Keturkampis

**Keturkampis** – geometrinė figūra, sudaryta iš keturių taškų ir keturių nuosekliai juos jungiančių atkarpų. Bet kurie trys iš tų taškų negali būti išsidėstę vienoje tiesėje, o juos jungiančios atkarpos negali kirstis. Tuos keturis taškus vadiname *keturkampio viršūnėmis*, o juos jungiančias atkarpas – *keturkampio kraštinėmis*.

Keturkampis žymimas keturiomis didžiosiomis raidėmis, savo viršūnių pavadinimais (pavyzdžiui, 1 pav. pavaizduotas keturkampis *ABCD*).

Keturkampio viršūnės, priklausančios tai pačiai kraštinei, vadinamos *gretimomis viršūnėmis*, o viršūnės, nepriklausančios tai pačiai kraštinei, vadinamos *priešingomis viršūnėmis*. Keturkampio kraštinės, išeinančios iš tos pačios viršūnės, vadinamos *gretimomis kraštinėmis*, o kraštinės, neturinčios bendros viršūnės, vadinamos *priešingomis kraštinėmis*.

Keturkampis turi keturis vidinius kampus, kurių suma lygi 360°:
: \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ}.

Atkarpos, jungiančios priešingas keturkampio viršūnes, vadinamos *keturkampio įstrižainėmis*. Visi keturkampiai turi dvi įstrižaines. (1 pav. pavaizduoto keturkampio įstrižainės yra *AC* ir *BD*.)

Keturkampio apribota plokštumos dalis vadinama *keturkampio vidumi*, o kita dalis – *keturkampio išore*.

Keturkampiai yra skirstomi į *iškiliuosius* ir *neiškiliuosius*.
Keturkampiai, kurių abi įstrižainės yra keturkampių viduje, yra iškilieji. Neiškilieji keturkampiai šia savybe nepasižymi.

Geometrijoje dažniau nagrinėjami iškilieji keturkampiai. Pastarieji dar yra skirstomi į lygiagretinius, trapecijas.

: Jei *a*, *b*, *c* ir *d* yra kraštinės betkokio keturkampio, o d_1 ir d_2 – keturkampio įstrižainės, tai
: a^2+b^2+c^2+d^2=d_1^2+d_2^2+4m^2,
: čia *m* yra ilgis tiesės jungiančios keturkampio įžambinių vidurio taškus.

Plotas į apskritimą įbrėžto keturkampio su kraštinėmis *a*, *b*, *c*, *d* yra lygus (įbrėžti keturkampį galima, kai jo priešingų kampų suma lygi 180 laipsnių):
: S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},
: čia p=\frac{a+b+c+d}{2}.

Plotas bet kokio iškilojo keturkampio lygus:
: S=\frac{1}{2}d_1 d_2\sin\alpha,
: čia d_1 ir d_2 yra keturkampio įstrižainės, o \alpha yra smailus kampas tarp keturkampio įstrižainių.

## Apibrėžimas

Tegul A, B, C ir D yra keturi taškai vienoje plokštumoje ir trys iš jų nėra vienoje tiesėje. Jeigu atkarpos \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD} ir \overline{DA} susikerta tik galiniuose taškuose, tai šių atkarpų susikirtimas yra *keturkampis*, kurį galima apibūdinti taip:

keturkampis ABCD yra atkarpų \overline{AB}\cup\overline{BC}\cup\overline{CD}\cup\overline{DA} sąjunga (žr. 2 pav.).

## Keturkampio elementai
Keturkampio elementai yra:
* 4 viršūnės: kraštinių, sudarančių keturkampį, susikirtimo taškai.
* 4 kraštinės: atkarpos, jungiančios gretimas viršūnes.
* 2 įstrižainės: atkarpos, kurių galiniai taškai yra dvi negretimos viršūnės.
* 4 vidiniai kampai: kampai, kuriuos sudaro dvi gretimos kraštinės.
* centras, kuris yra į keturkampį įbrėžto apskritimo centras.

