구조 상수

[섬네일|[벡터곱을 리 괄호로 사용하면, 3차원 실수 벡터의 대수는 SU(2) 및 SO(3)의 리 대수와 동형인 리 대수가 된다. 구조 상수는 이며, 여기서 \epsilon^{abc}는 반대칭 레비치비타 기호이다.]]
수학에서, 체 위의 대수의 **구조 상수**() 또는 **구조 계수**()는 기저 벡터들의 곱을 기저 확장(선형 결합)으로 나타냈을 때의 계수이다. 대수에서의 곱셈 연산은 쌍선형이므로, 선형성에 의해 기저 벡터들의 곱을 알면 모든 원소의 곱을 계산할 수 있다(마치 행렬이 기저 벡터에 대한 선형 연산자의 작용을 제공함으로써 임의의 벡터에 대한 작용을 계산할 수 있게 하는 것과 같다). 따라서 구조 상수는 대수의 곱셈 연산을 지정하는 데 사용될 수 있다(행렬이 선형 연산자를 정의하는 것과 마찬가지이다). 구조 상수가 주어지면, 결과적인 곱은 쌍선형성에 의해 얻어지며 벡터 공간의 모든 벡터로 유일하게 확장될 수 있으므로 대수의 곱을 유일하게 결정한다.

구조 상수는 대수의 명시적인 형태가 제공되어야 할 때마다 사용된다. 따라서 물리학에서 리 대수를 논의할 때 자주 사용되는데, 기저 벡터가 물리적 공간의 특정 방향을 나타내거나 특정 입자에 대응하기 때문이다(리 대수는 체 위의 대수이며, 쌍선형 곱은 보통 교환자를 통해 정의되는 리 괄호로 주어진다는 점을 상기하라).

## 정의
대수의 바탕이 되는 벡터 공간에 대한 기저 벡터 집합 \{\mathbf{e}_i\}가 주어졌을 때, 곱셈 연산은 기저 벡터들의 곱에 의해 유일하게 정의된다.
: \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = \mathbf{c}_{ij} .

**구조 상수** 또는 **구조 계수** c_{ij}{}^{k}는 동일한 기저에서 \mathbf{c}_{ij}의 계수일 뿐이다.
: \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = \mathbf{c}_{ij} = \sum_{k} c_{ij}{}^{k} \mathbf{e}_k .

달리 말하면, 이들은 \mathbf{c}_{ij}를 기저 벡터 의 선형 결합으로 표현하는 계수이다.

대수에 이를 요구하는 다른 구조(예를 들어, 부정교 직교군 의 대수 위에 정의된 의사 리만 계량)가 부여되지 않는 한, 위 첨자와 아래 첨자는 자주 구별되지 않는다. 즉, 구조 상수는 종종 모두 위 첨자이거나 모두 아래 첨자로 작성된다. 이때 위와 아래의 구별은 관례이며, 아래 첨자는 쌍대 벡터의 성분처럼 행동(즉, 기저 변환에 대해 공변)하고 위 첨자는 반변함을 독자에게 상기시킨다.

구조 상수는 분명히 선택된 기저에 의존한다. 리 대수의 경우, 자주 사용되는 기저 관례 중 하나는 카르탕 부분 대수에 의해 정의된 사다리 연산자이다. 이는 몇 가지 예비 예제 다음에 이 문서의 뒷부분에서 설명된다.

## 예: 리 대수
리 대수의 경우, 기저 벡터는 대수의 생성원이라 불리며, 곱은 리 괄호라고 불린다(종종 리 괄호는 이미 존재하는 곱 외에 추가적인 곱셈 연산이므로 별도의 이름이 필요하다). 대수 내의 두 벡터 A와 B에 대해 리 괄호는 로 표기된다.

