Specialioji reliatyvumo teorija

**Specialioji reliatyvumo teorija** – pirmoji iš reliatyvumo teorijų, 1905 metais aprašyta Alberto Einšteino straipsnyje „Apie judančių kūnų elektrodinamiką“.

Šios teorijos pagrindinis teiginys – kad kiekvienam stebėtojui šviesos greitis vakuume yra vienodas visomis kryptimis ir nepriklauso nei nuo šaltinio, nei nuo stebėtojo judėjimo greičio. Iš to daroma išvada, kad kuo greičiau objektas juda, tuo lėčiau jam eina laikas, tuo objektas darosi sunkesnis ir jo tiesiniai matmenys, nejudančio stebėtojo atžvilgiu, darosi mažesni. Taip pat Albertas Einšteinas teigė, kad jokiais bandymais sistemos viduje negalima nustatyti skirtumo tarp rimties ir judėjimo iš inercijos būsenų.

## Galiojimo sritis
Specialioji reliatyvumo teorija sugriovė iki tol buvusį visuotinai priimtiną Niutono mechanikos dėsniais pagrįstą pasaulio supratimą. Tačiau įprastinėmis aplinkybėmis Žemėje, kuomet greičiai dažnai nedideli, reliatyvistinės Niutono dėsnių pataisos paprastai yra nykstamai mažos, todėl jais galima naudotis.

Teorija vadinama specialiąja, nes joje nekreipiama dėmesio į gravitaciją. Bendroji reliatyvumo teorija papildo specialiąją reliatyvumo teoriją paaiškindama gravitaciją. Specialiąją reliatyvumo teoriją galima taikyti tik ten, kur gravitacinis potencialas žymiai mažesnis už *c*². Kitais atvejais taikoma tik bendroji reliatyvumo teorija.

## Postulatai
Teorijai sukurti užtenka dviejų postulatų:
* Visi fizikiniai gamtos procesai inertinėse atskaitos sistemose vyksta vienodai.
* Tuščioje erdvėje šviesa visada sklinda greičiu *c*, kuris nepriklauso nuo šviesos šaltinio judėjimo.

Inertinės atskaitos sistemos – tai tokios atskaitos sistemos, kurios viena kitos atžvilgiu juda tiesiai ir tolygiai (jose galioja I Niutono dėsnis). Specialioji reliatyvumo teorija nagrinėja tik tokias atskaitos sistemas.

Iš antrojo postulato išplaukia, kad šviesos greitis nepriklauso, ar šaltinis juda stebėtojo atžvilgiu, ar – ne. Pavyzdžiui, jei šviesos šaltinis juda šviesos sklidimo kryptimi greičiu, lygiu pusei šviesos greičio (0,5*c*), tai vis tiek išmatavę šviesos sklidimo greitį stebėtojo atžvilgiu gausime, kad jis lygus tam pačiam *c*, o ne 1,5*c*. Taip yra todėl, kad
stebėtojas ir šviesos šaltinis yra dvi inertinės atskaitos sistemos.

## Laiko sulėtėjimas
Jei stebėtojo „laiko etalonas“ yra trukmė, per kurią jo požiūriu šviesa įveikia žinomą atstumą, iš šios teorijos išplaukia jog laikas nėra vienas ir tas pats visiems stebėtojams.

Nejudančiam stebėtojui atrodo, kad judančio stebėtojo laikas eina lėčiau.
: t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\equiv t_0\gamma
čia \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} vadinamas Lorenco daugikliu ir *c* yra šviesos greitis vakuume.

Taigi nėra absoliutaus laiko. Du įvykiai vienam stebėtojui atrodo vykstantys vienu metu, kitam gali vykti skirtingu laiku.

Įrodymas

Nagrinėkime dvi atskaitos sistemas S ir S'. Tegul sistema S' juda greičiu *v* sistemos S atžvilgiu. Pažymėkime Δ*t*0 laiką, kurį matuoja nejudantis atskaitos sistemoje S esantis stebėtojas. Šis laikas dar vadinamas savuoju laiku. Δ*t* – tai laikas, kurį išmatuos judantis stebėtojas esantis S'. Sistemoje S šviesa atstumą L įveiks per laiką \Delta t_{0}=\frac{L}{c}. Sistemoje S' šviesa įveiks atstumą \sqrt{L^2+(v\Delta t)^2}. Vadinasi \Delta t=\frac{\sqrt{L^2+(v\Delta t)^2}}{c}\Rightarrow c^2 \Delta t^2 = L^2 +v^2 \Delta t^2\Rightarrow \Delta t^2 (c^2-v^2)=L^2

*L* dabar įsistatykime iš pirmosios formulės.

