Fibonači skaitļi

[thumb|right|[Kvadrāts|Kvadrāti, kuru malu garumi atbilst secīgiem Fibonači virknes locekļiem.]]
Matemātikā par **Fibonači skaitļiem** sauc virknes
: 1, \; 1, \; 2, \; 3, \; 5, \; 8, \; 13, \; 21, \; 34, \; 55, \; 89, \; 144, \ldots \,
elementus. Tās pirmie divi locekļi ir vienādi ar 1, bet katru nākamo locekli iegūst saskaitot divus iepriekšējos. Dažreiz par pirmajiem diviem virknes elementiem izvēlas skaitļus 0 un 1. Šādi iegūtā virkne atšķiras tikai ar to, ka tā sākas ar nulli: 
: 0, \; 1, \; 1, \; 2, \; 3, \; 5, \; 8, \; 13, \; 21, \; 34, \; 55, \; 89, \; 144, \ldots \,
.

Parasti n-to Fibonači skaitli apzīmē ar f_n vai F_n.

## Definīcija
Formāli par Fibonači skaitļiem sauc rekurenta vienādojuma
:f_n = f_{n-1} + f_{n-2}
atrisinājumu pie sākuma nosacījumiem
: f_1 = f_2 = 1. \,
To var pierakstīt arī šādi:
:
  f_n =
  \begin{cases}
    1,                 & \text{ ja } n = 1 \text{ vai } n = 2; \\
    f_{n-1} + f_{n-2}, & \text{ ja } n > 2.
  \end{cases}


Fibonači virkni var turpināt arī pretējā virzienā, tas ir, aprēķināt *f**n*, kur *n* ≤ 0. Piemēram, *f*0 = 0, jo 0 + 1 = 1 (*f*0 + *f*1 = *f*2). Līdzīgi, *f*−1 = 1, jo 1 + 0 = 1 (*f*−1 + *f*0 = *f*1). Lai atrastu vispārīgu virknes locekli ar negatīvu kārtas numuru, Fibonači skaitļus definējošo sakarību pārraksta šādi: *f**n*−2 = *f**n* − *f**n*−1. Tādējādi iegūst virkni, kas ir bezgalīga abos virzienos:

Nav grūti ievērot, ka *f**n* un *f*−*n* sakrīt, ja *n* ir nepāra skaitlis, bet atšķiras ar zīmi, ja *n* ir pāra. Formāli to var pierakstīt šādi:
: f_{-n} = (-1)^{n+1} f_n. \,

## Binē formula
Lai aprēķinātu *n*-to Fibonači skaitli *f<sub>n</sub>*, nav nepieciešams aprēķināt visus iepriekšējos Fibonači skaitļus. To var iegūt uzreiz ar Binē formulas palīdzību:
: f_n = \frac{(1 + \sqrt{5})^n - (1 - \sqrt{5})^n}{2^n \sqrt{5}}. 
Binē formulu var pārrakstīt arī šādi:
: f_n = \frac{\varphi^n - \bar{\varphi}^n}{\sqrt{5}}, 
kur
:
\begin{alignat}{3}
       \varphi  &= \tfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx & 1&{,}6180339887, \\
  \bar{\varphi} &= \tfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx &-0&{,}6180339887 = 1 - \varphi,
\end{alignat}

ir polinoma *x*2 = *x* + 1 saknes un \varphi\, ir zelta griezums.

Binē formula nosaukta par godu Žakam Binē, kurš to ieguva 1843. gadā, lai gan tā bijusi zināma jau Eileram, Bernulli un Muavram vairāk nekā gadsimtu agrāk.


Binē formulas pierādījums

Lai pierādītu Binē formulu, visvienkāršāk ir izmantot sakarību starp Fibonači skaitļiem un zelta griezumu. Apskatīsim polinomu *x*2 = *x* + 1, kura saknes ir \varphi\, un \bar{\varphi}, un pierādīsim, ka tas ģenerē rekurento sakarību *f**n* = *f**n*−1 + *f**n*−2.

