അനാലിസിസ് (ഗണിതം)

ഗണിതശാസ്ത്രതത്ത്വങ്ങളെ അടിസ്ഥാനപരമായി വിശകലനം ചെയ്യുന്ന ശാഖ. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ മറ്റു ശാഖകളാണ് ജ്യാമിതി അഥവാ ക്ഷേത്രഗണിതം (Geometry), ടോപോളജി (Topology), ബീജഗണിതം (Algebra), അങ്കഗണിതം (Arithmetic) എന്നിവ. എല്ലാ ശാഖകളിലേക്കും വ്യാപിക്കുന്ന ബൃഹത്തായ വളർച്ചയാണ് 19-ാം ശ. മുതൽ അനാലിസിസിന് ഉണ്ടായിട്ടുള്ളത്. വിശ്ളേഷണം അഥവാ വിശ്ളേഷികം എന്നും ഈ ഗണിതശാഖയെ വിളിക്കുന്നു.

## ചരിത്രം

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പ്രാചീനകാലത്തു ഗ്രീസിലും ഇന്ത്യയിലുമുണ്ടായിട്ടുള്ള ജ്യാമിതീയവും ബീജഗണിതപരവുമായ വളർച്ച അനാലിസിസിന്റെ അന്തർധാരകളായിരിക്കാമെങ്കിലും എ.ഡി. 1600 മുതലാണ് ഇതു ശ്രദ്ധാർഹമായ ഒരു ശാസ്ത്രശാഖയായിത്തീർന്നത്. ബലതന്ത്ര (Mechanics)ത്തിന്റെയും താത്ത്വികഭൌതിക (Theoretical Physics)ത്തിന്റെയും അവശ്യ വളർച്ചയ്ക്കാധാരമായിട്ടാണ് ഈ ശാഖയുണ്ടായത്. അവകലനവും സമാകലനവും (Diiferentiation and integration), സാധാരണ അവകലസമവാക്യങ്ങളും വ്യതിയാനകലനവും (Ordinary Differential equations and Different Calculus) ബലതന്ത്രത്തിനുവേണ്ടിയാണുണ്ടായത്. ധ്വാനിക (Acoustics)ത്തിൽ നിന്നും താപഗതിക (Thermodynamics)ത്തിൽ നിന്നും ഫൂറിയേ ശ്രേണി(Fourier series)യും പ്രകാശിക(Optics)ത്തിൽനിന്ന് സമ്മിശ്ര വിശ്ളേഷണവും (Complex Analysis), ഇലാസ്തികത (Elasticity), ദ്രവഗതികം (Hydrodynamics), വിദ്യുത്ഗതികം (Electrodynamics) എന്നിവയിൽ നിന്ന് ആംശിക-അവകലവാക്യങ്ങളും (Partial Diiferential equations) പ്രേരിതമായെന്നു സാമാന്യമായി പറയാം. 19-ാം ശ.-ത്തിൽ ബലതന്ത്രം, താപഗതികം എന്നിവയിലെ സാംഖ്യികദർശനങ്ങളിൽനിന്നാണ് സാംഖ്യികസംഭാവ്യത (Statistical probability) പോലും ഉണ്ടായതെന്നവാദം നിലവിലുണ്ട്. ശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരായ ഐസക്ന്യൂട്ടനും (1642-1727) ഗോട്ഫ്രീഡ് ലൈബ്നിറ്റ്സും (1646-1716) കലന(Calculus)ത്തിന്റെ നിശ്ചിതമായ മാർഗങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയതോടെയാണ് അനാലിസിസ് സർവശാസ്ത്രവ്യാപിയായ ഒരു വിജ്ഞാനശാഖയായിത്തീർന്നത്.

