Relattività ristretta

Ir-**relattività ristretta** hi teorija formali li żviluppa Albert Einstein fl-1905. L-għan ta' Einstein kien li joħroġ il-konsegwenzi fiżiċi kollha tar-relattività Galilejana u tal-fatt li l-veloċità tad-dawl fil-vojt għandha l-istess valur fis-sistemi ta' riferiment inerzjali kollha. Dan il-fatt irriżulta mill-ekwazzjonijiet ta' Maxwell imma sa dak iż-żmien kien spjegat b'mod differenti bl-użu tal-"ispazju assolut" ta' Newton u tal-"eter".

Ir-relattività Galilejana tgħìd, fil-lingwaġġ modern, li kull ma jiġri f'sistema ta' riferiment inerzjali waħda jiġri b'mod perfettament identiku f'kull sistema ta' riferiment inerzjali oħra. Dan il-prinċipju, li sar jissejjaħ "il-prinċipju tar-relattività", Einstein wessgħu biex jinkludi sistemi ta' riferiment li mhumiex inerzjali: minn "ristretta" ir-relattività saret "ġenerali".

It-teorija tar-relattività ristretta stabilixxit formoli ġodda li jħalluna ngħaddu minn sistema ta' riferiment Galilejana għal oħra. L-ekwazzjonijiet korrispondenti jwasslu għal fenomeni li jidhru qishom kontra s-sens komun bħall-"paradoss taż-żewġ tewmin".

Ir-relattività ristretta għamlet ukoll impatt kbir fuq il-filosofija billi neħħiet kull possibbiltà li jeżistu ħin u spazju assolut fl-univers. Wara l-argumenti ta' Henri Poincaré, il-filosfi bilfors kellhom jibdew jaħsbu b'mod differenti fuq il-kwistjoni tal-ħin u l-ispazju.

## Oriġni tat-teorija
### Storja fil-qosor
Fl-aħħar tas-seklu 19, James Clerk Maxwell stabbilixxa l-ekwazzjonijiet li jiggvernaw l-imġiba tal-mewġ elettromanjetiku, fosthom il-mewġ tad-dawl. Skont din it-teorija, il-veloċità tad-dawl ma tistax tiddependi mill-proprjetajiet elettriċi u manjetiċi tal-ambjent u lanqas mill-veloċità tal-punt ta' riferiment tal-kejl. Dan qajjem problema billi fil-mekkanika Newtonjana il-veloċitajiet jingħaddu (biex ngħidu l-affarijiet fil-qosor). Jekk minn ajruplan li miexi b'veloċità ta' 7&nbsp;km/s relattiva mal-Art, jisparaw bomba 'l quddiem b'veloċità ta' 1&nbsp;km/s relattiva mal-ajruplan, il-veloċità tal-bomba relattiva mal-Art tkun ta' 8&nbsp;km/s. Jekk il-bomba jisparawha lura, il-veloċità tagħha tkun ta' 6&nbsp;km/s.

L-ekwazzjonijiet ta' Maxwell, għall-kuntrarju, jgħidu li jekk nimmiraw raġġ dawl mill-ajruplan 'l quddiem jew lura, il-veloċità tad-dawl imkejla fuq id-dinja tkun l-istess. Michelson u Morley għamlu esperiment fejn id-dinja għamlitha ta' ajruplan. Billi l-pjaneta tagħna ddur madwar ix-xemx b'veloċità ta' 30&nbsp;km/s, riedu jaraw jekk hemmx xhieda ta' xi differenza bejn il-veloċitajiet tad-dawl meta jkun fid-direzzjoni tal-moviment tad-dinja jew kontra. Ma sabu l-ebda differenza u allura dan l-esperiment ikkonferma l-validità tal-ekwazzjonijiet ta' Maxwell.

Lorentz stabbilixxa formoli ta' trasformazzjoni biex ngħaddu minn osservatur għall-ieħor; dawn jirrigwardaw l-ekwazzjoniet ta' kompatibbiltà li t-tifsira tagħhom ma kinitx ċara. L-ispjegazzjoni li ħarġet biex dawn il-formoli strambi jiġu ġustifikati kienet din: l-eter, l-ambjent li qabel kien maħsub meħtieġ għall-propagazzjoni tal-mewġ tad-dawl bħalma l-arja hi meħtieġa għall-propagazzjoni tal-mewġ tal-ħoss, għandhom proprjetajiet elastiċi li jwasslu għal dawn l-ekwazzjonijiet. Poincaré ippubblika xi artikli fuq it-teorija qabel Einstein.

Fl-1905, fl-artiklu tiegħu *Fuq l-elettrodinamika tal-korpi fil-moviment*, Albert Einstein ippreżenta r-relattività kif ġej:

* L-eter hi kunċett arbitrarju li mhux utli għall-espressjoni tat-teorija tar-relattività.
* Il-veloċità tad-dawl relattiva mal-osservaturi ma tiddependix mill-veloċità tagħhom.
* Il-liġijiet tal-fiżika jirrispettaw il-prinċipju tar-relattività.

L-ekwazzjonijiet ta' Lorentz għandhom xi konsegwenzi li ma nistennewhomx bħall-"kontrazzjoni tat-tul" u d-"dilatazzjoni tal-ħin". 
Il-"kontrazzjoni tat-tul" hu l-fenomenu fejn osservatur jinnota tnaqqis fit-tul ta' oġġetti li jimxu b'veloċità relattiva mal-osservatur li mhijiex żero. Din il-kontrazzjoni (imsejħa iżjed formalment "il-kontrazzjoni ta' Lorenz" jew "il-kontrazzjoni ta' Lorenz–Fitzgerald") ninnutawha biss meta l-veloċita tkun komparabbli ma' dik tad-dawl; u l-kontrazzjoni hi biss fid-direzzjoni li l-korp osservat ikun miexi fiha.
Id-"dilatazzjoni tal-ħin" hu l-fenomenu fejn osservatur isib li l-arloġġ ta' ieħor, eżatt l-istess bħal tiegħu, li jkun miexi relattivament miegħu, itektek iżjed bilmod, jekk iqqablu mal-arloġġ tiegħu.
 
Einstein kiteb mill-ġdid il-formoli li jiddefinixxu l-momentu u l-enerġija ċinetika b'mod li jagħmilhom invarjanti taħt trasformazzjoni ta' Lorentz.

Il-partijiet li jieħdu l-ħin u t-tliet koordinati tal-ispazju fl-ekwazzjoniet ta' Lorentz ma nistgħux nifirduhom. Minkowski interpretahom bħala spazju-ħin b'erba' dimensjonijiet. Nosservaw madankollu li l-ħin u l-ispazju xorta jibqgħu ta' natura differenti u ma nistgħux nassimilaw wieħed fl-ieħor. Pereżempju nistgħu nagħmlu dawra fl-ispazju imma dan impossibbli fil-ħin. Minn dan il-*punto di vista*, hemm xi kożmoloġi li jidhirlhom  li mhux sewwa li nqisu l-ħin bħala koordinata immaġinarja u jissuġġerixxu li għandna nabbandunaw din id-drawwa. Naturalment jibqa' l-fatt li ma nistgħux nifirdu l-ħin mill-ispazju u l-relattività tiżviluppa fi spazju-ħin b'erba' dimensjonijiet, waħda għall-ħin u tlieta għall-ispazju.

Kien hemm ħafna kontroversji, l-iżjed wara 2000, fuq liema xjenzati ikkontribwew parti jew oħra fl-iżvilupp tat-teorija tar-relattività.

### L-attitudni tal-kumitat Nobel
Fl-1912, Lorentz u Einstein ġew proposti għal premju Nobel flimkien għax-xogħol tagħhom fuq it-teorija. Ir-rakkomandazzjoni kienet minn Wien, lawrjat tal-1911, li stqar li "sewwa kif Lorentz għandu jiġi meqjus bħala l-ewwel li sab il-kontenut matematiku tal-prinċipju tar-relattività, Einstein irnexxielu jirreduċih f'prinċipju sempliċi. Għandna nqisu l-mertu taż-żewġ riċerkaturi bħala komparabbli". Einstein qatt ma rċieva il-premju Nobel għar-relattività, il-premju Nobel bi prinċipju qatt ma jingħata għal teorija pura. Il-kumitat ried jistenna konferma esperimentali u meta din waslet, Einstein kien intefa' fuq xogħlijiet oħra importanti.

Einstein fl-aħħar kien ippremjat bil-premju Nobel għall-fiżika fl-1921, għall-kontribuzzjonijiet tiegħu lill-Fiżika Teorika, u speċjalment għall-iskoperta tal-ispjegazzjoni tal-effett fotoelettriku.

## It-teorija
### Il-postulati ta' Einstein (1905)
Il-teorija ta' Einstein tirrigwarda s-sistemi ta' riferiment inerzjali. Niftakru li sistema ta' riferiment tissejjaħ *inerzjali* jekk ma tkunx suġġetta għal ebda aċċelerazzjoni: razz fl-ispazju 'l bogħod minn kull massa hu sistema inerzjali jekk il-muturi kollha jkunu mitfijin. Il-postulati tar-relattività ristretta huma dawn:

# Il-liġijiet tal-fiżika għandhom l-istess forma fis-sistemi ta' riferiment inerzjali kollha;
# Il-veloċità tad-dawl fil-vojt għandha l-istess valur fis-sistemi ta' riferiment inerzjali kollha.

L-ewwel postulat hu propjament il-*prinċipju tar-relattivita* *ristrett* għall-klassi ta' sistemi ta' riferiment inerzjali u jifformalizza l-iskoperta ta' Galileo li skontha l-moviment uniformi f'linja dritta hu "qisu xejn" għal osservatur f'sistema ta' riferiment miexja. 

It-tieni postulat iħallina nissinkronizzaw l-arloġġi b'sinjal tad-dawl minn sistema ta' riferiment. Biex nagħmlu dan biżżejjed li l-"għassies tal-ħin" jibgħat sinjal bid-dawl f'ċertu ħin, pereżempju f'nofsinhar. Imbagħad meta osservatur li qiegħed distanza *r* 'il bogħod jirċievi s-sinjali, jieħu kont tal-ħin *r&nbsp;/c* (fejn *c* hi l-veloċità tad-dawl) li s-sinjal ħa biex jasallu u jqiegħed l-arloġġ fuq "&nbsp;nofsinhar +*r&nbsp;/c*&nbsp;".

Mit-tieni postulat nistgħu niddeduċu l-ekwazzjoniet tat-trasformazzjonijiet ta' Lorentz jekk inżidu miegħu ipoteżi oħra: l-ispazju-ħin hu omoġenju u iżotropu. Dan il-fatt skoprewh Kunz u Comstock indipendentament fl-1910. L-ipoteżi miżjuda twassal għall-grupp ta' trasformazzjonijiet b'parametru *c*, fiżikament bl-istess dimensjonijiet bħall-veloċità. Dawn it-trasformazzjonijiet nistgħu niddentifikawhom mat-trasformazzjonijiet ta' Galilew jekk c^2 hi infinita u mat-trasformazzjonijiet ta' Lorentz jekk c^2 hi finita u pożittiva. L-identifikazzjoni ta' *c* mal-veloċità tad-dawl, li mill-osservazzjoni hi finita tiġi mit-tieni postulat.

### It-trasformazzjonijiet ta' Lorentz

Nikkonsidraw żewġ sistemi ta' riferiment \mathbb{R'} u \mathbb{R}, l-ewwel sistema ta' riferiment \mathbb{R'} nagħtuha veloċità \vec{v} relattiva mas-sistema ta' riferiment \mathbb{R}. Biex nissemplifikaw il-kalkuli għall-ewwel naħdmu biss bi trasformazzjonijiet imsejħa "speċjali", ikkaratterizzati bil-fatt li s-sistemi tal-assi *x, y, z* u *x', y', z' * huma paralleli u li l-assi *Ox*' u *Ox* huma l-istess u paralleli mal-veloċità \vec{v}. Din ir-restrizzjoni ma tnaqqasx mir-riżultati. Iżjed l-isfel nagħtu l-formoli meta veloċità tkun f'direzzjoni liema tkun.

L-ipoteżi ta' Einstein iwasslu għat-trasformazzjonijiet imsejħa "&nbsp;ta' Lorentz&nbsp;". Il-**formoli ta' Lorentz** iħalluna nesprimu l-koordinati (*x*,&nbsp;*y*,&nbsp;*z*,&nbsp;*t*) ta' ġrajja mogħtija f'sistema "fissa" (ngħidu aħna d-dinja) bħala funzjoni tal-koordinati (*x' *, *y' *, *z' *, *t' *&nbsp;) tal-istess ġrajja f'sistema "miexja" (ngħidu aħna razz). Il-formoli huma dawn&nbsp;:

:
\begin{cases}ct = \gamma (ct'+ \beta x')\\
x = \gamma (x' + \beta ct')\\
y = y'\\
z = z' 
\end{cases}


fejn \beta u \gamma huma fatturi mingħajr dimensjoni definiti hekk
:
\beta = v/c
\qquad 
\gamma= \frac {1}{\sqrt{1-\beta^2}}\,.