**Apgalvojums:** Ja *x*2 = *x* + 1, tad *x**n* = *f**n* *x* + *f**n*−1, kur *f**n* ir *n*-tais Fibonači skaitlis.

**Pierādījums:** Izmantosim matemātisko indukciju. *Indukcijas bāze:* Apgalvojums ir spēkā pie *n* = 2, jo *f*2 = *f*1 = 1. *Induktīvā pāreja:* Pieņemsim, ka apgalvojums ir spēkā pie *n* − 1, un pierādīsim, ka tas ir spēkā arī pie *n*. Pēc induktīvā pieņēmuma
: x^n = x \cdot x^{n-1} = x (f_{n-1} x + f_{n-2}) = f_{n-1} x^2 + f_{n-2} x. \,
Izmantojot to, ka *x*2 = *x* + 1, iegūstam
: f_{n-1} (x + 1) + f_{n-2} x = (f_{n-1} + f_{n-2}) x + f_{n-1}. \,
Pēc Fibonači skaitļu definīcijas *f**n*−1 + *f**n*−2 = *f**n*, tāpēc iegūstam
: x^n = f_n x + f_{n-1}. \, &nbsp; 

**Apgalvojums:** f_n = (\varphi^n - \bar{\varphi}^n) / \sqrt{5}.

**Pierādījums:** Tā kā \varphi\, un \bar{\varphi} ir polinoma *x*2 = *x* + 1 saknes, no iepriekš pierādītā apgalvojuma izriet, ka
:
\begin{align}
       \varphi^n  &= f_n      \varphi  + f_{n-1}, \\
  \bar{\varphi}^n &= f_n \bar{\varphi} + f_{n-1}.
\end{align}

Atņemot šos vienādojumus, iegūstam
: \varphi^n - \bar{\varphi}^n = f_n (\varphi - \bar{\varphi}). 
Izmantojot to, ka
: \varphi - \bar{\varphi} = \varphi - (1 - \varphi) = 2 \varphi - 1 = \sqrt{5}, 
iegūstam prasīto. &nbsp; 



## Fibonači skaitļu īpašības
Divu secīgu Fibonači skaitļu attiecība (lielākajam pret mazāko) ir tuva zelta griezumam 1,618… un ir tā labākie tuvinājumi. Piemēram, 8 / 5 = 1,6 un 13 / 8 = 1,625. Šīs attiecības kļūst pēc patikas tuva zelta griezumam, izvēloties pietiekoši lielus Fibonači skaitļus. Matemātikā šādu situāciju raksturo ar robežas palīdzību:
: \lim_{n \to \infty} \frac{f_{n+1}}{f_n} = \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}. 

Jebkuri divi secīgi Fibonači skaitļi ir savstarpēji pirmskaitļi:
: \operatorname{LKD}(f_n, f_{n+1}) = 1,
kur "LKD" apzīmē lielāko kopīgo dalītāju.

## Dažas formulas
Fibonači skaitļiem ir spēkā dažādas sakarības. Šeit minēsim dažas no tām:
: f_n f_{n+2} - (f_{n+1})^2 = (-1)^{n+1}\,
:f_1 + f_2 + ... + f_n = f_{n+2} - 1\,
:\sum_{i=1}^n {f_i}^2 = f_{n} f_{n+1}.

## Fibonači spirāle
[right|thumb|300px|Fibonači spirāle sastāv no [riņķa līnijas lokiem, kas ievilkti kvadrātos, kuru malu garumi atbilst secīgiem Fibonači virknes locekļiem.]]

Ar kvadrātiem, kuru malu garumi atbilst Fibonači virknes locekļiem *f**n*, kur *n* = 1, 2, 3, …, var pilnībā noklāt plakni, ja tos izvieto spirāles veidā (skatīt attēlu). Veidojot šo izkārtojumu, kvadrāts ar kārtas numuru *n* tiek novietots tā, lai tam būtu kopīga mala ar kvadrātiem, kuru kārtas numuri ir *n*−1, *n*−3 un *n*−4. Izmantojot Fibonači skaitļu definīciju, ir viegli pārliecināties, ka minētie kvadrāti sader kopā, jo
:
\begin{align}
  f_n &= f_{n-1} + f_{n-2} \\
      &= f_{n-1} + f_{n-3} + f_{n-4}.
\end{align}

Piemēram, ja *n* = 6, iegūstam *f*6 = *f*5 + *f*3 + *f*2 jeb 8 = 5 + 2 + 1.

Ja katrā no kvadrātiem ievelk 1/4 no riņķa līnijas, kuras rādiuss sakrīt ar kvadrāta malas garumu un kuras centrs atrodas attiecīgajā kvadrāta virsotnē, iegūst **Fibonači spirāli** (skatīt attēlu). Šī spirāle ir ļoti līdzīga logaritmiskajai spirālei, kas pazīstama ar nosaukumu zelta spirāle. Fibonači spirāle nedaudz atšķiras no zelta spirāles, jo secīgu Fibonači skaitļu attiecība tikai aptuveni sakrīt ar zelta griezumu.