## സ്വഭാവം

അവകലനവും സമാകലനവും അനാലിസിസിലെ അടിസ്ഥാനമാർഗങ്ങളാണെങ്കിലും അനന്തത (Infinityശ്യ) ആണ് അടിസ്ഥാനതത്ത്വം. വാസ്തവത്തിൽ ഗണിതശാസ്ത്രം തന്നെ അനന്തതകളുടെ പഠനമാണെന്നു പറയാം. പരിമിതമായ കാര്യങ്ങൾ മിക്കവയും പ്രാഥമികഗണിതത്തിൽ കഴിഞ്ഞാൽ അവശേഷിക്കുന്ന തൊണ്ണൂറു ശ.മാ.വും അനന്തത ഉൾക്കൊള്ളുന്ന പഠനങ്ങളാണ്. അനന്തമായ വലിപ്പം, അനന്തസൂക്ഷ്മം, അനന്തസാമീപ്യം, അനന്തമായ ഉപവിഭജനം എന്നിവയും അനന്ത-അനുക്രമം, അനന്തശ്രേണി, ഫലനം, ഫലനത്തിന്റെ അവിച്ഛിന്നത, ഫലനത്തിന്റെ വ്യുത്പന്നം (derivative), ഫലനത്തിന്റെ സമാകലം (Integral) എന്നിവയുമാണ് വിശ്ളേഷണത്തിൽ സ്പർശിക്കപ്പെടുന്ന കാര്യങ്ങൾ. അവകലജഗുണാങ്കം (differential) ഗണിത തത്ത്വങ്ങളിലെന്നല്ല, സാമ്പത്തികശാസ്ത്രം പോലുള്ള എല്ലാ വിജ്ഞാനശാഖകളിലും മൌലികപ്രാധാന്യമർഹിക്കുന്ന ആശയമാണ്.

### വാസ്തവിക സംഖ്യകൾ

ശാസ്ത്രതത്ത്വങ്ങൾ ഗണിതത്തിന്റെ ഭാഷയിൽ അവതരിപ്പിക്കുമ്പോൾ അവയ്ക്കു പ്രത്യേകമായ തെളിമയും കൃത്യതയുമുണ്ടാകുന്നു. യുക്തിയുക്തമായ ഒരു പരസ്പരബന്ധം ആ തത്ത്വങ്ങൾ തമ്മിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നതായി മനസ്സിലാക്കാനും കഴിയുന്നു. ഭൌതികശാസ്ത്രത്തിലെ ധ്വാനികം, ദ്രവഗതികം, വൈദ്യുതീപ്രാകാശികം എന്നിവയിലെല്ലാം തരംഗങ്ങളുടെ ഗതിവിഗതികൾ മിക്കവാറും ഒരേതരത്തിലുള്ള അവകലസമവാക്യങ്ങൾകൊണ്ടു സൂചിപ്പിക്കാവുന്നതാണ്. ശാസ്ത്രീയ വിവരണങ്ങൾ സംഖ്യകളിലൂടെയാണ് പ്രകടമാവുന്നത്; അതായത്; വാസ്തവിക സംഖ്യകളിലൂടെ പ്രകടമാകുന്ന ശാസ്ത്രസത്യങ്ങൾ കൂടുതൽ വ്യക്തവും കണിശവുമായിരിക്കും. സംഖ്യകളിലൂടെയുള്ള പ്രകടനസമ്പ്രദായം 17-ാം ശ.-ത്തിലാണ് നടപ്പായതെന്നു പറയാം. 20-ാം ശ.ത്തോടെ വാസ്തവിക പൂർണസംഖ്യകളോ സംഖ്യകൾ തന്നെയോ കൂടാതെ ഭൌതിക സത്യങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്ന സമ്പ്രദായം വളർന്നിട്ടുണ്ട്. 'അതീതഗണിതശാസ്ത്ര' (Meta Mathematics) ത്തിന്റെ ഉപജ്ഞാതാക്കൾ സംഖ്യാപ്രകടന സമ്പ്രദായത്തിൽ അതീവ സംശയാലുക്കളാണ്. സംഖ്യകളിലൂടെ ശാസ്ത്രസത്യങ്ങൾ പോലും കാണുന്നതിൽ വളരെ അപകാതയുണ്ടെന്ന് ഈ നൂതന ഗണിതശാഖയിലൂടെ തെളിയിക്കാനുള്ള ശ്രമം ഉണ്ടായിട്ടുണ്ട്.

ബി.സി. 5-ഉം 4-ഉം ശ.-ങ്ങളിൽ ഗ്രീക്കുകാർ അനാലിസിസിലെ അതിപ്രധാനമായ ചില പ്രശ്നങ്ങൾക്കു പരിഹാരം നല്കി. &radic;2  ഒരു വിഗണസംഖ്യയാണ് (irrational number: അനാനുപാതികസംഖ്യ). ഗ്രീസിലും ഇന്ത്യയിലും &pi; = 3.14159.... എന്ന വിഗണസംഖ്യയെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനങ്ങളുണ്ടായി. വ്യാസാർധം 1 ആയിട്ടുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണം ആണ് &pi; വൃത്തത്തിനു തുല്യവ്യാപ്തിയുള്ള ചതുരം നിർമ്മിക്കുന്ന പ്രശ്നത്തിനു പ്രാചീനകാലത്തുതന്നെ ഉത്തരം കണ്ടെത്താൻ പരിശ്രമം ആരംഭിച്ചിരുന്നു. ഈ വഴിക്കുള്ള പരിശ്രമങ്ങളെല്ലാം 17-ാം ശ.-ത്തിലെ സമാകലസിദ്ധാന്തത്തിനും കലനത്തിന്റെ താത്വികവളർച്ചയ്ക്കും കാരണമായി.

