Херонова формула

мини|200п|Триаголник со страни ''a'', ''b'' и ''c''.
Во геометријата, **Хероновата формула** служи за пресметување на плоштината P на триаголник за кој се познати должините на трите страни a, b и c и гласи 

P = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}

каде што s e полупериметар на триаголникот:

s=\tfrac{1}{2} (a+b+c).

Забелешка: Полупериметарот ***<math>s</math>*** на триаголникот е поголем од секоја од страните a, b и c (ова следува од неравенството на триаголник). Значи, сите четири множитела под квaдратниот корен во Хероновата формула се позитивни.

**Пример:** Нека \triangle ABC е триаголник со страни a=7, b=4 и c=5. 
 Полупериметарот на \triangle ABC е: 
s=\tfrac{1}{2}(a+b+c)=\tfrac{1}{2}(7+4+5)=8, а плоштината му е:

P = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}= \sqrt{8 \cdot (8-7) \cdot (8-4) \cdot (8-5)}=\sqrt{8 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3}=\sqrt{96}=4\sqrt{6} \approx 9,8 \, .

**Пример:** Нека \triangle ABC е триаголник со страни a=3, b=4 и c=5. 
 Неговиот полупериметар е: s=\tfrac{1}{2}(a+b+c)=\tfrac{1}{2}(3+4+5)=6, а плоштината му е: P = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}= \sqrt{6 \cdot (6-3) \cdot (6-4) \cdot (6-5)}=\sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=\sqrt{36}=6. Ова е правоаголен триаголник познат под името египетски. Во него страната *<math>b</math>* е и висина во однос на основата a. Користејќи ја обичната формула за плоштина на триаголник, следи

P = \tfrac{1}{2} a h_a = \tfrac{1}{2}  \cdot 3 \cdot 4=6. 


Хероновата формула може да се напише и во кој било од следниве облици:

P=\frac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\,} 

P=\frac{1}{4} \sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\,}

P=\frac{1}{4} \sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4)\,}

Тука и во доказите се користат формулите:

s-a=\frac{1}{2}(-a+b+c), \,\, s-b=\frac{1}{2}(a-b+c), \,\, s-c=\frac{1}{2}(a+b-c).


## Историја
Формулата му се припишува на Херон, а доказ може да се најде во неговата книга „Метрика“ (*Metrica*), која е напишана во 60 година н.е. Постои мислење дека формулата ја знаел и Архимед, а земајќи во обѕир дека „Метрика“ е колекција на математички знаења со кои располагал античкиот свет, можно е Херон само да ја забележал, а да не ја открил оваа формула.

Формула која е еквивалентна на Хероновата формула, а запишана во обликот:

:P=\frac1{2}\sqrt{a^2 c^2 - \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2} \right)^2}

била позната во древна Кина и е откриена независно од Грците. Може да се најде во делото „Девет книги за математичката вештина“ објавена во 1247 година.

## Доказ
Во доказот на Херон, тој користел тетивни четириаголници..

Следи модерен доказ на формулата во кој се користи алгебра и тригонометрија и потполно е поинаков од оригиналниот доказ на Херон.

Нека  a, b и c се страните на еден триаголник, а  \alpha\,,  \beta\, и  \gamma\, се соодветните агли кои се наоѓаат наспроти нив. Без губење на општоста, ќе ја сметаме страната *<math>a</math>* за основа на триаголникот. Според косинусната теорема:
:\cos \gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.
Оттаму се добива алгебарската равенка:
:\sin\gamma = \sqrt{1-\cos^2\gamma} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}.
Висината на триаголникот која одговара на основата a има должина h_a=b\sin\gamma, па следува

:

Во горните трансформации полиномите се разложуваат според формулите за бином на квадрат и за разлика на квадрати.

### Доказ со користење на [[Питагорова теорема|Питагоровата теорема]]
мини|270п|Триаголник со висина ''h'' која на страната ''c'' прави отсечки со должини ''d'' и (''c''&minus;''d'').

