Teori kumpulan

Dalam matematik dan algebra abstrak, teori kumpulan mempelajari struktur algebra yang dikenali sebagai kumpulan. Konsep sebuah kumpulan adalah sangat penting untuk algebra abstrak: struktur algebra lain yang terkenal seperti gelang, medan, dan ruang vektor semuanya boleh dilihat sebagai kumpulan yang diberi operasi tambahan dan aksiom. 

Teori kumpulan sering digunakan dalam matematik sebagai titik permulaan untuk kajian bagi banyak struktur algebra, dan juga untuk penambahan dan pendaraban nombor. Oleh kerana teori kumpulan ini juga berguna untuk mempelajari simetri dan sistem abstrak, ia juga mempunyai banyak aplikasi dalam fizik dan kimia.

Kumpulan Linear algebra dan kumpulan Lie adalah dua cabang teori kumpulan yang telah mengalami kemajuan luar biasa dan telah menjadi bidang kajian khusus yang tersendiri. Salah satu pencapaian matematik yang paling penting pada abad ke-20 adalah kajian bersama ahli-ahli matematik yang dimuatkan dalam 10,000 halaman jurnal yang sebahagian besar diterbitkan antara tahun 1960 dan 1980, yang menghasilkan klasifikasi lengkap untuk kumpulan ringkas terhingga.

## Definisi

Kumpulan adalah satu set (koleksi) *G* yang ahli-ahlinya disebut "unsur" (*elements*). Unsur boleh merujuk kepada nombor-nombor untuk sesuatu benda, atau benda abstrak yang lain. unsur juga bahkan boleh menjadi objek material. Terdapat operasi binari yang menggabungkan mana-mana dua unsur G yang menghasilkan unsur lain untuk *G*. unsur baru ini mungkin berbeza dari salah satu daripada dua yang asli, tetapi tidak semestinya begitu. Ia hanya perlu menjadi unsur *G*. Untuk menjadi sebuah kumpulan, keempat syarat berikut harus benar bagi G dan operasi yang ditentukan ke atas G:

* *Penutupan*: Perlu untuk memeriksa sama ada operasi yang dicadangkan adalah sebenarnya operasi ke atas set. Jika satu operasi digunakan pada mana-mana unsur dalam sesebuah kumpulan, unsur yang terbentuk juga akan menjadi sebahagian daripada kumpulan tersebut.
** Untuk semua *a*, *b* dalam *G*, hasil daripada operasi *a*, *b* • juga dalam *G*.

* *Unsur identiti*: unsur istimewa dalam kumpulan dikenali sebagai "unsur identiti". Jika operasi digunakan dengan unsur identiti dan unsur yang lain, unsur yang lain itu takkan berubah. 
** Terdapat unsur identiti *e* dalam *G*, jadi untuk semua unsur *a* dalam *G*, persamaan *e* • *a* = *a* *e* • = digunakan.

* *Kesekutuan*: Bila terdapat banyak operasi, tidak kira dalam urutan apapun ia diselesaikan, hasilnya akan sama.
** Untuk semua *a*, *b* dan *c* dalam *G*, persamaan (*a* • *b*) • *c* = *a* • (*b* • *c*) digunakan.

* *Unsur songsang*: Setiap unsur dalam kumpulan mempunyai unsur lain dalam kumpulan tersebut ketika operasi dilakukan antara mereka, hasilnya adalah unsur identiti. Ini dikenali sebagai songsangnya.
** Untuk setiap *a* dalam *G*, terdapat unsur *b* dalam *G* yang menjadikan *a* • *b* = *b* • *a* = *e*, di mana *e* adalah unsur identiti.

Fakta penting tentang kumpulan ialah apabila dua unsur digabungkan menggunakan operasi, susunan unsur adalah sangat penting. Dengan mengubah susunan unsur yang digabungkan, ia akan memberikan hasil yang berbeza. Ini bermakna *a* • *b* = *b* • *a* tidak digunakan. Jika susunan tidak penting dan persamaan ini diguna, kumpulan ini dipanggil kumpulan Abel.

## Contoh

Salah satu contoh kumpulan ialah set integer (disebut **Z**) dengan operator penambahan +. Kumpulan ini disebut *G* = (**Z**, +). Setiap keadaan yang diperlukan adalah benar bagi *G*, maka *G* adalah satu kumpulan.
* Penutupan: Untuk sebarang dua integer *a*, *b* dalam *G*, *a* + *b* juga dalam *G*.
* Unsur Identiti: Untuk sebarang integer dalam *G*, *a* + 0 = *a*. Jadi 0 adalah unsur identiti *G*.
* Kesekutuan: Untuk sebarang tiga integer *a*, *b*, dan *c* dalam *G*, (*a* + *b*) + *c* = *a* + (*b* + *c*).
* Unsur songsang: Untuk sebarang integer dalam *G*, terdapat *b* = -*a* dalam *G* jadi *a* + *b* = 0.

Operator penambahan adalah bertukar tertib - urutan *a* dan *b* tidak penting. Untuk sebarang dua integer *a* dan *b* dalam *G*, *a* + *b* = *b* + *a*. Jadi, *G* juga merupakan kumpulan Abel.