Kalkulu tal-varjazzjonijiet

Il-**kalkulu tal-varjazzjonijiet** hu qasam tal-matematika li jittratta funzjonijiet ta’ funzjonijiet, differenti mill-analisi ordinarja li tittratta funzjonijiet tan-numri. Dawn il-*[[funzjonal|funzjonali]]* jistgħu jkunu formulati, pereżempju, bħala integrali li jinvolvu funzjoni mhux magħrufa u d-derivati tagħha. L-interess hu fil-funzjonijiet *estremali*, jew dawk li jagħmlu l-valur tal-funzjonali massimu jew minimu. Xi problemi klassiċi fuq il-kurvi nistgħu inqegħduhom f’din il-forma: fost l-eżempji hemm il-kurva brakistokrona, il-mogħdija minn punt A għal punt B, mhux fl-istess linja vertikali, li matulha partiċella tinżel fl-inqas ħin taħt il-forza ta’ gravità. Mela rridu nimminimizzaw il-funzjoni li tirrappreżenta l-ħin fuq il-kurvi kollha minn A għal B.

It-teorema tal-qofol tal-kalkulu tal-varjazzjonijiet hu l-ekwazzjoni ta’ Euler-Lagrange. Din tikkorrispondi ma kondizzjoni ta’ stazzjonarjetà għall-funzjonal. Bħal fil-każ meta nfittxu l-massimi u l-minimi ta’ funzjoni, l-analisi tal-varjazzjonijiet żgħar madwar soluzzjoni tagħti kondizzjoni ta’ l-ewwel ordni. Ma nistgħux ngħidu direttament jekk inkunux sibna massimu, minimu, jew l-ebda wieħed.

Il-metodi varjazzjonali huma importanti fil-fiżika teorika: fil-mekkanika lagranġjana u fl-applikazzjoni tal-prinċipju ta’ minima azzjoni għall-fiżika kwantistika. Il-metodi varjazzjonali jipprovdu l-bażi matematika għall-metodu ta’ l-elementi finiti, li hu  biċċa għodda qawwija għar-riżoluzzjoni tal-problemi tax-xifer. Huma użati ħafna wkoll fl-istudju ta’ l-ekwilibri statiċi fix-xjenza tal-materjali, u fil-matematika pura, pereżempju fl-użu tal-*[[prinċipju ta’ Dirichlet]]* għall-funzjonijiet armoniċi mill-lat ta’ Bernhard Riemann.

L-istessi konċetti jidhru f’suriet oħra, pereżempju, bħala metodi fl-ispazji ta’ Hilbert, fit-teorija ta’ Morse, jew fil-ġometrija simplettika. Il termini *varjazzjonali* tintuża fil-każi kollha ta’ funzjonali estremali. L-istudju tal-ġeodetiċi fil-ġometrija differenzjali hu qasam li ovvjament għandu kontenut varjazzjonali. Sar ħafna xogħol fuq il-problema tas-*[[superfiċju minimu]]* (problema tal- bużżieqa tas-sapun), magħrufa wkoll bħala l-problema ta’ Plateau.

## Paġni li għandhom x’jaqsmu

*Diżugwaljanza isoperimetrika 
*Prinċipju varjazzjonali ta’ Hamilton
*Prinċipju ta’ Maupertuis
*Prinċipju ta’ Fermat
*Prinċipju ta’ minima azzjoni
*Ottimizzazzjoni infinito-dimensjonali
*Analisi funzjonali
*Metodi perturbattivi
*Metodi diretti fil-Kalkulu Varjazzjonali

## Ħoloq esterni
*Chapter III: Introduction to the calculus of variations ta' Johan Bystr&ouml;m, Lars-Erik Persson, and Fredrik Str&ouml;mberg

## Bibljografija
* Tonelli, L.: Fondamenti di calcolo delle variazioni,  N. Zanichelli, 1921-23
* Todhunter, I. A history of the calculus of variations, Chelsea, 1861
* Carll, L. B. A Treatise On The Calculus Of Variations John Wiley &amp; sons, 1881 
* Hancock, H. Lectures on the calculus of variations (the Weierstrassian theory) Cincinnati University Press, 1904
* Bolza, O Lectures on the calculus of variations, Chicago University Press, 1904
* Byerly, W. E. Introduction to the calculus of variations Harvard University Press, 1917
* Weinstock, R. Calculus Of Variations With Applications To Physics And Engineering, McGrawHill, 1952
* Hadamard J. e Fréchet, M. Leçons sur le calcul des variations (francese) Hermann, 1910
* Fomin, S.V. and Gelfand, I.M.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000 
* Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1-98
* Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987