ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်

သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် **ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်** (surjective function) ဆိုသည်မှာ ဖန်ရှင် f ၏ ပစ်မှတ် (codomain) ရှိ အစုဝင် (element) y တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် f(x) = y ဖြစ်စေမည့် အရင်းအမြစ် (domain) ရှိ အစုဝင် x အနည်းဆုံး တစ်ခု တည်ရှိနေသော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။  **ဆာဂျက်ရှင်း** (surjection) သို့မဟုတ် **onto ဖန်ရှင်** ဟုလည်း ခေါ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုရသော် ဖန်ရှင် f: X \rightarrow Y အတွက် ပစ်မှတ် Y သည် ဖန်ရှင်၏ အရင်းအမြစ် X ၏ ပုံရိပ် (image) ပင်ဖြစ်သည်။ ဤတွင် x သည် တစ်မူထူးခြားတိကျသေချာသော (unique) အစုဝင်ဖြစ်ရန် မလိုအပ်ပေ။ ဖန်ရှင် f သည် X ရှိ အစုဝင်တစ်ခု သို့မဟုတ် တစ်ခုထက်ပိုသော အစုဝင်များကို Y ရှိ တူညီသော အစုဝင်တစ်ခုတည်းထံသို့ ပုံဖော်နိုင်သည်။

*ဆာဂျက်တစ်* ဟူသော ဝေါဟာရနှင့် ၎င်းနှင့်ဆက်စပ်နေသော *အင်ဂျက်တစ်* (injective) နှင့် *ဘိုင်ဂျက်တစ်* (bijective) ဟူသော ဝေါဟာရများကို နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) က စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဘော်ဘာကီမှာ ဤကလောင်အမည်ဖြင့် ခေတ်သစ် အဆင့်မြင့်သင်္ချာဘာသာရပ်ဆိုင်ရာ စာအုပ်တွဲများကို ၁၉၃၅ ခုနှစ်မှစတင်၍  ရေးသားခဲ့ကြသော ပြင်သစ်လူမျိုးများအဓိကအားဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော၂၀ ရာစု သင်္ချာပညာရှင်များအဖွဲ့ ဖြစ်သည်။ ပြင်သစ်စကားလုံး *sur* သည် *အပေါ်* သို့မဟုတ် *အထက်* ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်ပုံရိပ်သည် ဖန်ရှင်၏ ပစ်မှတ်တစ်ခုလုံးကို အပြည့်အဝ ဖုံးလွှမ်းသွားသည်ဟူသော အချက်နှင့် ဆက်စပ်သည်။

မည်သည့်ဖန်ရှင်မဆို ၎င်း၏ ပစ်မှတ်ကို အရင်းအမြစ်၏ ပုံရိပ်အထိသာ ကန့်သတ်လိုက်ခြင်းအားဖြင့် ဆာဂျက်ရှင်း တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ရွေးချယ်မှု နဂိုမှန်အဆို (axiom of choice) အရ ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်တိုင်းတွင် ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) တစ်ခုရှိပြီး ညာဘက်ပြောင်းပြန်ရှိသော မည်သည့်ဖန်ရှင်မဆိုသည် မလွဲမသွေ ဆာဂျက်ရှင်းပင် ဖြစ်သည်။ ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်များကို ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) သည် အမြဲတမ်း ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ဖန်ရှင်ကိုမဆို ဆာဂျက်ရှင်းတစ်ခုနှင့် အင်ဂျက်ရှင်းတစ်ခုအဖြစ် ခွဲခြမ်းမှု (decomposition) ပြုလုပ်နိုင်သည်။

## အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် 
**ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်** သည် ၎င်း၏ ပုံရိပ် (image) နှင့် ၎င်း၏ ပစ်မှတ် (codomain) တို့ ထပ်တူညီသော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ အရင်းအမြစ် (domain) X နှင့် ပစ်မှတ် Y ပါရှိသော ဖန်ရှင် f တစ်ခုသည် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ရန်အတွက် Y အတွင်းရှိ မည်သည့် y အတွက်မဆို f(x)=y ဖြစ်စေမည့် အနည်းဆုံး x တစ်ခုသည် X အတွင်း၌ တည်ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ ဆာဂျက်ရှင်းများကို တစ်ခါတစ်ရံတွင် f\colon X\twoheadrightarrow Y တွင်ကဲ့သို့ ခေါင်းနှစ်လုံးပါ ညာဘက်လှည့်မြားဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြလေ့ရှိသည်။

သင်္ကေတအရ
 \forall y \in Y,\quad\exist x \in X,\quad y = f(x).

## ဥပမာများ 
right|thumb|250x250px|**ဆာဂျက်တစ် မဟုတ်သော ဖန်ရှင်** - Y အတွင်းရှိ အဝါရောင် ဘဲဥပုံသည် f ၏ ပုံရိပ် (image သို့မဟုတ် range) ဖြစ်သည်။ ဤဖန်ရှင်သည် ဆာဂျက်တစ် မဟုတ်ပါ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ပုံရိပ်သည် ပစ်မှတ်တစ်ခုလုံးကို အပြည့်အဝ မလွှမ်းခြုံနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် Y ကို အဆင့်နှစ်ဆင့်ဖြင့် အရောင်ချယ်နိုင်သည်။ ပထမအဆင့်အနေဖြင့် X အတွင်းရှိ မည်သည့် x အတွက်မဆို အမှတ် f(x) ကို အဝါရောင်ချယ်သည်။ဒုတိယအဆင့်အနေဖြင့် အဝါရောင်မဟုတ်သော Y အတွင်းရှိ ကျန်အမှတ်များအားလုံးကို အပြာရောင်ချယ်သည်။ အပြာရောင်အမှတ်များ အကယ်၍ မရှိမှသာလျှင် ဖန်ရှင် f သည် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်မည်။

*မည်သည့် အစု (set) X အတွက်မဆို X ပေါ်ရှိ ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (identity function) \text{id}_{X} သည် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။

*f(n) = n \bmod 2 ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင် {{math|*f* : **Z** → {0, 1}}} သည် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။  တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုရသော် ဤဖန်ရှင်မှာ စုံကိန်းပြည့် (even integers) များကို 0 သို့ ပုံဖော်ပြီး မကိန်းပြည့် (odd integers) များကို 1 သို့ ပုံဖော်သည်။

*f(x) = 2x + 1 ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင် f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} သည် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်သည် ။ ဤဖန်ရှင်တွင် မည်သည့် ကိန်းစစ် (real number) y အတွက်မဆို f(x) = y ဖြစ်စေမည့် x တစ်ခု ရှိသည်။ ၎င်းx မှာ (y - 1)/2 ဖြစ်သည်။