Nümar àuri

La **resú àuria**, **sezziú  àuria** u **divina prupurziú** al è la relazziú intra düü segmeent *a* e *b* (u par  estensiú, chela intra dò quantitaa *a* e *b*) si intra ul total e ul segmeent magjuur a gh’è la istessa relazziú che intra ul segmeent magjuur e ul segmeent minuur, u, in d’otre parole, si ul tütt al è al segmeent magjuur istess che ul magjuur al è al segmeent minuur. Cjamaant  *a* ul segmeent (u nümar) magjuur e *b* ul minuur, la furmulazziú matemàtega da la definizziú sa la pöö scriif cuma:

:\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}

Ul quozzieent da cheste dò quantitaa al resülta vess un nümar irazziunaal cugnussüü cuma **nümar auri** u **nümar d'òor**, e designaa abitüalameent par  la lètera grega Φ (fi majüscula) in unuur al Fídia, scültuur e architett greech dal Partenú:

:\Phi =  \frac{a}{b} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1,618 033 \dots

Le furme definide cun la resú àuria i è stade fisc da spess cunsiderade estéticameent agradàbile in la cültüra  d'ucideent, da manera che la prupurziú divina al è stada duvrada da frequeent luungh la Stòria in l'aart e íntal disegn. Uviameent, apó al è staa duvrada la inversa da la resú àuria, da nurmaal representada par  la lètera \phi \, (fi minüscula) dal alfabett greech.

:\phi=\frac{1}{\Phi} = \frac{b}{a} = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2} =  0,618 033 \dots

Però la resú àuria apó al è pussíbil la truvá in la natüra. Ul nümar d'òor al gh’a da plüü un bell puu da prupietaa cüriuse e interessante che i a faa inscí che la resú àuria l’àbies diventaa fascinanta  par  un bell puu da stüdiuus.

## Definizziú e prime prupietaa dal nümar d'òor
Cuma al è staa definii in l'incapsülameent, dò quantitaa *a* e *b* (cun *a* > *b*) i è in resú àuria si la suva suma al è a la quantitaa magjuur istess che la magjuur al è a la quantitaa minuur, i.e.:

:\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}  

Da manera equivaleent (par  vidé l'equivalenza noma al cuventa mültiplicá  in cruus e reurdená), dò quantitaa *a* e *b* i è in resú àuria si intra la magjuur e la menuur a gh’è la istessa prupurziú che intra la menuur e la suva diferenza, i.e.:

:\frac{a}{b} = \frac{b}{a-b}

Da la prima equazziú (u apó da la segunda), uperaant  sa riva a la seguenta equazziú:
 a^2-a \cdot b-b^2 = 0 , d'indúe sa l uteegn:

:a=\frac{b \pm \sqrt{b^2+4b^2}}{2} = b \cdot \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} 

indúe la darera igualtaa s'efetua traant fö fatuur cumü da *b*. Finalameent, si sa dividiss a banda e banda par  *b* (che al è mia nüll), s'i uteegn le dò seguente valuur par  \frac{a}{b} : 

:{1+\sqrt{5} \over 2} \approx\ 1.618034,\ \mathrm{e}\ {1-\sqrt{5} \over 2} \approx\ -0.618034. 

Ul nümar d'òor \Phi = \frac{a}{b} al è noma la valuur positiva gja che al gh’a mia sentüü da parlá  d'una quantitaa negativa par  la resú intra düü segmeent.

Le prime prupietaa dal nümar d'òor i è  dò:
* Ul nümar d'òor al è l'ünich reaal pusitiif che al è esattameent una ünitaa par  sota dal sò quadraa. 
:: **Demustrazziú**: Mültiplicaant  la prima equazziú da chesta sezziú  par  *a*/*b* (u bé par  (*a*-*b*)/*b* la segunda) sa l uteegn:

:::\left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a}{b} + 1, u bé, feent la süstituzziú \frac{a}{b} = \Phi

::: \Phi^2 = \Phi + 1 \, , Q.E.D.

* Ul nümar d'òor al è l'ünich reaal pusitiif che al è una ünitaa par  sura dal sò invers. 
:: **Demustrazziú**: Cuma che Φ al è difereent da zero, sa pöö dividí l'equazziú anteriuur par  Φ, da manera che

::: \Phi = \frac{1}{\Phi} + 1 = \phi +1 , Q.E.D.

