Derivata

Fil-Matematika id-**derivata** ta' funzjoni hija, mal-integral, waħda mill-kolonni tal-analisi matematika u tal-kalkulu infiniteżmali. 

Nistgħu nifhmu b'mod sempliċi x'inhi d-derivata jekk inħarsu lejn it-tifsira ġometrika tagħha: ġometrikament id-derivata ta' funzjoni \displaystyle{f} f' punt \displaystyle{x_0} hija l-kejl tal-pendil tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku tal-funzjoni fil-punt \displaystyle{(x_0,f(x_0))}, jiġifieri, it-tanġent trigonometriku tal-angolu bejn il-linja dritta tanġenti u l-assi orizzontali.

Fil-każ ta' funzjonijiet ta' varjabbli waħda, derivabbli fid-dominju kollu tagħhom, jew almenu f'intervall ta' dan, b'operazzjonijiet alġebrin niksbu funzjoni ġdida li tirrappreżenta d-derivata mal-varjazzjoni ta' \displaystyle{x}. Din hi li nfissru s-soltu meta nitħaddtu ġenerikament fuq id-*derivata ta' funzjoni*, għax hi unika apparti mis-sinjal, li jiddipendi mid-direzzjoni li nkunu qed nikkonsidraw fid-derivazzjoni ('l quddiem jew lura).

Fil-każ ta' funzjonijiet ta' aktar varjabbli indipendenti din l-uniċità tintilef, għaliex in-numru ta' direzzjonijiet li fihom nistgħu nikkalkulaw ir-rapport inkrementali ma jibqgħax iżjed tnejn imma jsir infinit: ma jibqgħax possibli li niddefinixxu funzjoni waħda tal-istess varjabbli indipendenti li tagħti r-rapporti inkrementali kollha possibbli tal-funzjoni. Għalhekk neħtieġu d-derivati parzjali tal-funzjoni, li meta nikkombinawhom linjarment jagħtuna r-rapport inkrementali tal-funzjoni f'kull direzzjoni li rridu.

## Definizzjoni u notazzjoni
Fl-analisi matematika d-**derivata** ta' funzjoni reali ta' varjabbli reali \displaystyle{f} fil-punt  \displaystyle{x_0}  hi definita bħala l-limitu tar-rapport inkrementali meta l-inkrement \displaystyle{h} jersaq lejn 0, taħt l-ipoteżi li dak il-limitu jeżisti u hu finit.

Iżjed preċiż, jekk ikollna funzjoni \displaystyle{f} definita f'inħawija ta' \displaystyle{x_0} ngħidu li hi **derivabbli** fil-punt \displaystyle{x_0} jekk jeżisti u hu finit dan il-limitu: 

:{\mathop {\lim_{h \to 0}} 

Il-valur ta' dan il-limitu, indikat normalment b'\displaystyle{f^\prime(x_0)}, ngħidulu d- **derivata** tal-funzjoni fil-punt  \displaystyle{x_0} . Jekk il-funzjoni \displaystyle{f}  hi derivabbli f'kull punt tal-intervall \displaystyle{(a,b)} , ngħidu li hi derivabbli f'\displaystyle{(a,b)} , u l- funzjoni \displaystyle{f ^{\prime}} li tassoċja ma' kull punt \displaystyle{x} id-derivata ta' \displaystyle{f} f' \displaystyle{x}, insejħulha l-**funzjoni derivata** ta' \displaystyle{f}.

Id-derivata fil-punt x_0 nistgħu nindikawaha b'wieħed minn dawn is-simboli:

* f ^{\prime} (x_0), skont in-notazzjoni ta' Lagrange.

* \operatorname D [{f}({x_0})], skont in-notazzjoni ta' Cauchy.

*  {\operatorname d f(x_0)}\over{\operatorname d x}, skont in-notazzjoni ta' Leibniz: l-ewwel li dehret storikament hi ()_{(x_0)}, .

* \dot f(x_0), skont in-notazzjoni ta' Newton.

