L-Integral

Fl-analisi matematika, l-**integral** ta'  funzjoni hu operatur matematiku li fil-każ ta' funzjoni ta' varjabbli waħda jassoċja mal-funzjoni l-arja taħt il-funzjoni sal-axissa. 

## Ħjiel storiku

L-idea bażika tal-kunċett tal-integral kienet digà dehret fix-xogħol ta' Arkimedi ta' Siracusa, li għex bejn  il-287 u il-212 Q.K, l-ewwel parzjalment, fil-metodu li uża biex jikkalkula l-arja ta' ċirku jew ta' segment ta' parabola magħruf bħala l-metodu ta' l-eżawriment u wara iżjed preċiżament fil-kalkulazzjoni tal-arja tas-superfiċi magħluqa mill-ewwel dawra tal-ispiral (li Arkimedi stima minn fuq sa isfel bl-użu ta' każ partikulari ta' dawk li sirna nsejħulhom "sommom ta'  Riemann").

Fis-seklu XVII, bosta matematiċi sabu metodi oħra inġenjużi biex jikkalkulaw l-arja taħt il-grafiku ta'  funzjonijiet sempliċi, pereżempju: 
::::x^\alpha (\alpha > - 1)\; (Fermat 1636), 
::::\displaystyle{1/x} (Nikolaus Merkator, 1668).

Imma dan kien qabel li Newton u Leibniz skoprew indipendentement it-teorema fundamentali tal-kalkulu integrali li  tefgħet id-direzzjoni tal-problema fuq it-tfittix ta' primittiva jew antiderivata tal-funzjoni.

Il-kalkulu kiseb sisien iżjed sodi b'iżvilupp tal-limiti u x-xogħol ta' Cauchy fl-ewwel nofs tas-seklu 19. L-integral kien formalizzat rigorużament għall-ewwel darba, bl-użu tal-limiti minn Riemann f'dak  li ngħidulu l-integral ta' Cauchy-Riemann. Għalkemm il-funzjonijiet kollha li huma kontinwi f'biċċiet u limitati fuq intervall limitat huma integrabbli fis-sens ta' Riemann, wara bdew jiġu ikkonsidrati funzjonijiet iżjed ġenerali li għalihom id-definizzjoni ta' Riemann ma tapplikax, u Lebesgue ifformala definizzjoni differenti tal-integral ibbażata fuq it-teorija tal-miżura. Oħrajn ipproponew definizzjonijiet oħra li jestendu l-approċċ ta' Riemann u Lebesgue.

## Introduzzjoni ewristika
Il-problema oriġinali tal-kalkulu integrali hu dik tad-**definizzjoni** u l-**kalkulazzjoni** tal-arja (bis-sinjal) tal-figura li għandha bħala truf, intervall \ I  fuq l-assi tal-axissi, limitat u magħluq (l-intervall tal-integrazzjoni), il-funzjoni mogħtija \ f  (il-funzjoni integrata) definita fuq \ I  u limitata, u s-segmenti vertikali mit-truf tal-intervall \ I  għall-grafiku tal-funzjoni \ f .  In-numru reali li jagħti dik l-arja nsejħulu l-integral tal-funzjoni \ f  fuq l-intervall \ I .

Jekk il-grafiku tal-funzjoni \ f  hu magħmul minn segmenti, il-problema nistgħu nirriżolvuh faċilment, sakemm il-figura tista' tinqasam f'rettangli jew trapeżi li nafu niddefinixxu u nikkalkulaw l-arji tagħhom: is-somma alġebrija ta'  dawk l-arji hi – għad-definizzjoni – l-integral imfittex.

