Изводи на тригонометриски функции

{| class="wikitable" align="right" style="background-color:#FFFFFF; margin:1em 0 1em 1em"
!Функција
! Извод
|-
| \sin(x)
| \cos(x)
|-
| \cos(x)
| -\sin(x)
|-
| \tan(x)
| \sec^2(x)
|-
| \cot(x)
| -\csc^2(x)
|-
| \sec(x)
| \sec(x)\tan(x)
|-
| \csc(x)
| -\csc(x)\cot(x)
|-
| \arcsin(x)
| \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
|-
| \arccos(x)
| -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
|-
| \arctan(x)
| \frac{1}{x^2+1}
|-
| \arccot(x)
| -\frac{1}{x^2+1}
|-
| \arcsec(x)
| \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}
|-
| \arccsc(x)
| -\frac{1}
**Вадење извод на тригонометриски функции** — математички процес на пронаоѓање на изводот на тригонометриската функција, или нејзината брзина на промена во однос на променливата. На пример, изводот на синусната функција се запишува sin′(*a*) = cos(*a*), што значи дека брзината на промена на sin(*x*) за одреден агол *x = a* е дадена со косинус на тој агол.

Сите изводи на кружни тригонометриски функции може да се најдат од оние на sin(*x*) и cos(*x*) со помош на правилото за количник што се применува на функции како што се tan(*x*) = sin(*x*)/cos(*x*). Знаејќи ги овие изводи, изводите на инверзните тригонометриски функции се пронајдени со помош на имплицитна диференцијација .

## Докази за изводи на тригонометриски функции

### Лимес на sin(θ)/θ кога θ се стреми кон 0
мини|
Дијаграмот десно покажува кружница со центар *O* и полупречник *r =* 1. Нека двата полупречници *OA* и *OB* прават лак од θ радијани. Бидејќи ја разгледуваме границата кога *θ* се стреми кон нула, може да претпоставиме дека *θ* е мал позитивен број, да речеме 0 1 е триаголникот *OAB*, *R*2 кружниот исечок *OAB*, и *R*3 триаголникот *OAC* . Плоштината на триаголникот *OAB* е:

:  \mathrm{Area}(R_1
)
=\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |OB| \sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin\theta \, . 

Плоштината на кружниот исечок *OAB* е \mathrm{Area}(R_2) 
=\tfrac{1}{2}\theta, додека плоштината на триаголникот *OAC* е дадена со:

:  \mathrm{Area}(R_3
)
=\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |AC| = \tfrac{1}{2} \tan\theta \, . 

Бидејќи секој дел е содржан во следниот, се добива:

: \text{Area}(R_1) 

Покрај тоа, бидејќи  во првиот квадрант, можеме да го поделиме со ½ , со што се добива:

: 1  \frac{\sin\theta}{\theta} > \cos\theta \, . 

Во последниот чекор ги ги зедовме реципрочните вредности на трите позитивни члена, со што ги свртивме нееднаквостите.

Заклучуваме дека за 0 \lim_{\theta \to 0^+} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1 \, . За случајот кога *θ* е мал негативен број –½ π \lim_{\theta \to 0^-}\! \frac{\sin\theta}{\theta} 
\ =\ 
\lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin(-\theta)}{-\theta} 
\ =\ 
\lim_{\theta \to 0^+}\!\frac{-\sin\theta}{-\theta} 
\ =\ 
\lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin\theta}{\theta} \ =\ 
 1 \, . 

### Лимес од (cos(θ)-1)/θ кога θ се стреми кон 0
Последниот дел ни овозможува релативно лесно да го пресметаме овој лимес. Ова се прави со користење на едноставен трик. Во оваа пресметка, знакот *θ* е неважен.

:  \lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos\theta - 1}{\theta} 
\ =\ 
\lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\cos\theta - 1}{\theta} \right)\!\! \left( \frac{\cos\theta + 1}{\cos\theta + 1} \right) 
\ =\ 
\lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos^2\!\theta - 1}{\theta\,(\cos\theta + 1)} . 

