Бином

**Бином** (или **двочлен полином**) е полином со 2 членови, т.е. збир на два мономи.

Примери за биноми


  
    
       3x+2 
      
       3y^2-z 
      
       2a+5 
      
       \sqrt{3}-\frac{x^2}{2} 
      
    
  


## Формули за скратено множење на два биноми

  
    
        {(a+b)(a-b)=a^2-b^2}  
      &nbsp;&nbsp;
        {(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}  
      &nbsp;&nbsp;&nbsp;
       {(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}  
    
  


### Формула: (<em>a</em>+<em>b</em>)(<em>a</em>-<em>b</em>) = <em>a</em><sup>2</sup> - <em>b</em><sup>2</sup>


  
    
      Податотека: wiki_binom_apb_amb.gif
    
  




  
    
       Пр.1:
        a=3, b=4 
      Од формулата: 
       (3+4)(3-4) = 3^2-4^2 = 9 -16 = -7 
      
    
    
      Без формула: 
       (3+4)(3-4) = 7 \cdot (-1) = -7 
      
    
    
       Пр.2: 
        a=5, b=1 
      Од формулата: 
       (5+1)(5-1) = 5^2-1^2 = 25 -1 = 24 
      
    
    
      Без формула: 
       (5+1)(5-1) = 6 \cdot 4 = 24 
      
    
    
       Пр.3: 
        a=1, b=xy 
      Од формулата: 
       (1+xy)(1-xy) = 1^2-(xy)^2 = 1-x^2y^2 
      
    
    
      
          
            Проверка за неколку вредности на х и у
          
          
            х 
            у 
             (1+xy)(1-xy)             
             1-x^2 y^2             
          
          
            0 
            0 
             (1+0 \cdot 0)(1-0 \cdot 0)=1             
             1-0^2 \cdot 0^2=1             
          
          
            0 
            1 
             (1+0 \cdot 1)(1-0 \cdot 1)=1             
             1-0^2 \cdot 1^2=1             
          
          
            1 
            2 
             (1+1 \cdot 2)(1-1 \cdot 2)=-3             
             1-1^2 \cdot 2^2=-3             
          
          
            -2 
            -2 
             (1+(-2) \cdot (-2))(1-(-2) \cdot (-2))=-15             
             1-0^2 \cdot (-2)^2=-15             
          
          
            3 
            -8 
             (1+3 \cdot (-8))(1-3 \cdot (-8))=-575             
             1-3^2 \cdot (-8)^2=-575             
          
          
             \sqrt{2}             
            -2,5 
             \begin{array}{*{20}{c}}{(1 + \sqrt 2 \cdot -2,5))(1 - \sqrt 2 \cdot(( - 2,5))}\\{ \approx  - 2,5535\cdot4,5535 =  - 11,5} \end{array}             
             1-(\sqrt{2})^2 \cdot (-2,5)^2=-11,5             
          
        
    
  


### Формула за Бином на квадрат: (<em>a</em>+<em>b</em>)<sup>2</sup> = <em>a</em><sup>2</sup> + 2<em>a</em><em>b</em> + <em>b</em><sup>2</sup>


  
    
      Податотека: binom_square.png
      
          Големиот квадрат е со страна
             a+b 
            .
            
              Следува, плоштината на овој квадрат е  A=(a+b)^2 . 
            
          
        
        
          Плоштините на помалите правоаголници.
            
              Плоштината на лилавиот квадрат е   a^2 . 
              Плоштината на синиот квадрат е   b^2  . 
              Плоштината на секој од двата жолти правоаголници е  ab . 
            
          
        
        
          Овие 4 "подплоштини" се собираат до А. 
        
        
          Следува  (a+b)^2 = A = a^2 +b^2 + 2 a b  , т.е. формулата за бином на квадрат! 
        
