Formelblat (Mathematik)

=D'Einmaleins vun der Mathematik=

## Déi verschidden Zuelen-Ensembelen
### Aféierung

D'Ensembele sinn Entitéiten, déi zu der Algeber gehéieren. Et gëtt an der Mathematik keng kloer Definitioun vun den Ensembelen. Eng "naiv" Definitioun, déi dacks benotzt gëtt, ass: En *Ensembel* ass eng Sammlung, eng Gesamtheet, vu verschiddenen Objeten déi aus onse Gedanken oder aus onser Perceptioun kommen. Et ass hei wichteg datt all d'Objeten an engem Ensembel verschidde musse sinn. Déi Objete nenne mer d'Elementer vum Ensembel.

En Ensembel kann also e Sak Grompere sinn oder Bieren oder Äppel, wann dës all verschidde sinn (z.&nbsp;B. e rouden Apel, e gréngen Apel, oder nummeréiert Gromperen). 
(Mä opgepasst bei sou graffe Vergläicher a Beispiller: wat geschitt mam Ensembel, wa mer d'Äppel all giess hunn? Do misste mer e bësse preziséieren...)

An der Mathematik interesséieren natierlech besonnesch Zuelen-Ensembelen. Zum Beispill kéinte mer ons interesséiere fir all déi gerued ganz Zuelen, déi méi kleng wéi 10 sinn. 
Dësen Ensembel schreiwe mer: {0; 2; 4; 6; 8 }. Déi geschwäift Klameren, Akkoladen (*{ }*) sinn d'Grenzen, tëscht deene mer déi eenzel Elementer (also 0, 2, 4, 6, 8), propper duerch e Stréchpunkt getrennt, opzielen.
A wa mer elo déi gerued Zuelen brauchen, déi méi kleng wéi 1000 sinn? Da si mer mat der Opzielungstechnik vun elo grad laang am Gaang... dofir gëtt et eng méi direkt Aart a Weis, ons Absicht auszedrécken: mir schreiwen tëscht d'Akkoladen eng charakteristesch Eegenschaft vun onsem Ensembel un.
Dat gesäit da sou aus: \left \lbrace x \in \mathbb{N}\mid x \le 1000 \hbox{ an x ass gerued} \right \rbrace. 
Den Ënnerscheed bei den zwou Manéieren, Ensembelen ze definéieren, ass einfach datt ee bei där enger all Element opzielt (*définition de l'ensemble par "extension"*) a bei där anerer probéiert, all eenzelt Element dat am Ensembel ass, eng Gemeinsamkeet mat deenen aneren Elementer ze fannen: an eisem Beispill goufen all gerued Zuele gesicht, déi méi kleng oder gläich 1000 waren (*définition de l'ensemble par "compréhension"*).
Komme mer elo zu e puer Definitiounen an Erklärunge vu verschiddene Symboler, déi mer hei gebrauchen:

\ \in gehéiert zou
\ \notin gehéiert net zou
Déi zwee Zeeche kënnen nëmme mat Elementer benotzt ginn: een Element gehéiert zu engem Ensembel; wann ee wëll soen, een Ensembel gehéiert zu engem aneren, muss een dës Zeeche benotzen:
\ \subset ass en Ënner-Ensembel vun
\ \not\subset ass net en Ënner-Ensembel vun

\ \empty ass den Ensembel eidel, also do wou keen Element dran ass
\ \cap Intersektioun (Iwwerschneidung), gelies *inter*. Et mécht een eng Intersektioun tëscht zwéin Ensembelen an als Resultat kënnt en aneren Ensembel eraus.
\ \cup Reunioun (Sammlung), gelies *union*. Hei ass et d'selwecht wéi bei der Intersektioun. D'Reunioun vun zwéin Ensembelen ass en Ensembel.

Komme mer elo zu engem Beispill. Dat mécht d'Saach méi verständlech, well ee sech duerno kann eppes drënner virstellen:

Gewéinlech ginn d'Ensembelen mat grousse Buschtawen ugeschriwwen, an d'Elementer mat klengen. Mer hunn also hei véier verschidden Ensembelen: A={a,d,e} B={b,c,d} C={e} an D=\ \empty
Huele mer elo déi verschidden Zeechen der Rei no duerch (den eidelen Ensembel hu mer jo scho benotzt):
\ a \in A \quad d \in A \quad e \in A mä awer och  b \in B \quad c \in B \quad d \in B an  e \in C . Op déi selwecht Aart a Weis kann een da soen datt zum Beispill  e \notin B  oder  b \notin A .
Fir Ënner-Ensembelen: \ C \subset A mä \ C \not\subset B.

