양의 에너지 정리

**양의 에너지 정리**(, **양의 질량 정리**()라고도 알려짐)는 일반 상대성이론과 미분기하학의 기초적인 결과들의 모음을 말한다. 광범위하게 말해서, 그 표준 형식은 고립된 시스템의 중력 에너지가 음이 아니며, 시스템에 중력 물체가 없을 때만 0이 될 수 있다고 주장한다. 이러한 진술은 종종 본질적으로 주로 물리적인 것으로 생각되지만, 미분기하학, 편미분 방정식, 기하측도론의 기술을 사용하여 증명할 수 있는 정리로 형식화될 수 있다.

리처드 쇤과 야우싱퉁은 1979년과 1981년에 양의 질량 정리의 첫 번째 증명을 제시했다. 에드워드 위튼은 1982년에 대체 증명의 개요를 제시했고, 이는 나중에 수학자들에 의해 엄밀하게 채워졌다. 위튼과 야우는 이 주제에 대한 그들의 업적 중 일부로 수학 분야의 필즈상을 수상했다.

쇤-야우/위튼 양의 에너지 정리의 불명확한 공식화는 다음과 같이 주장했다.

이러한 용어의 의미는 아래에서 논의된다. 에너지-운동량의 다른 개념과 다른 종류의 초기 데이터 집합에 대한 대체 및 비동등한 공식화가 있다. 이러한 공식화 중 모든 것이 엄밀하게 증명된 것은 아니며, 위의 공식화가 임의 차원의 초기 데이터 집합에 대해 유효한지 여부는 현재 열린 문제이다.

## 역사적 개요
ADM 질량에 대한 정리의 원래 증명은 리처드 쇤과 야우싱퉁이 1979년에 변분법과 최소 곡면을 사용하여 제공했다. 에드워드 위튼은 1981년에 초중력 맥락에서 양의 에너지 정리에서 영감을 받아 스피너 사용에 기반한 또 다른 증명을 제시했다. 본디 질량에 대한 정리의 확장은 러드비그센과 제임스 비커스, 게리 호로위츠와 맬컴 페리, 쇤과 야우가 제시했다.

게리 기번스, 스티븐 호킹, 호로위츠와 페리는 점근적으로 반-더시터르 시공간과 아인슈타인-맥스웰 이론에 대한 정리의 확장을 증명했다. 점근적으로 반-더시터르 시공간의 질량은 음이 아니며 반-더시터르 시공간에 대해서만 0과 같다. 전하 Q와 자기 전하 P를 가진 시공간에 대한 아인슈타인-맥스웰 이론에서 시공간의 질량은 (가우스단위계에서) 다음을 만족한다.

:M \geq \sqrt{Q^2 + P^2},

여기서 등호는 마줌다르–파파페트루 임계 블랙홀 해에 대해 성립한다.

## 초기 데이터 집합
**초기 데이터 집합**은 리만 다양체 과  위의 대칭 2-텐서 필드 로 구성된다. 초기 데이터 집합 은 다음을 만족한다고 말한다.
* 가 0이면 **시간 대칭**이다.
* 이면 **극대**이다.
* 다음의 **지배 에너지 조건**을 만족한다.
:: R^g-|k|_g^2+(\operatorname{tr}_gk)^2\geq 2\big|\operatorname{div}^gk-d(\operatorname{tr}_gk)\big|_g,
:여기서 는 의 스칼라 곡률을 나타낸다.
시간 대칭 초기 데이터 집합 은 의 스칼라 곡률이 음이 아닐 때만 지배 에너지 조건을 만족한다. 로렌츠 다양체 이 초기 데이터 집합 의 **발전**이라고 말하는 것은 에서 로의 (필연적으로 공간꼴) 초곡면 매립과 연속적인 단위 법선 벡터장이 존재하여, 유도 계량이 이고 주어진 단위 법선에 대한 제2 기본 형식이 가 되는 경우를 의미한다.

