Методи на декомпозиција

## Методи на Декомпозиција
Во поголемиот број на случаи кај временските низи можат да се издвојат 4 основни компоненти: тренд, циклична компонента, сезонска компонента и резидуална компонента.

1.	Тренд е основна развојна тенденција на појавата и настанува од регуларните влијанија врз набљудуваната појава и претставува долгорочна развојна тенденција на  на временската низа.

2.	Циклична компонента се варијациите кои се појававаат како осцилации околу трендот со променлив период и обично е подолга од една година.  Се обележува со C. Варијациите се мерат како временско растојание од еден пад на појавата до друг пад или од еден раст на појавата до друг раст на таа појава .

3.	Сезонска компонента се варијациите кои се појавуваат како осцилации околу трендот и обично е помала или еднаква на една календарска година.

4.	Резидуална компонента се случајните или катастрофални варијации. Случајните варијации имаат карактер на случајни грешки, додека пак катастрофалните варијации се последица на некои природни или општествени катаклизми (суша, поплави, војна и сл.)

Декомпозицијата всушност претставува постапка со која се издвојуваат нејзините основни компоненти, со што се овозможува да се согледаат факторите кои влијаат на серијата низ времето.

Постојат три методи на декомпозиција: мултипликативен метод, адитивен метод и хибриден метод на декомпозиција.
Според мултипликативниот метод на декомпозиција варијациите на временската низа се јавуваат како производ на основните компоненти

Yt=Tt*St*Ct*Rt

Според адитивниот метод варијациите на временската низа се јавуваат како збир на основните компоненти :

Yt=Tt+ St+ Ct+ Rt

Според хибридниот метод на декомпозиција можни се различни комбинации:

Yt=(Tt*St)+ (Ct* Rt)

Yt=Tt+ (St*Ct*Rt)

Секогаш при декомпозиција на временските низи се тргнува од моделот за кој се смета дека добро ја опишува временската низа.
“Како една од  проверките за правилно изведена декомпозиција на оригинална временска низа е и пронаоѓањето на средната вредност на резидуалната (случајна компонента). Имено, ако таа во мултипликативниот модел е блиска до 1, односно во адитивниот модел блиска до 0 тоа е доволно добар показател дека декомпозицијата е адекватно изведена.”
 
### Мултипликативен метод на декомпозиција

Мултипликативниот метод е еден од најкористените методи при декомпозиција на временските низи. Со него може да се моделира кога параметрите што ја опишуваат серијата не се менуваат со текот на времето.
Моделот е : Yt= Tt* St* Ct* Rt

Yt- вредност на временската низа за период t
Tt- тренд компонента за период t
Ct- циклична компонента за период t
St-сезонска компонента за период t
Rt- резидуална компонента за период t

Мултипликативниот метод се користи да се добијат оценетите вредности tt, st, ct и rt на компонентите Tt, St, Ct и Rt. 
Мултипликативниот модел на декомпозиција применува мултипликативна сезонска компонента. Тоа значи дека сезонската компонента се множи со тренд компонентата. Тоа подразбира дека големината на сезонските варијации е пропорционална со трендот. 
За да се објасни мултипликативната декомпозиција најпрво треба да се објасни концептот за подвижните средни големини (MAt) и центрираните подвижни средни големини (CMAt). 
Суштината на методот на подвижните средни големини или накратко метод на подвижни просеци се состои во заменување на апсолутните бројки во временската низа со средни големини, добиени од апсолутните големини на три, четири или повеќе члена.Подвижните средини се сметаат како една вештачка конструкција на временската низа.

За разлика од индексните броеви подвижните просеци се во можност да ги отстранат ненадејните флуктуации што понекогаш се  јавуваат во некоја временска низа, така што може да се согледа тенденцијата на пораст или опаѓање на подолг рок.Од таа причина оваа техника понекогаш се нарекува техника за порамнување, измазнување. Подвижен просек Mt  во времето t  се формира како аритметичка средна вредност од неколку последователни временски периоди.“

Откако ќе се пресметаат подвижните просеци се пресметуваат центрираните подвижни средни големини така што претходно пресметани две подвижни средини се собираат и се делат со два.
Всушност центрираните подвижни средни големини го претставуваат производот на трендот и цикличната компонента.

