Чевийн теорем

**Чевийн теорем** нь элементар геометрийн алдартай теоремуудын нэг юм. Өгөгдсөн **ABC** гурвалжны хувьд *D*, *E*, *F* цэгүүд нь харгалзан *BC*, *CA*, *AB* талууд дээр орших бөгөөд теорем нь *AD*, *BE*, *CF* шулуунууд нь нэг цэгт огтлолцож байвал дараах нөхцөл биелнэ эсвэл дараах нөхцөл биелж байвал дээрх шулуунууд нэг цэгт огтлолцоно гэсэн байдаг.

:\frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.

Мөн Чевийн теоремийн тригонометр хэлбэр байдаг бөгөөд энэ нь *AD, BE, CF* нэг цэгт огтлолцож байвал дараах нөхцөл биелнэ эс бөгөөс дараах нөхцөл биелж байвал шулуунууд нэг огтлолцоно. 

:\frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle CAD}\times\frac{\sin\angle ACF}{\sin\angle BCF}\times\frac{\sin\angle CBE}{\sin\angle ABE}=1.

Энэ теоремийг Жиованни Чев 1678 онд өөрийн *De lineis rectis* нэртэй ажилдаа баталсан байдаг. Гэхдээ теоремийг үүнээс өмнө Сарагосын 11-р зууны үеийн хаан Аль-Мутаман ибн Хюд мөн баталсан юм.

Дээрх теорем дээр үндэслэн Чевийн нэрнээс хэд хэдэн нэршил үүсэн гарсан. Тухайлбайл *чевиан* (AD, BE, CF шулуунууд нь О цэгийн чевианууд юм), *чевиан гурвалжин* (DEF гурвалжин нь О цэгийн чевиан гурвалжин), мөн чевиан тор, античевиан гурвалжин, чевийн хувьсагч гэх мэт. 

## Теоремын баталгаа 
AD, BE болон CF шулуунууд O цэгт огтлолцоно гэе. Тиймээс \triangle BOD, \triangle COD гурвалжнууд нь ижил өндөртэй. Улмаар

\frac=\frac{BD}{DC}.

бөгөөд мөн үүнтэй адилаар

\frac=\frac{BD}{DC}.

болно.
Үүнээс

\frac{BD}{DC}=
\frac
=\frac.

болох ба мөн адилаар

\frac{CE}{EA}=\frac,

болон

\frac{AF}{FB}=\frac.

болно.
Эдгээр гурван тэгшитгэлийг үржүүлбэл

\frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1,

болно. Эсрэгээр нь D, E болон F цэгүүд дээрх нөхцлийг хангана гэж үзье. AD болон BE шулуунууд O цэгт огтлолцох ба харин CO нь AB-тэй F ' цэгт огтлолцоно гэе. Тэгвэл дараах нөхцлийг мөн хангах болно.

\frac{AF '}{F 'B}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.

Үүнийг дээрх тэгшитгэлтэй харьцуулбал

\frac{AF '}{F 'B}=\frac{AF}{FB}.

болно.
Хоёр талд нь 1-ийг нэмээд AF '+F 'B=AF+FB=AB-ыг ашиглавал

\frac{AB}{F 'B}=\frac{AB}{FB}.

болно. Тиймээс F 'B=FB бөгөөд F цэг болон F ' цэгүүд нь давхцана. Улмаар AD, BE болон CF=CF ' шулуунууд нь O цэгт огтлолцоно. Теорем батлагдав.

## Мөн үзэх 
* Менелайн теорем

## Гадаад холбоос 
* Ceva's Theorem, Interactive proof with animation and key concepts by Antonio Gutierrez, Peru.
* Derivations and applications of Ceva's Theorem at cut-the-knot
* Trigonometric Form of Ceva's Theorem at cut-the-knot
* Glossary of Encyclopedia of Triangle Centers includes definitions of cevian triangle, cevian nest, anticevian triangle, Ceva conjugate, and cevapoint
* Conics Associated with a Cevian Nest, by Clark Kimberling

## Ишлэл 
* .
* J. B. Hogendijk, "Al-Mutaman ibn Hűd, 11the century kin of Saragossa and brilliant mathematician," *Historia Mathematica* 22 (1995) 1-18.
* Landy, Steven. A Generalization of Ceva's Theorem to Higher Dimensions. *The American Mathematical Monthly*, Vol. 95, No. 10 (Dec., 1988), pp. 936-939
* Masal'tsev, L. A. (1994) "Incidence theorems in spaces of constant curvature." *Journal of Mathematical Sciences*, 	Vol. 72, No. 4
* Wernicke, Paul. The Theorems of Ceva and Menelaus and Their Extension. *The American Mathematical Monthly*, Vol. 34, No. 9 (Nov., 1927), pp. 468-472

Ангилал:Гурвалжны геометр
Ангилал:Математикийн теорем