Trigonometriskās funkcijas

thumb|350px|Trigonometrisko funkciju grafiki: <span style="color:#00A">sinuss</span>, <span style="color:#0A0">kosinuss</span>, <span style="color:#A00">tangenss</span>, <span style="color:#0AA">kotangenss</span>, <span style="color:#A0A">sekanss</span>, <span style="color:#AA0">kosekanss</span>
**Trigonometriska funkcija** ir jebkura no funkcijām sin *x*, cos *x*, tg *x*, ctg *x*, sec *x* un cosec *x*, kur arguments *x* ir leņķis. Raksturīga šo funkciju īpašība ir to periodiskums.
Ne katra periodiska funkcija, kuras arguments ir leņķis, ir trigonometriska funkcija. Piemēram, funkcija e^{\sin x} + \cos x nav trigonometriska funkcija.

## Trigonometrisko funkciju uzskaitījums
350px|thumb|right|Vienības aplis ar kosinusa un sinusa vērtībām

## Trigonometrisko funkciju īpašības
### Galvenās vienādības
Tā kā sinuss un kosinuss ir attiecīgi punkta ordināta un abscisa, kas atbilst leņķa α riņķim, tad, atbilstoši Pitagora teorēmai

:  \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. \qquad \qquad \,

Dalot šīs vienādības abas puses ar sinusa kvadrātu vai kosinusa kvadrātu, iegūstam:

:  1 + \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \cos^2 \alpha}, \qquad \qquad  \,
:  1 + \mathop{\mathrm{ctg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \sin^2 \alpha}. \qquad \qquad  \,

### Nepārtrauktība
Sinuss un kosinuss ir nepārtrauktas funkcijas, bet tangensam, kotangensam, sekansam un kosekansam ir pārtraukuma punkti \pm\frac{\pi}{2},\;\pm\pi,\;\pm\frac{3\pi}{2},\;\dots kotangenss un kosekanss — 0,\;\pm\pi,\;\pm2\pi,\;\dots

### Paritāte
Kosinuss un sekanss ir funkcijas, kurām ir simetrija attiecībā uz funkcijas zīmes maiņu. Pārējām četrām funkcijām tādas īpašības nav, t.i.:

:  \sin \left( - \alpha \right)  = - \sin \alpha \,,
:  \cos \left( - \alpha \right)  =  \cos \alpha \,,
:  \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,,
:  \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,,
:  \sec \left( - \alpha \right)  =  \sec \alpha \,,
:  \mathop{\mathrm{cosec}}\, \left( - \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{cosec}}\, \alpha \,.

### Periodiskums

Funkcijas y=\sin\alpha, y=\cos\alpha, y=\sec\alpha un y=\csc\alpha ir periodiskas funkcijas ar periodu 2\pi. Savukārt, funkcijas y=\tan\alpha un y=\cot\alpha ir periodiskas ar periodu \pi

### Saskaitīšanas formulas
Summas trigonometriskās funkcijas nozīme un divu leņķu starpība:
:  \sin\left( \alpha \pm \beta \right)= \sin\alpha \, \cos\beta \pm \cos\alpha \, \sin\beta,
:  \cos\left( \alpha \pm \beta \right)= \cos\alpha \, \cos\beta \mp \sin\alpha \, \sin\beta,
:  \operatorname{tg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{tg}\,\alpha \pm \operatorname{tg}\,\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\,\alpha \, \operatorname{tg}\,\beta},
:  \operatorname{ctg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta \mp 1}{\operatorname{ctg}\,\beta \pm \operatorname{ctg}\,\alpha}.

Līdzīgas formulas trim leņķiem:
: \sin \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma,
: \cos \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma - \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma.

### Formulas leņķu daudzkārtņiem

Divkārša leņķa formulas:
: \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha},
: \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
: \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha},
: \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{1}{2}\left(\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha \right).

