Gausa teorēma

**Gausa teorēma** elektriskajam laukam: ja lādiņu sistēmu (kopu) aptver iedomāta, patvaļīga, slēgta, viensakarīga virsma S \ , tad elektriskā lauka intensitātes plūsma N \  caur šo virsmu ir proporcionāla pilnajam elektriskajam lādiņam q \  virsmas ierobežotajā tilpumā.

## Nosaukums
Teorēmas nosaukums nenozīmē, ka tā ir kādas *žiperīgas* teorēmas pretstats. Tā nodēvēta Kārļa Gausa vārdā, kurš to atklāja 40 gadus pēc tam, kad to 1773. gadā atklāja Lagranžs, kurš tiek uzskatīts par pirmo teorēmas atklājēju.

## Skalārā forma
350px|thumb|left

: N = \frac{q}{\epsilon_0} \ 
::: kur
:::: N \  - elektriskā lauka intensitātes plūsma (C×m/F vai V*m)
:::: q \  - lādiņš, kurš rada elektrisko lauku (C)
:::: \epsilon_0 \approx 8,85×10-12 F/m - elektriskā konstante

Gausa teorēmu viegli pārbaudīt punktveida lādiņa laukam, ja lādiņu aptver ar sfēriski simetrisku virsmu. Elektriskā lauka intensitāte \vec{E} \  visos sfēras virsmas punktos ir konstanta un vektors vērsts perpendikulāri virsmai. Tādēļ intensitātes plūsma caur sfēras virsmu ir šāda:

: \vec{N} = \vec{E} S \ 
::: kur
:::: S \  - sfēras virsmas laukums m<sup>2</sup>

Tā kā

: k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \ 
: \vec{E} = k \frac {q}{r^2} \ 
un
: S = 4 \pi r^2 \ 
tad
: \vec{N} = \vec{E} S = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac {q}{r^2} 4 \pi r^2 = \frac{q}{\epsilon_0}\ 

## Vektoriālā forma

: N = \oint_S \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \frac{q}{\epsilon_0} \ 
::: kur
:::: N \  - elektriskā lauka intensitātes plūsma (C×m/F vai V*m)
:::: \vec{E} \  - elektriskā lauka intensitāte (N/C)
:::: \vec{S} \  - virsmas vektors (m<sup>2</sup>)
:::: q \  - lādiņš, kurš rada elektrisko lauku (C)
:::: \epsilon_0 \approx 8,85×10-12 F/m - elektriskā konstante

## Gausa teorēmas pierādījums
380px|thumb|right

* Gausa teorēmu var pamatot, lietojot elektrisko lauku superpozīcijas principu.
* Punktveida lādiņam q \  pierādījums izriet no Kulona likuma. Elektriskā lauka intensitāte uz virsmas ir
: \vec{E} = k \frac {q}{r^3} \vec{r}\ 
Savukārt
: \mathrm{d}\vec{S} = \vec{n} \mathrm{d}S \ 
:::: kur \vec{n} \  - virsmas normāle.

Tādēļ lauka elementārplūsma caur virsmas elementu \mathrm{d}\vec{S} ir 
: \mathrm{d}N = (\vec{E} \vec{n}) \mathrm{d}S \ 

* \mathrm{d} S_r = \mathrm{d}S \cos \alpha \ 
:::: \mathrm{d} S_r \  - virsmas elementa projekcija uz sfēras virsmu, kuras rādiuss ir r \ 
:::: \alpha \  - leņķis starp intensitātes vektoru \vec{E} \  un normāles vektoru \vec{n} \ 

Līdz ar to formula

: \mathrm{d}N = (\vec{E}\vec{n}) \mathrm{d}S \ 

pārvēršas šādi:

: \mathrm{d}N = \vec{E} \mathrm{d} S_r \ 

\mathrm{d} S_r \  var izteikt vēl ar telpas leņķa elementu, tas ir:

: \mathrm{d} S_r = r^2 \mathrm{d}\Omega \ 
:::: \mathrm{d}\Omega \  - telpas leņķa elements

Līdz ar to var iegūt, ka

: \mathrm{d} N = k \frac {q}{r^2} r^2 \mathrm{d}\Omega = k q \mathrm{d}\Omega \ 

Lai iegūtu punktveida lādiņa elektriskā lauka intensitātes plūsmu, šī izteiksme ir jāintegrē caur virsmu S \ , tas ir:

: N = \int_S \mathrm{d} N = \int_S k q \mathrm{d}\Omega = k q \Omega \ 
: \Omega = 4 \pi \  sr
: N = k q 4 \pi = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} q 4 \pi = \frac{q}{\epsilon_0}\ 

## Gausa teorēmas secinājumi
* Plūsma nav atkarīga no virsmas izvēles.
* Ja virsmas ierobežotajā tilpumā atrodas patvaļīga lādiņu \Delta q \  kopa, tad, piemērojot Gausa teorēmu katram lādiņam \Delta q \ , pēc superpozīcijas principa iegūstam integrālo teorēmu \vec{E}(\vec{r}) = \frac {\vec{F}(\vec{r})}{q} \ , kurā q = \Sigma \Delta q \ 

## Atsauces