John von Neumann

**John von Neumann**, nacido **Margittai Neumann János Lajos** (Budapiste, 28 de dezembre de 1903 — Washington, D.C., 8 de febreiro de 1957) fui un matemático húngaro d'ourige judaica, naturalizado stadunidense.

Cuntribuiu na teorie de ls cunjuntos, análeze funcional, teorie argódica, macánica quántica,  ciéncia de la cumputaçon, eiquenomie, teorie de ls jogos, análeze numérica, heidrodinámica de las splusones, statística i muitas outras las árias de la Matemática. De fato ye cunsidrado un de ls mais amportantes matemáticos de l seclo XX.

Fui nembro de l  Anstituto de Studos Abançados an Princeton, New Jersey, de l qual tamien fazien parte Albert Einstein i Erwin Panofsky, quando eimigrórun pa ls Stados Ounidos, para alhá de Kurt Gödel, Robert Ouppenheimer, George F. Kennan i Heirmann Weyl.

Cun Edward Teller i Stanislaw Ulan, von Neumann trabalhou an zambolbimientos chabe de la Física Nuclear, relacionados cun reaçones termonucleares  i cula bomba d'heidrogénio. Participou tamien de l Porjeto Manhattan, respunsable pul zambolbimiento de las purmeiras bombas atómicas.

Fui porsor na Ounibersidade de Princeton i un de ls custrutores de l ENIAC.
Antre ls anhos de 1946 i 1953, von Neumann antegrou l grupo reunido sob l nome de Macy Cunferences, cuntribuindo pa la cunsulidaçon de la teorie cibernética junto cun outros cientistas renomados: Griegory Bateson, Heinç von Foerster, Kurt Lewin, Margaret Mead, Norbert Wiener, Paul Lazarsfeld,  William Ross Ashby, Claude Shannon, Erik Erikson i Max Delbruck, antre outros. Von Neumann faleciu pouco depuis, als 53 anhos, bítima dun tumor cerebral.

## Bida
Neumann János Lajos (ó John von Neumann, depuis d'anglicanizar l sou nome) fui un matemático nacido an Budapiste, ne l ampério Austro-Húngaro, la binte i uito de Dezembre de 1903, ne l teta dua rica família judaica, filho de Kann Margit (Margaret Kann) i de Neumann Miksa (Max Neumann), un adbogado que trabalhaba nun banco. Budapiste era ua capital anteletual an spanson, i diç-se que la cidade “Staba quaije a porduzir ua de las sues mais brilhantes geraçones de cientistas, scritores, artistas, musiqueiros i úteles melionairos spatriados la beniren dua pequeinha quemunidade zde las cidades-stado de la Renacença Eitaliana.”

L pequeinho Jancsi (diminutibo para János) tubo ua eiducaçon elitista i cedo se notou qu'era un prodígio:

“Als seis anhos, cunseguia trocar piadas cul pai an griego clássico. La família Neumann por bezes antretenie ls sous cumbidados cun demunstraçones de l'halbelidade de l Johnny para memorizar agendas telefónicas. Un cumbidado scolherie ua páigina i coluna aleatórias de l'agenda. L pequeinho Johnny lia la coluna alguas bezes i debolbia l'agenda al cumbidado. Podie anton respunder la qualquiera queston que le colocassen (quien era l númaro tal i tal?) ó recitar nomes, andereços i númaros por orde.”

Cunseguia debedir de cabeça algarismos d'uito dígitos, als uito anhos tenie lido ls quarenta i quatro belumes de la Stória Ounibersal i trebializado l cálclo i als 12 tenie lido i antendido l libro *Théorie ç Fontiones*, de Borel. La çtinçon de von (Margittai, an Húngaro) entra na família an 1913, quando l sou pai fui recumpensado pul sou serbício al ampério Austro-Húngaro, tenendo Neumann János mudado l sou nome para János von Neumann i mais tarde pa l correspondente alman Johann von Neumann.

An 1911, cun uito anhos, antrou ne l Lutheran Gymnasiun, ua de las trés melhores anstituiçones de Budapiste na altura. An 1921 ls pais mandan nel pa la Ounibersidade de Berlin, para studar angenharie química, i dous anhos depuis, bai para Zurique. Anque von Neumann tener pouco antresse an angenharie química, esta era ua carreira popular que garantie un buono nible de bida (al qual von Neumann staba habituado), un pouco debido al sucesso de ls químicos almanes antre 1914 i 1918, pul que l sou pai l'ancorajou la segui-la. Stubo assi dous anhos an Berlin nun porgrama de química, adonde assiste tamien a un curso de física (qu'ancluía física statística), dado por Albert Einstein; mais tarde fizo l'eisame para antrar ne l segundo anho d'angenharie química ne l prestigiado Eidgennossische Technische Hochschule (ETH) an Zurique - ne l qual Einstein nun tenie cunseguido antrar nua purmeira tentatiba, an 1895, mas si ne l'anho seguinte.

Durante este tiempo d'estudo, von Neumann tenie traçado outro praino que staba mais d'acuordo culs sous antrisses. Antre la fin de ls sous studos an Berlin i antes de l'ida para Zurique, antrou na Ounibersidade de Budapiste cumo candidato para un doutoramiento an matemática. La sue tese de doutoramiento fui ua tentatiba de axiomatizar la teorie de ls cunjuntos, zambolbida por Georg Cantor, qu'era un assunto an boga na altura, yá tenendo sido studado por bários porsores, causando alguas delores de cabeça a la maiorie. Von Neumann fizo assi l curso de angenharie química ne l ETH i, a la par, l sou doutoramiento an matemática an Budapiste, tenendo oubtido notas mássimas mesmo an deciplinas a las quales quaije nunca assistia. Depuis d'acabar la sue tese, lougo passado oubter la licenciatura pul ETH, passou ne ls eisames finales cun çtinçon.

Por essa altura, conhece David Hilbert, un matemático que benerie a tener grande anfluéncia ne l sou trabalho. George Pólya admitiu, la propósito de la belocidade de pensar de von Neumann, qu'el era “L único aluno de quien algua beç tubo medo. Se ne l decorrer dua aula falasse dun porblema por resulber, l mais probable era qu'el benisse tener cumigo ne l final, cula soluçon cumpleta scrita an alguns rabiscos nun cacho de papel.”

An 1926 tornou-se anton ne l mais nuobo *Pribatdozent* na stória de la Ounibersidade de Berlin, tenendo ende lecionado até 1929, i depuis an Hamburgo de 1929 la 1930, altura an qu'eimigrou pa ls Stados Ounidos cula sue mai i armanos. Por esta altura, von Neumann tenie atingido l'estatuto de celebridade, cumo Poundstone custata an:

“Als binte i poucos anhos, la fama de von Neumann tenie-se spalhado mundialmente na quemunidade matemática. An cunferéncias académicas, el ber-se-iba apuntado cumo un moço génio”.

Ua beç ne ls EUA, mudou Johann para John mas mantebe l'apelido aristocrático austríaco von Neumann, al passo que ls sous armanos adotórun ls apelidos Vonneumann i Neumann (usando solo l títalo de von para ciertas cerimónias). Tamien por essa altura se cumberte al Catolicismo de modo a poder casar cun Marriette Köbesi.
Tenie ua mimória prodigiosa, lembrando-se de todo quanto tenie daprendido, sendo, por eisemplo, un perito an stória Bizantina, i sabendo detalhes de l julgamiento de Joana d’Arc ó de batailhas de la guerra cebil amaricana. Subre la lista telefónica de Manhattan, dixe ua beç que sabie todos ls númaros d'alhá, mas que para poder çpensar la lista, solo percisaba de saber la que nome ye que cada númaro correspondia.
Era perfundamente heidonista, gustaba de comer i buber bien, liebaba un stilo de bida strabagante, promobendo grandes fiestas que treminában mui tarde: “Fiestas i bida noturna porduzian un apelo special para von Neumann. Anquanto ansinaba na Almanha, von Neumann tenie sido un habitué de l circuito de bida notura de Berlin na era de l Cabaret. "

“Las fiestas an casa de von Neumann éran frequentes, famosas, i longas. "

Cunduzia de maneira peligrosa (a ler un libro, por eisemplo) l que frequentemente resultaba an acidente. Cierto die relatou l'acidente de la seguinte maneira: “Las arbles a la dreita stában a passar por mi dua maneira ourdenada, a 60 milhas por hora. De repente, ua deilhas atrabessou-se ne l miu camino!”

Tamien nun se inibia de cuntar piadas ansensibles nin de mirar persistentemente pa las piernas de mulhieres moços, tenendo las secretairas an Los Alamos chegado al punto de tapar ls lados de las sues mesas cun cartolinas.

