Dependentia (statistica)

**Dependentia** distributionis frequentiarum duobus characteribus in statistica est proprietas qua valores unius characteris illos alterius inflectunt.

Singillatim dicitur *distributio frequentiarum dupla* distributio cui inscribuntur frequentiae elementorum binis valoribus duorum characterum, tamquam:

Tabella haec **tabella duplici ingressu** vel **tabella contingentiae** dicitur.

Itaque licet dependentiam mentiri, exempli gratia, ut investigemus mulieribusne stipendium minus persolvatur quam viris ("ergo stipendiine magnitudo a sexu dependat"), vel generane quaedam alumnorum maius examinationibus proficiant alteris, vel quandocumque suspicemur valorem unius characteris ab altero dependere.

## Distributiones duplae 
Distributio dupla fere binis his elementis describitur:

(x_1,y_1),...,(x_N,y_N)

ubi x_i signum valorem characteris X designat atque y_i characteris Y. Binis tamen quibusque valoribus adhibere potest **frequentia coniuncta** n_{ij}, quae numerum elementorum designat valoribus characterum x_i, y_j.

Exempli gratia ita potest tabella contingentiae fieri:

left|thumb|188x188px|Exemplum graphi dispersionis.
thumb|Exemplum graphi bullarum.
Hae depingi possunt grapho dispersionis vel graho bullarum, hoc aptiore distributioni frequentiarum. Grapho dispersionis depinguntur omnia elementa singulo puncto coordinatis (x_i,y_i) (nec indecet duobus punctis esse easdem coordinatas); grapho bullarum depinguntur bini valores (x_i,y_i) circulo cuius magnitudo frequentiae coniunctae proportionalis est, coordinataeque valoribus aequales sunt.

### Distributio marginalis 
Appellatur **distributio marginalis** characteris X, distributione frequentiarum dupla, distributio simplex elementorum secundum hoc character. Itaque a tabella duplici ingressu deducitur, valores versuum aut columnarum summando.

Exempli gratia, tabella summi huius subcapituli in distributiones has marginales dissolvitur:

Praecipue distributio marginalis characteris X littera f_X designatur, eiusque frequentiae signis n_{0j} aut n_{i0}.

### Distributio conditionata 
Characteris Y **distributio conditionata valori x_i characteris X** dicitur distributio secundum character Y elementorum cuius valor est x_i charactere X. Itaque e tabella contingentiae educitur versibus aut columnis quibusdam eligendis, fereque f_{Y|x_i}  signo designatur.

Exempli gratia, haec sunt distributiones conditionatae stipendiorum ipsius tabellae prioris singulis sexibus:

## Independentia 
Charactera X atque Y distributionis frequentiarum duplae **statistice independentia** dicuntur si subdicta aequatio vera habetur cunctis frequentiis coniunctis:

n_{ij}=\frac{n_{i0}\times n_{0j}}{N}, \forall (i,j)

Potest enim demonstrari tabella contingentiae tres has sententias una veras aut falsas esse *(aequivalere):*

# f_{X|y_i}=f_X,\forall i ;
# n_{ij}=(n_{i0}\times n_{0j})/N, \forall (i,j) ;
# f_{Y|X_i}, \forall j .

Indipendentia enim *quaeque distributio conditionata aequalis est marginali.* Nisi una earum sententiarum vera est, omnes igitur tres falsae sunt, haberi dicitur **dependentia statistica.**

### Tabella independentiae 
Ad dependentiam distributionis duplae mentiendam, fere oportet eius tabellam contingentiae conferre et illam tabellam contingentiae, quae haberetur characteribus duobus ipsis independentibus.

