Assioma d'estensiunalitaa

L**'assioma d'estensiunalitaa**, u **assioma d'estensiú**, intervient in lògica, in matemàtica, e in infurmàtega. Al è ü di assiòom-cjaaf da tüta la teuría assiumàtega di cungjuunt e, in particülaar, ul primm assioma da la teuría *ZF* ( teuría di cungjuunt da Zermelo-Fraenkel ).

L**assioma d'estensiunalitaa'' al è intimameent liaa a la nuzziú d'igualtaa da düü cungjuunt. Al esiist in efett almaanch ciinch manere diferente da definí chesta nuzziú , e cheest assioma al permett da i ünifiá. Al serviss apó a impusá l'ünicitaa da cungjuunt definii par ul datum dij söö elemeent, cuma ul [[cungjuunt vöj]], i [[singletú]], i [[Para (matemàtica)|para]], u i [[Cungjuunt da le parte]]. 

== Presentazziú dal assioma ==

Par la varietaa da le definizziú da l'igualtaa, al esiist plüü da furmulazziú pussíbil da cheest assioma, però i pöö tüte sa repurtá a l'enunziaa in acordi a:
:''si düü cungjuunt i gh'a i istess elemeent, alura i è i istess.''

Si al è pussíbil da restá **flou** par vargot ch'al cuncerna la nuzziú d'igualtaa druvada in la furmulazziú chí-da-sura, al cuventa la precisá cura che sa vöör esprimm l'assioma int un [[lenguagg furmaal]]. Al è par vargott ch'al cuventa esaminá da plüü areent le diferente nuzziú d'igualtaa.

== I diverse nuzziú d'igualtaa ==

Le diferente teuríe di cungjuunt i definiss mia sémpar da la istessa manera la nuzziú d'igualtaa da düü cungjuunt. A recapitulemm chí le definizziú rincuntrade :

=== Igualtaa paj elemeent ===

Al è l'igualtaa cuma l'è definida in la [[teuría naïve di cungjuunt]] par [[Cantor]]; la sarà nutada chí « =<sub>''ig''</sub> ». Sa la definiss furmalameent par :
:<math> \forall E , \forall F , ( E =_{ig} F ) \Leftrightarrow [ \forall x , ( x \in E ) \Leftrightarrow ( x \in F ) ] \,</math>
:''Düü cungjuunt i è iguaj ''paj [[Cungjuunt|elemeent]]'' si e noma si i gh'a i istess elemeent''.

=== Igualtaa par inclüsiú recípruca ===

Al è una varianta da la definizziú precedenta; la sarà nutada chí « <math>=_\ </math> ». La fa apell a la nuzziú da ''[[Sübcungjuunt|inclüsiú]]'', da che la definizziú a l'è :
:<math> \forall E , \forall F , ( E \subseteq F ) \Leftrightarrow [ \forall x , ( x \in E ) \Rightarrow ( x \in F ) ] \,</math>
:''Un cungjuunt <math>E</math> al è cuntegnüü int un cungjuunt <math>F</math> si e noma si cada elemeent da <math>E</math> al partegn a <math>F</math>''.
L**'igualtaa par inclusiú recípruca** sa la definiss alura furmalameent par :
:<math> \forall E , \forall F , ( E =_{inc} F ) \Leftrightarrow [ ( E \subseteq F ) \wedge ( F \subseteq E ) ] \,</math>
:''Düü cungjuunt i è iguaj ''par [[Sübcungjuunt|inclüsiú]] recípruca'' si e noma si i è cuntegnüü l'ün in l'òolt''.

Cheste dò prime definizziú da l'igualtaa i è evidentameent equivalente; al è assée da remplazzá l'inclüsiú par la suva definizziú e da sa regurdá che : 
: <math>\forall P, \forall Q, [P \Leftrightarrow Q] \Leftrightarrow [(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)]</math>

=== Igualtaa par prupietaa ===

Al è l'igualtaa definida par [[Leibnitz]] sota ul nomm d**identitaa lògica*, e nutada una völta « = » par che cunsiderada cuma plüü « forta » che l'igualtaa al sentüü da Cantor par una resú che a vedaremm un pocch plüü luntà; la sarà nutada chí « =<sub>*P*</sub> ». Sa la definiss furmalameent par :
:<math> \forall E , \forall F , ( E =_{P} F ) \Leftrightarrow [ \forall P , P ( E ) \Leftrightarrow P ( F ) ] \,</math>
:*Düü cungjuunt i è iguaj *par prupietaa* si e noma si i verifica le istesse prupietaa*.

