Funziú ulumorfa

Le **funziú ulumorfe** i è l'ugett centraal da stüdi da l’anàlisi cumplessa: i è da le funziú definide int un sübcungjuunt deerf dal plà cumpless \mathbb{C} cun valuur a \mathbb{C} (u int una süperfiis da Riemann), e diferenziàbile in sentüü cumpless in töcc i puunt. Chesta chí a l’è una cundizziú fisc plüü forta che la diferenziabilitaa reala e la implica che la funziú a l’è infinidameent diferenziàbila e sa la pöö descriif par la suva séria da Taylor. Ul tèrmin **[[funziú analítica]]** al è druvaa da spess cuma sinònim da "funziú ulumorfa". Una funziú ch’a l’è ulumorfa in tütt ul plà cumpless sa la nòmina funziú intrega. La frasa "ulumorfa int un puunt *a*" la significa mia noma "diferenziàbila in *a*", plütòost "diferenziàbila in tütt un diisch deerf centraa in *a*" íntal plà cumpless. **Biulumorfa** al è una funziú ulumorfa bigetiva cunt una funziú inversa apó ulumorfa.

## Definizziú

Si *U* al è un sübcungjuunt deerf da \mathbb{C} e f:U\rightarrow \mathbb{C} al è una funziú, disemm che *f* a l’è "diferenziàbila in sentüü cumpless" íntal puunt *z*0 da *U* si al esiist ul límit

:f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 } .

Ul límit chí sa l töö sura tüte le sequenze da nümar "cumpless" tendeent a *z*0, e par tüte cheste sequenze ul quozzieent diferenzial al gh’a da sa aprussimá al istess nümar *f*&nbsp;'(*z*0).
Intuïtivameent, si *f* a l’è diferenziàbilaa in sentüü cumpless in *z*0 e na aprussimemm a *z*0 par la direzziú *r*, alura le imàgen sa i aprussimarà a *f*(*z*0) par la direzziú *f*&nbsp;'(*z*0) *r*, indúe ul darée prudüit al è la mültiplicazziú da nümar cumpless.
Cheest cuncett da diferenziabilitaa al cumpartiss certe prupietaa cun la diferenziabilitaa reala:
che i è:
* la linearitaa,
* le régule dal prudüit, dal quozzieent e da la cadena.

Si *f*' a l’è diferenziàbilaa in sentüü cumpless in "töcc" i puunt *z*0 in *U*, disemm che *f*' a l’è "ulumorfa in U". Disemm che *f* a l’è ulumorfa íntal puunt *z*0 si a l’è ulumorfa int un intuurn da *z*0. Disemm che *f* a l’è ulumorfa int un cungjuunt mia deerf *A* si a l’è ulumorfa int un cungjuunt deerf che al cunteegn a *A*.

Una definizziú equivalenta a l’è la seguenta. Una funziú cumplessa f(x + iy) = u + iv a l’è ulumorfa si e noma si la satisfà le equazziú da Cauchy-Riemann e u e v i la gh’a le prime derivade parziale cuntínüe par rapòort a a x e y.

## Esempi

Tüte le funziú polinòmiche in *z* cun cueficeent cumpless i è ulumorfe in \mathbb{C}, e apó al i è ul sinus, ul cosinus e la funziú espunenziala.
(Da fatt le funziú trigonométriche i è fisc relazziunade cun la funziú espunenziala e i pöö vess definide a partí da chesta duvraant la formula d'Euler).
La branca principala da la funziú lugariitm a l’è ulumorfa íntal cungjuunt \mathbb{C} - \{z \in \mathbb{R} : z \le 0\}.
La funziú ariis quadrada sa la pöö definí cuma
:\sqrt{z} = e^{\frac{1}{2}\ln z}
e par taant a l’è ulumorfa in cada àrea indúe al síes ul lugariitm \ln(z). La funziú 1/*z* a l’è ulumorfa in {*z* : *z* ≠ 0}.

Esempi típich da funziú che i è mia ulumorfe i è la cunjugazziú cumplessa e töö la paart reaal.

## Prupietaa

Gja che la diferenziazziú cumplessa a l’è lineara e la ubediss a le régule dal prudüit, dall quozzieent e da la cadena, le sume, i prudüit e cumpusizziú da funziú ulumorfe i è ulumorfe, e ul quozzieent da dò funziú ulumorfe al è ulumòorf in cada àrea indúe ul denuminaduur al è mia zero.

Cada funziú ulumorfa a l’è infinidameent diferenziàbila in töcc i puunt. La cuinciit cun la suva pròpia séria da Taylor e la séria da Taylor la cunveerg in töcc i diisch deerf deent al domini *U*. Le série da Taylor i pöö cunveerg int un diisch plüü graant; par esempi, la séria da Taylor dal lugariitm la cunveerg in töcc i diisch ch’i cuntegn mia 0, e apó aprööf la línia reala negativa. Vidé le funziú ulumorfe i è analítiche par la demustrazziú.

Si sa l identifica \mathbb{C} cun \mathbb{R}^2, alura le funziú ulumorfe i cuinciit cun chele funziú \mathbb{R}-diferenziàbil da dò variàbile reale che i cumpiss le equazziú da Cauchy-Rieman, un cungjuunt da dò equazziú diferenziale in derivade parziale.

Aprööf di puunt da derivada difereent da zero, le funziú ulumorfe i è cunfurme íntal sentüü che i preserva i àngul e la furma (però mia la misüra) da figüre petite.

La fórmüla integrala da Cauchy la afirma che cada funziú ulumorfa int un diisch a l’è cumpletameent determinada paj söö valuur in la fruntera dal diisch.

Da un puunt da vista algebràich ul cungjuunt da le funziú ulumorfe int un cungjuunt deerf al è un anell cumütatiif e un spazzi veturiaal cumplett. Da fatt, al è un spazzi veturiaal tupulògich lucalameent cunvess, cun la seminorma dal süpremm in cungjuunt cumpatt.

## Diverse variàbile

Una funziú analítica cumplessa da diverse variàbile cumplesse sa la definiss cuma analítica e ulumorfa int un puunt si sa la pöö esteent lucalameent (int un prudüit cartesià da diisch, centraa in cheest puunt) a una séria da potenze cunvergeent in le variàbil. Chesta cundizziú a l’è plüü forta che le equazziú da Cauchy-Rieman; da fatt sa pöö afirmá che:

Una funziú da diverse variàbile cumplesse a l’è ulumorfa si e noma si satisfà le equazziú da Cauchy-Rieman e a l’è lucalameent da quadraa integràbil.

## Estensiú a l'anàlisi funziunala
Ul cuncett da funziú ulumorfa sa l pöö esteent aj spazzi da dimensiú infinide da l’anàlisi funziunala. L'artícul da la derivada da Fréchet al revisa ul cuncett da funziú ulumorfa int un spazzi da Banach.

## Terminulugía
Incöö, la plüpaart di matemàtich i preferiss ul tèrmin "funziú ulumorfa" a "funziú analítica", gja che cheest darée al è un cuncett plüü generaal. Vargott al è apó par che un resültaa impurtaant da l’anàlisi cumplessa al diis che cada funziú ulumorfa a l’è analítica cumplessa, un fatt che s’al dedüiss mia diretameent da le definizziú. Ul tèrmin "analítich" al è da tüta manera anmò ampiameent druvaa.

La parola "ulumorfa" la deriva dal Greech "holos" ch’al significa "intreegh" e "morphe" che significa "furma" u "aparenza".

## Vidée apó
* Funziú merumorfa
* Funziú intrega
* Funziú antiulumorfa