합성 이미지 필터

**합성 이미지 필터**()는 두 가지 이상의 서로 다른 유형의 이미지 필터 섹션으로 구성된 전자 필터이다.

필터 설계의 **이미지 방법**은 동일한 섹션이 무한히 연결된 체인에서 가질 특성을 계산하여 필터 섹션의 속성을 결정한다. 이 분석은 그 기초가 되는 전송선로 이론과 유사하다. 이 방법으로 설계된 필터를 이미지 파라미터 필터 또는 간단히 이미지 필터라고 한다. 이미지 필터의 중요한 파라미터는 동일한 섹션의 무한 체인 임피던스인 영상 임피던스(image impedance)이다.

기본 섹션들은 여러 섹션의 사다리 네트워크(ladder network)로 배열되며, 필요한 섹션의 수는 주로 요구되는 차단 대역(stopband) 저지량에 의해 결정된다. 가장 단순한 형태의 필터는 전적으로 동일한 섹션으로 구성될 수 있다. 그러나 특정 유형이 가장 잘 해결할 수 있는 서로 다른 파라미터를 개선하기 위해 두세 가지 다른 유형의 섹션을 사용하는 합성 필터를 사용하는 것이 더 일반적이다. 가장 빈번하게 고려되는 파라미터는 차단 대역 저지, 필터 스커트(전이 대역)의 가파른 정도 및 필터 종단과의 임피던스 정합이다.

이미지 필터는 선형 필터이며 구현 시 예외 없이 수동형이다.

## 역사
필터 설계의 이미지 방법은 단일 케이블에 많은 전화 채널을 다중화하여 사용할 수 있는 필터링 기술 개발에 관심이 있었던 American Telephone & Telegraph(AT&T)에서 시작되었다. 이 작업에 참여한 연구원들과 그들의 공헌은 아래에 간략히 나열되어 있다.

* 존 렌쇼 카슨(John Carson)은 이론의 수학적 토대를 제공했다. 그는 전화 채널 다중화를 목적으로 단측파대 변조를 발명했다. 이러한 신호를 복구해야 할 필요성이 고급 필터링 기술의 필요성을 낳았다. 그는 또한 이러한 신호를 분석하기 위해 연산 미적분학(현재의 수학적 형태인 라플라스 변환 이론의 전신)의 사용을 개척했다.
* 조지 애슐리 캠벨(George Campbell)은 1910년부터 필터링 작업을 수행했으며 정 k형 필터를 발명했다. 이것은 올리버 헤비사이드가 발명한 개념인 전송선로의 로딩 코일에 대한 그의 연구의 연장선으로 볼 수 있다. 공교롭게도 헤비사이드는 카슨이 사용한 연산 미적분학도 발명했다.
* 오토 조벨(Otto Zobel)은 캠벨의 필터에 대한 이론적 근거(및 명칭)를 제공했다. 1920년에 그는 m 유도형 필터를 발명했다. 조벨은 또한 정  섹션과  유도형 섹션을 모두 결합한 합성 설계를 발표했다.
* R. S. 호이트(R. S. Hoyt) 또한 기여했다.

## 이미지 방법

이미지 분석은 입력 및 출력 임피던스(영상 임피던스)와 동일한 섹션의 무한 체인에 있는 섹션의 전달 함수 계산에서 시작된다. 이는 영상 임피던스로 종단된 섹션의 성능과 동일함을 보일 수 있다. 따라서 이미지 방법은 각 필터 섹션이 올바른 영상 임피던스로 종단되는 것에 의존한다. 다중 섹션 필터의 내부 섹션에서는 해당 섹션과 마주보는 섹션들이 동일한 영상 임피던스를 갖도록 보장하기만 하면 되므로 매우 쉽다. 그러나 끝 섹션이 문제다. 이들은 대개 필터가 특정 주파수에서만 완벽하게 맞출 수 있는 고정 전기저항으로 종단된다. 이러한 불일치는 필터 종단과 섹션 간의 접합부에서 다중 반사를 초래한다. 이러한 반사는 특히 차단 주파수 근처에서 필터 응답이 이론치에서 급격히 벗어나게 만든다.

