Природен логаритам

**Природниот логаритам**, порано познат како хиперболичен логаритам е логаритам со основа *[[е (број)|е]]*, каде *е* е ирационален број, приближно еднаков на 2.718281828. понекогаш се нарекува и Неперов логаритам, иако вистинското значење на овој термин е малку поразлично.
Со едноставни зборови, природниот логаритам од бројот ***x*** е степенот до кој мора да се дигне ***e*** за да стане еднакво на ***x*** - на пример, природен логаритам од *e* е еднаков на 1, бидејќи *e*1 = *e*, додека природен логаритам од 1 е еднаков на 0, бидејќи *e*0 = 1. Природниот логаритам може да се дефинира како сите позтивни реални броеви *x* за површината под кривата *y* = 1/*t*  од 1 до *x*, и може да биде дефиниран како комплексни броеви различни од нула како што е објаснето подолу. 
мини|400п|Графикот на функцијата на природниот логаритам. Функцијата бавно расте до пизитивна бесконечност, како што ''x'' се зголемува и се движи до негативна бесконечност, како што ''x'' се приближува до 0.

Функцијата на природниот логаритам може да се дефинира и како инверзна функција на експоненцијалната функција, што води до следниве идентитети:
:e^{\ln(x)} = x \qquad \mbox{if }x > 0\,\!

:\ln(e^x) = x.\,\! 

Со други зборови, логаритамската функција е биекција од множеството на позитивни реални броеви од множеството на сите реални броеви. Попрецизно, тоа е изоморфизам од групата на позитивни реални броеви за множење со групата на реални броеви за собирање. Претставен како функција, природниот логаритам е:
:\ln : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}.

Логаритмот има вредност за секоја вредност на основата, која е позитивен број, различен од 1 и не само *e*. Тој е корисен за решавање на равенки, чијашто непозната се јавува како експоненцијал.

## Историја

Првото споменување на природниот логаритам било од страна на Николас Меркатор во неговото дело *Логаритмотехниа* (*Logarithmotechnia*) издадено во 1668, иако учителот по математика Џон Спајдел составил табела на природниот логаритам уште во 1619. Тој бил порано познат како хиперболичен логаритам.

## Спогодба за нотација

Матемматичарите, статистичарите и некои инженери, главно користат или „log(*x*)“ или „ln(*x*)“ за да го обележат loge(*x*), т.е. природниот логаритам од *x* и пишуваат „log10(*x*)“ ако логаритамот има основа 10 или *x* е определен.

Некои инженери, биолози и други запишуваат „ln(*x*)“ (или во одредени случаи „loge(*x*)“) кога мислат на природниот логаритам со *x* и „log(*x*)“ за log10(*x*).

Во најупотребуваните програмски јазици, вклучувајќи ги и С, C++, MATLAB, Pascal, Fortran и BASIC, „log“ или „LOG“ се однеува на природниот логаритам.

На рачните дигитрони, природниот логаритам е означен со **ln**, каде **log** е логаритам со основа 10.

Во теориската информатика, информациската теорија и криптографијата, „log(*x*)“ главно значи „log<sub>2</sub>(*x*)“ (иако наместо ова често се запишува lg(*x*)).

## Зошто се нарекува природен?

Во почетокот, како што нашиот систем е десетичен, така основата 10 изгледала „поприродна“ отколку основата *e*. Но, математички бројот 10 не е особено значаен. Неговата примена како основа за мнопгу општествено бројчени-системи е како фактот за десетте прсти на човековите раце. Други култури ги основале своите системи на броење на изборот за 5, 12, 20 и 60.

Log*e* е „природен“ логаритам, бидејќи автоматски и често се појавува во математиката. На пр. го разгледуваме проблемот на изводите од логаритамска функција:
:\frac{d}{dx}\log_b(x) = \frac{\log_b(e)}{x} =\frac{1}{\ln(b)x} 
Ако основата *b* е еднаква на *e*, тогаш изводот е едноставно 1/*x*, и за *x*&nbsp;=&nbsp;1 овој извод е 1. Друго значење, во кое основата *e*  на логаритмот е најприродна е дека може да се одредеи многу полесно со едноставен интеграл или со Тејолоровиот ред и ова не важи за другите логаритми.