## Fibonači skaitļi ārpus matemātikas
### Dabā

Secīgu Fibonači skaitļu pāri vai pat trīs secīgi Fibonači skaitļi nereti ir novērojami dabā. Zinātnieki ir izveidojuši matemātiskus modeļus, ar kuru palīdzību tiek mēģināts izskaidrot Fibonači skaitļu parādīšanos dabā.

Tiesa, dažreiz apgalvojumi par zelta griezuma un Fibonači skaitļu parādīšanos dabā ir pārsteidzīgi. Piemēram, nereti tiek apgalvots, ka secīgu falangu (pirksta kaulu) garumu attiecība cilvēka plaukstā atbilst zelta griezumam vai secīgiem Fibonači skaitļiem. Pirmais šādu apgalvojumu 1973. gadā izteicis roku ķirurģijas speciālists Viljams Litlers (*William Littler*). Vēlākos pētījumos gan šis apgalvojums nav apstiprinājies.

#### Secīgu Fibonači skaitļu pāri (spirāļu skaits)
[thumb|right|160px|Spirāļu skaits [čiekurs|čiekuram.]]
Fibonači skaitļi ļoti bieži ir novērojami dažādu dabā sastopamu spirāļu parametros. Šādas spirāles ir redzamas, piemēram, čiekuriem, saulespuķēm un ananasiem, un tās sauc par Fermā spirālēm (nejaukt ar Fibonači spirāli). Parasti šo spirāļu skaits pulksteņa rādītāja kustības virzienā un pretēji pulksteņa rādītāja kustības virzienam atbilst diviem secīgiem Fibonači skaitļiem. Šīs parādības izskaidrošanai zinātnieki ir izveidojuši matemātiskus modeļus.

Laboratorijas apstākļos līdzīgas spirāles ir novērotas arī mikrostruktūrām, kas izgatavotas no neorganiskiem materiāliem. Atdzesējot koniskas formas substrātu, uz kura uzklātas silīcija monoksīda (SiO) un sudraba oksīda (Ag2O) kārtiņas, uz tā izveidojas izciļņi. Eksperimentos noskaidrots, ka minimālās enerģijas konfigurācijai atbilst spirālveida izciļņu izvietojums, turklāt spirāļu skaits pulksteņa rādītāja kustības virzienā un pretēji pulksteņa rādītāja kustības virzienam atbilst diviem secīgiem Fibonači skaitļiem — eksperimentos novērotie Fibonači skaitļu pāri ir (5, 8), (8, 13) un (13, 21).









#### Trīs secīgi Fibonači skaitļi
##### Lapu novietojums uz stumbra
Lapu novietojums uz auga stumbra bieži vien arī ir saistīts ar Fibonači skaitļiem. Lai šo saistību pārbaudītu, uz auga stumbra ir jāizvēlas divas lapas, kas atrodas tieši viena virs otras. Tad šādi trīs lielumi parasti atbilst trim secīgiem Fibonači skaitļiem:
* pilnu apgriezienu skaits, kas jāveic, lai nokļūtu no vienas izvēlētās lapas uz otru, ejot pulksteņa rādītāja kustības virzienā,
* pilnu apgriezienu skaits no vienas lapas līdz otrai, ejot pretēji pulksteņa rādītāja kustības virzienam,
* kopējais lapu skaits attiecīgajā posmā, ieskaitot vienu no izvēlētajām lapām.
Līdzīga īpašība ir novērota arī eksperimentāli ar tā saucamā "magnētiskā kaktusa" palīdzību.

##### Ananasa spirāles
Trīs secīgus Fibonači skaitļus parasti iegūst arī, skaitot trīs dažādos virzienos esošo spirāļu skaitu ananasam.

### Mākslā

Itāļu mākslinieks *Mario Merz* 1994. gadā uz skursteņa Turku, Somijā izvietoja neona spuldzes, kas attēlo Fibonači skaitļus.

Fibonači skaitļi dažreiz apzināti tiek lietoti arī mūzikā. Piemēram, tos savos darbos lietojis latviešu izcelsmes amerikāņu komponists Gundaris Pone.

