Pirmskaitlis

**Pirmskaitlis** ir tāds naturāls skaitlis, kas lielāks par 1 un kam ir tikai divi dalītāji: 1 un pats skaitlis. Naturālus skaitļus, kas lielāki par 1, bet nav pirmskaitļi, sauc par saliktiem skaitļiem. Tā, piemēram, 5 ir pirmskaitlis, jo 5 dalās tikai ar 1 un 5. Savukārt 6 ir salikts skaitlis, jo 6 dalās ne tikai ar 1 un 6, bet arī ar 2 un 3. Pirmie 10 pirmskaitļi ir šādi:
:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Pirmskaitļiem ir liela nozīme skaitļu teorijā, kriptogrāfijā un citur.

Nav grūti pierādīt, ka pirmskaitļu ir bezgalīgi daudz. Pirmais to pierādīja Eiklīds ap 300. gadu p.m.ē. Vēlāk to pierādīja arī citi matemātiķi, izmantojot dažādas metodes.

Vienkāršs algoritms pirmskaitļu atrašanai ir Eratostena siets.

Parasti n-to pirmskaitli apzīmē ar p_n. Tādējādi p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5 utt.

## Vai 1 ir pirmskaitlis?
Daudzi senie grieķi neuzskatīja 1 par skaitli, tāpēc neuzskatīja to arī par pirmskaitli. Savukārt 19. gadsimtā daudzi matemātiķi uzskatīja skaitli 1 par pirmskaitli. Piemēram, D. N. Lēmera publicētais pirmskaitļu saraksts sākās ar 1 kā ar pirmo pirmskaitli. A. Lebegs tiek saukts par pēdējo profesionālo matemātiķi, kurš 1 uzskata par pirmskaitli. Kaut gan liela daļa no matemātiskiem darbiem ir derīgi, ja 1 uzskata par pirmskaitli, aritmētikas pamatteorēma neizpildās kā ir formulēta. Piemēram, skaitli 15 var sadalīt pirmreizinātājos kā  vai . Ja 1 uzskata par pirmskaitli, tad šie divi sadalījumi būtu jāuzskata par dažādiem skaitļa 15 sadalījumiem pirmreizinātājos, tāpēc šīs teorēmas formulējums būtu jāmaina.

## Pirmskaitļu īpašības
* Vienīgais pāra pirmskaitlis ir 2, visi pārējie pirmskaitļi ir nepāra.
* Visi pirmskaitļi, kas lielāki par 3 ir izsakāmi formā 6k+1 vai 6k-1.
* Ja p ir pirmskaitlis un p>3, tad p^2-1 dalās ar 24.
* Ja p ir pirmskaitlis un ab dalās ar p, tad vai nu a vai b dalās ar p.
* Ja p ir pirmskaitlis un a^k dalās ar p, tad a dalās ar p.

## Vēl daži fakti
* Katrs naturāls skaitlis, kas lielāks par 1, dalās ar vismaz vienu pirmskaitli.
* Ja n ir naturāls skaitlis un n>1, tad starp n un 2n atrodas vismaz viens pirmskaitlis (Bertrāna postulāts). Šo faktu pirmais pierādīja krievu matemātiķis P. Čebiševs.
* Starpība starp diviem blakusesošiem pirmskaitļiem var būt pēc patikas liela. Piemēram, 3 un 5 ir blakus esoši pirmskaitļi, kuru starpība ir 2. 7 un 11 ir blakusesoši pirmskaitļi, kuru starpība ir 4, utt.
* Visiem naturāliem n p_n \geq 2n-1.
* Ja p_n ir n-tais pirmskaitlis, tad \textstyle p_n \sim n \ln n.
* Visiem naturāliem n p_n > n \cdot \ln n (Rosera teorēma).