\Delta t^2 (c^2-v^2)=\Delta t_0^2 c^2\Rightarrow \Delta t=\frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.
|}

## Ilgio sutrumpėjimas
Ilgis gali būti nustatomas matuojant trukmę, per kurią žinomu greičiu judantis kūnas įveikia visą matuojamą atkarpą. Jei laikas stebėtojams teka nevienodai, nevienodas bus ir jų išmatuotas šios atkarpos ilgis.

Nejudančiam stebėtojui judančio stebėtojo ilgis atrodo mažesnis.
: L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\equiv\frac{L_0}{\gamma}

: 

## Masės padidėjimas

Masė gali būti nustatoma pagal pagreitį, kuriuo juda žinoma jėga veikiamas kūnas. Tokiame bandyme reikia matuoti tiek atstumus, tiek ir trukmes. Kadangi abu dydžiai reliatyvūs, skirtingu greičiu judantys stebėtojai masę taip pat nustatys nevienodai.

Nejudančiam stebėtojui judantis stebėtojas atrodo masyvesnis.
: m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\equiv m_0\gamma

### Įrodymas

Remsimės prielaida, kad reliatyvumo teorijoje galioja judesio kiekio tvermės dėsnis. Judesio kiekis yra \mathbf{p}=m\mathbf{v}. Atlikime mintinį eksperimentą. Nagrinėkime dviejų vienodų rutulių, kurių rimties masės *m*0 smūgį. Nagrinėkime dvi inercines atskaitos sistemas S ir S'. Stebėtojui esančiam S', atrodys, kad sistemoje S laikas eina lėčiau. \frac{t'}{t}=\gamma. Tegul stebėtojai išmeta rutulius greičiais *u*. Laikykime, kad *u* yra pakankamai mažas greitis. Dabar pritaikykime judesio kiekio tvermės dėsnį. m'u'=m_{0}u. Vadinasi \frac{m'}{m_0}=\frac{u}{u'}. Kadangi rutuliai susiduria, tai jie vienu metu būna tame pačiame taške. Rutulių nueiti keliai yra vienodi ir lygūs *L*, nes atstumas mažėja tik judėjimo kryptimi (\mathbf{v} kryptimi), o ne jai statmena, todėl u=\frac{L}{t} ir u'=\frac{L}{t'}. Pasinaudoję šiomis lygtimis užrašome, kad \frac{u}{u'}=\gamma. Taigi išeina, kad \frac{m'}{m_0}=\gamma.

m'=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Skirtingai nuo masės, elektros krūvis nuo judėjimo greičio pagal šią teoriją nepriklauso.

## ''E=mc²''
Vienas labiausiai žinomų rezultatų yra energijos ir masės sąryšis *[[E=mc²]]*. Tai reiškia, kad masė ir energija yra ekvivalenčios. Bet kokia materijos rūšis, kuri turi energijos, turi ir masę. Kartais ši formulė yra klaidingai interpretuojama, nes sakoma, kad energija gali virsti mase ir atvirkščiai. Rimties masė gali virsti kitų rūšių energija. Dažniausiai ji virsta šviesa, kurios kvantai neturi rimties masės, tačiau masę – turi.

### Įrodymas
Panagrinėkime, kaip kinta kūno kinetinė energija, kai jį veikia jėga. Pradžioje kūnas greitėja, bet kai greitis priartėja prie šviesos greičio, tada greitis beveik nebekinta, o didėja kūno masė. Tai leidžia manyti, kad masė yra energijos forma. Pažymėkime kūno kinetinę energiją raide *E*k. Tarkime, kad reliatyvumo teorijoje galioja energijos tvermės dėsnis.

: E_k= \int F dx = \int \frac{dp}{dt} dx = \int \frac{dx}{dt}dp = \int v dp,
: vdp=d(pv)-pdv,
: \int d(pv)=pv|_{0}^{v}=pv=mv^2,
: E_k=mv^2-\int_{0}^{v} mvdv=mv^2-\int_{0}^{v}\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}dv=mv^2-\int_{0}^{v}\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{d\Big(1-\frac{v^2}{c^2}\Big)\over {-2v\over c^2}}=
: mv^2+\int_0^v\frac{m_0 c^2}{2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}d\Big(1-\frac{v^2}{c^2}\Big)=mv^2+\Big(m_{0}c^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\Big)\Big|_0^v=mv^2+m_{0}c^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-m_{0}c^2;
: E_k\approx mv^2+m_0 c^2\Big(1-{1\over 2}\frac{v^2}{c^2}\Big)-m_{0}c^2=mv^2+m_0 c^2-{m_0 v^2\over 2}-m_{0}c^2=mv^2-{m_0 v^2\over 2}={mv^2\over 2}={m_0 v^2\over 2}, kai greitis v nereliatyvistinis (daug mažesnis nei šviesos greitis).
: E_k=mv^2+m_{0}c^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-m_{0}c^2=mv^2+m_{0}c^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\over \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-m_{0}c^2=
=mv^2+mc^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-m_{0}c^2=mv^2+mc^2 \Big(1-\frac{v^2}{c^2}\Big)-m_{0}c^2=mc^2-m_0 c^2={m_0 c^2\over\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-m_0 c^2..

