Álgebra de Boole

Na matemática, na lógica i na ciéncia de la cumputaçon, las **álgebras boleanas** (ó **álgebras de Boole**) son struturas algébricas que "catan las propiadades eissenciales" de ls ouperadores lógicos i de cunjuntos.

## Stória
Recebiu l nome de boleana an houmenaige la George Boole, matemático anglés, que fui l purmeiro la defeni-las cumo parte dun sistema de lógica an meados de l seclo XIX. Mais specificamente, la álgebra boleana fui ua tentatiba d'outelizar técnicas algébricas para lidar cun spressones ne l cálclo proposicional. Hoije, las álgebras boleanas ténen muitas aplicaçones na eiletrónica. Fúrun pula purmeira beç aplicadas a anterrutores por Claude Shannon, ne l seclo XX.

## Defeniçon
Ua álgebra boleana ye ua 6-upla (X, \vee, \wedge, \neg, 0, 1) cunsistindo dun cunjunto X munido de dues ouparaçones binárias \vee (tamien denotado por +, ye giralmente chamado de "ó") i \wedge (tamien denotado por \ast ó por \cdot, ye giralmente chamado de "i"), ua ouparaçon unária \neg (tamien denotada por \sim ó por ua barra superior, ye giralmente chamado de "nó"), i dues custantes 0 (tamien denotada por \bot ó por F, giralmente chamado de "zero" ó de "falso") i 1 (tamien denotada por \top ó por V, giralmente chamado de "un" ó de "berdadeiro"), i sastifazendo ls seguintes axiomas, para qualesquiera la, b, c \in X:

Propiadades Associatibas
* (la \vee b) \vee c = la \vee (b \vee c)
* (la \wedge b) \wedge c = la \wedge (b \wedge c)

Propiadades Quemutatibas
* la \vee b = b \vee la
* la \wedge b = b \wedge la

Propiadades Çtributibas
* la \vee (b \wedge c) = (la \vee b) \wedge (la \vee c)
* la \wedge (b \vee c) = (la \wedge b) \vee (la \wedge c)

Eilemientos Neutros
* la \vee 0 = la
* la \wedge 1 = la

Eilemientos Cumplementares
* la \vee \neg la = 1
* la \wedge \neg la = 0

Alguns outores tamien ancluen la propiadade 0 \neq 1, para eibitar la álgebra boleana cun solamente un eilemiento.

## Eisemplos
* L'eisemplo mais simples de álgebra boleana cun mais dun eilemiento ye l cunjunto \{0, 1\} munido de las seguintes ouparaçones:

* Un outro eisemplo de álgebra boleana ye l cunjunto \{0, 1, ?\} (l'eilemiento ? ye giralmente chamado de "çconhecido" ó de "talbeç") munido de las seguintes ouparaçones:

* Dado un cunjunto La, l cunjunto P(La) de las partes de La munido de las ouparaçones la \vee b = la \cup b, la \wedge b = la \cap b, \neg la = La \setminus la, i adonde 0 = \varnothing i 1 = La, ye ua álgebra boleana.

* L anterbalo [0, 1] munido de las ouparaçones la \vee b = \mathrm{max}\{la, b\}, la \wedge b = \mathrm{min}\{la, b\}, i \neg la = 1 - la, ye ua álgebra boleana. Essa álgebra boleana recibe l nome de lógica fuzzy.

## Teoremas
Dado ua álgebra boleana subre X, son bálidos para qualesquiera la, b \in X:

Propiadades Eidempotentes
* la \vee la = la
* la \wedge la = la

Dupla Negaçon
* \neg (\neg la) = la

Leis de De Morgan
* \neg (la \vee b) = \neg la \wedge \neg b
* \neg (la \wedge b) = \neg la \vee \neg b

Propiadades Absorbentes
* la \vee (la \wedge b) = la
* la \wedge (la \vee b) = la

Eilemientos Absorbentes
* la \vee 1 = 1
* la \wedge 0 = 0

Negaçones de l Zero i de l Un
* \neg 0 = 1
* \neg 1 = 0

Defeniçones altarnatibas de l'ouparaçon binária \veebar (tamien denotado por \oplus, ye giralmente chamado de "xou" ó de "ó sclusibo")
* (a \vee b) \wedge (\neg a \vee \neg b) = (a \wedge \neg b) \vee (\neg a \wedge b)

## Orde
Dado ua álgebra boleana subre X, ye bálido para qualesquiera la, b \in X:
* la \vee b = b se i solamente se la \wedge b = la

La relaçon \leq defenida cumo la \leq b se i solamente se ua de las dues cundiçones eiquibalentes arriba ye sastifeita ye ua relaçon d'orde an X. L supremo i l ínfimo de l cunjunto \{la, b\} son la \vee b i la \wedge b, respetibamente.

## Homomorfismos i eisomorfismos
Un homomorfismo antre dues álgebras boleanas La i B ye ua funçon f: La \to B que para qualesquiera la, b \in La:
* f(la \vee b) = f(la) \vee f(b)
* f(la \wedge b) = f(la) \wedge f(b)
* f(0) = 0
* f(1) = 1
Ua cunsequéncia ye que f(\neg la) = \neg f(la).

Un eisomorfismo antre dues álgebras boleanas La i B ye un homomorfismo bijetor antre La i B. L amberso dun eisomorfismo ye un eisomorfismo. Se eisiste un eisomorfismo antre La i B, dezimos que La i B son eisomorfos.

## Ber tamien
* Reticulado
* Percípio de l terceiro scluído
* Númaros binairos
* Lógica binária
* Tabela berdade
* Funçon boleana
* Circuito digital
* Forma canónica
* Sistema formal
* Mapa de Karnaugh
* Diagrama de Benn
* Álgebra de Heiyting