Alġebra

L-**alġebra** hi waħda mill-friegħi prinċipali tal-matematika u titratta l-istudju ta’ strutturi alġebrin, relazzjonijiet u kwantitajiet.

Il-kelma alġebra (mill-Għarbi الجبر, *al-ġabr* li tfisser "ġabra") ġejja mill-isem tal-ktieb tal-matematiku Persjan Għarbi Muħammad ibn Musa al-Khwariżmi, intitolat *Al-Kitab al-Ġabr wa-l-Muqabala* ("Il-Ktieb tal-Ġabra u t-Tqabbil"), li jittratta ir-riżoluzzjoni tal-ekwazzjonijiet linjari u kwadratiċi.

L-alġebra elementari li normalment tifforma parti mill-kurrikulu tal-iskejjel sekondarji, tintroduċi l-idea ta’ simboli jew varjabbli li jirrepreżentaw kwantitajiet mhux magħrufa. Nitgħalmu wkoll kif ngħoddu u nimmultiplikaw dawn il varjabbli, fuq il-polinomji mibnija minnhom u l-fattorizzazzjoni u l-kalkulazzjoni tar-radiċi. 
Però, l-alġebra hi ħafn’ usa’ minn hekk. L-għadd u l-multiplikazzjoni nistgħu nqisuhom bħala operazzjoniet ġenerali u d-definizzjoni eżatta tagħhom twassalna għal strutturi ġodda bħal gruppi, ċrieki u kampi.

## Klassifikazzjoni

## L-alġebra Elementari

L-**alġebra elementari** hija l-forma l-iżjed bażika tal-alġebra. Jitgħalmuha l-istudenti li m’għandhomx tgħalim tal-matematika iżjed avvanzat mill-prinċipji bażiċi tal-aritmetika. Fl-aritmetika, nsibu biss in-numri u l-operazzjonijiet aritmetiċi fuqhom (bħal +, −, ×, ÷). Fl-alġebra, in-numri spiss nirrapreżentawhom bis-simboli (bħal *a*, *x*, *y*). Din ir-rappreżentazzjoni għandha dawn il-vantaġġi:
* Biha nistgħu nagħtu formulazzjoni ġenerali tar-regoli aritmetiċi (pereżempju *a* + *b* = *b* + *a* għal kull *a* u *b*), u hekk nistgħu nagħmlu l-ewwel pass fl-esplorazzjoni sistematika tal-propjetajiet tas-sistema tan-numri reali.
* Biha nistgħu nirreferu għan-numri "mhux magħrufin", nifformulaw ekwazzjonijiet u nistudjaw kif nirriżolvuhom (pereżempju, "Sib numru *x* sabiex 3*x* + 1 = 10").
* Biha nistgħu nagħmlu formulazzjoni ta’ relazzjonijiet funzjonali (bħal "Jekk tbigħ *x* biljetti, jkollok qligħ ta’ 3*x* - 10 ewri, jew *f*(*x*) = 3*x* - 10, fejn *f* hija l-funzjoni u *x* huwa n-numru li taġixxi fuqu l-funzjoni .").

## X'inhi l-alġebra Astratta ?

L-**alġebra astratta’'' testendi il-kunċetti li nsibu fl-alġebra elementari għal oħrajn iżjed ġenerali.

**Settijiet**: Minflok nikkunsidraw biss it-tipi ta’ [[numri]] differenti, fl-alġebra astratta nqisu il-kunċett iżjed ġenerali ta’ ''sett'' li hu ġabra ta’ oġġetti (li jgħidulhom [[elementi]]) li għandhom ċerta propjetà speċifika għas-sett. Pereżempju in-numri reali jiffurmaw sett u n-numri kumplessi sett ieħor. Eżempji oħra ta’ settijiet jinkludu is-sett tal-[[matriċi]] ta’ tnejn-bi-tnejn, is-sett tal-[[polinomji]] tat-tieni ordni (''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''), is-sett tal-[[vetturi]] bi-dimensjonali, u [[gruppi finiti]] varji bħall-[[gruppi ċikliċi]], jiġifieri l-gruppi tan-numri interi [[modulo]] ''n''. It-[[Teorija tas-settijiet]] hija fergħa tal-[[loġika]] u teknikament mhux fergħa tal-alġebra.