여기서도 위 첨자와 아래 첨자를 특별히 구별할 필요는 없으며, 모두 위로 쓰거나 아래로 쓸 수 있다. 물리학에서는 생성원에 대해 T_i 표기법을 사용하고, 구조 상수에 대해(위아래 구분을 무시하고) f_{ab}{}^{c} 또는 f^{abc}를 사용하는 것이 일반적이다. 그러면 생성원 쌍의 리 괄호의 선형 확장은 다음과 같다.
: [T_a, T_b] = \sum_{c} f_{ab}{}^{c} T_c .

마찬가지로 선형 확장에 의해, 구조 상수는 리 대수의 모든 원소의 리 괄호를 완전히 결정한다.

모든 리 대수는 야코비 항등식을 만족한다. 기저 벡터에 대해 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.
: [T_a, [T_b,T_c]] + [T_b, [T_c, T_a]] + [T_c, [T_a, T_b]] = 0
그리고 이는 구조 상수의 관점에서 대응하는 항등식으로 직접 이어진다.
: f_{ad}{}^{e}f_{bc}{}^{d} + f_{bd}{}^{e}f_{ca}{}^{d} + f_{cd}{}^{e}f_{ab}{}^{d} = 0 .

위의 내용과 이 문서의 나머지 부분에서는 반복되는 지표에 대해 아인슈타인 표기법을 사용한다.

구조 상수는 리 대수의 표현에서 역할을 하며, 실제로 리 대수의 딸림표현의 행렬 요소를 정확히 제공한다. 킬링 형식과 카시미르 불변량 또한 구조 상수의 관점에서 작성될 때 특히 단순한 형태를 갖는다.

구조 상수는 리 군의 두 원소의 곱에 대한 베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 근사치에서 종종 나타난다. 리 대수의 작은 원소 X, Y에 대해 항등원 근처의 리 군 구조는 다음과 같이 주어진다.
: \exp(X)\exp(Y) \approx \exp(X + Y + \tfrac{1}{2}[X,Y]) .
1/2 계수에 유의해야 한다. 이들은 또한 와 같은 미분의 명시적 표현에도 나타난다.(자세한 내용은 베이커-캠벨-하우스도르프 공식#무한소의 경우를 참조)

## 리 대수 예시
### 𝔰𝔲(2) 및 𝔰𝔬(3)
특수 유니터리 군 SU(2)의 대수 \mathfrak{su}(2)는 3차원이며, 생성원은 파울리 행렬 로 주어진다. 군 SU(2)의 생성원은 다음과 같은 교환 관계를 만족한다(여기서 \varepsilon^{abc}는 레비치비타 기호이다).
[\sigma_a, \sigma_b] = 2 i \varepsilon^{abc} \sigma_c
여기서
\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},~~
\sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix},~~
\sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

이 경우 구조 상수는 이다. 상수 2i는 기저 벡터의 정의에 흡수될 수 있음에 유의하라. 따라서 로 정의하면 다음과 같이 쓸 수도 있다.
[t_a, t_b] = \varepsilon^{abc} t_c .

이렇게 하면 리 군 SU(2)의 리 대수 \mathfrak{su}(2)가 SO(3)의 리 대수 \mathfrak{so}(3)와 동형임이 강조된다. 이것은 구조 상수를 회전군 SO(3)의 것과 일치하게 만든다. 즉, 각운동량 연산자에 대한 교환자는 흔히 다음과 같이 작성된다.
[L_i, L_j] = \varepsilon^{ijk} L_k
여기서
L_x = L_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},~~
L_y = L_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix},~~
L_z = L_3 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
는 3차원 공간에서의 회전에 대한 오른손 법칙을 따르도록 작성되었다.

