartik ma kuartik*, *persamaan kuintik*, faoma famagölösi *polinomial* sasese laŵa'ö *berorde* abölö alaŵa mangoguna'ö *metode numerik*. Ba abad ke-13, fangasiwaisi *persamaan kubik* nifalua Fibonacci ya'ia da'ö sosalahini moroi ba mböröta wangi'ila aljabar Eropa. Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī (1412–1486) manga'i mbosi-bosi si'oföna sinumalö ba wangi'ila ngawalö dandra aljabar, ma ba li Indonesia lamane: "langkah-langkah pertama menuju perkenalan simbolisme aljabar". Hiza, no göi i'erai ∑*n*2, ∑*n*3 ba i'oguna'ö wamahatö (suksesif) ba wotatugöi *akar kuadrat*. Ba ginötö Islam so ma'ifu we'amöi furi, dunia Eropa hi no wa'amanöi wangi'ila ba matematika. Ba da'ö aljabar andre, tedou wa'amozawili ba zi sagörö ulidanö.

### Waö-waö Sibohou Aljabar ''(Sejarah modern aljabar)''

Karya François Viète sifakhai ba aljabar sibohou, ba gafuriata abadi si-16 no sambua bosi soguna sibai sinumalö ba wangoguna'ö *aljabar modern*. Ba ndröfi si 1637, René Descartes mamatumbu'ö *La Géométrie*, sifao ba wanöndra sambua lala nifotöi *geometri analitis* ba hiza ifaehagö göi ba niha sato nifotöi *notasi aljabar modern*. Salua tanöbö'ö zifakhai ba wondrou'ö aljabar ya'ia da'ö ba wangasiwaisi *aljabar* si no oi la'ila niha sato ba zi sagörö ulidanö meluo da'ö ba wangalui hewisa wamagölösi nifotöi *persamaan kubik* faoma *kuartik*, nifanöi wangi'ila ba ginötö abad si-16. Bua wangera-ngera sifakhai ba *determinan* nifanöi moroi khö matematikawan Jepang sotöi Seki Kōwa ba abad si-17, no igo'ö ia sotöi Gottfried Leibniz ba wa'omasinia samösa, eluahania tenga ba döi gangowuloa ilau da'ö ba zi 10 fakhe fa'ara aefa da'ö, sitobali ohitö dödö ba wangalui hewisa zinöndra ba *sistem persamaan linear simultan* sangoguna'ö *Matriks (matematika)*. Hiza, Gabriel Cramer ilau mohalöŵö sifakhai ba matriks faoma determinan ba abad si-18. Permutasi i'alui lala hewisa wangasiwaisi ngawalö wanofu sotöi Joseph-Louis de Lagrange ba mbuku nisurania me döfi si 1770 nibe'enia högönia *Réflexions sur la résolution algébrique des équations* (Refleksi ba resolusi aljabar ba zisambua wamagölösi), si'oföna sibai ba wotatugöi hewisa lala wangasiwaisi fanofu zisambua *persamaan aljabar*, hiza no ifaehagö resolven Lagrange. Paolo Ruffini ya'ia da'ö niha si'oföna sibai sofanöi teori moroi ba *grup permutasi*, hulö zimane nifalui ndra matematikawan ba mböröta, tola göi ba wangalui sinöndra *persamaan aljabar*.

## Angolifa Matematika Sangoguna'ö Ngawua Wehede Aljabar ba Döira ''(Bidang matematika dengan kata aljabar pada nama mereka)''

