Линеарна функција

thumb|right|Линеарна функција

Постојат повеќе дефиниции за **линеарна функција** во светот.

*Линеарна функција се дефинира како полиномна функција од прв степен од една независно променлива *х*&nbsp;, од што следува дека: 
**Во експлицитен облик имаме: &nbsp;&nbsp;f ( x )=a x + b &nbsp;или&nbsp; y(x)=ax+b &nbsp;или&nbsp; y = a x + b, \, a \neq 0.
**Бидејќи тука *а*&ne;0, опаѓаат константни функции (хоризонтални прави) и остануваат само **коси** прави во рамнината.
**Оваа дефиниција има природно место помеѓу константна функција и квадратна функција.

*Линеарна функција се дефинира како функција чиј графикон е права во рамнина&nbsp;, од што следува дека: 
**Во експлицитен облик имаме: &nbsp;&nbsp;f ( x )=a x + b &nbsp;или&nbsp; y(x)=ax+b &nbsp;или&nbsp; y = a x + b.
**Во оваа дефиниција се вклучени и хоризонтални прави y=b, односно константни полиноми. (Вертикални прави x=b не се функции.) 
**Забелешка: оваа дефиниција е без условот a&ne;0.

----
*Потоа, во линеарна аглебра понекогаш се користи изразот *линеарна функција* за поимот *[[Линеарна алгебра|линеарно пресликување]]*. 
**Линеарно пресликување е пресликување f со услов дека f(ax+by)=af(x)+bf(y).
**Како комбинација на сите погорни дефиниции во одредени места се дефинира линеарна функција како функција:  *у*(*x*)=*ax*, т.е. права која врви низ (0,0).
----

Во Р Македонија најчесто се користат првите дефиниции, односно **линеарна функција е функција чиј графикон е права (или коса права)**.

Забелешка: Честопати наизменично се користат термините *[[линеарна равенка]]* и *линеарна функција*, но тие не се исти термини. **Линеарна функција е линеарна равенка, но обратното не важи.** (При *линеарна равенка*, зборот *линеарна* се однесува на степенот на полиномот кој може да има 1,2,3,... променливи така да линеарна равенка во една променлива е точка на бројната оска, *линеарна равенка во две променливи е права во рамнина*, линеарна равенка во три променливи е рамнина во простор.) Види линеарна равенка.

thumb|Три линеарни функции во експлицитен облик (црвената и кафеавата го имаат истиот наклон (коефициент на правец, градиент, косина), а црвената и зелената ја имаат истата пресечна точка со ''у''-оската.

## Основни својства

Коефициентите *a* и *b* се константи, односно при работа се заменуваат со конкретни реални броеви, а остануваат *x* и *y* како променливи. На пример: *у*(*x*) = -*x*+2 е линеарна функција со *a*=-1 и *b*=2. Множеството на допуштени вредности на секоја линеарна функција е **R**, т.е. сите реални броеви. Значи, било кој реален број може да „влезе“ во линеарна функција, односно да биде замената за *х* во функцијата. Сликата, т.е. множеството на сите излезни вредности исто така е **R**, т.е. сите реални броеви.

Формално, функција, *f*:**R**→**R** дефинирана со *f*(*x*) = *ax*+*b*  каде што *a*,*b*&isin;**R** е линеарна функција. Линеарна функција е 1-1 биективна функција.

Правата која е графиконот на линеарна функција е множеството на сите точки: (*x*,*y*(*x*)). Поради тоа што две точки определуваат една права, при графичко претставување на линеарна функција, доволно е да се заменува две различни вредности за *x* во линеарната функција, да се пресметаат двете вредности на *y*, соодветните точки (*x*1,*y*(*x*1)) и (*x*2,*y*(*x*2)) да се внесат во рамнината и права да се црта низ нив.
   
Линеарна функција има точно еден пресек со *у*-оската во точката (0,*b*) и (доколку е коса права, *a*&ne;0) точно еден пресек со *х*-оската во точката (,0). Вредноста *x*= е единствениот корен на функцијата *y*=*ax*+*b*, т.е е единственото решение на равенката *ax*+*b*=0.

Има три облици на линеарна функција: стандарден облик, експлицитен облик и вектор - параметарски облик

Примена на линеарна функција - Пример: Брзина *v* како функција на време *t* на предмет истрелан директно нагоре со почетна брзина *v*0 се опишува со линеарната функција: *v*(*t*)= -9,81*t*+*v*0 &nbsp;[m/s], каде што -9,81 &nbsp;[m/s2] e гравитациска константа. Тука времето t ја игра улогата на независно променливата *х*, а брзината *v* е зависно променливата *y*.

thumb|right|Стандарден облик

## Стандарден облик
&nbsp;&nbsp;&nbsp; Ax+By=C , \, B \ne 0  &nbsp;&nbsp;(додатен услов за коса права:&nbsp;  A \ne 0  &nbsp;).

Овој облик се користи најповеќе во геометрија и во системи на две линеарни равенки во две непознати. Стандарден облик има 2 променливи *x* и *у* и 3 константни, т.е. коефициенти *A*, *B*, и *C* кои однапред се заменуваат со реални броеви. На пример: 3*x*-2*y*=1. Константите *A*, *B*, и *C* не се еднозначно определени. Ако се множат со фактор *k*, коефициентите се менуваат, но правата останува истата. На пример: правите 3*x*-2*y*=1  и 6*x*-4*y*=2 ја претставуваат истата права. Тука факторот *k*=2.

thumb|right|Експлицитен облик

## Експлицитен облик
&nbsp;&nbsp;&nbsp; y(x)=ax+b  &nbsp;или&nbsp;  y=ax+b &nbsp;&nbsp; (додатен услов за коса права:  &nbsp;&nbsp;&nbsp; { a \ne 0}  &nbsp;).

