Algebra

**Algebra** atau **aljabar** (;  "gabungan, sambungan, atau pelengkap" terbitan kata kerja  *jabara* "membetulkan (tulang yang patah)") ialah cabang matematik yang berkaitan dengan kajian struktur, hubungan, dan kuantiti. Algebra asas sering dijadikan sebahagian pendidikan sekolah menengah untuk memberikan pengenalan kepada idea-idea asas algebra: membelajari apa yang terjadi apabila nombor-nombor dicampurkan atau dikalikan, dan bagaimana membuat polinomial dan mencari punca tersebut. Abu Abdullah Mohammad Ibn Musa al-Khawarizmi merupakan bapa bidang ilmu ini.

Rangkuman algebra adalah lebih luas berbanding algebra asas dan dibuat lebih umum. Berbanding dengan hanya menggunakan nombor-nombor, seseorang boleh menggunakan anu yang terdiri daripada simbol, pemboleh ubah, atau unsur set. Penambahan dan pendaraban dilihatkan sebagai operasi am, dan definisi tepat untuk operasi-operasi ini menghasilkan struktur seperti kumpulan, gelanggang, dan medan. Bersama-sama dengan geometri dan analisis, algebra merupakan salah satu daripada tiga cabang utama matematik.

## Pengelasan

Secara amnya, algebra boleh dibahagikan kepada kategori-kategori yang berikut:
* **Algebra asas** - mencatat sifat-sifat operasi pada sistem nombor nyata sebagai "pemegang tempat" dengan simbol-simbol untuk mewakili pemalar serta pemboleh ubah, dan petua-petua untuk ungkapan matematik dan persamaan yang melibatkan simbol-simbol tersebut dikaji (perhatikanlah bahawa ini sering merangkumi isi kandungan kursus yang digelarkan sebagai "algebra pertengahan" dan "algebra kolej");
* **[[Algebra niskala]]** - juga dipanggil sebagai "algebra moden", yang mengkaji struktur-struktur algebra seperti kumpulan, gelanggang, dan medan yang diberikan definisi aksioman. 
* **[[Algebra linear]]** - mengkaji sifat-sifat khusus untuk ruang vektor (termasuk matriks);
* **[[Algebra semesta]]** - mengkaji sifat-sifat sepunya dalam semua struktur algebra.

Dalam kajian lanjutan, sistem-sistem algebra aksioman (seperti kumpulan, gelanggang, dan medan) dan algebra-algebra melintasi medan dikaji melalui struktur geometri tabii (topologi) yang serasi dengan struktur algebra tersebut. Senarai sistem algebra aksioman termasuk:
* Ruang vektor norma
* Ruang Banach
* Ruang Hilbert
* Algebra Banach atau algebra norma
* Algebra topologi
* Kumpulan topologi

