Латтис Больцманы Арга

*Латтис Больцманы арга (LBM эсвэл ЛБА)** (эсвэл **Дулааны Латтис Больцманы арга (TLBM)*') нь тооцон бодох шингэний динамик (CFD) дахь шингэний симуляцийг гүйцэтгэх нэг арга юм. Навиер-Стокесийн тэгшитгэлийг шийдэхийн оронд тухайлсан (дискрет) Больцманы тэгшитгэл нь Ватнагар-Гросс-Крүүк (BGK-ВГК) гэх мэт мөргөлдөөний загваруудын тусламжтайгаар Ньютоны шингэний урсгалыг симуляцлах боломжтой. Тодорхой тооны эгэл хэсгүүдийн хувьд урсгал болон мөргөлдөөний процессыг симуляци хийснээр бодит шингэний эгэл хэсгүүдийн хоорондын харилцан үйлчлэл нь массаас илүүтэйгээр урсгалын шинж чанарт бичил-орчны зунгааралт нөлөөлдөг гэдгийг батладаг.

## Алгоритм
ЛБА бол комплекс шингэний системд харьцангуй шинэ тооцооллын арга бөгөөд тооцон бодох шинжлэх ухаанд ялангуяа физик, шингэний динамикийн салбарт судлаачдийн анхаарлыг маш их татаж байна. Хадгалагдах хуулийн Макро-орчны шинж чанаруудыг (ж.н масс, момент, энерги) тоон аргаар шийдвэрлэдэг уламжлалт ТБШД-ын аргуудтай (хэлхээст арга) адилгүйгээр ЛБА нь шингэнийг төсөөллийн эгэл хэсгүүдээс бүрдсэн мөнөөх эгэл хэсгүүд нь дискрет сүлжээ (Латтис гэдэг нь сүлжээ юм) бүхий хэлхээсийн дагуу дэс дараалсан түгэлт болон мөргөлдөөнийг бий болгоно гэж загварчилдаг. Энэхүү хэсгийн чухал байдал, орчны динамикийн ачаар ЛБА нь бусад нийтлэг хэрэглэгдэх ШДТБАргуудаас илүү гарах хэд хэдэн давуу талийг бий болгох ба ялангуяа комплекс хязгаартай бодлогууд, макро орчны харилцан үйлчлэлийн хамаарал, алгоритмыг параллелчлах нөхцөлд маш тохиромжтой давуу талуудыг бий болгоно. Сүлжээний буюу Латтис Больцманы тэгшитгэлийн өөр нэг илрэл нь тухайлсан-хурдны Больцманы тэгшитгэл юм. Тухайлсан тэгшитгэл гэдэг нь дискрет орчинд бичигдсэн эсвэл хөрвүүлэгдсэн тэгшитгэл гэж ойлгоно. Тухайн дифференциал тэгшитгэлийн системийг шийдэх тоон арга нь төсөөллийн эгэл хэсгүүдийн түгэлт ба мөргөлдөөнийг харуулсан дискрет дүрслэлийг бий болгоно. 

Комьпютер алгоритмд, мөргөлдөөн болон урсгалын алхамууд нь дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ:

Мөргөлдөх алхам: f_i^t(\vec{x},t+\delta_t) = f_i(\vec{x},t) + \frac{1}{\tau_f} (f_i^{eq}-f_i)\,\!

Урсах алхам: f_i(\vec{x}+\vec{e}_i\delta_t,t+\delta_t) =f_i^t(\vec{x},t+\delta_t) \,\! 

Энд *i* моментийн чиглэлийг заах ба түгэлт гэдэг нь төсөөллийн эгэл хэсгүүдийн урсах алхамыг илэрхийлж байгаа юм.

## Хийн сүлжээний автоматын (LGA-ХСА) аргаас (ЛБА) хөгжсөн нь
ЛБА нь орон зай хугацаанд төсөөллийн молекулын динамикийг хялбарчилан авч үздэг хийн сүлжээний автомат (LGA) гэдэг аргаас үүсэлтэй ба хийн автоматад эгэл хэсгийн хурд нь үргэлж дискрет байдаг. Тухайлбал 2 хэмжээст FHP загварт сүлжээний зангилаа бүр гурвалжин байдлаар хөрш сүлжээний зангилаатайгаа 6-н шилбээр холбогдох ба ямарч эгэл хэсэг нь уг шилбээр дамжин өгөгдлөн сүлжээний хурдаар хөдлөнө.  Хугацааны интервалын дараа, эгэл хэсэг бүр өгөгдсөн чиглэлээрээ хөрш зангилааруу нүүх ба энэ процессийг түгэлтийн буюу урсгалын шат гэж нэрлэдэг. Нэгээс илүү олон эгэл хэсгүүд өөр өөр чиглэлээс ижил зангилаанд ирэх тохиолдолд хоорондоо мөргөлдөж чиглэл болон хурдаа тусгай мөргөлдөөний дүрмийн дагуу өөрчилнө. Урсгалын болон мөргөлдөх шатууд тусгай хувилбартай байдаг. Хамгийн тохиромжтой мөргөлдөөний дүрэм нь мөргөлдөөний өмнөх ба дараах үеийн масс эгэл хэсгийн тоо, момент (хөдөлгөөний тоо хэмжээ), энерги зэргийг хадгалсан байх ёстой. ХСА нь гидродинамикийн симуляци хийхэд зарим нэг засагдашгүй сул талуудтай. Жишээ нь: хурд ихтэй урсгалд Галилейн инвариант алдагдах, сүлжээний хэмжээнээс хамаарч статистик шуугиан гарах эсвэл Рейнольдсын тоо хязгаарлагдах гэх мэт. Хэдий тийм боловч ХСА нь реактив тархалт болон молекул динамикийн загварчлалд хүрэхэд маш тохиромжтой шилжүүлэгддэг.

