페르미 표면

응집물질물리학에서 **페르미 표면**()은 0도에서 점유된 전자 상태와 점유되지 않은 전자 상태를 분리하는 역격자 공간의 표면이다. 페르미 표면의 모양은 결정 격자의 주기성과 대칭성, 그리고 전자 에너지 띠의 점유로부터 파생된다. 페르미 표면의 존재는 양자 상태당 최대 하나의 전자만을 허용하는 파울리 배타 원리의 직접적인 결과이다. 재료의 페르미 표면 연구는 **페르미학**(fermiology)이라고 불린다.

## 이론
[섬네일|upright=1.1|그림 1: [각운동량 전자 양전자 소멸 복사 상관법|2D ACAR로 측정한 환원 영역 도식의 구리 페르미 표면 및 전자 운동량 밀도.]]
N개의 입자로 구성된 스핀 없는 이상적인 페르미 기체를 고려하자. 페르미-디랙 통계에 따르면, 에너지 \epsilon_i를 가진 상태의 평균 점유 수는 다음과 같이 주어진다.
: \langle n_i\rangle =\frac{1}{e^{(\epsilon_i-\mu)/k_{\rm B}T}+1},
여기서
* \left\langle n_i\right\rangle는 i번째 상태의 평균 점유 수이다.
* \epsilon_i는 i번째 상태의 운동 에너지이다.
* \mu는 화학 퍼텐셜이다 (0도에서는 입자가 가질 수 있는 최대 운동 에너지, 즉 페르미 에너지 E_{\rm F}이다).
* T는 절대 온도이다.
* k_{\rm B}는 볼츠만 상수이다.

T\to 0의 극한을 고려하면 다음과 같다.
: \left\langle n_i\right\rangle\to\begin{cases}1 & (\epsilon_i\mu)\end{cases}.

파울리 배타 원리에 의해 두 페르미온은 같은 상태에 있을 수 없다. 또한, 0도에서는 전자의 엔탈피가 최소여야 하므로 상태를 변경할 수 없다. 만약 어떤 상태에 있는 입자에 대해 그 입자가 차지할 수 있는 비점유된 더 낮은 상태가 존재한다면, 그 상태들 간의 에너지 차이는 전자에 추가적인 엔탈피를 줄 것이다. 따라서 전자의 엔탈피는 최소가 아닐 것이다. 그러므로 0도에서는 모든 가장 낮은 에너지 상태가 포화되어야 한다. 큰 앙상블의 경우 페르미 준위는 시스템의 화학 퍼텐셜과 거의 같을 것이며, 따라서 이 에너지 아래의 모든 상태는 점유되어야 한다. 따라서 입자들은 절대 0도에서 페르미 준위 아래의 모든 에너지 준위를 채우며, 이는 그 준위 아래에 정확히 N개의 상태가 있다는 것과 동등하다.

운동량 공간에서 이 입자들은 반경 k_{\rm F}의 구를 채우며, 이 구의 표면을 페르미 표면이라고 한다.

전기, 자기 또는 열 기울기에 대한 금속의 선형 응답은 페르미 표면의 모양에 의해 결정되는데, 이는 전류가 페르미 에너지 근처 상태의 점유 변화로 인해 발생하기 때문이다. 역격자 공간에서 이상적인 페르미 기체의 페르미 표면은 반경이
: k_{\rm F} = \frac{p_{\rm F}}{\hbar}= \frac{\sqrt{2 m E_{\rm F}}} {\hbar},
인 구이며, 이는 환산 플랑크 상수 \hbar가 결정하는 원자가 전자 농도에 의해 결정된다. 페르미 준위가 띠 사이의 틈에 떨어지는 물질은 절연체 또는 반도체이며, 이는 띠틈의 크기에 따라 달라진다. 물질의 페르미 준위가 띠틈에 떨어지면 페르미 표면은 존재하지 않는다.

[섬네일|upright=1.1|그림 2: [브릴루앙 영역의 H점 모서리에서 흑연 페르미 표면을 보여주는 그림으로, 전자 및 홀 포켓의 삼각 대칭을 보여준다.]]

복잡한 결정 구조를 가진 물질은 매우 복잡한 페르미 표면을 가질 수 있다. **그림 2**는 흑연의 이방성 페르미 표면을 보여주는데, 이는 \mathbf{k}_z 방향을 따라 여러 띠가 페르미 에너지를 가로지르기 때문에 페르미 표면에 전자 및 홀 포켓을 모두 가지고 있다. 종종 금속에서 페르미 표면 반경 k_{\rm F}는 첫 번째 브릴루앙 영역의 크기보다 커서 페르미 표면의 일부가 두 번째 (또는 더 높은) 영역에 놓이게 된다. 띠 구조 자체와 마찬가지로, 페르미 표면은 \mathbf{k}가 임의로 큰 값을 가질 수 있는 확장 영역 도식이나 파동 벡터가 모듈러 산술 \frac{2 \pi} {a} (1차원 경우)를 통해 표시되는 환원 영역 도식으로 표시될 수 있으며, 여기서 a는 격자 상수이다. 3차원 경우 환원 영역 도식은 임의의 파동 벡터 \mathbf{k}에서 적절한 수의 역격자 벡터 \mathbf{K}가 빼져서 새로운 \mathbf{k}가 \mathbf{k} 공간의 원점에 다른 어떤 \mathbf{K}보다 더 가깝게 위치한다는 것을 의미한다. 페르미 준위에서 높은 상태 밀도를 가진 고체는 저온에서 불안정해지며, 페르미 표면에서 틈을 열어 응축 에너지를 얻는 바닥 상태를 형성하는 경향이 있다. 이러한 바닥 상태의 예로는 초전도체, 강자성체, 얀-텔러 왜곡 및 스핀 밀도파가 있다.

