Kellija kritērijs

thumb|300x300px|Piemērs Kellija likmei, kur varbūtība uzvarēt ir 60% un likme tiek visa dubultota vai zaudēta. Uz ''x'' ass parādīts ieguldītā kapitāla procents, uz ''y'' ass parādīts gaidāmais augšanas koeficients (par cik procentiem pieaugs kopējais kapitāls)
**Kellija kritērijs** (arī **Kellija stratēģija** vai **Kellija likme**) varbūtību teorijā ir formula likmju izmēram, kas maksimizē ilgtermiņa gaidāmo vērtību kapitāla logaritmam. Šis formulējums ir ekvivalents ilgtermiņa ģeometriskā vidējā augšanas koeficienta maksimizēšanai. Formulu pielieto azartspēļu teorijā, kā arī ar šo ideju var skaidrot diversifikāciju un investīciju menedžēšanu.

## Formula diviem iznākumiem
thumb|300x300px|Pie varbūtības uzvarēt 50% (<math>
p = 0.5
</math>) grafiks parāda Kellija likmi uz y-ass pie dažādiem peļņas/likmes attiecībām (<math>
b
</math>) uz x-ass
Ja katram notikumam ir tikai divi iespējami iznākumi — iegūt vai zaudēt kādu nemainīgu daļu no likmes —, tad pastāv tāda optimālā likme, lai maksimizētu augšanas koeficientu.

### Azartspēļu formula
Ja zaudējums nozīmē visas likmes zaudēšanu, tad Kellija likme ir:


f^* = p - \frac{q}{b}
, kur 
f^*
 - daļa no kapitāla kā likme, 
p
 - varbūtība uzvarēt, 
q=1-p
 - varbūtība zaudēt, 
b
 - attiecība starp peļņu un likmi (piemēram, ja uzvaras koeficients ir 3, tad 10$ likme uzvarā atgrieztu 30$, jeb 20$ peļņu, tad 
b= 20$/10$ = 2
).

Piemēram, ja iespēja uzvarēt ir 60 % (
p = 0,6 , \ q=0,4
) un uzvaras koeficients ir 2 (
b= 1
), tad, lai maksimizētu ilgtermiņa augšanas koeficientu kapitālam, spēlmanim jāliek 20 % no kapitāla kā likme katrā spēlē (
f^* = 0,6 - \frac{0,4}{1} = 0,2
).

Ja spēlmanim nav par labu šī spēle, pēc formulas iegūs nulli vai negatīvu skaitli, kas atbilst spēles nespēlēšanai, vai iespējams būt spēles vadītājam, uzņemoties bukmeikera lomu.

### Ieguldījumu formula
Vispārīgāka formula pieļauj daļēju likmes zaudējumu:


f^* = \frac{p}{a} - \frac{q}{b}
, kur  
f^*
 - daļa no kapitāla kā likme, 
p
 - varbūtība uzvarēt, 
q=1-p
 - varbūtība zaudēt, 
a
 - attiecība starp zaudēto likmes daļu un likmi (piemēram, ja 10% no likmes tika zaudēta, tad 
a = \frac{0,1 \cdot f^* \cdot S}{f^* \cdot S} = 0,1
, kur 
S
 - kapitāls) 
b
 - attiecība starp peļņu un likmi.

Jāņem vērā, ka formula pieņem zināmas, nemainīgas varbūtības un izmaksas, kas nav spēkā ieguldījumiem. Kā arī iespējams mazināt risku, mazinot ieguldīto daļu Kellija likmei.

### Normāli sadalītu iznākumu formula
Ja ir vēlme ieguldījumu modelēt ar bezgalīgi daudz iespējamiem iznākumiem (kā arī ietvert iespēju ieguldīt citur), tad var izmantot nepārtrauktus varbūtību sadalījumus (piemēram, normālsadalījumu). Tādā gadījumā ieguldijuma formula kļūst par:


f^* = \frac{\mu - r}{  \sigma ^2}
, kur 
f^*
 - daļa no kapitāla kā likme, 
\mu
 - vidējais iznākums ieguldod vienu kapitāla vienību, 
r
 - vidējais iznākums ieguldot citur ar minimālu risku(piemēram, valsts obligācijās), 
\sigma ^2
 ir dispersija (
\sigma
 ir standartnovirze).

## Pierādījums
Pieņemsim, ka sākuma kapitāls ir 
S
, daļa no kapitāla ieguldīta katrā likmē ir 
f
, varbūtība uzvarēt ir 
p
, kas dod peļņas/likmes attiecību 
b
. Ja tiek uzvarēts, jaunais kapitāls ir 
S + Sfb
. Varbūtība zaudēt ir 
q = 1-p
 un zaudētās likmes daļas/likmes attiecība ir 
a
. Ja tiek zaudēts, tad jaunais kapitāls ir 
S - Sfa
. Ar matemātisku indukciju var pierādīt, ka kapitāls pēc 
N
 raundiem 
S_N
 būs formā 
S_N =\begin{cases} 
S_o \cdot (1 + fb)^W \cdot (1 -fa)^L \\
W + L = N 
\end{cases}


