Rymano dzeta funkcija

**Rymano dzeta funkcija** (kai kur **Oilerio ir Rymano dzeta funkcija**), \zeta(s) – Dirichlė eilutės sumos analizinis plėtinys, kompleksinio argumento *s* (realioji s dalis >1) funkcija:
: \zeta(s) =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}

Rymano dzeta funkcija yra kertinis skaičių teorijos akmuo, turi daug taikymų fizikoje, tikimybių teorijoje, statistikoje.

Šią funkciją, tiesa realaus argumento, aštuoniolikto amžiaus pradžioje pirmasis nagrinėjo Leonardas Oileris. Bernhardas Rymanas 1859 m. straipsnyje apie pirminių skaičių pasiskirstymą praplėtė funkcijos apibrėžimą į kompleksinio argumento sritį, įrodė, kad ji yra meromorfinė funkcija bei nustatė sąryšius tarp jos nulių ir pirminių skaičių asimptotinio pasiskirstymo.

Rymano dzeta funkcijos vertes argumentams esant teigiamiems lyginiams skaičiams apskaičiavo L. Oileris. Pirmoji jų, būtent, \zeta(2), yra Bazelio problemos sprendinys. 1979 m. prancūzų matematikas Apéry įrodė \zeta(3) iracionalumą (Šis skaičius vėliau buvo pavadintas jo vardu). L. Oileris taip pat surado, kad funkcijos reikšmės, esant neigiamoms sveikosioms argumento vertėms yra racionalieji skaičiai. Jos vaidina svarbų vaidmenį moduliarinių formų teorijoje. Šiuo metu yra pasiūlyta daug Rymano dzeta funkcijos apibendrinimų, pvz., Dirichlė eilutė, Dirichlė L-funkcija, L-funkcijos.

## Apibrėžimas

**Rymano dzeta funkcija** \zeta(s) yra kompleksinio s=\sigma+it kintamojo funkcija.

Begalinė skaičių eilutė konverguoja visoms s vertėms, kurių realioji dalis >&nbsp;1:

: \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots \qquad \sigma = \operatorname{Re}(s) > 1.

Ji taip pat gali būti užrašyta kaip

:  \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{e ^ x - 1}\,x ^ s \frac{\mathrm{d}x}{x} ,

čia
: \Gamma(s) = \int_{0}^{\infty} e ^{- x}\,x ^ s \frac{\mathrm{d}x}{x} 

yra Gama funkcija.

1740 metais Leonardas Oileris šią eilutę nagrinėjo esant sveikiesiems teigiamiems s, o Pafnutijus Čebyšovas praplėtė ją visiems realiems argumentams su s > 1.

Rymanas parodė, kad šios eilutės apibrėžimo sritis gali būti analiziškai išplėsta visiems kompleksiniams s\neq 1. Kai s = 1, ši eilutė yra vadinama harmonine eilute, ji diverguoja link +\infty, ir

:  \lim_{s\to 1}(s-1)\zeta(s)=1.

Taigi, Rymano dzeta funkcija yra meromorfinė funkcija visoje kompleksinėje s-plokštumoje. Ji yra holomorfinė funkcija visur, išskyrus pirmos eilės polių s = 1 su reziduumu 1.

## Kai kurios Rymano dzeta funkcijos vertės

Bet kokiam lyginiam sveikam argumentui 2 n:

:  \zeta(2n) = \frac{(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}

Čia B_{2n} yra 2 n eilės Bernulio skaičiai.

Nelyginiams teigiamiems sveikiesiems skaičiams nėra žinomos panašios paprastos išraiškos, tačiau manoma, kad funkcijos vertės turi būti susijusios su algebrine K-sveikųjų skaičių teorija (taip vadinamomis L-funkcijų specialiosiomis vertėmis).

Neigiamiems sveikiesiems skaičiams turime

: \zeta(-n)=(-1)^n \frac{B_{n+1}}{n+1}

dėl n > 0 (naudojami žymėjimai B_1 = -\frac{1}{2})

\zeta yra lygu nuliui visiems neigiamiems lyginiams sveikiems skaičiams, kadangi B_m=0 visiems nelyginiams m, išskyrus &nbsp;1.

