텐서의 불변량

수학, 다중선형대수학 및 표현론 분야에서 2계 텐서 \mathbf{A}의 **주불변량**()은 특성 다항식의 계수이다.

:\ p(\lambda)=\det (\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})

여기서 \mathbf{I}는 항등 연산자이고, \lambda_i \in\mathbb{C}는 다항식 p 의 뿌리이자 \mathbf{A}의 고윳값이다.

더 넓게는, 모든 직교 행렬 \mathbf{Q}에 대해 f(\mathbf{Q}\mathbf{A}\mathbf{Q}^T)=f(\mathbf{A})인 경우에만 임의의 스칼라 값 함수 f(\mathbf{A})가 \mathbf{A}의 불변량이 된다. 이는 성분 A_{ij}로 불변량을 표현하는 공식이 모든 데카르트 기저에서 동일한 결과를 준다는 것을 의미한다. 예를 들어, 기저가 변함에 따라 \mathbf{A}의 개별 대각 성분은 달라지지만, 대각 성분의 합은 변하지 않는다.

주불변량은 좌표계의 회전에 따라 변하지 않으며(객관적(objective)이거나, 현대적인 용어로는 물질 프레임 무관성 원리를 만족함), 주불변량의 모든 함수 또한 객관적이다.

## 2계 텐서의 불변량 계산
대부분의 공학적 응용에서는 고윳값 \lambda_1^2, \lambda_2^2, \lambda_3^2을 갖는 우측 코시-그린 변형 텐서 \mathbf{C}와 같이 3차원 (2계) 텐서의 주불변량을 구한다. 여기서 \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3는 주신장(principal stretches), 즉 \mathbf{U}=\sqrt{\mathbf{C}}의 고윳값이다.

### 주불변량
이러한 텐서의 경우, 주불변량은 다음과 같이 주어진다:
:
\begin{align}
  I_1 &= \mathrm{tr}(\mathbf{A}) = A_{11}+A_{22}+A_{33} = \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 \\
I_2 &= \frac{1}{2} \left( (\mathrm{tr}(\mathbf{A}))^2-\mathrm{tr} \left( \mathbf{A}^2 \right) \right) = A_{11}A_{22}+A_{22}A_{33}+A_{11}A_{33}-A_{12}A_{21}-A_{23}A_{32}-A_{13}A_{31} = \lambda_1 \lambda_2 + \lambda_1 \lambda_3 + \lambda_2 \lambda_3 \\
I_3 &= \det (\mathbf{A})=  -A_{13} A_{22} A_{31} + A_{12} A_{23} A_{31} + A_{13} A_{21} A_{32} - A_{11} A_{23} A_{32} - A_{12} A_{21} A_{33} +   A_{11} A_{22} A_{33} = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3
\end{align}
 
대칭 텐서의 경우, 이 정의들은 단순화된다.

텐서의 주불변량과 특성 다항식 사이의 대응 관계를 케일리-해밀턴 정리와 결합하면 다음과 같음을 알 수 있다.
:\ \mathbf{A}^3 - I_1 \mathbf{A}^2 +I_2 \mathbf{A} -I_3 \mathbf{I}= 0
여기서 \mathbf{I}는 2차 항등 텐서이다.

### 주요 불변량
위에 나열된 주불변량 외에도 주요 불변량(main invariants)의 개념을 도입할 수 있다.
:
\begin{align}
  J_1 &= \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = I_1 \\
J_2 &= \lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 = I_1^2 - 2 I_2   \\
J_3 &= \lambda_1^3 + \lambda_2^3 + \lambda_3^3 = I_1^3 - 3 I_1 I_2 + 3 I_3
\end{align}
 
이들은 위 주불변량들의 함수이다. 이들은 편차 텐서(deviator) \mathbf{A} - (\mathrm{tr}(\mathbf{A})/3)\mathbf{I}의 특성 다항식의 계수이며, 이 편차 텐서의 대각합(trace)은 0이다. 텐서를 항등 텐서의 배수인 성분과 대각합이 0인 성분으로 분리하는 것은 유체역학에서 표준적인 방식이다. 전자는 등방성(isotropic) 성분이라 불리며 수정된 압력을 제공하고, 후자는 편차(deviatoric) 성분이라 불리며 전단 효과를 제공한다.

