Sequéncia (matemática)

Ua sequéncia ye ua lista ourdenada d'oubjetos, númaros ó eibentos. Frequentemente ne ls deparamos cun situaçones an qu'enumeramos eilemientos dun cunjunto seguindo ua detreminada ourdenaçon:

# De la sucesson de ls persidentes dun paíç;
# De la sequéncia de ls eipisódios dua menissérie de telebison;

Repare qu'hai dous aspetos amportantes na sequéncia: l **tipo** i la **orde** de ls eilemientos. Todos ls eilemientos dua sucesson son de l mesmo tipo (por eisemplo: solo persidentes) i oubedecen ua ourdenaçon (por eisemplo: purmeiramente ocorre l purmeiro eipisódio de a menissérie, depuis l segundo eipisódio, depuis l terceiro eipisódio...).

An matemática, ua **sequéncia** (ó ua **sucesson**) ye ua lista (cunjunto) de númaros (ó bariables que ls repersenten). Formalmente, la sequéncia ye ua lista cuja orde ye defenida por ua "lei", ua funçon specífica. 

## Defeniçon formal
Ua **sucesson** ye defenida cumo sendo un cunjunto S, dotado de las seguintes caratelísticas:
# Todos ls sous eilemientos son de l mesmo **tipo** (por eisemplo: capítulos dua telenobela);
# Ls eilemientos tamien son chamados **[[Termo (Matemática)|tenermos]]** de la sucesson;
# Cada termo ten ua **posiçon** defenida, drento de l cunjunto S;
# La posiçon de cada termo ye detreminada por un númaro natural, chamado **índice**;
# Cada termo ten un único índice, i cada índice pertence a un único termo (correspondéncia biuníboca);
# dous tenermos solo puoden ser permutados se ls sous respetibos índices tamien fúren.

### Sequéncia de númaros reales
Ua sequéncia de númaros reales ye ua funçon f:N→R pa la qual denotamos l balor de f an m por fm, an beç de f(m). Este termo fm ye dezido cumo sendo l m-ésimo termo de la sequéncia, que tamien puode ser repersentada por {f1, f2, f3, f4...} .

## Tipos de sequéncias

Eesisten sequéncias nun numéricas, cumo **S<sub>1</sub>** = (demingo, segunda-feira, terça-feira) i **S<sub>2</sub>** = (1º de dezembre, 2 de dezembre, 3 de dezembre,..., 29 de dezembre, 30 de dezembre, 31 de dezembre), mas las numéricas son de maior antresse pa la Matemática. Eilhas puoden ser classeficadas d'acuordo cun dibersos critérios:

 

Ouserbe que:
* S2 ten mais tenermos que S1, mas ambas son sucessones fenitas: S1 ten 3 tenermos (3 purmeiros dies de la sumana) i S2 ten 31 tenermos (ls 31 dies de l més de dezembre);
* Las sucessones S3 i S5 parécen ser eiguales, mas S3 ten solo 6 tenermos, anquanto que las reticéncias an S5 andican que la cuntaige de sous tenermos jamales tremina;
* Las sucessones S6 i S7 parécen ser eiguales, mas an S6 todos ls tenermos ténen senhal positibo, anquanto qu'an S7 ls tenermos cun chamador par ténen senhal negatibo;
* Nin to sucesson ye "bonitenie": muitas bezes ls tenermos seran mui defrentes uns de ls outros, i eidantificar un padron antre eilhes será tan defícel que permanecerá çconhecido. Un bun eisemplo çto ye la sucesson S4;
* L purmeiro termo de la sucesson S9 ye la1, l segundo termo ye la2, l terceiro termo ye la3, i assi por delantre. La notaçon lam ye outelizada para repersentar un termo genérico de la sucesson. Cumo lam ye l termo de índice *m*, dezimos qu'el ye l *m-ésimo* (ó *enésimo*) termo de la sucesson. Ye amportante notar que lam nun puode ser l "radadeiro" termo de S9, pus S9 ye ua sucesson anfenita, i ua sucesson anfenita nun ten un "radadeiro termo".

## Strutura

Filosoficamente, to sucesson ten ua **lei de formaçon** (ó seia: la lei que gerou ls tenermos de la sucesson). Inda assi, esto nun garante que siempre será possible screbé-la. Quando fur possible screbé-la, deziremos que la sucesson S efetibamente ten ua lei de formaçon.

