Moviment Brownjan

Il- **moviment Brownjan** hu deskrizzjoni matematika ta' moviment każwali ta' partiċella "tqila" mgħaddsa fi fluwidu u li m'għandhiex fuqha interazzjonijiet oħra ħlief il-ħbit fuqha tal-molekuli "ħfief" tal-fluwidu ta' madwarha. Minn dan jirriżulta li l-partiċella t-tqila timxi b'moviment irregolari ħafna, li ġie deskritt għall-ewwel darba fl-1827 mill-botanista Robert Brown waqt li kien qiegħed josserva ċ-ċaqlieq ta' partiċelli fil-fluwidu fil-ġewwieni ta' trab tal-pollin. 

Id-deskrizzjoni fiżika l-iżjed elementari ta' dan il-fenomenu hi din:
* bejn żewġ ħabtiet, il-partiċella l-kbira timxi f'linja dritta b'veloċità kostanti;
* il-partiċella l-kbira taċċelera meta taħbat ma' molekula tal-fluwidu jew xi ħajt.

Permezz ta' dan il-moviment nistgħu niddeskrivu l-imġiba termodinamika tal-gasijiet (teorija ċinetika tal-gasijiet), kif ukoll il-fenomenu tad-diffużjoni. Huwa użat ħafna wkoll fil-mudelli tal-matematika finanzjarja.

## Ħjiel storiku
Brown ra fil-fluwidu li kien fil-**ġewwieni** tat-trab tal-pollin (il-moviment Brownjan ma ġiex osservat fuq it-trab tal-pollin stess kif jingħad sikwit), xi partiċelli żgħar ħafna jiċċaqilqu b'movimenti li kienu jidhru kaotiċi. Dan ma setax jiġi spjegat permezz ta' kurrenti u lanqas permezz ta' xi fenomenu fiżiku ieħor magħruf. Għall-ewwel Brown għalhekk attribwieh għal xi attività ħajja. L-ispjegazzjoni korretta tal-fenomenu ġiet wara.

Brown ma kienx eżattament l-ewwel wieħed li għamel din l-osservazzjoni. Qal hu stess li bosta oħrajn kienu ssuġġerew l-eżistenza ta' dan il-moviment (f'konnessjoni mat-teoriji vitalisti ta' żmienu). Nistgħu insemmu lill-qasis kattoliku John Turberville Needham (1713-1781), famus f'ħajtu għas-sengħa li kellu fuq il-mikroskopju, u lill-Olandiż Jan Ingenhousz (1730 -1799) li fl-1785 iddeskriva l-moviment irregolari tat-trab tal-faħam fuq wiċċ l-alkoħol.

Matul is-seklu 20 kien hemm ħafna diskussjonijiet dwar x'kien osserva sewwa Brown. Minħabba l-kwalità medjokra tal-apparat li seta' jinqeda bih, xi wħud iddubitaw jekk kienx veru li ra l-moviment Brownjan, li kien jinvolvi partiċelli ta' xi mikrometri mill-iżjed. L-Ingliż Brian Ford reġa' għamel l-esperiment fil-bidu tas-snin 1990, bil-materjal użat minn Brown u f'kondizzjonijietet li kienu l-istess kemm jista' jkun. Il-moviment kien veru osservat f'dawn il-kondizzjonijiet u hekk ġew ikkonfermati l-osservazzjonijiet ta' Brown.

## Rudimenti matematiċi
### Il-kunċett ta' proċess każwali
Insibuh diffiċli li nimmudellaw il-moviment Brownjan minnħabba l-fatt li dan il-moviment hu każwali u li statistikament kull partiċella ma timxix: mhuwiex moviment tal-partiċelli kollha f'daqqa bħar-riħ jew kurrent. Iżjed preċiż:
* f'waqt mogħti, is-somma vettorjali tal-veloċitajiet tal-partiċelli hi żero (m'hemmx moviment tal-ġabra tal-partiċelli);
* jekk insegwu partiċella mogħtija, matul iż-żmien, il-bariċentru tal-mogħdija tagħha hu l-punt minn fejn tkun telqet, tagħmel "dawra durella" madwar l-istess punt.

Hu diffiċli f'dawn il-kondizzjonijiet li nikkaratterizzaw il-moviment. Is-soluzzjoni sabha Louis Bachelier, u ppreżentaha fit-teżi tiegħu li ddefenda fid-29 ta' Marzu 1900. Wera li dak li jikkaratterizza l-moviment, m'hijiex il-medja aritmetika tal-pożizzjonijiet \langle X\rangle  imma l-medja kwadrata \sqrt{\langle \, X^2 \, \rangle \ } : jekk \ x(t)  hi d-distanza tal-partiċella fil-ħin \ t wara li telqet minn fejn telqet, allura :


\langle \, X^2(t) \ \rangle \ = \ \frac{1}{t} \int_{ 0}^{t} x^2(\tau) \ d \tau


Nistgħu nuru li hawn l-ispostament kwadrat medju hu *proporzjonali għall-ħin* :

fejn \ d hi d-dimensjoni tal-moviment (linjari, pjan, spazjali), \ D il-koeffiċjent tad-diffużjoni u \ t il-ħin li jkun għadda.

