കൺവേർജന്റ് സീരിസ്

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ,   അനന്തമായ അനുക്രമ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്  ഒരു ശ്രേണി എന്നറിയപ്പെടുന്നത്. കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, അനന്തമായ ഒരു അനുക്രമം (a_0, a_1, a_2, \ldots), ഉപയോഗിച്ച്   എന്ന ഒരു ശ്രേണിയെ ഇപ്രകാരം നിർവ്വചിക്കാം,

: S=a_0 +a_1+ a_2 + \cdots=\sum_{k=0}^\infty a_k.

അനുക്രമത്തിലെ ആദ്യത്തെ  സംഖ്യകളുടെ തുകയാണ് -ാമത് ആംശിക തുക (Partial sum) അഥവാ ,

: S_n = \sum_{k=1}^n a_k.

ഒരു ശ്രേണി **അഭിസരണമാണെങ്കിൽ** **(Convergent series)** ആ ശ്രേണിയുടെ ആംശികതുകകളായ  (S_1, S_2, S_3, \dots) എന്നിവ ഒരു   പരിധിയിലേയ്ക്ക് പ്രവണമാകും; അതിനർത്ഥം, ഓരോ തവണയും a_k എന്ന അംഗത്തെ കൂട്ടിക്കിട്ടുന്ന ആംശികതുക ഒരു നിശ്ചിതസംഖ്യയുമായി കുടുതൽ കൂടുതൽ അടുത്തുകൊണ്ടിരിക്കും.   

: \left | S_n - \ell \right | 

ശ്രേണി അഭിസരണമാണെങ്കിൽ ,  \ell നെ *ആ ശ്രേണിയുടെ ആകെത്തുക* എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ശ്രേണി അതിൻ്റെ ആകെത്തുകയിലേയ്ക്ക് അഭിസരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ അതിനെ  മേൽപ്പറഞ്ഞ അതേ പ്രതീകമായ,

: \sum_{k=1}^\infty a_k

ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. സങ്കലനക്രിയയ്ക്ക് ഉപയോഗിക്കാറുളള അതേ സമ്പ്രദായത്തിന് തുല്യമാണ് ഇതും:  എന്നാൽ ,  എന്നിവയുടെ സങ്കലനക്രിയയെ മാത്രമല്ല സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ആ സങ്കലനക്രിയയുടെ തുകയെക്കൂടിയാണ്. 

അഭിസരണമല്ലാത്ത ശ്രേണികളെ അപസരണ ശ്രേണികൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

## കൺവർജന്റും ഡൈവർജന്റുമായ ശ്രേണികളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

* ധന പൂർണസംഖ്യകളുടെ  വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു  ഡൈവർജന്റ് ശ്രേണി (ഹാർമോണിക ശ്രേണി) ഉണ്ടാക്കുന്നു:
*: {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty. 
* ധന പൂർണസംഖ്യകളുടെ  വ്യുൽക്രമങ്ങളുടെ ചിഹ്നം ഒന്നിടവിട്ട് മാറ്റം വരുത്തിയാൽ അത് ഒരു  കൺവർജന്റ് ശ്രേണി (  പ്രത്യാവർത്തി ഹാർമോണിക ശ്രേണി) ഉണ്ടാക്കുന്നു:
*: {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots = \ln(2)
* അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു  അപസരണശ്രേണി  ഉണ്ടാക്കുന്നു. :
*: {1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty.
* ത്രിഭുജസംഖ്യകളുടെ (triangular numbers) വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു:
*: {1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots = 2.
* ക്രമഗുണിതങ്ങളുടെ (factorials) വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അപസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു ( e കാണുക):
*: \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24}  + \frac{1}{120} + \cdots = e.
* വർഗ്ഗസംഖ്യകളുടെ (square numbers) വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു.  (ബേസൽ സമസ്യ):
*: {1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots = {\pi^2 \over 6}.
* 2 ൻ്റെ ഘാതങ്ങളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു.  (അതുകൊണ്ടുതന്നെ 2 ൻ്റെ ഘാതങ്ങളുടെ ഗണം "ചെറുത്" ആണ്):
*: {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots = 2.
* n>1 ആയവയുടെ ഘാതത്തിൻ്റെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു:
*: {1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^2}+{1 \over n^3}+{1 \over n^4}+{1 \over n^5}+\cdots = {n\over n-1}.
* 2 ൻ്റെ ഘാതങ്ങളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങളുടെ ചിഹ്നം ഒന്നിടവിട്ട് മാറ്റുന്നത് ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു:
*: {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots = {2\over3}.
* n>1 ആയവയുടെ ഘാതത്തിൻ്റെ വ്യുൽക്രമങ്ങളുടെ ചിഹ്നം ഒന്നിടവിട്ട് മാറ്റുന്നത് ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു:
*: {1 \over 1}-{1 \over n}+{1 \over n^2}-{1 \over n^3}+{1 \over n^4}-{1 \over n^5}+\cdots = {n\over n+1}.
* ഫിബനാസി സംഖ്യകളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു.   (ψ കാണുക):
*: \frac{1}{1} +  \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} + \cdots = \psi.