## Derivata mill-lemin u mix-xellug
Jissejjaħ **derivata mill-lemin** ta' \displaystyle{f} f'\displaystyle{x_0} il-limitu:

\lim_{h \to 0^+}

Jissejjaħ **derivata mix-xellug** ta' \displaystyle{f} f'\displaystyle{x_0} il-limitu:

\lim_{h \to 0^-}

Funzjoni hi derivabbli f'\displaystyle{x} jekk u biss jekk id-derivati mill-lemin u mix-xellug jeżistu u għandhom l-istess valur.

Permezz tad-derivati mill-lemin u mix-xellug nistgħu niddefinixxu d-derivabbiltà fuq intervall mhux miftuħ: pereżempju jekk \displaystyle{f} hi definita f'l-intervall magħluq \displaystyle{[a,b]}, ngħidu li \displaystyle{f} hi derivabbli f'\displaystyle{[a,b]} jekk hi derivabbli f'kull punt intern \displaystyle{x} ta' \displaystyle{(a,b)}, u jekk jeżistu d-derivati mill-lemin u mix-xellug rispettivament fit-truf \displaystyle{x=a} u \displaystyle{x=b}.

## Tifsira ġometrika tad-derivata

Il-valur tad-derivata ta' f ikkalkulat f'x_0 għandu sinjifikat ġometriku: dan hu l-koeffiċjent angulari tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku ta' f, fil-punt bil-koordinati (x_0,\,f(x_0)).

Fi kiem ieħor, id-derivata hi l-valur tat-tanġent trigonometriku tal-angolu li l-linja dritta tanġenti mal-kurva fil-punt (x_0,\,f(x_0)) tifforma mal-assi tal-axissi.

L-ekwazzjoni tal-linja dritta tanġenti f'x_0 hija: 

y = f(x_0) + f '(x_0)(x-x_0).\;

Iżjed preċiż, jekk f hi derivabbli fil-punt x_0, teżisti funzjoni o(x-x_0) definita f'inħawija ta' x_0 tali li: 

f(x) = f(x_0) + f '(x_0) (x - x_0)  + o(x-x_0)\;

fejn

\lim_{x \to x_0} = 0 . 

Ngħidu li \displaystyle{o(x-x_0}) hu *infiniteżmu ta' ordni ogħla* mill-funzjoni x-x_0. B'din irridu nesprimu l-idea li t-termini o(x-x_0) jagħti kontribut li nistgħu nittraskurawh jew inħalluh barra kkomparat mat-termini l-oħra meta nersqu lejn x_0.

Niddefinixxu \displaystyle{o(x-x_0)} b'l-istess dominju ta' f, bħala:
: \displaystyle{o(x-x_0) = f(x) - f(x_0) - f '(x_0) (x - x_0)} 
u nivverifikaw li:
:\lim_{x \to x_0} = \lim_{x \to x_0}\left( - f '(x_0)\right). \ \ \ (1)
Niftakru li għal :x \to x_0 għandna :x-x_0 \to 0 mela : h = x-x_0.

Meta nissostitwixxu din l-aħħar ugwaljanza f'(1) ikollna:

:\lim_{h \to 0} - f '(x_0) = 0

u nikkonfermaw it-teżi.

## Teorema tal-kontinwità

Teorema: Teorema tal-kontinwità

It-teorema jgħid li jekk f tkun derivabbli f'x_0 imbagħad tkun ukoll kontinwa f'x_0. 



Inwiddbu li l-kuntrarju mhux dejjem veru: pereżempju, il-funzjoni f(x) = |x| hi kontinwa fuq id-dominju kollu, imma mhux derivabbli fil-punt x=0, għaliex id-derivata tal-lemin mhux l-istess bħal tax-xellug.
 
**Prova tat-Teorema:**

Il-prova tiġi mill-ugwaljanza ta' qabel:
:\displaystyle{f(x)= f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x-x_0)}
minn fejn niksbu:
:\lim_{x \to x_0}f(x)= \lim_{x \to x_0}\left ({f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x-x_0)} = f(x_0)\right ).
Għalhekk il-funzjoni hi kontinwa f'x_0.