Inda an 1930, von Neumann fui cumbidado para Princeton i an 1933 fui, juntamente cun Albert Einstein, Kurt Gödel, J.W. Alexander, M. Morse, L. Beblen i H. Weyl, selecionado pa la purmeira faculdade de matemática de l *Anstitute fur Adbanced Study*, adonde fui porsor até a la data de la sue muorte, tenendo-se-les juntado outros notables cientistas i matemáticos cumo Anrico Fermi i Wigner.

Cumo Ulan custata, l'ansino nun era l sou punto fuorte: “La sue linha de pensar fluida era defícel de seguir para aqueilhes menos dotados. El çtacaba-se por screbinhar eiquaçones nun pequeinho spácio libre de l quadro i por apagar spressones antes que ls alunos las podíssen copiar. "
Anque çto, era-le fácele splicar eideias cumplexas: “Para un home para quien matemáticas cumplicadas nun apersentában deficuldade, el podie splicar las sues cunclusones als nó-ampeçados cun lucideç surprendente. Depuis dua cumbersa cul, ua pessona tenie siempre la sensaçon que l porblema era simples i traspariente.”

An 1937 diborciou-se de Marriette Köbesi, para, ne l'anho seguinte, se casar cun Klara Dan. Esta, subre ls sous hábitos de trabalho dixe que “el screbia siempre an casa, durante la nuite ó al amanhecer. La sue capacidade de trabalho era praticamente elimitada.” Segundo Halmos an [1], von Neumann era un trabalhador ancansable, chegando cedo al sou gabinete, saindo tarde i nunca perdendo tiempo. Era tamien mui sistemático i meticuloso. Por eisemplo, al ler un manuscrito, el anotarie na purmeira páigina ls númaros de las páiginas an qu'ancontrara erros, i depuis l númaro d'erros de cada páigina. Inda subre l método de trabalho de von Neumann, Halmos salienta la coraige matemática: “…anquanto qu'alguns matemáticos, se na percura dun contra-eisemplo ancontrassen ua série anfenita cun muitas sponenciales de spoentes quadráticos, preferirian recomeçar i percurar outro contra-eisemplo, von Neumann dirie “ah, si… ua funçon teta…” i mergulharie nas cuntas. Nun tenie medo de nada. "

An 1956 fui-le diagnosticado cáncaro ósseo ó pancreático, possiblemente cuntraído debido la sposiçon a la radioatebidade anquanto ouserbaba ls testes de la bomba atómica ne l Ouceano Pacífico ó nun trabalho posterior subre armas nucleares an Los Alamos. L cáncaro eiboluiu pa l cérebro, ampedindo qualquiera atebidade mental.

“Quando von Neumann percebiu que staba ancurabelmente doente, la sue lógica forçou-lo a perceber qu'iba cessar d'eisistir, i por cunseguinte, de tener pensamientos… Çtroçaba l coraçon ber la frustraçon de la sue minte, quando to la sperança se fui, na sue luita contra l çtino que parecie ser einebitable mas inaceitable. L sentido d'ambulnerabelidade de von Neumann, ó simplesmente l zeio de bibir, staba a debater-se contra fatos einalterables. El parecie tener un grande medo de la muorte até al fin… Nanhun sucesso i nanhue cantidade d'anfluéncia l podien salbar agora, cumo siempre tenien feito ne l passado. Johnny von Neumann, que tenie sabido cumo bibir antensamente, nun sabie cumo morrer.

“… la sue minte, l'amuleto ne l qual siempre tenie podido cunfiar, staba-se a tornar menos cunfiante. Anton bieno la quebra psicológica cumpleta; pánico, gritos de terror ancontrolable todas las nuites. L sou amigo Edward Teller dixe, “Acho que von Neumann sofriu mais quando la sue minte deixou de funcionar de l qu'algua beç bi un ser houmano sofrer.”

Morriu sob sigurança melitar (ua maneira d'ampedir que rebelasse qualesquiera segredos melitares anquanto staba fuortemente medicado), a 8 de Febreiro de 1957.

## Lógica
Ne l'ampeço de l seclo XX, la teorie de ls cunjuntos inda nun tenie sido formalizada i staba an crise debido al paradoxo de Vertrand Russell, i l'axiomatizaçon de la matemática, subre l modelo de ls Eilemientos de Euclides, staba a atingir nuobos nibles de rigor, particularmente na aritmética i na geometrie.
Ernst Zermelo i Abrahan Fraenkel  resolbírun an parte este porblema, formulando percípios que permitian la custruçon de todos ls cunjuntos ousados na matemática, mas nun scluían la possibelidade d'eisistiren cunjuntos que pertencessen a eilhes mesmos.

Na sue tese de doutoramiento, apersentada an 1925, von Neumann demunstrou cumo era possible scluir esta possibelidade de dues maneiras cumplementares: la noçon de classe i l axioma de la fundaçon (un de ls axiomas de la teorie de ls cunjuntos de Zermelo-Frankel).

Ua aprossimaçon al porblema fui pul uso de la noçon de classe: define-se cumo cunjunto ua classe que pertence l'outras classes, anquanto qu'ua classe própia ye ua classe que nun pertence la nanhue outra classe. D'acuordo culs axiomas de la teorie de Zermelo-Frankel, nun ye possible la custruçon dun cunjunto que cuntenha todos ls cunjuntos que nó pertencen la si mesmos. Pul cuntrairo, usando la noçon de classe, la classe de todos ls cunjuntos que nun pertencen la si mesmos puode ser custruída, nun sendo, inda assi, un cunjunto, mas si ua classe própia.

L'outra aprossimaçon al porblema ye cunseguida pul axioma de la fundaçon, que diç que to l cunjunto puode ser custruído a partir de la base, nua sucesson ourdenada de passos, de tal modo que se un cunjunto pertence a outro, anton l purmeiro ten necessariamente de benir antes de l segundo na sucesson (l que sclui la possibelidade dun cunjunto pertencer la si mesmo). Para demunstrar qu'este axioma nun staba an cuntradiçon culs outros, von Neumann criou un nuobo método de demunstraçon que se tornou nua ferramienta fundamental na teorie de ls cunjuntos, l método de ls modelos anteriores.

Aplicaçones destas eideias de von Neumann puoden ser bistas na defeniçon de l Ouniberso de von Neumann (ua *classe* *B* de todos ls cunjuntos, que ye l'ounion de cunjuntos *B<sub>x</sub>*, an que *x* percorre todos ls númaros ourdinales) i na defeniçon de númaro ourdinal, cumo un cunjunto que sastifaç detreminadas propiadades bien simples.

Desta maneira, l sistema axiomático de la teorie de ls cunjuntos tornou-se cumpletamente sastifatório, i la pregunta que pairaba era se esta axiomática era ó nun defenitiba, i se staba ó nun sujeita la melhorie. La repuosta l'esta queston surgiu an Setembre de 1930, ne l Cungresso de Matemática de Köningsberg, ne l qual Gödel anunciou l sou purmeiro teorema de l'ancumpletude (ls sistemas axiomáticos usuales son ancumpletos, ua beç que nun puoden probar todas las berdades que séian spressas na sue lenguaige). Menos dun més depuis, von Neumann anformou Gödel dua cunsequéncia de l sou teorema: ls sistemas axiomáticos usuales son ancapazes de demunstrar la sue própia cunsisténcia. Assi i to, Gödel yá l tenie cuncluído de modo andependiente, pul qu'este resultado ye l chamado segundo teorema de Gödel, sin refréncia la von Neumann.

Von Neumann tenie ua grande admiraçon por Gödel, i era frequente eilogiá-lo de maneira entusiástica:
“L feito de Kurt Gödel na lógica moderna ye singular i monumental – na berdade ye mais de l qu'un monumiento, ye un marco que se manterá besible loinge ne l spácio i ne l tiempo. […] L tema de la lógica ten cierta mente mudado por cumpleto la sue natureza i possibelidades cul feito de Gödel.”
I quando le preguntórun porque nun se referie al trabalho de Ramsey, que serie coincido para alguien que se antressasse pul campo de la lógica, respundiu que depuis de Gödel tener publicado ls sous artigos subre l'andecidibelidade i ancumpletude de la lógica, nun tenie lido mais nanhun artigo subre lógica simbólica.
Noutra altura, nua antrebista antitulada “The Mathematician”, dixe, a respeito de l trabalho de Gödel:

“Esto acunteciu durante la nuossa bida, i you sei cumo ls mius balores subre la berdade matemática absoluta mudórun, de maneira houmilhantemente fácele, durante este acuntecimiento, i cumo eilhes mudórun trés bezes an sucesson!”

