അങ്കഗണിതഫലനം

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ഒരു ധനപൂർണസംഖ്യയെ (positive integer) മറ്റൊന്നായി രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുമ്പോൾ അത് ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ക്രിയ. വിപുലമായ അർഥത്തിൽ, ഒരു വസ്തു മറ്റൊന്നായി മാറുമ്പോൾ ആ പ്രക്രിയയിൽ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ക്രിയയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നതാണ് ഫലനം. ഒരു സംഖ്യയുടെ മൂന്നിരട്ടിയോട് അഞ്ച് ചേർത്താൽ മറ്റൊരു സംഖ്യയുണ്ടാകുന്നു. ഇതിൽ സാമാന്യമായി സംഖ്യയെ n എന്നു സൂചിപ്പിച്ചാൽ പുതിയ സംഖ്യ  3n + 5  എന്നായിരിക്കും. 3n + 5 എന്ന സംഖ്യ രൂപപ്പെടാൻ n എന്ന സംഖ്യയിൽ ഏല്പിക്കുന്ന ക്രിയയ്ക്കാണ് ഇവിടെ n-ന്റെ ഫലനമെന്നു പറയുന്നത്: f(n)= 3n + 5. n ഒരു ധനപൂർണസംഖ്യയാകുമ്പോൾ 3n+ 5-ഉം ധനപൂർണസംഖ്യയാകുന്നു. അതുകൊണ്ട് ഇവിടെ f ഒരു അങ്കഗണിതഫലനമാണ്.

സംഖ്യകളുടെ സവിശേഷതകൾ സംഖ്യാസിദ്ധാന്ത(Theory of numbers)ത്തിലൂടെ ഫലനങ്ങളുപയോഗിച്ച് പഠിക്കുന്ന ഒരു ഗണിതശാഖയാണ് ഇത് ഉൾക്കൊള്ളുന്നത്. ധനപൂർണസംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധമാണ് ഇതിലെ പ്രധാന പ്രമേയം. ഉദാഹരണമായി ഏതു സംഖ്യയുടെയും രണ്ടിരട്ടി എന്ന ആശയം ഫലനംവഴി സൂചിപ്പിക്കാം.f(n) = 2n എന്ന നിർവചനംകൊണ്ട് മേൽപറഞ്ഞ അർഥം വ്യക്തമാക്കാവുന്നതാണ്. ഇവിടെ n എന്നത് ഏതു ധനപൂർണസംഖ്യയുമാകാം. n = 3 ആണെങ്കിൽ, f(3) = 6 എന്നു ലഭിക്കുന്നു. ഇതിന്നർഥം : 3-ന്റെ രണ്ടിരട്ടി സമം 6. ഇതിൽ f ഒരു അങ്കഗണിതഫലനമാണ്. മിശ്രസംഖ്യാഗണത്തിന്റെ, ധനപൂർണസംഖ്യാഗണത്തിലേക്കുള്ള ഒരു രൂപാന്തരമാണ് അങ്കഗണിതഫലനം അഥവാ സംഖ്യാഫലനം എന്നു നിർവചിക്കാം. അതായത് ഒരു മിശ്രസംഖ്യ ഒരു ധനപൂർണസംഖ്യയായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു. ഇതിലുൾപ്പെടുന്ന നിയമമാണ് സംഖ്യാഫലനം. ധനപൂർണസംഖ്യകളുടെ സവിശേഷതകൾ പരിഗണിച്ച് അങ്കഗണിതഫലനങ്ങൾ, സംഖ്യാസിദ്ധാന്തചരിത്രം (History of Number Theory) എഴുതിയ എൽ.ഇ. ഡിക്സൺ രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. I(n), E(n), d(n), &mu;(n), E0(n) എന്നിവ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്. അവിഭാജ്യഘടകങ്ങളായി n പിരിച്ചെഴുതിയാൽ n=p1a1p2a2......prarഎന്നൊരു രൂപമുണ്ടാകുന്നു. P1, P2........ എന്നിവ വ്യത്യസ്തമായ അവിഭാജ്യഘടകങ്ങളാണ്. എങ്കിൽ I(n) =n,E(n) = 1. n-ന്റെ ആകെയുള്ള ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്നതാണ് d(n); &mu;(1) = 1, &mu; (p1, ...........pr) = (-1)r, &mu;(p2) = 0. അതായത് n-ന് ഏതെങ്കിലുമൊരു വർഗസംഖ്യ (square) ഘടകമായുണ്ടെങ്കിൽ ആ സംഖ്യയെ സംബന്ധിച്ച് &mu; എന്ന അങ്കഗണിതഫലനത്തിന്റെ മൂല്യം 0 ആണ്; E0(1) = 1, മറ്റെല്ലാ പൂർണസംഖ്യകൾക്കും E0(n)=0. കുറെക്കൂടി ഉയർന്നതരം ഫലനങ്ങളാണ് &phi;(n), &sigma;(n) എന്നിവ. ഓയിലർ എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്റെ പേരിലറിയപ്പെടുന്ന &phi;(n) (ഓയിലർ ഫലനം) അങ്കഗണിതഫലനത്തിൽ വളരെ പ്രാധാന്യമർഹിക്കുന്നു. ടോഷന്റ് ഫലനം (Totient function) എന്ന വർഗത്തിൽപ്പെടുന്നു ഇത്. n = 12 എങ്കിൽ, 12-ൽ താഴെ 12-നോടു പൊതുഘടകമില്ലാത്ത ധനപൂർണസംഖ്യകളുടെ എണ്ണമാണ് &phi;(12) സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, ഘടകങ്ങൾ പരിഗണിക്കുമ്പോൾ 1, 5, 7, 11 എന്നിവയുടെ എണ്ണം. അതായത്, &phi;(12) = 4. 1, 2, 3, 4, 6, 12 ആണ് 12-ന്റെ ഘടകങ്ങൾ. അതുകൊണ്ട് d(12) = 6, &sigma;(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28. അതായത് ഘടകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക.

