Гөлгөржүүлсэн эгэл хэсгийн гидродинамик

**Гөлгөржүүлсэн эгэл хэсгийн гидродинамик (SPH)** (англи: Smoothed particle hydrorynamics) нь шингэний урсгалыг тооцон бодоход хэрэглэгддэг нэг арга юм. Энэ арга нь Gingold болон Monaghan (1977) мөн Lucy (1977) гэсэн эрдэмтэдээр Астрофизикийн асуудлуудыг шийдвэрлэхийн тулд нэгэн цаг үед боловсруулагджээ.  Энэ арга нь гидравлик, астрофизик, Баллистик, Галт уул судлал, болон Далай судлал гэх мэт инженерийн болон шинжлэх ухааны маш олон салбарт хэрэглэгдэж байна. Энэ арга нь цэвэр Лагранжийн арга буюу чөлөөт эгэл хэсгийн арга бөгөөд (шингэний эгэл хэсгийг даган координат хөдлөх) тухайн шийдлийн нарийвчлал нь авч үзэж буй нягт гэх мэт хувьсагчийг хэрхэн тохируулсанаар тодорхойлгоддог. Шингэн болон хатуу нил орчныг дискрет (тухайлсан) орчин гэж үздэгээрээ уламжлалт аргуудаас ялгаатай.

## Аргачлал 
Гөлгөржүүлсэн эгэл хэсгийн гидродинамик (SPH) нь шингэнийг дотор нь эгэл хэсгүүд гэж нэрлэгдэх салангад үрлэн бүтэцтэй элементүүдэд хувааж гүйцэтгэнэ. Эдгээр эгэл хэсгүүд нь тодорхой орон зайн урттай ("гөлгөржүүлэх урт" гэж нэрлэгдэх ба ихэвчлэн  h  гэж тэмдэглэгдэнэ.) байх ба физик хэмжигдэхүүн эсвэл шинж чанар нь *Цөм функц*ын тусламжтайгаар "гөлгөржсөн" байна. Тухайн эгэл хэсгийн физик хэмжигдэхүүн нь энэхүү гөлгөр цөм функцын хүрээнд оршин буй бусад эгэл хэсгийн физик хэмжигдэхүүний нэгтгэлээр тодорхойлогдоно гэсэн үг юм. Жишээлбэл, Монагханы куб муруй шугаман гөлгөр функцыг хэрэглэн  \mathbf{r}  байрлал дахь эгэл хэсгийн температур нь  \mathbf{r} - ийн 2h хүрээнд (тойрогт) байх бүх эгэл хэсгийн температураас хамаарна.

Шинж чанар дахь эгэл хэсэг бүрийн нөлөөлөл гэдэг нь тэдгээрийн нягт болон эгэл хэсгүүдийн хоорондын зайнд дундажлагдах явц юм. Математик үүднээс, энэ нь өнөөх гөлгөр функцаар (тэмдэглэгээ  W ) гүйцэтгэгдэнэ. Түлхүү ашиглагддаг цөм функцууд нь Гауссын цөм функц болон куб муруй шугаман цөм функцууд юм. Куб муруй шугаман гөлгөр функ нь хоёр өөр урттай эгэл хэсгүүдийн хувьд 0 (эсрэгээр Гауссын цөм функцын хувьд, ямарч төгсгөлөг зайтай байсан ямар нэгэн харилцан нөлөөлөл оршин байдаг) болдог. Энэ нь эгэл хэсгийн зайнаас хамаарсан харилцан үйлчлэлийг авч үздэггүй учраас тооцооллын оролдлогыг хадгалах давуу тал болдог.

Ямар нэгэн \mathbf{r} цэг дээр (эгэл хэсэг) ямар нэгэн A хэмжигдэхүүний тэгшитгэл нь дараах байдлаар өгөгдөнө.

