Хомотетија

мини|Хомотетија: Пример со . Случајот  одговара на  (ниту една точка не е поместена); за  е  ; ако  е
мини|Пример со . Случајот  одговара на централна симетрија со центар во точката
мини|Хомотетија на пирамида
Во математиката, **хомотетија** (или **хомотеција**, или **хомогена дилатација**) е трансформација на афин простор определена со точка  наречена нејзин *центар* и ненулти број  наречен негов *коефициент*, која ја пресликува точката  во точка  според правилото, 

: \overrightarrow{SX'}=k\overrightarrow{SX} за фиксен број k\ne 0.

Користејќи вектори на положба:

: \mathbf x'=\mathbf s + k(\mathbf x -\mathbf s).

Во случајот кога S=O (кооринатен почеток):

: \mathbf x'=k\mathbf x,

што е униформно скалирање и го покажува значењето на специјалните избори за k :

: за k=1 се добива  *идентичното пресликување*,
: за k=-1 се добива *централна симетрија во однос накоординатниот почеток*,

За 1/k се добива *инверзно* пресликување дефинирано со k .

Во Евклидовата геометрија, хомотетиите се сличности што фиксираат точка и или ја зачувуваат (ако k>0 ) или ја менуваат (ако k ) насоката на сите вектори. Заедно со транслациите, сите хомотетии на афин (или евклидов) простор формираат група, групата на **дилатации** или **хомотетски-транслации**. Ова се токму афините трансформации со својството дека сликата на секоја права *g* е права паралелна на *g* .

Во проективната геометрија, хомотетичка трансформација е трансформација на сличност (т.е. поправа дадена елиптична инволуција) што ја остава правата во бесконечност неподвижна по точки. 

Во Евклидовата геометрија, хомотетија со коефициент k ги множи *растојанијата* меѓу точките со |k|, *плоштините* со k^2 и волумените со |k|^3. Тука k е *коефициент на зголемувањето* или *фактор на дилатација* или *фактор на скалирање* или *однос на сличност*. Таквата трансформација може да се нарече **зголемување** ако факторот на скалирање е поголем од еден. Горенаведената фиксна точка *S* се нарекува *центар на хомотетијата* или *центар на сличност*.

Терминот, измислен од францускиот математичар Мишел Шал, е изведен од два грчки елементи: префиксот ( 'слично'}; и transl. грч–превод. теза ( 'положба'). Го опишува односот помеѓу две фигури со иста форма и ориентација. На пример, две руски кукли што гледаат во иста насока може да се сметаат за хомотетички.

Хомотетиите се користат за скалирање на содржината на компјутерските екрани; на пример кај паметните телефони, преносни компјутери и лаптопи.

## Својства
Следните својства важат во која било димензија.

### Пресликување на прави, отсечки и агли
Хомотетијата ги има следниве својства:

* *Права* се пресликува во права која е паралелна на оригиналната. Оттука: *аглите* при хомотетија остануваат непроменети.
* *Односот на две отсечки* се запазува.

И двата својства покажуваат дека:

* Хомотетијата е *[[сличност]]*.

*Изведување на својствата:* За да се олеснат пресметките, се претпоставува дека центарот S е координатниот почеток: \mathbf x \to k\mathbf x. Права g со параметарска репрезентација \mathbf x=\mathbf p +t\mathbf v се пресликува во множеството точки g' со равенка \mathbf x=k(\mathbf p+t\mathbf v)= k\mathbf p+tk\mathbf v, што е права паралелна со g.

Растојанието меѓу две точки P:\mathbf p и Q:\mathbf q е |\mathbf p -\mathbf q|. Растојанието меѓу нивните слики е |k\mathbf p -k\mathbf q|=|k||\mathbf p-\mathbf q|. Значи, *односот* (количникот) на двете отсечки останува непроменет.

Во случајот кога S\ne O пресметките се аналогни, но малку пообемни.

Последици: Триаголник се пресликува во сличен триаголник. Хомотетичката слика на круг е круг. Сликата на елипса е елипса слична на оригиналната, т.е. односот на двете оски не се менува.
мини|Со теорема на пресекот

### Графички конструкции

#### Со користење на теоремата за пресек
Ако за хомотетија со центар S е дадена сликата Q_1 на точката P_1 (видете го дијаграмот) тогаш сликата Q_2 на друга точка P_2, која не лежи на правата SP_1 може да се конструира графички со користење на теоремата за пресек: Q_2 е заедничката точка на двете прави \overline{P_1P_2} и \overline{SP_2}. Сликата на точка колинеарна со P_1,Q_1 може да се одреди со помош на P_2,Q_2 .
мини|Геометриска позадина
мини|Пантограф 3D рендерирање

#### Со користење на пантограф
Пред компјутерите да станат сеприсутни, скалирањето на цртежите се правело со помош на пантограф, алатка слична на шестар .

*Конструкција и геометриска позадина:*

# Земете 4 прачки и составете подвижен *паралелограм* со темиња P_0,Q_0,H,P така што двете прачки кои се поврзани во точката Q_0 се продолжуваат на другиот крај како што е прикажано на дијаграмот. Изберете го *односот* k .
# На продолжените прачки означете ги двете точки S,Q така што |SQ_0|=k|SP_0| и |QQ_0|=k|HQ_0|. Ова е во случајот кога |SQ_0|=\tfrac{k}{k-1}|P_0Q_0|. (Наместо на k, може да се користи познавањето на положбата на центарот S. Во овој случај, односот е k=|SQ_0|/|SP_0|.)
# Прикачете ги мобилните прачки за да ротираат во точката S.
# За секоја промена на локацијата на точката P, ја означуваме соодветната точка Q .

