വൃത്തം

thumb|right|300px|വൃത്തം, കേന്ദ്രം, വ്യാസം, ആരം, സ്പർശരേഖ ഇവ എന്താണെന്നു കാണാം

ഒരു ദ്വിമാനതലത്തിൽ കേന്ദ്രബിന്ദുവിൽ നിന്ന് നിശ്ചിത ദൂരത്തിൽ അതേ തലത്തിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന എല്ലാ ബിന്ദുക്കളുടേയും ഗണത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ജ്യാമിതീയ രൂപമാണ്‌ **വൃത്തം (വട്ടം)**. ഒരു തലത്തിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന വശങ്ങളില്ലാത്ത ഏക ജ്യാമിതീയ രൂപമാണ്‌ വൃത്തം. വൃത്തം എന്ന പദം പലപ്പോഴും വക്രതയിലുള്ള ബിന്ദുക്കളെ സൂചിപ്പിയ്ക്കുന്നതിലുപരിയായി വൃത്തപരിധിയ്ക്കുള്ളിലെ തലത്തെയാണ് വിവരിയ്ക്കുന്നത്. ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ചുറ്റളവിൽ ഏറ്റവും കൂടിയ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം ഈ രൂപത്തിന്റെ മറ്റൊരു പ്രത്യേകതയാണ്. ഈ ഒരു പ്രത്യേകതയാണ്‌ കിണറിന്റെ ആകൃതി വൃത്തത്തിൽ ആകാൻ കാരണം. 

ദ്വിതല യൂക്ലീഡിയൻ രൂപമാണ് വൃത്തം. വൃത്തം കോണികങ്ങൾ എന്ന വിഭാഗത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. ഒരു വൃത്തസ്തൂപിക അതിന്റെ അക്ഷത്തിന് ലംബമായ തലവുമായി യോജിയ്ക്കുമ്പോഴാണ് വൃത്തം ഉണ്ടാകുന്നത്. ഇപ്രകാരം r ആരവും (h,k) കേന്ദ്രവുമായ വൃത്തത്തിന്റെ (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 എന്ന സമവാക്യം ലഭിയ്ക്കുന്നു. ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേകരൂപമാണ് വൃത്തം.

വൃത്തകേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നും വൃത്തപരിധിയിലുള്ള ഏതൊരു ബിന്ദുവിലേയ്ക്കുമുള്ള അകലം തുല്യമായിരിയ്ക്കും.

## ആരം
കേന്ദ്രബിന്ദുവിൽ നിന്ന് വൃത്തത്തിലെ ഏതൊരു ബിന്ദുവിലേക്കും ഉള്ള ദൂരത്തെ ആരം എന്നു പറയുന്നു. വൃത്തപരിധിയും വിസ്തീർണ്ണവും ആരത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് നിർണ്ണയിയ്ക്കുന്നത്.

## വ്യാസം
വൃത്തത്തിലെ രണ്ടു ബിന്ദുക്കൾ കൂട്ടി യോജിപ്പിക്കുമ്പോഴുണ്ടാകുന്ന രേഖാഖണ്ഡം അതിന്റെ കേന്ദ്രത്തിലൂടെ കടന്നു പോകുന്നുവെങ്കിൽ ആ രേഖാഖണ്ഡത്തിന്റെ നീളത്തെയാണു വ്യാസം എന്നു പറയുന്നത്. 

### സവിശേഷതകൾ

* വൃത്തത്തിലെ ഒരു വ്യാസത്തിൻ്റെ അറ്റങ്ങൾ വൃത്തത്തിലെ മറ്റേതൊരു ബിന്ദുവുമായി യോജിപ്പിച്ചാലും കിട്ടുന്നത് മട്ടകോൺ ആണ്. 
* വൃത്തത്തിലെ ഒരു വ്യാസത്തിൻ്റെ രണ്ടറ്റത്തു നിന്ന് വരയ്ക്കുന്ന വരകൾ പരസ്പരം ലംബമാണെങ്കിൽ അവ കൂട്ടിമുട്ടുന്നത് വ്യത്തിലായിരിക്കും. 
* ഒരു വരയുടെ രണ്ടറ്റത്തുനിന്ന് പരസ്പരം ലംബമായി വരയ്ക്കുന്ന വരകളെല്ലാം, ആ വര വ്യാസമായ വൃത്തത്തിൽ കൂട്ടിമുട്ടുന്നു.

