FAVAR modelis

**FAVAR modelis** ir ekonometriskais faktoru modelis (angļu: Factor-Augmented Vector autoregression). FAVAR modelis ir VAR modeļu un faktoru analīzes sintēze. FAVAR modelis ļauj pētniekam izmantot lielu statistisko informāciju ekonomisko kopsakarību pētīšanā.

Vektoru autoregresijas modeļi (VAR) vai strukturālie VAR modeļi tiek plaši pielietoti centrālo banku monetārās politikas ietekmes pētīšanā. Bet diemžēl VAR modeļi ir spējīgi ietvert sevī tikai ļoti mazu mainīgo izlasi. Šī ekonometrijas metode ierobežo plāšu mainīgo izvēli un iekļaušanu modelī, jo noved pie koeficientu nenozīmīguma un brīvības pakāpju samazināšanas. Tas savukārt izraisa divās analīzes problēmas. Pirmkārt, modelī ne tiek iekļauta informācija, kura tiek pieejama ekonomiskiem aģentiem un Centrālai Bankai, līdz ar to monetārās politikas ietekmes novērtēšana drīzāk nav novērtēta pilnā mērā. Otrkārt, VAR modeļa impulsa reakcijas varētu būt apskatītas tikai mazai mainīgo kopai, t.i. tiem mainīgiem, kurus pētnieks pēc sava prāta un intuīcijas izvēlas dotām modelim.

Bernanke, Buavāns un Eliass (2004) savā darbā mēģina atrisināt augstāk minēto problēmu. Viņi izstrādā jauno risinājumu VAR modelim, lai tajā sekmīgi iekļautu daudz lielāku mainīgo skaitu bez brīvības pakāpju zaudēšanas. Viņi secina, ka viņu izstrādātais FAVAR modelis labi apraksta monetārās politikas transmisiju uz ekonomiku un sniedz pietiekami kvalitatīvus rezultātus.

## Statistiskais modelis

Pieņemsim, ka {Y_t} ir \text{(M×1)} M novērojamo mainīgo vektors, kurš var ietekmēt ekonomisko aktivitāti ar monetārās politikas palīdzību. Tālāk pieņemsim, ka ir citi informācijas avoti, cita statistiskā informācija, kura varētu būt reducēta daudz mazākā faktoru skaitā K, kur K ir \text{(K×1)} nenovērojamo faktoru skaits un K ir relatīvi „mazs”. Kā min Bernanke et al. (2004), nenovērojamie faktori varētu būt tādi kā „ekonomiskā aktivitāte” vai „kredītu nosacījumi”, kurus nevar raksturot tikai ar vienu vai divām laika rindām, bet tas ir noteikto, mums nezināmo un nenovērojamo, mainīgo difūzija. Līdz ar to, pieņemot kopējo novērojamo un nenovērojamo mainīgo dinamiku (F_t, Y_t) vienā sistēmā, modelis izskatās šādi:

:\begin{bmatrix}F_{t} \\ Y_{t}\end{bmatrix} = \Phi(L) \begin{bmatrix}F_{t-1} \\ Y_{t-1}\end{bmatrix} + v_{t}, \mathbf{(1.1)}

\mathbf{\Phi}(L) ir atbilstošais galējais polinomiāls lagu skaits, kurš varētu saturēt aprioros ierobežojumus identifikācijai. Kļūda vt ir ar vidējo nulle un kovariācijas matricu Q.

Tātad, vienādojums (1.1) ir vienkāršais reducēta VAR modeļa pieraksts. Pieņemot koeficientu ierobežojumus vienādus ar nulli, kas izsaka sakarības starp Yt un Ft-1, tad modelis (1.1) reducējas uz standartu VAR modeļa pierakstu. Gadījumā, kad faktoru kopai ir ietekme uz novērojamo mainīgiem, tad mēs atsaucamies uz FAVAR modeli.

Vienādojums (1.1) nevar būt novērtēts tiešā veidā, jo faktoru kopums nav novērojams un faktori ir jābūt novērtēti. Faktori, savukārt, ir jābūt iegūti no statistiskās informācijas, kura mums ir pieejama. Kā jau tika minēts, kādu konkrētu parādību, piemēram, ekonomisko aktivitāti veido vesela virkne ar mainīgiem un tādējādi, ar faktoru analīzes palīdzību reducējot lielo mainīgo kopu daudz mazākā faktoru skaitā, esam spējīgi iegūt nenovērojamos faktorus.

