Kvadrātvienādojums

**Kvadrātvienādojums** ir otrās pakāpes vienādojums, kura vispārīgais veids ir
: a x^2 + b x + c = 0, \,
kur x ir nezināmais un a ≠ 0. Izteiksmi a x^2 + b x + c sauc par **kvadrāttrinomu**. No algebras pamatteorēmas seko, ka kvadrātvienādojumam ir tieši divas saknes (šīs saknes var būt vienādas).

## Kvadrātvienādojuma saknes

Kvadrātvienādojuma ax^2 + bx + c = 0 saknes x_1 un x_2 var aprēķināt pēc formulas
: x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
jeb (izvērstā veidā)
:
  x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \quad\quad
  x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.


Lietot var arī -  x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

## Kvadrātvienādojuma diskriminants

Lielumu
: D = b^2 - 4ac \,
sauc par kvadrātvienādojuma ax^2 + bx + c = 0 **[[diskriminants|diskriminantu]]**. Šis skaitlis nosaka kvadrātvienādojuma sakņu veidu:
* ja D > 0, tad kvadrātvienādojumam ir divas dažādas reālas saknes;
* ja D = 0, tad kvadrātvienādojumam ir divkārša sakne, kuru aprēķina pēc formulas x = -b / 2a;
* ja D , tad kvadrātvienādojumam ir divas kompleksi saistītas saknes.

## Kvadrāttrinoma sadalīšana reizinātājos

Ja ir zināmas kvadrātvienādojuma ax^2 + bx + c = 0 saknes x_1 un x_2, tad attiecīgo kvadrāttrinomu ax^2 + bx + c var sadalīt reizinātājos:
: ax^2 + bx + c = a (x - x_1) (x - x_2). \,

## Vjeta teorēma

Ja x_1 un x_2 ir kvadrātvienādojuma x^2 + px + q = 0 saknes, tad to summa ir vienāda ar koeficientu p, kurš ņemts ar pretēju zīmi, bet sakņu reizinājums ir vienāds ar q:
: x_1 + x_2 = -p, \quad\quad x_1 x_2 = q. 
Vispārīgā gadījumā, ja kvadrātvienādojums ir formā ax^2 + bx + c = 0, kur a ≠ 0, un x_1 un x_2 ir tā saknes, tad
: x_1 + x_2 = -b/a, \quad\quad x_1 x_2 = c/a. 

Šo apgalvojumu sauc par **Vjeta teorēmu**, jo to pirmais pierādīja franču matemātiķis Fransuā Vjets.


Vjeta teorēmas pierādījums

Ja x_1 un x_2 ir kvadrātvienādojuma x^2 + px + q = 0 saknes, tad ir spēkā vienādība
: (x - x_1)(x - x_2) = x^2 + px + q. \,
Atverot iekavas, iegūstam
:
\begin{align}
  (x - x_1)(x - x_2)
  &= x^2 - x_1 x - x_2 x + x_1 x_2 \\
  &= x^2 \underbrace{-(x_1 + x_2)}_{p} x + \underbrace{x_1 x_2}_{q}.
\end{align}


Vispārīgā gadījumā, ja kvadrātvienādojums ir formā ax^2 + bx + c = 0, kur a ≠ 0, tad abas vienādojuma puses var izdalīt ar a un iegūt kvadrātvienādojumu
: x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0. 
Šis kvadrātvienādojums ir formā x^2 + px + q = 0, kur p = b/a un q = c/a, tāpēc tam var pielietot augstāk aprakstīto vienkāršoto Vjeta teorēmas versiju. Rezultātā iegūst
: x_1 + x_2 = -b/a, \quad\quad x_1 x_2 = c/a, 
kur x_1 un x_2 ir vienādojuma x^2 + px + q = 0 saknes. Tā kā šis vienādojums ir ekvivalents sākotnējajam vienādojumam, tad x_1 un x_2 ir arī vienādojuma ax^2 + bx + c = 0 saknes.



## Skatīt arī

* Bikvadrātvienādojums
* Diskriminants
* Lineārs vienādojums
* Polinoms
* Vienādojums

## Ārējās saites

* Eric W. Weisstein, Quadratic Equation, MathWorld.
* Quadratic formula , PlanetMath.
* Quadratic equation in '''C''' , PlanetMath.
* Derivation of quadratic formula , PlanetMath.
* Alexander Bogomolny, Graph and Roots of Quadratic Polynomial, cut-the-knot.org.
* Chris Budd, Chris Sangwin, 101 uses of a quadratic equation , 101 uses of a quadratic equation: Part II , Plus, 2004.