Список на неравенства кај триаголник

Во геометријата, **неравенствата кај триаголник** се неравенства во кои се вклучени параметрите на триаголниците, кои важат за секој триаголник или за  триаголниците што исполнуваат одредени услови. Неравенствата даваат подредување на две различни вредности: тие се од форма „помало од“, „помало или еднакво на“, „поголемо од“ или „поголемо или еднакво на“. Параметрите во неравенство кај триаголник можат да бидат должините на страните, полупериметарот, мерките на аглите, вредностите на тригонометриските функции на тие агли, плоштината на триаголникот, медијаните на страните, висините, должините на внатрешните симетрали на аголот од секој агол до спротивната страна, нормалните симетрали на страните, растојанието од произволна точка до друга точка, радиусот на впишаната кружница,  радиусите на припишаните кружници, радиусот на опишаната кружница, и/или други величини.

Освен ако не е поинаку наведено, оваа статија се однесува на триаголници во Евклидовата рамнина .

## Главни параметри и нотација
Параметрите што најчесто се појавуваат кај триаголните неравенства се:

* должините на страните a,b,c;
* полупериметарот *<math>s=\frac{a+b+c}{2}</math>* (половина од периметарот p=a+b+c);
* големините на аглите A,B,C при темињата спроти соодветните страни a,b,c (при што темињата се означени со истите симболи како и нивните аголни мерки);
* вредностите на тригонометриските функции на аглите;
* плоштината на триаголникот P;
* медијаните (тежишните линии) m_a,m_b,m_c на страните (секоја е должината на отсечката од средишната точка на страната до темето спротивно на страната);
* висините h_a,h_b,h_c (секоја е има должина еднаква на растојанието помеѓу едно теме и нему спротивната страна (или продолжение на таа страна);
* должините на внатрешните симетрали на аглите t_a,t_b,t_c (секоја е отсечка од теме до нему спротивната страна и го преполовува аголот кај темето);
* нормалните симетрали p_a, p_b, p_c на страните (секоја е еднаква на должината на отсечка нормална на едната страна во нејзината средна точка и се протега до едната од другите страни);
* должините на отсечките со една крајна точка во произволна точка P во рамнината на триаголникот и друга крајна точка во теме на триаголникот (на пример, должината на отсечката од P до темето A се означува PA или AP);
* радиусот на впишаната кружница r (радиус на кружницата впишана во триаголникот, тангентна на сите три страни), радиусите r_a, r_b, r_c (секој е радиус на припишана (однадвор впишана) кружница тангентна на страната *a*, *b* или *c* соодветно и тангентна на продолжетоците на другите две страни) и радиусот на опишаната кружница R (радиус на кружницата опишана околу триаголникот која минува низ трите негови темиња).

## Должини на страните
Основното неравенство на триаголник е a \leq b+c, \quad b \leq c + a, \quad c \leq a + b или еквивалентно \max(a, b, c) \leq s.

Покрај тоа, \frac{3}{2} \le \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} каде што вредноста на десната страна е најниската можна граница, кон која се пристапува асимптотски кај одредени класи на триаголници кои се приближуваат кон дегенерираниот случај на триаголник со плоштина нула. Левото неравенство кое важи за сите позитивни *a, b, c*, е Несбитовото неравенство.

Имаме

: 3\left( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right) \geq 2\left( \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right) +3.

: abc \geq (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c). \quad 

: \frac{1}{3} \leq \frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2} 

: \sqrt{a+b-c} + \sqrt{a-b+c} + \sqrt{-a+b+c} \leq \sqrt{a}+\sqrt{b} + \sqrt{c}.

: a^2b(a-b) + b^2c(b-c) + c^2a(c-a) \geq 0.

Ако аголот *C* е тап (поголем од 90°), тогаш

: a^2+b^2 

ако аголот *C* е остар (помал од 90°), тогаш

: a^2+b^2 > c^2.

Меѓуслучајот на равенство кога *C* е прав агол е Питагоровата теорема .

Општо земено,

: a^2+b^2 > \frac{c^2}{2},

при што кон равенство се приближуваме во граничниот случај кога аголот при врвот на рамнокракиот триаголник се приближува кон 180°.

Ако тежиштето на триаголникот е во внатрешноста на впишаната кружница на триаголникот, тогаш 

: a^2 

Еквивалентно, ако a, b, c се страни на триаголник, а тежиштето на триаголникот е во внатрешноста на впишаната кружница, тогаш равенката ax^2+bx+c=0 нема реални корени.

Иако сите горенаведени неравенства се точни бидејќи *<math>a,b,c</math>* мора да го исполнуваат основното неравенство на триаголник - најдолгата страна е помала од половина од периметарот, следниве релации важат за сите позитивни a,b,c

: \frac{3abc}{ab+bc+ca} \leq \sqrt[3]{abc} \leq \frac{a+b+c}{3} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}},

и равенство важи само ако a=b=c. Ова значи дека кај нерамностраните триаголници хармониската средина на страните е помала од геометриската средина, а таа пак е помала од аритметичката средина на страните, која пак е помала од квадратната средина на страните.