Pieņemsim, ka mums ir pieejama liela informatīvo laika rindu kopa Xt, kur X ir N×1 elementu vektors. Tiek pieņemts, ka N ir daudz lielāks nekā K un M summa (K + M t, Ft, un Yt elementu savstarpējā sakarība ir šāda:

:\mathbf{X_t = {\Lambda}^F F_t' + {\Lambda}^Y Y_t' + e_t}, \mathbf{(1.2)}

kur ΛF un ΛY ir N×K un N×M faktoru svaru matricas, bet kļūdas et ir N×1 elementu vektors ar vidējo nulle un tiek pieņemts, ka tas varētu būt nekorelēts vai vāji korelēts savā starpā. Vienādojums (1.2) izsaka sakarību starp Xt, Ft un Yt. Tas parāda, ka informatīvo laika rindu kopu Xt izskaidro relatīvi mazs kopējo faktoru skaits (Ft) un mainīgie, kuri pēc mūsu uzskatiem veido monetāro politiku (Yt), kā arī idiosinkratiskā kļūda, kura piemīt katram elementam no Xt, jeb katra mainīga no Xt specifiskais šoks

Tātad, FAVAR modelis tiek strukturēts vienādojumā (1.1) un (1.2). Tālāk ir nepieciešams novērtēt vienādojumu kopu. Bernanke et al. (2004) piedāvā novērtēt augstāk minētus vienādojumus ar divu metožu palīdzību. Pirmā metode ir divu soļu pieeja. Pirmajā solī tiek novērtētas galvenās komponentes (Ct), kas ietver sevī gan Xt, gan Yt matricas. Līdz ar to Yt nav atdalīts no galvenajām komponentēm un metodoloģiski nepareizi būtu tos pielietot vienādojumā (1.1). Tādējādi identifikācijas nolūkos autori ievieš koncepciju par mainīgiem, kuri reaģē uz monetāro politiku ātri (fast-moving), piemēram procentu likmes, aktīvu cenas, finanšu tirgus indikatori; un „lēnie” mainīgie (slow-moving). Autori pamato šādu ideju ar to, ka nenovērojamie faktori nereaģē uz monetāro politiku mēneša laikā. Līdz ar to, tos var atdalīt. „Lēnos” faktorus (Fts) iegūst no „lēniem” mainīgiem. Ņemot vērā novērtētās galvenās komponentes Ct un „lēnos” faktorus (Fts), tiek novērtēts šāds vienādojums:

:\mathbf{C_t = b_F F_t^s + b_Y Y_t + e_t},	\mathbf{(1.3)}

No vienādojuma **(1.3)** tiek iegūts \hat{F} kā Ct — bYYt. Atzīmēsim, ka \hat{F} ir faktoru kopa, kura tiek iegūta ņemot vērā visus Xt elementus, izņemot Yt. Tas nozīmē, ka novērtēta faktoru kopa ņem vērā visu ekonomisko aktivitāti un cenu kustības ekonomikā kopumā, bet ne monetārās politikas aktivitātes. Tādējādi otrajā solī, novērtēta faktoru kopa varētu būt iekļauta vienādojumā (1.1) un tiek novērtēts strukturālais VAR modelis ar nenovērojamiem faktoriem.
Otrā metode, kuru autori izmanto ir pieeja ar Baiesa ticamības metodi. Šāda metode ir balstīta uz Baiesa statistikas paņēmieniem, kā arī uz sarežģītu matemātikas aparātu ar Gibbs izlases veidošanas (Gibbs sampling) iterāciju palīdzību, veidojot posterioros (posterior) blīvuma funkcijas novērtētiem parametriem. Baiesa statistika tiek balstīta uz pieņēmuma, ka pētniekam apriori ir zināmi sadalījuma parametri (vidējais un dispersija), bet ar novērojamiem datiem un iterāciju palīdzību apriorais parametru sadalījums tiek koriģēts un tiek iegūts aposteriorais sadalījums. No aposteriora sadalījuma tiek ņemti novērtētie parametri un tiek izmantoti vienādojumu (1.1) un (1.2) novērtēšanā.
 
## Empīriskie rezultāti

FAVAR modeļi ir spējīgi izskaidrot tā saucamo cenu uzvedības mīklu (price puzzle). Tas ir kļūstot monetārai politikai ierobežojošai, cenas pieaug. Pēc teorijas ierobežojoša monetārā politika tieši otrādi noved pie cenu samazināšanos. Kā norāda Sims (1992), centrālā banka reaģē uz nākotnes inflācijas tendencēm ar viņai pieejamo informāciju. Cenu uzvedības mīkla ir tieši nepilnvērtīgas informācijas rezultāts, kura ietverta makroekonomiskajos rādītājos un izmantota VAR modeļu analīzē. Savukārt, tieši FAVAR modeļi spējīgi notvert papildu informāciju no daudziem citiem mainīgiem un izskaidrot cenu uzvedības parādību.
Treškārt, tā saucama likviditātes mīkla (liquidity puzzle) pazūd, kad lielāks faktoru skaits tiek izmantots modelī. Likviditātes mīkla rodas VAR modeļos kā pozitīva monetāro agregātu reakcija uz ierobežojošo monetāro politiku. Teorētiski dīvaina būtu situācija, kad ierobežojot naudas piedāvājumu, finanšu institūcijas gribētu aizdot vēl vairāk naudas līdz ar to palielinot monetārus agregātus. Tātad FAVAR modeļi daļēji var reducēt esošās VAR modeļu nepilnības monetārās politikas ietekmes novērtēšanā.

