Hukum Gauss

Dalam fizik (khususnya keelektromagnetan), **Hukum Gauss** (), juga dikenali sebagai **teorem fluks Gauss** (atau kadang kala teorem Gauss), ialah salah satu persamaan Maxwell. Ia aplikasi teorem kecapahan, dan ia mengaitkan pengagihan cas elektrik dengan medan elektrik yang terhasil.

## Takrifan
Dalam bentuk kamirannya, hukum ini menyatakan bahawa fluks medan elektrik yang keluar dari sebarang permukaan tertutup adalah berkadar terus dengan caj elektrik yang dikelilingi oleh permukaan tersebut, tanpa mengira bagaimana caj tersebut diedarkan. Walaupun hukum ini sahaja tidak mencukupi untuk menentukan medan elektrik merentasi permukaan yang mengelilingi sebarang pengedaran caj, ini mungkin boleh dilakukan dalam kes-kes di mana simetri memaksa keseragaman medan. Di tempat yang tiada simetri seperti itu, hukum Gauss boleh digunakan dalam bentuk pembezaannya, yang menyatakan bahawa pencapahan medan elektrik berkadar dengan ketumpatan caj tempatan.

Hukum ini pertama kali dirumuskan oleh Joseph-Louis Lagrange pada tahun 1773, diikuti oleh Carl Friedrich Gauss pada tahun 1835, kedua-duanya dalam konteks tarikan elipsoid. Ia merupakan salah satu daripada persamaan Maxwell, yang membentuk asas bagi elektrodinamik klasik. Hukum Gauss boleh digunakan untuk menghasilkan hukum Coulomb, dan sebaliknya.

## Penerangan kualitatif
Dalam bentuk kata-kata, hukum Gauss menyatakan bahawa:

: Fluks elektrik bersih melalui mana-mana permukaan tertutup andaian adalah sama dengan  kali caj elektrik bersih yang dilingkungi oleh permukaan tertutup tersebut. Permukaan tertutup ini juga dirujuk sebagai permukaan Gaussian.

Hukum Gauss mempunyai persamaan matematik yang rapat dengan beberapa hukum dalam bidang fizik lain, seperti hukum Gauss untuk kemagnetan dan hukum Gauss untuk graviti. Sebenarnya, mana-mana hukum kuasa dua songsang boleh dirumuskan dengan cara yang serupa dengan hukum Gauss: contohnya, hukum Gauss itu sendiri pada dasarnya adalah setara dengan hukum Coulomb, dan hukum Gauss untuk graviti pada dasarnya adalah setara dengan hukum graviti Newton, yang kedua-duanya adalah hukum kuasa dua songsang.

Hukum ini boleh dinyatakan secara matematik menggunakan kalkulus vektor dalam bentuk kamiran dan bentuk pembezaan; kedua-duanya adalah setara kerana ia berkaitan dengan teorem kecapahan, yang juga dikenali sebagai teorem Gauss. Setiap bentuk ini seterusnya juga boleh dinyatakan dengan dua cara: Dalam bentuk hubungan antara medan elektrik  dan jumlah caj elektrik, atau dalam bentuk medan sesaran elektrik  dan caj elektrik bebas.

## Persamaan yang melibatkan medan
Hukum Gauss boleh dinyatakan menggunakan sama ada medan elektrik  atau medan sesaran elektrik . Seksyen ini menunjukkan beberapa bentuk menggunakan ; bentuk yang menggunakan  disediakan di bawah, begitu juga dengan bentuk-bentuk lain yang menggunakan .

### Bentuk kamiran

Hukum Gauss boleh dinyatakan sebagai: 

\Phi_E = \frac{Q}{\varepsilon_0}

iaitu  ialah fluks elektrik melalui permukaan tertutup S yang melampirkan sebarang isipadu **', **' ialah jumlah cas yang disertakan dalam **', dan  ialah [[Ketelusan vakum|pemalar elektrik]]. Fluks elektrik  ditakrifkan sebagai [[kamiran permukaan]] medan elektrik:

:

dengan  ialah medan elektrik,  ialah vektor yang mewakili unsur infinitesimal bagi [[luas]] permukaan, dan  mewakili [[Hasil darab bintik|hasil darab titik]] dua vektor.

