Liġi tan-numri kbar

Il-**liġi tan-numri kbar**, imsejħa wkoll  it-**teorema ta' Bernoulli** (għaliex l-ewwel formulazzjoni taha Jacob Bernoulli), tħares lejn l-imġiba tal-medja ta' sekwenza ta' \ n varjabbli każwali  indipendenti u distribwiti identikament (bħal \ n qisien tal-istess kobor, \ n tefgħat tal-istess munita eċċ.) meta \ n tersaq lejn l-infinit.

Każ partikulari tal-applikazzjoni tal-liġi tan-numri kbar hu t-tbassir probabbilistiku tal-proporzjon ta' suċċessi minn \ n realizzazzjonijiet indipendenti ta' ġrajja E: meta \ n tersaq lejn l-infinit, il-proporzjon ta' suċċessi jikkonverġi għall-probabbiltà ta' \ E (ara l-eżempju).

## Il-liġi qawwija tan-numri kbar
Għal suċċessjoni ta' varjabbli każwali \ X_1, X_2, ..., X_n, ... indipendenti u distribwiti identikament b'medja \ \mu, il-medja kampjunarja hi
:\bar{X}_n = .
Il-liġi (qawwija) tan-numri kbar tgħid li
:\operatorname{P}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\bar{X}_n=\mu\right)=1,
jiġifieri, il-medja kampjunarja tikkonverġi kważi ċertament għall-medja komuni tal-\ X_i.

## Il-liġi dgħajfa tan-numri kbar
Il-liġi (dgħajfa) tan-numri kbar tgħid li jekk X_1,\, X_2,\, ...,\, X_n,\, ... tkun suċċessjoni ta' varjabbli każwali li għandhom l-istess medja \ \mu, l-istess varjanza finita u indipendenti, imbagħad
għal kull \ \varepsilon>0:
:\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{P}\left(\left|\bar{X}_n-\mu\right| 
jiġifieri, il-medja kampjunarja tikkonverġi fil-probabbiltà għall-medja komuni tal-\ X_i.

## Konsegwenzi fl-istatistika
Il-liġi tan-numri kbar tiggarantixxi li l-medja kampjunarja tagħtina stima konsistenti tal-medja ta' popolazzjoni; biżżejjed ngħidu li mħabba l-liġi tan-numri kbar *nistgħu ikkolna fiduċja* li l-medja li nikkalkulaw minn *numru kbir biżżejjed* ta' kampjuni hi *qrib biżżejjed* tal-medja vera.

## Eżempju
Nissoponu li għandna ġrajja (bħall-fatt li t-tfigħ ta' damma jagħtina s-sitta) b'probabbiltà li ma nafuhiex \ p (ma nafuhiex għax id-damma tista' tkun imbabsa, jew sempliċement difettuża: ma nistgħux inkunu nafu minn qabel).

Jekk nitfgħu id-damma \ n darba wara xulxin niksbu stima tal-probabbiltà li nġibu s-sitta b'dik id-damma, \ p, li hi mogħtija minn
:\bar{X}_n = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}
fejn kull \ X  fis-somma tirrappreżenta tefgħa u tiswa wieħed jekk it-tefgħa tagħtina s-sitta u żero jekk jiġi numru ieħor. Il-liġi tan-numri kbar tafferma sempliċement li, iżjed ma nużaw provi biex nikkalkulaw l-istima, iżjed din tkun qrib, *probabbilment*, għall-probabbiltà vera tal-ġrajja, \ p.

Jekk l-istima \ X(n) li nikkalkulaw tkun qrib ħafna ta' wieħed f'sitta, li hi l-probabbiltà teorika li nġibu s-sitta għall-damma perfetta, nistgħu inkun ċerti mhux ħażin li d-damma m'hijiex imxaqilba lejn is-sitta (biex inkunu żguri li d-damma ma xxaqlibx lejn l-ebda numru irridu nirrepetu l-provi għall-ħames numri l-oħra). Xi tfisser *żguri mhux ħażin* jiddipendi minn kemm irridu nkunu preċiżi fil-provi tagħna: b'għaxar tefgħat ikollna stima raffa, b'mija jkollna waħda iżjed preċiża, b'elf iżjed u nibqgħu sejjrin hekk: il-valur ta' \ n li lesti li naċċettaw bħala biżżejjed jiddependi mill-grad ta' każwalità li naħsbu li hu neċessarju għad-damma li qegħdin nużaw.