단단 임피던스와의 더 나은 정합 요구 사항은 합성 필터를 사용하는 주요 동기 중 하나이다. 양호한 정합을 제공하도록 설계된 섹션이 끝단에 사용되지만, 필터 본체에는 다른 특성(예: 차단 대역 저지 또는 통과 대역에서 차단 대역으로의 전이)을 위해 설계된 섹션이 사용된다.

## 필터 섹션 유형
각 필터 섹션 유형은 특정 장단점이 있으며 각자 특정 필터 파라미터를 개선할 수 있는 능력이 있다. 아래에 설명된 섹션들은 로우패스 필터 섹션의 원형 필터(prototype filter)들이다. 이러한 원형들은 원하는 주파수 대역 형태(로우패스 필터, 하이패스 필터, 대역 필터 또는 대역 저지 필터)로 스케일링 및 변형될 수 있다.

이미지 필터의 가장 작은 단위는 L형 반섹션이다. L형 섹션은 대칭이 아니므로 양쪽에 서로 다른 영상 임피던스(\; Z_\mathsf{i} \;)를 갖는다. 이들은 \; Z_\mathsf{iT} \; 및 \; Z_\mathsf{i\Pi} ~.로 표시된다. 접미사 T와 Π는 두 개의 반섹션을 등을 맞대고 연결했을 때 형성될 필터 섹션의 모양을 나타낸다. 아래의 토폴로지 차트 다이어그램에서 볼 수 있듯이 T와 Π는 구성할 수 있는 가장 작은 대칭 섹션이다. 문제의 섹션이 일반적인 경우와 다른 영상 임피던스를 가질 경우 섹션 유형을 식별하는 추가 접미사가 추가된다(예: \; Z_{\mathsf{iT}\!\;m} ~.).

### 정  섹션

**[[정 k형 필터|정 ]]** 또는 **형** 필터 섹션은 기본적인 이미지 필터 섹션이다. 또한 가장 단순한 회로 토폴로지이다. 형은 통과 대역에서 차단 대역으로의 전이가 중간 정도로 빠르며 차단 대역 저지도 중간 정도이다.

파일:Lowpass Filter LC.svg|형 로우패스 필터 반섹션
파일:Constant k order 5.png|4개의 (반)섹션이 있는 형 로우패스 응답


### 유도형 섹션

**[[m 유도형 필터| 유도형]]** 또는 **형** 필터 섹션은 형 섹션의 발전된 형태이다. 형의 가장 두드러진 특징은 차단 대역 내부의 차단 주파수 바로 지나서 감쇠극(pole of attenuation)이 있다는 것이다. 파라미터  은 이 감쇠극의 위치를 조정한다.  값이 작을수록 극이 차단 주파수에 더 가까워진다.  값이 클수록 극이 더 멀어진다. 한계적으로 이 에 가까워지면 극은 무한대 에 도달하고 섹션은 형 섹션에 가까워진다.

형은 차단 주파수에서의 완전 통과에서 극 주파수에서의 완전 차단으로 가는 매우 빠른 차단 특성을 가지고 있다. 극을 차단 주파수에 더 가깝게 이동함으로써 차단을 더 빠르게 만들 수 있다. 이 필터는 모든 필터 설계 중에서 가장 빠른 차단 특성을 갖는다. 빠른 전이가 단일 섹션만으로 달성되며 여러 섹션이 필요하지 않다는 점에 주목하라. 형 섹션의 단점은 감쇠극을 지나면 차단 대역 저지가 좋지 않다는 것이다.

=0.6인 형 필터는 특히 유용한 특성을 가지고 있다. 이들은 통과 대역에서 최대 평탄 영상 임피던스 \; Z_{\mathsf{i}\!\; m} \;를 갖는다. 따라서 적어도 통과 대역에서는 필터 종단과의 정합에 좋지만, 차단 대역은 이야기가 다르다.

