Нормалност (математика)

Во геометријата, две прави во рамнина се (меѓусебно) **нормални** ако се сечат под прав агол, т.е. под агол со 90&deg;. Оваа дефиниција има два дела: (а) нормални прави се сечат и (б) четирите агли кои се формираат со пресекот се по 90&deg;.

*Две отсечки во рамнина се нормални ако правите на кои *лежат* отсечките се нормални. На истиот начин се дефинира нормалност на сите комбинации на права, полуправа и отсечка.
*При цртање, за да се означи дека две прави се нормални се црта симбол за прав агол кај пресекот на двете прави. Во РМ се користи мал лак со точка, а друго означување е со мало квадратче..




## Означување

Симбол за нормалност е &nbsp;\perp . На пример, AB \perp CD значи дека правите *AB* и *CD* се нормални. Симболот се совпаѓа со Буловиот симбол за невистинит, но контекстот е сосема различен така што не се мешаат.
*Нормалност како паралелност е *симетрична* особина, односно &nbsp;AB \perp CD&nbsp; е еквивалентно со &nbsp;CD \perp AB&nbsp;, па затоа едноставно велиме дека *AB* и *CD* се нормални.
*За разлика од паралелност, нормалност **не** е *транзитивна* особина. На против, ако &nbsp;AB \perp CD &nbsp;и&nbsp; CD \perp EF&nbsp; тогаш &nbsp; AB \parallel EF&nbsp;.

Во уникод, симболот за нормалност на вашиот тековен прелистувач се прикажува со  и е уникод бројот 8869. Соодветните хексадецимален број се 22а5. На мрежно место, т.е. во ХТМЛ се внесува &amp;perp; или &amp;#x22а5;. За внесување на уникод симболи во текст уредувачи на Microsoft се внесува хексадецималниот код, па веднаш потоа се притиска Alt+x. Во уникод има и симболи &amp;#x22BE; (&#x22BE;) и &amp;#x221F; (&#x221F;).

Во LaTeX, симболот &nbsp;\perp &nbsp; за нормалност се добиваат со командата \perp која е дел од пакетот wasysym.

Во Геогебра, симбол при цртање на прав агол се менува во Опции -> Напредно -> Ознака за прав агол, па се избере точка. 


## Нормални прави и наклон
Во алгебра, права во рамнина има наклон, односно број кој го опишува правецот и стрмноста на правата. Ако е дадена правата во експлицитен облик *y*=*ax*+*b*, тогаш коефициентот *a* на *x* е наклонот на правата.

**Основна поставка:** Две прави се нормални ако и само ако производот на нивните наклони е -1.

**Пример:** Правите *y*= -3*x*+2 и *y* =*x*/3+2 се нормални бидејќи наклонот на првата права е *a*1= -3, а наклонот на втората права е *a*2=1/3 така што *a*1&middot;*a*2= -3&middot;1/3 = -1.

**Пример:** Правите 2*x*-*y*+3=0 и *x*-2*y*-1=0 **не** се нормални бидејќи производот на нивните наклони е 2&middot;1/2=1 (а не -1).

*Две прави се нормални само ако едната има позитивен наклон, а другата има негативен наклон.
*Ако правата *m* е нормална на правата *n*, a правата *n* е нормална на правата *p*, тогаш правите *m* и *p* или се паралелни или се совпаѓаат (т.е. наклоните им се исти). 
: Доказ: Нека наклон на *m* e *a*. Од нормалноста на *m* и *n*, наклонот на *n* е -1/*a*. Од нормалноста на *n* и *p*, наклонот на *p* е
:: \frac{-1}{ \left( \tfrac{-1}{a} \right) }=\frac{1}{ \left( \tfrac{1}{a} \right) }=a.

## Нормала на права низ точка во рамнина

### Конструкција со шестар и линијар
Една од основните конструкции со шестар и линијар е конструкција на права нормална со дадена права *m* која минува низ дадена точка C која лежи/не лежи на *m*.
#Со линијар нацртај права и точка која не лежи на правата (види наводи за точка на права).  
#Означи ја точката со буквата С.
#Доколку нема, означи две посебни точки А и В на правата (релативно блиски една до друга и до точката С).
#Со шестар нацртај една кружница со полупречник АС и центар А.
#Со шестар нацртај друга кружница со полупречник ВС и центар В.
#Означи ја другата пресечна точка D на двете кружници (едната пресечна точка е С).
#Нацртај ја правата CD која минува низ двете пресечни точки. 
Правата CD врви низ С и е нормална на правата АВ.

### Алгебарска равенка
Нека е дадена точка C со координати С=(*p*,*q*) и права 
:y = ax+b \, 
Равенката на права која минува низ *С*(*p*,*q*) и е нормална на дадената права е 
:y = \frac{-1}{a}(x-p)+q \,

**Доказ:** Наклонот на дадената права е *a*. Според основната поставка, наклонот на (која било) нормала е −1/*a*. Значи бараната нормала го има тој наклон, а минува низ точката (*p*,*q*). (Види и Формули за равенка на права.)

