Лоренцов скалар

Во релативистичката теорија на физиката,  **Лоренцовиот скалар** е израз, формиран од предмети од теоријата, која евалуира на скалар, непроменлив под каква било Лоренцова трансформација. Лоренцовиот скалар е генериран од на пр., скаларен производ на вектори, или од тензорите на теоријата. Додека компонентите на векторите и тензорите се вообичаено променети со Лоренцовите трансформации, Лоренцовиот скалар останува непроменет.

Лоренцовиот скалар не секогаш се смета дека е непроменлив скалар во математичка смисла, но добиената скаларна вредност е непроменлива под било која основна трансформација применета на векторскиот простор, на кој се заснова разгледуваната теорија. Едноставен Лоренцов скалар во Минковскиев простор е *растојание во просторот* ("должина" од нивната разлика) на два фиксни настани во просторот. Додека "позицијата" -4-вектори на настаните се менуваат помеѓу различните инерцијални рамки, нивното растојание во просторот останува непроменето под соодветната Лоренцова трансформација. Други примери за Лоренцов скалар се "должината" на 4-брзини (види подолу), или Ричиево искривување во точка во просторот од Општата теорија за релативноста,која е контракција на тензорот на Римановата кривина .
## Едноставни скалари во специјалната релативност

### Должината на положбениот вектор

Во специјалната теорија за релативноста локацијата на честичка во 4-димензионалниот простор е дадена со 
: x^{\mu} = (ct, \mathbf{x} )

каде \mathbf{x} = \mathbf{v} t  е положбата во 3-димензионалниот простор на честичката, \mathbf{v} е брзината во 3-димензионалниот простор и  c  е брзината на светлината.

"Должината" на векторот е Лоренцов скалар и е даден со

: x_{\mu} x^{\mu} = \eta_{\mu \nu} x^{\mu} x^{\nu} =  (ct)^2 -  \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  (c\tau)^2

каде \tau е вистинско време мерено со часовник во остатокот од рамката на честичката и Минковскиевата метрика е дадена со

:\eta^{\mu\nu} =\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}.

Ова е метрика слична на времето.

Често е употребен алтернативниот потпис на Минковскиевата метрика  во кој знаците на оние се обратни.

:\eta^{\mu\nu} =\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.

Ова е метрика слична на просторот.

Во Минковскиевата метрика просторот како интервал  s  е дефиниран како

: x_{\mu} x^{\mu} = \eta_{\mu \nu} x^{\mu} x^{\nu} =   \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} - (ct)^2 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  s^2 .

Ние ја користиме Минковскиевата метрика слична на просторот и во останатиот дел од поглавјето.

### Должината на векторот на брзината

Брзината во просторот е дефинирана како

: v^{\mu} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  {dx^{\mu} \over d\tau} = \left (c {dt \over d\tau},  { dt \over d\tau}{d\mathbf{x} \over dt} \right ) =  \left ( \gamma c,  \gamma { \mathbf{v} }  \right ) = \gamma \left (  c, { \mathbf{v} }  \right )

каде

: \gamma \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   { 1 \over {\sqrt {1 - {=}\  {dv^{\mu} \over d\tau} .

4-забрзување е секогаш нормално на 4-брзина

: 0 = {1 \over 2} {d \over d\tau} \left ( v_{\mu}v^{\mu} \right ) = {d v_{\mu} \over d\tau}  v^{\mu} = a_{\mu} v^{\mu} .

Затоа, можеме да го сметаме забрзувањето во просторот  како едноставна ротација на 4-брзина. Внатрешниот производ на забрзувањето и брзината е Лоренцов скалар и е нула. Оваа ротација е едноставно израз на конзервација на енергија:

: {d E \over d\tau} = \mathbf{F} \cdot { \mathbf{v}} 

каде  E  е енергијата на честичката и  \mathbf{F}  е 3-сила на честичката.
## Енергија, останатата маса на честичката, 3-импулс и 3 брзина од 4-импулс

4-импулс на честичката е

: p^{\mu} = m v^{\mu} =   \left ( \gamma m c,  \gamma {  m \mathbf{v} }  \right ) = \left ( \gamma m c,   {   \mathbf{p} }  \right ) = \left ( {E \over c } ,   {   \mathbf{p} }  \right ) 

каде  m  е останатата маса на честичката,  \mathbf{p}  е импулс во 3-простор, и

: E = \gamma m c^2 \,

е енергијата на честичката.
### Мерење на енергијата на честичката

Да се разгледа втората честичка со 4-брзина  u  и 3-брзина   \mathbf{u}_2 . Во остатокот од рамката на втората честичка внатрешниот производ   u  with  p  е пропорционален на енергијата на првата честичка

: p_{\mu} u^{\mu} = -  { E_1}  

каде индексот 1 ја означува првата честичка.

Врската е точна во остатокот од рамката на втората честичка, таа е точна во секоја референтна рамка.  E_1 , енергијата на првата честичка во рамката на втората честичка е Лоренцов скалар. Затоа,

:  { E_1} =  \gamma_1 \gamma_2 m_1 c^2 - \gamma_2 \mathbf{p}_1 \cdot \mathbf{u}_2  

во било која инерцијална референтна рамка, каде   E_1  сè уште е енергијата на првата честичка во рамката на втората честичка.

### Мерење на останатата маса на честичката

Во остатокот на рамката на честичката, внатрешниот производ на импулсот е

: p_{\mu} p^{\mu} = - (mc)^2  \,.

Затоа, останатата маса (m) е Лоренцов скалар. Врската останува точна независно од рамката во која се пресметува внатрешниот производ.
Во многу случаи останатата маса е запишана како  m_{0}  за да се избегне забуна со релативистичката маса, која е  \gamma m_{0} 

### Мерење на 3-импулс на честичката

Забележи го следново

:  \left ( p_{\mu} u^{\mu} /c \right )  ^2  + p_{\mu} p^{\mu} = { E_1^2 \over c^2 } -(mc)^2 = \left ( \gamma_1^2 -1 \right ) (mc)^2 = \gamma_1^2 { {\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_1 } }m^2 = \mathbf{p}_1 \cdot \mathbf{p}_1.

Квадратот на магнитудата на 3-импулсот на честичката, мерена во рамките на втората честичка, е Лоренцов скалар.
### Мерење на 3-брзина на честичката

3-брзина, во рамката на втората честичка, може да се конструира од два Лоренцови скалари.

: v_1^2 = \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_1  = { { \mathbf{p}_1 \cdot \mathbf{p}_1 c^4 } \over  { E_1^2  } } .
## Покомплицирани скалари

Скаларите, исто така, може да се конструираат од тензорите и векторите, од контракцијата на тензорите(како F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}), или комбинации на контракции на тензори и вектори (како g_{\mu\nu}x^{\mu}x^{\nu}).

## Наводи

*
*

Категорија:Концепти во физиката
Категорија:Минковскиев време-простор
Категорија:Релативност
Категорија:Хендрик Лоренц