ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ

**ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ** (category theory) သည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခြုံငုံလေ့လာသည့် ယေဘုယျ သင်္ချာသီအိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်။

ဤသီအိုရီသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများစွာကို မြားပုံကြမ်းများ (diagrams of arrows) အမျိုးမျိုး အသုံးပြု၍ ဖော်ပြနိုင်သည်ဟူသော အယူအဆအပေါ် အခြေခံသည်။ ဤသို့ အလွန်ယေဘုယျကျသော အခြေအနေတွင် လေ့လာခြင်းကြောင့် သင်္ချာပညာရပ်ရှိ ဘုံတူသော တည်ဆောက်ပုံများနှင့် ပုံစံများကို ပိုမိုနားလည်သဘောပေါက်စေသည်။ သို့ကြောင့် ကွဲပြားခြားနားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများအကြားရှိ ဆင်တူသော သဘောတရားများကို စုစည်းလေ့လာနိုင်စေသည်။ အစောပိုင်း ထင်ရှားသော ဥပမာတစ်ခုမှာ အုပ်စု ကိုဟိုမိုလော်ဂျီ (group cohomology)၊ လီအက္ခရာသင်္ချာ ကိုဟိုမိုလော်ဂျီ (Lie algebra cohomology) နှင့် ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ ကိုဟိုမိုလော်ဂျီ (associative algebra cohomology) တို့အား သင့်လျော်သော မော်ဂျူး ကတ်တဂိုရီ (suitable module category) တစ်ခုတွင်  ဆင်းသက်ဖန်တာများ (derived functors) အဖြစ် ပြန်လည်ပုံဖော်ခဲ့နိုင်ခြင်းဖြစ်သည်။

ကတ်တဂိုရီများကို ၁၉၄၅ ခုနှစ်တွင် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Eilenberg) နှင့် မက်လိန်း (Mac Lane) တို့၏ စာတမ်းတစ်ခု၌ စတင်အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။   အဓိက ရည်ရွယ်ချက်မှာ ထိုခေတ်အခါက နယ်ပယ်အသီးသီးနှင့် အထူးသဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) ရှိ စာတမ်းများစွာတွင် အလွတ်သဘော အသုံးပြုနေကြသော "သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း" (natural transformation) ဟူသည့် သဘောတရားကို ပုံစံတကျ သတ်မှတ်ပေးရန်ဖြစ်သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဤသီအိုရီသည် သူ့သဘောသူဆောင်၍ တစတစ ကျယ်ပြန့်လာရာ ယခုအခါတွင် မျက်မှောက်ခေတ် သင်္ချာနှင့် သဘောတရားရေးရာ ကွန်ပျူတာသိပ္ပံတို့တွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အဓိကကျသည့် အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်လာပြီး၊ ၎င်းကို သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒတွင်လည်း အသုံးပြုလာကြသည်။ သိပ္ပံဘာသာရပ် အသီးသီးရှိ တည်ဆောက်ပုံအမျိုးမျိုး၏ ဘုံတူညီမှုများကို ဖော်ပြသည့် ဘာသာစကားအဖြစ် လည်းကောင်း၊ ၎င်း ဘုံတည်ဆောက်မှုများကို ပုံစံတကျ (formal) ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ရာတွင် လည်းကောင်း အသုံးပြုလာကြသည်။

**ပိုမိုမြင့်မားသော ကတ်တဂိုရီများ (Higher categories)** ၏ ဥပမာတစ်ခုဖြစ်သည့် **2-ကတ်တဂိုရီ (2-category)** အကြောင်းကို 2-ကတ်တဂိုရီ တွင် ဖတ်ရှုနိုင်ပါသည်။

## အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်
**ကတ်တဂိုရီ (category)** တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်-

* **အရာဝတ္ထုများ (Objects):** X, Y, Z, \dots စသည့် အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုတစ်ခု။

* **မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):** f, g, h, \dots စသည့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုတစ်ခု။

မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုစီတိုင်းတွင် **အရင်းအမြစ် (domain)** နှင့် **ပစ်မှတ် (codomain)** အရာဝတ္ထုများ သတ်သတ်မှတ်မှတ်ပါရှိသည်။ သင်္ကေတအရ f:X\rightarrow Y တွင် f သည် အရင်းအမြစ် X နှင့် ပစ်မှတ် Y တို့၏ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုအဖြစ် ကိုယ်စားပြုသည်။ 

