Бранова равенка

**Бранова равенка** – важна парцијална диференцијална равенка со која се опишува простирањето на брановите. Брановите може да бидат звучни, електромагнетни, водени, итн., но сите се простираат според истиот принцип содржан во брановата равенка. Брановата равенка се јавува и се користи во акустиката, електромагнетизмот, оптиката, динамиката на флуиди. Најзначаен придонес за решавање на проблемот на опишување на осцилациите и простирањето на брановите дале Жан ле Рон Даламбер, Леонард Ојлер, Даниел Бернули и Жозеф-Луј Лагранж.

## Вовед
Брановата равенка е типичен пример на хиперболична парцијална диференцијална равенка. Во наједноставниот облик, брановата равенка се однесува на скаларната големина *u* која ја задоволува равенката:

:{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \Delta u, 

каде **c** (константа) е брзина на бранот, а \Delta = \nabla^2 е Лапласов оператор. За звучните бранови во воздух на 20&nbsp;°C изнесува околу 343&nbsp;m/s (види брзина на звукот). За осцилирачка жица, брзината може да се менува во голем опсег бидејќи зависи од  линеарната густина на жицата и нејзината затегнатост. Многу пореалистичен модел на брановата равенка ја зема предвид дисперзијата, т.е. зависноста на брзината на брановите од неговата честота. Тогаш *c* се заменува со фазната брзина:
:v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}.

:{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c(u)^2 \Delta u 
:\rho{ \ddot{\mathbf{u}}} = \mathbf{f} + (\lambda + 2\mu )\nabla(\nabla \cdot \mathbf{u}) - \mu\nabla \times (\nabla \times \mathbf{u})

## Скаларна бранова равенка во еднопросторна димензија
### Изведување на брановата равенка
Брановата равенка во еднодимензионален случај може да се изведе на следниов начин: нека има низа мали тегови, секој со маса *m*, поврзани со пружини од кои секоја има должина *h* и коефициент на еластичност (физика)еластичност *k*:

:Податотека:Array of masses.svg

Овде *u(x)* претставува отклон од рамнотежната положба на малата маса на координатата *x*. Силите кои делуваат на масата m во положбата x+h се:

:F_{Newton}=m \cdot a(t)=m \cdot  d\xi\,d\eta. \,

Очигледно е дека решението на (*t*,*x*,*y*) зависи не само од податоците на светлосниот конус каде што:

: (x -\xi)^2 + (y - \eta)^2 = c^2 t^2, \,

туку исто така и од податоците во внатрешноста на тој конус.

## Проблем со границите
### Еднопросторна димензија
: -u_x(t,0) + a u(t,0) = 0, \,

: u_x(t,L) + b u(t,L) = 0,\,

: u(t,x) = T(t) v(x).\,

: \frac{T*}{c^2T} = \frac{v*}{v} = -\lambda. \,

: v* + \lambda v=0, \,</math>

:<math> -v'(0) + a v(0) = 0, \quad v'(L) + b v(L)=0.\,</math>

=== Неколкупросторни димензии ===
:<math> \frac{\partial u}{\partial n} + a u =0, \,</math> 
:<math> u(0,x) = f(x), \quad u_t=g(x), \,</math> 
:<math> \nabla \cdot \nabla v + \lambda v = 0, \,</math>

во *D*, и

:<math>  \frac{\partial v}{\partial n} + a v =0, \,</math>

на *B*.

== Нехомогена бранова равенка во една димензија ==
:<math>u(x,0)=f(x)\,</math>
:<math>u_t(x,0)=g(x).\,</math>
:<math>\int \int_{R_C} \left (c^2 u_{x x}(x,t) - u_{t t}(x,t) \right) dx dt = \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt. </math>

:<math>\int_{ L_0 + L_1 + L_2 } \left (- c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right) = \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt. </math>

:<math>\int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} - u_t(x,0) dx = - \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx.</math>

:<math>\int_{L_1} \left (- c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right) \,</math>
:: <math>= \int_{L_1} \left (c u_x(x,t) dx + c u_t(x,t) dt \right)\, </math>
::<math>= c \int_{L_1} d u(x,t) = c u(x_i,t_i) - c f(x_i + c t_i).\,</math>

:<math>\int_{L_2} \left (- c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right) </math>
::<math>= - \int_{L_2} \left (c u_x(x,t) dx + c u_t(x,t) dt \right) </math>
:: <math>= - c \int_{L_2} d u(x,t) = - \left (c f(x_i - c t_i) - c u(x_i,t_i) \right) </math>
:: <math>= c u(x_i,t_i) - c f(x_i - c t_i).\,</math>

:<math>- \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + c u(x_i,t_i) - c f(x_i + c t_i) + c u(x_i,t_i) - c f(x_i - c t_i) = \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt </math>
:<math>2 c u(x_i,t_i) - \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx - c f(x_i + c t_i) - c f(x_i - c t_i) = \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt </math>
:<math>2 c u(x_i,t_i) = \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + c f(x_i + c t_i) + c f(x_i - c t_i) + \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt </math>
:<math>u(x_i,t_i) = \frac{f(x_i + c t_i) + f(x_i - c t_i)}{2} + \frac{1}{2 c}\int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + \frac{1}{2 c}\int^{t_i}_0 \int^{x_i + c \left (t_i - t \right )}_{x_i - c \left (t_i - t \right )} s(x,t) dx dt. \,</math>

== Поврзано ==
* [[Хелмхолцова равенка]]
* [[Равенка на звучни бранови]]
* [[Равенка на електромагнетни бранови]]
* [[Нехомогена равенка на електромагнетни бранови]]
* [[Доплеров ефект]]
* [[Шредингерова равенка]]

== Литература ==
* M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", *Acta Math.*, *'124** (1970), 109–189. 
* M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", ''Acta Math.'', **131*' (1973), 145–206.
* R. Courant, D. Hilbert, *Methods of Mathematical Physics, vol II*. Interscience (Wiley) New York, 1962.
* "[http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/wave-toc.pdf Linear Wave Equations]", *EqWorld: The World of Mathematical Equations.*
* "[http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde-toc2.pdf Nonlinear Wave Equations]", *EqWorld: The World of Mathematical Equations.*
* William C. Lane, "[https://web.archive.org/web/20060221232740/http://35.9.69.219/home/modules/pdf_modules/m201.pdf <small>MISN-0-201</small> The Wave Equation and Its Solutions]", *Project PHYSNET''.

## Надворешни врски
* Nonlinear Wave Equations by Stephen Wolfram and Rob Knapp, Nonlinear Wave Equation Explorer by Wolfram Demonstrations Project.
* Mathematical aspects of wave equations are discussed on the Dispersive PDE Wiki .
* Graham W Griffiths and William E. Schiesser (2009). Linear and nonlinear waves. Scholarpedia, 4(7):4308. doi:10.4249/scholarpedia.4308

Категорија:Равенки
Категорија:Бранови
Категорија:Фундаментални концепти на физиката
Категорија:Бранова механика
Категорија:Равенки во физиката