## Urígen

Resú fisc pròssime a l'àuria s'i a truvaa in le pusizziú e prupurziú da le piràmide da Giza, inscí che al sembra vess che i primm a duvrá la resú àuria i è staa i andeegh egizzià. Al è mia inscí cjaar si i je duvrava cunscjameent par da le qualitaa estétiche da la resú u si la suva prima aparizziú al è früit d'otre resú u dal asaart.

In l’andega Grecja sa i cugnussea bé vargüne prupietaa geumétriche da la resú àuria, par  la suva frequenta aparizziú in geumetría; epüür, al sembra mia ceert che i en pröves la valuur estética. Malgraa tütt, int un bell puu da munümeent, cuma íntal Partenú, sa al pöö ga truvarde le prupurziú divine u fisc pròssime a chela. Al è staa mia pruvaa che cheste relazziú i füdess espressameent cercade, però molta geent la creet che al pöö mia vess ünicameent una questiú d'asaart. 

In l'architetüra rumana apó sa i pöö truvá  resú àurie, però al è mia staa pruvaa che i füdess espressameent druvade int i diseegn.

## Resú àurie in geumetría
### Sezziú  àuria d'un segmeent

Daa un segmeent *AB*, sa diis che ul puunt *S* **al custitüiss sezziú  àuria** dal segmeent *AB* (u al **dividiss da furma àuria**) si la paart plüü granda al è média geumétrica intra ul segmeent *AB* e la paart petita. Si la part petita a l’è *SB*, cuma in la figüra, matemàticameent vargott sa al diis:

:\overline{AS}^2 = \overline{AB} \cdot \overline{SB} 

Da manera equivalenta vargott al passa cura ca ul segmeent intreegh al è a la part granda cuma la paart granda al è a la petita, e.e.

:\frac{\overline{AB}}{\overline{AS}} = \frac{\overline{AS}}{\overline{SB}}

L'equivalenza intra le definizziú sa la veet par  esempi mültiplicaant  in cruus la segunda espressiú. 

Apó sa la veet l'equivalenza intra cheste definizziú e chela da càpsüla: in efett, si *AS* al misüra *a* e *SB* al gh’a una misüra *b* (e alura *AB* al gh’a una misüra *a* + *b*) e tütt cheest-chí sa l süstituiss in la segunda espressiú, sa l uteegn
:\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}

La sezziú  àuria dal segmeent int una paart granda e una petita la gh’a da plüü la prupietaa seguenta:
* La part petita al è segmeent auri da la paart granda, e.e.  
:\frac{\overline{AS}}{\overline{SB}} = \frac{\overline{SB}}{\overline{AS}-\overline{SB}} u bé \overline{SB}^2 = \overline{AS} \cdot (\overline{AS}-\overline{SB}) 
::**Demustrazziú**: si \overline{AS}^2 = \overline{AB} \cdot \overline{SB}  (par  vess *AS* ul segmeent auri da *AB*), restaant   \overline{AS} \cdot \overline{SB}  a banda e banda sa l uteegn che
:::\overline{AS}^2 - \overline{AS} \cdot \overline{SB} = \overline{AB} \cdot \overline{SB} - \overline{AS} \cdot \overline{SB}
:: Traant fö i fatuur cumü, e tegniint in cüünt che (\overline{AB}-\overline{AS})=\overline{SB}
::: \overline{AB} \cdot \overline{SB} - \overline{AS} \cdot \overline{SB} = (\overline{AB} - \overline{AS}) \cdot \overline{SB} = \overline{SB} \cdot \overline{SB} = \overline{SB}^2 .
:: Alura,  \overline{AS} \cdot (\overline{AS}-\overline{SB}) = \overline{SB}^2 , Q.E.D.

### Custrüzziú  da resú àurie cun riga e cumpass
* **Divisiú àuria d'un segmeent daa**. Una da le custrüzziú  plüü sémplis al è la seguenta:
*# Trazzée *BC*, perpendicülaar  a *AB* par  *B* e da lunghezza la metaa da *AB*. 
*# Cun céntar a *C*, traspurtée la distanza *CB* sura la iputenüsa *CA*. Sa l uteegn inscí ul puunt *D*. 
*# Cun céntar a *A*, traspurtée la distanza *AD* sura ul segmeent *AB*. La intersezziú  da cheest aarch cul segmeent *AB* al definiss ul puunt *S* cercaa, ch’al custitüiss sezziú  àuria d**AB''.

