Įbrėžtinis kampas

Geometrijoje **įbrėžtinis kampas** – kampas apskritimo viduje, kurio viršūnė yra apskritimo taškas, o kraštinės kerta apskritimą.

Lygiai taip pat įbrėžtinį kampą apibrėžia dvi apskritimo stygos, turinčios vieną bendrą tašką.

Kiekvienas įbrėžtinis kampas, kuris remiasi į apskritimo lanką, iki 180° papildo kitą įbrėžtinį kampą, kuris remiasi į likusį apskritimo lanką.

**Įbrėžtinio** **kampo teorema** susieja įbrėžtinio kampo dydį su centriniu kampu, jungiančiu tą patį lanką.

Įbrėžtinio kampo teorema yra 20 teiginys Euklido ''Pradmenų'' 3 tome.

## Įbrėžtinio kampo teorema

### Teiginys

Įbrėžtinio kampo teorema teigia, kad į apskritimą įbrėžtas kampas *θ* lygus pusei centrinio kampo 2*θ*, besiremiančio į tą patį lanką. Todėl kampas nesikeičia, kai jo viršūnė perkeliama į skirtingas apskritimo vietas.

### Įrodymas

#### 1. Įbrėžtiniai kampai, kai viena iš stygų yra skersmuo

Tegul *O* yra apskritimo centras, kaip parodyta diagramoje dešinėje. Pasirinkite du apskritimo taškus ir pavadinkite juos *V* ir *A*. Nubrėžkite tiesę *VO* ir pratęskite ją taip, kad ji kirstų apskritimą taške *B*, kuris būtų vienoje tiesėje su *V*. Nubrėžkite kampą, kurio viršūnė yra taškas *V*, o kraštinės eina per taškus *A* ir *B*.

Nubrėžkite liniją *OA*. Kampas *BOA* yra centrinis kampas, žymime *θ*. Tiesės *OV* ir *OA* yra apskritimo spinduliai, todėl jų ilgis yra vienodas. Vadinasi trikampis *VOA* yra lygiašonis, todėl kampas *BVA* (įbrėžtinis kampas) ir kampas *VAO* yra lygūs. Kiekvienas iš jų žymimas kaip *ψ*.

Kampai *BOA* ir *AOV* sudaro 180°, nes linija *VB*, einanti per *O*, yra tiesė. Todėl kampas *AOV* yra 180°&nbsp;−&nbsp;*θ* .

Yra žinoma, kad trys trikampio kampai sudaro 180°, tada trys trikampio *VOA* kampai yra:

: 180° − *θ*
: *ψ*
: *ψ*.

Iš to seka

:  2 \psi + 180^\circ - \theta = 180^\circ. 

Atimame iš abiejų pusių

:  (180^\circ - \theta) 

gauname

:  2 \psi = \theta, 

kur *θ* yra centrinis kampas, o *ψ* yra įbrėžtinis kampas.

#### 2. Įbrėžtiniai kampai su apskritimo centru jų viduje

Duotas apskritimas, kurio centras yra taške *O*, pasirinkite tris apskritimo taškus *V*, *C* ir *D.* Nubrėžkite linijas *VC* ir *VD*: kampas *DVC* yra įbrėžtinis kampas. Dabar nubrėžkite tiesę *VO* ir pratęskite ją už taško *O* taip, kad ji kirstų apskritimą taške *E*. Kampas *DVC* suformuoja apskritimo lanką *DC*.

Tarkime, kad šis lankas apima tašką *E.* Taškas *E* yra vienoje tiesėje su tašku *V.* Kampai *DVE* ir *EVC* taip pat yra įbrėžtiniai kampai, kadangi abu šie kampai turi vieną kraštinę, kuri eina per apskritimo centrą, todėl jiems galima pritaikyti teoremą iš aukščiau pateikto 1-ojo atvejo.

Todėl,

:  \angle DVC = \angle DVE + \angle EVC. 

tada žymime

:  \psi_0 = \angle DVC, 
:  \psi_1 = \angle DVE, 
:  \psi_2 = \angle EVC, 

taip kad

:  \psi_0 = \psi_1 + \psi_2. \qquad \qquad (1) 

Nubrėžkite linijas *OC* ir *OD*. Kampas *DOC* yra centrinis kampas, kaip ir kampai *DOE* ir *EOC*, ir

:  \angle DOC = \angle DOE + \angle EOC. 