Panaudojant analizinį plėtinį galima parodyti, kad:
* \zeta(-1) = -\tfrac{1}{12}
:: Tai leidžia priskirti baigtinę vertę diverguojančiai eilutei 1 + 2 + 3 + 4 + ..., kuri dažnai naudojama stygų teorijoje.
* \zeta(0) = -\tfrac{1}{2};
:: Panašiai samprotaujant tokiu būdu priskiriama baigtinė vertė ir eilutei 1 + 1 + 1 + 1 + ....
* \zeta\left(\tfrac12\right) \approx -1.4603545 &nbsp;

* \zeta(1) = 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \cdots = \infty;
:: jei mes artėsime prie 1 iš didesnių skaičių pusės. Tai yra vadinamoji harmoninė eilutė. Tačiau jos suma Koši prasme
:::  \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\zeta(1+\varepsilon)+\zeta(1-\varepsilon)}{2}
:: yra baigtinis skaičius, vadinamas Oilerio-Maskeronio konstanta \gamma = 0.5772....

* \zeta\left(\tfrac32\right) \approx 2.612; &nbsp;
:: Ši vertė naudojama skaičiuojant Boze–Einšteino kondensato kritinę temperatūrą uždarame tūryje su periodinėmis kraštinėmis sąlygomis bei įmagnetėjimo bangų sklidimą nelaidžiose aplinkose.

* \zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645;\! &nbsp;
:: Ši lygybė yra taip vadinama Bazelio problema. Atvirkštinis šiai sumai skaičius atsako į klausimą: *Kokia [[tikimybė]], kad du atsitiktinai pasirinkti teigiami sveikieji skaičiai turės [[Didžiausias bendrasis daliklis|didžiausią bendrąjį daliklį]] lygų tik 1?*
 
* \zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \approx 1.202; &nbsp;

:: Tai yra Apéry konstanta. Atvirkštinis šiai sumai skaičius atsako į klausimą: *Kokia tikimybė, kad trys atsitiktinai pasirinkti teigiami sveikieji skaičiai turės didžiausią bedrąjį daliklį lygų 1?*

* \zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} \approx 1.0823; &nbsp;

:: Šis skaičius gaunamas išvedant Stefano ir Bolcmano spinduliuotės dėsnį fizikoje – integruojant Planko spinduliuotės dėsnį.

## Oilerio begalinė sandauga
Vieną įdomiausių skaičių teorijos sąryšių tarp dzeta funkcijos ir pirminių skaičių atrado L. Oileris, įrodęs tapatybę:

: \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}},

čia kairėje pusėje yra \zeta(s), o dešinėje pusėje yra begalinė sandauga pagal visus pirminius skaičius p:

: \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} = \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}}\cdot\frac{1}{1-11^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots

Oilerio tapatybė įrodoma naudojant tik geometrinės progresijos eilutę ir pagrindinę aritmetikos teoremą. Kadangi harmoninė eilutė (gauta kai s=1) diverguoja, iš Oilerio tapatybės (\prod_p\frac{p}{p - 1}) seka, kad yra be galo daug pirminių skaičių.

Oilerio sandauga gali būti naudojama skaičiuojant tikimybę, kad s atsitiktinai pasirinktų teigiamų sveikųjų skaičių tarpusavyje turės didžiausią bendrąjį daliklį 1. Nesunku įsitikinti, kad tikimybė, jog atsitiktinai paimtas skaičius dalinsis iš skaičiaus p yra \frac{1}{p}. Tuomet tikimybė, kad s skaičių dalinsis iš šio skaičiaus bus \frac{1}{p^s}, o tikimybė, kad bent vienas iš jų nesidalins bus 1 - \frac{1}{p^s}. Kadangi šie (dalinimo) įvykiai yra nepriklausomi, atsakymas bus jų sandauga. Taigi, galutinai turėsime tokią asimptotinę tikimybę:,

: \prod_{p \text{ prime}} \left(1-\frac{1}{p^s}\right) = \left( \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} \right)^{-1} = \frac{1}{\zeta(s)}. 

