Ekwazzjoni differenzjali

Fl-analisi matematika, **[[ekwazzjoni]] differenzjali** hi relazzjoni bejn funzjoni {\displaystyle u(x)} mhux magħrufa u xi derivati tagħha.

Fil-każ li {\displaystyle u} tkun funzjoni 
:u:I\to \R
definita f' intervall I\! ta'  \mathbb R  ngħidu li hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja (imqassra ODE, akronimu ta' *ordinary differential equation*).
Din ir-relazzjoni hi eżempju ta' ODE 
:u*(x)=u(x)+u'(x)\!</math>.
Il-forma l-iżjed ġenerali ta' ekwazzjoni differenzjali ordinarja (invarjabbli) ta' ordni <math>\ n</math> hija:
:<math>f(x, u(x), u'(x), ..., u^{(n)}(x)) = 0 \!</math>.
Insejħu *'ordni** jew **grad** tal-ekwazzjoni, il-grad tal-ogħla derivata preżenti; pereżempju:
:<math>u''(x)=f(x,u(x),u'(x))\!</math>
hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja (il-funzjoni mhux magħrufa <math>{\displaystyle u}</math> hi funzjoni ta' <math>{\displaystyle x}</math> biss) tat-tieni ordni.

Funzjoni <math>\ u</math> (derivabbli għal ċertu numru ta' drabi) li tissodisfa r-relazzjoni definita mill-ekwazzjoni ngħidulha **soluzzjoni*' tal-ekwazzjoni differenzjali.

Ġeneralment, hu diffiċli jekk mhux impossibbli li nsibu espressjoni analitika ta' funzjoni li tissodisfa ekwazzjoni differenzjali, jiġifieri nsibu soluzzjoni espliċita,. Ma dan kollu, kważi dejjem possibbli nistudjaw l-imġiba tagħha kwalitativa jew ninqdew b' [[Kompjuter|computer]] biex insibu approssimazzjoni permezz ta' [[analisi numerika|metodi numeriċi]].

Matul is-sekli, mindu [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] u [[Isaac Newton|Newton]] ifformalizzaw il-kalkulu infiniteżmali, instabu xi każi fejn hu possibbli nsibu l-espressjoni analitika tas-soluzzjoni. Xi drabi nistgħu insibu soluzzjoni espliċita, jiġifieri <math>\ y=f(x)\;</math>, u xi drabi oħra impliċita, jew fil-forma
:<math>f(y)=g(x),\;\!</math>
li tista' tinbidel f'forma espliċita biss jekk <math>\ f</math> hi invertibbli, u f'dal-każ ikollna 
:<math>y=f^{-1}\left( g(x) \right ).</math>

== Motivazzjoni ==
L-*ekwazzjonijiet differenziali* huma l-iżjed strumenti importanti li tagħtina l-[[analisi matematika]] għall-istudju ta' [[mudell matematiku|mudelli matematiċi]] fl-iżjed setturi tax-xjenza mferrxin, mill-[[fiżika]] għall-[[bijoloġija]] għall-[[ekonomija]].
Eżempju elementari ħafna ta' kif l-ekwazzjonijiet differenziali jistgħu joħorġu naturalment mill-istudju ta' sistemi huwa dan li ġej: Nissoponu li għandna popolazzjoni ta' batteri komposta fil-bidu <math>\left( t=0 \right) \; </math> minn <math>P_0\;</math> individwi u nsejħu <math>P(t)\;</math> il-popolazzjoni fil-ħin <math>{\displaystyle t}</math>. Wieħed jistenna li, fil-medja, f'kull waqt <math>{\displaystyle t}</math>, wara ħin relativament żgħir <math>{\displaystyle dt}</math> titwieled kwantità ta' individwi ġodda proporzjonali għall-popolazzjoni u għall-ħin li għadda <math>{\displaystyle dt}</math>, jiġifieri daqs <math>n  P(t)\, dt </math> fejn <math>n</math> hu numru (li nissoponu kostanti) li jiddeskrivi r-rata tat-twelid; analogament wieħed jistenna li jmutu <math>m  P(t)\, dt</math> individwi fl-istess intervall ta' ħin, fejn <math>m\;</math> hu r-rata (kostanti) tal-mewt. Il-popolazzjoni fil-ħin <math>{\displaystyle t+dt}</math>, għalhekk, tingħata mill-popolazzjoni fil-ħin <math>{\displaystyle t}</math> li nżidu magħha l-popolazzjoni li għadha kif twieldet u nnaqsu dik li mietet, jiġifieri 

