Daugiakampis

**Daugiãkampis** – plokštumos geometrinė figūra, sukuriama plokštumą apribojant baigtiniu tiesių skaičiumi, taip suformuojant  uždarą laužtę. Tiesės, sukuriančios daugiakampį, vadinamos  daugiakampio *[[kraštinė]]mis*, o taškai, kuriuose šios kraštinės susitinka –  daugiakampio *[[viršūnė (geometrija)|viršūnėmis]]* arba *kampais*. Kartais daugiakampiu yra laikoma ir nepersikertančios laužtės ribojama plokštumos dalis. **n-kampis** yra daugiakampis, turintis *n* kraštinių. Daugiakampis yra dvimatis bendrinio politopo pavyzdys.

Dažniausia reikalaujama, kad daugiakampio kraštinės nekirstų viena kitos. Tokie daugiakampiai vadinami **[[paprastasis daugiakampis|paprastaisiais]]**. Daugiakampiai, kurių kraštinės tarpusavyje kertasi, vadinami **[[žvaigždė (figūra)|žvaigždėmis]]**. Geometriškai daugiakampio kraštinės negali susikirsti 180° kampu, nes tokiu atveju atkarpos bus laikomos vienos kraštinės dalimis. Tačiau matematiškai toks kampas įmanomas.

## Klasifikacija

### Kraštinių skaičius
Pirmiausiai daugiakampiai skirstomi pagal kraštinių skaičių (žr. lentelę žemiau). 

Vienkampis ir dvikampis paprastai daugiakampiais nelaikomi, nes Euklidinėje erdvėje negalimi. Tačiau šie pavadinimai kartais vartojami grafų teorijoje. Egzistuoja taip pat begalinį kraštinių skaičių turinčio daugiakampio (apeirogono) savoka, reikalinga kai kuriuose fundamentaliose geometrijos užduotyse. 

Taisyklingieji daugiakampiai pradedant trikampiu ir baigiant šešiakampiu nubraižomi skriestuvu bei liniuote, nubraižomi ir kai kurie kiti (pavyzdžiui aštuonkampis, septyniolikakampis). Tačiau tarp daugiau kraštinių turinčių daugiakampių vien skriestuvu bei liniuote nubraižomų reta, nors teoriškai įmanoma nubraižyti taisyklingąjį 257-kampį ir 65537-kampį.

### Iškilumas
Daugiakampiai gali būti skirstomi pagal iškilumą:
* **[[Iškilieji ir neiškilieji daugiakampiai#Iškilieji daugiakampiai|Iškilasis]]**: bet kuri tiesė (išskyrus daugiakampio kraštinės ar kampo liestinė), nubrėžta per daugiakampį, jį kerta lygiai du kartus. Dėl to kiekvienas jo vidinis kampas yra mažesnis nei 180° laipsnių. Taip pat visos daugiakampio įstrižainės yra jo viduje.
* **[[Iškilieji ir neiškilieji daugiakampiai#Neiškilieji daugiakampiai|Neiškilasis]]**: egzistuoja bent viena tiesė (išskyrus daugiakampio kraštinės ar kampo liestinė), kuri nubrėžta per daugiakampį, jį kerta daugiau nei du kartus. Taip pat bent viena daugiakampio įstrižainė yra ne jo viduje.
* **[[Paprastasis daugiakampis|Paprastasis]]**: daugiakampio kraštinės nekerta viena kitos. Visi iškilieji daugiakampiai yra paprastieji ir atvirkščiai.
* **Išgaubtasis**: bent vienas vidinis daugiakampio kampas yra didesnis nei 180°.
* **[[Žvaigždinis daugiakampis|Žvaigždinis]]**: visos kraštinės matomos iš vieno vidinio daugiakampio taško, nekertant kraštinių. Šiuo atveju daugiakampis yra paprastasis, tačiau gali būti tiek iškilasis, tiek neiškilasis.
* **[[Žvaigždė (figūra)|Žvaigždė]]**: daugiakampis, kurio kraštinės kerta viena kitą tam tikru būdu.