Itaque definimus frequentias **tabellae independentiae:**

\hat{n}_{ij}=\frac{n_{i0}\times n_{0j}}{N},\forall (i,j)

Exempli gratia haec est tabella independentiae ipsius distributionis paragraphi prioris:

Ex his frequentiis etiam licet definire **contingentias:**

c_{ij}=\frac{n_{ij}-\hat{n}_{ij}}{\hat{n}_{ij}}

Itaque possumus nunc indicem dependentiae characterum definire per medietatem quadraticam ponderatam contingentiarum ad secundam potentiam dignatarum numeris \hat{n}_{ij} ponderibus:

\psi=\sqrt{\frac{1}{N}\sum^s_{i=1}\sum^t_{j=1}\frac{(n_{ij}-\hat{n}_{ij})^2}{\hat{n}_{ij}}}=
\sqrt{\sum^s_{i=1}\sum^t_{j=1}\frac{n^2_{ij}}{n_{i0}\times n_{0j}}-1}

Hic index cum tabella contingentiae longius a tabella independentiae differat, magis augetur, nullusque est independentia.

Alter index priori conexus est:

\chi^2=N\psi^2=\sum^s_{i=1}\sum^t_{j=1}\frac{(n_{ij}-\hat{n}_{ij})^2}{\hat{n}_{ij}}=
N\sum^s_{i=1}\sum^t_{j=1}\frac{n^2_{ij}}{n_{i0}\times n_{0j}}-1 

### Normalizatio indicis dependentiae 
Primum dicendum est, indicem supradictum valorem suum maximum attingere cum tabella contingentiae sit **tabella dependentiae perfectae.**

Singillatim, si plus est valorum characteri X quam characteri Y, dicitur *tabella dependentiae perfectae characteris Y a charactere X* tabella contingentiae cui (si columnae ad character Y pertinent) omni columnae solae frequentiae nullae sint omni versu excepto uno. Exempli gratia:

Si numerus valorum duorum characterum adaequat, potest haberi dependentia perfecta characteris X ab Y versaque vice.

Valorem tamen maximum \sqrt{t-1}, si t \le s, adipiscitur index \psi cum tabella contingentiae sit tabella dependentiae perfectae characteris Y a charactere X, ubi t littera numerum valorum characteris Y designat, atque s valorum characteris X.

Ab hac definitione itaque potest definiri **index Cramérianus**:

C=
\frac{\psi}{\sqrt{min[(s-1), (t-1)]} } 

Qui inter [0,1] comprehenditur.

#### Demonstratio indicis Cramériani valendi 
Primum ad secundam dignemus indicem dependentiae potentiam:

\psi^2=\sum^s_{i=1}\sum^t_{j=1}\frac{n^2_{ij}}{n_{i0}n_{0j}}-1

Cum uno sit fractio n_{ij}/n_{i0} minor, scribi potest:

\frac{n^2_{ij}}{n_{i0}n_{0j}} \le \frac{n_{ij}}{n_{0j}} \rightarrow
\psi^2 \le \sum^s_{i=1}\sum^t_{j=2}\frac{n_{ij}}{n_{0j}}-1 = 
\sum^t_{j=1}\frac{1}{n_{0j}}\sum^s_{i=1}n_{ij}-1=\sum^t_{j=1}1-1

quod scimus \sum^s_{i=1}n_{ij}=n_{0j}. Valet igitur: \psi^2 \le t-1; quae duo membra modo adaequant, si \frac{n^2_{ij}}{n_{i0}n_{0j}} = \frac{n_{ij}}{n_{0j}} \rightarrow n_{ij}=n_{i0}, quod sola dependentia perfecta characteris Y a charactere X evenit.

Item a disaequatione supradicta videmus valere \frac{n^2_{ij}}{n_{i0}n_{0j}} \le \frac{n_{ij}}{n_{i0}} , et eisdem computationibus edici potest \psi^2 \le s-1 membraque adaequare sola dependentia perfecta characteris X a charactere Y.

