Divkāršais integrālis

**Divkāršais integrālis** ir noteiktā integrāļa vispārinājums, kad integrēšanas apgabals *D* ir plaknes apgabals, bet zemintegrāļa funkcija ir divu argumentu funkcija *z = f(x, y).* Divkāršo integrāli apzīmē ar simbolu \iint\limits_{(D)} f(x,y)dS.

Ja f(x, y)\geqslant0, divkāršajam integrālim ir noteikta ģeometriskā interpretācija: tas vienāds ar tāda ķermeņa tilpumu *V*, ko ierobežo funkcijas *z = f(x, y)* grafiks (tas ir, virsma ar vienādojumu *z = f(x, y)*), *xy* plaknes apgabals (*D*) un cilindriska virsma ar veidotājām paralēlām *Oz* asij, kas iet caur apgabala (*D*) robežlīniju. Tātad

\iint\limits_{(D)} f(x,y)dS=V.

## Definīcija
Pieņem, ka funkcija *z = f(x, y)* ir definēta *Oxy* apgabalā (*D*):
# Ar brīvi izraudzītām līnijām apgabalu (*D*) sadala *n* daļās *(D<sub>1</sub>), (D<sub>2</sub>), (D<sub>3</sub>), ..., (D<sub>i</sub>), ..., (D<sub>n</sub>).* Šo daļu laukumus apzīmē ar \bigtriangleup S_{1}, \bigtriangleup S_{2},\bigtriangleup S_{3},...,\bigtriangleup S_{i},..., \bigtriangleup S_{n}.
# Katrā apgabala daļā (*D<sub>i</sub>*) brīvi izraugās punktu M_{i}(\xi_{i};\eta_{i})\in(D_{i}), 1\leqslant i \leqslant n.
# Aprēķina funkcijas *z = f(x, y)* vērtības izraudzītajos punktos, tas ir, atrod f(M_{i})=f(\xi_{i};\eta_{i}), 1\leqslant i \leqslant n.
# Atrastās funkcijas vērtības f(\xi_{i};\eta_{i})reizina ar tās apgabala daļas (*D<sub>i</sub>*) laukumu \bigtriangleup S_{i}, kurā atrodas punkts M_{i}, tas ir, aprēķinaf(\xi_{i};\eta_{i})\bigtriangleup S_{i}, 1\leqslant i \leqslant n.
# Aprēķina visu reizinājumu f(\xi_{i};\eta_{i})\bigtriangleup S_{i} summu \sum_{i=1}^n f(\xi_{i};\eta_{i}) \bigtriangleup S_{i}. Šo izteiksmi sauc par funkcijas *z = f(x, y) [[Integrālsumma|integrālsummu]]* apgabalā (*D)*.
# Aprēķina integrālsummas robežu, kad maksimālais apgabala daļas (*D<sub>i</sub>*) diametrs *d<sub>i</sub>* tiecas uz 0 (par daļas (*D<sub>i</sub>*) diametru sauc taisnes nogriezni, kas savieno divus vistālākos (*D<sub>i</sub>*) robežlīnijas punktus), tas ir aprēķina \lim_{d \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_{i};\eta_{i}) \bigtriangleup S_{i}.
Ja šī robeža eksistē neatkarīgi no dalījuma veida daļās un no punktu izvēles katrā daļā, tad šo robežu sauc par funkcijas *z = f(x, y)* divkāršo integrāli apgabalā (*D*) un apzīmē ar simbolu \iint\limits_{(D)} f(x,y)dS vai \iint\limits_{(D)} f(x,y)dxdy.

Tādējādi \lim_{d \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_{i};\eta_{i}) \bigtriangleup S_{i} =\iint\limits_{(D)} f(x,y)dS.

Ja funkcija *z = f(x, y)* apgabalā (*D*) ir nepārtraukta vai gabaliem pārtraukta, tad šai funkcijai eksistē divkāršais integrālis.

## Īpašības

### 1. īpašība
Divkāršais integrālis no funkcijas summas (starpības) ir vienāds ar doto funkciju integrāļu summu (starpību):

\iint\limits_{(D)}( f_{1}(x,y)+ f_{1}(x,y))dxdy =\int\limits_{(D)} f_{1}(x,y)dxdy+\int\limits_{(D)} f_{2}(x,y)dxdy +...+\int\limits_{(D)} f_{n}(x,y)dxdy.

### 2. īpašība
Konstantu reizinātāju *C* var ņemt pirms integrāļa zīmes:

\iint\limits_{(D)} Cf(x,y)dxdy=C\iint\limits_{(D)} f(x,y)dxdy.

### 3. īpašība — Aditivitātes īpašība
Ja apgabals (*D)* sadalīts vairākās daļās, tad integrē pa katru daļu atsevišķi un iegūtos rezultātus saskaita:

\iint\limits_{(D)}f(x,y)dxdy =\int\limits_{(D_{1})} f(x,y)dxdy+\int\limits_{(D_{2})} f(x,y)dxdy+...+\int\limits_{(D_{n})} f(x,y)dxdy.

