Kvazitaisyklingasis briaunainis

Geometrijoje, **kvazitaisyklingasis briaunainis** – toks pustaisyklingis briaunainis, kurio sienos griežtai yra tik dvejopi taisyklingieji daugiakampiai, kurie yra išsidėstę aplinkui viršūnę pakaitomis. Šių briaunainių briaunos yra tranzityvios, todėl jie yra taisyklingesni (artimesni taisyklingiems briaunainiams) negu pustaisyklingiai, kurių tik viršūnės yra tranzityvios.

Egzistuoja tik du iškili kvazitaisyklingieji briaunainiai: kuboktaedras ir ikosidodekaedras. Juos taip pavadino Johanas Kepleris, nustatęs, jog šios figūros turi abiejų susijusių dualų sienas – pirmu atveju, kubo ir oktaedro, antru, ikosaedro ir dodekaedro.

Šiems briaunainiams, kadangi juose yra išreikšta visa taisyklingų briaunainių duali pora, galima suteikti vertikalų Šlėfli simbolį \begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} arba r{p, q}, iš kurio matyti, kad figūra turi sienas atitinkančias taisyklingą briaunainį **{p, q}** ir taisyklingą jo dualą **{q, p}**. Tokiu simboliu žymimas kvazitaisyklingasis briaunainis turės viršūnės planą **p.q.p.q** (arba **(p.q)<sup>2</sup>**).

Apibendrintai, kvazitaisyklingosios figūros viršūnės planas yra **(p.q)<sup>r</sup>**, kuriame *r* (=2 ar daugiau) rodo, kiek kartų abiejų sienų pora pasikartoja aplinkui viršūnę.

Klojiniai, išdėstyti plokštumoje, taip pat gali būti kvazitaisyklingieji, ypač dažniau sutinkami euklidinės erdvės triheksagoniniai klojiniai, kurių viršūnės planas yra (3.6)2 – trikampio ir šešiakampio pora aplinkui viršūnę pasikartoja du kartus. Plačiai nagrinėjami ir atitinkami hiperbolinių plokštumų dariniai, pavyzdžiui, *triheptagoniniai* klojiniai (3.7)2. Apibendrintai, klojinių viršūnės planas taip pat yra (p.q)2, tik yra apribojimas 1/p+1/qq/2, jeigu tik q yra lyginis.

Oktaedrą galima laikyti kvazitaisyklinguoju *tetratetraedru* (du rinkiniai po keturis trikampius – po trikampę išorinę tetraedro sieną), (3a.3b)2, ir trikampes sienas galima pakaitomis nudažyti dviem spalvomis. Panašiai, kvadratų klojinį (4a.4b)2 galima laikyti kvazitaisyklinguoju ir nudažyti kaip šachmatų lentą. Lygiai taip pat trikampių klojinys (3a.3b)3 gali būti nudažytas dviem spalvomis.

## Vithofo konstravimas

Kokseteris (*Coxeter*) kvazitaisyklingąjį briaunainį apibrėžia kaip tą, kurio Vithofo simbolis yra *p | q r*, o jei q=2 arba q=r, šis briaunainis yra taisyklingas.

Kokseterio-Dinkino diagrama yra kitas simbolinis žymėjimo būdas, iš kurio galima matyti kvazitaisyklingą ryšį tarp dualios taisyklingų briaunainių poros:

## Iškili kvazitaisyklingieji briaunainiai ir klojiniai

Egzistuoja tik du iškili kvazitaisyklingieji briaunainiai:
# Kuboktaedras \begin{Bmatrix} 3 \\ 4 \end{Bmatrix}, kurio viršūnės planas yra **(3.4)<sup>2</sup>**, o Kokseterio-Dinkino diagrama 
# Ikosidodekaedras \begin{Bmatrix} 3 \\ 5 \end{Bmatrix}, kurio viršūnės planas yra **(3.5)<sup>2</sup>**, o *Kokseterio-Dinkino diagrama* 

Dera pridurti, kad oktaedras, kuris įprastai laikomas taisyklingu, \begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}, kurio viršūnės planas yra **(3.3)<sup>2</sup>**, lygia greta gali būti laikomas ir kvazitaisyklingu, jeigu kas antrą sieną nudažysime dviem skirtingomis spalvomis. Toks oktaedras paprastai vadinamas *tetratetraedru*. Visų kitų taisyklingųjų briaunainių viršūnės plane yra nelyginis skaičius daugiakampių, tad jų neįmanoma taip nudažyti, kad jų briaunos taptų tranzityvios. Kvazitaisyklingųjų briaunainių *Kokseterio-Dinkino diagrama* yra  .