### Kitos rūšys

***[[Lygiakampis daugiakampis|Lygiakampis]]**: visi viršūnių kampai lygūs.

***[[Įbrėžtinis daugiakampis|Įbrėžtinis]]**: visi kampai priklauso vienam apskritimui, kuris vadinamas apibrėžtiniu apskritimu.

***[[Lygiakraštis daugiakampis|Lygiakraštis]]**: visos kraštinės lygios.

***[[Apibrėžtinis daugiakampis|Apibrėžtinis]]**: visos kraštinės yra vieno apskritimo (įbrėžtinio apskritimo) liestinės.

***[[Taisyklingasis daugiakampis|Taisyklingasis]]**: daugiakampis, kuris yra tiek įbrėžtinis, tiek lygiakraštis. Taigi jis yra ir lygiakampis, ir lygiakraštis. Neiškilasis taisyklingasis daugiakampis vadinamas žvaigžde.

***[[Monotoniškas daugiakampis|Monotoniškas]]** tiesei *L*: kiekviena tiesė, statmena tiesei *L*, kerta daugiakampį daugiausia du kartus.

***[[Zonogonas]]**: centro atžvilgiu simetriškas daugiakampis kurio kraštines galima sugrupuoti į lygiagrečias vienodo ilgio, priešingos orientacijos poras.

## Savybės
Toliau aprašoma remiantis euklidine geometrija.

### Kampai
Bet kuris daugiakampis – taisyklingasis, netaisyklingasis, kertantis save, paprastasis – turi tiek pat viršūnių kiek ir kraštinių. Kiekviena viršūnė turi kelis kampus. Patys svarbiausieji yra šie du:
***Vidinis kampas** – paprastojo *n*-kampio vidinių kampų suma yra  radianų arba  laipsnių. Taip yra todėl, kad bet kuris paprastasis *n*-kampis yra sudarytas iš  trikampių, kurio kiekvieno kampų suma yra π radianų, arba 180 laipsnių. Bet kurio iškilojo taisyklingojo *n*-kampio vidinio kampo dydis yra \left(1-\tfrac{2}{n}\right)\pi radianų arba 180-\tfrac{360}{n} laipsnių.

***[[Priekampis]]** – kampas, kurį sudaro viena daugiakampio kraštinė ir šalia esančios kraštinės tęsinys. Priekampių suma visada lygi 360°.

Priekampis yra gretutinis kampas vidiniam kampui.

### Plotas ir sunkio taškas
#### Paprastasis daugiakampis

Daugiakampio plotas yra daugiakampio apribojamos erdvės dydis. Paprastojo daugiakampio, turinčio *n* viršūnių, plotas *S* ir sunkio taškas yra
:S = \frac{1}{2} \left\vert \sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i) \right\vert \,
:C_x = \frac{1}{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (x_i + x_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i)\,
:C_y = \frac{1}{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (y_i + y_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i).\,

Tam, kad daugiakampis būtų uždaras, pirmoji ir paskutinė viršūnės turi būti lygios, t. y. *x<sub>n</sub>*, *y<sub>n</sub>* = *x*0, *y*0. Viršūnės turi būti sunumeruotos teigiamąja arba neigiamąja kryptimi (prieš laikrodžio arba pagal laikrodžio rodyklę); jei numeruojama neigiamąja kryptimi, plotas bus neigiamas, tačiau jo modulis teisingas, tačiau, skaičiuojant C_x ir C_y, reikėtų naudoti S reikšmę su gautu ženklu (šiuo atveju minusu).

Šios formulės išvedimui reikia paimti kiekvieną daugiakampio kraštinę *AB* ir apskaičiuoti trikampio *ABO* su viršūnė *O* koordinačių pradžios taške plotą (su gautu ženklu) vektorinę sandaugą padalinus iš 2. Aplink daugiakampį „apsukus“ ratą, šie trikampiai su teigiamais ir neigiamais plotais „perdengs“ vienas kitą taip, kad plotas tarp koordinačių pradžios taško ir daugiakampio tampa lygus nuliui ir lieka tik daugiakampio plotas.

Šia formulę 1769 m. aprašė Meisteris, o 1795 m. Gausas. Ją galima įrodyti, daugiakampį padalijus į trikampius. Taip pat šią formulę galima suprasti ir kaip ypatingą Gryno formulės atvejį.

