Paviršinis integralas

**Paviršinis integralas** – funkcijos, apibrėžtos paviršiuje, integralas. Paviršiniai integralai būna *pirmojo* ir *antrojo* tipo.

## Pirmojo tipo paviršinis integralas
Paviršinis integralas pirmojo tipo apskaičiuoja erdvinio kūno paviršiaus plotą, jei f[x,y,z(x,y)]=1.
Paviršinis integralas pirmojo tipo kartu su dvilypiu integralu apskaičiuojamas pagal formulę:
\iint_S f(x,y,z)dS=\iint_D f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+({\partial z(x,y)\over\partial x})^2+({\partial z(x,y)\over\partial y})^2}dxdy.

* Apskaičiuosime integralą \iint_S\sqrt{1+4x^2+4y^2}dS, kur *S* dalis paraboloido z=1-x^2-y^2, atpjauto plokštuma z=0.
: Paviršius *S*, aprašomas lygtimi z=1-x^2-y^2, projektuojasi ant plokštumos *xOy* į sritį *D*, apribota apskritimu x^2+y^2=1 (apskritimo lygtis gaunasi iš paraboloido lygties kai z=0). Todėl sritis *D* yra skritulys x^2+y^2\le 1. Šiame skritulyje funkcijos z=1-x^2-y^2, z_x'(x,y)=-2x, z_y'(x,y)=-2y netrūkios. Pagal *pirmojo tipo paviršinio integralo formule* \sqrt{1+z_x'^2(x; y)+z_y'^2(x; y)}, gauname
\iint_S f(x,y,z)dS=\iint_D\sqrt{1+4x^2+4y^2}dS=\iint_D\sqrt{1+4x^2+4y^2}\sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy= =\iint_D(1+4x^2+4y^2)dxdy.
: Pereidami gautame dvilypiame integrale į poliarines koordinates x=\rho\cos\phi, y=\rho\sin\phi, randame
\iint_D(1+4x^2+4y^2)dxdy=\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^1(1+4\rho^2)\rho d\rho=\int_0^{2\pi}({\rho^2\over 2}+\rho^4)|_0^1={3\over 2}\int_0^{2\pi}d\phi={3\over 2}\phi|_0^{2\pi}=3\pi.

## Antrojo tipo paviršinis integralas
\iint_S P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=
=\iint_S P(x,y,z)dydz+\iint_SQ(x,y,z)dzdx+\iint_SR(x,y,z)dxdy.

: Paviršius *S* projektuojamas į sritį *D* plokštumoje *xOy*:
\iint_S R(x,y,z)dxdy=\iint_D R(x,y, f(x,y))dxdy.
: Paviršius *S* projektuojamas į sritį *D* plokštumoje *yOz*:
\iint_S R(x,y,z)dxdy=\iint_D R(f(y,z),y, z)dydz.
: Paviršius *S* projektuojamas į sritį *D* plokštumoje *xOz*:
\iint_S R(x,y,z)dxdy=\iint_D R(x,f(x,z),z))dzdx.

### Pavyzdžiai

* Apskaičiuosime integralą \iint_S(y^2+z^2)dxdy, kur *S* – viršutinė dalis paviršiaus z=\sqrt{1-x^2}, atkirsta plokštumomis y=0, y=1.
: Projekcija *D* duotojo paviršiaus į plokštumą *xOy* yra stačiakampis, nusakomas neligybėmis -1\le x\le 1,\; 0\le y\le 1. Pagal formulę \iint_S R(x,y,z)dxdy=\iint_D R(x,y, f(x,y))dxdy randame
\iint_S(y^2+z^2)dxdy=\iint_D[y^2+(\sqrt{1-x^2})^2]dxdy=\int_{-1}^1 dx\int_0^1(y^2+1-x^2)dy=
=\int_{-1}^1({y^3\over 3}+y-x^2y)|_0^1 dx=\int_{-1}^1({4\over 3}-x^2)dx=({4\over 3}x-{x^3\over 3})_{-1}^1={4\over 3}-{1\over 3}-(-{4\over 3}+{1\over 3})=1+1=2.

