Ellipsoid

En **Ellipsoid** ass e Kierper deen der dräi- oder méidimensionaler Duerstellung vun enger Ellips entsprécht.

Bekannt Beispiller fir Rotatiounsellipsoide sinn d'Äerd an de Rugbyball.

## Definitioun

En Ellipsoid am dräidimensionale Raum kann als gestreckt oder gestaucht Bild vun enger Kugeluewerfläch (Sphär) erkläert ginn. Beim Gebrauch vu kartesesche Koordinaten an Ausriichtung vun de Koordinatenachsen x, y an z no de Symmetrieachse vum Ellipsoid heescht seng Equatioun
:\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} - 1 = 0
mat positive reellen Zuelen a, b an c, de Längte vun den *Hallefachsen*.

Am n-dimensionale Raum ass en Ellipsoid
:E= \left\{ x= (x_1\ldots x_n)^T\in R^n: x^T Q x = \sum_{1\le i,j\le n\ }q_{ij}x_i x_j = 1 \right\}
d'Léisungsmenge vun enger quadratescher Equatioun mat positiv definiter reeller (zu enger quadratescher Form gehéierenden) Matrix Q = (q_{ij}).

Duerch Haaptachsentransformatioun kann ee Q op eng Diagonalmatrix mat positiven Eegewäerter transforméieren. 
D'Eegevecteure vun där Matrix ginn d'Richtung vun den Haaptachsen un, d'Kehrwäerter vun de Wurzelen aus den Eegewäerter sinn d'Längte vun den Hallefachsen déi derzou gehéieren.

An der Linearer Optiméierung ginn Ellipsoiden an der Ellipsoid-Method gebraucht.

Déi follgend Erklärunge begrenze sech nees op Ellipsoiden am dräidimensionale Raum.
Wann allen dräi Hallefachse verschidde sinn, da schwätzt ee vun *triaxialen* (oder dräiachsegen) Ellipsoiden. Bei der Rotatioun vun enger Ellips ëm eng vun hiren Achsen entstinn Rotatiounskierper, an dësem Fall Rotatiounsellipsoide. 
Beispiller fir Rotatiounsellipsoide sinn rotéierend Himmelskierper, wéi eis Äerd (vergl. Äerdellipsoid) resp. Planéiten, Sonnen oder Galaxien. Elliptesch Galaxien kënnen och triaxial sinn.

## D'Äerd als Ellipsoid

Eis Äerd ass nëmmen ongeféier eng Kugel. A Wierklechkeet ass si duerch d'Dréiung ëm sech selwer un de Polen ofgeflaacht an och soss ganz onreegelméisseg geformt. Fir dës Onreegelméissegkeet méi genee ze beschreiwen, gëtt amplaz vun der Kugel dacks e Rotatiounsellipsoid gebraucht. Dësen déngt an der Kartographie an an der Geodesie als Bezuchssystem fir d'Konstruktioun vu Vermoossungsnetzer an der direkten Angab geographescher Koordinaten. Duerch den Ellipsoid gëtt d'Äerdfigur als "Fläch konstanter Héicht" ofgestëmmt (kuckt Geoid an Mierespigel).

## Volume vum Ellipsoid
De Volume V léisst sech mat 
:V = \frac{4}{3} \pi a b c
aus dem Produkt vun den Hallefachse berechnen.

## Uewerfläch vum Rotatiounsellipsoid

Sief a \ge b \ge c a sief \varepsilon = \sqrt{1 - \left(\frac{c}{a}\right)^2} déi numeresch Exzentrizitéit vun der Ellips, déi sech als Schnëtt mat der xz-Fläch y = 0 ergëtt. Dann ass fir
en ofgeplattenen Ellipsoid mat a=b>c (Rotatiounsachs = z-Achs)
:A = 2 \pi a^2 \left( 1 + \left(\frac{c}{a}\right)^2 \,\frac{\operatorname{artanh} \,\varepsilon}{\varepsilon} \right)
a fir e verlängerten Ellipsoid mat a>b=c (Rotatiounsachs = x-Achs)
:A = 2 \pi c^2 \left( 1 + \frac{a}{c} \, \frac{\arcsin \,\varepsilon}{\varepsilon} \right).