Ba zi ha'uga gangolifa matematika  si no ahono ba zifakhai ba Aljabar *(klasifikasi aljabar abstrak)* mamaogö fehede aljabar ba döira; simane *aljabar linear* ha sambua duma-duma da'a. Ba hiza so göi zi lö'ö fao döira, simane: *teori grup*, *teori gelanggang*, faoma *Medan (matematika)* ma *teori bidang*. Ba da'a tou so gangolifa matematika sangoguna'ö fehede "aljabar" ba döira.
* **Aljabar elementer**, angolifa moroi ba aljabar sito'ölö nifahaö ba *perkuliahan dasar Matematika*.
* **Aljabar abstrak**, hiza ba *struktur aljabar* simane *Grup (matematika)*, *Gelanggang (matematika)* faoma *Medan (matematika)* nifo'eluaha faoma *sistem aksioma* ma asese lamane *aksiomatis*.
* **Aljabar linear**, hiza no oya dandra-tandra moroi ba *persamaan linear*, *Ruang vektor* faoma *Matriks (matematika)* nitema niha ba wamahaö.
* **Aljabar Boolean**, angolifa aljabar samahatö *komputasi* faoma sahatö ba *nilai kebenaran* nifaehagö faoma fehede; *atulö/benar* faoma *falasa/salah*.
* **Aljabar komutatif**, famahaö sifakhai ba *gelanggang komutatif*.
* **Komputasi simbolik** mazui **Aljabar komputer**, famatöfaigö metode-metode aljabar simane; *algoritme* faoma *program komputer*.
* **Aljabar homologis**, famahaö fenaeta *aljabar* sitobali dane-dane ba wangi'ila *ruang topologi*.
* **Aljabar semesta**, tandra-tandra sito'ölö ba zi'ogötö'ö fenaeta *aljabar* nitema ba wamahaö.
* **Teori bilangan aljabar**, tandra-tandra *bilangan* nitema wamahaö molo'ö wamaigi moroi ba aljabar.
* **Geometri aljabar**, sambua gangolifa moroi ba geometri, ba wamaigi moroi meföna ba wotatugöi *kurva* faoma tete sitobali lala ba wangalui sinöndra wamagölösi *persamaan polinomial*.
* **Kombinatorika aljabar**, da'a sambua *metode-metode* aljabar ni'oguna'ö ba wamaigi fanofu *kombinatorika*.
* **Aljabar relasional**: sambua gangowuloa moroi ba *relasi berhingga* sitolumö barö zisambua *operator*.
Oya wenaeta matematika nifotöi **aljabar**:
* **Aljabar atas medan** mazui töra simane *aljabar di atas gelanggang*.Oya nahia ba aljabar ba dete danölafa mazui yaŵa ba nahia sangokhögö töi nitatugoi *(spesifik)*:
** **Aljabar asosiatif**
** **Aljabar takasosiatif**
** **Aljabar Lie**
** **Aljabar Hopf**
** **Aljabar-C***
** **Aljabar simetri**
** **Aljabar eksterior**
** **Aljabar tensor**
* Ba *teori ukuran*,
** **Aljabar sigma**
** Algebra ba dete *Medan himpunan*
* Bakha ba *teori kategori*
** ***Aljabar-F*** faoma ***Koaljabar-F***
** ***Aljabar-T***
* Bakha ba *logika*,
** **Aljabar relasi**, aljabar Boolean beresidu, ni'ebolo'ö faoma fa'abua nifotöi faoma *konvers*.
** **Aljabar Boolean (struktur)**, **kisi distributif** faoma **kisi komplemen** na la'adogo'ö ia lamane **komplemen**.
** **Aljabar Heyting**

## Aljabar elementer

**Aljabar elementer** ya'ia da'ö angolifa aljabar nibali'ö dane-dane. Aljabar elementer nifahaö ba ndraono sekola ma *siswa/mahasiswa* nifaigi walö hadöi fangi'ila ba zifakhai ba matematika, ba hiza töra ma'ifu moroi ba nifaehagö si sabata, hiza tobali ia dane-dane ba wangi'ila ngawalö zedöna latema wamahaö matematika ya'ia da'ö dane-dane moroi ba aritmetika. Bakha ba aritmetika, ha *bilangan* faoma *operasi aritmetika* (simane; +, −, ×, ÷) ni'ila niha. Bakha ba aljabar, numero asese lasura ia faoma famaedo, nitötöi faoma fanguma'ö *variabel (matematika)* (simane; *a*, *n*, *x*, *y*, mazui *z*). Da'a moguna, börö me:
* Tetehegö ba wame'e lala nitörö moroi ba zi no latatugöi ba *hukum-hukum aritmetika* (simane; *a* + *b* = *b* + *a* ero-ero; *a* faoma *b*), ba hiza da'a no sambua bosi si'oföna numalö ba wangi'ila ma *eksplorasi sistematis* ba dandra-tandra numero *sistem bilangan real*.
* Tetehegö hezo lahalö ia gumbu zifakhai ba numero "anu", fame'e lala ma *perumusan* ba wamagölösi ma *persamaan* faoma ba wangalui sinöndra. (Simane duma-dumania, "Carilah bilangan *x* irege 3*x* + 1 = 10" ma na tatohugö ia; "Carilah bilangan *x* irege tobalia ia; *ax* + *b* = *c*". Bosi da'a numalö ba wurugö wa tenga dandra-tandra moroi ba zisambua numero zi tola mu'alui zinöndrania, hiza moroi ba *operasi* nilataeni khönia.
* Tetehegö ba wangalui wamosinöndra zifakhai ba *fungsi (matematika)*. (Simane duma-dumania, "Na ö amawa *x* karcis, wa hare nisöndrau ya'ia da'ö fa'ebuania; 3*x* − 10 rupiah, mazui *f*(*x*) = 3*x* − 10, na tafaigi wa; *f* sambua *fungsi*, faoma *x* ya'ia da'ö ni'erai ba *fungsi* nilaeteni khönia.

