Lauko teorija (matematika)

**Lauko teorija** yra matematikos sritis, kuri tiria matematinių laukų savybes. Laukas yra matematinė struktūra, kurioje apibrėžtos sudėties, atimties, daugybos ir dalybos operacijos.

## Istorija
Sąvoka *laukas* buvo netiesiogiai panaudota Nylso Henriko Abelio ir Evaristo Galua darbe lygties išsprendžiamumas.

1871 metais, Ričardas Dedekinas, pavadino "lauku" - realių arba kompleksinių skaičių aibę, kuri yra uždara keturių aritmetinių operacijų atžvilgiu.

1881 metais, Leopoldas Kronekeris terminu "racionalumo sritis" apibūdino tai, kas iš tikrųjų yra polinomų laukas šiuolaikiniuose matematikos apibrėžimuose.

1893 metais, Henrikas Vėberis davė pirmą aiškų apibrėžimą abstrakčiam laukui.

1910 Ernestas Steinitzas publikavo svarbų straipsnį *Algebrinė laukų teorija*. Čia jis tyrinėjo aksiomines laukų savybes ir apibrėžė labai reikšmingas, svarbias teorines lauko sąvokas, tokias kaip pagrindinis laukas, tobulas laukas ir transcendentiškumo laipsnis lauko plėtinyje.

Galua, kuris net mintyse neturėjo termino "laukas", yra laikomas pirmuoju matematiku, apjungusiu grupių teoriją ir lauko teoriją. Galua teorija pavadinta jo garbei. Vis dėlto tik Emilis Artinas pirmasis nustatė ryšį tarp grupių ir laukų 1928-1942 metais.

## Įvadas

Laukai yra svarbūs objektai algebros moksle nuo to laiko, kai jie suteikia naudingą daugybės skaičių sistemų apibendrinimą, tokį kaip racionalūs skaičiai, realieji skaičiai ir kompleksiniai skaičiai. Juose ypač svarbios asociatyvumo, komutatyvumo ir distributyvumo taisyklės. Laukai taip pat yra daugelyje kitų matematikos sričių (žiūrėti pavyzdžius, esančius žemiau).

Kada pirmą kartą buvo formuluojama abstrakčioji matematika, lauko apibrėžimas neapėmė komutatyvios daugybos. Laukas šiais laikais vadinamas lauku arba *komutatyviu lauku* arba *racionali sritis*. Šiuolaikiniame vartojime, laukas visada yra komutatyvus. Struktūra, kuri atitinka lauko savybes, išskyrus galbūt komutatyvumą, šiandien yra vadinama *žiedas su dalyba* arba kartais *asimetriškas laukas*, bet taip pat *nekomutatyvus laukas* yra vis dar plačiai naudojamas. Vis dėlto, kitos kalbos yra išsaugoję seną vartojimą. Prancūziškai, žiedas su dalyba vadinamas *corps* (pažodžiui, *kūnu*). Tai yra nevienintelis lauko pavadinimas, paprastai yra vadinama *corps commutatif* (*komutatyvus kūnas*). Vokiškai žodis *kūnas* yra *Körper* ir šis pavadinimas yra naudojamas išreikšti laukus; taigi naudojama paryškinta \mathbb K žymi lauką.

Laukų sąvoka pirmą kartą buvo panaudota įrodyti, kad nėra bendros formulės realių aukštesnio nei ketvirto laipsnio daugianarių šaknims skaičiuoti (t. y. algebrinė lygtis neišsprendžiama radikalais).

Svarbiausia Galua teorijos idėja yra algebrinis plėtinys polinomų laukui. Tai paprastai mažiausias laukas, susidedantis iš polinomų ir jo šaknų lauko. Algebriškai uždaras laukas yra laukas, kuris kiekviename daugianaryje turi šaknį. Pavyzdžiui, algebrinių skaičių laukas yra algebrinis racionaliųjų skaičių lauko plėtinys, o kompleksinių skaičių laukas yra algebrinis realiųjų skaičių lauko plėtinys.

Lauko sąvoka yra naudojama apibrėžiant, pavyzdžiui, vektorius ir matricas, dvi struktūras tiesinėje algebroje, kurių komponentai taip pat gali būti lauko elementais.

Baigtiniai laukai yra naudojami skaičių teorijoje, Galua teorijoje ir simbolių teorijoje, taip pat algebriniai plėtiniai, kurie yra yra svarbūs įrankiai šiuolaikinėje matematikoje.

Dvejetainiai laukai, laukai su savybe 2, yra naudingi informatikoje.

