Спирала

[мини|десно|Пресек на раковина на [наутилус чии комори се распоредели приближно во логаритамска спирала.]]
**Спирала** — крива која произлегува од точка, оддалечувајќи се како што се врти околу точката. Може да се смета за вид од групата на вртложни облик, каде спаѓаат и концентрични објекти.

## Во две димензии

мини|Спирали создадени од шест математички односи помеѓу полупречникот и аголот.

Во две димензии или на рамнина, спиралата може лесно да се опише со поларни координати, каде полупречникот r е монотона непрекината функција на аголот \varphi:
* r=r(\varphi)\; .
Кружницата ќе се смета за изроден случај (бидејќи функцијата не е строго монотона, туку постојана).

Во *<math>x</math>-<math>y</math>-координати* кривата параметарски се претставува како:
* x=r(\varphi)\cos\varphi \ ,\qquad y=r(\varphi)\sin\varphi\; .

### Примери
Некои поважни видови на двозимензионални спирали се:

* Архимедова спирала: r=a \varphi 
* Хиперболична спирала: r = a/ \varphi
* Фермаова спирала: r= a\varphi^{1/2}
* Жезол: r = a\varphi^{-1/2}
* Логаритамска спирала: r=ae^{k\varphi} 
* Корниева спирала или *клотоида*
* Фибоначиева спирала и златна спирала
* Теодорова спирала: апсоксимација на Архимедовата спирала сочинета од последователни правоаголни триаголници
* Еволвента на кружница

Archimedean spiral.svg|Архимедова спирала
Hyperspiral.svg|Хиперболична спирала
Fermat's spiral.svg|Фермаова спирала
Lituus.svg|Жезол
Logarithmic Spiral Pylab.svg|Логаритамска спирала
Cornu Spiral.svg|Корниева спирала
Spiral of Theodorus.svg|Теодорова спирала
Fibonacci_spiral.svg|Фибоначиева (златна) спирала
Archimedean-involute-circle-spirals-comparison.svg|Еволвентата на една кружница (црно) не е истоветна со Архимедовата спирала (дрвено).

мини|исправено=0.6|Хиперболична спирала како централна проекција на завојница.

*Архимедова спирала*, на пример, се создава кога при виткање на тепих.

*Хиперболична спирала* се добива како слика на завојница со посебна централна проекција (на дијаграмот).

Називот *логаритамска спирала* се должи на равенката \varphi=\tfrac{1}{k}\cdot \ln \tfrac{r}{a}. Нејзините приближувања се среќаваат во природата.

Спирали што не одговараат на овој образец од првите пет примери:

*Корниевата спирала* има две асимптотни точки.
*Теодоровата спирала* е многуаголник.
*Фибоначиевата спирала* се состои од низа лаци.
*Еволвентата на кружница* изгледа како Архимедовата спирала, но не е таква.

### Геометриски својства
Ова се согледувања за спиралите, кои можат да се опишат со поларната равенка r=r(\varphi), особено за случаите r(\varphi)=a\varphi^n (Архимедова, хиперболична, Фермаова, жезол) и логаритамската спирала r=ae^{k\varphi}.

мини|Дефиниција за исечок (светлосино) и агол на поларен наклон <math>\alpha</math>

;Агол на поларен наклон
Аголот \alpha помеѓу спиралната тангента и соодветната поларна кружница (погл. дијаграмот) се нарекува *агол на поларниот наклон*, а \tan \alpha е *поларен наклон*.

Од векторската анализа во поларни координати ја добиваме формулата
:\tan\alpha=\frac{r'}{r}\ .

Оттука наклонот на спиралата \;r=a\varphi^n \; е
* \tan\alpha=\frac{n}{\varphi}\ .

Во случај на *Архимедова спирала* (n=1) поларниот након е  \tan\alpha=\tfrac{1}{\varphi}\ .

Кај *логаритамска спирала* \tan\alpha=k\  е постојан.

