Lineārs diferenciālvienādojums

**Lineārs diferenciālvienādojums** ir diferenciālvienādojums formā a_0(x)y + a_1(x)y' + a_2(x)y* + \cdots + a_n(x)y^{(n)} = b(x) </math>. To var arī aprakstīt kā [[Lineārā kombinācija|lineāru kombināciju]] ar *n*-kārtas [[Atvasinājums|atvasinājumiem]]. Šīs lineārās kombinācijas tiek pareizinātas ar [[Funkcija|funkcijām]] <math>a_0 (x), a_1 (x), ... a_n (x) </math>, kurām nav obligāti jābūt lineārām. Visbeidzot šīs lineārās kombinācijas ir vienādas arī ar patvaļīgu funkciju <math>b(x) </math>. Ja <math>b(x) = 0 </math>, tad tas kļūst par [[Homogēns diferenciālvienādojums|homogēnu diferenciālvienādojumu]].

== Lineāri homogēns vienādojums ar konstantiem koeficientiem ==
Diferenciālvienādojums ir lineāri homogēns vienādojums ar nemainīgiem koeficientiem, ja tam ir forma: <math>a_0 y + a_1 y' + a_2 y* + \cdots + a_n y^{(n)} = 0  , kur a_0 (x), a_1 (x), ... a_n (x)  ir reāli vai kompleksi skaitļi. Tālāk var ieviest lineāra operatora jēdzienu.

#### Lineārs diferenciāloperators
Ieviešot diferenciāloperatoru formā: L = a_0 + a_1 \frac{d}{dx} + a_2 \frac{d^2}{dx^2} + ... + a_n \frac{d^n}{dx^n}  (tas ir lineārs, jo izpildās abas linearitātes īpašības, ka L(f(x)+g(x)) = L(f(x)) + L(g(x))  un L(\lambda \cdot f(x)) = \lambda \cdot L(f(x)) ).

Izmantojot šo jēdzienu, lineāri nehomogēno vienādojumu var pierkastīt kā:

Ly = b(x) , un speciālgadījumā b(x) = 0   vienādojums kļūst homogēns Ly = 0 , kas atbilst lineārā operatora kodolam.

#### Atrisinājums lineāri homogēnam vienādojumam ar konstantiem koeficientiem
Atgriežoties pie lineāri homogēna vienādojuma ar konstantiem koeficientiem: a_0 y + a_1 y' + a_2 y* + \cdots + a_n y^{(n)} = 0  </math>, ir vērtīgi apskatīt [[Eksponentfunkcija|eksponentfunkciju]] <math>e^x </math>, kas ir unikālais atrisinājums diferenciālvienādojumam <math>f'(x) = f(x) </math> un <math>f(x=0) = 1 </math>. No šī seko, ka *n-*tais atvasinājums funkcijai <math>f(x) = e^{\alpha x} </math> ir <math>f^{(n)} (x) = \alpha ^ n e^{\alpha x} </math>. Meklējot atrisinājumus šādā eksponenciālā formā ļauj atrisināt homogēnus, lineārus diferenciālvienādojumus kaut cik viegli. Tiks meklēti atrisinājumi formā <math>e^{\alpha x} </math>- ievietojot vienādojumā iegūst:

<math>a_0 e^{\alpha x} + a_1 \alpha e^{\alpha x} + a_2 \alpha ^2 e^{\alpha x} + \cdots + a_n \alpha ^n e^{\alpha x} = 0  </math>, izdalot abas puses ar <math>e^{\alpha x} </math> (kas pie reāliem <math>x </math> funkcija <math>e^{\alpha x} </math> nav nulle) iegūst raksturīgo [[Vienādojums|vienādojumu]]:

<math>a_0  + a_1 \alpha + a_2 \alpha ^2 + \cdots + a_n \alpha ^n = 0  </math>

Ja visas [[Sakne (matemātika)|saknes]] ir unikālas, tad iegūst *n* lineāri neatkarīgus risinājumus, kas nav obligāti reāli, var būt arī kompleksi. Kopā šie atrisinājumi veido risinājumu [[Vektoru telpa|vektortelpas]] [[Bāze (lineārā algebra)|bāzi]], jeb diferenciāloperatora kodolu.

