Прстен (математика)

**Прстен** — алгебарска структура во математиката што се состои од множество заедно со две операции, собирање (обично означено со +) и множење (обично означено со \cdot), кои ги исполнуваат обичните услови кои би биле очекувани од вакви операции. Главен пример за прстен е прстенот на целите броеви \mathbb{Z} заедно со обичното собирање и множење.

## Дефиниција
Еден **прстен** (со единица) е множество A заедно со операции +, \cdot: A \times A \to A, некогаш нотирано како (A, +, \cdot), така што:

* (A, +) е Абелова група со неутрален елемент 0 \in A
* (A, \cdot) е моноид со неутрален елемент 1 \in A
* За сите a, b, c \in A важи
** a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c (*лево дистрибутивно својство*)
** (a+b) \cdot c  = a \cdot c + b \cdot c (*десно дистрибутивно својство*)

Ако моноидот (A, \cdot) е комутативен, тогаш и прстенот се нарекува **комутативен**.

## Примери
### Цели броеви
Целите броеви \mathbb{Z} заедно со обичното собирање и множење претставуваат комутативен прстен. Овој е еден од најосновните прстени во алгебрата.

### Нулов прстен
Множеството \{0\} заедно со единствената можни операции собирање и множење 0 + 0 = 0, 0 \cdot 0 = 0 сочинуваат комутативен прстен со единица. Во овој прстен важи 0 = 1.

### Полиња
Едно **поле** е ненулов комутативен прстен (K, +, \cdot) така што секој елемент различен од 0 во K има инверзен елемент спрема мултипликацијата. Со други зборови, (A \setminus \{0\}, \cdot) е комутативна група. Примери за полиња се рационалните бреови \mathbb{Q}, реалните броеви \mathbb{R} и комплексните броеви \mathbb{C}. Прстенот на целите броеви не е поле бидејќи 1 и -1 се единствените елементи во \mathbb{Z} кои што поседуваат инверзен елемент.

### Прстени на матрици
Нека A е прстен. Нека \operatorname{Mat}(A, n \times n) е множеството на сите n \times n матрици со коефициенти во A. Ова множество, заедно со собирањето и множењето на матрици, сочинуваат прстен. Овој прстен општо не е комутативен, дури ако и A е комутативно.

### Прстени на функции
Нека A е прстен. Нека M \neq \emptyset е произволно множество и нека \operatorname{Map}(M, A) е множеството на сите функции (на множества) од видот M \to A. За функции f, g: M \to A дефинираме (f+g)(x) := f(x) + g(x)  и (f \cdot g)(x) := f(x) \cdot g(x). Тогаш, ова множество, заедно со вака дефинираните операции на собирање и множење, претставуваат прстен. Овој прстен е комутативен, ако и само ако A е комутативен.

## Хомоморфизам на прстени
Една функција f: A \to B меѓу два прстени A, B се нарекува **хомоморфизам (на прстени)** ако за сите a,a' \in A:
* f(a+a') = f(a) + f(a')
* f(aa') = f(a)f(a')
* f(1_A) = 1_B
каде 1_A, 1_B ги означуваат единиците во A и B.

Еден хомоморфизам на прстени значи е функција меѓу прстени која ја запазува структурата на овие два прстени.

Ако f е инјективен тогаш тој се нарекува **мономорфизам**. Аке тој е сурјективен, тој се нарекува **епиморфизам**. Ако хомоморфизмот е биективен, тој се нарекува **изоморфизам**. Овие означувања се користат често во математиката за функции кои зачувуваат некој вид структура. Два прстени A, B се нарекуваат **изоморфни** ако постои изоморфизам меѓу нив. Изоморфни прстени имаат иста структура како прстени и затоа се гледаат како еден ист прстен.

### Јадро
Нека f: A \to B е хомоморфизам на прстени. Множеството \ker f := \{a \in A \mid f(a) = 0\} се нарекува **јадрото** на f.

## Потструктури
### Потпрстен
Нека B е прстен и A \subseteq B подмножество. Ако со рестрикција на операциите од B на подмножеството A истиот претставува прстен, тогаш A се нарекува **потпрстен** на B.

### Лев, десен и двостран идеал
Едно подмножество L \subseteq A на еден прстен A се нарекува **лев идеал**, ако:
* 0 \in L
* за сита l,l' \in L важи l+l' \in L
* за сите a \in A, l \in L важи al \in L

Едно подмножество R \subseteq A на еден прстен A се нарекува **десен идеал**, ако:
* 0 \in R
* за сите r,r' \in R важи r+r' \in R
* за сите a \in A, r \in R важи ra \in R

Подмножество I \subseteq A кој што е и лев и десен идеал се нарекува **двостран идеал**.