**Пример:** Равенката на нормалата на правата *y*=3*x*+2 која минува низ точката (-1,-1) е: *y*=*-x*/3-4/3.

## Нормала и растојание
Нормали се користат за пресметување на растојание помеѓу геометриски објекти. 
### Растојание помеѓу точка и права во рамнина
За да се пресмета растојание помеѓу точка *C*=(*p*,*q*) и права *m*, најпрво треба да се најде равенката на правата *n* која е **нормална** на правата *m*, а минува низ точката *C*. Потоа треба да се најдат координатите на прeсечната точка *D*  на правите *n* и *m*. Тогаш растојанието помеѓу *С* и *m* е растојанието помеѓу точките *С* и *D*.

**Пример:** Нека точката *C*=(-4,2), a правата *m* нека е дадена експлицитно *y*=*x*/2-1. Тогаш наклонот на правата *m* e ½, така што наклонот на нормалата *n* е 

:\frac{-1}{\tfrac{1}{2}}=-2
со што равенката на *n* e
:y=-2(x-(-4))+2 \,\,\, \Rightarrow \,\,\,y=-2x-6
Пресекот на правите *m* и *n* е решение на систем линеарни равенки
:\left\{ \begin{array}{l} y = \tfrac{x}{2} - 1\\ y =  - 2x - 6 \end{array} \right.
Решението е D(-2,-2). Растојанието помеѓу точките *С* и *D* е
: \delta  = \sqrt{( - 4 - ( - 2))^2 + (2 - ( - 2))^2}  = \sqrt{( - 2)^2 + 4^2}  = \sqrt {20}  \approx 4,47
Следува дека растојанието помеѓу точката *С* и правата *m* е &#x2248;4,47


### Растојание помеѓу две паралелни прави во рамнина
Види паралелни прави

### Растојание во 3Д простор
Види аналитичка геометрија

## Нормали на крива
Во математичката дисциплина калкулус (диференцијално сметање) е дефиниран поимот извод. Да претпоставиме дека *y*=*f*(*x*) е реална функција од една реална променлива и е диференцијабилна во точката *x*o и дека вредноста на функцијата во таа точка е *y*o=*f*(*x*o), а вредноста на изводот во таа точка е *y*&#39;o=*y*&#39;(*x*o).

Тогаш равенката на тангентата на функцијата во таа точка е 
: T:\,\,\, y=y_o^'(x-x_o)+y_o
а равенката на нормалата на функцијата во таа точка е
: N:\,\,\, y=\frac{-1}{y_o^'}(x-x_o)+y_o

## Нормалност и вектори
**Основна поставка:** Во аналитичка геометрија, два полупречнички вектори се нормални ако и само ако нивниот скаларен производ е 0. (Види и аналитичка геометрија.)

## Нормалност во 3Д простор
* Во 3-димензионален простор, права и рамнина се нормални ако правата и рамнината се сечат во една точка А и правата е нормална со секоја права од рамнината која минува низ А.

Права зададена во параметарски (векторски, вектор-параметарски) облик е
:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x(t) = {x_1}+{a}t }\\ {y(t) = {y_1}+{b}t }\\{z(t) = {z_1}+{c}t } \end{array}} \right. &nbsp;, &nbsp;t \in \Re
Рамнина зададена во општ облик е
:Ax+By+Cz=D

**Поставка:** Правата и рамнината се нормални ако полупречничките вектори &lt;*a*,*b*,*c*&gt; и &lt;*A*,*B*,*C*&gt; се колинеарни (линеарно зависни), односно ако
:\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}

**Формула:** Равенка на рамнина која е нормална со полупречник-векторот &lt;*a*,*b*,*c*&gt;, а врви низ точката C(*x*o,*y*o,*z*o) e
:a(x-x_o)+b(y-y_o)+c(z-z_o)=0

* Во 3-димензионален простор, две рамнини се нормални ако нивниот просторен агол е прав агол. Види и аналитичка геометрија.
Нека се дадени две рамнини во општ облик, односно
:Ax+By+Cz=D
:A_1x+B_1y+C_1z=D_1

**Поставка:** Рамнините се нормални ако полупречничките вектори &lt;*A*,*B*,*C*&gt; и &lt;*A*1,*B*1,*C*1&gt; се нормални, односно ако нивниот скаларен производ е 0.
:A \cdot A_1 + B \cdot B_1 + C \cdot C_1 = 0

## Обопштување
Нормалност како поим во елементарна геометрија се обопштува во поимот **[[ортогоналност]]** во класична математика.

## Наводи

## Поврзано
*Права (геометрија)
*Прав агол
*Наклон
*Паралелни прави
*Ортогоналност
*Аналитичка геометрија

## Надворешни врски
*  
*
*

Категорија:Елементарна геометрија
Категорија:Геометрија
Категорија:Математика
Категорија:Математичко образование