Пол и полара

десно|мини| Поларата ''q'' на точка '''Q''' во однос на кружницата со радиус ''r'' и центар во точката '''O.''' Точката '''P''' е точката при инверзија на '''Q''' во однос на дадената кружница; поларата е правата низ '''P''' која е нормална на правата која ги содржи '''O''', '''P''' и '''Q.'''
Во геометријата, **пол** и **полара** се соодветно точка и права кои имаат единствена реципрочна врска во однос на даден конусен пресек .

**Поларната реципрочност** во дадена кружница е трансформација на секоја точка од рамнината во нејзината полара и секоја права од рамнината во нејзиниот пол.

## Својства
Полот и поларата имаат неколку корисни својства:

* Ако точката **P** лежи на правата *l*, тогаш полот **L** на правата *l* лежи на поларата *p* на точката **P.**
* Ако точката **P** се движи по права *l*, нејзината полара *p* се врти околу полот **L** од правата *l*.
* Ако може да се повлечат две тангентни прави од полот кон конусниот пресек, тогаш неговата полара поминува низ двете допирни точки.
* Ако точка лежи на конусниот пресек, нејзината полара е тангентата на конусниот пресек која минува низ оваа точка.
* Ако точката **P** лежи на сопствената полара, тогаш **P** е на конусниот пресек.
* Секоја права има, во однос на недегенериран конусен пресек, точно еден пол.

## Специјален случај за кружници
Полот на правата *L* во кружницата *C* е точка **Q** која е инверзна во однос на *C* на точката **P** која лежи на *L* и е најблиску до центарот на кружницата. Спротивно на тоа, **поларата** (или **поларната** **права**) на точката **Q** во кружницата *C* е правата *L* таква што нејзината најблиска точка **P** до центарот на кружницата е инверзијата на **Q** во *C*.
десно|мини| Ако точката '''A''' лежи на поларната права ''q'' на друга точка '''Q''', тогаш '''Q''' лежи на поларната права ''a'' на '''A.''' Поопшто, поларите на сите точки на правата ''q'' мора да минуваат низ неговиот пол '''Q.'''
Односот помеѓу половите и поларите е реципрочен. Така, ако точката **A** лежи на поларата *q* на точката **Q**, тогаш точката **Q** мора да лежи на поларата *a* на точката **A.** Двете поларни прави *a* и *q* не мора да бидат паралелни.

Постои уште еден опис на поларата на точка **P** во случај таа да лежи надвор од кружницата *C.* Во овој случај, има две прави низ **P** кои се тангенти на кружницата, а поларата на **P** е правата која ги спојува тие две допирни точки (не е прикажано овде). Ова покажува дека полот и поларата се концепти во проективната геометрија на рамнината и се генерализираат за кој било несингуларен коник на местото на кружницата *C.*

## Поларна реципрочност
десно|мини| Илустрација на дуалноста помеѓу точките и правите и дуалното значење на „инциденцата“. Ако две прави ''a'' и ''k'' минуваат низ една точка '''Q''', тогаш поларата ''q'' на '''Q''' ги поврзува половите '''A''' и '''K''' на правите ''a'' и ''k'', соодветно.
Концептите *пол и негова полара* биле унапредени во проективната геометрија . На пример, поларата може да се гледа како збир на проективни хармонични конјугати на дадена точка, полот, во однос на некој коник. Операцијата на замена на секоја точка со нејзината полара и обратно е позната како **поларност**.

За некоја точка *P* и нејзината полара *p*, која било друга точка *Q* на *p* е пол на правата *q* која минува низ *P.* Ова е реципрочен однос и со него инциденците се зачувани.

## Општи конусни пресеци
мини|Правата ''p'' е полара на точката '''P''', ''l'' на '''L''' и ''m'' на '''M'''
мини|''p'' е полара на точката '''P'''; ''m'' е поларата на '''М'''
Концептите пол, полара и реципрочност може да се генерализираат од кружници на други конусни пресеци како елипса, хипербола и парабола. Оваа генерализација е можна затоа што конусните пресеци произлегуваат од реципрочноста на кружница со друга кружница, а вклучените својства, како што се инциденцата и двојниот однос, се запазуваат при сите проективни трансформации .

### Пресметување на поларата на точка
Општ конусен пресек може да се запише како равенка од втор степен во Декартови координати (*x*, *y*) на рамнината
A_{xx} x^2 + 2 A_{xy} xy + A_{yy} y^2 + 2 B_{x} x + 2 B_{y} y + C = 0
каде *A* *xx*, *A* *xy*, *A* *yy*, *B* *x*, *B* *y* и *C* се константите што ја дефинираат равенката. За таков конусен пресек, поларата на даден пол - точка  е дефинирана со равенката
D x + E y + F = 0\,
каде што *D*, *E* и *F* се исто така константи кои зависат од координатите на полот \begin{align}
 D &= A_{xx} \xi + A_{xy} \eta + B_{x} \\
 E &= A_{xy} \xi + A_{yy} \eta + B_{y} \\
 F &= B_{x} \xi + B_{y} \eta + C
\end{align}

### Пресметување на пол на права
Полот на правата  D x + E y + F = 0 , во однос на недегенерираниот конусен пресек
A_{xx} x^{2} + 2 A_{xy} xy + A_{yy} y^{2} + 2 B_{x} x + 2 B_{y} y + C = 0
може да се пресмета во два чекора.

Прво, се пресметуваат броевите x, y и z од
\begin{bmatrix}
 x \\ y \\ z
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
 A_{xx} & A_{xy} & B_{x} \\
 A_{xy} & A_{yy} & B_{y} \\
 B_{x} & B_{y} & C
\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}
 D \\ E \\ F
\end{bmatrix}
Полот е точката со координати  \left( \frac{x}{z}, \frac{y}{z} \right) 

### Табели за пол-поларни односи

* Релација пол-полара за елипса
* Релација пол-полара за хипербола
* Релација пол-полара за парабола

### Преку комплетен четириаголник
За дадени четири точки кои формираат комплетен четириаголник, правите кои ги поврзуваат точките се вкрстуваат во дополнителни три дијагонални точки. За дадена точка *Z* која не е на коникот *C*, нацртајте две пресечки низ *Z* кои го сечат *C* во точките *A*, *B*, *D* и *E* . Тогаш овие четири точки формираат комплетен четириаголник со *Z* како една од дијагоналните точки. Правата која ги спојува другите две дијагонални точки е поларата на *Z*, а *Z* е полот на оваа права.

## Апликации
Половите и поларите биле дефинирани од Жозеф Диаз Жергон и играат важна улога при неговото решавање на задачата на Аполониј .

Во рамнинската динамика, полот е центар на ротација, поларата е линијата на дејство на силата, а коникот е матрицата маса-инерција. Односот пол-полара се користи за дефинирање на центарот на удари на рамнинско цврсто тело. Ако столбот е точката на шарката, тогаш поларата е ударната линија на дејство како што е опишано во рамнинската теорија на завртки .

## Поврзано

* Дуален полигон
* Дуален полиедар
* Поларна крива
* Проективна геометрија
* Проективни хармонични конјугати

## Библиографија

* 
* 
* 
*   Книжна верзија е издадена од Dover Publications со .
* 

## Наводи

## Надворешни врски

* Интерактивна анимација со повеќе полови и полари на Cut-the-Knot
* Интерактивна анимација со еден пол и неговата полара
* Интерактивна 3D со обоени повеќекратни полови/полари - отворен код 
* 
* 
* 
* 

Категорија:Кружници
Категорија:Проективна геометрија
Категорија:Планиметрија