Trigonometrinės funkcijos

**Trigonometrinė funkcija** – realaus arba kompleksinio kintamojo elementarioji funkcija: sinusas, kosinusas, tangentas, kotangentas, sekantas, kosekantas.

Geometrine prasme trigonometrinės funkcijos nusako ryšį tarp trikampio kraštinių ir kampų.

Viena pagrindinių šių funkcijų savybių yra jų periodiškumas, tačiau ne kiekviena periodinė funkcija, kurios argumentas yra kampas, yra trigonometrinė funkcija. Pavyzdžiui, funkcija e^{\sin x} + \cos x nėra trigonometrinė funkcija.

## Trigonometrinių funkcijų pagrindinių reikšmių lentelė

### Trigonometrinių funkcijų reikšmės nestandartiniams kampams

\operatorname{tg} \frac{\pi}{120}= \operatorname{tg} 1,5^\circ =\sqrt{\frac{8-\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})} - \sqrt{
2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})}}{8+\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})}+\sqrt{2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})}
}}

\cos \frac{\pi}{240}=\frac{1}{16}\left(\sqrt{2-k} \left(\sqrt{2(5+\sqrt{5})}+\sqrt{3}-\sqrt{15} \right) + \sqrt{2+k} \left (\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5} - 1 \right) \right), kur k=\sqrt{2+\sqrt{2}} .

\cos \frac{\pi}{17} = \frac{1}{8}\sqrt{2 \left(2\sqrt{\sqrt{\frac{17k}{2}}
-\sqrt{\frac{k}{2}}-4\sqrt{2(17+\sqrt{17})} + 3\sqrt{17}+17}+\sqrt{2k}+\sqrt{17}+15 \right)}, kur k = 17 - \sqrt{17} .

## Redukcijos formulės

## Trigonometrinių funkcijų savybės

### Pagrindinės lygybės
Kadangi sinusas ir kosinusas yra atitinkamai taško, atitinkančio kampo α apskritimą, ordinatė ir abscisė, tai pagal Pitagoro teoremą:

:  \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. \qquad \qquad \,

Abi šios lygties puses padalijus iš sinuso kvadrato arba kosinuso kvadrato, gaunama:

:  1 + \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \cos^2 \alpha}, \qquad \qquad \,
:  1 + \mathop{\mathrm{ctg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \sin^2 \alpha}. \qquad \qquad \,

### Periodiškumas
Funkcijos y=\sin\alpha, y=\cos\alpha, y=\sec\alpha ir y=\csc\alpha yra periodinės funkcijos su periodu 2\pi . O funkcijos y=\operatorname{tg}\alpha ir y=\operatorname{ctg}\alpha yra periodinės su periodu \pi

### Lyginės ir nelyginės funkcijos

Kosinusas yra lyginė funkcija, nes
:\cos(-\alpha)=\cos\alpha.

Sinusas yra nelyginė funkcija, nes 
:\sin(-\alpha)=-\sin\alpha.

Tangentas ir kotangentas yra nelyginės funkcijos, t. y.
:\text{tg}(-\alpha)=-\text{tg} \;\alpha;
:\text{ctg}(-\alpha)=-\text{ctg}\; \alpha.

### Kai kurios lygybės

:\cos x=\sin\Big( x+\frac{\pi}{2} \Big).

:Į formulę 
:\cos(\alpha - \beta) =\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \quad (1)
:įstačius \frac{\pi}{2} vietoje \alpha ir įstačius \alpha vietoje \beta gausime
:\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) =\cos\frac{\pi}{2}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{2} \sin\alpha=\sin\alpha.
:Gautoje formulėje 
:\sin\alpha  =\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) \quad (2)
:įstačius \alpha + \beta vietoje \alpha, gausime
:\sin(\alpha+\beta)  =\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha-\beta )=\cos((\frac{\pi}{2} - \alpha)-\beta ).
:Toliau į (1) formulę įstačius \frac{\pi}{2}-\alpha vietoje \alpha, gausime
:\sin(\alpha+\beta) =\cos((\frac{\pi}{2} - \alpha)-\beta )=
: =\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)\cos\beta + \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)\sin\beta =
: =\sin\alpha\cos\beta + \cos \alpha\sin\beta .
:Pasinaudojome formule 
:\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)  =\cos\alpha, \quad (3)
:kuri išplaukia iš formulės (2) įstačius į ją \frac{\pi}{2} - \alpha vietoje \alpha; tada
:[\sin\alpha  =\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) \quad (2)] 
:\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) =\cos(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{2}-\alpha)) =\cos\alpha.
:Taigi, gavome formulę (3).

## Šaltiniai