လီယွန်ဟတ် အွိုင်လာ

**လီယွန်ဟတ် အွိုင်းလား** (၊၊ ; ညီဖြစ်သူ နီကိုလပ်စ်နေရာတွင် ဒန်နီယယ်မှာ တာဝန်ယူခဲ့ပြီး ဇီဝကမ္မဗေဒဌာနမှ သူနေရာတွင် သူ၏ သူငယ်ချင်းဖြစ်သူ အွိုင်းလားကို အစားထိုးခဲ့သည်။ ဘာဆဲလ်တက္ကသိုလ်တွင် ရူပဗေဒပါမောက္ခရာထူးအတွက် လျှောက်ထားရန် မအောင်မြင်ချိန် ၁၇၂၆ ခုနှစ် နိုဝင်ဘာလတွင် ထိုအခွင့်အရေးကို စိတ်အားထက်သန်စွာ အွိုင်းလားမှ လက်ခံခဲ့ပြီး စိန့်ပီတာစဘတ်သို့ ပြောင်းရွေ့ခဲ့သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အွိုင်းလားသည် ဗာဂျီ ၏ *Aeneid*  ဆိုသည့် လင်္ကာရှည်ကြီးကို အစမှအဆုံး ထစ်ငေါ့ခြင်း မရှိပဲ ထပ်ကာထပ်ကာ ရွတ်ဆိုနိုင်သည်။ ထို့ပြင် ထို့ပြင်ဆင်ထားသည်မူတွင် အွိုင်းလာ'သည် စာမျက်နှာတိုင်း၌ မည်သည့်စာကြောင်းကစပြီး မည်သည့်စာကြောင်း၌ ဆုံးသည်ကို ပြောပြနိုင်သည်။ အွိုင်းလားသည် သူ၏စာကူးသမားအကူအညီဖြင့် လေ့လာမှုနယ်ပယ်အများအပြားတွင် ထုတ်ဝေမှုတို့သည် အမှန်တကယ်ပင် တိုးတက်လာခဲ့သည်။ သူသည် ၁၇၅၅ ခုနှစ်တနှစ်လုံး ပျမ်းမျှအားဖြင့် တပါတ်လျှင် သင်္ချာစာတမ်းငယ်တစ်စောင် ထုတ်ဝေခဲ့သည်။  မဟာကတ်သရင်းဘုရင်မကြီးနန်းတက်ပြီးသောအခါ ရုရှားနိုင်ငံ၏ နိုင်ငံရေးမှာလည်း တည်ငြိမ်လာပြီဖြစ်ရာ စိန့်ပီတာစဘတ်အကယ်ဒမီမှာ ပြန်လာရန် ကမ်းလှမ်းမှုကို လက်ခံခဲ့သည်။ အွိုင်လာသည် တနှစ်တွင် လစာ ရူဘယ် ၃၀၀၀၊ ဇနီးသည်အတွက် အငြိမ်းစားလစာနှင့် သားများအတွက် ရာထူးကြီးကြီးအား ပေးမည်ဟု ကတိတို့ကို တောင်းခံခဲ့ရာ ထိုအားလုံးကို ရုရှားမှအာမခံချက်ပေးခဲ့သည်အတွက် ရုရှားကို ပြန်လာခဲ့သော သူ၏အခြေအနေမှာ အတော်ကြီးကိုပင် ကောင်းမွန်ခဲ့သည်။ သူသည် ကျန်ရှိနေသော ဘဝအချိန်များကို ရုရှား၌ပင် ကုန်လွန်စေခဲ့သည်။ သို့ပေမယ်လည်း ဒုတိယအခေါက် ရုရှား၌ နေထိုင်ခဲ့ရာတွင် ကံကြမ္မာဆိုးတို့ကြောင့် ဘဝမလှဖြစ်ခဲ့ရသည်။ ၁၇၇၁ ခုနှစ်တွင် စိန့်ပီတာစဘတ်၌ လောင်ခဲ့သောမီးသည် အွိုင်လာအိမ်ကိုသာမက ဘဝတစ်ခုလုံးနီးပါး ဝါးမြိုခဲ့သည်။ ၁၇၇၃ ခုနှစ်တွင် အနှစ်လေးဆယ်ကျော်ကြာ ပေါင်းသင်းခဲ့သော ဇနီးသည် ကတ်သရင်းနာကို ဆုံးရှုံးခဲ့ရသည်။

