Basis (mathematica)

**Basis** in mathematica est copia vectorum spatii vectorialis, quorum combinatio linearis scribi potest omnis spatii vector; quique sunt lineariter independentes.

## Definitio 
Sit spatium vectoriale V. Tum vectorum copia B dicitur *basis (finita)* spatii vectorialis, si V aequale est subspatio genito illorum vectorum (qui enim sunt *systema generatorum)*, ipsique sunt lineariter independentes.

Potissima inter bases est *basis canonica,* quae ab his vectoribus fit:

e_1,e_2...e_n\in\R^n,e_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\...\\0\end{pmatrix},e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\...\\0\end{pmatrix},...,e_n=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\...\\1\end{pmatrix}

## Vectores spatii per basim scripti 
Cum copia B sit basis subspatii vectorialis, tunc possunt omnes vectores eius subspatii scribi, *uno solo modo*, combinatione lineari vectorum basis.

Coefficientes combinationis linearis, qui sunt numeri \alpha_1...\alpha_k quibus vector v scribitur hac formula:

v=\alpha_1v_1+...+\alpha_kv_k

dicuntur *coordinatae* vectoris v in basi B=(v_1...v_k).

## Quando exsistat basis in spatio vectoriali 
Haud omnibus spatiis vectorialibus sunt bases finitae, sed potest inveniri, quotienscumque sit spatio vectoriali *systema generatorum* (quod est copia vectorum quorum subspatium genitum est ipsum spatium vectoriale) esse basim finitam quoque.

Ad hoc demonstrandum, sit subcopia A subspatii vectorialis V et copia vectorum B\subseteq A. Haec copia B dicitur *systema maximale in* A *vectorum lineariter independentium* cum:

# Omnes vectores copiae B sint lineariter independentes;
# Elemento novo copiae A in copiam B illato, vectores copiae B lineariter dependentes fiant.
{{Demonstratio mathematica|title=Quaeque basis B spatii vectorialis V est systema maximale in V vectorum lineariter independentium|proof=Ob definitionem enim basium, earum vectores sunt lineariter independentes. Sit vector v\in V\setminus B: cum sit B systema generatorum, adsunt coefficientes \alpha_1,...,\alpha_n quibus v=\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n (ubi v_1,...,v_n sunt basis vectorum): ergo v-v_1\alpha_1-...-v_n\alpha_n=\underline{0}, quod vult vectores esse lineariter dependentes. Coefficiens enim membri v 1 est, qui non est nullus.}}{{Demonstratio mathematica|title=Omni spatio vectoriali cum systemate generatorum est basis|proof=Nunc denique monstrabimus omni spatio vectoriali systema generatorum habenti esse basim. Ad hoc demonstrandum probemus B copiam esse basim spatii V, cum B \subseteq A sit systema massimale vectorum lineariter independentium in systemate generatorum A.

Sit A=(a_1,...a_k) ac B=(a_1,...a_r), ubi r. Quod ob hypothesim elementa copiae B sunt lineariter independentes, modo est demonstrandum V=Span(B). Quia demonstratum est B esse systema generatorum spatii V cum in Span(B) systema generatorum cohibeatur, modo est probandum A \subseteq Span(B). Sit enim w \in A\setminus B. Cum B sit systema maximale, a_1,...a_r,w sunt lineariter dependentes, potestque scribi:

\alpha_1a_1+...+\alpha_ra_r+\beta w=\underline{0},\text{ adest }\alpha_i\text{ vel }\beta\text{ non nullum} 

Sed non potest esse nullum \beta, quia vectores a_1...a_r sunt lineariter independentes. Ergo potest scribi:

w=-\frac{\alpha_1}{\beta}a_1-...-\frac{\alpha_r}{\beta}a_r \in Span(B)

quod erat demonstrandum. Quia omni systemati generatorum inest systema maximale vectorum lineariter independentium, demonstravimus omni spatio vectoriali esse basim cum adsit systema generatorum.}}

## Bibliographia 
* Abate, De Fabritiis. 2015. *Geometria analitica con elementi di algebra lineare.* McGraw Hill Education. ISBN 9788838615146.

Categoria:Mathematica

Categoria:Algebra linearis