Trasformata ta' Fourier

It-**trasformata ta' Fourier** hi waħda mit-trasformati integrali l-iżjed importanti fil-matematika, b'applikazzjonijiet bla għadd fix-xjenzi, (in partikulari fil-fiżika, akustika, ottika, kristallografija), u fil-matematika stess (analisi, teorija ta' probabbiltà, statistika, teorija tan-numri, ġometrija). Fit-teorija tas-sinjali, it-*trasformata ta' Fourier* ninterpretawha bħala rappreżentazzjoni ta' sinjal f'termini ta' frekwenzi u ampjezzi relattivi. Eżempju utli li jista' jgħin biex nifhmu aħjar dan il-kunċett hu dak tal-mużika: permezz tat-*trasformata ta' Fourier* nistgħu nifirdu l-musika li nisimgħu (is-sinjal prominenti) f'mewġiet separati reżonanti magħmulin mill-istrumenti differenti, jiġifieri l-ħoss (bill-frekwenzi u l-ampjezzi relattivi) tat-tanbur, tal-kuntrabaxx, tal-kitarra, eċċ.

It-**trasformata ta' Fourier** żviluppaha il-matematiku Franċiż Jean Baptiste Joseph Fourier fl-1822, fit-trattat tiegħu *Théorie analytique de la chaleur*.

## Definizzjoni


Definizzjoni: Trasformata ta' Fourier

Għal u \in L^1(\R)\!, niddefinixxu t-*trasformata ta' Fourier* tal-funzjoni u\! hekk:

:\mathcal{F}\{u\}(\omega) = \hat{u}(\omega) := } \int_{\R} e^{-{\rm i}\omega t}u(t)\,dt\qquad\forall\omega\in\R\!



Nuru l-operazzjoni bl-ittra F kalligrafika, jiġifieri:

:\mathcal{F}: u\to\hat{u}\! 

Nistgħu nestendu din id-definizzjoni ukoll għall-funzjonijiet u\in L^1(\R^n)\!:


Definizzjoni: Trasformata ta' Fourier

Għal u \in L^1(\R^n)\! niddefinixxu t-*trasformata ta' Fourier* tal-funzjoni u\! hekk:
:\mathcal{F}\{u\}(\boldsymbol{\omega}) = \hat{u} (\boldsymbol{\omega}) :=  \int_{\R^n} e^{-{\rm i}\boldsymbol{\omega}\cdot \mathbf{t}}u(\mathbf{t})\,d\mathbf{t}\qquad\forall\boldsymbol{\omega}\in\R^n\!
fejn \boldsymbol{\omega}\cdot \mathbf{t}\! jirrappreżenta l-prodotti skalari.




Iżjed il-quddiem naraw it-tifsira tal-fattur \!.

### Eżempji
----
Jekk u(t) = \chi_{[-1,+1]}(t)\!, jiġifieri l-funzjoni karatteristika ta' wisa' tnejn, għandna:

:\hat u (\omega) = } \int_{\R} e^{-i\omega t}\chi_{[-1,+1]}(t)\,dt = } \int_{-1}^{+1}e^{-{\rm i}\omega t}\,dt 

:::=} {\left [\over{-{\rm i}\omega}} \right ]}_{-1}^{+1} = } {{e^\over\,dt = \sqrt e^{-|\omega|}\!

## Proprijetajiet formali
Mill-linjarità ta' l-integral toħroġ immedjatament il-*linjarità* tat-trasformata ta' Fourier, espliċitament:

:\mathcal{F}(\alpha f + \beta g) = \alpha \mathcal{F}(f) + \beta \mathcal{F}(g)
għal kull f, g \in L^1(\mathbb{R}) u \alpha , \beta \in \mathbb{C}.

Mid-definizzjoni isegwi immedjatament li traslazzjoni ta' funzjoni tirriżulta f'moltiplikazzjoni
tat-trasformata b'esponenzjali, u vice versa: 

Ħalli f \in L^1(\mathbb{R}) u \alpha \in \mathbb{C}.

Jekk g(t) = f(t - \alpha), imbagħad
:\hat{g}(\omega) = \hat{f}(\omega)e^{-{\rm i}\alpha\omega}
u jekk g(t) = f(t)e^\int_{-\infty}^\infty f(t-s) g(s) \mathrm{d}s,
imbagħad ikollna
:\widehat{f*g} = \hat{f} \hat{g}.
Nistgħu nipprovaw din il-proprijetà billi napplikaw it-Teorema ta' Fubini.

Bl-integrazzjoni bill-parti nistgħu nipprovaw li jekk g(t) = -{\rm i}tf(t) u f,g \in L^1(\mathbb{R}), imbagħad \hat{f} hi differenzjabbli u d-derivata tingħata hekk
:\hat{f}'(\omega) = \hat{g}(\omega).
Jekk vice versa f \in L^1(\mathbb{R}) hi differenzjabbli u d-derivata minn naħa tagħha hi assolutament integrabbli, f' \in L^1(\mathbb{R}), imbagħad it-trasformata tad-derivata hi \widehat{f'} (\omega) = i\omega \hat{f}(\omega). 
Din il-proprijetà tippermettilna nsibu s-soluzzjonijiet ta' xi ekwazzjonijiet differenzjali, billi nittrasformawhom f'ekwazzjonijiet alġebrin.

## Teorema Riemann-Lebesgue


Teorema: Teorema Riemann-Lebesgue

Ħalli u \in L^1(\R^n)\!. Jekk \hat u = \mathcal{F}\{u\}, imbagħad:

# \hat u \in C^0(\R^n)\cap L^\infty (\R^n)\!
# {\left\| \hat u \right\|}_{L^\infty(\R^n)} \le {\left\| u \right\|}_{L^1(\R^n)}\!
# \lim_{\|\boldsymbol{\xi}\|\to\infty} \hat u (\boldsymbol{\xi}) = 0\!


## Ara wkoll
* Serje ta' Fourier
* Analisi ta' Fourier
* Trasformata ta' Laplace

## Biblijografija

* Michael Reed, Barry Simon: *Methods of Modern Mathematical Physics, vol. II: Fourier Analysis, Self-Adjointness.*