Geodetesch Linn

Eng **geodetesch Linn** oder e **geodetesche Wee**, ass dee lokal kierzte Verbindungsbou vun zwéi Punkten.

## Lokal a global Definitioun
Am euklidesche Raum si geodetesch Linnen ëmmer riicht Linnen. Relevant ass de Begrëff eréischt a gekrëmmte Raim, wéi zum Beispill op enger Kugeluewerfläch oder op anere gekrëmmte Flächen oder och an der gekrëmmter Raumzäit vun der allgemenger Relativitéitstheorie. Et fënnt een d'geodetesch Linne mat Hëllef vun der Variatiounsrechnung.

D'Aschränkung *[[Ëmgéigend (Mathematik)|lokal]]* an der Definitioun bedeit, datt eng geodetesch Linn nëmmen dann déi kierzt Verbindung tëscht zwéi Punkten ass, wann déi Punkten no genuch beienee leien; si muss awer net de *global* kierzte Wee sinn. Déi Säit der Schnëttplaz kënnen en ettlech geodetesch Linne vu verschiddene Längten op de selwechte Punkt féieren, wat déi global Minimiséierung vun der Längt verhënnert. Beispillsweis ass déi kierzt Verbindung tëscht zwéi Punkten op enger Kugel ëmmer en Deel vun engem Grousskrees, awer déi zwéin Deeler, an déi e Grousskrees duerch zwéi Punkten ënnerdeelt gëtt, si geodetesch Linnen, obwuel nëmmen eng dovun déi *global* kierzt Verbindung duerstellt.

## Beispiller fir geodetesch Linne vu verschidde Raim
* Am \R^n si genee déi riicht Strecken déi geodetesch.
* Eng geodetesch Linn op der Sphär ass ëmmer en Deel vun engem Grousskrees; dorun orientéiere sech transkontinental Fluch- a Schëfffaartsrouten (kuckt *[[Orthodrome]]*). All geodetesch Linnen (resp. Grousskreesser) op enger Kugel sinn u sech zou – dat heescht wann een hinne nofiert, erreecht een iergendwann nees den Ufankspunkt. Op Ellipsoid-Flächen dogéint gëllt dat nëmme laanscht d'Meridianen a laanscht den Equator (déi um Ellipsoid einfach Spezialfäll vun der geodetescher Linn sinn).
* Am Eenzelfall vun ofwéckelbare Flächen (z.&nbsp;B. Keegel oder Zylinder) sinn d'geodetesch Linnen déi Béi, déi bei der Ofwécklung um Plateau riicht Strecke ginn.

## Klassesch Differentialgeometrie

An der klassescher Differentialgeometrie ass eng geodetesch Linn e Wee \gamma: I \to S op enger Fläch S \subset \R^3, bei deem iwwerall d'Haaptnormal mat der Flächennormal zesummefält. Déi Bedingung ass genee dann erfëllt, wa fir jiddwer Punkt déi geodetesch Krëmmung gläich 0 ass.

## Riemannesch Geometrie
An der riemannescher Geometrie ass eng geodetesch Linn duerch eng gewéinlech Differentialequatioun charakteriséiert. E Bou \gamma \colon I \to M ass eng geodetesch Linn, wann en déi geodetesch Differentialequatioun: \nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0 erfëllt. Dobäi bezeechent: \nabla de Levi-Civita-Zesummenhank. Déi Equatioun bedeit, datt d'Vitessëvecteurfeld vum Bou säitlech vum Bou konstant ass. Déi Definitioun baséiert op der Iwwerleeung, datt d'geodetesch Linne vum \R^n einfach déi riicht Linne sinn an hir zweet Ofleedung konstant null ass.

Wann (U,x) eng Kaart vun der Diversitéit ass, da kritt ee mat Hëllef vu Christoffelsymboler \Gamma^m_{kl} déi lokal Duerstellung
:\ddot x^m+\Gamma^m_{kl}\dot x^k\dot x^l=0
vun der geodetescher Differentialequatioun. Dobäi gëtt dem Einstein seng Zommekonventioun gebraucht. D'x^m sinn d'Koordinatenfunktioune vum Bou \gamma: De Boupunkt \gamma(t) huet d'Koordinaten (x^1(t), \dots, x^n(t)).

