Стирлингийн томъёо

Математикт "Стирлингийн томъёо" нь n!-н утгыг олоход түгээмэл хэрэглэгддэг томъёо юм. Ялангуяа n нь их утгатай үед(10!, 100! ...) мөн log суурьтай n!-н утгыг тооцоолоход хэрэглэгддэг. Бодолтын үр дүнд тооны машинаар бодсонтой хариу нь яг таарч гарахгүй ч хамгийн дөхөмтэйгээр тооцоолж олдог. Энэхүү томъёог алдартай математикч Жеймс Стирлингийн нэрээр нэрлэжээ. 

1. \ln(n!) = n\ln(n) - n

2. n! \sim \sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n

3. \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n} = 1.

4.  n\in\N _ +  үед \sqrt{2\pi}\ n^{n+1/2}e^{-n} \le n! \le e\ n^{n+1/2}e^{-n} , 

харин n \ge 1 үед харьцаа нь \frac{n!}{n^{n+1/2}e^{-n}}. (\sqrt{2\pi} = 2.5066..., e = 2.71828... тогтмол утгууд)

## Томъёоны гаргалгаа 
1. n!-н утгыг тооцоолохын оронд, түүнээс натурал логарифм авбал:

:\ln(n!) = \ln(1) + \ln(2) + \cdots + \ln(n).

Тэгшитгэлийн баруун талаас нь хасвал

:\tfrac{1}{2}(\ln(1)+\ln(n)) = \tfrac{1}{2}\ln(n),

Интегралын трапец дүрмийн дагуу

:\ln(n!) - \tfrac{1}{2}\ln(n) \approx \int_1^n \ln(x)\,{\rm d}x = n \ln(n) - n + 1,

Euler–Maclaurin томъёо-н дагуу алдаа нь:

:\begin{align}
\ln (n!) - \tfrac{1}{2}\ln(n) & = \tfrac{1}{2}\ln(1) + \ln(2) + \ln(3) + \cdots + \ln(n-1) + \tfrac{1}{2}\ln(n)\\
& = n \ln(n) - n + 1 + \sum_{k=2}^{m} \frac{(-1)^k B_k}{k(k-1)} \left( \frac{1}{n^{k-1}} - 1 \right) + R_{m,n},
\end{align}

Үүнээс *B**k*( Бернуллийн дугаар) ба *R**m*,*n*-г олохын тулд хязгаар авна.

:\lim_{n \to \infty} \left( \ln(n!) - n \ln(n) + n - \tfrac{1}{2}\ln(n) \right) = 1 - \sum_{k=2}^{m} \frac{(-1)^k B_k}{k(k-1)} + \lim_{n \to \infty} R_{m,n}.

энд  *y*-аар хязгаарыг тэмдэглэсэн

:R_{m,n} = \lim_{n \to \infty} R_{m,n} + O \left( \frac{1}{n^m} \right),

Big-O-г хэрэглэхэд, түүний логарифм хэлбэр дэхь тэгшитгэлүүдйг нэгтгэнэ:

:\ln(n!) = n \ln \left( \frac{n}{e} \right) + \tfrac{1}{2}\ln(n) + y + \sum_{k=2}^{m} \frac{(-1)^k B_k}{k(k-1)n^{k-1}} + O \left( \frac{1}{n^m} \right).

Хоёр талаас нь экспоненциал аваад, *m*-г эерэг гэж үзүүл, *m* = 1 болоод томъёо нь

:n! = e^{y} \sqrt{n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \left( 1 + O \left( \frac{1}{n} \right) \right).

энд *e**y* эь e^y = \sqrt{2 \pi} болсноор Стирлингийн томъёо нь:

:n! = \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \left( 1 + O \left( \frac{1}{n} \right) \right).

Laplace-н томъёог хэрэглэн, 2 талаасаа хязгаарлагдсан хандлага нь \sqrt{2 \pi n} болсноор Стирлингийн томъёо нь.

:\ln(n!) = \sum_{j=1}^n \ln(j)

Интеграл авахад

:\sum_{j=1}^n \ln(j) \approx \int_1^n \ln(x) \,{\rm d}x = n\ln(n) - n + 1.

