Кејсиева теорема

**Кејсиева теорема**, позната и како воопштена Птоломеева теорема — теорема во Евклидовата геометрија именувана по ирскиот математичар Џон Кејси .

## Формулација на теоремата
мини|<math>t_{12} \cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0 </math>
Нека \,O е кружница со радиус \,R. Нека \,O_1, O_2, O_3, O_4 се  (по тој редослед) четири непресечни кружници кои лежат во внатрешноста на \,O и ја допираат. Ја означуваме со \,t_{ij} должината на надворешната заедничка битангента на кружниците \,O_i, O_j. Важи:

: \,t_{12} \cdot t_{34}+t_{14} \cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.

Забележете дека во дегенерираниот случај, каде што сите четири кружници се намалуваат до точки, ова е токму Птоломеевата теорема.

## Доказ
Следниов доказ му се припишува на Захаријас. Го означуваме радиусот на кружницата\,O_i со \,R_i и допирните точки со кружницата \,O со K_i. Ќе ги означиме со \,O, O_i центрите на кружниците. Од Питагоровата теорема, важи

: \,t_{ij}^2=\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2.

Ќе се обидеме да ја изразиме оваа должина преку точките \,K_i,K_j . Според косинусната теорема во триаголникот \,O_iOO_j ,

: \overline{O_iO_j}^2=\overline{OO_i}^2+\overline{OO_j}^2-2\overline{OO_i}\cdot \overline{OO_j}\cdot \cos\angle O_iOO_j

Бидејќи кружниците O и O_i се тангентни една на друга, важи

: \overline{OO_i} = R - R_i,\, \angle O_iOO_j = \angle K_iOK_j

Нека \,C е точка на кружницата \,O. Од синусната теорема во триаголникот \,K_iCK_j:

: \overline{K_iK_j} = 2R\cdot \sin\angle K_iCK_j = 2R\cdot \sin\frac{\angle K_iOK_j}{2}

Затоа,

: \cos\angle K_iOK_j = 1-2\sin^2\frac{\angle K_iOK_j}{2}=1-2\cdot \left(\frac{\overline{K_iK_j}}{2R}\right)^2 = 1 - \frac{\overline{K_iK_j}^2}{2R^2}

и заменувајќи ги овие во формулата погоре, добиваме

: \overline{O_iO_j}^2=(R-R_i)^2+(R-R_j)^2-2(R-R_i)(R-R_j)\left(1-\frac{\overline{K_iK_j}^2}{2R^2}\right)

: \overline{O_iO_j}^2=(R-R_i)^2+(R-R_j)^2-2(R-R_i)(R-R_j)+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2}

: \overline{O_iO_j}^2=((R-R_i)-(R-R_j))^2+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2}

И конечно, должината која ја бараме е

: t_{ij}=\sqrt{\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2}=\frac{\sqrt{R-R_i}\cdot \sqrt{R-R_j}\cdot \overline{K_iK_j}}{R}

Сега можеме да ја изразиме левата страна, со помош на изворната Птоломеева теорема применета на впишаниот четириаголник \,K_1K_2K_3K_4 :

: 
\begin{align}
& t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23} \\[4pt]
= {} & \frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4} \left(\overline{K_1K_2} \cdot \overline{K_3K_4}+\overline{K_1K_4}\cdot \overline{K_2K_3}\right) \\[4pt]
= {} & \frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}\left(\overline{K_1K_3}\cdot \overline{K_2K_4}\right) \\[4pt]
= {} & t_{13}t_{24}
\end{align}


## Понатамошни воопштувања
Може да се види дека четирите кружници не мора да лежат во внатрешноста на големата кружница. Всушност, тие можат да бидат тангентни на неа и однадвор. Во тој случај треба да се направи следнава промена:

:

Ако \,O_i, O_j и двете ја допираат \,O од иста страна (и двете однатре или и двете однадвор), \,t_{ij} е должината на надворешната заедничка тангента.

:

Ако \,O_i, O_j се ја допираат \,O  од различни страни (едната однатре, а другата однадвор), \,t_{ij} е должината на внатрешната заедничка тангента.

:

Обратното тврдење на Кејсиевата теорема е исто така точно. Тоа значи дека, ако важи равенство, кружниците се допираат со една иста кружница.

## Примени
Кејсиевата теорема и нејзината спротивна може да се користат за докажување на различни тврдења во Евклидовата геометрија. На пример, во најкраткиот познат доказ 
 на Фојербаховата теорема се користи обратната теорема.

## Наводи

## Надворешни врски
* 
* Shailesh Shirali: "'On a generalized Ptolemy Theorem'". In: *Crux Mathematicorum*, Vol. 22, No. 2, pp.&nbsp;49–53

Категорија:Евклидова геометрија
Категорија:Теореми за кружници