Лапласова равенка

**Лапласова равенка** — елиптична делумна диференцијална равенка од втор ред која го добила името по Пјер-Симон Лаплас, кој прв ги проучувал нејзините својства. Нејзиниот облик е:
: \qquad \nabla^2 \varphi = 0
Решенијата на Лапласовата равенка се хармонични функции. Лапласовата равенка е значајна во математиката, електромагнетизмот, астрономијата и динамиката на флуиди.

## Дефиниција
Во три димензии Лапласовата равенка може да се прикаже во различни координатни системи.
Во Декартовиот координатен систем го има обликот:
:  \Delta f =
{\partial^2 f\over \partial x^2 } +
{\partial^2 f\over \partial y^2 } +
{\partial^2 f\over \partial z^2 } = 0.


Во цилиндричниот координатен систем е:
:  \Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left(r {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 } =0 


Во сферниот координатен систем е:
:  \Delta f = {1 \over \rho^2}{\partial \over \partial \rho}\!\left(\rho^2 {\partial f \over \partial \rho}\right)
  \!+\!{1 \over \rho^2\!\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\!\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right)
  \!+\!{1 \over \rho^2\!\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} =0. 

Во закривениот координатен систем е:
:  \Delta f = {\partial \over \partial \xi^i}\!\left({\partial f \over \partial \xi^k}g^{ki}\right)
  \!+\!{\partial f \over \partial \xi^j}g^{jm}\Gamma^n_{mn} =0,
или 
:  \Delta f = {1 \over \sqrt}{\partial \over \partial \xi^i}\!\left(\sqrtg^{ij}{\partial f \over \partial \xi^j}\right) =0,
\quad (g=\mathrm{det}\{g_{ij}\}).


## Дводимензионален систем
Во поларниот дводимензионален координатен систем го има обликот:
: \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial \phi ^2} = 0

Во дводимензионалниот Декартов систем е:
: \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}  = 0

## Гринова функција
Лапласовата равенка често се решава со помош на Гриновата функција и Гриновата теорема:
:\int_V (\phi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\phi) dV=\int_S (\phi\nabla\psi-\psi\nabla\phi)\cdot d\hat\sigma.
Дефиницијата на Гриновата функција е:
:\nabla^2 G(x,x')=\delta(x-x').

Ако во Гриновата теорема се стави  \psi=G се добива:
:
\begin{align}
& {} \quad \int_V \left[ \phi(x') \delta(x-x')-G(x,x') \nabla^2\phi(x')\right]\ d^3x' \\[6pt]
& = \int_S \left[\phi(x')\nabla' G(x,x')-G(x,x')\nabla'\phi(x')\right] \cdot d\hat\sigma'.
\end{align}


Сега може да се реши Лапласовата равенка \nabla^2\phi(x)=0 во случај на Нојманови и Дирихлеови рабни услови. Земајќи во обѕир:
:\int\limits_V {\phi(x')\delta(x-x')\ d^3x'}=\phi(x)
равенката се сведува на:
:\phi(x)=\int_V G(x,x') \rho(x')\ d^3x'+\int_S \left[\phi(x')\nabla' G(x,x')-G(x,x')\nabla'\phi(x')\right] \cdot d\hat\sigma'.

Кога нема рабни услови Гриновата функција е:
:G(x,x')=\dfrac{1}.

## Литература
* Sommerfeld A,  Partial Differential Equations in Physics, New York: Academic Press (1949)
* Korn GA and Korn TM. (1961) *Mathematical Handbook for Scientists and Engineers*, McGraw-Hill.
* Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X
*Лапласова  равенка

## Надворешни врски
* 
* Laplace Equation (particular solutions and boundary value problems) at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* Example initial-boundary value problems  using Laplace's equation from exampleproblems.com.
* 
* Find out how boundary value problems governed by Laplace's equation may be solved numerically by boundary element method 

Категорија:Равенки
Категорија:Диференцијални равенки
Категорија:Хармонични функции
Категорија:Фурјеова анализа