Funzjonijiet (matematika)

Fil-matematika, **funzjoni** \ f minn \ X għal \ Y hi magħmula minn:

1) sett \ X imsejjaħ id-**[[dominju (matematika)|dominju]]** ta' \ f

2) sett \ Y imsejjaħ il-**[[kodominju]]** ta’ \ f

3) **liġi** li ma' kull element \ x f' \ X tassoċja element wieħed u wieħed biss \ f(x) f' \ Y.

\ x jissejjaħ l-**argument** tal-funzjoni, jew inkella il-**[[varjabbli]] indipendenti**, waqt li \ f(x) huwa l-**valur** tal-funzjoni, jew inkella l-**varjabbli dipendenti**. 

Dawn li ġejjin huma kliem sinonimi ma' "funzjoni":

"**applikazzjoni**", "**operatur**", "**mappa**", "**relazzjoni binarja univoka**", "**trasformazzjoni**".

Dan il-kunċett hu fundamentali fil-friegħi kollha tal-matematika.

## Eżempji
L-iżjed eżempji sempliċi ta’ funzjonijiet huma dawk li bħala d-dominju u l-kodominju għandhom settijiet numeriċi. Pereżempju, jekk ma’ kull numru nassoċjaw id-doppju ta’ dak in-numru, ikollna funzjoni. 
Ma dan kollu nitkellmu fuq funzjoni anki meta d-dominju u l-kodominju jew it-tnejn ma jkunux settijiet ta’ numri. 
Pereżempju, jekk ma’ kull trianglu nassoċjaw iċ-ċirku inskritt fih, ikollna funzjoni għaliex għal kull trianglu jeżisti ċirku wieħed u wieħed biss li hu inskritt fih.

Sikwit nitkellmu fuq funzjonijet b’iżjed argumenti, jew b’iżjed valuri, pereżempju, funzjoni li l-koordinati \ x, y, z  ta’ punt fl-ispazju torbothom mat-temperatura \ T u l-pressjoni P ta’ l-arja.
F’dan il-każ , il-funzjoni fir-realtà xorta għandha argument wieħed biss, li hu t-terna \ (x, y, z)  , u xorta għandha valur wieħed biss, li hu l-koppja \ (T, P)  .

## Definizzjoni
Mogħtija s-settijiet \ X u \ Y, sottosett \ f tal-prodott Carteżjan \ X \times Y insejħulu **funzjoni** minn \ X għal \ Y, jekk għal kull \ x \in X\;, jeżisti element wieħed u wieħed biss \ y \in Y\; tali \ (x, y) \in f. Dan l-element tradizzjonalment niddenotawh b’ \ f(x): fi kliem ieħor, minflok niktbu \ (x, y) \in f nistgħu nużaw il-*kitba tradizzjonali* \ y=f(x)\;.

Il-fatt li \ f hija funzjoni minn \ X għal \ Y li tassoċja ma’ \ x l-element \ f(x) nistgħu nuruh billi niktbu:

:\begin{matrix} f: & X & \rightarrow & Y \\ & x & \mapsto & f(x) \end{matrix}

Is-sett \ X (li minnu l-funzjoni \ f "tieħu" il-valuri) hu id-**dominju** tal-funzjoni \ f, waqt li s-sett \ Y (li fih insibu l-valuri "mogħtijin" mill-funzjoni \ f) hu l-**kodomiju** tal-funzjoni \ f.

Nosservaw li t-termini metaforiċi "tieħu valur" u "tagħti valur" jirreferu għal mudell mekkaniku tal-funzjonijiet li jirrapreżenthom bħala magna li meta ttiha element tad-dominju, *tittrasformah* fl-element imqabbel tal-kodominju. Minn din ix-xbieha jiġi s-sinonimu *trasformazzjoni*.

Is-sett 
:\{y \in Y | \exists x \in X | y=f(x)\}, 
mogħti mill-elementi \ y  tal-kodominju li għalihom jeżisti \ x  fid-dominju li tittrasfoma f’ \ y  ngħidulu l-**immaġini** ta’ \ f u niddenotawh b’ Im\,(f) jew b’abbuż żgħir tal-lingwa b' \ f(X).

