Cuntinuazziun analítica

## Intrudüzziun
Sa cunsíderi un puunt p dal plan cumpless e la séria da puteenz in 
z-p:


\alpha_0+\alpha_1(z-p)+
\alpha_2(z-p)^2+
\alpha_3(z-p)^3+...


Chesta séria da puteenz la cunveerg in un ceert círcul C_1 da centru
p e dunca ga definiss una funziun ulumorfa f; scrivemm
 f_p   par ponn in evidenza ul puunt da desvilüpameent.

Cunsideremm un puunt q\in C_1 e desvilüpemm f in séria da puteenz 
da z-q:


f_q(z)=\beta_0+\beta_1(z-q)+
\beta_2(z-q)^2+
\beta_3(z-q)^3+...


Si al è ul caas che ul círcul da cunvergenza C_2 da hesta darera séria al sia 
mia cuntegnüü in C_1, emm utegnüü una cugnussenza plüü àmpia da f,
par mezz da la definizziun:


f(z):=
\left\{
\begin{matrix}
f_p(z) & \textrm{si}\ z\in C_1\\
f_q(z) & \textrm{si}\ z\in C_2
\end{matrix}
\right.


Chesta definizziun a l'è ben pusada, par che  z\in C_1\cap C_2 \Rightarrow  f_p(z)
=f_q(z).

Diremm che l'estenziun inscí utegnüda a l'è una **cuntinuazziun analítica** 
(u apó un **prulungameent analítich**) da  f_p :C_1\rightarrow \mathbb C ;
diremm apó che  f_q :C_2\rightarrow \mathbb C  a l'è una **cuntinuazziun 
analítica** da  f_p :C_1\rightarrow \mathbb C  e viceversa.

Par esempi, sa pöö facilmeent vidé che i dò seri da puteenz

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}
{2^{n+1}}\ (\vert z     \vert i 
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-i)
^n}{(2-i)^{n+1}}\ \vert z-i     \vert

i-è cadascüna una cuntinuazziun analítica da l'oltra.
Nutemm che tüti dò i representa la funziun z\mapsto 1/(2-z). 
Plüü in generaal, si al è ul caas che f, definida
a priori int un cungjuunt deerf U\subset\mathbb C, sa la pöda restringí 
a un cungjuunt deerf V\subset U e dapress f\vert_V la pöda vess prulungada a un cungjuunt deerf W\not\subset U, diremm que 
la növa funziun utegnüda a l'è una **cuntinuazziun analítica** da f.

## I definizziun bàsich

Un **elemeent da funziun ulumorfa** al è un para \left(U,f    \right), 
intúe U al è un cungjuunt deerf a cunessiun simpla dal plan cumpless,
f:U\rightarrow \mathbb C una funziun ulumorfa definida in U.

Düü elemeent \left(U,f    \right) e \left(V,g    \right) i-è
**liàbil** si al esiist una sequenza finida

 \left\{(U_j,f_j)\right\}_{j=0,....,n},

tala che
\left(U_0,f_0    \right)=\left(U,f    \right), \left(U_n,f_n    \right)=\left(V,g    \right)
e, par tücc
j=0,....,n-1,


\left\{
\begin{matrix}
& U_j\cap U_{j+1}\not= \emptyset,\\
& f_{j+1}\vert_{U_j\cap U_{j+1}}=f_{j}
\vert_{U_j\cap U_{j+1}}.
\end{matrix}
\right.


Diremm che
\  \{(U_i,f_i)\}_{i=0...n}\    
al è una cuntinuaziun analítica da  (U,f)   (u da  (V,g)  ).

Diremm apó, si a gh'è mia pussibilitaa da cunfüsiun, che cada elemeent al è una cuntinuazziun analítica da (U,f) (u da  (V,g)  ).

I elemeent  \left\{(U_j,f_j)\right\}_{j=0,....,n} i-sa dirà **liaa**.

Una **cuntinuazziun analítica al luungh d'un [[camin (matemàtica)|camin]] <math>\gamma:[0,1]\rightarrow\mathbb C</math> a l'è una cuntinuazziun analítica <math> \{(U_i,f_i)\}_{i=0...n}  </math> 
tala che 
<math>\bigcup_{i=0}^n U_i\supset\gamma([0,1])</math>.

