Koppel (Mathematik)

De **Koppel** is een vun de wichtigste Konzepte vun de Mathematik. De Koppenkünn faat enkelte Liddmaten (*Elementen*) to 'n **Koppel** tosamen. De Elementen köönt t.B. Tallen, Lüüd, Bookstaven etc. ween.  En Koppel kann ok leddig ween (*[[leddige Koppel]]*).

De Mathematikers hebbt de Koppelkünn to't Enn vun dat 19. Johrhunnert utklamüüstert, un de warrt in de Mathematik nu so veel bruukt, dat se al op de Grundschool ünnerricht warrt. Se is sotoseggen, de Spraak in de de moderne Mathematik verkloort warrt. 

## Definition
Georg Cantor häff de Koppelkunn populariseert un folgen Definition vörschlån:

:*Unner een Koppel vörstait sik een Tohaupefatten van bestemte wuolunnerschaidene Objekte van us Anschauen oer Denken to een Heel.*

Richard Dedekind hett de Koppel so verkloort: De Koppel is so as 'n Sack, wo welke Saken (de Elementen vun de Koppel) binnen sünd. Dit Bild helpt to verstahn, wat 'n leddige Koppel is: dat is nich "nix", man dat is 'n leddigen Sack, wo nix binnen is.

## Angaav van Koppels

### Döör Optellen
Endlike Koppels låt sik (besünners, wan der nich veel Elemente binnen sünd) döör *Optellen* vun jümehr Elemente
opskrieven.

Bispeel: M = \{ \text{ blau, gröön, root } \}. Bi dat Optellen vun de Elemente is dat goot, en "natürliche" Reeg vun de Elemente to bruken, t.B. de alphabetische Reeg. Dat kann een beter lesen. Man för de Koppel sülvst is de Reeg vun jümehr Elementen eendoont. Dat is dorbi nich begäng, Elementen mehr as eenmal optoschrieven. De Koppel warrt dör de Elemente defineert, de in ehr binnen sünd, un dat ännert nix an de Koppel, wenn en Element tweemal opschreven warrt oder wenn twee Elemente tuuscht warrt: M =\{ \text{blau, gröön, root} \} = \{ \text{root, blau, gröön, blau} \}.

### Döör wöördlik Beskrieven
Dat is ok möglich, 'n Koppel mit Wöör to beschrieven, t.B. 
:A wees de Koppel woneem de eersten veer positiven helen Tallen binnen sünd.
:B wees de Koppel van de dree Klören uut de franzööske Flagg.

### Döör mathematische Notatschoon
Bi graute Koppels met veel Lidmaten is dat nich goot mööglik, denn Inholl van de Koppel kumplet optoskrieven. 
T.B. düert dat lang, E = \{ \text{de eersten 1000 positiven helen Tallen} \} uuttoskrieven un derto duurt dat ok lang, dat to lesen. Un so skrievt de Mathematikers dat denn ok nich ut, man se bruukt 'n Afkörten:
:E = \{ 1,2,3, \ldots , 1000 \}

Dat hait, de List lett sik afkörten, wenn de Elementen to 'n Munster passt, dat de Leser ok glieks rutfinnen kann. De List warrt dann mit dat Symbol (\ldots ) afkört. Man een mutt dann oppassen, so vele Elementen optoschrieven, dat dat Munster ok kloor is. Een Bispill: 

:X = \{1,2, \ldots , 16 \}

Hier gifft dat twee Mööglichkeiten, dat to verstån. Dat kann de Koppel vun de eersten 16 natüürliken Tallen ween, mär ok de Koppel vun de eersten 5 Potenzen vun de 2, düs \{1, 2, 4, 8, 16\}.

Dit System funktscheneert ok blots dann, wenn dat Munster licht ruttofinnen is, t.B. hett de Koppel 
:F = \{ -4, -3, 0, \ldots, 357 \}
ok 'n System, man dat is nich glieks kloor, wat dat is:
:F = \{ \text{de eersten 20 Tallen, wat 4 minner as een Quadrattall ween} \}

För sükke Fälle hebbt de Mathematikers 'n spezielle Skrievwies:
: F = \{ n^2-4 \; | \; n \in \mathbb{N}, \; 1 \leq n \leq 19 \}
In disse Skrievwies hait de Streek (|) *so dat* oar *woneem*. Faak warrt der ok (:) för brukt. De Mathematikers leest dat dann so:
:F is de Koppel vun Tallen mit de Form n^2-4, woneem n 'n natürlike Tall grötter 0, minner 19 is.

