Криволиниски интеграл

**Криволиниски интеграл** — интеграл за кој областа на интеграција е одредена крива, најчесто дефинирана во рамнина или простор. За разлика од *обичниот* определен интеграл, за чијшто домен на интеграција е земен одреден правоаголен сегмент од просторот, криволинискиот интеграл овозможува пресметување на интеграл во кој доменот на функцијата е претставен со точки на одредена глатка (или дел по дел глатка) крива. Во математиката се дефинирани криволиниски интеграли од прв и втор вид. Во физиката**, криволиниски интеграли од втор ред** се користат при пресметување на работат извршена од сила по дадена крива.

## Криволиниски интеграл од прв вид
десно|мини|250x250пкс| Криволиниски интеграл од прв вид
Ако со f(x,y,z) ја означиме функцијата чиј интеграл го пресметуваме, а со L ја означиме дадената крива, криволинискиот интеграл од прв вид е означен на следниов начин:

: \int\limits_L f(x,y,z)\,ds .

Ако едниот крај на кривата L го означиме со A, а нејзиниот друг крај со B, криволинискиот интеграл од прв тип се обележува и со:

: \int\limits_{AB} f(x,y,z)\,ds .

### Дефиниција
Нека кривата L е зададена параметарски на интервалот [\alpha, \beta] :

: x=\varphi(t), y=\psi(t), z=\chi(t)\,\,\,\,(t\in[\alpha, \beta]) .

Нека на таак, односно на множеството точки што ја сочинуваат, е дефинирана функцијата f(x, y, z).

Можеме да формираме поделба на интервалот [\alpha, \beta] на n делови, со следните ознаки:

: \alpha=t_1 .

Во секој сегмент [t_i, t_{i-1}] можеме да избереме по едно \tau_i, од кои секое параметарски одредува една точка M_i(\xi_i, \eta_i, \zeta_i), каде е \xi_i=\varphi(\tau_i), \eta_i=\psi(\tau_i), \zeta_i=\chi(\tau_i). Со \Delta s_i ќе ја означиме должината на кривата на сегментот [t_i, t_{i-1}]. Тогаш ја имаме следната ознака:

: \sigma_1(f, L) = \sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta s_i

Јасно е дека за различни поделби на интервалот горенаведениот израз ќе има различни вредности. Нас нè интересира случајот кога \Delta s_i тежи кон нула, т.е. кога поделбата на интервалот [\alpha, \beta] е „бесконечно густа“. На тој начин го воведуваме поимот криволиниски интеграл од прв вид: ако постои некој број I, таков што за секого \varepsilon>0 постои одредено \delta>0 така што:

: max(\Delta s_i) ,

тој број I ќе го наречеме криволиниски интеграл од прв вид на функцијата f на кривата L. Се запишува како што е дадено во воведот на текстот. Кривата на интеграција се нарекува и *лак* на интеграција.

### Особини
Криволинискиот интеграл од прв вид дели некои од основните својства со обичниот определен интеграл.

# \int\limits_L(\alpha f(x,y,z)+\beta g(x,y,z))ds = \alpha \int\limits_L f(x,y,z)ds + \beta \int\limits_L g(x,y,z)ds ,
# Ако е точно за секоја домен точка: f(x,y,z) , тогаш: \int\limits_L f(x,y,z)ds  ,
# |\int\limits_L f(x,y,z)ds| \le \int\limits_L |f(x,y,z)|ds ,
# \int\limits_{AB} f(x,y,z)ds = \int\limits_{AC} f(x,y,z)ds + \int\limits_{CB} f(x,y,z)ds, ако точката C се наоѓа помеѓу точките A и B.

Спротивно на криволинискиот интеграл од втор вид, за кој постои поимот *ориентација*, за криволинискиот интеграл од прв вид важи следново:

: \int\limits_{AB} f(x,y,z)ds = \int\limits_{BA} f(x,y,z)ds .

### Пресметување
Криволинискиот интеграл од прв вид, согласно ознаките во делот „Дефиниција“, се пресметува со следнава формула:

: \int\limits_{AB} f(x,y,z) ds = \int\limits_\alpha^\beta f(\varphi(t), \psi(t), \chi(t))\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)+\chi'^2(t)}\,dt

Условите за користење на оваа формула се  функцијата f да е непрекината и ограничена на кривата L и дека кривата L е глатка и без сингуларни точки. Формулата важи и во случаи кога кривата е глатка дел по дел, а функцијата е непрекината дел по дел.

## Криволиниски интеграл од втор вид
десно|мини|250x250пкс| Криволиниски интеграл од втор вид

### Дефиниција
Нека кривата L е зададена параметарски на интервалот [\alpha, \beta] :

: x=\varphi(t), y=\psi(t), z=\chi(t)\,\,\,\,(t\in[\alpha, \beta]) .

Нека на таа крива, односно на множеството точки што ја сочинуваат, се дефинирани функциите P(x, y, z), Q(x, y, z) јас R(x, y, z).

Можеме да формираме поделба на интервалот [\alpha, \beta] на n делови, со следните ознаки:

: \alpha=t_1 .

