Mazākais kopīgais dalāmais

Matemātikā par divu vai vairāk veselu skaitļu **mazāko kopīgo dalāmo** sauc mazāko naturālo skaitli, kas dalās ar katru no dotajiem skaitļiem bez atlikuma. Piemēram, skaitļu 6 un 15 mazākais kopīgais dalāmais ir MKD(6,&nbsp;15) = 30, jo 30 dalās gan ar 6, gan 15, bet nav neviena mazāka naturāla skaitļa, kas ar tiem abiem dalītos.

## Apzīmējumi

Literatūrā, kas ir latviešu valodā, skaitļu *a* un *b* mazāko kopīgo dalāmo parasti apzīmē ar MKD(*a*,&nbsp;*b*) vai retāk ar md(*a*,&nbsp;*b*). Krievu valodā lieto apzīmējumu НОК(*a*,&nbsp;*b*), kas ir saīsinājums no *наименьшее общее кратное*, bet angļu valodā visbiežāk ir sastopams apzīmējums lcm(*a*,&nbsp;*b*), kas ir saīsinājums no *least common multiple*. Skaitļu teorijā mazāko kopīgo dalāmo īsuma labad mēdz apzīmēt vienkārši ar [*a*,&nbsp;*b*].

## Aprēķināšana

Lai atrastu skaitļu *a*, *b* > 0 mazāko kopīgo dalāmo, to reizinājumu izdala ar lielāko kopīgo dalītāju LKD(*a*,&nbsp;*b*), kuru var atrast ar Eiklīda algoritma palīdzību. Ja kāds no skaitļiem ir negatīvs, tad reizinājumam nepieciešams ņemt absolūto vērtību:
: \operatorname{MKD}(a,b) = \frac{\operatorname{LKD}(a,b)}. 

Piemēram, skaitļu 6 un 15 reizinājums ir 90 un to lielākais kopīgais dalītājs ir LKD(6,&nbsp;15)&nbsp;=&nbsp;3, tātad MKD(6,&nbsp;15)&nbsp;=&nbsp;90/3&nbsp;=&nbsp;30.

## Īpašības

Operācijai MKD piemīt šādas īpašības (šeit *a*, *b*, *c* un *m*&nbsp;>&nbsp;0 ir naturāli skaitļi):
* MKD(*a*,&nbsp;*a*) = *a* (idempotence).
* MKD(*a*,&nbsp;*b*) = MKD(*b*,&nbsp;*a*) (komutativitāte).
* MKD(*a*,&nbsp;MKD(*b*,&nbsp;*c*)) = MKD(MKD(*a*,&nbsp;*b*),&nbsp;*c*) = LKD(*a*,&nbsp;*b*,&nbsp;*c*) (asociativitāte).
* MKD(*m*&nbsp;·&nbsp;*a*,&nbsp;*m*&nbsp;·&nbsp;*b*) = *m* · MKD(*a*,&nbsp;*b*) (multiplikativitāte).
* Ja *a* vai *b* dalās ar *m*, tad MKD(*a*,&nbsp;*b*) arī dalās ar *m*. Ja gan *a*, gan *b* dalās ar *m*, tad MKD(*a*/*m*,&nbsp;*b*/*m*) = MKD(*a*,&nbsp;*b*) / *m*.
* MKD(*a**m*,&nbsp;*b**m*) = MKD(*a*,&nbsp;*b*)*m*.

## Pielietojumi

### Kopīga saucēja atrašana

Lai saskaitītu daļskaitļus ar atšķirīgiem saucējiem, saucējus nepieciešams vienādot (jeb atrast kopīgu saucēju). Kopīgais saucējs ir vienāds ar abu saucēju mazāko kopīgo dalītāju. Piemēram, daļskaitļu 1/6 un 4/9 kopīgais saucējs ir MKD(6,&nbsp;9) = 18. Lai vienādotu saucējus, pirmā daļskaitļa skaitītājs un saucējs ir jāpareizina ar 18/6 = 3:
: \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{3}{18}, 
bet otrā daļskaitļa skaitītājs un saucējs ir jāpareizina ar 18/9 = 2:
: \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{8}{18}. 
Tagad abi saucēji sakrīt, tāpēc daļskaitļus ir viegli saskaitīt:
:
  \frac{1}{6} + \frac{4}{9}
  = \frac{3}{18} + \frac{8}{18}
  = \frac{11}{18}.


### Perioda noteikšana

Pieņemsim, ka ir dots liels skaits flīzīšu — katra no tām garumā *a* vai *b* (naturāli skaitļi) — un no tām ir nepieciešams izveidot divas vienāda garuma rindas (katru no sava veida flīzītēm). Kāds ir īsākais iespējamais rindas garums? Skaidrs, ka pirmās rindas garums dalīsies ar *a*, bet otrās rindas garums — ar *b*. Tā kā MKD(*a*,&nbsp;*b*) ir mazākais skaitlis, kas dalās gan ar *a*, gan *b*, tad atbilde ir "MKD(*a*,&nbsp;*b*)". Var ievērot, ka šis lielums ir vienāds arī ar periodu rakstam, kuru iegūst abas flīzīšu rindas neierobežoti turpinot.

Piemēram, ja *a* = 6 un *b* = 9, tad trīs (oranžas) flīzītes garumā 6 veidos tikpat garu rindu kā divas (dzeltenas) flīzītes garumā 9. Abos gadījumos iegūtās rindas garums ir 18 un tas ir mazākais iespējamais, jo MKD(6,&nbsp;9) = 18. Oranžo un dzelteno flīzīšu veidotais raksts atkārtojas ar periodu 18:

Šo ideju var nedaudz vispārināt un izteikt abstraktākā formā: ja *a*1, *a*2, *a*3, … un *b*1, *b*2, *b*3, … ir divas periodiskas virknes, kuru periodi ir attiecīgi *T**a* un *T**b*, tad pārīšu virknes (*a*1,*b*1), (*a*2,*b*2), (*a*3,*b*3), … periods ir MKD(*T**a*,&nbsp;*T**b*).

## Skatīt arī

* Dalītājs
* Lielākais kopīgais dalītājs
* Eiklīda algoritms
* Paplašinātais Eiklīda algoritms

## Atsauces

## Ārējās saites

* Eric W. Weisstein, Least Common Multiple, MathWorld.
* Mazākais kopīgais dalāmais, BOOT.Lv.