디바이 길이

플라스마와 전해질에서 **디바이 길이** **<math>\lambda_\text{D}</math>** (**디바이 반경**(Debye radius) 또는 **디바이–휘켈 차폐 길이**(Debye–Hückel screening length))는 전하 운반자의 용액 내 순 정전기 효과와 그 정전기 효과가 얼마나 멀리 지속되는지를 측정하는 값이다. 각 디바이 길이마다 전하는 점점 더 전기적으로 차폐되고 전위는 e만큼 감소한다. **디바이 구**(Debye sphere)는 반경이 디바이 길이인 부피이다. 디바이 길이는 플라스마 물리학, 전해질, 콜로이드 (DLVO 이론)에서 중요한 매개변수이다.

밀도 n, 전하 q, 온도 T를 가진 입자로 구성된 플라스마의 디바이 길이는  \lambda_\text{D}^2 = \varepsilon_0 k_\text{B}T/(n q^2) 로 주어진다. 해당 디바이 차폐 파수는  1/\lambda_\text{D} 로 주어진다. 매우 낮은 온도(T \to 0)에서의 유사한 양들은 각각 토마스-페르미 길이와 토마스-페르미 파수로 알려져 있다. 이들은 실온의 금속과 고온 고밀도 물질에서 전자의 거동을 설명하는 데 중요하다.

디바이 길이는 네덜란드-미국 물리학자이자 화학자이며 노벨 화학상 수상자인 피터 디바이(1884–1966)의 이름을 따서 명명되었다.

## 물리적 기원
[섬네일|right|250px|[플라스마에서 전기장 가림의 그림. 점선 원으로 표시된 음전하 구름의 반경이 디바이 길이이다.]]

디바이 길이는 플라스마, 전해질 용액, 반도체와 같은 이동 가능한 전하를 가진 물질을 설명할 때 자연스럽게 나타난다. 이러한 물질에서 전하는 물질 내부에 유도된 전기장을 특정 특성 길이로 자연스럽게 차폐한다. 이 특성 길이가 디바이 길이이다.

이 값은 N개의 서로 다른 종류의 대전 입자 시스템에 대해 수학적으로 도출될 수 있으며, 여기서 j번째 종류는 전하 q_j를 가지고 위치 \mathbf{r}에서 농도 n_j(\mathbf{r})를 가진다.
이 매질 내의 대전 입자 분포는 푸아송 방정식을 만족하는 전위 \Phi(\mathbf{r})를 발생시킨다.
 \varepsilon \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = -\, \sum_{j = 1}^N q_j \, n_j(\mathbf{r}) - \rho_\text{ext}(\mathbf{r}),
여기서 \varepsilon는 매질의 유전율이며, \rho_\text{ext}는 매질의 일부가 아닌 모든 정적 전하 밀도이다.

이동 전하는 \Phi(\mathbf{r})에만 영향을 미치는 것이 아니라 해당 쿨롱 힘, - q_j \, \nabla \Phi(\mathbf{r})으로 인해 \Phi(\mathbf{r})의 영향을 받기도 한다.
시스템이 온도 T에 있다고 추가로 가정하면, 평균장 이론의 가정 하에 전하 농도 n_j(\mathbf{r})는 볼츠만 분포로 향하는 경향이 있다고 볼 수 있다.
 n_j(\mathbf{r}) = n_j^0 \, \exp\left( - \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_\text{B} T} \right),
여기서 k_\text{B}는 볼츠만 상수이고 n_j^0는 j종류 전하의 평균 농도이다.

푸아송 방정식의 순간 농도와 전위를 볼츠만 분포의 평균장 대응값과 동일시하면 푸아송–볼츠만 방정식이 나온다.
 \varepsilon \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = -\, \sum_{j = 1}^N q_j n_j^0 \, \exp\left(- \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_\text{B} T} \right) - \rho_\text{ext}(\mathbf{r}) .

이 비선형 방정식의 해는 일부 간단한 시스템에 대해 알려져 있다. 더 일반적인 시스템의 해는 고온 (약한 결합) 한계, q_j \, \Phi(\mathbf{r}) \ll k_\text{B} T에서 지수 함수를 테일러 전개하여 얻을 수 있다.
 \exp\left(- \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_\text{B} T} \right) \approx
1 - \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_\text{B} T}.

