Konjektur abc

**Konjetur abc** atau **konjektur Oesterlé–Masser** ialah sebuah konjektur dalam teori nombor yang mula-mula diperkenalkan oleh Joseph  Oesterlé (1988) dan David Masser (1985) sebagai analog integer bagi teorem Mason–Stothers untuk polinomial. Konjektur ini dinyatakan dalam sebutan tiga integer positif yakni *a*, *b* dan *c*, yang faktornya tidak serupa dan memuaskan *a*&nbsp;+&nbsp;*b*&nbsp;=&nbsp;*c*. Jika *d* dianggap sebagai hasil darab faktor-faktor perdana berbeza bagi *abc*, konjektur ini menyatakan bahawa *d* mestilah lebih besar daripada *c*.

Pada bulan Ogos 2012, Shinichi Mochizuki telah mengeluarkan sebuah laporan dengan dakwaan dapat membuktikan konjektur *abc*. Mochizuki menamakan teori bagi asas kepada bukti tersebut sebagai teori Teichmüller antara semesta, dan ia mempunyai lain kegunaan termasuklah bukti bagi konjektur Szpiro serta konjektur Vojta.

## Perumusan
Konjektur abc boleh diungkapkan seperti berikut:
Bagi setiap *ε* > 0, hanya terdapat banyak terhingga tetiga integer positif seperdana *a*&nbsp;+&nbsp;*b*&nbsp;&nbsp;*c* supaya *c* &gt; *d* (1+*ε*), di mana *d* ialah hasil darab faktor-faktor perdana berbeza bagi *abc*.

Untuk menjelaskan sebutan-sebutan yang digunakan, jika 
a = 16 = 24, 
b = 17, dan 
c = 16 + 17 = 33 = 3·11, 
maka d = 2·17·3·11 = 1122, yakni lebih besar daripada c. Maka c lebih kecil daripada d(1+ε) bagi setiap ε dan a,b,c bukannya tetiga yang sebegini. Menurut konjektur ini, kebanyakan tetiga seperdana di mana a + b = c adalah seperti yang digunakan dalam contoh ini, dan cuma ada "sedikit" pengecualian pada mana c > d(1+ε).

Adding additional terminology:
Bagi integer positif *n*, radikal *n*, rad(*n*), ialah hasil tambah bagi faktor-faktor perdana berbeza *n*. Sebagai contoh

* rad(16) = rad(24) = 2,
* rad(17) = 17,
* rad(18) = rad(2·32) = 2·3 = 6.

Jika *a*, *b*, dan *c* adalah integer positif yang seperdana supaya *a*&nbsp;+&nbsp;*b*&nbsp;=&nbsp;*c*, "pada kebisaannya" *c*&nbsp;0 hanya ada banyak terhingga tetiga (*a*,*b*,*c*) integer positif seperdana dengan *a*&nbsp;+&nbsp;*b*&nbsp;=&nbsp;*c* supaya
:c>\operatorname{rad}(abc)^{1+\varepsilon}

An equivalent formulation states that for any *ε* > 0, there exists a constant *K* such that, for all triples of coprime positive integers (*a*, *b*, *c*) satisfying *a* + *b* = *c*, the inequality

:c 

holds.

A third formulation of the conjecture involves the *quality*
*q*(*a*, *b*, *c*) of the
triple (*a*, *b*, *c*), defined by:

:  q(a, b, c) = \frac{ \log(c) }{ \log( \operatorname{rad}( abc ) ) }

Sebagai contoh,

* *q*(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820…
* *q*(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565…

A typical triple (*a*, *b*, *c*) of coprime positive integers with *a* + *b* = *c* will have *c*&nbsp; 1 such as in the second example are rather special, they consist of numbers divisible by high powers of small prime numbers.

*Konjektur abc* menyatakan bahawa bagi setiap *ε* > 0, there exist only finitely many triples (*a*, *b*, *c*) of integer positif yang perdana secara relatif dengan *a* + *b* = *c* supaya *q*(*a*, *b*, *c*) > 1 + *ε*.

Whereas it is known that there are infinitely many triples (*a*, *b*, *c*) of coprime positive integers with *a* + *b* = *c* such that *q*(*a*, *b*, *c*) > 1, the conjecture predicts that only finitely many of those have *q* > 1.01 or *q* > 1.001 or even *q* > 1.0001, etc.

## Rujukan