Формула на Родриг

Во математиката, **формулата на Родриг** (порано наречена **формула Ајвори-Јакоби**) ги генерира полиномите на Лежандр. Името „формула на Родриг“ го вовел Едуард Хајне во 1878 година, откако Ермит во 1865 година истакнал дека Олинг Родригес бил првиот што ја открил. Терминот се користи и за опишување на слични формули за други ортогонални полиноми.

Нека (P_n(x))_{n=0}^\infty е низа ортогонални полиноми на интервалот [a, b] во однос на тежинската функција w(x). Полиномите имаат степени deg(P_n) = n, што го задоволува условот за ортогоналност:

\int_a^b P_m(x) P_n(x) w(x) \, dx = K_n \delta_{m,n}

каде K_n се ненулти константи во зависност од n, и \delta_{m,n} е  Кронекеровиот делта симбол. Интервалот [a, b] може да биде бесконечен на едниот или на двата краја.

## Генерирачка функција
Едноставен доказ со користење на Кошиевата интегрална формула може да покаже дека ортогоналните полиноми добиени од формулата на Родриг имаат генерирачка функција од обликот:

G(x,u)=\sum_{n=0}^\infty u^nP_n(x)

P_n(x) функциите може да немаат стандардни нормализации, но може да се запише: 

G(x,u)=\sum_{n=0}^\infty \frac{u^n}{N_n}N_nP_n(x)

каде што N_n се избираат според примената, за да се дадат посакуваните нормализации. Променливата u може да се замени со константен множител на u, така што:

G(x,\alpha u)=\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n u^n}{N_n}N_nP_n(x)

Ова дава алтернативна форма на генерирачката функција.

Според Кошиевата интегрална формула, формулата на Родриг е еквивалентна на:

P_n(x)=\frac{n!}{2\pi i}\frac{c_n}{w(x)}\oint_C \frac{B^n(t) w(t)}{(t-x)^{n+1}}\,dt

каде што интегралот е по затворена јамка спротивно од стрелките на часовникот околу x. Нека:

u=\frac{t-x}{B(t)}

Потоа интегралот на комплексната патека ја добива формата:

P_n(x)=\frac{n!}{2\pi i}c_n\oint_C \frac{G(x,u)}{u^{n+1}}\,du

G(x,u)=\frac{w(t)\frac{dt}{du}}{w(x)B(t)}

каде што сега затворената патека C го опкружува изворот. Во равенката за G(x,u), t е имплицитна функција на u . Проширувањето на G(x,u) во степенските низи дадени претходно дава:

\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{G(x,u)}{u^{n+1}}\,du=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{\sum_{m=0}^\infty u^mP_m(x)}{u^{n+1}}\,du=P_n(x)

Само m=n терминот има остаток разлчен од нула, што е P_n(x). Коефициентот n!\,c_n коефициентот е занемарен, бидејќи нормализациите се конвенции кои можат да се вметнат подоцна.

Со изразување на t во однос на u во општата формула дадена за G(x,u) може да се добијат експлицитните формули за G(x,u). Како едноставен пример, нека B(x)=1 и A(x)=-x (Ермитови полиноми), така што:w(x)=\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right), t=u+x, w(t)=\exp\left(-\frac{(u+x)^2}{2}\right) и така G(x,u)=\exp\left(-xu-\frac{u^2}{2}\right) .

## Примери

Овие формули се однесуваат на класичните ортогонални полиноми. Слични формули важат и за многу други низи од ортогонални функции што произлегуваат од равенките на Штурм-Лиувил, кои исто така се нарекуваат формула на Родриг, особено кога добиената низа е полиномна.

### Лежандрови полиноми
Формула на Родриг за Лежандрови полиноми P_n:

P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \!\left[ (x^2 -1)^n \right]\!.
(1 - x^2) P_n*(x) - 2 x P_n'(x) + n (n + 1) P_n(x) = 0</math>

За Лежандровите полиноми, генерирачката функција е дефинирана како:

<math display="”block”">G(x,u)=\sum_{n=0}^\infty u^nP_n(x)</math>.

<math display="block">G(x,u) = \frac{1}{\sqrt{1 - 2ux + u^2}}</math>

=== Ермитови полиноми ===
Физички [[Ермитови полиноми]]:

<math display="block">H_n(x)=(-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} \!\left[e^{-x^2}\right] = \left(2x-\frac{d}{dx} \right)^n\cdot 1.</math><math display="block">H_n* - 2xH_n' + 2nH_n = 0

Генерирачката функција е дефинирана како

G(x,u)=\sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}\, u^n.

Контурниот интеграл дава:

 H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{e^{-t^2}}{(t-x)^{n+1}}\,dt. 

 \begin{aligned} G(x,u) 
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n e^{x^2}}{n!}\frac{n!}{2\pi i}\, u^n \oint_C \frac{e^{-t^2}}{(t-x)^{n+1}}\,dt \\ 
&= e^{x^2}\frac{1}{2\pi i}\oint_C e^{-t^2}\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n u^n}{(t-x)^{n+1}}\right)dt \\
&= e^{x^2}\frac{1}{2\pi i}\oint_C e^{-t^2} \frac{1}{t-x+u}\\
&= e^{x^2}\, e^{-(x-u)^2} \\
& = e^{2xu- u^2}
\end{aligned} 

### Лагерови полиноми
За придружени Лагерови полиноми:

L_n^{(\alpha)}(x) = {x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} \left(e^{-x} x^{n+\alpha}\right)
= \frac{x^{-\alpha}}{n!}\left( \frac{d}{dx}-1\right)^nx^{n+\alpha}.

xL^{(\alpha)}_n(x)* + (\alpha + 1 - x)L^{(\alpha)}_n(x)' + nL^{(\alpha)}_n(x) = 0~.</math>

Генерирачката функција е дефинирана како:

<math display="block">G(x,u) := \sum_{n=0}^\infty  u^n L^{(\alpha)}_n(x)</math>

Со истиот метод, имаме <math>G(x,u) = \frac{1}{(1-u)^{\alpha+1}} e^{-\frac{ux}{1-u}}</math> .

=== Јакоби ===
<math display="block"> P_n^{(\alpha,\beta)}(x) = \frac{(-1)^n}{2^n n!} (1-x)^{-\alpha} (1+x)^{-\beta} \frac{d^n}{dx^n} \left\{ (1-x)^\alpha (1+x)^\beta \left (1 - x^2 \right )^n \right\}.</math><math display="block"> \left (1-x^2 \right)P_n^{(\alpha,\beta)}{}* + ( \beta-\alpha - (\alpha + \beta + 2)x )P_n^{(\alpha,\beta)}{}' + n(n+\alpha+\beta+1) P_n^{(\alpha,\beta)} = 0.

:  \sum_{n=0}^\infty P_n^{(\alpha,\beta)}(x) u^n = 2^{\alpha + \beta} R^{-1} (1 - u + R)^{-\alpha} (1 + u + R)^{-\beta}, 

каде  R = \sqrt{1 - 2ux + u^2} , а гранката на квадратниот корен е избрана така што R(x, 0) = 1 .

## Наводи

Категорија:Функции