Gauso pluoštas

**Gauso pluoštas** – elektromagnetinės spinduliuotės pluoštas, kurio elektrinio lauko amplitudė ir intensyvumas statmenoje sklidimui plokštumoje yra aprašomi Gauso funkcijomis.

Didžioji dalis lazerių spinduliuoja pluoštus, turinčius Gauso funkcija aprašomą skirstinį. Šiuo atveju lazeris spinduliuoja pagrindinę skersinę modą, dar vadinamą lazerinio rezonatoriaus TEM00 moda. Gauso pluoštas perėjęs per lęšį išlieka Gauso pluoštu, bet pakinta jo parametrai, kas ir sąlygoja jo platų taikymą lazerių optikoje.

Gauso pluoštas yra paraksialinės Helmholco lygties sprendinys.

## Matematinė išraiška

Gauso pluošto kompleksinė amplitudė atstumu r nuo pluošto ašies ir nutolusi atstumu z nuo pluošto sąsmaukos yra išreiškiama sekančia išraiška

: E(r,z) = E_0 \frac{w_0}{w(z)} \exp \left( \frac{-r^2}{w^2(z)}\right) \exp \left( -ikz -ik \frac{r^2}{2R(z)} +i \zeta(z) \right)\ , 

kur
: i yra menamasis vienetas (dydis, kuriam i^2 = -1), ir
:  k = { 2 \pi  \over   \lambda  }  yra bangos vektorius.

Funkcijos w(z), R(z), ir \zeta(z) yra pluoštą aprašantys parametrai, apibrėžti žėmiau.

Laike suvidurkintas pluošto intensyvumo (arba apšvitos) skirstinys yra

: I(r,z) =   \left|E(r,z) \right|^2   = I_0 \left( \frac{w_0}{w(z)} \right)^2 \exp \left( \frac{-2r^2}{w^2(z)} \right)\ , 

kur w(z) yra atstumas nuo pluošto ašies, kuriame lauko amplitudė ir intensyvumas krenta *e* ir *e*² kartų, atitinkamai. Šis dydis yra vadinamas *pluošto spinduliu* arba *pluošto puspločiu*. E_0 ir I_0 yra, atitinkamai, elektrinio lauko amplitudė ir intensyvumas pluošto ašieje ties sąsmauka, tai yra E_0 = |E(0,0)| ir
I_0 = I(0,0). .

## Pluošto parametrai

Pluošto geometrija ir elgesys yra aprašomi **pluošto parametrų** rinkiniu, apibrėžtų sekančiose pastraipose.

### Pluošto spindulys arba pluošto plotis

Gauso pluošto, sklindančio laisvoje erdvėje, pluošto spindulys *w*(*z*) arba pluošto plotis 2*w*(*z*) įgys mažiausią vertę *w*0 tik vieninteliame erdvės taške, vadinamam *pluošto sąsmauka*. Bangos ilgio λ pluošto spindulys atstumu *z* nuo pluošto sąsmaukos yra nustatomas iš šio sąryšio

: w(z) = w_0 \, \sqrt{ 1+ {\left( \frac{z}{z_0} \right)}^2 }  \ . 

kur z - ašies pradžia, paprastumo dėlei sutapatinta su su pluošto sąsmaukos padėtimi, ir kur

: z_0 = \frac{\pi w_0^2}{\lambda}

yra vadinamas *Relėjaus ilgiu* arba *difrakciniu ilgiu*.

### Relėjaus ilgis ir sąsmaukos ilgis
Atstumu nuo sąsmaukos lygiu Relėjaus ilgiui *z*0, pluošto spindulys *w* yra

:  w(\pm z_0) = w_0 \sqrt{2} \, 

Atstumas tarp šių dvejų taškų yra vadinamas Gauso pluošto *sąsmaukos ilgiu* arba Gauso pluošto *kolimavimo atstumu*:

: b = 2 z_0 = \frac{2 \pi w_0^2}{\lambda}\ .

### Kreivumo spindulys

*R*(*z*) yra *[[kreivumo spindulys]]* Gauso pluošto bangos frontų. Šio dydžio priklausomybė nuo atstumo *z* yra

: R(z) = z \left[{ 1+ {\left( \frac{z_0}{z} \right)}^2 } \right] \ . 

### Pluošto skėstis
Dydis w(z), kai z \gg z_0, pradeda kisti tiesiškai

: w(z) \rightarrow w_0  \frac{z}{z_0}   \ . 