ഗണസിദ്ധാന്ത(Set Theory)ത്തിന്റെ ആവിർഭാവത്തോടെ അതിസൂക്ഷ്മത (infinitely small), അത്യനന്തം (infinitely large) എന്നീ ആശയങ്ങൾക്കു പുതിയ ഭാവങ്ങളുണ്ടായി. അനാലിസിസ് മനസ്സിലാക്കാൻ അവശ്യം അറിഞ്ഞിരിക്കേണ്ടത് ഗണസിദ്ധാന്തമാണ്. ക്ളാസിക്കൽ അനാലിസിസ് ഗണസിദ്ധാന്തത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ലെങ്കിലും അതിലെ ആശയങ്ങൾ ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വെളിച്ചത്തിൽ പഠിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. തുടർന്നുള്ള വിശദാംശങ്ങൾക്ക് ഗണസിദ്ധാന്തബോധം ആവശ്യമാണ്.

### ക്രമം

order
 
വാസ്തവിക സംഖ്യകളെ സംബന്ധിച്ച ഒരാശയമാണ് ക്രമം. ഗണങ്ങളെയും 'ക്രമ'പ്പെടുത്താൻ കഴിയും. 8-നെക്കാൾ ചെറുതാണ് 3 എന്നത് 3  3 എന്നും സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു. സമതയും കൂടി ഉൾപ്പെടുത്തുമ്പോൾ &le;,&ge; എന്നീ പ്രതീകങ്ങളാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ഉദാ. a&leb;; c&ge;d; ഇതിൽ a,b, c, d എന്നിവ വാസ്തവിക സംഖ്യകളാണ്.

### നിരപേക്ഷമൂല്യം
Absolute value

## പൂർണത

Completenes

വാസ്തവിക സംഖ്യാഗണത്തെ ആധാരമാക്കിയാണ് ഇതിൽ ആശയങ്ങൾ പ്രതിപാദിക്കുന്നത്. ഒരു വാസ്തവിക സംഖ്യാഗണ(S)ത്തിലുള്ള ഏത് അംഗത്തിനെക്കാളും വലിയതായി ഒരു വാസ്തവിക സംഖ്യ (b) സ്വീകരിക്കാനുണ്ടെങ്കിൽ, ആ സംഖ്യ b ആണ്, s ഗണത്തിന്റെ ഒരു b എന്ന ഒരു ഉന്നത പരിബന്ധം (upper bound); S-ലെ ഒരംഗമാകണമെന്നില്ല. ഉദാ. S ={1/8,1/4,1/2}എന്ന ഗണത്തിലെ ഏതു സംഖ്യയും 1-നെക്കാൾ ചെറുതാണ്. അതുകൊണ്ട് ട-ന്റെ ഒരു ഉന്നതപരിബന്ധമാണ് 1. S ഗണത്തിനുണ്ടാകാവുന്ന അനവധി പരിബന്ധങ്ങളിൽവച്ച് ഏറ്റവും ചെറുതിനെയാണ് അല്പതമ-ഉന്നതപരിബന്ധം (least upper bound:lub ) അഥവാ സുപ്രീമം (Supremum:sup) എന്നു പറയുന്നത്. അതുപോലെ ഏത് അംഗത്തെക്കാളും ചെറുതായ ഒരു വാസ്തവികസംഖ്യയുണ്ടെങ്കിൽ അതിനെ ഒരു നിമ്നപരിബന്ധം (lower bound) എന്നും അത്തരം പരിബന്ധങ്ങളിൽ ഏറ്റവും വലിയതിനെ അധികതമ നിമ്നപരിബന്ധം (greatest lower bound:glb) അഥവാ ഇൻഫിമം (infimum: inf) എന്നും പറയുന്നു.

