Lagranža teorēma

thumb|256x256px|Ja <math> f </math> ir nepārtraukta un diferencējama jebkur intervālā <math>(a;b)</math>, tad pastāv tāds <math> c</math>, ka šī punkta atvasinājuma taisne būs paralēla sekantes taisnei, kas savieno punktus <math> a </math> un <math> b </math>
**Lagranža teorēma** apgalvo, ka, ja funkcija  f  ir nepārtraukta nogriežņa intervālā [a; b] un diferencējamā intervālā (a;b), tad eksistē tāds punkts  c\in (a;b), ka
 \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c).

*Mehāniski to var definēt kā* lai  f(t)- punkta attālums momentā t no sākumpunkta. Tad f(b) – f(a)f(b)-f(a) ir attālums no momenta  t=a  līdz momentam  t=b . Attiecība \frac{f(b)-f(a)}{b-a} – vidējais ātrums šajā intervālā. Tātad, ja ķermena ātrums noteikts jebkurā laika momentā t\in (a,b), tad kaut kādā momentā tas būs vienāds ar savu vidējo vienību šajā intervālā.

## Pierādījums

**Funkcijai ar vienu mainīgo:**

Ievadām funkciju F(x) = f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a). Priekš tās ir izpildīti Rolla teorēmas noteikumi: nogriežņa galapunktos vienības ir vienādas ar nulli.

Izmantojot doto teorēmu, iegūsim, ka eksistē punkts c, kurā funkcijas F atvasinājums ir vienāds ar nulli:

f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0 \Leftrightarrow \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c),

## Galīgie un bezgalīgie mazie pieaugumi

Galīgo pieaugumu var skaidrot ar to faktu, ka ja formulā f(b)-f(a)=f'(c)(b-a), kreiso pusi apzīmējam kā \Delta y, bet labajā pusē faktoru (b-a) apzīmējam ar \Delta x, tad mēs iegūsim formulu:  \Delta y=f'(c)\Delta x

Un tā savukārt ir ļoti līdzīga ar diferenciāla definīciju.

dy=f'(x)dx

## Pielikums

* Lagranža teorēma var būt pielietota, nosakot nenoteiktību priekš robežām.

## Variācijas un apkopojums

Lagranža teorēma par galīgo pieaugumu – viena no svarīgākajām, galvenā teorēma visā diferenciālajā sistēmā.

**Pierādījums.** Visiem x un y piemīt punkts c, tāda kas f(y) - f(x) = f'(c) (y - x) = 0.

Tātad pie visiem x un y būs patiesā vineādība kur f(y) = f(x).

Analoģiski pierādās arī monotonitātes kritērijs priekš diferenciālām funkcijām. Diferencējama funkcija f(x) pieaug/dilst nogrieznī [a,b] tikai tad, kad tās f'(x) atvasinājums uz tā nogriežņa nav ne negatīvs/ne pozitīvs.

* No Teilora formulas ar atlikuma locekli, kad n=1 iegūstam Lagranža formulu par galīgo pieaugumu. f(x+h) = f(x) + f'(x)h + f*(x)\frac{h^2}{2} + ... + f^{(n-1)}(x)\frac{h^{n-1}}{(n-1)!} + f^{(n)}(x+\theta h)\frac{h^{n}}{n!}</math>

* Ja funkcija ar <math>n</math> mainīgiem <math>f(x_1, x_2,\dots,x_n)</math> divreiz deferencējama punkta o apgabalā, tad šajā punktā ir patiesa vienādība:

<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j} =  \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}</math>

*'Pierādījums priekš n=2.''' Piefiksēsim vienību \Delta x un \Delta y un aplūkosim dažveidīgus operātorus:

\Delta_x: f(x,y) \rightarrow \frac{f(x+\Delta x,y) - f(x,y)}{\Delta x}  un \Delta_y: f(x,y) \rightarrow \frac{f(x,y+\Delta y) - f(x,y)}{\Delta y}

Pēc Lagrandža teorēmas eksistē skaitļi 0\theta_1,\theta_2\in(0,1), tādi ka:  \Delta_y\Delta_x f(x,y) = \Delta_y\frac{\partial f}{\partial x}(x+\theta_1\Delta x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}(x+\theta_1\Delta x,y+\theta_2\Delta y) \rightarrow \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)

Pie (\Delta x,\Delta y)\rightarrow 0 nepārtrauktības spēkā otro funkciju atvasinājumu f(x,y).

Analoģiski pierādās, ka \Delta_x\Delta_y f(x,y)\rightarrow \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y).

Bet tā kā \Delta_y\Delta_x f(x,y) = \Delta_x\Delta_y f(x,y), tad tās robežas sakrīt.

## Atsauces