Da fatt, sa na retröva in cheest caas cul istess uget sota düü nomm difereent ( ul nomm d'un uget al è mia una *prupietaa* propia a cheest uget; al è una etichèta ch'a la gh'è apusada ). 

Chesta definizziú, ch'a la pareva natürala a tüta prima, la cascja da fatt una dificültaa : i prupietaa ga i è quantifiade ( « ∀ *P* » ). Adess, i prupietaa i è di *predicaa*, e noma la quantificazziú da le *variàbile *, mia la di *predicaa* al è auturizada in la lògica abitüala ( lògica di predicaa *dal primm úrden' ).

Tré sulüzziú i è pussíbile :
* recürí a una lògica auturizaant la quantificazziú di predicaa, par esempi *la lògica di predicaa dal seguunt úrden '; cheest al è mia la sulüzziú abitüalameent druvada, par che le lògiche d'úrden süperiuur al primm i è *fisc* plüü cumpless e i scuunt de le trape otrameent redüzzíbile che le da la lògica clàssica...
* truvá una definizziú equivalenta, però ch'a la faghes mia apell a la quantificazziú di predicaa; al è la sulüzziú druvada par esempi in la teuría *NGB* ( [[Classa (matemàtica)|teuría da le classe] ] da [[John von Neumann|von Neumann]], [[Kurt Gödel|Gödel]] e [[Bernais]] );
* renunziá a definí l'igualtaa, e l'intrudüí cuma tèrmin primitiif da la lògica süb-gjacenta ( lògica cjamada *cunt igualtaa* ); al è ul caas par esempi da la teuría *ZF*.

=== Igualtaa par classa ===

Al è l'igualtaa definida in la teuría NGB ; la sarà nutada chí « =<sub>*C*</sub> ». Sa la definiss furmalameent par :
:<math> \forall E , \forall F , ( E =_{C} F ) \Leftrightarrow [ \forall C , ( E \in C ) \Leftrightarrow ( F \in C ) ] \,</math>
:*Düü cungjuunt i è iguaj *par [[Classa (matemàtica)|classa] ]* si e noma si i partegn a le istesse classe*.

La nuzziú da *classa* la generaalise chela da *cungjuunt*. Una *classa* al è un *cungjuunt* si e noma si la è elemeent d'una otra *classa*; si-da-nò , al è un *ünivèers*.

Chesta definizziú a l'è equivalenta a la par prupietaa :
:- cuma a tüta prupietaa la pöö vess sucjada una classa, la di cungjuunt ch'i verifica chesta prupietaa, l'igualtaa par classa la implica la par prupietaa;
:- inversameent, cuma cada classa la gh'a una prupietaa caraterístega, l'igualtaa par prupietaa la implica la par classa.

Però la cumporta mia da quantificazziú da predicaa . In scambi, i è le variàbile da classa ch'i è quantifiade, vargot ch'al è lézzit íntal quàdar d'una lògica dal primm úrden.

=== Igualtaa par definizziú mia direta ===

La sarà nutada chí « =<sub>*D*</sub> ». In la teuría *ZF*, l'igualtaa a l'è mia definida, però cunsiderada cuma [[tèrmin primitiif]] da la lògica süb-gjacenta ( lògica cjamada « cunt igualtaa » ), ch'al cumporta alura i assiòom necessari par definí un cumpurtameent da cheest tèrmin equivaleent a al da l'igualtaa par prupietaa.

== Assioma d'estensiunalitaa e igualtaa ==

Sa cunstata che le definizziú precedente sa i repartiss in düü grup da definizziú equivalente:
:- le dò prime definizziú d'una paart ( grup I ),
:- e le tré darere d'otra paart ( grup II ).