ဇနီးသည်ဆုံးပါးပြီး သုံးနှစ်ခန့်ကြာသောအခါ အွိုင်လာသည် ဇနီးသည်၏ ဖအေတူမအေကွဲ ညီမဖြစ်သူ ဆာလိုမီ အာဘီဂါလ် ဂဇယ်(၁၇၂၃–၁၇၉၄)နှင့် နောက်အိမ်ထောင်ပြုခဲ့သည်။ 

### ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း 
၁၈ ရာစု သင်္ချာဆိုင်ရာ သုတေသနလုပ်ငန်းများတွင် ကဲကုလပ်၏ တိုးတက်မှုသည် ထိပ်ဆုံးသို့ရောက်ရှိနေသည်။ အွိုင်းလား၏ မိတ်ရင်းဆွေရင်းဖြစ်သော ဘာနောလိမိသားစုသည် ထိုနယ်ပယ်၏ အစောပိုင်းတိုးတက်မှုများတွင် များစွာဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ ထိုမိသားစု၏ အွိုင်းလားအပေါ်လွှမ်းမိုးမှုကျေးဇူးကြောင့် ကဲကုလပ်ကို လေ့လာခြင်းသည် အွိုင်းလားအတွက် အဓိက အာရုံစူးစိုက်ဖွယ်ရာကြီး ဖြစ်နေခဲ့သည်။ အွိုင်းလား၏ သက်သေပြချက်အချို့ကို ခေတ်သစ် mathematical rigour စံများအရ လက်ခံနိုင်ဖွယ်မရှိဖြစ်နေချိန်တွင် သူ၏ အတွေးအခေါ်များသည် ကြီးမားသော တိုးတက်မှုများဆီသို့ ဦးဆောင်နေခဲ့သည်။ အွိုင်းလားသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာအား မကြာခဏ အသုံးပြုခြင်းနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ညီမျှခြင်းကဲ့သို့  အနန္တဆိုင်ရာအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ ပေါင်းခြင်းဖြင့် ဖန်ရှင်တို့ကိုဖော်ပြရာတွင် အသုံးပြုခြင်းတို့ကြောင့် ပါဝါစီးရီးတွင် တိုးတက်မှုများရှိခြင်းတို့ဖြင့် ကျော်ကြားသည်။ 

:e^x = \sum_{n=0}^\infty {x^n \over n!} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{0!} + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right).

မှတ်သားဖွယ်ရာမှာ အွိုင်းလားသည်  နှင့် inverse tangent function တို့၏ ပါဝါစီးရီးဖြန့်ခြင်းကို တိုက်ရိုက်သက်သေပြခဲ့သည်။ (သွယ်ဝိုက်သက်သေပြခြင်းဖြစ်သော inverse power series technique ကို နယူတန်နှင့် လိုင်ဘနီဇ်  တို့မှ ၁၆၇၀ နှင့် ၁၆၈၀ ခုနှစ်အကြားလောက်တွင် အဖြေရှာပြီးခဲ့ပြီ ဖြစ်သည်။) သူ၏ ပါဝါစီးရီးအား ရဲရဲရင့်ရင့်အသုံးပြုမှုသည် သူအား ကျော်ကြားလှသော ဘာဆယ်ပုစ္ဆာ ကို ၁၇၃၅ ခုနှစ်တွင် ဖြေရှင်းနိုင်ရန် လမ်းစဖြစ်ခဲ့သည်။ (သူသည် ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော အကြောင်းပြချက်များကို ၁၇၄၁ ခုနှစ်တွင် ထပ်မံပေးနိုင်ခဲ့သည်။):

:\sum_{n=1}^\infty {1 \over n^2} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{\pi ^2}{6}.