ХСА-аас ЛБА руу шилжих гол үндэслэл нь сүлжээний чиглэл дахь Боолиан эгэл хэсгийн тоо ба түүний олонлогийн дунджийг нягтын түгэлтийн функцаар сольж статистик шуугианыг үгүй хийх хүсэл байсан юм. Энэ солилтыг хийснээр дискрет мөргөлдөөний дүрэм нь мөргөлдөөний оператор гэж нэрлэгдэх тасралтгүйн функцаар бас солигдсон юм. ЛБА-ын хөгжлийн үе дахь чухал нэг хялбарчилгаа бол мөргөлдөөний операторыг Ватнагар-Гросс-Крүүк (BGK-ВГК) гэх сулралтын (заримдаа тайвшрах) илэрхийлэлээр ойролцоолох явдал байв. Энэхүү сүлжээний ВГК (LBGK) загвар нь симуляцийг илүү үр ашигтай болгох ба шилжүүлгийн коэффициентийн уян чанарыг бий болгоно. Өөрөөр хэлбэл ЛБА нь тасралтгүй Больцманы тэгшитгэлийн онцгой тухайлсан хэлбэрийг авч үздэг гэсэн үг юм. Чапман-Энскогийн онолоор ЛБА-ын алгоритмаас Навиер-Стокесийн тэгшитгэл болон тасралгүйн тэгшитгэлийг сэргээж болох ба даралтын орон нь уламжлалт ТБШД-ын аргууд шиг нэмэлт тэгшитгэл эсвэл Пауссоны тэгшитгэл тэгшитгэлийг шийдэлгүйгээр нягтын хуваарилалтаас шууд олдох боломжтой байдаг.

## Сүлжээ ба DnQm ангилал
Латтис Больцманы загвар нь куб болон гурвалжин хэлбэртэй эсвэл хослосон байхаар хэд хэдэн төрлийн сүлжээ болон дискрет түгэлтийн функцийн хөдөлгөөнтэй ба хөдөлгөөнгүй эгэл хэсгүүдийг ашиглан ажилладаг.
Сүлжээний өөр байдлаас бий болж байгаа аргуудыг ангилах хамгийн зөв зам нь DnQm схем юм. Энд "Dn" нь "n хэмжээстэй" гэдгийг илтгэж байхад "Qm" нь "m хурдтай" гэдгийг илтгэнэ. Жишээлбэл, D3Q15 бол хөдөлгөөнгүй эгэл хэсгүүд бүхий куб торон дээрх гурван хэмжээст Латтис Больцманы загварыг илэрхийлж байна. Зангилаа бүр нь кристал хэлбэрийг бий болгох ба гадаргаа хуваалцаж байгаа 6, хүрээгээр нийлж байгаа 8-н хөршдөө тус бүр эгэл хэсгээ түгээх боломжтой юм. (D3Q15 загвар нь хүрээгээр нийлж байгаа 12 хөршрүүгээ эгэл хэсгүүдийг түгээх боломж байхгүй ба хэрэв боломжтой болчихвол энэ нь "D3Q27" загвар болно.)

Симуляцийг хийхийн тулд орон зай ба хугацаа гэх мэт бодит тоо хэмжээнүүд сүлжээний нэгжрүү шилжүүлэгдсэн байх хэрэгтэй. Рейнольдсын тоо гэх мэт хэмжээсийн бус хэмжигдэхүүнүүд хэвээр байж болно.

## Сүлжээний нэгжийн шилжүүлэг
Ихэнх Латтис Больцманы симуляцид \delta_x\,\! нь сүлжээний хэмжээсийн үндсэн нэгж байх ба хэрэв бодлогийн хүрээний урт L\,\! -ийн турш N\,\! тооны шилбэ оршино гэж үзвэл хэмжээсийн нэгж нь хялбар байдлаар \delta_x=L/N\,\! гэж тодорхойлогдоно. Латтис Больцманы симуляци дахь хурд нь ерөнхийдөө дууны хурдны илэрхийллээр өгөгддөг. Иймд дискрет хугацааны нэгж нь \delta_t = \frac{\delta_x}{C_s}\,\! гэж илэрхийлэгдэх ба үүний хуваагч C_s нь  дууны физик хурд юм.

Бичил хэмжээстэй урсгалд (механик ба гидравликт сүвэрхэг орчин дундуурх урсгал) бодит дууны хурдыг ашиглах нь үл зөвшөөрөх жижиг хугацааны алхамыг өгдөг. Иймд сүлжээний Махын тоо гэж бий болох ба энэ нь бодит Махын тооноос их утгатай байна. Мөн Рейнольдсын тоог хэвээр хадгалахын тулд зунгааралтыг нэмэгдүүлж тэнцвэржүүлдэг.

