Polārā koordinātu sistēma

thumb|200px|Polārās koordinātas, kurās norādīti dažu leņķu lielumi.

**Polārā koordinātu sistēma** ir divdimensiju koordinātu sistēma, kur katra punkta atrašanās vietu plaknē nosaka leņķa (*φ* vai *θ*) lielums un attālums (*r*) no sākumpunkta. Polārā koordinātu sistēma ir noderīga situācijās, kad attiecība starp divām vietām ir viegli nosakāma ar leņķu un attālumu palīdzību. Atšķirībā no daudz biežāk izmantotās Dekarta koordinātu sistēmas, šajā koordinātu sistēmā ir jāizmanto trigonometrija.

## Vēsture
Leņķa un rādiusa jēdzienu izmantoja senie ļaudis pirmajā tūkstošgadē pirms mūsu ēras. Grieķu astronoms un astrologs *[[Hiparhs|Hipparchus]]* (190 - 120 BC) izveidoja tabulu par hordu funkcijām, sniedzot hordu garumu katram leņķim. Ir atsauces par to, ka viņa izveidotā tabula ir izmantota, izveidojot zvaigznāju pozīciju. Rakstā "*On Spirals*"  Arhimēds apraksta Arhimēda spirāli, funkcija, kuras rādiuss ir atkarīgs no leņķa. Tomēr grieķu darbs neattiecās uz pilnīgu koordinātu sistēmu. No 8. gadsimta astronomi izstrādāja metodes, lai tuvināti aprēķinātu virzienu uz Meku un attālumu no jebkuras vietas uz Zemes.

No 9. gadsimta tika izmantota sfēriskā trigonometrija un karšu projekciju metodes, lai precīzāk noteiktu šos lielumus. Aprēķins būtībā ir Mekas ekvatoriskās polārās koordinātas (t.i. garuma un platuma) pārvēršana polārajās koordinātās (t.i. *[[kibla|qibla]]* un attālums) attiecībā pret sistēmu, kuras  meridiāns ir lielais aplis caur noteikto vietu un Zemes poliem, un polāro līniju asis iet caur atrašanās vietu un tās pretējo polu punktu.

Pastāv aprēķini par polāro koordinātu ieviešanu kā daļu no formālās koordinātu sistēmas. Pilnu priekšmeta vēsturi apraksta Hārvardas profesors *Julian Lowell Coolidge's* "Polāro koordinātu izcelsme". *Grégoire de Saint-Vincent* un *[[Bonaventūra Kavaljēri|Bonaventura Cavalieri]]* 17. gadsimta vidū patstāvīgi ieviesa jēdzienus. *Saint - Vincent* rakstīja par viņiem privāti 1625. gadā un publicēja savu darbu 1647. gadā, kamēr *[[Bonaventūra Kavaljēri|Cavalieri]]* publicēja labotu viņa versiju - 1635. gadā. *[[Bonaventūra Kavaljēri|Cavalieri]]* pirmie lietoja polārās koordinātas, lai atrisinātu Arhimēda spirāles problēmu. Blēzs Paskāls izmantoja polārās koordinātas, lai aprēķinātu parabolisko loku garumu.

Ar metodi *Fluxions* (uzrakstīta 1671. gadā un publicēta 1736. gadā) Īzaks Ņūtons pārbaudīja transformāciju starp polārajām koordinātām, ko viņš dēvē par "Septītā veida; Par spirāli", un deviņas citas koordinātu sistēmas.  Žurnālā "*Acta Eruditorum*" (1691) Jākobs Bernulli izmantoja sistēmu ar punktu uz līnijas, ko dēvē par polu un polāro asi. Koordinātas norādīja attālumus no pola un leņķa, un no polārām asīm. Bernulli darbs tika pagarināts, lai atrastu  līkņu izliekuma rādiusu, kas izteikts šajās koordinātās.

Polāro koordinātu termins ir attiecināms uz *Gregorio Fontana* un to izmantoja 18. gadsimta Itāļu rakstnieki. Termins parādījās angļu  *George Peacook's* 1816 tulkojumā *Lacroix's* "Diferenciālais un integrālais aprēķins". *[[Aleksis Klero]]* bija pirmais, kas domāja par polārajām koordinātām 3 dimensijās, un Leonards Eilers bija pirmais, kurš to attīstīja.

