프로펠러 이론

**프로펠러 이론**()은 효율적인 프로펠러 설계에 관한 학문이다. 프로펠러는 선박과 소형 항공기에서 가장 일반적인 추진 장치이다.

## 역사
19세기 후반에 여러 이론이 개발되었다. 이상적인 프로펠러의 수학적 모델을 설명하는 이론인 운동량 이론 또는 디스크 작동기 이론은 W.J.M. 랭킨 (1865), 앨프레드 조지 그린힐 (1888) 및 로버트 에드먼드 프루드 (1889)에 의해 개발되었다. 프로펠러는 무한히 얇은 디스크로 모델링되며, 회전축을 따라 일정한 속도를 유도한다. 이 디스크는 프로펠러 주변에 흐름을 생성한다. 유체의 특정 수학적 전제 하에 일률, 프로펠러의 반경, 돌림힘 및 유도 속도 사이에 수학적 관계를 추출할 수 있다. 마찰력은 포함되지 않는다.

날개 요소 이론 (BET)은 프로펠러의 동작을 결정하기 위해 윌리엄 프루드 (로버트 에드먼드 프루드의 아버지) (1878), 데이비드 W. 테일러 (1893), 스테판 드제비에키가 고안한 수학적 과정이다. 이는 익형을 여러 작은 부분으로 나누어 각 부분에 작용하는 힘을 결정하는 것을 포함한다. 이 힘은 가속도로 변환될 수 있으며, 가속도는 속도와 위치로 통합될 수 있다.

## 작동 원리

프로펠러는 유체에 운동량을 전달하여 선박에 힘이 작용하게 한다. 모든 추진 장치의 이상적인 효율은 이상적인 유체 내의 작동기 디스크의 효율이다. 이를 프루드 효율이라고 하며, 아무리 우수한 장치라도 이를 초과할 수 없는 자연적인 한계이다. 물 속에서 사실상 미끄럼이 없는 모든 추진 장치(매우 큰 프로펠러든 거대한 항력 장치든)는 100% 프루드 효율에 접근한다. 작동기 디스크 이론의 본질은 미끄럼이 디스크를 통한 유체 속도 증가와 차량 속도의 비율로 정의될 경우, 프루드 효율은 1/(미끄럼 + 1)과 같다는 것이다. 따라서 넓은 면적을 가진 가볍게 부하된 프로펠러는 높은 프루드 효율을 가질 수 있다.

실제 프로펠러는 나사선형 표면의 단면으로 이루어진 블레이드를 가지고 있어 유체를 '나사'처럼 통과한다고 생각할 수 있다 (따라서 프로펠러를 흔히 "나사못"이라고 부른다). 실제 블레이드는 비틀린 익형 또는 수중익이며, 각 단면이 전체 추력에 기여한다. 2개에서 5개의 블레이드가 가장 일반적이지만, 소음 감소를 목표로 하는 설계는 더 많은 블레이드를 가지며, 카운터웨이트가 있는 단일 블레이드 프로펠러도 사용되었다. 경항공기 및 인력 보트용 가볍게 부하된 프로펠러는 주로 2개의 블레이드를 가지며, 모터 보트는 주로 3개의 블레이드를 가진다. 블레이드는 보스(허브)에 부착되며, 보스는 클 수도 있지만 강도 요구 사항이 허용하는 한 작아야 한다. 고정 피치 프로펠러의 경우 블레이드와 보스는 일반적으로 단일 주조물이다.

다른 설계는 가변피치 프로펠러 (CPP, 또는 조절식-가역 피치를 위한 CRP)로, 블레이드가 허브에 있는 추가 장비(일반적으로 수리학)와 샤프트 아래로 이어지는 제어 연결 장치에 의해 법선으로 구동축에 회전한다. 이를 통해 구동 장비는 일정한 속도로 작동하면서 프로펠러 부하가 작동 조건에 맞게 변경될 수 있다. 또한 후진 기어가 필요 없고 회전 수가 일정하므로 추력의 더 빠른 변경이 가능하다. 이 유형의 프로펠러는 예인선과 같이 예인 시와 자유 주행 시 프로펠러 부하에 엄청난 차이가 있을 수 있는 선박에서 가장 일반적이다. CPP/CRP의 단점은 다음과 같다. 공동현상을 유발하는 데 필요한 돌림힘을 감소시키는 큰 허브, 동력 전달을 제한하는 기계적 복잡성, 프로펠러 설계자에게 강요되는 추가 블레이드 형상 요구 사항.

