Тежиште

**Тежиште** — распределба на масата во вселена е единствена точка каде тежината на релативната позиција на дистрибуираната маса се сумира до нула или до точка каде ако се примени сила предизвикува таа да се движи во насока на силата без ротација. Распределбата на масата е избалансирана околу тежиштето и просекот на тежишните позициони координати на дистрибуираната маса ги дефинира своите координати. Пресметките во механиката често се поедноставени кога се формулирани во однос на тежиштето.

Во случајот на едно круто тело, тежиштето е фиксно во однос на телото, а кога телото има униформна густина, тоа ќе биде сместено во центроидот. Тежиштето може да се наоѓа надвор од физичкото тело, како што понекогаш е случај за  или предмети со отворен облик, како потковица.  Во случај на дистрибуција на посебни тела, како што се планетите во Сончевиот Систем, тежиштето може да не одговара на позицијата на секој поединечен член на системот.

Тежиштето е корисна референтна точка за пресметки во механиката кои вклучуваат маси распоредени во просторот, како што се линеарен и аголен импулс на планетарните тела и крутата телесна динамика. Во орбиталната механика, равенките на движење на планетите се формулирани како масени точки сместени во тежиштето. Тежишниот систем е инерцијален појдовен систем во кој центарот на тежиштето е во мирување во однос на почетокот на координатниот систем.

## Историја
Концептот на "тежиште" во форма на "центар на гравитација" првпат е воведен од страна на античкиот грчки физичар, математичар, и инженер Архимед од Сиракуза. Тој работел со поедноставени претпоставки за гравитација кои резултирале на униформно поле, со што пристигнал во математичките својства до она што денес го нарекуваме тежиште. Архимед покажал дека вртежниот момент на лост со тегови ставени на различни точки по должината на лостот е исто како и она што ќе биде ако сите тегови беа преместени во една точка—нивното тежиште. Во случај со лебдечки тела тој покажал дека ориентацијата на пловечкиот објект е оној кој прави тежиштето да е најниско можно.  Тој развил математички техники за изнаоѓање на тежиштето на објекти од униформна густина на разни добро дефинирани форми.

Подоцнежни математичари кои ја развиле теоријата за тежиштето се Пап Александриски, Гвидо Убалди, Франческо Мавролико, Федерико Коммандино, Симон Стевин, Лука Валерио, Жан-Шарл де ла Фел, Паул Гулдин, Џон Валис, Луј Каре, Пјер Варињон, и Алекси Клеро.

Вториот Њутнов закон е преформулиран во однос на тежиштето во прв олејров закон.

## Дефиниција
Тежиштето е единствена точка во центарот на распределба на масата во просторот кој има својство на векторите на пондерираната позиција каде во однос на оваа точка збирот е нула. Во аналогија на статистичките податоци, тежиштето е средната локација на распределба на масата во вселената.

### Сустем на честички
Во случај во систем на честички , секој со маса  кои се наоѓаат во просторот со координати , координатите **R** од тежиштето го задоволуваат условот
: \sum_{i=1}^n m_i(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) = 0.
Ја решава оваа равенка за **R** за да се добие формулата
:\mathbf{R} = \frac 1M \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{r}_i,
каде  е збир од масите на сите честички.

### Континуиран волумен
Ако распределбата на масата е континуирано со густината ρ(**r**) со волумен V, тогаш интегралот на пондерираните позициони координати во точките во овој волумен релативен со тежиштето  **R** е нула, тоа е
:\int_V \rho(\mathbf{r})(\mathbf{r}-\mathbf{R})dV = 0.
Ја решава оваа равенка за **R** за да се добие
:\mathbf R = \frac 1M \int_V\rho(\mathbf{r}) \mathbf{r} dV,
каде M е вкупната маса на волуменот.

Ако континуираната масена дистрибуција има униформна густина, што значи ρ е константа, тогаш тежиштето е исто како волуменот на  центроид. Тежиштето *не* е точка каде рамнината ја одвојува распределбата на масата во две еднакви половини. Во аналогија со статистиките, просечната не е иста како и средната вредност.