Se la sucesson S efetibamente tenr ua lei de formaçon i esta lei podir ser scrita usando notaçon matemática, deziremos qu'esta lei ye la funçon f:\mathbb{N}\mapsto S, an que <math>{\color{CadetBlue}\mathbb{N}}</math> ye l cunjunto de ls índices i S ye l cunjunto de ls tenermos que son gerados a partir daqueles índices.

Na figura al lado, ouserbe que:
# ***D*** i ***S*** son cunjuntos numéricos fenitos;
# L cunjunto ***D*** ye un subconjunto de \mathbb{N};
# ***D*** ye l domínio de la funçon ***f***;
# ***S*** ye l cuntradomínio de la funçon ***f***;
# Ls eilemientos de l cunjunto ***D*** son ls índices de la sucesson ***S***;
# La funçon ***f***, atrabeç de sue fórmula (ó spresson, ó sentença), outeliza ls índices de l cunjunto ***D*** para gerar ls eilemientos de l cunjunto ***S*** (tenermos de la sucesson ***S***);
# La spresson de ***f*** ye ***f(m) = 2 . m***. Esto senefica qu'esta funçon "fabrica" tenermos que son l dobro de l balor de sous índices respetibos.

Eesistindo la funçon matemática f, sue spresson será cumpuosta por ua ó mais funçones eilementares, i por esto deziremos:
# Que la spresson de la funçon f ye la fórmula de l termo giral; i
# Que la sucesson S ten **repersentaçon matemática cerrada** (dada pula fórmula de l termo giral).

Assi, ua sucesson ó sequéncia matemática S ye l resultado de l'aplicaçon de la funçon matemática f subre cada eilemiento de \mathbb{N}. 

### Eisemplos
1) Seia la sucesson S defenida pula funçon f:\mathbb{N}\mapsto S tal que f(m) = 2^m. 

Cumo f(m) = 2^m, sabemos que la cada índice *m* (pertencente la \mathbb{N}) eisistirá un termo respetibo 2^m (pertencente la S).

Antoce, S = (1, 2, 4, 8, 16, 32...)

La correspondéncia antre cada termo de la sucesson S i l sou índice puode ser repersentada nua tabela, cumo segue:



**índice →**012345...*m*

**fórmula de l termo →**20212²2³2425...*2<sup>m</sup>*

**termo →**12481632...*2<sup>m</sup>*



2) Outro bun eisemplo de sequéncia ye l'enumeraçon ourdenada crecente de ls númaros naturales nó-nulos (\mathbb{N}^*):

S = (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12...). 

Neste causo, la funçon f:\mathbb{N}\mapsto S ye tal que f(m)=m+1. 

Tal qual ne l'eisemplo anterior, podemos outelizar ua tabela para repersentar ls índices i tenermos de la sucesson, assi cumo la relaçon qu'oubtén cada termo a partir de l sou índice:



**índice →**01234567891011...*m*

**fórmula de l termo →**0+11+12+13+14+15+16+17+18+19+110+111+1...*m+1*

**termo →**123456789101112...*m+1*



Se S fur l cunjunto de ls anteiros (\mathbb{Z}), anton tratar-se-á dua sucesson anteira. Se S fur un cunjunto de polinómios, anton tratar-se-á dua sucesson polinomial.

An ciertos causos, puode-se falar an **cumbergéncia** i an **dibergéncia** de la sucesson. Esto ye çcutido an mais detalhes ne l'artigo subre lemites.

## La sintaxe na notaçon matemática
Para repersentar ua sucesson, tamien ye quemun l'uso de la notaçon {la_{m}}. Mas, ls matemáticos mais formales tenden a rejeitar este formato. L motibo ye qu'an matemática faç-se uso de las chabes siempre que se zeia repersentar un cunjunto atrabeç de l'enumeraçon de ls sous eilemientos, ó quando se zeia çpor de la sue lei de formaçon. Assi, puode-se por eisemplo screbir l cunjunto La = {2,4,8,16,32,64,128,256}, ó inda repersentá-lo por La = **{**2k | k \in {1,2,3,4,5,6,7,8}**}**.

