Probabilitas

[thumb|Acus [Georgius Ludovicus Leclerc de Buffon|Buffonius π computari per probabilitatem permittit.]]
[thumb|[Triangulum Pascalis distributionem binomialem demonstrat.]]
**Probabilitas** est ea occasio in qua aliquid accidat vel sit casus. Theoria probabilitatum in chemia, mathematica, medicina, meteorologia, philosophia, ratio aeraria, scientia, statistica, aliisque disciplinis adhibetur, ut conclusiones de probabilitate eventuum potentialium et de mechanica substanti systematum complicium trahantur.

In mathematica, probabilitates semper inter 0 et 1 iacent. Eventus qui fieri non potest 0 probabilitatem habet, et eventus certus 1 habet.

Aliae regulae sunt ad quantificandam incertitudinem, sicut id Theorema Dempster-Shafer idque Theorema Possibilitatis, quae necessario sunt dissimilia nec legibus probabilitatis, ut intellectae sunt, potest conferri.

## Historia computationis probabilitatis 
Computatio probabilitatis ignota erat antiquitate, quamquam celebriores erant ludi aleae apud omnes civilitates. Primum tractatum est de probabilitate, cum solutio quaereretur quaestioni trium alearum iacendarum, in scriptis Hieronymi Cardani ac Galilaei Galilaei, qui ludum aspexerunt, quo pignore contenditur ut unus numerus appareat e summa trium aleae iactuum.

Rite computatio probabilitatis vera fertur orta e studio Blasii Pascalis, qui cum Petro Fermatio scriptitavit quaesivitque et de problematibus de ludis aleae et de probabilitate combinatoria.

## Definitio probabilitatis 
Tribus modis definitum est, quid probabilitas sit: *classice, frequentiste* et *subiective.*

### Definitio classica 
Definitione classica, iam in scriptis Pascalis inventa, probabilitatem definit eventus *rationem inter numerum casuum eventui faventium ad numerum casuum possibilium, cum hi secundi aequaliter possibiles sint.* 

Quia non liquet quid inter "aequaliter possibiles" atque "aequaliter probabiles" differat, multi dicunt hanc esse tautologiam. Si hoc verum est, non habetur definitio, sed regula ad probabilitatem eventus computandam. Paucis tamen casibus potest adhiberi, quod necesse est casus possibiles aequaliter possibiles esse, et eorum numerum esse finitum. Definitio tamen *operativa* est, quia quasdam gignit leges ad elaborationem mathematicam probabilitatis.

Ex definitione enim consequitur ut probabilitas sit numerus inter zerum atque unum, et ut probabilitas sit *additiva:* duorum eventuum repugnantium (*incompatibilium)* unionis probabilitas est summa probabilitatum ipsorum eventuum. 

\text{repugnantibus }A,B\rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)

Ea lex etiam appellatur *lex probabilitatum totalium.*

Denique, bene videtur esse unum probabilitatem eventus certi: cum enim omnes casus faveantur, quod eventus est certus, P(eventus)=casus/casus=1.

### Definitio frequentista 
Definitio frequentista e *lege empirica aleae* oritur. Haec lex dicit *in serie periclitationum eisdem condicionibus, frequentiam eventus appropinquare ad probabilitatem ipsius eventus, approximationemque meliorem fieri cum plus fiant periclitationum.*

Haec lex frequentiam coniungit periclitationibus exploratam probabilitati, quae *a priori* definitur. Haec tamen definitio non satisfacere putata est, ergo postea dictum est non probabilitatem ab externo frequentiarum genitorem, sed frequentias definire probabilitatem. Itaque composita est definitio frequentista: *eventus probabilitas est limes frequentiae relativae periclitationum quibus eventus evenit, cum numerus earum ad infinitum tendit.*

Haec autem definitio quoque impugnata est. Frequentiae cum enim non a lege proveniant, sed periclitationibus observentur, earum "limes" non bene definitus est. Sed multo gravius est id quod non semper haec definitio potest adhiberi. Observandae enim sunt periclitationes *restibiles,* quod vult definitio adhiberi solis casibus delimitatis, ut alea subinde iacta. Et cum melius inspiciatur, etiam alea, cum subinde iacitur, non aequalis manet, quod parum mutant eius positio, quaeque circumdat pressio aeris vel humiditas, vel alia. 

### Definitio subiectiva 
Definitio subiectiva vel *personalis* primum in scriptis Pascalis apparet, sed addicitur Danieli Bernoullio. Hac definitione, probabilitas est *gradus fiduciae aliquis habet, quod eventus eveniet.* Probabilitas igitur ab eventu ipso absolvitur, et gignitur a putato observatoris eventus. 