## Algebra Asas

::: *Rencana utama: Algebra asas*. **Algebra asas** ialah bentuk algebra yang termudah. Ia diajarkan kepada para pelajar yang dianggapkan tidak mempunyai ilmu matematik sebalik prinsip asas ilmu kira-kira. Walaupun dalam ilmu kira-kira, hanya nombor-nombor dan operasi arithmetik (seperti +, −, ×, ÷) wujud, dalam algebra, nombor sering ditandakan oleh lambang (seperti *a*, *x*, *y*). Ini berguna kerana:
::* Ia memberikan rumusan umum peraturan arithmetik (seperti *a* + *b* = *b* + *a* for all *a* dan *b*), dan inilah langkah pertama untuk penjelajahan sistematik pada sifat sistem nombor benar.
::* Ia memberikan rujukan kepada nombor "tidak dikenali", rumus persamaan dan pelajarannya untuk bagaimana mahu menyelesaikan ini (contohnya, "Carikan nombor *x*sedemikian hingga 3*x* + 1 = 10").
::* Ia memberikan rumusan fungsi berkenaan (seperti "Kalau anda jual *x* tiket, kemudian untungan anda akan menjadi 3*x* - 10 dolar, atau *f*(*x*) = 3*x* - 10, dimana *f* ialah fungsinya, dan *x* ialah nombor fungsi yang dijalankan."). *Rencana utama: Algebra asas*. **Algebra asas** ialah bentuk algebra yang termudah. Ia diajarkan kepada para pelajar yang dianggapkan tidak mempunyai ilmu matematik sebalik prinsip asas ilmu kira-kira. Walaupun dalam ilmu kira-kira, hanya nombor-nombor dan operasi arithmetik (seperti +, −, ×, ÷) wujud, dalam algebra, nombor sering ditandakan oleh lambang (seperti *a*, *x*, *y*). Ini berguna kerana:
:* Ia memberikan rumusan umum peraturan arithmetik (seperti *a* + *b* = *b* + *a* for all *a* dan *b*), dan inilah langkah pertama untuk penjelajahan sistematik pada sifat sistem nombor benar.
:* Ia memberikan rujukan kepada nombor "tidak dikenali", rumus persamaan dan pelajarannya untuk bagaimana mahu menyelesaikan ini (contohnya, "Carikan nombor *x*sedemikian hingga 3*x* + 1 = 10").
:* Ia memberikan rumusan fungsi berkenaan (seperti "Kalau anda jual *x* tiket, kemudian untungan anda akan menjadi 3*x* - 10 dolar, atau *f*(*x*) = 3*x* - 10, dimana *f* ialah fungsinya, dan *x* ialah nombor fungsi yang dijalankan."). *Rencana utama: [[Algebra asas]]*.

**Algebra asas** ialah bentuk algebra yang termudah. Ia diajarkan kepada para pelajar yang dianggapkan tidak mempunyai ilmu matematik sebalik prinsip asas ilmu kira-kira. Walaupun dalam ilmu kira-kira, hanya nombor-nombor dan operasi aritmetik (seperti +, −, ×, ÷) wujud, dalam algebra, nombor sering ditandakan oleh lambang (seperti *a*, *x*, *y*). Ini berguna kerana:

* Ia memberikan rumusan umum peraturan aritmetik (seperti *a* + *b* = *b* + *a* for all *a* dan *b*), dan inilah langkah pertama untuk penjelajahan sistematik pada sifat sistem nombor benar.
* Ia memberikan rujukan kepada nombor "tidak dikenali", rumus persamaan dan pelajarannya untuk bagaimana mahu menyelesaikan ini (contohnya, "Carikan nombor *x* sedemikian hingga 3*x* + 1 = 10").
* Ia memberikan rumusan fungsi berkenaan (seperti "Kalau anda jual *x* tiket, kemudian untungan anda akan menjadi 3*x* - 10 dolar, atau *f*(*x*) = 3*x* - 10, dimana *f* ialah fungsinya, dan *x* ialah nombor fungsi yang dijalankan.").

## Algebra abstrak
: *Rencana utama: [[Algebra abstrak]]; lihat pula [[struktur algebra]]*.

**Algebra abstrak** atau **algebra niskala** dikembangkan ke konsep mirip yang didapati pada algebra asas dan perkira-kiraan nombor untuk konsep umum yang lebih.

**[[Set]]**: Berbanding hanya mengambil kira jenis nombor yang berbeza, algebra abstrak melibatkan lebih konsep *set*: satu kumpulan objek yang dipanggil unsur. Semua jenis nombor adalah set. Contoh lain bagi set termasuklah set matriks dua-dua, set semua tertib kedua polinomial (*ax*2 + *bx* + *c*), set semua vektor dua dimensi pada satah, dan pelbagai kumpulan terhad seperti kumpulan kitaran yang merupakan kumpulan integer bermodul *n*. Teori set merupakan cabang logik fan bukanlah cabang algebra secara teknikal.

