ထပ်ကိန်းနှင့်ကိန်းရင်းများ

## ထပ်ကိန်းနှင့်ကိန်းရင်းများ
က၊ က၂၊ က၃၊ က၄ စသောဂဏန်း (ဝါ)ကိန်းများအနက် 
ကသည် တထပ် ကိန်းဖြစ်သည်။ က၂ သည် က x က နှင့် 
ညီမျှသဖြင့်၊ က၏ နှစ်ထပ်ကိန်းဖြစ်၏။ ထိုအတူ က၃ နှင့် 
က၄ တို့သည် က၏ သုံးထပ်ကိန်းနှင့် လေးထပ်ကိန်းများ ဖြစ် 
ကြသည်။ က၏ သုညထပ်ကိန်းသည် ၁ နှင့် ညီသည်။ 
အကြောင်းမူကား က၁xက၂=က0=ကလ။ အကျဉ်းအားဖြင့် 
က0=ကလ။ ဤညီမျှခြင်း၏ ဝဲယာကို ကလနှင့် စားသော 
ကဝ=ကလ/ကလ=၁ ဖြစ်သောကြောင့်တည်း။ ထပ်ကိန်းတစ်ခု 
၏ အထပ်ပေါင်းကိုဖော်ပြသည့် ဂဏန်းကို အထပ်ညွှန်းဂဏန်း 
ဟု ခေါ်သည်။ က တွင် အထပ်ညွှန်းဂဏန်းသည် ၁ ဖြစ်၍၊ 
က၂၊ က၃၊ က၄ တွင် အထပ်ညွှန်းဂဏန်းများသည် ၂၊ ၃၊ ၄ 
အသီးသီးဖြစ်ကြသည်။ ဂဏန်းသင်္ချာတွင်လည်း ထပ်ကိန်း 
များကို ၂၂၊ ၃၂၊ ၉၂၊ ၁ဝ၂ အစရှိသဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာမှာကဲ့သို့ 
ရေးသားလေ့ရှိကြသည်။ အထပ်ညွှန်းဂဏန်းရှေ့တွင် အနုတ် 
လက္ခဏာပါလျှင် ဆိုင်ရာထပ်ကိန်းကို ပိုင်းခြေနေရာတွင် အသုံး 
ပြုရန်ဖြစ်သည်။ ဥဒါဟရုဏ်အားဖြင့် ၄-၂=၁/၄၂။ ဤညီမျှ 
ခြင်းဟု ဟုတ်မှန်သည်ကို သာဓကပြရန် လိုပေသည်။
က၅/က၂=ကကကကက/ကကÓက၃ (၁)။
က၅ထက၂=က၅-၂=က၃ (၂)။ ညီမျှခြင်း (၁)နှင့် (၂)ကြောင့် 
အောက်ပါအတိုင်း ဆုံးဖြတ်သည်။
က၅/က၂=က၅ထက-၂
တစ်နည်းဆိုသော် က၅ထ၁/က၂=က၅ထက-၂
၁/က၂=က-၂
နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းဆိုရာ၌ ပေးထားသော ဂဏန်းရအောင် 
နှစ်ခါထပ်၍ မြေ|ာက်ယူရသည့် ဆခွဲကိန်း နှစ်လုံးအနက် 
တစ်လုံးကို ဆိုလိသည်။ ၈ထ၈ သည် ၆၄ နှင့်ညီမျှသောကြောင့် 
၈ သည် ၆၄ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ဖြစ်သည်။ 'နှစ်ထပ်ကိန်း 
တိ'ဆိုသည်မှာ ယင်း၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းကို ကိန်းပြည့်ဖြင့် 
