Daya emparan

Dalam mekanik klasik, **daya emparan** () ialah daya keluar dikaitkan dengan putaran. Daya emparan adalah satu daripada beberapa yang dikenali sebagai daya pseudo (juga dikenali sebagai daya inert), dinamakan sedemikian kerana, tidak seperti daya sebenar, ia tidak berasal dari interaksi dengan badan lain yang terletak dalam persekitaran partikel yang mana ia bertindak. Sebaliknya, daya emparan berasal dari putaran bingkai rujukan dari mana pemerhatian dilakukan. 

## Hasilan
Hukum pergerakan Newton bagi jisim partikel *m* boleh ditulis dalam bentuk vektor sebagai
:\boldsymbol{F} = m\boldsymbol{a}\ ,
iaitu F ialah jumlah vektor daya fizikal dikenakan kepada partikel dan  a ialah pecutan mutlak partikel, diberi oleh
: \boldsymbol{a}=\frac{d^2}{dt^2}\boldsymbol{r} \ , 
iaitu ***r*** ialah vektor kedudukan bagi partikel. Pembezaan dilakukan dalam istilah bingkai rujukan inert (''inertial reference frame''). Sebagaimana ditunjukkan dalam bingkai rujukan berputar (''Rotating reference frame''), bagi sebarang vektor ** ''Q'' ** bergantung kepada masa, masanya dihasilkan [d***Q***/dt] dinilai dari segi bingkai rujukan dengan asal serentak tetapi berputar dengan pecutan bersudut mutlak***Ω*** berkait dengan hasilan mutlak d***Q***/dt oleh:
:\frac{d}{dt}\boldsymbol{Q} = \left[\frac{d}{dt}\boldsymbol{Q}\right] + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{Q}\ ,
iaitu **×** menandakan hasil darab silang vektor dan kurungan bersegi **[…]** menandakan penilaian dalam rujukan bingkai putaran.

Sebagai contoh khusus, ia diikut bahawa pecutan mutlak partikel boleh ditulis sebagai (bagi lebih perincian lihat rujukan bingkai putaran (''Rotating frame of reference'')):

:\begin{align}
\boldsymbol{a} &=\frac{d^2}{dt^2}\boldsymbol{r}\\
   &= \left[ \frac{d^2 \boldsymbol{r}}{dt^2} \right] + \frac{d \boldsymbol{\Omega}}{dt}\times\boldsymbol{r} + 2 \boldsymbol{\Omega}\times \left[ \frac{d \boldsymbol{r}}{dt} \right] + \boldsymbol{\Omega}\times ( \boldsymbol{\Omega} \times  \boldsymbol{r}) . 
\end{align}


Ia kadang kala lebih mudah untuk menganggap istilah pertama disebelah kanan sebagai pecutan mutlak, dan bukannya pecutan dalam bingkai putaran. Apabila ini dilakukan, persamaan pergerakan memiliki bentuk:
:\boldsymbol{F} - m\frac{d \boldsymbol{\Omega}}{dt}\times\boldsymbol{r} - 2m \boldsymbol{\Omega}\times \left[ \frac{d \mathbf{r}}{dt} \right] - m\boldsymbol{\Omega}\times (\boldsymbol{\Omega}\times \boldsymbol{r})   =  m\left[ \frac{d^2 \boldsymbol{r}}{dt^2} \right].
Istilah akhir pada sebelah kiri (sebelah *daya*) biasanya dikenali sebagai daya emparan. Ia mengarah tepat keluar dari paksi putaran bagi bingkai rujukan putaran, dengan magnitud m {\Omega}^2 r.

Perhatikan bahawa bagi bingkai tidak berputar daya emparan ialah sifar. Lenyapnya daya emparan dalam rujukan bingkai inert dikongsi oleh semua daya rekaan.

