ഓയ്ലറുടെ ടോഷ്യന്റ് ഫലനം

thumb|300px|right|ടോഷ്യന്റ് ഫലനത്തിന്റെ ആദ്യത്തെ നൂറ് വിലകൾ കാണിക്കുന്ന ഗ്രാഫ്

ഒരു ധനപൂർണ്ണസംഖ്യയെക്കാൾ വലുതല്ലാത്തതും അതിനോട് സഹ-അഭാജ്യവുമായ (coprime) ധനപൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ എണ്ണമാണ്‌ സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിൽ **ഓയ്ലറുടെ ടോഷ്യന്റ് ഫലനം** (Euler's totient function) എന്നറിയപ്പെടുന്നത്. ഇതിനെക്കുറിച്ച് പഠിച്ച സ്വിസ്സ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ലെയൻഹാർട് ഓയ്ലറുടെ പേരിലാണ്‌ ഫലനം അറിയപ്പെടുന്നത്. *ടോഷ്യന്റ് ഫലനം*, *ഓയ്ലറുടെ ഫൈ ഫലനം*, *ഫൈ ഫലനം* എന്നീ പേരുകളിലും ഇത് അറിയപ്പെടുന്നു. n എന്ന സംഖ്യയുടെ ടോഷ്യന്റ് ഫലനം \varphi\left(n\right) എന്നാണ്‌ എഴുതുക.

ഒരു സംഖ്യയെക്കാൾ വലുതല്ലാത്തതും അതിനോട് സഹഅഭാജ്യവുമായ സംഖ്യകളെ **ടോട്ടേറ്റീവുകൾ** എന്നാണ്‌ വിളിക്കുക. ഒരു ധനപൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ടോട്ടേറ്റീവുകളുടെ എണ്ണമാണ്‌ അതിന്റെ ടോഷ്യന്റ് ഫലനം.

## ഉദാഹരണം

9 എന്ന സംഖ്യയുടെ ടോഷ്യന്റ് ഫലനം കാണുന്നതെങ്ങനെയെന്ന് നോക്കാം. 9-നെക്കാൾ വലുതല്ലാത്ത ധനപൂർണ്ണസംഖ്യകൾ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ആണ്‌. ഇവയിൽ 1,2,4,5,7,8 എന്നിവ 9-നോട് സഹ‌അഭാജ്യമാണ്‌ - അതായത്, 6 സംഖ്യകൾ ഇങ്ങനെയുണ്ട്.

അതിനാൽ \varphi\left(9\right) = 6

\varphi\left(1\right) = 1 ആണ്‌.

## ബന്ധപ്പെട്ട ഫലനങ്ങളും സംഖ്യകളും
* ഒരു സംഖ്യയുടെയും ടോഷ്യന്റ് ഫലനത്തിന്റെ വിലയായിവരാത്ത ഇരട്ടസംഖ്യകളെ **നോൺടോഷ്യന്റ്** (Nontotient) എന്നു വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണം : 14, 26, 34, 38, 50

* ഒരു ധനപൂർണ്ണസംഖ്യയെക്കാൾ വലുതല്ലാത്തതും അതിനോട് സഹഅഭാജ്യമല്ലാത്തതുമായ ധനപൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ എണ്ണത്തെ **കോടോഷ്യന്റ് ഫലനം** എന്നു വിളിക്കുന്നു. n എന്ന സംഖ്യയുടെ കോടോഷ്യന്റ് ഫലനം n - \varphi\left(n\right) ആണ്‌. ഉദാഹരണത്തിൽ 9-ന്റെ കോടോഷ്യന്റ് ഫലനം 3 ആണ്‌. 