;Закривеност
Закривеноста \kappa на кривата со поларна равенка r=r(\varphi) е

:\kappa = \frac{r^2 + 2(r')^2 - r\; r*}{(r^2+(r')^2)^{3/2}}\ .</math>

За спирала со <math>r=a\varphi^n</math> добиваме
* <math>\kappa = \dotsb = \frac{1}{a\varphi^{n-1}}\frac{\varphi^2+n^2+n}{(\varphi^2+n^2)^{3/2}}\ .</math>

Во случај на <math>n=1</math> (*Архимедова спирала*)
<math>\kappa=\tfrac{\varphi^2+2}{a(\varphi^2+1)^{3/2}}</math>.<br> 
Само за <math>-1<n<0 </math> спиралата има *превој*.

Закривеноста на *логаритамска спирала* <math>\; r=a e^{k\varphi} \;</math> е <math>\; \kappa=\tfrac{1}{r\sqrt{1+k^2}} \; .</math>

;Плоштина на исечок
Плоштината на исечок на крива (погл. дијаграм) со поларна равенка <math>r=r(\varphi)</math> е
:<math>A=\frac{1}{2}\int_{\varphi_1}^{\varphi_2} r(\varphi)^2\; d\varphi\ .</math>

За спирала равенка <math>r=a\varphi^n\; </math> добиваме

* <math>A=\frac{1}{2}\int_{\varphi_1}^{\varphi_2} a^2\varphi^{2n}\; d\varphi
=\frac{a^2}{2(2n+1)}\big(\varphi_2^{2n+1}- \varphi_1^{2n+1}\big)\ , \quad \text{ако}\quad n\ne-\frac{1}{2},
</math>
:<math>A=\frac{1}{2}\int_{\varphi_1}^{\varphi_2} \frac{a^2}{\varphi}\; d\varphi
=\frac{a^2}{2}(\ln\varphi_2-\ln\varphi_1)\ ,\quad \text{ако} \quad n=-\frac{1}{2}\ .</math>

Формулата за *логаритамска спирала* <math>\; r=a e^{k\varphi} \;</math> е
<math>\ A=\tfrac{r(\varphi_2)^2-r(\varphi_1)^2)}{4k}\ .</math>

;Должина на лак
Должината на лак на крива со поларна равенка <math>r=r(\varphi)</math> е
:<math>L=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{\left(r^\prime(\varphi)\right)^2+r^2(\varphi)}\,\mathrm{d}\varphi \ .</math>

За спиралата <math>r=a\varphi^n\; </math> должината е

* <math>L=\int_{\varphi_1}^{\varphi_2} \sqrt{\frac{n^2r^2}{\varphi^2} +r^2}\; d\varphi
= a\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\varphi^{n-1}\sqrt{n^2+\varphi^2}d\varphi
\ .</math>
Не сите овие интеграли можат да се решат со соодветна таблина. Во случај на Фермаовата спирала, интегралот може да се изрази само со [[елиптичен интеграл|елиптични интеграли]].

Должината на лакот на *логаритамска спирала* <math>\; r=a e^{k\varphi} \;</math> е <math>\ L=\tfrac{\sqrt{k^2+1}}{k}\big(r(\varphi_2)-r(\varphi_1)\big) \ .</math>

;Инверзија на кружница
Инверзијата на единична кружница има прост опис во поларните координати: <math>\ (r,\varphi) \mapsto (\tfrac{1}{r},\varphi)\ </math>.

* Сликата на спирала <math>\ r= a\varphi^n\ </math> под инверзијата во единичната кружница е спиралата со поларна равенка <math>\ r= \tfrac{1}{a}\varphi^{-n}\ </math>. На пример: Инверзот на Архимедова спирала е хиперболична спирала.
:Логаритамска спирала <math>\; r=a e^{k\varphi} \;</math> се пресликува врз логаритамската спирала <math>\; r=\tfrac{1}{a} e^{-k\varphi} \; .</math>

=== Ограничени спирали ===
[[Податотека:Spiral-arctan-1-2.svg|thumb|upright=1.4|Ограничени спирали:<br>
<math>r=a \arctan(k\varphi)</math> (лево), <br>
<math>r=a (\arctan(k\varphi)+\pi/2) </math> (десно)]]
Функцијата <math>r(\varphi)</math> на спирала обично е строго монотона, непрекината
и [[ограничена функција|неограничена]]. Кај стандардните спирали <math>r(\varphi)</math> is either a степена функција или експоненцијална функција. Ако одиме со <math>r(\varphi)</math> *ограничена* функција, спиралата е исто така ограничена. Соодветна ограничена функција е [[инверзни тригонометриски функции|арктанската]] функција:

