이중 차분

**이중 차분**(difference in differences, **DID** 또는 **DD**)은 계량경제학 및 사회 과학의 양적 연구에서 사용되는 통계 기법으로, 자연 실험에서 '처치 집단'과 '통제 집단'에 대한 처치의 차등 효과를 연구함으로써 관찰 연구 데이터를 사용하여 실험 연구 설계를 모방하려는 시도이다. 이 방법은 처치 집단에 대한 결과 변수의 시간에 따른 평균 변화를 통제 집단에 대한 시간에 따른 평균 변화와 비교하여 처치(즉, 설명 변수 또는 독립변수)가 결과(즉, 반응 변수 또는 종속변수)에 미치는 효과를 계산한다. 이 방법은 외생 요인 및 선택 편향의 영향을 완화하기 위한 것이지만, 처치 집단이 선택되는 방식에 따라 특정 편향(예: 평균으로의 회귀, 역인과관계 편향 및 누락된 변수 편향)에 여전히 취약할 수 있다.

피험자에 대한 처치 효과의 시계열 추정(시간에 따른 차이 분석) 또는 처치 효과의 횡단면 연구 추정(처치 및 통제 집단 간의 차이 측정)과 달리, 이중 차분은 패널데이터를 사용하여 시간에 따라 발생하는 결과 변수의 변화에 대한 처치 및 통제 집단 간의 차이를 측정한다.

## 일반적인 정의
섬네일|upright=1.3
이중 차분은 처치 집단과 통제 집단에서 두 개 이상의 다른 시간대에 측정된 데이터를 필요로 하며, 특히 "처치" 전 최소 한 기간과 "처치" 후 최소 한 기간이 필요하다. 그림에 나타난 예에서 처치 집단의 결과는 선 P로, 통제 집단의 결과는 선 S로 나타난다. 두 집단의 결과(종속) 변수는 처치(즉, 독립 또는 설명 변수)를 받기 전인 시간 1에서 측정되며, 점 P1과 S1로 표시된다. 처치 집단은 처치를 받거나 경험하고 두 집단은 시간 2에서 다시 측정된다. 시간 2에서 처치 집단과 통제 집단 간의 모든 차이(즉, P2와 S2의 차이)가 처치 효과로 설명될 수는 없다. 왜냐하면 처치 집단과 통제 집단이 시간 1에서 같은 지점에서 시작하지 않았기 때문이다. 따라서 DID는 두 집단 간의 결과 변수의 "정상적인" 차이(두 집단 모두 처치를 경험하지 않았을 때 여전히 존재할 차이)를 점선 Q로 나타낸다. (P1에서 Q까지의 기울기가 S1에서 S2까지의 기울기와 같다는 점에 유의하라.) 처치 효과는 관찰된 결과(P2)와 "정상적인" 결과(P2와 Q의 차이) 간의 차이이다.

## 형식적인 정의

다음 모델을 고려하라.

: y_{it} ~=~ \gamma_{s(i)} + \lambda_t + \delta I(\dots) + \varepsilon_{it}

여기서 y_{it}는 개인 i와 시간 t에 대한 종속 변수이고, s(i)는 i가 속한 집단(즉, 처치 또는 통제 집단)이며,  I(\dots) 는  (\dots) 에 설명된 사건이 참일 때 1이고 그렇지 않으면 0인 가변수에 대한 약어이다. 집단별로 시간 대 Y 플롯에서 \gamma_s는 s에 대한 그래프의 세로 절편이고, \lambda_t는 평행 추세 가정(아래 가정 참조)에 따라 두 집단이 공유하는 시간 추세이다. \delta는 처치 효과이고 \varepsilon_{it}는 오차항이다.

집단 및 시간에 따른 종속 변수와 더미 지표의 평균을 고려하라.

: 
\begin{align}
n_s & = \text{ 집단 } s \text{의 개인 수} \\
\overline{y}_{st} & = \frac{1}{n_s} \sum_{i=1}^n y_{it} \ I(s(i) ~=~ s), \\
\overline{\gamma}_s & = \frac{1}{n_s} \sum_{i=1}^n \gamma_{s(i)} \ I(s(i) ~=~ s) ~=~ \gamma_s, \\
\overline{\lambda}_{st} & = \frac{1}{n_s} \sum_{i=1}^n \lambda_t \ I(s(i) ~=~ s) ~=~ \lambda_t, \\
D_{st} & = \frac{1}{n_s} \sum_{i=1}^n I(s(i) ~=~\text{ 처치, } t \text{ 후 기간}) \ I(s(i) ~=~ s) ~=~ I(s ~=~\text{ 처치, } t \text{ 후 기간}) , \\
\overline{\varepsilon}_{st} & = \frac{1}{n_s} \sum_{i=1}^n \varepsilon_{it} \ I(s(i) ~=~ s),
\end{align}


