Повеќекратна линиска регресија

**Повеќекратниот праволиниски модел на регресија** на популацијата ја дефинира зависноста помеѓу зависната(ендоѓена)променлива, Y и група од независни(егзоѓени)променливи, x1, x2, x3 ,...,xк. Наречен е праволиниски бидејќи помеѓу зависната променлива и независните променливи постои праволиниска врска во популацијата.
Моделот се дефинира како:
# 
 **Y<sub>i</sub> =β<sub>o</sub>+β<sub>1</sub>x<sub>1</sub>+β<sub>2</sub>x<sub>2</sub>+…+β<sub>к</sub>x<sub>к</sub> +εi** 
каде што:
# 
*Yi* = i-та зависна случајна променлива
#
*x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> ,...,x<sub>к</sub>* = i-ти вредности на независната променлива
#
*β<sub>o</sub>,β1,β2,…,βk* = параметри на моделот
#
*εi*= стохастички член или стандардна грешка со средина 0 и σ2
#
*k*= број на независни променливи*

Наједноставен е повеќекратниот регресионен модел со две независни променливи, кој уште се нарекува и *'тридимензионален**, којшто го има следниот облик:

**Yi=βo+β1x1+β2x2+εi**

На овој начин дефиниран моделот се состои од два дела:
#
**детерминистички**(го покажува просечното влијание на независните променливи на Yi којшто геометриски претставува рамнина)- Y<sub>i</sub>=β<sub>o</sub>+β<sub>1</sub>x<sub>1</sub>+β<sub>2</sub>x<sub>2</sub>
#
**стохастички**(ги изразува ефектите на останатите фактори кои не се опфатени со моделот и случајните влијанија)- εi

Поради неможноста да се пресметат коефициентите во популацијата ''β<sub>o</sub>,β<sub>1</sub> и β<sub>2</sub>'', задача на [[статистика]]та е да изврши нивно оценување врз основа на податоците од примерокот. Ова оценување се врши преку оцена на параметрите
 ''b<sub>o</sub>,b<sub>1</sub>'' и ''b<sub>2</sub>'' врз основа на [[метод на најмали квадрати]] во регресионата површина на примерокот со равенката:
**y’i=bo+b1x1+b2x2**

каде што:
#
''y’i''- претставува прилагодена вредност на зависната променлива
#
''b<sub>o</sub>''- е отсечокот којшто рамнината го прави со y-оската
#
''b<sub>1</sub>''-за колку во % ќе се промени y кога x<sub>1</sub> ќе се зголеми за една своја единица под услов x<sub>2</sub> да не се менува.
#
''b<sub>2</sub>''-за колку во % ќе се промени y, ако x<sub>2</sub> се зголеми за една своја единица под услов x<sub>1</sub> да не се менува.

При оценувањето не ги зимаме оригиналните вредности за x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> и y,туку нивните отстапувања од нивните аритметички средини, коишто се нарекуваат центрирани променливи, означени со d<sub>1</sub>, d<sub>2</sub>, dy.
#
''d<sub>1</sub> = x<sub>1</sub> - ẋ<sub>1</sub>''
#
''d<sub>2</sub> = x<sub>2</sub> - ẋ<sub>2</sub>''
#
''d<sub>y</sub> = y - ẏ''

==Мерки на претставителност во повеќекратната регресија==

Поради [[стохастичка]]та врска помеѓу појавите постојат отстапувања на емпириските податоци од регресионата рамнина. Потребно е рамнината најдобро да се прилагоди на емпириските податоци, односно добро да ги репрезентира.
Како мерки на претставителност се јавуваат: [[резидуална варијанса]] и [[стандардна грешка]] како апсолутни мерки и [[коефициент на повеќекратна детерминација]] како релативна мерка.
#
[[Резидуал]]ната варијанса претставува оцена на варијансата на случајната грешка.
#
Стандардната грешка претставува оцена на стандардното отстапување на случајната грешка.
#
Коефициентот на повеќекратната детерминација покажува со колкаво учество вкупниот варијабилитет може да се објасни со регресиониот модел.

Неговата вредност се движи помеѓу 0 и 1. Доколку е поблизок до 1 оценетата регресиона равенка подобро ги репрезентира емпириските податоци.

Зависноста од големината на примерокот и бројот на променливите во моделот, предизвикуваат овој модел да има недостатоци. Избегнувањето на овие недостатоци се врши со помош на корегиран(прилагоден) коефициент на повеќекратна детерминација.
Вака приспособениот Ṝ² обезбедува подобра споредба помеѓу моделот на повеќекратната регресија со различни броеви на независна променлива.

===Тестирање на значајноста на оценетите параметри===

За да се испита дали постои [[праволиниска врска]] помеѓу x и y во популацијата, потребно е да се изврши тестирање на значајноста на оцените на параметрите.
Се поставуваат [[хипотези]]те во следниот облик:
# 
''H<sub>0</sub> : β<sub>1</sub> = 0''

''H<sub>1</sub> : β<sub>1</sub> ≠ 0''
# 
''H<sub>0</sub> : β<sub>2</sub> = 0''

''H<sub>1</sub> : β<sub>2</sub> ≠ 0''

**Нултите хипотези** и во двата случаи тврдат дека коефициентот е статистички случаен, односно дека x не влијае на y.
**Алтернативните хипотези''' и во двата случаи тврдат дека коефициентот е статистички значаен, односно дека x влијае на y.

Реализираната вредност на статистиката на тестот се пресметува како однос на оцената и нејзината стандардна грешка
За пресметување на критична вредност се употребува студентовиот t распоред со n-3 степени на слобода.
Потребно е да се изврши споредба помеѓу реализираната вредност на статистиката и критичната вредност за да се заклучи која од хипотезите се прифаќа а која се отфрла. Доколку апсолутната вредност на реализираната вредност е поголема од критичната се прифаќа алтернативната хипотеза а доколку е помала се отфрла алтернативната.

#### Оценување и предвидување на вредноста на зависната променлива

По оценувањето на параметрите врз основа на методот на најмали квадрати, логично е просечната вредност Е(yp) да се оцени со вредност која лежи во регресионата рамнина на примерокот означена со y’p.

Интервалот на оцена го има следниот изглед:
y’p-tα/2;n-3 S ≤ Е(yp) ≤ y’p+tα/2;n-3 S

## Надворешни врски

* Статистика за бизнис и економија - проф.д-р. Славе Ристески, проф.д-р. Драган Тевдовски