### Барицентрични координати

Координатите **R** од тежиштето на систем на две честички, *P<sub>1</sub>* и *P<sub>2</sub>*, со маси *m<sub>1</sub>* и *m<sub>2</sub>* е дадено со
: \mathbf{R} = \frac{1}{m_1+m_2}(m_1 \mathbf{r}_1 + m_2\mathbf{r}_2).
Нека процентот од вкупната маса поделена помеѓу овие две честички да варира од 100% *P<sub>1</sub>* и 0% *P<sub>2</sub>* преку 50% *P<sub>1</sub>* и 50% *P<sub>2</sub>* до 0% *P<sub>1</sub>* и 100% *P<sub>2</sub>*, потоа тежиштето **R** се движи по должината на линијата од *P<sub>1</sub>* до *P<sub>2</sub>*. Процентот на маса во секоја точка може да се гледа како проективни координати на точката **R** на оваа линија, и се нарекуваат барицентрични координати. Друг начин на толкување на процесот е механичко балансирање на моментите за произволната точка. Броителот го дава вкупниот момент кој е балансиран со еквивалентна вкупна сила во тежиштето. Ова може да се генерализира на три точки и четири точки за да се дефинираат проективните координати во рамнината, и во просторот, соодветно.

### Системи со периодични гранични услови
За честички во систем со периодични гранични услови две честички може да бидат соседни иако тие се наоѓаат на различни краеви во системот. Ова се случува често во молекулско динамички стимулации, на пример, во која кластери се формираат во различни локации и понекогаш соседни атоми ја преминуваат периодичната граница. Кога кластер ја раскорчува периодичната граница, наивно пресметување на тежиштето ќе биде погрешно. Генерален метод за пресметување на тежиштето за периодичен систем е да се третираат сите координати, *x* и *y* и/или *z*, како да станува збор за еден круг наместо линија.
Во пресметката се зема секоја координата на *x* партикулата и ја одбележува во агол,
 
:\theta_i = \frac{x_i}{x_{max}} 2 \pi 
 
каде *x*max е големината на системот во *x* дирекција. Од овој агол, две нови точки (\xi_i,\zeta_i) може да се генерираат:
 
: \xi_i = \cos(\theta_i) 
 
: \zeta_i = \sin(\theta_i) 
 
Во (\xi,\zeta) рамнината, овие координати лежат на круг со полупречник 1. Од колекцијата од \xi_i и \zeta_i вредноста од сите честички, просеците \overline{\xi} и \overline{\zeta} се пресметувани. Овие вредности се одбележани назад во нов агол, \overline{\theta}, од каде *x* координатата од тежиштето може да се добие:
 
: \overline{\theta} = \mathrm{atan2}(-\overline{\zeta},-\overline{\xi}) + \pi 
 
: x_{com} = x_{max} \frac{ \overline{\theta}}{2 \pi} 
 
Процесот може да биде повторуван во сите димензии од системот за да се утврди комплетното тежиште. Употребувањето на алгоритам дозволува на математичарите да утврдат каде е "најдоброто" тежиште, наместо да погодуваат или да користат групирање за да "расплети" кластер кој ги колеба периодичните граници. Мора да се земе предвид дека ако двете просечни вредности се нула, (\overline{\xi},\overline{\zeta}) = (0,0), тогаш \overline{\theta} е недефинирано. Ова е точен резултат, затоа што се јавува само кога сите честички се точно рамномерно распоредени. Во тој случај, нивните *x* координати се математички еднакви во периодичниот систем.

