Златна спирала

[мини|Златните спирали се [самосличност|самослични. Обликот се повторува до бесконечност при негово увеличување.]]

**Златна спирала** — логаритамска спирала во геометријата чиј фактор на раст е  — златниот пресек. Ова значи дека златната спирала станува пошрока (или подалеку од почетокот) за  пати за секоја четвртина свртување што ќе ја направи.

## Апроксимации на златната спирала
[мини|десно|Приближна и вистинска златна спирала: зелената спирала е сочинета од четврткружници [допирка|допирни до внатрешноста на секој квадрат, додека црвената спирала е златна спирала, посебен вид на логаритамска спирала. Деловите што се преклопуваат се прикажани со жолто. Должината на страна на поголеми квадрат до соседниот помал квадрат изнесува златен сооднос. За квадрат со страна 1, следниот помал квадрат е широк . Следната ширина е , потоа  и така натаму.]]

Постојат неколку споредливи спирали кои апроксимираат, но не се точно еднакви на златна спирала.

На пример, златната спирала може да се апроксимира со тоа што прво ќе почнеме со правоаголник чиј сооднос на должината и ширината се во златен пресек. Овој правоаголник потоа се дели на квадрат и сличен правоаголник, а тој правоаголник може да се подели на истиот начин. Откако ова ќе го повториме произволен број пати, ќе добиеме речиси целосна поделба на правоаголникот на квадрати. Ќошевите на овие правоаголници може да се поврзат со четвртини кружници. Со ова не добиваме вистинска логаритамска спирала, но спирала која сепак прилично блиску ја апроксимира.

Друга апроксимација е Фибоначиевата спирала, која се конструира малку поинаку. Фибоначиевата спирала почнува со правоаголник поделен на 2 квадрата. Во секој чекор додаваме квадрат долг колку најдолгата страна на правоаголникот. Бидејќи соодносот помеѓу последователни Фибоначиеви броеви се приближува до златен пресек како што Фибоначиевите броеви се приближуваат до бесконечност, така оваа спирала станува сè послична на претходната апромсимација како што се додаваат повеќе квадрати.

Направено е изучување за тоа дали луѓето по изглед ја претпочитаат златната и Фибоначиевата спирала. Од вкупно 106 испитаници, златната спирала ја претпочитаат 79,2&nbsp;% наспроти 20,8&nbsp;% за Фибоначиевата, претежно заради постојаноста на нејзината закривеност.

## Спирали во природата
Понекогаш погрешно се вели дека спиралните галаксии и раковините на наутилусите имаат облик на златна спирала, и затоа имаат врска со  и Фибоначиевата низа.
Впрочем, многу раковини на мекотелите имаат логаритамска спирала, но под различни агли изразено поинакви од оној на златната спирала. Иако спиралните галаксии често се моделираат како логаритамски, Архимедови или хиперболични спирали, нивните агли на наклонетост се разликуваат во зависност од растојанието од галактичкото средиште, за разлика од логаритамските спирали (каде аголот останува ист). Тие не се совпаѓаат ни со другите математички спирали според кои се моделираат.
Филотаксијата, шемата на растот кај растенијата, во извесна мера е поврзан со златниот сооднос бидејќи подразибра последователни ливчиња одделени под златниот агол. Иако ова понекогаш се изразува во спирални облици, како кај сончогледовите семки, оваа појава е поблиска до Фермаовите спирали отколку до логаритамските.

## Математика
[мини|Фибоначиевата спирала апроксимира златна спирала користејќи четврткружни лаци впишани во квадрати изведени од [Фибоначиева низа|Фибоначиевата низа.]]
Златна спирала со првичен полупречник 1 е геометриското место на точки на поларни координати (r,\theta) што го задоволуваат
r = \varphi^{2\theta/\pi},
каде \varphi е златниот пресек.

Поларната равенка за златна спирала е иста како за други логаритамски спирали, но со посебна вредност за факторот на раст :
r = ae^{b\theta}
или
\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a),
при што  е основа на природни логаритми,  е првичниот полупречник на спиралата, а  е таква што  е прав агол (четвртина свртување во било која насока):
e^{b\theta_\mathrm{right}} = \varphi.

Затоа,  е дадена како
b = {\ln{\varphi} \over \theta_\mathrm{right}}.

[200x120px|thumb|right|[Ликин број|Ликината спирала апроксимира златна спирака кога нејзините членови се големи, но не и кога се мали. Опфатени се 10 членови, од 2 до 76.]]
Бројчената вредност на  зависи од тоа дали правиот агол е изразен како 90 степени или како \textstyle\frac{\pi}{2} радијани; а бидејќи аголот може да оди во било која од двете насоки, најлесно е да се напише формулата за апсолутната вредност на  (т.е.  може да има и негативна вредност):
|b| = {\ln{\varphi} \over 90} \doteq 0,0053468
за  во степени, или
|b| = {\ln{\varphi} \over \pi/2} \doteq 0,3063489
за  во радијани.

Друга формула за логаритамската и златната спирала е
r = ac^{\theta}
каде константата  е дадена како
c = e^b
што за златната спирала дава  вредности на
c = \varphi ^ \frac{1}{90} \doteq 1,0053611
ако  е изразена во степени, а
c = \varphi ^ \frac{2}{\pi} \doteq 1,358456
ако  е изразена во радијани.

Во однос на логаритамските спирали, златната спирала го има одликувачкото својство
дека за четири колинеарни спирални точки *A*, *B*, *C*, *D* што им припаѓаат на аргументите   
, , , 
точката *C* е проективниот хармоничен конјугат на *B* во однос на *A*, *D*, т.е. двојниот однос (*A*,*D*;*B*,*C*) ја има единечната вредност −1. 
Златната спирала е единствената логаритамска спирала со (*A*,*D*;*B*,*C*) = (*A*,*D*;*C*,*B*).

### Поларен наклон
мини|исправено=0.8|Дефиниција за наклонски агол и исечок

Во поларната равенка за логаритамска спирала:
r = ae^{b\theta}
параметарот  е поврзан со поларниот наклонски агол\alpha:
\tan\alpha=b. 

Кај златна спирала, b е постојана и еднаква на |b| = {\ln{\varphi} \over \pi/2}  (за  во радијани, според погоре дефинираното), наклонскиот агол \alpha ќе биде
\alpha = \arctan(|b|) = \arctan\left({\ln{\varphi} \over \pi/2}\right),
оттука
\alpha \doteq 17,03239113
ако е изразено во степени, или
\alpha \doteq 0,2972713047
ако е изразено во радијани.

Неговиот комплементен агол
\beta = \pi/2 - \alpha \doteq 1,273525022
во радијани, или
\beta = 90 - \alpha \doteq 73
во степени, е аголот кој краците на златната спирала го сочинуваат со права повлечена од центарот на спиралата.

## Поврзано
* Фибоначиева низа
* Златен агол
* Златен пресек
* Златен правоаголник
* Список на спирали
* Логаритамска спирала

## Наводи

*
Категорија:Спирали