Para (matemàtega)

In matemàtega, un **para** da düü uget al è ul dàtum da chiist düü ugett int un úrden determina. Ul para di düü ugett *a* e *b* al è nutaa (*a*,*b*). Si *a* e *b* i è distiint ul para (*a*,*b*) al è distiint dal para (*b*,*a*). 
Par sutaligná l’úrden saa pöö parlá da *para urdinaa*. 

## Nuzziú da para

I ugett *a* e *b* i è cjamaa respetivameent **prima cumpusanta** e **segunda cumpusanta** dal para ( *a*, *b* ).

### Prupietaa caratéristica
Quala-sa-síes la suva definizziú , l'essenza da la nuzziú da para la reseet in la *prupietaa caraterística* sigütaant : 

: ***Düü para i è iguaj si e noma si le suve prime cumpusante d'una part, e le suve segunde cumpusante d’otra banda, i è iguale intra da luur***.
:dii d’otra manera:
:   \forall\ a_1 , \forall\ a_2 , \forall\ b_1 , \forall\ b_2 , \, [\ ( a_1 , a_2 ) = ( b_1 , b_2 ) \ ] \Leftrightarrow [\ ( a_1 = b_1 ) \wedge ( a_2 = b_2 ) \ ] \, 

Chesta prupietaa a l’è da cumpará a l'igualtaa di *[[Dobi (cungjuunt)|dobi]]*, par che *b* 1  e *b* 2  i pöö vess permütaa par rapòort a *a* 1  e *a* 2 , argot ch’al è mia ul caas paj para.

Chest-chí al è cunfirmaa pal corollari chí-da-sota : 
: *Le cumpusante d'un para i pöö mia vess scambiade intra da luur senza mudifiá ul para, traa si i è idéntiche*.
: u :
:   \forall\ a , \forall\ b , \, [\ ( a , b ) = ( b , a ) \ ] \Leftrightarrow [\ a = b \ ] \, 

Par cunseguenza:
* par un *para* ( *a* , *b* ) : b\not=a\Rightarrow (a,b)\not=(b,a) 
* par un cungjuunt { *a* , *b* } : \{a,b\}=\{b,a\}.

L'úrden da le cumpusante int un para al gh'a inscí da l'impurtanza, d'indúe la definizziú : 
: *Si *a* a l’è difereent da *b* , ul para* ( *b* , *a* ) *al è cjamaa* **para simétrich** *u amò* **para recípruch** *dal para* ( *a* , *b* ).

Düü para (*a*1, *b*1) e (*a*2, *b*2) i è iguaj si e noma si:
:a_1 = a_2\ {\rm e} \ b_1 = b_2 

### Prudüit cartesià

Ul cungjuunt da töcc i para da che ul primm elemeent al partegn a un cungjuunt qual-sa-vöör X e ul seguunt elemeent a un cungjuunt qual-sa-vöör Y al è cjamaa *[[prudüit cartesià]]* da chiist düü cungjuunt e sa al nota X×Y. I *[[sübcungjuunt]]* da X×Y i è di [graaf] ].

=== Esempi ===
*( 1 , 4 ) e ( 4 , 4 ) i è di para d'intreegh.
*Si E = { 1 , 2 , 3 } alura ( { 1 } , { 1 , 3 } ) e ( Ø , { 1 } ) i è di para da parte da E.

=== I para da Kuratowski === 
I para i è definii in [teuría di cungjuunt da la manera sigütanta :

:Par *x* e *y* düü cungjuunt qual-sa-vöör, sa l ponn (*x*, *y*)=. 

Par chesta definizziú sa gh’a da druvá tré völte l'assioma dal para, par furmá ul singletú {*x*}, par furmá ul cungjuunt (u singletú) {*x*,’‘y’’}, par furmá infí ul cungjuunt (u singletú) .

Sa a bé definii la nuzziú da para da manera ünica. Sa la mustra in sequenza fàcilameent la prupietaa caraterística, druvaant da manera repetüda l'assioma d'estensiunalitaa :

:*Par töcc cungjuunt *x*, *y*, *x' * e *y' *, si =, alura x = x' e y = y', cheest int una teuría di cungjuunt ch’a la verifia l'assioma dal para e l'assioma d'estensiunalitaa.*

Al è assée da druvá la cundizziú d'igualtaa par düü para (u singletú) (vidé ul paràgraf Singletú e para da l'artícul Cungjuunt), distingueent cun cüra töcc i caas pussíbil.

* Al síes {*x*}={*x' *} e {*x*, *y*}={*x' *,*y' *}. Alura (igualtaa di düü singletú) *x*=*x' *. D’otra banda (igualtaa di düü para), u bé *x*=*x' * e *y*=*y' *, vargot che sa l vöör demustrá; u bé *x*=*y' * e *y*=*x' *, però cuma d’otra manera *x*=*x' *, i 4 elemeent i è iguaj d'indúe ul resültaa.

* Al síes {*x*}={*x' *,*y' *} e {*x*, *y*}={*x' *}. Sa l dedüiss da cheste dò igualtaa che i 4 elemeent i è iguaj d'indúe ul resültaa.

Notemm *P*( *E* ) ul *[[Sübcungjuunt#Cungjuunt da le parte|cungjuunt da le parte]]* da *E*. Sa pöö remarcá che si *x* ∈ *X* e *y* ∈ *Y* alura {*x*} ∈ *P*(*X*∪ *Y*) e {*x*, *y*} ∈ *P*(*X*∪ *Y*), e dunca 
:(*x*, *y*) ∈ *P*(*P*(*X*∪ *Y*)). 
Chest-chí al è ütil par mustrá che ul prudüit cartesià da düü cungjuunt al è bé un cungjuunt (al cuventa l'assioma dal para, l'assioma da la reüniú e l'assioma dal cungjuunt da le parte).

Reciprucameent süpusemm daa un cungjuunt da para *C*. Alura le cumpusante da *C* i partegn al cungjuunt *E* utegnüü par reüniú da la reüniú di elemeent da *C*, e dunca sa i pöö definí i cungjuunt di prime e da le segunde cumpusante da *C* par cumprensiú :
:E=∪∪C ; A = {x ∈ E / ∃ y (x,y) ∈ C} ; B = {y ∈ E / ∃ x (x,y) ∈ C}
Chest-chí al è ütil par mustrá par esempi che ul cungjuunt da definizziú u ul cungjuunt imàgen d'una relazziú u d'una funziú (vidüü cuma di cungjuunt da para) i è bé di cungjuunt (sa l dröva l'assioma da la reüniú, e ul schéma d'assiòom da cumprensiú).

## Generaalisazziú

Un triplet ( a , b , c ) al pöö vess definii cuma ( a , ( b , c ) ) al síes düü para imbricaa. La scèrnida dal úrden d'imbricazziú a l’è pürameent arbitrària. Sa pöö generaalisá a da le n-uple, n intreegh qual-sa-vöör. 

## Vidée apó
*prudüit cartesià
### Referenze
* Azriaal Levi, *Basic Set Theory*, Springer Verlag (1979) ISBN 3-540-08417-7