Теореми за средна вредност

**Теореми за средна вредност**, име за четири теореми кои во најопшта смисла ги поврзуваат својствата на функциите и нивниот извод. Преку овие теореми, најчесто, се врши практичната примена на диференцијалното сметање. Сите теореми носат име на познати математичари: Пјер Ферма, Мишел Рол, Жозеф Луј Лагранж и Огистен Луј Коши.

## Теорема на Ферма
Теоремата на Ферма, или *Прва теорема за средна вредност*, ја има следнава формулација:

* **Нека <math>\ f(x)</math> е реална функција определена на интервалот <math>\ (a,b)</math> и нека во точката <math>\ x_0 \in (a,b)</math> има локален екстрем** (локален минимум или локален максимум).** Ако функцијата е диференцијабилна во точката <math>\ x_0</math>, тогаш <math>\ f^\prime (x_0) = 0</math>.**

Имајќи го предвид значењето на првиот извод на функцијата во некоја точка, теоремата го има следново (неформално) толкување: во точките кои се екстреми на фунцијата, тангентата на графикот на функцијата е паралелна со \ x-оската.

### Доказ
Прво да дефинираме локален екстрем на функција. Постојат два вида локални екстреми: локален минимум и локален максимум.

* **Нека функцијата <math>\ f(x)</math> е определена на интервал <math>\ (a,b)</math>. За неа велиме дека има ''локален максимум'' во точка <math>\ x_1 \in (a,b)</math> ако за секој <math>\ x \in (a,b)</math> важи: <math>\ f(x) \le f(x_1)</math>. Соодветно, за <math>\ f(x)</math> велиме дека има ''локален минимум'' во точка <math>\ x_2 \in (a,b)</math> ако за секој <math>\ x \in (a,b)</math> важи: <math>\ f(x) \ge f(x_2)</math>.**

Нека претпоставиме дека функцијата \ f(x) има локален максимум во точка \ x_0 \in (a,b). Тогаш точно е:

: \exists \delta >0, \forall x \in (x_0 - \delta,\, x_0 + \delta),\,\, f(x) \le f(x_0)

Тогаш за \ x \in (x_0,\, x_0 + \delta), важи: \ f(x) - f(x_0) \le 0 и \ x - x_0 \ge 0. За изводот имаме:

: \ f^\prime(x) = \lim_{x \to x_0^{+}} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \le 0\,\,\,\,\, (\star)

Ако пак \ x \in (x_0 - \delta,\, x_0), важи: \ f(x) - f(x_0) \le 0 и \ x - x_0 \le 0, па во тој случај за изводот имаме:

: \ f^\prime(x) = \lim_{x \to x_0^{-}} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \ge 0\,\,\,\,\, (\star\star)

Бидејќи лимесот \ f^\prime(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} постои (функцијата е диференцијабилна на целиот интервал), се добива дека постојат и левиот и десниот лимес во точката \ x_0 и дека тие се еднакви; ова е единствено можно, согласно неравенствата (\star) и (\star\star), ако \ f^\prime (x) = 0\,\,\, \blacksquare

## Теорема на Рол
Теоремата на Рол, или Втора теорема за средна вредност, ја има следнава формулација:
* **Нека функцијата <math>\ f(x)</math> е определена на интервалот <math>\ [a,b]</math> и диференцијабилна на <math>\ (a,b)</math> и нека <math>\ f(a) = f(b) = 0</math>. Тогаш постои точка <math>\ x \in (a,b)</math> таква што <math>\ f^\prime (x) = 0</math>.**

Неформално може да се толкува на следниов начин: ако функција е определена на затворен интервал и диференцијабилна во сите освен можеби во крајните точки од интервалот, во кои пак има вредност еднаква на нула, тогаш таа сигурно има екстрем на тој интервал.

### Доказ
Функцијата \ f  е непрекината на интервалот \ [a,b], што значи дека постојат точки од интервалот во кои таа ги достигнува својата најмала и најголема вредност. Нека тие вредности ги означиме со \ m  и \ M соодветно, т.е.

: \ m = \inf_{x \in [a,b]} f(x)

: \ M = \sup_{x \in [a,b]} f(x)

* Ако \ m=M, тогаш заради вредноста на функцијата во крајните точки имаме: \ f(x) = 0 за секоја точка од интервалот, што значи дека \ f^\prime (x) = 0, од каде следи точноста на тврдењето.
* Ако \ m , тогаш е точно барем едно од следниве тврдења: или \ m  или \ M > 0 (ако \ M , тогаш сигурно и \ m ; ако пак \ m > 0, тогаш сигурно и \ M > 0).

