정준 교환 관계

양자역학에서 **정준 교환 관계**()는 정준 켤레 양(정의에 따라 한 양이 다른 양의 푸리에 변환과 관련되는 양) 사이의 근본적인 관계이다. 예를 들어,

[\hat x,\hat p_x] = i\hbar \mathbb{I}

1차원 점 입자의  방향에 있는 위치 연산자 와 운동량 연산자  사이에서, 여기서 는 와 의 교환자이고, 는 허수 단위이며, 는 환산 플랑크 상수 이고,  \mathbb{I}는 단위 연산자이다. 일반적으로 위치와 운동량은 연산자의 벡터이며, 위치와 운동량의 다른 성분 사이의 교환 관계는 다음과 같이 표현될 수 있다.

[\hat x_i,\hat p_j] = i\hbar \delta_{ij},
여기서 \delta_{ij}는 크로네커 델타이다.

이 관계는 베르너 하이젠베르크, 막스 보른, 파스쿠알 요르단 (1925)에게 귀속되며, 이들은 이를 이론의 공리로 작용하는 "양자 조건"이라고 불렀다. E. 케나드 (1927)는 이것이 하이젠베르크의 불확정성 원리를 의미한다고 지적했다. 스톤-폰 노이만 정리는 정준 교환 관계(지수화된 형태)를 만족하는 연산자에 대한 유일성 결과를 제공한다.

## 고전역학과의 관계
대조적으로, 고전물리학에서는 모든 관측량이 교환되고 교환자는 0이 된다. 그러나 유사한 관계가 존재하는데, 이는 교환자를 i\hbar를 곱한 푸아송 괄호로 대체하여 얻어진다.
\{x,p\} = 1 \, .

이 관찰을 통해 디랙은 고전적 관측량 , 의 양자적 대응물 \hat{f}, \hat{g}가 다음을 만족한다고 제안했다.
[\hat f,\hat g]= i\hbar\widehat{\{f,g\}} \, .

1946년 힙 그로네볼트는 양자 교환자와 푸아송 괄호 사이의 일반적인 체계적인 대응 관계가 일관되게 유지될 수 없음을 증명했다.

그러나 그는 양자 교환자와 오늘날 모얄 괄호라고 불리는 푸아송 괄호의 변형, 그리고 일반적으로 양자 연산자와 위상 공간의 고전적 관측량 및 분포 사이에 실제로 그러한 체계적인 대응 관계가 존재한다는 것을 추가로 인식했다. 그는 결국 위그너-바일 변환이라는 일관된 대응 메커니즘을 설명했으며, 이는 변형 양자화로 알려진 양자 역학의 대체 등가 수학적 표현의 기반이 된다.

### 해밀턴 역학에서의 유도
대응원리에 따르면, 특정 극한에서 양자 상태 방정식은 해밀턴 운동 방정식에 접근해야 한다. 후자는 일반화된 좌표 q (예: 위치)와 일반화된 운동량 p 사이의 다음 관계를 명시한다.
\begin{cases}
  \dot{q} =  \frac{\partial H}{\partial p} = \{q, H\}; \\
  \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q} = \{p, H\}.
\end{cases}

양자역학에서 해밀토니언 \hat{H}, (일반화된) 좌표 \hat{Q} 및 (일반화된) 운동량 \hat{P}는 모두 선형 연산자이다.

양자 상태의 시간에 대한 미분은 연산자 -i\hat{H}/\hbar로 표현된다(슈뢰딩거 방정식에 의해). 또는 슈뢰딩거 묘사에서 연산자가 명시적으로 시간에 의존하지 않으므로(연산자가 시간에 의존하는 다른 관점은 하이젠베르크 묘사 참조), 연산자는 해밀토니언과의 교환 관계에 따라 시간적으로 진화하는 것으로 볼 수 있다.
\frac {d\hat{Q}}{dt} = \frac {i}{\hbar} [\hat{H},\hat{Q}]
\frac {d\hat{P}}{dt} = \frac {i}{\hbar} [\hat{H},\hat{P}] \,\, .

