Süperfiis da Riemann

In matemàtica, particülarameent in anàlisi cumplessa, una **Süperfiis da Riemann**, inscí cjamada dapress Bernhard Riemann, a l'è una varietaa cumplessa a una dimensiú.
Le süperfiis da Riemann i pöö vess pensade cuma *versiú defurmade* dal plà cumpless: lucalameent, intuurn a cada puunt, i sembra cuma di pezz dal plà cumpless, però la tupulugía glubala la pöö parí assée diferenta. Par esempi, i pöö sembrá cuma una sfera, un torus u un para da fööj tacaa insema.
Ul puunt principaal de le süperfiis da Riemann al è che i sa pöö definí le funziú ulumorfe tra da lure: da plüü, i è cunsiderade ul cunteest natüraal par stüdiá ul cumpurtameent glubaal da cheste funziú, spescjalameent le funziú a plüü valuur cuma la ariis quadrada u ul lugariitm.

Cada süperfiis da Riemann a l'è una varietaa reala analítega a dò dimensiú, però la cuntegn plüü da strütüra, i.e. una strütüra cumplessa, da che a gh'è büsögn par una desambígua definizziú da le funziú ulumorfe. Una varietaa reala
analítega a dò dimensiú la pöö vess trasfurmada int una süperfiis da Riemann, generalmeent int un bell puu da manere mia equivalente, si e noma si la è urientàbila.

Inscí la sfera e ul torus i amett de le strütüre cumplesse, però la banda da Möbius, la buteja da Klein e ul plà prujetiif
no.

I fatt geumétrich sü le süperfiis da Riemann  è inscí bú cuma pussíbil, e, da spess, i pruveet l'intüizziú e la mutivazziú par de le generalizazziú a otre cürve u varietaa. Ul teurema da Riemann-Roch al è un esempi impurtaant da chesta inflüenza.

## Definizziú furmala

Al síes *X* un spazzi da Hausdorff. Un omeumurfiism da un sübcugjuunt deerf *U*&sub;*X* a un sübcungjuunt da **C** 
al è cjamaa una *[[carta (tupulugía)|carta]]*. Dò carte *f* e *g* da che i dumini sa i interseca i è cumpatíbile se le mape f\circ g^{-1} e g\circ f^{-1}
i è ulumorfe sura i söö dumini. Si *A* a l'è una culezziú da carte cumpatíbile e cada *x* in *X* al è íntal dumini da vargüna *f* in *A*, alura a disemm che *A* al è un atlaant. Cura ca nüü  gjuntemm a  *X* un atlaant  *A*, a disemm che  (*X*, *A*) a l'è una süperfiis da Riemann. Si l'atlaant al è sotaintendüü , simplismeent a disemm che  *X* a l'è una süperfiis da Riemann.

Di atlaant difereent i pöö uriginá essenzialameent l'istessa strütüra da süperfiis da Riemann sü *X*; par evitá chesta ambigütaa, sa dumanda che l'atlaant al síes *massimaal*, íntal sentüü ch'al síes mia cuntegnüü in vargü òolt atlaant.
Cada atlaant *A* al è cuntegnüü int un ünegh atlaant massimaal pal Lema da Zorn.

## Esempi

*Ul plà cumpless **C**  al è forsi la plüü sémplis süperfiis da Riemann, La mapa identitaa *f*(*z*) = *z* la definiss una carta par **C**  e {*f*} al è una atlaant par **C**.   
*Da manera anàluga, cada sübcungjuunt deerf  d'una süperfiis da Riemann al è in tuurn una süperfiis da Riemann.
*Al síes *S* = **C** &cup; {&infin;} e: *f*(*z*) = *z* si *z* al è in *S* \ {&infin;}; *g*(*z*) = 1 / *z* cun *z* in *S* \ {0} e 1/&infin; al è definii 0. Alura *f* e *g* i è de le carte cumpatíbile e { *f*, *g* } 
al è un atlaant par  *S* ch'al la fa una süperfiis da Riemann.
Chesta particülara süperfiis da Riemann a l'è cjamada **[[Sfera da Riemann]]** par che la pöö vess interpretada cuma 
ul plà cumpless atuurn la sfera. Al cuntrari dal plà, la sfera a l'è cumpata.

*La teuría de le süperfiis da Riemann cumpate la pöö vess mustrada equivalenta a chela de le cürve algebràiche prujetive definide sura i nümar cumpless e mia-singülare. Di esempi impurtaant da süperfiis da Riemann mia cumpate i è furnii da la cuntinuazziú analítica.