Anki din it-termini ġejja minn mudell li jħares lejn funzjoni bħala sistema tad-dawl, pereżempju lenti; f’dal-mudell l-elementi tad-dominju jikkorrespondu ma’ ġħejun ta’ raġġi tad-dawl u l-elementi tal-kodominju ma’ fejn jolqtu r-raġġi jew l-immaġini. 

### Definizzjoni alternattiva
Xi matematiċi jippreferixxu d-definizzjoni alternattiva ta’ funzjoni li ġejja, li għalkemm hi iżjed rigoruża, rari tintuża: 

:Funzjoni hija terna ordnata \ (A,B,f), fejn \ A hu sett, \ B hu sett ieħor, u \ f\subseteq A\times B \  hu tali \ \forall a\in A\;\ \exists \text{!}b\in B\ |\ (a,b)\in f

## Operazzjonijiet fuq il-funzjonijiet
Jekk ikollna żewġ funzjonijiet \ f&nbsp;:&nbsp;\ X&nbsp;→&nbsp;\ Y u \ g&nbsp;:&nbsp;\ Y&nbsp;→&nbsp;\ Z nistgħu niddefinixxu l-**[[kompożizzjoni]]** tagħhom: din hi definita bħala l-applikazzjoni l-ewwel ta’ \ f fuq \ x u mbagħad l-applikazzjoni ta’ \ g fuq ir-riżultat \ f(x).

Din il-funzjoni ġdida niddenotawha b’ \ g\circ f. Jekk nużaw in-notazzjoni tradizzjonali nistgħu niktbu hekk:

:\,(g\circ f)(x) = g[f(x)]\,

## Notazzjonijiet għall-funzjonijiet
Jistgħu jintużaw notazzjonijiet oħra għall-valur ta’ funzjoni \ F li jikkorrispondi ma’ element \ x, iddenotat fin-notazzjoni tradizzjonali b’\ F(x):

F'dik li nsejħulha **notazzjoni b’funzjoni prefissa** niktbu:
:\, Fx := F(x)\, .
F'dik li nsejħulha **notazzjoni b’funzjoni suffissa** niktbu:
:\, xF := F(x)\, .

B’dawn in-notazzjonijiet il-kompożizzjoni ta’ żewġ funzjonijiet \ F u \ G jistgħu jinkitbu f’4 modi:

:\, (F\circ G)x = G(Fx) \, ,
:\, (F\circ G)x = F(Gx) \, ,
:\, x(F\circ G) = (xF)G \, ,
:\, x(F\circ G) = (xG)F \, .

Xi drabi minflok parentesi tondi jintużaw parentesi kwadri:
:\, F[x]=F(x)\, .
B’dan il-mod nevitaw il-konfużjoni mal-parentesi li juru l-ordni ta’ l-operazzjonijiet. Fost oħrajn din in-notazzjoni tintuża f’xi programmi ta’ kalkulu simboliku.

### Funzjonijiet ta’ żewġ varjabbli jew iżjed
Meta d-dominju ta' funzjoni \ f  ikun il-prodott karteżjan ta' żewġ settijiet u hekk il-funzjoni taġixxi fuq koppji ta’ elementi ta’ settijiet l-immaġini tal-koppja \ (x,y)  nuruha bin-notazzjoni
:\ f(x,y) 
allavolja bin-notazzjoni introdotta fuq, suppost niktbu \ f((x,y)) . F'dal-kaz il-funzjoni \ f  tissejjaħ **funzjoni ta’ żewġ varjabbli**.

Pereżempju, il-funzjoni ta’ multiplikazzjoni tassoċja żewġ numri naturali mal-prodott tagħhom: \ f(x,y) = x\cdot y. Din il-funzjoni nistgħu niddefinuha formalment bid-dominju \ \mathbb N\times \mathbb N , is-sett tal-koppji tan-numri naturali kollha.

L-istess japplika jekk minflok żewġ settijiet nieħdu tlieta jew iżjed.

