Analisi komplessa

L-**Analisi komplessa** (jew iżjed preċiż, it-**teorija tal-funzjonijiet ta’ varjabbli komplessi**) hi dik il-fergħa ta’ l-analisi matematika li tapplika l-idejat tal-kalkulu infiniteżmali għall-funzjonijiet komplessi, jiġifieri għal funzjonijiet li għandhom bħala dominju u kodominju settijiet ta’ numri komplessi. 

Il-kunċett ewlieni tal-analisi komplessa hi l-funzjoni olomorfa: din hi funzjoni komplessa mgħammra b’nozzjoni ta’ derivata, fl-istess mod kif isir fil-każ tal-funzjonijiet reali tas-soltu. Il-funzjoni meromorfa hi estensjoni ta’ dan il-kunċett.

L-analisi komplessa hi utli ħafna f’bosta friegħi tal-matematika, bħal pereżempju, it-Teorija tan-numri u l-ġometrija alġebrija; għandha applikazzjonijiet importanti anki fil-fiżika.

## Funzjonijiet olomorfi
### Definizzjoni
L-analisi komplessa tapplika l-metodi tal-kalkulu infiniteżmali għan-numri komplessi. Biex nagħmlu dan, hemm bżonn li nimudellaw in-numri komplessi fil-pjan kompless, mgħammar bit-topoloġija ewklideja tas-soltu. It-topoloġija tippermettielna li nitkellmu fuq suċċessjonijiet, fuq limiti, fuq settijiet miftuħin u magħluqin fil-pjan.

L-analisi komplessa tistudja funzjonijiet
: f:A\to \mathbb C 
definiti fuq sett miftuħ \ A  tal-pjan kompless \ \mathbb C , b’valuri komplessi. B’mod analogu għal kollox ma’ dak li jsir fil-każ reali, funzjoni hi *derivabbli f’sens kompless* f’punt jekk ir-rapport inkrementali għandu limitu fil-punt. Jekk il-funzjoni hi derivabbli f’sens kompless f’kull punt ta’ \ A , ngħidulha funzjoni olomorfa.

### Relazzjoni mad-differenzjabbiltà
Bl-użu tal-identifikazzjoni ta’ \mathbb C  ma’ \R^2 , il-funzjoni  f  nistgħu ninterpretawha bħala funzjoni minn sett miftuħ ta’ \R^2  għal \R^2 . Funzjoni derivabbli f’sens kompless hi neċessarjament differenzjabbli jekk ninterpretawha b’dal-mod. Però l-oppost mhux veru; il-kundizzjoni ta’ derivabbiltà f’sens kompless għal funzjoni differenzjabbli hi miġbura fl-ekwazzjonijiet ta’ Cauchy-Riemann.

### Mapep konformi
Funzjoni olomorfa li għandha derivata kullimkien differenti minn zero, ngħidulha mappa konformi: hi mappa li tippreżerva jew iżżomm l-angoli, imma mhux neċessarjament id-distanzi. Dil-proprjetà ġejja mill-fatt li funzjoni olomorfa hi (bħal fil-każ reali) approssimabbli lokalment minn funzjoni linjari, u mill-fatt li l-funzjonijiet linjari fuq il-pjan kompless huma kompożizzjoni ta’ omotetji u rotazzjonijiet, it-tnejn operazzjonijiet konformi.

### Funzjonijiet armoniċi
Min-naħa l-oħra, il-parti reali u l-parti immaġinarja ta’ funzjoni olomorfa huma t-tnejn funzjonijiet armoniċi: xi proprijetajiet tal-funzjonijiet armoniċi, bħal dik ta’ li ma tħallix massimi u minimi lokali, jintirtu mill-funzjonijiet olomorfi.

## Il-Formula ta’ Cauchy
L-ingredjent ewlieni tal-analisi komplessa, li m’għandux analogu fl-analisi reali , hu il-formula ta’ Cauchy. Dil-formola tagħti relazzjoni bejn il-valur \ f(z)  ta’ funzjoni olomorfa fil-punt \ z  ma’ l-integral ta’ funzjoni mibnija minn \ f  matul kurva sempliċi magħluqa \ \Gamma  li "iddur" mal-punt \ z :
:f(z) =  \cdot \oint_{\Gamma}  \,dz'. 
Mill-formola ta’ Cauchy joħorġu ħafna proprijetajiet tal-funzjonijiet olomorfi, li m’għandhomx analogi fl-ambitu ta’ l-analisi reali . Niddeskrivu xi wħud minn dawn il-proprijetajiet hawn taħt.