Dawn l-espressjonijiet jissemplifikaw u jieħdu forma ta' rotazzjoni jekk indaħħlu l-funzjonijiet iperboliċi tal-angolu *θ* definit b'dal mod

:
\tanh\theta = v/c \equiv\beta \qquad \text{jew} \qquad \theta = {\tanh}^{-1} (v/c)\equiv {\tanh}^{-1}\,\beta
 

B'din in-notazzjoni niksbu
: \gamma = (1 - \beta^2)^{-1/2} = (1 - \tanh^2\, \theta)^{-1/2} = \cosh \,\theta

u
:
\begin{cases}
ct= ct'\cosh\,\theta + x'\sinh\,\theta \\ 
x = ct' \sinh\,\theta + x'\cosh\,\theta 
\end{cases}


Biex niksbu l-formoli li jikkorrispondu mat-trasformazzjoni bil-maqlub biżżejjed nibdlu *β* f' -*β*, u allura *θ* f' -*θ*, u jkollna :

:
\begin{cases}
ct'= ct\cosh\,\theta - x\sinh\,\theta \\ 
x' = - ct \sinh\,\theta + x\cosh\,\theta 
\end{cases}


Regola utli : biex insibu s-sinjal li għandna nqiegħdu quddiem sinh&nbsp;*θ* biżżejjed inqisu punt wieqaf f'wieħed mis-sistemi (ngħidu aħna tar-razz, b' *x' *&nbsp;=&nbsp;0 pereżempju) u naraw x'għandu jkun is-sinjal tal-koordinata spazjali fis-sistema l-oħra (ngħidu aħna s-sistema *fissa* li fiha *x* tikber jekk ir-razz ikollu veloċità pożittiva).

It-trasformazzjonijiet speċjali jissemplifikaw l-istudju analitiku imma ma jgħinuniex fil-każ ġenerali. Nistgħu faċilment ngħaddu għall-każ meta s-sistemi ta' riferiment mixjin mhumiex paralleli wieħed mal-ieħor, u jkollhom orjentazzjoni tkun kif tkun relattivament mal-veloċità relattiva tagħhom \vec{v}. Dejjem nistgħu naqsmu l-vettur \vec{r} f'żewġ direzzjonijiet: waħda parallela mal-ispostament \vec{r}_{/ /} u oħra othogonali magħha \vec{r}_{\bot}. Imbagħad ikollna : \vec{r}=\vec{r}_{/ /}+\vec{r}_{\bot}

Meta npoġġu 
:\vec{\beta} = \vec{v}/c-
it-trasformazzjonijiet ta' Lorentz jagħtuna :

:\left\{\begin{matrix}
ct'=\gamma(ct-\vec{\beta}{\cdot}\vec{r})\\
\vec{r'}_{/ /}=\gamma(-\vec{\beta}ct + \vec{r}_{/ /})\\
\vec{r'}_{\bot}=\vec{r}_{\bot}\\
\end{matrix}\right. \,,
li jwasslu għal
:\vec{r'} = \vec{r'}_{\bot}+\vec{r'}_{/ /} = \gamma(-\vec{\beta}ct + \vec{r}_{/ /})+\vec{r}_{\bot}=\gamma(-\vec{\beta}ct + \vec{r})-(\gamma-1)\vec{r}_{\bot}\,.

Billi
:\vec{\beta}\times\vec{r}=\vec{\beta}\times(\vec{r}_{\bot}+\vec{r}_{/ /})=\vec{\beta}\times\vec{r}_{\bot}

meta nimmoltiplikaw vettorjalment b' \vec{\beta} jkollna

:\vec{\beta}\times(\vec{\beta}\times\vec{r})=-\beta^2\vec{r}_{\bot}

u hekk niksbu l-espressjoni tat-trasformazzjonijiet ġenerali ta' Lorentz fil-forma :

:\left\{\begin{matrix}
ct'=\gamma(ct-\vec{\beta}{\cdot}\vec{r})\\
\vec{r'}=\gamma(-\vec{\beta}ct + \vec{r})+[(\gamma-1)/\beta^{2}]\,\vec{\beta}\times(\vec{\beta}\times\vec{r})\\
\end{matrix}\right.

### Dilatazzjoni tal-ħin u l-kontrazzjoni tat-tul
It-trasformazzjonijiet ta' Lorentz iwasslu għal viżjoni rivoluzzjonarja tal-fiżika u joħorġu fenomeni kontra s-sens komun.

Fl-eżempji li ġejjin ħa jkollna nqisu żewġ ġrajjiet wara xulxin. Għalhekk fil-formoli ta' qabel minflok *x* u *t*, ħa niktbu *Δx* u *Δt* li jirrappreżentaw il-bidla spazjali u temporali bejn l-ewwel grajja u t-tieni.

#### Dilatazzjoni tal-ħin
L-intervall ta' ħin li jissepara iż-żewġ ġrajjiet f'sistema ta' riferiment jidher differenti f'sistema ta' riferiment oħra. 

##### ''Derivazzjoni mill-ekwazzjoni ta' Lorentz''

Ejjew nikkunsidraw sistema ta' riferiment fid-dinja magħmula minn sett ta' osservaturi wieqfa relattivament ma xulxin u magħmra b'arloġġi sinkronizzati. Dawn l-osservaturi *dinjin* qegħdin f'linja bi dritt il-mogħdija ta' razz li qiegħed jimxi b'veloċità *v* relattivament mal-Art. Nissoponu li r-razz jitfa' xrara dawl kull \Delta t' sekondi, u t-tfigh tad-dawl hu kkontrollat minn arloġġ intern fir-razz. Fir-razz il-perjodu ta' ħin bejn żewg xrariet hu ta' \Delta t' sekondi. Billi dawn ix-xrariet jintefgħu mill-istess punt fuq ir-razz, l-intervall spazjali \Delta x' li jisseparahom hu żero. Imma il-perjodu ta' dawn id-dwal, kif jarawh l-osservaturi dinjin li qegħdin fil-linja tal-mogħdija tar-razz ?

Billi \Delta x' = 0, l-ekwazzjoni ta' Lorentz
:
c\Delta t = c\Delta t' \cosh\,\theta + \Delta x' \sinh\,\theta

turi li l-intervall Δ*t* bejn żewġ xrariet ta' wara xulxin kif jidher lill-osservaturi marbutin mas-sistema fid-dinja (u allura l-arloġgi tagħhom, niftakru, juru l-istess ħin) hu mogħti b'
:\Delta t = \Delta t'\cosh\,\theta = \gamma \Delta t' = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1 - (v^2/c^2)}}\,.

L-espressjoni msejħa Δ*t* hi dejjem ikbar minn Δ*t*&nbsp;'. Allura, jekk fis-sistema ta' riferiment tar-razz, l-intervall ta' ħin bejn żewġ xrariet hu ta' sekonda, fis-sistema ta' riferiment fid-dinja l-intervall hu ta' *γ* sekondi (γ&nbsp;>&nbsp;1).

Mela, nistgħu ngħidu li meta l-osservaturi dinjin jaraw mit-tieqa l-arloġġ fir-razz għaddej, jaħsbu li l-arloġġ għandu lura (l-arloġġi dinjin iduru *γ* sekondi, jiġifieri iżjed minn sekonda qabel jaraw l-arloġġ tar-razz idur sekonda). Biex ngħidu l-affarijiet fil-qosor, arloġġ fuq vettura miexja jidher li jmur lura. Dan l-effet jissejjaħ id- *dilatazzjoni relattivista tal-ħin*. Ġej minnu l-paradoss tat-tewmin: tewmi li jiġi lura minn vjaġġ immaġinarju b'veloċità qrib dik tad-dawl (li fil-fatti mhux possibbli li jitwettaq) jsib ruħu iżjed żagħżugħ minn ħuh li baqa' fuq l-Art, billi l-arloġġ tiegħu jkun dar inqas minn dak ta' ħuh.

##### ''Derivazzjoni sempliċi''
Fl-esperiment li ġej, li juri b'mod ħafif id-dilatazzjoni tal-ħin imbassra mir-relattività ristretta, nikkunsidraw *arloġġ tal-fotoni* li fih xrara dawl tivvjaġġa min mera għal oħra bil-veloċità *c* tad-dawl.

Figura 2

Il-ħin ta' vjaġġ f'sistema hu daqs id-distanza diviża bil-veloċita tad-dawl, li ma tiddependix mis-sistema. Jekk l-arloġġ ikun fiss telattivament mal-osservatur, id-distanza hi d-distanza *fil-waqfien* bejn iż-żewġ mirja u jdum il-ħin 2*t*&nbsp;'. Jekk l-arloġġ ikun miexi relattivament mal-osservatur, dan jara l-foton jimxi ma' linja mgħawġa iżjed twila mill-linja dritta ta' qabel. Il-ħin 2*t* tal-vjaġġ hu ikbar minn 2*t*&nbsp;'&nbsp;: l-arloġġ miexi jmur lura (ikun hemm *dilatazzjoni tal-ħin*).

It-tul tal-ipotenuża tat-trianglu rettangulari ABH tal-figura hu *ct*, tal-għoli hu *ct*&nbsp;' u tal-bażi hu *vt* billi *v* hi veloċità tal-arloġġ fis-sistema "fissa". Mit-Teorema ta' Pitagora:

: c^2t^2 \,=\, c^2t'^2 + v^2 t^2\,,
li minnha mill-ewwel joħroġ

:t = {t'\over{\sqrt{1-(v^2 /c^2)}}}\equiv \gamma t'\ .
Hekk nerġgħu niksbu b'mod sempliċi l-formola ta' qabel li tagħtina id-dilatazzjoni tal-ħin.

##### ''Fil-ħajja ta' kuljum''

Billi l-veloċita tad-dawl hi 300,000&nbsp;km/s, ajruplan għaddej bi 0.3&nbsp;km/s (jiġifieri 1000&nbsp;km/h) għandu veloċità daqs il-miljun parti ta' dik tad-dawl u għalhekk l-iżball li nagħmlu meta nużaw l-approssimazzjoni Galilejana hi inqas mill-miljun parti tal-miljun parti, (jiġifieri 10-12), insinjifikanti għal kollox fil-ħajja ta' kuljum. Madankollu għal kejl iżjed preċiż tal-ħin użat fl-esperimenti spazjali u għall-GPS, hu importanti ħafna li nieħdu kont tal-korrezzjonijiet relattivistiċi (xi minn daqqiet tar-relattività ristretta u xi minn daqqiet tar-relattività ġenerali). 

Għal korp miexi b'veloċità daqs l-għaxar parti ta' dik tad-dawl, l-effet relattivìstiku hu tal-ordi ta' wieħed fil-mija. Għalhekk l-effetti relattivistiċi ma jsirux sinjifikattivi ħlief għal veloċitajiet qrib dik tad-dawl, li ma jistgħux jintlaħqu fil-ħajja ta' kuljum. Din waħda mir-raġunijiet li hu diffiċli li nifhmu kif taħdem ir-relattività ristretta.

Però hemm bosta verifikazzjonijiet sperimentali: It-tul tal-ħajja tal-muoni atmosferiċi, it-tul tal-ħajja tal-partiċelli fl-aċċeleraturi, id-dawrien tal-arloġġi fuq is-satelliti (il-fenomenu f'dal-każ iservi għall-iżolazzjoni tal-gravità), etċ.

#### Kontrazzjoni tat-tul

Ejjew nissoponu li fis-sistema ta' riferiment \mathbb{R'} tar-razz hemm riga, ta' tul L', matul l-assi O'x'. Dan it-tul imkejjel fis-sistema ta' riferiment li fiha r-riga hi wieqfa hu t-*tul proprju* tar-riga. 