Buavāna (J. Boivin), Džianoņi (M. Giannoni) un Mihova (I.Mihov) (2007) pētījumā tiek analīzēta monetārās politikas ietekme uz cenu fluktuācijām dezagregētā līmenī ar FAVAR modeļa palīdzību.

Būtiskais jautājums, kas eksistē makroekonomikā un kas izraisa daudz diskusiju, ir vai cenas ir elastīgas (angļu: flexible) vai neelastīgas (angļu: sticky). Divas teorijas neoklasiskā no vienas puses un neokeinisianiskā no otrās puses, respektīvi saka, ka cenas elastīgas līdz ar naudas piedāvājuma regulēšanu un cenas ir neelastīgas, jo pastāv tā saucamas „ēdienkartes” izmaksas (angļu: menu costs).
 
Empīriskie pētījumi, kuri ir balstīti uz agregētiem datiem un standartu VAR modeļu pieeju, parasti apgalvo, ka pastāv cenu stīvums agregētā līmenī. Tāpēc daudzie makroekonomiskie modeļi, ieskaitot advancētus DSGE modeļus, ietver daļēju cenu stīvumu. Taču pēdējās tendences par dezagregētu cenu uzvedību liecina, ka cenas daudz volatilākās nekā bija pieņemts agrāk.

Buavāns et al. (2007) empīriski parādīja, ka nošķirot makroekonomiskās fluktuācijas no fluktuācijām, kas tiek identificēti katram sektoram atsevišķi, t.i. sektorālā līmenī, ir iespējams parādīt, ka cenām mainoties biežāk dezagregētā jeb sektorālā līmenī neizslēdz iespēju, ka cenas var būt neelastīgas agregētā līmenī. Parādās fakts, ka cenu stīvums agregetā līmenī ir pilnībā savienojams ar faktu, kad cenas tai pati laikā varētu būt elastīgas dezagregētā līmenī. Ideja ir pamatota ar to, ka agregētās inflācijas pastāvīgums (angļu: persistence) var atspoguļot neviendabīgumu starp individuālajiem sektoriem vai strukrurālo plaisu inflācijas datu izlasē. Vēl viens skaidrojums varētu būt arī, ka agregētai un dezagregētai inflācijai ir atšķirīga reakcija uz makroekonomiskiem šokiem un konkrēta sektora raksturīgiem šokiem.

Buavāns et al. (2007) izmanto lielu statistisko datubāzi par dezagregētām patēriņa un ražotāju cenām un novērtē FAVAR modeli ASV ekonomikai, kurš tika definēts vienādojumā (1.1) un (1.2). Šāds modelis palīdz novērtēt makroekonomisko un specifisku sektoru faktoru relatīvo nozīmību dezagregēto cenu fluktuāciju un inflācijas pastāvīguma izskaidrošanā. Kā arī ar FAVAR palīdzību ir iespējams analizēt dezagregēto cenu reakcijas uz makroekonomisko un specifisko sektoru šoku impulsiem. Šāda modeļa definēšana ir svarīga arī tāpēc, ka tas palīdz ne tikai saprast kā cenas reaģē uz makroekonomiskiem šokiem, bet arī novērtēt monetārās politikas ietekmi uz cenām dezagregētos sektoros.

Buavāns et al. (2007) secināja, ka dezagregētā līmenī vairums sektorālo cenu fluktuācijas ir izraisītas tādu faktoru dēļ, kuri ir raksturīgi attiecīgam sektoram, t.i. sektorālie faktori nevis kopējie makroekonomiskie faktori ietekmē sektorālo cenu fluktuācijas. Vidēji tikai 15% no individuālo sektoru fluktuācijām izraisa agregētie makroekonomiskie faktori, pārējos 85% izraisa specifiskie sektorālie faktori.

Otrkārt, dezagregētas cenas reaģē ar nozīmīgu aizkavēšanos uz monetārās politikas šokiem un „cenu mīkla” gandrīz kā nepastāv. Cenu „mīklas” neesamība liecina par to, ka izmantojot lielus datu masīvus FAVAR modeļu novērtēšanā, ir iespējams iegūt precīzākus rezultātus par monetārās politikas ietekmi.

## Atsauces