Gerakan berkala

Umumnya, persamaan bagi pangayun ialah penyelesaian bagi persamaan

: \frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = A_0cos(\omega t) \,

dimana

: b \, ialah pemalar redaman
: \omega_0 \, ialah frekuensi sudut
: A_0cos(\omega t) \, ialah faktor luar yang mengayunkan sistem itu

## Istilah-istilah penting

* **Amplitud**, A\, adalah jarak maksimum dari keseimbangan. Unit SInya ialah meter.
* **Frekuensi**,f\, ialah jumlah kitaran dalam satu unit masa. Bagi frekuensi sudut ( \omega\, ) pula, ia berhubung kait dengan  f \, melalui persamaan

: \omega = 2\pi f \,

Unit SI bagi frekuensi ialah hertz,**HZ**, dimana

1 hertz = 1 Hz = 1 kitaran/saat = 1/saat.

* **Tempoh**, T\, ialah masa untuk satu kitaran. Unit SInya ialah saat. Perhubungan diantara tempoh dan frekuensi dan frekuensi sudut ialah

: T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega} \,

## Gerakan Harmonik Mudah
**Pengayun Berharmoni** ialah
* suatu sistem mekanikal dimana daya berkadar terus dengan sesaran, iaitu  F = -kx \, dimana k\, ialah pemalar spring.
* mana-mana sistem yang analogus dengan sistem mekanik ini.
Apabila daya yang pemulih berkadar terus dengan sesaran, maka sistem itu dipanggil **Gerakan Harmonik Mudah**. 

Bagi gerakan harmonik mudah, nilai pemalar redaman adalah kosong dan tiada faktor luar yang mempengaryhi sistem ini. Maka persamaan pembezaannya ialah

: \frac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2 x = 0 \,

maka penyelesaian bagi persamaan di atas ialah

: x = Acos(\omega t +\phi) \,

dimana

: \phi\, ialah sudut fasa

maka halajunya ialah

: v_x = \frac{dx}{dt} = -\omega A sin(\omega t + \phi) \,

dan pecutannya ialah

: a_x = \frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 Acos(\omega t + \phi) \,

dimana persamaan pecutannya ialah 

: a_x = \frac{d^2x}{dt} = -\frac{k}{m}x = -\omega^2x \,

oleh itu dari persamaan diatas, frekuensi sudut ialah

: \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \,

maka

: f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \,

: T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \,

### Tenaga Di Dalam Gerakan Harmonik Mudah
Untuk rencana lanjutan lihat tenaga

Tenaga yang terdapat pada gerakan harmonik mudah ialah

: E = \frac{1}{2}mv_x^2 +\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2 = pemalar \,

### Gerakan Harmonik Mudah Sudut

Mengikut kinematik sudut,

: \sum \tau_z = I\alpha_z = I\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\kappa\theta \,

Ini adalah anologi dari kinematik linear, dan

: I\, ialah momen inersia
: \kappa\, ialah pemalar kilasan dimana

: \omega = \sqrt{\frac{\kappa}{I}} \, dan  f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\kappa}{I}} \,

## Pengayun Berharmonik Pacuan

Ia adalah penyelesaian bagi formula

: \frac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2 x = A_0cos(\omega t) \,

## Pengayun Teredam

Bagi pengayun teredam, persamaan pembezaannya ialah

: \sum F_x = ma_x = -kx -bv_x = -kx -b\frac{dx}{dt} = m\frac{d^2x}{dt^2} \,

Maka penyelesaian persamaan di atas ialah

: x =Ae^{-\frac{b}{2m}t}cos( \omega' t + \phi ) \,

dan frekuensi sudut bagi pengayun teredam ialah

: \omega' = \sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m^2}} \,

### Redaman Genting

**Redaman Genting**' ialah situasi dimana \omega' = 0\,. Maka

: 0 = \frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m^2} \, atau  b = 2\sqrt{km} \,

Sistem ini tidak lagi berayun dan kembali ke keseimbangan tanpa sebarang ayunan.

### Lebih Redaman

**'Redaman Lebih**' ialah dimana

: b > 2\sqrt{km} \,.

Situasi ini ialah dimana ayunan kembali ke keseimbangan tanpa ayunan tetapi secara perlahan-lahan. Formula untuk sesaran ialah

: x = C_1e^{-a_1 t} + C_2e^{-a_2 t} \,

dimana  C_1\, dan C_2\, ialah pemalar.

### Kurang Redaman

Bagi redaman kurang

: b 

Sistem bagi redaman kurang berayun dengan amplitud yang semakin berkuranngan.

## Lihat Juga
* Bandul
* Resonan