## Центар на гравитација
Центар на гравитација е точката во тело кај кое вкупната сила поради гравитациски сили ја снемува. Каде што гравитациското поле може да се смета за униформно, масениот центар и гравитацискот центар ќе бидат исти.  Но сепак, за сателитите во орбита околку планета, во отсуство на други сили кои не се применуваат на сателит, малата варијација (градиент) во гравитациско поле помеѓу кое е поблиску (посилно) и подалеку (послабо) од планетата може да доведе до сила која ќе има тенденција да го усогласи сателитот по вертикална оска. Во тој случај, важно е да се направи дистинкција помеѓу гравитацискиот центар и масениот центар.  Какво било хоризонтално поместување помеѓу двете ќе резултира примена на сила.

Корисно е да се напомене дека масениот центарr е фиксен за круто тело (на пр. без киша или артикулација), додека гравитацискиот центар може, во прилог, да зависи од својата ориентација во неуниформно гравитациско поле.  Во втор случај, гравитацискиот центар секогаш ќе биде сместен поблиску до главното тело во споредва со масениот центар, и со тоа телото ќе ја проемни својата позиција како и својата ориентација.

Во науката со динамика на авиони, возила и бродови, силите и моментите треба да се решат релативно со масениот центар. Тоа е точно независно од тоа дали гравитацијата се зема предвид.  Ова се однесува на масениот центар бидејќи гравитацискиот центар е нерелевантен, но е во општа употреба и кога гравитациските градиент ефекти се занемарливи, гравитацискит центар и масениот центар се исти и се користат наизменично.

Во физика придобивките од користење масен центар како модел за масена распределба може да се види ако се земе предвид вкупната сила на гравитациските сили на континуирано тело.  Нека се земе предвид тело со волумен V и густина ρ(**r**) во точка  **r** во волуменот.  Во паралелно гравитациско поле силата **f** во точката **r** е добиена од,
: \mathbf{f}(\mathbf{r}) =  -dm\, g\vec{k}= -\rho(\mathbf{r})dV\,g\vec{k},
каде dm е масата во точката **r**, g е забрзувањето на гравитацијата, и *k* е вектор кој ја дефинира вертикалната дирекција.
Избери референтна точка **R** во волуменот и пресметај ја вкупната сила и силата на оваа точка,
: \mathbf{F} = \int_V \mathbf{f}(\mathbf{r}) =  \int_V\rho(\mathbf{r})dV( -g\vec{k}) = -Mg\vec{k},
и
: \mathbf{T} =  \int_V (\mathbf{r}-\mathbf{R})\times \mathbf{f}(\mathbf{r}) = \int_V (\mathbf{r}-\mathbf{R})\times   (-g\rho(\mathbf{r})dV\vec{k} )= \left(\int_V \rho(\mathbf{r}) (\mathbf{r}-\mathbf{R})dV \right)\times   (-g\vec{k}) .
Ако референтната точка **R** е избрана да биде центар на масата, тогаш
: \int_V \rho(\mathbf{r}) (\mathbf{r}-\mathbf{R})dV =0, 
што значи вкупната сила **T**=0.  Бидејќи вкупната сила е нула, телото ќе се движи како да е честичка со негова маса концентрирана во масениот центар.

Избирајќи го центарот на гравитација како референтна точка за круто тело, гравитациските сили нема да предизвикаат телото да се ротира, што значи тежината на телото може да се земе за концентрирана во масениот центар.

## Линеарен и аголен моментум
Линеарниот и аголниот моментум на збир од честички може да биде поедноставен ако се измери позицијата и брзината на релативните честички на тежиштето.  Нека систем на честички *P<sub>i</sub>*, *i*=1,...,*n* со маси *m<sub>i</sub>* бидат сместени во координатите **r***i* со брзини **v***i*.  Извери референтна точка **R** и пресметај ја релативната позиција и векторите за брзина,
: \mathbf{r}_i = (\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) + \mathbf{R}, \quad \mathbf{v}_i = \frac{d}{dt}(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) + \mathbf{v}.
Вкупниот линеарен и аголен моментум на релативните вектори на референтната **R** се
: \mathbf{p} = \frac{d}{dt}\left(\sum_{i=1}^n m_i (\mathbf{r}_i - \mathbf{R})\right) + \left(\sum_{i=1}^n m_i\right) \mathbf{v},
и
: \mathbf{L} = \sum_{i=1}^n m_i (\mathbf{r}_i-\mathbf{R})\times \frac{d}{dt}(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) + \left(\sum_{i=1}^n m_i (\mathbf{r}_i-\mathbf{R})\right)\times\mathbf{v}.

