Eilera formula

thumb|300x300px|Kompleksās plaknes vienības riņķis, kur <math> y </math> ass ir imagināra un <math> x </math> ass ir reāla. Riņķi atlikta eilera formula.
**Eilera formula**, kas nosaukta Leonarda Eilera vārdā, ir formula komplekso skaitļu analīzē, kas saista trigonometriskās funkcijas ar kompleksas pakāpes funkciju. Eilera formula apgalvo, ka jebkuram reālam skaitlim  x  izpildās:

 e^{ix} = \cos{x} + i \sin{x} , kur  e  ir Eilera skaitlis,  i  ir imaginārā vienība un  \cos ,  \sin  ir trigonometriskās funkcijas kosinuss un sinuss. Formula ir arī spēkā, ja  x  ir komplekss skaitlis.

Kad  x = \pi , Eilera formula ir vienāda ar  e^{i \pi} = -1 , ko dēvē arī par Eilera identitāti

## Kompleksas pakāpes definīcijas

### Diferenciālvienādojums
Pakāpes funkcija  f(z) = e^{z} , kur  z  ir komplekss skaitlis ir unikāla atvasināma funkcija ar kompleksu mainīgo, kurai izpildās šādas īpašības:

 \frac{df}{dz} = f  un

 f(0) = 1 

### Teilora rinda
Priekš kompleksiem mainīgajiem  z  izpildās Teilora rinda:

 e^z = 1 + \frac{z}{1!} + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + ... = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} .

### Robeža
Priekš kompleksiem mainīgajiem  z  izpildās robeža:

 e^z = \lim_{n\rightarrow \infty } (1 + \frac{z}{n})^n 

Robežās definīcijas izmantotie  n  ir pozitīvie veselie skaitļi.

## Pierādījumi
Pastāv vairāki formulas pierādījumi.

### Izmantojot atvasināšanau
Apskatīsim funkciju  f(\theta) = \frac{\cos{\theta} + i \sin{\theta}}{e^{i \theta}}  jeb  f(\theta) = e^{-i \theta} (\cos{\theta} + i \sin{\theta}) , kur  \theta  ir reāls skaitlis. Atvasinot pēc  \theta  ar reizināšanas kārtulu iegūst:

 \frac{df(\theta)}{d  \theta} = -i e^{-i \theta}(\cos{\theta} + i \sin{\theta}) + e^{-i \theta} (-\sin{\theta} + i \cos{\theta}))  , iznesot pirms iekavām  e^{-i \theta}    iegūst  e^{-i \theta}(-i\cos{\theta} + \sin{\theta} -\sin{\theta} + i \cos{\theta} ) . Tā kā visi iekavas locekļi noīsinās, tad  \frac{df(\theta)}{d \theta}   ir nulle, jeb  f(\theta)  ir konstanta funkcija. Tā kā  f(0) = 1 , tad pie jebkuras vērtības  \theta  izpildās  f(\theta) = \frac{\cos{\theta} + i \sin{\theta}}{e^{i \theta}} = 1 , jeb  \cos{\theta} +i \sin{\theta} = e^{i \theta} .

### Izmantojot Teilora rindu
thumb|300x300px|Teilora rindas pierādījuma animācija
Izmantojot imaginārās vienības  i  pakāpju īpašības:

 \begin{align}
i^0 &= 1, & i^1 &= i, & i^2 &= -1, & i^3 &= -i, \\
i^4 &= 1, & i^5 &= i, & i^6 &= -1, & i^7 &= -i \\
&\vdots   & &\vdots   & &\vdots    & &\vdots
\end{align}  

Tagad var izmantot kompleksās pakāpes Teilora rindas definīciju priekš reāliem skaitļiem  x :

 \begin{align}
 e^{ix} &= 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + \frac{(ix)^7}{7!} + \frac{(ix)^8}{8!} + \cdots \\[8pt]
 &= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - \frac{ix^7}{7!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots \\[8pt]
 &= \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \right) \\[8pt]
 &= \cos x + i\sin x ,
\end{align} 

Pēdējā solī tiek pamanīts, ka divas bezgalīgās rindas konverģē uz  \cos{x}  un  \sin{x}  funkcijām. Šādi grupēt mainīgos drīkst, jo pati bezgalīgā rinda pēc absolūtās vērtības konverģē.

## Saistība ar trigonometriju
thumb|300x300px|Saistība sinusa, kosinusa un imaginārās pakāpes funkcijai.
Izmantojot Eilera formulu, trigonometrisko funkciju definīcijas un pakāpju īpašības, iespējams pierādīt lielu daļu trigonometrisko identitāšu.

 \begin{align}
\cos x &= \operatorname{Re} \left(e^{ix}\right) =\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \\
\sin x &= \operatorname{Im} \left(e^{ix}\right) =\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}.
\end{align} 

Šīs divas izteiksmes var iegūt, saskaitot un atņemot Eilera formulas un izsakot  \cos  vai  \sin :

 \begin{align}
e^{ix}  &= \cos x + i \sin x, \\
e^{-ix} &= \cos(- x) + i \sin(- x) = \cos x - i \sin x
\end{align} 

Kompleksās pakāpes var vienkāršot trigonometriju, jo tās ir vieglāk pārveidot. Piemēram:

 \begin{align}
\cos x \cos y &= \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \cdot \frac{e^{iy}+e^{-iy}}{2} \\
 &= \frac 1 2 \cdot \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2} \\
 &= \frac 1 2 \bigg( \frac{e^{i(x+y)} + e^{-i(x+y)}}{2} + \frac{e^{i(x-y)} + e^{-i(x-y)}}{2} \bigg)\\
 &= \frac 1 2 \left( \cos(x+y) + \cos(x-y) \right).
\end{align} 

## Atsauces