Прекината случајна променлива

Во веројатноста, **прекината случајна променлива** (**дискретна случајна променлива**) е случајна променлива со конечен број или со изброив број елементи. (Случајна променлива e непрекината ако нејзиното множество на вредности е интервал или унија од интервали.)

Подолу ја користиме буквата Х како „генерична ознака“ на случајна променлива. Вообичаено е да се користат големи букви од латиница како X, Y и Z за случајни променливи, а соодветните мали букви за нивни елементи.

Веројатноста на елементот *х* од Х се означува со Pr(Х=*х*) или со P(Х=*х*) или со P(*х*) или со p(*х*). Од основните принципи на веројатноста (види веројатност, случајна променлива): 
:0 \leq Pr(X=x) \leq  1  &nbsp;&nbsp; и &nbsp;&nbsp; \sum\limits_X {\Pr (X = x) = 1} 

## Прекинати распределби
Случаен опит или експеримент со прекината случајна променлива се вика **прекината распределба**. Неколку познати прекинати распределби се:
*Бернулиевa B(1,*p*)
*Биномна B(*n*,*p*)
*Геометриска G(*p*)
*Логаритамска
*Поасонова
*Прекината рамномерна U(*N*)
*Хи-квадратна
*Хипергеометриска

## Закон на распределба
Распределба на веројатностите кај прекината случајна променлива се вика **Закон на распределба**. Значи Законот на распределба е приказ на веројатностите за секоја вредност на Х. Приказот може да биде табеларен, функциски или графички.
*Кратенка за Законот на распределба е **PDF** (анг. Probability Distribution Function) (обично). Оваа кратенка важи и кај непрекинати прекинати променливи (анг. Probability Density Function). 
*Кај прекинатата случајна променлива, се дефинира PDF-от само за вредностите на случајната променлива, а за други реални броеви законот е недефиниран (обично). 
**За табеларен приказ на PDF-от со случајна променлива Х како насловни имиња во табелата се користат Х=*х* и Pr(Х=*х*) (за веројатностите).
**За функциски приказ на PDF-от се користи мала буква *f* за функцијата, а за променливата се користи мала буква од случајната променлива. На пример, ако Х е случајната променлива, со *f*(*x*) се означува соодветниот PDF. Доколку елементите на X се подредени цели броеви, честопати се користи *k* наместо *x* и пишуваме *f*(*k*).
::f(x) = \Pr (X =x)\,\,\,\,\,x \in X
:*За графички приказ на PDF-от, едноставно се внесуваат точките користејќи го табеларниот приказ (веројатностите се на *y*-оската).
*Од основните принципи на веројатност, збирот на сите веројатности на елементите на случајната променлива Х е 1, т.е.
::\sum\limits_{X=x}f(x) = 1

## Кумулативна распределба
**Кумулативна распределба** на една прекината случајна променлива Х е приказ на збирот на веројатностите на елементите помали и еднаква на *x*&isin;&#8477;. Приказот може да биде табеларен, функциски или графички.
*Кратенка за кумулативна распределба е **CDF** (анг. Cummulative Distribution Function) (обично). И називот и кратенката важат и кај непрекинати прекинати променливи.
*Се дефинира CDF-от за сите реални броеви, а не само за вредностите на Х.
**За функциски приказ на CDF-от се користи голема буква *F* за функцијата, а мала буква од случајната променлива за променливата. На пример ако Х е случајната променлива, со *F*(*x*) се означува соодветниот CDF.
::F(x) = \Pr (X \leq x) = \sum\limits_{k\le x} f(k) \,\,\,\,\,x \in \mathbb{R}
*При прекината случајна променлива Х, секој елемент на Х има ненегативна веројатност, па се појавува **скок** во CDF. Значи CDF-от не е мазна непрекината функција! 
*Од основните принципи на веројатноста, 
**Вредноста на CDF-от пред првиот (најмал) елемент на Х е 0.
**Вредноста на CDF-от во и после последниот (најголем) елемент на Х е 1.

## Означување
Кардиналноста на едно множество А е бројот на (различните) елементи на множеството и се означува со #A. 
*Конечна случајна променлива Х: Значи #Х=N, за позитивен цел број N, N&ge;2.  
*Изброива случајна променлива Х: Значи Х&cong;&#8469;

Елементите на множеството Х се реални броеви и се подредени од најмал кон најголем број. 
*Првиот елемент на Х се означува со *х*1, вториот елемент со *х*2, итн.
*Соодветно се означуваат веројатностите, односно Pr(*х*1)=*p*1, веројатноста Pr(*х*2)=*p*2, итн.

