Serje ta' Fourier

Fil-matematika, **serje ta' Fourier** hi rappresentazzjoni ta' funzjoni perjodika (għas-semplicità nieħdu l-perijodu 2π) permezz ta' somma ta' funzjonijiet perjodiċi tal-forma

: x\mapsto e^{{\rm i}nx}  ;
Minħabba l-formula ta' Euler, is-serje preċedenti nistgħu nesprimuha ekwivalentement permezz tal-funzjonijiet tas-senu u kosenu. 

Dawn is-serje huma msemmijin għall-matematiku Franċiż Joseph Fourier (1768-1830), li kien l-ewwel li studja sistematikament dawn is-serje infiniti (qabel kienu l-oġġett ta' investigazzjoni preliminari minn Euler, d'Alembert u Daniel Bernoulli). Fourier applika dawn is-serje għas-soluzzjoni tal-ekwazzjoni tas-sħana, u ppubblika ir-riżultati inizjali tiegħu fl-1807 u fl-1811 u fl-ikbar xogħol tiegħu bit-titlu *Théorie analytique de la chaleur* fl-1822. Skont il-punto di vista modern, ir-riżultati ta' Fourier huma fuq livell xi ftit informali, minħabba l-fatt li l-matematika fis-seklu XIX kienet għadha ma żviluppatx nozzjoni preċiża ta' *[[Funzjonijiet (Matematika)|funzjoni]]* u ta' *[[L-Integral|integral]]*. Kien biss wara n-nofs ta' dak is-seklu li Dirichlet u Riemann irriformulaw ir-riżultati ta' Fourier b'preċisjoni ogħla u f'forma iżjed soddisfaċenti. 

Bil-mogħod daħlu ħafna forom oħra ta' trasformati marbutin ma' dik ta' Fourier. Dawn it-trasformati ġodda jintużaw għal applikazzjonijiet oħra u jestendu l-idea tal-bidu billi nirrappreżentaw kull funzjoni perjodika bħala sovrappożizzjoni ta' armoniċi. L-oqsma li issa huma miftuħin għal dan jagħmlu parti minn dil li ngħidulha analisi armonika.

## Definizzjoni ta' serje ta' Fourier

Ejjew nikkonsidraw funzjoni ta' varjabbli reali b'valuri komplessi \,f\, li hi perjodika b'perijodu \ 2 \pi u b'kwadrat integrabbli fuq l-intervall \,[0,2\pi]\,. Niddefinixxu

:F_n := \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \, f(x)\,e^{-{\rm i}nx}{\rm d}x. .

F'dal-każ ir-rappreżentazzjoni premess tas-serje ta' Fourier ta' \,f\, tingħata minn

:f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{{\rm i}nx}..

Kull wieħed mit-termini ta' din is-somma ngħidulu **mod ta' Fourier**. Fil-każ partikulari importanti fejn \,f\, hi funzjoni ta' valuri reali, sikwit ikun utli li nużaw l-identità

:e^{inx} \,=\, \cos(nx)+{\rm i}\sin(nx)

biex nirrappreżentaw \,f\, ekwivalentement bħala kumbinazzjoni linjari infinita ta' funzjonijiet tal-forma \,\cos(nx)\, u \,\sin(nx)\,, jiġifieri bħala 

:f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right] , 
 
fejn

:a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi {\rm d}x\, f(x)\cos(nx) \quad\mbox{u}\quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi {\rm d}x\, f(x)\sin(nx) ;

din terġa' twassal għar-rappreżentazzjoni preċedenti permezz ta' 
:\,F_n = \frac{a_n - {\rm i} b_n}{2} \quad\mbox{u}\quad  F_n = F_{-n}^* .

## Eżempju

Nikkonsidraw il-funzjoni \,f(x) = x\,, il-funzjoni identità għal \,x \in[-\pi,\pi]\,. Jekk irridu nikkonsidraw l-żvilupp barra minn dan id-dominju, is-serje ta' Fourier teħtieġ impliċitament li din il-funzjoni tkun perjodika.

Irridu nikkalkulaw il-koeffiċjenti ta' Fourier ta' din il-funzjoni. Naraw mil-ewwel li \,\cos(nx)\, hi funzjoni żewġija, waqt li l-*f* u \,\sin(nx)\, huma funzjonijiet farradin.

:a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x dx= 0
:a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)dx = 0
: b_n= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)dx 
:=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx) dx= \frac{2}{\pi}\left(
\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi}+\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_0^{\pi}
\right)=(-1)^{n+1}\frac{2}{n} 

Mela s-serje ta' Fourier għall-funzjoni li qegħdin neżaminaw hi:

:f(x)=x=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) 
:=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2}{n} \sin(nx), \quad \forall x\in (-\pi,\pi)

## Konvergenza tas-serje ta' Fourier

Waqt li l-**koeffiċjenti ta' Fourier** \,a_n\, u \,b_n\, nistgħu niddefinuhom formalment għal kull-funzjoni li jagħmel sens li nikkonsidraw l-integrali li jagħtu l-valuri tagħhom, jekk is-serje definita hekk tikkonverġix għal \,f(x)\, jiddipendi mill-proprijetajiet speċifiċi ta' dik il-funzjoni.

Ikollna konklużjoni l-iżjed sempliċi meta \,f\, hi ta' kwadrat integrabbli; f'dak il-każ 

:\lim_{N\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^\pi\left|f(x)-\sum_{n=-N}^{N}
F_n\,e^{{\rm i}nx}\right|^2\,{\rm d}x=0

(jiġifieri għandna konvergenza fin-norma tal-ispazju ''L''<sup>2</sup>).

