Mišrioji sandauga

**Mišrioji vektorių sandauga** – trinarė vektorių operacija, kurios rezultatas yra dviejų vektorių **a** ir **b** vektorinės sandaugos ir trečiojo vektoriaus **c** skaliarinė sandauga.

## Apibrėžimas

Mišriąją trijų vektorių sandaugą gauname, kai du vektorius sudauginame vektoriškai, o po to rezultatą dauginame iš trečiojo vektoriaus skaliariškai. Dažniausiai mišrioji sandauga yra užrašoma (**a** × **b**)·**c**. Mišriosios sandaugos rezultatas yra skaičius.

## Mišriosios sandaugos skaičiavimas

Tegu vektorių **a**, **b** ir **c** koordinatės yra  (*a<sub>x</sub>*, *a<sub>y</sub>*, *a<sub>z</sub>*), (*b<sub>x</sub>*, *b<sub>y</sub>*, *b<sub>z</sub>*) ir (*c<sub>x</sub>*, *c<sub>y</sub>*, *c<sub>z</sub>*). Tada mišriąją šių vektorių sandaugą patogu apskaičiuoti naudojant trečios eilės determinantą, kurį sudaro vektorių koordinatės, t.y
:  (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot  \mathbf{c} =
\begin{vmatrix}
a_{x} & a_{y} & a_{z} \\
b_{x} & b_{y} & b_{z} \\
c_{x} & c_{y} & c_{z} \\
\end{vmatrix}   


Geometrinė mišriosios sandaugos modulio prasmė yra gretasienio, kurio trys kraštinės, išeinančios iš vieno taško, sutampa su vektoriais **a**, **b** ir **c**, tūrį.

Pavyzdys: Raskime gretasienio, kurį sudaro vektoriai **a** = (1; 0; 0), **b** = (1; 1; 0) ir **c** = (1; 1; 1), tūrį.

Sprendimas: Raskime vektorių mišriąją sandaugą:
:  V =
|(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot  \mathbf{c}| =
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}
= 1   

Matome, kad tokio gretasienio tūris yra lygus 1.

## Savybės

Mišrioji sandauga tenkina šias savybes:
#  (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot  \mathbf{c} = (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \cdot \mathbf{a} = (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = -(\mathbf{c} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{a} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a}) \cdot \mathbf{c} = -(\mathbf{a} \times \mathbf{c}) \cdot  \mathbf{b};
# Jeigu vektoriai **a**, **b** ir **c** yra vienoje plokštumoje (t.y komplanarūs), tai jų mišrioji sandauga  (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot  \mathbf{c} = 0
# Jeigu vektoriai **a**, **b** ir **c** sudaro dešininį trejetą, tai jų mišrioji sandauga  (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot  \mathbf{c} > 0
# Jeigu vektoriai **a**, **b** ir **c** sudaro kairinį trejetą, tai jų mišrioji sandauga  (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot  \mathbf{c} 

## Taikymai
Naudojant mišriąją sandaugą galima rasti ne tik gretasienio, tačiau ir piramidės tūrį. Trikampės piramidės, kurios tris kraštinės, išeinančios iš vieno taško, sutampa su vektoriais **a**, **b** ir **c**, tūrio *V*3p skaičiavimo formulė yra:
:  V_{3p} = \frac{1}{6} |(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot  \mathbf{c}|
Tarkime, turime keturkampę piramidę *EABDC*, kurios pagrindą *ABCD* sudaro vektoriai *AB* = **a** ir *AD* = **b**, o šoninė kraštinė *AE* = **c**. Šios piramidės tūrio *V*4p skaičiavimo formulė yra:
:  V_{4p} = \frac{1}{3} |(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot  \mathbf{c}|
Kiekvienos iš šių figūrų aukštinė *h*, nuleista į pagrindą, kurį sudaro vektoriai *a* ir *b*, gali būti apskaičiuota pagal formulę:
:  h = \frac

Mišrioji sandauga taip pat taikoma trijų vektorių komplanarumui nustatyti. Atskiruoju atveju ji taikoma plokštumos lygčiai gauti.

## Šaltiniai