역합성곱

[섬네일|right|[리처드슨-루시 역합성곱|리처드슨-루시 알고리즘을 사용하여 달 분화구 코페르니쿠스 이미지의 역합성곱 전후.]]

수학에서 **역합성곱** 또는 **디컨볼루션**(deconvolution)은 합성곱의 역함수이다. 두 연산 모두 신호 처리 및 영상 처리에 사용된다. 예를 들어, 특정 정확도로 역합성곱 방법을 사용하여 필터(합성곱) 후 원래 신호를 복구할 수 있다. 기록된 신호 또는 이미지의 측정 오류로 인해 신호 대 잡음비(SNR)가 나쁠수록 필터를 뒤집는 것이 더 나빠진다는 것을 알 수 있다. 따라서 필터를 뒤집는 것이 항상 좋은 해결책은 아닌데, 오류가 증폭되기 때문이다. 역합성곱은 이 문제에 대한 해결책을 제시한다.

역합성곱 및 시계열 분석의 기초는 매사추세츠 공과대학교의 노버트 위너가 저서 "정상 시계열의 외삽, 보간 및 스무딩"(1949)에서 주로 확립했다. 이 책은 위너가 제2차 세계 대전 동안 수행했지만 당시에는 기밀이었던 작업을 기반으로 했다. 이러한 이론을 적용하려는 초기 시도 중 일부는 일기예보 및 경제학 분야에서 이루어졌다.

## 설명
일반적으로 역합성곱의 목표는 다음과 같은 합성곱 방정식의 해 f를 찾는 것이다.

: f * g = h \, 

일반적으로 h는 기록된 신호이고, f는 우리가 복구하고자 하는 신호이지만, 기록하기 전에 필터 또는 왜곡 함수 g와 합성곱되었다. 일반적으로 h는 f의 왜곡된 버전이며, f의 모양은 눈으로 또는 더 간단한 시간 영역 연산으로 쉽게 인식할 수 없다. 함수 g는 장비의 임펄스 응답 또는 물리적 시스템에 적용된 구동력을 나타낸다. g를 알거나 적어도 g의 형태를 안다면, 결정론적 역합성곱을 수행할 수 있다. 그러나 g를 미리 알지 못한다면, g를 추정해야 한다. 이는 통계적 추정 방법 또는 전기 회로 방정식이나 확산 방정식과 같은 기본 시스템의 물리적 원리를 구축하여 수행할 수 있다.

측정 오류 및 역합성곱 매개변수 선택에 따라 몇 가지 역합성곱 기술이 있다.

### 원시 역합성곱

측정 오류가 매우 낮을 때(이상적인 경우), 역합성곱은 필터 뒤집기로 축소된다. 이러한 종류의 역합성곱은 라플라스 영역에서 수행할 수 있다. 기록된 신호 h와 시스템 응답 함수 g의 푸리에 변환을 계산하여 H와 G를 얻고, G는 전달 함수이다. 합성곱 정리를 사용하면,

: F = H / G \, 

여기서 F는 f의 추정된 푸리에 변환이다. 마지막으로 함수 F의 역 푸리에 변환을 취하여 추정된 역합성곱 신호 f를 찾는다. G는 분모에 있으며, 존재하는 경우 오류 모델의 요소를 증폭시킬 수 있다는 점에 유의하라.

### 노이즈가 있는 역합성곱

물리적 측정에서는 상황이 보통 다음과 비슷하다.

: (f * g)  + \varepsilon  = h \, 

이 경우 &epsilon;는 기록된 신호에 유입된 노이즈이다. 노이즈가 있는 신호 또는 이미지가 노이즈가 없다고 가정하면 g의 통계적 추정은 부정확할 것이다. 차례로 &fnof;의 추정도 부정확할 것이다. 신호 대 잡음비가 낮을수록 역합성곱된 신호의 추정은 더 나빠질 것이다. 이것이 신호를 역필터링하는 것(위의 "원시 역합성곱"에서처럼)이 보통 좋은 해결책이 아닌 이유이다. 그러나 데이터에 있는 노이즈 유형에 대한 지식(예: 백색 잡음)이 최소한 일부 존재한다면, 위너 역합성곱과 같은 기술을 통해 &fnof;의 추정을 개선할 수 있다.

