Matricu reizināšana

**Matricu reizināšana** ir bināra operācija, kurā tiek reizināts matricu pāris, šīs operācijas rezultātā tiek iegūta jauna matrica. Skaitļi (piemēram, reāli, kompleksi skaitļi) var tikt reizināti kā elementārajā aritmētikā.

Pastāv vairāki veidi, kā reizināt matricas, no kuriem vienkāršākais ir reizināšana ar skaitli. Matricu reizināšana nav komutatīva, kas nozīmē, ka . Ja tiek reizināta matrica  ( matrica) un  ( matrica), tad reizināšanas rezultāts  ir  matrica.

## Reizināšana
### Reizināšana ar skaitli
Vienkāršākā reizināšana ar matricām ir matricas reizināšana ar skaitli.

Skaitļa  reizinājums ar matricu  ir matrica , kuras izmērs ir tāds pats, kā matricai . Matricas  locekļus definē kā

: (\lambda \mathbf{A})_{ij} = \lambda\left(\mathbf{A}\right)_{ij}\,,

kas izvērstā pierakstā izskatās šādi:

: \lambda \mathbf{A} = \lambda \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nm} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\lambda A_{11} & \lambda  A_{12} & \cdots & \lambda A_{1m} \\
\lambda A_{21} & \lambda A_{22} & \cdots & \lambda A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda A_{n1} & \lambda A_{n2} & \cdots & \lambda A_{nm} \\
\end{pmatrix}\,.

Līdzīgi tiek definēts matricas  reizinājums ar skaitli 

: (\mathbf{A}\lambda)_{ij} = \left(\mathbf{A}\right)_{ij} \lambda\,, 

kas izvērstā pierakstā izskatās šādi:

: \mathbf{A}\lambda = \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nm} \\
\end{pmatrix}\lambda = \begin{pmatrix}
A_{11} \lambda & A_{12} \lambda & \cdots & A_{1m} \lambda  \\
 A_{21} \lambda & A_{22} \lambda & \cdots & A_{2m} \lambda \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n1} \lambda & A_{n2} \lambda & \cdots & A_{nm} \lambda \\
\end{pmatrix}\,.

Piemērs ar reālu skaitli un matricu:

: \lambda = 2, \quad \mathbf{A} =\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix} 

: 2 \mathbf{A} = 2 \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \!\cdot\! a & 2 \!\cdot\! b \\
2 \!\cdot\! c & 2 \!\cdot\! d \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a \!\cdot\! 2 & b \!\cdot\! 2 \\
c \!\cdot\! 2 & d \!\cdot\! 2 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}2= \mathbf{A}2.

### Divu matricu reizināšana

right|300px

Ja  ir  matrica un  ir  matrica,

:\mathbf{A}=\begin{pmatrix}
 A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \\
 A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nm} \\
\end{pmatrix},\quad\mathbf{B}=\begin{pmatrix}
 B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1p} \\
 B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2p} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 B_{m1} & B_{m2} & \cdots & B_{mp} \\
\end{pmatrix}

tad **matricu reizinājums**  (kas tiek apzīmēts bez kaut kādām reizinājuma zīmēm vai punktiem) ir  matrica

:\mathbf{A}\mathbf{B} =\begin{pmatrix}
 \left(\mathbf{AB}\right)_{11} & \left(\mathbf{AB}\right)_{12} & \cdots & \left(\mathbf{AB}\right)_{1p} \\
 \left(\mathbf{AB}\right)_{21} & \left(\mathbf{AB}\right)_{22} & \cdots & \left(\mathbf{AB}\right)_{2p} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 \left(\mathbf{AB}\right)_{n1} & \left(\mathbf{AB}\right)_{n2} & \cdots & \left(\mathbf{AB}\right)_{np} \\
\end{pmatrix}

kur katrs  loceklis ir iegūts, reizinot  elementu ar  elementu, kur  un tiek saskaitīti rezultāti līdz :

: (\mathbf{A}\mathbf{B})_{ij} = \sum_{k=1}^m A_{ik}B_{kj}\,. 

Tas nozīmē, ka reizinājums  ir definēts, ja kolonnu skaits  matricā sakrīt ar rindu skaitu  matricā. Reizinājuma rezultāta matricā rindu skaits ir vienāds ar  rindu skaitu, savukārt kolonnu skaits — ar  kolonnu skaitu.

#### Ilustrācija
right

:
\overset{4\times 2 \text{ matrica}}{\begin{bmatrix}
{\color{Brown}{a_{11}}} & {\color{Brown}{a_{12}}} \\
\cdot & \cdot \\
{\color{Orange}{a_{31}}} & {\color{Orange}{a_{32}}} \\
\cdot & \cdot \\
\end{bmatrix}}

\overset{2\times 3\text{ matrica}}{\begin{bmatrix}
\cdot & {\color{Plum}{b_{12}}} & {\color{Violet}{b_{13}}} \\
\cdot & {\color{Plum}{b_{22}}} & {\color{Violet}{b_{23}}} \\
\end{bmatrix}}

= \overset{4\times 3\text{ matrica}}{\begin{bmatrix}
\cdot & x_{12} & x_{13} \\
\cdot & \cdot & \cdot \\
\cdot & x_{32} & x_{33} \\
\cdot & \cdot & \cdot \\
\end{bmatrix}} 


Vērtības krustpunktos ir iegūstamas ar šādām darbībām:

