Teiloro eilutė

**Teiloro eilutė** – 1712 m. B. Teiloro aprašyta formulė, pagal kurią polinomu galima aproksimuoti bet kurią tolydžią, realaus ar kompleksinio skaičiaus *a* aplinkoje be galo diferencijuojamą funkciją.

Formulė:

: f(x) \approx \sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} + R_N, kai *x* pakankamai artimas *a*.

Čia n! yra *n* faktorialas, o f^{(n)}(a) žymi n - tąją funkcijos *f* išvestinę taške *a*.

Kai a = 0, eilutė kartais vadinama Makloreno eilute (pagal škotų matematiką Koliną Makloreną).

Bendruoju atveju, Teiloro eilutės nebūtinai konverguoja į funkcijos reikšmę tame taške.

Eksponentė:
: \mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} +{x^4\over 4!}+ \cdots +{x^n\over n!}\text{ su visais } x\!.
:Pavyzdžiui: e^3=2,718281828^3= 20,08553692,
:\mathrm{e}^3= \sum^{8}_{n=0} \frac{3^n}{n!} = 1 + 3 + \frac{3^2}{2\cdot 1} + \frac{3^3}{3\cdot 2\cdot 1} +{3^4\over 4\cdot 3\cdot 2}+{3^5\over 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}+{3^6\over 6!}+{3^7\over 7!}+{3^8\over 8!}=

:= 1+3+4,5+4,5+3,375+2,025+1,0125+0,433928571+0,162723214= 20,00915179.

Natūrinis logaritmas:
: \ln(1-x) = -\sum^{\infin}_{n=1} \frac{x^n}{n}=-({x^1\over 1}+{x^2\over 2}+{x^3\over 3}+{x^4\over 4}+...+{x^n\over n}) \text{ su } -1\le x
Pavyzdžiui: \ln(1-0,8)=-1.6094379124341;
:\ln(1-0,8)=-0,8-{0,8^2\over 2}-{0,8^3\over 3}-{0,8^4\over 4}-{0,8^5\over 5}-{0,8^6\over 6}-{0,8^7\over 7}=
:=-0.8-0.32-0.170(6)-0.1024-0.065536-0.043690(6)-0.029959314285714=-1.532252647619.

: \ln(1+x) =  \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n=x-{x^2\over 2}+{x^3\over 3}-{x^4\over 4}+{x^5\over 5}...\text{ su } -1
Pavyzdžiui: \ln(1+1)=0,69314718; 
:\ln(1+x) =  \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n=1-{1^2\over 2!}+{1^3\over 3!}-{1^4\over 4!}+{1^5\over 5!}-{1\over 6!}+{1\over 7!}-{1\over 8!}+{1\over 9!}=
:=1-0,5+0,16(6)-0,0416(6)+0,0083(3)-0,00138(8)+0,000198412-0,000024801+0,000002755=0,632120811.
:Teisingai taip (nors atsakymai teisingu ir neteisingu atveju beveik tiek pat skiriasi nuo ln(2)):
:\ln(1+1) =  \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n=1-{1^2\over 2}+{1^3\over 3}-{1^4\over 4}+{1^5\over 5}-{1\over 6}+{1\over 7}-{1\over 8}+{1\over 9}=
:=0.74563492063492.
:Ilgesnė eilutė duoda tokį atsakymą:
:\ln(1+1) =  \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n=1-{1^2\over 2}+{1^3\over 3}-{1^4\over 4}+{1^5\over 5}-{1\over 6}+{1\over 7}-{1\over 8}+{1\over 9}-{1\over 10}+
:+ {1\over 11}-{1\over 12}+{1\over 13}-{1\over 14}+{1\over 15}-{1\over 16}+{1\over 17}-{1\over 18}+{1\over 19}-{1\over 20}=
:=0.64563492063492+0.0231364825405=0.6687714031754273.

Kvadratinė šaknis:
: \sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n \text{ for } |x|

Trigonometrinės funkcijos (x čia reiškiamas radianais):
: \sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad =  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ su visais } x\!

: \cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\text{ su visais } x\!

: \tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad =  x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots\text{ su } |x| 

:: kur B_n yra n - tasis Bernulio skaičius

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos:
: \arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ su } |x| 
: \arcsin x = x+\frac{x^3}{2\cdot 3}+\frac{1\cdot 3 x^5}{2\cdot 4\cdot 5} +\frac{1\cdot 3\cdot 5 x^7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}+... +\frac{1\cdot 3\cdot 5...(2n-1)x^{2n+1}}{2\cdot 4\cdot 6...(2n)(2n+1)}+..., \;\; |x| 

: \arccos x =\frac{\pi}{2}-\Big[x+\frac{x^3}{2\cdot 3}+\frac{1\cdot 3 x^5}{2\cdot 4\cdot 5} +\frac{1\cdot 3\cdot 5 x^7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}+... +\frac{1\cdot 3\cdot 5...(2n-1)x^{2n+1}}{2\cdot 4\cdot 6...(2n)(2n+1)}+...\Big], \;\; |x| 

: \arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\text{ su } |x| \le 1\!
: \arctan x = x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\pm ..., \;\; |x| 
: \arctan x =\pm\frac{\pi}{2}- \frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}-\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}-...+(-1)^{n+1} \frac{1}{(2n+1)x^{2n+1}}\pm ...*, \;\; |x| > 1
:***** Pirmas narys \frac{\pi}{2} imamas su ženklu "+", kai *x*>1 ir su ženklu "-" kai x

: \arccot x =\frac{\pi}{2}-\Big[ x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\pm ...\Big], \;\; |x| 

## Šaltiniai