Проективен хармоничен конјугат

[десно|мини|300x300пкс| е хармонично конјугирана на  во однос на  и <br />  формираат хармонична четворка.<br />  е [целосен четириаголник кој ја генерира.]]
Во проективната геометрија, **хармонично конјугирана точка** или **хармоничен конјугат** на подредена тројка точки на реалната проективна права се дефинира со следнава конструкција:

: За дадени три колинеарни точки , нека  е точка која не е колинеарна со нив и нека некоја права низ  ги сече  во  соодветно. Ако  и  се сечат во , а  се сече со  во , тогаш  се нарекува **хармонично конјугирана точка** на  во однос на  

Точката  не зависи од тоа која точка  првично се зема, ниту пак од правата повлечена низ  која се користи за да се најдат  и . Овој факт произлегува од теоремата на Дезарг .

Во реалната проективна геометрија, хармоничната конјугација може да се дефинира и преку двоен однос како  .

## Критериум за двоен однос
Четирите точки понекогаш се нарекуваат хармонична четворка (на реалната проективна права) бидејќи, како што се докажува,  секогаш ја дели отсечката   *внатрешно* во ист сооднос како што  ја дели  *надворешно* . Тоа значи:

: \overline{AC}:\overline{BC} = \overline{AD}:\overline{DB} \, .

Ако на овие отсечки им се даде обична метричка интерпретација на реалните броеви, тие ќе одговараат на реални броеви и ќе формираат двојна пропорција позната како двоен однос (понекогаш наречен **двоен сооднос**)

: (A,B;C,D) = \frac{\overline{AC}}{\overline{AD}} \left/ \frac{\overline{BC}}{-\overline{DB}} \right., 

кој за хармонична четворка има вредност &#x2212; 1. Затоа пишуваме:

: (A,B;C,D) = \frac{\overline{AC}}{\overline{AD}} \cdot \frac{\overline{BD}}{\overline{BC}} = -1 . 

Вредноста на двојниот однос генерално не е единствена, бидејќи зависи од редоследот на избор на отсечките (и можни се шест такви избора). Но, специјално за хармоничните четворки постојат само три вредности на двојниот однос:  бидејќи &#x2212; 1 е инверзна сама на себе па смената на последните две точки само ја враќа секоја од овие вредности, но не произведува нова вредност, и класично е познат како **хармоничен двоен однос**.

Изразен преку двоен однос, за дадени точки  и  на афина права, **односот на делење**  на точка  е:

: t(x) = \frac {x - a} {x - b} .

Забележете дека кога , тогаш  е негативен; инаку,  е позитивен. Двојниот однос (c,d;a,b) = \tfrac{t(c)}{t(d)} е однос на односите на делење или двоен однос. Двојниот однос е -1 кога , а тогаш  и  се хармониски конјугирани во однос на  и . Значи, критериумот за односот на поделба е тие да бидат адитивно инверзни .

Хармоничното делење на отсечка е посебен случај на Аполониевата дефиниција за кругот .

Во некои училишни студии конфигурацијата на хармонична четворка се нарекува *хармонска поделба* .

## За средината
десно|мини|181x181пкс| Средината и бесконечноста се хармониски конјугирани.
Кога  е средна точка на отсечката од  до , тогаш

: t(x) = \frac {x-a} {x-b} = -1.

Според критериумот за двоен однос,  ќе биде хармониски конјугирана на  кога . Но, не постои конечно решение за  на правата преку  и  . Сепак,

: \lim_{y \to \infty} t(y) = 1,

со што се мотивира вклучување на бесконечна точка  на проективната права. Бесконечната точка служи како хармонично конјугирана на средната точка .

## Од комплетен четириаголник
Друг пристап кон хармонискиот конјугат е преку концептот на комплетен четириаголник како што е  на горниот дијаграм. Врз основа на четири точки, комплетниот четириаголник има парови од спротивни страни и дијагонали. Во изразувањето на хармоничните конјугати од H. S. M. Coxeter, дијагоналите се сметаат за пар спротивни страни:

:  да е хармониски конјугирана на  во однос на  и  значи дека постои четириаголник  за кој едниот пар спротивни страни се сечат во , вториот пар се сечат во , а третиот пар спротивни страни ја сечат  во  и .

