Copia

**Copia** vel **classis** in mathematica est quorundam elementorum mathematicorum collectio. Secundum definitionem Georgii Cantoris, "copia est comprehensio elementorum cogitationis nostrae bene discretorum in unum". Quae definitio omni rigore mathematico carens postea substituta est axiomatis ab Ernesto Zermelo et Adolfo Fränkel positis, quibus efficitur ut excludatur antinomia Russelliana (de copia copiarum, quae semet ipsas non continent, num se ipsam contineat).
 
In philosophia, copia sunt res abstractae.

## Denotationes et definitiones 
### Denotationes 
* Copiae denotari solent parenthesibus "{" et "}" usurpatis initium aut finem copiae indicentibus. Sunt duae formae copiae: una elementa enumerans, exemplo {1,2} aut {Gaius, Petrus, Marcus}. Altera elementa describens variabili vel variabilibus et sententia vel sententiis usa: Ad quae elementa sententia sequens (*praedicatum*) pertinet, ante symbolis **:** aut **|** notatur variabilibus in parenthesibus "(" et ")" iterum adiectis. Ergo:  \lbrace x: \ S(x) \rbrace . Si  x_0  elementum  huius copiae sit (id est: valet praedicatum variabili  x_0 ), notatur  x_0 \in \lbrace x: S(x) \rbrace .

* Tales  x  solent esse in copia *superiore* (id est: cuncta elementa quae illi etiam huic aliis fortasse addiditis insunt). Sit  X  talis copia superior, tum scribi solet  \lbrace x \in X: S(x) \rbrace . Ut indicatur X talem esse copiam superiorem, scribi solet  X \supset \lbrace x \in X: S(x) \rbrace  aut  \lbrace x \in X: S(x) \rbrace \subset X.

### Definitiones 
* Copia cui nulla elementa insunt *vacua* vel *inanis* appellatur. Notatur symbolis  \lbrace \rbrace  vel  \emptyset .

* Copiae duae  A, B  *eaedem* vel *aequae* appellantur, si copiae alteri  A  eadem elementa ac alteri copiae  B  insunt. Aequivalens, si  A \subset B  et  B \subset A . Ergo:  A=B \Leftrightarrow A\subset B \land B \subset A. 

* *Coniunctioni* duarum pluriumve copiarum omnia elementa e quaquam illarum insunt. Notatur symbolo  \cup . Ergo: Sint  A= \lbrace x: S_1(x) \rbrace  et   B= \lbrace y: S_2(y) \rbrace . Tum:    A \cup B= \lbrace z: S_1(z) \text{ vel } S_2(z) \rbrace = \lbrace z: S_1(z) \lor S_2(z) \rbrace = \lbrace x\in A \lor y \in B \rbrace .  

* *Sectioni* duarum pluriumve copiarum sola ea elementa insunt, quae in unaquaquam eorum inveniuntur. Notatur symbolo  \cap . Ergo: Sint   A= \lbrace x: S_1(x) \rbrace  et  B= \lbrace y: S_2(y) \rbrace . Tum:    A \cap B= \lbrace z: S_1(z) \text{ atque } S_2(z) \rbrace = \lbrace z: S_1(z) \land S_2(z) \rbrace  = \lbrace x\in A \land y \in B \rbrace .  

* *Differentiae* duarum copiarum  A  et  B  elementa ex  A  sola insunt quae copiae  B  non insunt. Notatur symbolo **\**.  Ergo: Sint  A= \lbrace x: S_1(x) \rbrace  et   B= \lbrace y: S_2(y) \rbrace . Tum:    A \setminus B= \lbrace z: S_1(z) \text{ atque non } S_2(z) \rbrace = \lbrace z: S_1(z) \land \neg S_2(z) \rbrace = \lbrace x\in A \land y \notin B \rbrace .  

* *Productum Cartesianum* duarum copiarum  A  et  B , quod cruce  \times  denotatur, est copia haec:  A \times B = \lbrace (x/y): x \in A \text { atque } y \in B \rbrace = \lbrace (x/y): x \in A \land y \in B \rbrace.  

Definitones super descriptae visuales per *diagrammata Venniana* factae:
 
Image:Venn A subset B.svg|A \subset BCopia A est copiae B inferior
Fasciculus:Venn0111.svg|A \cup BConiunctio copiarum A&nbsp;et&nbsp;B
Image:Venn0001.svg|A \cap BSectio copiarum A et B.
Image:Venn0100.svg| A \setminus BDifferentia copiarum A et B

## Exempla 
Sint  A = \lbrace 1,2,4,7 \rbrace  et  B = \lbrace 1,3,5,7,9 \rbrace .

Tum: 

*  A \cup B = \lbrace 1,1,2,3,4,5,7,7,9 \rbrace = \lbrace 9,7,1,2,3,4,5 \rbrace . Licet enim elementa semel vel compluries scribere. Ne ordo quidem interest.

*  A \cap  B = \lbrace 1,7 \rbrace. 

*  A \setminus B = \lbrace 2,4 \rbrace . 

*  A \times B = \lbrace (1/1),(1/3),(1/5),(1/7),(1/9),(2/1),(2/3),(2/5),(2/7),(2/9),(4/1),(4/3),(4/5),(4/7),(4/9),(7/1),(7/3),(7/5),(7/7),(7/9) \rbrace .

Aequatio aliqua ut copia describens denotari potest et solutio eius aequationis copia enumerans est. Quae saepe - praecipue in scholis -  *copia solutionum* appellatur. Aequatio quadratica exemplo:

: \lbrace x \in \mathbb R: x^2-2x-3 = 0 \rbrace = \lbrace -1;3 \rbrace .

## Notae
* Algebra abstracta
* Algebra Booleana 
* Carteva
* Classis
* Copia vacua
* Functio
* N-plex
* Theoria copiarum

## Nexus externi 
* De copiis in encyclopaedia Wolfram MathWorld 

Categoria:Mathematica