Stoka-Vatsona modelis

**Stoka-Vatsona modelis** - ir ekonometriskais faktoru modelis. Modelis ļauj pētniekam izmantot lielu statistisko informāciju ekonomisko kopsakarību pētīšanā un prognozēšanā.
Faktoru modeļu galvenā ideja ir reducēt lielo mainīgo skaitu *N* faktoru skaitā *q* tā, lai *q* būtu daudz mazāks nekā mainīgo skaits *N (q << N)*. 

Stoka-Vatsona faktoru modeļa īpašība ir tā, ka ar noteiktiem pieņēmumiem par faktoru lagu struktūru un to parametriem, dinamisko faktoru modeli ir iespējams pārveidot statiskā veidā un līdz ar to statisko faktoru modeli novērtēt ar galveno komponenšu metodi.

## Statistiskais modelis
Katru mainīgo *i = 1,…, N* no datu kopa *X<sub>t</sub>* faktoru analīzē var izteikt kā divu nenovērojamo ortogonālo elementu summu: kopējā komponente un idiosinkratiskā komponente (1.1). Kopējā komponente tiek izskaidrota ar izvēlētiem faktoriem q, savukārt idiosinkrātiskā komponente ir katra mainīga specifiskais šoks:

:\mathbf{X_it = {\lambda}_i(L) f_t + e_it}, \mathbf{(1.1)}

kur, Xit = (X1t, X2t, …, XNt)' vektors ar dimensiju (N × 1), ft ir (q × 1) faktoru vektors, λi(L) ir (1 × q) faktoru svaru laga operators, eit ir idiosinkrātisko komponenšu kļūda un eit = (e1t, e2t, …, ent)' ir (N × 1) vektors. Atzīmēsim, ka vienādojums (1.1) ir dinamiskā faktoru modeļa pieraksts, jo tiek izmantotas faktoru novēlotās vērtības un parametri ir atkarīgi no laika.

Sekojot Dž. Stoka un M. Vatsona metodoloģijai, mēs pieņemam modeļa formu vienādojumos (1.1) un (1.2), lai prognozētu y laika rindu:

:\mathbf{y_{t+j} = {\beta}_i(L) f_t + {\gamma}_i(L) y_t + e_{t+j}}, \mathbf{(1.2)}

kur yt+j ir j-tā perioda prognozējamā skalāra vērtība, laika periodam t, kur t=1,…, T, un β(L), γ(L) ir laga operatori; E(εt+j | Xt, ft-1, yt-1, Xt-1, ft-2, yt-2, …) = 0. 

Galvenā problēma faktoru modeļu novērtēšanā ir faktoru skaita q noteikšana no datu kopas Xt. Tāpēc, lai novērtētu modeli, parasti pieņem galīgas kārtas polinomus un pārformulē modeli statiskā formā vienādojumos (1.3) un (1.4) Dreger C., un Schumacher C., (2002) parāda pilno matemātisko izvedumu.

:\mathbf{\beta(L) = \sum_{j=0}^p \beta_j L^j     },

:\mathbf{\gamma(L) = \sum_{j=0}^p \gamma_j L^j     },

:\mathbf{\lambda(L) = \sum_{j=0}^p \lambda_{ij} L^j     },
 

Galīga polinoma noteikšana ļauj modeli pārrakstīt šādā formā:

:\mathbf{X_it = \Lambda F_t + e_t}, \mathbf{(1.3)}

:\mathbf{y_{t+j} = \beta' F_t + \gamma (L) y_t + u_{t+j}}, \mathbf{(1.4)}

kur Ft = (ft', ft-1', ft-2', ...,ft-p')' ir (r × 1) dimensiju vektors ar r = q(p+1), kurš satur visus faktorus un to novēlotās vērtības, Λ ir (N × r) faktoru svaru matrica, kur i—tā rinda ir (λi0,λi1, λi2,...,λip) un β = (β0, β1, β2,..., βp)' ir (1 × r) dimensiju vektori, bet et ir (N × 1) idiosinkrātiskās kļūdas.

Statiskā modeļa priekšrocība ir tā, ka to var novērtēt, izmantojot galveno komponenšu metodi. Ar galveno komponenšu metodes palīdzību mainīgo kopas dimensija N tiek reducēta uz r dimensiju (r ≤ N). Galveno komponenšu analīze risināma ar īpašvektoru palīdzību, kuri atbilst r lielākajām, dilstošajā secībā sakārtotajām īpašvērtībām.

Savukārt laika rindas prognozēšana, tātad definēsim prognozējamas laika rindas vienādojumu:

:\mathbf{y_{t+1}^1 = \alpha_1 + \beta_1' (L) F_t + \gamma_1 (L) y_t}, \mathbf{(1.5)}

:\mathbf{y_{t+h}^h = \alpha_h + \beta_h' (L) F_t + \gamma_h (L) y_t}, \mathbf{(1.6)}

Vienādojums (1.5) parāda sakarību y vērtības prognozēšanai vienam periodam uz priekšu, bet vienādojumā (1.6) tiek paradīta sakarība h-periodu prognozēšanai uz priekšu. Prognozējamā yt+h vērtība ir atkarīga no faktoru kopas Ft un no pašas yt laga vērtībām.

## Atsauces