\ A \cap B = \left \lbrace d \right \rbrace A inter B ass den Ensembel vun den Elementer déi am Ensembel A **an** B sinn.
\ A \cup B = \left \lbrace a,b,c,d,e \right \rbraceA union B ass den Ensembel vun den Elementer déi am Ensembel A **oder** B sinn.

Dann huet een nach Resultater, déi logesch si wann een driwwer nodenkt:
Wann C \subset A, dann ass C \cap A = C an C \cup A = A. Wann dat net kloer ass, einfach um Bild kucken, do ass et am einfachsten ze verstoen.
Profitéiere mer och vun der Geleeënheet, fir zwee aner Zeechen anzeféieren (déi et awer och an der Logik vun der Philosophie ginn):
A \Rightarrow B :Wann A, da B 
A \Leftrightarrow B :Wann A, **an** wa B, dann A. Et kann een awer och soen: A wann, an nëmme wa B. Déi zwee Symboler si wichteg wann ee wëll Schlussfollgerunge vun Axiomen aus zéien, an nei Resultater doraus wëll zéien. Fir eng méi genee Erklärung ze kréie muss ee bei Philosophie kucke goen an d'Logik-Sektioun.

### D'Zuelen-Ensembelen
Et gëtt fënnef verschidden Zuelen-Ensembelen. Et sinn dat \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}.
\mathbb{N} ass den Ensembel vun de ganze positiven Zuelen. {0,1,2,3,4,...}
\mathbb{Z} ass den Ensembel vun de ganzen Zuelen. {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
\mathbb{Q} ass den Ensembel vun alle Brochzuelen. Zum Beispill \frac{2}{3} \in \mathbb{Q}
\mathbb{R} ass den Ensembel vun alle realen Zuelen. Zum Beispill \sqrt{2} \in \mathbb{R}
\mathbb{C} ass den Ensembel vun alle komplexen Zuelen. Zum Beispill \ 1+i \in \mathbb{C}
 i^2= -1. D'Mathematiker hunn i agefouert, well een net däerf d'Wuerzel vun enger negativer Zuel huelen. Mä e bësse méi heizou méi wäit am Artikel.
Et muss een och hei soen datt \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}.
Wéisou d'Mathematiker dës Ensembele sou a Stécker geschnidden hunn, kënnt vun de verschiddenen Equatiounen déi ee muss léisen.

D'Léisung vun der Equatioun \ x-2=0 ass \ 2 an \ 2 \in \mathbb{N}.

D'Léisung vun der Equatioun \ x+2=0 ass \ -2 an \ -2 \in \mathbb{Z} mä\ -2 \notin \mathbb{N}.

D'Léisung vun der Equatioun \ 3x+2=0 ass \frac{-2}{3} an \frac{-2}{3} \in \mathbb{Q} mä \frac{-2}{3} \notin \mathbb{Z}.

D'Léisung vun der Equatioun \ x^2-2=0 ass \sqrt{2} an \sqrt{2} \in \mathbb{R} mä \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}.

A schliisslech: d'Léisung vun der Equatioun \ x^2+2=0 ass \ 2i an \ 2i \in \mathbb{C} mä \ 2i \notin \mathbb{R}.

Wéi een unhand vun dëse Beispiller gesäit, hunn d'Mathematiker ëmmer nei Zuelen misse beiflécken (oder erfannen) fir datt se ëmmer méi komplizéiert Equatioune léise konnten.

## D'Produits remarquables
\left (a+b \right)^2=a^2+2ab+b^2
\left (a-b \right)^2=a^2-2ab+b^2
\left (a+b \right)\left (a-b \right)=a^2-b^2
\left (a+b \right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
\left (a-b \right)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
a^3+b^3=\left (a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)
a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)

## Facteuriséire vun engem Polynom vum zweete Grad
Hei ass d'Formel, déi ee benotzt fir d'Léisunge vun der Form \ ax^2+bx+c=0
Dofir muss ee fir d'alleréischt den *Delta* rechnen:
\ \Delta=b^2-4ac
Da fënnt een d'Léisunge vun der ieweschter Equation sou:
x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
Et gesäit een datt een zwou Léisunge fënnt, wat normal ass, well een e Polynom vum *zweete Grad* hat.
D'facteuriséiert Form vun dësem Polynom gesäit da sou aus:
\ ax^2+bx+c=a \left (x-x_1\right )\left (x-x_2\right )
Sou huet een aus enger Zomm vu Produiten \left ( ax^2+bx+c\right ) e Produit vu Zomme gemaach \Big ( a \left (x-x_1\right )\left (x-x_2\right ) \Big ). Dat heescht mer hunn de Polynom vum zweete Grad facteuriséiert.