## കോൺവല്യൂഷനുകൾ
(Convolutions). രണ്ട് അങ്കഗണിതഫലനങ്ങൾ തമ്മിൽ ഗുണനാടിസ്ഥാനത്തിൽ ബന്ധപ്പെടുന്ന സമ്പ്രദായമാണ് കോൺവല്യൂഷൻ. മൂലസംഖ്യയുടെ (argument) ഗുണനഘടകങ്ങളുടേയും സങ്കലനപദങ്ങളു(addition terms)ടേയും അടിസ്ഥാനങ്ങൾ അനുസരിച്ച് രണ്ടുതരത്തിൽ കോൺവല്യൂഷൻ ഉണ്ടാകുന്നു. ഇതിൽ ആദ്യത്തേതിന് ഡിറീക്ലെ സംയോഗം (Dirchlet Composition ) എന്നും രണ്ടാമത്തേതിന് കോഷി സംയോഗം (Cauchy Composition ) എന്നും ആദ്യമായി പറഞ്ഞത് ഇ.ടി. ബെൽ ആണ്. f, g, h എന്നീ സംഖ്യാഫലനങ്ങൾ താഴെ കൊടുക്കുന്ന തരത്തിൽ ബന്ധപ്പെട്ടിരുന്നാൽ, അതായത് h (n) = എന്നാണെങ്കിൽ f,g എന്നിവയുടെ ഒരു (ഡിറീക്ലെ) സംയോഗം ആണ് h എന്നു പറയപ്പെടുന്നു.   h(n) = എന്നാണെങ്കിൽ f,g എന്നിവയുടെ കോഷി സംയോഗവും. nന്റെ ഘടകങ്ങളെയാണ് d സൂചിപ്പിക്കു ന്നത്. ഘടകങ്ങളിൽ n-ഉം ഉൾപ്പെടുന്നു. പഠനവിധേയമായിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന സംയോഗമാണ് ആദ്യത്തേത്.

1930-തിനോടടുത്ത്  ആർ. വൈദ്യനാഥസ്വാമി (മദ്രാസ് യൂണിവേഴ്സിറ്റിയിൽ ഗണിതശാസ്ത്രവിഭാഗം പ്രൊഫസർ ആയിരുന്നു) തന്റെ മെമോയർ ഓൺ മൾട്ടിപ്ളിക്കേറ്റീവ് ഫങ്ഷൻസ് (Memoir on Multiplicative Functions) എന്ന ഗവേഷണപ്രബന്ധം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. അതിൽ നാലുതരം യോഗങ്ങളെപ്പറ്റി പറയുന്നു: സംയോഗം (കോമ്പോസിഷൻ), കോൺവല്യൂഷൻ, ഫലനഗുണനം (മൾട്ടിപ്ളിക്കേഷൻ), ബ്ളോക് കോൺവല്യൂഷൻ.