### Polinomial

**Polinomial** ma asese latötöi faoma fehede; **suku banyak** ya'ia da'ö sambua *ekspresi (matematika)* fa'oya ni'erai sitola ni'erai moroi ba *suku (logika)* ma *suku-suku* sitenga *nol* (tak-nol), ero-ero *suku* so khönia wokali nilai konstanta faoma wa'oya zitola ni'erai *variabel (matematika)* nifa'aso faoma fefu *pangkat bilangan*. Duma-dumania; *x*2 + 2*x* − 3 ya'ia da'ö; polinomial bakha ba variabel tunggal *x*. Sambua **ekspresi polinomial** ya'ia da'ö; ekspresi sitola lafomendrua wanura ya'ia sitobali polinomial, sangoguna'ö *sifat-sifat komutativitas*, *asosiativitas*, faoma *distributivitas* famonönö faoma fokalikö. Simane duma-dumania;, (*x* − 1)(*x* + 3) da'a no sambua *ekspresi polinomial*. Sambua **fungsi polinomial** tola göi lamane *fungsi* nifo'eluaha polinomial, mazui, molo'ö *ekivalen*, moroi ba zi sambua *ekspresi polinomial*. Dombua duma-duma da'ö yaŵa mamaehagö *fungsi polinomial* sifagölö.

Dombua wanofu soguna sibai ba faoma fakhai bakha ba aljabar ya'ia da'ö; *faktorisasi polinomial*, famotokhi ya'ia simane ya'ia da'ö; mamaehagö *polinomial* sitobali fokali moroi ba *polinomial-polinomial* tanöbö'ö si tebai lagoligö sa'ae ma tebai nibagi, ba *komputasi* ma *(faktor persekutuan terbesar polinomial)*. Duma-duma polinomial da'ö yaŵa sitola ni goligö sitobali; (*x* − 1)(*x* + 3). Sambua wenaeta wanofu sifakhai ya'ia da'ö ba wangalui *ekspresi aljabar* ba wamosinöndra *akar fungsi* zi sambua polinomial bakha ba variabel si mosindro samösa.

### Famahaö ''(Pendidikan)''
No lafaehagö wa *aljabar elementer* andre ena'ö sambua lala wamahaö ba ndraono sekola si no irugi 11 fakhe, heŵa'ae ba gafuriata andre so ma'ifu wa'atedou ba wamahaö *aljabar elementer* ba ndraono SMP ma sodadao ba kalasi 1 SMP (≈&nbsp;13&nbsp;tahun&nbsp;±) di Amerika Serikat. Heŵa'ae simanö, ba zekola si so ba Amerika Serikat, aljabar no lafahaö ba kalasi 3 SMP.

I'otarai me döfi si 1997, *Institut Politeknik* faoma *Universitas Negeri Virginia* ba universitas tanöbö'ö, no labörötaigö mangoguna'ö sambua lala wamahaö aljabar si no laföfögö ba wame'e fa'aboto ba dödö ba nifahaö moroi ba no lahaogö *peranti lunak komputer* ba wangahatö lala wangi'ila ba aljabar, ena'ö lö oya tetibo ginötö faoma soguna tanöbö'ö sangoguna'ö kefe.