വാസ്തവികസംഖ്യകളെ നേർവരയിലെ ബിന്ദുക്കളുമായി അനുയോഗബന്ധത്തിൽ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാൻ കഴിയും. ആ  രേഖയെയാണ് വാസ്തവിക സംഖ്യാരേഖയെന്നോ വാസ്തവികരേഖയെന്നോ വാസ്തവികാക്ഷമെന്നോ പറയുന്നത്; R എന്നാണ് ചിഹ്നം. R2 വാസ്തവിക സമതലത്തിലെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കളും ചേർന്ന ഗണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

### പൂർണതാതത്ത്വം.

ശൂന്യമല്ലാത്ത ഒരു വാസ്തവിക സംഖ്യാഗണമാണ് A എന്നു കരുതുക. R-ന്റെ ഉപഗണമായിരിക്കും A.  
Rൽ A-യ്ക്ക് ഒരു ഉന്നതപരിബന്ധമുണ്ടെങ്കിൽ R-ൽത്തന്നെ അതിന് സുപ്രീമവും ഉണ്ടായിരിക്കും. ഇതാണ് പൂർണതാതത്ത്വം. R-നെ സംബന്ധിച്ചാണിവിടെ വ്യാഖ്യാനിച്ചതെങ്കിലും മറ്റു ചില സാമാന്യഗണങ്ങൾക്കും 'പൂർണത'യുണ്ട്. R ഒരു പൂർണക്രമിക ഫീൽഡ് (completely ordered field) ആണ്. b ഒരു വാസ്തവിക സംഖ്യയും c ധനവാസ്തവികസംഖ്യയുമാണ് എന്നാണെങ്കിൽ 
nc > b ആയിരിക്കുന്നവിധം n എന്നൊരു നിസർഗസംഖ്യയുണ്ടായിരിക്കും. ഇതിന് 'ആർക്കിമിഡീസ് തത്ത്വ'മെന്നാണ് പറയുന്നത്. അതുപോലെ a, b (a 1, x2 ഇവ A-യിലെ അംഗങ്ങളും x1 2 ഉം ആകുമ്പോഴെല്ലാം f(x1) &le; f(x2) ആണെങ്കിൽ f വർധമാനഫലനം ആണ് എന്നു പറയുന്നു. , x1, x2 ആകുമ്പോഴെല്ലാം f(x1) 
&ge; f(x2) ആണെങ്കിൽ f ഹ്രസ്വമാനഫലനം ആണെന്നും പറയുന്നു. അ എന്ന ഗണത്തിൽ f എന്ന ഫലനം വർധമാനമോ അഥവാ ഹ്രസ്വമാനമോ ആണെങ്കിൽ f ഏകദിഷ്ടമാണ് എന്നു പറയുന്നു.

## മിതീയ ഗണങ്ങൾ

(Metric Sets).

### ദൂരഫലനം അഥവാ മെട്രിക്'

a, b എന്നിവ A എന്ന ഗണത്തിലെ രണ്ടംഗങ്ങളാണെന്നു കരുതുക. d(a, b) എന്ന ചിഹ്നം കൊണ്ടു സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നതും a, b എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെടുത്താവുന്നതുമായ ഒരു വാസ്തവികസംഖ്യ താഴെ ചേർക്കുന്ന വ്യവസ്ഥകൾക്കു വിധേയമാണെങ്കിൽ d ഒരു മെട്രിക് അഥവാ ദൂരഫലനമാണെന്നു പറയുന്നു; (i) d (a, b) അന്യൂന സംഖ്യയാണ്; അതായത് d(a, b) &ge;o.(ii) a-ഉം b-ഉം തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ, d(a, b)യുടെ മൂല്യം പൂജ്യം ആകുന്നുള്ളു. (iii) d(a,b)ഉം d(a, b)ഉം തുല്യമാണ്. (iv) a, b, c എന്നിവ A ഗണത്തിലുള്ള അംഗങ്ങളാണെങ്കിൽ, d(a, b) + d(b, c) &ge; d(a, c). ഇതിനെ ത്രികോണ-അസമത എന്നു പറയുന്നു.

മിതീയഗണം എന്നതുകൊണ്ടുദ്ദേശിക്കുന്നത്, ഒരു ഗണവും (A) അതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു മെട്രിക്കും (d) ചേർന്ന ജോടി (A,d) ആണ്. ഇതിന് A എന്നു മാത്രമായിട്ടും പ്രതീകം ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.

ഉദാ. A {x:x വാസ്തവികസംഖ്യ}  A-യിലുള്ള ഏതു അംഗജോടികൾ (x1,x2)ക്കും യോജിക്കുന്നവിധം d-യെ നിർവചിക്കാം. d (x1,x2) = |x1-x2| ഒരു മെട്രിക് ആണ്.

