페르미 상호작용

[섬네일|360px|[원자핵에서의 베타 붕괴 (동반하는 반중성미자는 생략됨).
내부 그림은 자유 중성자의 베타 붕괴를 보여준다. 두 과정 모두 가상 보손 (이후 전자와 반중성미자로 붕괴됨)의 중간 방출은 표시되지 않았다.]]

입자물리학에서 **페르미 상호작용**(, 또한 **베타 붕괴의 페르미 이론**() 또는 **페르미 [[4-페르미온 상호작용]]**())은 1933년 엔리코 페르미가 제안한 베타 붕괴에 대한 설명이다. 이 이론은 네 개의 페르미온이 직접적으로 서로 상호작용한다고 가정한다(관련 파인만 도형의 한 꼭짓점에서). 이 상호작용은 중성자가 전자, 중성미자 (나중에는 반중성미자로 밝혀짐) 및 양성자와 직접 결합하여 베타 붕괴를 설명한다.

페르미는 1933년 베타 붕괴에 대한 설명에서 이 결합을 처음 도입했다. 페르미 상호작용은 양성자-중성자와 전자-반중성미자 간의 상호작용이 가상의 W<sup>−</sup> 보손에 의해 매개되는 약한 상호작용 이론의 선구자이며, 페르미 이론은 이의 저에너지 유효 이론이다.

요르단과 함께 요르단-위그너 변환을 도입한 유진 위그너에 따르면, 페르미의 베타 붕괴 논문은 물리학 역사에 대한 그의 주요 공헌이었다.

## 초기 거부 및 후속 출판의 역사
페르미는 처음에 그의 "시론적" 베타 붕괴 이론을 유명한 과학 저널인 네이처에 제출했지만 "독자에게 흥미롭기에는 현실과 너무 동떨어진 추측을 포함하고 있다"는 이유로 거부당했다. 네이처가 나중에 그 거부가 역사상 가장 큰 편집상의 실수 중 하나임을 인정했다고 주장되어 왔지만, 페르미의 전기작가 데이비드 N. 슈워츠(David N. Schwartz)는 이것이 증명되지 않았고 가능성도 낮다고 반박했다. 그 후 페르미는 수정된 논문 버전을 이탈리아어 및 독일어 출판물에 제출했고, 이들 출판물은 1933년과 1934년에 해당 언어로 논문을 수락하고 출판했다. 해당 논문은 그 당시 영어로 된 주요 출판물에 실리지 않았다. 선구적인 논문의 영어 번역본은 1968년 American Journal of Physics에 출판되었다.

페르미는 논문의 초기 거부에 매우 난처해 이론물리학에서 잠시 쉬고 실험물리학만 하기로 결정했다. 이것은 곧 느린 중성자를 이용한 핵 활성화에 대한 그의 유명한 연구로 이어질 것이다.

## "시론"
### 정의
이 이론은 세 가지 유형의 입자를 다루는데, 이들은 직접 상호작용한다고 가정된다: 처음에는 "중성자 상태"의 "무거운 입자" (\rho=+1)가 전자와 중성미자를 방출하며 "양성자 상태" (\rho = -1)로 전이된다.

#### 전자 상태
:\psi = \sum_s \psi_s a_s,

여기서 \psi는 단일 전자 파동 함수이고, \psi_s는 그 정상 상태이다.

a_s는 상태 <math>s</math>에 있는 전자를 소멸시키는 연산자이며, 포크 공간에서 다음과 같이 작용한다.

:a_s \Psi(N_1, N_2, \ldots, N_s, \ldots) = (-1)^{N_1 + N_2 + \cdots + N_s - 1} (1 - N_s) \Psi(N_1, N_2, \ldots, 1 - N_s, \ldots).

a_s^*는 전자 상태 s에 대한 생성 연산자이다.

