비각운동량

천체 역학에서 **비각운동량**  \vec{h} 는 이체 문제의 분석에서 중추적인 역할을 한다. 뉴턴 역학에서 이러한 물리량이 이상적인 궤도에 대한 상수 벡터임을 보일 수 있다. 이는 본질적으로 케플러의 제2법칙을 증명해준다.

이 값은 각운동량  \vec{L} 이 아니라 각운동량에 질량을 나눈 값이므로 *비*각운동량이라고 한다*.* 따라서 "비"라는 단어는 "질량비" 또는 질량으로 나눈 것임을 뜻한다.

:  \vec{h} = \frac{\vec{L}}{m} 

따라서 SI 단위는 m 2 · s −1이다.  m 은 환산 질량  \frac{1}{m} = \frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2} 을 나타낸다.

## 정의
상대 비각운동량은 상대 위치 벡터  \vec{r}과 상대 속도 벡터  \vec{v} 의 외적으로 정의된다.

:  \vec{h} = \vec{r}\times \vec{v} = \frac{\vec{L}}{m} 

 \vec{h} 벡터는 항상 순간 회전 궤도면과 수직하며, 순간 회전 궤도면은 순간 섭동 궤도와 일치한다. 따라서  \vec{h} 벡터는 수년간의 섭동이 포함된 평균 평면과는 수직하지 않는다.

물리학에서 늘 그렇듯이 벡터  \vec{h} 의 크기는  h 로 표시된다:

:  h = \left \| \vec{h} \right \| 

## 이상적인 조건에서 상대 비각운동량이 일정하다는 증명

### 전제 조건
다음 증명은 뉴턴의 만유인력 법칙에도 적용된 단순화 하에서만 유효하다.

점질량  m_1 과  m_2 가 서로 거리  r 만큼 떨어져있으며, 중력에 의해 서로  \vec{F} = G\frac{m_1 m_2}{r^2}\frac{\vec{r}}{r} 의 힘이 작용한다. 이 힘은 거리에 관계없이 즉시 작용하며 계에 존재하는 유일한 힘이다. 좌표계는 관성의 법칙을 만족한다.

추가적인 단순화를 위해  m_1 \gg m_2 를 가정한다. 따라서 좌표계의 원점에서  m_1 은 중심체이며,  m_2  주위를 도는 위성이다. 이때 환산질량은  m_2 와 같다. 그리고 2체 문제의 방정식은 다음과 같이 써진다.

:  \ddot{\vec{r}} = -\frac{\mu}{r^2}\frac{\vec{r}}{r} 

 \mu = Gm_1 은 표준 중력 변수이며, 거리 벡터  \vec{r}  (절대값:  r )은 위에서 가정한 조건에 의해 원점(중심체)에서 위성을 가리키게 된다.

때때로  \mu 를 환산 질량으로 표기하는 경우도 있기 때문에, 본 글의 표준 중력 변수  \mu 를 환산 질량과 혼동하지 않는 것이 중요하다.

### 증명
[섬네일| <math> m_1 </math> 주위의 궤도에서 <math> m_2 </math>의 거리 벡터 <math> \vec{r} </math>, 속도 벡터 <math> \vec{v} </math>, [진근점 이각  \theta , 비행 경로 각도  \phi . 타원의 가장 중요한 측정값들도 표시되었다(그 중 진근점 이각 \theta은 \nu로 표시되었다).]]
2체 문제의 방정식을 거리 벡터  \vec{r} 와 외적하면 상대 비각운동량을 얻는다.

:  \vec{r} \times \ddot{\vec{r}} = - \vec{r} \times \frac{\mu}{r^2}\frac{\vec{r}}{r} = - \frac{\mu}{r^3} \left( \vec{r} \times \vec{r} \right) 

벡터 자체와의 외적(우변)은 0이다. 왼쪽은 곱의 미분법에 따라 다음과 같이 단순화된다.

: 
 \vec{r} \times \ddot{\vec{r}} =
 \dot{\vec{r}} \times \dot{\vec{r}} + \vec{r} \times \ddot{\vec{r}} =
 \frac{\mathrm{d} \left(\vec{r}\times\dot{\vec{r}}\right) }{\mathrm{d}t} = 0


이는  \vec{r}\times\dot{\vec{r}}  가 일정함을 의미한다(따라서 이는 보존량이다). 그리고 이는 정확히 위성의 비각운동량이다.

:  \vec{h} = \vec{r}\times\dot{\vec{r}} \text{ is const.} 

이 벡터는 궤도 평면과 수직이며, 각운동량은 바뀌지 않으므로 궤도 평면도 바뀌지 않는다.