## Funkcinės lygtys
Rymano dzeta funkcija įeina į daugelį funkcinių sąryšių, pvz.:
: \zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s),

čia \Gamma(s) yra Gama funkcija, o pati lygtis yra vadinama Rymano funkcine lygtimi. Ji susieja funkcijos vertes taškuose s ir 1 - s. Sinusinis narys reiškia, kad \zeta(s) turi paprastus nulius ties lyginiais neigiamais skaičiais s = -2n – jie yra žinomi kaip trivialieji \zeta(s) funkcijos nuliai. Kai s yra lyginis teigiamas skaičius, sandauga sin(\frac{\pi s}{2})\Gamma(1 - s) dešinėje lygties pusėje yra nenulinė, kadangi \Gamma(1 - s) taške yra paprastas polius, o sinuso funkcija tame taške yra paprastas nulis.

Šią tapatybę 1859 metais išvedė Rymanas. Tačiau analogišką sąryšį, tiesa, be įrodymo, jau 1749 metais buvo pateikęs ir L. Oileris Dirichlė \eta(s) funkcijai (dzeta funkcija su alternuojančiais nariais):

: \eta(s)= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} = \left(1-{2^{1-s}}\right)\zeta(s).

Tai leidžia įvertinti \zeta(s) 0  srityje, t. y.

: \zeta(s)=\frac{1}{1-{2^{1-s}}}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} .

Rymanas taip pat surado simetrinę funkcinės lygties versiją įvedus pažymėjimą:

: \xi(s) = \frac{1}{2}\pi^{-\frac{s}{2}}s(s-1)\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s).\!

Šiai funkcinei lygčiai galioja:

: \xi(s) = \xi(1 - s).\!

## Nuliai, kritinė linija, Rymano hipotezė

Iš anksčiau minėtos funkcinės lygties seka, kad Rymano dzeta funkcija turi nulius —2, —4,…. Tai yra **trivialieji nuliai**, taip vadinami, kadangi jų argumentų reikšmes galima paprastai rasti iš funkcinės lygties (sin \frac{\pi s}{2} yra 0). Netrivialieji nuliai yra įdomesni ne tik tuo, kad jų pasiskirstymas ne iki galo suprastas. Jų tyrimai davė daug įdomių rezultatų apie pirminius skaičius. Yra žinoma, kad netrivialieji nuliai yra randami juostoje 0 , kuri yra vadinama **kritine juosta**. Įžymioji Rymano hipotezė teigia, kad bet kuris netrivialusis nulis s turi Re(s)= \frac{1}{2}. Rymano dzeta funkcijos teorijoje aibė  Re(s) = \frac{1}{2} yra vadinama **kritine linija**. Rymano dzeta funkcijos dalis išilgai kritinės linijos yra vadinama **Z funkcija**.

### Hardy ir Littlewood hipotezė
1914 metais Godfrey Harold Hardy įrodė, kad \zeta(\frac{1}{2} + it) turi be galo daug netrivialiųjų nulių.

Hardy ir John Edensor Littlewood suformulavo du spėjimus apie \zeta(\frac{1}{2} + it) nulių išsidėstymo tankį ir atstumus tarp nulių. Toliau, N(T) yra bendras nulių skaičius esant realiesiems argumentams, o N_0(T) yra bendras funkcijos \zeta(\frac{1}{2} + it) nelyginės eilės nulių skaičius esantis intervale (0, T].

Kiekvienam \varepsilon > 0, egzistuoja toks T_0(\varepsilon) > 0, kad
: T \geq T_0(\varepsilon) \quad\text{ ir }\quad H=T^{\frac14+\varepsilon},
intervale (T, T + H] yra nelyginės eilės nulis.
Bet kokiam \varepsilon > 0 egzistuoja T_0(\varepsilon) > 0 ir c_{\varepsilon} > 0 tokie, kad nelygybė
: N_0(T+H)-N_0(T) \geq c_\varepsilon H
yra teisinga, kai
: T \geq T_0(\varepsilon) \quad\text{ ir }\quad H=T^{\frac12+\varepsilon}.