 \begin{align}
\text{Bāze }N = 1: \ S_1 = \begin{cases}
               S_o + S_o f b = S_o (1 + fb), \text{ ja uzvar} \\
               S_o - S_o f a = S_o (1 - fa), \text{ ja zaudē}
\end{cases} 
\end{align} 

 \begin{align}
\text{Pieņēmums }N = k: \ S_k = \begin{cases}
               S_{k-1} + S_{k-1} f b = S_{k-1} \cdot (1 + fb) = S_o \cdot(1 + fb)^{W+1} \cdot (1 -fa)^{L}, \text{ ja uzvar} \\
               S_{k-1} - S_{k-1} f a = S_{k-1}  \cdot (1-fa) = S_o \cdot(1 + fb)^{W} \cdot (1 -fa)^{L+1} , \text{ ja zaudē}
\end{cases} 
\end{align} 

 \begin{align}
\text{Apskatām }N = k+1: \ S_{k+1} = \begin{cases}
               S_k + S_k f b = S_k \cdot (1 + fb) = S_o \cdot(1 + fb)^{W+2} \cdot (1 -fa)^{L}, \text{ ja uzvar un uzvar} \\
               S_k - S_k f a = S_k \cdot (1 + fb) = S_o \cdot(1 + fb)^{W+1} \cdot (1 -fa)^{L+1}, \text{ ja uzvar un zaudē} \\
               S_k + S_k f b = S_k \cdot (1 + fb) = S_o \cdot(1 + fb)^{W+1} \cdot (1 -fa)^{L+1}, \text{ ja zaudē un uzvar} \\
               S_k - S_k f a = S_k  \cdot (1-fa) = S_o \cdot(1 + fb)^{W} \cdot (1 -fa)^{L+2} , \text{ ja zaudē un zaudē}
\end{cases} 
\end{align} 

Ir induktīvi apskatīti visi gadījumi, tādēļ kapitāls būs formā 
S_N =\begin{cases} 
S_o \cdot (1 + fb)^W \cdot (1 -fa)^L \\
W + L = N 
\end{cases}


Kapitāla izteiksmes daļu 
(1 + fb)^W \cdot (1 -fa)^L

 sauc par augšanas koefcientu kāpinātu 
N
 pakāpē 
r^N
. Pašu augšanas koeficientu var iegūt paņemot N-to sakni no izteiksmes.

Līdz ar to gaidāmais augšanas koeficients ilgtermiņā ir:


r = \lim_{N \rightarrow \infty}\sqrt[N]{(1+fb)^{W} \cdot (1-fa)^{L}} 
, kur 
W
- uzvarēto raundu skaits, 
L
- zaudēto raundu skaits, 
N = (W+L)
- raundu skaits. Pēc lielo skaitļu likuma, 
\lim_{N \rightarrow \infty } \frac{W}{N} = p
 un 
\lim_{N \rightarrow \infty } \frac{L}{N} = q
, tādēļ 
r = (1+fb)^{p} \cdot (1-fa)^{q}  


Tiek meklēta ieguldītā kapitāla daļa 
f
 pie kuras šis augšanas koeficients ir maksimāls, ko var iegūt ar atvasinašanu. Vienkāršības labad var ņemt funkcijas logaritmu.


E = \ln(r) = p \ln{(1+fb)} + q \ln{(1-fa)}
, kur 
E 
 ir naturālais logaritms no augšanas koeficienta(citi logaritmi arī derētu). Tad šo funkciju var atvasināt pēc 
f
 un pielīdzināt nullei:


\frac{dE}{df} = \frac{pb}{1+fb} - \frac{qa}{1-fa} = 0
, ja atcerās, ka 
p + q = 1
(varbūtība uzvarēt plus varbūtība zaudēt ir visa varbūtība), tad iegūst ieguldījumu formulu 
f^* = \frac{p}{a} - \frac{q}{b}
, kur ar 
f^* 
 apzīmē optimālo ieguldījuma daļu.

### Sagaidāmās vērtības analīze
Iemesls kādēļ Kellija likme maksimizē augšanas koeficientu nevis peļņu katrā likmē ir tādā, ka, maksimizējot sagaidāmo vērtību kapitālam noved pie vairuma gadījuma bankrota. Ar tiem pašiem mainīgo nosaukumiem, var pierakstīt sagaidāmo vērtību kapitālam 
S
 pēc viena raunda:


E(S) = p \cdot (1 + fb) + q \cdot (1 - fa)
, atverot iekavas iegūst 
E(S) = p + pfb + q - qfa
, tad tiek meklēts tāda ieguldītā kapitāla daļa 
f
 pie kuras sagaidāmā vērtība kapitālam būtu maksimāla, ko var iegūt ar atvasināšanu. 
\frac{dE(S)}{df} = pb - qa
. Šī izteiksme nav atkarīga no 
f
, tādēļ neatvasinātā funkcija ir vai nu monotoni augoša vai dilstoša, mainot 
f
. Ja šī funkcija ir pozitīva, tad lielāka Kellija likme novedīs pie lielākas sagaidāmās vērtības kapitālam 
E(S)
.

