Set

Dalam matematik, **set** ialah konsep bagi sekumpulan benda. Kajian mendalam tentang set diteruskan lagi dalam bidang teori set.

## Pembinaan

Set boleh dibentuk dengan tatatanda \{ ... \}. Sebagai contoh, berikut ialah set warna primer W:

: W = \{merah, hijau, biru\}

## Keahlian

Setiap objek yang terdapat dalam sesebuah set ialah **ahli** atau **unsur** bagi set itu. Sebagai contoh, 1 ialah unsur bagi set \{ 1,2,3,4 \}.

Hubungan keahlian boleh ditulis dengan lambang \in. Kenyataan

:x \in A

bermaksud x ialah unsur A. Penafian keahlian boleh ditulis dengan lambang \notin.

Set juga merupakan suatu objek matematik. Oleh itu, set boleh dijadikan unsur bagi set lain. Sebagai contoh, \{\{ 1 \}\} ialah sebuah set yang mengandungi satu unsur \{ 1 \}, yang pula merupakan set dengan satu unsur 1. Dalam kata lain, 1 \in \{ 1 \} \in \{\{ 1 \}\}.

## Subset

Subset ialah set yang semua nilai kandungannya terdapat dalam set yang lain. Sebagai contoh, set A = \{x, y, z\} ialah subset kepada B = \{x, y, z, 1, 2, 3\}. Atau secara matematik, ia ditulis A \subseteq B. Sama juga, B \supseteq A, tetapi kali ini ia dibaca "B ialah superset bagi A" berbanding sebelumnya, "A ialah subset bagi B".

Secara formal, A \subseteq B \leftrightarrow \forall(x \in A \to x \in B), atau, dengan menggunakan set kuasa, A \subseteq B \leftrightarrow A \in \mathcal{P}(B).

Konsep subset boleh digunakan untuk menentukan kesamaan set. Suatu set A adalah sama dengan suatu set B jika set A ialah subset B dan B ialah subset A. Dalam simbol,

:A = B \leftrightarrow A \subseteq B \land B \subseteq A

## Operasi

Terdapat beberapa operasi yang boleh dikendalikan pada set.

**Kesatuan** bagi set A dan set B ialah set bagi semua unsur bagi A dan semua unsur bagi B. Secara formal,

: A \cup B = \{ x : x \in A \lor x \in B) \}

**Persilangan** bagi set A dan set B ialah set bagi semua unsur yang terdapat dalam kedua-dua A dan B. Secara formal,

: A \cap B = \{ x : x \in A \land x \in B \}

**Pelengkap** bagi set B dalam set A ialah set bagi semua unsur bagi A tetapi tidak mengandungi sebarang unsur bagi B. Secara formal,

: A \setminus B = \{ x : x \in A \land x \notin B \}

**[[Hasil darab Descartes]]** bagi set A dan set B ialah set bagi semua pasangan unsur bagi A dan unsur bagi B. Secara formal,

: A \times B = \{ \langle x, y \rangle : x \in A \land y \in B \}

**Kesatuan tak bercantum** bagi set A dan set B ialah set gabungan semua unsur bagi A dan B, yang mengekalkan keahlian setiap unsur bagi set-set asal. Secara formal,

: A + B = (\{ 0 \} \times A) \cup (\{ 1 \} \times B)

## Set khas

Terdapat beberapa set khas yang sering digunakan dalam matematik. Kesemua set ini ditulis dengan cara 'tebal papan hitam':

; \mathbb{P}: Set bagi semua nombor perdana.
; \mathbb{N}: Set bagi semua nombor asli. Iaitu, \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\} atau \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}.
; \mathbb{Z}: Set bagi semua integer. Iaitu, \mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}.
; \mathbb{Q}: Set bagi semua nombor nisbah. Iaitu, \mathbb{Q} = \{a/b : a, b \in \mathbb{Z} \land b \ne 0\}.
; \mathbb{R}: Set bagi semua nombor nyata.
; \mathbb{C}: Set bagi semua nombor kompleks.

Kesemua set di atas mempunyai bilangan unsur yang tidak terhingga. Namun begitu, saiz bagi mana-mana set khas ini boleh dibandingkan dengan ukuran kekardinalan. Nombor kardinal bagi set nombor asli, contohnya, ialah \aleph_0 (alef-nol). Teori mengenai kekardinalan ini dikemukakan oleh Georg Cantor.

## Lihat juga

* Glosari teori set

## Pautan luar

* Keterangan di Wolfram Mathworld
* Keterangan di PlanetMath