### Atvirkštinė funkcija
Vienetas, padalintas iš dzeta funkcijos gali būti užrašytas Dirichlė eilute panaudojant Miobijaus funkciją \mu(n):
: \frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}
visiems kompleksiniams s kurių realioji dalis didesnė už 1.

## Sąryšiai su kitomis funkcijomis

### Dirichlė eilutė
Kiek pertvarkius Rymano dzeta funkciją, galima išplėsti jos konvergavimo sritį. Taip eilutė
: \zeta(s)=\frac{1}{s-1}\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{n}{(n+1)^s}-\frac{n-s}{n^s}\right)
konverguoja srityje Re(s) > 0, o
: \zeta(s) =\frac{1}{s-1}\sum_{n=1}^\infty\frac{n(n+1)}{2}\left(\frac{2n+3+s}{(n+1)^{s+2}}-\frac{2n-1-s}{n^{s+2}}\right)
konverguoja net Re(s) > -1. Panašiai konverguojančią eilutę galima gauti Re(s) > -k dėl bet kokio neigiamo -k.

### Melino transformacijos

Funkcijos f(x) Melino transformacija apibrėžiama taip:

:  \int_0^\infty f(x)x^s\, \frac{\mathrm{d}x}{x} 

Yra daug dzeta funkcijos sąryšių su Melino transformacija. Pavyzdžiui, kai realioji s dalis didesnė už 1, turėsime

: \Gamma(s)\zeta(s) =\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^x-1} \,\mathrm{d}x, 

kur \Gamma žymi gama funkciją. Modifikavęs integravimo kontūrą, Rymanas parodė, kad

: 2\sin(\pi s)\Gamma(s)\zeta(s) =i\oint_H \frac{(-x)^{s-1}}{e^x-1}\,\mathrm{d}x 

visiems s (čia H pažymėtas Hankelio kontūras).

Rymano dzeta funkciją taip pat galima susieti su pirminių skaičių pasiskirstymo funkcija \pi(x):
: \ln \zeta(s) = s \int_0^\infty \frac{\pi(x)}{x(x^s-1)}\,\mathrm{d}x,

vertėms Re(s) > 1.

Įvedus funkciją
: J(x) = \sum \frac{\pi\left(x^\frac{1}{n}\right)}{n}

galima parodyti, kad

: \ln \zeta(s) = s\int_0^\infty J(x)x^{-s-1}\,\mathrm{d}x. 

Šios lygtys gali būti naudojamos analizuojant pirminių skaičių pasiskirstymą. \pi(x) gali būti atstatyta, panaudojus Miobijaus transformaciją.

### Theta funkcijos
Rymano dzeta funkcija taip pat gali būti susieta su \theta funkcija per Melino transformaciją

: 2\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s) = \int_0^\infty \theta(it)t^{\frac{s}{2}-1}\,\mathrm{d}t,

Čia

: \theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}.

### Lorano eilutė

Rymano dzeta funkcija yra meromorfinė funkcija su pirmos eilės poliumi esant argumentui s=1. Taigi, ji gali būti išskleista Lorano eilute su poliumi s=1:

: \zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n\gamma_n}{n!}(s-1)^n.

Konstantos \gamma_n yra vadinamos Stiljeso konstantomis. Jos apibrėžiamos formulėmis:

:  \gamma_n = \lim_{m \rightarrow \infty}{\left(\left(\sum_{k = 1}^m \frac{(\ln k)^n}{k}\right) - \frac{(\ln m)^{n+1}}{n+1}\right)}.

\gamma_0 yra Oilerio-Maskeronio konstanta.