이 정의는 로렌츠 기하학에서 동기 부여되었다. 차원 의 로렌츠 다양체 와 연결된 -차원 다양체 에서 로의 공간꼴 몰입 가 자명한 법선 다발을 가질 때, 유도된 리만 계량 와 를 따라 연속적인 단위 법선 벡터장 두 가지 선택 중 하나에 대한 의 제2 기본 형식 를 고려할 수 있다. 삼중 은 초기 데이터 집합이다. 가우스-코다치 방정식에 따르면, 다음이 성립한다.
:\begin{align}
\overline{G}(\nu,\nu)&=\frac{1}{2}\Big(R^g-|k|_g^2+(\operatorname{tr}^gk)^2\Big)\\
\overline{G}(\nu,\cdot)&=d(\operatorname{tr}^gk)-\operatorname{div}^gk.
\end{align}
여기서 는 의 아인슈타인 텐서 를 나타내고 는 를 정의하는 데 사용된 를 따른 연속 단위 법선 벡터장을 나타낸다. 따라서 위에서 주어진 지배 에너지 조건은 이 로렌츠 맥락에서, 이 를 따르는 벡터장으로 보았을 때 시간꼴이거나 널이고 와 같은 방향으로 향한다는 주장과 동일하다.

## 점근적으로 평탄한 초기 데이터 집합의 끝
문헌에는 서로 동등하지 않은 "점근적으로 평탄한" 개념이 여러 가지 있다. 일반적으로 가중 횔더 공간 또는 가중 소볼레프 공간으로 정의된다.

그러나 거의 모든 접근 방식에 공통적인 몇 가지 특징이 있다. 경계가 있거나 없을 수 있는 초기 데이터 집합 을 고려한다. 그 차원을 으로 나타낸다. 의 콤팩트 부분 집합 가 존재하여 여집합 의 각 연결 성분이 유클리드 공간 의 닫힌 공의 여집합과 미분동형임을 요구한다. 이러한 연결 성분은 의 **[[끝 (위상수학)|끝]]**이라고 불린다.

## 형식적인 진술
### 쇤과 야우 (1979)
지배 에너지 조건을 만족하는 시간 대칭 초기 데이터 집합 을 가정하자. 는 경계가 있는 3차원 부드러운 리만 다양체이며, 각 경계 성분은 양의 평균 곡률을 가진다고 가정하자. 하나의 끝을 가지고 있으며 다음 의미에서 점근적으로 슈바르츠실트라고 가정하자.

쇤과 야우의 정리는 이 음이 아니어야 한다고 주장한다. 또한, 어떤 i,j,p,q,r,s,t,에 대해서도 함수 |x|^5\partial_p\partial_q\partial_rh_{ij}(x), |x|^5\partial_p\partial_q\partial_r\partial_sh_{ij}(x), 및 |x|^5\partial_p\partial_q\partial_r\partial_s\partial_th_{ij}(x)가 유계인 경우, 의 경계가 비어 있고 가 표준 리만 계량을 가진 과 등거리일 때를 제외하고는 은 양수여야 한다.

에 대한 조건은 가 클 때 와 그 일부 도함수들이 작다는 것을 주장한다. 는 좌표 에서 와 슈바르츠실트 계량의  단면의 표준 표현 사이의 결함을 측정하므로, 이러한 조건은 "점근적으로 슈바르츠실트"라는 용어의 정량화이다. 이것은 순전히 수학적인 의미에서 "점근적으로 평탄한" 강력한 형태로 해석될 수 있으며, 계량의 확장 중  부분의 계수가 일반적인 대칭 2-텐서가 아닌 유클리드 계량의 상수배로 선언된다.

또한, 위에서 언급된 쇤과 야우의 정리는 (겉보기와 달리) "다중 끝" 사례의 강력한 형태이다. 가 다중 끝을 가진 완전한 리만 다양체인 경우, 다른 모든 끝에 양의 평균 곡률 구가 있다면 위 결과는 어떤 단일 끝에도 적용된다. 예를 들어, 각 끝이 위와 같은 의미에서 점근적으로 평탄한 경우 이는 보장된다. 큰 좌표 구를 경계로 선택하고, 단일 끝을 가진 경계가 있는 리만 다양체를 가질 때까지 각 끝의 해당 나머지를 제거할 수 있다.