## Keturkampio savybės
* Visų keturkampių vidinių kampų suma yra 360 laipsnių.
* Visi keturkampiai turi dvi įstrižaines.
* Keturkampis yra arba išgaubtas, arba įgaubtas.
* Išgaubto keturkampio įstrižainės susikerta viename taške, bet įgaubto keturkampio įstrižainės – ne.
* Bet kokį keturkampį galima nubrėžti tada, kai žinomi 5 jo elementai (kraštinės arba kampai).

### Įbrėžtinis ir apibrėžtinis apskritimas

Į keturkampį galima įbrėžti apskritimą tik tada, kai keturkampio priešingų kraštinių ilgių sumos yra lygios: a+c=b+d, kur kraštinė a yra priešais kraštinę c ir kraštinė b yra priešais kraštinę d.

Keturkampį galima apibrėžti apskritimu tada ir tik tada, kai priešingų vidinių kampų suma yra 180°: \alpha+\gamma=\beta+\delta=180^{\circ}, kur kampas \alpha  yra priešais kampą \gamma, o kampas \beta yra priešais kampą \delta.

## Klasifikacija
Keturkampiai yra klasifikuojami pagal jų kraštinių lygiagretumą, ilgį ir vidinius kampus:
* trapecija – dvi priešingos kraštinės yra lygiagrečios.
* lygiašonė trapecija – du trapecijos pagrindai yra lygiagretūs, šoninės kraštinės yra vienodo ilgio ir trapecijos kampai prie kiekvieno iš pagrindų yra lygūs. Tai reiškia, kad įstrižainės yra vienodo ilgio.
* lygiagretainis – priešingosios kraštinės yra lygiagrečios. Iš to seka, kad priešingosios kraštinės yra lygios, priešingieji kampai yra lygūs ir įstrižainės susikerta ir susikirtimo taškas jas dalija pusiau.
* deltoidas – dvi gretimos kraštinės yra vienodo ilgio, kaip ir dvi kitos. Tai reiškia, kad ta priešingų kampų aibė yra lygi, o ta įstrižainė dalija kitą stačiu kampu.
* romboidas – lygiagretainis, kurio gretimos kraštinės yra nevienodo ilgio, o du kampai yra didesni už kitus du.
* stačiakampis – visi keturi kampai yra statieji. Tai reiškia, kad priešingos kraštinės yra lygiagrečios ir lygios, o įstrižainės susikerta ir susikirtimo taškas dalija jas į vienodas dalis.
* kvadratas – taisyklingasis keturkampis, kurio visos kraštinės yra lygios ir visi vidiniai kampai yra statūs. Tai reiškia, kad priešingos kraštinės yra lygiagrečios ir lygios, o įstrižainės susikerta stačiu kampu ir susikirtimo taškas dalija jas į vienodas dalis. Keturkampis yra kvadratas tada ir tik tada, kai jis yra ir rombas, ir stačiakampis.
* įbrėžtinis keturkampis: keturios viršūnės yra apibrėžtiniame apskritime.

## Formulės

{| class="wikitable"
! colspan="3" style="background:#C0C0FF" |Bendrinio keturkampio matematinės formulės
|-
| rowspan="6" |**[[Plotas]]**
|S = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{4 \cdot e^2 \cdot f^2 - \left(b^2 + d^2 - a^2 - c^2\right)^2}
| rowspan="12" |

|-
|S = \frac{a \cdot d \cdot \sin(\alpha) + b \cdot c \cdot \sin(\gamma)}{2} = \frac{a \cdot b \cdot \sin(\beta) + c \cdot d \cdot \sin(\delta)}{2} 
|-
|S = \frac{1}{4} \cdot \left(b^2 + d^2 - a^2 - c^2\right) \cdot \tan(\theta)
|-
|S = \frac{e \cdot f \cdot \sin(\theta)}{2}
|-
|S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt

## Šaltiniai

## Nuorodos
*