* ഒരു സംഖ്യയുടെയും കോടോഷ്യന്റ് ഫലനത്തിന്റെ വിലയായി വരാത്ത ധനപൂർണ്ണസംഖ്യകൾ **നോൺകോടോഷ്യന്റ്** (Noncototient) എന്നറിയപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണം : 10, 26, 30, 34, 52

* 1 മുതൽ n വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ ടോഷ്യന്റ് ഫലനങ്ങളുടെ തുക n-ന്റെ **ടോഷ്യന്റ് സമ്മേറ്ററി ഫലനം** എന്നറിയപ്പെടുന്നു. \Phi(n) ഉപയോഗിച്ചാണ്‌ ഇതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

* ടോഷ്യന്റ് ഫലനത്തിന്റെ വില m ആയിട്ടുള്ള സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം m-ന്റെ **ടോഷ്യന്റ് വാലൻസ് ഫലനം** എന്നറിയപ്പെടുന്നു. മൾട്ടിപ്ലിസിറ്റി എന്നും ഇതിന്‌ പേരുണ്ട്. N_{\varphi\left(n\right)} ആണ്‌ ഇതിനെ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

* ഓയ്ലറുടെ ടോഷ്യന്റ് ഫലനത്തിനെ k അംഗങ്ങളെ ഉൾക്കൊള്ളിച്ചുകൊണ്ടുള്ള സാമാന്യവത്കരണം നടത്തിയാൽ ലഭിക്കുന്ന ഫലനം **ജോർഡാന്റെ ടോഷ്യന്റ് ഫലനം** എന്നറിയപ്പെടുന്നു.

## കണ്ടെത്തുന്ന വിധം

* p ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയാണെങ്കിൽ \varphi\left(p^k\right) = \left(p-1\right) p^{k-1}
* m, n എന്നിവ സഹ‌അഭാജ്യസംഖ്യകളാണെങ്കിൽ \varphi\left(m n\right) = \varphi\left(m\right) \varphi\left(n\right)

ടോഷ്യന്റ് ഫലനത്തിന്റെ ഈ രണ്ട് പ്രത്യേകതകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഏതൊരു സംഖ്യയുടെയും ടോഷ്യന്റ് ഫലനം കണ്ടെത്താം. ഇതിനുള്ള വഴി:

n ഒരു ധനപൂർണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കിൽ അതിനെ p_1^{k_1} p_2^{k_2}\ldots p_r^{k_r} എന്ന രിതിയിൽ എഴുതാം. ഇവിടെ p_i കളെല്ലാം വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളും k_i കളെല്ലാം ധനപൂർണ്ണസംഖ്യകളുമാണ്‌. 

മുകളിൽ പറഞ്ഞ പ്രത്യേകതകൾ ഉപയോഗിച്ച് \varphi\left(n\right) = \left(p_1-1\right) p_1^{k_1-1} \left(p_2-1\right) p_2^{k_2-1} \ldots \left(p_r-1\right) p_r^{k_r-1} എന്ന് കിട്ടുന്നു

### ഉദാഹരണം
36 എന്ന സംഖ്യയുടെ ടോഷ്യന്റ് ഫലനം കണ്ടെത്തുന്ന രീതി നോക്കുക. 36 = 3^2 2^2. മുകളിലെ സമവാക്യമുപയോഗിച്ചാൽ \varphi\left(36\right) = 2\times 3^1\times 1\times 2^1 = 12 എന്ന് കിട്ടുന്നു.

