시소이드

섬네일|upright=1.5|

**시소이드**(Cissoid)는 기하학에서 두 개의 주어진 곡선 , 와 점 (**극**)으로부터 생성되는 평면 곡선이다. 를 지나 과 에서, 와 에서 교차하는 가변 직선 이 있다고 하자.  위의 점 는 \overline{OP} = \overline{P_1 P_2}를 만족한다. (실제로 그러한 점은 두 개가 있지만, 는 가 에서와 같은 방향으로 에서 선택된다.) 그러면 그러한 점 의 자취는 에 대한 곡선 , 의 시소이드로 정의된다.

약간 다르지만 본질적으로 동등한 정의가 다른 저자들에 의해 사용된다. 예를 들어, 는 \overline{OP} = \overline{OP_1} + \overline{OP_2}를 만족하는 점으로 정의될 수 있다. 이것은 이 를 통한 반사로 대체되면 다른 정의와 동등하다. 또는 는 과 의 중점으로 정의될 수 있다. 이것은 이전 곡선이 1/2의 인수로 스케일링된 곡선을 생성한다.

## 방정식
만약 과 가 각각 r=f_1(\theta)와 r=f_2(\theta)로 극좌표계로 주어지면, 방정식 r=f_2(\theta)-f_1(\theta)는 원점에 대한 과 의 시소이드를 나타낸다. 그러나 극좌표계에서 한 점은 여러 가지 방식으로 표현될 수 있으므로, 다른 방정식을 가지는 시소이드의 다른 가지가 있을 수 있다. 특히, 은 다음으로도 주어진다.
: \begin{align}
& r=-f_1(\theta+\pi) \\
& r=-f_1(\theta-\pi) \\
& r=f_1(\theta+2\pi) \\
& r=f_1(\theta-2\pi) \\
& \qquad \qquad \vdots
\end{align}
따라서 시소이드는 실제로는 방정식으로 주어진 곡선들의 합집합이다.
:\begin{align}
& r=f_2(\theta)-f_1(\theta) \\
& r=f_2(\theta)+f_1(\theta+\pi) \\
&r=f_2(\theta)+f_1(\theta-\pi) \\
& r=f_2(\theta)-f_1(\theta+2\pi) \\
& r=f_2(\theta)-f_1(\theta-2\pi) \\
& \qquad \qquad \vdots
\end{align}
과 의 주기에 따라 중복으로 인해 어떤 방정식이 제거될 수 있는지는 개별적으로 결정할 수 있다.

섬네일|타원 <math>r=\frac{1}{2-\cos \theta}</math>는 빨간색, 두 시소이드 가지는 검은색과 파란색 (원점)
예를 들어, 과 가 모두 타원이라고 하자.
:r=\frac{1}{2-\cos \theta}.
시소이드의 첫 번째 가지는 다음으로 주어진다.
:r=\frac{1}{2-\cos \theta}-\frac{1}{2-\cos \theta}=0,
이것은 단순히 원점이다. 타원은 다음으로도 주어진다.
:r=\frac{-1}{2+\cos \theta},
따라서 시소이드의 두 번째 가지는 다음으로 주어진다.
:r=\frac{1}{2-\cos \theta}+\frac{1}{2+\cos \theta}
이것은 타원 모양의 곡선이다.

만약 각 과 가 매개변수 방정식으로 주어진다면
:x = f_1(p),\ y = px
그리고
:x = f_2(p),\ y = px,
그러면 원점에 대한 시소이드는 다음으로 주어진다.
:x = f_2(p)-f_1(p),\ y = px.

## 특정 경우
이 를 중심으로 하는 원일 때, 시소이드는 의 콘코이드이다.

과 가 평행선일 때, 시소이드는 주어진 선들에 평행한 세 번째 선이다.

