Paradoss da Banach-Tarski

**Ul paradoss da [[Stefan Banach|Banach]]-[[Alfred Tarski|Tarski]]** al mustra che al è pussíbil da tajá una bala da \mathbb R^3 int un nümar finii da tocch e da rassemblá  chiist tocch par furmá dò bale idénteghe à la prima, à maanch d'una isumetría. Cheest chí al mustra che al esiist di tocch mia-mesüràbil, senza che sa la utegnaress una cuntradizziú (la lunghezza, la süperfiis e ul vulümm i è di esempi da misüre) de Barenghi. Cheest chí al remet in causa la nosta nuzziú  intütiva da vulümm, gja che al  gh'è mia da « créazziú  » da matéria, dunca **al esiist da le parte dal spazzi (<math>\mathbb R^3</math>) par le quale la nuzziú  da misüra (e dunca da vulümm)  la gh'a mia da sentüü**. Par iga  una idea aprussimada intütiva da vargot ch’al sa passa, al cuventa dí che cheest chí al è  inscí « paradussaal » che a dí che l’intervall [0, 1] al cuntegn « taant » puunt che \mathbb R tütt intreegh.

La demustrazziú  da cheest paradoss l'adopera l’assioma da la scèrnida, ch’al è staa e al è sémpar cuntestaa par un ceert nümar da matemàtich. D’otra manera, cada tentatiif par esibí di cungjuunt mia mesüràbil al  dröva cheest assioma. In d’òolt tèrmen, u bé sa cunsidera che l’assioma da la scèrnida a l’è faalsc, u bé al cuventa amet che al esiist di cungjuunt mia mesüràbil .

## Enunziaa dal paradoss

Al síes A,B dò parte d’un cungjuunt E. Sa diis che A e B i è equidecumpusàbile  seguunt un grup da trasfurmazziú G si al esiist dò sequenze **finide** da cungjuunt (F_n)_{n\in I} e (H_n)_{n\in I} tale che :

*\forall n \in I, \exists g \in G  | g(F_n)=H_n
*\bigcup_{n\in I} F_n = A
*\bigcup_{n\in I} H_n = B

(par esempi, cada paralelugrama al è  equidecumpusàbil  à un retàngul)
L’equidecumpesabilitaa a l’è una relazziú d'equivalenza, dunca a l’è simétrica, reflessiva e transitive.
À nutá  chí che al   saress mia interessaant da ga mett deent le umutetíe in G. Sa töö  dunca generalameent ul grup da le isometríe (traslazziú e rutazziú).   

Un cungjuunt E al è  dii « dubiàbil  » si al esiist düü cungjuunt A e B mia vöj taj che E=A\cupB (üniú dis&midot;gjunta) e A,B,E i síes equidecumpusàbil .

Mustrá  ul resültaa da Banach Tarski al vöör dí à mustrá  che la bala ünitaa da \mathbb R^3 al è  dubiàbila  seguunt ul grup da le isumetríe da \mathbb R^3.

Al cuventa infí da remarcá  ul röö essenziaal gjügaa in cheest resültaa pal fatt che ul grup da le rutazziú dal spazzi  al è  mia cumütatiif : sa demustra che ul paradoss  al è  mia pussíbil íntal plà.

## Un esempi da cungjuunt [[Misüra (matemàtega)|mia mesüràbil ]]

Al síes R una relazziú  d'equivalenza definida par :

\forall x,y \in\mathbb R, xRi \Leftrightarrow x-y \in\mathbb Q

Sa al custrüiss inscí ul cungjuunt quozzieent \mathbb R/R, che sa l nota apó \mathbb R/\mathbb Q ( in cheest caas, la relazziú  d'equivalenza a l’è sota intendüda.. ).

Al síes Sn un cungjuunt taal che Sn al cuntegn ün e noma ün elemeent da cada classa d’equivalenza da R. (Al è chí che sa al dröva l’assioma da la scèrnida, in efett sa  saa mia custrüí una funziú  da \mathbb R/R \rightarrow \mathbb{R} tala che la  renvía ün e noma ün elemeent da cada classa d’equivalenza, dunca a semm obligaa a druvá l’assioma da la scèrnida.

Sa pöö mustrá  che Sn  al è  mia mesüràbil (i.e. che al partegn mia à la tribü da Lebesgue).

## Vidée apó
* Paradoss
* Teuría da la misüra
* Tribü u sigma-àlgebra
* Travaj d’Émile Borel e d'Henri Lebesgue