Ekwazzjoni ta' Schrödinger

L-**ekwazzjoni ta' Schrödinger**, misjuba mill-fiżiku Awstijak/Irlandiż Erwin Schrödinger fl-1925, hi ekwazzjoni fundamentali fil-Mekkanika kwantistika mhux relativistika. Tiddeskrivi l-evoluzzjoni mal-ħin ta' partiċella massiva mhux relativistika, u tieħu l-post li għandha t-tieni liġi ta' Newton fil-Mekkanika klassika. 

## Twelid tal-ekwazzjoni

### Kuntest storiku

Fil-bidu tas-seklu XX, kien jidher ċar li d-dawl juri d-dwalità mewġa-partiċella, jiġifieri jista' jidher, skont iċ-ċirkostanzi, kemm bħala partiċella, il-foton, u kemm bħala mewġa elettromanjetika. Louis de Broglie imbagħad ippropona li għandna niġġeneralizzaw id-dwalità għall-partiċelli magħrufa kollha allavolja l-ipoteżi kienet ħa toħloq paradoss għall-elettroni li kien ikollhom ikunu jistgħu jagħmlu interferenza bħad-dawl, ħaġa li ġiet verifikata wara mill-esperiment ta' Davisson-Germer. Bl-istess mod bħal fil-każ tal-foton, Louis de Broglie assoċja ma' kull partiċella ħielsa ta' enerġija \displaystyle{E} u momentu \displaystyle{p} frekwenza \displaystyle{\nu} u tul tal-mewġa \displaystyle{\lambda} :
:\left\{\begin{matrix}E=h\nu\\p=h/\lambda\end{matrix}\right..

L-ekwazzjoni ta' Schrödinger, misjuba mill-fiżiku Erwin Schrödinger fl-1925, hi ekwazzjoni tal-mewġa li tiġġeneralizza l-approċċ ta' de Broglie li rajna hawn fuq għall-partiċelli massivi mhux relativistiċi li hemm fuqhom forza mnissla minn potenzjal u li l-enerġija mekkanika totali tagħhom hi klassikament:
: E = {p^2\over 2m}+ V(r). 
L-ekwazzjoni, imnissla minn din l-estensjoni permezz tal-prinċipju tal-korrispondenza, kellha suċċess minnufih billi biha setgħu jikkalkulaw il-livelli kwantifikati tal-enerġija tal-elettron fl-atomu tal-idroġenu u jispjegaw l-ispettru tal-idroġenu : is-serji ta' Lyman, Balmer, Brackett, Paschen, eċċ. 

L-interpretazzjoni fiżika korretta tal-funzjoni ta' Schrödinger ingħatat fl-1926 minn Max Born. Minħabba l-karattru probabilistiku li daħħlet, il-mekkanika ondulatorja ta' Schrödinger fil-bidu intlaqgħet bis-suspett minn ċerti fiżiċi magħrufin bħal Albert Einstein, li għalih "Alla ma jilgħabx bid-dammi".

### Id-derivazzjoni ta' Schrödinger

Id-derivazzjoni tiegħu Schrödinger ibbażaha fuq analoġija formali bejn l-ottika u l-mekkanika:

* Fl-ottika ondulatorja, l-ekwazzjoni tal-propagazzjoni f'materjal trasparenti ta' indiċi reali *n* li jinbidel bil-mod fuq l-iskala tat-tul tal-mewġa, twassal – sakemm wieħed jkun qiegħed ifittex soluzzjoni monokromatika li l-ampjezza tagħha tvarja bil-mod ħafna mal-fażi – għal ekwazzjoni approssima li tissejjaħ l-ekwazzjoni eikonali. Din hija l-approssimazzjoni tal-ottika ġeometrika, li magħha nassoċjaw il-prinċipju varjazzjonali ta' Fermat.

* Fil-formulazzjoni Hamiltonjana, hemm ekwazzjoni msejħa l-ekwazzjoni ta' Hamilton-Jacobi. Għal partiċella massiva mhux relativistika li fuqha hemm forza mnissla minn potenzjal, l-enerġija mekkanika totali hi kostanti u l-ekwazzjoni ta' Hamilton-Jacobi għall-"funzjoni karatteristika ta' Hamilton" tixbaħ formalment l-ekwazzjoni eikonali (il-prinċipju varjazzjonali użat hawn hu l-prinċipju tal-inqas azzjoni.)

