Homogēns diferenciālvienādojums

**Diferenciālvienādojums** var būt **homogēns** kādā no diviem gadījumiem: 1) diferenciālā formā dota pirmās pakāpes diferenciālvienādojuma saskaitāmo koeficienti  ir homogēnas mainīgo funkcijas; 2) jebkuras kārtas lineāra diferenciālvienādojuma gadījumā nav konstanta saskaitāmā.

## Pirmās pakāpes homogēns diferenciālvienādojums
Vienkāršs pirmās pakāpes diferenciālvienādojums formā:

: M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 

ir homogēns, ja gan *M*(*x, y*), gan *N*(*x, y*) ir homogēnas funkcijas kopīgai pakāpei *n*. Jeb, reizinot katru mainīgo ar &nbsp;\lambda, mēs iegūstam

: M(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n M(x,y)\, un  N(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n N(x,y)\,. 

Tātad 
: \frac{M(\lambda x, \lambda y)}{N(\lambda x, \lambda y)} = \frac{M(x,y)}{N(x,y)}\,. 

### Risināšanas metode
Attiecībā &nbsp; \frac{M(tx,ty)}{N(tx,ty)} = \frac{M(x,y)}{N(x,y)},mēs varam ievietot t = 1/x &nbsp; lai vienkāršotu šo attiecību par funkciju f no viena mainīgā  y/x:

: \frac{M(x,y)}{N(x,y)} = \frac{M(tx,ty)}{N(tx,ty)} = \frac{M(1,y/x)}{N(1,y/x)}=f(y/x)\,. 

Ieviešam jaunu mainīgo y=ux; to diferencējam, izmantojot reizināšanas likumu:

: \frac{d(ux)}{dx} = x\frac{du}{dx} + u\frac{dx}{dx} = x\frac{du}{dx} + u,

Tādējādi pārveidojot doto diferenciālvienādojumu par diferenciālvienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem:
: x\frac{du}{dx} = f(u) - u\,; 
Šādā formā diferenciālvienādojums var tikt tieši integrēts un tādējādi atrisināts.

Šī piemēra vienādības nevajag izmantot kā formulas atrisinājuma iegūšanai, tās ir šeit pieminētas tikai atrisinājuma gaitas demonstrēšanai.

### Speciālgadījums

Pirmās pakāpes diferenciālvienādojums formā (*a*, *b*, *c*, *e*, *f*, *g* ir konstantes)
:  (ax + by + c) dx + (ex + fy + g) dy = 0\, ,
: kur *af* ≠ *be,* var tikt pārveidots par homogēnu, izmantojot lineāru mainīgo transformāciju abiem mainīgajiem (\alpha un \beta ir konstantes):
: t = x + \alpha; \,\,\,\, z = y + \beta \,. 

## Lineāri homogēni diferenciālvienādojumi

**Definīcija.**  Lineāru diferenciālvienādojumu sauc par **homogēnu**, ja izpildās sekojošs nosacījums: ja&nbsp;\phi(x)&nbsp; ir atrisinājums, tad arī c \phi(x) ir atrisinājums, kur c - nenulles konstante. Jāpievērš uzmanība tam, ka, lai izpildītos šis nosacījums,  lineārā atkarīgā mainīgā y diferenciālvienādojumā katram saskaitāmajam jāsatur vai nu y, vai y atvasinājums. Lineārs diferenciālvienādojums, kuram šis nosacījums neizpildās, tiek saukts par **nehomogēnu.**

Lineārs diferenciālvienādojums var būt pasniegts kā lineārs operators, kurš balstās uz y(x), kur parasti x ir neatkarīgais mainīgais un y - atkarīgais. Tātad vispārīgā veidā lineārs homogēns diferenciālvienādojums ir:

 L(y) = 0 \,

kur *L* ir diferenciāloperators, atvasinājumu summa (definējot "0. atvasinājumu" kā sākotnējo, neatvasināto funkciju), katru reizinot ar funkciju &nbsp;f_i&nbsp; no *x*:

:  L = \sum_{i=0}^n f_i(x)\frac{d^i}{dx^i} \, ,
kur &nbsp;f_i&nbsp; var būt konstantes, taču visi &nbsp;f_i&nbsp; vienlaicīgi nevar būt nulles.

Piemēram, šis diferenciālvienādojums ir homogēns:

:  \sin(x) \frac{d^2y}{dx^2} + 4 \frac{dy}{dx} + y = 0 \,, 

Taču šie divi ir nehomogēni:

:  2 x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + 4 x \frac{dy}{dx} + y = \cos(x) \,; 
:  2 x^2 \frac{d^2y}{dx^2} - 3 x \frac{dy}{dx} + y = 2 \,. 
Jāpiemin, ka konstanta saskaitāmā eksistence ir pietiekamais nosacījums, lai vienādība būtu nehomogēna, kā tas parādīts pēdējā piemērā.

## Piezīmes

## Atsauces
* . (This is a good introductory reference on differential equations.)
* . (This is a classic reference on ODEs, first published in 1926.)

## Ārējās saites
* Homogeneous differential equations at MathWorld
* Wikibooks: Ordinary Differential Equations/Substitution 1