### Analitiċità
Funzjoni olomorfa hi dejjem analitika. Dan ifisser li lokalment nistgħu nesprimuha bħala serje ta’ potenzi. Fi kliem ieħor, fl-ambitu kompless l-eżistenza tal-ewwel derivata hi biżżejjed biex tiggarantixxi mhux biss l-eżistenza tad-derivati ta’ kull ordni, imma wkoll l-analitiċità tal-funzjoni. Dan ma jiġrix fl-ambitu reali . 

### It-teorema ta’ Liouville
Funzjoni olomorfa hi intera jekk hi definita fuq il-pjan kompless kollu. Il-funzjonijiet interi huma dawk il-funzjonijiet li f’kull punt għandhom rappreżentazzjoni bħala serje ta’ potenzi b’raġġ ta’ konvergenza infinit. Il-funzjonijiet interi għandhom ħafna restrizzjonijiet. Fosthom, it-Teorema ta’ Liouville li tgħid li funzjoni intera li mhijiex kostanti ma jistax ikollha modulu limitat fil-pjan. 

Għalhekk fl-ambitu kompless ma jeżistux funzjonijiet bħal l-arktanġent reali , li huma definiti fuq \mathbb C  kollha imma b’modulu uniformement limitat.

### It-teorema tal-modulu massimu
It-Teorema tal-modulu massimu, tgħid li l-modulu \ |f(z)|  ta' funzjoni olomorfa \ f definita fuq sett miftuħ \ A  ma jistax jilħaq il-massimu. Jekk id-dominju \ A  hu limitat u l-funzjoni \ f  nistgħu nestenduha bil-kontinwità għall-għeluq ta’ \ A , il-modulu jilħaq il-massimu fuq wieħed mill-punti tat-xifer.

## Eżempji ta’ funzjonijiet olomorfi

Kull funzjoni definita mill-bidu bl-erba’ operazzjonijiet aritmetiċi hi olomorfa fis-sett miftuħ li fih hi definita sewwa. Jekk \ p(z)  u \ q(z)  huma żewġ polinomi, il-funzjoni
: f(z)=  
hi olomorfa fuq is-sett miftuħ \ A  miksub billi nnaħħu minn \ \mathbb C  il-punti li jikkorrispondu mar-radiċi ta’ \ q .

Kull funzjoni analitika reali testendi b’mod uniku għal funzjoni olomorfa. Il-proċedura li biha l-funzjonijiet olomorfi jiġu estiżi b’mod uniku ngħidulha prolungament analitiku. In partikulari, il-funzjonijiet esponenzjali, tas-senu, u l-funzjonijiet trigonometriċi huma funzjonijiet olomorfi.

L-imġiba tal-funzjonijiet esponenzjali u s-senu fl-ambitu kompless hi iżjed għanja milli nsibu fl-ambitu reali. Per eżempju, minħabba t-Teorema ta’ Liouville il-funzjoni tas-senu mhijiex limitata fil-pjan kompless (kontra li jiġri fir-reali, fejn tvarja bejn -1 u 1). Anzi, il-funzjoni tas-senu hija surġettiva fuq il-komplessi.

## Il-funzjonijiet meromorfi
### Singularitajiet iżolati
Kunċett ieħor ċentrali fl-analisi komplessa hu dak tas-singularitajiet iżolati. Funzjoni olomorfa
: f:A\setminus \{z_0\} \to \mathbb C 
definita fuq sett miftuħ \ A , bil-punt intern \ z_0  imneħħi, għandha singularità iżolata f' \ z_0 . Dan differenti milli jiġri fil-każ ta’ funzjonijiet reali għax l-imġiba tal-funzjoni qrib \ z_0  nistgħu naqsmuha fi tliet tipi, determinati mill-imġiba tal-modulu \ |f(z)|  qrib il-punt:

# Jekk \ |f(z)| hu limitat fl-inħawi ta’ \ z_0 , is-singularità hi eliminabbli: il-funzjoni testendi bil-kontinwità għall-punt, u l-estensjoni tibqa’ olomorfa. 
# Jekk \ |f(z)| jersaq lejn l-infinit meta \ z  tersaq lejn \ z_0 , is-singularità ngħidulha pol.
# Fil-każi l-oħra kollha, \ |f(z)|  m’għandiex limitu meta \ z  tersaq lejn \ z_0 , u s-singularità ngħidulha essenzjali.