Al cuventa senza dübi regurdá che la cuntinuazziun analítica al luungh d'un camin saraa la cunserva mia, in generaal, i valuur da la funziun int un [[intuurn]] dal puunt da partenza:
sa tegna in cüünt, par esempi, la determinazziun <math>\varphi</math> da la funziun 'ariis quadrada cumplessa' tal que <math>\varphi(1)=1</math>, int un intuurn da de <math>1</math>.
Sa pöö vidé <math>\varphi</math>, in cuurdenaat pulaar, cuma l'aplicazziun ch'a la manda
<math>\varrho \exp(i\vartheta)</math> sü <math>\sqrt{\varrho}\exp(i\vartheta/2)</math>, int úe 
<math>\sqrt{\ }</math> a índica l'uperazziun da ariis quadrada reala pusitiva.

Intütivameent, cuntinuemm <math>\varphi</math> al luungh da la circumferenza ünitaa: dapress un giir cumplett, i.e. un incremeent da <math>\vartheta   </math> istess a <math> 2\pi  </math>, 
utegnemm un nööf elemeent da funziun ulumorfa <math>\psi</math> int un [[intuurn]] da <math>1</math>, ch'al a redüii a metaa l'incremeent da <math>2\pi</math> dal argument da <math>z</math>.
Dunca, <math>\arg(\psi(z))
=\arg(\varphi(z))+\pi</math>, i.e. <math>\varphi=-\psi</math>. Natüralmeent, un òolt giir da 
<math>2\pi</math> na porta a nuvell al elemeent da partenza <math>\varphi</math>.

Sa pöö vidé che ul cungjuunt di cuntinuazziun analítich d'un istess elemeent al furma da manera natürala una [[süperfiis da Riemann]], numinada **süperfiis da Riemann dal elemeent** u apó [[cuntinuazziun analítica massimala]], ch'a la esiist grazzia al [[Lema da Zorn]].

== Furmazziun da frunteer natüraal ==

Sa cunsíderi un elemeent da [[funziun ulumorfa]] <math>(U,f)   </math>: al pöö süceet che, par cada restrizziun <math> (V,g )  </math> de <math>(U,f)     </math> (i.e,
<math> V\subset U  </math> e <math> g=f\vert_V  </math>) al esista nissüna cuntinuazziun analítica <math> (W,h)  </math> da <math> (V,g )  </math> tala che 
<math>W\cap U\not\subset U</math>.
Si al è ul caas, diremm che <math>\partial U</math> a l'è una **fruntera natürala ''' par l'elemeent (U,f)   . Cunsideremm par esempi la séria da puteenz
\sum_{n=0}^{\infty}z^{2^n}=1+z^2+z^4+
z^8+...: grazzia al teurema da Cauchy-Hadamard, la cunveerg íntal diisch \vert z\vert, e dunca la ga definiss una funziun ulumorfa  h  . Da plüü, 
 h(z)\to\infty  , alura che z\to 1 luungh l'ass reaal.

Cuma ca


h(z^2)=1+z^4+z^8+
z^{16}+...=h(z)-z^2
, sa a 
 

\lim_{z\to{-1},z\in\mathbb R}
h(z)
=

\lim_{z\to{-1},z\in\mathbb R}
\left(z^2+h(z^2)    \right)
=\infty
.

In l'istessa manera, h(z)=z^2+z^4+h(z^4),
dunca h\to\infty alura che z\to 1 luungh l'ass imaginari: da manera generala,

h(z)=z^2+...+z^{2^n}+h(z^{2^n})
,
par cada nümar natüraal n   , dunca h\to\infty alura che 
z\to \exp({2k\pi/2^n}) luungh un radi dal diisch ünitaa.

Ul cungjuunt di puunt da la furma \exp({2k\pi/2^n}),\ k,n\in\mathbb Z 
al è deens íntal círcul \mathbb T=\{\vert z\vert=1\}   , 
dunca  h   l'amett nissüna cuntinuazziun analítica a vargün puunt da chesta curva, ch'a l'è dunca una fruntera natürala.

Usservemm che h la pöö gnanca vess cuntinuada aj puunt da  \mathbb T   cuma funziun merumorfa, par che, in cheest caas-chí, 1/h    
s'anülaress int un cungjuunt cunt un puunt d'acümülazziun, e la saress dunca identicameent 0, vargott ch'al è faals.