Користејќи  фактот дека лимес на производ е производ на лимесите и добиениот лимес од претходниот дел, добиваме дека:

:  \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\cos\theta - 1}{\theta}
\ =\ 
\lim_{\theta \to 0}\, \frac{-\sin^2\theta}{\theta(\cos\theta+1)} 
\ =\ 
\left( -\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\! \left( \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\sin\theta}{\cos\theta + 1} \right) 
\ =\ 
(-1)\left(\frac{0}{2}\right) = 0 \, . 

### Лимес на tan(θ)/θ кога θ се стреми кон 0
Користејќи го лимесот за синусната функција, фактот дека функцијата тангенс е непарна и фактот дека лимес на производ е производ на лимеси, наоѓаме:

: 
 \lim_{\theta\to 0} \frac{\tan\theta}{\theta}
 \ =\ 
 \left(\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\!
 \left( \lim_{\theta\to 0} \frac{1}{\cos\theta}\right)
 \ =\ 
 (1)(1)
 \ =\ 
 1 \, . 

### Извод на синусна функција
Го пресметуваме изводот на синусната функција од дефиницијата на лимес:

:  \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta = \lim_{\delta \to 0} \frac{\sin(\theta + \delta) - \sin \theta}{\delta} . 

Користејќи ја формулата за збир на агли , имаме:

:  \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta 
 =
\lim_{\delta \to 0} \frac{\sin\theta\cos\delta + \sin\delta\cos\theta-\sin\theta}{\delta} 
 =
\lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\sin\delta}{\delta} \cos\theta 
+ \frac{\cos\delta -1}{\delta}\sin\theta \right) . 

Со користење на лимес за синусните и косинусните функции:

:  \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta 
 =
(1)\cos\theta + (0)\sin\theta 
 =
\cos\theta \, . 

### Извод на косинусна функција

#### Од дефиницијата за извод
Повторно го пресметуваме изводот на косинусната функција од дефиницијата за лимес:

:  \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta 
 =
\lim_{\delta \to 0} \frac{\cos(\theta+\delta)-\cos\theta}{\delta} . 

Користејќи ја формулата за збир на агли , имаме:

:  \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta 
 =
\lim_{\delta \to 0} \frac{\cos\theta\cos\delta - \sin\theta\sin\delta-\cos\theta}{\delta} 
 =
\lim_{\delta \to 0} \left(\frac{\cos\delta -1}{\delta}\cos\theta \,-\, \frac{\sin\delta}{\delta} \sin\theta \right) . 

Со користење на лимесите за синусните и косинусните функции, добиваме:

:  \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta 
 = (0) \cos\theta - (1) \sin\theta = -\sin\theta \, . 

#### Од правилото за извод на сложена функција
За да се пресмета изводот на косинусната функција од правилото за извод на сложена функција, прво се земаат следните три факти:

: \cos\theta = \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)
: \sin\theta = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)
: \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\theta = \cos\theta

Првиот и вториот се тригонометриски идентитети, а третиот е докажан погоре. Користејќи ги овие три факти, можеме да го напишеме следново:

: \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)

Можеме ова да го диференцираме користејќи го правилото за извод од сложена функција . Ако f(x) = \sin x,\ \ g(\theta) =\tfrac{\pi}{2}-\theta, имаме:

: \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} f\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) = f^\prime\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) \cdot g^\prime\!\left(\theta\right) = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right) \cdot (0-1) = -\sin\theta .

Значи, докажавме дека

: \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = -\sin\theta .

### Извод од функцијата тангенс

#### Од дефиницијата за извод
За да го пресметаме изводот на функцијата тангенс tan *&#x3B8;*, ги користиме првите принципи . По дефиниција:

: 
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\tan(\theta+\delta)-\tan\theta}{\delta} \right) .


Користејќи ја добро познатата формула за збир на агли , имаме:

: 
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\frac{\tan\theta + \tan\delta}{1 - \tan\theta\tan\delta} - \tan\theta}{\delta} \right]
 = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\tan\theta + \tan\delta - \tan\theta + \tan^2\theta\tan\delta}{\delta \left( 1 - \tan\theta\tan\delta \right)} \right] .