]]

အွိုင်းလားသည် Exponential functionနှင့် လော့ဂရစ်သမ်(Logarithm) တို့သို့ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသက်သေပြခြင်း စတင်သက်သေပြခဲ့သည်။ သူသည် လော့ဂရစ်သမ်ဖန်ရှင်များကို ပါဝါစီးရီးအသုံးပြုခြင်းဖြင့် သက်သေပြခြင်းကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့ပြီး လော့ဂရစ်သမ်များအတွက် အနှုတ်တန်ဖိုးနှင့် ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတို့ကို အောင်မြင်စွာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်ခဲ့သည်။ ထိုသည်မှာ သင်္ချာပညာတွင် လော့ဂရစ်သမ်အား အသုံးပြုမှုနယ်ပယ်ကို ပိုမိုကျယ်ပြန့်သွားစေခဲ့သည်။ သူသည် ကွန်ပလက်စ်ကိန်းများ၏ exponential function ကိုလည်း ရှင်းလင်းသတ်မှတ်နိုင်ခဲ့ပြီး ထိုသည်တို့မှာ Trigonometric functions နှင့် ဆက်နွယ်နေမှုကိုလည်း ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။ မည်သည့်ကိန်းစစ် [[:en:φ|]] အတွက်မဆို အွိုင်းလားပုံသေနည်း အရ complex exponential ကို 

:e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi.\,

ဟုဖော်ပြသည်။ အထူးအခြေအနေများအတွက် ထိုပုံသေနည်းကို Euler's identity 
:e^{i \pi} +1 = 0 \, 
ဟုခေါ်ပြီး  ရစ်ချက်ဖိုင်းမန်း(Richard P. Feynman)က ပေါင်းခြင်း၊ မြှောက်ခြင်းနှင့် exponentiation ဆိုင်ရာအယူအဆတို့ကို တစ်ကြိမ်တည်းအသုံးပြုမှုနှင့် အရေးကြီးသော ကိန်းသေများဖြစ်သော 0၊ 1၊ ၊  တို့ကို တကြိမ်တည်း အသုံးပြုမှုတို့ကြောင့် "သင်္ချာပညာ၏ အံလောက်ဖွယ်ပုံသေနည်း" ဟုဆိုခဲ့သည်။ ၁၉၈၈ ခုနှစ်တွင် *Mathematical Intelligencer* သင်္ချာဂျာနယ် စာဖတ်သူပရိသတ်များက "အမြဲအလှပဆုံး သင်္ချာပုံသေနည်း"အဖြစ် မဲပေးရွေးချယ်ခဲ့ကြသည်။ နောက်ဆုံးတွင် အွိုင်လာသည် ထိုမဲပေးမှုတွင် ထိပ်ဆုံးပုံသေနည်းငါးခုအနက် တတိယမြောက်ကို ရရှိခဲ့သည်။

De Moivre's formula သည် Euler's formula ၏ တိုက်ရိုက်အကျိုးဆက်ဖြစ်သည်။ 

ထိုမျှမကသေး အွိုင်းလားသည် gamma function အား စတင်ရှင်းလင်းခြင်းဖြင့် higher transcendental functions သီအိုရီကို ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် အသေးစိတ် ရှင်းပြခြင်း၊  quartic equation များကို နည်းသစ်များအသုံးပြု၍ ရှင်းလင်းခြင်းတို့ကို လုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ သူသည် complex limit များဖြင့် အင်တီဂရယ်များကို ရှင်းလင်းခြင်းကိုလည်း တွေ့ရှိခဲ့ရာ ယနေ့ခေတ် complex analysis ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှုအတွက် ရှေ့ပြေးနိမိတ်များလည်း ဖြစ်ခဲ့သည်။ ထို့ပြင် သူသည် လူသိများသည့် ရလဒ်ဖြစ်သော Euler–Lagrange equation အပါအဝင် calculus of variations ကိုလည်း တီထွင်ခဲ့သည်။ 

