Правоаголен триаголник

Во геометријата, **правоаголен триаголник** е триаголник со внатрешен прав агол, т.е. агол од 90&deg;. Страната спроти правиот агол се нарекува хипотенуза; тоа е најдолгата страна во правоаголниот триаголник и се означува со *c*. Другите две страни се викаат **[[катета|катети]]** и се означуваат со *a* и *b*. Спротивно на страната *a* е темето А и аголот &alpha;, a спротивно на страната *b* е темето В и аголот &beta;.

**Основни поставки:** 
* Аглите &alpha; и &beta; се остри агли и се комплементни.
* Правиот агол се наоѓа помеѓу страните *a* и *b*. Значи тие се меѓусебно нормални и *a* e висината на правоаголниот триаголник со основа *b*.
* Питагорова теорема: Еден триаголник е правоаголен ако и само ако




 
## Формули и особини

Во долунаведените формули точката означува множење, т.е. &frac12; &middot; *b* &middot; *h* = &frac12; &times; *b* &times; *h*

thumb|150п|Сите агли на правоаголен триаголник
**[[Периметар]]от** е збир на должините на трите страни




**[[Плоштина]]** е: 
* Плоштина на триаголник е една половина од основата помножена со висината, а бидејќи страната *а* е висината на основата *b* кај правоаголен триаголник имаме: 




**Пример:** Нека е даден правоаголен триаголник со катета *a*=5&nbsp;cm и хипотенуза *c*=13&nbsp;cm. Според Питагоровата теорема
:a^2+b^2=c^2 \Rightarrow  (5cm)^2+b^2=(13cm)^2 \Rightarrow 25cm^2+b^2=169cm^2
:b^2=169cm^2-25cm^2 \Rightarrow b^2=144cm^2 \Rightarrow b=\sqrt{144cm^2} \Rightarrow b=12cm
Периметарот e: L=*a*+*b*+*c*=5&nbsp;cm+12&nbsp;cm+13&nbsp;cm=30&nbsp;cm. Плоштината е: &frac12;&middot;*a*&middot;*b*=&frac12;&middot;*5cm*&middot;*12cm*=30&nbsp;cm&sup2;

Забелешка: Комбинацијата (5,12,13) е т.н. Питагорова тројка, т.е. е комбинација на три цели броеви кои формираат правоаголен триаголник. Друга позната тројка е: (3,4,5).

**Пример:** Нека е даден триаголник со катети *а* = *b* = 10mm. Според Питагоровата теорема
:a^2+b^2=c^2 \Rightarrow (10mm)^2+(10mm)^2=c^2 \Rightarrow 100mm^2+100mm^2=c^2 
:200mm^2=c^2 \Rightarrow c^2=200mm^2 \Rightarrow c=\sqrt{200mm^2} \Rightarrow c = 10\sqrt{2} \approx 14,14mm
Периметарот e: L=*a*+*b*+*c*=10mm+10mm+14,14mm=34,14mm. Плоштината е: &frac12;&middot;*a*&middot;*b*=&frac12;&middot;*10mm*&middot;*10mm*=100mm&sup2;

Забелешка: Во вториот пример, двете катети имаат иста должина. Значи, покрај тоа што триаголникот е правоаголен, тој е и рамнокрак триаголник и аглите &alpha; и &beta; се еднакви, &alpha; = &beta; =45&deg;. Нема рамностран триаголник кој е и правоаголен.

## Тригонометрија

Тригонометријата е гранка на математиката во која се разгледуваат своjствата на слични правоаголни триаголници. Два триаголници се слични ако имаат два пара на еднакви внатрешни агли. Во тој случај, автоматски и третиот пар агли се еднакви бидејќи збирот на аглите во триаголник е 180&deg;. Значи, два правоаголни триаголници се слични ако еден пар од останатите два (остри) агли се еднакви. Ако два триаголници се слични, тогаш односот на кој било пар на страни е ист - тоа е дефиницијата за сличност. Затоа тригонометриските функции кои ги опишуваат односите на различните комбинации на страните на триаголникот зависат само од еден агол.

## Впишана кружница
*Како и секој триаголник, правоаголниот триаголник е тетивен многуаголник, т.е. има впишана кружница (види триаголник).
**Поставка:** Центарот на впишаната кружница е пресекот на симетралите на внатрешни агли, а полупречникот *r* на впишаната кружница на правоаголен триаголник е:
: r = \frac{2P}{L} = \frac{2 \cdot \tfrac{1}{2}ab}{a+b+c}= \frac{ab}{a+b+c}

## Талесова теорема

**[[Талесова теорема]]** гласи: Секој периферен агол над пречникот на кружница е прав агол.

## Опишана кружница
**Поставка:** (Последица од Талесова теорема) Средината, т.е. средната точка на хипотенузата *c* на правоаголен триаголник е центарот на својата опишана кружница, а полупречникот на кружницата е половината од хипотенузата c:
: R= \frac{c}{2}
Забелешка: Опишана кружница зависи само од хипотенузата, т.е. секој правоаголен триаголник со истата хипотенуза ја има истата опишана кружница.

## Тежишна линија на хипотенуза
Во геометријата, **[[тежишна линија]]** на триаголник е отсечка која поврзува теме со средната точка на спротивната страна. Друг термин за тежишна линија е **медијана.**
*Теорема: Нека CMc е тежнишната линија до најдолгата страна *c*=AB на триаголникот &Delta;ABC. Должината на CMc е еднаква на c/2 ако и само ако &Delta;ABC е правоаголен триаголник. (Доколку триаголник нема *најдолга* страна, тој не е правоаголен.)
:Доказ: Талесовата теорема („ако“) и инверзната Талесова теорема („само ако“).

## Наводи

## Поврзани теми
*Триаголник
*Питагорова теорема, Косинусова теорема
*Рамностран триаголник, Рамнокрак триаголник
*Складност на триаголници, Сличност на триаголници
*Талесова теорема

## Надворешни врски
* интерактивен
* интерактивен
* интерактивен

Категорија:Триаголници
Категорија:Тригонометрија
Категорија:Елементарна геометрија
Категорија:Геометриски фигури
Категорија:Геометрија
Категорија:Математичко образование