Šis rezultāts nav pārāk noderīgs, jo situācijā, kur likme ir visa divkāršota vai zaudāta(
a,b = 1
) un varbūtības uzvarēt 51%(
p=0.51, q=(1-p) = 0.49
), sagaidāmās vērtības atvasinājums pēc likmi ir pozitīvs 
\frac{dE(S)}{df} = 0.51 \cdot 1 - 0.49 \cdot 1 = 0.02
, kas nozīmē nepieciešams likt kā likmi maksimāli daudz kapitālu lai sagaidāmi maksimāli nopelnītu. Taču 10 reizes pēc kārtas ieguldot visu kapitālu, varbūtība bankrotēt ir  
(1 - 0.51^{10} ) * 100% = 99.88%
, kas nav vēlams iznākums. Iespējams noderīga analoģiju būtu, ja starp 1000 cilvēkiem 999 no tiem nekas nepieder, bet viens ir miljardieris, tad vidēji katrs ir miljonārs.

### Pierādījums normāli sadalītiem iznākumiem
Pieņemsim 
X
 ir gadījuma lielums, kas norāda iznākumu ieguldot vienu kapitāla vienību. Sadalīsim normālsadalījumu uz pusēm un pieņemsim, ka 
P(X = \mu + \sigma) = P(X = \mu - \sigma) = \frac{1}{2} 
.

Pieņemsim, ka sākuma kapitāls ir 
S
, tad kapitāls pēc vienas iterācijas būs: 
S(f) = S\cdot(1+(1-f)r) + fX)
, kur 
f
 ir ieguldītā daļa no kapitāla, 
r
 ir iegūtā kapitāla daļa no cita ieguldījuma(var arī būt nulle). Ņemot logaritmu kapitālu attiecībai iegūst:


G(f) = E\left(\ln\left(\frac{S(f)}{S}\right)\right)
, kur 
E(...)
 ir sagaidāmā vērtība, 
\ln(...)
 ir naturālais logaritms.


G(f) = \frac{1}{2} \cdot \ln \left( 1 + (1-f)r +f(\mu + \sigma) \right) + \frac{1}{2} \cdot \ln \left( 1 + (1-f)r + f(\mu - \sigma )\right)


Visu laika intervālu var sadalīt *n* laika soļos, tad vairākos mazos iznākums ieguldot vienu kapitālu katrā laika solī var apzīmēt ar 
X_i
, kur 
i = 1,2,... ,n 
 (šādi tiek ieviesta nepārtrauktība). Arī ir spēkā: 
P(X_i = \frac{\mu}{n} + \sigma n^{-\frac{1}{2}} ) = P(X_i = \frac{\mu}{n} - \sigma n^{-\frac{1}{2}} ) = \frac{1}{2}
.  (No centrālās robežteorēmas vairāks reizes summējot to pašu sadalījumu, vidējā vērtība 
\mu
 pieaug proporcionāli sadalījumu skaitam *n*, bet strandartnovirze 
\sigma
 pieaug proporcionāli sadalījumu skaitu kvadrātsaknei 
\sqrt{n}
). Tagad šo laika soļu versiju var ievietot oriģinālajā funkcijā:


G_n(f) = E\left(\ln\left(\frac{S_n(f)}{S}\right)\right) = 
     \sum^n _{i=1}\left[
\frac{1}{2} \cdot \ln \left( 1 + (1-f)\frac{r}{n} +f(\frac{\mu}{n} + \sigma n^{-\frac{1}{2}}) \right) + \frac{1}{2} \cdot \ln \left(  1 + (1-f)\frac{r}{n} +f(\frac{\mu}{n} - \sigma n^{-\frac{1}{2}}) )\right) \right] 


Tā kā funkcija nav atkarīga no 
i
, tad parādās reizinātājs 
n
 un iegūst: 
G_n(f)= \frac{n}{2} \ln \left( \left( 1 + (1-f)\frac{r}{n} + f \frac{\mu}{n} \right)^2 - f^2 \sigma^2 n^{-1} \right) 


Ieviešam Teilora rindas tuvinājumu šai funkcijai ap 
f = 0
, iegūstam:


\begin{cases}
G_n(f=0) = n \cdot \frac{r}{n} + O(n^{-\frac{1}{2}}) \\
\frac{dG_n(f=0)}{df} = n \cdot \frac{\mu - r}{n} + O(n^{-\frac{1}{2}})  \\
\frac{d^2G_n(f=0))}{df^2} = n \cdot - \frac{\sigma^2}{2n} + O(n^{-\frac{1}{2}}) \\
\frac{d^kG_n(f=0)}{df^k} = O(n^{-\frac{1}{2}}), \ k >3

\end{cases}
, līdz ar to funkciju var pierakstīt kā:


G_n(f)= r + (\mu -r)f - \sigma^2 \frac{f^2}{2} + O(n^{-\frac{1}{2}})
, ņemot robežu 
n \to \infty
 iegūst 
G_\infty(f)= r + (\mu -r)f - \sigma^2 \frac{f^2}{2} 
. Atvasinot uz pielīdzinot nullei (ekstrēms punkts) iegūst:


f^* = \frac{\mu - r}{\sigma^2}


## Atsauces