아날로그 신호 처리

**아날로그 신호 처리**(analog signal processing)는 연속적인 아날로그 신호에 대해 아날로그적 수단(신호 처리가 디지털 프로세스로 수행되는 이산적인 디지털 신호 처리와는 반대)으로 수행되는 신호 처리의 한 종류이다. "아날로그"는 수학적으로 연속적인 값의 집합으로 표현되는 것을 나타낸다. 이는 신호를 표현하기 위해 일련의 이산적인 양을 사용하는 "디지털"과 다르다. 아날로그 값은 일반적으로 전자 장치 구성 요소 주변의 전압, 전류 또는 전하로 표현된다. 이러한 물리량에 영향을 미치는 오류 또는 노이즈는 이러한 물리량으로 표현되는 신호에 해당하는 오류를 초래한다.

아날로그 신호 처리의 예로는 확성기의 크로스오버 필터, 스테레오의 "저음", "고음" 및 "볼륨" 제어, TV의 "색조" 제어가 있다. 일반적인 아날로그 처리 요소에는 축전기, 저항기 및 유도자(수동 소자)와 트랜지스터 또는 연산 증폭기(능동 소자)가 있다.

## 아날로그 신호 처리에 사용되는 도구
시스템의 동작은 수학적으로 모델링될 수 있으며, 시간 영역에서는 h(t)로, 주파수 영역에서는 H(s)로 표현된다. 여기서 s는 s=a+ib 형태의 복소수이거나 전기 공학 용어로는 s=a+jb이다 (전기 공학자들은 전류를 변수 i로 나타내기 때문에 "i" 대신 "j"를 사용한다). 입력 신호는 일반적으로 x(t) 또는 X(s)로 불리며, 출력 신호는 일반적으로 y(t) 또는 Y(s)로 불린다.

### 합성곱
합성곱은 신호 처리의 기본 개념으로, 입력 신호를 시스템의 함수와 결합하여 출력 신호를 찾을 수 있다고 말한다. 이것은 하나의 파형이 역전되고 이동된 후 두 파형의 곱의 적분이다. 합성곱의 기호는 *이다.
: y(t) = (x * h )(t) = \int_{a}^{b} x(\tau) h(t - \tau)\, d\tau
이는 합성곱 적분이며, 신호와 시스템의 합성곱을 찾는 데 사용된다. 일반적으로 a = -∞이고 b = +∞이다.

두 파형 f와 g를 고려하자. 합성곱을 계산함으로써, 역전된 함수 g가 함수 f와 동일해지기 위해 x축을 따라 얼마나 이동해야 하는지를 결정한다. 합성곱 함수는 본질적으로 함수 g를 축을 따라 역전시키고 밀어내며, 가능한 모든 이동량에 대해 그들(f와 역전되고 이동된 g)의 곱의 적분을 계산한다. 함수가 일치할 때 (f*g)의 값은 최대화된다. 이는 양의 영역(피크) 또는 음의 영역(골)이 곱해질 때 적분에 기여하기 때문에 발생한다.

### 푸리에 변환
푸리에 변환은 시간 영역의 신호나 시스템을 주파수 영역으로 변환하는 함수이지만, 특정 함수에 대해서만 작동한다. 푸리에 변환에 의해 변환될 수 있는 시스템이나 신호에 대한 제약은 다음과 같다.
:\int^\infty_{-\infty} |x(t)|\, dt 
이것은 푸리에 변환 적분이다.
:X(j\omega) = \int^\infty_{-\infty} x(t)e^{-j\omega t}\, dt
일반적으로 푸리에 변환 적분은 변환을 결정하는 데 사용되지 않는다. 대신, 변환 쌍 표를 사용하여 신호나 시스템의 푸리에 변환을 찾는다. 역푸리에 변환은 주파수 영역에서 시간 영역으로 전환하는 데 사용된다.
:x(t)=\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty} X(j\omega )e^{j\omega t}\, d\omega 
변환될 수 있는 각 신호 또는 시스템은 고유한 푸리에 변환을 갖는다. 어떤 주파수 신호에 대해서도 하나의 시간 신호만 존재하며, 그 반대도 마찬가지이다.

### 라플라스 변환

라플라스 변환은 일반화된 푸리에 변환이다. 푸리에 변환처럼 단순히 jω 선이 아니라 복소 평면으로 변환하기 때문에 어떤 시스템이나 신호도 변환할 수 있다. 주요 차이점은 라플라스 변환에는 변환이 유효한 수렴 영역이 있다는 것이다. 이는 주파수 영역의 신호가 시간 영역에서 하나 이상의 신호를 가질 수 있음을 의미한다. 변환에 대한 올바른 시간 신호는 수렴 영역에 의해 결정된다. 수렴 영역이 jω 축을 포함하면, s에 jω를 대입할 수 있으며 푸리에 변환과 동일하다. 라플라스 변환은 다음과 같다.
:X(s) = \int^\infty_{0^-} x(t)e^{-s t}\, dt
그리고 X(s)의 모든 특이점이 복소 평면의 왼쪽 절반에 있다면, 역라플라스 변환은 다음과 같다.
:x(t)=\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty} X(s )e^{s t}\, d s 

### 보드 선도
보드 선도는 시스템의 크기 대 주파수 및 위상 대 주파수 플롯이다. 크기 축은 [데시벨](dB) 단위이다. 위상 축은 도 또는 라디안 단위이다. 주파수 축은 [로그 눈금]이다. 사인파 입력의 경우, 출력은 입력에 해당 주파수에서의 크기 플롯 값을 곱하고 해당 주파수에서의 위상 플롯 값만큼 이동한 것이기 때문에 유용하다.