### Sfera ta’ Riemann
Jekk il-funzjoni għandha singularità eliminabbli f’\ z_0 , din testendi għal funzjoni olomorfa fuq \ A . Jekk għandha pol, possibbli wkoll nestendu l-funzjoni billi nqegħdu \ f(z_0)=\infty . Ir-riżultat ta’ din operazzjoni hi funzjoni ta’ tip ġdid, li ngħidula meromorfa. 

Il-funzjonijiet meromorfi iġibu ruħhom lokalment bħall-funzjonijiet olomorfi: biżżejjed inżidu mal-pjan kompless, il-punt \ \infty , permezz tal-projezzjoni sterjografika. L-ispazju li niksbu hu topoloġikament ekwivalenti għal l-isfera, u jgħidulu l-isfera ta’ Riemann. Spiss hu identifikat mall-linja dritta projettiva komplessa \mathbb {CP}^1 . Funzjoni meromorfa hi għalhekk funzjoni partikulari
: f:A\to\mathbb {CP}^1. 
B’din il-kostruzzjoni, il-punt fl-infinit nittrattawh bħal l-oħrajn kollha, u nistgħu naqilbu ħafna riżultati fuq il-funzjonijiet olomorfi għall-kuntest tal-funzjonijiet meromorfi. Estensjoni analoga tista’ ssir jekk id-dominju, \ A , jkun sett miftuħ ta’ \mathbb {CP}^1 . 

Per eżempju (trasformazzjoni ta’ Möbius):
: f(z) =  
fejn \ a,b,k,d huma komplessi u
:\det \begin{pmatrix} a & b \\ k & d \end{pmatrix}\neq 0 
hi funzjoni meromorfa
: f:\mathbb {CP}^1\to\mathbb {CP}^1. 

## Biblijografija

* F. Casorati Teorica delle funzioni di variabili complesse ( Fratelli Fusi, Pavia, 1868)
* H. Durège Elements of the theory of functions of a complex variable with especial reference to the methods of Riemann (G.E. Fisher and I.J. Schwatt, Philadelphia, 1896) 
* J. Pierpont Functions of a complex variable (Ginn &amp; co., Boston, 1914)
* E. J. Townsend Functions Of a complex variable (Henry Holt And Company, 1915) 
* T. M. MacRobert Functions of a complex variable (London, MacMillan, 1917) 
* H. F. Burkhardt Theory of functions of a complex variable (D. C. Heath, Boston, 1913) 
* A. R. Forsyth Theory of functions of a complex variable (Cambridge University Press, 1918) 
* J. Harkness e F. Morley Introduction ToThe Theory Analytic Functions (Stechert &amp; co., 1898) 
* E. T. Whittaker e G. N. Watson Modern Analysis (Cambridge University Press, 1922) 
* E. Goursat Functions of a complex variable I (Ginn &amp; co. 1916) 
* E. Goursat Functions of a complex variable II (Ginn &amp; co. 1916) 
* S.Saks e A. Zygmund Analytic functions (Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952) 
* J. Houel Cours de calcul infinitésimal. Tome troisième e Cours de calcul infinitésimal. Tome troisième deuxième partie (Gauthier-Villars, 1881)
* E. Picard Traité d'Analyse (vol. 2) (Gauthier-Villars, 1893) 

* Needham T., *Visual Complex Analysis* (Oxford, 1997).
* Henrici P., *Applied and Computational Complex Analysis* (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
* Kreyszig, E, *Advanced Engineering Mathematics, 9 ed.*, Ch.13-18 (Wiley, 2006).
* Scheidemann, V., *Introduction to complex analysis in several variables* (Birkhauser, 2005)
* Shaw, W.T., *Complex Analysis with Mathematica* (Cambridge, 2006).
* Marsden & Hoffman, *Basic complex analysis* (Freeman, 1999).