အွိုင်းလားသည် ကိန်းသီအိုရီ ပုစ္ဆာများကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာနည်းအား အသုံးပြု၍ စတင်တွက်ချက်ခဲ့သူတစ်ဦးလည်း ဖြစ်သည်။ သူသည် မတူကွဲပြားသော သင်္ချာနယ်ပယ်နှစ်ခုကို ပေါင်းစပ်ပြီး သင်္ချာပညာရပ်တစ်ခုဖြစ်သည့် analytic number theory ကို စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထိုနယ်ပယ်၏ အခြေခံများဖြစ်သည့် hypergeometric series သီအိုရီ၊ q-series၊ hyperbolic trigonometric functionsနှင့် continued fractions ၏ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသီအိုရီကို သူက ဖန်တီးခဲ့သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အွိုင်လာသည် infinitude of primes ကို ဟာမိုနစ်စီးရီးများ၏ သွေဖည်ခြင်းကို အသုံးပြု၍ သက်သေပြခဲ့သည်။ သူသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာနည်းကို အသုံးပြု၍ သုဒ္ဓကိန်း များကို ဖြန်ခွဲခဲ့သည်။ ထိုနယ်ပယ်တွင် အွိုင်လာ၏ လုပ်ဆောင်ချက်သည် သုဒ္ဓကိန်းသီအိုရမ် ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှုကို ဦးဆောင်နိုင်ခဲ့သည်။

### ကိန်းသီအိုရီ 
အွိုင်းလား၏ ကိန်းသီအိုရီနှင့်ပတ်သက်၍ စိတ်ဝင်စားလာမှု အရင်းခံသည် စိန့်ပီတာစဘတ်အကယ်ဒမီမှ သူ၏သူငယ်ချင်းဖြစ်သူ ခရစ်စတိန်း ဂိုးလ်ဘက်ချ်(Christian Goldbach) ကြောင့် ဖြစ်နိုင်သည်။ အွိုင်းလား၏ အစောပိုင်းကိန်းသီအိုရီနှင့်ပတ်သက်၍ အားထုတ်မှုသည် ပီယား ဒေ ဖဲမ၏ တွေ့ရှိချက်များပေါ်တွင် အခြေခံခဲ့သည်။ အွိုင်လာသည် ဖဲမ၏ စိတ်ကူးတို့ကို ချဲ့ကားခဲ့ပြီး သူ၏အနုမာနတချို့ကိုလည်း မှန်ကန်မှုမရှိကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ 

အွိုင်းလားသည် သုဒ္ဓကိန်းဖြန့်ခွဲခြင်း သဘာဝကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းနှင့် ဆက်စပ်ပေးခဲ့သည်။ အွိုင်းလားသည် အပိုင်းကိန်းဖြစ်သော သုဒ္ဓကိန်းများပေါင်းခြင်း (Divergence of the sum of the reciprocals of the primes) ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ ဆက်လက်၍ အွိုင်းလားသည် သုဒ္ဓကိန်းများနှင့် ရိုင်းမန်း ဇီတာဖန်ရှင် (Riemann zeta function) အကြား ဆက်နွက်ချက်ကို တွေ့ရှိခဲ့ပြီး ၎င်းသည် Proof of the Euler product formula for the Riemann zeta function အဖြစ် နာမည်ကျော်ကြားခဲ့သည်။

အွိုင်းလားသည် Newton's identities၊ Fermat's little theorem၊ Fermat's theorem on sums of two squares တို့ကို သက်သေပြခဲ့ပြီး သူ၏ သိသာသောဆောင်ရွက်မှုကို Lagrange's four-square theorem တွင် တွေ့ရသည်။ သူသည် totient function φ(*n*) ကိုလည်း တွေ့ရှိခဲ့သည်။ ထိုဖန်ရှင်၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို အသုံးပြု၍ အွိုင်လာသည် ဖဲမ၏ Fermat's little theorem မှ ယခုအခါ Euler's theorem ဟုခေါ်ဆိုသော သီအိုရမ်ကို ရရှိခဲ့သည်။ အွိုင်းလားသည် perfect number တွင် သိသာထင်ရှားသော ဆောင်ရွက်နိုင်ခဲ့ပြီး ၎င်းမှာ ယူကလစ်တို့လက်ထက်ကတည်းကစ၍ သင်္ချာပညာရှင်များ စိတ်ဝင်စားကြသော ကဏ္ဍဖြစ်သည်။ သူသည် perfect numbers နှင့် Mersenne prime များ ဆက်နွယ်ချက်ကို သက်သေပြခဲ့ပြီး ၎င်းကို ယူကလစ်မှလည်း one-to-one အဖြစ် သက်သေပြခဲ့ရာ ထိုရလဒ်များကို တနည်းအားဖြင့် Euclid–Euler theorem ဟူ၍ သိကြသည်။ အွိုင်းလားသည် quadratic reciprocity ၏ ဥပဒေသကို တွေးဆခဲ့သေးသည်။ ထိုသဘောတရားများကို ကိန်းသီအိုရီ၏ အခြေခံသီအိုရမ်များအဖြစ် မှတ်ယူခဲ့ကာ သူ၏ အတွေးအခေါ်များသည် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်၏ လုပ်ဆောင်ချက်များ၏ အခြေခံများ ဖြစ်ခဲ့သည်။ ၁၇၇၂ တွင် အွိုင်းလားသည် Mersenne prime ဖြစ်သည့် 231&nbsp;−&nbsp;1 = 2,147,483,647 ကို သက်သေပြခဲ့ရာ ၁၈၆၇ ခုနှစ်မတိုင်မီအထိ အရှည်ဆုံးသုဒ္ဓကိန်း (largest known prime) အဖြစ် ရှိခဲ့သည်။

