Математичка економија

**Математичка економија** — примената на математичките методи во економските теории и во анализата на проблемите презентирани во економијата. Овозможува формулирање и деривација на клучните врски во теоријата со неколку одлики како јасност, севкупност, едноставност и строга определба. Обично, применетите математички методи се однесуваат на оние посложените функции за разлика од едноставната геометрија, односно сложени методи како диференцијални и интегрални пресметки, диференцијална равенка, матрици, математичко програмирање и други пресметковни методи.

Математиката им овозможува на економистите да оформат значајни и предлози подложни на испробување за многу широко распространети и сложени теми кои не можат неформално соодветно да бидат изразени. Понатаму, математичкиот јазик им дава да оформат јасни, точни и позитивни тврдења за контроверзните или спорните теми, што инаку би било невозможно. Голем дел од економската теорија е моментално претставена преку математичко-економски модели, збир на стилизирани и упростени математички врски кои ги појаснуваат претпоставките и следствата.

Во широката примена на математиката спаѓаат и: 
* оптимизациони проблеми во постигнување на рамнотежа, без разлика дали се работи за домаќинство, претпријатие или политички творец;
* статични (или рамнотежни) анализи во кои економската единици (како на пример домаќинството) или економскиот систем (како на пример пазарот или економијата) се моделирани како непроменливи;
* компаративна статика како промена од една рамнотежна точка во друга предизвикана од промена на еден или повеќе фактори;
*  динамички анализи кои ги следат промните во економскиот систем, како на пример економскиот раст.

Формалното економско моделирање започнало во XIX век со употребата на диференцијалните пресметки во претставувањето и објаснувањето на економското однесување, како на пример максимизација на корисноста — рана економска примена на математичката оптимизација. Економијата станала поматематичка дисциплина во првата половина од XX век, а претставувањето на новите и општи техники во периодот околу Втората светска војна, како на пример во теоријата на игрите, во голема мера ја прошириле употрбата на математички формули во економијата.

Брзото систематизирање на економијата ги вознемирило критичарите на оваа наука, како и некои од економистите. Џон Мејнард Кејнс, Роберт Хејлбронер, Фридрих Хајек и други ја критикувале широката употреба на математички модели за човековото однесување, тврдејќи дека некои човечки избори се математички неизмерливи.

## Историја

Употребата на математиката во служба на општествените и економските анализи датира од XVII век. Тогаш, главно во германските универзитети, се појавил вид на напатствија во кој имало детален опис на податоците кои биле поврзани со јавната администрација. Готфрид Акенвал спроведувал предавања на овој начин создавајќи го терминот статистика. Во истиот период, мала група на професори од Англија воспоставиле метод за „фигуративно размислување за работи поврзани со владата“. Сер Вилијам Пети издал збир на проблеми кои подоцна ги загрижил економистите, односно проблеми како оданочување, брзина на циркулација и мерки за национален приход, но, иако неговите анализи биле бројчени, тој ја одбил апстрактната математичка метода. Употребата на Пети на деталните нумерчки податоци (заедно со Џон Гронт), подоцна, одреден период, влијаела врз статистичарите и економистите, иако неговите дела биле во најголема мера игнорирани од англиските школари.

Математизацијата на економијата започната во раните години на XIX век. Повеќето економски анализи во тоа време биле истите подоцнежни теории на класичната економија. На темите било дискутирано и биле расчистени со помош на алгебрата, но не било користено пресметувањето. Поважно од тоа, сè до издавањето на книгата „Изолираната држава“ на Јохан Хенрих фон Тунен од 1826, економистите не развиле опширен и апстрактен модел за однесувањето со цел да ги применат алатките на математиката. Туненовиот модел на обработливо земјиште претставува прв пример на маргинална анализа. Неговата работа била во најголема мера теоретска, но тој, исто така, употребувал емпиријални податоци со цел да се обиде да го подржи неговото воопштување. Во споредба со неговите современици, Тунен создал економски модел и алатки, наместо во новите проблеми да ги употребува и приспособува претходно направените алатки.

Во меѓувреме, нова група на научници, добро обучени со математички методи на физиката, гравитирале во економијата, застапувајќи ги и имплементирајќи ги тие методи од нивното поле на истражување, и ја опишале сегашноста како промена од геометрија во механика. Тука е вклучен и Вилијам Стенли Џевонс кој го претставил делото за „општа математичка теорија на политичката економија“ од 1986, обезбедувајќи преглед за употребата на теоријата за маргинална корисност во политичката економија. Во 1871 ја издал книгата „Принципите на политичката економија“ изјаснувајќи се дека предметот како наука „мора да биде математички, едноставно поради тоа што се занимава со квантитети“. Џевонс очекувал единствениот збир на статистички податоци за цената и квантитетите да овозможи предметот да стане егзактна наука. Други научници, пак, се обиделе да ги прошират математичките објаснувања за економско-математичките проблеми.

### Маргиналисти и корените на неокласичната економија

[мини|275п|Рамнотежна количина како решение за две функции во Курноовиот дуопол. Секоја функција е изразена како [линеарна равенка зависна од количината на побарувачката]]
Антоaн Огистен Курно и Леон Валрас ги создале алатките за одредување на корисноста, тврдејќи дека поединците целат кон максимизирање на нивната корисност преку нивниот избор на начин кој може да биде математички опишан. Во тоа време се мислело дека корисноста била квантитативна во мерни единици познати како корисности. Курно, Валрас и Франсис Еџворт се сметаат за главни основоположници на математичката економија.

