Diffusion del Mie

La **diffusion del Mie**, conossuda anca come **diffusion del Lorenz-Mie**, a l’è ona soluzion complètta e rigorosa del ponto de vista matematich del problema de la diffusion d’on'onda elèttromagnetica in su de ‘na sfera o on borlon. La teoria che la descrìv quèst tipo chì de diffusion l’hà ciapàa el nòmm del fisich todèsch Gustav Mie che in del 1908 a l’è stàa el prìmm a mètt foeura la soluzion complètta . Minga domà el Mie, ma anca di alter ricercador  hànn pubblicàa aquas in del stèss temp di alter svilùpp e di espression divèrsi ma che voeruen dì l’istèss: infra sti chì gh’è soratùtt de regordà i contribuzion del Peter Debye e del Ludvig Lorenz.

La diffusion del Mie la var per di center de diffusion de tucc i  grandèzz e, quand che hinn molto pussée piscinitt de la longhèzza d’onda de la radiazion incident a se otten de noeuv la diffusion del Rayleigh (che la var domà quand che i center de diffusion hinn inscì piscinìtt de vèss considerà di pont). Per quèlla reson chì la diffusion del Mie la po’ vèss aplicada per el studi òttich di collòid ma anca in meteorologia; de fatt i gott de acqua che fànn su i nivol gh’hànn despèss di dimension maggior (o anca molto maggior) de la longhèzza d’onda de la lus visibel. 

Ona conseguenza de la leg del Mie che la ghe interèssa a la meteorologia a l'è che quand che 'l ragg di partìcol che gh'è ind l'aria a l'è almanc l'istèss de la longhèzza d'onda de la lus incidenta alora l'intensità che la lus la ven spanduda a l'è l'istèssa per tutt i longhèzz d'onda. Chèsschì a l'è la reson perchè i nivol paren bianch (de fàtt in di nivol, ch'hinn fa su gottin pussée gross di longhèzz d'onda de la lus, tucc i lònghèzz d'onda de la lus hinn spandùd ind l'istèssa manera e la mes'ciada de tucc i longhèzz d'onda fa su el color bianch), inscambi el cièl quand che l'è senza nivol a l'è bleou (perchè el ciel l'è fa su de partìcol pussée piscinìtt e 'l ghe va adrée a la leg del Rayleigh).

## L'equazion vettorial e l'equazion scalà

La diffusion del Mie a l’è on problema vettorial, o ben ch' el trà denter tucc i component di camp elèttrich (**E**) e magneticih (**H**) al fin de tegnì de cunt come se dev i proprietàa de polarizzazion de la radiazion. Dent ind on mèzz de propagazion compagn de l’aria o de voeud dieléttrich, trasparent, omogénui, egual in tucc i direzion, che ‘l mangia minga foeura o spand minga l’energia che l’intravèrsa, che gh’hà denter di sferètt (o ben di cenetr de diffusion), l’onda incidenta, che la po’ vèss pensada ind la forma de on’onda piana, l’è fada su de camp elèttrich e magnetich che soddisfen quèll’equazion di ond chì:

: \nabla^2 \mathbf{E} + n^2 k^2 \mathbf{E} = 0
: \nabla^2 \mathbf{H} + n^2 k^2 \mathbf{H} = 0

indoe *k* a l’è el vettor d'onda e *n* l'indes de rifrazion. Se definìssom el vettor \mathbf{M} = \nabla \times ( \mathbf{r} \psi ), indoe \psi a l’è on'arbitraria funzion scalà e **r** on vettor de posizion (in del nòster cas l’indica la coordinada radial), a l’è possìbil fà vedè  che chèsstchì el soddisfa l'equazion

: \nabla^2 \mathbf{M} + n^2 k^2 \mathbf{M} = \nabla \times (\nabla^2 \psi + n^2 k^2 \psi)

o ben che **M** el soddisfa l'equazion d'onda vettorial quand che  \nabla^2 \psi + n^2 k^2 \psi = 0 o ben quand che \psi el soddisfa l'equazion d'onda scalà. De l’istèssa proprietà el gòd el vettor **N** che pòdom definì per mèzz de n k \mathbf{N}= \nabla \times \mathbf{M}.

