Nümar natüraal

Un **nümar natüraal** (Lumbart Orientàl: nömer natüràl) al è ü quaal-sa-vöör di nümar 0, 1, 2, 3... , 19, 20, 21, 22, ..., 1059.... un miliú, che sa i pöö druvá par cüntá i elemeent d'un cungjuunt. Par esempi, 24 pomm, 2 camiú u 1123 pess i è da le sitüazziú indúe sa cünta cun di nümar natüraj.
Ul cungjuunt da tücc i nümar natüraj sa al simbuliza cun la lètera \mathbb{N}.

Vargügn matemàtegh (spescjalameent a la teuría di nümar) i preferiss mia recugnuss ul zeru cuma nümar natüraal, cura ca d'òolt (spescjalameent a la teuría di cungjuunt, lògica e infurmàtega), i gh'a la pusizziú uposta. In cheest artícul zeru al è cunsideraa un nümar natüraal.

## Congjuunt di nümar natüraj

Malgraa qual-sa-vöör nani s·cett al inténdes vargott ch'a cugnussemm par nümar natüraal, la suva definizziú a l'è mia sémplis. I pustülaa da Peano i descriif da manera ünívuca ul cungjuunt di nümar natüraj:
* 0 al è un nümar natüraal
* Cada nümar natüraal *a* al gh'a un sigütaant, denutaa par *a* + 1 
* A gh'è nissü nümar natüraal da che ul sigütaant al síes 0
* Si düü nümar natüraj i è difereent, alura i söö sigütaant apó l'i è, vargott a dí: si *a* ≠ *b*, alura *a* + 1 ≠ *b* + 1 
* Una prupietaa ch'a la síes sudisfada par 0 e par al sigütaant d'un qual-sa-vöör nümar par che a l'è sudisfada, a l'è sudisfada par tücc i nümar natüraj.
Cheest darée pustülaa al assüra la validezza da la tèg·nica da demustrazziú cugnussüda cuma indüzziú matemàtega u recürenza.

In la teuría di cungjuunt al è cumü definí cada nümar natüraal cuma ul cungjuunt da tücc i nümar anteriuur a chel. Cheest al permett da stabilí una relazziú d'úrden intra i elemeent dal cungjuunt di nümar natüraj: al sarà magjuur ul nümar ch'al cuntegna plüü da nümar.

Al è pussíbil definí par indüzziú la suma mediaant l'espressiú:

*a* + (*b* + 1) = (*a* + *b*) + 1,

vargott ch'al cunveert i nümar natüraj (\mathbb{N}, +) int un munòit cumütatiif, cun elemeent néutar 0, ul numinaa *Munòit líbar a un generaduur*. Cheest munòi al sudisfa la prupietaa anülativa e par taant sa al pöö mett deent un grupp. Ul minuur grupp ch'al cuntegn i nümar natüraj al è chel di nümar intreegh.

Da manera anàluga, la mültiplicazziú × la pöö vess definida par: *a* × (*b* + 1) = *a×b* + *a* .

Vargott al cunveert (\mathbb{N}, ×) int un munòit cumütatiif; suma e mültiplicazziú i è cumpatíbil grazzia a la prupietaa distribütiva, che sa la espressa cuma:

*a* × (*b* + *c*) = *(ab)* + *(a×c)*.

Da plüü, sa al pöö definí un úrden tutaal scriveent
*a* = *b* si e noma si al esiist un òolt nümar natüraal ch'al sudisfa: *a* + *c* = *b*. Cheest úrden al è cumpatíbil cun le uperazziú aritmétighe in la sigütaant manera:

si *a*, *b* e *c* i è nümar natüraj e *a* = *b*, 
alura *a* + *c* = *b* + *c* e *a×c* = *b×c*.

Una prupietaa impurtaant di nümar natüraj a l'è che i è bé urdenacc, i.e. qual-sa-vöör cungjuunt mia vöj da nümar natüraj al gh'a un elemeent mínim (ü plüü zich di òolt).

Cura ca in generaal al è mia pussíbil dividí un nümar natüraal intra qual-sa-vöör òolt e che chesta uperazziú la dàghes un nümar natüraal, par qual-sa-vöör düü nümar natüraj *a* e *b*, cun *b*≠0 , a pudemm truvá òolt natüraj *q* e *r* taal che

:*a* = *b×q* + *r*&nbsp;&nbsp;&nbsp; e &nbsp;&nbsp;&nbsp;*r* < *b*.

Ul nümar *q* al numinemm *quozzieent* e *r* ul *resídü* da chesta divisiú da *a* intra *b*. I nümar *q* e *r* i è ünivucameent determinacc par *a* e *b*.

Otre prupietaa plüü complesse di nümar natüraj, cuma la distribuzziú di nümar primm par esempi, i è stüdiade par la teuría di nümar.

I nümar natüraj i è duvracc par düü prupòsit fundamentalameent: par descriif la pusizziú d'un elemeent int una sücessiú urdenada, ch'a designaremm par un nümar urdinaal; e par specificá la grandezza d'un cungjuunt finit, pal quaal 
a druvaremm un nümar cardinaal. 
Int i cungjuunt finicc, chiist düü cuncett i è cuincideent, cura ca a l'infinit i è mia.

In acordi a Kronecker, un matemàtich Tudeesch (1823-1891)

"Die ganze Zahl schuf der liebe Gott, alles Übrige ist Menschenwerk".

Déu al a creaa i nümar intreegh, tüta la resta a l'è övra dal omm.
in tücc caas, següür che Kronecker sa referiva aj natüraj, si a la suva épuca la numenclatüra la füdess l'atüala). Inscí, al dí d'incöö al aress dii:

Déu al a creaa i nümar natüraj, tüta la resta a l'è övra dal omm.

 (Cajori, History of Mathematics (London 1919)