ദ്വിവസ്തുപ്രശ്നം

സാധാരണ ബലതന്ത്രത്തിൽ, ഗുരുത്വാകർഷണവിധേയമായി പരസ്പരം  ബന്ധിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന രണ്ടേ രണ്ടു വസ്തുക്കളുടെ അന്യോനാപേക്ഷിതമായ ചലനം കണക്കുകൂട്ടുവാനുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ക്രിയകളേയും അതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന കാഠിന്യത്തേയുമാണു് **ദ്വിവസ്തുപ്രശ്നം** (Two-body problem) എന്നു വിളിക്കുന്നതു്. ഒരു ഗ്രഹം സൂര്യനെ ചുറ്റുന്നതും ഉപഗ്രഹം ഗ്രഹത്തെ ചുറ്റുന്നതും ഇരട്ടനക്ഷത്രങ്ങളിൽ അവ അന്യോന്യം ചുറ്റുന്നതും എല്ലാം ഇത്തരം പ്രശ്നത്തിനു് ഉദാഹരണങ്ങളാണു്. ഇലൿട്രോൺ പരമാണുവിന്റെ മർമ്മത്തെ ചുറ്റിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നതും ഇതിനു സമാനമാണെങ്കിലും ഇക്കാര്യത്തിൽ കൃത്യമായ ഉത്തരം നിർണ്ണയിക്കാൻ ക്വാണ്ടം ബലതന്ത്രത്തിന്റെ തനതുനിയമങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ടു്.

ഗണിതശാസ്ത്രം ഇത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ നിർദ്ധാരണം ചെയ്യുന്നത് അവയെ സ്വതന്ത്രമായ ഒരു ജോടി ഏകവസ്തുപ്രശ്നങ്ങൾ ആക്കി പുനർനിർമ്മിച്ചുകൊണ്ടാണു്. ഏകവസ്തുപ്രശ്നങ്ങൾ  താരതമ്യേന ലളിതവും സാധാരണ ഗുരുത്വാകർഷണനിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഉത്തരം കണ്ടെത്താനാവുന്നവയുമാണു്.

ഇപ്രകാരം ദ്വിവസ്തുപ്രശ്നങ്ങൾ നിർദ്ധാരണം ചെയ്യാൻ സാധിക്കുമെങ്കിലും മൂന്നോ അതിൽ കൂടുതലോ വസ്തുക്കൾ ഉൾപ്പെടുന്ന ബഹുവസ്തുഗുരുത്വചലനപ്രശ്നങ്ങൾ അത്യന്തം സങ്കീർണ്ണമാണു്.

## നിർദ്ധാരണരീതി
### ഒന്നാം ഘട്ടം (ഗുരുത്വബലം കണക്കാക്കുന്നതു്)

**x**1, **x**2 ഇവ രണ്ടു വസ്തുക്കളുടെ സ്ഥാനങ്ങളും
'm*<sub>1</sub>, *m*<sub>2</sub> എന്നിവ അവയുടെ [[പിണ്ഡം|പിണ്ഡങ്ങളും]] ആണെന്നിരിക്കട്ടെ. ദ്വിവസ്തുപ്രശ്നത്തിന്റെ കാതൽ, തന്നിട്ടുള്ള ഒരു സമയത്തു് (*t*), ഈ രണ്ടു വസ്തുക്കളുടേയും (എപ്പോഴും മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന) സ്ഥാനങ്ങൾ (*'x**<sub>1</sub>(''t'') and **x**<sub>2</sub>(''t'')) എവിടെയൊക്കെ എന്നു കൃത്യമായി കണ്ടുപിടിക്കുക എന്നതാണു്. ഫലത്തിൽ ഇതിനർത്ഥം, എല്ലാ സമയാംശങ്ങൾക്കുമുള്ള ഈ സ്ഥാനമൂല്യങ്ങൾ, അതായതു് ആ വസ്തുക്കളുടെ [[ഭ്രമണപഥം|ഭ്രമണപഥങ്ങൾ]] കണക്കുകൂട്ടാൻ കഴിയും എന്നതാണു്.

