Vektorinė sandauga

**Vektorinė sandauga** () – dvinarė vektorių operacija. 

Vektorių **a** ir **b** vektorinė sandauga yra vektorius \mathbf{a} \times \mathbf{b}, kurio ilgis yra |a||b|sin φ, o kryptis statmena plokštumai α taip, kad, žiūrint iš vektoriaus \mathbf{a} \times \mathbf{b} galo, vektorius **a** sukamas kampu φ prieš laikrodžio rodyklę sutampa su vektoriumi **b**.

## Apibrėžimas
Dviejų vektorių **a** ir **b** vektorinė sandauga yra vektorius **c**, tenkinantis sąlygas:
# \mathbf{c} \perp \mathbf{a} ir \mathbf{c} \perp \mathbf{b} , t.y vektorius **c** yra statmenas vektorių **a** ir **b** plokštumai;
# Vektoriaus **c** ilgis yra lygus lygiagretainio, kurio dvi gretimos kraštinės sutampa su vektoriais **a** ir **b**, plotui, t.y |\mathbf{c}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \angle (\mathbf{a}, \mathbf{b}) ;
# Vektorius **c** nukreiptas taip, kad žiūrint iš jo galo, atrodytų, jog vektorius **a**, pasuktas mažiausiu kampu θ prieš laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį, sutampa su vektoriaus **b** kryptimi.

Vektorinė sandauga yra žymima \mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} arba **c** = [**a**, **b**].

Dažnai sakoma, kad vektoriai **a**, **b** ir **c**, tenkinantys trečiąją sąlygą sudaro dešininį trejetą (sistemą). Dešininę sistemą galima pavaizduoti dešiniosios rankos pirštais: smilių nukreipus vektoriaus **a** kryptimi, o didijį pirštą - vektoriaus **b** kryptimi, nykštys rodys vektoriaus **c** kryptį (žr. paveiksliuką).

## Vektorinės sandaugos apskaičiavimas

Erdvinėje koordinačių sistemoje abscisių, ordinačių ir aplikačių ašių ortai **i**, **j** ir **k** tenkina šias lygybes:
: \mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}; 
: \mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}; 
: \mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}. 

Naudojant šias lygybes galime apskaičiuoti vektorinę sandaugą, kai yra žinomos tu vektorių koordinates. Jeigu \mathbf{a}(a_{x}, a_{y}, a_{z}) ir   \mathbf{b}(b_{x}, b_{y}, b_{z}), tai vektorinę sandaugą patogu skaičiuoti naudojant trečios eilės determinantą 

: \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\  b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{vmatrix} = (a_{y}b_{z} - a_{z}b_{y}; -(a_{x}b_{z} - a_{z}b_{x}); a_{x}b_{y} - a_{y}b_{x})

## Savybės
Bet kurių nenulinių vektorių vektoriniai sandaugai būdingos šios savybės:
# Antikomutatyvumas, t.y \mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{b} \times \mathbf{a};
# Asociatyvumas daugybos iš skaliaro atžvilgiu. t.y \lambda(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (\lambda \mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (\lambda \mathbf{b})
# Distributyvumas vektorių sudėties atžvilgiu, t.y (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{c} + \mathbf{b} \times \mathbf{c}
# Vektorinė sandauga yra lygi nuliniam vektoriui tada ir tik tada, kai vektoriai **a** ir **b** yra *kolinearūs*, t.y \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0} kai **a** || **b**
# Tenkina Jacobi tapatybę, t.y \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{0}.

## Taikymai

Vektorinė sandauga yra taikoma norint apskaičiuoti lygiagretainio arba trikampio, kurio dvi gretimos kraštinės sutampa su vektoriais **a** ir **b**, plotą. Tą galima padaryti naudojant formules:
: S_{lyg} = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|
: S_{tr} = \frac{1}{2}|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|
Taip pat galima apskaičiuoti aukštinės *h<sub>a</sub>*, nuleistos į pagrindą **a**, ilgį. Formulė vienoda ir lygiagretainiui ir trikampiui ir atrodo taip:
: h_{a} = \frac
Vektorinė sandauga yra taikoma ne tik geometrijoje, tačiau ir algebroje. Tokio taikymo pavyzdys yra kvaternijonų daugyba.

## Šaltiniai