In resümii, a gh'emm :
:<math> ( E =_{ig} F ) \Leftrightarrow ( E =_{inc} F ) \,</math>

:<math> ( E =_{P} F ) \Leftrightarrow ( E =_{C} F ) \Leftrightarrow ( E =_{D} F ) \,</math>

Da plüü, sa pöö mustrá che l'igualtaa *paj elemeent* al è un caas particülaar da l'igualtaa *par prupietaa*, cunsiderant la prupietaa *P(E)* definida cuma *x ∈ E*. L'igualtaa *par prupietaa* la implica dunca l'igualtaa *paj elemeent*. Al è in cheest sentüü che, cuma indicaa plüü in òolt, l'igualtaa *par prupietaa* a l'è plüü forta che l'igualtaa *paj elemeent*. A en dedüissemm ul schéma chí-da-sota d'implicazziú dal grup II veers ul grup I :
:<math> \left.\begin{matrix} E =_{P} F \\ \Updownarrow \\ E =_{C} F \\ \Updownarrow \\ E =_{D} F \end{matrix}\right\} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} E =_{e} F \\ \Updownarrow \\ E =_{i} F \end{matrix}\right. \,</math>

Par utegní l'equivalenza da tüte cheste definizziú, al resta dunca noma a demustrá le implicazziú inverse, dal grup I veers ul grup II. Però chesta darera implicazziú al è òolt che l*'assioma d'estensiunalitaa* ! 

*En passant*, sa l pöö infí esprimm cheest assioma da manera furmala; a representaremm i söö difereent enunziaa pussíbil da manera cumpata sota la furma sigütanta :
:<math> \forall E , \forall F , \left\{\begin{matrix} \forall x , ( x \in E ) \Leftrightarrow ( x \in F ) \\ ( E \subseteq F ) \wedge ( F \subseteq E ) \end{matrix}\right\} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \forall P , P ( E ) \Leftrightarrow P ( F ) \\ \forall C , ( E \in C ) \Leftrightarrow ( F \in C ) \\ E = F \end{matrix}\right. \,</math>

Al è pussíbil da rincuntrá da le furmulazziú dal assioma indúe l'implicazziú a l'è remplazzada par una equivalenza, però, traa di caas particülaar, chesta equivalenza a l'è süpèrflüa. 

Cada teuría scerniss l'üna da le definizziú precedente cuma definizziú da l'igualtaa, representada pal símbul « = », e le otre definizziú, almaanch le cumpatíbil cun chesta teuría, n i diventa di [[teurema|teureem] ].

== Òolt röö da cheest assioma ==

L'assioma d'estensiunalitaa al serviss mia noma a ünifiá le diferente definizziú da l'igualtaa di cungjuunt. Al serviss apó a assürá l'ünicitaa da cungjuunt fundamentaj, taj ul cungjuunt vöj u l para da düü cungjuunt, da che l'esistenza a l'è afirmada par di òolt assiòom.

A cheest efet, cunsideremm un predicaa ünari qual-sa-vöör *P*. Sa l pöö sémpar definí ul cungjuunt *A* cuma ul cungjuunt di ugett *C* ch'i verifica *P*, i.e. paj-quaj *P*( *C* ) al è vera. 

Però definí un uget al süfiss mia a garantí la suva esistenza, ni maanch che al pöda esiist. Al cuventa par cheest :
* che la definizziú la síes cunsistenta, i.e. la porta mia a una cuntradizziú ;
* e che l'esistenza dal uget la síes afirmada paj assiòom da la teuría, u en al sigütes.

Ul cungjuunt *A* al esiist dunca mia si la suva definizziú la porta a una cuntradizziú , par esempi cul predicaa *R* definii par : « *R*( *C* ) » al equivaar a « *C* al partegn mia a *C* » (sa l retröva in cheest caas ul [[Paradoss da Russell]]).

Cun chesta riserva, i.e. si na limitemm aj predicaa cun dent una definizziú cunsistenta dal cungjuunt *A*, e si a definissemm un seguunt cungjuunt *B* da la istessa manera, a partí dal istess predicaa , alura l'assioma d'estensiunalitaa al imponn che i düü cungjuunt i è i istess. 
:In efett, al síes *x* un élameent da *B*. Dapress la definizziú da *B*, *x* al verifica *P*. Però si *x* al verifica *P*, alura, dapress la definizziú da *A*, *x* al partegn a *A*. Dunca cada elemeent da *B* al partegn apó a *A*, e inscí *B* al è cuntegnüü in *A*. Scambiaant *A* e *B* in la démustrazziú precedenta, sa la utegn amò una démustrazziú vàlida, d'indúe *A* al è cuntegnüü in *B*. Sa la gh'a la dobia inclüsiú recípruca, dunca *B* al gh'a esatameent i istess elemeent che *A* e sa l cunfuunt cunt al. 

