Kamiran

**Kamiran** atau **kamilan** () ialah satu konsep dalam matematik yang membentuk antara operasi-operasi utama dalam kalkulus bersama-sama pembezaan. Diberi fungsi *ƒ* dengan satu pemboleh ubah nyata *x*, dan julat nilai *x* itu adalah dari *a* ke *b*, *a*,&nbsp;*b* pada garis nyata, *kamiran tentu* ditakrifkan sebagai:

:\int_a^b f(x)\,dx \, ,

dan ditakrifkan secara tidak formal sebagai luas bertanda bersih kawasan di satah *xy* yang dibatasi dengan graf *ƒ*, paksi-*x*, dan garis menegak *x*&nbsp;= *a* dan *x*&nbsp;=&nbsp;*b*.

Istilah *kamiran* juga boleh merujuk kepada tanggapan antiterbitan, fungsi *F* dengan terbitan ialah fungsi diberi *ƒ*. Dalam kes ini, ia dipanggil sebagai *kamiran tak tentu*, manakala kamiran yang bakal dibincangkan dalam rencana ini dipanggil *kamiran tentu*. Sesetengah penulis mengekalkan perbezaan antara antiterbitan dan kamiran tak tentu.

Prinsip kamiran telah diterbitkan oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz secara berasingan (mereka berada di tempat yang berbeza, namun menerbitkan hasil kerja pada waktu yang sama) pada lewat kurun ke-17. Melalui teori asas kalkulus yang juga diterbitkan oleh mereka berdua, kamiran dikaitkan dengan pembezaan yang telah diketahui umum ketika itu. Perkaitan itu menyatakan bahawa jika *f* ialah satu fungsi selanjar dengan nilai nyata serta had [a, b], maka apabila antiterbitan *F* untuk *f* diketahui, kamiran tentu *f* dalam had yang diberikan adalah
:::\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\, .

Kamiran dan terbitan adalah asas kalkulus. Kedua-duanya banyak diguna pakai dalam pelbagai bidang sains dan kejuruteraan. Selain kaedah di atas, kaedah Bernhard Riemann juga boleh diterima. Menurut kaedah ini, kawasan di bawah suatu garis itu dipecahkan kepada kepingan-kepingan mencancang yang kecil. Untuk mencari kamiran bagi fungsi garis tadi, luas setiap kepingan dikira dan dijumlahkan. Namun kaedah ini mempunyai batasnya, terutama dalam aplikasi. Bermula abad ke-19, kaedah-kaedah yang lebih canggih muncul, di mana jenis-jenis kamiran serta kawasan di mana kamiran dilakukan semakin kompleks. Sebagai contoh, kamiran garisan ialah kamiran untuk fungsi dengan dua atau tiga anu, dan had [*a, b*] diubah kepada satu lengkungan yang menyambungkan dua titik dalam satu satah atau ruang. Kamiran permukaan pula merupakan kamiran sekeping permukaan dalam ruang tiga matra. Kaedah-kaedah ini muncul pada mula-mulanya melalui perkembangan dalam fizik. Kamiran memainkan peranan penting dalam banyak hukum fizik, terutamanya dalam elektrodinamik. Kini, terdapat banyak kaedah moden untuk menyelesaikan kamiran. Salah satu kaedah yang terkenal dipanggil kamiran Lebesgue yang diterbitkan oleh Henri Lebesgue.

## Sejarah

### Kamiran sebelum penerbitan kalkulus

Kamiran telah diguna pakai sejak zaman Mesir purba sejak sekitar 1800 SM, di mana Papirus Matematik Moscow telah menunjukkan formula untuk menyelesaikan masalah berkaitan pembinaan piramid. Teknik pertama yang sistematik dan tersusun dalam menyelesaikan masalah kamiran adalah kaedah penyusutan (exhaustion method) oleh Eudoxus pada sekitar 370 SM. Kaedah ini digunakan untuk mencari luas kawasan dengan memecahkan kawasan itu kepada kawasan-kawasan kecil yang luasnya diketahui. Kaedah ini juga boleh digunakan untuk mencari isi padu. Archimedes menggunakan kaedah penyusutan untuk mengira nilai pi, luas bulatan dan luas parabola. Kaedah yang hampir sama telah dibina oleh ahli matematik Cina Liu Hui, juga untuk mencari luas bulatan. Kaedah Liu Hui pula dikembangkan oleh pasangan ayah dan anak Zu Chongzhi dan Zu Geng untuk mencari isi padu sfera. Pada abad yang sama, ahli matematik India Aryabhata menggunakan kaedah yang hampir sama untuk mencari luas kiub.