အရာဝတ္ထု X တစ်ခုစီတိုင်းတွင်  **ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) **1_{X}:X\rightarrow X တစ်ခုစီ အသီးသီး သတ်သတ်မှတ်မှတ်ရှိသည်။

f ၏ ပစ်မှတ်နှင့် g ၏ အရင်းအမြစ်တို့ ထပ်တူညီပြီး ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲ f နှင့် g အတွက်မဆို gf ဟုခေါ်သော **ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် (composite morphism)** တစ်ခု ရှိသည်။

ထို gf ၏ အရင်းအမြစ်သည် f ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီပြီး ၎င်း၏ ပစ်မှတ်သည် g ၏ ပစ်မှတ်နှင့် တူညီသည်။

(မှတ်ချက်။ ဤတွင် "domain" နှင့် "codomain" တို့ကို ဘာသာပြန်ဆိုရာ၌ "အရင်းအမြစ်စု" နှင့် "ပစ်မှတ်စု" အစား "စု" (set) နောက်ဆက်တွဲကို ချန်၍ "အရင်းအမြစ်" နှင့် "ပစ်မှတ်" ဟုသာ အသုံးပြုထားသည်။ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီရှိ အရာဝတ္ထု (object) များသည် အစုများသာ ဖြစ်ရန်မလိုအပ်ဘဲ အခြားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများလည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ "စု" ဟု ထည့်သွင်းခေါ်ဆိုခြင်းသည် အစုသီအိုရီ (set theory) ဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို သွယ်ဝိုက်သက်ရောက်စေနိုင်သောကြောင့် ဤသို့ ချန်လှပ်အသုံးပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။)

### နဂိုမှန်အဆိုများ (Axioms) 
အထက်ပါအချက်အလက်များသည် အောက်ဖော်ပြပါ နဂိုမှန်အဆို နှစ်ခုကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်-

* မည်သည့် f:X\rightarrow Y အတွက်မဆို ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော 1_{Y}f နှင့် f1_{X} တို့ နှစ်ခုလုံးသည် f နှင့် ညီမျှသည်။
* ပေါင်းစပ်၍ရသော မော်ဖစ်ဇင်သုံးခု f, g, h တိုင်းအတွက် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သည့် h(gf) နှင့် (hg)f တို့သည် တူညီပြီး ၎င်းတို့ကို hgf ဟု တူတူသတ်မှတ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းနိယာမသည် **ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity)** နှင့် **ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ (unital)** တို့နှင့် ပြည့်စုံသည်။

## သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Small Category) နှင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Locally Small Category) 
ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ မော်ဖစ်ဇင်များအားလုံး စုစည်းမှုသည် အစု (set) တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို **သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category)** ဟု ခေါ်သည်။ 

ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု x, y တိုင်းအတွက်မဆို ၎င်းတို့ကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို **ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category)** ဟု ခေါ်သည်။

## ကတ်တဂိုရီပိုင်း (Subcategory) 
ကတ်တဂိုရီ C ၏ **ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)** D တစ်ခုကို  C အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of objects) နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of morphisms) တို့ကို ကန့်သတ်ယူဆောင်၍ သတ်မှတ်သည်။ သို့ရာတွင် ၎င်းသည် အောက်ဖော်ပြပါ အချက်အလက်များကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်-
* D အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ် မဆိုသည် D တွင် ပါဝင်ရမည်။

* D အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု၏ ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် D တွင် ပါဝင်ရမည်။

* D အတွင်းရှိ ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် D တွင် ပါဝင်ရမည်။

## ကတ်တဂိုရီ မြှောက်လဒ် (Product Category) 
မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ C နှင့် D အတွက်မဆို ၎င်းတို့၏ **မြှောက်လဒ် ကတ်တဂိုရီ (product category)** C \times D တစ်ခု ရှိသည်။ 
*၎င်း၏ အရာဝတ္ထုများသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) (c, d) များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် c သည် C ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခုဖြစ်ကာ d သည် D ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ 
*မော်ဖစ်ဇင်များသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (f, g): (c, d) \rightarrow (c^{\prime}, d^{\prime}) များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် f: c \rightarrow c^{\prime} \in C နှင့် g: d \rightarrow d^{\prime} \in D တို့ဖြစ်ကြသည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများအလိုက် (componentwise) အသီးသီး သတ်မှတ်သည်။

## ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (Opposite Category) 
မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ \text{C} အတွက်မဆို ၎င်း၏ **ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (opposite category)** \text{C}^{\text{op}} တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်-

