အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်း (metric space)

၏ အတိုင်းဆ(metric) ကိုသုံးသည့်အခါ ဤအမှတ်၂ခုကြား အကွာအဝေးသည် အစိမ်းမျဉ်းနှင့် ပြထားသည့်အတိုင်း 6 \sqrt{2} \approx 8.49 ဟု ရပ်ဝန်းအတွင်း အတိုဆုံး လမ်းဖြောင့်ကို ရရှိ၏။ အနီ၊ အဝါ၊ အပြာတို့ဖြင့် ပြထားသည်မှာ တက္ကစီကားစပေ့စ် (taxicab space) ၏ အတိုင်းဆဖြင့် တွက်ထုတ်ထားသော အကွာအဝေးများ ဖြစ်ပြီး အလျား 12 ရှိ၏။]]

သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် **အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်း (metric space)** ဆိုသည်မှာ  အစု (set) တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အစုဝင်များ (elements) ကြား၌ အကွာအဝေး (distance)ဟူသော သဘောတရားတစ်ခုကို တွဲဖက်ထားသည်။ ထို အကွာအဝေးကို **အတိုင်းဆ (metric)** သို့မဟုတ် **အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (distance function)** ဟုခေါ်သော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြင့် တိုင်းတာသည်။ အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်းများသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (mathematical analysis) နှင့် ဂျီဩမေတြီ (geometry) တို့ရှိ သဘောတရားများစွာကို လေ့လာရန်အတွက် ယေဘုယျကျသော မူဘောင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။

## အမည်ပေးမှု 
အင်္ဂလိပ်စာလုံး metric မှ ဘာသာပြန်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ၎င်းအင်္ဂလိပ်စာလုံးမှာလည်း ရှေးဂရိဝေါဟာရ "metron" မှ ဆင်းသက်သည်။ ၎င်းက "တိုင်းထွာမှု၊ တိုင်းဆချက် (a measure)" ဖြစ်လေရာ မြန်မာစကားသို့  **အတိုင်းဆ** ဟု ဘာသာပြန်ခြင်း ဖြစ်သည်။
metric ကို တိုက်ရိုက်မွေးစား ပြောဆိုလျှင် *မတ်ထရစ်* ဟု ရေးနိုင်သကဲ့သို့ မြန်မာစာ၌ ရရစ်က "ရ"ဖြင့် ဗျည်းတွဲပြုကြောင်းကို အသုံးချခြင်းအားဖြင့် **မတ်ထြစ်** ဟုလည်း တူညီစွာ သဘောသက်ရောက်နိုင်၏။

## အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် 
X သည် မည်သည့် အစု (set) မဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံသော ပုံဖော်မှု (mapping) d:X\times X\rightarrow\mathbb{R} ကို X အပေါ်ရှိ **အတိုင်းဆ (metric)** ဟု ခေါ်သည်။ မည်သည့် \varphi, \psi, \chi\in X အတွက်မဆို 
*(M1) d(\varphi,\psi)\ge0 (အပေါင်းကိန်းဖြစ်မှု - Positivity)
*(M2) d(\varphi,\psi)=0 ဖြစ်လျှင်နှင့်မှသာလျှင် (if and only if) \varphi=\psi ဖြစ်သည် (တိကျသေချာမှု - Definiteness)
*(M3) d(\varphi,\psi)=d(\psi,\varphi) (အချိုးညီမှု - Symmetry)
*(M4) d(\varphi,\psi)\le d(\varphi,\chi)+d(\chi,\psi) (တြိဂံ မညီမျှခြင်း - Triangle inequality)

ဤကဲ့သို့ အတိုင်းဆ တပ်ဆင်ထားသော အစုစုံတွဲ (X, d) ကို **အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်း (metric space)** ဟု ခေါ်ဆိုသည်။
အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်း X ၏ အစုဝင်များကို အမှတ်များ (points) ဟုလည်း ရည်ညွှန်းခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်းဂဏန်း d(\varphi,\psi) သည် \varphi နှင့် \psi အမှတ်များကြားရှိ အကွာအဝေး (distance) ဖြစ်သည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် အစု X တစ်ခုတည်းအပေါ်တွင် အတိုင်းဆ အများအပြားကို သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ထိုသို့သော အခြေအနေမျိုးတွင် အခြေခံ အမှတ်များအစု (underlying set of points) တူညီနေသော်လည်း အတိုင်းဆ d ပါရှိသော အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်း (X, d) နှင့် အတိုင်းဆ d^{\prime} ပါရှိသော အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်း (X, d^{\prime}) တို့ကို ကွဲပြားခြားနားသော ရပ်ဝန်းများအဖြစ် ခွဲခြားသတ်မှတ်လေ့ရှိသည်။

