라이프니츠 적분 규칙

미적분학에서 고트프리트 빌헬름 라이프니츠의 이름을 따서 명명된 적분 기호 아래 미분하는 **라이프니츠 적분 규칙**(Leibniz integral rule)은 다음 형식의 적분에 대해 다음과 같이 명시한다.
\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\,dt,
여기서 -\infty 이고 적분되는 함수는 x에 의존하며, 이 적분의 미분은 다음과 같이 표현할 수 있다.
\begin{align}
& \frac{d}{dx} \left (\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\,dt \right ) \\
&= f\big(x,b(x)\big)\cdot \frac{d}{dx} b(x) - f\big(x,a(x)\big)\cdot \frac{d}{dx} a(x) + \int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x} f(x,t) \,dt
\end{align}
여기서 편미분 \tfrac{\partial}{\partial x}는 적분 내에서 f(x, t)의 x에 대한 변화만 미분할 때 고려된다는 것을 나타낸다.

함수 a(x)와 b(x)가 x에 의존하지 않는 값인 상수 a(x) = a와 b(x) = b인 특별한 경우, 이는 다음으로 단순화된다.
\frac{d}{dx} \left(\int_a^b f(x,t)\,dt \right)= \int_a^b \frac{\partial}{\partial x} f(x,t) \,dt.

만약 a(x)=a가 상수이고 b(x)=x인 경우(예를 들어, 코시 반복 적분 공식의 증명에서 흔히 볼 수 있는 상황), 라이프니츠 적분 규칙은 다음과 같다.
\frac{d}{dx} \left (\int_a^x f(x,t) \, dt \right )= f\big(x,x\big) + \int_a^x \frac{\partial}{\partial x} f(x,t) \, dt,

이 중요한 결과는 특정 조건 하에 적분과 편미분 연산자를 교환하는 데 사용될 수 있으며, 특히 적분 변환의 미분에서 유용하다. 그 예로는 확률론의 모멘트 생성 함수가 있는데, 이는 라플라스 변환의 변형으로, 미분하여 확률 변수의 모멘트를 생성할 수 있다. 라이프니츠 적분 규칙이 적용되는지는 본질적으로 극한의 교환에 대한 질문이다.

## 일반적인 형태: 적분 기호 아래의 미분

우변은 라그랑주 표기법을 사용하여 다음과 같이 쓸 수도 있다.
f(x, b(x)) \, b^\prime(x) - f(x, a(x)) \, a^\prime(x) + \displaystyle\int_{a(x)}^{b(x)} f_x(x, t) \,dt.

이 정리의 더 강력한 버전은 편미분이 거의 어디서나 존재해야 하며 연속일 필요는 없다고 요구한다. 이 공식은 라이프니츠 적분 규칙의 일반적인 형태이며 미적분학의 기본 정리를 사용하여 유도할 수 있다. (첫 번째) 미적분학의 기본 정리는 위 공식의 특정 경우이며, 여기서 a(x) = a \in \Reals는 상수이고, b(x) = x이며, f(x, t) = f(t)는 x에 의존하지 않는다.

상한과 하한이 모두 상수로 간주되면 공식은 연산자 방정식의 형태를 취한다.
\mathcal{I}_t \partial_x = \partial_x \mathcal{I}_t
여기서 \partial_x는 x에 대한 편미분이고 \mathcal{I}_t는 고정된 구간에 대한 t에 대한 적분 연산자이다. 즉, 이계 도함수의 대칭성과 관련이 있지만, 미분뿐만 아니라 적분도 포함한다. 이 경우도 라이프니츠 적분 규칙으로 알려져 있다.

극한 연산의 교환에 관한 다음 세 가지 기본 정리는 본질적으로 동등하다.
* 미분과 적분의 교환(적분 기호 아래의 미분; 즉, 라이프니츠 적분 규칙);
* 편미분 순서의 변경;
* 적분 순서의 변경(적분 기호 아래의 적분; 즉, 푸비니 정리).

## 삼차원, 시간 의존적 경우

right|thumb|250px|그림 1: 공간 전체에 걸쳐 정의된 벡터장 '''F'''('''r''', t)와 필드가 적분되는 ∂Σ 곡선에 의해 경계가 정해지고 속도 '''v'''로 움직이는 표면 Σ.
삼차원 공간에서 움직이는 이차원 표면에 대한 라이프니츠 적분 규칙은 다음과 같다.

\frac {d}{dt} \iint_{\Sigma (t)} \mathbf{F} (\mathbf{r}, t) \cdot d \mathbf{A} = \iint_{\Sigma (t)} \left(\mathbf{F}_t (\mathbf{r}, t) + \left[\nabla \cdot \mathbf{F} (\mathbf{r}, t) \right] \mathbf{v} \right) \cdot d \mathbf{A} - \oint_{\partial \Sigma (t)} \left[ \mathbf{v} \times \mathbf{F} ( \mathbf{r}, t) \right] \cdot d \mathbf{s},

여기서:
*는 시간 에서 공간 위치 의 벡터장이며,
*는 벡터장의 편 시간 미분이며,
*는 닫힌 곡선 에 의해 경계가 정해지는 표면이며,
*는 표면 의 벡터 요소이며,
*는 곡선 의 벡터 요소이며,
*는 영역 의 이동 속도이며,
*는 벡터 발산이며,
*는 벡터곱이며,
*이중 적분은 표면 에 대한 면적분이고, 선적분은 경계 곡선 에 대한 적분이다.