### ဂရပ်သီအိုရီ 
 မြို့၏ မြေပုံဖြစ်ပြီး တံတားခုနှစ်စင်း၏ အမှန်တကယ်တည်ရှိနေသော ပုံစံဖြစ်သည်။(အရောင်တင်ထားသည်မှ ပရီဂဲလ်မြစ်နှင့် တံတားများဖြစ်သည်။)]]
၁၇၃၅ ခုနှစ်တွင် အွိုင်းလားသည် Königsberg မြို့၏ တံတားခုနစ်စင်းပြဿနာ ဟုခေါ်သော ပုစ္ဆာ၏ ဖြေရှင်းနည်းကို ပြသခဲ့သည်။ ပရပ်ရှားနိုင်ငံ၏ မြို့တစ်မြို့ဖြစ်သော Königsberg မြို့သည် Pregel တွင် တည်ထားသည်ဖြစ်ကာ ကျွန်းကြီး နှစ်ကျွန်းပါဝင်ကာ ကျွန်းအချင်းချင်းနှင့်ရော ပင်မကုန်းမြေနှင့်ပါ အချင်းချင်း ဆက်သွယ်ထားသော တံတား ခုနစ်စင်းပါဝင်သည်။ ပုစ္ဆာမှာ တံတားအားလုံးအား တစ်ကြိမ်စီသာဖြတ်သန်း၍ စမှတ်သို့ ပြန်သွားရမည် ဖြစ်နိုင်သော လမ်းကြောင်းအား ဆုံးဖြတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဒါဟာ မဖြစ်နိုင်ပါဘူး၊ သိုပေမယ့် Eulerian circuit တွင်တော့ မဟုတ်ခဲ့ပါဘူး။ ဒီဖြေရှင်းချက်သည် ဂရပ်သီအိုရီ၏ ပထမဆုံးသီအိုရမ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ အတိအကျပြောမည်ဆိုလျှင် planar graph သီအိုရီတွင် ဖြစ်သည်။

အွိုင်းလား convex polyhedron တို့၏ ထိပ်စွန်းများ(vertices)၊ ထိပ်စွန်းမျဉ်းများ(edges)နှင့် မျက်နှာပြင်များ(faces)၏ အရေအတွက်တို့နှင့် ဆက်နွယ်နေသော &nbsp;−&nbsp;&nbsp;+&nbsp;&nbsp;=&nbsp;2 ဟူသော ပုံသေနည်းကို တွေ့ရှိခဲ့ရာ ဤသည်မှာ planar graph ပင်ဖြစ်သည်။ ထိုဖော်မြူလာတွင်ပါဝင်သော ကိန်းသေကို ဂရပ်များ(သို့မဟုတ် သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္တုများ)အတွက် အွိုင်းလားဝိသေသလက္ခဏာ (Euler characteristic) ဟုခေါ်ပြီး အရာဝတ္တုတို့၏ genus နှင့်လည်းဆက်နွယ်နေသည်။ ဤပုံသေနည်းအား လေ့လာခြင်းနှင့် ခြုံငုံကောတ်ချက်ချခြင်းကို တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ မူလအစတွင် Cauchy နှင့် L'Huillier  တို့မှ အထူးပြုဆောင်ရွက်ခဲ့ကြသည်။