비행 경로 각도  \phi 의 정의와 그리고 속도 벡터의 횡단 및 반경 성분(오른쪽 그림 참조)을 통해 2체 문제에 대한 추가적인 통찰을 얻을 수 있다. 다음 세 공식으로도 상대 비각운동량 벡터의 절대값을 계산할 수 있다.

*  h = rv\cos\phi 
*  h = r^2\dot{\theta} 
*  h = \sqrt{\mu p} 

이때 p는 곡선의 원뿔 곡선 이라고 부른다.

## 케플러의 행성 운동 법칙
케플러의 행성 운동 법칙은 위의 관계를 통해 거의 직접적으로 증명될 수 있다.

### 제1법칙
증명은 이체 문제의 방정식에서 시작된다. 이번에는 방정식에 상대 비각운동량을 외적한다.

:  \ddot{\vec{r}} \times \vec{h} = - \frac{\mu}{r^2}\frac{\vec{r}}{r} \times \vec{h} 

좌변은 각운동량은 일정하기 때문에  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\dot{\vec{r}}\times\vec{h}\right)와 같다.

우변은 다음과 같이 정리할 수 있다:

: 
 -\frac{\mu}{r^3}\left(\vec{r} \times \vec{h}\right) =
 -\frac{\mu}{r^3} \left(\left(\vec{r}\cdot\vec{v}\right)\vec{r} - r^2\vec{v}\right) =
 -\left(\frac{\mu}{r^2}\dot{r}\vec{r} - \frac{\mu}{r}\vec{v}\right) =
  \mu \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\vec{r}}{r}\right)


이 두 식을 동일하게 설정하고 시간이 지남에 따라 적분하면 다음과 같다(이때 적분 상수  \vec{C} 또한 고려).

:  \dot{\vec{r}}\times\vec{h} = \mu\frac{\vec{r}}{r} + \vec{C} 

이제 이 방정식에  \vec{r} 을 내적하고 재배열하면 다음 식을 얻을 수 있다.

: \begin{align}
       \vec{r} \cdot \left(\dot{\vec{r}}\times\vec{h}\right) &= \vec{r} \cdot \left(\mu\frac{\vec{r}}{r} + \vec{C}\right) \\
 \Rightarrow{} \left(\vec{r}\times\dot{\vec{r}}\right) \cdot \vec{h} &= \mu r + rC\cos\theta \\
 \Rightarrow{}                          h^2 &= \mu r + rC\cos\theta
\end{align}

마지막 식을 정리하면 궤도 방정식을 의미한다.

:  r = \frac{\frac{h^2}{\mu}}{1 + \frac{C}{\mu}\cos\theta} 

이것은 반통경(semi-latus rectum)  p = \frac{h^2}{\mu} 와 이심률  e = \frac{C}{\mu} 일 때 극좌표계에서 원뿔 단면의 방정식이다. 이는 곧 케플러의 제1법칙과 같다.

### 제2법칙
두 번째 법칙은 상대 비각운동량의 절댓값을 계산하는 세 방정식 중 두 번째 방정식을 사용하면 즉시 도출된다.

두 번째 방정식에 의해 도출된 식  \mathrm{d}t = \frac{r^2}{h} \ \mathrm{d}\theta 과 무한소의 각도에서 궤도 내부 영역을 나타내는 식인  \mathrm{d}A = \frac{r^2}{2} \ \mathrm{d}\theta 을 다음과 같이 통합할 수 있다.

:  \mathrm{d}t = \frac{2}{h}\ \mathrm{d}A 

위 식을 문장으로 풀어 쓰면 다음과 같다.

### 제3법칙
케플러 제3법칙은 두 번째 법칙에서 바로 유도된다. 위 식을 1회전에 걸쳐 적분하면 공전 주기를 얻을 수 있다.

:  T = \frac{2\pi ab}{h} 

 \pi ab 는 타원의 면적이다. 단반경에  b=\sqrt{ap} 를 대입하고, 상대 비각운동량에  h = \sqrt{\mu p} 를 대입하면 다음 식을 얻을 수 있다.

:  T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu}} 

따라서 위성의 장반경과 공전 주기 사이 관계는 표준 중력 상수만 관여한다. 이는 케플러 제3법칙과 동일하다.

## 참고 문서
* 궤도 비에너지, 2체 문제에서 보존된 또 다른 양.
* 고전적인 중심력 문제#특정 각운동량

## 같이 보기
* 고유 궤도 에너지
## 각주
; 내용주

; 참조주

분류:궤도
분류:궤도역학
분류:각운동량