ဖြစ်စေ၊ ပိုင်းဝေ ပိုင်းခြေတို့၏ ကိန်းပြည့်ဖြစ်သော အပိုင်း 
ဂဏန်းဖြင့်ဖြစ်စေ ပြနိုင်သောကိန်း (ဂဏန်း)ဖြစ်သည်။ ဥဒါဟ 
ရုဏ် အားဖြင့်၊ ၁၂၁ နှင့် ၉/၄၉ ဟူသော ကိန်းများ၏ နှစ် 
ထပ်ကိန်းရင်းမှာ ၁၁ နှင့် ၃/၇ အသီးသီးဖြစ်ကြ၍၊ ထိုကိန်း 
နှစ်ခုတို့သည် 'နှစ်ထပ်ကိန်းတိ'များ ဖြစ်ကြသည်။ အများအား 
ဖြင့် ဂဏန်းများအနက် 'နှစ်ထပ်ကိန်းတိ'သည် အလွန်ရှား 
ပါးလေသည်။ ၁ နှင့် ၁ဝဝ အကြားတွင် နှစ်ထပ်ကိန်းတိ ၁ဝ 
လုံးသာရှိ၍၊ ၁ နှင့် ၁ဝဝဝ ကြားတွင်မူကား ၃၁ လုံး 
သာရှိသည်။ သို့သော် မည်သည့်ဂဏန်းကိုမဆို ထပ်တစ်လဲ 
လဲမြေ|ာက်လျှင် ထပ်ကိန်းတစ်ခုခုရရှိနိုင်သဖြင့် ဂဏန်းဟူသမျှ 
သည် ထပ်ကိန်းရင်းများ ဖြစ်နိုင်ကြသည်။
နှစ်ထပ်ကိန်းတိ၏ ကိန်းရင်းတွင် တွေ့ရှိရသည့် အချက် 
အလက်များ။
နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ၁ ၂ ၃ ၄ ၅ ၆ ၇ ၈ ၉ ၁ဝ ၁ဝဝ 
ဖြစ်လျှင်၊ နှစ်ထပ်ကိန်းတိများသည် ၁ ၄ ၉ ၁၆ ၂၅ ၃၆ ၄၉ 
၆၄ ၈၁ ၁ဝဝ ၁ဝဝဝ အသီးသီး ဖြစ်ကြသည်။ မည်သည့် 
ဂဏန်းကိုမဆို နှစ်ခါထပ်၍မြေ|ာက် လျှင် ၂ ၃ ၇ ၈ ဟူသော 
ခုဂဏန်းများကိုမရသဖြင့် ခုဂဏန်းဖြစ်ကြသော နှစ်ထပ်ကိန်း 
တိများအနက် ဤဂဏန်းများကို မတွေ့ရချေ။ နှစ်ထပ်ကိန်းတိ 
တစ်ခု၏ အဆုံးတွင်သုညပါလျှင် သုညသည် ၂ လုံးသော်လည်းကောင်း၊ 
၆ လုံးသော်လည်းကောင်း၊ အစရှိသည်ဖြင့် 'စုံ'ဖြစ်ရမည်။ 'မ'မဖြစ်နိုင် 
ချေ။ နှစ်ထပ်ကိန်းတိနှင့် ယင်း၏ကိန်းရင်းတွင်ပါရှိသော 
ဂဏန်း၏အရေအတွက်ကို အောက်ဖော်ပြပါ ဥဒါဟရုဏ်များမှ 
သိရှိနိုင်သည်။
 
## ဥပဒေများ
နှစ်ထပ်ကိန်းတိတွင် ဂဏန်း ၁ လုံး၊ သို့မဟုတ် နှစ်လုံး 
ပါလျှင် နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းတွင် ဂဏန်းတစ်လုံးသာ ရှိသည်။
နှစ်ထပ်ကိန်းတိတွင် ဂဏန်း ၃ လုံး၊ သို့မဟုတ် ၄ လုံး 
