Kvadrātsakne

thumb|Kvadrātsakne no x.
**Kvadrātsakne** matemātikā ir otrās pakāpes sakne no skaitļa. Kvadrātsakne no skaitļa *x* ir skaitlis *a*, kuru, reizinot pašu ar sevi, iegūst skaitli *x*, tas ir, a \cdot a = x. Skaitli *x* sauc par skaitļa *a* *kvadrātu*. Kvadrātsaknes vilkšana ir pretējā darbība skaitļa celšanai kvadrātā. Piemēram, 4 un -4 ir kvadrātsakne no 16. Ikvienam nenegatīvam reālam skaitlim *x* ir unikāla nenegatīva kvadrātsakne, kuru sauc par *galveno kvadrātsakni* un apzīmē ar simbolu \sqrt{x}, kur radikāļa simbolu \surd sauc par *saknes zīmi* vai *sakni*. Piemēram, galvenā kvadrātsakne no 9 ir 3, to pieraksta šādi: \sqrt{9} = 3, jo  un 3 ir nenegatīvs skaitlis. Skaitli vai izteiksmi *x*, kas atrodas zem saknes zīmes, sauc par *zemsaknes skaitli* vai *zemsaknes izteiksmi*, šajā piemērā tas ir 9. 

Ikvienam pozitīvam skaitlim ir divas kvadrātsaknes: \sqrt{x}, kas ir pozitīvs, un -\sqrt{x}, kas ir negatīvs. Īsāk to var pierakstīt \pm\sqrt{x}. Tomēr termins "*kvadrātsakne*" bieži tiek izmantots ar nozīmi *galvenā kvadrātsakne* \sqrt{x}. Pozitīvam *x* var lietot arī pakāpju pierakstu: *x*1/2.

Lai runātu par kvadrātsakni no negatīva skaitļa, ir jāapskata kompleksie skaitļi. Vispārīgi kvadrātsakni var aplūkot jebkurā kontekstā, kurā matemātiskiem objektiem ir definēta kāpināšana, piemēram, matricu algebrā. 

Trešās pakāpes sakni sauc par *[[kubsakne|kubsakni]]*.

## Vēsture
Babiloniešu māla plāksnīte  YBC 7289 no Jeilas Babiloniešu kolekcijas tika izveidota starp 1800. un 1600. gadu pirms mūsu ēras. Tajā ir attēlota \sqrt{2} un \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}} kā skaitļi 1; 24; 51; 10 un 0; 42; 25; 35 skaitīšanas sistēmā ar bāzi 60 uz kvadrāta, kurā krustojas tā divas diagonāles.

Rinda papiruss ir 1650. gada pirms mūsu ēras agrāka Berlīnes papirusa un citu rakstu kopija (iespējams, Kahuna papirusa), kurā attēlots, kā ēģiptieši izvilka kvadrātsakni, izmantojot apgriezto proporcionalitāti.

Senajā Indijā zināšanas par kvadrāta un kvadrātsaknes teorētiskajiem un praktiskajiem aspektiem ir vismaz tik pat senas, cik *[[Sulba Sūtras|Sulba]] [[Sūtra|Sūtras]]* , ap 800. - 500. gadu pirms mūsu ēras (iespējams, daudz agrāk). Metode, lai atrastu ļoti labus tuvinājumus kvadrātsaknei no 2 un 3, ir izklāstīta *[[Baudhayana Sūtra|Baudhayana Sūtrās]]*. Ārjabhata savā darbā *Aryabhatiya* (nodaļā 2.4) ir izklāstījis metodi, kā atrast kvadrātsakni no skaitļiem ar daudz cipariem.

Senajiem grieķiem bija zināms, ka kvadrātsakne no pozitīviem veseliem skaitļiem, kuri nav precīzi kāda skaitļa kvadrāts, vienmēr ir iracionāli skaitļi - skaitļi nav izsakāmi kā divu veselu skaitļu attiecība, tas ir, tos nevar uzrakstīt kā *m/n,* kur *m* un *n* ir veseli skaitļi. Teorēma par šo ir aprakstīta Eiklīda "Elementi" 10. grāmatā, teorēmas autors ir matemātiķis Teatets no Atēnām apmēram 380 gadus pirms mūsu ēras. \sqrt{2} ir tieši kvadrāta ar malas garumu 1 diagonāles garums.

