Полиедар

[мини|200п|[Додекаедар (правилен полиедар)]]
[мини|200п|[Октоаголна призма]]
мини|200п|Мал ѕвездест додекаедар

**Полиедар** (од стгр. *поли* = „многу“ + *-едар* „основа, страна“) — геометриско тело со рамни страни и прави рабови и претставува тридимензионален пример за поопштата претстава за политоп во неопределен број димензии.

## Основа за дефинирање
Дефиницијата за полиедар како тело ограничено со рамни страни и прави линии не е многу прецизна, и не е задоволителна во современата математика. Во поново време постојат поточни определби во зависност од случаите.

Полиедарот може да биде составен од различни елементи или ентитети, секој според бројот на димензии:
*3 димензии: **телото** е ограничено со страните, и обично, е претставено со волуменот што тие го опфаќаат.
*2 димензии: **[[страна (геометрија)|страната]]** е *[[многуаголник]]* што ограничен со коло од рабови, и обично го опфаќа рамното (рамнинско) подрачје во границата. Многуаголните страни заедно ја сочинуваат **површината**.
*1 димензија: **[[раб (геометрија)|работ]]** сврзува темиња и страни, и обично претставува отсечка. Рабовите заедно го образуваат „костурот“ на полиедарот.
*0 димензии: **[[теме (геометрија)|теме]]** е  точка на ќоше.
*-1 димензија: **нулти политоп** е вид на неентитет потребен во апстрактните теории.

Во поопшта смисла во математиката и другите полиња, под „полиедар“ се подразбираат различни сродни конструкции - некои геометриски, а други алгебарски или апстрактни.

## Особености

### Полиедарска површина
Својствено за речиси сите видови на полиедри е тоа што секој раб поврзува само две страни. Ова значи дека површината е постојана и телото не се исчашува на друга страна.

### Рабови
Рабовите имаат две важни одлики (освен кога полиедарот е сложен):
*работ сврзува само две темиња.
*работ сврзува само две страни.

Овие две одлики се дуални една на друга.

### Ојлерова одлика
мини|200п|Ромпски тријаконтаедар (полуправилен полиедар)
**[[Ојлерова одлика|Ојлеровата одлика]]** χ го дава односот на бројот на темиња *V*, рабови *E* и страни *F* кај еден полиедар:
:\chi=V-E+F.\ 

Кај испакнат полиедар или, поопшто, кај секој просто сврзан полиедар чиишто страни исто така се просто сврзани и чија граница е многуобразие, χ = 2.

### Ориентабилност
Некои полиедри, како што се сите испакнати полиедри, имаат две посебни страни на секоја површина. За таквата фигура се вели дека е ориентабилна.

Меѓутоа, кај некои полиедри ова не е возможно, па затоа фигурата се нарекува „неориентабилна“. Сите полиедри со непарна Ојлерова одлика се неориентабилни. Дадена фигура со χ \vec F(\vec x) = \frac{1}{3} \vec x = (\frac{x_1}{3}, \frac{x_2}{3}, \frac{x_3}{3}), чие разидување е истоветно 1. Од теоремата следи дека волуменот на секое подрачје Ω ќе биде

:
\text{V}(\Omega) = \int_\Omega \nabla\cdot\vec F d\Omega = \oint_S \vec F \cdot \hat n dS.


Кога Ω е подрачјето што го зафаќа полиедарот, бидејќи неговите страни се планарни и имаат расчленети константни нормали, ова се упростува на

:
\text{V} = \frac{1}{3}\sum_{\text{CTPAHA } i} \vec x_i \cdot \hat n_i A_i


каде за *i*'-тата страна, \vec x_i е нејзиното тежиште, \hat n_i е нормалниот вектор, а A_i е нејзината површина.

Некогаш е тешко да се набројат површините, па затоа пресметката на волуменот може да биде нетривијална. Затоа постојат посебни алгоритми наменети за утврдување на волуменот (многу од нив се воопштуваат до испакнати политопи).

## Поврзано

*Антипризма
*Бипирамида
*Архимедово тело (полуправилен полиедар)
*Платоново тело (правилен полиедар)
*Правилен полиедар
*Призма
*Спидрон
*Поплочување
*Шлегелов дијаграм
*Мауриц Корнелис Ешер

## Наводи

*Coxeter, H.S.M.; *Regular complex Polytopes*, CUP (1974).
*Cromwell, P.;*Polyhedra*, CUP hbk (1997), pbk. (1999).

## Надворешни врски
* 
* Полиедри 
* Симетрија, кристали и полиедри  
* Виртуелни полиедри - Енциклопедија на полиедри 


Категорија:Политопи
Категорија:Грцизми