Trupmena

**Trupmena** – matematinė skaičiaus išraiška, kuri gali reprezentuoti vieną arba kelias lygias vieneto (arba visumos) dalis.

**Pagrindinė trupmenos savybė**: trupmenos reikšmė nesikeičia, kai jos skaitiklis ir vardiklis yra padauginami iš to paties nelygaus nuliui skaičiaus.

## Trupmenų rūšys

### Paprastosios trupmenos
Paprastosios trupmenos žymi dviejų skaičių dalmenį ir yra žymimos 3/4 arba \tfrac{3}{4} arba, daug rečiau, 34. Viršutinis skaičius (šiuo atveju 3) yra vadinamas skaitikliu ir rodo kiek lygių dalių trupmena reprezentuoja, o apatinis skaičius (šiuo atveju 4) yra vadinamas vardikliu ir rodo kiek tokio pat dydžio lygių dalių sudaro vienetą (arba į kiek dalių vienetas yra padalintas).

Paprastosios trupmenos yra skirstomos į taisyklingąsias ir netaisyklingąsias. **Taisyklingoji trupmena** yra trupmena, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį (pvz., 3/4). Tokių trupmenų reikšmė visada yra mažesnė už vieną. **Netaisyklingoji trupmena** yra trupmena, kurios skaitiklis yra lygus arba didesnis už vardiklį (pvz., 19/7). Tokių trupmenų reikšmė yra lygi vienetui arba didesnė.

Visų paprastųjų trupmenų, kurias sudaro sveikasis skaitiklis ir nenulinis sveikasis vardiklis, aibė matematikoje yra vadinama racionaliųjų skaičių aibe (žymima raide \mathbb{Q}).

: \mathbb{Q}=\left\{\frac{a}{b}; a,b \in \mathbb{Z}, b \ne 0 \right\}

Čia \mathbb{Z} reiškia sveikųjų skaičių aibę, o b \ne 0  reiškia, kad vardiklis negali būti lygus nuliui. Taip yra todėl, kad dalyba iš nulio yra negalima. Dažniausiai racionalusis skaičius užrašomas **nesuprastinama paprastąja trupmena**, t. y., trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis neturi didesnių už vienetą bendrųjų daliklių.

Paprastosios trupmenos taip pat yra naudojamos santykiams ir dalybai nusakyti. Pavyzdžiui, trupmena 3/4 taip pat reiškia santykį 3:4 (trys su keturiais) ir padalijimą 3 ÷ 4 (trys padalinta iš keturių).

### Mišrieji skaičiai
Mišrieji skaičiai yra skaičiai, išreikšti sveikų skaičių ir paprastųjų taisyklingųjų trupmenų suma. Ši suma rašoma be ženklo „+“. Pavyzdžiui, kalbant apie 3 tortus ir tris ketvirtadalius kito torto, sveikas skaičius ir trupmena rašomi tiesiog vienas šalia kito: 3\tfrac{3}{4}, o ne 3+\tfrac{3}{4}, bet abu šie parašymai reiškia tą patį.

Netaisyklingoji trupmena yra tiesiog kitas būdas parašyti mišrųjį skaičių ir mišrieji skaičiai yra nesunkiai paverčiami į netaisyklingąsias trupmenas ir atvirkščiai. Galime įsivaizduoti, kad kiekvienas iš trijų tortų yra padalintas į keturias lygias dalis, kad vardiklis būtų toks pat kaip trupmenos. Taigi, į kiekvieną pilną tortą žiūrime kaip į keturias ketvirtąsias (\tfrac{4}{4}). Tada bendrą tortų sumą, užrašytą mišriuoju skaičiumi 3\tfrac{3}{4}, galime paversti į netaisyklingąją trupmeną: 3\tfrac{3}{4}=\tfrac{4}{4}+\tfrac{4}{4}+\tfrac{4}{4}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{15}{4}. Toks būdas padeda įsivaizduoti, kas vyksta, bet yra nepatogus, kai mišrusis skaičius turi didelę sveikąją dalį. Patogesnis būdas mišriuosius skaičius versti į netaisyklingąsias trupmenas yra padauginti mišriojo skaičiaus sveikąją dalį iš trupmenos vardiklio ir pridėti gautą skaičių prie skaitiklio. Pvz.:
: 3\tfrac{2}{5}=\tfrac\,\!

Taip pat galima sveiką skaičių pasiversti į trupmeną, kurios vardiklis yra 1, ir tada skaičius dauginti kaip dvi trupmenas:

: \textstyle{3 \cdot {1 \over 4}}  = \tfrac31 \cdot \tfrac14 = \tfrac{3\cdot1}{1\cdot4}

#### Mišriųjų skaičių daugyba
Vienas iš būdų dauginti mišriuosius skaičius yra pasiversti juos į netaisyklingąsias trupmenas:
: \textstyle{3 \cdot 2{3 \over 4} = 3 \cdot \left ( \right ) = 3 \cdot {11 \over 4} = {33 \over 4} = 8{1 \over 4}}\,\!