### 쇤과 야우 (1981)
지배 에너지 조건을 만족하는 초기 데이터 집합 을 가정하자. 는 경계가 없는 3차원 매끄러운 완전 리만 다양체이며, 유한 개의 끝을 가지고 있으며, 각각은 다음 의미에서 점근적으로 평탄하다고 가정하자.

K\subset M는 열린 전콤팩트 부분집합이며, M\smallsetminus K는 유한 개의 연결 성분 M_1,\ldots,M_n,을 가지고, 각 i=1,\ldots,n에 대해 대칭 2-텐서 h_{ij}=(\Phi^\ast g)_{ij}-\delta_{ij}가 다음 조건을 만족하는 미분동형사상 \Phi_i:\mathbb{R}^3\smallsetminus B_1(0)\to M_i가 존재한다고 가정하자.
* |x|h_{ij}(x), |x|^2\partial_ph_{ij}(x), 및 |x|^3\partial_p\partial_qh_{ij}(x)는 모든 i,j,p,q에 대해 유계이다.
또한 다음을 가정하자.
* |x|^4 R^{\Phi_i^\ast g} 및 |x|^5 \partial_pR^{\Phi_i^\ast g}는 어떤 p에 대해서도 유계이다.
* |x|^2(\Phi_i^\ast k)_{ij}(x), |x|^3\partial_p(\Phi_i^\ast k)_{ij}(x), 및 |x|^4\partial_p\partial_q (\Phi_i^\ast k)_{ij}(x)는 어떤 p,q,i,j에 대해서도 유계이다.
* |x|^3 ((\Phi_i^\ast k)_{11}(x)+(\Phi^\ast k)_{22}(x)+(\Phi_i^\ast k)_{33}(x))는 유계이다.
결론은 각 M_1,\ldots,M_n,의 ADM 에너지로서
: \text{E}(M_i)=\frac{1}{16\pi}\lim_{r\to\infty}\int_{|x|=r}\sum_{p=1}^3\sum_{q=1}^3\big(\partial_q(\Phi_i^\ast g)_{pq}-\partial_p(\Phi_i^\ast g)_{qq}\big)\frac{x^p}\,d\mathcal{H}^2(x),
이 음이 아니라는 것이다. 더욱이, 다음을 추가로 가정하면
* |x|^4\partial_p\partial_q\partial_r h_{ij}(x) 및 |x|^4\partial_p\partial_r\partial_s\partial_t h_{ij}(x)는 어떤 i,j,p,q,r,s,에 대해서도 유계이다.
어떤 i\in\{1,\ldots,n\}에 대해 \text{E}(M_i)=0이라는 가정은 을 의미하며, 은 과 미분동형이고, 민코프스키 공간 은 초기 데이터 집합 의 발전이다.

