Бернулиева распределба

|
  kurtosis   =\frac{1 - 6pq}{pq}|
  entropy    =-q\ln q - p\ln p|
  mgf        =q+pe^t|
  char       =q+pe^{it}|
  pgf        =q+pz|
  fisher     = \frac{1}{pq} |
}}

**Бернулиева распределба** во теоријата на веројатноста и статистиката — прекинатата веројатносна распределба на една случајна променлива која ја има вредноста 1 со веројатност p и вредноста 0 со веројатност q = 1-p. Понеформално, таа е модел за множество можни исходи од секој можен опит опит кој поставува прашање „да–не“. Ваквите прашања водат до исходи со една од две вредности: „успех“ (1) со веројатност *p* и „неуспех“ (0) со веројатност *q*. Со оваа распределба може да се претстави фрлање паричка каде 1 и 0 би биле „глава“ и „писмо“, а *p* би била веројатноста да се падне глава (или обратно, каде 1 е писмо, а *p* ќе биде веројатноста за писмо). Нечесните парички би имале p \neq 1/2.

Наречена е по швајцараскиот математичар Јакоб Бернули и претставува посебен случај на биномната распределба со еден спроведен опит (така што *n* би бил 1 за таква биномна распределба). Воедно таа претставува посебен случај на **двоточкестата распределба**, чии можни исходи не мора да бидат 0 и 1.

## Својства

Ако X е случајна променлива со оваа распределба, тогаш:

:\Pr(X=1) = p = 1 - \Pr(X=0) = 1 - q.

Веројатносната фунција f на оваа распределба низ можните исходи *k* е

: f(k;p) = \begin{cases}
   p & \text{ако }k=1, \\
   q = 1-p & \text {ако } k = 0.
 \end{cases}

Ова може да се изрази и како

:f(k;p) = p^k (1-p)^{1-k} \quad \text{за } k\in\{0,1\}

или како

:f(k;p)=pk+(1-p)(1-k) \quad \text{за } k\in\{0,1\}.

Бернулиевата распределба е посебен случај на биномната распределба со n = 1.

Зашиленоста оди до бесконечност за високи и ниски вредности на p, но за p=1/2 двоточкестите распределби (вкл. Бернулиевата) имаат помалку вишок зашиленост отколку било која друга веројатносна распределба, имено −2.

Бернулиевите распределби за 0 \le p \le 1 сочинуваат експоненцијално семејство.

Процената на максимална веројатност на p според случаен примерок е примерочната средина.

## Средина
Очекуваната вредност на една Бернулиева случајна променлива X е

:\operatorname{E}[X]=p

Ова се должи на тоа што, за Бернулиево распределена случајна променлива X со \Pr(X=1)=p и \Pr(X=0)=q имаме

:\operatorname{E}[X] = \Pr(X=1)\cdot 1 + \Pr(X=0)\cdot 0 
= p \cdot 1 + q\cdot 0 = p.

## Веријанса
Варијансата на Бернулиево распределен X е

:\operatorname{Var}[X] = pq = p(1-p)

Прво имаме

:\operatorname{E}[X^2] = \Pr(X=1)\cdot 1^2 + \Pr(X=0)\cdot 0^2 = p \cdot 1^2 + q\cdot 0^2 = p = \operatorname{E}[X] 

Од ова следи

:\operatorname{Var}[X] = \operatorname{E}[X^2]-\operatorname{E}[X]^2 = \operatorname{E}[X]-\operatorname{E}[X]^2 = p-p^2 = p(1-p) = pq

Од овој резултат лесно е да се докаже дека, за секоја Бернулиева распределба, нејзината варијанса ќе има вредност во рамките на [0,1/4].

## Накосеност
Накосеноста (коефициентот на асиметрија) е \frac{q-p}{\sqrt{pq}}=\frac{1-2p}{\sqrt{pq}}. Кога ја ќе земеме стандардизираната Бернулиево распределена случајна променлива \frac{X-\operatorname{E}[X]}{\sqrt{\operatorname{Var}[X]}} излегува дека оваа случајна променлива добива \frac{q}{\sqrt{pq}} со веројатност p и добива -\frac{p}{\sqrt{pq}} со веројатност q. Така добиваме

:\begin{align}
\gamma_1 &= \operatorname{E} \left[\left(\frac{X-\operatorname{E}[X]}{\sqrt{\operatorname{Var}[X]}}\right)^3\right] \\ 
&= p \cdot \left(\frac{q}{\sqrt{pq}}\right)^3 + q \cdot \left(-\frac{p}{\sqrt{pq}}\right)^3 \\
&= \frac{1}{\sqrt{pq}^3} \left(pq^3-qp^3\right) \\
&= \frac{pq}{\sqrt{pq}^3} (q-p) \\
&= \frac{q-p}{\sqrt{pq}}.
\end{align}

## Виши моменти и кумуланти
Сите сирови моменти се еднакви поради тоа што 1^k=1 и 0^k=0. 

:\operatorname{E}[X^k] = \Pr(X=1)\cdot 1^k + \Pr(X=0)\cdot 0^k = p \cdot 1 + q\cdot 0 = p = \operatorname{E}[X].

Централниот момент со степен k се добива со
:
\mu_k =(1-p)(-p)^k +p(1-p)^k.

Првите шест централни моменти се
:\begin{align}
\mu_1 &= 0, \\
\mu_2 &= p(1-p), \\
\mu_3 &= p(1-p)(1-2p), \\
\mu_4 &= p(1-p)(1-3p(1-p)), \\
\mu_5 &= p(1-p)(1-2p)(1-2p(1-p)), \\
\mu_6 &= p(1-p)(1-5p(1-p)(1-p(1-p))).
\end{align}
Вишите централни моменти може да се изразат покомпактно како \mu_2 и \mu_3
:\begin{align}
\mu_4 &= \mu_2 (1-3\mu_2 ), \\
\mu_5 &= \mu_3 (1-2\mu_2 ), \\
\mu_6 &= \mu_2 (1-5\mu_2 (1-\mu_2 )).
\end{align}
Првите шест кумуланти се
:\begin{align}
\kappa_1 &= p, \\
\kappa_2 &= \mu_2 , \\
\kappa_3 &= \mu_3 , \\
\kappa_4 &= \mu_2 (1-6\mu_2 ), \\
\kappa_5 &= \mu_3 (1-12\mu_2 ), \\
\kappa_6 &= \mu_2 (1-30\mu_2 (1-4\mu_2 )).
\end{align}

## Поврзани распределби
*Ако X_1,\dots,X_n се независни еднакво распределени случајни променливи, сите Бернулиеви опити со веројатност за успех&nbsp;*p*, тогаш нивното множество е распределено според биномна распределба со параметри *n* и *p*: 
*:\sum_{k=1}^n X_k \sim \operatorname{B}(n,p) (биномна распределба).

:Бернулиевата распределба едноставно е \operatorname{B}(1, p), и се запишува и како \mathrm{Bernoulli} (p).

* Категоричната распределба е воопштувањето на Бернулиевата распределба за променливи со било кој постојан број на прекинати вредности.
* Бета-распределбата е сврзувачкиот претходник of Бернулиевата распределба.
* Геометриската распределба го моделира бројот на независни и еднакви Бернулиеви опити потребни за да се добие еден успех.
* Ако Y \sim \mathrm{Bernoulli}\left(\frac{1}{2}\right), тогаш 2Y - 1 има Радемахерова распределба.

## Поврзано
* Бернулиев опит
* Бернулиев процес

## Наводи

## Надворешни врски

*.
*
*  Интерактивна графика за односите на еднопроменливата распределба.

Категорија:Прекинати распределби