Bāze (lineārā algebra)

[thumb|300x300px|[Dekarta koordinātu sistēma|Dekarta koordinātu sistēmas bāzes vektoru (1,0) un (0,1) lineārā kombinācija veido trešo vektoru:

-2 \cdot (1,0) + 1 \cdot (0,1) = (-2,1)]]
**Bāze** lineārajā algebrā ir mazākā vektoru kopa, ar kuru lineāro kombināciju var iegūt jebkuru citu vektoru apskatītajā telpā. Citiem vārdiem, tā ir tāda vektoru sistēma, ka visi sistēmas vektori ir lineāri neatkarīgi viens no otra (tādēļ tā arī ir mazākā vektoru kopa) un šo vektoru veidotajā telpā jebkuru vektoru var lineāri izteikt ar šiem vektoriem. Dimensiju jēdziens ir tādā veidā saistīts ar bāzi, ka kādas telpas bāzes vektoru skaitu sauc par šīs telpas dimensiju.

## Definīcija
Par bāzi lineārā telpā L sauc vektoru kopu \vec{e}_1, \vec{e}_2, ..., \vec{e}_n, ja izpildās nosacījumi:

# Vektori \vec{e}_1, \vec{e}_2, ..., \vec{e}_n ir lineāri neatkarīgi
# Jebkuru vektoru \vec{x} \in L var lineāri izteikt ar \vec{e}_1, \vec{e}_2, ..., \vec{e}_n, jeb

\vec{x} = \alpha _1 \vec{e}_1 + \alpha _2 \vec{e}_2 + ... + \alpha _n \vec{e}_n

#### Piemērs
Telpā V jebkuri trīs nekomplanāri vektori (neatrodas vienā plaknē) ir lineāri neatkarīgi, bet jebkuri četri vektori \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}  vienmēr ir lineāri atkarīgi un eksistē tādi reāli skaitļi \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3 , ka izpildās \vec{d} = \alpha_1 \vec{a} + \alpha_2 \vec{b} + \alpha_3 \vec{c} . Līdz ar to iegūst, ka

* Telpas V bāze ir jebkuri trīs nekomplanāri vektori
* Telpas V dimensija \text{dim} (V) = 3

### Unitātes īpašība
thumb|300x300px|Vienu un to pašu vektoru var izteikt divās dažādās bāzēs
Ja \vec{e}_1, \vec{e}_2, ..., \vec{e}_n ir lineāras telpas L bāze, tad jebkuru vektoru \vec{x} \in L tikai vienā vienīgā veidā var izteikt ar šiem bāzes vektoriem: \vec{x} = \alpha _1 \vec{e}_1 + \alpha _2 \vec{e}_2 + ... + \alpha _n \vec{e}_n

#### Pierādījums
Pieņemsim, ka šo patvaļīgo vektoru var izteikt citādi ar koeficientiem \beta_1, \beta_2, ..., \beta_n, ka \vec{x} = \beta _1 \vec{e}_1 + \beta _2 \vec{e}_2 + ... + \beta _n \vec{e}_n, bet tad būtu jāizpildās vienādojumam \alpha _1 \vec{e}_1 + \alpha _2 \vec{e}_2 + ... + \alpha _n \vec{e}_n = \beta _1 \vec{e}_1 + \beta _2 \vec{e}_2 + ... + \beta _n \vec{e}_n, jeb (\alpha _1- \beta_1) \vec{e}_1 + (\alpha _2- \beta_2) \vec{e}_2 + ... + (\alpha _n- \beta_n) \vec{e}_n = \vec{0}. Tā kā bāzes vektori ir lineāri neatkarīgi, tad vienādība izpildās tikai, ja \alpha_1 = \beta_1,\ \alpha_2 = \beta_2, \ ... , \alpha_n = \beta_n, tātad vektoru var izteikt vienā vienīgā veidā.

## Vektora koordinātas
Ja vektors \vec{x} ir izteikts ar bāzes vektoriem: \vec{x} = \alpha _1 \vec{e}_1 + \alpha _2 \vec{e}_2 + ... + \alpha _n \vec{e}_n, tad skaitļus \alpha _1, \alpha _2, ..., \alpha_n  sauc par vektora \vec{x} koordinātām šajā bāzē. Šo koeficientu vērtības nevar mainīt vietām un iegūt ekvivalentu rezultātu, secība ir svarīga. Darbības ar vektoriem vienā un tajā pašā bāzē var reducēt uz darbībām ar vektoru koordinātām, balstoties uz īpašībām:

# \vec{x} = \vec{0} tad un tikai tad, ja visas koordinātas ir nulle, \vec{x} = (0, 0, ..., 0)
# \vec{x} = \vec{y} izpildās tad un tikai tad, ja katra vektora atbilstošās koordinātas sakrīt. Ja \vec{x} = \alpha _1 \vec{e}_1 + \alpha _2 \vec{e}_2 + ... + \alpha _n \vec{e}_n un \vec{y} = \beta _1 \vec{e}_1 + \beta _2 \vec{e}_2 + ... + \beta _n \vec{e}_n, tad vienādība izpildās, ja \alpha_1 = \beta_1,\ \alpha_2 = \beta_2, \ ... , \alpha_n = \beta_n.
# Divu vektoru summa ir tas pats, kas koordinātu summēšana. \vec{x} + \vec{y} = (\alpha_1 + \beta_1)\vec{e}_1 + (\alpha_2 + \beta_2)\vec{e}_2 + ... + (\alpha_n + \beta_n)\vec{e}_n, jeb \vec{x} + \vec{y} = (\alpha_1 + \beta_1,\alpha_2 + \beta_2, ..., \alpha_n + \beta_n)
# Vektoru reizinot ar skaitli, katru koordinātu reizina ar šo skaitli. a \cdot \vec{x} = (a \cdot \alpha_1, a \cdot \alpha_2, ..., a \cdot \alpha_n)

## Atsauces