Gandaan (matematik)

Dalam sains, **gandaan** ialah hasil darab sebarang kuantiti dan integer. Dalam erti kata lain, bagi kuantiti *<math> a</math>* dan *<math> b</math>*, boleh dikatakan bahawa *<math> b</math>* ialah gandaan bagi *<math> a</math>* jika *<math> b = na </math>* bagi dimana integer *<math> n</math>*, yang dipanggil pengganda. Jika *<math> a \neq 0</math>*, ini bersamaan dengan mengatakan itu \frac{b}{a} ialah integer.

Dalam matematik, apabila *<math> a</math>* dan *<math> b</math>* ialah kedua-dua integer, dan *<math> b</math>* ialah gandaan *<math> a</math>*, maka *<math> a</math>* dipanggil sebagai pembahagi *<math> b</math>*. Seseorang juga mengatakan bahawa *<math> a</math>* membahagi *<math> b</math>*. Jika *<math> a</math>* dan *<math> b</math>* bukan integer, ahli matematik lebih suka menggunakan **gandaan integer** dan bukannya "gandaan" demi kejelasan. 

Malah, *gandaan* boleh juga digunakan untuk jenis hasil darab lain; contohnya, polinomial *<math> p</math>* ialah gandaan bagi polinomial *<math> q</math>* yang lain, jika wujud polinomial ketiga *<math> r</math>* supaya *<math> p = qr</math>*.

## Tatatanda
Jika *<math> a</math>* adalah gandaan bagi *<math> b</math>*, ia boleh ditulis sebagai *<math> b \, | \, a</math>.* Ini merupakan suatu pernyataan logik sama ada *benar* atau *palsu*. Jika *<math> a</math>* bukan gandaan bagi *<math> b</math>*, maka *<math> b \not\mid  a</math>.*

## Contoh
Sebagai contoh, *<math> 14</math>*, *<math> 49</math>*, *<math> - 21</math>* dan *<math> 0</math>* ialah gandaan bagi *<math> 7</math>*, manakala *<math> 3</math>* dan *<math> -5</math>* bukan. Ini kerana terdapat integer yang *<math> 7</math>* boleh didarabkan untuk mencapai nilai *<math> 14</math>*, *<math> 49</math>*, *<math> - 21</math>* dan *<math> 0</math>*, manakala tiada *integer* wujud sedemikian untuk  *<math> 3</math>* dan *<math> -5</math>*;

* *<math> 7 \, | \, 14 \because (7 \times 2 = 14) </math>*
* *<math> 7 \, | \, 49 \because (7 \times 7 = 49) </math>*
* *<math> 7 \, | \, -21 \because (7 \times -3 = -21) </math>*
* *<math> 7 \, | \, 0 \because (7 \times 0 = 0) </math>*

* *<math> 7 \not\mid  3  \because (7 \times \frac{3}{7} = 3) </math>, <math> \frac{3}{7} \not\in  \mathbb{Z}</math> * .
* *<math> 7 \not\mid  -5  \because (7 \times - \frac{5}{7} = -5) </math>, <math> - \frac{5}{7} \not\in  \mathbb{Z}</math>*

## Gandaan Sepunya Terkecil

 n adalah Gandaan Sepunya Terkecil bagi nombor *<math> a</math>* dan *<math> b</math>* bermaksud terdapat suatu integer *<math> k_1</math>* dan *<math> k_2</math>* dimana *<math> n = ak_1 = b k_2</math>*.

Fungsi  \mathrm{ GSTK } (a,b) adalah sebuah fungsi yang mengeluarkan output Gandaan Sepunya Terkecil bagi nombor  a dan  b. Fungsi ini boleh diperekstensikan untuk mengambil Gandaan Sepunya Terkecil sampai terma- t;

 \mathrm{ GSTK } (a_1,a_2,a_3, \cdots , a_t), *<math> t \in \mathbb{Z}</math>*

Fungsi  \mathrm{ GSTK } (a,b) juga mempunyai berkaitan dengan Faktor Sepunya Terbesar;

*  \mathrm{ GSTK } (a,b) = \frac{ab}{ \mathrm{FSTB} (a,b) }
*  \mathrm{ GSTK } (a_1,a_2,a_3, \cdots , a_t) = \frac{\prod_{i=1}^t (a_i) }{ \mathrm{ FSTB } (a_1,a_2,a_3, \cdots , a_t) }

## Hukum Asas

* *<math> 0</math>* ialah gandaan bagi setiap integer *<math> n </math>*. *<math> 0 \, | \, n </math>*
* Hasil darab mana-mana integer n dan sebarang integer ialah gandaan daripada n. Secara khusus, n yang sama dengan n \times 1, ialah gandaan daripada n (setiap integer ialah gandaan dirinya), kerana 1 ialah integer.
* Jika a dan b ialah gandaan daripada x, kemudian a + b dan a - b adalah juga gandaan daripada x.

## Rujukan