## B'iżjed rigur

Ħalli  \{(\Omega_i, \mathcal{A}_i, \operatorname{P}_i)\}_{i\in\mathbb{N}} tkun suċċessjoni ta' spazji ta' probabbiltà. Inħarsu lejn l-ispazju prodott (\Omega, \mathcal{A}, \operatorname{P}) u fih suċċessjoni Bernoulljana ta' ġrajjiet (stokastikament indipendenti u b'probabbiltà kostanti \ p), \{E_k\}_{k\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{A}. Għal kull element \omega\in\Omega niddefinixxu l-frekwenza ta' suċċess f'\ n provi,   \phi_n:\Omega\to\mathbb{R}, \phi_n(\omega)=N_n/n, fejn N_n=\#\{i:\omega\in E_i\}^n_{i=1} turi n-numru ta' suċċessi miksuba f' \ n provi.

### Il-liġi dgħajfa tan-numri kbar

B'din in-notazzjoni il-liġi nistgħu niktbuha:
\forall\ \varepsilon>0, \lim_{n\to\infty}\operatorname{P}\{\omega\in\Omega: |\phi_n(\omega)-p|>\varepsilon\}=0.

**Prova:** 
:Jekk niffissaw \ \varepsilon u nużaw id-diżugwaljanza ta' Čebyšëv 
::\operatorname{P}\{\omega\in\Omega:|\phi_{n}(\omega)-\operatorname{E}(\phi_n)|>\varepsilon\}\leq\frac{\operatorname{var}(\phi_n)}{\varepsilon^2}
: Jekk \ N_n għandha distribuzzjoni binomjali, jkollna
::\operatorname{E}(N_n)=pn u \operatorname{var}(N_n)=np(1-p),
:mil-liema 
::\operatorname{E}(\phi_n)=p u \operatorname{var}(\phi_n)=\frac{1}{n^2}np(1-p)=\frac{p(1-p)}{n}. 
:Meta nissostitwixxu niksbu:
::\operatorname{P}\{\omega\in\Omega:|\phi_{n}(\omega)-p|>\varepsilon\}\leq\frac{p(p-1)}{n\varepsilon^2}
: u la \lim_{n\to\infty}\frac{p(p-1)}{n\varepsilon^2} =0, \forall\ \varepsilon>0,  
:: \lim_{n\to\infty}\operatorname{P}\{\omega\in\Omega: |\phi_n(\omega)-p|>\varepsilon\}\leq 0
: Imma \operatorname{P}(\mathcal{A})\geq 0 , u għalhekk ipprovajna l-liġi dgħajfa.

**Nota:**  Il-liġi dgħajfa tan-numri kbar ma tiżgurax li, nagħżlu kif nagħżlu \varepsilon>0, kważi ċertament jekk nibdew minn ċertu n_\varepsilon il-valur ta' \ |\phi_n-p| ħa jibqa inqas jew daqs \varepsilon, jiġifieri li s-sett \{\omega\in\Omega: \exists\ n_\varepsilon:\forall\ n>n_\varepsilon,|\phi_n(\omega)-p|>\varepsilon\} ħa jkun  \operatorname{P}-traskurabbli.
Infatti, jekk nagħmlu d-definizzjoni tal-limitu iżjed espliċita, insibu li:
\forall\ \varepsilon>0,\forall\ \eta>0,\exists\ n_{\varepsilon,\eta}:\forall\ n\geq n_{\varepsilon,\eta},\operatorname{P}\{\omega\in\Omega: |\phi_n(\omega)-p|>\varepsilon\}\leq\eta
imma m'hemm xejn li jiżgura li n_{\varepsilon,\eta} ma tiddiverġiex  meta \eta\to 0.