Debido l'este fascínio por Gödel i pul sou trabalho, afigura-se bastante natural que tenga scolhido la lógica para tese de doutoramiento. Tal cumo Ulan diç:

“Ne l sou trabalho de mocidade, staba preacupado nun solo cula lógica matemática i l'axiomatizaçon de la teorie de ls cunjuntos, mas, a la par, cula sustáncia de la teorie de ls cunjuntos, oubtendo resultados na teorie de la medida i na teorie de las bariables reales.”

## Macánica quántica
La macánica quántica trata de la natureza de las partículas atómicas i de las leis que regen las sues açones. Bárias teories de la macánica quántica ampeçórun a aparecer para justeficar las çcrepáncias ouserbadas quando se usaba solo la física Newtoniana para çcrebir las ouserbaçones de las partículas atómicas.

Ua destas ouserbaçones diç respeito al cumprimiento de óndia de la luç que ls átomos puoden absorber i eimitir. Por eisemplo, ls átomos d'heidrogénio absorben einergie para cumprimientos de óndia de 656.3&nbsp;nn, 486.1&nbsp;nn, 434&nbsp;nn ó 410.2&nbsp;nn, mas nun para cumprimientos de óndia antermédios. Esto cuntrariaba ls percípios de la física de l fin de l seclo XIX, segundo ls quales un eiletron qu'orbita un núcleo nun átomo debe eirradiar an todos ls cumprimientos de óndia de luç, perdendo einergie i debrebe caindo ne l núcleo. Cumo tal fato nun fui ouserbado, Max Planck antroduziu ua nuoba teorie que dezie que l'einergie solo podie ser eimitida an cantidades defenidas. Esto lebou la dues teories çcritibas de la natureza de l átomo (este solo poderie eimitir i absorber einergie an quanta specíficos), que cumpetian antre si.

Ua deilhas, zambolbida por Erwin Schrödinger sugerie que l'eiletron ne l'heidrogénio ye semelhante a ua cuorda nun strumiento musical. Tal cumo ua cuorda, qu'eimite un ton specífico juntamente cun harmónicas, assi un eiletron deberie tener un cierto “ton” ne l qual eimitirie einergie. Usando esta teorie, Schrödinger zambolbiu ua eiquaçon de óndia que predizia corretamente ls cumprimientos de óndia ne ls quales l'heidrogénio eimitirie.

L'outra teorie fui zambolbida por físicos an Göttingen, ancluindo Werner Heisenberg, Max Vorn i Pascual Jordan, centraba-se na posiçon i momiento dun eiletron nun átomo. Eilhes dezien qu'estes balores nun éran diretamente ouserbables (solo la luç eimitida pul átomo podie ser ouserbada) i assi podien cumportar-se de maneira mui defrente de l mobimiento dua partícula na física Newtoniana. Teorizában que ls balores de la posiçon i momiento debian ser çcritos por custruçones matemáticas que nun ls númaros usuales.

Ne l final de la década de 20, debrebe se çcubriu qu'estas dues aprossimaçones, aparentemente mui defrentes, nun éran mais de l que dues formulaçones de l mesmo percípio.

An 1900, ne l Cungresso Anternacional de Matemáticos, David Hilbert tenie apersentado la sue famosa lista de 23 porblemas que cunsidraba fulcrales pa l zambolbimiento de la matemática ne l seclo XX. L sesto porblema era l'axiomatizaçon de teories físicas. Ne l final de la década de 20, la única ária de la física qu'inda nun tenie sido axiomatizada era la macánica quántica, que se ancontraba nua situaçon semelhante a la de la teorie de ls cunjuntos ne l'ampeço de l seclo XX, anfrentando porblemas se orde filosófica i técnica: se por un lado l sou aparente nó-determenismo inda nun tenie sido splicado de maneira determinística, por outro eisistian las dues teories heiurísticas andependientes referidas arriba (la *matrix mechanical* de Heisenberg i *wabe mechanical* de Schrödinger) mas nun habie ua formulaçon teórica unificada que fusse sastifatória.

Von Neumann querie çcubrir l qu'estas dues teories tenien an quemun, i atrabeç dua aprossimaçon matemática mais rigorosa, querie ancontrar ua nuoba teorie mais poderosa i fundamental que las outras dues.

Assi, depuis de treminar l'axiomatizaçon de la teorie de ls cunjuntos, von Neumann dedicou-se a l'axiomatizaçon de la macánica quántica. An 1926, percebiu qu'un sistema podie ser cunsidrado un punto nun spácio hilberteano, análogo a la dimenson 6N de l spácio de fase de la macánica clássica (N ye l númaro de partículas, cun 3 cordenadas gerales i 3 momientos canónicos para cada), mas cun anfenitas dimensones, correspondentes als anfenitos stados possibles de l sistema. La física tradecional podie assi ser repersentada por ouperadores lineares nestes spácios, i la física de la macánica quántica fui reduzida la matemática d'ouperadores heirmiteanos an spácios de Hilbert.

Tomemos cumo eisemplo l percípio d'ancerteza de Heisenberg. D'acuordo cul, la detreminaçon de la posiçon dua partícula ampede la detreminaçon de l sou momiento i al alrobés. Sob l'aprossimaçon matemática perpuosta por von Neumann, que culminou na publicaçon an 1932 de *The Mathematical Foundationes of Quantun Mechanics*, esta situaçon ye traduzida na nó-quemutatebidade de dous ouperadores correspondentes i anclui ls causos speciales de las formulaçones de Heisenberg i Schrödinger. Nesse libro stá demunstrado un teorema segundo l qual la macánica quántica nun puode ser deduzida a partir dua teorie determinística cumo era usual na macánica clássica. Anque tal demunstraçon cunter un erro cuncetual, serbiu para lançar ua nuoba linha de pesquisa que lebou a la demunstraçon de que la física quántica requer ua noçon de la rialidade sustancialmente defrente de la física clássica. Nun trabalho cumplementar juntamente cun Garrett Birkhoff, von Neumann probou tamien que para para alhá dua noçon de rialidade defrente, la macánica quántica percisa tamien dua lógica defrente de la clássica, la lógica quántica, que ye giralmente apersentada cumo ua berson modificada de la lógica proposicional.

Un eisemplo desso ye l causo de ls fotones qu'atrabessan filtros. Un foton nun puode passar atrabeç de dous filtros cunsecutibos que stéian polarizados perpendicularmente, i, por bias desso, se se acrecentar un outro filtro (antes ó depuis) polarizado diagonalmente, l foton nun l'atrabessará. Inda assi, se l filtro fur acrecentado antre ls outros dous, l foton passará.
Tamien fui demunstrado que las leis çtributibas de la lógica clássica,  P \vee (Q \wedge R)=(P \vee Q) \wedge (P \vee R) i  P \wedge (Q \vee R)=(P \wedge Q) \vee (P \wedge R), nun son bálidas pa la macánica quántica, pus, la çjunçon quántica, al cuntrairo de la çjunçon clássica, puode ser berdadeira mesmo quando ls dous eilemientos son falsos, i esto, por sue beç, debe-se al fato de frequentemente un par d'altarnatibas ser detreminado semánticamente, al passo que cada un de ls eilemientos (na macánica quántica, posiçon ó momiento dua partícula) ye necessariamente andeterminado.

Para se perceber melhor esta radadeira propiadade apersentan-se dous eisemplos, sendo l purmeiro sustancialmente mais simples.

Seia X ua partícula que se mobe an linha reta, p l'afirmaçon “X stá a mober-se pa la dreita”, q l'afirmaçon “X stá pa la squierda de l'ourige” i r l'afirmaçon “X stá pa la dreita de l'ourige”. Sabemos que q \vee r ye berdadeira, pul que p \wedge (q \vee r) tamien ye berdadeira. Por outro lado, d'acuordo cun ciertas anterpretaçones de l percípio d'ancerteza, quier p \wedge q quier p \wedge r son falsas. Anton, (p \wedge q) \vee (p \wedge r) ye falsa. Falha assi la lei çtributiba.

