အလျင်

က အချိန်နှင့် အမျှ ပြောင်းလဲနေ၏၊ ထို့ကြောင့် အလျင် တခုခု ရှိနေ၏၊ အရပ်စကားနှင့်လျှင် "ရွေ့လျားနေသည်။" ပိုမိုတိကျသော ရူပဗေဒအားဖြင့်မူ ကား၏ (အာကာသထဲ၌ ကမ္ဘာမြေပြင်စတို့၏ ရွေ့လျားမှုနှင့် တပါတည်း ထပ်တူမကျနေသော) နှိုင်းရအလျင်မှာ ကမ္ဘာမြေနှင့် နှိုင်းစာလျှင် သုညမဟုတ်ဘဲ ရှိနေပုံ။]]

ရူပဗေဒသုံး **အလျင်** () ဗှတ္တာ (vector) \mathbf{v} ဟူသည်မှာ သင်္ချာစကားဖြင့်လျှင် တည်နေရာ ဗှတ္တာ (position vector) \mathbf{x} = x^i\mathbf{\hat{e}}_i ၏ အချိန်နှင့်အလိုက် ပြောင်းလဲနှုန်း (derivative with respect to time) \frac{d}{dt} ဖြစ်၏။
\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{x}}{dt}
တပြန့်ညီသော ၃-တိုင်းကြောင်းပါ သမားရိုးကျရပ်ဝန်းဆန်သည့် ကာတက်စီးယန်း အမှတ်ချအိမ်အတွင်း၌မူ ဤသို့ ရိုးစင်းစွာ ဖြစ်ချေမည်။
\mathbf{v} = \frac{d}{dt} \mathbf{x} = \frac{d}{dt} (x^i \mathbf{\hat{e}}_i) = \frac{d}{dt} (x\mathbf{\hat{i}}+y\mathbf{\hat{j}}+z\mathbf{\hat{k}}) = \frac{dx}{dt}\mathbf{\hat{i}}+\frac{dy}{dt}\mathbf{\hat{j}}+\frac{dz}{dt}\mathbf{\hat{k}}

သို့နှင့် အရပ်စကားဖြင့်လျှင်၊ အရာဝတ္ထုတခုခု၏ **တည်နေရာ (x, y, z) တို့ အချိန်နှင့်အမျှ ပြောင်းလဲနေနှုန်း \frac{d}{dt}** သည်ပင် ထိုအရာ၏ **အလျင်(velocity)** v တည်းဟူသော တိုင်းဖွယ် အခြင်းအရာ ဖြစ်တော့၏။
\frac{dx}{dt}=v^x, \frac{dy}{dt}=v^y, \frac{dz}{dt}=v^z တို့ အသီးသီးက X, Y, Z စံတိုင်(axis) သို့မဟုတ် တိုင်းကြောင်း(dimension) တို့ တလျှောက် အရာဝတ္ထု၏ တည်နေရာ ပြောင်းလဲနေနှုန်းများ အသီးသီး ဖြစ်သဖြင့်၊ ရွေ့လျားနေနှုန်း (သွားနှုန်း) အသီးသီး ဖြစ်တော့၏။ တိုင်းကြောင်း ၃ခုပါ ရပ်ဝန်းအတွင်း ထိုသို့ ၃ခု ဖြစ်နေသော အပိုင်းခွဲများက စုစည်း၍ တခုသော ဤ **အလျင် (velocity)** ကို *"မည်သည့်ဘက်သို့ မည်မျှနှုန်း"ဟု* စုပေါင်းဖော်ပြပေးသည့်နှယ် ရှိလေသဖြင့်၊ *ပမာဏ (magnitude) နှင့် ဘက်လှည့်ချက် (direction) သဘော၂ရပ်လုံး* ပါရှိကာ ဗှတ္တာ တိုင်းဖွယ် တစ်မျိုး ဖြစ်လေတော့၏။
ဤ **အလျင်ဗှတ္တာ (veocity vector)** ၏ ပမာဏရင်းသီးသန့်သဘောကို (ပမာဏသီးသန့်သဘော) စကေလာ တိုင်းဖွယ် ကွက်ယူကြည့်လျှင် အမြန်နှုန်း (speed) ဟူသော တိုင်းဖွယ် (quantity) ကို တွေ့ရမည်။