Trīskārša leņķa formulas:
: \sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,
: \cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,
: \operatorname{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatorname{tg}^2\,\alpha},
: \operatorname{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{3\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha - 1}.

Citas leņķu daudzkārtņu formulas:
: \sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),
: \cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1,
: \operatorname{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatorname{tg}\,\alpha - 4\,\operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatorname{tg}^2\,\alpha + \operatorname{tg}^2\,\alpha},
: \operatorname{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 4\,\operatorname{ctg}\,\alpha},

: \sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha 
: \cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha 
: \operatorname{tg}\,5\alpha=\operatorname{tg}\alpha\frac{\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+5}{5\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+1} 
:  \sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right) 

Pusleņķa formulas:
: \sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,
: \cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,
: \operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},
: \operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha},
: \operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}},\quad 0 \leqslant \alpha 
: \operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}},\quad 0 

### Reizināšana
Formulas divu leņķu reizināšanai:
: \sin\alpha \sin\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2},
: \sin\alpha \cos\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2},
: \cos\alpha \cos\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{2},
: \operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{tg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)},
: \operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\beta) -\sin(\alpha-\beta)},
: \operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}.

Līdzīgas formulas triju leņķu sinusu un kosinusu reizināšanai:
: \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) + \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},
: \sin\alpha \sin\beta \cos\gamma = \frac{-\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) - \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4},
: \sin\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) - \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},
: \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) + \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4}.
Attiecīgās formulas triju leņķu tangensiem un kotangensiem var iegūt, izdalot augstāk minēto vienādojumu labās puses ar kreisajām.

### Pakāpes

### Summas
:  \sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{\alpha \mp \beta}{2} 
:  \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} 
:  \cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} 
:  \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha \pm \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} 
:  1 \pm \sin {2 \alpha} = (\sin \alpha \pm \cos \alpha)^2 .
Funkcijām ar argumentu x ir vienādojums:
:A \sin x + B \cos x = \sqrt{A^2 + B^2}\sin( x + \phi ),
kur leņķi \phi atrod pēc formulas:
:\sin \phi =  \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \cos \phi =  \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}.

### Tangensa vienādības

Jebkuru trigonometrisko funkciju var izteikt kā pusleņķa tangensu.

\sin x = \frac{\sin x}{1} = \frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}} =\frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\cos x = \frac{\cos x}{1} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}} =\frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\operatorname{tg}~x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\operatorname{ctg}~x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}

\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\operatorname{cosec}~x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} {2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}

## Trigonometrisko funkciju galveno vērtību tabula

### Trigonometrisko funkciju vērtības nestandarta leņķiem

\operatorname{tg} \frac{\pi}{120}= \operatorname{tg} 1,5^\circ =\sqrt{\frac{8-\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})} - \sqrt{
2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})}}{8+\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})}+\sqrt{2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})}
}}

\cos \frac{\pi}{240}=\frac{1}{16}\left(\sqrt{2-k} \left(\sqrt{2(5+\sqrt{5})}+\sqrt{3}-\sqrt{15} \right) + \sqrt{2+k} \left (\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5} - 1 \right) \right), kur k=\sqrt{2+\sqrt{2}}.

\cos \frac{\pi}{17} = \frac{1}{8}\sqrt{2 \left(2\sqrt{\sqrt{\frac{17k}{2}}
-\sqrt{\frac{k}{2}}-4\sqrt{2(17+\sqrt{17})} + 3\sqrt{17}+17}+\sqrt{2k}+\sqrt{17}+15 \right)}, kur k = 17 - \sqrt{17}

## Trigonometrisko funkciju skaitlisko vērtību tabula

:


## Skatīt arī

* Sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss, sekanss, kosekanss
* Trigonometrisko funkciju integrēšana
* Inversās trigonometriskās funkcijas
* Periodiska funkcija
* Leņķis
* Taisnleņķa trijstūris

## Ārējās saites

* Eric W. Weisstein, Trigonometric Functions, MathWorld.