Čevas teorēma

**Čevas teorēma** ir teorēma par trijstūriem Eiklīda ģeometrijā. Ir dots trijstūris *ABC*, uz kura malām *BC*, *AC* un *AB* vai to pagarinājumiem ir atlikti attiecīgi punkti *D*, *E* un *F*, kuri nesakrīt ar *A*, *B* vai *C*. Ja taisnes *AD*, *BE* un *CF* krustojas vienā punktā (šo punktu apzīmēsim ar *O*), tad Čevas teorēma apgalvo, ka

:\frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.

Šajā vienādojumā ir lietoti virzīti nogriežņi — to garumi var būt gan pozitīvi, gan negatīvi skaitļi. Piemēram, attiecība *AF/FB* ir pozitīvs skaitlis tad, ja punkts *F* atrodas uz nogriežņa *AB*, bet ir negatīva, ja *F* atrodas uz nogriežņa *AB* pagarinājuma.

Nogriežņus *AD*, *BE* un *CF* sauc par čeviānām.

Čevas teorēmā var apskatīt divus gadījumus — ja *O* atrodas *ABC* iekšpusē (tad visi no punktiem *D*, *E* un *F* atrodas uz attiecīgajām trijstūra *ABC* malām) un ja *O* atrodas ārpus *ABC* (tādā gadījumā viens no punktiem *D*, *E* vai *F* atrodas uz attiecīgajām malām, pārējie divi — uz to pagarinājumiem).

Apgrieztā Čevas teorēma ar nelielām izmaiņām arī ir spēkā: Ja uz trijstūra *ABC* malām *BC*, *AC* un *AB* vai to pagarinājumiem ir atlikti attiecīgi punkti *D*, *E* un *F* tā, ka

:\frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1,

tad taisnes *AD*, *BE* un *CF* krustojas vienā punktā vai arī *AD*, *BE* un *CF* visas ir savstarpēji paralēlas.

Teorēma ir nosaukta par godu Džovanni Čevam, kurš to aprakstīja savā 1678. gada darbā *De lineis rectis*, tomēr tā ir pieminēta jau Jusufa al Mutamida, 11. gadsimta Saragosas karaļa, darbos.

Šī teorēma ir ļoti līdzīga Menelaja teorēmai, to vienādojumi atšķiras tikai ar zīmi.

## Pierādījums
Čevas teorēma var tikt pierādīta vairākos veidos. Dotais pierādījums izmanto trijstūru laukumus. Eksistē arī pierādījums, kas izmanto baricentriskās koordinātas un vektorus, kā arī pierādījums, izmantojot masas centrus.

Ir redzams, ka pierādāmās vienādības kreisā puse ir pozitīva jo vai nu visas trīs attiecības *AF/FB*, *BD/DC* un *CE/EA* ir pozitīvas (ja punkts *O* atrodas *ABC* iekšpusē), vai divas no šīm attiecībām ir negatīvas un viena — pozitīva (ja *O* atrodas ārpus *ABC*).

Apzīmēsim ar *h* perpendikulu, kas novilkts no punkta *O* pret taisni *AB* garumu. Trijstūra *AOF* laukumu tādā gadījumā var izteikt kā [AOF]=\frac{1}{2}*h*|AF| (*AF* — trijstūra pamats, h — pret to novilktais augstums). Analoģiski trijstūra *FOB* laukums ir [FOB]=\frac{1}{2}*h*|FB|. Mēs varam paņemt šo laukumu attiecību. 

:\frac{[AOF]}{[FOB]}=\frac{\frac{1}{2}*h*|AF|}{\frac{1}{2}*h*|FB|}=\frac..

Šo attiecību apzīmēsim ar *r*. Tātad [AOF]=r*[FOB] Analoģiski mēs varam izteikt, ka trijstūru *ACF* un *FCB* attiecība ir vienāda ar *r* — \frac{[ACF]}{[FCB]}=\frac=r un [ACF]=r*[FBC].

Ja *C* un *O* atrodas vienā pusē taisnei *AB*, tad trijstūra *ACO* laukumu var izteikt kā [ACO]=[ACF]-[AOF]=r*[FCB]-r*[FOB]=r*([FCB]-[FOB]), bet *OCB* laukumu kā [OCB]=[FCB]-[FOB]. Paņemot *ACO* un *OCB* laukumu attiecību mēs iegūstam šādu izteiksmi:

:\frac{[ACO]}{[OCB]}=\frac{r*([FCB]-[FOB])}{[FCB]-[FOB]}=r=\frac.

Tātad var secināt, ka \frac{[ACO]}{[OCB]}=\frac.

