Комплемент

Во теоријата на множества и други гранки на математиката, дефинирани се два вида на комплементи: релативен комплемент и апсолутен комплемент.

## Релативен комплемент
Ако *A* и *B* се множества, тогаш **релативниот комплемент** на *A*
во *B*, познат и како **разлика на множества** меѓу *B* и *A*, е множеството чии елементи припаѓаат на *B*, но не припаѓаат на *A*.
250px|center|B minus A**Релативниот комплемент**на *A* во *B*

Релативниот комплемент на *A* во *B* обично се пишува *B*&nbsp;−&nbsp;*A* (исто така и *B*&nbsp;\&nbsp;*A*).

Формално:
:B - A = \{ x\in B \, | \, x \not \in A \}. 

Примери:
:* {1,2,3}&nbsp;−&nbsp;{2,3,4}&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;{1}
:* {2,3,4}&nbsp;−&nbsp;{1,2,3}&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;{4}
:* Ако \mathbb{R} е е множеството на реални броеви и \mathbb{Q} е множеството на рационални броеви, тогаш  \mathbb{R}-\mathbb{Q} е множеството на ирационални броеви.

Следните изрази ги покажуваат некои важни особини на релативните комплементи во однос на операциите унија и пресек од теорија на множества.

**PROPOSITION 1**: Ако *A*, *B*, и *C* се множества, тогаш важат следните идентитети:
:* *C*&nbsp;−&nbsp;(*A* ∩*B*)&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(*C*&nbsp;−&nbsp;*A*) ∪(*C*&nbsp;−&nbsp;*B*)
:* *C*&nbsp;−&nbsp;(*A* ∪*B*)&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(*C*&nbsp;−&nbsp;*A*) ∩(*C*&nbsp;−&nbsp;*B*)
:* *C*&nbsp;−&nbsp;(*B*&nbsp;−&nbsp;*A*)&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(*A* ∩*C*) ∪(*C*&nbsp;−&nbsp;*B*)
:* (*B*&nbsp;−&nbsp;*A*) ∩*C*&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(*B* ∩*C*)&nbsp;−&nbsp;*A*&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;*B* ∩(*C*&nbsp;−&nbsp;*A*)
:* (*B*&nbsp;−&nbsp;*A*) ∪*C*&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(*B* ∪*C*)&nbsp;−&nbsp;(*A*&nbsp;−&nbsp;*C*)
:* *A*&nbsp;−&nbsp;*A*&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;Ø
:* Ø&nbsp;−&nbsp;*A*&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;Ø
:* *A*&nbsp;−&nbsp;Ø&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;*A*

## Апсолутен комплемент
250px|center|A complement**Комплементот** на *A* во **U**
Ако е дефинирано *[[универзално множество]]* **U**, тогаш релативниот комплемент на *A* во **U** се нарекува **апсолутен комплемент** (или едноставно **комплемент**) на *A*, и се означува со *A*C, што значи:

:*A*C&nbsp;&nbsp;=&nbsp;**U**&nbsp;−&nbsp;*A*

На пример, ако универзалното множество е множеството на природни броеви, тогаш комплементот на множеството непарни броеви е множеството парни броеви.

Следниот израз ги покажува некои важни особини на апсолутните комплементи во однос на операциите унија и пресек од теорија на множества.

Ако *A* и *B* се подможества на универзално множество **U**, тогаш важат следните идентитети:
:Де Морганови закони:
::* (*A* ∪&nbsp;*B*)C &nbsp;=&nbsp;*A*C ∩&nbsp;*B*C
::* (*A* ∩&nbsp;*B*)C &nbsp;=&nbsp;*A*C ∪&nbsp;*B*C
:Закони за комплемент:
::* *A* ∪&nbsp;*A*C&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;**U**
::* *A* ∩&nbsp;*A*C&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;Ø
::* ØC&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;**U**
::* **U**C&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;Ø
::* Ако *A*⊆*B*, тогаш *B*C⊆*A*C
:Инволуција или закон за двоен комплемент:
::* *A*CC&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;*A*.
:Релации помеѓу релативен и апсолутен комплемент:
::* *A*&nbsp;−&nbsp;*B* = *A*&nbsp;∩&nbsp;*B*C
::* (*A*&nbsp;−&nbsp;*B*)C = *A*C&nbsp;∪&nbsp;*B*

Првите два горенаведени закони за комплемент покажуваат дека ако *A* е непразно подмножество на **U**, тогаш {*A*, *A*C} е партиција на **U**.

Категорија:Математика