### အသုံးချသင်္ချာ 
အွိုင်းလား၏ ကြီးကျယ်လှသော အောင်မြင်မှုများထဲတွင် လက်တွေ့အသုံးချနိုင်သော ပုစ္ဆာများ(real-world problems)ကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာနည်းဖြင့်ဖြေရှင်းခြင်း ဖြစ်ပြီး ထိုအထဲတွင် Bernoulli numbers၊ Fourier series၊ Euler number၊ ကိန်းသေများဖြစ်ကြသော [[:en:E (mathematical constant)|]] နှင့် [[:en:pi|]]၊ continued fraction နှင့် အင်တီဂရယ်တို့၏ များလှစွာသော အသုံးချနိုင်မှုတို့ ပါဝင်သည်။ သူသည် လိုက်ဘနစ် ၏ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလကို နယူတန်၏ Method of Fluxions ဖြင့် ပေါင်းစပ်ခဲ့ကာ ရရှိလာသော ရလဒ်များသည် physical problems များတွင် ကဲကုလအား အသုံးပြုရာတွင် လွယ်ကူစေခဲ့သည်။ သူ၏ အကြီးမားဆုံးသော ခြေလှမ်းမှာ အင်တီဂရယ်များ၏ numerical approximation ကို မြှင့်တင်ခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး ထိုတွေ့ရှိချက်ကို ယခုအခါတွင် Euler approximations ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ ထိုမှန်းခြေ၏ မှတ်သားဖွယ်ရာများမှာ Euler's method နှင့် Euler–Maclaurin formula တို့ဖြစ်သည်။

### ရူပဗေဒနှင့် နက္ခတ္တဗေဒ 
အွိုင်းလားသည် Euler–Bernoulli beam equation ကို ကောင်းမွန်တိုးတက်အောင် လုပ်ခဲ့ပြီး ထိုသည်မှာ အင်ဂျင်နီယာပညာရပ်၏  မှတ်တိုင်တစ်ခုဖြစ်ခဲ့သည်။ သူ၏ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာနည်းများကို ရှေးရိုးမက္ကင်းနစ်၏ ပုစ္ဆာများ အောင်မြင်စွာ အသုံးချနိုင်သည့်အပြင် အွိုင်းလားသည် ဤနည်းများကို အာကာသနှင့်ဆိုင်သော ပုစ္ဆာများတွင်လည်း အသုံးချနိုင်ခဲ့သည်။ အွိုင်းလား၏ ပြီးပြည့်စုံသော အောင်မြင်မှုများထဲတွင် ကြယ်တံခွန်များနှင့် အာကသရှိ အရာဝတ္ထုများ၏ ပတ်လမ်းကို ပိုမိုတိကျမှုရှိအောင် ဆုံးဖြတ်နိုင်စွမ်းရှိခဲ့ခြင်း၊ ကြယ်တံခွန်များ၏ သဘာဝကို နားလည်နိုင်စွမ်းရှိလာခြင်း၊ နေ၏ parallax (မတူညီသော ရှုထောင့်နှစ်ခုမှ အရာဝတ္ထု၏ သိသာထင်ရှားသော နေရာအား ကြည့်ရှုရာ၌ ခြားနားမှု)ကို တွက်ချက်ခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။ သူ၏ တွက်ချက်မှုများသည် longitude tables အား တိကျမှုရှိအောင်လည်း လုပ်ဆောင်နိုင်ခဲ့သည်။

