ကော်ချီ ကိန်းစဉ်

thumb|**ကော်ချီ ကိန်းစဉ် (Cauchy sequence) ဥပမာ -** ကိန်းစဉ် ဆက်လက်ဖြစ်ပေါ်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်း၏ အစုဝင်များကြားရှိ အကွာအဝေးသည် အလိုရှိသလောက် သေးငယ်သွားသည်။
thumb|**ကော်ချီ ကိန်းစဉ် မဟုတ်သော ကိန်းစဉ် ဥပမာ -** ကိန်းစဉ် ဆက်လက်ဖြစ်ပေါ်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်း၏ အစုဝင်များကြားရှိ အကွာအဝေးသည် အလိုရှိသလောက် သေးငယ်မသွားပေ။
သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် **ကော်ချီ ကိန်းစဉ်** (Cauchy sequence) ဆိုသည်မှာ ကိန်းစဉ် ဆက်လက်ဖြစ်ပေါ်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်း၏ အစုဝင်များ (elements) ကြားရှိ အကွာအဝေး (distance) သည် အလိုရှိသလောက် (arbitrarily) သေးငယ်သွားသော ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များကို ပြင်သစ် သင်္ချာပညာရှင် အောဂတ်စတင်-လူးဝစ် ကော်ချီ (Augustin-Louis Cauchy) အား အစွဲပြု၍ မှည့်ခေါ်ထားခြင်းဖြစ်ပြီး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (analysis) တည်ဆောက်မှုအတွက် အခြေခံကျ အရေးပါသည်။

ကိန်းစစ် (real numbers) များပါဝင်သော ကော်ချီ ကိန်းစဉ်တစ်ခုသည် အမြဲတမ်း စုဆုံ (converge) ပြီး ၎င်း၏ စုဆုံမှတ် (limit) အဖြစ် ကိန်းစစ်တစ်ခုရှိသည်။ သို့သော် ရာရှင်နယ်ကိန်း (rational numbers) များပါဝင်သော ကော်ချီ ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း (irrational number) လည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် ကိန်းစစ်များသည် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်း (complete space) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့သည် အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်း (metric space) တစ်ခုဖြစ်ကြပြီး အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်းတစ်ခုအတွင်းရှိ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များအားလုံးသည် စုဆုံမှသာလျှင် ထိုရပ်ဝန်းကို ပြည့်စုံသည်ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။

## ကိန်းများ၏ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များ 
### အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် 
ကိန်းစစ်များ  ပါဝင်သော ကိန်းစဉ် (a_i)_{i\in \mathbb{N}} တစ်ခုသည် မည်သည့် \varepsilon>0 အတွက်မဆို အညွှန်း (index) N တစ်ခု ရှိနေပြီး ထိုအညွှန်းမှစ၍ ကိန်းစဉ်၏ အစုဝင်များအားလုံး တစ်ခုနှင့်တစ်ခု အကွာအဝေး \varepsilon ထက် နည်းပါက ၎င်းကို *ကော်ချီ ကိန်းစဉ် (Cauchy sequence)* ဟု ခေါ်သည်။ ပုံစံတကျ (formal) အားဖြင့် ဤအခြေအနေကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားနိုင်သည်-

:\forall \varepsilon>0 \quad \exists N\in\mathbb{N} \quad \forall m,n \ge N \colon \quad \left|a_m-a_n \right|

ဤတွင် | \cdot | သည် ကိန်းတစ်ခု၏ ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။

#### မှတ်ချက်များ 
*အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တွင် \ge N အစား >N ဖြင့်လည်းကောင်း၊  အစား \le \varepsilon ဖြင့်လည်းကောင်း အစားထိုး အသုံးပြုနိုင်သည်။

*ဤအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နှင့် တူညီစွာ မည်မျှပင် သေးငယ်သော အပေါင်းကိန်း \varepsilon အတွက်မဆို ကိန်းစဉ်၏ အစုဝင်အားလုံးနီးပါး(almost all) ပါဝင်နေမည့် အလျား 2\varepsilon ရှိသော ကြားပိုင်း (interval) တစ်ခု ရှိသည်ဟုလည်း သတ်မှတ်နိုင်သည်။

### ဥပမာများ 
* ကိန်းစဉ် a_i = \tfrac{1}{i} သည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကြောင်းမှာ မည်မျှပင် သတ်မှတ်ပေးထားသော \varepsilon>0 အတွက်မဆို N>\tfrac{1}{\varepsilon} ကို ပြည့်စုံစေမည့် N တစ်ခုကို ရွေးချယ်နိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ မည်သည့် n\geq m>N ကိုမဆို ရွေးချယ်လိုက်ပါက အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်မည်။

::| a_m - a_n | = \left|\frac{1}{m} - \frac{1}{n}\right| = \left|\frac{n-m}{mn}\right| .

* ကိန်းစဉ် a_i = i သည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ် မဟုတ်ပေ။ ၎င်းအတွက် \varepsilon=\tfrac12 ဟု ရွေးချယ်ပြီး N ကို မည်သည့် သဘာဝကိန်း (natural number) အဖြစ်မဆို ထားရှိပါစို့။ ထိုအခါ n=N+1 နှင့် m=n+1 ကို ရွေးချယ်နိုင်ပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်မည်။

::| a_m - a_n | = | m - n | = 1 \geq \varepsilon.

### ပြည့်စုံမှု (Completeness) 
ရာရှင်နယ်ကိန်းများ အစုအတွင်း၌  အထက်တွင် ဖော်ပြထားသည့်အတိုင်း အစုဝင်များ စုစည်းလာနိုင်သော်လည်း စုဆုံမှတ် မရှိသော ရာရှင်နယ်ကိန်းများပါဝင်သည့် ကိန်းစဉ်များ ရှိသည်။ ၎င်းအတွက် ဥပမာတစ်ခုမှာ အောက်ပါ ဖွဲ့စည်းမှုပါရှိသော ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ကိန်းစဉ် ဖြစ်သည်-

:a_1:=1,\quad a_{i+1}:=\frac{a_i}{2} + \frac{1}{a_i}.

ဤကိန်းစဉ်သည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်သော်လည်း ၎င်း၏ စုဆုံမှတ်မှာ အီရာရှင်နယ်ကိန်း \sqrt{2} ဖြစ်သောကြောင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ အစုအတွင်း၌ စုဆုံခြင်း မရှိပေ။ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ အစု \mathbb Q အတွင်း၌ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များစွာ၏ စုဆုံမှတ်များ မပါဝင်ခြင်းဟူသော ပြဿနာကြောင့်  ကိန်းစစ်များ အစု \mathbb{R} သို့ ပြည့်စုံစေခြင်း (completion) ဟူသော အယူအဆသို့ သမိုင်းကြောင်းအရ ဦးတည်စေခဲ့သည်။