;Пример 1
Задаваме <math>\;r=a \arctan(k\varphi)\;</math> и изборот на <math>\;k=0,1, a=4, \;\varphi\ge 0\;</math> дава спирала, која почнува во почетокот (како Архимедова спирала) и се приближува кон кружницата со полупречник <math>\;r=a\pi/2\;</math> (дијаграм, лево).
;Пример 2
За <math>\;r=a (\arctan(k\varphi)+\pi/2)\;</math> и <math>\;k=0,2, a=2,\; -\infty<\varphi<\infty\;</math> добиваме спирала која се приближува кон почетокот (како хиперболична спирала) и се приближува кон кружницата со полупречник <math>\;r=a\pi\;</math> (дијаграм, десно).

== Во три димензии ==

=== Завојници ===
[[Податотека:Schraube und archimedische Spirale.png|мини|десно|Архимедова спирала (црно), завојница (зелено) и конусна спирала (црвено).]]
Две главни дефиниции за „спирала“ се:
# крива на рамнина која се завива околу неподвижна централна точка на постојано растечко или опаѓачко растојание од точката.
# тридимензионална крива која се завива околу оска при постојана или постојано променливо растојание додека се движи паралелно на оската; [[завојница]].

Првата дефиниција опишшува [[рамнинска крива]] која се шири во обете правоаголни насоки на рамнината; браздата на [[грамофонска плоча]] е блиско приближување на рамнинска спирала; при што треба да се напомене дека последователните завои се со *различни* пречници. Друг пример се средишните линии на краците на [[спирална галаксија]], кои исцртуваат [[логаритамска спирала|логаритамски спирали]].

Втората дефиниција опфаќа два вида на тридимензионални сродници на спиралата:
* Конусна или повиена пружина (на пр. пружинките за минусен контакт на [[батерија]] од типот AA и AAA) и [[вител]]от кој се создава при празнење на мијалник често се опишуваат како спирали, или како кунисни завојници.
* Втората дефиниција има јасни примери во намотана пружиан или нишка на [[ДНК]], обете се прилично завојни, па затоа таму „завој“ е посоодветен поим од „спирала“. Спирала како поим начелно не се користи кога последователните завои на кривата имаат ист полупречник.

На сликата, заднинската крива на дното е [[Архимедова спирала]], а зелената крива е завојница. Кривата прикажана со црвено е конусна спирала.

Две добро познати спирални [[просторна крива|просторни криви]] се *конусни спирали* и *сферни спирали*, дефинирани подолу.
Друг пример за просторна спирала е *тороидната спирала*. Спиралата намотана околу завојница, наречена и *двојно усукана завојница*, е претставена на предмети како намотани жички кај светилките.

=== Конусни спирали ===
[[Податотека:Spiral-cone-arch-s.svg|мини|исправено=0.8|Конусна спирала со Архимедова спирала како нејзина основа.]]
Ако на <math>x</math>-<math>y</math>-рамнината има спирала со дадена параметарска претстава,
:<math>x=r(\varphi)\cos\varphi \ ,\qquad y=r(\varphi)\sin\varphi</math> 
тогаш можеме да додадеме трета координата <math>z(\varphi)</math>, така што добиената просторна крива ќе лежи на [[конус]]от со равенката <math>\;m(x^2+y^2)=(z-z_0)^2\ ,\  m>0\;</math>:
* <math>x=r(\varphi)\cos\varphi \ ,\qquad y=r(\varphi)\sin\varphi\ , \qquad \color{red}{z=z_0 + mr(\varphi)} \ .</math>

Спиралите добиени по оваа постапка се нарекуваат *'конусни спирали**.

