Ermito matrica

**Ermito matrica** – kompleksinė kvadratinė matrica, kuri lygi transponuotai kompleksiškai jungtinei (tai yra i eilutės ir j stulpelio elementai yra lygūs kompleksiškai jungtiniams j eilutės i stulpelio elementams, visiems i ir j):

: a_{ij} = \overline{a_{ji}} arba A = \overline {A^\text{T}}.

Ermito matricos gali būti traktuojamos kaip realiųjų simetrinių matricų kompleksinis plėtinys.

Jei matricos A kompleksiškai jungtinė ir transponuota matrica žymima A^\text{H}, tada ermito matrica užrašoma kaip

:  A = A^\text{H} .

Ermito matricos pavadintos vardu 19 amžiaus prancūzų matematiko Šarlio Ermito, kuris 1855 m. parodė, kad šio pavidalo matricos kaip ir realios simetrinės matricos turi realias tikrines vertes ir tikrinius vektorius.

## Pavyzdys
Tokio pavidalo matrica yra ermito matrica:

: 
\begin{bmatrix}
2 & 2+i & 4 \\
2-i & 3 & i \\
4 & -i & 1 \\
\end{bmatrix}


Ermito matricos dažnai naudojamos teorinėje fizikoje ir kvantinėje mechanikoje (Paulio matricos, Gell-Manno matricos).

## Savybės
* Diagonalieji elementai visada realieji skaičiai, nes jie turi būti kompleksiniai jungtiniai sau patiems.
* Šalia diagonalės esantys kompleksiniai elementai negali būti simetriški. Realiųjų skaičių simetrinė diagonalės atžvilgiu matrica visada yra ermito matrica.
* Kiekviena ermito matrica yra normalioji matrica.
* Matematinė spektrinė teorema teigia, kad kiekviena ermito matrica gali būti suvesta į diagonaliąją formą naudojant unitariąją matricą. Gauta diagonalioji matrica turės tik realiuosius diagonalinius elementus. Iš to išplaukia, kad ermito matricos tikrinės vertės yra realieji skaičiai, o tikriniai vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi (ortogonalūs). Net kartotinių tikrinių verčių atveju jas atitinkantys tikriniai vektoriai (tarpusavyje nebūtinai ortogonalūs) bus visada ortogonalūs likusiems tikriniams vektoriams.
* Dviejų ermito matricų suma yra ermito matrica taip pat.
* Ermito matricos atvirkštinė matrica taip pat yra ermito matrica.
* Dviejų ermito matricų A ir B sandauga yra ermito matrica tik jei 1 = AB = BA.
* Bet kokiam kompleksiniam vektoriui v sandauga  v^\text{H} A v  yra realusis skaičius, kadangi  v^\text{H} A v = (v^\text{H} A v)^\text{H} . Ši savybė ypač svarbi kvantinėje mechanikoje, kai ermito matricos yra operatoriai, kuriems veikiant gaunamos realiaisiais skaičiais aprašomos sistemos savybės (pvz., sukinys).
* Kvadratinės ir jai kompleksiškai jungtinės transponuotos matricų suma (C + C^\text{H}) yra ermito matrica.
* Kvadratinės matricos ir jai kompleksiškai jungtinės transponuotos matricos skirtumas (C - C^\text{H}) yra **asimetrinė ermito matrica**. Iš to seka, kad dviejų ermito matricų komutatorius yra asimetrinė ermito matrica.
* Bet kokia kvadratinė matrica C gali būti išskleista ermito A ir asimetrinės ermito B matricų suma:
:: C = A+B \quad\mbox{su}\quad A = \frac{1}{2}(C + C^\text{H}) \quad\mbox{ir}\quad B = \frac{1}{2}(C - C^\text{H})
* Ermito matricos determinantas yra realusis skaičius:
::  \det(A) = \det(A^\mathrm{T})\quad \Rightarrow \quad \det(A^\text{H}) = \det(A)^* ,
:: Taigi A=A^\text{H}\quad \Rightarrow \quad \det(A) = \det(A)^*.

## Nuorodos

* Visualizing Hermitian Matrix as An Ellipse with Dr. Geo , by Chao-Kuei Hung from Chaoyang University, gives a more geometric explanation.