Continuitas (mathematica)

[thumb|250px|[Graphum (mathematica)|Graphum cuiusdam functionis differentiabilis continuaeque in intervallo [-1,1.5] definitae: \begin{align}&\scriptstyle f \colon [-1,1.5] \to [-1,1.5] \\ &\textstyle x \mapsto \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}]]
**Continuitas** in topologia est functio realis dominii f: I\to\mathbb{R} super intervallo reali I\subseteq\mathbb{R} continua est, si graphum functionis f stilo non sublato describi potest.  Pars mathematicae quae de functionibus continuis tractat est analysis;  pars quae de rebus discretis tractat est mathematica discreta, in qua sunt calculus coniunctionibus vel "ars combinatoria," arithmetica integrorum, et probabilitas.

## Definitio pro functionis realibus 
Sunt duae definitiones continuitatis quae aequae sunt:

# *Regula Epsilon-Delta*: f\colon D \to \R *continua in x_0 \in D* est, si  omnibus \varepsilon>0 est \delta > 0, ut omnibus numeris dominii x \in D, qui obtemperent  |x - x_0| , valeat |f(x) - f(x_0)| .
# *Regula sequentiarum*:  f\colon D\to \R est *continua in x_0 \in D*, si, cum quaelibet sequentia (x_k)_{k\in\N} (x_k\in D) posita est, quae ad x_0 convergit, etiam f(x_k) ad f(x_0) convergit.

Functio appellatur *continua in D*, si est continua in locis omnibus dominii.

Si est  x_0 \in D , ubi functio continua non est, ibi *discontinua* appellatur.

### Exempla 
* Functiones \sin\colon \R \to \R,\; x \mapsto \sin x et \cos \colon \R \to \R,\; x \mapsto \cos x continuae sunt in \R.
* Functio signi \ \operatorname{sgn}(x)=\begin{cases}1\ , & x>0\ ,\\ 0\ , & x=0\ ,\\ -1\ , & x  in omnibus locis x \in \R\setminus \{0\} continua est, sed loco 0 discontinua: limes laevus est −1, dexter autem +1 ideoque limes \lim_{x\to 0}\,\operatorname{sgn}(x) non est. 
* Functio Dirichlet
*: f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\ ,\ f(x) := \left\{\begin{array}{ll}1\ ,&x \in \mathbb{Q}\ ,\\0\ ,&x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\ ,\end{array}\right.
:ubique discontinua est.

Illustratio functionum discontinuarum:

File:Jump discontinuity ladlag.svg|Functio discontinua
File:Jump discontinuity caglad.svg|Functio quidem discontinua, sed tamen continua *de laevo latere*
File:Jump discontinuity cadlag.svg|Functio quidem discontinua, sed tamen continua *de dextro latere*

## Definitio pro functionis spatiorum topologicorum 
Est defintio usitata:

# *Regula copiarum apertarum*: Sint Xet Yspatia topologica, f: X \rightarrow Y functio et x_0 \in X. fcontinua in x_0est, si pro qualibet circumiecta V a f(x_0)est circumiecta Ua x_0, ut f(U) \subset V sit.

## Theoremata 
* Si functiones  f  et  g  continuae in dominio communi D sunt, tum et  f + g  et  f - g  et  f \cdot g  continuae super  D  sunt; si functioni g insuper nulli loci valoris 0 (id est: nullus est numerus  x_0 \in D  ut  g(x_0)=0 ) sint, tum et  \frac{f}{g}  continua est.
* Compositio  f \circ g  duarum functionum continuarum est continua.

* **Continuitas functionis inversae**:
:Si I est intervallum in \mathbb{R} et f\colon I\rightarrow\mathbb R est functio continua, rigide crescens aut cadens, tum imago intervalli I sub f est intervallum J, f\colon I\to J est biiectiva, et functio inversa f^{-1}\colon J\to I est continua.

* **Theorema valorum omnium acceptorum**:
:Si f:[a,b]\to\mathbb{R} est functio continua, cui a et f(a) valet, tum omnibus numeris d\in[f(a),f(b)] est x\in[a,b], ut f(x)=d valeat.
:Item in casu f(a)>f(b) et d\in[f(b),f(a)].

* **Theorema extremitatum acceptarum**:

: Si f\colon[a,b]\to\mathbb{R} est functio continua, tum sunt numeri t,h\in[a,b], ut
:: f(t)\leq f(x)\leq f(h) omnibus numeris x\in[a,b] valeat. 

* Analysis mathematica
* Functio differentiabilis
* Limes (mathematica)
* Polynomium
* Signum
* Theoria copiarum
* Topologia

## Notae 
## Nexus externi 
* nexus ad paginam theodiscam continuitatem explicantem
* mathematik.de – explicatio visualis regulae Epsilon-Delta

Categoria:Mathematica