ഗണം (ഗണിതം)

200px|thumb|രണ്ടു ഗണങ്ങളുടെ സംഗമം സൂചിപ്പിക്കാനുപയോഗിക്കുന്ന വെൻ ഡയഗ്രം
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ അടിസ്ഥാനആശയങ്ങളിൽ ഒന്നാണ് **ഗണം**. ഗണസിദ്ധാന്തം വളരേയേറെ പുരോഗതി പ്രാപിച്ചതും ഗവേഷണത്തിന് വിധേയമായിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നതുമായ ഒരു വിഷയമാണ്. ഗണസിദ്ധാന്തം ആവിഷ്ക്കരിച്ചത് ജോ‌ർജ്ജ് കാന്റർ ആണ്.

## നിർവ്വചനം
ജോർജ്ജ് കാന്റർ ആണ് ഗണത്തെ നിർവ്വചിച്ചത്. അദ്ദേഹത്തിന്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ 
"വ്യക്തമായി നിർവ്വചിക്കാൻ കഴിയുന്ന അം‌ഗങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തെ ഗണം" എന്ന് പറയുന്നു. ഇതിലെ അംഗങ്ങൾ രാശികളോ വസ്തുക്കളോ ആശയങ്ങളോ ആവാം.

## സൂചിപ്പിക്കുന്ന രീതി
ഗണത്തെ ഇംഗ്ലീഷ് അക്ഷരമാലയിലെ വലിയ അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളെ {} ബ്രാക്കറ്റിനുള്ളിൽ നിർവ്വചിക്കുന്നു. അംഗങ്ങളുടെ വിന്യാസം പ്രധാനമായും 3 രീതിയിലാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

## ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ
* \mathbb{N} എണ്ണൽസംഖ്യാഗണം {1,2,3.............}
* \mathbb{N}_0 അഥവാ \mathbb{W} ധനപൂർണ്ണസംഖ്യ അഥവാ അഖണ്ഡസംഖ്യാഗണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു {0,1,2,3.........}
* \mathbb{Z} പൂർണ്ണസഖ്യാഗണം {.....-3,-2,-1,0,1,2,3................}
* \mathbb{Q} ഭിന്നകസംഖ്യാഗണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
* \mathbb{R} രേഖീയസംഖ്യാഗണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
* \mathbb{C} സമ്മിശ്രസംഖ്യാഗണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുനാണ് ഈ അക്ഷരം ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

## അംഗത്വം
തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു രാശി ഗണത്തിലെ അംഗമാണോ അല്ലയോ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാൻ **∈** അഥവാ** ∉** എന്ന ചിഹ്നമാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

ഉദാ:\mathbb{N} എന്ന എണ്ണൽസംഖ്യാഗണം പരിഗണിക്കുക.

ആയതിനാൽ  \mathbb{N} ={1,2,3,4,..........}
ഇവിടെ 100∈\mathbb{N} ഉം 0 ∉ \mathbb{N}ഉം ആണ്.

## ഗണനസംഖ്യ
ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ ആ ഗണത്തിന്റെ ഗണനസംഖ്യ(Cardinality)എന്ന് പറയുന്നു.ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് | | എന്ന ചിഹ്നമുപയോഗിച്ചാണ്.

മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ച ഉദാഹരണത്തിൽ  \mathbb{N} എന്ന ഗണത്തിന്റെ ഗണനസംഖ്യ അനന്തമാണ്.A ={1,2,3,4}എന്ന ഗണം പരിഗണിച്ചാൽ |A|=4 ആണെന്ന് കാണാം.
## ഉപഗണം
ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങൾ പൂർണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ അംഗങ്ങളായുള്ള ഗണത്തേയാണ് ഉപഗണം(Subset) എന്ന് പറയുന്നത്.ഇതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്  **<math>\subseteq</math>** ഇപ്രകാരമാണ്.

\mathbb{N} എന്ന ഗണം പരിഗണിച്ചാൽ A={2,4,6,8..........} എന്ന ഗണം \mathbb{N}ന്റെ ഉപഗണമാണെന്ന് പറയാം.

അതായത് A\subseteq\mathbb{N} ഉം തിരിച്ച്  \mathbb{N} എന്ന ഗണം Aയുടെ അധിഗണം(Superset) ആണെന്നും പറയാം.\mathbb{N} \supseteq A
## ഗണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചിഹ്നങ്ങൾ
* അംഗമാണ് എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാൻ.
* {} അംഗങ്ങളെ വിന്യസിക്കാൻ
* \subseteq ഉപഗണം
* **∩** സംഗമം
* **∪** യോഗം
* A' ,Aയുടെ പൂരകഗണം

## യോഗം
രണ്ടോ അതിലധികമോ ഗണങ്ങളിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും ചേർന്ന ഗണം ലഭിക്കുന്നു.ഗണങ്ങളിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളേയും യോജിപ്പിച്ച് ഒരു ഗണത്തിൽ വിന്യസിക്കുന്നു.

രണ്ട് ഗണങ്ങൾ A യുടേയും B യുടേയും യോഗം A ∪ B എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.ഇതിലെ അംഗങ്ങൾ ഒന്നുകിൽ Aയിലേയോ അല്ലെങ്കിൽ Bയിലേയോ അംഗങ്ങളാവാം.

