Паралелограм

Во геометријата, **паралелограм** е четириаголник со два пара паралелни страни.

***Основна регулатива:** Еден паралелограм е потполно определен со должините на две соседни страни и големината на аголот помеѓу нив. 


Овој факт се користи при стандардно означување на четирите типови паралелограми.
* **[[Ромбоид]]**: паралелограм каде што соседните страни не се со еднаква должина и нема внатрешен прав агол.
* **[[Ромб]]**: паралелограм каде што четирите страни се со еднаква должина. 
* **[[Правоаголник]]**: паралелограм каде што четирите внатрешни агли се прави, т.е. по 90°.
* **[[Квадрат]]**: паралелограм каде што четирите страни се со еднаква должина и четирите агли се прави, т.е. по 90°. 
 

## Формули и особини за паралелограм

*Едниот пар на паралелни страни се „земаат“ за **основи** и (обично) се означуваат со *a*. Вообичаено е да се земат хоризонталните (или најхоризонталните или најдолгите) страни за основи. Честопати се користи зборот **должина**.
*Другиот пар на паралелни страни се викаат **краци** и (обично) се означуваат со *b*.  
*Растојанието помеѓу основите се вика **висина** и (обично) се означува со *h* (или *h*a за да се разликува од другата висина *h*b меѓу краците). Растојанието помеѓу краците исто така е висина на паралелограмот, но во однос на краците, па затоа специјално се означува со *h*b.  


Нека е даден паралелограм со основа *a*, крак *b*, висина *h* (меѓу основите) и агол &alpha; помеѓу а и b.

**Периметар** 




**Плоштина** е: **должина по висина**  односно **основа по висина**




*Плоштина на еден паралелограм се одредува со основа и висина. Меѓутоа, само со тие информации, паралелограм не е еднозначно определен, односно постојат безброј многу различни паралелограми со иста основа и висина. Истите ја имаат истата плоштина, а различни периметри.
*Бидејќи секоја страна на паралелограм е и трансверзала на другите паралелните страни, според *Претпоставката за паралелност* секој пар соседни внатрешни агли се суплементни, т.е. нивниот збир е 180&deg;.
*Бидејќи секој паралелограм е четириаголник, збирот на внатрешните агли е 360&deg;.
*Од суплементност на соседни агли следува дека спротивните агли се исти (складни).
*Секоја дијагонала е и трансверзала, па го дели паралелограмот на два складни триаголници. Следува дека двата пара паралелни страни се складни (со иста должина).
*Пресечната точка на дијагоналите е средината на двете дијагонали. Со други зборови,





**Висина** 
:h_a= b \cdot \sin(\alpha) &nbsp; и &nbsp; h_b= a \cdot \sin(\alpha)

**Дијагонали** (каде што дијагоналата d1 минува низ аголот &alpha;)
:d_1 = \sqrt{ a^2+b^2+2 \cdot a \cdot b \cdot \cos (\alpha) } &nbsp; и &nbsp; d_2 = \sqrt{ a^2+b^2-2 \cdot a \cdot b \cdot \cos (\alpha) } 

**Пример:** Нека е даден паралелограм со основа *a*=5&nbsp;km, и крак *b*=3&nbsp;km  и агол &alpha;=30&deg; помеѓу a и b. Тогаш, периметарот e L=2*a*+2*b*=16&nbsp;km, висина е h=b&middot;sin(&alpha;)=1,5&nbsp;km и плоштината е P=ah=7,5&nbsp;км2.

**Пример:** Нека е даден паралелограм со основа *a*=5&nbsp;km, и крак *b*=2.5&nbsp;km  и агол &alpha;=37&deg; помеѓу a и b. Тогаш, периметарот e L=2*a*+2*b*=15&nbsp;km, висина е h=b&middot;sin(&alpha;)≈1,5&nbsp;km и плоштината е P=ah≈7,5&nbsp;км2.