Почнуваме од формулата за плоштина 
 
 P=\tfrac{1}{2} c  h_c =\tfrac{1}{2} c h   односно 4P^2=c^2h^2.

каде страната c ја земаме како основа, а со  h  ја означуваме висината спуштена кон неа. Подножјето на висината ја дели страната c на два дела со должини d и c-d, како на цртежот десно.


Од Питагоровата теорема следува: h^2+d^2=b^2  и  h^2+(c-d)^2=a^2.

Заменувајќи го првиот израз од Питагоровата теорема во равенката 4P^2=c^2h^2, следи: 
 
4P^2=c^2h^2=c^2 \cdot (b^2-d^2)=(cb)^2-(cd)^2.


Значи, треба да се докаже дека: (cb)^2-(cd)^2=4P^2=4s(s-a)(s-b)(s-c).

Десната страна на последното равенство може да ја запишеме како:
 
4s(s-a)(s-b)(s-c)=(s(s-a)+(s-b)(s-c))^2-(s(s-a)-(s-b)(s-c))^2


Следи:
 
4(s(s-a)+(s-b)(s-c))=(a+b+c)(-a+b+c)+(a-b+c)(a+b-c)=4cb

или

(s(s-a)+(s-b)(s-c))^2=(cb)^2.

Слично се добива и дека

4(s(s-a)-(s-b)(s-c))=(a+b+c)(-a+b+c)-(a-b+c)(a+b-c)=4cd или (s(s-a)-(s-b)(s-c))^2=(cd)^2

каде што двете применувања на Питагоровата теорема се користат во последната равенка.


## Бројчена стабилност
Хероновата формула во зададениот облик е бројчено нестабилна за триаголници со многу мали агли. Постои стабилна алтернатива во која се именуваат страните, но така што: a\geqslant b\geqslant c, а потоа плоштината се пресметува по формулата
: P = \frac{1}{4}\sqrt{(a+(b+c)) (c-(a-b)) (c+(a-b)) (a+(b-c))}.
Заградите се користат за да се спречи нумеричката нестабилност при пресметување на квадратен корен.

## Обопштување
Хероновата формула е специјален случај на Брамагуптината формула за плоштина на тетивни четириаголници, а двете формули се специјални случаи на Бретшнајдеровата формула за плоштина на четириаголник. Во двата случаја, Хероновата формула се добива ако должината на една страна од четириаголникот се земе дека е еднаква на нула.

Исто така, Хероновата формула е посебен случај на формула за плоштина на трапез во која се користат само страните на трапезот. Во неа се става должината на помалата основа да е еднаква на нула.

Хероновата формула може да се изрази со помош на детерминантата
: P =  \frac{1}{4} \sqrt{ \begin{vmatrix} 
  0 & a^2 & b^2 & 1 \\
a^2 & 0   & c^2 & 1 \\
b^2 & c^2 & 0   & 1 \\
  1 &   1 &   1 & 0
\end{vmatrix} } 
од каде се гледа сличноста на Хероновата формула со формулата на Николо Тартаља за зафатнина на тетраедар.

Друго обопштување на Хероновата формула до петаголници и шестаголници впишани во круг бил откриен од Давид П. Робинс.

## Наводи

## Поврзано
* Периметар 
* Плоштина
* Херонов триаголник
* Херон Александриски

## Надворешни врски
* Интерактивна страна за Херонова формула  
* Интерактивни примери за пресметување на плоштина со Херонова формула  
* Херонова формула  
* Доказ на Хероновaта формулa со помош на Питагоровата теорема 
* Интерактивна анимација за пресметување на плоштина со помош на Херонова формула 
* Херонова формула и обопштување на Брамагупте  

Категорија:Геометрија
Категорија:Плоштина
Категорија:Математика
Категорија:Математичко образование
Категорија:Теореми за триаголници