Ако **R** е избран како тежиште тогаш равенките се поедноставуваат на
: \mathbf{p} = m\mathbf{v},\quad \mathbf{L} = \sum_{i=1}^n m_i (\mathbf{r}_i-\mathbf{R})\times \frac{d}{dt}(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}),
каде *m* е вкупната маса на сите честички, **p** е линеарниот моментум, и **L** е аголниот моментум.

Њутновите закони за движење бараат за било кој систем без надворешни сили, моментумот на системот да биде константен, што значи тежиштето се движо со константна брзина.  Ова важи за сите системи со класични внатрешни сили, вклучувајќи ги и магнетните полиња, електричните полиња, хемиските реакции, и така натаму.  Поформално, ова важи за било која внатрешна сила која го задоволува третиот Њутнов закон.

## Лоцирање на тежиштето

Експерименталното одредување на тежиштето на тело користи гравитациски сили на телото и се потпира на фактот дека во паралелно гравитациско поле во близина на површината на земјата, тежиштето е исто што е и гравитацискиот центар.

Тежиштето на тело со оска на симетрија и константна густина мора да лежи во оваа оска.  Така, тежиштето на кружен цилиндар со константна густина има тежиште на оската на цилиндарот.  На ист начин, тежиштето на сферично симетрално тело со постојана густина, тежиштето ќе се наоѓа во центарот на сферата.  Во принцип, за која било симетрија на тело, неговото тежиште ќе биде фиксна точка во таа симетрија.

### Во две димензии
Експериментален метод за лоцирање на тежиштето е да се суспендира предметот од две локации и да се пушти висок од суспендираните точки. Пресекот на двете линии е тежиште.

Обликот на предметот може математички да биде утврден, но може да биде премногу комплексно да се користи познатата формула. Во овој случај, комплексните облици може да се поделат во поедноставни, поелементарни форми, чии тежишта лесно се наоѓаат. Ако вкупната маса и тежиштето може да се утврдат за секоја површина, тогаш тежиштето во целина е просечната тежина од центрите. Овој метод може да функционира и за предмети со дупки, кои може да се сметаат како
негативни маси.

Директен развој на планиметарот, исто познат како интегратор или интегрометар, може да се користи за да се утврди позицијата на центроидот или тежиштето на неправилен дводимензионален облик. Овој метод може да се примени на облик со неправилна, мазна или комплексна граница каде други методи се премногу тешки. Овој метод редовно бил користен од страна на градители на бродови за да се спореди со потребните депласман и метацентрична висота  на бродот, за да се осигура да не се претовари.

### Во три димензии
Експериментален метод да се лоцираат три-димензионалните координати на тежиштето започнува со поддржување на предметот во три точки и мерејќи ги силите, **F**1, **F**2, и **F**3 кои даваат отпор на тежината на предметот, **W**= *−Wk* (*k* е векторот во вертикална насока).  Нека **r**1, **r**2, и **r**3 се позиционите координати на точките на поддршка, потоа координатите **R** од тежиштето го задоволуваат условот дека вкупната сила е нула,
:\mathbf{T}= (\mathbf{r}_1-\mathbf{R})\times\mathbf{F}_1+(\mathbf{r}_2-\mathbf{R})\times\mathbf{F}_2+(\mathbf{r}_3-\mathbf{R})\times\mathbf{F}_3=0,
или
:\mathbf{R}\times(-W\vec{k})= \mathbf{r}_1\times\mathbf{F}_1+\mathbf{r}_2\times\mathbf{F}_2+\mathbf{r}_3\times\mathbf{F}_3. 
Оваа равенка ги дава координатите на тежиштето **R*** во хоризонтална рамнина како,
: \mathbf{R}^* =-\frac{1}{W} \vec{k}\times(\mathbf{r}_1\times\mathbf{F}_1+\mathbf{r}_2\times\mathbf{F}_2+\mathbf{r}_3\times\mathbf{F}_3).
Тежиштето лежи на вертикалната линија L, добиена од
: L(t) = \mathbf{R}^* + t\vec{k}.
Три-димензионалните координати на тежиштето се утвредни со вршење на овој експеримент двапати со предметот позициониран така што овие сили се мерени за две различни хоризонтални рамнини низ предметот.  Тежиштето ќе биде на пресекот на двете линии L1 и L2 кои се добиваат од двата експеримента.

