Список на лимеси

Ова е **список на [[Гранична вредност|лимеси]]** на вообичаени функции како што се елементарните функции. Во оваа статија, поимите *a*, *b* и *c* се константи.

## Лимеси на општи функции

### Дефиниции на лимеси и сродни концепти
\lim_{x \to c} f(x) = L  ако и само ако 

Ова е (ε, δ)-дефиниција на гранична вредност.

Горниот и долниот лимес на низата се дефинирани како

\limsup_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(\sup_{m \geq n} x_m\right)  и \liminf_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty}\left(\inf_{m \geq n} x_m\right) .

За функција, f(x), се вели дека е континуирана во точка, *c*, ако

\lim_{x \to c} f(x) = f(c).

### Операции на еден познат лимес
Ако  \lim_{x \to c} f(x) = L  тогаш:

* \lim_{x \to c} \, [f(x) \pm a] = L \pm a
* \lim_{x \to c} \, a f(x) = a L 
* \lim_{x \to c} \frac{1}{f(x)}= \frac1L  ако L не е еднаков на 0.
* \lim_{x \to c} \, f(x)^n = L^n  ако *n* е позитивен цел број 
* \lim_{x \to c} \, f(x)^{1 \over n} = L^{1 \over n}  ако *n* е позитивен цел број, а ако *n* е парен, тогаш *L* > 0.

Општо земено, ако *g* (*x*) е континуирана во *L* и \lim_{x \to c} f(x) = L тогаш

* \lim_{x \to c} g\left(f(x)\right) =g(L) 

### Операции на два познати лимеси
Ако  \lim_{x \to c} f(x) = L_1 и \lim_{x \to c} g(x) = L_2 тогаш:

* \lim_{x \to c} \, [f(x) \pm g(x)] = L_1 \pm L_2 
* \lim_{x \to c} \, [f(x)g(x)] = L_1 \cdot L_2 
* \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2} \qquad \text{ ако } L_2 \ne 0 

### Лимеси кои вклучуваат изводи или инфинитиземални промени
Во овие граници, бесконечно малата промена h често се означува \Delta x или \delta x. Ако f(x) е диференцијабилна во x ,

* \lim_{h \to 0} {f(x+h)-f(x)\over h} = f'(x). Ова е дефиницијата за извод. Сите правила за вадење извод, исто така, може да се дефинираат како правила што вклучуваат лимеси. На пример, ако *g* ( *x* ) е диференцијабилна во *x* ,
** \lim_{h \to 0} {f\circ g(x+h)-f\circ g(x)\over h}=f'[g(x)]g'(x). Ова е правило за извод од сложена функција.
** \lim_{h \to 0} {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)\over h}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x). Ова е правилото за производ.
* \lim_{h \to 0} \left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)^{1/h} = \exp\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)
* \lim_{h \to 0} {\left({f(e^h x)\over{f(x)}}\right)^{1/h} } = \exp\left(\frac{x f'(x)}{f(x)}\right)

Ако f(x) и g(x) се диференцијабилни во отворен интервал кој го содржи *c*, освен можеби самиот *c*, и \lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0 \text{ или } \pm\infty, може да се користи Лопиталовото правило:

* \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} 

### Нееднаквости
Ако f(x)\leq g(x)  за сите x во интервал кој го содржи *c*, освен можеби самиот *c*, и лимесите на f(x)  и g(x)  постојат во *c*, тогаш \lim_{x\to c}f(x)\leq \lim_{x\to c}g(x) Ако \lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} h(x) = L и f(x)\leq g(x)\leq h(x) за сите *x* во отворен интервал кој го содржи *c*, освен можеби самиот *c* ,\lim_{x \to c} g(x) = L.Ова е познато како теорема на стискање. Ова се однесува дури и во случаите кога *f* ( *x* ) и *g* ( *x* ) добиваат различни вредности на *c*, или се дисконтинуирани при *c*.

## Полиноми и функции во облик ''x<sup>a</sup>''

* \lim_{x \to c} a = a 

### Полиноми по x

* \lim_{x \to c} x = c 
* \lim_{x \to c} (ax + b) = ac + b
* \lim_{x \to c} x^n = c^n ако *n* е позитивен цел број 
* \lim_{x\to\infty} x/a = \begin{cases}
\infty, & a > 0 \\
\text{не постои}, & a = 0 \\
-\infty, & a 

Генерално, ако p(x) е полином тогаш, според континуитетот на полиномите,\lim_{x \to c} p(x) = p(c)Ова важи и за рационалните функции, бидејќи тие се континуирани во нивните домени.

### Функции во облик ''x<sup>a</sup>''

* \lim_{x\to c}x^a=c^a.  Посебно,
** \lim_{x\to\infty}x^a=\begin{cases} \infty, & a > 0 \\ 1, & a = 0 \\ 0, & a 
* \lim_{x\to c}x^{1/a}=c^{1/a} . Посебно,
** \lim_{x\to\infty} x^{1/a}=\lim_{x\to\infty}\sqrt[a]{x}= \infty \text{ за кое било } a > 0  
* \lim_{x \to 0^+} x^{-n} =\lim \frac{1}{x^n}= +\infty
* \lim_{x \to 0^-} x^{-n} =\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^n} =\begin{cases}
-\infty, & \text{ако } n \text{ е непарен} \\
+\infty, & \text{ако } n \text{ е парен}
\end{cases} 
* \lim_{x\to\infty} ax^{-1}=\lim_{x\to\infty}a/x=0 \text{ за кое било реално }a 

