가산 생성 공간

일반위상수학에서 **가산 생성 공간**(可算生成空間, ) 또는 **가산 밀착 공간**(可算密着空間, )은 그 위상이 가산 부분 공간들에 의하여 결정되는 위상 공간이다. 이와 동치인 정의로서, 부분 집합의 폐포점이 항상 그 가산 부분 집합의 폐포점일 정도로 ‘지나치게 촘촘하지 않은’ 위상 공간이다.

## 정의
### 국소 가산 공간
위상 공간 X 및 점 x\in X에 대하여, \operatorname{loc\,card}(x,X)가 x의 근방의 최소 크기라고 하자.
:\operatorname{loc\,card}(x,X)=\min_{U\in\mathcal N_x}|U|

위상 공간 X의 **국소 크기**(局所크기, ) \operatorname{loc\,card}(X)는 모든 \operatorname{loc\,card}(x,X)들의 상한이다.
:\operatorname{loc\,card}(X)=\sup_{x\in X}\operatorname{loc\,card}(x,X)

국소 크기가 \aleph_0 이하인 위상 공간을 **국소 가산 공간**이라고 한다. 즉, 국소 가산 공간은 모든 점이 가산 근방을 갖는 위상 공간이다.

### 가산 생성 공간
위상 공간 X 및 부분 집합 A\subseteq X 및 x\in\operatorname{cl}A에 대하여,
:\operatorname{tight}(x,A,X)=\min_{B\subseteq A}^{x\in\operatorname{cl}B}|B|
라고 하자.

위상 공간 X의 점 x\in X에서의 **국소 밀착도**(局所密着度, ) \operatorname{tight}(x,X)는 다음과 같다.
:\operatorname{tight}(x,X)=\sup_{A\subseteq X}^{x\in\operatorname{cl}A}\operatorname{tight}(x,A,X)

위상 공간 X의 **밀착도**(密着度, ) \operatorname{tight}(X)는 국소 밀착도들의 상한이다.
:\operatorname{tight}(X)=\sup_{x\in X}\operatorname{tight}(x,X)

위상 공간 X에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 X를 **가산 생성 공간**이라고 한다.
* 밀착도가 \aleph_0 이하이다. 즉, 임의의 A\subseteq X 및 x\in\operatorname{cl}A에 대하여, x\in\operatorname{cl}B인 가산 부분 집합 B\subseteq A가 존재한다.
* 임의의 U\subseteq X에 대하여, 만약 임의의 가산 집합 A\subseteq X에 대하여 U\cap A가 A의 열린집합이라면, U는 열린집합이다.
* 임의의 F\subseteq X에 대하여, 만약 임의의 가산 집합 A\subseteq X에 대하여 F\cap A가 A의 닫힌집합이라면, F는 닫힌집합이다.
* 국소 가산 공간의 몫공간이다.

## 성질
모든 점렬 공간은 가산 생성 공간이자 콤팩트 생성 공간이다. 모든 국소 가산 공간은 가산 생성 공간이다. 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간이 항상 점렬 공간인지 여부는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다. 구체적으로, 만약 고유 강제법 공리가 참이라면, 모든 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간은 점렬 공간이다. 반면 만약 다이아몬드 원리가 참이라면, 점렬 공간이 아닌 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간이 존재한다.

가산 생성 공간의 범주는 위상 공간의 범주 \operatorname{Top}의 쌍대 반사 부분 범주를 이룬다.

### 연산에 대한 닫힘
가산 생성 공간은 부분 공간과 몫공간에 대하여 닫혀 있지만, 연속 함수에 대한 상이나 곱공간에 대하여 닫혀 있지는 않다.

#### 부분 공간
임의의 위상 공간 X 및 그 부분 공간 Y\subset X에 대하여,
:\operatorname{tight}(Y)\le\operatorname{tight}(X)
이다. 특히, 가산 생성 공간의 부분 공간은 항상 가산 생성 공간이다.

#### 몫공간
임의의 위상 공간 X 및 그 몫공간 X/\mathord\sim에 대하여,
:\operatorname{tight}(X/\mathord\sim)\le\operatorname{tight}(X)
이다. 특히, 가산 생성 공간의 몫공간은 항상 가산 생성 공간이다.

#### 연속 함수에 대한 상
가산 생성 공간의 연속적 상은 가산 생성 공간이 아닐 수 있다. 예를 들어, 이산 공간의 밀착도는 1이므로 가산 생성 공간이며, 비(非)린델뢰프 공간의 연속 함수 공간 위에 점별 수렴 위상을 부여하여 만든 공간은 비가산 생성 공간이다. 후자는 그 위상을 이산 위상으로 대체한 공간의 연속적 상이다.

#### 곱공간
임의의 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 (X_i)_{i\in I}의 곱공간의 밀착도는 다음과 같다.
:\operatorname{tight}\left(\prod_{i\in I}X_i\right)=\max\left\{|\{i\in I\colon|X_i|\ge 2\}|,\sup_{i\in I}\operatorname{tight}(X_i)\right\}
특히, 가산 개의 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간들의 곱공간은 가산 생성 공간이다.

### 콤팩트 공간
기수 \kappa가 주어졌을 때, 위상 공간 X 위의 길이 \kappa의 **자유 점렬**()은 다음 조건을 만족시키는 그물 (x_\alpha\colon\alpha이다.
:\operatorname{cl}\{x_\alpha\colon\alpha
콤팩트 하우스도르프 공간 X의 밀착도는 그 위의 자유 점렬들의 길이들의 상한과 같다.

## 예
### 점렬 공간이 아닌 가산 생성 공간
집합 \mathbb Q\cap[0,1] 위에 다음 집합들을 열린집합으로 하는 위상을 주자.
* 통상적인 열린집합 U\subseteq\mathbb Q\cap[0,1]
* 통상적인 0의 열린 근방 U\ni 0과, 통상적인 위상에서 0으로 수렴하는, 0이 아닌 수열 (x_n)_{n=0}^\infty\subset\mathbb Q\cap(0,1]에 대하여, U\setminus\{x_0,x_1,x_2,\dots\}
이는 (가산 공간이므로) 가산 생성 공간이지만, 점렬 공간이 아니다. 구체적으로, \{0\}은 점렬 열린집합이지만, 열린집합이 아니다.

### 함수 공간
티호노프 공간 X가 주어졌을 때, 점별 수렴 위상을 부여한 연속 함수 공간 \mathcal C_{\operatorname{pw}}(X,\mathbb R)의 밀착도는 다음과 같다.
:\operatorname{tight}(\mathcal C_{\operatorname{pw}}(X,\mathbb R))=\sup_{n\in\mathbb N}L(X^n)
여기서 L은 린델뢰프 수이다. 특히, 티호노프 공간 X에 대하여, \mathcal C_{\operatorname{pw}}(X,\mathbb R)가 가산 생성 공간인 것은 임의의 유한 번 곱공간 X^n이 린델뢰프 공간인 것과 동치이다.

## 참고 문헌

## 외부 링크
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분류:일반위상수학