Sistema dinamika

Fil-fiżika, matematika u l-inġinerija, u b'mod artikolari fit-teorija tas-sistemi, **sistema dinamika** hi mudell matematiku li jirrappreżenta oġġett (sistema) b'numru finit ta' gradi ta' libetà li jevolvi fiż-żmien skont liġi deterministika; tipikament sistema dinamika tiġi rappreżentata b'ekwazzjoni differenzjali  u hi identifikata ma' vettur fl-ispazju tal-fażi, l-ispazju tal-istati tas-sistema, fejn "stat" hu terminu li jindika is-sett  tal-grandezzi fiżiċi, imsejħin varjabbli tal-istat li l-valuri effettivi tiegħu "jiddeskrivu" is-sistem f'ċertu mument.

## Deskrizzjoni

L-istudju tas-sistemi dinamiċi jirrappreżenta wieħed mill-eqdem u l-iktar oqsma importanti tal-matematika u l-fiżika; huwa mudell matematiku użat biex jiddeskrivi s-sistemi mekkaniċi fil-kuntest tal-mekkanika klassika u fir-riformulazzjoni tagħha żviluppata fill-mekkanika Lagrangejana u fil-mekkanika Hamiltonjana, u li hija preżenti f'ħafna oqsma tal-inġinerija, bħall-awtomazzjoni u l-inġinerija tas-sistemi. L-applikazzjonijiet huma ħafna, u jvarjaw minn ċirkwiti elettriċi għal sistemi termodinamiċi.

Fl-aħħar tas-seklu dsatax, Henri Poincaré osserva l-possibbiltà ta’ mġiba irregolari ħafna f'xi sistemi dinamiċi meta studja l-problema ta' tliet korpi. Fis-snin 50 tas-seklu ta' wara, wara l-esperimenti numeriċi tal-meteorologu Edward Lorenz, li waqt li kien qiegħed jistudja l-atmosfera tad-dinja sab dipendenza sensittiva fuq il-kundizzjonijiet inizjali, ir-riżultati ta' Poincaré ġew ikkunsidrati b'ħafna serjetà mill-komunità xjentifika u stabbilew il-pedamenti għat-teorija tal-kaos. L-imġiba kaotika tas-sistemi dinamiċi, li l-formolazzjoni matematiċi tagħhom tista' tkun ta' kumplessità kbira u teħtieġ l-użu tal-kompjuters, instabet f’ħafna u oqsma differenti, fosthom il-bijoloġija u l-ekonomija. Sistema dinamika tista' tiġi definita bħala sistema li l-immudellar matematiku tagħha jista' jiġi espress permezz ta' ekwazzjoni differenzjali (ordinarja jew parzjali). Hemm diversi formaliżmi matematiċi utli għad-deskrizzjoni u l-istudju tagħha kemm fl-oqsma fiżiċi kif ukoll tal-inġinerija.  

Jistgħu jiġu identifikati żewġ tipi ta' sistema dinamika:

* jekk l-evoluzzjoni sseħħ f'intervalli ta' ħin diskreti, is-sistema tissejjaħ sistema dinamika diskreta u hija definita bl-iterazzjoni ta' funzjoni;

* jekk l-evoluzzjoni tkun kontinwa u definita b'ekwazzjoni differenzjali, is-sistema tissejjaħ sistema dinamika kontinwa.

Fost is-sistemi dinamiċi, dawk linjari huma ta' importanza partikolari billi huma l-aktar sempliċi biex jiġu analizzati waqt li l-ekwazzjonijiet mhux lineari ġeneralment ma jistgħux jiġu solvuti eżattament. Fost is-sistemi linjari, is-sistemi linjari invarjanti mal-ħin jintużaw ħafna fit-teorija tas-sinjali u fit-teorija tal-kontroll. Waħda mill-karatteristiċi tas-sistemi dinamiċi li hija studjata ħafna hija l-istabbiltà, Pereżempju, sikwit tiġi studjata l-istabbiltà f'termini ta' kemm l-informazzjoni tal-ħruġ tinfirex imqabbla ma' tad-dħul (stabbiltà esterna), jew f'termini ta' kemm l-istat ta' sistema jitbiegħed minn stat ta' ekwilibriju (stabbiltà interna). Sabiex tiġi analizzata matematikament l-imġiba ta' sistema dinamika, jintużaw prinċipalment żewġ tipi ta' deskrizzjoni, ir-rappreżentazzjoni fl-ispazju tal-istat u l-formaliżmu tad-dominju tal-frekwenzi (ara l-funzjoni tat-trasferiment fil-każ ta' sistemi stazzjonarji).