## Savstarpēji pirmskaitļi

Divus skaitļus sauc par **savstarpējiem pirmskaitļiem**, ja tiem nav neviena kopīga dalītāja, izņemot skaitli 1. Piemēram, skaitļiem 6 un 11 kopīgais dalītājs ir tikai skaitlis 1, tāpēc skaitļi 6 un 11 ir savstarpēji pirmskaitļi. Saprotams, ka jebkuri divi dažādi pirmskaitļi ir savstarpēji pirmskaitļi.

## Pirmskaitļu skaita funkcija
Bieži skaitļu teorijā, kriptogrāfijā un citur lieto funkciju, kas izsaka tādu pirmskaitļu skaitu, kas nepārsniedz kādu skaitli x. To apzīmē ar \pi(x) \,. Piemēram, \pi(10)=4 \,, jo ir tieši četri pirmskaitļi, kas nepārsniedz 10: 2, 3, 5 un 7. Svarīgs skaitļu teorijas rezultāts ir šīs funkcijas asimptotiskais novērtējums \pi(n) \sim \frac{n}{\ln n}.

Viens nevienādība ir

: \forall x\ge55,\quad
\frac {x} {\ln x + 2} 

## Pirmskaitļu apgriezto lielumu summa
Daudzi matemātiķi ir pētījuši pirmskaitļu apgriezto lielumu summu. Leonards Eilers, Pāls Erdēšs un citi ir pierādījuši, ka šī summa tiecas uz bezgalību:
:\sum_{p \text{ ir pirmskaitlis}} \frac 1 p = \frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 5 + \frac 1 7 + ... = \infty.

Tā kā, piemēram, naturālo skaitļu kvadrātu apgriezto lielumu summa netiecas uz bezgalību, tad tas nozīmē, ka pirmskaitļi ir sastopami biežāk nekā pilnie kvadrāti.

## Speciāla veida pirmskaitļi
Skaitļu teorijā un citur ir nozīme dažādiem speciāla veida pirmskaitļiem. Vieni no tiem ir Mersenna pirmskaitļi. Tie ir pirmskaitļi, kurus var izteikt formā p = 2^n - 1, kur n ir naturāls skaitlis. Tādi ir pirmskaitļi 3, 7, 31, 127 utt.

## Pirmskaitļu formulas
Nav zināmas efektīvas formulas pirmskaitļu izrēķināšanai. Tomēr ir iegūti atsevišķi rezultāti. Piemēram, Mīlsa teorēma apgalvo ka eksistē reāla konstante *A>1* tāda, ka

:\left \lfloor A^{3^{n}}\right \rfloor

ir pirmskaitlis katram naturālam *n*. Šeit \lfloor x \rfloor ir noapaļošana uz leju.

## Neatrisinātas problēmas
Ar pirmskaitļiem ir saistītas daudzas neatrisinātas matemātikas problēmas. Piemēram:

* Rīmaņa hipotēze.
* Dvīņu pirmskaitļu problēma: jānoskaidro, vai eksistē bezgalīgi daudz tādu pirmskaitļu, kuru starpība ir 2.
* Mersena pirmskaitļu problēma: jānoskaidro, vai ir bezgalīgi daudz pirmskaitļu, kuri izsakāmi formā p=2^n-1.
* Jānoskaidro, vai Fermā pirmskaitļu skaits ir galīgs vai bezgalīgs.
* Vai eksistē bezgalīgi daudz pirmskaitļu, kas izsakāmi formā p=n^2+1, kur n ir naturāls skaitlis?
* Jānoskaidro, vai eksistē bezgalīgi daudz tādu pirmskaitļu p, ka 2p+1 arī ir pirmskaitlis.

## Pirmskaitļi, kas nepārsniedz 1000

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89,
97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181,
191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283,
293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401,
409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509,
521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631,
641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751,
757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877,
881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.

## Skatīt arī
* Dalītājs
* Eratostena siets
* Pirmreizinātājs
* Vilsona teorēma
* Savstarpēji pirmskaitļi

## Atsauces

## Ārējās saites