Polinomial

Dalam bidang matematik, **polinomial** ialah sejumlah ungkapan yang menggunakan pembolehubah bereksponen integer yang berpasangan dengan suatu pekali berinteger.

Sebagai contoh, 3x^2 - 4x  + 7 adalah sebuah polinomial, dimana x adalah pembolehubah, +3 dan -4 adalah pekali dan +7 adalah pemalar. Secara am, bentuk umum bagi suatu polinomial adalah:

{c_n}x^n+{c_{n-1}} x^{n-1} + {c_{n-2}} x^{n-2} + \cdots + c_3x^3 + c_2x^2 +x_1x +c_0

Dimana x adalah pembolehubah, c_n adalah pekali dan n adalah eksponen pembolehubah.

## Klasifikasi polinomial

### Jenis polinomial
**Jenis polinomial** diklasifikasi berdasarkan bilangan ungkapannya. Terdapat 4 jenis polinomial:

* Monomial
* Binomial
* Trinomial
* Polinomial lebih daripada 3 ungkapan.
**Monomial** merupakan polinomial yang hanya mempunyai **satu** ungkapan. Sebagai contoh, 2xy, -4z, 9a. Istilah *monomial* juga ditukar dengan perkataan *ungkapan*. Perkataan *monomial* datang dari gabungan kata awalan bahasa Yunani *mono-* yang bermaksud "*satu*" dan perkataan *nomen* yang bermaksud "*nama*". Semua polinomial dibuat daripada jumlah-jumlahan monomial.

**Binomial** merupakan polinomial yang mempunyai **dua** ungkapan. Sebagai contoh, 3x + 4y, 7x^2+5x, 8a - 9k. Perkataan *binomial* datang dari gabungan kata awalan bahasa Latin *bi-* yang bermaksud "*dua*" dan perkataan *nomen* yang bermaksud "*nama*". Terdapat beberapa hukum yang berkaitan dengan binomial, yang paling dikenali adalah:

* (x \pm y)^ 2 = x^2 \pm 2xy + y^2, dimana x,y \in \mathbb{R}
* (x+y)(x-y) = x^2-y^2, dimana x,y \in \mathbb{R}

Juga, binomial (x + y)^2 boleh dikembangkan untuk eksponen berinteger yang lebih daripada 2. Ini dicapai dengan **teorem binomial**:

(x+y)^n = \sum_{k=0}^n  \binom{n}{k} x^{n-k} y^k

dimana x,y \in \mathbb{R}, n, k \in \mathbb{Z}^{+} dan \binom{n}{k} adalah gabungan k dipilih dari n.

Ia juga dinotakan bahawa pekali bagi setiap ungkapan dalam kembangan binomial tersebut bersempadan kepada nombor-nombor dalam baris-n di segi tiga Pascal.

**Trinomial** adalah polinomial yang mempunyai **tiga** ungkapan. Seperti etimologi *monomial* dan *binomial*, perkataan *trinomial* datang dari gabungan perkataan *nomen* yang bermaksud "*nama*" dan kata awalan bahasa Inggeris *tri-*, yang bermaksud "*tiga*". Juga, ia wujud cara untuk mengembangkan suatu trinomial seperti pengembangan binomial, iaitu menggunakan **pengembangan trinomial**:

(a+b+c)^n = \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}\, a^{n-r}\, \sum_{s=0}^{r} {r \choose s}\, b^{r-s}\,c^{s}

Sama seperti bagaimana pekali bagi setiap ungkapan dalam kembangan binomial bersempadan kepada nombor-nombor dalam baris-n di segi tiga Pascal, pekali bagi setiap ungkapan di kembangan trinomial bersempadan kepada nombor datar-n susunan bentuk 3D **piramid Pascal**.

### Darjah polinomial

**Darjah polinomial** merupakan nilai yang mewakili eksponen pembolehubah tertinggi dalam suatu polinomial.

Sebagai contoh, darjah polinomial bagi 2x^3+7x^2-8x+3 adalah 3, kerana 3 adalah eksponen pembolehubah x tertinggi.