Други значења н оваа природност ја отфрлаат потребата од анализа. На пример, има борјни едноставни редови, кои го вклучуваат природниот логаритам. Всушност, Пјетро Менголи и Николас Меркатор го нарекле *logarithmus naturalis*, неколку децении пред Њутн и Лајбниц.

## Дефиниции
мини|Ln(x) дефиниран со површината под кривата f(''x'') = 1/''x''.
Обично, ln(*a*) може да се дефинира со површината под графикот на 1/*x* од 1 до *a*, којшто е претставен со интегралот,
:\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.

Ова дефинира логаритам, бидејќи го задоволува основно својство на,логаритамот:
:\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \,\!

Ова може да биде прикажано со замената t=\tfrac xa, по што следува:

:
\ln (ab) 
= \int_1^{ab} \frac{1}{x} \; dx 
= \int_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx 
=\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{t} \; dt 
= \ln (a) + \ln (b)


Бројот *[[е (број)|e]]* може да се дефинира како единствен реален број *a*, за којштоln(*a*)&nbsp;=&nbsp;1.

Алтернативно, ако експоненционалната функција е дефинирана прво со примена на бесконечни редови, природниот логаритам може да биде дефиниран како неговата инверзна функција, т.е. ln(*x*) е функција од типот e^{\ln(x)} = x\!. Додека интервалот на експоненционалната функција на реални аргументи се сите позитивни броеви аи додека експоненционалната функција е растечка, ова е дефинирано за сите вредности на *x*.

## Својства

* \ln(x) 
* \frac{h}{1+h} \leq \ln(1+h) \leq h \quad{\rm for}\quad h > -1\;
* \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1.\,

## Изводи, Тејлоров ред

Изводот од природниот логаритам е
:\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.\,

200px|мини|десно|Тејлоровите полиноми за <math>\log_e</math>(''1+x'') овозможуваат точни accurate приближни вредности во интервалот ''-1 < x ≤ 1''. Се забележува дека за ''x > 1'', Тејлоровите полиноми од повисок ред се '''''полоши''''' приближни вредности.

Ова води до Тејлоровиот ред за \ln(1+x) околу 0; познат и како Меркаторов ред
:\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad{\rm for}\quad \left|x\right| \leq 1\quad

:{\rm unless}\quad x = -1

Десно е дадена слика на \ln(1+x) и некои од меговите Тејлорови полиноми околу0. Овие приближни вредности конвергираат до функцијата само во интервалот *-1 < x ≤ 1*; надвор од овој интервал, Тејлоровите полиноми од повисок степен се ***полоши*** приближувања за функцијата.

Со замената *x*-1 за *x*, го добиваме алтернативниот облик ln(x). Имено
:\ln(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} (x-1) ^ n

:\ln(x)= (x - 1) - \frac{(x-1) ^ 2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} \cdots

:{\rm for}\quad \left|x-1\right| \leq 1\quad {\rm unless}\quad x = 0.

Со примената на Ојлеровата трансформација на Меркаторовиот ред, се добива следново, што важи за сите вредности на x со апсолутна вредност поголема од 1:

:\ln{x \over {x-1}} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n x^n}} = {1 \over x}+ {1 \over {2x^2}} + {1 \over {3x^3}} + \cdots

Овој ред е сличен со Бејли-Борвејн-Плуфовата формула.

Исто така се забележува дека  x \over {x-1}  е инверзна функција самата на себе, па за да се добие природниот логаритам од некој број *y*, едноставно се заменува во  y \over {y-1}  за *x*.

## Природниот логаритам во интегрирањето

Природниот логаритам овозможува еднсотавна интегрирање на функцијата во формата *g*(*x*) = *f*&nbsp;'(*x*)/*f*(*x*): неопределениот интерал од *g*(*x*) е даден со ln(|*f*(*x*)|). Ова е вака поради изводот од сложена функција и податокот дека:

:\ {d \over dx}\left( \ln \left| x \right| \right) = {1 \over x}.

Со други збороив,

:\int { 1 \over x} dx = \ln|x| + C

и

:\int { \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx} = \ln |f(x)| + C.

