양자 비국소성

이론물리학에서 **양자 비국소성**()은 국소적 실재론으로 해석될 수 없는 다중 양자 시스템의 측정 통계를 나타내는 현상이다. 양자 비국소성은 다양한 물리적 가정 하에 실험적으로 검증되었다.

양자 비국소성은 초광속 통신을 허용하지 않으므로, 특수 상대성이론과 객체에 대한 보편적인 속도 한계와 양립한다. 따라서 양자 이론은 특수 상대성이론에 의해 정의된 엄격한 의미에서 국소적이며, 따라서 "양자 비국소성"이라는 용어는 때때로 오명으로 간주된다. 그럼에도 불구하고 양자 이론과 관련된 많은 기초적인 논의를 촉발한다.

## 역사
### 아인슈타인, 포돌스키, 로젠

1935년 EPR 논문에서, 알베르트 아인슈타인, 보리스 포돌스키 및 네이선 로젠은 양자 이론의 직접적인 결과로 "공간적으로 분리되어 있으면서도 완벽하게 상관된 위치와 운동량을 가진 두 입자"를 설명했다. 그들은 양자 파동 함수가 현실의 완전한 설명이라는 생각에 도전하기 위해 고전적인 국소성의 원리를 사용하려고 했지만, 대신 현실의 본질에 대한 논쟁을 촉발했다.

그 후 아인슈타인은 에르빈 슈뢰딩거에게 보낸 편지에서 이러한 아이디어의 변형을 제시했는데, 이것이 여기서 제시된 버전이다. 여기에 사용된 상태와 표기법은 더욱 현대적이며 데이비드 봄의 EPR 해석과 유사하다. 측정 전 두 입자의 양자 상태는 다음과 같이 쓸 수 있다.
\left|\psi_{AB}\right\rang =\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\left|0\right\rang_A \left|1\right\rang_B -
\left|1\right\rang_A  \left|0\right\rang_B \right)
=\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\left|-\right\rang_A \left|+\right\rang_B -
\left|+\right\rang_A \left|-\right\rang_B \right)  
여기서 \left|\pm\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|0\right\rangle\pm\left|1\right\rangle\right).

여기서 아래첨자 "A"와 "B"는 두 입자를 구분하지만, 이 입자를 앨리스와 밥이라는 두 실험자가 소유하고 있다고 언급하는 것이 더 편리하고 일반적이다. 양자 이론의 규칙은 실험자가 수행하는 측정 결과에 대한 예측을 제공한다. 예를 들어, 앨리스는 측정의 50% 평균에서 자신의 입자가 z 방향으로 스핀업될 것이라고 측정할 것이다. 그러나 교과서적인 양자 역학에 따르면, 앨리스의 측정은 두 입자의 상태를 붕괴시키므로, 앨리스가 기저 \{\left|0\right\rang_A, \left|1\right\rang_A\} 에 대해 z 방향으로 스핀을 측정하면 밥의 시스템은 \{\left|0\right\rang_B, \left|1\right\rang_B\}  상태 중 하나로 남는다. 마찬가지로, 앨리스가 기저 \{\left|+\right\rang_A, \left|-\right\rang_A\} 에 대해 x 방향으로 스핀을 측정하면 밥의 시스템은 \{\left|+\right\rang_B, \left|-\right\rang_B\}  상태 중 하나로 남는다. 슈뢰딩거는 이 현상을 "스티어링"이라고 불렀다. 이 스티어링은 그러한 상태 업데이트를 수행하여 신호를 보낼 수 없도록 발생한다. 양자 비국소성은 메시지를 즉시 보내는 데 사용될 수 없으므로 특수 상대성이론의 인과율 문제와 직접적인 충돌이 없다.

이 실험에 대한 정통적인 관점에서는 앨리스의 측정, 특히 그녀의 측정 선택이 밥의 상태에 직접적인 영향을 미친다. 그러나 국소성 가설 하에서는 앨리스의 시스템에 대한 행동이 밥의 시스템의 "진정한" 또는 "존재론적" 상태에 영향을 미치지 않는다. 밥의 시스템의 존재론적 상태는 양자 상태 \left|\uparrow\right\rang_B 또는 \left|\downarrow\right\rang_B  중 하나와 양립해야 한다. 왜냐하면 앨리스는 그러한 상태 중 하나가 그의 시스템의 양자적 설명이 되도록 결론을 내릴 수 있는 측정을 할 수 있기 때문이다. 동시에, 같은 이유로 양자 상태 \left|\leftarrow\right\rang_B 또는 \left|\rightarrow\right\rang_B  중 하나와도 양립해야 한다. 그러므로 밥의 시스템의 존재론적 상태는 적어도 두 개의 양자 상태와 양립해야 한다. 따라서 양자 상태는 그의 시스템의 완전한 서술자가 아니다. 아인슈타인, 포돌스키, 로젠은 이러한 국소성 가정 하에서 파동 함수가 양자 시스템의 완전한 설명이 아니기 때문에 이것을 양자 이론의 불완전성에 대한 증거로 보았다. 그들의 논문은 다음과 같이 결론짓는다:

여러 저자들(특히 닐스 보어)이 EPR 논문의 모호한 용어를 비판했지만, 이 사고 실험은 많은 관심을 불러일으켰다. 그들의 "완전한 설명" 개념은 나중에 측정 결과의 통계를 결정하지만 관찰자는 접근할 수 없는 숨은 변수의 제안으로 형식화되었다. 봄 역학은 숨은 변수를 도입하여 양자 역학을 완성하지만, 이 이론은 명시적으로 비국소적이다. 따라서 이 해석은 아인슈타인의 질문에 답을 주지 못했는데, 그 질문은 "국소 작용의 원리"에 따라 국소적 숨은 변수 관점에서 양자 역학의 완전한 설명을 줄 수 있는지 여부였다.

