Vandeniliškasis atomas

**Vandeniliškasis atomas** – atomas, sudarytas iš keleto protonų bei vieno elektrono. Tokių atomų pavyzdžiai yra vandenilis, vieną kartą jonizuotas helis ir t. t. Tokie atomai vaidina svarbų vaidmenį kvantinėje mechanikoje, nes jie yra vieninteliai atomai, kuriems dar pavyksta pilnai analiziškai išspręsti Šredingerio lygtį.

## Uždavinio formuluotė

Tariame, kad koordinačių sistemos pradžioje yra Z nejudančių, įtvirtintų protonų. Laikoma, kad jų masė yra begalinė, t. y. branduolys nejuda. Reikia rasti elektrono bangines funkcijas.

Šiuo atveju sistemos hamiltonianas atrodys taip:

:  \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m_e} \nabla^2 - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0} \frac{Z}{r^2} .

Šredingerio lygties sprendinio ieškome sferinėje koordinačių sistemoje, tokiame pavidale:

:  \psi(r, \theta, \phi) = R(r)Y(\theta, \phi) ,

Čia R(r) vadinama sprendinio **radialiąja dalimi**, o Y(\theta, \phi) – **kampine**. Radialiajai daliai gauname tokią lygtį:

: \frac{1}{R(r)} \frac{d}{dr} \left ( r^2 \frac{dR}{dr} \right ) + \frac{2m r^2}{\hbar^2}(E-V(r)) = l(l+1)

Čia **l** yra atskyrimo konstanta, kuri vėliau pavadinama **šalutiniu kvantiniu skaičiumi**. Ši lygtis vadinama Legero lygtimi, jos sprendiniai – Legero polinomai.

Kampinei daliai gaunama tokia lygtis:

:  \Lambda Y = l(l+1) Y ,

čia  \Lambda - Ležandro operatorius, į kurį įeina visi Laplaso operatoriaus sferinėje koordinačių sistemoje nariai su kampais. Šios lygties sprendiniai - vadinamosios sferinės funkcijos Y_{lm}. Čia **m** – **magnetinis kvantinis skaičius**.

## Sprendinys

Radialiosios dalies sprendinys atrodo taip:

: R_{nl}(r) =  e^{-Z r/(n a_{m})} \left ( \frac{2 Z r}{n a_{m}} \right )^l L_{n-l-1}^{2l+1} \left( \frac{2 Z r}{n a_m} \right),

kampinės dalies:

: Y_{lm}(\theta, \phi) = \frac{(\sin\theta)^}{2^l l!} \left [ \frac{d}{d(\cos\theta)} \right ]^{l+|m|}(\cos ^2(\theta)-1)^l  e^{im\phi}.

Čia:

* L_{n-l-1}^{2l+1} – apibendrintieji Legero polinomai,
* a_{m} = .

Iš kraštinių sąlygų radialiajai daliai buvo įvestas dar vienas kvantinis skaičius **n**.

Galutinis sprendinys atrodo taip:

:: \psi_{nlm}(\theta,\phi,r) = \sqrt  \right ) }^3\frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]} } e^{- Z r / {n a_{m}}} 

\left (  \frac{2 Z r}{n a_{m}} \right )^{l} 

L_{n-l-1}^{2l+1} \left ( \frac{2 Z r}{n a_{m}} \right ) 

\cdot 

Y_{l,m}(\theta, \phi ) .

Kaip matyti, nors sistema yra labai paprasta, sprendinys yra labai sudėtingas.

## Pagrindinės išvados

Iš sprendinio matome, kad elektrono būsena nusakoma trimis kvantiniais skaičiais – **n**, **l**, **m**. Kiekvienas iš jų atitinka tam tikro dydžio kvantavimą:

* **n** – energijos lygmens numeris. Įgauna vertes  n = 1, 2, 3, .... Boro teorijoje **n** buvo įvestas kaip elektrono energijos lygmens numeris. Kvantinėje mechanikoje ši prasmė išliko. Elektrono energija išreiškiama per šį numerį:

:E_{n} = \frac{-13.6 \ \mathrm{eV}}{n^2} .

Taigi, elektronas negali įgauti bet kokios energijos, o tik tam tikras jos vertes. Tuo paaiškinama diskretinė vandenilio spektrinių linijų struktūra.
Dažnai įsivaizduojama, kad šis numeris nusako elektrono atstumą nuo branduolio. Tai yra tik iš dalies teisinga, mat tai galioja tik pirmoms šio skaičiaus vertėms. Toliau augant **n** elektronai nebelabai tolsta nuo branduolio, pvz., atomas su 200 elektronų yra tik kelis kartus didesnis už vandenilio atomą su vienu elektronu.

* **l** – šalutinis kvantinis skaičius. Atitinka judesio kiekio momento absoliutinio didumo kvantavimą:

: \vec{L}^2 = \hbar^2 l(l+1) .

Jis įgauna vertes l = 0, 1, 2, ..., n-1. T. y. tas pats energijos lygmuo gali atitikti n-1 skirtingų galimų verčių.
Chemijoje, bei spektroskopijoje šis skaičius įvardijamas raidėmis eiliškumo tvarka: s, p, d, f ir t. t.
Iš sprendinio matyti, kad su skirtingomis **l** vertėmis banginė funkcija įgauna skirtingus pavidalus. Pvz., s orbitalė yra sferos formos, p – aštuoniukės, d – keturlapio dobilo ir t. t. Tolesnės formos yra gana sudėtingos. Paveikslėlyje pateikti keli orbitalių formų pavidalai esant skirtingiems kvantiniams skaičiams **n** ir **l**.

* **m** – magnetinis kvantinis skaičius. Atitinka judesio kiekio momento krypties kvantavimą, t. y.:

:  L_z = m\hbar.

Ši išvada sutampa su vienu iš Boro postulatų. Skaičius įgauna vertes m = -l, -l+1, ..., 0, 1, ..., l-1, l, t. y. turi 2l + 1 galimų verčių, esant toms pačioms **n** ir **l** vertėms. Šis skaičius keičia orbitalės orientaciją erdvėje, tačiau nekeičia jos grafinio pavidalo.

Taigi gavome, kad energijos lygmuo gali turėti kelias formas, t. y. tas pats **n** gali atitikti skirtingus **m** ir **l** kvantinius skaičius. Sakoma, kad energijos lygmenys yra išsigimę. Bendras išsigimimas išreiškiamas:

:  f = n^2 .

Šis sprendinys neįskaito elektrono sukinio. Su juo elektrono būsena nusakoma keturiais kvantiniais skaičiais – **n**, **l**, **m** ir **s**. Jam galioja Paulio draudimo principas, kuris sako, kad jokie du elektronai atome negali turėti tų pačių kvantinių skaičių.
Apibendrinę rezultatą daugiaelektronėms sistemoms galime padaryti išvadą, kad viename energijos lygmenyje daugiausiai gali būti 2n^2 elektronų. n^2 įskaito lygmenų išsigimimą, t. y. skirtingas orbitalių formas, bei išsidėstymus erdvėje esant tai pačiai elektrono energijai, o daugyba iš dviejų reiškia, kad toje pačioje būsenoje gali būti du elektronai su skirtingais sukiniais.

## Taip pat skaitykite

* Vandenilis
* Kvantinė mechanika
* Banginė funkcija
* Šredingerio lygtis
* Hamiltonianas