Тригонометриски функции

**Тригонометриска функција** — функција на агол. Името го добилеа по гранката од математиката која ги користи за решавање триаголници, а која се нарекува тригонометрија.

Кога аголот, знали аргументот на овие функции е реален број, тогаш тие се функции на рамнинската тригонометрија: синус и косинус, од кои се изведуваат сите останати. Од останатите основни функции на агол често во употреба се тангенс, па и котангенс, потоа, малку поретко се среќаваат косеканс и секанс, и конечно најретко синус версус и косинус версус. Кога аголот е комплексен број тогаш функциите на агол може да преминат во хиперболични функции.

Инверзните тригонометриски функции се викаат *циклометриски* функции и *аркус-функции*, т.е. *функција<sup>-1</sup>*.

## Дефиниции
мини|Сл.1. Тригонометриски триаголник
Основните тригонометриски функции, синус, косинус и тангенс обично се дефинираат со помош на правоаголен триаголник (види ја сликата десно). Имено, односот на две страни во правоаголниот триаголник е функција од остриот агол на триаголникот и затоа односите меѓу страните на правоаголниот триаголник се нарекуваат тригонометриски функции. Поимот „тригонометрија“ потекнува од грчките зборови за триаголник (тригонос) и за мерење (метрео), т.е. поимот тригонометрија буквално значи „мерење на триаголникот“. Синус од остар агол во правоаголен триаголник е односот меѓу спротивната катета на тој агол и хипотенузата. Косинус од остриот агол во правоаголен триаголник е односот меѓу прилегнатата катета и хипотенузата. Тангенс е односот меѓу спротивната и прилегнатата катета на остар агол во правоаголен триаголник. Котангенс е односот меѓу прилегнатата и спротивната катета на остар агол во правоаголен триаголник.
: x = r\cdot\cos\phi,\; y = r\cdot\sin\phi,\; \frac{y}{x}=\operatorname{tg}\phi.

*Позитивен* математички агол има спротивна насока од стрелките на часовникот.

## Тригонометриска кружница
На сликата (2) долу е прикажана кружница со полупречник еден со центар во координатниот почеток, т.е. x^2+y^2=1, која се вика *тригонометриска кружница*.

лево|мини|Сл.2. Тригонометриска кружница

; Дефиниција 1:

Тригонометриските реални функции на агол φ се дефинираат со равенките
: **(а)** \cos^2\phi+\sin^2\phi=1,\, синус и косинус се реални броеви;
: **(б)** \operatorname{tg}\phi=\frac{\sin\phi}{\cos\phi},\; \operatorname{ctg}\phi=\frac{\cos\phi}{\sin\phi}, тангенс и котангенс;
: **(в)** \sec\phi=\frac{1}{\cos\phi},\; \csc\phi=\frac{1}{\sin\phi}, секанс и косеканс.
: **(г)** \operatorname{vercos}\phi=1-\sin\phi,\; \operatorname{versin}=1-\cos\phi, косинус версус и синус версус.

Функциите (в), а особено (г) ретко ги среќаваме.

; Теорема 1

: **(а)** \overline{OA} = \cos\phi,\; \overline{OC} = \sin\phi, косинус и синус;
: **(б)** \overline{BE}=\operatorname{tg}\phi,\; \overline{FG}=\operatorname{ctg}\phi, тангенс и котангенс;
: **(в)** \overline{OE}=\sec\phi,\; \overline{OG}=\csc\phi, секанс и косеканс.

; Доказ: Точката Т од сликата 1. овде (сл.2.) е точката D. 
:**(а)** Следи непосредно заради полупречникот r = 1. 
:**(б)** Да ги воочиме сличните триаголници \Delta EBO\sim\Delta DAO, од каде \overline{BE}:\overline{OB}=\overline{AD}:\overline{OA}, т.е. \overline{BE}:1=\sin\phi:\cos\phi; да ги воочиме сличните триаголници \Delta GFO\sim\Delta OAD, одатле \overline{FG}:\overline{FO}=\overline{OA}:\overline{AD}, т.е. \overline{FG}:1=\cos\phi:\sin\phi. 
:**(в)** Од истите слични триаголници (б) добиваме \overline{OE}:\overline{OB}=\overline{OD}:\overline{OA}, т.е. \overline{OE}:1=1:\cos\phi; потоа \overline{OG}:\overline{OF}=\overline{OD}:\overline{AD}, т.е. \overline{OG}:1=1:\sin\phi.
Крај на доказот.