작은 모터의 경우 자체 피치 프로펠러가 있다. 블레이드는 샤프트에 대해 직각인 축을 중심으로 완전한 원을 자유롭게 움직인다. 이를 통해 유체역학적 및 원심력이 블레이드가 도달하는 각도를 '설정'하고 따라서 프로펠러의 피치를 설정할 수 있다.

선미에서 볼 때 전방 추력을 생성하기 위해 시계 방향으로 회전하는 프로펠러를 오른손잡이 프로펠러라고 한다. 반시계 방향으로 회전하는 프로펠러는 왼손잡이 프로펠러라고 한다. 대형 선박은 종종 힐링 토크를 줄이기 위해 2개의 프로펠러를 가지며, 반대 방향으로 회전하는 프로펠러는 우현 프로펠러는 주로 오른손잡이이고 좌현 프로펠러는 왼손잡이이며, 이를 외부 회전이라고 한다. 반대 경우는 내부 회전이라고 한다. 또 다른 가능성은 반대 방향으로 회전하는 프로펠러로, 두 개의 프로펠러가 단일 샤프트 또는 거의 동일한 축의 별도 샤프트에서 반대 방향으로 회전한다. 반대 방향으로 회전하는 프로펠러는 전방 프로펠러에 의해 유체에 전달되는 접선 속도(일명 "프로펠러 스월")에서 손실되는 에너지를 포착하여 효율을 높인다. 반대 방향으로 회전하는 프로펠러 세트의 후방 프로펠러 뒤의 유동장은 "스월"이 거의 없으며, 이러한 에너지 손실 감소는 후방 프로펠러의 효율 증가로 나타난다.

아지무싱 프로펠러는 수직축을 중심으로 회전하는 프로펠러이다. 개별 익형 모양의 블레이드는 프로펠러가 움직일 때 회전하여 항상 선박의 진행 방향으로 양력을 생성한다. 이 유형의 프로펠러는 추력 방향을 매우 빠르게 반전시키거나 변경할 수 있다.

고정익기는 또한 P-팩터 효과의 영향을 받는데, 회전하는 프로펠러는 생성하는 상대풍이 비대칭이기 때문에 항공기를 한쪽으로 약간 요잉시킨다. 이는 상승 시 특히 두드러지지만, 일반적으로 항공기의 방향타로 간단히 보정할 수 있다. 다중 엔진 항공기가 한쪽 엔진, 특히 P-팩터를 강화하는 쪽에 위치한 엔진의 동력을 잃으면 더 심각한 상황이 발생할 수 있다. 이 동력 장치는 임계 엔진이라고 불리며, 이 엔진을 잃으면 조종사의 더 많은 제어 보정이 필요하다. 기하학적 피치는 항공기 프로펠러의 요소가 프로펠러 축에 수직인 평면과 요소의 시위선 사이의 각도와 같은 각도를 가진 나선형을 따라 이동할 경우 한 바퀴 회전하는 동안 전진하는 거리이다.

## 포일에 작용하는 힘
포일에 작용하는 힘(F)은 면적(A), 유체 밀도(ρ), 속도(V), 유체 흐름에 대한 포일의 각도(즉, 받음각(\alpha))에 의해 결정된다. 여기서:

:\frac {F}{\rho AV^2} = f(R_n, \alpha)

힘은 두 부분으로 나뉘는데, 흐름 방향에 수직인 부분은 양력(L)이고, 흐름 방향과 같은 부분은 항력(D)이다. 둘 다 수학적으로 표현할 수 있다.

:L = C_L \tfrac {1}{2} \rho V^2 A 및 D = C_D {\tfrac {1}{2} \rho V^2 A}
여기서 CL 및 CD는 각각 양력 계수 및 항력 계수이다.

각 계수는 받음각과 레이놀즈 수의 함수이다. 받음각이 증가함에 따라 양력은 무양력각에서 급격히 상승하다가 증가 속도가 느려지고 감소하며, 실속각에 도달하여 흐름이 방해받으면 급격히 떨어진다. 항력은 처음에는 천천히 증가하다가 양력 증가율이 떨어지고 받음각이 증가함에 따라 항력은 더 급격히 증가한다.

주어진 순환 강도(\tau)에 대해 \mbox{Lift} = L = \rho V \tau이다. 포일 위로 흐르는 유동과 주변 순환의 효과는 면에서의 속도를 감소시키고 블레이드 뒷면에서의 속도를 증가시키는 것이다. 유체 주변 압력에 비해 압력 감소가 너무 크면 공동현상이 발생하여 저압 영역에 기포가 형성되고 압력이 증가함에 따라 블레이드의 뒷전으로 이동하여 붕괴된다. 이는 프로펠러 효율을 감소시키고 소음을 증가시킨다. 기포 붕괴로 인해 발생하는 힘은 블레이드 표면에 영구적인 손상을 초래할 수 있다.