**Operazzjonijiet binarji**: L-idea tal-[[għadd]] (+) nistgħu nagħmluha iżjed astratta biex ittina ''operazzjoni binarja'', * ngħidu aħna. Il-kunċett ta’ operazzjoni binarja ma jfisser xejn jekk ma nagħtux is-sett li fuqu qed niddefinixxu l-operazzjoni. Għal żewġ elementi ''a'' u ''b'' f’sett ''S'' ''a''*''b'' ittina element ieħor fis-sett, (dil-kundizzjoni ngħidulha [[għeluq]] taħt l-operazzjoni). L-[[Għad]] (+), it-[[Tnaqqis]] (-), il-[[multiplikazzjoni]] (×), u d-[matematika diviżjoni|diviżjoni]] (÷) huma operazzjonijiet binarji meta niddefinuhom fuq settijiet addattati, kif ukoll l-għadd u l-multiplikazzjoni tal-matriċi, vetturi u polinomji.

**Elementi tal-identità**: Il-kunċett tal-“element tal-identità” huwa l-astrazzjoni tan-numri żero u wieħed. Żero huwa l-element tal-identità għall-għadd and u wieħed l-element tal-identità għall-multiplikazzjoni. Għal operazzjoni binarja ġenerali * l-element tal-identità ''e'' irid jissodisfa ''a'' * ''e'' = ''a'' u ''e'' * ''a'' = ''a''. Għall-għadd din hija sodisfatta billi ''a'' + 0 = ''a'' u 0 + ''a'' = ''a'' u għall-multiplikazzjini wkoll għax ''a'' × 1 = ''a'' u 1 × ''a'' = ''a''. Imma, jekk nieħdu n-numri naturali pożittivi u l-operazzjoni tal-għadd, m’hemmx element tal-identità.

**Elementi inversi**: Min-numri negattivi noħolqu l-kunċett tal- ''element invers'' jew sempliċiment l-''invers''. Għall-għadd, l-invers ta’ ''a'' huwa ''-a'', u għall-multiplikazzjoni l-invers huwa 1/''a''. L-element invers ġenerali ''a''<sup>-1</sup> jrid jissodifa r-relazzjoni ''a'' * ''a''<sup>-1</sup> = ''e'' u ''a''<sup>-1</sup> * ''a'' = ''e''.

**Assoċjattività**: L-għadd tan-numri interi għandu propjetà li nsejħulha assoċjattività. Jiġifieri, l-kumbinazzjoni tan-numri li nkunu qed ngħoddu ma tbiddilx is-somma tagħhom. Per eżempju: (2+3)+4=2+(3+4). Fil-kuntest ġenerali, dan isir (''a'' * ''b'') * ''c'' = ''a'' * (''b'' * ''c''). Il-biċċa l-kbira tal-operazzjonijiet binarji għandhom din il-propjetà imma t-tnaqqis u d-diviżjoni le. 

**Kommutattività**: L-għadd tan-numri interi għandu wkoll propjetà oħra li ngħidulha kommutattività. Jiġifieri, l-ordni tan-numri li nkunu qegħdin ngħoddu ma tbiddilx is-somma tagħhom. Per eżempju: 2+3=3+2. Fil-kuntest ġenerali, dan isir ''a'' * ''b'' = ''b'' * ''a''. Mhux l-operazzjonijiet binarji kollha għandhom din il-propjetà. L-għadd u l-multiplikazzjoni tan-numri interi għandhom din il-propjetà imma l-[[multiplikazzjoni tal-matriċi]] le.

=== Gruppi—strutturi ta’ sett b’operazzjoni binarja waħda ===

Meta niġbru flimkien il-kunċetti li rajna qabel, ikollna waħda mill-iżjed strutturi importanti fil-matematika: il- **grupp**. Grupp jikkonsisti f’sett ''S'' u [[operazzjoni waħda]] li rridu, li niktbuha '*', imma li jrid ikolla dawn il-propjetajiet:

* Irid ikun hemm element tal-identità ''e'', li għal kull membru ieħor ''a'' ta’ ''S'', ''e'' * ''a'' u ''a'' * ''e'' huma t-tnejn ugwali għal ''a''.
* Kull element irid ikollu invers: għal kull membru ieħor ''a'' ta’ ''S'', irid jeżisti membru ''a''<sup>-1</sup> sabiex ''a'' * ''a''<sup>-1</sup> u ''a''<sup>-1</sup> * ''a'' huma t-tnejn ugwali għall-element tal-identità.
* L-operazzjoni hi assoċjattiva: għal ''a'', ''b'' u ''c'' membri ta’ ''S'', (''a'' * ''b'') * ''c'' hija ugwali għal ''a'' * (''b'' * ''c'').