## Aljabar abstrak

**Aljabar abstrak** mangebolo'ö ngawalö zifakhai ba *aljabar elementer* faoma Aritmetika *bilangan* numalö ba mbosi-bosi sito'ölö la'oguna'ö. Ba da'a tou so mbosi-bosi ma lala nitörö bakha ba *aljabar abstrak*.

**Himpunan Matematika**: tenga ha sito'ölö töra ma'ifu wangasiwaisi ngawalö wanofu sifakhai ba wangeraisi sifabö'ö-bö'ö, aljabar abstrak fakhai ba gangorudua ma nibe'e fanötöi ; *himpunan* na lafo'eluaha ia ya'ia da'ö; angorudua si so amakhaita ba wangerai si tola ni'orudugö. Fefu gangorudua da'a latötöi faoma *himpunan*. Duma-duma simane; *Matriks (matematika)* dua-kali-dua(2x2), angorudua *polinomial* nibe'e faka 2 ma *(berderajat 2 (*ax*<sup>2</sup> + *bx* + *c*)*, angorudua *Vektor (spasial)* dua dimensi ba zisambua nahia, ba tanöbö'ö soya sibai simane *grup siklis*, sifao bakha ba *aritmetika modular* ma *modulo* bilangan bulat *n*. *Teori himpunan* andre ya'ia da'ö sambua gangolifa moroi ba *logika* ba molo'ö lala wangalui sinöndrania ya'ia da'ö tenga fenaeta moroi ba aljabar.

**Operasi biner**: amozua wamonönö ma *perjumlahan* (+) la *abstraksi* ia ba wame'e sambua khönia *operasi biner*, Tola lamane ∗amozua moroi ba *operasi biner* lö gunania na lö hadöi nahia gangorudua lala wangerai sedöna lafalua. Ba zi dombua *elemen* moroi ba *a* faoma *b* bakha ba gangorudua *S*, *a* ∗ *b* ya'ia da'ö *elemen* tanöbö'ö bakha ba ni'orudugö; fangerai da'a latötöi ia fa'ateduhö matematika ma ba li Indonesia sasese latötöi ba matematika lamane; *ketertutupan (matematika)*. Famonönö (+), Fangeheta (−), Fokali (×), faoma Fombagi (÷) tola tobali *operasi biner* na tefaehagö ia ba gangorudua zifabö'ö, duma-dumania famonönö faoma fokali *matriks, vektor*, faoma *polinomial*.

**Elemen identitas**, ya'ia da'ö: Numero *nol* faoma sambua ni *abstraksi* ba wamo'eluaha zisambua *elemen identitas* ba zisambua fangerai. Nol no sambua *elemen identitas* ba wamonönö ba sambua ia göi ba wokali. Ba *operator biner* si no oi la'ila niha sato misa ∗ elemen identitas *e* lötolalö'ö ena'ö so khönia; *a* ∗ *e* = *a* faoma *e* ∗ *a* = *a*, ba mangerai samösa ia, na so ni'erai khönia. Da'a te'oguna'ö ia ba wamonönö sitobali; *a* + 0 = *a* faoma 0 + *a* = *a* ba simanö göi ba wokali; *a* × 1 = *a* faoma 1 × *a* = *a*. Lö fefu gangorudua faoma fangerai sifabö'ö-bö'ö oi so *elemen identitas*; simane, angorudua *bilangan asli positif* (1, 2, 3,&nbsp;...) lö hadöi khönia *elemen identitas* ba wamonönö.

**Elemen invers** mazui **unsur balikan**, ya'ia da'ö; *Bilangan negatif* samaehagö lala wangerai; *elemen invers*. Ba wamonönö, invers *a* lasura ia faoma −*a*; na ba wokali lasura ia faoma *a*−1. Elemen invers te'oguna'ö ba zidombua lala wangerai *a*−1 asala so khönia zikhala wa *a* ∗ *a*−1 = *e* faoma *a*−1 ∗ *a* = *e*, hiza i *e* no sambua *elemen identitas*.