### 쌍곡선
과 가 평행하지 않은 두 직선이고, 가 원점이라고 하자. 과 의 극방정식이 다음과 같다고 하자.
:r=\frac{a_1}{\cos (\theta-\alpha_1)}
그리고
:r=\frac{a_2}{\cos (\theta-\alpha_2)}.
각 \tfrac{\alpha_1-\alpha_2}{2}만큼 회전하면 \alpha_1 = \alpha,\ \alpha_2 = -\alpha라고 가정할 수 있다. 그러면 원점에 대한 과 의 시소이드는 다음으로 주어진다.
:\begin{align}
r & = \frac{a_2}{\cos (\theta+\alpha)} - \frac{a_1}{\cos (\theta-\alpha)} \\
& =\frac{a_2\cos (\theta-\alpha)-a_1\cos (\theta+\alpha)}{\cos (\theta+\alpha)\cos (\theta-\alpha)} \\
& =\frac{(a_2\cos\alpha-a_1\cos\alpha)\cos\theta-(a_2\sin\alpha+a_1\sin\alpha)\sin\theta}{\cos^2\alpha\ \cos^2\theta-\sin^2\alpha\ \sin^2\theta}.
\end{align}
상수들을 합치면
:r=\frac{b\cos\theta+c\sin\theta}{\cos^2\theta-m^2\sin^2\theta}
이것을 데카르트 좌표로 표현하면
:x^2-m^2y^2=bx+cy.
이것은 원점을 지나는 쌍곡선이다. 따라서 평행하지 않은 두 직선의 시소이드는 극을 포함하는 쌍곡선이다. 유사한 유도를 통해, 역으로, 어떤 쌍곡선도 그 위의 임의의 점에 대한 두 평행하지 않은 직선의 시소이드임을 보여준다.

### 자흐라드니크의 시소이드
**자흐라드니크의 시소이드**(카렐 자흐라드니크의 이름을 따서 명명됨)는 원뿔 곡선과 원뿔 곡선 위의 임의의 점에 대한 직선의 시소이드로 정의된다. 이것은 여러 잘 알려진 예시를 포함하는 넓은 범위의 유리 3차 곡선족이다. 특히:
* 맥로린의 삼등분선은 다음으로 주어진다.
::2x(x^2+y^2)=a(3x^2-y^2)
:이것은 원점 기준 원 (x+a)^2+y^2 = a^2과 직선 x=-\tfrac{a}{2}의 시소이드이다.

* 직교 스트로포이드
::y^2(a+x) = x^2(a-x)
:이것은 원점 기준 원 (x+a)^2+y^2 = a^2과 직선 x=-a의 시소이드이다.
섬네일|upright=1.25|디오클레스의 시소이드를 시각화한 애니메이션
* 디오클레스의 시소이드
::x(x^2+y^2)+2ay^2=0
:이것은 원점 기준 원 (x+a)^2+y^2 = a^2과 직선 x=-2a의 시소이드이다. 이것은 실제로 이 곡선족의 이름이 붙여진 곡선이며 일부 저자는 이것을 단순히 시소이드라고 부른다.

* 원 (x+a)^2+y^2 = a^2과 직선 x=ka, (여기서 는 매개변수)의 시소이드를 드 슬루즈의 콘코이드라고 한다. (이 곡선들은 실제로는 콘코이드가 아니다.) 이 곡선족에는 이전 예시들이 포함된다.
* 데카르트의 엽선
::x^3+y^3=3axy
:이것은 원점 기준 타원 x^2-xy+y^2 = -a(x+y)와 직선 x+y=-a의 시소이드이다. 이를 확인하려면, 직선을 다음과 같이 쓸 수 있음에 주목하라.
::x=-\frac{a}{1+p},\ y=px
:그리고 타원을 다음과 같이 쓸 수 있다.
::x=-\frac{a(1+p)}{1-p+p^2},\ y=px.
:따라서 시소이드는 다음으로 주어진다.
::x=-\frac{a}{1+p}+\frac{a(1+p)}{1-p+p^2} = \frac{3ap}{1+p^3},\ y=px
:이것은 엽선의 매개변수 형태이다.

## 같이 보기
* 콘코이드
* 스트로포이드

## 각주
* 
* C. A. Nelson "Note on rational plane cubics" Bull. Amer. Math. Soc. Volume 32, Number 1 (1926), 71-76.

## 외부 링크
* 
* 
* 2D 곡선

분류:곡선
분류:대수 곡선