Bunnvitess (Astronomie)

An der Himmelsmechanik bezeechent **Bunnvitess** d'Vitess, mat där sech en astronomeschen Objet beweegt. Bei der Ëmlafbunne schwätzt een och vun **Orbitalvitess** oder **Ëmlafvitess.**

D'Beweegung gëtt an engem Koordinaten- oder Bezuchssystem uginn, an der Reegel am Schwéierpunktsystem vun de betraffenen Himmelskierper wéi z.&nbsp;B.:
*de Baryzentrum vum Sonnesystem bei Planéiten, Asteroiden a Koméiten
*de Baryzentrum vum Äerd-Mound-System oder vum betraffene Planéit
*de Galakteschen Zentrum fir Beweegunge bannenzeg vun der Mëllechstrooss
* oder vun engem aproximativen Inertialsystem fir speziell Ënnersich.

## Bunnvitess vun der idealer Keplerbunn
Wann e klenge Kierper am Weltraum e grousse begéint, dann ass seng Bunnkurv wéinst der Gravitatioun –&nbsp;am idealiséierte Fall vum Zweekierperproblem&nbsp;– eng Keplerbunn (Ellips, Hyperbel oder Parabel) ëm de groussen Himmelskierper resp. ëm de kollektive Schwéierpunkt.
Wéinst der Energieerhalung ass d'Bunnvitess net konstant, mä gëtt méi grouss, wann den Ofstand tëscht de Kierper méi kleng gëtt.
De Johannes Kepler hat entdeckt, datt zwar d'Distanz an d'Bunnvitess variéieren, awer de Positiounsvecteur (d'Verbindungslinn tëscht Gravizentrum an dem ëmlafende Kierper) an engem selwechten Zäitraum déi selwecht Fläch iwwersträicht (*[[Zweet Keplergesetz]],* Konstant vun der Flächevitess). Seng Léisung gëllt nëmme fir d'Zweekierperproblem (Keplerproblem) selwer, d'Aschränkung op kugelsymmetresch Kierper an nëmmen als netrelativistesch Aproximatioun. Ausserdeem gëtt si ëmmer d'Relativvitess par Rapport zum Gravizentrum, ni eng absolut Vitess un.

Fir de Spezialfall vun engem kreesfërmegen Orbit bréngt d'Unzéiungskraaft tëscht den Himmelskierper all Kéier grad déi fir d'Kreesbunn noutwendeg Zentripetalkraaft op, wouduerch d'Vitess festgeluecht (a betragsméisseg konstant) ass.

D'Streck laanscht d'Keplerbunn, déi fir den direkte Wee-Zäit-Zesummenhank (Vitess&nbsp;= Wee jee Zäit v=s/t) gebraucht gëtt, huet nëmmen a Spezialfäll eng analytesch Léisung. Duerch Betruechte vu kinetescher a potentieller Energie geléngt d'Hierleedung vun der *[[Vis-Viva-Equatioun]].* Si stellt eng Verbindung tëscht der Mass M vum Zentralkierper, der Gravitatiounskonstant G, der grousser Hallefachs a der Ëmlafellips, der Distanz r dem ëmlafende Proufkierper an der Vitess v vum Proufkierper hier:

: v = \sqrt {GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)}

Ënner Bezuch vun der Mass m dem ëmlafende Kierper gëllt:
: v = \sqrt {G(M + m)\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)}

Fir d'Kreesbunn an d'Parabelbunn ergët sech mat der ganzer Mass M:
: v_\mathrm K = \sqrt \frac{GM}{r}&nbsp;…&nbsp;*[[Éischt kosmesch Vitess|Kreesbunn, 1.&nbsp;kosmesch Vitess]]*
: v_\mathrm P = \sqrt \frac{2GM}{r}&nbsp;…&nbsp;*[[Fluchtvitess (Raumfaart)|Fluchtvitess, 2.&nbsp;kosmesch Vitess]]*

Ënnerhalb (v ) an uewerhalb (v > v_\mathrm P) vun dëse béide Grenzfäll leie Spiral- an hyperbolesche Bunnen (Stuerz op een a Verloosse vun engem Himmelskierper respektiv Laanschtflich). Tëscht de béide Wäerter (v_\mathrm K ) ergin sech Ellipsebunne.