## Посебни агли
Овде ќе бидат анализирани особините на вредностите на тригонометриски функции за посебни агли.

### Предзнак
На претходната слика (3) претставен е Декартовиот правоаголен координатен систем и точката D на тригонометриската кружница. Аголот BOD = φ може неограничено да расте додека подвижниот крак на аголот (OD) проаѓа редум низ првиот, вториот, третиот и четвртиот квадрант, а потоа повторно по истиот круг. Значи, аголот φ може да расте до 360° и понатаму. Притоа проекциите на точката D на апсцисата и ординатата секогаш се сметаат како косинус и синус на аголот φ. Тоа значи дека косинусот е позитивен кога точката D во првиот и четвртиот квадрант, а дека синусот е позитивен кога точката D е во првиот и вториот квадрант. Детално тоа се гледа во следната табела:

### Сведување на првиот квадрант

Преку тригонометриската кружница или адиционите формули лесно може да се провери точноста на формулата за *сведување на вредностите* на тригонометриските функции на функции на агли од првиот квадрант:

: \cos(180^o-\phi)=-\cos\phi, \; \sin(180^o-\phi)=\sin\phi,
: \cos(180^o+\phi)=-\cos\phi, \; \sin(180^o+\phi)=-\sin\phi,
: \cos(-\phi)=\cos\phi, \; \sin(-\phi)=-\sin\phi.

Функциите косинус и синус се периодични со основен период од 360°, a функцијата тангенс е периодична со период од 180°:

: \cos(360^o+\phi)=\cos\phi,\; \sin(360^o+\phi)=\sin\phi,\; \operatorname{tg}(180^o+\phi)=\operatorname{tg}\phi.

Периодот на синусната и косинусната функција може да се најде од формулата:
T = \frac{2\pi}{\omega}

Така периодот на функцијата е \sin{2\alpha} еднаков T= \frac{2\pi}{2}, односно \pi.

Функциите на агли поголеми од 360 степени со претходните формули се сведува на функции од помали агли, а потоа, ако е потребно, на првиот квадрант, на начин видлив во следната табела:

Во општ случај тоа може да се запише вака:
:  f (n \pi + \alpha )  = \pm  f (\alpha)
:  f (n \pi - \alpha )  = \pm  f (\alpha)
:  f \left(\frac{(2n+1) \pi}{2} + \alpha\right)  = \pm  g (\alpha)
:  f \left(\frac{(2n+1) \pi}{2} - \alpha\right)  = \pm  g (\alpha)

Притоа *f* — е произволна тригонометриска функција, *g* — е нејзината соодветна функција (косинус за синус, синус за косинус и аналогно за останатите функции), а *n* — цел број.

## Вредности на тригонометриските функции
мини|250п|десно|Вредности на тригонометриските функции прикажани на тригонометриската кружница
За некои од аглите од првиот квадрант функциите полесно се пресметуваат:

Еден од начинот на пресметување на овие вредности е прикажан во прегледот на основни агли. Од табелата се гледа дека веќе кај „основните“ агли тригонометриските функции се ирационални броеви и дека слични изрази за други агли би можело да бидат уште посложени. Поедноставен од тие посложени изрази би бил, на пример \sin 15^o=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}, и тоа е најмалиот агол чиј синус може да се претстави со запис на проста алгебарска комбинација од рационални броеви и корени. Со векови тригонометриските вредности биле запишувани во тригонометриски таблици, на 5 до 10 децимали, a во последно време се користат скоро исклучиво сметач или калкулатор.

Вредностите на тригонометриските функции на некои агли кои се пресметуваат по нешто подолг пат се дадени во следната табела:

Кога точката D еднаш ја обиколи кружницата поминува пат 2*π* односно прави 360°. Лак со должина *π* одговара на агол од 180° - рамен агол, π/2 е 90° - прав агол, π/3 е 60°, π/4 е 45°, π/6 е 30°, и општо лак со должина *x* радијани одговара на агол од 360*x*/2*π* степени. За еден радијан, х = 1, се добива агол 57,2957795... степени, т.е. во степени, минути и секунди 57°17'44,8". Еден степен има 60 минута, а една минута има 60 секунди. Изразите минути и секунди потекнуваат од латинските зборови: *partes minutae primae* и *partes minutae secundae*, т.е. први мали делови и втори мали делови. Математичките текстови за единица агол го подразбираат радијанот.

