Gella-Manna matricas

**Gella-Manna matricas** ir Pauli matricu vispārinājums 3 × 3 matricām. Tās ir nosauktas par godu amerikāņu fiziķim Marijam Gellam-Mannam, kurš tās izmantoja, lai aprakstītu stiprajai mijiedarbībai piemītošo simetriju. Tās tiek izmantotas, lai aprakstītu kvarku modeli. Mazāk tās tiek izmantotas kvantu hromodinamikā. Kvantu skaitļošanā tās tiek lietotas, lai aprakstītu kutritu jeb trīs līmeņu kvantu sistēmu.

Gella-Manna matricas ir šādas:
:
\begin{align}
  \lambda_1 &= \begin{pmatrix} 0 &  1 &  0 \\ 1 &  0 &  0 \\ 0 & 0 &  0 \end{pmatrix} &
  \lambda_2 &= \begin{pmatrix} 0 & -i &  0 \\ i &  0 &  0 \\ 0 & 0 &  0 \end{pmatrix} &
  \lambda_3 &= \begin{pmatrix} 1 &  0 &  0 \\ 0 & -1 &  0 \\ 0 & 0 &  0 \end{pmatrix} \\
  \lambda_4 &= \begin{pmatrix} 0 &  0 &  1 \\ 0 &  0 &  0 \\ 1 & 0 &  0 \end{pmatrix} &
  \lambda_5 &= \begin{pmatrix} 0 &  0 & -i \\ 0 &  0 &  0 \\ i & 0 &  0 \end{pmatrix} \\
  \lambda_6 &= \begin{pmatrix} 0 &  0 &  0 \\ 0 &  0 &  1 \\ 0 & 1 &  0 \end{pmatrix} &
  \lambda_7 &= \begin{pmatrix} 0 &  0 &  0 \\ 0 &  0 & -i \\ 0 & i &  0 \end{pmatrix} &
  \lambda_8 &= \frac{1}{\sqrt{3}}
               \begin{pmatrix} 1 &  0 &  0 \\ 0 &  1 &  0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}
\end{align}

Pirmajā, otrajā un trešajā kolonnā esošās matricas atgādina attiecīgi Pauli *X*, *Y* un *Z* matricas.

## Īpašības

### Algebriskās īpašības

Gella-Manna matricu algebriskās īpašības ir uzskaitītas zemāk dotajā tabulā.

Atšķirība no Pauli matricām, Gella-Manna matricas nav unitāras.

### Bāze

Gella-Manna matricas veido maksimālu lineāri neatkarīgu (gan pār reālajiem, gan kompleksajiem skaitļiem) 3 × 3 Ermita matricu kopu jeb bāzi. Tas nozīmē, ka

* jebkuru 3 × 3 Ermita matricu var viennozīmīgi izteikt kā lineāru kombināciju ar *reāliem* koeficientiem no Gella-Manna matricām;
* jebkuru 3 × 3 kompleksu matricu var viennozīmīgi izteikt kā lineāru kombināciju ar *kompleksiem* koeficientiem no Gella-Manna matricām.

Gella-Manna matricu veidotā bāze ir ortogonāla attiecībā pret Hilberta-Šmita skalāro reizinājumu \langle A, B \rangle = \operatorname{Tr}(A^\dagger B):
:
  \operatorname{Tr}(\lambda_j^\dagger \lambda_k) = 2\delta_{jk},

kur "Tr" apzīmē matricas pēdu (diagonāles elementu summu) un \delta_{jk}\, ir Kronekera delta. Koeficients 1/√3 matricas *λ*8 priekšā ir izvēlēts tā, lai izpildītos šī sakarība. Ja katru no Gella-Manna matricām izdala ar √2, tad iegūtās matricas veido ortonormētu bāzi.

### Komutāciju sakarības

Divu Gella-Manna matricu komutatoru [λ*j*, λ*k*] = λ*j*λ*k* − λ*k*λ*j* var izteikt kā lineāru kombināciju no Gella-Manna matricām:

:
  [\lambda_j, \lambda_k] = 2 i \sum_{l=1}^8 f_{jkl} \lambda_l,


kur koeficienti *f<sub>jkl</sub>* ir pilnīgi antisimetriski (*f<sub>jkl</sub>* = −*f<sub>kjl</sub>* utt.). Nenulles koeficientu vērtības ir dotas tabulā. Piemēram, *f*132 = −*f*123 = −1.

Līdzīga sakarība ir spēkā arī Gella-Manna matricu antikomutatoram:

:
  \{\lambda_j, \lambda_k\} = \frac{4}{3} \delta_{jk} I + 2 \sum_{l=1}^8 d_{jkl} \lambda_l,


kur \delta_{jk}\, ir Kronekera delta, *I* ir 3 × 3 vienības matrica un koeficienti *d<sub>jkl</sub>* ir pilnīgi simetriski (*d<sub>jkl</sub>* = *d<sub>kjl</sub>* utt.). Nenulles koeficientu vērtības ir dotas tabulā. Piemēram, *d*427 = *d*247 = −1/2.

## Skatīt arī

* Pauli matricas

## Papildu literatūra

* , 4.1 The generators of the *su*(3)-algebra, 49. lpp..
* , 7.1 The Gell-Mann matrices, 98. lpp.
* , 7. The SU(3) Symmetry, 195. lpp.
* .

## Atsauces