전자와 같은 페르미온의 상태 점유는 페르미-디랙 통계에 의해 결정되므로 유한 온도에서는 페르미 표면이 그에 따라 넓어진다. 원칙적으로 모든 페르미온 에너지 준위 인구는 페르미 표면에 의해 구속되지만, 이 용어는 응집물질물리학 외부에서는 일반적으로 사용되지 않는다.

## 실험적 측정
전자 페르미 표면은 자기장 H에서 운송 특성의 진동, 예를 들어 더 하스-판 알펀 효과(dHvA)와 슈브니코프-더 하스 효과(SdH)의 관찰을 통해 측정되었다. 전자는 자기 감수율의 진동이고 후자는 전기 비저항의 진동이다. 진동은 1/H에 대해 주기적이며, 레프 란다우가 처음 예측한 현상인 자기장에 수직인 평면에서 에너지 준위의 양자화로 인해 발생한다. 새로운 상태는 란다우 준위라고 불리며, 에너지 \hbar \omega_{\rm c}에 의해 분리된다. 여기서 \omega_{\rm c} = eH/m^*c는 사이클로트론 주파수라고 불리며, e는 전자 전하, m^*는 전자 유효 질량이며, c는 빛의 속력이다. 유명한 결과에서 라르스 온사게르는 진동 주기 \Delta H가 자기장 방향 A_{\perp}에 수직인 페르미 표면의 단면적(Å<sup>−2</sup> 단위로 주어짐)과 다음 방정식으로 관련되어 있음을 증명했다.
A_{\perp} = \frac{2 \pi e \Delta H}{\hbar c}. 
따라서 다양한 인가장 방향에 대한 진동 주기의 결정은 페르미 표면의 매핑을 가능하게 한다. dHvA 및 SdH 진동을 관찰하려면 사이클로트론 궤도의 원주가 평균 자유 거리보다 작을 만큼 충분히 큰 자기장이 필요하다. 따라서 dHvA 및 SdH 실험은 보통 네덜란드의 고자기장 연구소, 프랑스의 그르노블 고자기장 연구소, 일본의 쓰쿠바 자기 연구소 또는 미국의 국립 고자기장 연구소와 같은 고자기장 시설에서 수행된다.

[섬네일|upright=1.1|그림 3: [ARPES로 측정한 BSCCO의 페르미 표면. 노란색-빨간색-검은색 스케일의 강도 플롯으로 표시된 실험 데이터. 녹색 점선 사각형은 BSCCO의 CuO2 평면의 브릴루앙 영역을 나타낸다.]]

운동량-에너지 공간(참고: 역격자)에서 결정의 전자 구조, 그리고 결과적으로 페르미 표면을 해결하기 위한 가장 직접적인 실험 기법은 각도 분해 광전자 방출 분광법(ARPES)이다. **그림 3**은 ARPES로 측정한 초전도 구리산염의 페르미 표면의 예시를 보여준다.

### ACAR을 이용한 측정
양전자 소멸을 이용하면 소멸 과정이 초기 입자의 운동량을 보존하기 때문에 페르미 표면을 결정할 수도 있다. 고체 내의 양전자는 소멸 전에 열역학적 평형에 도달하므로, 소멸 방사선은 전자 운동량에 대한 정보를 가지고 있다. 해당 실험 기술은 전자-양전자 소멸 방사선의 각 상관 관계(ACAR)라고 불리는데, 이는 두 소멸 양자 사이의  각도 편차를 측정하기 때문이다. 이러한 방식으로 고체의 전자 운동량 밀도를 탐색하고 페르미 표면을 결정할 수 있다. 또한, 스핀 편극된 양전자를 사용하면 자화된 물질에서 두 스핀 상태에 대한 운동량 분포를 얻을 수 있다.

ACAR은 다른 실험 기술에 비해 많은 장단점을 가지고 있다. 초고진공 조건, 극저온, 고자기장 또는 완전히 정렬된 합금에 의존하지 않는다. 그러나 ACAR은 양전자에 대한 효과적인 트랩 역할을 하는 공공 농도가 낮은 샘플이 필요하다. 이러한 방식으로 1978년에 30% 합금에서 흐릿한 페르미 표면이 처음으로 결정되었다.

## 같이 보기

* 페르미 에너지
* 브릴루앙 영역
* 초전도 구리산염의 페르미 표면
* 켈빈 프로브 현미경
* 루팅거 정리

## 각주

## 외부 링크
* "Angle-resolved photoemission spectroscopy of the cuprate superconductors (Review Article)" (2002)에 실린 일부 고온 초전도체와 스트론튬 루테늄산염의 실험적 페르미 표면
* "ARPES experiment in fermiology of quasi-2D metals (Review Article)" (2014)에 실린 일부 구리산염, 전이 금속 다이칼코제나이드, 루테늄산염, 그리고 철-비소 기반 초전도체의 실험적 페르미 표면
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분류:응집물질물리학