**[[Operasi dedua]]**: Tanggapan yang penambahan (+) akan memberikan *operasi dedua*, katakan *. Bagi dua unsur *a* dan *b* dalam sebuah set *S*, *a***b* memberikan unsur lain dalam set (secara teknikalnya keadaan ini dipanggil penutupan). Penambahan (+), penolakan (-), pendaraban (×), dan pembahagian (÷) adalah operasi dedua seperti penambahan dan pendaraban matriks, vektor dan polinomial.

**[[Unsur identiti]]**: Nombor kosong atau sifar dan satu diabstrakkan untuk memberikan tanggapan sebuah *undur identiti*. Kosong adalah unsur identiti untuk tambahan dan satu adalah unsur identiti untuk pendaraban. Bagi pengoperasi dedua umum * unsur identiti *e* harus memuaskan *a* * *e* = *a* dan *e* * *a* = *a*. Ini tertakluk untuk penambahan sebagai *a* + 0 = *a* dan 0 + *a* = *a* dan pendaraban *a* × 1 = *a* dan 1 × *a* = *a*. Walaubagaimanapun, kalau kita mengambil nombor tabii positif dan penambahan, tiada unsur identiti.

**[[Unsur songsang]]**: Nombor negatif memberikan konsep *unsur songsangan*. Bagi penambahan, songsangan bagi *a* adalah *-a*, dan pendaraban songsangan adalah 1/*a*. Unsur sonsangan umum *a*−1 haruslah memenuhi syarat yang *a* * *a*−1 = *e* dan *a*−1 * *a* = *e*.

**[[Kesekutuan]]**: Penambahan integer-integer ada sifat-sifat dipanggil kesekutuan iaitu pengumpulan nombor untuk ditambah tidak akan memberi kesan kepada jumlahnya. Contohnya: (2+3)+4=2+(3+4). Pada umumnya, ini menjadi (*a* * *b*) * *c* = *a* * (*b* * *c*). Sifat ini dapat dikongsikan oleh kebanyakan operasi dedua tetapi bukan penolakkan atau pembahagian.

**[[Kalis tukar tertib]]**: Penambahan integer-integer juga mempunyai sifat yang dipanggil kekalisan tukar tertib iaitu turutan nombor-nombor yang perlu ditambahkan tidak akan mempengaruhi jumlahnya. Contohnya: 2+3=3+2. Pada umumnya, ini menjadi *a* * *b* = *b* * *a*. Hanya sesetengah operasi dedua ada sifat ini. Ini bersesuaian untuk integer-integer dengan penambahan dan pendaraban, tetapi ia tidak sesuai untuk pendaraban matriks.

### Kumpulan

: *Rencana utama: [[Kumpulan (matematik)|kumpulan]]; lihat pula [[Teori kumpulan]], [[Contoh-contoh kumpulan]]*

Menggabungkan konsep-konsep di atas memberikan salah satu struktur terpenting dalam matematik: satu **[[kumpulan (matematik)|kumpulan]]**. Satu kumpulan adalah penyampuran satu set *S* dan satu operasi dedua '*' dengan sifat-sifat berikut:

* Operasi tertutup: kalau *a* dan *b* ahli *S*, sama juga dengan *a* * *b*. 
::Maka, agak melamapau untuk menyatakan sifat-sifat ini, kerana setiap operasi dedua harus tertutup. Jadi, pernyataannya "sekumpulan adalah gabungan set *S* dan operasi dedua '*'" telah dikatakan bahawa operasinya tertutup. Walau bagaimanapun, Tutupan sering ditegaskankan berulang kali sebagai sebuah sifat kumpulan.
* Sebuah unsur pengenalan *e* wujud, sebagaimana pada setiap anggota *a* pada *S*, *e* * *a* dan *a* * *e* adalah kedua-duanya seiras kepada *a*.
* Setiap unsur mempunyai sonsangan: pada setiap *a* pada *S*, wujudnya sebuah anggota *a*−1 sebagaimana *a* * *a*−1 dan *a*−1 * *a* adalah kedua-duanya seiras kepada unsur pengenalan).
* Operasinya kesekutuan: jika *a*, *b* dan *c* adalah anggota-anggota pada *S*, jadi (*a* * *b*) * *c* adalah seiras kepada *a* * (*b* * *c*).