Fis-sistema ta' riferiment \mathbb{R} tad-dinja, li r-riga miexja relattivament magħha, nistgħu inkejlu r-riga billi nqisu dawn iż-żewġ ġrajjiet li ġejjin: L-ewwel waħda hi meta l-ewwel tarf tar-riga jgħaddi minn quddiem osservatur dinji meta l-arloġġ tiegħu juri, ngħidu aħna, nofsinhar. It-tieni waħda hi meta fl-istess ħin (f'nofsinhar) it-tieni tarf tar-riga jgħaddi minn quddiem osservatur dinji ieħor. Id-distanza *L* bejn iż-żewġ osservaturi inqisuha bħala t-tul tar-riga fis-sistema "fissa" billi din tirrappreżenta d-distanza bejn il-punti ta' \mathbb{R} li jikkoinċidu mat-truf tar-riga fl-istess waqt ta' \mathbb{R}. Billi Δ*t*&nbsp;=&nbsp;0 u Δ*x*&nbsp;=&nbsp;*L*, l-ekwazzjoni ta' Lorentz

:\Delta x' = \Delta x \cosh\,\theta - c\Delta t \sinh\,\theta

nistgħu niktbuha

:L'= L \cosh\,\theta = \gamma L\,.

Mela, it-tul *L* imkejjel fuq l-Art hu
:L = L'/\gamma = L' \sqrt{1 - (v^2/c^2)}\,,
u hekk *L* hu iqsar minn *L*'.

Irridu noqgħodu attenti li ma napplikawx dan il-fenomenu tal-kontrazzjoni tat-tul mingħajr ħsieb. Hemm bżonn li niddefinixxu sewwa l-ġrajjiet u niflu kif il-koordinati tagħhom jinbidlu minn sistema ta' riferiment għal oħra. Inkella nistgħu naqgħu f'xi wieħed mill-paradossi. Wieħed mill-iżjed magħrufin li għandhom x'jaqsmu mal-kontrazzjoni relattivista tat-tul hu dak tal-karozza dieħla fil-garaxx li ssir iqsar meta x-xufier isuqha ħafna.

## L-intervall ta' spazju-ħin bejn żewġ ġrajjiet

It-teorija relattivistika tista' tagħti l-impressjoni (anki b'isimha biss) li tagħmel kollox totalment dipendenti mill-mod tal-kejl. L-ewwel paragrafi ta' dan l-artiklu fuq ir-relattività tat-tul u l-ħin forsi jistgħu isaħħu din l-opinjoni. Però dan il-*punto di vista* hu żbaljat għaliex għall-kuntrarju, ir-relattività ristretta tisħaq iżjed profondament fuq dak li hu invarjanti taħt bidla tal-koordinati. Minn dan il-lat l-**invarjanza tal-intervall ta' spazju-ħin** bejn żewġ ġrajjiet hu fundamentali fit-teorija t.

F'sistema ta' riferiment, ġrajja hi karatterizzata bil-koordinati spazjo-temporali&nbsp;: "pożizzjoni, ħin". Żewġ grajjiet li qegħdin rispettivament f' *x*1,*y*1,*z*1,*t*1 u f' *x*2 *y*2, *z*2, *t*2 huma mbegħdin b'intervall ta' spazju-ħin li l-kwadrat tiegħu hu

:(\Delta \sigma_{12})^{2}=-c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2} + (x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}\,.
Niktbu b' mod iżjed sempliċi

:\Delta \sigma^{2}\,=\,- c^2 \Delta t^2 + \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 \equiv - c^2 \Delta t^2 +\Delta s^2 

Dan l-intervall hu invarjanti relattivistiku: il-valur tiegħu ma jiddependix mis-sistema ta' riferiment Galilejan li fiha jitqis. Nistgħu nivverifikah bil-formoli ta' Lorentz li:
:\Delta \sigma^{2}\,=-c^2 \Delta t^2 + \Delta x^2=-c^2 \Delta {t'}^2 + \Delta {x'}^2\,=\Delta {\sigma '}^{2}.

##### ''Klassifikazzjoni relattiva ta' żewġ ġrajjiet''
Minħabba l-preżenza tas-sinjal " - " il-kwadrat tal-intervall spazju-ħin jista' jkun pożittiv jew negattiv. Dan differenti għal kollox mill-kwadrat tad-distanza Ewklideja li hu dejjem pożittiv. Ninnutaw però li l-kwantitajiet Δ*t*2 u Δ*s*2 jibqgħu evidentament kwadrati "tajbin", jiġifieri pożittivi. 

Is-sinjal tal-invarjanti spazju-ħin Δ*σ*2 iħallina nikklassifikaw żewġ ġrajjiet, waħda relattivament mal-oħra, u din il-klassifikazzjoni għandha karattru "assolut".

:(i) Żewġ ġrajjiet jistgħu jkunu *separati* minn xulxin. Dan hu l-każ meta l-intervall spazju-ħin, Δ*σ*2, definit hawn fuq, hu strettament pożittiv. Id-distanza Δ*s* hi għalhekk "kbira wisq" relattivament mal-ħin Δ*t* u l-ebda sinjal tad-dawl ma jista' jikkonettja l-ġrajjiet 1 u 2; dan veru fis-sistemi kollha ta' riferiment. Żewġ ġrajjiet bħal dawn ma jistgħux ikollhom rabta ta' kawża effett. Dan jiġri meta ż-żewġ ġrajjiet ikunu simultanji f'xi sistema (allura Δ*t*&nbsp;=&nbsp;0 u Δ*σ*2 hi bilfors strettament pożittiva).

:(ii) Bil-kuntrarju jekk żewġ ġrajjiet għandhom rabta ta' kawża effett dan ifisser li f'xi sistema ta' riferiment xi sinjal jikkonnettjahom. Mela, sinjal tad-dawl li jimxi iżjed minn kull sinjal ieħor, jista' jikkonnettjahom ukoll. Fi kliem ieħor, |Δ*s*| hu iżgħar minn |*c*Δ*t*|, li jġiegħel il-kwadrat ta' Δ*σ*2 tal-intervall ikun negattiv (jew żero jekk il-konnessjoni bejn iż-żewġ ġrajjiet saret permezz ta' foton tad-dawl). 

:(iii) L-aħħar każ hu meta f'sistema ta' riferiment żewġ ġrajjiet għandhom l-istess koordinati, jiġifieri huma koinċidenti (l-intervall spazju-ħin hu għalhekk żero). Mill-ekwazzjonijiet ta' Lorentz, naraw li din il-koinċidenza tibqa' meta nbiddlu s-sistema ta' riferiment. Din tagħmel assolut il-kunċett ta' ħabta bejn żewġ partiċelli.

Fl-ambitu tar-relattività ristretta, ma nistgħux nerġgħu lura fil-ħin, iġifieri l-ordni temporali ta' żewġ ġrajjiet ma tistgħax tinbidel; ħa nfissru għaliex: Biex inkunu realistiċi, fil-fiżika il-bidla fis-sistema ta' riferiment mis-sistema tal-bidu, bilfors ikollna nagħmluha b'mod kontinwu . Billi hija invarjanti, il-kwantità Δ*σ*2=c2Δ*t*2&nbsp;-&nbsp;Δs2 tibqa' bl-istess sinjal, li hawnhekk hu pożittiv. B'konsegwenza, it-terminu pożittiv c2Δ*t*2 jibqa' strettament ikbar mit-terminu Δ*s*2 li hu pożittiv jew żero. It-terminu Δ*t*2 ma jistgħax jgħaddi minn żero f'bidla kontinwa ta' sistema ta' riferiment u minn dan il-fatt nistgħu ngħidu li l-kwantità Δ*t* stess (li s-sinjal tagħħa jiddeċiedi l-ordni temporali taż-żewġ ġrajjiet) iżżomm l-istess sinjal. Jekk il-ġrajja&nbsp;1 tippreċedi l-ġrajja&nbsp;2, għal ċertu osservatur, din l-ordni ma tistgħax tinqaleb għal osservatur ieħor, jiġifieri il-kawża ma tistgħax tinqaleb. Fi kliem ieħor, il-prinċipju tal-kawżalità hu rispettat fis-sistemi ta' riferiment Galilejani.

Ninnutaw li l-ħin u l-ispazju għandhom rwoli simmetriċi u għalhekk hu loġiku li nkejluhom bl-istess mod. Billi l-veloċità tad-dawl hi fissa nagħmlu l-ekwivalenza bejn it-tul u l-ħin iżjed ċara jekk nirredefinixxu l-metru bħala d-distanza li jivvjaġġa d-dawl f'sekonda jew b'mod ekwivalenti nistgħu nirridefinixxu s-sekonda bħala l-ħin li jieħu d-dawl biex jimxi tul ta' metru.

Id-definizzjoni tal-kwadrat Δ*σ*2 tal-intervall spazjo-temporali adottata hawn fuq tikkorripondi mas-"&nbsp;senjatura&nbsp;" (–&nbsp;+&nbsp;+&nbsp;+) ta' dik li tissejjaħ il-metrika tal-spazju-ħin, bin-notazzjoni li hi ċara. Skont din l-għażla,
:l-intervall li għalih \Delta \sigma^2 > 0 jissejjaħ "intervall tat-tip spazju" (jekk nesprimuh bl-istess unità, id-distanza hi itwal mill-ħin).
:l-intervall li għalih \Delta \sigma^2  jissejjaħ "intervall tat-tip ħin" (il-ħin itwal mid-distanza).
Fil-prattika, id-definizzjoni tal-intervall spazjo-temporali mhijiex fissa u jista' jkollha senjatura (–&nbsp;+&nbsp;+&nbsp;+) jew (+&nbsp;–&nbsp;–&nbsp;–). Wieħed irid jara mill-kuntest liema senjatura qiegħda tintuża.

##### ''Il-ħin proprju''
Hemm definizzjoni ta' importanza kbira marbuta mal-invarjanza ta' dan l-intervall ta' spazju-ħin, u din hi dik ta' **ħin proprju**. Nissoponu, pereżempju li qegħdin ġewwa razz li qiegħed jimxi relattivament mal-Art b'veloċità *v*, jiġifieri l-axissa tar-razz hi
:x\,=\,v t 
fis-sistema dinjija. Jekk inqisu arloġġ ġewwa r-razz, il-pożizzjoni tiegħu ma tinbidilx relattivament ma dan ir-razz u l-kwadrat tal-intervall ta' spazju-ħin jirriduċi għall-komponent temporali li nuru b' -\Delta\tau^2\,. Billi l-intervall ta' spazju-ħin hu indipenti mis-sistema li fiha jitkejjel, għandna
:c^2\Delta\tau^2 \,= \,c^2\Delta t^2 - \Delta x^2 = c^2\Delta t'^2 - \Delta x'^2 = ...
fejn (*t*&nbsp;',&nbsp;*x*&nbsp;'&nbsp;) huma l-koordonati f'sistema oħra.

Il-ħin \tau\, definit bir-relazzjoni
:c^2 \Delta \tau^{2}\,=\,c^2 \Delta t^2 - \Delta s^2 
jissejjaħ il-**ħin proprju** tal-oġġett miexi jew tal-partiċella li nkunu qegħdin nikkunsidraw.

## Dijagramma tal-ispazju-ħin

Fil-mekkanika Newtonjana, l-spazju hu separat mill-ħin u nistudjaw il-moviment ta' partiċella bħala funzjoni tal-ħin assolut. Grafikament nirrappreżentaw it-trajettorja fl-ispazju (imma mhux fil-ħin&nbsp;!). Pereżempju, impinġu l-ellissi li tiddeskrivi pjaneta madwar ix-Xemx skont il-liġijiet ta' Kepler. Il-figura fil-ġenb (fig. 3) turi l-mogħdija spazjali li jimxu magħha ċertu numru ta' partiċelli A, B, C, D, E, etc. li għandhom veloċità kostanti matul il-ħin, ngħidu aħna, sekonda u d-distanza li jivvjaġġaw hi proporzjonali mal-veloċità tal-partiċella. Fil-każ ġenerali nistgħu inpinġu t-trajettorja ta' punt M(*x*,&nbsp;*y*,&nbsp;*z*) f'sistema Karteżjana fi tliet dimensjonijiet.

Fir-relattività ristretta nsegwu l-**ġrajjiet** fi spazju ta' 4 dimensjonijiet, tlieta tal-ispazju u waħda tal-ħin, u għalhekk mhux possibbli fl-iżjed każ ġenerali li nivviżżwalizzaw il-linja li tirrappreżenta is-sinsiela ta' ġrajjiet u li turi l-mogħdija tal-partiċella *fl-istess waqt fl-ħin u fl-spazju*. Din il-linja tissejjaħ il-**linja tal-univers** tal-partiċella. Biex intaffu d-diffikultà tar-rappreżentazzjoni f'4 dimensjonijiet nillimitaw ruħna għal 2 dimensjonijiet, waħda tal-ispazju u waħda tal-ħin. Fi kliem ieħor nikkunsidraw biss il-moviment matul l-assi ta' *x* u l-koordinati *y* u *z* ma jinbidlux. Allura jibqa' biss il-varjabbli *x* u *t*, u nkunu nistgħu inpinġu f'sistema Karteżjana f'żewġ dimensjonijiet it-trajettorja ta' partiċella fl-spazju-ħin&nbsp;: il-linja tal-univers tagħha.

