गॅमा फल

***गॅमा फल (Gamma function)*** हे फॅक्टोरियलचे विस्तारित रूप आहे. आणि हे  ने दर्शवतात. गॅमा फलाचे उत्तर हे  क्रमगुणित मूल्यांमध्ये येते  फक्त गॅमा फलातील चलाची किंमत ही १ ने बदलल्यास म्हणजे  = 1!, = 2!, नॉन-पॉझिटिव्ह पूर्णांक वगळता सर्व संमिश्र संख्यांसाठी ते परिभाषित केले जाते, आणि जर वास्तविक भाग हा धन असेल तर,\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\, dt.प्रत्येक गैर-ऋण पूर्णांक संख्या n साठी क्रमगुणित आणि गॅमा फल यांमधील संबंध हा  असा असतो.
* Γ(z)  परिभाषित आणि विश्लेषणात्मक क्षेत्र Re(z)>0.
* Γ(n+1)=n! , n≥0 पूर्णांक साठी.
* Γ(z+1)=zΓ(z)  (कार्य समीकरण)
* \Gamma(1-z) \Gamma(z) = \frac{\pi}{\sin \pi z}, \qquad z \not\in \Z
  जे सूचित करते,\Gamma(z - n) = (-1)^{n-1} \; \frac{\Gamma(-z) \Gamma(1+z)}{\Gamma(n+1-z)}, \qquad n \in \Z
* लेजेंडर डुप्लिकेशन सूत्र, \Gamma(z) \Gamma\left(z + \tfrac12\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z).
* ऑयलरचे गॅमा फलाचे मूळचे सूत्र \Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\displaystyle\prod_{k=0}^n (z+k)}. 

## पाय आणि गॅमा फलामधील संबंध
पाय फलाची व्याख्या (pi function)\Pi(z)=\int_0^\infty t^z e^{-t}\, dt.

पाय आणि गॅमा फलामधील संबंधाचे सूत्र  . 

अशाप्रकारे प्रत्येक गैर-ऋण पूर्णांक संख्या n साठी,  .

या व्यतिरिक्त , पाय फल हे  क्रमगुणिताप्रमाणे परिभाषित केलेल्या प्रत्येक  (परिभाषित केलेली संमिश्र संख्यां) ला पुनरावृत्ती दर्शविते. \Pi(z) = z\Pi(z-1)\,.

हे पुनरावृत्ती संबंध आहे. याला गॅमा फलात लिहील्यास, हे पुनरावृत्त राहत नाही.\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)\,.

अर्ध-पूर्णांक संख्यांना या फलांची किंमत ही त्यांच्यापैकी एकाद्वारे निर्धारित केली जाते:\Gamma\left (\frac{1}{2}\right )=\left (-\frac{1}{2}\right )!=\Pi\left (-\frac{1}{2}\right ) = \sqrt{\pi}\,,
हे&nbsp; साठी,\begin{align}
& \Gamma\left (\frac{1}{2}+n\right ) = \left (-\frac{1}{2}+n\right )! = \Pi\left (-\frac{1}{2}+n\right ) \\[5pt]
= {} & \sqrt{\pi} \prod_{k=1}^n \frac{2k - 1}{2} = \frac{(2n)!}{4^n n!} \sqrt{\pi} = \frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!} \sqrt{\pi}\,.
\end{align}उदाहरणार्थ,
\Gamma\left(\frac{9}{2}\right) = \frac{7}{2}! = \Pi\left(\frac{7}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{2} \sqrt{\pi} = \frac{8!}{4^4 4!} \sqrt{\pi} = \frac{7!}{2^7 3!} \sqrt{\pi} = \frac{105}{16} \sqrt{\pi} \approx 11.631\,728\ldots

सर्व&nbsp; साठी,
\Gamma\left (\frac{1}{2}-n\right ) = \left (-\frac{1}{2}-n\right )! = \Pi\left (-\frac{1}{2}-n\right ) = \sqrt{\pi} \prod_{k=1}^n \frac{2}{1 - 2k} = \frac{\left(-4\right)^n n!}{(2n)!} \sqrt{\pi}\,.
उदाहरणार्थ,
\Gamma\left(-\frac{5}{2}\right) = \left(-\frac{7}{2}\right)! = \Pi\left(-\frac{7}{2}\right) = \frac{2}{-1}\cdot\frac{2}{-3}\cdot\frac{2}{-5} \sqrt{\pi} = \frac{\left(-4\right)^3 3!}{6!} \sqrt{\pi} = -\frac{8}{15} \sqrt{\pi} \approx -0.945\,308\ldots

## काही विशिष्ट किंमती 
गॅमा फलाच्या काही विशिष्ट किंमती ..
:\begin{array}{rcccl}
\Gamma\left(-\tfrac{3}{2}\right) &=& \tfrac{4\sqrt{\pi}}{3} &\approx& +2.36327\,18012\,07354\,70306 \\
\Gamma\left(-\tfrac{1}{2}\right) &=& -2\sqrt{\pi} &\approx& -3.54490\,77018\,11032\,05459 \\
\Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right) &=& \sqrt{\pi} &\approx& +1.77245\,38509\,05516\,02729 \\
\Gamma(1) &=& 0! &=& +1 \\
\Gamma\left(\tfrac{3}{2}\right) &=& \tfrac{\sqrt{\pi}}{2} &\approx& +0.88622\,69254\,52758\,01364 \\
\Gamma(2) &=& 1! &=& +1 \\
\Gamma\left(\tfrac{5}{2}\right) &=& \tfrac{3\sqrt{\pi}}{4} &\approx& +1.32934\,03881\,79137\,02047 \\
\Gamma(3) &=& 2! &=& +2 \\
\Gamma\left(\tfrac{7}{2}\right) &=& \tfrac{15\sqrt{\pi}}{8} &\approx& +3.32335\,09704\,47842\,55118 \\
\Gamma(4) &=& 3! &=& +6
\end{array}
गुणाकार व्यस्त गॅमा फलः
:\frac{1}{\Gamma(-3)} = \frac{1}{\Gamma(-2)} = \frac{1}{\Gamma(-1)} = \frac{1}{\Gamma(0)} = 0.
:
वर्ग: गणित
वर्ग: अंकगणित