Во секој сегмент [t_i, t_{i-1}] можеме да избереме по едно \tau_i, од кои секое параметарски одредува по една точка M_i(x_i, y_i, z_i), каде е x_i=\varphi(\tau_i), y_i=\psi(\tau_i), z_i=\chi(\tau_i). Со \Delta x_i ќе ја означиме разликата x_i-x_{i-1}, и аналогно на тоа \Delta y_i и \Delta z_i. Тогаш ги имаме следните ознаки:

: \sigma_2(P, L) = \sum\limits_{i=1}^{n} P(x_i, y_i, z_i) \Delta x_i
: \sigma_3(Q, L) = \sum\limits_{i=1}^{n} Q(x_i, y_i, z_i) \Delta y_i
: \sigma_4(R, L) = \sum\limits_{i=1}^{n} R(x_i, y_i, z_i) \Delta z_i

Во наредниот текст ќе зборуваме за \sigma_2(P, L), имајќи предвид дека аналогните симболи важат и за \sigma_3 и \sigma_4. Јасно е дека за различни поделби на интервалот горенаведениот израз \sigma_2 ќе има различни вредности. Нас нè интересира случајот кога \Delta x_i тежи кон нула, т.е. кога поделбата на интервалот [\alpha, \beta] е „бесконечно густа“. На тој начин, ако постои број I, таков што за секое \varepsilon>0 постои одредено \delta>0 така што:

: max(\Delta x_i) ,

тој број I ќе го наречеме криволиниски интеграл од втор вид на функцијата P на кривата L. Се запишува на следниов начин:

: \int\limits_{L} P(x,y,z)\,dx, или само:
: \int\limits_{L} Pdx .

Аналогно се дефинираат интегралите\int\limits_{L} Qdy и \int\limits_{L} Rdz . Најчесто се посматраат збировите на овие интеграли:

: \int\limits_{L} Pdx + \int\limits_{L} Qdy + \int\limits_{L} Rdz ,

кои обично се означуваат како:

: \int\limits_{L} Pdx + Qdy + Rdz . (1)

Ако ја усвоиме ознаката за векторска функција \overrightarrow{r}(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), односно \overrightarrow{r} = (P, Q, R), тогаш ознаката (1) ја нарекуваме *(општ) криволиниски интеграл  од втор ред на функцијата <math>\overrightarrow{r}</math>.*

Во случај кривата L да е *затворена* т.е. A=B, зборуваме за *циркулација* и дефинираниот интеграл го обележуваме со:

: \oint\limits_{L} Pdx + Qdy + Rdz ,

иако ова не е задолжително да се најде во литературата, бидејќи понекогаш се смета за излишно.

### Особини
За разлика од криволинискиот интеграл од прв ред, во кој нема поим за ориентација и за кој важи својството:

: \int\limits_{AB} f(x, y, z)ds = \int\limits_{BA} f(x, y, z)ds ,

кај криволинискиот интеграл од втор ред, важи својството:

: \int\limits_{AB} Pdx + Qdy + Rdz = -\int\limits_{BA} Pdx + Qdy + Rdz .

Ова својство настанува како последица на дефиницијата на криволинискиот интеграл и фактот дека x_i-x_{i-1} = -(x_{i-1}-x_i). На тој начин, не е небитно дали вршиме интеграција во едната или другата насока на кривата, и ова својство на интегралите од втор ред го нарекуваме *ориентабилност*, односно *ориентација* на кривата.

### Пресметување
Формула за пресметување на вредноста на криволиниски интеграл од функцијата од втор ред P (аналогно на Q, R, согласно ознаката во пододделот „Дефиниција“ на овој дел) е следна:

: \int\limits_{AB} P(x, y, z)dx = \int\limits_{\alpha}^{\beta} P(\varphi(t), \psi(t), \chi(t)) \varphi'(t)

Формулата важи доколку функцијата P(x, y, z) е непрекината на кривата AB, а кривата AB е глатка и без сингуларни точки. Таа важи и ако споменатата крива е глатка дел по дел, а функцијата P е непрекината дел по дел.

Во случај на затворена дводимензионална крива, т.е. криви сместена во рамнина, и под одредени услови, криволинискиот интеграл од втор вид, исто така, може да се пресмета со помош на Гриновата теорема.

### Независност на интеграцијата од патеката
Јасно е дека во општи случај вредноста на криволинискиот интеграл од втор ред ќе зависи од обликот на кривата на интеграција L, т.е. нејзината „патека“. Понекогаш, меѓутоа, тоа не е така и вредноста на интегралот ќе зависи само од почетната и завршната точка, и ќе биде целосно независна од средните точки, т.е. од обликот на кривата. Имено, валидна е следнава теорема која има свои примени во науката и технологијата:

Следниве искази се еквивалентни:

* За векторска функција \overrightarrow{r} = (P, Q, R) постои функција u, таква што е (u_x', u_y', u_z') = (P, Q, R)
* Криволинискиот интеграл \int\limits_{AB} Pdx + Qdy + Rdz не зависи од траекторијата, туку само од точките A иB. Вредноста на интегралот во тој случај ќе биде u(B) - u(A)
* Циркулација \oint\limits_{L} Pdx + Qdy + Rdz на произволна затворена патека е еднаква на нула.

## Поврзано
* Површински интеграл

## Наводи

## Надворешни врски
Математика II - Елена Атанасова, Слободанка Георгиевска

Категорија:Комплексна анализа
Категорија:Векторска анализа
Категорија:Интеграли