* Apskaičiuosime integralą \iint_S xdydz+ydzdx+zdxdy, kur *S* viršutinė dalis plokštumos x+z-1=0, atkirsta plokštumomis y=0, y=4 ir gulinti pirmajame oktante.
: Pagal apibrėžimą,
\iint_S xdydz+ydzdx+zdxdy=
=\iint_{D_1}x(y,z)dydz+\iint_S ydzdx+\iint_{D_2}z(x,y)dxdy.
Čia D_1 ir D_2 – projekcijos paviršiaus *S* į plokštumas *yOz* ir *xOy*, o \iint_S ydzdx=0, nes plokštuma *S* lygiagreti ašiai *Oy* (ploštumos lygtyje y=0). Pagal formules \iint_S R(x,y,z)dxdy=\iint_D R(x,y, f(x,y))dxdy ir \iint_S R(x,y,z)dxdy=\iint_D R(f(y,z),y, z)dydz atitinkamai randame
\iint_S zdxdy=\iint_{D_2}(1-x)dxdy=\int_0^4 dy\int_0^1(1-x)dx=\int_0^4(x-{x^2\over 2})|_0^1 dy={1\over 2}\int_0^4 dy=2,
\iint_S xdydz=\iint_{D_1}(1-z)dydz=\int_0^4 dy\int_0^1(1-z)dz={1\over 2}\int_0^4 dy=2.

Todėl
\iint_S xdydz+ydzdx+zdxdy=2+0+2=4.

* Apskaičiuosime integralą \iint_S(z-R)^2 dxdy pagal viršutinę pusę pusiasferės x^2+y^2+z^2=2Rz, R\le z\le 2R.
: Duotajį paviršių *S* galima aprašyti lygtimi
: x^2+y^2+z^2=2Rz,
: x^2+y^2+(z-R)^2=R^2,
: (z-R)^2=R^2-x^2-y^2,
: z-R=\sqrt{R^2-x^2-y^2},
: z=R+\sqrt{R^2-x^2-y^2}.

Todėl pagal formulę \iint_S R(x,y,z)dxdy=\iint_D R(x,y, f(x,y))dxdy turime:
\iint_S(z-R)^2 dxdy=\iint_D(R+\sqrt{R^2-x^2-y^2}-R)^2 dxdy=\iint_D(R^2-x^2-y^2) dxdy,

kur *D* – skritulys x^2+y^2\le R plokštumos *xOy*, į kurį projektuojasi paviršius *S*. Skaičiuodami dvilipį integralą, gausime:
\iint_S(z-R)^2 dxdy=\iint_D(R^2-x^2-y^2) dxdy=\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^R(R^2-\rho^2)\rho d\rho=\int_0^{2\pi}({R^2\rho^2\over 2}-{\rho^4\over 4})|_0^R d\phi=
={R^4\over 4}\phi|_0^{2\pi}={\pi R^4\over 2}.

* Apskaičiuosime integralą \iint_S x dydz+ydzdx+zdxdy pagal viršutine pusę dalies plokštumos x+2z=2, gulinčios pirmajame oktante, ir atpjautos plokštuma y=4.
Pagal nustatymą
\iint_S  x dydz+ydzdx+zdxdy=\iint_S x dydz+\iint_S ydzdx+\iint_S zdxdy.
\iint_S x dydz=\iint_{D_1}(2-2z)dydz=2\int_0^4 dy\int_0^1(1-z)dz=4.
: \iint_S ydzdx=0, nes plokštuma *S* lygiagreti ašiai *Oy*.
: \iint_S zdxdy=\iint_{D_2}(1-{x\over 2})dxdy=\int_0^4 dy\int_0^2(1-{x\over 2})dx=\int_0^4(x-{x^2\over 4})|_0^2 dy=
=\int_0^4(2-{2^2\over 4})dy=\int_0^4 dy=y|_0^4=4.
: Todėl,
: \iint_S x dydz+ydzdx+zdxdy=4+0+4=8.

## Šaltiniai