Teilora rinda

thumb|255x255px|Pieaugot atvasināto polinomu skaitam, Teilora rinda tuvojas oriģinālajai funkcijai. Attēlā redzams, kā var aptuvenot ''sin(x)'' funkciju, izmantojot 1., 3.., 5., 7., 9., 11., 13. pakāpes polinomus, kad x = 0
thumb|300x300px|Teilora rinda, kas izvirzīta ap punktu <math>x=0 </math> tuvojas eksponenfunkcijas grafikam
**Teilora rinda** matemātikā ir funkcijai, kam punktā *a* eksistē visu kārtu atvasinājumi, piekārtota rinda, kuras parciālsummas ir polinomi. Šo rindu 1715. gadā publicējis angļu matemātiķis Bruks Teilors (*Brook Taylor*).

Teilora rindu pieraksta šādi:

 \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n} = f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f*(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots,</math>

kur <math>n! </math> ir *n* [[faktoriāls]] un <math>f^{(n)}(a) </math> ir funkcijas <math>f </math> *n*-tās kārtas [[atvasinājums]] punktā *a*.

Gadījumā, ja *a = 0*, tad šo rindu sauc par *'Maklorena rindu** (nosaukta skotu matemātiķa [[Kolins Maklorens|Kolina Maklorena]] (''Colin Maclaurin'') vārdā).

== Funkciju izvirzījumi pakāpju rindās ==
Pieņemsim, ka eksistē pakāpju rinda <math>\sum^{\infin}_{n=0} a_n x^n </math>, kas intervālā <math>x \in  (-R, R) </math> konverģē uz funkciju <math>f(x) </math>. Tad iespējams pierādīt, ka šīs rindas koeficienti ir <math>a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} (n = 0,1,2,... ) </math>.

=== Pierādījuma skice ===
Izrakstot rindu:

<math>f(x) = \sum^{\infin}_{n=0} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ... + a_n x^n + ... </math>, ievietojot <math>x=0 </math> iegūst <math>f(0) = a_0 </math>

<math>f'(x) = a_1 + 2 a_2 x + 3 a_3 x^2 + ... + n a_n x^{n-1 }+ ... </math>, ievietojot <math>x=0 </math> iegūst <math>f'(0) = a_1 </math>

Šo procesu turpinot iegūst citas atvasinājumu vērtības: <math>f''(0) = 2 a_2 </math>, <math>f**(0) = 3 \cdot 2 \cdot a_3 , f^{(4)}(0) = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot a_4 , f^{(n)}(0) = n \cdot (n-1) \cdot ...\cdot 2 \cdot 1 \cdot a_n , līdz ar to

a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} (n = 0,1,2,... ) .

Šo izvirzījumu rindā sauc par Teilora rindu ap punktu x=0 , ir iespējams izvirzīt rindu ap citiem punktiem, bet šis pierādījums to neapskata.

## Dažu funkciju izvirzījumi Maklorena rindā
Eksponentfunkcija:
:e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\quad\text{ visiem } x\!

Naturāllogaritms:
:\ln(1-x) = - \sum^{\infin}_{n=1} \frac{x^n}n\quad\text{, kur } |x| 

:\ln(1+x) = \sum^\infin_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n\quad\text{, kur } |x| 

Ģeometriskā rinda:

:\frac{1}{1-x} = \sum^\infin_{n=0} x^n\quad\text{, kur }|x| 

Binomiālā rinda:

:(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad\text{ visiem }|x| 

ar vispārinātiem binomiālkoeficientiem

: {\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}

Trigonometriskās funkcijas:

:\sin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\quad\text{ visiem } x\!

:\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\quad\text{ visiem } x\!

:\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots\quad\text{, kur }|x| 

:\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\text{, kur }|x| 

:\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\text{, kur }|x| \le 1\!

:\arccos x ={\pi\over 2}-\arcsin x={\pi\over 2}- \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\text{, kur }|x| \le 1\!

:\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\text{, kur }|x| \le 1, x\not=\pm i\!

Hiperboliskās funkcijas:

:\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots\quad\text{ visiem } x\!

:\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\quad\text{ visiem } x\!

:\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} = x-\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5-\frac{17}{315}x^7+\cdots \quad\text{, kur }|x| 

:\mathrm{arcsinh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\text{, kur }|x| \le 1\!

:\mathrm{arctanh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \quad\text{, kur }|x| \le 1, x\not=\pm 1\!

## Atsauces