## D'Uewerfläch vum triaxialen Ellipsoid
D'Uewerfläch vum triaxialen Ellipsoid léisst sech net mat Hëllef vu Funktiounen ausdrécken, déi een als elementar ugesäit, wéi z.&nbsp;B. artanh oder arcsin. D'Flächeberechnung ass dem Adrien-Marie Legendre mat Hëllef vun der elliptescher Integrale gelongen. Sief a>b>c. Schreift een

:k=\frac ab \frac{\sqrt{b^2-c^2}}{\sqrt{a^2-c^2}} an \varphi=\arcsin \frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a},
sou heescht d'Integrale
:E(k,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \sqrt{\frac{1-k^2 x^2}{1-x^2}}\ \mathrm dx an F(k,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-k^2 x^2}}\ \mathrm dx.

D'Uewerfläch huet mat E an F no Legendre de Wäert
:A=2\pi c^2+\frac{2\pi b}{\sqrt{a^2-c^2}}\left(c^2 F(k,\varphi)+(a^2-c^2) E(k,\varphi)\right).

Ginn d'Ausdréck fir *k* an \varphi souwéi d'Substitutiounen 
:u=\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}&nbsp; an &nbsp;v=\frac{\sqrt{b^2-c^2}}{b}
an d'Equatioun fir *A* agesat, sou ergëtt sech d'Schreifweis
:A=2\pi c^2+2\pi ab \int_0^1 \frac{1-u^2 v^2 x^2}{\sqrt{1-u^2 x^2} \sqrt{1-v^2 x^2}}\ \mathrm dx.

Vum Knud Thomsen staamt déi (integralfräi) „Näherungsformel“

:A\approx 4\pi\!\left(\frac{ (a b)^{1,6}+(a c)^{1,6}+(b c)^{1,6} }{3}\right)^{0,625}\,\!.

Déi maximal Ofwäichung vum exakten Resultat ass manner wéi 1,2 %.

Am Grenzfall vun engem vollstänneg plattgedréckten Ellipsoid \left(c \to 0 \right) striewen all dräi notéiert Formele fir A géint 2\pi ab, den duebelte Wäert vun enger Ellipsefläch mat den Hallefachsen a an b.

### Formele fir Rotatiounsellipsoiden
Mat den Definitioune vun der elliptescher Integraler E an F loosse sech déi béid rotatiounssymmetresch Spezialfäll liicht aus der allgemenger triaxialer Formel ofleeden, well E an F ginn elementar Funktiounen.

#### Ofgeplatten Ellipsoid
:b = a, also gëtt *k* = 1, doraus follegt E(1,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \ \mathrm dx =\sin \varphi = \frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a} an F(1,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \frac{1}{1-x^2}\ \mathrm dx = \operatorname{artanh} (\sin \varphi) = \operatorname{artanh} \left(\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}\right).

:Agesat an d'Equatioun vum Legendre ergëtt dat A = 2\pi c^2+\frac{2\pi a}{\sqrt{a^2-c^2}}\left(c^2 \operatorname{artanh}\left(\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}\right) + (a^2-c^2) \frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}\right).

#### Verlängerten Ellipsoid
:b = c, also gëtt *k* = 0, doraus follegt E(0,\varphi)= F(0,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \mathrm dx = \arcsin (\sin \varphi) = \arcsin \left(\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}\right).

:Agesat an d'Equatioun vum Legendre ergëtt dat A=2\pi c^2+\frac{2\pi c}{\sqrt{a^2-c^2}}\left(c^2 \arcsin \left(\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}\right)+(a^2-c^2) \arcsin \left(\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}\right)\right).

Alternativ loosse sech d'Uewerflächen och als Mantelfläch vu rotéierenden Ellipsen (Rotatiounsellipsoid) berechnen.

## Kuckt och
* Ellips
* Hyperboloid
* Paraboloid
* Homöoid
* Fokaloid
* Referenzellipsoid an der Kartographie

## Um Spaweck

*  Online-Berechnung vu Volumen an Uewerfläch vun engem Ellipsoid
*  Formel fir d'Uewerfläch vun engem Ellipsoid