Степен на точка

мини|Геометриско толкување
Во елементарната рамнинска геометрија **степенот на точка** е реален број што го одразува релативното растојание на дадена точка од дадена кружница. Овој поим бил воведен од Јакоб Штајнер во 1826 година.

Поточно, степенот \Pi(P) на точка P во однос на кружница c со центар O и радиус r е дефиниран со

: \Pi(P)=|PO|^2 - r^2.

Ако P е во *надворешноста на* кружницата, тогаш \Pi(P)>0 , ако P е *на* кружницата, тогаш \Pi(P)=0 и ако P е *во внатрешноста* на кружницата, тогаш \Pi(P) .

Поради Питагоровата теорема, бројот \Pi(P) има едноставни геометриски значења прикажани на дијаграмот: за точка P надвор од кружницата \Pi(P) е квадратот на тангенцијалното растојание |PT| од точката P до кружницата c .

Точки со еднакви степени, т.е. изолинии на \Pi(P), се концентрични кружници на кружницата c.

Штајнер го користел степенот на точка за докази на неколку искази за кружници. На пример:

* Одредување на кружница која сече четири кружници под исти агли.
* Решавање на проблемот на Аполониј.
* Конструкција на Малфатиевите кружници: За даден триаголник одреди три кружници кои се допираат една со друга и секоја од нив има по две страни од триаголникот како тетиви.
* Сферична верзија на Малфатиевиот проблем: Триаголникот е сферичен.

Основни алатки за истражувања на кружници се радикалната оска на две кружници и радикалниот центар на три кружници.

Дијаграмот на степен на множество од кружници ја дели рамнината на региони во кои кружницата што го минимизира степенот е константна.

Поопшто, францускиот математичар Едмон Лагер го дефинирал степенот на точка во однос на која било алгебарска крива на сличен начин.

## Геометриски својства
Покрај својствата споменати во воведот постојат и други својства:

### Ортогонална кружница
мини|Ортогонална кружница (со зелена боја)
За која било точка P *надвор* од кружницата c постојат две тангентни точки T_1,T_2 на кружницата c, кои имаат еднакво растојание до P Оттука и кружницата o со центар P која минува низ T_1, исто така, поминува и низ T_2 и ја сече c ортогонално:

* кружницата со центар P и радиус \sqrt{\Pi(P)} ја сече кружницата c *ортогонално*.

мини|Агол помеѓу две кружници
Ако радиусот \rho на кружницата со центар во P е различен од \sqrt{\Pi(P)}, аголот \varphi помеѓу двете кружници се добива со примена на косинусната теорема (видете го дијаграмот):

: \rho^2+r^2-2\rho r \cos\varphi=|PO|^2 
:  \rightarrow \ 
\cos\varphi=\frac{\rho^2+r^2-|PO|^2}{2\rho r}=\frac{\rho^2-\Pi(P)}{2\rho r}

( PS_1 и OS_1 се нормали на тангентите на кружниците.)

Ако P лежи во сината кружница, тогаш \Pi(P) и  \varphi секогаш е различно од 90^\circ .

Ако аголот \varphi е даден, тогаш радиусот \rho се добива со решавање на квадратната равенка

: \rho^2-2\rho r \cos\varphi-\Pi(P)=0.

### Теорема за пресечки кои се сечат, теорема за тетиви кои се сечат
мини|Теорема за тетиви и пресечки
За *теоремата за пресечки што се сечат* и  степенот на точката игра улога на инвариантна вредност :

* *Теорема за пресечки* *кои се сечат*: За точка P *надвор од* кружницата c и пресечните точки S_1,S_2 на пресечката  g и c важи: |PS_1| \cdot |PS_2|= \Pi(P). Значи, производот е независен од правата g. 
* Ако g е тангента, тогаш S_1=S_2 и исказот е *теоремата за тангентно-пресечкно растојание.*
* *Теорема за тетиви кои се сечат*: За точка P *во внатрешноста* на кружницата c и пресечните точки S_1,S_2 од пресечката  g со c важи: |PS_1| \cdot |PS_2|= -\Pi(P), па оттука производот не зависи од правата g.

### Радикална оска
Нека P е точка и c_1,c_2 се две неконцентрични кружници со центри O_1,O_2 и радиуси r_1,r_2. Точката P има степен \Pi_i(P) во однос на кружницата  c_i. Множеството од сите точки P за кои \Pi_1(P)=\Pi_2(P) е права наречена *[[радикална оска]].* Таа ги содржи сите можни заеднички точки на кружниците и е нормална на правата \overline{O_1O_2} .

## Теорема за пресечки, теорема за тетиви: општ доказ
мини|Теорема за пресечка/тетива: доказ
И двете теореми, вклучувајќи ја и *теоремата за тангента-пресечка*, можат да се докажат на ист начин:

Нека P:\vec p е точка, c: \vec x^2-r^2=0  е кружница со центар во координатниот почеток и \vec v е произволен единичен вектор. Параметрите t_1,t_2 на можните заеднички точки на правата g: \vec x=\vec p+t\vec v (која минува низ P) и кружницата c може да се одреди со вметнување на параметарската равенка во равенката на кружницата:

: (\vec p+t\vec v)^2-r^2=0 \quad  \rightarrow \quad
t^2+2t\;\vec p\cdot\vec v +\vec p^2-r^2=0 \ . 