ပါလျှင်၊ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းတွင် ဂဏန်းနှစ်လုံးပါသည်။
အားလုံးကိုခြုံလျှင်၊ ဂဏန်းအားလုံးပေါင်း (န-၁) သို့မ 
ဟုတ် န ပါရှိသော နှစ်ထပ်ကိန်းတစ်ခု၏ ထပ်ကိန်းရင်းတွင် 
ဂဏန်းအလုံးပေါင်း န/၂ မျှပါရှိပေသည်။
နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းရှာနည်း။
ဤနည်းသည် အောက်ပါအက္ခရာသင်္ချာ ပုံသေတွက်နည်းမှ 
ဖြစ်ပေါ်လာလေသည်။

(က+ခ) ၂=က၂+ ၂ကခ+ခ၂
ဤညီမျှခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ပြုပြင်၍ရေးနိုင်သည်။

(က+ခ) ၂-က၂= ၂ကခ+ခ၂
= ခ (၂က+ခ)
### ပုစ္ဆာ
၆ဝ၈၄ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းကိုရှာပါ။
### တွက်နည်း
ဤနှစ်ထပ်ကိန်းတွင် ဂဏန်းလေးလုံးရှိသဖြင့်၊ နှစ်ထပ်ကိန်း 
ရင်းတွင် ဂဏန်းနှစ်လုံးရှိရမည်။ တစ်နည်းဆိုသော် နှစ်ထပ် 
ကိန်းရင်းသည် ၁ဝ နှင့် ၉၉ ကြားတွင် ရှိရပေမည်။
တစ်ဖန် (၇ဝ)၂=၄၉ဝဝ
(၈ဝ)၂=၆၄ဝဝ အသီးသီးဖြစ်ကြ၍၊ ၆ဝ၈၄ ၏ 
နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းသည် ၇ဝ နှင့် ၈ဝ ကြားတွင် ရှိရပေမည်။
အထက်ပါပုံသေတွက်နည်းတွင် က ကို ဆယ်ဂဏန်းဟု 
သဘောထား၍ ခ ကို ခုဂဏန်းဟု သဘောထားလျှင် က 
သည် ၇ဝ နှင့်ညီသည်။ ခ သည် ၁ နှင့် ၉ ဂဏန်းများအနက် 
တစ်ခုခုဖြစ်သည်။
(က+ခ) ၂=၆ဝ၈၄
က=၇ဝ
၆ဝ၈၄- (၇ဝ) ၂=ခ (၁၄ဝ+ခ)
ခ=၁၁၈၄/၁၄ဝ+ခ
ခသည် ခုဂဏန်းဖြစ်၍၊ ၉ ထက်မကြီးကြောင်း သိရသည်။ 
အထက်ပါ အပိုင်းဂဏန်း၏ ပိုင်းခြေသည် ၁၄ဝ နှင့် ၁၄၉ 
အကြားတွင် ရှိရပေမည်။ ၆ဝ၈၄ ၏ ခုဂဏန်းသည် ၄ ဖြစ် 
သောကြောင့် ခ သည် ၂ သော်လည်းဖြစ်ရမည်။ ဂ သော် 
လည်းဖြစ်ရမည်။ (၂ထ၂=၄ သို့မဟုတ် ၈ ထ၈=၆၄)။ ခ အစား 
၈ ဂဏန်းကိုထည့် ကြည့်ရာတွင် ညီမျှခြင်း ကိုက်ညီကြောင်းကို 
တွေ့ရသည်။
ခ=၈
၆ဝ၈၄ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းသည် (၇ဝ+၈)သို့မဟုတ် ၇၈ 