## സവിശേഷതകൾ
* **ഓയ്‌ലറുടെ ടോഷ്യന്റ് സിദ്ധാന്തം** : a, n എന്നിവ സഹഅഭാജ്യസംഖ്യകളാണെങ്കിൽ a^{\varphi(n)}\equiv 1 \pmod{n}
* ഒരു സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ ടോഷ്യന്റ് ഫലനങ്ങളുടെ തുക ആ സംഖ്യ തന്നെയായിരിക്കും.
:അതായത്, \sum_{d\mid n}\varphi(d)=n
:ഇവിടെ d\mid n എന്നാൽ n ന്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളുമാണ്‌
* രണ്ടിനെക്കാൾ വലുതായ എല്ലാ സംഖ്യകളുടെയും ടോഷ്യന്റ് ഫലനം ഒരു ഇരട്ടസംഖ്യയായിരിക്കും 
* ആറിനെക്കാൾ വലുതായ ഒരു സംഖ്യയുടെ ടോഷ്യന്റ് ഫലനം ഒരിക്കലും ആ സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലത്തെക്കാൾ ചെറുതാവുകയില്ല
* \varphi(n^k) = n^{k-1} \varphi(n) 
* k ഏതെങ്കിലും സംഖ്യകളുടെ ടോഷ്യന്റ് വാലൻസ് ഫലനത്തിന്റെ വിലയാണെങ്കിൽ, അനന്തം സംഖ്യകൾ k ടോഷ്യന്റ് വാലൻസ് ഫലനത്തിന്റെ വിലയായുള്ളവ ഉണ്ടായിരിക്കും. 1958-ൽ പോൾ എർഡോസ് ആണ്‌ ഇത് തെളിയിച്ചത്

## കാർമൈക്കൽ ടോഷ്യന്റ് ഫലന പരികൽപന
ടോഷ്യന്റ് വാലൻസ് ഫലനത്തിന്റെ വില ചുരുങ്ങിയത് 2 ആയിരിക്കും എന്ന പരികൽപനയാണ്‌ **കാർമൈക്കൽ ടോഷ്യന്റ് ഫലന പരികൽപന** (Carmichael's Totient Function Conjecture) എന്നറിയപ്പെടുന്നത്. അതായത്, ഒരു സംഖ്യയുടെ മാത്രം ടോഷ്യന്റ് ഫലനത്തിന്റെ വിലയായി വരുന്ന സംഖ്യകളൊന്നുമില്ല.

1907-ൽ റോബർട്ട് കാർമൈക്കൽ ആണ്‌ ഈ പരികൽപന നടത്തിയത്. ഇതിന്‌ ഒരു തെളിവും അദ്ദേഹം നൽകി. എന്നാൽ ഈ തെളിവ് തെറ്റാണെന്ന് അദ്ദേഹം തന്നെ 1922-ൽ കണ്ടെത്തി. അതിനുശേഷം ഈ പരികൽപന ഇതുവരെ തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല. എന്നാൽ ഈ പരികൽപനയ്ക്ക് വിപരീതമായ സംഖ്യകൾ കണ്ടുപിടിക്കപെടുകയും ചെയ്തിട്ടില്ല. കാർമൈക്കൽ ടോഷ്യന്റ് ഫലന പരികൽപനയ്ക്ക് വിപരീതമായി ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കിൽ അതിൽ ചുരുങ്ങിയത് ആയിരം കോടി അക്കങ്ങൾ ഉണ്ടാകും.

## ലെഹ്‌മറുടെ ടോഷ്യന്റ് പ്രശ്നം

\varphi\left(n\right) എന്നത് n-1 ന്റെ ഘടകമാവുന്ന തരത്തിലുള്ള ഭാജ്യസംഖ്യകൾ ഉണ്ടോ എന്ന ചോദ്യമാണ്‌ **ലെഹ്‌മറുടെ ടോഷ്യന്റ് പ്രശ്നം** (Lehmer's Totient Problem) എന്നറിയപ്പെടുന്നത്. ഈ ചോദ്യത്തിന്‌ ഇതുവരെ ഉത്തരം കണ്ടെത്തിയിട്ടില്ല. എന്നാൽ അത്തരം ഒരു സംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കിൽ അത് ഒരു കാർമൈക്കൽ സംഖ്യ ആയിരിക്കും എന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്.

## അവലംബം

## പുറം കണ്ണികൾ
* ആദ്യ 500 സംഖ്യകളുടെ ടോഷ്യന്റ് ഫലനങ്ങളുടെ പട്ടിക

വർഗ്ഗം:ഗണിതം
വർഗ്ഗം:സംഖ്യാസിദ്ധാന്തം