Dårmet gifft't de kumplette List vun de Lidmaten, wenn een in den Utdruck n^2-4 för n alle (natürliken) Tallen vun 0 bet 19 insetten doot.

## Schrievwiesen
Låt A un B Koppels ween un c een Objekt (t.B. een Tall, een Vektor, oar een annere Koppel).
* Een skrievt c \in A, as c een Lidmat van A is un c \notin A as nich.
* A is een Deelkoppel van B un een doot A \subseteq B skrieven, as elk Lidmat van A ok een Lidmat van B is. Mathematisk uutdrückt is A een Deelkoppel van B as de Uutsäg \forall x (x \in A \to x \in B) gill.
* Een nöömt A un B liek un skrievt A=B, wan se desülvigen Lidmaten beinhollen. Düt is äquivalent to (A \subseteq B \and B \subseteq A). Dat achtere is in de Praxis faken eenfakker to wiesen.
* Is A \subseteq B, mär A \neq B, warrt A een propper Deelkoppel van B nöömt, wat een met A \subsetneq B noteern kann. (Waarschau: Een draf A \subsetneq B un A \nsubseteq B nich döörnannerbrängen!)

## Koppelkonstruktionen

Låt A un B Koppels ween.

### Uutsünnern
Is P(x) een Eegenschop, so winnt een döör Uutsünner de Koppel
:\{ a \in A \; | \; P(a) \}

### Mengsel
De Koppel van't Mengsel van A un B is geaven döör
:A \cup B = \{ x \; | \; x \in A \text{ oar } x \in b \}

### Snib
De Snibkoppel van twee Koppels is defineert as
:A \cap B = \{ a \in A \; | \; a \in B \}

### Ünnerschaid
De Ünnerschaid van twee Koppels is defineert as
:A \setminus B = \{ a \in A \; | \; a \notin B\}
Uutsproken warrt dat *A sünner B*.

### Symmetrisken Ünnerschaid
De symmetrske Ünnerschaid van twee Koppels is defineert as
:A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)

### Kumelment
Faak is een Koppel A een Deelkoppel van een Overkoppel X. Wann uut denn Kontext klår is, in wekke Overkoppel A *leevt*, is dat Kumpelment
:A^C = \{ x \in X \; | \; x \notin A\}
de Koppel van alle Lidmaten van X, wel nich in A to finnen sint. För dat Kumpelment gifft dat de alternative Schrievwiese \bar{A}.

### Kartees'sk Produkt
Sint a und b Objekten, so warrt dat arrangsjeert Paar van a un b met (a, b) betekent. Et is düs (a,b) = (a', b') akkråt dann, wann a=b un a' = b'. Dat kartees'ske Produkt van twee Koppels is defineert as de Koppel

:A \times B := \{(a,b) \; | \; a \in A \text{ un } b \in B \}

Op desülve Maneer defineert een dat Tripel (a,b,c) un gans allgemeen n-Tupel (a_1, \ldots , a_n) för een belaivig n \in \mathbb{N}. Skrieven warrt dat dann ok as

:\prod_{i=1}^{n} A_i := A_1 \times \cdots \times A_n := \{ (a_1, \ldots, a_2) \; | \; a_i \in A_i \text{ för } i=1, \ldots, n \}

Is A_i = A för alle i, so skrievt een A^n an Stiär van \prod_{i=1}^n A_i .

### Potenskoppel
De Koppel van alle Deelkoppels van A hait de Potenskoppel van A. Se warrt met \mathcal{P} (A) betekent.

## Bispellen
*  \emptyset  betekent de lüerige Koppel
* \mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, \ldots \} betekent de Koppel van de natürliken Tallen, \mathbb{Z} de Koppel van de helen Tallen, \mathbb{Q} de Koppel van de broaken Tallen, \mathbb{R} de Koppel van de reellen Tallen un \mathbb{C} de Koppel van de komplexen Tallen. Et is
::\emptyset\subsetneq\mathbb{N}\subsetneq\mathbb{Z}\subsetneq\mathbb{Q}\subsetneq\mathbb{R}\subsetneq\mathbb{C}
* Dat is wichtig, A un \{ A \} nich döörnanner to bringen. So is t.B. \{ \emptyset \} nich lüerig (de beinhollt denn eenigen Lidmat \emptyset), un de Koppel \{ \mathbb{N} \} häff mär een Lidmat (nöömlik \mathbb{N}), tiedens \mathbb{N}  sünnerennlik is.
* X^C = \emptyset un \emptyset^C = X
*  \mathcal{P}(\emptyset ) = \emptyset un \mathcal{P}(\emptyset ) = \{ \emptyset, \{\emptyset \} \}