사중극자

**사중극자**(, 또는 quadrapole)는 전하나 전류, 자기장, 또는 중력 질량과 같은 것들이 이상적인 형태로 존재할 수 있는 일련의 구성 중 하나이다. 보통은 다양한 복잡도를 반영하는 더 복잡한 구조의 다중극 전개의 일부로 취급된다.

## 수학적 정의
**사중극자 모멘트 텐서** Q는 2차 텐서—3×3 행렬이다. 몇 가지 정의가 존재하지만, 보통 대각합이 0인 형태(즉, Q_{xx} + Q_{yy} + Q_{zz} = 0)로 서술된다. 따라서 사중극자 모멘트 텐서는 9개의 성분을 가지지만, 전치 대칭성과 대각합이 0이라는 특성 때문에 이 형태에서 독립적인 성분은 5개뿐이다.

중력 사중극자의 경우처럼 각각 전하 q_\ell 또는 질량 m_\ell을 가지고 원점에 대해 \mathbf{r}_\ell = \left(r_{x\ell}, r_{y\ell}, r_{z\ell}\right)의 위치에 있는 \ell개의 점전하 또는 점질량으로 이루어진 이산 체계에서, Q 행렬의 성분은 다음과 같이 정의된다.

Q_{ij} = \sum_\ell q_\ell\left(3r_{i\ell} r_{j\ell} - \left\|\mathbf{r}_\ell \right\|^2\delta_{ij}\right).

지수 i,j는 데카르트 좌표계 x,y,z를 따르며, \delta_{ij}는 크로네커 델타이다. 이는 크로네커 델타가 1이 되기 위해서 x,y,z가 부호를 제외하고 해당 점으로부터 서로 수직인 n개의 초평면까지의 거리와 같아야 함을 의미한다.

대각합이 0이 아닌 형태에서 사중극자 모멘트는 때때로 다음과 같이 기술되기도 한다.

Q_{ij} = \sum_\ell q_\ell r_{i\ell} r_{j\ell}

이 형태는 고속 다중극 방법과 관련된 문헌에서 일부 사용된다. 두 형태 사이의 변환은 대각합 제거 연산자를 사용하여 쉽게 수행할 수 있다.

전하 밀도 또는 질량 밀도 \rho(x, y, z)를 갖는 연속 체계의 경우, Q의 성분은 데카르트 공간 **r**에 대한 적분으로 정의된다.

Q_{ij} = \int\, \rho(\mathbf{r})\left(3r_i r_j - \left\|\mathbf{r}\right\|^2\delta_{ij}\right)\, d^3\mathbf{r}

다른 다중극 모멘트와 마찬가지로, 더 낮은 차수의 모멘트(이 경우 단극자 또는 쌍극자)가 0이 아니면 사중극자 모멘트의 값은 좌표 원점의 선택에 따라 달라진다. 예를 들어, 전하량이 같고 부호가 반대인 두 점전하로 구성된 쌍극자는 단극자 모멘트가 없지만, 원점을 두 전하 사이의 정확한 중앙에서 옮기면 0이 아닌 사중극자 모멘트를 가질 수 있다. 반대로 원점이 중앙에 있으면 사중극자 모멘트는 0이 된다. 이와 대조적으로 단극자와 쌍극자 모멘트가 모두 사라지고 사중극자 모멘트만 남는 경우(예: 정사각형 형태로 배열된 부호가 교차하는 네 개의 동일한 전하), 사중극자 모멘트는 좌표에 독립적이다.

각 전하가 전기장이나 중력장과 같이 "1/r 퍼텐셜" 장의 원천인 경우, 사중극자 모멘트가 장의 퍼텐셜에 기여하는 바는 다음과 같다.
V_\text{q}(\mathbf{R}) = \frac{k}{|\mathbf{R}|^3} \sum_{i,j} \frac{1}{2} Q_{ij}\, \hat{R}_i \hat{R}_j\ ,

여기서 **R**은 전하 체계 내의 원점을 기점으로 하는 벡터이고, **R̂**은 **R** 방향의 단위 벡터이다. 즉, i=x,y,z에 대한 \hat{R}_i는 원점에서 장의 지점까지 향하는 단위 벡터의 데카르트 성분이다. 여기서 k는 장의 종류와 사용되는 단위계에 따라 달라지는 상수이다.

## 예시
[right|섬네일|200px|전기 사중극자 장의 [등위면에 대한 등고선도]]

### 전기 사중극자
전기 사중극자의 간단한 예는 정사각형의 모서리에 배치된 교차하는 양전하와 음전하로 구성된다. 이 배열의 단극자 모멘트(총 전하량)는 0이다. 마찬가지로 전기 쌍극자 모멘트도 좌표 원점의 선택과 관계없이 0이다. 그 결과 균일한 장 내의 사중극자는 알짜 힘이나 알짜 토크를 받지 않지만, 전하 위치마다 장의 구배(gradient)가 다른 불균일한 장에서는 알짜 힘이나 토크를 받을 수 있다. 단극자 및 쌍극자 모멘트와 달리, 그림의 배열에서 사중극자 모멘트는 좌표 원점을 어디에 두든 0으로 줄일 수 없다. 전기 사중극자의 전위는 다음과 같이 주어진다.
V_\text{q}(\mathbf{R}) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{1}{|\mathbf{R}|^3} \sum_{i,j} \frac{1}{2} Q_{ij}\, \hat{R}_i \hat{R}_j\ ,

여기서 \varepsilon_0는 유전율이며, Q_{ij}는 위의 정의를 따른다.