ഇതിനാവശ്യമായി നമുക്കാവശ്യമുള്ള ആദ്യവിവരങ്ങൾ അവയുടെ പ്രാരംഭസ്ഥാനങ്ങളും(**x**<sub>1</sub>(''t''&nbsp;=&nbsp;0) and **x**<sub>2</sub>(''t''&nbsp;=&nbsp;0)) പ്രാരംഭപ്രവേഗങ്ങളും (<sub>1</sub>(''t''&nbsp;=&nbsp;0) and **v**<sub>2</sub>(''t''&nbsp;=&nbsp;0)) ആണു്. 

ന്യൂട്ടന്റെ രണ്ടാം ചലനനിയമം അനുസരിച്ച്, ഈ രണ്ടു പിണ്ഡങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ഗുരുത്വാകർഷണബലങ്ങൾ ഇങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കാം:

:<math>
\mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{1} \ddot{\mathbf{x}}_{1} \quad \quad \quad (\mathrm{Equation} \ 1)
</math>

:<math>
\mathbf{F}_{21}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{2} \ddot{\mathbf{x}}_{2} \quad \quad \quad (\mathrm{Equation} \  2)
</math>

(ഇതിൽ **F**<sub>12</sub> എന്നതു് ഒന്നാമത്തെ പിണ്ഡത്തിന്മേൽ രണ്ടാമത്തെ പിണ്ഡം ചെലുത്തുന്നതും **F**<sub>21</sub> എന്നതു് തിരിച്ച് രണ്ടാമത്തെ പിണ്ഡത്തിന്മേൽ ഒന്നാമത്തെ പിണ്ഡം ചെലുത്തുന്നതുമായ ബലങ്ങളാണു്.

ഈ സമവാക്യങ്ങൾ രണ്ടും കൂടി കൂട്ടിയാൽ പൊതുപിണ്ഡകേന്ദ്രത്തിന്റെ സ്ഥാനവും (position of barycenter) ആദ്യത്തേതിൽനിന്നും രണ്ടാമത്തേതു കുറച്ചാൽ  പിണ്ഡങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള നൈമിഷികസ്ഥാനാന്തരണവും (**r**&nbsp;=&nbsp;**x**<sub>1</sub>&nbsp;&minus;&nbsp;**x**<sub>2</sub>) (displacement vector) രണ്ടു സ്വതന്ത്രസമവാക്യങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ ലഭിയ്ക്കും. ഇവ നിർദ്ധാരണം ചെയ്താൽ നമുക്കാവശ്യമുള്ള ഉത്തരമായ ഭ്രമണപഥനിർദ്ദേശാങ്കങ്ങളുടെ സമവാക്യങ്ങളും ലഭിയ്ക്കും.

===രണ്ടാം ഘട്ടം: പൊതുപിണ്ഡകേന്ദ്രം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതു്===
മുകളിലെ സമവാക്യങ്ങൾ രണ്ടും സങ്കലനം ചെയ്താൽ ഇങ്ങനെ ലഭിയ്ക്കും:
:<math>
m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_1 + m_2 \ddot{\mathbf{x}}_2 = (m_1 + m_2)\ddot{\mathbf{R}}  = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0
</math>

ന്യൂട്ടന്റെ മൂന്നാം ചലനനിയമപ്രകാരം ബലപ്രയോഗവും പ്രതിപ്രയോഗവും തുല്യമായിരിക്കും. അതിനാൽ, **F**<sub>12</sub>&nbsp;=&nbsp;&minus;**F**<sub>21</sub>. (ഇതിൽ <math>
\mathbf{R}
</math> എന്നതു്  പിണ്ഡകേന്ദ്രത്തിന്റെ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കുന്നു.)

മുകളിലെ സമവാക്യം \mathbf{R}</math>നെ കർത്താവാക്കി (ഒറ്റപ്പെടുത്തി)മാറ്റിയെഴുതാം.