### Funzjonijiet mhux derivabbli
Funzjoni kontinwa tista' tkun non-derivabbli. Fost il-fenomeni li jistgħu iġegħlu ‘l-funzjoni ma tkunx kontinwa, hemm dawn li ġejjin:
* punt angoluż,
* kuspidi jew qarsa,
* fless bit-tanġent vertikali,

Jeżistu wkoll funzjonijiet kontinwi li jieħdu forom iżjed komplessi ta' non-derivabbiltà, pereżempju l-funzjoni ta' Cantor.

## L-<math>n</math>-il Derivata
L-"\displaystyle{n} -il derivata", \displaystyle{f^{(n)}}, ta' funzjoni \displaystyle{f} hi l-funzjoni li niksbu meta nidderivaw il-funzjoni \displaystyle{n} darbiet waħda wara l-oħra. Għalhekk ngħidu **it-tieni derivata**, **it-tielet derivata**, **il-ħmistax-il derivata** etc... u nużaw din in-notazzjoni:
: f* = f^{(2)} = ,</math> 
: <math>f*' = f^{(3)} = ,,
: ...
: f^{(n)} =  

Funzjoni li hi derivabbli mhux bilfors hi derivabbli \displaystyle{n}-il darba: Pereżempju din il- funzjoni għandha l-ewwel derivata imma m'għandhiex it-tieni:

:\displaystyle{f(x) = x |x|}.

Infatti id-derivata ta' f hi f\,'(x)=2|x|, li minn naħa tagħha mhijiex derivabbli.

## Teoremi
Hawn taħt nagħtu xi ftit teoremi u riżultati importanti.

### Teorema ta' [[Fermat]]

Dan it-teorema jintuża ħafna fi tfittxija ta' punti ta' massimu jew ta' minimu fejn il-funzjoni derivata hi nulla. Kull punt \displaystyle{x}  fejn \displaystyle{f^\prime(x)}  hi żero ngħidulu punt stazzjonarju. Allura il-punti ta' massimu u ta' minimu huma stazzjonarji.

**Osservazzjonijiet:**
* hu neċessarju li \displaystyle{x_0} tkun punt ġewwieni tad-dominju
* il-funzjoni trid tkun derivabbli fil-punt \displaystyle{x_0}, inkella t-teorema ma jagħmilx sens.

**Prova:**
Biex niffissaw l-idejat, ejjew nissoponu li \displaystyle{x_0} hu punt ta' massimu u għalhekk \displaystyle{f(x_0)} hu valur massimu tal-funzjoni f' \displaystyle{(a,b)}; il-prova hija l-istess fil-każ li \displaystyle{x_0} jkun punt ta' minimu għal \displaystyle{f}. 
Inħarsu lejn ir-rapport inkrementali:  . 
In-numeratur f(x) - f(x_0) \le 0\ \forall x \in (a,b) għaliex, bl-ipoteżi, \displaystyle{x_0} hu punt ta' massimu u għalhekk f(x_0) \ge f(x)\ \forall x \in (a ,b).

Mela nistgħu ngħidu li :
*  \ge 0 jekk \displaystyle{x, għax in-numeratur hu dejjem negattiv jew null u d-denominatur hu dejjem negattiv;
*  \le 0 jekk \displaystyle{x>x_0}, għax in-numeratur hu dejjem negattiv jew null u d-denominatur hu dejjem pożittiv. 
Isegwi, bit-teorema tal-permanenza tas-sinjal li: 
* f'(x_0^-) = \lim_{x \to x_0^-} \ge 0,
* f'(x_0^+) = \lim_{x \to x_0^+} \le 0.
Imma bl-ipoteżi, il-funzjoni \displaystyle{f} hi derivabbli f' \displaystyle{x_0} u għalhekk il-limitu tar-rapport inkrementali f'\displaystyle{x_0} jeżisti u hu finit. Allura jrid ikun fl-istess ħin \leq 0 u \geq 0, u mela hu null, kif ridna nuru.

### Teorema ta' Rolle

### Teorema ta' [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]]

Il-teorema jgħid li jeżisti mill-inqas punt wieħed tal-grafiku tal-funzjoni, 
(x_0,\, f(x_0)),
fejn il-linja dritta tanġenti għandha koeffiċjent angulari daqs dak tal-korda dritta li tgħaddi mill-punti 
(a,\, f(a))
u 
(b,\, f(b)).