Suponha-se, nua outra situaçon, que se stá a lidar cun partículas de momiento angular semi-antegral, cumo ls eiletrones, pa ls quales hai solo dous balores possibles: positibo ó negatibo. Anton, l percípio d'andeterminaçon diç que l spin relatibo la dues direçones çtintas resulta nun par de cantidades ancumpatibles. Suponha-se que l stado Φ dun dado eiletron berifica la proposiçon “L spin na direçon x ye positibo” (La). Pul percípio d'andeterminaçon, l balor de l spin na direçon y será totalmente andeterminado para Φ, bisto que la direçon segundo x de l spin stá detreminada. Assi sendo, Φ nun puode berificar la proposiçon “L spin na direçon y ye positibo” (B) nin “L spin na direçon y ye negatibo” (C), pus nun se sabe qual destas ye bálida. Inda assi, la çjunçon de las proposiçones “L spin na direçon y ye positibo ó l spin na direçon y ye negatibo” (B \vee C) ten de ser berdadeira para Φ, ua beç qu'eisiste spin nessa direçon.

La propósito de l cuntributo de von Neumann pa la macánica quántica, ban Hobe scribe an:
“La macánica quántica fui, de fato, mui sortuda por atrair, ne ls purmeiros anhos passado la sue çcubierta an 1925, l'antresse dun génio matemática de la statura de von Neumann. Cumo resultado, l'enquadramiento matemático de la teorie fui zambolbido i ls aspetos formales de las sues cumpletamente nuobas regras d'anterpretaçon fúrun analisadas ua a ua por solo un home an dous anhos (1927-1929)”

John von Neumann formalizou l porjeto lógico dun cumputador. An sue perpuosta, von Neumann sugeriu que las anstruçones fússen armazenadas na mimória de l cumputador. Até anton eilhas éran lidas de cartones perfurados i eisecutadas, ua a ua. Armazená-las na mimória, para anton eisecutá-las, tornarie l cumputador mais rápido, yá que, ne l momiento de l'eisecuçon, las anstruçones serien oubtidas cun rapideç eiletrónica, ua beç que ls cartones perfurados yá starien anseridos na máquina(cumputador). La maiorie de ls cumputadores d'hoije an die segue inda l modelo proposto por von Neumann. Esse modelo define un cumputador sequencial digital an que l processamiento de las anformaçones ye feito passo a passo, caraterizando un cumportamiento determinístico (ó seia, ls mesmos dados d'antrada porduzen siempre la mesma repuosta).

## Armamiento
Antre ls sous muitos antrisses, von Neumann gustaba de matemática aplicada i zambolbiu un particular antresse por splosibos. Tal antresse lebou-lo a ser cunsultado bárias bezes an assuntos melitares, percipalmente pa la marina. An 1943 l gobierno de ls Stados Ounidos cuntinaba a recrutar génios, para porduziren l que muitos bian cumo un mal necessairo (andependientemente de las cumbiçones mais ó menos pacifistas i de l respeito que la bida houmana podisse merecer, habie, na altura, ua grande amenaça a esses mesmos balores - nazismo - qu'era necessairo cumbater, i, se possible, erradicar. Dende la colaboraçon de tantos cérebros an porgramas d'armamiento, ancluindo l de la bomba atómica). Cumo tal, von Neumann fui cuntratado. Las sues dues maiores cuntribuiçones fúrun la matematizaçon de l zambolbimiento de l porjeto i l'ajuda ne l zambolbimiento de la bomba d'amploson. Ls cientistas que trabalhában an Los Alamos stában habituados a fazer spriéncias científicas, mas nun se puoden fazer muitas spriéncias quando se zambolben armas de çtruiçon an massa. Percisában, antoce, dua maneira de predezir l qu'iba acuntecer naqueilhas reaçones sin las rializar. Von Neumann fizo anton parte de l'eiquipa qu'ambentou la modelaçon matemática moderna, i aplicou las sues capacidades an todos ls nibles, quier a ajudar ls oufeciales superiores a tomar decisones lógicas quier a resulber ls cálclos cumplicados de ls scalones mais baixos.

Las bombas atómicas lançadas éran de dous tipos çtintos: ua usaba uránio-235 cumo material de fisson, l'outra, l plutonho. Ua reaçon an cadeia atómica ocorre quando l material de fisson persente na bomba atinge la massa ó densidade críticas. Na bomba d'uránio-235, ua grande massa d'uránio-235, inda ambaixo de la massa crítica, serie bumbardeada cun outra massa d'uránio-235. La cumbinaçon de las massas chegarie a la massa crítica, adonde ua fisson nuclear çcuntrolada ocorrerie. Sabie-se qu'este porcesso funcionaba i l procedimiento era relatibamente simples, sendo la parte mais defícel l'oubtençon de l'uránio-235, que tenie de ser apartado d'outros isótopos d'uránio, quimicamente semelhantes.
Por sou lado, l plutonho puode ser apartado usando meios químicos, pul que la porduçon de bombas baseadas an plutonho progrediu mais debrebe. Assi i to, l plutonho nun podie atingir la massa crítica de la mesma maneira, tenie de ser atrabeç de l'amploson. Neste método, ua massa de plutonho ye totalmente cercada por splosibos potentes que son detonados a la par, fazendo cun que la massa seia cumprimida até nibles supercríticos i spluda.

Eisemplos de bombas de plutonho son *[[Trenity Test Debice]]* (detonada cumo teste a 16 de Júlio de 1945, acerca de Alamogordo) ó la *[[Fat Man]]*, lançada subre Nagasaki a 9 de Agosto de l mesmo anho. Ua bomba d'uránio ye la *[[Little Boy]]*, lançada a 6 de Agosto subre Hiroshima.

Ua de las sues çcubiertas neste campo fui que bombas grandes son mais debastadoras quando detonadas arriba de l tierra, debido a la fuorça de las óndias de choque. Buns eisemplos desta çcubierta fúrun las bombas detonadas subre Hiroshima i Nagasaki, a l'altitude que von Neumann calculou que porduzirie l maior dano. Passado la guerra, Robert Ouppenheimer  fizo notar que ls físicos ambolbidos ne l Porjeto Manhattan tenien “coincido l pecado”, al que von Neumann respundiu que “a las bezes ua pessona cunfessa un pecado de modo a oubter algun crédito por el”. Puosto esto, von Neumann cuntinou amperturbable l sou trabalho i fui, juntamente cun Edward Teller, un de ls apoiantes de l porjeto subre la bomba d'heidrogénio. Colaborou tamien cul spion Klaus Fuchs i juntos zambolbírun ua patente secreta subre *Amprobement in Methods and Meanes fur Outelizing Nuclear Einergy* la qual delineaba un squema para ousar ua bomba de fisson para cumprimir cumbustible de fuson que por sue beç ampeçarie ua reaçon termonuclear. Anque nun ser la chabe pa la bomba d'heidrogénio, pensaba-se que serie un passo na direçon cierta .

## Cumputaçon
John von Neumann propós que las anstruçones, lidas na época por cartones perfurados, fússen grabadas na mimória de l cumputador; l que fazerie sue eisecuçon i leitura mais rápidas, ua beç que se dában eiletronicamente.

Neumann cuntribuiu pa la custruçon de ls cumputadores de forma grandiosa, pus, inda hoije la maiorie destas máquinas seguen l modelo ambentado pul mesmo.

“An meados de la década de 30, Johnny staba fascinado pul porblema de la turbuléncia heidrodinámica. Fui anton que tomou cuncéncia de ls mistérios subjacentes al tema de las eiquaçones defrenciales parciales nun lineares. L sou trabalho, zde l'ampeço de la Segunda Guerra Mundial, foca l studo de las eiquaçones de l'heidrodinámica i de la teorie de ls choques. Ls fenómenos çcritos por estas eiquaçones nun lineares son analiticamente stranhos i zafian mesmo la bison qualitatiba de ls métodos persentes. L trabalho numérico parecie-le l camino mais promissor para oubter ua eideia de l cumportamiento destes sistemas. Esto ampeliu-lo a studar las nuobas possibelidades de la cumputaçon an máquinas eiletrónicas. "

L porjeto de la bomba d'heidrogénio tubo, antoce, ua grande amportança ne l zambolbimiento de la cumputaçon, ua beç que von Neumann i Stanislaw Ulan zambolbírun simulaçones ne l cumputador digital de von Neumann, ousado para cumputaçones heidrodinámicas. Durante esse período, cuntribuiu pa l zambolbimiento de l método de Monte Carlo, que permitie l'aprossimaçon de porblemas cumplexos atrabeç de númaros aleatórios. Ua beç qu'ousar listas de númaros aleatórios berdadeiros tornaba l ENIAC stremamente lento, von Neumann zambolbiu ua maneira de criar númaros pseudo-aleatórios, usando l middle square method (na berdade, este nun ye un método mui eficaç, pus l sou período ye mui cúrtio i ten defeitos grabes. Von Neumann staba cunciente destes defeitos de l método, mas pa ls sous oubjetibos l método era rápido i ls sous erros fáceles de detetar.)
Lougo passado von Neumann tener se antressado pul ENIAC, la scuola More solicitou i recebiu un cuntrato pa l zambolbimiento dun cumputador mais potente, chamado EDBAC. Anquanto era cunsultor de la *More Schol of Eiletrical Anginering* subre l EDBAC (Eiletronic Çcrete Bariable Outomatic Calculator), un de ls purmeiros cumputadores eiletrónicos binairos i sucessor de l ENIAC, von Neumann screbiu un artigo antitulado *First Draft of la Report on the EDBAC*, ne l qual propunha un cumputador cumpuosto por ua strutura simples mas fixa cun un cuntrolo porgramado, que serie capaç d'eisecutar qualquiera comando sin haber necidade de se altarar l hardware (la sue eideia era la técnica de l porgrama-guardado).