Dòpo ‘vèegh resòlt l'equazion di ond scalà cont i giust condizion al contorna, a l’è donca possìbil trà foeura du camp che soddisfen i  equazion d'onda vettoriaj. In particolar, ciamèmm *u* e *v* dò soluzion indipendent de l'equazion scalà che originen i camp **M**u, **N**u, **M**v, **N**v  e se pòden reconóss i camp elèttrich e magnetich per mèzz de

: \mathbf{E} = \mathbf{M}_v + i \mathbf{N}_u

: \mathbf{H} = m ( - \mathbf{M}_u + i \mathbf{N}_v ).

indoe "i" l’indica l'unità immaginaria.

A l’è donca possìbil ottegnì el camp elèttro-magnetich in funzion di campi ausiliari nominà prima ‘me di opportun soluzion de l’equazion di  ond scalà.

## I soluzion de l'equazion d'onda e i condizion al contorna

Dato che el sistèma el gh’ha ona simmitria sferica, el convén a resòlv el problema in coordinad sferich. Con el doprà el fàa che i ond sferiche fann su on insèma de funzion complètt e òrto-normal, o ben che ona qualsessìa altra funzion la pò vèss sviluppada me sòma de ond sferich, l’idea fondamental de la teoria del Mie a l’è quèlla de riscriv l’onda piana incidenta ‘me sòma di ond sferich (per mèzza de ‘n svilupp in serie) denter e foeura de la sfera e impònn i condizion al contorna in su la superficie per ottegnì i coefficient del svilùpp.

In particolare pòdom scriv che denter ind la sfera  

: u = e^{i \omega t} \cos \phi \sum_{n=1}^{\infty} -a_n (-i)^n \frac{2 n+1}{n (n+1)} P_n^l (\cos \theta ) j_n ( k r ) e

: v = e^{i \omega t} \sin \phi \sum_{n=1}^{\infty} -b_n (-i)^n \frac{2 n+1}{n (n+1)} P_n^l (\cos \theta ) j_n ( k r )

indoe P_n^l hinn i funzion associaa del Legendre e j_n hinn i funzion  del Bessel sferich de primma spece.

In coordinad sferich l'equazion d'onda a l’è fattorizzabil e la gh’ha soluzion del tipo 

: \psi_{n,l} = \cos l\phi P_n^l (\cos \theta ) z_n (m k r ) e
: \psi_{n,l} = \sin l\phi P_n^l (\cos \theta ) z_n (m k r )

indoe *n* e *l* hinn di numer dei numeri intrégh, P_n^l hinn polinòmi associaa del Legendre e z_n hinn i funzion  del Bessel sferich.

Se impònnom i condizion al contorna in su la superfice de la sfera e mèttom denter el parametro x = \frac{2 \pi a}{\lambda} a s’ottegnen i coefficienti de diffusion:

: 
\begin{matrix}
a_n = \frac{\psi_n^\prime (mx) \psi_n (x)-m \psi_n (mx) \psi_n^\prime (x)}{\psi_n^\prime (mx) \zeta_n (x) - m \psi_n (mx) \zeta^\prime (x)} \\
\\
b_n = \frac{m \psi_n^\prime (mx) \psi_n (x)- \psi_n (mx) \psi_n^\prime (x)}{m \psi_n^\prime (mx) \zeta_n (x) - \psi_n (mx) \zeta^\prime (x)} \\
\end{matrix}


indoe \psi e \zeta hinn i funzion del Riccati-Bessel.

La sezion de button totàl che la se otten a l’è:

: \Sigma = \frac{2 \pi}{k^2} \sum^{\infty}_{n=1} \left ( \left | a_n \right |^2 + \left | b_n \right |^2 \right ).

## Riferiment


## Vos correlàa

* Effètt Tyndall
* Diffusion del Rayleigh