Од Виетовата теорема имаме:

: t_1\cdot t_2=\vec p^2-r^2 =\Pi(P). (независно oд \vec v)

\Pi(P) е степенот на P во однос на кружницата c.

Поради |\vec v|=1 се добива следново својство точките S_1,S_2 :

: |PS_1|\cdot|PS_2|=t_1t_2=\Pi(P)\ , ако P во надворешноста на кружницата,
: |PS_1|\cdot|PS_2|=-t_1t_2=-\Pi(P)\ , ако P е во внатрешноста на кружницата  (t_1,t_2 имаат различни знаци!).

Ако t_1=t_2, правата g е тангента и \Pi(P) е квадратот на тангентното растојание на точката P до кружницата c.

## Точки на сличност, заеднички степен на две кружници

### Точки на сличност
Точките на сличност се суштинска алатка за истражувањата на Штајнер на кружниците.

Нека се дадени две кружници

: \ c_1: (\vec x -\vec m_1)^2-r_1^2=0, \quad  c_2: (\vec x -\vec m_2)^2-r_2^2=0 \ .

Хомотетија (сличност) \sigma, која ја пресликува c_1 во c_2 го истегнува (стеснува) радиусот  r_1 до r_2 и има центар Z:\vec z на правата \overline{M_1 M_2}, бидејќи \sigma(M_1)=M_2 Ако центарот Z е помеѓу M_1,M_2 коефициентот е s=-\tfrac{r_2}{r_1}. Во другиот случај s=\tfrac{r_2}{r_1}. Во секој случај:

: \sigma(\vec m_1)=\vec z + s(\vec m_1-\vec z)=\vec m_2.

Ако ставиме s=\pm\tfrac{r_2}{r_1} и ја решиме равенката по \vec z, добиваме:

:  \vec z= \frac{r_1\vec m_2\mp r_2\vec m_1}{r_1\mp r_2}.

мини|Точки на сличност на двe кружници; разни случаи
Точката E:\vec e=\frac{r_1\vec m_2-r_2\vec m_1}{r_1-r_2} се нарекува *надворешна точка на сличност* додека точкатаI:\vec i=\frac{r_1\vec m_2+r_2\vec m_1}{r_1+r_2} се нарекува *внатрешна точка на сличност* на кружниците.

Ако M_1=M_2, се добива E=I=M_i .Ако r_1=r_2: E е точката во бесконечноста на правата \overline{M_1 M_2} додека I е центарот на M_1M_2.Кога r_1=|EM_1|, кружниците се допираат една со друга во точката E *однатре* (двете кружници се на иста страна од нивната заедничка тангента).Ако r_1=|IM_1|, кружниците се допираат една со друга во точката I *однадвор* (двете кружници се на различни страни од нивната заедничка тангента).

Уште повеќе:

* Ако кружниците се *дисјунктни* (круговите немаат заеднички точки), надворешните заеднички тангенти се сечат во E, а внатрешните во I .
* Ако едната кружница е *во внатрешноста на другата*, точките E,I лежат *во* двете кружници.
* Паровите M_1,M_2;E,I се проективно хармониски конјугирани: Нивниот двоен однос е (M_1,M_2;E,I)=-1 .

Монжовата теорема вели: *Надворешните* точки на сличност на три дисјунктни кружници лежат на една права.

### Заедничка степен на две кружници
мини|Точки на сличност на две кружници и нивниот заеднички степен
Нека c_1,c_2 се две кружници, E е нивната надворешна точка на сличност и g е права низ E, која ги сече двете кружници во четири точки G_1,H_1,G_2,H_2 Од дефинирачкото својство на точката E се добива

: \frac=\frac{r_1}{r_2}=\frac\ 
:  \rightarrow \ |EG_1|\cdot|EH_2|=|EH_1|\cdot|EG_2|\ 

и од теоремата за пресечки (видете погоре) ги имаме двете равенки

: |EG_1|\cdot|EH_1|=\Pi_1(E),\quad |EG_2|\cdot|EH_2|=\Pi_2(E) .

Комбинирањето на овие три равенки дава: \begin{align}
\Pi_1(E)\cdot\Pi_2(E) &=|EG_1|\cdot|EH_1|\cdot|EG_2|\cdot|EH_2| \\
&=|EG_1|^2\cdot|EH_2|^2= |EG_2|^2\cdot|EH_1|^2 \ .
\end{align} Оттука: |EG_1|\cdot|EH_2|= |EG_2| \cdot |EH_1|=\sqrt{ \Pi_1(E)\cdot\Pi_2(E)}  (независно од правата g!). Аналогното тврдење за точката на внатрешна сличност I е вистинито.

Инваријантите \sqrt{\Pi_1(E)\cdot\Pi_2(E)},\ \sqrt{ \Pi_1(I)\cdot\Pi_2(I)}  се нарекуваат од Штајнерови *заеднички степени на двете кружници* (*gemeinschaftliche Potenz der beiden Kreise bezüglich ihrer Ähnlichkeitspunkte*).