## 고차원

라이프니츠 적분 규칙은 다차원 적분으로 확장될 수 있다. 2차원 및 3차원에서는 이 규칙이 유체동역학 분야에서 레이놀즈 수송정리로 더 잘 알려져 있다.
\frac{d}{dt} \int_{D(t)} F(\mathbf x, t) \,dV
= \int_{D(t)} \frac{\partial}{\partial t} F(\mathbf x, t)\,dV
+ \int_{\partial D(t)} F(\mathbf x, t) \mathbf v_b \cdot d\mathbf{\Sigma},

여기서 F(\mathbf x, t)는 스칼라 함수이고,  및 는 각각 **R**3의 시간 변화하는 연결된 영역과 그 경계를 나타낸다. \mathbf v_b는 경계의 오일러 속도(참고: 라그랑주 및 오일러 좌표)이며, 는 면적분 요소의 단위 법선 성분이다.

라이프니츠 적분 규칙의 일반적인 진술은 미분 기하학, 특히 미분 형식, 외미분, 쐐기곱 및 내부곱의 개념을 필요로 한다. 이러한 도구를 사용하면 n차원에서 라이프니츠 적분 규칙은 다음과 같다.
\frac{d}{dt}\int_{\Omega(t)}\omega=\int_{\Omega(t)} i_{\mathbf v}(d_x\omega)+\int_{\partial \Omega(t)} i_{\mathbf v} \omega + \int_{\Omega(t)} \dot{\omega},
여기서 는 시간 변화하는 적분 영역이고, ω는 p-형식이며, \mathbf v=\frac{\partial \mathbf x}{\partial t}는 속도 벡터장이고, i_{\mathbf v}는 \mathbf v와의 내부곱을 나타내며, dxω는 공간 변수에 대해서만 ω의 외미분이고 \dot{\omega}는 ω의 시간 미분이다.

위 공식은 리 미분이 미분 형식의 적분과 잘 상호 작용한다는 사실로부터 직접 도출될 수 있다.
 \frac{d}{dt}\int_{\Omega(t)} \omega = \int_{\Omega(t)} \mathcal{L}_\Psi \omega,
시공간 매니폴드 M = \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 에 대해, \omega의 시공간 외미분은 d\omega= dt\wedge \dot\omega + d_x\omega 이고 표면 \Omega(t)는 시공간 속도장 \Psi=\frac{\partial}{\partial t}+ \mathbf v를 가진다.
\omega가 공간 성분만 가지므로, 리 미분은 카르탕의 마법 공식을 사용하여 다음과 같이 단순화될 수 있다.

\mathcal{L}_\Psi \omega
= \mathcal{L}_{\mathbf v} \omega
+ \mathcal{L}_{\frac{\partial}{\partial t}} \omega
= i_{\mathbf v} d\omega
+ d i_{\mathbf v} \omega
+ i_{\frac{\partial}{\partial t}} d \omega
= i_{\mathbf v} d_{x} \omega
+ d i_{\mathbf v} \omega
+ \dot\omega

이것을 \Omega(t)에 대해 적분하고 두 번째 항에 일반화된 스토크스 정리를 적용하면 원하는 세 항으로 줄어든다.

## 측도론적 진술

X를 \mathbf{R}의 열린 부분집합이라 하고, \Omega를 측도 공간이라 하자. f\colon X \times \Omega \to \mathbf{R} 가 다음 조건을 만족한다고 가정하자.

#f(x,\omega)는 각 x \in X에 대해 \omega의 르베그 적분 가능한 함수이다.
#거의 모든 \omega \in \Omega에 대해, 편미분 f_x는 모든 x \in X에 대해 존재한다.
#모든 x \in X와 거의 모든 \omega \in \Omega에 대해 |f_x(x,\omega)| \leq \theta ( \omega)인 적분 가능한 함수 \theta \colon \Omega \to \mathbf{R}가 존재한다.

그러면 모든 x \in X에 대해,
\frac{d}{dx} \int_\Omega f(x, \omega) \, d\omega = \int_{\Omega} f_x (x, \omega) \, d\omega.

증명은 지배 수렴 정리와 평균값 정리에 의존한다 (자세한 내용은 아래 참조).

## 증명

### 기본 형태의 증명
먼저 적분 상한과 하한이 상수 a와 b인 경우를 증명한다.

푸비니 정리를 사용하여 적분 순서를 변경한다. h > 0이고 x와 x +h 모두  내에 있는 모든  및 에 대해 다음이 성립한다.
\begin{align} \int_x^{x+h} \int_a^b f_x(x,t) \,dt \,dx &= \int_a^b \int_x^{x+h} f_x(x,t) \,dx \,dt \\[2ex] &= \int_a^b \left(f(x+h,t) - f(x,t)\right) \,dt \\[2ex] &= \int_a^b f(x+h,t) \,dt - \int_a^b f(x,t) \,dt \end{align}

 f_x(x,t) 는 닫힌 직사각형  [x_0, x_1] \times [a,b] 에서 연속이므로 거기서 균등 연속이기도 하다. 따라서 dt 또는 dx에 의한 적분은 다른 변수에 대해 연속이며 또한 그것에 의해 적분 가능하다(이는 균등 연속 함수에 대해 극한을 적분 기호를 통과시킬 수 있기 때문이며, 아래에서 자세히 설명한다).

따라서:
\begin{align} \frac{ \int_a^b f(x+h,t) \,dt - \int_a^b f(x,t) \,dt }{h} &= \frac{1}{h}\int_x^{x+h} \int_a^b f_x(x,t) \,dt \,dx \\[2ex] &= \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \end{align}

여기서 다음을 정의했다.
F(u) := \int_{x_0}^{u} \int_a^b f_x(x,t) \,dt \,dx
(여기서 x0는 x0와 x 사이의 다른 점으로 대체할 수 있다)

F는 미분 \int_a^b f_x(x,t) \,dt 를 가지므로, 가 0에 접근하는 극한을 취할 수 있다. 좌변의 이 극한은 다음과 같다.
\frac{d}{dx}\int_a^b f(x,t) \, dt 

우변에 대해 다음을 얻는다.
 F'(x) = \int_a^b f_x(x,t) \, dt 
따라서 원하는 결과를 증명한다.
\frac{d}{dx}\int_a^b f(x,t) \, dt = \int_a^b f_x(x,t) \, dt 

#### 유계 수렴 정리를 사용한 또 다른 증명
주어진 적분들이 르베그 적분인 경우, 유계 수렴 정리(이 적분들에 대해 유효하지만 리만 적분에는 유효하지 않음)를 사용하여 극한을 적분 기호를 통해 전달할 수 있음을 보일 수 있다.

