Lévy procesas

**Levy procesas** – tolydus stochastinis laiko procesas tikimybių teorijoje, kurio pokyčiai (prieaugliai) vienodais laiko intervalais yra atsitiktiniai ir nepriklausomi. Pasiūlytas prancūzų matematiko  Polio Lévy. Tai yra stochastinis analogas nepriklausomų ir tapatingai  pasiskirsčiusių atsitiktinių kintamųjų, kurių labiausiai paplitę pavyzdžiai yra Vynerio (Wiener) ir Puasono (Poisson) tipo procesai. Vynerio procesas dar žinomas Brauno judėjimo pavadinimu.

## Matematinis apibrėžimas

Stochastinis procesas X=\{X_t:t \geq 0\}  yra Levy procesas, jei:
# X_0=0 \,, (beveik visada);
# Nepriklausomas pokytis: bet kokiam 
:0 \leq t_1 , X_{t_2}-X_{t_1}, X_{t_3}-X_{t_2},...,X_{t_n}-X_{t_{n-1}}
yra tarpusavyje nepriklausomi.
# Stacionarumas : kiekvienam s, X_t-X_s \, pasiskirstyme lygus 
X_{t-s} \, .
# Atvaizdavimas  t \mapsto X_t yra  beveik visada tolydus iš dešinės, su egzistuojančiomis kairiosiomis ribomis.

## Ypatybės:

### Nepriklausomas pokytis

Kiekvienu laiko momentu *t* ≥ 0, atsitiktinis dydis *X**t*   yra tolydus stochastinis laiko procesas, kurio pokyčiai yra skirtumai *X**s* − *X**t* tarp jų reikšmių skirtingais laiko momentais *t* *s* − *X**t* ir  *X**u* − *X**v* yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai. Bet koks baigtinis, priskirtų nesikertantiems laiko intervalams, pokyčių skaičius yra tarpusavyje nepriklausomas (tačiau ne paporiniai nepriklausomas).

### Stacionarūs pokyčiai

Žr. t. p.: Stacionarūs procesai

Stochastinio proceso pokytis vadinamas stacionariu, jei bet kokio pokyčio *X**s* − *X**t*  tikimybinis pasiskirstymas priklauso tik nuo laiko intervalo ilgio *s* − *t*. Pokyčiai su vienodais laiko intervalais pasiskirsto vienodai. 
 
Vynerio procesuose tikimybių pasiskirstymas *X**s* − *X**t*   yra Normalusis skirstinys ,kur nulinis vidurkis ir dispersija *s* − *t*. 

Homogeniniuose Puasono procesuose tikimybių *X**s* − *X**t*    pasiskirstymas yra Puasono skirstinys su tikėtina verte λ(*s*&nbsp;−&nbsp;*t*), kur λ > 0 yra proceso ,,intensyvumas” arba ,, sparta”.

### Dalumas

Levy procesai priklauso be galo dalomų pasiskirstymų klasei.
* Levy proceso pokyčių tikimybių pasiskirstymai yra be galo dalūs, nes pokyčio ilgis *t* yra *n* pokyčių ilgio *t*/*n,* suma, kurie pagal apibrėžimą yra  nepriklausomi ir tapatingai  pasiskirstę atsitiktiniai kintamieji.  
* Priešingai, kiekvienam be galo dalomam tikimybių pasiskirstymui atitinka savo Levy procesas: pasiskirstymui D, kiekvienam teigiamam racionaliam laiko  momentui, apibrėžiamas, kaip Dirako delta pasiskirstymas pradiniam laiko momentui 0. Pokyčių nepriklausomumas ir stacionarumas seka iš proceso dalumo, nors tolydumas ir atitinkamų ribų reikšmės iracionaliem laikam turi būti patikrintos.

### Momentai

Kiekvienam Levy procesui su baigtinias momentais, *n*-asis momentas \mu_n(t) = E(X_t^n)   yra polinominė funkcija nuo *t*, kuri tenkina tapatybę:
:\mu_n(t+s)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} \mu_k(t) \mu_{n-k}(s).

## Levy–Khintčino atvaizdavimas

Bet kokį Lévy procesą galima apibūdinti jo charakteristinę  funkciją, kas sudaro Lévy – Khintčino (Levy–Khintchine) atvaizdavimą. Jei  X_t   yra Levy procesas, tai jo charakteristinė funkcija tenkina  sąryšį:  
:\mathbb{E}\Big[e^{i\theta X_t} \Big] = \exp \Bigg( ait\theta - \frac{1}{2}\sigma^2t\theta^2 + t 
\int_{\mathbb{R}\backslash\{0\}} \big( e^{i\theta x}-1 -i\theta x \mathbf{I}_{|x| 
Kur a \in \mathbb{R}, \sigma\ge 0 ir \mathbf{I}- indikatoriaus funkcija. Lévy matas *W* turi būti toks, kad
:\int_{\mathbb{R}\backslash\{0\}} \min \{ x^2 , 1 \} W(dx)       
Lygiai taip pat, kaip Vynerio proceso mechaninis analogas gali būti pavaizduotas, kaip dviejų nepriklausomų atsitiktinių dalelės judėjimų kombinacija: dreifu ir difuzija, mechaninis Levy proceso analogas gali būti pavaizduotas trijų nepriklausomų atsitiktinių dalelės judėjimų kombinacija: dreifo, difuzijos ir šuolio. Šie trys nepriklausomi judėjimai apibūdinami Levy–Khinchino tripletu (a,\sigma^2, W). Galima parodyti, kad visiškai tolydus, t. y. be šuolių, Levy procesas yra Brauno dalelės judėjimas su dreifu ir difuzija.