Паровите G_1,H_2 и H_1,G_2 од точки се викаат *антихомологни* точки. Паровите G_1,G_2 и H_1,H_2 се нарекуваат *хомологни* точки.

### Одредување на кружница што е тангентна на две кружници
мини|Заеднички степен на две кружници: примена
мини|Кружници што се тангентни на две кружници
За друга пресечка низ E:

: |EH_1|\cdot|EG_2|= |EH'_1|\cdot|EG'_2|

Од теоремата на пресечки се добива:

: Четирите точки H_1,G_2,H'_1,G'_2 лежат на кружница.

И аналогно:

: Четирите точки G_1,H_2,G'_1,H'_2 лежат на кружница.

Бидејќи радикалните оски на три кружници се сечат во нивниот радикален центар (видете ја статијата за радикална оска), се добива дека:

: Пресечките \overline{H_1H'_1},\;\overline{G_2G'_2} се сечат на радикалната оска на дадените две кружници.

Со поместување на долната пресечка (видете го дијаграмот) накај горната, црвената кружница станува кружница која е тангентна на обете дадени кружници. Центарот на тангентната кружница е пресекот на правите \overline{M_1H_1},\overline{M_2G_2}. Пресечките \overline{H_1H'_1}, \overline{G_2G'_2} стануваат тангенти во точките H_1,G_2. Тангентите се сечат на радикалната оска p (на дијаграмот означена со жолто).

Слични размислувања ја генерираат втората тангентна кружница, која ги сече дадените кружници во точките G_1,H_2 (видете го дијаграмот).

Сите тангентни кружници на дадените кружници може да се најдат со менување на правата g .

; Позиции на центрите

мини|Кружници што се тангентни на две кружници
Ако X  е центарот и \rho радиусот на кружницата која е тангентна на дадените кружници во точките H_1,G_2, тогаш:

: \rho=|XM_1|-r_1=|XM_2|-r_2 
:  \rightarrow \ |XM_2|-|XM_1|=r_2-r_1 . 

Оттука: центрите на кружниците кои допираат две дадени кружници лежат на хипербола

: со фокуси M_1,M_2,
: растојание меѓу темињата  2a=r_2-r_1, 
: со центар M кој е средишната точка на M_1,M_2 ,
: линеарен ексцентрицитет c=\tfrac{2} и 
: \ b^2=e^2-a^2=\tfrac{|M_1M_2|^2-(r_2-r_1)^2}{4}  .

Размислувањата за надворешните тангентни кружници водат до аналогниот резултат:

Ако X  е центарот и \rho радиусот на кружницата која е тангентна на дадените кружници во точките G_1,H_2, тогаш:

: \rho=|XM_1|+r_1=|XM_2|+r_2 
:  \rightarrow \ |XM_2|-|XM_1|=-(r_2-r_1) . 

Центрите лежат на истата хипербола, но на десната гранка.

Видете го, исто така, проблемот на Аполониј.
мини|Степен на точка во однос на сфера

## Степен во однос на сфера
Идејата за степен на точка во однос на кружница може да се прошири на сфера. Теоремите за пресечките и за тетивите се точни и за сфера и можат да се докажат буквално како во случајот со кружница.

## Производ на Дарбу
Степенот на точка е посебен случај на Дарбуовиот производ помеѓу две кружници, кој е дефиниран со

: \left| A_1A_2 \right|^2-r_1^2-r_2^2 \, 

каде што A_1 и A_2 се центрите на двете кружници, а *<math>r_1</math> *и* <math>r_2</math>* се нивните радиуси. Степенот на точката произлегува во посебниот случај кога еден од радиусите е еднаков на нула.

Ако двете кружници се ортогонални, Дарбуовиот производ е нула.

Ако двете кружници се сечат, тогаш нивниот Дарбуов производ е

: 2r_1 r_2 \cos\varphi \, 

каде што *&#x3C6;* е аголот на пресек (видете го делот *ортогонална кружница*).

## Лагерова теорема
Лагер го дефинирал степенот на точката P во однос на алгебарска крива со степен n како збир од растојанијата од точката до пресеците на кружница низ точката со кривата, поделен со n-тиот степен на дијаметарот d. Лагер покажал дека овој број е независен од дијаметарот (). Во случај кога алгебарската крива е кружница, ова не е сосема исто како степенот на точка во однос на кружница дефиниран на почетокот од овој текст, туку се разликува од него за фактор d^2.

## Наводи

## Литература

* 
* 
* 
* .
* .
* 
* 

## Надворешни врски

* Јакоб Штајнер и моќта на точката при конвергенција 
* 
* Power of a Point Theorem at cut-the-knot
* Pythagorean Theorem (Proof #22) at cut-the-knot
* Intersecting Chords Theorem at cut-the-knot
* Intersecting Chords Theorem With interactive animation
* Intersecting Secants Theorem With interactive animation

Категорија:Аналитичка геометрија
Категорија:Планиметрија
Категорија:Статии со извори на германски (de)