* **Custrüzziú  dal segmeent taal che ul sò segmeent auri al è ul daa**. Chesta al è una da le custrüzziú  plüü famose cun la resú àuria:

*# Trazzée ''SC'', perpendicülaar  a ''AS'' par  ''S'' e da lunghezza iguala a ''AS''.
*# Truvée ul puunt medi ''M'' dal segmeent ''AS'' (par  esempi cun la [[mediatriu]]).
*# Cun céntar a ''M'', trazzée l'aarch cun radi ''MC''. La intersezziú  ''B'' da cheest aarch cun la reta süpòort da ''AS'' la definiss ul segmeent cercaa ''AB'', ul segmeent auri dal quaal al è ''AS''.

=== Triàngul d'òor ===
I **triàngul d'òor** i è  chij [[triàngul|triàngul isòscej]] i custaa di quaj i è in resú àuria. N'a gh’è da düü tiip: chij che <math>\frac{\mbox{custaa iguaal}}{\mbox{custaa desiguaal}} = \Phi</math>, che i è  acutàngul e i che <math>\frac{\mbox{custaa desiguaal}}{\mbox{custaa iguaal}} = \Phi</math>, che i è  utusàngul. Chiist darée da spess i è  apó numenaa triàngul d'argeent, però i gh’a mia vargott a vidé cul [[nümar d'argeent]] (che al gh’a mia vargott a vidé cun φ, l'invers da Φ). 



I triàngul d'òor i gh’a düü àngul da 72º e ü da 36º; i triàngul d'argeent i gh’a düü àngul da 36º e ü da 108º. Chiist i è  i istess àngul ch’i pariss apó íntal [[Pentàgon (geometrìa)|Pentàgon]] regülaar e ul [[pentàcul]], indúe al è mia surprendeent da retruvá  i triàngul d'òor e la resú àuria.
: **Demustrazziú**: In la figüra da manzina, sa pöö vidé cuma ul triàngul ''ABD'' al è símil  al triàngul ''BCA'' gja che i düü i è  isòscej e i gh’a un àngul in cumü. Inscí, i àngul ''ABD'' e ''ACB'' i è  iguaj. La resú da similitüda a l’è, par  la custrüzziú  di triàngul 1/&Phi. Alura, ul segmeent ''AD'' al misüra 1/Φ.

:Cuma che ul nümar d'òor al verifica la igualtaa 
::<math>\Phi = 1 + \frac{1}{\Phi}</math>,
:ul segmeent ''DC'' misüra 1, da manera che ul triàngul ''BCD'' al è isòscel e i àngul ''DCB'' e ''DBC'' i è  iguaj. Par  taant, cuma che ''DCB'' e ''ACB'' i è  iguaj, ''ABD'' e ''DBC'' i è  iguaj e ''DB'' al marca la bisetriis dal àngul ''ABC''. Cuma che la suma di àngul d'un triàngul la vaar 180°, le valuur di àngul al è da 36° paj plüü güzz (la quinta part d'un àngul plà) e da 72º paj plüü deerf, (dò quinte paart dal [[àngul plà]] u una quinta part d'un [[àngul cumplett]]).

=== Retàngul d'òor ===




I **retàngul d'òor** i è  chij [[retàngol|retànguj]] i custaa di quaj i è in resú àuria.

La custrüzziú  d'un retàngul d'òor cun [[cumpass]] sa la pöö fá fàcilmeent a partí d'un [[quadràt (geometrìa)|quadraa]] par  la segunda custrüzziú  chí-da-sura. Puntaant  al céntar d'un di custaa e derveent fí a un di düü àngul upòost, noma al cuventa bassá  l'[[aarch]] fí al prulungameent dal custaa indúe al è staa puntaa. Vöna da le prupietaa di retàngul d'òor al è che ul retàngul resültaant  da l’eliminazziú dal quadraa da custaa ''b'' ch’al pöö generá  (vidée la figüra), apó al è d'òor. Chesta prupietaa al è devüda al fatt che la resú àuria la cumpiss la prupietaa seguenta, gja vidüda in sezziú da prima:
:<math> \frac{b}{a-b} = \frac{a}{b} = \Phi</math>.

=== Ul [[Pentàgon (geometrìa)|pentàgon]] e ul pentalfa regülaar ===


Ul [[Pentàgon (geometrìa)|Pentàgon]] regülaar e le suve diagunale, che i furma un [[pentacle|pentalfa (u pentacle)]] i suunt un mücc da prupietaa relazziunade cun la resú àuria. Vargü i creet che cheest-chí al pudaress vess ü di mutiif paj quaj cheest símbul al è staa scernii par  [[Pitàgura]] par  la fradelanza che al creaa e presidea: i [[pitagòrich]].