Iż-żewġ figuri kontra juru l-mogħdija mill-*punto di vista* Newtonjan u l-*punto di vista* relattivistiku. Ta' fuq (fig. 3) tagħti l-ispazju vvjaġġat f'sekonda minn diversi partiċelli b'veloċità kostanti. Waqt li A tibqa' fejn hi, B timxi ċertu tul, C tiġri iżjed u tmur iżjed 'il bogħod waqt li E tmur fid-direzzjoni l-oħra. Il-figura ta' isfel (fig. 4), tagħti f' **dijagramma spazjo-temporali** is-sensiela tal-ġrajjiet li jiffurmaw il-moviment tal-partiċella. Billi l-veloċità tal-partiċelli hi kostanti, l-axissa tagħhom hi ċarament *x*&nbsp;=&nbsp;*vt* u għalhekk il-linja tal-univers tagħhom hi dritta. Il-pendil ta' din hi proporzjonali għall-veloċità *v*. Il-ħaġa rimarkabbli hi li l-linja tal-univers tal-partiċella wieqfa m'għadhiex punt biss imma l-linja dritta OA. In fatti, jekk il-partiċella ma timxix (*x*&nbsp;=&nbsp;kostanti), il-ħin jibqa' għaddej matul il-perijodu li qegħdin inqisu&nbsp;!

Waqt li f'din id-dijagramma, il-moviment b'veloċità kostanti hu rappreżentat b'linja dritta, fil-każ ġenerali il-moviment ta' partiċella hu rappreżentat b'kurva . Pereżempju, il-figura 5 turi l-linja tal-univers ta' oġġett miexi li jitlaq mill-axissa *x*&nbsp;=&nbsp;0 u terġa' lura hemm f'ħin *T* iżjed tard, bil-ħin meħud ngħidu aħna fuq l-Art. Ħa nużaw l-eżempju ta' razz li jagħmel vjaġġ intersiderali u jerġa' lura. 

Il-linja dritta bejn "tluq" u "wasla" matul l-assi temporali tirrappreżenta l-linja tal-univers tal-Art, fejn il-koordinata spazjali, ugwali għal 0, ma tvarjax. Il-linja mgħawġa tirrappreżenta s-sensiela ta' ġrajjiet li hu magħmul minnhom il-vjaġġ tar-razz. Il-koordinata kurvilinja li biha nistgħu nimmarkaw punt fuq din il-kurva hi l-**ħin proprju** tar-razz, dak li juri l-arloġġ fuq ir-razz.

Il-formoli relattivistiċi juru li l-ħin proprju matul il-mogħdija kurvilinja hu **iqsar** mill-ħin proprju matul il-mogħdija dritta (hawnhekk dan jirrappreżenta l-ħin dinji). Dan il-fenomenu hu s-sisien tal-paradoss tat-tewmin li semmejna qabel.

Waqt li fil-ġeometrija Ewklideja (*x*,&nbsp;*y*) l-iqsar mogħdija bejn żewġ punti A u B hi l-linja dritta, fil-ġeometrija Lorentzjana (*x*,&nbsp;*t*) l-intervall temporali bejn żewġ ġrajjiet A u B għall-partiċella miexja hu **massimu** matul il-mogħdija dritta AB. L-itwal vjaġġ hu dak li jikkorispondi mal-mogħdija dritta AB fid-dijagramma spazju-ħin. Fil-każ tagħna din it-trajettorja hi dik li jsegwi oġġett ħieles mill-forzi kollha u miexi b'veloċità kostanti. Din il-proprjetà hi hekk importanti li minnha nistgħu insibu l-ekwazzjoniet tar-relattività ġenerali billi nestendu l-prinċipju tal-*massimazzjoni tal-ħin* ta' mogħdijiet ta' partiċella ħielsa f'kamp ta' gravità (fl-inħawi ta' toqba sewda jew tax-Xemx pereżempju).

## Liġi tal-kompożizzjoni tal-veloċitajiet
Minn razz miexi b'veloċità v relattivament mal-Art jisparaw balla ta' kanun fid-direzzjoni tal-veloċità tar-razz, b'veloċità w' imkejla fir-razz. X'inhi l-veloċità w tal-balla mkejla fuq l-Art? 

Fiċ-ċinematika Galilejana il-veloċitajiet jingħaddu flimkien u jkollna 
: w = w' + v\,.
Fiċ-ċinematika relattivistika il-liġi tal-kompożizzjoni tal-veloċitajiet hi differenti.

Fir-razz id-distanza Δ*x&nbsp;*' li timxi l-balla matul il-ħin Δ*t*' hi
:\Delta x'\, = \,w' \Delta t' 

Mill-formoli ta' Lorentz
: \begin{cases}
\Delta x \,=\, \gamma (\Delta x' + v\Delta t')\\
\Delta t \,=\, \gamma [\Delta t' + (v/c^2)\Delta x']
\end{cases}
jekk nibdlu Δ' fil-valur tagħha, faċilment niksbu l-veloċità tal-balla fis-sistema dinjija fil-forma&nbsp;:

:w \,=\, \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{\gamma(w'\Delta t' + v\Delta t')}{\gamma[\Delta t' + (v/c^2)w'\Delta t']}\,,

jew

:w \,=\, \frac{w'+v}{1 + (w' v/c^2)}\,.
Din ir-relazzjoni turi li l-liġi ta' kompożizzjoni tal-veloċitajiet fir-relattività ristretta ma tibqgħax liġi addittiva u li l-veloċità *c* hi l-ogħla veloċità li tista' tintlaħaq tkun liema tkun is-sistema ta' riferiment (meta ngħoddu magħha veloċità, nerġgħu naqgħu fuq *c*).

Sadattant hemm parametrazzjoni li biha nistgħu niksbu liġi addittiva. Biżżejjed naqilbu mill-veloċità *v* għal parametru angulari tal-veloċità *θ* li introduċejna qabel.

Ħa nuru li f'kompożizzjoni tal-veloċitajiet il-parametri tal-veloċità jingħaddu flimkien. 

Jekk inpoġġu
:\theta \,=\, \mathrm{atanh} (v/c)
:\alpha' \,=\, \mathrm{atanh} (w'/c)
:\alpha \,=\, \mathrm{atanh} (w/c)
u nużaw il-formoli tal-addizzjoni tal-funzjonijet iperboliċi 
:\tanh(\theta + \alpha') = \frac{\tanh \theta+ \tanh \alpha'}{1 + \tanh \theta \,\tanh \alpha'}

mill-ewwel niksbu

:\alpha \,=\,\alpha' + \theta .

Fi kliem ieħor il-parametru angulari tal-veloċità tal-balla relattivament mal-Art hi s-somma tal-parametru angulari tal-veloċità tal-balla relattivament mar-razz u tal-parametru angulari tal-veloċità tar-razz relattivament mal-Art. Ma tistgħax tkun iżjed sempliċi&nbsp;!

B'dan il-formaliżmu, il-parametru angulari li jikkorrispondi mal-veloċità *c* hu infinit (billi atanh(*x*&nbsp;), l-argument tanġenti iperboliku ta' *x*, jersaq lejn l-infinit waqt li *x* tersaq lejn 1) u għalhekk jibqa' infinit inżidu x'inżidu miegħu. Mela nerġgħu niksbu l-fatt li *c* hi l-ogħla veloċità (li hi impossibbli li tintlaħaq minn partiċella materjali) indipendament mis-sistema magħżula. Biss il-veloċitajiet tal-partiċelli bla massa, bħall-fotoni, jistgħu jimxu bil-veloċità tad-dawl.

Din il-proprjetà remarkabbli tal-additività tal-parametru angulari tal-veloċità hi espliċita fid-determinazzjoni tal-ekwazzjoniet ta' razz aċċelerat.

Ħa nagħtu **applikazzjoni numerika** (il-veloċitajiet użati ma jistgħux jintlaħqu fil-verità&nbsp;!). Nimmaġinaw li balla ġiet sparata b'veloċità *w'&nbsp;*&nbsp;=&nbsp;0,75*c* fis-sistema ta' razz li jkun miexi b'veloċità *v*&nbsp;=&nbsp;0,75*c* relattivament mal-Art. X'inhi l-veloċità tal-balla mkejla fl- Art? Naraw mill-ewwel li valur 1.5*c* li tagħtina l-formola Galilejana hu falz billi l-veloċità li niksbu taqbeż dik tad-dawl. Mill-formoli relattivistiċi nirraġunaw kif ġej. L-angolu parametriku tal-veloċità tal-balla relattivament mar-razz hu
\alpha' = \mathrm{atanh}(0.75) = 0.973\,.
L-angolu parametriku tal-veloċità tal-razz relattivament mal-Art għandu l-istess valur 
\theta = 0.973\,.
Il-parametru angulari tal-veloċità tal-balla relattivament mal-Art mela hu \alpha\,=\,0.973 + 0.973\,=\,1.946, li jikkorrispondi mal-veloċità
w = c \, \tanh (1.946) = 0.96\,c\,.
Fir-relattività ristretta 0.75&nbsp;+&nbsp;0.75&nbsp;=&nbsp;0.96, jekk nistgħu ngħidu hekk!

Naturalment nistgħu niksbu dan ir-riżultat direttament mill-formola li tagħti *w* bħala funzjni ta' *w&nbsp;*' u *v*.

## Il-kwadrivettur tal-veloċità

Fil-mekkanika Newtonjana nistudjaw il-moviment ta' partiċella billi nsegwu il-pożizzjoni tagħha \vec{r} bħala funzjoni tal-ħin *t*, li nissoponu li għandu karattru assolut, indipendenti mill-arloġġ li nkejluh fuqu. Fir-relattività nabbadunaw dan il-mod kif inħarsu lejn l-affarijiet u nqisu l-moviment ta' partiċella bħala sensiela ta' ġrajjiet \mathcal{P}. Il-kurva li tiddeskrivi din is-sensiela fi spazju ta' erba' dimensjonijiet (tlieta għall-ispazju, waħda għall-ħin) tissejjaħ il-"linja tal-univers".

Kif fil-mekkanika klassika niddefinixxu l-veloċità ta' partiċella billi nieħdu d-derivata
:v \,=\, d\vec{r}/dt
tal-pożizzjoni rispett il-ħin, bl-istess mod fil-mekkanika relattivistika niddefinixu l-vettur tal-veloċità f'erba' dimensjonijiet (jew kwadrivettur tal-veloċità)
:\mathbf{u}\,=\, d\mathcal{P}/d\tau

fejn \tau\, hu l-*ħin proprju* tal-partiċella, definit iżjed il-fuq.

Meta nagħmlu espliċiti l-komponenti ta' dan il-kwadrivettur f'sistema mogħtija nistgħu niktbu 

:\mathbf{u} = \left(c \frac{dt}{d\tau}, \frac{dx}{d\tau}, \frac{dy}{d\tau}, \frac{dz}{d\tau}\right)\,,
espressjoni li fiha introduċejna l-fattur *c* biex naħdmu b'koordinati omoġenji.

Hemm relazzjoni sempliċi, u importanti, li għandha x'taqsam ma' dan il-kwadrivettur. Id-definizzjoni tal-kwadrat tal-intervall ta' spazju-ħin definit hawn fuq, nistgħu niġġeneralizzawh għall-kwadrivetturi kollha. Mela noddefinixxu l-kwadrat tan-norma ta' kwadrivettur bħala d-differenza bejn il-kwadrat tal-parti temporali u dak tal-parti spazjali tagħha u din in-norma hi invarjanti taħt it-trasfomazzjoni ta' Lorentz. Fi kliem ieħor ma tiddependix mas-sistema magħżula. Fil-każ tal-veloċità dan ir-riżultat jieħu forma partikularment sempliċi. In fatti, fis-sistema proprja tal-partiċella, jiġifieri fis-sistema li fiha l-partiċella hi wieqfa, il-parti spazjali tal-kwadrivettur tal-veloċità hi żero waqt li l-parti temporali hi sempliċiment *c* (d*t*/d*τ*&nbsp;=&nbsp;1 billi l-ħin *t* hu preċiżament il-ħin *τ* meta nkejluh fis-sistema tal-partiċella). Fi kliem ieħor fis-sistema proprja ta' partiċella, il-kwadrivettur tal-veloċità għandu komponenti (*c*, 0, 0, 0). Mela f'kull sistema Galileja għandna r-relazzjoni

:(parti temporali ta' \mathbf{u})2 - &nbsp;(parti spazjali ta' \mathbf{u})2 = *c*2 .

