Topoloģiska telpa

**Topoloģiska telpa** ir matemātiska struktūra, kurā iespējams formāli definēt tādus jēdzienus kā konverģence, sakarīgums un nepārtrauktība. Topoloģiskas telpas jēdziens caurvij gandrīz katru mūsdienu matemātikas nozari. It īpaši tās tiek pētītas matemātikas nozarē, ko sauc par topoloģiju. Topoloģiska telpa ir ļoti vispārīgs un abstrakts jēdziens — to apraksta tikai trīs aksiomas. Gandrīz visas matemātikā lietotās telpas, piemēram, Hilberta telpa, ir topoloģiskas telpas speciāls gadījums.

## Definīcija
thumb|right|200px|Pirmās četras apakškopu saimes veido topoloģiju pār kopu {1,2,3}, bet pēdējās divas neveido. Kreisajā pusē esošā kopu saime nav topoloģa, jo tā nesatur kopu {2} un {3} apvienojumu {2,3}, bet labajā pusē esošā saime nesatur kopu {1,2} un {2,3} šķēlumu {2}.

**Topoloģiska telpa** ir sakārtots pāris (*X*,*T*), kur *X* ir patvaļīga kopa un *T* ir kopas *X* apakškopu saime, kurai piemīt šādas īpašības:

# *T* satur tukšo kopu \varnothing un *X*;
# jebkura skaita kopas *T* elementu apvienojums arī pieder kopai *T*;
# jebkura *galīga* skaita kopas *T* elementu šķēlums arī pieder kopai *T*.

### Terminoloģija
Kopu *T* sauc par **topoloģiju** pār kopu *X*. Kopas *X* elementus parasti sauc par *punktiem*, lai gan tie var būt patvaļīgi matemātiski objekti, piemēram, funkcijas (atbilstošo telpu sauc par *funkciju telpu*). Kopai *T* piederošās kopas sauc par **[[vaļēja kopa|vaļējām kopām]]**. Vaļējas kopas papildinājumu (kopā *X*) sauc par **[[slēgta kopa|slēgtu kopu]]**. Apzīmējumi "vaļējs" un "slēgts" var būt maldinoši. Piemēram, nav taisnība, ka jebkura kopa ir vai nu vaļēja vai slēgta — pusvaļējs intervāls [0,1) nav ne slēgts ne vaļējs reālo skaitļu kopā **R** ar standarta topoloģiju. Līdzīgi, kopa var vienlaicīgi būt gan slēgta, gan vaļēja. Piemēram, diskrētajā topoloģijā (skatīt piemēru zemāk) visas kopas ir gan vaļējas, gan slēgtas. Angliski šādas kopas sauc par *[[:en:clopen set|clopen sets]]* (no  un *[[:en:open|open]]*).

### Piemēri
# (*X*, *T*), kur *X* = {1, 2, 3, 4} un *T* = {\varnothing, {1, 2, 3, 4}}. Topoloģija *T* ir mazākā iespējamā topoloģija pār kopu *X*, jo jebkurai topoloģijai ir jāsatur tukšā kopa \varnothing un *X*. Topoloģiju *T* = {\varnothing, *X*} sauc par *triviālo topoloģiju* pār *X*.
# (*X*, *T*), kur *X* = {1, 2, 3, 4} un *T* = {\varnothing, {2}, {1,2}, {2,3}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}}.
# (*X*, *T*), kur *X* = {1, 2, 3} un *T* = {\varnothing, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Topoloģija *T* ir lielākā iespējamā topoloģija pār kopu *X*, jo tā satur visas kopas *X* apakškopas. Šādu topoloģiju sauc par *diskrēto topoloģiju*.
# (*X*, *T*), kur *X* = **Z** (veselie skaitļi) un *T* satur kopu **Z** un visas tās galīgās apakškopas *nav* topoloģija, jo, apvienojot visas galīga izmēra **Z** apakškopas, kas nesatur skaitli 0, iegūst bezgalīgu kopu, kas nav **Z**.

## Skatīt arī
* T0 telpa
* T1 telpa
* T2 jeb Hausdorfa telpa
* T3 telpa

## Papildu literatūra
* Armstrong, M. A.; *Basic Topology*, Springer; 1st edition (May 1, 1997). .
* Bredon, Glen E., *Topology and Geometry* (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition (October 17, 1997). .
* Bourbaki, Nicolas; *Elements of Mathematics: General Topology*, Addison-Wesley (1966).
* Čech, Eduard; *Point Sets*, Academic Press (1969).
* Fulton, William, *Algebraic Topology*, (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition (September 5, 1997). .
* Lipschutz, Seymour; *Schaum's Outline of General Topology*, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1968). . 
* Munkres, James; *Topology*, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). .
* Runde, Volker; *A Taste of Topology (Universitext)*, Springer; 1st edition (July 6, 2005). .
* Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; *Counterexamples in Topology*, Holt, Rinehart and Winston (1970). .
* .

## Atsauces

## Ārējās saites

* Eric W. Weisstein, Topological Space, MathWorld.
* Topological space , PlanetMath.