Hipersfēra

Sfēras vispārinājumu *n* > 3 dimensijās sauc par **hipersfēru**, taču bieži vien to sauc arī vienkārši par **sfēru**. Tāpat kā trīs dimensijās, arī *n* dimensijās (jebkuram *n* ≥ 1) sfēra ir visu to punktu kopa, kas atrodas vienā un tajā pašā attālumā no sfēras centra. Šo attālumu sauc par sfēras rādiusu un parasti apzīmē ar *r*.

## Hipersfēras vienādojums

### Dekarta koordinātu sistēmā

Dekarta koordinātu sistēmā sfēra ar centru (*a*1, *a*2, …, *a**n*) un rādiusu *r* > 0 sastāv no punktiem ar koordinātēm (*x*1, *x*2, …, *x**n*), kas apmierina vienādojumu
:\, \sum_{i=1}^n (x_i - a_i)^2 = r^2. 

### Hipersfēriskajā koordinātu sistēmā

Sfēriskās koordinātu sistēmas vispārinājums ir hipersfēriskā koordinātu sistēma. Tajā sfēru apraksta vienādojumi
:
\begin{align}
  x_1 = a_1 &+ r \cos \alpha_1, \\
  x_2 = a_2 &+ r \sin \alpha_1 \, \cos \alpha_2, \\
  x_3 = a_3 &+ r \sin \alpha_1 \, \sin \alpha_2 \, \cos \alpha_3, \\
  & {}\,\,\, \vdots \\
  x_{n-1} = a_{n-1}
    &+ r \sin \alpha_1 \, \sin \alpha_2 \, \sin \alpha_3 \, \cdots \, \sin \alpha_{n-2} \, \cos \alpha_{n-1}, \\
  x_n \,\,\,\,\,\, = a_n \,\,\,\,\,
    &+ r \sin \alpha_1 \, \sin \alpha_2 \, \sin \alpha_3 \, \cdots \, \sin \alpha_{n-2} \, \sin \alpha_{n-1},
\end{align}

kur parametri \alpha_i\, apmierina nevienādības
:
  0 \leq \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n-2} \leq \pi  un 
  0 \leq \alpha_{n-1} 

## Hipersfēras laukums un lodes tilpums

### Virsmas laukuma elements

Virsmas laukuma elements sfērai ar rādiusu *r* hipersfēriskajā koordinātu sistēmā *n* dimensijās ir
:
\begin{align}
  dS &= \begin{vmatrix}
          \frac{\partial x_1}{\partial r} & \frac{\partial x_1}{\partial \alpha_1} & \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial \alpha_{n-1}} \\[3pt]
          \frac{\partial x_2}{\partial r} & \frac{\partial x_2}{\partial \alpha_1} & \cdots & \frac{\partial x_2}{\partial \alpha_{n-1}} \\[3pt]
          \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[3pt]
          \frac{\partial x_n}{\partial r} & \frac{\partial x_n}{\partial \alpha_1} & \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial \alpha_{n-1}}
        \end{vmatrix} \, d\alpha_1 \, d\alpha_2 \, \cdots \, d\alpha_{n-1} \\
     &= r^{n-1} \left( \prod_{i=1}^{n-2} \sin^{n-1-i} \alpha_i \, d\alpha_i \right) d\alpha_{n-1} \\
     &= r^{n-1} \sin^{n-2} \alpha_1 \, \sin^{n-3} \alpha_2 \, \cdots \, \sin \alpha_{n-2} \,
       d\alpha_1 \, d\alpha_2 \, \cdots \, d\alpha_{n-1}.
\end{align}


### Virsmas laukums

Virsmas laukumu sfērai *n* dimensijās var atrast ar integrāļa palīdzību:
:
  S = \underbrace{\int_{\alpha_1=0}^\pi \int_{\alpha_2=0}^\pi \cdots \int_{\alpha_{n-2}=0}^\pi}_{n-2} \int_{\alpha_{n-1}=0}^{2\pi} dS.

Integrējot iegūst
:
  S = \frac{2 \pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2})} \, r^{n-1}.

Daudz vienkāršāk šo formulu ir iegūt pa tiešo (bez virsmas laukuma elementa atrašanas).