= E bësse Geometrie =
## Wénkelen
E **Wénkel** ass an der Geometrie deen Deel vun engem Plang dee vun zwou hallefriichte Linnen (*Strahl, Halbgerade, demi-droite*), déi op deem Plang leien an e gemeinsamen Ufankspunkt hunn, begrenzt gëtt.


Op dësem Bild gesäit een datt de Wénkel \ \alpha gläich dem Rapport \frac{L}{r} ass.
Dëse Wénkel gëtt am Internationalen Eenheetesystem mat Radianen(rad) ausgedréckt. Fir aus Radiane Grad ze maachen, muss ee sech einfach soen, datt e ganze Krees e Wénkel vun  2\pi ass oder 360°. Da kann een d'Konversioun einfach sou maachen:

\alpha= \beta \times\frac{2 \pi}{360}

wou \alpha a rad, an \beta an ° ass.

## Rechtwénklegen Dräieck
E **rechtwénklegen Dräieck** (triangle rectangle, rechtwinkliges Dreieck) ass en Dräieck deen e rechte Wénkel huet, also ee vun 90° oder \frac {\pi}{2} rad. Hei e Bild vu sou engem Dräieck:
 Déi verschidde Säite vum Dräieck nennt een (vum Wénkel A aus gekuckt): *côté adjacent(a)*, *côté opposé(o)* an *hypoténuse (h)*. Et muss een einfach verhalen datt d**Hypoténuse'' ëmmer vis-à-vis vum rechte Wénkel läit. De ''côté adjacent'' vum Wénkel ass deen, deen d'Spëtz vum Dräieck an dësem Wénkel beréiert. An de ''côté opposé'' ass d'Säit géintiwwer vum Wénkel.

==Trigonometresch Funktiounen==
Lo, wou mer wësse wat e Wénkel an e rechtwénkelegen Dräieck ass, kann ee vu verschiddene Gréisste schwätzen déi mat de Wénkelen ze dinn hunn: de **Sinus**, de **Cosinus** an d**'Tangente** vun engem Wénkel.<br>
Dann huet een dës Relatiounen, wann een déi selwecht Buschtawen hëlt fir déi dräi Säite vum Dräieck:<br>
o=côté opposé, a=côté adjacent, h=hypoténuse 
*<math>\sin A = \frac{o}{h}</math>
*<math>\cos A = \frac{a}{h}</math>
*<math>\tan A = \frac{o}{a}</math>
Hei muss een d'Bemierkung maachen datt <math>\ \tan A</math> nach anescht kann ausgedréckt ginn, an zwar:<br>

D'Cotangente ass einfach dat Ëmgedréint vun der Tangente, also: <math>\ \operatorname{cotan} A=\frac{1}{\tan A}=\frac{\cos A}{\sin A}</math> 
<br> Normalerweis huet een Tabellen oder eng Rechenmaschinn fir déi trigonometresch Funktiounen ze rechnen. Mä heiansdo, bei ganz spezielle Wénkelen ass et relativ einfach de Sinus, Cosinus an d'Tangente ze rechnen.
An dat ass nämlech de Fall bei Wénkele vun 0°, 30°, 45°, 60° an 90°.<br>
D'Resultat gesäit sou aus:

<br> Et muss een hei bemierken datt et d'Tangente vun 90° net gëtt. Et däerf een nämlech net eng Zuel duerch Null deelen.<br> Dës Tabell kann ee sech ganz einfach mierken: et muss een nëmmen d'Wénkelen der Rei no schreiwen: an zwar 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Da schreift een de Sinus drënner an zwar
 <br>
Dann hëlt een d'Wuerzel dovun:
 <br>
A schliisslech deelt een dat ganzt duerch 2:
<br>
De Cosinus ass dann einfach déi selwecht Zuel den emgedréinte Wee dohi geschriwwen, an d'Tangente ass dann einfach <math>\frac{\sin}{\cos}</math><br>
Hei gesitt der wéi dës Funktiounen ausgesinn: <br>
<br>
Wat een nach hei ka bemierken ass datt dës Funktioune periodesch sinn d.&nbsp;h. no enger bëstemmter Zuel hëlt d'Funktioun erëm deeselwëschte Wäert un, an zwar:<br>
<math>\ \cos\left (x+2\pi\right )=\cos x</math> an <br>
<math>\ \sin\left (x+2\pi\right )=\sin x</math>