Да претпоставиме \ M > 0. Тогаш заради непрекинатоста на \ f, постои точка \ x_0 \in (a,b) така што \ M = f(x_0). Точката \ x_0 не се наоѓа на крајот од интервалите, зашто тука функцијата по услов е еднаква на нула, додека \ M = f(x_0) под претпоставка е различен од нула. Сега избираме вредност \ \delta = \min \{ \left | x-a \right | , \left | x-b \right | \}. Тогаш на интервалот \ \left ( x_0-\delta, x_0+\delta \right ) \subseteq (a,b) функцијата \ f во точката \ x_0 има локален максимум, па според Теоремата на Ферма следи дека: \ f^\prime (x_0) = 0; значи покажавме дека постои барем една точка од интервалот во која изводот на функцијата е нула. Истата постапка се применува и ако претпоставиме \ m . \,\,\, \blacksquare

Дополнително, тврдењето од теоремата е точно и ако наместо условот \ f(a)=0=f(b), исполнет е условот \ f(a)=f(b).

## Теорема на Лагранж
Теорема на Лагранж, или Трета теорема за средна вредност, ја има следнава формулација:
* **Нека функцијата <math>\ f(x)</math> е определена на интервалот <math>\ [a,b]</math> и диференцијабилна на <math>\ (a,b)</math>. Тогаш постои точка <math>\ c\in (a,b)</math> така што важи:**
: \ f(b) - f(a) = f^\prime (c)(b - a)

или поинаку претставено:

: \ f^\prime (c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

Неформално може да се толкува на следниов начин: ако функција е определена на затворен интервал и диференцијабилна во сите освен можеби во крајните точки од интервалот, тогаш постои точка од внатрешноста на тој интервал во која тангентата на графикот на функцијата е паралелна со пресечката на графикот на функцијата која минува низ крајните точки од интервалот.

**Забелешка:** името *теорема за средна вредност* најчесто се употребува конкретно за оваа теорема. Тоа, меѓутоа, иако е точно не треба да се меша со името на сите *четири* теореми за средна вредност!

### Доказ
Доказот е малку поапстрактен од претходните. Нека се исполнети потребните услови: функцијата \ f(x) е определена на интервалот \ [a,b] и диференцијабилна на \ (a,b). Специјално ја формираме функцијата

:\ g(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)

Функцијата е непрекината на интервалот \ [a,b] и диференцијабилна на интервалот \ (a,b) бидејќи е „изведена“ од функцијата \ f(x), и дополнително важи: \ g(a)=g(b)=0. Тогаш, според Теоремата на Рол, постои точка \ c \in (a,b) така што \ g^\prime (c) = 0, т.е.

: \ g^\prime (c) = f^\prime (c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0

Следи:

: \ f^\prime (c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \,\,\,\,\, \blacksquare

## Теорема на Коши
Теорема на Коши или Четврта теорема за средна вредност, ја има следнава формулација:
* **Нека функциите <math>\ f(x)</math> и <math>\ g(x)</math> се определени на интервалот <math>\ [a,b]</math> и диференцијабилни на <math>\ (a,b)</math>. Тогаш постои точка <math>\ c\in (a,b)</math> така што важи:**
: \ \left ( f(b) - f(a) \right ) g^\prime (c) = \left ( g(b) - g(a) \right ) f^\prime (c).

или поинаку претставено:

: \ \frac{f^\prime (c)}{g^\prime (c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}

**Забелешка:** ако теоремата на Лагранж се нарекува Теорема за средна вредност, тогаш теоремата на Коши се нарекува *Проширена теорема за средна вредност*.

### Доказ
Ќе примениме слична постапка како при доказот на Теоремата на Лагранж. Нека ни се исполнети потребните услови: нека функциите \ f(x) и \ g(x) се определени на интервалот \ [a,b] и диференцијабилни на \ (a,b). Специјално ја формираме функцијата:

: \ h(x) = [f(b)-f(a)]\cdot g(x)-[g(b)-g(a)]\cdot f(x)

Оваа функција е непрекината на интервалот \ [a,b] и диференцијабилна на интервалот \ (a,b) бидејќи е „изведена“ од функциите \ f(x) и \ g(x) и дополнително \ h(a) = h(b). Тогаш според Теоремата на Рол, постои точка \ c \in (a,b) таква што \ h^\prime (c)=0. Тогаш:

: \ h^\prime (c) = [f(b)-f(a)]\cdot g^\prime (c)-[g(b)-g(a)]\cdot f^\prime (c)=0

од каде следи:

: \ [f(b)-f(a)]\cdot g^\prime (c)=[g(b)-g(a)]\cdot f^\prime (c) \,\,\,\,\, \blacksquare

## Интересно
Воочлив е фактот дека сите теореми носат име на некој француски математичар. Честопати на шега се именуваат како *француски теореми*.
## Извори
* Шекутковски, Никита : *Математичка анализа I*, Просветно Дело, Скопје, 1996

Категорија:Средни вредности
Категорија:Математичка анализа