Кружен лак

[мини|300x300пкс| [Кружен исечок е засенчен со зелено. Неговата крива граница со должина L е кружен лак.]]
**Кружен лак** — лак на кружница помеѓу две различни точки. Ако двете точки не се директно една спроти друга, еден од овие лакови, **малиот лак**, ќе има агол во центарот на кругот кој е помал од π-радијани (180 степени), а другиот лак, **големиот лак**, ќе има агол поголем од π-радијани. Лакот на кружницата се дефинира како дел или сегмент од обиколката на кружницата. Правата линија што може да се повлече со поврзување на двата краја на лакот е позната како тетива на кружница. Ако должината на лакот е точно половина од кругот, тој е познат како полукружен лак.

## Должина
Должината (поточно, должината на лакот) на лак на кружница со полупречник *r* и агол *θ* (мерено во радијани) од центарот на кругот, т.е. централниот агол, е:

:  L = \theta r.

Ова е затоа што:

: \frac{L}{\mathrm{circumference}}=\frac{\theta}{2\pi}.

Со замена на обемот (circumference):

: \frac{L}{2\pi r}=\frac{\theta}{2\pi},

и, со *α* кој е истиот агол мерен во степени, бидејќи *θ*&nbsp;=&nbsp; π, должината на лакот е еднаква на:

: L=\frac{\alpha\pi r}{180}.

Практичен начин да се одреди должината на лак во кружница е да се исцртаат две линии од крајните точки на лакот до центарот на кругот, да се измери аголот каде двете линии се сретнуваат со центарот, а потоа да се реши за L со вкрстено множење на исказот:

: големина на аголот во степени/360° = *L* /обем.

На пример, ако големината на аголот е 60 степени, а обемот е 24 см, тогаш

: \begin{align} \frac{60}{360} &= \frac{L}{24} \\[6pt] 360L &= 1440 \\[6pt] L &= 4. \end{align}

Тоа е така затоа што обемот на кружницата и степените на кружницата, од кои секогаш има 360, се правопропорционални.

Горната половина на кружницата може да се параметризира како:

: y=\sqrt{r^2-x^2}.

Потоа должината на лакот од x=a до x=b е:

: L=r\Big[\arcsin \left(\frac{x}{r}\right)\Big]^b_a.

## Плоштина на исечок
Плоштината на исечокот образуван од лакот и средиштето на кружницата (ограничен со лакот и двата полупречници повлечени до неговите крајни точки) е:

: A=\frac{r^2 \theta}{2}.

Плоштината *A* има ист однос со плоштината на кружница и ако аголот *θ* е полна кружница:

: \frac{A}{\pi r^2}=\frac{\theta}{2\pi}.

Можеме да го скратиме π од двете страни:

: \frac{A}{r^2}=\frac{\theta}{2}.

Со множење на двете страни со *r* 2, го добиваме конечниот резултат:

: A=\frac{1}{2} r^2 \theta.

Користејќи го претворањето опишано погоре, откриваме дека површината на исечокот за централен агол измерена во степени е:

: A=\frac{\alpha}{360} \pi r^2.

## Плоштина на отсечок
Плоштината на обликот ограничен со лакот и правата линија помеѓу неговите две крајни точки е:

: \frac{1}{2} r^2 (\theta - \sin\theta).

За да ја добиеме плоштината на кружниот отсечок, треба да ја одземеме плоштината на триаголникот, одредена од центарот на кругот и двете крајни точки на лакот, од областа A . Видете Кружен отсечок за детали.

## Полупречник
[мини| [Производ (математика)|Производот на отсечките AP и PB е еднаков на производот на отсечките CP и PD. Ако лакот има ширина AB и висина CP, тогаш пречникот на кругот CD=\frac{AP \cdot PB}{CP}+CP]]
Користејќи ја Теоремата за вкрстени тетиви (исто така позната како Теорема за степен на точка или Секантно-тангента теорема) можно е да се пресмета полупречникот *r* на кругот определен со висината *H* и ширината *W* на лакот:

Да разгледаме тетива со исти крајни точки како и лакот. Неговата нормална симетрала е друга тетива, која е пречник на кругот. Должината на првата тетива е *W*, и таа е поделена со симетралата на две еднакви половини, секоја со должина . Вкупната должина на пречникот е 2*r*, а со првата тетива е поделен на два дела. Должината на едниот дел е сагита на лакот, *H*, а другиот дел е остатокот од пречникот, со должина 2*r*&nbsp;−&nbsp;*Х.* Примената на теоремата за вкрстени тетиви на овие две тетиви се добива:

: H(2r-H)=\left(\frac{W}{2}\right)^2,

од каде

: 2r-H=\frac{W^2}{4H},

па

: r=\frac{W^2}{8H}+\frac{H}{2}.

## Поврзано
* Обем

## Надворешни врски
* Table of contents for Math Open Reference Circle pages
* Math Open Reference page on circular arcs With interactive animation
* Math Open Reference page on Radius of a circular arc or segment With interactive animation
* 

Категорија:Криви
Категорија:Кружници