Трапез

Во геометрија, **трапез** е испакнат четириаголник со **точно** еден пар паралелни страни. Има три „типа“ на трапези.
* Општ трапез: непаралелните страни не се со еднаква должина и нема внатрешен прав агол.
* Рамнокрак трапез: Непаралелните страни се со еднаква должина. 
* Правоаголен трапез: Има точно два внатрешни агли по 90°.


*Паралелните страни се викаат **основи** и (обично) се означуваат со *a* и *b*. (За полесно означување земаме *a*&gt;*b*.)
*Непаралелните страни се викаат **краци** и (обично) се означуваат со *c* и *d*
*Растојанието помеѓу паралелните страни се вика **висина** и (обично) се означува со *h*.

## Формули и особини за општ трапез
Нека е даден трапез со основи (паралелни страни) *a* и *b*, со краци *c* и *d* и со висина *h*.

**Периметар** 
:L = a + b + c + d

**Плоштина** 
:P = \frac{(a+b)}{2}\cdot h 


*Бидејќи секој трапез е четириаголник, збирот на внатрешните агли е 360&deg;.
*Плоштината на еден трапез се одредува со должините на двете основи и висината. Меѓутоа, само со тие информации, трапез не е еднозначно определен, односно постојат безброј многу различни трапези со истите основи и висина.
*Бидејќи секој крак на трапез е и трансверзала на паралелните основи, внатрешните агли кај секој крак се суплементни, т.е. нивниот збир е 180&deg;. 
*Исто така, бидејќи секој крак е трансверзала, основите на трапезот не се еднакви: ***a''&ne;''b***. (Доколку *a*=*b*, четириаголникот би имал *два пара на паралелни страни*, па би бил паралалелограм, а не трапез.) 
*Еден трапез е потполно определeн со должините на четирите страни (и знаење кои страни се паралелни). Mеѓутоа од секоја комбинација на четири должини не се добива трапез (види подолу).


**Висина** 
:h= \frac{\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}{2|a-b|}

**Основна поставка**: Трапез со основи *a* и *b* и краци *c* и *d* постои ако и само ако *h* постои, т.е. ако и само ако поткорениот израз во погорната формула за *h* е позитивен број.


Во подолните примери, *a* и *b се основите (паралелните страни).

*'Пример:** Нека е ''a''=12m, ''b''=10m, и ''h''=6m. Плоштината на ваков трапез е: P=66m<sup>2</sup>. Meѓутоа, трапезот не може еднозначно да се определи, а и периметарот L не е одредлив.

**Пример:** Нека е ''a''=19mm, ''b''=8mm, ''c''=7mm и ''d''=6mm.  Користејќи ја формулата за висина ''h'', поткорениот израз е 5760&gt;0 и ''h''=3,45 (приближно). Периметарот e L=40mm, a плоштината e P=46,57mm<sup>2</sup> (приближно)

**Пример:** Нека е ''a''=19mm, ''b''=7mm, ''c''=4mm и ''d''=5mm.  Користејќи ја формулата за висина ''h'', поткорениот израз е -9009&lt;0. Нема трапез со овие димензии. 
</div>

==Терминологија==
Во САД и Канада се користи зборот трапезоид (trapezoid) за трапез, а зборот трапезиум (trapezium) за [[четириаголници|трапезоид]] (без паралелни страни). Вон САД и Канада, англиските зборови ја имаат обратното значење, а истите се слични/исти со зборовите користени низ Европа вклучувајќи ја и Р.М., односно се користи зборот трапезиум за трапез, а зборот трапезоид за трапезоид.

==Рамнокрак трапез==
Трапез во кој непаралелните страни се [[складност|складни]], т.е. со иста должина се вика **рамнокрак трапез**. Во рамнокрак трапез, внатрешните агли кај секоја [[основа (геометрија)|основа]] се еднакви ([[складност|складни]]). Рамнокрак трапез е потполно определен ако се знае должината на едната основа и големината/должината на два од елементите &alpha;, ''h'', ''d'', или ''a-b'' каде што &alpha; е кој било [[агол]], ''h'' е висината , ''c'' е (кој било) крак и ''a-b'' е (позитивната) разлика на должините на основите. (Се разбира дека наместо должината ''b-a'' може да се знае и должината на ''другата'' основа.

**Пример:** Нека е  ''a''=9&nbsp;cm, ''h''=3&nbsp;cm и &alpha;=45&deg; нека e аголот помеѓу ''a'' и ''c''. Тогаш ''<sup>(a - b)</sup>/<sub>2</sub>'' = <sup>''h''</sup>/<sub>tan(45&deg;)</sub> = <sup>3&nbsp;cm</sup>/<sub>1</sub> = 3&nbsp;cm и ''a - b''=6&nbsp;cm и ''b''=3&nbsp;cm. ''c'' = <sup>''h''</sup>/<sub>sin(45&deg;)</sub> = 3√2&nbsp;cm =4,24&nbsp;cm. ''Горните'' внатрешни агли се по 180&deg;-45&deg;=135&deg;.

**Пример:** Нека е  ''a''=5&nbsp;cm, ''h''=3&nbsp;cm и &alpha;=45&deg; нека e аголот помеѓу ''a'' и ''c''. Тогаш ''<sup>(a - b)</sup>/<sub>2</sub>'' = <sup>''h''</sup>/<sub>tan(45&deg;)</sub> = <sup>3&nbsp;cm</sup>/<sub>1</sub> = 3&nbsp;cm и ''a - b''=6&nbsp;cm  и ''b''= -1&nbsp;cm. Таков трапез не постои.

