Alġebra astratta

L-**alġebra astratta** testendi l-kunċetti li nsibu fl-alġebra elementari għal oħrajn iżjed ġenerali.

**[[Settijiet]]**: Minflok nikkunsidraw biss it-tipi ta’ numri differenti, fl-alġebra astratta nqisu l-kunċett iżjed ġenerali ta’ *sett* li hu ġabra ta’ oġġetti (li jgħidulhom elementi) li għandhom ċerta proprjetà speċifika għas-sett. Pereżempju, in-numri reali jiffurmaw sett u n-numri komplessi sett ieħor. Eżempji oħra ta’ settijiet jinkludu s-sett tal-matriċi ta’ tnejn-bi-tnejn, is-sett tal-polinomji tat-tieni ordni (*ax*2 + *bx* + *c*), is-sett tal-vetturi bidimensjonali, u gruppi finiti varji bħall-gruppi ċikliċi, jiġifieri l-gruppi tan-numri interi modulo *n*. It-Teorija tas-settijiet hija fergħa tal-loġika u teknikament mhix fergħa tal-alġebra.

**[[Operazzjonijiet binarji]]**: L-idea tal-għadd (+) nistgħu nagħmluha iżjed astratta biex ittina *operazzjoni binarja*, * ngħidu aħna. Il-kunċett ta’ operazzjoni binarja ma jfisser xejn jekk ma nagħtux is-sett li fuqu qed niddefinixxu l-operazzjoni. Għal żewġ elementi *a* u *b* f’sett *S* *a***b* ittina element ieħor fis-sett, (din il-kundizzjoni ngħidulha għeluq taħt l-operazzjoni). L-għadd (+), it-tnaqqis (-), il-moltiplikazzjoni (×), u d-diviżjoni (÷) huma operazzjonijiet binarji meta niddefinuhom fuq settijiet addattati, kif ukoll l-għadd u l-multiplikazzjoni tal-matriċi, vetturi u polinomji.

**[[Elementi tal-identità]]**: Il-kunċett tal-“element tal-identità” huwa l-astrazzjoni tan-numri żero u wieħed. Żero huwa l-element tal-identità għall-għadd and u wieħed l-element tal-identità għall-moltiplikazzjoni. Għal operazzjoni binarja ġenerali * l-element tal-identità *e* irid jissodisfa *a* * *e* = *a* u *e* * *a* = *a*. Għall-għadd din hi sodisfatta billi *a* + 0 = *a* u 0 + *a* = *a* u għall-moltiplikazzjini wkoll għax *a* × 1 = *a* u 1 × *a* = *a*. Imma, jekk nieħdu in-numri naturali pożitivi u l-operazzjoni tal-għadd, m’hemmx element tal-identità.

**[[Elementi inversi]]**: Min-numri negattivi noħolqu l-kunċett ta’ *element invers* jew sempliċiment l-*invers*. Għall-għadd, l-invers ta’ *a* huwa *-a*, u għall-multiplikazzjoni l-invers hu 1/*a*. L-element invers ġenerali *a*-1 jrid jissodisfa r-relazzjoni *a* * *a*-1 = *e* u *a*-1 * *a* = *e*.

**[[Assoċjattività]]**: L-għadd tan-numri interi għandu proprjetà li nsejħulha assoċjattività. Jiġifieri, il-kumbinazzjoni tan-numri li nkunu qed ngħoddu ma tbiddilx is-somma tagħhom. Pereżempju: (2+3)+4=2+(3+4). Fil-kuntest generali, din issir (*a* * *b*) * *c* = *a* * (*b* * *c*). Il-biċċa kbira tal-operazzjonijiet binarji għandhom din il-proprjetà imma t-tnaqqis u d-diviżjoni le. 

**[[Kommutattività]]**: L-għadd tan-numri interi għandu wkoll proprjetà oħra li ngħidulha kommutattività. Jiġifieri, l-ordni tan-numri li nkunu qed ngħoddu ma tbiddilx is-somma tagħhom. Pereżempju: 2+3=3+2. Fil-kuntest generali, din issir *a* * *b* = *b* * *a*. Mhux l-operazzjonijiet binarji kollha għandhom din il-proprjetà. L-għadd u l-multiplikazzjoni tan-numri interi għandhom din il-proprjetà imma l-moltiplikazzjoni tal-matriċi le.

