Степенување

мини|300п|Графови на  за различни бази :




Секоја крива минува низ точката  бидејќи секој ненуларен број качен на -ти степен е . При , вредноста на  е еднаква на основата бидејќи секој број качен на -ви степен останува ист.
**Степенување** е математичката операција, означувана со ***b''<sup>''n''</sup>'''. Истата вклучува два броја, односно '''основа''' ''b'' и '''експонент''' ''n''. Друг збор за експонент е '''степен'''. Основата ''b'' се пишува на нивото и со истата големина како обичниот текст, а експонентот ''n'' се пишува непосредно десно од основата, за половина ниво погоре и со помала големина од обичниот текст, односно ''n'' се пишува како [[Горен и долен индекс|горен индекс]] на ''b''.

*За ''b''<sup>''n''</sup> читаме:  &nbsp;  ''b'' на ''n''-ти  &nbsp; или  &nbsp; ''b'' на ''n''-ти степен.

==Експонентот е позитивен цел број ==
 '''Дефиниција''': <math>b^n= \underbrace{b \times \cdots \times b}_n \, , \,\,</math> &nbsp; каде што ''n'' е позитивен [[цел број]] 
*Значи, за ''n'' позитивен [[цел број]], степенување е повторно множење на ''b'' со себе ''n'' пати.
Ако ''n''=1, тогаш ''b''&sup1; = ''b'', т.е. ''b'' на ''први степен'' е ''b''.

Ако ''n''=2, тогаш ''b''&sup2; = ''b''&middot;''b'', т.е. ''b'' на ''втори степен'' или ''b'' на ''квадрат'' е ''b'' по ''b''.

Ако ''n''=3, тогаш ''b''&sup3; = ''b''&middot;''b''&middot;''b'', т.е. ''b'' на ''3-ти степен'' е ''b'' по ''b'' по ''b''.

...

*Клучниот збор е '''на'''. Изразот ''3 на 5-ти'' значи 3<sup>5</sup> = 3 &middot; 3 &middot; 3 &middot; 3 &middot; 3 = 243.
*Експонентот важи само за основата, т.е. само за бројот кој е непосредно на лево од него. 
*По договор и доколку нема загради, степенување се прави пред другите математички операции како множење (и делење) и собирање (и вадење).

[[Податотека: Exponents.png|thumb|right|''f''(''x'')=''x''&sup2; (сина) е полином; ''g''(''x'')=2<sup>''x''</sup> (црвена) е експоненцијална функција]]
'''Примери:'''
<div style="margin-left:15px">

</div>

*Функција каде што променливата e основата на експоненти кои се позитивни цели броеви се вика [[полином]]. Оваа класа на функции се многу важни.
'''Пример:''' ''f''(''x'')=''x''&sup2; е полином (од втор степен).

*Функција каде што променливата е експонент на основа која е позитивен реален број се вика [[експоненцијална функција]]. И оваа класа на функции се многу важни.
'''Пример:''' ''g''(''x'')=2<sup>''x''</sup> е експоненцијална функција (со основа 2).

==Експонентот е цел број==
 '''Дефиниција''': <math>b^{-n} = \frac{1}{b^n}</math>  &nbsp; каде што ''b''&ne;0 и ''n'' е [[цел број]] (позитивен, нула или негативен).
*Значи, при преместување на експоненцијален израз од едната страна на дробна црта на другата страна, знакот на експонентот се менува.
'''Примери:''' 
<div style="margin-left:15px">

</div>

==Основни формули за експоненти==
 <math>b^m \cdot b^n=b^{m+n}\, , \,\, b \ne 0</math>
:Доказ: <math>b^m \cdot b^n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_m \,\cdot \, \underbrace{b \times \cdots \times b}_n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_{m+n}=b^{m+n}</math> 
 <math>(b^m)^n=b^{mn}\, , \,\, b \ne 0</math>
:Доказ: <math>(b^m)^n= \underbrace{\,\,\, \underbrace{b \times \cdots \times b}_m \,\cdot \,\underbrace{b \times \cdots \times b}_m  \cdot \, \cdots \, \cdot \,\underbrace{b \times \cdots \times b}_m \,\,\,}_n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_{m \cdot n}=b^{mn}</math> 
 <math>b^0=1\, , \,\, b \ne 0</math>
:Доказ: <math>b^n \cdot 1=b^n=b^{n+0}=b^n \cdot b^0 </math>

