Analisi matematika

L-**analisi matematika** bdiet mill-formulazzjoni rigoruża tal-kalkulu infiniteżmali. Hija fergħa tal-matematika li tikkonċentra fuq l-idea tal-limitu: il-limitu ta' suċċessjoni jew il-limitu ta' funzjoni. Tinkludi wkoll it-teoriji tad-differenzazzjoni, integrazzjoni u meżura, serje infiniti, u funzjonijiet analitiċi. L-istudju ta' dawn it-teoriji ħafna drabi jsir fil-kuntest tan-numri reali, numri komplessi, u funzjonijiet reali u komplessi. Madankollu, nistgħu niddefinixxu u nistudjaw dawn it-teoriji f'kull spazju ta' oġġetti matematiċi li fih hu possibbli li nagħtu definizzjoni ta' "distanza" (spazju metriku) jew iżjed ġenerali ta' "qrubija" (spazju topoloġiku).

## Għaliex l-Analisi Astratta?

Għandna nistudjaw l-analisi matematika fil-kuntest iżjed wiesa' tal-ispazji topologiċi jew spazji metriċi għal żewġ raġunijiet:
* l-ewwel, għax l-istess metodi bażiċi ħafna drabi japplikaw għal klassi ta' problemi li hi ħafna usa' (per eżempju, l-istudju ta' spazji ta' funzjonijiet).

* it-tieni, u mhux inqas importanti, għax meta nifhmu l-analisi fi spazji aktar astratti sikwit nsibu li nistgħu napplikawha direttament għal problemi klassiċi. Per eżempju, fl-analisi ta' Fourier, nistgħu nesprimu kull funzjoni bħala ċerta serje infinita (ta' funzjonijiet trigonometriċi jew esponenzjali komplessi). Fiżikament, b'din id-dekompożizzjoni nirriduċu mewġa (tal-ħoss) arbitrarja fil-frekwenzi li jikkomponuha. Il-"piżijiet" jew koeffiċjenti tat-termini fl-espansjoni ta' Fourier ta' funzjoni, jistgħu jitqisu bħala l-komponenti ta' vettur fi spazju ta' dimensjoni infinita li nsibuh bħala spazju ta' Hilbert. Mela l-istudju tal-funzjonijiet definiti f'dil-qagħda iżjed ġenerali jipprovdi metodu konvenjenti għad-derivazzjoni ta' riżultati fuq kif il-funzjonijiet ivarjaw fl-ispazju u mal-ħin, jew f'termini aktar matematiċi fuq l-ekwazzjonijiet differenzjali parzjali, fejn din it-teknika nafuha bħala separazzjoni tal-varjabbli.

## Storja tal-Analisi Matematika

Il-matematiċi Griegi bħal Ewdossu u Arkimede meta applikaw il-metodu tal-eżawriment biex jikkalkulaw l-arja u l-volum ta' xi reġjuni u solidi użaw il-kunċetti tal-limiti u l-konvergenza b'mod informali. Fl-Indja, il-matematiku tas-seklu 12, Bhaskara ġa kellu l-ideja tal-kalkulu differenzjali u ta eżempji tad-derivata, flimkien mal-propożizzjoni ta' dik li nsejħulu llum it-Teorema ta' Rolle.

Fis-seklu 14, l-analisi matematika bdiha Madhava ta' Sangamagrama, meqjus bħala l-"fundatur ta'l-analisi matematika". Hu żviluppa idejat fundamentali: l-iżvilupp ta' funzjoni f'serje infinita, serje ta' potenzi, is-serje ta' Taylor, u l-approssimazzjoni razzjonali ta' serje infinita. Żviluppa wkoll is-serje ta' Taylor għall-funzjonijiet trigonometriċi tas-senu, kosenu, tanġenti u arktanġenti, u stima l-iżbal li nagħmlu meta naqtgħu is-serje. Żviluppa l-frazzjonijiet kontinwi infiniti, l-integrazzjoni b'termini wara termini, l-approssimazzjoni b'serje ta' Taylor tas-senu u kosenu, u s-serje f'potenzi tar-raġġ, diametru, ċirkonferenza, π, π/4 u l-anglu θ. Id-dixxipli tiegħu fl-iSkola ta' Kerala baqgħu ikkabru x-xogħol tiegħu sas-seklu 16.