အွိုင်းလားသည် အလင်းသီအိုရီ (optics)နှင့်ပတ်သက်၍ အရေးကြီးသော ဆောင်ရွက်မှုများ ပြုလုပ်ခဲ့သေးသည်။ အွိုင်းလားသည် ထိုအချိန်က *Opticks* တွင် လွှမ်းမိုးမှုရှိနေသော နယူတန်၏ corpuscular theory of light ကို လက်မခံခဲ့ပေ။ အွိုင်းလား၏ ၁၇၄၀ ခုနှစ်များမှ အလင်းနှင့်ဆိုင်သော သူ၏စာတမ်းများသည် Christiaan Huygens အဆိုပြုသော wave theory of light ကို ခိုင်မာစေရန် အကူအညီပေးခဲ့ပြီး လွှမ်းမိုးသောအယူအဆအဖြစ် quantum theory of light မတိုင်မီအထိ ရှိခဲ့သည်။

၁၇၅၇ ခုနှစ်တွင် သူသည် ယခုအခါတွင် inviscid flow ၏ အရေးကြီးသော ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ရာ Euler equations အဖြစ် လူသိများလျက်ရှိသည်။  ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံတွင် ဤညီမျှခြင်းသည်-
:
\begin{align}
&{\partial\rho\over\partial t}+
\nabla\cdot(\rho\mathbf u)=0\\[1.2ex]
&{\partial(\rho{\mathbf u})\over\partial t}+
\nabla\cdot(\mathbf u\otimes(\rho \mathbf u))+\nabla p=\mathbf{0}\\[1.2ex]
&{\partial E\over\partial t}+
\nabla\cdot(\mathbf u(E+p))=0,
\end{align}

ဤနေရာ၌
* *ρ* သည် အရည်၏ ထုထည်သိပ်သည်းဆ,
* ***u*** သည် အရည်၏ velocity vector, with components *u*, *v*, and *w*,
* *E* = *ρ e* + ½ *ρ* (*u*2 + *v*2 + *w*2) is the total energy per unit volume, with *e* being the internal energy per unit mass for the fluid,
* *p* is the pressure,
* *⊗* denotes the tensor product, and
* **0** being the zero vector.

အွိုင်းလားသည် structural engineering တွင်လည်း ideal strut ၏ critical buckling load ကို တွက်ချက်ပေးနိုင်သော သူ၏ ညီမျှခြင်းအတွက် ထင်ရှားလျက်ရှိပြီး ထိုညီမျှခြင်းတွင် ideal strut ၏ length နှင့် flexural stiffness  တို့သာမူတည်နေသည်-
:F=\frac{\pi^2 EI}{(KL)^2}

where
* *F* = maximum or critical force (vertical load on column),
* *E* = modulus of elasticity,
* *I* = area moment of inertia,
* *L* = unsupported length of column,
* *K* = column effective length factor, whose value depends on the conditions of end support of the column, as follows.
::For both ends pinned (hinged, free to rotate), *K* = 1.0.
::For both ends fixed, *K* = 0.50.
::For one end fixed and the other end pinned, *K* = 0.699…
::For one end fixed and the other end free to move laterally, *K* = 2.0.
* *K L* is the effective length of the column.

## ဂုဏ်ပြုအထိမ်းအမှတ်များ 
 ငွေစက္ကုရှိ အွိုင်လာ၏ ပုံ]]
အွိုင်းလား၏ရုပ်ပုံ ဆွစ် ၁၀ ဖရန့် ငွေစက္ကူ (banknote)၏ ခြောက်ခုမြောက်စီးရီးတွင် ဖော်ပြခဲ့ပြီး ဆွစ်ဇာလန်၊ ဂျာမနီ၊ ရုရှားနိုင်ငံတို့၏ တံဆိပ်ခေါင်းများတွင်လည်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ ဂြိုဟ်သိမ် 2002 Euler ကို အွိုင်လာအား ဂုဏ်ပြုသောအားဖြင့် မှည့်ခေါ်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ လူသာရန်ဘုရားကျောင်းတော်မှ ၎င်းတို့၏ Calendar of Saints တွင် မေလ ၂၄ အား အွိုင်းလားအား ရည်စူး၍ အထိမ်းအမှတ်ပွဲများ ကျင်းပကြသည်။ အွိုင်းလားသည် ခရစ်ယာန်ဘာသာကို ရိုသေကိုင်းရှိုင်းသူဖြစ်ကာ (biblical inerrancy ကို ယုံကြည်သူ) apologetics တို့ကို ရေးသားခဲ့ပြီး သူတို့ခေတ်က အထင်ကရ ထာဝရဘုရားကိုမယုံကြည်သူနှင့် ပြင်းပြင်းထန်ထန် ငြင်းခုံဆွေးနွေးခဲ့သည်။

