Рамномерна непрекинатост

## Дефиниција

Функцијата f:X\rightarrow\mathbb{R}, каде X \subseteq \mathbb{R}, а функцијата е непрекината во множеството X, се нарекува **рамномерно (униформно) непрекината** во тоа множество, ако за секое \varepsilon > 0, може да се најде позитивно  \delta , така што за секои две точки од нејзиниот домен кои се наоѓаат на растојание помало од  \delta , важи  |f(x_1) - f(x_2)| .

Односно, условот за рамномерна непрекинатост на функцијата f во множеството X може да се запише како: 

: (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x_1,x_2 \in X)(|x_1 - x_2| .

## Дискусија на дефиницијата

Оправданоста на оваа дефиниција, покрај дефиницијата на самата непрекинатост на функција потекнува од тоа – за да функција биде непрекината во секоја точка од својот домен X, потребно е да се најде најмалото \delta=\delta_0 од сите околини на секоја точка на доменот, за кои тогаш би важело:
: (\forall x, x_0 \in X)(|x - x_0| 

Ако множеството X е конечно, тоа може да се направи. Меѓутоа, кога X не е конечно, не постои гаранција дека воопшто ќе постои такво најмало \delta=\delta_0. Со тоа е оправдано постоењето на наведената дефиниција за рамномерна непрекинатост.

## Критериум за одредување рамномерна непрекинатост

Општиот критериум за одредување на рамномерна непрекинатост на функции го дава  Канторовиот став за рамномерна непрекинатост.

Теоремата може да се докаже со користење на Борел-Лебеговата лема за покривачите и потпокривачите. 

### Теорема

Ако функцијата f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} е непрекината во интервалот [a,b], таа е и рамномерно непрекината во него.

### Доказ
Од дефиницијата за непрекинатост имаме дека функцијата f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} е непрекината во интервалот [a,b] (дадено како услов за теоремата), тогаш за произволна точка x од тој сегмент постои некоја околина U(x) = (x - \delta, x + \delta) и за сите точки x_1 \in U(x) важи: |f(x) - f(x_1)| .

Да избереме 2 точки, x_1, x_2 \in U(x). Тогаш имаме:
:|f(x_1) - f(x_2)| \leq |f(x) - f(x_1)| + |f(x) - f(x_2)| 

Сега да избереме околина со двојно помал полупречник, U'(x) = (x - \frac { \delta} {2}, x + \frac { \delta} {2}). Ако таквата околина ја конструираме за секоја точка на сегментот [a,b], ќе добиеме множество отворени интервали кои очигледно го прекирваат целиот сегмент [a,b], па множеството на тие интервали твори покривач на сегментот [a,b]. Од Борел-Лебеговата лема имаме дека постои конечен потпокривач на тој интервал, т.е. дек постојат точките x_1, x_2, ..., x_n така што нивните околини U'_1, U'_2, ..., U'_n образуваат потпокривач на сегментот [a,b]. Бидејќи точки x_1, x_2, ..., x_n има конечно многу, меѓу нивните околини може да се најде најмалата  \frac {\delta_i} {2} и ја означуваме со  \delta.

Да избереме сега некоја точка x' од интервалот [a,b] кој му припаѓа на некој од интервалите U'_1, U'_2, ..., U'_n, кое го запишуваме: |x_i - x'| .

Да избереме и точка x*</math> од интервалот <math>[a,b]</math> која се наоѓа во <math>\delta</math>-околинат на точката <math>x'</math>, т.е. <math>|x' - x*| . Тоа може да го направиме по дефиниција, затоа што функцијата е непрекината во целиот сегмент, а пошто е  \delta \leq \frac { \delta_i} {2}, тогаш сигурно е и |x' - x*| < \frac { \delta_i} {2}</math>.

Сега од <math>|x_i - x'| < \frac { \delta_i} {2}</math> и <math>|x' - x*|  имаме дека:
:|x_i - x*| \leq |x' - x_i| + |x' - x*| 
т.е. двете точки, и x' и x*</math>, припаѓаат на околината <math> \delta_i</math>-на точката <math> \delta_i</math>, односно, двете се наоѓаат во некоја околина <math>(x - \delta_i, x + \delta_i)</math>,
па тогаш имаме дека
<math>|f(x') - f(x*)| , што и требаше да се докаже.

## Поврзано
* Непрекината функција
* Борел-Лебегова лема
* Канторов став за рамномерна непрекинатост

## Литература
* Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.

Категорија:Математика
Категорија:Математичка анализа