Сферичен дизајн

**Сферичен дизајн**, дел од теоријата на комбинаторниот дизајн во математиката, е конечно множество од *N* точки на *d* -димензионалната единица ''хипер''сфера *S <sup>d</sup>* така што просечната вредност на кој било полином *f* од степен *t* или помал во множеството е еднаква на просекот вредност на *f* на целата сфера (односно, интегралот на *f* над *S <sup>d</sup>* поделен со плоштината или мерката на *S <sup>d</sup>* ). Таквото множество често се нарекува и **сферичен** *t* - **дизајн** за да се означела вредноста на *t*, што е основен параметар. Концептот на сферичен дизајн се должи на Делсарт, Геталс и Зајдел,  иако овие објекти порано биле сфатени како посебни примери на кубатурни формули.

Сферичните дизајни можат да бидат од вредност во теоријата на апроксимација, во статистиката за експериментален дизајн, во комбинаториката и во геометријата. Главниот проблем е да се најдат примери, дадени *d* и *t*, кои не се премногу големи; сепак, може да биде тешко да се дојде до такви примери. Сферичните т-дизајни, исто така, неодамна биле присвоени во квантната механика во форма на квантни т-дизајни со различни апликации во теоријата на квантната информација и квантното пресметување.

## Постоење на сферични дизајни

Постоењето и структурата на сферични дизајни на кругот беа проучени во длабочина од Хонг.  Набргу потоа, Сејмур и Заславски  докажале дека такви дизајни постојат од сите доволно големи димензии; односно, дадени позитивни цели броеви *d* и *t*, постои број *N* ( *d*, *t* ) таков што за секој *N* &#x2265; *N* ( *d*, *t* ) постои сферичен *t* -дизајн на *N* точки во димензија *d*. Сепак, нивниот доказ не дал идеја за тоа колку е голем *N* ( *d*, *t* ).

Мимура конструктивно нашол услови во однос на бројот на точки и димензијата што го карактеризираат токму кога постојат сферични 2-дизајн. Колекциите на рамноаголни линии со максимална големина (до идентификација на линиите како антиподални точки на сферата) се примери на сферични 5-дизајни со минимална големина. Постојат многу спорадични мали сферични дизајни; многу од нив биле поврзани со конечни групни дејства на сферата.

Во 2013 година, Бондаренко, Радченко и Виазовска  ја добиле асимптотската горна граница  N(d,t) за сите позитивни цели броеви *d* и&nbsp;*т* . Ова асимптотички се совпаѓала со долната граница дадена првично од Делсарт, Геталс и Зајдел. Вредноста на *C <sub>d</sub>* засега е непозната, додека точните вредности на  N(d,t) се познати во релативно малку случаи.

Прикажани се докази кои сугерираат дека, во три димензии, сферични

1-дизајни со N точки постојат ако N >= 2 (ова е познато);

2-дизајни со N точки постојат ако N = 4 или >= 6 (ова е познато);

3-дизајни со N точки постојат ако N = 6, 8, >= 10;

4-дизајни со N точки постојат ако N = 12, 14 >= 20;

5-дизајни со N точки постојат ако N = 12, 16, 18, 20 >= 22 ;

6-дизајни со N точки постојат ако N = 24 , 26, >= 28 ;

7-дизајни со N точки постојат ако N = 24 , 30, 32, 34, >= 36 ;

8-дизајни со N точки постојат ако N = 36 , 40, 42, >= 44 ;

9-дизајни со N точки постојат ако N = 48 , 50, 52, >= 54 ;

10-дизајни со N точки постојат ако N = 60 , 62, >= 64 ;

11-дизајни со N точки постојат ако N = 70 , 72, >= 74 ;

12-дизајни со N точки постојат ако N = 84 , >= 86 .

## Поврзано

* Проблем со Томсон

## Надворешни врски

* Сферични т-дизајни за различни вредности на *N* и *t* може да се најдат претходно пресметани на веб-страницата на Нил Слоун .

## Белешки

## Наводи

* .
* .
* . Reprinted in .
* .
* .
http://neilsloane.com/sphdesigns/

Категорија:Алгебра