Хелмхолцова равенка

**Хелмхолцова равенка** – елиптична парцијална диференцијална равенка:
:  (\Delta + k^2)U=0 
каде \Delta = \nabla^2 претставува Лапласов оператор, k е бранов број, а U амплитуда.
Нехомогената Хелмхолцова равенка го има обликот:
:  (\Delta + k^2)U=f 

## Извод
Може да се забележи дека во Хелмхолцовата равенка нема оператори кои претставуваат изводи по време. Хелмхолцовата равенка може да се добие од брановата равенка:
:\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial{t}^2}\right)u(\mathbf{r},t)=0. (1)

Се претпоставува дека брановата функција се решава со сепарација на променливите по простор и време:
:u(\mathbf{r},t)=A (\mathbf{r}) T(t).  (2)
Заменувајќи го изразот (2) во изразот (1) се добива следнава равенка:
:{\nabla^2 A \over A } = {1 \over c^2 T } { d^2 T \over d t^2  }.  (3)
Левата страна на равенката (3) зависи само од просторните координати, а десната страна од времето. Заради сето тоа, во општ случај двете страни на равенката се еднакви на некоја константа, па се добиваат две равенки:
:{\nabla^2 A \over A } = -k^2    (4)
и
: {1 \over c^2 T } { d^2 T \over dt^2  } = -k^2   (5)

Преуредувајќи ја равенката (4) се добива:
:\nabla^2 A + k^2 A  =  (\nabla^2 + k^2)  A  =  0.   (6)
а преуредувајќи ја равенката (5) со помош на супституција  \omega  \stackrel{\mathrm{def}}{=}  kc  се добива:

:\frac{d^2{T}}{d{t}^2} + \omega^2T  =  \left({ d^2 \over dt^2 } + \omega^2 \right) T  =  0,
Притоа *k* е бранов вектор, , а *&omega;* е аголна честота.

## Решавање на Хелмхолцовата равенка со сепарација на променливите
За Хелмхолцовата равенка:
: (\nabla^2 + k^2 ) A = 0  (7)
Лапласовиот оператор во поларни координати се запишува како:
:\begin{align}
 \Delta  A  
&= {1 \over r} {\partial \over \partial  A }
  \left(r {\partial  A  \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2} {\partial^2  A  \over \partial \phi^2}
&= {1 \over r} {\partial  A  \over \partial r} 
+ {\partial^2  A  \over \partial r^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2  A  \over \partial \phi^2}
.
\end{align} 


Заради тоа равенката (7) станува:
:{1 \over r} {\partial  A  \over \partial r} 
+ {\partial^2  A  \over \partial r^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2  A  \over \partial \phi^2} +(k^2 ) A = 0   (8)

Се прави обид равенката да се реши со сепарација на променливите:
: A(r,\theta) =  R(r)\Theta(\theta), \, 
каде Θ мора да биде периодична со периода 2π. Од каде следи:

: \Theta* +n^2 \Theta =0, \,  </math> (9)

и
:<math> r^2 R* + r R' + r^2 k^2 R - n^2 R=0. \,   (10)
Решенијата од (9) и (10) се:
: \Theta = \alpha \cos n\theta + \beta \sin n\theta, \,

: R(r) = \gamma J_n(\rho), \,
каде  J_n(\rho) е Беселова функција, која е решение на Беселовата равенка:

: \rho^2 J_n* + \rho J_n' +(\rho^2 - n^2)J_n =0, </math>

=== Тридимензионално решение во сферни координати ===
Во [[сферен координатен систем|сферни координати]] општото решение на Хелмхолцовата равенка е:
: <math> A (r, \theta, \varphi)= \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell (a_{\ell m} j_\ell (k r ) + b_{\ell m} y_\ell (k r ) ) Y ^ m_\ell ({ \theta,\varphi} ) .</math>
каде 
<math> j_\ell (k r  ) </math> и <math> y_\ell (k r )</math> се [[сферна Беселова функција|сферни Беселови функции]], а :<math> Y^m_\ell ({\theta,\varphi} )</math> ги претставува [[Сферни хармоници|сферните хармоници]].

== Нехомогена Хелмхолцова равенка ==
Нехомогената Хелмхолцова равенка:
: <math> (\Delta + k^2)U=f </math>
се решава со помош на [[Гринова функција|Гриновата функција]], односно:
: <math>\nabla^2 G(x) + k^2 G(x) = \delta(x) . \, </math>
Бидејќи е:
: <math>
(\triangle +k^2)\frac{1}e^{ik|x|}
=e^{ik|x|}\triangle\frac{1}+2\left (\operatorname{grad}\,\,e^{ik|x|}, \operatorname{grad}\frac{1}\right )+\frac{1}\triangle e^{ik|x|}+\frac{k^2}e^{ik|x|}=</math>
<p align="left"><math>
=-4\pi e^{ik|x|}\delta(x)+\left (-\frac{2ik}}{4\pi |x|}, \qquad G_2=-\frac{e^{-ik|x|}}{4\pi |x|}.
</math>
Горенапишаните равенки може да се напишат во векторски облик како:
:<math>\left(\Delta+k^2\right)G(\vec{r},\vec{r}')=\delta(\vec{r}-\vec{r}')</math>
а Гриновата функција како:
:<math>
G(\vec{r},\vec{r}')=-\frac{\exp(\pm i k |\vec{r}-\vec{r}'|)}{4\pi|\vec{r}-\vec{r}'|}
</math>
Решението на нехомогената Хелмхолцова равенка тогаш може да се прикаже со Гриновата функција како:
<math>
U(\vec{r})=\int d^3r'\, f(\vec{r}')G(\vec{r},\vec{r}')=-\int d^3r'\,f(\vec{r}')\frac{\exp(\pm i k |\vec{r}-\vec{r}'|)}{4\pi|\vec{r}-\vec{r}'|}
</math>

== Поврзано ==
[[Лапласова равенка]]

== Литература ==
* Korn GA and Korn TM. (1961) *Mathematical Handbook for Scientists and Engineers'', McGraw-Hill.
* Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.
* Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X
* Хелмхолцови равенки

## Надворешни врски
* Helmholtz Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* 
* Vibrating Circular Membrane by Sam Blake, The Wolfram Demonstrations Project.
* Green's functions for the wave, Helmholtz and Poisson equations in a two-dimensional boundless domain

Категорија:Равенки
Категорија:Диференцијални равенки
Категорија:Херман фон Хелмхолц