Биекција

**Биективна функција** или **биекција** — функција *f*&nbsp;:&nbsp;*A* → *B* која е и инјективна и сурјективна. Тоа значи: за секој елемент *b* во кодоменот *B* постои **точно еден** елемент *a* од доменот *A* таков што *f*(*a*)=*b*. Биекцијата исто така се нарекува **1-1 кореспонденција**.

Поимот *биективност* и сродните поими ''сурјективност'' и ''инјективност'' беа воведени од страна на Никола Бурбаки (Nicholas Bourbaki) и група други, претежно француски математичари од 20 век, кој почнувајќи од 1935 година напиша серија книги за презентирање на модерната напредна математика. 

## Основни својства
Формално имаме:
:f:A \rightarrow B&nbsp; е биективна функција ако за секој &nbsp;b \in B &nbsp; постои точно еден &nbsp;a \in A&nbsp; таков што &nbsp;f(a)=b \,. 
Елементот a се вика **претслика** на елементот b. 
*Функција е биекција ако и само ако секој елемент во кодоменот има точно една претслика во доменот. (Види и: Сурјективна функција, Инјективна функција.)

**Забелешка:** Сурјекција значи **минимум** една претслика. Инјекција значи **максимум** една претслика. Биекција значи **точно** една претслика.

## Кардиналност
Кардиналноста на едно множество е мерка на *бројот на елементите* во множеството. На пример, ако *A*={X,Y,Z,W}, тогаш кардиналноста на *А* е 4 и пишуваме &#35;*A*=4. Кардиналноста на едно множество се одредува преку биекција помеѓу даденото множество и множество со *позната* кардиналност. 
*Две множества ја имаат истата кардиналност ако постои биекција помеѓу нив. (Види кардиналност.)
** Ако кардиналноста на *A* и *B* е конечен број, #*A*=#*B*=*n* тогаш при доказ дека функцијата *f*:*A* → *B* e биекција доволно е да се докаже дека е сурјекција или да се докаже дека е инјекција.
** Ако кардиналноста на *A* и *B* е еднаква, но не е конечен број тогаш ова не важи.    
**Пример:** Нека *А*=*B*=&#8469;. Идентичната функција *f*(*x*)=*x* e биекција. Функцијата *f*(*x*)=2*x* е инјекција која не е сурјекција. Функцијата *f*(*x*)=round(*x*/2) е сурјекција која не е инјекција каде што round(*z*) го заокружува *z* така што *f*(1)=round(1/2)=round(0,5)=1, *f*(2)=round(2/2)=1, *f*(3)=round(3/2)=round(1,5)=2, ....  

## Биекции и инверзни функции

*Биекцијата може да се *преврти* со обратно насочување на сите стрелки од пресликувањето. Новата функција се вика **инверзна функција** (на првобитната функција). Види инверзна функција.

Формално:
Нека *f*&nbsp;:&nbsp;*A* → *B* е биективна функција. Инверзната функција на биективна функција *f* е (биективна) функција *g*&nbsp;:&nbsp;*B* → *A* дефинирана со: ако *f*(*a*)=*b*, тогаш *g*(*b*)=*a*.  Значи, сите стрелки на пресликување се обратно насочени. 
*Инверзна функција на инверзна функција е првобитната функција.)
*Една функција има инверзна функција ако и само ако е биекција.

**Забелешка:** Нотацијата за инверзна функција на функцијата *f* е проблематична. Имено, со
::f^{-1}(x)&nbsp; се означува инверзната функција на **функцијата** *f*, а со
::x^{-1}=\frac{1}{x} се означува реципрочната вредност на **бројот** *x*.

*Една од најважните особини на биективните функции е тоа дека **инверзна** релација на биективна функција е функција, т.н. инверзна функција. Инверзните функции како што се квадратен корен на квадратна функција, логаритамска функција на експоненцијална функција, ... имаат многу голема улога во математиката.

## Примери
### Елементарни функции
Нека *f*(*x*):&#8477;→&#8477; е реална функција *y* од реален аргумент *x*. (Значи влез и излез се броеви.)
***Графичко толкување**: функцијата *f* е биекција ако секоја хоризонтала права го пресекува графиконот на *f* во **точно една** точка.
***Алгебарско толкување**: функцијата *f* е биекција ако за кој било *y*o постои *x*o таков што *y*o=*f*(*x*o) и ако *f*(*x*o)=*f*(*x*1) значи *x*o=*x*1.