L relatório subre l EDBAC se tornou un de ls purmeiros decumientos la çcrebir la çposiçon anterna i ls percípios de funcionamiento de ls cumputadores modernos. Al assinar tal relatório cul sou nome de matemático prestigiado, von Neumann cunferiu-le ua audiéncia i ua legitimidade inesperadas, mui úteles para oubter ls créditos melitares, mas, al mesmo tiempo, atribuiu la si própio to la glória de l'ambençon de l cumputador. Inda que tenga sido un personaige amportante na stória de la cumputaçon, l'atribuiçon desse mérito la von Neumann eignora l trabalho de sous colaboradores, cuntemporáneos i até predecessores, qu'eigualmente trabalhórun ne l zambolbimiento de l cumputador.”

Sugerie l'eisisténcia dua anstruçon máquina, chamada *cunditional cuntrol trasfer*, que permitie l'anterrupçon i reinício de l porgrama an qualquiera punto de la cumputaçon. Sugerie eigualmente guardar porgramas na mesma ounidade de mimória que ls dados, l que permitirie que las anstruçones fússen aritmeticamente modificadas de l mesmo modo que ls dados. Ua ounidade central de processamiento, cumpuosta pula ounidade de cuntrolo i por ua ó mais ounidades d'eisecuçon, strairie quier dados quier anstruçones de a mimória, ouperando subre eilhas i debolbendo-las de nuobo a a mimória. L resultado era mui mais rápido, la porgramaçon i cumputaçon mais eficientes, pus permitian que las anstruçones fússen scritas cumo sub-rotinas que nun requerian ua nuoba porgramaçon para cada nuobo porblema (las rotinas mais longas podien ser altaradas por partes, sendo ls resultados antermédios guardados na mimória i sendo ousados pa l resultado final).

Quier l'amplementaçon de las cumponentes físicas andependientes, quier las anteraçones antre eilemientos, ténen bariado al longo de l tiempo, dependendo de las tecnologies de fabrico, mas la sue arquitetura mantén-se. Tal arquitetura de mimória única tornou-se coincida cumo arquitetura de von Neumann, anque la sue cuncepçon tener ambolbido J. Presper Eckert ó John William Mauchly, ambentores de l ENIAC, i ye outelizada an quaije todos ls menicumputadores, microcumputadores i cumputadores domésticos.
Para para alhá de la criaçon dua nuoba arquitetura de cumputadores, von Neumann tamien criou ls outómatos telemobles sin l'ajuda de cumputadores: ne ls anhos 1940,  studaba sistemas outo-replicatibos i anfrentaba alguas deficuldades an splicitar l modelo enicial dun robot que fusse capaç de se copiar solico a partir dun cunjunto de peças apartadas. Stanislaw Ulan, colega de von Neumann que na altura modelaba l crecimiento de cristales usando ua grelha, sugeriu-le que se anspirasse ne ls sous trabalhos para ultrapassar l porblema. Baseando-se nua grelha bidimensional na qual cada célula podie star nun de 29 estados çtintos, von Neumann criou un modelo matemático abstrato pa l sou porblema, un “copiador i custrutor ounibersal”, que se tornou ne l purmeiro outómato telemoble outo-replicante. Ua beç mais se cumproba que von Neumann iba ambentando la matemática a la medida de las sues necidades i dá crédito al que dezien subre el: “Matemáticos an giral, proban l que son capazes de probar. Von Neumann proba l que quier.”

Aplicando esta çcubierta al sou gusto por splosibos, von Neumann probou que la maneira mais eficaç de rializar ouparaçones mineiras cumo minar ua luna anteira ó ua cintura d'asteróides serie ousar máquinas outo-replicatibas, aprobeitando l sou crecimiento sponencial.

Von Neumann fui un de ls pioneiros de la cumputaçon, tenendo feito grandes cuntribuiçones pa l zambolbimiento de l zeign lógico, que Shannon resume de l seguinte modo:

“Von Neumann passou parte cunsidrable de ls sous radadeiros anhos de bida a trabalhar na teorie de ls outómatos. Repersentaba para el ua síntese de l sou antresse enicial an lógica i teorie de las demunstraçones, i de l sou posterior trabalho, durante i passado la Segunda Guerra Mundial, an cumputadores eiletrónicos an ancha scala. Ambolbendo ua mistura de matemática pura i aplicada bien cumo outras ciéncias, la teorie de ls outómatos era un campo eideal pa l'anteleto abrangente de von Neumann. El trouxe-le bárias perspetibas nuobas i abriu pul menos dues nuobas direçones de pesquisa.”

Inda ne l campo de la ciéncia de la cumputaçon, Donald Knuth cita von Neumann cumo l'ambentor de l algoritmo Mergesort, an 1945, cujo oubjetibo ye criar ua sequéncia ourdenada a partir d'outras dues yá ourdenadas. Para tal, debede-se la sequéncia ouriginal an pares de dados, i ourdena-se. Depuis, agrupa-se an sequéncias de quatro eilemientos, i assi por delantre até la sequéncia ouriginal star apartada an solo dues partes. Este ye un eisemplo d'algoritmo d'ourdenaçon de l tipo “debedir-para-cunquistar”, cujos passos de l'algoritmo son:
1- La sequéncia a ourdenar ye debedida an dues;
2- Cunquistar: cada ua de las metades ye ourdenada andependientemente;
3- Cumbinar: las dues metades son juntas nua sequéncia ourdenada.
L sou algoritmo para simular ua moeda eiquelibrada usando ua moeda biciada ye ousado na etapa de Software Whitening d'alguns geradores de númaros aleatórios.

Tamien se abinturou na resoluçon de porblemas na heidrodinámica numérica i cun R.D. Richtmyer zambolbiu un algoritmo subre biscosidade artificial que cuntribuiu pa la cumprenson de las óndias de choque. Sin esse trabalho, probabelmente nun cumprenderíamos muita de la astrofísica atual i nó teríamos zambolbido ls motores de jato i de foguete. La biscosidade artificial fui un truque matemático ousado para atenuar ligeiramente la trasiçon de choque, ua beç que ls cumputadores, al resolbíren porblemas de heidrodinámica ó aerodinámica, ténen tendéncia para por demasiados puntos na grelha an regiones de çcuntinuidade acentuada (óndias de choque).

## Teorie de jogos
La teorie de ls jogos ye un galho de la matemática que studa situaçones de cunflito de dibersos tipos (sociales, eiquenómicos, políticos, melitares, éticos, filosóficos, jornalísticos, etc) d'acuordo cun un modelo scolhido, cujas regras son mais ó menos rígidas, i mais ó menos coincidas puls jogadores. Assi, estes scolhen defrentes açones para tentáren melhorar l sou retorno. Von Neumann tenie ua
“ampressionante cuncéncia de ls resultados oubtidos por outros matemáticos i las possibelidades inerentes qu'ouferecian. Cedo ne l sou trabalho, un artigo de Borel subre la propiadade menimax lebou-lo a zambolber … eideias que culminórun nua de las sues mais ouriginales criaçones, la teorie de jogos.”

An 1940, von Neumann screbiu l sou purmeiro artigo relebante subre jogos, antitulado *Theory of Games I, general foundationes*, cujo oubjetibo era, segundo ls outores, “amostrar adequadamente que ls porblemas típicos de l cumportamiento eiquenómico son rigorosamente idénticos a las soluçones matemáticas de ciertos jogos de statégia”, que fui debrebe seguido por un segundo artigo, *Theory of Games II, decumposition theory*, tentando sintetizar l sou trabalho subre teorie de jogos. Yá antes tenie scrito *Zur Theorie dar Gesellschaftsspiele*, an 1928 i an 1937 *La Model of General Eiquenomic Eiquelibriun*.