നിബന്ധനാരീതിയിൽ ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കാം A ∪ B ={x/x∈ A അഥവാ x∈B}
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
* {1,3}  ∪ {ചുവപ്പ്,വെള്ള}={1,3,ചുവപ്പ്,വെള്ള}
* {1,3,പച്ച}  ∪ {ചുവപ്പ്,വെള്ള,പച്ച} ={1,3,ചുവപ്പ്,വെള്ള,പച്ച}
* A={1,3,5,.......},B={2,4,6,8..........}   എങ്കിൽ A ∪ B={1,2,3,4,5....................} ആയിരിയ്ക്കും.
### ചില സവിശേഷതകൾ
* ക്രമനിയമം(Commutative law) പാലിക്കുന്നു.അതായത് A ∪ B   =   B ∪ A
* സാഹചര്യനിയമം(Associative law) പാലിക്കുന്നു. അതായത് A ∪ (B ∪  C)    =    (A ∪  B)  ∪  C
* A  ⊆  (A ∪ B)
* വർഗ്ഗസമനിയമം(Idempotent law) പാലിക്കുന്നു.അതായത് A ∪ A   =  A
* A ∪ ø = A, ശൂന്യഗണമാണ് തൽസമകം (Identity element)

## സംഗമം
രണ്ടോ അതിലധികമോ ഗണങ്ങളിലെ പൊതുവായുള്ള അംഗങ്ങളുടെ ഗണം സംഗമം എന്ന സംകാരകം വഴി ലഭിക്കുന്നു.രണ്ട് ഗണങ്ങൽ A യുടെയും  B യുടേയും സംഗമം A ∩ B ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു.ഗണങ്ങളിൽ പൊതുവായ ഒരു അംഗവും ഇല്ലെങ്കിൽ അവയെ വിയുക്തഗണം എന്ന് പറയുന്നു.

നിബന്ധനാരീതിയിൽ ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കാം.A∩B ={x/x∈ A ഉം x∈B}
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
* {1,2} ∩  {ചുവപ്പ്,വെള്ള}=ø  
* {1,2,പച്ച} ∩ {ചുവപ്പ്,വെള്ള,പച്ച}={പച്ച}
### ചില സവിശേഷതകൾ
* ക്രമനിയമം അനുസരിക്കുന്നു.A ∩ B   =   B ∩ A
സാഹചര്യനിയമം അനുസരിക്കുന്നു. A  ∩ (B  ∩  C)    =    (A  ∩  B)   ∩  C
* A ∩ B  ⊆  A
* വർഗ്ഗസമനിയമം അനുസരിക്കുന്നു, A ∩ A   =   A
* ശൂന്യഗണമാണ് തൽസമകം,A ∩ ø   =   ø
## പൂരകഗണം
സമസ്തഗണത്തിലുള്ളതും(Universal Set) തന്നിരിക്കുന്ന ഗണത്തിലില്ലാത്തതുമായ അംഗങ്ങളുടെ ഗണത്തെ പൂരകഗണം എന്ന് പറയുന്നു.Aയുടെ പൂരകഗണത്തെ A' എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം.

നിബന്ധനാരീതിയിൽ ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കാം.
A'={x/x∉A }
## കാർട്ടീഷ്യൻ ഗുണനഫലം
### ക്രമ ജോടി
ഒരു ക്രമ ജോടി എന്നാൽ നിശ്ചിതക്രമം പാലിയ്ക്കുന്ന സംഖ്യകൾ എന്നതാണ്. (a,b) എന്നത് ഒരു ക്രമ ജോടിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.ഇതിൽ  a ആദ്യത്തേയും b രണ്ടാമത്തേയും സംഖ്യയകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
(a,b)=(a',b') എന്നത് a=a' എന്നും b=b' എന്നുംസൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ജോടിയും ഗണവും തമ്മിലുള്ള പ്രധാനവ്യത്യാസവും ഇതുതന്നെയാണ്. അതായത് ജോടി ഒരു നിശ്ചിതക്രമം സംഖ്യകളെ വിന്യസിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഗണത്തിൽ ഇത്തരത്തിലൊരു ക്രമം ആവശ്യമില്ല. കൂടാതെ ഗണത്തിൽ {a,a} എന്നത് അർത്ഥശൂന്യമാണ്. എന്നാൽ (a,a) ഒരു അർത്ഥവത്തായ ജോടിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളെ മറ്റൊരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുമായി യോജിപ്പിച്ച് പുതിയൊരു ഗണം ഉണ്ടാക്കാൻ കാർട്ടീഷ്യൻ ഗുണനഫലം ഉപയോഗിക്കുന്നു. രണ്ട് ഗണങ്ങൾ Aയുടേയും Bയുടേയും ക്രമിതജോടികളായാണ് രേഖപ്പെടുത്തുന്നത്. A X B ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. നിബന്ധനാരീതിയിൽ ഇപ്രകാരം നിർവ്വചിക്കാം.

A X B= {(x,y)/x∈ A,y∈ B}

Aഎന്ന ഗണത്തിൽ m അംഗങ്ങളും Bഎന്ന ഗണത്തിൽ n അംഗങ്ങളും ഉണ്ടെങ്കിൽ AXB എന്ന ഗണത്തിൽ mXn അംഗങ്ങളുണ്ടായിരിയ്ക്കും.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:
* {1,2} X{ചുവപ്പ്,വെള്ള}={(1,ചുവപ്പ്),(1,വെള്ള),(2,ചുവപ്പ്),(2,വെള്ള)}
* {1, 2} X {1, 2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

### ചില സവിശേഷതകൾ
* A X ∅ = ∅ X A = ∅
* A X (B ∪ C) = (A X B) ∪ (A X C)
* (A ∪ B) X C = (A X C) ∪ (B X C)

## ഇതും കൂടി കാണുക
* ഗണസിദ്ധാന്തം

## അവലംബം
* Linear Algebra by Klaus Janich,Springer Publication,ISBN:81-8128-187-X
* ഹൈസ്കൂൾ ശാസ്ത്രനിഘണ്ടു,കേരള ശാസ്ത്രസാഹിത്യപരിഷദ്

വർഗ്ഗം:ഗണസിദ്ധാന്തം