Par tratá-ss da [[Pentàgon (geometrìa)|Pentàgon]] regülaar, s'i identífega dees [[àngul]] da 108º, ciinch íntal [[Pentàgon (geometrìa)|Pentàgon]] esteriuur e ciinch plüü íntal interiuur. A partí da chiist dees àngul s'i en pöö truvá  ciinch plüü apó da 108º (par  [[àngul upòost pal vèrtes]]) e dees àngul da 72º (par  [[àngul süplementari]]. Da chesta manera, s'i identífega ciinch triàngul d'òor, ch’i furma le punte dal pentàcul. Apó s'i identífega 15 triàngul d'argeent (da dò misüre diferente). Noma a gh’è dunca trii tiip d'àngul: da 36º, 72º (ul dobi da 36º) e 108º (ul trípel). 



Pal ch’al fa a la lunghezza di segmeent, s'usserva che a ghe n è noma da quàtar lunghezze diferente, però tüte in relazziú àuria cun vargüna otra:
:<math> \Phi = \frac{\mbox{russ}}{\mbox{bleu}} = \frac{\mbox{bleu}}{\mbox{veert}} = \frac{\mbox{veert}}{\mbox{lila}}</math>

:: **Demustrazziú** Par  demustrá  cadascüna da cheste relazziú, al cuventa noma truvá  un triàngul d'òor u d'argeent furmaa par  custaa cun le lunghezze curespundeent. I triàngul i è  efetivameent d'òor u d'argeent par che l’i pröva i söö àngul e la relazziú a l’è àuria par  definizziú da triàngul d'òor u d'argeent.

=== Spiraj d'òor ===

Sa l pöö custruí, a partí d'una sequenza da retàngul d'òor e quadraa (vidée la figüra), una [[spirala]] trazzaant  quaart da [[circumferenza]] in cada quadraa e tangeent a chel. Chesta spirala l’apròssima la**'spirala d'òor**, una [[spirala logarítmica]] da céntar la intersezziú  da le dò diagunale indicade in la figüra e d'equazziú pulara:
:<math> r (\theta) = r \cdot \Phi^{-\frac{\theta}{\pi \, / \, 2}}</math>




Da la istessa manera, sa pöö custruí, a partí d'una sequenza da triàngul d'òor, una spirala aprussimada a la vertadera d'òor triangulara, apó spirala logarítmica però adess d'equazziú pulara:
:<math> r (\theta) = r \cdot \Phi^{\frac{\theta}{3 \, \pi \, / \, 5}}</math>

=== Àngul d'òor ===


Sa l nòmina **àngul d'òor** chel [[àngul]] utegnüü par  la [[partizziú]] d'un [[círcül]] (la circumferenza dal quaal al gh’a una lunghezza ''c'') in düü setuur circülaar, ul plüü graant cunt un aarch da lunghezza ''a'' e ul minuur, cunt un aarch da lunghezza ''b'', da manera che 
:<math>\frac{c}{a}=\frac{a}{b}</math>
e preneent par  bú l'àngul petit (ul da lunghezza d'aarch ''b'').

Cuma che sa trata d'una partizziú dal círcul, apó sa al gh’a che <math>c=a+b \,</math>, e par  taant, <math>\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}</math> (vidée ul paraleliism cun la sezziú  àuria d'un segmeent).

* L'àngul d'òor al misüra <math>\Psi = \frac {360^{\circ}}{\Phi^2} \approx 137.51^{\circ}</math>, u bé in [[radiaant]], <math>\Psi =   \frac {2 \pi}{\Phi^2} \approx 2.4000 \mbox{ rad}</math>.
:**Demustrazziú**: Da l’equazziú <math>\frac{c}{a}=\frac{a}{b}</math>, uperaant  sa riva a l'equazziú <math> a^2-a \cdot b-b^2 = 0 </math>, d'indúe, resolveent, sa l uteegn:

::<math>a=\frac{b \pm \sqrt{b^2+4b^2}}{2} = b \cdot \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} </math>

: Da chí, s'i uteegn le do seguente valuur par  <math>\frac{a}{b} </math>: 

::<math>{1+\sqrt{5} \over 2} = \Phi \ \mathrm{i}\ {1-\sqrt{5} \over 2} = - \phi </math>

: Cuma che taant  ''a'' cuma ''b'' i è  pusitiif, sa l gh’a che <math>\frac{a}{b} = \Phi</math> u che <math>a = \Phi \cdot b</math>. Süstitueent in <math>c=a+b \,</math>, e reurdenaant  sa l uteegn che:

::<math>\frac{b}{c} = \frac{1}{\Phi+1} = \frac{1}{\Phi^2} </math>, d'indúe sa la uteegn la misüra angulara  dal àngul: <math>\Psi =  \frac {360^{\circ}}{\Phi^2} </math>  u <math>\Psi = \frac{2 \pi}{\Phi^2}</math>.

