Експоненцијална функција

**Експоненцијална функција** – една од најважните функции во математиката. Се означува како exp(*x*) или *e**x*, при што *e* е приближно еднакво на 2,71828183, што всушност е Неперова константа, основа на природниот логаритам.

мини|Експоненцијалната функција е скоро рамна (бавно расте) за негативни вредности на x, а потоа брзо расте за позитивни вредности на x.

Експоненцијалната функција је реална функција со една променлива, дефинирана за сите реални броеви, која е секогаш позитивна и растечка. Никогаш не ја допира *x*-оската, иако *x*-оската ѝ е единствена асимптота. Нејзината инверзна функција, природниот логаритам, е дефинирана само за позитивни вредности на променливата *x*.

Понекогаш, особено во науката, изразот **експоненцијална функција** се користи да означи функција со облик *a**x*, каде *a*, која се нарекува *база* или *основа*, е кој било позитивен реален број. Оваа статија се фокусира на експоненцијална функција со основа *e*.

Поопшто, *x* може да биде кој било реален или комплексен број, или дури, тотално различен математички објект - види ја формалната дефиниција подолу.

## Својства
Со употреба на природниот логаритам, може да се дефинира нешто погенерална експоненцијална функција. Функцијата

: \!\, a^x=e^{x \ln a}

дефинирана за секое *a* > 0, и за секој реален број *x* се нарекува **експоненцијална функција со основа ** ***a***.

Горната еднаквост важи за *a* = *e*, бидејќи

: \!\, e^{x \ln e}=e^{x \left(1\right)}=e^x.

Експоненцијалните функции ги „соединуваат“ собирањето и множењето, што се гледа од следните *експоненцијални закони*:

: \!\, a^0 = 1
: \!\, a^1 = a
: \!\, a^{x + y} =  a^x a^y
: \!\, a^{x y} = \left(a^x \right)^y
: \!\, {1 \over a^x} = \left({1 \over a}\right)^x = a^{-x}
: \!\, a^x b^x = (a b)^x

Горното важи за сите позитивни реални броеви *a* и *b*, и за сите реални броеви *x* и *y*. Изразите кои вклучуваат дропки и коренување често може да се поедностават со користење на експоненцијална нотација бидејќи:

: {1 \over a} = a^{-1}
и, за секое *a* > 0, реален број *b*, и цел број *n*&nbsp;>&nbsp;1:
: \sqrt[n]{a^b} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^b = a^{b/n}

За секоја реална константа *c* важи:
:  f'(0)=\lim_{h \to 0}\frac{e^{ch}-1}{h}=c
за f(x)=e^{ch}

## Изводи и диференцијални равенки
Значењето на експоненцијалната функција во математиката и науката воопшто главно потекнува од својствата на нејзиниот извод. Поконкренто,

: {d \over dx} e^x = e^x

Се гледа дека *e**x* е извод на самиот себе, што е единствено својство меѓу сите реални функции. Други начини да се искаже истото вклучуваат:

* Наклонот на графиконот на експоненцијална функција во која било точка е еднаков на вредноста на функцијата во таа точка.
* Стапката на пораст на експоненцијална функција во точката *x* е еднаква на вредноста на функцијата во таа точка.
* Експоненцијалната функција е решение на диференцијалната равенка y'=y.

Огромен број диференцијални равенки имаат решенија во експоненцијалните функции, вклучувајќи ја Шредингеровата и Лапласовата равенка, како и равенката на просто хармониско движење.

За експоненцијалните функции со останати основи важи:

: {d \over dx} a^x = (\ln a) a^x

Спрема тоа, секоја експоненцијална функција е константен умноженик од сопствениот извод.

Доколку растот или опаѓањето на променливата е пропорционално на нејзината величина – како во случај на неограничен раст на населението, радиоактивен распад, сложени камати – тогаш таа променлива може да се пишува како константа помножена со експоненцијална функција на времето.

Понатаму, за која било диференцијална функција f(x) важи:

: {d \over dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}

## Формална дефиниција

Експоненцијалната функција e*x* може да се дефинира на доста еквивалентни начини, преку бесконечни редови. Поодредено, може да се дефинира преку степени редови:

: e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots

или како лимес на следната секвенца:

: e^x = \lim_{n \to \infty} \left(1 + {x \over n} \right)^n.

Во овие дефиниции, n! означува факториел на бројот *n*, а *x* е или произволен реален број, комплексен број, елемент од Банаховата алгебра (на пример, квадратна матрица).

## Бројчена вредност
За да добиеме бројчена вредност на експоненцијалната функција, бесконечниот ред може да се напише како:

:e^x = {1 \over 0!} + x \, \left({1 \over 1!} + x \, \left({1 \over 2!} + x \, \left({1 \over 3!} + \cdots \right)\right)\right)
:= 1 + {x \over 1} \left(1 + {x \over 2} \left(1 + {x \over 3} \left(1 + \cdots \right)\right)\right)

Овој израз брзо конвергира доколку x е помало од 1.

За да се оствари ова, може да се искористи следната еднаквост.

:

* каде z е цел дел од x
* каде f е дел зад подвижната запирка од x
* следи, f е секогаш помала од 1 и збирот f и z го дава x.

Вредноста на константата ez може претходно да се пресмета множејќи го *e* само со себе *z* пати.

## На комплексна рамнина

Кога се посматра како функција на комплексна променлива, експоненцијалната функција ги задржува своите битни својства:

: \!\, e^{z + w} = e^z e^w
: \!\, e^0 = 1
: \!\, e^z \ne 0
: \!\, {d \over dz} e^z = e^z

за секое *z* и *w*.

Ваквата експоненцијална функција е холоморфна со имагинарна периода 2 \pi i и може да се напише како:

: \!\, e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b)

каде *a* и *b* се реални броеви. Оваа формула ја поврзува експоненцијалната функција со тригонометриските и хиперболичните функции. Со ова се гледа дека сите елементарни функции освен полиномните, се потомци на експоненцијалните функции во една или друга смисла.

Погледајте ја и Ојлеровата формула.

## Матрици и Банахова алгебра

Дефиницијата на експоненцијалната функција даден погоре може да се користи и за секоја Банахову алгебра, и поодредено за квадратни матрици. Во овој случај имаме:

: \ e^{x + y} = e^x e^y \mbox{ if } xy = yx
: \ e^0 = 1
: \ e^x има инверзен и тој е \ e^{-x}
: извод \ e^x во точката \ x е онаа матрица која го пресликува \ u во \ ue^x.

## Надворешни врски

Категорија:Елементарни функции
Функција
Категорија:Аналитички функции