Hu minħabba din l-invarjanza ta' din in-norma li nistgħu nitkellmu fuq il-kwadrivettur ta' partiċella indipendament minn kull sistema ta' koordinati.

## Il-kwadrivettur enerġija-momentu
Nistgħu nirraġunaw li bħal ma l-momentu klassiku ta' partiċella hu l-prodott \vec{p} = m\vec{v} tal-massa bil-veloċità, hekk ukoll il-prodott m\mathbf{u} tal-kwadrivettur tal-veloċità \mathbf{u} bil-massa *m* tal-partiċella għandu jkun il-kwadrivettur tal-momentu. Dan sikwit insejħulu l-vettur tal-**enerġija-momentu**, biex nuru l-fatt li l-enerġija u l-momentu huma magħqudin flimkien f'kunċett fiżiku u ma jistgħux jinfirdu, bl-istess mod li l-ispazju u l-ħin jiffurmaw l-ispazju-ħin. Waqt li l-komponenti spazjali ta' dan il-kwadrivettur nistgħu nidentifikawhom b'mod ċar ma' dawk tal-momentu klassiku ta' partiċella, Einstein issuġġerixxa li għandna nidentifikaw il-komponent temporali ta' dan il- kwadrivettur mal-enerġija tal-partiċella. Minkejja li hemm ħafna raġunijiet għal din l-għażla, mhux faċli li nagħtu *prova* vera, imma din is-sitwazzjoni fejn ipoteżi mwielda fl-istess ħin mat-teorija tiżviluppa u l-konferma sperimentali tagħha tiġi wara, m'hijiex rari fil-fiżika. Fil-verità, l-għaxriet ta' għeluf ta' konfermi sperimentali kuljum tat-teorija, huma garanzija biżżejjed tal-ipoteżi li jagħmlu s-sisien tagħha.

F'sistema inerzjali (pereżempju s-sistema dinjija fl-ewwel approssimazzjoni, li ħa nsejħulha s-*sistema laboratorju*) il-koordinati tal-ġrajjiet marbutin mal-partiċella li qegħdin insegwu huma (*t*, *x*, *y*, *z*) u l-komponenti f'din is-sistema tal-kwadrivettur tal-enerġija-momentu tal-partiċella huma :
:\mathbf{p}=m\mathbf{u} \,=\, (E/c, p_x, p_y, p_z)
fejn 
: E/c = mc \frac{dt}{d\tau}\,;\qquad p_x = m\frac{dx}{d\tau}\,;\qquad p_y =m\frac{dy}{d\tau}\,;\qquad p_z=m\frac{dz}{d\tau}\,.

### Espressjoni ''relattivistika'' tal-enerġija
Meta nħarsu lejn ir-relazzjoni bejn il-ħin proprju (il-ħin *t' * tar-razz, jew *τ* tal-partiċella miexja) u l-ħin *t* fis-sistem li qegħdin nikkunsidraw (is-sistema laboratorju), naraw li : dt\,=\,\gamma. d\tau

Hekk niksbu espressjoni għall-**enerġija totali** tal-partiċella "fis-sistema laboratorju", dik li relattivament miegħu il-partiċella għandha veloċità \vec{v} (billi l-enerġija tiddependi mis-sistema li fiha nkejluha&nbsp;!) fil-forma :
:E = \gamma.{mc^2}\,=\,\frac{mc^2}{\sqrt{1 - (v^2/c^2)}}.

* Fir-relattività ristretta, l-**enerġija totali** ta' partiċella wieqfa hi daqs is-somma tal-**enerġija fil-waqfien** *m.c*2 kontenuta fil-massa tagħha u l-**enerġija ċinetika** *K*. Meta nħarsu lejn l-espressjoni relattivistika tal-enerġija, naraw li l-enerġija ċinetika tal-partiċella hi mogħtija bl-espressjoni :
:Enerġija ċinetika  \mathrm \,=\,K\,= E - m c^2 \,=\,m c^2\left( \frac{1}{\sqrt{1 - (v^2/c^2)}} - 1\right).

** Għall-veloċitajiet "baxxi" (jiġifieri baxxi mqabblin ma' dik tad-dawl, fil-każ "klassiku") niksbu, (fl-ewwel approssimazzjoni) :
:E \simeq mc^2 + (1/2) m v^2 
:Din il-formola turi li l-**enerġija totali** tal-partiċella hi s-somma tal-**enerġija fil-waqfien** *m.c<sup>2</sup>* li ma nafux biha fil-mekkanika Newtonjana u tal-**enerġija ċinetika klassika** *(1/2)m.v<sup>2</sup>*.

** għall-veloċitajiet qrib ħafna ta' dik tad-dawl, hi l-kwantità *1&nbsp;-&nbsp;*β*&nbsp;=&nbsp;[1&nbsp;-&nbsp;(v/c)]* li tgħodd. 
:Għandna : 
:1 - \beta^2 = (1 + \beta)(1-\beta) \simeq 2(1-\beta) 
:u allura l-**enerġija totali** nistgħu niktbuha, (fl-ewwel approssimazzjoni) :
:E \simeq pc = \frac{mc^2}{\sqrt{2(1-\beta)}}\equiv \frac{mc^2}{\sqrt{2[1-(v/c)]}}.

### Espressjoni ''relattivistika'' tal-momentu
Min-naħa l-oħra l-komponenti tal-veloċità tal-partiċella fis-sistema laboratorju huma :
:v_x=dx/dt\,;\qquad v_y=dy/dt\,;\qquad v_z=dz/dt,
u meta nħarsu lejn il-fattur ta' dilatation tal-ħin bejn d*t* u d*<math>\tau</math>*, niksbu formola importanti oħra li tagħtina l-valur tal-momentu *fis-sistema laboratorju* :
:p\,=\, \frac{mv}{\sqrt{1 - (v^2/c^2)}}.

## Ekwivalenza tal-enerġija u tal-massa fil-waqfien
Il-kwadrivettur enerġija-momentu għandu l-karatteristika li n-*norma* tiegħu, jew il-kwadrat skalari tiegħu (fis-sens tal-kwadrat tal-intervall tal-ispazju-ħin), hi invarjianti taħt bidla ta' sistema ta' riferiment. Fil-qosor, il-kwantità
:E^2/c^2\,-\,p^2\qquad \text{fejn} \qquad p^2\,=\,(p_x^2 + p_y^2 +p_z^2)
hi indipendenti mis-sistema ta' riferiment li fiha tkun ikkalkulata. Issa fis-sistema tal-partiċella, il-veloċità hi żero, l-istess il-momentu, u allura n-norma ta' din il-kwantità invarjanti hi *(m&nbsp;c*)2. F'kull sistema tkun liema tkun għandna r-relazzjoni importanti li ġejja
:E^2/c^2 - p^2\, =\, (m c)^2
jew
:E^2 - p^2c^2 \,=\, m^2 c^4
(Il-fatturi ta' *c* f'dawn il-formoli jiżguraw li huma omoġenji, *p* għandha d-dimensjoni ta' *mv*, *E* dik ta' *mv*2.)

Nistgħu nippruvaw din il-formola direttament minn  dawk ta' hawn fuq li jagħtu l-enerġija u l-momentu.

Nistgħu nagħmlu xi osservazzjonijiet :
:(i) Il-valur tal-enerġija totali ta' partiċella jiddependi mis-sistema ta' riferiment tal-osservatur. Però, il-valur tal-enerġija ta' massa hu l-istess fis-sistemi ta' riferiment kollha, u b'mod partikulari fis-sistema ta' riferiment proprja tal-partiċella. Mela hi karatteristika intrinsika tal-partiċella.
:(ii) Waqt li *v* tersaq lejn *c*, \gamma tersaq lejn l-infinit, li jfisser li hemm bżonn ta' enerġija infinita biex naċċelleraw partiċella sakemm tilħaq il-veloċità tad-dawl. Jidher ċar li dan impossibbli. Però nistgħu naċeċelleraw il-partiċelli sakemm jilħqu veloċitajiet qrib ħafna ta' *c*.
:(iii) Ir-relattività ristretta tidher fil-fenomeni fiżiċi kollha, anki fejn il-veloċitajiet li għandhom x'jaqsmu m'humiex relattivistiċi. Eżempju ċar hu n-nuqqas fil-massa tal-atomu l-iżjed sempliċi : il-massa tal-atomu tal-idroġenu H_{1}^{1} hi inqass mill-mases tal-elettron u tal-proton flimkien b' kwantità eżattament daqs l-ekwivalenti fil-massa tal-enerġija tal-jonizzazzjoni tal-atomu.

L-**ekwivalenza tal-massa u tal-enerġija** tingħata bil-formola famuża *E=mc<sup>2</sup>*. L-idea ta' din l-ekwivalenza kienet pass rivoluzzjonarju, għax il-kunċetti ta' materja u enerġija kienu distinti sa dak iż-żmien, allavolja ċerti xjenzjati bħal Poincaré u Lorentz, kien ppruvaw indipendentament jagħqduhom fil-qasam tal-elettromanjetiżmu. 

Daż-żmien m'għandniex nenfatizzawha iż-żejjed din l-ekwivalenza, għaliex waqt li l-massa hi in-norma tal-kwadrivettur enerġija-momentu, l-enerġija m'hijiex ħlief wieħed mill-*komponenti* ta' dan il- kwadrivettur. Il-massa mogħtija b'
:m^2\,=\,(E^2 - p^2c^2)/c^4
hi *invarjanti* taħt bidla ta' sistema (hi l-istess f'kull sistema). L-enerġija għal-kuntrarju tiddependi mis-sistema magħżula, u jidher ċar li la l-veloċità tinbidel, l-enerġija ċinetika trid tinbidel ukoll.

## Il-veloċità tal-partiċelli bla massa
Ir-relazzjonijiet ta' hawn fuq jagħtuna riżultati importanti. L-espressjonijiet li jagħtu *E* u *p* bħala funzjoni ta' *m* u *v* iwasslu minnufih għall-formola
:p\,=\,(v/c)(E/c).
Jekk il-veloċità tal-partiċella hi daqs il-veloċità tad-dawl, allura p=E/c u meta nikkalkulaw E^2 - p^2c^2 naraw li l-massa tal-partiċella hi bilfors żero. Bil-kontra, jekk il-massa tal-partiċella hi żero, allura p=E/c u mela v=c.

Għalhekk naslu għall-konklużjoni doppja importanti li l-partiċelli materjali ma jistgħux jilħqu l-veloċità tad-dawl u li l-partiċelli bla massa biss jimxu bil-veloċità tad-dawl.

Hemm koerenza perfetta: kull mekkaniżmu ta' propagazzjoni tal-enerġija bil-veloċità tad-dawl jikkorrispondi ma' kwantità ta' momentu *p* daqs l-enerġija u allura ma' "massa fil-waqfien" ta' żero. Bil-maqlub, partiċella ta' bla massa bilfors timxi bil-veloċità tad-dawl.

## Dilatazzjoni tal-ħin tar-raġġi kożmiċi u tal-muoni
Fl-astronomija nsibu partiċelli li jġorru enerġija kolossali: ir-raġġi kożmiċi. Minkejja li l-mekkaniżmu tal-produzzjoni tagħhom għadu mistur, nistgħu inkejlu l-enerġija u n-numri konsiderevoli li niksbu juru li l-analiżi tagħhom teħtieġ l-użu tal-formoli tal-relattività ristretta. Ir-raġġi kożmiċi mela jfornu xempju ideali tat-teorija ta' Einstein.

Insibu partiċelli b'enerġiji inkredibbli tal-ordni ta' 1020 elettronvolt, jiġifieri mitt miljun TeV. Nieħdu raġġ kożmiku magħmul minn proton ta' 1020 eV. X'inhi l-veloċità ta' din il- partiċella? 

Fl-espressjoni li tagħti l-enerġija *E*, it-terminu *mc*2 jirrapreżenta l-enerġija tal-massa fil-waqfien tal-partiċella. Dik tal-proton hi madwar 1GeV, jiġifieri 109eV. Ir-rapport bejn *E* u *mc*2 mela hu 1020 /109 =1011 li hu l-famuż fattur tad-dilatazzjoni tal-ħin \gamma=[1 - (v/c)^2]^{-1/2}. X'inhi l-veloċità ta' dan il-proton? Meta niktbu 1 - (v/c)^2=[1+(v/c)][1 - (v/c)]\simeq 2 [1 - (v/c)] insibu li 
:1 -(v/c) = 0.5\times 10^{-22} .
Fi kliem ieħor il-veloċità tal-proton li qegħdin nikkunsidraw hi kważi daqs il-veloċità tad-dawl, differenti minnha b'inqas minn 10-22 (imma qatt ma tista' tilħaqha).