### 위튼 (1981)
(M,g)를 경계가 없는 3차원 매끄러운 완전 리만 다양체라고 하자. k를 M 위의 매끄러운 대칭 2-텐서라고 하자.
: R^g-|k|_g^2+(\operatorname{tr}_gk)^2\geq 2\big|\operatorname{div}^gk-d(\operatorname{tr}_gk)\big|_g.
K\subset M는 열린 전콤팩트 부분집합이며, M\smallsetminus K는 유한 개의 연결 성분 M_1,\ldots,M_n,을 가지고, 각 \alpha=1,\ldots,n에 대해 대칭 2-텐서 h_{ij}=(\Phi^\ast_\alpha g)_{ij}-\delta_{ij}가 다음 조건을 만족하는 미분동형사상 \Phi_\alpha:\mathbb{R}^3\smallsetminus B_1(0)\to M_i가 존재한다고 가정하자.
* |x|h_{ij}(x), |x|^2\partial_ph_{ij}(x), 및 |x|^3\partial_p\partial_qh_{ij}(x)는 모든 i,j,p,q에 대해 유계이다.
* |x|^2(\Phi_\alpha^\ast k)_{ij}(x) 및 |x|^3\partial_p(\Phi_\alpha^\ast k)_{ij}(x),는 모든 i,j,p에 대해 유계이다.
각 \alpha=1,\ldots,n,에 대해 ADM 에너지와 선형 운동량을 다음으로 정의한다.
: \text{E}(M_\alpha)=\frac{1}{16\pi}\lim_{r\to\infty}\int_{|x|=r}\sum_{p=1}^3\sum_{q=1}^3\big(\partial_q(\Phi_\alpha^\ast g)_{pq}-\partial_p(\Phi_\alpha^\ast g)_{qq}\big)\frac{x^p}\,d\mathcal{H}^2(x),
: \text{P}(M_\alpha)_p=\frac{1}{8\pi}\lim_{r\to\infty}\int_{|x|=r}\sum_{q=1}^3\big((\Phi_\alpha^\ast k)_{pq}-\big((\Phi_\alpha^\ast k)_{11}+(\Phi_\alpha^\ast k)_{22}+(\Phi_\alpha^\ast k)_{33}\big)\delta_{pq}\big)\frac{x^q}\,d\mathcal{H}^2(x).
각 \alpha=1,\ldots,n,에 대해 이것을 민코프스키 공간의 벡터 (\text{P}(M_\alpha)_1,\text{P}(M_\alpha)_2,\text{P}(M_\alpha)_3,\text{E}(M_\alpha))로 간주한다. 위튼의 결론은 각 \alpha에 대해 이것이 반드시 미래를 향하는 비공간꼴 벡터라는 것이다. 만약 이 벡터가 어떤 \alpha에 대해 0이면, n=1, M은 \mathbb{R}^3과 미분동형이며, 초기 데이터 집합 (M,g,k)의 극대 전역 쌍곡선 발전은 곡률이 0이다.

### 확장 및 비고
위 진술에 따르면 위튼의 결론은 쇤과 야우의 결론보다 강력하다. 그러나 쇤과 야우의 세 번째 논문은 그들의 1981년 결과가 위튼의 결과를 의미함을 보여주며, |x|^4 R^{\Phi_i^\ast g}와 |x|^5 \partial_pR^{\Phi_i^\ast g}가 어떤 p에 대해서도 유계라는 추가 가정만 유지한다. 또한 쇤과 야우의 1981년 결과는 모순에 의해 증명된 그들의 1979년 결과에 의존한다. 따라서 그들의 1981년 결과의 확장도 모순에 의한 것이다. 대조적으로, 위튼의 증명은 논리적으로 직접적이며, ADM 에너지를 직접적으로 음이 아닌 양으로 보여준다. 더욱이, \operatorname{tr}_gk=0의 경우 위튼의 증명은 다양체가 스핀 구조를 허용한다는 위상학적 조건 하에 고차원 다양체로 큰 노력 없이 확장될 수 있다. 쇤과 야우의 1979년 결과와 증명은 8차원 미만의 어떤 차원의 경우로 확장될 수 있다. 더 최근에는 쇤과 야우(1981)의 방법을 사용하여 위튼의 결과가 동일한 맥락으로 확장되었다. 요약하자면, 쇤과 야우의 방법을 따르면 양의 에너지 정리는 8차원 미만에서 증명되었고, 위튼의 방법을 따르면 어떤 차원에서든 스핀 다양체의 설정에 제한적으로 증명되었다.

2017년 4월, 쇤과 야우는 \operatorname{tr}_gk=0,의 특별한 경우에 차원이나 위상에 대한 어떤 제한 없이 일반적인 고차원 사례를 증명하는 예비 논문을 발표했다. 그러나 (2020년 5월 기준) 아직 학술지에 게재되지 않았다.

## 응용
* 1984년에 쇤은 야마베 문제의 해결을 완성한 자신의 작업에서 양의 질량 정리를 사용했다.
* 양의 질량 정리는 휴버트 브레이의 리만 펜로즈 부등식 증명에 사용되었다.

## 같이 보기
* 허무의 거품

## 각주

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;교과서
* Choquet-Bruhat, Yvonne. General relativity and the Einstein equations. Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press, Oxford, 2009. xxvi+785 pp. 
* Wald, Robert M. General relativity. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1984. xiii+491 pp. 

분류:일반 상대성이론