## Агли

: \cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{3}{2}.

: (1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C) \geq \cos A \cdot \cos B \cdot \cos C.

: \cos ^4\frac{A}{2} + \cos ^4\frac{B}{2} + \cos ^4\frac{C}{2} \leq \frac{s^3}{2abc}

каде s е полупериметарот. Равенство важи само кај правилен триаголник

: a+b+c \ge 2\sqrt{bc} \cos A + 2 \sqrt{ca} \cos B + 2\sqrt{ab} \cos C. 

: \sin A + \sin B + \sin C \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}. 

: \sin ^2 A + \sin ^2 B + \sin ^2 C \leq \frac{9}{4}.

: \sin A \cdot \sin B \cdot \sin C  \leq \left(\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{3}\right)^3 \leq\left(\sin\frac{A+B+C}{3}\right)^3 =\sin^3\left(\frac{\pi}{3}\right)= \frac{3\sqrt{3}}{8}.  

: \sin A+\sin B \cdot \sin C \leq \varphi

каде \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} е златниот однос.

: \sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{B}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}  \leq \frac{1}{8}. 

: \mathrm{tg\,} ^2 \frac{A}{2} + \mathrm{tg\,}^2 \frac{B}{2} + \mathrm{tg\,}^2\frac{C}{2} \geq 1.

: \mathrm{ctg}\, A + \mathrm{ctg}\, B + \mathrm{ctg}\, C\geq \sqrt{3}. 

: \sin A \cdot \cos B +\sin B \cdot \cos C+\sin C \cdot \cos A \leq \frac{3\sqrt{3}}{4}.

За радиусот на опишаната кружница R и радиусот на впишаната кружница r имаме

: \max\left(\sin \frac{A}{2}, \sin \frac{B}{2}, \sin \frac{C}{2} \right) \le \frac{1}{2} \left(1+\sqrt{1-\frac{2r}{R}} \right),

при што равенство важи ако и само ако триаголникот е рамнокрак со агол на врвот поголем или еднаков на 60°;  и

: \min\left(\sin \frac{A}{2}, \sin \frac{B}{2}, \sin \frac{C}{2} \right) \ge \frac{1}{2} \left(1-\sqrt{1-\frac{2r}{R}} \right),

при што равенство важи ако и само ако триаголникот е рамнокрак со агол на врвот помал или еднаков на 60°. 

Исто така имаме

: \frac{r}{R}-\sqrt{1-\frac{2r}{R}} \le \cos A \le \frac{r}{R}+\sqrt{1-\frac{2r}{R}}

и слично за аглите *<math>B,C.</math>* Равенство во првиот дел важи ако триаголникот е рамнокрак и аголот на врвот е најмалку 60°, a во вториот дел ако и само ако триаголникот е рамнокрак со агол на врвот не поголем од 60°. 

Понатаму, кои било два агли со димензии *<math>A</math>* и B на спротивните страни a и b соодветно, го исполнуваат неравенството

: A>B \quad \Leftrightarrow \quad a > b,

што е поврзано со теоремата за рамнокрак триаголник и нејзината обратна теорема, која вели дека *<math>A=B</math>* ако и само ако *<math>a=b.</math>*

Според Евклидовата теорема за надворешни агли, секој надворешен агол на триаголник е поголем од кој било од внатрешните агли каj спротивните темиња:  

: 180^\circ - \angle A > \max(\angle B, \angle C).

Ако точката *<math>D</math>* е во внатрешноста на триаголникот *<math>ABC,</math>* тогаш

: \angle BDC > \angle A.

За остроаголен триаголник имаме  

: \cos^2A+\cos^2B+\cos^2C 

a обратното неравенство важи за тапоаголен триаголник.

Понатаму, за нетапоаголни триаголници имаме  

: \frac{2R+r}{R}\le \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{A-C}{2}\right)+\cos\left(\frac{B}{2}\right)\right)

и равенство важи ако и само ако триаголникот е правоаголен со хипотенуза *<math>AC.</math>*

## Плоштина
Неравенството на Вајценбек, изразено преку плоштината *<math>P,</math>*  гласи

: a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3}\cdot P, 

при што равенство важи само кај рамностран триаголник. Ова е последица на неравенството на Хадвигер-Финслер, кое гласи

: a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} + 4 \sqrt{3} \cdot P .

Исто така,

: ab+bc+ca \geq 4\sqrt{3} \cdot P

и   

: P \leq \frac{abc}{2}\sqrt{\frac{a+b+c}{a^3+b^3+c^3+abc}} \leq \frac{1}{4}\sqrt[6] \frac{3(a+b+c)^3(abc)^4}{a^3+b^3+c^3} \leq \frac{\sqrt{3}}{4}(abc)^{2/3}.

