Бет-број

Во математиката, бесконечните кардинални броеви се претставени со првата хебрејска буква \aleph (алеф) со подзнак над редните броеви во облик на „алеф-број“. Втората хебрејска буква \beth (бет) се користи на сличен начин, но не мора да ги опфаќа како подзнак сите броеви што ги опфаќа \aleph.

## Определба
**Бет-броевите** се утврдуваат вака:

:нека
:\beth_0=\aleph_0

е кардиналноста на преброиво бесконечно множество; поконкретно, како типичен случај можеме да го земеме множеството на природни броеви \mathbb{N}. Со *P*(*A*) го означуваме партитивното множество на *A*, т.е. множеството на сите подмножества на *A*. Потоа задаваме

:\beth_{\alpha+1}=2^{\beth_{\alpha}},

што е кардиналноста на партитивното множество на *A* ако \beth_{\alpha} е кардиналноста на *A*.

Така зададено,

:\beth_0,\ \beth_1,\ \beth_2,\ \beth_3,\ \dots

се кардиналностите на

:\mathbb{N},\ P(\mathbb{N}),\ P(P(\mathbb{N})),\ P(P(P(\mathbb{N}))),\ \dots.

па вториот бет-број \beth_1 е еднаков на \mathfrak c (кардиналност на континуумот), а третиот бет-број \beth_2 е кардиналноста на партитивното множество на континуумот.

Поради Канторовата теорема, секое множество во претходната низа има кардиналност строго поголема од она кое му претходи. Кај бесконечните лимесни ординали λ, соодветниот бет-број се дефинира како најмалата горна граница (супремум) на бет-броевите на сите ординали строго помали од λ:

:\beth_{\lambda}=\sup\{ \beth_{\alpha}:\alpha

Можеме да покажеме и дека фон Нојмановата хиерархија V_{\omega+\alpha} \! има кардиналност \beth_{\alpha} \!.

## Поврзаност со алеф-броевите
Assuming the аксиомата на изборот, бесконечните кардиналности се линеарно подредени; секои две кардиналности мора да се споредливи. Така, бидејќи по дефиниција нема бесконечни кардинали помеѓу \aleph_0 и \aleph_1, следи дека 
:\beth_1 \ge \aleph_1.
Со повторување на овој аргумент (трансконечна индукција) добиваме 
\beth_\alpha \ge \aleph_\alpha 
за сите ординали \alpha.

Хипотезата за континуумот е еднаква на
:\beth_1=\aleph_1.

Воопштената хипотеза на континуумот вели дека вака определената низа од бет-броеви е истоветна со низата од алеф-броеви, т.е., 
\beth_\alpha = \aleph_\alpha 
за сите ординали \alpha.

## Поединечни кардинали
### Бет-нула
Бидејќи ова по дефиниција е \aleph_0 (алеф-нула), тогаш множествата со кардиналност \beth_0 се следниве:

* природните броеви **N**
* рационалните броеви **Q**
* алгебарските броеви
* пресметливите броеви и пресметливите множества
* множеството на конечни множества на цели броеви

### Бет-еден

Кардиналност \beth_1 имаат следниве множества:

*трансцендентните броеви
*ирационалните броеви
*реалните броеви **R**
*комплексните броеви **C**
*Евклидов простор **R***n*
*партитивното множество на природни броеви (the set of all subsets of the natural numbers)
*множеството на низи од цели броеви (т.е. сите функции **N** → **Z**, честопати означени како **Z****N**)
*множеството на низи од реални броеви, **R****N**
*множеството на сите непрекинати функции од **R** до **R**
*мноежството од конечни подмножества на реални бреови

### Бет-два
\beth_2 се нарекува и **2<sup>''c''</sup>** (изг. „на степен це“).

Множества со кардиналност \beth_2 се:

* Партитивното множество of the set of real numbers, so it is the number of подмножества на реалната оска, или бројот на множества на реални броеви
* Партитивното множество на партитивното множество на природни броеви
* Множеството на сите функции од **R** до **R** (**R****R**)
* Множеството на сите функции од **R***m* до **R***n*
* Партитивното множество на множеството на сите функции од множеството на природни броеви до самото себе, што значи дека е бројот на множества низи од природни броеви
* Стоун-Чеховите компактификации на **R**, **Q** и **N**

### Бет-омега
\beth_\omega (pronounced *beth omega*) is the smallest uncountable strong limit cardinal.

## Воопштување
Понекогаш се користи поопштиот симбол \beth_\alpha(\kappa) за ординали α и кардинали κ. Определбата гласи:
:\beth_0(\kappa)=\kappa,
:\beth_{\alpha+1}(\kappa)=2^{\beth_{\alpha}(\kappa)},
:\beth_{\lambda}(\kappa)=\sup\{ \beth_{\alpha}(\kappa):\alpha ако λ е лимесен ординал.

Значи, \beth_{\alpha}=\beth_{\alpha}(\aleph_0).

Во Цермело-Френкеловата теорија, за секој кардинал κ и μ има ординал α така што:

:\kappa \le \beth_{\alpha}(\mu).

Теоријата вели дека за секој кардинал κ и ординали α и β:

:\beth_{\beta}(\beth_{\alpha}(\kappa)) = \beth_{\alpha+\beta}(\kappa).

Затоа, во Цермело–Френкеловата теорија на множествата во отсуство урелементи со или без аксомата за избор за сите кардинали κ и μ, равенството

:\beth_{\beta}(\kappa) = \beth_{\beta}(\mu)

важи зас ите доволно големи ординали β (т.е. не постои α за која равенството ќе важи за секој ординал β ≥ α).

Ова важи и во Цермело-Фенкеловата теорија со урелементи со или без аксиомата за избор под услов урелементите да образуваат множество што е рамнобројно со некое чисто множество (множество чие транзитивно затворање не содржи урелементи). Ако важи аксиомата за избор, тогаш секое множество од урелементи е рамнобројно со чисто множество.

## Поврзано
* Алеф-број

## Наводи
* T. E. Forster, *Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe*, Oxford University Press, 1995, стр. 5.

Категорија:Кардинални броеви
Категорија:Бесконечност