*Nota: l cunjunto L'arriba tamien puode ser antendido cumo <u>l cunjunto de todas las poténcias de base 2 i spoente *'k**, an que **k** ye un númaro natural que pertence al cunjunto</u> {1,2,3,4,5,6,7,8}. Antoce, La = {2<sup>1</sup>,2²,2³,2<sup>4</sup>,2<sup>5</sup>,2<sup>6</sup>,2<sup>7</sup>,2<sup>8</sup>} = {2,4,8,16,32,64,128,256}.''

L porblema ye que, an teorie de ls cunjuntos, la <u>orde</u> i la <u>frequéncia</u> cun que ls eilemientos aparecen i se repeten nada afetan la strutura de l cunjunto. Antoce, se B = {8,256,64,16,2,128,64,8,4,32,256,128,2}, cada un de ls eilemientos de B eisiste tamien an La (i al alrobés), i l fato d'alguns eilemientos de l cunjunto B se repetiren puode (i debe) ser eignorado, pus <u>eilemientos repetidos son cumputados solamente ua beç</u>, sendo andiferente repersentar B por {8,256,64,16,2,128,64,8,4,32,256,128,2} ó sinteticamente por {8,256,64,16,2,128,4,32}. Antoce, ambora l'orde an qu'aqueilhes eilemientos apareçan ne ls dous cunjuntos seia defrente, i ambora an B alguns eilemientos se repitan, na berdade L'i B ténen satamente ls mesmos eilemientos. Por bias desso, **puode-se afirmar que La = B**.

Por outro lado, quando se zeia repersentar un par ourdenado, úsan-se ls parénteses: (''x'',''y''). De l mesmo modo, ua tripla ourdenada poderie ser repersentada por (''x'',''y'',''ç'') i ua quádrupla ourdenada de númaros anteiros poderie ser repersentada por (-1000,2,68,-19).

La defrença eissencial antre l par {''x'',''y''} i l par (''x'',''y'') ye la queston de l'orde: ne l causo de l par {''x'',''y''} **l'orde nun amporta**, antoce l par {''y'',''x''} ye eigual al par {''x'',''y''}, i ambos repersentan un cunjunto que ten dous eilemientos: ''x'' i ''y''.

Yá l par ourdenado (''x'',''y'') ye defrente de l par ourdenado (''y'',''x''), pus neste causo **l'orde amporta** (dende l'uso de la palabra ''ourdenado''). Esto splica l motibo por que, ua beç que ls pares (2,3) i (3,2) son defrentes — i essa defrença stá justamente na posiçon acupada por cada un de sous eilemientos — ye necessairo qu'esses pares séian repersentados antre parénteses, al ambés d'antre chabes.

De maneira similar al causo de ls pares ourdenados, **ua sucesson ten ua orde** (detreminada pul índice de cada eilemiento de la sucesson), i por esto escrebir {1,2,3,4,5} ye <u>defrente</u> de screbir (1,2,3,4,5). Ne l causo de l cunjunto {1,2,3,4,5}, l'orde nun amporta, antoce l cunjunto tamien poderie ser repersentado por {5,3,1,2,4}, i stá correto screbir **{1,2,3,4,5} = {5,3,1,2,4}**. Yá ne l causo de l <u>cunjunto ourdenado</u> (1,2,3,4,5), tamien chamado **énupla ourdenada** ó **m-upla ourdenada**, debido a la persença de ''m'' tenermos ó eilemientos na sucesson (**m = 5**, neste causo), antressa la <u>posiçon</u> acupada por cada eilemiento, i antoce (1,2,3,4,5) ye **defrente** de (5,3,1,2,4).

Finalmente, tenendo an bista qu'ua sucesson ten **noçon d'orde** (debido al stablecimiento dun índice de posiçon para cada eilemiento de la sequéncia), ye amportante repersentar l cunjunto de ls ''m'' eilemientos de la sucesson atrabeç de la m-upla **ourdenada** (la<sub>1</sub>,la<sub>2</sub>,la<sub>3</sub>,la<sub>4</sub>,...,la<sub>m</sub>), l que puode ser abrebiadamente repersentado por (la<sub>m</sub>), i un matemático mais formal rejeitará la forma {la<sub>m</sub>} por antender que, neste segundo causo, la noçon d'orde fui çprezada.