Во еден комутативен прстен, сите овие три дефиниции се еквивалентни и тогаш зборуваме за **идеал**.

### Примери за идеали
Нула идеалот \{0\} \subseteq A и целиот прстен A \subseteq A се двострани идеали во секој прстен.

Јадрото на еден хомоморфизам на прстени A \to B е двостран идеал во A.

Нека r \in A е елемент во еден комутативен прстен A. Тогаш (r) := \{ar \mid a \in A\} е идеал и се нарекува **од <math>a</math> генерираниот идеал**. Слично може да го дефинираме од една група на елементи r_i \in A, i \in I генерираниот идеал како (r_i)_{i \in I} := \left\{\sum_{i \in I} a_ir_i \mid a_i \in A, a_i = 0\text{ за сите освен конечно многу } a_i\right\}.

### Видови идеали
Еден идеал I \subseteq A се нарекува:
* **прост**, ако за сите a, a' \in A така што aa' \in I важи a \in I или a' \in I. 
* **максимален**, ако за секој идеал I' \subseteq A така што I \subseteq I' важи I = I' или I = A
* **радикален**, ако за секој елемент a \in A така што a^n \in I за некој n \in \mathbb{Z}_{>0} важи a \in I.

Секој максимален идеал е прост, и секој прост идеал е радикален.

## Видови прстени
### Интегрален домен
Нека A е  комутативен прстен. Тогаш, еден елемент a \in A се нарекува **делител на нула** ако постои 0 \neq a' \in A така што a a' = 0.

A се нарекува **интегрален домен** ако тој нема делители на нула освен 0. Еквивалентно A е интегрален домен ако \{0\} \subseteq A е прост идеал.

Целите броеви \mathbb{Z} сочинуваат интегрален домен. Секое поле е интегрален домен.

### Редуциран прстен
Нека A е комутативен прстен. Еден елемент a \in A се нарекува **нилпотентен** ако постои n \in \mathbb{Z}_{>0} така што a ^n = 0.

A се нарекува **редуциран** ако нема нилпотентни елементи освен 0. Еквивалентно A е редуциран ако \{0\} \subseteq A е радикален идеал.

Секој нилпотентен елемент е делител на нула, така што секој интегрален домен е редуциран.

## Фактор-прстен
Нека A e комутативен прстен и I \subseteq A идеал. Релацијата \sim дефинирана како a \sim a' :\Leftrightarrow a - a' \in I е релација за еквивалентност. Го дефинираме множеството A / I := A / \sim како можеството на класи спрема релацијата \sim. За a \in A нека е [a] \in A / I класата репрезентирана од a. Тогаш дефинираме за сите a, a' \in A:
* [a] + [a'] := [a+a']
* [a] \cdot [a'] := [a \cdot a']
Овие операции се добро дефинирани. A/I заедно со овие две операции сочинуваат комутативен прстен кој се нарекува **фактор-прстен на <math>A</math> по <math>I</math>**.

### Примери
Нека I = (n) \subseteq \mathbb{Z} е од n генерираниот идеал. Фактор-прстенот по овој идеал е тогаш \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} := \mathbb{Z} / I. За овој прстен важи \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} = \{[0], [1], \dots, [n-1]\} и собирањето и множењето се дефинирани модуло n.

### Својства
Нека A е комутативен прстен и I \subseteq{A} идеал. Тогаш важи:
* A / I е интегрален домен ако и само ако I е прост.
* A / I е поле ако и само ако I е максимален.
* A / I е редуциран ако и само ако I е радикален.

## Примени
Прстените се една од нај распорстранетите структури во алгебрата.

### Алгебарска теорија на броеви
Еден од најважните објекти во алгебарската теорија на броеви се таканаречените *прстени на цели броеви*. Овие го обопштуваат прстенот на целите броеви во конечно проширување на полиња K / \mathbb{Q}. Овие прстени се *Дедекиндови домени*, т.е. интегрално затворени, нетерови прстени во кој што секој од нула различен прост идеал е максимален.

### Алгебарска геометрија
Во алгебарската геометрија, за едно поле k постои 1 спрема 1 кореспонденција меѓу редуцирани конечно генерирани прстени кои што го содржат k (т.н. редуцирани конечно генерирани k-алгебри) и иредуцибилни вариетети врз k. Вариетет е множество на нула на полиноми во повеќе променливи со коефициенти во k.

Категорија:Теорија на прстените
Категорија:Апстрактна алгебра