Trigonometrinių funkcijų integravimas

**Trigonometrinių funkcijų integravimas** – integravimo technika, kai trigonometrinės funkcijos yra pakeičiamos kitomis išraiškomis. Trys įprastai naudojamos išraiškos yra apribotas sinusas, apribotas tangentas ir apribotas sekantas.

## Pavyzdžiai
**I.** Integralai \int\sin^m x\cos^n x dx, kur *m*, *n* - sveikieji skaičiai, suvedami į integralą su binominiu diferencialu ir integruojami tik 3 atvejais:
:1)*n* nelyginis;
:2)*m* nelyginis;
:3)*m+n* lyginis.
Jei *n* *nelyginis*, taikome keitinį \sin x=t, jei *m* *nelyginis*, taikome keitinį \cos x=t; jei m+n *lyginis*, keičiame \tan x=t;
\sin x=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}};\;\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}};\;dx=\frac{dt}{1+t^2}.

**II.**Integralai \int\sin x\cos x dx (be laipnsių) suvedami į racionaliųjų funkcijų integralus keitiniu \tan\frac{x}{2}=t. Tada \sin x=\frac{2t}{1+t^2};\;\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2};\;dx=\frac{2\; dt}{1+t^2}.

**Pavyzdžiai**
*\int\frac{dx}{3+\sin x+\cos x}. \tan\frac{x}{2}=t; \frac{x}{2}=\arctan t; x=2\arctan t; \sin x=\frac{2t}{1+t^2}; \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2};  dx=d(2\arctan t)=\frac{2\; dt}{1+t^2}.
\int\frac{dx}{3+\sin x+\cos x}=\int\frac{\frac{2\;dt}{1+t^2}}{3+\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}}=\int\frac{\frac{2\;dt}{1+t^2}}{\frac{2(t^2+t+2)}{1+t^2}}=\int \frac{dt}{t^2+t+2}=\int \frac{dt}{(t+\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}}=
=\frac{2}{\sqrt{7}}\arctan \frac{2t+1}{\sqrt{7}}+C=\frac{2}{\sqrt{7}}\arctan \frac{2\tan\frac{x}{2}+1}{\sqrt{7}}+C.

*\int\frac{dx}{5\cos^2 x+9\sin^2 x}.\;\tan x=t;\;\sin x=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}};\;\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}};\;dx=\frac{dt}{1+t^2}.
\int\frac{\frac{dt}{1+t^2}}{5(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}})^2+9(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}})^2}=\int \frac{dt}{5+9t^2}=\frac{1}{3\sqrt{5}}\arctan\frac{3t}{\sqrt{5}}+C.

*\int\frac{\cos^4 x}{\sin^2 x}dx=\int\frac{(1-\sin^2 x)^2}{\sin^2 x}dx=\int(\frac{1}{\sin^2 x}-2+\sin^2 x)dx=-\cot x-2x+\frac{1}{2}\int(1-\cos(2x))dx=
=-\cot x-\frac{3x}{2}-\frac{\sin(2x)}{4}+C.

*\int\frac{\sin^2 x}{\cos^6 x}dx. Skaičiai *m* ir *n* lyginiai, m=2, n=-6, m+n=-4 lyginis, todėl taikome keitnį \tan x=t; \cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}; \frac{1}{\cos^2 x}=\frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}})^2}=1+t^2; \frac{dx}{\cos^2 x}=\frac{\frac{dt}{1+t^2}}{(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}})^2}=dt.
\int\frac{\sin^2 x}{\cos^6 x}dx=\int t^2(1+t^2)dt=\frac{t^3}{3}+\frac{t^5}{5}+C=\frac{\tan^3 x}{3}+\frac{\tan^5 x}{5}+C.

*\int\frac{\cot x\; dx}{1-\sin x-\cos x}=\int\frac{\cos x\; dx}{\sin x(1-\sin x-\cos x)}=\int \frac{\frac{1-t^2}{1+t^2}\cdot \frac{2\; dt}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}(1-\frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2})}=
=\int\frac{\frac{2(1-t^2)dt}{(1+t^2)^2}}{\frac{2t+2t^3-4t^2-2t+2t^3}{(1+t^2)^2}}=\int\frac{2(1-t)(1+t)dt}{4t^3-4t^2}=-\frac{1}{2}\int(\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t})dt=\frac{1}{2}(\cot\frac{x}{2}-\ln|\tan \frac{x}{2}|)+C,
kur \tan\frac{x}{2}=t;\;\sin x=\frac{2t}{1+t^2};\;\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2};\;dx=\frac{2\; dt}{1+t^2}.

**III.** Integralams \int R(x,\;\sqrt{a^2-x^2})dx=\int x^{\pm 1}(\sqrt{a^2-x^2})^{\pm 1}dx taikomi ketiniai x=a\sin t, x=a\tan t arba x=\frac{a}{\sin t}.

**Pavyzdžiai**
*\int x\sqrt{9-x^2}dx=\int 3\sin t\sqrt{9-9\sin^2 t}\cdot 3\cos t\; dt=9\int \sin t \frac{3\sqrt{9-9\sin^2 t}}{3}\cdot \cos t\; dt=
=27\int \sin t \cos t\cos t\; dt=-27\int\cos^2 t \;d(\cos t)=-27\frac{\cos^3 t}{3}+C=-9(1-\sin^2 t)\sqrt{1-\sin^2 t}+C=
=-9(1-\frac{x^2}{3^2})\sqrt{1-\frac{x^2}{3^2}}+C=-\frac{1}{3}(9-x^2)\sqrt{9-x^2}+C,
kur 3\sin t=x; \sin t =\frac{x}{3}; dx=3\cos t dt.

*\int\frac{dx}{x\sqrt{a^2+x^2}}=\int\frac{a\;dt}{a\cos^2 t\cdot\tan t\sqrt{a^2\tan^2 t}}=\frac{1}{a}\int\frac{dt}{\sin t}=\frac{1}{a}\ln|\frac{1-\cos t}{\sin t}|+C=
=\frac{1}{a}\ln|\frac{1}{\sin t}-\cot t|+C=\frac{1}{a}\ln|\frac{\sqrt{a^2+x^2}-a}{x}|+C, 
kur x=a\tan t; dx=\frac{a}{\cos^2 t}; \tan t=\frac{x}{a}; \cot t=\frac{a}{x}; \frac{1}{\sin t}=\sqrt{1+\cot^2 t}=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{x}.

## Šaltiniai