## 프로펠러 추력 방정식
### 단일 블레이드
r에서 블레이드의 임의의 방사형 단면을 취할 때, 회전수가 N이면 회전 속도는 \scriptstyle 2\pi N r이다. 블레이드가 완전한 나사였다면, 블레이드의 피치가 P일 때 NP의 속도로 고체를 통과했을 것이다. 물 속에서의 전진 속도, \scriptstyle V_a,는 다소 낮다. 그 차이, 즉 슬립 비율은 다음과 같다.

:\mbox{Slip} = \frac{NP-V_a}{NP} = 1-\frac{J}{p}

여기서 \scriptstyle J=\frac{V_a}{ND}는 전진 계수이고, \scriptstyle p=\frac{P}{D}는 피치 비율이며, \scriptstyle D 는 프로펠러의 지름이다.

블레이드에 작용하는 양력 및 항력, dA는 표면에 수직인 힘이 dL이다.

:\mbox{d}L = \frac {1}{2}\rho V_1^2 C_L dA = \frac {1}{2}\rho C_L[V_a^2(1+a)^2+4\pi^2r^2(1-a')^2]b\mbox{d}r

여기서:

:\begin{align}V_1^2 &= V_a^2(1+a)^2+4\pi^2r^2(1-a')^2\\
       \mbox{d}D &= \frac{1}{2}\rho V_1^2C_D\mbox{d}A = \frac{1}{2}\rho C_D[V_a^2(1+a)^2+4\pi^2r^2(1-a')^2]b\mbox{d}r\end{align}

이러한 힘은 블레이드의 추력 T에 기여한다.

:\mbox{d}T = \mbox{d}L\cos\varphi-\mbox{d}D\sin\varphi = \mbox{d}L(\cos\varphi-\frac{\mbox{d}D}{\mbox{d}L}\sin\varphi)

여기서:

\begin{align}\tan\beta &= \frac{\mbox{d}D}{\mbox{d}L} = \frac{C_D}{C_L}\\
 &= \frac{1}{2}\rho V_1^2 C_L \frac{\cos(\varphi+\beta)}{\cos\beta}b\mbox{d}r\end{align}

\scriptstyle V_1 = \frac{V_a(1+a)}{\sin\varphi}이므로,

:\mbox{d}T = \frac{1}{2}\rho C_L \frac{V_a^2(1+a)^2\cos(\varphi+\beta)}{\sin^2\varphi \cos\beta}b\mbox{d}r

여기서부터 블레이드를 따라 이 식을 적분하여 총 추력을 얻을 수 있다. 횡방향 힘은 유사한 방식으로 찾아진다.

:\begin{align}\mbox{d}M &= \mbox{d}L\sin\varphi+\mbox{d}D\cos\varphi\\
 &= \mbox{d}L(\sin\varphi+\frac{\mbox{d}D}{\mbox{d}L}\cos\varphi)\\
 &= \frac{1}{2}\rho V_1^2 C_L \frac{\sin(\varphi+\beta)}{\cos\varphi}b\mbox{d}r\end{align}

\scriptstyle V_1을 대입하고 r을 곱하면 돌림힘은 다음과 같다.

:\mbox{d}Q = r\mbox{d}M = \frac{1}{2}\rho C_L \frac{V_a^2(1+a)^2\sin(\varphi+\beta)}{\sin^2\varphi\cos\beta}br\mbox{d}r

이는 이전과 같이 적분할 수 있다.

프로펠러의 총 추력 일률은 \scriptstyle TV_a에 비례하고 축 일률은 \scriptstyle 2\pi NQ에 비례한다. 따라서 효율은 \scriptstyle\frac{TV_a}{2\pi NQ}이다. 블레이드 효율은 추력과 돌림힘의 비율이다.

:\mbox{날개 요소 효율} = \frac{V_a}{2\pi Nr}\cdot\frac{1}{\tan(\varphi+\beta)}

이는 블레이드 효율이 운동량과 \scriptstyle \varphi 및 \scriptstyle \beta 각도의 형태로 된 특성, 즉 \scriptstyle \beta가 항력 계수와 양력 계수의 비율에 의해 결정됨을 보여준다.