Fil-każ ġenerali, l-idea bażika tikkonsisti f'li naqsmu l-figura fi strixxi vertikali dojoq, li jistgħu jitqiesu bħala rettangli, nikkalkulaw l-arja ta' kull rettanglu ċkejken u ngħoddu flimkien ir-riżultati miksuba, u hekk ikollna approssimazzjoni għan-numru li qegħdin infittxu. Billi nibqgħu nissuddividu fi strixxi dejjem idjaq u idjaq, nistgħu niksbu approssimazioni dejjem aħjar għall-integral imfittex: jekk jiġri hekk, ngħidu li l-funzjoni \ f  hi integrabbli fuq l-intervall \ I . Fil-każ tal-kuntrarju, ngħidu li l-funzjoni \ f  m'hijiex integrabbli fuq l-intervall \ I .

F'termini iżjed formali, naqsmu l-intervall \ [a,b] f'\ n sottointervalli tat-tip \ [x_{s-1},x_{s}] fejn \ s=1,2,...,n u \ x_{0}=a; x_{n}=b. Għal kull sottointervall nagħżlu punt \ t_s, li l-immaġni tiegħu hi \ f(t_{s}), u nħażżu r-rettanglu ċkejken li għandu bażi l-intervall \ [x_{s-1},x_{s}] u għoli \ f(t_{s}); l-arja tal-figura magħmula mir-rettangli ċkejkna kollha mibnija hekk tagħtina s-somma (msejħa ta'  Cauchy-Riemann)

 \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \delta x_s := \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})(x_{s}-x_{s-1})  . 

Jekk meta nċekknu l-wisa' tal-intervalli \ \delta x_s=x_{s}-x_{s-1}, il-valuri miksuba jinġemgħu fi nħawija dejjem iċken ta' numru \ i , il-funzjoni \ f  hi integrabbli fuq l-intervall \ [a,b], u \ i  hu l-integral tagħha.

L-analisi sħieħa tiddependi mill-fatt li kemm il-mod ta' taqsim f'intervalli, u kemm l-għażla tal-punti ġewwa dawk l-intervalli iridu *jispiċċaw irrilevanti*, inkella jiġri li l-arja taħt il-kurva fuq l-intervall ikollha valur li jvarja mal-għażla ta' taqsim f'intervalli u kif il-punti jintgħażlu fl-intervalli. 

Il-quddiem nagħtu kundizzjonijiet suffiċjenti biex jiġri dan.

## Integral ta' Riemann

Ejjew naqsmu l-intervall kompatt \ [a,b] permezz ta' partizzjoni \displaystyle{P} f'\displaystyle{n}  sottointervalli :

 P=\{a=x_0,  

Ħalli jkunu 

*  m_k = \inf \{f(x): x \in [x_{k-1},x_k]\} 

*  M_k = \sup \{f(x): x \in [x_{k-1},x_k]\}.  

Niddefinixxu s-**somma integrali inferjuri** (relattiva għall-partizzjoni \displaystyle{P}):
 s(f,P) = \sum_{k=1}^n m_k (x_k-x_{k-1}). 

Jekk nammettu li  \displaystyle{f}  tieħu valuri pożittivi fl-intervall, \displaystyle{s(f,P)} hija s-somma tar-rettangli inskritti fir-reġjun tal-pjan  \mathbb{R}, taħt il-grafiku ta'  \displaystyle{f}.

Niddefinixxu s-**somma integrali superjuri** (relattiva għall-partizzjoni \displaystyle{P}):

 S(f,P) = \sum_{k=1}^n M_k (x_k-x_{k-1}) 

Analogament, \displaystyle{S(f,P)} hi s-somma tal-arji tar-rettangli ċirkoskritti fir-regjun \mathbb{R}. 

Jidher ċar li jekk  m \leq f(x) \leq M, \  \forall x \in [a,b] imbagħad għal kull partizzjoni \displaystyle{P} ta'  \displaystyle{[a,b]}\ : 

 m(b-a) \leq s(f,P) \leq S(f,P) \leq M (b-a). 

Dawn iż-żewġ lemmata wieħed jista' jipprovahom faċilment:

Ħalli jkunu 

  s(f) \displaystyle{=} \sup\{ s(f,P): P partizzjoni ta' \displaystyle{[a,b]} \},  
  S(f) \displaystyle{=} \inf \{ S(f,P): P partizzjoni ta' \displaystyle{[a,b]} \}.  