## Холимог шингэний симуляци
Хөдлөх болон хэв гажих харилцах хязгаартай учир олон фазат/холимог урсгалын симуляци нь ТБШДинамик дахь уламжлалт аргуудын томоохон шалгуур байсаар ирсэн. Илүү нарийвчилбал ялгаатай фазууд (шингэн ба уур)  эсвэл бүрэлдэхүүнүүд (тухайлбал тос ба ус) хоорондын харилцах хязгаар нь шингэний молекулуудын хооронд тодорхой харилцан үйлчлэлийг бий болгодог. Иймд макро-орчны шинжийг агуулах Навиер-Стокесийн тэгшитгэлрүү энэ мэт харилцан үйлчлэлийн микро-орчны шинж чанаруудыг боловсруулж хийх нь хүндрэлтэй байдаг. Гэхдээ ЛБА-д хэсгийн кинетик нь мөргөлдөөний операторыг засварласанаар суурь болсон микро-орчны шинж чанаруудтай холбогдох аргыг тохиромжтой харьцангуй хялбар болгож өгдөг. Хэд хэдэн ЛБА-ын олон фазат/холимог урсгалын загварууд хөгжсөөр байна. Эдгээрт фазийн ялгарал нь эгэл хэсгийн динамикаас автоматаар бий болох ба уламжлалт хэлхээст аргууд шиг ямар нэгэн тусгай арга шаардлагагүй. Олон фазат/холимог ЛБА нь өөр өөр комплекс шингэний системд тухайлбал харилцах хязгаарын тогтворгүйжилттэй урсгал, хөөс/дусалын динамик, хатуу гадаргуугын норолт,шингэний дотоод үе хоорондын гулсалт, дуслын электрогидродинамикийн деформаци гэх мэтэд амжилттай хэрэглэгдэж байна.

Бага Махын тооны горимтой үед нягтын өөрчлөлтийн ач холбогдлыг авч үзсэн хийн холимогийн шаталт дахь Латтис Больцманы загвар нь саяхан дэвшүүлэгдээд байна.

Эндээс үзвэл дан ЛБА нь томоохон физик оронг (тохиромжит аргатай харьцуулбал) авч үзэж болох ба реактив хийн холимогийн симуляци нь  том хэмжээний шаталтын механизмыг нарийвчлан авч үзэж байгаа мэт санах ойн  хэрэгцээний хувьд зарим нэг нэмэлт сайжруулалт хэрэгтэй гэдгийг харуулдаг юм. Эдгээр асуудлууд нь "загварын системчилсэн өөрчлөлтийн техник"-т дахин ангилагдаж судлагдаж, боловсруулагдаж байна.

## Дулааны Латтис Больцманы арга
Саяхан (2009 онд), Дулааны Латтис-Больцманы арга (TLBM - ДЛБА) нь Олон-хурдат аргачлал /multi-speed approach/, Идэвхгүй скаляр аргачлал /passive scalar approach/, Дулааны энергийн түгэлтийн аргачлал /thermal energy distribution/ гэх гурван ангилалын сүүлчийнх нь болсон юм.

## Хязгаарлалтууд
Комплекс шингэний динамикийн симуляцид ЛБА-ын хэрэглээний өсөлтыг үл анхаарвал энэхүү шинэ аргачлалд зарим хязгаарлалтууд байдаг юм. Одоогийн байдлаар аэродинамик дахь өндөр Махын тоотой урсгалыг симуляцилахад хүндрэлтэй байгаа ба тохиромжит термо-гидродинамикийн схем олдоогүй байна.  Гэвч Навиер-Стокесийн тэгшитгэл дээр суурилсан ТБШД-ын аргуудтай ЛБА нь амжилттай хосолж дулааны шилжилттэй (хатуу биеын чанарт суурилсан дулааны дамжилт, нэвчилт ба ялгаралт) симуляциуудыг чадварлаг шийдвэрлэж байна. Олон фазат/холимог урсгалын загварын хувьд харилцах үеийн зузаан нь ихэнхдээ том байх ба энэ орчмийн нягтын харьцаа нь бодит шингэнтэй харьцуулахад бага байдаг. Саяхан энэ асуудал Юуан болон Счаефер нараар шийдэврлэгдлээ. Тэд Шан ба Чен нарын загвар дээр сайжруулалт хийж энэ үр дүнд хүрсэн ба төлөвийн тэгшитгэлийг хялбарчилсанаар 1000:1 -ын нягтын харьцаанд хүрэх боломжтой гэж харуулжээ.

Гэсэн хэдий ч, энэ аргын сүүлийн хорин жилийн хурдан дэвшил, өргөн хэрэглээ нь энэ аргыг микро-урсгалыг багтаагаад тооцон бодох шинжлэх ухаанд ялангуяа физикийн салбарт чадамжтай гэдгийг баталж байна. ЛБА нь өндөр Кнүдсэний тоотой урсгалд хамгийн нарийвчлалтай үр дүнг өгдөг нь туршилтаар батлагдсан.