## Kelebihan bingkai putaran
Bingkai rujukan putaran boleh memiliki kelebihan berbanding bingkai rujukan inert. Kadang kala pengiraan adalah lebih mudah (contohnya kitaran inert), dan kadangkala idea spontan menyamai lebih dekat berbanding bingkai putaran (contohnya mendapan dalam emparan). Dengan menggangap segi pecutan tambahan akibat puratan oleh bingkai sebagai satu daya, menolaknya dari daya fizikal, ia adalah mungkin bagi melayan hasilan kali kedua kedudukan (berbanding bingkai putaran) seolah-olah ia adalah pecutan mutlak. Dengan itu menganalisa menggunakan hukum Newton boleh berlangsung seolah-olah bingkai rujukan adalah kaku, asalkan istilah daya rekaan di masukkan dalam jumlah keseluruhan daya.
Sebagai contoh, daya emparan digunakan dalam buku panduan juruterbang FAA bagi menggambarkan lencongan. Contoh lain ialah sistem seperti planet, emparan, karousel, pusingan kereta, timba berputar, dan putaran stesyen angkasa.

Berkenaan kelebihan bingkai berputar dari sudut pandangan meteorologi, Ryder berkata:

## Daya emparan dan putaran mutlak

Bolehkan putaran mutlak dikesan? Dalam kata lain, bolehkah seseorang memutuskan sama ada objek dilihat berputar atau anda, pemerhati yang berputar?

Newton mencadangkan dua ujikaji yang mampu menyelesaikan masaalah ini. Satu ialah kesan daya emparan pada bentuk permukaan air berputar dalam timba. Newton mencadangkan bahawa bentuk permukaan air menunjukkan kehadiran atau ketiadaan putaran mutlak berbanding bintang tetap: permukaan cembung menunjukkan putaran air. Newton turut mencadangkan ujian lain bagi tujuan ini dengan menggunakan ketegangan pada tali menyambung dua sfera berputar sekitar pusat graviti mereka: ketegangan bukan sifar pada tali menunjukkan putaran sphera.

Kecekungan permukaan air berputar dalam baldi boleh dijelaskan dengan cara anggaran mudah dengan menggunakan konsep potensi tenaga, digambarkan berikut. Pendekatan alternative dijumpai pada penegasan Bucket (“Bucket argument”).

Dalam bingkai rujukan putaran sekata pada kadar bersudut daya emparan ciptaan kini merupakan daya penyimpan (“conservative force”) dan memiliki potensi tenaga bentuk itu:

:{U}_{\mathrm{Cfgl}} = -\frac{1}{2} m \Omega^2 r^2 \ ,

iaitu *r* merupakan ukur lilit dari paksi putaran. Keputusan ini boleh disahkan dengan mengambil kecerunan potensi bagi mendapatkan daya memancar keluar:

: F_{\mathrm{Cfgl}} = -\frac{\partial }{\partial r} {U}_{\mathrm{Cfgl}}  = m \Omega^2 r \ . 
Erti tenaga potensi ialah pergerakan jisim yang diuji dari ukurlilit besar kepada ukurlilit kecil membabitkan kerja Mekanikal berbanding daya emparan.

Daya keupayaan berguna, contohnya, bagi memahami kecekungan permukaan air dalam baldi berputar. Perhatikan bahawa keseimbangan mekanikal (“Mechanical equilibrium” permukaan mengambil bentuk yang menjadikan unsure isipadu pada sarang kedudukan pada permukaannya memiliki potensi tenaga yang sama di semua tempat. Dengan itu, tiada unsure air pada permukaan mempunyai kecenderungan bagi berpindah kedudukan, kerana semua kedudukan mempunyai tenaga yang seimbang. Dengan itu keseimbangan dicapai. Sebaliknya, jika terdapat kawasan permukaan tenaga lebih rendah, air yang menduduki kawasan permukaan dengan tenaga potensi lebih tinggi akan bergerak bagi menduduki kawasan tenaga lebih rendah, disebabkan tiada halangan pada pergerakan mendatar pada cecair sempurna.

Kita mungkin membayangkan dengan sengaja mengganggu keadaan keseimbangan ini dengan apa cara juga, menukar bentuk permukaan air seketika untuk mengubahnya dari bentuk permukaan tenaga seimbang. Perubahan bentuk ini tidak akan stabil dan air tidak akan kekal dalam bentuk yang dihasilkan secara tiruan, tetapi akan melalui banyak bentuk cubaan perantaraan sehingga daya seretan tidak ideal diperkenalkan oleh olengan, samaada terhadap sisi baldi atau oleh bentuk semulajadi tidak ideal cecair, menghentikan olengan dan air tenang kembali kepada keadaan bentuk seimbang.