## Koordinātu apzīmēšana
Radiālo koordinātu bieži apzīmē ar r vai ρ, un leņķisko koordinātu ar φ, θ vai t. Leņķiskās koordinātas tiek norādītas kā φ pēc ISO standarta 31-11. Tomēr matemātiskajā literatūrā leņķi bieži apzīmē ar θ, nevis φ. Leņķi ar polāro apzīmējumu parasti var izteikt vai nu grādos vai radiānos (2π rad ir vienāds ar 360°). Grādus tradicionāli lieto navigācijā, mērīšanā, un daudzās lietišķajās disciplīnās, bet radiānus biežāk izmanto matemātikā un matemātiskajā fizikā.

Leņķis φ ir definēts, lai sāktu 0° no atskaites virziena un palielinātu rotācijas režīmu pretēji pulksteņrādītāja virzienam vai pulksteņrādītāja virzienam. Matemātikā, piemēram, atskaites virziens parasti tiek nofiksēts kā stars no pola horizontāli pa labi, un polāro leņķi palielina līdz pozitīvam leņķim attiecībā uz pretējo pulksteņrādītāja apgriezieniem, savukārt  0° -  virsma tiek veidota vertikāli uz augšu un leņķa palielinājums par pulksteņrādītāja apgriezieniem. Polāri leņķi samazinās pret negatīvām vērtībām rotācijas virzienā attiecīgi pretējos virzienos.

## Polāro koordinātu unikalitāte
Jebkura skaita pilnīgu pagriezienu (360°) pievienošana leņķa koordinātei nemaina attiecīgo virzienu. Tāpat jebkuras polārās koordinātu koordinātes ir identiskas ar negatīvo radiālo komponentu un pretējo virzienu (pie polārā leņķa pievienojot 180°). Tāpēc vienu un to pašu punktu (r, φ) var izteikt ar bezgalīgu skaitu dažādu polāro koordinātu

 un , kur n ir patvaļīgs vesels skaitlis. Turklāt, polus var izteikt kā (0,&nbsp;*φ*) jebkuram leņķim *φ.*

Ja vienam punktam, izņemot polam, ir nepieciešams unikāls attēlojums, tad r ir jāierobežo ar pozitīviem skaitļiem (r > 0) un φ  intervālu [0, 360°) vai (-180 °, 180°] (radiānos, [0, 2 π) vai (- π,  π]).  Vēl viena konvencija, ir pret inverso funkciju, ir atļautas patvaļīgas reālas vērtības un ierobežojums, kas  ierobežo polāro leņķi līdz (-90°,  90°). Visos gadījumos ir jāizvēlas polu leņķis (r = 0), piemēram, φ  = 0.

## Pāreja uz taisnleņķa koordinātām (un atpakaļ)
right|thumb|250px|Saistība starp polārajām un Dekarta koordinātām
Pāreja no polārajām koordinātām uz taisnleņķa koordinātām:
:x = r \cos \theta, \, 
:y = r \sin \theta. \,

Pāreja no taisnleņķa koordinātām uz polārajām koordinātām ir neviennozīmīgāka, jo ja *r*=0, punkta koordinātas nav atkarīgas no leņķa *θ* (koordinātu sākumpunktā). Vēl, leņķis var pieņemt jebkādu vērtību, taču punkta atrašanās vieta ik pēc 2*π* atkārtojas.
:Attālumu *r* var iegūt pēc Pitagora teorēmas: r2 = x2 + y2, r = \sqrt{x^2 + y^2} \quad
:Ja leņķis *θ* ir definēts intervālā [0, 2*π*], tad:
:\theta = 
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x})        & \mbox{ja } x > 0 \mbox{ un } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + 2\pi & \mbox{ja } x > 0 \mbox{ un } y  0\\
\frac{3\pi}{2}              & \mbox{ja } x = 0 \mbox{ un } y 
:Ja leņķis *θ* ir definēts intervālā [−*π*, *π*], tad:
:\theta = 
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{ja } x > 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{ja } x  0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{ja } x = 0 \mbox{ un } y 
:Ja r tiek aprēķināts vispirms, tad šo formulu φ var norādīt vienkāršāk, izmantojot standarta arccos funkciju:\varphi = \begin{cases}
   \arccos\left(\frac{x}{r}\right) & \mbox{ja } y \ge 0 \mbox{ un } r \neq 0 \\
  -\arccos\left(\frac{x}{r}\right) & \mbox{ja } y 

