Категорија (математика)

Во математиката, поточно теоријата на категории, една **категорија** се состои од објекти заедно со морфизми или стрелки меѓу нив, така што секои два морфизми чии целен и почетен објект се совпаѓаат можат да бидат компонирани. Композицијата на морфизми е асоцијативна и секој објект има идентитетски морфизам.

Примери за категории се:
* векторските простори над едно поле заедно со хомоморфизми на векторски простори
* Групите заедно со хомоморфизми на групи
* Тополошките простори заедно со непрекинати функции

Категориите служат како обопштување на случајот каде објектите се посебни структури и морфизмите се функции меѓу нив кои ја запазуваат таа структура, но голем број на примени вклучуваат и категории кои не се од овој вид.

Категориите нудат елегантен јазик за формулиање на голем дел од модерната математика и затао наоѓаат се повеќе и повеќе и примени во разни потгранки.

## Дефиниција
Една категорија \mathcal{C} се состои од
* колекција на **објекти** X, Y, Z, \dots
* колекција на **морфизми** f, g, h, \dots
така што
* секој морфизам f има домен X и кодомен Y; тогаш пишуваме f: X \to Y
* за сите морфизми f: X \to Y, g: Y \to Z така што кодоменот на f е еднаков со доменот на g постои компониран морфизам g \circ f чиј домен е доменот на f и чиј кодомен е кодоменот на g;
* за секој објект X постои морфизам 1_X, т.н. идентитетски морфизам. 
Една категорија ги исполнува следниве аксиоми:
* композицијата на морфизми е асоцијативна, т.е. h\circ(g\circ f) = (h \circ g) \circ f за сите морфизми f,g,h кои што можат да се компонираат
* за секој морфизам f: X \to Y важи f \circ 1_X = 1_Y \circ f = f.

### Мала и локално мала категорија
Една категорија се нарекува **мала** ако сите нејзини морфизми сочинуваат множество. Бидејќи секој објект X дава морфизам 1_X, исто така и објектите во една мала категорија сочинуваат множество.

Една категорија се нарекува **локално мала** ако морфизмите меѓу секои два објекти сочинуваат множество.

### Hom-множество
Во локално мала категорија, за секои два објекти X,Y во \mathcal{C}, со \mathcal{C}(X,Y), \operatorname{Mor}_\mathcal{C}(X,Y) или \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X,Y) го означуваме множеството на морфизми меѓу X и Y. Ваквите множества се нарекуваат **Hom-множества**.

## Примери

### Конкретни категории

\operatorname{Set} е категоријата чии објекти се множествата а чии морфизми се функции (на множества).

Нека k е поле. Со \operatorname{Vect}_k ја означуваме категоријата чии објекти се векторските простори над k и чии морфизми се хомоморфизми меѓу векторски простори.

Категоријата \operatorname{Group} ги има групите како објекти и како морфизми хомоморфизмите на групи.

Категоријата \operatorname{Top} ги има како објекти тополошките простори и како морфизми непрекинатите функции.

### Апстрактни категории
Нека (X, \leq) е (делумно) подредено множество. Ја дефинираме категоријата \mathcal{C} чии објекти се елементите на X, а меѓу секои два објекти x,y има точно еден морфизам x \to y ако и само ако x \leq y и нема морфизам x \to y ако и само ако не важи x \leq y. Идентитетските морфизми постојат поради рефлексивноста а композицијата е добро дефинирана поради транзитивноста на релацијата \leq.

Нека G е група. Тогаш ја дефинираме категоријата \mathrm{B}G која има само еден објект G а чии морфизми G \to G се сите елементи на групата G. Композицијата на два морфизми е дадена преку опрецијата во групата G. Оваа категорија е пример за *групоид*.

## Конструкции на нови категории

### Спротивна категорија
Нека \mathcal{C} е категорија. Категоријата \mathcal{C}^{\mathrm{op}}, чии објекти се објектите од \mathcal{C} така што \operatorname{Mor}_{\mathcal{C}^{\mathrm{op}}}(X,Y) := \operatorname{Mor}_{\mathcal{C}}(Y,X) (т.е. чии морфизми се морфизмите во спортива насока од \mathcal{C}) се нарекува **спротивната категорија** на категоријата \mathcal{C}.

Контраваријантаните функтори од една категорија \mathcal{C} во категорија \mathcal{D} се во биективна кореспонденција со коваријантните функторите \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{D}.

### Продуктна категорија
Нека \mathcal{C}, \mathcal{D} се категории. Продуктната категорија \mathcal{C} \times \mathcal{D} е категоријата:
* чии објекти се подредените парови (X,Y) од објекти X од \mathcal{C} и Y од \mathcal{D};
* чии морфизми се продедените парови (f,g) на морфизми f од \mathcal{C} и g од \mathcal{D};

Композицијата на морфизми е компонентна, т.е. (f',g') \circ (f, g) := (f' \circ f, g' \circ g) за морфизми f,f' од \mathcal{C} и морфизми g, g' од \mathcal{D} кои можат да бидат компонирани.

Еден бифунктор од категории \mathcal{C} и \mathcal{D} во категорија \mathcal{E} е функтор \mathcal{C} \times \mathcal{D} \to \mathcal{E}.

## Видови морфизми
Еден морфизам f: X \to Y во енда категорија \mathcal{C} се нарекува: 
* **мономорфизам** ако за од f \circ g = f \circ g' следи g = g' за сите соодветни морфизми g, g'.
* **епиморфизам** ако за од g \circ f = g' \circ f следи g = g' за сите соодветни морфизми g, g'.
* **ретракција** ако има десен инверзен морфизам, т.е. постои морфизам g така што f \circ g = 1_Y.
* **секција** ако има лев инверзен морфизам, т.е. постои морфизам g така што g \circ f = 1_X.
* **изоморфизам** ако има инверзен морфизам, т.е. постои морфизам g така што f \circ g = 1_Y, g \circ f = 1_X.
* **ендоморфизам** ако X = Y.
* **автоморфизам** ако е ендоморфизам и изоморфизам.

## Видови објекти

### Иницијален објект
Еден објект I во една категорија \mathcal{C} се нарекува **иницијален** ако за секој објект X постои еден и само еден морфизам I \to X.

### Терминален објект
Еден објект T во една категорија \mathcal{C} се нарекува **терминален** ако за секој објект X постои еден и само еден морфизам X \to T. Еден објект е финален ако и само ако истиот е иницијален во спротивната категорија.

### Нулов објект
Еден објект кој што е и иницијален и терминален се нарекува **нулов објект**. Нуловиот објект во една категорија е единствен до изоморфија со единствен изоморфизам меѓу секои два нулови објекти.

## Поврзано

* Збогатена категорија
* Кванталоид
* Простор (математика)
* Структура (математика)

## Литература
* 

Категорија:Математика