Untuk melihat prinsip permukaan tenaga sekata bertindak, bayangkan peningkatan kadar putaran dalam baldi dari sifar dalam peningkatan perlahan. Permukaan air adalah rata pada mulanya, dan jelas merupakan permukaan bagi tenaga potensi kerana semua titik pada permukaan adalah sama ketinggian dalam medan graviti yang bertindak pada air. Bagaimanapun, pada putaran kadar bersudut kecil unsure bagi permukaan air mampu mencapai tenaga potensi lebih rendah dengan bergerak keluar di bawah pengaruh daya memusat. Disebabkan air tidak boleh dipadatkan dan mesti kekal dalam kekangan baldi, pergerakan keluar meningkat kedalaman air pada ukur lilit lebih besar, juga meningkatkan ketinggian permukaan air pada ukur lilit lebih besar, dan merendahkannya pada ukurlilit lebih kecil. Permukaan air menjadi cekung sedikit, dengan akibat potensi tenaga air pada ukur lilit lebih besar meningkat hasil kerja yang dilakukan menentang graviti bagi mencecah lebih ketinggian. Ketika ketinggian air meningkat, pergerakan kearah sisi (“periphery” tidak lagi menguntungkan, kerana pengurangan pada potensi tenaga akibat pergerakan daya memusat diimbangi oleh peningkatan tenaga bertindak bagi melawan graviti. Dengan itu, pada kadar bersudut yang diberikan bagi putaran, permukaan cembung mewakili keadaan stabil, dan semakin pantas putaran, lebih cembung permukaan ini terbentuk. Jika putaran ini dihentikan, tenaga yang disimpan dalam bentuk permukaan cembung perlu disebarkan, sebagai contoh melalui geseran, sebelum permukaan rata seimbang dikembalikan.

Bagi melaksanakan permukaan potensi tenaga secara kuantitif, anggap ketinggian air sebagai h(r)\,: dengan itu potensi tenaga per jisim unit menyumbang kepada graviti sebagai g h(r) \  dan potensi tenaga keseluruhan per jisim unit pada permukaan ialah 
:{U} = {U}_0 + gh(r) - \frac{1}{2}\Omega^2 r^2\,

Dengan {U}_0 aras tenaga latar bebas sabagai *r*. (Nota: formula ini bagi potensi tenaga bagi air menganggap air berputar sama dengan bingkai rujukan. Jika, sebagaimana dalam kes, air tidak berputar pada kadar yang serupa dengan bingkai, tenaganya akan agak berlainan.) Dalam keadaan statik (tiada pergerakan cecair dalam bingkai berputar), tenaga ini kekal bebas dari kedudukan *r*. Memerlukan tenaga menjadi mengekalkan bentuknya, kita akan dapatkan bentuk parabolik:

:h(r) =  \frac{\Omega^2}{2g}r^2 + h(0) \ , 

iaitu *h(0)* adalah pada ketinggian *r* = 0 (axis). Lihat Rajah 1.

Princip operasi memusat (“centrifuge”] juga boleh difahami dengan mudah dalam bentuk gambaran ini bagi potensi tenaga, yang menunjukkan bahawa ia cenderung bertenaga apabila isipada jauh dari paksi putaran diduduki oleh bahan lebih berat.

Perhatikan bahawa analisa ini berasaskan potensi tenaga daya memerlukan kehadiran daya memusat. Daya ini diperlukan dalam rujukan bingkai sama berputar (apabila ia turut berputar bersama air) kerana air kelihatannya tidak bergerak dalam bingkai ini. Dengan itu, pemerhati melihat kepada air tidak bergerak, memerlukan daya memusat bagi menjelaskan mengapa permukaan air adialah lah cembung dan bukannya rata. Secara ringkas, air berputar mempunyai permukaan cembung: jika permukaan yang anda lihat ialah cembung, dan air tidak kelihatan berputar, sebenarnya *anda* yang berputar. Sama juga, jika anda memerlukan daya memusat bagi menjelaskan apa yang anda lihat, dengan itu anda sebenarnya berputar.