:Nota : la demustrazziú chí-da-sura la pöö vess rendüda plüü evidenta si sa fa apell al curulari in acordi al assioma d'estensiunalitaa:
::*Un cungjuunt al è cumpletameent determinaa paj söö elemeent, e ünicameent paj söö elemeent*.

Inscí, cada cungjuunt*A* definii a partí d'un predicaa ünari *P* par la fórmüla :
: <math> \forall\ C , [ C \in A ] \Leftrightarrow [ P ( C ) ] \,</math>
al è ünich (a cundizziú da tüta manera ch'al esiist). 

Sa l pöö alura intrudüí un símbul particülaar par désigná cheest cungjuunt, par esempi { *a* } pal singletú custrüii a partí da l'uget *a*, u { *a* , *b* } pal para furmaa par *a* e *b*,...

== Variante da l'assioma d'estensiunalitaa ==

L'assioma d'estensiunalitaa a l'è generalameent cunsideraa cuma indescütíbil , e al, u ü dij söö equivaleent, parisseva in tüta l'assiumàtega alternativa da la teuría di cungjuunt. Da tüta manera, al pöö sübí da le modificazziú par satisfá vargüne esigenze, cuma in l'esempi segueent.

=== Int una teuría di cungjuunt cun di ur-elemeent ===

La nuzziú d*'ur-elemeent*, u *àtum* u amò *elemeent primitif*, la risülta da la furmalizazziú da la nuzziú d*'elemeent* da la teuría cantoriana. Cantor al sa ucüpava pocch da la natüra precisa daj söö elemeent; tütt vargot ch'al gh'a impurtava, al era che sa pudess i mett *cungjuunt*ameent. Però, cuj primm sfoorz da furmalizazziú ( Zermelo), al è parüü necessari da distinguí i elemeent ch'i i era sí istess di cungjuunt da chij ch'i era mia : un elemeent al era dunca al síes un cungjuunt, al síes un *elemeent primitif*. Un *'elemeent primitif**, u **ur-elemeent** al è dunca un elemeent, i.e. un uget süscetíbil da partegní a un cungjuunt, però ch'al è mia sí-istess un cungjuunt, e ch'al cumporta dunca nissü elemeent. 

In la teuría da Zermelo-Fraenkel atüala, « tütt-coss al è cungjuunt », e a gh'è plüü d**ur-elemeent*, però le prime versiú da Zermelo, ispirade par la teuría naïve, n i cumportava; vargüne assiumàteghe alternative da la teuría di cungjuunt n i gh'a amò. I *ur-elemeent* i pöö vess cunsideraa cuma lògicameent difereent di cungjuunt; íntal caas indúe *A* al è un *ur-elemeent*, « *x* ∈ *A* » al gh'a nissü sentüü; inscí, l'assioma d'estensiunalitaa sa l aplica noma aj cungjuunt (si-da-nò , cuma un *ur-elemeent* al gh'a mia d'elemeent, al sa cunfundaress cul [[cungjuunt vöj]]).

Alternativameent, int una [[lògica mia tipada]], sa l pöö avidaa büsögn da dá un sentüü a « *x* ∈ *A* » ; chesta espressiú a l'è alura cunsiderada cuma *falsa* tüte le völte indúe *A* al è un ur-elemeent. In cheest caas, l'aplicazziú da l'assioma abitüaal d'estensiunalitaa la implicaress, cuma a venemm da vidé, che tütt ur-elemeent sa l cunfund cul [[cungjuunt vöj]]. Par evitá cheest-chí, a dévum mudifiá l'assioma d'estensiunalitaa al fí che al pöda s'aplicá noma aj cungjuunt mia-vöj. Sa l núnzia alura par esempi:

:*'assioma d'estensiunalitaa restrecc :*'

:<math> \forall A , \forall B , [ ( \exists C /\, C \in A ) \wedge ( \forall x , ( x \in A ) \Leftrightarrow ( x \in B ) ) ] \Rightarrow [ A = B ] \,</math>

I.e. :
:* daa di cungjuunt A e B qual-sa-vöör, si A a l'è un cungjuunt mia vöj (i.e. sa l esiist almaanch un elemeent C in A ), e si A e B i gh'a esatameent i istess elemeent, alura i è iguaj''.

## Vidée apó

*teuría assiumàtega di cungjuunt
*Cungjuunt
*Classa