ल्वाकःबुकः ल्याः

**ल्वाकःबुकः ल्याः** (अङ्ग्रेजी: Complex Number) धयागु गणितय् छगू अज्याःगु ल्याः खः गुकियात a + bi यागु रुपय् प्वंके फइ। थन a व b वास्तविक ल्याः (Real numbers) खः व i धयागु "काल्पनिक इकाई" (Imaginary unit) खः।

थ्व ल्याःयागु नि ब्व दइ:
# **वास्तविक ब्व (Real Part):** a
# **काल्पनिक ब्व (Imaginary Part):** b

"ल्वाकःबुकः" धयागु खँग्वःया अर्थ हे निगू वा अप्व चीजत "ल्वाकःज्याःगु" (Mixed) खः। थन वास्तविक ल्याः व काल्पनिक ल्याः ल्वाकःज्यानाः छगू हे ल्याः जुइगुलिं थुकियात "ल्वाकःबुकः ल्याः" धायेछिं। थ्व अवधारणां "ऋणात्मक ल्याः" (Negative number) यागु वर्गमूल (Square root) लिकायेगु समस्यायात हल याइ।

## थुइका
ल्वाकःबुकः ल्याःयात z आखलं चिं तयेगु या। यदि z = a + bi खःसा:
* a यात Re(z) वा \Re(z) (Real part) धाइ।
* b यात Im(z) वा \Im(z) (Imaginary part) धाइ।
* i यागु मान \sqrt{-1} खः, वा i^2 = -1।

ल्वाकःबुकः ल्याःतय्गु पुचः (Set) यात \mathbb{C} चिं तयेगु या। सकल वास्तविक ल्याःत ल्वाकःबुकः ल्याः नं खः, छाय्धाःसा छुं नं वास्तविक ल्याः a यात a + 0i यागु रुपय् च्वये फइ।

## इतिहास
ल्वाकःबुकः ल्याःयागु विकास छगू ताःहाकःगु ऐतिहासिक प्रक्रिया खः।
* **१६गु शताब्दी:** इटालियन गणितज्ञ जिरोलामोर कार्डानो (Gerolamo Cardano) नं "क्युबिक समीकरण" (Cubic equations) हल यायेगु झ्वलय् न्हापांखुसी ऋणात्मक ल्याःयागु वर्गमूलयागु आवश्यकता म्हसीकादीगु खः।
* **राफेल बम्बेली (Rafael Bombelli):** वय्कलं काल्पनिक ल्याःतय्गु तनेज्या-घटाउ यायेगु नियम दयेकादिल।
* **रेने डेकार्ट (René Descartes):** वय्कलं हे दकलय् न्हापां "काल्पनिक" (Imaginary) खँग्वः छ्यलादीगु खः।
* **कार्ल फ्रेडरिक गाउस (Carl Friedrich Gauss):** १९गु शताब्दीइ गाउस नं ल्वाकःबुकः ल्याःयात "ज्यामितीय रुपं" (Geometrically) क्यनेगु विधि विकास यानादिल, गुकिं थुकियात गणितया मू धारय् स्थापित यात।

## ज्यामितीय निरूपण (Argand Plane)

ल्वाकःबुकः ल्याःयात छगू "भः" (Plane) य् फुतिया रुपय् क्यने छिं, गुकियात "आर्गेन्ड प्लेन" (Argand Plane) धाइ।
* **x-अक्ष (x-axis):** थुकियात "वास्तविक अक्ष" (Real axis) धाइ।
* **y-अक्ष (y-axis):** थुकियात "काल्पनिक अक्ष" (Imaginary axis) धाइ।

दसु: ल्वाकःबुकः ल्याः 3 + 4i यात थ्व प्लेनय् (3, 4) फुतिइ क्यने छिं।

## ध्रुवीय रुप (Polar Form)
ल्वाकःबुकः ल्याःयात "पोलार कोअर्डिनेट" (Polar coordinates) य् नं प्वंके छिं। यदि z = x + iy खःसा:
:z = r(\cos \theta + i\sin \theta)
थन:
* r धयागु "मापांक" (Modulus) वा |z| खः, गुगु मूफुति (Origin) निसें उगु फुति तकया हाकः खः। r = \sqrt{x^2 + y^2}।
* \theta धयागु "कोणांक" (Argument) खः, गुगु धाथेंया अक्ष (Real axis) नाप दयेकूगु कुं खः।

युलरयागु सूत्र (Euler's formula) कथं, थुकियात अझ चिहाकःक थुकथं च्वये छिं:
:z = re^{i\theta}

## गणितीय ज्या(Operations)
निगु ल्वाकःबुकः ल्याः z_1 = a + bi व z_2 = c + di यागु दथुइ थुकथंया स्वापू जुइ:

* **तनेज्या(Addition):**
:(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(वास्तविक भाग नाप वास्तविक, व काल्पनिक नाप काल्पनिक तनेगु ज्या)

* **गुणा (Multiplication):**
:(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2
गन i^2 = -1 जुइ, उकिं:
:= (ac - bd) + (ad + bc)i

## छ्येलेज्या
ल्वाकःबुकः ल्याःयागु छ्यला शुद्ध गणितय् जक मखुसें विज्ञान व इन्जिनियरिङय् नं व्यापक रुपं जुइ।
* **विद्युत इन्जिनियरिङ (Electrical Engineering):** "अल्तरनेत करेन्त बाहा" (AC circuits) यागु विश्लेषण यायेत भोल्टेज व करेन्टयात ल्वाकःबुकः ल्याःया रुपय् क्यनी।
* **क्वान्टम मेकानिक्स (Quantum Mechanics):** कणतय्गु अवस्था (Wave function) वर्णन यायेत ल्वाकःबुकः ल्याः अनिवार्य जुइ।
* **सिग्नल प्रोसेसिङ (Signal Processing):** मोबाइल फोन, वाइफाइ, व अडियो टेक्नोलोजीइ "फुरियर ट्रान्सफर्म" (Fourier Transform) छ्यली, गुगु ल्वाकःबुकः ल्याःयागु आधारय् चले जुइ।

## लिधंसा

पुचः:ल्याः ज्या
पुचः:गणित