## ဥပမာများ (Examples) 
***ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး ရပ်ဝန်းများ (Real and Complex Spaces):** \mathbb{R} နှင့် \mathbb{C} တို့ပေါ်တွင် d(x,y) := |x-y| သည် အတိုင်းဆတစ်ခုဖြစ်သည် ။

***ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်း (Euclidean Space):** \mathbb{R}^m နှင့် \mathbb{C}^m တို့ပေါ်တွင် x=(x_1,...,x_m)^\top နှင့် y=(y_1,...,y_m)^\top အမှတ်များအတွက် ယူကလစ်ဒ် အတိုင်းဆ (Euclidean metric) ကို d(x,y) := \left(\sum_{i=1}^m |x_i-y_i|^2\right)^{1/2} ဟု သတ်မှတ်သည် ။ ယူကလစ်ဒ် ပြင်ညီ (2D Euclidean plane) တွင် ဤဖန်ရှင်သည် d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ် (Pythagorean theorem) ကို အခြေခံ၍ အကွာအဝေး တွက်ချက်ခြင်းပင် ဖြစ်သည် ။

***တက္ကစီကား ရပ်ဝန်း (Taxicab Space):** တက္ကစီကား အတိုင်းဆ (Taxicab metric သို့မဟုတ် Manhattan distance) ကို d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=|x_2-x_1|+|y_2-y_1| ဟု သတ်မှတ်သည် ။ ဤအတိုင်းဆသည် မြို့ပြလမ်းကွက်များကဲ့သို့ ထောင့်မှန်ကျသော လမ်းကြောင်းများအတိုင်း သွားလာရသည့် အကွာအဝေးကို တွက်ချက်ပေးသည် ။

***အကန့်အသတ်ရှိသော အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (Bounded Continuous Functions):** D \subset \mathbb{R}^m အတွက် BC(D) သည် D ပေါ်ရှိ အကန့်အသတ်ရှိပြီး အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်များ (bounded continuous functions) ၏ အစုဖြစ်သည် ။ ၎င်းအပေါ်တွင် စူပရီမမ် အတိုင်းဆ (supremum metric) ကို d_\infty(\varphi, \psi) := \sup_{x \in D} |\varphi(x) - \psi(x)| အဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။
****အင်တီဂရယ် အတိုင်းဆ (Integral Metric):** -\infty  ဖြစ်သော အပိုင်းအခြား [a,b] အတွက် BC([a,b]) ပေါ်တွင် d_1(\varphi, \psi) := \int_a^b |\varphi(x) - \psi(x)| dx သည် အခြားအတိုင်းဆတစ်ခုဖြစ်သည်  ။

***တစ်ပိုင်းတစ်စ အတိုင်းဆ (Discrete Metric):** မည်သည့် အစု X ပေါ်တွင်မဆို \varphi \neq \psi ဖြစ်လျှင် d_{dis}(\varphi,\psi) := 1 ဖြစ်ပြီး \varphi = \psi ဖြစ်လျှင် d_{dis}(\varphi,\psi) := 0 ဖြစ်သော ပုံဖော်မှုသည်  တစ်ပိုင်းတစ်စ အတိုင်းဆ (discrete metric) ဖြစ်သည်  ။

## အခြေခံ သတ္တိများနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ သဘောတရားများ 
အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်း (Metric Space) တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အခြေခံသတ္တိများနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ သဘောတရားများ ပါဝင်သည် ။

### စတုဂံ မညီမျှခြင်း (Quadrilateral Inequality) 
*အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်း X တစ်ခုအတွင်းရှိ မည်သည့် \varphi, \psi, \varphi^{\prime}, \psi^{\prime} \in X အတွက်မဆို အောက်ပါ စတုဂံ မညီမျှခြင်းရှိသည် ။
|d(\varphi,\psi)-d(\varphi^{\prime},\psi^{\prime})|\le d(\varphi,\varphi^{\prime})+d(\psi,\psi^{\prime})

