अल्याख

**अल्याख वा अनन्त** (चिं ∞) धागु छगु गणितीय विचाः ख। थ्व थन्यागु छगु मात्रा खः गुकियात ल्या खाये फैमफु। प्राचीन ग्रीकतेगु ई निसें अल्याखया दार्शनिक प्रकृति दार्शनिकतेगु दथुइ यक्व चर्चाया विषय जुयाच्वंगु दु। १७गु शताब्दीइ अल्याख चिं व इन्फिनितिसिमल क्याल्कुलस गणितया न्ह्यथनेवं गणितज्ञतयेसं अल्याख झ्वः व छुं गणितज्ञतयेसं ( l'Hôpital व बर्नौली) अनन्त चिधंगु मात्रा, तर अनन्तया रुपय् काइगु खँया दर्शनय् मालेज्या न्ह्यथनादिल। गणितज्ञतेसं क्यालकुलसया जगया दयेकेया निंतिं संघर्ष यानाच्वंबिले अल्याखयात छगू ल्याः वा परिमाणया रुपय् कायेछिं लाकि मछिं व यदि कायेछिंसा गथे यानाः कायेफइ धइगु खँ स्पष्ट यायेमफूत। १९गु शताब्दीया अन्तय् जर्ज क्यान्टरं अल्याख समुच्चय व अल्याख ल्याःया (infinite sets and infinite numbers) अध्ययन याना अल्याखया गणितीय अध्ययनयात चकंकादिल। थुकिलिं, अल्याख  थी-थी आकारया जुइफु धकाः क्यन। दसुया निंतिं, यदि छुं ध्वःयात थुकिया सकल फुतिया सेटया रुपय् स्वयेगु खःसा, उकिया अल्याख ल्याः (अर्थात ध्वःया कार्डिनालिटी) पूर्णाङ्कया ल्याः स्वया अप्व जुइ। थ्व छ्येलेज्याय् अल्याख छगू गणितीय अवधारणा ख, व अल्याख गणितीय वस्तुया अध्ययन, हिला व छ्येलेज्या मेमेगु गणितीय वस्तु थें हे यायेछिं।

अल्याखया गणितीय अवधारणां पुलांगु दार्शनिक अवधारणायात परिष्कृत व विस्तार याइ, विशेष यानाः अल्याख समुच्चय (infinite sets)या  अल्याख यक्व थी-थी आकारयात म्हसीकेगु कुतः याना। जेर्मेलो–फ्रेन्केल सेट सिद्धान्तया एक्जियम अफ इन्फिनितिइ इन्फाइनाइत सेटया अस्तित्व सुरक्षित याइ। थ्व छ्येला आधुनिक गणितया आपालं भाग विकास यायेछिं, अनन्तया स्वयंसिद्ध नं दु , गुकिलिं अनन्त समुच्चयया अस्तित्वया ग्यारेन्टी बी। [१] अनन्तया गणितीय अवधारणा व अनन्त समुच्चयया हेरफेर गणितय् व्यापक रुपं छ्येलिगु यायेछिं। 

## इतिहास
प्राचीन तजिलजिइ अल्याखया प्रकृतिया बारेय् थी-थी बिचाः दयाच्वन। प्राचीन भारतीय व ग्रीकतेसं आधुनिक गणितं थें सटीक औपचारिक कथं अल्याखयात परिभाषित मया, बरु थुकियात दार्शनिक अवधारणाया रुपय् स्वल।

### प्राचीन ग्रीस
ग्रीसय् अल्याखया दकलय् न्हापांगु अभिलेखित विचाः एनाक्सिमान्दर (करिब ६१०-करिब ५४६ ईसापूर्व)या जुइफु। वय्कः छम्ह सुकरात पूर्वया ग्रीक दार्शनिक खः। वय्कलं apeiron खँग्वः छ्यलादिल , गुकिया अर्थ "असीमित", "अनिश्चित", व सम्भवतः "अल्याख"या रुपय् अनुवाद यायेछिं। 

एरिस्टोटलं (३५० ईसापूर्व) सम्भावित अल्याखयात वास्तविक अल्याख नाप बायेगु ज्या यानादिल। वय्कलं वास्तविक अल्याखयात थी-थी विरोधाभासया कारणं असम्भवया रुपय् कयादिल। थ्व नापं स्वापू दूगु छगू दृष्टिकोणया कथं हेलेनिस्टिक ग्रीकतेके अल्याखया भयावहता दु। थुकिया दसुया निंतिं, युक्लिडं (करिब ३०० ईसापूर्व)य् अभाज्य ल्याः अल्याख दु धकाः मधाः बरु "अभाज ल्याः अभाज्य ल्याःया गुगुं नं निर्धारित बहुलता स्वया अप्व जुइ" (Prime numbers are more than any assigned multitude of prime numbers.) धकाः धाःगु दु। 

### प्राचीन भारत
जैन गणितीय ग्रन्थ सूर्य प्रज्ञाप्ति (c. ४–३ शताब्दी ईसापूर्व)य् सकल ल्यायात स्वंगु पुचलय् बायातःगु दु: गणनायोग्य, असंख्य, व अनन्त। थ्व प्रत्येकयात हानं स्वंगु क्रमय् उपविभाजित यात: 
* ल्याः खायेफइगु : दकलय् चीधंगु, दथुया, व दकलय् च्वय् या
* असंख्य : थ्यंमथ्यं असंख्य, धात्थें असंख्य, अले असंख्य
* अनन्त : थ्यंमथ्यं अनन्त, धात्थें अनन्त, अनन्त अनन्त

### १७ गूगु शताब्दी
१७गु शताब्दीइ युरोपेली गणितज्ञतेसं अल्याख ल्याः व अल्याख अभिव्यक्तियात व्यवस्थित कथं छ्येलेगु शुरु यात। १६५५ स, जोन वालिसं दकलय् न्हापां ∞ चिं थःगु च्वखँ De sectionibus conicisय् छ्यलादिल। 

सन् १६९९इ आइज्याक न्यूटनं थःगु ज्या De analysi per equationes numero terminorum infinitas य् अल्याख पद दूगु समीकरणया बारेय् च्वयादिल ।