역감마 분포

{\alpha-3}\! for \alpha > 3
| kurtosis = \frac{6(5\,\alpha-11)}{(\alpha-3)(\alpha-4)}\! for \alpha > 4
| entropy = \alpha\!+\!\ln(\beta\Gamma(\alpha))\!-\!(1\!+\!\alpha)\psi(\alpha)
(see 디감마 함수)
| mgf = 존재하지 않음
| char = \frac{2\left(-i\beta t\right)^{\!\!\frac{\alpha}{2}}}{\Gamma(\alpha)}K_{\alpha}\left(\sqrt{-4i\beta t}\right)
}}

확률론과 통계학에서, **역감마 분포**()는 양의 실직선 상에서 연속 확률 분포의 두 모수족이며, 이는 감마 분포에 따라 분포된 변수의 곱셈 역원의 분포이다.

아마도 역감마 분포의 주요 용도는 베이즈 통계학인데, 여기서 이 분포는 비정보적 사전분포가 사용될 경우 정규 분포의 알려지지 않은 분산에 대한 주변 사후 분포로 나타나고, 정보적 사전분포가 필요한 경우 해석적으로 다루기 쉬운 켤레사전분포로 나타난다. 일부 베이즈주의자들 사이에서는 정규 분포의 대체 모수화를 분산의 역수인 정밀도의 관점에서 고려하는 것이 일반적이며, 이는 감마 분포를 켤레사전분포로 직접 사용할 수 있게 한다. 다른 베이즈주의자들은 역감마 분포를 척도화 역카이제곱 분포로 다르게 모수화하는 것을 선호한다.

## 특징
### 확률 밀도 함수
역감마 분포의 확률 밀도 함수는 지지집합 x > 0 위에서 정의된다.

:
f(x; \alpha, \beta)
= \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}
(1/x)^{\alpha + 1}\exp\left(-\beta/x\right)


형상 모수 \alpha와  척도 모수 \beta를 가진다. 여기서 \Gamma(\cdot)는 감마 함수를 나타낸다.

다소 유사한 지수 항을 포함하는 감마 분포와 달리, \beta는 밀도 함수가 다음을 만족하므로 척도 모수이다.
:
f(x; \alpha, \beta)
= \frac{f(x / \beta; \alpha, 1)}{\beta}


### 누적 분포 함수
누적 분포 함수는 정규화된 감마 함수이다.

:F(x; \alpha, \beta) = \frac{\Gamma\left(\alpha,\frac{\beta}{x}\right)}{\Gamma(\alpha)} = Q\left(\alpha, \frac{\beta}{x}\right)\!

여기서 분자는 상부 불완전 감마 함수이고 분모는 감마 함수이다. 많은 수학 패키지들은 정규화된 감마 함수인 Q의 직접 계산을 허용한다.

### 모멘트
\alpha > n이라고 가정하면, 역감마 분포의 n차 모멘트는 다음과 같이 주어진다.

:\mathrm{E}[X^n] = \beta^n \frac{\Gamma(\alpha - n)}{\Gamma(\alpha)} = \frac{\beta^n}{(\alpha - 1) \cdots (\alpha - n)}.

### 특성 함수
역감마 분포는 특성 함수를 가진다. \frac{2\left(-i\beta t\right)^{\!\!\frac{\alpha}{2}}}{\Gamma(\alpha)}K_{\alpha}\left(\sqrt{-4i\beta t}\right) 여기서 K_\alpha는 제2종 변형 베셀 함수이다.

## 속성
\alpha>0  및 \beta>0일 때,
: \mathbb{E}[\ln(X)] = \ln(\beta) - \psi(\alpha)\, 
그리고
: \mathbb{E}[X^{-1}] = \frac{\alpha}{\beta},\, 

정보 엔트로피는 다음과 같다.

: 
\begin{align}
\operatorname{H}(X) & = \operatorname{E}[-\ln(p(X))] \\
& = \operatorname{E}\left[-\alpha \ln(\beta) + \ln(\Gamma(\alpha)) + (\alpha+1)\ln(X) + \frac{\beta}{X}\right] \\
& = -\alpha \ln(\beta) + \ln(\Gamma(\alpha)) + (\alpha+1)\ln(\beta) - (\alpha+1)\psi(\alpha) + \alpha\\
& = \alpha + \ln(\beta\Gamma(\alpha)) - (\alpha+1)\psi(\alpha).
\end{align}


여기서 \psi(\alpha) 는 디감마 함수이다.

Inverse-Gamma(αp, βp)와 Inverse-Gamma(αq, βq) 간의 쿨백-라이블러 발산은 Gamma(αp, βp)와 Gamma(αq, βq) 간의 KL-발산과 동일하다.

