Systema aequationum

In mathematica, **systema aequationum** nominatur turma minime duarum aequationum, quarum variabilia aequalis symboli (velut  x ,  y ,  a , ...) etiam eandem magnitudinem designant. Solutiones talis systematis sunt omnia ea paria, triplicia et quae sunt similia numerorum, qui in eos substituendos in singulis aequationibus semper sententias veras dant.

## Systemata duarum aequationum duorumque variabilium 
### Systemata linearia 
Exempli gratia, hoc systema affertur:

:\begin{matrix}
(1) & x & + & y & = & 3 \\
(2) & x & - & y & = & 1
\end{matrix}

In systemate lineari, variabilia tantum primae potentiae esse licet. Praeterea, neque producta inter varibilia neque quotos ( x \cdot y ,  \frac{x}{y} ) continet. Ergo est formae generalis:

:\begin{matrix}
(1) & a_{1} \cdot x & + & b_{1} \cdot y & = & c_{1} \\
(2) & a_{2} \cdot x & + & b_{2} \cdot y & = & c_{2}
\end{matrix}

Talia systemata saepe inveniuntur; qua de causa multae rationes ad ea solvenda creatae sunt. Systema in forma matricis scribere potest, ut AX = B.  Sunt iis etiam tres casus solutionum possibiles.

#### Casus solutionum talium systematum 
Ex numeris  a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}  (coefficientibus valoribusque asolutis) pendent:

* Si  \nexists k \in \mathbb{R}: (a_{1} = k \cdot a_{2}) \land (b_{1} = k \cdot b_{2}) , tum systemati exacte una solutio est.
* Si  \exist k \in \mathbb{R}: (a_{1} = k \cdot a_{2}) \land (b_{1} = k \cdot b_{2}) \land (c_{1} \neq k \cdot c_{2}) , nulla solutio est.
* Si  \exist k \in \mathbb{R}: (a_{1} = k \cdot a_{2}) \land (b_{1} = k \cdot b_{2}) \land (c_{1} = k \cdot c_{2}) , systema infinitam copiam solutionum habet (unum variabilium e tota copia  \mathbb{R}  deligi potest, substituendo eum in una aequationum valor alterius variabilis qui pertinet ad valorem delectum reperiri potest; copia solutionum systematis ergo totidem elementorum atque copia numerorum realium  \mathbb{R}  habet).

Exempli gratia, systema antea datum his notis cognitionis examinare possumus:

 a_{1} = b_{1} = a_{2} = c_{2} = 1 ;  b_{2} = -1 ;  c_{1} = 3 

Ergo:  a_{1} = 1 \cdot a_{2} , sed  b_{1} = -1 \cdot b_{2} :  \nexists k \in \mathbb{R}: (a_{1} = k \cdot a_{2}) \land (b_{1} = k \cdot b_{2}) . Igitur hoc systema aequationum unam solutionem habet.

Si systema sic fuisset:

:\begin{matrix}
(1) & x & + & y & = & 3 \\
(2) & x & + & y & = & 1
\end{matrix}

tum ei nullae solutiones fuissent. Si datum esset:

:\begin{matrix}
(1) & x & + & y & = & 3 \\
(2) & 2x & + & 2y & = & 6
\end{matrix}

systema copiam solutionum infinitam habuisset.

#### Rationes ad ea solvenda 
##### Ratio additionis 
Haec ratio cognitione multiplicationem esse transformationem copiam solutionum non mutantem utitur. Una aequationum eo modo multiplicatur, ut unum eius variabilium ( x  aut  y ) magnitudine absoluta neque signo aequale variabile alterius aequationis aequet. Tum aequationes adduntur; aequatio, quae sic obtinetur, etiam solutionem describit. Multiplicatione apta facta, unum variabile nusquam iam apparetur, ergo alterum admodum facile computare possumus.

Exempli gratia, systema cuius iam mentionem factam est, hac ratione ita solvitur:

:\begin{matrix}
(1) & x & + & y & = & 3 \\
(2) & x & - & y & = & 1
\end{matrix}

Variabile y, status, cui studere debemus, iam convenit, itaque multiplicare necessarium non est statimque additionem facere possumus. Hanc aequationem obtinemus:

 2x = 4 , ergo  x = 2 

Nunc substituimus hunc valorem in una aequationum atque reperimus etiam alterum valorem:

 2 + y = 3 , ergo  y = 1 .

