Теорема „пеперутка“

мини|Теорема „пеперутка“
**Теоремата „пеперутка“** е класичен резултат во Евклидовата геометрија, кој може да се формулира на следниов начин:

Нека PQ е тетива во кружница и M е нејзината средина. Низ M се нацртани други две тетиви - AB и CD. Отсечките AD и BC ja сечат тетивaтa PQ во точките X и Y соодветно. Точката M е средина на отсечката XY.

## Доказ
мини|Доказ на теорема „пеперутка“
Формалниот доказ на теоремата е како што следува:

Нека од точката X се повлечени нормалите XX' и XX*</math> кон правите <math>AM</math> и <math>DM</math> соодветно. Слично, нека <math>YY'</math> и <math>YY* се нормали повлечени од точката Y кон правите BM и CM соодветно.

Од сличноста  \triangle MXX' \sim \triangle MYY', важи
:
:  (1) \quad \quad 
{\overline{MX} \over \overline{MY}} = {\overline{XX'} \over \overline{YY'}}.  

: Слично, заради  \triangle MXX* \sim \triangle MYY*, важи
:
:  (2) \quad \quad 
{\overline{MX} \over \overline{MY}} = {\overline{XX*} \over \overline{YY*}}.   

Од равенките (1) и (2) имаме дека

:  (3) \quad \quad 
\left({\overline{MX} \over \overline{MY}}\right)^2 =  } }. 

Понатаму, од  \triangle AXX' \sim \triangle CYY*,</math>  имаме

: <math> (4) \quad\quad 
{\overline{XX'} \over \overline{YY*}} = {\overline{AX} \over \overline{CY}} , 

a од  \triangle DXX* \sim \triangle BYY',</math>  важи

: <math> (5) \quad\quad 
{\overline{XX*} \over \overline{YY'}} = {\overline{DX} \over \overline{BY}}. 

Со множење на (4) и (5) добиваме

 (6) \quad\quad 
 } }
= {\overline{AX} \cdot \overline{DX} \over \overline{CY} \cdot \overline{BY}} \,. 

Сега, Од (3) и (6) имаме

:  (6) \quad \quad 
\left({\overline{MX} \over \overline{MY}}\right)^2 = {\overline{AX} \cdot \overline{DX} \over \overline{CY} \cdot \overline{BY}} \, . 

Од теоремата за тетиви кои се сечат (степен на точка), имаме дека

:   } = {\overline{PX} \cdot \overline{QX} \over \overline{PY} \cdot \overline{QY}}
= {(\overline{PM}-\overline{XM}) \cdot (\overline{MQ}+\overline{XM}) \over (\overline{PM}+\overline{MY}) \cdot (\overline{QM}-\overline{MY})} \, . 

Бидејќи \overline{PM}=\overline{MQ}, имаме

:  (7) \quad\quad
 } = {(\overline{PM}-\overline{XM}) \cdot (\overline{PM}+\overline{XM}) \over (\overline{PM}+\overline{MY}) \cdot (\overline{PM}-\overline{MY})}
= { (\overline{PM})^2 - (\overline{MX})^2 \over (\overline{PM})^2 - (\overline{MY})^2} \, . 

Значи, од (6) и (7), добиваме

:  { (\overline{MX})^2 \over (\overline{MY})^2} = {(\overline{PM})^2 - (\overline{MX})^2 \over (\overline{PM})^2 - (\overline{MY})^2}. 

Со накрсно множење во последната равенка, добиваме

:  {(\overline{MX})^2 \cdot (\overline{PM})^2 - (\overline{MX})^2 \cdot (\overline{MY})^2} = {(\overline{MY})^2 \cdot (\overline{PM})^2 - (\overline{MX})^2 \cdot (\overline{MY})^2} . 

Со елиминација на заедничкиот член  { -(\overline{MX})^2 \cdot (\overline{MY})^2}  од двете страни на добиената равенка, се добива

:  {(\overline{MX})^2 \cdot (\overline{PM})^2} = {(\overline{MY})^2 \cdot (\overline{PM})^2}, 

бидејќи \overline{MX}, \overline{MY} и \overline{PM} се сите позитивни реални броеви, важи \overline{MX}=\overline{MY}.

Така, M е средина на XY .

Постојат и други докази, вклучувајќи го и оној во кој се користи проективна геометрија.

## Историја
Докажувањето на теоремата „пеперутка“ било поставено како проблем од Вилијам Уолас во *„Математички придружник на господата*“ од 1803 г. Во 1804 година биле објавени три решенија, а во 1805 година сер Вилијам Хершел повторно го поставил прашањето во писмо до Уолас. Свештеникот Томас Скур повторно го поставил истото прашање во 1814 година во *„Дневникот на господата или математичкото складиште*“.

## Наводи

## Надворешни врски
* Теоремата „пеперутка“ на cut-the-knot
* Подобра теорема за пеперутки  на cut-the-knot
* Доказ за теоремата „пеперутка“ во PlanetMath
* Теорема „пеперутка“ од Џеј Варендорф, Проект за демонстрации на Волфрам .
* 

Категорија:Планиметрија
Пеперутка