တိုပေါ်လော်ဂျီ

**တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology)** သည် ရပ်ဝန်း(space) အတွင်းရှိ ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ တည်နေရာနှင့် အစီအစဉ်ကို လေ့လာသော ပညာရပ်ဖြစ်ပြီး သင်္ချာဘာသာရပ်၏ အခြေခံကျသော အဓိကနယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အဆက်မပြတ် ပုံပျက်သွားခြင်းများ (continuous deformations) အောက်တွင် မပြောင်းမလဲဘဲ ကျန်ရှိနေသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည်။

တိုပေါ်လော်ဂျီသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) နှင့် အစုသီအိုရီ (set theory) တို့၏ သဘောတရားများမှ ဆင်းသက်ပေါက်ဖွားလာခြင်း ဖြစ်သည်။ ၁၉ ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် ၎င်းသည် သီးခြားဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့ပြီး လက်တင်ဘာသာဖြင့် *geometria situs* (တည်နေရာ ဂျီဩမေတြီ) သို့မဟုတ် *analysis situs* (ဂရိလက်တင်ဘာသာဖြင့် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း) ဟု ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည်။

ဆယ်စုနှစ်များစွာတိုင်အောင် တိုပေါ်လော်ဂျီကို အခြေခံကျသော ဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် အသိအမှတ်ပြုခဲ့ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းကို အက္ခရာသင်္ချာ (algebra) နည်းတူ အခြားသော သင်္ချာနယ်ပယ်များစွာအတွက် ဒုတိယမြောက် မဏ္ဍိုင်ကြီးတစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ၎င်းသည် ဂျီဩမေတြီ၊ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (analysis)၊ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) နှင့် လီအုပ်စု သီအိုရီ (Lie group theory) တို့အတွက် အထူးပင် အရေးပါလှသည်။ ၎င်းသည် အစုသီအိုရီနှင့် ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ (category theory) တို့ကိုလည်း များစွာ အထောက်အကူပြု တိုးတက်စေခဲ့သည်။

တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သဘောတရားမှာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် "နီးစပ်မှု (nearness)" ဟူသော အယူအဆကို ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် ပုံဖော်ထားခြင်းဖြစ်ပြီး ထိုမှတဆင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) နှင့် စုဆုံမှတ် (limit) ကဲ့သို့သော သင်္ချာအယူအဆများကို ယေဘုယျပြုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံ အများအပြားကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအဖြစ် ယူဆနိုင်သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း၏ တည်ဆောက်ပုံပေါ်တွင်သာ မူတည်နေသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ခေါ်ဆိုခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့သည် "ပုံပျက်သွားခြင်းများ (deformations)" သို့မဟုတ် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homeomorphisms) ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကြသည်။  ဥပမာများအနေဖြင့် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်တစ်ခုကို ဆွဲဆန့်ခြင်း၊ ဖိခြင်း၊ ကွေးခြင်း၊ လိမ်ခြင်း နှင့် ဖိလိမ်ခြင်းတို့ ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်သည်။ 

စက်လုံး (sphere) တစ်ခုနှင့် ကုဗတုံး (cube) တစ်ခုကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရှုထောင့်မှကြည့်လျှင် ခွဲခြား၍မရနိုင်ပေ။ ၎င်းတို့သည် ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အတူ မုန့်လက်ကောက်အခဲ  (solid torus) နှင့် လက်ကိုင်ကွင်းတစ်ခုပါသော ခွက်တို့သည်လည်း ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ အကြောင်းမှာ ၎င်းတို့အနက်မှ တစ်ခုကို အခြားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြတ်တောက်ခြင်းမရှိဘဲ အသွင်ပြောင်းနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည် (ပုံတွင် ကြည့်ပါ)။ သို့သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် (torus) ၏ မျက်နှာပြင်သည် စက်လုံး၏ မျက်နှာပြင်နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီသဘောအရ ကွဲပြားခြားနားသည်။ စက်လုံးပေါ်ရှိ မည်သည့် မျဉ်းကွေးပိတ် (closed curve) ကိုမဆို အမှတ်တစ်ခုတည်းဖြစ်သွားရန် အဆက်မပြတ် ကျုံ့ယူသွားနိုင်သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် ပေါ်တွင်မူ မျဉ်းကွေးတိုင်းကို ထိုသို့ပြုလုပ်၍ မရနိုင်ပေ။

