Topologia algebraica

[thumb|Grex fundamentalis [circulus|circuli.]]
**Topologia algebraica** in mathematica est pars topologiae quae modis et instrumentis algebrae utitur.  Notiones magni momenti sunt multiplex, grex fundamentalis, et homologia. Topologia algebraica quantitates invariabiles invenit, quae ad spatium topologicum quodam cohaerent, similes dimensioni in geometria.

## Homotopia 
Homotopia est relatio inter functiones in spatio topologico.  Sit *f* et *g* functiones continuae e spatio X in spatio Y:  f, g:  X \rightarrow Y  Sit *I* intervallum [0, 1].  Tunc *f* et *g* homotopicae dicuntur si exstat functio F: X \times I \rightarrow Y ubi:

:\forall X \in x F(x, 0) = f(x) \text{ et } F(x, 1) = g(x)

Functio F est homotopia inter f et g;  est quasi familia functionum inter X et Y.

Nunc, si X et Y sunt idem spatium (hoc est, si X = Y), functio continua f:  I \rightarrow X dicitur *iter*;  si f(0) = x_0, f(1) = x_1, f est iter ab x0 ad x1.  Homotopia itinerum est notio similis homotopiae sed robustior.  Sit F:  I \times I \rightarrow X talis functio:

:\forall s, t, 0 \le s \le 1 F(s,0) = f(s) \text{et}
::F(s, 1) = g(s) \text{ et}
::F(0, t) = x_0 \text{ et}
::F(1, t) = x_1

Tunc *F* est homotopia itinerum inter *f* et *g.*

## Grex fundamentalis 
Grex fundamentalis (vel caterva fundamentalis) spatii topologici *X* est grex cuius elementa sunt itinera quaedam in *X* (non autem *omnia* itinera:  vide infra) et cuius operatio est compositio itinerum.  

Compositio haec est:  Sit *f* iter in *X* ab *x0* ad *x1,* et sit *g* iter ab *x1* ad *x2.*  Tunc:

:f * g (x) = f(2x), 0 \le x \le 1/2
:: = g(2x - 1), 1/2 \le x \le 1

Nova functio *f * g* est iter ab *x0* ad *x2.*  Quia f(1) = g(0) = x_1 (quod ambo sunt itinera), f*g(1/2) = x_1, quia f(2 \times 1/2) = f(1) = x_1, \text { et } g(2 \times 1/2 - 1) = g(0) = x_1

Idemfactor compositionis est iter "constans":  \forall x \in I id_0(x) = x_0  Si f est iter ab x0 ad x1, tunc id_0 * f = f \text{ et } f * id_1 = f  Notandum est tantos idemfactores esse quantae sunt puncta in spatio X.

Si autem in mente habemus itinera quae in eodem puncto initium et finem habent, hae itinera sunt grex.

Grex fundamentalis spatii X ad punctum *x0* ergo est copia itinerum ab *x0* ad *x0,* sub operationem compositionem antea definitam, cum idemfactore *id0.*  (Etiam "primus grex homotopicus" nominatur.)

Etiamsi definitio gregis fundamentalis ab electione puncti pendet, omnes hi greges inter se isomorphici sunt.

## Multiplices 
Multiplex (vel fortasse *manifoldum* vel *varietas*) dimensionis N est spatium Hausdorff ubi omne punctum vicinium habet homeomorphicum copiae inferioris \mathbb{R}^N  Multiplex dimensionis N dicitur etiam N-multiplex.  1-multiplexus est flexus et 2-multiplex est superficies.

## Homologia 
Grex fundamentalis est primus grex homotopicus;  sunt alii, qui quasi plures dimensiones praebent.  Similis gregi homotopico est grex homologicus;  spatium topologicum X series habet gregum abelianorum homologicorum.

## Utilitas topologiae algebraicae 
Demonstratio simplicissima theorematis fundamentalis algebrae topologia algebraica utitur.

## Notae 
*Algebra abstracta
*Algebra homologica
*Torus (mathematica)

## Bibliographia 
* Gowers, Timothy, June Barrow-Green, Imre Leader, edd. 2008. *The Princeton Companion to Mathematics.* Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11880-2.
* Massey, W. S. 1967. *Algebraic Topology:  An Introduction.*  Novi Eboraci et Heidelbergae: Springer Verlag. ISBN 0-387-90271-6.
* Munkres, James. 1975.*Topology: A First Course.* Englewood Cliffs Novae Caesareae: Prentice-Hall.  ISBN 0-13-925495-1.

## Nexus externi 
* Cursus scholasticus topologiae algebraicae apud MIT Open Course Ware