Карл фон Стаудт прв го употребил хармонискиот конјугат како основа за проективната геометрија независно од метричките размислувања:

: . . . Стауд успеа да ја ослободи проективната геометрија од елементарната геометрија. Во неговата , Стауд вовел хармонична четворка на елементи независно од концептот на двоен однос следејќи чисто проективна рута, користејќи комплетен четириаголник или четиристраник.

алт=parallelogram with diagonals|десно|мини|, , , , <br /><br /><br /><br /> (игнорирајте ја зелената точка М).
За да го видите целосниот четириаголник применет за добивање на средната точка, разгледајте го следниов пасус од Џ. В. Јанг:

: Ако се повлечат две произволни прави  низ  и правите  низ , паралелни со  соодветно, правите  се сечат, по дефиниција, во бесконечната точка , додека  се сечат по дефиниција во бесконечната точка . Комплетниот четириаголник  тогаш има две дијагонални точки на  и , додека преостанатиот пар на спротивни страни минуваат низ  и бесконечната точка на . Точката  е тогаш по конструкција хармоничен конјугат на бесконечната точка на  во однос на  и . Од друга страна, дека  е средната точка на отсечката  следи од познатата пропозиција дека дијагоналите на паралелограм () се преполовуваат една со друга.

### Кватернарни релации
Четири подредени точки на проективен опсег се нарекуваат **хармонични точки** кога има тетрастигма во рамнината таква што првата и третата се коточки, а другите две точки се на конекторите на третата коточка.

Ако  е точка која не е на правата со хармонични точки, спојувањата на  со точките се **хармонични прави**. Слично на тоа, ако оската на сноп од рамнини е закривена кон права со хармонични точки, рамнините на точките се **хармонични рамнини**.

Множеството од четири елемента во таква врска се нарекува **хармонична четворка** .

## Проективни коники
Коника во проективната рамнина е крива  која го има следново својство: Ако  е точка која не е на , и ако променлива права низ  се сече со  во точките  и , тогаш променливата хармонична конјугирана точка на  во однос на  и  формира права. Точката  се нарекува **пол** на таа права на хармонични конјугати, а оваа права се нарекува **поларна права** на  во однос на кониката. Видете ја статијата Пол и полара за повеќе детали.

### Инверзивна геометрија
Во случај кога кониката е кружница, на продолжените дијаметри на кружницата, хармоничните конјугати во однос на кружницата се инверзни во однос на кружницата. Овој факт произлегува од една од теоремите на Смогоржевски:

: Ако кружниците  и  се меѓусебно ортогонални, тогаш правата која минува низ центарот на  и ја сече , го прави тоа во точки кои се симетрични во однос на .

Тоа значи дека, ако правата е продолжен дијаметар на , тогаш пресеците со  се хармониски конјугирани.

## Тетради на Галуа
Во геометријата на Галоа над полето Галоа GF(q) правата има q + 1 точки, каде што ∞ = (1,0). Во оваа линија четири точки формираат хармонска тетрада кога две хармонично ги делат другите.  Условот

: (c, d; a, b) = -1, \ \text{ еквивалентно } \ \ 2 (c d + a b) = (c + d) (a + b),

ги карактеризира хармоничните тетради. Вниманието на овие тетради го навело Жан Дидоне до неговото разграничување на некои случајни изоморфизми на проективните линеарни групи  за  .

Ако  и дадени се  и , тогаш  е хармониски конјугирана на самата себе.

## Итерирани проективни хармонични конјугати и златен однос
Нека  се три различни точки на реалната проективна права. Разгледајте ја бесконечната низа од точки , каде што  е хармониски конјугирана на  во однос на , за .Оваа низа е конвергентна.

За конечна граница  имаме

: \lim_{n\to\infty}\frac{P_{n+1}P}{P_{n}P}=\Phi-2=-\Phi^{-2} = -\frac{3-\sqrt{5}}{2},

каде \Phi=\tfrac{1}{2}(1+\sqrt{5}) е златниот пресек, т.e. P_{n+1}P\approx -\Phi^{-2} P_{n}P  за голем . Граничната вредност кон бесконечност е

: \lim_{n\to\infty}\frac{P_{n+2}P_{n+1}}{P_{n+1}P_{n}}=-1-\Phi =-\Phi^{2}.

За доказ се зема проективниот изоморфизам:

: f(z)=\frac{az+b}{cz+d}

каде

: f \left ((-1)^n\Phi^{2n} \right )=P_n.

## Наводи

Категорија:Проективна геометрија