Ķīniešu matemātiskajā darbā *[[Raksti par aprēķiniem]]*, rakstīts starp 202. un 186. gadu pirms mūsu ēras, kvadrātsakne ir aproksimēta, lietojot "pārpalikumu un deficītu" metodi.

Kvadrātsaknes simbolu, uzrakstītu kā izsmalcinātu R, izgudroja Regiomontans (1436-1476). Šāds pieraksts, lai apzīmētu kvadrātsakni, tika lietots arī Džerolāmo Kardāno darbā *Ars Magna*.

Saskaņā ar matemātikas vēsturnieku D. E. Smitu, Ārjabhata metodi kvadrātsaknes atrašanai pirmo reizi Eiropā ieviesa Kataneo 1546. gadā.

Saskaņā ar Džofriju A. Oaku, arābi lietoja burtu  *[[:en:Gimel#Arabic_.C4.9D.C4.ABm|jīm/ĝīm]]* (ج), tas ir pirmais burts no vārda “جذر” (tulkojums latviski: "sakne"), uzrakstītu tā sākotnējā formā (ﺟ) virs skaitļa, lai apzīmētu tā kvadrātsakni. Burts *jīm* atgādina pašreizējo kvadrātsaknes simbola formu. Tāds apzīmējums tika lietots līdz 12. gadsimta beigām Marokas matemātiķa Ibn al-Yasmin darbos.

Simbols \surd kvadrātsaknes apzīmēšanai pirmo reizi drukātā darbā ticis lietots 1525. gadā Kristofera Rūdolfa darbā *Coss*.

## Īpašības un lietojums
[thumb|520x520px|Funkcijas  <math>f(x)=\sqrt{x}</math> grafiks, kas veidots no parabolas puses ar vertikālu [Parabola|direktrisi.]]
Galvenās kvadrātsaknes funkcija f(x)=\sqrt{x} (parasti attiecināts uz "kvadrātsaknes funkcija") ir funkcija, kas reālo nenegatīvo skaitļu kopu attēlo par tādu pašu skaitļu kopu. Ģeometriskā interpretācija: kvadrātsaknes funkcija izsaka kvadrāta malas garumu, ja zināms ir tā laukums.

Kvadrātsakne no *x* ir racionāla tad un tikai tad, ja *x* ir racionāls skaitlis, kuru var attēlot kā divu racionālu skaitļu kvadrātu**.**  Kvadrātsaknes funkcija racionālus skaitļus attēlo kā algebriskus skaitļus.

Visiem reāliem skaitļiem *x*:

\sqrt{x^2}=|x|= \begin{cases} x, & \text{ja }x\geq\text{0} \\ -x, & \text{ja }x

Visiem reāliem nenegatīviem skaitļiem *x* un *y*:

\sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y}

un

\sqrt{x}=x^\frac{1}{2}.

Kvadrātsaknes funkcija ir nepārtraukta visiem nenegatīviem *x* un diferencējama visiem pozitīviem *x*. Ja *f* apzīmē kvadrātsaknes funkciju, tad tās atvasinājums ir:

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Teilora rinda izteiksmei \sqrt{1+x} konverģē, kad |x|\leqslant1, un ir dota:

\sqrt{1 + x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \textstyle \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots,

Kvadrātsakne no nenegatīva skaitļa ir izmantota, lai definētu Eiklīda normu (un distanci), kā arī vispārinājumos, piemēram, Hilberta telpa. Tā definē svarīgu standartnovirzes koncepciju, kuru izmanto varbūtību teorijā un statistikā. Tai ir liela nozīme formulās, lai atrastu kvadrātvienādojumu saknes. Kvadrātu lauki un kvadrātisko skaitļu gredzeni, kas ir balstīti uz kvadrātsaknēm, ir svarīgi algebrā un ir pielietojami ģeometrijā. Kvadrātsaknes bieži parādās arī citās matemātikas formulās, kā arī fizikas likumos.

## Aprēķināšana
Pārsvarā kalkulatoriem ir kvadrātsaknes poga. Tāpat arī kvadrātsaknes aprēķināšanai bieži izmanto datora izklājlapas un citas programmatūras. Parastajiem kalkulatoriem parasti ir ieviestas efektīvas procedūras, piemēram, Ņūtona metode (bieži ar sākotnējo pieņēmumu 1), lai aprēķinātu kvadrātsakni no pozitīva reāla skaitļa. Rēķinot kvadrātsakni ar logaritma tabulām vai logaritmiskajiem lineāliem, katrs var izmantot identitātes

\sqrt{a} = e^{(\ln a)/2} = 10^{(\log_{10} a)/2},

kur ln un log10 ir naturālais logaritms un decimālais logaritms (ar bāzi 10).