==Emgedréinte Funktiounen (fr: fonctions réciproques)==
Déi emgedréinte Funktioune maachen, wéi den Numm et seet, dat emgedréint wéi hir Basis-Fumktioun. Sou nennt een dem Cosinus seng emgedréinte Funktioun Arccosinus, dem Sinus seng Arcsinus an der Tangente hir Arctangente. Wat elo genee emgedréint Funktioun heescht, probéiere mer unhand vun engem Beispill ze verstoen: Huele mer zum Beispill de Cosinus vu 45 Grad. <math>\cos(45)=\frac{1}{2}</math>. Wann een elo déi emgedréinte Funktioun vu Cosinus benotzt, da gëtt et dat hei: <math>\arccos\left ( \frac{1}{2} \right )=45</math>. Dat heescht an anere Wierder datt wann een eng Funktioun (hei:cos) op eng Zuel wierke léisst an dann déi emgedréinte Funktioun, da fält een op déi selwecht Zuel zeréck: <math>\arccos(\cos(x))=x</math>.<br>
Dëst bleift alles wouer fir d'Funktiounen <math>\arcsin</math> an <math>\arctan</math>.

==Dem Pythagoras säi Saz==

De [[Pythagoras]] seet, datt an engem rechtwénklegen Dräieck, de Quadrat vun der Hypotenuse gläich der Zomm vun de Quadrate vun deenen zwou anere Säiten ass.
<br>
Anescht gesot, ass déi mof Fläch gläich der bloer plus der rouder.

Eng modern Demonstratioun heivun ass déi heiten:<br>
<br>
Wann ee véier Dräiecker sou wéi um Bild zesummeleet, da kann een ''ausrechnen'', datt de Pythagoras Recht huet.

D'Fläch vum klenge Quadrat ass <math>\ c^2</math> awer och d'Fläch vum grousse Quadrat<math>\Big(= \left ( a+b \right )^2 \Big )</math> minus d'Fläsch vun de véier Dräiecker<math>\left( =4\times \frac{ab}{2} \right )</math>, also:<br>
<math>c^2=\left ( a+b \right )^2-4 \times \frac{ab}{2}</math>

<math>\ \Rightarrow c^2=a^2+b^2+2ab-2ab</math>

<table border="1">
<tr>
<td><math>\ \Rightarrow c^2=a^2+b^2</math></td>
</tr>
</table>
Do hu mer eist Resultat dat mer wollte beweisen. Déi Formel ass eng vun deene wichtegsten an der Geometrie.

=Komplex Zuelen=
==Aféierung==
**Komplex Zuelen*' sinn Zuelen bei deenen dat komescht Symbol <math>\ i</math> dra virkënnt also zum Beispill <math>\ 3+4i</math>. Dësen <math>\ i</math> gehéiert zum Ensembel vun de komplexen Zuelen <math>\mathbb{C}</math> an erlaabt, wéi schonn virdrun erkläert gouf, d'Wuerzel vun enger negativer Zuel ze huelen. D'Definitioun vum <math>\ i</math> ass <math>\ i^2= -1</math>.<br>
D'komplex Zuele kann ee sech net sou einfach virstelle wéi déi real Zuelen (Zuelen déi am <math>\mathbb{R}</math> dran sinn). D'Zuelen aus dësem Ensembel an aus all den Ënner-Ensembele kann een op enger Linn unuerdnen: <math>\ -4 \le +3 </math> oder <math>\ \sqrt{2} \ge \frac{1}{2}</math>. Dëst kann ee mat alle realen Zuelen maachen.<br>
Wann een awer vu komplexen Zuele schwätzt, geet dat awer net méi. Dës Zuele si nämlech net op dëser Droite, mä an engem Plang. Et sinn zweedimensional Zuelen, am Géigesaz zu de realen Zuelen déi eendimensional sinn. Fir sech dëst besser virstellen ze kënnen, hei e Bild:

<br>
D'X-Achs, also déi horizontal Linn, ass déi Droite op där déi real Zuelen drop ugeuerdnet sinn.<br>
D'Y-Achs, déi vertikal Linn, ass d'Droite op där déi *pur* imaginär Zuelen ugeuerdnet sinn.<br>
<math>\ a</math> nennt een de realen Deel vun der komplexer Zuel <math>\ z</math>, a gëtt <math>\ \operatorname{Re} \left \lbrace z \right\rbrace</math> ugeschriwwen. <math>\ b</math> ass den imaginären Deel vun der komplexer Zuel <math>\ z</math>, a gëtt <math>\ \operatorname{Im} \left \lbrace z \right\rbrace</math> ugeschriwwen.