Solutio huius systematis igitur est  (2|1)  (nota bene valores x et y non duas solutiones systematis esse, sed unam solutionem coniunctim formare).

##### Ratio substitutionis 
Unum variabilium explicite exprimitur, id est aequatio transformatur, ut sit  x = ...  aut  y = ... , tum terminus "..." pro variabile explicite expresso in alteram aequationem substituitur. Ita aequatio, quae obtinetur, tantum unum variabile continet, quod per transformationes computari potest. Alterum variabile substituendo variabile cognitum reperitur.

:\begin{matrix}
(1) & x & + & y & = & 3 \\
(2) & x & - & y & = & 1
\end{matrix}

Secunda aequatio ita transformatur:  x = y + 1 . Nunc terminus  y + 1  in aequationem primam substituitur:

 (y + 1) + y = 3 ,

ergo  y = 1 , substituendo reperitur  x = 2 

##### Ratio aequandi 
Ad hanc rationem peragendam, in ambabus aequationibus idem variabile explicite exprimendum est; tum duo termini variabile describentes aequantur.

:\begin{matrix}
(1) & x & + & y & = & 3 \\
(2) & x & - & y & = & 1
\end{matrix}

Systema transformatur:

:\begin{matrix}
(1) & x & = & 3 & - & y & \\
(2) & x & = & 1 & + & y &
\end{matrix}

Ergo:

 3 - y = 1 + y , concluditur:  y = 1  et ex hoc  x = 2 .

##### Ratio quae lege Crameri utitur 
In hac ratione, nullae transformationes necessariae sunt, sed numeri certi (determinantes) computari debent:

 x = \frac{\begin{vmatrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}} = \frac{c_{1} \cdot b_{2} - b_{1} \cdot c_{2}}{a_{1} \cdot b_{2} - b_{1} \cdot a_{2}} 

et

 y = \frac{\begin{vmatrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}} = \frac{a_{1} \cdot c_{2} - c_{1} \cdot a_{2}}{a_{1} \cdot b_{2} - b_{1} \cdot a_{2}} 

Hic termini obtineri possunt, si systema generale (in quo neque coefficientes neque valores aboluti numeris certis supplentur) solvitur.

#### Interpretatio graphica 
Graphice utraque aequatio systematis directionem describit; omnia puncta quorum coordinata uni aequationum satisfaciunt, in directione eius sita sunt. Ergo quaeque solutio systematis in utraque directione sita est.

Directiones parallelae interque eas aequales esse possunt; haec casus copiae solutionum nullius elementi et infinitae repraesentant. Plerumque autem altera directio alteram secat exacteque unum punctum commune habent, quod aequat casum unius solutionis.

Systemata ergo etiam graphice solvi possunt (id est, per directiones repraesentantes describendum), sed via calculandi saepissime facilior celeriorque est. 

### Alia talia systemata magna 
Ut demonstratum est, systema aequationum etiam significationem graphicam habet; solutiones eius puncta communia graphiorum, quae ab aequationibus repraesentantur, aequant. Qua de causa non solum talia systemata graphice, sed etiam problema graphica, aequationibus expressa, per systemata aequationum solvi possunt.

#### Puncta communia circuli directionisque 
Directio describi potest aequatione  ax + by = c , circulus per  (x - u)^2 + (y - v)^2 = r^2  (ubi u coordinatum x, v coordinatum y centri atque r radium circuli designat). Si puncta communia directionis et circuli quaeruntur, tantum hoc systema solvendum est:

:\begin{matrix}
(1) & ax & + & by & = & c \\
(2) & (x - u)^2 & + & (y - v)^2 & = & r^2
\end{matrix}

Quomodo autem tale systema solvere possumus? Hic ratio substitutionis commendabilis est. In aequatione directionis, facile unum variabilium per alterum exprimi potest; terminus huius variabilis in aequatione circuli substituitur. Eventus est aequatio quadratica, quae , ut constat, aut duae aut una aut nullae solutiones reales habet. Hoc rursus graphice interpretare possumus, quod directioni ad circulum tres situs possibiles sunt:

* passans (nulle punctum commune)
* tangens (unum punctum commune)
* secans (duo puncta communia)

#### Puncta communia circuli (originis) ellipsisque 
Nunc habemus systema

:\begin{matrix}
(1) & x^2 & + & y^2 & = & r^2 \\
(2) & b^2x^2 & + & a^2y^2& = & a^2b^2
\end{matrix}

In utraquae aequatione variabilia tantum potentia secundae videmus. Ergo ea ita substituere possumus:  u = x^2 ,  v = y^2 . Nunc systema est formae

:\begin{matrix}
(1) & u & + & v & = & r^2 \\
(2) & b^2u & + & a^2v & = & a^2b^2
\end{matrix}

Hoc systema lineare variabilium u et v repraesentat. Quod quadam ratione memorata solvimus, tum per valores u et v valores x et y (radices eorum) computare possumus. Si u aut v negativus est, nulla puncta communia sunt. Si unus valorum 0 est (ambos 0 aequare impossibile est, quod summa eorum  r^2 > 0  est), tantum duo talia puncta, aliter quattuor sunt.

## Systemata duarum aequationum triumque variabilium 
:\begin{matrix}
(1) & a_{1}x & + & b_{1}y & + & c_{1}z & = & d_{1} \\
(2) & a_{2}x & + & b_{2}y & + & c_{2}z & = & d_{2}
\end{matrix}

Talia systemata aequationum numquam exacte unam solutionem (trium partium) habent, quod ut hoc possibile sit, numerus varibilium eum aequationum aequare aut eo minor esse debet.

Haec interpretatio graphica est: Singulae aequationes superficies planas repraesentant. Ergo graphice demonstrari potest etiam hic tres casus solutionum esse:

# Si superficies planae parallelae sunt, nullum punctum commune habent, ergo systemati etiam nulla solutio est. Hic casus fit, si coefficientes variabilium neque valores absoluti duarum aequationum aequalis proportionis sunt (id est,  \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} = k \neq \frac{d_{1}}{d_{2}} 
# Si duae aequationes eandem superficiem planam describunt, omnia puncta huius solutiones systematis sunt. Hoc fit, si non solum coefficientes, sed etiam valores absoluti aequalis proportionis sunt.
# Si autem altera superficierum alteram secat, omnes solutiones in quadam directione sitae sunt; tum coefficientes variabilium aequalis proportionis non sunt.

Omnes casus admodum facile cognitu sunt neque casus primi secundique copia solutionum difficilior repertu est. Sed quomodo possumus reperire directionem solutionum casus tertii?

Quaedam ratio est duo variabilium per tertium exprimere; hoc perfecto directio per parametrum realem describi potest.

Exempli gratia:

:\begin{matrix}
(1) & 5x & + & 2y & + & 3z & = & 10 \\
(2) & 2x & + & 3y & - & z & = & 5
\end{matrix}

Hic varibilia y et z per x describuntur. Primum aut y aut z in utraque aequatione explicite exprimitur, quod dat, exempli gratia:

:\begin{matrix}
(1) & z & = & -\frac{5}{3}x & - & \frac{2}{3}y & + & 10 \\
(2) & z & = & 2x & + & 3y & - & 5
\end{matrix}

Nunc duo termini dexteri aequantur:

 -\frac{5}{3}x - \frac{2}{3}y + 10 = 2x + 3y - 5 

y per x exprimitur:

 y = -x + \frac{45}{11} 

In uno terminorum z pro y substituitur:

 z = 2x + 3y - 5 = 2x - 3x + \frac{135}{11} - 5 = -x + \frac{80}{11} 

Parametro x aequatio directionis constituitur:

 \vec x = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + x \\ \frac{45}{11} - x \\ \frac{80}{11} - x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{45}{11} \\ \frac{80}{11} \end{pmatrix} + x \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} 

Ergo:

 g: \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{45}{11} \\ \frac{80}{11} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}; \lambda \in \mathbb{R} 

## Systemata trium aequationum triumque variabilium 
### Systemata linearia 
:\begin{matrix}
(1) & a_{1}x & + & b_{1}y & + & c_{1}z & = & d_{1} \\
(2) & a_{2}x & + & b_{2}y & + & c_{2}z & = & d_{2} \\
(3) & a_{3}x & + & b_{3}y & + & c_{3}z & = & d_{3}
\end{matrix}

Interpretatio graphica est copia omnium punctorum communium trium superficierum planarum.