Користејќи го фактот дека лимес на производ е производ на лимеси:

: 
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = \lim_{\delta \to 0} \frac{\tan\delta}{\delta} \times \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - \tan\theta\tan\delta} \right) .


Користејќи го лимесот на функцијата тангенс и фактот дека tan *&#x3B4;* се стреми кон 0 како што &#x3B4; се стреми кон 0:

: 
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = 1 \times \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - 0} = 1 + \tan^2\theta .


Веднаш гледаме дека:

: 
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = 1 + \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}
 = \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos^2\theta}
 = \frac{1}{\cos^2\theta}
 = \sec^2\theta \, .


#### Од правилото за количник
Може да се пресмета изводот на функцијата тангенс користејќи го правилото за извод на количник .

: \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta 
 = \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
 = \frac{\left(\sin\theta\right)^\prime \cdot \cos\theta - \sin\theta \cdot \left(\cos\theta\right)^\prime}{ \cos^2 \theta }
 = \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}


Броителот може да се поедностави на 1 со Питагоровиот идентитет, и се добива:

: \frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta

Значи,

: \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta = \sec^2 \theta

## Докази за изводи на инверзни тригонометриски функции
Следниве изводи се наоѓаат со поставување на променлива *y* еднаква на инверзната тригонометриска функција од која сакаме да извадиме извод. Користејќи имплицитна диференцијација и потоа решавање по *dy*/*dx*, изводот на инверзната функција се наоѓа во однос на *y*. За да го претвориме *dy*/*dx* назад да биде во однос на *x*, можеме да нацртаме референтен триаголник на единечниот круг, оставајќи *θ* да биде y. Користејќи ја Питагоровата теорема и дефиницијата на правилните тригонометриски функции, конечно можеме да го изразиме *dy*/*dx* во однос на *x*.

### Диференцирање на инверзна синусна функција
Нека

: y=\arcsin x\,\!

Каде

: -\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{\pi}{2}

Потоа

: \sin y=x\,\!

Диференцирајќи во однос на x на двете страни и решавање по dy/dx:

: {d \over dx}\sin y={d \over dx}x

: \cos y \cdot {dy \over dx} = 1\,\!

Заменувајќи  \cos y = \sqrt{1-\sin^2 y} во погорниот израз, добиваме:

: \sqrt{1-\sin^2 y} \cdot {dy \over dx} =1

Со замена x=\sin y ,

: \sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1

: {dy \over dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

### Диференцирање на инверзна косинусна функција
Нека

: y=\arccos x\,\!

Каде

: 0 \le y \le \pi

Потоа

: \cos y=x\,\!

Диференцирајќи во однос на x на двете страни и решавање по dy/dx:

: {d \over dx}\cos y={d \over dx}x

: -\sin y \cdot {dy \over dx} =1

Со замена \sin y = \sqrt{1-\cos^2 y}\,\! , добиваме

: -\sqrt{1-\cos^2 y} \cdot {dy \over dx} =1

Со замена x=\cos y\,\!, добиваме

: -\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1

: {dy \over dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Алтернативно, еднаш добиен изводот на \arcsin x, изводот на \arccos x веднаш следи со диференцирање на идентитетот \arcsin x+\arccos x=\pi/2 така што (\arccos x)'=-(\arcsin x)' .

### Диференцирање на инверзна тангенсна функција
Нека

: y=\arctan x\,\!

Каде

: -\frac{\pi}{2} 

Потоа

: \tan y=x\,\!

