Series (mathematica)

thumb|Tres series geometricae.

 in mathematica universe est operatio multarum quantitatum additarum in infinitum, singillatim, usque ad primam quantitatem datam. Investigatio serierum est maior pars calculi et eius generalizationis, analysis mathematicae. Series in plurimis mathematicae regionibus adhibetur, etiam in structuris finitis investigandis (ut in combinatorica) per functiones generantes. Series infinitae, praeter eorum ubiquitate in mathematica, late adhibentur in disciplinis sicut physica, scientia computatrali, statistica, et 

Notio summationis infinitae quae exitum finitum efficere potest paradoxum diu a mathematicis videbatur. 

## Series subtiliter deefinita 
Series subtiliter est summa sequentiae. Hoc est, si sequentiam habemus a_0, a_1, a_2, . . . possumus seriem facere: a_0 + a_1 + a_2 + . . . Sigma littera Graeca seriem significat: \sum_{i=0}^{\infty} a_i = a_0 + a_1 + a_2 . . . .

Series finita est additio: \sum_{i=1}^{i=5} i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Series autem infinita summam finitam aut infinitam habere potest. Si summa est finita, dicimus seriem ad limitem appropinquare vel vergere; si summa est infinita, series non vergit.

Summa partialis seriei est summa primorum membrorum. Sit series \sum_{i=0}^{\infty} a_i.  Tunc prima summa partialis est a_0, altera est a_0 + a_1, tertia est a_0 + a_1 + a_2, quarta est a_0 + a_1 + a_2 + a_3, et similiter.  Summae partiales sunt numeri, et fiunt sequentia.

Summa seriei infinitae (per definitionem) est limes sequentiae summarum partialium. Hoc est, sit s_n = \sum_{i=0}^{n} a_i = a_0 + a_1 + . . . + a_n  Si sequentia {s_j} limitem habet, haec limes est summa seriei;  si autem limitem non habet, series summam non habet.

Ecce exemplum. Series \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} . . . habet summas partiales: 1/2, 3/4, 7/8, 15/16, . . .  Haec sequentia ad limitem 1 vergit; 1 est ergo summa seriei.

Sed series \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i} = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 . . . divergit, quod summae partiales sine limite crescunt:  1, 3/2, 11/6, 25/12, . . . Series ergo nullam limitem habet. Nomen seriei est *series harmonica.*

Series cuius forma est \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{r^i} dicitur *series geometrica* et *r* est *ratio communis,* quod est ratio membri cuiusdam et sequentis membri: \frac{a_{i+1}}{a_i} = r Series geometrica ad limitem \frac{1}{1-r} vergit cum |r| , et aliter divergit.

* Anellus
* Series Fourieriana

## Notae 
## Nexus externi 
* De Seriebus apud Wolfram MathWorld.

## Bibliographia
* Bromwich, T. J. (1908) 1926. *An Introduction to the Theory of Infinite Series.* Macmillan & Co. Iterum impressus 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
* Behnke, H., F. Bachmann, K. Fladt, et W. Süss, eds. 1974. *Fundamentals of Mathematics, vol 1: Foundations of Mathematics: The Real Number System and Algebra.* Convertit S. H. Gould. Cantabrigiae Massachusettae: MIT Press.
* 
* Hardy, G. H. (1952) 1992. *A Course in Pure Mathematics,* ed. decima. Cantabrigiae. ISBN 0-521-09227-2.
*  
*  
* Rudin, Walter. 1964. *Principles of Mathematical Analysis.* Novi Eboraci: McGraw-Hill.
*  
* .
* Wong. 1979. *Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products.* Berolini, Novi Eboraci: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158.

Categoria:Analysis
Categoria:Mathematica