### 벨 부등식

1964년 존 스튜어트 벨은 그러한 국소적 숨은 변수로는 양자 이론이 예측하는 통계적 결과의 전체 범위를 결코 재현할 수 없음을 보여줌으로써 아인슈타인의 질문에 답했다. 벨은 국소적 숨은 변수 가설이 측정 결과의 상관 강도에 제한을 가한다는 것을 보여주었다. 양자 역학이 예측하는 대로 벨 부등식이 실험적으로 위반되면, 현실은 국소적 숨은 변수로 설명될 수 없으며, 양자 비국소적 인과관계의 미스터리는 남는다. 그러나 벨은 봄의 비국소적 숨은 변수 모델은 다르다고 언급한다.

클라우저, 혼, 시모니 및 홀트(CHSH)는 이러한 부등식을 실험적 검증에 더 적합한 방식으로 재구성했다 (CHSH 부등식 참조).

벨이 제안한 시나리오(벨 시나리오)에서 두 실험가, 앨리스와 밥은 서로 다른 연구실에서 실험을 수행한다. 각 실행에서 앨리스(밥)는 자신의 연구실에서 실험 x   (y) 를 수행하여 결과 a (b) 를 얻는다. 앨리스와 밥이 여러 번 실험을 반복하면, 확률 P(a,b|x,y) , 즉 앨리스와 밥이 각각 실험 x,y를 수행했을 때 결과 a, b를 관찰할 확률을 추정할 수 있다. 다음에서는 각 확률 집합 \{P(a,b|x,y):a,b,x,y\}를 P(a,b|x,y) 로만 나타낸다. 양자 비국소성 속어에서는 P(a,b|x,y) 를 상자(box)라고 부른다.

벨은 각 시스템의 측정 결과를 국소적으로 특징짓는 매개변수 \lambda 를 도입하여 숨은 변수 개념을 공식화했다. " λ가 단일 변수이든 집합이든... 변수가 이산적이든 연속적이든 상관없다." 그러나 \lambda 를 앨리스와 밥이 실험 설정을 재부팅할 때 어떤 확률 \rho(\lambda) 로 발생하는 국소적 "전략" 또는 "메시지"로 생각하는 것이 더 동등하고 직관적이다. 벨의 국소적 인과관계 가정은 앨리스가 실험 x를 수행하고 밥이 실험  각 국소적 전략이 독립적인 결과의 분포를 정의한다고 규정한다.

 P(a,b|x,y,\lambda_A,\lambda_B)=P_A(a|x,\lambda_A) P_B(b|y,\lambda_B)

여기서 P_A(a|x, \lambda_A) (P_B(b|y, \lambda_B))는 앨리스(밥)가 실험 x  (y) 를 수행하고 그녀(그의) 실험을 설명하는 국소 변수가 \lambda_A (\lambda_B) 값을 가질 때 결과 a  (b) 를 얻을 확률을 나타낸다.

\lambda_A,\lambda_B가 어떤 집합 \Lambda에서 값을 취할 수 있다고 가정하자. 만약 \lambda_A,\lambda_B\in\Lambda의 각 값 쌍이 선택될 확률 \rho(\lambda_A,\lambda_B)를 가진다면 (공유된 무작위성, 즉 \lambda_A,\lambda_B가 상관될 수 있음), 이 분포에 대해 평균을 취하여 각 측정 결과의 결합 확률에 대한 공식을 얻을 수 있다.

P(a,b|x,y) =\sum_{\lambda_A,\lambda_B\in\Lambda}\rho(\lambda_A,\lambda_B)P_A(a|x,\lambda_A) P_B(b|y,\lambda_B) 

이러한 분해를 허용하는 상자를 벨 국소(Bell local) 또는 고전적 상자(classical box)라고 한다. a,b,x,y가 각각 취할 수 있는 가능한 값의 수를 고정하면, 각 상자 P(a,b|x,y) 를 \left(P(a,b|x,y)\right)_{a,b,x,y} 엔트리를 가진 유한 벡터로 나타낼 수 있다. 이 표현에서 모든 고전적 상자들의 집합은 볼록 다포체를 형성한다.
CHSH에 의해 연구된 벨 시나리오에서, a,b,x,y는 {0,1} 내에서 값을 취할 수 있으며, 모든 벨 국소 상자 P(a,b|x,y)는 CHSH 부등식을 만족해야 한다.

S_{\rm CHSH}\equiv E(0,0)+E(1,0)+E(0,1)-E(1,1)\leq 2,

여기서
E(x,y)\equiv\sum_{a,b=0,1}(-1)^{a+b}P(a,b|x,y).