Fir déi béid Haaptscheet vun der Ellipsaaptscheeter vun der Ellips gëtt et awer och analytesch Léisungen:

: \omega_\mathrm{pz} = \omega_\mathrm{m} \cdot p^2 / (a - e) ^2&nbsp;…&nbsp;Wénkelvitess am Perizentrum (gravizentrumsnoste Punkt)
: \omega_\mathrm{az} = \omega_\mathrm{m} \cdot p^2 / (a + e) ^2&nbsp;…&nbsp;Wénkelvitess am Apozentrum (gravizentrumswäiteste Punkt)
:: \omega_\mathrm m&nbsp;…&nbsp;mëttel Wénkelvitess, Wénkelvitess vun engem Kierper op enger Kreesbunn mat de selwechten Ëmlafperioden = *[[mëttel Anomalie]]* (no Kepler) \omega_\mathrm{m} = 2 \pi / T
:: T&nbsp;…&nbsp;Ëmlafzäit
:: a&nbsp;…&nbsp;grouss Hallefachs vun der Bunnellips
:: e&nbsp;…&nbsp;linear Exzentrizitéit e = \sqrt{a^2-b^2}
:: p&nbsp;…&nbsp;Hallefparameter p = b^2/a
:: b&nbsp;…&nbsp;kleng Hallefachs vun der Bunnellips

Aus der Vis-Viva-Equatioun ergëtt sech:
: v_\mathrm{pz} = \sqrt{GM(2/r_\mathrm{pz}-1/a)} = \sqrt{GMp}/r_\mathrm{pz}&nbsp;…&nbsp;*Perizentrumsvitess*
: v_\mathrm{az} = \sqrt{GM(2/r_\mathrm{az}-1/a)} = \sqrt{GMp}/r_\mathrm{az}&nbsp;…&nbsp;*Apozentrumsvitess*

D'Perizentrumsvitess ass déi maximal, d'Apozentrumsvitess déi minimal Bunnvitess. Well d'Beweegung an den Haaptscheetelen tangential verleeft, ass a béide Fäll de spezifeschen Dréiimpuls bequem ofzeliesen, deen op der ganzer Bunn konstant ass:
: \rho = L/m = v\cdot r = \sqrt{GMp} = \frac{2\pi}{T}p^2

Soumat kann d'Vitess v_\mathrm o = 2r_\mathrm o \pi/T vun engem equivalente Kreesorbit (vu mëttlerer Anomalie, awer mat dem selwechte spezifesche Dréiimpuls \rho) mat GM = \rho^2/r = \rho v = v^2 r ermëttelt ginn:

: v_\mathrm o={\frac {\sqrt {v_\mathrm o^2 r_\mathrm o p}}{r_\mathrm o}} \to r_\mathrm o=p\,\,{\text{a soumat}}\,\,v_\mathrm o=\frac{\rho}{p}={\frac {2\pi}{T}}{\frac {b^2}{a}}

Duerch Asetze vun GM/p = v_\mathrm o^2 ergët sech déi jeeweileg Bunnvitess mat der Distanz r' = 2a-r zum zweete Brennpunkt:

: v = \sqrt {GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)} = \sqrt {v_\mathrm o^2 p \cdot \frac{2a-r}{a \cdot r}} = v_\mathrm o \frac{b}{a} \sqrt {\frac{2a}{r}-1} = v_\mathrm o \frac{b}{a} \sqrt {\frac{r'}{r}}

Un de Niewescheetelen ergët sech d'Vitess:

: v_\mathrm N = v_\mathrm o \frac{b}{a} = \frac{\rho}{b}

## Mëttel Orbitalvitess
Déi *mëttel Orbitalvitess* ergëtt sech aus dem Zesummenhank, Wee pro Zäit. Den Ëmfang vun der Ellips ass net zou bestëmmbar; et gëllt mam ellipteschen Integral 2.&nbsp;Aart E(k):

:\bar v = \frac{U(\varepsilon)}{T} = \frac{4a}{T} E(\varepsilon) = \frac{4a}{T} {\int_0^{\pi/2}} \sqrt{1-\varepsilon^2 \sin^2(t)} \, \mathrm dt = \frac{2\pi}{T} a \left[1 - \frac{1}{4}\varepsilon^2 - \frac{3}{64}\varepsilon^4 - \frac{5}{256}\varepsilon^6 - \frac{175}{16384}\varepsilon^8 + \mathcal O(\varepsilon^{10}) \right]

Ma zouhuelender Exzentrizitéit \varepsilonfällt déi mëttel Bunnvitess bei selwechter spezifeschem Dréiimpuls \rho.

Eng einfach Noerung fir d'Ëmlafvitess ass driwwer eraus
: \bar v \approx \frac{\pi}{T}(a+b) = \frac{\pi}{T} \cdot a \left(1 + \sqrt{1 - \varepsilon^2}\right) = \frac{U(\varepsilon)}{T} - \frac{2\pi a}{T} \frac{\varepsilon^4}{64} + \mathcal O(\varepsilon^6),
déi soumat fir kleng Exzentrizitéite méi genee ass wéi den Ofbroch nom \varepsilon quadrateschen Term.