Ejjew naraw xi jfissru dawn iċ-ċiffri għall-fatturi relattivistiċi li jeżistu bejn is-sistema proprja tal-partiċella u s-sistema dinjija. Id-dawl jaqsam il-Galassija tagħna f'xi mitt elf sena tad-dawl. Għalhekk għal osservatur dinji l-proton jaqsam din il-Galassija fl-istess ħin, madwar 100,000 sena. Il-ħaġa straordinarja hi li fis-sistema tal-proton relattivistiku, il-ħin li jikkorispondi hu 1011 darba inqas u altura hu ta' 30 sekonda (sena tagħmel 3×107 sekondi)! 

:*Il-proton tagħna ultra-relattivistiku u ultra-enerġetiku jaqsam il-Galassija tagħna fi 30 sekonda tal-ħin proprju tiegħu imma f' sena tal-ħin dinji tagħna.*

Meta raġġ kożmiku jolqot atomu tal-ossiġenu jew tal-ażotu fl-atmosfera dinjija f'altitudni tal-ordni ta' 20 sa 50 kilometru 'il fuq mill-art, joħroġ raxx ta' partiċelli elementari li fih il-muoni. Parti minnhom imorru lejn l-art b'veloċità kważi daqs dik tad-dawl, xi  kilometru l-sekonda fis-sistema dinjija. Dawn il-partiċelli jaqsmu xi 30 kilometru ta' atmosfera f'10-4 sekonda (jew 100 mikrosekonda).

Fis-sistema li fiha hu wieqaf, muon għandu nofs-ħajja ta' 2μs (2 mikrosekondi, jew 2x10-6s). Dan ifisser li fost qabda muoni prodotti fuq nett tal-atmosfera, nofshom jisparixxu f'2 mikrosekondi, mibdulin f'partiċelli oħra. Nofs il-muoni li jibqa' jisparixxu f'2 mikrosekondi oħra u jkomplu hekk. Kieku n-nofs-ħajja kienet l-istess (2 mikrosekondi) fis-sistema dinjija, fil-10-4 sekondi tal-qsim tal-atmosfera il-muoni jkun għaddew minn 10-4/2×10-6=50 nofs-ħajjiet. Hekk in-numru tagħhom sa meta jaslu f'wiċċ id-dinja jkun naqas b'fattur ta' (1/2) 50, jiġifieri madwar 10-15 li jfisser li fil-fatti l-ebda muon ma jasal.

Issal-kejl juri li madwar 1/8, jiġifieri (1/2)3 mill-muoni tal-bidu jaslu f'wiċċ id-dinja, li jipprova li ma spiċċawx nofshom ħlief 3 darbiet u mhux 15-il darba. Fi kliem ieħor il-ħin tal-qsim tal-atmosfera fis-sistema proprja tagħhom tieħu 3 nofs-ħajjiet u mhux 50, jiġifieri 6 mikrosekondi *biss* (u mhux 100 mikrosekondi). Dan ir-riżultat jagħtina prova qawwija tal-verità tar-relattività ristretta u b'mod partikulari tat-dilatazzjoni tal-ħin proprju (hawn dak tal-muon) meta nkejlu f'sistema barranija (hawn dik tad-dinja). Fl-eżempju numeriku li għażilna il-fattur ta' dilatazzjoni tal-ħin \gamma = [1 - (v/c)^2]^{-(1/2)} hu ta' 100/6. 

Nistgħu niddeduċu l-veloċità u l-enerġija tal-muoni. Fil-fatti, għandna bħal fil-kalkulazzjoni ta' qabel
:1 - (v/c)^2\,=\,2\times[1 - (v/c)]\,=\,(6/100)^2\,,
li twassal għal
:1 - (v/c) \simeq 2\times10^{-3}\ .

Billi l-massa ta' muon hi madwar 100 MeV, l-enerġija tal-partiċella hi 100/6 darbiet ikbar, jiġifieri madwar 2000 MeV jew 2 GeV.

## Konservazzjoni tal-kwadrivettur enerġija-momentu ta' sistema iżolata
Il-qawwa kbira tat-teorija ta' Einstein hi li tħalli l-fiżiku jirraġuna fuq kwantitajiet ta' karattru ġemetriku li għandhom realtà li titrassendi l-lingwa tal-koordinati. Hekk nistgħu nitħaddtu fuq kwadrivettur enerġija-momentu indipendentament mir-rappreżentazzjoni tiegħu f'termini ta' koordinati. Dan il-vettur b'erba' dimensjonijiet jipprovdilna għodda qawwija biex nittrattaw il-mekkanika relattivistika u patikularment il-problemi ta' interazzjoni u ta' trasformazzjoni ta' partiċelli.

L-analiżi ta' ħabta bejn partiċella A u partiċella B (jew iżjed ġeneralment ta' ħabtiet bejn partiċelli ta' sistema mogħtija) hi msejsa fuq il-prinċipju li ġej, *indipendament mid-dettalji tal-esperiment:
:*Il-kwadrivettur ta' sistema iżolata ta' partiċelli hu kkonservat f'kull interazzjoni interna.*

Fi kliem ieħor:

:<math>{\displaystyle \Sigma}</math><sub>(partiċelli inizjali J)</sub> <math>\ \mathbf{p}_\text{J} = {\displaystyle \Sigma}</math><sub>(partiċelli finali K)</sub><math>\ \mathbf{p}_\text{K} \,.</math>

Biex janalizza esperiment, il-fiżiku jrid ikejjel u mbagħad jittraduċi din il-liġi b'mod li juża l-kwantitajiet meżurabbli li huma l-koordinati tal-kwadrivettur fis-sistema li jagħżel. Billi l-kwadrivettur hu konservat, kull wieħed mill-komponenti tiegħu *f' sistema ta' referenza mogħtija* (niftakru li l-valur tal-komponenti jiddependi mis-sistema magħżula) huma wkoll konservati fil-ħabtiet. Il-komponent temporali jirrappreżenta l-enerġija *E* tas-sistema u l-komponent spazjali jirrappreżenta il-momentu tiegħu<math>\vec{p}</math>, u għalhekk naslu għal żewġ liġijiet ta' konservazzjoni, waħda għall-enerġija u l-oħra għall-momentu.

Biex żgur inkunu ċari, nenunċjaw dawn il-liġijiet fil-każ ta' żewġ partiċelli A u B li jgħaddu minn ħabta (nistgħu niġġeneralizzaw minnufih għal sistema ta' bosta partiċelli).

:(i) *L-enerġija totali tas-sistema hi konservata f'ħabta*
:Fi kliem ieħor is-somma tal-enerġija ta' A u tal-enerġija ta' B qabel il-ħabta hi daqs is-somma tal-enerġija ta' A u tal-enerġija ta' B wara il-ħabta.
:Nistgħu nifformolaw din il-liġi bil-mod li ġej:
::<math>E_1(A) + E_1(B) \,= \,E_2(A) + E_2(B).</math>
:(ii) *Il-momentu totali tas-sistema hu konservata f' ħabta*
:Fi kliem ieħor is-somma tal-momenti tal-partiċella A u tal-partiċella B qabel il-ħabta hi daqs is-somma tal-momenti tal-partiċella A u tal-partiċella B wara il-ħabta.
:Matul kull waħda mit-tliet mela għandna:
::<math>(p_x)_1(A) + (p_x)_1(B)\,=\,(p_x)_2(A) + (p_x)_2(B),</math>
::<math>(p_y)_1(A) + (p_y)_1(B)\,=\,(p_y)_2(A) + (p_y)_2(B),</math>
::<math>(p_z)_1(A) + (p_z)_1(B)\,=\,(p_z)_2(A) + (p_z)_2(B).</math>

Fil-figura kontra (Fig. 7) nirrappreżentaw eżempju (akademiku) ta' ħabta. Partiċella A ta' massa 8 (f'unitajiet arbitrarji) li għandha veloċità *v/c* ta' 15/17 miexja lejn il-lemin, tolqot partiċella ta' massa 12 li ġejja kontra b'veloċità *v/c* ta' 5/13. Wara il-ħabta, A timmolla fid-direzzjoni l-oħra wara li tkun tagħt lil B sehem mill-momentu tagħha. L-enerġija totali, is-somma tal-enerġiji tal-partiċelli A u B hi konservata, kif ukoll il-momentu totali. Il-kwantitajiet E u p murija jirrapreżentaw fir-realtà (E/c<sup>2</sup>) u (p/c) u huma esprimi f'unitajiet tal-massa, arbitrarji. Bihom ghandna ir-relazzjoni: *E*<sup>&nbsp;2</sup>&nbsp;=&nbsp;*p*<sup>&nbsp;2</sup>&nbsp;+&nbsp;*m*<sup>&nbsp;2</sup>. Il-fattur *γ* bħal dejjem għandu definizzjoni *γ*&nbsp;=&nbsp;[1&nbsp;-&nbsp;(v/c)<sup>2</sup>]<sup>-1/2</sup>.


=== Ħabta elastika ===
F'[[aċċeleratur tal-partiċelli]] jiġri li elettron b'enerġija għolja ħafna jolqot elettron wieqaf u jtieh parti mill-enerġija ċinetika tiegħu. Jekk il-bidliet tal-enerġija jkunu biss f'din l-enerġija ċinetika, ngħidu li l-ħabta hi elastika. Il-formoli li jittraduċu l-konservazzjoni tal-kwadrivettur tas-sistema magħmula miż-żewġ elettroni jħalluna nanalizzaw il-ħabta. Fil-mekkanika Newtonjana iż-żewġ elettroni wara l-ħabta għandhom direzzjonijiet li jagħmlu angolu drittt. Ħa nuru li fil-mekkanika relattivistika dan m'għadhux hekk u l-veloċitajiet tal-elettroni jiffurmaw angolu akut. Din il-fenomenu jidher ċar mit-traċċi li jħallu l-ħabtiet fil-*kamra tal-bżieżaq*.



Inħarsu lejn elettron ta' massa *m* u ta' enerġija għolja ħafna li jolqot elettron ieħor li fil-bidu jkun wieqaf. Il-vetturi tal-momentu taż-żewġ partiċelli impinġijin fil-figura kontra (Fig. 8). Qabel il-ħabta l-momentu tal-elettron inċidenti hu <math>\vec{p}</math>. Wara l-ħabta, il-momenti taż-żewġ elettroni huma <math>\vec{p}_1</math> u <math>\vec{p}_2</math>. Meta niktbu l-enerġija ta' elettron bħala s-somma tal-enerġija tiegħu fil-waqfien *mc*<sup>2</sup> u tal-enerġija ċinetika tiegħu *K*, nistgħu niktbu l-enerġija totali tas-sistema qabel il-ħabta bħala:
:<math>E\,=\,mc^2 + mc^2 + K.</math>
Bl-istess mod,
:<math>E_1\,=\,mc^2 + K_1</math>
:<math>E_2\,=\,mc^2 + K_2\,.</math>
Il-liġi tal-konservazzjoni tal-enerġija tgħid li *E=E1+E2* u għalhekk
:<math>K\,=K_1 + K_2\,,</math>
formola li turi sewwa li l-enerġija ċinetika hi wkoll konservata (ħabta elastika).

Il-liġi tal-conservazzjoni tal-kwantità ta' momentu tgħid li 
:<math>\vec{p} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2\,,</math>
u għalhekk jekk l-angolu bejn iż-żewġ vetturi <math>\vec{p}_1</math> u <math>\vec{p}_2</math> insejħulu *θ*, ikollna r-relazzjoni
:<math>p^2\,=\,p_1^2 + p_2^2 + 2 p_1p_2\cos\theta</math>
li minnha noħorġu
:<math>\cos\theta\,=\,\frac{p^2 - (p_1^2 + p_2^2)}{2p_1p_2}\,.</math>

Meta nesprimu l-kwadrat tal-momentu tal-elettroni bħala funzjoni tal-enerġija u tal-massa tagħhom bl-għajnuna tal-formoli murija [[#Ekwivalenza tal-enerġija u tal-massa fil-waqfien|hawn fuq]] niksbu
:<math>c^2p^2\,=\,(mc^2 + K)^2 - m^2c^4 = K^2 + 2Kmc^2</math>
għall-elettron inċidenti u
:<math>c^2p_1^2\, = \,E_1^2 - m^2c^4 = (mc^2 + K_1)^2 - m^2c^4= K_1^2 + 2K_1mc^2,</math>
:<math>c^2p_2^2\, = \,E_2^2 - m^2c^4 = (mc^2 + K_2)^2 - m^2c^4= K_2^2 + 2K_2mc^2</math>
għall-elettroni wara l-ħabta.

