Скаларен производ

**Скаларен производ** — бинарна операција која зема два вектора како аргументи, а резултатот е скаларен. Ова е посебен случај на внатрешно множење на простори. Ако овие два вектора се исто така од векторски простор, записот за оваа операција е како што следи:

: (a,b) \mapsto a \cdot b

Скаларен производ се вика секое пресликување кое ги има следните својства:

: (u+v)\cdot w = u \cdot w + v \cdot w
: (\alpha u)\cdot v = \alpha(u \cdot v)
: u \cdot v = v \cdot u
: u \ne 0 \Rightarrow u \cdot u > 0

Каде, и векторите о, а α се произволен реален број.
десно|мини|300x300пкс| Приказ на стандарден скаларен производ на вектори
Скаларен производ на векторите \vec{x} јас \vec{y} се дефинира на следниов начин:

: \vec x \cdot \vec y = |\vec x|\, |\vec y|\,\cos\measuredangle\left(\vec x, \vec y\right) = x_1 \, y_1 + x_2 \, y_2 + \ldots + x_n \, y_n

Притоа |\vec x| и |\vec y| се интензитетите на овие вектори, определени со следните координати:

: \vec{x} = (x_1, x_2, \dots x_n) јас \vec{y} = (y_1, y_2, \dots y_n)

Пример за скаларно множење на вектори *(1, 3, −5)* и *(4, −2, −1)* во тридимензионален простор:

: \begin{align}
& (1,3,-5) \cdot (4,-2,-1) \\
& = 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + (-5) \cdot (-1) \\
& = 4 - 6 + 5 \\
& = 3
\end{align}


## Доказ
Формулата : \vec x\cdot \vec y = |\vec x| \cdot |\vec y| \cdot \cos \measuredangle \left(\vec x,\vec y\right) може да се докаже со набљудување на два вектора со заеднички почеток и нивната разлика:

Ако \gamma е аголот помеѓу два вектора чиј скаларен производ треба да се најде, користејќи ја косинусната теорема може да се напише:

: |\vec c|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a||\vec b| \cdot \cos{\gamma}

Бидејќи \vec c е еднаков на \vec b-\vec a, следи:

: |\vec b-\vec a|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2|\vec a| |\vec b| \cdot \cos{\gamma}

Од каде се наоѓа:

: \left(\vec b-\vec a\right)\cdot\left(\vec b-\vec a\right) = \vec a\cdot\vec a + \vec b\cdot\vec b-2|\vec a||\vec b| \cdot \cos{\gamma}

:  \vec b\cdot\vec b -2 \vec a\cdot\vec b+ \vec a\cdot\vec a = \vec a\cdot\vec a + \vec b\cdot\vec b-2|\vec a||\vec b| \cdot \cos{\gamma}

Оттука се добива конечната формула:

: \vec a\cdot\vec b = |\vec a||\vec b| \cdot \cos{\gamma}.

## Ортогонални вектори
Со замена на вредностите на аглите во претходната формула во случај векторите \vec{x} и \vec{y} да се заемно нормално добиваме:

: \vec{x}\cdot \vec{y} = 0  .

Ова својство често е корисно за докажување дека векторите се меѓусебно нормални, бидејќи е доволно и неопходно нивниот скаларен производ да биде еднаков на нула.

## Својства
Скаларниот производ на вектори ги има следните својства:

* комутативност

{\vec{a} \cdot \vec{b}} = {\vec{b} \cdot \vec{a}}

* дистрибутивност во однос на собирањето

(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}

* во општ случај не е асоцијативен
* за него важи следново:

(\alpha \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (\alpha \vec{b}) = \alpha \vec{a} \cdot \vec{b}

## Користење за пресметување на интензитет на вектор
Со користење на скаларен производ на вектори, може да се изведе формула за интензитет на векторот.

Бидејќи:

: \vec x\cdot \vec y = \sum_{i=1}^n x_iy_i = {x_1}{y_1}+{x_2}{y_2}+\dotsb + {x_n}{y_n}.

За посебен случај кога \vec{x} = \vec{y} еднаквоста се претвора во: \vec{x} \cdot \vec{x} = {x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2 + \dots + {x_n}^2

: Врз основа на тоа се заклучува:
: | \vec x | = \sqrt{\vec x\cdot \vec x} = \sqrt \right).

## Троен производ
 \mathbf{a} \times ( \mathbf{b} \times \mathbf{c} ) = \mathbf{b} ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} ) - \mathbf{c} ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) , Оваа формула наоѓа примена во поедноставувањето на векторските пресметки во физиката

## Проекција на вектор врз вектор
Со помош на скаларниот производ може да се пресмета проекција на вектор врз вектор, т.е.

* \overrightarrow{a}\overrightarrow{b_0}= \mid \overrightarrow{a}\mid \ cos \omega = \overrightarrow{a_b} скаларна проекција на векторот \overrightarrow{a} врз векторот \overrightarrow{b}
* \overrightarrow{a}\overrightarrow{b_0}= \mid \overrightarrow{a}\mid \ cos \omega = \overrightarrow{b_a} скаларна проекција на векторот \overrightarrow{b} врз векторот \overrightarrow{a}
* (\overrightarrow{a}\overrightarrow{b_0})*\overrightarrow{b_0}=a_b\overrightarrow{b_0} векторска проекција на векторот \overrightarrow{a} врз векторот \overrightarrow{b}
* (\overrightarrow{a_0}\overrightarrow{b})*\overrightarrow{a_0}=b_a\overrightarrow{a_0} векторска проекција на векторот \overrightarrow{b} врз векторот \overrightarrow{a}

## Последици од скаларното множење

* \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{b} 
* \overrightarrow{a} \overrightarrow{a} = \mid \overrightarrow{a} \mid \mid \overrightarrow{a}\mid \cos \ 0 =\mid \overrightarrow{a} \mid ^2 =>\mid \overrightarrow{a} \mid \sqrt{\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}}
* \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} => \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0
* \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0 =>\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} или барем еден од векторите е \overrightarrow{0}
* cos \omega =\frac{\overrightarrow{a} \overrightarrow{b}}{\mid \overrightarrow{a} \mid \mid \overrightarrow{a} \mid} ( 0 )

## Поврзано
* Вектор
* Скалар
* Векторски производ

## Наводи

## Литература
* Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Inner product”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer.  978-1556080104. 
* Weisstein, Eric W. „Dot product”. MathWorld.

Категорија:Тензори
Категорија:Вектори
Категорија:Линеарна алгебра
Категорија:Физика
Категорија:Бинарни операции
Категорија:Аналитичка геометрија