***အရာဝတ္ထုများ (Objects):** \text{C} တွင်ရှိသော အရာဝတ္ထုများအတိုင်း တူညီစွာ ပါဝင်သည်။

***မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):** \text{C} အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် f တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် \text{C}^{\text{op}} တွင် မော်ဖစ်ဇင် f^{\text{op}} တစ်ခုစီ ရှိသည်။ f^{\text{op}} ၏ အရင်းအမြစ် သည် f ၏ ပစ်မှတ် အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး f^{\text{op}} ၏ ပစ်မှတ်သည် f ၏ အရင်းအမြစ် အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့်
 f^{\text{op}}: X \rightarrow Y \in \text{C}^{\text{op}} \Leftrightarrow f: Y \rightarrow X \in \text{C}

\text{C}^{\text{op}} ၏ ကျန်ရှိသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်-

*\text{C}^{\text{op}} တွင် အရာဝတ္ထု X တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် 1_{X}^{\text{op}} သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် 1_{X}^{\text{op}}:X\rightarrow X  ဖြစ်သည်။

***ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition)** ကို သတ်မှတ်ရာတွင် \text{C} အတွင်းရှိ g, f တွဲ ပေါင်းစပ်နိုင်မှသာ \text{C}^{\text{op}} အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တွဲ f^{\text{op}}, g^{\text{op}} ကို ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ g ၏ ပစ်မှတ်သည် f ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီမှသာ ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။  ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို g^{\text{op}} f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}} အဖြစ် ရေးသည်။

 f^{\text{op}}: X \rightarrow Y, g^{\text{op}}: Y \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}} \quad \rightsquigarrow \quad g^{\text{op}}f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}: X \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}}

\qquad \qquad \qquad \Updownarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Updownarrow

 g: Z \rightarrow Y, f: Y \rightarrow X \in \text{C} \qquad \quad \rightsquigarrow \qquad \quad fg: Z \rightarrow X \in \text{C}

## အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (Slice Categories) 
အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (slice categories) ကို c/C နှင့် C/c အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။

*ကတ်တဂိုရီ c/C တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် C အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် f: c \rightarrow x တစ်ခုဖြစ်ပြီး f: c \rightarrow x မှ g: c \rightarrow y သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် g = hf ဖြစ်စေမည့် C အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် h: x \rightarrow y တစ်ခုဖြစ်သည်။

*ကတ်တဂိုရီ C/c တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် C အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် f: x \rightarrow c တစ်ခုဖြစ်ပြီး f: x \rightarrow c မှ g: y \rightarrow c သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် f = gh ဖြစ်စေမည့် C အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် h: x \rightarrow y တစ်ခုဖြစ်သည်။

c/C သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်ဟူသော အချက်မှနေ၍ C/c := (c/(C^{op}))^{op} ဟူသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် C/c သည်လည်း ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။

## ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ (Comma category) 
ဖန်တာ F \colon \mathsf{D} \to \mathsf{C} နှင့် G \colon \mathsf{E} \to \mathsf{C} တို့ ပေးထားသော **ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ** F \downarrow G တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်-

*အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် (d \in \mathsf{D}, e \in \mathsf{E}, f \colon Fd \to Ge \in \mathsf{C}) ဟူသော သုံးခုတွဲ (triples) များ။

*(d, e, f) မှ (d', e', f') သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် \mathsf{C} အတွင်း ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေမည့် f' \cdot Fh = Gk \cdot f ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲများ (h \colon d \to d', k \colon e \to e') 

## အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements) 
လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor) F \colon \mathsf{C} \to \mathsf{Set} ၏ **အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ** \int F တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်-

*အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် F ၏ အစုဝင်များ c \in \mathsf{C} နှင့် x \in Fc ဖြစ်သော (c, x) တွဲများ

*(c, x) မှ (c', x') သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် Ff(x) = x' ဖြစ်စေမည့် \mathsf{C} အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ f \colon c \to c'

အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ (forgetful functor) \Pi \colon \int F \to \mathsf{C} တစ်ခု ရှိသည်။ ဤမေ့လျော့ဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီ \int F မှ အရာဝတ္ထု (c, x) ကို ကတ်တဂိုရီ \mathsf{C} ရှိ အရာဝတ္ထု c သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် f ကို မော်ဖစ်ဇင် f သို့ လည်းကောင်း တိုက်ရိုက် ပုံဖော်ပေးသည်။

## ဆန့်ကျင်ဘက်ဖန်တာ၏ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements of a contravariant functor) 
ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor) F \colon \mathsf{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set} ၏ **အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ** \int F တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်-

*အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် F ၏ အစုဝင်များ c \in \mathsf{C} နှင့် x \in Fc ဖြစ်သော (c, x) တွဲများ

*(c, x) မှ (c', x') သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် Ff(x') = x ဖြစ်စေမည့် \mathsf{C} အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ f \colon c \to c'

အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင်လည်း ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ \Pi \colon \int F \to \mathsf{C} တစ်ခု ရှိပြီး ၎င်းသည် အရာဝတ္ထု (c, x) အား c သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် f အား f သို့ လည်းကောင်း ပုံဖော်ပေးသည်။

## ကတ်တဂိုရီ ဥပမာများ 
* **Set**: အစုများ (sets) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ် သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင်များ (functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ်  သတ်မှတ်သည်။

***Top**: တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။

***Set_{*} နှင့် Top_{*}**:  အခြေခံအမှတ် (basepoint) သတ်မှတ်ထားသော အစုများ သို့မဟုတ် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အခြေခံအမှတ်ကို မပြောင်းလဲစေသော (အဆက်မပြတ်) ဖန်ရှင်များ (basepoint-preserving (continuous) functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။

***Group**: အုပ်စုများ (groups) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (group homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ်သတ်မှတ်သည်။

***Ring**: ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိတို့ ပြည့်စုံသော ကွင်းများ (associative and unital rings) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (ring homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။

***Mat_{R}**: ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) R တစ်ခုအတွက် Mat_{R} သည် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီဖြစ်သည်။ n မှ m သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် R မှ တန်ဖိုးများပါရှိသော m \times n ကိန်းအုံ (matrix) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မက်ထရစ်မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်ပြီး ထပ်တူရကိန်းအုံများသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။

***BG** (ကတ်တဂိုရီဖြစ် အုပ်စု): အုပ်စု G သို့မဟုတ် ယေဘုယျအားဖြင့် မိုနွိုက် (monoid) တစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ **BG** အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အုပ်စု G ၏ အစုဝင်များသည် ကတ်တဂိုရီ BG ၏ မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်းကို အစုဝင်များ မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်သည်။

## မော်ဖစ်ဇင် အမျိုးအစားများ (Types of Morphisms) 
***မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism):** ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် f: x\rightarrow y တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ (parallel morphisms) h,k: w\rightrightarrows x အတွက်မဆို fh=fk ဖြစ်လျှင် h=k ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို f ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။

***အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):** ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် f: x\rightarrow y တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ h,k: y\rightrightarrows z အတွက်မဆို hf=kf ဖြစ်လျှင် h=k ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို f ကို အပီမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။

***အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism):** ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် f:X\rightarrow Y အတွက် gf=1_X နှင့် fg=1_Y ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် g: Y\rightarrow X တစ်ခု တည်ရှိပါက ထို f ကို အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ အရာဝတ္ထု X နှင့် Y တို့ကြားတွင် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို **အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သော အရာဝတ္ထုများ (isomorphic objects)** ဟု သတ်မှတ်ပြီး သင်္ကေတအားဖြင့် X \cong Y ဟု ရေးသားသည်။

***အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (Endomorphism):** အရင်းအမြစ် နှင့် ပစ်မှတ် တူညီသော မော်ဖစ်ဇင်ကို အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။

***အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (Automorphism):** အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်လည်းဖြစ်သော အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကို အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။

***အပိုင်း နှင့် ရုပ်သိမ်းခြင်း (Section and Retraction):**    x\overset{s}{\longrightarrow} y \overset{r}{\longrightarrow} x  တို့သည် မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပြီး rs=1_{x} ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် s ကို **အပိုင်း (section)** သို့မဟုတ် r ၏ ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဟုခေါ်ပြီး r ကို **ရုပ်သိမ်းခြင်း (retraction)** သို့မဟုတ် s ၏ ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) ဟု ခေါ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် s သည် အမြဲတမ်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပြီး ဒွန်တွဲစွာဖြင့် r သည် အမြဲတမ်း အပီမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤ တစ်ဖက်သတ် ပြောင်းပြန်များ (one-sided inverses) ရှိနေခြင်းကို အသိအမှတ်ပြုသောအားဖြင့် s ကို ခွဲထွက် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (split monomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး r ကို ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။