### സാമീപ്യങ്ങൾ

Neighbourhoods

(A, d) മിതീയഗണമാണെന്നിരിക്കട്ടെ. A-യിലെ ഒരുസ്ഥിരബിന്ദുവും &epsilon; ഒരു ധനവാസ്തവിക സംഖ്യയുമാണെന്നു കരുതുക. ഈ വ്യവസ്ഥിതിയിൽ d(a,x)-ന്റെ മൂല്യം &epsilon;-നെക്കാൾ ചെറുതായിരിക്കുന്ന വിധത്തിലുള്ള A-യിലെ x അംഗങ്ങൾ ചേർന്ന ഗണത്തെ a-യുടെ ഒരു സാമീപ്യം എന്നു പറയുന്നു; N(a, &epsilon;) എന്നാണിതിന്റെ പ്രതീകം. അതായത് N (a, &epsilon;) = {x:x &euro; A,d(a,x)2 എന്ന തലത്തെ സംബന്ധിച്ച്, ഈ തത്ത്വം തെളിയിക്കുന്ന മാർഗ്ഗം ഉപയോഗിച്ചു തന്നെ സാമാന്യമായ യൂക്ളിഡിയാതലങ്ങൾക്കും പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ്. ഇതിന്റെ പ്രണേതാക്കൾ ബോൽസാനോ, വെയർസ്റ്റ്രോസ് എന്നീ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരാണ്.

Rn-എന്ന n-മാനതലത്തിലെ ഓരോ ബന്ധിത (bounded) അനന്തഗണത്തിനും ഒരു സീമാബിന്ദുവെങ്കിലുമുണ്ട്.

A എന്ന ഗണം ബന്ധിതമായതിനാൽ അതുൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു സംവൃത സമചതുരം (S) കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. ഈ ചതുരത്തെ നാലു തുല്യ സമചതുരങ്ങളായി തിരിക്കാം (ചിത്രം 2). ഇതിൽ ഏതെങ്കിലുമൊരു ചതുരത്തിന് (S1), A-യിലെ അനന്തമായ ഭാഗം ഉൾക്കൊള്ളാൻ കഴിയും. A അനന്തമായതിനാൽ ഇതു സാധ്യമാണ്. S1-നെ വീണ്ടും നാലു തുല്യഭാഗങ്ങളായി തിരിക്കുക. ഇവയിലൊന്നിൽ A-യിലെ അനന്തമായ ഭാഗം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ലഘുചതുരം തുടർച്ചയായി കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യാം. അങ്ങനെ S, S1, S2, S3 ... എന്നു ചുരുങ്ങിവരുന്ന ഗണങ്ങളുടെ അനുക്രമം ഉണ്ടാകുന്നു. n വർധിപ്പിച്ചുകൊണ്ടു പോയാൽ Sn- എന്ന ചതുരത്തിന്റെ വശം ചെറുതായി വരികയും സീമ 0 ആയിത്തീരുകയും ചെയ്യും. S1-ൽ നിന്ന് (a1,b1) എന്നൊരു ബിന്ദു, S2-ൽ നിന്നു മറ്റൊരു ബിന്ദു (a2, b2), S3-ൽ നിന്നു (a3, b3) അങ്ങനെ Sn-ൽ നിന്നു (an, bn) (ഈ ബിന്ദുക്കളെല്ലാം വ്യത്യസ്തമാണ്) എന്നിവ ക്രമത്തിലെടുത്താൽ അത് ഒരു കോഷി അനുക്രമമായിരിക്കും. Sn-ന്റെ വശത്തിനു സീമ 0 ആയിരിക്കുന്നതാണ് അതിനു കാരണം. അതുകൊണ്ട് (a,b) എന്നൊരു ബിന്ദു R2തലത്തിലുണ്ടാകുന്നു.അതിനുള്ളവ്യവസ്ഥ n സീമ &rarr;&infin;(an,bn), = (a, b) എന്നതാണ്. N ((a, b), &epsilon;) എന്ന ഓരോ സാമീപ്യത്തിലും A യിലെ (an,bn) എന്നീ അനന്തം വ്യത്യസ്ത ബിന്ദുക്കൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നതിനാൽ, (a, b) എന്ന ബിന്ദു A യുടെ സീമാബിന്ദുവാണ് (ചിത്രം 2).