### Definizzjoni
Speċifikament, għal kull t nistgħu niddefinixxu \Phi li tobdi:

:\Phi(0,x) = x,
:\Phi(t_1,x) \circ \Phi (t_2,x) = \Phi(t_1,\Phi(t_2,x)) = \Phi(t_1 + t_2, x) \qquad  t_1, t_2, t_1 + t_2 \in I(x),

fejn:

: I(x) = \{ t \in T : (t,x) \in U \}.

Dan juri l-fatt li l-liġi tal-evoluzzjoni \Phi tas-sistema ma tinbidilx hi stess mal-ħin. Il-funzjonijiet \Phi(t,x) ipparametrizzati minn t, bil-liġi ta' kompożizzjoni \Phi(t_1,x) \circ \Phi (t_2,x), jiffurmaw grupp kommutattiv b'parametru wieħed. Sikwit fil-każ diskret, T tikkoinċidi ma' \Z, waqt li fil-każ kontinwu, T tikkoinċidi ma' \R.

Il-grafiku ta' \Phi hu t-trajettorja tas-sistema fil-ħin u s-sett:

:\gamma_{x_0}:=\{\Phi(t,x_0) : t \in I(x_0)\},

hu l-orbita li tgħaddi minn x_0.

Sottosett S \subset M jissejjaħ \Phi-invarjant jekk:

:\Phi(t,x) \in S \qquad \forall x \in S \quad \forall t \in T.

B'mod partikolari, biex S ikun invarjanti irridu nivverifikaw li I(x)=T għal kull x \in S.

Allura għandna id-definizzjoni li ġejja: Jekk U jkun varjetà differenzjali n-dimensjonali,  b'n finit, u \Phi=\{\Phi^t,\;t\in T\} grupp ta' diffeomorfiżmi ta' mapep regolari \Phi^t:U\to U, imbagħad il-koppja (U,\Phi) tissejjaħ *sistema dinamika regolari invertibbli* (*kontinwa jekk* T=\mathbb{R} jew *diskreta jekk* T=\mathbb{Z} inkella T=\mathbb{N}).

### Sistemi fiżiċi
Id-dinamika tas-sistemi fiżiċi tista' tiġi karatterizzata  mill-fatt li l-mozzjoni tagħhom bejn żewġ punti ta' koordinati ġeneralizzati \mathbf q(t_1) e \mathbf q(t_2) timxi ma' triq li tagħmel stazzjonarja, jiġifieri mingħajr varjazzjoni, il-funzjoni tal-azzjoni:

: \delta \mathcal{A} = 0,

skont il-Prinċipju ta' Azzjoni Minima (il-Prinċipju varjazzjonali ta' Hamilton). L-azzjoni hi l-integral fil-ħin tal-Lagrangejana  \mathcal{L} (\dot \mathbf q, \mathbf q,t):

:\mathcal{A} = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}\,\mathrm dt,

fejn  \mathcal{L} \in \mathcal{C}^2[t_1,t_2]. Nistgħu nuru li  \mathcal L  definita hekk tissosisfa l-Equazzjoni ta' Euler-Lagrange:

: \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot\mathbf q}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\mathbf q}= 0

fejn \dot \mathbf q = \dot \mathbf q( \mathbf p,\mathbf q,t). Meta nagħmlu l-azzjoni stazzjonarja nkunu qegħdin nimminimizzaw l-enerġija tas-sistema kkunsidrata. L-enerġija totali tas-sistema hi funzjoni \mathcal{H}=\mathcal{H}(\mathbf{q},\mathbf p,t), imsejħa l-Hamiltonjana u introdotta fl-1835 minn William Rowan Hamilton, li tiddipendi mill-koordinati ġeneralizzati \mathbf q u mill-momenti konjugati rispettivi:

:p_j = \frac{\partial}{\partial\dot q_j}\mathcal{L}(\dot\mathbf q, \mathbf q,t) \implies \mathbf p = \frac{\partial}{\partial\dot\mathbf q}\mathcal{L}(\dot\mathbf q, \mathbf q,t)

Il-Hamiltonjana hi s-somma \mathcal{H}=T+V tal-enerġija kinetika T u l-enerġija potenzjali  V tas-sistema, u hi t-Trasformata ta' Legendre tal-Lagrangejana \mathcal L:

:\mathcal{H} (\mathbf p,\mathbf q,t) = \mathbf{p} \cdot \dot \mathbf q - \mathcal L (\dot \mathbf q, \mathbf q,t)

fejn \dot \mathbf q = \dot \mathbf q( \mathbf p,\mathbf q,t). Il-formalizzazzjoni ta' problema dinamika permezz tal-Prinċipju ta' Azzjoni Minima (validu għal sistemi olonomi u monogeniċi) hi l-bażi tar-riformulazzjoni tal-Mekkanika Klassika żviluppata mill-Mekkanika Hamiltonjana u Lagrangejana.