## ഞാൺ
thumb|right|300px|ചാപം,ഞാൺ
ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഏതെങ്കിലും ഒരു ബിന്ദുവിൽ ആരംഭിച്ച് അതേ വൃത്തത്തിലെ മറ്റൊരു ബിന്ദുവിൽ അവസാനിക്കുന്ന രേഖയെ ഞാൺ എന്നു വിളിക്കുന്നു. ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഏറ്റവും നീളമേറിയ ഞാൺ അതിന്റെ വ്യാസമാണ്‌.

### സവിശേഷതകൾ

* വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസമല്ലാത്ത മറ്റേതെങ്കിലും ഞാൺ അതിന്റെ ഒരു വശത്ത് വൃത്തത്തിലുണ്ടാക്കുന്ന കോണുകളെല്ലാം തുല്യമായിരിക്കും.
* ഒരു വൃത്തത്തിലെ രണ്ടു ഞാണുകൾ വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ മുറിച്ചു കടക്കുമ്പോൾ, രണ്ടു ഞാണുകളുടെയും ഭാഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ഗുണനഫലം തുല്യമാണ്.
* ഒരു വൃത്തത്തിലെ രണ്ടു ഞാണുകൾ വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ മുറിച്ചുകടക്കുമ്പോൾ, ഓരോ ഞാണിന്റെയും ഭാഗങ്ങൾ വശങ്ങളായ ചതുരങ്ങൾക്ക് ഒരേ പരപ്പളവാണ്.
* വൃത്തത്തിലെ ഒരു വ്യാസത്തിനെ അതിനു ലംബമായ ഒരു ഞാൺ മുറിക്കുന്ന ഭാഗങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം, ഞാണിന്റെ പകുതിയുടെ വർഗമാണ്.
* വൃത്തത്തിലെ ഒരു വ്യാസത്തിനെ അതിനു ലംബമായ ഒരു ഞാൺ മുറിക്കുന്ന ഭാഗങ്ങൾ വശങ്ങളായ ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ്, ഞാണിന്റെ പകുതി വശമായ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവിനു തുല്യമാണ്.
* ഒരു ചതുരത്തിനെ അതേ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരമാക്കാൻ ഈ തത്വം ഉപയോഗിക്കാം.

## തൊടുവര(സ്പൎശരേഖ)
വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ മാത്രം കടന്ന് പോകുന്ന ഏത് വരകളേയും തൊടുവരകൾ(tangent) എന്നു പറയുന്നു.
### സവിശേഷതകൾ
*തൊടുവര വൃത്തത്തെ സ്പർശിക്കുന്ന ബിന്ദുവിലേക്ക് വരയ്ക്കുന്ന ആരവും തൊടുവരയും പരസ്പരം ലംബമായിരിക്കും.
*വൃത്തത്തിന്റെ പുറത്തുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്നും വൃത്തത്തിലേക്ക് വരയ്ക്കുന്ന തൊടുവരകളുടെ നീളം തുല്യമായിരിക്കും.
*വൃത്തിന് പുറത്തുള്ള ഒരു ബിന്ദു, P -യിൽ വൃത്തത്തിലെ A, B എന്നീ ബിന്ദുക്കളിൽ നിന്നുള്ള രണ്ട് തെടുവരകൾ സംഗമിക്കുകയാണെങ്കിൽ, (വൃത്തകേന്ദ്രത്തെ O എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു) ∠* AOB * യുടെയും ∠* APB * യുടെയും തുക 180° ആയിരിക്കും

## ചാപം
വൃത്തപരിധിയുടെ ഒരു ഭാഗത്തേയാണ് **ചാപം** എന്ന് പറയുന്നത്. വൃത്തചാപം ഡിഗ്രിയിലാണ് പറയുന്നത്. 

### സവിശേഷതകൾ

* വൃത്തത്തിലെ ഏതു ചാപവും കേന്ദ്രത്തിലുണ്ടാക്കുന്ന കോണിന്റെ പകുതിയാണ് മറുചാപത്തിലുണ്ടാക്കുന്ന കോൺ.
* വൃത്തത്തിലെ ഒരു ചാപം, മറുചാപത്തിലുണ്ടാക്കുന്ന കോണുകളെല്ലാം തുലമാണ്; അതേചാപത്തിലും  മറുചാപത്തിലുമുണ്ടാക്കുന്ന ഏത് ജോടി കോണുകളും അനുപൂരകമാണ്.