 **သက်သေပြချက် (Proof):**(M4) တြိဂံ မညီမျှခြင်း (triangle inequality) အရ d(\varphi,\psi)\le d(\varphi,\varphi^{\prime})+d(\varphi^{\prime},\psi^{\prime})+d(\psi^{\prime},\psi)  ဖြစ်သည် ။ ၎င်းမှ (M3) အချိုးညီခြင်း (symmetry) ဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် d(\varphi,\psi)-d(\varphi^{\prime},\psi^{\prime})\le d(\varphi,\varphi^{\prime})+d(\psi,\psi^{\prime}) ကို ရရှိသည် ။ ထိုနည်းတူစွာ d(\varphi^{\prime},\psi^{\prime})-d(\varphi,\psi)\le d(\varphi,\varphi^{\prime})+d(\psi,\psi^{\prime}) ကို ရနိုင်သည် ။ □

### စက်လုံးများ (Balls) 
အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်း X ၏ အစုဝင်တစ်ခုဖြစ်သော \varphi နှင့် r>0 တို့အတွက်
*အစု B(\varphi;r):={\psi\in X:d(\varphi,\psi) ကို \varphi ဗဟိုပြု၍ အချင်းဝက် r ရှိသော **အဖွင့်စက်လုံး (open ball)** ဟု ခေါ်သည် ။
*အစု B[\varphi;r]:={\psi\in X:d(\varphi,\psi)\le r} ကို \varphi ဗဟိုပြု၍ အချင်းဝက် r ရှိသော **အပိတ်စက်လုံး (closed ball)** ဟု ခေါ်သည် ။

### အဖွင့်စု (Open Sets) 
*အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်း X ၏ အစုပိုင်း U အတွင်းရှိ မည်သည့် \varphi\in U အတွက်မဆို B(\varphi;r)\subset U ဖြစ်စေမည့် r>0 တစ်ခု တည်ရှိပါက ထို U ကို **အဖွင့်စု (open set)** ဟု ခေါ်သည် ။

*အဖွင့်စက်လုံးများသည် အဖွင့်စုများ ဖြစ်ကြသည် ။
 **သက်သေပြချက် (Proof):** \varphi\in B(f;r) ဖြစ်သည်ဆိုပါစို့ ။ ထိုအခါ \rho:=r-d(f,\varphi)>0 ဖြစ်ပြီး မည်သည့် \psi\in B(\varphi;\rho) အတွက်မဆို တြိဂံ မညီမျှခြင်းအရ d(f,\psi)\le d(f,\varphi)+d(\varphi,\psi) ဖြစ်သည် ။ ဆိုလိုသည်မှာ \psi\in B(f;r) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် B(\varphi;\rho)\subset B(f;r) ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည် ။  □

*အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်း X နှင့် အစုလွတ် (empty set) တို့သည် အဖွင့်စုများ ဖြစ်ကြသည် ။ အဖွင့်စုများ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection of finitely many open sets)  သည် အဖွင့်စုသာ ဖြစ်သည်။ 
 **သက်သေပြချက် (Proof):**ပထမအဆိုမှာ သိသာသည် ။ U_{1},...,U_{n} တို့သည် အဖွင့်စုများဖြစ်ပြီး \varphi\in U:=\bigcap_{i=1}^{n}U_{i} ဖြစ်သည်ဆိုပါစို့ ။ ထို \varphi သည် U_{i} တစ်ခုစီတိုင်းတွင် ပါဝင်သည် ။ ထို့ကြောင့် i=1,...,n အတွက် B(\varphi;r_{i})\subset U_{i} ဖြစ်စေမည့် r_{i}>0 တစ်ခု တည်ရှိသည် ။ r:=\min_{i=1,...,n}r_{i} ဟု သတ်မှတ်လိုက်လျှင် B(\varphi;r)\subset U ဖြစ်လာသည် ။ □
*မည်မျှပင်များပြားစေကာမူ အဖွင့်စုများအားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စု (union of arbitrarily many open sets) သည် အဖွင့်စုသာ ဖြစ်သည်။ 
 **သက်သေပြချက် (Proof):**U_{i}, i\in I တို့သည် အဖွင့်စုများဖြစ်ပြီး \varphi\in U:=\bigcup_{i\in I}U_{i} ဖြစ်လျှင် \varphi သည် အချို့သော U_{i} တွင် ပါဝင်သည် ။ ထို့ကြောင့် B(\varphi;r)\subset U_{i}\subset U ဖြစ်စေမည့် r>0 တစ်ခု တည်ရှိသည် ။ □

## အကိုးအကား