### မော်ဖစ်ဇင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ နှင့် ဒွန်တွဲမှု (Properties and Duality) 
*ကတ်တဂိုရီ C အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် အပီမော်ဖစ်ဇင်  ဖြစ်လျှင်နှင့်မှသာလျှင်(if and only if)  ၎င်းသည် ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ C^{op} တွင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။
*f:x\rightarrow y နှင့် g:y\rightarrow z တို့သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် gf:x\rightarrow z သည်လည်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် (by duality) f:x\rightarrow y နှင့် g:y\rightarrow z တို့သည် အပီမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် gf:x\rightarrow z သည်လည်း အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။
*f:x\rightarrow y နှင့် g:y\rightarrow z တို့သည် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် gf အား မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်စေသော မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက f သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် monic) ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် gf သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်ပါက g သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် epic) ဖြစ်သည်။
*မည်သည့်ကတ်တဂိုရီတွင်မဆို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် C အတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် C^{op} အတွင်းရှိ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် တိုက်ရိုက် သက်ဆိုင်သောကြောင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည်လည်း  ကတ်တဂိုရီပိုင်း တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။
*ဖီးလ် (Field) ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ 
*ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများ (unital rings) ၏ ကတ်တဂိုရီဖြစ်သော Ring တွင် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) i: \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q} သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ရော အပီမော်ဖစ်ဇင်ပါ ဖြစ်သော်လည်း ၎င်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) မဟုတ်ပေ။

### အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ညီမျှချက်များ (Isomorphism Equivalences) 
အောက်ဖော်ပြပါ အဆိုများသည် အချင်းချင်း ညီမျှသည် (equivalent)

*(i) f:x\rightarrow y သည် C အတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။
*(ii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု c\in C တိုင်းအတွက်မဆို f ဖြင့် နောက်ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (postcomposition) ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (bijection) f_{*}:C(c,x)\rightarrow C(c,y) တစ်ခုကို ရသည်။
*(iii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု c\in C တိုင်းအတွက်မဆို f ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (precomposition) ဘိုင်ဂျက်ရှင်း f^{*}:C(y,c)\rightarrow C(x,c) တစ်ခုကို ရသည်။

ဤအခြေအနေတွင် "ဘိုင်ဂျက်ရှင်း" နှင့် "အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်" ဟူသော ဝေါဟာရများသည် သင်္ချာသဘောတရားအရ အဓိပ္ပာယ်တူညီကြသည်။ Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများပင် ဖြစ်သည်။  C(c,x) နှင့် C(c,y) တို့သည် ဟွမ်း-အစုများ (hom-sets) ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့သည် သတ်မှတ်ထားသော အရာဝတ္ထုနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သည့် အစုများဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် ပုံဖော်မှု f_{*} သည် အစုတစ်ခုမှ အခြားအစုတစ်ခုသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်သည်။ 

## ဖန်တာ (Functor) 
ကတ်တဂိုရီ C နှင့် D ကြားရှိ ဖန်တာ (functor) F: C \rightarrow D တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အချက်အလက်များ ပါဝင်သည်-

*C အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု c \in C တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် D အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု Fc \in D

*C အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် f:c \rightarrow c^{\prime} \in C တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် D အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် Ff:Fc \rightarrow Fc^{\prime} \in D

ဤတွင် Ff ၏ အရင်းအမြစ် နှင့် ပစ်မှတ် တို့သည် F ကို f ၏ အရင်းအမြစ် သို့မဟုတ် ပစ်မှတ်အပေါ်  အသီးသီး သက်ရောက်ထားခြင်းနှင့် ညီမျှသည်။

### နဂိုမှန်အဆိုများ 
အထက်ပါအချက်အလက်များသည် အောက်ဖော်ပြပါ ဖန်တာဖြစ်တည်မှု နဂိုမှန်အဆို (functoriality axioms) နှစ်ခုကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်-

*C အတွင်းရှိ ပေါင်းစပ်ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲ f, g အတွက်မဆို Fg \cdot Ff = F(g \cdot f) ဖြစ်သည်။
*C အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု c တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် F(1_{c}) = 1_{Fc} ဖြစ်သည်။

မှတ်ချက်။  ဤသတ်မှတ်ချက်ပါ ဖန်တာသည် မော်ဖစ်ဇင်များ၏ လားရာကို မပြောင်းလဲစေသောကြောင့် ၎င်းကို **လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)** ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။