အလျင် (velocity) နှင့် အမြန်နှုန်း (speed) တို့၏ ကမ္ဘာသုံး စံယူနစ်မှာ "m/s" (သို့) "ms-1" (meter per second) ဖြစ်၍၊ တစ်စက္ကန့်လျှင် တည်နေရာအားဖြင့် မီတာမည်မျှ ပြောင်းလဲသွားသည် ဟူသော အချိုးနှုန်းထား ဖြစ်၏။ သဘောတူ ပေတံကွဲ ယူနစ်များအဖြစ် တစ်စက္ကန့်အလျှင် ဘယ်နှပေနှုန်း၊ တစ်နာရီလျှင် ဘယ်နှကီလိုမီတာနှုန်း၊ တစ်နာရီလျှင် ဘယ်နှမိုင်နှုန်း စသည့် ယူနစ်များကိုလည်း တွေ့ရနိုင်၏။

## ပျမ်းမျှအလျင် နှင့် ဖြစ်ခိုက်အလျင် 
### ပျမ်းမျှအလျင် 
အရာဝတ္တုတခုခု၏ ***ပျမ်းမျှအလျင် (average velocity)*** \bar{v} သို့မဟုတ် v_{avg}  ဆိုသည်မှာ အချိန်အတိုင်းအတာ တခု \Delta t အတွင်း၌ ၎င်းအရာဝတ္ထု၏
* ရွေ့လျားဖြစ်မြောက်သည့် တည်နေရာ ကွာခြားချက် \Delta x (သို့)
* ၎င်းအရာဝတ္ထု၏ အရွေ့(dispalcement) ဖြစ်ပေါ်ချက် \Delta s ကို
ထို \Delta t နှင့် စားခြင်း ဖြစ်၏။
\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_f-x_i}{t_f - t_i}

ဤ ***ပျမ်းမျှအလျင်*** အချိုးတွက်ကိန်း တိုင်းဖွယ် (quantity) သည်၊ ယူတွက်လိုက်သည့် \Delta t = t_f - t_i ပမာဏကြီးလျှင် ကြီးသလောက် ရွေ့လျားမှုခရီး တလျှောက်၌ အရာဝတ္ထု၏ မည်မျှ ပိုနှေးသွားသေးခြင်း၊ မည်မျှ ပိုမြန်သွားသေးခြင်း အချက်အလက်တို့ကိုမူ ဖော်ပြနေမည် မဟုတ်၊ ခရီးအစအဆုံးကို တမတ်တည်းသော (ကိန်းသေ) အလျင်နှင့် ရွေ့လျားလိုက်သည့်အလားသာ အကြမ်းဖျင်း ဖော်ပြနေပေမည်။

