Тангентен четириаголник

**Тангентен четириаголник** е секој четириаголник за кој важи дека кружница ги допира сите негови страни. Името тангентен потекнува од својството што секоја страна на четириаголникот е тангента на кругот.
[мини|250x250пкс|Тангентен четириаголник со [впишана кружница]]
Една од основните својства на тангентниот четириаголник:

: Четириаголникот е тангентен ако и само ако симетралите на неговите внатрешни агли се пресекуваат во една точка.

Оваа особина го дефинира начинот на конструирање на центарот на впишаната кружница. Се конструираат симетралите на аглите и тие се сечат во центарот на впишаната кружница.

Исто така, важи и една важна особина поврзана со должините на страните:

: Четириаголникот АБЦД е тангентен ако |\overline{AB}|+|\overline{CD}|=|\overline{AD}|+|\overline{BC}| . Точно е и обратното - ако четириаголникот е тангентен, тогаш збирот на спротивните страни е меѓусебно еднаков.

Последицата е следна. Ако страниците се обележани со *a, b, c, d*, тогаш е

:  a + c = b + d = \frac{a + b + c + d}{2} = s

каде *s* е полупериметарот.

Ако страните на тангентниот четириаголник се *a, b, c, d*, и *r* е полупречник на впишаната кружница, тогаш неговата површина е дадена со формулата

:  P = \frac{a + b + c + d}{2} \cdot r

Четириаголниците во кои истовремено може да се впише и опише кружница се нарекуваат бицентрични четираголници или тетивно-тангентни четириаголници.

## Примери
Примери на тангентни четириаголници се: квадрат, ромб и делтоид.

Четириаголниците за кои со сигурност знаеме дека во нив не можат да се впишат кружници  (не се тангентни) се паралелограмот и правоаголникот. Кај рамнокракиот трапез, постои посебен случај кога може да се впише кружница.

## Некои својства на тангентниот четириаголник
Нека тангентниот четириаголник ABCD\, е трапез ( \overline{AB}\,||\,\overline{CD} ), чии дијагонали се сечат во одредена точка O\,.

Ако се r_1\,, r_2\,, r_3\, и r_4\, полупречници на кружници впишани во триаголниците \Delta ABO\,, \Delta BCO\,, \Delta CDO\, и \Delta DAO\,, тогаш

:  \frac{1}{r_1}+ \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r_2}+ \frac{1}{r_4}

И, исто така, ако s_1\,, s_2\,, s_3\, и s_4\, се полупериметри на триаголниците \Delta ABO\,, \Delta BCO\,, \Delta CDO\, и \Delta DAO\,, тогаш

: \ s_1+s_3=s_2+s_4 

## Формули

Интересен посебен случај е кога тангентниот четириаголник го задоволува условот
:\alpha + \gamma = \beta + \delta

Според оваа претпоставка, тангентниот четириаголник е истовремено тетивен четириаголник, т.е. четириаголник со впишана и опишана кружница. Формулата за плоштината на овие четириаголници е едноставна
:A = \sqrt{a \cdot b \cdot c \cdot d}
Со помош на Питагоровата и косинусната теорема се добиваат должините на отсечките  k = \overline{PR}  и  l = \overline{QS} . Се применува
:k = \sqrt{\frac{e \cdot f \cdot g + f \cdot g \cdot h + g \cdot h \cdot e + h \cdot e \cdot f}{(e + f) \cdot (g + h) \cdot (e + g) \cdot (f + h)}}
:l = \sqrt{\frac{e \cdot f \cdot g + f \cdot g \cdot h + g \cdot h \cdot e + h \cdot e \cdot f}{(e + h) \cdot (f + g) \cdot (e + g) \cdot (f + h)}}

Ова резултира со соодносот на должините
:\frac{k}{l} = \sqrt{\frac{(f + g) \cdot (e + h)}{(e + f) \cdot (g + h)}} = \sqrt{\frac{b \cdot d}{a \cdot c}}

## Поврзано
* Тетивен четириаголник
* Тетивно-тангентен четириаголник

## Наводи

## Литература
* Владимир Стојановић, *Тетиве и тангенте*, Математископ.

## Надворешни врски

Категорија:Многуаголници