Inversās trigonometriskās funkcijas

**Inversās trigonometriskās funkcijas** jeb **ciklometriskās funkcijas** ir trigonometrisko funkciju inversās funkcijas. Tām ir sašaurināti definīcijas apgabali, pie tam tā, lai šajā apgabalā katra funkcijas vērtība tiktu iegūta tikai vienu reizi. Pastāv inversā sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa, sekansa un kosekansa funkcijas. Inversās trigonometriskās funkcijas tiek izmantotas, lai aprēķinātu leņķus. Tās plaši tiek izmantotas navigācijā, fizikā, inženierijā u.c.

Visbiežāk inversās trigonometriskās funkcijas pieraksta, parastajai trigonometriskajai funkcijai pieliekot priekšā *arc-* ( — ‘loks’) — arcsin&nbsp;*x*, arccos&nbsp;*x* utt. Vēl tās var tikt pierakstītas kā sin&minus;1&nbsp;(*x*), cos&minus;1&nbsp;(*x*), tan&minus;1&nbsp;(*x*) utt., taču šajā gadījumā tas var tikt sajaukts ar parasto trigonometrisko funkciju, kas kāpināta *&minus;1* pakāpē. Pastāv vēl dažādi to pieraksti.

## Inverso trigonometrisko funkciju uzskaitījums

### Skaitļa ''a'' arksinuss
**arcsin ''a***

Intervāla <math>\left [ - \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right ]</math> leņķis, kura sinusa funkcijas vērtība ir skaitlis *a* (|*a*|≤1). 

*'Piemērs**: <math>arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}</math>, jo <math>sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} </math> un <math>\frac{\pi}{6}</math><math>\in</math> <math>\left [ - \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right ]</math>


=== Skaitļa ''a'' arkkosinuss ===
**arccos *a***

Intervāla <math>\left [ 0 ; \pi \right ]</math> leņķis, kura kosinusa funkcijas vērtība ir skaitlis ''a'' (|''a''|≤1). 

**Piemērs**: <math>arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}</math>, jo <math>cos \frac{\pi}{4} =\frac{\sqrt{2}}{2}</math>un <math>\frac{\pi}{4}</math><math>\in</math> <math>\left [ 0 ; \pi \right ]</math>


=== Skaitļa ''a'' arktangenss ===
**arctg *a***

Intervāla <math>\left [ - \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right ]</math> leņķis, kura tangensa funkcijas vērtība ir skaitlis ''a''.

**Piemērs**: <math>arctg {\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3}</math>, jo <math>tg \frac{\pi}{3} ={\sqrt{3}}</math> un <math>\frac{\pi}{3}</math><math>\in</math> <math>\left [ - \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right ]</math>


=== Skaitļa ''a'' arkkotangenss ===
**arcctg *a***

Intervāla <math>\left [ 0 ; \pi \right ]</math> leņķis, kura kotangensa funkcijas vērtība ir skaitlis ''a''.

**Piemērs*': <math>arcctg 1 = \frac{\pi}{4}</math>, jo <math>ctg \frac{\pi}{4} =1</math> un <math>\frac{\pi}{4}</math><math>\in</math> <math>\left [ 0 ; \pi \right ]</math>


==Atvasinājumi==
Atvasinājumi kompleksām *z* vērtībām.
:<math>
\begin{align}
\frac{d}{dz} \arcsin z & {}= \frac{1}{\sqrt{1-z^2}}; \quad z \neq -1, +1 \\
\frac{d}{dz} \arccos z & {}= \frac{-1}{\sqrt{1-z^2}}; \quad z \neq -1, +1 \\
\frac{d}{dz} \operatorname{arctg} z & {}= \frac{1}{1+z^2}; \quad z \neq -i, +i \\
\frac{d}{dz} \operatorname{arcctg} z & {}= \frac{-1}{1+z^2}; \quad z \neq -i, +i \\
\frac{d}{dz} \arcsec z & {}= \frac{1}{z^2\,\sqrt{1 - z^{-2}}}; \quad z \neq -1, 0, +1 \\
\frac{d}{dz} \arccsc z & {}= \frac{-1}{z^2\,\sqrt{1 - z^{-2}}}; \quad z \neq -1, 0, +1
\end{align}</math>
Tikai *x* reālām vērtībām:
:<math>
\begin{align}
\frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1\\
\frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1
\end{align}</math>

== Noteiktie, neīstie integrāļi ==
:<math>
\begin{align}
\arcsin x &{}= \int_0^x \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\
\arccos x &{}= \int_x^1 \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\
\operatorname{arctg} x &{}= \int_0^x \frac 1 {z^2 + 1}\,dz,\\
\operatorname{arcctg} x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z^2 + 1}\,dz,\\
\arcsec x &{}= \int_1^x \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1\\
\arcsec x &{}= \pi + \int_x^{-1} \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \leq -1\\
\arccsc x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1\\
\arccsc x &{}= \int_{-\infty}^x \frac {1} {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \leq -1
\end{align}</math>

==Funkciju izvirzījumi==
Funkciju izvirzījumi pakāpju [[rinda (matemātika)|rindās]]:

:<math> \arcsin z = z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} 
+ \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\ 
= \sum_{n=0}^\infty \frac {\binom{2n} n z^{2n+1}} {4^n (2n+1)}; \qquad | z | \le 1 </math>



:<math> \arccos z = \frac {\pi} {2} - \arcsin z
= \frac {\pi} {2} - \left( z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \cdots\ \right) 
= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {\binom{2n} n z^{2n+1}} {4^n (2n+1)}; \qquad | z | \le 1 </math>



:<math> \operatorname{arctg} z = z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots\ 
= \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i </math>



:<math> \operatorname{arcctg} z = \frac {\pi} {2} - \operatorname{arctg} z \ = \frac {\pi} {2} - \left( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots\ \right)  
= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i </math>



:<math> \arcsec z = \arccos {(1/z)} 
= \frac {\pi} {2} - \left( z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \cdots\ \right)  
= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {\binom{2n} n z^{-(2n+1)}} {4^n (2n+1)}; \qquad | z | \ge 1 </math>



:<math> \arccsc z = \arcsin {(1/z)} 
= z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5} +\cdots\ 
= \sum_{n=0}^\infty \frac {\binom{2n} n z^{-(2n+1)}} {4^n (2n+1)}; \qquad | z | \ge 1 </math>

==Nenoteiktie integrāļi==
Reālām un kompleksām *x* vērtībām:
:<math>
\begin{align}
\int \arcsin x\,dx &{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\\
\int \arccos x\,dx &{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\\
\int \operatorname{arctg} x\,dx &{}= x\,\operatorname{arctg} x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\
\int \operatorname{arcctg} x\,dx &{}= x\,\operatorname{arcctg} x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\
\int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left[x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\right)\right] + C\\
\int \arccsc x\,dx &{}= x\,\arccsc x + \ln\left[x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\right)\right] + C
\end{align}</math>

Reālām un kompleksām *x* ≥ 1 vērtībām:
:<math>
\begin{align}
\int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C\\
\int \arccsc x\,dx &{}= x\,\arccsc x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C
\end{align}</math>

== Atsauces ==


== Ārējās saites ==
* [http://mathworld.wolfram.com/InverseTrigonometricFunctions.html *MathWorld'' ieraksts]