Од десната горна граница на *<math>P,</math>* користејќи го неравенството меѓу аритметичката и геометриската средина, се добива изопериметарското неравенство за триаголници:

: P \leq \frac{\sqrt{3}}{36}(a+b+c)^2 = \frac{\sqrt{3}}{9}s^2 

каде s=\frac{a+b+c}{2} . Ова неравенство понекогаш се изразува преку периметарот *<math>p</math>* како

: p^2 \ge 12\sqrt{3} \cdot P,

при што равенство важи за рамностран триаголник. Важи и појакото неравенство

: P \le \frac{\sqrt{3}}{4}(abc)^{2/3}.

Неравенството на Бонесен исто така го зајакнува изопериметарското неравенство:

:  \pi^2 (R-r)^2 \leq (a+b+c)^2-4\pi P. 

Исто така имаме

: \frac{9abc}{a+b+c} \ge 4\sqrt{3} \cdot P 

со равенство само за рамностран триаголник.

: 38 P^2 \leq 2s^4-a^4-b^4-c^4

каде што *<math>s</math>* е полупериметарот. Исто така, важи

: \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} 

Неравенството на Оно за остроаголни триаголници (на кои сите агли им се помали од 90°) гласи

: 27 (b^2 + c^2 - a^2)^2 (c^2 + a^2 - b^2)^2 (a^2 + b^2 - c^2)^2 \leq (4 P)^6.

Плоштината на триаголникот може да се спореди со плоштината на впишаниот круг:

: \frac{\text{Плоштината на впишаниот круг}}{\text{Плоштината на триаголникот}} \leq \frac{\pi}{3\sqrt{3}}

и равенство важи само кај рамностран триаголник.

Ако внатрешен триаголник е впишан во референтен триаголник така што темињата на внатрешниот триаголник го делат периметарот на референтниот триаголник на сегменти со еднаква должина, односот на нивните површини е ограничен со

: \frac{\text{Плоштината на впишаниот триаголник}}{\text{Плоштината на референтниот триаголник}} \leq \frac{1}{4} .

Нека внатрешните симетрали на аглите *<math>A, B</math>* и *<math>C</math>* ги сeчат спротивните страни во точките *<math>D, E</math>* и *<math>F.</math>* Тогаш

: \frac{3abc}{4(a^3+b^3+c^3)} 
\leq \frac{\text{Плоштината на триаголникот} \,DEF}{\text{Плоштината на триаголникот} \, ABC} 
\leq \frac{1}{4}.

Права што минува низ медијаната (тежишна линија) на триаголник, ја дели плоштината на триаголникот така што односот на плоштината на помалиот дел и површината на оригиналниот триаголник е најмалку *<math>4/9.</math>*

## Медиани и центроид
Секоја од трите медиани на триаголник m_a, \,m_b, \, m_c поврзува теме на триаголникот со средишната точка на спротивната страна, а збирот од нивните должини го задоволува неравенството

: \frac{3}{4}(a+b+c) 

Уште повеќе,  

: \left( \frac{m_a}{a} \right)^2 + \left( \frac{m_b}{b} \right)^2  + \left( \frac{m_c}{c} \right)^2 \geq \frac{9}{4},

каде равенство важи само ако триаголникот е рамностран. За радиусот на впишаната кружница во триаголникот *<math>r</math>*, важи

: \frac{m_am_bm_c}{m_a^2+m_b^2+m_c^2} \geq r.

Ако должините на медианите продолжени до нивните пресеци со опишаната кружница ги означиме со *<math>M_a, \, M_b , \, M_c\, ,</math>* тогаш

: \frac{M_a}{m_a} + \frac{M_b}{m_b} + \frac{M_c}{m_c} \geq 4.

Центроид (тежиште) *<math>G</math>* на триаголник е пресекот на неговите медијани. Нека *<math>AG, BG</math>* и *<math>CG</math>* ја сечат опишаната кружница во точките *<math>U, V</math>* и *<math>W</math>* соодветно. Точни се следниве две неравенства

: GU+GV+GW \geq AG+BG+CG

и

: GU \cdot GV \cdot GW \geq AG \cdot BG \cdot CG;

покрај тоа,  

: \sin GBC+\sin GCA+\sin GAB \leq \frac{3}{2}.

Кај остроаголен триаголник имаме

: m_a^2+m_b^2+m_c^2 > 6R^2

во однос на радиусот на опишаната кружница *<math>R,</math>* додека за тапоаголен триаголник важи спротивнoтo неравенство.

Ако ги означиме растојанијата помеѓу центарот на впишаната кружница и темињата со *<math>IA,IB,IC,</math>* тогаш важи следново неравенство:

: \frac{IA^2}{m_a^2}+\frac{IB^2}{m_b^2}+\frac{IC^2}{m_c^2} \leq \frac{4}{3}.

Трите медијани на кој било триаголник можат да бидат страни на друг триаголник: 

: m_a 

Понатаму,  

: \max\{bm_c +cm_b, \quad cm_a +am_c,\quad am_b +bm_a\} \le \frac{a^2+b^2+c^2}{\sqrt{3}}.