Fl-Ewropa, fit-tieni nofs tas-seklu 17, Newton u Leibniz independement minn xulxien żviluppaw il-kalkulu, li bl-istimulu tal-applikazzjonijiet matul is-seklu 18 rabba ħafna friegħi bħall-kalkulu tal-varjazzjoni, l-ekwazzjonijiet differenzjali ordinarji u parzjali u l-analisi ta' Fourier . F'dal-perijodu, il-metodi tal-kalkulu ġew applikati biex japprossimaw problemi diskreti b'oħrajn kontinwi.

Fis-seklu18, Euler introduċa il-kunċett ta' funzjoni matematika. Fis-seklu19, Cauchy kien l-ewwel li stabbilixa l-kalkulu fuq pedament loġiku sod bl-introduzzjoni tal-ideja tas-suċċessjoni ta' Cauchy. Beda wkoll it-teorija formali tal-analisi komplessa. Poisson, Liouville, Fourier u oħrajn studjaw l-ekwazzjonijiet differenzjali parzjali u l-analisi armonika. 

F'nofs is-seklu Riemann introduċa t-teorija tiegħu tal-integrazzjoni. F'l-aħħar terz tas-seklu 19, Weierstrass li l-fehma tiegħu kienet li l-argumenti ġometriċi jistgħu iqarqu bina, daħħal l-aritmetizzazzjoni tal-analisi u introduċa id-definizzjoni "epsilon-delta" tal-limitu. Wara, il-matematiċi bdew jinkwietaw li kienu qegħdin jassumu l-eżistenza tal-kontinwu tan-numri reali mingħajr prova. Dedekind imbagħad ta kostruzzjoni tan-numri reali bil-methodu tal-qtugħ ta' Dedekind, li bih il-matematiċi jikkrejaw numri rrazzjonali li jimlew il-"vojt" bejn in-numri razzjonali, u hekk joħolqu sett komplet: il-kontinwu tan-numri reali. Madwar dak iż-żmien l-isforzi għar-raffinar tat-teoremi tal-integrazzjoni ta' Riemann wasslu għall-istudju tal-"qies" tas-sett tad-diskontinwitajiet tal-funzjonijiet reali.

Fl-istess ħin, bdew jinħolqu "mostri" (funzjonijiet mkien kontinwi, funzjonijiet kontinwi imma mkien differenzjabbli, kurvi li jimlew l-ispazju). F'dal-kuntest, Jordan żviluppa t-teorija tiegħu tal-meżura, Cantor żviluppa dik li daż-żmien insejħulha it-teorija sempliċi tas-settijiet, u Baire ipprova it-teorema tal-kategoriji ta' Baire. Fil-bidu tas-seklu 20, il-kalkulu ġie formalizzat b'l-użu tat-teorija assjomatika tas-settijiet. Lebesgue irriżolva l-problema tal-miżura, u Hilbert introduċa l-ispazji ta' Hilbert biex jirriżolvi l-ekwazzjonijiet integrali. L-ideja tal-ispazji vettorjali normati kienet infirxet, u f'l-20ijiet tas-seklu Banach ħoloq l-analisi funzjonali.

## Oqsma tal-Analisi
L-Analsi Matematika tinkludi dawn l-oqsma: 
* Analisi Reali, l-istudju rigoruż tad-derivati u l-integrali ta' funzjonijiet b'varjabbli reali. Dan jinkludi l-istudju tas-suċċessjonijiet u l-limiti tagħhom, is-serje, u l-meżuri.
* Analisi komplessa, l-istudju ta' funzjonijiet mill-pjan kompless għall-pjan kompless li huma komplessament differenzjabbli.
* Analisi funzjonali, l-istudju ta' spazji ta' funzjonijiet b'l-użu ta' kunċetti bħal spazji ta' Banach u spazji ta' Hilbert.
* Analisi armonika l-istudju tas-serje ta' Fourier u l-astrazzjonijiet tagħhom..
* Ġometrija Differenzjali u Topoloġija, l-applikazzjoni tal-kalkulu għal spazji matematiċi astratti li għandhom struttura interna komplikata.
* Analisi Numerika, l-istudju tal-algoritmi użati għall-approssimazzjoni ta' problemi tal-matematika kontinwa.

Il-kelma **Analisi Klassika** s-soltu tfisser analisi mingħajr l-użu tal-metodi tal-analisi funzjonali. L-istudju tal-ekwazzjonijiet differenzjali issa huwa mferrex ma friegħi oħra bħas-sistemi dinamiċi, imma ġħadu mportanti ħafna fl-analisi konvenzjonali.