Billi *K=K1+K2* naslu faċilment għall-formola sempliċi
:<math>\cos\theta\,=\,\frac{K_1K_2}{(K_1^2 + 2K_1mc^2)^{1/2}(K_2^2 + 2K_2mc^2)^{1/2}}\equiv \left(1 + \frac{2mc^2}{K_1}\right)^{-1/2}\left(1 + \frac{2mc^2}{K_2}\right)^{-1/2}.</math>

Din il-formola turi li cos *θ* hu pożittiv u għalhekk id-direzzjonijiet tal-elettroni fl-istat finali jagħmlu angolu akut bejniethom.

Fil-letteratura nsibu faċilment  it-trattament tal-każ fejn il-ħabta hi simmetrika, iż-żewġ elettroni għandhom it-tnejn l-istess enerġija *K*<sub>1</sub>=*K*<sub>2</sub>=*K*/2. F'din is-sitwazzjoni partikulari il-formola ġenerali issir
:<math>\cos\theta=\frac{K}{K+4mc^2}</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; għal ħabta simmetrika.
* Fil-limitu Newtonjan ta' veloċitajiet baxxi, l-enerġiji ċinetiċi huma ħafna iżgħar mill-enerġija fil-waqfien *mc*<sup>2</sup> u għalhekk 
:<math>\cos\theta\simeq \frac{\sqrt{K_1K_2}}{2mc^2}</math>
:tersaq lejn żero, li jfisser li l-angolu *θ* jersaq lejn *π*&nbsp;/2. Dan hu r-riżultat mhux relattivistiku.
* Bil-maqlub fil-limitu ta' enerġiji għolja ħafna, it-termini tal-enerġija ċinetika huma ogħla ħafna mit-terminu *mc*<sup>2</sup> u għalhekk 
:<math>\cos\theta \simeq 1 - \frac{mc^2}{K_1}- \frac{mc^2}{K_2}\,.</math>
:F'dan il-każ il-kosenu jersaq lejn 1, li jfisser li l-angolu bejn il-veloċitajiet tal-elettroni jersaq lejn żero. Dan juri mġiba kompletament differenti mill-każ Newtonjan.

Naturalment il-formoli japplikaw ukoll għall-każ ta' ħabta bejn żewġ protoni.

=== L-effett Compton ===
L-analiżi ta' ħabta bejn foton ta' enerġija għolja ma' elettron wieqaf tagħtina applikazzjoni fiżika tal-formoli ta' konservazzjoni tal-enerġija u tal-momentu ta' sistema ta' partiċelli. Din il-ħabta tissejjah l-[[effett Compton]].

=== Massa ta' sistema ta' partiċelli ===
Fir-relattività ristretta l-enerġiji u l-momenti huma addittivi, imma il-mases m'humiex.

Il-fiżika fl-ispazju-ħin ta' erba' dimensjonijiet ta' Einstein tagħti l-materja karatteristiċi ġodda li l-fiżika Newtonjana ma setgħetx tbassar. Hekk pereżempju il-formoli tar-relattività ristretta turi li *l-massa totali ta' sistema ta' partiċelli hi ikbar mis-somma tal-mases fil-waqfien tal-partiċelli individwali*. 

Jekk inqisu sett ta' partiċelli, mingħajr interazzjoni bejniethom, barra l-mument tal-ħabtiet, il-kwadrivettur enerġija-momentu ta' sistema ta' partiċelli, iżolat minn kull azzjoni barranija, hu s-somma tal-enerġiji-momenti individwali. Dan nistgħu niktbuh hekk:

:<math>\mathbf{p}_\mathrm{sistema} = \Sigma_\text{J}\,\mathbf{p}_\text{J}.</math>

Biex inwettqu applikazzjonijiet numeriċi, l-ekwazzjoni nqilbuha f'termini tal-komponenti enerġija *E* u momentu <math>\vec{p}</math>&nbsp;:
:<math>E_\mathrm{sistema} = \Sigma_\text{J}\, E_\text{J}</math>
:<math>\vec{p}_\mathrm{sistema} = \Sigma_\text{J}\,\vec{p}_\text{J}\,.</math>
Nirrepetu: il-valur ta' dawn il-komponenti *jiddependi mis-sistema magħżula*. Il-formoli, li jħalluna ngħaddu mill-koordinati ta' sistema <math>\mathbb{R}</math> għal dawk ta' sistema oħra<math>\mathbb{R}'</math> b'veloċità *v*&nbsp;=&nbsp;*βc* relattivament mal-ewwel waħda matul l-assi *Ox*, huma l-[[#It-trasformazzjonijiet ta' Lorentz|formoli ta' Lorentz]] li diġà rajna. Niktbuhom fil-forma&nbsp;:
:<math>\begin{cases}
E/c= \gamma (E'/c + \beta p'_x)\\
p_x = \gamma (\beta E'/c + p'_x)\\
p_y = p'_y\\
p_z = p'_z
\end{cases}
</math>
għall kull kwadrivettur enerġija-momentu <math>(E/c, \vec{p})</math> liema jkun.

Il-proprjetà importanti tal-kwadrivetturi fir-relattività u tat-trasformazzjonijiet ta' Lorentz qiegħda fl-invarjanza tan-"norma" tal-kwadrivettur f'bidla ta' koordinati. Din in-norma tittraduċi proprjetà intrinsika tas-sistema studjata, indipendenti mis-sistema ta' riferiment. Fil-każ tal-kwadrivettur enerġija-momentu, din in-norma hi daqs il-massa *M* tas-sistema (bħal fil-każ ta' partiċella) u l-kwadrat tagħha jinata bil-formola&nbsp;:
:<math>M^2_\mathrm{sistema}= (1/c^2)[(E_\mathrm{sistema}/c)^2 - p^2_\mathrm{sistema}]\,.</math>
(Nistgħu insibu faċilment il-fatturi *c* li rridu ndaħħlu, bil-potenzi korretti, billi *p* hi omoġenja ma' *mc* u *E* omoġenja ma' *mc*<sup>2</sup>.)

Sabiex nikkalkulaw il-massa, nistgħu nużaw sistema liema tkun, billi din ma tiddependiex mill-għażla tiegħu. L-iżjed wieħed komdu hu dak fejn il-momentu totali tas-sistema hu żero, jiġifieri fejn
:<math>\vec{p}=0\,.</math>
Imbagħad niksbu 
:<math>M^2_\mathrm{sistema} = (1/c^2)(E_\mathrm{sistema}/c)^2 \equiv (1/c^4)\left(\Sigma_jE_j\right)^2\,,</math>
fejn
:<math>M_\mathrm{sistema} = (1/c^2)\Sigma_jE_j\,.</math>

Billi l-enerġija *Ej* ta' kull partiċella *j* (fis-sistema użata) hi s-somma tal-enerġija *mj&nbsp;c*<sup>2</sup> li tikkorrispondi mal-massa fil-waqfien tagħha *mj* u tal-enerġija ċinetika tagħha *Kj* (dejjem fis-sistema użata), nistgħu niktbu&nbsp;:
:<math>M_\mathrm{sistema} = \Sigma_jm_j + (\Sigma_jK_j/c^2)\,.</math>

Din il-formola tal-aħħar turi r-riżultat li ħabbarna&nbsp;: *il-massa totali ta' sistema ta' partiċelli hi ikbar mis-somma tal-mases individwali tal-partiċelli*. Il-valur tal-massa totali tas-sistema miksub hu indipendenti mis-sistema li fiha ikkalkulajnih (imma biex insibu dan il-valur għażilna s-sistema sempliċi li fiha il-momentu hu żero).

Nistgħu nivverifikaw dan ir-riżultat fl-eżempju numeriku ta' ħabta f'dimensjoni waħda ttrattata [[#Konservazzjoni tal-kwadrivettur enerġija-momentu ta' sistema iżolata|hawn fuq]] (inkejlu l-enerġija, il-momentu u l-massa f'unità ta' massa arbitrarja). Kellna żewġ partiċelli A u B respettivament ta' massa 8 u 12. Il-massa totali *M* tas-sistema nikkalkulawha bil-formola *M* <sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;*E*<sup>2</sup>&nbsp;-&nbsp;*p*<sup>2</sup>, fejn *E*&nbsp;=&nbsp;30 u *p*&nbsp;=&nbsp;10. Hekk insibu *M*&nbsp;=√800&nbsp;=&nbsp;28.28, li hi ikbar mis-somma 8+12=20 tal-mases ta' A u B.

=== Bidla tal-massa f'enerġija fix-Xemx ===
Il-konservazzjoni tal-kwadrivettur enerġija-momentu tispjega kif f'reazzjoni il-massa ta' sistema tista' ma tkunx konservata u parti minnha jew kollha tista' tinbidel f'enerġija, . Hekk jiġri fir-reazzjonijiet ta' fissjoni, ta' fużjoni u ta' annikilazzjoni ta' partiċelli. Ħawn ħa niddeskrivu l-fużjoni tal-[[idroġenu]] f'[[elju]] fix-[[Xemx]], reazzjonij li biha nifhmu kif il-kewkba tagħna għandha għajn benefiċjenti ta' enerġija li bih setgħet tiddi għal ħames miljardi ta' snin u tista' tkompli tagħmel hekk għal daqshekk żmien ieħor.

Fis-snin 1900, il-fiżiċi sabu wiċċhom ma' misterju kbir tal-mekkaniżmu kif ix-Xemx titfa' d-dawl tagħha. Il-ġeoloġi tas-seklu XIX, mill-ħxuna tas-saffi tal-blat sedimentarju fid-dinja, stimaw li l-età tal-Art hi xi għaxriet ta' miljuni ta' snin. Din qablet mal-età li wasal għaliha [[Charles Darwin]] meta ppropona t-teorija tiegħu tal-[[Evoluzzjoni]] tal-ispeċi. Sadatant xi fiżiċi teoriċi bħal [[William Thomson]] (Lord Kelvin) bdew jisħqu li x-Xemx ma setgħetx kienet ila tiddi iżjed minn għaxar miljun sena. Xi xjenzati oħra, partikularment mill-ġeologu Thomas Chamberlin ikkritikaw l-attitudni arroganti tagħhom. Chamberlin issuġġerixxa f'kungress fl-1899 li din enerġija li n-nisel tagħha kien għadu mhux magħruf, tista' tkum ġejja mill-materja fil-qalba tax-Xemx. Hu argumenta li l-kundizzjonijiet fiżiċi eċċezzjonali li jsaltnu f'dawn ir-reġjuni ta' temperatura għolja u pressjoni qawwija kienu hekk li jistgħu joħorġu enerġija ta' tip atomiku. L-istorja kkonfermat l-intuwizzjonijiet tiegħu. Bis-saħħa tax-xogħol ta' [[George Gamow]], [[Hans Bethe]] u [[Carl Friedrich von Weizsäcker]] spiċċajna biex niksbu fl-aħħar tas-snin 1930 tagħrif dettaljat fuq ir-reazzjonijiet li ħallew ix-Xemx tiddi għal ħames miljardi ta' snin. Dawn il-fiżiċi wrew li x-Xemx taħdem qisa reattur nukleari ġgantesk limitat mill-gravitazzjoni u jitfa' kwantità konsiderevoli ta' enerġija bi qbil mal-ekwazzjoniet ta' Einstein.

Dawn huma n-numri li għandhom x'jaqsmu. il-[[luminożità xemxija]], jew kwantità ta' enerġija li l-kewkba titfa' fl-ispazju kull sekonda, hi
:<math>L_{\odot} \simeq 4 \times 10^{33}\;{\rm erg}\cdot{\rm s}^{-1}</math>.<br /> 
Biex nesprimu din l-enerġija f'unitajiet ta' massa (pereżempju grammi, skont l-użanza tal-astronomi), biżżejjed niddiviżu b' *c*<sup>2</sup>, li jtina massa ekwivalenti *M*&nbsp;=&nbsp;4.4×10<sup>12</sup> grammi kull sekonda.

B'sensiela ta' reazzjonijiet li jagħmlu l-[[katina proton-proton]], possibbli f'tempertura għolja biżżejjed, erba' protoni jew (jew nukleji ta' idroġenu) jiġu trasformati fir-reġjuni l-iżjed ġewwenin tax-Xemx f'nukleju tal-elju, magħmul minn żewġ neutroni u żewġ protoni. Billi [[proton]] għandu massa ta' ×10<sup>-24</sup>&nbsp;g, l-erba' protoni oriġinali għandhom massa 4××10<sup>-24</sup>&nbsp;=&nbsp;×10<sup>-24</sup>&nbsp;g. In-nukleju tal-[[elju]], jew [[partiċella alfa]], għandu massa ta' ×10<sup>-24</sup>&nbsp;g. Id-differenza, 0.04582×10<sup>-24</sup>&nbsp;g, toħroġ fil-forma ta' dawl.

