Triangulum

[thumb|Triangulum, tria puncta *A, B, C,* tres [angulus|angulos *α, β, γ,* et tria latera *a, b, c* monstrans.
]]
**Triangulum** sive **trigonum** seu **trigonium** est figura geometrica plana cui sunt tria latera et tres anguli.

## Summa anguli 
Summa angulorum internorum trianguli est 180°: *a* + *b* + *c* = 180°

## Area
Area A trianguli datur a formula
::: A={1\over2}\, c\, h
ubi *c* est longitudo lateris trianguli in figura supra descripta, et *h* est altitudo puncti C data a formula
::: h = b\, \sin\alpha
Equivalenter, possumus scribere
::: A={1\over2\,} c\, b\, \sin\alpha = {1\over2\,} a\, b\, \sin\gamma = {1\over2\,} a\, c\, \sin\beta.

## Triangulum rectum 
thumb|Triangulum rectum.
**Triangulum rectum** seu **triangulum anguli recti** est triangulum cui est unus angulus rectus (i.e., 90°). Latus angulo recto contrarium dicitur *hypotenusa*, et alia duo latera dicuntur *catheti.* Quod ad triangula recta attinet, praesertim haec duo theoremata maximi momenti sunt: theorema Pythagorae et theorema altitudinis.

### Theorema Pythagorae 
liber apertus **De historia:** Pythagoras re vera non fuit qui primus theoremate sibi tributo usus est, namque etiam Babylonii id cognoverunt. Alii fontes dicunt Aegyptios seu Indos primos fuisse.

Si in figura prima supra adlata, angulus *γ* = 90°, tunc latus *c* est hypotenusa et latera *a* et *b* sunt catheti. Tunc theorema Pythagorae dicit
:\mathbf{c^2 = a^2+b^2} 
vel explicate: 
:\text{hypotenusa}^2 = \text{cathetus primus}^2 + \text{cathetus secundus}^2 \ 

### Theorema altitudinis 
thumb|Triangulum rectum altitudinem *h* monstrans, et quidem punctum *R* et partes *p* et *q*.
liber apertus **De historia:** Euclides, mathematicus Graecus (saec. IV a.C.n.), et theorema altitudinis et theorema Pythagorae in opere suo, quod de *Elementis* scripsit, exhibuit.

Altitudo h hypotenusam c in partes duas dividit: p sub catheto b et q sub catheto a. Ergo c = p + q. Tunc theorema altitudinis dicit

:::h^2 = p q &nbsp;&nbsp;vel&nbsp;&nbsp; h = \sqrt{p q} .

#### Demonstratio 
Theoremate Pythagorae ad triangula usi habemus
:::\begin{array}{rcl}
  a^2 & = & q^2 + h^2 \\
  b^2 & = & p^2 + h^2 \\
  c^2 & = & a^2 + b^2
\end{array}

Additis aequationibus prima et secunda habemus 
:::a^2 + b^2 = p^2 + q^2 + 2 h^2.

Et c=p+q in aequatione tertia substituendo obtinemus
:::a^2 + b^2 = (p+q)^2 = p^2 + 2pq + q^2.

His aequationibus obtinemus
:::\begin{array}{rcl}
  p^2 + q^2 + 2h^2  & = & p^2 + 2pq + q^2 \\
  2 h^2             & = & 2pq \\
  h^2               & = & pq
\end{array}

aut aequivalenter 
:::h = \sqrt{p q} . 

QED.

#### Exemplum 
Tectum creare vis quod angulum rectum habet. Si *p* = 4 et *q* = 9 pedes, quae est altitudo *h*?
:::**Solutio**: 4*9 = 36, et *h* = 6 pedes.

## Triangulum aequilaterum
thumb|Triangulum aequilaterum
**Triangulum aequilaterum** tres angulos aequales, tria quoque latera aequalia habet.  Sex talia triangula hexagonum faciunt.  Totius plani per triangula aequilatera tesselatio est deltilus.

* Trigonometria
* Trisceles
* Triangulum arithmeticum Pascalianum
* Triangulus rectus praecipuus

## Notae
## Nexus externi
*De triangulo, Theodisce
*De sententia Pythagorae, Theodisce

Categoria:Geometria triangula
Categoria:Polygona