Kalau sekumpulan juga ada Kalis tukar tertib - iaitu untuk setiap dua anggota-anggota *a* dan *b* pada *S*, *a* * *b* seiras pada *b* * *a* – jadi kumpulan tersebut dikatakan jadi Abelian.

Contohnya, set integer dalam operasi penambahan adalah satu kumpulan. Dalam kumpulan ini, undur identitinya adalah 0 dan sonsangan bagi mana-mana unsur *a* adalah penafiannya, -*a*. Keperluan kesekutuan disahkan kerana bagi mana-mana integer *a*, *b* dan *c*, (*a* + *b*) + *c* = *a* + (*b* + *c*).

Nombor nisbah bukan sifar membentuk satu kumpulan bawah operasi pendaraban. Di sini, unsur identiti adalah 1, memandangkan 1 × *a* = *a* × 1 = *a* untuk mana-mana nombor nisbah *a*. Sonsangan *a* adalah 1/*a*, memandangkan *a* × 1/*a* = 1.

Integer-integer di bawah operasi pendaraban, walau bagaimanapun, tidak membentuk sebuah kumpulan. Ini kerana, pada umumnya, sonsangan bagi pendaraban sebuah integer bukanlah integer. Contohnya, 4 adalah sebuah integer, tetapi sonsangan pendarabannya 1/4, yang bukanlah integer.

Teori perkumpulanan dikajikan dalam teori kumpulan. Penilaian major dalam teori ini adalah kumpulan-kumpulan mudah kelas terhad, kebanyakannya diterbitkan di antara tahun 1955 dan 1983, telah difikirkan mengkelaskan kesemuanya kumpulan-kumpulan mudah terhad ke dalam kira-kiranya 30 jenis asas.

Semikumpulan, kuasikumpulan, dan monoid adalah struktur-struktur ala kumpulan, tetapi lebih umum. Struktur-struktur ini terdiri daripada sebuah set dan operasi dedua tertutup, tetapi tidak semestinya memenuhi syarat-syarat lain. Semikumpulan mempunyai operasi dedua sekutuan, tetapi tidak semestinya mempunyai unsur identiti. Monoid adalah semikumpulan yang mempunyai identiti tetapi tidak semestinya mempunyai sonsangan bagi setiap unsur. Kuasikumpulan memenuhi keperluan bahawa sebarang mana unsur boleh ditukar menjadi unsur lain dengan suatu praoperasi atau pascaoperasi unik; walau bagaimanapun, operasi deduanya tidak semestinya merupakan sekutuan.

Semua kumpulan adalah monoid, dan semua monoid adalah semikumpulan.

### Struktur gelanggang dan medan — dengan operasi dua perduaan

: *Rencana utama: [[Gelanggang (matematik)]], [[Medan (matematik)]]; lihat pula [[Teori gelanggang]], [[Daftar kata teori gelanggang]], [[Teori medan (matematik)|teori medan]], [[Daftar kata teori medan]].*

Kumpulan-kumpulan hanya mempunyai operasi satu dedua. Untuk menjelaskan dengan penuh pada sifat jenis-jenis nombor yang berlainan, struktur-struktur dengan dua pengoperasi perlu dikajikan. Yang terpenting adalah gelanggang, dan medan.

**[[Kekalisan agihan]]** menitlakkan *hukum kalis agihan* untuk nombor, dan menentukan turutan yang mana pengoperasinya harus diguna, (digelarkan prajadian). Untuk integer (*a* + *b*) × c = *a*×*c*+ *b*×*c* dan *c* × (*a* + *b*) = *c*×*a* + *c*×*b*, dan × dikatakan menjadi *kalis agihan* terhadap +.