### Integralas
Visiems kompleksiniams s\neq 1 galioja integralinis sąryšis:
: \zeta(s) = \frac{1}{2}+\frac{1}{s-1}-2^s\!\int_0^{\infty}\!\!\!\frac{\sin(s\arctan t)}{\left(1+t^2\right)^\frac{s}{2}\left(e^{\pi t}+1\right)}\,\mathrm{d}t,
Jis dažnai naudojamas įvertinant dzeta funkciją skaitmeniškai.

### Adamaro sandauga
Pasinaudodamas Vejerštraso faktorizavimo teorema, Adamaras išvedė tokį dzeta funkcijos skleidinį:

: \zeta(s) = \frac{e^{\left(\log(2\pi)-1-\frac{\gamma}{2}\right)s}}{2(s-1)\Gamma\left(1+\frac{s}{2}\right)} \prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right) e^\frac{s}{\rho},

Čia dauginama pagal netrivialiuosius dzeta funkcijos nulius \rho, o \gamma žymi Oilerio-Maskeronio konstantą. Dar paprasčiau užrašomas kitas dzeta funkcijos skleidinys begaline sandauga:

: \zeta(s) = \pi^\frac{s}{2} \frac{\prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right)}{2(s-1)\Gamma\left(1+\frac{s}{2}\right)}.

Čia aiškus polius ties s=1, trivialieji nuliai ties —2,—4,… (dėl Gama funkcijos, vardiklyje) ir netrivialieji nuliai ties s=\rho.

### Globaliai konverguojančios eilutės
Globaliai konverguojanti dzeta funkcijos eilutę visiems kompleksiniams s išskyrus taškus s=1 + \frac{2\pi i}{ln 2}n bet kokiam sveikam n, pirmą kartą užrašė Konrad Knopp, o įrodė Helmut Hasse 1930 metais:

: \zeta(s)=\frac{1}{1-2^{1-s}} \sum_{n=0}^\infty \frac {1}{2^{n+1}} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{(-1)^k}{(k+1)^{s}}.

Nors ši eilutė buvo pateikta Hasse straipsnyje, ji nebuvo žinoma iki tol kol buvo iš naujo Jonathan Sondow atrasta po 60 metų.

Hasse rado ir kitą išraišką
: \zeta(s)=\frac 1{s-1}\sum_{n=0}^\infty \frac 1{n+1}\sum_{k=0}^n\binom {n}{k}\frac{(-1)^k}{(k+1)^{s-1}}
Tačiau ją dar Joseph Ser irgi buvo pateikęs 1926 metais.

## Praktiniai taikymai
Rymano dzeta funkcija dažnai sutinkama statistikoje (pvz., Zipfo dėsnis).

Dzeta funkcija naudojama diverguojančių eilučių ir integralų reguliarizavimui (priskiriama baigtinė vertė šiaip jau diverguojančioms sumoms). Rymano dzeta funkcija naudojama aprašant Kazimiro efektą, dinaminių sistemų analizėje.

### Begalinės eilutės
Rymano dzeta funkcijai galioja:
* \sum_{n=2}^{\infty}\bigl(\zeta(n)-1\bigr) = 1

Lyginių ir nelyginių dzeta funkcijos narių sumos duoda tokias vertes:
* \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\zeta(2n)-1\bigr)=\frac{3}{4}
ir

* \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\zeta(2n+1)-1\bigr)=\frac{1}{4}
Parametrizuotos aukščiau pateiktų sumų versijos gali būti užrašomos kaip:

* \sum_{n=1}^{\infty}(\zeta(2n)-1)\,t^{2n} = \frac{t^2}{t^2-1} + \frac{1}{2} \left(1- \pi\,t\cdot{}\cot\left(t\,\pi\right)\right)
ir

* \sum_{n=1}^{\infty}(\zeta(2n+1)-1)\,t^{2n} = \frac{t^2}{t^2-1} + \frac{1}{2}\left(\psi^{0}(t)+\psi^{0}(-t)\right) - \gamma

su |t|, o \psi ir \gamma yra poligama funkcija ir Oilerio konstanta atitinkamai. Taip pat:

* \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{n}\,t^{2n} = \log\left(\dfrac{1-t^2}{\text{sinc}(\pi\,t)}\right).