이 근사는 선형화된 푸아송–볼츠만 방정식으로 이어진다.
 \varepsilon \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) =
\left(\sum_{j = 1}^N \frac{n_j^0 \, q_j^2}{ k_\text{B} T} \right)\, \Phi(\mathbf{r}) -\, \sum_{j = 1}^N n_j^0 q_j - \rho_\text{ext}(\mathbf{r})

이는 또한 디바이–휘켈 방정식으로도 알려져 있다.
오른쪽 항의 두 번째 항은 전기적으로 중성인 시스템에서는 사라진다. 괄호 안의 항을 \varepsilon로 나눈 값은 역 길이 제곱의 단위를 가지며, 차원 해석에 의해 특성 길이 스케일의 정의로 이어진다.

이 길이 스케일을 디바이–휘켈 방정식에 대입하고 오른쪽 항의 두 번째 및 세 번째 항을 무시하면 훨씬 단순화된 형태인  \lambda_\text{D}^2 \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = \Phi(\mathbf{r}) 이 나온다. 디바이–휘켈 방정식에서 유일한 특성 길이 스케일인 \lambda_\text{D}는 전위 및 대전 종의 농도 변화의 스케일을 설정한다. 모든 대전 종은 전하의 부호와 관계없이 같은 방식으로 디바이 길이에 기여한다.

디바이 차폐를 설명하기 위해 플라스마에 놓인 점전하의 예를 들 수 있다. 그러면 외부 전하 밀도는 \rho_\text{ext} = Q\delta(\mathbf{r})가 되고, 결과적인 전위는
 \Phi(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon r} e^{-r/\lambda_\text{D}}
매질에 의해 순수한 쿨롱 전위는 디바이 길이만큼의 거리에서 지수적으로 차폐된다. 이를 디바이 차폐 또는 가림이라고 한다.

디바이 길이는 비에룸 길이 \lambda_\text{B}로 다음과 같이 표현될 수 있다.
 \lambda_\text{D} =
\left(4 \pi \, \lambda_\text{B} \, \sum_{j = 1}^N n_j^0 \, z_j^2\right)^{-1/2},
여기서 z_j = q_j/e는 j번째 이온 종의 전하와 기본 전하 e를 관련시키는 정수 전하 수이다.

## 플라스마에서
약하게 충돌하는 플라스마의 경우, 디바이 차폐는 플라스마의 입자 특성을 고려하여 매우 직관적인 방식으로 도입될 수 있다. 한 전자를 중심으로 구를 상상하고, 쿨롱 반발력이 있을 때와 없을 때 이 구를 통과하는 전자의 수를 비교해 보자. 반발력이 있을 때는 이 수가 더 적다. 따라서 가우스 정리(Gauss theorem)에 따르면 첫 번째 전자의 겉보기 전하는 반발력이 없을 때보다 작다. 구의 반경이 클수록 편향되는 전자의 수가 많아지고, 겉보기 전하는 작아진다. 이것이 디바이 차폐이다. 입자의 전체 편향에는 다른 많은 입자들의 기여가 포함되므로, 전자 밀도는 변하지 않으며, 랑뮤어 탐침 옆에서 작동하는 차폐(shielding at work next to a Debye sheath)와는 다르다. 이온은 반대 부호의 전하에 대한 쿨롱 인력 편향으로 인해 차폐에 비슷한 기여를 한다.

이 직관적인 그림은 디바이 차폐의 효과적인 계산으로 이어진다(참고:의 섹션 II.A.2). 볼츠만 분포 가정은 이 계산에서 필요하지 않다. 어떤 입자 분포 함수에도 적용된다. 이 계산은 또한 약하게 충돌하는 플라스마를 연속 매질로 근사하는 것을 피한다. N체 계산에 따르면 한 입자에 의한 다른 입자의 순수한 쿨롱 가속도는 다른 모든 입자에 의해 매개되는 기여에 의해 변형되는데, 이는 디바이 차폐의 특징이다(참고:의 섹션 8). 무작위 입자 위치에서 시작할 때, 차폐가 시작되는 전형적인 시간 척도는 열 입자가 디바이 길이를 가로지르는 시간, 즉 플라스마 주파수의 역수이다. 따라서 약하게 충돌하는 플라스마에서 충돌은 협력적인 자기 조직화 과정인 디바이 차폐를 유도함으로써 필수적인 역할을 한다. 이 차폐는 쿨롱 산란(쿨롱 충돌) 계산에서 유한 확산 계수를 얻는 데 중요하다.