ആദ്യം ഉദാഹരണമായി കാണിച്ച ഡിറിക്ലെ സംയോഗത്തെയാണ് സാധാരണയായി സംയോഗം എന്നു പറയുന്നത്; n എന്നതിന്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ഉപയോഗപ്പെടുത്തി എഴുതാവുന്ന എല്ലാ പദങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക. ഉദാ.

ഇതിൽ   {d} \Vert {n} 
എന്ന അങ്കനംകൊണ്ട് ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്: n-ന്റെ ബ്ളോക്ക് ഘടകം, ഏകകഘടകം അഥവാ യൂണിറ്ററി ഘടകം ആണ് dഎന്ന ധനപൂർണസംഖ്യ. രണ്ടു പൂരക ഘടകങ്ങൾക്കു തമ്മിൽ  പൊതുഘടകം 1 (ഒന്ന്) ഒഴികെ മറ്റൊന്നും ഇല്ലെങ്കിൽ അവയെ ബ്ളോക്ക് ഘടകങ്ങൾ എന്നു പറയുന്നു. ഉദാ. 1, 3, 4, 12 എന്നിവ 12-ന്റെ ബ്ളോക്ക് ഘടകങ്ങളാണ്.
    
h (12) = f(1) g(12) + f(3) g(4) + f(4) g(3) + f(12) g(1).
   
ഇത്തരം കോൺവല്യൂഷനുകൾ വേറെയുമുണ്ട്. സാധാരണ കോൺവല്യൂഷനായ സംയോഗത്തിന്റെ സാമാന്യരൂപങ്ങളാണ് a-ഗുണനം, k-ഗുണനം എന്നിവ.
   
(1) a-ഗുണനം. a(m,n) ഒരു അങ്കഗണിതഫലനമാണെന്നു കരുതുക; m, n എന്നീ രണ്ടു പൂർണസംഖ്യകളെ ആസ്പദമാക്കിയുള്ള ഫലനം. എങ്കിൽ, h (n) = d/n-w എന്നത് f,g എന്നിവയുടെ a-ഗുണനമാണ്. a-ഫലനത്തെ കെർണൽ (കാതൽ = Kernel) എന്നു പറയുന്നു.
    
(ii) k-ഗുണനം. k(n) ഒരു അങ്കഗണിതഫലനമാണെന്നു കരുതുക. h (n) =(a) g(b). ഇതിന് f, g എന്നിവയുടെ k-ഗുണനമെന്നുപറയുന്നു. ഇവിടെ a,bസാമാന്യമായത്. a-ഗുണനത്തിൽ സ-ഗുണനവും സാധാരണ സംയോഗവും ഇത്തരം മറ്റനവധി കോൺവല്യൂഷനുകളും അടങ്ങിയിട്ടുണ്ട്. a-ഫലനത്തിന്റെ പ്രത്യേകതയനുസരിച്ച് a-ഗുണനത്തിന്റെ സ്വഭാവം മാറുന്നു.