Jekk grupp hu anki [[kommutattiv]] - jiġifieri, għal kull żewg membri ''a'' u ''b'' ta’ ''S'', ''a'' * ''b'' hija ugwali għal ''b'' * ''a'' – il-grupp ngħidu li hu [[Abeljan]].

Pereżempju, is-sett tan-numri interi bl-operazzjoni tal-għadd huwa grupp. F’dal grupp, l-identità hija 0 u l-invers ta’ kull element ''a'' huwa n-negativ tiegħu, -''a''. Il-kundizzjoni ta’ assoċjattività hi sodisfatta, għax għal kull tliet numri interi ''a'', ''b'' u ''c'', (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'').

Imma l-interi bl-operazzjoni tal-multiplikazzjoni ma jiffurmawx grupp. Dan jiġri għax, in ġenerali, l-invers multiplikattiv ta’ numru interu mhuwiex interu. Pereżempju, 4 huwa interu, imma l-invers multiplikattiv tiegħu hu 1/4, li mhux interu.

L-istudju tal-gruppi jsir fit-[[teorija tal-gruppi]]. Wieħed mir-riżultati l-iżjed importanti f’din it-teorija kien il-[[klassifikazzjoni tal-gruppi finiti sempliċi]] li l-ikbar parti tagħha ġiet ippublikata bejn xi l-1955 u l-1983. Din tqassam il-[[gruppi sempliċi]] [[finiti]] f’xi 30 tip bażiku.




[[Semigruppi]], [[kważigruppi]], u [[monoidi]] huma strutturi simili għall-gruppi, imma iżjed ġenerali. Jikkonsistu f’sett u operazzjoni binarja magħluqa, imma ma jissodisfawx il-kondizzjonijiet l-oħra neċessarjament. [[Semigrupp]] għandu operazzjoni binarja ''assoċjattiva'', imma jista’ jkun li m’għandux element tal-identità. [[Monoid]] huwa semigrupp li għandu identità imma jista’ jkun li m’għandux invers għal kull element. [[Kważigrupp]] għandu l-propjetà li kull element jista’ jinbidel f’kull ieħor bi pre- jew post-operazzjoni unika; imma l-operazzjoni binarja jista’ jkun li mhux assoċjattiva.

Il-gruppi kollha huma monoidi, u l-monoidi kollha huma semigruppi.

=== Ċrieki u Kampi—strutturi ta’ sett b’żewġ operazzjonijiet binarji, (+) u (×) ===

Il-gruppi għandhom operazzjoni binarja waħda biss. Biex nispjegaw il-mekkaniżmu tat-tipi ta’ numri differenti kompletament, hemm bżonn li nistudjaw strutturi b’żewġ operazzjonijiet. L-iżjed importanti fost dawn huma ċ-[[Ċrieki]], u l-[[Kampi]]. 

Id-**Distributtività** tiġġeneralizza l-''liġi distributtiva'' tan-numri u tiffissa f’liema ordni għandna napplikaw l-operazzjonijiet, (ngħidulha l-[[preċedenza]]). Għall-interi (''a'' + ''b'') × c = ''a''×''c''+ ''b''×''c'' u ''c'' × (''a'' + ''b'') = ''c''×''a'' + ''c''×''b'', u ngħidu li × hija '' distributtiva '' fuq +.

**Ċirku** għandu żewġ operazzjonijiet (+) u (×), fejn × hu distributtiv fuq +. Taħt l-ewwel operazzjoni (+) jifforma ''grupp Abeljan''. Taħt it-tieni operazzjoni (×) hu assoċjattiv, imma m’hemmx bżonn ta' identità jew ta' invers, u allura ma nistgħux niddividu. L-element tal-identità tal-għadd (+) niktbuha bħala 0 u l-inverse tal-għadd ta’ ''a'' jinkiteb -''a''.

In-numri interi huma eżempju ta’ ċirku. 

