Pelengkap (teori set)

Dalam teori set, **pelengkap** set A, sering kali dilambangkan oleh A^c (atau A'), adalah unsur yang bukan di A.

Ketika semua set dalam pertimbangan dianggap menjadi subset diberikan set U, **pelengkap mutlak** A ialah set unsur di U, tetapi bukan di A.

**Pelengkap relatif** A terhadap sebuah set B, juga disebut **beza set** B dan A, ditulis B \setminus A, adalah set unsur-unsur di B tapi bukan di A.

## Pelengkap mutlak

### Takrifan
Jika A ialah sebuah set, maka **pelengkap mutlak <math>A</math>**) ialah set unsur-unsur yang bukan di A (dalam sebuah set lebih besar yang secara implisit ditakrifkan). Dengan kata lain, misalkan U menjadi sebuah set yang berisi semua unsur-unsur yang diperhatikan, jika tidak ada yang perlu untuk menyebutkan U, sama ade kerana telah ditentukan sebelumnya, atau dengan jelas dan unik, maka pelengkap mutlak A ialah pelengkap relatif A di U:

:A^c = U - A

Atau secara formal:

:A^c = \{x \in U \mid x \notin A \}.

Pelengkap mutlak A biasanya dilambangkan oleh A^c. Notasi lainnya termasuk \overline{A}, A', \complement_U A, dan \complement A.

Sebagai contoh, andaikan bahawa semesta ialah set nombor bulat. Jika A ialah set nombor ganjil, maka pelengkap A adalah set nombor genap. Jika B ialah set gandaan 3, maka pelengkap B ialah set bilangan kongruen dengan 1 atau 2 modulo 3 (atau, secara ringkasnya, nombor bulat bukan gandaan 3).

### Sifat-sifat
Andaikan A dan B menjadi dua set dalam sebuah semesta U. Identiti berikut merangkumi sifat-sifat pelengkap mutlak yang penting:

Hukum de Morgan:

* \left(A \cup B \right)^c=A^c \cap B^c.
* \left(A \cap B \right)^c=A^c\cup B^c.

* A \cup A^c = U.
* A \cap A^c =\varnothing.
* \varnothing^c = U.
* U^c = \varnothing.
* Jika A \subseteq B, maka B^c \subseteq A^c.

(ini diikuti daripada kesetaraan syarat dengan kontrapositifnya).

Hukum pelengkap involusi atau ganda:

* (A^c)^c = A.

Hubungan antara pelengkap mutlak dan relatif:

* A \setminus B = A \cap B^c.
* (A \setminus B)^c = A^c \cup B = A^c \cup (B \cap A).

Hubungan dengan sebuah beza set:

* A^c \setminus B^c = B \setminus A.

Dua hukum pelengkap pertama di atas menunjukkan bahawa jika A adalah sebuah set bukan kosong, subset U, maka \{A,A^c\} ialah pemetakan U.

## Pelengkap relatif

### Takrifan
Jika A dan B ialah set, maka **pelengkap relatif** A dalam B, juga disebut **beza set** B dan A, adalah set unsur-unsur di B tapi bukan di A.

Pelengkap relatif A di B dilambangkan B \setminus A berdasarkan piawai ISO 31-11. Kadangkala, ini ditulis sebagai B - A, tapi notasi ini bersifat samar kerana dalam beberapa konteks, ini dapat difahami sebagai set semua unsur b - a, di mana b diambil dari B dan a diambil dari A.

Secara formal:

:B \setminus A = \{ x\in B \mid x \notin A \}.

### Contoh

* \{ 1, 2, 3\} \setminus \{ 2,3,4\} = \{ 1 \}.
* \{ 2, 3, 4 \} \setminus \{ 1,2,3 \} = \{ 4 \} .
* Jika \R ialah set nombor nyata dan \Q ialah set nombor nisbah, maka \R \setminus \Q ialah set nombor bukan nisbah.

### Sifat-sifat
Andaikan A, B, dan C menjadi tiga set. Identiti berikut merangkumi sifat-sifat penting pelengkap relatif:

* C \setminus (A \cap B) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B).
* C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B).
* C \setminus (B \setminus A) = (C \cap A) \cup (C \setminus B), dengan kes khusus penting C \setminus (C \setminus A) = (C \cap A) menunjukkan bahawa persilangan dapat diungkapkan hanya menggunakan operasi pelengkap relatif.
* (B \setminus A) \cap C = (B \cap C) \setminus A = B \cap (C \setminus A).
* (B \setminus A) \cup C = (B \cup C) \setminus (A \setminus C).
* A \setminus A = \empty.
* \empty \setminus A = \empty.
* A \setminus \empty = A.
* A \setminus U = \empty.

## Hubungan pelengkap
Sebuah hubungan binari R dapat ditakrifkan sebagai sebuah subset darab set X \times Y. **Hubungan pelengkap** \bar{R} merupakan pelengkap set R di X \times Y. Pelengkap relatif R dapat ditulis

:\bar{R} \ = \ (X \times Y) \setminus R.

Di sini, R sering kali dipandang sebagai sebuah matriks logik dengan baris mewakili unsur-unsur X, dan unsur-unsur lajur Y. Kebenaran mengenai aRb berpadanan dengan 1 dalam baris a, lajur b. Menghasilkan hubungan pelenkap ke R, kemudian berpadanan dengan menukar semua 1 dan 0, dan 0 ke 1 bagi matriks logik dari pelengkap.

Bersama dengan pelengkap relatif dan hubungan songsang, hubungan pelengkap dan algebra set merupakan operasi-operasi asas dalam kalkulus relatif.

## Notasi LaTeX
Dalam bahasa penyusunan huruf LaTeX, perintah `\setminus` biasanya digunakan dalam mewakili sebuah simbol beza set yang serupa dengan sebuah simbol garis palang terbalik. Ketika diucapkan, perintah `\setminus` terlihat serupa dengan `\backslash`, kecuali bahawa ini memiliki sebuah ruang lebih sedikit di depan dan di belakang palang, sama dengan barisan LaTeX `\mathbin{\backslash}`. Sebuah varian `\smallsetminus` tersedia dalam pek amssymb.

## Rujukan


## Bibliografi

* 
* 
* 

## Pautan luar

* 
*