**Sifat asosiatif'' ma''Asosiativitas**la fo'eluaha ia: famonönö *bilangan bulat* sangokhögö sikhala nifotöi *asosiativitas*. Ya'ia da'ö, famöfögö *bilangan* na la fonönö ia lö tebulö zinöndrania. Simane duma-dumania: . Na sito'ölönia, da'a tobali; (*a* ∗ *b*) ∗ *c* = *a* ∗ (*b* ∗ *c*). Sikhala wangerai da'a tefalua göi ia ba lala wangerai *operasi biner*, hiza i tenga ba wangerai fangeheta, fombagi, mazuo fokali *oktonion*.

**Sifat komutatif**, ya'ia da'ö; Famonönö faoma fokali *bilangan real* sifagölö sangokhögö sikhala *komutatif*. Ya'ia da'ö, fenaera numero ni'erai si lö mamulö'ö zinöndra moroi ba wangerai ya'ia. Duma-dumania; 2 + 3 = 3 + 2. Molo'ö fangerai sito'ölö, tola la'erai ia; *a* ∗ *b* = *b* ∗ *a*. Sikhala da'a lö la'oguna'ö ia ba wangerai *operasi biner*. Simane, fokali *matriks* faoma fokali *kuaternion*, börö me dombua wangerai da'a tenga angolifa zikhala wangerai *komutatif*.

### Angorudua ''(Grup)''

Fangorudugö lala wangerai da'ö yaŵa mame'e fangi'ila hewisa ia wenaeta soguna sibai bakha ba matematika ma abölö enahöi lamane ba; **Grup (matematika)**. Nifotöi Grup ba da'a ya'ia da'ö; famaruka sambua angorudua *S* ba sambua lala wangerai *operasi biner* ∗, lafo'eluaha ia bakha ba lala wangerai nifili, hiza böi fasala molo'ö lala simane ba da'a tou;
* So sambua khönia *elemen identitas* *e*, irege ero sambua ni'erai khönia simane; *a* moroi ba *S*, *e* ∗ *a* faoma *a* ∗ *e* dombua lala da'a fagölö ira; *a*.
* Ero-ero *elemen* sokhönia *invers*: ero ngawua; *a* moroi ba *S*, sokhönia ngawua *a*−1 irege *a* ∗ *a*−1 faoma *a*−1 ∗ *a* da'a fagölö ira *elemen identitas*.
* Lala wangerai sikhala *asosiatif*: Na *a*, *b*, faoma *c* angolifa moroi ba *S*, hiza (*a* ∗ *b*) ∗ *c* fagölö ira *a* ∗ (*b* ∗ *c*).
Na'atö angorudua da'a *komutatif*, ya'ia da'ö ero dombua gangolifania *a* faoma *b* moroi ba *S*, *a* ∗ *b* fagölö ira *b* ∗ *a*—ba hiza angorudua da'a tola latötöi ia faoma fanötöi *grup abelian*.

Sitobali duma-duma, angorudua moroi ba *bilangan bulat* barö wangerai famonönö no sambua angorudua ma *grup*. Ba gangorudua da'a, *elemen identitas* ya'ia da'ö; 0 ba hiza *invers* moroi ba *elemen*, *a* ya'ia da'ö *negasi*, −*a*. Si lötolalö'ö te'a'asogö ba wangerai *asosiativitas*, me ero *bilangan bulat*,  *a*, *b*, faoma *c*, (*a* + *b*) + *c* = *a* + (*b* + *c*)

**Bilangan rasional'' sitenga Nol tehaogö khönia gangorudua ma ''grup'' barö wangerai fokali. Ba da'a, ''elemen identitas'' ya'ia da'ö 1, me 1 × ''a'' = ''a'' × 1 = ''a'' ero ''bilangan rasional'' ''a''. Invers moroi ba ''a'' ya'ia da'ö  1/''a'', börö me ''a'' × 1/''a'' = 1.

Heŵa'ae simanö, ''bilangan bulat'' barö wangerai fokali lö tehaogö khönia gangorudua ma grup. Da'a börö me ''invers'' fokali ''bilangan bulat'' lö mamosinöndra tobali ''bilangan bulat''. Simane duma-duma, 4 no ta'ila wa sambua ''bilangan bulat'', hiza i ''invers'' fokali ya'ia, ya'ia da'ö; ¼, ba no tefa'ele'ö wa tenga ''bilangan bulat''.