## Висини
Висините *<math>h_a, h_b, h_c</math>* поврзуваат теме со спротивната страна и се нормални на таа страна. Тие ги задоволуваат и следниве две неравенства

: h_a+h_b+h_c \leq \frac {\sqrt{3}}{2}(a+b+c)

и

: h_a^2+h_b^2+h_c^2 \le \frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2).

Дополнително, ако a\geq b \geq c, потоа  

: a+h_a \geq b+h_b \geq c+h_c.

Исто така, имаме

: \frac{h_a^2}{b^2 + c^2} \cdot \frac{h_b^2}{c^2 + a^2}\cdot \frac{h_c^2}{a^2 + b^2}
\leq 
(\frac{3}{8})^2.

За симетралите на аглите *t<sub>a</sub>*, *t<sub>b</sub>*, *t<sub>c</sub>* oд тeмињата *A, B, C* и радиусите на опишаната кружница *R* и на впишаната кружница *r*, имамe

: \frac{h_a}{t_a}+\frac{h_b}{t_b}+\frac{h_c}{t_c} \geq \frac{R+4r}{R}.

Отсечки чии должини се еднакви на реципрочните вредности на висините на кој било триаголник, можат и самите да формираат триаголник: 

: \frac{1}{h_a}

## Внатрешни симетрали на агли и радиуси на впишана и опишана кружница
За центарот на впишаната кружница *I*, нека *AI*, *BI* и *CI* се продолжат до пресеците со опишаната кружница во *D*, *E* и *F*, соодветно. Тогаш

: t_a+t_b+t_c \leq \frac{\sqrt{3}}{2}(a+b+c)

во однос на страните. Важат и неравенствата

: h_a \leq t_a \leq m_a,
\quad
h_b \leq t_b \leq m_b,
\quad
h_c \leq t_c \leq m_c,


за соодветните висини, симетрали на аглите и медианите. Понатаму, 

: \sqrt{m_a}+\sqrt{m_b}+\sqrt{m_c} \geq \sqrt{t_a}+\sqrt{t_b}+\sqrt{t_c}

во однос на медианите, и

: \frac{h_a}{t_a}+\frac{h_b}{t_b}+\frac{h_c}{t_c}\geq 1+\frac{4r}{R}

во однос на висините и радиусите на впишаната и опишаната кружница.

Нека T_a, T_b, T_c се должините на продолженијата на бисектрисите на аглите до нивните пресеци со опишаната кружница

: T_aT_bT_c \geq \frac{8\sqrt{3}}{9}abc,

каде равенство важи само кај рамностран триаголник и

: T_a+T_b+T_c \leq 5R +2r

за радиусите на опишаната кружница *R* и на впишаната кружница *r *при што равенство важи само кај рамностран триаголник. Уште повеќе 

: T_a + T_b+T_c \geq \frac{4}{3} (t_a + t_b+ t_c).

Aко *<math>I</math>* е центарот на впишаната кружница (пресекот на внатрешните симетрали на аголот), имаме

: 6r \leq AI+BI+CI \leq \sqrt{12(R^2-Rr+r^2)}.

За средишните точки *<math>L,M,N</math>* на страните важи

: IL^2+IM^2+IN^2 \geq r(R+r).

За центрите на впишаната кружница *I*, на oпишаната кружница *O,* на кружницата на деветте точки *N* и ортоцентарот *H*, кај нерамностраните триаголници важат неравенствата

: IG

: IH

: IG

и

: IN 

важи и следново неравенство за аголот

: \angle IOH 

Покрај тоа,  

: IG 

каде што v е најдолгата медијана.

Трите триаголници со теме во *I* *OIH*, *GIH*, и *OGI*, сe тапoаголни:

:  \angle OIH > \angle GIH >90 ^\circ, \qquad 
\angle OGI >90 ^\circ .

Бидејќи за овие триаголници означените агли се тапи, имаме

: OI^2+IH^2 

и второто неравенство е еквивалентно на резултат кој е посилен од првото неравенство, докажан од Ојлер 

:   OI^2 

Поголемиот од два агли на триаголник има пократка внатрешна симетрала на аголот

: \text{ако} \quad A>B, \quad \text{тогаш} \quad t_a

## Симетрали на страните
Овие неравенства се однесуваат на должините p_a, p_b, p_c на триаголникот, т.е. на внатрешните делови на нормалните симетрали на страните на триаголникот. Ако за страните важи a \geq b \geq c, имаме

: p_a \geq p_b

и

: p_c \geq p_b.

## Сегменти од произволна точка

### Внатрешна точка
Нека *P* е произволна точка во внатрешноста на триаголникот, а растојанијата меѓу неа и темињата на триаголникот се *PA*, *PB*, *PC*. Имамe 

: 2(PA+PB+PC) > AB+BC+CA > PA+PB+PC,

и посилно од второто од овие неравенства е следново 

Ако  AB е најкратката страна на триаголникот, тогаш

: PA+PB+PC \leq AC+BC. 