Sebuah **[[Gelanggang (matematik)|gelanggang]]** mempunyai operasi dua dedua (+) dan (×), dengan × kalis agihan ke atas +. Di bawah pengoperasi pertama (+), ia membentuk sebuah *kumpulan Abelian*. Di bawah pengoperasi kedua (×) ianya berkenaan, tetapi ia tidak memerlukan identiti, atau sonsangan, maka pembahagian tidak dibenarkan. Campuran unsur identiti (+) ditulis sebagai 0 dan sonsangan campuran *a* ditulis sebagai -*a*.

Integernya adalah contoh sebuah gelanggang. Integer-integer ada tambahan sifat yang membuatnya sebagai sebuah **[[domain integer]]**.

Sebuah **[[Medan (matematik)|medan]]** adalah sebuah *gelanggang* dengan sifat tambahan yang semua unsur kecuali 0 membentuk sebuah *kumpulan Abelian* bawah ×. Identiti pendaraban (×) ditulis sebagai 1 dan sonsangan *a* ditulis sebagai *a*−1.

Nombor nisbah, nombor nyata dan nombor kompleks adalah contoh-contoh medan-medan.

## Algebra

Perkataan ***algebra*** juga digunakan untuk banyaknya struktur algebra:

* Algebra diatas padang
* Algebra diatas set
* Algebra Boolean
* F-algebra dan F-coalgebra dalam teori kategori
* Sigma-algebra

## Sejarah

Asalnya algebra dapat dikesankan kepada orang Babylon, yang membangunkan sebuah sistem aritmetik maju yang dapat membantu mereka membuat perkiraan dalam gaya algebra. Dengan kegunaan sistem ini, mereka dapat mengunakan rumus dan mengira penyelesaian untuk nilai yang tidak diketahui bagi kelas masalah yang diselesaikan hari ini dengan menggunakan persamaan linear. Di samping itu, kebanyakan orang Mesir pada era ini, dan kebanyakan ahli matematik India, Yunani dan Cina pada alaf SM pertama, biasanya menyelesaikan sebarang penyelesaian dengan gaya geometrik, seperti yang diterangkan pada *[[Moscow dan Papirus Bermatematik Rhind]]*, *[[Sutra-sutra Sulba]]*, ''Unsur-unsur'' Euclid, dan *[[Sembilan Bab pada Kesenian Matematik]]*. Kerja geometri orang Yunani, dibiasakan dalam *Elements*, memberikan rangkanya mengumumkan rumus disebalik penyelesaian masalah tertentu ke dalam lebih sistem menyebutkan dan menyelesaikan persamaan yang umum.

Perkataan "algebra" dinamakan sempena perkataan Bahasa Arab "*al-jabr*" dari tajuk buku **, yang bermaksud *Buku Ringkasan Tentang Pengiraan melalui Pelengkapan dan Pengimbangan*, sebuah buku yang ditulis oleh ahli matematik Muslim Parsi  pada tahun 820. Perkataan *al-jabr* maksudnya *"penyatuan semula"*. Al-Khwarizmi telah biasa dianggap "bapa matematik" (walaupun gelaran ini juga diberikan kepada Diophantus), kerana banyak kerja pengurangannya masih digunakan hari ini. Seorang lagi ahli matematik Parsi, Omar Khayyam, mengembangkan geometri algebra dan mendapatkan jawapan geometrik umum pada persamaan padu. Ahli-ahli matematik Mahavira dan Bhaskara, dan ahli matematik Cina Zhu Shijie, menyelesaikan banyak padu, kuartik, kuintik dan persamaan turutan-atas polinomial.

Satu lagi peristiwa utama bagi pengembangan lanjutan dalam balgebra adalah penyelesaian algebra umum pada persamaan kubik dan kuartik, dikembangkan pada abad pertengahan ke-16. Idea sebuah penentu dikembangkan oleh ahli matematik Jepun, Kowa Seki pada abad ke-17, diikuti oleh Gottfried Leibniz sepuluh tahun kemudian, dengan tujuan menyelesaikan sistem pada persamaan linear serentak menggunakan matriks. Gabriel Cramer juga melakukan sesetengah kerja pada matriks dan penentu pada abad ke-18. Algebra abstrak dikembangkan pada abad ke-19, yang pada mulanya menumpukan yang kini dipanggil teori Galois, dan pada isu-isu keterbinaan.

