Operatoriai kvantinėje mechanikoje

**Operatoriais kvantinėje mechanikoje** vadiname tam tikrus veiksmus su bangine funkcija. Tai gali būti, pvz., daugyba iš kažkokios funkcijos, diferencijavimas, integravimas ir t. t. Jie žymimi didžiosiomis raidėmis, kartais su „stogeliu“, norint pabrėžti, kad tai yra operatorius, pvz., \hat{F} .

Kvantinėje mechanikoje visi klasikiniai dydžiai, tokie kaip judesio kiekis, koordinatė, energija ir t. t. turi savo operatorius. Jie sudaromi taip, kad operatorių tikrinių verčių lygties tikrinės vertės atitiktų visas eksperimento metu gaunamas dydžio vertes. Pvz., energijos operatorius, dar vadinamas hamiltonianu, sudaromas taip, kad lygties

: \hat{H} \psi(\vec{r}, t) = E \psi(\vec{r}, t) 

tikrinės vertės E būtų realiai matuojamos sistemos energijos vertės. Tarkime, kad ši lygtis tenkinama su tikrinėmis vertėmis E_1, E_2, E_3, ..., tai reiškia, kad vis bandydami išmatuoti sistemos energiją, su tam tikromis tikimybėmis išmatuosime būtent šias vertes.

## Operatorių savybės

Visi operatoriai kvantinėje mechanikoje yra ermitiniai (dar vadinami savisujungtiniais). Šis reikalavimas išplaukia ir reikalavimo tikrinėms vertėms būti realioms – realūs dydžiai, tokie kaip energija, negali būti kompleksiniai. Ermitinių operatorių tikrinės vertės visada realios. Operatoriaus Ermitiškumas apibrėžiamas sąryšiu:

:  \int \psi^* \hat{F} \psi dx = \int \psi \hat{F}^* \psi^* dx .

Jei nenurodomos integravimo ribos, laikoma, kad integruojama visoje erdvėje. Žvaigždutė šiuo atveju reiškia kompleksinį sujungimą.

Iš apibrėžimo seka, kad jei fizikinis dydis aprašomas operatoriumi \hat{F}, jo vidutinė vertė  \overline{f}  randama taip:

:  \overline{f}  = \int \psi^* \hat{F} \psi dx. 

Jei du dydžiai yra neapibrėžti, t. y. neturi apibrėžtų verčių, o turi diskretinius tikrinių verčių spektrus, jų operatorių komutatorius nelygus nuliui. Iš šios savybės seka Heizenbergo neapibrėžtumo principas.

## Įvairių dydžių operatoriai

Kaip sudaryti dydžio operatorių griežtų taisyklių nėra. Fundamentalių dydžių operatoriai sudaromi remiantis įvairiais pasamprotavimais, pasinaudojant operatoriaus apibrėžimu. Žinant šiuos operatorius, įvairių sudėtingesnių operatorių išraiškos sudaromos iš analogijos su klasikine mechanika, pvz., energijos operatorius, hamiltonianas, sudaromas pakeičiant klasikinės energijos išraiškoje judesio kiekį, bei koordinatę atitinkamais operatoriais.

Pvz., koordinatės operatorius randamas iš banginės funkcijos tikimybinio apibrėžimo. Jei jos modulio kvadratas yra erdvinis tikimybės pasiskirstymas, tai vidutinė dalelės padėtis, t. y. koordinatės vidurkis turėtų užsirašyti taip:

:  \overline{x}  = \int x | \psi(x) |^2 dx ,

arba pertvarkius išraišką:

:  \overline{x}  = \int \psi^* x \psi dx .

Iš čia matome, kad koordinatės operatorius yra daugyba iš tos koordinatės:  \hat{x} = x .

Judesio kiekio operatorius randamas žinant, kad laisvos dalelės banginė funkcija yra De-Broilio banga, užrašius jai tikrinių verčių lygtį gaunama šio operatoriaus išraiška:

:  \hat{p} = -i \hbar \left( \vec{i}{\partial \over \partial x} + \vec{j}{\partial \over \partial y} + \vec{k}{\partial \over \partial z} \right) = -i \hbar \nabla .

Įstačius šias išraiškas į klasikinio hamiltoniano išraišką gaunamas energijos operatorius:

:  \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 + U(r),

čia U(r) yra dalelės potencinė energija. Iš čia galime išskirti pirmąjį narį – kinetinės energijos operatorių, bei daugybą iš potencinės energijos – potencinės energijos operatorių.

## Taip pat skaitykite

* Hamiltonianas kvantinėje mechanikoje
* Banginė funkcija
* Tikrinių verčių lygtis