Masas centrs

[thumb|300x300px|Noliekot balstu zem masas centra, objekts atradīsies līdzsvarā ([Smaguma spēks|smaguma spēku kompensēs reakcijas spēks)]]
thumb|300x300px|Kustību punktam var raksturot ar masas centra pārvietojumu un punkta rotāciju ap masas centru
**Masas centrs** jeb **inerces centrs** ir tāds punkts, kam pieliekot ārējo spēku, tas kustas tā, it kā visa objekta masa būtu koncentrēta šajā materiālajā punktā. Masas centrs sakrīt ar smaguma centru, ja objekts atrodas viendabīgā gravitācijas laukā. Masas centrs var atrasties kā objekta iekšienē, tā arī ārpus tā.

## Masas centrs materiāliem punktiem
Masas centru materiāliem punktiem var aprēķināt pēc formulas:

 x_{mc} = \frac{\sum{m_i x_i}}{\sum{m_i}}  , kur  x_{mc}   ir masas centra koordināte,  m_i  ir masa *i-*tajam punktam un  x_i  ir koordināte *i-*tajam punktam. Piemēram, planētas un zvaigznes savstarpējo rotāciju vai pavadoņa un planētas savstarpējo rotāciju var apskatīt ar masas centra palīdzību.

Ja nepieciešams atrast masas centru 3 dimensiju objektam, var aprēķināt masas centru katrai dimensijai atsevišķi.

### Piemērs

* Atrast sistēmas Zeme-Mēness masas centru.

Zemes masa ir 5,97 * 10^24 kg, Mēness masa ir 7,35 * 10 ^22 kg, attālums starp Zemi un Mēnesi ir 3,84 * 10^5 km. Pieņemot Zemi par atskaites punktu un ievietojot formulā, iegūst:

 x_{mc} = \frac{5,98\cdot 10^{24} \cdot 0 + 7,35 \cdot 10^{22} \cdot 3,84 \cdot 10^{5}}{5,97 \cdot 10^{24} + 7,35 \cdot 10^{22}} \approx 4670  \ km 

Tā kā Zemes rādiuss ir ~ 6370 km, tad sistēma Zeme-Mēness griežas ap baricentru, kas ir Zemes iekšienē.

## Masas centrs nepārtrauktam ķermenim
thumb|Masas centru iespējams noteikt arī eksperimentāli: piekārtam objektam nostājoties līdzsvarā, var novilkt taisni no piekares punkta gravitācijas virzienā. Šādi novelkot divas taisnes, to krustpunkts būs masas centrs
Masas centru nepārtrauktam 1 dimensijas ķermenim var aprēķināt pēc integrāļa: x_{mc} = \frac{1}{M}\int{xdm} , kur  M  ir masu summa,  dm  ir ķermeņa masa kāda koordinātā  x .

#### Piemērs

* Dots horizontāls lauks, jāaprēķina darbu kas jāveic, lai izceltu pussfēras formas bedres zemi līdz zemes līmenim, ja bedres rādiuss ir *<math> R </math>,* zemes blīvums ir  \rho  un brīvās krišanas paātrinājums ir  g .

Vispirms var novērot, ka, ja tiek atrasts šīs pussfēras masas centrs  h_{mc}  , tad iespējams aprēķināt nepieciešamo darbu ar formulu  A = mgh , kur  A  ir darbs,  m  ir visa masa un  h  ir augstums līdz zemes virsmai.

Visas zemes masa pussfēras bedrei ir  M = \rho V = \frac{2 \rho R^3}{3} .

Integrāli var pārrakstīt kā  h_{mc} = \frac{1}{M}\int{\rho xdV} , kur  dV  ir tilpuma gabals. Izsakot  dV = S \cdot dh  un  S = \pi \cdot (R^2 -dh^2)  var ievietot atpakaļ integrālī ar robežām  0 ,  R :  h_{mc} = \frac{1}{M} \int_0 ^R{\rho x \pi (R^2 -dh^2) dh} = \frac{1}{M}((\frac{\rho \pi R^4}{2}-\frac{\rho \pi R^4}{4})-0) = \frac{\rho \pi R^4}{4 M} . Ievietojot pussfēras tilpuma formulu iegūst:  h_{mc} = \frac{1}{M} \cdot \frac{2 \rho R^3}{3} \cdot \frac{3R}{8} = \frac{M}{M} \cdot \frac{3R} {8} = \frac{3R} {8} .

Ievietojot darba formulā  A = Mgh_{mc} = \frac{2\rho R^3}{3} \cdot \frac{3R}{8} \cdot g = \frac{\rho g R^4}{4} .

### Masas centrs pēc simetrijām
Ja visam objektam ir vienāds blīvums, tad, atrodot jebkādu simetrijas asi, masas centrs atradīsies uz šīs ass. Atrodot divas šādas taisnes, to krustpunkts būs masas centrs.

## Skatīt arī

* Svērtais vidējais
* Klucīšu kraušanas problēma

## Atsauces