Nombor kompleks

**Nombor kompleks** ialah gabungan nombor nyata dan nombor khayalan. Nombor kompleks mempunyai bentuka + bi \,di mana *<math>a</math>* dan *<math>b</math>* ialah nombor nyata, dan *<math>i</math>* ialah unit khayalan.

z = a + bi  | a,b \in \mathbb{R}

Secara terminologi, *<math>a</math>* dikatakan sebagai **bahagian nyata** nombor manakala *<math>b</math> *dikatakan sebagai **bahagian khayalan** nombor kompleks itu. Bahagian nyata ditandai dengan fungsi \mathrm{Re}(z) atau \mathfrak{R}(z) dan bahagian khayalan ditandai dengan fungsi \mathrm{Im}(z) atau \mathfrak{I}(z). 

\mathrm{Re}(a+bi) = \mathfrak{R} (a+bi) = a | a,b \in \mathbb{R}

\mathrm{Im}(a+bi) = \mathfrak{I}(a+bi) = b | a,b \in \mathbb{R}

Dua nombor kompleks adalah sama jika dan hanya jika bahagian-bahagian nyatanya sama dan bahagian-bahagian khayalannya sama. Maka;

z_1 = z_2 \, \, \Leftrightarrow \, \, \mathrm{Re} (z_1) = \mathrm{Re} (z_2) \,  \, \mathrm{dan} \, \, \mathrm{Im} (z_1) = \mathrm{Im} (z_2)

Set bagi semua nombor kompleks diwakili dengan \mathbb{C}.

\mathbb{C} = \{ a + bi \, | \, a,b \in \mathbb{R} \} 

## Etimologi
Perkataan 'nombor kompleks' dikenalkan oleh Carl Friedrich Gauss. Perkataan "kompleks" itu sendiri mencerminkan idea untuk menggabungkan kedua-dua bahagian nyata dan khayalan.

## Satah Cartes
Nombor kompleks boleh diplotkan atas satah Cartes.

Paksi-*<math>x</math>* dilabelkan sebagai **paksi nyata** manakala paksi-*<math>y</math>* dilabel sebagai **paksi khayalan**. Satah ini sekarang dekenali sebagai **satah kompleks**.

## Operasi Aritmetik atas Nombor nyata
'''Operasi aritmetik''' asas atas nombor kompleks boleh menghasilkan hasilan unik.

### Penambahan dan Penolakan

* (a+bi) + (c +di) = (a+c) + (c+d)i,

* (a+bi) - (c +di) = (a-c) + (c-d)i,

Di mana a, b, c dan d adalah nombor nyata.

### Pendaraban dan Pembahagian

* (a +bi) (c+di) = (ac-bd) + (cb + ad) i,

Di mana a, b, c dan d adalah nombor nyata.

* \,\frac{a + bi}{c + di} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i,

Di mana a, b, c, d adalah nombor nyata dan c + di \neq 0.
## Konjugat

**Konjugat** bagi suatu nombor kompleks z = a+bi ditandai dengan z' adalah nombor kompleks dimana tanda bahagian khayalan terbalik. Jadi;

z = a \pm bi \Longrightarrow z' = a \mp bi  

Konjugat nombor kompleks z juga ditandai dengan \overline{z}.

### Rumus-rumus Konjugat Kompleks
Tersebut adalah rumus-rumus konjugat nombor kompleks;

* \overline{ (\overline{z} )} = z 
* z_1 \pm z_2 = \overline{z_1} + \overline{z_2}  
* \overline{z_1 - z_2} = \overline{z_1} - \overline{z_2} 
* \overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \, \, \overline{z_2} 
* \overline{ \Bigl( \frac{z_1}{z_2} \Bigr) } = \frac{ \overline{z_1} }{ \overline{z_2} } 

### Etimologi Konjugat
Konjugat datang daripada perkataan bahasa Latin '*coniugatus'<nowiki/>* yang datang dicantum dengan *<nowiki/>'con'<nowiki/>* dan *<nowiki/>'jugam*' yang bermaksud 'bersama' dan 'terikat'.

## Nilai Mutlak Nombor Kompleks

'''Nilai mutlak''', **modulus** atau **magnitud** ditakrifkan sebagai jarak suatu nombor daripada 0. Mengikut definisi ini, nilai mutlak bagi suatu nombor kompleks z ditakrifkan sebagai;

| z | = \sqrt{ \, \mathrm{Re} (z)^2 + \mathrm{Im} (z)^2 \, } 

Ini serupa dengan teorem Pythagoras.

Dalam beberapa konteks, | z |   mungkin diwakili dengan huruf r.