Ja raksturīgajam polinomam saknes nesakrīt, tad rodas pilna atrisinājumu vektoru telpa. Ja kādas saknes sakrīt, tad iegūst papildus lineāri neatkarīgos atrisinājumus un tiem ir forma <math>x^k e^{\alpha x} </math>, kur <math>k </math> ir [[naturāls skaitlis]], <math>\alpha </math> ir risinājuma sakne ar <math>m </math> sakrītošām saknēm un izpildās nosacījums <math>k < m  </math>.

==== Atrisinājuma piemērs ====
[[Attēls:Linear homogeneous differential equation solution example.gif|thumb|300x300px|Apskatītā piemēra atrisinājuma grafiks pie dažādiem koeficientiem]]
Vienādojumam <math>y**-2y*'+2y*-2y'+y=0</math> meklējot atrisinājumus eksponenciālajā formā <math>y = A \cdot e^{\alpha x} </math> un ieveitot diferenciālvienādojumā: <math>A \alpha ^4 e^{\alpha x} - 2A \alpha^3 e^{\alpha x} + 2 A \alpha ^2 e^{\alpha x} - 2 A \alpha e^{\alpha x} + A e^{\alpha x} = 0 </math>. Var izdalīt ar <math>A (A \neq 0), e^{\alpha t} (e^{\alpha t} \neq 0) </math> un iegūt raksturīgo polinomu: <math>\alpha^4 - 2 \alpha ^3 + 2 \alpha ^2 - 2 \alpha + 1 = 0 </math>. Šim atrisinājumam ir saknes <math>\alpha = i, -i, 1 \ (\text{2 reizes}) </math> kur <math>i = \sqrt{-1} </math> ir imaginārā vienība. Būt vienādojuma saknēm nozīmē, ka raksturīgo polinomu var pārrakstīt formā <math>(\alpha -i)(\alpha + i)(\alpha - 1)(\alpha - 1) = 0 </math>. Saknēm, kas neatkārtojas, veidos atrisinājuma bāzi <math>e^{ix}, e^{-ix}   </math>. Saknēm, kuras atkārtojas, ir papildus soļi jāveic, lai iegūtu to veidoto bāzi. Apskatīsim diferenciālvienādojumu, ja būtu tikai šī divkāršā sakne <math>\alpha = 1 </math>:

<math>y* - 2y' + y = 0, ieviesīsim lineāru diferenciāloperatoru D = \frac{d}{dx}. To ir noderīgi ieviest, jo tagad diferenciālvienādojumu var pārrakstīt formā (D - 1)^2 y = 0, apzīmējot (D-1)y = u, kur u ir jauna funkcija iegūst vienādojumu: (D-1)u = 0, jeb \frac{du}{dx} - u = 0, kam atkal var meklēt ekponenciālo formu u = A \cdot e^{\beta x}, kur šoreiz \beta = 1, tātad u = A \cdot e^{x}. Ievietojot šo funkciju substitūcijas vienādojumā iegūst: (D-1)y = A e^x, jeb \frac{dy}{dx} - y = A e^x, pareizinot abas puses ar e^{-x} un pārvēršot kreiso pusi par atvasinājumu iegūst: \left( y \cdot e^{-x} \right)' = A, integrējot abas pēc x iegūst:  y \cdot e^{-x} = Ax + B, izsakot meklēto funkciju iegūst:  y = Axe^x + B e^x. Tātad atrisinājums būs šo atrisinājuma bāžu superpozīcija:  y = Axe^x + B e^x + C e^{ix} + D e^{-ix}. Imaginārās eksponentes var pārveidot un iegūt atrisinājumu:  y = Axe^x + B e^x + C \sin(x) + D \cos(x).

## Atsauces