Dydį *m*0*c*² pavadinsime rimties energija. Tada gauname, kad:

: E=E_0+E_k=mc^2={m_0 c^2\over \sqrt{1-{v^2\over c^2}}}.
: E_0=m_0 c^2.
: E_k=E-E_0={m_0 c^2\over \sqrt{1-{v^2\over c^2}}}-m_0 c^2=mc^2-m_0 c^2.

Kai greičiai yra maži (iki 0.5*c*), tai:
: E_k={m_0 c^2\over \sqrt{1-{v^2\over c^2}}}-m_0 c^2\approx{m_0 v^2\over 2}.

## Energija ir judesio kiekis
Reliatyvistinių kūnų energija ir judesio kiekis:
: E = m_0 \gamma c^2 \,\!
: p=m_0\gamma v \,\!
Energiją ir judesio kiekį galime išreikšti vienas per kitą:
: E^2-(pc)^{2} = (m_0 c^2)^2 \,\!
Judančio kūno kinetinė energija yra:
: E_k = m_0 c^2 (\gamma-1) \,\!
Kai v^2, tai ši formulė išskleidus Teiloro eilute susiveda į E_k =\frac{mv^2}{2}.

: 

## Lorenco laiko ir erdvės transformacijos

Pačioje XIX a. pabaigoje buvo pastebėta, kad Maksvelio lygtys netenkina Galilėjaus transformacijų. 1904 m. Henrikas Antonas Lorencas įvedė kitą koordinačių ir laiko transformacijų sistemą tam, kad išspręstų atsiradusias problemas. Sekančiais 1905 m. tas pačias formules nepriklausomai išvedė Albertas Einšteinas iš savo dviejų postulatų.
: t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right)
: x' = \gamma (x - v t)\,
: y' = y\,
: z' = z\,

## Priežastingumo principas

Vienam stebėtojui du įvykiai gali atrodyti vykstantys vienu metu, o kitam stebėtojui vienas įvykis gali atrodyti anksčiau ar vėliau už kitą. Diagramoje įvykis A yra anksčiau už įvykį C. Įvykis C gali vykti ir anksčiau už įvykį A arba vienu metu. Tačiau A ir C jau nebegali susisiekti, nes C jau nebėra stebėtojo A šviesos kūgyje ir atvirkščiai. Taigi priežastingumo principas lieka nepažeistas, nes nei A, nei C nėra vienas kito priežastis ir pasekmė. O įvykio priežastis bus visada tame pačiame šviesos kūgyje kaip ir pats įvykis.

## Greičių sudėtis
Išvedinėjant dviejų lygiagrečių greičių sudėties formulę iš Lorenco transformacijų gaunamos reliatyvistinės greičių sudėties formulės:

Pagal šias formules išeina, jog dviejų lėčiau už šviesą judančių kūnų greičių suma niekada negali viršyti šviesos greičio. Jei vienas kūnų juda šviesos greičiu, suma visada lygi šviesos greičiui.

Joks rimties masę turintis kūnas negali judėti šviesos greičiu. Jeigu jis judėtų šviesos greičiu, tai turėtų nulinį ilgį ir begalinę masę ir sustotų laikas. Taip tikrai negali būti, nes begalinės masės kūnas sunaikintų Visatą. Jeigu kūnas judėtų greičiau už šviesos greitį, pagal šią formulę jo rimties masė būtų kompleksinė (fizikinė šio teiginio prasmė nėra aiški). Tokie kūnai negalėtų judėti lėčiau už šviesos greitį. Kol kas neaptikta tokių kūnų, dar vadinamų tachionais, todėl abejojama dėl jų egzistavimo.

## Niutono dėsnis
Klasikinis Niutono dėsnis reliatyvistiniu atveju nebegalioja, nes keičiasi kūno masė.
: \mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}
Jeigu į klasikinę formulę \mathbf{F}=m\mathbf{a} vietoj *m* įsistatysime \gamma m_0, teisingo rezultato negausime. Teisinga formulė yra tokia:
: \mathbf{F} = \gamma m_0 \mathbf{a} + \gamma^3 m_0 \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{a}}{c^2} \mathbf{v}

Kaip matome, jėgos ir pagreičio kryptis gali nesutapti reliatyvumo teorijoje.

