Kinematika

﻿**Kinematika** – mechanikos skyrius, nagrinėjantis geometrines judėjimo savybes, neatsižvelgiant į kūno masę ir jį veikiančias jėgas. Šia savybe kinematika skiriasi nuo dinamikos. Kinematikos pagrindus sukūrė Galilėjus ir Heigensas.

Kinematikoje judėjimas skirstomas į slenkamąjį, sukamąjį ir svyruojamąjį.

## Slenkamasis judėjimas
**Slenkamuoju** vadiname kūno judėjimą, kai visi jo taškai, jam slenkant,
brėžia vienodas trajektorijas. Šio judėjimo nagrinėjimui, pakanka nagrinėti
kažkurio vieno, pasirinkto, taško judėjimą.

### Sąvokos
;Materialusis taškas: Kūnas, kurio matmenų esamomis sąlygomis galime nepaisyti.
;Atskaitos kūnas: Kūnas, kurio atžvilgiu nagrinėjamas kito kūno judėjimas.
;Atskaitos sistema: Sistema, kurios atžvilgiu nagrinėjamas kūno judėjimas. Susideda iš atskaitos kūno, su juo susietos koordinačių sistemos ir prietaiso laikui matuoti.
;Trajektorija:Linija, kuria juda kūnas. Trajektorijos gali būti tiesios ir kreivos.
;Poslinkis (poslinkio vektorius): Kryptinė tiesės atkarpa jungianti kūno pradinę padėtį su galine [\vec s ] = 1 m.
;Greitis: Fizikinis dydis apibūdinantis kūno padėties kitimą [\vec v] = 1 \frac m s.
;Pagreitis: Fizikinis dydis apibūdinantis kūno greičio kitimą [\vec a] = 1 \frac {m} {s^2};

### Tolyginis tiesiaeigis judėjimas
**Tolyginis tiesiaeigis judėjimas** – judėjimas, kai kūno
**poslinkiai** per **vienodus** laiko tarpus yra **vienodi**. Tokio
judėjimo trajektorija yra tiesė.

Kūno greitis vykstant tolyginiam tiesiaeigiam judėjimui yra konstanta:

:: \vec v \equiv const 

Jį galima apskaičiuoti pagal formulę:

:: \vec v = \frac {\Delta \vec r} {\Delta t}, kur
:\Delta \vec r - kūno radiuso vektoriaus pokytis - poslinkis (kartais žymimas \Delta \vec x arba \Delta \vec s)
:\Delta t - laiko pokytis

### Netolyginis judėjimas
**Netolyginis judėjimas** – judėjimas, kai kūno **poslinkiai** per
**vienodus** laiko tarpus **nėra vienodi**.
Netolyginio judėjimo pavyzdžiai: automobilio judėjimas, traukinio judėjimas.

Nagrinėjant netolyginį judėjimą išskiriami du skirtingi greičio tipai:

**[[Momentinis greitis]]** – greitis, kuriuo konkrečiu metu juda nagrinėjamas
kūnas. Momentinį greitį rodo automobilio spidometras.

**Vidutinis greitis** – greitis, kuriuo vidutiniškai judėjo kūnas
nagrinėjamą kelią.

::  v_{\mathrm{vid}} = \frac {l} {t} , kur
*  v_{\mathrm{vid}}  – vidutinis kūno greitis,
*  l  – visas kūno nueitas kelias,
*  t  – visas kūno judėjimo laikas.

Kai laiko tarpas \Delta t tampa elementariuoju, kūno judėjimo pokytis tampa nykstamai mažas ir vidutinis greitis v_{vid} išreiškia greitį šiuo laiko momentu - **momentinį greitį:**
:\vec v = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{r} (t)}{\Delta t} = \frac{d \vec{r}(t)}{dt} 
*  \Delta \vec r  – poslinkio pokytis,
*  \Delta t  – laiko pokytis.
**Pastaba:** Atkreipkite dėmesį, kad poslinkio pokyčio ir greičio kryptys sutampa.

### Tolygiai kintamas judėjimas
**Tolygiai kintamas judėjimas** – judėjimas, kai kūno **greitis**
per **vienodus** laiko tarpus **pakinta vienodai**. Dydis, apibūdinantis
greičio pokytį vadinamas, ** [[pagreitis|pagreičiu]]**.

Pagreitį galima apskaičiuoti pagal formulę:

::  \vec { a } = \frac { \Delta \vec { v } } { \Delta t } 
:Kai laikas tampa elementariouju, gauname
:\vec a = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{v} (t)}{\Delta t} = \frac{d \vec{v}(t)}{dt} , kur
*  \vec { a }  – pagreitis,
*  \Delta \vec { v }  – greičio pokytis,
*  \Delta t  – laikas, per kurį tas pokytis įvyko.

Tolygiai kintamo judėjimo atveju pagreitis yra konstanta
( \vec { a } \equiv const).

