အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်

ဖန်ရှင် (function) f တစ်ခု၏ ပစ်မှတ် (codomain) ရှိ အစုဝင် (element) တစ်ခုစီတိုင်းသည် f အရ မူလပုံရိပ် (preimage) အများဆုံး တစ်ခုသာရှိလျှင် ထိုဖန်ရှင်ကို **အင်ဂျက်တစ်**(injective)  သို့မဟုတ်  **အင်ဂျက်ရှင်း** (injection) ဟု ခေါ်သည် ။ ၎င်းမှာ f ဖြင့် အရင်းအမြစ် (domain) ရှိ မတူညီသော အစုဝင်နှစ်ခုကို  ပုံဖော်ရာတွင် တူညီသော ပုံရိပ် (image) မရရှိနိုင်ဟု ဆိုလိုခြင်းဖြစ်သည် ။ အကယ်၍ အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင် (injective function) တစ်ခုသည် ဆာဂျက်တစ် (surjective) လည်း ဖြစ်ပါက ၎င်းကို ဘိုင်ဂျက်တစ် (bijective) ဟု ခေါ်သည်။

## အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် 
alt=Représentation graphique de la notion d'injection|thumb|368x368px|အင်ဂျက်ရှင်း သဘောတရား၏ ဂရပ်ဖစ်ကိုယ်စားပြုမှု - Y ၏ မည်သည့် y အတွက်မဆို y=f(x) ဖြစ်စေမည့် X၏ x သည် အများဆုံး တစ်ခုသာ ရှိသည်။

Y အတွင်းရှိ မည်သည့် y \in Y အတွက်မဆို f(x)=y ဖြစ်စေမည့် X အတွင်းရှိ x \in X အများဆုံး တစ်ခုသာ ရှိပါက ဖန်ရှင် f:X\rightarrow Y သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားနိုင်သည်-

\forall (x,x')\in X^2,(f(x) = f(x')\Rightarrow x =x')

အထက်ပါ အဆိုသည် ၎င်း၏ ဆန့်ကျင်ဘက်အဆို (contrapositive) နှင့် ညီမျှသည် (equivalent)-

\forall (x,x')\in X^2,(x\ne x'\Rightarrow f(x)\ne f(x'))

## ဥပမာများ 
### လက်တွေ့ဥပမာ 
ခရီးသွားဧည့်သည်အုပ်စုတစ်စု တည်းခိုရမည့် အပန်းဖြေစခန်းဟိုတယ်တစ်ခု၏ အခြေအနေကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ ဤခရီးသွားများကို ဟိုတယ်အခန်းများထဲသို့ ခွဲဝေနေရာချသည့် နည်းလမ်းတစ်ခုစီတိုင်းကို ခရီးသွားများပါဝင်သော အစု (set) X မှ အခန်းများပါဝင်သော အစု Y သို့သွားသည့် ဖန်ရှင် (function) တစ်ခုအနေဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ ခရီးသွားတစ်ဦးစီတိုင်းအတွက် အခန်းတစ်ခန်းစီ သတ်မှတ်ပေးထားသည်ဟု ယူဆပါ။

*ဟိုတယ်ပိုင်ရှင်က ယင်းဖန်ရှင်ကို **ဆာဂျက်တစ်** (surjective) ဖြစ်စေချင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ *အခန်းတိုင်းတွင် လူပြည့်နေစေချင်သည်*။ ခရီးသွားအရေအတွက်သည် အခန်းအရေအတွက်နှင့် အနည်းဆုံးတူညီနေမှသာလျှင် ဤအခြေအနေ ဖြစ်နိုင်မည်ဖြစ်သည်။

*ခရီးသွားများကမူ ယင်းဖန်ရှင်ကို **အင်ဂျက်တစ်** (injective) ဖြစ်စေချင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ *သူတို့တစ်ဦးစီတိုင်းသည် သီးသန့်အခန်းတစ်ခန်းစီ ရရှိလိုကြသည်*။ ခရီးသွားအရေအတွက်သည် အခန်းအရေအတွက်ထက် မပိုမှသာလျှင် ဤအခြေအနေ ဖြစ်နိုင်မည်ဖြစ်သည်။

*ခရီးသွားအရေအတွက်နှင့် အခန်းအရေအတွက် တူညီနေမှသာ ဤကန့်သတ်ချက်နှစ်ခုလုံးကို တစ်ပြိုင်နက် ပြည့်မီစေမည်။ ထိုအခြေအနေတွင် အခန်းတစ်ခန်း၌ ခရီးသွားတစ်ဦးတည်းသာရှိပြီး အခန်းအားလုံးလည်း ပြည့်နေမည်။ ထိုအခါ ဖန်ရှင်သည် အင်ဂျက်တစ် လည်းဖြစ် ဆာဂျက်တစ် လည်းဖြစ်သွားပြီး ၎င်းကို **ဘိုင်ဂျက်တစ်** (bijective) ဖြစ်သည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။

အဆုံးမရှိသောအစု (infinite set) များတွင်မူ အခြေအနေမှာ သိသိသာသာ ကွဲပြားသွားပြီး ၎င်းကို ဟီလ်ဘတ်၏ ဟိုတယ် (Hilbert's hotel) က ကောင်းစွာ သရုပ်ဖော်ပြသသည်။

### အခြား ဥပမာများ 
*မည်သည့် အစု (set) X နှင့် ၎င်း၏ အစုပိုင်း (subset)  S \subseteq X တိုင်းအတွက်မဆို အစုဝင် s \in S တိုင်းကို ၎င်Xဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map)  S \to X သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (identity function) X \to X သည် အမြဲတမ်း အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။

*ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ် (domain) သည် အစုလွတ် (empty set)  ဖြစ်နေပါက ယင်းဖန်ရှင်သည် အစုလွတ် ဖန်ရှင် (empty function) ဖြစ်ပြီး အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။

*ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်တွင် အစုဝင် (element)  တစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်ပါက (၎င်းသည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု သို့မဟုတ် singleton set ဖြစ်ပါက) ယင်းဖန်ရှင်သည် အမြဲတမ်း အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။

*f(x) = 2x + 1 ဖြင့် ဖန်ရှင် f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} ကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ အလိုရှိသလောက် (arbitrary) ရွေးချယ်ထားသော မည်သည့် ကိန်းစစ်များ (real numbers) x နှင့် x' အတွက်မဆို 2x+1 = 2x'+1 ဖြစ်လျှင် 2x = 2x' ဖြစ်ပြီး x = x' ဖြစ်သောကြောင့် ဤဖန်ရှင်သည် အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သည်။

*ဆန့်ကျင်ဘက်အားဖြင့် g(x) = x^2 ဖြင့် ဖန်ရှင် g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} သည် အင်ဂျက်တစ် *မဟုတ်ပါ* ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ဥပမာအားဖြင့် g(1) = 1 = g(-1) ဖြစ်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။

*ဖန်ရှင် h : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R} ကို g ၏ ဖန်ရှင်ဖြင့် တူညီစွာသတ်မှတ်ပါ။ သို့သော် ၎င်း၏ **ကန့်သတ်အရင်းအမြစ်** (restricted domain) အား အပေါင်း ကိန်းစစ်များ (positive real numbers) အစုသာ သတ်မှတ်မည်ဆိုပါက ထိုဖန်ရှင် h သည် အင်ဂျက်တစ် *ဖြစ်သည်*။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ပေးထားသော မည်သည့် အပေါင်းကိန်းစစ် x နှင့် x' အတွက်မဆို x^2 = x'^2 ဖြစ်လျှင် ၎င်းတို့၏ ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) များအရ |x| = |x'| ဖြစ်သွားပြီး x = x'  ရရှိသောကြောင့်ဖြစ်သည်။

*\exp(x) = e^x ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (exponential function) \exp : \R \to \R သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။ သို့သော် မည်သည့်ကိန်းစစ်ကမျှ အနုတ်ကိန်း  သို့ ပုံမဖော်နိုင်သောကြောင့် ၎င်းသည် ဆာဂျက်တစ် (surjective) မဟုတ်ပါ။

*x \mapsto \ln x ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော သဘာဝ လော်ဂရစ်သမ် (natural logarithm) ဖန်ရှင် \ln : (0, \infty) \to \R သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။

*g(x) = x^n - x ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင် g : \R \to \R သည် အင်ဂျက်တစ် မဟုတ်ပါ၊ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ဥပမာအားဖြင့် 1 = g(0) = g(1) = 0 ဖြစ်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။

## ဂုဏ်သတ္တိများ 
အစုလွတ် (empty set) မဟုတ်သော X ပါဝင်သည့် ဖန်ရှင် f : X \to Y တစ်ခုသည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်လျှင်နှင့်မှသာလျှင် (if and only if) g \circ f အတွက် X ပေါ်ရှိ ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (identity function) နှင့် ညီမျှစေမည့် ဖန်ရှင် g : Y \to X တစ်ခု တည်ရှိသည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် f အတွက် ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left-invertible) ရှိသည်။ ထိုဖန်ရှင် g ကို ရုပ်သိမ်းခြင်း (retraction) ဟုခေါ်ပြီး ၎င်းသည် ဆာဂျက်တစ် (surjective) ဖြစ်သည်။

ထို့ကြောင့် ဖန်ရှင် f သည် ဘယ်ဘက်မှ ချေဖျက်နိုင်လျှင် (left-cancellative) (ဖြစ်လျှင်နှင့်မှသာလျှင်) အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။ တစ်နည်းဆိုရသော် မည်သည့် ဖန်ရှင်များ g, h : Z \to X အတွက်မဆို f \circ g = f \circ h ဖြစ်လျှင် g = h ဖြစ်သွားစေသည်။ အခြားတစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုရသော် အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်များသည် Set ကတ်တဂိုရီ (category of sets) ၏ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များ (monomorphisms) ပင် ဖြစ်ကြသည်။

ထို့ပြင် မည်သည့် ဖန်ရှင် h : Z \to Y ကိုမဆို သင့်လျော်သော အင်ဂျက်ရှင်း f နှင့် ဆာဂျက်ရှင်း g တို့ဖြင့် h = f \circ g အဖြစ် ခွဲခြမ်းဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤခွဲခြမ်းမှု (decomposition) သည်  အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုအထိ တစ်မူထူးခြားတိကျသေချာပြီး (unique up to isomorphism)  f ကို  h ၏ ပုံရိပ် h(Z) မှ ၎င်း၏ ပစ်မှတ်အစု Y သို့ သွားသော ပုံမှန်အင်ဂျက်ရှင်း (canonical injection) နှင့် ညီမျှစွာရွေးချယ်နိုင်သည်။

X  မှ Y  သို့သွားသော မည်သည့် ဖန်ရှင် f  နှင့် Y မှ Z သို့သွားသော မည်သည့် ဖန်ရှင် g အတွက်မဆို-

*ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင် (composite function) g \circ f သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်ပါက f သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။
*f နှင့် g တို့သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်ပါက g \circ f သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။
*f သည် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်ပြီး g \circ f သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်ပါက g သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။