## Редови
Тригонометриските функции, исто така, може да се претставуваат со (бесконечни) редови:
: \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+... = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}
: \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+... = = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}

Овие редови може да се употребат и за дефинирање на тригонометриски функции на комплексен број z, и хиперболични функции.

Имајќи ги предвид равенките \operatorname{tg}\,x=\frac{\sin x}{\cos x}, \operatorname{ctg}\,x=\frac{\cos x}{\sin x}, \sec x=\frac{1}{\cos x} и \operatorname{cosec}\,x=\frac{1}{\sin x}, во Тејлоровиот ред може да се разложат следните функции:
: {\operatorname{tg}\,x=x+\frac{1}{3}\,x^3 + \frac{2}{15}\,x^5 + \frac{17}{315}\,x^7 + \frac{62}{2835}\,x^9 + \cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2}
: {\operatorname{ctg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} - \frac{x^7}{4725} - \cdots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi 
: {\sec x=1+\frac{1}{2}\,x^2+\frac{5}{24}\,x^4+\frac{61}{720}\,x^6+\frac{277}{8064}\,x^8+\cdots = 1 + \sum_{n=1}^\infty\frac{E_{n}}{(2n)!}\,x^{2n}, \quad \left(-\frac{\pi}{2} 
: {\csc x = \frac{1}{x} + \frac{1}{6}\,x + \frac{7}{360}\,x^3 + \frac{31}{15120}\,x^5 + \frac{127}{604800}\,x^7 + \cdots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2\,(2^{2n-1}-1)B_{n}}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\pi 

## Графикони
Тригонометриските функции може да се претстават графички. На следните слики се прикажани нивните графикони:
мини|300п|лево
мини|десно|300п|Графикони на тригонометриски функции: <span style="color:#00A">синусо</span>, <span style="color:#0A0">косинусо</span>, <span style="color:#A00">тангенсо</span>, <span style="color:#A0A">секансо</span>, <span style="color:#AA0">косекансо</span>, <span style="color:#0AA">котангенсо</span>

## Парност
Косинус и секанс се парни функции, додека останатите четири се непарни функции:

:  \sin \left(- \alpha \right)  = - \sin \alpha \,,
:  \cos \left(- \alpha \right)  =  \cos \alpha \,,
:  \mathop{\mathrm{tg}}\, \left(- \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,,
:  \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left(- \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,,
:  \sec \left(- \alpha \right)  =  \sec \alpha \,,
:  \mathop{\mathrm{cosec}}\, \left(- \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{cosec}}\, \alpha \,.

## Гранична вредност
лево|мини|Тетивата е пократка од лакот На сликата лево се гледа тетивата \overline{ADB} која сигурно е пократка од лакот \widehat{ACB}. Тетивата е најкраткото растојание меѓу две точки на кружница. Затоа полутетивата \overline{AD} е пократка од полулакот \widehat{AC}. Триаголникот ODA, со остар агол alpha е правоаголен. Правиот агол е во темето D, катетата ОD изнесува \cos\phi, катетата DA изнесува \sin\alpha, хипотенузата е со должина еден. Кога аголот е во радијани и 0 тогаш

; Теорема 1: \lim_{\alpha\to 0}\sin\alpha=0,\;\lim_{\alpha\to 0}\cos\alpha=1.

**Доказ**: Следи од 0 и 0 Крај.

Кога аголот тежи кон нула преку позитивните вредности, тогаш синусот е позитивен, а негативен е кога аголот тежи кон нула преку негативни вредности. Косинусот пак во двата случаја е позитивен. Од тоа произлегуваат лимесите за котангенс: \lim_{x\to +0}\operatorname{ctg}x=+\infty,\; \lim_{x\to -0}\operatorname{ctg}x=-\infty. Со замена на х со комплементен агол се добиваат соодветните лимеси за тангенс.

300px|десно|Тригонометриски круг
; Теорема 2: \lim_{x\to\ 0}\frac{\sin x}{x}=1.

; Доказ: На сликата десно, површината на правоаголниот триаголник OCD е помала од површината на кружниот исечок OAD, а оваа повторно е помала од површината на правоаголниот триаголник OAB. Со х агол AOB. Оттука \frac{\sin x\cos x}{2} Ако овие нееднаквости ги поделиме со (позитивен) \frac{\sin x}{2}, ќе добиеме \cos x а оттука \frac{1}{\cos x}>\frac{\sin x}{x}>\cos x. Со x\to 0 вреди \cos x\to 1,\; \frac{1}{\cos x}\to 1, па е \frac{\sin x}{x}\to 1. Синус е непарна функција па доказот за негативни агли е ист. Крај на доказот.