이 두 구조 상수 세트 사이의 2i 계수 차이는 미묘한 차이를 포함하므로 혼란을 줄 수 있다. 예를 들어, 2차원 복소 벡터 공간에 실수 구조를 부여할 수 있다. 이는 의 서로 동형인 두 개의 비동치 2차원 기본 표현으로 이어지지만, 이들은 복소 공액 표현이다. 그러나 둘 다 실수 구조를 가진 공간에 작용하기 때문에 실수 표현으로 간주된다. 3차원의 경우 오직 하나의 3차원 표현인 딸림표현만이 존재하며, 이는 실수 표현이다. 더 정확하게는 위에서 보여준 쌍대 표현과 동일하다. 즉, 전치 행렬이 자신의 음수와 같다. .

어떤 경우든, 구조 상수를 순수하게 실수가 되도록 작성하는 것이 가능하기 때문에 리 군은 실수인 것으로 간주된다.

### 𝔰𝔲(3)
덜 자명한 예는 SU(3)에 의해 제공된다.

정의 표현에서 그 생성원 T는 다음과 같다.
: T^a = \frac{\lambda^a }{2} ,
여기서 SU(3)에 대한 겔만 행렬 는 SU(2)에 대한 파울리 행렬에 대응한다.

: 

이들은 다음 관계를 따른다.
: \left[T^a, T^b \right] = i f^{abc} T^c 
:  \{T^a, T^b\} = \frac{1}{3}\delta^{ab} + d^{abc} T^c .
구조 상수는 완전 반대칭이다. 이들은 다음과 같이 주어진다.
: f^{123} = 1 \,
: f^{147} = -f^{156} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = -f^{367} = \frac{1}{2} 
: f^{458} = f^{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} ,
지표 치환으로 이들과 관련되지 않은 다른 모든 f^{abc}는 0이다.

d는 다음과 같은 값을 갖는다.
: d^{118} = d^{228} = d^{338} = -d^{888} = \frac{1}{\sqrt{3}} 
: d^{448} = d^{558} = d^{668} = d^{778} = -\frac{1}{2\sqrt{3}} 
: d^{146} = d^{157} = -d^{247} = d^{256} = d^{344} = d^{355} = -d^{366} = -d^{377} = \frac{1}{2} .

### 𝔰𝔲(N)
𝔰𝔲(N)의 일반적인 경우, 생성원 사이의 교환 및 반교환 관계를 계산하지 않고도 구조 상수를 얻을 수 있는 닫힌 공식이 존재한다. 먼저 파울리 행렬과 겔만 행렬의 일반화에 기초하여 𝔰𝔲(N)의 N^{2}-1개 생성원을 정의한다(여기서 |m\rangle\langle n|은 행렬 단위인 브라-켓 표기법을 사용한다).
N(N-1)/2개의 대칭 행렬이 있고,
: \hat{T}_{\alpha_{nm}}=\frac{1}{2}(|m\rangle\langle n|+|n\rangle\langle m|) ,
N(N-1)/2개의 반대칭 행렬이 있으며,
: \hat{T}_{\beta_{nm}}=-i\frac{1}{2}(|m\rangle\langle n|-|n\rangle\langle m|) ,
그리고 N-1개의 대각 행렬이 있다.
: \hat{T}_{\gamma_{n}}=\frac{1}{\sqrt{2n(n-1)}}\Big(\sum_{l=1}^{n-1}|l\rangle\langle l|+(1-n)|n\rangle\langle n|)\Big) .
이 행렬들을 구별하기 위해 다음과 같은 지표를 정의한다.
: \alpha_{nm}=n^2+2(m-n)-1 ,
: \beta_{nm}=n^2+2(m-n) ,
: \gamma_{n}=n^2-1 ,
조건은 이다.