2. Гамма функцыг ашиглан n! -г олъё.
: n! = \int_0^\infty x^n e^{-x} dx.
Хувьсагчуудаа x=ny ингэж солиход
: n! = \int_0^\infty e^{n\ln x-x} dx = e^{n \ln n} n \int_0^\infty e^{n(\ln y -y)} dy.
үүнийг Laplace-н томъёон дагуу:
:\int_0^\infty e^{n(\ln y -y)} dy \sim  \sqrt{\frac{2\pi}{n}} e^{-n}
Стирлингийн томъёо нь,
: n! \sim   e^{n \ln n} n \sqrt{\frac{2\pi}{n}} e^{-n}
\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.

Laplace-н томъёог хэрэглээд n-н факториалыг олоход алдаа үүсдэг учир Laplace-н томъёо-д өргөтгөлийг тооцоолвол
:\int_0^\infty e^{n(\ln y-y)} dy \sim  \sqrt{\frac{2\pi}{n}} e^{-n}
\left(1+\frac{1}{12 n}\right)
Стирлингийн томъёо,
: n! \sim   e^{n \ln n} n \sqrt{\frac{2\pi}{n}} e^{-n}\left(1+\frac{1}{12 n}\right)
\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1+ \frac{1}{12 n}\right)
 болох ба энүүгээр тооцоолбол алдааны утга багасах болно.

## Гамма функцинд Стирлингийн томъёо
Бүх утга нь эерэг байх n-н хувьд,

:n! = \Pi(n) = \Gamma(n+1),

Гамма функцыг Γгэж тэмдэглэдэг.

Pi функц нь факториал биш ч, төвөгтэй тоонуудыг тодорхойлдог. Хэрвээ Re(*z*) > 0 бол

:\ln (\Gamma (z)) = \left(z-\tfrac{1}{2}\right)\ln(z) -z + \tfrac{1}{2}\ln(2 \pi) + 2 \int_0^\infty \frac{\arctan (\frac{t}{z})}{\exp(2 \pi t)-1}\,{\rm d}t.

Интеграл авбал

:\ln (\Gamma (z)) \sim \left(z-\tfrac{1}{2}\right)\ln(z) -z + \tfrac{1}{2}\ln(2 \pi) + \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}

*Bn* нь *n*-н Бернуллийн дугаар.|arg(*z*)| O(z^{-2m - 1}) байна. үүнийг томъёондоо орлуулахад:

:\Gamma(z) = \sqrt{\frac{2 \pi}{z}}~{\left( \frac{z}{e} \right)}^z \left( 1 + O \left( \frac{1}{z} \right) \right).

Энэ асимптотик томъёог Re(*z*)тогтмол утгатай *z* аргументыг олоход хэрэглэдэг.

## Жишээ бодлого 
Бодлого1. 10!=?

:10!=10*9*8*7*6*5*4*3*2*1=3628800 гэж олж болох ч Стирлингийн  томъёогоор бодвол

:10! \sim \sqrt{2 \pi 10}\left(\frac{10}{e}\right)^10 =3598695.61

Бодлого2. log(10!)=?

:log(10!)=15.104 бол Стирлингийн  томъёогоор бодвол

:\log(10!) = 10\ln(10) - 10 нь ойролцоогоор 15,095 гарч байна.

## Түүх 
n-н факториалыг олох доорхи томъёог анх нээсэн хүн Abraham de Moivre юм.
:n!\sim [{\rm constant}]\cdot n^{n+1/2} e^{-n}.

## Холбоотой хичээлүүд
* Факториал
* Lanczos approximation
* Spouge's approximation

## Ном зүй
*
*
*
*
* Dan Romik, *Stirling’s Approximation for n!: The Ultimate Short Proof?*, The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 6 (Jun. – Jul., 2000), 556–557.
* Y.-C. Li, *A Note on an Identity of The Gamma Function and Stirling’s Formula*, Real Analysis Exchang, Vol. 32(1), 2006/2007, pp.&nbsp;267–272.

## Линкүүд
* Peter Luschny, *Approximation formulas for the factorial function n!*
*