Leges motus quanticae

[thumb|upright=1.4|Quintus Congressus Internationalis Solvaii anni [1927 super electronibus photonibusque.]]
**Leges motus quanticae** sunt leges fundamentales quae coniunctim vectorem quanticum definiunt describendo quomodo hic vector surgit et mutatur ob vires externas impressas. Hae leges velut scientiae quanticae axiomata funguntur. Inter leges principales sunt tres: lex superpositionis, lex Born, et lex Schrödinger. 

## Lex superpositionis 
[thumb|[Maximus Born qui significatio vectoris quantici comperit.]]
Lex superpositionis vectorem quanticum, rem principalem theoriae quanticae, definit. 
Omni distincto actu vel eventu experimentali "A" (quem quaedam particula vel systema agere vel pati potest) adamussim singulo vectore quantico |\psi_A\rangle  conexo, 
lex superpositionis abstractiter definit vectorem quanticum generalem esse superpositionem vel summam

:::::|\psi\rangle =\sum_{A} a(A) |\psi_{A} \rangle 

ubi summatur super omnes eventus et actus experimentales "A" possibiles et ubi a(A) sunt parametra numerica specialia quae quendam statum specialem |\psi\rangle  definiunt.

## Lex Born 
Lex Born describit quomodo vector quanticus |\psi\rangle  actionem systematis vel
particulae definit cum ipsa quoddam dimensionis instrumentum offendit. Lex probabilitatem
 P\left(\psi \rightarrow \psi_B\right) dat ut post interactionem particularem status ab vectore |\psi_B\rangle  datus eveniat. Lex scribitur

:::: P\left(\psi \rightarrow \psi_B\right)=\left| \langle \psi_B| \psi\rangle \right|^2 

ubi \langle \psi_B |\psi\rangle  est productum interius inter vectorem finalem
| \psi_B \rangle  et vectorem initialem | \psi\rangle .

## Lex Schrodinger 
Instrumento dimensionis absente lex Schrodinger describit quomodo vector quanticus |\psi(t)\rangle in
tempus mutat ob externas vires impressas. In notatione bra-ket Diracis, 
lex Schrodinger scribitur

::::
\mathrm{i}\hbar \frac{d}{dt} \left| \psi \left(t\right) \right\rangle = \hat H(t)\left|\psi\left(t\right)\right\rangle 

ubi \mathrm{i} est quantitas imaginaria, t tempus, 
\frac{d}{dt} derivativum respectu  t, 
\hbar constans Planckiana 2 \pi divisa, 
|\psi(t)\rangle vector quanticus, et  \hat H(t) operator 
Hamiltonianus. Forma vectoris quantici operatorisque Hamiltoniani contextu
determinatur.

