Numerus quadratus

thumb|Numeri et eorum quadrati
**Numerus quadratus** in mathematica, etiam **quadratus perfectus** appellatus, est integer qui est quadratus integri, et ergo cuius radix est integer. Exempli gratia, 9 est numerus quadratus, quia ut 3 × 3 scribi potest.. Integer positiva cui non sunt divisores quadrati perfect praeter 1 sine quadrato appellatur.

## Proprietates 
### De visu 
Numerus *n* est quadratus solum si *n* puncta in quadro ordinentur:

### Formulae et res pertinentes 
Formula pro *n* numero quadrato est *n*2. Etiam haec aequat summam primorum *n* numerorum imparum (n^2 = \sum_{k=1}^n(2k-1)), ut possit videre super in picturis, ubi quadratus factus est impari numero punctorum addito (notatus *+*).
E.g., 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

*n* quadratus  ex duobus prioribus calculetur addendo (*n*&nbsp;−&nbsp;1)um quadratum sibi, subtrahendo (*n*&nbsp;−&nbsp;2)um quadratum, et addendo 2.
I.e., (n^2 = 2(n-1)^2-(n-2)^2+2).
E.g., 2×52&nbsp;−&nbsp;42&nbsp;+&nbsp;2 = 2×25&nbsp;−&nbsp;16&nbsp;+&nbsp;2 = 50&nbsp;−&nbsp;16&nbsp;+&nbsp;2 = 36 = 62.

Utile est observatu modum quo quadratus exprimitur a summa 1 + 1 + 2 + 2 + ... + *n*&nbsp;−&nbsp;1 + *n*&nbsp;−&nbsp;1 + *n*, ut monstratur super in picturis.
E.g., 42 aequat 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16.
Opem hoc det quadratum numeri maioris perceliter, e.g., 522 = 502 + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.

Summa duorum numerorum triangulum consequentum, ita 1 + 3 = 4, 3 + 6 = 9, 6+10=16. 

Summa duorum numerorum quadratorum consequentium est numerus quadratus centropositus;  exempli gratia, 5 = 1 + 4, et quincunx formam habet quadrati centropositi. Omnis impar numerus quadratus est numerus octagonalis centropositus.

Summa omnium numerorum quadratorum usque ad limem quendam est numerus pyramidalis, ut 1 + 4 + 9 = 13.

### De notis ultimis 
Ultimae notae quadrati soli sit 00, 1, 4, 6, 9, vel 25—in 10—ut subter explicatur:

# Si numeri ultimus est 0, ultimi eius quadrati sint 00 et priores sint quadrati.
# Si numeri ultimus est 1 vel 9, ultimus eius quadrati sit 1 et priores sint divisibiles a 4.
# Si numeri ultimus est 2 vel 8, ultimus eius quadrati sit 4 et prior sit par.
# Si numeri ultimus est 3 vel 7, ultimus eius quadrati sit 9 et priores sint divisibiles a 4.
# Si numeri ultimus est 4 vel 6, ultimus eius quadrati sit 6 et prior sit impar. 
# Si numeri ultimus est 5, ultimi eius quadrati sint 25 et priores sint 0, 2, 06, vel 56.

Nullus numerus quadratus est numerus perfectus.

### Pares quadrati et impares 
Quadrati numerorum parum sunt pares, nam (2*n*)2 = 4*n*2.

Quadrati numerorum imparum sunt impares, nam (2*n* + 1)2 = 4(*n*2 + *n*) + 1.

Ita radices parum quadratorum pares, imparum impares.

## Brevis index 
Primi 51 quadrati sunt: 02 = 0

:12 = 1
:22 = 4
:32 = 9
:42 = 16
:52 = 25
:62 = 36
:72 = 49
:82 = 64
:92 = 81
:102 = 100

:112 = 121
:122 = 144
:132 = 169
:142 = 196
:152 = 225
:162 = 256
:172 = 289
:182 = 324
:192 = 361
:202 = 400

:212 = 441
:222 = 484
:232 = 529
:242 = 576
:252 = 625
:262 = 676
:272 = 729
:282 = 784
:292 = 841
:302 = 900

:312 = 961
:322 = 1024
:332 = 1089
:342 = 1156
:352 = 1225
:362 = 1296
:372 = 1369
:382 = 1444
:392 = 1521
:402 = 1600

:412 = 1681
:422 = 1764
:432 = 1849
:442 = 1936
:452 = 2025
:462 = 2116
:472 = 2209
:482 = 2304
:492 = 2401
:502 = 2500

*Coniectura Legendre
*Numerus triangularis
*Quadrilaterale

## Bibliographia 
* Conway, J. H., et R. K. Guy. 1996. *The Book of Numbers.* Novi Eboraci: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97993-X.

## Nexus externi 
*http://www.alpertron.com.ar/FSQUARES.HTM Summa quadratorum, Java applet qui numerum naturalem in summam quattuor quadratorum reducit
*Disce Numeros Quadratos
*Numeri Fibonacciani et Quadrati apud mathdl.maa.org
*Primi 1,000,000 Quadratorum Perfectorum

Categoria:Numeri figurati
Categoria:Quadrilateralia