;Пример
Почнувајќи со ''Архимедова спирала'' <math>\;r(\varphi)=a\varphi\;</math> добиваме конусна спирала (погл. дијаграмот)
:<math>x=a\varphi\cos\varphi \ ,\qquad y=a\varphi\sin\varphi\ , \qquad z=z_0 + ma\varphi \ ,\quad \varphi \ge 0 \ .</math>

=== Сферни спирали ===
[[Податотека:Kugel-spirale-1-2.svg|мини|исправено=1.2|Клелиина крива with <math>c=8</math>]]

Секоја [[картографска проекција|цилиндрична картографска проекција]] може да послужи како основа за **сферна спирала*': цртаме права линија на картата и на наоѓаме најзината инверзна проекција на сферата, еден вид сферна крива.

Едно од најосновните семејства на сферни спирали се [[Клелиина крива|Клелиини криви]] кои положуваат прави линии на [[рамнодалечна цилиндрична проекција|рамноправоаголна проекција]]. Ова се криви за кои [[географска должина|должината]] и [[соширина]]та се во линеарен однос, аналогно на односот на Архимедовите спирали на рамнината; со [[азимутна рамнодалечна проекција]] Клелиината крива проектира на рамнинска Архимедова спирала.

Ако претставиме единична сфера со [[сферен координатен систем|сферни координати]]

: <math>
x = \sin \theta \, \cos \varphi, \quad
y = \sin \theta \, \sin \varphi, \quad
z = \cos \theta,
</math>

тогаш задавањето на линеарната зависност <math> \varphi=c\theta</math> за аголните координати дава [[параметарска крива]] изразено со параметарот ,

:<math>
\bigl( \sin \theta\, \cos c\theta,\, \sin \theta\, \sin c\theta,\, \cos \theta \,\bigr).
</math>

<gallery>
KUGSPI-5 Archimedische Kugelspirale.gif|Клелиина крива
KUGSPI-9_Loxodrome.gif|Локсодрома
</gallery>

Друго семејство на сферни спирали се [[локсодрома|локсодромите]] кои проектираат прави линии на [[Меркаторова проекција|Меркаторовата проекција]]. Ова се тракеториите кои ги опишува брод што патува со постојан курс. Секоја локсодрома (освен меридијаните и напоредниците) врти како бесконечна спирала околу полот, и секој следен завој е сè поблиску до него, за разлика од Клелиина крива, која одржува рамномерна оддалеченост во соширина. Со [[стереографска проекција]], локсодромата проектира на логаритамска спирала на рамнината.

==Во природата==
Спиралите во [[природа]]та се изучуваат веќе долго време. Истакнатиот англиски архитект [[Кристофер Рен]] забележал дека многу [[раковина|раковини]] образуваат [[логаритамска спирала]]; холандскиот биолог [[Јан Свамердам]] ги увидел заедничките математички особености на различни раковини од [[лозов полжав|лозовиот полжав]] до [[спирула]]та; британскиот природонаучник Хенри Н. Мозли ја опишал математиката на куќичките на [[полжави]]те. Во делото *За растот и обликот*, шкотскиот математичар Дарси Томпсон подробно се занимава со овие спирали. Објаснува како раковините се образуваат се вртење на затворена крива околу неподвижна оска: обликот на кривата останува непроменет, но големината расте со [[геометриска прогресија]]. Кај некои раковини како оние на [[наутилус]]от и [[амонити]]те, творната крива се врти на рамнина нормална на оската, школката создава рамнински дисковиднен облик. Кај други таа следи искривена патека, образувајќи [[завојница|завојноспирален]] образец. Томпсон ги проучувал и спиралите во [[рог]]овите, [[заб]]ите, [[канџа|канџите]] и [[растенија]]та.

Х. Фогел предложил модел за образецот на цветчињата кај соцветието на [[сончоглед]]. Тој има облик
:<math>\theta = n \times 137,5^{\circ},\ r = c \sqrt{n}</math>
каде *n* е индексниот број на цветчето, а *c'' е постојаниот размерен фактор, и претставува Фермаова спирала. Аголот 137,5° е златен агол кој е поврзан со златниот пресек и им ја дава густината на цветчињата.


The center Galaxy of Cat's Eye.jpg|Спирална галаксија
Helianthus whorl.jpg|Сончогледов цвет со цветчиња во спирали од по 34 и 55


## Поврзано
* Концентрични кружници
* ДНК
* Фибоначиева низа
* Список на спирали
* Трискелион

## Наводи

## Надворешни врски

*