Диференцирајќи во однос на x на двете страни и со решавање по dy/dx:

: {d \over dx}\tan y={d \over dx}x

Левата страна:

: 
 {d \over dx}\tan y
 = \sec^2 y \cdot {dy \over dx}
 = (1 + \tan^2 y) {dy \over dx}
 користејќи го Питагоровиот идентитет

Десната страна:

: {d \over dx}x = 1

Следува,

: (1+\tan^2 y){dy \over dx}=1

Со замена x=\tan y\,\!, добиваме

: (1+x^2){dy \over dx}=1

: {dy \over dx}=\frac{1}{1+x^2}

### Диференцирање на инверзна котангенсна функција
Нека

: y=\arccot x

каде 0 . Потоа

: \cot y=x

Диференцирајќи во однос на x на двете страни и решавање по dy/dx:

: \frac{d}{dx}\cot y=\frac{d}{dx}x

Левата страна:

: 
 {d \over dx}\cot y
 = -\csc^2 y \cdot {dy \over dx}
 = -(1 + \cot^2 y) {dy \over dx}
 користејќи го Питагоровиот идентитет

Десната страна:

: {d \over dx}x = 1

Следува,

: -(1+\cot^2y)\frac{dy}{dx}=1

Со замена x=\cot y ,

: -(1+x^2)\frac{dy}{dx}=1

: \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}

### Диференцирање на инверзна секансна функција

#### Со користење на имплицитно диференцирање
Нека

:  y = \arcsec x\ \ |x| \geq 1

Потоа

:  x = \sec y \ \ y \in \left [0,\frac{\pi}{2} \right )\cup \left (\frac{\pi}{2},\pi \right]


:  \frac{dx}{dy} = \sec y \tan y = |x|\sqrt{x^2-1}

(Апсолутната вредност во изразот е неопходна бидејќи производот на секанс и тангенс во интервалот на y е секогаш ненегативен, додека радикалот \sqrt{x^2-1} е секогаш ненегативен по дефиниција на главниот квадратен корен, така што и преостанатиот фактор мора да биде ненегативен, што се постигнува со користење на апсолутната вредност на x.)

:  \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}

#### Со користење на правилото на извод на сложена функција
Алтернативно, изводот на аркуссекансот може да се изведе од изводот на аркуссинус користејќи го правилото за извод на сложена функција.

Нека

:  y = \arcsec x = \arccos \left(\frac{1}{x}\right) 

Каде

:  |x| \geq 1  и  y \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right] 

Потоа, со примена на правилото за извод на сложена функција на  \arccos \left(\frac{1}{x}\right)  :

:  \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)
 = \frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}
 = \frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}}
 = \frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}}
 = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} 

### Диференцирање на инверзна косекансна функција

#### Со користење на имплицитно диференцирање
Нека

: y = \arccsc x\ \ |x| \geq 1

Потоа

:  x = \csc y\ \ \ y \in \left [-\frac{\pi}{2},0 \right )\cup \left (0,\frac{\pi}{2} \right]

:  \frac{dx}{dy} = -\csc y \cot y = -|x|\sqrt{x^2-1}

(Апсолутната вредност во изразот е неопходна бидејќи производот на косеканс и котангенс во интервалот од y е секогаш ненегативен, додека радикалот \sqrt{x^2-1} е секогаш ненегативен по дефиниција на квадратен корен, така што и преостанатиот фактор мора да биде ненегативен, што се постигнува со користење на апсолутната вредност на x.)

:  \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}

#### Со користење на правилото за извод на сложена функција
Алтернативно, извод на аркускосеканс може да се изведе од изводот на аркуссинус користејќи го правилото на извод на сложена функција.

Нека

:  y = \arccsc x = \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) 

Каде

:  |x| \geq 1  и  y \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right] 

Потоа, со примена на правилото за извод на сложена функција на  \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) :

:  \frac{dy}{dx} =\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)
 = -\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}
 = -\frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}}
 = -\frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}}
 = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} 

## Поврзано
* Калкулус
* Извод
* Список на интеграли од инверзни тригонометриски функции
* Список на тригонометриски идентитети
* Таблица на изводи
* Тригонометрија

## Библиографија
* *Handbook of Mathematical Functions*, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)

Категорија:Математички идентитети
Категорија:Диференцијални равенки
Категорија:Диференцијално сметање