### 4. īpašība
Ja apgabalā (*D)* funkcija saglabā zīmi f(x,y)\geqslant0 (\leqslant0), tad divkāršajam integrālim ir tāda pati zīme:

\iint\limits_{(D)} f(x,y)dxdy\geqslant0 (\leqslant0).

### 5. īpašība
Ja apgabalā (*D)* visiem (*x, y*) izpildās nevienādība f(x,y)\leqslant g(x,y), tad arī divkāršajiem integrāļiem izpildās šāda nevienādība:

\iint\limits_{(D)} f(x,y)dxdy\leqslant \iint\limits_{(D)} g(x,y)dxdy.

### 6. īpašība — Divkāršā integrāļa novērtējums
Ja funkcijai *z =* *f(x, y)* slēgtā apgabalā (*D*) ir nepārtraukta un *m* ir funkcijas *z =* *f(x, y)* vismazākā vērtība, bet *M* ir funkcijas *z =* *f(x, y)* vislielākā vērtība apgabalā *(D),* tas ir, m \leqslant f(x,y) \leqslant M , tad izpildās nevienādības:

mS\leqslant \iint\limits_{(D)} g(x,y)dxdy\leqslant MS,

kur *S* ir apgabala (*D*) laukums.

### 7. īpašība — Vidējās vērtības teorēma
Ja funkcija *z =* *f(x, y)* slēgtā apgabalā (*D*) ir nepārtraukta, tad apgabalā (*D*) eksistē vismaz viens tāds punkts *P*, ka divkāršais integrālis pa apgabalu (*D*) ir vienāds ar zemintegrāļa funkcijas vērtību šajā punktā, reizinātu ar apgabala (*D*) laukumu *S*:

\iint\limits_{(D)}f(x,y)dxdy =f(P)\centerdot S.

Funkcijas *z =* *f(x, y)* vērtību f(P) sauc par funkcijas *integrālo vidējo vērtību* apgabalā (*D*).

## Aprēķināšana Dekarta koordinātās

Attēls:Regulārs apgabals Oy ass virzienā.jpg|Attēlots apgabals (D) regulārs Oy ass virzienā.
Attēls:Double integral regular Ox.jpg|Attēlots apgabals (D) regulārs Ox ass virzienā.
Apgabalu (*D*) sauc par *regulāru Oy ass virzienā*, ja jebkura taisne, kas paralēla *Oy* asij, šī apgabala robežu krusto ne vairāk kā divos

punktos.

Apgabalu (*D*) sauc par *regulāru Ox ass virzienā*, ja jebkura taisne, kas paralēla *Ox* asij, šī apgabala robežu krusto ne vairāk kā divos punktos.

Divkāršo integrāli Dekarta koordinātu sistēmā reducē uz atkārtotiem integrāļiem. Tos var pierakstīt divos veidos pēc tā, kādā virzienā apgabals (*D*) ir pareizs:

I_{1}=\int\limits_{a}^{b} dx\int\limits_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}f(x,y)dy (regulārs *Oy* ass virzienā)

un

I_{2}=\int\limits_{c}^{d} dy\int\limits_{x_{1}(y)}^{x_{2}(y)}f(x,y)dx (regulārs *Ox* ass virzienā).

Ārējās integrāļa robežas vienmēr ir konstantas.

Ja apgabals nav pareizs ne *Oy,* ne *Ox* ass virzienā*,* tad apgabalu (*D*) sadala atsevišķā daļās, integrē pa katru daļu atsevišķi un iegūtos rezultātus saskaita.

Atkārtotos integrāļus aprēķina šādi:

I_{1}=\int\limits_{a}^{b} dx\int\limits_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}f(x,y)dy=\int\limits_{a}^{b}\biggl(\int\limits_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}f(x,y)dy\biggr) dx=\int\limits_{a}^{b}F_{1} (x,y)|_{y=y_{1}(x)}^{y=y_{2}(x)}dx=\int\limits_{a}^{b}\Biggl(F_{1}(x, y_{2}(x))-F_{1}(x, y_{1}(x))\Biggr)dx=\phi_{1}(x)|_a^b=\phi_{1}(b)-\phi_{1}(a)=K_{1} (iekšējo integrāli rēķina pēc *y*, bet mainīgo *x* uzskata par konstanti)

unI_{2}=\int\limits_{c}^{d} dy\int\limits_{x_{1}(y)}^{x_{2}(y)}f(x,y)dx=\int\limits_{c}^{d}\biggl(\int\limits_{x_{1}(y)}^{x_{2}(y)}f(x,y)dx\biggr) dy=\int\limits_{c}^{d}F_{2} (x,y)|_{x=x_{1}(y)}^{x=x_{2}(y)}dy=\int\limits_{c}^{d}\Biggl(F_{2}(x_{2}(y), y)-F_{2}(x_{1}(y)\Biggr)dx=\phi_{2}(y)|_c^d=\phi_{2}(d)-\phi_{2}(c)=K_{2}

(iekšējo integrāli rēķina pēc x, bet mainīgo y uzskata par konstanti).

