Реципрочна вредност

[мини| Реципрочна функција y = 1/x. За секое x освен 0, y ја претставува неговата реципрочна вредност. Графиконот образува правоаголна [хипербола.]]
**Реципрочна вредност** на број x, што се означува со \frac{1}{x} или x^{-1}, е број кој кога ќе се помножи со x дава 1. Реципрочната вредност на дропката \frac{a}{b} е \frac{b}{a} . За да се добие реципрочна вредност на реален број, потребно е 1 да се подели со тој број. На пример, реципрочна вредност на бројот 5 е една петтина (\frac{1}{5} или 0,2), а реципрочната вредност на 0,25 е 1 поделен со 0,25, односно 4. Реципрочна функција, функција f(x) која го пресликува x во \frac{1}{x}, е еден од наједноставните примери на функција која сама по себе е инверзна.

За инверзна функција на функцијата f понекога се користи нотацијата f^{-1} , што воопшто не е еднакво на реципрочната вредност. На пример, реципрочна вредност \frac{1}{\sin{x}} = (\sin{x})^{-1} е косеканс од x, а не е инверзен синус т.е. аркус синус на x што се означува со \sin^{-1}{x} или \arcsin{x}. Терминолошката разлика помеѓу реципрочната и инверзната вредност не е доволна за да се разликуваат овие две работи, бидејќи многу автори претпочитаат обратна конвенција за именување, веројатно од историски причини (на пример, на француски, инверзната функција се нарекува реципрочна биекција).

## Комплексни броеви
Реципрочна вредност на комплексен број различен од нула z=a+bi е исто така комплексен број. Се добива со множење и на броителот и на именителот на \frac{1}{z} со неговиот конјугирано комплексен број \bar{z} = a - bi и користење на особината дека z\bar{z} = \|z\|^{2}, квадрирана апсолутна вредност z, што е реален број a^2 + b^2:

\frac{1}{z}= \frac{\bar{z}}{z\bar{z}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.

Конкретно, ако \|z\| = 1, тогаш \frac{1}{z} = \bar{z} .

За комплексен број во поларен облик z = r(\cos{\varphi} + i\sin{\varphi}), реципрочната вредност едноставно ја зема реципрочната вредност на интензитетот r и негатив на аглите:

{\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}\left(\cos{(-\varphi )}+i\sin{(-\varphi )}\right).

## Инфинитезимално сметање

### Извод
Извод на функцијата \frac{1}{x} = x^{-1} се дава врз основа на извод на степен на функција, каде што степенот е -1:


\frac {d}{dx}}x^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}.

### Интеграл
Интегралот на функција на степен (квадратна формула на Кавалиери) не може да се користи за пресметување на интегралот \frac{1}{x}, бидејќи тоа би довело до делење со нула:


\int {\frac {1}{x}}\,dx={\frac {x^{0}}{0}}\ +C .

Наместо тоа, интегралот се пресметува со


\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}dx=\ln{a},


\int {\frac {1}{x}}dx=\ln x+C.

каде 
\ln е природен логаритам. За да се покаже ова, треба да се земе предвид дека е 
 \frac {d}{dx}e^{x}=e^{x}, па ако е 
 y = e^x и 
 x = \ln{y}, имаме:


 {\frac {dy}{dx}}=y\quad \Rightarrow \quad {\frac {dy}{y}}=dx\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {1}{y}}\,dy=\int 1\,dx\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {1}{y}}\,dy=x+C=\ln y+C.


## Поврзано
* Делење
* Дропка
* Група (математика)
* Алгебарски прстен
* Експоненцијално распаѓање
* Хипербола

## Наводи

Категорија:Елементарни функции
Категорија:Елементарна алгебра
Категорија:Апстрактна алгебра
Категорија:Унарни операции
Категорија:Множење