Trijstūru vienādības pazīmes

Saskaņā ar vienādu figūru definīciju divus trijstūrus sauc par vienādiem, ja tos var uzlikt vienu otram virsū un tie pilnīgi sakrīt. To pieraksta  \vartriangle ABC = \vartriangle DMK  un tas nozīmē, ka trijstūri ABC un DMK ir vienādi.
center|thumb|1.zīm. Trijstūri ABC un DMK ir vienādi
Vienādiem trijstūriem piemīt visas vienādu figūru īpašības. Vienādu trijstūru virsotnes, malas un leņķus, kuri uzliekot vienu virs otra sakrīt, sauc par atbilstošiem elementiem. Līdz ar to var secināt, ka vienādu trijstūru atbilstošie elementi ir savstarpēji vienādi, piemēram, 1. zīmējumā  AB = MD, AC = KD, CB = MK, \sphericalangle A = \sphericalangle D, \sphericalangle B = \sphericalangle M, \sphericalangle C = \sphericalangle K . Turklāt vienādos trijstūros pret vienādām malām atrodas vienādi leņķi, bet pret atbilstošiem leņķiem — vienādas malas.

Pamatot trijstūru vienādību ar savietošanu ir apgrūtinoši un dažkārt pat neiespējami, tāpēc parasti šo procesu iztēlojas un papildina ar spriedumiem, kas pamato trijstūru pilnīgu sakrišanu. Starp šiem spriedumiem ir tādi, kas tiek lietoti ļoti bieži. Ģeometrijā tiem ir īpašs nosaukums — **trijstūru vienādības pazīmes**. Tiek izdalītas trīs pazīmes:
* viena mala un leņķi pie tās jeb leņķis-mala-leņķis (lml)
* divas malas un leņķis starp tām jeb mala-leņķis-mala (mlm)
* trīs malas jeb mala-mala-mala (mmm)
Ievēro, ka katrā pazīmē tiek minēts vismaz viens malu pāris, turklāt ļoti būtisks ir pazīmēs minēto vienādo malu un leņķu novietojums trijstūros.

## Pazīme ''leņķis-mala-leņķis''
**[[Teorēma]]**: "Ja viena trijstūra mala un tās pieleņķi ir attiecīgi vienādi ar otra trijstūra malu un tās pieleņķiem, tad trijstūri ir vienādi."
center|thumb|Trijstūru vienādības pazīme — '''lml'''

### Teorēmas pierādījums
Teorēma **lml** (trijstūru vienādības pazīme pēc malas un tās pieleņķiem)

center

**Dots**:

 \vartriangle ABC  un  \vartriangle DMK  ,  \sphericalangle A = \sphericalangle D ,  \sphericalangle C = \sphericalangle K ,  AC = DK 

**Jāpierāda**:

 \vartriangle ABC = \vartriangle DMK 

**Pierādījums**.
# Novietosim abus trijstūrus tā, ka to malas **AC** un **DK** atrodas uz vienas taisnes ***t***, bet virsotnes **B** un **M** atrodas vienā pusē ***t***.
# Bīdot **DK** pa taisni ***t***, savietosim vienādos nogriežņus **AC** un **DK**.
# Tā kā \sphericalangle A = \sphericalangle D, tad pēc savietošanas stari **AB** un **DM** sakrīt, jo vienā pusplaknē var atlikt tikai vienu leņķi, kas vienāds ar doto leņķi.
# Tāpat pēc savietošanas sakrīt stari **CB** un **KM**.
# Tāpēc staru **AB** un **CB** krustpunkts **B** sakrīt ar staru **DM** un **KM** krustpunktu **M**.
# Tātad sakrīt abu trijstūru malas un tātad arī paši trijstūri.
# Saskaņā ar vienādu figūru definīciju \vartriangle ABC = \vartriangle DMK, k. b. j.

## Pazīme ''mala-leņķis-mala''
**Teorēma**: "Ja viena trijstūra divas malas un leņķis starp tām ir attiecīgi vienādas ar otra trijstūra divām malām un leņķi starp tām, tad trijstūri ir vienādi."
center|thumb|Trijstūru vienādības pazīme — '''mlm'''

### Teorēmas pierādījums
Teorēma **mlm** (trijstūru vienādības pazīme pēc divām malām un leņķa starp tām)

center

**Dots**:

\vartriangle ABC un  \vartriangle DMK  ,  \sphericalangle A = \sphericalangle D , AB = DM , AC = DK 

**Jāpierāda**:

\vartriangle ABC = \vartriangle DMK

**Pierādījums**.
# Novietosim abus trijstūrus tāpat kā iepriekšējās teorēmas pierādījumā ar \vartriangle DMK bīdīšanu savietosim vienādos nogriežņus **AC** un **DK**.
# Tā kā \sphericalangle A = \sphericalangle D, tad stari **AB** un **DM** sakritīs.
# Kā zināms, uz stara no tā sākumpunkta var atlikt tikai vienu nogriezni, kas vienāds ar doto nogriezni, tāpēc sakritīs malas **AB** un **DM**, kā arī punkti **B** un **M**.
# Tā kā caur diviem punktiem var novilkt tikai vienu taisni, tad sakritīs arī **BC** un **MK**.
# Tātad \vartriangle ABC = \vartriangle DMK, k. b. j.