#### Огистен Курно
Курно, професор по математика, во 1838 година развил математички третман за дуопол - пазарна ситуација дефинирана со конкуренција помеѓу двајца производители. Овој третман на конкурентноста, првенствено издаден во „Истражувања на математичките принципи на богатството“, е именуван како Курноов дуопол. Се претпоставуа дека двајцата производители имаат еднаков пристап до пазарот и дека можат да ги произведуваат нивните добра без трошоци. Исто така, се претпоставува дека двете добра се хомогени. Секој производител би го разменувал своето производство во зависност од производството на другиот и пазарната цена ќе биде одредена од вкупната понудена количина. Профитот за секоја фирма би бил одреден со множење на нивното производство со пазарната цената по единица производ. Диференцијацијата на профитната функција, со оглед на обезбедената количина производи од секоја фирма, оформила систем на линеарни равенки, симулационо решение од кое е создадена рамнотежната количина, цена и профит. Курноовите придонеси во математизацијата на економијата неколку декади биле заборавени, но потајно влијаеле на многу од маргиналистите. Курноовиот модел на дуопол и олигопол, исто така, претставува едно од првите формулирања на некооперативните игри. Денес, решението може да биде дадено со Нешовата рамнотежа, но делата на Курно преовладувале во теоријата на игрите повеќе од 100 години.

#### Леон Валрас
Додека Курно создавал решение за тоа што подоцна ќе биде наречено делумна рамнотежа, Леон Валрас се обидел да ја формализира расправата за економијата во целина низ теоријата на општа конкурентна рамнотежа. Предвид би се земале улогите на секој економист од двете страни, односно од страната на производителите и од страната на потрошувачите. Валрас претставил четири различни модели на замена, секој рекурзивно вклучен во следниот. Решението за секој систем на равенки (линеарни и нелинеарни) би било општата рамнотежа. Во тој период, ниту едно општо решение не можело да биде изразено за систем од многу произволни равенки, но обидите на Валрас придонеле со два познати резултати во економијата. Првиот е валрасовиот закон, а вториот е принципот на валрасовата аукција. Методите на Валрас во тоа време се сметале за многу математички, поради што, Еџворт го критикувал за должината на неговите факти во книгата „Елементи на чиста економија“.

Валрасовиот закон бил претставен како теоретски одговор на проблемот во одредувањето на решението во општата рамнотежа. Неговата нотација е различна од модерната, но може да биде конструирана со употреба на повеќе модерни збирни нотации. Валрас претпоставувал дека при рамнотежа сите пари би биле потрошени на сите добра, односно секое добро би било продадено по пазарната цена на истото и секој потрошувач би ги потрошил неговите последни пари за кошница од производи. Започнувајќи од оваа претпоставка, Валрас можел да покаже дека доколко постојат *n* пазари и *n*-1 исчистени пазари (достигната рамнотежна состојба) тогаш секој *n*-ти пазар би бил, исто така, испразнет. Ова е најлесно да се визуелизира со два пазари (во повеќето текстови сметано како пазар на добра и пазар на хартии од вредност). Доколку еден од двата пазари достигне рамнотежна состојба, ниту едно додатно добро (или во друг случај хартии од вредност) не смее да влезе или излезе од вториот пазар, па како и првиот и тој мора да постигне рамнотежа. Валрас ги користел овие аргументи за да му се доближи на доказот за постоење на решение за општа рамнотежа, но оваа равенка денес најчесто се користи да би се илустрирало пазарно чистење во пазарите на хартии од вредност во текот на додипломските студии.

Аукцијата требало да послужи како практична изразитост на валрасовата општа рамнотежа. Валрас го замислил пазарот како аукција на добра каде аукционерите би можеле да довикуваат цени и учесниците во пазарот би чекале сè додека не би ги задоволиле личните ценовни резервации за побараната количина (овде е битно да се напомене дека ова е аукција на „сите“ добра, така што секој има одредено цена за неговата побарана кошничка од добра).

Само кога сите купувачи ќе бидат задоволни со понудената пазарна цена ќе се спроведе трансакцијата. Пазарот ќе се „исчисти“ за таа цена, не би постоел ниту вишок ниту недостаток. Иако процесот изгледа динамичен, Валрас претставил само статичен модел, односно ниту една трансакција не би се извршила сè додека сите пазари не дојдат до рамнотежна состојба. Во практита, многу малку пазари работат на овој начин.

#### Франсис Исидро Еџворт
Еџворт опширно ги претставил математичките елемнти во економијата во книгата „Математичка физика: Есеј за примената на математиката во моралната наука“ од 1881. Тој ја применил хедонистичката анализа на Џереми Бентам во економското однесување, дозволувајќи резултатот од секоја одлука да биде претворен во промена на корисноста. Употребувајќи ја оваа претпоставка, Еџворт создал модел на замена заснован на три претпоставки: поединците се само заинтересирани, поединците целат кон максимизирање на корисноста и поединците се „слободни за повторен контакт со друг независно од... било која трета страна“.

Со дадени двајца поединци, збирот на решенија бил и двајцата поединци да можат да ја максимизираат корисноста како што е опишано во „кривата на договорот“, она што е денес познато како Еџвортов дијаграм. Технички, конструкцијата на решението на еџвортовиот проблем за две особи не било претставено со графикон сè до 1924, кога тоа го направил Артур Лајон Боули. Кривата на договор на Еџвортовиот дијаграм (или поошто кажано секој збир на решенија за Еџвортовиот проблем за повеќе улоги) се наведува како основа на економијата.