## Polārās līknes vienādojums
thumb|Dekarta vienības līkne var tikt novietota polāro koordinātu veidā. Šajā animācijā <math>{\displaystyle y=\sin(6x)+2}  </math> ir piesaistīta uz '''<math>r = \sin (6 \varphi) + 2</math>'''
Vienādojums, kas definē algebrisko līkni, kas izteikts polāro koordinātu veidā, ir pazīstams kā polārais vienādojums. Daudzos gadījumos šādu vienādojumu var vienkārši norādīt, definējot r kā funkciju no *φ.* Iegūtā līkne sastāv no punktiem (*r*(*φ*),&nbsp;*φ*) un to var uzskatīt par polāro funkciju r grafiku. Jāņem vērā, ka atšķirībā no Dekarta koordinātēm neatkarīgais mainīgais *φ.*

Dažādus simetrijas veidus var izsecināt no polāro funkciju r vienādojuma. Ja  vienādojums būs simetrisks pret horizontālo (0°/180°) staru, ja  tas būs simetrisks vertikālajā (90°/270°) starā un, ja , tas būtu rotējoši simetrisks ar α pulksteņrādītāja virzienā un pretēji pulksteņrādītāja kustības virzienam.
thumb|Aplis ar vienādojumu r(φ) = 1
Ņemot vērā polāro koordinātu sistēmas cirkulāro raksturu, daudzas līknes var raksturot ar vienkāršu polāro vienādojumu, savukārt Dekarta formas ir daudz sarežģītākas. Starp pazīstamākajām līknēm ir polārā roze, Arhimēda spirāle, kardioīda, *Lemniscate of Bernoulli* un *limacon*.

Aplis, līnijas un polārā roze ir saprotamākas, ja nav ierobežojumu līknes domēnam un diapazonam.

### Aplis
Vispārējais vienādojums riņķim ar centru  un rādiusu a  irr^2 - 2 r r_0 \cos(\varphi - \gamma) + r_0^2 = a^2To var vienkāršot dažādos veidos, lai atbilstu konkrētākiem gadījumiem, piemēram vienādojumu r(\varphi)=a riņķim ar centru un rādiusu a. Kad 0 = , vienādojumu var rakstīt formā: r = 2 a\cos(\varphi - \gamma)Vispārīgā gadījumā vienādojumu var atrisināt: r = r_0 \cos(\varphi - \gamma) + \sqrt{a^2 - r_0^2 \sin^2(\varphi - \gamma)}risinājums ar mīnusa zīmi priekša kvadrātsaknei dod tādu pašu līkni.

### Līnija
Radiālas līnijas (tās, kas stiepjas pa polu) ir apzīmētas ar vienādojumu
thumb|Polāra roze ar vienādojumu r(φ) = 2sin(4φ)
\varphi = \gamma ,

kur  ɣ ir līnijas pacēluma leņķis, tas ir,  ɣ= arctan(m), kur m ir līnijas slīpums Dekarta koordinātu sistēmā. Ne radiāla līnija, kas šķērso radiālo līniju  perpendikulāri punktā (*r<sub>0</sub>*, ɣ) un tam ir vienādojums: r(\varphi) = {r_0}\sec(\varphi-\gamma) 

Citādi norādīts (*r<sub>0</sub>*, ɣ) punkts, kurā pieskaršanas šķērso iedomātu apli ar rādiusu *r<sub>0.</sub>*

### Polārā roze
Polārā roze ir matemātiska līkne, kas izskatās kā ziedlapots zieds, un to var izteikt kā vienkāršu polāro vienādojumu:r(\varphi) = a\cos\left(k\varphi + \gamma_0\right)par jebkuru konstantu ɣ0 (ieskaitot 0).  Jāņem vērā, ka šie vienādojumi nekad nenosaka rožu ar 2, 6, 10, 14 utt. ziedlapiņu skaitu. Mainīgais apzīmē garumu ziedlapiņām rožu.

