Aibė

**Aibė** – rinkinys kokių nors objektų, sujungtų į vienumą pagal kurį nors požymį. Aibės sąvoka yra viena pagrindinių sąvokų matematikoje. Elementariojoje matematikoje nagrinėjamos skaičių aibės: **N** - natūraliųjų skaičių aibė, **Z** - sveikųjų skaičių aibė, **Q** - racionaliųjų skaičių aibė, **R** - realiųjų skaičių aibė.

**Aibių teorija**, atsiradusi tik XIX a. gale, dabar yra viena reikšmingiausių matematikos dalių, pradedama mokyti dar pagrindinėje mokykloje.

## Terminai
Aibės objektai vadinami **elementais** ar *nariais*. Paprastai aibės žymimos didžiosiomis raidėmis (*A*, *B*, *C*, ..). Dvi aibės yra lygios (*A* = *B*), jei abiejų aibių elementai sutampa.

Aibės, kurios turi pasikartojančių elementų vadinamos **multiaibėmis**.

Aibės dažniausiai apibūdinamos žodžiais arba formaliai:
:*A* = {1, 2, 3}
:*B* = {raudona, balta, mėlyna, žalia}

Aibių apibūdinimas nebūtinai turi sutapti, kad aibės būtų vadinamos lygios. Elementų eilės tvarka ar pasikartojimas taip pat neturi įtakos, t. y. {2, 4}, {4, 2} ir {2, 2, 4, 2} yra identiškos aibės, nes turi lygiai tokius pat elementus.

Jei aibė neturi nei vieno elemento, ji vadinama tuščia aibe ir žymima ø.

Aibė taip pat gali turėti begalinį elementų skaičių – pavyzdžiui, sveikųjų skaičių aibė.

### Poaibis

Jei kiekvienas aibės *A* elementas yra ir aibės *B* elementas, aibė *A* yra aibės *B* **poaibis** ir tai žymima A \subseteq B. 

Jei tenkinama sąlyga, kad aibė *A* nelygi *B (*tačiau, kai kurie aibės B elementai sutampa su aibės A elementais), tai **griežtasis poaibis** ir žymima A \subset B. Šiuo atveju *B* yra aibės *A* **viršaibis**.

Pavyzdžiai:
* Visų vyrų aibė yra griežtas ( \subset ) visų žmonių aibės poaibis
* {\{1, 3\}} \subset  {\{1, 2, 3, 4\}}
* {\{1, 2, 3, 4\}} \subseteq  {\{4, 3, 2, 1\}}

Taip pat natūrali išvada, kad tuščia aibė yra bet kurios kitos aibės poaibis ir kad kiekviena aibė yra savo pačios poaibis:
:*\emptyset \subset A
:*A \subseteq A

### Sąjunga

Aibių **sąjunga** tai lyg sudėtis – aibių sąjungos rezultatas yra aibė, kurioje yra visi jungiamųjų aibių elementai. Aibių *A* ir *B* sąjunga žymima *A*&nbsp;∪&nbsp;*B*.

Pavyzdžiai:
:*{1, 2}&nbsp;∪&nbsp;{raudona, balta} = {1, 2, raudona, balta}
:*{1, 2, žalia}&nbsp;∪&nbsp;{raudona, balta, žalia} = {1, 2, raudona, balta, žalia}
:*{1, 2}&nbsp;∪&nbsp;{1, 2} = {1, 2}

Pagrindinės sąjungos savybės: 
:**A*&nbsp;∪&nbsp;*B*&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;*B*&nbsp;∪&nbsp;*A*
:**A*&nbsp;&nbsp;\subset &nbsp;&nbsp;*A*&nbsp;∪&nbsp;*B*
:**A*&nbsp;∪&nbsp;*A*&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;*A*
:**A*&nbsp;∪&nbsp;ø&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;*A*

### Sankirta

Aibių *A* ir *B* **sankirta** yra aibė, sudaryta iš elementų, esančių tiek *A*, tiek ir *B* aibėje. Sankirta žymima *A*&nbsp;∩&nbsp;*B*. Jei *A*&nbsp;∩&nbsp;*B*&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;ø, tai *A* ir *B* yra **nesikertančios** aibės.

Pavyzdžiai:
:*{1, 2}&nbsp;∩&nbsp;{raudona, raudona} = ø
:*{1, 2, žalia}&nbsp;∩&nbsp;{raudona, raudona, žalia} = {žalia}
:*{1, 2}&nbsp;∩&nbsp;{1, 2} = {1, 2}

Pagrindinės sankirtos savybės:
:**A*&nbsp;∩&nbsp;*B*&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;*B*&nbsp;∩&nbsp;*A*
:**A*&nbsp;∩&nbsp;*B*&nbsp;&nbsp;&nbsp;\subset &nbsp;&nbsp;&nbsp;*A*
:**A*&nbsp;∩&nbsp;*A*&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;*A*
:**A*&nbsp;∩&nbsp;ø&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;ø

### Skirtumas

Aibių *A* ir *B* **skirtumas** yra aibė, kurią sudaro elementai, esantys aibėje *A*, bet nesantys aibėje *B*. Aibių skirtumas žymimas *A*&nbsp;

\&nbsp;*B*.

## Šaltiniai