**Kamp** hu ''ċirku'' b’propjetà oħra miżjuda li l-elementi kollha barra 0 jiffurmaw ''grupp Abeljan'' taħt ×. L-identità multiplikattiva (×) niktbuha bħala 1 u l-invers multiplikattiv ta’ ''a'' jinkiteb ''a''<sup>-1</sup>.

In-numri razzjonali, in-numri reali u n-numri komplessi huma kollha eżempji ta’ kampi.

== Alġebriet ==
Il-kelma ***alġebra**' nużawha wkoll għal xi [[strutturi alġebrin]]:

* [[alġebra fuq kamp]]
* [[alġebra fuq sett]]
* [[alġebra Boolejana]]
* [[F-alġebra]] u [[F-koalġebra]] fit-[[teorija tal-kategoriji]]
* [[Sigma-alġebra]]

== L-Storja tal-alġebra ==

L-alġebra nistgħu nsibu l-oriġini tagħha fil-[[Babilonja]] antika. Il-Babilonjani żviluppaw [[sistema aritmetiku]] avvanzat li bih setgħu jagħmlu kalkulazzjonijiet b’metodu alġebri. Permezz ta’ dan is-sistema, setgħu japplikaw formuli u jikkalkulaw valuri mhux magħrufa għal klassi ta’ problemi li daż-żmien nirriżolvuhom bl-użu ta’ [[ekwazzjonijiet linjari]], [[ekwazzjonijiet kwadratiċi]] u [[ekwazzjonijiet linjari indeterminati]]. Għall-kontrarju, il-biċċa kbira tal-matematiċi [[Eġizzjani]] ta’ dak iż-żmien, u l-biċċa kbira tal-matematiċi [[Indjani]], [[Griegi]] u [[Ċiniżi]] fl-[[ewwel millennju QK]], is-soltu kienu jirriżolvu dawn il-problemi b’metodi [[ġometriċi]], bħal dawk imfissra fil-*Papiru matematiku ta’ Rhind*, *Sulba Sutras*, *L-Elementi ta’ Ewklidi*, u *Id-Disgħa Kapitli fuq’ l-Arti matematika*. Ix-xogħol ġometriku tal-Griegi, li l-Elementi huwa eżempju tajjeb ħafna tiegħu, ipprovda s-sisien għall-ġeneralizzazzjoni tal-formuli mis-soluzzjoni ta’ problemi partikulari għal sistemi iżjed ġenerali li jistgħu jintużaw għall-formulazzjoni u s-soluzzjoni tal-ekwazzjonijiet.



Il-kelma "*alġebra*" ġejja mill-Għarbi "*al-ġabr*" fit-titlu tal-ktieb "*al-Kitab al-muhtasar fi ħisab al-ġabr wa-l-muqabala*", li jfisser *Il-ktieb fil-qosor fi ħsib il-ġbir u tqassim*. Dan kitbu il-matematiku Persjan [[Muħammad ibn Musa al-Khwariżmi]] (Għarbi: محمد بن موسى الخوارزميّ المجوسيّ القطربّليّ) fit-820. Il-matematiku Grieg [[Diofantu]] (Grieg: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς t. bejn [[200]] u [[214]], m. bejn [[284]] u [[298]] AD) hu tradizzjonalment magħruf bħala “missier l-Algebra” imma hemm argument jekk Al-Khwariżmi għandux joħodlu dan it-titlu. Dawk li jżommu ma Al-Khwariżmi jsossnu li ħafna mix-xogħol tiegħu fuq “il-ġbir” jew riduzzjoni għadu użat sa llum u li hu ta spjegazzjoni kompleta fuq is-soluzzjoni tal-ekwazzjonijiet kwadratiċi. Dawk li jżommu ma' [[Diofantu]] jgħidu li l-alġebra li nsibu f’*Al-Ġabr* hi iżjed elementari mill-alġebra fl- *Aritmetika* ta’ Diofantu u li l-*Aritmetika* hi miktuba fi stil sinkopat waqt li *Al-Ġabr* hi kollha fi stil retoriku. matematiku Persjan ieħor, [[Omar Khajjam]] (Persjan: غیاث الدین ابو الفتح عمر بن ابراهیم خیام نیشابوری t. 18 ta’ Mejju, 1048, m. 4 ta’ Diċembru, 1131), żviluppa l-[[ġometrija alġebrija]] u sab soluzzjoni ġenerali ġometrika tal-[[ekwazzjonijiet kubiċi]]. Il-matematiċi Indjani [[Maħavira]] u [[Baskara II]], u l-matematiku Ċiniż [[Żu Xiġje]], irriżolvew xi każi ta’ ekwazzjonijiet kubiċi, [[kwartiċi]], [[kwintiċi]] u [[polinomjali]] ta’ ordni ogħla.