## Axiomata mechanicae quanticae 
# Cuique magnitudini physicae M operator linearis hermitianus \hat{M} conferetur.
# Cuique statui systematis physicae functio undaria \psi conferetur.
# Magnitudo physica M potest solō valores principales operatoris \hat{M} accipere.
# Valor medius exspectatus \bar{M} magnitudinis M in statu functione undariā \psi collato est diagonalis elementum matricum \bar{M} = \frac{ \langle \psi | \hat{M}| \psi \rangle }{ \langle \psi | \psi \rangle}  operatoris \hat{M} respectu functionis \psi per quadratum normae functionis \psi divisum.
# Pro quõque systemate insulatō existit operator \hat{H} (operator Hamiltonianus vel simplice Hamiltonianus nuncupatur) determinans ūnĭcē evolutionem systematis in tempore. Duae formae praecipuae dependentiae temporalis sunt illa Schrödingeri et illa Heisenbergis.   
#* Forma Schrödingeri: Evolutio temporalis functionis undariae \psi describentis status systematis cum Hamiltonianō \hat{H} aequationi  {\mathrm i}\hbar\frac{d}{d t}\psi(t)=\hat{H}\psi(t) subordinat.
#* Forma Heisenbergis: Operator \hat{M} magnitudinis M in systemate Hamiltonianō \hat{H} descriptā secundum aequationem {\mathrm i}\hbar\frac{d}{dt}\hat{M}(t)=-[\hat{H},\hat{M}(t)]+{\mathrm i}\hbar\frac{\partial \hat{M}(t)}{\partial t}, ubi [\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A} - commutator operatorum \hat{A}  et \hat{B}  et \hbar constans Plankiana reducta, aliter *quantum actionis*, sunt, evolvitur.
# Regulae correspodentiae. 
#* Functio undaria \psi systematis in spatio physico tridimensionale positae est functio loci \psi=\psi({\mathbf r}); {\mathbf r} = (r_x,r_y,r_z) = (x,y,z) i.e. trium coordinatārum cartesianārum.
#* Densitas probabilitatis \rho({\mathbf r}) particulam in puncto {\mathbf r} inveniendi quadratō magnitudinis absolutae ipsae functionis undariae \rho({\mathbf r}) = \frac{|\psi({\mathbf r})|^2}{ \langle \psi | \psi \rangle}  per quadratum normae functionis \psi divisō exprimatur.
#* Operator magnitudinis physicae "coordinata cartesiana corporis/particulae \hat{r}_{\gamma}; \gamma = x,y,z\; {\rm vel }\; \gamma = 1,2,3, etc" mutat functionem undariam \psi({\mathbf r}) eam per sese multiplicando: \hat{r}_{\gamma}\psi({\mathbf r}) = r_{\gamma}\psi({\mathbf r}).
#* Operator magnitudinis physicae "lateral cartesiana (quantitatis) motus corporis/particulae p_{\gamma}; \gamma = x,y,z\; {\rm vel }\; \gamma = 1,2,3, etc" mutat functionem undariam \psi({\mathbf r}) eam per homonymam coordinatam differentiendo et unitatem imaginariam ac constantem Planckianam multiplicando: \hat{p}_{\gamma}\psi({\mathbf r}) = -{\mathrm i}\hbar\frac{\partial \psi(r_x,r_y,r_z)}{\partial r_{\gamma}}.
#* Operator \hat{M} magnitudinis physicae M, quae in physicā (theoriā) classicā aliquā functione M(\{ r_{\alpha}\},\{p_{\beta}\}) coordinatārum ac motus lateralium exprĭmĭtur, substitutione operatorum \hat{r}_{\alpha};  \hat{p}_{\beta}  in hanc functionem obtĭnētur. Si in evolutione functionis M(\{ r_{\alpha}\},\{p_{\beta}\}) in seriem respectu potentiārum \{ r_{\alpha}\},\{p_{\beta}\} termini r_{\alpha}p_{\alpha} appareant, pro illis formula \frac12 (\hat{r}_{\alpha}\hat{p}_{\alpha}+\hat{p}_{\alpha}\hat{r}_{\alpha}) substituti debeant.
# Casus plurimārum particulārum. 
#* Functio undaria systematis plurimārum particulārum est functio \psi({\mathbf x}_1,...,{\mathbf x}_N,t), ubi N est numerus particulārum et {\mathbf x}_j sunt coordinatae j*simae* particulae quae vicissim sunt dyades {\bf {x}}_{j}=({\bf {r}}_{j},s_{j})  compositae tri-dimensionalibus locuum vectoribus  {\bf {r}}_{j}=(r_{xj},r_{yj},r_{zj}) , suppletae additionale variabile s_{j} quae est lateral spirularitatis j*simae* particulae respectu alicujus fixi axis coordinatārum.
#* Quadratus magnitudinis absolutae (vel quadratus moduli)  |\psi|^2  functionis undariae \psi({\mathbf x}_1,...,{\mathbf x}_N,t) systematis N particulārum **identicārum** quae exprimit densitatem probabilitatis invenire aliam particulam in puncto {\mathbf x}_1,  aliam in {\mathbf x}_2, ... , usque ad ultimam in puncto {\mathbf x}_N ab ordine coordinatārum in serie {\mathbf x}_1,...,{\mathbf x}_N non pendet.
#* Ergo permutatione j*simae* et k*simae* coordinatārum {\mathbf x}_j \rightarrow {\mathbf x}_k; \, {\mathbf x}_k \rightarrow {\mathbf x}_j densitas \rho({\mathbf x}_1,...,{\mathbf x}_N,t) non mutatur dum functio undaria solo quemdam multiplicatorem phasis (multiplicatorem phasicum) e^{{\mathrm i}\alpha}  adjungit, idem ex densitatem magnitudinis absolutae (moduli) calculando dispareat.
#* Quoniam, primo (1°), queaque permutatio multiplicatorem phasicum e^{{\mathrm i}\alpha}  functioni undariae adjungit, et, secundo (2°), permutatio {\mathbf x}_j \rightarrow {\mathbf x}_k; \, {\mathbf x}_k \rightarrow {\mathbf x}_j duplo ad seriem {\mathbf x}_1,...,{\mathbf x}_N adhibita eadem non mutat, functio undaria aeque non mutatur, at ergo unitatem pro multiplicatore phasicō accipit: e^{2{\mathrm i}\alpha} = 1; enim multiplicator phasicus e^{{\mathrm i}\alpha}  solō utrum duorum valorum \pm 1  accipere potest.
#* Particulae identicae quārum functio undaria pluriparticularis multiplicatorem + 1  accipit ***bosones*** nuncupantur, quae authem multiplicatorem - 1  gaudeant - ii - ***fermiones*** sunt.