Wann elo <math>\ \operatorname{Im} \left \lbrace z \right\rbrace=0</math> dann ass déi komplex Zuel real, well keen <math>\ i </math> dran ass.A wann <math>\ \operatorname{Re} \left \lbrace z \right\rbrace=0</math> da schwätzt ee vun engem *puren Imaginär'', well hei keng Komponent op der reeller Achs ass, mä nëmmen op der Y-Achs.

## Beschreiwung vu komplexen Zuelen
Well dës Zuelen jo "zweedimensional" sinn, beschreift ee se wéi Punkten an engem Plang, also mat Koordinaten. Där brauch een der zwou fir ee Punkt genee am Plang erëmzefannen. Ausserdeem gëtt et zwou verschidden Aart a Weisen, wéi een e Punkt am Plang erëmfënnt.

### Cartesianesch Koordinaten
Dës Method fir e Punkt ze fannen ass deen einfachsten: hei seet een einfach wéiweit d'Zuel op der reeller Achs vun der Originn ewech ass. Op eisem Bild uewen ass dat a. An et muss een och soe wéiweit en op der imaginärer Achs vun der Originn ewech ass. Op dem Bild b. Dann ass d'komplex Zuel \ z=a+bi. A sou kann een all komplex Zuel einfach an de komplexen Plang androen, einfach a a b androen, perpendikular Linnen zéien, an do wou dës Linnë sech schneiden, do ass d'komplex Zuel a+bi. Nach just e klengt Wuert wéisou een dat "cartesianesch Koordinaten nennt: einfach well de franséische Philosoph René Descartes déi Notatioune fir d'Geometrie agefouert huet.

### Polar Koordinaten
Eng aner Manéier, en Punkt am Plang ze fannen, sinn déi Polar Koordinaten. Hei muss een och 2 Koordinaten hu fir de Punkt ze characteriséiren. Hei beschreift een de Punkt als eng Längt mat engem Wenkel. Also op eisem Bild d'Längt vum roude Feil mam Wénkel \ \alpha. D'komplex Zuel gëtt da sou geschriwwen: \ z=\rho e^{i \alpha} wou \ \rho d'Längt vum Feil an \ \alpha de Wénkel ass. Net ze vergiessen ass datt \ \rho ëmmer e postive Wäert huet.

### Relatiounen tëscht den zwee Koordinatesystemer
Lo kann ee sech froen, wéi ee kann déi selwecht Zuel op zwou verschidde Manéiere schreiwen. Dat ass ganz einfach: et muss ee just déi richteg Rechnunge maache fir tëscht deenen zwee Koordinatesystemer hin an hier ze sprangen. An dat geet sou:
* Fir vun de polaren Koordinaten an déi cartesianesch ëmzewandelen ass einfach. Huele mer d'Zuel \ z=\rho e^{i \alpha}, dann huet een dës Relatioun:
\ z=\rho e^{i \alpha}= \rho\left ( \cos\alpha+i \sin\alpha \right ) =a+ib. Also hu mer \ a=\rho\cos\alpha an \ b=\rho\sin\alpha.
* Den anere Wee ass e bësse méi schwéier. Et muss een nämlech vun de cartesesche Koordinaten eng Längt an e Wénkel erauszéien. Dat mécht een sou: fir d'alleréischt muss ee bemierken datt een e rechtwénklegen Dräieck huet (kuckt um Bild fir iech z'iwwerzeegen). Dann zaubert een dem Pythagoras seng Zauberformel aus dem Hutt: déi seet datt de Quadrat vun der Hypotenuse gläich der Zomm vun de Quadrate vun deenen zwou aner Säiten ass. Also huet een de Quadrat vun der Längt, well dat jo grad d'Hypotenuse ass vun eisem Dräieck. Also hu mer schonn: \ \rho^2=a^2+b^2 \Rightarrow \rho= \sqrt{a^2+b^2}. Fir de Wénkel erauszefannen, muss een einfach d'Formele fir de Sinus an de Cosinus huelen. Et weess een datt  \cos\alpha= \frac{a}{h} an  \sin\alpha= \frac{o}{h} mat de selwechten Notatioune wéi uewendriwwer beim Dräieck. De côté adjacent ass genee a, an de côté opposé ass b. D'Hypotenuse hu mer jo schonn an ass \rho.
Schlussendlech komme mer op dës Formelen:
 \cos\alpha= \frac{a}{ \sqrt{a^2+b^2}}
 \sin\alpha= \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2}}
Dann huet een den \alpha  fonnt, an et kann ee schreiwen: \ a+ib=\rho e^{i \alpha}