## Тухайлсан ЛБТэгшитгэлээс Навиер-Стокесийн тэгшитгэлийг гаргах
Тухайлсан Латтис Больцманы тэгшитгэлээс (мөргөлдөөний операторыг хэрэглэсэн ЛВГК (LBGK) тэгшитгэл гэж нэрлэнэ) эхэлье. Бид эхлээд ЛБТэгшитгэлийн зүүн талыг 2^{nd}\,\! -р эрэмбийн Тэйлорын цуваанд задлая. Хялбарчилсан 1^{st}\,\! эрэмбийн Тэйлорын цувааг сонгосон бол ЛБТэгшитгэл нь утгаа алдана. 2^{nd}\,\! - р эрэмбийн Тэйлорын цуваанд задлахад баруун талаас 0 болон нэгдүгээр эрэмбийн уламжлалтай хэсэг нь орхигдож, тэйлорын цувааны 1 ба 2-р эрэмбийн уламжлал болон мөргөлдөөний операторууд тус тус үлдээнэ.

f_i(\vec{x}+\vec{e}_i\delta_t,t+\delta_t) = f_i(\vec{x},t) + \frac{1}{\tau_f} (f_i^{eq}-f_i)

Хялбарчлахын тулд f_i(\vec{x},t)- ыг f_i\,\! гэж бичье.  Тэйлорын цувааг хөнгхөн хялбарчилж диад хоорондын үржвэрийг тодорхойлох цэг ":" -ээр тэмдэглэе.

:\frac{\partial f_i}{\partial t} +\vec{e}_i \nabla f_i+    \left (\frac{1}{2}\vec{e}_i\vec{e}_i : \nabla\nabla f_i +\vec{e}_i\cdot\nabla\frac{\partial f_i}{\partial t}  +\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f_i}{\partial t^2} \right ) =\frac{1}{\tau}(f_i^{eq}-f_i)       

Тэнцвэрт ба тэнцвэрт бус бүрдүүлэгчрүү эгэл хэсгийн түгэлтийн функцыг өргөтгөж мөн Күдсэний тоо K\,\! бүхий Чапман-Энсогийн задаргааг хэрэглэн Тэйлорын задаргаа бүхий ЛБТ нь тодорхой тасралтгүй тэгшитгэлийг олохын тулд Кудсэний тооны хувьд өөр өөр утгын хэмжээрүү задрах болно.

:f_i=f_i^{eq}+K f_i^{neq}\,\!
:f_i^{neq}= f_i^{(1)}+K f_i^{(2)}+O(K^2) 

Тэнцвэрт ба тэнцвэрт бус түгэлт нь макро-түвшний хэмжигдэхүүнүүдтэй дараах байдлын холбоог хангах ёстой. Эгэл хэсгийн хуваарилалт нь эгэл хэсгээр макро-түвшинг хэмжихийн тулд 'зөв хэлбэрт' байх ёстой.

:\rho = \sum_i f_i^{eq} 
:\rho \vec{u} = \sum_i f_i^{eq} \vec{e}_i
:0 = \sum_i f_i^{(k)} \qquad  s.t.\ k=1,2\,\!
:0 = \sum_i f_i^{(k)} \vec{e}_i

Чэпман-Энскогийн задаргаа нь:

:\frac{\partial}{\partial t}=K\frac{\partial}{\partial t_1}+K^2\frac{\partial}{\partial t_2} \qquad  s.t.\ t_2(\text{tarhaltiin hugatsaanii hemjees})  \ll t_1(\text{newchiltiin hugatsaanii hemjees})
:\frac{\partial}{\partial x}=K\frac{\partial}{\partial x_1}.

Тэйлорын цуваанд тэнцвэрт ба тэнцвэрт бус түгэлтийн задаргааг орлуулж, өөр өөр K\,\! эрэмбэд ялгасанаар тасралтгүй орчны тэгшитгэл илэрхийлэгдэж эхэлнэ.

Эрэмбэ K^0\,\!-ийн хувьд:

:\frac{\partial f_i^{eq}}{\partial t_1} +\vec{e}_i \nabla_1 f_i^{eq} =-\frac{f_i^{(1)}}{\tau}     

Эрэмби K^1\,\!-ийн хувьд:

:\frac{\partial f_i^{(1)}}{\partial t_1}+\frac{\partial f_i^{eq}}{\partial t_2} +\vec{e}_i \nabla f_i^{(1)}+     \frac{1}{2}\vec{e}_i\vec{e}_i : \nabla\nabla f_i^{eq} +\vec{e}_i\cdot\nabla\frac{\partial f_i^{eq}}{\partial t_1}  +\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f_i^{eq}}{\partial t_1^2} =-\frac{f_i^{(2)}}{\tau}   

Хоёр дахь тэгшитгэлд зарим хувиргалт хийж эхний тэгшитгэлд орлуулбал дараах байдалтай болно.

:\frac{\partial f_i^{(eq)}}{\partial t_2} +\left ( 1-\frac{1}{2 \tau} \right )  \left [  \frac{\partial f_i^{(1)}}{\partial t_1}+\vec{e}_i \nabla_1 f_i^{(1)}\right ]  =-\frac{f_i^{(2)}}{\tau}   

Дээрхээс макро-орчны шинж чанар болон эгэл хэсгийн хоорондын хамаарлыг хэрэглэн масс болон моментийн тэгшитгэлийг гарган авч болно.

:\frac{\partial \rho}{\partial t} +\nabla \cdot \rho \vec{u} = 0  

:\frac{\partial \rho\vec{u}}{\partial t} +\nabla \cdot \Pi = 0  

Моментийн цүлхэлтийн тенсор \Pi\,\! нь дараах хэлбэртэй байна.

: \Pi_{xy} = \sum_{i}\vec{e}_{ix}\vec{e}_{iy}\left[  f_i^{eq} + \left( 1 - \frac{1}{2 \tau} \right)  f_i^{(1)} \right]  \,\!