Nafu ħafna kriteri oħra li jiggarantixxu li s-serje tikkonverġi f'punt mogħti *x*, pereżempju jekk il-funzjoni tkun differenzjabbli f**x''. Anki diskontinwità b'qabża ma tagħmilx problemi: jekk il-funzjoni jkollha derivati fuq ix-xellug u l-lemin f**x*, imbagħad is-serje ta' Fourier tikkonverġi għall-valur medju tal-limiti mix-xellug u mill-lemin. Dan igħidulu l-[[fenomenu Gibbs]]. 

Minn naħa l-oħra hemm il-possibbiltà li ħafna jsibu stramba: is-serje ta' Fourier ta' funzjoni kontinwa tista' ma tikkonverġiex punt punt.

== Xi konsegwenzi utli tal-proprijetajiet tal-omomorfiżmu tal-*exp* ==

Konsegwenza tal-fatt li l-"funzjonijiet bażi" <math>\,e^{{\rm i}kx}\,</math> huma [[omomorfiżmu|omomorfiżmi]] tal-linja reali, u iżjed eżatt, tal-[[grupp tal-ċirkonferenza]], hemm xi identitajiet utli:

* Jekk

:<math>g(x)=f(x-y) \,\!</math>

u niddenotaw b*'G* it-trasformata ta' *g*, imbagħad

:<math>G_k \,=\, e^{-{\rm i}ky}F_k </math> .

* Jekk <math>\,H_k\,</math> hi it-trasformata ta' <math>\,h = f * g \,</math>, imbagħad
:<math>H_k \,=\, F_k G_k </math> ,

jiġifieri t-trasformata ta' Fourier ta' [[konvoluzzjoni]] hi l-prodott tat-trasformati ta' Fourier. Viceversa, jekk <math>\,h = fg\,</math>, imbagħad it-trasformata ta' Fourier *H* ta' *h* hi l-konvoluzzjoni tat-trasformati ta' Fourier ta' *f* u ta' *g*:

:<math>H_k=\sum_{i=-\infty}^\infty F_i\, G_{k-i}</math> .

== Teorema ta' Parseval ==

Proprijetà importanti oħra tas-serje ta' Fourier hi t-[[teorema ta' Parseval]], każ partikulari tat-[[teorema ta' Plancherel]] u forma ta' [[unitarju|unitarjetà]]:

:<math>\ ||F||^2= \sum_{n=-\infty}^\infty |F_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 dx \,</math> .

<math>||F||^2:=</math> [[Norma (matematika)|Norma]] bill-kwadrat tals-serje (li fil-fiżika jgħidulha l-[[enerġija tas-sinjal]]).
In partikulari għall-funzjoni *f* b'valuri reali:

:<math>\frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \left( a_n^2 + b_n^2 \right) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)^2 dx</math>.

L-identità għandha sinjifikat importanti ħafna u hi valida esklużivament għan-norma bill-kwadrat: tagħti ugwaljanza bejn funzjoni perjodika u s-serje ta' Fourier korrispondenti.

== Formulazzjoni ġenerali ==

Il-proprijetajiet tas-serje ta' Fourier l-iżjed utli għall-komputazzjonali huma l-biċċa l-kbira konsegwenzi tal-proprijetajiet tal-[[ortognalità]] u tal-[[omomorfiżmu]] tal-funzjonijiet <math>\,e^{{\rm i}nx}\,</math>.
Ħafna suċċessjonijiet oħra ta' [[funzjonijiet ortognali]] għandhom proprijetajiet simili; imma f'dawn il-każi jintilfu l-identitajiet utli (pereżempju, dawk li għandhom x'jaqsmu mal-konvoluzzjoni) li jiġu mill-proprijetà tal-omomorfiżmu.

Eżempji ta' funzjonijiet ortognali utli jinkludu s-suċċessjonijiet ta' [[funzjonijiet ta' Bessel]] u l-[[polinomji ortognali]]. Dawn is-suċċessjonijiet sikwit jikkorrispondu ma' soluzzjonijiet ta' ekwazzjonijiet differenzjali; klassi wiesa' ta' suċċessjonijiet utili huma s-soluzzjonijiet tal-[[teorija ta' Sturm-Liouville|problemi ta' Sturm-Liouville]]. Huma jwasslu anki għas-soluzzjonijiet tal-[[ekwazzjoni ta' Schrödinger]] tal-[[mekkanika mewġija]].

== Paġni li għandhom x'jaqsmu ==
* [[Trasformata ta' Fourier]]
* [[Analisi Matematika|Analisi armonika]]
* [[Fenomenu ta' Gibbs]]
* [[Teorija ta' Sturm-Liouville]]

== Bibljografija ==
* William E. Byerly (1893): *An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics* Ginn &amp; Company. 
* Horatio S. Carslaw (1921): *Introduction to the theory of Fourier's series and integrals*, Macmillan &amp; co., ltd.
* E. W. Hobson (1926): *The Theory Of Functions Of A Real Variable And The Theory Of Fourier's Series Vol. 2, Cambridge University Press. 
* Antoni Zygmund (1935): *[http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=5&wyd=10&jez= Trigonometrical series], Subwencji Fundusz Kultury Narodowej
* Yitzhak Katznelson (1976): *An introduction to harmonic analysis'', Second corrected edition. Dover Publications, ISBN 0-486-63331-4

## Ħoloq esterni

* Eżempji ta' problemi ta' Fourier fuq exampleproblems.com
* Java applet li turi l-żvilupp f'serje ta' Fourier ta' funzjoni liema tkun.