## Formae operatoris Hamiltoniani 
Generaliter obtinemus forma operatoris Hamiltoniani quantici ex forma functionis Hamiltonianae classicaesubstituendo pro motu \vec{\boldsymbol{p}}  et positione \vec{\boldsymbol{x}}  operatores 
:: \hat{\vec{\boldsymbol{p}}} = \int d^3\vec{x}~ |\vec x \rangle ~\frac {\hbar}{i} \frac {\partial}{\partial \vec x}~ \langle \vec x| 

et

:: \hat{\vec{\boldsymbol{x}}} = \int d^3\vec{x}~ |\vec x \rangle  ~\vec{\boldsymbol{x}} ~\langle \vec x| 

ubi  |\vec x \rangle  est vector quanticus particulae cuius positio definite est \vec{\boldsymbol{x}} .

### Circumstantia non-relativistica 
In atomis levibus effecti relativistici generaliter neglegendi sunt quia velocitates electronium sunt minor quam decum velocitatis luminis. In hac circumstantia Hamiltonianus non-relativisticus obtinetur (pro una particula):

::{\hat H} = \int d^3\vec{x}~ |\vec{x}\rangle \left\lbrace \frac{1}{2m}\left( 
\frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial \vec{x}} - e \vec{\boldsymbol{A}} \right) ^{2}\Psi (\vec{x},t) + U (\vec{x}) \right\rbrace \langle \vec{x}| 

ubi unitatibus MKSA \vec{\boldsymbol{A}} est potentiale magneticum vectorale et  U  est energia potentialis particulae. Casu bosonis volubilitatis 0,  U  est simpliciter
[thumb|[Wolfgangus Pauli qui matrices introduxit ad energiam magneticam ob volubilitatem electronis quantificandam.]]

:: U (\vec{x}) = -e\varphi

ubi \varphi est potentiale electricum particulae. Casu electronis quae fermion volubilitate ½ est, habemus

:: U (\vec{x}) = -e\varphi - \frac{\hbar e}{2mc} \sum_j \hat{\sigma_j} B_j(\boldsymbol{x})

ubi \vec{\boldsymbol{B}} = \nabla \times \vec{\boldsymbol{A}} est campus magneticus et matrices \hat{\sigma_j} Pauli, quae particulae volubilitate ½ correspondent, sunt
:
\hat{\sigma_1} = \hat{\sigma_x} = 
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}

:
\hat{\sigma_2} = \hat{\sigma_y} =
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix}

:
\hat{\sigma_3} = \hat{\sigma_z} =
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}
.