**Пример:** Линеарната функција на која било коса права е биективна, односно *y*=*ax*+*b* каде што *a*&ne;0 е биекција. (Види линеарна функција.) Слика 1.
:Дискусија: Види го соодветниот пример кај сурјекција и инјекција. 
:Инверзна функција: *y*=(*x*-*b*)/*a*
 
**Пример:** Кубната полиномна функција *f*(*x*)=*x*3 е биекција. Слика 2 и Слика 5: тенката жолта крива. 
:Инверзна функција е *3-ти корен*, односно *f*(*x*)= &#8731;*x*. Слика 5: дебелата зелена крива.

**Пример:** Квадратната функција &nbsp;*f*(*x*) = *x*2 **не** е биекција (од &#8477;→&#8477;). Слика 3.  Не е сурјекција. Не е инјекција. Меѓутоа со ограничување на доменот и кодоменот до множеството на ненегативни броеви [0,+∞) се добива биекција (види примери подолу).

### Биекции и нивните инверзни функции
Нека *f*(*x*):*A*→*B* каде што *A* и *B* се подмножества на &#8477;.
*Да претпоставиме дека *f* не е биекција. За кое било *x* каде што изводот на *f* постои и не е нула, постои број &delta;&gt;0 таков да ограничувањето на *f* на &delta;-околината на *x* е биекцијата (на сликата на околината).
*Графиконите на меѓусебно инверзни функции се симетрични во однос на правата *y*=*x*. (Види и Инверзна функција.)

**Пример:** Квадратната функција дефинирана на ограничениот домен и кодомен [0,+∞)
:f(x):[0,+\infty) \,\, \rightarrow \,\, [0,+\infty)&nbsp; каде што &nbsp;f(x) = x^2
е биекција. Слика 6: тенката жолта крива.

**Пример:** Функцијата квадратен корен дефинирана на ограничуваниот домен и кодомен [0,+∞) 
:f(x):[0,+\infty) \,\, \rightarrow \,\, [0,+\infty)&nbsp; каде што &nbsp;f(x) = \sqrt{x}
е биекцијата дефинирана како инверзната функција на квадратната функција: *x**2*. Слика 6: дебелата зелена крива.


**Забелешка:** Последниот пример го покажува следното. За одредување дали некоја функција е биекција или не, потребно е да се знае:

* доменот на функцијата
* *машината* на функцијата
* кодоменот на функцијата
**Пример:** Нека *машината* биде *f*(*x*)=*x*&sup2;. 
*Оваа *машина* со домен=&#8477; и кодомен=&#8477; не е инјекција и не е сурјекција. Меѓутоа, 
*оваа иста *машина* со домен=[0,+∞) и кодомен=[0,+∞) е и инјекција и сурјекција, па затоа и биекција.


**Пример:** Експоненцијалната функција дефинирана на доменот &#8477; и на ограничуваниот кодомен (0,+∞) 

:f(x):\mathbf{R} \,\, \rightarrow \,\, (0,+\infty)&nbsp; каде што &nbsp;f(x) = a^x \, ,\,\, a>1
е биекција. Слика 4: тенката жолта крива (земено е *a*=10).

**Пример:** Логаритамската функција со основа *a* дефинирана на ограничуваниот домен (0,+∞) и на кодоменот &#8477;
:f(x):(0,+\infty) \,\, \rightarrow \,\, \mathbf{R}&nbsp; каде што &nbsp;f(x) = \log_a x \, ,\,\, a>1
е биекцијата дефинирана како инверзната функција на експоненцијалната функција: *a**x*. Слика 4: дебелата зелена крива (земено е *a*=10).





## Наводи

## Поврзано
* Функција
* Сурјективна функција
* Инјективна функција
* Инверзна функција

## Надворешни врски
*  интерактивен квиз
*  интерактивно

Категорија:Математика
Категорија:Функции
Категорија:Алгебра
Категорија:Зборови што ги нема во ТРМЈ