 \displaystyle{s(f)} ngħidulu l-**integral inferjuri** u  \displaystyle{S(f)} l-**integral superjuri**. Mill-lemma preċidenti nistgħu niddeduċu li dawn jissodisfaw 

 s(f) \leq S(f).  

### Definizzjoni

In-numri  \displaystyle{a},  \displaystyle{b} ngħidulhom it-truf tal-integrazzjoni u  \displaystyle{f}\   l-integrand ( \displaystyle{a} l-ewwel tarf,  \displaystyle{b} it-tieni tarf). Il-varjabbli ta'  integrazzjoni hi varjabbli muta jiġifieri \int\!\!\! f(x){\rm d}x tfisser l-istess bħal \int\!\!\! f(t){\rm d}t. Id- \displaystyle definita hekk
{g(x)=\begin{cases}1,\ \mathrm{jekk}\ x \ \mathrm{hija\ razzjonali} \\
0,\ \mathrm{jekk}\ x \ \mathrm{hija\ rrazzjonali}. \end{cases}
}
Għal kull partizzjoni tal-intervall \displaystyle{[0,1]}, f'kull sottointervall \displaystyle{[x_{k-1},x_k]} hemm numri razzjonali u irrazzjonali u mela \displaystyle{M_k=1} u  \displaystyle{m_k=0}. Għalhekk
 s(g,P) = \sum_{k=1}^n m_k (x_k-x_{k-1})=0 
 s(g,P) = \sum_{k=1}^n m_k (x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^n  (x_k-x_{k-1})=1. 
Mela \displaystyle{s(g)=0} u \displaystyle{S(g)=1}. La dawn mhux imdaqs nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni \displaystyle{g} mhux integrabbli.

La mhux kull funzjoni hi integrabbli, hemm bżonn li niddeċiedu meta l-integral ta' funzjoni
jeżisti jew le. Il-quddiem nagħtu żewġ klassijiet wiesa' ta' funzjonijiet li huma integrabbli. It-teorema li ġejja hi utli ħafna għal din id-deċizzjoni.

**Prova :**
Nissoponu li \displaystyle{f} hi integrabbli u hekk \displaystyle{S(f)=s(f)}. Għall kull \displaystyle{\epsilon>0}
mogħtija, teżisti partizzjoni \displaystyle{P_1} ta' \displaystyle{[a.b]} li tissodisfa
 \displaystyle{s(f,P_1)> s(f) - \frac{\epsilon}{2}.}
(Din issegwi mid-definizzjoni tas-supremum). Bl-istess mod teżisti partizzjoni \displaystyle{P_2} ta' \displaystyle{[a.b]} li tissodisfa
 \displaystyle{S(f,P_2)
Ħalli \displaystyle{P=P_1\cup P_2}. Imbagħad minn Lemma 1, għandna
 \displaystyle{S(f,P)-s(f,P)\leq S(f,P_2)-s(f,P_1)

Min naħa l-oħra, nissoponu li għall kull \displaystyle{\epsilon>0}
mogħtija, teżisti partizzjoni \displaystyle{P} ta' \displaystyle{[a.b]} li tissodisfa \displaystyle{S(f,P). Allura 
 \displaystyle{S(f)\leq S(f,P)
La \displaystyle{\epsilon } hi arbitrarja, bilfors li 
\displaystyle{S(f)\leq s(f)} u allura \displaystyle{S(f)=s(f)} u
\displaystyle{f} hi integrabbli.