그리고 단순화를 위해 s=1,2 및 t=1,2라고 가정하자. D_{st}는 무작위가 아니며, 집단과 기간이 어떻게 레이블링되는지를 인코딩할 뿐이다. 그러면

: 
\begin{align}
& (\overline{y}_{11} - \overline{y}_{12}) - (\overline{y}_{21} - \overline{y}_{22}) \\[6pt]
= {} & \big[ (\gamma_1 + \lambda_1 + \delta D_{11} + \overline{\varepsilon}_{11}) - (\gamma_1 + \lambda_2 + \delta D_{12} + \overline{\varepsilon}_{12}) \big] \\
& \qquad {} - \big[ (\gamma_2 + \lambda_1 + \delta D_{21} + \overline{\varepsilon}_{21}) - (\gamma_2 + \lambda_2 + \delta D_{22} + \overline{\varepsilon}_{22}) \big] \\[6pt]
= {} & \delta (D_{11} - D_{12}) + \delta(D_{22} - D_{21}) + \overline{\varepsilon}_{11} - \overline{\varepsilon}_{12} + \overline{\varepsilon}_{22} - \overline{\varepsilon}_{21}.
\end{align}


엄격한 외생성 가정은 다음을 의미한다.

: \operatorname{E} \left [ (\overline{y}_{11} - \overline{y}_{12}) - (\overline{y}_{21} - \overline{y}_{22}) \right ] ~=~ \delta (D_{11} - D_{12}) + \delta(D_{22} - D_{21}).

일반성을 잃지 않고, s = 2가 처치 집단이고, t = 2가 후 기간이라고 가정하면, D_{22}=1이고 D_{11}=D_{12}=D_{21}=0이므로 DID 추정기는 다음과 같다.

: \hat{\delta} ~=~ (\overline{y}_{11} - \overline{y}_{12}) - (\overline{y}_{21} - \overline{y}_{22}),

이는 D_{st}로 표시된 처치 효과로 해석될 수 있다. 아래에서는 이 추정기가 정규방정식 회귀에서 계수로 어떻게 읽힐 수 있는지 보여준다. 이 절에서 설명된 모델은 과도하게 매개변수화되어 있다. 이를 해결하기 위해 더미 변수 중 하나의 계수를 0으로 설정할 수 있다. 예를 들어, \gamma_1 = 0으로 설정할 수 있다.

## 가정

right|섬네일|320px| 평행 추세 가정의 설명

DID는 OLS 모델의 특별한 버전이므로, OLS 모델의 모든 가우스-마르코프 가정이 DID에도 동일하게 적용된다. 또한, DID는 **평행 추세 가정**을 필요로 한다. 평행 추세 가정은 \lambda_2 - \lambda_1이 s=1과 s=2 모두에서 동일하다는 것을 의미한다. 위의 형식적인 정의가 현실을 정확하게 나타낸다고 가정하면, 이 가정은 자동으로 성립한다. 그러나 \lambda_{st} ~:~ \lambda_{22} - \lambda_{21} \neq \lambda_{12} - \lambda_{11}을 포함하는 모델이 훨씬 더 현실적일 수 있다. 평행 추세 가정이 성립할 가능성을 높이기 위해 이중 차분 접근 방식은 종종 매칭과 결합된다. 이는 알려진 '처치' 단위를 모의 반사실 '통제' 단위(처치를 받지 않은 특성적으로 동일한 단위)와 '매칭'하는 것을 포함한다. 결과 변수를 시간적 차이(처치 전후 기간의 관찰 결과 변화)로 정의하고, 유사한 처치 전 이력을 기반으로 대규모 표본에서 여러 단위를 매칭함으로써, 결과적으로 평균 처치 효과 (즉, ATT: 처치 받은 집단에 대한 평균 처치 효과)는 처치 효과의 견고한 이중 차분 추정치를 제공한다. 이는 두 가지 통계적 목적을 달성한다. 첫째, 처치 전 공변량에 조건부로, 평행 추세 가정이 성립할 가능성이 높다. 둘째, 이 접근 방식은 유효한 추론에 필요한 관련 무시 가능성 가정에 대한 의존도를 줄인다.

