Numer cardinal

In lenguistega, i numer intreg naturai *zer*, *vun*, *duu*, *tri*, e via insì, i se ciama dei ajetiv numerai **cardinai**.

In matematega, un **numer cardinal** a l'è una estension de qesta nozion per cuntar i insema, là compres i insema infinids.

## Definizion

### Cas dei insema finids

Per un insema finid, ol so cardinal a l'è ol so numer d'elements (zer, pe'l insema vœi) : 
:\mathrm{card}(\emptyset) = 0 
:\mathrm{card}(\{1, 2, 5\}) = 3

Voilà d'oltr esempi, relativ a le fonzion e relazion.

I sies *E* e *F* duu insema finids, *E* de cardinal *p* e *F* de cardinal *n*. Allora :

*Le corespondenze de E in F i forma un insema, notad abitualament « Cor( *E*, *F* ) ». Ol numer de qeste corespondenze a l'è :
:: \mathrm{card \,Cor}\,( E, F) = 2^{np} 

*le fonzion de *E* in *F* i forma un subinsema del precedent, q’al pœl vesser notad « Fnt( *E*, *F*) ». Ol numer de qeste fonzion a l'è :
:: \mathrm{card\, Fnt}\,( E, F) = (n+1)^p 

*le aplicazion de *E* in *F* i forma un subinsema del precedent, q’al pœl vesser notad « Apl( *E*, *F*) ». Ol numer de qeste aplicazion a l’è :
:: \mathrm{card \,Apl}\,( E, F) = n^p 
:Qesta propietaa la spiega perqè Apl( *E*, *F* ) a l'è notad plu de spess «  F^E \,  ».

*le injezion (matematega) de *E* in *F* i forma un subinsema del precedent, notad abitualament « Ing( *E*, *F*) ». Qest insema a l'è *vœi* se card*E* > card*F*. Se card*E* = card*F* , ol numer de qeste injezion a l’è :
:: \mathrm{card \,Ing}\,( E, F) = \frac{n! }{ (n-p)! } 

*le surjezion de *E* in *F* i forma un subinsema del insema de le aplicazion, notad abitualament « Surj ( *E*, *F*) ». Qest insema a l'è *vœi* se card*E*  \mathrm{card\, Sürg}\,( E, F) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^{i} \frac{ n! }{ i! (n - i)! } (n - i)^{p} 

*le bijezion de *E* in *F* i forma un subinsema dei duu insema precedents, notad abitualament « Big( *E*, *F*) ». Qest insema a l'è *vœi* se card*E* ≠ card*F*. Se card*E* = card*F* = *n*, ol numer de qeste bijezion a l’è :
:: \mathrm{card\, Big}( E, F) = n! .

### Cas dei insema infinids
Se dix qe duu insema infinids i g'ha i stess cardinai se la esist una bijezion de vun su l'oltr. Se dix anc'pó qe i è equipotents. Se mostra qe l'esist nissuna bijezion intra un insema E e l'insema de le soe part \mathfrak P(E) e donca qe esist diferente taie de insema infinids. Qists infinids diferents i è representads dei numer cardinai transfinids : ol cardinal d'un insema E a l'è allora definid come ol plu picin numer ordinal equipotent a E. De manera plu formala, se al definiss un cardinal come un ordinal qe l'è equipotent a nissun dei sœ elements.

Ind la teoria assiomatega dei insema de Zermelo-Fraenkel (ZF), l'esistenza d'un ordinal equipotent a un insema qualsavœl a l'è miga segurada. In qests cas, a l'è judexios se limitad ai insema per i quai un tal ordinal al esist. Per contra, se se jonta l'assioma de la cernida a ZF, qe la da la teoria ZFS, se pœ mostrar qe cada insema a l'è equipotent a un cardinal. 

I cardinai infinids i è representads per mez de la letera ebraega *alef* \alef. Ol cardinal infinid plu picin a l'è \alef_0. A l'è ol cardinal de l'insema \mathbb N dei intreg naturai. Ol cardinal imediatament superior a l'è \alef_1, etc... D'una manera jenerala, un cardinal qualsevœl le se scriv \alef_\alpha indove \alpha a l'è un ordinal.

Se al esist una injezion d'un insema A ind un insema B, se scriv\mathrm{card}(A) \leq \mathrm{card}(B). Se l'esist una injezion de A in B però miga de bijezion, se scriv\mathrm{card}(A) . 

**Esempi** : 
*\mathrm{card} (\mathbb{N}) = \alef_0 
indove se nota 2^{\alef_0} ol cadinal de l'insema dei fonzion de \alef_0 in \{0,1\}, equipotent a \mathfrak P(\alef_0). Qest cardinal a l'è igual a qell de \mathbb R, notad de l’istessa manera \mathfrak c, dei cardinai del continov.

*De tuta manera, e qest qí al someia miga intuitiv a tuta prima :
::\mathrm{card} (\mathbb{N}) = \mathrm{card} (\mathbb{Q}) (cf. insema cuntabel)

* Ol cardinal de l'insema dei fonzion continove de \mathbb R in \mathbb R a l'è igual a \mathfrak c, cardinal de \mathbb R.

* Ol cardinal de l'insema dei fonzion de \mathbb R a l'è 2^{\mathfrak c} > \mathfrak c.

