Titik Lagrange

**Titik Lagrange** (**titik L** atau **titik [[librasi]]**) adalah lima kedudukan di dalam sebuah konfigurasi orbit yang mana sesebuah objek kecil yang dipengaruhi oleh graviti sahaja boleh secara teori menjadi sebahagian daripada suatu corak bentuk malar dengan dua objek lebih besar (seperti satelit yang berkenaan dengan Bumi dan Bulan). Titik-titik Lagrange menandai kedudukan di mana gabungan tarikan graviti dua jasad besar membekalkan daya memusat setepatnya yang diperlukan untuk orbit bersama mereka.

Titik Lagrange merupakan penyelesaian pola malar kepada masalah tiga jasad yang terbatas. Contohnya, dengan dua buah jasad besar dalam orbit-orbit yang mengelilingi satu pusat jisim yang dikongsi oleh dua jasad itu, terdapat lima kedudukan di angkasa di mana boleh terletaknya sesebuah jasad ketiga yang tidak begitu ketara jisimnya untuk mengekalkan kedudukannya secara nisbi dengan dua jasad besar. Seperti yang dilihat dalam rangka rujukan berpusat yang sepadan dengan halaju sudut kedua-dua jasad seorbit itu, medan graviti dua jasad besar itu adalah seimbang dengan pecutan satelit di titik-titik Lagrange, membolehkan jasad ketiga itu untuk kekal pegun secara nisbi dengan dua jasad terdahulu.

## Sejarah dan konsep
Tiga titik Lagrange kolinear (L1, L2, L3) sudah ditemui oleh Leonhard Euler beberapa tahun sebelum Lagrange menemui yang dua lagi.

Pada tahun 1772, Joseph Louis Lagrange menerbitkan "Esei mengenai masalah tiga jasad". Dalam bab pertama, beliau membincangkan masalah tiga jasad yang umum. Daripada itu, dalam bab kedua, beliau mendemonstrasikan dua penyelesaian pola malar istimewa, iaitu yang kolinear dan yang sama sisi, untuk mana-mana tiga jasad yang berorbit bulat.

## Titik-titik Lagrange

Lima titik Lagrange dilabelkan dan ditakrifkan seperti berikut:

###### 
Titik ***' terletak pada garis yang ditakrifkan oleh dua jasad besar M<sub>1</sub> dan M<sub>2</sub>, dan di antara kedua-dua jasad tersebut. Ianya titik Lagrange yang paling difahami secara intuisi, iaitu satu yang mana tarikan graviti M<sub>2</sub> menutup separa tarikan graviti M<sub>1</sub>.

: '''Contoh:''' Sesebuah objek yang meng[[orbit]] [[Matahari]] dengan lebih dekat daripada [[Bumi]] biasanya lebih singkat tempoh orbitnya berbanding Bumi, tetapi itu tidak mengambil kira kesan tarikan graviti Bumi sendiri. Jika objek itu langsung berada di antara Bumi dan Matahari, maka graviti Bumi melemahkan daya yang menarik objek tersebut ke arah Matahari, dan oleh itu melanjutkan tempoh orbit objek tersebut. Makin dekat objek itu dengan Bumi, makin besar kesannya. Di titik , tempoh orbit objek itu menjadi bersamaan tepat dengan tempoh orbit Bumi.  terletak kira-kira 1.5&nbsp;juta kilometer dari Bumi.

Lokasi L<sub>1</sub> adalah penyelesaian kepada persamaan berikut yang mengimbangi gravitasi dan daya memusat:

<math>\frac{M_1}{(R-r)^2}=\frac{M_2}{r^2}+\left(\frac{M_1}{M_1+M_2}R-r\right)\frac{M_1+M_2}{R^3}</math>

yang mana ''r'' adalah jarak titik L<sub>1</sub> dari objek yang lebih kecil, ''R'' adalah jarak di antara dua objek utama, M<sub>1</sub> dan M<sub>2</sub> adalah jisim masing-masing bagi objek besar dan kecil. (Kuantiti dalam tanda kurungan kanan ialah jarak L<sub>1</sub> dari pusat jisim.) Penyelesaian persamaan ini untuk ''r'' melibatkan penyelesaian [[kuintik]], tetapi jika jisim M<sub>2</sub> jauh lebih kecil daripada M<sub>1</sub> maka  dan  adalah lebih kurang bersamaan dengan ''r'', iaitu bersamaan dengan jejari [[sfera Hill]], iaitu:

: <math>r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_2}{3 M_1}}</math>

Jarak ini boleh diterangkan sebagai sebegitu mana [[tempoh orbit]] yang bersamaan dengan orbit bulat dengan jarak ini sebagai jejari di keliling M<sub>2</sub> jika tiadanya M<sub>1</sub>, adalah bersamaan dengan jejari M<sub>2</sub> di keliling M<sub>1</sub> dibahagi dengan <math>\sqrt{3}\approx 1.73</math>:

: <math>T_{s,M_2}(r) = \frac{T_{M_2,M_1}(R)}{\sqrt{3}}.</math>

  Matahari–Bumi sesuai untuk melakukan pencerapan terhadap sistem Matahari–Bumi, di mana objek-objeknya tidak sesekali dibayangi oleh Bumi atau Bulan. Misi pertama yang sedemikian adalah misi [[International Cometary Explorer|International Sun Earth Explorer 3]] (ISEE3) yang digunakan sebagai pemantau ribut amaran awal antara planet untuk gangguan suria. Kebolehlaksanaan orbitnya adalah hasil daripada tesis PhD oleh ahli astrodinamik, Robert W. Farquhar. Kemudiannya, [[Solar and Heliospheric Observatory]] (SOHO) ditempatkan di suatu [[orbit Halo]] pada , dan [[Advanced Composition Explorer]] (ACE) di suatu [[orbit Lissajous]], juga pada titik . [[WIND (kuar angkasa)|WIND]] juga terletak di .

 Bumi–Bulan membolehkan capaian yang agak mudah kepada orbit-orbit Bulan dan Bumi tanpa perubahan ketara pada halaju, dan oleh itu mendapat kelebihan untuk mendudukkan stesen angkasa bermanusia separuh jalan yang bertujuan untuk memudahkan pengangkutan kargo dan kakitangan berulang-alik ke Bulan.

Dalam sistem bintang perduaan, [[lobus Roche]] terletak puncaknya di ; sebarang bintang yang melimpahi lobus Rochenya akan kehilangan jirim kepada bintang temannya.


Titik L<sub>1</sub> juga penting untuk [[satelit penyelidikan sains]].

======

Titik ***' terletak pada garis yang melalui dua jasad besar, hanya di luar jasad mana yang lebih kecil. Di sini, daya graviti kedua-dua jasad besar itu mengimbangi kesan memusat terhadap sesebuah jasad pada .

: **Contoh:** Di muka Bumi yang menoleh dari Matahari, tempoh orbit sesebuah objek biasanya lebih lanjut daripada tempoh orbit Bumi. Tarikan tambahan dari graviti Bumi mengurangkan tempoh orbit objek tersebut, dan pada titik -lah objek itu menjadi bersamaan tempoh orbitnya dengan Bumi.

Titik  Matahari–Bumi adalah tempat yang sesuai untuk balai cerap asas angkasa. Oleh sebab sesebuah objek di sekitar  akan mengekalkan kedudukan nisbi yang sama berkenaan dengan Matahari dan Bumi, maka pemerisaian dan penentukurannya jauh lebih mudah. Bagaimanapun, ianya sedikit di luar capaian umbra Bumi, maka sinaran Matahari tidak dihalang sepenuhnya. Balai cerap angkasa Planck sudah pun di dalam orbit di sekitar  Matahari–Bumi, begitu juga dengan Herschel (hingga Jun 2013), Chang'e 2 (hingga April 2012) dan
Kuar Anistropi Gelombang Mikro Wilkinson (hingga Oktober 2010). Kuar Gaia dan Teleskop Angkasa Lepas James Webb bakal ditempatkan di  Matahari–Bumi.

Titik  Bumi–Bulan mungkin lokasi yang sesuai untuk satelit komunikasi yang meliputi muka jauh Bulan, dan juga suatu "lokasi idaman" untuk depot bahan dorong dalam cadangan seni bina pengangkutan angkasa berasaskan depot.

Lokasi L2 adalah penyelesaian kepada persamaan berikut yang mengimbangi gravitasi dengan daya memusat:

\frac{M_1}{(R+r)^2}+\frac{M_2}{r^2}=\left(\frac{M_1}{M_1+M_2}R+r\right)\frac{M_1+M_2}{R^3}

dengan parameter-parameter yang sama takrifannya dengan perihal L1. Sekali lagi, jika jisim M2 jauh lebih kecil daripada jisim M1, maka L2 adalah lebih kurang sama dengan jejari sfera Hill, iaitu:

: r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_2}{3 M_1}}

#### Contoh
* Matahari dan Bumi:  dari Bumi
* Bumi dan Bulan:  dari Bulan

### L<sub>3</sub>
Titik ***' terletak pada garis yang ditentukan oleh kedua-dua jasad besar, hanya di luar jasad mana yang lebih besar.

: '''Contoh:'''  dalam sistem Matahari–Bumi wujud di muka bertentangan Matahari, sedikit di luar orbit Bumi tetapi sedikit lebih dekat daripada Matahari berbanding Bumi. ('Pertindanan' ini adalah kerana Matahari juga dipengaruhi oleh graviti Bumi, dan oleh itu mengorbit di keliling [[Koordinat baripusat (astronomi)|baripusat]] kedua-dua jasad yang sebenarnya di dalam Matahari.) Di titik , gabungan tarikan Bumi dengan Matahari sekali lagi menyebabkan objek berkenaan untuk mengorbit sama lama dengan Bumi.