### Definizzjoni matematika

Nistgħu nagħtu din id-definizzjoni formali: Il-moviment Brownjan hu proċess stokastiku (B_t)_{(t \ge 0)} fejn l-inkrementi disġunti huma indipendenti u l-inkrement \ B_{t+s}-B_{t} jobdi l-liġi normali b'medja żero u varjanza \ s.

Permezz ta' din id-definizzjoni nistgħu nippruvaw xi proprjetajiet tal-moviment Brownjan, bħal pereżempju il-kontinwità tiegħu (kważi żgura), il-fatt li kważi żgurament, il-mogħdija tiegħu m'hi mkien differenzjabbli, u bosta proprjetajiet oħra.

Nistgħu ukoll niddefinixxu l-moviment Brownjan permezz tal-varjanza. Din id-definizzjoni, imsejħa t-teorema ta' Lévy, tagħti din il-karatterizzazzjoni: Proċess stokastiku li hu martingala lokali u għandu varjanza \ t hu moviment Brownjan.

### Il-formola ta' Einstein
Permezz tal-formola li tajna hawn fuq nistgħu nikkalkulaw il-koeffiċjent tad-diffużjoni ta' par partiċella-fluwidu. Ġaladarba nkunu nafu l-karatteristiċi tal-partiċella li qiegħda tiddifuża, nistgħu niddeduċu l-karatteristiċi tal-ieħor. Jekk inkunu nafu l-karatteristiċi tat-tnejn, inkunu nistgħu nikkalkulaw in-numru ta' Avogadro bl-għajnuna tal-formola ta' Einstein (1905) :


D \ = \ \frac{R T}{6 \pi \eta \mathcal{N}_{Av} r}


fejn \ R hi l-kostanti tal-gasijiet perfetti, \ T it-temperatura, \ \eta il- viskożità tal-fluwidu, \ r ir-raġġ tal-partiċella u \mathcal{N}_{Av} in-numru ta' Avogadro. Il-fiżiku Jean Perrin ikkalkula dan in-numru fl-1908 permezz ta' din il-formola.

## Xi mudelli fl-spazju Ewklidew
### L-ekwazzjoni ta' Langevin (1908)

Fil-metodu ta' Langevin, il-partiċella Brownjana l-kbira ta' massa \ m għandha fil-waqt \ t, veloċità \ v(t) u jaħkmu fuqha żewġ forzi:
* forza ta' frizzjoni fluwida tat-tip f \, = \, - \, k \, v, fejn \ k hi kostanti pożittiva;
* ħoss abjad Gaussjan, \ \eta.
Meta napplikaw il-prinċipju fundamentali tad-dinamika ta' Newton b'dawn il-forzi niksbu l-ekwazzjoni stokastika ta' Langevin:

## Il-proċess ta' Ornstein-Uhlenbeck
Il-proċess ta' Ornstein-Uhlenbeck hu proċess stokastiku li jiddeskrivi l-veloċita ta' partiċella fi fluwidu, f'dimensjoni 1. 

Niddefinuh bħala s-soluzzjoni \ X_t ta' din l-ekwazzjoni differenzjali stokastika: 


dX_t=\sqrt2dB_t-X_tdt, 


fejn \ B_t hu moviment Brownjan standard, 
u \ X_0 hi varjabbli każwali mogħtija. 
It-terminu \ dB_t jirrappreżenta l-għadd kbir ta' ħabtiet stokastiċi mal-partiċella, waqt li t-terminu \ -{X_t}dt jirrappreżenta l-forza tal-frizzjoni fuq il-partiċella.

Il-formola ta' Itô applikata għall-proċess \ {e^t}X_t tagħtina:

d({e^t}X_t)={e^t}{X_t}dt+{e^t}(\sqrt{2}{dB_t}-{X_t}dt)={e^t}\sqrt{2}{dB_t}, 

li fil-forma integrali ssir:

X_t={X_0}e^{-t}+\sqrt{2}e^{-t}\int_0^t{e^s}dB_s.

Pereżempju, jekk \ X_0 tieħu kważi żgur il-valur \ x, 
Il-liġi ta' \ X_t hi liġi Gaussjana b'medja \ xe^{-t} u varjanza \ 1-e^{-2t}, li tikkonverġi fil-liġi meta \ t tersaq lejn l-infinit għal liġi Gaussjana standard.