Исто така, за произволна внатрешна точка  P важи неравенството на Птоломеј

: PA \cdot BC + PB \cdot CA > PC \cdot AB.

Важат и аналогни неравенства за циклични пермутации на темињата.

Ако од точка oд внатрешноста повлечеме нормални линии кон страните на триаголникот, кои ги сечат страните во точките *<math> D,E,F,</math>* имаме

: PA \cdot PB \cdot PC \geq (PD+PE)(PE+PF)(PF+PD).

Понатаму, неравенството на Ердеш-Мордел гласи: 

: \frac{PA+PB+PC}{PD+PE+PF} \geq 2

при што равенство важи само кај рамностран триаголник. Посилно, неравенството на Бароу гласи дека ако внатрешните симетрали на аглите со теме во точка oд внатрешноста  P (имено, на  \angle APB, \angle BPC и  \angle CPA) ги сечат страните на триаголникот во точките *<math> U,V,W,</math>* тогаш 

: \frac{PA+PB+PC}{PU+PV+PW} \geq 2.

Исто така, посилно од неравенството на Ердеш-Мордел е следново: 

Нека *<math> D,E,F,</math>* се ортогоналните проекции на  P врз *<math> BC,CA,AB</math>* соодветно, а  H,K,L се ортогоналните проекции на  P врз тангентите на кружницата опишана oколу триаголникот во темињата *<math> A,B,C</math>* соодветно. Тогаш

: PH + PK + PL \ge 2(PD + P E + P F ).

Aко  H,K,L се ортогоналните проекции на  P врз тангентите на опишаната кружница oколу триаголникот повлечени во темињата *<math> A,B,C</math>* соодветно, тогаш

: \frac{PH}{a^2}+\frac{PK}{b^2}+\frac{PL}{c^2}\ge \frac{1}{R}

каде што  R е радиусот на опишаната кружница.

Повторно за растојанијата *<math>PD,PE,PF</math>* помеѓу точката  P од внатрешноста на триаголникот и неговите страни, ги имаме овие три неравенства

: \frac{PA^2}{PE\cdot PF}+\frac{PB^2}{PF\cdot PD}+\frac{PC^2}{PD\cdot PE} \geq 12;

: \frac{PA}{\sqrt{PE\cdot PF}}+\frac{PB}{\sqrt{PF\cdot PD}}+\frac{PC}{\sqrt{PD\cdot PE}}\geq 6;

: \frac{PA}{PE+PF}+\frac{PB}{PF+PD}+\frac{PC}{PD+PE}\geq 3.

За растојанијата *<math>PA,PB,PC</math>* помеѓу точката  P од внатрешноста на триаголникот и неговите темиња, важиги имаме овие три неравенства

: (b+c)PA+(c+a)PB+(a+b)PC \geq 8T

и

: \frac{PA}{a}+\frac{PB}{b}+\frac{PC}{c} \geq \sqrt{3}.

За точката  P од внатрешноста на триаголникот, центроидот  G, средишните точки *<math> L,M,N</math>* на страните и полупериметар  s, имаме  

: 2(PL+PM+PN) \leq 3PG+PA+PB+PC \leq s + 2(PL+PM+PN) .

Покрај тоа, за позитивни броеви *<math> k_1, k_2, k_3,t,</math> *каде што with *<math> t \leq 1</math>*:

: k_1\cdot (PA)^t + k_2\cdot (PB)^t + k_3\cdot (PC)^t \geq 2^t \sqrt{k_1k_2k_3} \left(\frac{(PD)^t}{\sqrt{k_1}} + \frac{(PE)^t}{\sqrt{k_2}} + \frac{(PF)^t}{\sqrt{k_3}} \right),

додека за  t>1 имаме

: k_1\cdot (PA)^t + k_2\cdot (PB)^t + k_3\cdot (PC)^t \geq 2 \sqrt{k_1k_2k_3} \left(\frac{(PD)^t}{\sqrt{k_1}} + \frac{(PE)^t}{\sqrt{k_2}} + \frac{(PF)^t}{\sqrt{k_3}} \right).

### Внатрешна или надворешна точка
Постојат различни неравенства за произволна внатрешна или надворешна точка во рамнината во однос на радиусот *r* на впишаната кружница на триаголникот. На пример,

: PA+PB+PC \geq 6r.

Меѓу останатите се:

: PA^3+PB^3+PC^3 + k \cdot (PA \cdot PB \cdot PC) \geq8(k+3)r^3

за *k* = 0, 1, ..., 6;

: PA^2+PB^2+PC^2 + (PA \cdot PB \cdot PC)^{2/3} \geq 16r^2;

: PA^2+PB^2+PC^2 + 2(PA \cdot PB \cdot PC)^{2/3} \geq 20r^2;

и

: PA^4+PB^4+PC^4 + k(PA \cdot PB \cdot PC)^{4/3} \geq 16(k+3)r^4

за *k* = 0, 1, ..., 9.

