Sfēriskā ģeometrija

**Sfēriskā ģeometrija** ir ģeometrija uz sfēras virsmas. Lai gan sfēras virsma ir divdimensionāla, sfēriskā ģeometrija atšķiras no planimetrijas (Eiklīda ģeometrijas divās dimensijās), jo sfēras virsma ir izliekta, nevis plakana. Tā atšķiras arī no stereometrijas (Eiklīda ģeometrijas trijās dimensijās), jo sfēriskajā ģeometrijā tiek pieņemts, ka ārpus sfēras virsmas nekas cits neeksistē. Neskatoties uz to, bieži vien tiek pieņemts, ka sfēra atrodas trīsdimensiju telpā, lai varētu izmantot dažādas trīsdimensionālas palīgkonstrukcijas.

Sfēriskā ģeometrija ir visvienkāršākais neeiklīda ģeometrijas piemērs. Atšķirībā no Eiklīda ģeometrijas, neeiklīda ģeometrijās neizpildās Eiklīda piektais (jeb paralēļu) postulāts.

## Jēdzieni sfēriskajā ģeometrijā

; lielais riņķis
: Taisnes analogs sfēriskajā ģeometrijā ir *[[lielais riņķis]]* jeb sfēras šķēlums ar plakni, kas iet caur tās centru. Lai gan trīs dimensijās lielais riņķis nebūt neizskatās “taisns”, tā ir “taisnākā” līkne, ko var novietot uz sfēras virsmas. Citiem vārdiem, lielais riņķis ir līkne uz sfēras virsmas ar *vislielāko* iespējamo liekuma rādiusu (lielāks liekuma rādiuss nozīmē, ka līkne izskatās “taisnāka”). Lielā riņķa rādiuss ir vienāds ar sfēras rādiusu un tā centrs sakrīt ar sfēras centru. Lielo riņķi var viennozīmīgi uzdot ar tam perpendikulāru taisni, kas iet caur sfēras centru.

; lielā riņķa loks
: Tāpat kā nogrieznis, kas savieno divus plaknē esošus punktus, atbilst īsākajam ceļam starp šiem punktiem, *lielā riņķa [[Loks (matemātika)|loks]]* atbilst īsākajam ceļam starp diviem punktiem uz sfēras virsmas, ja atļauts pārvietoties tikai pa sfēras virsmu.

; leņķis
: Sfēriskajā ģeometrijā lielos riņķus var raksturot ar *[[leņķis|leņķi]]* starp tiem, tāpat kā plaknē raksturo taisnes, kas krustojas. Lai izmērītu šo leņķi, var iedomāties, ka punktu, kurā lielie riņķi krustojas, pietuvina tik tuvu, ka sfēras virsma “kļūst plakana” un lielie riņķi kļūst par taisnēm. Taču formāli leņķi starp diviem lielajiem riņķiem raksturo ar leņķi starp plaknēm, kurās tie atrodas. Šis leņķis ir vienāds arī ar leņķi starp lielajiem riņķiem perpendikulārām taisnēm, kas iet caur sfēras centru.

; sfēriskais trīsstūris
: Ja uz sfēras virsmas izvēlas trīs dažādus punktus un katrus divus no tiem savieno ar lielā riņķa loku, tad iegūst *sfērisko trīsstūri*. Sfēriskajā ģeometrijā trīsstūra leņķu summa *nekad* nav vienāda ar 180° - tā vienmēr ir lielāka. Piemēram, ja vienības sfēra atrodas taisnleņķa koordinātu sistēmas sākumpunktā un sfēriskā trīsstūra virsotnes ir punktos (1,0,0), (0,1,0) un (0,0,1), tad šī trīsstūra leņķu summa ir 270°, jo visi trīs tā leņķi ir taisni. Ja sfēriskā trīsstūra leņķi ir *α*, *β* un *γ*, tad
:: \pi 
: kur *π* = 180° un 3*π* = 540°. Plaknē ir iespējami līdzīgi trīsstūri (trīsstūri, kuriem sakrīt visi leņķi, bet atšķiras laukums), taču sfēriskā trīsstūra leņķi viennozīmīgi nosaka tā laukumu. Ja sfēriskā trīsstūra leņķi ir *α*, *β* un *γ* un tas atrodas uz sfēras ar rādiusu *r*, tad tā laukums ir
:: S = (\alpha + \beta + \gamma - \pi) r^2. \,
: Jo mazāks sfēriskā trīsstūra laukums *S*, jo tā leņķu summa ir tuvāka 180°. Sfēriskā trīsstūra ārpuse arī ir sfēriskais trīsstūris un tā laukums ir 4*πr*2 − *S*.