:
A(\mathbf{r}) = \sum_j m_j \frac{A_j}{\rho_j} W(| \mathbf{r}-\mathbf{r}_{j} |,h),

Үүнд  m_j  нь эгэл хэсэг  j  - ийн масс ба,  A_j  нь эгэл хэсэг  j  дахь  A  хэмжигдэхүүний утга,  \rho_j  нь эгэл хэсэг  j  - тэй холбогдсон нягт, \mathbf{r} нь байрлал тэмдэглэх ба  W  нь дээр дурьдсан гөлгөр цөм функцын тэмдэглэгээ юм. Тухайлбал, эгэл хэсэг  i  ( \rho_i ) - ийн нягт нь дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

:
\rho_i = \rho(\mathbf{r}_i) = \sum_j m_j \frac{\rho_j}{\rho_j} W(| \mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j |,h) = \sum_j m_j W(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j,h),

Энд эгэл хэсэг  j  -ийн дагуух нэгтгэл нь симуляци дахь бүх эгэл хэсгүүдийг хамрана.

Үүнтэй ижил байдлаар, хэмжигдэхүүн эсвэл тоо хэмжээний функцын орон зайн уламжлал нь (Дел,  \nabla ) уламжлалын шугаман үйлдлээр хялбархан олдох боломжтой.

:
\nabla A(\mathbf{r}) = \sum_j m_j \frac{A_j}{\rho_j} \nabla W(| \mathbf{r}-\mathbf{r}_j |,h).

Гөлгөржүүлэх урт нь орон зай болон хугацаанд хувьсан өөрчлөгдөх боловч энэ нь SPH - ийн бүрэн хүчин чадлын давуу талыг олгохгүй. Эгэл хэсэг бүрт өөрийн гэсэн гөлгөржүүлэх уртыг бий болгох нь энэхүү урт хугацааны турш өөрчлөгдөх боломжийг олгох ба тооцооны үр дүн нь энэ өөрчлөлт болон орчны нөхцөл дээр хамаарч автоматаар засварлагдан сайжирна. Тухайлбал, маш олон эгэл хэсэг нэг бүсд нят байдлаар оршин байхад эдгээрийн гөлгөржүүлэх урт нь харилцан багасах ба ингэснээр маш өндөр орон зайн нарийчлалыг бий болгоно. Эсрэгээр, бага нягт бүхий орчинд эгэл хэсгүүд хоорондоо хол орших нь орон зайн бага нарийчлалыг өгөх ба гөлгөржүүлэх урт нь ихсэж авч үзэж буй хүрээнд тооцооллийн оновчлол хийгдэж эхэлнэ. SPH-д төлөвийн тэгшитгэл болон  интеграц -ийг хослуулсанаар, гидродинамикийн проблемийг үр ашигтайгаар тооцох боломж бий болно. Мөн, SPH-д хэрэглэгдэж буй уламжлалт зохиомол зунгааралтын томъёолол нь шок болон сул тасралтын үзэгдлүүдийг туршигдсан хэлхээст суурилсан тоон схемээс илүүтэйгээр тархааж тогтворжуулах хандлагатай байдаг.
SPH -ийн Лагранжид суурилсан зохицох боломж нь хэлхээст суурилсан Хэсхээсний зохицлын боловсруулалтын кодонд бичсэн тааруулж тохируулах алгоримттой зарчмын хувьд ижил. Зарим аргын хувьд эгэл хэсгийн ямар нэгэн ил топологи дээр ТЭМ-тэй адилгүйгээр эгэл хэсгүүдийн дутагдал бий болдог учраас хялбар байж болно. SPH дахь зохицолуулалт нь дараах хоёр аргаар хийгдэж болно. Үүнд: Эгэл хэсгүүдийн гөлгөржүүлэх уртыг өөчрлөх болон эгэл хэсгийг хувааж бага хэмжээний гөлгөржүүлэх урттай 'охин' эгэл хэсгүүдийг үүсгэх. Эхний арга нь асторфизикийн симуляцид ихэвчлэн хэрэглэгдэх ба энд эгэл хэсэг нь нягтын ялгавар ихтэй орчинлуу автоматаар хувьсаж байдаг.  Гэвч энэ нв, гидродинамикийн симуляцад нягт нь ихэвчлэн (ойролцоогоор) тогтмол байх учир зохицуулалтын тохиромжтой арга болж чадахгүй. Ийм учраас чөлөөт гадаргаас материалын шүргэлцэл  хүртэл тодорхой зайнд хуваагдлын бус дахь өөр өөр нөхцөл бүхий эгэл хэсгийн хуваагдлын арга бий болжээ.
Астофизикт ихэвчлэн, цэвэр гидродинамик дээр өөрийн жингийн загварчлалыг нэмэх хүсэл байсаар ирсэн. SPH - ийн эгэл хэсэгт суурилсан үндсэн шинж нь эгэл хэсэгт суурилсан хүндийн хүчний шийдвэрлэгчтэй холбогдох  идиаль  байдлыг бий болгоно. Жишээлбэл хүндийн хүчний салаа код, эгэл хэсгийн хэлхээс, мөн Эгэлхэсэг-Эгэлхэсэг Эгэл хэсэг-Хэлхээс (3ЭХ).