형 섹션에는 직렬(series)과 병렬(shunt)의 두 가지 변형이 있다. 이들은 동일한 전달 함수를 갖지만 영상 임피던스는 다르다. 병렬 반섹션은 한쪽은 \; Z_\mathsf{i\Pi} \;와 일치하지만 다른 쪽은 다른 임피던스인 \; Z_{\mathsf{iT}\!\; m} \;을 갖는 영상 임피던스를 가진다. 직렬 반섹션은 한쪽은 \; Z_\mathsf{iT} \;와 일치하고 다른 쪽은 \; Z_{\mathsf {i\Pi}\!\; m} \;을 갖는다.


파일:m-Derived Shunt Low-pass Filter Half-section.svg|형 로우패스 필터 병렬 반섹션
파일:m-derived order 1.png|=0.5인 단일 반섹션 형 로우패스 응답
파일:m-derived order 5.png|=0.5인 4개의 (반)섹션이 있는 형 로우패스 응답
파일:m-Derived Series Low-pass Filter Half-section.svg|형 로우패스 필터 직렬 반섹션
파일:m-type m=0.75 order 2.png|=0.75인 단일 반섹션 형 로우패스 응답
파일:m-type m=0.25 order 2.png|=0.25인 단일 반섹션 형 로우패스 응답


### 형 섹션

**[[mm'형 필터|형]]** 섹션은 설계자가 조정할 수 있는 두 개의 독립적인 파라미터( 및 )를 가지고 있다. 이는  유도 과정을 두 번 적용하여 얻어진다. 주요 장점은 형 또는 형보다 저항성 단단 종단과의 정합이 상당히 뛰어나다는 것이다. 반섹션의 영상 임피던스는 한쪽은 \; Z_{\mathsf{i}\!\; m} \;이고 다른 쪽은 다른 임피던스인 \; Z_{\mathsf{i}\!\; mm'} \;이다. 형과 마찬가지로 이 섹션은 직렬 또는 병렬 섹션으로 구성될 수 있으며 영상 임피던스는 T 및 Π 변형으로 제공된다. 병렬 형에 직렬 구성을 적용하거나 직렬 형에 병렬 구성을 적용한다. 형 필터의 장점은 회로 복잡성이 증가하는 대가로 얻어지므로 보통 임피던스 정합 목적이 필요한 곳에서만 사용되고 필터 본체에는 사용되지 않는다.

형의 전달 함수는 이 곱 으로 설정된 형과 동일하다. 최상의 임피던스 정합을 위해  및  값을 선택하려면 설계자는 정합이 정확해야 하는 두 주파수를 선택해야 하며, 다른 주파수에서는 약간의 편차가 발생한다. 따라서 선택의 여지가 어느 정도 있지만, 조벨은 대역의 유용한 부분에서 임피던스 편차가 2% 미만인 =0.7230 및 =0.4134 값을 제안한다. =0.3이므로 이 섹션은 임피던스 정합을 위한 대안인 =0.6인 형보다 훨씬 빠른 차단 특성을 갖는다.

 유도 과정을 반복적으로 계속하여 형 등을 생성할 수 있다. 그러나 얻어지는 개선 사항은 반복할 때마다 줄어들며 일반적으로 복잡성 증가만큼의 가치가 없다.


파일:mm'-Derived Series Low-pass Filter Half-section.svg|형 로우패스 필터 직렬 반섹션
파일:m-type m=0.6 order 2.png|=0.6인 단일 반섹션 형 로우패스 응답
파일:m-type m=0.3 order 2.png|=0.3인 단일 반섹션 형 로우패스 응답


### 보드의 필터
섬네일|right|250px|로우패스 필터로 구현된 보드 필터의 한 형태.
형 필터의 또 다른 변형은 헨드릭 보드(Hendrik Bode)에 의해 설명되었다. 이 필터는 중간 직렬 m 유도형 필터를 원형으로 사용하고 이를 브리지 저항이 추가된 브리지 T 토폴로지로 변환한다. 이 섹션은 인덕터 저항 때문에 매우 작은  값에서 제대로 작동하지 않기 시작하는 조벨 필터보다 감쇠극을 차단 주파수에 훨씬 더 가깝게 배치할 수 있다는 장점이 있다. 작동 원리에 대한 설명은 등가 임피던스 변환을 참조하라.

