പഥരേഖ

ഒന്നോ അതിലധികമോ നിർദ്ദിഷ്ടവ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളുടെ ഗണമാണ് **പഥരേഖ അഥവാ ബിന്ദുപഥം (Locus)** എന്നറിയപ്പെടുന്നത്.  സാധാരണയായി രേഖ, രേഖാഖണ്ഡം, വക്രം, പ്രതലം എന്നിവയെല്ലാം ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു.  

മറ്റുവിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഏതെങ്കിലും പൊതുവായ സവിശേഷഗുണം പേറുന്ന ബിന്ദുക്കളുടെ ഗണത്തെയാണ് ആ സവിശേഷഗുണം പേറുന്ന *ബിന്ദുവിന്റെ പഥരേഖ* എന്നു പറയുന്നത്.

## ജ്യാമിതിയിലെ ഉദാഹരണങ്ങൾ
ജ്യാമിതിയിലുളള ഉദാഹരണങ്ങൾ താഴെ:
* രണ്ടു ബിന്ദുക്കളിൽ നിന്നും തുല്യഅകലത്തിലുളള ബിന്ദുക്കളുടെ ഗണമാണ് ആ ബിന്ദുക്കളെ തമ്മിൽ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന രേഖാഖണ്ഡത്തിന്റെ ലംബസമഭാജി(perpendicular bisector).
* കുറുകെയുളള രണ്ട് രേഖകളിൽ നിന്നും ഒരേ അകലത്തിലുളള ബിന്ദുക്കളുടെ ഗണമാണ‌് കോണീയസമഭാജി (angle bisector)
* എല്ലാ കോണികങ്ങളും(conic section) പഥരേഖകളാണ്.
** വൃത്തം(Circle): ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്നും തുല്യഅകലത്തിലുളള ബിന്ദുക്കളുടെ ഗണം.
** പരവലയം(Parabola): ഒരു നിശ്ചിതബിന്ദുവിൽ(നാഭീബിന്ദു-focus) നിന്നും നിശ്ചിതരേഖയിൽ (നിയതരേഖ- directrix) നിന്നും തുല്യഅകലത്തിലുളള ബിന്ദുക്കളുടെ ഗണം.
** അധിവലയം(Hyperbola): രണ്ടു നിർദ്ദിഷ്ടനാഭീബിന്ദുക്കളിൽ നിന്നുളള അകലങ്ങൾ തമ്മിലുളള വ്യത്യാസത്തിന്റെ കേവലവില തുല്യമാകത്തക്കവിധമുളള ബിന്ദുക്കളുടെ ഗണം.
** ദീർഘവൃത്തം(Ellipse): രണ്ട് നിർദ്ദിഷ്ട നാഭീബിന്ദുക്കളിൽ നിന്നുളള അകലങ്ങളുടെ തുക അചരമാകത്തക്കവിധമുളള(constant) ബിന്ദുക്കുളുടെ ഗണം. 

കൂടാതെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വിവിധമേഖലകളിൽ മറ്റു ധാരാളം ഉദാഹരണങ്ങളും കാണാം.

## ജ്യാമിതീയരൂപം പഥരേഖയാണെന്നു തെളിയിക്കൽ
ഒരു ജ്യാമിതീയരൂപം പഥരേഖയാണെന്ന് തെളിയിക്കുന്നതിന് രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളുണ്ട്.
* നിബന്ധനകൾ പാലിക്കുന്ന എല്ലാ ബിന്ദുക്കളും തന്നിട്ടുളള രൂപത്തിലുണ്ടെന്നുളളതിന് തെളിവ്
* തന്നിട്ടുളള രൂപത്തിലുളള എല്ലാ ബിന്ദുക്കളും നിബന്ധനകൾ പാലിക്കുന്നുണ്ടെന്നതിന് തെളിവ്

## ഉദാഹരണങ്ങൾ
### ഉദാഹരണം ഒന്ന്

രണ്ടുബിന്ദുക്കളിൽ നിന്നുളള അകലത്തിന്റെ അംശബന്ധം *k* = *d*1/*d*2 ആയ *P*എന്ന ബിന്ദുവിന്റെ പഥരേഖ കണ്ടെത്തുക.

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ *k* = 3, *A*(−1, 0) and *B*(0, 2) എന്നിവയെ നിശ്ചിതബിന്ദുക്കളായി എടുക്കുന്നു.

: *P*(*x*, *y*) പഥരേഖയിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ്.
: \Leftrightarrow |PA| = 3 |PB| 
: \Leftrightarrow |PA|^2 = 9 |PB|^2 
: \Leftrightarrow (x + 1)^2 + (y - 0)^2 = 9(x - 0)^2 + 9(y - 2)^2 
: \Leftrightarrow 8(x^2 + y^2) - 2x - 36y + 35 = 0 
: \Leftrightarrow \left(x - \frac18\right)^2 + \left(y - \frac94\right)^2 = \frac{45}{64}.