Еџворт посветил значителни напори во инсистирањето дека математичките докази биле соодветни за сите економски школи. Во списанието „The Economic Journal“ тој објавил неколку статии во кои ги критикувал математичките методи на неговите соперници во ова истражувачко поле, меѓу кои и Едвин Роберт Андерсон Селигмен, познат скептик за математичката економија. Колумните биле фокусирани кон даночната честота и одговорите од производителите. Еџворт забележал дека монополското производство на добра кое е здружено при понудата, но не и при побарувачката (како во прва класа и економска класа во авионите, односно доколку авионот полета и двете класи летаат заедно со него) може да ја снижи цената проверена од потрошувачите за едно од двете добро доколку се вклучени и даноци. Здравиот разум и традиционалните бројчени анализи посочувале дека ова било бесмислено. Селигмен тврдел дека добиените резултати на Еџворт биле каприц на неговите математички формулации. Тој велел дека претпоставката за континуираната побарувачка функција и бескрајните промени во даноците резултираат со парадоксални предвидувања. Подоцна, Харолд Хотлинг потврдил дека Еџворт бил во право и дека истиот резултат („намалување на цената како резултат на оданочувањето“) може да се појави и со дисконтинуитетна функција на побарувачката и голема промена во стапката на оданочување.

## Современи математички економичари
Од 1930-тите, група на нови математички алатки од диференцијалните равенки, испакнатите множества и теоријата на графи биле приспособени за да се овозможи напредок во економската теорија на начин сличен на приспособувањето на математичките методи во физиката. Процесот бил подоцна опишан како движење од механика кон аксиоматски систем.

### Диференцијални пресметки
Вилфредо Парето ја анализирал микроекономијата третирајќи ги одлуките на глумците во економијата како обиди за распределба на добрата до останатите. Тогаш збирот на средства може да биде третиран како паретова ефикасност кога ниту една замена не би можела да се појави кај глумците која најмалку еден поединец би направил подобро позициониран без да направи друг поединец полошо позициониран. Доказот на Парето најчесто се меша со валрасовата рамнотежа или неформално се припишува на хипотезата за невидлива рака од Адам Смит. И покрај тоа, тврдењата на Парето биле првите формални искази кои подоцна станале познати како првите фундаментални теореми на економската благосостојба. На овие модели им недостасувала нееднаквоста во следните генерации на математичката економија.
   
Во расправата „Основи на економската анализа“ (1947), Пол Семјуелсон идентификувал честа парадигма и математичка структура низ повеќе полиња на истражуваниот предмет, засновајќи се на претходната работа на Алфред Маршал. „Основите“ преземаат математички концепти од физиката и ги приспособуваат на економските проблеми. Овој широк поглед (на пример, споредбата помеѓу шателиеровиот принцип и валрасовата аукција) ја поместува фундаметалната спогодба на математичката економија: систем од економски улоги кој може да биде моделиран и нивното однесување да биде опишано приближно исто како и во другите системи. Семјуелсон пристапил кон проблемите на примена на максимизацијата на поединечната корист со компаративна статика, без да се насочува кон агрегирани групи, која споредува две различни рамнотежни состојби по егзогени промени во варијабилите. Овој и други методи од книгата ги означуваат основите на математичката економија во XX век.

### Линеарни модели

Ограничените модели на општата рамнотежа биле формулирани од страна на Џон фон Нојман во 1937. За разлика од претходните верзии, моделите на фон Нојман имале нееднакви ограничувања. За неговиот модел на економија која се шири, фон Нојман докажал постоење и единственост на рамнотежа со употреба на неговото воопштување на броуверовата теорема за неподвижна точка. Моделот на фон Нојман за економија која се шири се смета за матричен модел - * *'A** - λ **B** '' без негативни матрици - **A** и **B**; фон Нојман ги барал [[Вектор на веројатност|векторите на веројатноста]] - ''p'' и&nbsp;''q'' и позитивен број - ''λ'' кој би ја решил [[Теорија на комплементарност|комплементарната]] равенка
:'' p<sup>T</sup>&nbsp;(**A** - λ&nbsp;**B**)&nbsp;q = 0'',
заедно со два нееднакви системи кои ја изразуваат економската ефикасност. Во овој модел ([[Транспонирана матрица|транспониран]]), веројатноста на векторот ''p'' ја изразува цената на добрата, додека веројатноста на векторот ''q'' ја изразува „интензивноста“ по која процесот би се одвивал. Единственото решение ''λ'' ја претставува стапката на пораст во економијата која е еднакава на каматната стапка. Докажувањето на постоењето на позитивна [[Економски раст|стапка на пораст]] и дека стапката на пораст е еднаква на [[Каматна стапка|каматната стапка]] било извонредно достигнување, па дури и за Нојман. Резултатите на Нојман биле забележани како специјален случај на [[линеарно програмирање]] каде неговиот модел употребува само ненегативни матрици. Изучувањето на моделот на Ногјман за економија која се шири сè уште буди интерес кај математичките економисти насочени кон компјутерска економија.

==== Економија на влезни и излезни единици ====
Во 1936, рускиот економист [[Василиј Леонтиеф]] го создал неговиот модел на [[Модел на влезни и излезни единици|анализа на влезни и излезни единици]] според табелите за математичка рамнотежа конструирани од советските економисти кои, пак, се засновале на работата на [[Физиократија|физиократите]]. Со овој модел, кој опишува систем на процеси на понудата и побарувачката, Леонтиеф опишал како промените во побарувачката на еден [[економски сектор]] ќе влијаат на производството во друг. Во практика, Леонтиеф ги проценил коефициентите на неговиот едноставен модел да би ги решил економските прашања. Во [[Производствен збир|производната економија]], „леонтиевата техника“ создавала излезни единици со употреба на константни пропорции на влезните единици, без разлика на цената на инпутите, намалувајќи ја вредноста на леонтиевиот модел за разбирање на економијата, но дозволувајќи параметрите да бидат проценети релативно лесно. Во контраст, моделот на фон Нојман за економија која се шири дозволува избор на техники, но коефициентите мора да бидат проценети за секоја технологија.

