Senarai identiti logaritma

Dalam matematik, banyak **identiti [[logaritma]]** wujud. Berikut ialah kompilasi yang terkenal, kebanyakannya digunakan untuk tujuan perhitungan.

## Sifat asas

### Sifat remeh
Salah satu yang paling asas dalam identiti logaritma, ialah ^b\!\log b = 1, kerana b^1 = b. Terdapat sifat asas lain, iaitu

* ^b\!\log 1 = 0, kerana b^0 = 1.
* ^b\!\log b^n = n.

Sebagai pengecualian, logaritma dengan b = 0 tidak memiliki nilai. Hasil had dari ^b\!\log 0 = -\infty ketika b \to 0^+. Untuk memahami lebih lanjut mengenai konsep ini, lihat buktinya di sini.

### Pendaraban dan pembahagian

* ^b\!\log xy = \, ^b\!\log x + \, ^b\!\log y

Misalnya  ^b\!\log x = u  dan  ^b\!\log y = v . Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh  x = b^u  dan  y = b^v . Maka,

: xy = b^{u+v} .

Ambil logaritma asas  a  pada kedua ruas sehingga

: ^b\!\log xy = \, ^b\!\log x^{u+v} = u + v = \, ^b\!\log x + \, ^b\!\log y \quad \blacksquare .
Sifat ini boleh digeneralisasikan kepada kes di mana numerus ialah hasil darab banyak istilah,

: ^b\!\log \left(\prod_{i=1}^n x_i \right) = \sum_{i=1}^n \, ^b\!\log x_i.

* ^b\!\log\left(\frac{x}{y}\right) = \, ^b\!\log x - \, ^b\!\log y 

Misalnya ^b\!\log x = u dan ^b\!\log y = v. Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh x = b^u dan y = b^v. Maka,
\frac{x}{y} = a^{u-v}

Ambil logaritma asas a pada kedua ruas sehingga

:^b\!\log \frac{x}{y} = \, ^b\!\log x^{u-v} = u - v = \, ^b\!\log x - \, ^b\!\log y \quad \blacksquare .

### Penambahan dan pengurangan

* ^b\!\log(x+y) = \,^b\!\log(x) + \, ^b\!\log\left(1 + \frac{y}{x}\right)
* ^b\!\log(x-y) = \, ^b\!\log x + \, ^b\!\log\left(1 - \frac{y}{x}\right)

Lebih umumnya lagi,

: ^b\!\log\left(\sum_{i=0}^n x_i\right) = \, ^b\!\log x_0 + \, ^b\!\log\left(1 + \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{a_0}\right) = \, ^b\!\log x_0 + \, ^b\!\log\left(1 + \sum_{i=1}^n b^{\left(^b\!\log x_i - ^b\!\log x_0\right)}\right).

### Perubahan asas
Perubahan basis dapat dirumuskan sebagai

: ^b\!\log x = \frac{^p\!\log x}{^p\!\log b}

dengan syarat 0  dan p > 1 dan p \ne 1, dengan mengikuti definisi logaritma.Misal  ^b\!\log x = y . Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen, kita memperoleh  b^y = x . Maka, kita tuliskan sebagai
: ^p\!\log x = ^p\!\log b^y 
Dengan menggunakan sifat sebelumnya, maka
: \begin{align} ^p\!\log x &= y \, ^p\!\log b  \\ y &= \frac{^p\!\log x}{^p\!\log b} \end{align} 
Substitusi kembali sehingga didapati
: ^b\!\log x = \frac{^p\!\log x}{^p\!\log b} \quad \blacksquare . 

### Pembahagian dan pembahagian dalam asas logaritma

*  \log_{bc}(x) = \frac{1}{\frac{1}{\log_b(x)}+\frac{1}{\log_c(x)}}
*  \log_{\frac{b}{c}}(x) = \frac{1}{\frac{1}{\log_b(x)}-\frac{1}{\log_c(x)}}

### Pertukaran asas
Pertukaran asas pada logaritma dapat dirumuskan sebagai

:  ^b\!\log x = \frac{1}{^x\!\log b} .

Dengan menggunakan sifat perubahan basis, maka kita dapat memisalkan  p = x  akan memperoleh
: ^b\!\log x = \frac{^x\!\log x}{^x\!\log b} = \frac{1}{^x\!\log b} .  \blacksquare 

### Logaritma dalam eksponen

* x^{\frac{\log(\log x)}{\log x}} = \log x atau x^\frac{\log a}{\log x} = a

Menggunakan sifat perubahan asas, akan memperoleh

:x^{\frac{\log a}{\log x}} = x^{^x\!\log a} = a. \blacksquare

## Pendekatan logaritma

* \log x \approx \frac{x^x - 1}{x}
* \log(1+x) \approx x

## Bentuk pecahan berlanjut

### Logaritma semula jadi

* 

\ln(1+x) =\cfrac{x}{1-0x+\cfrac{1^2x}{2-1x+\cfrac{2^2x}{3-2x+\cfrac{3^2x}{4-3x+\cfrac{4^2x}{5-4x+\ddots}}}}}



* 
\ln\left(1+\frac{x}{y}\right) = \cfrac{x} {y+\cfrac{1x} {2+\cfrac{1x} {3y+\cfrac{2x} {2+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {2+\ddots}}}}}}  = \cfrac{2x} {2y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(2y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(2y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(2y+x)-\ddots}}}}


## Rujukan

## Pautan luar
* Logarithm in Mathwords