자유 입자

물리학에서 **자유 입자**()는 어떤 의미에서 외부 힘에 묶여 있지 않거나, 동등하게 위치 에너지가 변하는 영역에 있지 않은 입자이다. 고전물리학에서는 이는 입자가 "장(field)이 없는" 공간에 존재함을 의미한다. 양자역학에서는 이는 입자가 균일한 전위 영역에 있음을 의미하며, 이 전위는 관심 영역에서 일반적으로 0으로 설정된다. 이는 전위를 공간의 어떤 지점에서든 임의로 0으로 설정할 수 있기 때문이다.

## 고전 자유 입자
고전 자유 입자는 고정된 속도 v로 특징지어진다. 질량 m인 입자의 운동량은 p=mv로 주어지며, 운동 에너지(총 에너지와 같음)는 E=\frac{1}{2}mv^2=\frac{p^2}{2m}이다.

## 양자 자유 입자
[290px|right|섬네일|1차원에서 [물질파|드브로이 파동의 전파 - 복소수 진폭의 실수부는 파란색, 허수부는 녹색이다. 주어진 점 x에서 입자를 찾을 확률(색상 투명도로 표시)은 파형처럼 퍼져 있으며, 입자의 확정적인 위치는 없다. 진폭이 0보다 커지면 곡률이 감소하므로 다시 감소하고 그 반대도 마찬가지이다. 결과는 교번하는 진폭, 즉 파동이다. 위: 평면파. 아래: 확률파동.]]

### 수학적 설명

비상대론적 양자역학에서 질량 m을 가진 자유 입자는 자유 슈뢰딩거 방정식으로 기술된다:
 - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \ \psi(\mathbf{r}, t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi (\mathbf{r}, t) 

여기서 ψ는 위치 **r** 및 시간 t에서의 입자의 파동함수이다. 운동량 **p** 또는 파수 벡터 **k**, 각진동수 ω 또는 에너지 E를 가진 입자의 해는 복소수 평면파로 주어진다:

 \psi(\mathbf{r}, t) = Ae^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)} = Ae^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r} - E t)/\hbar} 

진폭 A를 가지며 질량에 따라 두 가지 다른 규칙을 따른다:

 입자가 질량 m을 가지는 경우: \omega = \frac{\hbar k^2}{2m}  (또는 동등하게 E = \frac{p^2}{2m} ). 
 입자가 질량 없는 입자인 경우: \omega=kc.


고유값 스펙트럼은 무한히 퇴화되어 있는데, 각 고유값 E>0에 대해 \mathbf{p}의 다른 방향에 해당하는 무한한 수의 고유함수가 존재하기 때문이다.

드 브로이 관계식:  \mathbf{p} = \hbar \mathbf{k},  E = \hbar \omega가 적용된다. 위치 에너지는 (0으로) 설정되어 있으므로, 총 에너지 E는 운동 에너지와 같으며, 이는 고전 물리학과 동일한 형태를 갖는다:

 E = T \,\rightarrow \,\frac{\hbar^2 k^2}{2m} =\hbar \omega 

자유 입자든 구속된 입자든 모든 양자 입자에 대해 하이젠베르크 불확정성 원리  \Delta p_x \Delta x \geq \frac{\hbar}{2}가 적용된다. 평면파가 확정된 운동량(확정된 에너지)을 가지므로, 입자의 위치를 찾을 확률은 공간 전체에 걸쳐 균일하고 무시할 만하다는 것이 분명하다. 다시 말해, 파동 함수는 유클리드 공간에서 정규화할 수 없으며, 이러한 정상 상태는 물리적으로 실현 가능한 상태에 해당할 수 없다.

### 측정 및 계산
파동 함수의 정규화 조건은 파동 함수가 양자 상태 공간에 속한다면
\psi \in L^2(\mathbb{R}^3),
그렇다면 확률 밀도 함수의 적분은
 \rho(\mathbf{r},t) = \psi^*(\mathbf{r},t)\psi(\mathbf{r},t) = |\psi(\mathbf{r},t)|^2,

여기서 *는 켤레 복소수를 나타내며, 전체 공간에 대한 적분은 입자를 전체 공간에서 찾을 확률이며, 입자가 존재한다면 1이 되어야 한다:
 \int_{\mathbb{R}^3} |\psi(\mathbf{r},t)|^2 d^3 \mathbf{r}=1.
평면파 해로 주어지는 자유 입자의 상태는 정규화할 수 없다.
Ae^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)} \notin L^{2}(\mathbb{R}^3),
고정된 시간 t에 대해. 그러나 확률파동을 사용하면 상태를 정규화할 수 있는 함수로 표현할 수 있다.

### 확률파동

푸리에 역변환 정리를 사용하여 자유 입자 파동 함수는 운동량 고유 함수의 중첩, 즉 확률파동으로 표현될 수 있다:
 \psi(\mathbf{r}, t) =\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^3} \int_\mathrm{all \, \mathbf{k} \, space} \hat \psi_0 (\mathbf{k})e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega(\mathbf{k}) t)} d^3 \mathbf{k},
여기서
 \omega(\mathbf{k}) = \frac{\hbar \mathbf{k}^2}{2m},
그리고 \hat \psi_0 (\mathbf{k})는 "충분히 좋은" 초기 파동 함수 \psi(\mathbf{r},0)의 푸리에 변환이다.

복소 평면파에 대한 운동량 **p**의 기댓값은

 \langle\mathbf{p}\rangle=\left\langle \psi \left|-i\hbar\nabla\right|\psi\right\rangle = \hbar\mathbf{k} ,

그리고 일반적인 확률파동에 대한 기댓값은

 \langle\mathbf{p}\rangle = \int_\mathrm{all\,space} \psi^*(\mathbf{r},t)(-i\hbar\nabla)\psi(\mathbf{r},t) d^3 \mathbf{r} = \int_\mathrm{all \, \textbf{k} \, space} \hbar \mathbf{k} |\hat\psi_0(\mathbf{k})|^2 d^3 \mathbf{k}. 

에너지 E의 기댓값은

 \langle E\rangle=\left\langle \psi \left|- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \right|\psi\right\rangle = \int_\text{all space} \psi^*(\mathbf{r},t)\left(- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \right)\psi(\mathbf{r},t) d^3 \mathbf{r} .

### 군속도와 위상속도
섬네일|right|확률파동의 전파와 보라색으로 음영 처리된 단일 봉우리의 움직임. 봉우리는 위상속도로 움직이는 반면, 전체 확률파동은 군속도로 움직인다.
위상속도는 평면파 해가 전파되는 속도로 정의된다.

 v_p=\frac{\omega}{k}=\frac{\hbar k}{2m} = \frac{p}{2m}. 

\frac{p}{2m}는 운동량 p를 가진 고전 입자의 속도가 아니라, 고전 속도의 절반이다.

한편, 초기 파동 함수 \psi_0가 푸리에 변환 \hat\psi_0이 특정 파수 벡터 \mathbf k 근처에 집중된 확률파동이라고 가정해 보자. 그러면 평면파의 군속도는 다음과 같이 정의된다.
 v_g= \nabla\omega(\mathbf k)=\frac{\hbar\mathbf k}{m}=\frac{\mathbf p}{m},

이는 입자의 고전적 속도 공식과 일치한다. 군속도는 전체 확률파동이 전파되는 (근사적인) 속도인 반면, 위상속도는 확률파동 내 개별 봉우리가 움직이는 속도이다. 그림은 이 현상을 설명하며, 확률파동 내의 개별 봉우리가 전체 확률파동 속도의 절반으로 전파되는 것을 보여준다.

### 확률파동의 퍼짐
군속도의 개념은 특정 k 값 근처에서 분산 관계 \omega(k)에 대한 선형 근사를 기반으로 한다. 이 근사에서 확률파동의 진폭은 모양을 바꾸지 않고 군속도와 같은 속도로 움직인다. 이 결과는 자유 양자 입자의 진화에서 특정 흥미로운 측면을 포착하지 못하는 근사치이다. 특히, 위치의 불확정성에 의해 측정되는 확률파동의 폭은 오랜 시간 동안 시간에 선형적으로 증가한다. 이 현상을 자유 입자에 대한 확률파동의 퍼짐이라고 한다.

특히, 시간의 함수로서 불확정성 \Delta_{\psi(t)}X에 대한 정확한 공식을 계산하는 것은 어렵지 않다. 여기서 X는 위치 연산자이다. 단순화를 위해 1차원 공간에서 작업하면 다음과 같다.
(\Delta_{\psi(t)}X)^2 = \frac{t^2}{m^2}(\Delta_{\psi_0}P)^2+\frac{2t}{m}\left(\left\langle \tfrac{1}{2}({XP+PX})\right\rangle_{\psi_0} - \left\langle X\right\rangle_{\psi_0} \left\langle P\right\rangle_{\psi_0} \right)+(\Delta_{\psi_0}X)^2,
여기서 \psi_0는 시간 0의 파동 함수이다. 우변의 두 번째 항 괄호 안의 표현은 X와 P의 양자 공분산이다.

따라서 양의 큰 시간 동안 X의 불확정성은 선형적으로 증가하며, t의 계수는 (\Delta_{\psi_0}P)/m과 같다. 초기 파동 함수 \psi_0의 운동량이 고도로 국소화되어 있다면, 확률파동은 천천히 퍼지고 군속도 근사는 오랜 시간 동안 잘 유지될 것이다. 직관적으로 이 결과는 초기 파동 함수가 매우 명확하게 정의된 운동량을 가지고 있다면, 입자는 명확하게 정의된 속도를 가지며 오랜 시간 동안 이 속도로 (좋은 근사치로) 전파될 것이라는 것을 의미한다.

## 상대론적 양자 자유 입자

상대론적 입자를 기술하는 여러 방정식이 있다: 상대론적 파동 방정식을 참조하라.

## 같이 보기
* 확률파동
* 군속도
* 상자 속 입자
* 유한 사각 우물
* 델타 퍼텐셜

## 내용주

## 각주
* 
* 
* Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, 
* Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles (2nd Edition), R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, 
* Stationary States, A. Holden, College Physics Monographs (USA), Oxford University Press, 1971, 
*
* Quantum Mechanics Demystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, 
* Elementary Quantum Mechanics, N.F. Mott, Wykeham Science, Wykeham Press (Taylor & Francis Group), 1972, 
* Quantum mechanics, E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum's Outlines, Mc Graw Hill (USA), 1998, 

## 추가 자료
* The New Quantum Universe, T.Hey, P.Walters, Cambridge University Press, 2009, .
* Quantum Field Theory, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2008, 
* Quantum mechanics, E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum's Easy Outlines Crash Course, Mc Graw Hill (USA), 2006, 

분류:고전역학
분류:양자 모형
분류:물리학 개념