==Правоаголен трапез==
Трапез кој има точно два внатрешни агли по 90° се вика **правоаголен трапез**. Од суплементноста на внатрешните агли на секој крак на трапез следува дека правите агли доаѓаат во парови, т.е. ако еден внатрешен агол е прав агол, тогаш и другиот агол на тој крак е прав. Меѓутоа, четириаголник со 4 прави агли е [[правоаголник]], а истиот има два пара на паралелни страни, а во Р Македонија таков четириаголник не се смета за трапез (се бара точно еден пар паралелни страни.)

Правоаголен трапез е потполно дефиниран ако се знае должината на едната основа и големината/должината на два од елементите &alpha;, ''h'', ''d'', или ''a-b'' каде што &alpha; е кој било од неправите агли, ''h'' е висината (и едниот крак), ''d'' е косиот крак и ''a-b'' е (позитивната) разлика на должините на основите. (Се разбира дека наместо должината ''b-a'' може да се знае и должината на ''другата'' основа.

**Пример:** Нека е  ''a''=7&nbsp;cm, ''d''=4&nbsp;cm и &alpha;=30&deg; e аголот помеѓу ''a'' и ''d''. Тоѓаш ''a-b'' = ''d'' &middot; sin(30&deg;) = 4&nbsp;cm &middot; 0,5 = 2&nbsp;cm и ''b''=5&nbsp;cm; ''h''=''d'' &middot; cos(30&deg;) = 2√3&nbsp;cm =3,46&nbsp;cm. Четвртиот агол е 180&deg;-30&deg;=150&deg;.



==Плоштина, средна линија и висина на трапез==
Отсечката која ги сврзува средните точки на краците (непаралелните страни) на еден трапез се вика **средна линија*'.
*Средната отсечка е паралелна со паралелните страни на трапезот.
*Должината на средната линија *m* е половина од збирот на основите *a* и *b*: 
:<math>m = \frac{a + b}{2} </math>

Плоштината *Р* на трапез со средна линија *m*:
:<math>P = \frac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h </math>

Плоштината *Р* на трапез со основи *a*, *b* и краци *c* и *d*:
:<math>P = \frac{a+b}{4|a-b|}\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}.</math>

Кога една од паралелните страни „се смалува“ на точка (на пример *b* = 0), трапезот „станува“ триаголник со страни 'a*, *c* и *d* и погорната формула се редуцира на Херонова формула за плоштина на триаголник.*

Еквивалентна формула за плоштина која повеќе личи на Херонова формула е:
:<math>P = \frac{a+b}\sqrt{(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)},</math> &nbsp; каде што &nbsp; <math>s = \tfrac{1}{2}(a + b + c + d)</math> &nbsp; е [[полуобем]] на трапезот.

[[Податотека:Trapez_char.gif|frame|right|Трапез и неговите [[дијагонала|дијагонали]] (Геогебра интерактивност)]]
==Дијагонали на трапез==
Должините на [[дијагонала|дијагоналите]] се:
:<math>p= \sqrt{\frac{ab^2-a^2b-ac^2+bd^2}{a-b}}</math> 
:<math>q= \sqrt{\frac{ab^2-a^2b-ad^2+bc^2}{a-b}}</math>

==Карактеризации на трапез==
За даден испакнат четириаголник, следните особини се еквивалентни и се и доволен услов четириаголникот да има барем еден пар паралелни страни:
*Има два соседни агли кои се суплементни, т.е. нивниот збир е 180&deg;.
*Аголот помеѓу една страна и една дијагонала е еднаков на аголот помеѓу обратната страна и истата [[дијагонала]].
*Дијагоналите се сечат под истиот однос. (Овој однос е ист со односот помеѓу должините на паралелните страни).
*Дијагоналите го делат четириаголникот во четири триаголници од кои еден спротивен пар се слични.
*Дијагоналите го делат четириаголникот во четири триаголници од кои еден спротивен пар ја имаат истата плоштина.

Понатаму, на еден трапез:

*Средните точки на основите (паралелните страни) и пресекот на дијагоналите се [[колинеарност|колинеарни]].
*Отсечката која ги спојува средните точки на основите ја дели плоштината на половина.

==Друго==
Во [[калкулус]] и [[бројчена математика]] се користи таканаречениот [[метод на трапези]] за приближно пресметување на површина под позитивна [[рамнинска крива]], односно за приближно пресметување на [[определен интеграл]] на соодветната [[функција]] *f*:<strong>R</strong>-><strong>R</strong> во одреден интервал.

[[Тежиште]], односно центар на маса или центроид на трапез со униформна густина е пресекот на отсечката која ги спојува средните точки на основите и правата паралелна со основите која е на растојание *x* од поголемата основа каде што:
:<math>x = \frac{h}{3} \left( \frac{a+2b}{a+b}\right).</math>

==Наводи==


== Поврзани теми ==
*[[Четириаголник]]
*[[Паралелограм]]
*[[Паралелни прави]]
*[[Испакнат многуаголник]]
*[[Тежиште]]

== Надворешни врски ==
* [http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Trapez Интерактивно објаснување за трапез]  
* [http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/TrapezRamnokrak Интерактивно објаснување за рамнокрак трапез]  
* [http://www.mathopenref.com/trapezoid.html Trapezoid definition] &nbsp; [http://www.mathopenref.com/trapezoidarea.html Area of a trapezoid] &nbsp; [http://www.mathopenref.com/trapezoidmedian.html Медијана на трапез] интерактивни 
* [http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/trapezoidal_rule.html *Numerical Methods for STEM Undergraduates''] 

Категорија:Четириаголници
Категорија:Многуаголници
Категорија:Геометриски фигури
Категорија:Геометрија
Категорија:Математичко образование