Lokasi L<sub>3</sub> adalah penyelesaian kepada persamaan berikut yang mengimbangi gravitasi dan daya memusat:

<math>\frac{M_1}{(R-r)^2}+\frac{M_2}{(2R-r)^2}=\left(\frac{M_2}{M_1+M_2}R+R-r\right)\frac{M_1+M_2}{R^3}</math>

dengan parameter-parameter yang ditakrifkan seperti mana dalam perihak L<sub>1</sub> dan L<sub>2</sub>, kecuali ''r'' kini menandakan berapa dekatnya L<sub>3</sub> kepada objek yang lebih besar daripada objek yang lebih kecil. Jika jisim M<sub>2</sub> kurang daripada M<sub>1</sub> maka:

: <math>r \approx R \frac{7M_2}{12 M_1}</math>

Sesebuah kuar angkasa yang mengorbit berhampiran titik  Matahari–Bumi tentu dapat mencerap dengan dekat evolusi kawasan tompok matahari yang aktif sebelum berputar ke dalam kedudukan geoefektif, supaya amaran seawal 7 hari boleh dikeluarkan oleh Pusat Peramalan Cuaca Angkasa Lepas [[NOAA]]. Lebih-lebih lagi, sesebuah satelit berdekatan titik  Matahari–Bumi akan membekalkan pemerhatian yang amat penting bukan sahaja untuk ramalan Bumi, bahkan juga untuk bantuan di angkasa lepas (ramalan Marikh dan untuk misi bermanusia ke [[asteroid dekat Bumi]]). Pada tahun 2010, telah dikajinya trajektori pemindahan kuar angkasa ke  Matahari–Bumi dan sesetengah reka-ciptaan telah dipertimbangkan.

Salah satu contoh asteroid yang melintasi titik  adalah [[rumpun Hilda]] yang dibawa oleh orbitnya ke titik  Matahari–Musytari.

=== dan ===

Titik-titik ***' dan **** terletak di sudut ketiga bagi dua segi tiga sama sisi di satah orbit yang tapak sepunyanya adalah garis di antara kedua-dua pusat jasad tersebut, yang mana titik itu berada di belakang () atau di hadapan () jasad yang lebih kecil berkenaan dengan orbitnya di keliling jasad yang lebih besar.

Titik-titik ini seimbang kerana di  dan , jarak dengan kedua-dua jasad adalah setara. Sehubungan itu, daya graviti dari kedua-dua jasad besar itu berada pada nisbah yang sama dengan jisim kedua-dua jasad, dan oleh itu daya paduan bertindak melalui baripusat sistem; selain itu, geometri segi tiga itu memastikan bahawa pecutan paduan adalah ke arah dari baripusat pada nisbah yang sama dengan dua jasad besar itu. Dengan baripusat sebagai pusat jisim dan pusat putaran sistem sekali gus, daya paduan ini bertepatan dengan yang diperlukan untuk mengekalkan sesebuah jasad pada titik Lagrange dalam keseimbangan orbit dengan seluruh sistem. (Sesungguhnya jasad ketiga tidak memerlukan jisim yang tidak ketara). Konfigurasi segi tiga umum ditemui oleh Lagrange sewaktu mengerjakan masalah tiga jasad.

 dan  adakalanya bergelar *titik Lagrange segi tiga* atau *titik trojan*.  Nama *titik Trojan* adalah bersempena asteroid-asteroid Trojan pada titik-titik  dan  Matahari–Musytari. Asteroid-asteroid pada titik  yang mendepani Musytari dipanggil "kem Yunani", while those at the  point are referred to as the "kem Trojan". Asteroid ini rata-rata dinamai sempena tokoh-tokoh dari kem masing-masing dalam Perang Troy.

#### Contoh
* Titik-titik  dan  Matahari–Bumi masing-masing terletak 60° di hadapan dan 60° di belakang Bumi yang mengorbit Matahari. Kawasan-kawasan di sekitar titik-titik ini mengandungi debu antara planet dan sekurang-kurangnya sebuah asteroid, , yang dikesan pada Oktober 2010 oleh WISE dan diumumkan pada Julai 2011.
* Titik-titik  dan  Bumi–Bulan masing-masing terletak 60° di hadapan dan 60° di belakang Bulan yang mengorbit Bumi. Ia mungkin mengandungi debu antara planet di dalam apa yang dipanggil awan Kordylewski; bagaimanapun, Pengira Debu Munich (MDC) pada kuar angkasa Hiten tidak mengesan sebarang peningkatan pada debu apabila ia melintasi kedua-dua titik ini.
* Kawasan di sekitar titik-titik  dan  Matahari–Musytari diduduki oleh asteroid Trojan.
* Kawasan di sekitar titik-titik  dan  Matahari–Neptun mempunyai objek-objek trojan.
* Tethys iaitu bulan Zuhal mempunyai dua satelit yang lebih kecil pada titik-titik  dan nya iaitu masing-masing Telesto dan Calypso.
* Dione iaitu bulan Zuhal mempunyai dua satelit yang lebih kecil pada titik-titik  dan nya iaitu masing-masing Helene dan  Polydeuces.

## Catatan


## Rujukan