Квадратен корен од 3

**Квадратен корен од 3** — позитивен реален број кој, кога ќе се помножи со себе, го дава бројот 3. Поточно, тој се нарекува **главен квадратен корен од 3**, за да се разликува од негативниот број со исто својство. Се означува со ****.

Квадратниот корен од 3 е ирационален број. Познат е и како **Теодорова константа**, именувана по Теодор Киренски, кој ја докажал неговата ирационалност.

Првите шеесет цифри од неговото децимално проширување се:
:  

Од декември 2013 година, нејзината бројна вредност во децимални броеви е пресметана најмалку на десет милијарди цифри.

Дропката  ( ...) за квадратен корен од три може да се користи како приближна вредност. И покрај тоа што има именител од само 56, тој се разликува од точната вредност за помалку од (приближно ). Заокружената вредност 1,732 е точна до 0,01% од стварната вредност.

Архимед пријавил  со точност од  (шест децимални места) и  (четири децимални места) соодветно.

Може да се изрази како верижна дропка  (низа A040001 во Енциклопедија на низи цели броеви на мрежата), проширена на десната страна. Значи, точно е да се каже:

:  \sqrt{3} = 2 \cdot \frac{a_{22}}{a_{12}} -1 

тогаш кога n\to\infty:

:  \sqrt{3} = 2 \cdot \frac{a_{22}}{a_{12}} -1 

Може да се изрази преку обопштена верижна дропка како

:  [2; -4, -4, -4, ...] = 2 - \cfrac{1}{4 - \cfrac{1}{4 - \cfrac{1}{4 - \ddots}}}

што е  оценето на секој друг член.

Следниве вгнездени низи квадратни изрази конвергираат кон :

:  \!\ \sqrt{3} =2 - 2 \left( \frac{1}{2}- \left( \frac{1}{2}-\left( \frac{1}{2}- \left( \frac{1}{2}- \dots \right)^2 \right)^2 \right)^2 \right)^2= \frac{7}{4} - 4 \left( \frac{1}{16}+ \left( \frac{1}{16}+\left( \frac{1}{16}+ \left( \frac{1}{16}+ \dots \right)^2 \right)^2 \right)^2 \right)^2. 

## Доказ на ирационалноста
Овој доказ за ирационалност за  го користи методот на Пјер де Ферма за бесконечно потекло:

Да претпоставиме дека  е рационален и да се изрази во најнизок можен начин (т.е. како целосно намалена дропка) како  за природните броеви  и .

Затоа, множењето со 1 ќе даде израз еднаков на:

: \frac{m(\sqrt{3}-q)}{n(\sqrt{3}-q)}

каде што  е најголемиот цел број помал од . Треба да се има на ум дека и броителот и именителот се множат со број помал од 1.

Користејќи го ова и множејќи ги и броителот и именителот, добиваме:

: \frac{m\sqrt{3}-mq}{n\sqrt{3}-nq}

Следи дека  може да се замени со :

: \frac{n\sqrt{3}^2-mq}{n\sqrt{3}-nq}

Потоа  може да се замени со  во именителот:

: \frac{n\sqrt{3}^2-mq}{n\frac{m}{n}-nq}

Квадратот од  може да се замени со 3. Како  се множи со , нивниот производ еднаков е на :

: \frac{3n-mq}{m-nq}

Тогаш  може да се изрази со пониски изрази од  (бидејќи првиот чекор ги смали големините на броителот и именителот, а следните чекори не ги променија) како , што е спротивно на хипотезата дека  е најнизок.

Алтернативен доказ за ова е претпоставката дека  со  потполно сведена дропка:

Со множење со  на двете страни, а потоа со квадрирање се добива:

: 3n^2=m^2.

Бидејќи левата страна е делива со 3, така е и десната страна, што изискува  да се дели со 3. Тогаш  може да се изрази како :

: 3n^2=(3k)^2=9k^2

Според тоа, со делење на двете страни со 3 се добива:

: n^2=3k^2

Бидејќи десната страна е делива со 3, таква е и левата страна, така што и  е делив со 3. Значи, бидејќи и  и  се делат со 3, тие имаат заеднички делител, и  не е потполно сведена дропка, што е спротивно на изворната премиса.

## Геометрија и тригонометрија

мини|Дијагоналата на единичната коцка е  .
мини|Оваа проекција на Билински на додекаедар е ромб со дијагонален однос .
Квадратен корен од 3 може да се најде како должина на висината на рамностран триаголник со страна 2.

Должината на просторната дијагонала на единична коцка е .

Ако рамностран триаголник со страни со должина 1 се подели на два еднакви дела со делење на внатрешниот агол за да се направи прав агол со едната страна, правиот агол на хипотенузата на триаголникот е со должина еден, а страните се со должина  и  Од ова, тригонометриската функција на тангентата од 60° е еднаква на , а синусот од 60° и косинусот од 30° се еднакви

Квадратниот корен од 3 се појавува и во алгебарските изрази за разни други тригонометриски константи, вклучувајќи го синусот од 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84° и 87°.

Тоа е растојанието помеѓу паралелните страни на правилен шестаголник со страни со должина 1. На комплексна рамнина, тоа растојание е изразено како  споменато подолу.

Vesica piscis има однос на главната оска со помалата оска еднаков на 1: , што може да се покаже со изградба на два рамнострани триаголници во неа.

### Квадратен корен од −3
Со множење на  со имагинарна единица се добива квадратен корен од -3, што е имагинарен број. Поточно,

: \sqrt{-3} = \pm\sqrt{3}i

(види квадратен корен на негативни броеви). Тоа е цел Ајзенштајнов број. Имено, тој се изразува како разлика на два нереални кубни корени од 1 (кои се Ајзенштајнови цели броеви).

## Други намени

### Енергетика
Во електроенергетиката, напонот помеѓу две фази во трифазен систем е еднаков на  пати од линискиот неутрален напон. Тоа е затоа што било кои две фази се оддалечени 120°, а две точки на круг од 120 степени се одделени со  пати од полупречникот (види примери од геометрија погоре).

## Поврзано
* Квадратен корен од 2
* Квадратен корен од 5

## Наводи

## Литература
* 
* 
* 

## Надворешни врски
* Теодорова константа на Math World 
* http://www.mathpages.com/home/kmath038/kmath038.htm Кевин Браун 
* http://www.mth.kcl.ac.uk/staff/eb_davies/PDFfiles/209.pdf Е.Б. Давис

Категорија:Алгебарски броеви
Категорија:Математички константи
Категорија:Ирационални броеви