Cuntinuazziun analítica massimala

In cheest artícul a femm vidé una furmalizazziun plüü astrata da la nuzziun da cuntinuazziun analítica.

Síes \mathbb S la sfera da Riemann; una **süperfiis 
da Riemann regülara** 
sura un cungjuunt deerf
\ \Omega\subset\mathbb S
a l'è un para 
\ \left(R,p\right) 
intúe R a l'è una süperfiis da Riemann
(i.e. 
una varietaa cumplessa a una
dimensiun) e 
p:R\rightarrow\Omega a l'è
un biulumurfiism lucaal 
sürgetiif.
Una **cuntinuazziun 
analítica regülara**
d'un 
elemeent da funziun ulumorfa
la cunsistiss int
una süperfiis 
da Riemann regülar 
sura un cungjuunt
deerf 
\Omega\subset\mathbb S 
taal che  U\subset \pi(S),
int una 
imersiun ulumorfa 
j\,\colon\, U\rightarrow S  
tala che \pi\circ 
j=id\vert_{U} 
e int una funziun ulumorfa 
F\,\colon\, S\rightarrow \mathbb S
tala che F\circ j=f.

Un **murfiism** 
intra dò cuntinuazziun
analítich

\left(S,\pi,j,F\right)

e
\left(T,\varrho,\ell,G\right)

dal istess 
elemeent
\left(U,f    \right) 
al è una funziun ulumorfa
h\,\colon\, T\rightarrow S 
tala che
h\circ\ell=j.

Un taal murfiism 
al è una funziun 
mia custanta,
ünivocament 
determinada in j(U),
(e dunca da-par-tütt in S) 
par 
\ell\circ j^{-1}. 
Da plüü,
\varrho\circ h=\pi e 
G\circ h=F
in j(U) dunca da-par-tütt in S.

L'ünich murfiism 
intra una cuntinuazziun 
analítica e la istessa
al è l'identitaa, la
cumpusizziun da düü morfismes
a l'è apó un murfiism; 
si un murfiism al amett 
una funziun ulumorfa 
cuma inversa, chesta-chí a l'è 
apó un murfiism: 
si al è ul caas, a parlemm
d'un **isumurfiism** 
da cuntinuazziun
analítich.

**Definizziun**: 
una cuntinuazziun analítica 
S da l'elemeent 
\left(U,f    \right) 
a l'è **massimala** si, 
par cada cuntinuazziun
\widehat S
da \left(U,f    \right) 
al esiist un murfiism 
h\,\colon\, S\rightarrow \widehat S.

Remarchemm che dò cuntinuazziun massimaal dal istess elemeent i è necessariameent isumòorf; dunca
la cuntinuazziun
analítica 
massimala
a l'è ünica
a maanch
d'isumurfiism.

**Teorema**: cada elemeent 
\left(U,f    \right) 
da funziun ulumorfa
al gh'a una cuntinuazziun
analítica 
massimala Q:= \left(S,\pi ,j,F    \right)  .

**Demustrazziun:** 
síes 
#{\mathcal U}=\{\left(U_i,f_i    \right)\}_{e\in e} 
ul cungjuunt formaa paj elemeent 
liàbil a
\left(U,f    \right);
#S_0=\coprod_{e\in e}U_i, 
\pi_0=\coprod_{e\in e}id\vert_{U_i}
e F_0=\coprod_{e\in e}f_i;
#j_0\,\colon\, U\longrightarrow S_0 l'imersiun natürala.

Introdüssemm una relazziun d'equivalenza 
in S_0: 
z_1\in U_{e_1} e 
z_2\in U_{e_2} sa i dirà
equivaleent si
\pi_0(z_1)=\pi_0(z_2) e
f_{e_1}=f_{e_2} 
in un intuurn
da \pi_0(z_1)=
\pi_0(z_2) in U_{e_1}
\cap U_{e_2}.

Síes  S ul
cungjuunt quozzient e
q\,\colon\,S_0
\longrightarrow  S 
la prujezziun canònica:
una basa par la 
tupulugía da  S 
a l'è formada paj
[U_i]:=\{q\left(U_i 
   \right)\}. 
Definissemm


j\,\colon\,U\longrightarrow S,
\pi\,\colon\, S\longrightarrow \mathbb C^N
F\,\colon\,  S\longrightarrow \mathbb C^N
par 
j=q\circ j_0,
\pi \left(q(z)    \right)=\pi_0(z)
F\left(z_i    \right)=f_i\left(z_i    \right).

