Hadamardo vartai

**Hadmardo vartai** () – tai kvantiniai vartai naudojami kvantiniame kompiuteryje, kilę iš Hadamardo transformacijos, skirti kubitą pervesti į superpozicijos būseną. Hadamardo kvantiniai vartai neturių klasikinių vartų analogų. Hadamardo vartai gali operuoti tik ant vieno kubito, be to kiekvienam kubitui reikia savo atskirų Hadamardo vartų.
Kubitas, kurio būsena yra |1>, pereidamas per Hadamardo vartus persikelia į būseną:
: H|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle=|-\rangle.
O |0> pereidamas per Hadamardo vartus pereina į superpozicijos būseną, kuri užrašoma šitaip:
: H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle=|+\rangle.
Šiose būsenose kubitai pereidami dar kartą per Hadamardo vartus grįžta į pradinę būseną:
: H( \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle )= \frac{1}{2}( |0\rangle+|1\rangle) - \frac{1}{2}( |0\rangle - |1\rangle) = |1\rangle ;
: H( \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle )= \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) + \frac{1}{\sqrt{2}}( \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle)= |0\rangle .

## Skaičiavimai su Hadamardo vartais

Kartais vietoje 0 rašomas 1, o vietoje 1 rašomas -1:
: |0\rangle =|1\rangle;
: |1\rangle =|-1\rangle.
Mes taip ir žymėsime. Pirmas (pvz.: 1) nuo viršaus kubitas rašomas pirmu, o antras (pvz:. -1) nuo viršaus antru:
: |1\rangle |-1\rangle = |1,-1\rangle  .
Kai 2 kubitai yra perėję Hadamardo vartus, tai jie turės 4 reikšmes:
:  \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle + |-1\rangle)\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle - |-1\rangle)=\frac{1}{2}(|1,1\rangle+|-1,1\rangle-|1,-1\rangle-|-1,-1\rangle).
Jei iš paskos šiuos 2 kubitus seka dar vienas kubitas H|-1>, tai bendras kubitų užrašymas atrodys taip:
:  \frac{1}{2}(|1,-1\rangle+|-1,1\rangle-|1,-1\rangle-|-1,-1\rangle)\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle - |-1\rangle)=
: = \frac{1}{\sqrt{2^3}}(|1,-1,1\rangle+|-1,1,1\rangle-|1,-1,1\rangle-|-1,-1,1\rangle  -|1,-1,-1\rangle-|-1,1,-1\rangle+|1,-1,-1\rangle+
: +|-1,-1,-1\rangle).

## Reikšmės
\langle\phi| \; \bigg( c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle \bigg) = c_1\langle\phi|\psi_1\rangle + c_2\langle\phi|\psi_2\rangle. 
:  (|\psi\rangle \langle\phi|) |v\rangle = |\psi\rangle \langle\phi|v\rangle. 

: H|\psi\rang=\frac{1}{\sqrt{2}}(X|\psi\rang + Z|\psi\rang).
:  |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle).
: H|\psi\rangle = H\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)=|0\rang.
: H|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(X\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)+Z\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle))=
:  = \frac{1}{\sqrt{2}}((\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)+\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle))=|0\rang.
Kur *X* yra kvantiniai NOT vartai, o *Z* yra fazės vartai.

Jei
: |\psi\rangle = a|00\rangle+b|10\rangle+c|01\rangle+d|11\rangle,
tai
: \langle\psi|\psi\rangle= a^2+b^2+c^2+d^2 =1,

Pavyzdžiui,
: |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)=\frac{1}{2}(|00\rangle+|10\rangle-|01\rangle-|11\rangle).

Tada,
: \langle\psi|\psi\rangle=4\cdot (\frac{1}{2})^2= 1. 

: \langle\psi|x\rangle= \frac{1}{\sqrt{2^n}}, 
kur n, kubitų skaičius. Pavyzdžiui, jei n=4, tai:
: \langle\psi|x\rangle= \frac{1}{\sqrt{2^4}}=\frac{1}{\sqrt{16}}=\frac{1}{4} .
O jei n=2, tai:
: \langle\psi|x\rangle= \frac{1}{\sqrt{2^2}}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2} .
: \langle x|x\rangle=1 .
: \langle x|y\rangle=\langle y|x\rangle=0 .

## Kur naudojami Hadamardo vartai?
Hadamardo vartai naudojami:
* Doičo-Džozo algoritme,
* Groverio algoritme.

## Kiti kvantiniai vartai
* Hadamardo vartai
* CNOT vartai
* Kvantiniai NOT vartai
* Fazės vartai
* Tofolio vartai

## Nuorodos
* Paaiškinimas kodėl 1 (arba 0) praėjęs du kartus per Hadamardo vartus vėl tampa 1 (arba 0). Video.