Dalam ruang masa melengkung, fluks medan elektromagnet melalui permukaan tertutup dinyatakan sebagai

:

iaitu <math>c</math> ialah [[kelajuan cahaya]]; <math>F^{\kappa 0}</math> menandakan komponen masa [[tensor elektromagnet]]; <math>g</math> ialah penentu [[tensor metrik]]; <math> \mathrm{d} S_\kappa = \mathrm{d} S^{ij} = \mathrm{d}x^i \mathrm{d}x^j </math> ialah unsur ortonormal permukaan dua dimensi yang mengelilingi cas <math>Q</math>; indeks <math> i,j,\kappa = 1,2,3</math> dan tidak sepadan antara satu sama lain. 

Memandangkan fluks ditakrifkan sebagai ''kamiran'' medan elektrik, ungkapan hukum Gauss ini dipanggil ''bentuk kamiran''.

Dalam masalah yang melibatkan konduktor yang ditetapkan pada potensi yang diketahui, potensi yang jauh daripadanya diperoleh dengan menyelesaikan [[persamaan Laplace]], sama ada secara analitik atau berangka. Medan elektrik kemudiannya dikira sebagai kecerunan negatif potensi. Hukum Gauss memungkinkan untuk mencari taburan cas elektrik: Caj di mana-mana kawasan tertentu konduktor boleh disimpulkan dengan menyepadukan medan elektrik untuk mencari fluks melalui kotak kecil yang sisinya berserenjang dengan permukaan konduktor dan dengan menyatakan bahawa medan elektrik berserenjang dengan permukaan, dan sifar di dalam konduktor.

Masalah sebaliknya, apabila pengagihan cas elektrik diketahui dan medan elektrik mesti dikira, adalah lebih sukar. Jumlah fluks melalui permukaan tertentu memberikan sedikit maklumat tentang medan elektrik, dan boleh masuk dan keluar dari permukaan dalam corak rumit yang sebarang.

Pengecualian adalah jika terdapat beberapa [[simetri]] dalam masalah, yang memberi mandat bahawa medan elektrik melalui permukaan dengan cara yang seragam. Kemudian, jika jumlah fluks diketahui, medan itu sendiri boleh disimpulkan pada setiap titik. Contoh umum simetri yang sesuai dengan hukum Gauss termasuk: simetri silinder, simetri planar dan simetri sfera. Lihat artikel [[Permukaan Gauss|permukaan Gaussian]] untuk contoh di mana simetri ini dieksploitasi untuk mengira medan elektrik.

=== Bentuk pembezaan ===
Dengan [[teorem kecapahan]], hukum Gauss boleh ditulis secara alternatif dalam ''bentuk pembezaan'': <math display="block">\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>

di mana  ialah [[kecapahan]] medan elektrik,  ialah [[ketelusan vakum]] dan ''ρ'' ialah jumlah [[ketumpatan cas]] isipadu (cas per unit isipadu).

=== Persamaan bentuk kamiran dan pembezaan ===

Bentuk kamiran dan pembezaan adalah setara secara matematik, dengan teorem kecapahan. Berikut adalah hujah yang lebih khusus.



== Persamaan yang melibatkan medan  ==


=== Cas bebas, terikat dan ===

Cas elektrik yang timbul dalam situasi asas dalam buku teks biasanya akan dikelaskan sebagai "cas bebas" — contohnya, cas yang dipindahkan dalam [[elektrik statik]], atau caj pada plat [[Pemuat|kapasitor]]. Sebaliknya, "cas terikat" hanya timbul dalam konteks bahan [[dielektrik]] (boleh dikutub). (Semua bahan boleh dikutub hingga tahap tertentu.) Apabila bahan seperti itu diletakkan dalam medan elektrik luaran, elektron kekal terikat pada atom masing-masing, tetapi bergerak sedikit dalam respons kepada medan tersebut, sehingga ia lebih terletak pada satu sisi atom berbanding sisi yang lain. Semua peralihan mikroskopik ini akan terkumpul untuk memberikan pengagihan cas bersih makroskopik, dan ini membentuk "cas terikat".

Walaupun secara mikroskopik semua cas adalah sama pada asasnya, terdapat alasan praktikal untuk menganggap cas terikat berbeza daripada cas bebas. Hasilnya, hukum Gauss yang lebih asas, dalam bentuk  (di atas), kadang kala dipersembahkan dalam bentuk yang setara di bawah, yang berdasarkan  dan cas bebas sahaja.