An 1944, cula publicaçon por John von Neumann i Oskar Morgenstern de *Theory of games and Eiquenomic Behabior*, este galho de la matemática ganhou ua maior proeminéncia. Ye mui ousado an eiquenomie, para percurar stratégias an situaçones an que l resultado nun depende solo de la stratégia própia dun agente i de las cundiçones de mercado, mas tamien de las stratégias scolhidas por outros agentes (que tenden a maximizar l sou própio retorno) ó para eisaminar la cuncorréncia i coperaçon drento de pequeinhos grupos d'ampresas. Assi, un jogo puode ser defenido cumo un cunflito ambolbendo ganhos i perdas antre dous ó mais ouponentes que seguen regras formales. L purmeiro capítulo deste libro fornece un cuntesto eiquenómico pa la teorie de jogos, i ls outores, baseando-se na análeze de Bernoulli, stablecen un sistema d'axiomas para ua ferramienta numérica, coincida cumo la funçon d'outelidade  de von Neumann–Morgenstern, l que repersenta un grande abanço na custruçon de la teorie giral, particularmente sob risco i situaçones d'ancerteza, ua beç que cunseguiran struturar matematicamente la noçon de que cada andibíduo escolhe ua altarnatiba d'acuordo cun ua cierta porbabelidade, de modo a maximizar l'outelidade. Outra amportante cuntribuiçon desta publicaçon ye l cunceito d'eiquilíbrio eiquenómico stático, pus, anque de la sue aplicaçon depender de l modelo, nun eisige “regras de l jogo” particulares (las eideias de Borel stában lemitadas a eisemplos eisolados, ó, na melhor de las heipóteses, a jogos de soma nula, de dous jogadores, cun matrizes de payoff simétricas). Assi, la soluçon d'eiquilíbrio de von Neumann i Morgenstern, al cuntrairo de tratamientos anteriores, nun depende de la cumpetiçon purfeita ó até mesmo de ls cuntestos de l mercado, que lemitában l'anteraçon.

La soluçon de von Neumann i Morgenstern depende de l cunceito de “domínio”; esto senefica que ls jogadores scluen stratégias que seran zbantajosas para eilhes. L'aplicaçon deste cunceito depende de ls oubjetibos de ls jogadores i de las “regras de l jogo” defenidas. Este cunceito de soluçon aplica-se la porblemas d'outimizaçon andebidual, jogos coperatibos i jogos de la política; neste cuntesto, la soluçon nun ye solo ua única amputaçon, mas un cunjunto d'amputaçones, sendo cada un stable, ne l sentido an que nanhue de las amputaçones que l cumponen domina las outras, i cada ua fura dun cunjunto ye dominada por pul menos ua amputaçon drento. L cunceito de soluçon proposto por ambos ls outores nun era nin ótimo nin, an giral, sclusibo.

Ten-se ouserbado que, al cuntrairo de bários teorizadores de jogos atuales, von Neumann i Morgenstern se sentian atraídos pula multiplicidade de soluçones d'eiquilíbrio, an beç de perturbados.
La sue teorie nun prediç que soluçon eirá ser ouserbada ó qu'amputaçon será oubtida drento de cada soluçon. Ua soluçon puode star correlacionada cun un cumportamiento standard ó anstituiçones que gobernan ua ourganizaçon social nun momiento particular. Deste modo, cuntrariamente l'outras aprossimaçones, hai un basto leque d'andetermenismo, i, citando Phelip Wolfe:

“Von Neumann rialçou que l'einorme bariadade de soluçones que puoden ser ouserbadas para jogos de m-jogadores nun era surprendente debido a la correspondente einorme bariadade de struturas sociales stabais ouserbadas; muitas cumbençones defrentes puoden perdurar, eisistindo hoije por nanhue rezon melhor de qu'eilhas stában acá onte.”

Anque todas las cuntribuiçones de *Theory of Games and Eiquenomic Behabior*, la sue cuntribuiçon mais seneficatiba pa la eiquenomie fui, probabelmente, la sistematizaçon de la teorie de jogos cumo un galho de la teorie de la scolha. L purmeiro passo ne l zambolbimiento de la teorie de jogos ambolbe la custruçon dua çcriçon formal i matemática de l jogo. Von Neumann i Morgenstern fúrun ls purmeiros la çcrebir ls jogos cumo ua classe, a delimitar la strutura d'anformaçon dun jogo, a zenhar ua arble de l jogo i a defenir la soluçon dun jogo. Houbo outores cumo Cournot que yá tenien analisado porblemas que serien mais tarde reconhecidos cumo parte de la teorie de jogos, mas fúrun von Neumann i Morgenstern que stablecírun la teorie de jogos cumo un campo outónomo i çtinto.
Debido a la sue aberson a la matemática, ls eiquenomistas dórun ua repuosta bastante negatiba al trabalho de von Neumann i Morgenstern, bien cumo a la sue bison crítica de trabalhos proeminentes subre teorie eiquenómica mais cumbencional. A melhor repuosta al sou trabalho bieno de la quemunidade académica de matemáticos aplicados de Princeton, que se amostrórun specialmente recetibos a l'amportança de la teorie de la decison statística, i de strategas de la corporaçon RAND i de l departamiento de pesquisa nabal. Inda que tenga sido negligenciado a la partida, a longo prazo *Theory of Games and Eiquenomic Behabior* eiserceu ua einorme anfluéncia na eiquenomie, pus libertou l'eiquenomie de l cálclo defrencial, i lebou l studo eiquenómico para nuobas direçones tales cumo la conexon antre l núcleo i l'eiquilíbrio cumpetitibo giral.

L'eisemplo mais clássico dun jogo ye l dilema de l presioneiro, criado por Albert Tucker an 1950, giralmente splicado atrabeç dua stória, anque nun se lemitar l'esta situaçon, pus la dinámica subjacente puode ser ousado para çcrebir qualquiera tipo de fenómenos. La stória de l jogo ye anton la seguinte:

dous homes, L'i B, son presos depuis dun assalto armado. La polícia ten probas suficientes para acusar ls dous de l roubo de l carro de fuga, mas nun las suficientes pa ls acusar de l'assalto propiamente dezido. Assi i to, se la polícia cunseguir ua cunfisson d'algun de ls dous assaltantes, poderá cundenar ambos por assalto a a mano armada. Assi, la polícia fecha ls homes an celas apartadas i faç la mesma ouferta a ambos:

Se A cunfessar i B nun dezir nada, anton L'eirá an libardade i B será acusado de roubo i cundenado a 10 anhos de prison. Claro que la mesma perpuosta tamien fui apersentada la B: se este cunfessar i La nun dezir nada, ye La que será cundenado a 10 anhos de prison.
Se ambos cunfessáren, recíben ambos 7 anhos de prison.
Se nanhun deilhes cunfessar, anton recíben ambos 2 anhos de prison pul roubo de l carro.
Ls dous presioneiros son deixados a pensar na decison a tomar, sin tenéren cuntato un cul outro. La queston que se coloca ye: l que ye que cada assaltante scolherá?
Assumindo que cada un age d'acuordo cul sou antresse pessonal, la soluçon qu'ocorre cada beç qu'este jogo ocorre, ye que quier A quier B escolhen cunfessar, resultando nua sentença de 7 anhos para cada un. Puode parecer un cacho contra antuitibo… por que rezon eirien ls jogadores scolher cunfessar, ua scolha claramente pior a ambos stáren calhados i séren cundenados a solo 2 anhos de prison cada? Nun ye solo esto, an tenermos de l númaro total d'anhos an prison, este ye l pior resultado possible!

L payoff sperado pa l jogo, esto ye, la cantidade média de benefícios que la stratégia trará, ye melhor causo La cunfisse: 3.5 anhos de prison por cunfessar bersus 6 anhos por quedar an siléncio.
Anton, dua perspetiba racional, ye preferible que La cunfisse an beç de quedar calhado. Para mais, La queda siempre melhor se cunfessar, andependientemente de l que quier que B faga.
Se B cunfessar, A tanto puode tener 7 anhos de prison se tamien cunfessar, ó 10 anhos se quedar an siléncio; se B quedar calhado, A tanto puode tener 0 anhos de prison se cunfessar ó 2 anhos por quedar calhado.
Anfelizmente para La, l mesmo ye bálido para B, que tamien quedará melhor se cunfessar.
Esto quier dezir que se ambos faziren l que ye melhor pa ls sous antrisses, quedaran 7 anhos na prison! Este eisemplo demunstra que, an muitos jogos, la “melhor” soluçon (aqueilha na qual l resultado ye mais eilebado) nun ye aqueilha que bai acuntecer ne l final.