ဖြစ်သည်။
 
### ဒုတိယနည်း
၇၈ ၇ဝ+၈
၇၈ ၇ဝ+၈
၆၂၄ ၄၉ဝဝ+ ၅၆ဝ
၅၄၆ + ၅၆ဝ + ၆၄
၆ဝ၈၄ ၄၉ဝဝ + ၁၁၂ဝ +၆၄Ó၆ဝ၈၄
၇၈ ဟူသောကိန်းမှ ဆယ်ဂဏန်း၏ နှစ်ထပ်ကိန်း (၇ဝ ထ 
၇ဝ=၄၉ဝဝ) + ဆယ်ဂဏန်းနှင့် ခုဂဏန်းတို့၏ မြေ|ာက်ရ 
ကိန်း ၂ ဆ (၂ ထ၇ဝ ထ၈=၁၁၂ဝ)+ ခုဂဏန်း၏ နှစ်ထပ်ကိန်း 
၆၄ သည် ၇၈ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းဖြစ်သည်။ ဤတွက်နည်း 
သဘောကိုနားလည်လျှင် အောက်ပါနှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ရှာယူ 
နည်းကို နားလည်နိုင်ပေသည်။ အစ၌ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း 
ရှာရမည်ဖြစ်သော ကိန်း၏လကျာ်ဘက်အစွန်မှစ၍ ဂဏန်း 
နှစ်လုံးစီတွဲပေးပါ။ ထိုနောက် ပထမနှစ်လုံးတွဲဖြစ်သော ၆ဝ 
နှင့် အနီးဆုံးဖြစ်သည့် နှစ်ထပ်ကိန်း၏ ကိန်းရင်းကိုရှာပါ။ 
ယင်းကို နှစ်ထပ်ကိန်းပြုလုပ်ပြီးသော် ပထမအတွဲမှ ထိုနှစ် 
ထပ်ကိန်းကိုနုတ်ပါ။ ထိုအခါ ၁၁၈၄ ကျန်သည်။ ထိုနှစ် 
ထပ်ကိန်းရင်း ၇ ဆယ်ကို ၂ နှင့်မြေ|ာက်ပါ။ ရရှိသော ၁၄ 
ဆယ်တွင် ၈ ပေါင်းပါ။ ပေါင်းရ ကိန်း ၁၄၈ နှင့် ၁၁၈၄ 
ကိုစားသော် ပြတ်သည်။ စားလဒ်တွင် ၈ ကိုပင် ရေးနိုင်သည်။ 
အဘယ်ကြောင့် ၈ ကို ရေးရသနည်းဆိုသော် ပေးထားကိန်း 
၆ဝ၈၄ တွင် ခုဂဏန်းသည် ၄ ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကျွနု်ပ် 
တို့သည် အစမ်းသဘောဖြင့် ၂ လီဖြစ်စေ၊ ၈ လီဖြစ်စေ ဝင် 
ကြည့်ကြသည်။ ၈ ကို ၁၄ဝ တွင် ပေါင်းထည့်ပြီးလျှင် ပေါင်း 
ရကိန်းဖြင့် ၈ လီဝင်ကြည့်သောအခါ၊ တိတိကျကျ ဝင်နိုင် 
ကြောင်းကို တွေ့ရသည်။ ထိုကြောင့် ၇၈ သည် ၆ဝ၈၄ ၏ 
နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းဖြစ်သည်။ လက်ဝဲဘက် နံဘေးကွက်လပ်တွင် 
ပါရှိသော တွက်ချက်ပုံကို ကြည့်ပါ။
 
## သုံးထပ်ကိန်းရင်း
ပေးထားသော ကိန်းတစ်ခုသည် န ဖြစ်၍၊ ယင်း၏ 