### Mixjiet każwali
Nistgħu nużaw mudell ta' mixja każwali, fejn il-moviment isir b'qabziet *diskreti* bejn pożizzjonijiet fissi (b'movimenti f'linja dritta bejn żewġ pożizzjonijiet), bħal pereżempju fil-każ tad-diffużjoni fis-solidi. Jekk ix-\ X_i huma l-pożizzjonijiet wara xulxin ta' partiċella, wara \ n qabżiet ikollna:

### Mixja każwali f'dimensjoni waħda tal-ispazju (''Eżempju'')
Ejjew inħarsu lejn mixja ta' partiċella fuq l-assi *Ox*. Nissoponu li din il-partiċella tagħmel qabżiet ta' tul \ a bejn pożizzjonijiet ġirien ta' xulxin sitwati fuq l-għoqod tax-xibka:  \{\, n \, a \ , n \in \mathbb{Z} \, \} ta' ħadma \ a u kull qabża ddum żmien \ \tau. 

Irridu nagħtu wkoll numru \  p li jissodisfa: \ 0 . L-interpretazzjoni fiżika ta dan il-parametru hi din:
* \ p tirrapreżenta l-probabbiltà li l-partiċella taqbeż *lejn il-lemin* kull darba;
* \ q = 1 - p  tirrapreżenta l-probabbiltà li l-partiċella taqbeż *lejn ix-xellug* kull darba.

Il-każ tal-moviment Brownjan jikkorrispondi ma' li nagħmlu l-ipoteżi ta' *iżotropija spazjali*. Id-direzzjonijiet fl-ispazju fiżiku huma *a priori* ekwivalenti u l-probabbiltajiet ta' qbiż lejn iż-żewġ direzzjonijiet huma l-istess: 

Ix-xbieha hawn taħt turi eżempju tipiku tar-riżultat: il-partiċella titlaq minn \ 0, \ x(0)=0, u l-linja timxi mal-pożizzjonijiet suċċessivi \ x(k) tal-partiċella fil-ħinijiet \ k.





#### Il-probabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali
Il-probabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali niddefinuha hekk:

bħala l-probabbiltà li nsibu l-partiċella fuq is-sit (għoqda) \ ma fil-ħin \ s\tau meta nkunu nafu li kienet fuq is-sit \ na fil-ħin tal-bidu \ 0.

L-ipoteżi ta' iżotropija twassalna biex niktbu l-liġi tal-evoluzzjoni ta' din il-pobabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali b'dan il-mod :

Minnha niddeduċu din ir-relazzjoni:

#### Konverġenza lejn il-moviment Brownjan. Ekwazzjoni ta' Fokker-Planck
Ejjew nieħdu l-limitu kontinwu tal-aħħar ekwazzjoni, jiġifieri nieħdu l-limitu bil-parametri: 

* \tau \ \to \ 0

* a \ \to \ 0

Meta nagħmlu l-kalkulu tal-limitu kontinwu naraw li l-kumbinazzjoni \ a^2/2\tau trid tibqa' kostanti f'dan il-limitu. Meta niżviluppaw \ P f'poteri ta' \ \tau insibu:

Meta niżviluppawha f’poteri ta' \ a ikollna:

u jekk nagħqduhom dawn tal-aħħar flimkien inġibu:

Minn dawn nistgħu niddeduċu l-ekwazzjoni ta' Fokker-Planck :

jew

li nistgħu nerġgħu niktbuha:

meta nintroduċu l-koeffiċjent tad-diffużjoni:

#### Solution tal-ekwazzjoni ta' Fokker-Planck

Barra mill-ekwazzjoni ta' Fokker-Planck, id-densità ta' probabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali \ P(x_0|x,t) trid tissosdisfa iż-żewġ kondizzjonijiet supplementari li ġejjin:

* in-normalizzazzjoni tal-probabbiltà totali:

* il-kondizzjoni inizjali:

fejn \ \delta(x) hi d-distribuzzjoi ta' Dirac.

Id-densità ta' probabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali \ P(x_0|x,t) hi mela essenzjalment funzjoni ta' Green tal-ekwazzjoni ta' Fokker-Planck. Nistgħu nuru li din tinkiteb espliċament:

 
Il-mumenti ta' din id-distribuzzjoni nistgħu nikkalkulawhom faċilment.

## Il-moviment Brownjan fuq [[varjetà Riemannjana]]
Insejħu moviment Brownjan fuq varjetà Riemannjana \ V il-proċess każwali kontinwu Markovjan li s-semigrupp tiegħu tat-tranżizzjoni b'parametru wieħed hu mnissel minn \ 1/2 \, \Delta_V, fejn \ \Delta_V hu l-operatur ta' Laplace-Beltrami fuq il-varjetà \ V.

