Отсечка

thumb|right|Отсечка <math>\overline{AB}</math> e дел од права <math>AB</math>
Во геометријата, **отсечка** се опишува како дел од права помеѓу две посебни точки на правата. Отсечка секогаш ги содржува сите точки помеѓу крајните точки, а може, но не мора да ги содржи едната или двете крајни точки.

* Во Евклидовата геометрија, за посебни (дистинктни) точки А и В, постои една единствена отсечка со крајни точки А и B и истата се означува со \overline{AB}&nbsp;.
* Отсечка е еднодимензионален објект, т.е. има 0 ширина и 0 висина.  
* Отсечка има краеви така да има одредена должина која е растојанието помеѓу крајните точки.

## Дефиниција на отсечка
Нека А и В се две посебни точки. Отсечката \overline{AB} е множеството на сите точки &nbsp; C=A(1-t)+Bt &nbsp;  каде што  &nbsp; t \in [0,1]&nbsp;.

## Средина (средна точка) на отсечка
[right|frame|С e средната точка на отсечката - '''[http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Otsechka <br />Оди на интерактивноста]'''](https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BA%D0%B0:wiki_otsecka_primer_va.png) 
Нека А и В се две посебни точки. Тогаш средина, односно средната точка на отсечката &nbsp; \overline{AB} &nbsp; е точката &nbsp; C=\frac{A+B}{2} &nbsp;.

*Во 2-димензионален простор: A=(x_1,y_1) &nbsp; B=(x_2,y_2).
 Средната точка е: C=\left( \frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2} \right) . 
**Пример:** Нека A=(-1,3) и B=(2,1). Средната точка на отсечката \overline{AB} &nbsp; e: &nbsp; C=\left( \frac{-1+2}{2},\frac{3+1}{2} \right)=(0,5;2) .

*Забележете дека ова е точката C од дефиницијата C=A(1-*t*)+B*t* каде што *t*=0.5, т.е. на средината на интервалот [0,1]. 
*Пропорционалноста* важи и потаму. На пример, се заменува *t*= за да се добие точката C на отсечката која е  од патот од А до Во: &nbsp; C= \frac{2}{3} \cdot A + \frac{1}{3} \cdot B &nbsp;.

## Должина на отсечка
right|frame|Доказ: Должина на отсечка со Питагорова теорема
Должината на \overline{AB} e и растојанието помеѓу А и В. Истата се означува со | \overline{AB} | \,=\, \delta_{A,B}.

Во 2-димензионален простор:
*Должина на **отсечка паралелна со ''х''-оската**, односно со крајни точки A=(*x*1,*y*) и B=(*x*2,*y*) со истата у-координата и *x*2&gt;*x*1 е: &nbsp; \delta_{A,B} = | \overline{AB} | = x_2-x_1. 
*Должина на **отсечка паралелна со ''y''-оската**, односно со крајни точки A=(*x*,*y*1) и B=(*x*,*y*2) со истата x-координата и *y*2&gt;*y*1 е: &nbsp; \delta_{A,B} = | \overline{AB} | = y_2-y_1.
*Точки: &nbsp; A=(x_1,y_1) &nbsp; B=(x_2,y_2). &nbsp; Должината на &nbsp; \overline{AB} е: &nbsp;
 \delta_{A,B} = | \overline{AB} | = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} &nbsp;
**Пример:** Нека A=(-1,3) и B=(2,1). Должината на отсечката \overline{AB} &nbsp; e: &nbsp; \delta_{A,B} = | \overline{AB} | = \sqrt{(2-(-1))^2+(1-3)^2}=\sqrt{13} \approx 3,6.

Во 3-димензионален простор: 
*Точки: &nbsp; A=(x_1,y_1,z_1) &nbsp; B=(x_2,y_2,z_2). &nbsp; Должината на &nbsp; \overline{AB} е: &nbsp;
 \delta_{A,B} = | \overline{AB} | = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}

Доказ: Се користи Питагорова теорема.