## Levy–Itō skaidinys

Levy procesą galima sukonstruoti iš bet kokios duotos charakteristinės funkcijos, turinčios Levy–Khintčino atvaizdavimą. Ši išraiška atitinka mato skaidinį Lebego skaidymo teoremoje: dreifas ir difuzija yra tolydžioji, o šuoliai *W* singuliarioji viso mato dalis. Duotajam Levy tripletui (a,\sigma^2, W), egzistuoja trys nepriklausomi Lévy procesai X^{(1)}, X^{(2)}, X^{(3)}, priklausantys tai pačiai tikimybių erdvei, tokie, kad:
*	X^{(1)}  yra Brauno judėjimas su dreifu ir difuzija atitinka absoliučiai tolydžiąją mato dalį. Šis procesas apibūdinamas pora (a,σ2). 
*	X^{(2)} yra sudėtinis Puasono procesas, kuris  atitinka singuliaraus mato *W* taškinę dalį.
*	X^{(3)} yra kvadratiškai integruojamas šuolio martingalas, kur beveik užtikrintai turi suskaičiuojamą šuolių skaičių baigtiniame intervale, atitinkantis singuliariąją mato *W* dalį.
Procesas *X*, apibrėžiamas kaip trijų tokių procesų X^{(1)}, X^{(2)}, X^{(3)} suma X=X^{(1)}+X^{(2)}+X^{(3)} yra Lévy procesas su tripletu (a,\sigma^2, W).

## Levy procesų pavyzdžiai

* Puasono procesas  yra paprasčiausias Levy proceso pavyzdys. Vienmačiu atveju generuojančioji funkcija yra:
:\hat{\mu}(z) = \exp (c(e^{iz} - 1)), kur z \in \R. 
Tikimybės matas taške k = 0, 1, 2,..., yra : \mu(\{k\}) = e^{-c} \frac{c^k}{k!}.
Puasono procesas yra tipinis šuolinis procesas. Visi šuoliai yra vienodo vienetinio dydžio. Radioaktyvus atomų skilimas, telefonų skambučių priėmimas telefono stoties komutatoriumi, interneto puslapio užklausa, lietaus krituliai ir pan. gali būti laikomi Puasono procesų pavyzdžiais gamtoje.

* Gama procesas.  Proceso intensyvumo matas su parametrais a, b > 0 : f(x; a,b) = \frac{b^a}{\Gamma(a)} x^{a-1} \exp (-xb),\quad x > 0 . 
generuojančioji funkcija yra: \hat{\mu}(z) = (1 - \frac{iz}{b} )^{-a}. .
Gama procesas naudojamas atsitiktiniam laiko pokyčiui generuoti. Procesas neturi difuzinės komponentės ir priklauso grynai šuolinių procesų klasei. 

* Koši procesas. Kai \gamma \in \R, c > 0 , Tikimybės Borelio matas:
:\mu(B) = \pi^{-1} c \int\limits_B ((x-\gamma)^2 + c^2)^{-1} dx, generuojančioji funkcija yra:\hat{\mu}(z) = \exp -c|z|+ i\gamma z, \quad z \in \R.

* Vynerio procesas. Kai \gamma \in
\R, a > 0  , generuojančioji funkcija yra: 
:\hat{\mu}(z) = \exp (-\frac{1}{2} a z^2 + i \gamma z),\quad z \in \R, tikimybės Borelio matas: \mu(B) = \frac{1}{\sqrt{2\pi a}} \int\limits_B \exp (\frac{-(x-\gamma)^2}{2a} ) d x.

## Literatūra

*	Applebaum, David (December 2004), "Lévy Processes–From Probability to Finance and Quantum Groups" (PDF), Notices of the American Mathematical Society (Providence, RI: American Mathematical Society) 51 (11): 1336–1347, ISSN 1088-9477, http://www.ams.org/notices/200411/fea-applebaum.pdf 
*	J. Bertoin: Lévy Processes. Cambridge Tracts in Mathematics, Vol. 121, Cambridge University Press 2002, ISBN 0-521-64632-4 
*	A. E. Kyprianou: Introductory Lectures on fluctuations of Lévy process with applications. Universitext, Springer. 
*	Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-00313-4 
*	Rama Cont, Peter Tankov: Financial Modelling with Jump Processes. Chapman & Hall, 2003, ISBN 1-58488-413-4 
Ken-iti Sato: Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions. Cambridge studies in advanced mathematics, 1999, ISBN 0-521-55302-4