    
  



  
    
       Пр.1:  a=3, b=4 
      Од формулата: 
       (3+4)^2 = 3^2+2 \cdot 3 \cdot 4+4^2 = 9+24+16=49 
      
    
    
      Без формула: 
       (3+4)^2 = 7^2 = 49 
      
    
    
       Пр.2:  a=5, b=1 
      Од формулата: 
       (5+1)^2 = 5^2+2 \cdot 5 \cdot 1+ 1^2 = 25+10+1= 36 
      
    
    
       Без формула: 
       (5+1)^2 = 6^2 = 36 
      
    
    
       Пр.3  a=x, b=3 
      Од формулата: 
       (x+3)^2 = x^2+2 \cdot x \cdot 3+3^2 = x^2+6x+9 
      
    
    
      
          
            Проверка за неколку вредности 
          
          
            х 
             (x+3)^2             
             x^2+6x+9             
          
          
            1 
             (1+3)^2=4^2=16             
            1^2+6 \cdot 1+9 =1+6+9=16  
          
          
            5 
             (5+3)^2=8^2=64             
             5^2+6 \cdot 5+9 =25+30+9=64             
          
          
            -1 
             ((-1)+3)^2=2^2=4             
             (-1)^2+6 \cdot(-1)+9=1-6+9=4 
          
          
            -0,5 
            ((-0,5)+3)^2=2,5^2=6,25             
            (-0,5)^2+6 \cdot (-0,5)+9 =0,25-3+9=6,25 
          
          
             \sqrt{3}  
             (\sqrt{3}+3)^2 \approx 4,732^2 \approx 22,39             
             (\sqrt{3})^2+6 \cdot (\sqrt{3}) +9 \approx 3 + 10,39+9 = 22,39             
          
        
    
  


* Внимавај:(a+b)2 &ne; a2+b2


  
    
       Пр.1:  a=3, b=4 
      Лева страна 
       (a+b)^2=(3+4)^2 = 7^2=49 
      
       49 \ne 25 
    
    
      Десна страна 
       a^2+b^2=3^2+4^2 = 9+16=25 
      
    
    
       Пр.2:  a=5, b=1 
      Лева страна 
       (a+b)^2=(5+1)^2 = 6^2 = 36 
      
       36 \ne 26 
    
    
      Десна страна 
       a^2+b^2=5^2+1^2 = 25+1=26 
      
    
  


### Формула: (<em>a</em>-<em>b</em>)<sup>2</sup> = <em>a</em><sup>2</sup> - 2<em>a</em><em>b</em> + <em>b</em><sup>2</sup>


  
    
      Геометриски доказ на (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 (без звук)
    
    
      Податотека: Wiki binom amb amb.ogv
    
  



  
    
       Пр.1: a=3, b=4 
      Од формулата: 
       (3-4)^2 = (3)^2-2 \cdot 3 \cdot 4+4^2 = 9-24+16=1 
      
    
    
      Без формула: 
       (3-4)^2 = (-1)^2 = 1 
      
    
    
       Пр.2:  a=5, b=1 
      Од формулата: 
       (5-1)^2 = 5^2-2 \cdot 5 \cdot 1+ 1^2 = 25-10+1= 16 
      
    
    
       Без формула: 
       (5-1)^2 = 4^2 = 16 
      
    
    
       Пр.3: a=2x, b=5 
      Од формулата: 
       (2x-5)^2 = (2x)^2-2 \cdot 2x \cdot 5+5^2 = 4x^2-20x+25 
      
    
    
      
          
            Проверка за неколку вредности 
          
          
            х 
             (2x-5)^2             
             4x^2-20x+25             
          
          
            1 
             (2 \cdot 1-5)^2=(-3)^2=9             
             4 \cdot 1^2-20 \cdot 1+25 =4-20+25=9             
          
          
            2 
             (2 \cdot 2-5)^2=(-1)^2=1             
             4 \cdot 2^2-20 \cdot 2+25 =16-40+25=1             
          
          
            -1 
             (2 \cdot (-1)-5)^2=(-7)^2=49             
             4 \cdot (-1)^2-20 \cdot (-1)+25 =4+20+25=49             
          
          
            0,5 
             (2 \cdot (0,5)-5)^2=(-4)^2=16             
             4 \cdot (0,5)^2-20 \cdot (0,5)+25 =4 \cdot 0,25-10+25=16             
          
          
             -\sqrt{3}  
             (2 \cdot (-\sqrt{3})-5)^2 
                \approx (-3,46-5)^2 \approx 71,64 
             4 \cdot (-\sqrt{3})^2-20 \cdot (-\sqrt{3})+25 
                 \approx 16 \cdot 3 +34,64+25=71,64             
          
        
        



## Наводи

## Поврзано
* моном
* полином
* алгебарски израз
* линеарна функција
* линеарна равенка

## Надворешни врски
*
*
*

Категорија:Математичко образование
Категорија:Математика