Langkah seterusnya dalam perkembangan kamiran berlaku di Iraq apabila ahli matematik Islam abad ke-11, Ibn Al-Haitham merancang satu masalah yang kini dikenali sebagai "masalah Al-Haitham" dalam buku fiziknya *Kitab Al-Manazir* ("Kitab Penglihatan"). Masalah ini membawa kepada persamaan darjah keempat (iaitu persamaan yang melibatkan kuasa 4 atau *x*4). Semasa menyelesaikan permasalahan ini, beliau telah menggunakan kamiran untuk mencari isi padu paraboloid. Menggunakan induksi matematik melalui pengiraan, beliau telah mengasaskan kamiran bagi polinomial darjah keempat. Namun begitu, Ibn Al-Haitham tidak mengambil berat akan polinomial dengan darjah lebih tinggi daripada 4. Selain Ibn Al-Haitham, idea-idea tentang kamiran juga boleh ditemui dalam buku astronomi *Siddhanta Shiromani* yang ditulis oleh ahli matematik India Bhaskara II pada kurun ke-12.

Kemajuan seterusnya muncul pada kurun ke-16. Pada masa ini asas kalkulus moden telah tercipta melalui pengiraan yang dibuat oleh Cavalieri dengan prinsip Cavalieri dan kerja-kerja Fermat. Langkah untuk penciptaan kalkulus moden ini semakin dikukuhkan oleh Barrow dan Torricelli pada awal kurun ke-17 apabila kedua-duanya menyatakan terdapat hubungan antara pembezaan dan kamiran.

Pada masa yang hampir sama, ahli matematik Jepun juga banyak membuat pengiraan kamiran, terutama Seki Kōwa. Beliau membuat beberapa sumbangan seperti mengaplikasikan kaedah penyusutan untuk mencari luas kawasan melalui kamiran.

### Newton and Leibniz
Perkembangan besar dalam kamiran muncul pada abad ke-17 apabila kedua-dua Newton dan Leibniz menerbitkan teori asas kalkulus (*fundamental theorem of calculus*). Teori ini membuktikan kaitan antara kamiran dan pembezaan. Perkaitan ini, dicampur dengan pembezaan yang jauh lebih senang daripada kamiran, digunakan oleh kedua-duanya untuk membuktikan kewujudan kamiran dengan sistematik dan saintifik. Kamiran menyelesaikan banyak masalah yang gagal diselesaikan dengan pembezaan. Sesuatu fungsi yang berterusan boleh dianalisa dengan tepat melalui kalkulus yang diberi nama *infinitesimal calculus* ini. Kerja-kerja Newton dan Leibniz ini akhirnya dipanggil kalkulus moden, dimana tatanama untuk kamiran diambil secara langsung dari kerja Leibniz.

## Lihat juga


* Senarai kamiran
* Antiterbitan
* Pengamiran nombor
* Persamaan kamiran
* Pengamiran Riemann
* Pengamiran Riemann-Stieltjes
* Pengamiran Henstock–Kurzweil
* Pengamiran Lebesgue
* Pengamiran Darboux
* Penghasiltambahan Riemann
* Pengamiran hasil darab


## Nota

## Rujukan
* 
* . In particular chapters III and IV.
* 
* 
* 
* 
* Available in translation as 
* (Originally published by Cambridge University Press, 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.)
* 
* 
* 

* 
* 
* 
*  
* .
* 

## Pautan luar

* The Integrator by Wolfram Research
* Riemann Sum by Wolfram Research
* Function Calculator from WIMS
* Mathematical Assistant on Web online calculation of integrals, allows to integrate in small steps (includes also hints for next step which cover  techniques  like by parts, substitution, partial fractions, application of formulas and others, powered by Maxima (software))
* Berkenaan persamaan kamiran rantau 

### Buku dalam talian
* Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin
* Stroyan, K.D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus , University of Iowa
* Mauch, Sean, ''Sean's Applied Math Book'' , CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus
* Crowell, Benjamin, ''Calculus'', Fullerton College, an online textbook
* Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus
* Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook
* Kowalk, W.P., ''Integration Theory'', University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook
* Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, an introduction to calculus
* Numerical Methods of Integration at *Holistic Numerical Methods Institute*
* P.S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) - a cookbook of definite integral techniques