### Circumstantia quasi-relativistica Fermionium 
In atomis gravibus et in generale, operator Hamiltonianus relativisticus a Paulo Dirac derivatus describit particulas elementarias fermionicas sicut electrones:

::{\hat H} = \int d^3\vec{x}~ |\vec{x}\rangle  \left \lbrace \alpha_0 mc^2 + \sum_{j=1}^3 \alpha_j \left[\frac {\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_j} - e A_j(\boldsymbol{x}, t) \right] c + e\varphi(\boldsymbol{x}, t) \right \rbrace \langle \vec{x}| 

[thumb|[Paulus Dirac qui notationem bra-ket comminiscit et mechanicam quanticam maxime ingreditur cum sua aequatione electroni.]]
ubi unitatibus MKSA \vec{\boldsymbol{A}} est potentiale magneticum vectorale,  \varphi  potentiale electricum, et operatores \alpha_\mu  sunt qui satisfaciunt regulas anticommutativas:

::\left\{\alpha_\mu , \alpha_\nu\right\} =  \alpha_\mu \alpha_\nu  + \alpha_\nu \alpha_\mu =2\delta_{\mu \nu} \cdot I \,\quad \mu,\nu = 0, 1, 2, 3.

Non possumus has regulas satisfacere si \alpha sunt numeri simplices, sed possumus si \alpha sunt matrices 4×4 modi vel n×n cum n \ge 4. Electio accomoda harum \alpha est:

::\alpha_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \quad \alpha_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, 

::\alpha_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & -i& 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \alpha_3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}, 

quas appellamus **Diraci matrices**. Hic formalismus asciscit nos unam solam particulam describere, quod autem verum est solum quando v \lesssim 0.9 c. Proprior lucis velocitate, ubi non est possibile solam unam particulam habere, formalismus theoriae camporum quanticorum est necessarius.

### Circumstantia quasi-relativistica Bosonium 
### Descriptio lucis et campi electromagnetici 
## Theoria camporum quantica 
In Theoria Camporum Quantica (TCQ) principales res naturalis sunt campos, et his campos in paucis motibus, qui motus esse particulae visi, movere compelleri sunt. His motus energiam requirunt. Igitur, est status imus, statum solium vocatur, in quo sunt nulli motus. Hic status scriptus est: |0\rangle{}. In hoc statu omnes campi sunt non moventes. 

Hoc statu accepto, operatoribus novos status facere utimur. Pro exemplum, a^\dagger(p) novum statum cum una ultra particula adstructa qua certum motum habet, \psi^\dagger(x) cum particula qua certum locum habet facet. In his exemplis, p et x sunt quattuor-vectores (q-vectores). Componites eorum 1-3 sunt spatiosos, componito 0 est temporalis. Ita: x = (t,x,y,z), p = (E,p_x,p_y,p_z)

Nosce, tamen, hanc: a^\dagger(p) et \psi^\dagger(x) non sunt operatores naturales, sed modo operatores mathematici, quia lex Heisenbergis dicet nullam particulam certum motumve locumve habere. Hoc in mentibus nostris, procedamus. Non est recta putare a^\dagger(p), pro exemplum, esse unum operatorem. Est nomen pro infinitus numero operatorum, unusquisque discriminatus a inposito eius. Hi operatores, tamen, aliqua alios inter sese coniugendi sunt. Hoc coniugentum quoque debet esse reletavisticum. Facillimus modus coniugentum facere est theoria camporum classica relativistica quantifacere. 

### Theoria camporum classica relativistica 
Inprimis, campum involubitatum studimus. Sicut communis est, Lagranginem scribimus:

\mathcal{L} = \frac{1}{2}
\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi + 
\frac{1}{2}m^2\phi^2

Euleri-Lagrangi aequatione, aequationem motus invenimus:

\partial_\mu\partial^\mu\phi + m^2\phi = 0

Haec est Klein-Gordon aequatio. 

## Pictura theoriae quanticae 
* Pictura Schrodinger
* Pictura Heisenberg
* Pictura Dirac

## Notae 
## Fontes 
* P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press, 1930, ISBN 0-19-852011-5.

* David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, 1995. ISBN 0-13-124405-1.

* Richard P. Feynman, QED: The Strange Theory of Light and Matter, Princeton University Press, 1985. ISBN 978-0-691-02417-2 —Liber celeber de physica quantica campoque quantico, pro peritis novitiisque.

* Berard De Philosophia Quantali et Institutione Publica, ISBN 2-87290-022-5 *libri* apud users.skynet.be *Hoc libro, per Fundationem Melissae divulgato, Stephanus Berard,* apud users.skynet.be

Categoria:Mechanica quantica