## Извод
Извод од функцијата f(x) по дефиниција е гранична вредност: f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.
; Теорема 3: **(а)** (\sin x)'=\cos x,\,
: **(б)** (\cos x)'=-\sin x,\,
: **(в)** (\operatorname{tg}x)'=\sec^2x.\,
: **(г)** (\operatorname{ctg}x)'=-\csc^2x.\,

; Доказ: **(а)** \Delta \sin x=\sin(x+\Delta x)-\sin x=2\cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin\frac{\Delta x}{2}, па 
:: \frac{\Delta \sin x}{\Delta x}=\frac{\cos(x+\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}}\rightarrow\cos x, када \Delta x\rightarrow 0 (теорема 2).
: **(б)** Заради \cos x = \sin(\frac{\pi}{2}-x), биће (\cos x)'=\cos(\frac{\pi}{2}-x)\cdot (\frac{\pi}{2}-x)'=-\cos(\frac{\pi}{2}-x)=-\sin x.  
: **(в)** Извод на количник (\operatorname{tg}x)'=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'=
:: =\frac{\sin'x\cos x-\cos'x\sin x}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x. 
: **(г)** Извод на количник (\operatorname{ctg}x)'=\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)'=
:: =\frac{\cos'x\sin x-\sin'x\cos x}{\sin^2x}=\frac{-\sin^2x-\cos^2x}{\sin^2x}=-\frac{1}{\sin^2x}=-\csc^2x. Крај на доказот 3.

## Интеграли на тригонометриски функции

Ова се интегралите на некои тригонометриски функции:

:

## Други особини
Прегледот на скоро сите особини на тригонометриските функции кои се однесуваат на решавање на триаголници се дадени во статијата: рамнинска тригонометрија.

Во посебен прилог може да се најдат доказите за адиционите формули, каде спаѓаат и формулите за *двојни агли*, потоа *половини агли*, како и претставување на *збир и разлика* на тригонометриски функции со *помош на производ* и обратно, и изразување на останатите тригонометриски функции со помош на тангенс од половина агол.

Исто така, во посебен прилог се дадени тригонометриските равенки.

## Тригонометриски функции како решенија на диференцијални равенки

Тригонометриските функции **косинус** и **синус** може да се претстават како решенија на диференцијални равенки:
: \frac{d^2}{d\varphi^2}R(\varphi) = - R(\varphi),
со почетним условом \cos(0) = \sin '(0) = 1.
: \ \cos * x = - \cos x,</math>
: <math>\ \sin * x = - \sin x.

## Тригонометриски функции како решенија на функционални равенки
Функциите **косинус** и **синус** може да се одредат како непрекинати решенија на системи функционални равенки:

\left\{
\begin{array}{rcl}
f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\
g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y)
\end{array}
\right.


## Инверзни тригонометриски функции

*Инверзни тригонометриски функции* се arcsin x (аркус синус икс), arccos x (аркус косинус), arctg x (аркус тангенс), arcctg x (аркус котангенс). Тие се инверзни на тригонометриските функции sin x (синус икс), cos x (косинус), tg x (тангенс), ctg x (котангенс). Претставката *аркус* потекнува од латинскиот збор *arcus* - лак, агол. Се нарекуваат и *циклометриски* функции.

:  \begin{matrix}

 \mbox{за} & -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2},
 & y = \arcsin x & \mbox{ако} & x = \sin y \,;\\ \\
 \mbox{за} & 0 \le y \le \pi,
 & y = \arccos x & \mbox{ако} & x = \cos y \,;\\ \\
 \mbox{за} & -\frac{\pi}{2} 

## Примена во физиката

Примената на тригонометријата и тригонометриските функции во физиката е многу голема.

Така на пример доста се користат во анализа на простирањето на брановите, опишување на хармониските осцилации како периодични движења, претставување на наизменичната струја, итн.

## Поврзано
* Тригонометриски равенки
* Рамнинска тригонометрија
* Функција
* Список на интеграли на тригонометриски функции
* Инверзни тригонометриски функции

Категорија:Тригонометрија
Категорија:Математичка анализа
*
Категорија:Коефициенти
Категорија:Бездимензионални броеви
Категорија:Аналитички функции
Категорија:Агол