Sfēriskā kosinusu teorēma

thumb|300x300px|Salīdzinājums starp ģeometrijām:<br> Mazas leņķiskas distances- plaknes ģeometrija.<br>Lielas leņķiskās distances- sfēriskā ģeometrija.
**Sfēriskā kosinusu teorēma** ir teorēma sfēriskajā trigonometrijā, kas saista malas un leņķus sfēriskiem trijstūriem un kalpo kā analogs no parastai kosinusu teorēmai no plaknes ģeometrijas. To izmanto astronomijā, navigācija, ģeodēzijā, u.c.

Priekš vienības sfēras, var iegūt sfērisku trijstūri, ja savienojo visas trīs virsotnes ar lielajiem riņķiem (tie ir riņķi, kuru diametrs sakrīt ar sfēras diametru). Šī trijstūra virsotnes apzīmē ar A, B, C un malas apzīmē ar a, b, c (mala a atrodas pretīm virsotnei A, mala b pretīm virsotnei B un mala c pretīm virsotnei C). Ar šiem apzīmējumiem sfērisko kosinusa teorēmu var pierakstīt ar trigonometriskām funkcijām kā:

\cos(a) = \cos(b) \cos(c) + \sin(b) \sin(c) \cos(A), ko var arī pierakstīt pārējām malām un iegūt:

\begin{align}
\cos(b) = \cos(a) \cos(c) + \sin(a) \sin(c) \cos(B) \\
\cos(c) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b) \cos(C) 
\end{align}

Lai iegūtu sfēriskā trijstūra leņķi, tos var izteikt no šīs sfēriskā kosinusa teorēmas.

## Piemērs ar Zemes distancēm
thumb|200x200px|Apmēram apskatītā situācija- divi punkti un pols veido sfērisko trijstūri.
Var izrēķināt attālumu starp vietām uz Zemes, ja ir zināmas sākuma un galamērķa ģeogrāfiskās koordinātes – ģeogrāfiskais garums \lambda un ģeogrāfiskais platums \varphi. Piemēram, koodrinātes Starptautiskai lidostai "Rīga" ir \lambda_{RIX} \approx 23.97^ \circ, \varphi_{RIX} \approx 56.92^ \circ un koordinātes Berlīnes Brandenburgas lidostai ir \lambda_{BER} \approx 13.50^ \circ , \varphi_{BER} \approx 52.37^ \circ. Var izveidot tādu sfērisku trijstūri, kur divas virsotnes ir sākuma un galamērķis, bet trešā virsotne ir ģeogrāfiskais ziemeļpols, kur \varphi_{Z} = 90^\circ. Šāda konstrukcija ir izdevīga, jo divi punkti un pols var definēt sfērisku trijstūri. Ja tiek meklēta trijstūra leņķiskā distance ir \Delta \theta = a, tad iegūst šādas leņķiskās distances: b = 90^\circ - \varphi_{RIX}, c = 90^\circ - \varphi_{BER} un trijstūra leņķi pie pola A = \lambda_{BER} - \lambda_{RIX}, no kosinusa teorēmas iegūst: \cos(a) = \cos(90^\circ- \varphi_{RIX})\cos(90^\circ - \varphi_{BER}) + \sin(90^\circ- \varphi_{RIX})\sin(90^\circ - \varphi_{BER})\cos(\lambda_{RIX}-\lambda_{BER}) \approx 0.9913

Pieņemot, ka Zeme ir ideāla lode ar konstantu rādiusu R = 6371 \ \text{km}, var iegūt distanci pēc formulas:

l = R \cdot \Delta \theta = 6371 \cdot \arccos(0.9779) \approx 841 \ \text{km}, kas apmēram sakrīt ar avotā piedāvātai vērtībai. Nobīdes varētu radīt apaļošans kļūdas un tas, ka Zemes rādiuss ir mainīgs un nedaudz lielāks pie ekvatora nekā pie poliem.

## Izvedums
thumb|300x300px|Izvedumā apskatītā situācija: caur skalāro reizinājumu izsaka <math>\cos(a) </math>.
Apskatīsim vienības sfēru ar trīs vienības vektoriem \vec{OA}, \ \vec{OB}, \ \vec{OC}, kas no sfēras centra ir vērsti uz katru no trijstūra virsotnēm. Tad, var ieviest tādu dekarta koordinātu sistēmu, ka virsotne A atrodaz uz z-ass, ar koordinātēm \vec{OA} = (0, 0, 1). Citu virsotni B pagriezt tā, lai tās y vērība būtu 0. Šīs virsotnes koordinātes var iegūt, ja apskata riņķi xz-plaknē un izmanto faktu, ka uz vienības sfēras lielā riņķa loka garums sakrīt ar šī loka leņķisko garumu. No tā iegūst: \vec{OB} = (\sin(c), 0, \cos(c)). Nedaudz sarežģītāks ir \vec{OC} vektors- tā koordināti nosaka divas rotācijas. Viena no tām ir leņķis \alpha, ko vektors \vec{OC} ir pagriezies xy-plaknē (attēlā arī apzīmēts kā leņķis \alpha). Šī rotācija ietekmē x, y koordinātes vektoram. Otra ir loka garums/leņķis b par kuru šis vektors ir pagriezies no z-ass. Šī rotācija ietekmē visas koordinātes, jo tā ietekmē pa kāda rādiusa apli rotē leņķis \alpha xy-plaknē, bet tas arī ietekmē z koordināti. No šiem apsvērumiem var iegūt šī vektora koordinātes: \vec{OC} = (\cos(\alpha)\sin(b),\sin(\alpha)\sin(b),\cos(b)). 
Tagad caur skalāro reizinājumu var iegūt leņķi starp vektoriem \vec{OB} un \vec{OC}:

\vec{OB} \cdot \vec{OC} = \sin(c)\cos(\alpha)\sin(b) + 0 + \cos(c)\cos(b) = \underbrace_1 \cdot \cos(\angle BOC) .

Priekš vienības sfēras, centra leņķis \angle BOC  ir tas pats, kas loka garums a  un rotācija pa xy-plakni ar leņķi \alpha ir tas pats, kas sfēriskā trijstūra leņķis A, līdz ar to iegūst meklēto formu:

\cos(a) =  \cos(b)\cos(c) + \sin(b)\sin(c)\cos(A)  

### Mazo leņķu tuvinājums
Pie maziem leņķiem sfēriskā kosinusu teorēma sakrīt ar kosīnusa teorēmu priekš mazām leņķisām distancēm. Izmantojot mazo leņķu tuvinājumus  \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2}  un \sin(x) = x , (kas atbilst Teilora rindas pirmajiem locekļiem) iegūst:

1-\frac{a^2}{2} = \left( 1- \frac{b^2}{2}\right) \left( 1- \frac{c^2}{2}\right) + bc \cos(A) = 1 - \frac{b^2}{2} - \frac{c^2}{2} + \frac{b^2 c^2}{4} + bc \cos(A) , bet pie maziem leņķiskām distancēm b^2, c^2 >> b^2c^2 , tādēļ šo kvartisko locekli tuvināti var ignorēt un iegūt:

a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos(A) , kas ir kosinusa teorēma plaknes ģeometrijā.

## Atsauces