:\begin{align}
x_{12} & = {\color{Brown}{a_{11}}}{\color{Plum}{b_{12}}} + {\color{Brown}{a_{12}}}{\color{Plum}{b_{22}}} \\
x_{13} & = {\color{Brown}{a_{11}}}{\color{Violet}{b_{13}}} + {\color{Brown}{a_{12}}}{\color{Violet}{b_{23}}} \\
x_{32} & = {\color{Orange}{a_{31}}}{\color{Plum}{b_{12}}} + {\color{Orange}{a_{32}}}{\color{Plum}{b_{22}}} \\
x_{33} & = {\color{Orange}{a_{31}}}{\color{Violet}{b_{13}}} + {\color{Orange}{a_{32}}}{\color{Violet}{b_{23}}} 
\end{align}

### Matricu reizināšanas piemēri
;Rindas matrica un kolonnas matrica

Ja

:\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 
a & b & c
\end{pmatrix}\,, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}\,,

tad matricu reizināšanas rezultāts ir:

:\mathbf{AB} = \begin{pmatrix} 
a & b & c
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} = ax + by + cz \,,


un

:\mathbf{BA} = \begin{pmatrix} 
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 
a & b & c
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 
xa & xb & xc \\
ya & yb & yc \\
za & zb & zc
\end{pmatrix} \,.


Jāievēro, ka  un  ir divas dažādas matricas. Pirmā ir  matrica, bet otrā —  matrica.

;Kvadrātiska matrica un kolonnas matrica

Ja

:\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 
a & b & c \\
p & q & r \\
u & v & w
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}\,,

tad matricu reizināšanas rezultāts ir:

:\mathbf{AB} = \begin{pmatrix} 
a & b & c \\
p & q & r \\
u & v & w
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 
ax + by + cz \\
px + qy + rz \\
ux + vy + wz
\end{pmatrix}\,,


savukārt  nav definēts.

;Kvadrātiskas matricas

Ja

:\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 
a & b & c \\
p & q & r \\
u & v & w
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix}\,,

tad matricu reizināšanas rezultāts ir:

:\mathbf{AB} = \begin{pmatrix} 
a & b & c \\
p & q & r \\
u & v & w
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 
a\alpha + b\lambda + c\rho & a\beta + b\mu + c\sigma & a\gamma + b\nu + c\tau \\
p\alpha + q\lambda + r\rho & p\beta + q\mu + r\sigma & p\gamma + q\nu + r\tau \\
u\alpha + v\lambda + w\rho & u\beta + v\mu + w\sigma & u\gamma + v\nu + w\tau
\end{pmatrix}\,,


un

:\mathbf{BA} = \begin{pmatrix} 
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
a & b & c \\
p & q & r \\
u & v & w
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 
\alpha a + \beta p + \gamma u & \alpha b + \beta q + \gamma v & \alpha c + \beta r + \gamma w \\
\lambda a + \mu p + \nu u & \lambda b + \mu q + \nu v & \lambda c + \mu r + \nu w \\
\rho a + \sigma p + \tau u & \rho b + \sigma q + \tau v & \rho c + \sigma r + \tau w 
\end{pmatrix}\,.


;Rindas matrica, kvadrātiska matrica un kolonnas matrica

Ja

:\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 
a & b & c
\end{pmatrix}\,, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix}\,, \quad \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}\,,

tad matricu reizināšanas rezultāts ir:

:\begin{align}
\mathbf{ABC} & = \begin{pmatrix} 
a & b & c
\end{pmatrix} \left[\begin{pmatrix} 
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \right] = \left[ \begin{pmatrix} 
a & b & c
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} 
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix} 
a & b & c
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 
\alpha x + \beta y + \gamma z \\
\lambda x + \mu y + \nu z \\
\rho x + \sigma y + \tau z \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 
a\alpha + b\lambda + c\rho & a\beta + b\mu + c\sigma & a\gamma + b\nu + c\tau
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}\\
& = a\alpha x + b\lambda x + c\rho x + a\beta y + b\mu y + c\sigma y + a\gamma z + b\nu z + c\tau z \,,\end{align}


 nav definēts. Jāievēro, ka , kas ir viena no matricu reizināšanas īpašībām.

;Taisnstūrveida matricas

Ja

:\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 
a & b & c \\
x & y & z
\end{pmatrix}\,, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 
\alpha & \rho \\
\beta & \sigma \\
\gamma & \tau \\
\end{pmatrix}\,,

tad matricu reizināšanas rezultāts ir:

:\mathbf{A}\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 
a & b & c \\
x & y & z
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
\alpha & \rho \\
\beta & \sigma \\
\gamma & \tau \\
\end{pmatrix} =

\begin{pmatrix} 
a\alpha + b\beta + c \gamma & a\rho + b\sigma + c \tau \\
x\alpha + y\beta + z \gamma & x\rho + y\sigma + z \tau \\
\end{pmatrix} 
\,,

un

:\mathbf{B}\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 
\alpha & \rho \\
\beta & \sigma \\
\gamma & \tau \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 
a & b & c \\
x & y & z
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} 
\alpha a + \rho x & \alpha b + \rho y & \alpha c + \rho z \\
\beta a + \sigma x & \beta b + \sigma y & \beta c + \sigma z \\
\gamma a + \tau x & \gamma b + \tau y & \gamma c + \tau z
\end{pmatrix} 
\,.

## Komutativitāte
Piemērs, kas parāda, ka matricu reizināšana nav komutatīva.

:
  A = \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \bigr), \,
  B = \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \bigr),


\begin{align}
  A \cdot B &= \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \bigr) \cdot
               \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \bigr)
             = \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \bigr), \\
  B \cdot A &= \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \bigr) \cdot
               \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \bigr)
             = \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \bigr).
\end{align}


## Atsauces

## Ārējās saites

* ''MathWorld'' ieraksts 
* ''PlanetMath'' ieraksts 
* Kā reizināt matricas 
* Kā operēt ar matricām