Skalārais reizinājums

[thumb|300x300px|Skalāro reizinājumu var interpretēt kā vektora <math> \vec{b} </math>  [Projekcija|projecēšanu uz  \vec{a}  un reizināšanu ar tā garumu  |\vec{a}| , vai arī otrādi projecēt un pareizināt ar garumu.  |proj_{\vec{a}} \ \vec{b}| = |\vec{b}|  \cos{\theta}  ,  |proj_{\vec{b}} \ \vec{a}| = |\vec{a}|  \cos{\theta}  ,

 \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta} ]]
Matemātikā **skalārais reizinājums** ir bināra operācija, kas diviem vektoriem piekārto skalāru lielumu jeb skaitli, kas raksturo doto vektoru garumu un leņķi starp tiem, un nav atkarīgs no koordinātu sistēmas, kurā vektori uzdoti.

## Definīcija

Par reālā *n*-dimensiju Eiklīda telpā esošu vektoru \vec{a} un \vec{b} **skalāro reizinājumu** sauc tādu reālu skaitli *c*, ka
: c = |\, \vec{a} \,| \, |\, \vec{b} \,| \cos \theta, 
kur
|\, \vec{a} \,| un |\, \vec{b} \,| ir vektoru \vec{a} un \vec{b} garumi un *θ* ir leņķis starp tiem.

Skalārā reizinājuma darbību apzīmē ar "\cdot", piemēram, c = \vec{a} \cdot \vec{b}.

## Aprēķināšanas metodes

### Pa tiešo

Trīsdimensiju Eiklīda telpā esošu vektoru \vec{a} = (a_x, a_y, a_z) un \vec{b} = (b_x, b_y, b_z) skalārais reizinājums ir
:
  \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.


### Ar summas palīdzību

Ja \vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n) un \vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n) atrodas *n*-dimensiju Eiklīda telpā, tad to skalāro reizinājumu atrod ar summas palīdzību:
:
  \vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^n a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n.


### Ar matricu palīdzību

Vektoru skalāro reizinājumu var atrast ar matricu reizināšanas palīdzību. Ja vektorus \vec{a} un \vec{b} pieraksta kā kolonnas vektorus jeb matricas a\, un b\, ar vienu kolonnu un *n* rindiņām, tad
:
  a^\mathrm{T} b =
  \begin{pmatrix}
    a_1 & a_2 & \dots & a_n
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n
  \end{pmatrix}

ir 1 × 1 matrica, kuras vienīgais elements ir vienāds ar \vec{a} \cdot \vec{b}. Šeit a^\mathrm{T}\, apzīmē matricas a\, transponēto matricu (šajā gadījumā rindas vektoru).

## Pielietojumi
Ar skalāro reizinājumu var iegūt vektora garumu/moduli: \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \rightarrow \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = |\vec{a}| 

Ar skalāro reizinājumu var iegūt leņķi starp vektoriem:  \vec{a} \cdot \vec{b} = |\, \vec{a} \,| \, |\, \vec{b} \,| \cos \theta \rightarrow \theta = \arccos{\left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}\right)} 
thumb|300x300px|Lai gan pieliktais spēks ir 5 vienības, projecējot  pārvietojuma virzienā darbu veic tikai 4 vienības
Ar skalāro reizinājumu var iegūt spēka padarīto darbu: A = \vec{F} \cdot \vec{s} . Ja spēka virziens sakrīt ar pārvietojuma virzienu, tad leņķis \theta  starp tiem ir nulle un izteiksme vienkāršojas par vektora garumu reizinājumu: A = F \cdot s  . Ja spēka virziens nesakrīt ar pārvietojuma virzienu, tad nepieciešams projecēt spēku pārvietojuma virzienā: A = \vec{F} \cdot \vec{s} = |F| \cdot |s| \cdot \cos{\theta}  . Ja ceļa garumā šis leņķis mainās starp spēku un pārvietojumu, piemēram, pārvietojums spēka vektoru laukā, tad jāizmanto integrālis: A = \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{s} .

## Terminoloģija

Angliski jēdzienu *[[:en:scalar product|scalar product]]* lieto, lai apzīmētu skalāro reizinājumu reālā Eiklīda telpā. Lai apzīmētu skalārā reizinājuma vispārinājumu prehilberta telpā (piemēram, kompleksā Eiklīda telpā), lieto jēdzienu *[[:en:inner product|inner product]]* jeb "iekšējais reizinājums". Latviešu valodā šāds jēdziens nav iegājies, tāpēc jēdzienu "skalārais reizinājums" attiecina gan uz reālām Eiklīda telpām, gan uz prehilberta telpām. Līdzīgi arī vācu valodā jēdzienu *[[:de:Skalarproduct|Skalarproduct]]* lieto abos gadījumos.

## Atsauces