Kebebasan (teori kebarangkalian)

Dalam teori kebarangkalian, untuk mengatakan bahawa dua peristiwa adalah **bebas** bererti bahawa berlakunya satu peristiwa menjadikan ia tidak lebih atau tidak kurang kebarangkalian yang lain berlaku. Sebagai contoh:

* Peristiwa mendapat 6 pertama kali melontar dadu; dan peristiwa mendapat 6 apabila melontar kali kedua adalah *bebas*.
* Sebaliknya, peristiwa mendapat 6 pertama kali melontar dadu dan peristiwa bahawa jumlah nombor yang dilihat pada cubaan melontar kali pertama dan kali kedua adalah 8 adalah **tidak** bebas.
* Sekiranya dua kad diambil *dengan* gantian dari dek kad , peristiwa menarik kad merah pada cubaan pertama dan menarik kad merah pada cubaan kedua adalah *bebas*.
* Sebaliknya, sekiranya dua kad ditarik *tanpa* penggantian dari dek kad, kemungkinan menarik kad merah pada cubaan pertama dan menarik keluar kad merah pada cubaan kedua juga *tidak* bebas.

Sama juga, dua pemboleh ubah rawak adalah bebas sekiranya keadaan taburan kebarangkalian bagi nilai cerapan yang lain adalah sama seolah-olah nilai lain tidak dicerap. Konsep bebas berlanjutan kepada menangani dengan himpunan dua peristiwa atau lebih pemboleh ubah rawak.

Dalam sesetengah kejadian, istilah "bebas" digantikan dengan "**bebas statistik**", "**bebas marginal**", atau "**bebas mutlak**".

## Peristiwa bebas

Takrifan piwaian menyatakan bahawa:

:Dua peristiwa *A* dan *B* adalah **bebas** jika dan hanya jika \Pr(A \cap B) = \Pr(A) \cdot \Pr(B)

Di sini *A* &cap; *B* merupakan persilangan (teori set) bagi *A* dan *B*, iaitu, ia adalah peristiwa yang kedua peristiwa *A* dan *B* berlaku.

Lebih umum lagi, sebarang himpunan peristiwa-kemungkinan lebih dari dua—adalah **sama bebas** jika dan hanya jika bagi setiap subset *A*1, ..., *A**n* terhingga bagi himpunan kita miliki

:\Pr\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right)=\prod_{i=1}^n \Pr(A_i). \!\,

Ini dikenali sebagai *hukum daraban* bagi peristiwa bebas. Perhatikan bahwa bebas memerlukan hukum ini benar bagi *setiap* subset bagi himpunan; lihat bagi contoh tiga peristiwa di mana \Pr\left(\bigcap_{i=1}^3 A_i\right)=\prod_{i=1}^3 \Pr(A_i)\! dan sebaliknya tiada dua dari tiga peristiwa adalah tak bersandar pasangan demi pasangan.

Sekiranya dua peristiwa *A* dan *B* adalah bebas, dengan itu kebarangkalian bersyarat bagi *A* diberikan *B* adalah sama seperti tak bersyarat (atau marginal) kebarangkalian bagi *A*, iaitu,

:\Pr(A\mid B)=\Pr(A). \!\,

Terdapat sekurang-kurangnya dua alasan mengapa kenyataanini tidak diambil sebagai takrifan bebas: (1) kedua peristiwa *A* dan *B* tidak memainkan peranan seimbang dalam kenyataan ini, dan (2) masalah timbul dengan kenyataan ini apabila membabitkan peristiwa kebarangkalian 0.

Kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa A diberikan B adalah diberikan oleh

:\Pr(A\mid B)={\Pr(A \cap B) \over \Pr(B)}, \!\, (selagi Pr(*B*) &ne; 0 )

Kenyataan di atas, apabila \Pr(B)\neq 0 adalah bersamaan dengan

:\Pr(A \cap B)=\Pr(A\mid B) \cdot \Pr(B) \!\,

di mana tarifan piwaian di beri di atas.

Perhatikan bahawa peristiwa adalah bebas dari dirinya sendiri dan hanya jika

:\Pr(A) = \Pr(A \cap A) = \Pr(A) \cdot \Pr(A).

Iaitu, jika kebarangkaliannya adalah satu atau sifar. Dengan itu sekiranya peristiwa atau Pelengkap (teori set) hampir pasti berlaku, ia adalah bebas dari dirinya. Sebagai contoh, sekiranya peristiwa *A* dipilih dari sebarang nombor kecuali 0.5 dari taburan sekata bagi selang unit, *A* adalah bebas dari dirinya, sungguhpun, tautologi, *A* menentukan sepenuhnya *A*.

## Rujukan