ഈ സമവാക്യം കേന്ദ്രം (1/8, 9/4)ഉം ആരം \tfrac{3}{8}\sqrt{5} ഉം ആയ ഒരു വൃത്തത്തെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നു.  *k*, *A*, *B* എന്നിവയുടെ വിലകളാൽ നിർവ്വചിക്കപ്പെട്ട അപ്പോളോണിയസ് വൃത്തമാണിത്(circle of Apollonius).

### ഉദാഹരണം രണ്ട്

ത്രികോണം *ABC* യുടെ സ്ഥാവര (fixed)ബുജമാണ് [*AB*], അതിന്റെ നീളം*c* ആണ്.  *A*യിൽ നിന്നും*C*യിൽ നിന്നും ഉളള മധ്യരേഖകൾ (medians) പരസ്പരലംബങ്ങൾ(orthogonal) ആകത്തക്കവിധമുളള *C* എന്ന ശീർഷത്തിന്റെ ബിന്ദുരേഖ നിർണയിക്കുക.

നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ *A*(−*c*/2, 0), *B*(*c*/2, 0). 
*C*(*x*, *y*) എന്നിരിക്കട്ടെ,   [*BC*] യുടെ കേന്ദ്രം *M*((2*x* + *c*)/4, *y*/2) ആണ്.  *C* യിൽ നിന്നുളള മധ്യരേഖയ്ക്ക് *y*/*x*ചരിവ് ഉണ്ട്. മധ്യരേഖ *AM* ന്   2*y*/(2*x* + 3*c*)ചരിവ് ഉണ്ട്.

:*C*(*x*, *y*) പഥരേഖയിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ്.
:\Leftrightarrow *A* യിൽ നിന്നും*C* യിൽ നിന്നും ഉളള മധ്യരേഖകൾ പരസ്പരലംബങ്ങളാണ്.
:\Leftrightarrow \frac{y}{x} \cdot \frac{2y}{2x + 3c} = -1   
:\Leftrightarrow 2 y^2 + 2x^2 + 3c x = 0   
:\Leftrightarrow x^2 + y^2 + (3c/2) x = 0   
:\Leftrightarrow (x +  3c/4)^2 + y^2 = 9c^2/16. 

അതായത് കേന്ദ്രം (−3*c*/4, 0) ഉം ആരം 3*c*/4 ഉം ആയ ഒരു വൃത്തമാണ് *C* യുടെ പഥരേഖ .

### ഉദാഹരണം മൂന്ന്

ഒരു പൊതു പരാമിതിയെ (parameter)ആശ്രയിക്കുന്ന രണ്ടു രേഖകൾ ഉപയോഗിച്ചും പഥരേഖയെ നിർവ്വചിക്കാം.  പരാമിതി വ്യതിചലിക്കുന്നതനുസരിച്ച് രേഖകളുടെ സംഗമബിന്ദുവിന്റെ ചലനം പഥരേഖ നിർണയിക്കും.

ചിത്രത്തിൽ, ബിന്ദുക്കൾ *K* യും *L* ഉം *m* എന്ന രേഖയിലെ സ്ഥാവരബിന്ദുക്കളാണ്. *K*യിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ജംഗമരേഖയാണ് (moving line) *k*.  *k* ക്കും *m* നും ഇടയിലുളള കോൺ ആയ math>\alpha ആണ് പ്രാചരം. *k* ഉം *l* ഉം പൊതുപ്രാചരത്തെ ആശ്രയിക്കുന്ന സഹവർത്തിരേഖകളാണ്.  ചരിക്കുന്ന സംഗമബിന്ദുവായ *S* ഒരു വൃത്തത്തെ നിർമ്മിക്കുന്നു.

### ഉദാഹരണം നാല്

ബിന്ദുക്കളുടെ പഥരേഖ എല്ലായ്പ്പോഴും വൃത്തം, രേഖ എന്നിവപോലെ ഏകമാനം (one-dimensional) ആകണമെന്നില്ല.  ഉദാഹരണമായി,   എന്ന അസമതയുടെ (inequality) പഥരേഖ  എന്ന രേഖയുടെ കീഴിലുളള ഒരു പ്രതലത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗമാണ്.

## ഇവയും കാണുക
*ബീജഗണിതവൈവിധ്യം (Algebraic variety)
*വക്രം (Curve)
*രേഖ (Line (geometry))
*മേഖല (Region (geometry)
*രൂപം (Shape (geometry))

## അവലംബം

വർഗ്ഗം:രേഖകൾ