이 증명은 f_x(x,t)가 르베그 적분 가능함을 보여줄 뿐, 리만 적분 가능함을 보여주지는 않는다는 점에서 약하다. 이전 (더 강력한) 증명에서는 f(x,t)가 리만 적분 가능하면 f_x(x,t)도 리만 적분 가능하고 (따라서 분명히 르베그 적분 가능하기도 하다).

다음을 놓자.

미분의 정의에 의해,

방정식 ()을 방정식 ()에 대입한다. 두 적분의 차는 차이의 적분과 같고, 1/h는 상수이므로,
\begin{align}
u'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{\int_a^bf(x + h, t)\,dt - \int_a^b f(x, t)\,dt}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{\int_a^b\left( f(x + h, t) - f(x,t) \right)\,dt}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \int_a^b \frac{f(x + h, t) - f(x, t)}{h} \,dt.
\end{align}

이제 극한이 적분 기호를 통해 전달될 수 있음을 보인다.

우리는 유계 수렴 정리(지배 수렴 정리의 따름 정리)에 의해 적분 기호 아래에서 극한의 통과가 유효하다고 주장한다. 각 δ > 0에 대해 차분 몫을 고려한다.
f_\delta(x, t) = \frac{f(x + \delta, t) - f(x, t)}{\delta}.
t를 고정하면 평균값 정리에 의해 구간 [x, x + δ]에 z가 존재하여 다음이 성립한다.
f_\delta(x, t) = f_x(z, t).
f_x(x, t)의 연속성과 영역의 콤팩트성은 f_x(x, t)가 유계임을 의미한다. 따라서 평균값 정리의 위 적용은 f_\delta(x, t)에 대한 균일한( t와 무관한) 경계를 제공한다. 편미분이 존재한다는 가정에 의해 차분 몫은 편미분 f_x로 점별 수렴한다.

위 논증은 모든 수열 {δn} → 0에 대해 수열 \{f_{\delta_n}(x, t)\}가 균일하게 유계이고 f_x로 점별 수렴함을 보여준다. 유계 수렴 정리는 유한 측도 집합의 함수 수열이 균일하게 유계이고 점별 수렴하면 적분 아래에서 극한의 통과가 유효하다고 명시한다. 특히, 극한과 적분은 모든 수열 {δn} → 0에 대해 교환될 수 있다. 따라서 δ → 0일 때의 극한은 적분 기호를 통해 전달될 수 있다.

만약 우리가 적분 가능한 함수 \theta \colon \Omega \to \mathbf{R}가 존재하여 |f_x(x,\omega)| \leq \theta ( \omega)를 만족한다는 것만 알고 있다면, |f_\delta(x, t)| = |f_x(z, t)|\leq \theta(\omega)이고 지배 수렴 정리에 의해 극한을 적분 내부로 옮길 수 있다.

### 변수 한계 형식
하나의 실수 변수의 연속 실수 값 함수 g와 하나의 실수 변수의 미분 가능한 실수 값 함수  f_1  및  f_2 에 대해,
\frac{d}{dx} \left( \int_{f_1(x)}^{f_2(x)} g(t) \,dt \right )= g\left(f_2(x)\right) {f_2'(x)} -  g\left(f_1(x)\right) {f_1'(x)}.

이것은 연쇄 법칙과 미적분학의 제1 기본 정리로부터 따른다. 다음을 정의하자.
 G(x) = \int_{f_1(x)}^{f_2(x)} g(t) \, dt, 
그리고
 \Gamma(x) = \int_{0}^{x} g(t) \, dt. 
(하한은  g 의 정의역에 있는 어떤 숫자여야 한다)

그러면  G(x) 는 함수의 합성으로 쓸 수 있다.  G(x) = (\Gamma \circ f_2)(x) - (\Gamma \circ f_1)(x) . 연쇄 법칙은 다음을 의미한다.
 G'(x) = \Gamma'\left(f_2(x)\right) f_2'(x) - \Gamma'\left(f_1(x)\right) f_1'(x). 
미적분학의 제1 기본 정리에 의해  \Gamma'(x) = g(x) 이다. 따라서 이 결과를 위에 대입하면 원하는 방정식을 얻는다.
 G'(x) = g\left(f_2(x)\right) {f_2'(x)} -  g\left(f_1(x)\right) {f_1'(x)}. 

**참고:** 이 형태는 미분할 표현식이 다음과 같을 때 특히 유용할 수 있다.
\int_{f_1(x)}^{f_2(x)} h(x) \, g(t) \,dt
h(x)는 적분 한계에 의존하지 않으므로 적분 기호 밖으로 옮길 수 있으며, 곱 규칙과 함께 위 형태를 사용할 수 있다. 즉,

\begin{align}
\frac{d}{dx} \left( \int_{f_1(x)}^{f_2(x)} h(x)g(t) \,dt \right )
&= \frac{d}{dx} \left(h(x) \int_{f_1(x)}^{f_2(x)} g(t) \,dt \right ) \\
&= h'(x)\int_{f_1(x)}^{f_2(x)} g(t) \,dt + h(x) \frac{d}{dx} \left(\int_{f_1(x)}^{f_2(x)} g(t) \,dt \right )
\end{align}