Galioja ir tokie sąryšiai:

* \sum_{n=2}^{\infty}\frac{\zeta(n)-1}{n} = 1-\gamma
* \sum_{n=2}^{\infty}\frac{\zeta(n)-1}{n} \left(\left(\tfrac{3}{2}\right)^{n-1}-1\right) = \frac{1}{3} \ln \pi
* \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\zeta(4n)-1\bigr) = \frac78-\frac{\pi}{4}\left(\frac{e^{2\pi}+1}{e^{2\pi}-1}\right).
* \sum_{n=2}^{\infty}\frac{\zeta(n)-1}{n}\operatorname{Im}\bigl((1+i)^n-(1+i^n)\bigr) = \frac{\pi}{4},

kur Im žymi kompleksinio skaičiaus menamąją dalį.

## Rymano dzeta funkcijos apibendrinimai
Yra žinoma daug funkcijų, susijusių su Rymano dzeta funkcija, kurios gali būti traktuojamos kaip Rymano dzeta funkcijos apibendrinimai. Viena jų yra Hurwitz dzeta funkcija

: \zeta(s,q) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+q)^s}
(Konverguojančią eilutę jai pateikė Helmut Hasse 1930 metais,), kuri sutampa su Rymano dzeta funkcija kai q=1 (pažymėtina, kad Hurwitz dzeta funkcijos apatinė sumavimo riba ne 1, o 0), Dirichlė L-funkcija, Dedekindo zeta-funkcija.

Vadinamoji polilogaritminė funkcija užrašoma taip:

: \mathrm{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k^s}.

Ji sutampa su Rymano dzeta funkcija kai z=1.

Lerch transcendentė yra
: \Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty\frac { z^k} {(k+q)^s}
Ji sutampa su Rymano dzeta funkcija kai z=1 ir q=1.

Clausen funkcija Cl_s(\theta) tai funkcija, gaunama paimant Li_s(e^{i\theta}) funkcijos realiąją arba menamąją dalį.

Galima įvesti daugelio kintamųjų dzeta funkciją:

: \zeta(s_1,s_2,\ldots,s_n) = \sum_{k_1>k_2>\cdots>k_n>0} {k_1}^{-s_1}{k_2}^{-s_2}\cdots {k_n}^{-s_n}.

Šią funkciją galima analiziškai praplėsti į n-matę kompleksinių skaičių sritį.

## Trupmeninė išvestinė
Rymano dzeta funkcijos \alpha-eilės trupmeninė išvestinė gali būti užrašyta tokiu pavidalu 

: \zeta^{(\alpha)}(s) =e^{i \pi \alpha}\sum_{n=2}^\infty\frac{\log^{\alpha} n}{n^s} \ .  

Jei \alpha yra trupmena tokia, kad \lfloor \alpha \rfloor > 0 , konvergavimo sritis bus Re(s) > 1+\alpha.

## Išnašos

## Šaltiniai
* 
* 
* 
* 
*  Has an English translation of Riemann’s paper.
* 
* 
*  (Globally convergent series expression.)
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* . In *Gesammelte Werke*, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
* 
* 
* 
* 

## Nuorodos
* Riemann Zeta Function, in Wolfram Mathworld – an explanation with a more mathematical approach
* Tables of selected zeros 
* Prime Numbers Get Hitched  A general, non-technical description of the significance of the zeta function in relation to prime numbers.
* X-Ray of the Zeta Function Visually oriented investigation of where zeta is real or purely imaginary.
* Formulas and identities for the Riemann Zeta function functions.wolfram.com
* Riemann Zeta Function and Other Sums of Reciprocal Powers, section 23.2 of Abramowitz and Stegun
* 
* Mellin transform and the functional equation of the Riemann Zeta function—Computational examples of Mellin transform methods involving the Riemann Zeta Function