## Bentuk Polar

**Bentuk polar** (atau **bentuk kutub**) adalah bentuk nombor kompleks yang ditulis dalam *argumen* dan nilai mutlak manakala bentuk a + bi \, bagi suatu nombor kompleks dikenali sebagai **bentuk segi empat tepat**. Ini adalah bentuk polar nombor kompleks z;

z = r [ \, \mathrm{kos} (\theta) + i \mathrm{sin} (\theta) ] 

Di mana \theta
 adalah argumen, r adalah nilai mutlak dan \mathrm{sin} (x) dan \mathrm{kos} (x) adalah fungsi trigonometrik. Dalam konteks analisis kompleks, **argumen** adalah sudut antara *paksi nyata* dan garisan daripada nombor kompleks, ia diwaklili dalam unit radian. Argumen bagi suatu nombor kompleks z boleh ditulis dengan fungsi \mathrm{Arg} (z) atau \mathrm{arg} (z).

\mathrm{Arg} (z) = \mathrm{arg} (z) =\theta

\theta = \mathrm{arctan} \Biggl( \frac{ \mathrm{Im} \, z }{ \mathrm{Re} \, z} \Biggr)  

Ingat, bagi suatu nombor kompleks, terdapat infiniti argumen yang boleh didapati. Ia diwakili dalam bentuk \theta + 2 \pi n di mana n adalah suatu integer. Oleh sebab itu, untuk fungsi \mathrm{Arg} (z) menjadi fungsi, ia ditakrifkan untuk mengoutputkan nilai antara [ - \pi ,  \pi ]. Ini dipanggil **argumen ''principal***.

Juga, bentuk polar bagi nombor kompleks boleh ditulis seperti ini;

<big><math>z = r e^{i \theta} </math></big>

Di mana <math>e</math> adalah [[E (pemalar)|pemalar Euler]], pemalar yang hampiri 2.718281828.

=== Bukti Bentuk Polar ===
Bentuk polar <math>e^{i \theta} </math> boleh dibuktikan dengan kaedah yang mudah.

Pertama, bermula dengan [[Siri Taylor]] bagi fungsi sinus dan kosinus;

<big><math>\mathrm{sin} (x) = \sum_{n=0}^{ \infin } \frac{ (-1)^n }{ (2n+1)! } = x -\frac{ x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} - \cdots  </math></big>

<big><math>\mathrm{kos} (x) = \sum_{n=0}^{ \infin } \frac{ (-1)^n }{ (2n)! } = 1 -\frac{ x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \cdots  </math></big>

Sekarang, gantikan <math>x </math> dengan <math>i \theta </math>;

* <math>\mathrm{sin} ( i \theta ) = i \theta - \frac{ { (i \theta )}^3}{3!} + \frac{ { (i \theta )}^5}{5!}  - \frac{ { (i \theta )}^7}{7!} + \frac{ { (i \theta )}^9}{9!} - \cdots </math>

<math> \, \, \, \, \, = i \theta + \frac{ i{\theta }^3}{3!} - \frac{ i{\theta }^5}{5!}  + \frac{ i{\theta }^7}{7!} - \frac{ i{\theta }^9}{9!} +  \cdots </math>

* <math>\mathrm{kos} ( i \theta) =  1 -\frac{ { (i \theta )}^2}{2!} + \frac{ { (i \theta )}^4}{4!} - \frac{ { (i \theta )}^6}{6!} + \frac{ { (i \theta )}^8}{8!} - \cdots   </math>

<math> \, \, \, \, \, = 1 + \frac{ i{\theta }^2}{2!} - \frac{ i{\theta }^4}{4!}  + \frac{ i{\theta }^6}{6!} - \frac{ i{\theta }^8}{8!} +  \cdots  </math>

Gantikan terbitan tersebut dalam <math>\mathrm{kos} (\theta) + i \mathrm{sin} (\theta)  </math>;

<big><math>\mathrm{kos} (\theta) + i \mathrm{sin} (\theta)  </math></big>

<math>\, = ( 1 + \frac{ i{\theta }^2}{2!} - \frac{ i{\theta }^4}{4!}  + \frac{ i{\theta }^6}{6!} - \frac{ i{\theta }^8}{8!} +  \cdots  ) + i( i \theta + \frac{ i{\theta }^3}{3!} - \frac{ i{\theta }^5}{5!}  + \frac{ i{\theta }^7}{7!} - \frac{ i{\theta }^9}{9!} +  \cdots ) </math>

<math>\, = ( 1 + \frac{ i{\theta }^2}{2!} - \frac{ i{\theta }^4}{4!}  + \frac{ i{\theta }^6}{6!} - \frac{ i{\theta }^8}{8!} +  \cdots  ) - \theta - \frac{ {\theta }^3}{3!} + \frac{ {\theta }^5}{5!}  - \frac{ {\theta }^7}{7!} + \frac{ {\theta }^9}{9!} - \cdots </math>