### Il-liġi qawwija tan-numri kbar

Minn naħa l-oħra l-liġi qawwija tan-numri kbar: :\operatorname{P}\{\omega\in\Omega:\lim_{n\to\infty}\phi_n(\omega)=p\}=1
timplika li \forall\ \varepsilon >0, 
:\operatorname{P}\{\omega\in\Omega: \exists\ n_\varepsilon:\forall\ n>n_\varepsilon,|\phi_n(\omega)-p|>\varepsilon\}=0. 
u din l-asserzjoni tal-aħħar timplika l-liġi dagħjfa tan-numri kbar.

**Prova taż-żewġ implikazzjonijiet:**

**1.**  
:Billi nagħmlu d-definizzjoni tal-limitu espiliċita u ngħaddu għall-kumplement, nistgħu nifformolaw il-liġi qawwija b'dal-mod:
:: \operatorname{P}\{\omega\in\Omega:\exists\ \varepsilon >0: \forall\ n_\varepsilon\in\N, \exists\ n>n_\varepsilon: |\phi_n(\omega)-p|>\varepsilon\}=0.
:Meta nittrasformaw il-kwantifikatur eżistenzjali f'unjoni, din issir:
:: \operatorname{P}(\bigcup_{\varepsilon >0} \{\omega\in\Omega: \forall\ n_\varepsilon\in\N, \exists\ n>n_\varepsilon: |\phi_n(\omega)-p|>\varepsilon\})=0.
:Issa jekk \varepsilon >0, bil-monotonija ta' \operatorname{P} għandna
:: 0\leq \operatorname{P}\{\omega\in\Omega: \exists\ n_\varepsilon\in\N:\forall\ n>n_\varepsilon,|\phi_n(\omega)-p|>\varepsilon\} 
: \leq\operatorname{P}(\bigcup_{\varepsilon >0} \{\omega\in\Omega: \forall\ n_\varepsilon\in\N, :\exists\ n>n_\varepsilon: |\phi_n(\omega)-p|>\varepsilon\})=0,
:u mela
:: \operatorname{P}\{\omega\in\Omega: \exists\ n_\varepsilon\in\N:\forall\ n>n_\varepsilon,|\phi_n(\omega)-p|>\varepsilon\}=0.

**2.**  
:Minn naħa l-oħra jekk nassumu din tal-aħħar u nittrasformaw ukoll il-kwantifikaturi f'operazzjoniet tas-settijiet, ikollna:
:: 0=\operatorname{P}\{\omega\in\Omega: \exists\ n_\varepsilon\in\N:\forall\ n>n_\varepsilon,|\phi_n(\omega)-p|>\varepsilon\}
:: =\operatorname{P}(\bigcap_{m\in\N}\bigcup_{n>m}\{\omega\in\Omega: |\phi_n(\omega)-p|>\varepsilon\}) 
:Imma, billi hemm intersezzjoni ta' suċċessjoni ta' settijiet li ma jikbrux, bil-monotonija ta' \operatorname{P}, nistgħu niktbu:
:: \lim_{m\to\infty}\operatorname{P}(\bigcup_{n>m}\{\omega\in\Omega: |\phi_n(\omega)-p|>\varepsilon\})=0.
:Imbagħad bil-monotonija ta' \operatorname{P} niksbu għal kull \varepsilon>0 .
::\lim_{n\to\infty}\operatorname{P}(\{\omega\in\Omega: |\phi_n(\omega)-p|>\varepsilon\})\leq
\lim_{m\to\infty}\operatorname{P}(\bigcup_{n>m}\{\omega\in\Omega: |\phi_n(\omega)-p|>\varepsilon\})=0
:li hi l-liġi dagħjfa tan-numri kbar.