## Jaunu mainīgo ieviešana
Divkāršā integrāļa aprēķināšanu var vienkāršot, ieviešot jaunus mainīgos (*u, v*) ar formulām:

\begin{cases} x=x(u,v); \\y=y(u,v). \end{cases}

Iegūst:

\iint\limits_{(D)} f(x,y)dxdy=\iint\limits_{(D)} f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv,

kur J(u,v) ir *[[Jakobi determinants]]* jeb *[[jakobiāns]]:*

J(u,v)=\begin{vmatrix} {\partial x\over \partial u} & {\partial x\over \partial v} \\ {\partial y\over \partial u} &{\partial y\over \partial v} \end{vmatrix}.

## Aprēķināšana polārajās koordinātās
thumb|Polārās un Dekarta koordinātas
Ja integrācijas apgabalu (*D*) ierobežo riņķa līnijas vai arī līniju vienādojumi un zemintegrāļa izteiksme satur kvadrātu summu x^2+y^2, aprēķinus var vienkāršot, pārejot uz polārajām koordinātām (\varphi, r), izmantojot formulas:

\begin{cases} x=r cos\varphi; \\y=r sin \varphi. \end{cases} \Longrightarrow x^2+y^2=r^2

Jakobiānu aprēķina pēc formulas:

J(u,v)=\begin{vmatrix} {\partial x\over \partial u} & {\partial x\over \partial v} \\ {\partial y\over \partial u} &{\partial y\over \partial v} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} cos\varphi & -rsin\varphi \\ sin\varphi & rcos\varphi \end{vmatrix}=r.

Iegūst pārejas formulu no Dekarta uz polārajām koordinātām:

\iint\limits_{(D)} f(x,y)dxdy=\iint\limits_{(D)} f(rcos\varphi, rsin\varphi)rdrd\varphi.

Ja plaknes apgabalu ierobežo stari \varphi=\alpha; \varphi=\beta un līnijas r=r_{1}(\varphi); r=r_{2}(\varphi), iegūst:

\iint\limits_{(D)} f(x,y)dxdy=\int\limits_{\alpha}^{\beta} d\varphi\int\limits_{r_{1}(\varphi)}^{r_{2}(\varphi)} f(rcos\varphi, rsin\varphi)rdr.

## Pielietojumi

### Plaknes figūras laukuma aprēķināšana
Ja zemintegrāļa funkcija f(x,y)=1, tad divkāršais integrālis ir vienāds ar integrēšanas apgabala (*D*) laukumu Dekarta un polārajās koordinātās:

S= \iint \limits _{(D)}dS=\iint \limits _{(D)}dxdy=\iint \limits _{(D)}rdrd\varphi.

### Tilpuma aprēķināšana
thumb|Ķermeni ierobežo funkcijas <math>z=f_{1}(x,y), z=f_{2}(x,y)</math>.
Ja ķermeni ierobežo funkcijas z=f(x,y)grafiks, kur f(x,y)\geqslant 0, *Oxy* plakne un *Oz* asij paralēla cilindriska virsma, kas iet caur apgabala (*D*) robežlīniju. Šāda ķermeņa tilpums ir vienāds ar

V= \iint \limits _{(D)}f(x,y)dxdy.

Ja ķermeni ierobežo *Oz* asij paralēla cilindriska virsma, kas iet caur apgabala (*D*) robežlīniju un divu funkciju z=f_{1}(x,y), z=f_{2}(x,y) grafiki, turklāt 0\leqslant f_{1}(x,y)\leqslant f_{2}(x,y), tad ķermeņa tilpums ir

V= \iint \limits _{(D)}(f_{2}(x,y)-f_{1}(x,y))dxdy.

### Virsmas laukuma aprēķināšana
Ja dota virsma z=f(x,y), kur funkcija z=f(x,y) ir nepārtraukta apgabalā (*D*) — virsmas z=f(x,y) projekcija *Oxy* plaknē — un tai eksistē nepārtraukti parciālie atvasinājumi z'_{x} un z'_{y}. Šīs virsmas laukumu var aprēķināt ar formulu

S= \iint \limits _{(D)}\sqrt{1+(z'_{x})^2+(z'_{y})^2}dxdy.

### Nehomogēnas plakanas plāksnītes masas aprēķināšana
Ja nepārtraukta funkcija \rho(x,y) ir nehomogēnas plakanas plāksnītes (*D*) virsmas blīvuma sadalījums, tad plāksnītes masa ir

m= \iint \limits _{(D)}\rho(x,y)dxdy.

## Atsauces