### ဖန်တာ အမျိုးအစားများ 
***သစ္စာရှိဖန်တာ (Faithful functor):** ဖန်တာ F \colon \mathsf{C} \to \mathsf{D} တစ်ခုအတွက် \mathsf{C} အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထုတွဲ x, y \in \mathsf{C} တိုင်းအတွက်မဆို ပုံဖော်မှု f \mapsto Ff \colon \mathsf{C}(x,y) \to \mathsf{D}(Fx, Fy) သည်  အင်ဂျက်တစ် (injective) ဖြစ်ပါက ထိုဖန်တာကို သစ္စာရှိဖန်တာဟု ခေါ်သည်။
***ပြည့်ဝဖန်တာ (Full functor):** ဖန်တာ F \colon \mathsf{C} \to \mathsf{D} တစ်ခုအတွက် \mathsf{C} အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထုတွဲ x, y \in \mathsf{C} တိုင်းအတွက်မဆို ပုံဖော်မှု f \mapsto Ff \colon \mathsf{C}(x,y) \to \mathsf{D}(Fx, Fy) သည် ဆာဂျက်တစ် (surjective) ဖြစ်ပါက ထိုဖန်တာကို ပြည့်ဝဖန်တာဟု ခေါ်သည်။
***အရာဝတ္ထုများအပေါ် အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ (Essentially surjective functor on objects):** ဖန်တာ F \colon \mathsf{C} \to \mathsf{D} တစ်ခုအတွက် \mathsf{D} အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု d \in \mathsf{D} တိုင်းအတွက်မဆို d နှင့် Fc တို့ အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်စေမည့် အရာဝတ္ထု c \in \mathsf{C} တစ်ခု တည်ရှိပါက ထိုဖန်တာကို အရာဝတ္ထုများအပေါ် အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာဟု ခေါ်သည်။
***ထည့်သွင်းခြင်း (Embedding):** အရာဝတ္ထုများအပေါ် အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော သစ္စာရှိဖန်တာတစ်ခုကို ထည့်သွင်းခြင်း ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် အရင်းအမြစ် ကတ်တဂိုရီအား ပစ်မှတ် ကတ်တဂိုရီ၏ ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
***အပြည့်အဝ ထည့်သွင်းခြင်း (Full embedding):** အရာဝတ္ထုများအပေါ် အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (fully faithful functor) ကို အပြည့်အဝ ထည့်သွင်းခြင်း ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်း၏အရင်းအမြစ်သည် ပစ်မှတ်၏ ပြည့်ဝသော ကတ်တဂိုရီပိုင်း (full subcategory) တစ်ခုအဖြစ် ဖွဲ့စည်းသည်။

## ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (Contravariant Functor) 
C မှ D သို့သွားသော ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor) F ဆိုသည်မှာ ဖန်တာ F: C^{\text{op}} \rightarrow D သာဖြစ်သည်။ ၎င်းတွင် အောက်ပါ အချက်အလက်များ ပါဝင်သည်-

*C အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု c \in C တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် D အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု Fc \in D

*C အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် f:c \rightarrow c^{\prime} \in C တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် D အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် Ff:Fc^{\prime} \rightarrow Fc \in D

ဤတွင် Ff ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်တို့သည် F ကို f ၏ ပစ်မှတ် သို့မဟုတ် အရင်းအမြစ်အပေါ် အသီးသီး သက်ရောက်ထားခြင်းနှင့် ညီမျှသည်။

### နဂိုမှန်အဆိုများ 
အထက်ပါအချက်အလက်များသည် အောက်ဖော်ပြပါ ဖန်တာဖြစ်တည်မှု နဂိုမှန်အဆို နှစ်ခုကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်-

*C အတွင်းရှိ ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ f, g အတွက်မဆို Ff \cdot Fg = F(g \cdot f) ဖြစ်သည်။

*C အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု c တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် F(1_{c}) = 1_{Fc} ဖြစ်သည်။

## ကိုယ်စားပြု ဖန်တာ (Represented Functor) 
C သည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ ဖြစ်ပါက မည်သည့် အရာဝတ္ထု c \in C အတွက်မဆို c ဖြင့် ကိုယ်စားပြုထားသော ဖန်တာနှင့် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ အတွဲကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်နိုင်သည်-

 C(c, -): C \rightarrow Set

 C(-, c): C^{op} \rightarrow Set

*ဖန်တာ C(c, -) သည် x \in C ကို အစု C(c, x) သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် (dually) ဖန်တာ C(-, c) သည် x \in C ကို အစု C(x, c) သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။

*ဖန်တာ C(c, -) သည် မော်ဖစ်ဇင် f: x \rightarrow y ကို နောက်ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း ဖန်ရှင် (postcomposition function) f_{*}: C(c, x) \rightarrow C(c, y) သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် ဖန်တာ C(-, c) သည် မော်ဖစ်ဇင် f ကို ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း ဖန်ရှင် (precomposition function) f^{*}: C(y, c) \rightarrow C(x, c) သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။

## နှစ်ဖက်ပါ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာ (Two-sided Represented Functor) 
C သည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီဖြစ်ပါက **နှစ်ဖက်ပါ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာ (two-sided represented functor)** C(-, -): C^{op} \times C \rightarrow Set တစ်ခု တည်ရှိသည်။

