Asimptotė

**Asimptotė** – tiesė vadinama kreivės y = f(x) *asimptote*, jei kreivės taško *M* atstumas iki tiesės, judant taškui *M* kuria nors kreivės šaka į begalybę, artėja prie nulio.

# Jei \lim_{ x \to a+0 (a-0)} f(x) lygi +\infty ar -\infty, tai x=a - *vertikalioji asimptotė*.
# Jei \lim_{ x \to +\infty (-\infty)} f(x)=A, tai tiesė y=A - *horizontalioji asimptotė*.
# Jei \lim_{ x \to +\infty (-\infty)} \frac{f(x)}{x}=k(\not= 0), \lim_{ x \to +\infty (-\infty)} [f(x)-kx]=b, tai tiesė y=kx+b - *pasviroji asimptotė*.

Ne kiekviena kreivė, turinti begalybėn tolstančią šaką, gali turėti asimptotę (pvz., parabolė asimptotės neturi.

## Pavyzdžiai
 

* Rasime kreivės y=\frac{x^2+1}{x} asimptotes.

Funkcija \frac{x^2+1}{x} neapibrėžta tik kai x=0, \lim_{ x \to 0 }\frac{x^2+1}{x}=\infty,  taigi jos grafikas turi *vertikaliąją asimptotę* x=0. Ieškosime pasvirųjų ir horizontaliųjų asimptočių. Kadangi
: \lim_{ x \to \infty }\frac{f(x)}{x}=\lim_{ x \to \infty } \frac{x^2+1}{x^2}=1(=k\not=0)
tai horizontalių asimptočių nėra. Kadangi
: \lim_{ x \to \infty } [f(x)-kx]=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x}-x\right)=0= b,
tai tiesė y=x yra *pasviroji asimptotė* abiem kreivės šakoms ir kai x \rightarrow +\infty, ir kai x \rightarrow -\infty.

* Rasime kreivės y=\frac{x^3}{1-x^2} asimptotes.
Kreivė turi dvi *vertikaliasias asimptotes* x=\pm 1, kadangi
: \lim_{ x \to \pm 1 }\frac{x^3}{1-x^2}=\infty. 
Kadangi
: \lim_{ x \to \pm\infty }\frac{f(x)}{x}=\lim_{ x \to \pm\infty } \frac{x^3}{x(1-x^2)}=-1(=k),
: \lim_{ x \to \pm\infty } [f(x)-kx]=\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{x^3}{1-x^2}+x\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{1-x^2}=0(= b),
tai tiesė y=-x yra *pasviroji asimptotė*.

* Raskime funkcijos y=\frac{-x^2-3x+2}{x+7} asimptotes.

Vertikalioji asimptotė - tiesė x=-7, nes \lim_{x\to -7\pm 0} y=\pm\infty.

Apskaičiuosime koeficientus:

k=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{-x^2-3x+2}{(x+7)\cdot x}=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{x^2(-x^2/x^2-3x/x^2+2/x^2)}{x^2(x^2/x^2+7x/x^2)}=\frac{-1-0+0}{1+0}=-1,

b=\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{-x^2-3x+2}{x+7}-(-1)\cdot x\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{4x+2}{x+7}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x(4x/x+2/x)}{x(x/x+7/x)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{4+2/x}{1+7/x}=4.
Todėl pasvirosios asimptotės lygtis tokia: y=-x+4.

* Raskime kreivės y=\frac{5x}{x-3} asimptotes.

Kadangi \lim_{x\to 3}\frac{5x}{x-3}=\infty, tai tiesė x=3 yra *vertikalioji asimptotė*. Kadangi \lim_{x\to \infty}\frac{5x}{x-3}=5, tai tiesė y=5 yra *horizontalioji asimptotė*. Kadangi \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \infty}\frac{5}{x-3}=0, tai pasvirųjų asimptočių nėra.

