Sequentia (mathematica)

thumb|Sequentia 1, 3/8, 2/9, 5/32, 2/25, ..., id est \frac {n+1}{2n^2} Limis sequentiae est 0.
**Sequentia** in mathematica omnis quidem functio  f: \mathbb N \cup \lbrace 0\rbrace\rightarrow \mathbb R, \ n\mapsto f(n)=:(x_n)_{n\in\mathbb N \cup\lbrace 0\rbrace}  appellatur.  Summa membrorum sequentiae cuiusdam est series, quae summa exstat si sequentia summarum partium series limitem habet.

## Exempla
*Sit  (x_n)_{n\in\mathbb N \cup \lbrace 0\rbrace} = \frac {n+1} 2. Sequentia numerorum tum est  \frac 1 2,\frac 2 2 = 1,\frac 3 2, \frac 4 2 = 2,\dots.
***Sequentia Fibonacci**: Sequentia Fibonacci est sequentia recursive definita. (Id est: numeri principales sequentiae positi sunt et formula ad numerum proximum numeris positis putandum data est).

: x_0 := 0, \ x_1:=1, \ x_n:= x_{n-2}+x_{n-1} . Ergo sequentia est: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,... .

## Limes et puncta auctus sequentiae
### Limes sequentiae
Limes sequentiae hoc modo definitus est:

 a \in \mathbb R  est limes sequentiae  (x_n)_{n\in\mathbb N \cup\lbrace 0\rbrace} :\Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \, \exists N_{\varepsilon} \in \mathbb N \, \forall n \geq N_{\varepsilon} \,: \left|x_n-a\right|. Si sequentiae est limes a , scribitur:  a:= \lim_{n \to \infty} x_n, et sequentia dicitur ad  a  *convergere*. Sin non est talis  a , sequentia dicitur *divergere*.

#### Exempla
*Sequentiae superiori scriptae  (x_n)_{n\in\mathbb N \cup \lbrace 0\rbrace} = \frac {n+1} 2 \  et  \  x_0 := 0, \ x_1:=1, \ x_n:= x_{n-2}+x_{n-1}  divergunt.
*Sequentia autem  \left( \frac {x_{n-1}^F} {x_n^F}\right)_{n \in \mathbb N \cup \lbrace 0\rbrace} , ubi  (x_n^F)_{n \in \mathbb N \cup \lbrace 0\rbrace}  sit sequentia Fibonacci, convergit et limes est  \lim_{n \to \infty} \frac {x_{n-1}^F} {x_n^F} = \frac {1+ \sqrt {5}} {2} =: \phi  numerus divinae proportionis.
*Sit  (x_n)_{n\in\mathbb N} = \frac 1 n . Tum  \lim_{n \to \infty} \frac 1 n = 0.

### Puncta auctus sequentiae
Definitio: Numerus  a\in \mathbb R  est punctum auctus sequentiae  (x_n)_{n\in\mathbb N \cup\lbrace 0\rbrace} :\Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \, \forall n\in \mathbb N \, \exists m \geq n: \left|x_m-a\right|

#### Exempla
*Sequentiae  (x_n)_{n\in\mathbb N} = \frac 1 n  est punctum auctus 0.
*Sequentiae  (x_n)_{n\in\mathbb N \cup \lbrace 0\rbrace} =(-1)^n  sunt puncta auctus et 1 et -1.
*Sequentiae Fibonacci  (x_n^F)_{n \in \mathbb N \cup \lbrace 0\rbrace}  non est punctum auctus.

### Cohaerentia limitis punctorumque auctus sequentiae
#Sit  (x_n)_{n \in \mathbb N}  sequentia aliqua convergens et  a:= \lim_{n \to \infty} x_n  sit eius limes. Tum a est punctum auctus.
#Sit  (x_n)_{n \in \mathbb N}  sequentia aliqua quae punctum auctus  a  habet. Tum est sequentia partitiva  (x_{n_k})_{k \in \mathbb N} , quae habet punctum auctus  a  limitem.

## Theoremata limitum
Si est limes \lim_{n\to\infty} x_n=a, tum omni numero c\in\R\; sunt limites hi, qui eo modo putentur:
* \lim_{n\to\infty} c \cdot x_n=c \cdot a, 
* \lim_{n\to\infty} \left(c+ x_n\right)=c+a,
* \lim_{n\to\infty} \left(c-x_n\right)=c-a.
:Si insuper a\neq 0 est, tum etiam x_n\neq 0 a quodam numero indicabili N_0\; et sequentiae partitivae n>N_0\;  valet:

: \lim_{n\to\infty} \frac{c}{x_n}=\frac{c}{a}.

Si sunt limites et \lim_{n\to\infty} x_n=a et \lim_{n\to\infty} y_n=b, tum etiam limites hi sunt, qui eo modo putentur:
* \lim_{n\to\infty} \left(x_n+y_n\right)= a+b,
* \lim_{n\to\infty} \left(x_n-y_n\right)= a-b,
* \lim_{n\to\infty} \left(x_n\cdot y_n\right)= a\cdot b.
:Si insuper b\neq 0 est, tum etiam y_n\neq 0 a quodam numero indicabili N_0\; et sequentiae partitivae n>N_0\; valet:
: \lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{y_n}=\frac{a}{b}.

*Fibonacci
*Divina proportio
*Limes functionis

Categoria:Mathematica