Геометриска распределба

{0\,\,\,\,\,x 
  | mean       = \frac{1}{p}
  | variance   = \frac{1-p}{p^2}
}}

Во веројатностa и во статистиката, **геометриска распределба** *G*(*p*), *p*&isin;(0,1) е случаен експеримент во кој Бернулиев опит со веројатност на успех *p* се повторува сè додека нема успех, па се запишува бројот *k* на повторувањето кога се случил тој прв успех.

## Одлики на геометриската распределба G(''p'')
*Геометриската распределба е потполно определена со веројатноста на успехот *p*.
*Геометриската распределба е дискретна распределба со дискретната случајна променлива со безброј елементи: X={1,2,...,*n*,...}=&#8469;.
*Pr(X=*k*) е веројатноста дека за **првпат** имало успех на *k*-тото повторување на Бернулиевиот опит со веројатност на успех *p*, *k*&isin;X. (Значи, сите *k*-1 повторувања на опитот пред тоа биле неуспешни).

Во табелата подолу се наведени сите подредени исходи (пишувајќи 0 за неуспех, а 1 за успех како што е вообичаено за Бернулиев опит) во геометриски експеримент. Подредените исходи **не** се исходите на геометрискиот експеримент. Во експериментот, исходите се само *k*, но вака можеме да видиме како се пресметува соодветната веројатност на исходот.



*Има точно еден исход за секој *k*&isin;X, односно точно еден исход каде што во *k*-тото повторување е првиот успех (а штом се појави успех застануваме со повторување на Бернулиевиот опит).
*Од друга страна, бидејќи секое повторување на Бернулиев опит е независно од минатите и од идните повторувања, веројатноста Pr(X=k) е веројатност на *k-1* неуспеси и 1 успех, односно
 Pr(X=k)=(1-p)^{k-1} \cdot p=p(1-p)^{k-1}.
Се разбира дека може да се докаже дека збирот на веројатностите е 1.
:\sum\limits_k {\Pr (X = k)}= \sum\limits_{k = 1}^\infty p(1-p)^{k-1} = p \cdot \sum\limits_{k = 1}^\infty (1-p)^{k-1} =p \cdot ((1+(1-p)+(1-p)^2+(1-p)^3+...)  
каде што имаме збир на бескрајна геометриска низа, т.е. геометриски ред со полупречник *r*=(1-*p*) таков што 0&lt;r&lt;1. Следува
:p \cdot (1+(1-p)+(1-p)^2+(1-p)^3+...)=p \cdot S_\infty (1-p) =p \cdot \frac{1}{1-(1-p)}=\frac{p}{p}=1 \,.
 
## Распределби на геометриска распределба
*Геометриски експеримент *G*(*p*) ја има дискретната случајна променлива: X={1,2,3,...}=&#8469;. 
### Закон на распределба - PDF на ''G''(''p'')




### Кумулативна распределба - CDF на ''G''(''p'')
Вредностите на кумулативната распределба се делумните збирови на геометриски ред.




## Мерки на геометриски експеримент
*Очекувана вредност *E*(*x*) &nbsp; 
:E(x) = \sum\limits_j {x_j} \cdot {p_j} = \sum\limits_{k = 1}^\infty k \cdot p (1-p)^{k-1}=\frac{1}{p}
*Дисперзија &sigma;2 &nbsp; 
:\sigma ^2 = \sum\limits_j  ({x_j} - E(x))^2 \cdot {p_j} = \frac{1-p}{p^2}

## Примери
**Пример:** Експериментот е: Се фрла коцка сè додека не падне 5-ка. Опиши го експериментот.
Експериментот е геометриска распределба со Бернулиев опит: успех=5-ка. Значи *p*=&#8537;=0,167. Значи G(0,167).






 
**Пример:** Еден стрелец има веројатност *p*=0,8 да ја погоди целта. Плаќа 1000 ден. за секое стрелање, а добива 1000 ден. кога ќе ја погоди целта. Престанува да стрела кога ќе ја погоди целта, но стрела максимум 5 пати. Колку му е просечно плаќање/добивка?

## Претставување на геометриска распределба со Геогебра
За графички приказ на PDF-от, т.е. Законот на распределба и на CDF-от, т.е. кумулативна распределба на геометриска распределба може да се користи бесплатниот софтвер Геогебра.

Дефиниции специфични за геометриската распределба се:

p=0,8 &nbsp;(или соодветен лизгач)

N=20&nbsp;&nbsp;(наш избор бидејќи Х има безброј многу елементи; за помали *p* треба поголем N)

list1=Sequence[k,k,1,N] &nbsp;  Ја дефинира list1 со елементите на случајната променлива.

list2=Sequence[ p (1 - p)^(k-1), k, 1, N] &nbsp; Ја дефинира list2 со веројатностите. 

Соодветните наредби на македонски (внимавајте на кирилица и латиница) се:

листа1=Низа[k,k,1,N]

листа2=Низа[p (1 - p)^(k-1), k, 1, N]

Понатамошните дефиниции се исти за сите дискретни случајни променливи (види дискретна случајна променлива).

## Наводи

## Поврзани теми
*Геометриски ред
*Биномна распределба
*Дискретна случајна променлива
*Опит (теорија на веројатноста)
*Веројатност

## Надворешни врски
* интерактивен
*
* 
* со алгоритми за генерирање на случајни податоци

Категорија:Веројатност
Категорија:Статистика
Категорија:Распределби
Категорија:Математика