သုံးထပ်ကိန်းရင်းသည် (က+ခ)ဟူသော အက္ခရာသင်္ချာကိန်း 
တန်းတစ်ခုဖြစ်လျှင်၊ ထိုကိန်းတန်းတစ်ခုကို သုံးထပ်ကိန်း 
ပြုလုပ်သောအခါ န=(က၃+၃က၂ခ+ ၃ကခ၂+၃ကခ၂+ခ၂။ 
ဤညီမျှခြင်းတွင် ခ သည် က ထက်ငယ်သည်။ (ကခထခ) 
သည် (ကခထက)ထက်ငယ်သည်။ တစ်နည်းဆိုသော် က၂ ခ 
သည် ကခ၂ ထက်ကြီးသည်။ ထိုကြောင့် ၃က၂ခ သည် 
(န-က၃)၏ အစိတ်အပိုင်းကြီးဖြစ်သည်။ ထိုကြောင့် ခ သည် 
(န-က၃/၃က၂)၏ အစိတ်အပိုင်းကြီးဖြစ်သည်။
သုံးထပ်ကိန်းရင်းရှာနည်းသည်လည်း နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း 
ရှာနည်းကဲ့သို့ပင် အက္ခရာသင်္ချာ၏ သဘောပေါ်တွင် အမှီပြုနေ 
ပေသည်။
၁၃=၁၊ ၉၃=၇၁၉၊ ၁ဝ၃=၁,ဝဝဝ။ 
ဂဏန်းတစ်ခုတည်းပါဝင်သော ကိန်း၏ သုံးထပ်ကိန်းတွင် 
ဂဏန်း ၁ လုံး၊ ၂ လုံး၊ သို့မဟုတ် ၃ လုံးရှိသည်။
၁ဝ၃=၁,ဝဝဝ၊ ၉၉၃=၉၇ဝ,၂၉၉၊ ၁ဝဝ၃=၁,ဝဝဝ,ဝဝဝ။ 
ဂဏန်း ၂ ခုပါဝင်သောကိန်း၏ သုံးထပ်ကိန်းတွင် ဂဏန်း ၂ 
ခုပါဝင်သော ကိန်း၏ သုံးထပ်ကိန်းတွင် ဂဏန်း ၄ လုံး၊ ၅ 
လုံး၊ သို့မဟုတ် ၆ လုံးရှိသည်။
အထက်ပါ သာဓကများအရ ဤသို့လည်း ဆိုနိုင်သေးသည်။ 
ဂဏန်း ၃ လုံးပါဝင်သောကိန်း၏ သုံးထပ်ကိန်းတွင် ဂဏန်း 
၇ လုံး၊ သို့မဟုတ် ၈ လုံး၊ သို့မဟုတ် ၉ လုံးရှိသည်။
ပုစ္ဆာ။
၁၃,၈၂၄ ၏ သုံးထပ်ကိန်းရင်းကိုရှာပါ။
တွက်နည်း။
ပေးထားသောကိန်း၏ လကျာ်ဘက်အစွန်းမှစ၍ ဂဏန်း 
များကို သုံးလုံးတွဲ တတွဲတွဲပါ။ ကျန်ဂဏန်း ၂ ခု (၁၃)ကို 
တတွဲဟု ရေတွက်ပါ။ နောက် ဤအတွဲအောက်ရှိ အကြီးဆုံး 
သုံးထပ်ကိန်းရင်း (က)ကိုရှာပါ။ (၂ဝ၃=က၃ ၂ဝ=က) ထိုကိန်း 
ကို သုံးထပ်ပြုလုပ်ပြီးလျှင်၊ ပေးထားသည့်ကိန်း (န=၁၃,၈၂၄)မှ 
နုတ်လိုက်သော် ၅၈၂၄ ကျန်သည်။ သုံးထပ်ကိန်းရင်းဖြစ်သော 
၂ဝ ကို နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းပြုလုပ်၍၊ ၃ နှင့်မြေ|ာက်ပါ။ ဤသို့ 
မြေ|ာက်ယူသောအခါ
