Calculus

[thumb|[Theorema fundamentale calculi dicit differentiationem et integrationem inversas inter se esse.  Sit f functio quaedem, et sit F integralis huius functionis;  tunc dF/dx = f.]]

**Calculus** est disciplina mathematica quae mutationem continuam investigat, eodem modo ac geometria figuram, et algebra generalizationes operationum arithmeticarum tractat.

Initio vocabatur *calculus infinitesimalis* sive *calculus infinitesimalium*. Duae partes praecipuae sunt:
* Calculus differentialis, qui spectat ad velocitates mutationis instantaneas et ad declivia curvarum.
* Calculus integralis, qui spectat ad aggregationem quantitatum et ad areas sub vel inter curvas.

Hi duo rami inter se coniunguntur per *theorema fundamentale calculi*. Utrumque nititur notionibus de limite, de convergentia serierum infinitarum, et de successionibus ad valorem bene definitum. Calculus saepe dicitur *columna vertebralis mathematica* ad tractandas quaestiones ubi variabiles tempore aut alia magnitudine referentiali mutantur.

## Etymologia 
Verbum Latinum *calculus* significat “lapillum”, diminutivum *calcis* (“lapis”). Antiqui Romani lapillis utebantur ad numerandum, suffragia ferenda, et ad arithmeticas rationes per abacum. Inde *calculus* factus est vox generalis pro computatione.

In lingua Anglica hoc vocabulum adhibitum est iam anno 1672, antequam Isaacus Newtonus et Godofredus Guilielmus Leibnitius sua opera mathematica, Latine conscripta, ediderunt.

## Historia 
Calculus infinitesimalis saeculo XVII exeunte separatim a Isaaco Newtono et Godofredo Guilielmo Leibnitio constitutus est. Uterque fundamenta posuit, Newtonus per methodum fluxionum, Leibnitius per notationem differentialem et integralem.

Elementa tamen calculi multo antiquiora sunt:
* In Aegypto antiqua (c. 1820 a.C.n.), papyrus Moscuensis formulas pro areis et voluminibus continet.
* In Graecia antiqua, Eudoxus Cnidius methodum exhaustionis excogitavit; Archimedes eam adhibuit ad areas et volumina computanda.
* In Sina Liu Hui (saec. III) et Zu Gengzhi (saec. V) methodos similes invenerunt.
* In Medio Oriente, Alhazen (Ibn al‑Haytham) formulas pro summis potestatum invenit, quae ad integrationem spectant.
* In India, Bhāskara II (saec. XII) et Madhava Sangamagramensis (saec. XIV) rationes pro differentiis et seriebus trigonometricis protulerunt.

Saeculo XVII in Europa, Keplerus, Cavalerius, Fermatus, Wallisius, Barro, et Gregorius gradatim ad systema integrum pervenerunt. Tandem Newtonus et Leibnitius regulas generales formaverunt, quarum controversia de prioritate multos annos mathematicos Anglicos et continentales divisit.

## Principia Calculi 
### Limites et Infinitesimalia 
*Limes* est valor ad quem functio appropinquat dum variabilis ad punctum certum tendit. *Infinitesimale* est quantitas minor quam quaelibet res positiva realis, sed maior quam nihil.

Saeculo XIX, notio limitis per methodum – a Cauchy et Weierstrass formaliter definita est, unde fundamenta rigida calculi orta sunt.

### Calculus Differentiarum 
Calculus differentialis studet derivatis functionum. Derivata definitur ut:

Geometrice, derivata est declivitas lineae tangentis ad curvam in puncto dato.

Exemplum: Si , tunc .

### Calculus Integralis 
Calculus integralis spectat ad summationem infinitarum partium ad totum obtinendum. Integrale definitum est:

quod repraesentat aream sub curva inter et .

Exemplum:

### Theorema Fundamentale Calculi 
Hoc theorema coniungit duos ramos:

Id est, derivatio et integratio sunt operationes mutuo inversae.

## Applicationes Calculi 
Calculus late adhibetur in scientia, arte ingeniaria, oeconomia, et aliis disciplinis mathematicis.
* In physica, calculus differentialem adhibet ad velocitates et accelerationes computandas, atque ad leges motus describendas.
* In geometria, calculus integralis aream, longitudinem arcus, et volumen corporum definit.
* In oeconomia, derivatae adhibentur ad maximizationem lucri vel minimizationem sumptuum.
* In biologia et chemia, aequationes differentiales describunt incrementum populationum, reactiones chemicas, et diffusionem substantiarum.
* In technologia, calculus fundamentum est pro analysi circuituum, pro algorithmis computatoriis, et pro simulationibus numericis.

## Momentum et Hereditas 
Calculus saepe appellatur *prima victoria mathematicae modernae*. Fundamenta posuit pro analysi reali et complexa, atque pro multis ramis scientiarum naturalium.

Ioannes von Neumann scripsit:

*Calculus fuit primum inventum mathematicae modernae, et momentum eius aestimari vix potest. Constituit initium analysis mathematicae, quae adhuc maximum progressum cogitationis exactae repraesentat.*

## Conclusio 
Calculus, a radicibus antiquis ad systema modernum evolutus, fundamentum est scientiarum naturalium et technicarum. Per derivationem et integrationem, mathematica instrumenta praebet ad describendum motum, spatium, tempus, et mutationem continuam. Hodie calculus pars essentialis est educationis mathematicae et investigationis scientificae.

* Geometria
* Algebra
* Analysi realis
* Analysi complexa
* Series infinitae
* Calculatrum

## Bibliographia 
*Cartan, Henri. 1974. *Differentialrechnung.* Mannheim: Bibliographisches Institut. ISBN 3411014423.
*Euleri, Leonardo 1755 *Institutiones calculi differentialis* nexus 
* Hardy, G. H. 1952 *A Course of Pure Mathematics.* Editio 10a. Cantabrigiae.
* Spivak, Michael. 1994 *Calculus.* Editio 3a. Houstoniae: Publish or Perish.

Categoria:Calculus
Categoria:Medicina