## Keturmatis erdvėlaikis
Specialiojoje reliatyvumo teorijoje naudojama Minkovskio geometrija. Specialioji reliatyvumo teorija erdvėlaikį laiko neiškreivėjusiu. Minkovskio geometrija panaši į paprastą Euklido geometriją, kur atstumas tarp dviejų taškų yra:
:  ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2\,\!
Minkovskio geometrijoje:
:  ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 + (i c \ dt)^2 \,\!
Čia *i* yra menamasis vienetas. i^2=-1\,\!, todėl:
:  ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 - (c \ dt)^2 \,\!

Taigi reliatyvumo teorijoje invariantas yra ne erdvės intervalas, o erdvėlaikio intervalas. Jis visose atskaitos sistemose yra toks pat.

Koordinačių transformacijos tarp inertinių atskaitos sistemų pasiekiamos naudojant Lorenco transformacijų tenzorių Λ. Judėjimui *x*-ašies atžvilgiu:

: \Lambda^\mu{}_\nu = \begin{pmatrix}
\gamma & -\beta\gamma & 0 & 0\\
-\beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Čia:
* \beta = \frac{v}{c}
* \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}

Tai supaprastina daugumą specialiosios reliatyvumo teorijos formulių. Dauguma fizikinių dydžių yra tenzoriai. Transformacijoms iš vienos atskaitos sistemos į kitą, naudojame tenzorių transformavimo dėsnį:

: T^{\left[i_1',i_2',...i_p'\right]}_{\left[j_1',j_2',...j_q'\right]} = 
\Lambda^{i_1'}{}_{i_1}\Lambda^{i_2'}{}_{i_2}...\Lambda^{i_p'}{}_{i_p}
\Lambda_{j_1'}{}^{j_1}\Lambda_{j_2'}{}^{j_2}...\Lambda_{j_q'}{}^{j_q}
T^{\left[i_1,i_2,...i_p\right]}_{\left[j_1,j_2,...j_q\right]}.

Nagrinėkime keturi vektorių, užrašę jį atskirais komponentais:

: x_\nu=\left(-ct, x, y, z\right).

Perėjimui iš sistemos *S* į sistemą *S' *, atliekame šiuos veiksmus:

: 
\begin{pmatrix}
ct'\\ x'\\ y'\\ z'
\end{pmatrix} = x'^{\mu}=\Lambda^\mu{}_\nu x^\nu=
\begin{pmatrix}
\gamma & -\beta\gamma & 0 & 0\\
-\beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct\\ x\\ y\\ z
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\gamma ct - \gamma\beta x\\
\gamma x - \beta \gamma ct \\ y\\ z
\end{pmatrix}.


## Reliatyvumas ir elektromagnetizmas
Specialioji reliatyvumo teorija yra susijusi su Maksvelio lygtimis, kuri sako, kad elektrinis laukas ir magnetinis laukas yra reliatyvūs ir kitoje atskaitos sistemoje bus kitokie. Todėl sakoma, kad yra elektromagnetinis laukas.
Elektrinis laukas [E_x,E_y,E_z]\,\! ir magnetinis laukas [B_x,B_y,B_z]\,\! sujungiami į vieną elektromagnetinio lauko tenzorių:
: 
  F_{\mu\nu} \equiv
  \begin{pmatrix}
   0     & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\
   E_x/c & 0      & -B_z   & B_y    \\
   E_y/c & B_z    & 0      & -B_x   \\
   E_z/c & -B_y   & B_x    & 0       
  \end{pmatrix}

Krūvio tankis \rho ir srovės tankis [J_x,J_y,J_z]\,\! sujungiami į krūvio-srovės keturmatį vektorių:
: J^\mu = \begin{pmatrix}
\rho c\\ J_x\\ J_y\\ J_z\end{pmatrix}.
Maksvelio lygtys specialiojoje reliatyvumo teorijoje užrašomos naudojant kovariantinius tenzorius:
: 

\partial^\mu F_{\mu \nu} = \mu_0 J_{\nu} (Ampero-Gauso dėsnis)

\partial_\lambda F_{\mu\nu}+ \partial _\mu F_{\nu\lambda}+
  \partial_\nu F_{\lambda\mu} = 0 (Faradėjaus-Gauso dėsnis)

Čia \partial_\nu = \frac{\partial }{\partial x^\nu}

## Taip pat skaitykite
* Dvynių paradoksas
* Kopėčių paradoksas