#### Casus solutionum 
Numero casuum solutionum iam admodum multiplicia sunt.

# Si omnes tres aequationes eandem superficiem planam describunt, copia solutionum omnia puncta huius superficiei continet.
# Si duabus aequationum una superficies, sed tertia aequatione parallela superficies exprimitur, copia solutionum est vacua. Eadem res est, si tres superficies omnes parallelae, sed non aequales sunt.
# Si duae superficierum aequales atque tertia non parallela, sed secans est, copia solutionum a directione communi repraesentatur.
# Si duae superficierum parallelae (id est, non aequales) tertiaque secans est, copia rursus vacua est.
# Etiam si nulla parallelitas in systemate tenetur, hoc dum complures casus solutionum includit. Exempli gratia, tres superficies tantum unam directionem communem habere possunt; hoc casu sane copia solutionum directio est.
# Possibile quoque est tres directiones communes (binarum superficierum) parallelae esse et itaque nullum punctum commune habere (vacua copia solutionum).
# Denique casus principalis memoretur; id est, superficiebus planis exacte unum punctum commune est (quod hic rursus possibile est, quia numerus solutionum eum variabilium aequat).

#### Exemplum, quod ratione additionis solvitur 
:\begin{matrix}
(1) & 5x & + & 2y & - & 3z & = & 10 \\
(2) & 3x & - & y & + & z & = & 5 \\
(3) & 7x & + & 2y & + & 5z & = & 6
\end{matrix}

Nota bene: optimum est primum aequationes parallelitate examinare, quia ita solutio systematis valde facilior esse potest. Hic systemati nulla parallelitas est; ergo id aliter solvere debemus. Saepissime ad tale systema solvendum utitur ratione additionis.

Primum secunda aequatio factore 3 multiplicatur atque ea primaque aequatio adduntur. Eventus est aequatio  14x - y = 25  (variabile z amotum est). Similiter secunda aequatio (formae originalis) tum factore –5 multiplicatur, postea productum atque tertia aequatio adduntur. Rursus obtinetur aequatio duorum variabilium:  -8x + 7y = -19 . Duae aequationes creatae novum systema aequationum formant. Solutio eius dat partes x et y solutionis systematis originalis. Substituendo ea in una aequationum reperitur tertia pars z.
Huius systematis solutio est  \left(\frac{26}{15}\left|\frac{-11}{15}\right|\frac{-14}{15}\right) .

### Alia systemata 
Nonnumquam facilia, sed saepius difficilia solutu sunt. Aliquando substitutio iuvare potest:

:\begin{matrix}
(1) & 5x^3 & - & 2y^2 & + & z & = & 4 \\
(2) & 2x^3 & + & y^2 & - & z & = & 1 \\
(3) & 3x^3 & + & 3y^2 & + & 2z & = & 15
\end{matrix}

Hic variabilia x et y per  u = x^3  atque  v = y^2  supplere possumus:

:\begin{matrix}
(1) & 5u & - & 2v & + & z & = & 4 \\
(2) & 2u & + & v & - & z & = & 1 \\
(3) & 3u & + & 3v & + & 2z & = & 15
\end{matrix}

Computatio dat:  u = 1; v = 2; z = 3 . Quia scimus  u = x^3; v = y^2 , etiam x atque y computari potest:  x = 1; y = \pm\sqrt{2} . Ergo systemati sunt duae solutiones:  (1; \sqrt{2}; 3)  et  (1; -\sqrt{2}; 3) .

## Systemata, quae plus aequationum vel variabilium tribus habent 
Sane plurimi eorum (rationibus adhuc memoratis) solvi non possunt. Systemata linearia, quibus totidem aequationes atque variabilia sunt, si solutionem habent, haec semper lege Crameri generali reperiri potest.