### Arhimēda spirāle
Arhimēda spirāle ir spirālveida līkne, ko atklāja Arhimēds, un to var izteikt kā vienkāršu polāro vienādojumu:

r(\varphi) = a+b\varphi. 
thumb|Viens Arhimēda spirāles zars ar vienādojumu r(φ) = φ/2π, kas ir 0<φ<6π
Parametra a maiņa pagriež spirāli, bet b nosaka attālumu starp spirāles vijumiem, kas noteiktai spirālei vienmēr ir nemainīgs. Arhimēda spirālei ir divi zari, viens - φ > 0 un viens - φ r = { \ell\over {1 - e \cos \varphi}},

kur e ir ekscentriskums,

\ellir *semi-latus rectum* (perpendikulārais attālums no galvenās ass līdz līknei).
thumb|Elipse
Ja e > 1 , šis vienādojums definē hiperbolu,

ja e = 1 , tas definē parabolu un,

ja e {\displaystyle r=f(\theta )} un {\displaystyle r=g(\theta )}  ir iespējami trīs veidu krustojumi:

# Ja vienādojumiem  {\displaystyle r=f(\theta )} un {\displaystyle r=g(\theta )}  katram vismaz ir viens risinājums.
# Visi punkti {\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}  , kur {\displaystyle \theta _{i}}  
ir vienādojuma atrisinājums {\displaystyle f(\theta +2k\pi )=g(\theta )}  un, kur {\displaystyle k}  ir vesels skaitlis.
# Visi punkti {\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}  , kur {\displaystyle \theta _{i}}  
ir vienādojuma atrisinājums {\displaystyle f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )}  un, kur {\displaystyle k}   ir vesels skaitlis.

## Kompleksie skaitļi
thumb|Kompleksā plaknē uzzīmēta skaitļu z  ilustrācija.
Katru kompleksu skaitli var attēlot kā punktu kompleksa plaknē, un tāpēc to var izteikt, norādot vai nu punktus, kas ir Dekarta koordinātas (ko sauc par taisnstūrveida vai Dekarta formu), vai arī punktveida polāro koordinātu (sauktas par polāro formu). Kompleksa skaitli z var attēlot taisnstūra formā kā

{\displaystyle z=x+iy}  ,

kur i ir imaginārā vienība, vai alternatīvi var tikt rakstīts polārā veidā (caur pārveidošanas formulām kas dotas iepriekš), kā

{\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}  

un var izteikt ka:

{\displaystyle z=re^{i\varphi }}  

kur e ir Eilera skaitlis , kas ir līdzvērtīgs, kā parādīts Eilera formulā.
alt=|left|thumb|Komplekso skaitļu plakne, izmantojot Eilera formulu
(Ievērojot, ka šī formula, tāpat kā visi, kas saistīti ar leņķu eksponenciāliem elementiem, pieļauj, ka leņķis φ ir izteikts radiānos.) Lai varētu pārveidot no kompleksa skaitļa taisnstūra un polārās formas, var izmantot iepriekš norādītās konversijas formulas.

Par darbību reizināšanu, dalīšanu un kāpināšanu ar kompleksu skaitļu, tad parasti ir daudz vienkāršāk strādāt ar kompleksiem skaitļiem izsakot polārā veidā, nevis taisnstūra formā. No likumiem:

**Reizināšana:**

{\displaystyle r_{0}e^{i\varphi _{0}}\,r_{1}e^{i\varphi _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i\left(\varphi _{0}+\varphi _{1}\right)}}  

**Dalīšana:**

{\displaystyle {\frac {r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{r_{1}e^{i\varphi _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}}  

**Kāpināšana (De Moivre's formula)**

{\displaystyle \left(re^{i\varphi }\right)^{n}=r^{n}e^{in\varphi }}  

## Aprēķins
Aprēķinus var izmantot vienādojumiem, kas izteikti polāro koordinātu veidā.

Leņķiskās koordinātas φ izteiktas radiānos, kas ir piemērotākā izvēle veicot aprēķinus.

