Kvadrātfunkcija

**Kvadrātfunkcija** ir funkcija, kuru apraksta vienādojums y={ax^2+bx+c}, kur a,b,c ∈ R un a≠0.
  
  Funkcijas grafiks ir parabola.
  
 
 Šīs funkcijas definīcijas un vērtību apgabals ir visi reālie skaitļi. 

## Saknes un diskriminants

 Funkcijas saknes jeb nulles nosaka funkcijas x vērtības krustpunktā ar abscisu. Sakņu skaits var būt dažāds, un tas ir atkarīgs no diskriminanta vērtības.
  
  
  Diskriminantu var aprēķināt pēc formulas : D={b^2-4ac} 
  
   Ja D>0 , tad vienādojumam ir 2 saknes, 
   Ja D=0 , vienādojumam ir viena sakne, 
   bet, ja D , sakņu nav. 
     
  
 Saknes var aprēķināt pēc formulas
   
  :x_{\text{1,2}}={-b\pm\sqrt{D} \over 2a}  
 Vai noteikt pēc Vjeta teorēmas
  
  :{x_1*x_2}={\frac {c} {a}} {x_1+x_2}={-\frac {b} {a}} 

## Krustpunkts ar y asi
 Lai aprēķinātu koordinātas krustpunktam ar y asi funkcijas vienādojumā x vietā ievieto 0. 
 Piemēram: 
  y={x^2+3x+1}  
  y={0^2+3*0+1}  
  y={0+0+1}  
  y=1  
 Funkcijas  y={x^2+3x+1}  grafiks krusto y asi punktā (0;1) 
 Krustpunktam ar y asi simetriska punkta x koordinātas, kas pieder pie grafika, var aprēķināt pēc formulas  x={x_y+2x_v} 

## Parabolas zaru vērsums

 Parabolas zaru vērsumu nosaka koeficients pie kvadrātlocekļa. 
 Ja a>0, **zari ir vērsti uz augšu**  (piemēram,  y={x^2} ), bet ja a,** zari ir vērsti uz leju**  (piemēram,  y={-x^2} ).

 

## Parabolas virsotnes punkts un maksimālā, minimālā vērtība
Jebkurai parabolai ir virsotne, kuru visbiežāk apzīmē ar (xv;yv) vai (xo;yo).
 Virsotnes x koordinātas aprēķina pēc formulas:x_{\text{v}}={-\frac {b} {2a}}
Bet virsotnes y koordinātas iegūst ievietojot x virsotnes koordinātas funkcijas vienādojumā:y_{\text{v}}={ax_v^2+bx_v+c} 
Virsotnes y koordināta norāda uz funkcijas maksimālo vai minimālo vērtību. 
Ja **zari ir vērsti uz augšu**, tad virsotnes y koordināta norāda uz minimālo funkcijas vērtību un maksimālā vērtība nav nosakāma, bet ja **zari ir vērsti uz leju**, tad virsotnes y koordināta norāda uz maksimālo funkcijas vērtību un minimālā vērtība nav nosakāma. 

## Paritāte&nbsp;

Kvadrātfunkcija nevar būt nepāra funkcija.
Tā ir vai nu pāra vai ne pāra, ne nepāra. 

&nbsp;
### Paritātes noteikšana pēc funkcijas vienādojuma

Funkcija ir pāra, ja:f(x)=f(-x)
&nbsp;
Piemēram, pārbaudīsim vai funkcija y={x^2-6} ir pāra funkcija:
{x^2-6}={(-x)^2-6}{x^2-6}={x^2-6}
&nbsp;
Abas puses sakrīt, tātad funkcija y={x^2-6} ir pāra funkcija.
Tagad pārbaudīsim vai funkcija y={x^2+3x-6} ir pāra funkcija:
f(x)={x^2+3x-6} 
f(-x)={(-x)^2+3*(-x)-6}
{x^2+3x-6}\ne{x^2-3x-6}
&nbsp;
Abas puses nesakrīt, tātad funkcija y={x^2+3x-6} nav pāra funkcija, jeb ir ne pāra, ne nepāra funkcija.

### Paritātes noteikšana pēc funkcijas grafika
Funkcija ir pāra, ja tā ir simetriska pret y asi jeb x_v=0, 
} {\color{red}{y={-5x^2+8}}}  Šīs ir pāra funkcijas 

 | image2 = 4grafiks.png
 | caption2 = {\color{red}{y={-x^2+\frac{2}{3}x+6}}} {\color{blue}{y={\frac{4}{5}x^2+5x+3}}}  Šīs ir ne pāra, ne nepāra funkcijas 
}}

## Vienādzīmju intervāli
  grafika zari ir vērsti uz augšu 

 | image4 = 6grafiks.png
 | caption4 = Funkcijas  y={-6x^2-7x+4}   grafika zari ir vērsti uz leju 

 | footer = Ar zaļu ir iekrāsotas funkcijas pozitīvās vērtības, ar sarkanu - negatīvās.
}}

  Ja parabolas zari ir vērsti uz augšu un D \ge 0 , tad y>0, ja   x \in (-\infty;x_1) \cup (x_2;+\infty)  un  y  x \in (x_1;x_2) 
  Ja parabolas zari ir vērsti uz leju un D \ge 0 , tad  y>0, ja  x \in (x_1;x_2)un  y  x \in (-\infty;x_1) \cup (x_2;+\infty)  
### Vienādzīmju intervāli funkcijām bez saknēm
 Ja funkcijas grafiks atrodas tikai virs x ass, tad funkcija visā D.A. ir pozitīva. 
 Bet ja funkcijas grafiks atrodas tikai zem y ass, tad funkcija ir visā D.A. negatīva. 
 Piemēram, funkcijai  y={x^2+4x+5}  sakņu nav un parabolas zari ir vērsti uz augšu, tas nozīmē, ka tai ir tikai viens vienādzīmju intervāls  y>0 , ja  x \in (+\infty; -\infty)

## Monotonitāte

Funkcija ir augoša, ja palielinoties x vērtībām, palielinās y vērtības.
Funkcija ir dilstoša, ja palielinoties x vērtībām, samazinās y vērtības.

Ja parabolas zari ir vērsti uz augšu, tad funkcija ir dilstoša intervālā  x \in (-\infin;x_v) , bet augoša  x \in (x_v;+\infin) .

Ja parabolas zari ir vērsti uz leju, tad funkcija ir dilstoša intervālā  x \in (x_v;+\infin) , bet augoša  x \in (-\infin;x_v) .

## Pārbīdes
Katrs koeficients veic kādu noteiktu pārbīdi.

## Skatīt arī
* Kvadrātvienādojums 
* Diskriminants 
* Lineāra funkcija 
* Funkcija

## Atsauces

## Ārējās saites
* Teorija par kvadrātfunkciju
* DZM materiāls par kvadrātfunckiju
* materiāli par kvadrātfunkciju atbilstoši 9. klases standartam
* Funkciju grafiku kalkulators (angļu valodā)