**Prova tal-liġi qawwija:** 
: Digà rajna li l-asserzjoni hi ekwivalenti għal:
:: \operatorname{P}(\bigcup_{\varepsilon >0} \{\omega\in\Omega: \forall \  n_\varepsilon\in\N, \exists \  n>n_\varepsilon: |\phi_n(\omega)-p|>\varepsilon\})=0
:Din hi wkoll ekwivalenti għal: 
::\operatorname{P}(\bigcup_{k\in\mathbb{N}_0} \{\omega\in\Omega: \limsup_{n\to\infty} |\phi_n(\omega)-p|>\frac{1}{k}\})=0
: Bis-subadditività
::\operatorname{P}(\bigcup_{k\in\mathbb{N}_0} \{\omega\in\Omega: \limsup_{n\to\infty} |\phi_n(\omega)-p|>\frac{1}{k}\})
:: \leq\sum_{k\in\mathbb{N}_0} \operatorname{P}(\{\omega\in\Omega: \limsup_{n\to\infty}|\phi_n(\omega)-p|>\frac{1}{k}\}).
: Mela, billi \operatorname{P} mhux negattiva, jekk nuru li  \forall\  k\in\mathbb{N}_0
::  \operatorname{P}(\{\omega\in\Omega: \limsup_{n\to\infty}|\phi_n(\omega)-p|>\frac{1}{k}\})=0
:inkunu pprovajna l-liġi qawwija.  L-ewwel ħa nipprovaw din għas-sottosuċċessjoni \phi_{n^2}, jiġifieri  \forall\  k\in\mathbb{N}_0
::  \operatorname{P}(\{\omega\in\Omega: \limsup_{n\to\infty}|\phi_{n^2} (\omega)-p|>\frac{1}{k}\})=0.
:Biex nagħmlu dan, bil-lemma ta' Borel-Cantelli, biżżejjed li nivverifikaw li l-espressjoni li ġejja tikkonverġi
:: \sum^{\infty}_{n=1}\operatorname{P}\{\omega\in\Omega: |\phi_{n^2}(\omega)-p|>\frac{1}{k}\}
: Bid-diżugwaljanza ta' Čebyšëv insibu li \forall \  k,\forall \  n
::\operatorname{P}(\{\omega\in\Omega: |\phi_{n^2}(\omega)-p|>\frac{1}{k}\})\leq\textrm{var}(\phi_{n^2})k^2=k^2\frac{p(1-p)}{n^2}
: minn fejn:
:: \sum^{\infty}_{n=1}\operatorname{P}(\{\omega\in\Omega: |\phi_{n^2}(\omega)-p|>\frac{1}{k}\})\leq p(1-p)k^2\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2}
:Imma nafu li din is-serje tikkonverġi u għalhekk għandna li \forall \  k\in\mathbb{N}_0,
:: \forall \  k\in\mathbb{N}_0, \operatorname{P}(\limsup_{n\to\infty}\{\omega\in\Omega: |\phi_{n^2}(\omega)-p|>\frac{1}{k}\})=0.
:Issa ninotaw li kull numru naturali *n* qiegħed bejn żewġ kwadrati konsekuttivi, jiġifieri, \forall \  n\in\N, \exists \  q\in\N hekk li
::q^2\leq n
: minn fejn inġibu
::\frac{N_n}{(q+1)^2}\leq\phi_n\leq\frac{N_n}{q^2}.
:Issa ninotaw li n-q^2 hi l-ikbar differenza possibbli bejn N_{q^2} u N_n, u għalhekk:
:: N_{q^2}\leq N_n\leq N_{q^2}+(n-q^2)
:u mela:
::\frac{N_{q^2}}{(q+1)^2}\leq\frac{N_n}{(q+1)^2}\leq\phi_n\leq\frac{N_n}{q^2}\leq\frac{N_{q^2}+(n-q^2)}{q^2}.
:Issa jekk nużaw n-q^2\leq (q+1)^2-q^2, ikollna:
::\frac{N_{q^2}}{q^2}\frac{q^2}{(q+1)^2}\leq\phi_n\leq\frac{N_{q^2}}{q^2}+\frac{(q+1)^2-q^2}{q^2}.
:Meta ngħaddu għall-limitu (n\to\infty \Rightarrow q\to\infty) u napplikaw ir-riżultat miksub għal \phi_{n^2}, niksbu li, kważi ċertament:
::p=p\lim_{q\to\infty}\frac{q^2}{(q+1)^2}\leq\lim_{n\to\infty}\phi_n\leq p+\lim_{q\to\infty}\frac{q^2+2q+1-q^2}{q^2}=p
:li ttemm il-prova.

## Noti