Биномна распределба

n\\k\end{array}} \right){p^k}
k=0,1,2,...,*n*
  | cdf        = F(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0\,\,\,\,\,x 
  | mean       = *np*
  | variance   = *np*(1 − *p*)
  | skewness   = \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}
  | kurtosis   = \frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}
}}

**Биномна распределба** *B*(*n*, *p* ), *n*&isin;&#8469;, *p*&isin;(0,1) — случаен опит во веројатностa и статистиката, кој се повторува *n* пати Бернулиев опит со веројатност на успех *p* запишувајќи го бројот *k* на успеси во *n*-тите повторувања.

## Одлики на биномната распределба B(''n'',''p'')
*Биномна распределба е потполно определена со веројатноста на успехот *p* на Бернулиевиот опит заедно со бројот на повторувања *n*.
*Биномна распределба е дискретна распределба со дискретната случајна променлива со *n*+1 елементи: X={0,1,2,...,*n*}.
*Pr(X=*k*) е веројатноста на *k* успеси во *n* повторувања на Бернулиевиот опит со веројатноста на успех *p*, *k*&isin;X.

**Пример:** B(5;0,8). 

B(5;0,8) значи биномен опит каде што се повторува *n*=5 пати Бернулиев опит со *p*=0,8. Има *n*+1=5+1=6 исходите, т.е. случајната променлива е X={0,1,2,3,4,5}. Елементот *k*=0 на Х е исходот каде што во 5-те повторувања на Бернулиевиот опит, немале ниту еден успех, елементот *k*=1 е каде што имало точно еден успех, ..., а елементот *k*=5 е каде што во 5-те повторувања на опитот сите биле успешни.

Во табелата се наведени сите подредени исходи (пишувајќи 0 за неуспех, а 1 за успех како што е вообичаено за Бернулиев опит). Овие **не** се исходи на биномниот опит, бидејќи во опитот редоследот не е важен. Тука само гледаме на колку начини можат да се добијат *k* успеси во *n* повторувања. На пример, има само еден начин да се добие *k*=0, односно сите исходи на опитот да се неуспеси 00000.



*Во последниот ред од табелата e запишан бројот на подредените исходи во таа колона. Гледаме дека тој број го следи т.н. биномен коефициент 
::\# = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\k\end{array}} \right) = \frac 
:каде што знакот **!** значи факториел, т.е. *n*!=*n*&middot;(*n*-1)&middot;(*n*-2)...&middot;(2)&middot;(1) (види и комбинаторика).

*Од друга страна, бидејќи секое повторување на Бернулиевиот опит е независно од минатите како и од идните повторувања, веројатноста на секој подреден исход со *k* успеси во *n* повторувања е
::p^k \cdot(1-p)^{n-k}.

Следува дека веројатноста на секоја елемент *k* на Х e производот на овие два броја, односно
 Pr(X=k)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\k\end{array}} \right) p^k (1-p)^{n-k}
Се разбира дека може да се докаже дека збирот на веројатностите е 1.
:\sum\limits_k {\Pr (X = k)}  = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\k\end{array}} \right)} \,{p^k}{(1 - p)^{n - k}} = 1  
 
## Распределби на биномна распределба
*Биномен опит B(*n*,*p*) ја има дискретната случајна променлива: X={0,1,...,*n*}. 
### Закон на распределба - PDF на B(''n'',''p'')




### Кумулативна распределба - CDF на B(''n'',''p'')
Бидејќи при собирање на соодветните веројатности во општа форма не доаѓа до некоја скратена форма ги даваме само неколку.




## Мерки на биномен опит
*Очекувана вредност *E*(*x*) &nbsp; 
:E(x) = \sum\limits_j n\\k\end{array}} \right)} } \,{p^k}{(1 - p)^{n - k}} = np
*Дисперзија &sigma;2 &nbsp; 
:\sigma ^2 = \sum\limits_j  {{{({x_j} - E(x))}^2} \cdot {p_j} = np(1 - p)}

## Примери
**Пример (прод.):** B(5,0.8) Приказ на распределбите, ...




 
**Пример:** Еден стрелец има веројатност *p*=0,8 да ја погоди целта. Колку е веројатноста во пет стрелања стрелецот да ја погоди целта барем 3 пати? Одговор: B(5;0,8) и 1-Pr(x&lt;3)=1-0,0579=0,9421=94,2%.

## Претставување на биномната распределба со Геогебра
За графички приказ на PDF-от, т.е. законот на распределба и на CDF-от, т.е. кумулативна распределба на биномна распределба може да се користи бесплатниот софтвер Геогебра.

Дефиниции специфични за биномната распределба се:

n=10&nbsp;&nbsp;&nbsp; (или соодветен лизгач)

p=0,8 &nbsp;(или соодветен лизгач)

N=n+1

list1=Sequence[k-1,k,1,N] &nbsp;  Ја дефинира list1 со елементите на случајната променлива.

list2=Sequence[BinomialCoefficient[n, k] p^(k) (1 - p)^(n - k), k, 0, n] &nbsp; Ја дефинира list2 со веројатностите. 

Соодветните наредби на македонски (внимавате на кирилица и латиница) се:

листа1=Низа[k-1,k,1,N]

листа2=Низа[БиноменКоефициент[n, k] p^(k) (1 - p)^(n - k), k, 0, n]

Понатамошните дефиниции се исти за сите дискретни случајни променливи (види дискретна случајна променлива).

## Наводи

## Поврзано
*Бернулиев опит
*Дискретна случајна променлива
*Опит (теорија на веројатноста)
*Веројатност

## Надворешни врски
* интерактивен
*
* интерактивен
*
* 
* со алгоритми за генерирање на случајни податоци

Категорија:Веројатност
Категорија:Статистика
Категорија:Распределби
Категорија:Математика
Категорија:Прекинати распределби