Siri Taylor

Dalam matematik, **siri Taylor** atau **pengembangan Taylor** bagi suatu fungsi ialah jumlah sebutan tak terhingga yang dinyatakan dalam sebutan terbitan fungsi pada suatu titik. Untuk kebanyakan fungsi-fungsi biasa, fungsi dan jumlah siri Taylornya adalah sama berhampiran titik ini. Siri Taylor dinamakan sempena Brook Taylor, yang memperkenalkan teorem ini pada tahun 1715. Siri Taylor juga dipanggil **siri Maclaurin** apabila 0 ialah titik di mana terbitan dipertimbangkan, selepas Colin Maclaurin, yang menggunakan kes khas siri Taylor ini secara meluas pada abad ke-18.

Jumlah separa yang dibentuk oleh sebutan  pertama bagi siri Taylor ialah polinomial darjah n yang dipanggil **polinomial Taylor** n bagi fungsi tersebut. Polinomial Taylor ialah penghampiran fungsi, yang secara umumnya menjadi lebih tepat apabila nilai n bertambah. Teorem Taylor memberikan anggaran kuantitatif mengenai ralat yang diperkenalkan oleh penggunaan anggaran tersebut. Jika siri Taylor bagi suatu fungsi adalah menumpu, hasil tambahnya ialah had bagi jujukan tak terhingga bagi polinomial Taylor. Sesebuah fungsi mungkin berbeza daripada jumlah siri Taylornya, walaupun siri Taylornya adalah menumpu. Suatu fungsi adalah analitik pada titik x jika ia sama dengan jumlah siri Taylornya dalam beberapa selang terbuka (atau cakera terbuka dalam satah kompleks) yang mengandungi x. Ini menunjukkan bahawa fungsi adalah analitik pada setiap titik selang (atau cakera).

## Definisi
Siri Taylor bagi fungsi sebenar atau bernilai kompleks , yang boleh diterbitkan secara tak terhingga pada nombor nyata atau kompleks , ialah siri kuasa  f(a) + \frac {f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f*(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f*'(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots = \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}. Di sini,  menandakan faktorial bagi n. Fungsi  menandakan terbitan ke n bagi f yang dinilai pada titik a . Terbitan bagi tertib sifar bagi f ditakrifkan sebagai f itu sendiri dan  dan  kedua-duanya ditakrifkan sebagai&nbsp;1. Siri ini boleh ditulis dengan menggunakan tatatanda sigma, seperti dalam formula sebelah kanan. Dengan , siri Maclaurin mengambil bentuk:  f(0)+\frac {f'(0)}{1!} x+ \frac{f*(0)}{2!} x^2+\frac{f*'(0)}{3!}x^3+ \cdots = \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(0)}{n!} x^{n}. 

## Contoh
Siri Taylor bagi sebarang polinomial ialah polinomial itu sendiri.

Siri Maclaurin daripada

1 + x + x^2 + x^3 + \cdots.

Jadi, dengan menggantikan x untuk , siri Taylor bagi  pada  ialah:

1 - (x-1) + (x-1)^2 - (x-1)^3 + \cdots.

Dengan mengamirkan siri Maclaurin di atas, kita akan mendapati siri Maclaurin , di mana  menandakan logaritma asli:

-x - \tfrac{1}{2}x^2 - \tfrac{1}{3}x^3 - \tfrac{1}{4}x^4 - \cdots.

Siri Taylor yang sepadan bagi fungsi  pada  ialah:

(x-1) - \tfrac{1}{2}(x-1)^2 + \tfrac{1}{3}(x-1)^3 - \tfrac{1}{4}(x-1)^4 + \cdots,

dan lebih umumnya, siri Taylor yang sepadan bagi fungsi  pada titik bukan sifar arbitrari  ialah:

\ln a + \frac{1}{a} (x - a) - \frac{1}{a^2}\frac{\left(x - a\right)^2}{2} + \cdots.

Siri Maclaurin bagi fungsi eksponen  ialah

\begin{align}
  \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} &= \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots \\
  &= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots.
 \end{align}

Peluasan di atas berlaku kerana terbitan  berkenaan dengan x juga adalah , dan  bersamaan dengan&nbsp;1. Ini meninggalkan sebutan  dalam pengangka dan  dalam penyebut setiap sebutan dalam jumlah tak terhingga.

## Lihat juga

* Pengembangan asimptotik
* Polinomial Newton
* Anggaran padé – anggaran terbaik oleh fungsi rasional
* 
* Teori penghampiran
* Penghampiran fungsi

## Nota

## Rujukan
 

## Pautan luar

*  
* Weisstein, Eric W. "Taylor Series". MathWorld.