고전적 극한에서 해밀턴 운동 방정식과 일치하려면  [\hat{H},\hat{Q}]는 해밀토니언에 나타나는 \hat{P}에 전적으로 의존해야 하고 [\hat{H},\hat{P}]는 해밀토니언에 나타나는 \hat{Q}에 전적으로 의존해야 한다. 또한 해밀토니언 연산자는 (일반화된) 좌표 및 운동량 연산자에 의존하므로 범함수로 볼 수 있으며 (]][범함수 미분]]을 사용하여) 다음과 같이 쓸 수 있다.
[\hat{H},\hat{Q}] = \frac {\delta \hat{H}}{\delta \hat{P}} \cdot [\hat{P},\hat{Q}]
[\hat{H},\hat{P}] = \frac {\delta \hat{H}}{\delta \hat{Q}} \cdot [\hat{Q},\hat{P}] \, . 

고전적 극한을 얻기 위해서는 다음이 필요하다.
 [\hat{Q},\hat{P}] = i \hbar ~ I.

## 바일 관계
교환 관계 [\hat{x},\hat{p}]=i\hbar에 의해 결정되는 3차원 리 대수의 지수화에 의해 생성되는 리 군 H_3(\mathbb{R})를 하이젠베르크 군이라고 한다. 이 군은 대각선에 1이 있는 3\times 3 상삼각 행렬의 군으로 실현될 수 있다.

양자역학의 수학 공식화 표준에 따르면, \hat{x}와 \hat{p}와 같은 양자 관측량은 어떤 힐베르트 공간의 자기 수반 작용소로 표현되어야 한다. 위의 정준 교환 관계를 만족하는 두 연산자가 모두 유계 작용소일 수 없다는 것을 비교적 쉽게 알 수 있다. 확실히, \hat{x}와 \hat{p}가 대각합류 작용소라면, 관계 \operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA)는 오른쪽에는 0이 아닌 숫자를, 왼쪽에는 0을 제공한다.

또는, \hat{x}와 \hat{p}가 유계 연산자라면, [\hat{x}^n,\hat{p}]=i\hbar n \hat{x}^{n-1}임을 주목하라. 따라서 연산자 노름은 다음을 만족해야 한다.
2 \left\|\hat{p}\right\| \left\|\hat{x}^{n-1}\right\| \left\|\hat{x}\right\|  \geq n \hbar \left\|\hat{x}^{n-1}\right\|, 따라서 모든 n에 대해
2 \left\|\hat{p}\right\| \left\|\hat{x}\right\| \geq n \hbar
그러나 은 임의로 커질 수 있으므로, 적어도 하나의 연산자는 유계가 아니어야 하며, 기저 힐베르트 공간의 차원은 유한할 수 없다. 연산자가 (아래에 설명된 정준 교환 관계의 지수화된 버전인) 바일 관계를 만족한다면, 스톤-폰 노이만 정리의 결과로 두 연산자 모두 유계가 아니어야 한다.

여전히, 이러한 정준 교환 관계는 (유계) 유니터리 작용소 \exp(it\hat{x})와 \exp(is\hat{p})의 관점에서 작성함으로써 다소 "더 온순하게" 만들 수 있다. 이 연산자들에 대한 결과적인 브레이딩 관계는 소위 바일 관계이다.
\exp(it\hat{x})\exp(is\hat{p})=\exp(-ist\hbar)\exp(is\hat{p})\exp(it\hat{x}).
이러한 관계는 정준 교환 관계의 지수화된 버전으로 생각할 수 있다. 이는 위치의 병진과 운동량의 병진이 교환하지 않는다는 것을 반영한다. 하이젠베르크 군의 표현 측면에서 바일 관계를 쉽게 재구성할 수 있다.

바일 관계의 형태를 띤 정준 교환 관계의 유일성은 스톤-폰 노이만 정리에 의해 보장된다.

기술적인 이유로, 바일 관계는 정준 교환 관계 [\hat{x},\hat{p}]=i\hbar와 엄밀히 동등하지 않다. 만약 \hat{x}와 \hat{p}가 유계 연산자라면, 베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 특수한 경우가 정준 교환 관계를 바일 관계로 "지수화"하는 것을 허용할 것이다. 우리가 언급했듯이, 정준 교환 관계를 만족하는 모든 연산자는 유계가 아니어야 하므로, 베이커-캠벨-하우스도르프 공식은 추가적인 정의역 가정이 없으면 적용되지 않는다. 실제로, 정준 교환 관계는 만족하지만 바일 관계는 만족하지 않는 반례가 존재한다. (이 동일한 연산자들은 불확정성 원리의 단순한 형태에 대한 반례를 제공한다.) 이러한 기술적 문제들은 스톤-폰 노이만 정리가 바일 관계의 관점에서 공식화되는 이유이다.