오른쪽에 설명된 바와 같이, 처치 효과는 관찰된 y 값과 처치가 없었을 때 평행 추세를 가졌을 y 값 간의 차이이다. DID의 아킬레스건은 처치와 동시에 한 집단에서는 처치 외의 다른 변화가 발생하고 다른 집단에서는 그렇지 않을 때 발생하며, 이는 평행 추세 가정 위반을 의미한다.

DID 추정치의 정확성을 보장하기 위해 두 집단의 개체 구성은 시간에 따라 변하지 않는다고 가정한다. DID 모델을 사용할 때 자기상관 및 애션펠터 딥과 같이 결과에 영향을 미칠 수 있는 다양한 문제를 고려하고 처리해야 한다.

## 구현

DID 방법은 아래 표에 따라 구현할 수 있으며, 오른쪽 아래 셀이 DID 추정기이다.

회귀 분석을 실행하면 동일한 결과가 나온다. OLS 모델을 고려하라.

: y ~=~ \beta_0 + \beta_1 T + \beta_2 S + \beta_3 (T \cdot S) + \varepsilon

여기서 T는 기간에 대한 더미 변수로, t=2일 때 1이고, S는 집단 구성원에 대한 더미 변수로, s=2일 때 1이다. 복합 변수 (T \cdot S)는 S=T=1일 때를 나타내는 더미 변수이다. 여기서 엄격하게 보여지지는 않지만, 이것은 형식적인 정의 모델의 적절한 매개변수화이며, 또한 해당 섹션의 집단 및 기간 평균은 다음과 같이 모델 매개변수 추정치와 관련된다.

: 
\begin{align}
\hat{\beta}_0 & = \widehat{E}(y \mid T=0,~ S=0) \\[8pt]
\hat{\beta}_1 & = \widehat{E}(y \mid T=1,~ S=0) - \widehat{E}(y \mid T=0,~ S=0) \\[8pt]
\beta_2 & = \widehat{E}(y \mid T=0,~ S=1) - \widehat{E}(y \mid T=0,~ S=0) \\[8pt]
\hat{\beta}_3 & = \big[\widehat{E}(y \mid T=1,~ S=1) - \widehat{E}(y \mid T=0,~ S=1)\big] \\
& \qquad {} - \big[\widehat{E}(y \mid T=1,~ S=0) - \widehat{E}(y \mid T=0,~ S=0)\big],
\end{align}


여기서 \widehat{E}(\dots \mid \dots )는 표본에서 계산된 조건부 평균을 나타낸다. 예를 들어, T=1은 후 기간 지표이고, S=0은 통제 집단 지표이다. \hat{\beta}_1은 통제 집단의 영향이라기보다는 반사실의 추정치라는 점에 유의하라. 통제 집단은 종종 반사실에 대한 대리 변수로 사용된다(이 점에 대한 더 깊은 이해는 합성 통제 방법을 참조하라). 따라서 \hat{\beta}_1은 통제 집단과 개입(처치)의 반사실 모두의 영향으로 해석될 수 있다. 마찬가지로, 평행 추세 가정으로 인해 \hat{\beta}_2도 T=1에서 처치 집단과 통제 집단 간의 동일한 차분이다. 위의 설명은 \hat{\beta}_1의 경우 통제 집단만의 (평균) 효과를, \hat{\beta}_2의 경우 처치 전 기간에 처치 집단과 통제 집단 간의 차이만을 의미하는 것으로 해석되어서는 안 된다. 아래의 카드와 크루거의 경우와 같이, 결과 변수 (\Delta Y_i = Y_{i,1} - Y_{i,0})의 첫 번째 (시간) 차분은 \hat{\beta}_3의 편향 없는 추정치를 형성하기 위해 시간 추세(즉, \hat{\beta}_1)의 필요성을 제거하며, 이는 \hat{\beta}_1이 실제로 처치 또는 통제 집단에 조건부적이지 않음을 의미한다. 마찬가지로, 처치 집단과 통제 집단 간의 차이는 \hat{\beta}_3의 편향 없는 추정치를 형성하기 위해 처치 차분(즉, \hat{\beta}_2)의 필요성을 제거한다. 이 미묘한 차이는 사용자가 평행 사전 추세의 (약한) 위반이 존재한다고 믿거나 비공통 충격 또는 혼란 사건의 존재를 고려할 때 적절한 반사실 근사 가정의 위반이 있는 경우 이해하는 데 중요하다. 이 표기법과 이전 섹션 간의 관계를 확인하려면, 위와 같이 각 집단에 대해 각 기간당 하나의 관측치만 고려하라. 그러면