:a_s^* \Psi(N_1, N_2, \ldots, N_s, \ldots) = (-1)^{N_1 + N_2 + \cdots + N_s - 1} N_s \Psi(N_1, N_2, \ldots, 1 - N_s, \ldots).

#### 중성미자 상태
마찬가지로,

:\phi = \sum_\sigma \phi_\sigma b_\sigma,

여기서 \phi는 단일 중성미자 파동 함수이고, \phi_\sigma는 그 정상 상태이다.

b_\sigma는 상태 \sigma에 있는 중성미자를 소멸시키는 연산자이며, 포크 공간에서 다음과 같이 작용한다.

:b_\sigma \Phi(M_1, M_2, \ldots, M_\sigma, \ldots) = (-1)^{M_1 + M_2 + \cdots + M_\sigma - 1} (1 - M_\sigma) \Phi(M_1, M_2, \ldots, 1 - M_\sigma, \ldots).

b_\sigma^*는 중성미자 상태 \sigma에 대한 생성 연산자이다.

#### 무거운 입자 상태
\rho는 하이젠베르크가 도입한 연산자(나중에 아이소스핀으로 일반화됨)로, 무거운 입자 상태에 작용하며, 입자가 중성자일 때 +1, 양성자일 때 −1의 고유값을 가진다. 따라서 무거운 입자 상태는 두 행짜리 열 벡터로 표현되며,

:\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}

은 중성자를 나타내고,

:\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}

은 양성자를 나타낸다 (\rho가 일반적인 \sigma_z 스핀 행렬인 표현에서).

무거운 입자를 양성자에서 중성자로, 또는 그 반대로 바꾸는 연산자는 각각 다음과 같이 표현된다.

:Q = \sigma_x - i \sigma_y = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}

그리고

:Q^* = \sigma_x + i \sigma_y = \begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}.

u_n과 v_n은 각각 상태 n에서 중성자 또는 양성자에 대한 고유 함수이다.

### 해밀토니안
해밀토니안은 세 부분으로 구성된다: 자유 무거운 입자의 에너지를 나타내는 H_\text{h.p.}, 자유 가벼운 입자의 에너지를 나타내는 H_\text{l.p.}, 그리고 상호작용 H_\text{int.}을 나타내는 부분.

:H_\text{h.p.} = \frac{1}{2}(1 + \rho)N + \frac{1}{2}(1 - \rho)P,

여기서 N과 P는 각각 중성자와 양성자의 에너지 연산자이므로, \rho = 1이면 H_\text{h.p.} = N이고, \rho = -1이면 H_\text{h.p.} = P이다.

:H_\text{l.p.} = \sum_s H_s N_s + \sum_\sigma K_\sigma M_\sigma,

여기서 H_s는 핵의 쿨롱 장에서 s^\text{th} 상태에 있는 전자의 에너지이고, N_s는 그 상태에 있는 전자의 수이다; M_\sigma는 \sigma^\text{th} 상태에 있는 중성미자의 수이고, K_\sigma는 그러한 각 중성미자의 에너지이다 (자유로운 평면파 상태에 있다고 가정).

상호작용 부분은 양성자가 전자와 중성미자 (현재는 반중성미자로 알려짐)의 방출과 함께 중성자로 변환되는 항과 그 역과정에 대한 항을 포함해야 한다; 전자와 양성자 사이의 쿨롱 힘은 \beta-붕괴 과정과 관련이 없으므로 무시된다.

페르미는 H_\text{int.}에 대해 두 가지 가능한 값을 제안한다: 첫째, 스핀을 무시한 비상대론적 버전:

:H_\text{int.} = g \left[ Q \psi(x) \phi(x) + Q^* \psi^*(x) \phi^*(x) \right],

그리고 나중에 가벼운 입자가 4성분 디랙 장이지만 무거운 입자의 속도가 c에 비해 작고 전자기 벡터 포텐셜과 유사한 상호작용 항을 무시할 수 있다고 가정한 버전:

:H_\text{int.} = g \left[ Q \tilde{\psi}^* \delta \phi + Q^* \tilde{\psi} \delta \phi^* \right],

여기서 \psi와 \phi는 이제 4성분 디랙 스피너이고, \tilde{\psi}는 \psi의 에르미트 켤레를 나타내며, \delta는 다음 행렬이다.