## Noti u referenzi

## Bibljografija
### Aspetti storiċi
* Jean Perrin, *Mouvement brownien et réalité moléculaire*, (Il-moviment Brownjan u r-realtà molekulari) Annales de Chimie et de Physique **19** (it-8 serje), (1909), 5-104. Wieħed jista' jikkonsulta u jniżżel it-test komplut fil-format pdf minn fuq is-sit Gallica tal-BNF.
* Albert Einstein, *Investigations on the Theory of the Brownian Movement*, (Starriġ dwar it-teorija tal-moviment Brownjan) Dover Publications, Inc. (1985), ISBN 0-486-60304-0. Edizzjoni mill-ġdid tal-artikli oriġinali ta' Einstein fuq it-teorija tal-moviment Brownjan.

### Il-moviment Brownjan fl-[[ispazju Ewklidew]]
* Bertrand Duplantier ; *Le mouvement brownien*, (Il-moviment Brownjan) Séminaire Poincaré : *Einstein, 1905-2005* (Pariġi, 8 ta' April 2005). Test komplut disponibbli fuq http://www.bourbaphy.fr/avril2005.html.
* Bernard Derrida u Eric Brunet, *Le mouvement brownien et le théorème de fluctuation-dissipation*, (Il-moviment Brownjan u t-teorema ta' flutwazzjoni-dissipazzjoni) f* Michèle Leduc & Michel Le Bellac (edituri) ; *Einstein aujourd'hui*, EDP Sciences (Jannar 2005), ISBN 2-86883-768-9.
* [[Paul Lévy]], *Processus stochastiques et mouvement brownien*, (Proċessi stokastiċi u l-moviment Brownjan) Gauthier-Villars (it-2 edizzjoni - 1965). Re-editjata minn Jacques Gabay (1992), ISBN 2-87647-091-8.
* Mark Kac, *Random Walk and the Theory of Brownian Motion*, (Mixjiet każwali u t-teorija tal-moviment Brownjan) American Mathematical Monthly *'54(7)** (1947),  369-391. Test jista' jinstab fil-format pdf fuq [http://www.cs.fsu.edu/~mascagni/Kac_AMM_1947.pdf ].
* Edward Nelson, ''Dynamical Theories of Brownian Motion'', (Teoriji dinamiċi tal-moviment Brownjan) Princeton University Press (1967). Test jista' jinstab fil-format pdf fuq [http://www.math.princeton.edu/~nelson/books/bmotion.pdf].

=== Il-moviment Brownjan fuq [[varjetà Riemannjana]] ===
* Elton P. Hsu ; ''Stochastic Analysis on Manifolds'', (Analisi stokastika fuq il-varjetajiet) American Mathematical Society (Jannar 2002), ISBN 0-8218-0802-8. 
* Elton P. Hsu ; ''A Brief Introduction to Brownian Motion on a Riemannian Manifold'', (Introduzzjoni fil-qosor għall-moviment Brownjan fuq varjetà Riemannjana) (2003). Test jista' jinstab fil-format pdf fuq [https://web.archive.org/web/20040730145343/http://www.math.kyoto-u.ac.jp/probability/sympo/Kyushu.pdf].
* Mark A. Pinsky ; ''Isotropic transport process on a Riemannian manifold'', (Proċess iżotropiku tat-trasport fuq varjetà Riemannjana), Transaction of the American Mathematical Society **218** (1976), 353-360. 
* Mark A. Pinsky ; ''Can You Feel the Shape of a Manifold with Brownian Motion ?'' (Tista' tħoss il-forma ta' varjetà permezz tal-moviment Brownjan ?), Expositiones Mathematicae **2** (1984), 263-271.
* Nicolas Th. Varopoulos ; ''Brownian motion and random walks on manifolds'' (Moviment Brownjan u mixjiet każwali fuq varjetajiet), Annales de l'Institut Fourier **34(2)** (1984), 243-269. Test jista' jinstab fil-format pdf fuq [http://aif.cedram.org/item?id=AIF_1984__34_2_243_0]. 
* Alexander Grigor'yan ; ''Analytic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds'', (Sfond analitiku u ġeometriku tal-moviment Brownjan fuq varjetajiet Riemannjani), Bulletin of the American Mathematical Society **36(2)''' (1999), 135-249. Test jista' jinstab fuq https://web.archive.org/web/20101119212304/http://www.ams.org/journals/bull/1999-36-02/.

## Ħoloq esterni
* Animazzjoni bil-Java fuq il-moviment Brownjan (test bl-Inġliż)