= Propietaa =

* A \subset B \Longrightarrow \mathrm{card}(A) \le \mathrm{card}(B)

*A \;{\rm infinid} \iff \mathrm{card}(A) = \mathrm{card}(A \cup \{A\})

* \mathrm{card}(E) . Se E a l'è infinid e se \mathfrak F(E) al designa l'insema de le part finide de E, allora\mathrm{card}(E) = \mathrm{card}(\mathfrak F(E))

* se i insema i è finids,\mathrm{card}(A \cup B) = \mathrm{card}(A) + \mathrm{card}(B) - \mathrm{card}(A \cap B)

* se A a l'è infinid e B miga vœi, allora\mathrm{card}(A \cup B) = \mathrm{card}(A \times B) = \max(\mathrm{card}(A), \mathrm{card}(B))

* se B a l'è contegnud in A infinid e se\mathrm{card}(B) , allora\mathrm{card}(A-B)=\mathrm{card}(A)

* se A a l'è infinid e se2 \le \mathrm{card}(B) \le \mathrm{card}(A), allora \mathrm{card}(B^A) = 2^{\mathrm{card}(A)} indove B^A al designa l'insema dei fonzion de A in B

* se f a l’è una fonzion de A in B, allora\mathrm{card}(f(A)) \le \mathrm{card}(A)

* se A a l'è infinid, allora\mathrm{card}(A \times A) = \mathrm{card}(A)

## I cardinai inacessibei
In qest paragraf, se considera la possibilitaa de rivar a un ordinal o a un cardinal dait a partir de ordinai plu picinits. Se dix qe un ordinal \alpha a l'è cofinal cont un ordinal \beta inferior a \alpha se al esist una aplicazion streintament cressenta f de \beta in \alpha tal qe \alpha al sies ol limit de f a'l teorema qe vegn :
:\forall \gamma \in \alpha, \exists \delta \in \beta, \gamma \le f(\delta)

Per esempi, \alef_0 a l'è cofinal cont nissun ordinal plu picin, jà qe un ordinal inferior a \alef_0 a l'è un intreg n = \{0,1,...,n-1\} e qe una aplicazion streintament cressenta definida su \{0,1,...,n-1\} a l'è limitada. Se dix qe \alef_0 a l'è **regolar**.

Per contra, \alef_{\omega} a l'è cofinal cont \omega pe'l mez de l'aplicazion f : n \in \omega \to\alef_n. Se dix qe \alef_{\omega} a l'è **singolar**.

Se se nota {\rm cf}(\alpha) ol plu picin ordinal cont \alpha qe l'è cofinal, se g'ha {\rm cf}(\omega) = \omega e {\rm cf}(\alef_{\omega}) = \omega.

Se pœ classar allora i cardinai come quei qe vegn :
*I cardinai de la forma \alef_{\alpha+1}, indexizad per un ordinal \alpha+1 sucessor d'un ordinal \alpha.
*I cardinai de la forma \alef_\alpha, indexizad per un ordinal \alpha limit, e qe i è singolar. Qists duu jener de cardinai i è qualifegads d**'acessíbel**, perqè concepibei a partir de cardinai plu picits qe miga lor.
*I cardinai de la forma \alef_\alpha, indexizad per un ordinal \alpha limit, e qe i è regolar. Qest jener de cardinal a l'è qualifegad de **flebilment inacessibel** perqè i pœ miga vesser concepids a partir de cardinai plu picits. Intra qists daree, i se disting i cardinai **fortament inacessibei** q’i verifega de plu \mathrm{card}(x) . L'esistenza de qei cardinai qì la se pœ dedur dei assioma de la teoria dei insema ZFS.

## L'ipotesi del continov
A hem enonziad qe \mathrm{card} (\mathbb{N}) = \alef_0 . Adess \alef_1 a l'è ol plu picin cardinal streintament superior a \alef_0. Se g'ha donca \alef_1 \le 2^{\alef_0} e l'ipotesi del contínov la pon la quistion de saver se \alef_1 = 2^{\alef_0}. Se mostra qe qesta propietaa a l’è indecidibel in ZFS. 
Plu jeneralment, l'ipotesi jeneralizada del continov l'enonzia qe, per cada ordinal \alpha, se g'ha \alef_{\alpha+1} = 2^{\alef_{\alpha}}. 

Se se met come assioma l'ipotesi jeneralizada del continov allora :
*l'assioma de la cernida a l'è demostrabel.
*A g’è equivalenza intra i nozion de cardinai flebilment inacessibei e fortament inacessibei.

Notèm \alef_{\alpha}^{\alef_{\beta}} l'insema dei fonzion de \alef_{\beta} in \alef_{\alpha}. Allora :
*\mathrm{card}(\alef_{\alpha}^{\alef_{\beta}}) = \alef_{\alpha} si \alef_{\beta} 
*\mathrm{card}(\alef_{\alpha}^{\alef_{\beta}}) = \alef_{\alpha+1} si {\rm cf}(\alef_{\alpha}) \le \alef_{\beta} \le \alef_{\alpha}
*\mathrm{card}(\alef_{\alpha}^{\alef_{\beta}}) = \alef_{\beta+1} si \alef_{\alpha} \le \alef_{\beta}

## Vardé anc'pó
* Àljebra jenerala
* Corespondenza e relazion
* Numer ordinal
* Teoria assiomatega dei insema
* Teorema de Cantor