Инверзна функција

мини|десно|Функцијата ƒ и нејзината инверзна ƒ<sup>–1</sup>. Како ƒ ја пресликува ''a'' во 3, инверзната функција ƒ<sup>–1</sup> го пресликува 3 назад во ''a''.

Во математиката, ако функцијата ƒ пресликува множество A во множество B, тогаш нејзината **инверзна функција** ƒ−1 е таква да го пресликува множеството B во множеството A и тоа така што сложената функција f \circ f^1 го пресликува секој елемент од множеството A во самиот себе. Не секоја функција има своја инверзна, онаа која има се вика **инверзибилна**.

На пр., ако е дадена функцијата ƒ таква што ја дава должината во милји ако е дадена  должината во метри (ƒ(x) = 1,6 • x), тогаш нејзината инверзна функција g = ƒ−1 ја дава должината во метри ако е позната должината во милји (g(x) = x / 1,6).

## Инверзибилност
# Бидејќи функцијата мора да го пресликува оригиналот само во една слика, функција која не е инјективна не може да има инверзна.
# Од друга страна, ако опсегот на функцијата не е идентичен на нејзиниот кодомен, тогаш за некои елементи на множеството слики нема да биде дефинирано пресликувањето ƒ−1.

Затоа може да се рече дека функцијата е инверзибилна акко е биекција.



Слика:Surjection.svg|Сурјективно но неинјективно пресликување
Слика:Injection.svg|Инјективно но несурјективно пресликување
Слика:Bijection.svg|Биекција



На пр. функцијата f(x)=x^2: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} не е ни инјективна (бидејќи позитивните и негативните броеви имаат иста слика), ни сурјективна (бидејќи е ранг \mathbb{R}^+, а не цел кодомен \mathbb{R}). Истата функција, но дефинирана како \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+ има инверзна функција \sqrt{x}. Функцијата f(x)=x^3\,\! има инверзна, а f(x)=x^3-x\,\! нема бидејќи не е инјективна (f(0)=f(1)=0\,\!).

## Особини
### Симетрија
Нека id е функција на идентитетот id*X* = x. Тогаш важи

:\begin{align}
f \circ f^{-1} = id_X \\
f^{-1} \circ f = id_Y
\end{align}

односно (f^{-1})^{-1} = f\,\!.

### Инверзна функција на сложена функција
При инверзија на композиција од функции, основните функции го менуваат редоследот:

:(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}

### Автоинверзија
Функција на идентитет е инверзна сама на себе:

:id_X^{-1} = id_X\,\!

### Графичко претставување
Функција и нејзината инверзна функција се симетрични во однос на правата y=x\,\!.

### Извод на инверзна функција
Ако почетната функција е диференцијабилна, тогаш за сите точки во кои f(x) \neq 0\,\! важи следната формула за извод на инверзна функција:

:\frac{d}{dy}\left[ f^{-1}(y) \right] = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}. 

## Обележување
Важно е да се воочи дека −1 во означувањето на инверзна функција не е ознака за експонент. Всушност \tfrac{1}{f(x)} се запишува како ƒ(x)−1.

Во инфинитезималното  сметање ознаката ƒ(n) означува n-ти извод на функцијата:

:f^{(n)}(x) = \frac{d^{n}}{dx^{n}}f(x).

Во тригонометријата, од историски причини, \sin^2 x = (\sin x)^2\,\! а не \sin (\sin x)\,\!, но е \sin^{-1} x = \arcsin x\,\!, а не \tfrac{1}{\sin x}. Токму за да избегне оваа непрецизност, за инверзни тригонометриски функции се користи ознаката *arc*, а за реципрочни потполно други имиња (\tfrac{1}{\sin x} = \csc x).

## Литература

* 
* 

## Поврзано
* Теорија на множества
* Функција
* Список на инверзни функции
* Инјективна функција
* Сурјективна функција
* Биективна функција

Категорија:Функции и пресликувања
Категорија:Теорија на множества
Категорија:Инверзни функции
Категорија:Унарни операции