## ရွေးချယ်ထားသော စာစုများစာရင်း 
အွိုင်းလားသည် လုပ်ဆောင်မှုများ များပြားလှသည်ဖြစ်ကာ လူသိများသော စာအုပ်များထဲတွင် အောက်ပါတို့ ပါဝင်သည်- 
* *Mechanica* (၁၇၃၆)။
* *Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti* (၁၇၄၄)။ လက်တင်ဘာသာပြန်ထားသောအမည်မှာ *a method for finding curved lines enjoying properties of maximum or minimum, or solution of isoperimetric problems in the broadest accepted sense*။
* *Introductio in analysin infinitorum* (၁၇၄၈)။ ဂျွန်ဘလန်တန်(John Blanton)မှ အင်္ဂလိပ်ဘာသာပြန်သည့် *Introduction to Analysis of the Infinite* (Book I, , Springer-Verlag 1988; Book II, , Springer-Verlag 1989)။
* *Elements of Algebra* (၁၇၆၅)။ This elementary algebra text starts with a discussion of the nature of numbers and gives a comprehensive introduction to algebra, including formulae for solutions of polynomial equations။
* ကဲကုလဘာသာရပ်တွင် လွှမ်မိုးနိုင်သော စာအုပ်နှစ်အုပ်ဖြစ်သည့် *Institutiones calculi differentialis* (၁၇၅၅) နှင့် *Institutionum calculi integralis* (၁၇၆၈–၁၇၇၀)။
* *Letters to a German Princess* (၁၇၆၈–၁၇၇၂)။

ဆွီဒင်သိပ္ပံအကယ်ဒမီ၏  အွိုင်လာကော်မရှင်မှ ၁၉၁၁ ခုနှစ်ကတည်းက ပုံနှိပ်ခဲ့သော  *Opera Omnia* ဟုအမည်ပေးထားသော စာအုပ်သည် အွိုင်းလား၏ ကြိုပမ်းအားထုတ်မှုတို့ကို စုစည်းထားသော စာအုပ်ဖြစ်သည်။ အွိုင်းလား၏ ဆောင်ရွက်ခဲ့မှုများ အပြည့်အစုံကို အစဉ်အတိုင်းဖော်ပြထားသည်ကို ဖော်ပြပါ စာမျက်နှာတွင် ကြည့်ရှုနိုင်သည်- *The Eneström Index * (PDF).

## ကိုးကား 
## ဆက်လက်ဖတ်ရှုရန်များ
* *Lexikon der Naturwissenschaftler*, (2000), Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.
* 
* 
* 
* Ronald Calinger, *Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment*, Princeton University Press, 2016.
* 
* 
* 
*  In 
*  Special Issue on Leonhard Paul Euler's: Mathematical Topics and Applications.
* 
* Hascher, Xavier and Papadopoulos, Athanase (editors). 2015. '' Leonhard Euler : Mathématicien, physicien et théoricien de la musique',  Paris, CNRS Editions, 2015, 516 p. ()
* Heimpell, Hermann, Theodor Heuss, Benno Reifenberg (editors). 1956. *Die großen Deutschen*, volume 2, Berlin: Ullstein Verlag.
*  
* 
* 
*  In 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* .

## ပြင်ပလင့်များ
* LeonhardEuler.com
* 
* Encyclopædia Britannica article
* 
* How Euler did it contains columns explaining how Euler solved various problems
* Euler Archive
* Leonhard Euler – Œuvres complètes  Gallica-Math
* Euler Committee of the Swiss Academy of Sciences
* References for Leonhard Euler
* Euler Tercentenary 2007
* The Euler Society
* Euler Family Tree
* Euler's Correspondence with Frederick the Great, King of Prussia 
* 
* Euler Quartic Conjecture
* Portrait of Leonhard Euler from the Lick Observatory Records Digital Archive, UC Santa Cruz Library's Digital Collections 
* Euler's (1769–1771) *Dioptricae, 3 vols.*  – digital facsimile from the Linda Hall Library