**പ്രതിലോമഫലനം** (Inverse function ). f,g ഫലനങ്ങളുടെ സംയോഗത്തിന്റെ ഫലമായി ലഭിക്കുന്ന ഫലനം E0 ആണെങ്കിൽ, അതായത്  = E0 (n) എങ്കിൽ f-ഉം g-ഉം പരസ്പരം പ്രതിലോമഫലനങ്ങളാണെന്നു പറയുന്നു. f-ന്റെ പ്രതിലോമഫലനത്തെ f -1 (എഫ് പ്രതിലോമം) എന്നു രേഖപ്പെടുത്താറുണ്ട്. ഓരോ കോൺവല്യൂഷനെയും അടിസ്ഥാനമാക്കി f-ന് പ്രതിലോമമുണ്ടായിരിക്കും. അഥവാ പ്രതിലോമഫലനം ഉണ്ടാക്കുന്ന പ്രക്രിയയ്ക്കു മാത്രമേ കോൺവല്യൂഷൻ എന്നു പറയാവൂ. ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിൽ കാണുന്ന പ്രതിലോമതത്ത്വം തന്നെയാണിവിടെയും (നോ: ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം). അതായത് കോൺവല്യൂഷൻ എന്നത് ഒരു ഗ്രൂപ്പ് ക്രിയയാണ്. അപ്പോൾ രണ്ട് അങ്കഗണിതഫലനങ്ങൾ കോൺവല്യൂഷൻ വഴി കൂടിച്ചേരുമ്പോൾ മൂന്നാമതൊരു അങ്കഫലനമുണ്ടാകുന്നു; ഏത് അങ്കഫലനത്തിനും കോൺവല്യൂഷൻ ക്രിയയിലൂടെ ഒരു പ്രതിലോമഫലനമുണ്ടാകുന്നു; ഈ ക്രിയയുടെതന്നെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു ഏകകഫലനമുണ്ടാകുന്നു. ഇത്രയുമായാൽ അങ്കഗണിതഫലനഗണം തന്നെ സാങ്കേതികാർഥത്തിൽ കോൺവല്യൂഷൻ ക്രിയ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഗ്രൂപ്പ് ആണെന്നു പറയാം.

**ഗുണനാത്മക അങ്കഗണിതഫലനം** (Multiplicative functions). അങ്കഗണിതഫലനങ്ങൾ പൊതുവേ അനവധി മൂലകാങ്കങ്ങളെ ആധാരമാക്കിയാകാം:

f(m1,m2, .........., mr). (m1n1, m2n2) = 1 ആകുമ്പോൾ, f(m1,m2) f(n1,n2) = f(m1n1, m2n2) ആണെങ്കിൽ, f(m1,m2) ഒരു ഗുണനാത്മക അങ്കഗണിതഫലനമാണെന്നു പറയുന്നു. ഒരു വ്യവസ്ഥയുമില്ലാതെ തന്നെ f(m1,m2) f(n1,n2) = f(m1n1, m2n2) ആണെങ്കിൽ, f(m1,m2) ഒരു ലീനിയർ അഥവാ മുഴുഗുണനാത്മകഫലനമാണെന്നു പറയുന്നു. മൌലിക-അങ്കഗണിതഫലനങ്ങൾ എല്ലാംതന്നെ ആദ്യത്തേതിനുദാഹരണമാണ്. I (n) ഒരു ലീനിയർ ഫലനമാണ്. &mu;(n), d(n),&sigma;(n), &oslash;(n), എന്നീ ഫലനങ്ങൾ ഗുണനാത്മകമാണ്. n-നു പകരം ഒരു അവിഭാജ്യസംഖ്യയുടെ ഘാതം (pa) ഉപയോഗിച്ച് ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യവാക്യം നിർണയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. ഇങ്ങനെ മൂല്യവാക്യങ്ങൾ നിർണയിച്ചാൽ n = &pi;pa ആണെങ്കിൽ, 

**d(n)      =  &pi;(a+1),&phi;(n) = n&pi;**\left (1-\frac{1}{p}\right)

**&sigma;(n)  = &pi;**\left(\frac{p^{a+1}-1}{p-1}\right)**ആയിരിക്കും**

**ഉദാ:  n  = 12  = 2<sup>2</sup> x 3<sup>1</sup>; d(12) = (2+1) (1+1) = 6**
                 
**&sigma;(12)= 12**\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right) = 4,
       
**&sigma;(12)** = \left(\frac{2^3-1}{2-1}\right)\left(\frac{3^1-1}{3-1}\right) = 28 
       

ഈ സംഖ്യാഫലനങ്ങൾക്കു വളരെ സാമാന്യവത്കരണങ്ങൾ ഉണ്ടായിട്ടുണ്ട്. ഉദാ. Ik(n),&oslash;k(n),dk(n),&sigma;k(n). അങ്കഗണിതഫലനങ്ങളുടെ വൈശ്ളേഷികവശത്തെപ്പറ്റി പ്രതിപാദിക്കുന്നത് അനലിറ്റിക് നമ്പർ തിയറിയിലാണ്. അനാലിസിസ് എന്ന മൗലികഗണിതശാഖയിലെ തത്ത്വങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് ഈ പഠനം സാധിക്കുന്നത്.