=== Математичка оптимизација ===

[[Податотека:MaximumParaboloid.png|десно|мини|280п|Црвена точка во ''z'' насока како максимум за параболоидна функција на (''x'', ''y'') влезни единици]]
Во математиката, [[математичка оптимизација]] (или оптимизација или математичко програмирање) се однесува на избор на најдобри елементи за некој збир од достапни алтернативи. Во најпрост случај, оптимизациониот проблем вклучува [[Максимум и минимум|максимизирање]] или [[Максимум и минимум|минимизирање]] на реални функции преку избор на вредности за функцијата на влезните единици и пресметка на кореспондентната [[Вредност (математика)|вредност]] на функцијата. Процесот на барање решение вклучува задоволување на општите потребни и доволни услови за оптималност. За оптимизациони проблеми, [[Математичка оптимизација|специјализираната нотација]] може да биде употребена како во функцијата и нејзините инпути. Начелмно гледано, оптимизацијата вклучува пронаоѓање на најдобар достапен [[Елемент (математика)|елемент]] на некоја функција со дадено дефинирано [[Домен (математика)|подрачје]] и можност да употребува голем број на различни [[Математичка оптимизација|компјутерски оптимизациони техники]].

Економијата е доста тесно поврзана со оптимизацијата преку [[Агент (економија)|посредници]] во [[економија]]та што една влијателна дефиниција го поврзува опишувањето на економската наука како „изучување на човечкото однесување како врска помеѓу краевите и недостигот на значење“ со алтернативни употреби. Оптимизационите проблеми се шират низ модерната економија особено преку експлицитната економија или техничките ограничувња. Во микроекономијата, [[Проблем со максимизирање на корисност|проблемот со максимизирањето на корисноста]] и неговата [[Двојност (оптимизација)|двојност]], [[Проблем со минимизирање на трошоци|проблемот со минимизирањето на трошоците]] за даден степен на корисност претставуваат економски оптимизациони проблеми. Теоријата претпоставува дека [[потрошувач]]ите ја максимизираат нивната [[корисност]], поврзано со нивните [[Буџетно ограничување|буџетни ограничувања]], и дека [[претпријатие]]то го максимизира неговиот [[профит]], поврзан со [[Производствена функција|производствената функција]], факторите од кои зависат [[Фактор на производство|производствените трошоци]] и [[побарувачка]]та на пазарот. 
 
[[Економска рамнотежа|Економската рамнотежа]] се проучува во оптимизационата теорија како клучна состојка на економските теореми која во принцип може да биде испробувана во спротивност на емпиријалните податоци. Понови напредоци се појавиле во [[Динамичко програмирање|динамичкото програмирање]] и моделирањето на оптимизацијата со [[ризик]] и [[несигурност]], вклучувајќи и приспособувања на теоријата за портфолио, [[Информациска економија|информациската економија]] и теоријата на пребарување.
 
Оптималните својства за целиот [[пазарен систем]] можат да се искажат со математички изрази како формулација од двете [[фундаментални теореми на економска благосостојба]]  и во [[Ароу-Дебров модел|Ароу-Дебровиот модел]] на општа рамнотежа (исто така, дискутирано [[Математичка економија#Функционални анализи|подолу]]). Поконкретно, многу проблеми се подложни на [[Математичка анализа|аналитички]] решенија. Многу други можат да бидат доволно сложени да би имало потреба од решенија со [[Нумеричка анализа|бројчени методи]], водени од стручен софтвер. И други проблеми се сложени, но доволно приспособливи на [[Компјутерска економија|компјутерските методи]] за решавање, особено моделот на [[пресметковна општа рамнотежа]] за целата економија. 
 
Линеарното и нелинеарното програмирање, за кои порано се мислело дека имаат еднакви ограничувања, имаат длабоко влијание во микроекономијата. Многу од математичките економисти кои добиле Нобелова награда за економија спровеле значајни истражувања употребувајќи линеарно програмирање: [[Леонид Канторович]], [[Леонид Хурвиц]], [[Тјалинг Купменс]], [[Кенет Ароу|Кенет Џ. Ароу]] и [[Роберт Доргмен]], [[Пол Семјуелсон]] и [[Роберт Солоу]]. И Канторович и Купменс признале дека Џорџ Б. Данциг заслужува да биде споделена со него нивната Нобелова награда за линеарно програмирање. И економисти кои спровеле истражувања во нелинеарното програмирање, исто така, добиле Нобелова награда меѓу кои најзабележителни се Рагнар Фриш, Купменс, Ароу, Канторович и Семјуелсон.

==== Линеарна оптимизација ====
[[Линеарно програмирање|Линеарното програмирање]] било развиено за алоцирање на ресурси во фирми и индустрии во текот на 1930-тите во Русија и во текот на 1940-тите во соединетите држави. За време на [[Берлинска блокада|берлинската блокада]] од 1948, линеарното програмирање било употребувано за планирање на поморската достава на залихи со цел да не гладува населението во Берлин по советската блокада.

==== Нелинеарно програмирање ====
Проширувањето до [[Нелинеарно програмирање|нелинеарна оптимизација]] со нееднакви ограничувања било постигнато во 1951 од страна на [[Алберт В. Такер]] и [[Харолд Кун]] кои како нелинерен [[оптимизационен проблем]] го сметале:
:Минимизирањето <math>f</math>(<math>x</math>) на предмет на <math>g</math>''<sub>i</sub>''(<math>x</math>) ≤ 0 и <math>h</math>''<sub>j</sub>''(<math>x</math>) = 0 каде:
:<math>f</math>(<sup>**.**</sup>) е [[Функција (математика)|функцијата]] која треба да биде минимизирана,
:<math>g</math>''<sub>i</sub>''(''<sup>**.**</sup>'') (<math>j</math> = 1, ..., <math>m</math>) се функциите на <math>m</math> ''нееднаквото ограничување'',
:<math>h</math><sub>j</sup>(<sup>**.*'</sup>) (<math>j</math> = 1, ..., <math>l</math>) се функциите на <math>l</math> *еднаквото ограничување*.