Dan it-teorema hu ġeneralizzazzjoni ta' dak ta qabel fis-sens li jħares lejn il-każ fejn
\displaystyle{f(a)} hi differenti minn \displaystyle{f(b)};
jekk \displaystyle{f(a)} hi daqs \displaystyle{f(b)} nerġgħu niksbu it-Teorema ta' Rolle.

### Teorema ta' [[Augustin-Louis Cauchy|Cauchy]]

Jekk inpoġġu \displaystyle{g(x)=x}, niksbu mill-ġdid it-teorema ta' Lagrange.

### Teorema żdieda-tinqis

Jista' jkun li l-funzjoni ma tiżdidx (jew ma tonqosx) *strettament*. It-teorema hi konsegwenza diretta tat-teorema ta' Lagrange. 

Għandna wkoll:.

* Jekk \forall x \in (a,b) \ f'(x) > 0 , il-funzjoni tiżdied strettament f' \displaystyle{(a,b)} 

* Jekk \forall x \in (a,b) \ f'(x) , il-funzjoni tonqos strettament f' \displaystyle{(a,b)} 

Funzjoni li tiżdied strettament mhux bilfors ikollha derivata kullimkien posittiva. Pereżempju
:\displaystyle{f(x) = x^3}
hi tiżdied strettament, imma għandha derivata nulla fl-oriġini (fejn hemm punt ta' fless).

### Teorema tal-funzjoni kostanti

## Derivata ta' funzjonijiet vettorjali
Funzjoni vettorjali ngħidulha derivabbli fil-punt \ x jekk jeżisti u hu finit il-limitu
:\mathbf{f}'(x)=\lim_{h\to 0}.

Billi l-argument tal-limitu hu vettur, ir-riżultat hu wkoll vettur. Infatti d-derivata ta' \ f hi l-vettur magħmul mid-derivati tal-komponenti tagħha:
:\mathbf{f}'(x)=( f'_1(x),f'_2(x),...,f'_n(x)).

## Derivabbiltà f'<math>\ {\mathbb{R}^{\rm n} }</math>
Funzjoni \, f ngħidulha derivabbli f'\ {\mathbb{R}^{\rm n} } jekk jeżistu u huma finiti d-derivati parzjali tagħha kollha.

## Konvessità
Ħalli f: [a,b] \to \mathbb{R} tkun derivabbli. Ngħidu li l-funzjoni \ f hi:

* konvessa f' \ [a,b] jekk \forall x_0 \in [a,b] il-grafiku tal-funzjoni f' \ [a,b] jibqa' dejjem taħt il-linja dritta tanġenti fil-punt \ (x_0,\, f(x_0) ) . 
Bis-simboli:

 f(x) \geq f(x_0) + f'(x)(x - x_0)\ \forall x, x_0 \in [a,b].

* konkava f' \ [a,b] jekk \forall x_0 \in [a,b] il-grafiku tal-funzjoni f' \ [a,b] jibqa' dejjem 'l fuq mill-linja dritta tanġenti fil-punt \ (x_0,\, f(x_0) ) . 

Bis-simboli:

f(x) \leq f(x_0) + f'(x)(x - x_0)\ \forall x, x_0 \in [a,b].

## Derivata ta' serje ta' potenzi

Funzjoni li nistgħu niktbuha bħala serje ta' potenzi f(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n x^n b' raġġ ta' konvergenza \ r, 
hi derivabbli fuq l-intervall (-r,\, r) kollu. Id-derivata nistgħu nikkalkulawha billi nidderivaw is-serje terminu terminu b'dan il-mod:
:f'(x) = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}
Dan it-tip ta' derivata hu importanti għall-iżvilupp ta' Taylor u McLaurin.

## Derivata formali
Fit-teorija taċ-ċrieki nintroduċu l-idea ta' **derivata formali** bħala l-operatur \partial li jissodisfa:
* \partial(u + v) = \partial u + \partial v (l-operazzjoni hi linjari)
* \partial (u \cdot v) = u \cdot \partial v + \partial u \cdot v (ir-regola ta' Leibniz).

Pereżempju bħala applikazzjoni hemm id-derivata formali ta' polinomju, sfruttata, fost postijiet oħra, fil-ġometrija alġebrija.