## Pazīme ''mala-mala-mala''
**Teorēma**: "Ja viena trijstūra trīs malas ir attiecīgi vienādas ar otra trijstūra trim malām, tad trijstūri ir vienādi."
center|thumb|Trijstūru vienādības pazīme — '''mmm'''

### Teorēmas pierādījums
Teorēma **mmm** (trijstūru vienādības pazīme pēc trim malām)

center

**Dots**:

\vartriangle ABC un \vartriangle DMK, AC = DK , AB = DM , BC = MK

**Jāpierāda**:

\vartriangle ABC = \vartriangle DMK

**Pierādījums**.
# Novietosim dotos trijstūrus tāpat kā abu iepriekšējo teorēmu pierādījumos.
# Tajā pusplaknē, kurā atrodas šie trijstūri, virsotne **B** ir r.l.(A ; AB) un r.l.(C ; CB) krustpunkts.
# Tā kā AB = DM un CB = KM, tad virsotne **M** ir attiecīgi šīm riņķa līnijām vienādo riņķa līniju r.l.(D ; DM) un r.l.(K ; KM) krustpunkts.
# Bīdot \vartriangle DMK, savietosim vienādos nogriežņus **AC** un **DK**.
# Pēc savietošanas sakritīs arī vienādās riņķa līnijas — r.l.(A ; AB) un r.l.(D ; DM), kā arī vienādās riņķa līnijas — r.l.(C ; CB) un r.l.(K ; KM).
# Tā kā apskatāmajā pusplaknē divām riņķa līnijām ir tikai viens krustpunkts, tad sakritīs arī punkti **B** un **M**.
# Ja sakrīt divu nogriežņu galapunkti, tad sakrīt arī paši nogriežņi, t.i., sakritīs **AB** ar **DM** un **BC** ar **MK**.
# Tātad sakritīs arī paši trijstūri, t.i., \vartriangle ABC = \vartriangle DMK, k. b. j.

## Trijstūru vienādības pazīmju pielietošana uzdevumu risināšanā
Viens no galvenajiem paņēmieniem nogriežņu un leņķu vienādības pierādīšanai būs trijstūru vienādības pazīmes. Visi attiecīgie pierādījumi pamatosies uz to, ka **vienādos trijstūros atbilstošie elementi ir savstarpēji vienādi**.

Pierādot nogriežņu vai leņķu vienādību saskaņā ar trijstūru vienādības pazīmēm, parasti ievēro šādu shēmu:
# izveido zīmējumu saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem, ja zīmējums nav dots,
# atdod zīmējumā divus trijstūrus, kuru elementi ir tie nogriežņi vai leņķi, kuru vienādība ir jāpierāda,
# šajos trijstūros nosaka trīs atbilstošo elementu pārus, kas dod iespēju pielietot vienu no trijstūru vienādības pazīmēm,
# secina, ka abi trijstūri ir vienādi,
# secina, ka šo trijstūru atbilstošie elementi ir savstarpēji vienādi.
Ja abi vienādie trijstūri ir tādi, ka mūs interesējošie nogriežņi vai leņķi atbilst viens otram, tad šo nogriežņu vai leņķu vienādību esam pierādījuši.

Dotajā shēmā 2. un 3. punktā tiek "meklēta" piemērota trijstūru vienādības pazīme, bet 4. un 5. punktā tiek pielietota šī pazīme un vienādu trijstūru īpašība, ka to atbilstošie elementi it vienādi savā starpā.

### Uzdevuma risināšanas piemērs, izmantojot doto shēmu
center
**Uzdevums**. *Punkts A ir nogriežņa BC un MD viduspunkts. Pierādīt, ka nogriežņi MB un DC ir vienādi*.

**Risināšanas plāns**.
# Veidojam zīmējumu.
# Nogriežņi MB un DC ir malas \vartriangle MAB un \vartriangle DAC.
# Saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem šajos trijstūros var atzīmēt divus vienādus malu pārus — AM = AD un AB = AC. Tātad trešais elementu pāris var būt vai nu mala MB un DC (pazīme mmm), vai arī leņķi starp vienādajām malām \sphericalangle MAB  un \sphericalangle DAC (*pazīme mlm*). Tā kā malu MB un DC vienādība ir jāpierāda, tad, lai pierādītu trijstūru vienādību, ir jāatrod vienādo leņķu pāris.
**Dots**:

*A viduspunkts BC un MD*

**Jāpierāda**:

MB = DC

**Pierādījums**.
# \vartriangle MAB un \vartriangle DAC
## AB = AC, jo A ir BC viduspunkts
## AM = AD, jo A ir MD viduspunkts
## \sphericalangle MAB = \sphericalangle DAC kā krustleņķi
# \vartriangle MAB = \vartriangle DAC (*pazīme mlm*)
# BM = CD kā atbilstošās malas, k. b. j.

## Atsauces

## Skatīt arī
* Trijstūris