Систем на линеарни равенки

[мини|десно|Линеарен систем со три променливи одредува множество [рамнина|рамнини. Пресекот на сите рамнини е решение]]
**Систем на линеарни равенки** — множество на линеарни равенки од типот:

: 
\begin{array}{rcrcrcc}
3x_1 &+& 2x_2 &-& x_3 &=& 1 \\
2x_1 &-& 2x_2 &+& 4x_3 &=& -2 \\
-x_1 &+& \frac{1}{2}x_2 &-& x_3 &=& 0
\end{array}

Стандарден проблем е да се утврди дали постои множество вредности за непознатите x_1, x_2, x_3\,\!, кое ги задоволува сите равенки истовремено и да се најде такво множество доколку постои. Постоењето на решенија зависи од равенките, но и од достапните вредности (дали се работи за цели броеви, реални броеви, и сл.). Системот од горниот пример има единствено решение:

:\begin{alignat}{2}
x_1 & = & 1 \\
x_2 & = & -2 \\
x_3 & = & -2
\end{alignat}

Системите на линеарни равенки спаѓаат меѓу најстарите математички проблеми и имаат многу примени, како што се обработката на дигитални сигнали, процени, предвидувања, како и линеарно програмирање и апроксимација на нелинеарни проблеми во бројчената анализа. Постојат многу начини да се реши систем на линеарни равенки. Меѓутоа, меѓу најефикасните се Гаусовата постапка и декомпозицијата на Чолески.

Воопштено, систем со *m* линеарни равенки и *n* непознати се запишува на следниов начин:
: 
\begin{array}{rcrcccrcl}
a_{11}x_1 &+& a_{12}x_2 &+& \cdots &+& a_{1n}x_n &=& b_1 \\
a_{21}x_1 &+& a_{22}x_2 &+& \cdots &+& a_{2n}x_n &=& b_2 \\
&&&\vdots&&&&&\vdots \\
a_{m1}x_1 &+& a_{m2}x_2 &+& \cdots &+& a_{mn}x_n &=& b_m
\end{array}

каде x_1,\ x_2,...,x_n се непознатите, а броевите a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn} се коефициенти на системот. Коефициентите се ставаат во матрицата на следниов начин:
: 
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix} 
=
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{bmatrix}



Ако секоја матрица се претстави со буква, ова станува:
: A\mathbf{x} = \mathbf{b} 
каде *A* е матрица *m*×*n*, **x** е вектор колона со *n* члена, а **b** е вектор колона со *m* члена. Гаус-Жордановата елиминација се применува на сите овие системи, дури и ако коефициентите се од некое произволно поле.

Ако полето е бесконечно (како во случајот на реалните или комплексните броеви), можна се само следните три случаи (само еден од нив ќе биде точен) за секој даден систем на линеарни равенки:
* системот нема решение (системот е противречен)
* системот има точно едно решение
* системот има бесконечно многу решенија

Систем со облик:
: A\mathbf{x} = \mathbf{0}
се нарекува *хомоген* систем на линеарни равенки. Множеството на сите решенија се нарекува нула простор на матрицата *A*.

Во светло на многубројните горенаведени примени, развиени се неколку поефикасни алтернативи на Гаус-Жордановата елиминација за широк спектар на специјални случаи. Многу од овие подобрени алгоритми се со сложеност *O*(*n*2). Некои од највообичаените специјални случаи се:
* За проблеми од обликот *A***x** = **b**, каде *A* е симетрична Теплицова матрица, може да се користи Левинсоновата рекурзија или некоја од нејзините варијации. Една од често користените варијации е Шуровата рекурзија која се користи обработката на дигитални сигнали.
* За проблеми од обликот *A***x** = **b**, каде *A* е сингуларна матрица, или скоро сингуларна, матрицата *A* се разложува во производ на три матрици. Матриците од левата и десната страна се леви и десни сингуларни вектори. Матрицата во средината е дијагонална матрица и содржи сингуларни вредности. Матрицата тогаш може да се инвертира со проста замена на редоследот на трите компоненти, со транспонирање на матрицата на сингуларни вектори, и земање на реципрочните вредности на дијагоналните елементи на средишната матрица. Ако која било од сингуларните вредности е многу блиску до нулата, и со тоа до сингуларноста, се поставува на нула.

## Литература
* Ayres, Frank, *Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra*, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0-07-002655-6.

## Поврзано
* Гаус-Зајделов метод
* Крамерово правило
* Метод со замена

## Надворешни врски
*   Систем на линеарни равенки и неравенки на мрежното место е-математика
* Онлајн линеарен решавач
* Систем линеарни равенки со калкулатор 
* Системи линеарни диференцијални равенки 
*  Решавање линеарни системи 

Категорија:Апстрактна алгебра
Категорија:Алгебра
Категорија:Линеарна алгебра
Категорија:Равенки
Категорија:Математика