Langkah-langkah pembangunan algebra simbolik ialah kira-kiranya seperti yang berikut:

* Algebra retorik, yang dikembangkan oleh orang Babylonia dan dan kekal sehingga abad ke-16;
* Algebra geometri membina, yang ditekankan oleh India Vedik dan ahli matematik Yunani klasik;
* Algebra tersinkop, sebagaimana dikembangkan oleh Diophantus dan di *Bakhshali Manuscript*; dan
* Algebra simbol, yang kemuncaknya dalam hasil kerja Leibniz.

Baris zaman pembangunan algebra utama ialah seperti yang berikut:

* Kira-kira 1800 SM: tablet Old Babylonian Strassburg mencari jawapan persamaan kuadratik elliptik.
* Kira-kira 1600 SM: The *[[Plimpton 322]]* tablet memberikan jadual kembar tiga Phytagorean dalam tulisan Cuneiform Babylonia.
* Kira-kira 800 SM: ahli matematik India Baudhayana, dalam *Baudhayana [[Sulba Sutras|Sulba Sutra]]*nya, menemukan kembar tiga Pythagorean secara algebra, mendapati jawapan persamaan geometrik linear dan persamaan kuadratik pada bentuknya ax2 = c dan ax2 + bx = c, dan mendapati dua set jawapan integral positif ke satu set serentak persamaan Diophantine.
* Kira-kira 600 SM: ahli mathematik India Apastamba, dalam *Apastamba Sulba Sutra*nya, menyelesaikan persamaan linear umum dan menggunakan persamaan serentak Diophantine dengan sebanyak lima yang tidak diketahui.
* Kira-kira 300 SM: Dalam Buku II Elemennya, Euclid memberikan pembinaan geometrik dengan alat Euclidean untuk penyelesaian ke persamaan kuadratik untuk punca positif sebenar. Pembinaannya ialah kerana berasaskan Sekolah Geometri Pythagorean.
* Kira-kira 300 SM: Sebuah pembinaan untuk penyelesaian kubik diperoleh (menduakan masalah kiub). Ia kini diketahui bahawa kiub umum tidak mempunyai apa-apa penyelesaian dengan menggunakan alat Euclidean.
* Kira-kira 100 SM: Persamaan algebra digunakan dalam buku matematik Cina *[[Sembilan Bab pada Kesenian Matematik|Jiuzhang suanshu]]* (*Sembilan Bab pada Kesenian Matematik*), yang mengandungi penyelesaian persamaan linear diselesaikan menggunakan peraturan posisi gandaan palsu, penyelesaian persamaan kuadratik, dan penyelesaian matriks yang sama kepada kaedah moden, untuk selesaikan sistem persamaan linear serentak.
* Kira-kira 100 SM: The *[[Mathematik India#Manuskrip Bakhshali (200 BC - 400 AD)|Bakhshali Manuscript]]* ditulis pada zaman India purba menggunakan bentuk algebra menggunakan huruf-huruf dan tanda-tanda lain, dan mengandungi persamaan kubik dan kuartik, penyelesaian algebra pada persamaan linear dengan sebanyak lima yang tidak diketahui, rumus algebra umum untuk persamaan kuadratik, dan penyelesaian pada persamaan kuadratik tak tentu dan persamaan serentak.
* Kira-kira 150 M: ahli matematik Mesir Hellenisasi Perwira Alexandria, menganggap persamaan algebra dalam tiga isi padu matematik.
* Kira-kira 200: ahli matematik Babylonia Hellenisasi Diophantus, tinggal di Mesir dan sering menganggap "bapa albegra", menulis *[[Arithmetica]]* masyhurnya, sebuah kerja menggambarkan penyelesaian pada persamaan algebra dan teori nombor.
* 499: ahli matematik India Aryabhata, dalam karyanya *Aryabhatiya*, mendapatkan penyelesaian nombor-keseluruhan pada persamaan linear dengan menggunakan sebuah kaedah yang sama kepada yang moden punya, menggambarkan penyelesaian integral umum pada persamaan linear tidak tentu, memberikan penyelesaian integral pada persamaan linear tidak tentu, dan menggambarkan sebuah persamaan pembezaan.
* Kira-kira 625: ahli matematik Cina Wang Xiaotong menjumpai jawapan berangka pada persamaan padu.
* 628: ahli matematik India Brahmagupta, dalam karyanya *Brahma Sputa Siddhanta*, menyiptakan kaedah ''chakravala'' yang menyelesaikan tidak tentu persamaan kuadratik, termasuk persamaan Pell, dan memberikan peraturan untuk jawapannya persamaan linear dan kuadratik. Beliau menjumpai bahawa persamaan kuadratik mempunyai dua punca, termasuk keduanya punca negatif dan juga bukan nisbah.
* 820: Perkataan *algebra* berasal dari operasi diterangkan dalam karyanya yang ditulis oleh ahli matematik  Farsi  bertajuk *Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala* (ertinya "The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing") pada jawapan penyelesaian sistematik linear dan persamaan kuadratik. Al-Khwarizmi sering dianggapkan sebagai "bapa algebra", banyak dari kerjanya pada pengurangan telah dimasukkan ke dalam buku dan ditambahkan ke banyak kaedah kita ada pada algebra sekarang.