За конечна случајна променлива X со #X=N, општа форма на табелата на Законот на распределба на X е:




За изброива случајна променлива X со #X=&#8469;, општа форма на табелата на Законот на распределба на X е:




## Мерки на прекината случајна променлива
### Очекувана вредност
Очекувана вредност *E*(*x*)  
:E(x)= \sum\limits_{j = 1}^N    &nbsp;односно&nbsp;  E(x)= \sum\limits_{j=1}^\infty 
Поради соодветноста на формулите, честопати наместо „очекувана вредност“ се користи и терминот аритметичка средина од статистиката како и означување &mu;.

### Дисперзија (варијанса)
*Дисперзија &sigma;2
:\sigma ^2 = \sum\limits_{j = 1}^N   &nbsp;односно&nbsp; \sigma ^2 = \sum\limits_{j = 1}^\infty  

### Стандардно отстапување
*Стандардно отстапување &sigma;
:\sigma= \sqrt{\sigma ^2}

## Примери
100п|right
**Пример:** Опитот е: Фрлање на фер коцка со десет страни и запишување на резултатот (на горната страна). 

Соодветна прекината (конечна) случајна променлива е X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Бидејќи е фер коцка, сите исходи, т.е. сите N=10 елементи на Х се еднаквоможни со веројатност 1/10=0,1. (Ова е рамномерната распределба U(10).)



Забелешка: **floor** е математичка функција од &#8477; во &#8484; со floor(x)=„најголемиот цел број не поголем од х“.

**Пример:** Опитот е: Гаѓање по цел сè додека не погоди со веројатност на погодок p=0,6. Се запишува бројот на гаѓања.

Соодветен прекината (изброива) случајна променлива е: X={1,2,3,...,*n*,...}, т.е. X=&#8469;. Веројатноста е: Pr(X=*n*)=0,4*n*-1&middot;0,6. (Ова е геометриската распределба G(0,6).)



## Претставување на прекината распределба со Геогебра
Првите три дефиниции зависат од опитот. Сите дефиниции се внесуваат во полето за внос.
*N=кардиналноста на Х (доколку е изброив, се избере некој конечен број).
*list1=„X“
*list2=„Pr(Х=x)“
Следните дефиниции се исти за сите прекинати случајни променливи.
*list3=Sequence[(Element[list1,k],Element[list2,k]),k,1,N] Точките од Законот на распределбата. (PDF)
*list4=Sequence[Sum[Take[list2, 1, k]], k, 1, N] Кумулативните вредности. 
*list5=Sequence[(Element[list1,k], Element[list4, k]), k, 1, N] Левите точки на отсечките. (CDF)
*list6=Sequence[(Element[list1,k+1], Element[list4, k]), k, 1, N-1] Десните точки на отсечките.
*list7=Sequence[Segment[Element[list5, k], Elementlist6, k, k, 1, N-1]  Внатрешните отсечки. (CDF)
*a=Segment[(Element[list1,1]-5,0),(Element[list1,1],0)]  Почетната отсечка. (CDF)
*b=Segment[(Element[list1, Length[list1]], 1), (Element[list1, Length[list1]] + 5, 1)]  Крајната отсечка. (CDF)

Соодветните наредби на македонски (внимавајте на латиница и кирилица).
*N=кардиналноста на Х (доколку е изброив, се избира некој конечен број).
*листа1=„X“
*листа2=„Pr(Х=x)“
*листа3=Низа[(Елемент[листа1,k],Елемент[листа2,k]),k,1,N]  PDF
*листа4=Низа[Сума[ПодЛиста[листа2, 1, k]], k, 1, N] Кумулативните вредности. 
*листа5=Низа[(Елемент[листа1,k], Елемент[листа4, k]), k, 1, N] Левите точки на отсечките. (CDF)
*листа6=Низа[(Елемент[листа1,k+1], Елемент[листа4, k]), k, 1, N] Десните точки на отсечките. 
*листа7=Низа[Отсечка[Елемент[листа5,k],Елементлиста6,k, k, 1, N-1] Внатрешните отсечки. (CDF)
*a=Отсечка[(Елемент[листа1,1]-5,0),(Елемент[листа1,1],0)]  Почетната отсечка. (CDF)
*b=Отсечка[(Елемент[листа1, Должина[листа1]],1),(Елемент[листа1, Должина[листа1]]+5,1)]  Крајната отсечка. (CDF)

## Наводи

## Поврзани теми
*Веројатност
*Случајна променлива
*Непрекината случајна променливa

## Надворешни врски
*
* интерактивен

Категорија:Веројатност
Категорија:Статистика
Категорија:Распределби
Категорија:Математика