Teorem asas aritmetik

Dalam teori nombor, **teorem asas aritmetik**, juga dikenali sebagai **teorem pemfaktoran unik** atau **teorem pemfaktoran perdana unik**, menyatakan yang setiap integer lebih daripada 1 adalah sama ada nombor perdana ataupun hasil darab beberapa nombor perdana, dan hasil darab ini, termasuklah kuasa faktor-faktor, adalah unik untuk semua nombor. Misalnya,

1200 = 24 × 31 × 52 = 3 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 5 × 2 × 3 × 2 × 5 × 2 × 2 = dll.

Teorem ini menyatakan dua perkara: pertama, bahawa 1200 *boleh* dinyatakan sebagai hasil darab nombor-nombor perdana, dan kedua, dengan cara apa sekalipun, akan sentiasa ada hanya empat angka 2, satu angka 3, dua angka 5, dan tiada nombor perdana lain dalam hasil darabnya.

Adalah perlu bagi faktor-faktor yang dinyatakan dalam teorem ini bersifat perdana: pemfaktoran dengan nombor gubahan boleh jadi tidak unik (misalnya, 12 = 2 × 6 = 3 × 4).

Teorem ini adalah salah satu sebab utama mengapa 1 tidak dikira sebagai nombor perdana: jika 1 adalah nombor perdana, pemfaktoran bagi sebarang nombor tidak akan menjadi unik kerana, sebagai contoh, 2 boleh sama dengan 2&nbsp;×&nbsp;1 dan 2&nbsp;×&nbsp;1&nbsp;×&nbsp;1 dan seterusnya.

## Sejarah
Buku VII, proposisi 30 dan 32 Euclid's Elements adalah pada dasarnya pernyataan dan bukti bagi teorem asas ini.

Proposisi 30 juga dikenali sebagai lema Euclid, dan ia adalah kunci dalam pembuktian teorem asas aritmetik.

Proposisi 31 diterbitkan daripada proposisi 30.

Proposisi 32 diterbitkan daripada proposisi 31.

Artikel 16 *[[Disquisitiones Arithmeticae]]* Gauss adalah pernyataan dan pembuktian moden awal yang menggunakan aritmetik modular.

## Aplikasi
### Perwakilan kanonik integer positif
Setiap integer positif *n*&nbsp;>&nbsp;1 boleh diwakilkan **dalam hanya satu cara** sebagai hasil darab nombor perdana dengan kuasa:
:
n
= p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}
= \prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i}

di mana *p*1 2 k adalah nombor perdana dan α*i* adalah integer positif. Perwakilan ini biasanya dilanjutkan untuk semua integer positif, termasuk satu, melalui persetujuan bahawa hasil darab kosong adalah sama dengan 1 (hasil darab kosong sepadan dengan *k*&nbsp;=&nbsp;0).

Perwakilan ini dinamakan **perwakilan kanonik** untuk *n*, atau **bentuk piawai** bagi *n*.

:Misalnya 999 = 33&nbsp;&times;&nbsp;37, 1000 = 23&nbsp;&times;&nbsp;53, 1001 = 7&nbsp;&times;&nbsp;11&nbsp;&times;&nbsp;13

Perhatikan bahawa faktor-faktor *p*0 = 1 boleh diletakkan tanpa mengubah nilai *n* (contohnya, 1000 = 23&nbsp;&times;&nbsp;30&nbsp;&times;&nbsp;53). Malah, sebarang integer positif boleh diwakili secara unik sebagai satu hasil darab tak terhingga semua nombor perdana positif,

:
n=2^{n_1}3^{n_2}5^{n_3}7^{n_4}\cdots=\prod p_i^{n_i},


di mana sejumlah terhad *n**i* adalah integer positif, dan selebihnya adalah sifar. Dengan membolehkan eksponen bernilai negatif, nombor-nombor nisbah positif juga boleh diwakili bentuk kanonik.

### Operasi aritmetik
Perwakilan kanonik, jika diketahui bentuknya, dapat memudahkan pengiraan hasil darab, pembahagi sepunya terbesar (gcd) dan gandaan sepunya terkecil (lcm):
:
a\cdot b
=2^{a_2+b_2}\,3^{a_3+b_3}\,5^{a_5+b_5}\,7^{a_7+b_7}\cdots
=\prod p_i^{a_{p_i}+b_{p_i}},


:
\gcd(a,b)
=2^{\min(a_2,b_2)}\,3^{\min(a_3,b_3)}\,5^{\min(a_5,b_5)}\,7^{\min(a_7,b_7)}\cdots
=\prod p_i^{\min(a_{p_i},b_{p_i})},


:
\operatorname{lcm}(a,b)
=2^{\max(a_2,b_2)}\,3^{\max(a_3,b_3)}\,5^{\max(a_5,b_5)}\,7^{\max(a_7,b_7)}\cdots
=\prod p_i^{\max(a_{p_i},b_{p_i})}.