## 영역

### 시간 영역
이것은 대부분의 사람들이 익숙한 영역이다. 시간 영역의 플롯은 시간에 따른 신호의 진폭을 보여준다.

### 주파수 영역
주파수 영역의 플롯은 신호가 존재하는 각 주파수에서 신호의 위상 변화 또는 크기를 보여준다. 이는 시간 신호의 푸리에 변환을 취하여 찾을 수 있으며 보드 선도와 유사하게 플롯된다.

## 신호
어떤 신호라도 아날로그 신호 처리에 사용될 수 있지만, 매우 자주 사용되는 여러 유형의 신호가 있다.

### 사인파
사인파는 아날로그 신호 처리의 기본 구성 요소이다. 모든 실제 세계 신호는 푸리에 급수를 통해 사인 함수들의 무한 합으로 표현될 수 있다. 사인 함수는 오일러 공식을 적용하여 지수 함수로 표현될 수 있다.

### 임펄스
임펄스(디랙 델타 함수)는 무한한 크기와 무한히 좁은 폭을 가지며, 아래 면적이 1이고 0에 중심을 둔 신호로 정의된다. 임펄스는 가능한 모든 주파수를 포함하는 사인파들의 무한 합으로 표현될 수 있다. 실제로 이러한 신호를 생성하는 것은 불가능하지만, 큰 진폭과 좁은 펄스로 충분히 근사하여 높은 정확도로 네트워크에서 이론적인 임펄스 응답을 생성할 수 있다. 임펄스의 기호는 δ(t)이다. 임펄스가 시스템의 입력으로 사용되면, 출력은 임펄스 응답으로 알려져 있다. 임펄스 응답은 가능한 모든 주파수가 입력에 표현되기 때문에 시스템을 정의한다.

### 계단
단위 계단 함수라고도 불리는 단위 계단 함수는 0 이전에는 크기가 0이고 0 이후에는 크기가 1인 신호이다. 단위 계단의 기호는 u(t)이다. 계단이 시스템의 입력으로 사용되면, 출력은 계단 응답이라고 불린다. 계단 응답은 시스템이 스위치를 켜는 것과 유사하게 갑작스러운 입력에 어떻게 반응하는지 보여준다. 출력이 안정화되기 전의 기간을 신호의 과도 부분이라고 한다. 계단 응답은 입력이 갑자기 켜졌을 때 시스템이 어떻게 반응하는지 보여주기 위해 다른 신호들과 곱해질 수 있다.

단위 계단 함수는 디랙 델타 함수와 다음과 같은 관계를 갖는다.

:\mathrm{u}(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta (s)ds

## 시스템

### 선형 시불변 (LTI)
선형성은 두 개의 입력과 두 개의 해당 출력이 있을 때, 그 두 입력의 선형 결합을 취하면 출력의 선형 결합을 얻을 수 있다는 것을 의미한다. 선형 시스템의 예로는 1차 저역 통과 필터 또는 고역 통과 필터가 있다. 선형 시스템은 선형 속성을 나타내는 아날로그 장치로 구성된다. 이러한 장치는 완전히 선형일 필요는 없지만 선형 동작 영역을 가져야 한다. 연산 증폭기는 비선형 장치이지만 선형 동작 영역을 가지므로 해당 동작 영역 내에서 선형으로 모델링할 수 있다. 시불변성은 시스템을 언제 시작하든 상관없이 동일한 출력이 생성된다는 것을 의미한다. 예를 들어, 시스템이 있고 오늘 입력을 넣으면, 내일 시스템을 시작해도 동일한 출력을 얻을 수 있다. 실제 LTI 시스템은 없지만, 많은 시스템은 출력을 결정하는 단순화를 위해 LTI로 모델링할 수 있다. 모든 시스템은 온도, 신호 레벨 또는 기타 요인과 같은 것들에 대한 의존성을 가지며, 이는 시스템을 비선형 또는 시불변으로 만들지만, 대부분은 LTI로 모델링할 수 있을 만큼 충분히 안정적이다. 선형성과 시불변성은 기존의 아날로그 신호 처리 방법으로 쉽게 해결할 수 있는 유일한 유형의 시스템이기 때문에 중요하다. 시스템이 비선형 또는 시불변이 되면 비선형 미분 방정식 문제가 되며, 실제로 해결할 수 있는 경우는 거의 없다. (Haykin & Van Veen 2003)

## 같이 보기

* 아날로그 전자공학
* 축전기
* 아날로그와 디지털 기록의 비교
* 디지털 신호 처리
* 전기공학
* 일렉트로닉스
* 유도자
* 마이크로파 아날로그 신호 처리
* 저항기
* 신호
* 신호 처리
* 트랜지스터

### 회로

* RC 회로
* LC 회로
* RLC 회로
* 직렬 및 병렬 회로

### 필터

* 대역 필터
* 대역 제거 필터
* 하이패스 필터
* 로우패스 필터

## 참고 자료
* Haykin, Simon, and Barry Van Veen. Signals and Systems. 2nd ed. Hoboken, NJ: John Wiley and Sons, Inc., 2003.
* McClellan, James H., Ronald W. Schafer, and Mark A. Yoder. Signal Processing First. Upper Saddle River, NJ: Pearson Education, Inc., 2003.

분류:신호 처리