၃ထ၂ဝ၂ (၃က၂)ကိုရသည်။ ဤကိန်းကို အစမ်းစားကိန်း 
ပြုလုပ်၍ သုံးထပ်ကိန်းရင်း၏ ခ ဟူသော ခုဂဏန်း (ဒုတိယ 
ဂဏန်း)ကို ရှာသောအခါ၊ ၄ ကိုရသည်။ ၅ မဖြစ်နိုင်။ 
အကြောင်းမူကား ၃ထ၂ဝ၂ထ၅=၆ဝဝဝ ဖြစ်၍၊ ၅၈၂၄ ထက် 
ကြီးနေသောကြောင့်တည်း။ ဤနည်းအားဖြင့် ၃က၂ခ= 
၃ထ၂ဝ၂ထ၄=၄၈ဝဝ။ ပထမ ကိန်းရင်း ၂ဝ(က)နှင့် (၄၂ထ၃) 
ကို ဆက်မြေ|ာက်ယူပါ။ ထိုအခါ ၃ကခ၂=(၃ထ၂0x42)။ 
ခ၃=၄၃=၆၄ ထိုကြောင့် တွက်နည်းတွင် ပြထားသည့်အတိုင်း 
(၃က၂ခ+၃ကခ၂+ခ၃)=၅၈၂၄။ (၃က၂ခ+၃ကခ၂+ခ၃)နှင့် 
ပထမအကြွင်း(၅၈၂၄)ကို တိပြတ်အောင် စားနိုင်သည့်အတွက် 
ကြောင့် ၁၃,၈၂၄ ၏ သုံးထပ်ကိန်းရင်းသည် ၂၄ ဖြစ်သည်။ 
အထက်ကွက်လပ်တွင် ပြထားသော တွက်ပုံတွက်နည်းကို 
ကြည့်လေ။
## လော့ဂရစ်သမ်နည်း
ကိန်းတစ်ခု၏ ထပ်ကိန်းနှင့် ကိန်းရင်းများကို လော့ဂရမ် 
သမ်ဇယားများဖြင့်လည်း အလွယ်တကူ ရှာယူနိုင်သည်။ လော့ 
ဂရမ်သမ်နည်းဖြင့်ဆိုသော် ကိန်းရင်းတစ်ခု၏ လော့ဂရစ်သမ်ကို 
အထပ်ညွှန်းဂဏန်းဖြင့် မြေ|ာက်လျှင် ထပ်ကိန်း၏ လော့ကိုရ 
သည်။ ထပ်ကိန်း၏ လော့ဂရစ်သမ်ကို အထပ်ညွှန်းဂဏန်းနှင့် 
မြေ|ာက်လျှင်၊ ကိန်းရင်း၏ လော့ကိုရသည်။
တွက်နည်း။
လော့ ၁၃၈၂၄=၄ ့၁၄ဝ၆
လော့ ၁၃၈၂၄၁/၃=၄ ့၁၄ဝ၆ ၃
=၁ ့၃၈ဝ၂
ကိန်း=၁0x2 h၄=၂၄
ဥဒါဟရုဏ်။
၂၄ ၏ သုံးထပ်ကိန်းကို ရှာပါ။
တွက်နည်း။
လော့ ၂၄=၁ ့၃၈ဝ၂
လော့ ၂၄၃=၁ ့၃၈ဝ၂ ထ ၃=၄ ့၁၄ဝ၆
ကိန်း=၁ ့၃၈၂၄ ထ ၁ဝ၄ = ၁၃၈၂၄
သင်သည် အထက်ပါတွက်နည်းများကို သိဖို့ရန်လိုသော် 
လည်း၊ ထပ်ကိန်းရင်းတို့ကိုလိုတိုင်း တွက်ချက်ရှာယူရန် မလို 
ချေ။ အကြောင်းမူကား အချိန်ကုန်သက်သာရန် ရေးဆွဲပြု 
လုပ်ထားပြီးဖြစ်သော ထပ်ကိန်းဇယားကြီးနှင့် ကိန်းရင်းဇယား 
ကြီးများ ရှိနေသောကြောင့်တည်း။ ဤဇယားများကို တချက် 
ကြည့်ခြင်းဖြင့်၊ မည်သည့် ဂဏန်းထပ်ကိန်းနှင့် ကိန်းရင်းကို 
မဆို သိရှိနိုင်ပေသည်။ 
## ကိုးကား