Lai atrastu kvadrātsakni \sqrt{a}, var lietot metodi, kurā aptuveni aplēš tās vērtību un tad to palielināt vai samazināt.Šai tehnikai noderīgi ir lietot identitāti

(x + c)^2 = x^2 + 2xc + c^2,

tā ļauj piemērot novērtēto *x* vērtību par noteiktu daudzumu *c* un aprēķināt piemērotās vērtības kvadrātu saistībā ar sākotnēji novērtēto vērtību *x* un tā kvadrātu. Turklāt *(x + c)<sup>2</sup> ≈ x<sup>2</sup> + 2xc,* kad c ir tuvu 0, jo grafika *x*2 + 2*xc* + *c*2 tangensiālā līnija punktā *c=0* *ir y = 2xc + x<sup>2</sup>*. Līdz ar to nelielas *x* vērtības izmaiņas var būt paredzamas pie nosacījuma, ka *a = 2xc* jeb *c* = *a*/(2*x*).

Kvadrātsaknes aprēķināšanā ar roku visbiežākā iteratīvā metode ir zināma kā "Babilonijas metode" jeb "Hērona metode", kuru pirmais aprakstīja sengrieķu matemātiķis Hērons. Šajā metodē tiek izmantota tāda paša iteratīvā shēma kādu dod Ņūtona metode, ja to piemēro funkcijai  y = *f*(*x*) = *x*2 − *a,* izmantojot to, ka tās slīpums katrā punktā ir *dy*/*dx* *= f(x) = 2x.* Algoritms ir atkārtot vienkāršu aprēķinu, kā rezultātā rodas skaitlis, kas ir tuvāks patiesajai kvadrātsaknes vērtībai katru reizi, kad aprēķins tiek atkārtots ar jau iegūto rezultātu. Motivācija ir tāda, ka, ja x ir pārvērtēta kvadrātsaknes vērtība, tad a/x  būs pārāk zems novērtējums, un vidējais aritmētiskais no šiem diviem skaitļiem būs labāks tuvinājums patiesajai kvadrātsaknes vērtībai nekā jebkurš no tiem atsevišķi. Tomēr nevienādība starp aritmētisko un ģeometrisko vidējo parāda, ka vidējā vērtība vienmēr būs pārvērtēta kvadrātsaknes vērtība, un to var izmantot kā jaunu pārvērtēto vērtību, lai atkārtotu algoritmu, kas konverģē uz secīgi pārvērtētām un nepietiekami novērtētām vērtībām, kas tuvojas viena otrai pēc katra algoritma iterācijas (atkārtojuma).Lai atrastu x:
# Sāk ar patvaļīgu  pozitīvu sākuma vērtību *x*. Jo izvēlētā vērtība ir tuvāka patiesajai kvadrātsaknes no *a* vērtībai, jo mazāk iterāciju būs nepieciešams, lai sasniegtu vēlamo precizitāti.
# Aizvieto *x* ar vidējo aritmētisko starp *a* un *a/x: (x + a/x) / 2.*
# Atkārto 2. soli, lietojot iegūto vidējo kā jaunu *x* vērtību.
Tas ir, ja \sqrt{a} patvaļīgais minējums ir *x<sub>0</sub>* un *x<sub>n + 1</sub> = (x<sub>n</sub> + a/x<sub>n</sub>) / 2,* tad katrs *x<sub>n</sub>* tuvinājums \sqrt{a}, kas ir precīzāks ar lielāku *n* nekā mazāku. Ja *a* ir pozitīvs, tad konverģence ir kvadrātiska, kas nozīmē, ka, tuvojoties robežai, pareizo ciparu skaits aptuveni dubultojas ar katru nākamo iterāciju. Ja *a = 0* , konverģence ir tikai lineāra. 

Kvadrātsaknes no pozitīva skaitļa aprēķināšanai var lietot identitāti

\sqrt{a} = 2^{-n}\sqrt{4^n a}

skaitļiem, kas pieder intervālam [1, 4). Tas atvieglo sākuma vērtības atrašanu skaitļiem iteratīvajai metodei, lai tā būtu pēc iespējas tuvāka kvadrātsaknei. Tam var izmantot arī polinoma aproksimāciju 

Kvadrātsaknes aprēķināšana līdz precizitātei ar *n* cipariem aizņem tik pat daudz laika, cik sareizināt  divu *n*-ciparu skaitļus. 