L menimax ye un método ousado an teorie de la decison para menimizar la perda mássima possible, ó, altarnatibamente, puode ser pensado cumo la maximizaçon de l ganho mínimo. Purmeiramente, ampeçou por se aplicar un jogo de soma zero an teorie de jogos, abrangendo las situaçones nas quales ls jogadores fázen jogadas altarnadas i simultáneas, tenendo sido depuis spandido a jogos mais cumplexos i a a tomada de decisones na persença d'ancerteza.

Ua berson simples deste algoritmo lida cun jogos cumo l jogo de la piedra, ne ls quales un jogador puode perder, ampatar ó ganhar. Se l jogador La puode ganhar nua jogada solo, la sue melhor jogada ye essa. Se l jogador B sabe qu'ua detreminada jogada liebará la que l jogador La puoda ganhar nua jogada, anquanto qu'outra liebará la que l jogador La puoda ne l mássimo, ampatar, la sue melhor jogada será essa. Cul abanço de l jogo, torna-se fácele ber qual ye a melhor jogada. L'algoritmo menimax ajuda a ancontrar a melhor jogada, ampeçando de l fin pa l'ampeço de l jogo; an cada passo assume-se que l jogador La stá a tentar maximizar las sues chances de ganhar (Max), anquanto que por sou lado l jogador B stá a tentar menimizar las chances de A ganhar (Min).

Von Neumann ye cunsidrado l pai de la teorie de jogos an parte debido a la demunstraçon de l teorema menimax, an 1926. Este teorema custata que to l jogo de dues pessonas, de soma nula i fenito, ten stratégias mistas ótimas  i stablece ua soluçon racional para un cunflito (jogo) defenido cun satidon, ne l qual ambas las partes stan cumbitas de que nun puoden scolher nanhue estratégia melhor para alcançar l sou oubjetibo, debido a la própia natureza de l cunflito. Este teorema aplica-se a bários jogos d'antretenimiento, zde ls mais trebiales, cumo l “par ó ímpar” ó quatro an linha, até als mais cumplexos, cumo l xadreç. Von Neumann demunstrou que para este tipo de jogos hai siempre ua forma “correta” ó “ótima” de ls jogar.
Para qualquiera jogo de dues pessonas cun soma zero, l balor *menimax* ye siempre maior ó eigual al balor *maximin*. Quando esses balores son eiguales, las stratégias scolhidas son chamadas stratégias ótimas, i nanhun jogador mudará la sue stratégia, pus esso amplicarie un resultado pior, causo l'outro jogadar mantenha la sue stratégia.

Anque la teorie de jogos tener sido studada por von Neumann por un longo período de tiempo, hai ua defrença na maneira cumo l tema ye abordado ne l sou artigo de 1928 i ne l trabalho rializado cun Morgenstern.
Tenendo an cunta l sou purmeiro artigo, nota-se que l sou percipal oubjetibo era l teorema Minimax. Assi i to, sabe-se que, inda antes de 1927, sugeriu la D. König  l'aplicaçon dun resultado teórico-gráfico de modo a probar qu'un jogo cun ua regra de paraige era fenito, i, a partir desse mesmo artigo de König, sabe-se que corrigiu un erro na proba de Zermelo de que l xadreç era un jogo de stratégia pura. Un artigo de Kalmar tamien ne ls anforma que, na mesma altura, von Neumann formulou i probou la soluçon menimax para stratégias puras an jogos d'anformaçon purfeita. La classe de jogos normalizada ne l'artigo de 1928 restringe-se als jogos fenitos an qu'un jogador, quando ten de fazer ua scolha, ó sabe todo ó nun sabe nada subre las scolhas anteriores.
Sob l'anfluéncia de Morgenstern, la classe particular atrás referida fui alargada atrabeç dua nuoba formulaçon an tenermos de la partiçon de las jogadas, passando a ancluir jogos que poderien solo tener ua anformaçon parcial subre las scolhas antes feitas. Neste sou trabalho, cunseguiran ancontrar ua teorie sata pa l “blefe” praticado ne l poker, que reduzia l “blefe” a ua atebidade racional, i stablecie, ne l giral, porbabelidades d'acuordo culas quales l “blefe” deberie ser outelizado an cada ouportunidade. Ua caratelística técnica amportante ne l trabalho de von Neumann subre l poker fui la detreminaçon de soluçones menimax atrabeç de l'uso de stratégias agora coincidas cumo stratégias cumportamentales.

Cul teorema menimax, von Neumann cunseguiu probar que ye possible ancontrar a melhor stratégia que maximiza potenciales ganhos ó que menimiza potenciales perdas. Assi i to, la soluçon ancontrada por von Neumann stá lemitada a jogos de soma zero, que nun corresponden a la maior parte de ls cunflitos d'antresse an situaçones eiquenómicas i sociales, tal cumo ouserbou a minte brilhante de John Nash. Nash probou que, zde que puodan eisistir stratégias mistas, nun jogo cun un númaro arbitrairo de jogadores eisiste pul menos un punto d'eiquilíbrio, generalizando l'aplicaçon de la teorie de jogos perpuosta por von Neumann.

## Eiquenomie
Von Neumann staba antressado an amostrar que la matemática podie ser ua ferramienta cun dibersas aplicaçones, mesmo an campos que nun éran fáceles de formalizar matematicamente. Tal puode splicar las amportantes cuntribuiçones del pa la eiquenomie, ua beç que l sou trabalho reflete mais ua fé de que la matemática podie tener un papel amportante na ciéncia i sociadade de l qu'un antresse por assuntos eiquenómicos. Las sues dues maiores cuntribuiçones nesta ária fúrun l Modelo Giral de Eiquilíbrio Eiquenómico, mais quemummente referido cumo modelo dua eiquenomie an spanson (MEE), i la teorie de jogos i cumportamiento eiquenómico (na qual trabalhou juntamente cun Oskar Morgenstern).

Inda moço, na década de 20, von Neumann demunstrou antresse an studar eiquenomie nun seminairo an Berlin i la Nicholas Kaldor . Ls sous purmeiros trabalhos scritos an eiquenomie teórica surgiran ne ls anhos 30, i an 1932, anquanto debedie l sou tiempo antre Berlin i la América, apersentou un modelo eiquenómico nun seminairo de matemática an Princeton. L testo, antitulado *Subre ciertas eiquaçones de l'eiquenomie i ua generalizaçon de l [[teorema de l punto fixo de Brouwer]]* fui publicado an 1937 cumo parte de ls trabalhos de l colóquio de Karl Menger an Biena; dous anhos depuis, von Neumann ambiou ua cópia de l sou artigo la Kaldor, anton persidente de l comité eiditorial de la *Rebiew of Eiquenomic Studies*, que decidiu que l'artigo merecie ua audiéncia mais basta, pul que l publicou an Outubre de 1945 (la Segunda Guerra Mundial probocou un atraso na publicaçon) sob l títalo *Un modelo Giral de l Eiquilíbrio Eiquenómico*.

L modelo de crecimiento de von Neumann trabalha cun *m* benes i *m* porcessos de porduçon, cun retornos custantes l'eiquilíbrios. La taxa de salairos rial corresponde a las necidades de la bida i to l scesso de receita ye reinbestido. La taxa de salairos rial ye dada i las receitas ténen natureza residual. Neste cuntesto, von Neumann detremina cumo l porcesso decorre, taxas de juro i précios, i la taxa de crecimiento de l sistema eiquenómico (detreminada andogenamente). Para para alhá de probar qu'ua soluçon giral d'eiquilíbrio era possible, l maior feito de von Neumann fui l'harmonia antre las assumpçones de l modelo i las defrentes faces de la soluçon. Mais cuncretamente, el demunstrou que la taxa de juro ye la mesma an to eiquenomie i to l lucro se spande a la mesma taxa.

L modelo de von Neumann dá particular atençon als aspetos circulares de l porcesso de porduçon, i ua de las sues inobaçones fui l'eliminaçon de la çtinçon antre fatores primairos i outputs, l que senefica que nun hai fatores “ouriginales” (cumo l trabalho) cumo na teorie tradecional. L “trabalho” deixa de ser un fator primairo, i ye agora un fator de porduçon, ua beç que ls trabalhadores úsan perdutos para podéren porduzir outros perdutos.

Na percura de la soluçon d'eiquilíbrio, la matemática probou ser eissencial: l'uso de l teorema de l punto fixo de Brouwer ajudou von Neumann a probar l'eisisténcia dun eiquilíbrio na taxa de crecimiento dinámica. La soluçon de l porblema eiquenómico ye arranjada de modo la que todos ls benes séian porduzidos al mínimo custo possible, na maior cantidade possible. D'acuordo cul modelo de von Neumann, l mássimo crecimiento amplica l'eisisténcia dun eiquilíbrio dinámico, nomeadamente l'eisisténcia dun punto de sela dua funçon que relacione l'anput i l'output.

