Aequationes Lagrangi

**Aequationes Lagrangi** sunt aequationes quas physicus Iosephus Ludovicus Lagrange e Newtonianis motus legibus anno 1788 derivavit, ut hae leges facilius exsolvantur et generalizentur, eas  vertendo in formam problematis minimam-maximam reperiendi.

## Demonstratio
Secundum leges Newtonianas, actuales particularum traiectoriae sunt speciales quia eae admussim praedici possunt.  In calculo, omnia puncta specialia *xi* cuiusdam functionis *f* correspondent aut functionis maximo, aut minimo, aut punctis inflexionibus. Haec puncta obtinemus ponendo derivativum {df}/{dx} = 0. Quamobrem Iosephus Lagrange hypothesim fecit analogam, functionale *S* quoddam existere cuius minimum respectu particularum traiectoriae x_{\alpha}(t)  accidat quando particularum traiectoriae leges Newtonianas sequuntur. 

Functionale integrale *S* quam Lagrange exsistere ponit *actio* appellatum definitur

::: S = \int{ L(x_1,x_2,...x_{\alpha}, \dot{x}_1,\dot{x}_2,...\dot{x}_{\alpha}, t)\, dt}

ubi *L* est *functio Lagrangiana*, x_\alpha  denotant omnia systematis parametra sicut particularum coordinatas, et \dot{x}_{\alpha} velocitates correspondentes. Et Lagrange posuit 

::: \frac{\delta S}{\delta x_\alpha} = 0,

qua aequationes Euleri-Lagrangi deduxit

:::\frac{d~}{dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_\alpha} \, \right) \ - \ \frac{\partial L}{\partial x_\alpha} \ = \ 0

Hae aequationes exactiter illis Newtonianis corrrespondent, si modo *L = T - V* ponamus, id est, si functio Lagrangiana ponatur aequalis differentiae inter energiam cineticam et energiam potentialem. Si tribus in dimensionibus singulam particulam arelativisticam energia *V* potentiali habeamus, functio Lagrangiana sua est

:::L(\vec{x}, \dot{\vec{x}}) \ = \ \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \ - \ V(\vec{x}).

Deinde

:::\frac{\partial L}{\partial x_\alpha} \ = \ - \ \frac{\partial V}{\partial x_\alpha},
:::\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_\alpha} \ = \ \frac{\partial ~}{\partial \dot{x}_\alpha} \, \left( \, \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \, \right) \ = \ \frac{1}{2} \ m \ \frac{\partial ~}{\partial \dot{x}_\alpha} \, \left( \,  \dot{x}_\alpha \, \dot{x}_\alpha \, \right) = \ m \, \dot{x}_\alpha,
 et
:::\frac{d~}{dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_\alpha} \, \right) \ = \ m \, \ddot{x}_\alpha, 

ut possimus aequationes Euleri-Lagrangi scribere:

:::m\ddot{\vec{x}}+\nabla V=0.

Hoc demonstrat aequivalentiam inter leges motus Newtonianas et aequationes Euleri-Lagrangi.

## Causa
Hae aequationes excogitatae sunt eo consilio, ut possimus leges Newtonianas facilius in systematibus coordinatorum non Cartesianis applicare et generalizare.

### Systema penduli lateri mobili affixi
Exempli gratia sphaeram consideremus, quae filo modo de latere mobile pendet, a methodo Lagrangiana descriptam. Pars suae Lagrangianae cinetica est  

:::T = \frac{1}{2} M \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m \left( \dot{x}_\mathrm{pend}^2 + \dot{y}_\mathrm{pend}^2 \right) = \frac{1}{2} M \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m \left[ \left( \dot x + l \dot\theta \cos \theta \right)^2 + \left( l \dot\theta \sin \theta \right)^2 \right], 

et pars potentialis est

::: V = m g \operatorname{y} = - m g L \cos \theta 

ubi *x* est horizontalis lateris positio, *m* est sphaerae massa, *M* est lateris massa,* L* est fili longitudo, *g* est acceleratio libere cadendi et θ est fili angulum respecto lineae imaginariae quae de latere deorsum intendit.

thumb|right|Schema sphaerae et lateris mobilis, fili angulum θ et lateris positonem *x* monstrans.
Faciendo illas derivationes respecto *x*, obtinemus
:::\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left[ (M + m) \dot x + m L \dot\theta \cos\theta \right] = 0, 
quod monstrat constantem motus quandam. Respecto θ derivando obtinemus
:::\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ m( l^2 \dot\theta + \dot x L \cos\theta ) \right] = - m (\dot x l \dot \theta + g L) \sin\theta ;

ergo

:::\ddot\theta + \frac{\ddot x}{L} \cos\theta + \frac{g}{L} \sin\theta = 0 .

Hae solutiones videntur complexae; sed sine aequationibus Lagrangianis, solum legibus Newtonianis utendo, illas solutiones obtinere difficilior fuerit, quod tunc subtilitate modo omnis vis forma vectorale meditanda est.

### Functio Lagrangiana contextu relativitatis specialis
Methodus Lagrangiana nos sinit ad contextum relativisticum discriptiones mechanicas facilius generalizare. Exempli gratia particulam onerus electricum habentem consideremus, quae in campo electromagnetico gyrat, in contextu relatvitistica speciali. Functio Lagrangiana huius particulae est:

::: L = - m c^2 \sqrt {1 - \frac{v^2}{c^2}} - q \phi [\vec{x},t] + q \dot{\vec{x}} \cdot \vec{A} [\vec{x},t]

ubi \vec{x} est particulae positio, *q* suum onus electricum, \vec{v}= \dot{\vec{x}} sua velocitas,  \phi [\vec{x},t] tensio electrica in loco \vec{x} temporeque *t*, et \vec{A} [\vec{x},t] potentiale vectorale.

Applicando aequationes Euleri-Lagrangi, obtinemus

:::0 = - \frac{d}{d t}\left(\frac{m \dot{\vec{x}}} {\sqrt {1 - \frac{v^2}{c^2}}}\right) - q \nabla\phi [\vec{x},t] - q \partial_t{\vec{A}} [\vec{x},t] 
- q \dot{\vec{x}} \times \nabla \times \vec{A} [\vec{x},t] 

quod identificamus ut aequationem virium Lorentz

:::\frac{d}{d t}\left(\frac{m \dot{\vec{x}}} {\sqrt {1 - \frac{v^2}{c^2}}}\right) = q \vec{E}[\vec{x},t] 
- q \dot{\vec{x}} \times \vec{B} [\vec{x},t] 

ubi 
:::\vec{E}[\vec{x},t] = - \nabla\phi [\vec{x},t] - \partial_t{\vec{A}} [\vec{x},t] 
:::\vec{B}[\vec{x},t] = \nabla \times \vec{A} [\vec{x},t] 
sunt campus electricus et campus magneticus quos e aequationibus Maxwellianis obtinemus.

## Fontes
*L. Landau and E. Lifshitz, Mechanics, 3rd ed. Butterworth-Heinmann, Oxford, 1976
*John R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2003.
*H. Goldstein, Classical Mechanics, 2nd ed., Addison Wesley, 1980

Categoria:Mechanica classica