Jei žinomos daugiakampio kraštinės *a*1, *a*2, ..., *a<sub>n</sub>* ir priekampiai *θ*1, *θ*2, ..., *θ<sub>n</sub>*, plotą galima apskaičiuoti ir pagal šią formulę:
:\begin{align}S = \frac12 ( a_1[a_2 \sin(\theta_1) + a_3 \sin(\theta_1 + \theta_2) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})] \\
{} + a_2[a_3 \sin(\theta_2) + a_4 \sin(\theta_2 + \theta_3) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})] \\
{} + \cdots + a_{n-2}[a_{n-1} \sin(\theta_{n-2})] ). \end{align}

Šia formuę 1963 m. aprašė Lopshits.

Jei daugiakampį įmanoma nubraižyti ant langelių taip, kad visos jo viršūnės ir langelių susikirtimo taškuose, galima naudoti daug paprastesnę Piko teoremą.

Kiekvieno daugiakampio, kurio perimetras yra *P*, o plotas – *S*, teisinga izoperimterinė nelygybė P^2 > 4\pi S.

Pagal Valaso-Boljao-Gervino teoremą, jei du daugiakampiai yra vienodo ploto, bet kuris iš jų gali būti padalinamas į mažesnius daugiakampius ir iš tų daugiakampių perstatomas taip, kad būtų gautas antrasis to paties ploto daugiakampis.

Taisyklingojo daugiakampio plotas, jei žinomas į daugiakampį įbrėžtinio apskritimo spindulys *r* ir daugiakampio perimetras *P*, yra
:S = \tfrac{1}{2} \cdot P \cdot r.

Šis spindulys kartais vadinamas apotema.

Jei taisyklingasis *n*-kampis, kurio kraštinė yra *s*, yra įbrėžtas į vienetinį apskritimą, tai jo plotas yra
:S = \frac{ns}{4} \sqrt{4-s^{2}}.

Taisyklingojo *n*-kampio, kurio apibrėžtinio apskritimo spindulys yra *R*, o perimetras – *P*, plotas yra
:S = \frac {R}{2} \cdot P \cdot \sqrt{1- \tfrac{P^{2}}{4n^{2}R^{2}}}.

Taisyklingojo *n*-kampio, įbrėžto į vienetinį apskritimą, kurio kraštinė yra *s*, o vidinis kampas – *P*, plotas yra
:S = \frac{ns^{2}}{4}\cot \frac{\pi}{n} = \frac{ns^{2}}{4}\cot\frac{\theta}{n-2}=n \cdot \sin \frac{\pi}{n} \cdot \cos \frac{\pi}{n} = n \cdot \sin \frac{\theta}{n-2} \cdot \cos \frac{\theta}{n-2}.

Daugiakampio kraštinės nenulemia jo ploto. Tačiau, jei daugiakampis yra įbrėžtinis į apskritimą, tuomet plotas priklauso nuo daugiakampio kraštinių. Iš visų *n*-kampių dutomis kraštinėmis tas, kurio plotas didžiausias, yra įbrėžtinis į apskritimą. Iš visų *n*-kampių duotų perimetru tas, kurio plotas didžiausias, yra taisyklingasis (taigi ir įbrėžtinis).

#### Daugiakampiai, kurių kraštinės kerta viena kitą

## Filosofijoje
Daug kampų turintys daugiakampiai (daugiausia tūkstantkampis) nuo seno filosofų nagrinėjami priešpastatant vaizduotę ir intelektą. Filosofai teigia jog tūkstantkampio ar kitos panašios figūros neįmanoma įsivaizduoti taip, kaip, pavyzdžiui, galima įsivaizduoti trikampį, jog padrikas tūkstantkampio vaizdinys niekuo nesiskiria nuo kurį vaizduotė pateiktų milijoną kraštinių turinčiam daugiakampiui. Tačiau nagrinėti geometriškai ar matematiškai, nustatyti ploto ir kitokias formules tokioms figūroms visiškai įmanoma, kad ir jų neįsivaizduojant. Taip filosofai grindė požiūrį jog galima nagrinėti bei suprasti ir neįsivaizduojamus dalykus.

## Šaltiniai

## Nuorodos
*