## Астрофизик дахь хэрэглээ 
Гөлгөржүүлсэн эгэл хэсгийн гидродинамикийн нарийвчлалын зохицолт нь их хэмжээний хэмжигдэхүүний эрэмбэ-ийг агуулсан үзэгдлэг судлахад чадвартайгаа хослохдоо Онолын астрофизикт тооцон бодолтын хийсвэрлэлийг бий болгоно.

Глактикийн үүсэл, оддын үүсэл, оддын мөргөлдөөн, хэт шинэ од болон солирын нөлөөллийн симуляци нь астрофизик болон одон орон судлалын салбарт энэ аргыг хэрэглэдэг зарим жишээнүүд юм.

SPH нь таталцлын буюу хүндийн хүчний боломжит нөлөөллийг багтаасан гидродинамикийн урсгалыг загварчлахад хэрэглэгддэг. Астрофизикийн судалгааны идэвхитэй талбар болох цацрагын шилжилт болон соронзон орон-ны чухал гэж үзэж болох бусад астрофизикийн асуудлыг багтаан үзвэл зарим нэг хязгаарлалт, боломжгүйдэл оршин байдаг гэдгийг тэмдэглэе.

## Шингэний динамик дахь хэрэглээ 
үзэх: Тооцон бодох шингэний динамик
Гөлгөржүүлсэн эгэл хэсгийн гидродинамик нь шингэний хөдөлгөөнийг загварчлахад түлхэцтэйгээр хэрэглэгдэж байна. Уламжлалт хэлхээст суурилсан аргаас давуу хэд хэдэн ашиг тус байдаг нь энэ аргын шингэний урсгал дэхь хэрэглээг нэмэгдүүлсэн гэж хэлж болно. Нэгдүгээрт, SPH арга нь эгэл хэсгүүд өөрсдөө массын утгыг агуулсанаар нэмэлт тооцоолол хэрэглэхгүйгээр масс хадгалагдах хуулийг хариуцдаг. Хоёрдугаарт, SPH нь шугаман алгебрын системийг бодсоноос илүүтэйгээр хөрш эгэл хэсгүүдийн жинлэсэн хувь нэмрээр даралтыг тооцоолдог. Гуравдугаарт, Шингэний хүрээг дагах ёстой хэлхээст суурилсан техниктнй адилгүйгээр, SPH нь хөнгөн шингэнийг (ихэвчлэн агаар) үзүүлсэн хоосон орон зай болон нягт шингэнийг (ихэвчлэн ус) харуулсан эгэл хэсгүүдээр хоёр фазат шингэний урсгалын харилцан үйлчлэл болох чөлөөт гадаргыг бүтээдэг. Эдгээр давуу чанаруудаас улбаалан бодит хугацаанд SPH-ийг хэрэглэн шингэний хөдөлгөөнийг загварчлах боломж байгаа гэдгийг батлаж болно. Гэсэн хэдий ч, хэсхээст болон SPH техникүүдэд метабөмблөг болон хөдлөх куб, цэгэн цацалт, эсвэл "дэвсгэр" графо-дүрслэл гэх мэт полигончлох техникүүдийг хэрэглэн чөлөөт гадаргын зураглалыг сайжруулах шаардлага аль алинд нь байдаг. Хийн динамикийн хувьд тухайлбал хийн баганын нягтын зураглалыг бэлтгэхэд цөм функц өөрөө хэрэглэгдэх нь тохиромжтой байдаг (ж.н SPLASH графо-дүрслэлийн багц програмд үүнийг шийдсэн байна).