### 조벨 네트워크

**[[조벨 네트워크]]** 필터의 특징은 정저항 영상 임피던스를 갖는다는 것이며, 이러한 이유로 **정저항 네트워크**라고도 불린다. 분명히 조벨 네트워크 필터는 종단과의 정합 문제가 없으며 이것이 주요 장점이다. 그러나 다른 필터 유형들이 더 가파른 전달 함수와 더 날카로운 차단 특성을 갖는다. 필터링 응용 분야에서 조벨 네트워크의 주요 역할은 등화 필터로서이다. 조벨 네트워크는 다른 이미지 필터와는 다른 그룹에 속한다. 정저항은 다른 이미지 필터 섹션과 조합하여 사용할 때 단단 종단과 동일한 정합 문제가 발생함을 의미한다. 조벨 네트워크는 또한 다른 동등한 이미지 섹션보다 훨씬 더 많은 구성 요소를 사용한다는 단점이 있다.

파일:Bridged-T highpass filter.svg|조벨 네트워크 브리지 T 하이패스 필터 섹션
파일:RL filter response.png|단일 섹션 조벨 네트워크 로우패스 응답
파일:Zobel 5 sections.png|5개 섹션 조벨 네트워크 로우패스 응답


### 단단 종단의 영향

필터 설계의 이미지 방법의 결과로, 응답에 미치는 영향을 고려하려면 단단 종단의 영향을 별도로 계산해야 한다. 예측된 응답에서 가장 심한 편차는 차단 주파수에 가까운 통과 대역에서 발생한다. 그 이유는 두 가지이다. 통과 대역 안쪽으로 더 들어갈수록 임피던스 정합이 점진적으로 개선되어 오류가 제한된다. 반면에 차단 대역의 파동은 불일치로 인해 단단 종단에서 반사되지만 필터를 통과하면서 필터 차단 대역 저지에 의해 두 번 감쇠된다. 따라서 차단 대역 임피던스 불일치는 심각할 수 있지만 필터 응답에 미치는 영향은 제한적이다.


파일:Theoretical T filter response.png|영상 임피던스로 올바르게 종단되었을 때의 이론적인 형 로우패스 T-필터(두 개의 반섹션) 응답
파일:T filter response, Network synthesis.png|고정 저항으로 종단되었을 때의 실제 형 로우패스 T-필터(두 개의 반섹션) 응답


## 섹션 캐스케이딩
여러 개의 L형 반섹션을 캐스케이드(종속 연결)하여 합성 필터를 형성할 수 있다. 합성 이미지 필터를 구성할 때 가장 중요한 규칙은 영상 임피던스가 항상 동일한 임피던스를 마주해야 한다는 것이다. 즉, 같은 것끼리 마주보아야 한다. T 섹션은 항상 T 섹션을 마주해야 하고, Π 섹션은 항상 Π 섹션을 마주해야 하며, 형은 항상 형(또는 형 임피던스를 가진 형의 한쪽)을 마주해야 하고, 형은 항상 형을 마주해야 한다. 또한 서로 다른  값을 가진 형 임피던스는 서로 마주볼 수 없다. 차단 주파수 값이 서로 다른 어떤 유형의 섹션도 마찬가지이다.

필터의 시작과 끝 섹션은 주파수 응답의 형태보다는 종단과의 임피던스 정합을 위해 선택되는 경우가 많다. 이 목적으로는  = 0.6인 형 섹션이 가장 일반적인 선택이다. 대안으로는 =0.7230 및 =0.4134인 형 섹션이 있지만 이 유형은 거의 사용되지 않는다. 아래에 언급된 몇 가지 장점이 있지만, 더 복잡하다는 단점이 있고, 또한 필터 본체에 정  섹션이 필요한 경우 형을 형에 연결하기 위해 형 섹션을 포함해야 한다.

