Viļņu vienādojums

[thumb|300x300px|Viļņu vienādojums paredz [Stāvvilnis|stāvviļņus- diviem skrejviļņiem izplatoties pretējos virzienos, to superpozīcija ir stāvvilnis]]
**Viļņu vienādojums** apraksta viļņa izplatīšanos laikā un telpā. Tas ir otrās kārtas lineārs parciālais diferenciālvienādojums, kas izklāsta mehāniskos viļņus (piemēram, ūdens viļņi, skaņas viļņi, seismiskie viļņi) vai elektromagnētiskos viļņus (t.sk. redzamo gaismu). Ar to sastopas akustikā, elektromagnētismā un šķidrumu mehānikā. Pastāv vēl cita veida viļņu vienādojums kvantu mehānikā, kas netiks apskatīts šajā rakstā.

## Formula
thumb|300x300px|Viļņu parādība- viļņu atstarošanās un transmisija, kad mainās izplatīšanās vide.
Vispārīgajā gadījumā, viļņu vienādojums var būt arī vektoriāls vienādojums. Tomēr, ja mekletā funkcija u = u(t, x, y, z) apraksta skalāru lauku, tad viļņu vienādojums pierakstās kā:

\frac{\delta ^2 u}{\delta t^2} = c^2 \left( \frac{\delta ^2 u}{\delta x^2} +
\frac{\delta ^2 u}{\delta y^2} +
\frac{\delta ^2 u}{\delta z^2}  \right) , kur c ir pozitīva konstante, kas atbilst viļņa izplatīšanās ātrumam, u ir skalārs lauks, piemēram, novirze, vai vispārīgāk kādai vērtībai, kas saglabājas (piemēram, spiediens, blīvums).

Tā kā tas ir diferenciālvienādojums, tam nepieciešami sākumnosacījumi un robežnosacījumi lai aprakstītu fizikālu situāciju.

## Viļņa vienādojums vienā dimensijā
thumb|300x300px|Izdevumā apskatītā situācija- dažādi spreigumi katrā no cilindra galiem.
Vienādojums vienkāršojas, ja to apskata vienā dimensijā:

\frac{\delta ^2 u}{\delta t^2} = c^2 \frac{\delta ^2 u}{\delta x^2}  

### Izvedums
Viļņa vienādojumu vienā dimensijā var iegūt vairākos veidos (stīgas svārstības 2 dimensijās, ar huka likumu, ar elektromagnētisku vilni vakuumā u.c.). Viens veids ir apskatot deformāciju radītos mehāniskos spriegumus:

Apskatām homogēna cilindra nelielu fragmentu: mehāniskais spriegums \sigma  uz laukumu spiež vienā galā un otrā galā ir cita sprieguma vērtība, kas pie mazas telpas izmaiņas dx  ir vienāda ar \sigma + \frac{\delta \sigma}{\delta x} dx . Izmantojot otro Ņūtona likumu, iegūst izteiksmi:

-\sigma + \sigma + \frac{\delta \sigma}{\delta x} dx = \rho dx \frac{\delta ^2 u}{\delta t ^2}  , kur u  ir novirze x  virzienā, \rho  ir stieņa blīvums (idejiski \rho dx = dm , apskatītā cilindra gabaliņa masa). Noīsinot un iztalot ar dx  iegūst: \frac{\delta \sigma}{\delta x} = \rho \frac{\delta ^2 u}{\delta t ^2}  . Tālāk, ja pieņem lineāru sakarību starp mehānisko spriegumu un relatīvo pagarinājumu (elastīgas deformācijas), tad ir spēkā vienādojums E \cdot \varepsilon = \sigma , kur E  ir Junga modulis un \varepsilon  ir relatīvais pagarinājums. Relatīvo paragrinājumus savukārt var pierakstīt kā \varepsilon = \frac{\delta u}{\delta x}  un ievietojot lineārajā sakarībā ar mehānisko spriegumu iegūst E \cdot \frac{\delta u}{\delta x} = \sigma  un parciāli atvasinot šo pēc x  iegūst \frac{\delta \sigma}{\delta x} = 
\underbrace{\frac{\delta E}{\delta x}}_{=0}   \cdot \frac{\delta  u}{\delta x } +
E \cdot \frac{\delta ^2 u}{\delta x ^2} =
E \cdot \frac{\delta ^2 u}{\delta x ^2}   . Ievietojot atpakaļ pārveidotajā Ņūtona likumā iegūst:

E \cdot \frac{\delta^2 u}{\delta x ^2} = \rho \frac{\delta ^2 u}{\delta t ^2}  , jeb \frac{\delta ^2 u}{\delta t ^2}  = 
\frac{E}{\rho} \cdot \frac{\delta^2 u}{\delta x ^2}  , kur 
\frac{E}{\rho} = c^2  ir viļņa izplatīšanās ātruma kvadrāts.

## Atsauces