Namun, oleh sebab pemfaktoran integer bagi integer-integer besar adalah lebih sukar daripada pengiraan hasil darab, gcd atau lcm angka-angka tersebut, formula-formula di atas tidak banyak digunakan pada praktiknya.

### Fungsi aritmetik

Pelbagai fungsi aritmetik ditakrifkan menggunakan perlambangan kanonik. Khususnya, nilai-nilai fungsi-fungsi bertambahan dan berdaraban ditentukan oleh nilai-nilainya pada kuasa nombor-nombor perdana.

## Pembuktian
Pembuktian ini menggunakan lema Euclid (*Elements* VII, 30): jika satu nombor perdana *p* membahagi hasil darab dua nombor asli *a* dan *b*, maka sama ada *p* membahagi *a* atau *p* membahagi *b* (atau kedua-duanya).

### Kewujudan
Kita perlu tunjukkan yang setiap integer yang lebih besar daripada 1 adalah hasil darab nombor perdana. Melalui aruhan: andaikan hal tersebut adalah benar untuk semua nombor antara 1 dengan *n*. Jika *n* adalah nombor perdana, maka tidak perlu dibuktikan apa-apa lagi (satu nombor perdana adalah hasil darab nombor perdana yang tidak penting, kerana ia hanyalah satu "hasil darab" dengan satu faktor sahaja). Jika tidak, ada terdapat integer *a* dan *b*, di mana *n*&nbsp;=&nbsp;*ab*, dan 1&nbsp;1*p*2...*p**j* dan *b*&nbsp;=&nbsp;*q*1*q*2...*q**k* adalah hasil darab nombor-nombor perdana. Tetapi dengan ini *n*&nbsp;=&nbsp;*ab*&nbsp;= *p*1*p*2...*p**j**q*1*q*2...*q**k* adalah hasil darab nombor-nombor perdana.

### Keunikan
Andaikan yang *s*&nbsp;>&nbsp;1 ialah hasil darab nombor-nombor perdana yang mempunyai dua perwakilan:
:
\begin{align}
s
&=p_1 p_2 \cdots p_m \\
&=q_1 q_2 \cdots q_n.
\end{align}


Kita perlu tunjukkan bahawa *m*&nbsp;=&nbsp;*n* dan *q**j* adalah susunan semula *p**i*.

Mengikut lema Euclid, *p*1 pasti membahagi salah satu daripada *q*j; labelkan semula *q**j* jika perlu, katakanlah yang *p*1 membahagi *q*1. Tetapi *q*1 adalah nombor perdana, maka pembahaginya hanyalah 1 dan angka itu sendiri. Maka, *p*1 = *q*1, lantas
:
\begin{align}
\frac{s}{p_1}
&=p_2 \cdots p_m \\
&=q_2 \cdots q_n.
\end{align}


Menggunakan taakulan yang sama, *p*2 pasti sama dengan salah satu daripada *q**j* yang tinggal. Dengan melabel semula jika perlu, katalah *p*2 = *q*2. Kemudian

:
\begin{align}
\frac{s}{p_1 p_2}
&=p_3 \cdots p_m \\
&=q_3 \cdots q_n.
\end{align}


Ini boleh dilakukan untuk setiap satu *p**i* *m*, menunjukkan bahawa *m* ≤ *n* dan setiap *p**i* ialah *q**j*. Dengan menggunakan hujah yang sama dengan p dan q diterbalikkan, boleh ditunjukkan bahawa *n* ≤ *m* (oleh itu *m* = *n*) dan setiap *q**j* ialah *p**i*.

## Nota

## Rujukan
*[[Disquisitiones Arithmeticae]]* telah diterjemah daripada bahasa Latin ke bahasa Inggeris dan Jerman. Edisi bahasa Jerman menyertakan semua hasil kerja beliau dalam teori nombor: semua pembuktian kesalingan kuadratik, penentuan tanda bagi hasil tambah Gauss, kajian berkenaan kesalingan bikuadratik, dan nota-nota yang tidak diterbitkan.
* 
* 

Dua monograf yang Gauss telah terbitkan berkenaan kesalingan bikuadratik mempunyai seksyen-seksyen yang dinomborkan secara berturutan: yang pertama mempunyai §§ 1–23 dan yang kedua §§ 24–76. Nota-nota kaki yang merujuk monograf ini dinyatakan dalam bentuk "Gauss, BQ, § *n*". Nota-nota kaki yang menrujuk *Disquisitiones Arithmeticae* dinyatakan dalam bentuk "Gauss, DA, Art. *n*".
* 
* 

Semua ini terdapat dalam *Werke* Gauss, Jilid II, ms. 65–92 dan 93–148; terjemahan Jerman adalah dalam ms. 511–533 dan 534–586 dalam *Disquisitiones* edisi Jerman.
* 
* 
* 
* 
* .
* .
* 
* 
*