Ninnutaw li parti ċkejkna biss mill-massa użata tindidel f'enerġija. Il-massa ta' idroġenu moħlija bħala frazzjoni tal-massa tassew mibdula hi &nbsp;/&nbsp;&nbsp;~&nbsp;150. Jiġifieri għal kull gramma maqluba f'enerġija jitużaw 150 gramma ta' idroġenu. (Bil-maqlub dan ifisser li madwar 0.7 fil-mija tal-massa idroġenu tal-bidu tinbidel f'enerġija.) Għalhekk biex nibdlu 4.4×10<sup>12</sup> grammi kull sekonda irridu "naħarqu" 150 darba iżjed, jiġifieri 6.6×10<sup>14</sup> grammi ta' idroġenu kull sekonda. La l-massa tax-Xemx hi ta' 2×10<sup>33</sup> grammi, jekk din il-kwantità kollha ta' materja tinħela, il-Xemx tista' tforni l-enerġija bir-rata ta' issa matul 2×10<sup>33</sup> /&nbsp;6.6×10<sup>14</sup> &nbsp;=&nbsp;3×10<sup>18</sup> sekondi. Billi sena fiha 3×10<sup>7</sup> sekondi, naslu għal tul ta' ħajja totali ta' 100 miljardi (10<sup>11</sup>) ta' snin.

L-evoluzzjoni ta' stilla in ġenerali, u tax-Xemx in partikulari, hi iżjed komplikata mill-iskema elementari tal-bidla tal-idroġenu f'elju. Mhux l-idroġenu kollu jinħaraq f'elju u bosta reazzjonijiet oħra ta' kombustjoni nukleari jiġru fl-istess ħin. Fl-aħħar, meta nqisu l-mudelli stellari iżjed komplikati, it-teoriji attwali jbassru ħajja sħiħa ta' xi 10 miljardi ta' snin għal kewkba tat-tip tax-Xemx. Ix-Xemx billi diġà ħliet madwar 5 miljardi, baqgħalha ftit inqas "x'tgħix". (Imma ħadd ma jkun hemm biex jixhed il-mewt tax-Xemx għax il-ħajja tagħha taqbeż sewwa l-iskala temporali tal-umanità&nbsp;!)

== [[Elettromanjetiżmu]] u r-relattività ristretta ==
Fl-ispazju Newtonjan bi tliet dimensjonijiet, partiċella ta' karga *q* imqiegħda f'kamp elettriku <math>\vec{E}</math> u kamp manjetiku <math>\vec{B}</math> għandha fuqha il-[[forza ta' Lorentz]] u l-ekwazzjoni li tmexxi l-moviment tagħha hi
:<math> d\vec{p}/dt = \,q \, (\vec E \ + \vec{v} \wedge \vec{B}) \,.</math>

Biex naqilbu din il-formola għall-mekkanika relattivistika, irridu nqisu l-kwadrivettur enerġija-momentu <math>\mathbf{p}</math> minnflok il-vettur <math>\vec{p}</math> u rridu nsibu r-rata ta' varjazzjoni ta' dan il-kwadrivettur fis-sistema proprja tal-partiċella u mhux f'sistema Galileja tkun liema tkun. It-terminu tax-xellug imbagħad ikun tal-forma <math>d\mathbf{p}/d\tau</math>, fejn <math>\tau</math> hi l-[[#L-intervall ta' spazju-ħin bejn żewġ ġrajjiet|ħin proprju]] tal-partiċella kkargata. Fuq il-lemin insibu oġġett indipendenti mis-sistema magħżula u li wkoll irid ikun bilfors funzjoni linjari tal-veloċità <math>\vec{v}</math> tal-partiċella. In fatti il-parti spazjali tal-ekwazzjoni tad-dinamika linjari f' <math>\,\vec{v}\,</math> nistgħu niktbuha 
:<math>d\vec{p}/d\tau = \gamma d\vec{p}/dt= \gamma q (\vec E \ + \vec{v} \wedge \vec{B}) = q (u_0 \vec{E}/c + \vec{u} \wedge \vec{B})\,.</math>


F'din l-espressjoni <math>\,u_0\,</math> u <math>\vec{u}</math> huma l-komponenti f'sistema Lorentzjana tal-kwadrivettur veloċità <math>\mathbf{u}\,</math>, li nistgħu niktbuhom&nbsp;:
:<math>\mathbf{u} = (u_0, \vec{u}) = \left(\frac{c}{\sqrt{1 - (v^2/c^2)}}, \frac{\vec{v}}{\sqrt{1 - (v^2/c^2)}}\right)\equiv (\gamma c, \gamma\vec{v})\,.</math>

L-ekwazzjoni ta' hawn fuq nistgħu naqsmuha b'mod espliċitu fit-tliet assi kif ġej&nbsp;:
:<math>
\begin{cases}
dp_x/d\tau = q (u_0 E_x/c +u_y B_z -u_zB_y)\\
dp_y/d\tau = q (u_0 E_y/c +u_z B_x -u_xB_z)\\
dp_z/d\tau = q (u_0 E_z/c +u_x B_y -u_yB_x)
\end{cases}
</math>

Minn naħa l-oħra il-komponent temporali tal-ekwazzjoni tad-dinamika (li jikkorrispondi mal-liġi li tagħti l-varjazzjoni tal-enerġija) tinkiteb
:<math>dp_0/d\tau = \gamma d(W/c)/dt = \gamma q (\vec{E}/c)\cdot\vec{v}\equiv q (\vec{E}/c)\cdot\vec{u}\,, </math>
fejn *W* hu x-xogħol tal-forza <math>q\vec{E}\,.</math>

Meta niġbru l-ekwazzjonijiet miktuba hawn fuq fil-kuntest ta' spazju-ħin f'erba' dimensjonijiet, ir-rata ta' varjazzjoni tal-kwadrivettur enerġija-momentu hi mogħtija hekk
:<math>
\begin{pmatrix}
dp_0/d\tau\\dp_x/d\tau\\dp_y/d\tau\\dp_z/d\tau
\end{pmatrix}
= q 
\begin{pmatrix}
0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c\\
E_x/c & 0 & B_z & -B_y\\
E_y/c & -B_z & 0 & B_x\\
E_z/c & B_y & -B_x & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u_0\\u_x\\u_y\\u_z
\end{pmatrix}.
</math>

L-ekwazzjoni matriċjali li għadna kif ktibna turi li fir-relattività ristretta il-kamp manjetiku u il-kamp elettriku jagħmlu entità waħda. Fil-fatti il-preżentazzjoni li tajna hi xi ftit inkorretta fis-sens li biex noħorġu l-qawwa kollha tat-teorija relattivistika hemm bżonn nużaw it-tensuri. L-ekwazzjoni matriċjali hawn fuq hi t-traduzzjoni f'termini ta' komponenti tal-ekwazzjoni tensorjali, indipendenti minn kull sistema ta' koordinati
:<math>d\mathbf{p}/d\tau = q \mathbf{F}(\mathbf{u})\,.</math>

<math>\mathbf{F}</math> hu t-tensur tal-kamp elettromanjetiku (jew tensur ta' Maxwell jew tensur ta' Faraday). Hu dan l-oġgett li jirrapreżenta fiżikament il-kamp elettromanjetiku. Il-komponenti tiegħu f'ċertu sistema ta' koordinati jingħataw mill-matriċi miktub hawn fuq.

== Vokabularju ==
# *'Osservatur** : bniedem jew apparat ta' rilevament li għandu arloġġ li bih jista' jaqra l-ħin u jekk jagħmel parti minn grupp, jista' jkollu marka li turi l-pożizzjoni tiegħu.
# **Sistema ta' riferiment Galilej**, imsejjaħ ukoll "sistema ta' riferiment ta' Lorentz" jew "sistema ta' riferiment inerzjali" : sett ta' osservaturi mferrxin mal-ispazju imbegħdin minn kull massa, li d-distanzi bejniethom ma jinbidlux mal-ħin (huma weqfin relattivament ma' xulxin) u li l-arloġġi tagħhom huma sinkronizzati.
# **ġrajja*' : ġrajja hi ġrajja (!), bħal pereżempju t-twelid ta' individwu, il-tluq ta' razz jew l-sparar ta' murtal. Hi indipendenti mill-koordinati tal-ħin u tal-ispazju li bihom nillokalizzawha. Fil-fatti hu komdu li nqabblu l-ġrajja mal-koordinati tagħha relattivament ma' sistema, biex inkunu nafu fejn u meta ġrat f'din is-sistema.

Fir-relattività ristretta t-tul u l-ħin inkejluhom bl-istess unità (kif għamilna aħna b'mod sistematiku). Fl-astronomija jagħżlu l-unità tal-ħin u jkejlu d-distanza bil-ħin li d-dawl jieħu biex jivjaġġa din id-distanza. Pereżempju jekk galassija qiegħda ħames muljun sena tad-dawl 'il bogħod minnha ifisser li d-dawl jieħu ħames miljun sena biex jaqsam id-distanza li tifridna. Ninnutaw li meta fil-ħajja ta' kuljum ngħidu li Pariġi, pereżempju, hi tliet sigħat bit-tren minn Montpellier, inkunu qegħdin inkejlu d-distanza bil-ħin.

== Ħoloq esterni ==
=== Xogħljiet oriġinali ===
* [http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1905_17_891-921.pdf *Zur Elektrodynamik bewegter Körper*] Ix-xogħol oriġinali ta' Einstein bil-Ġermaniz, [[Annalen der Physik]], [[Berne]] 1905

=== Korsijiet ===
* [http://academicearth.org/lectures/special-and-general-relativity Kors bl-Ingliż fuq ir-relattività ristretta u ġenerali mill-Università ta' Yale]

=== Ir-relattività ristretta għal udjenza ġenerali (l-ebda għarfien tal-matematika m'hu meħtieġ) ===
* [http://en.wikibooks.org/wiki/Special_relativity Wikibooks: Relattività ristretta]
* [https://web.archive.org/web/20100201234156/http://www.einstein-online.info/en/elementary/index.html Einstein Online] Introduzzjoni għat-teorija tar-relattività, mill-Istitut Max Planck għal Fiżika Gravitazzjonali.

=== Ir-relattività ristretta spjegata (bl-użu tal-matematika sempliċi jew iżjed avvanzata) ===
* [https://web.archive.org/web/20040206110957/http://www.geocities.com/autotheist/Bondi/intro.htm Il-*K-Kalkulu* ta' Bondi] – Introduzzjoni sempliċi għat-teorija tar-relattività ristretta.
* [http://cosmo.nyu.edu/hogg/sr/ Noti ta' D. W. Hogg Notes fuq ir-relattività ristretta] Introduzzjoni siewja għat-teorija tar-relattività ristretta fl-livell universitarju bl-użu tal-kalkulu.
* [https://web.archive.org/web/20070928200252/http://www.theophoretos.hostmatrix.org/relativity.htm L-oriġni tat-teorija tar-relattività ristretta ta' Einstein] – Approċċ storiku għat-teorija tar-relattività ristretta.
* [https://web.archive.org/web/20101214113441/http://lightandmatter.com/html_books/6mr/ch01/ch01.html Relattività] Introduzzjoni għat-teorija tar-relattività ristretta fl-livell universitarju bla użu tal-kalkulu.
* [http://www2.slac.stanford.edu/vvc/theory/relatività.html Relattività ristretta] Università ta' Stanford, Helen Quinn, 2003
* [http://www.rafimoor.com/english/SRE.htm Nifhmu r-relattività ristretta] It-teorija tar-relattività ristretta spjegata b'mod faċli.

=== Viżwalizzazzjoni ===
* [http://www.hakenberg.de/diffgeo/special_relativity.htm Raytracing Special relativity] Software li jivviżwalizza bosta xenarji taħt l-influwenza tar-relattività ristretta.
* [http://www.anu.edu.au/Physics/Savage/RTR/ Relattività fil-ħin veru] The Australian National University. Effetti viżwali relattivistiċi permezz ta' programm interattiv.
* [http://www.spacetimetravel.org Vjaġġar fl-*ispazju-ħin''] Bosta viżwalizzjonijiet ta' effetti relattivistiċi, mill-moviment relattivistiku għat-toqob suwed.
* Klipp ta' animazzjoni viżwalizzjoni tat-trasformazzjoni ta' Lorentz.
* Bosta animazzjonijiet bil-FLASH  ta' sistemi riferenzjali ta' Lorentz u Galilejani, Il-paradoss tat-tren fil-mina, il-paradoss tat-tewmin, propagazzjoni tal-mewġ, etc.

## Noti u referenzi