Kiekvienas jų atspindi taisyklingų briaunainių dualią porą. Abiejų kvazitaisyklingų briaunainių pavadinimuose yra užuomina į susijusią dualią porą: kuboktaedras = kubas + oktaedras, o ikosidodekaedras = ikosaedras + dodekaedras. Oktaedras atitinka tetratetraedrą, kuris atspindi du pačius sau dualius tetraedrus, sudarančius figūrą, vadinamą ''stella octangula''.

Kiekvienas iš šių kvazitaisyklingųjų briaunainių gali būti sukonstruotas rektifikuojant kurį nors taisyklingą pirminį briaunainį, tai yra visiškai nupjaunant briaunas, kol pirminės briaunos virsta tašku (rektifikuojamos į tašką).

### Kvazitaisyklingieji klojiniai
Kvazitaisyklingiesiems briaunainiams galima priskirti ir klojinius iš dviejų skirtingų taisyklingų daugiakampių. Tokie yra *triheksagonaliniai* klojiniai, kurių viršūnės planas yra *3.6.3.6* – tai **kvazitaisyklingieji klojiniai ** sudaryti iš taisyklingų trikampių ir šešiakampių sujungtų į plokščią klojinį.

Šachmatų lentos raštas yra kvazitaisyklingas spalvinimas, pritaikytas taisyklingam kvadratų klojiniui, kurio viršūnės planas yra *4.4.4.4*:

*Trikampį klojinį* taip pat galima laikyti kvazitaisyklingu, kuriame aplinkui kiekvieną viršūnę išsidėsto trys dvispalvių trikampių rinkiniai – (3.3)3:

Hiperbolinėje plokštumoje šių figūrų seka plečiasi, pavyzdžiui, prisideda *triheptagoniniai klojiniai* (viršūnės planas *3.7.3.7*) ir pan.

## Neiškili pavyzdžiai

Kokseteris kai kuriuos žvaigždinius briaunainius priskiria prie kvazitaisyklingųjų:

Du yra vediniai iš dualių Keplerio-Puanso kūnų porų, panašiai, kaip iškilųjų – tai *didysis ikosidodekaedras* \begin{Bmatrix} 3 \\ 5/2 \end{Bmatrix} ir *dodekadodekaedras* \begin{Bmatrix} 5 \\ 5/2 \end{Bmatrix}:

Trečias yra *ditrigoninės* formos briaunainis, kurio viršūnės planą sudaro triskart pasikartojanti dviejų sienų pora:

## Kvazitaisyklingieji dualai
Kai kurie autoriai teigia, kad kvazitaisyklingųjų briaunainių dualai, kadangi turi tą pačią simetriją, kaip pirminiai kūnai, irgi turi būti kvazitaisyklingi. Bet ne visi su tuo sutinka. Šie dualai turi tranzityvias briaunas ir sienas (bet netranzityvias viršūnes); tad jie yra Katalano kūnai su tranzityviomis briaunomis. Iškilieji kvazitaisyklingųjų briaunainių dualai, atitinkamai aukščiau pateiktai tvarkai, yra:
# Rombinis dodekaedras, turintis dviejų tipų pakaičiui einančias viršūnes, iš kurių 8 turi tris rombines sienas ir 6 – keturias rombines sienas.
# Rombinis triakontaedras, turintis dviejų tipų pakaičiui einančias viršūnes, iš kurių 20 turi tris rombines sienas ir 12 – penkias rombines sienas.

Papildomai, atsižvelgiant į „dvispalvio“ oktaedro dualumą, kvazitaisyklinguoju galima laikyti kubą, kuris įprastai yra taisyklingasis briaunainis, jei jo viršūnes pakaičiui nuspalvinsime dviem skirtingomis spalvomis.

Jų *sienų konfigūracija* turės pavidalą V3.n.3.n, o Kokseterio-Dinkino diagrama bus .

Visi trys kvazitaisyklingieji dualai turi jiems būdingas rombines sienas.

Tas pats rombinių sienų išsidėstymas kartojasi klojinyje kaip V(3.6)2.

## Nuorodos

## Šaltiniai
* Cromwell, P. *Polyhedra*, Cambridge University Press (1977).
* Coxeter, *Regular Polytopes*, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8, 2.3 *Quasi-Regular Polyhedra.* (p.&nbsp;17), Quasi-regular honeycombs p.69