F’nofs is-seklu 16 kien hemm żvilupp importanti ieħor tal-alġebra. Dan kien is-soluzzjoni alġebrija ġenerali tal-ekwazzjonijiet kubiċi u kwartiċi. L-idea ta’ [[determinant]] żviluppha l-matematiku Ġappuniż [[Kowa Seki]] fis-seklu 17, u għaxar snin wara [[Gottfried Leibniz]] uża d-determinanti biex jirriżolvi sistemi ta’ ekwazzjonijiet linjari simultanji premezz tal-[[matriċi]]. Fis-seklu 18, [[Gabriel Cramer]] ukoll ħadem fuq il-matriċi u d-determinanti. L-iżvilupp tal-[[alġebra astratta]] sar fis-seklu 19. Fil-bidu dan ix-xogħol ikkonċentra fuq li daż-żmien insejħulha it-[[teorija ta’ Galois]] u fuq kwistjonijiet tal-[[kostruttibbiltà]].

L-istadji tal-iżvilupp tal-alġebra simbolika kienu bejn wieħed u ieħor dawn:

* alġebra retorika, li żviluppawha l-Babilonjani u baqet dominanti sas-seklu 16;
* alġebra ġometrika kostruttiva, li tawha ħafna mportanza il-matematiċi Indjani u l-matematiċi klassiċi Griegi;
* alġebra sinkopata, li kienet żviluppata minn [[Diofantu]] u fil-*Manuskritt Bakxali*; 
* alġebra simbolika, li laħqet il-quċċata fix-xogħol ta’ [[Leibniz]].

Kronoloġija ta’ żviluppi kritiċi fl-alġebra:

* Ċirka 1800 QK: Fit-[[tavletta ta’ Strassburg]] il-Babilonjani jfittxu s-soluzzjoni ta’ ekwazzjoni ellittika kwadratika.
* Ċirka 1600 QK: It-tavletta ta’ *Plimpton 322* tagħti tavola ta’ [[trippli Pitagoriċi]] fi skritt [[Kuneiformi]] Babilonjan
* Ċirka 800 QK: Il-matematiku Indjan [[Bawdajana]], fix-xogħol tiegħu *Sulba Sutra*, jiskopri trippli Pitagoriċi b’metodi algebrin, jsib soluzzjonijiet ġometriċi ta’ ekwazzjonijiet linjari u ekwazzjonijiet kwadratiċi tal-forma ax<sup>2</sup> = c u ax<sup>2</sup> + bx = c, u jsib żewġ settijiet ta’ soluzzjonijiet integrali pożittivi għal sett ta’ ekwazzjonijiet simultanji Diofantini.
* Ċirka 600 QK: Il-matematiku Indjan [[Apastamba]], fix-xogħol tiegħu *Apastamba Sulba Sutra*, jirriżolvi l-ekwazzjoni linjari ġenerali u juża ekwazzjonijiet simultanji Diofantini b’sa ħames kwantitajiet mhux magħrufa.
* Ċirka 300 QK: Fit-tieni ktieb tal-Elementi, [[Ewklide|Ewklidi]] jagħti kostruzzjoni ġometrika b’metodi Ewklidej għas-soluzzjoni tal-ekwazzjoni kwadratika għal radiċi posittivi reali. Il-kostruzzjoni hi dovuta għall-iSkola Pitagorika tal-ġometrija.
* Ċirka 300 QK: Titfittex kostruzzjoni ġometrika għas-soluzzjoni tal-ekwazzjoni kubika. Issa nafu li bil-metodi Ewklidej ma nistgħux insibu soluzzjoni għall-ekwazzjoni kubika ġenerali.
* Ċirka 100 QK: Il-ktieb tal-matematika Ċiniż *Ġjużang Suwanxu* (*Id-Disgħa Kapitli fuq l-Arti matematika*), jittratta Ekwazzjonijiet alġebrin. Dal-ktieb fih soluzzjonijiet ta’ ekwazzjonijiet linjari bl-użu tar-[[regola tal-pożizzjoni falza doppja]], soluzzjonijiet gometriċi ta’ ekwazzjonijiet kwadratiċi, u soluzzjonijiet ta’ matriċi, ekwivalenti għall-metodi moderni, għas-soluzzjoni tas-sistemi ta’ ekwazzjonijiet linjari simultanji.
* Ċirka 100 QK: Il-*Manuskritt ta’ Bakxali*, miktub fl-Indja, juża forma ta’ notazzjoni alġebrija bl-ittri u sinjali oħra, u fih ekwazzjonijiet kubiċi u kwartiċi, soluzzjonijiet alġebrin ta’ [[ekwazzjonijiet linjari]] b’sa ħames kwantitajiet mhux magħrufa, il-formula alġebrija ġenerali għall-ekwazzjoni kwadratiċi, u soluzzjonijiet ta’ ekwazzjonijiet kwadratiċi indeterminati u ekwazzjonijiet simultanji.