### 변수 한계를 포함하는 일반적인 형태
다음을 설정하자.
\varphi(\alpha) = \int_a^b f(x,\alpha)\,dx,
여기서 a와 b는 α가 Δα만큼 증가할 때 각각 Δa와 Δb만큼 증가하는 α의 함수이다. 그러면,
\begin{align}
\Delta\varphi &= \varphi(\alpha + \Delta\alpha) - \varphi(\alpha) \\[4pt]
&= \int_{a + \Delta a}^{b + \Delta b}f(x, \alpha + \Delta\alpha)\,dx - \int_a^b f(x, \alpha)\,dx \\[4pt]
&= \int_{a + \Delta a}^af(x, \alpha + \Delta\alpha)\,dx + \int_a^bf(x, \alpha + \Delta\alpha)\,dx + \int_b^{b + \Delta b} f(x, \alpha+\Delta\alpha)\,dx - \int_a^b f(x, \alpha)\,dx \\[4pt]
&= -\int_a^{a + \Delta a} f(x, \alpha + \Delta\alpha)\,dx + \int_a^b [f(x, \alpha + \Delta\alpha) - f(x,\alpha)]\,dx + \int_b^{b + \Delta b} f(x, \alpha + \Delta\alpha)\,dx.
\end{align}

평균값 정리의 한 형태인 \int_a^b f(x)\,dx = (b - a)f(\xi) (a )를 위 Δφ 공식의 첫 번째와 마지막 적분에 적용하면 다음이 된다.
\Delta\varphi = -\Delta a f(\xi_1, \alpha + \Delta\alpha) + \int_a^b [f(x, \alpha + \Delta\alpha) - f(x,\alpha)]\,dx + \Delta b f(\xi_2, \alpha + \Delta\alpha).

Δα로 나누고 Δα → 0으로 보내자. ξ1 → a이고 ξ2 → b임을 주목하자. 적분 기호를 통해 극한을 통과시킬 수 있다.
\lim_{\Delta\alpha\to 0}\int_a^b \frac{f(x,\alpha + \Delta\alpha) - f(x,\alpha)}{\Delta\alpha}\,dx = \int_a^b \frac{\partial}{\partial\alpha}f(x, \alpha)\,dx,
이는 다시 유계 수렴 정리에 의한 것이다. 이는 라이프니츠 적분 규칙의 일반적인 형태를 산출한다.
\frac{d\varphi}{d\alpha} = \int_a^b \frac{\partial}{\partial\alpha}f(x, \alpha)\,dx + f(b, \alpha) \frac{db}{d\alpha} - f(a, \alpha)\frac{da}{d\alpha}.

### 연쇄 법칙을 사용한 변수 한계를 가진 일반적인 형태의 대체 증명

변수 한계를 가진 라이프니츠 적분 규칙의 일반적인 형태는 라이프니츠 적분 규칙의 기본 형태, 다변수 연쇄 법칙, 그리고 미적분학의 제1 기본 정리의 결과로 도출될 수 있다.  f 가  x - t  평면의 직사각형, 즉  x \in [x_1, x_2] 와  t \in [t_1, t_2] 에서 정의된다고 가정하자. 또한  f 와 편미분  \frac{\partial f}{\partial x} 가 이 직사각형에서 모두 연속 함수라고 가정하자.  a, b는  [x_1, x_2]에서 정의되고  [t_1, t_2]  값을 가지는 미분 가능한 실수 값 함수라고 가정하자 (즉, 모든  x \in [x_1, x_2]에 대해  a(x) , b(x) \in [t_1, t_2] ). 이제 다음을 설정하자.
 F(x,y) = \int_{t_1}^{y} f(x,t)\,dt , \qquad  \text{for} ~ x \in [x_1, x_2] ~\text{and}~ y \in [t_1, t_2] 
그리고
 G(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\,dt , \quad \text{for} ~ x \in [x_1, x_2] 

그러면 정적분의 성질에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다.
 G(x) = \int_{t_1}^{b(x)} f(x,t)\,dt  - \int_{t_1}^{a(x)} f(x,t)\,dt
= F(x, b(x)) - F(x, a(x))

함수  F, a, b 가 모두 미분 가능하므로 (증명 끝의 주석 참조), 다변수 연쇄 법칙에 의해  G 는 미분 가능하며, 그 미분은 다음 공식으로 주어진다.
 G'(x) = \left(\frac{\partial F}{\partial x} (x, b(x)) + \frac{\partial F}{\partial b(x)} (x, b(x) ) b'(x) \right) -
\left(\frac{\partial F}{\partial x} (x, a(x)) + \frac{\partial F}{\partial a(x)} (x, a(x)) a'(x) \right) 이제 모든  x \in [x_1, x_2] 와 모든  y \in [t_1, t_2] 에 대해  \frac{\partial F}{\partial x}(x, y) = \int_{t_1}^y \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \, dt 임을 주목하자. 왜냐하면  F 의  x 에 대한 편미분을 취할 때, 표현식  \int_{t_1}^{y} f(x,t)\,dt  에서  y 를 고정하기 때문이다. 따라서 적분 한계가 상수인 라이프니츠 적분 규칙의 기본 형태가 적용된다. 다음으로, 미적분학의 제1 기본 정리에 의해  \frac{\partial F}{\partial y}(x, y) = f(x,y) 이다. 왜냐하면  F 의  y 에 대한 편미분을 취할 때, 첫 번째 변수  x 는 고정되므로, 기본 정리가 실제로 적용될 수 있기 때문이다.

이러한 결과를 위  G'(x)  방정식에 대입하면 다음을 얻는다.
 \begin{align}
G'(x) &= \left(\int_{t_1}^{b(x)} \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \, dt + f(x, b(x)) b'(x) \right) -
\left(\int_{t_1}^{a(x)} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t) \, dt + f(x, a(x)) a'(x) \right) \\[2pt]
&= f(x,b(x)) b'(x) - f(x,a(x)) a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \, dt,
\end{align}
원하는 대로이다.