## Formulės
*Gradientas*:
grad u=\frac{\partial u}{\partial x}i+\frac{\partial u}{\partial y}j+\frac{\partial u}{\partial z}k  .
*Kryptinė išvestinė*:
\frac{\partial u}{\partial s}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma.
Vektorinį lauką F=P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k charakterizuoja *divergencija*
div F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} 
ir *rotorius*
rot F=\begin{vmatrix} i & j & k \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} =\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)i+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)j+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)k.

## Pavyzdžiai
* Taške A(1; 2; 3) apskaičiuokite lauko u(x; y; z)=z^2+2\arctan(x-y) gradientą ir kryptinę išvestinę taško B(-2; 0; 1) kryptimi.
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{2}{1+(x-y)^2}; \; \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{-2}{1+(x-y)^2}; \; \frac{\partial u}{\partial z}=2z; 
gradu|_A=\frac{2}{1+(1-2)^2}i-\frac{2}{1+(1-2)^2}j+2\cdot 3k=i-j+6k.
AB=(-2-1; 0-2; 1-3)=(-3; -2; -2);
: |AB|=\sqrt{(-3)^2+(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt{17};
\cos\alpha=\frac{-3}{\sqrt{17}}, \; \cos\beta=\frac{-2}{\sqrt{17}}, \;\cos\gamma=\frac{-2}{\sqrt{17}}.
: kryptinė išvestinė: \frac{\partial u}{\partial s}|_A=1\cdot \frac{-3}{\sqrt{17}}-1\cdot \frac{-2}{\sqrt{17}}+6\cdot\frac{-2}{\sqrt{17}}=-\frac{13}{\sqrt{17}}.

* Rasime funkcijos u=x^3 y^3 z^3 kryptinę išvestinę taške M_0(2; -1; 3) vektoriaus M_0 M_1 kryptimi, kai M_1(3; 2; 4).
: Randame M_0 M_1={1; 3; 1}, |M_0 M_1|=\sqrt{1+9+1}=\sqrt{11}, tuomet \cos\alpha={1\over\sqrt{11}},\; \cos\beta={3\over\sqrt{11}},\; cos\gamma={1\over\sqrt{11}}. 
Toliau randame išvestines  {\partial u\over \partial x}=3x^2 y^3 z^3,\;{\partial u\over \partial y}=3x^3 y^2 z^3,\;{\partial u\over \partial z}=3x^3 y^3 z^2 ir apskaičiuojame jų reikšmes taške M_0:
{\partial u\over \partial x}|_{M_0}=3\cdot 2^2\cdot (-1)^3\cdot 3^3=-324,\; {\partial u\over \partial y}|_{M_0}=3\cdot 2^3\cdot (-1)^2\cdot 3^3=648,\;{\partial u\over \partial z}|_{M_0}=3\cdot 2^3\cdot (-1)^3\cdot 3^2=-216.
: Įrašę šias išvestinių ir krypties kosinusų reikšmes į formulę, gauname:
{\partial u\over\partial l}={\partial u\over\partial x}\cos\alpha+{\partial u\over\partial y}\cos\beta+{\partial u\over\partial z}\cos\gamma=-324\cdot{1\over \sqrt{11}}+648\cdot{3\over\sqrt{11}}-216\cdot{1\over \sqrt{11}}={1944\over\sqrt{11}}-{540\over\sqrt{11}}={1404\over \sqrt{11}}.

* Kūno temperatūra erdvėje apibūdinama funkcija T=x^2 y+yz-e^{xy}. Nustatykime, kuria kryptimi temperatūra taške M_0(2;1;2) kinta greičiausiai.
: Žinome, kad tai bus grad*T* kryptis. Randame dalines išvestines:
: {\partial T\over\partial x}=2xy-ye^{xy},\;{\partial T\over\partial y}=x^2+z-xe^{xy},\;{\partial T\over\partial z}=y.
: Apskaičiuojame jų reikšmes taške M_0(2;1;2):
: {\partial T\over\partial x}|_{M_{0}}=4-e^2,\; {\partial T\over\partial y}|_{M_{0}}=6-2e^2,\;{\partial T\over\partial z}|_{M_{0}}=1.
: Tuomet grad T=(4-e^2)i+(6-2e^2)j+k, o didžiausias temperatūros kitimo greitis taške M_0 bus lygus
: |grad T|=\sqrt{(4-e^2)^2+(6-2e^2)^2+1^2}=\sqrt{16-8e^2+e^4+36-24e^2+4e^4+1}=
=\sqrt{45-32e^2+5e^4}\approx 9.46.

## Keletas naudingų teoremų

* Izomorfizmo tęsimo teorema
* Pirminių elementų teorema

## Taip pat skaitykite
* Algebrinė struktūra
* Žiedas
* Vektorius
* Baigtinis laukas

## Nuorodos

* Lauko teorija

## Šaltiniai
* Lauko teorija