Ердеш-Морделово неравенство

Во Евклидовата геометрија, **Ердеш-Морделовото неравенство** вели дека за секој триаголник ABC и точка P во неговата внатрешност, збирот на растојанијата од P до страните на триаголникот е помал или еднаков на половината од збирот на растојанијата од *P* до темињата на триаголникот. Ова неравенство е именувано по Пал Ердеш и Луис Мордел.  го поставил проблемот, а доказот го дале Мордел и Д. Ф. Бароу (1935) две години подоцна. Но, ова решение не било многу елементарно. Последователни поедноставни докази биле дадени од ,  и .

Неравенството на Бароу е зајакната верзија на неравенството на Ердеш-Мордел во која растојанијата од P до страните се заменети со растојанијата од P до точките во кои симетралите на аглите на ∠*APB*, ∠*BPC* и ∠*CPA* ги сечат страните. Иако заменетите растојанија се подолги, нивниот збир сепак е помал или еднаков на половина од збирот на растојанијата до темињата.

## Формулација
десно|мини|Ердеш-Морделово неравенство (Erdős–Mordell)
Нека P е произволна точка во даден триаголник ABC, и нека PL, PM и PN се нормалите од P кон страните на триаголникот. (Ако триаголникот е тапоаголен, една од овие нормали може да пресече друга страна на триаголникот и да заврши на потпорната права која содржи една од страните.) Тогаш неравенството гласи

: \overline{PA}+\overline{PB}+\overline{PC}\geqslant 2(\overline{PL}+\overline{PM}+\overline{PN})

## Доказ
Нека страните на ABC се: a - наспроти темето A, b - наспроти темето B и c - наспроти темето C. Исто така, нека \overline{PA} = p, \overline{PB} = q, \overline{PC} = r; d(P,BC)=x, d(P,CA)=y, d(P,AB)=z. Прво,  докажуваме дека

: cr\geq ax+by.

што е еквивалентно на

: \frac{c(r+z)}2\geq \frac{ax+by+cz}2.

Десната страна е еднаква на плоштината на триаголникот ABC. На левата страна збирот *<math>r+z</math>* не е помал од висината на триаголникот. Следствено, левата страна не може да биде помала од десната страна. Сега, ја пресликуваме точката P симетрично во однос на симетралата на аголот при темето C. Гледаме дека cr\geq ay+bx за сликата (рефлексијата) на P. Слично се покажува дека bq \geqslant az + cx и ap \geqslant bz + cy . Ги решаваме овие неравенки по r,q и p:

: r\geq (a/c)y+(b/c)x,
: q\geq (a/b)z+(c/b)x,
: p\geq (b/a)z+(c/a)y.

Се собираат трите неравенки и добиваме

: 
  p + q + r
\geq
  \left( \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \right) x +
  \left( \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \right) y +
  \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) z.


Бидејќи збирот на позитивен број и неговиот реципрочен број е најмалку 2, заради неравенството помеѓу аритметичката и геометриската средина, доказот е завршен. Еднаквост важи само за рамностран триаголник, каде што P е неговиот центар.

## Појака верзија
Нека ABC е триаголник впишан во кружница (O) и P е точка во триаголникот ABC. Нека D,E,F се ортогоналните проекции на P врз BC,CA,AB редоследно. Нека M, N, Q се ортогоналните проекции на P врз тангентите на (O) во A,B,C соодветно. Tогаш:

:  \overline{PM} + \overline{PN} + \overline{PQ} \geqslant 2(\overline{PD} + \overline{PE} + \overline{PF})

Eднаквост важи ако и само ако триаголникот ABC е рамностран ( ;  )

## Обопштувањe
Нека A_1A_2...A_n е конвексен многуаголник и P е точка од внатрешноста на A_1A_2...A_n. Нека R_i е растојанието помеѓу P и темето A_i, r_i е растојанието од P до страната A_iA_{i+1}, w_i е отсечката на симетралата на аголот A_iPA_{i+1} од P до нејзиниот пресек со страната A_iA_{i+1}, тогаш ():

:  \sum_{i=1}^{n}R_i \ge \left(\sec{\frac{\pi}{n}}\right)\sum_{i=1}^{n} w_i \ge \left(\sec{\frac{\pi}{n}}\right)\sum_{i=1}^{n} r_i 

## Во апсолутна геометрија
Во апсолутната геометрија, Ердеш-Морделовото неравенство е еквивалентно, што е докажано во , на ставот дека збирот на аглите во триаголник е помал или еднаков на два прави агли.

## Поврзано
* Список на неравенства за триаголници

## Наводи
* .
* .
* .
* .
* .
* .
* .
* .
* .

## Надворешни врски
* 
* Alexander Bogomolny, "Erdös-Mordell Inequality", from Cut-the-Knot.

Категорија:Неравенства на триаголници