위 증명에는 주목할 만한 기술적 사항이 있다.  G 에 연쇄 법칙을 적용하려면  F 가 이미 미분 가능해야 한다. 이것이  f 에 대한 가정을 사용하는 부분이다. 위에서 언급했듯이,  F 의 편미분은 공식  \frac{\partial F}{\partial x}(x, y) = \int_{t_1}^y \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \, dt 와  \frac{\partial F}{\partial y}(x, y) = f(x,y) 로 주어진다.  \dfrac{\partial f}{\partial x}가 연속이므로, 그 적분도 연속 함수이고,  f 도 연속이므로, 이 두 결과는  F 의 두 편미분이 모두 연속임을 보여준다. 편미분의 연속성은 함수의 미분 가능성을 의미하므로,  F 는 실제로 미분 가능한다.

### 삼차원, 시간 의존적 형태

시간 t에서 그림 1의 표면 Σ는 중심점 \mathbf{C}(t) 주위에 배열된 점들의 집합을 포함한다. 함수 \mathbf{F}(\mathbf{r}, t)는 다음과 같이 쓸 수 있다.
\mathbf{F}(\mathbf{C}(t) + \mathbf{r} - \mathbf{C}(t), t) = \mathbf{F}(\mathbf{C}(t) + \mathbf{I}, t),
\mathbf{I}는 시간에 독립적이다. 변수는 움직이는 표면에 부착된 새로운 참조 프레임으로 이동되며, 원점은 \mathbf{C}(t)에 있다. 고정적으로 이동하는 표면에 대해 적분 한계는 시간에 독립적이므로,
\frac {d}{dt} \left (\iint_{\Sigma (t)} d \mathbf{A}_{\mathbf{r}}\cdot \mathbf{F}(\mathbf{r}, t) \right) = \iint_\Sigma d \mathbf{A}_{\mathbf{I}} \cdot \frac {d}{dt}\mathbf{F}(\mathbf{C}(t) + \mathbf{I}, t),
여기서 적분 영역 Σ를 제한하는 적분 한계는 더 이상 시간에 의존하지 않으므로 미분은 적분 기호를 통과하여 피적분 함수에만 작용한다.
\frac {d}{dt}\mathbf{F}( \mathbf{C}(t) + \mathbf{I}, t) = \mathbf{F}_t(\mathbf{C}(t) + \mathbf{I}, t) + \mathbf{v \cdot \nabla F}(\mathbf{C}(t) + \mathbf{I}, t) = \mathbf{F}_t(\mathbf{r}, t) + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{F}(\mathbf{r}, t),
표면의 이동 속도는 다음과 같이 정의된다.
\mathbf{v} = \frac {d}{dt} \mathbf{C} (t).

이 방정식은 장의 물질 미분을 표현하는데, 즉 움직이는 표면에 부착된 좌표계에 대한 미분이다. 미분을 찾았으므로 변수를 원래 참조 프레임으로 다시 전환할 수 있다. 우리는 다음을 주목한다 (참고: 회전 (벡터) 문서)
\nabla \times \left(\mathbf{v} \times \mathbf{F}\right) = (\nabla \cdot \mathbf{F} + \mathbf{F} \cdot \nabla) \mathbf{v}- (\nabla \cdot  \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{F},
그리고 스토크스 정리는 Σ를 통한 회전의 면적분을 를 통한 선적분과 동일시한다.
\frac{d}{dt} \left(\iint_{\Sigma (t)} \mathbf{F} (\mathbf{r}, t) \cdot d \mathbf{A}\right) = \iint_{\Sigma (t)} \big(\mathbf{F}_t (\mathbf{r}, t) + \left(\mathbf{F \cdot \nabla} \right)\mathbf{v} + \left(\nabla \cdot \mathbf{F} \right) \mathbf{v} - (\nabla \cdot \mathbf{v})\mathbf{F}\big)\cdot d\mathbf{A} - \oint_{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf{v} \times \mathbf{F}\right)\cdot d\mathbf{s}. 

선적분의 부호는 선 요소 d**s**의 방향 선택에 대한 오른손 법칙에 기초한다. 이 부호를 설정하기 위해, 예를 들어 장 **F**가 양의 z방향을 가리키고, 표면 Σ는 xy-평면의 일부이며 경계 ∂Σ를 가진다고 가정하자. 우리는 Σ의 법선을 양의 z방향으로 채택한다. ∂Σ의 양의 횡단은 시계 반대 방향(z축을 따라 엄지손가락을 놓는 오른손 법칙)이다. 그러면 좌변의 적분은 Σ를 통과하는 **F**의 양의 선속을 결정한다. Σ가 속도 **v**로 양의 x방향으로 이동한다고 가정하자. y축에 평행한 Σ의 경계 요소인 d**s**는 시간 t 동안 영역 **v**t × d**s**를 쓸어낸다. 시계 반대 방향으로 경계 ∂Σ를 따라 적분하면, ∂Σ의 왼쪽(d**s**가 아래를 향하는 곳)에서는 **v**t × d**s**가 음의 z방향을 가리키고, ∂Σ의 오른쪽(d**s**가 위를 향하는 곳)에서는 양의 z방향을 가리킨다. 이는 Σ가 오른쪽으로 이동하여 오른쪽에 면적을 추가하고 왼쪽에서 면적을 잃는다는 점에서 의미가 있다. 이러한 근거로, **F**의 선속은 ∂Σ의 오른쪽에서 증가하고 왼쪽에서 감소한다. 그러나 스칼라곱 이다. 결과적으로 선적분의 부호는 음수로 취해진다.

만약 **v**가 상수라면,
\frac {d}{dt} \iint_{\Sigma (t)} \mathbf{F} (\mathbf{r}, t) \cdot d \mathbf{A} = \iint_{\Sigma (t)} \big(\mathbf{F}_t (\mathbf{r}, t) +  \left(\nabla \cdot \mathbf{F} \right)  \mathbf{v}\big) \cdot d \mathbf{A} - \oint_{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf{v} \times \mathbf{F}\right) \cdot \,d\mathbf{s},
이는 인용된 결과이다. 이 증명은 표면이 이동하면서 변형될 가능성을 고려하지 않는다.