Lala wangerai sifakhai ba gangorudua nitötöi faoma fehede ''grup'' ba wamahaö andre, no mozawili misa wamahaö ya'ia si no oi la'ila niha ya'ia da'ö; ''teori grup''. Nisöndra moroi ba wamahö andre ya'ia da'ö hewisa ba wama'oli gangorudua-gangorudua wangerai ma fanötöi ba li matematika ''klasifikasi grup-grup sederhana berhingga'', hiza abölö ebua nifatumbu'ö ba gotalua ndröfi 1955 faoma döfi si 1983, samöfögö ''grup sederhana'', ''himpunan berhingga'' tobali ba zi 30 ngawalö dane-dane wamahaö.

''Semigrup'', ''kuasigrup'', faoma ''monoid'' ya'ia da'ö fenaeta-fenaeta sifagölö ira ''grup'', hiza i sikhalania sifagölötö ba danö bö'ö. No lahaogö sambua gangorudua faoma sambua wangerai ''operasi biner'' si tekusi, ha ya'i lö moguna sibai so khönia goi-goi nihonogöi. ''Semigrup'' so khönia ''operasi biner'' simane; ''asosiatif'', ba lö hadöi ''elemen identitas''. Na ''Monoid'' ya'ia da'ö ''semigrup'' sangokhögö ''elemen identitas'', ba lö hadöi khönia ''invers'' ero-ero ''elemen''. Fabö'ö ira na ''Kuasigrup'', so zi lötolalö'ö tefa'aso khönia me gofu hadia manö ''elemen'' tola tefangamöi tobali ''elemen'' tanöbö'ö moroi ba wokali kabera ma zui kambölö; ha ya'i ''operasi biner''nia tola manö lö khönia sikhala ''asosiatif''.

Fefu gangorudua ma ''grup'' tola lamane fao ba ''monoid'', ba fefu ''monoid'' ya'ia da'ö; ''semigrup''.



=== ''Gelanggang'' faoma ''Lapangan'' ===
Grup ha sambua khönia ''operasi biner''. Famaehagö ngawalö lala wangerai sifabö'ö-bö'ö, fangerai si so fenaeta dombua lala wangerai lötolalö'ö lafanöi lala wangi'ila ba wamahaö aljabar andre. Sabölö moguna ya'ia da'ö ba wangi'ila hadia ia nifotöi ''Gelanggang'' (matematika), faoma ''Medan''(matematika).

Sambua **Gelanggang**(matematika) so dombua khönia ''Operasi biner'' ya'ia da'ö; (+) faoma (×), simanö göi × distributif ba dete wamonönö (+). Fangerai si'oföna ya'ia da'ö (+), te faehagö khönia ''grup abelian''. Fangerai aefa da'ö, fokali (×), sikhalania ya'ia sa'ae nifotöi ''asosiatif'', ha ya'i lö khönia ''identitas'' mazui ''invers'', irege lö moguna la bologö ero fenaeta. ''Elemen identitas'' wamonönö (+) lasura ia faoma numero; 0 ba ''invers'' famonönö moroi ba ''a'' lasura ia faoma; −a. Böi olifu wa lala wangerai da'a tola lamane fangerai si ''abstrak'', fefu zedöna la faehagö.

**Distributif* ma sikhala moroi ba *distributif* la'osara'ö ba zito'ölö la'erai niha ya'ia da'ö; *hukum distributif* fangerai numero. Na ba *bilangan bulat*  faoma  faoma × latötöi ia; *distributif* ba dete +.

*Bilangan bulat* sambua duma-duma moroi ba nifotöi *gelanggang*. *Bilangan bulat* sikhalania so khönia wamonönö solohe ya'ia tobali *'domain integral**, ma lamane; **daerah bilangan bulat**, mazui **ranah bilangan bulat,*'.

Sambua *medan (matematika)* ma *lapangan]* ya'ia da'ö; *gelanggang* sikhala wamonönö wa fefu *elemen* tak-nol mamaehagö *grup abelian* barö ×. Sikhala wokali (×) lasura faoma numero 1 ba *invers* wokali moroi ba *a* lasura faoma *a*<sup>−1</sup>.

*Bilangan rasional, bilangan real*, faoma *bilangan kompleks* sambua duma-duma moroi ba *lapangan''.

## Umbu