Лагерови полиноми

**Лагеровите полиноми**  L_n(x) претставуваат решенија на Лагеровата диференцијална равенка:

: 
x\,y* + (1 - x)\,y' + n\,y = 0\,
</math>

Придружените Лагерови полиноми  <math>L_n^{(\alpha)}(x)</math> претставуваат решенија од:

: <math>
x\,y* + (\alpha+1 - x)\,y' + n\,y = 0\,


Прв пат ги дефинирал францускиот математичар Едмон Лагер. Се користат во квантна механикаквантната механика како решенија на радијалниот дел на Шредингеровата равенка на едноелектронски атом.
 мини|д|250п|Првите шест Лагерови полиноми

## Родригезова формула и полиноми
Лагеровите полиноми обично се означаваат како  L*<sub>0</sub>,&nbsp;*L*<sub>1</sub>,&nbsp;..., а полиномната низа може да се дефинира со Родригезовата формула:

: <math>

L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right).
</math>

Првите неколку полиноми:
<center><table class="wikitable">
<tr>
<td width="20%" align="center">*n*</td>
<td align="center"><math>L_n(x)\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">0</td>
<td><math>1\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">1</td>
<td><math>-x+1\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">2</td>
<td><math>{\scriptstyle\frac{1}{2}} (x^2-4x+2) \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">3</td>
<td><math>{\scriptstyle\frac{1}{6}} (-x^3+9x^2-18x+6) \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">4</td>
<td><math>{\scriptstyle\frac{1}{24}} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,</math>
</tr>
<tr>
<td align="center">5</td>
<td><math>{\scriptstyle\frac{1}{120}} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,</math>
</tr>
<tr>
<td align="center">6</td>
<td><math>{\scriptstyle\frac{1}{720}} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,</math>
</tr>
</table>
</center>
Генерирачка функција на Лагеровите полиноми е:
:<math>\frac{e^{-xt/(1-t)}}{1-t} = \sum_{n=0}^\infty L_n(x) t^n\,</math>.

==Рекурзивни релации==
[[Слика:Edmond Laguerre.jpg|мини|д|150п|Едмон Лагер]]  
Лагеровите полиноми може да се дефинираат рекурзивно со помош на првите два полинома кои се:

: <math>L_0(x) = 1\,</math>

: <math>L_1(x) = 1 - x\,</math>

а рекурзивната релација е:

:<math>(n+1) \, L_{n+1}(x) = (2\,n+1-x)\,L_n(x) - n\,L_{n-1}(x)</math>

Рекурзивната релација за изводи е:
:<math>x\,L_n'(x) = n\,L_n(x) - n\,L_{n-1}(x)</math>

==Генерализирани Лагерови полиноми==
Генерализираните Лагерови полиноми или придружените Лагерови полиноми  <math>L_n^{(\alpha)}(x)</math> претставуваат решенија на диференцијалната равенка:

:<math>
x\,y* + (\alpha +1 - x)\,y' + n\,y = 0
Родригезовата формула за генерализирани полиноми е:

: L_n^{(\alpha)}(x)=

{x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} \left(e^{-x} x^{n+\alpha}\right).

Врската меѓу обичните и генерализираните Лагерови полиноми е:
:L_n^k(x) = (-1)^k \, \frac{{\rm d}^k}{{\rm d}x^k} \, L_{n+k}(x).
Обичните Лагерови полиноми се еквивалентни на генерализираните полиноми ако е  α = 0:

: L^{(0)}_n(x)=L_n(x).
Неколку први генерализирани Легерови полиноми:
:L_0^k(x) = 1
:L_1^k(x) = -x + k + 1
:L_2^k(x) = \frac{1}{2}\,\left[x^2 - 2\,(k+2)\,x + (k+1)(k+2)\right]
:L_3^k(x) = \frac{1}{6}\,\left[-x^3 +3\,(k+3)\,x^2 - 3\,(k+2)\,(k+3)\,x + (k+1)\,(k+2)\,(k+3)\right]

## Ортогоналност
Придружените Лагерови полиноми се ортогонални во однос на тежинската функција 
x^\alpha e^{-x}:

:\int_0^\infty x^\alpha e^{-x} L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\alpha)}(x)dx=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!} \delta_{n,m},

## Врска со Ермитовите полиноми
Генерализираните Лагерови полиноми се поврзани со Ермитовите полиноми со следните релации:

:H_{2n}(x) = (-1)^n 2^{2n} n! L_n^{(-1/2)} (x^2)

и

:H_{2n+1}(x) = (-1)^n 2^{2n+1} n! x L_n^{(1/2)} (x^2)

каде H_n(x) се Ермитови полиноми.

## Литература
* Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965),  Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, 

Категорија:Специјални функции
Категорија:Ортогонални полиноми
Категорија:Полиноми