Kopa

**Kopa** matemātikā ir dažādu atsevišķu objektu apvienojums vienā veselumā. Kopas jēdziens ir viens no fundamentālākajiem matemātikas jēdzieniem. Kaut gan tas tika ieviests 19. gadsimta beigās, kopu teorija tagad ir svarīga matemātikas daļa.

Objektus, no kuriem sastāv kopa, sauc par **kopas elementiem**.

Kopas parasti apzīmē ar alfabēta lielajiem burtiem, bet kopas elementus - ar mazajiem burtiem.

## Kopu aprakstīšana

Kopu iespējams aprakstīt, piemēram, uzrādot visus tās elementus. Ja tas nav iespējams (piemēram, bezgalīgas kopas gadījumā), tad norāda kopīgo īpašību, kāda piemīt šīs kopas elementiem un nepiemīt nevienam citam objektam.

## Īpašas kopas

Vairākām kopām to matemātiskā svarīguma un biežā lietojuma dēļ ir piešķirti īpaši apzīmējumi:

* \mathbb{N} - naturālo skaitļu kopa;
* \mathbb{Z} - veselo skaitļu kopa;
* \mathbb{Q} - racionālo skaitļu kopa;
* \mathbb{I} - iracionālo skaitļu kopa;
* \mathbb{R} - reālo skaitļu kopa;
* \mathbb{C} - komplekso skaitļu kopa;
* \emptyset - tukša kopa (kopa, kurā nav neviena elementa). Dažreiz to apzīmē arī ar \ \Lambda;
* \mathbb{P} - visu pirmskaitļu kopa;
* C[a; b] - visu intervālā [a; b] nepārtraukto funkciju kopa.

## Darbības ar kopām

Divas kopas A un B sauc par **vienādām** un raksta A = B, ja tās sastāv no vieniem un tiem pašiem elementiem (elementu secībai kopā nav nozīmes).

*Piemērs:* Kopas X = {1, 3, 5, 7, 9} un Y = {7, 1, 5, 9, 3} ir vienādas, jo tās sastāv no vieniem un tiem pašiem skaitļiem.

Kopas A un B ir vienādas tad un tikai tad, ja kopa A ietilpst kopā B un kopa B ietilpst kopā A.

Divas kopas sauc par **ekvivalentām** un raksta A ~ B, ja katram kopas A elementam a ir piekārtots viens un tikai viens kopas B elements b un turklāt katrs kopas B elements b ir piekārtots vienam un tikai vienam kopas A elementam. No tā izriet, ka divas kopas var būt ekvivalentas tad un tikai tad, ja tām ir vienāds elementu skaits.

Par divu kopu A un B **šķēlumu** sauc tādu kopu C, kas sastāv no visiem tiem elementiem, kuri pieder gan kopai A, gan arī kopai B. Ja divām kopām nav kopīgu elementu, tad to šķēlums ir tukša kopa.

*Piemērs:* Ja A = {1, 3, 5, 7} un B = {5, 7, 9}, tad C = {5, 7}.

Par divu kopu A un B **apvienojumu** sauc tādu kopu C, kas sastāv no visiem tiem elementiem, kuri pieder vismaz vienai no dotajām kopām.

*Piemērs:* Ja A = {2, 4, 6, 8} un B = {4, 8, 10}, tad C = {2, 4, 6, 8, 10}.

Par divu kopu A un B **starpību** sauc tādu kopu C, kas sastāv no visiem tiem kopas A elementiem, kuri nepieder kopai B.

*Piemērs:* Ja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} un B = {2, 4, 6, 8, 10}, tad C = {1, 3, 5}.

Par divu kopu A un B **Dekarta reizinājumu** sauc tādu kopu C, kuras elementi ir visi iespējamie kopu A un B elementu sakārtotie pāri (a,b), kur a ir kopas A elements, bet b ir kopas B elements.

*Piemērs:* Ja A = {2, 4, 6} un B = {1, 3, 5}, tad A × B = {(2,1), (4,1), (6,1), (2,3), (4,3), (6,3), (2,5), (4,5), (6,5)}.

## Kopu kardinalitāte

Ir kopas, kuru elementu skaits ir galīgs (**galīgas kopas**), piemēram, kopā {1, 2, 3} ir trīs elementi. Ir kopas, kuru elementu skaits ir bezgalīgs (**bezgalīgas kopas**), piemēram, veselo skaitļu kopa \mathbb{Z} ir bezgalīga. Eksistē kopa, kurā nav neviens elements (tukšā kopa). Elementu skaitu kopā raksturo kopas apjoms.

Īpašības:

* Divu galīgu kopu apvienojums ir galīga kopa.
* Galīgas un bezgalīgas kopas apvienojums ir bezgalīga kopa.

## Kopu paradoksi

Saistībā ar kopām ir atklāti paradoksi, kas liek savādāk paskatīties uz matemātiku un pārdomāt dažas aksiomas. Piemēram, ir šāds jautājums: vai eksistē visu kopu kopa? Ja tā eksistētu, tad to apzīmējot ar A, iegūtu, ka A \in A, jo A satur visas kopas, tāpēc arī pašu A. Tomēr, runājot par kopām, pieņem, ka jebkura kopa nesatur sevi kā elementu. Tāpēc secinām, ka šāda kopa A neeksistē. Līdzīgi var pierādīt, ka neeksistē visu tādu kopu kopa, kas nesatur sevi kā elementu. Tas savukārt rāda, ka ne vienmēr visi tie objekti, kuriem piemīt kāda īpašība P, veido kopu.

## Apakškopas

Ja kādas kopas A visi elementi pieder arī kādai kopai B, tad saka, ka kopa A ir kopas B **apakškopa**. To pieraksta šādi: A \subset B.

## Skatīt arī

* Kopu teorija
* Ierobežota kopa
* Kopas apjoms