### ഫലനത്തിന്റെ സീമ

A, B എന്നിവ രണ്ടു മിതീയ ഗണങ്ങളായിരിക്കട്ടെ; a, b എന്നിവ A, B ഗണങ്ങളിലെ സ്ഥിരബിന്ദുക്കളും. A ഗണത്തെയോ a ഒഴിവാക്കിക്കൊണ്ടുള്ള A-നെയോ (അതായത് A- {a}), B യിലേക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്ന ഫലനമാണ് f,a ഉൾപെടാത്ത A യുടെ സാമീപ്യത്തെ N' (a, &part;)  എന്നു സൂചിപ്പിക്കുക. &part; ഒരു ധനപൂർണസംഖ്യയാണെന്നും N' (a, &part;) ശൂന്യഗണമല്ലെന്നും സങ്കല്പിക്കുക. B-ൽ N (b, &epsilon;) എന്ന bയുടെ ഓരോ സാമീപ്യത്തിനും അനുയോഗമായി A-ൽ N' (a, &part;) എന്നൊരു സാമീപ്യം ഉണ്ടാവുകയും N' (a, &part;) യുടെ രൂപാന്തരണമായ f [N' (a,&part;) N (b,&epsilon;)-ൽ ഉൾക്കൊള്ളുകയും ആണെങ്കിൽ, f (x)-ന്റെ സീമ b ആണെന്നു പറയുന്നു; x &rarr;af(x)=b എന്നു രേഖപ്പെടുത്താം.

രണ്ടു ഫലനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെയും വ്യത്യാസങ്ങളുടെയും കാർത്തീയ ഗുണിതത്തിന്റെയും ഹരണത്തിന്റെയും സീമകൾ യഥാക്രമം സീമകളുടെ ആകെത്തുകയും വ്യത്യാസവും ഗുണിതവും ഹരണഫലവുമാണ്; ഹാരകഫലനം ശൂന്യമാകരുതെന്ന നിബന്ധനയുണ്ട്.

## അവിച്ഛിന്നത

Continuity

f(x) എന്ന ഫലനം a എന്ന ബിന്ദുവിൽ അവിച്ഛിന്നമാകണമെങ്കിൽ f(a)-ക്ക് നിശ്ചിതമായ ഒരു മൂല്യം ഉണ്ടായിരിക്കണം; മാത്രമല്ല, x എന്ന ചരബിന്ദു a എന്ന ബിന്ദുവിനോട് അടുക്കുന്നതനുസരിച്ച് f(x) എന്ന ഫലനം f(a) എന്ന മൂല്യത്തോട് അടുക്കുകയും വേണം. ഇതു കൃത്യതയോടെ ഇപ്രകാരം പറയാം. &epsilon; ഒരു ധനസംഖ്യയാണെങ്കിൽ അതിനു ബന്ധപ്പെട്ട് &delta;എന്ന ഒരു ധനസംഖ്യ ഉണ്ടായിരിക്കുകയും |x-a | 2-ലെ ഒരു വിവൃതഗണമായ A-യെ R-ലേക്കു രൂപാന്തരണം ചെയ്യുന്നുവെന്നു കരുതുക. z = f(x,y). x,y എന്നിവയിൽ ഏതെങ്കിലും ഒന്നിനെ മാത്രം സ്ഥിരമായി നിർത്തി, മറ്റേചരത്തെ ആശ്രയിച്ചു ഫലനമൂല്യത്തിലുണ്ടാകുന്ന വ്യതിയാനത്തിന്റെ സീമ കണ്ടുപിടിക്കാൻ കഴിയും. ഈ സീമയാണ് ആംശിക അവകലജാങ്കം (partial differential coefficient).

എന്നു തുടങ്ങിയ ചിഹ്നങ്ങൾകൊണ്ടാണ് ആംശിക അവകലജാങ്കം സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. x,y എന്നീ രണ്ടു സ്വതന്ത്രചരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസങ്ങളും f(x,y) എന്ന ഫലനത്തെ സ്വാധീനിക്കാം. ആ സ്വാധീനത്തിന്റെ ഒരളവാണ് സമ്പൂർണാവകലനം.

സമ്പൂർണാവകലനത്തെ ഇങ്ങനെ പ്രകടിപ്പിക്കാം:

df = df(x,y; h, k) = fx(x,y) h + fy (x,y) k അഥവാ 

dz = fx (x,y) dx + fy (x, y) dy.