### Arhitektūrā

Dažreiz Fibonači skaitļi un zelta spirāle (vai tās tuvinājums — Fibonači spirāle) apzināti tiek lietoti arhitektūrā. Piemēram:

* *[[Eden Project]]* kompleksā ietilpstošās ēkas *The Core* spirālveida jumts ir veidots imitējot dabā sastopamās formas un tajā ir izmantotas Fermā spirāles, kuru skaits dažādos virzienos atbilst secīgiem Fibonači skaitļiem (21 un 34). Ēka atrodas Anglijā un to  atklāja anglijas karaliene.
* Bristoles Universitātes nanozinātnes un kvantu informācijas centra (*The Centre for Nanoscience and Quantum Information*) fasādē izmantots motīvs, kura pamatā ir Fibonači skaitļi. Ēka atrodas Bristolē, Anglijā un tika atklāta 2009. gada maijā.
* Fibonači skaitļi ir sastopami arī ainavu arhitektūrā. Piemēram, Kalifornijas Politehniskās universitātes Inženierzinātņu koledžas centrālo laukumu caurvij Fibonači spirāle.

### Literatūrā
Fibonači skaitļi vairākkārt pieminēti Dena Brauna sarakstītajā grāmatā "da Vinči kods", taču ne visi grāmatā minētie fakti, kas saistīti ar Fibonači skaitļiem un zelta griezumu, ir patiesi. Pirmo reizi Fibonači skaitļi parādās mistiskajā ziņojumā, ko atstājis mirušais Sofijas Nevē tēvs un kuru romāna galvenie varoņi Roberts Lengdons un Sofija Nevē cenšas atšifrēt:



Ja ziņojuma pirmajā rindiņā esošos skaitļus sakārto augošā secībā, iegūst Fibonači virknes pirmos locekļus. Līdzīgi, otrajā un trešajā rindiņā esošais teksts ir anagrammas vārdiem "''Leonardo da Vinci''" un "''The Mona Lisa''".

### Ekonomikā
Fibonači skaitļus un zelta griezumu mēdz pielietot arī Forex valūtu tirgos, lai analizētu tirgu un prognozētu tā tālāko uzvedību, vai tieši pretēji — izvērtētu iepriekš notikušo attīstību.

## Vēsture
[thumb|100px|right|Lapa no [Fibonači grāmatas *[[Liber Abaci]]*.]]
[thumb|100px|right|[Fibonači.]]

Fibonači skaitļi nosaukti par godu itāļu matemātiķim Fibonači (pazīstams arī kā Leonardo no Pizas). Tie pieminēti viņa grāmatā *[[Liber Abaci]]*, kas sarakstīta 1202. gadā (attēlā redzama lapa no šīs grāmatas — tās labajā pusē, rāmītī, ar sarkanu tinti uzrakstīti Fibonači virknes pirmie locekļi). Indiešu matemātiķiem Fibonači skaitļi bija zināmi vēl pirms tam.

## Skatīt arī
* Zelta griezums
* Lukasa skaitļi
* Katalāna skaitļi

## Atsauces

## Papildu literatūra
**Fibonači skaitļi dabā:**

* , 11.5 Phyllotaxis, 169. lpp.
* .
* Hrant Arakelian. *Mathematics and History of the Golden Section*. Logos (2014), 404 p. , (rus.)

## Ārējās saites

**Fibonači skaitļi:**

* Pravin Chandra, Eric W. Weisstein, Fibonacci Number, MathWorld.
* Fibonacci sequence , PlanetMath.

**Binē formula:**

* Eric W. Weisstein, Binet's Fibonacci Number Formula, MathWorld.
* Derivation of Binet formula , PlanetMath.

**Fibonači skaitļi dabā:**

* Eric W. Weisstein, Phyllotaxis, MathWorld.
* Jill Britton, Fibonacci Numbers in Nature, May 7, 2005.
* Ron Knott, Fibonacci Numbers and Nature , December 16, 2008.
* John R. Simmons, Fibonacci Numbers and Nature .
* Cristóbal Vila, Nature by Numbers (video).

**Fibonači skaitļi citur:**

* Rachel Hall, Math for Poets and Drummers (The Mathematics of Rhythm), February 1, 2005.
* Ron Knott, Fibonacci Numbers and The Golden Section in Art, Architecture and Music, March 7, 2009.
* Knott R., Quinney D.A., PASS Maths, The life and numbers of Fibonacci, plus.maths.org.