Ut hac definitione agi possit, saepe sponsiones invocantur: probabilitas est *pretium quod aliquis putat iustum sponsione dare ut accipiat 1 cum evenerit eventus (et 0 cum non evenerit), nisi potest semper vinci aut perdi una aut pluribus sponsionibus pecunia.*

Exempli gratia, cum sponsio fiat, quod alea in numerum 6 iaciatur, et victor accipiat unum assem, plurique dicent iustum dare sextantem (sexta pars assis). Condicio ne possit semper vinci aut perdi pecunia necessaria est, quod aliter non habetur vere sponsio, nec probabilitas.

Nunc monstremus ab his consequi eadem, quae consequebantur a definitione classica. 

Primum, est unum probabilitas eventus certi, quoniam si plus quam unum sponsione datur, quod eventus certus fiat, semper pecunia perditur; si autem minus quam unum datur, semper vincitur: unum igitur modo potest dari, et quod dabatur sponsione diximus esse probabilitatem.

Secundum, probabilitates nunquam sunt negativae. Si enim negativae essent, quod capit 1-probabilitas(eventus) vincens et capit -probabilitas(eventus) perdens, semper vinceretur pecunia, quod diximus non posse fieri.

Difficilius monstratur legem probabilitatum totalium valere.

Sint eventus A_1,A_2,...,A_n qui sunt *repugnantes* (eodem tempore unus solus evenit) et *necessarii* (certe unus eorum evenit). Eorum probabilitatum summa est unum: si enim sponsiones fecerimus omnibus eventibus, dabimus summam omnium probabilitatum, et quod eventus necessarii sunt et certe unus eveniet, certe summa probabilitatum est unum; aliter, possemus certe vincere cum omnibus eventibus sponsionem faciamus, quod diximus non fieri posse.

Nunc sint duo eventus A et B qui modo repugnantes sint, et inspiaciamus tres, A, B atque \overline{A\cup B}. Hi tres necessarii sunt ac repugnantes, itaque si littera P designamus probabilitatem, certe P(A)+P(B)+P(\overline{A\cup B})=1. Quod etiam A\cup B, \overline{A\cup B} sunt necessarii ac repugnantes, certe P(A\cup B)+P(\overline{A\cup B})=1, ergo P(A)+P(B)=P(A\cup B), quod erat demonstrandum.

Ipsa definitio subiectiva impugnata est. Non enim clarum est quid "iustum" sit, quia aliquando homines periclitantur: aliquis plus dat pecuniae quam ob probabilitatem putaretur; aliquis dat minus nolens periclitari. Sed plerique eam impugnant, exacte quod subiectiva est, et ab opinionibus hominum dependet.

### Definitio axiomatica 
Saepe, illi qui probabilitatis theoriae student, non unam definitionem ex earum quas vidimus adhibent, sed utuntur definitione *assiomatica,* quae non ad res reales probabilitatem coniungit, sed solum ponit tres proprietates, quod P(eventus)\ge0, \sum_iP(E_i)=1, et A B-que repugnantibus P(A\cup B)=P(A)+P(B).

*Aequatio magistrix
*Ars futurorum praenoscendorum
*Calculus coniunctionibus
*Factorialis
*Fors
*Methodus quadratorum minimorum
*Problema natalium

## Bibliographia 
*Aslangul, Claude. 2004. *Mathématiques pour physiciens.* Université Pierre et Marie Curie, La science à Paris.
*Courtebras, Bernard. 2008. *Mathématiser le hasard.* Vuibert.
* Kallenberg, Olav. 2002. *Foundations of Modern Probability.* Ed. 2a. Series in Statistics. Novi Eboraci: Springer. ISBN 0-387-95313-2.
* Kallenberg, Olav. 2005. *Probabilistic Symmetries and Invariance Principles*. Novi Eboraci: Springer-Verlag. ISBN 0-387-25115-4.
* Olofsson, Peter. 2005. *Probability, Statistics, and Stochastic Processes.* Wiley-Interscience. ISBN 0-471-67969-0.
*Saporta, Gilbert. 2006. *Probabilités, Analyse des données et Statistiques.* Lutetiae: Éditions Technip.
*Dall'Aglio, Giorgio. 2018. *Calcolo delle probabilità.* Zanichelli. ISBN 978-88-08-17676-9.

## Nexus externi
*Ross, Sheldon. "Problemas selectos de Probabilidad del libro *A First Couse in Probability* . . . Capitulo 7 (8° Edición): Propiedades de Expectativa." Textus ab Erika Canon inoneratus.

Categoria:Mathematica
Categoria:Res statisticae
Categoria:Mathematica discreta