Елипса

мини|Збирот на растојанијата на една точка (во случајов точката X) од двата фокуса на елипсата секогаш е еднаков (т.е. растојанието означено со сина боја е константно за која било точка на елипсата)

**Елипса** (старогрч. *ἔλλειψις*, недостаток) – во математиката е крива затворена линија во рамнина, која може да се дефинира како геометриско место на точки чиј збир на растојанија од една точка на елипсата до две фиксирани точки е секогаш еднаков (види ја сликата). Овие две точки уште се нарекуваат *фокуси на елипсата*, а точката која се наоѓа точно меѓу нив е центар на елипсата.

Елипсата има два *[[пречник|пречници]]* (полупречници) кои претставуваат минимално и максимално растојание на нејзините точки од нејзиниот центар, а се нарекуваат оски на елипсата. *Оските на елипсата* се две прави кои ги содржат нејзините пречници. Првата, поголемата, поминува низ двете фокусни точки, а другата, помалата поминува низ нејзиниот центар, и е нормална на првата. Половината од поголемата оска се нарекува голема полуоска, и во астрономијата се користи како еден од орбитални параметри кои ја опишуваат орбитата на некое небесно тело.

Доколку двете фокусни точки е една иста точка, се работи за специјален случај на елипса, кој се нарекува круг.

 [мини|десно|Елипсата се добива како пресек на [конус и рамнина]]
Елипсата е вид конусен пресек. Ако конус е пресечен со рамнина  која не ја сече основата на конусот и не е паралелна со неа, пресекот на конусот и рамнината е елипса.

## Параметарска равенка на елипса
Размерот на елипсата е определен од две константи , означени со a и b, каде a е должината на големата полуоска, а b, на **малата полуоска**.

Елипса, чијшто центар е во почетокот на координатниот систем *Oxy* и нејзината главна оска е по оската *x*, е определена со канонската равенка:

:\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 

Следниот графикон ја демонстрира Питагоровата теорема *a*² = *b*² + *c*² како посебен случај на долната непараметарска равенка за (*x* = 0, *y* = b).

Истата елипса може да биде претставена со параметарски равенки:
:x = a\,\cos t
:y = b\,\sin t
:0 \leq t 
При што се користат тригонометриските функции синус и косинус.

Ако елипсата не е со центар во почетокот на координатниот систем, но главната оска ѝ е по оската *x*, истата може да биде претставена со равенката

:\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1 

каде (h,k) се координатите на нејзиниот центар.

## Ексцентрицитет
Формата на елипсата се изразува со бројка, наречена ексцентрицитет на елипсата, која се означува со *e*. Ексцентрицитетот е поврзан со *a* и *b* преку равенството
:e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}
каде c (линеарниот ексцентрицитет на елипсата) е еднаков на растојанието од центарот до кој било од фокусите.
:e = \frac{c}{a}

Ексцентрицитетот е позитивен број меѓу 0 (во случај на круг) и 1.

Колку е поголем ексцентритетот, толку е поголем односот на *a* со *b* и следователно елипсата е поиздолжена.

Растојанието меѓу фокусите е 2*ae*.

## Површина
Површината на елипсата е:

:P = ab\pi

каде *a* и *b* се полупречници на елипсата, а пи = 3,14159... математичка константа.
До формулата за површината се дошло со пресметки со помош на интеграли.

**Доказ**. Четвртина од површината на елипсата во канонски облик е во првиот квадрант. Спрема тоа површината на целата елипса е 
: P = 4\int_0^a ydx = 4\int_0^a b\cdot\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}dx = [ x = a\sin t, \ dx = a\cos t dt] 
:: = 4\int_0^{\frac{\pi}2} b\cdot\sqrt{\cos^2t}\cdot\cos t dt = 4ab\int_0^{\frac{\pi}2} \cos^2 t dt
:: = 4ab\int_0^{\frac{\pi}2} \frac{1+\cos 2t}2dt = 4ab\int_0^{\frac{\pi}2} \frac{dt}2 + ab\int_0^{\frac{\pi}2} \cos 2td2t 
:: = 4ab\cdot \frac{\pi}2 \Bigg|^{\frac{\pi}2} + ab\sin 2t \Bigg|_0^{\frac{\pi}2} = ab\pi.
Со што доказот е завршен.

## Обем
Обемот на елипсата може да се претстави на разни начини:

Бесконечни редови:
:O = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2e^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} - \dots}\right]\!\,

Што е исто што и:

:O = 2\pi a \sum_{n=0}^\infty {\left\lbrace - \left[\prod_{m=1}^n \left({ 2m-1 \over 2m}\right)\right]^2 {e^{2n}\over 2n - 1}\right\rbrace}

Добра апроксимација на оваа вредноста направил Рамануџан:
:O \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,

Која може да се запише и како:
:O \approx \pi a \left[ 3 (1+\sqrt{1-e^2}) - \sqrt{(3+ \sqrt{1-e^2})(1+3 \sqrt{1-e^2})} \right] \!\,

Во специјален случај, кога помалата оска е двојно помала од поголемата оска, важи:
:O \approx \pi a (9 - \sqrt{35})/2 \!\,

## Својства како рефлектор
Ако имаме елипсовидно огледало со извор на светлина во еден од фокусите, тогаш сите зраци ќе се рефлектираат кон една точка - вториот фокус. Бидејќи нема друга крива со ова својство, истото може да се искористи како алтернативна дефиниција за елипса.

## Елипсата во физиката
Јохан Кеплер открил, дека орбитите, кои планетите ги опишуваат околу Сонцето, се со форма на елипса. Тоа е и првиот закон на Кеплер. Подоцна Исак Њутн објаснил, дека тој факт е природен резултат од неговиот универзален закон за привлекување.

## Елипсоид
Во тридимензионалниот координатен систем обликот елипса се вика **елипсоид**. Во геометријата елипсоидот е тело кое во однос на топката е благо сплескано.

## Наводи

## Надворешни врски

* 
* 
* 
* 
*
*
*Apollonius' Derivation of the Ellipse at Convergence
*''The Shape and History of The Ellipse in Washington, D.C.'' by Clark Kimberling
*Ellipse circumference calculator
*Collection of animated ellipse demonstrations
*
*Trammel according Frans van Schooten

Категорија:Евклидова геометрија
Категорија:Геометриски фигури
Категорија:Конусни пресеци