0이 아닌 모든 완전 반대칭 구조 상수는 다음과 같다.
: f^{\alpha_{nm}\alpha_{kn}\beta_{km}}=f^{\alpha_{nm}\alpha_{nk}\beta_{km}}=f^{\alpha_{nm}\alpha_{km}\beta_{kn}}=\frac{1}{2} ,
: f^{\beta_{nm}\beta_{km}\beta_{kn}}=\frac{1}{2} ,
: f^{\alpha_{nm}\beta_{nm}\gamma_{m}}=-\sqrt{\frac{m-1}{2m}},~f^{\alpha_{nm}\beta_{nm}\gamma_{n}}=\sqrt{\frac{n}{2(n-1)}} ,
: f^{\alpha_{nm}\beta_{nm}\gamma_{k}}=\sqrt{\frac{1}{2k(k-1)}},~m

0이 아닌 모든 완전 대칭 구조 상수는 다음과 같다.
: d^{\alpha_{nm}\alpha_{kn}\alpha_{km}}=d^{\alpha_{nm}\beta_{kn}\beta_{km}}=d^{\alpha_{nm}\beta_{mk}\beta_{nk}}=\frac{1}{2} ,
: d^{\alpha_{nm}\beta_{nk}\beta_{km}}=-\frac{1}{2} ,
: d^{\alpha_{nm}\alpha_{nm}\gamma_{m}}=d^{\beta_{nm}\beta_{nm}\gamma_{m}}=-\sqrt{\frac{m-1}{2m}} ,
: d^{\alpha_{nm}\alpha_{nm}\gamma_{k}}=d^{\beta_{nm}\beta_{nm}\gamma_{k}}=\sqrt{\frac{1}{2k(k-1)}},~m
: d^{\alpha_{nm}\alpha_{nm}\gamma_{n}}=d^{\beta_{nm}\beta_{nm}\gamma_{n}}=\frac{2-n}{\sqrt{2n(n-1)}} ,
: d^{\alpha_{nm}\alpha_{nm}\gamma_{k}}=d^{\beta_{nm}\beta_{nm}\gamma_{k}}=\sqrt{\frac{2}{k(k-1)}},~n
: d^{\gamma_{n}\gamma_{k}\gamma_{k}}=\sqrt{\frac{2}{n(n-1)}},~k
: d^{\gamma_{n}\gamma_{n}\gamma_{n}}=(2-n)\sqrt{\frac{2}{n(n-1)} .}
유도에 대한 자세한 내용은 및를 참조하라.

## 다른 대수의 예
### 홀 다항식
홀 다항식(Hall polynomials)은 홀 대수(Hall algebra)의 구조 상수이다.

### 호프 대수
곱 외에도, 호프 대수의 쌍대곱과 안티포드(antipode)는 구조 상수의 관점에서 표현될 수 있다. 호프 대수에서 일관성 조건을 정의하는 연결 공리(connecting axiom)는 이러한 다양한 구조 상수 사이의 관계로 표현될 수 있다.

## 응용
* 리 군은 모든 구조 상수가 0일 때만 아벨 리 대수이다.
* 리 군은 구조 상수가 실수일 때만 실수 리 군이다.
* 구조 상수가 모든 지표에 대해 완전 반대칭인 것은 리 대수가 반단순 콤팩트 리 대수들의 직합인 것과 필요충분조건이다.
* 멱영 리 군이 격자를 허용하는 것은 그 리 대수가 유리수 구조 상수를 갖는 기저를 허용하는 것과 필요충분조건이다. 이것이 말체프의 판정법(Malcev's criterion)이다. 모든 멱영 리 군이 격자를 허용하는 것은 아니다. 자세한 내용은 Raghunathan을 참조하라.
* 양자 색역학에서 기호 G^a_{\mu \nu} \,는 양자 전기역학의 전자기장 텐서 Fμν와 유사한 게이지 공변 글루온 장세기 텐서를 나타낸다. 이는 다음과 같이 주어진다. G^a_{\mu \nu} = \partial_\mu \mathcal{A}^a_\nu - \partial_\nu \mathcal{A}^a_\mu + g f^{abc} \mathcal{A}^b_\mu \mathcal{A}^c_\nu \,, 여기서 fabc는 **SU**(3)의 구조 상수이다. a, b, c 지표를 올리거나 내리는 규칙은 자명하지만(+,... +), 즉 fabc = fabc = f인 반면, μ 또는 ν 지표에 대해서는 예를 들어 계량 부호수 (+ − − −)에 해당하는 비자명한 상대론적 규칙을 갖는다.