:<math>P(t+dt)=P(t)+nP(t)dt-mP(t)dt=P(t)+(n-m)P(t)dt. \!</math>

Għalhekk għandna

:<math>\frac {P(t+dt)-P(t)} {dt}=(n-m)P(t).</math>

Nistgħu nagħrfu f'din l-espressjoni ir-[[rapport inkrementali]] tal-funzjoni <math>{\displaystyle P(t)}</math>; jekk <math>{\displaystyle dt}</math> hu żgħir ħafna li nistġhu nissostitwuh bid-[[id-Derivata|derivata]] <math> {\displaystyle P'(t)} </math> u niktbu:

:<math>P'(t)=(n-m)P(t). \!</math>

Din hi *ekwazzjoni differenzjali ordinarja tal-ewwel ordni*. Ir-*riżolużzjoni* ta' din l-ekwazzjoni tfisser is-sejba ta' kif l-imġiba tal-popolazzjoni tinbidel mal-ħin, jiġifieri l-funzjoni <math>P(t)\;</math> li tissodisfa. 

F'dal-każ faċli li nsibu s-soluzzjoni, li hi l-funzjoni:

:<math>P(t)=P_0\, e^{(n-m)t}, \!</math>

[[funzjoni esponenzjali]] li tiżdied mal-ħin (b'mod "esplużiv") jekk <math>{\displaystyle n>m<}</math>, jiġifieri jekk in-natalità hi ogħla mill-mortalità, u tonqos biex tispiċċa fix-xejn malajr jekk <math>{\displaystyle m>n}</math>. 

Il-mudell li eżaminajna, però, hu semplifikat ħafna; in ġenerali, ir-rata tal-kobor mhijiex sempliċement proporzjonali għall-popolazzjoni preżenti b'kostanti tal-proporzionalità fissa: nistennew, pereżempju, li r-riżorsi disposti jkunu limitati u mhux biżżejjed biex jissodisfaw popolazzjoni arbitrarjament kbira. Nistgħu nikkonsidraw, minflok, sitwazzjonijiet iżjed komplikati bħal dawk fejn hemm iżjed popolazzjonijiet li interaġixxu bejniethom, bħal pereżempju predi u predaturi fil-[[ekwazzjonijiet ta' Volterra - Lotka|mudell ta' Volterra - Lotka]]. 

Hekk hu importanti li jkollna metodi matematiċi biex nirriżolvu ekwazzjonijiet u sistemi ta' ekwazzjonijiet differenzjali b'mod analitiku u niksbu soluzzjoni eżatta. Imma billi dan mhux dejjem possibbli, jinħtieġu wkoll metodi biex nirriżolvuhom [[analisi numerika|numerikament]], jiġifieri napprossimaw is-soluzzjoni bl-idejn jew permezz ta' kalkulatur fl-inħawi ta' punt wieħed jew iżjed. Mill-banda l-oħra, jidher utli wkoll l-istudju kwalitativ tal-istruttura ġometrika tas-soluzzjonijiet meta nvarjaw id-dati inizjali jew il-parametri esterni, fejn sikwit jiġri li s-soluzzjoni tal-ekwazzjoni differenzjali għandha klassi sħieħa ta' funzjonijiet, li jiddipendu mill-parametri msejħin ġeneralment *kundizjonijiet inizjali* jew *tax-xifer*.