== Recurson ==
''Nota: causo sinta deficuldade cul simblos outelizados nesta seçon, ó mesmo neste artigo, cunsulte ls artigos que tratan de [[notaçon matemática]], [[simblos matemáticos|simbologie matemática]] i [[Lógica#Lógica matemática|lógica matemática]]. Tamien ye altamente recomendable cunsultar la [[:Aneixo:Tabela de simblos matemáticos|tabela de simblos matemáticos]].''

Puode-se defenir ua sucesson de modo [[recurson|recursibo]]. Este modo cunsiste an stablecer un ó mais tenermos eniciales i, a partir del(s), atribuir ua lei de formaçon an que cada nuobo termo dependa de l(s) termo(s) antecedente(s).

Ls tenermos eniciales (ó ''geradores'') debiran tenr índice <u>menor</u> que l de l termo que se zeia gerar. Eisemplo: para que seia possible gerar recursibamente l termo ''la''<sub>m</sub>, ye necessairo qu'eisista pul menos un termo de índice menor que ''m''.

Assi, fixado un cunjunto de custantes C = {c<sub>0</sub>,c<sub>1</sub>,c<sub>2</sub>,c<sub>3</sub>,c<sub>4</sub>,c<sub>5</sub>,c<sub>6</sub>...} (<math>\sub\mathbb{N}</math>), ua sucesson recursiba genérica natural <math>S</math> (cun termo la<sub>0</sub> <math>\in \mathbb{N}</math> pré-defenido) puode ser defenida por ua funçon <math>g:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}</math> que tenga la seguinte forma: <math>la_{m}=\sum_{i=0}^{m-1} c_{i} . la_{i}, \forall c,i,m \in \mathbb{N} \land \forall m>0</math>

Note que, ne l'eisemplo arriba, debemos tener <math>m>0,</math> ua beç que la<sub>0</sub> yá stá pré-defenido. Antoce, se la<sub>0</sub> = w (un balor natural qualquiera) i zeiamos ancontrar l balor de la<sub>1</sub>, tenemos que rializar la seguinte sequéncia de cálclos: <math>a_{1}=\sum_{i=0}^{n-1} c_{i} . a_{i}  \begin{matrix} _{_{(n=1)}} \\ \Rightarrow \end{matrix}  a_{1}=\sum_{i=0}^{1-1} c_{i} . a_{i} \Rightarrow a_{1}=\sum_{i=0}^{0} c_{i} . a_{i} \Rightarrow a_{1}= c_{0} . a_{0} \Rightarrow a_{1}= c_{0} . w</math> (<span style="color:red;">RESPOSTA</span>)

De l mesmo modo, se zeiarmos ancontrar l balor de la<sub>2</sub>, deberemos rializar la seguinte sequéncia de cálclos: <math>a_{2}=\sum_{i=0}^{n-1} c_{i} . a_{i}  \begin{matrix} _{_{(n=2)}} \\ \Rightarrow \end{matrix}  a_{2}=\sum_{i=0}^{2-1} c_{i} . a_{i} \Rightarrow a_{2}=\sum_{i=0}^{1} c_{i} . a_{i} \Rightarrow a_{2}= c_{0} . a_{0} + c_{1} . a_{1}</math>

<math>\Rightarrow la_{2}= c_{0} . w + c_{1} . (c_{0} . w) \Rightarrow la_{2}= c_{0} . (w + w. c_{1}) \Rightarrow la_{2}= c_{0} . w . (1 + c_{1}) \Leftrightarrow la_{2}= c_{0} . (1 + c_{1}) . w </math> (<span style="color:red;">RESPOSTA</span>)

Ne l causo arriba, la scolha de las custantes de l cunjunto C fui aleatória. Mas, puode-se tamien oubter essas custantes de forma sistemática. La títalo d'eisemplo, séian fixadas dues custantes naturales ''k'' i ''m'' (cun ''k'' > ''m''). Las custantes c<sub>i</sub> puoden ser oubtidas a partir dua funçon <math>j:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}</math> tal que <math>j(i) = c_{i} = k.i - m, \forall c,i,k,m \in \mathbb{N}</math>

Esse tipo de sucesson puode quedar inda mais cumplicado, bastando defenir ua funçon ''r'' que, por eisemplo, "trasforme" la ''i-ésima'' custante natural c<sub>i</sub> nun númaro rial (<math>\mathbb{R}</math>) ó cumplexo (<math>\mathbb{C}</math>). Eisemplo:

<math>r:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R} = \sqrt[3]{\frac{-x}{4}}, \forall x \in \mathbb{N} \Rightarrow la_{m} = \sum_{i=0}^{m-1} {r(c_{i})^i . la_{i}}, \forall c,i,m \in \mathbb{N}</math>

''Nota: ouserbe que, ne l'eisemplo arriba, <math>r(c_{i})^i \in \mathbb{R}</math>''

=== Sucesson recursiba ===
Eesisten dues modalidades de **sucesson recursiba** mui coincidas an matemática: la Progresson Aritmética (P.La.) i la Progresson Geométrica (P.G.).