Үүнд:  \vec{e}_{ix}\vec{e}_{iy} бол  \vec{e}_{i}-ын (ж.н \textstyle\left(\sum_{x}\vec{e}_{ix}\right)^2 = \sum_{x}\sum_{y}\vec{e}_{ix}\vec{e}_{iy}) бүх бүрдүүлэгчийн нийлбэрийн квадратын хувьд товч тэмдэглэгээ ба Навиер-Стокесийн тэгшитгэлтэй харьцуулж болохуйц хоёрдугаар эрэмбийн тэнцвэржүүлэгч эгэл хэсгийн түгэлтийн тэгшитгэл нь:

f_i^{eq}=\omega_i\rho \left (1+\frac{3\vec{e}_i\vec{u}}{c^2}+\frac{9(\vec{e}_i\vec{u})^2}{2c^4}- \frac{3(\vec{u})^2}{2c^2} \right)    .

Тэнцвэржүүлэгч буюу тэнцвэрт түгэлт нь зөвхөн бага хэмжээний Махийн тоотой буюу бага хурдтай үед л хүчинтэй. Тэнцвэрт түгэлтийг цүлхэлтийн тенсорлуу оруулж ирсэнээр:

: \Pi_{xy}^{(0)} = \sum_{i}\vec{e}_{ix}\vec{e}_{iy}  f_i^{eq} =p\delta_{xy}+\rho u_x u_y  \,\!

: \Pi_{xy}^{(1)}  =\left( 1 - \frac{1}{2 \tau} \right) \sum_{i}\vec{e}_{ix}\vec{e}_{iy} f_i^{(1)} =\nu\left(\nabla_x \left( \rho \vec{u}_y \right) +\nabla_y \left( \rho \vec{u}_x  \right)\right)\,\!

Эцэст нь Навиер-Стокесийн тэгшитгэлийг нягтын маш бага өөрчлөлттэй гэсэн нөхцөл дор гарган авч байна.

: \rho \left( \frac{\partial \vec{u}_{x}}{\partial t} + \nabla_{y}\cdot\vec{u}_{x}\vec{u}_{y}\right)= -\nabla_{x}p+\nu\nabla_{y}\cdot\left(\nabla_x \left( \rho \vec{u}_y \right) +\nabla_y \left( \rho \vec{u}_x  \right)\right)  \,\!

Энэ гаргалгаа бол Чен болон Доолений ажил юм.

## Симульци дахь математик тэгшитгэлүүд
Тасралтгүй Больцманы тэгшитгэл нь дан эгэл хэсгийн магадлалт хуваарилалтын /түгэлт/ функц f(\vec{x},\vec{e}_i,t)\,\! -ын хувьд үнэлэмжийн тэгшитгэл нь бөгөөд дотоод энергийн нягтын хуваарилалтын функцууд  g(\vec{x},\vec{e}_i,t)\,\! (Хе нар.) нь тус бүр:

:\partial_t f + (\vec{e}\cdot \nabla) f + F\partial_v f=\Omega(f)

:\partial_t g + (\vec{e}\cdot \nabla) g + G\partial_v f=\Omega(g)

Үүнд: g(\vec{x},\vec{e}_i,t)\,\! нь дараах байдлаар f(\vec{x},\vec{e}_i,t)\,\! -тэй холбогдоно.

g(\vec{x},\vec{e}_i,t) = \frac{(\vec{e}-\vec{u})^2}{2}f(\vec{x},\vec{e}_i,t)

F\,\! бол гадаад хүч, \Omega\,\! бол мөргөлдөөний интеграл ба \vec{e} (зарим эх сурвалжид \vec{\xi} гэж тэмдэглэгдэнэ) бол микро түвшний хурд юм.  Гадаад хүч F\,\! температураас хамааралтай гадаад хүч болох G\,\! -тэй дараах байдлаар холбогдоно.  Хүчний харилцааны загварын нэг шалгалт нь  G\,\!-ийн хувьд Раелейг-Венардын нэвчилт юм.

: F = \frac{\vec{G}\cdot(\vec{e}-\vec{u})}{RT}f^{eq}             
: \vec{G} = \beta g_0(T-T_{avg})\vec{k}             

Нягт \rho\,\!, хурд \vec{u}\,\! болон температур T\,\! гэх мэт макро-орчний хэмжигдэхүүнүүд нь нягтын түгэлтийн функцын момент шиг тодорхойлогдох боломжтой ба илэрхийлбэл:

: \rho = \int\ f \, d\vec{e}               
: \rho\vec{u} = \int\ \vec{e}f \, d\vec{e} 
: \frac{\rho DRT}{2} = \rho\epsilon =  \int\ g \, d\vec{e}  

Латтис Больцманы арга нь сүлжээрүү хязгаарлах хэмжээсийг оруулж мөн хурдны оронг микро орчны хурдны тухайлсан бүрдэлрүү (ж.н \vec{e}_i = (\vec{e}_{ix},\vec{e}_{iy})) шилжүүлсэнээр дээрх тэгшитгэлийг тухайлж дискрет тэгшитгэл болгоно.  Тухайлбал D2Q9, D3Q15, болон D3Q19 дахь микро-орчны хурдууд нь дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

\vec{e}_i = c\times
\begin{cases} 
  (0,0)                        & i = 0 \\
  (1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)    & i = 1,2,3,4 \\
  (1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)  & i = 5,6,7,8 \\
\end{cases}

