Katalano kūnas

Matematikoje **Katalano kūnas** – atitinkamo Archimedo kūno dualusis briaunainis. Katalano kūnai taip vadinami pagal juos 1865 m. pirmą kartą aprašiusį belgų matematiką Euženą Katalaną (*Eugène Catalan*).

Katalano kūnai yra iškilieji briaunainiai. Jie yra tranzityvūs sienų atžvilgiu, bet netranzityvūs briaunų atžvilgiu. Taip yra todėl, kad šių kūnų dualai, Archimedo kūnai, yra tranzityvūs briaunų atžvilgiu, bet netranzityvūs sienų atžvilgiu. Reikia pastebėti, kad skirtingai negu Platono kūnai ir Archimedo kūnai, Katalano kūnų sienos *nėra* taisyklingieji daugiakampiai. Kita vertus, Katalano kūnų viršūnių planai yra taisyklingieji daugiakampiai ir jie turi pastovius dvisienius kampus. Kadangi jų sienos yra tranzityvios, Katalano kūnai yra izoedrai.

Be to, du Katalano kūnai yra dar tranzityvūs ir briaunų atžvilgiu: *rombinis dodekaedras* ir *rombinis triakontaedras*. Šiuodvi figūros yra dviejų kvazitaisykligų Archimedo kūnų dualai.

Lygiai, kaip prizmės ir antiprizmės bendruoju atveju nėra priskiriamos prie Archimedo kūnų, taip bipiramidės ir trapecoedrai nepriskiriami prie Katalano kūnų, nors abiejų klasių figūros yra tranzityvios sienų atžvilgiu.

Dviem Katalano kūnams būdingas *chirališkumas*: penkiakampiam ikositetraedrui ir penkiakampiam heksakontaedrui, kurie yra atitinkamai dualūs su nusklembtu kubu ir nusklembtu dodekaedru. Kiekvienas šių dualų iš tiesų yra *enantiomorfų *pora. Bet neskaičiuojant šių enantiomorfų ir bipiramidžių bei trapecoedrų iš viso turime 13 Katalano kūnų.

„Triakis“ (ir kitos panašios Katalano kūnų pavadinimo dalys) yra hibridinis darinys iš graikų τρι, *tri* – „trys“ ir lotynų *acis* „ketera“, „smailė“; taigi „triakis“ tetraedras yra tetraedras, kurio kiekvienoje sienoje iškilusios trys briaunos („keteros“). Atitinkamai „tetrakis“ reiškia sieną, kurioje iškilusios keturios (*tetra*), „pentakis“ – penkios briaunos, sudarančios lygiašonius trikampius, o „disdyakis“ – briaunos sudaro įvairiakraščius trikampius.

## Simetrija
Katalano kūnus, kaip ir jiems dualius Archimedo kūnus galima sugrupuoti pagal simetrijos klases: tetraedrines, oktaedrines, ikosaedrines simetrijos kūnus. Kiekvienoje simetrijos klasėje yra po šešis kūnus, o kadangi tetraedrinės simetrijos grupės kūnams būdinga simetrija pačiam sau, čia yra tik trys kūnai, du iš kurių dubliuoja oktaedrinės simetrijos kūnai. Taigi 6+6+3-2=13.

## Sąrašas

## Šaltiniai
* Eugène Catalan *Mémoire sur la Théorie des Polyèdres.* J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.
* Alan Holden *Shapes, Space, and Symmetry*. New York: Dover, 1991.
*  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals)
* Williams, Robert (1979). *The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design*. Dover Publications, Inc. ISBN&nbsp;0-486-23729-X.&nbsp; (Section 3-9)
*  Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms

## Nuorodos
* Weisstein, Eric W., „Catalan Solids“, *MathWorld*.
* Weisstein, Eric W., „Isohedron“, *MathWorld*.
* Olshevsky, George, *[https://web.archive.org/web/20070204075028/http://members.aol.com/Polycell/glossary.html#Catalan Catalan]* at *Glossary for Hyperspace*.
* Archimedean duals – at Virtual Reality Polyhedra
* Interactive Catalan Solid  in Java