### ဖြစ်ခိုက်အလျင် 
အလျင်၏ သင်္ချာအားဖြင့် ယေဘုယျကျသော ဖော်ပြသွင်မှာ ***ဖြစ်ခိုက်အလျင် (instantaneous velocity)*** ဖြစ်၏။
၁၆၀၀ ခုနှစ်ကျော် ကာလများတွင် ပြောင်းလဲခြင်း သင်္ချာ (Calculus) ကဏ္ဍ ဖွံ့ဖြိုးလာသည်နှင့်အလိုက်၊ ပျမ်းမျှသဘောအလျင် v=\frac{\Delta x}{\Delta t} တွက်ထုတ်ခြင်းတွင် ပမာဏခပ်ကြီးကြီးသော \Delta t နေရာ၌ တမွတ်စိတ်မျှသော အချိန် dt ကလေးသာ ဟု ထည့်တွက်ရန် နျူတန်၊ လိုက်ဘ်နစ်ဇ် စသူတို့ စိတ်ကူးလာကြ၏။ ထိုအချိန်တို အခိုက်လေးအတွင်း ရွေ့လျားသွားနှုန်း \Delta x မှာလည်း ပမာဏသေးငယ်လှ၍ သင်္ချာအားဖြင့် dx ဟု အစားထိုး ဖော်ပြတန်လောက်၏၊ ရွေ့လျားမှု ဖြစ်စဉ်ရှည်က အကွေးအဝိုက်လမ်းကြောင်းများ ပါသည့်တိုင် အခိုက်တို dt အတွင်း ရွေ့လျားသွားသည့် dx အကွာအဝေး တမွတ်စိတ်ပိုင်းငယ်မှာ မျဉ်းဖြောင့်ဟု သဘောအားဖြင့် ဖြစ်ချိမ့်မည်၊ မျဉ်းကွေးအရွေ့လမ်းကြောင်း၏ ဝန်းထိမျဉ်းဖြတ်ပိုင်းစိပ်  dx ဖြောင့်ဖြောင့်လေးသဘော ဖြစ်မည်။
အရာဝတ္ထု၏ တည်နေရာ x သည် အချိန် t နှင့် လိုက်၍ ပြောင်းလဲနေအံ့၊ t တိုင်းဖွယ် (အခြင်းအရာ) က အမှီခိုခံ ပြောင်းလဲကိန်း (variable) ဖြစ်သွား၍ တည်နေရာ x က ၎င်းအပေါ် မှီခိုသည့် ရလဒ် (ဖှန်ရှင်) ဖြစ်သွားလတ္တံ၊ *“အချိန်၏ ရလဒ် (function of time)”* မြောက်သွားလတ္တံ့။ ထိုအချက် မြောက်သွားကြောင်းကို  “x = x(t)” ဟု သင်္ချာ၌ ရေးကြ၏။
သို့နှင့် အချိန် တမွတ်စိတ်အပိုင်း dt ဖြင့် ***ဖြစ်ခိုက်အလျင်*** v(t) ကို တွက်ထုတ်လိုသည့်အခါ "dt=x_f-x_i တန်ဖိုးက သုညသို့ ချဉ်းကပ်ခြင်း" အချက်ကို အားပြုယူ၍ ဤသို့ ဆက်တွက်ရာ၏။
v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = \lim_{{\Delta t}\to 0} \frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}
v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = \lim_{{\delta t}\to 0} \frac{x(t+\delta t)-x(t-\delta t)}{2\delta t}
\Delta t (သို့) \delta t က သုည ဖြစ်သွားချိန်၌ ရှိတန်မည့် \frac{\Delta x}{\Delta t} (သို့) \frac{\delta x}{\delta t} ၏ ရှိတန် တန်ဖိုး (limit) ကို တွက်ထုတ်ခြင်း ဖြစ်၏။ အထက်ပါ ၂နည်းမှာ သင်္ချာသဘောချင်း ထပ်တူနှင်နှင်သာ ဖြစ်၍၊ မိမိတွက်ချက်လိုရာ ပုစ္ဆာအလိုက် အသုံးဝင်သည့် အခင်းအကျင်းကို ရွေးယူတွက်တတ်ကြ၏။
ပျမ်းမျှအမြန်နှုန်း (average speed) က ကိန်းထီး တိုင်းဖွယ် သီးသန့်အထင်း ဖြစ်သော်လည်း ဖြစ်ခိုက်အမြန်မှုန်း (instantaneous speed) ကမူ ဤ ဖြစ်ခိုက်အလျင် (instantaneous velocity) နှင့် ထပ်တူမျှပင် ကျ၏၊ အကြောင်းမှာ အလွန်သေးငယ်သောအချိန်အပိုင်းအခြားတွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ အရွေ့တန်ဖိုး(displacement) နှင့် သွားခဲ့သော အကွာအဝေး(distance) တူညီသွားခြင်းကြောင့်တည်း။

## ကိန်းသေအလျင်နှင့် ပြောင်းလဲအလျင် အမျိုးမျိုး
အလျင်(velocity)က ကိန်းသေငြိမ်သလော၊ ပြောင်းလဲသလော ဟူသည်မှာ ၎င်း၏ အချိန် တိုင်းကြောင်းအလိုက် ပြောင်းလဲနှုန်း (derivative with respect to time) သုည ဖြစ်ခြင်း မဖြစ်ခြင်းနှင့် ခွဲရာ၏။