Експлицитен облик има 2 променливи *x* и *у* и 2 константни, т.е. коефициенти *а* и *b* кои унапред се заменуваат со реални броеви. На пример: *y*(*х*)=-2*х*+4. Константите *a* и *b* се уникатни (еднозначно определени), т.е. ако било кој од *a* или *b* се менува, правата се менува. Ова значи дека секоја линеарна функција може да се пиши на единствен начин во експлицитен облик.

Константниот коефициент *b* е т.н. *у*-пресек, односно точката (0,*b*) е точката каде што правата врви низ *у*-оската. Бројот  е т.н. корен на функцијата, односно точката (,0) е точката каде што правата врви низ *х*-оската.

Коефициентот *а* е т.н. *[[Наклон (математика)|наклон]]* или *коефициент на правец* или *градиент* или *косина* на правата и ја опишува брзината на промена на функцијата *у* во однос на променливата *х*. 
* Наклонот на линеарна функција *у*(*x*)=*ax*+*b* е константен и е еднаков на *a*.
* Ако наклонот на две прави е ист, правите или се паралелни или се совпаѓаат. 
* Ако наклонот на една права е *a*, тогаш за било која точка (х,у) на правата, точката (х+1, y+a) лежи на правата. (Види слика надесно.) 
* Ако наклонот *a*&gt;0 тогаш линеарната функција монотоно расте, ако *a*&lt0 тогаш функцијата монотоно опаѓа. Ако |*a*|&lt;1 тогаш наклонот е благ, а ако |*a*|&gt;1 тогаш наклонот е остар.

Пример: *y*(*x*)=-2*x*+4. Тука *a*=-2 и *b*=4. Имаме (0,*b*)=(0,4) е пресекот на правата со *у*-оската, (,0)=(,0)=(2,0) e пресекот на правата со *х*-оската и *а* = -2 е наклонот на правата, односно за секој чекор *х*=1 надесно, *у* се менува за -2 односно слегува надолу.

Во математичката дисциплина диференцијално сметање (калкулус) е дефиниран поимот извод, а извод на една функција ја мери брзината на промена на една променлива во однос на друга во секоја точка. Кај линеарна функција брзината на промената на у во односно на х е константна, т.е. иста во сите точки, односно е а за сите (реални) вредности х, и пишуваме изводот на *у*(*x*)=*ax*+*b* постои секаде и е константната функција *у*&#39;(*x*)=*a*.

thumb|right|'Вектор - параметарски облик

## Параметарски облик
Параметарски: \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x(t) = {x_1}+{a_1}t }\\ {y(t) = {y_1}+{a_2}t } \end{array}} \right. &nbsp;&nbsp; или

Векторски: {\mathbf{X}} = ({x_1},{y_1}) + t({a_1},{a_2}) &nbsp;или&nbsp; r(t)=  , \,{ a_1 \ne 0}  &nbsp;&nbsp;&nbsp;(додатен услов за коса права: &nbsp; { a_2 \ne 0}  &nbsp;).

Вектор-параметарски облик (или само параметарски облик) има 1 параметар *t*, 2 променливи *x* и *у*, и 4 константни, т.е. коефициенти а1, а2, x1, и y1. Константите а1, а2, x1, и y1 не се уникатни (еднозначно определени). Правата врви низ точките А=(x1,y1) и B=(x1+a1,y1+a2) така да земајќи други две точки на истата права ќе резултира во различни константни за истата права. Со вектор-параметарски облик едноставно се дефинира отсечката \overline{AB} ограничувајќи го параметарот t&isin;[0,1]. На ваков начин се моделира патувањето по права линија од една точка до друга во времето. Исто така едноставно овој облик се проширува за права во простор. Обичајно е инженери да ја користат буквата *t* за параметарот; математичари да ја користат буквата &lambda;.

Пример: **X**=(-1,1)+*t*(2,3). Тука: *a*1=2, *a*2=3, *x*1=-1 и *y*1=1. Правата врви низ точката (*x*1,*y*1)=(-1,1) и точката (x1+a1,y1+a2)=(1,4). Соодветниот параметарски облик на оваа права е: *x*(*t*)=-1+2*t*, *y*(*t*)=1+3*t*.  Експлицитен облик на оваа права е: *y*(*x*)=1,5*x*+2,5 &nbsp; (решејќи ја првата равенка по *t* и заменувајќи го резултатот во втората равенка). Една форма на стандарден облик за оваа права е: -3*x*+2*y*=5.

## Формули за равенки на линеарна функција
За формулите за равенка на права види права.

## Литература

## Други наводи
* http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf
* http://emathforall.com/wiki/RecnikT/LinearnaFunkcija  (на македонски со видео објаснување)
* http://www.shodor.org/interactivate/activities/SlopeSlider/ (на англиски со интерактивност)
* http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml (на англиски со интерактивност)

## Поврзани теми
* Права (геометрија)
* Полином
* Константна функција
* Квадратна функција
* Линеарна равенка

Категорија:Математика
Категорија:Математичко образование