\vec{e}_i = c\times
\begin{cases} 
  (0,0,0)                        & i = 0 \\
  (\plusmn 1,0,0),(0,\plusmn 1,0),(0,0,\plusmn 1)    & i = 1,2,...,5,6 \\
  (\plusmn1,\plusmn1,\plusmn1)  & i = 7,8,...,13,14 \\
\end{cases}

\vec{e}_i = c\times
\begin{cases} 
  (0,0,0)                        & i = 0 \\
  (\plusmn 1,0,0),(0,\plusmn 1,0),(0,0,\plusmn 1)    & i = 1,2,...,5,6 \\
  (\plusmn1,\plusmn1,0),(\plusmn1,0,\plusmn1),(0,\plusmn1,\plusmn1)  & i = 7,8,...,17,18 \\
\end{cases}

Массын нягт, дотоод энергийн нягтын хувьд дан фазад тухайлагдсан Больцманы тэгшитгэл нь:

:f_i(\vec{x}+\vec{e}_i\delta_t,t+\delta_t)-f_i(\vec{x},t) + F_i=\Omega(f)

:g_i(\vec{x}+\vec{e}_i\delta_t,t+\delta_t)-g_i(\vec{x},t) + G_i=\Omega(g)

Мөргөлдөөний оператор нь зарим нэг нөхцөлд тухайлбал хадгалагдах хуулийг хангаж байхын тулд үргэлж ВГК мөргөлдөөний оператороор ойролцоологдоно. 

:\Omega(f) = \frac{1}{\tau_f} (f_i^{eq}-f_i)

:\Omega(g) = \frac{1}{\tau_g} (g_i^{eq}-g_i)

Мөргөлдөөний операторт байх f_i^{eq} нь дискрет ба үүнийг тэнцвэрт эгэл хэсгийн магадлалт түгэлтийн функ гэж үзнэ. D2Q9 ба D3Q19-ын хувьд операторыг тасралтгүй ба дискрет хэлбэрт үл шахагдах шингэний хувьд харуулсан ба үүнд D, R ба T нь хэмжээснүүд, хийн тогтмол болон абсольют температурууд юм. Тасралтгүйгээс дискрет хэлбэрийн хувьд тухайн уламжлал нь 2-р эрэмбийн тохиролтойгоор /нарийвчлал/ хийгдэв. 

:f^{eq}=\frac{\rho}{(2 \pi RT)^{D/2}}e^{-\frac{(\vec{e}-\vec{u})^2}{2RT}} 

:=\frac{\rho}{(2 \pi RT)^{D/2}}e^{-\frac{(\vec{e})^2}{2RT}}e^{\frac{\vec{e}\vec{u}}{RT}-\frac{\vec{u}^2}{2RT}} 

:=\frac{\rho}{(2 \pi RT)^{D/2}}e^{-\frac{(\vec{e})^2}{2RT}}(1+\frac{\vec{e}\vec{u}}{RT}+\frac{(\vec{e}\vec{u})^2}{2(RT)^2}-\frac{\vec{u}^2}{2RT}+...) 

c=\sqrt{3RT}\,\!  гэж авч үзвэл эцсийн дүнд:

:f_i^{eq}=\omega_i\rho \left (1+\frac{3\vec{e}_i\vec{u}}{c^2}+\frac{9(\vec{e}_i\vec{u})^2}{2c^4}- \frac{3(\vec{u})^2}{2c^2} \right)    

:g^{eq}=\frac{\rho(\vec{e}-\vec{u})^2}{2(2 \pi RT)^{D/2}}e^{-\frac{(\vec{e}-\vec{u})^2}{2RT}} 

\omega_i = 
\begin{cases} 
  4/9    & i = 0 \\
  1/9    & i = 1,2,3,4 \\
  1/36   & i = 5,6,7,8 \\
\end{cases}

\omega_i = 
\begin{cases} 
  1/3    & i = 0 \\
  1/18    & i = 1,2,...,5,6 \\
  1/36   & i = 7,8,...,17,18 \\
\end{cases}

Дан бүрэлдэхүүнт урсгалын хувьд энэ төрлийн ажлууд маш их хийгдсэн байдаг ба одоо Дулааны ЛБА-ын тухай авч үзье. Олон бүрэлдэхүүнт/олон фазат ДЛБА нь нэг бүрдэлт урсгалаас илүү хялбар ашиглагдахуйц, сонирхол татдаг юм. Орчин үеийн судалгаатай хөл нийлүүлэхийн тулд \sigma_j\,\! элементтэй системийн бүх бүрдүүлэгчийг  (ж.н сүвэхрхэг орчны хана, олон төрлийн шингэний хий холимог) \Psi\,\! -аар тодорхойлох явдал юм.

:f_i^{\sigma}(\vec{x}+\vec{e}_i\delta_t,t+\delta_t)-f_i^{\sigma}(\vec{x},t) + F_i=\frac{1}{\tau_f^{\sigma}} (f_i^{\sigma,eq}(\rho^{\sigma},v^{\sigma})-f_i^{\sigma})

Тайвшрах буюу сулралтын параметр \tau_f^{\sigma_j}\,\! нь кинематик зунгааралт \nu_f^{\sigma_j}\,\!- тай дараах холбоогоор холбогдоно.

\nu_f^{\sigma_j} = (\tau_f^{\sigma_j}-0.5)c_s^2\delta_t

f_i\,\! -ын моментууд нь хадгалагдсан орчны хэмжигдэхүүнүүдийг өгнө. Энэ үед нягт нь:

:\rho=\sum_{\sigma}\sum_i f_i\,\!