## സമാകലനം
Integration

സമാകലനത്തെ അവകലനത്തിന്റെ പ്രതിലോമക്രിയയാണെന്നു പറയാമെങ്കിലും ആകെത്തുക നിർണയിക്കുന്ന സമ്പ്രദായത്തിൽ നിന്നാണ് സമാകലം (Integral) എന്ന ആശയം ഉണ്ടായിട്ടുള്ളത്.

### വിഭജനം

[a, b]എന്നത് R-ന്റെ ഒരു സംവൃത-അന്തരാളമാണെന്നു കരുതുക. a = x0, x1, x2, ....x1-1, x1, .....xn = b എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ [a, b]യെ വിഭജിക്കുന്നു. ഇവിടെ x1-1 നെക്കാൾ വലിയതാണ് x1;[a,b], -ൽ അവിച്ഛിന്നവും ബന്ധിതവുമാണ് f. m,M, എന്നിവ ക്രമത്തിൽ [a, b]യുടെ നിമ്നവും ഉന്നതവുമായ പരിധികളാണ് (lower and upper bounds). f([x1-1,x1)-ന്റെ ഇൻഫിമം ആയ m1 (i= 1,2,....n) എല്ലാം m-നും M-നും ഇടയിലായിരിക്കും.m (b-a) ക്കാൾ വലുതാണ് S = m1 (x1 -x0) + m2 (x2-x1) +...+mn(xn-xn-1) ഈ സംഖ്യയെക്കാൾ വലുതാണ് M (b-a). അതുകൊണ്ട് S ബന്ധിതമാണ്. S-ന്റെ സുപ്രീമംb&int;
afdx എന്നു സൂചിപ്പിച്ചാൽ, അത് (b-a) [m,M]-ൽ ഉൾപ്പെടുന്നു എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു. a,b -യെക്കാൾ വലുതാകുമ്പോൾ b&int;a fdx എന്നത് - a&int;bfdxആയും a, bഎന്നിവ തുല്യമാകുമ്പോൾ 0 ആയും നിർവചിക്കപ്പെടാമെങ്കിൽ, a&int;bfdx എന്നതാണ് [a, b] എന്ന സംവൃത അന്തരാളത്തിൽ f-ന്റെ സ്ഥിരസമാകലം (Definite integral) എന്നു പറയാം.

ഈ സമാകലത്തെ പ്രതിലോമ വ്യുത്പന്നമായി കാണിക്കാൻ കഴിയും.F(x) ന്റെ അവകലനമാണ് f(x) എങ്കിൽ &int;bafdx= F(b)-F(a)  ആയിരിക്കും. (ചിത്രം 4).

## അനുക്രമങ്ങളും ശ്രേണികളും

നിസർഗസംഖ്യാഗണത്തിലുള്ള അംഗങ്ങളെ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്ന ഫലനമാണ് അനുക്രമം: അതായത്, a1, a2, .....an,......}. വാസ്തവിക സംഖ്യാഗണ(R)ത്തിലേക്കാണ് രൂപാന്തരണമെങ്കിൽ ആ അനുക്രമം വാസ്തവികവും, സമ്മിശ്രസംഖ്യാഗണത്തിലേക്കാണെങ്കിൽ സമ്മിശ്രസംഖ്യാനുക്രമ(complex sequence)വും ആണ്. അനുക്രമത്തെ (Sn) എന്നു സൂചിപ്പിക്കാം.

### അഭികേന്ദ്രസരണവും അപകേന്ദ്രസരണവും

(Sn) എന്ന അനുക്രമത്തിലെ ആദ്യത്തെ ഏതാനും ക്ലുപ്തമായ പദങ്ങളൊഴിച്ച് ബാക്കി ക്രമത്തിൽ ശേഷിക്കുന്നവയെല്ലാം S-ന്റെ ഒരു സാമീപ്യത്തിൽ ഉൾപ്പെടുമെങ്കിൽ 'S-ലേക്ക് (Sn) അടുക്കുന്നു' എന്നു പറയാം. സാങ്കേതികമായി പറഞ്ഞാൽ, S എന്ന ബിന്ദുവിന്റെ ഒരുസിദ്ധസാമീപ്യമായ N (s, k)-ൽ {Sn : n&ge; m} ഉൾപ്പെടുന്നവിധം m എന്നൊരു നിസർഗസംഖ്യ കണ്ടുപിടിക്കാൻ സാധിക്കുമെങ്കിൽ, (Sn) S-ലേക്ക് അടുക്കുന്നു. ഈ ആശയം n &rarr; &infin;
Sn = S,എന്നോ ,' Sn &rarr; S,എന്നോ പ്രകടിപ്പിക്കാവുന്നതാണ്. n അനന്തമായി തുടർന്നുപോകുമ്പോൾ സ്ഥിരമായ ഒരു സീമ (S) കല്പിക്കാമെങ്കിൽ, (Sn) എന്ന അനുക്രമം അഭികേന്ദ്രസരണവും അല്ലാത്തത് അപകേന്ദ്രസരണവും ആണ്. അപകേന്ദ്രസരണത്തിൽ സീമ Sn എന്നതിനർഥമില്ല; അത് അനന്തമാണ്. (Sn ), (tn ) എന്നീ അനുക്രമങ്ങളുടെ സീമകൾ ക്രമത്തിൽ s,t ആണെങ്കിൽ,

