Решавање на триаголник

**Решавање триаголник** значи наоѓање на преостанатите агли и страни кога е даден минимум податоци. Основни елементи на триаголник се три агли и три страни, а минимум податоци се три од тие основни податоци, од кои најмалку еден е страна. Имено, кога се знаат два агли на триаголникот тогаш може да се смета дека се знае и третиот, бидејќи збирот на агли во триаголник е секогаш ист, 180°. Меѓутоа, триаголникот не е одреден само со своите основни елементи. Може да се конструира триаголник даден со тежишната линија и две страни, или страна, висина и агол, итн.

## Остроаголен триаголник
Сите три агли кај остроаголен триаголник се помали од прав агол (90 степени). При решавање на остроаголен триаголени можни се четири случаи:
# дадени се три страни (ССС);
# дадени се две страни и аголот меѓу нив (САС);
# дадена е страна и двата агли на неа (АСА);
# дадени се две страни и аголот наспроти поголемата од нив (ССА).

Тоа се истите услови кои дефинираат складност на триаголници. Ќе бидат разгледани сите горенаведени задачи и наведена барем по една формула за проверка на добиеното решение.

; Задача ССС: Дадени се три страни a,\;b,\;c на триаголникот. Да се најдат неговите агли.
; 1. начин: Косинусната теорема a^2=b^2+c^2-2bc\cos A, го дава аголот А, бидејќи \cos A =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}. Синусната теорема a:\sin A=b:\sin B го дава аголот B, бидејќи \sin B=\frac{b\sin A}{a}. На крајот, третиот агол С може да се најде и како суплемент (суплементарни агли се дополнуваат до 180°) на претходните два, т.е. C=180^o-(A+B). Формулата за проверка е a:sin A=c:\sin C.

; 2. начин: Прво се пресметува полуобемот p=\frac{a+b+c}{2}, потоа разликите p-a,\; p-b,\; p-c, и тангенсната теорема ги дава аглите: 
: \operatorname{tg}\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}},\; \operatorname{tg}\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{p(p-b)}},\; \operatorname{tg}\frac{C}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}.
: Формулата за проверка е A+B+C=180^o.

Оваа задача има единствено решение единствено ако збировите по две од дадените страни на триаголникот се поголеми од третата страна, т.е. a+b>c,\; b+c>a,\; c+a>b. Значи, ако важи т.н. нееднаквост на триаголникотот. Ако барем еден од овие услови не е исполнет, тогап воопшто нема решение.

; Задача САС: Дадени се две страни a,\; b\;(a>b) и аголот *С*. Да се најде стрната *с* и аглите *A, B*.

; Решение: Косинусната теорема ја дава страната c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}. Синусната теорема ги дава аглите. Од a&gt;b следи дека аголот B е остар, па согласно тоа прво се бара \sin B=\frac{b\sin C}{c}, па се бара аголот B, а потоа аголот А кој е суплементаren на аглите B, C, т.е. A=180^o-(B+C). Формула за проверка: a:\sin A=b:\sin B.

Задачата има единствено решение ако C

; Задача АСА: Дадена е страната *а* и аглите *B* и *C*. Да се најдат страните *b, c* и аголот *А*.

; Решение: Прво се наоѓа аголот A=180^o-(B+C). Потоа, синусната теорема, дава: b=\frac{a\sin B}{\sin A},\; c=\frac{a\sin C}{\sin A}. Формулата за проверка е a^2=b^2+c^2-2bc\cos A. Задачата има единствено решение ако B+C

; Задача ССА: Дадени се две страни *a, b* и аголот *А*. Да се најде страната *с* и аглите *B, C*.

; Решение: Синусната теорема \sin B=\frac{b\sin A}{a} го дава аголот *B*. Потоа, аголот *С* се наоѓа како суплемент на аглите *А* и *B*, т.е. C=180^o-(A+B). На крајот, уште еднаш, синусната теорема c=\frac{a\sin C}{\sin A}, ја дава страната *с*. Формулата за проверка е: a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.
: *Кога a&gt;b* тогаш a>b\sin A, па \sin B=\frac{b\sin A}{a} Според тоа задачата има единствено решение, бидејќи аголот В е остар независно од тоа каков е аголот А.
: *Кога a&lt;b* тогаш A&lt;B. Триаголникот е правоаголен, или, ако b\sin A задачата има две решенија, бидејќи може да се добијат две вредности за аголот В, остар и тап агол. Третиот случај, b\sin A>a, т.е. \sin B>1, нема решение.
: *Кога a=b* тогаш A&lt;90° и B&lt;90°. Тогаш задачата има единствено решение.

## Поврзано
* Математика
* Геометрија
* Тригонометрија
* Синусна теорема
* Косинусна теорема
* Тангенсна теорема
* Триаголник

Категорија:Триаголници
Категорија:Тригонометрија