### Proprjetajiet tal-integral skont Riemann
#### Integrabbiltà

**Prova:**
Nissoponu li l-funzjoni \ f  tiżdied fuq \ [a,b]. Il-każ fejn tonqos hu simili. Jekk ningħataw \epsilon >0, nistgħu nagħzlu \delta>0  li tissodisfa 
\delta
Ħalli P tkun partizzjoni tal-intervall \ [a,b] f'sottointervalli \ [x_{k-1},x_{k}] ta' wisa' inqas minn \delta. Mill-monontonija għandna
li \ M_k=f(x_k) u \ m_k=f(x_{k-1}).
Mela
 0

Allura mit-Teorema 1 nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni hi integrabbli.

**Prova:**
La l-funzjoni \ f:[a,b] \to \R  hi kontinwa allura hi kontinwa uniformement. Jekk ningħataw \epsilon >0, teżisti \delta>0  li għaliha 
|f(x)-f(y)|
kull meta |x-y|. Jekk P hi partizzjoni tal-intervall \ [a,b] f'sottointervalli \ [x_{k-1},x_{k}] ta' wisa' inqas minn \delta, imbagħad ikollna
0
u mela
 0

Allura mit-Teorema 1 nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni hi integrabbli.

#### Linjarità

**Prova:**
Jekk \displaystyle{\alpha\geq 0} jidher ċar li \displaystyle{S(\alpha f)=\alpha S(f)} u \displaystyle{s(\alpha f)=\alpha s(f)}. Mela la
\displaystyle{S(f)=s(f)=\int_a^b f(x){\rm d}x,} 
għandna 
\displaystyle{\int_a^b \alpha f(x){\rm d}x= S(\alpha f)=s(\alpha f)=\alpha \int_a^b f(x){\rm d}x.}
B'mod simili jekk \displaystyle{\alpha għandna \displaystyle{S(\alpha f)=\alpha s(f)} u \displaystyle{s(\alpha f)=\alpha S(f)} u allura
\displaystyle{\int_a^b \alpha f(x){\rm d}x=\alpha \int_a^b f(x){\rm d}x.}
Mela issa biżżejjed li nipprovaw li
\ \int_a^b (f(x) + g(x))\, {\rm d}x= \int_a^b f(x) {\rm d}x+\int_a^b g(x){\rm d}x.
Niftakru li \ \sup_{x\in D}[f(x) + g(x)] \leq  \sup_{x\in D}f(x) +\sup_{x\in D}g(x) \ \ \ {\rm u}\ \ \ \inf_{x\in D}([f(x) + g(x)]) \geq  \inf_{x\in D}f(x) +\inf_{x\in D}g(x)
u għalhekk għal kull partizzjoni \displaystyle{P} ta' \displaystyle{[a,b]}
\ S(f+g,P) \leq S(f,P) + S(g,P) \ \ \ {\rm u}\ \ \ s(f+g,P) \geq s(f,P) + s(g,P).
Mit-Teorema 1 nafu li għall kull \displaystyle{\epsilon>0}
mogħtija, jeżistu partizzjonijiet \displaystyle{P_1} u \displaystyle{P_2} ta' \displaystyle{[a,b]} li jissodisfaw
 \displaystyle{S(f,P_1)
Ħalli \displaystyle{P=P_1\cup P_2}. Imbagħad minn Lemma 1, għandna
 \displaystyle{S(f,P)
Jekk nikkumbinaw id-diżugwaljanzi niksbu
 \displaystyle{S(f+g,P)
u allura l-funzjoni \displaystyle{f+g} hi integrabbli.

Nin-naħa l-oħra, la
\begin{align}
 \int_a^b (f(x) + g(x))\, {\rm d}x &{}= S(f+g)\leq S(f+g,P)\\
  &{}
u
\begin{align}
 \int_a^b (f(x) + g(x))\, {\rm d}x &{}= s(f+g)\geq s(f+g,P)\\
  &{}>S(f,P)+S(g,P)-\epsilon\\
  &{}\geq S(f)+S(g)-\epsilon =\int_a^b f(x)\,{\rm d}x +\int_a^b g(x)\, {\rm d}x -\epsilon
\end{align}
nikkonkludu li 

 \int_a^b (f(x) + g(x))\,{\rm d}x =\int_a^b f(x)\,{\rm d}x +\int_a^b g(x)\, {\rm d}x. 

