Bertrano teorema

Klasikinėje mechanikoje teigiama, kad tik dviejų rūšių potencialai turi uždaras stacionarias orbitas: atvirkštinės kvadratinės centrinės jėgos (gravitacinis arba elektrostatinis potencialas),

ir radialinio harmoninio osciliatoriaus potencialas

## Bertrano uždavinys
Tai atvirkštinis dviejų kūnų judėjimo uždavinys, kurio esmė, žinant judėjimo trajektorijos savybes nustatyti sąveikos jėgą.
I. Niutonas parodė, kad Keplerio dėsniai seka iš visuotinio traukos dėsnio ir mechanikos dėsnių (I, II ir III Niutono dėsnių). Tačiau buvo neaišku, ar galimos kitokios sąveikos jėgos, kurios duoda tuos pačius Keplerio dėsnius. Tik 1870 m. Ž. Bertranas su bendradarbiais suformulavo problemą: 
**Pirmasis Bertrano uždavinys**. Rasti jėgos išraišką, priklausančią tik nuo materialaus taško padėties, ir nepriklausančią nuo pradinių sąlygų, kuriai veikiant materialus taškas  gali judėti  kūgio pjūvio kreivėmis.
Šis uždavinys buvo sėkmingai išspręstas darbu ir Alfeno pasitelkus papildomą sąlygą, kad jėga - centrinė, bet vėliau pavyko atmesti ir šią prielaidą . Jie parodė, kad  tokių jėgų dvi : visuotinio traukos dėsnio jėga ir Huko tamprumo jėga. Tuo pačiu nuo I. Niutono laikų lekęs neišspręstas klausimas buvo sėkmingai išaiškintas.

**Antrasis Bertrano uždavinys**. Žinodami, kad jėga veikianti judančią aplink  Saulę planetą priklauso tik nuo atstumo, ir planetos trajektorijos yra uždara kreivė, nepriklausomai nuo pradinių sąlygų, jei greitis neviršija tam tikros ribos.
Šį uždavinį išsprendė pats Bertranas. Pilnas įrodymas pateiktas darbu. Atsakymas toks pats: tai visuotinės traukos jėga ir Huko tamprumo jėga.
Pagaliau Kenigsas suformulavo dar bendresnį uždavinį: 

**Kenigso (Koenigs G.) uždavinys**. Žinant, kad jėga veikianti planetą, judančią aplink Saulę, priklauso tik nuo atstumo ir kad dėl jos veikimo  planetos trajektorija yra algebrinė kreivė (nepriklausomai nuo pradinių sąlygų) rasti jėgos išraišką.
Atsakymas yra tas pats: jėga gali būti arba Huko tamprumo jėga, arba visuotinio traukos dėsnio jėga. Šį uždavinį išsprendė pats Kenigsas.

## Įžanga

Judėjimo lygtys judančios masės m dalelės spinduliu r potenciale V(r) nustatoma iš Lagranžo lygties:

kur \omega \equiv \frac{d\theta}{dt} ir  L = mr^{2}\omega yra pastovus dydis.  
Dėl sukamosios orbitos, pirmas narys kairėje lygus 0, ir taikomas vidutinės jėgos  \frac{dV}{dr} įcentrinis jėgos reikalavimas mr \omega^{2}.

Iš kampinio momento apibrėžimo seka, 

:
\frac{d}{dt} = \frac{L}{mr^{2}} \frac{d}{d\theta}


Tai leidžia pereiti nuo kintamojo t prie \theta. tai duoda naują judėjimo lygtį, kuri yra nepriklausoma nuo laiko.

:
\frac{L}{r^{2}} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{L}{mr^{2}} \frac{dr}{d\theta} \right)- \frac{L^{2}}{mr^{3}} = -\frac{dV}{dr}

Šią lygtį pertvarkom u \equiv \frac{1}{r} ir padauginam abi puses iš \frac{mr^{2}}{L^{2}}  

## Bertrano teorema

Čia mes parodome, kad stabilias, visiškai uždaras orbitas galima gauti tik su atvirkštine kvadratinės jėgos arba radialinio harmoninio osciliatoriaus atvejeis.

Įstatome funkciją J(u) į lygtį

:
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = J(u) \equiv -\frac{m}{L^{2}}  \frac{d}{du} V(1/u) = -\frac{m}{L^{2}u^{2}} f(1/u)


kur f radialinė jėga.  Dėl judėjimo spindulio r_{0} pirmas narys iš kairės pusės yra lygus 0.

:
u_{0} = J(u_{0})


kur u_{0} \equiv 1/r_{0}.  

Sekantis žingsnis yra mažųjų trikdymų  \eta \equiv u - u_{0} lygtis judėjimo apskritimine orbita. Dešinėje pusėje,  J funkcija gali būti išskleista Teiloro eilute

:
J(u) \approx u_{0} + \eta J^{\prime}(u_{0}) + \frac{1}{2} \eta^{2} J^{\prime\prime}(u_{0}) + \frac{1}{6} \eta^{3} J^{\prime\prime\prime}(u_{0}) + \ldots


Pakeičiamas šis skleidinys į lygtį nuo u ir atimami pastovūs nariai

:
\frac{d^{2}\eta}{d\theta^{2}} + \eta  = \eta J^{\prime}(u_{0}) + \frac{1}{2} \eta^{2} J^{\prime\prime}(u_{0}) + \frac{1}{6} \eta^{3} J^{\prime\prime\prime}(u_{0}) \ldots


kurie gali būti parašyti kaip:

:
\frac{d^{2}\eta}{d\theta^{2}} + \beta^{2} \eta  = \frac{1}{2} \eta^{2} J^{\prime\prime}(u_{0}) + \frac{1}{6} \eta^{3} J^{\prime\prime\prime}(u_{0}) \ldots


kur  \beta^{2} \equiv 1 - J^{\prime}(u_{0}) pastovus dydis.  \beta^{2} gali būti neigiamas; kitaip orbitos spindulys būtų proporcingai priklausomas nuo pradinio spindulio. Sprendims  \beta=0 atitinka sukamąsias orbitas. Jeigu dešinės pusės nepaisytumėm, sprendiniai būtų

:
\eta(\theta) = h_{1} \cos \beta\theta


kur amplitudė  h_{1} yra integravimo konstantos. Kad orbita būtų uždara,  \beta turi būti racionalus skaičius.  Ir jis privalo būti toks pats visiems spinduliams (visose ribose), nes  \beta negali nuolat kisti; racionalieji skaičiai yra visiškai nepriklausomi vienas nuo kito. Kadangi nustatant lugtį

:
J^{\prime}(u_{0}) \equiv -2 + \frac{u_{0}}{f(1/u_{0})} \frac{df}{du} = 1 - \beta^{2} 

privaloma įvesti u_{0}
:
\frac{df}{dr} = \left( \beta^{2} - 3 \right) \frac{f}{r}


tai reiškia, kad jėga turi atitikti energijos dėsnį

:
f(r) = - \frac{k}{r^{3-\beta^{2}}}


Taigi J bendruoju atveju turi būti

:
J(u) = \frac{mk}{L^{2}} u^{1-\beta^{2}}


\eta gali būti išskleista Furjė eilute, pavyzdžiui,
:
\eta(\theta) = h_{0} + h_{1} \cos \beta \theta + h_{2} \cos 2\beta \theta + h_{3} \cos 3\beta \theta + \ldots

pakeičiant šią eilutę iš abiejų pusių į lygtį nuo \eta galima perrašyti taip:

:
h_{0} = h_{1}^{2} \frac{J^{\prime\prime}(u_{0})}{4\beta^{2}}


:
h_{2} = -h_{1}^{2} \frac{J^{\prime\prime}(u_{0})}{12\beta^{2}}


:
h_{3} = -\frac{1}{8\beta^{3}} 
\left[ h_{1}h_{2} \frac{J^{\prime\prime}(u_{0})}{2} +
h_{1}^{3} \frac{J^{\prime\prime\prime}(u_{0})}{24} \right]


ir, svarbiausia,

Kai perrašoma J lygtispagal \beta ir yra pagrindinis **Bertrando teoremos** rezultatas.

Vadinasi, tik potencialuose, kurie gali būti stabilūs, uždari ir nežiedinės orbitos yra atvirkštinis kvadratinis jėgos dėsnis (\beta = 1) ir radialinis harmoninis osciliatoriaus potencialas  (\beta = 2).  

## Atvirkštinė kvadratinė jėga (Keplerio uždavinys)

Dėl atvirkštinės kvadratinės jėgos dėsnio, tokie kaip gravitacijos ar elektrostatiniai potencialai gali būti užrašomi taip:

Orbitą u(\theta) galima gauti iš bendrosios lygties
:
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = -\frac{m}{L^{2}}  \frac{d}{du} V(1/u) = \frac{km}{L^{2}}


kur sprendinys yra pastovus dydis \frac{km}{L^{2}} ir sinusoidė

kur e (**ekscentricitetas**) ir \theta_{0} yra integravimo konstantos.

Bendrąją išraišką galima gauti iš kūgio pjūvio. Jei e=0 atitinka pavyzdį su apskritimu, e  -  yra elipsė , e=1 - parabolė , and e>1 - hiperbolė.  Ekscentricitetas e yra susijęs su visa energija  E (pgl. Laplaso-Runge-Lenz vektorius).

Palyginus šias formules matome, kad E atitinka elipsę, E=0 atitinka parabolę, ir  E>0 atitinka hiperbolę. Kai E=-\frac{k^{2}m}{2L^{2}} 
visiškai žiedinės orbitos

## Radialinis harmoninis osciliatorius

Siekiant išreikšti orbitą pagal**radialinį harmonimį osciliatoriaus** potencialą, lengviausia dirbti su komponentėmis \mathbf{r} = (x, y, z).  Energijos potencialas gali būti perrašytas tai:

Judėjimo lygtis ir dalelių masė m yra apskaičiuojami iš trijų nepriklausomų Lagranžo lygčių:

:
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \omega_{0}^{2} x = 0


:
\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + \omega_{0}^{2} y = 0


:
\frac{d^{2}z}{dt^{2}} + \omega_{0}^{2} z = 0


kur \omega_{0}^{2} \equiv \frac{k}{m} yra nekintantis, teigiamas dydis(t. y., k>0). Šių paprastų harmoninių osciliatorių lygčių sprendiniai yra:

čia A_{x}, A_{y} ir  A_{z} yra teigiamos konstantos su atitinkamomis svyravimo kampų amplitudėmis  \phi_{x}, \phi_{y} ir \phi_{z} .Orbita  \mathbf{r}(t) = \left[ x(t), y(y), z(t) \right] yra uždara, nes ji neperiodiškai pasikartoja:

Ši sistema yra stabili, nes maži trikdymai nedaro didelių pakeitimų amplitudėse ir fazių bendrose orbitose.

## Naudota literatūra
* Despeyrous T. *Cours de mecanique*. T.2. Paris: A. Herman, 1886.
* Bertrand J.*//* C.R. T. LXXVII.P.849-853.
* Koenigs G. *//* Bull.de la Society de France, t. 17, p. 153-155.