Din l-analoġija induna biha Hamilton fl-1843, imma dan ma kellux għalfejn jiddubita l-validità tal-mekkanika klassika. Wara li De Broglie ħareġ bl-ipoteżi tiegħu fl-1923, Schrödinger qal lilu nnifsu  : la l-ekwazzjoni eikonali hija approssimazzjoni tal-ekwazzjoni tal-mewġa fl-ottika ondulatorja, għaliex ma nfittxux l-ekwazzjoni tal-mewġa fil-"mekkanika ondulatorja" li l-approssimazzjoni tagħha tkun l-ekwazzjoni ta' Hamilton-Jacobi. U hekk għamel, l-ewwel għal mewġa stazzjonarja (*E* = kostanti), u mbagħad għal liema mewġa tkun kif tkun.

Rimarka : Schrödinger kien beda jittratta l-każ ta' partiċella relativistika – kif kien għamel De Broglie qablu. Kien kiseb l-ekwazzjoni li llum tissejjaħ bl-isem l-ekwazzjoni ta' Klein-Gordon, imma meta sab li l-applikazzjoni tiegħu għall-każ tal-potenzjal Coulombjan tagħti livelli tal-enerġija li ma jaqblux mar-riżultati tal-esperimenti għall-atomu tal-idroġenu, reġa' ntefa' fuq il-każ mhux relativistiku, bis-suċċess li jaf kulħadd.

Derivazzjoni elementari 
&nbsp;
Ladarba nkunu waqqafna l-anoloġija bejn l-ottika u l-mekkanika Hamiltonjana, il-bqija tad-derivazzjoni hi ħafifa. L-ekwazzjoni li tissodisfa l-ampjezza spazjali ta' mewġa monokromatika ta' frekwenza  \omega f'materjal ta' indiċi *n* li tvarja bilmod nistgħu niktbuha hekk:


(\Delta \ + \ \frac{n^2 \, \omega^2}{c^2}) \ \psi(\vec{r}) \ = \ 0


Nintroduċu n-numru tal-mewġa *k* f'materjal ta' indiċi *n*:


k^2 \ = \ \frac{n^2 \, \omega^2}{c^2}


Imbagħad niksbu l-ekwazzjoni ta' Helmholtz :


(\Delta \ + \ k^2) \ \psi(\vec{r}) \ = \ 0


Niddefinixxu t-tul tal-mewġa f'materjal :\lambda = 2 \pi / k u nerġgħu niktbu l-ekwazzjoni ta' Helmholtz hekk :



\left( \, \Delta \ + \ \frac{4\pi^2}{\lambda^2} \, \right) \ \psi(\vec{r}) \ = \ 0



Imbagħad nistgħu nużaw ir-relazzjoni ta' de Broglie għall-partiċella mhux relativistika, li għaliha il-momentu hu *p = m v * :



\lambda \ = \ \frac{h}{mv} \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{\lambda^2} \ = \ \frac{m^2 \, v^2}{h^2}



Issa, l-enerġija ċinetika għall-partiċella mhux relativistika hi :



\frac{1}{2} \, m \, v^2 \ = \ E \ - \ V(\vec{r})



u minha niksbu l-**ekwazzjoni ta' Schrödinger stazzjonarja** :



\left[ \, \Delta \ + \ \frac{8\pi^2m}{h^2} \, \left( \, E \ - \ V(\vec{r}) \, \right) \ \right] \ \psi(\vec{r}) \ = \ 0



Nintroduċu l-kwantu ta' azzjoni  \hbar = h/2\pi u l-ekwazzjoni npoġguha fil-forma formali :



- \ \frac{\hbar^2}{2m} \, \Delta \psi(\vec{r}) \ + \ V(\vec{r}) \, \psi(\vec{r}) \ = \ E \, \psi(\vec{r})



Baqgħalna nerġgħu nintroduċu il-ħin *t* biex nuru d-dipendenza ta' mewġa monkromatika. Nużaw ir-relazzjoni ta' Planck-Einstein E = \hbar \omega   u niksbu:



\psi(\vec{r},t) \ = \ \psi(\vec{r}) \ \mathrm{e}^{- \, i \, \omega \, t} \ = \ \psi(\vec{r}) \ \exp \left( - \, \frac{i \, E \, t}{\hbar} \right)



Fl-aħħar niksbu l-**ekwazzjoni ġenerali ta' Schrödinger**:



- \ \frac{\hbar^2}{2m} \, \Delta \psi(\vec{r},t) \ + \ V(\vec{r}) \, \psi(\vec{r},t) \ = \ i \, \hbar \ \frac{\partial \psi(\vec{r},t)}{\partial t}




## Formulazzjoni moderna tal-ekwazzjoni

Fil-mekkanika kwantistika, l-istat fil-mument *t* ta' sistema niddeskrivuha b'element \left| \Psi (t)\right\rangle tal-ispazju ta' Hilbert kompless — nużaw in-notazzjoni bra-ket ta' Paul Dirac. \left| \Psi (t)\right\rangle tirrappreżenta l-probabbilità tar-riżultati ta' kull kejl possibbli fuq is-sistema.