## 리 대수의 기저 선택
리 대수의 기저를 제공하는 한 가지 관습적인 방법은 카르탕 부분 대수의 고유 벡터로 나타나는 소위 "사다리 연산자"를 이용하는 것이다. 관습적인 표기법을 사용한 이 기저의 구성은 다음과 같이 간략하게 요약된다. 대안적인 구성(**세르 구성**)은 반단순 리 대수 문서에서 찾을 수 있다.

리 대수 가 주어졌을 때, 카르탕 부분 대수 \mathfrak{h}\subset\mathfrak{g}는 극대 아벨 부분 대수이다. 정의에 따라, 이는 서로 교환되는 원소들로 구성된다.  위에서 정규 직교 기저를 자유롭게 선택할 수 있다. 이 기저를 H_1,\cdots, H_r로 쓰면 다음과 같다.
: \langle H_i,H_j\rangle=\delta_{ij}
여기서 \langle \cdot,\cdot\rangle는 벡터 공간 위의 내적이다. 이 부분 대수의 차원 r을 대수의 **계수**(rank)라고 한다. 딸림표현에서 행렬 \mathrm{ad}(H_i)는 서로 교환 가능하며 동시에 대각화될 수 있다. 행렬 \mathrm{ad}(H_i)는 (동시) 고유 벡터를 갖는다. 0이 아닌 고유값 \alpha를 갖는 고유 벡터는 관습적으로 로 표기된다. 이들은 H_i와 함께 전체 벡터 공간 를 생성한다. 교환 관계는 다음과 같다.
: [H_i,H_j]=0 \quad \mbox{및} \quad [H_i, E_\alpha]=\alpha_i E_\alpha .

고유 벡터 E_\alpha는 전체적인 척도 내에서만 결정된다. 한 가지 관습적인 정규화는 다음과 같이 설정하는 것이다.
: \langle E_\alpha,E_{-\alpha}\rangle=1 .

이를 통해 나머지 교환 관계를 다음과 같이 쓸 수 있다.
: [E_\alpha,E_{-\alpha}]=\alpha_i H_i
그리고
: [E_\alpha,E_\beta]=N_{\alpha,\beta}E_{\alpha+\beta}
여기서 마지막 식은 (아래에서 정의되는) 근 \alpha,\beta의 합이 0이 아닌 값 이어야 한다는 조건을 따른다. E_\alpha는 의 값을 올리거나 내리는 특성을 가지고 있어 때때로 **사다리 연산자**라고 불린다.

주어진 에 대해, H_i의 개수만큼 \alpha_i가 존재하므로 벡터 를 정의할 수 있으며, 이 벡터를 대수의 **[[근계|근]]**(root)이라고 한다. 리 대수의 근은 규칙적인 구조로 나타난다(예를 들어, 단순 리 대수에서 근은 두 가지 다른 길이만 가질 수 있다). 자세한 내용은 근계를 참조하라.

구조 상수 N_{\alpha,\beta}는 \alpha+\beta가 근일 때만 0이 아니라는 성질을 갖는다. 또한 이들은 반대칭이다.
: N_{\alpha,\beta}=-N_{\beta,\alpha}
그리고 항상 다음과 같이 선택될 수 있다.
: N_{\alpha,\beta}=-N_{-\alpha,-\beta}
이들은 또한 코사이클(cocycle) 조건을 따른다.
: N_{\alpha,\beta}=N_{\beta,\gamma}=N_{\gamma,\alpha}
일 때마다 성립하며, 또한
: N_{\alpha,\beta}N_{\gamma,\delta} +
       N_{\beta,\gamma}N_{\alpha,\delta} +
       N_{\gamma,\alpha}N_{\beta,\delta} = 0

일 때마다 성립한다.

## 각주

분류:리 대수