Функтор

**Функтор** - пресликување помеѓу две категории кој што објектите и морфизмите на едната категорија ги испраќа кон објекти и морфизми во другата категорија. Притоа истиот пресликува компонирани морфизми во компонирани морфизми и идентитетски морфизми во соодветните идентитетски морфизми. Функтори кои ја зачувуваат насоката на морфизмите се нарекуваат **коваријантни**, а тие што ја свртуваат **контраваријантни**.

Функторијалноста е важен концепт во математиката бидејќи истата овозможува претворање на прашања во врско со еден вид објекти во прашања за друг вид на објекти (кои се општо полесни или попознати).

## Дефиниција
Нека \mathcal{C}, \mathcal{D} се категории. 

Еден **(коваријантен) функтор** F испраќа:
* објекти X од \mathcal{C} кон објекти F(X) од \mathcal{D};
* морфизми f: X \to Y кон морфизми F(f): F(X) \to F(Y),
така што:
* Идентитетски морфизми 1_X се пресликуваат во идентитетски морфизми 1_{F(X)}
* за сите морфизми f,g од \mathcal{C} кои што можат да се компонираат важи F(g \circ f) = F(g) \circ F(f).

Еден **контраваријантен функтор** F испраќа:
* објекти X од \mathcal{C} кон објекти F(X) од \mathcal{D};
* морфизми f: X \to Y кон морфизми F(f): F(Y) \to F(X),
така што:
* Идентитетски морфизми 1_X се пресликуваат во идентитетски морфизми 1_{F(X)}
* за сите морфизми f,g од \mathcal{C} кои што можат да се компонираат важи F(g \circ f) = F(f) \circ F(g).

Разликата меѓу ко- и контраваријантни функтори е во тоа што морфизам f:X\to Y во \mathcal{C} 
* од коваријантен функтор се испраќа кон морфизам F(f):F(X)\to F(Y)
* од контраваријантен функтор се испраќа кон морфизам F(f):F(Y)\to F(X).
Оваа разлика исто така се одликува во редоследот на композицијата по наменувањето на функторот.

Ако не е наведена варијантоста на еден функтор (т.е. дали е ко- или контраваријантан) се претпоставува дека истиот е коваријантен.

## Примери
### Идентитетски функтор
Нека \mathcal{C} е категорија. Функторот 1_{\mathcal{C}} кој го пресликува секој објект и секој морфизам во сам себе си се нарекува **идентитетски функтор**. 

### Заборавлив функтор
Функторот од една категорија чии објекти се множества со посебна структура и чии морфизми се посебни функции на множества (како \mathrm{Group}, \mathrm{Ring}, \mathrm{Vect}_k, \mathrm{Top} итн.), кој го испраќа секој објект кон подлежното множество и секој морфизам кон подлежната функција се нарекува **заборавлив функтор**. Ваков функтор ја „заборавува“ дополнителната структура од првичната категорија.

### Слободен функтор
Функторот F: \mathrm{Set} \to \mathrm{Group}, кој едно можество X го испраќа кон слободната група над X, т.е. групата чии елементи се конечни формални линеарни комбинации на елементите од X заедно со операцијата собирање, се нарекува слободниот функтор од Set во \mathrm{Group}. Овој функтор е т.н. лев адјунктен функтор на погореспоменатиот заборавлив функтор.

### Дуален функтор
Дуалниот функтор е контраваријантиот функтор F: \mathrm{Vect_k} \to \mathrm{Vect_k} кој испраќа:
* еден векторски простор V кон својот дуален простор V^{\vee} := \operatorname{Hom}_k(V, k);
* еден хомоморфизам f: V \to W кон хомоморфизмот f^{\vee}: W^{\vee} \to V^{\vee} така што f(\varphi) = \varphi \circ f (дуален хомоморфизам). 

### Претсноп

Нека X е тополошки простор. Ја дефинираме категоријата \mathcal{O}(X) чии објекти се отворените подможества во X, така што постои точно еден морфизам U \to V меѓу две отворени подможества U, V \subseteq X ако и само ако U \subseteq V, а во другиот случај не постои таков морфизам.

Еден **претсноп (на множества) над <math>X</math>** е контраваријантен функтор \mathcal{O}(X) \to \mathrm{Set}.
## Литература
*