필터의 내부 섹션은 가장 큰 차단 대역 감쇠를 생성하므로 정  섹션이 가장 흔히 선택된다. 그러나 통과 대역에서 차단 대역으로의 감쇠율을 개선하기 위해 하나 또는 두 개의 형 섹션이 포함될 수도 있다. 이 목적으로 사용되는 형에는 낮은  값이 선택된다.  값이 낮을수록 전이가 빨라지지만 동시에 차단 대역 감쇠가 줄어들어 추가적인 형 섹션을 사용해야 할 필요성이 커진다. 임피던스 정합을 위해 형을 사용하는 것의 장점은 임피던스 정합을 위해 =0.3이므로 이러한 유형의 끝 섹션은 어쨌든 빠른 전이를 갖게 된다는 것이다(=0.6인 형보다 훨씬 더). 따라서 필터 본체에 이를 위한 섹션을 둘 필요가 없어질 수 있다.

섬네일|center|475px|블록 다이어그램 형태의 일반적인 합성 이미지 필터 예시. 영상 임피던스와 이들이 어떻게 일치하는지 보여준다.
섬네일|center|550px|사다리형 로우패스 필터로 구현된 위의 필터. 소자 값은 정  반섹션의 소자 값인  및 로 주어진다.
섬네일|center|375px|적절한 경우 직렬 또는 병렬로 소자를 결합하여 최소화한 동일 필터.

필터 본체에 형을 사용하는 또 다른 이유는 차단 대역에 추가적인 감쇠극을 배치하기 위해서이다. 극의 주파수는  값에 직접적으로 의존한다.  값이 작을수록 극이 차단 주파수에 더 가깝다. 반대로  값이 크면 극이 차단 주파수에서 더 멀어지며, =1인 한계에서는 극이 무한대에 있고 응답은 형 섹션과 동일하다. 이 극을 위해 끝 섹션의 극과 다른  값을 선택하면 차단 주파수 근처의 양호한 차단 대역 저지 대역폭을 넓히는 효과가 있다. 이러한 방식으로 형 섹션은 차단 주파수 근처에서 양호한 차단 대역 저지를 제공하고, k형 섹션은 차단 주파수에서 먼 곳에서 양호한 차단 대역 저지를 제공한다. 또는 끝 섹션에서 발견된 값이 부적합한 경우 필터 본체에서 서로 다른  값을 가진 형 섹션을 사용할 수 있다. 여기서도 형을 임피던스 정합에 사용하면 몇 가지 장점이 있다. 임피던스 정합에 사용되는 형은 =0.3에 극을 배치한다. 그러나 임피던스 정합 섹션의 나머지 절반은 =0.723인 형이어야 한다. 이는 자동으로 양호한 차단 대역 저지 확산을 제공하며, 전이 가파름 문제와 마찬가지로 형 섹션을 사용하면 본체에 추가적인 형 섹션이 필요하지 않을 수 있다.

필터가 전송선로에서 사용되는 경우 통과 대역 응답의 평탄도를 개선하기 위해 정저항 섹션이 필요할 수도 있다. 이는 전송선로 응답이 대개 완벽하게 평탄한 것과는 거리가 멀기 때문에 필요하다. 이러한 섹션들은 선로에 예측 가능한 임피던스를 제공하고 선로의 불확정적인 임피던스를 나머지 필터로부터 가려주는 경향이 있으므로 보통 선로에 가장 가깝게 배치된다. 정저항 섹션들은 완전히 다른 주파수 대역에서 작동하더라도 서로 정합하는 데 문제가 없다. 모든 섹션은 고정 저항의 정확히 동일한 영상 임피던스를 갖도록 만들어질 수 있다.

## 같이 보기
### 이미지 필터 유형
* 정 k형 필터
* 일반 mn형 이미지 필터
* 격자 필터
* m 유도형 필터
* mm'형 필터
* 조벨 네트워크
### 설계 개념
* 영상 임피던스
* 원형 필터
* 로딩 코일
### 인물
* 조지 애슐리 캠벨
* 존 렌쇼 카슨
* 올리버 헤비사이드
* 오토 조벨

## 각주

## 참고 자료

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분류:회로 설계
분류:선형 필터
분류:필터 이론
분류:아날로그 회로