## Contoh
Di bawah beberapa contoh menggambarkan kedua-dua bingkai pengun dan berputar, dan peranan daya memusat dan kaitannya dengan daya Coriolis dalam rangka kerja berputar.

### Menggunakan daya fiksyen

Ia telah dijelaskan bahawa untuk menangani pergerakan dengan rujukan bingkai berputar, satu pilihan kepada penyelesaian ialah berdasarkan menterjemah kesemuanya kepada bingkai pegun sebaliknya menggunakan hukum pergerakan Newton pada bingkai berputar dengan menambah daya-palsu, dan kemudiannya bertindak secara langsung dalam bingkai berputar. Berikut merupakan contoh mudah bagi kaedah ini.

Rajah 2 menggambarkan bahawa badan yang pengun berbanding kepada bingkai *tidak*-berputar *S' * kelihatannya seperti berputar apabila dilihat dari bingkai berputar *S*, yang berputar pada kadar bersudut . Dengan itu, penggunaan hukum Newton bagi apa yang kelihatannya sebagai pergerakan berputar dalam bingkai berputar *S* pada jejari *R*, memerlukan daya *memusat* −*m* 2 **R** bagi menjelaskan apa yang kelihatannya pergerakan berputar. Menurut pemerhati di *S*, daya memusat *centripetal* dalam bingkat berputar diberikan sebagai daya bersih yang merupakan jumlah daya palsu emparan *memancar keluar* *m* 2 **R** dan daya Coriolis −2*m* ** <big>׳</big> v**rot.

Untuk menilai daya Coriolis, kita perlukan pecutan *sebagaimana dilihat dalam bingkai berputar*, **v**rot. Menurut formula dalam seksyen hasilan ("Derivation section"), pecutan ini diberikan oleh **− <big>׳</big> R**. Dengan itu, daya Coriolis (dalam contoh ini) adalah dalaman, dalam arah berlawanan kepada daya emparan, dan ini memiliki nilai −2*m* 2 **R**. Gabungan daya emparan dan Coriolis ialah *m* 2 **R**−2*m* 2 **R** = −*m* 2 **R**, bersamaan dengan daya memusat yang diperlukan oleh hukum Newton bagi gerakan berputar. 

### Meja Berputar

Rajah 3 menunjukkan versi mudah perkakasan bagi mengkaji daya emparan yang dikenali sebagai "meja berputar ". Peralatan terdiri dari batang yang boleh diputar pada paksi, menyebabkan manik tergelincir pada batang di bawah pengaruh daya emparan. Tali yang diikat pada berat diikat pada manik yang tergelincir. Dengan memantau bagaimana jarak keseimbangan sekata berbeza dengan berat dan kelajuan putaran, daya emparan boleh diukur sebagai fungsi kadar putaran dan jarak manik dengan paksi putaran.

Dari sudut pandangan rujukan bingkai pengun, keseimbangan dicapai apabila kedudukan manik memilih orbit mengelilingi tertentu yang ditetapkan oleh berat bagi membekalkan daya memusat yang tepat.

### Menjatuhkan bola

Rajah 4 menunjukkan bola jatuh menegak (selari dengan paksi putaran **** bagi bingkai berputar). Untuk ringkas, anggap ia bergerak kebawah pada kelajuan sekata dalam bingkai pengun, merangkumi berturut kedudukan selari menegak nombor satu, dua, tiga. Dalam bingaki pegun ia kelihatan berpilin kebawah, dan bahagian kanan Rajah 4 menunjukkan pandangan atas terjektori putaran bola dalam bingkai bergerak. Disebabkan ia jatuh pada kelajuan sekata, dari pandangan atas ini dalam bingkai bergerak bola kelihatan bergerak pada kadar yang sekata mengelilingi terk bulatnya. Gambaran pergerakan ini dalam dua bingkai dijelaskan berikut.

#### Rangka inersia
Dalam rangka inersia bola jatuh menegak pada pecutan sekata. Ia tidak menukar arah, dengan itu pemerhati pengun menyatakan pecutan ialah sifar dan tiada daya bertindak pada bola.