### Lex Crameri generalis 
:\begin{matrix}
(1) & a_{1;1}x_{1} & + & a_{1;2}x_{2} & + & a_{1;3}x_{3} + & a_{1;4}x_{4} & + \ldots + & a_{1;n}x_{n}  = & c_{1} \\
(2) & a_{2;1}x_{1} & + & a_{2;2}x_{2} & + & a_{2;3}x_{3} + & a_{2;4}x_{4} & + \ldots + & a_{2;n}x_{n}  = & c_{2} \\
(3) & a_{3;1}x_{1} & + & a_{3;2}x_{2} & + & a_{3;3}x_{3} + & a_{3;4}x_{4} & + \ldots + & a_{3;n}x_{n}  = & c_{3} \\
(4) & a_{4;1}x_{1} & + & a_{4;2}x_{2} & + & a_{4;3}x_{3} + & a_{4;4}x_{4} & + \ldots + & a_{4;n}x_{n}  = & c_{4} \\
\ldots \\
(n) & a_{n;1}x_{1} & + & a_{n;2}x_{2} & + & a_{n;3}x_{3} + & a_{n;4}x_{4} & + \ldots + & a_{n;n}x_{n}  = & c_{n} 
\end{matrix}

Lex nunc dicit:  x_{i} = \frac{\det(M_i)}{\det(M)}  (determinans), ubi  M  est matrix coefficientium (id est, matrix linearum columnarumque n, quae habet in linea numero j atque in columna numero k coefficientem aequationis  a_{j;k} ) atque  M_{i}  est matrix, quae obtinetur, si pro numeris columnae numero i matricis coefficientium valores absoluti aequationis ( c_{1}; c_{2}; \ldots; c_{n} ) usurpantur.

Si autem  \det(M) = 0 , aequatio non unam solutionem habet, sed aut nullam solutionem aut copiam infinitam solutionum (quae repraesentari potest a directione, a superficie plana ...). 

## Usus (exempla) 
### Problema motionum 
Ad haec problema solvenda, necesse est cognovisse legem physicam  v = s \cdot t  (ubi v est velocitas motionis, s spatium quod carpitur atque t tempus quod usurpatur.

#### Exemplum primum 
"Claudius domum suam relinquit atque in directionem fori (quod a domo 5 km abest) proficiscitur (velocitas eius est  v_{C} = 4 \frac{km}{h} ). Sexta parte horae post, frater eius eum prosequi ( v_{F} = 10 \frac{km}{h} ) incipit, quia Claudius marsuppium suum domi reliquit. Fraterne Claudium assequetur, antequam in forum advenerit atque, si hoc fiet, ubi alter fratrum in alterum incidet?"

Hoc problemum systema duarum aequationum duorumque variabilium dat. Primum momentum profectionis Claudii 0 (h) nominamus. Tempore valorem t (h) consecuto spatium eius erit  s_{C} = 4 \cdot t  (quia  s = v \cdot t ). Motio fratris tantum sexta parte horae (10 min) post incipit, ergo tempore  \frac{1}{6} (h)  dum spatium ei est 0 (km). Deinde, is quoque moveri incipit; ergo spatium eius computari potest per formulam  s_{F} = 10 \cdot {t - \frac{1}{6}} . Claudium assequetur cum  s_{C} = s_{F} . Igitur solvendum est hoc systema:

:\begin{matrix}
(1) & s & = & 4t \\
(2) & s & = & 10t & - & \frac{5}{3}
\end{matrix}

Hic optimum est ratione aequandi uti, quia variabile s iam in utraque aequatione explicite exprimitur. Obtinemus

 4t = 10t - \frac{5}{3} ,

quo concludimus  t = \frac{5}{18} h = 16 min 40 s . Quid autem hoc significat? In prima aequatione substituimus; eventus est  s = \frac{10}{9} km . Ergo frater Claudium iam ante forum assequetur.