D_{\mathrm{KL}}(\alpha_p,\beta_p; \alpha_q, \beta_q) = \mathbb{E}\left[ \log \frac{\rho(X)}{\pi(X)}\right] = \mathbb{E}\left[ \log \frac{\rho(1/Y)}{\pi(1/Y)}\right] = \mathbb{E}\left[ \log \frac{\rho_G(Y)}{\pi_G(Y)}\right], 

여기서 \rho, \pi 는 역감마 분포의 PDF이고 \rho_G, \pi_G 는 감마 분포의 PDF이며, Y 는 Gamma(αp, βp) 분포를 따른다.

: 
\begin{align}
D_{\mathrm{KL}}(\alpha_p,\beta_p; \alpha_q, \beta_q) = {} & (\alpha_p-\alpha_q) \psi(\alpha_p) - \log\Gamma(\alpha_p) + \log\Gamma(\alpha_q) + \alpha_q(\log \beta_p - \log \beta_q) + \alpha_p\frac{\beta_q-\beta_p}{\beta_p}.
\end{align}


## 관련 분포
* 만약 X \sim \mbox{Inv-Gamma}(\alpha, \beta)이면  k X \sim \mbox{Inv-Gamma}(\alpha, k \beta) \, ( k > 0 ).
* 만약 X \sim \mbox{Inv-Gamma}(\alpha, \tfrac{1}{2})이면 X \sim \mbox{Inv-}\chi^2(2 \alpha)\, (역카이제곱 분포)
* 만약 X \sim \mbox{Inv-Gamma}(\tfrac{\alpha}{2}, \tfrac{1}{2})이면 X \sim \mbox{Scaled Inv-}\chi^2(\alpha,\tfrac{1}{\alpha})\, (척도화 역카이제곱 분포)
* 만약 X \sim \textrm{Inv-Gamma}(\tfrac{1}{2},\tfrac{c}{2})이면 X \sim \textrm{Levy}(0,c)\, (레비 분포)
* 만약 X \sim \textrm{Inv-Gamma}(1,c)이면 \tfrac{1}{X} \sim \textrm{Exp}(c)\, (지수 분포)
* 만약 X \sim \mbox{Gamma}(\alpha, \beta)\, (속도 모수 \beta를 가진 감마 분포)이면 \tfrac{1}{X} \sim \mbox{Inv-Gamma}(\alpha, \beta)\, (자세한 내용은 다음 단락의 유도 참조).
* 만약 X \sim \mbox{Gamma}(k, \theta) (척도 모수 \theta를 가진 감마 분포)이면 1/X \sim \mbox{Inv-Gamma}(k, 1/\theta)
* 역감마 분포는 유형 5 피어슨 분포의 특수 사례이다.
* 역감마 분포의 다변량 일반화는 역위샤트 분포이다.
* 독립적인 역감마 변수들의 합의 분포에 대해서는 Witkovsky (2001)를 참조하라.

## 감마 분포로부터의 유도
X \sim \mbox{Gamma}(\alpha, \beta)라고 하자. 감마 분포의 PDF는 다음과 같다.

: f_{X}(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}, x > 0.

여기서  \beta 는 감마 분포 관점에서의 속도 모수이다.

변환 Y = g(X) = \tfrac{1}{X}를 정의하자. 그러면 Y의 PDF는 다음과 같다.

:\begin{align}
f_Y(y) &= f_X \left( g^{-1}(y) \right) \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right| \\[6pt]
&= \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \left( \frac{1}{y} \right)^{\alpha-1} \exp \left(  \frac{-\beta}{y}  \right)  \frac{1}{y^2} \\[6pt]
&= \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \left( \frac{1}{y} \right)^{\alpha+1} \exp \left(  \frac{-\beta}{y}  \right)   \\[6pt]
&= \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} y^{-\alpha-1} \exp \left(  \frac{-\beta}{y}  \right) \\[6pt]
\end{align}

여기서  {\beta} 는 역감마 분포 관점에서의 척도 모수이다. 이는  {\beta} 가 척도 모수로서의 조건을 만족함을 직접적으로 보여줌으로써 쉽게 증명될 수 있다.
:\begin{align}
\frac{f(y / \beta; \alpha, 1)}{\beta}  &= \frac{1}{\beta} \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \left( \frac{y}{\beta} \right)^{-\alpha-1} \exp \left(-\frac{1}{y / \beta}\right) \\[6pt]
&= \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} y^{-\alpha-1} \exp \left(-\frac{\beta}{y}\right) \\[6pt]
&= f(y; \alpha, \beta)
\end{align}

## 발생

* 위너 확률 과정의 도달 시간 분포는 \alpha=0.5인 역감마 분포의 특수한 경우인 레비 분포를 따른다.

## 같이 보기
* 감마 분포
* 역카이제곱 분포
* 정규 분포
* 피어슨 분포

## 각주

* 

분류:연속분포
분류:감마 함수 및 관련 함수