Formulas izvedums

Ieviesīsim funkciju
: f(x_1, \dots, x_n) = e^{-(x_1^2 + \cdots + x_n^2)} 
un ar *A* apzīmēsim vērtību integrālim, ko iegūst integrējot *f* no *-∞* līdz *+∞* visās *n* dimensijās:
:
  A = \underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty} \cdots \int_{-\infty}^{+\infty}}_n
       e^{-(x_1^2+\cdots+x_n^2)} dx_1 \cdots dx_n
    = \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \right)^n.

Funkcijas *f* vērtība ir atkarīga tikai no vektora (*x*1, *x*2, …, *x**n*) garuma *r*, tāpēc tā ir konstanta uz jebkuras sfēras, kas novietota koordinātu sākumpunktā. Ja sfēras rādiuss ir *r*, tad funkcija *f* pieņem vērtību exp(−*r*2) uz tās virsmas. Ievērosim, ka *n* dimensijās sfērai ar rādiusu *r* virsmas laukums *S* ir proporcionāls vienības sfēras laukumam *s* jeb *S* = *sr**n*−1. Tātad tilpuma elements ir *dV* = *sr**n*−1*dr*. Tas nozīmē, ka lielumu *A* var aprēķināt arī šādi:
:
  A = \int_0^\infty e^{-r^2} s r^{n-1} dr.


Izteiksim šos integrāļus izmantojot Gamma funkciju. Gamma funkciju no *z* > 0 definē ar integrāļa palīdzību:
:
  \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt = 2 \int_0^\infty r^{2z-1} e^{-r^2} dr,

kur otrā izteiksme ir iegūta ar substitūciju *t* = *r*2. Ievērosim, ka
:
  \Gamma\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) = 2 \int_0^\infty e^{-r^2} dr = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx.

Tātad pirmajā gadījumā lielumu *A* var izteikt pavisam vienkāršā veidā:
:
  A = \bigl( \Gamma\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) \bigr)^n
    = \bigl( \sqrt{\pi} \bigr)^n.

Otrajā gadījumā lielumu *A* var izteikt šādi:
:
  A = \frac{s}{2} \, \Gamma\bigl(\tfrac{n}{2}\bigr).

Pielīdzinot abas izteiksmes atrodam vienības sfēras laukumu *s*:
:
  s = \frac{2 \pi^{n/2}}{\Gamma\bigl(\tfrac{n}{2}\bigr)}.

Tātad laukums sfērai ar rādiusu *r* ir
:
  S = \frac{2 \pi^{n/2}}{\Gamma\bigl(\frac{n}{2}\bigr)} \, r^{n-1}.




### Lodes tilpums

Tilpumu *n*-dimensionālai lodei ar rādiusu *r* atrod integrējot:
:
  V = \int_0^r S \, dr = \frac{r S}{n}.

Izmantojot Gamma funkcijas īpašību \tfrac{n}{2} \Gamma(\tfrac{n}{2}) = \Gamma(\tfrac{n}{2} + 1), iegūst
:
  V = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)} \, r^n.


### Izteiksmes bez Gamma funkcijas

Veseliem un pusveseliem argumentiem Gamma funkciju var izteikt attiecīgi ar faktoriāla un dubultfaktoriāla palīdzību. Tad laukuma *S* izteiksmi var pārrakstīt šādi:
:
  S =
  \begin{cases}
    \dfrac{2\pi^\frac{n}{2}}{\bigl(\frac{n}{2}-1\bigr)!} \, r^{n-1} & n \mbox{ pāra}, \\[3ex]
    \dfrac{2^\frac{n+1}{2}\pi^\frac{n-1}{2}}{(n-2)!!}    \, r^{n-1} & n \mbox{ nepāra},
  \end{cases}

bet tilpuma *V* izteiksmi var pārrakstīt šādi:
:
  V =
  \begin{cases}
    \dfrac{\pi^\frac{n}{2}}{\bigl(\frac{n}{2}\bigr)!} \, r^n & n \mbox{ pāra}, \\[3ex]
    \dfrac{2^\frac{n+1}{2} \pi^\frac{n-1}{2}}{n!!}    \, r^n & n \mbox{ nepāra}.
  \end{cases}


## Hipersfēra un lode mazās dimensijās

# nogrieznis, divi punkti
# riņķis, riņķa līnija
# lode, sfēra

## Skatīt arī

* Riņķa līnija
* Sfēra

## Atsauces

## Ārējās saites

* Eric W. Weisstein, Hypersphere, MathWorld.
* Howard Haber, The volume and surface area of an ''n''-dimensional hypersphere, lekcijas konspekts.
* Al Lehnen, Properties of Spherical Coordinates in ''n'' Dimensions.