:\begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & -1 & 0
\end{pmatrix}.

### 행렬 원소
시스템의 상태는 튜플 \rho, n, N_1, N_2, \ldots, M_1, M_2, \ldots, 로 주어진다. 여기서 \rho = \pm 1은 무거운 입자가 중성자인지 양성자인지를 지정하고, n은 무거운 입자의 양자 상태이며, N_s는 상태 s의 전자의 수이고 M_\sigma는 상태 \sigma의 중성미자의 수이다.

H_\text{int.}의 상대론적 버전을 사용하여 페르미는 상태 n에 있는 중성자와 상태 s에 전자, 상태 \sigma에 중성미자가 없는 상태와 상태 m에 있는 양성자와 상태 s와 \sigma에 전자와 중성미자가 있는 상태 사이의 행렬 원소를 다음과 같이 나타낸다.

:H^{\rho=1, n, N_s=0, M_\sigma=0}_{\rho=-1,m,N_s=1,M_\sigma=1} = \pm g \int v_m^* u_n \tilde{\psi}_s \delta \phi^*_\sigma d\tau,

여기서 적분은 무거운 입자의 전체 구성 공간 (단, \rho 제외)에 걸쳐 이루어진다. \pm는 가벼운 입자의 총 개수가 홀수(−)인지 짝수(+)인지에 따라 결정된다.

### 전이 확률

일반적인 양자 섭동 이론에 따라 상태 n에 있는 중성자의 수명을 계산하려면 위 행렬 원소를 모든 비어 있는 전자 및 중성미자 상태에 대해 합산해야 한다. 이는 전자 및 중성미자 고유 함수 \psi_s 및 \phi_\sigma가 핵 내에서 일정하다고 가정함으로써 단순화된다 (즉, 그들의 콤프턴 파장이 핵의 크기보다 훨씬 크다). 이는 다음으로 이어진다.

:H^{\rho=1, n, N_s=0, M_\sigma=0}_{\rho=-1,m,N_s=1,M_\sigma=1} = \pm g \tilde{\psi}_s \delta \phi_\sigma^* \int v_m^* u_n d\tau,

여기서 \psi_s와 \phi_\sigma는 이제 핵의 위치에서 평가된다.

페르미 황금률에 따르면 이 전이의 확률은 다음과 같다.

:\begin{align}
\left|a^{\rho=1, n, N_s=0, M_\sigma=0}_{\rho=-1,m,N_s=1,M_\sigma=1}\right|^2 &= \left|H^{\rho=1, n, N_s=0, M_\sigma=0}_{\rho=-1,m,N_s=1,M_\sigma=1} \times \frac{\exp{\frac{2\pi i}{h} (-W + H_s + K_\sigma) t} - 1}{-W + H_s + K_\sigma}\right|^2 \\
&= 4 \left|H^{\rho=1, n, N_s=0, M_\sigma=0}_{\rho=-1,m,N_s=1,M_\sigma=1}\right|^2 \times \frac{\sin^2\left(\frac{\pi t}{h}(-W + H_s + K_\sigma)\right)}{(-W + H_s + K_\sigma)^2},
\end{align}

여기서 W는 양성자와 중성자 상태의 에너지 차이이다.

모든 양에너지 중성미자 스핀/운동량 방향에 대해 평균을 내면 (\Omega^{-1}는 중성미자 상태의 밀도이며, 최종적으로 무한대로 간주된다), 다음을 얻는다.