: 
\begin{align}
 \widehat{E}(y \mid T=1,~ S=0) & = \widehat{E}(y \mid \text{ 후 기간, 통제}) \\
[3pt] \\
& = \frac{  \widehat{E}(y \ I(\text{ 후 기간, 통제}) )}{ \widehat{P}(\text{ 후 기간, 통제})} \\
[3pt] \\
& = \frac{  \sum_{i=1}^n    y_{i,\text{후}} I(i \text{ 통제}) }   {  n_{\text{통제}} } = \overline{y}_{\text{통제, 후}} \\
[3pt] \\
& = \overline{y}_{\text{12}}
\end{align}

그리고 T와 S의 다른 값에 대해서도 마찬가지이며, 이는 다음 등가이다.

: \hat{\beta}_3 ~=~ (y_{11} - y_{21}) - (y_{12} - y_{22}).

그러나 이것은 형식적인 정의와 위의 표에서 주어진 처치 효과에 대한 표현이다.

이중 차분 프레임워크의 변형에는 처치 개입의 단계적 구현을 위한 프레임워크와 Brantly Callaway 및 페드로 H.C. 산타나가 도입한 다중 시간대 및 기타 변형을 위한 추정기가 포함된다.

## 예시

1994년에 발표된 카드와 크루거의 뉴저지주 최저임금에 대한 논문은 가장 유명한 DID 연구 중 하나로 꼽히며, 카드는 이 연구 및 관련 연구로 2021년 노벨 경제학상을 공동 수상했다. 카드와 크루거는 1992년 4월 뉴저지주의 최저임금이 4.25달러에서 5.05달러로 인상된 후, 1992년 2월과 1992년 11월에 뉴저지주와 펜실베이니아주의 패스트 푸드 부문 고용을 비교했다. 처치 전후 뉴저지주에서만 고용 변화를 관찰하는 것은 날씨나 지역의 거시경제 상황과 같은 누락된 변수를 통제하지 못했을 것이다. 이중 차분 모델에 펜실베이니아주를 통제 집단으로 포함함으로써 뉴저지주와 펜실베이니아주에 공통적인 변수(관찰되지 않은 변수라도)로 인한 편향은 암묵적으로 통제된다. 뉴저지주와 펜실베이니아주가 시간에 따라 평행 추세를 가진다고 가정하면, 펜실베이니아주의 고용 변화는 뉴저지주가 최저임금을 인상하지 않았더라면 경험했을 변화로 해석될 수 있으며 그 반대도 마찬가지이다. 증거는 최저임금 인상이 일부 경제 이론이 시사하는 바와 달리 뉴저지주에서 고용 감소를 유발하지 않았음을 시사했다. 아래 표는 FTE(또는 풀타임 상당 인력)으로 측정된 고용에 대한 카드와 크루거의 처치 효과 추정치를 보여준다. 카드와 크루거는 뉴저지주에서 0.80달러의 최저임금 인상이 매장당 평균 2.75 FTE의 고용 증가로 이어졌다고 추정한다.

이 연구의 소프트웨어 예시 응용은 Stata의 -diff- 명령에서 찾을 수 있다.

## 응용
이중 차분(DID) 프레임워크는 노동 경제학과 최저 임금 연구를 넘어 광범위하게 적용되어 왔다.
공중보건 분야에서는 DID가 새로운 의료 지침이나 예방 접종 캠페인의 효과를 평가하기 위해
정책 시행 전후의 지역을 비교하는 데 사용되었다.
교육 분야에서는 DID 방법이 학교 재정이나 학급 규모 변화와 같은 개혁의 영향을 측정하는 데 도움이 된다.
환경경제학 분야에서는 오염, 에너지 소비 또는 기후 정책에 대한 규제를 평가하는 데 사용된다.
이러한 응용 프로그램은 평행 추세라는 핵심 가정에 의존하지만, 신중하게 설계될 경우 정책 입안자에게
관찰 데이터를 사용하여 강력한 인과 추정치를 제공한다.
### 경제사에서
이중 차분은 역사적 사건 연구, 특히 경제사 분야에도 적용되어 왔는데, 이곳에서 연구자들은 장기적인 결과를 조사하기 위해 자연 실험에 의존한다. 질병, 제도적 변화, 전쟁 파괴와 같은 충격에 차등적으로 노출된 지역이나 집단을 비교함으로써, 학자들은 직접 관찰할 수 없는 인과 효과를 식별하기 위해 이 방법을 사용해 왔다.