Aus der Theorie iwwer gewéinlech Differentialequatioune léisst sech beweisen, datt et eng eendeiteg Léisung vun der geodetescher Differentialequatioun mat den Ufanksbedingungen \gamma(t_0) = p an \dot \gamma(t_0) = V \in T_pM gëtt. A mat Hëllef vun der éischter Variatioun vu \gamma, léisst sech beweisen, datt déi vergläichsweis vum riemanneschen Ofstand d(.,.) kierzt Béi déi geodetesch Differentialequatioun erfëllen. Ëmgekéiert kann ee weisen, datt all Geodetesch op d'mannst lokal eng kierzt Verbindung ass. Dat heescht op enger Geodetescher gëtt et ee Punkt, ab där déi Geodetesch net méi déi kierzt Verbindung ass. Ass déi zugrondleeënd Mannegfaltegkeet net kompakt sou kann de Punkt och onendlech sinn. Fixéiert een e Punkt a kuckt all Geodetescher mat Eenheetsvitesset, déi vun dësem Punkt ausginn, sou heet d'Verbindung vun alle Schnëttpunkte, d'Schnëttplaz. Eng Geodetesch mat Einheetsvitesse ass eng Geodetesch \gamma, fir déi \|\dot \gamma\| = 1 gëllt.

## D'Geodetenequatioun
Mat Hëllef vun der Variatiounsrechnung léisst sech d'Geodetenequatioun opstellen. Ausgankspunkt ass dobäi d'Eegeschaft vun enger geodetescher Linn, déi lokal kierzt Verbindung vun zwéi Punkten. Am gekrëmmte Raum froe mer also no deem Bou, deem seng Boulängt s tëscht dem Ufanks- an Endpunkt e Minimum unhëllt, also
::s=\int\limits_{P_A}^{P_E}\mathrm{d}s\ \stackrel{!}=\ \text{Extremum}.
De Bou gëtt mat dem Parameter \lambda parametriséiert an d'Linnenelement ass allgemeng uginn duerch
\mathrm{d}s^2=g_{ik}\mathrm{d}x^{i}\mathrm{d}x^{k}.
Dobäi kritt de Raum, deen de Bou besëtzt, duerch de metreschen Tensor g_{ik} eng Mooss fir Wénkel an Ofstänn.
Sout kréie mer: s=\int\limits_{\lambda_E}^{\lambda_A}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\lambda}\mathrm{d}\lambda=\int\limits_{\lambda_E}^{\lambda_A}\sqrt{g_{ik}\frac{\mathrm{d}x^{i}}{\mathrm{d}\lambda}\frac{\mathrm{d}x^{k}}{\mathrm{d}\lambda}}\mathrm{d}\lambda=\text{Extremum}.
Déi Equatioun gläicht an hirer Form dem Hamiltonprinzip mat enger Lagrangefunktioun.

::\mathcal{L}=\sqrt{g_{ik}\frac{\mathrm{d}x^{i}}{\mathrm{d}\lambda}\frac{\mathrm{d}x^{k}}{\mathrm{d}\lambda}}=\sqrt{g_{ik}x'^{i}x'^{k}}=\sqrt{F},\quad\text{mit}\quad x'^{i}=\frac{\mathrm{d}x^{i}}{\mathrm{d}\lambda}.
Si muss deemno d'Euler-Lagrange Equatioun erfëllen, also
::\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\frac{\partial\mathcal L}{\partial x'^{i}}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x^{i}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\left(\frac{1}{2\sqrt{F}}\frac{\partial F}{\partial x'^{i}}\right)-\frac{1}{2\sqrt{F}}\frac{\partial F}{\partial x^{i}}=0

## Literatur
* Manfredo Perdigão do Carmo: *Riemannian geometry.* Birkhäuser, Boston u. a. 1992, ISBN 0-8176-3490-8.