#### Bingkai berputar sekata

Dalam bingkai berputar bola jatuh menegak pada pecutan sekata, dengan itu tidak terdapat komponen daya menegak pada bola. Bagaimanapun, dalam arah melintang bersudut tepat dengan paksi putaran, bola melakukan pergerakan berputar sekata yang di lihat pada bingkai kanan Rajah 4. Menggunakan hukum gerakan Newton, pemerhati yang berputar memutuskan bahawa bola itu pasti dipengaruhi kuada dalaman bagi membolehkannya menurut laluan berpilin (“circular path”). Dengan itu, pemerhati berputar percaya bahawa bola itu dipengaruh daya berceracak mengarah ke dalam ke arah paksi putaran. Menurut analisa pergerakan berputar sekata

:
\mathbf{F}_{\mathrm{fict}}  =  -m\Omega^2 R  \boldsymbol { \hat r}\ ,

Dengan \boldsymbol { \hat r} unit vector dalam radial arah keluar, dan Ω ialah kadar bersudut bagi putaran, *m* ialah jisim bola, dan *R* ialah jejari putaran dalam sudut mengufuk. Disebabkan tidak kelihatan sumber bagi daya sedemikian (dengan itu dilabel "rekaan"), pemerhati berputar memutuskan bahawa ia merupakan "fakta kehidupan" dalam dunia berputar yang mana wujud daya dalaman dengan kelakuan ini. Sepanjang yang pemerhati berputar telah pun ketahui terdapat daya emparan *keluar* di semua tempat dalam dunia berputar, bagaimana boleh wujud daya dalaman? Jawapannya ialah daya Coriolis: komponen pecutan bersentun dengan pergerakan berputar yang dilihat dalam bingkai kanan bagi Rajah. 4 mengaktifkan daya Coriolis, yang membatalkan daya emparan dan pergi lebih jauh bagi memberikan daya memusat bertepatan dengan yang diperlukan bagi pengiraan oleh pemerhati berputar.

Sesetengah perincian penilaian daya Coriolis ditunjukkan dalam Rajah. 5. Daya Coriolis didapati (menggunakan penjelasan hasil darab silang vektor): 

: \mathbf{F_{Cor}} \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}-2 m \mathbf{\Omega \times v} = -2m \mathbf{\Omega \times} \left(-\mathbf{\Omega \times} R\boldsymbol{\hat {r}}\right) =-2m\Omega^2R \boldsymbol { \hat r}\ , 
Menggabungkan daya ini dengan daya emparan:
:\mathbf{F}_{\mathrm{fict}} = \mathbf{F_{Cor}} + \mathbf{F_{Cfgl}} = \left(-2m\Omega^2R + m\Omega^2R\right)\boldsymbol { \hat r} = -m\Omega^2 R  \boldsymbol { \hat r}\ ,

sebagaimana diperlukan bagi daya memusat untuk mengekalkan pergerakan berputar.
objek, selari dengan pemerhati pengun, yang turut menyatakan bahawa tiada daya diperlukan. Satu cara menggambarkan keputusan: daya rekaan menjaga keadaan “rekaan”, dengan itu bola tidak memerlukan bantuan bagi bergerak pada trajektori yang dilihat: Kesemua pemerhati bersetuju bahawa tiada apa yang perlu dilakukan untuk membuat bola bergerak menurut laluannya.

Disebabkan daya Coriolis dan daya emparan bergabung bagi memberikan daya memusat yang diperlukan oleh pemerhati berputar bagi pergerakan berputar yang dilihat, pemerhati berputar tidak perlu mengenakan sebarang daya tambahan kepada objek, selari dengan pemerhati pengun, yang turut menyatakan bahawa tiada daya diperlukan. Satu cara menggambarkan keputusan: daya rekaan menjaga keadaan “rekaan”, dengan itu bola tidak memerlukan bantuan bagi bergerak pada trajektori yang dilihat: Kesemua pemerhati bersetuju bahawa tiada apa yang perlu dilakukan untuk membuat bola bergerak menurut laluannya.