Kvadrātsaknes funkcijas nosaukumi ir atkarīgi no programmēšanas valodas. Bieži izmantots tiek apzīmējums sqrt, piemēram, valodās C, C++, JavaScript, PHP un Python.

## Kvadrātsakne no negatīva skaitļa un kompleksie skaitļi

Attēls:Complex sqrt leaf1.jpg|Pirmā kompleksas kvadrātsaknes daļa
Attēls:Complex sqrt leaf2.jpg|Otrā kompleksas kvadrātsaknes daļa
Attēls:Riemann surface sqrt.svg|Izmantojot Rīmaņa virsmu, attēlotas abu komplekso kvadrātsakņu daļas kopā.


Jebkura pozitīva vai negatīva skaitļa kvadrāts ir pozitīvs, un 0 kvadrāts ir 0. Tādēļ nevienam negatīvam skaitlim nevar būt reāla kvadrātsakne. Tomēr ir iespējams darboties ar kompleksajiem skaitļiem, ar kuriem var uzrakstīt negatīva skaitļa kvadrātsaknes vērtību. Ir jāievieš jauns skaitlis, to apzīmē ar *i* un sauc par imagināro vienību, kuru definē kā i^2=-1. Lietojot šo apzīmējumu, *i* var uzskatīt par kvadrātsakni no -1, bet ir jāpiezīmē, ka (-i)^2=i^2=-1, tātad arī *-i* ir kvadrātsakne no -1. Tiek pieņemts, ka galvenā kvadrātsakne no -1 ir *i*, vispārināti: ja *x* ir jebkurš nenegatīvs skaitlis, tad galvenā kvadrātsakne no *-x* ir 

\sqrt{-x}=i\sqrt{x}.

Labā puse (tāpat kā tās negatīvā vērtība) patiesi ir kvadrātsakne no *-x*, jo 

(i\sqrt x)^2 = i^2(\sqrt x)^2 = (-1)x = -x.

Katram no nulles atšķirīgam kompleksam skaitlim *z* eksistē tieši divi skaitļi *w*, ka w^2=z: galvenā kvadrātsaknes vērtība no *z* un tā negatīvā vērtība. 

### Kvadrātsakne no imagināra skaitļa
thumb|350px|Kvadrātsakne no ''i'' kompleksā plaknē
Kvadrātsakne no *i* ir dota kā

\sqrt{i} = \frac{1}{2}\sqrt{2} + i\frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).

Iegūto rezultātu var iegūt algebriski, atrodot tādus *a* un *b*, ka 

i = (a+bi)^2=a^2+2abi-b^2.

No tā var iegūt divu nezināmo vienādojumu sistēmu 

\begin{cases}
2ab = 1\! \\
a^2 - b^2 = 0\!
\end{cases}

ar rezultātu

a = b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.

No tā galvenā kvadrātsakne ir 

a = b = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Rezultātu var iegūt arī, lietojot Moivra formulu:

i = \cos\left (\frac{\pi}{2}\right ) + i\sin\left (\frac{\pi}{2}\right ),

no kā izriet, ka 

\begin{align}
 \sqrt{i} & = \left ( \cos\left ( \frac{\pi}{2} \right ) + i\sin \left (\frac{\pi}{2} \right ) \right )^{\frac{1}{2}}  \\
              & = \cos\left (\frac{\pi}{4} \right ) + i\sin\left ( \frac{\pi}{4} \right ) \\
              & = \frac{1}{\sqrt{2}} + i\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right ) = \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i) . \\
\end{align}
thumb|Vizuālais attēlojums līdz sestās pakāpes saknei no kompleksa skaitļa ''z,'' polārā formā ''re<sup>iφ</sup>'', kur  ''φ'' = arg ''z'' un ''r'' = ''z'' . Ja ''z'' ir reāls, tad ''φ'' = 0 vai π. Galvenā sakne ir iekrāsota melna.