2021년 엘레나 에스포지토는 DID를 사용하여 말라리아의 도래가 미국에서 아프리카 노예 제도의 확장에 어떤 영향을 미쳤는지 조사했다.
그녀는 17세기 후반에 질병이 도입되기 전후로 말라리아 전파에 생태학적으로 더 적합했던 카운티와 덜 적합했던 카운티를 비교했다. 결과는 말라리아에 취약한 카운티에서 질병이 풍토병이 된 후 노예화된 아프리카인의 비율이 훨씬 더 크게 증가했음을 보여주었다. 또한, 말라리아 유병률이 높은 아프리카 지역 출신의 노예들은 루이지애나 노예 시장에서 더 높은 가격에 팔렸는데, 이는 구매자들이 말라리아 저항력에 프리미엄을 부여했음을 시사한다. 이 응용은 DID가 환경 충격과 장기적인 제도적 발전을 연결하는 데 어떻게 사용될 수 있는지를 보여주었다.

곤잘레스, 마셜, 나이두는 2017년에 DID를 사용하여 메릴랜드의 노예 제도 폐지가 기업가 정신 패턴에 어떻게 영향을 미쳤는지 분석했다. 그들은 인구 조사 데이터와 당시의 신용 보고서를 결합하여 1864년 무상 노예 제도 폐지 전후 노예 소유자와 비노예 소유자의 사업 설립을 비교했다. 그들은 노예 소유자들이 해방 전에 사업을 시작할 가능성이 더 높았지만, 노예 제도가 폐지되자 이러한 이점이 사라졌다는 것을 발견했다. 이 경우 DID는 해방을 갑작스러운 제도적 변화로 다루고 그것이 사업 활동에 어떻게 영향을 미치는지 볼 수 있게 해주었다.

2022년 제임스 파이겐바움, 제임스 리, 필리포 메자노티는 DID를 사용하여 미국 남북 전쟁 중 셔먼 장군의 행진의 경제적 효과를 측정했다. 그들은 1850년부터 1920년까지의 카운티 수준 데이터를 사용하여 행진 경로에 직접적으로 있던 지역과 피해를 입지 않은 인근 카운티를 비교했다. 그들의 연구 결과는 영향을 받은 카운티에서 농지 가치, 농업 투자, 제조업 활동이 즉각적으로 크게 감소했음을 보여주었다. 제조업 생산량은 결국 19세기 후반에 회복되었지만, 농업적 효과는 수십 년간 지속되었고, 1920년에도 개량 농지 수준이 여전히 낮게 나타났다. 이 연구는 또한 남북 전쟁 이후 신용 부족과 은행 붕괴가 회복을 늦추었고, 특히 대출에 더 의존했던 지역에서 그러했음을 보여주었다. 전반적으로 이 연구는 DID를 사용하여 분쟁이 경제와 지역 제도에 지속적인 영향을 미쳤음을 입증했다.

2012년 리처드 혼벡은 DID를 사용하여 1930년대 미국 더스트 볼의 장기적인 경제적 결과를 연구했다. 그는 재난 전후로 심각한 토양 침식을 겪은 카운티와 덜 영향을 받은 인근 카운티를 비교했다. 그의 연구 결과는 심하게 침식된 카운티가 토지 가치와 농업 수입에서 20~30%의 지속적인 감소를 겪었으며, 10년이 지나도 거의 회복되지 않았음을 보여준다. 그 결과 많은 주민들이 이주했고, 인구 감소가 주요 조정 요인이 되었다. 이 연구는 DID가 경제사에서 환경 충격에 어떻게 적용될 수 있는지를 보여주며, 생태학적 재난이 지역 발전에 미치는 장기적인 영향을 지적한다.

## 같이 보기
* 실험계획법
* 평균 처치 효과
* 합성 통제 방법

## 각주

## 추가 자료
*
*Andrew Baker, Brantly Callaway, Scott Cunningham, Andrew Goodman-Bacon and Pedro H. C. Sant'Anna. 2025. "" Journal of Economic Literature.
*
*
*
*

## 외부 링크
* 이중 차분 추정, Healthcare Economist 웹사이트

분류:회귀분석
분류:관찰 연구
분류:실험 설계
분류:뺄셈