တိုပေါ်လော်ဂျီကို နယ်ပယ်ခွဲများအဖြစ် ထပ်မံခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းနယ်ပယ်ခွဲတို့တွင် အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology)၊ ဂျီဩမေတြီသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (geometric topology) အပြင် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂရပ်သီအိုရီ (topological graph theory) နှင့် အထုံးသီအိုရီ (knot theory) တို့ ပါဝင်သည်။ အစုသီအိုရီအခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology သို့မဟုတ် set-theoretic topology) ကို ဤနယ်ပယ်ခွဲများအားလုံး၏ အခြေခံအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ၎င်းတွင် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် အလွန်ကွဲပြားခြားနားသော ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကိုပါ အထူးတလည် လေ့လာသည်။

တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုမှာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) ဖြစ်သည်။ အခြားသော သင်္ချာကတ်တဂိုရီများတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homomorphisms) ဟု အများအားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည့်အရာများနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ (continuous mappings) သည် သဘောတရာကိုက်ညီမှု ရှိသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကြားရှိ ပြောင်းပြန်လှန်ချက်သည်လည်း အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော၊ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည့် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းဖန်ရှင် (continuous bijection whose inverse is also continuous) ကို ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် အခြားသော ကတ်တဂိုရီများရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) နှင့် သဘောတရား တူညီသည်။ ဟိုမီယိုမောဖစ်ဖြစ်သော ရပ်ဝန်းများကို တိုပေါ်လော်ဂျီ နည်းလမ်းများဖြင့် ခွဲခြားမရနိုင်ပါ။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံကျသော ပြဿနာတစ်ခုမှာ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုသည် ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ခြင်း ရှိမရှိ ဆုံးဖြတ်ရန် ဖြစ်သည်။ ပို၍ ယေဘုယျကျကျဆိုရလျှင် စိတ်ဝင်စားဖွယ် ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ တည်ရှိခြင်း ရှိမရှိ ဖြစ်သည်။

## တိုပေါ်လော်ဂျီ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် 
*တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space)** (X, \mathcal{T}) တစ်ခုတွင် အစု (set) X တစ်ခုနှင့် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ ပြည့်စုံသော X ၏ အစုပိုင်းများ (subsets) စုစည်းမှု \mathcal{T} တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်-

*(၁) အစုလွတ် (empty set) \emptyset နှင့် X တို့သည် \mathcal{T} တွင် ပါဝင်သည်။
*(၂) \mathcal{T} အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင်များ၏ ပေါင်းစပ်စု (union) မဆိုသည် \mathcal{T} တွင် ပါဝင်သည်။
*(၃) \mathcal{T} အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင်များ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစု (finite intersection) မဆိုသည် \mathcal{T} တွင် ပါဝင်သည်။

စုစည်းမှု \mathcal{T} ကို X အပေါ်ရှိ **တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology)** ဟု ခေါ်ဆိုပြီး တိုပေါ်လော်ဂျီကို နားလည်သဘောပေါက်ပြီးဖြစ်ပါက (X,\mathcal{T}) အစား X ဟုသာ ရေးသားသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ \mathcal{T} ၏ အစုဝင်များကို **အဖွင့်စုများ (open sets)** ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အစုတစ်ခု၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) သည် အဖွင့်စု ဖြစ်မှသာလျှင် ထိုအစုကို **အပိတ်စု (closed set)** ဟု ခေါ်ဆိုသည်။

### တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) နှင့် တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology)
X သည် မည်သည့် အစုမဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ 
*X ၏ အစုပိုင်းအားလုံးပါဝင်သော စုစည်းမှု 2^X သည် X အပေါ် **တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology)** ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ 
*အစု {{\emptyset, X}} သည် X အပေါ်ရှိ **တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology)** သို့မဟုတ် **အသေးအဖွဲ တိုပေါ်လော်ဂျီ (trivial topology)*' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။

### အကြမ်းတိုပေါ်လော်ဂျီ (coarse topology) နှင့် အသေးစိတ်တိုပေါ်လော်ဂျီ (fine topology) 
တခါတရံတွင် အစုတစ်ခုတည်းအပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီ နှစ်ခုကို နှိုင်းယှဉ်နိုင်သည်။
  \mathcal{T} \subseteq \mathcal{T}' ဖြစ်သောအခါ တိုပေါ်လော်ဂျီ \mathcal{T} ကို \mathcal{T}' ထက် **ပို၍ ကြမ်းသည် (coarser)** ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်ပြီး တိုပေါ်လော်ဂျီ \mathcal{T}' ကို \mathcal{T} ထက် **ပို၍ အသေးစိတ်သည် (finer)** ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။

ကြမ်းသည် နှင့် အသေးစိတ်သည် တို့အစား အချို့က "ပိုငယ်သည် (smaller)" နှင့် "ပိုကြီးသည် (larger)" သို့မဟုတ် "ပိုအားနည်းသည် (weaker)" နှင့် "ပိုအားကောင်းသည် (stronger)" ဟု သုံးနှုန်းလေ့ရှိကြသည်။ သို့သော် ထိုဝေါဟာရများသည် ကော်ဖီ နှင့် ဥပမာပေးသောအခါ ပို၍ ရှင်းလင်းသွားသည်။ ကြမ်းတမ်းစွာ ကြိတ်ထားသော ကော်ဖီမှုန့် သည် ကြီးမားသော ကော်ဖီစေ့ အပိုင်းအစ အရေအတွက် အနည်းငယ်ကိုသာ ရရှိစေပြီး အသေးစိတ်ညက်ညက် ကြိတ်ထားသော ကော်ဖီမှုန့်သည် သေးငယ်သော ကော်ဖီစေ့ အပိုင်းအစ အရေအတွက် အများအပြားကို ရရှိစေသည်။ အသေးစိတ်ညက်ညက် ကြိတ်ထားသော ကော်ဖီစေ့များသည် ပိုမိုပြင်းပြသော (stronger) ကော်ဖီကို ရရှိစေပြီး ကြမ်းတမ်းစွာ ကြိတ်ထားသော ကော်ဖီစေ့များသည် ပိုမိုပေါ့ပေါ့ အားနည်းသော (weaker) ကော်ဖီကို ရရှိစေသည်။

လက်တွေ့တွင်မူ တိုပေါ်လော်ဂျီကို ထုတ်လုပ်ပေးသော (generates) X ၏ အဖွင့်စုပိုင်းများ၏ စုစည်းမှု သေးသေးငယ်ငယ် တစ်ခုနှင့် အလုပ်လုပ်ရသည်မှာ ပို၍ လွယ်ကူသည်။

## စကားလုံး အနက်မှန်များ 
အင်္ဂလိပ်စကားဖြင့် *"တော်ပေါ့လဂျီ"* ဟု ခေါ်သော၊ မြန်မာအခေါ် *"တိုပိုလော်ဂျီ"* ဟုလည်း ခေါ်သော် အခေါ်အဝေါ်မှာ  ("နေရာ၊ ဒေသ" ဟူသည်မျိုး အနက်ရသော) "τόπος" နှင့် ("လေ့လာ"ဟု အနက်ရသော) "λόγος" ရှေးဂရိ စကားသံတို့ကို ပေါင်းစပ်ခေါ်ဝေါ်ထားခြင်း ဖြစ်၏။

## မှတ်စု