Sekos riba

Skaičių sekos **riba** vadinama vertė, prie kurios artėja sekos narių vertės, tolstant į begalybę. Pavyzdžiui, turime seką:

:  \lbrace \; \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots, \frac{1}{n}, \dots \; \rbrace 

Jokio sekos nario vertė nėra lygi nuliui, tačiau, kuo narys tolimesnis sekoje, tuo jo vertė artimesnė nuliui. Intuityviai suvokiame, kad sekos nariai artėja į nulį.

Tačiau toks apibrėžimas nėra tikslus ir netinkamas naudoti matematikoje. Griežtesnis apibrėžimas yra toks:

: Jei \forall \varepsilon > 0 \; \exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N} : n > N \Rightarrow |a_n - a| , tai skaičių a vadiname **sekos riba**. Jei tokio skaičiaus nėra – seka ribos neturi.

Kitaip tariant, jeigu egzistuoja toks sekos narys a_N, nuo kurio pradedant, skirtumas tarp visų tolimesnių narių ir kažkokio skaičiaus a yra mažesnis, nei kažkoks iš anksto nustatytas skaičius (jis gali būti kiek norima mažas), tai sakome, kad a yra šios sekos **riba**. Iš esmės šis apibrėžimas atitinka mūsų natūralų suvokimą apie **sekos ribą**.

Seka, turinti baigtinę ribą, vadinama **konverguojančia**, neturinti ribos laikoma **diverguojančia**.

**Sekos ribą** žymime:

: \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L

Čia \lim reiškia **ribą**, n \rightarrow \infty yra simbolinis žymėjimas, kad eilės numeris n tolsta į begalybę, o a_n yra n - tasis, t. y. bendrasis sekos narys.

## Dalinės ribos
Jei seka {x_n} turi konverguojantį posekį {x_nk}, šio posekio riba vadinama **daline riba**. Didžiausia sekos {x_n} dalinė riba vadinama sekos **viršutiniąja riba** (žymima \limsup_{n\to\infty} x_n). Mažiausia sekos dalinė riba – **apatinioji riba** (\liminf_{n\to\infty} x_n).

Pavyzdžiui, seka x_n = \lbrace (-1)^{n} \rbrace neturi ribos, tačiau turi du konverguojančius posekius:
* x_{2n} = \lbrace (-1)^{2n} \rbrace \to 1 ir
* x_{2n+1} = \lbrace (-1)^{2n+1} \rbrace \to -1

## Koši kriterijus

Ogiustenas Lui Koši suformulavo kriterijų, kurį tenkinančios sekos vadinamos **Koši sekomis**:

: Seka {\{x_n\}} yra **Koši seka**, jei {\sum_{n=1}^{\infty}a_n} konverguoja tada ir tik tada kai {\forall\varepsilon>0, \exists N \in \boldsymbol{N}, \forall n>m>N : |\sum_{k=m+1}^n a_k| .

**Koši kriterijus** yra būtina ir pakankama sekos konvergavimo sąlyga – visos konverguojančios sekos yra **Koši sekos** ir atvirkščiai.
[Čia paimtas koši kriterijus ne sekoms, o skaičių eilutėm, reikia pataisyti.]

## Ribų savybės

Tegul  \lim_{n \to \infty} x_n = L_1  ir  \lim_{n \to \infty}y_n = L_2 , tada galime atlikti tokius veiksmus:

*  \lim_{n \to \infty}(x_n+y_n) = L_1 + L_2 
*  \lim_{n \to \infty}(x_ny_n) = L_1L_2 
*  \lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{L_1}{L_2}  

arba
* \lim_{x\to a}[f(x)\pm g(x)]=\lim_{x\to a}f(x)\pm\lim_{x\to a}g(x)
* \lim_{x\to a}[f(x)\cdot g(x)]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}g(x)
* \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}

## Skaičiavimas

Skaičiuodami ribas pasiremiame jų savybėmis ir keliomis elementariausiomis ribomis:

*  \lim_{n \rightarrow \infty} n = \infty 
*  \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0 
*  \lim_{n \rightarrow \infty} a^n = \infty 
*  \lim_{n \rightarrow \infty} a^\frac{1}{n} = 1 
*  \lim_{n \rightarrow \infty} n^\frac{1}{n} = 1 

* \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,
* \lim_{x\to 0}\frac{\sin (kx)}{x}=k,
* \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x\to 0}(\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x})=1,
* \lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}=1,
* \lim_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x}=1,
* \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+ x)}{x}=\lim_{x\to 0}[\ln(1+ x)^{\frac{1}{x}}]=\ln[\lim_{x\to 0}(1+ x)^{\frac{1}{x}}]=\ln e=1,
* \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1.

ir t. t. Dažnai ribos ženklas nerašomas, o rašoma tiesiog, pvz.: \frac{1}{\infty} = 0. Toks užrašas suprantamas ne kaip lygybė, o kaip riba.

Ieškodami ribų galime tiesiog įrašyti begalybę vietoj n, tačiau dažniausiai gauname neapibrėžtumą, kurį ir reikia pašalinti, pvz.:

*  \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n - 1}{n} = \frac{\infty}{\infty} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2 - \frac{1}{n}}{1} = 2 - \frac{1}{\infty} = 2. 

* \lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{\sin 7x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{\sin 3x}{3x}\cdot3x}{\frac{\sin7x}{7x}\cdot7x}=\lim_{x\to 0}\frac{ 3x}{ 7x}=\frac{3}{7}.

## Skaičius e

Nepaprastai svarbi matematikoje yra tokia riba:

: \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \equiv \mathsf{e}.

: \lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e.

Ši vertė, vadinama skaičiumi e, yra viena svarbiausių matematinių konstantų.

## Pavyzdžiai

* \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n(n+2)} \right)^n = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n(n+2)} \right)^{n(n+2) \left( \frac{n}{n(n+2)} \right) } = \lim_{n \rightarrow \infty} \mathsf{e}^{ \frac{n}{n(n+2)} } = \mathsf{e}^{ \frac{1}{\infty} } = 1.

* \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2 + 4n - 5}{n^2-1} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2 \left( 1 + \frac{4}{n} - \frac{5}{n^2} \right) }{n^2 \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) } = \frac{1 + \frac{4}{\infty} - \frac{5}{\infty}}{1 - \frac{1}{\infty} } = 1.

* Seka  \lbrace \; -1, 1, -1, 1, \dots, (-1)^n, \dots \; \rbrace  diverguoja, t. y. ribos neturi.

* \lim_{x\to\infty}\frac{x^3-4x^2+7x-3}{x^2+2x-11}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x^3-4x^2+7x-3}{x^3}}{\frac{x^2+2x-11}{x^3}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{4}{x}+\frac{7}{x^2}-\frac{3}{x^3}}{\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}-\frac{11}{x^3}}=\infty.

* \lim_{x\to 0}\frac{3x^2-2x}{2x^2-5x}=(\frac{0}{0})=\lim_{x\to 0}\frac{x(3x-2)}{x(2x-5)}=\frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}.

* \lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-1}{5x^2+2x}=\lim_{x\to\infty}\frac{3-1/x^2}{5+2/x}=\frac{3-0}{5+0}=\frac{3}{5}.

* a\lim_{x\to-\frac{3}{2}}\frac{4x^2-9}{2x+3}=\lim_{x\to-\frac{3}{2}}\frac{(2x-3)(2x+3)}{2x+3}=\lim_{x\to-\frac{3}{2}}(2x-3)=-3-3=-6.\breve{}

* \lim_{x\to 1}\frac{x-1}{1-x^2}=\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{(1-x)(1+x)}=\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{-(x-1)(1+x)}=\lim_{x\to 1}\frac{1}{-(1+x)}=-\frac{1}{2}.

* \lim_{x\to 2}(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4})=\lim_{x\to 2}\frac{x+2-4}{x^2-4}=\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\lim_{x\to 2}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4}.