. Kampas, kurį sudaro šį kitimą atitinkanti tiesė su pluošto ašimi yra vadinamas pluošto *skėsties kampu*. Šio kampo išraiška yra

: \theta \simeq \frac{\lambda}{\pi w_0} \qquad (\theta \mathrm{\ radianais.}) 

Bendras erdvinis kampas, kuriame yra išsidėstęs Gauso pluoštas toli nuo sąsmaukos yra
: \Theta = 2 \theta\ .

Dėl šios priežasties, kuo mažesnis Gauso pluošto sąsmaukos matmuo, to labiau jis skečiasi toldamas nuo savo sąsmaukos. Tam, kad išlaikytume lazerio spindulį kolimuotą kaip galima ilgesniame atstume, yra būtina naudoti kuo didesnių sąsmaukos matmenų Gauso pluoštus.

Kadangi Gauso pluošto modelis yra paraksialinio artinio rezultatas, jis sąlygoja neteisingų rezultatų atsiradimą, kuomet bangos fronto pokrypis sklidimo krypties atžvilgiu artėja prie 30°. Sulygindami šį teiginį su skėsties kampo išraiška, matome, kad Gauso pluošto modelis galioja pluoštams, kurių sąsmaukos didesnės negu 2*λ*/*π*.

Lazerinio pluošto kokybė yra apsprendžiama pluošto parametrų sandaugos. Gauso pluoštui tai būtų sandauga pluošto skėsties kampo ir pluošto spindulio sąsmaukoje. Realiose lazerinėse sistemose gaunamų Gauso pluoštų kokybės parametrai yra visuomet didesni negu idealaus Gauso pluošto. Šių parametrų santykis yra žymimas *M²* ir kalboje vadinamas "M-kvadratu". Gauso pluošto M² yra lygus vienetui, realaus lazerinio pluošto M² visuomet turi reikšmes didesnes už vienetą.

### Giui fazė
Pluošto *Giui fazė* yra

: \zeta(z) = \arctan \left( \frac{z}{z_0} \right) \ .

### Kompleksinis pluošto parametras

Kompleksinis pluošto parametras yra

: q(z) =  z + q_0  = z + iz_0 \ .

Dažniausiai yra naudojamas kompleksinis dydis atvirkštinis kompleksiniam pluošto parametrui:

:  { 1 \over q(z) }   =   { 1 \over z + iz_0 } =   { z \over z^2 + z_0^2  }  -  i  { z_0 \over z^2 + z_0^2  } = {1 \over R(z) } - i { \lambda \over \pi w^2(z)  }

Kompleksinis pluošto parametras yra ypač svarbus Gauso pluošto sklidimo per sudėtingas optines sistemas analizėje. 

## Galia ir intensyvumas
### Galia per apertūrą
Galia *P*, pereinanti per apskritiminę spindulio *r* apertūrą, esančia skersinėje plokštumoje ties atstumu *z* nuo koordinačių pradžios yra

:  P(r,z) =  P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]\ ,

kur

: P_0 = { 1 \over 2 } \pi I_0 w_0^2 

yra bendra pluošto galia.

Apskritimo su spinduliu r = w(z) \,  atveju, galia pernašama per apskritimą yra 

:{ P(z) \over P_0 } = 1 - e^{-2} \approx 0.865\ .

Panašiu būdu, apie 95 procentai pluošto galios tekės per apskritimą, kurio spindulys yra  r = 1.224\cdot w(z) \, .

### Momentinis ir vidutinis intensyvumas
Momentinis intensyvumas nuotolyje z nuo pluošto sąsmaukos yra surandamas Lopitalio taisyklės dėka, kaip santykis tarp galios tekančios per spindulio r apskritimą, padalintos iš apskritimo ploto \pi r^2:

:I(0,z) =\lim_{r\to 0} \frac {P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {\pi r^2} 
         = \frac{P_0}{\pi} \lim_{r\to 0} \frac { \left[ -(-2)(2r) e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {w^2(z)(2r)} 
         = {2P_0 \over \pi w^2(z)}.  

Tokiu būdu, momentinis intensyvumas yra lygiai du kartus didesnis už *vidutinį intensyvumą*, gaunamą padalinus visą galią iš spindulio w(z) srities ploto.

## Šaltiniai ir nuorodos

* Chapter 3, "Beam Optics," pp. 80–107.
* Chapter 5, "Optical Beams," pp. 267.
* Chapter 16.
*

## Taip pat skaitykite

* Ermito ir Gauso pluoštas
* Lagero ir Gauso pluoštas
* Gauso funkcija