Quando fui apersentado, l MEE probocou grande agitaçon antre ls eiquenomistas, i bárias oubjeçones fúrun liebantadas (la maiorie debido l'anterpretaçones ancorretas): alguns dezien qu'el faborecie ua eiquenomie sclabagista, outros criticában la premissa de qu'ua atebidade acaba quando nun ganha la taxa de lucro de l mercado. Críticas a la parte, la maior lemitaçon de l MEE era l sou caráter nó-monetairo, pus nun era possible detreminar ls eifeitos de las açones de ls percipales banqueiros an superexpandir ó super-restringir l denheiro. Anque destes porblemas, l MEE tubo un einorme ampato na eiquenomie: oumentou las ferramientas matemáticas de ls eiquenomistas, acrecentando cousas cumo la teorie de cunjuntos cumbexos ó la porgramaçon matemática; permitiu ua melhor cumprenson de las defrenças antre planeamiento eiquenómico i ls eifeitos de l mercado libre i ajudou l zambolbimiento de modelos dinámicos subre l crecimiento eiquenómico.

La base de l trabalho de von Neumann inda nun stá totalmente sclarecida. Parece haber ua ligaçon antre l sou trabalho i l d'eiquenomistas bienenses ne ls anhos 30, sugerida pula própia stória, ua beç que l sou trabalho ye bisto cumo parte de l grupo d'eiquilíbrio giral associado al Menger Colloquiun, cujos nembros trabalhában ne l porblema d'eisisténcia dua soluçon d'eiquilíbrio pa l modelo de Walras-Cassel (modelo d'eiquilíbrio giral ne l qual ls andibíduos peden benes i ouferecen eilemientos, i las ampresas peden eilemientos i porduzen benes de maneira custante. L'eiquilíbrio giral define-se cumo un cunjunto de précios de fatores i outputs tales que las cantidades pedidas i ouferecidas an cada mercado son eiguales, garantindo la cumpetiçon que l précio eiguale l custo de porduçon an cada porcesso de porduçon i curso).

L modelo de MEE de von Neumann tamien anclui bárias bertentes cunsidradas amportantes puls eiquenomistas bienenses: l'uso de zeigualdades an beç qu'eiquaçones, précio zero para benes an scesso d'ouferta i la énfase ne l'eiquilíbrio a longo prazo sin lucro.
Alguns eiquenomistas defenden que l modelo de von Neumann se baseia na tradiçon clássica de pensamiento eiquenómico: para eilhes, tal ye eibidente atendendo a aspetos tales cumo las eideias de que la natureza de l porcesso de porduçon ye circular i dua eiquenomie que se spande uniformemente, sendo la taxa de spanson detreminada andogenamente; la dualidade de las bariables monetárias i técnicas ó la maneira cumo la regra de ls benes libres fui aplicada als fatores primairos de porduçon i als benes.

Nua purmeira abordaige, la “anterpretaçon clássica” de l modelo de crecimiento de von Neumann repersentaba ua perspetiba totalmente defrente de l dominante punto de bista neoclássico. Assi i to, debrebe surgiran argumientos a fabor, por parte d'eiquenomistas cumo David Gawen Champernowne, Richard Godwin ó Nicholas Kaldor.

## Curjidades

La títalo de curjidade, i para demunstrar la facelidade de von Neumann cun númaros, apersento agora stórias que se cuntan subre la sue rapideç na resoluçon de porblemas, tal cumo apersentadas por P.R. Halmos an:

Quando l sou cumputador eiletrónico quedou pronto, alguien sugeriu un teste relatibamente simples ambolbendo poténcias de 2, un porblema de l género: qual ye a menor poténcia de 2, tal que l sou quarto dígito a cuntar de la dreita seia 7? L cumputador i von Neumann ampeçórun al mesmo tiempo, i von Neumann acabou purmeiro!

Noutra ocasion, un moço cientista de Aberden Probing Ground percisaba de calcular l balor dua spresson cumplicada. Passou 10 minutos ne l purmeiro causo special; l segundo cálclo demorou ua hora; pa l terceiro, tubo de recorrer a ua calculadora, i mesmo assi demorou meidie. Quando von Neumann apareciu na cidade, l moço cientista aprobeitou para le preguntar se sabie cumo habie de resulber tal porblema, l que von Neumann aceitou prontamente. Anton ampeçou a ber l qu'acuntecie pa l causo m=1. Fixou un punto ne l'hourizonte, murmurou uas cuntas por un minuto, i, sabendo la repuosta, l moço lançou un “2.31?” Neumann olhou para el, i cuntinou. “Para m=2, …” L'anterrogador staba preparado i cunseguia seguir alguns de ls cálclos que von Neumann murmuraba. Assi, uns segundos antes de dar la repuosta, anterrompeu von Neumann de nuobo, preguntando, heisitante: “7.49?” Desta beç, von Neumann franziu l sobrolho i apressou-se a cuntinar, mas l mesmo acunteciu… mesmo antes d'el chegar al resultado, l moço cientista sclamou “11.06!” Esto fui demales para von Neumann! Un principiante çconhecido staba a ser melhor qu'el! Quedou aborrecido i amuou até l moço cunfessar la brincadeira.

Tenemos tamien la pregunta de la mosca i de ls ciclistas: dous ciclistas ampeçan afastados 20 milhas, i andan an direçones oupostas a ua belocidade custante de 10&nbsp;mph. Al mesmo tiempo, ua mosca que biaja a 15&nbsp;mph, ampeça na ruoda dianteira de l ciclista de l norte, boa até a la ruoda dianteira de l de l sul, regressa al de l norte i assi por delantre, até quedar smagada antre las dues ruodas. Qual ye la çtáncia percorrida pula mosca?
Hai dues maneiras de resulber este porblema: la maneira mais lenta ye calcular la çtáncia que la mosca percorre na purmeira biaige, depuis na segunda, etc., i depuis somar las séries anfenitas que se oubténen; la maneira mais rápida ye ouserbar que las bicicletas se ancontran ua hora depuis de partiren, antoce la mosca solo ten ua hora pa las biaiges, donde la repuosta ye 15milhas.
Quando fazirun esta pregunta la von Neumann, este resolbiu-la nun anstante, l que decepcionou bastante quien fizo la pregunta, que dixe “Oh, debie tener oubido l truque antes!”, al que von Neumann respundiu “Truque? Solo somei las séries anfenitas!”

## Citaçones
An matemática nun percebemos cousas. Solo ne ls habituamos a eilhas. (in G. Zukab The beilcing Wu Li masters)

L fato mais caratelístico acerca de la matemática ye, na mie oupenion, la sue relaçon peculiar culas ciéncias naturales, ó mais giralmente, cun qualquiera ciéncia qu'anterprete spriéncias a un nible superior al meramente çcritibo.

Dua maneira giral ye uniformemente berdade que na matemática hai un lapso de tiempo antre la çcubierta matemática i l momiento an que se torna útele; i qu'esse lapso puode ser qualquiera antre 30 i 100 anhos, an alguns causos inda mais; i que to l sistema parece funcionar sin qualquiera direçon, sin qualquiera refréncia a l'outelidade i sin qualquiera zeio de fazer cousas que séian úteles.

Quien quier que seia que cunsidre métodos aritméticos para porduzir númaros aleatórios stá, claro, nun stado de pecado. (in D. MacHale, Comic Setiones (Dublin, 1993))

Eesiste un cunjunto anfenito La que nun ye demasiado grande.

Todos ls porcessos stabais cunseguiremos preber. Todos ls porcessos anstables cunseguiremos cuntrolar!

Las ciéncias nun tentan splicar, eilhas dificilmente tentan anterpretar, eilhas fázen percipalmente modelos. Por un modelo antende-se ua custruçon matemática que, juntamente cun ciertas anterpretaçones berbales, çcribe un fenómeno ouserbado. La justificaçon de tal custruçon matemática ye solo i percisamente que se spera que funcione.

Podie parecer que chegámos al lemite de l qu'era possible alcançar cula tecnologie de ls cumputadores, assi i todo, ua pessona deberie ser cuidadosa cun tales afirmaçones, pus tenden a sonar mui tontas an 5 anhos. (dezido an 1949)

Nun hai sentido an ser perciso quando nun se sabe de que se stá a falar.

## Ber tamien

*Arquitetura de von Neumann
*Porblemas de Hilbert
*Ouniberso de von Neumann

## Ligaçones sternas
*
*