:\rho\epsilon =\sum_i g_i\,\!

:\rho^{\sigma}=\sum_i f_i^{\sigma}\,\!

Жинлэсэн дундаж хурд \vec{u'} \,\! болон орчны момент /хөдөлгөөний тоо хэмжээ/ нь дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

: \vec{u'}=\left (\sum_{\sigma}\frac{\rho^{\sigma}\vec{u^{\sigma}}}{\tau_f^{\sigma}}\right)/\left(\sum_{\sigma}\frac{\rho^{\sigma}}{\tau_f^{\sigma}}\right)   

:\rho^{\sigma} \vec{u^{\sigma}} = \sum_i f_i^{\sigma} \vec{e}_i.

:v^{\sigma} = \vec{u'}+ \frac{\tau_f^{\sigma}}{\rho^{\sigma}}\vec{F}^{\sigma}

Тэнцвэрт хурд v^{\sigma}\,\!-ийн хувьд өгөгдсөн дээрх тэгшитгэлд \vec{F}^{\sigma}\,\! гишүүн нь бүрэлдэхүүн бусад бүрэлдэхүүнтэйгээ харилцан үйлчлэлцэх хүч юм. Энэ нь шингэн шингэнтэй, хий шингэнтэй, шингэн хатуу биетэй хэрхэн харилцахыг тодорхойлдог ердийн тохируулах параметр боловч одоог хүртэл хэлэлцээний гол сэдэв болж байна. Франк ба бусад эрдэмтэд энэ хүчний хувьд нэгэн загвар жагсаалт гаргаж ирсэн. Түгээмэл ашиглагддаг гаргалгаа нь Гүнстенсений хромодинамикийн загвар ба энэ нь шингэн уурын систем, бинарын шингэнд маш тохиромжтой Свифтийн чөлөөт энерги дээр суурилсан аргачлал юм. Үүнд дотоод молекулын харилцаанд суурилсан загвар, Инамурогийн арга, Лее ба Линий аргачлалч мөн хамаарна.

\vec{F}^{\sigma}\,\! -ийн ерөнхий хэлбэр нь доорх байдлаар хэд хэдэн эрдэмтэдээр өгөдсөн байдаг.

\vec{F}^{\sigma} = -\psi^{\sigma}(\vec{x})\sum_{\sigma_j}H^{\sigma\sigma_j}(\vec{x},\vec{x}')\sum_i\psi^{\sigma_j}(\vec{x}+\vec{e}_i)\vec{e}_i    \,\!

\psi(\vec{x})\,\! бол үр ашигтай масс ба H(\vec{x},\vec{x}')\,\! нь хөрш хэсэгтэйгээ  \vec{x}'\,\! - ээр харилцах дотоод эгэл хэсгийг харуулах Греений функц юм. H(\vec{x},\vec{x}')=H(\vec{x}',\vec{x})\,\! гэсэн нөхцөл хангаж байвал H(\vec{x},\vec{x}')>0\,\! болох ба эгэл хэсгүүд хоорондоо түлхэлцэх хүчийг илэрхийлнэ.  D2Q9 болон D3Q19 хувьд энэ нь:

H^{\sigma\sigma_j}(\vec{x},\vec{x}') = 
\begin{cases} 
  h^{\sigma\sigma_j}    & \left | \vec{x}-\vec{x}' \right | \le c \\
  0    & \left | \vec{x}-\vec{x}' \right | > c \\
\end{cases} 

H^{\sigma\sigma_j}(\vec{x},\vec{x}') = 
\begin{cases} 
  h^{\sigma\sigma_j}    & \left | \vec{x}-\vec{x}' \right | = c \\
h^{\sigma\sigma_j}/2    & \left | \vec{x}-\vec{x}' \right |  =\sqrt{2c} \\
  0    &  \text{busad uyed} \\
\end{cases} 

Шан ба Чен нараар дэвшүүлэгдсэн идэвхит масс нь *дан* ба *олон бүрэлдэхүүнт* системд үр ашигт масс гэдгээрээ доорхи байдлаар хэрэглэгдэнэ. Төлөвийн тэгшитгэл нь дан болон олон фазат урсгалын нөхцөлд өгөгдөх боломжтой.

:\psi(\vec{x})=\psi(\rho^{\sigma})=\rho_0^{\sigma}\left[1-e^{(-\rho^{\sigma}/\rho_0^{\sigma})} \right]\,\!

:p=c_s^2 \rho+c_0h[\psi(\vec{x})]^2\,\!

Цаашид  \rho_0^{\sigma}\,\! ба h^{\sigma \sigma_j}\,\! нь төлөвийн тэгшитгэл (EOS-ТТ) - ийн системрүү орсоноор тохируулах чөлөөт тогтмол шиг харагддаг боловч (\partial P / \partial {\rho})_T=(\partial^2 P / \partial {\rho^2})_T=0\,\! болон p=p_c\,\! гэх мэт критик нөхцөл шиг гидродинамикийн харилцан холбоог хангаж байх ёстой.  Төлөвийн тэгшитгэлд c_0\,\! бол D2Q9 ба D3Q19 хувьд 3.0 байхад D3Q15 хувьд 10.0-тэй тэнцүү байна. 