== Ul nümar d'òor ==
=== Prupietaa ===
Gja che Φ al resülta da la sulüzziú d'una equazziú pulinòmica, al furma part dal cungjuunt di [[nümar algebràich]]. Al pöö vess demustraa apó che Φ al è un [[nümar irazziunaal]].

:<math>\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1,618 033 \dots</math> (vidée le [http://goldenumber.net/phi20000.htm prime 20000 scifre decimale dal nümar d'òor])

Vargüne espressiú cun le putenze da Φ:
* <math>\Phi^2 = \Phi + 1 \ </math>
* <math>\Phi^3 = \frac{\Phi + 1}{\Phi - 1}</math>
* <math>\Phi^{-1} = \Phi - 1 \ </math>
* <math>\Phi^{-2} = 2 - \Phi \ </math>

Le putenze da Φ apó i cumpiss la seguenta prupietat:
:<math>\forall n\in\mathbb{N}, \quad \Phi^n = \Phi^{n-1} + \Phi^{n-2}</math>

::**Demustrazziú**: La prupietaa anteriuur sa la pöö utegní <math>\forall n\in\mathbb{N}</math> dal mültiplicá  la igualtaa <math> \Phi^2 = 1 + \Phi \, </math> par  <math>\Phi^{n-2} \,</math>.

:Inscí, le putenze natürale dal nümar d'òor i cumpiss la [[sequenza da Fibonacci|relazziú da recurenza da Fibonacci]],
::<math>\forall n\in\mathbb{N}, \quad F_{n+1} = F_n + F_{n-1}\,</math>
: Grazzia a chesta prupietaa, sa i pöö apó scriif espressiú indúe s'usserva la [[sequenza da Fibonaci]]:
::<math>\Phi^{-2} = - \Phi + 2 \,</math>,
::<math>\Phi^{-1} = \Phi - 1 \,</math>,
::<math>\Phi^0 = 1 \,</math>,
::<math>\Phi^1 = 1 \Phi \,</math>,
::<math>\Phi^2 = 1 \Phi + 1 \,</math>,
::<math>\Phi^3 = 2 \Phi + 1 \,</math>,
::<math>\Phi^4 = 3 \Phi + 2 \,</math>,
::<math>\Phi^5 = 5 \Phi + 3 \,</math>,
::<math>\Phi^6 = 8 \Phi + 5 \,</math>,
::<math>\Phi^n = F_n \Phi + F_{n-1} \,</math>,
::<math>\dots \,</math>,

Una otra prupietaa surprendenta relazziunada cun la recurenza da Fibonaci al è che ul quozzieent intra tèrmin cunsecütiif d'una sequenza definida cun chesta recurenza (intra cheste, la sequenza da Fibonaci) al teent al nümar d'òor. In efett, si 
<math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> a l’è una sequenza taal che <math>\forall n\in\mathbb{N}, \quad F_{n+1} = F_n + F_{n-1}\,</math>, alura:

:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\Phi</math>

::**Demustrazziú*':
::<math>x=\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}</math>
:::<math>=\lim_{n\to\infty}\frac{F(n)+F_{n-1}}{F_n}</math>
:::<math>=1+\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n-1}}{F_n}</math>
:::<math>=1+\frac1{\lim_{n\to\infty}\frac{F_n}{F_{n-1}}}</math>
:::<math>=1+\frac1x</math>

:: Da <math>x=1+\frac1x</math>, mültiplicaant  par  *x*, sa riva a:
::<math>x^2=x+1\, </math>, una [[equazziú quadràtega]] gja cugnussüda cunt ariis <math>\Phi\, </math> e <math> 1-\Phi = - \phi \, </math>. La prima ariis <math>x = \Phi\, </math> a l’è la curespundeent a la part cresseent da la sequenza, Q.E.D. La segunda, al è la coresponeent a una iputética sequenza al indrée (cercaant  ul límit <math>x=\lim_{n\to -\infty}</math>.