Понатаму, за радиусот на oпишаната кружница  R,

: (PA \cdot PB)^{3/2} + (PB \cdot PC)^{3/2} + (PC \cdot PA)^{3/2} \geq 12Rr^2;

: (PA \cdot PB)^{2} + (PB \cdot PC)^{2} + (PC \cdot PA)^{2} \geq 8(R+r)Rr^2;

: (PA \cdot PB)^{2} + (PB \cdot PC)^{2} + (PC \cdot PA)^{2} \geq 48r^4;

: (PA \cdot PB)^{2} + (PB \cdot PC)^{2} + (PC \cdot PA)^{2} \geq 6(7R-6r)r^3.

За триаголникот *ABC* со центроид *G*, и средишни точки *D*, *E*, *F* на страните *BC*, *CA*, *AB*, соодветно ако *P* е точка во рамнината *ABC,* тогаш:

: PA+PB+PC \le 2(PD+PE+PF)+3PG.

## Радиуси на впишаната, на опишаната и на припишаните кружници

### Радиуси на впишаната и на опишаната кружница
Ојлеровото неравенство за радиусот на опишаната кружница *R* и радиусот на впишаната кружница *r* гласи

: \frac{R}{r} \geq 2,

со равенство само за рамностран триаголник.

Посилна верзија е

: \frac{R}{r} \geq \frac{abc+a^3+b^3+c^3}{2abc} \geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-1 \geq \frac{2}{3} \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right) \geq 2.

За споредба,

: \frac{r}{R} \geq \frac{4abc-a^3-b^3-c^3}{2abc},

каде што десната страна може да биде позитивна или негативна.

Две други подобрувања на Ојлеровото неравенство се

:  \frac{R}{r} \geq \frac{(b+c)}{3a}+\frac{(c+a)}{3b}+\frac{(a+b)}{3c} \geq 2

и

: \left( \frac{R}{r} \right)^3 \geq \left( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right) \left( \frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right) \geq 8.

Друго симетрично неравенство е

:  \frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}\leq \frac{4}{9}\left(\frac{R}{r}-2\right).

Покрај тоа, за центарот на опишаната кружница *O* нека правите *AO*, *BO* и *CO* ги сечат спротивните страни *BC*, *CA* и *AB* во *U*, *V* и *W* соодветно. Тогаш

: \frac{R}{r} \geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca};

: a^3+b^3+c^3 \leq 8s(R^2-r^2)

во однос на полупериметарот *s*

: r(r+4R) \geq \sqrt{3} \cdot P

во однос на плоштината *P*;

: s\sqrt{3} \leq r+4R 

и

: s^2 \geq 16Rr - 5r^2 

полупериметарот *s*.

: \begin{align}
&2R^2+10Rr-r^2-2(R-2r)\sqrt{R^2-2Rr} \leq s^2 \\
&\quad\leq 2R^2+10Rr-r^2+2(R-2r)\sqrt{R^2-2Rr}
\end{align}

исто така во однос на полупериметарот.   Изразот \sqrt{R^2-2Rr}=d каде што *d* е растојанието помеѓу центрите на впишаната и на опишаната кружница. Во второто проширено неравенство, во првиот дел равенство важи ако и само ако триаголникот е рамнокрак со агол при врвот од најмалку 60°, а во вториот дел равенство важи ако и само ако триаголникот е рамнокрак со агол на врвот од најмногу 60°. Така, обете равенства важат ако и само ако триаголникот е рамностран.  

Исто така, за некоја од страните, на пр. a, важи

: (R-d)^2-r^2 \le 4R^2 r^2\left(\frac{(R+d)^2-r^2}{(R+d)^4} \right) \le \frac{a^2}{4} \le Q \le (R+d)^2-r^2,

каде Q=R^2 ако центарoт на опишаната кружница е на или во надворешноста на впишаната кружница и Q=4R^2 r^2 \left(\frac{(R-d)^2-r^2}{(R-d)^4}\right) ако центарот на опишаната кружница е во внатрешноста на впишаната кружница. Центарот на кружницата е во внатрешноста на впишаната кружница ако и само ако 

: \frac{R}{r} 

Понатаму, 

: \frac{9r}{2P} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq \frac{9R}{4P}.

**Неравенството на Бландон** гласи 

: s \leq (3\sqrt{3}-4)r+2R.

Исто така, за сите остроаголни триаголници важи

: s > 2R+r.

За центарот на впишаната кружница *I*, нека *D, E и F* се редоследните пресеци на правите *AI*, *BI* и *CI* со опишаната кружница околу *ABC.* Важи

: \frac{AI}{ID} + \frac{BI}{IE} + \frac{CI}{IF} \geq 3.

За аглите на триаголникот имаме

: \cos A \cdot \cos B \cdot \cos C \leq \left(\frac{r}{R\sqrt 2} \right)^2.

Нека R_A, R_B, R_C се танрадиусите на триаголникот. Важи

: \frac{4}{R}\le \frac{1}{R_A}+\frac{1}{R_B}+\frac{1}{R_C}\le \frac{2}{r}

со равенство само за рамностран триаголник.