== Problema ta' Cauchy ==
Il-[[problema ta' Cauchy]] assoċjat ma' ekwazzjoni differenzjali waħda jew iżjed jikkonsisti fir-riżoluzzjoni tas-sistema ffurmat mis-soluzzjoni tal-ekwazzjonijiet u tal-[[kundizzjoni tax-xifer|kundizzjoni inizjali]]. Bil-formuli:
:<math>\begin{cases}f(x,y,y',y*, \dots , y^n)=0\ \  \rm{in}\ \  (a,b)\\
y(a)=y_0 \\
\dots \\
y^{n-1}(a)=y_{n-1} 
\end{cases}

## L-ekwazzjoni polinomjali assoċjata
L-ekwazzjoni polinomjali assoċjata ma' ekwazzjoni differenzjali linjari hi l-ekwazzjoni li tinkiseb meta nbiddlu l-funzjoni \ y(x), mhux magħrufa, fil-varjabbli awżilljarja \ \lambda b'potenza rispettivament daqs l-ordni tad-derivazzjoni ta' \ y waqt li nżommu l-istess koeffiċjenti.

Pereżempju, jekk ningħtaw l-ekwazzjoni differenzjali \ y*-5y'+6y=0\;</math>, nistgħu noħolqu ekwazzjoni fil-varjabbli awżilljarja <math>\ \lambda</math> skont ir-regola indikata fuq u niksbu <math>\ \lambda^2-5\lambda+6=0\;</math>.

== Ekwazzjonijiet differenziali bid-derivati parzjali ==
[[Ekwazzjoni differenzjali bid-derivati parzjali]] (imqassra PDE, mill-inizjali tal-kliem Ingliżi *partial differential equation*) hi [[ekwazzjoni]] li tinvolvi d-[[derivata parziale|derivati parzjali]] ta' [[funzjoni (matematika)|funzjoni]] mhux magħrufa.

Fil-każ li <math>\ u</math> tkun funzjoni ta' <math>\ k</math> varjabbli reali indipendenti <math>\ (x_1,\ldots,x_k)</math>, jiġifieri <math>\ u=u(x_1,\ldots,x_k)\!</math>, ekwazzjoni differenzjali bid-derivati parzjali ta' ordni <math>\ n</math>, jkollha l-forma ġenerali:

:<math> f \left ( x_1, \ldots , x_k , u , \ldots, , \ldots,   \right ) = 0 ,</math> 

jekk <math>\ f</math> tiddipendi espliċitament minn mill-inqas waħda mid-derivati parzjali ta' ordni <math>\ n</math> ta' <math>\ u</math> .

L-idea hi li niddeskrivu l-funzjoni indirettament permezz ta' relazzjoni bejnha u d-derivati parzjali tagħha, minflok niktbu l-funzjoni espliċitamenti. Ir-relazzjoni trid tkun lokali: trid tgħaqqad il-funzjoni mad-derivati tagħha fl-istess punt. Soluzzjoni tal-ekwazzjoni hi funzjoni li tissodisfa r-relazzjoni.

== Bibljografija ==
* G. Boole *A treatise on differential equations* (McMillan, Cambridge, 1859)
* W. W. Johnson *A treatise on ordinary and partial differential equations. (J. Wiley &amp; Sons, New York, 1889)
* E. Goursat *[https://web.archive.org/web/20200413102527/https://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABA9351.0003.001 A course of mathematical analysis, part II of volume II]* (Ginn &amp; co. 1917) 
* E. L. Ince *[http://www.archive.org/details/ordinarydifferen029666mbp Ordinary Differential Equations]* (Longman Greens, London, 1927) 
* A. R. Forsyth *[http://www.archive.org/details/ATreatiseOnDifferentialEquations A Treatise On Differential Equations]* (MacMillan, London, 1929) 
* E. G. C. Poole *[http://www.archive.org/details/introductiontoth033472mbp Introduction To The Theory Of Linear Differential Equations]* (Clarendon Press, Oxford, 1936)
* E. Picard *[http://www.archive.org/details/traitedanalyse03picarich Traité d'Analyse (vol. 3)]* (Gauthier-Villars, 1896) 
* C. Jordan *[http://www.archive.org/details/coursdanalysedel03jordrich Cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique (vol. 3)]* (Gauthier-Villars, 1913)

## Ħoloq esterni

* EqWorld
* MathWorld