#### Additività

**Prova:**  

Mit-Teorema 1 nafu li għall kull \displaystyle{\epsilon>0}
mogħtija, jeżistu partizzjonijiet \displaystyle{P_1} ta' \displaystyle{[a,c]} u \displaystyle{P_2} ta' \displaystyle{[c,b]} li jissodisfaw
 \displaystyle{S(f,P_1)- s(f,P_1) 
Ħalli \displaystyle{P=P_1\cup P_2}. Din partizzjoni ta' \displaystyle{[a,b]} u għandna
 \displaystyle{S(f,P)-s(f,P)= S(f,P_1)+ S(f,P_2)-s(f,P_1)- s(f,P_2)=(S(f,P_1)- s(f,P_1))+(S(f,P_2)- s(f,P_2))
Mela \displaystyle{f} hi integrabbli fuq \displaystyle{[a,b]}.

Nin-naħa l-oħra, la
\begin{align}
 \int_a^b f(x) \, {\rm d}x &{}\leq S(f,P)= S(f,P_1)+ S(f,P_2)\\
  &{}
u
\begin{align}
 \int_a^b f(x) \, {\rm d}x &{}\geq s(f,P)= s(f,P_1)+ s(f,P_2)\\
  &{}>S(f,P_1)+ S(f,P_2)-\epsilon\\
  &{}\geq \int_a^c f(x)\,{\rm d}x +\int_c^b f(x)\,{\rm d}x -\epsilon
\end{align}
nikkonkludu li 

 \int_a^b f(x) {\rm d}x = \int_a^c f(x) {\rm d}x + \int_c^b f(x) {\rm d}x 
kif nixiequ.

#### Monotonija

**Prova :**
Jekk f(x) \le g(x) għal kull \ x\in [a,b], għal kull partizzjoni \displaystyle{P} ta' \displaystyle{[a,b]} ikollna
\ S(f,P) \leq S(g,P) \ \ \ {\rm u}\ \ \ s(f,P) \leq s(g,P)
Minn dawn id-diżugwaljanzi nikkonkludu l-monotonija tal-integral.

#### Valur assolut

**Prova**:
Ħalli \displaystyle{P} tkun partizzjoni ta' \displaystyle{[a,b]}   f'\displaystyle{n}  sottointervalli 

 P=\{a=x_0,  

u

  {\tilde m}_k = \inf \{|f(x)| : x \in [x_{k-1},x_k]\}, \ \  {\tilde M}_k = \sup \{|f(x)| : x \in [x_{k-1},x_k]\}.  
Mid-diżugwaljanza 
 |f(x)| -|f(y)|\leq |f(x) -f(y)|\leq M_k -m_k  
għal kull \displaystyle{x,y\in [x_{k-1},x_k]},
nikkonkludu li 
  {\tilde M}_k -{\tilde m}_k\leq M_k -m_k  
u allura
  S(|f|,P)-s(|f|,P)\leq S(f,P)-s(f,P). 
Mela la \displaystyle{f} hi integrabbli, \displaystyle hi integrabbli wkoll.

Id-diżugwaljanza bejn l-integrali, niksbuha mir-relazzjoni 
\pm f(x)  \leq| f(x) |  valida għal kull x\in[a,b].

#### Teorema tal-medja

**Prova:**
La  f\! hi kontinwa f'[a,b]\!, bit-teorema ta' Weierstrass għandha massimu M\! u minimu m\! f'[a,b]\!:
\sup_{x\in[a,b]}f(x)=M\mbox{ u }\inf_{x\in[a,b]}f(x)=m.\!
Mela
m \le f(x) \le M\!.
Mill-proprijetà tal-monotonija tal-integral jirriżulta li
m(b-a)=\int_{a}^{b} m \, {\rm d}x \le \int_{a}^{b} f(x) \, {\rm d}x \le \int_{a}^{b} M\,{\rm d}x=M(b-a)\!
u allura
m \le  \int_{a}^{b} f(x)\,{\rm d}x\le M.\!
Issa mill-proprijetajiet tal-funzjonijiet kontinwi nafu li f\! f' [a,b]\! trid tieħu il-valuri *kollha* f'[m,M]\!.
Allura, in partikulari teżisti c\in [a,b]\! li tissodisfa f(c)= \int_{a}^{b} f(x) {\rm d}x.