### Galvenā kvadrātsakne no kompleksa skaitļa
Lai definētu vērtību, kura ļautu konstanti izvēlēties vienu un to pašu skaitli, sauktu par galveno kvadrātsaknes vērtību, no sākuma ir jāievēro, ka jebkurš komplekss skaitlis x+iy var tik uzskatīts kā punkts plaknē ar koordinātēm (*x*, *y*) Dekarta ortogonālo koordinātu sistēmā. Tas pats punkts var tikt aprakstīts, izmantojot polāro koordinātu sistēmu, ar (*r, φ*), kur r\geqslant0 raksturo distanci no koordinātu sākumpunkta un *φ* apraksta leņķi, kuru veido vektors *r* ar *x* ass pozitīvo virzienu. Kompleksajā analīzē šo vērtību visbiežāk raksta kā re^{i \varphi}. Ja 

z=r e^{i \varphi} \text{ ,kad } -\pi  

tad galveno kvadrātsaknes vērtību no *z* definē kā:

\sqrt{z} = \sqrt{r} \, e^{i \varphi / 2}.

Kvadrātsaknes galvenās vērtības funkcija ir holomorfiska visur, izņemot  nepozitīvu reālu skaitļu kopā. \sqrt{x+1} izvirzījums Teilora rindā ir patiess kompleksiem skaitļiem, kamēr |x|.

Augstāk teiktais var tikt arī aprakstīts, izmantojot trigonometriskās funkcijas: 

\sqrt{r \left(\cos \varphi + i \, \sin \varphi \right)} = \sqrt{r} \left [ \cos \frac{\varphi}{2} + i \sin \frac{\varphi}{2} \right ] .

### Algebriskā formula
Kad skaitlis ir izteikts Dekarta koordinātās, galvenajai kvadrātsaknei var izmantot formulu:

\sqrt{z} = \sqrt{\frac{|z| + \operatorname{Re}(z)}{2}} \pm i\ \sqrt{\frac{|z| - \operatorname{Re}(z)}{2}},

kur imaginārās daļas zīme ir tāda pati, kā sākotnējā skaitļa *z* imaginārās daļas zīme vai pozitīva, ja tā ir nulle. Galvenās kvadrātsaknes reālā daļa vienmēr ir nenegatīva. 

### Piezīmes
Kvadrātsaknes funkcija kompleksajā plaknē nav nepārtraukta, tāpēc kopumā šīs sakarības **nav patiesas**:
* \sqrt{zw} = \sqrt{z} \sqrt{w} (izņēmums galvenajai kvadrātsaknei: *z* = -1 un *w* = -1)
* \frac{1}{\sqrt z} = \sqrt{\frac{1}{z}} (izņēmums galvenajai kvadrātsaknei: *z* = -1)
* \sqrt{z^*} = \left( \sqrt z \right)^*(izņēmums galvenajai kvadrātsaknei: *z* = -1)
Līdzīgas problēmas parādās arī ar citām kompleksām funkcijām, piemēram, kompleksais logaritms un sakarība log z+log w=log(zw) vai log(z^*)=log(z)^*, kas kopumā nav patiesas. 

Kļūdaini pieņemot kādu no šīm sakarībām par patiesu, var nonākt pie nepareiziem pamatojumiem un pieņēmumiem, piemēram, ka -1 = 1:

\begin{align}
-1 &= i \cdot i \\
&= \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \\
&= \sqrt{\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)} \\
&= \sqrt{1} \\
&= 1
\end{align}

## Kvadrātsakne no matricas un operatora
Ja matrica *A* ir pozitīvi noteikta matrica vai operators, tad eksistē viena vienīga matrica vai operators *B*, kuram izpildās B^2=A; tātad arī A^{1/2}=B, bet vispārīgi matricām var būt vairākas saknes, pat bezgalīgi daudz atšķirīgu sakņu. Piemēram: 2×2 vienības matricai ir bezgalīgi daudz sakņu, bet tikai viena no tām ir pozitīva noteikta

## Galvenā kvadrātsakne no pozitīviem veseliem skaitļiem

### Decimālais pieraksts
Kvadrātsakne no perfektiem skaitļu kvadrātiem (1, 4, 9, 16, utt.) ir veseli skaitļi. Visos citos gadījumos kvadrātsakne no pozitīviem, veseliem skaitļiem ir iracionāli skaitļi, tādēļ to decimālais attēlojums ir neperiodisks decimālais skaitlis. 
:
Kvadrātsakni var pierakstīt arī kā reizinājumu, piemēram:
* \sqrt{8} \ = \ \sqrt{4}\sqrt{2} \ = \ 2\sqrt{2}
* \sqrt{12} \ = \ \sqrt{4}\sqrt{3} \ = \ 2\sqrt{3}
* \sqrt{18} \ = \ \sqrt{9}\sqrt{2} \ = \ 3\sqrt{2}
* \sqrt{20} \ = \ \sqrt{4}\sqrt{5} \ = \ 2\sqrt{5}