E quo duobus deducitur:

\psi^2 \le min(s-1,t-1), \exist \psi: \psi^2=min(s-1,t-1) \rightarrow max \psi = \sqrt{min(s-1,t-1)}

## Dependentia media 
Notandum est facilius computari ita medietas arithmetica distributionum conditionatarum marginaliumque:

\mu_Y(x_i)=\frac{1}{n_{i0}}\sum^t_{j=1}y_jn_{ij} 

\mu_Y=\frac{1}{N}\sum^t_{j=0}y_jn_{0j}

Itaque ab his potest definiri **dependentia media**. Singillatim character Y dicitur medie dependere a charactere X medietatibus arithmeticis distributionum conditionatarum characteris Y inter se differentibus.

Ad hanc mentiendam, oportet scire medietatem distributionis marginalis esse medietatem ponderatam medietatum distributionum conditionatarum:

\mu_Y=\frac{1}{N}\sum^s_{i=1}\mu_Y(x_i)n_{i0} 

Itaque dependentiam mediam sumus mensuri *deviantia medietatum conditionatarum*:

D_E=\sum^s_{i=1}(\mu_Y(x_i)-\mu_Y)n_{i0} 

### Decompositio deviantiae 
Index supradictus invenitur in **decompositio deviantiae totalis** distributionis marginalis, in *deviantiam explicitam* ac *deviantiam residuam*:

D_Y=D_E+D_R=\sum^t_{i=0}(y_i-\mu_Y)^2n_{0j}=\sum^s_{i=1}(\mu_Y(x_i)-\mu_Y)^2n_{i0}+\sum^s_{i=1}\sum^t_{j=1}(y_j-\mu_Y(x_i))^2n_{ij} 

Ab hac definiri potest **corrationalitas correlationis**:

\eta^2_Y=\frac{D_E}{D_Y}=1-\frac{D_R}{D_Y} 

quae inter [0,1] comprehenditur.

#### Demonstratio decompositionis deviantiae 
Patet:

\sum^t_{j=1}(y_j-\mu_Y)^2n_{0j}=\sum^t_{j=1}(y_j-\mu_Y)^2\sum^s_{i=1}n_{ij}=
\sum^s_{i=1}\sum^t_{j=1}(y_j-\mu_Y)^2n_{ij}

Medietatesque conditionatas cum addiderimus subtraxerimusque in differentiam illam, id fit:

\sum^s_{i=1}\sum^t_{j=1}((y_j-\mu_Y(x_i))+(\mu_Y(x_i)-\mu_Y))^2n_{ij}

Et binomio quadrato evoluto sic membrum expanditur:

\sum^s_{i=1}\sum^t_{j=1}(y_i-\mu_Y)^2n_{ij}=\sum^s_{i=1}\sum^t_{j=1}(y_j-\mu_Y(x_i))^2n_{ij}
+\sum^s_{i=1}\sum^t_{j=1}(\mu_Y(x_i)-\mu_Y)^2n_{ij}+
2\sum^s_{i=1}\sum^t_{j=1}(y_j-\mu_Y(x_i))(\mu_Y(x_i)-\mu_Y)n_{ij}

Ubi postremum membrum nullum. Multiplicatio enim est differentiarum inter elementa medietatesque:

2\sum^s_{i=1}\sum^t_{j=1}(y_j-\mu_Y(x_i))(\mu_Y(x_i)-\mu_Y)n_{ij}=2\sum^s_{i=1}(\mu_Y(x_i)-\mu_Y)\sum^t_{j=1}(y_j-\mu_Y(x_i))n_{ij}=0

Computationibus peractis videmus:

\sum^t_{j=1}(y_j-\mu_Y)^2n_{0j}=\sum^s_{i=1}\sum^t_{j=1}(y_j-\mu_Y)^2n_{ij}=
\sum^s_{i=1}\sum^t_{j=1}(y_j-\mu_Y(x_i))^2n_{ij}+\sum^s_{i=1}(\mu_Y(x_i)-\mu_Y)^2n_{i0}

quod erat demonstrandum.

## Bibliographia 
* Cicchitelli, D'Urso, Minozzo, 2018. *Statistica: principi e metodi.* Pearson. ISBN 9788891902788.

Categoria:Res statisticae