Рамнодијагонален четириаголник

мини|300x300пкс| Рамнодијагонален четириаголник, прикажани се неговите еднакви дијагонали, Варињоновиот ромб и нормалните бимедијани
Во Евклидовата геометрија, **рамнодијагонален** или **еквидијагонален четириаголник** е испакнат четириаголник чии две дијагонали имаат еднаква должина. Рамнидијагоналните четириаголници биле важни во древната индиска математика, каде што четириаголниците прво биле класифицирани според тоа дали се рамнодијагонални, а потоа во повеќе специјализирани видови.

## Посебни случаи
Во рамнодијагонални четириаголници спаѓаат рамнокраките трапези, правоаголниците и квадратите.
[мини| Рамнодијагонален делтоид што го максимизира односот на обемот и пречникот, впишан во [Релоов триаголник]]
Помеѓу сите четириаголници, обликот што има најголем однос на неговиот обем и неговиот пречник е рамнодијагонален делтоид со агли π/3, 5π/12, 5π/6 и 5π/12.

## Особини
Испакнат четириаголник е рамнодијагонален ако и само ако неговиот Варињонов паралелограм, паралелограмот образуван од средните точки на неговите страни, е ромб. Еквивалентен услов е бимедијаните на четириаголникот (дијагоналите на Варињоновиот паралелограм) да бидат нормални.

Испакнат четириаголник со дијагонални должини p и q и бимедијални должини m и n е рамнодијагонален ако и само ако: 

: pq=m^2+n^2.

## Плоштина
Плоштината *K* на рамнодијагонален четириаголник лесно може да се пресмета ако се знае должината на бимедијаните *m* и *n*. Четириаголникот е рамнодијагонален ако и само ако:  

: \displaystyle K=mn.

Ова е непосредна последица на фактот дека плоштината на испакнатиот четириаголник е двапати поголема од плоштината на неговиот Варињонов паралелограм и дека дијагоналите во овој паралелограм се бимедијани на четириаголникот. Користејќи ги формулите за должините на бимедијаните, плоштината може да се изрази и во однос на страните *a, b, c, d* на рамнодијагоналниот четириаголник и растојанието *x* помеѓу средните точки на дијагоналите како:

: K=\tfrac{1}{4}\sqrt{(2(a^2+c^2)-4x^2)(2(b^2+d^2)-4x^2)}.

Други формули за плоштина може да се добијат со поставување *p* = *q* во формулите за плоштина на испакнат четириаголник.

## Врска со други видови четириаголници
Паралелограмот е рамнодијагонален ако и само ако е правоаголник, а трапезот е рамнодијагонален ако и само ако е рамнокрак трапез. Тетивните рамнодијагонални четириаголници се токму рамнокракните трапези.

Постои двојство помеѓу рамнодијагоналните и ортодијаголните четириаголници: четириаголникот е рамностран ако и само ако неговиот Варињонов паралелограм е ортодијагонален (ромб), а четириаголникот е ортодијагонален ако и само ако неговиот Варињонов паралелограм е рамнодијагонален (правоаголник). Еквивалентно, четириаголник има еднакви дијагонали ако и само ако има нормални бимедијани, и има нормални дијагонали ако и само ако има еднакви бимедијани. Силвестер (2006) дава дополнителни врски помеѓу рамнодијагоналните и ортодијагоналните четириаголници, преку обопштување на Ван Обеповата теорема.

Четириаголниците кои се и ортодијагонални и рамнодијагонални, и кај кои дијагоналите се долги барем колку сите страни на четириаголникот, имаат максимална површина за нивниот дијаметар меѓу сите четириаголници, решавајќи го случајот *n* = 4 на најголемиот мал проблем со многуаголник . Квадратот е еден таков четириаголник, но има бескрајно многу други. Рамнодијагоналните, ортодијагонални четириаголници се нарекуваат *средноквадратни четириаголници* бидејќи тие се единствените за кои Варињоновиот паралелограм (со темиња во средните точки на страните на четириаголникот) е квадрат. Таков четириаголник, со последователни страни *a, b, c, d*, има површина:

: K=\frac{1}{4}\left(a^2+c^2+\sqrt{4(a^2c^2+b^2d^2)-(a^2+c^2)^2}\right).

Средноквадратен паралелограм е точно квадрат.
Податотека:Midsquare_quadrilateral.svg|алт=example of a midsquare quadrilateral| Пример на средноквадратен четириаголник
Податотека:Midsquare_trapezoid.svg|алт=a midsquare trapezoid| Средноквадратен трапез
Податотека:Midsquare_kite.svg|алт=a midsquare kite| Средноквадратен делтоид
Податотека:Midsquare_square.svg|алт=a "midsquare parallelogram", a square| „средноквадратен паралелограм“, квадрат


## Наводи

## Надворешни врски
* A Van Aubel like property of an Equidiagonal Quadrilateral at Dynamic Geometry Sketches, interactive geometry sketches.

Категорија:Четириаголници