### 대안적 유도
**보조정리.** 다음이 성립한다.
\frac{\partial}{\partial b} \left (\int_a^b f(x) \,dx \right ) = f(b), \qquad \frac{\partial}{\partial a} \left (\int_a^b f(x) \,dx \right )= -f(a).

**증명.** 미적분학의 기본 정리 증명으로부터,

\begin{align}
  \frac{\partial}{\partial b} \left(\int_a^b f(x) \,dx\right)
    &= \lim_{\Delta b \to 0} \frac{1}{\Delta b} \left( \int_a^{b+\Delta b} f(x)\,dx - \int_a^b f(x)\,dx \right) \\[1ex]
    &= \lim_{\Delta b \to 0} \frac{1}{\Delta b} \left( \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^{b+\Delta b} f(x)\,dx - \int_a^b f(x)\,dx \right) \\[1ex]
    &= \lim_{\Delta b \to 0} \frac{1}{\Delta b} \int_b^{b+\Delta b} f(x)\,dx \\[1ex]
    &= \lim_{\Delta b \to 0} \frac{1}{\Delta b} \left[ f(b) \Delta b + O\left(\Delta b^2\right) \right] \\[1ex]
    &= f(b),
\end{align}
그리고
\begin{align}
  \frac{\partial}{\partial a} \left (\int_a^b f(x) \,dx \right )&= \lim_{\Delta a \to 0} \frac{1}{\Delta a} \left[ \int_{a+\Delta a}^b f(x)\,dx - \int_a^b f(x)\,dx \right] \\[6pt]
    &= \lim_{\Delta a \to 0} \frac{1}{\Delta a} \int_{a+\Delta a}^a f(x)\,dx \\[6pt]
    &= \lim_{\Delta a \to 0} \frac{1}{\Delta a} \left[ -f(a) \Delta a + O\left(\Delta a^2\right) \right]\\[6pt]
    &= -f(a).
\end{align}

a와 b가 상수이고 f(x)가 적분에서는 상수이지만 다른 적분을 형성하기 위해 변할 수 있는 매개변수 α를 포함한다고 가정하자. f(x, α)는 콤팩트 집합 {(x, α) : α0 ≤ α ≤ α1 및 a ≤ x ≤ b}에서 x와 α의 연속 함수이고, 편미분 fα(x, α)가 존재하고 연속이라고 가정하자. 만약 다음을 정의하면:
\varphi(\alpha) = \int_a^b f(x,\alpha)\,dx,
그러면 \varphi는 적분 기호 아래에서 미분하여 α에 대해 미분할 수 있다. 즉,
\frac{d\varphi}{d\alpha}=\int_a^b\frac{\partial}{\partial\alpha}f(x,\alpha)\,dx.

하이네-칸토어 정리에 의해 그 집합에서 균일하게 연속이다. 즉, 임의의 ε > 0에 대해 [a, b]의 모든 x 값에 대해 다음을 만족하는 Δα가 존재한다.
|f(x,\alpha+\Delta \alpha)-f(x,\alpha)|

다른 한편으로,
\begin{align}
\Delta\varphi &=\varphi(\alpha+\Delta \alpha)-\varphi(\alpha) \\[6pt]
&=\int_a^b f(x,\alpha+\Delta\alpha)\,dx - \int_a^b f(x,\alpha)\, dx \\[6pt]
&=\int_a^b \left (f(x,\alpha+\Delta\alpha)-f(x,\alpha) \right )\,dx \\[6pt]
&\leq \varepsilon (b-a).
\end{align}

따라서 φ(α)는 연속 함수이다.

마찬가지로 \frac{\partial}{\partial\alpha} f(x,\alpha)가 존재하고 연속이라면, 모든 ε > 0에 대해 다음을 만족하는 Δα가 존재한다.
\forall x \in [a, b], \quad \left|\frac{f(x,\alpha+\Delta \alpha)-f(x,\alpha)}{\Delta \alpha} - \frac{\partial f}{\partial\alpha}\right|

따라서,
\frac{\Delta \varphi}{\Delta \alpha}=\int_a^b\frac{f(x,\alpha+\Delta\alpha)-f(x,\alpha)}{\Delta \alpha}\,dx = \int_a^b \frac{\partial f(x,\alpha)}{\partial \alpha}\,dx + R,
여기서
|R| 

이제 Δα → 0일 때 ε → 0이므로,
\lim_{a + b \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} dx \\[6pt]
&= \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x}{a +b \tan^2 x} dx \\[6pt]
&= \frac{1}{b} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^2+\tan^2 x}\,d(\tan x) \\[6pt]
&= \left.\frac{1}{\sqrt{ab}}\arctan \left(\sqrt{\frac{b}{a}}\tan x\right) \right|_0^{\pi/2} \\[6pt]
&= \frac{\pi}{2\sqrt{ab}}.
\end{align}

적분 한계가 a에 독립적이므로 다음이 성립한다.
\frac{\partial J}{\partial a}=-\int_0^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{\left(a\cos^2 x+b \sin^2 x\right)^2}\,dx

다른 한편으로:
\frac{\partial J}{\partial a}= \frac{\partial}{\partial a} \left(\frac{\pi}{2\sqrt{ab}}\right) =-\frac{\pi}{4\sqrt{a^3b}}.

이 두 관계를 등치시키면 다음이 나온다.
\int_0^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{\left(a \cos^2 x+b \sin^2 x\right)^2}\,dx=\frac{\pi}{4\sqrt{a^3b}}.

유사하게, \frac{\partial J}{\partial b}를 구하면 다음이 나온다.
\int_0^{\pi/2}\frac{\sin^2 x}{\left(a\cos^2 x+b\sin^2 x\right)^2}\,dx = \frac{\pi}{4\sqrt{ab^3}}.