: \frac{9}{2}r\le R_A+R_B+R_C \le 2R+\frac{1}{2}r

при што равенство важи само кај рамностран триаголник. 

### Радиус на опишана кружница и други должини
За радиусот на опишаната кружница *R* имамe

: 18R^3\geq (a^2+b^2+c^2)R+abc\sqrt{3}

и

: a^{2/3}+b^{2/3}+c^{2/3} \leq 3^{7/4}R^{3/2}.

Исто така, имаме

: a + b + c \leq 3\sqrt{3}\cdot R, 

: a^2+b^2 +c^2 \leq 9 \cdot R^2,

: h_a+h_b+h_c \leq 3 \sqrt{3} \cdot R

во однос на висините

: {m_a^2+m_b^2+m_c^2} \leq \frac{27}{4}\cdot R^2

во однос на медијаните, и 

: \frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a} \geq \frac{2P}{R}

во однос на плоштината.

Покрај тоа, за окружен центар *O*, нека линиите *AO*, *BO* и *CO* ги сечат спротивните страни *BC*, *CA* и *AB* во *U*, *V* и *W* соодветно. Потоа  

: OU+OV + OW \geq \frac{3}{2}R.

Дополнително, за растојанието помеѓу центарот на впишаната кружница *I* и ортоцентарот *H* во остроаголен триаголник важи 

: OH 

За тапоаголен триаголник важи обратното неравенство.

Радиусот на опишаната кружница е најмалку двапати поголем од растојанието помеѓу првата и втората точка на Брокар B_1 и B_2:

: R \ge 2B_1B_2.

### Радиуси на впишана и на опишана кружница и други должини
За радиусот на впишаната кружница *r* имаме

: \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq \frac{\sqrt 3}{2r},

: 9r \leq h_a+h_b+h_c

во однос на висините. Понатаму, 

: \sqrt{r_a^2+r_b^2+r_c^2} \geq 6r

во однос на радиусите на припишаните кружници. Дополнително имаме

: \sqrt{s}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \leq \sqrt{2}(r_a+r_b+r_c)

и

: \frac{abc}{r} \geq \frac{a^3}{r_a}+\frac{b^3}{r_b}+\frac{c^3}{r_c}.

Радиусите на припишаните кружници и медијаните се поврзани со  

: \frac{r_ar_b}{m_am_b}+\frac{r_br_c}{m_bm_c}+\frac{r_cr_a}{m_cm_a} \geq 3.

Дополнително, за растојанието помеѓу центарот на впишаната кружница *I* и ортоцентарот *H* во остроаголен триаголник важи 

: IH 

a за тапоаголен триаголник важи обратното неравенство.

За остроаголен триаголник важи и 

: r^2+r_a^2+r_b^2+r_c^2 

во однос на радиусот на опишаната кружница *<math>R,</math>* додека за тапоаголен триаголник важи спротивнoтo неравенство.

Нека внатрешните симетрали на аглите *<math>A, B</math>* и *<math>C</math>* ги сeчат спротивните страни во точките *<math>U, V</math>* и *<math>W.</math>* Имаме

: \frac{1}{4} 

Ако симетралите на внатрешните агли низ центарот на впишаната кружница *I* се продолжат до пресеците со опишаната кружница во *X*, *Y* и *Z*, тогаш

: \frac{1}{IX}+\frac{1}{IY}+\frac{1}{IZ} \geq \frac{3}{R}

за радиусот на опишаната кружница *R*, и 

: 0\leq (IX-IA)+(IY-IB)+(IZ-IC) \leq 2(R-2r). 

Ако впишаната кружница ги допира страните во *D*, *E*, *F*, тогаш

: EF^2+FD^2+DE^2 \leq \frac{s^2}{3}

каде *s* е полупериметарот на триаголникот.

## Впишани фигури

### Впишан шестаголник
Ако тангенцијален шестоаголник се формира со цртање на три сегменти тангентни на впишаната кружница на триаголникот и паралелни на страните, така што шестоаголникот е впишан во триаголникот, а неговите други три страни се совпаѓаат со делови од страните на триаголникот, тогаш  

: \text{Периметар на шестаголникот} \leq \frac{2}{3}(\text{Периметар на триаголникот}).

### Впишан триаголник
Нека *D*, *E*, *F* се три точки на соодветните страни *AB*, *BC* и *CA* на референтен триаголник *ABC* кои се темиња на впишан триаголник *DEF*. Страните на *DEF* го делaт триаголникот *ABC* на четири триаголници, a плоштината на впишаниот триаголник е поголема од плоштината на барем еден од другите внатрешни триаголници, освен ако темињата на впишаниот триаголник не се на средните точки на страните на референтниот триаголник (во кој случај впишаниот триаголник е медијалниот триаголник и сите четири внатрешни триаголници имаат еднакви плоштини):  

: \text{P(DEF)} \ge \min(\text{P(BED), P(CFE), P(ADF)}).