CMAt= tt*ct

Кога оригиналните вредности ќе се поделат со центрираните подвижни средни големини се добиваат сезонската и резидуалната компонента:

Yt/CMAt=Yt/tt*ct=st*rt

### СЕЗОНСКА КОМПОНЕНТА

Промените што се јавуваат секоја година во исто време и имаат иста насока (пад или раст)се нарекуваат сезонски варијации.Промените што се манифестираат преку нивото на појавата настануваат поради сезонското влијание под чие дејство појавата покажува одредено отстапување од месечниот или кварталниот просек.
St*Rt=Yt/Tt*Ct или st*rt=Yt/tt*ct=Yt/CMAt

Оценките на сезонските индекси  се пресметуваат така што се наоѓа медијалната вредност, за секој квартал, за сите години за кои постојат достапни вредности во временската низа. Вака добиените сезонски индекси се нормализирани но може да се изврши десезонирање на опсервацијата од временската низа, односно да се исклучи сезонското влијание. Тоа се прави кога оригиалните вредности на серијата ќе се поделат со оценките на нормализираните сезонски индекси.
dt=Yt/St

### ВИДОВИ СЕЗОНСКИ РИТМИ

Кај различни појави сезонското влијание не е со ист интензитет ниту пак се реализира на ист начин.
За да се истражат сезонските влијанија, потребно е податоците од временската низа да бидат групирани по месеци или квартали. Доколку се располага со временска низа со годишни податоци, не може да се забележи дали постојат сезонски варијации, бидејќи сезонските промени настануваат во текот на годината.
Постоат два вида сезонски ритми. Доколку големината на сезонското влијание останува непроменета во текот на разгледуваниот временски период тогаш постои константна сезонска варијација.
Доколку големината на сезонското влијание се менува со текот на разгледуваниот период, во тој случај постои променлива сезонска варијација.
Временската низа која има променлива сезонска варијација треба да се трансформира за да се добие временска низа која има константна сезонска варијација.

### ТРЕНД КОМПОНЕНТА

Кога оригиналните податоци на серијата ќе се поделат со оценетите нормализирани сезонски индекси, се отстранува сезоналноста од податоците и се овозможува подобро да се согледа трендот. Бидејќи десезонираните опсервации се движат во праволиниска насока (со некои мали отстапувања), тие може да се претстават со праволиниски тренд   чија функција е идентична со функцијата на простата праволиниска регресија.

За да се оценат параметрите   и   на праволинискиот тренд Тt се користи методот на најмали квадрати. Праволинискиот тренд е претставен со прост праволиниски регресионен модел каде што зависната променлива се десезонираните податоци, а независната променлива е времето.
dt=β0+β1+εt

Динамиката на појавите е детерминирана од голем број фактори кои во основа можат да се дефинираат како редовни и нередовни факори.Редовните фактори постојано влијаат и го детерминираат основниот тек на движењето на појавата или трендот.
За да може да се следат варијациите околу трендот како резултат на нередовните фактори се врши исклучување на влијанието на трендот така што оригиналните податоци ќе се поделат со вредностите на трендот:
Yt/tt

Изолацијата на трендот овозможува согледување на уште една честа одлика на меѓузависноста на појавите, посебно на економските појави. Тоа е временското задоцнување (time lag) на зависната променлива за промените на независните променливи.

## АДИТИВНА ДЕКОМПОЗИЦИЈА

Адитивната декомпозиција надобра примена има во ситуација кога се работи со временска низа што има константна сезонска варијација. Кога параметрите што ја опишуваат серијата не се менуваат со текот на времето временските низи може да се моделираат со адитивниот модел на декомпозиција.

Моделот на адитивната декомпозиција е:

Yt= Tt+ St+ Ct+ Rt

Адитивниот модел на декомпозиција се користи за да се добијат оценките tt, st, ct и rt на компонентите на временската низа.
Се тргнува од пресметување на центрираните подвижни просеци CMAt кои претставуваат оценка на збирот на компонентите Tt+Ct.

St+Rt=Yt-(Tt+Ct) при што оценката на st+rt на St+Rt ќе се добие како st+rt=Yt-(tt+ct)=Yt-CMAt

За да се добие st вредностите на st+rt се групираат по сезони (месеци, квартали). За секоја сезона се пресметува медијаната   од сите вредности на st+rt за соодветната сезона.Сезонските индекси се добиваат со нормализирање на вредностите за  така што збирот на нормализираните вредности изнесува 0.

Со одземање на st од опсервациите yt се отстранува сезоналноста од податоците и се добива серија чиј тренд е полесно да се утврди. Оценката на трендот Tt  се добива со регресиска анализа каде што независна променлива е времето t, а зависна променлива е десезонираната серија dt.

Доколку серијата следи праволиниски тренд функцијата изнесува:Tt=β0+β1 t , а доколку трендот е параболичен функцијата изнесува Tt=Tt=β0+β1+β2t
За да се упросечи, а воедно и да се отстрани влијанието на rt се пресметува подвижен просек за три периоди за вредностите ct+rt, со што се добива оценката за Ct.

ct=(ct-1+rt-1)+(ct+rt)+(ct+1+rt+1)/3

Оценката на Rt се добива како rt=(ct+rt)-ct. Овие оценки може да се искористат за да се пресметаат и предвидувањата за идните вредности на серијата. Доколку не постои специфичен начин на движење на резидуалната компонента се претпоставува дека Rt=0 при што оценката на yt  ќе изнесува  tt+st+ct.

## Наводи