두 결과를 더하면 다음이 나온다.
I = \int_0^{\pi/2}\frac{1}{\left(a\cos^2x+b\sin^2x\right)^2}\,dx=\frac{\pi}{4\sqrt{ab}}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right),
원하는 대로 I를 계산한다.

이 유도는 일반화될 수 있다. 다음을 정의하면
I_n = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\left(a\cos^2 x+b\sin^2 x\right)^n}\,dx,
다음이 쉽게 증명될 수 있다.
(1-n) I_n = \frac{\partial I_{n-1}}{\partial a} + \frac{\partial I_{n-1}}{\partial b}

I_1이 주어지면, 이 적분 축소 공식을 사용하여 n > 1인 모든 I_n 값을 계산할 수 있다. I 및 J와 같은 적분은 바이어슈트라스 치환을 사용하여 처리할 수도 있다.

#### 예시 5
여기서 우리는 적분을 고려한다.
I(\alpha) = \int_0^{\pi/2} \frac{\ln (1+\cos\alpha \cos x)}{\cos x}\,dx, \qquad 0 

적분 기호 아래에서 \alpha에 대해 미분하면,
\begin{align}
\frac{d}{d\alpha} I(\alpha)
&= \int_0^{\pi/2} \frac{\partial}{\partial\alpha} \left(\frac{\ln(1 + \cos\alpha \cos x)}{\cos x}\right) \, dx \\[6pt]
&=-\int_0^{\pi/2}\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha \cos x}\,dx \\
&=-\int_0^{\pi/2}\frac{\sin \alpha}{\left(\cos^2 \frac{x}{2}+\sin^2 \frac{x}{2}\right)+\cos \alpha \left(\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}\right)} \, dx \\[6pt]
&=-\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}} \frac{1}{\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha} +\tan^2 \frac{x}{2}} \, dx \\[6pt]
&=-\frac{2\sin\alpha}{1-\cos\alpha} \int_0^{\pi/2} \frac{\frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}}{\frac{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \sin^2\frac{\alpha}{2}} + \tan^2 \frac{x}{2}} \, dx \\[6pt]
&=-\frac{2\left(2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}\right)}{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\cot^2\frac{\alpha}{2} + \tan^2 \frac{x}{2}} \, d\left(\tan \frac{x}{2}\right)\\[6pt]
&=-2\cot \frac{\alpha}{2}\int_0^{\pi/2} \frac{1}{\cot^2\frac{\alpha}{2} + \tan^2\frac{x}{2}}\,d\left(\tan \frac{x}{2}\right)\\[6pt]
&=-2\arctan \left(\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{x}{2} \right) \bigg|_0^{\pi/2}\\[6pt]
&=-\alpha.
\end{align}

따라서:
I(\alpha) = C - \frac{\alpha^2}{2}.

그러나 정의에 따라 I{\left(\frac{\pi}{2} \right)} = 0이므로 C = \frac{\pi^2}{8}이고
 I(\alpha) = \frac{\pi^2}{8}-\frac{\alpha^2}{2}.

#### 예시 6
여기서 우리는 적분을 고려한다.
\int_0^{2\pi} e^{\cos\theta} \cos(\sin\theta) \, d\theta.

새로운 변수 φ를 도입하고 적분을 다음과 같이 다시 작성한다.
f(\varphi) = \int_0^{2\pi} e^{\varphi\cos\theta} \cos(\varphi\sin\theta)\,d\theta.

φ = 1일 때 이는 원래 적분과 같다. 그러나 이 더 일반적인 적분은 \varphi에 대해 미분할 수 있다.
\frac{df}{d\varphi}
 = \int_0^{2\pi} \frac{\partial}{\partial\varphi}\left[e^{\varphi\cos\theta} \cos(\varphi\sin\theta)\right] d\theta
 = \int_0^{2\pi} e^{\varphi\cos\theta} \left[ \cos\theta\cos(\varphi\sin\theta)-\sin\theta\sin(\varphi\sin\theta) \right] d\theta.

이제 φ를 고정하고  \Reals^2 에서  \mathbf{F}(x,y) = (F_1(x,y), F_2(x,y)) := (e^{\varphi x} \sin (\varphi y), e^{\varphi x} \cos (\varphi y)) 로 정의된 벡터장을 고려하자. 또한 단위원  S^1 의 양의 방향을 가진 매개변수화  \mathbf{r} \colon [0, 2\pi) \to \Reals^2 , \mathbf{r}(\theta) := (\cos \theta, \sin \theta) 를 선택하여  \mathbf{r}'(t) = (-\sin \theta, \cos \theta) 가 되도록 한다. 그러면 위의 최종 적분은 정확히 다음과 같다.
\begin{align}
& \int_0^{2\pi} e^{\varphi\cos\theta} \left[ \cos\theta\cos(\varphi\sin\theta)-\sin\theta\sin(\varphi\sin\theta) \right] d\theta \\[6pt]
= {} & \int_0^{2\pi} \begin{bmatrix} e^{\varphi \cos \theta} \sin (\varphi \sin \theta) \\ e^{\varphi \cos \theta} \cos (\varphi \sin \theta) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -\sin \theta \\ \hphantom{-} \cos \theta\end{bmatrix} \, d\theta\\[6pt]
= {} & \int_0^{2\pi} \mathbf{F}(\mathbf{r}(\theta)) \cdot \mathbf{r}'(\theta) \, d\theta\\[6pt]
= {} & \oint_{S^1} \mathbf{F}(\mathbf{r}) \cdot d\mathbf{r}
= \oint_{S^1} F_1 \, dx + F_2 \, dy,
\end{align}
\mathbf{F}의 S^1을 통한 선적분이다. 그린의 정리에 의해 이는 이중 적분과 같다.
\iint_D \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \, dA,
여기서 D는 닫힌 단위 원판이다. 그 피적분 함수는 항등적으로 0이므로 df/d\varphi도 항등적으로 0이다. 이는 f(φ)가 상수임을 의미한다. 상수는 \varphi = 0에서 f를 평가하여 결정할 수 있다.
f(0) = \int_0^{2\pi} 1\,d\theta = 2\pi.

