Teurema da la divergenza

In càlcül veturiaal, ul **teurema da la divergenza**, apó cugnussüü cuma **teurema da Gauss**,  **teurema da Ostrogradsky**, u **teurema da Ostrogradsky–Gauss** al è un resültaa ch’al lazza la divergenza d'un caamp veturiaal a la valuur da le integrale da süperfiis dal flüss definii pal caamp. Ul teurema da la divergenza al è un resültaa impurtaant  par  la matemàtica e la física, in particülaar  in eletrustàtica e dinàmica da flüit.

## Definizziú matemàtica

Al síes *V* un sübcungjuunt cumpatt da **R***n* (pensaant  íntal caas *n*=3) e diferenziàbil a tocch. Si **F** al è un caamp veturiaal diferenziàbil cuntínü definii int una bula intuurn  da *V*, alura a gh’emm

:\iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}

indúe *S* = &part;*V* al è la vora da *V* urientada par  vetuur nurmaal in fö, e dS al è *N*d*S*, la nurmala in fö da la vora &part;*V*.

Al cuventa remarcá  che ul teurema da Gauss al vé gjo dal teurema da Stokes plüü generaal, che generaliza ul teurema fundamentaal dal càlcül.

## Esempi

Süpusaant  che a vuremm evalüá  \iint\limits_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS, indúe *S* al è la sfera ünitaa definida par  x^2+y^2+z^2=1 e **F** al è ul caamp veturiaal \mathbf{F} = 2 x\mathbf{e}+y^2\mathbf{j}+z^2\mathbf{k}. Ul càlcül dirett da chesta integrala al è fisc difícil, però sa l pöö simplificá  duvraant ul teurema da la divergenza:

:\iint\limits_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n} dS=\iiint\limits_W\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=2\iiint\limits_W\left(1+y+z\right)dV
:= 2\iiint\limits_W dV + 2\iiint\limits_W y dV + 2\iiint\limits_W z dV

Par  simetría,
:\iiint\limits_W y dV = \iiint\limits_W z dV = 0

Alura,
:2\iiint\limits_W\left(1+y+z\right)dV = 2\iiint\limits_W dV = \frac{8\pi}{3}
par che la sfera ünitaa W la gh’a vulüm 4π/3.

## Aplicazziú

### Eletrustàtica

Aplicaa a un caamp eletrustàtich, al da la legg da Gauss: la divergenza al è una custanta  par  la densitaa da càrega dal vulümm.

### Gravitaa

Aplicaa a un caamp gravitazziunal, al s’uteegn che la integrala da süperfiis al è -4&pi;G par la massa da deent, quala-sa-síes la distribüzziú da massa, e le masse esterne.

#### Distribüzziú sférica simétrica da masse

Íntal caas da distribüzziú sférica simétrica da masses, sa l pöö cunclüüt che la forza dal caamp a una distanza r dal céntar a l’è interiuur cunt una magnitüda da G/r&sup2; par la massa tutala a una distanza petita, qual-sa-síes le masse a una distanza süperiuur.
Par esempi, una sfera vöja la prudüiss mia da gravitaa a l'interiuur. Ul caamp gravitazziunal a l'interiuur al è l istess che si la sfera vöja ga la füdess mia.

#### Distribüzziú cilíndrica simétrica da masse

Íntal caas da una distribüzziú cilíndrica infinida simétrica da masse, sa pöö cunclüüt che la forza dal caamp a una distanza dal céntar al è interiuur cunt una magnitüda da 2G/r par  la massa tutala par  ünitaa da lunghezza a una distanza cürta, qual-sa-síes le masse a una distanza süperiuur.

Par  esempi, un cilindre vöj infinii al prudüiss mia da gravitaa a l'interiuur.

## Stòria

Ul teurema al è staa descoeert par  Joseph Louis Lagrange ul 1762, e plüü taart redescueert independentameent par  Carl Friedrich Gauss ul 1813, par  George Green ul 1825 e ul 1831 par  Mikail Vasilievich Ostrogradsky, che apó al dà  la prima pröva dal teurema. Sübseguentameent, di variazziú dal teurema da la divergenza sa i nòmina teurema da Gauss, teurema da Green e teurema da Ostrogradsky.

-------------------

*Cheest artícul sa basa sül artícul [[GFDL]] da [[PlanetMath]] a http://planetmath.org/encycjopedia/Divergence.html  *

t:Teurema da Divergênzia