* Kira-kira 850:  ahli matematik Persian al-Mahani berpendapatan idea pada masalah geometri kurangan seperti mengembarkan kubus untuk masalah pada algebra.
* Kira-kira 850:  ahli matematik India Mahavira menyelesaikan berbagai kuadratik, berkiub, persamaan kuartik, kuintik dan turutan-atas, dan juga kuadratik tidak tentu, berkiub dan persamaan turutan-atas.
* Circa 990:  Orang Parsi Abu Bakr al-Karaji, dalam karyanya *al-Fakhri*, membina lebih algebra dengan mengembangkan kaedah yang digunakan Al-Khwarizmi dengan menggabungkan kuasa kamiran dan punca kemiran pada jumlah yang tidak diketahui. Dia menggantikan operasi geometri pada algebra dengan operasi aritmetik moden, dan mentakrifkan monomial x, x2, x3, ... and 1/x, 1/x2, 1/x3, ... dan memberikan peraturan untuk hasil darab pada salah satu dari dua ini.
* Kira-kira 1050: Ahli matematik Cina Jia Xian menemui penyelesaian berangka untuk persamaan polinomial.
* 1072:  Ahli matematik Parsi Omar Khayyam mengembangkan geometri algebra dan, dalam karyanya *Treatise on Demonstration of Problems of Algebra* (Kerja tentang Percubaan Masalah Algebra), memberikan pengkelasan penuh pada persamaan kubik dengan penyelesaian geometrik umum dijumpai dengan cara menyilangi bahagian kon.
* 1114: Ahli matematik India Bhaskara, dalam *Bijaganita*nya (*Algebra*), mengakui bahawa nombor positif ada punca kuasa dua positif dan negatif, dan menyelesaikan persamaan kuadratik dengan lebih dari satu yang anu, kubik berlainan, kuartik, dan turutan-atas persamaan polinomial, Persamaan Pell, persamaan kuadratik umum tidak tentu, dan juga kubik tidak tentu, kuartik dan persamaan turutan-atas.
* 1150: Bhaskara, dalam *Siddhanta Shiromani*nya, menyelesaikan persamaan pembezaan.
* 1202: Algebra diperkenalkan ke Eropah kebanyakannya melalui kerja Leonardo Fibonacci Pisa dengan kerjanya *[[Liber Abaci]]*.
* Kira-kira 1300: ahli matematik Cina Zhu Shijie bergabung dengan algebra polinomial, menyelesaikan persamaan kuadratik, persamaan serentak dan persamaan dengan sebanyak empat yang tidak diketahui, dan dari segi bilangan menyelesaikan separuh kuartik, kuintik dan turutan-atas persamaan polinomial.
* Kira-kira 1400: Ahli matematik India Madhava of Sangamagramma menemui penyelesaian persamaan transenden oleh pelelaran, kaedah lelaran untuk penyelesaian pada persamaan bukan-linear, dan penyelesaian persamaan pembezaan.
* 1515: Scipione del Ferro menyelesaikan kubik ketika istilah kuadratik hilang.
* 1535: Nicolo Fontana Tartaglia menyelesaikan kubik ketika istilah linear hilang.
* 1545: Girolamo Cardano menerbitkan *Ars magna* -*Kesenian yang hebat* yang memberikan penyelesaian untuk berbagai kubik dan juga penyelesaian Ludovico Ferrari pada sebuah persamaan kuartik istimewa.
* 1572: Rafael Bombelli mengakui punca kompleks pada kubik dan memperbaiki catatan baru.
* 1591: Francois Viete mengembangkan catatan perbaikan berlambang untuk berbagai kuasa-kuasa pada yang tidak diketahui dan menggunakan huruf vokal untuk yang tidak diketahui dan konsonan untuk konsonan dalam *In artem analyticam isagoge*.
* 1631: Thomas Harriot dalam terbitan posthumus menggunakan catatan bereksponensi dan adalah yang pertama untuk menggunakan simbol-simbol untuk mengindikasikan "lebih kurang" dan "lebih hebat".
* 1682: Gottfried Wilhelm Leibniz membinakan tanggapannya pada manipulasi berlambang dengan peraturan rasmi yang dia gelarkan *characteristica generalis* (Mengitlakkan ciri).
* 1683: ahli matematik Jepun Kowa Seki, dalam *Kaedah menyelesaikan masalah dissimulasi*nya, menemui penentu, pembezalayan, dan nombor Bernoulli.
* 1685: Kowa Seki menyelesaikan persamaan kubik umum, dan juga sesetengah persamaan kuartik dan kuintik.
* 1693: Leibniz menyelesaikan sistem pada persamaan linear serentak menggunakan matriks dan penentut.
* 1750: Gabriel Cramer, dalam karyanya *Pengenalan pada analisis lengkung algebra*, menyatakan peraturan Cramer dan mengajikan lengkung algebra, matriks dan penentu-penentu.
* 1830: Teori Galois dibinakan oleh Évariste Galois dengan kerjanya pada algebra abstrak.