Бидејќи |SQ_0|/|SP_0|=|Q_0Q|/|PP_0| (видете дијаграм) од *теоремата за пресекот* се добива дека точките S,P,Q се колинеарни (лежат на права) и важи  |SQ|=k|SP|. Тоа значи: пресликувањето P\to Q е хомотетија со центар S и однос k .

### Композиција
мини|Составот на две хомотетии со центри  и со коефициенти , <math>P_i \rightarrow Q_i \rightarrow R_i</math> e повторно хомотетија со центар  - точка на правата  и коефициент  .

* Составот на две хомотетии со *ист центар* S е повторно хомотетија со центар S. Хомотетиите со центар S формираат група.
* Составот на две хомотетии со *различни центри* S_1,S_2 и коефициенти k_1,k_2

:: ако k_1k_2\ne 1 е *хомотетија* со центар на правата \overline{S_1S_2} и коефициент k_1k_2;
:: ако k_1k_2= 1 е *[[Транслација (геометрија)|транслација]]* во насока \overrightarrow{S_1S_2}. Специјален е случајот кога k_1=k_2=-1 (централни симетрии).

*Изведување:*

За составот \sigma_2\sigma_1 од двете хомотетии \sigma_1,\sigma_2 со центри S_1,S_2 дадени со

: \sigma_1: \mathbf x \to \mathbf s_1+k_1(\mathbf x -\mathbf s_1), 
: \sigma_2: \mathbf x \to \mathbf s_2+k_2(\mathbf x -\mathbf s_2)\ 

се добива со пресметка за сликата на точката X:\mathbf x :

: (\sigma_2\sigma_1)(\mathbf x)= \mathbf s_2+k_2\big(\mathbf s_1+k_1(\mathbf x-\mathbf s_1)-\mathbf s_2\big) 
: \qquad \qquad \ =(1-k_1)k_2\mathbf s_1+(1-k_2)\mathbf s_2 + k_1k_2\mathbf x.

Оттука, составот

: ако k_1k_2= 1 е транслација во насока \overrightarrow{S_1S_2} за вектор \ (1-k_2)(\mathbf s_2-\mathbf s_1) .
: 
: ако k_1k_2\ne 1 точката 
: S_3: \mathbf s_3=\frac{(1-k_1)k_2\mathbf s_1+(1-k_2)\mathbf s_2}{1-k_1k_2}
=\mathbf s_1+\frac{1-k_2}{1-k_1k_2}(\mathbf s_2-\mathbf s_1) 

е *фиксна точка* (не се поместува) и композицијата

: \sigma_2\sigma_1: \ \mathbf x \to \mathbf s_3 + k_1k_2(\mathbf x -\mathbf s_3)\quad .

е *хомотетија* со центар S_3 и однос k_1k_2. S_3 лежи на правата \overline{S_1S_2} .
мини|Композиција со транслација

* Составот на хомотетија и транслација е хомотетија.

*Доказ:*

Составот на хомотетијата

: \sigma: \mathbf x \to \mathbf s +k(\mathbf x-\mathbf s),\; k\ne 1,\; 
: и транслацијата
: \tau: \mathbf x \to \mathbf x +\mathbf v  
: е
: \tau\sigma: \mathbf x \to \mathbf s +\mathbf v +k(\mathbf x-\mathbf s)
::: =\mathbf s +\frac{\mathbf v}{1-k}+k\left(\mathbf x-(\mathbf s+\frac{\mathbf v}{1-k})\right)

што е хомотетија со центар \mathbf s'=\mathbf s +\frac{\mathbf v}{1-k} и однос k.

### Во хомогени координати
Хомотетијата \sigma: \mathbf x \to \mathbf s+k(\mathbf x -\mathbf s) со центар S=(u,v) може да се запише како состав на хомотетија со центар O и транслација:

: \mathbf x \to k\mathbf x + (1-k)\mathbf s.

Оттука \sigma може да се претстави во хомогени координати со матрицата:

: \begin{pmatrix}
k & 0 & (1-k)u\\
0 & k & (1-k)v\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} 

Чистата хомотетска линеарна трансформација е исто така конформна бидејќи е составена од транслација и униформно скалирање.

## Поврзано

* Скалирање (геометрија) сличен поим во векторски простори
* Центар на хомотетија, центарот на хомотетична трансформација
* Хадвигеровата претпоставка за бројот на строго помали хомотетски копии на конвексно тело што може да бидат потребни за да се покрие.
* Хомотетична функција (економија), функција од обликот  во која  е хомогена функција, а  е монотоно растечка функција .
* Теорема на Менелај #Доказ со употреба на хомотетии

## Наводи


## Литература

* Коксетер, HSM (1961), „Вовед во геометријата“, Вајли, стр.&nbsp;94

## Надворешни врски

* Хомотетија, интерактивен аплет од Cut-the-Knot .
Категорија:Геометрија