L-evoluzzjoni temporali ta' \left| \Psi (t)\right\rangle niddeskrivuha bl-ekwazzjoni ta' Schrödinger :

 
fejn 
* \displaystyle{i} hu radiċi ta'  \displaystyle{-1};
* \hbar=\frac{h}{2\pi} fejn \displaystyle{h} hu l-kostanti ta' Planck ;
* \hat{H}\, hu l-Hamiltonjan, li inġenerali jiddependi mill-ħin, l-osservabbli li jikkorrespondi għall-enerġija totali tas-sistema ;
* \hat{\vec{\mathbf{r}}}\, hu l-osservabbli pożizzjoni ;
* \hat{\vec{\mathbf{p}}}\, hu l-osservabbli momentu.

Bil-kontra għall-ekwazzjonijiet ta' Maxwell li jagħtu l-evoluzzjoni tal-mewġ elettromanjetiċi, l-ekwazzjoni ta' Schrödinger mhijiex relativistika. Din l-ekwazzjoni kienet postulat. Ġiet aċċettata bħala korretta wara li Davisson u Germer bl-esperimenti tagħhom kienu kkonfirmaw l-ipoteżi ta' Louis ta' Broglie.

## Riżoluzzjoni tal-ekwazzjoni
Billi l-ekwazzjoni ta' Schrödinger hi ekwazzjoni vettorjali, nistgħu niktbuha b'mod ekwivalenti f'bażi partikulari tal-ispazju tal-istati. Jekk pereżempju nagħżlu l-bażi \left|\vec{r}\right\rangle li tikkorrispondi mar-rappreżentazzjoni tal-pożizzjoni ddefinita hekk


\hat{\vec{\mathbf{r}}}\left|\vec{r}\right\rangle=\vec{r}\left|\vec{r}\right\rangle


imbagħad il-funzjoni tal-mewġa \Psi (t,\vec{r})\equiv\left\langle\vec{r}\right|\left.\Psi(t)\right\rangle\,tissodisfa l-ekwazzjoni li ġejja


i\hbar{\partial\Psi(t,\vec{r})\over\partial t}=-{\hbar^2\over 2m}\overrightarrow{\nabla}^2\Psi(t,\vec{r})+V(\vec{r},t)\Psi(t,\vec{r})


fejn  \overrightarrow{\nabla}^2\, hi l-Laplacjana.

F'din il-forma nistgħu naraw li l-ekwazzjoni ta' Schrödinger hi ekwazzjoni lineari bid-derivati parzjali u allura nistgħu niktbu s-soluzzjoni ġenerali tagħha bħala s-somma ta' soluzzjonijiet partikulari. L-ekwazzjoni fil-parti l-kbira tal-każi hi kkomplikata wisq biex ikollha soluzzjoni analitika u għalhekk ikollna nfittxu soluzzjoni approssima jew numerika. 

### Tfittxija għall-awtostati
Bill l-operaturi li jidhru fl-ekwazzjoni ta' Schrödinger huma operaturi lineari, kull kumbinazzjoni lineari ta' soluzzjonijiet hi soluzzjoni tal-ekwazzjoni. Għalhekk nikkonċentraw fuq it-tfittxija għal soluzzjoniet li hemm interess kbir fihom għar-raġunijiet teoretiċi u prattiċi, l-istati li huma awtostati tal-operatur Hamiltonjan:
:H|\varphi_{n}\rangle =E_{n}|\varphi_{n}\rangle .
L-awtostat \ |\varphi_{n}\rangle hu assoċjat mal-awtovalur skalari reali\ E_{n} , l-enerġija tal-partiċella li għandha |\varphi_{n}\rangle bħala stat. Din l-ekwazzjoni xi minn daqqiet tissejjaħ l-**ekwazzjoni ta' Schrödinger indipendenti mill-ħin**. 

Il-valuri tal-enerġija jistgħu jkunu diskreti bħas-soluzzjonijiet fil-każ ta' bir ta' potenzjal (pereż. il-livelli tal-atomu tal-idroġenu); dawn jirriżultaw fil-kwantifikazzjoni tal-livelli tal-enerġija. Jistgħu ukoll jagħtu spettru kontinwu bħal meta l-partiċella jkollha biżżejjed enerġija biex titbiegħed għall-infinit (pereż. elettron li għandu biżżejjed enerġija biex jaħrab min-nukleu tal-idroġenu).
	