Žymime

:  \theta_0 = \angle DOC, 
:  \theta_1 = \angle DOE, 
:  \theta_2 = \angle EOC, 

taip kad

:  \theta_0 = \theta_1 + \theta_2. \qquad \qquad (2) 

Iš 1-ojo atvejo žinome, kad  \theta_1 = 2 \psi_1  ir  \theta_2 = 2 \psi_2  . Sujungus šiuos rezultatus su (2) lygtimi, gauname

:  \theta_0 = 2 \psi_1 + 2 \psi_2 = 2(\psi_1 + \psi_2) 

todėl pagal (1) lygtį

:  \theta_0 = 2 \psi_0. 

#### 3. Įbrėžtiniai kampai su apskritimo centru jų išorėje

Ankstesnis atvejis gali būti išplėstas, kad apimtų atvejį, kai įbrėžtinis kampo dydis yra *skirtumas* tarp dviejų įbrėžtinių kampų, kaip aptarta 1-ojoje šio įrodymo dalyje.

Duotas apskritimas, kurio centras yra taške *O*, pasirinkite tris apskritimo taškus *V*, *C* ir *D.* Nubrėžkite linijas *VC* ir *VD*: kampas *DVC* yra įbrėžtinis kampas. Dabar nubrėžkite tiesę *VO* ir pratęskite ją už taško *O* taip, kad ji kirstų apskritimą taške *E*. Kampas *DVC* suformuoja apskritimo lanką *DC*.

Tarkime, kad šis lankas neapima taško *E.* Taškas *E* yra vienoje tiesėje su *V.* Kampai *EVD* ir *EVC* taip pat yra įbrėžtiniai kampai, kadangi abu šie kampai turi vieną kraštinę, kuri eina per apskritimo centrą, jiems galima pritaikyti teoremą iš aukščiau pateikto 1-ojo atvejo.

Todėl,

:  \angle DVC = \angle EVC - \angle EVD .

tada žymime

:  \psi_0 = \angle DVC, 
:  \psi_1 = \angle EVD, 
:  \psi_2 = \angle EVC, 

taip kad

:  \psi_0 = \psi_2 - \psi_1. \qquad \qquad (3) 

Nubrėžkite linijas *OC* ir *OD*. Kampas *DOC* yra centrinis kampas, kaip ir kampai *EOD* ir *EOC*, ir

:  \angle DOC = \angle EOC - \angle EOD. 

Žymime

:  \theta_0 = \angle DOC, 
:  \theta_1 = \angle EOD, 
:  \theta_2 = \angle EOC, 

taip kad

:  \theta_0 = \theta_2 - \theta_1. \qquad \qquad (4) 

Iš 1-ojo atvejo žinome  \theta_1 = 2 \psi_1  ir tai  \theta_2 = 2 \psi_2  . Sujungus šiuos rezultatus su (4) lygtimi, gauname

:  \theta_0 = 2 \psi_2 - 2 \psi_1 

todėl pagal (3) lygtį,

:  \theta_0 = 2 \psi_0. 

### Išvada
Pagal panašų teiginį kampas tarp stygos ir liestinės viename iš jos susikirtimo taškų yra lygus pusei centrinio kampo, kurį sudaro styga.

## Taikymas
Įbrėžtinio kampo teorema naudojama daugelyje elementariosios Euklidinės plokštumos geometrijos įrodymų. Atskiras teoremos atvejis yra Talio teorema, kuri teigia, kad kampas, kurį sudaro skersmuo, visada yra 90°, t. y. statusis. Dėl šios teoremos priešingų ciklinių keturkampių kampų suma yra 180°, ir atvirkščiai, bet kuris keturkampis, kuriam tai galioja, gali būti įbrėžtas į apskritimą.

## Įbrėžtinių kampų teoremos elipsėms, hiperbolėms ir parabolėms
Įbrėžtinių kampų teoremos taip pat egzistuoja elipsėms, hiperbolėms ir parabolėms. Esminiai skirtumai yra kampo išmatavimai. (Kampu yra laikoma susikertančių linijų pora.)

* Elipsė
* Hiperbolė
* Parabolė

## Taip pat skaitykite
* Centrinis kampas

## Šaltiniai

## Literatūra
* 
* 
* 

## Nuorodos
* 
* Relationship Between Central Angle and Inscribed Angle 
* Munching on Inscribed Angles 
* Arc Central Angle 
* Arc Peripheral (inscribed) Angle 
* Arc Central Angle Theorem 
* At bookofproofs.github.io