### 혼합 불변량
나아가, 두 2계 텐서 쌍 사이의 혼합 불변량도 정의될 수 있다.

### 고차원 불변량
이들은 예를 들어 파데예프-르베리에 알고리즘을 사용하여 특성 다항식을 직접 계산함으로써 추출할 수 있다.

## 고계 텐서의 불변량 계산
3계, 4계 및 그 이상의 고계 텐서에 대한 불변량도 결정될 수 있다.

## 공학적 응용
텐서의 주불변량에 전적으로 의존하는 스칼라 함수 f는 객관적이다. 즉, 좌표계의 회전에 독립적이다. 이 특성은 등방성 대칭을 가진 비선형 재료의 헬름홀츠 자유 에너지 또는 변형 에너지 밀도 함수에 대한 폐쇄형 표현식을 공식화하는 데 흔히 사용된다.

이 기술은 1940년 하워드 P. 로버트슨에 의해 등방성 난류 이론에 처음 도입되었으며, 그는 불변량 원리로부터 카르만-하워스 방정식을 유도할 수 있었다. 조지 뱃첼러와 수브라마니안 찬드라세카르는 이 기술을 활용하여 축대칭 난류에 대한 확장된 처리를 개발했다.

### 비대칭 텐서의 불변량
3D에서 실수 텐서 \mathbf{A}(즉, 3x3 성분 행렬을 갖는 텐서)는 최대 6개의 독립적인 불변량을 갖는다. 3개는 대칭 부분의 불변량이며, 나머지 3개는 대칭 부분의 주방향에 대한 반대칭 부분의 유사벡터 방향을 나타낸다. 예를 들어, \mathbf{A}의 데카르트 성분이 다음과 같다면

:[A] = \begin{bmatrix}
  931 & 5480 & -717\\
-5120 & 1650 & 1090\\
1533  & -610 & 1169
\end{bmatrix},
첫 번째 단계는 반대칭 부분과 관련된 유사벡터 \mathbf{w}를 구하는 것이다. 구체적으로, 유사벡터의 성분은 다음과 같다.
:\begin{align}
w_1&=\frac{A_{32}-A_{23}}{2}=-850\\
w_2&=\frac{A_{13}-A_{31}}{2}=-1125\\
w_3&=\frac{A_{21}-A_{12}}{2}=-5300
\end{align}

다음 단계는 \mathbf{A}의 대칭 부분의 주값을 찾는 것이다. 실수 비대칭 텐서의 고윳값은 복소수일 수 있지만, 그 *대칭 부분*의 고윳값은 항상 실수이므로 큰 값부터 작은 값 순으로 정렬할 수 있다. 이에 대응하는 정규직교 주방향은 유사벡터 \mathbf{w}가 제1팔분공간(first octant)을 가리키도록 방향을 지정할 수 있다. 그 특별한 기저에 대하여 \mathbf{A}의 성분은 다음과 같다.
:[A'] = \begin{bmatrix}
  1875 & -2500 & 3125\\
  2500 & 1250  & -3750\\
 -3125 & 3750 & 625
\end{bmatrix},
\mathbf{A}의 처음 3개 불변량은 이 행렬의 대각 성분이다: a_1=A'_{11}=1875 , a_2=A'_{22}=1250, a_3=A'_{33}=625 (이는 텐서의 대칭 부분의 정렬된 주값과 같다). 나머지 3개 불변량은 이 기저에서의 유사벡터 성분이다: w'_1=A'_{32}=3750, w'_2=A'_{13}=3125, w'_3=A'_{21}=2500. 참고: 유사벡터의 크기 \sqrt{\mathbf{w}\cdot\mathbf{w}}는 \mathbf{A}의 반대칭 부분의 유일한 불변량인 반면, 이 별개의 3개 불변량은 (어떤 의미에서) \mathbf{A}의 대칭 부분과 반대칭 부분 사이의 "정렬" 특성을 나타낸다. 덧붙여서, 고윳값이 양수이면 텐서가 양의 정부호(positive definite)라는 것은 잘못된 상식이다. 대신, 텐서는 그 *대칭 부분*의 고윳값이 양수일 때만 양의 정부호가 된다.

## 같이 보기
* 대칭 다항식
* 기본 대칭 다항식
* 뉴턴 항등식
* 불변량 이론

## 각주

분류:선형대수학
분류:텐서