Низа (математика)

[десно|мини|250п|Бесконечна низа на реални броеви (сино). Оваа низа не е ниту растечки ниту опаѓачки, ниту конвергентен, ниту [Кошиева низа. Меѓутоа тој е ограничен.]]
Во математиката под поимот **низа** се подразбира секое пресликување кое за аргумент има природен број. Формалната дефиниција е зададена на следниов начин:

Низа од елементи на множеството \ M претставува пресликувањето:
: a: \mathbb{N} \rightarrow M при кое n \mapsto a(n), а тоа е множеството:
: \left( a(n) | n \in \mathbb{N} \right)

Обично, наместо како на последниот начин, низата се запишува како: \ (a_n).

Изразот: a_n се вика општ член на низата.

= Гранична вредност на низа =

Од особен интерес е да се разгледа и проучи „однесувањето“ на низата во бесконечност, т.е. да се утврди што се случува со членовите од низата кога индексот расте во бесконечност. За таа цел се воведува поимот **гранична вредност** или **лимес на низа**. Напомена: овој поим не треба да се меша со граничната вредност или лимес на функција!

Нека е дадена произволна низа \ (x_n). За бројот \ X \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty \}=\bar{\mathbb{R}} велиме дека е *лимес на низата* \ (x_n) ако за секој \epsilon>0, постои \ n_0 \in \mathbb{N} така што за секој природен број \ n \ge n_0 е исполнето:

:: \ x_n \in (x-\epsilon,x+\epsilon)

или запишано поинаку:

:: \left| x_n - x \right| 

Ова значи дека, ако избереме било која околина на претпоставената гранична вредност, тогаш постои индекс - n0 така што сите членови на низата со индекс поголем или еднаков на него се припаѓаат во таа околина.

Ако постои број \ x, тогаш пишуваме:

:: \lim_{n \to \infty} x_n = x

Граничната вредност на низата нужно и не мора да постои, но доколку постои таа е единствена. Истовремено, допуштено е таа да биде и бесконечност.

* Низата со општ член a_n = (-1)^n нема гранична вредност зашто има *множество вредности*: \{-1,1,-1,1,...\}
* Низата со општ член b_n = 2^n има гранична вредност бесконечност зашто: \{2,4,8,16,32,64,128,...\}

Ако низата има лимес кој е *конечен број*, тогаш велиме дека низата е **конвергентна** и дека **конвергира** кон овој конечен број.

= Пример =

Ќе покажеме дека важи:

: \lim_{n\to \infty} \frac{n}{n+1} = 1

Нека \epsilon>0 е произволен и да претпоставиме дека бројот *еден* е лимес на низата. Треба да ја најдеме индекс n_0 (и да ја изразиме зависноста меѓу индексот и \epsilon) така што сите членови на низата после n0-от се наоѓаат во околината: (1-\epsilon,1+\epsilon). Во тој случај, по дефиниција, важи:

: \left|\frac{n}{n+1} - 1 \right| 

Од друга страна важи:

: \left| \frac{n}{n+1} - 1 \right| = \left|\frac{n-n-1}{n+1}\right| = \left|\frac{-1}{n+1}\right| = \frac{1}{n+1}

Оттаму следи:

\frac{1}{n+1} т.е. n>\frac{1-\epsilon}{\epsilon}

Бидејќи може да се случи вака изразениот број *n* да не е природен (а мора да биде бидејќи е индекс!), го правиме следниов избор:

n_0=\left[\frac{1-\epsilon}{\epsilon}\right] + 1

односно го избираме целиот дел од изразот и му додаваме единица за да бидеме сигурни во изборот на индексот n_0. Штом е воспоставена зависноста меѓу \epsilon и n_0, тогаш сме покажеле дека бројот *еден* (за кој *претпоставуваме* дека е лимес на низата) е лимес на низата.

= Својства и операција на низи =

Низи можат да се: собираат, одземаат, множат и делат. Овие операции се извршуваат на следниов начин: нека (x_n) и (y_n) се произволни низи така што за секој n\in \mathbb{N}, y_n \neq 0

* **собирање:** низата (z_n) се вика збир на низите ако важи:
:: z_n = x_n + y_n

* **одземање:** низата (z_n) се вика разлика на низите ако важи:
:: z_n = x_n - y_n

* **множење:** низата (z_n) се вика производ на низите ако важи:
:: z_n = x_n * y_n

* **делење:** низата (z_n) се вика количник на низите ако важи:
:: z_n = \frac{x_n}{y_n}

Доколку постојат лимесиве:

: \lim_{n\to \infty} x_n = a

: \lim_{n\to \infty} y_n = b

и тие се конечни броеви и b \neq 0, тогаш важи:

:\lim_{n\to \infty} (x_n+y_n) = a+b

:\lim_{n\to \infty} (x_n \cdot y_n) = a \cdot b

:\lim_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b}

Ако секој член на низата *е поголем или еднаков* на својот претходник, тогаш за низата велиме дека монотоно расте. Ако важи релацијата *е поголем*, тогаш велиме дека низата строго монотоно расте. Слично дефинираме и (строго) монотоно опаѓачка низа. Математички ова се изразува на следниот начин:

* Ако низата е монотона растечка:
::x_n-x_{n-1} \ge 0      или      \frac{x_n}{x_{n-1}} \ge 1

* Ако низата е монотона опаѓачка:
::x_n-x_{n-1} \le 0      или      \frac{x_n}{x_{n-1}} \le 1

Категорија:Математика
Категорија:Математичка анализа
Категорија:Елементарна математика