Elektromagnētiskā lauka enerģija

**Elektromagnētiskā lauka enerģija** ir enerģija, kura piemīt elektromagnētiskajam laukam. Par to, ka elektromagnētiskajam laukam ir enerģija, liecina enerģijas bilances vienādojums.

## Enerģijas bilances vienādojums

Enerģijas bilances vienādojums ir

:  \int_V p \, \mathrm{d} V = - \int_V \operatorname{div} \vec{S} \, \mathrm{d} V - \int_V \frac{\partial \omega}{\partial t} \, \mathrm{d} V \ 
::: kur
::::  V \  - tilpums
::::  t \  - laiks
::::  p = \vec{j} \vec{E} \  
::::  \vec{S} = \frac{c}{4 \pi} \vec{E} \times \vec{B} \ 
::::  \omega = \frac{1}{8 \pi} (E^2 + B^2) \ 

Ja pārraksta enerģijas bilances vienādojumu, neizmantojot augstāk minētos apzīmējumus  \omega \ ,  \vec{S} \  un  p \ , tad vienādojums izskatās šāds:
:  \int_V \vec{j} \vec{E} \, \mathrm{d} V = - \frac{c}{4 \pi} \int_V  \operatorname{div} (\vec{E} \times \vec{B}) \, \mathrm{d} V - \frac{1}{8 \pi} \int_V \frac{\partial}{\partial t}(E^2 + B^2) \, \mathrm{d} V \ 

Lai iegūtu enerģijas bilances vienādojumus, jāapskata elektromagnētisko lauku ( \vec{E} \ ,  \vec{B} \ ) un tā avoti - lādiņnesēji, kuru izraisītās strāvas blīvums  \vec{j} = \rho \vec{v} \ . 

### Enerģijas bilances vienādojuma pierādījums

Uz lādiņnesējiem tilpuma elementā  \mathrm{d}V \  darbojas Kulona spēks  \mathrm{d} \vec{F} = \rho \vec{E} \, \mathrm{d} V \ , tāpēc ka  \mathrm{d} q = \rho \, \mathrm{d} V \ , un Lorenca spēks, kurš atkarīgs no lādiņnesēju orientētās kustības ātruma  \vec{v} \  un magnētiskās indukcijas  \vec{B} \ . Kulona spēka iedarbības rezultātā elektriskais lauks  \vec{E} \  *laika vienībā* veic darbu  \mathrm{d}P = \vec{v} \, \mathrm{d} \vec{F} = \rho \vec{v} \vec{E} \, \mathrm{d} V = \vec{j} \vec{E} \, \mathrm{d} V \ . Darbs laika vienībā ir jauda, ko elektriskais lauks patērē lādiņu pārvietošanai. Ja lādiņu kustība notiek pa tilpumu  V \ , tad elektriskā lauka patērētā jauda

:  P = \int_V \mathrm{d} P = \int_V \vec{j} \vec{E} \, \mathrm{d} V \ 

Saskaņā ar formulu  \vec{F}_L = q (\vec{v} \times \vec{B}) \  Lorenca spēka vektors  \mathrm{d} \vec{F}_L \  vienmēr darbojas perpendikulāri lādiņa  \mathrm{d} q \  ātruma  \vec{v} \  virzienam un tādēļ darbu neveic:  \mathrm{d} P = \vec{v} \, \mathrm{d} \vec{F}_L = 0 \ . No tā var secināt, ka integrālis  P = \int_V \mathrm{d} P = \int_V \vec{j} \vec{E} \, \mathrm{d} V \  ir pilnā jauda, ko lādiņiem, tos pārvietojot, atdod elektromagnētiskais lauks.

No trešā Maksvela vienādojuma  \operatorname{rot} \vec{B} = \frac{4 \pi}{c} \vec{j} + \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \  izsaka strāvas blīvumu  \vec{j} \ :  \vec{j} = \frac{c}{4 \pi} \operatorname{rot} \vec{B} - \frac{1}{4 \pi} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \ . Tātad jaudas blīvums  \vec{j} \vec{E} = \frac{c}{4 \pi} \vec{E} \, \operatorname{rot} \vec{B} - \frac{1}{4 \pi} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \vec{E} \ . Izteiksmi var simetrizēt, izmantojot pirmo Maksvela vienādojumu,  \operatorname{rot} \vec{E} = - \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \ . Saskaņā ar to  \vec{B} \, \operatorname{rot} \vec{E} = - \frac{1}{c} \vec{B} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \  un jaudas blīvums  \vec{j} \vec{E} = \frac{c}{4 \pi} (\vec{E} \, \operatorname{rot} \vec{B} - \vec{B} \, \operatorname{rot} \vec{E}) - \left(\frac{1}{4 \pi} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \vec{E} + \frac{1}{4 \pi} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \vec{B}\right) \ . Iegūtās vienādības labās puses pirmo saskaitāmo pārveido, izmantojot to, ka  \vec{E} \, \operatorname{rot} \vec{B} - \vec{B} \, \operatorname{rot} \vec{E} = - \operatorname{div} (\vec{E} \times \vec{B}) \ , bet otro uzraksta formā  - \frac{1}{4 \pi} \left(\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \vec{B}\right) = - \frac{1}{8 \pi} \frac{\partial}{\partial t} (E^2 + B^2) \ . Līdz ar to iegūstam enerģijas vienādojuma skalāro reizinājumu

:  \vec{j} \vec{E} = - \frac{c}{4 \pi} \operatorname{div} (\vec{E} \times \vec{B}) - \frac{1}{8 \pi} \frac{\partial}{\partial t}(E^2 + B^2) \  \ 

Atliek tik nointegrēt pēc tilpuma elementa un iegūstam pilno enerģijas bilances vienādojumu.