## Prupietaa e otre definizziú

Una funziú *f* : *M* &rarr; *N* intra dò süperfiis da Riemann a l'è cjamada **ulumorfa** si, par cada carta *g* íntal atlaant da *M* e cada carta *h* íntal atlaant da 
*N*, la mapa h\circ f\circ g^{-1} a l'è ulumorfa indúe ch'a la síes definida. La cumpusizziú da dò mape ulumorfe a l'è ulumorfa. 

Dò süperfiis da Riemann *M* e *N* i è cjamade **cunfurmameent equivalente** si al esiist una funziú ulumorfa bigetiva da *M* a *N*  (Cheest al implica che apó l'inversa la síes ulumorfa). Dò süperfiis da Riemann cunfurmameent equivalente i è sustanzialameent idénteghe.

Cada süperfiis da Riemann simplameent cunessa a l'è cunfurmamaeent equivalenta a vöna de le tré seguente:
***C**, ul plà cumpless
***C** &cup; {&infin;}  la sfera da Riemann
*{*z* &isin; **C** : |*z*| 1. I süperfiis da Riemann a cürvatüra 0 i è cjamade **parabòleghe**;  **C**  e ul 2-torus i è de le típeghe süperfiis da Riemann parabòleghe. In fí, le süperfiis da Riemann a cürvatüra +1 i è cjamade **elítighe**: la sfera da Riemann &cup; {&infin;} a l'è l'ünegh esempi.

Par cada süperfiis da Riemann parabòlega sarada, ul grupp fundamentaal al è isumòrfich al grupp làtes da raanch 2, e par taant la süperfiis la pöö vess fada sü cuma **C**/&Gamma;, indúe **C** al è ul plà cumpless e &Gamma; ul grupp làtes. Cada representatiif d'una classa d'equivalenza (u co-cungjuunt, eng. coset) al è cjamaa dumini fundamentaal.

Da manera símila, par cada süperfiis da Riemann iperbòlega, ul grupp fundamentaal al è isumòrfich a un grupp fuchsià e la süperfiis la pöö vess mudelada par un mudell fuchsià **H**/&Gamma; indúe **H**  al è ul semiplà süperiuur e &Gamma; ul grupp fuchsià. Cada representatiif d'una classa d'equivalenza (u co-cungjuunt, eng. coset) al è cjamaa cungjuunt regülaar líbar e al pöö vess mudelaa int un pulígun fundamentaal métrich.

Cura ca una süperfiis iperbòlega a l'è cumpata, alura l'àrea tutala a l'è 4\pi(g-1), indúe *g* al è ul genus da la süperfiis; l'àrea a l'è utegnüda aplicant ul teurema da Gauss-Bonnet a l'àrea dal puligün fundamentaal.

A emm nutaa íntal preàmbul che tüte le süperfiis da Riemann i è urientàbile cuma varietaa reale. La resú a l'è che, par de le carte cumplesse *f* e *g* cun funziú da transizziú *h* = *f*(*g*-1(*z*)) , a pudemm cunsiderá *h*  cuma una mapa de le varietaa reale sotastante. Ul sò Jacobià int un puunt *z* al è gjüüst la mapa lineara dada da la mültiplicazziú par la derivada cumplessa *h'(z)*. 
Da tüta manera, ul detereminaant reaal da la mültiplicazziú par un nümar cumpless  &alpha; al è iguaal a  |&alpha;|^2, inscí al è pusitiif, vargott ch'al implica che l'atlaant cumpless al è urientaa.

### Funziú

Cada süperfiis da Riemann mia cumpata a l'amett funziú ulumorfe mia custante (a valuur in \mathbb{C}). 
Da fatt a l'è una varietaa da Stein.

Al cuntrari, sü una süperfiis da Riemann cumpata cada funziú ulumorfa a valuur in \mathbb{C} al è custanta, grazzia al principi dal màssim, però i esiist sémpar de le funziú mermumorfe mia custante.

## In art and literature
*One of M.C. Escher's works, *Print Gallery,* is laid out on a cyclically growing grid that has been described as a Riemann surface.
*In Aldous Huxley's novel *[[Brave New World]]*, "Riemann Surface Tennis" is a popular game.

## Vidée apó

*Geumetría algebràica
*Geumetría cunfurma
*Varietaa da Kähler
*Spazzi da Teichmüller
*Sfera da Riemann
*Teureem sü le süperfiis da Riemann
**Teurema da Riemann-Roch
**Formula da Riemann-Hurwitz
**Teurema da l'aplicazziú da Riemann
**Teurema d'ünifurmizazziú da Riemann
**Turema di autumurfiism da Hurwitz

## Referenze
* Hershel M. Farkas and Irwin Kra, *Riemann Surfaces* (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4
* Jürgen Jost, *Compact Riemann Surfaces* (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X 
*