## Orbitalvitesse vu kënschleschen Äerdsatellitten
D'Bunnvitesse bei Satellitte, déi bal kreesfërmeg Bunnen hunn, ass, jee no Klass vum Satellittenorbit:
* op Low Earth Orbit (LEO) iwwer 200&nbsp;km Fluchhéicht ongeféier 7&nbsp;km/s (25.000&nbsp;km/h)
* op Satellittenorbit#Medium Earth Orbit (MEO) iwwer ronn 3.000&nbsp;km ënner 6&nbsp;km/s
* op Geostationärer Orbit (GEO) (GEO, 42.164&nbsp;km Bunnradius, 35.786&nbsp;km iwwer dem Equator) ongeféier 3&nbsp;km/s (11.000&nbsp;km/h)
Typesch Drorakéite leeschten eng Undriffskapazitéit \Delta v vu 7–11&nbsp;km/s. D'Brenndauer vum System ass ganz vun der Technik, also dem Schub (Acceleratioun) ofhängeg, fir dann zesummen déi néideg Vitess (1.&nbsp;kosmesch Vitess vun der Äerd) fir eng stabil Bunn z'erreechen. Dat gëllt och fir déi ënne genannten Undriffsystemer.

Am Ënnerscheed zum keplereschen Idealfall si Satellitte besonnesch bei niddregen Orbiter enger däitlecher Bremskraaft duerch Reiwung an der Héichatmosphär ënnerworf, woudurch d'Bunnhéicht lafend fällt an d'mëttel Wénkelvitess méi grouss gëtt. Dofir gëtt standardméisseg zum Satellittebunnelement *[[Mëttel Beweegung]]* n op d'mannst e siwent Bunnelement uginn, z.&nbsp;B. 
* d'Bremswierkung \dot{n}/2 (als Ännerung vun der mëttlerer Beweegung, Faalquot jee Zäiteenheet)
* oder e *ballistesche Koeffizient* B^{*}, iwwer dee sech de Vitessverloscht berechne léisst.

Fir awer dem Neesantrëtt (Vergléien an der Atmosphär) virzegräifen, musse reegelméisseg Bunnkorrekture virgehol ginn. Dofir sinn vill Satellitte mat Undriffssystemer opgerëscht, deenen hire Brennstoffproviant awer d'Liewensdauer begrenzt. Si leeschten 10–600&nbsp;m/s, also en 10.000stel bis 10tel vun der Drorakéit, jee no Bunnhéicht vun der Missioun.

Donieft gëtt et vill aner Stéiergréissten, déi weider Bunnkorrekture an eng Lagreegelung mat Leeschtungen ëm 20&nbsp;m/s erfuerderen.
Dobäi sinn –&nbsp;bei engem geostationäre Satellit&nbsp;– fir de Gravitatiounsafloss vun Äerd a Mound 40–51&nbsp;m/s pro Joer noutwendeg, fir de Stralungsdrock vun der Sonn (Sonnewand) bis zu 30&nbsp;m/s pro Joer, déi aner Stéierunge bleiwen am eestellege Beräich.

Bei munche Missioune gëtt och eng explizit Bunnännerung noutwendeg, woufir Systemer mat 1&nbsp;bis e puer km/s Undriffskapazitéit noutwendeg sinn. Dreifwierker fir déi Aufgab gi net wéi Bunnkorrektur- a Lagreegelungssystemer zu de Sekundär-, mä wéi d'Dreifwierker den Drorakéite zu de Primärsystemer gerechent.

## Bunnvitesse vu Klengkierper a Raumfaartmissiounen
Ënner Klengkierper faasst een Asteroiden (Klengplanéite), Koméiten a Meteoroiden zesummen. Déi meescht Asteroide lafen –&nbsp;als regulär Objete vum Sonnesystem&nbsp;– op kreesänlechen Ellipse wéi d'Planéite, obwuel mat gréissere [[Inklinatioun (Astronomie)|Bunnschréien]]. Donieft gëtt et awer vill irregulär Objeten op staark exzentreschen Ellipsen an aperiodesch Objeten op Hyperbelbunnen. Wéinst hirer klenger Gréisst sinn déi meescht nach onentdeckt, an eng genee Bunnbestëmmung ass bei eemoleger Observatioun dacks net méiglech.