*Во 2Д: Во анимацијата е опишана наједноставната верзија каде што *x*2&gt;*x*1 и *y*2&gt;*y*1. За произволни точки А и В, едноставно треба да се додава апсолутна вредност околу двете разлики |*x*2 - *x*1| и |*y*2 - *y*1|. Потоа по примена на Питагорова теорема и поради тоа што (|*x*|)2=*x*2, знаковите за апсолутна вредност се бришат како непотребни.
*Во 3Д: Двапати се користи Питагорова теорема. Најпрво се формира помошна точка B'=(x_2,y_2,z_1) со истата z-координата како А така да А и B' лежат на истата рамнина *z*=*z*1. Се користи формулата од 2Д, односно Питагорова теорема со што | \overline{AB'} | = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}. Сега повторно се корисити Питагорова теорема на триаголникот со темињата А, B' и В  забележувајќи дека | \overline{BB'} | = \sqrt{(z_2-z_1)^2} &nbsp; за да се доби дадената формула.

## Крајни точки
Крајните точки можат, но не морат да бидат вклучени во отсечката. Геометриски тоа се означува со полни или празни кружници, т.е. 
*крајна точка е **вклучена** во отсечката ако точката е означена со **полна кружница** и
*крајна точка е **исклучена** во отсечката ако точката е означена со **празна кружница** и

Има 4 можни случаи.
*затворена отсечка каде што двете крајни точки се вклучени,
*отворена отсечка каде што двете крајни точки се исклучени,
*полуотворена отсечка каде што почетната крајна точка е вклучена, а крајната крајна точка е исклучена и
*полуотворена отсечка каде што почетната крајна точка е исклучена, а крајната крајна точка е вклучена.

## Ориентирана отсечка
При дефиницијата: C=A(1-*t*)+B*t*, *t* &isin; [0,1] следува дека 
* Кога *t*=0, C=A e почетната точка на отсечката, а
* Кога *t*=1, C=В e крајната точка на отсечката.

Тоа значи дека самиот интервал *t* &isin; [0,1] ја ориентира, т.е. ја усмерува отсечката од А до В.

### Параметарски облик на отсечка
Нека се дадени две точки А(x1,y1,z1) и B=(x2,y2,z2).

*Параметарски облик на ориентираната отсечка која почнува во А, а завршува во В е ограничување на параметарскио облик на правата која врви низ А и В за *t* &isin; [0,1], односно
 &nbsp;&nbsp;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x(t) = {x_1}+{a}t }\\ {y(t) = {y_1}+{b}t }\\{z(t) = {z_1}+{c}t } \end{array}} \right. каде што { a = (x_2-x_1)}, \, { b = (y_2-y_1)} , \, { c = (z_2-z_1)}&nbsp;, &nbsp; t \in [0,1]&nbsp;

(Во 2-димензионален простор се отфрлува се со z-координатите.)

## Отсечка и векторски простори
Ако *V* е векторски простор над \mathbb{R} или \mathbb{C}, и *L* е подмножество на *V*, тогаш *L* е (затворена) **отсечка** ако *L* може да се пиши во параметарски облик како: &nbsp; L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in[0,1]\} &nbsp; за некои вектори \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\,\!. Во тој случај векторите **u** и  се викаат крајните точки на *L*. (Ако *t* &isin; (0,1), отсечката е *отворена*.) 

## Литература

## Поврзани теми
*Права (геометрија)
*Полуправа
*Интервал
*Наклон
*Аналитичка геометрија
*Крива

## Надворешни врски
*Геогебра наредба: Отсечка  
* http://www.youtube.com/watch?v=iA-kpdSz4mw видео за пресметување на должина на отсечка 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Line_segment 

Категорија:Елементарна геометрија
Категорија:Геометрија
Категорија:Математичко образование