위의 고려 사항은 양자 실험을 모델링하는 데 적용된다. 양자 시스템에 대한 국소적 편광 측정을 수행하는 두 당사자를 고려해 보자. 광자의 편광에 대한 측정 결과는 두 값 중 하나를 취할 수 있다(비공식적으로, 광자가 그 방향으로 편광되었는지 아니면 직교 방향으로 편광되었는지). 각 당사자가 두 가지 다른 편광 방향 중에서 선택할 수 있다면, 이 실험은 CHSH 시나리오에 적합하다. CHSH가 언급했듯이, S_{\rm CHSH} 값이 2\sqrt{2}\approx 2.828과 같은 상자 P(a,b|x,y)를 생성하는 양자 상태와 편광 방향이 존재한다. 이는 국소적인 존재론적 상태, 국소적인 측정, 그리고 오직 국소적인 작용만을 가진 이론이 양자 이론의 확률론적 예측과 일치할 수 없는 명시적인 방법을 보여주며, 아인슈타인의 가설을 반증한다. 알랭 아스페와 같은 실험가들은 CHSH 부등식뿐만 아니라 벨 부등식의 다른 공식에 대한 양자 위반을 검증하여 국소적 숨은 변수 가설을 무효화하고 현실이 EPR 의미에서 실제로 비국소적임을 확인했다.

## 가능론적 비국소성
벨의 증명은 확률적이다. 즉, 양자 역학이 일부 얽힌 시나리오에 대해 예측하는 정확한 확률이 국소적 숨은 변수 이론에 의해 충족될 수 없음을 보여준다. (줄여서, 여기 그리고 이후에는 "국소 이론"은 "국소적 숨은 변수 이론"을 의미한다) 그러나 양자 역학은 국소 이론에 대한 훨씬 더 강력한 위반, 즉 가능론적 위반을 허용한다. 이는 국소 이론이 얽힌 시나리오에서 어떤 사건이 가능한지 또는 불가능한지에 대해 양자 역학과조차 일치할 수 없다는 것을 의미한다. 이러한 종류의 첫 번째 증명은 1993년 대니얼 그린버거, 마이클 혼, 안톤 차일링거에 의해 이루어졌다. 관련된 상태는 종종 GHZ 상태라고 불린다.

1993년, 뤼시앵 아르디는 GHZ 증명과 마찬가지로 가능성 증명인 양자 비국소성의 논리적 증명을 시연했다. 이 증명은 아래에 정의된 상태 \left| \psi\right\rangle 가 몇 가지 시사하는 방식으로 작성될 수 있다는 관찰에서 시작한다.
\left|\psi\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\left|00\right\rangle+\left|01\right\rangle+\left|10\right\rangle\right)=
\frac{1}\sqrt{3}\left(\sqrt{2}\left|+0\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|+1\right\rangle+\left|-1\right\rangle\right)\right)=
\frac{1}\sqrt{3}\left(\sqrt{2}\left|0+\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|1+\right\rangle+\left|1-\right\rangle\right)\right)
여기서 위와 같이 |\pm\rangle=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(\left|0\right\rangle\pm\left|1\right\rangle)이다.

실험은 이 얽힌 상태가 두 실험자 사이에 공유되는 것으로 구성되며, 각 실험자는 기저 \{\left|0\right\rangle,\left|1\right\rangle\} 또는 \{\left|+\right\rangle,\left|-\right\rangle\}에 대해 측정할 수 있다. 그들이 각각 \{\left|0\right\rangle,\left|1\right\rangle\}에 대해 측정하면, 그들은 결코 \left|11\right\rangle 결과를 보지 못한다. 한쪽이 \{\left|0\right\rangle,\left|1\right\rangle\}에 대해 측정하고 다른 한쪽이 \{\left|+\right\rangle,\left|-\right\rangle\}에 대해 측정하면, 그들은 결코 \left|-0\right\rangle, \left|0-\right\rangle 결과를 보지 못한다. 그러나 때로는 \{\left|+\right\rangle,\left|-\right\rangle\}에 대해 측정할 때 \left|--\right\rangle 결과를 보는데, 이는 \langle--|\psi\rangle = -\tfrac{1}{2\sqrt3} \ne 0.이기 때문이다.

이것은 역설로 이어진다. |--\rangle이라는 결과를 얻었을 때, 만약 실험자 중 한 명이 대신 \{\left|0\right\rangle,\left|1\right\rangle\} 기저에 대해 측정했다면, 결과는 |{-}1\rangle 또는 |1-\rangle였을 것이라고 결론 내린다. 왜냐하면 |{-}0\rangle와 |0-\rangle는 불가능하기 때문이다. 그러나 그들이 둘 다 \{\left|0\right\rangle,\left|1\right\rangle\} 기저에 대해 측정했다면, 국소성에 의해 결과는 \left|11\right\rangle였어야 하는데, 이것 또한 불가능하다.

## 유한 전파 속도를 가진 비국소 숨은 변수 모델
Bancal et al.의 연구는 유한한 속도(초광속일 수도 있음)로 전파되는 영향이 양자 상관관계를 설명할 수 있는지 여부를 연구한다. 이분 실험의 경우, 신호가 허용되지 않더라도 상관관계는 항상 유한하지만 초광속의 숨겨진 영향으로 설명될 수 있다. 이 시나리오에서는 벨 비국소성을 드러내는 모든 이분 실험은 숨겨진 영향의 전파 속도에 대한 하한만을 제공할 수 있다. 그러나 세 개 이상의 당사자가 참여하는 특정 실험은 신호를 발생시키거나(즉, 영향이 더 이상 숨겨질 수 없음) 양자 상관관계를 설명하는 모든 유한 속도 인과적 영향을 배제한다.

## 더 복잡한 인과 구조에서의 벨 정리의 유추
섬네일|right|간단한 베이즈 네트워크. 비는 스프링클러 활성화 여부에 영향을 미치고, 비와 스프링클러 모두 잔디가 젖는지 여부에 영향을 미친다.

일반적인 실험에서 측정된 무작위 변수들은 복잡한 방식으로 서로 의존할 수 있다. 인과 추론 분야에서는 이러한 의존성을 베이즈 네트워크로 표현한다. 베이즈 네트워크는 각 노드가 변수를 나타내고, 한 변수에서 다른 변수로의 엣지가 전자가 후자에게 영향을 미치고 그 반대는 아님을 나타내는 유향 비순환 그래프이다. 그림을 참조하라.
표준 이분 벨 실험에서 앨리스(밥)의 설정 x (y)는 그녀(그의) 국소 변수 \lambda_A (\lambda_B)와 함께 그녀(그의) 국소 결과 a (b)에 영향을 미친다. 따라서 벨의 정리는 숨겨진 노드 (\lambda_A,\lambda_B)가 하나만 있는 인과 구조 유형에서 양자 및 고전적 예측 간의 분리로 해석될 수 있다. 유사한 분리는 다른 유형의 인과 구조에서도 확립되었다. 이러한 확장된 벨 시나리오에서 고전적 상관관계의 경계를 특성화하는 것은 어렵지만, 이를 달성하기 위한 완전한 실용적 계산 방법이 존재한다.

## 얽힘과 비국소성

양자 비국소성은 때때로 얽힘과 동등하게 이해되지만, 이것은 사실이 아니다. 양자 얽힘은 양자 역학의 형식론 내에서만 정의될 수 있으며, 즉 모델 의존적 속성이다. 이와 대조적으로, 비국소성은 관찰된 통계를 국소적 숨은 변수 모델로 설명하는 것이 불가능함을 의미하므로, 실험을 설명하는 데 사용되는 물리적 모델에 독립적이다.

모든 순수 얽힌 상태에 대해 벨 비국소적 상관관계를 생성하는 측정 선택이 존재한다는 것은 사실이지만, 혼합 상태의 경우는 더 복잡하다. 모든 벨 비국소적 상태는 얽혀 있어야 하지만, 벨 비국소적 상관관계를 생성하지 않는 (혼합된) 얽힌 상태도 존재한다 (그러나, 그러한 상태의 여러 복사본에서 작동하거나, 또는 국소적인 사후 선택을 수행함으로써, 비국소적 효과를 확인할 수 있다). 더욱이 얽힘을 위한 촉매는 존재하지만, 비국소성을 위한 촉매는 없다. 마지막으로, 가장 큰 위반을 제공하는 양자 상태가 결코 최대로 얽힌 상태가 아닌 벨 부등식의 비교적 간단한 예시들이 발견되었는데, 이는 얽힘이 어떤 의미에서는 비국소성에 비례하지도 않음을 보여준다.

## 양자 상관관계
위에서 보듯이, 고전 시스템에서 두 개 이상의 당사자가 실험을 수행하여 얻을 수 있는 통계는 비자명한 방식으로 제약된다. 유사하게, 양자 이론에서 독립적인 관찰자들이 얻을 수 있는 통계도 제한된다. B. 치렐손이 처음으로 양자 상관관계 집합에 대한 비자명한 통계적 한계를 도출했는데, 이는 치렐손의 한계로 알려져 있다.
이전에 자세히 설명된 CHSH 벨 시나리오를 고려해 보되, 이번에는 실험에서 앨리스와 밥이 양자 시스템을 준비하고 측정한다고 가정하자. 이 경우 CHSH 매개변수는 다음으로 제한될 수 있음이 증명될 수 있다.

:-2\sqrt{2}\leq \mathrm{CHSH}\leq 2\sqrt{2}.

### 양자 상관관계 집합과 치렐손의 문제
수학적으로, 상자 P(a,b|x,y)가 양자 실현을 허용하는 경우는 힐베르트 공간 쌍 H_A, H_B, 정규화된 벡터 \left|\psi\right\rangle\in H_A\otimes H_B 및 투영 연산자 E^x_a:H_A\to H_A, F^y_b:H_B\to H_B가 존재하고 다음과 같을 때이다.

# 모든 x,y에 대해 집합 \{E^x_a\}_a,\{F^y_b\}_b는 완전한 측정을 나타낸다. 즉, \sum_aE^x_a={\mathbb I}_A, \sum_bF^y_b={\mathbb I}_B이다.
# 모든 a,b,x,y에 대해 P(a,b|x,y) =\left\langle\psi\right|E^x_a\otimes F^y_b\left|\psi\right\rangle이다.

다음에서, 그러한 상자들의 집합을 Q라고 부를 것이다. 확률 공간에서 볼 때, 고전적 상관관계의 집합과는 달리, Q는 다포체가 아니다. 오히려 그것은 직선 경계와 곡선 경계를 모두 포함한다. 또한 Q는 닫혀 있지 않다. 이는 양자 시스템으로 임의로 잘 근사될 수 있지만, 그 자체로는 양자가 아닌 상자 P(a,b|x,y)가 존재한다는 것을 의미한다.

위의 정의에서 벨 실험을 수행하는 두 당사자의 공간적 분리는 전체 힐베르트 공간 H=H_A\otimes H_B의 다른 인자 H_A, H_B에서 해당 연산자 대수가 작용하도록 부과함으로써 모델링되었다. 또는, 이 두 대수가 교환하도록 부과함으로써 공간적 분리를 모델링할 수 있다. 이는 다른 정의로 이어진다.

P(a,b|x,y)가 양자장 실현을 허용하는 경우는 힐베르트 공간 H, 정규화된 벡터 \left|\psi\right\rangle\in H 및 투영 연산자 E^x_a:H\to H, F^y_b:H\to H가 존재하고 다음과 같을 때이다.

# 모든 x,y에 대해 집합 \{E^x_a\}_a,\{F^y_b\}_b는 완전한 측정을 나타낸다. 즉, \sum_aE^x_a={\mathbb I}, \sum_bF^y_b={\mathbb I} 이다.
# 모든 a,b,x,y에 대해 P(a,b|x,y) =\left\langle\psi\right|E^x_a F^y_b\left|\psi\right\rangle이다.
# 모든  a,b,x,y에 대해 [E^x_a, F^y_b]=0이다.

그러한 상관관계 P(a,b|x,y)의 집합을 Q_c라고 하자.

이 새로운 집합은 위에서 정의된 보다 일반적인 Q와 어떻게 관련될까? Q_c는 닫혀 있음이 증명될 수 있다. 또한  \bar{Q} \subseteq Q_c이며, 여기서 \bar{Q}는 Q의 폐포를 나타낸다. 치렐손의 문제는 포함 관계  \bar{Q} \subseteq Q_c가 엄격한지, 즉  \bar{Q} = Q_c인지 여부를 결정하는 것으로 구성된다. 이 문제는 무한 차원에서만 나타난다. Q_c의 정의에서 힐베르트 공간 H가 유한 차원으로 제한될 때, 해당 집합의 폐포는 \bar{Q}와 같다.

2020년 1월, 지, 나타라잔, 비딕, 라이트, 유언은 양자 복잡성 이론에서 \bar{Q} \neq Q_c 를 의미하는 결과를 주장했는데, 이는 치렐손의 문제를 해결하는 것이었다.

치렐손의 문제는 연산자 대수 이론의 유명한 추측인 코네스 임베딩 문제와 동등하다는 것이 증명될 수 있다.

### 양자 상관관계의 특성화
H_A와 H_B의 차원은 원칙적으로 무한하므로, 주어진 상자 P(a,b|x,y)가 양자 실현을 허용하는지 여부를 결정하는 것은 복잡한 문제이다. 실제로, 양자 상자가 비국소 게임에서 완벽한 점수를 얻을 수 있는지 여부를 결정하는 이중 문제는 결정 불가능한 것으로 알려져 있다. 더욱이, P(a,b|x,y)가 1/\operatorname{poly}(|X||Y|)의 정밀도로 양자 시스템에 의해 근사될 수 있는지 여부를 결정하는 문제는 NP-완전이다. 양자 상자를 특성화하는 것은 선형 제약 조건 집합 하에서 완전히 양의 반정치 행렬의 원뿔을 특성화하는 것과 동일하다.

작고 고정된 차원 d_A, d_B에 대해, 변분법을 사용하여 P(a,b|x,y)가 \dim(H_A)=d_A, \dim(H_B)=d_B인 이분 양자 시스템 H_A\otimes H_B에서 실현될 수 있는지 여부를 탐색할 수 있다. 그러나 이 방법은 P(a,b|x,y)의 실현 가능성을 증명하는 데만 사용될 수 있으며, 양자 시스템으로는 실현 불가능함을 증명할 수는 없다.

실현 불가능성을 증명하는 가장 잘 알려진 방법은 Navascués–Pironio–Acín (NPA) 계층이다. 이는 다음과 같은 속성을 가진 상관관계 집합의 무한 감소 순열 Q^1\supset Q^2\supset Q^3\supset...이다.

# P(a,b|x,y)\in Q_c이면, 모든 k에 대해 P(a,b|x,y)\in Q^k이다.
# P(a,b|x,y)\not\in Q_c이면, P(a,b|x,y)\not\in Q^k인 k가 존재한다.
# 모든 k에 대해 P(a,b|x,y)\in Q^k인지 여부를 결정하는 것은 반정치 계획법으로 간주될 수 있다.

따라서 NPA 계층은 Q가 아닌 Q_c의 계산적 특성을 제공한다. 만약 \bar{Q}\not=Q_c라면 (지, 나타라잔, 비딕, 라이트, 유언이 주장한 대로), Q_c- \bar{Q}의 상관관계의 비실현성을 감지하는 새로운 방법이 필요하다. 만약 치렐손의 문제가 긍정적으로 해결되어, 즉 \bar{Q}=Q_c라면, 위 두 가지 방법은 \bar{Q}의 실용적인 특성을 제공할 것이다.

### 초양자 상관관계의 물리학
위에서 언급된 연구들은 양자 상관관계 집합이 어떤 모습인지 설명하지만, 왜 그런지는 설명하지 않는다. 양자 상관관계는 양자 이후의 물리 이론에서도 피할 수 없는 것인가, 아니면 그 반대로, \bar{Q} 외부의 상관관계가 존재할 수 있으며, 그럼에도 불구하고 물리적으로 불가능한 작동 행동을 초래하지 않는가?

1994년 포페스쿠와 로를리히는 양자 상관관계가 상대론적 인과율만으로 설명될 수 있는지 여부를 탐구했다. 즉, P(a,b|x,y)\not\in\bar{Q}인 가상의 상자가 정보 전송을 빛의 속도보다 빠르게 할 수 있는 장치를 구축하는 것을 허용하는지 여부이다. 두 당사자 간의 상관관계 수준에서 아인슈타인의 인과율은 앨리스의 측정 선택이 밥의 통계에 영향을 미치지 않아야 하며 그 반대도 마찬가지라는 요구 사항으로 해석된다. 그렇지 않으면 앨리스(밥)는 자신의 측정 설정 x (y)를 적절히 선택하여 밥(앨리스)에게 즉시 신호를 보낼 수 있다. 수학적으로, 포페스쿠와 로를리히의 무신호(no-signalling) 조건은 다음과 같다.
 \sum_a P(a,b|x,y)= \sum_a P(a,b|x^\prime,y)=:P_B(b|y),
\sum_b P(a,b|x,y)= \sum_b P(a,b|x,y^\prime)=:P_A(a|x). 

확률 공간에 표현될 때 고전적 상자 집합처럼, 무신호 상자 집합은 다포체를 형성한다. 포페스쿠와 로를리히는 무신호 조건을 준수하면서도 치렐손의 한계를 위반하여 양자 물리학에서는 실현 불가능한 상자 P(a,b|x,y)를 식별했다. PR-상자라고 불리는 이 상자는 다음과 같이 쓸 수 있다.
P(a,b|x,y)=\frac{1}{2}\delta_{xy,a\oplus b}.

여기서 a,b,x,y는 {0,1} 값을 취하며, a\oplus b는 모듈로 2 합계를 나타낸다. 이 상자의 CHSH 값은 4(치렐손의 한계는 2\sqrt{2}\approx 2.828임)임을 확인할 수 있다. 이 상자는 이전에 Rastall과 Khalfin, 치렐손에 의해 확인되었다.

이러한 불일치를 고려하여 포페스쿠와 로를리히는 양자 상관관계 집합을 도출할 수 있는, 무신호 조건보다 더 강력한 물리적 원리를 식별하는 문제를 제기했다. 몇 가지 제안이 이어졌다.
# 비자명한 통신 복잡성 (NTCC). 이 원리는 비국소 상관관계가 두 당사자가 단 1비트의 통신만을 사용하여 모든 1방향 통신 문제를 확률 p>1/2로 해결할 수 있을 만큼 강력해서는 안 된다고 규정한다. 치렐손의 한계를 2\sqrt{2}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}-1\right)\approx 0.4377보다 많이 위반하는 모든 상자는 NTCC와 양립할 수 없음이 증명될 수 있다.
# 비국소 계산에 이점 없음 (NANLC). 다음과 같은 시나리오를 고려한다: 함수  f_{0,1}^n\to 1가 주어졌을 때, 두 당사자는 n 비트의 문자열 x,y를 할당받고 a,b 비트를 출력하도록 요청받는데, 이는 a\oplus b가 f(x\oplus y)에 대한 좋은 추측이 되도록 한다. NANLC 원리는 비국소 상자가 이 게임을 하는 데 두 당사자에게 어떤 이점도 주어서는 안 된다고 명시한다. 치렐손의 한계를 위반하는 모든 상자는 그러한 이점을 제공할 것임이 증명된다.
# 정보 인과율 (IC). 출발점은 한쪽 당사자(앨리스)에게 n 비트의 무작위 문자열 x가 주어지는 이분 통신 시나리오이다. 두 번째 당사자인 밥은 무작위 숫자 k\in\{1,...,n\}를 받는다. 그들의 목표는 밥에게 비트 x_k를 전송하는 것이며, 이를 위해 앨리스는 밥에게 s 비트를 전송할 수 있다. IC 원리는 앨리스의 비트와 밥의 추측 사이의 상호 정보의 k에 대한 합계가 앨리스가 전송한 비트 수 s를 초과할 수 없다고 명시한다. 치렐손의 한계를 위반하는 모든 상자는 두 당사자가 IC를 위반하도록 허용할 것임이 증명된다.
# 거시적 국소성 (ML). 고려되는 설정에서, 두 개의 분리된 당사자는 독립적으로 준비된 많은 수의 상관 입자 쌍에 대해 광범위한 저해상도 측정을 수행한다. ML은 이러한 "거시적" 실험이 국소적 숨은 변수 모델을 허용해야 한다고 명시한다. 치렐손의 한계를 위반할 수 있는 모든 미시적 실험은 거시적 규모로 가져올 때 표준 벨 비국소성을 위반할 것임이 증명된다. 치렐손의 한계 외에도 ML 원리는 모든 두 점 양자 상관 관계의 집합을 완전히 복구한다.
# 국소 직교성 (LO). 이 원리는 n개의 당사자가 각각 자신의 국소 연구실에서 실험 x_1,...,x_n을 수행하는 다자 벨 시나리오에 적용된다. 그들은 각각 결과 a_1,...,a_n을 얻는다. 벡터 쌍 (\bar{a}|\bar{x})는 사건이라고 불린다. 두 사건 (\bar{a}|\bar{x}), (\bar{a}^\prime|\bar{x}^\prime)는 x_k=x_k^\prime 이고 a_k\not=a_k^\prime 인 k가 존재하면 국소적으로 직교한다고 말한다. LO 원리는 어떤 다자 상자에 대해서도 쌍으로 국소적으로 직교하는 사건 집합의 확률 합이 1을 초과할 수 없다고 명시한다. 치렐손의 한계를 0.052만큼 위반하는 모든 이분 상자는 LO를 위반함이 증명된다.

이러한 모든 원리는 두 개 이상의 사건이 시공간적으로 분리되어 있는지 여부를 결정할 수 있다는 가정 하에 실험적으로 반증될 수 있다. 이는 이 연구 프로그램을 일반화된 확률 이론을 통한 양자 역학의 공리적 재구성으로부터 분리한다.

위의 연구들은 상관관계의 물리적 집합이 배선에 따라 닫혀 있어야 한다는 암묵적인 가정에 의존한다. 이는 고려되는 집합 내의 여러 상자의 입력과 출력을 결합하여 구축된 모든 유효 상자도 해당 집합에 속해야 함을 의미한다. 배선에 따른 폐쇄성은 CHSH의 최대값에 어떤 제한도 강요하지 않는 것으로 보인다. 그러나 이는 무의미한 원리가 아니다. 오히려에서는 확률 공간에서 많은 간단하고 직관적인 상관관계 집합들이 이를 위반하는 것으로 나타난다.

처음에는 이러한 원리(또는 그 부분 집합) 중 어느 것이 \bar{Q}를 정의하는 모든 제약 조건을 도출하기에 충분히 강력한지는 알려지지 않았다. 이러한 상황은 거의 양자 집합 \tilde{Q}의 구성까지 몇 년 동안 계속되었다. \tilde{Q}는 배선에 따라 닫혀 있으며 반정치 계획법을 통해 특성화될 수 있는 상관관계 집합이다. 이 집합은 Q_c\supset \bar{Q}의 모든 상관관계를 포함하지만, 일부 비양자 상자 P(a,b|x,y)\not\in Q_c도 포함한다. 놀랍게도 거의 양자 집합 내의 모든 상자는 NTCC, NANLC, ML 및 LO 원리와 양립함이 증명되었다. 또한 거의 양자 상자가 IC도 준수한다는 수치적 증거도 있다. 따라서 위의 원리들이 함께 사용되더라도 가장 간단한 벨 시나리오(두 당사자, 두 입력, 두 출력)에서 양자 집합을 단독으로 구별하기에는 불충분한 것으로 보인다.

## 장치 독립 프로토콜
비국소성은 실험에 관련된 준비 및 측정 장치의 내부 작동에 대한 지식에 의존하지 않는 양자 정보 작업을 수행하는 데 활용될 수 있다. 이러한 프로토콜의 보안 또는 신뢰성은 실험적으로 측정된 상관관계 P(a,b|x,y)의 강도에만 의존한다. 이러한 프로토콜을 장치 독립적(device-independent)이라고 한다.

### 장치 독립 양자 키 분배

최초로 제안된 장치 독립 프로토콜은 장치 독립 양자 키 분배(QKD)였다. 이 원시에서 두 개의 멀리 떨어진 당사자, 앨리스와 밥은 얽힌 양자 상태를 받아서 조사하여 통계 P(a,b|x,y)를 얻는다. 상자 P(a,b|x,y)가 얼마나 비국소적인지에 따라 앨리스와 밥은 외부 양자 적대자 이브(도청자)가 앨리스와 밥의 출력 값에 대해 얼마나 많은 지식을 가질 수 있는지 추정한다. 이 추정을 통해 그들은 앨리스와 밥이 이브가 아무런 정보도 가지지 않는 완벽하게 상관된 일회용 패드를 공유하는 조화 프로토콜을 고안할 수 있다. 이 일회용 패드는 공용 채널을 통해 비밀 메시지를 전송하는 데 사용될 수 있다. 비록 장치 독립 QKD에 대한 최초 보안 분석은 이브가 특정 유형의 공격을 수행한다는 가정에 의존했지만, 최근에는 모든 이러한 프로토콜이 무조건적으로 안전함이 증명되었다.

### 장치 독립 무작위성 인증, 확장 및 증폭
비국소성은 벨 실험에서 한 당사자의 결과가 외부 적대자에게 부분적으로 알려지지 않았음을 인증하는 데 사용될 수 있다. 부분적으로 무작위적인 시드를 여러 비국소 상자에 공급하고, 출력을 처리한 후, 유사한 무작위성을 가진 더 긴 (잠재적으로 무한한) 문자열 또는 더 짧지만 더 무작위적인 문자열을 얻을 수 있다. 이 마지막 원시는 고전적인 설정에서는 불가능함이 증명될 수 있다.

장치 독립(DI) 무작위성 인증, 확장 및 증폭은 무작위 수를 생성하는 데 사용되는 기본 장치에 대한 잠재적 공격으로부터 안전한 고품질 무작위 수를 생성하는 데 사용되는 기술이다. 이러한 기술은 암호화 프로토콜의 보안을 보장하는 데 고품질 무작위 수가 필수적인 암호학에서 중요한 응용 분야를 가지고 있다.
무작위성 인증은 무작위 수 생성기의 출력이 진정으로 무작위적이며 적대자에 의해 조작되지 않았음을 확인하는 프로세스이다. DI 무작위성 인증은 무작위 수를 생성하는 기본 장치에 대한 가정을 하지 않고 이 검증을 수행한다. 대신, 무작위성은 동일한 물리적 프로세스를 사용하여 생성된 서로 다른 장치의 출력 간의 상관관계를 관찰하여 인증된다. 최근 연구는 광자 또는 전자와 같은 얽힌 양자 시스템을 사용하여 DI 무작위성 인증의 실현 가능성을 입증했다. 무작위성 확장은 소량의 초기 무작위 시드를 훨씬 더 큰 무작위 수열로 확장하는 것이다. DI 무작위성 확장에서는 고도로 얽힌 상태로 준비된 양자 시스템의 측정을 사용하여 확장이 이루어진다. 확장의 보안은 양자 역학 법칙에 의해 보장되는데, 이는 적대자가 확장 출력을 예측하는 것을 불가능하게 만든다. 최근 연구는 얽힌 광자 쌍과 벨 부등식을 위반하는 측정 장치를 사용하여 DI 무작위성 확장을 달성할 수 있음을 보여주었다.

무작위성 증폭은 소량의 초기 무작위 시드를 암호화 알고리즘을 사용하여 무작위성을 증가시키는 프로세스이다. DI 무작위성 증폭에서는 얽힘 속성과 양자 역학을 사용하여 이 프로세스를 수행한다. 증폭의 보안은 적대자가 알고리즘의 출력을 조작하려는 모든 시도가 필연적으로 감지하고 수정할 수 있는 오류를 발생시킨다는 사실에 의해 보장된다. 최근 연구는 양자 얽힘과 벨 부등식의 위반을 사용하여 DI 무작위성 증폭의 실현 가능성을 입증했다.

DI 무작위성 인증, 확장 및 증폭은 무작위 수를 생성하는 데 사용되는 기본 장치에 대한 잠재적 공격으로부터 안전한 고품질 무작위 수를 생성하는 강력한 기술이다. 이러한 기술은 암호학에서 중요한 응용 분야를 가지고 있으며, 양자 컴퓨팅 기술이 발전함에 따라 점점 더 중요해질 것이다. 또한, 장치의 작동 원리, 환경, 차원, 에너지 등에 대한 일부 가정을 통해 무작위 수를 생성할 수 있는 완화된 접근 방식인 준-DI(semi-DI)가 존재하며, 이는 구현 용이성과 높은 생성 속도라는 이점을 제공한다.

### 자기 검증
때때로 앨리스와 밥이 공유하는 상자 P(a,b|x,y)는 유일한 양자 실현만을 허용한다. 이는 P(a,b|x,y)를 생성하는 측정 연산자 E^x_a, F^y_b와 양자 상태 \left|\psi\right\rangle가 존재하며, P(a,b|x,y)의 다른 모든 물리적 실현  \tilde{E}^x_a, \tilde{F}^y_b ,\left|\tilde{\psi}\right\rangle는 국소 유니타리 변환을 통해  E^x_a, F^y_b ,\left|\psi\right\rangle와 연결된다는 것을 의미한다. 이 현상은 장치 독립 양자 토모그래피의 한 사례로 해석될 수 있으며, 치렐손이 처음 지적했고 Mayers와 Yao가 자기 검증이라고 명명했다. 자기 검증은 체계적인 노이즈에 강하며, 즉 실험적으로 측정된 통계가 P(a,b|x,y)에 충분히 가깝다면, 오차 막대까지 기본 상태 및 측정 연산자를 여전히 결정할 수 있다.

### 차원 증거
양자 상자 P(a,b|x,y)의 비국소성 정도는 앨리스와 밥이 접근할 수 있는 국소 시스템의 힐베르트 공간 차원에 대한 하한을 제공할 수도 있다. 이 문제는 낮은 완전히 양의 반정치 행렬의 존재를 결정하는 것과 동일하다. 통계에 기반하여 힐베르트 공간 차원의 하한을 찾는 것은 어려운 작업이며, 현재의 일반적인 방법은 매우 낮은 추정치만을 제공한다. 그러나 5개의 입력과 3개의 출력을 가진 벨 시나리오만으로도 기본 힐베르트 공간 차원에 대한 임의로 높은 하한을 제공하기에 충분하다. 앨리스와 밥 시스템의 국소 차원에 대한 지식을 가정하지만, 관련 준비 및 측정 장치의 수학적 설명에 대해서는 주장하지 않는 양자 통신 프로토콜을 준-장치 독립 프로토콜이라고 한다. 현재 양자 키 분배 및 무작위성 확장을 위한 준-장치 독립 프로토콜이 존재한다.

## 같이 보기
* 원격작용
* Buscemi nonlocality
* 포퍼 실험
* 양자 초심리
* 양자 맥락성
* 양자 기반

## 각주

## 더 읽어보기
* 
* 
* 

분류:양자장론
분류:양자 측정