### ကိန်းသေအလျင် 
: \frac{d}{dt} v = 0 
ဟူသော ရလဒ်ထွက်နေလျှင် ထိုအလျင် v က **ကိန်းသေအလျင် (constant velocity)** ဖြစ်၏၊ **အချိန်နှင့်လိုက်၍ ပြောင်းလဲမနေသော (သို့) တသမတ်တည်း ဖြစ်နေသော အလျင်** ဖြစ်၏။
အလျင်က တည်နေရာ၏ အချိန်အလိုက် ပြောင်းလဲနှုန်း ဖြစ်နေစဉ်တွင်၊ အဆိုပါ အရာဝတ္ထု၏ တည်နေရာက အချိန် t အပေါ် မှီခိုရလဒ် (fucntion) ဖြစ်မနေလျှင်လည်း၊ တနည်းအားဖြင့် ကိန်းသေ x_0 ဖြစ်နေလျှင် (အရပ်သုံးစကားဖြင့် တည်ငြိမ် ရပ်တံ့နေလျှင်)လည်း၊
 \frac{d}{dt}(v) = \frac{d}{dt}(\frac{dx_0}{dt}) = \frac{d}{dt}(0) = 0 
ဟု ဖြစ်သွားကာ အလျင်သုညနှင့် ရပ်နေခြင်းသည်လည်း ကိန်းသေအလျင် ဖြစ်ကြောင်း ထင်ရှား၏။
ထို့အတူပင် ရွေ့လျားနေသော်လည်း (သုညမဟုတ်သည့် အလျင် v \neq 0 တခုခုနှင့် သွားနေသော်လည်း)
* နှေးလာခြင်း-မြန်လာခြင်း ဟူသော ပမာဏ(magnitude) ပြောင်းလဲမှု မရှိ၊
* ကွေ့ဝိုက်ခြင်း ဟူသော ဦးတည်ချက်(direction) ပြောင်းလဲမှု မရှိ၊
သည်အတိုင်းနှုန်းငြိမ် ဆက်ရွေ့နေလျှင်လည်း ကိန်းသေအလျင် မည်ပေမည်။

### ကိန်းသေမဟုတ်သော (ပြောင်းလဲ) အလျင် အမျိုးမျိုး 
: a = \frac{d}{dt} v \neq 0 
ဟူသော ရလဒ် ဖြစ်ပေါ်နေသရွေ့ အလျင် v က အချိန်ကြာလာသည်နှင့်အမျှ
* နှေးခြင်း-မြန်ခြင်း (အမြန်နှုန်း ပမာဏ ပြောင်းလဲမှု) ‌ရှိနေမည်၊ သို့မဟုတ်
* ကွေ့ခြင်းဝိုက်ခြင်း (ဦးတည်ချက် လားရာ ပြောင်းလဲမှု) ရှိနေမည်၊ သို့မဟုတ်
* နှစ်မျိုးလုံး ပြောင်းလဲလျှင် ပြောင်းလဲနေမည် ဟု ဆိုလို၏။
တနည်းအားဖြင့် အလျင်ပြောင်းနှုန်း (acceleration) a= \frac{dv}{dt} \neq 0 တခုခု ဖြစ်ပေါ်နေမည် ဟု ဆိုလို၏။

#### ကိန်းသေအလျင်ပြောင်းနှုန်း ဖြစ်ပေါ်နေစေမည့် အလျင်မျိုး 
တည်နေရာ ဖြစ်ပေါ်နေမှုက x = x(t) = kt^2+x_0  ဟူသကဲ့သို့ အချိန် t ၏ ထပ်ညွှန်းကိန်း 2 ဖြစ်နေလျှင် ထိုအရာဝတ္ထု၏ အလျင် v=\frac{dx}{dt} က အချိန်နှင့်အမျှ ပမာဏလည်း ပြောင်းလဲနေပြီး ၎င်း၏ အလျင်ပြောင်းနှုန်း a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} ကမူ ကိန်းသေတစ်ခု a_0 ဖြစ်နေပေမည်။
  a(t) = a_0 = \frac{d^2}{dt^2} x(t) 
  v(t) = \frac{d}{dt} x(t) = v_0 + a_0t 
  x(t) = x_0 + v_0t+ \frac{1}{2}a_0t^2 

#### ပြောင်းလဲအလျင်ပြောင်းနှုန်း ဖြစ်ပေါ်နေစေမည့် အလျင် အမျိုးမျိုး 
တည်နေရာ ဖြစ်ပေါ်နေမှုက x = x(t) = kt^n+x_0  ဟူသကဲ့သို့ ပုံစံမျိုး၌ ထပ်ညွှန်းကိန်း n က 0, 1, 2 ဤတန်ဖိုး၃မျိုးမှ လွဲ၍ အခြား ဖြစ်နေလျှင်မူ အလျင် v=\frac{dx}{dt} က အချိန်နှင့်အမျှ ပမာဏလည်း ပြောင်းလဲနေသည့်အပြင် ၎င်း၏ အလျင်ပြောင်းနှုန်း a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dx^2} ကလည်း ကိန်းသေမဟုတ်ဘဲ အချိန် t လိုက် ပြောင်းလဲနေပေမည်။

## အကိုးအကား 
ကဏ္ဍ:ရွေ့လျားမှု
ကဏ္ဍ:ရူပဗေဒ
ကဏ္ဍ:သဘာဝသိပ္ပံ