## Експоненцијални функции

### Функции во облик ''a''<sup>''g''(''x'')</sup>

* \lim_{x \to c} e^{x} = e^c , поради континуитетот на e^{x} 
* \lim_{x\to\infty}a^x=\begin{cases} \infty, & a > 1 \\ 1, & a = 1 \\ 0, & 0 
* \lim_{x\to\infty}a^{-x}=\begin{cases} 0, & a > 1 \\ 1, & a = 1 \\ \infty, & 0  
* \lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{a}=\lim_{x\to\infty}{a}^{1/x}=\begin{cases}
1, & a > 0 \\
0, & a = 0 \\
\text{не постои}, & a 

### Функции во облик ''x''<sup>''g''(''x'')</sup>
* \lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{x}=\lim_{x\to\infty}{x}^{1/x}=1

### Функции во облик ''f''(''x'')<sup>''g''(''x'')</sup>
* \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{x}{x+k}\right)^x=e^{-k} 
* \lim_{x\to 0} \left(1+x\right)^\frac{1}{x}=e 
* \lim_{x\to 0} \left(1+kx\right)^\frac{m}{x}=e^{mk}
* \lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e 
* \lim_{x\to+\infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\frac{1}{e}
* \lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{k}{x}\right)^{mx}=e^{mk}  
*  \lim_{x \to 0} \left(1+ a \left({e^{-x} - 1}\right)\right)^{-\frac{1}{x}} = e^{a} . Оваа граница може да се изведе од оваа граница.

### Суми, производи и композити
* \lim_{x \to 0} x e^{-x} = 0 
* \lim_{x \to \infty} x e^{-x} = 0 
* \lim_{x \to 0} \left( \frac{a^x - 1}{x} \right) = \ln{a}, за сите позитивни *а.*
* \lim_{x \to 0} \left( \frac{e^x - 1}{x} \right) = 1 
* \lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{ax} - 1}{x} \right) = a 

## Логаритамски функции

### Природни логаритми
* \lim_{x \to c} \ln{x} = \ln c , поради континуитетот на \ln {x} . Посебно,
** \lim_{x\to0^+}\log x=-\infty
** \lim_{x\to\infty}\log x=\infty
* \lim_{x\to1}\frac{\ln(x)}{x-1}=1
* \lim_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}=1 
*  \lim_{x \to 0} \frac{-\ln\left(1+ a \left({e^{-x} - 1}\right)\right)}{x} = a. Оваа граница произлегува од Лопиталовото правило.
* \lim_{x \to 0} x\ln x = 0, оттука \lim_{x \to 0} x^x = 1
* \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0 

### Логаритми на произволни основи
За *b* > 1,

* \lim_{x \to 0^+} \log_b x = -\infty
* \lim_{x \to \infty} \log_b x = \infty

За *b* \lim_{x \to 0^+} \log_b x = \infty
* \lim_{x \to \infty} \log_b x = -\infty

И двата случаи може да се обопштат на:

* \lim_{x \to 0^+} \log_b x = -F(b)\infty
* \lim_{x \to \infty} \log_b x = F(b)\infty

каде F(x) = 2H(x-1) - 1 и H(x) е Хевисајдовата функција

## Тригонометриски функции
Ако x се изразува во радијани:

* \lim_{x \to a} \sin x = \sin a
* \lim_{x \to a} \cos x = \cos a

И двата овие лимеси произлегуваат од континуитетот на sin и cos.

* \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1. Или, општо,
** \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1, за *не* еднаков на 0.
** \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a
** \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}, за *b* не е еднакво на 0.
* \lim_{x \to \infty} x\sin \left(\frac1x\right) = 1
* \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0 
* \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}
* \lim_{x \to n^\pm} \tan \left(\pi x + \frac{\pi}{2}\right) = \mp\infty, за цел број *n*.
* \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1. Или, општо,
** \lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{ax} = 1, за *не* еднаков на 0.
** \lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{bx} = \frac{a}{b}, за *b* не е еднакво на 0.
* \lim_{n\to \infty }\ \underbrace{\sin \sin \cdots \sin(x_0)}_n= 0, каде што *x*0 е произволен реален број.
* \lim_{n\to \infty }\ \underbrace{\cos \cos \cdots \cos(x_0)}_n= d, каде што d е Дотиев број. *x*0 може да биде кој било произволен реален број.

## Суми
Општо земено, секоја бесконечна серија е граница на нејзините парцијални збирови. На пример, аналитичката функција е границата на нејзината Тејлорова серија, во нејзиниот радиус на конвергенција.

* \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\infty. Ова е познато како хармониска серија.
* \lim_{n\to\infty}\left( \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log n\right)=\gamma. Ова е Ојлер-Маскерониева константа.

## Забележителни посебни граници
* \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e
* \lim_{n\to\infty}\left(n!\right)^{1/n}=\infty. Ова може да се докаже со разгледување на нееднаквоста e^x \geq \frac{x^n}{n!} на x = n.
* \lim_{n\to \infty }\, 2^{n} \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+ \dots +\sqrt{2}}}}}_n= \pi. Ова може да се изведе од Виетовата формула за π.

## Ограничувачко однесување

### Асимптотски еквиваленции
Асимптотските еквиваленции, f(x)\sim g(x), се вистинити ако \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1. Затоа, тие исто така може да се преформулираат како лимеси. Некои значајни асимптотски еквиваленции се:

* \lim_{x\to\infty}\frac{x/\ln x}{\pi(x)}=1, поради теоремата за прости броеви, \pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}, каде π(x) е функција на распределба на простите броеви.
* \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}{n!}=1, поради Стирлинговата формула, n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.

### Нотација големо О
Однесувањето на функциите опишани со ноцаија големо O може да се опише и со лимеси. На пример

* f(x)\in\mathcal{O}(g(x)) ако \limsup_{x\to\infty} \frac{g(x)}

## Наводи

Категорија:Функции и пресликувања
Лимеси