### Diferenciāļa aprēķins
Izmantojot  un , var iegūt attiecību starp atvasinājumiem Dekarta un polāro koordinātu veidā. Par noteiktu funkciju, *u*(*x*,*y*), no tā izriet, ka: (aprēķina kopējo atvasinājumu summu)

{\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {\partial u}{\partial r}}&=r{\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial r}}+r{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial r}},\\[2pt]{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}&={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \varphi }},\end{aligned}}}  


vai

{\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {\partial u}{\partial r}}&=r{\frac {\partial u}{\partial x}}\cos \varphi +r{\frac {\partial u}{\partial y}}\sin \varphi =x{\frac {\partial u}{\partial x}}+y{\frac {\partial u}{\partial y}},\\[2pt]{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}r\sin \varphi +{\frac {\partial u}{\partial y}}r\cos \varphi =-y{\frac {\partial u}{\partial x}}+x{\frac {\partial u}{\partial y}}\end{aligned}}}  

Tāpēc var iegūt šādas formulas:

{\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {\partial }{\partial r}}&=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial \varphi }}&=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}\end{aligned}}}  

Izmantojot apgriezto koordinātu transformāciju, starp atvasinājumiem var iegūt analoģisku savstarpēju attiecību. Ņemot vērā funkciju *u*(*r*,*φ*), no tā izriet, ka:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\\[2pt]{\frac {\partial u}{\partial y}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\end{aligned}}}  

vai

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }},\\[2pt]{\frac {\partial u}{\partial y}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}\end{aligned}}}    

Tāpēc var iegūt šādas formulas:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}&=\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial y}}&=\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\end{aligned}}}    

Lai noteiktu pieskares līniju Dekarta slīpumu pret polāro līkni *r*(*φ)* jebkurā konkrētā punktā, līkni vispirms izsaka kā parametrisko vienādojumu sistēmu:

{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\varphi )\cos \varphi \\y&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}    

Diferencē abas vienādojuma puses attiecībā pret *φ:*

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \\[2pt]{\frac {dy}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi \end{aligned}}}    

Otro vienādojumu izdalot ar pirmo iegūst pieskares līnijas Dekarta slīpuma punktā :

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}}    

### Integrālais aprēķins (loka garums)
Loka garums (līnijas segmenta garums), ko definē polārā funkcija, tiek noteikts ar integrāciju r (φ).  L apzīmē šo loka garumu, sākot no punktiem A līdz punktam B, kur šiem punktiem atbilst φ = a un φ = b tā, ka 0 L = \int_a^b \sqrt{ \left[r(\varphi)\right]^2 + \left[ {\tfrac{dr(\varphi) }{ d\varphi }} \right] ^2 } d\varphi

### Integrālais aprēķins (apgabals)
thumb|Integrācijas apgabals R, ko ierobežo līkne r(φ), un stari  φ = a un φ = b
Apzīmē R apgabalu, ko ierobežo līkne r(φ) un stari φ = a un φ = b, kur . Tad R apgabalu var aprēķināt: \frac12\int_a^b \left[r(\varphi)\right]^2\, d\varphiŠo rezultātu var atrast šādi:
thumb|Apgabals R ir sadalīts n sektoros (šajā gadījumā n = 5)
Pirmkārt, intervāls [a,b] tiek sadalīts n daļās, kur n ir patvaļīgs pozitīvs vesels skaitlis. Tādēļ Δ*φ,* katrs daļas garums ir vienās ar  (kopējais intervāla garums), dala ar n. Katrai daļai *i* = 1, 2, …, *n*, piekārto *φ<sub>i,</sub>* lai būtu apakš intervāli viduspunktiem un tiktu veidoti sektori ar centru, rādiusu *r*(*φ<sub>i</sub>*), centrālo leņķi Δ*φ* un loka garumu *r*(*φ<sub>i</sub>*)Δ*φ*. Tāpēc katra sektora apgabals ir vienāds ar:

\left[r(\varphi_i)\right]^2 \pi \cdot \frac{\Delta \varphi}{2\pi} = \frac{1}{2}\left[r(\varphi_i)\right]^2 \Delta \varphi
thumb|Planimetrs, kas mehāniski aprēķina polāros integrāļus
Tādēļ visu sektoru kopējais laukums ir:

{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi }  

Palielinot n daļu skaitu, apgabala tuvināšana turpina uzlaboties. Jo ierobežojuma n → ∞ , summa kļūst par *[[Riemann]]* summu no iepriekšējā integrāļa.

Mehāniskā ierīce, kas aprēķina apgabala integrālos skaitļus, ir planimetrs, kas mēra plaknes figūru laukumu, ņemot vērā, ka tas atkārto integrāciju polāro koordinātu veidā, pievienojot locītavu tā, ka divu elementu savienojums ietekmē Grīna teorēmu, pārveidojot kvadrātu polāro integrāli uz lineāro integrāli.

### Vispārinājums
Izmantojot Dekarta koordinātas, bezgalīgi vienādu laukuma elementu var aprēķināt kā *dA* = *dx* *dy*. Aizstājot vairāku integrāļu nosacījumus, izmantojot citas koordinātes, Jakobiāna determinants ar koordinātu konvertēšanas formulu:

J = \det\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \varphi)}
  = \begin{vmatrix}
      \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\[2pt]
      \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi}
    \end{vmatrix}
  = \begin{vmatrix}
      \cos\varphi & -r\sin\varphi \\
      \sin\varphi &  r\cos\varphi
    \end{vmatrix}
  = r\cos^2\varphi + r\sin^2\varphi = r.
Tāpēc, polāro koordinātu elementus var aizstāt ar:

dA = dx\,dy\ = J\,dr\,d\varphi = r\,dr\,d\varphi


Tagad funkciju, kas norādīta polāro koordinātu veidā var integrēt:

\iint_R f(x, y)\, dA = \int_a^b \int_0^{r(\varphi)} f(r, \varphi)\,r\,dr\,d\varphi

Šeit R ir tāds pats apgabals kā iepriekš, proti, apgabals ko ierobežo līkne *r*(*φ*), un stari *φ* = *a* un *φ* = *b*.

Iepriekš minētā R apgabala formulu iegūst ņemot f indeksa vienādību ar 1. Šis pielietojums veido Gausa integrāli:

 \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx = \sqrt\pi

### Vektoru aprēķināšana
Vektoru aprēķinu var izmantot arī polāro koordinātu gadījumā. Plakanai kustībai \mathbf{r} pozīcijas vektoram ( r cos(φ), r sin(φ)), kur r un φ ir atkarīgi no laika t.

Tiek definēti vienību vektori

\hat{\mathbf{r}} = (\cos(\varphi), \sin(\varphi))

\mathbf{r}virzienā

\hat{\boldsymbol{\varphi}} = (-\sin(\varphi), \cos(\varphi)) = \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{r}} \ ,

kustības plaknē, kas ir perpendikulāra radiālajam virzienam, kur {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}  
 ir vienības vektors.

Tad {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=(x,\ y)=r(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )=r{\hat {\mathbf {r} }}\ ,\\{\dot {\mathbf {r} }}&=\left({\dot {x}},\ {\dot {y}}\right)={\dot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\ ,\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {x}},\ {\ddot {y}}\right)\\&={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )\\&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\varphi }}+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\\&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\;{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\end{aligned}}}  

## Diferenciālā ģeometrija
Mūsdienu terminoloģijā diferenciālo ģeometriju, polārās koordinātas nodrošina  ℝ 2 \ {(0,0)}. Šajās koordinātās Eiklīda metrisko tenzoru nosaka ar: ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2

To var redzēt, mainot mainīgo formulu metriskajam tenzoram vai aprēķinot diferenciālas formas *dx*, *dy* ar  ārējo atvasinājumu 
x= rcos(\theta), y = rsin(\theta) un aizstājot ar Eiklīda metrisko tenzoruds^2 = dx^2 + dy^2. Ortonormēts rāmis saistībā ar šo metriku ir dotae_r = \frac{\partial}{\partial r}, \quad e_\theta = \frac1r \frac{\partial}{\partial \theta},ar divkāršu izteiksmi

e^r = dr, \quad e^\theta = r d\thetaSavienojuma forma attiecībā pret šo rāmi un *Levi-Civitas* savienojumu ievada ar pārveidotu simetrisku matricu 1 formā

\omega^i_j = \begin{pmatrix} 0 & -d\theta \\ d\theta & 0\end{pmatrix}

un līdz ar to  forma \Omega = d\omega + \omega^\omega vienādi izzūd.

