Nombor nisbah

**Nombor nisbah** ialah sebarang nombor nyata yang boleh ditulis sebagai suatu nisbah atau pecahan. Suatu nombor nisbah q boleh ditulis dalam bentuk *a:b* dimana *a* dan *b* adalah suatu integer dengan satu syarat bahawa penyebut tersebut tidak boleh sama dengan 0. 

Sebagai contoh, 2/3 adalah nombor nisbah kerana pengangka dan penyebutnya adalah integer.

Perkataan 'nisbah' datang daripada perkataan bahasa Arab نِسْبَة (*nisba*) yang digunakan dalam konteks gramatis dan kewangan.

## Definisi
Set bagi semua nombor nisbah ditandai dengan simbol *blackboard* \mathbb{Q} ditakrifkan sebagai;

:\mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b}  \, | \, \, a, b \in \mathbb{Z} \, \, \mathrm{dan} \, \, b \ne 0 \right\}

di mana \mathbb{Z} ialah set bagi semua integer.

Nombor yang tidak boleh diwakili dalam bentuk dikenali sebgai nombor bukan nisbah. Set untuk nombor-nombor itu ditandai dengan pelengkap bagi \mathbb{Q}, iaitu \mathbb{Q} '. Antara contoh nombor tidak nisbah adalah \sqrt{2}, e dan \mathrm{ln} (3). 

### Sifat

* \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}; Set nombor nisbah adalah subset bagi set nombor nyata.
* \mathbb{Q} \, \cup \mathbb{Q}^{'} = \mathbb{R}; Kesatuan set nombor nisbah dan set nombor bukan nisbah adalah set nombor nyata.

## Aritmetik
Berikut merupakan nombor nisbah a / b  dan c / d  dimana a , b , c  dan d  adalah integer, melalui operasi aritmetik.

### Persamaan
\frac{a}{b} = \frac{c}{d}   jika dan hanya jika ad = bc 

### Pendaraban dan pembahagian
\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}  **(1),**  bd \neq 0 

Hasil darab ac  dan bd  adalah integer kerana pendaraban antara dua integer akan menghasilkan suatu integer. Sebab ac  dan bd  adalah integer, maka ab / cd  adalah nombor nisbah mengikut definisi nombor nisbah.

\therefore \frac{ac}{bd} \in \mathbb{Q}

Ini menunjukkan hasil darab dua nombor nisbah akan menghasilkan suatu nombor nisbah. Dalam kes pembahagian pula, kita dapat;

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{\bigl( \frac{a}{b} \bigr) }{ \bigl( \frac{c}{d} \bigr) } = \frac{ad}{bc}  **(2),  <math>bc \neq 0</math>**

Seperti kesimpulan dengan persamaan **(1)**, sebab ad  dan bc  adalah integer. Maka, ad / bc  adalah nombor nisbah. 

\therefore \frac{ad}{bc} \in \mathbb{Q}

Ini menyimpulkan bahawa pembahagian antara dua nombor nisbah masih akan menghasilkan suatu nombor nisbah.

### Penambahan dan penolakan
\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}  **(3)**

Dari persamaan **(3)**, didapati bahawa ad , bc  dan bd  ialah integer. Berikutan daripada itu, ad \pm dc  juga adalah integer kerana penambahan atau penolakan antara dua integer akan menghasilkan suatu integer. Sebab ad \pm dc  dan bd  adalah integer. Maka, (ad \pm dc)  / bd  adalah nombor nisbah mengikut definisi nombor nisbah.

\therefore \frac{ad \pm bc}{bd} \in \mathbb{Q}

Penambahan dan penolakan dua nombor nisbah akan menghasilkan suatu nombor nisbah.

### Songsangan
\Bigr( \frac{a}{b} \Bigr) ^{-1} = \frac{b}{a}  **(4),  <math>a \neq 0</math>**

b  dan a  ialah integer. Maka, b/a  adalah nombor nisbah. Hasil ini boleh digeneralisasikan kepada:

\Bigr( \frac{a}{b} \Bigr) ^{-n} = \Bigr( \frac{b}{a} \Bigr) ^{n} = \frac{b^n}{a^n}  **(5),  <math>a \neq 0</math>**

dimana n \in \mathbb{Z}.

### Punca kuasa
\sqrt{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{b} }  **(7)**

Hasil tersebut menunjukkan punca kuasa dua bagi a / b  adalah nombor nisbah jika a  dan b  adalah kuasa dua sempurna. Ini boleh digeneralisasikan kepada:

\sqrt[n]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} }  **(8)**

dimana n \in \mathbb{Z}.

## Fungsi nisbah
**Fungsi nisbah** ialah nisbah bagi dua fungsi polinomial dimana polinomial penyebut bukan 0.

R(x) = \frac{ P(x) }{ Q(x) }

## Rujukan