* \lim_{x\to 0}\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{(1-\sqrt{1-x^2})(1+\sqrt{1-x^2})}{x(1+\sqrt{1-x^2})}=\lim_{x\to 0}\frac{1-(1-x^2)}{x(1+\sqrt{1-x^2})}=
=\lim_{x\to 0}\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}=\frac{0}{2}=0.

* \lim_{x\to 2}\frac{2x^2-8}{x-2}=\lim_{x\to 2}\frac{2(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to 2}(2x+4)=8.

* \lim_{x\to 0}\frac{x+\sin 3x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{3x}{3x}\cdot(\frac{x}{x}+\frac{\sin 3x}{x})=\lim_{x\to 0}(1+\frac{3x\sin 3x}{3x\cdot x})=\lim_{x\to 0}(1+\frac{3x}{x})=4.

* \lim_{x\to\infty}(\frac{x+1}{x})^{\frac{x}{3}}=\lim_{x\to\infty}((1+\frac{1}{x})^x)^{\frac{1}{3}}=e^{\frac{1}{3}}.

* \lim_{x\to\infty}(\frac{2x+1}{2x+3})^{\frac{3x-2}{5}}=\lim_{x\to\infty}(\frac{2x+3-2}{2x+3})^{\frac{3x-2}{5}}=\lim_{x\to\infty}((1+\frac{-2}{2x+3})^{\frac{2x+3}{-2}})^{\frac{-2}{2x+3}\cdot\frac{3x-2}{5}}=
: =e^{-\frac{2}{5}\lim_{x\to\infty}\frac{3x-2}{2x+3}}=e^{-\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{2}}=e^{-\frac{3}{5}}.

* \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{\sqrt{x+1}-2}=\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)(\sqrt{x+1}+2)}{(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)}=\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)(\sqrt{x+1}+2)}{x+1-4}=
: =\lim_{x\to 3}[(x+3)(\sqrt{x+1}+2)]=6\cdot 4=24.

* \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{3}}-1}{\sqrt{x+1}-1}=\lim_{z\to 1}\frac{z^{\frac{6}{3}}-1}{\sqrt{z^6}-1}=\lim_{z\to 1}\frac{(z-1)(z+1)}{(z-1)(z^2+z+1)}=\lim_{z\to 1}\frac{z+1}{z^2+z+1}=\frac{2}{3},
kur keičiame kintamąjį: 1+x=z^6. Kadangi x \rightarrow 0, tai z \rightarrow 1.

* \lim_{x\to\pi}\frac{\sin^2 x}{1+\cos^3 x}=\lim_{x\to\pi}\frac{1-\cos^2 x}{(1+\cos x)(1-\cos x+\cos^2 x)}=\lim_{x\to\pi}\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{(1+\cos x)(1-\cos x+\cos^2 x)}=
=\lim_{x\to\pi}\frac{1-\cos x}{1-\cos x+\cos^2 x}=\frac{1-(-1)}{1-(-1)+(-1)^2}=\frac{2}{3}.

* \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{1-\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{2\sin^2 (x/2)}=2\lim_{x\to 0}(\frac{x/2}{\sin (x/2)})^2=2.

* \lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x^2})^x=\lim_{x\to\infty}[(1+\frac{1}{x^2})^{x^2}]^{\frac{1}{x}}=e^0=1.

* \lim_{x\to 0}\frac{\log_a(1+x)}{x}=\lim_{x\to 0}[\log_a(1+x)^{\frac{1}{x}}]=\log_a e.

* \lim_{x\to 2}\frac{x^3-8}{x-2}=\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x^2+2x+4)=12.

* \lim_{x\to 3}\frac{x^2+x-12}{2x^2-9x+9}=\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+4)}{2(x-3)(x-1.5)}=\lim_{x\to 3}\frac{x+4}{2x-3}=\frac{7}{3}.

* \lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}}{x^3}=\lim_{x\to 0}(\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1-\cos x}{x^2\cdot \cos x})=
: =\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}=\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}})^2=\frac{1}{2}.

