ल्याः सिद्धान्त

**ल्याः सिद्धान्त** (अङ्ग्रेजी: Number Theory) ल्याः ज्याया छगू कचा खः गुकिलि विशेष यानाः पूर्ण ल्याः (Integers) व उमिगु गुणतय्गु अध्ययन जुइ। थुकियात "गणितया लानी" (Queen of Mathematics) धकाः नं म्हसीकि, गुगु खँ नांजाःम्ह गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गाउस (Carl Friedrich Gauss) नं धयादीगु खः।

ल्याः सिद्धान्तया मू ज्या धयागु "ल्याः" (Numbers) तय्गु प्रकृति, विशेष यानाः अभाज्य ल्याः (Prime Numbers) यागु वितरण व समीकरणतय्गु (Equations) हल मालेगु खः। न्हापा थ्व विषययात "अंकगणित" (Arithmetic) जक धाइगु खः, तर १९गु शताब्दी लिपा थुकियात "ल्याः सिद्धान्त" धकाः धायेगु यात।

## इतिहास
ल्याः सिद्धान्तया इतिहास मानव सभ्यताया गणितीय विकास नाप स्वानाच्वंगु दु।

### प्राचीन काल
दकलय् न्हापां बेबिलोन व इजिप्टया मनूतय्सं ल्याःतय्गु गुण बारे सीकेगु कुतः याःगु खनेदु। बेबिलोनया "प्लिम्पटन ३२२" (Plimpton 322) नांयागु चापौ (Tablet) दुने "पाइथागोरियन ट्रिपल" (Pythagorean triples) यागु धलः दु, गुकिं क्यनी कि इमिगु पालय् हे a^2 + b^2 = c^2 यागु ज्ञान दुगु खः।

प्राचीन ग्रीसय्, युक्लिड (Euclid) नं ई.पू. ३०० पाखे थःगु सफू "एलिमेन्ट्स" (Elements) य् अभाज्य ल्याःत अल्याख दु (Infinitude of primes) धकाः प्रमाणित यानादिल। अथे हे, "युक्लिडयागु अल्गोरिदम" (Euclidean algorithm) आः नं निगु ल्याःयागु "महत्तम समापवर्तक" (GCD) लिकायेगु दकलय् बांलाःगु विधि खः।

### भारतीय योगदान
भारतीय गणितज्ञतय्सं ल्याः सिद्धान्तय् तःधंगु योगदान बियातःगु दु। आर्यभट (४७६–५५०) व ब्रह्मगुप्त (५९८–६६८) नं "डायोफेन्टाइन समीकरण" (Diophantine equations) हल यायेगु विधि विकास यात। लिपा, भास्कर द्वितीय (१११४–११८५) नं "पेलयागु समीकरण" (Pell's equation) हल यायेगु "चक्रवाल विधि" (Chakravala method) विकास यात।

### आधुनिक काल
१७गु शताब्दीइ फ्रान्सेली गणितज्ञ पियरे द फर्मा (Pierre de Fermat) नं ल्याः सिद्धान्तयात हानं ब्वंकादिल। वय्कःया "फर्मायागु अन्तिम साध्य" (Fermat's Last Theorem) गणितया दकलय् नांजाःगु समस्या मध्ये छगू खः। १८गु शताब्दीइ लियोनार्ड युलर (Leonhard Euler) नं "विश्लेषणात्मक ल्याः सिद्धान्त" (Analytic number theory) यागु पलिस्था यानादिल।

## मू कचात
आधुनिक ल्याः सिद्धान्तयात थीथी कचाय् ब्वथले छिं:

### १. प्रारम्भिक ल्याः सिद्धान्त (Elementary Number Theory)
थ्व कचाय् मेमेगु जटिल गणितीय विधि (गथेकि क्यालकुलस) मछ्यसें, केवल अङ्कगणितया आधारय् ल्याःतय्गु अध्ययन जुइ। थुकिलि विभाज्यता (Divisibility), अभाज्य ल्याः, व मोडुलर अङ्कगणित (Modular arithmetic) ला। युलरयागु साध्य (Euler's theorem) व "फर्मायागु चिधंगु साध्य" (Fermat's Little Theorem) थुकिया दसु खः।

### २. विश्लेषणात्मक ल्याः सिद्धान्त (Analytic Number Theory)

थ्व कचाय् क्यालकुलस (Calculus) व कम्प्लेक्स एनालिसिस (Complex analysis) छ्यलाः पूर्ण ल्याःतय्गु समस्या हल याइ। "अभाज्य ल्याः साध्य" (Prime Number Theorem), गुकिं अभाज्य ल्याःत गथे वितरण जुयाच्वंगु दु धयागु खँ सीकेत ग्वाहालि याइ, थ्व कचायागु मू उपलब्धी खः। रिम्यान परिकल्पना (Riemann Hypothesis) थ्व कचाया दकलय् तःधंगु व आःतकं हल मजूगु समस्या खः।

### ३. बीजगणितीय ल्याः सिद्धान्त (Algebraic Number Theory)
थ्व कचाय् बीजगणितीय संरचनात (गथेकि Rings, Fields) छ्यलाः ल्याःतय्गु अध्ययन जुइ।

## मू अवधारणात

**अभाज्य ल्याः (Prime Numbers):**
ल्याः सिद्धान्तया जग धयागु हे अभाज्य ल्याः खः। १ स्वया तःधंगु अज्याःगु पूर्ण ल्याः, गुकियात १ व थः (Self) त्वताः मेगु ल्याखं ब्वथले फैमखु, उकियात अभाज्य ल्याः धाइ (दसु: २, ३, ५, ७, ११...)। "अङ्कगणितयागु आधारभूत साध्य" (Fundamental Theorem of Arithmetic) कथं, हरेक १ स्वया तःधंगु पूर्ण ल्याःयात अभाज्य ल्याःतय्गु गुणनफलया रुपय् ब्वथले छिं (दसु: 12 = 2 \times 2 \times 3)।

**मोडुलर अङ्कगणित (Modular Arithmetic):**
थुकियात "घडी गणित" (Clock math) नं धाइ। थुकिलि ल्याःत छगू निश्चित मान (Modulus) थ्यनेवं हानं "शून्य" (०) य् लिहाँ वइ। दसु: १२ घडीइ, १३ ता ई जुइगु धयागु १ ता ई जुइगु खः। थुकियात गणितय् 13 \equiv 1 \pmod{12} धकाः च्वइ।

## छ्येलेज्या
न्हापा न्हापा ल्याः सिद्धान्तयात "शुद्ध गणित" (Pure Math) धाइगु खः व थुकिया व्यावहारिक छ्येलेज्या मदु धकाः तायेकीगु खः। तर, कम्प्युटर युगय् थुकिया महत्त्व तसकं अप्वया वःगु दु।

* **कूटलेखन (Cryptography):** इन्टरनेटय् सुरक्षित सञ्चार (Secure Communication) यायेत ल्याः सिद्धान्तया प्रयोग जुइ। दसु: "RSA इन्क्रिप्सन" (RSA Encryption) य् त-तःधंगु अभाज्य ल्याःतय्गु गुणनफल लिकायेगु (Factorization) थाकुइगु सिद्धान्तयात छ्यली।
* **कोडिङ सिद्धान्त (Coding Theory):** डाटा (Data) सञ्चार यायेगु इलय् जुइगु गल्ती (Errors) सुधार यायेत थुकिया प्रयोग जुइ।

## लिधंसा

पुचः:ल्याः ज्या
पुचः:गणित