При дозволено нееднакво ограничување, [[Каруш-Кун-Такеров услов|Кун-Такеровиот пристап]] воопштува класичен метод од [[Лангражов множител|лангражовиот метод на множење]], кај кој (до тогаш) било дозволено само еднакво ограничување. Кун-Такеровиот пристап овозможил понатамошни истражувања на Лагранжовата двојност, вклучувајќи го и изучувањето на неедкавите ограничувања. Двојната теорија за нелинеарно програмирање е всушност задоволително добра кога се приспособува на проблемите на [[Конвексна оптимизација|конвексното минимизирање]], каде ја ужива [[Конвексна анализа|конвексно-аналитичката]] [[Легенфрова трансформација|двојна теорија]] на [[Вернер Фенчел|Фенчел]] и [[Р. Тајрел Рокфелер]]. Лагранжовата двојност и конвексната анализа се употребуваат секојдневно во оперативни истражувања, во распоредувањето на електрани, планирањето на распоред на производството во фабриките и во одредувањето на курсот на авионите (курсови, летови, авиони и екипи).

==== Разни анализи и оптимална контрола ====
Економската динамика овозможува промени во економските варијабили, вклучувајќи го и системот на динамика. Проблемот во пронаоѓањето на оптимална функција за таквите промени се проучува во варијационите пресметки и во [[Теорија на оптимална контрола|теоријата на оптимална контрола]]. За истата цел, пред втората светска војна, [[Френк Ремзи]] и Харолд Хотлинг ги користеле варијационите пресметки.

Следејќи ја работата на [[Ричард Белмен]] за динамичкото програмирање и преводот од 1962 на раните дела од [[Лав Понтријагин|Л. Понтријагин]], теоријата за оптимална контрола била најмногу употребувана во економијата за адресирање на динамичките проблеми, особено рамнотежата на [[Економски раст|економскиот раст]] и стабилноста на економскиот систем Клучната разлика е помеѓу детерминистичките и стохастичните контролни модели. Друга примена на теоријата за оптимална контрола се појавува и во финансиите, инвентарот и производството.

==== Функционална анализа ====
Во периодот кога се докажувало постоењето на оптималната рамнотежа, во неговиот модел за [[економски раст]] од 1937, [[Џон фон Нојман]] го претставил методот на [[функционална анализа]] во кој ја вклучил и [[топологија]]та на економската теорија, особено преку [[Броуверова теорија на неподвижна точка|броуверовата теорија за фиксна точка]]. Следејќи ја програмата на Нојман, [[Кенет Ароу]] и [[Жерард Дебре]] формулирале апстрактен модел на економска рамнотежа со употреба на [[конвексено множество]] и теоријата на фиксна точка. Во претставувањето од 1954 на овој [[Ароу-Дебреов модел|модел]], тие го докажале постоењето (но, не и единственоста) на рамнотежа и, исто така, докажале дека секоја рамнотежа на Валрас е [[паретова ефикасност]] (начелно, рамнотежата нема потреба да биде единствена) Во нивните модели, (основниот) [[Двоен простор|векторскиот простор]] ја претставува *количината*, додека „двојниот“ векторски простор ги претставува *цените*.

Во [[Русија]], математичарот [[Леонид Канторович]] развил економски модели во [[Реизов простор|делумно подредените векторски простори]] кои ја истакнале двојноста помеѓу квантитативноста и цените. Угнетени  од [[Државна идеологија на Советскиот Сојуз|комунизмот]], Канторович ги преименувал цените како објективно одредени вредности кои на руски се скратени како „o.&nbsp;o.&nbsp;o“, алудирајќи на потешкотиите во дискусијата за цените во [[СССР|Советскиот Сојуз]].
  
Дури и во одредени димензии, концептот на функционална анализа ја осветлил економската теорија, особено во разјаснувањето на улогата на цените како [[Нормала (геометрија)|нормални]] вектори за поддршка на конвексното множество, претставувајќи ги можностите на производителите и потрошувачите. Како и да е, проблемите во опишувањето на оптимизацијата бараат употреба на бесконечни димензионални функционални простори поради тоа што посредниците избираат помеѓу функциите или [[Стохастичен процес|стохастичните процеси]].

=== Диференцијален пад и пораст ===
Делата на [[Џон фон Нојман]] за [[Функционална анализа|функционалната анализа]] и [[топологија]]та отвориле ново истражувачко поле во математиката и економската теорија. Тие, исто така, придонеле во напредокот на математичката економија со мали приспособувања на диференцијалните пресметки. Во основа, теоретичарите на општата рамнотежа ги употребувале [[Општа топологија|општата топологија]], [[Конвексна геометрија|конвексната геометрија]] и [[Математичка оптимизација|математичката оптимизација]] повеќе од диференцијалните пресметки поради тоа што пристапот до истите не успеал да го прикаже постоењето на рамнотежа.

Сепак, падот на диференцијалните пресметки не треба да биде претеран бидејќи диференцијалната пресметка била секогаш употребувана при обука и примена. И покрај тоа, диференцијалната пресметка се вратила на највисокото ниво во математичката економија, [[Теорија на општа рамнотежа|теоријата на општа рамнотежа]]. Во 1960-тите и 1970-тите, Жерард Дебро и [[Стивен Смели]] започнале оживување на употребата на диференцијалните пресмети во математичката економија. Во основа, тие можеле да го докажат постоењето на општа рамнотежа, во што нивните претходници не успеале. Помеѓу економистите кои се занимаваат со диференцијална анализа се и Еџберт Диркер, Андре Мас Колел и Ајвис Баласко. Овие напредоци ја промениле традиционалната насока во историјата на математичката економија, следејќи го Нојман, славејќи го напуштањето на диференцијалните пресметки.