### Payung terjun

Untuk menunjukkan bingkai rujukan berlainan, kita lihat semula contoh bola dalam Rajah 4 dari sudut pandangan penerjun yang jatuh pada kelajuan sekata berbanding Bumi (pelantar berputar). Penerjun bertujuan bagi mendarat pada titik pada tanah berputar di bawah titik terjunan (“drop-off point”). Rajah 6 menunjukkan laluan tegak penurunan sebagaimana dilihat dalam bingkai berputar. Penerjun jatuh pada kelajuan sekata, menduduki berturut kedudukan selari menegak satu, dua, tiga.

Dalam bingakai pengun, jika kita anggap penerjun terjun dari helicopter tergantung pada tapak kedudukan pada tanah ber[utar di bawah, dan dengan itu bergerak pada kelajuan sama seperti sasaran di bawah. Penerjun bermula dengan kelajuan yang diperlukan bersentuhan dengan laluannya (ש*R*) bagi menjejak tapak sasaran. Jika penerjun mahu mendarat pada sasaran, penerjun perlu berpilin ke bawah pada laluan yang ditunjukkan pada Rajah 6. Pemerhati *pengun* melihat pergerakan berputar seragam penerjun ketika pergerakan di unjur ke bawah, sebagaimana dalam kotak kiri Rajah 6. Ia itu, dalam latar mendatar, pemerhati pengun melihat daya memusat “centripetal” bertindak, -*m* ש2 *R*, sebagaimana diperlukan bagi mencapai laluan bulatan. Penerjun memerlukan tujahan bagi memberikan daya ini. Tanpa tujahan, penerjun mengikut laluan menegak putus-putus dalam kotak kiri Rajah 6, mematuhi hukum pengun inersia Newton.

Pemerhati pegun di bawah dan pemerhati di tanah berputar bersetuju bahawa tidak terdapat pembabitan daya menegak: payung terjun bergerak melintang pada kepantasan sekata. Bagaimanapun, pemerhati di tanah melihat penerjun jatuh menegak dari helikopter ke tanah, mengikut kedudukan satu, dua, dan tiga diatur menegak. Tidak terdapat daya diperlukan. Dengan itu kenapa penerjun memerlukan tujahan?

Pemerhati di tanah melihat pandangan ini: daya emparan sentiasa wujud dalam dunia berputar. Tanpa tujahan penerjun akan hanyut oleh daya emparan ini dan mendarat jauh dari sasaran. Dari sudut pandangan penerjun, cuba mengekalkan sasaran tepat di bawah, yang sama adalah benar: tujahan sekata berpilin kedalam diperlukan, hanya bagi mengekalkan kedudukan tepat di atas sasaran. Tidak seperti kes menjatuhkan bola, dimana daya geseran bertindak bagi menyingkirkan keperluan bagi agensi luaran, dalam kes ini ia memerlukan campur tangan bagi mencapai trajektori. Peraturan asas ialah: jika pemerhati pengun menyatakan situasi memerlukan tindakan atau tidak, daya rekaan pada bingkai berputar akan mendorong kepada pemerhati berputar kepada kesimpulan yang sama, sungguhpun melalui aturan yang berlainan.

Perhatikan bahawa tidak terdapat daya Coriolis dalam perbincangan ini, kerana penerjun mempunyai sifar velositi melintang dari sudut pandangan pemerhati tanah berputar.

### Pergerakan planet

Satu lagi contoh yang penting dalam sejarah ialah pergerakan planet. Sungguhpun pergerakan planet sebenarnya membabitkan banyak planet, kes mudah ialah masalah dua jasad bagi dua jisim sahaja, sama-sama ditarik oleh graviti masing-masing. Di bawah ialah lakaran analisa kes ini yang menunjukkan bagaimana masaalah tiga dimensi mulanya dikurangkan kepada pergerakan satu planet pada satu ufuk, dan kemudian kedua bagi memudahkan masaalah satu dimensi berdasarkan daya emparan. Lebih perincian terdapat pada rencana ’’Hukum Kepler pergerakan planet’’.