* Rasime kreivės y=\frac{x^2-6x+3}{x-3} asimptotes.

Kadangi \lim_{x\to 3}\frac{x^2-6x+3}{x-3}=\infty, tai x=3 yra *vertikalioji asimptotė*. Kadangi \lim_{x\to \infty}\frac{x^2-6x+3}{x-3}=\infty, tai horizontaliųjų asimptočių nėra. Raskime pasvirosios asimptotės koeficientus *k* ir *b*:
: k=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2-6x+3}{x(x-3)}=1,
: b=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2-6x+3}{x-3}-x=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2-6x+3-x^2+3x}{x-3}=\lim_{x\to \infty}\frac{-3x+3}{x-3}=-3.
*Pasviroji asimptotė* yra y=x-3.

* Raskime funkcijos y=\frac{2x^3}{x^2-4} asimptotes.

Tiesės x=\pm 2 yra *vertikaliosios asimptotės*, nes
: \lim_{x\to \pm 2}\frac{2x^3}{x^2-4}=\infty.
Kadangi \lim_{x\to \infty}\frac{2x^3}{x^2-4}=\infty, tai horizontaliųjų asimptočių nėra.
Kadangi
: k=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{2x^2}{x^2-4}=2, \qquad b=\lim_{x\to \pm \infty}(y-2x)=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{8x}{x^2-4}=0,
tai tiesė y=2x yra *pasviroji asimptotė*.

* Rasime kreivės y=\frac{x^3}{2(x+1)^2} asimptotes.

Kadangi \lim_{x\to-1\pm 0}y=-\infty, tai tiesė x=-1 yra *vertikalioji asimptotė. Kadangi <math>\lim_{x\to\pm\infty}y=\pm\infty,</math> tai horizontaliųjų asimptočių nėra.
: <math>k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2}{2(x+1)^2}=\frac{1}{2},</math>
: <math>b=\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]=\lim_{x\to\pm\infty}\left[\frac{x^3}{2(x+1)^2}-\frac{1}{2}x\right]=\frac{1}{2}\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^3-x(x^2+2x+1)}{(x+1)^2}=</math>
: <math>=\frac{1}{2}\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-2x^2-x}{(x+1)^2}=-1.</math>
Vadinasi, kreivė turi *pasvirąją asimptotę* <math>y=\frac{1}{2}x-1.</math>


* Raskime kreivės <math>y=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}</math> asimptotes.

<math>\lim_{x\to\pm 1\pm 0}f(x)=\infty,</math> todėl tiesės <math>x=-1</math> ir <math>x=1</math> yra *vertikaliosios asimptotės*.
Kadangi
: <math>k=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=1,</math>
: <math>b=\lim_{x\to+\infty}[f(x)-kx]=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}-x\right)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x(x-\sqrt{x^2-1})}{\sqrt{x^2-1}}=</math>
: <math>=\lim_{x\to+\infty}\frac{x(x^2-(x^2-1))}{\sqrt{x^2-1}(x+\sqrt{x^2-1})}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}(1+\sqrt{1-1/x^2})}=0,</math>
tai tiesė <math>y=x</math> yra *pasviroji asimptotė*. Be to
: <math>k=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=-1;</math>
: <math>b=\lim_{x\to-\infty}[f(x)-kx]=\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}-(-1)\cdot x\right)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x(x+\sqrt{x^2-1})}{\sqrt{x^2-1}}=</math>
: <math>=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}(x-\sqrt{x^2-1})}=\lim_{x\to-\infty}\frac{-|x|}{\sqrt{x^2-1}(-|x|-\sqrt{x^2-1})}=</math>
<math>=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2-1}(|x|+\sqrt{x^2-1})}=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2/x^2-1/x^2}(|x|+\sqrt{x^2-1})}=0,</math>
todėl ir tiesė <math>y=-x</math> yra *pasviroji asimptotė''.

## Šaltiniai