## 응용

### 지진학

역합성곱의 개념은 반사파 지진학에서 초기에 적용되었다. 1950년, 엔더스 로빈슨은 MIT의 대학원생이었다. 그는 노버트 위너, 노먼 레빈슨, 경제학자 폴 새뮤얼슨과 같은 MIT의 다른 사람들과 함께 반사 지진계의 "합성곱 모델"을 개발했다. 이 모델은 기록된 지진계 s(t)가 지구 반사율 함수 e(t)와 포인트 소스에서 오는 지진 웨이블릿 w(t)의 합성곱이라고 가정하며, t는 기록 시간을 나타낸다. 따라서 우리의 합성곱 방정식은

:s(t) = (e * w)(t). \, 

지진학자는 지구 구조에 대한 정보를 포함하는 e에 관심이 있다. 합성곱 정리에 의해 이 방정식은

: S(\omega) = E(\omega)W(\omega) \, 

로 푸리에 변환될 수 있으며, 여기서 \omega는 주파수 변수이다. 반사율이 백색이라고 가정하면, 반사율의 파워 스펙트럼이 일정하고 지진계의 파워 스펙트럼이 웨이블릿의 스펙트럼에 그 상수를 곱한 값이라고 가정할 수 있다. 따라서,

: |S(\omega)| \approx k|W(\omega)|. \, 

웨이블릿이 최소 위상이라고 가정하면, 방금 찾은 파워 스펙트럼의 최소 위상 등가물을 계산하여 웨이블릿을 복구할 수 있다. 반사율은 추정된 웨이블릿을 디랙 델타 함수(즉, 스파이크)로 형성하는 위너 필터를 설계하고 적용하여 복구할 수 있다. 결과는 일련의 스케일링된, 시프트된 델타 함수로 볼 수 있다(비록 수학적으로 엄밀하지는 않지만).

: e(t)=\sum_{i=1}^N r_i\delta(t-\tau_i),

여기서 N은 반사 이벤트의 수, r_i는 반사 계수, t-\tau_i는 각 이벤트의 반사 시간, \delta는 디랙 델타 함수이다.

실제로, 우리는 노이즈가 많고, 유한한 대역폭, 유한한 길이, 이산적으로 표본화된 데이터셋을 다루고 있기 때문에 위의 절차는 데이터를 역합성곱하는 데 필요한 필터의 근사치만을 제공한다. 그러나 문제를 퇴플리츠 행렬의 해로 공식화하고 레빈슨 재귀 알고리즘을 사용함으로써, 가능한 가장 작은 평균 제곱 오차를 가진 필터를 비교적 빠르게 추정할 수 있다. 또한 주파수 영역에서 직접 역합성곱을 수행하여 유사한 결과를 얻을 수 있다. 이 기술은 선형 예측과 밀접하게 관련되어 있다.

### 광학 및 기타 이미징
섬네일|245x245px|역합성곱된 현미경 이미지의 예.
광학 및 이미징에서 "역합성곱"이라는 용어는 특히 광학 현미경, 전자 현미경, 망원경 또는 기타 이미징 기기에서 발생하는 광학 왜곡을 되돌려 더 선명한 이미지를 생성하는 과정을 의미하는 데 사용된다. 이는 일반적으로 소프트웨어 알고리즘을 통해 디지털 영역에서 현미경 이미지 처리 기술 세트의 일부로 수행된다. 역합성곱은 캡처 중 빠른 움직임이나 흔들림으로 인해 손상된 이미지를 선명하게 하는 데에도 실용적이다. 초기 허블 우주망원경 이미지는 결함 있는 거울로 인해 왜곡되었으며 역합성곱으로 선명하게 처리되었다.

일반적인 방법은 기기를 통과하는 광학 경로가 광학적으로 완벽하며, 점 확산 함수(PSF), 즉 빛(또는 기타 파동)의 이론적 포인트 소스가 기기를 통과하는 경로를 설명하는 수학 함수와 합성곱된다고 가정하는 것이다. 일반적으로 이러한 포인트 소스는 최종 이미지에 작은 흐릿한 영역을 기여한다. 이 함수를 결정할 수 있다면, 그것의 역함수 또는 보완 함수를 계산하고 획득한 이미지를 그것과 합성곱하는 문제가 된다. 그 결과는 원래의 왜곡되지 않은 이미지이다.