Cuma che <math>\Phi = 1 + \frac{1}{\Phi} \,</math>, sa pöö representá  Φ in furma da [[frazziú cuntínua]]:

:<math>\Phi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}</math>

Cuma che <math>\Phi^2 = 1 + \Phi \,</math>, Φ sa pöö representá  apó cunt una iterazziú infinida d'ariis quadrade:

:<math>\Phi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}</math>

Ul nümar d'òor al presenta apó prupietaa interessante si s'al dövra cuma basa d'un sistema da nümar (vidée [[basa d'òor]]).

In trigunumetría, ul nümar d'òor al è fisc relazziunaa cuj àngul ch’i pariss int un [[pentacle]]: (36º, 72º e 108º) e cun le suve metaa: 18º e 54º:
:<math>\Phi=2\cos 36^\circ \,</math>
:<math>\Phi=\frac{\sin 108^\circ}{\sin 36^\circ } \,</math>
:<math>\Phi=2\sin 18^\circ + 1\,</math>
:<math>\Phi=2\sin 54^\circ \,</math>

Ul nümar d'òor apó al paris in espressiú cuma
:<math>\Phi = e^{\mathrm{arsinh} \frac{1}{2}}</math>


== La resú àuria in le arte ==



In 1509, [[Luca Pacioli]] al püblica *Divina Proportione*, indúe al tratava mia noma cun le cüriusitaa matemàteghe dal nümar d'òor, ma apó cul sò üüs in l'[[architetüra]]. Vargott al prupízzia  l'acetazziú da la idea che un bell puu da artiist dal [[Renassimeent]], ga i metess la resú àuria int i söö diseegn. Un bú esempi da chiist miit al è in le pitüre dal [[Leonardo Da Vinci]], indúe, da la istessa manera che íntal Partenú, sa pöö truvar da le relazziú àurie, malgra ga síes mia da le pröve evidente ch’i cunfírmes che i füdess intrudüide espressameent pal istess autur.

Gja íntal sécul XIX, l’[[architett]] [[Svízzera|Svízzer]] [[Le Corbusier]] al püblica  [[Le Modulor]], indúe al tratava, intra d’òolt, cun la resú àuria in l’architetüra  e suratütt in l’[[ürbaniism]].

La resú àuria al a stada druvada in custrüzziú  plüü recente cuma in scale, edifizzi e d’òolt, cuma par  esempi in la misüra stàndard da carnet e carte da crédit ch’i s’apròssima a retàngul d’òor. Forsi l’edifizzi plüü emblemàtich al è la sò dal [[ONU]] a [[Növa York]], un graant [[prisma]] cun vöna da le suve fasce in furma da retàngul d’òor. 

La resú àuria apó al a stada druvada apó in [[müsica]], tant  par  la dürada da le note (par  esempi pal [[cumpusituur]] [[Ungària|Ungarées]] [[Bela Bartok]] e ul [[Francja|francées]] [[Olivier Messiaen]]), cuma par  l’urganizazziú da le parte d’un pezz (par  esempi in vargüna övra dal cumpusituur [[Mèssich|Messicà]] [[Silvestre Revueltas]]) u apó in la relazziú intra le frequenze da növe note fö da la [[scala crumàtega]] (par  esempi in *For Ann (rising)'', da James Tenney).

A gh’è geent ch’a la creet che la resú àuria la gh’a prupietaa estétiche particülare. D’òolt i argümenta che qual-sa-vöör prupurziú cumpresa intra 1,4 e 1,8 en la gh’a.

## Ul nümar d'òor in la natüra
Resú aprussimadameent d’òor sa i pöö truvá in la ramificazziú da determinade piante u in la dispusizziú di pétal da le dàlie e otre fluur. Apó sa i pöö truvá  spirale e àngul d'òor in le pigne d'un pí. Cheste relazziú i pudaress s’esplicá par  la presenza da la Sequenza da Fibonacci in chiist fenòmen, però cheest-chí al è un tema debatüü. 

Par altra banda, una bona aprussimazziú da la spirala d’òor sa la pöö truvá in la cjosca dal nautilus u de le lümaghe da maar, però vargott sa l pöö mia esplicá  sjentíficameent.

## Ligamm da fö
* La sezziú  àuria: fi. 
* Fi, la sezziú  àuria . 
* La sezziú  àuria. 
* Le prime 20000 scifre decimale dal nümar d'òor. 
* Fi: la prupurziú divina.