Physica statistica

[thumb|right|Physica statistica sinit proprietates macroscopicas calculari ex proprietatibus microscopicis, sicut diffusione atomorum per crystallum mostrata, ubi moleculae iuxta declivatem concentrationis gradiuntur, [lex Fickiana|legi Fickianae hic obtemperantes.]]

**Physica statistica** est studium physico-mathematicum quod praesertim ingenia physica ex perspectiva statistica investigat.  Physicae thermodynamicae (theoriae caloris mechanicae) fundamenta dat, entropiam alteramque legem thermodynamicam explanans. Prodigia macroscopica enim explanare potuit per symmetrias, legesque conservationis quae confusionem atomorum statisticam supersunt. 

## Fundamenta
Axioma fundamentale huius scientiae est: *Omnem microstatum eadem probabilitate fieri.*

Microstatus est status systematis specificatus ab omnibus coordinatis omnium atomorum participantium. Macrostatus autem specificatur a solis coordinatis *macroscopicis*, sicut pressione, temperatura, magnetizatione, compositione, densitate, et similibus. Quique macrostatus enim multos microstatus complectitur, quia cum plures sunt atomi, amplius sunt configurationes unicae harum atomorum, cuidam pressioni ceterisque correspondentes. Ex axiomate fundamentali supero tunc provenit macrostatum maximae probabilitatis esse illum maiore microstatuum numero W correspondentem. 

Ludovicus Boltzmann tum saeculo vicensimo incipiente entropiam S aequatione
::\;S = k \ln W
datam demonstavit ubi k est constans Boltzmanni. Huic formulae, quae nexum fundamentalem inter physicam statisticam et thermodynamicam dat, Boltzmann formam logarithmicam deduxit solum quia ea ita definita eandem quantitatem ac entropiam thermodynamicam pro gasibus daret, et quod generaliter entropiam duorum systematum  S_{1+2}=S_1 +S_2 additivam esse oportet.

Boltzmann, quod maximi momenti fuit, etiam observavit entropiam *S* sic definitam maximum attinere semper cum *W* maximum attineret; et vice versa. Qua de causa etiam sequitur hos macrostatús maxime probabiles, cui maximus microstatús numerus W est, esse quoque eos qui entropiam in maximam facerent.

## Entropia et energia interna
Entropia S(E,V,N) maxime utilis est ad statum aequilibrii inveniendum sola cum omnia extensiva systematis parametra fixantur, sicut summa energia interna E, volumen V, et numerus variarum particularum N. Aequivalentur, summa energia interna  E(S,V,N) valet quia, cum entropia maximum valorem caperetur, energia tamen mimum semper attingit. 

## Energiae variorum generum
Condiciones autem experimentales saepe aliter sunt, quoniam, dum aequilibrium in laboratorio statuitur, pressio p, non volumen V, fixatur; temepratura T, non energia E; et numerus N molecularum in lagoena variat, quamquam potentiale chemicum \mu fixatur. 

Quamobrem variae aliae energiae, quae minimum iuxta varias condiciones impositas capiunt, per transformationes Legandreanas definiuntur: 
*Enthalpia: H(S,P,N)=E(S,V,N)+PV ubi P loco V fixatur;
*Energia libera canonica: F(T,V,N)=E(S,V,N)-TS ubi T loco S fixatur;
*Energia libera Gibbsiana: G(T,P,N)=E(S,V,N)-TS+PV ubi T,P loco S,V fixantur;
*Energia libera macrocanonica \Psi (T,V,\mu)=E(S,V,N)-TS-\mu N ubi T, \mu  loco S,N fixantur.

## Collectiones
Physici praecipue tres collectiones statisticas definiunt quibus systematum proprietates a proprietatibus molecularum sive atomorum calculari possunt:

*Collectio microcanonica ubi E, V \text{ et }  N fixantur
*Collectio canonica ubi T, V \text{ et } N fixantur
*Collectio macrocanonica ubi  T, V \text{ et } \mu fixantur.

Collectio microcanonica utilis est ad complura theorema statistica demonstranda. Physici autem plerumque adhibent collectionem cannonicam ad res physicas calculandas, nisi cum de problematis quanticis tractandum est, ubi tunc oportet propter continuam particularum creationem et destructionem collectione macrocanonnica uti.

### Collectio microcanonica
Probabilitas microstatui k cuidam est \rho_k = {1 \over W} ubi  W est numerus omnium microstatuum.

### Collectio canonica
Condicio collectionem canonicam definiens est contactus thermalis cum balneo thermico temperaturam absolutam T manteniente.

Probabilitas macrostatui cuidam k est \;\rho = \frac {e^{-\beta E_k}}{Z} , ubi constans normalizationis (partitionis functio appellatus) Z = \sum_{k} e^{-\beta E_k}, ubi E_k est tota microstatús k energia, et \beta = {1 \over k_B T}.

Partitionis functione utentes possumus calculare omnes quantitates thermodynamicas per derivativa huius functionis. Exempli causa, habetur
: E = \langle E\rangle={\sum_i E_i e^{-\beta E_i}\over Z}=-{1 \over Z} {dZ \over d\beta}= -\left( \frac{\partial\ln Z}{\partial\beta} \right)_{N,V}
et similiter sic ut in tabula infera monstratur.

### Collectio macrocanonica
Condicio collectionem macrocanonicam definiens est contactus simultaneus cum balneo thermico temperaturam absolutam T manteniente et cum reserva particularum potentiale chemicum \mu  manteniente.

Probabilitas macrostatui cuidam k est \;\rho = \frac{e^{-\beta (E_k-\mu N_k)}}{z}, ubi constans z=\sum_k e^{-\beta (E_k-\mu N_k)}, E_k est energia tota microstatus k, N_k est numerus particularum in microstatu k, et \beta = {1 \over k_B T}.

## Notae 
*Aequatio magistrix
*Chemia physica

Categoria:physica