Analisi armonika

L-**analisi armonika** hi l-fergħa tal-matematika li tistudja r-rappreżentazzjoni tal-funzjonijiet u tas-sinjali bħala sovrappożizzjoni ta' mewġ fundamentali. Il-mewġ fundamentali jgħidulhom "armoniċi", minn fejn ġej l-isem "analisi armonika". Fl-analisi armonika ninvestigaw u niġġeneralizzaw l-idejat tas-serje ta' Fourier u t-trasformata ta' Fourier. Fl-aħħar żewġ sekli l-analisi armonika saret suġġett vast ħafna b'applikazzjonijiet f'bosta oqsma bħall-elaborazzjoni numerika tas-sinjali, il-mekkanika kwantistika u n-newroxjenzi.

It-trasformata ta' Fourier klassika fuq **R<sup>n</sup>** għadha l-oġġett ta' riċerka, in partikulari t-trasformazzjoni ta' Fourier ta' oġġetti iżjed ġenerali bħad-distribuzzjonijiet temperati. Pereżempju jekk nimponu ċerti ħtiġijiet fuq distribuzzjoni *f*, nistgħu nittraduċuhom f'termini tat-trasformata ta' Fourier ta' *f*.  It-teorema ta' Paley-Wiener hu eżempju ta' dan. Dan it-teorema jgħid li jekk *f* tkun distribuzzjoni mhux nulla b'support kompatt (din id-definizzjoni tinkludi wkoll il-funzjonijiet b'support kompatt), imbagħad it-trasformata ta' Fourier tagħha ma jistgħax ikollha support kompatt.  Din hi forma elementari ħafna tal-prinċipju ta' indeterminazzjoni fl-ambitu ta' l-analisi armonika. 

Is-serji ta' Fourier nistgħu nistudjawhom ukoll fil-kuntest ta' l-ispazji ta' Hilbert, u hekk nagħmlu rabta bejn l-analisi armonika u l-analisi funzjonali.

## Analisi armonika astratta

Waħda mill-friegħi l-iżjed moderni ta' l-analisi armonika, li bdiet fit-tieni nofs tas-seklu 20, hi l-analisi matematika fuq il-gruppi topologiċi. Il- motivazzjoni ewlenija hi l-fatt li nistgħu niġġeneralizzaw bosta trasformati ta' Fourier għal trasformata ta' funzjonijiet definiti fuq gruppi lokalment kompatti.

It-teorija għall-gruppi abeljani lokalment kompatti jgħidulha d-dwalità ta' Pontryagin.

L-analisi armonika tistudja il-proprijetajiet ta' din id-dwalità u tat-trasformata ta' Fourier u l-estensjoni ta' dawn il-karatteristiċi f'ambiti differenti, pereżempju għall-gruppi ta' Lie mhux abeljani.

Fil-każ ta' gruppi generiċi mhux abeljani u lokalment kompatti, l-analisi armonika għandha rabta qawwija mat-teorija tar-rappreżentazzjonijiet tal-gruppi unitarji. Fil-każ tal-gruppi kompatti, it-teorema ta' Peter-Weyl jgħidilna kif nistgħu niksbu l-armoniċi billi nagħżlu rappreżentazzjoni irriduċibbli minn kull klassi ta' ekwivalenza  ta' rappreżentazzjonijiet. Din l-għażla ta' armoniċi tiret xi proprijetajiet utli tat-trasformata ta' Fourier klassika, bħat-trasformazzjoni tal-konvoluzzjoni f'prodott punt b'punt jew il-fatt li turi ċertu komprensjoni tal-istruttura sottostanti tal-grupp.

Jekk il-grupp ma jkunx la abeljan u lanqas kompatt, m'hemm l-ebda teorija soddisfaċenti. B' "soddisfaċenti" nfissru li *mill-inqas* ikollna l-ekwivalenti tat-teorema ta' Plancherel. Ma dan kollu ġew analizzati ħafna każi partikulari, pereżempju SL<sub>''n''</sub>. F'dal-każ insibu li r-rappreżentazzjonijiet f'dimensjonijiet infiniti għandhom post kruċjali.

## Friegħi oħra

*L-istudju ta' l-awtovaluri u awtovetturi tal-Laplacejan fuq dominji, varjetajiet u (ftit inqas) grafi hu meqjus ukoll bħala fergħa ta' l-analisi armonika. Ara pereżempju Isma' l-forma ta' tambur.
* L-analisi armonika fuq spazji Ewklidej tħares lejn il-proprijetajiet tat-trasformata ta' Fourier fuq **R***n* li m'għandhomx analogi fil-gruppi generiċi. Pereżempju, il-fatt li t-trasformata ta' Fourier hi invarjanti bir-rotazzjoni. Id-dekompożizzjoni tat-trasformata fil-komponenti tagħha radjali u sferiċi tagħtina oġġetti bħall-funzjonijiet ta' Bessel u l-armoniċi sferiċi.
* L-analisi armonika b'dominji tubi tiġġeneralizza l-proprietajiet ta' l-ispazji ta' Hardy għal dimensjonijiet ogħla.

## Biblijografija

*Elias M. Stein and Guido Weiss, *Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces*, Princeton University Press, 1971. 
*Yitzhak Katznelson, *An introduction to harmonic analysis*, Third edition. Cambridge University Press, 2004. ;