Kuasa dua sempurna

Dalam matematik, nombor **kuasa dua sempurna** ialah integer yang merupakan kuasa dua integer; dengan kata lain, ia adalah hasil darab suatu integer dengan dirinya sendiri. Sebagai contoh, 9 ialah nombor kuasa dua sempurna, kerana ia sama dengan  dan boleh ditulis sebagai .

Notasi lazim kuasa dua nombor *n* bukanlah hasil darab , tetapi eksponen setara , biasanya disebut sebagai "*n* kuasa dua". Unit luas ditakrifkan sebagai luas unit persegi (). Oleh itu, segi empat sama dengan panjang sisi n mempunyai luas . Jika nombor kuasa dua diwakili oleh *n* titik, titik boleh disusun dalam baris sebagai segi empat sama setiap sisinya mempunyai bilangan titik yang sama dengan punca kuasa dua *n.*

Nombor kuasa dua sempurna besifat bukan negatif. Integer bukan negatif ialah nombor kuasa dua apabila punca kuasa duanya sekali lagi ialah integer. Sebagai contoh, \sqrt{9} = 3, jadi 9 ialah nombor kuasa dua sempurna.

Integer positif yang tidak mempunyai pembahagi kuasa dua kecuali 1 dipanggil bebas kuasa dua.

Bagi integer bukan negatif *n*, nombor kuasa dua ke-*n* ialah , dengan  ialah nombor sifar. Konsep segi empat sama boleh diperluaskan terhadap beberapa sistem nombor lain. Jika nombor nisbah disertakan, maka nombor kuasa dua sempurna ialah nisbah dua integer kuasa dua, dan, sebaliknya, nisbah dua integer kuasa dua ialah nombor kuasa dua, sebagai contoh, \textstyle \frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2.

Bermula dengan 1, ada \lfloor \sqrt{m} \rfloor nombor kuasa dua hingga dan termasuk m, di mana ungkapan \lfloor x \rfloor mewakili lantai nombor *x*.

## Contoh
Nombor kuasa dua sempurna  lebih kecil daripada 602 = 3600 ialah:
: 02 = 0
: 12 = 1
: 22 = 4
: 32 = 9
: 42 = 16
: 52 = 25
: 62 = 36
: 72 = 49
: 82 = 64
: 92 = 81

: 102 = 100
: 112 = 121
: 122 = 144
: 132 = 169
: 142 = 196
: 152 = 225
: 162 = 256
: 172 = 289
: 182 = 324
: 192 = 361

: 202 = 400
: 212 = 441
: 222 = 484
: 232 = 529
: 242 = 576
: 252 = 625
: 262 = 676
: 272 = 729
: 282 = 784
: 292 = 841

: 302 = 900
: 312 = 961
: 322 = 1024
: 332 = 1089
: 342 = 1156
: 352 = 1225
: 362 = 1296
: 372 = 1369
: 382 = 1444
: 392 = 1521

: 402 = 1600
: 412 = 1681
: 422 = 1764
: 432 = 1849
: 442 = 1936
: 452 = 2025
: 462 = 2116
: 472 = 2209
: 482 = 2304
: 492 = 2401

: 502 = 2500
: 512 = 2601
: 522 = 2704
: 532 = 2809
: 542 = 2916
: 552 = 3025
: 562 = 3136
: 572 = 3249
: 582 = 3364
: 592 = 3481
Perbezaan antara mana-mana kuasa dua sempurna dan pendahulunya diungkapkan dengan rumus . Secara setara, adalah mungkin untuk mengira nombor kuasa dua dengan menambah bersama kuasa dua terakhir, punca kuasa dua terakhir, dan punca semasa, iaitu, .

## Sifat
Nombor *m* ialah nombor kuasa dua sempurna jika dan hanya jika seseorang boleh menyusun *m* titik dalam segi empat sama:

Ungkapan bagi nombor kuasa dua ke-*n* ialah . Ini juga sama dengan jumlah nombor ganjil *n* pertama seperti yang boleh dilihat dalam gambar di atas, di mana nombor kuasa dua terhasil daripada yang sebelumnya dengan menambah bilangan mata ganjil (ditunjukkan dalam magenta). Sifat ini menuruti formula berikut:

: n^2 = \sum_{k=1}^n(2k-1).

Contohnya,  .

## Ganjil genap
Kuasa dua nombor genap adalah genap, dan boleh dibahagi dengan 4, kerana (2*n*)2 = 4*n*2. Kuasa dua nombor ganjil pula adalah ganjil, dan adalah kongruen dengan 1 modulo 8, kerana (2*n* + 1)2 = 4*n*(*n* + 1) + 1, dan *n*(*n* + 1) sentiasa genap. Dengan kata lain, semua nombor kuasa dua ganjil mempunyai baki 1 apabila dibahagikan dengan 8.

## Nota