* \lim_{x\to\infty}(\frac{x^3}{3x^2-4}-\frac{x^2}{3x+2})=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3(3x+2)-x^2(3x^2-4)}{(3x^2-4)(3x+2)}=\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3+4x^2}{9x^3+6x^2-12x-8}=
: =\lim_{x\to\infty}\frac{2+\frac{4}{x}}{9+\frac{6}{x}-\frac{12}{x^2}-\frac{8}{x^3}}=\frac{2}{9}.

* \lim_{x\to 1}\frac{2x-2}{(26+x)^{\frac{1}{3}}-3}=\lim_{t\to 3}\frac{2(t^3-27)}{t-3}=\lim_{t\to 3}\frac{2(t-3)(t^2+3t+9)}{t-3}=2\lim_{t\to 3}(t^2+3t+9)=54, 
kur 26+x=t^3; x=t^3-26; t \rightarrow 3, kai x \rightarrow 1.

* Rasime ribą \lim_{x\to\frac{1}{2}}\frac{8x^3-1}{6x^2+3x-3}=(\frac{0}{0})
: Skaitiklis išskaidomas pagal formulę a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=8x^3-1=(2x-1)(4x^2+2x+1)
: Vardiklis gali būti išskaidomas surandant jo sprendinius x_1 ir x_2:
: 6x^2+3x-3=0
: D=b^2-4ac=3^2- 4\cdot 6\cdot (-3)=9+72=81
: x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{81}}{2\cdot 6}=\frac{-3\pm 9}{12}=-1;\frac{1}{2}.
Kvadratinė lygtis yra išskaidoma ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)=6x^2+3x-3=6(x-(-1))(x-\frac{1}{2}).

\lim_{x\to\frac{1}{2}}\frac{(2x-1)(4x^2+2x+1)}{6(x+1)(x-\frac{1}{2})}=\lim_{x\to\frac{1}{2}}\frac{(2x-1)(4x^2+2x+1)}{3(x+1)(2x-1)}=\lim_{x\to\frac{1}{2}}\frac{4x^2+2x+1}{3x+3}=\frac{3}{4.5}=\frac{2}{3}.

* \lim_{x\to\infty}(1-\frac{1}{x})^x=\lim_{z\to-\infty}[(1+\frac{1}{z})^z]^{-1}=e^{-1}=\frac{1}{e}.

* \lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}=\lim_{x\to 6}\frac{x+3-9}{(x-6)(\sqrt{x+3}+3)}=\lim_{x\to 6}\frac{1}{\sqrt{x+3}+3}=\frac{1}{6}.

* \lim_{x\to 8}\frac{x-8}{x^{\frac{1}{3}}-2}= \lim_{x\to 8}\frac{(x^{\frac{1}{3}}-2)(x^{\frac{2}{3}}+2x^{\frac{1}{3}}+2^2)}{x^{\frac{1}{3}}-2}=\lim_{x\to 8}(x^{\frac{2}{3}}+2x^{\frac{1}{3}}+4)=12. 

* \lim_{x\to\infty}(\frac{x-1}{x})^{5x}=\lim_{x\to\infty}(1-\frac{1}{x})^{5x}=\lim_{z\to-\infty}((1+\frac{1}{z})^z)^{-5}=e^{-5}.

* \lim_{x\to 0}(1+\tan x)^{\frac{1}{\sin x}}=\lim_{x\to 0}((1+\tan x)^{\frac{\cos x}{\sin x}})^{\frac{1}{\cos x}}=e.

* \lim_{x\to\infty}(\frac{x^2+5}{3x^2+1})^{x^2}=
\lim_{x\to\infty}(\frac{1+\frac{5}{x^2}}{3+\frac{1}{x^2}})^{x^2}=\lim_{x\to\infty}(\frac{1}{3})^{x^2}=0.

* \lim_{x\to 0}\cos\frac{\pi \cdot x}{\sin x}=\lim_{x\to 0}\cos\frac{\pi \cdot x}{x\frac{\sin x}{x}}=\lim_{x\to 0}\cos\frac{\pi }{\frac{\sin x}{x}}=\lim_{x\to 0}\cos\pi=-1.

## Šaltiniai