Sambil ini, sediakan Siri Taylor bagi <math>e^{x} </math>;

<big><math>e^x =  1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} \cdots </math></big>

Gantikan <math>x </math> dengan <math>i \theta </math> dan menyusunkan terma tersebut;

<math>e^{i \theta} =  1 + i \theta + \frac{ { ( i \theta )}^2}{2!} + \frac{ { ( i \theta )}^3}{3!} + \frac{ { ( i \theta )}^4}{4!} + \frac{ { ( i \theta )}^5}{5!} \cdots  </math>

<math>e^{i \theta} =  1 + i \theta - \frac{ {   \theta }^2}{2!} - \frac{ {  i \theta }^3}{3!} + \frac{ {  \theta }^4}{4!} + \frac{ {  i \theta }^5}{5!} \cdots  </math>

<math>\, = ( 1 + \frac{ i{\theta }^2}{2!} - \frac{ i{\theta }^4}{4!}  + \frac{ i{\theta }^6}{6!} - \frac{ i{\theta }^8}{8!} +  \cdots  ) - \theta - \frac{ {\theta }^3}{3!} + \frac{ {\theta }^5}{5!}  - \frac{ {\theta }^7}{7!} + \frac{ {\theta }^9}{9!} - \cdots </math>

Perhatikan bahawa <math>e^{i \theta} </math> dan <math>\mathrm{kos} (\theta) + i \mathrm{sin} (\theta)  </math> bersamaan dengan <small><math>\, = ( 1 + \frac{ i{\theta }^2}{2!} - \frac{ i{\theta }^4}{4!}  + \frac{ i{\theta }^6}{6!} - \frac{ i{\theta }^8}{8!} +  \cdots  ) - \theta - \frac{ {\theta }^3}{3!} + \frac{ {\theta }^5}{5!}  - \frac{ {\theta }^7}{7!} + \frac{ {\theta }^9}{9!} - \cdots </math>.</small>  

Maka;

<big><math>\therefore e^{i \theta} = \mathrm{kos} (\theta) + i \mathrm{sin} (\theta)  </math></big>

== Ekstensi Domain Fungsi ==
Beberapa domain bagi beberapa [[fungsi]] asas boleh diperpanjangkan untuk menerima nombor kompleks.

=== Fungsi Trigonometrik ===
<big><math>\mathrm{sin} (z) = \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta} }{2i} </math></big>

<big><math>\mathrm{kos} (z) = \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta} }{2} </math></big>

<big><math>\mathrm{tan} (z) = -\frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta} }{ e^{i \theta} + e^{-i \theta} } i  </math></big>

=== Fungsi Logaritma ===
[[Logaritma asli]] ialah logaritma yang mempunyai <math>e </math> sebagai asasnya. Rumus logaritma asli yang mempunyai domain yang boleh menerima nombor kompleks adalah;

<big><math>\mathrm{ln} (z) = \mathrm{ln} (r) + i \theta </math></big>

Di mana <math>r </math> adalah nilai mutlak <math>z </math> dan <math>\theta </math> ialah argumen bagi <math>z </math>. 

Dengan rumus ini, ekstensi domain [[logaritma]] asas <math>n </math> boleh dirumuskan;

<big><math>\mathrm{log}_n(z) = \mathrm{log}_n (r) + \frac{ \theta}{ \mathrm{ln} (n)} i </math></big>

Di mana <math>n \in \mathbb{R}^{ + } </math>, [[nombor positif]] nyata.

== Aplikasi Nombor Kompleks ==

=== Matematik ===
Nombor kompleks merupakan konsep asas dalam bidang [[matematik]]. Nombor-nombor kompleks digunakan dalam banyak rumus dan teorem sepanjang bidang [[analisis kompleks]], [[geometri]], [[topologi]], [[persamaan pembezaan]] dan [[sistem dinamikal]].

=== Fizik ===
Dalam [[fizik]], nombor kompleks digunakan dalam bidang seperti [[fizik kuantum]]. Antara contoh utama adalah [[persamaan Schrödinger]];

<big><math>i \bar{h} \frac{d}{dt} | \psi \rangle =\hat{H} | \psi \rangle   </math></big>

Dalam perkataan [[Erwin Schrödinger]],<blockquote>"*Apa yang tidak menyenangkan di sini, dan sememangnya perlu dibantah, adalah penggunaan nombor kompleks.''"  - Erwin Schrödinger

## Rujukan


__NOEDITSECTION__