### Kā periodiski nepārtraukti daļskaitļi.
Vienu no viss interesantākajiem atklājumiem pētījumā par iracionāliem skaitļiem kā nepārtrauktiem daļskaitļiem veica Žozefs Lagranžs 1780. gadā. Lagranžš ievēroja, ka kvadrātsakne no pozitīviem veseliem skaitļiem ir periodisks nepārtrauktu daļskaitļu attēlojums. Tas ir, parciālie dalītāji atkārtojās bezgalīgi noteiktā veidā. Savā ziņā šīs kvadrātsaknes ir paši vienkāršākie iracionālie skaitļi, jo tie var tikt attēloti ar vienkāršu, periodisku veidu.
:
Kvadrātiekavas augstāk redzamajā pierakstā ir sava veida matemātiskais pieraksts, kurš tika ieviests, lai tiktu ietaupīta vieta. Tradicionālākā pierakstā nepārtraukts daļskaitlis, piemēram kvadrātsakne no 11, [3,3,6,3,6…] tiek attēlota kā:

\sqrt{11} = 3 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{3 + \ddots}}}}}

kur divu skaitļu {3,6} raksts turpinās atkal un atkal parciālajos dalītājos. Tā kā 11=3^2+2, augstāk redzamais ir identisks: 

\sqrt{11} = 3 + \cfrac{2}{6 + \cfrac{2}{6 + \cfrac{2}{6 + \cfrac{2}{6 + \cfrac{2}{6 + \ddots}}}}} = 3 + \cfrac{6\cdot 1}{20-1 - \cfrac{1}{20 - \cfrac{1}{20 - \cfrac{1}{20 - \ddots}}}}.

## Kvadrātsaknes ģeometriskā konstruēšana
thumb|350px|Teodora spirāle
Kvadrātsakne no pozitīva skaitļa tiek interpretēta kā kvadrāta mala, kura laukums ir vienāds ar doto skaitli. Bet kvadrāta forma nav obligāta: ja vienam no diviem līdzīgiem planāriem Eiklīda objektiem laukums ir *a* reizes lielāks kā otram, tad attiecība starp to lineārajiem lielumiem joprojām būs \sqrt{a}.

Kvadrātsakni ir iespējas konstruēt, izmantojot kompasu un lineālu. Savā grāmatā *Elementi* Eiklīds aprakstīja, kā konstruēt divu lielumu ģeometrisko vidējo divos veidos: Piedāvājums II.14 un Piedāvājums VI.13. Tā kā *a* un *b* ģeometriskais vidējais ir \sqrt{ab}, tad \sqrt{a} var viegli konstruēt, ņemot *b* = 1.

Eiklīda 2. pierādījums 4. grāmatā pamatojas uz teorēmu par līdzīgiem trijstūriem. Pieņem, ka AHB ir līnija ar garumu *a* + *b*, ka *a* = AH un *b* = HB. Konstruē riņķa līniju ar diametru AB un novelk perpendikulu pret AB no punkta H. Punkts C ir, kur perpendikuls krusto riņķa līniju. Pieņem, ka HC = *h*. Pamatojoties uz Tallesa teorēmu un Pitagora pierādījumu, izmantojot līdzīgu trijstūrus, trijstūris AHC ir līdzīgs trijstūrim CHB, no tā AH:CH un HC:HB, tas ir a/h=h/b, no tā h^2=ab. Pieņemot AH kā vienības nogriezni (*a* = 1), h=\sqrt{b}. Tātad nogriežņa HC garums ir kvadrātsakne no nogreižņa HB garuma, un ir uzkonstruēta kvadrātsakne.

Vēl viena metode, kā ģeometriski konstruēt kvadrātsakni, ir izmantojot taisnleņķa trījstūri un matemātisko indukciju: \sqrt{1}, protams, var konstruēt, un, kad ir \sqrt{x} uzkonstruēts, taisnleņķa trīsstūra katetes būs 1 un \sqrt{x}, bet hipotenūza \sqrt{x+1}. Teodora spirāle tiek konstruēta, atkārtoti konstruējot taisnleņķa trīsstūrus.

## Atsauces


## Ārējās saites
* Kalkulators kvadrātsaknes aprēķināšanai
* Kvadrātsakņu vērtības skaitļiem 1 - 100 
* Kvadrātsaknes konstruēšana