매개변수 s와 t가 \mathbb{Z}/n의 범위에 걸쳐 있는 바일 관계의 이산 버전은 시계 및 이동 행렬을 통해 유한 차원 힐베르트 공간에서 실현될 수 있다.

## 일반화
다음이 성립함을 보일 수 있다.
[F(\vec{x}),p_i] = i\hbar\frac{\partial F(\vec{x})}{\partial x_i}; \qquad [x_i, F(\vec{p})] = i\hbar\frac{\partial F(\vec{p})}{\partial p_i}.

C_{n+1}^{k} = C_{n}^{k} + C_{n}^{k-1}를 사용하여, 수학적 귀납법에 의해 다음이 성립함을 보일 수 있다.
\left[\hat{x}^n,\hat{p}^m\right] = \sum_{k=1}^{\min\left(m,n\right)}{ \frac{-\left(-i \hbar\right)^k n!m!}{k!\left(n-k\right)!\left(m-k\right)!} \hat{x}^{n-k} \hat{p}^{m-k}} = \sum_{k=1}^{\min\left(m,n\right)}{ \frac{\left(i \hbar\right)^k n!m!}{k!\left(n-k\right)!\left(m-k\right)!} \hat{p}^{m-k}\hat{x}^{n-k}} ,
일반적으로 맥코이의 공식으로 알려져 있다.

또한, 가장 간단한 고전 시스템의 정준 양자화에 유효한 간단한 공식
[x,p] = i\hbar \, \mathbb{I} ~,
은 임의의 라그랑지언 (장론) {\mathcal L}의 경우로 일반화될 수 있다. 우리는 **[[정준좌표]]** (위 예시의  또는 양자장론의 경우 필드 와 같은)와 **정준 운동량**  (위 예시의  또는 더 일반적으로 시간에 대한 정준 좌표의 미분을 포함하는 일부 함수)을 식별한다.
\pi_i \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{\partial {\mathcal L}}{\partial(\partial x_i / \partial t)}.

정준 운동량의 이 정의는 오일러-라그랑주 방정식 중 하나가 다음 형태를 갖도록 보장한다.
\frac{\partial}{\partial t} \pi_i = \frac{\partial {\mathcal L}}{\partial x_i}.

그러면 정준 교환 관계는 다음과 같아진다.
[x_i,\pi_j] = i\hbar\delta_{ij} \, 
여기서 는 크로네커 델타이다.

## 게이지 불변성
정준 양자화는 정의상 정준좌표에 적용된다. 그러나 전자기장이 있는 경우, 정준 운동량 는 게이지 불변량이 아니다. 올바른 게이지 불변 운동량(또는 "운동 운동량")은 다음과 같다.
: p_\text{kin} = p - qA \,\! (SI 단위)  p_\text{kin} = p - \frac{qA}{c} \,\! (cgs 단위),
여기서 는 입자의 전하, 는 자기 벡터 퍼텐셜, 는 빛의 속력이다. 양 p_\text{kin}은 "물리적 운동량"이며, 실험실 실험에서 운동량과 동일시되는 양이지만, 정준 교환 관계를 만족하지 않는다. 오직 정준 운동량만이 이를 만족한다. 이는 다음과 같이 볼 수 있다.

양자화된 전하 입자 질량 이 고전 전자기장에 있을 때의 비상대론적 해밀토니언은 (cgs 단위로)
H=\frac{1}{2m} \left(p-\frac{qA}{c}\right)^2 +q\phi
여기서 는 3-벡터 퍼텐셜이고 는 스칼라 퍼텐셜이다. 이러한 형태의 해밀토니언, 그리고 슈뢰딩거 방정식 , 맥스웰 방정식, 로렌츠 힘 법칙은 게이지 변환에 대해 불변이다.
A\to A' = A+\nabla \Lambda
\phi\to \phi' = \phi-\frac{1}{c} \frac{\partial \Lambda}{\partial t}
\psi \to \psi' = U\psi
H\to H' = U H U^\dagger,
여기서 U=\exp \left( \frac{iq\Lambda}{\hbar c}\right)이고 는 게이지 함수이다.