: \left\langle \left|H^{\rho=1, n, N_s=0, M_\sigma=0}_{\rho=-1,m,N_s=1,M_\sigma=1}\right|^2 \right \rangle_\text{avg} = \frac{g^2}{4\Omega} \left|\int v_m^* u_n d\tau\right|^2  \left( \tilde{\psi}_s \psi_s - \frac{\mu c^2}{K_\sigma} \tilde{\psi}_s \beta \psi_s\right),

여기서 \mu는 중성미자의 정지 질량이고 \beta는 디랙 행렬이다.

전이 확률이 -W + H_s + K_\sigma = 0인 p_\sigma 값에서 날카로운 최대값을 가짐을 유의하면, 이는 다음으로 단순화된다.

: t\frac{8\pi^3 g^2}{h^4} \times \left| \int v_m^* u_n d\tau \right|^2 \frac{p_\sigma^2}{v_\sigma}\left(\tilde{\psi}_s \psi_s - \frac{\mu c^2}{K_\sigma} \tilde{\psi}_s \beta \psi_s\right),

여기서 p_\sigma와 K_\sigma는 -W + H_s + K_\sigma = 0을 만족하는 값이다.

페르미는 이 함수에 대해 세 가지 언급을 한다:

* 중성미자 상태는 자유로운 것으로 간주되므로, K_\sigma > \mu c^2이며 따라서 연속적인 \beta-스펙트럼의 상한은 H_s \leq W - \mu c^2이다.
* 전자의 경우 H_s > mc^2이므로 \beta-붕괴가 일어나기 위해서는 양성자-중성자 에너지 차이가 W \geq (m + \mu)c^2이어야 한다.
* 전이 확률에서 다음 인자는
::Q_{mn}^* = \int v_m^* u_n d\tau
:정상적으로는 크기가 1이지만, 특수한 상황에서는 0이 된다. 이는 \beta-붕괴에 대한 (근사적인) 선택 규칙으로 이어진다.

### 금지된 전이

위에서 언급했듯이, 무거운 입자 상태 u_n과 v_m 사이의 내적 Q_{mn}^*가 사라질 때, 해당 전이는 "금지"된다 (또는 오히려 1에 가까운 경우보다 훨씬 덜 가능성이 높다).

양성자와 중성자의 개별 양자 상태로 핵을 기술하는 것이 좋은 근사값이라면, Q_{mn}^*는 중성자 상태 u_n과 양성자 상태 v_m이 동일한 각운동량을 갖지 않는 한 사라진다; 그렇지 않으면 붕괴 전후 전체 핵의 총 각운동량이 사용되어야 한다.

## 영향
페르미의 논문이 발표된 직후, 베르너 하이젠베르크는 볼프강 파울리에게 보낸 편지에서 핵 내에서 중성미자와 전자의 방출 및 흡수가 2차 섭동 이론에서 양성자와 중성자 사이의 인력을 유도할 것이라고 언급했다. 이는 광자의 방출 및 흡수가 전자기력을 유도하는 방식과 유사하다. 그는 그 힘이 \frac{\text{Const.}}{r^5} 형태를 가질 것이라고 생각했지만, 당시 실험 데이터는 백만 배나 너무 작은 값을 나타냈다고 지적했다.

이듬해 유카와 히데키는 이 아이디어를 받아들였지만, 그의 이론에서는 중성미자와 전자가 새로운 가상의 전자의 약 200배 더 무거운 정지 질량을 가진 입자로 대체되었다.