*အရာဝတ္ထုစုံတွဲ (x, y) ကို ဟွမ်း-အစု (hom-set) C(x, y) သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ 
*မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ f: w \rightarrow x နှင့် h: y \rightarrow z တို့ကို အောက်ပါ ဖန်ရှင်သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်-

 C(x, y) \xrightarrow{h \cdot - \cdot f} C(w, z)
 g \mapsto hgf

၎င်းသည် g: x \rightarrow y ကို ယူ၍ f ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း  နှင့် h ဖြင့် နောက်ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း  တို့ကို ပြုလုပ်ကာ hgf: w \rightarrow z ကို ရရှိစေသည်။ ဤသတ်မှတ်ပေးမှုသည် ပေါင်းစပ်ခြင်း၏ ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ တို့ပြည့်စုံ၍  **နှစ်ထပ်ဖန်တာဖြစ်တည်မှု (bifunctorial)** ဖြစ်သည်။

## ပုံကြမ်း (Diagram) 
ကတ်တဂိုရီ C တစ်ခုရှိ ပုံကြမ်း (diagram) ဆိုသည်မှာ ဖန်တာ F:J\rightarrow C တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အရင်းအမြစ် (domain) ကို ပုံကြမ်း၏ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (indexing category of the diagram) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ပုံကြမ်းတစ်ခုသည် ဖန်တာတစ်ခုသာ ဖြစ်သော်လည်း လက်တွေ့တွင်မူ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် ပစ်မှတ် ကတ်တဂိုရီထက် ပိုမိုသေးငယ်သောအခါ ထိုဖန်တာကို ပုံကြမ်းအဖြစ် ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) ဖြစ်ပါက ထိုပုံကြမ်းကို သေးငယ်သော ပုံကြမ်းဟု သတ်မှတ်သည်။

## ဖန်တာ ဥပမာများ 
***အခြေခံအုပ်စု (Fundamental Group):** အခြေခံအုပ်စုကို ဖန်တာ \pi_{1}: Top_* \rightarrow Group တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အခြေခံအမှတ်ပါသော ရပ်ဝန်းများကြားရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် f:(X,x)\rightarrow(Y,y) တစ်ခုသည် အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် f_{*}:\pi_{1}(X,x)\rightarrow \pi_{1}(Y,y) တစ်ခုကို သက်ရောက်ဖြစ်ပေါ်စေသည်။
***ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်များ (Chain Complexes):** ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်များ၏ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ f_{\bullet}:C_{\bullet}\rightarrow C_{\bullet}^{\prime} တွင် မည်သည့် n\in\mathbb{Z} အတွက်မဆို df_{n}=f_{n-1}d ဖြစ်စေမည့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် f_{n}:C_{n}\rightarrow C_{n}^{\prime} များ စုစည်းပါဝင်သည်။ ယင်းအပေါ်အခြေခံ၍ အောက်ပါ ဖန်တာများကို ထပ်မံသတ်မှတ်နိုင်သည်-
** **စက်ဝိုင်းပုံများ (Cycles, Z_n):** ဖန်တာ Z_{n} သည် Z_{n}C_{\bullet}=\ker(d:C_{n}\rightarrow C_{n-1}) အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော n-စက်ဝိုင်းပုံ (n-cycle) များကို တွက်ချက်ပေးသည်။
** **နယ်နိမိတ်များ (Boundaries, B_n):** ဖန်တာ B_{n} သည် B_{n}C_{\bullet}=\text{im}(d:C_{n+1}\rightarrow C_{n}) အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော n-နယ်နိမိတ် (n-boundary) ကို တွက်ချက်ပေးသည်။
** **ဟိုမိုလော်ဂျီ (Homology, H_n):** ဖန်တာ H_{n} သည် n ကြိမ်မြောက် ဟိုမိုလော်ဂျီ (nth homology) ကို H_{n}C_{\bullet}:=Z_{n}C_{\bullet}/B_{n}C_{\bullet} အဖြစ် တွက်ချက်ပေးသည်။
***ဒွန်တွဲ  ဗက်တာရပ်ဝန်း (Dual Vector Space):** ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (-)^{*}:Vect_{\mathbb{K}}^{\text{op}}\rightarrow Vect_{\mathbb{K}}  သည် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ၎င်း၏ ဒွန်တွဲ  ဗက်တာရပ်ဝန်း V^{*}=\text{Hom}(V,\mathbb{K}) သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ 
***Spec (ရောင်စဉ်):** ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ \text{Spec}: CRing^{\text{op}}\rightarrow Top သည် ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring) R ကို ဇာရစ်စကီး တိုပေါ်လော်ဂျီ (Zariski topology) တပ်ဆင်ထားသော ၎င်း၏ သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်များ (prime ideals) အစု \text{Spec}(R) သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။
***ပါဝင်မှု နှင့် မေ့လျော့ ဖန်တာများ (Inclusion and Forgetful Functors):** ဖွဲ့စည်းပုံများကို ထည့်သွင်းခြင်း သို့မဟုတ် ချန်လှပ်ခြင်း  ပြုလုပ်သော အောက်ပါ အခြေခံ ဖန်တာများလည်း ရှိသည်-
** I: Ab \rightarrow Group (ပါဝင်မှု ဖန်တာ - inclusion functor)
** U: Ring \rightarrow Ab (မြှောက်ခြင်းကို ချန်လှပ်ထားသော မေ့လျော့ ဖန်တာ - forgetful functor)
** (-)^{\times}: Ring \rightarrow Group (ယူနစ်များ၏ အုပ်စုထုတ်ယူသော ဖန်တာ)
** I: Ring \rightarrow Rng (ထည့်သွင်းမှု ဖန်တာ)
** I: Field \rightarrow Ring (ထည့်သွင်းမှု ဖန်တာ)
** U: Mod_R \rightarrow Ab (မေ့လျော့ ဖန်တာ)

## ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism of Categories) 
သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ်နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို \text{Cat} ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ဤကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော်လည်း သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ မဟုတ်ပေ။ 

ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများ (large categories) နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့်  ကတ်တဂိုရီကို \text{CAT} ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ \text{CAT} သည် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်နေလောက်အောင် ကြီးမားနေခြင်းမျိုး မဖြစ်သင့်သဖြင့် \text{CAT} ရှိ အရာဝတ္ထုများသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။ \text{CAT} ကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်ခြင်းမရှိသောကြောင့် ဤနည်းအားဖြင့်  ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်မှုမှ ချန်လှပ်ထားခံရသည်။

ပါဝင်မှု ဖန်တာ \text{Cat} \hookrightarrow \text{CAT} တစ်ခု တစ်ဖက်တွင် ရှိသော်လည်း အခြားတစ်ဖက်သို့ ပြန်သွားသည့် ဖန်တာ မရှိပါ။

\text{Cat} သို့မဟုတ် \text{CAT} တွင်  **ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism of categories)** သဘောတရားကို အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ၎င်းကို ပြောင်းပြန် ဖန်တာ (inverse functors) အတွဲ F: C \rightarrow D နှင့် G: D \rightarrow C တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ပြီး ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းများဖြစ်သော GF နှင့် FG တို့သည် C နှင့် D အပေါ်ရှိ ထပ်တူရဖန်တာများ နှင့် အသီးသီး ညီမျှရမည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် C ၏ အရာဝတ္ထုများနှင့် D ၏ အရာဝတ္ထုများကြား ဘိုင်ဂျက်ချင်း (bijection) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုနည်းတူစွာ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များကြားတွင် ဘိုင်ဂျက်ချင်း ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။

## သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (Natural Transformation) 
ကတ်တဂိုရီ C နှင့် D တို့ကြားရှိ မျဉ်းပြိုင် ဖန်တာများ (parallel functors) F,G: C \rightrightarrows D တို့အတွက် **သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း** \alpha: F \Rightarrow G တွင် အောက်ပါအချက်များ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်-

*C အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု c \in C တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် D အတွင်းရှိ မြား (arrow) \alpha_c: Fc \rightarrow Gc တစ်ခုစီ ရှိသည်။ ထိုမြားများ စုစည်းမှုသည် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း၏ **အစိတ်အပိုင်းများ (components)**  ဖြစ်သည်။

*C အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် f: c \rightarrow c' အတွက်မဆို D အတွင်းတွင် မော်ဖစ်ဇင်များ၏ စတုရန်းကို အောက်ဖော်ပြပါအတိုင်း ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသည် (commutes)။ 

            

တစ်နည်းအားဖြင့် D အတွင်းတွင် \alpha_{c'} \cdot Ff = Gf \cdot \alpha_c: Fc \rightarrow Gc' ဟူသော ဘုံတူညီသည့် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် (common composite) တစ်ခု ရှိသည်။

### သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Natural Isomorphism) 
**သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်** ဆိုသည်မှာ အစိတ်အပိုင်း \alpha_c တိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုစီဖြစ်နေသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း \alpha: F \Rightarrow G ကို ဆိုလိုသည်။ ထိုသဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ကို \alpha: F \cong G အဖြစ် ရေးသားနိုင်သည်။

## အညွှန်း
## ကိုးကား
*
* 
* 
*