Spiss jiġri li bosta stati\ |\varphi_{n}\rangle jikkorispondu mal-istess valur tal-enerġija: f'dan il-każ ngħidu li l-livell tal-enerġija hu deġenerat.

B'mod ġenerali awtostat tal-Hamiltonjan,  \ |\varphi_{n}\rangle, u l-enerġija assoċjata miegħu, jagħti soluzzjoni stazzjonarju tal-ekwazzjoni ta' Schrödinger (li tiddependi mill-ħin) :
: |\psi_{n}(t)\rangle \,= \, |\varphi_{n}\rangle \,e^\left ( \frac{-iE_{n}t}{\hbar} \right ).                     
Mela s-soluzzjoni ġenerali tal-ekwazzjoni ta' Schrödinger nistgħu niktbuha bħala kumbinazzjoni lineari ta' stati bħal dawn:
:|\psi(t)\rangle \, = \, \sum_{n} c_{n}|\varphi_{n}\rangle e^ \left (\frac{-iE_{n}t}{\hbar}\right ).

Skont il-postulati tal-Mekkanika kwantistika,
* il-kwantità skalari komplessa\ c_{n} hi l-ampjezza tal-istat\ \psi(t) fuq l-istat \ \varphi_{n};
* in-numru reali \ |c_{n}|^2 hu l-probabbiltà (fil-każ ta' spettru diskret) li nsibu enerġija\ E_{n} meta nkejlu l-enerġija tas-sistema.

### Soluzzjonijet analitiċi eżatti
It-tfittixija għall-awtostati tal-Hamiltonjan hi, inġenerali, komplessa ħafna. Anki l-każ tal-atomu tal-idroġenu li nistgħu nirriżolvuh analitikament, ma nistgħux niktbuh f'forma sempliċi jekk ma nħallux barra r-rabta mal-kamp elettromanjettiku li tippermetti l-istati eċċitati, is-soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni de Schrödinger tal-atomu, li jgħaddu għall-istat fundamentali. 

Nistgħu nsibu soluzzjonijiet analitiċi għal xi mudelli sempliċi li għalkemm ma jaqblux mar-realtà nstabu utli ħafna: 
* partiċella ħielsa (potenzjal null);
* oxxillatur armoniku (potenzjal kwadratiku);
* partiċella li timxi f'ċirku;
* partiċella f'bir ta'potenzjal rettangulari;
* partiċella f'gwida tal-mewġ anulari ;
* partiċella f'potenzjal b'simetrija sferika;
* partiċella f'xibka unidimensjonali (potenzjal perjodiku).

Fil-każi l-oħra jkollna nirrikorru għal diversi metodi ta' approssimazzjoni:
* it-teorija tal-perturbazzjonijiet tagħti espressjonijiet analitiċi f'forma ta' żvilupp asintotiku madwar problema mhux perturbat li hu eżattament riżolvibbli.
* l-analiżi numerika tippermettielna nistudjaw sitwazzjonijiet li ma nistgħux nilħquhom bit-teorija tal-perturbazzjonijiet.

## Ġeneralizzazzjoni tal-ekwazzjoni
Il-ġeneralizzazzjoni għall-qasam relativistiku twassal għall-ekwazzjoni ta' Klein-Gordon, u mbagħad għall-ekwazzjoni ta' Dirac; din tal-aħħar tistabilixxi b'mod naturali l-eżistenza tal-ispin u tal-antipartiċelli. Madankollu ma teżistix interpretazzjoni koerenti għalkollox ta' dawn l-ekwazzjonijiet relativistiċi tal-mewġa fil-forma ta' teorija li tiddeskrivi partiċella waħda u għalhekk it-teorija kwantistika relativistika rridu nqegħduha fit-teorija kwantistika tal-kampi.

## Referenzi u noti

## Bibljografija
* Erwin Schrödinger, *Quantisierung als Eigenwertproblem*. Annalen der Physik vol. 79, 1926, pp. 361, 489, 734, u Vol 81, p. 109, 1926.
* Paul Adrien Maurice Dirac, *The Principles of Quantum Mechanics* ir-4 edizzjoni, Oxford University Press, 1958.
* Erwin Schrödinger, "An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules"  Physical. Review, Vol 28 p. 1049, 1926.

## Ara wkoll

* Erwin Schrödinger
* Mekkanika kwantistika