=== Теорија на игри ===


Џон фон Нојман, во соработка со [[Оскар Моргенстерн]], работејќи на теоријата на игри, отворил ново математичко поле за истражување во 1944, проширувајќи ги методите на функционална анализа поврзани со економската анализа на конвексниот збир и теоријата за тополошки фиксни точки. Нивната работа, притоа, ги избегнала [[Диференцијална пресметка|диференцијалните пресметки]] за кои максималниот оператор не применува недиференцијални функции. Продолжувајќи ја работата на Нојман во [[Теорија на кооперативни игри|теоријата за кооперативни игри]], теоретичарите на игрите Лојд С. Шепли, [[Мартин Шјубик]], Херв Молин, Нимрод Мегидо и Безалел Пелег имале големо влијание врз економските истражувања во политиката и економијата. На пример, истражувањата на фер цените во кооперативните игри и [[Шеплиева вредност|фер вредностите]] за [[Гласачки систем|играта на гласање]] довеле до промена на правилата за гласање во легислативата и во пресметките за цената на јавните проекти. На пример, теоријата за кооперативни игри била употребена во дизајнирањето на дистрибутивниот систем за вода во јужна Шведска и за одредување на стапката за посветени телефонски линии во САД.

Раните [[Неокласична економија|неокласични]] теории го ограничиле само опсегот на исходот од ценовното договарање во посебни случаи, на пример [[билатерален монопол]] или помеѓу [[Договорна крива|договорната крива]] на еџвортовиот дијаграм. Резултатите на Нојман и Моргенстерн биле слаби. Следејќи ја програмата на Нојман, [[Џон Форбс Неш|Џон Неш]] ја употребил теоријата на неподвижна точка за да ги докаже условите под кои проблемите во [[Ценовно договарање|договарањето]] на цените и [[Некооперативни игри|некооперативните игри]] можат да генерираат решение за единствена рамнотежа. Теоријата за некооперативните игри била приспособена како фундаментален аспект на [[Експериментална економија|експерименталната економија]], [[Економско однесување|економското однесување]], [[Информациска економија|информациската економија]], [[Индустријална организација|индустријалната организација]] и [[Политичка економија|политичката економија]]. Исто така, довела до напредок во истражувањето на дизајнот на механизмот (понекогаш нарекуван обратна теорија на игрите) кој има лични и [[Јавна политика|јавни примени]] на начин на подобрување на [[Економска ефикасност|економската ефикасност]] преку стимулации за споделување на информации.

Во 1994, Неш, [[Џон Харсаниј]] и [[Рејнхард Селтер]] добиле [[Нобелова награда за економија]] за нивната работа при некооперативните игри. Харсаниј и Селтер биле наградени за нивната работа во [[Повторена игра|повторените игри]]. Подоцнежната работа ги проширила нивните резултати во пресметковните методи на моделирањето.

=== Пресметковна економија заснована на посредници ===
[[Пресметковна економија заснована на посредници|Пресметковната економија засновата на посредници]] (ПЕЗП) како поле на истражување е релативно ново, датирајќи од 1990-тите. Ги проучува [[Економија|економските]] процеси, вклучувајќи ги сите економии, како [[динамички систем]]и на интеракција помеѓу [[Посредник (економија)|посредници]]. Како таква, потпаѓа во [[парадигма]]та на [[Компелксен применет систем|комплексните применливи системи]]. Во соодветните модели засновани на посредници, посредниците не се вистински луѓе туку „компјутерски моделирани интерактивни предмети според правилата“... „чие микро-ниво на интеракција создава појавни модели“ во просторот и времето. Правилата се формулирани да би го предвидувале однесувањето и социјалните интеракции засновани на информации и стимулации. Теоретската претпоставка за математичка *оптимизација* на посредничките пазари е заменета со помалку рестриктивен постулат на посредници со [[Ограничена рационалност|*ограничена* рационалност]] во *адаптацијата* на пазарните сили.

ПЕЗП моделите применуваат [[бројчен метод|бројчени методи]] на анализа во [[Компјутерска симулација|компјутерски заснованите симулации]] на комплексните динамички проблеми за кои поконвенционалните методи, како на пример формулацијата на теореми, може и да не пронајдат вистинска употреба. Почнувајќи од утврдени почетни услови, пресметковниот [[економски систем]] е моделиран како еволутивен со текот на времето со оглед на тоа што неговите составни посредници постојано се во меѓусебна интеракција. Од овој аспект, ПЕЗП е окарактеризиран како културен оддолу-нагорен пристап во изучувањето на економијата. Во контраст на други стандардни методи за моделирање, настаните во ПЕЗП се водени од почетни услови, без разлика дали постои или не постои рамнотежа или, пак, се компјутерски подложни на следење. Моделирањето на ПЕЗП вклучува приспособување на посредници, авотномија и учење. Слично е, и се поклопува со, [[Теорија на игрите|теоријата на игрите]] во поглед на метод заснован на посредници за моделирање на социјални интеракции. Помеѓу другите димензии на пристап се вклучени и оние стандардните економски теми како [[конкуренција]] и [[соработка]], [[пазарна структура]] и индустријална организација, [[Трансакционен трошок|трошоци за трансакција]], [[економска благосостојба]] и механички дизајн, [[Информациска економија|информација и несигурност]] и [[макроекономија]].
   
== Математизација на економијата ==

Во текот на XX век, колумните во „јадрените списанија“ во економијата биле скоро ексклузивно пишувани од академски економисти. Како резултат на тоа, поголемиот дел од материјалот во овие списанија се однесува на економската теорија и самата економска теорија континуирано била поапстрактна и поматематичка. Субјективна оценка за математичките техники, зачната во овие јадрени списанија, покажала пад од 95% во 1892 до 5,3% во 1990 во исфрлањето од употреба на геометриските претставувања и математичките нотации. Истражување од 2007 на десетте најдобри економски списанија покажало дека само 5,8% од статиите издадени во 2003 и 2004 не биле поддржани со статистички анализи на податоци и математички пресметки.

