Rīmaņa integrālis

right|thumb|250x250px| Rīmaņa integrāļa ģeometriskā jēga
**Rīmaņa integrālis** ir viens no svarīgākajiem matemātiskās analīzes jēdzieniem. Bernhards Rīmanis ieviesa šo jēdzienu 1854. gadā, un tā ir viena no pirmajām integrāļa jēdziena formalizācijām.

## Neformāls ģeometriskais apraksts
left|thumb| Rīmaņa summa (kopējais taisnstūru laukums) robežā, samazinot dalījumu, norāda laukums zem grafika.
Rīmanis formalizēja Ņūtona un Leibnica izstrādāto integrāļa jēdzienu, kā laukumu zem fukcijas grafika (figūra, kas ierobežota ar grafika līkni no vienas puses un ar abscisu asi no otras puses).

Lai to izdarītu, viņš izpētīja figūras, kas sastāv no vairākiem vertikāliem taisnstūriem, kuru pamati kopā veido integrācijas intervālu un tiek iegūti, sadalot intervālu (sk. zīmējumu) vairākās daļās.

Šādas figūras, kas sadalīta apakšintervālos ar platumu \Delta x_i (ne obligāti vienādu visiem taisnstūriem), kuru augstums ir f(x_i), laukums *S* ir izsakāms kā integrālsumma:

: S = \sum_i f(x_i) \Delta x_i.

Ja eksistē robeža, uz kuru tiecas laukums *S* (integrālsumma) jebkuram izvēlētam sadalījumam (kad lielākais no \Delta x_i tiecas uz nulli), tad šo robežu sauc par Rīmaņa integrāli šajā intervālā.

## Definīcijas

### Ar integrālsummām
Pieņem, ka funkcija f, kas pieņem reālas vērtībās, tiek definēta slēgtā intervālā [a,b].

Aplūko intervāla sadalījumu a=x_0  — galīgs punktu skaits dotajā intervālā. Šis sadalījums sadala intervālu [a,b]  *n* apakšintervālos [x_{i-1}, x_{i}],\; i=1\dots n. Garāko no sadalījuma apakšintervāliem apzīmē ar \delta R = \max (\Delta x_i ), šo skaitli sauc par sadalījuma **normu**, kur \Delta x_i = x_i - x_{i - 1}  — *i*-tā apakšintervāla garums.

Katrā sadalījuma apakšintervālā brīvi izvēlas punktu \xi _i \in [x_{i-1}, x_i]. Izteiksmi \sigma _x = \sum\limits_{i = 1}^n {f(\xi _i )\Delta x_i } sauc par **[[Rīmaņa summa|intergālsummu]].**

Ja sadalījuma norma tiecas uz nulli un integrālsumma tiecas uz to pašu skaitli neatkarīgi no \xi _i \in [x_{i-1}, x_i] izvēles, tad šo skaitli sauc **par** funkcijas f **integrāli**  intervālā [a,b], tas ir, \int\limits_a^b f(x)\,dx = \lim \limits_{\delta R \to 0} \sigma _x .

Šajā gadījumā saka, ka funkcija f ir **integrējama (pēc Rīmaņa)** intervālā [a,b]; pretējā gadījumā funkcija f ir **neintegrējama (pēc Rīmaņa)** intervālā [a,b].