; sfēriskais daudzstūris
: *Sfēriskais daudzstūris* ir apgabals uz sfēras virsmas, kuru ierobežo vairāki lielo riņķu loki. Ja sfēriskajam daudzstūrim ir *n* virsotnes un tā leņķu summa ir *θ*, tad tā laukums ir
:: S = \bigl( \theta - (n - 2) \pi \bigr) r^2. \,

; antipods
: Divus diametrāli pretējus punktus uz sfēras virsmas sauc par *[[antipods|antipodiem]]* jeb *antipodāliem punktiem* (burtu “o” šajos vārdos izrunā kā vārdā *opera*). Piemēram, Ziemeļpols un Dienvidpols ir antipodāli punkti. Latvijas antipods atrodas Klusajā okeānā starp Jaunzēlandi un Antarktīdu. Ja antipodālus punktus savieno ar diviem atšķirīgiem lielo riņķu lokiem, iegūst *sfērisko “[[divstūris|divstūri]]”* (angliski *[[digon]]* jeb *[[lune]]*).

## Attālums starp diviem punktiem

Lai atrastu **īsāko ceļu** starp diviem punktiem uz sfēras virsmas, novelk plakni, kas iet caur dotajiem punktiem un sfēras centru. Šīs plaknes šķēlums ar sfēru ir lielais riņķis, kuru dotie punkti sadala divos lokos. Īsākais no šiem lokiem atbilst īsākajam ceļam starp dotajiem punktiem.

Lai aprēķinātu īsākā ceļa garumu, vienkāršības labad apskatīsim vienības sfēru, kas novietota koordinātu sākumpunktā. Tad dotos punktus var raksturot ar vienības vektoriem **r**0 un **r**1, bet attālumu starp tiem ar leņķi \alpha\, starp šiem vektoriem. Tā kā vektoru **r**0 un **r**1 skalārais reizinājums ir **r**0 · **r**1 = cos *α*, tad attālums starp punktiem ir
:
  d(\mathbf{r}_0, \mathbf{r}_1) = \arccos(\mathbf{r}_0 \cdot \mathbf{r}_1).

Šo formulu var lietot arī vienības hipersfērai (sfērai *n* dimensijās) jebkuram *n* ≥ 2. Interesanti, ka punkti uz vienības hipersfēras nevar atrasties tālāk kā \pi\,, neatkarīgi no dimensijas *n*.

Ja **r**0 ≠ −**r**1, tad īsāko ceļu starp **r**0 un **r**0 parametriski var izteikt šādi:
:
  \mathbf{r}(t) = \frac{ (1-t) \mathbf{r}_0 + t \, \mathbf{r}_1 }
                     {\| (1-t) \mathbf{r}_0 + t \, \mathbf{r}_1 \|},

kur parametrs *t* pieņem vērtības intervālā [0,1]. Arī šo formulu var lietot hipersfērai *n* ≥ 2 dimensijās.

## Reālā projektīvā plakne

Sfēriskā ģeometrija ir cieši saistīta ar projektīvo ģeometriju jeb ģeometriju, kurā tiek pētītas īpašības, kas projicējot paliek invariantas. Viens no vienkāršākajiem objektiem projektīvajā ģeometrijā ir **[[reālā projektīvā plakne]]**. To ir iespējams konstruēt vairākos veidos, no kuriem divi savstarpēji saistīti veidi ir aprakstīti zemāk.

### Konstrukcija sfēriskajā ģeometrijā

Sfēriskajā ģeometrijā reālo projektīvo plakni iegūst identificējot katru antipodālu sfēras punktu pāri kā vienu projektīvās plaknes *punktu* un uzskatot lielos riņķus par *taisnēm* projektīvajā plaknē. Var viegli pārliecināties, ka šīm *punkta* un *taisnes* definīcijām izpildās projektīvās ģeometrijas aksiomas:
* jebkuri divi atšķirīgi lielie riņķi krustojas tieši divos (antipodālos) punktos,
* starp katriem diviem atšķirīgiem antipodālu punktu pāriem var novilkt tieši vienu lielo riņķi.

### Konstrukcija Eiklīda ģeometrijā

Trīsdimensiju Eiklīda ģeometrijā taisnes un plaknes, kas iet caur koordinātu sākumpunktu, atbilst attiecīgi projektīvās plaknes *punktiem* un *taisnēm* (objektu dimensijas atšķiras par 1). Viegli pārliecināties, ka
* šķēlums jebkurām divām atšķirīgām plaknēm, kas iet caur koordinātu sākumpunktu, ir taisne, kas arī iet caur koordinātu sākumpunktu,
* jebkuras divas taisnes, kas iet caur koordinātu sākumpunktu atrodas vienā plaknē, kas arī iet caur koordinātu sākumpunktu.

## Atsauces

## Ārējās saites
* Spherical Geometry - Definitions, BBC, h2g2.
* John C. Polking, The Geometry of the Sphere.
* David C. Royster, Spherical Geometry, lekciju materiāli.
* Eric W. Weisstein, Spherical Geometry, MathWorld.
* .