* Ċirka 150 AD: Il-matematiku Eġizzjan Ellenistiku [[Eroni ta’ Lixandra]], jittratta l-ekwazzjonijiet alġebrin fi tliet volumi tal-matematika.
* Ċirka 200: Il-matematiku Babilonjan Ellenistiku, [[Diofantu]] li għex fl-Eġittu u li ħafna jikkunsidrawh bħala "missier l-alġebra", jikteb l-opra famuża tiegħu, l-*Aritmetika*, li fiha soluzzjonijiet ta’ ekwazzjonijiet Alġebrin u xogħol fuq it-teorija tan-numri.
* 499: Il-matematiku Indjan [[Arjabata]], fit-trattat tiegħu *Arjabatija*, jsib soluzzjonijiet interi għal xi ekwazzjonijiet linjari b’metodu ekwivalenti għal dak li nużaw illum, jiddeskrivi s-soluzzjoni integrali ġenerali tal-ekwazzjoni linjari indeterminata u jagħti soluzzjonijiet integrali ta’ xi ekwazzjonijiet linjari simultanji indeterminati.
* Ċirka 625: Il-matematiku Ċiniż, Wang [[Ksijaotong]], jsib soluzzjonijiet numeriċi ta’ ekwazzjonijiet kubiċi.
* 628: Il-matematiku Indjan, [[Brahmagupta]], fit-trattat tiegħu *Brahma Sputa Siddhanta*, jivvinta l-metodu *ċakravala* għas-soluzzjoni ta’ xi ekwazzjonijiet kwadratiċi simultanji indeterminati, fosthom l-ekwazzjoni ta’ Pell, u jagħti regoli għas-soluzzjoni tal-ekwazzjonijiet linjari u kwadratiċi.
* 820: Il-matematiku Persjan, Muhammad ibn Musa [[al-Khwariżmi]], jikteb it-trattat intitolat *Al-Kitab al-Ġabr wa-l-Muqabala* (li tfisser "Il-Ktieb tal-ġbir u t-tqabbil") fuq is-soluzzjoni sistematika tal-ekwazzjonijiet linjari u kwadratiċi. Il-kelma *alġebra* ġejja minn *al-Ġabr* fit-titlu ta’ dal-ktieb. Al-Khwariżmi hu kkunsidrat minn bosta bħala "missier l-alġebra" u ħafna mill-metodi tiegħu ta’ riduzzjoni jew ‘’ġbir’’ għadna nużawhom fl-alġebra sa llum.
* Ċirka 850: Il-matematiku Persjan, [[al-Maħani]], jaħseb fl-idea ta’ riduzzjoni ta’ problemi ġometriċi, bħad-duplikazzjoni tal-kubu, għal problemi fl-alġebra.
* Ċirka 850 Il-matematiku, [[Mahavira]], jirriżolvi bosta ekwazzjonijiet kwadratiċi, kubiċi, kwartiċi, kwintiċi u ta’ ordni ogħla kif ukoll xi ekwazzjonijiet indeterminati. kwadratiċi, kubiċi u ta’ ordni ogħla. 
* Ċirka 990: Il-Persjan [[Abu Bakr al-Karaġi]], fit-trattat tiegħu *al-Fakhri*, jiżviluppa l-alġebra iżjed billi jestendi l-metodoloġija ta’ Al-Khwariżmi biex tinkludi potenzi integrali u radiċi integrali ta’ kwantitajiet mhux magħrufa. Jissostwixxi l-operazzjonijiet gometriċi tal-alġebra b’operazzjonijiet aritmetiċi moderni, u jiddefinixxi il-monomjali x, x<sup>2</sup>, x<sup>3</sup>, ... u 1/x, 1/x<sup>2</sup>, 1/x<sup>3</sup>, ... u jagħti l-prodott ta’ kull par minn dawn.
* Ċirka 1050: Il-matematiku Ċiniż, [[Ġija Ksijan]], jsib soluzzjonijiet numeriċi ta’ ekwazzjonijiet polinomjali.
* 1072: Il-matematiku Persjan, [[Omar Khajjam]], jiżviluppa l-ġometrija algebrija, u fit-*Trattat fuq Dimostrazzjoni ta’ Problemi fl-alġebra*, jagħti klassifikazzjoni ta’ ekwazzjonijiet kubiċi permezz ta’soluzzjonijiet ġometriċi ġenerali misjuba bis-sezzjonijiet koniċi ntlaqqin.
* 1114: Il-matematiku Indjan, [[Bhaskara]], fil- *Biġaganita* (*alġebra*), jinduna li numru pożittiv għandu radiċi kwadrata pożittiva u oħra negattiva, u jirriżolvi bosta ekwazzjonijiet kubiċi, kwartiċi, kwintiċi u ta’ ordni polinomjali, kif ukoll l-ekwazzjoni kwadratika ġenerali indeterminata.
* 1202: L-alġebra tidħol l-Ewropa l-iktar imħabba x-xogħol ta’ [[Leonardo Fibonacci]] ta’ Pisa fil-ktieb tiegħu *Liber Abaci*.
* Ċirka 1300: Il-matematiku Ċiniż, [[Żhu Xiġje]], jittratta l-alġebra polinomjali, jirriżolvi ekwazzjonijiet kwadratiċi, ekwazzjonijiet simultanji u ekwazzjonijiet b’sa erbgħa kwantitajiet mhux magħrufa, u jirriżolvi numerikament xi ekwazzjonijiet kwartiċi, kwintiċi u polinomjali ta’ ordni ogħla.