### Nama polinomial
**Nama polinomial** dinamakan berdasarkan darjah polinomialnya. Ini adalah senarai nama bagi beberapa darjah polinomial pertama, serta bentuk polinomial:

## Solusi bagi polinomial

### Rumus-rumus
Bentuk persamaan linear: ax+b=0

Solusi: x = - \frac{b}{a}

Bentuk persamaan kuadratik: ax^2 + bx + c = 0

Solusi: x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}

Bentuk persamaan kubik:  ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

Solusi:

\begin{align}
x_1 &= -\frac{b}{3a} \\
&\quad - \frac{1}{3a} \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left[ 2b^3 - 9abc + 27a^2d + \sqrt{(2b^3 - 9abc + 27a^2d)^2 - 4 (b^2 - 3ac)^3} \right]} \\
&\quad - \frac{1}{3a} \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left[ 2b^3 - 9abc + 27a^2d - \sqrt{(2b^3 - 9abc + 27a^2d)^2 - 4 (b^2 - 3ac)^3} \right]}
\end{align}

\begin{align}
x_2 &= -\frac{b}{3a} \\
&\quad + \frac{1 + i\sqrt{3}}{6a} \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left[ 2b^3 - 9abc + 27a^2d + \sqrt{(2b^3 - 9abc + 27a^2d)^2 - 4 (b^2 - 3ac)^3} \right]} \\
&\quad + \frac{1 - i\sqrt{3}}{6a} \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left[ 2b^3 - 9abc + 27a^2d - \sqrt{(2b^3 - 9abc + 27a^2d)^2 - 4 (b^2 - 3ac)^3} \right]}
\end{align}

\begin{align}
x_3 &= -\frac{b}{3a} \\
&\quad + \frac{1 - i\sqrt{3}}{6a} \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left[ 2b^3 - 9abc + 27a^2d + \sqrt{(2b^3 - 9abc + 27a^2d)^2 - 4 (b^2 - 3ac)^3} \right]} \\
&\quad + \frac{1 + i\sqrt{3}}{6a} \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left[ 2b^3 - 9abc + 27a^2d - \sqrt{(2b^3 - 9abc + 27a^2d)^2 - 4 (b^2 - 3ac)^3} \right]}
\end{align}

dimana i adalah unit khayalan.

Bentuk persamaan kuartik: ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0

Solusi:

\begin{align}
x_1 &= -\frac{b}{4a} + \frac{1}{2} \sqrt{P} + \frac{1}{2} \sqrt{Q} \\
x_2 &= -\frac{b}{4a} + \frac{1}{2} \sqrt{P} - \frac{1}{2} \sqrt{Q} \\
x_3 &= -\frac{b}{4a} - \frac{1}{2} \sqrt{P} + \frac{1}{2} \sqrt{R} \\
x_4 &= -\frac{b}{4a} - \frac{1}{2} \sqrt{P} - \frac{1}{2} \sqrt{R}
\end{align}

dimana:

\begin{align}
P &= \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{2c}{3a} + S} \\
Q &= \sqrt{\frac{b^2 - 4ac + 4aS}{2a^2} - T} \\
R &= \sqrt{\frac{b^2 - 4ac + 4aS}{2a^2} + T} \\
S &= \sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} \\
T &= \frac{b^3}{a^3} - \frac{4bc}{a^2} + \frac{8d}{a}
\end{align}

### Hampiran numerikal
Mengikut teori Galois, tiada wujud rumus penyelesaian kepada persamaan polinomial dengan darjah polinomial melebihi 4 dengan menggunai operasi asas aritmetik. Oleh itu, hampiran numerikal digunakan untuk cari solusi bagi persamaan tersebut.

## Sifat-sifat

* Hasil tambah polinomial juga polinomial.
* Hasil darab polinomial juga polinomial.
* Terbitan fungsi polinomial juga polinomial. Terbitan a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1}  + \dots + a_2 x^2 + a_1 x  + a_0 ialah n a_n x^{n - 1} + (n - 1) a_{n - 1} x^{n - 2} + \dots + 2 a_2 x  + a_1.
* Antiterbitan fungsi polinomial juga polinomial. Antiterbitan a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1}  + \dots + a_2 x^2 + a_1 x  + a_0 ialah \frac{a_n x^{n + 1}}{n + 1} + \frac{a_{n - 1} x^n}{n} + \dots + \frac{a_2 x^3}{3} + \frac{a_1 x^2}{2} + a_0 x + c.

## Aritmetik
Hukum sekutuan boleh diguna pakai dalam penambahan dan penolakan dua polinomial, yakni mengumpul dan menggabungkan pekali bagi pemboleh ubah berdarjah sepadan. Hukum agihan pula digunakan dalam pendaraban dua polinomial. 

Pembahagian dua polinomial tidak selalunya menerbitkan polinomial dan lazimnya berada di bawah pecahan nisbah, seperti mana pembahagian dua integer tidak semestinya menghasilkan satu integer, tetapi menghasilkan nombor bukan integer di bawah nombor nisbah. Pembahagian polinomial boleh dilaksanakan dengan beberapa kaedah seperti pembahagian panjang dan pembahagian sintetik.

## Rujukan

### Bibliografi

* 

### Petikan

## Pautan luar

*