Квадратна равенка

Во математиката, полиномната равенка од втор степен се вика **квадратна равенка**. Општиот облик на равенката е:

: ax^2+bx+c=0
мини|десно|200п|Графикони на реалните квадратни функции ''ax''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''bx''&nbsp;+&nbsp;''c''. Секој коефициент варира посебно
Во равенката *a*, *b* и *c* се коефициенти, при што *a ≠ 0*, додека самата равенка е равенка по променлива *x*. Името е дадено според степенот на водечкиот коефициент.

Квадратните равенки често се јавуваат во математиката, но и во другите природни и технички науки.

## Решавање на квадратната равенка

Решението на квадратната равенка е целосно определено со изразот:

:x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

што значи дека квадратната равенка има две решенија. Решението се добива на следниов начин:

Дадена ни е равенката:
: ax^2+bx+c=0

Ја делиме равенката со *a*. Ова е дозволено бидејќи по услов *a ≠ 0* и добиваме:

: x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0

Согласно формулата за бином на квадрат:

: (A+B)^2=A^2+2AB+B^2

на левата страна на равенката додаваме и одземаме \frac{b^2}{4a^2}:

: x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}=0

: \left( x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2} \right) +\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}=0

: \left( x^2+\frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{4ac-b^2}{4a^2}=0

од каде се добива:

: \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}

Ја коренуваме равенката и конечно се добива:

: x+\frac{b}{2a} = \frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

: x = \frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

## Дискриминанта и зависност на решенијата од дискриминантата
Во решението на квадратната равенка фигурира изразот:

: D=b^2-4ac

кој се нарекува *дискриминанта* на квадратната равенка. Според нејзиниот знак може да се одреди природата на решенијата на равенката. Имено:

* ако *D>0*, равенката има две реални и различни решенија,
* ако *D<0*, равенката има комплексно-конјугирани решенија, и
* ако *D=0*, равенката има двојно реално решение, т.е. има две идентични решенија.

## Факторизација на квадратната равенка
Ако е зададена квадратната равенка:

: ax^2+bx+c=0

која има решенија условно означени со x1 и x2, тогаш равенката може да ја запишеме како:

: ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

Ваквото *презапишување* на равенката се вика *[[факторизација]] на квадратната равенка* или *разложување на квадратната равенка на линеарни множители*. Овој процес е честопати корисен при решавање на конкретни задачи и проблеми.

## Виетови формули
За решенијата на квадратната равенка важат следниве равенства:

: x_1+x_2 = -\frac{b}{a}

: x_1\cdot x_2 = \frac{c}{a}

кои се нарекуваат *виетови формули за квадратна равенка* (т.е. полином од втор степен) и претставуваат специјален случај на општата Виетова теорема.

## Равенки кои се сведуваат на квадратни
Равенките од облик:

: ax^{2n}+bx^n+c=0

може да се сведат на квадратни, ако се стави смената:

: y=x^n

со која првичната равенка се сведува на равенка од облик:

: ay^2+by+c=0

која се решава според погорните формули. Решенијата на почетната равенката се добиваат кога ќе се пресмета *n*-ти корен од обете решенија на трансформираната равенка. На овој начин се добиваат *2n* решенија, онолку колку што и треба да има. Специјално, за *n=2*, равенката е од облик:

: ax^4+bx^2+c=0

и таа се нарекува *биквадратна равенка*, која јасно има четири решенија.

## Примери
* Да се реши равенката: 2x^2+4x-6=0
Според формулата имаме:

: x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 2\cdot (-6)}}{2\cdot 2} = \frac{-4\pm \sqrt{64}}{4}=\frac{-4\pm 8}{4}

:: x_1=\frac{-4+8}{4}=\frac{4}{4}=1

:: x_2=\frac{-4-8}{4}=\frac{-12}{4}=-3

Значи решенија на равенката се: *x<sub>1</sub>*=1 и *x<sub>2</sub>*=-3

* Да се реши равенката: x^2-6x+13=0
Имаме:

: x_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{36-52}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{-16}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{16\cdot \mathrm{i}^2}}{2}=\frac{6\pm 4\mathrm{i}}{2}=3\pm 2\mathrm{i}

:: x_1 = 3 + 2\mathrm{i}

:: x_2 = 3 - 2\mathrm{i}

Добиените решенија се комплексно конјугирани.

* Да се реши равенката: x^4-24x^2-25=0
Оваа равенка е биквадратна. Ставаме замена:

: y=x^2

и равенката се сведува на квадратна равенка од облик:

: y^2-24y-25=0

За решенијата на *оваа* равенка имаме:

: y_{1,2}=\frac{24\pm \sqrt{576+100}}{2}=\frac{24\pm 26}{2}

:: y_1 = \frac{24+26}{2}=25

:: y_2 = \frac{24-26}{2}=-1

Ова се решенијата на квадратната равенка (т.е. на трансформацијата на биквадратната равенка). Но, бидејќи:
: y=x^2,

тогаш:

: x=\sqrt{y}

Така се добиваат четири решенија, и тоа:

: x_{1,2} = \sqrt{y_1}

: x_{3,4} = \sqrt{y_2}

Конечно, решенијата на биквадратната равенка се:

:: x_1=+\sqrt{y_1} = \sqrt{25} = 5

:: x_2=-\sqrt{y_1} = -\sqrt{25} = -5

:: x_3=+\sqrt{y_2} = \sqrt{-1} = \mathrm{i}

:: x_4=-\sqrt{y_2} = -\sqrt{-1} = -\mathrm{i}

## Поврзано
* Линеарна равенка
* Кубна равенка
* Равенка од четврти степен
* Квадратна функција
* Парабола

Категорија:Полиноми
Категорија:Елементарна алгебра
Категорија:Равенки