## Rujukan

* Donald R. Hill, *Islamic Science and Engineering* (Edinburgh University Press, 1994).
* Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, and Borin Van Loon, *Introducing Mathematics* (Totem Books, 1999).
* George Gheverghese Joseph, *The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics* (Penguin Books, 2000).
* John J O'Connor and Edmund F Robertson, *[[MacTutor History of Mathematics archive]]* (University of St Andrews, 2005).

## Lihat juga

* Teorem dasar algebra
* Sistem komputer algebra

## Rujukan
* ''Understanding Algebra.''  Sebuah laman teks algebra dalam-talian oleh James W. Brennan.
* ''Algebra Software'' Sebuah penyelesai masalah algebra dalam-talian.
* ''Algebra Help''  Tutorial Algebra Dalam-talian.
* Soroten penting dalam sejarah algebra
* Penjelasan Topik Dasar
* I.N. Herstein: *Topics in Algebra*. ISBN 0-471-02371-X
* R.B.J.T. Allenby: *Rings, Fields and Groups*. ISBN 0-340-54440-6

## Pautan luar
* Sparknotes' Review of Algebra I and II
* ExampleProblems.com Contoh masalah dan jawapannya dari basic dan abstract algebra.
* Purplemath.com "Your Algebra Resource"
* Apa itu Algebra?
* Online Algebra Graphing Calculator - WebGraphing.com
* Penyelesai masalah algebra langkah demi langkah - algebrasolver.com