각운동량 연산자는
L=r \times p \,\!
이며 다음 정준 양자화 관계를 따른다.
[L_i, L_j]= i\hbar {\epsilon_{ijk}} L_k
이는 so(3)에 대한 리 대수를 정의하며, 여기서 \epsilon_{ijk}는 레비치비타 기호이다. 게이지 변환 하에서 각운동량은 다음과 같이 변환한다.
 \langle \psi \vert L \vert \psi \rangle \to
\langle \psi^\prime \vert L^\prime \vert \psi^\prime \rangle =
\langle \psi \vert L \vert \psi \rangle +
\frac {q}{\hbar c} \langle \psi \vert r \times \nabla \Lambda \vert \psi \rangle \, .


게이지 불변 각운동량(또는 "운동 각운동량")은 다음과 같다.
K=r \times \left(p-\frac{qA}{c}\right),
이는 다음 교환 관계를 갖는다.
[K_i,K_j]=i\hbar {\epsilon_{ij}}^{\,k}
\left(K_k+\frac{q\hbar}{c} x_k
\left(x \cdot B\right)\right)
여기서 B=\nabla \times A는 자기장이다. 이 두 공식의 비등가성은 제이만 효과와 아로노프-봄 효과에서 나타난다.

## 불확정성 관계 및 교환자
이러한 모든 연산자 쌍에 대한 비자명한 교환 관계는 해당 불확정성 관계로 이어진다. 이는 각각의 교환자와 반교환자에 의한 양의 반정치 기댓값 기여를 포함한다. 일반적으로 두 헤르미트 연산자 와 에 대해, 상태 에 있는 시스템의 기댓값을 고려하면, 해당 기댓값 주위의 분산은 , 등이다.

그러면
 \Delta A \, \Delta B \geq \frac{1}{2} \sqrt{ \left|\left\langle\left[{A},{B}\right]\right\rangle \right|^2 + \left|\left\langle\left\{ A-\langle A\rangle ,B-\langle B\rangle \right\} \right\rangle \right|^2} ,
여기서 는 와 의 교환자이고, 는 반교환자이다.

이는 코시-슈바르츠 부등식을 사용하여 유도된다. 왜냐하면
, 그리고 이기 때문이다. 그리고 이동된 연산자 와 에 대해서도 유사하다. (참조: 불확정성 원리 유도.)

와 를 대입하면 (분석에 주의하면서) 와 에 대한 하이젠베르크의 친숙한 불확정성 관계가 평소처럼 얻어진다.

## 각운동량 연산자의 불확정성 관계
각운동량 연산자  등에 대해서는 다음이 성립한다.
 [{L_x}, {L_y}] = i \hbar \epsilon_{xyz} {L_z}, 
여기서 \epsilon_{xyz}는 레비치비타 기호이며, 단순히 인덱스의 쌍별 교환에 따라 답의 부호를 바꾼다. 스핀 연산자에 대해서도 유사한 관계가 성립한다.

여기서, 와 에 대해, 각운동량 다중항 }에서, 카시미르 불변량 의 횡단 성분에 대해 -대칭 관계
:,
및 이 성립한다.

결과적으로, 이 교환 관계에 적용된 위 부등식은 다음을 명시한다.
\Delta L_x \, \Delta L_y \geq \frac{1}{2} \sqrt{\hbar^2|\langle L_z \rangle|^2}~, 
따라서
\sqrt  \geq \frac{\hbar^2}{2} \vert m\vert
그러므로
\ell(\ell+1)-m^2\geq |m| ~,
따라서 카시미르 불변량에 대한 하한: , 그리고 따라서 와 같은 유용한 제약 조건이 도출된다.

## 같이 보기
* 정준 양자화
* CCR 및 CAR 대수
* 등각 정역학 시공간
* 리 미분
* 모얄 괄호
* 스톤-폰 노이만 정리

## 각주

* .
* .

분류:양자역학
분류:수리물리학