Идентитет (математика)

[мини| Визуелен доказ за [Питагорин идентитет|Питагоровиот идентитет: за кој било агол \theta, точката (x, y) = (\cos\theta, \sin\theta) лежи на единичната кружница, што ја задоволува равенката x^2 + y^2 =1, значи, \cos^2\theta + \sin^2\theta =1.]]
**Идентитет** — еднаквост што го поврзува математичкиот израз *А* со математичкиот израз *Б*, така што *А* и *Б* (кои може да содржат некои променливи) произведуваат иста вредност за сите вредности на променливите во даден домен на дискурсот. Со други зборови, *A* = *B* е идентитет ако *A* и *B* ги дефинираат истите функции, а идентитетот е еднаквост помеѓу функциите што се различно дефинирани. На пример, (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 и \cos^2\theta + \sin^2\theta =1 се идентитети. Идентитетите понекогаш се означуваат со симболот за троен знак за еднаквост (  ), наместо знакот за еднаквост (  ). Формално, идентитетот е универзално квантифицирана еднаквост.

## Заеднички идентитети

### Алгебарски идентитети
Одредени идентитети, како на пр a+0=a и a+(-a)=0, ја образуваат основата на алгебрата, додека другите идентитети, како на пример (a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2 и a^2 - b^2 = (a+b)(a-b), може да бидат корисни за поедноставување на алгебарските изрази и нивно проширување.

### Тригонометриски идентитети
Геометриски, тригонометриски идентитети се идентитети кои вклучуваат одредени функции на еден или повеќе агли. Тие се разликуваат од идентитетите на триаголникот, кои се идентитети кои ги вклучуваат и аглите и должините на страните на триаголникот. Само првите се опфатени во оваа статија.

Овие идентитети се корисни секогаш кога изразите што вклучуваат тригонометриски функции треба да се поедностават. Друга важна апликација е интегралот на нетригонометриски функции: вообичаена техника која вклучува прво користење на правилото за замена со тригонометриска функција, а потоа поедноставување на добиениот интеграл со тригонометриски идентитет.

Еден од најистакнатите примери на тригонометриски идентитети ја вклучува равенката \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, што е точно за сите реални вредности на \theta. Од друга страна, равенството

: \cos\theta = 1

важи само за одредени вредности \theta, и не сите. На пример, оваа равенка е точно кога \theta = 0, но неточно кога е \theta = 2.

Друга група на тригонометриски идентитети се однесува на таканаречените формули за собирање/одземање (на пример идентитетот со двоен агол \sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta, формулата за додавање за \tan(x + y) ), што може да се користи за да се разделат изразите на поголемите агли на оние со помали конституенти.

### Степенувани идентитети

Следниве идентитети важат за сите цели броеви, под услов основата да не е нула:

: \begin{align}
  b^{m + n} &= b^m \cdot b^n \\
  (b^m)^n &= b^{m\cdot n} \\
 (b \cdot c)^n &= b^n \cdot c^n
\end{align}

За разлика од собирањето и множењето, степенувањето не е комутативно. На пример,  и , но  додека .

Исто така, за разлика од собирањето и множењето, степенувањето исто така не е асоцијативно. На пример,  и , но 2 3 до 4 е 8 4 (или 4,096 ) додека 2 до 3 е 4 2 81 (или 2,417,851,639,229,258,349,412,352). Кога не се напишани загради, конвенцијата е од врвот до дното, а не од дното кон врвот:

: b^{p^q} := b^{(p^q)} , доц (b^p)^q = b^{p \cdot q}.

### Логаритамски идентитети
Неколку важни формули, кои понекогаш се нарекуваат *логаритамски идентитети* или *логаритамски закони*, ги поврзуваат логаритмите еден со друг:

#### Производ, количник, степен и корен
Логаритмот на производот е збир од логаритмите на броевите што се множат; логаритамот на односот на два броја е разликата на логаритмите. Логаритмот  на таа моќност на бројот е  пати поголем од логаритамот на самиот број; логаритамот  на тој корен е логаритам на бројот поделен со   Следната табела ги наведува овие идентитети со примери. Секој од идентитетите може да се изведе по замена на дефинициите за логаритми x=b^{\log_b x}, и/или y=b^{\log_b y}, лево.

#### Промена на основата
Логаритмот log *b* ( *x* ) може да се пресмета од логаритмите *на x* и *b* во однос на произволна основа *k* користејќи ја следната формула:

:  \log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}.

Типичните научни калкулатори пресметуваат логаритми врз основа на 10 и ''e''. Логаритмите во однос на која било основа *b* може да се одредат со користење на кој било од овие два логаритми според претходната формула:

:  \log_b (x) = \frac{\log_{10} (x)}{\log_{10} (b)} = \frac{\log_{e} (x)}{\log_{e} (b)}. 

Даден е број *x* и неговиот логаритам log*b*(*x*) на непозната основа *b*, основата е дадена со:

:  b = x^\frac{1}{\log_b(x)}.

### Идентитети на хиперболични функции
Хиперболичните функции задоволуваат многу идентитети, и сите од нив се слични по облик на тригонометриски идентитети. Всушност, **правилото на Озборн**  вели дека може да се претвора кој било тригонометриски идентитет во хиперболичен идентитет со целосно проширување во однос на целобројните сили на синус и косинус, менување на синус во *синх* и косинус во *кош* и менување на знакот на секој член. кој содржи производ од парен број хиперболични синуси.

Гудермановата функција дава непосредна врска помеѓу тригонометриските и хиперболичните функции што не вклучува комплексни броеви.

## Логика и универзална алгебра
Формално, идентитетот е вистинска универзално квантифицирана формула на формата \forall x_1,\ldots,x_n: s=t, каде што  и  се термини без други слободни променливи освен x_1,\ldots,x_n. Префикс на квантификатор \forall x_1,\ldots,x_n често останува имплицитно, кога формулата се наведува дека е идентитет. На пример, аксиомите на моноидите често се дадени како формули

: \forall x,y,z: x*(y*z)=(x*y)*z,\quad \forall x: x*1=x, \quad \forall x: 1*x=x,
:

или накратко,

: x*(y*z)=(x*y)*z,\qquad x*1=x, \qquad 1*x=x.

Значи, овие формули се идентитети во секој моноид. Како и кај секоја еднаквост, формулите без квантификатори често се нарекуваат равенки. Со други зборови, идентитетот е равенка која е точна за сите вредности на променливите.

## Белешки

### Наводи

## Надворешни врски
*The Encyclopedia of Equation   Online encyclopedia of mathematical identities (archived)
*A Collection of Algebraic Identities 

Категорија:Елементарна алгебра
Категорија:Математички идентитети