Ja *C* un *O* atrodas dažādās pusēs *AB*, tad iepriekšējie secinājumi ir analoģiski, tikai trijstūru laukumi tiek saskaitīti, nevis atņemti.

Analoģiski var iegūt, ka \frac{[BAO]}{[OAC]}=\frac un \frac{[CBO]}{[OBA]}=\frac.

Sareizinot iegūtos vienādojumus mēs iegūstam, ka

:\left|\frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \right|= \frac{[ACO]}{[OCB]}  \cdot \frac{[BAO]}{[OAC]} \cdot \frac{[CBO]}{[OBA]} = 1.

Tā kā mēs zinām, ka izteiksme zem moduļa zīmes ir pozitīva, mēs iegūstam

:\frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1,

kas arī bija jāpierāda.

Čevas teorēmas nosacījums ir spēkā arī, ja taisnes *AD*, *BE* un *CF* ir savstarpēji paralēlas (šis gadījums parasti netiek pieminēts Čevas teorēmas formulējumā). To var pierādīt, izmantojot Talesa teorēmu.

### Apgrieztās Čevas teorēmas pierādījums
Apgriezto Čevas teorēmu var pierādīt, izmantojot pierādījumu no pretējā — pieņemsim, ka taisnes  *AD*, *BE* un *CF* nekrustojas vienā punktā un nav savstarpēji paralēlas. Nezaudējot vispārību varam pieņemt, ka punkts F atrodas uz nogriežņa AB (lai Čevas teorēmas nosacījums izpildītos vai nu visi punkti *D*, *E* un *F* atrodas uz atbilstošajiem nogriežņiem, vai nu divi no tiem atrodas uz pagarinājumiem, mēs varam pieņemt, ka tie ir *D* un *E*). Apzīmēsim *AD* un *BE* krustpunktu ar *O<sub>1</sub>* (ja *AD* ir paralēls ar *BE* tad viegli var pamatot, ka visas trīs taisnes ir paralēlas). No dotā zināms, ka tas nekrusto taisni *CF*. Novilksim taisni *CO<sub>1</sub>* un apzīmēsim tās krustpunktu ar taisni *AB* ar *F<sub>1</sub>*. No Čevas teorēmas izriet, ka

:\frac{AF_1}{F_1B}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.

No dotā mums ir zināms, ka

:\frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.

Tātad var secināt, ka \frac{AF_1}{F_1B}=\frac{AF}{FB}. Pieskaitot abām vienādojuma pusēm 1, mēs varam iegūt, ka \frac{AF_1+F_1B}{F_1B}=\frac{AF+FB}{FB}.

No iepriekš pieņemtā mēs zinām, ka *F* atrodas uz nogriežņa *AB*. Līdzīgā veidā var secināt, ka arī *F<sub>1</sub>* atrodas uz nogriežņa *AB*. Tātad mēs varam iegūt, ka AB=AF+FB un AB=AF_1+F_1B. Ievietojot to iepriekš iegūtajā izteiksmē iegūstam, ka \frac{AB}{F_1B}=\frac{AB}{FB}. Ja gan *F*, gan *F<sub>1</sub>* pieder AB, tad var secināt, ka vienīgais gadījums, kad šī izteiksme ir patiesa ir tad, ja punkti *F* un *F<sub>1</sub>* sakrīt. Bet tādā gadījumā taisne *CF* iet caur *AD* un *BE* krustpunktu, kas ir pretrunā ar pieņēmumu. Tātad var secināt, ka pieņēmums ir aplams un taisnes  *AD*, *BE* un *CF* krustojas vienā punktā.

## Alternatīvais formulējums
Eksistē Čevas teorēmas alternatīvais formulējums, izmantojot leņķu sinusus. Ja taisnes *AD*, *BE* un *CF* krustojas vienā punktā, tas apgalvo, ka

: \frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle DAC}\cdot\frac{\sin\angle ACF}{\sin\angle FCB}\cdot\frac{\sin\angle CBE}{\sin\angle EBA}=1.

Šajā formulējumā ir izmantoti virzītie leņķi — \angle XYZ ir leņķis, par kādu vajag pagriezt taisni XY pretēji pulksteņa rādītāja kustības virzienam, lai iegūtu taisni YZ.

Izmantojot šo formulējumu var arī alternatīvi noformulēt apgriezto Čevas teorēmu.

## Atsauces

## Ārējās saites
* Čevas teorēmas izvedumi un pielietojumi 
* Čevas teorēmas trigonometriskā forma 
* Stefan Lozanovski. A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry