Aequatio

[thumb|Aequatio in tabula representari potest.  Hae tabulae monstrant aequationem quadraticam a x^2 + b x + c = 0, ubi quantitates a, b, c valores alios habent secundum colores:  in prima imagine, a = 0 et b = 0;  in seconda, a = 0 et c = 0;  in tertia, b = 0 et c = 0.  Figurae sunt [parabolae.]]
:*Haec est de aequationibus mathematicis. Si de chemica quaeres, vide aequationem chemicam.*

**Aequatio** est sententia mathematica quae dicit duas quantitates esse aequas. Omnes aequationes habent symbolum aequalitatis "=", sicut

:2 + 3 = 5,

quod verbis dicitur "duo et tres sunt/aequant quinque," et 

:x - x = 0.

Si sententia dicit quantitatem aliquem maiorem vel minorem esse alia quantitate, est inaequatio, sicut

:2 + 4 > 5 (hoc est, "duo et quattuor sunt maiores quam quinque").

## Aequationes versus identitates 
Aequationes supra sunt identitates mathematicae, aequationes quae sunt vera valoribus suarum partium neglectis. Aequatio cui non est identitas est:

:x + 1 = 2,

quae quippe est falsa infinito numero valoris dato, et vera est solum si x = 1. *Aequationem solvere* significat invenire unicum valorem vel valores quibus aequatio vera est.

Saepius litterae primae abecedarii, ut *a, b, c,* quantitates constantes nominant, et litterae ultimae, ut *x, y, z,* nominant quantitates variabiles quarum valores inveniendi.  Exempli gratia,

:x + a = b significat x = b - a,

in qua sententia scimus *a* et *b* et debemus solvere ut *x* sciamus.

## Proprietates 
Si aequatio noscitur vera esse, in eam operationes hae sequentes faciantur et veram etiam habeas:

# Ullum valorem adde ambobus lateribus:  si a = b, tum a + c = b + c.
# Ullum valorem subtrahe de ambobus lateribus:  si a = b, tum a - c = b - c.
# Ambo latera multiplicentur ullo valore:  si a = b, tum ac = bc.
# Ambo latera dividantur ullo valore excluso zero:  si a = b, et c ≠ 0, tum a/c = b/c.

## Aequationis gradus et canonica forma 
Canonica aequationis cuiusdam forma appellatur forma quae formam "polynomium = zero" habeat.
Exempli gratia:
:x+2=0 (primus gradus)
:5x2 - 9x + 17 = 0 (secundus gradus)

Gradus polynomii est denique etiam gradus aequationis.

## Quomodo possumus solvere aequationes gradus secundi 
Aequationes gradus secundi (aut aequationes quadraticae nominatae), quae habent formam 

 a x^2 + bx + c = 0 ,

habent solutionem

x = \frac {-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

             
ubi

# si \Delta = b^2-4ac >0, aequatio duas solutiones habet ambas reales,
# si \Delta=0 , aequatio tantum unam habet solutionem (aut melius, duas habet quae sunt concurrentes), denique, 
# si \Delta, aequatio duas distinctas solutiones complexas (partim realem et partim imaginariam) habet.

\Delta = b^2 - 4ac dicitur *discriminans* formae.

## Quomodo possumus solvere aequationes gradus terti 
Ab-initio, consideratur aequationes gradus terti, quae habent formam 

 y^3 + qy + p = 0 ,

Eae habent solutionem

u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}};\quad v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}.

ubi Delta est

\Delta =\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27} , positivus vel negativus est.

* Si \Delta  major est  0, calcolantur duos numeros reales  u e v  qui  equali  sunt sic:
::u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta}}; \quad v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}},

e  solutiones equationes sunt:
::y_1=u+v;
::y_2=u\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+v\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right);
::y_3=u\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+v\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right).

* Se \Delta minor ab 0 necesse est numerus complexus convertire 
::-\frac{q}{2}+i\sqrt{-\Delta}

* Aequatio differentialis 
* Aequatio massae et energiae
* Diophantus
* Inaequatio
* Perfectio quadri
* Solutio aequationis
* Systema aequationum
*Hieronymus_Cardanus
*Quantitas_imaginaria

## Nota 
## Nexus externi 
* Machina quae aequationes et integralia describit
* EqWorld — sapientia de multis speciebus aequationum.
* EquationSolver

Categoria:Algebra
Categoria:Mathematica elementaria