: \textstyle

### Dalyba
Dalinti iš trupmenos yra tas pats kaip dauginti iš jai atvirkštinės trupmenos. Kitaip tariant, jei daliklis yra trupmena, tai ją reikia „apversti“ (sukeisti skaitiklį su vardikliu) ir iš gauto skaičiaus padauginti. Pvz.:

: \textstyle{5 \div {1 \over 2} = 5 \cdot {2 \over 1} = 5 \cdot 2 = 10}

: \textstyle

Tai galima užrašyti ir algebriškai:
: \textstyle

Dalinant trupmeną iš sveiko skaičiaus, sveiką skaičių reikia pasiversti į trupmeną, kurios vardiklis būtų 1 ir tada atlikti tuos pačius veiksmus:
: \textstyle
Taip pat galima tiesiog sveiką skaičių reikia padauginti iš vardiklio.

### „Daugiaaukščių“ trupmenų supaprastinimas
Kartais gaunamos trupmenos, kurių skaitiklis arba vardiklis yra kita trupmena arba mišrus skaičius (pvz.: \cfrac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}} ir \frac{12\frac{3}{4}}{26}). Norint tokias trupmenas supaprastinti, reikia padalinti skaitiklį iš vardiklio taip, kaip dalijamos ir kitos trupmenos. Pvz.:

: \cfrac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}}=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{1}=\tfrac{3}{2}=1\frac{1}{2}.

: \frac{12\frac{3}{4}}{26} = 12\tfrac{3}{4} \cdot \tfrac{1}{26} = \tfrac{12 \cdot 4 + 3}{4} \cdot \tfrac{1}{26} = \tfrac{51}{4} \cdot \tfrac{1}{26} = \tfrac{51}{104}

: \cfrac{\tfrac{3}{2}}5=\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{1}{5}=\tfrac{3}{10}.

: \cfrac{8}{\tfrac{1}{3}}=8\cdot\tfrac{3}{1}=24.

### Iracionalaus vardiklio panaikinimas
Atlikti veiksmus su trupmenomis, kurių vardiklis yra iracionalusis skaičius yra nepatogu, todėl, kai tai įmanoma, jis dažniausiai yra panaikinamas. Jei vardiklis yra vienanaris ir jame yra kvadratinė šaknis, tereikia skaitiklį ir vardiklį padauginti iš tos šaknies:

: \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac}{\sqrt{5}^2} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}

Jei vardiklyje yra kubinė šaknis, skaitiklį ir vardiklį iš tos šaknies reikia dauginti 2 kartus, jei ketvirto laipsnio šaknis – 3 kartus ir t. t.:

: \frac{7}{3 \cdot \sqrt[4]{2}} = \frac{7}{3 \cdot \sqrt[4]{2}} \cdot \frac{(\sqrt[4]{2})^3}{(\sqrt[4]{2})^3} = \frac}{3 \cdot (\sqrt[4]{2})^4} = \frac{7\sqrt[4]{2^3}}{3 \cdot 2} = \frac{7\sqrt[4]{2^3}}{6}

Nesunkiai galima panaikinti iracionalų vardiklį ir tada, kai vardiklis dvinaris, kurio vienas arba abu nariai turi kvadratinę šaknį. Tam reikia pasinaudoti savybe (x + y) \cdot (x - y) = x^2 - y^2.

Jei trupmenos vardiklis yra 2 + \sqrt{3} panaikinti jo iracionalumą galima padauginus skaitiklį ir vardiklį iš 2 - \sqrt{3}, nes tada, pagal aukščiau minėtą savybę, vardiklis bus:
(2 - \sqrt{3}) \cdot (2 + \sqrt{3}) = 2^2 - \sqrt{3}^2 = 4 - 3 = 1.

Apibendrinus, jei vardiklyje yra dvinaris x +\sqrt{y}\,, panaikinti iracionalumą vardiklyje galima vardiklį ir skaitiklį padauginus iš x -\sqrt{y} ir, atvirkščiai, jei vardiklyje yra dvinaris x -\sqrt{y}\,, panaikinti iracionalumą vardiklyje galima vardiklį ir skaitiklį padauginus iš x +\sqrt{y}. Pvz.:

: \frac{3}{3+2\sqrt{5}} = \frac{3}{3+2\sqrt{5}} \cdot \frac{3-2\sqrt{5}}{3-2\sqrt{5}} = \frac{3(3-2\sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} = \frac{3(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{\sqrt{3}^2 - \sqrt{5}^2} = \frac{ 3 (\sqrt{3} + \sqrt{5} ) }{ 3 - 5 } = \frac{ 3( \sqrt{3}+\sqrt{5} )  }{-2}

### Kompleksinio vardiklio panaikinimas
Kompleksinio vardiklio panaikinimas yra analogiškas iracionalaus vardiklio panaikinimui. Kai trupmenos vardiklyje yra kompleksinis skaičius, skaitiklis ir vardiklis dauginami iš vardikliui jungtinio skaičiaus. Kompleksiniam skaičiui x + y \cdot i jungtinis yra skaičius x - y \cdot i. Pvz.:
: \frac{3+i}{2-2 \cdot i}= \frac{3+i}{2-2 \cdot i} \cdot \frac{2+2 \cdot i}{2+2 \cdot i} = \frac{6+2 \cdot i+6 \cdot i-2}{4+4} = \frac{4+8i}{8}=\frac{1}{2}+i

## Šaltiniai

## Nuorodos