## Апликации

Инженерите пробуваат да дизајнираат спортски автомобил така што неговото тежиште да биде спуштено за да направат ракувањето на автомобилот да биде подобро. Кога скокачите во вис извршуваат "Фосбери-флоп", тие ги свиткуваат своите тела на таков начин што го прескокнуваат стапот додека тежиштето може и да не го прескокне.

### Аеронаутика

Тежиштето е важна точка за воздухоплов, кое значително влијае на стабилноста на воздухопловот. Да се осигура воздухопловот да биде доволно стабилен за да биде безбедно да се лета, тежиштето мора да паѓа во специфицирани лимити. Ако тежиштето е понапред од предната граница, воздухопловот ќе биде помалку подвижен, со можност до таа точка каде не би било можно да ротира за полетување или слетување. Ако тежиштето е зад задната граница, воздухопловот ќе биде повеќе подвижен, но исто така и помалку стабилен, и можно толку нестабилен што ќе биде невозможно да се лета. Моментот на елевација исто така ќе биде намален, што значи потешко е да се опорави од застојна состјба.

За хеликоптери кои лебдат, тежиштето е секогаш директно под роторот. Летајќи напред, тежиштето ќе се движи напред за да ја балансира негативната сила произведена од цикличната контрола за да се движи хеликоптерот напред; како резултат на тоа хеликоптерите летаат со "носот надолу" во хоризонтален лет.

### Астрономија

Тежиштето игра важна улога во астрономијата и астрофизиката, каде честопати се нарекува и *барицентар*. Барицентарот е точка помеѓу два предмета каде тие се балансираат меѓусебно; тоа е тежиштето каде две или повеќе небесни тела орбитираат едни со други. Кога месечина кружи околу планета, или планета орбитира ѕвезда, двете тела всушност орбитираат околку точка која лежи подалеку од центарот од примарното (поголемо) тело. На пример, Месечината не орбитира околку точниот центар на Земјата, но токча на линија помеѓу центарот на Земјата и Месечината, приближно 1,710&nbsp;км (1,062&nbsp;милји) под површината на Земјата, каде нивните соодветни маси се балансираат. Оваа е точката каде Земјата и Месечината орбитираат како што патуваат околку Сонцето. Ако масите се слични, на пр., Плутон и Харон, барицентарот ќе падне надвор од двете тела.

### Кинезиологија

Во кинезиологија и биомеханика, тежиштето е важен параметар кој им помага на луѓето за разбирање на човечкото движење. Тежиштето на човечкото тело секогаш се менува, бидејќи не е фиксна форма. Типично, човечкото тежиште се открива со реакциона табла или со метод на сегментација. Реакционата табла е статична анализа која вклучува лице кое лежи на реакционата табла, и користејќи ја статичката равенка за рамнотежа за да се најде тежиштето. Методот на сегментација е математичко решение кое се наведува дека сумата на силата на поединечни делови на телото во однос на одредена оска мора да биде еднаква на силата на целиот систем на телото во однос на истата оска.

## Поврзано

* Очекувана вредност

## Наводи

Категорија:Физички величини
Категорија:Маса
Категорија:Геометриски центри