### Gruppi—strutturi ta’ sett b’operazzjoni binarja waħda

Meta niġbru flimkien il-kunċetti li rajna qabel, ikollna waħda mill-iżjed strutturi importanti fil-matematika: il- **[[Grupp (Matematika)|grupp]]**. Grupp jikkonsisti f’sett *S* u operazzjoni waħda li rridu, li niktbuha '*', imma li jrid ikolla dawn il-proprjetajiet:

* Irid ikun hemm element tal-identità *e*, li għal kull membru ieħor *a* ta’ *S*, *e* * *a* u *a* * *e* huma t-tnejn ugwali għal *a*.
* Kull element irid ikollu invers: għal kull membru ieħor *a* ta’ *S*, irid jeżisti membru *a*-1 sabiex *a* * *a*-1 u *a*-1 * *a* huma t-tnejn ugwali għall-element tal-identità.
* L-operazzjoni hi assoċjattiva: għal *a*, *b* u *c* membri ta’ *S*, (*a* * *b*) * *c* hija ugwali għal *a* * (*b* * *c*).

Jekk grupp hu anki kommutattiv - jiġifieri, għal kull żewg membri *a* u *b* ta’ *S*, *a* * *b* hija ugwali għal *b* * *a* – il-grupp ngħidu li hu Abeljan.

Pereżempju, is-sett tan-numri interi bl-operazzjoni tal-għadd huwa grupp. F’dal grupp, l-identità hija 0 u l-invers ta’ kull element *a* huwa n-negativ tiegħu, -*a*. Il-kundizzjoni ta’ assoċjattività hi sodisfatta, għax għal kull tliet numri interi *a*, *b* u *c*, (*a* + *b*) + *c* = *a* + (*b* + *c*).

Imma l-interi bl-operazzjoni tal-moltiplikazzjoni ma jiffurmawx grupp. Dan jiġri għax, in ġenerali, l-invers moltiplikattiv ta’ numru interu mhuwiex interu. Pereżempju, 4 huwa interu, imma l-invers moltiplikattiv tiegħu hu 1/4, li mhux interu.

L-istudju tal-gruppi jsir fit-teorija tal-gruppi. Wieħed mir-riżultati l-iżjed importanti f’din it-teorija kien il-klassifikazzjoni tal-gruppi finiti sempliċi li l-ikbar parti tagħha ġiet ippublikata bejn xi l-1955 u l-1983. Din tqassam il-gruppi sempliċi finiti f’xi 30 tip bażiku.

Semigruppi, kważigruppi, u monoidi huma strutturi simili għall-gruppi, imma iżjed ġenerali. Jikkonsistu f’sett u operazzjoni binarja magħluqa, imma ma jissodisfawx il-kondizzjonijiet l-oħra neċessarjament. Semigrupp għandu operazzjoni binarja *assoċjattiva*, imma jista’ jkun li m’għandux element tal-identità. Monoid huwa semigrupp li għandu identità imma jista’ jkun li m’għandux invers għal kull element. Kważigrupp għandu l-proprjetà li kull element jista’ jinbidel f’kull ieħor bi pre- jew post-operazzjoni unika; imma l-operazzjoni binarja jista’ jkun li mhux assoċjattiva.

Il-gruppi kollha huma monoidi, u l-monoidi kollha huma semigruppi.

### Ċrieki u Kampi—strutturi ta’ sett b’żewġ operazzjonijiet binarji, (+) u (×)

Il-gruppi għandhom operazzjoni binarja waħda biss. Biex nispjegaw il-mekkaniżmu tat-tipi ta’ numri differenti kompletament, hemm bżonn li nistudjaw strutturi b’żewġ operazzjonijiet. L-iżjed importanti fost dawn huma ċ-Ċrieki, u l-Kampi. 

Id-**[[Distributtività]]** tiġġeneralizza l-*liġi distributtiva* tan-numri u tiffissa f’liema ordni għandna napplikaw l-operazzjonijiet, (ngħidulha l-preċedenza). Għall-interi (*a* + *b*) × c = *a*×*c*+ *b*×*c* u *c* × (*a* + *b*) = *c*×*a* + *c*×*b*, u ngħidu li × hija * distributtiva * fuq +.

**[[Ċirku]]** għandu żewġ operazzjonijiet (+) u (×), fejn × hu distributtiv fuq +. Taħt l-ewwel operazzjoni (+) jifforma *grupp Abeljan*. Taħt it-tieni operazzjoni (×) hu assoċjattiv, imma m’hemmx bżonn ta' identità jew ta' invers, u allura ma nistgħux niddividu. L-element tal-identità tal-għadd (+) niktbuha bħala 0 u l-inverse tal-għadd ta’ *a* jinkiteb -*a*.

In-numri interi huma eżempju ta’ ċirku. 

**[[Kamp]]** hu *ċirku* b’proprjetà oħra miżjuda li l-elementi kollha barra 0 jiffurmaw *grupp Abeljan* taħt ×. L-identità moltiplikattiva (×) niktbuha bħala 1 u l-invers moltiplikattiv ta’ *a* jinkiteb *a*-1.

In-numri razzjonali, in-numri reali u n-numri komplessi huma kollha eżempji ta’ kampi.