== Економетрија ==

Помеѓу двете светски војни, напредокот во [[Математичка статистика|математичката статистика]] и еден дел на добро обучени економисти довеле до употреба на [[економетрија]]та, што била дисциплина на развојната економија при употреба на математика и статистика. Во рамките на економијата, економетријата е често употребувана за статистички методи во науката, повеќе отколку математичката економија. Статистичката економетрија вклучува примена на линеарна регресија и временски сериски анализи на економските податоци.

[[Рагнар Фриш]] прв го употребил зборот економетрија и помогнал во создавањето на друштвото за економетрија во 1930 и списанието „[[Econometrica]]“ во 1933. Неговиот студент, Тригви Хавелмо, во 1944 ја издал книгата „Можниот приспат во економетријата“ каде тврди дека прецизните статистички анализи можат да бидат употребени како алатка при вреднувањето на математичките теории за економските глумци со податоци за сложени извори. Поврзаноста на статистичките анализи на системите со еконмската теорија била потврдена и преку гласање на „Cowles Commission“ (денес „Cowles Foundation“) во текот на 1930-тите и 1940-тите.

=== Рани дела во економетријата ===
Корените на модеранта економија можат да бидат проследени до американскиот економист [[Хенри Лудвел Мур|Хенри Л. Мур]]. Мур ја проучувал земјоделската продуктивност и се обидел во крива да вметне променливи вредности на продуктивноста на парцели со пченка и други житни растенија, употребувајќи различни вредности за еластичноста. Мур направил неколку грешки во неговата работа, некои при неговиот избор на модели, а некои поради ограниченоста во неговата употреба на математиката. Точноста на муровите модели, исто така, била ограничена од малиот број на податоци за нациналните сметки во САД во тој период. Првите негови модели на продуктивност биле статични, а во 1925 тој објавил динамичен модел на „подвижна рамнотежа“ дизајниран да би се објасниле бизнис циклусите. Поформална изведба на неговите модели била направена подоцна од страна на Николас Калдор, кој добил гомеми заслуги за неговото толкување.

== Примена ==

[[Податотека:Islm.svg|мини|300п|*IS/LM* моделот е кејнзијански макроекономски модел дизајниран да прави предвидувања за пресекот во „реалната“ економска активност (пример: трошење, приход, стапка на заштеда) и одлуки направени во финансиските пазари (парична маса и својства на ликвидноста). Моделот повеќе не е широко изучуван при додипломските студии, но може да се пронајде на некои макроекономски курсеви.]]

Поголемиот дел од класичната економија може да биде претставен со едноставни геометриски изрази или елементарни математички нотации. Математичката економија, сепак, конвенционално ги употребува [[калкулус]] и [[Матрица (математика)|матричната алгебра]] во економската анализа со цел да создаде силни тврдења кои би било тешко да се достигнат без помош од математичките алатки. Овие алатки се предуслов за формално изучување, не само на математичката економија, туку и за модерната економска теорија во целина. Економските проблеми често вклучуваат толку многу променливи што ја прави [[математика]]та единствен практичен начин за поставување и решавање на истите. [[Алфред Маршал]] тврдел дека секој економски проблем кој може да биде квантифициран, аналитички изразен и решен, треба да биде третиран со помош на математиката.

Економијата стана високо зависна од математичките методи, а математичките алатки стануваа сè пософистицирани. Како резултат на тоа, математиката стана значително поважна за професионалците во економијата и финансиите. Постдипломските студии во економијата и во финансиите бараат силна математичка додипломска подготовка и, поради тоа, привлекуваат голем број на [[математичар]]и. [[Применета математика|Применетата математика]] применува математички принципи во практичните проблеми, како на пример економските анализи и другите проблеми поврзани со економијата, а сè поголем број на економски проблеми се дефинирани како интегрирани проглеми во опфатноста на применетата математика. Оваа интеграција е резултат на формулацијата на економските проблеми како стилизирани модели со чисти претпоставки и можни погрешни предвидувања.

Во основа, формалните економски модели можат да бидат класифицирани како стохастички или детерминистички и дискретни или континуирани. На практично ниво, квантитативното моделирање се применува во многу области на економијата и неколку методологии еволуирале, повеќе или помалку, во меѓусебно независни.

* [[Стохастика|Стохастичките]] модели се формулирани со употреба на [[Стохастичен процес|стохастички процеси]]. Тие, со текот на времето, моделираат економски видливи вредности. Поголемиот дел од [[економетрија]]та се заснова на [[статистика]] за да би се формулирале и испробувале [[Хипотеза|хипотези]] за овие процеси или проценети параметри за истите. Помеѓу двете светски војни, [[Херман Волд]] развил светско распаѓање на стационарните стохастички процеси во услови на авторегресивни модели и детерминистички тренд. Волд и Жан Тинберген примениле временски сериски анализи во економските податоци. Современите истражувања на времнската сериска статистика вклучуваат додатни формулации на стационираните модели, како на пример моделот за просечно авторегресивно движење. Поопштите модели вклучуваат и модели на авторегресивна условна хетероскедастичност.
* [[Детерминистички систем (математика)|Нестохастичките]] (детерминистичките) математички модели можат да бидат чисто квалитативни (на пример: модели вклучени во некои аспекти на [[Теорија на општествен избор|теоријата за социјален избор]]) или квантитативни (вклучувајќи рационализација на финансиските променливи, на пример со хиперболските координати и/или специфични форми на функционалната врска помеѓу променливите). Во некои случаи, економските предвидувања на различните модели даваат насока на движењето на економските варијабили и со тоа функционалните врски се употребуваат само во квалитативна смисла, на пример: доколку цената на некое добро порасне, тогаш побарувачката за истото добро ќе се намали. За овие модели, економистите често употребуваат дводимензионални графи наместо функции.
* [[Квалитативна економија|Квалитативните]] модели се повремено употребувани. Пример може да биде квалитативното [[сценариско планирање]] во кое можните идни настани се одглумени. Друг пример може да биде анализата на небројчените одлуки. Квалитативните модели најчесто патат од недостаток на прецизност.