실제로, 진정한 PSF를 찾는 것은 불가능하며, 일반적으로 이론적으로 계산되거나 알려진 프로브를 사용하여 일부 실험적 추정을 기반으로 한 근사치가 사용된다. 실제 광학 장치는 다른 초점 및 공간 위치에서 다른 PSF를 가질 수도 있으며, PSF는 비선형적일 수 있다. PSF 근사치의 정확도는 최종 결과를 결정할 것이다. 더 나은 결과를 제공하기 위해 다양한 알고리즘을 사용할 수 있지만, 계산량이 더 많아진다. 원래 합성곱은 데이터를 버리기 때문에 일부 알고리즘은 손실된 정보의 일부를 보충하기 위해 인근 초점에서 획득한 추가 데이터를 사용한다. 정칙화는 반복 알고리즘(예: 기대-최대화 알고리즘)에서 비현실적인 해를 피하기 위해 적용될 수 있다.

PSF를 알 수 없을 때, 다른 가능한 PSF를 체계적으로 시도하고 이미지가 개선되었는지 평가하여 PSF를 추론할 수 있다. 이 절차를 블라인드 역합성곱이라고 한다. 블라인드 역합성곱은 사진 찍힌 물체의 점 특성이 PSF를 노출시켜 더 실현 가능하게 만드는 천문학에서 잘 확립된 이미지 복원 기술이다. 또한 형광 현미경 검사에서 이미지 복원을 위해, 그리고 형광 스펙트럼 이미징에서 여러 알 수 없는 형광염료의 스펙트럼 분리를 위해 사용된다. 이 목적을 위한 가장 일반적인 반복 알고리즘은 리처드슨-루시 역합성곱 알고리즘이다. 위너 역합성곱(및 근사치)은 가장 일반적인 비반복 알고리즘이다.
섬네일|316x316px|고해상도 테라헤르츠 이미지는 테라헤르츠 이미지와 수학적으로 모델링된 테라헤르츠 PSF의 역합성곱을 통해 얻어진다. '''(a)''' 향상 전 집적 회로(IC)의 테라헤르츠 이미지; '''(b)''' 수학적으로 모델링된 테라헤르츠 PSF; '''(c)''' (a)에 표시된 테라헤르츠 이미지와 (b)에 표시된 PSF의 역합성곱 결과로 얻어진 고해상도 테라헤르츠 이미지; '''(d)''' 고해상도 X선 이미지는 측정값의 정확성을 확인한다.
레이저 펄스 테라헤르츠 시스템과 같은 특정 이미징 시스템의 경우 PSF를 수학적으로 모델링할 수 있다. 결과적으로 그림에 표시된 대로 모델링된 PSF와 테라헤르츠 이미지의 역합성곱은 테라헤르츠 이미지의 고해상도 표현을 제공할 수 있다.

### 전파천문학
특정 종류의 전파천문학인 전파 간섭계에서 이미지 합성을 수행할 때, 한 단계는 생성된 이미지를 "더티 빔"(점 확산 함수의 다른 이름)으로 역합성곱하는 것이다. 일반적으로 사용되는 방법은 CLEAN 알고리즘이다.

### 생물학, 생리학 및 의료 기기
역합성곱의 일반적인 용도는 추적자 동력학이다. 예를 들어, 혈액 내 호르몬 농도를 측정할 때, 역합성곱을 통해 그 분비율을 추정할 수 있다. 또 다른 예는 측정된 간질 포도당으로부터 혈당 농도를 추정하는 것인데, 이는 실제 혈당의 시간 및 진폭 왜곡된 버전이다.

### 흡수 스펙트럼
역합성곱은 흡수분광학에 광범위하게 적용되었다. 반 시테르트 알고리즘(독일어 문서)을 사용할 수 있다.

### 푸리에 변환 측면
역합성곱은 푸리에 변환 공동 영역에서의 나눗셈에 매핑된다. 이를 통해 푸리에 변환의 영향을 받는 실험 데이터에 역합성곱을 쉽게 적용할 수 있다. 한 예는 NMR 분광법으로, 데이터는 시간 영역에서 기록되지만 주파수 영역에서 분석된다. 시간 영역 데이터를 지수 함수로 나누는 것은 주파수 영역에서 로렌츠 선의 폭을 줄이는 효과가 있다.

## 같이 보기
* 합성곱
* 비트 플레인
* 디지털 필터
* 필터 (신호 처리)
* 필터 설계
* 최소 위상
* 독립 성분 분석
* 위너 역합성곱
* 리처드슨-루시 역합성곱
* 디지털 룸 보정
* 자유 역합성곱
* 점 확산 함수
* 디블러링
* 언샤프 마스킹

## 각주

분류:신호 처리
분류:영상 처리