## 후속 발전
페르미의 4-페르미온 이론은 약한 상호작용을 놀랍도록 잘 설명한다. 그러나 계산된 단면적 (상호작용 확률에 공통 상호작용 면적을 곱한 값)은 에너지의 제곱에 비례하여 증가한다.  \sigma \approx G_{\rm F}^2 E^2 . 이 단면적은 무한히 증가하므로, 이 이론은 약 100GeV보다 훨씬 높은 에너지에서는 유효하지 않다. 여기서 는 상호작용의 세기를 나타내는 페르미 상수이다. 이는 결국 사 페르미온 접촉 상호작용을 더 완전한 이론 (UV 완성)으로 대체하게 했다. 즉, 전기·약 작용에서 설명된 바와 같이 W 또는 Z 보손의 교환으로 대체되었다.

x110px|섬네일|right|4점 페르미온 벡터 전류를 보여주는 페르미 상호작용, 페르미 결합 상수 로 결합됨. 페르미 이론은 &beta; 붕괴의 핵 붕괴율을 설명하려는 최초의 이론적 시도였다.

이 상호작용은 뮤온, 전자 반중성미자, 뮤온 중성미자 및 전자의 결합을 통해 동일한 기본적인 상호작용 강도로 뮤온 붕괴를 설명할 수도 있었다. 이 가설은 게르슈타인(Gershtein)과 젤도비치에 의해 제시되었으며 벡터 전류 보존 가설로 알려져 있다.

원래 이론에서 페르미는 상호작용 형태가 두 벡터 전류의 접촉 결합이라고 가정했다. 나중에 리정다오와 양전닝은 축방향, 패리티 위반 전류의 출현을 막을 수 있는 것이 없다고 지적했으며, 이는 우젠슝이 수행한 실험에 의해 확인되었다.

페르미 상호작용에 패리티 위반을 포함하는 것은 조지 가모프와 에드워드 텔러가 소위 가모프-텔러 전이에서 수행했는데, 이는 페르미 상호작용을 각각 반평행 및 평행한 전자 및 중성미자 스핀 상태 측면에서 패리티 위반 "허용된" 붕괴와 패리티 보존 "초허용된" 붕괴로 설명했다. 전기·약 작용과 표준 모형의 출현 이전에 조지 수다르샨과 로버트 마샥, 그리고 독립적으로 리처드 파인만과 머리 겔만은 사 페르미온 상호작용의 올바른 텐서 구조 (벡터 마이너스 축 벡터, )를 결정할 수 있었다.

## 페르미 상수
페르미 상수의 가장 정확한 실험적 결정은 뮤온 수명 측정에서 나오는데, 이는 의 제곱에 반비례한다 (뮤온 질량을 W 보손 질량에 비해 무시할 때). 현대 용어로 "환산 페르미 상수", 즉 자연 단위의 상수는
:G_{\rm F}^0=\frac{G_{\rm F}}{(\hbar c)^3}=\frac{\sqrt{2}}{8}\frac{g^{2}}{M_{\rm W}^{2} c^4}=1.1663787(6)\times10^{-5} \; \textrm{GeV}^{-2} \approx 4.5437957\times10^{14} \; \textrm{J}^{-2}\ .
여기서 는 약한 상호작용의 결합 상수이고, 는 문제의 붕괴를 매개하는 W보손의 질량이다.

표준 모형에서 페르미 상수는 힉스 진공 기댓값과 관련이 있다.
:v = \left(\sqrt{2} \, G_{\rm F}^0\right)^{-1/2} \simeq 246.22 \; \textrm{GeV}.

더 직접적으로, 근사적으로 (표준 모델의 트리 수준에서),
:
G_{\rm F}^0\simeq \frac {\pi \alpha}{\sqrt{2}~ M_{\rm W}^2 (1- M^2_{\rm W}/M^2_{\rm Z}  )}.


이것은 W와 Z보손과 M_\text{Z}=\frac{M_\text{W}}{\cos\theta_\text{W}}의 관계를 사용하여 와인버그 각으로 더 단순화될 수 있다. 따라서
:
G_{\rm F}^0\simeq \frac {\pi \alpha}{\sqrt{2}~ M_{\rm Z}^{2}\cos^{2}\theta_{\rm W}\sin^{2}\theta_{\rm W}}.


## 각주

분류:엔리코 페르미