Medan graviti merupakan cerun kepada potensi *V*(***r***) diberi oleh persamaan Poisson:

: \nabla^2 V = -G m \ \delta (\boldsymbol r ) ,

iaitu  \nabla^2  merupakan Laplacian, δ(** ''r'' **) merupakan fungsi delta Dirac dan *m*δ(** ''r'' **) mewakili titik jisim *m* pada lokasi ** ''r'' ** = 0. Bagi daerah tidak terikat, penyelesaiannya ialah:

:V = V(r) =-G \frac {m}{r} \ , 

iaitu *G* merupakan pemalar graviti dan *r* merupakan jarak jejari dari jisim *m* asal medan. Bagi kes menarik *dua* jisim bagi jisim *m<sub>1</sub>, m<sub>2</sub> * jarak jejari menjadi pemisah kepada dua jisim, iaitu,

:r = |\boldsymbol{r_1-r_2}| \ , 

Dan potensi graviti pada kedudukan jisim *m<sub>2</sub>* akibat jisim *m<sub>1</sub>* menjadi
:V(\boldsymbol{r_2}) = -G m_1 \frac{1} \ ,
Dan pecutan jisim *m<sub>2</sub>* menjadi (dari hukum Newton kedua):
: m_2\ddot{\boldsymbol{r_2}} = G m_2 m_1 \frac{1}{|\boldsymbol{r_2-r_1}|^2} \hat{\boldsymbol{u}}_{21}\ , 
iaitu \hat{\boldsymbol{u}}_{21} merupakan vektor yang menunding dari jisim *m<sub>2</sub>* kearah jisim *m<sub>1</sub>* dan titik tindih berganda mewakili hasilan kedua. Sama juga, kolen ("double overdots") mewakili hasilan masa kedua. Sama juga,

: m_1\ddot{\boldsymbol{r_1}} = G m_2 m_1 \frac{1}{|\boldsymbol{r_1-r_2}|^2} \hat{\boldsymbol{u}}_{12}\ , 

iaitu \hat{\boldsymbol{u}}_{12} = -\hat{\boldsymbol{u}}_{21} . Menolak kedua persamaan:

:\frac{d^2}{dt^2}\boldsymbol{\left(r_1-r_2\right)} = Gm_1m_2 \left(\frac{1}{m_1} +\frac{1}{m_2} \right) \frac{1}{|\boldsymbol{r_1-r_2}|^2}\hat{\boldsymbol{u}}_{12}\ ,

Atau, mengatur kembali:
:m\frac{d^2}{dt^2}\boldsymbol{\left(r_1-r_2\right)} = Gm_1m_2  \frac{1}{|\boldsymbol{r_1-r_2}|^2}\hat{\boldsymbol{u}}_{12}\ ,
iaitu *m* ialah apa yang dikenali *jisim dikurangkan* ditakrifkan oleh:
: m = \left(\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\right)\ \ . 
Dengan cara ini, memudahkan masaalah kepada satu partikel jisim *m* bergerak dalam potensi jejari *V (r) * dengan
:r = |\boldsymbol{r_1-r_2}| \ , 

dan

:V(r) = Gm_1m_2  \frac{1} = Gm_1m_2  \frac{1}{r}= Gm M  \frac{1}{r} \ , 
dengan M = \left(m_1+m_2\right)\ .
Kuasa bertindak pada jisim partikel ini *m* kemudian (\boldsymbol{\nabla} ialah pengoperasi gradient):
: \boldsymbol{F} = -m\boldsymbol{\nabla} V(r) = GmM \boldsymbol{\nabla} \frac{1}{r} = -GmM\frac{1}{r^2} \hat{\boldsymbol{r}} \ ,
Kuasa terpancar kedalam. Vektor unit titik \hat{\boldsymbol{r}} dalam arah memancar keluar.

Trajektori partikel didapati dengan menggunakan hokum pergerakan ke dua Newton. Dengan ini kita selesaikan persamaan:
:\frac{d^2}{dt^2} \boldsymbol{r} = -GM\frac{1}{r^2} \hat{\boldsymbol{r}} \ . 
Penyelesaian didapati paling mudah dengan menggunakan kordinate kutub. Dalam kordinate kutub pecutan diberikan oleh:
:\frac{d^2}{dt^2} \boldsymbol{r} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta)\hat{\boldsymbol\theta} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} +
 \frac{1}{r}\quad \dot {\overbrace{r^2\dot\theta }}\quad \hat{\boldsymbol\theta}\ ,
iaitu titik bertindih menunjukkan hasilan masa, dan apabila titik bertindih menunjukkan hasilan masa, dan \hat{\boldsymbol\theta} ialah vektor unit azimut bertepatan dengan arah pancaran jejari. Jelasnya, pergerakan adalah planar (dalam ufuk \hat{\mathbf{r}}, \ \hat{\boldsymbol\theta}) kerana tiada komponen tenaga adalah normal bagi ufuk ini. Meletakkan pecutan ini pada hokum Newton, mengasingkan persamaan didapati bagi arah jejari dan ufuk (“azimuthal”). Dalam arah ufuk:
:\dot {\overbrace{r^2\dot\theta }} = 0\ , 
Dan dalam arah jejari:
:\ddot r - r\dot\theta^2=-GM\frac{1}{r^2} \ . 