<div style="margin-left:15px">
'''Примери'''

</div>

==Експонентот е рационален број (дропка)==
 Дефиниција: ''x'' = <sup>''n''</sup>√<span style="text-decoration:overline">''b''</span>, т.е. ***n*-ти [[корен]]*' на реален број *b* е број *x* таков што *x**n* = *b*.

Ако основата *b* е позитивен реален број и *n* е позитивен цел број, тогаш има точно едно реално решение, т.е. точно едно решение на равенката *x<sup>n</sup>* = *b* кое е реален број. Ова решение се вика **главниот ''n''-ти корен** на *b*. Тоа се означува со *n*√*b*, каде што √&ensp; е симбол за коренување. Друго означување е со т.н. рационални експоненти, имено:

Нека *b* е позитивен реален број, *m* нека е цел број, а *n* нека е позитивен цел број:
  **Означување**: b^{^{1} / _{n}}=\sqrt[n]{b}  &nbsp;и&nbsp;  b^{^{m} / _{n}}=\sqrt[n]{b^m}.
 
Внимавање треба кога основата *b* не е позитивен реален број при рационални (и реални) експоненти.
*За *b*=0 и *m*&ne;0, погорниот израз е 0.
*За *b*&lt;0, погорниот израз е реален број само кога именителот на рационалниот експонент, т.е. кога *n* е непарен број (позитивен цел). Доколку именителот *n* е парен број, изразот е комплексен број.
Меѓутоа, дигитрони и сметачки прилози различно реагираат на експоненцијални изрази со негативна основа.

*Случајот кога и *b*=0 и *m*=0, т.е. 00 е многу сложено со различни можни вредности (и различни математичко толкување) и посебно се разгледуваат (види 0на0).

## Експонентот е позитивен реален број
Доколку основата *b* е позитивен реален број, а бидејќи секој ирационален број *х* може да се приближува со рационален број *r*, степенување со експонент *х*, т.е. *b**х* може да се дефинира преку непрекинатост со 
: b^x = \lim_{r \to x} b^r\quad(r\in\mathbb Q,\,x\in\mathbb R)

## Експоненти и функции
За кратко пишување, позитивен целоброен експонент кај логаритамски и тригонометриски функции означуваат степенување. Имено и на пример:

 **Означување**: \sin^2(x) = \sin(x) \cdot \sin(x) =(\sin(x))^2 \,\, , \,\, \cos^2(x) = (\cos(x))^2 \,\, ...
 **Означување**: \log^2(x) = \log(x) \cdot \log(x) =(\log(x))^2 \,\, , \,\, \ln^2(x) = (\ln(x))^2 \,\, ...

Забележуваме дека при користење на повеќето сметачки прилози и програми, овие кратенки **не** функционираат.

Од друга страна, кај општа функција *f*(*x*), позитивен целоброен експонент обично означува повторна композиција на функцијата, т.е. *f*&sup3;(*x*)=*f*(*f*(*f*(*x*))), а со експонентот (-1) се означува инверзна функција на *f*.

Меѓутоа, нема конзистента дефиниција за експонент (-1) кај тригонометриски функции. На пример,
:sin-1(*x*)=arcsin(*x*), т.е. sin-1(*x*) e инверзната функција на sin(*x*) во САД и на повеќе дигитрони  или  sin-1(*x*)=1/sin(*x*) (во Р.М.).

right|frame|Степенување со Windows&reg; 7 дигитрон
right|thumb|Копчиња за степенување со дигитрон

## Степенување со дигитрони
Начинот на степенување со дигитрон зависи од типот на дигитронот. Посебни дирки за степенување ги имаат т.н. научни дигитрони (види ги сликите).