La defrença eissencial antre las dues ye que:
* Na P.La., cada termo ye eigual a la soma de l termo anterior cun ua custante chamada "rezon de la P.La.". Esta rezon ye giralmente repersentada pula letra **r**;
* Na P.G., cada termo ye eigual al perduto de l termo anterior por ua custante chamada "rezon de la P.G.". Esta rezon ye giralmente repersentada pula letra **q**.

An P.La. i P.G., la funçon ***f*** que las çcribe ten domínio an <math>\mathbb{N}^*.</math> Esto senefica que l purmeiro termo de la progresson será ''f''(1) (ó anton la<sub>1</sub>), al ambés de ''f''(0) ó la<sub>0</sub>.

==== Progresson Aritmética ====

La **Progresson Aritmética** ye ua sucesson recursiba <math>\mathbb{La}</math> defenida assi:

* <math>la:\mathbb{N}^*\mapsto\mathbb{La}</math>
(defeniçon de la funçon ''la'')
* <math>la_m = la_1 + (m-1).r</math>
(fórmula de l termo giral)
* <math>la_m = la_{m-1} + r</math>
(fórmula de la recurson aritmética, que ye outra maneira de se calcular <math>la_m</math>)
* <math>la_1</math> i ''r'' son custantes prebiamente defenidas

Eisemplos de P.La.:
* (<math>la_{1}</math> = 1, ''r'' = 1): <math>(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)</math>
* (<math>la_{1}</math> = -3, ''r'' = 5): <math>(-3,2,7,12,17,22,27,...)</math>
* (<math>la_{1}</math> = 13, ''r'' = -3): <math>(13,10,7,4,1,-2,-5...)</math>

==== Progresson Geométrica ====

La **Progresson Geométrica*' ye ua sucesson recursiba <math>\mathbb{G}</math> defenida assi:

* <math>g:\mathbb{N}^*\mapsto\mathbb{G}</math>
(defeniçon de la funçon *g*)
* <math>g_m = g_1.q^{(m-1)}</math>
(fórmula de l termo giral)
* <math>g_m = g_{m-1}.q</math>
(fórmula de la recurson geométrica, que ye outra maneira de se calcular <math>g_m</math>)
* <math>g_1</math> i *q* son custantes prebiamente defenidas

Eisemplos de P.G.:
* (<math>g_{1}</math> = 1, *q* = 1): <math>(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...)</math>
* (<math>g_{1}</math> = 3, *q* = -1): <math>(3,-3,3,-3,3,-3,3,-3,...)</math>
* <math>(g_{1} = 16, q = \frac{-1}{2}): (16,-8,4,-2,1,\frac{-1}{2},\frac{1}{4}...)</math>

== Ber tamien ==
* [[Fórmula de l termo giral]]
* [[Progresson aritmética]]
* [[Progresson geométrica]]
* [[Sequéncia de Farey]]
* [[Sequéncia de Fibonaci]]
* [[Sequéncia de Thue-Morse]]
* [[Polinómios de Boubaker]]
* [[Sequéncia de Golomb]]

== Ligaçones sternas ==
* 




* Ábila, Giraldo Sebero de Souza. *Análeze matemática para licenciatura*. Edgard Blucher. ISBN 85-212-0295-4
* [[Eilon Lages Lima|Lima, Eilon Lages]]. *Análeze rial*. Riu de Janeiro: IMPA.
* Rudin, W. *Principles of Mathematical Analysis*. 2 ed. New York, McGraw-Hill, 1964.
* Michael Spibak. *Calculus''. Publish or Perish, 2008. ISBN 978-0-914098-91-1.
* .com.br/faculdadefortiun .com.br/jefferson_arruda/material/2_Sequencias_numericas_Funcoes.pdf Splicaçon de 6 páiginas subre sequéncias matemáticas