Dalam formula ini, istilah kedua di sebelah kiri hanyalah satu dari dua istilah dalam pecutan pada kordinasi kutub. Ia bukannya daya tekan (“impressed force”); ia merupakan sebahagian hasilan mathematik pada kordinat kutub.

Persamaan azimut menggambarkan pengekalan bagi momentum sudut, apabila momentum sudut bagi partikel ialah kelajuannya:

:v =r \dot\theta

didarabkan dengan kedudukan jejari. Menggunakan persamaan pengekalan ini,

: mr^2 \dot\theta = m v r= \ell \ , 

iaitu \ell merupakan pengekalan (bebas masa) momentum bersudut. Mengantikan keputusan ini bagi \dot\theta pada persamaan jejari:

:\ddot r - r\left(\frac{\ell}{mr^2}\right )^2=-GM\frac{1}{r^2} \ , 

atau:

:\ddot r - \left(\frac{v^2}{r}\right )=-GM\frac{1}{r^2} \ . 

Persamaan ini, dihasilkan di sini menggunakan kordinat kutub dalam bingkai rujukan pengun, boleh diubah sebagai:

:\ddot r = \left(\frac{v^2}{r}\right )-GM\frac{1}{r^2} \ . 

Persamaan ini boleh dihasilkan dari sudut pandangan bingkai sama-berputar, atau boleh difahamkan sebagai *masaalah satu dimensi* *rekaan*. Masalah ciptaan ini menganggap *r* sebagai ciptaan *satu dimensi* kedudukan kordinate (biasanya hanya ditanda mudah sebagai *x*). Sudut pandangan satu-dimensi membenarkan kita memahami \ddot r  sebagai "pecutan". Selepas itu hokum daya satu-dimensi difahamkan sebagai pergerakan pertikal ini bergantung kepada dua daya pada sebelah kanan, terutama daya emparan keluar per unit jisim *v<sup>2</sup>/r* dan daya kedalam graviti per unit jisim *-GM/r<sup>2</sup>*. Sekiranya kedua daya ini seimbang, dengan itu

## Nota dan rujukan

## Bacaan lanjut
* Newton's description in Principia
* Centrifugal reaction force - Columbia electronic encyclopedia
* M. Alonso and E.J. Finn, *Fundamental university physics*, Addison-Wesley
* Centripetal force  vs. Centrifugal force  - from an online Regents Exam physics tutorial by the Oswego City School District
* Centrifugal force acts inwards near a black hole
* Centrifugal force at the HyperPhysics concepts site
* A list of interesting links 
* Part of a high school course on astronomy, Newtonian mechanics and spaceflight by David P. Stern

## Pautan luar
* Motion over a flat surface  Java physlet by Brian Fiedler (from School of Meteorology at the University of Oklahoma) illustrating fictitious forces. The physlet shows both the perspective as seen from a rotating and from a non-rotating point of view.
* Motion over a parabolic surface  Java physlet by Brian Fiedler (from School of Meteorology at the University of Oklahoma) illustrating fictitious forces. The physlet shows both the perspective as seen from a rotating and as seen from a non-rotating point of view.
* Animation clip showing scenes as viewed from both an inertial frame and a rotating frame of reference, visualizing the Coriolis and centrifugal forces.
* Centripetal and Centrifugal Forces at MathPages
* Centrifugal Force at h2g2
* What is a centrifuge?
* John Baez: ''Does centrifugal force hold the Moon up?'' 
* XKCD demonstrates the life and death importance of centrifugal force