Лежандрова функција

Во физичките науки и математиката, **Лежандровите функции** , ; **придружените Лежандрови функции** ,  и **Лежандровите функции од втор вид**, , се решенија на Лежандровата диференцијална равенка. Лежандровите полиноми и придружените Лежандрови полиноми се исто така решенија на диференцијалната равенка во посебни случаи, кои, бидејќи се полиноми, имаат голем број дополнителни својства, математичка структура и примени.
мини|500x500пкс|Поврзани криви на Лежандров полином за  .

## Лежандровата диференцијална равенка
**Општата равенка на Лежандр** е дадена со:

\left(1 - x^2\right) y'' - 2xy' + \left[\lambda(\lambda+1) - \frac{\mu^2}{1-x^2}\right] y = 0,

каде  и  може да бидат комплексни, и се нарекуваат степен и ред на дадената функција, соодветно. Решенијата на полиномите кога  е цел број (означено ) и  се Лежандровите полиноми . Во случај кога  е цел број (означено со ) и  е исто така цел број со  се придружените Лежандрови полиноми. Сите други случаи на  и  може да се дискутираат како еден, а решенијата се запишуваат како ,  . Доколку , горниот индекс се изоставува и се пишува само ,  . Сепак, решението  кога  е цел број често се дискутира одделно како Лежандрова функција од втор вид и се означува со .

Станува збор за линеарна равенка од втор ред со три правилни сингуларни точки (на ,  и ). Како и сите останати равенки од овој вид, и оваа може да се трансформира во хипергеометриска диференцијална равенка со промена на променливата, а нејзините решенија може да се изразат со употреба на хипергеометриски функции.

## Решенија на диференцијалната равенка
Затоа што диференцијалната равенка е линеарна, хомогена (десната страна е еднаква на нула) и од втор ред, таа има две линеарно независни решенија. Овие решенија може да се изразат преку хипергеометриската функција  _2F_1. Првото решение е дадено со:ж

P_{\lambda}^{\mu}(z) = \frac{1}{\Gamma(1-\mu)} \left[\frac{z+1}{z-1}\right]^{\mu/2} \,_2F_1 \left(-\lambda, \lambda+1; 1-\mu; \frac{1-z}{2}\right),\qquad \text{for } \ |1-z| а втората е Q_{\lambda}^{\mu}(z) = \frac{\sqrt{\pi}\ \Gamma(\lambda+\mu+1)}{2^{\lambda+1}\Gamma(\lambda+3/2)}\frac{e^{i\mu\pi}(z^2-1)^{\mu/2}}{z^{\lambda+\mu+1}} \,_2F_1 \left(\frac{\lambda+\mu+1}{2}, \frac{\lambda+\mu+2}{2}; \lambda+\frac{3}{2}; \frac{1}{z^2}\right),\qquad \text{for}\ \ |z|>1.

каде  \Gamma е гама функцијата.
алт=Plot of the Legendre function of the second kind Q n(x) with n=0.5 in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D|мини|График на Лежандровата функција од втор вид Q n(x) со n=0.5 во комплексната рамнина од -2-2i до 2+2i со бои креирани со функцијата Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
Горенаведените функции се општо познати како Лежандрови функции од прв и втор вид на нецел број, со дополнителен квалификатор „поврзан“ ако  е различен од нула. Корисна релација помеѓу решенијата на  и  е Випловата формула.

## Лежандрови функции од втор вид (  )
мини|384x384пкс|График на првите пет Лежандрови функции од втор вид.
Неполиномното решение за специјалниот случај на целоброен степен  \lambda = n \in \N_0  и  \mu = 0 , честопати се разгледува одделно од останатите. Ваквото решение е дадено е со:

Q_n(x)=\frac{n!}{1\cdot3\cdots(2n+1)}\left(x^{-(n+1)}+\frac{(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}x^{-(n+3)}+\frac{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2\cdot4(2n+3)(2n+5)}x^{-(n+5)}+\cdots\right)

Ова решение е сингуларно кога  x = \pm 1  .

Споменатите Лежандрови функции од втор вид е можно да се дефинираат и рекурзивно преку Бонеовата рекурзивна формула, односно:

Q_n(x) = \begin{cases}
 \frac{1}{2} \log \frac{1+x}{1-x} & n = 0 \\
 P_1(x) Q_0(x) - 1 & n = 1 \\
 \frac{2n-1}{n} x Q_{n-1}(x) - \frac{n-1}{n} Q_{n-2}(x) & n \geq 2 \,.
\end{cases}

## Придружни Лежандрови функции од втор вид
Неполиномното решение за специјалниот случај на целоброен степен  \lambda = n \in \N_0  и  \mu = m \in \N_0  е дадено со следниот израз:Q_n^{m}(x) = (-1)^m (1-x^2)^\frac{m}{2} \frac{d^m}{dx^m}Q_n(x)\,.

## Интегрални претставувања
Лежандровите функции можат да се напишат како контурни интеграли, односно: 

P_\lambda(z) =P^0_\lambda(z) = \frac{1}{2\pi i}
 \int_{1,z} \frac{(t^2-1)^\lambda}{2^\lambda(t-z)^{\lambda+1}}dt

каде контурата се затвора околу точките  и  во позитивна насока и не се затвора околу точката . За реални , се добива:

P_s(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(x+\sqrt{x^2-1}\cos\theta\right)^s d\theta = \frac{1}{\pi}\int_0^1\left(x+\sqrt{x^2-1}(2t-1)\right)^s\frac{dt}{\sqrt{t(1-t)}},\qquad s\in\Complex

Категорија:Математички фунции