Trijstūris

**Trijstūris** ir plaknes figūra, kuru norobežo trīs nogriežņi, kurus sauc par malām. Trijstūrim ir trīs malas un trīs stūri.

## Īpašības

* Jebkura trijstūra visu leņķu summa ir 180°;
* Jebkuru divu malu garumu summa ir lielāka par trešās malas garumu;
* Jebkurš trijstūris ir izliekta figūra;
* Jebkuram trijstūrim var apvilkt un ievilkt riņķa līniju;
* Apvilktās riņķa līnijas centrs atrodas malu vidusperpendikulu krustpunktā;
* Ievilktās riņķa līnijas centrs atrodas bisektrišu krustpunktā;
* Trijstūra smaguma centrs atrodas mediānu krustpunktā;

## Trijstūru iedalījums
### Trijstūru iedalījums pēc leņķiem
Trijstūrus iedala pēc leņķiem — pastāv šaurleņķa (visi leņķi ir mazāki par 90°), taisnleņķa (viens leņķis ir 90° liels) un platleņķa trijstūri (viens leņķis ir lielāks nekā 90°).

### Trijstūru iedalījums pēc malām
Trijstūrus var iedalīt arī pēc malām — pastāv dažādmalu (visas malas ir dažāda garuma), vienādsānu (divas malas ir vienāda garuma) un vienādmalu jeb regulārs trijstūris (visas malas ir vienāda garuma).

## Formulas
Trijstūriem var aprēķināt vērtības malām, leņķiem, mediānām, bisektrisēm, augstumiem, apvilkto un ievilkto riņķu rādiusiem, kur formulas papildus šķiro pēc iedalītiem trijstūriem. Formulas, kuras spēkā visos trijstūros:
*  \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C} \,=\, 2R \!
* c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\,
* m_c = {1 \over 2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}
* \ d^2 = R^2 - 2Rr
kur *a*, *b* un *c* — trijstūra malas, *A, B, C —* leņķi pret attiecīgajām malām *a, b, c*, \gamma — leņķis starp malām *a* un *b,* m_c — mediānas garums, *d* — attālums starp ievilktās un apvilktās riņķa līnijas centru, *R* — apvilktas riņķa līnijas rādiuss, *r* — ievilktas riņķa līnijas rādiuss;

#### Regulāriem trijstūriem
* h_c = m_c = l_c = \frac{a}{2} \sqrt{3} = R+r 
* R = \frac{a}{3} \sqrt{3} 
* r = \frac{a}{6} \sqrt{3} 
* P = 3 \cdot a
:kur h_c  — augstums, m_c  — mediānas garums, l_c  — bisektrises garums, *a* — regulāra trijstūra malas garums, *R —* apvilktas riņķa līnijas rādiuss, *r —* ievilktas riņķa līnijas rādiuss,  *d* — attālums starp ievilktās un apvilktās riņķa līnijas centru, m_c — mediānas garums,  *h* — trijstūra augstums,  *P* — trijstūra perimetrs;

## Laukums
Trijstūru laukumu aprēķināšanas formulas iedalās visiem trijstūriem derīgās formulās un tādās formulās, kas derīgas tikai atsevišķiem trijstūru veidiem, lai tos varētu aprēķināt ātrāk.

### Formulas visiem trijstūriem

*  S = ah_a/2 
*  S = 1/2*ab*sin\gamma 
*  S = abc/4R 
*  S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} 
*  S = p*r 

kur *a*, *b*, *c* — trijstūra malas*, <math> h_a </math> —*  augstums pret malu*, <math> sin\gamma </math>* - sinuss starp malām *a, b*, *R* — apvilktās riņķa līnijas rādiuss, *p* — pusperimets, *r* — ievilktās riņķa līnijas rādiuss;

 S = \frac {1}{2} [x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)] 

kur (x_A,y_A) ; (x_B,y_B) ; (x_C,y_C)\, — trijstūra virsotņu koordinātas. Šajā formulā jāievēro tas, ka jāņem laukuma modulis, citādāk var gadīties negatīvs laukums, bet kurš ir skalāri pareizs.

#### Taisnleņķa trijstūriem
 S = ab/2  

kur *a*,*b* — katetes.

#### Regulāram trijstūrim
 S = \frac{a^2}{4} \sqrt{3} 

kur *a* — jebkura trijstūra mala.

## Skatīt arī
* Trijstūru vienādības pazīmes
* Trijstūra skaitlis
* Ciklopropāns
* Četrstūris

## Ārējās saites

* ''Mathworld.com'' ieraksts 

## Atsauces