비등온 플라스마에서는 전자의 온도와 무거운 종의 온도가 다를 수 있지만, 배경 매질은 진공으로 간주할 수 있으며  디바이 길이는 다음과 같다.
 \lambda_\text{D} = \sqrt{\frac{\varepsilon_0 k_\text{B}/q_e^2}{n_e/T_e+\sum_j z_j^2n_j/T_j}}
여기서

* 는 디바이 길이,
* 는 자유 공간의 유전율,
* 는 볼츠만 상수,
* 는 전자의 전하,
* 와 는 각각 전자와 이온의 온도,
* 는 전자의 밀도,
* 는 양의 이온 전하 zjqe를 갖는 원자 종 j의 밀도

준중성 저온 플라스마에서도 이온 온도가 낮아 이온 기여가 사실상 더 커 보이는 경우에도 이온 항은 종종 생략되어 다음을 얻는다.
 \lambda_\text{D} = \sqrt{\frac{\varepsilon_0 k_\text{B} T_e}{n_e q_e^2}}
이는 이온의 이동성이 공정의 시간 스케일에 비해 무시할 수 있을 때만 유효하다. 이 방정식의 유용한 형태는 다음과 같다.
 \lambda_\text{D} \approx 740 \sqrt{\frac{T_e}{n_e}}
여기서 \lambda_\text{D}는 cm 단위, T_e는 eV 단위, n_e는 1/cm3 단위이다.

### 일반적인 값
전자 밀도가 비교적 낮은 우주 플라스마에서 디바이 길이는 자기권, 태양풍, 성간 물질, 은하간 물질과 같이 거시적인 값에 도달할 수 있다. 아래 표를 참고하라.

## 전해질 용액에서
전해질 또는 콜로이드 현탁액에서 일가 전해질의 디바이 길이는 일반적으로 기호 로 표시된다.
 \kappa^{-1} = \sqrt{\frac{\varepsilon_\text{r} \varepsilon_0 k_\text{B} T}{2 e^2 I}}

여기서
* 는 전해질의 이온 강도 (단위: 개수/m3),
* 는 진공 유전율,
* 는 유전 상수,
* 는 볼츠만 상수,
* 는 켈빈 단위의 절대 온도,
* 는 기본 전하,

또는 대칭적인 일가 전해질의 경우,
 \kappa^{-1} = \sqrt{\frac{\varepsilon_\text{r} \varepsilon_0 R T}{2\times10^3 F^2 C_0}}
여기서
* 은 기체 상수,
* 는 패러데이 상수,
* 는 몰 농도 단위 (M 또는 mol/L)의 전해질 농도이다.

또는,
 \kappa^{-1} = \frac{1}{\sqrt{8\pi \lambda_\text{B} N_\text{A} \times 10^{-24} I}} 
여기서 \lambda_\text{B}는 매질의 비에룸 길이 (단위: nm)이며,
 10^{-24}  인수는 단위 부피를 세제곱 dm에서 세제곱 nm로 변환한 것이다.

상온의 탈이온수 (pH=7)에서 λB ≈ 0.71 nm이다.

상온 ()의 물에서 다음 관계를 고려할 수 있다.
 \kappa^{-1}(\mathrm{nm}) = \frac{0.304}{\sqrt{I(\mathrm{M})}}
여기서
* 은 나노미터 (nm) 단위로 표현되며,
* 는 몰 농도 (M 또는 mol/L) 단위로 표현되는 이온 강도이다.
액체에서 전도도를 사용하여 디바이 길이의 근사치를 추정하는 방법이 ISO 표준과 서적에 설명되어 있다.

## 반도체에서
리소그래피 기술의 발전으로 더 작은 기하학적 구조가 가능해지면서 디바이 길이는 고체 소자 모델링에서 점점 더 중요해지고 있다.

반도체의 디바이 길이는 다음과 같다.
 L_\text{D} = \sqrt{\frac{\varepsilon k_\text{B} T}{q^2 N_\text{dop}}}
여기서
* 는 유전 상수,
* 는 볼츠만 상수,
* 는 켈빈 단위의 절대 온도,
* 는 기본 전하,
* 은 도펀트(기증자 또는 수용자)의 순 밀도이다.

도핑 프로파일이 디바이 길이를 초과하면 다수 캐리어는 더 이상 도펀트 분포에 따라 거동하지 않는다. 대신, 도핑 기울기의 프로파일 측정은 다수 캐리어 밀도의 프로파일과 더 잘 일치하는 "유효" 프로파일을 제공한다.

고체와 관련하여 디바이 길이 대신 토마스-페르미 차폐 길이가 필요할 수 있다.

## 같이 보기
* 비에룸 길이
* 디바이–팔켄하겐 효과
* 플라스마 진동
* 가림 효과
* 차폐 효과

## 각주

## 더 읽어보기
* 
* 

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