### Pagrindinė kinematikos lygtis
Tolygiai kintamo judėjimo atvėju, t. y. kai  \vec a \equiv const , gauname

 \vec v = \int_0^t \vec a(t) dt = \vec v_0 + \vec at 

Tada

 \vec r = \int_0^t (\vec v_0 + \vec a t) dt = \vec r_0 + \vec v_0t + \frac{\vec at^2}{2} 

Padarius  \vec r  projekciją į x ašį gauname **pagrindinę kinematikos lygtį**:

 x(t) = x_0 + vt + \frac{at^2}{2} 

čia

*  \vec v_0  - pradinis greitis (integravimo konstanta)
*  \vec r_0  - pradinė kūno padėtis (integravimo konstanta)
*  x_0  -  \vec r_0  projekcija į Ox ašį, pradinė x koordinatė

Projekcijos į **Oy** ir **Oz** ašis gaunamos analogiškai

Sprendžiant kinematikos uždavinius dažnai susiduriama su atvejais, kai  a = g , bet svarbus žinoti, kad pagreitis  a  gali įgauti betkokį dydį ir matematinę formą.
## Sukamasis judėjimas
**Sukamuoju** vadiname kūno judėjimą, kai visų jo taškų trajektorijos
yra apskritimai, kurių centrai yra vienoje sukimosi ašyje.

### Judėjimas apskritimu
Kūno judėjimas apskritimu yra kreivaeigio judėjimo atvejis. Apskritimu
tolygiai judančio kūno greičio kryptis nuolat kinta, taigi kūnas judantis
tolygiai apskritimu juda su nekintančiu pagreičiu. Šis pagreitis vadinamas
įcentriniu. Jo modulį galima apskaičiuoti pagal formulę:

::  a_{ic} = \frac { v^2 } { R } , kur
*  a_{ic}  – įcentrinio pagreičio modulis,
*  v  – kūno linijinis greitis,
*  R  – apskritimo, kuriuo juda kūnas, spindulio ilgis.

#### Įrodymas
Įsivaizduokime, kad taškas juda apskritimu prieš laikrodžio rodyklę. Tokio kūno pozicijos vektorius \vec{r} (t) bus

\vec r(t) = (R \cdot \cos(\omega t), R \cdot \sin(\omega t))
čia \omega - kampinis greitis.

Greitį galima gauti radus pirmos eilės išvestinę pagal laiką
\vec v = \frac{d \vec r(t)}{dt} =  \Bigl(\frac{d}{dt}[R \cdot cos(\omega t)] ; \frac{d}{dt}[R \cdot sin(\omega t)]\Bigr) = \omega (-R \cdot sin(\omega t); R\cdot cos(\omega t))Tuomet pagreitis bus antros eilės pozicijos vektoriaus išvestinė arba pirmos eilės greičio vektoriaus išvestinė:
\vec a = \frac{d^2 \vec r(t)}{dt^2} = \frac{d \vec v(t)}{dt} = \omega(\frac{d}{dt}[-R \cdot sin(\omega t)]; \frac{d}{dt}[R\cdot cos(\omega t)])=-\omega^2(R \cdot cos(\omega t); R \cdot sin(\omega t)) = -\omega^2 \vec r(t) 
Tada pagreičio modulis
a = |\vec a(t)| = \omega^2R
Linijinio greičio ir kampinio greičio formulės:
\omega = \frac{2 \pi}{T} ir v = \frac{s}{t} = \frac{2 \pi R}{T} = \omega R  
Jas apjungus, gauname
a = \frac{\omega^2 R^2}{R} = \frac{v^2}{R}

Iš \vec v(t) ir \vec a (t) formulių, galima pastebėti, kad Įcentrinio pagreičio vektorius nukreiptas į apskritimo centrą, o apskritimu judančio kūno greičio vektorius nukreiptas apskritimo liestinės kryptimi.

Nagrinėjant kūno judėjimą apskritimu įvedamas naujas dydis – **spindulio posūkio kampas** *φ*. Jis matuojamas radianais ( [ \phi ] = 1 rad). Kūno sukimosi
greičiui apibūdinti įvedama ** [[kampinis greitis|kampinio greičio]]** savoka.

## Svyruojamasis judėjimas
**Svyruojamuoju** vadiname kūno judėjimą, kai kūnas pakaitomis juda tai į vieną, tai į kitą pusę. Šiam judėjimo tipui būdingas kartojimasis laike. Judėjimo pavyzdžiai: laikrodžio švytuoklės judėjimas, muzikinio instrumento stygos judėjimas, matematinės svyruoklės
judėjimas.

## Koordinačių sistemos
Norint nustatyti vieno kūno padėtį kito kūno atžvilgiu, su pastaruoju kūnu nekintamai sujungiama kuri nors koordinačių sistema, pavyzdžiui, stačiakampė arba cilindrinė. Taško padėtis erdvėje nusakoma arba taško padėties vektoriumi, arba trimis stačiakampės sistemos koordinatėmis x, y, z, arba trimis bet kurios koordinačių sistemos koordinatėmis. Jei visų nagrinėjimo kūno taškų koordinatės per laiką nekinta, sakoma, kad kūnas tos koordinačių sistemos atžvilgiu nejuda; jei kurių nors kūno taškų koordinatės kinta, vadinasi, kūnas parinktos koordinačių sistemos atžvilgiu juda.

## Šaltiniai