Олон фазат урсгалын симуляцийг илүү тохиролтой буюу нарийвчлалтай байлгахын тулд үр ашигт массын нягт нь өөрчлөгдсөн байх хэрэгтэй гэдгийг Юан ба Счаефер нар харуулсан юм. Тэд өөрсдийн үр дүнг Шан ба Чен (SC), Карнахан-Старлинг (C–S), Ван дер Ваал (vdW), Редлич-Квонг (R–K), Редлич-Квонг Соаве (RKS), болон  Пенг-Робинсон (P–R) нарын төлөвийн тэгшитгэлтэй харьцуулсан юм.  Тэдний үр дүнд SC ТТ нь маш сул байсан ба C–S, P–R, R–K, болон RKS ТТэгшитгэлүүд нь олон ба дан фазат урсгалд тохиромжтой илүү тохиролыг өгч байсан байна.

Алдарт изотерм ЛБА-ын хувьд эдгээр нь зөвхөн тоо хэмжээнүүдийг л хадгална. Дулааны загвар нь мөн энергийг хадгалж байх ёстой учир нэмэлт хадгалагдах тоо хэмжээ шаардлагатай болно.

:\rho \theta + \rho u u =\sum_i f_i \vec{e}_i \vec{e}_i.

## Програм хангамжууд
### Нээлттэй үүсвэр / чөлөөт програмууд 
* Advanced Simulation Library: График Процессийн нэгж (OpenCL) бүхий Нээлттэй ЛБА-ны код (AGPL). Өөр өөр сүлжээний хувьд хүчинтэй.
* Taxila LBM: Лос Аламос Үндэсний лаборатороос гаргасан 2 ба 3н хэмжээст параллелчилсан нээлттэй үүсвэр (LGPL) бүхий Фортран код. Олон фазат урсгалд хчүинтэй.
* LIMBES: Гаусс-Хермитийн квадратур дээр суурилсан 2 хэмжээст нээлттэй үүсвэр (GPL) код, Фортран 90, параллелчилсан (openmp)
* OpenLB: C++, параллелчилсан ЛБА дээр суурилсан нээрттэй үүсвэр (GPLv2) бүхий сан
* Palabos: Нээлттэй үүсвэр (AGPL) параллел C++ код, дулааны, олон фазат, чөлөөт гадаргуутай урсгалд хүчинтэй 
* Sailfish: График Процессийн нэгж (CUDA/OpenCL) бүхий Нээлттэй ЛБА-ны код (LGPL). Өөр өөр сүлжээний хувьд хүчинтэй. 
* Blender: ЛБА-ыг хэрэглэсэн 3н хэмжээст загварчлагч (https://web.archive.org/web/20150301074456/http://wiki.blender.org/index.php/Doc:2.6/Manual/Physics/Fluid/Technical_details)
олон фазат болон турбулент урсгалт хүчинтэй.
* El'Beem: ЛБА-ыг хэрэглэсэн чөлөөт ТБШД-ын код (GPL)
* J-Lattice-Boltzmann: Жава апплеттэй ЛБА-ын хамаарал.
* C examples: C (GPL) хэл дээрх зарим ЛБА-ыг ашигласан бодлогын жишээнүүд.
* LBM-C: Нээлттэй (GPLv2) CUDA код
* waLBerla: Хэрэглээ өргөнтэй ЛБА
* elbe: Бүтээмж өндөртэй ЛБА

### Чөлөөт програм 
* LBSim:  C++ хэл дээр бичигдсэн үнэгүй програм

### Арилжааны програм 
* LaBS: LaBS эсвэл Даттис Больцманы Солвер гэдэг нь шахагдах шингэнийг загварчилах арилжааны ТБШД-ын код юм. 
* LBHydra: LBHydra бол Миннесотагийн Их сургуулиас гаргасан 2 ба 3н хэмжээст турбулент, олон ба дан фазат урсгалыг загварчлах өргөтгөж болон Латтис Больцманы симулятор юм. 
* PowerFLOW: Экса Корпорацийн ТБШД-ын код.
* FlowKit: Нээлттэй үүсвэр болох Palabos програмын мэргэжлийн туслах програм.
* XFlow: Некст Лимит Технологи компанийн бүтээл ЛБА-д суурилсан ТБШД-ын хамгийн сүүлчийн үеийн код.
* ultraFluidX: Мульт-GPU -ээр дэмжигдсэн ЛБА дээр суурилсан ТБШД-ын код, FluiDyna GmbH FluiDyna.

## Цаашид унших
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* Монгол хэл дээрх нарийн тайлбар бүхий Латтис Больцманы аргын үндсэн ухагдахуун, жишээ кодууд http://hydraulicstructure.blogspot.jp/

## Тэмдэглэл
## Гадаад линк
* OpenLB: LBM community forum for discussions on research, implementation, open positions and upcoming conferences, ..
* palabos.org: A site with various resources related to LBM, including a forum.
* LBM Method
* Lattice Boltzmann summary
* Erlangen Lattice Boltzmann mailing list
* Entropic Lattice Boltzmann Method (ELBM)
* DSFD mailing list: sends information about DSFD and related conferences, opportunities for doctoral, postdoctoral, faculty and industry positions for applicants who have experience with Lattice Boltzmann or other related methods.
* dsfd.org: Website of the annual DSFD conference series (1986 -- now) where advances in theory and application of the lattice Boltzmann method are discussed
* Website of the annual ICMMES conference on Lattice Boltzmann methods and their applications 

Ангилал:Тооцооллын физик
Ангилал:Тоон анализ
Ангилал:Шингэний механик