=== Bentuk kamiran ===
Perumusan hukum Gauss ini menyatakan jumlah bentuk cas:

<math display="block">\Phi_D = Q_\mathrm{bebas}</math>

iaitu  ialah fluks [[Medan sesaran elektrik|medan ]] melalui permukaan **' yang merangkumi isipadu **', dan  ialah cas percuma yang terkandung dalam **'. Fluks  ditakrifkan secara analog dengan fluks  medan elektrik  melalui **:

: 

### Bentuk pembezaan
Bentuk pembezaan hukum Gauss, yang melibatkan caj percuma sahaja, menyatakan: \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_\mathrm{bebas}

di mana  ialah kecapahan medan sesaran elektrik, dan  ialah ketumpatan cas elektrik percuma.

## Kesetaraan penyata cas keseluruhan dan bebas

## Persamaan untuk bahan linear
Dalam bahan homogen, isotropik, tidak bersepah, linear, terdapat hubungan mudah antara  dan&nbsp;:

\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E} 

di mana ε ialah ketelusan bahan. Untuk kes vakum (aka ruang bebas), . Di bawah keadaan ini, hukum Gauss mengubah suai kepada

\Phi_E = \frac{Q_\mathrm{bebas}}{\varepsilon}

untuk bentuk kamiran, dan

\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_\mathrm{bebas}}{\varepsilon}

untuk bentuk pembezaan.

## Kaitan dengan hukum Coulomb

### Menerbitkan hukum Gauss daripada hukum Coulomb
Tegasnya, hukum Gauss tidak boleh diperoleh daripada hukum Coulomb sahaja, kerana hukum Coulomb memberikan medan elektrik disebabkan oleh individu, cas titik elektrostatik sahaja. Walau bagaimanapun, hukum Gauss *boleh* dibuktikan daripada hukum Coulomb jika diandaikan, sebagai tambahan, bahawa medan elektrik mematuhi prinsip superposisi. Prinsip superposisi menyatakan bahawa medan yang terhasil ialah jumlah vektor medan yang dijana oleh setiap zarah (atau kamiran, jika cas diedarkan dengan lancar dalam ruang).

{|\mathbf{r}|^3}\right) = 4\pi \delta(\mathbf{r})
iaitu  ialah fungsi delta Dirac, hasilnya ialah
\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\varepsilon_0} \int \rho(\mathbf{s})\, \delta(\mathbf{r}-\mathbf{s})\, \mathrm{d}^3 \mathbf{s}

Menggunakan "sifat menapis" fungsi delta Dirac, kami tiba di
\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0},
yang merupakan bentuk pembezaan hukum Gauss, seperti yang dikehendaki.
}}

Memandangkan hukum Coulomb hanya terpakai kepada cas pegun, tidak ada sebab untuk mengharapkan hukum Gauss untuk menahan cas bergerak berdasarkan terbitan ini sahaja. Malah, hukum Gauss memang berlaku untuk pertuduhan bergerak, dan, dalam hal ini, hukum Gauss adalah lebih umum daripada hukum Coulomb.

### Menerbitkan hukum Coulomb daripada hukum Gauss
Tegasnya, hukum Coulomb tidak boleh diperoleh daripada hukum Gauss sahaja, kerana hukum Gauss tidak memberikan sebarang maklumat mengenai lengkung  (lihat penguraian Helmholtz dan hukum Faraday). Walau bagaimanapun, hukum Coulomb *boleh* dibuktikan daripada hukum Gauss jika diandaikan, sebagai tambahan, bahawa medan elektrik dari cas titik adalah simetri sfera (andaian ini, seperti hukum Coulomb sendiri, adalah betul-betul benar jika cas itu pegun, dan lebih kurang benar jika cas sedang bergerak).

\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{\varepsilon_0}
iaitu  ialah vektor unit menghala secara jejari dari cas. Sekali lagi dengan simetri sfera,  titik dalam arah jejari, dan jadi kita dapat
\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}
yang pada asasnya bersamaan dengan hukum Coulomb. Oleh itu, pergantungan hukum kuasa dua songsang medan elektrik dalam hukum Coulomb mengikuti hukum Gauss.
}}

## Lihat juga

* Kaedah cas imej
* Teorem keunikan bagi persamaan Poisson
* Senarai contoh hukum Stigler

## Catatan

## Petikan

## Rujukan

*  Digital version
*  David J. Griffiths (6th ed.)

## Pautan luar

* 
* MIT Video Lecture Series (30 x 50 minute lectures)- Electricity and Magnetism Taught by Professor Walter Lewin.
* section on Gauss's law in an online textbook 
* <small>MISN-0-132</small> ''Gauss's Law for Spherical Symmetry'' (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.
* <small>MISN-0-133</small> ''Gauss's Law Applied to Cylindrical and Planar Charge Distributions'' (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.