### Kalkulu differenzjali u kalkulu integrali
F'din is-sezzjoni nagħtu ż-żewġ teoremi fundamentali tal-kalkulu integrali li jistabillixxu il-konnessjoni intima li teżisti bejn il-kalkulu differenzjali  u l-kalkulu integrali. Dawn it-teoremi huma s-*sissien* tal-analisi integrali fis-sens li huma l-ħolqa li tgħaqqad il-kalkulu differenzjali mal-kalkulu integrali.

#### Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali I

**Prova:**  Nieħdu c \in[a,b]. Imbagħad għal kull \displaystyle{\epsilon>0}
mogħtija, teżisti  \displaystyle{\delta>0} li għaliha
\displaystyle{|f(t)-f(c)| 
jekk |t-c|\leq\delta . Jidher ċar li 
f(c)=\frac{1}{\delta}\int_c^{c+\delta} f(c){\rm d}t 
u li
\frac{F(c+\delta)-F(c)}{\delta}=\frac{1}{\delta}\int_c^{c+\delta}f(t){\rm d}t.   
Allura għandna
\frac{F(c+\delta)-F(c)}{\delta}-f(c)=\frac{1}{\delta}\int_c^{c+\delta}(f(t)-f(c)){\rm d}t
u għalhekk
\left |\frac{F(c+\delta)-F(c)}{\delta}-f(c)\right|\leq\frac{1}{\delta}\int_c^{c+\delta}|f(t)-f(c)|{\rm d}t.
Mela \frac{F(c+\delta)-F(c)}{\delta} tikkonverġi lejn \displaystyle{f(c)} meta \displaystyle{\delta} tersaq lejn 0, u allura
F'(c):=\lim_{\delta\to 0}\frac{F(c+\delta)-F(c)}{\delta}=f(c).

**Nota:**
Fil-kalkulu differenzjali hemm dan il-kunċett tal-**primittiva**:

Funzjoni  \ F derivabbli f'intervall \ [a,b]  ngħidulha  l-**primittiva** ta' \ f  f' \ [a,b] jekk: 
\ F'(x)=f(x) 
għal kull x \in [a,b].

Mela dan it-teorema jiggarantixxi l-eżistenza ta'  primittiva.

#### Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali II

**Prova:**  Ħalli \displaystyle{P} tkun partizzjoni ta' \displaystyle{[a,b]}   f'\displaystyle{n}  sottointervalli 

P=\{a=x_0
u
{\tilde m}_k = \inf \{f'(x) : x \in [x_{k-1},x_k]\}, \ \  {\tilde M}_k = \sup \{f'(x) : x \in [x_{k-1},x_k]\}.  
Billi napplikaw it-teorema tal-valur medju għall kull intervall \displaystyle{[x_{k-1},x_k]}, niksbu punti \displaystyle{t_k\in (x_{k-1},x_k)}, li għalihom
 \displaystyle{f(x_k)-f(x_{k-1}=f'(t_k)(x_k-x_{k-1}).}  
Mela għandna
  f(b)-f(a)=\sum_{k=1}^n[f(x_k)-f(x_{k-1})]=\sum_{k=1}^n f'(t_k)(x_k-x_{k-1}).  
La \displaystyle{{\tilde m}_k}\leq f(t_k)\leq {\tilde M}_k  għal kull \displaystyle{k}, isegwi li   s(f',P)\leq f(b)-f(a)\leq S(f',P). 
La din hi valida għal kull partizzjoni \displaystyle{P}, għandna wkoll
  s(f')\leq f(b)-f(a)\leq S(f').
Imma qegħdin nassumu li \displaystyle{f'} hi integrabbli fuq \displaystyle{[a,b]}, u għalhekk
  s(f')=S(f')= \int_a^b f'(t){\rm d}t.
Allura 
\int_a^b f'(t){\rm d}t=f(b)-f(a).