:<math>
\ddot{\mathbf{R}}  \equiv \frac{m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_{1} + m_{2}\ddot{\mathbf{x}}_{2}}{m_{1} + m_{2}}
</math>

ഫലമായി ലഭിക്കുന്നതു്: The resulting equation: :<math>
\ddot{\mathbf{R}}  = 0
</math>

ഇതിന്റെ അർത്ഥം, പൊതുപിണ്ഡകേന്ദ്രത്തിന്റെതന്നെ പ്രവേഗം (**V**&nbsp;=&nbsp;''d***R*'/*dt*) ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യയായിരിക്കുമെന്നാണു്. മാത്രമല്ല, ഗതിമാത്രാസംരക്ഷണനിയമം (conservation of momentum)അനുസരിച്ച്  ഇവയുടെ മൊത്തം ഗതിമാത്രയും(ആക്കം)(momentum) *m*1 **v**1&nbsp;+&nbsp;*m*2 **v**2 ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യയായിരിക്കും. അതിനാൽ, രണ്ടു പിണ്ഡങ്ങളുടേയും പ്രാരംഭസ്ഥാനങ്ങളും പ്രാരംഭപ്രവേഗങ്ങളും അറിഞ്ഞാൽ ഏതു സമയാംശത്തിലേയും അവയുടെ പൊതുപിണ്ഡകേന്ദ്രസ്ഥാനവും അറിയാം.
### മൂന്നാം ഘട്ടം: വസ്തുക്കളുടെ സ്ഥാനാന്തരണം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതു്
ആദ്യത്തെ രണ്ടു സമവാക്യങ്ങളേയും അതതിലെ പിണ്ഡം കൊണ്ടു് ഹരിച്ച് ഒന്നിൽനിന്നു് മറ്റേതു് കുറച്ചാൽ,

:
\ddot {\mathbf{r}} = \ddot{\mathbf{x}}_{1} - \ddot{\mathbf{x}}_{2} = 
\left( \frac{\mathbf{F}_{12}}{m_{1}} - \frac{\mathbf{F}_{21}}{m_{2}} \right) =
\left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} \right)\mathbf{F}_{12}


ഇതിൽ **r** എന്നതു് രണ്ടാമത്തെ വസ്തുവിനു് ഒന്നാമത്തെ വസ്തുവിനെ അപേക്ഷിച്ചുള്ള സദിശമായ ദൂരമാണു് (displacement vector).  **F**12&nbsp;=&nbsp;&minus;**F**21 ആണെന്നു ശ്രദ്ധിക്കുക. ന്യൂട്ടന്റെ മൂന്നാം ചലനനിയമമാണു് കാരണം.

ബലതന്ത്രനിയമങ്ങളനുസരിച്ചു്, ഏതു രണ്ടു വസ്തുക്കൾ തമ്മിലുമുള്ള ആകർഷണബലവും അവ തമ്മിലുള്ള അകലത്തെ മാത്രമാണു് ആശ്രയിക്കുന്നതു്; അവയുടെ കേവലമായ സ്ഥാനത്തെയല്ല. അതുകൊണ്ടു് മുകളിലെ  ബന്ധത്തെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

:
\mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = \mathbf{F}(\mathbf{r})


ഇതിൽ \mu എന്നതിനെ **[[ലഘൂകൃതപിണ്ഡം]]** എന്നു വിളിക്കാം. ലഘൂകരിച്ച സമവാക്യങ്ങളിൽ  ഒന്നിൽ ഈ മൂല്യത്തിനേയും മറ്റേതിൽ പൂജ്യവും പിണ്ഡത്തിനു പകരം വെയ്ക്കാം.

:ലഘൂകൃതപിണ്ഡം  
\mu = \frac{1}{\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_{2}}} = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}.


ഇതിൽ നിന്നും **R** (*t*),  **r**(*t*) എന്നിവ കണ്ടുപിടിക്കാം.

## ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ

അന്യോന്യം ഭ്രമണം ചെയ്യുന്ന രണ്ടു വസ്തുക്കളുടെ ഭ്രമണപഥങ്ങളുടെ ആകൃതി അവയുടെ പിണ്ഡങ്ങളുടെ അനുപാതത്തെയും ടെ പൊതുപിണ്ഡകേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നും അവയ്ക്കോരോന്നിനുമുള്ള അകലത്തേയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കും.

## അവലംബം

വർഗ്ഗം:ഖഗോള നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ
വർഗ്ഗം:ഗണിതം
വർഗ്ഗം:ബലതന്ത്രം