Beta termodinamika

Fil-termodinamika statistika, il-**beta termodinamika**, magħrufa wkoll bħala **kesħa**, hija r-reċiproku tat-temperatura termodinamika ta' sistema:\beta = \frac{1}{k_{\rm B}T} (fejn *T* hija t-temperatura u *k*B hija l-kostanti ta' Boltzmann).

Il-beta termodinamika għandha unitajiet reċiproċi għal dawk tal-enerġija (f'[unitajiet SI]], joules reċiproċi, [\beta] = \textrm{J}^{-1}). F'unitajiet mhux termali, tista' titkejjel ukoll f'byte għal kull joule, jew b'mod aktar konvenjenti, gigabyte għal kull nanojoule; 1 K−1 huwa ekwivalenti għal madwar 13,062 gigabytes għal kull nanojoule; f'temperatura ambjentali: *T* = 300K, β ≈ 44 GB/nJ ≈ 39 eV−1 ≈ 2.4×1020 J−1. Il-fattur ta' konverżjoni huwa 1 GB/nJ = 8\ln2\times 10^{18} J−1.

## Deskrizzjoni
Il-beta termodinamika hija essenzjalment il-konnessjoni bejn l-teorija tal-informazzjoni u l-interpretazzjoni tal-mekkanika statistika ta' sistema fiżika permezz tal-entropija tagħha u t-termodinamika assoċjata mal-enerġija tagħha. Tesprimi r-rispons tal-entropija għal żieda fl-enerġija. Jekk ammont żgħir ta' enerġija jiżdied mas-sistema, allura *β* tiddeskrivi l-ammont li s-sistema se tirrandomizza.

Permezz tad-definizzjoni statistika tat-temperatura bħala funzjoni tal-entropija, il-funzjoni tal-kesħa tista' tiġi kkalkulata fl-ensemble mikrokanoniku mill-formula
:\beta = \frac1{k_{\rm B} T} , =\frac{1}{k_{\rm B}}\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_{V, N}
(jiġifieri, id-derivata parzjali tal-entropija *S* fir-rigward tal-enerġija *E* f'volum kostanti *V* u numru ta' partikuli *N*).

### Vantaġġi
Għalkemm kompletament ekwivalenti fil-kontenut kunċettwali għat-temperatura, *β* ġeneralment titqies bħala kwantità aktar fundamentali mit-temperatura minħabba l-fenomenu tat-temperatura negattiva, fejn *β* hija kontinwa hekk kif taqsam iż-żero filwaqt li *T* għandha singolarità.

Barra minn hekk, *β* għandha l-vantaġġ li hija aktar faċli biex tinftiehem b'mod kawżali: Jekk ammont żgħir ta' sħana jiżdied ma' sistema, *β* hija ż-żieda fl-entropija diviża biż-żieda fis-sħana. It-temperatura hija diffiċli biex tiġi interpretata fl-istess sens, peress li mhuwiex possibbli li "tiżdied l-entropija" ma' sistema ħlief indirettament, billi jiġu modifikati kwantitajiet oħra bħat-temperatura, il-volum, jew in-numru ta' partikuli.

## Interpretazzjoni statistika

Mill-perspettiva statistika, *β* hija kwantità numerika li tirrelata żewġ sistemi makroskopiċi f'ekwilibriju. Il-formulazzjoni eżatta hija kif ġej. Ikkunsidra żewġ sistemi, 1 u 2, f'kuntatt termali, b'enerġiji rispettivi *E*1 u *E*2. Nissuponu *E*1 + *E*2 = xi kostanti *E*. In-numru ta' mikrostati ta' kull sistema se jiġi indikat b'Ω1 u Ω2. Taħt is-suppożizzjonijiet tagħna Ω*i* jiddependi biss fuq *E<sub>i</sub>*. Nissuponu wkoll li kwalunkwe mikrostat tas-sistema 1 konsistenti ma' *E<sub>1</sub>* jista' jeżisti flimkien ma' kwalunkwe mikrostat tas-sistema 2 konsistenti ma' *E<sub>2</sub>*. Għalhekk, in-numru ta' mikrostati għas-sistema kkombinata huwa

:\Omega = \Omega_1 (E_1) \Omega_2 (E_2) = \Omega_1 (E_1) \Omega_2 (E-E_1) . ,

Se niddeduċu *β* mill-suppożizzjoni fundamentali tal-mekkanika statistika:

:*Meta s-sistema kkombinata tilħaq l-ekwilibriju, in-numru Ω jiġi massimizzat.*

(Fi kliem ieħor, is-sistema naturalment tfittex in-numru massimu ta' mikrostati.) Għalhekk, f'ekwilibriju,

:
\frac{d}{d E_1} \Omega = \Omega_2 (E_2) \frac{d}{d E_1} \Omega_1 (E_1) + \Omega_1 (E_1) \frac{d}{d E_2} \Omega_2 (E_2) \cdot \frac{d E_2}{d E_1} = 0.


Iżda *E*1 + *E*2 = *E* jimplika

:\frac{d E_2}{d E_1} = -1.

Għalhekk

:\Omega_2 (E_2) \frac{d}{d E_1} \Omega_1 (E_1) - \Omega_1 (E_1) \frac{d}{d E_2} \Omega_2 (E_2) = 0

jiġifieri

:\frac{d}{d E_1} \ln \Omega_1 = \frac{d}{d E_2} \ln \Omega_2 \quad \mbox{f'ekwilibriju.} 

Ir-relazzjoni ta' hawn fuq timmotiva definizzjoni ta' *β*:

:\beta =\frac{d \ln \Omega}{ d E}.

## Konnessjoni tal-perspettiva statistika mal-perspettiva termodinamika
Meta żewġ sistemi jkunu f'ekwilibriju, ikollhom l-istess temperatura termodinamika *T*. Għalhekk b'mod intuwittiv, wieħed jistenna li *β* (kif definita permezz tal-mikrostati) tkun relatata ma' *T* b'xi mod. Din il-konnessjoni hija pprovduta mis-suppożizzjoni fundamentali ta' Boltzmann miktuba bħala

:S = k_{\rm B} \ln \Omega, 

fejn *k*B hija l-kostanti ta' Boltzmann, *S* hija l-entropija termodinamika klassika, u Ω huwa n-numru ta' mikrostati. Għalhekk

:d \ln \Omega = \frac{1}{k_{\rm B}} d S .

Meta tissostitwixxi fid-definizzjoni ta' *β* mid-definizzjoni statistika ta' hawn fuq tagħti

:\beta = \frac{1}{k_{\rm B}} \frac{d S}{d E}.

Meta tqabbel mal-formula termodinamika

:\frac{d S}{d E} = \frac{1}{T} ,

għandna

:\beta = \frac{1}{k_{\rm B} T} = \frac{1}{\tau}

fejn \tau tissejjaħ it-*temperatura fundamentali* tas-sistema, u għandha unitajiet ta' enerġija.

## Storja
Il-beta termodinamika oriġinarjament ġiet introdotta fl-1971 (bħala  "funzjoni tal-kesħa") minn , wieħed mill-proponenti tal-iskola tal-ħsieb tat-termodinamika razzjonali, ibbażata fuq proposti preċedenti għal funzjoni ta' "temperatura reċiproka".

## Ara wkoll

Distribuzzjoni ta' Boltzmann

Ensemble kanoniku

Mudell ta' Ising

## Referenzi