Trapecija

**Trapecija** ( – *staliukas*) – iškilusis keturkampis, kurio dvi priešingosios kraštinės lygiagrečios, o kitos dvi kraštinės gali būti nelygiagrečios. Lygiagrečios kraštinės vadinamos *trapecijos pagrindais*, kitos dvi kraštinės – *šoninėmis kraštinėmis*. 1 pav. pavaizduotos trapecijos kraštinės BC ir AD – trapecijos pagrindai, AB ir CD – trapecijos šoninės kraštinės. Iš taškų B ir C nuleisti statmenys BK ir CL vadinami *trapecijos [[aukštinė|aukštine]]*. atkarpa, kuri jungia šoninių kraštinių vidurio taškus, vadinama *trapecijos vidurio linija*. 1 pav. pavaizduotos trapecijos vidurio linija yra EF.

Aplink trapeciją apibrėžti apskritimą galima tik tada, jeigu ji yra lygiašonė.

## Trapecijų rūšys

### Lygiašonė trapecija

Trapecija, kurios šoninės kraštinės lygios, vadinama **lygiašonė**.
2 pav. pavaizduota trapecija ABCD yra lygiašonė, nes AB=CD.
Lygiašonės trapecijos kampai prie kiekvieno iš pagrindų yra lygūs:
\angle A=\angle D,\angle B= \angle C

\angle A+\angle B=180 laipsnių.
\angle C+\angle D=180 laipsnių.

Jeigu į lygiašonę trapeciją galima įbrėžti apskritimą, tai jos aukštinė h yra lygi pagrindų a ir b geometriniam vidurkiui:
: h = \sqrt{ab}

### Stačioji trapecija
Trapecija, kurios viena šoninė kraštinė statmena pagrindui, vadinama **stačiąja**.
3 pav. pavaizduota stačioji trapecija ABCD, kurios BA\perp AD

## Trapecijos savybės
* Keturkampis yra trapecija tada ir tik tada, jei yra bent viena pora greta esančių kampų, kurių suma lygi 180°.
* Kita būtina ir pakankama sąlyga yra jog įstrižainės dalija viena kitą tuo pačiu santykiu. Šis santykis toks pats kaip ir tarp pagrindų ilgių.
* Linija, išvesta per šoninių kraštinių vidurio taškus (vidurinė linija), yra lygiagreti pagrindams. Jos ilgis yra pagrindų ilgių aritmetinis vidurkis.

## Trapecijos elementų žymėjimas
4 pav. pavaizduoti visi pagrindiniai trapecijos elementai. AB=b, DC=a – trapecijos ABCD pagrindai; DA=d, BC=c – trapecijos šoninės kraštinės; GH=m – trapecijos vidurio linija; EF – atkarpa, einanti per įstrižainių susikirtimo tašką ir lygiagreti pagrindams; AK=h – aukštinė; BD=d_1,AC=d_2 – trapecijos įstrižainės; φ – kampas tarp įstrižainių.

## Trapecijos vidurio linija, perimetras, plotas
**Pastaba**: Visos žemiau pateiktos formulės remiasi 4 pav. žymėjimais (žr. Trapecijos elementų žymėjimas).
Trapecijos vidurinė linija lygiagreti pagrindams ir lygi jų sumos pusei:
: m\|\;a, m\|\; b; m=\frac{a+b}{2}\;
Trapecijos įstrižainių radimas:
: d_1=\sqrt{ab+\frac{d^2a-c^2b}{a-b}}\;; d_2=\sqrt{ab+\frac{c^2a-d^2b}{a-b}}\;
Atkarpos lygiagrečios pagrindams ir einančios per įstrižainių susikirtimo tašką radimas:
: EF=\frac{2ab}{a+b}\;
Trapecijos perimetras ir pusperimetris:
: P=a+b+c+d\;; p=\frac{a+b+c+d}{2}
Trapecijos plotas lygus vidurinės linijos ir aukštinės sandaugai:

: S=mh\;,

Trapecijos plotas lygus jos pagrindų sumos pusei ir aukštinės sandaugai.

: S= \frac{(a+b)}{2} h,

čia a ir b – lygiagrečių kraštinių ilgiai, h – aukštinė. Kitaip tariant (žr. savybes) jis lygus vidurinės linijos ir aukštinės ilgių sandaugai.

Jei aukštinė nežinoma, tačiau žinomi visų kraštinių ilgiai, trapecijos plotą galima rasti pagal formulę

: S=\frac{1}{4}\cdot \frac{a+b}{a-b}\ \sqrt{a-b+c+d}\ \sqrt{a-b-c+d}\ \sqrt{a-b+c-d}\ \sqrt{-a+b+c+d},

čia a, b – lygiagrečių kraštinių ilgiai, c, d – kitų dviejų kraštinių ilgiai.

Trapecijos plotas lygus jos įstrižainių ir sinuso kampo tarp jų pusei:
: S=\frac{1}{2}\;d_1d_2\;\sin\varphi\;

## Šaltiniai

## Nuorodos
*