Sti aplicazziun i è ben definiit e cuntínüi; da plüü,
\pi al è
un omeumurfiism lucaal.

Ul spazzi tupulògich
 S al è da Hausdorff: 
da fatt, si 
q\left(z_i
    \right)\not=q\left(z_j  
  \right)
e
\pi_0\left(z_i  
  \right)=\pi_0\left(z_j 
   \right), cunsideremm
un intuurn cuness
V da \pi_0\left(z_i 
   \right)=\pi_0\left(z_j 
   \right), 
taal che
f_i e f_j 
i síes definii e 
difereent in V.
I síes
V_i e V_j 
les còpies
disgjuunt da V in U_i 
e da
U_j in S_0: 
s'al veet che
{q\left(V_i    \right)
\cap q\left(V_j    \right)
=\emptyset}.
da fatt, si ga i füdess
düü puunt
w_i\in V_i e w_j\in V_j 
taal che 
{q\left(w_i    \right)
=q\left(w_j    \right)},
s'aress apó
{f_i=f_j} int un intuurn 
da {\pi_0\left(w_i 
   \right)=\pi_0\left(w_j 
   \right)},
dunca in V, vargott ch'al è 
una cuntradizziun.

Ul spazzi  S al è cuness, 
par che 
par cada
para da puunt
p_1,p_2
cun
p_1\in [U^{\prime}] 
e p_2\in
[U^{\prime\prime}],
al esiist
una cadena 
 
da congjuunt deerf cuness
mia vöj,
taal che, 
par cada k=0,....,n-1, 
U_{e_k}\cap U_{e_{k+1}}
\not=\emptyset, s'al gh'àbies
U_{e_0}=U^{\prime} 
e U_{e_n}=U^{\prime\prime}.

Dunca ul cungjuunt deerf
{[U_{e_0}]\cup\cdots
\cup [U_{e_n}]}
al è connex e 
al cuntegn
p_1 e p_2.

Gja che q al è 
un omeumurfiism lucaal 
intra U_i e 
q\left(U_i    \right), 
ul spazzi  S al è cuness;
però apó 
\pi\,\colon\, 
S\longrightarrow \mathbb C 
al è un omeumurfiism lucaal, dunca pal 
teurema da Poincaré-Volterra 
(Narasimhan pag.25), 
apó  S 
al è a basa nümeràbil.

L'atlaant 
{\left\{\left([U_i],
\pi\vert_{[U_i]}    \right)
    \right\}_{e\in e}}
al definiss una strütüra cumplessa
 S, 
par che, par cada
para [U_i],[U_j] 
da caart lucaal che sa i suraponn, l'aplicazziun da
transizziun 
{\pi\vert_j\circ
\pi\vert_i^{-1}} 
a l'è l'identitaa  
d'un cungjuunt deerf da
{U_i\cap U_j}.

Par chesta 
strütüra, i aplicazziun
\pi,  j,  F 
i è ulumòorf 
par custrüzziun, dunca
{
\left(  S, \pi,  j,  
F\right)} a l'è una 
cuntinuazziun
analítica
da \left(U,f    \right).

Demustremm che chesta cuntinuazziun a l'è
massimala:
síes {
\left(  T, \varrho, 
 \ell, G\right)} 
una cuntinuazziun
analítica
da \left(U,f    \right):
a pudemm fa sü un 
recuvrimeent deerf
da R par 
di \{V_i\}
taal che, par cada i, 
\varrho
\vert_{\{V_i\}} 
a l'è biulumorfa; 
alura ul para
{\left(\varrho(V_i),
G\circ\varrho\vert_{V_i}^{-1}    \right)}
al è un elemeent da funziun ulumorfa 
liàbil cun
\left(U,f    \right).

Definissem
{h_i: V_i\longrightarrow S} 
par 
{h_i=q\circ
\varrho\vert_{V_i}}: 
si V_i\cup V_j \not=\emptyset,
h_i=h_j in
V_i\cup V_j,
dunca i definizziun lucaal sa i lazza a definí
una aplicazziun ulumorfa
h: T\rightarrow S tala che
h\circ\ell=j.

## Refereenz

narasimhan:
Raghavan Narasimhan,
'Several complex variables'
The university of Chicago Press, Chigago