## വൃത്തപരിധിയും വിസ്തീർണ്ണവും
വൃത്തത്തിന്റെ വക്രതയുടെ അതിർത്തിയെയാണ് വൃത്തപരിധി കൊണ്ടുദ്ദേശിക്കുന്നത്. അതിർത്തിയുടെ നീളമാണ് വൃത്തപരിധിയുടെ അളവ്. വൃത്തപരിധിയെ 360 തുല്യഡിഗ്രികളാക്കി ഭാഗിച്ചിരിയ്ക്കുന്നു. വൃത്തപരിധിയും വ്യാസവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധമാണ് പൈ, ഇതിന്റെ അളവാണ് 3.14159265. ദ്വിമാനതലത്തിൽ തുല്യചുറ്റളവുള്ള ഏതൊരു രൂപത്തേക്കാളും വിസ്തീർണ്ണം കൂടുതൽ വൃത്തത്തിനാണ്.
## സൂത്രവാക്യം
* വൃത്തപരിധിയുടെ നീളം(C) അളക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം:-

:
C = \pi d = 2\pi \cdot r

r = ആരം, \pi  പൈ = 3.1415926
* വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർ‌ണ്ണം(A) അളക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം:-
:
  A= \pi \cdot  r^2
*വൃത്തത്തിന്റെ ചാപത്തിന്റെ നീളം = വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് × ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോൺ / 360°

Image:circle-animate-001.gif|വൃത്തപരിധി


## വൃത്തവും ചതുർഭുജവും

### സവിശേഷതകൾ

* ഒരു ചതുർഭുജത്തിന്റെ മൂലകളെല്ലാം ഒരു വൃത്തത്തിലാണെങ്കിൽ അതിന്റെ എതിർകോണുകൾ അനുപൂരകമാണ്.
* ഒരു ചതുർഭുജത്തിന്റെ മൂന്നു മൂലകളിൽക്കൂടി വരയ്ക്കുന്ന വൃത്തത്തിനു പുറത്താണ് നാലാമത്തെ മൂലയെങ്കിൽ, ആ മൂലയിലേയും എതിർമൂലയിലേയും കോണുകളുടെ തുക 180° യേക്കാൾ കുറവാണ്; അകത്താണെങ്കിൽ തുക 180 ° യേക്കാൾ കൂടുതലും.
* ഒരു ചതുർഭുജത്തിന്റെ എതിർകോണുകൾ അനുപൂരകമാണെങ്കിൽ അതിന്റെ നാലു മൂലകളിൽക്കൂടിയും കടന്നു പോകുന്ന വൃത്തം വരയ്ക്കാം.
* നാലു മൂലകളിൽക്കൂടിയും വൃത്തം വരയ്ക്കാൻ കഴിയുന്ന ചതുർഭുജത്തിന് '**ചക്രീയചതുർഭുജം**' *(Cyclic quadrilateral)* പറയുന്നു. എതിർകോണുകൾ അനുപൂരകമായ ചതുർഭുജങ്ങളാണ് ചക്രീയചതുർഭുജങ്ങൾ.
* എല്ലാ ചതുരങ്ങളും സമപാർശ്വലംബകങ്ങളും  ചക്രീയചതുർഭുജങ്ങളാണ്.

## അവലംബം


വർഗ്ഗം:ഗണിതം
വർഗ്ഗം:ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങൾ
വർഗ്ഗം:വക്രങ്ങൾ
വർഗ്ഗം:വൃത്തങ്ങൾ (ജ്യാമിതീയരൂപം)