## Papildinājumi trīs dimensijās
Eksistē divas trīsdimensiju koordinātu sistēmas, kuru pamatā ir plaknes polāro koordinātu sistēma. Tās ir *cilindriskā koordinātu sistēma* un *sfēriskā koordinātu sistēma*.

### Cilindriskā koordinātu sistēma

Ja polāro koordinātu sistēmu papildina ar vēl vienu koordinātu asi, kas ir perpendikulāra *xy* plaknei, tad iegūst **cilindrisko koordinātu sistēmu**.

### Sfēriskā koordinātu sistēma

Polāro koordinātu sistēmu var papildināt ar vēl vienu leņķi (ar *z* asi) un iegūt **sfērisko koordinātu sistēmu**.

## Pielietojums
Polārās koordinātas ir divdimensiju formā un tādējādi tās var izmantot tikai tad, ja punktu pozīcijas atrodas vienā divdimensiju plaknē. Tie ir vispiemērotākie jebkurā veidā, kurā aplūkotā darbība tiek uzskatīta par sasaistītu ar virzienu un garumu no centra punkta. Piemēram, iepriekš minētie piemēri parāda, cik vienkārši polārie vienādojumi parāda, lai definētu līknes, piemēram, Arhimēda spirāli, kuras vienādojums Dekarta koordinātu sistēmā būtu daudz sarežģītāks. Turklāt daudzas fiziskās sistēmas, piemēram, tās, kas attiecas uz ķermeņiem, kas pārvietojas pa centrālo punktu vai parādās no centrālā punkta, ir vienkāršākas un intuitīvākas par modeli, izmantojot polārās koordinātas. Sākotnējā polārās sistēmas ieviešana bija apļveida un orbitālās kustības izpētes dēļ.

### Pozīcija un navigācija
Polārās koordinātas bieži tiek izmantotas navigācijā, jo galamērķi vai ceļojuma virzienu var sniegt kā leņķi un attālumu no objekta, uz galamērķi. Piemēram, gaisa kuģi izmanto navigāciju polāro koordinātu veidā, nedaudz modificētā versijā. Šajā sistēmā, ko parasti izmanto jebkāda veida navigācijai, 0° staru parasti sauc par 360, un leņķis turpinās pulksteņrādītāja virzienā, nevis pretēji pulksteņa rādītāja virzienam, kā matemātiskajā sistēmā. Pozīcija 360 atbilst magnētiskajam ziemeļu virzienam, bet pozīcijas 90, 180 un 270 atbilst attiecīgi magnētiskajam austrumu, dienvidu un rietumu virzienam.

### Modelēšana
Sistēmas, kas attēlo radiālo simetriju, nodrošina dabiskus iestatījumus polāro koordinātu sistēmai, un centrālais punkts darbojas kā pols. Galvenais šāda pielietojuma piemērs ir gruntsūdeņu plūsmas vienādojums , ko piemēro simetriskām akām. Sistēmas ar radiālo spēku arī ir piemērotas polāro koordinātu sistēmas izmantošanai. Šīs sistēmas ietver gravitācijas laukus, kas pakļauti apgriezto laukumu likumiem, kā arī sistēmām ar punktveida avotiem, piemēram, radio antenām.

Radikāli asimetriskas sistēmas var modelēt arī ar polāro koordinātu palīdzību. Piemēram, mikrofons ir modelis, kas atveido proporcionālu atbildi uz ienākošo skaņu no konkrēta virziena, un šie modeļi var tikt attēloti kā polārās līknes. Standarta kardioīda mikrofona līkne, visbiežāk novietots vienvirziena mikrofons, var tikt attēlots kā r = 0,5 + 0,5 sin(\phi)mērķa projektēšanas frekvencē. Paraugs mainās uz visaptverošu virzienu zemākām frekvencēm.

## Atsauces

## Ārējās saites

* Eric W. Weisstein, Polar Coordinates, MathWorld.
* Polar coordinates , Construction of polar coordinates , PlanetMath.