Извод на имплицитна функција

Оваа статија подетално се занимава со поимот ***Извод на имплицитна функција***.  Околу дефиницијата на поимот извод на функција, видете ја статијата Диференцијално сметање. Препорачуваме да ја консултирате и статијата Имплицитна функција

Имплицитните функции се функции зададени во вид на равенка во која фигурираат и аргументот и сликата (т.е. и независно- и зависно-променливата). Најчесто се запишуваат како:

: \ F(x,y)=0

при што со x е означен аргументот (независно-променливата), а со y-сликата (зависно-променливата)

Пред да дадеме начин на кој се пресметува првиот извод на имплицитната функција, да го дадеме следново важно тврдење:

Нека \ A\subseteq \mathbb{R}^2 е отворено множество, нека (a,b) \in A и нека важи:

* F:A \to \mathbb{R} е непрекината функција;

* F(a,b) = 0;

* постојат парцијалните изводи: \frac{\partial F}{\partial y} и \frac{\partial F}{\partial x} истите се непрекинати на целото A;

* \frac{\partial F}{\partial y} (a,b) \neq 0

Ако сите услови се исполнети, тогаш постои околина на точката (a,b) на која е дефинирана и еднозначно определена функција f која е непрекината и е таква што важи: f(a)=b и (што е поважно) F(x,f(x))=0 за секој x од таа околина. Поинаку кажано таквата функција f претставува *експлицитна* (директна, очигледна, неприкриена) репрезентција на имплицитната функција F на таа околина.

Сега, кога знаеме дека имплицитна функција може да се претстави преку експлицитна, барем на некоја околина, за изводот ќе имаме:

:: f^\prime(x) = - \frac{ \frac{\partial F}{\partial x}(x,f(x)) }{ \frac{\partial F}{\partial y}(x,f(x)) }

## Пример
Нека е зададена имплицитна функција:

: F(x,y):x^2+y^2-1=0

Тогаш:

* функцијата е непрекината за сите вредности на x и y;

* постојат парцијалните изводи:
:: \frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=2x

:: \frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=2y

и тие се непрекинати за сите x и y и уште повеќе \frac{\partial F}{\partial y} \neq 0 за y \neq 0. Значи функцијата F ги исполнува условите од претходното тврдење, па значи дека таа може експлицитно да се репрезентира. Нека оваа репрезентација ја означиме со зависно-променливата, т.е. со y. Тогаш за изводот имаме:

: f^\prime(x) = y^\prime =  - \frac{\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)}{\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}

Од друга страна, пак, можеме да го направиме следново: бидејќи F(x,y)=0 имаме:

: x^2+y^2-1=0, односно: y=\pm \sqrt{1-x^2}

каде

:: y_1=+\sqrt{1-x^2} и

:: y_2=-\sqrt{1-x^2}

се двете можни експлицитни репрезентации на имплицитната функција.

Тогаш изводот може да го пресметаме дирекно, како за експлицитна функција. Имаме:

* y_1^\prime = (\sqrt{1-x^2})' = \frac{-2x}{2 \sqrt{1-x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{x}{y_1}

* y_2^\prime = (-\sqrt{1-x^2})' = -\frac{-2x}{2 \sqrt{1-x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{x}{y_2}

Значи, доколку може да ја утврдиме експлицитната репрезентација, изводот на имплицитната функција може да го пресметаме како извод на нејзината (или: *нејзините*) експлицитна репрезентација. Во пракса, кога експлицитната репрезентација е очигледна, почесто се употребува последниов начин.

## Поврзано

* Уште примери (од статијата Диференцијално сметање)

Категорија:Математика
Категорија:Математичка анализа