### Enerģijas bilances vienādojuma vienkāršais pieraksts

Enerģijas bilnaces vienādojumu, kurš dots šī raksta sākumā, ērti var uzrakstīt šādi:

:  - \frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{d} t} = \oint_\Sigma \vec{S} \, \mathrm{d} \Sigma + P \ 
::: kur
::::  W = \int_V \omega \, \mathrm{d} V = \frac{1}{8 \pi} \int_V (E^2 + B^2) \, \mathrm{d} V \ 
::::  P = \int_V p \, \mathrm{d} V = \int_V \vec{j} \vec{E} \, \mathrm{d} V \ 
::::  \oint_\Sigma \vec{S} \, \mathrm{d} \Sigma = \int_V \operatorname{div} \vec{S} \, \mathrm{d} V \  (Šī formula izriet no Ostrogradska-Gausa teorēmas, kur  \Sigma \  ir tilpumu  V \  norobežojoša virsma)
::::  W \  ir elektromagnētiskā lauka enerģija, kuras dimensija ir  [W] = \frac{m^2 \cdot kg}{s^2} \ 
::::  \omega \  ir elektromagnētiskā lauka enerģijas blīvums, kuras dimensija ir  [\omega] = \frac{kg}{m \cdot s^2} \ 

### Pointinga vektors

Vektoru  \vec{S} \  sauc par elektromagnētiskā lauka enerģijas plūsmas blīvuma vektoru jeb **Pointinga vektoru**. Vektora  \vec{S} \  modulis  S = \frac{c}{4 \pi} | \vec{E} \times \vec{B} | \  ir elektromagnētiskā lauka enerģijas plūsmas blīvums. Tā dimensija ir  [S] = \frac{kg}{s^3} \ .

### Džoula siltums

**Džoula siltums** ir enerģijas zudumi, kurus izraisa elektromagnētiskā lauka darbs (laika vienībā)  P = \int_V \vec{j} \vec{E} \, \mathrm{d} V \ , plūstot strāvai pa vadu.  P \  ir Džoula siltums, bet jaudas blīvumu  p \  dēvē dažreiz par īpatnējo Džoula siltumu.

## Enerģijas bilances vienādojuma interpretācija

Elektromagnētiskajam laukam tilpumā  V \  piemīt enerģija  W \ , kura mainās laikā divu iemeslu dēļ:
* enerģija plūst caur lauka tilpumu norobežojošo virsmu  \Sigma \ ;
* tās plūsma ir  \oint_\Sigma \vec{S} \, \mathrm{d} \Sigma \ , vai arī elektromagnētiskais lauks pārvieto lādiņus un līdz ar to veic darbu.

Piemēram, enerģija plūst, izplatoties elektromagnētiskajam vilnim. Maiņstrāvas ķēdēs, kuras satur spoles un kondensatorus, pastāv vektora  \vec{S} \  plūsma, kura liek magnētiskajā un elektriskajā laukā uzkrātajai enerģijai divreiz periodā mainīties no nulles līdz maksimālajai vērtībai. Šāda plūsma rodas arī līdzstrāvas ķēdēs: ieslēgšanas brīdī tā piegādā enerģiju spoļu un kondensatoru laukam, bet, ķēdi atslēdzot, nodrošina šīs enerģijas izkliedēšanos (disipāciju). Un beidzot, vektora  \vec{S} \  plūsma ir tā, kura pārnes enerģiju gan pa elektropārvades, gan pa sakaru un citām līnijām.

## Pointinga vienādojums

**Pointinga vienādojums** ir šāds:  - \frac{\partial \omega}{\partial t} = \operatorname{div} \vec{S} + p  \ . Šo diferenciālvienādojumu iegūst, kad, salīdzinot zemintegrāļa izteiksmes, enerģijas bilances vienādojuma kreisās un labās puses integrācijas apgabals  V \  ir patvaļīgs, ar elektromagnētisko lauku "pildīts" tilpums.

### Pointinga vienādojuma interpretācija

Telpas elementi  \mathrm{d} V \ , kuros laikā mainās elektromagnētiskā lauka enerģijas blīvums (\frac{\partial \omega}{\partial t} \ne 0 \ ), ir enerģijas plūsmas vektora  \vec{S} \  līniju izteču un noteču vietas vai arī tajos elektromagnētiskais lauks, pārvietojot lādiņus, laika vienībā veic darbu  p = \vec{j} \vec{E} \  (šis lielums, kā jau teikts, ir zudumu jaudas blīvums).