Eng entscheedend Gréisst fir den Urspronk vun deene Kierper ass d'Fluchtvitess zu der Sonn (respektiv der ganzer Mass vum Sonnesystem). Dee läit op der Héicht vun der Äerdbunn bei 42&nbsp;km/s, also ongeféier 150.000&nbsp;km/h (drëtt kosmesch Vitess), bis zu der Sonnenuewerfläch wiisst si op 620&nbsp;km/s (2,2&nbsp;Mio.&nbsp;km/h) un. All Objeten, déi méi séier sinn, verloossen d'Sonnesystem, entweeder duerch staark Bunnstéierungen, oder si sinn tatsächlech vun extrasolarem Urspronk. D'Fluchtvitess hëlt –&nbsp;no uganks genannte Formelen&nbsp;– mat \sqrt r mat der Distanz zu der Sonn of: Sou geet fir d'Voyager-Sonden, déi an der Tëschenzäit wäit déi Säit vun der Saturnbunn sinn, eng Vitess duer, déi méi kleng ass wéi d'Ëmlafvitess vun der Äerd, fir de Sonnesystem ze verloossen. Dofir ass awer en eegenen Undriff noutwendeg, oder e Vitessgewënn no baussen, wéi en duerch Swing-by-Manöveren erreecht ka ginn (d'Voyager-Sonde goufen duerch de Swing-by um Saturn ëm ronn 18&nbsp;km/s acceleréiert). Och duerch staark Kollisioune kënne munch Klengkierper d'Sonnesystem verloossen.

Bei Äerdbunnkräizer, inklusiv Meteoren a Meteorstréim (Stäreschnauzschwäerm), gëtt een déi relevant Relativvitess zu der Äerd un. Jee no Antreffwénkel zu der Äerdbunn hunn déi Objete Vitessen tëscht 11,2&nbsp;(Noleefer) bis 72&nbsp;km/s (Frontaltreffer).

## Bunnvitesse vu Koméiten
Bei laanggestreckte Koméitebunne sinn d'Vitessen extreem ënnerschiddlech. Als Beispill de Koméit Halley genannt, deem seng Ellips mat 76 Joer Ëmlafzäit vun bannenzeg der Venusbunn bis déi Säit vum Neptun reecht. Am Perihel (0,59&nbsp;AE) beweegt hie sech mat 55&nbsp;km/s, am Aphel (35&nbsp;AE) nëmme mat 0,9&nbsp;km/s, woufir hie sech joerzéngtelaang déi Säit vun der Saturnbunn ophält an net ze gesinn ass. Nach méi extreem sinn "Joerhonnertkoméiten" aus der Oort Wollek, déi vun do mat wéinege m/s Richtung Sonn drifte kënnen a si dann (wéi McNaught Ufank 2007) mat iwwer 100&nbsp;km/s ëmkreesen.

## Beispiller
* Mëttel Bunnvitess vun der Äerd (ëm d'Sonn/Baryzentrum vum Sonnesystem): v \approx 29{,}780\ \mathrm{km}/\mathrm{s} \approx 107\,000\,\mathrm{km}/\mathrm{h}\ \pm 1{,}7 \%\ \text{annual}
*: Zum Verglach: Rotatiounsvitess un der Äerduewerfläch um Equator (zum Äerdmëttelpunkt): v_\text{Observeur} \approx 460\ \mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 1\,770\ \mathrm{km}/\mathrm{h}&nbsp;– D'Vitess vum Observeur um Equator ëm d'Sonn, also déi selwecht wéi d'Äerd ±1,7 % diurnal (deeglech)
* Mëttel Bunnvitess vum Äerdmound (ëm den Äerd-Mound-Schwéierpunkt): v \approx 1020\ \mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 3670\ \mathrm{km}/\mathrm{h}\ \pm 5{,}5 \%\ \text{mensal}
*: Zum Verglach: D'Ëmlafvitess ëm d'Sonn: déi selwecht wéi d'Äerde ±&nbsp;3,4 % mensal (all Mount)
* Bunnvitess vun der ISS (ëm d'Äerd): v \approx 7\,770 \mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 28\,000\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
*: Zum Verglach: Relativvitess (zum Observeur op der Äerduewerfläch): v_\text{Buedem} \approx 7\,500 \mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 27\,000\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
* Bunnvitess vun der Voyager-1-Sond (zu der Sonn): v \approx 17\,000\ \mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 61\,400\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
* Bunnvitess vum Koméit Tempel-Tuttle am Perihel (also ëm d'Sonn): v \approx 41\,600\ \mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 150\,000\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
*: Zum Verglach: Relativvitess vun de Leoniden, dee vun him produzéierte Meteorstroum, zu der Äerd: v \approx 71\,000\ \mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 255\,000\ \mathrm{km}/\mathrm{h}&nbsp;– also 250-facht Schallvitess
* D'Bunnvitess vum Sonnesystem (ëm de galakteschen Zentrum): v \approx 250\,000\ \mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 900\,000\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
*: Zum Verglach: D'Bunnvitess vun der Äerd ëm de galakteschen Zentrum: déi selwecht wéi d'Sonn ±12 % annual (all Joer)

## Literatur
* Hans Rolf Henkel: *Astronomie – Ein Grundkurs.* Verlag Harry Deutsch, Frankfurt/Main 1991.

## Kuckt och

* Bunnelement
* Méikierpersystem
* Hodograph