### Впишани квадрати
Остар триаголник има три впишани квадрати, на кои едната страна им се совпаѓа со дел од страната на триаголникот, а другите две темиња на квадратот се наоѓаат на преостанатите две страни од триаголникот. (Правоаголниот триаголник има само два различни впишани квадрати.) Ако еден од овие квадрати има должина на страната x_a, а друг има должина на страната *<math>x_b \geq x_a,</math>* тогаш

: 1 \geq \frac{x_a}{x_b} \geq \frac{2\sqrt{2}}{3} \approx 0.94.

Уште повеќе, за секој квадрат впишан во кој било триаголник имаме

: \frac{\text{Плоштина на триаголникот}}{\text{Плоштина на впишаниот квадрат}} \geq 2.

## Ојлерова права
Ојлеровата права на триаголник минува низ неговиот ортоцентар, центарот на неговата опишана кружница и неговото тежиште, но не минува низ центарот на неговата впишана кружница освен ако триаголникот не е рамнокрак. 

За сите нерамнокраки триаголници, растојанието *d* од центарот на впишаната кружница до Ојлеровата права ги задоволува следниве неравенства во однос на најдолгата медијана на триаголникот *v*, неговата најдолга страна *u* и неговиот полупериметар *s*: 

: \frac{d}{s} 

За сите овие соодноси, горната граница од 1/3 е најмалата можна.  

## Правоаголен триаголник
Во правоаголни триаголници, катетите *a* и *b* и хипотенузата *c* го задоволуваат следново неравенство, со еднаквост само кај рамнокрак триаголник:  

: a+b \leq c\sqrt{2}.

Во однос на радиусот, за хипотенузата важи  

: 2r \leq c(\sqrt{2}-1),

а за висината кон хипотенузата, катетите задоволуваат 

: h_c \leq \frac{a+b}{2 \sqrt{2}}.

## Рамнокрак триаголник
Ако двете еднакви страни на рамнокрак триаголник имаат должина *a,* а другата страна има должина *c*, тогаш внатрешната симетрала на аголот *t* од едното од двете темиња при основата задоволува  

: \frac{2ac}{a+c} > t > \frac{ac\sqrt{2}}{a+c}.

## Рамностран триаголник
Нека *P* е која било точка во рамнината на рамностран триаголник *ABC*, при што *P* не лежи на кружницата опишана околу триаголникот. Со отсечките *PA*, *PB* и *PC*, може да се формира триаголник, т.е. важат неравенствата:PA+PB > PC, \quad PB+PC > PA, \quad PC+PA > PB.

Меѓутоа, ако *P* е на кружницата опишана околу триаголникот *ABC*, тогаш збирот на растојанијата од *P* до најблиските две темиња е еднаков на растојанието од *P* до најоддалеченото теме.

Триаголник е рамностран ако и само ако, за *секоја* точка *P* во рамнината, со растојанија *PD*, *PE* и *PF* од страните на триаголникот и растојанија *PA*, *PB* и *PC* од неговите темиња, важи 4(PD^2+PE^2+PF^2) \geq PA^2+PB^2+PC^2.

## Два триаголника
Неравенството на Пидо за два триаголника ABC и DEF, едниот со страни *<math>a, b</math>* и *c* и плоштина P, а другиот со страни *<math>d,e</math>* и f и плоштина S, гласи

: d^2(b^2+c^2-a^2) + e^2(a^2+c^2-b^2) + f^2(a^2+b^2-c^2) \geq 16 P S.

Равенство важи ако и само ако двата триаголника се слични.

Теоремата на шарката или теоремата за отворена уста наведува дека ако две страни од еден триаголник се складни со две страни на друг триаголник, а аголот кој го формираат страните на првиот триаголник е поголем од аголот кој го формираат страните на вториот, тогаш третата страна од првиот триаголник е подолга од третата страна од вториот триаголник. Тоа значи дека за триаголниците *ABC* и *DEF* со страни *<math>a,b,c</math>* и *<math>d,e,f</math>* соодветно (каде *<math>a</math>* e страната наспроти темето *<math>A</math>* итн.), ако *<math>a=d, b=e</math>* и \angle C >\angle F, тогаш

:  c>f.

Обратното исто така важи: ако  c>f, тогаш \angle C >\angle F.

Аглите во кои било два триаголника *<math>ABC</math> и <math>DEF,</math>* се поврзани преку котангенсната функција според неравенството

: \text{ctg} \, A (\text{ctg} \, E + \text{ctg} \, F) + \text{ctg} \, B(\text{ctg} \, F+ \text{ctg} \, D) + \text{ctg} \,C(\text{ctg} \, D + \text{ctg} \, E) \geq 2.

## Неевклидски триаголници
Во триаголник на површината на сфера (сферичен триаголник), како и во елиптичната геометрија, важи 

: \angle A+\angle B+\angle C >180^\circ.

Ова неравенство е обратно за хиперболични триаголници.

## Наводи

Неравенства кај триаголник