#### Exemplum secundum 
"Nunc Claudius amicum suum Manium visitare cogitat; qui ab eo etiam 5 km abest. Rursus Claudius domo proficiscitur (velocitas  v_{C} = 4 \frac{km}{h} ). Manius, qui eodem tempore domum relinquit, ei obviam it velocitate  v_{M} = 5 \frac{km}{h} . Quando et ubi duo convenient?"

Rursus formula spatii Claudii est  s_{C} = 4 \cdot t . Nunc autem condicio secundi diversa est, quod in directionem contrariam iter facit. Ergo primum spatium ei est 5 km, sed motione eius hoc minuitur. Ergo formula est  s_{M} = 5 - 5 \cdot t , quod dat systema:

:\begin{matrix}
(1) & s & = & 4t \\
(2) & s & = & -5t & + & 5
\end{matrix}

Rursus terminorum dexterorum alterum cum altero aequare possumus:

 4t = -5t + 5 , ergo  t = \frac{5}{9} h = 33 min 20 s . Cum convenient, a domo Claudii aberunt  \frac{20}{9} km .

### Problema mixturarum (exemplum) 
"500 ml solutionis 10 % cuiusdam substantiae liquidae creare debemus, sed habemus tantum solutiones 3 % atque 25 %. Quot ml utriusque solutionis usurpari debent, ut solutio concentrationis quantitatisque necessariae obtineatur?"

Primum scimus summam duarum quantitatum, quibus utimus, esse 500 ml, ergo, si quantitatem solutionis 3 % symbolo x atque solutionis 25 % symbolo y designamus, haec est relatio inter eas:  x + y = 500 .

Praeterea cognovimus quantitatem substantiae, quae in solutione quaesita tenetur: 50 ml (quia 10 % quantitatis 500 ml sunt 50 ml). x ml solutionis 3 % continent  0,03 \cdot x ml  huius substantiae, y ml secundae solutionis  0,25 \cdot y ml . Summa horum duorum numerorum 50 ml aequare debet. Ergo aequatio secunda systematis aequationum est  0,03x + 0,25y = 50 .

:\begin{matrix}
(1) & x & + & y & = & 500 \\
(2) & 0,03x & + & 0,25y & = & 50
\end{matrix}

Exempli gratia, secunda aequatio factore -4 multiplicatur aequationesque adduntur (ratio additionis):

 0,88x = 300 , ergo:  x = \frac{3750}{11} ml \approx 340,91 ml . y igitur est circiter  159,09 ml .

### Chemia: Problemum reperiendi coefficientes aequationis chemicae 
Exempli gratia, scimus aquam  H_2O  e reactione gasorum  H_2  (hydrogenii) et  O_2  (oxygenii) nasci. Sed impossibile est aequationem

 \mathrm{H_2 + O_2 \rightarrow H_2O}

veram esse, quod numerus atomorum sinister numerum atomorum dexterum non aequat. Aequatio generalis est

 \mathrm{x\ H_2 + y\ O_2 \rightarrow z\ H_2O},

ubi x est numerus molecularum  H_2 , y molecularum  O_2  atque z molecularum  H_2O . Hic sunt tria variabilia!

Necessitatem aequalium numerorum atomorum spectantes, reperimus aequationes

:\begin{matrix}
(1) & 2x & = & 2z \\
(2) & 2y & = & z
\end{matrix}

Habemus tria variabilia, sed tantum duas aequationes, ergo systema certe non unam solutionem habet, sed copiam infinitam solutionum. Quia solutiones in directione sitae sunt atque partes proportionales habent, unum variabilium ad libidinem numero positivo substituere possumus. Exempli gratia,  x = 1 :

:\begin{matrix}
(1) & 2 & = & 2z \\
(2) & 2y & = & z
\end{matrix}

Concludimus:  z = 1  et ex hoc:  y = \frac{1}{2} . Quod moleculae dimidiae non sunt atque, ut iam memoratum est, partes solutionum proportionales sunt, etiam omnia variabilia factore 2 multiplicari licet; eventus finalis est  x = 2, y = 1, z = 2 , ergo aequatio chemica vera est:

 \mathrm{2\ H_2 + O_2 \rightarrow 2 H_2O}

## Notae 

Categoria:Algebra