따라서 원래 적분도 2\pi와 같다.

#### 해결해야 할 다른 문제
적분 기호 아래 미분 기술을 사용하여 해결할 수 있는 수많은 다른 적분들이 있다. 예를 들어, 다음 각 경우에 원래 적분은 새로운 매개변수 \alpha를 가진 유사한 적분으로 대체될 수 있다.
\begin{align}
\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx &\to \int_0^\infty e^{-\alpha x} \frac{\sin x}{x} dx,\\[6pt]
\int_0^{\pi/2} \frac{x}{\tan x}\,dx &\to\int_0^{\pi/2} \frac{\tan^{-1}(\alpha \tan x)}{\tan x} dx,\\[6pt]
\int_0^\infty \frac{\ln (1+x^2)}{1+x^2}\,dx &\to\int_0^\infty \frac{\ln (1+\alpha^2 x^2)}{1+x^2} dx \\[6pt]
\int_0^1 \frac{x-1}{\ln x}\,dx &\to \int_0^1 \frac{x^\alpha-1}{\ln x} dx.
\end{align}

첫 번째 적분인 디리클레 적분은 양의 α에 대해 절대 수렴하지만, \alpha = 0일 때는 조건부 수렴한다. 따라서 \alpha > 0일 때는 적분 기호 아래 미분을 정당화하기 쉽지만, 결과 공식이 \alpha = 0일 때도 유효하다는 것을 증명하려면 세심한 작업이 필요하다.

### 무한급수
적분 기호 아래 미분의 측도론적 버전은 합을 셈측도로 해석함으로써 (유한 또는 무한) 합에도 적용된다. 응용의 한 예시는 멱급수가 수렴 반경 내에서 미분 가능하다는 사실이다.

### 오일러-라그랑주 방정식
라이프니츠 적분 규칙은 변분법에서 오일러-라그랑주 방정식을 유도하는 데 사용된다.

## 대중문화에서
적분 기호 아래 미분은 고(故) 물리학자 리처드 파인만의 베스트셀러 회고록 파인만 씨, 농담도 잘하시네!의 "다른 도구 상자"라는 장에서 언급된다. 그는 고등학교 시절 매사추세츠 공과대학교의 수학 교수였던 프레데릭 S. 우즈의 오래된 교과서 "고등 미적분학"(1926)에서 이 기술을 배웠다고 설명한다. 파인만이 나중에 공식적인 미적분학 교육을 받았을 때는 이 기술이 자주 가르쳐지지 않았지만, 이 기술을 사용하여 파인만은 프린스턴 대학교 대학원에 입학했을 때 다른 어려운 적분 문제들을 해결할 수 있었다.


내가 결코 배우지 못한 한 가지는 경로적분법이었다. 나는 고등학교 물리 선생님인 베이더 씨가 주신 책에 나와 있는 다양한 방법으로 적분을 하는 법을 배웠다. 어느 날 그는 나에게 수업 후에 남으라고 했다. "파인만," 그가 말했다. "너는 너무 말이 많고 너무 시끄러워. 왜 그런지 알아. 지루해서 그래. 그래서 내가 너에게 책을 줄게. 저기 뒤쪽 구석에 가서 이 책을 공부하고, 이 책에 있는 모든 것을 알게 되면 다시 말해도 돼." 그래서 모든 물리 수업 시간에 나는 파스칼의 법칙이나 그들이 하고 있는 다른 어떤 것에도 주의를 기울이지 않았다. 나는 이 책과 함께 뒤쪽에 있었다: "고등 미적분학", 우즈 저. 베이더는 내가 "실용인을 위한 미적분학"을 조금 공부했다는 것을 알고 있었기 때문에 나에게 진짜 작품을 주었다 – 그것은 대학의 3학년 또는 4학년 과정용이었다. 거기에는 푸리에 급수, 베셀 함수, 행렬식, 타원함수 등 내가 아무것도 모르는 온갖 멋진 것들이 있었다. 그 책은 또한 적분 기호 아래 매개변수를 미분하는 방법 – 일종의 연산 – 을 보여주었다. 그것은 대학에서는 그다지 많이 가르쳐지지 않는다; 그들은 그것을 강조하지 않는다. 하지만 나는 그 방법을 사용하는 법을 터득했고, 그 빌어먹을 도구를 계속해서 사용했다. 그래서 그 책으로 독학을 했기 때문에 나는 특이한 적분 방법을 가지고 있었다. 그 결과, MIT나 프린스턴의 친구들이 특정 적분을 하는 데 어려움을 겪었을 때, 그것은 그들이 학교에서 배운 표준 방법으로는 할 수 없었기 때문이었다. 만약 그것이 경로 적분이었다면 그들은 그것을 찾았을 것이다; 만약 그것이 간단한 급수 전개였다면 그들은 그것을 찾았을 것이다. 그리고 나서 나는 적분 기호 아래에서 미분하는 것을 시도했고, 종종 그것이 통했다. 그래서 나는 적분을 잘하는 것으로 명성을 얻었는데, 이는 단지 내 도구 상자가 다른 모든 사람의 도구 상자와 달랐기 때문이었고, 그들은 나에게 문제를 주기 전에 그들의 모든 도구를 이미 사용해 보았기 때문이다.


## 같이 보기

* 연쇄 법칙
* 적분의 미분
* 라이프니츠 규칙 (일반화된 곱 규칙)
* 레이놀즈 수송정리, 라이프니츠 규칙의 일반화

## 각주

## 추가 자료
*
*

## 외부 링크
*

분류:적분학
분류:미분학
분류:고트프리트 빌헬름 라이프니츠
분류:다변수 미적분학
분류:미적분학 정리