### Integrali impropri

Ngħidu li l-funzjoni f  hi assolutament integrabbli fuq intervall tat-tip [a,\infty) jekk u biss jekk fuq dan l-intervall, il-funzjoni |f| hija wkoll integrabbli.

Hemm ukoll teorema li tiggarantixxi li funzjoni li hi assolutament integrabbli hi integrabbli, fuq l-intervall tat-tip [a,\infty]:

**Prova:**
Bit-teorema fuq l-eżistenza ta'l-integrali nafu li l-kondizzjoni neċessarja u suffiċjenti biex 
 \int_{a}^{\infty}f(x) {\rm d}x   jeżisti u hu finit hi li 

  \forall \epsilon >\ 0 \quad   \exists \gamma >\ 0 : \quad  \forall x_1,x_2 

 
Mill-integrabbiltà ta' \ |f| nafu li l-espressjoni tal-aħħar hi valida jekk inpoġġu \ |f(x)| minflok \ f(x):

  \forall \epsilon >\ 0 \quad   \exists \gamma >\ 0 : \quad  \forall x_1,x_2 

Imma mill-proprietà tal-valur assolut għall-integrali għandna
 \left | \int_a^b f(x) {\rm d}x \right | \le \int_a^b \left | f(x) \right | {\rm d}x. 
U mela nistgħu niktbu
 
  \forall \epsilon >\ 0 \quad   \exists \gamma >\ 0 : \quad  \forall x_1,x_2 
 
Mill-liema niksbu li \ f hi integrabbli.

Hemm bżonn noqgħodu attenti li ma nħalltux dan it-teorema mal-kuntrarju tiegħu, li hu falz għax mhux il-funzjonijiet integrabbli kollha huma assolutament integrabbli. Eżempju ta' dan hi funzjoni ta' dan it-tip

   . 

## L-integral skont Lebesgue
L-integral skont Riemann li tħaditna fuqu hawn fuq, għandu motivazzjoni tajba, hu sempliċi biex tiddeskrivih u hu biżżejjed għal ħtieġijiet tal-kalulu elmentari. Però, dan l-integral ma jissodisfax il-ħtieġijiet kollha tal-analisi avvanzata. L-integral skont Lebesgue jippermetti l-integrazzjoni ta' funzjonijiet iżjed ġenerali, jittratta l-funzjonijiet limitati u mhux limitati fl-istess ħin, u jħallina nbidlu lintervall \displaystyle{[a,b]} f'settijiet iżjed ġenerali.

## Integrali oħra

## Bibljografija
* Giuseppe Scorza Dragoni - *Elementi di analisi matematica I,II, III*  - Padova
* Mauro Picone, Gaetano Fichera - *Lezioni di analisi matematica I,II* - Roma
* Jean Favard - *Cours d'analyse I,II* - Parigi
* Federico Cafiero - *Misura di integrazione* - Roma
* Mauro Picone, Tullio Viola - *Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione* - Torino
* Henri Lebesgue - *[http://www.archive.org/details/leconegrarecher00leberich Leçons sur l'intégration et la recherche de functions primitives]* - Parigi (1904)
* Guido Fubini - *[http://www.archive.org/details/lezionidianalisi00fubirich Lezioni di analisi matematica]* - Torino (1920)
* Ernesto Cesaro - *Elementi di calcolo infinitesimale* - Napoli
* Tom M. Apostol - *Calcolo, Volume primo, Analisi 1* - Bollati Boringhieri

## Ħoloq esterni

* L-Integral - Kalkolu foramli ta' primittivi
* Interactive Multipurpose Server (WIMS)