### Funzjonijiet ta’ iżjed valuri
Jekk il-kodominju ta’ funzjoni \ f  hu l-prodott Carteżjan ta' żewġ settijiet jew iżjed, dawk il-varjabbli spiss jinġabru f’vettur u nistgħu ngħidulha **[[funzjoni vettorjali]]**. 

Eżempju tipiku hu t-trasformazzjoni linjari tal-pjan, pereżempju:
: (x,y) \to (y,x) .

Funzjoni ngħidulha **[[funzjoni polidroma|polidroma]]** fil-każ li r-riżultat ta’ l-operazzjoni hu definit univokament: pereżempju, ir-radiċi kwadrata ta’ numru reali posittiv jinkiteb bħala l-funzjoni
: \mathbb R_+ \to \mathbb P(\R) 
li tassoċja ma kull numru reali posittiv is-sett taż-żewġ radiċi kwadrati. Eżempju ieħor analogu hu l-logaritmu definit fuq is-sett tan-numri komplessi.

### Operazzjonijiet binarji
Ħafna operazzjonijiet binarji ta’ l-aritmetika, bħal l-addizzjoni u l-multiplikazzjoni, huma funzjonijiet mill-prodott karteżjan \ \mathbb Z\times \mathbb Z  għal \ \mathbb Z , u niddeskrivuhomu bin-notazzjoni infissa: jiġifieri niktbu \ x+y  (u mhux \ +(x,y) ) biex niddeskrivu l-immagini tal-koppja \ (x,y)  bl-operazzjoni \ + .

Din in-notazzjoni ġiet ġeneralizzata fl-alġebra moderna, biex ikunu jistgħu jiġu definiti strutturi alġebrin bħal pereżempju dik ta’ grupp, bħala sett \ X  mogħti xi operazzjonijiet binarji li għandhom propjetajiet determinati.

## Klassifikazzjoni
Fil-matematika u sostanzjalment fl-applikazzjonijiet tagħha kollha niltaqgħu ma’ ħafna tipi ta’ funzjonijiet b’karatteristiċi diversi ħafna. L-għadd kbir tal-funzjonijiet għalhekk nikklassifikawha skond bosta kriteri.

### Klassifikazzjoni bbażata purament fuq is-settijiet
* funzjoni injettiva
* funzjoni surjettiva
* funzjoni bijettiva
* endofunzjoni
* permutazzjoni
* involuzzjoni

### Klassifikazzjoni bbażata fuq it-tip ta’ dominju u kodominju
* funzjoni numerika
* funzjoni diskreta 
* suċċessjoni
* funzjoni ta’ varjabbli reali
* funzjoni ta’ varjabbli komplessa
* morfiżmu
* funzjoni ta’ sett
* funzjoni indikatriċi

### Klassifikazzjoni tal-funzjonijiet mill-ambitu tal-kalkulabbilià
* funzjoni rikorsiva primittiva
* funzjoni kalkulabbli
* funzjoni rikorsiva 
* funzjoni rikorsiva totali
* funzjoni enumerattiva

### Klassifikazzjoni tal-funzjonijiet ta’ l-analisi infiniteżmali
* funzjoni armonika
* funzjoni kontinwa
* funzjoni pari u funzjoni dispari
* funzjoni tiżdied, funzjoni tonqos u funzjoni monotona 
* funzjoni polinomjali
* funzjoni razzjonali fratta
* funzjoni traxendenti
* funzjoni differenzjabbli
* funzjoni lixxa
* funzjoni analitika
* funzjoni olomorfa
* funzjoni antjolomorfa
* funzjoni meromorfa
* funzjoni konvessa
* funzjoni integrali
* funzjoni ċilindrika

### Xi funzjonijiet magħrufa
* funzjoni Beta, funzjoni Gamma
* funzjonijiet trigonometriċi: senu, kosenu, tanġent, kotanġent
* funzjoni identità

### Funzjonijiet ta’ interess probabilistiku u statistiku

* Funzjoni ta’ ripartizzjoni
* Funzjoni ta’ probabbiltà
* Funzjoni ta’ densità
* Funzjoni ġeneratriċi tal-momenti
* Funzjoni karatteristika