sn + n,sntn,kSn,sn/tn(tn&ne;0)

എന്നിവയുടെ സീമകൾ ക്രമത്തിൽ

              
ആയിരിക്കും.&sum;Sn, അഭികേന്ദ്രസരണമാണെങ്കിൽ sn-ന്റെ സീമ 0 ആണ്. അഭികേന്ദ്രസരണമാകാനുള്ള വ്യവസ്ഥകൾ : (1) &sum;Sn ലെ എല്ലാ പദങ്ങളും ധനാത്മകമാണെങ്കിൽ, &sum;Sn ബന്ധിതമായാൽ അഭികേന്ദ്രസരണവുമായിരിക്കും; (2) താരതമ്യപരീക്ഷണം (comparison test). &sum;bn അഭികേന്ദ്രസരണവും ഒരു പരിധിക്കുശേഷം വരുന്ന പദങ്ങൾ തമ്മിൽ 0&le an&le bn എന്ന ബന്ധവുമുണ്ടെങ്കിൽ, &sum;an അഭികേന്ദ്രസരണമായിരിക്കും; (3) &sum;| an |  അഭികേന്ദ്രസരണമാണെങ്കിൽ &sum;an നിരപേക്ഷ അഭികേന്ദ്രസരണമായിരിക്കും; (4) നിരപേക്ഷ അഭികേന്ദ്രസരണത്തിൽ അഭികേന്ദ്രസരണം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു; (5) &sum;bn അഭികേന്ദ്രസരണം ആണെങ്കിൽ നിരപേക്ഷ &sum;an അഭികേന്ദ്രസരണമാണ്; (6) അംശബന്ധപരീക്ഷണം (Ratio test). &sum;an അനുക്രമത്തിന്റെ ഒരു പദവും അതിനു മുമ്പുള്ള പദവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധത്തിന്റെ കേവലമൂല്യം ഏതെങ്കിലും ഒരു പരിധിക്കുശേഷം ഒരു ധനഭിന്നമാണെങ്കിൽ, അതായത്
 

ആണെങ്കിൽ &sum;anനിരപേക്ഷ അഭികേന്ദ്രസരണമാണ്; ഈ അംശബന്ധം 1-നെക്കാൾ കൂടുതൽ ആണെങ്കിൽ an അപകേന്ദ്രസരണവുമാണ്.

|an+1/an|നുപകരം അതിന്റെ സീമയെടുത്താലും ഈ നിയമം അനുസരിക്കാവുന്നതാണ്; എന്നാൽ സീമയുടെ മൂല്യം ഒന്ന് ആണെങ്കിൽ പരീക്ഷണം പരാജയപ്പെടുന്നു; (7) സമാകല പരീക്ഷണം (integral test). f ഒരു വാസ്തവിക ഫലനമാണ്; [1,&infin;) എന്ന ഗണത്തിൽ അവിച്ഛിന്നവും മൂല്യശോഷണവുമുള്ളതുമാണ്; ധനാത്മകവുമാണ്. an ആയിരിക്കെn &int;1 അഭികേന്ദ്രസരണമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ, &sigma;an അഭികേന്ദ്രസരണമാകയുള്ളു,

എന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാണ് ഇതു തെളിയിക്കുന്നത്; 

(8) (0-&infin;,1] എന്ന ഗണത്തിൽ p പെടുന്നെങ്കിൽ,&Sum;n-p അപകേന്ദ്രസരണവും (1, &infin;) ൽ പെടുന്നെങ്കിൽ, അഭികേന്ദ്രസരണവുമാണ്.

വർഗ്ഗം:അനാലിസിസ് (ഗണിതം)