Точни тригонометриски вредности

Во математиката, вредностите на тригонометриските функции можат да се изразат приближно, како во \cos (\pi/4) \approx 0.707, или точно, како во \cos (\pi/ 4)= \sqrt 2 /2. Додека тригонометриските таблици содржат многу приближни вредности, точните вредности за одредени агли може да се изразат со комбинација на аритметички операции и квадратни корени.

## Вообичаени агли
Тригонометриските функции на аглите кои се множители на 15°, 18° или 22,5° имаат едноставни алгебарски вредности. Овие вредности се наведени во следната табела за агли од 0° до 90°. За агли вон овој опсег, тригонометриските вредности може да се најдат со примена на еднаквостите на рефлексија и поместување. Во табелата подолу, \infty значи сооднос 1:0. Овие вредности може да се сметаат и за недефинирани (види делење со нула).

:

## Изразување со квадратни корени
Некои точни тригонометриски вредности, како на пример \sin(60^\circ)=\sqrt{3}/2, може да се изрази во смисла на комбинација од аритметички операции и квадратни корени. Таквите броеви се нарекуваат конструктибилни, бидејќи една должина може да се конструира со шестар и линијар од друга, ако и само ако односот помеѓу двете должини е таков број. Сепак, некои тригонометриски вредности, како на пример \cos(20^\circ), докажано е дека не се конструктибилни.

Синусот и косинусот на агол се конструктибилни ако и само ако аголот е конструктибилен. Ако аголот е рационален множител на π радијани, дали е конструктибилен или не, може да се одреди на следниов начин. Аголот нека биде a\pi/b радијани, каде што *a* и *b* се заемно прости цели броеви. Тогаш аголот е конструктибилен ако и само ако првичната факторизација на именителот, *b*, се состои од кој било број на прости Фермаови броеви, секој со експонент 1, помножено со кој било степен на двојка. На пример, 15^\circ и 24^\circ се конструктибилни бидејќи се еквивалентни на \pi/12 и 2\pi/15 радијани соодветно. 12 е производ од 3 и 4, а 3 е прост Фермаов број и 4=2*2 е производ на прост Фермаов број и степен на двојка, а 15 е производ на Фермаовите прости броеви 3 и 5. Од друга страна, 20^\circ не е конструктибилен затоа што одговара на именителот 9 = 32, а простиот број на Ферма не може да се подигне на степен поголем од еден. Друг пример, (360/7)^\circ не е конструктибилен, бидејќи именителот 7 не е прост Фермаов број.

## Изведување на конструктибилни вредности
Вредностите на тригонометриските броеви може да се изведат преку комбинација на методи. Вредностите на синус и косинус од 30, 45 и 60 степени се добиени со анализа на триаголниците 30-60-90 и 90-45-45. Ако аголот е изразен во радијани како a\pi/b, ова го опфаќа случајот кога *a* е 1, а *b* е 2, 3, 4 или 6.

### Формула со половина агол
Ако именителот, *b*, се помножи со дополнителни множители на 2, синусот и косинусот може да се изведат со формулите за половина агол. На пример, 22,5° (π /8 rad) е половина од 45°, така што неговиот синус и косинус се:

: \sin(22.5^\circ) = \sqrt{\frac{1 - \cos(45^\circ)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}
: \cos(22.5^\circ) = \sqrt{\frac{1 + \cos(45^\circ)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

Повторената примена на формулата за половина агол на косинус доведува до вгнездени квадратни корени кои продолжуваат во шема каде што секоја примена додава \sqrt{2 + \cdots} на броителот и именителот е 2. На пример:

: \cos\left(\frac{\pi}{16}\right) = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\qquad\cos\left(\frac{\pi}{32}\right) = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2}
: \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \qquad \cos\left(\frac{\pi}{24}\right) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}{2}

### Синус од 18°
Случаите кога именителот, *b*, е 5 пати поголем од степенот 2, може да започнат од следното изведување на \sin(18^\circ), со оглед дека 18^\circ = \pi/10 радијани. Изведувањето ги користи формулите за повеќекратни агли за синус и косинус. Со формулата за двоен агол за синус:

: \sin(36^\circ) = 2\sin(18^\circ)\cos(18^\circ)

Според формулата за троен агол за косинус:

: \cos(54^\circ) = \cos^3(18^\circ) - 3\sin^2(18^\circ)\cos(18^\circ) = \cos(18^\circ)(1 - 4\sin^2(18^\circ))

Бидејќи sin(36°) = cos(54°), ги изедначуваме овие два изрази и го поништуваме факторот cos(18°):

: 2\sin(18^\circ) = 1 - 4\sin^2(18^\circ)

Оваа квадратна равенка има само еден позитивен корен:

: \sin(18^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}

### Користење на други еднаквости
Синусите и косинусите на многу други агли може да се изведат користејќи ги резултатите опишани погоре и комбинација од формулите за повеќекратни агли и формулите за збир и разлика. На пример, за случајот кога *b* е 15 пати поголема од степенот 2, бидејќи 24^\circ = 60^\circ - 36^\circ, неговиот косинус може да се изведе со формулата за разлика од косинус:

\begin{align}\cos(24^\circ) &= \cos(60^\circ)\cos(36^\circ) + \sin(60^\circ)\sin(36^\circ) \\
&= \frac{1}{2}\frac{\sqrt{5}+1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\
&= \frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}\end{align}

### Именител 17
Бидејќи 17 е прост Фермаов број, правилен 17-аголник е конструктибилен, што значи дека синусите и косинусите на аглите како што се 2\pi/17 радијани може да се изразат со квадратни корени. Конкретно, во 1796 година, Карл Фридрих Гаус покажал дека: 

: \cos\left(\frac{2\pi}{17}\right) = \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}} + 2\sqrt{17+3\sqrt{17} - \sqrt{170+38\sqrt{17}}}}{16}

Оттука може да се изведат синусите и косинусите на другите конструктибилни агли со именител делив со 17.

## Корени од единица
Ирационален број што може да се изрази како синус или косинус на рационален повеќекратник на π радијани се нарекува *тригонометриски број*. Бидејќи \sin(x)=\cos(x-\pi/2), случајот на синус може да се изостави од оваа дефиниција. Затоа секој тригонометриски број може да се запише како \cos(2\pi k/n), каде *k* и *n* се цели броеви. Овој број може да се замисли како реален дел од комплексниот број \cos(2\pi k/n) + i \sin(2\pi k/n). Формулата на Де Моавр покажува дека броевите од овој облик се корени на единицата:

: \left(\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\right)^n = \cos(2\pi k) + i \sin(2\pi k) = 1

Бидејќи коренот на единицата е корен од полиномот *x* *n*&nbsp;−&nbsp;1, тој е алгебарски. Бидејќи тригонометрискиот број е просекот на коренот на единицата и неговиот комплексен конјугат, а алгебарските броеви се затворени со аритметички операции, секој тригонометриски број е алгебарски.

Реалниот дел од кој било корен на единица  е тригонометриски, освен ако не е рационален. Според Нивеновата теорема, единствените рационални броеви кои можат да се изразат како реален дел од коренот на единица се 0, 1, −1, 1/2 и −1/2.

## Проширена табела со точни вредности: до 360 степени

## Поврзано
* Список на тригонометриски еднаквости

## Наводи

## Библиографија
* 
* 
* 
*
*
* 
* 
* 
* 

Категорија:Тригонометрија
Категорија:Ирационални броеви