Златен пресек

}}
|algebraic=\frac{1 + \sqrt5}{2}
}}
[мини|[Златен правоаголник|Златниот правоаголник (во розова боја) со подолгата страна ***a*** и пократката страна ***b***, кога е поставена во прилог на квадратот на должината ***а***, произведува геометриска сличност на златниот правоаголник со подолгата страна ***a + b*** и пократката страна ***a***. Ова го илустрира односот на .]]
Во математиката две величини се во **златниот** однос ако соодносот помеѓу двете величини е еднаков на збирот на тие две вредности, наспроти повисоки вредности. Сликата од десно ја илустрира геометриски односи. Алгебарски, за количините *a* и *b* и *a*&#x20;>&#x20;*b*&#x20;>&#x20;0,
: \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \ \stackrel{\text{def}}{=}\ \varphi,
грчката буква фи (\varphi ili \phi) е константна. Неговата вредност е:
:\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1,6180339887\ldots.

Златниот однос се нарекува и  **златен пресек** (латински: *sectio aurea*).. Други имиња вклучуваат **екстремен однос**, **среден пресек**, **златен сразмер**, **златен број**. **божествен пресек**. Тоа е однос во кој има примена на предмети, слики итн. Предизвикува особено естетско доживување – допаѓање, па оттука е и името „Божествен пресек“.

Златниот однос се појавува во одредени модели во природата, вклучувајќи филотаксијата (спирално подредување на листови) и други делови на растенија.

Математичарите уште во времето на Евклид ги изучувале својствата на златниот однос, вклучувајќи ја и појавата на мерење на правилен петаголник и на златниот правоаголник, што всушност може да се подели во квадрат и уште еден правоаголник на истиот однос.

## Пресметка
Две величини *a* и *b* се во златниот однос *φ* ако
: \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi.
Еден начин да се најде вредноста на φ е со решавање на левата страна. Со упростување на прекршокот и со замена во b/a = 1/φ,
:\frac{a+b}{a} = 1 + \frac{b}{a} = 1 + \frac{1}{\varphi}.
Затоа,
: 1 + \frac{1}{\varphi} = \varphi. 
Множење со* φ* дава
:\varphi + 1 = \varphi^2
што може да се изрази како
:{\varphi}^2 - \varphi - 1 = 0.
Со користење на формулата за решавање на  квадратни равенки, се добиваат две решенија:
:\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1,61803\,39887\dots
и
:\varphi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -0,6180\,339887\dots
Бидејќи *φ* е однос меѓу двете позитивни вредности * φ* е секогаш позитивна вредност:
:\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1,61803\,39887\dots .

## Алгебра

### Ирационалнот
Златниот сооднос е ирационален број. Подолу се два кратки докази на ирационалната:

#### Контрадикција на израз во најниска вредност
[мини|344x344пкс|Ако &#x3C6; [Рационален број|е рационален број, тогаш би бил размер на страните на правоаголници со цели страни (правоаголник што опфаќа цел дијаграм). Но, исто така, би бил и односна целобројните страни на помалиот правоаголник, (на десната страна на дијаграмот) добиени со бришење на квадратот. Редоследот на намалувањето на целобројните вредности на должината на страната е формирана со бришење на квадратот и не може да трае вечно, бидејќи имаат долна граница, затоа, &#x3C6; не може да биде рационален.]]
Да се потсетиме дека:
: целината е подолг дел плус пократок дел;
: целината е подолг дел, како што е подолг дел на пократок дел.
Ако некој број се нарекува *n* а подолгиот дел *m*, тогаш втората изјава станува:
: *n* спроти *m* , исто како што и *m* спроти *n*&#x20;−&#x20;*m*,
или, во алгебрата:
:  \frac nm = \frac{m}{n-m}.\qquad (*) 
Да се каже дека *φ* е рационално значи дека *φ* односите *n*/*m* каде *n* и *m* се integers. Ние може да се каже дека *n*/*m* имаат најниски вредности, и дека *n* и *m се* позитивни броеви. Но, ако дел *n*/*m* ниските вредности, тогаш идентитетот на белешки со (*) до врвот равенката *m*/(*n*&#x20;−&#x20;*m*), кој продолжува да имаат најниски вредности. Оваа контрадикција, која произлегува од тврдат дека *φ* е рационално.

#### Извод од ирационалноста на бројот √5
Уште еден краток доказ — можеби и повеќе познати — каде што златната ирационалност на односот се користи како затвореност кај  рационалните броеви, собирање и множење. Ако  е рационално, и  е рационално, што е спроти фактите дека квадратниот корен од не квадратен природен број е ирационален.

### Најмал полином
Златниот сооднос е, исто така, алгебарски број, па дури и цел алгебарски број. Најмалиот полином гласи на следниот начин:
:x^2 - x - 1.
Поради членот со степен 2, овој полином всушност има два корени, и другата вреденост е роднина на златниот сооднос.

### Роднина на златниот пресек
Други корени од најмалите полиноми x -2 - x - 1
:-\frac{1}{\varphi}=1-\varphi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -0,61803\,39887\dots.
Апсолутната вредност на оваа количина (≈ 0,618) одговара на должината на односите во обратна насока (должината на пократката страна во однос на подолгата, b*/a*), е понекогаш познат под името *роднина на златниот пресек*. Се означува со голема буква Фи (**<math>\Phi</math>**):
:\Phi = {1 \over \varphi} = \varphi^{-1} = 0,61803\,39887\ldots.

## Поврзано
* Златна спирала
* Златен правоаголник
* Сребрен пресек

## Наводи


Категорија:Ирационални броеви
Категорија:Математички константи
Категорија:Планиметрија