* Ċirka 1400: Il-matematiku Indjan, [[Madhava ta’ Sangamagramma]], jiskopri metodi iterattivi għas-soluzzjoni approssima ta’ ekwazzjonijiet mhux linjari.
* 1535: Nicolo Fontana [[Tartaglia]] u matematiċi oħra fl-Italja independentement jirriżolvu l-ekwazzjoni kubika ġenerali.
* 1545: Girolamo [[Cardano]] jippublika *Ars magna* (*L-Arti l-Kbira*) fejn jagħti s-soluzzjoni ta’ Fontana għall-ekwazzjoni kwartika ġenerali.
* 1572: Rafael [[Bombelli]] jsib ir-radiċi komplessa tal-kubiku u jtejjeb in-notazzjoni kurrenti.
* 1591: [[François Viète]] jiżviluppa u jtejjeb in-notazzjoni simbolika għall-potenzi fil-ktieb *In artem analyticam isagoge*.
* 1682: [[Gottfried Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz]] jiżviluppa l-manipulazzjoni simbolika b’regoli formali li jgħidilhom *characteristica generalis*.
* 1680s: Il-matematiku Ġappuniż, [[Kowa Seki]], fil-*Metodu għas-soluzzjoni ta’ problemi dissimulati*, jiskopri d-determinant u n-[[numri ta’ Bernoulli]].
* 1750: [[Gabriel Cramer]], fit-trattat tiegħu *Introduzzjoni għall-analisi ta’ kurvi alġebrin'', jipproponi r-regola ta’ Cramer u jistudja l-kurvi alġebrin, il-matriċi u d-determinanti.
* 1824: Niels Henrik Abel jipprova li ma nistgħux nirriżolvu l-ekwazzjoni kwintika ġenerali bir-radiċi.
* 1832: It-teorija ta’ Galois jiżviluppha Évariste Galois fix-xogħol tiegħu fuq l-alġebra astratta.