== Критики и заштита ==
=== Адекватноста на математиката во квалитативната и сложена економија ===
Фридрих Хајек верувал дека употребата на формални техники проектира научна точност која не може соодветно да ги вклучува информациските ограничувања со кои се соочуваат економските посредници. 

Во интервју, економскиот историчар [[Роберт Хејлбронер]] изјавил:

Хејлбронер изјавил дека „дел/повеќето од економијата не е природно квантитативна, па според тоа не е подложна на математичко толкување“.

=== Испробување на предвидувањата на математичката економија ===
Филозофот [[Карл Попер]] дискутирал за научната положба на економијата во 1940-тите и 1950-тите. Тој тврдел дека математичката економија страда од можноста да биде [[Тавтологија (логика)|тавтологизирана]]. Со други зборови, доколку економијата стане математичка теорија, математичката економија престане да се потпира на емпириските побивања, тогаш започнува да се потпира на [[Математички доказ|математичките докази]] и побивања. Според Попер, лажните претпоставки можат да бидат набљудувани и испробувани со експерименти, додека вистинитите претпоставки можат да бидат изучувани математички во поглед на нивните последици и нивната [[Постојаност|доследност]] во однос на другите претпоставки.

Споделувајќи ги грижите на Попер, општо, околу претпоставките во економијата, а не само математичката економија, [[Милтон Фридман]] изјавил дека „сите претпоставки се нереалистични“. Фридман предложил судење на економските модели според нивните претпоставени изведби, а не судење од стана на математиката.

=== Математичката економија како форма на чиста математика ===


Имајќи ја впредвид математичката економија, [[Џон Мејнард Кејнс|Џ. М. Кејнс]], во „Општата теорија“, напишал:



=== Одбрана на математичката економија ===
Како одговор на овие критики, Пол Семјуелсон тврдел дека математиката е јазик, повторувајќи тези од [[Вилард Гибс]]. Во економијата, математичкиот јазик е понекогаш потребен за претставување на суштинските проблеми. Покрај тоа, математичката економија доведе до концептуален напредок во економијата. Во основа, Семјуелсон дал пример од [[микроекономија]]та, пишувајќи дека „малку луѓе се доволно генијални за да ги сфатат (нејзините) посложени делови... *без* да се засноваат на математичкиот јазик, додека пак, повеќето обични поединци можат да го направат истото *со* математичка помош.“

Некои економисти тврдат дека математичката економија заслужува поддршка исто колку и другите форми на математика, особено нејзините посродни области во математичката оптимизација и математичката статистика и повеќе во [[Теоретска компјутерска наука|теоретската компјутрска наука]]. Математичката економија и другите математички науки имаат историја во која теоретскиот напредок има регулрани придонеси во реформата на поприспособливите гранки на економијата. Во основа, следејќи ја програмата на [[Џон фон Нојман]], теоријата на игри сега ги обезбедува основите за опишување на поголемиот дел од применетата економија, од теоријата на статистички одлуки (како „игра против природата“) и економетријата на теоријата за општа рамнотежа и индустриска организација. Во последната декада, со зголемената употреба на интернетот, математичките економисти, експертите за оптимизација и комјутерските научници работеле на проблемите во одредувањето на цената на онлајн услугите - нивните придонеси се засноваат на употребата на математиката од теоријата за кооперативни игри, недиференцијалната оптимизација и комбинаторните игри.

[[Роберт Солоу|Роберт М. Солоу]] заклучил дека математичката економија е јадрото на „[[инфраструктура]]та“ на современата економија:


== Математички економисти ==

=== XIX век ===

* Енрико Бароне
* Антоан Огистен Курно

* Франсис Исидро Еџворт

* Ирвинг Фишер

* Вилијам Стенли Џевонс


=== XX век ===

* Чарламбос Д. Алипрентис
* Р. Џ. Д. Ален
* Морис Алајас
* Кенет Џ. Ароу
* Роберт Џ. Омен
* Ајвис Баласко
* Дејвид Блеквел
* Лоренс Блум
* Грасиела Чичилниски

* Џорџ Б. Данциг
* Жерард Дебро
* Жаквес Дрезе
* Дејвид Гејл

* Николас Џорџеску-Роген
* Роџер Геснери
* Френк Хан
* Џон Харсениј
* Џон Р. Хикс
* Вернер Хилдербренд
* Харолд Хотлинг
* Леонид Хурвиц
* Леонид Канторович
* Тјалинг Купменс
* Дејвид М. Крипс
* Харолд В. Кун
* Едмонд Малинвод


* Андре Мас-Колел
* Ерик Маскин
* Нимрод Мегидо
* Џејмс Мирлис
* Роџер Маерсон
* [[Џон Форбс Неш]] Џуниор
* Џон фон Нојман
* Едвард Прескот
* Рој Реднер
* Френк Ремзи
* Доналд Џон Роберт
* Пол Семјуелсон
* Томас Сарџент

* Леонид Џ. Севиџ
* Херберт Скарф
* Рејнхард Селтен
* Амартја Сен
* Лојд С. Шепли
* Стивен Смели
* Роберт Солоу
* Хуго Ф. Соненшејн
* Алберт В. Такер
* Хирофуми Узава
* Роберт Б. Вилсон
* Херман Волд
* Николас Јанелис


== Надворешни врски ==
* *Списание за математичка економија'' Цели и Опсег
* 
 
## Наводи


Категорија:Економска методологија