Hiperboliskās funkcijas

**Hiperboliskās funkcijas** ir kompleksā vai reālā mainīgā analītiskās funkcijas. Tās ir analogās funkcijas trigonometriskajās funkcijām. Vienkāršākās hiperboliskās funkcijas ir **hiperboliskais sinuss** "sh" un **hiperboliskais kosinuss** "ch", no kuriem ir atvasināts **hiperboliskais tangenss** "th", **hiperboliskais kosekanss** "csch", **hiperboliskais sekanss** "sech" un **hiperboliskais kotangenss** "cth".

Hiperboliskās funkcijas parasti izmanto dažādu procesu (galvenokārt vienkāršu) raksturošanai, funkciju aproksimācijai.

## Algebriskās izteiksmes
* Hiperboliskais sinuss:
::\operatorname{sh} x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x} = \frac {1 - e^{-2x}} {2e^{-x}}

* Hiperboliskais kosinuss:
::\operatorname{ch} x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x} = \frac {1 + e^{-2x}} {2e^{-x}}

* Hiperboliskais tangenss:
::\operatorname{th} x = \frac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch} x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} = \frac{1 - e^{-2x}} {1 + e^{-2x}}

* Hiperboliskais kotangenss:
::\operatorname{cth} x = \frac{\operatorname{ch} x}{\operatorname{sh} x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = \frac{1 + e^{-2x}} {1 - e^{-2x}}

* Hiperboliskais sekanss:
::\operatorname{sech}\,x = \left(\operatorname{ch} x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1} = \frac{2e^{-x}} {1 + e^{-2x}}

* Hiperboliskais kosekanss:
::\operatorname{csch}\,x = \left(\operatorname{sh} x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1} = \frac{2e^{-x}} {1 - e^{-2x}}

Hiperboliskās funkcijas var izteikt arī ar trigonometriskajām funkcijām:

* Hiperboliskais sinuss:
::\operatorname{sh} x =  - {\rm{i}} \sin {\rm{i}}x \!

* Hiperboliskais kosinuss:
::\operatorname{ch} x = \cos {\rm{i}}x \!

* Hiperboliskais tangenss:
::\operatorname{th} x = -{\rm{i}} \operatorname{tg} {\rm{i}}x \!

* Hiperboliskais kotangenss:
::\operatorname{cth} x = {\rm{i}}  \operatorname{ctg} {\rm{i}}x \!

* Hiperboliskais sekanss:
::\operatorname{sech}\,x = \sec { {\rm{i}} x} \!

* Hiperboliskais kosekanss:
::\operatorname{csch}\,x = {\rm{i}}\,\csc\,{\rm{i}}x \!

kur *i* ir imaginārā vienība: *i*2 = −1.

## Attiecības
Pāra un nepāra funkcijas:
:\begin{align}
  \operatorname{sh} -x &= -\operatorname{sh} x \\
  \operatorname{ch} -x &=  \operatorname{ch} x
\end{align}

Tātad:
:\begin{align}
                \operatorname{th} -x &= -\operatorname{th} x \\
                \operatorname{cth} -x &= -\operatorname{cth} x \\
  \operatorname{sech} -x &=  \operatorname{sech} x \\
  \operatorname{csch} -x &= -\operatorname{csch} x
\end{align}

Hiperboliskais sinuss un hiperboliskais kosinuss apmierina vienādību
:\operatorname{ch}^2 x - \operatorname{sh}^2 x = 1\,

## Inversās hiperboliskās trigonometriskās funkcijas
Inversās hiperboliskās trigonometriskās funkcijas var izteikt ar naturāllogaritmiem
:\begin{align}
  \operatorname {arsh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) \\

  \operatorname {arch} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right); x \ge 1 \\

  \operatorname {arth} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right); \left| x \right|  1 \\

  \operatorname {arsech} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x} \right); 0 

## Diferenciāļi
: \frac{d}{dx}\operatorname{sh} x = \operatorname{ch} x \,

: \frac{d}{dx}\operatorname{ch} x = \operatorname{sh} x \,

: \frac{d}{dx}\operatorname{th} x = 1 - \operatorname{th}^2 x = \operatorname{sech}^2 x = 1/\operatorname{ch}^2 x \, 

: \frac{d}{dx}\operatorname{cth} x = 1 - \operatorname{cth}^2 x = -\operatorname{csch}^2 x = -1/\operatorname{sh}^2 x \,

: \frac{d}{dx}\ \operatorname{csch}\,x = - \operatorname{cth} x \ \operatorname{csch}\,x \,

: \frac{d}{dx}\ \operatorname{sech}\,x = - \operatorname{th} x \ \operatorname{sech}\,x \,

:\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}

:\frac{d}{dx}\, \operatorname{arch}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}

:\frac{d}{dx}\, \operatorname{arth}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}

:\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcsch}\,x =-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}}

:\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsech}\,x =-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}

:\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcth}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}

## Nenoteiktie integrāļi
:\begin{align}
  \int \operatorname{sh} (ax)\,dx &= a^{-1} \operatorname{ch} (ax) + C \\
  \int \operatorname{ch} (ax)\,dx &= a^{-1} \operatorname{sh} (ax) + C \\
  \int \operatorname{th} (ax)\,dx &= a^{-1} \ln (\operatorname{ch} (ax)) + C \\
  \int \operatorname{cth} (ax)\,dx &= a^{-1} \ln (\operatorname{sh} (ax)) + C \\
  \int \operatorname{sech} (ax)\,dx &= a^{-1} \operatorname{arctg} (\operatorname{sh} (ax)) + C \\
  \int \operatorname{csch} (ax)\,dx &= a^{-1} \ln \left( \operatorname{th} \left( \frac{ax}{2} \right) \right) + C
\end{align}

:\begin{align}
   \int {\frac{du}{\sqrt{a^2 + u^2}}} & = \operatorname{sh} ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C \\
   \int {\frac{du}{\sqrt{u^2 - a^2}}} &= \operatorname{ch} ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C \\
   \int {\frac{du}{a^2 - u^2}} & =  a^{-1}\operatorname{th} ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C; u^2  a^2 \\
   \int {\frac{du}{u\sqrt{a^2 - u^2}}} & = -a^{-1}\operatorname{sech}^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C \\
   \int {\frac{du}{u\sqrt{a^2 + u^2}}} & = -a^{-1}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right| + C
\end{align}

kur *C* ir integrēšanas konstante.

## Funkciju izvirzījumi
Funkciju izvirzījumi Teilora rindā:

:\operatorname{sh} x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

:\operatorname{ch} x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}

:\begin{align}

                   \operatorname{th} x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | 

where

:B_n \, ir *n*-tais Bernulli skaitlis
:E_n \, ir *n*-tais Eilera skaitlis

## Skatīt arī
* e (konstante)

## Ārējās saites
* ''Encyclopedia of Mathematics'' ieraksts
* ''MathWorld'' ieraksts