Эгэл хэсэгт суурилсан техникийн ерөнхий нэг дутагдал нь тэнцвэрт нарийвчлал бүхий симуляцыг хийхэд их хэмжээний эгэл хэсгүүд шаардлагатай болдогтой холбоотой юм. Хэлхээст техникийн хувьд ч ялгаагүй юм. Жигд тор болон SPH эгэл хэсгийн техникүүдийн хувьд энгийн гүйцэтгэл нь, олон тооны эсел эсвэл эгэл хэсгүүд нь ус оршин байх орон зайг дүүргэхэд хэрэглэгдэх ба хэзээч үр дүнд дүрслэгдэхгүй.  Мөн, нарийвчлал нь нарийн хэлхээст суурилсан техник, ялангуяа эгэл хэсгийн аргатай хосолсон (тухайлбар эгэл хэсгийн түвшний арга) техникийн хувьд үл шахагдах нөхцөл-ийг эдгээр системд хэрэгжүүлэхэд хялбархан байх учир нарийвчлал нь өндөр ач холбогдолтой байна. Шингэний симуляцийн хувьд SPH нь бодит хугацааны хөдөлгөөнт дүрслэлт, тоглоом, киноны үзэгдлүүдэд ихээхэн ашиглагдаж байгаа ба энэ тохиолдолд физик хэмжигдэхүүний нарийвчлал нь чухал биш байдаг.
Шингэний симуляцын хувьд SPH дахь сүүлийн үеийн ажлууд нь дараах хэрэглээний талбаруудад болон нарийвчлал, гүйцэтгэл нь улам сайжирч байна.

* В. Шоленталер, 2009, Онож-заслах SPH (PCISPH) аргыг үл шахагдах нөхцөлтэй урсгалыг илүү сайн загварчлахаар боловсруулсан 
* M. Ихмсэн нар., 2010, хатуу гадаргын харилцан үйлчлэлийн нарийвчлалд PCISPH-ын хугацааны алхамыг зохицуулах болон хязгаарын нөхцлийг хэрхэн боловсруулахыг танилцуулсан 
* K. Бодин нар., 2011, Стандарт төлөвийн тэгшитгэлийг хугацааны интеграцын өөрчлөлтийг хэрэглэх эсвэл нягтын хаязаарлалттай даралтын тэгшитгэлээр солих 
* Р. Хоетзлейн, 2012, Fluids v.3 дахь том зураглалын хувьд үр ашиг бүхий GPU-д суурилсан SPH аргыг хөгжүүлэх 
* Н. Акинси нар., 2012, нийтлэг хязгаарын нөхцлийн боловсруулалт ба гидродинамикийн хүч дээр бүрэн үндэслэсэн хоёр аргат SPH-хөшүүн хослосон техникийг танилцуулах. Эдгээр хандлагууд нь өөр өөр төрлийн SPH симуляцид хэрэглэгдэнэ.
* M. Маклин нар., 2013, Байрлалд суурилсан Динамик Хүрээнд үл шахагдах урсгалыг загварчилах, том хугацааны алхамтай үед 
* Н. Акинси нар., 2013, Нийтлэг гадаргын таталцал ба бодит байдалд ажиглагдсан физик хэмжигдэхүүний өөрчлөлтийг судлах боломж бүхий хоёр аргат шингэн-хатуу барьцалдсан техникийг танилцуулах.
* Ж. Киле болон Е. Террелл, 2013, SPH -ийг тосолгооны онолд хэрэглэх

## Хатуу биеийн механик дахь хэрэглээ 
1990 онд, Либерски болон Петсчек нар  анх SPH-ийг Хатуу биеийн механикт хэрэглэжээ.

SPH-ийн гол давуу чанар нь хэлхээст суурилсан аргаас илүүтэй том орон зай бүхий гажилттай холбогдох чадвар юм. Энэ онцлог нь хатуу биеийн механикийн метал хэлбэржих, металийн нөлөөлөл, ан цавын нээгдэлт, хагарал, бутрал гэх мэт олон хэрэглээнд ашиглагдах нөхцөл болжээ. Чөлөөт аргын өөр нэг чухал давуу тал бол, ялангуяа SPH аргын хувьд, ямарч тор, хэлхээст баригдахгүй эгэл хэсгүүдийн чөлөөт байдал юм. Ялангуяа, ан цавтай холбоотой проблемуудад хэлхээсний холбоо нь SPH аргад цөм функцийн нэгэн жигд дэмжлэгээр үгүй болдог. Мөн, сонгодог SP арга нь суналтын тогтвогүйжилт болон нийлэмж алдагдах зэрэг гажуудал үүсэж болно. Өнгөрсөн жилүүдийн турш, SPH шийдлийн нарийвчлэлыг дээшлүүлэх өөр өөр төрлийн олон засварууд судлагдсан байна. Энэ бол Лиү нарын., Рандлес ба Либерски  болон Жонсон, Беиссел, нар нийлэмжийн проблемийг судалж зохих үр дүнд хүрчээ. Дика нар. ба Рандлес ба Либерски  нар SPH аргад даралтат-цэгийн интеграцийг дэвшүүлсэн ба Белитсчко нар. даралтат-цэгийн техник нь Лагранжийн цөм функцыг хэрэглэн сунах тогтворгүйжилтийг үгүй хийхэд хуурамч тусгай горимоор тогтворгүйжилтийг хурааж болохыг харуулжээ. SPH аргын дөхөлтийг сайжруулахад чиглэгдсэн маш олон ажлууд өнөөг хүртэл хийгдсээр байна.

SPH аргын дөхөлт болон тогтворжилттой холбоотой саяхын сайжруулалт нь Хатуу биеийн механиктэй илүү холбоотой байгаа юм. Дараах жагсаалтаар сүүлийн үед хийгдсэн сайжруулалт болон хэрэглээний жишээнүүдийг өгөв:

* Либерски болон Петсчек 
* Виллиам Г.Хүүвэр нь SPAM гэсэн товчлол (smooth-particle applied mechanics) бүхий SPH-аргад суурилсан програмыг хатуу бие дахь хагаралыг загварчлахаар бүтээжээ.
* Рабкзук болон түүний хамтран ажиллагсад  хагарал болон бутралын симуляцид засварласан SPH (SPH/MLSPH) аргыг хэрэглэжээ.
* Херреро ба Мабссоут нар хатуу бие дахь цохилтын долгионы тархалтын асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд Тэйлор-SPH (TSPH) аргыг боловсруулжээ.

## Тэмдэглэл 
## Лавлахууд 
* [1] R.A. Gingold and J.J. Monaghan, “Smoothed particle hydrodynamics: theory and application to non-spherical stars,” Mon. Not. R. Astron. Soc., Vol 181, pp.&nbsp;375–89, 1977.
* [2] L.B. Lucy, “A numerical approach to the testing of the fission hypothesis,” Astron. J., Vol 82, pp.&nbsp;1013–1024, 1977.
* [3] Hoover, W. G. (2006). Smooth Particle Applied Mechanics: The State of the Art, World Scientific.
* [4] Impact Modelling with SPH Stellingwerf, R. F., Wingate, C. A., Memorie della Societa Astronomia Italiana, Vol. 65, p.&nbsp;1117 (1994).
* [5] Amada, T., Imura, M., Yasumuro, Y., Manabe, Y. and Chihara, K. (2004) Particle-based fluid simulation on GPU, in proceedings of ACM Workshop on General-purpose Computing on Graphics Processors (August, 2004, Los Angeles, California).
* [6] Desbrun, M. and Cani, M-P. (1996). Smoothed Particles: a new paradigm for animating highly deformable bodies.  In Proceedings of Eurographics Workshop on Computer Animation and Simulation (August 1996, Poitiers, France).
* [7] Harada, T., Koshizuka, S. and Kawaguchi, Y.  Smoothed Particle Hydrodynamics on GPUs.  In Proceedings of Computer Graphics International (June 2007, Petropolis Brazil).
* [8] Hegeman, K., Carr, N.A. and Miller, G.S.P.  Particle-based fluid simulation on the GPU.  In Proceedings of International Conference on Computational Science (Reading, UK, May 2006).  Proceedings published as Lecture Notes in Computer Science v. 3994/2006 (Springer-Verlag).
* [9] M. Kelager. (2006) Lagrangian Fluid Dynamics Using Smoothed Particle Hydrodynamics, M. Kelagar (MS Thesis, Univ. Copenhagen).
* [10] Kolb, A. and Cuntz, N. (2005) ] Dynamic particle coupling for GPU-based fluid simulation, A. Kolb and N. Cuntz.  In Proceedings of the 18th Symposium on Simulation Techniques (2005) pp.&nbsp;722–727.
* [11] Liu, G.R. and Liu, M.B. Smoothed Particle Hydrodynamics: a meshfree particle method.  Singapore: World Scientific (2003).
* [12] Monaghan, J.J. (1992). Smoothed Particle Hydrodynamics.  Ann. Rev. Astron. Astrophys (1992). 30 : 543-74.
* [13] Muller, M., Charypar, D. and Gross, M.  ] Particle-based Fluid Simulation for Interactive Applications, In Proceedings of Eurographics/SIGGRAPH Symposium on Computer Animation (2003), eds. D. Breen and M. Lin.
* [14] Vesterlund, M. Simulation and Rendering of a Viscous Fluid Using Smoothed Particle Hydrodynamics, (MS Thesis, Umea University, Sweden).
* [15] Violeau, D., Fluid Mechanics and the SPH method. Oxford University Press (2012).

## Гадаад холбоос 
* First large simulation of star formation using SPH
* SPHERIC (SPH European Research Interest Community)
* ITVO is the web-site of The Italian Theoretical Virtual Observatory created to query a database of numerical simulation archive.
* SPHC Image Gallery depicts a wide variety of test cases, experimental validations, and commercial applications of the SPH code SPHC.

### Програм хангамж 
* Algodoo is a 2D simulation framework for education using SPH
* DualSPHysics is an open source SPH code based on SPHysics and using GPU computing
* Fluidix is a GPU-based particle simulation API available from OneZero Software
* FLUIDS v.1 is a simple, open source (Zlib), real-time 3D SPH implementation in C++ for liquids for CPU and GPU.
* GADGET [http://www.mpa-garching.mpg.de/galform/gadget/ ] is a freely available (GPL) code for cosmological N-body/SPH simulations
* GPUSPH SPH simulator with viscosity (GPLv3)
* ISPH parallel C++/OpenCL open source truly incompressible SPH implementation
* SimPARTIX is a commercial simulation package for SPH and DEM simulations from Fraunhofer IWM
* SPLASH is an open source (GPL) visualisation tool for SPH simulations
* SPH-flow
* SPHysics is an open source SPH implementation in Fortran
* SYMPLER: A freeware SYMbolic ParticLE simulatoR from the University of Freiburg.
* Physics Abstraction Layer is an open source abstraction system that supports real time physics engines with SPH support
* Pasimodo is a program package for particle-based simulation methods, e.g. SPH
* Punto is a freely available visualisation tool for particle simulations
* pysph Framework for Smoothed Particle Hydrodynamics in Python (New BSD License)

Ангилал:Шингэний механик
Ангилал:Тоон анализ
Ангилал:Тооцооллын физик