Ова е пример во случајот кога *g*(*x*) = tg(*x*):

:\int \tan (x) \,dx = \int {\sin (x) \over \cos (x)} \,dx
:\int \tan (x) \,dx = \int {-{d \over dx} \cos (x) \over {\cos (x)}} \,dx.
Нека *f*(*x*) = cos(*x*) and *f*'(*x*)= - sin(*x*):
:\int \tan (x) \,dx = -\ln{\left| \cos (x) \right|} + C
:\int \tan (x) \,dx = \ln{\left| \sec (x) \right|} + C

каде *C* е константа од интегрирање.

Природниот логаритам може да биде интегриран со примена на интегрирањето по делови:

:\int \ln (x) \,dx = x \ln (x)  - x + C.

## Бројчена вредност

За да се пресмета бројчената вредност на природниот логаритам од број, Тејлоровиот ред може да се запише повторно како:

:\ln(1+x)= x \,\left( \frac{1}{1} - x\,\left(\frac{1}{2} - x \,\left(\frac{1}{3} - x \,\left(\frac{1}{4} - x \,\left(\frac{1}{5}- \ldots \right)\right)\right)\right)\right) \quad{\rm for}\quad \left|x\right|

За да се добие подобар степен на конвергентност, може да се примени следниот идентитет.

:

:обезбедувајќи дека *y* = (*x*−1)/(*x*+1) и *x* &gt; 0.

За ln(*x*) каде *x* &gt; 1, поблиската вредност на *x* е до 1, најбрзиот степен на конвергентност. Идентитетите поврзани со логаритам може да влијаат во искористувањето на ова:

:

Ваквите техники биле употребувани пред појавата на калкулаторите, со примена на бројчени таблици и вршејќи множења како овие горе.

### Најголема точност
За да се пресмета вредноста на природниот логаритам со точност од голем број на децимали, примената на Тејлоровиот ред не е ефикасна, бидејќи конвергентноста е бавна. Алтернатива е примената на Њутновиот метод за пресметување на експоненцијалната функција, чијшто ред ковергира многу побрзо.

Алтернатива за екстремно точна пресметка е формулата 

:\ln x \approx \frac{\pi}{2 M(1,4/s)} - m \ln 2

каде *M* е аритметичко-геометриска средина и

:s = x \,2^m > 2^{p/2},

со *m* избрано така шшто *p* точноста е постигната. (За најмногу резултати, вредноста на 256 m е доволна.) Всушност, ако се применува овој метод, Њутновата инверзија на природниот логаритам може да се користи за делотворно да се експоненцијалната функција. (Константите ln 2 и π може да се пресметаат до точност по желба со примена на некој од познатите конвергирачки редови.)

### Пресметковна сложеност

Комплексноста од пресметувањето на природниот логаритам (со примена аритметичко-геометриската средина) iе O(*M*(*n*) ln *n*). Овде *n* е број на цифри со точност на која природниот логаритам се проценува и *M*(*n*) е комплексноста од множењето на два *n*-0цифрени броеви.

## Комплексни логаритми

Експоненционалната функција може да се пшротега до функција даена со комплексен број како *e**x* за секој комплексен број *x*; едноставна примена на бесконечните редови со комплексниот број *x*. Експоненцијалната функција може да биде сведена во облик на комплексен логаритам кој прикажува најмнопгу од својствата на редниот логаритам. Во ова има две тешкотии: ниту едно *x* нема *e**x* = 0; и дека *e*2*πi* = 1 = *e*0. Додека својствата на множење сѐ уште работат за комплексна експоненцијална функција, *e**z* = *e**z*+2*nπi*, за сите комплексни *z* и цели броеви *n*.

Така, логаритамот не може да се дефинира за цела комплексна рамнина и дури тогаш кога е со повеќе вредности, секој логаритам може да биде променет во „еквивалентен“ логаритам со додавање на цел број омножен со 2*πi*. Комплексниот логаритам може да биде со една вредност на комплексната рамнина. На пример, ln *i* = 1/2 *πi* или 5/2 *πi* или −3/2 *πi*, итн.; и иако *i*4 = 1, 4 log *i* може да се дефинира како 2*πi* или 10*πi* или −6 *πi* итн.

## Поврзано
* Џон Непер - изумител на логаритмите
* Интегрален логаритам
* Николас Меркатор - прв го употребил терминот природен логаритам
* Полилогаритам
* Фон Манголтова функција
* Бројот ''e''

## Наводи


## Надворешни врски
* Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BetterExplained

Категорија:Логаритми
Категорија:Елементарни функции
Категорија:Унарни операции