## കൺവർജൻസ് പരിശോധനകൾ
ഒരു ശ്രേണി അഭിസരിക്കുന്നുവോ അപസരിക്കുന്നുവോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്.
വലത്ത്‌|ലഘുചിത്രം|250x250ബിന്ദു| നീല ശ്രേണിയായ, <math>\Sigma b_n</math>, അഭിസരണമാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ കഴിഞ്ഞാൽ,  ചെറിയ ശ്രേണിയായ, <math>\Sigma a_n</math> അഭിസരണമായിരിക്കും. സമാനമായി, ചുവന്ന ശ്രേണിയായ <math>\Sigma a_n</math> അപസരണമാണെന്ന് തെളിയിച്ചാൽ <math>\Sigma b_n</math> ഉം അപസരണമായിരിക്കും.
**താരതമ്യ പരിശോധന** . അനുക്രമം \left \{ a_n \right \} ലെ പദങ്ങലെ മറ്റൊരു അനുക്രമം \left \{ b_n \right \} ഉം ആയി  താരതമ്യം ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ,

എല്ലാ *n നും*, 0 \le \ a_n \le \ b_n,  \sum_{n=1}^\infty b_n അഭിസരിക്കുന്നു,  \sum_{n=1}^\infty a_n.നും അതു തന്നെ സംഭവിക്കുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, 

എല്ലാ *n നും*, 0 \le \ b_n \le \ a_n,  \sum_{n=1}^\infty b_n അപസരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ,   \sum_{n=1}^\infty a_n. നും അതുതന്നെ സംഭവിക്കും.

**അനുപാത പരിശോധന (Ratio test)** . എല്ലാ *n-* നും , a_n പൂജ്യമല്ല എന്നു സങ്കൽപ്പിക്കുക.  r എന്നൊന്ന് താഴെപ്പറയും പ്രകാരം ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക

: \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\right| = r.

*r* r = \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n],

: ഇവിടെ "lim sup" എന്നത് *പരമോന്നത പരിധിയെ* (limit superior) സൂചിപ്പിക്കുന്നു (അത് ∞ ആയേക്കാം).

*r* f(n) = a_n ഒരു പോസിറ്റീവും ഏകതാനമായി കുറയുന്ന ഫലനവും ആണെന്നിരിക്കട്ടെ, 

: \int_{1}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} f(x)\, dx 

ആയാൽ ശ്രേണി അഭിസരിക്കും. എന്നാൽ സമാകല്യം അപസരിച്ചാൽ ശ്രേണിക്കും അതു തന്നെ സംഭവിക്കും.

**പരിധി താരതമ്യ പരിശോധന  (Limit comparison test)** . \left \{ a_n \right \}, \left \{ b_n \right \} > 0 ഉം, \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} എന്ന പരിധി ഉണ്ടായിരിക്കുകയും, അത് അപൂജ്യവുമാണെങ്കിൽ,  \sum_{n=1}^\infty b_n അഭിസരിച്ചാൽ മാത്രമേ  \sum_{n=1}^\infty a_n യും അഭിസരിക്കുകയുളളു.

## യൂണിഫോം കൺവർജൻസ് (Uniform convergence)
\left \{ f_1,\ f_2,\ f_3,\dots \right \} എന്നിവ ഫലനങ്ങളുടെ ഒരു അനുക്രമം ആണെന്നിരിക്കട്ടെ. \sum_{n=1}^\infty f_n എന്ന ശ്രേണി *f ലേയ്ക്ക്* ഏകതാനമായി അഭിസരിക്കുന്നു എന്ന് പറയണമെങ്കിൽ ആംശികതുകകളുടെ അനുക്രമമായ \{s_n\} ,

:  s_n(x) = \sum_{k=1}^n f_k (x)

എന്നത് *f* ലേയ്ക്ക് ഏകതാനമായി അഭിസരിക്കണം.

## പുറത്തേക്കുള്ള കണ്ണികൾ

* വെയ്സ്റ്റീൻ, എറിക് (2005). റീമൻ സീരീസ് സിദ്ധാന്തം . ശേഖരിച്ചത് മെയ് 16, 2005.

വർഗ്ഗം:ഗണിതശാസ്ത്രപദസൂചികൾ