이 분석은 단순화되었으며 블레이드 간의 간섭 및 팁 와류의 영향과 같은 여러 중요한 요소를 무시한다.

### 추력 및 돌림힘
추력(T)과 돌림힘(Q)은 프로펠러의 지름(D), 회전수(N), 전진 속도(V_a)와 함께 프로펠러가 작동하는 유체의 특성 및 중력에 따라 달라진다. 이러한 요소들은 다음의 무차원 수 관계를 생성한다.

:T = \rho V^2 D^2 \left[ f_1\left(\frac {ND}{V_a}\right), f_2\left(\frac {v}{V_a D}\right), f_3\left(\frac {gD}{V_a^2}\right) \right]

여기서 f_1은 전진 계수의 함수이고, f_2는 레이놀즈 수의 함수이며, f_3은 프루드 수의 함수이다. 일반적인 작동 조건에서 f_2와 f_3은 f_1에 비해 작을 가능성이 있으므로, 이 식은 다음으로 줄일 수 있다.

:T = \rho V_a^2 D^2 \times f_r \left(\frac {ND}{V_a}\right)

두 개의 동일한 프로펠러의 경우 식은 동일할 것이다. 따라서 프로펠러 T_1, T_2를 사용하여 각 프로펠러를 나타내기 위해 동일한 아래첨자를 사용하면 다음과 같다.

:\frac {T_1}{T_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2} \times \frac{V_{a1}^2}{V_{a2}^2} \times \frac{D_1^2}{D_2^2}

프루드 수와 전진 계수 모두에 대해:

:\frac {T_1}{T_2} = \frac {\rho_1}{\rho_2} \times \frac {D_1^3}{D_2^3} = \frac {\rho_1}{\rho_2} \lambda^3

여기서 \lambda는 선형 치수의 비율이다.

동일한 프루드 수에서 추력과 속도는 추력 일률을 제공한다.

:\frac {P_{T1}}{P_{T2}} = \frac {\rho_1}{\rho_2} \lambda^{3.5}

돌림힘의 경우:

:Q = \rho V_a^2 D^3 \times f_q \left(\frac{ND}{V_a}\right)

:. . .

## 실제 성능
프로펠러가 선박에 부착되면 그 성능이 달라진다. 동력 전달의 기계적 손실, 총 저항의 전반적인 증가, 그리고 선체 또한 프로펠러를 통과하는 흐름을 방해하고 불균일하게 만든다. 선박에 부착된 프로펠러의 효율(\scriptstyle P_D)과 개방 수역에서의 효율(\scriptstyle P'_D) 간의 비율을 상대 회전 효율이라고 한다.

전체 추진 효율(유효 일률(\scriptstyle P_E)의 확장)은 추진 계수(\scriptstyle PC)에서 개발되며, 이는 설치된 축 일률(\scriptstyle P_S)을 부속물이 있는 선체의 유효 일률(\scriptstyle P'_E), 프로펠러의 추력 일률(\scriptstyle P_T), 그리고 상대 회전 효율로 보정하여 도출된다.

:P'_E/P_T = 선체 효율 = \eta_H

:P_T/P'_D = 프로펠러 효율 = \eta_O

:P'_D/P_D = 상대 회전 효율 = \eta_R

:P_D/P_S = 축 전달 효율

다음과 같이 생성된다.

:PC = \left(\frac {\eta_H \cdot \eta_O \cdot \eta_R}{\mbox{부속물 계수}}\right) \cdot \mbox{전달 효율}

괄호 안에 포함된 항들은 일반적으로 유사-추진 계수(\scriptstyle QPC, \scriptstyle \eta_D)로 묶인다. \scriptstyle QPC는 소규모 실험에서 생성되며, 실제 크기 선박에 대한 부하 계수로 보정된다.

후류는 선박과 물 사이의 상호작용으로 물은 선박에 대해 자체 속도를 가진다. 후류는 세 부분으로 구성된다. 선체 주변 물의 속도, 선체에 의해 끌리는 물과 주변 흐름 사이의 경계층, 그리고 선박의 움직임으로 인해 생성되는 파도이다. 처음 두 부분은 프로펠러로 유입되는 물의 속도를 감소시키고, 세 번째 부분은 파도가 프로펠러에서 마루 또는 골을 생성하는지에 따라 속도를 증가시키거나 감소시킬 것이다.

## 같이 보기
* 날개 요소 이론
* 날개 요소 운동량 이론
* 프로펠러
* 프로펠러 (항공기)
* 지상 조절식 프로펠러
* 공동현상

## 각주

분류:프로펠러