Fil-każ partikulari tal-Ekwazzjonijiet ta' Hamilton: 

: \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{q}} \qquad \frac{\mathrm{d}\mathbf{q}}{\mathrm{d}t} = +\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}}, 

huma ekwivalenti għall-ekwazzjonijiet tal-mozzjoni ta' di Eulero-Lagrange, li mbagħad dawn huma ekwivalenti għall-Liġi ta' Newton.

Il-Prinċipju tal-Konservazzjoni tal-Enerġija jiġi espress, f'dal-kuntest, billi ngħidu li \mathcal{H} hu integral tal-ewwel tal-ekwazzjonijiet ta' Hamilton, jew bil-fatt li l-Lagrangejana ma tiddependix espliċitament mill-ħin:

:\frac{d \mathcal H}{ dt} = -\frac{\partial \mathcal L}{ \partial t} = 0.

### Eżempju
Fil-Mekkanika Klassika nsibu eżempju elementari ta' sistema dinamika, punt li jimxi fl-ispazju. Il-punt jiġi karatterizzat kompletament mill-pożizzjoni tiegħu r(t) (vettur dipendenti minn t \in \R) u tal-veloċità tiegħu v(t) = \dot r(t) = dr / dt. L-istat ta' din is-sistema hu il-vettur (r(t),v(t)) \in \R^n, fejn \R^n hu l-ispazju tal-istati użat u l-elementi tiegħu jirrappreżentaw l-istati kollha possibbli li s-sistema jista' jkollha. L-ispazju tal-istati jissejjaħ ukoll l-ispazju tal-*fażi*. L-evoluzzjoni temporali tal-punt allura jingħata miż-żewġ derivati:

:\dot r(t) = v(t), \quad \ddot r(t) = \dot v(t) = a,

fejn a hi l-aċċelerazzjoni tal-punt (li tiddependi mis-somma totali tal-forzi li hi suġġetta għalihom). Jekk niddefinixxu:

:x(t) =(r(t),v(t)),

il-mozzjoni tal-punt tista' tinkiteb bħala l-ekwazzjoni ordinarja awtonoma:

:\dot x(t) = f(x(t)) 

Jekk nagħżlu punt u veloċità tal-bidu x_0 = (r_0,v_0), jiġifieri nieħdu x(t=0) \equiv x_0, niksbu l-evoluzzjoni tas-sistema li tibda minn x_0 (Problema ta' Cauchy għall-ekwazzjoni differenzjali).

Is-sistemi dinamiċi ta' ħin kontinwu kollha jistgħu jinkitbu b'mod analogu, b'f li tista' tiddependi mill-ħin:\dot x(t) = f(x(t),t) \qquad x \in \R^n,

fejnf : \R^n \times \R \to \R^n  hi funzjoni li mill-inqas hi differenzjabbli. 

Is-soluzzjoni (x_0,t) meta tvarja t hi t-traettorja (orbita) li timxi magħha s-sisitema fl-ispazju tal-fażi jekk titlaq minn x_0. Meta nkunu nlestu biex nistudjaw formalment sistema dinamika, nagħmlu hekk b'mod li l-funzjoni f tkun regolari biżżejjed biex tagħtina soluzzjoni unika, bi qbil mal-fatt li l-evoluzzjoni ta' sistema li titlaq minn punt mogħti hi unika. Inġenerali sistema dinamika (T,M,\Phi) hi definita minn grupp (jew semigrupp) T, li hu s-sett tal-valuri tal-parametru tal-ħin, u sett M, imsejjaħ l-ispazju tal-fażi jew l-ispazju tal-istati. Il-funzjoni tal-evoluzzjoni temporali (il-fluss) \Phi\colon U \subset T \times M \to M tiddetermina l-azzjoni ta' T fuq M. Fit-teorija ergodika M hu spazju miżurabbli b'miżura ta' probabbiltà \mu u \Phi hi funzjoni miżurabbli li tippreżerva l-\mu, waqt li f'dik li tissejjaħ *topoloġija dinamika* M hi spazju topoloġiku komplet u \Phi hi funzjoni kontinwa (spiss anke invertibbli).

Eżempji tipiċi ta' sistemi dinamiċi kontinwi:
* is-sistema priża-predatur ta' Volterra-Lotka għad-dinamika tal-popolazzjonijiet;
* is-sistema ta' Lorenz għall-evoluzzjoni tal-kundizzjonijiet meteoroloġiċi.

Eżempji ta' sistemi dinamiċi diskreti:
* il-mappa loġistika;
* il-mappa ta' Hénon;
* il-mappa standard.
## Referenzi