## Īpašības

# **Nedeģenerācija**: \int\limits_{a}^{b} 1\,dx = b-a. 
# **Pozitivitāte**: ja integrējama funkcija f ir nenegatīva, tad tās integrālis intervālā [a,b] arī ir nenegatīvs. 
# **Linearitāte**: ja funkcijas f un g integrējamas un \alpha, \beta \in\R tad funkcija \alpha f + \beta g arī ir integrējama, un \int\limits_a^b (\alpha f(x) +\beta g(x))\,dx = \alpha \int\limits_a^b f(x)\,dx + \beta \int\limits_a^b g(x)\,dx. 
# **Nepārtrauktība**: ja integrējamas funkcijas f_i vienmērīgi saplūst intervālā [a,b] funkcijā f, tad f integrējama un \lim_{i\to\infty} \int\limits_a^b f_i(x)\,dx = \int\limits_a^b f(x)\,dx (šo formulu var iegūt kā formālas sekas no īpašībām 1-3 un robežfunkcijas integrējamības). 
# **Aditivitāte, sadalot intervālu**: Ja a, funkcija f ir integrējama intervālā [a,c] tad un tikai tad, ja tā ir integrējama katrā no intervāliem [a,b] un [b,c], un līdz ar to\int\limits_a^c f(x)\,dx = \int\limits_a^b f(x)\,dx + \int\limits_b^c f(x)\,dx. 
# Ja funkcija F ir primitīvā funkcija nepārtrauktai funkcijai f, tad funkcijas f integrāli  intervālā [a,b] var aprēķināt pēc Ņūtona-Leibnica formulas: nF(b)-F(a) (tā ir visu integrāļu vispārīga īpašība, kas atbilst 1.—5. īpašībai, un darbojas ne tikai Rīmaņa integrālim). Kādā intervālā nepārtrauktai funkcijai f vienmēr eksistē primitīvā funkcija, un katrai primitīvajai funkcijai ir šāda forma: F(x) = \int\limits_{a}^{x}f(t)dt + C kur C ir patvaļīga konstante.

## Nosacījumi Rīmaņa integrāla pastāvēšanai
Kādā intervālā nepārtraukta funkcija vienmēr ir integrējama pēc Rīmaņa (1.—5. īpašības sekas). Pārtrauktas funkcijas var būt integrējamas, bet var arī nebūt. Piemērs funkcijai, kas nav integrējama pēc Rīmaņa, var būt pārtrauktā Dirihlē funkcija.

### Lebega kritērijs funkcijas integrēšanai pēc Rīmaņa
Funkcija ir integrējama pēc Rīmaņa intervālā [a,b], tad un tikai tad, ja šajā intervālā tā ir ierobežota un tās pārtraukuma punktu Lebega mērs ir nulle — ierobežota funkcija ar galīgu vai sanumurējamu pārtraukuma punktu kopu ir integrējama.
 
### Cits kritērijs
Lai funkcija f(x) būtu integrējama intervālā[a, b], ir nepieciešams un pietiek ar to, ka summa \sum_{i=1}^{n} \omega_{i} \Delta_{i} tiecas uz nulli ar sadalījuma diametru d.

:: svārstības \omega funkcijas f kopā E - ir starpība \sup_{E} f(x) - \inf_{E} f(x) , 
:: sadalījuma diametrs d = \sup_{i}(x_{i} - x_{i-1}).

### Dažas funkciju klases integrējamas pēc Rīmaņa
Zemāk ir minētas dažas funkciju klases, kurām vienmēr pastāv Rīmaņa integrāļa vērtība .

* Nepārtrauktas funkcijas intervālā [a,b]. 
* Funkcijas, kas ierobežotas intervālā [a,b] un tām šajā intervālā ir ierobežots skaits pārtraukumu punktu. 
* Monotonas ierobežotas funkcijas.

## Vēsture
Iepriekš minēto integrāla definīciju deva Košī, tā tika izmantota tikai nepārtrauktām funkcijām.

Rīmanis 1854. gadā (publicēts 1868. gadā  ) sniedza tādu pašu definīciju neņemot vērā nepārtrauktību. Darbū (1879) sniedza mūsdienīgu Rīmaņā teorijas izklāstu.

## Skatīt arī
* Lebega integrālis un tam pielīdzināmais Daniela integrālis, Junga integrālis 
* Stiltjesa integrālis 
* Vairākkārīgais Rīmaņa integrālis 
* Neīstais integrālis

## Atsauces

## Ārējās saites
* Nenoteiktu un definētu integrāļu tabulas - EqWorld: Matemātisko vienādojumu pasaule. 
* Rīmaņa integrāļa stingra definīcija.