ആധുനിക ബീജഗണിതത്തിന്റെ സ്വാധീനം അങ്കഗണിതഫലനവിജ്ഞാനത്തെ വളർത്തിയിട്ടുണ്ട്. വളരെക്കാലത്തെ വളർച്ചയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ എൽ.ഇ. ഡിക്സൺ ഇതിന്റെ ചരിത്രം എഴുതി. അടുത്തകാലത്താണ് ഇ.ടി.ബെൽ ഈ ശാഖയെ ഒരു സിദ്ധാന്തമായി വളർത്തിയത് (1927). സംഖ്യാഫലനസിദ്ധാന്തത്തിൽ, ആധുനിക ബീജഗണിതത്തിന്റെ പ്രേരണയോടെ അങ്കഗണിതഫലനത്തിന് ഒരു താത്വികാടിസ്ഥാനം ഉണ്ടായി. സംഖ്യാഫലനഗണിതം എന്നൊരു ശാഖതന്നെ വളർത്തിയത് ബെൽ ആണ്. പിന്നീട് ആർ. വൈദ്യനാഥസ്വാമി, കാർലിറ്റ്സ്, എക്ഫോർഡ് കോഹൻ, ലെഹ്‍മർ എന്നിവർ അത് കുറെക്കൂടി താത്ത്വികമായി വികസിപ്പിച്ചു.

സംഖ്യാഫലനങ്ങൾക്കു കൂടുതൽ വ്യാപകമായ സാമാന്യവത്കരണങ്ങൾ സാധിച്ചിട്ടുണ്ട്. ജി.സി. റോട്ട എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാണ് ഈ വഴിക്കു മൗലികപ്രാധാന്യമുള്ള ഗവേഷണങ്ങൾ ആരംഭിച്ചത്. ഇൻസിഡൻസ് ആൾജിബ്ര (Incidence Algebra) എന്നൊരു ശാഖ വളർത്തി. മിശ്രസംഖ്യ (complex numbers)കളുടെ സ്ഥാനത്ത് ഭാഗികമായി ക്രമപ്പെടുത്തിയ ജാലികാന്തരാളങ്ങൾ (Lattice inrervals) ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ട് സംഖ്യാഫലനങ്ങളുടെ അർഥവ്യാപ്തി വർധിപ്പിച്ചത് റോട്ടയാണ്. മോബയസ്മ്യൂ-(&mu;) ഫലനത്തിന്റെ സാമാന്യവത്കരണത്തിലാണ് റോട്ട കൂടുതൽ ശ്രദ്ധിച്ചത്. എന്നാൽ ഡേവിഡ് എ. സ്മിത്ത് ഇൻസിഡൻസ് ഫലനങ്ങളെന്ന പേരിൽ അങ്കഗണിതഫലനത്തിന്റെ ഏറ്റവും വിപുലമായ സാമാന്യവത്കരണം സാധിച്ചു (1967). ക്ളാസിക്കൽ അങ്കഗണിതഫലനങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്ന അനവധി സർവസമീകരണങ്ങ(Identities)ളുടെ ക്ളിഷ്ടത ഒഴിവാക്കുന്ന രീതിയിലാണ് ഇൻസിഡൻസ് ഫലനങ്ങളുപയോഗിച്ച് സമാന്തരമായ സർവസമീകരണങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയത്. ഈ ഗവേഷണം കോമ്പിനറ്റോറിയൽ അനാലിസിസ് എന്ന ശാഖയിലുൾപ്പെടുന്നു. അങ്കഗണിതഫലനങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുമ്പോഴുള്ള ക്ളിഷ്ടത ഒഴിവാക്കുകയും കൂടുതൽ സാമാന്യമായ ഫലനത്തിലെത്തുകയും ചെയ്യുന്നതരത്തിലാണ് ഇൻസിഡൻസ് ഗവേഷണം എത്തിയിരിക്കുന്നത്. നോ: അനലിറ്റിക് നമ്പർ തിയറി; ആൾജിബ്ര; മോഡേൺ ആൾജിബ്ര; സംഖ്യാസിദ്ധാന്തം; ലാറ്റിസ്തിയറി

## അവലംബം