*Секој научен дигитрон има едночекорен тастер: , т.е. по внесување на бројот *b* кој е основата, се притиска на овој тастер и пресметан е *b*&sup2;. 
*Повеќето научни дигитрони имаат и едночекорен тастер:  за трет степен.
*Секој научен дигитрон има едночекорен тастер:  или  за пресметување на реципрочен број.
*Секој научен дигитрон има сложен тастер или  за пресметување со други експоненти освен 2 и 3. 
**Се внесува основата, па се притиска на овој тастер. Потоа се внесува експонентот, па се притиска на **=** или *Enter*.
***За основа која е позитивен (реален) број нема некакви проблеми при користење на овој тастер.
***За основа која е негативен број, треба (а) рачно да се провери дека изразот е валиден (има решение) и (б) да се знае како работи дигитронот со негативни основи. 


**Примери со обичен научен дигитрон:** (види ја и анимацијата)




## Степенување во програмирање
Означување на експонентот како горен индекс *x**y* е погодно за ракопис, но не е погодно за машинско пишување, особено во програмски јазици каде што сите карактери се на едно ниво (нема горен или долен индекс).
* `x ^ y`: BASIC, J, Геогебра, Sage, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX и LaTeX, TI-BASIC, bc (за цели бројни експоненти), Haskell (за ненегативни цели бројни експоненти), Lua, ASP и повеќето системи за алгебра со сметачи (CAS). Ознаката **^** се вика карета и се добива на тастатурата со латинција со Shift+6.
* `x ** y`: Ada, Bash (Unix shell), COBOL, Fortran, FoxPro 2|FoxPro, Gnuplot, OCaml, F#, Perl, PL/I, Python, Rexx, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Haskell (заекспоненти со подвижна запирка), Turing , VHDL
* `pow(x,y)`: C++, C#
* `x ↑ y`: Algol, Commodore BASIC
* `x ^^ y`: Haskell (за рационална основа, цели бројни експоненти), D 
* `pown x y`: F# (за цело бројна основа и експонент)
* `x⋆y`: APL

Многу програмски јазици немаат вградена синтакса за степенување, но имаат функции во нивните библиотеки.

Внимание: Во Bash, C, C++, C#, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python и Ruby, Pascal, OCaml, каретата ^ означува друго, а не степенување. Треба да се води сметка за синтаксата на соодветниот јазик.

## Ефикасно степенување
Наједноставниот метод за пресметување на  *b**n* изискува  множења, но може и поефикасно како на пример: За пресметување на 2100, користиме . Пресметувајќи редоследно:
# 22 = 4
# (22)2 = 24 = 16
# (24)2 = 28 = 256
# (28)2 = 216 = 65.536
# (216)2 = 232 = 4.294.967.296
# (232)2 = 264 = 18.446.744.073.709.551.616
# 264 232 24 = 2100 = 1.267.650.600.228.229.401.496.703.205.376
Оваа низа на чекори бара само 8 множења наместо 100-1=99 (има две множења во последниот чекор).

Општо кажано, бројот на множења потребни за пресметување на *b**n* може да се редуцира на Θ(log *n*) користејќи *квадратно степенување*. Денес нема ефикасен алгоритам за пресметување на минималната низа, но има повеќе ефикасни евристички алгоритми за степенување.

## Табела на целобројни експоненти

## Наводи

## Поврзани теми
*Коренување
*Рационален израз
*Полиноми
*Експоненцијална функција
*Логаритамска функција

## Надворешни врски
*  
*  интерактивно (долу)
*  интерактивно
* sci.math FAQ: What is 0<sup>0</sup>?
* What does 0^0 (zero to the zeroth power) equal? on AskAMathematician.com

Категорија:Математика
Категорија:Алгебра
Категорија:Експоненти
Категорија:Унарни операции
Категорија:Експоненцијали