## Одлики на паралелограм
испакнат четириаголник е паралелограм ако и само ако кој било од следните искази е вистинит
*Двата пара на спротивни страни се еднакво долги.
*Двата пара на спротивни агли се со еднаква големина.
*Дијагоналите се сечат во нивните средни точки.
*Еден пар на спротивни страни се паралелни и се еднакво долги.
*Соседните агли се суплементни.
*Секоја дијагонала го дели четириаголникот на два складни триаголници.
*Збирот на квадратите на страните е еднаков на збирот на квадратите на дијагоналите (закон на паралелограм).
*Збирот на растојанијата од која било внатрешна точка до страните не зависи од местоположбата на точката. (Ова е проширување на Теоремата на Вивијани.)

## Впишана и опишана кружница на паралелограм
*Паралелограм нема впишана кружница освен ако е ромб (или квадрат).
*Паралелограм нема опишана кружница освен ако е правоаголник (или квадрат).

## Симетрија
### Осна симетрија
Види ги поединечните типови на паралелограми.

### Вртежна симетрија
При ротација на паралелограм 360&deg;/2=180&deg; се добива истиот паралелограм.
*Ромбоидот, ромбот и правоаголникот имаат вртежна симетрија од 2-ри ред (180&deg;).
*Квадратот има вртежна симетрија од 4-ти ред (90&deg;).

 
## Обопштување на паралелограм
*Обопштување во 3Д: Паралелопипед е полиедар со 6 страни, секоја од нив е паралелограм.


## Паралелограми и вектори, матрици, детерминанти
*Еден паралелограм е потполно определен со два вектора со истата почетна точка. (Четвртата точка е крајната точка на збирот на векторите.)

Во линеарната алгебра, апсолутната вредност на детерминантата на 2х2 матрица A е плоштината на паралелограмот формиран со соодветните полупречник-вектори.
:: = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}} & } \\ } & } \end{array}} \right] 
:Соодветните полупречник-вектори се
::,{a_{12}} > , \,\,\,,{a_{22}} > 
:Соодветните темиња на паралелограмот се
::A=(0,0),\,\, B=(a_{11},a_{12}),\,\, C=(a_{11}+a_{21},a_{12}+a_{22}),\,\, D=(a_{21},a_{22})
:Плоштината Р на паралелограмот со темиња A, B, C, D e (апсолутната вредност на)
:: det(A) = \left| {\begin{array} {*{20}{c}} } & } \\ } & } \end{array}} \right| = {a_{11}} \cdot {a_{22}} - {a_{21}} \cdot {a_{12}}


Доколку имаме паралелограм ABCD каде што А&ne;(0,0), формираме складен паралелограм EFGH со транслација -А така што Е=А-А=(0,0), F=B-A, G=C-A и H=D-A. Потоа со детерминанта се пресметува плоштината на EFGH која е иста со плоштината на паралелограмот ABCD (плоштините на складни 2-димензионални геометриски фигури се исти).

Ова својство се обопштува до 3-димензии, односно за волумен на паралелопипед преку мешан производ како и во повисоки димензии.


## Поврзани теми
*Четириаголник 
*Трапез
*Квадрат, Правоаголник, Ромб, Ромбоид 
*Многуаголник
*Детерминанта

## Наводи

## Надворешни врски
* интерактивен
* интерактивен со видео објаснување за рачна и Геогебра конструкција
* интерактивен со видео објаснување за рачна и Геогебра конструкција
* интерактивен со видео објаснување за рачна и Геогебра конструкција
*
*
* интерактивен 
* интерактивен 
* интерактивен 
*{{Наведена мрежна страница | url=http://www.elsy.at/kurse/index.php?kurs=Parallelogram+and+Rhombus&status=public Parallelogram and Rhombus - Animated course (Construction, Circumference, Area)] 
* 
*  
* интерактивен
* интерактивен

Категорија:Четириаголници
Категорија:Многуаголници
Категорија:Геометриски фигури
Категорија:Елементарна геометрија
Категорија:Геометрија
Категорија:Линеарна алгебра
Категорија:Математичко образование