다른 문헌에서는 1/2 인수를 Q_{ij} 텐서 자체에 포함시켜 다음과 같이 정의하기도 한다.

Q_{ij} = \int\, \rho(\mathbf{r})\left(\frac{3}{2}r_i r_j - \frac{1}{2}\left\|\mathbf{r}\right\|^2\delta_{ij}\right)\, d^3\mathbf{r},
그리고
V_\text{q}(\mathbf{R}) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{1}{|\mathbf{R}|^3} \sum_{i,j} Q_{ij}\, \hat{R}_i \hat{R}_j\ ,

이것은 다중극 전개에서 도출되는 르장드르 다항식과의 연결성을 더 명확하게 해주는데, 여기서는 P_2(x) = \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{2}이 해당한다.

원자핵에서 전기 사중극자 모멘트는 핵의 비대칭성을 측정하는 척도로 사용되며, 핵의 사중극자 모멘트는 다음과 같이 주어진다.
Q \equiv \frac{1}{e} \int r^2 (3\cos^2(\theta) - 1) \rho(\mathbf{r})\,d^3 \mathbf{r}
여기서  \mathbf{r}은 핵 내부의 위치이고 \rho는  \mathbf{r}에서의 전하 밀도이다.

전압이 인가된 4개의 금속 막대를 사용하여 생성된 전기장은 사중극자 질량 분석기의 기초가 되며, 여기서 전기장은 질량 대 전하비(m/z)에 따라 이온을 분리한다.

### 자기 사중극자
left|섬네일|사중극자 장을 생성하는 코일
right|섬네일|자기 사중극자("사극자")의 도식

알려진 모든 자기원은 쌍극자 장을 형성한다. 그러나 네 개의 동일한 막대 자석을 서로 수직으로 배치하여 한 자석의 N극이 다른 자석의 S극 옆에 오도록 하면 자기 사중극자를 만들 수 있다. 이러한 구성은 쌍극자 모멘트를 상쇄하고 사중극자 모멘트를 생성하며, 그 장은 쌍극자보다 먼 거리에서 더 빠르게 감소한다.

영구 자석을 이용한 자기 사중극자의 예가 오른쪽에 묘사되어 있다. 유사한 개념적 설계의 전자석(사중극자 자석이라 불림)은 입자 가속기 및 빔 전송 라인에서 강한 초점이라 알려진 방법을 통해 전하 입자 빔의 초점을 맞추는 데 흔히 사용된다. 특정 사중극자 구성은 전하 입자를 한 방향으로 휘게 하고 다른 방향으로 초점을 맞추므로, 사중극자 자석을 교차 배치함으로써 입자 빔의 진행 방향으로 초점을 맞출 수 있다. 여기에는 네 개의 강철 극편이 있는데, 두 개는 마주보는 자기 N극이고 나머지 두 개는 마주보는 자기 S극이다. 강철은 극 주위에 감긴 튜브 코일에 흐르는 큰 전류에 의해 자화된다.

변화하는 자기 사중극자 모멘트는 전자기파를 발생시킨다.

### 중력 사중극자
질량 사중극자는 전하 사중극자와 유사하며, 전하 밀도를 단순히 질량 밀도로 바꾸고 질량은 항상 양수이며 힘은 인력이기 때문에 음수 부호를 추가한다. 중력 퍼텐셜은 다음과 같이 표현된다.
V_\text{q}(\mathbf{R}) = -\frac{G}{2|\mathbf{R}|^3} \sum_{i,j} Q_{ij}\, \hat{R}_i \hat{R}_j\ .

예를 들어 지구는 자전하기 때문에 편평하다(극 부분이 납작함). 이로 인해 0이 아닌 사중극자 모멘트를 가진다. 이 사중극자가 지구 중력장에 기여하는 바는 지구에 가까운 인공위성에게는 매우 중요하지만, {1}/{|\mathbf{R}|^3} 항이 빠르게 감소하기 때문에 달에게는 덜 중요하다.

질량 사중극자 모멘트는 일반 상대성이론에서도 중요하다. 시간이 지남에 따라 변할 경우, 진동하는 전기 또는 자기 쌍극자 및 고차 다중극자가 전자기파를 생성하는 것과 비슷하게 중력파를 생성할 수 있기 때문이다. 그러나 중력적으로는 사중극자 이상의 모멘트만이 복사를 방출할 수 있다. 질량 단극자는 계의 총 질량-에너지를 나타내며 이는 보존되므로 복사를 방출하지 않는다. 마찬가지로 질량 쌍극자는 계의 질량 중심에 해당하며 그 1차 미분은 운동량을 나타내는데, 이 또한 보존량이므로 질량 쌍극자 역시 복사를 방출하지 않는다. 반면 질량 사중극자는 시간에 따라 변할 수 있으며 중력 복사의 가장 낮은 차수 기여분이다. 쌍극자 모멘트보다 높은 질량 다중극 모멘트만이 중력 복사에 기여할 수 있기 때문에, 중력 복사는 그 크기가 전자기파에 비해 현저히 약하다. 중력 복사 또는 중력파의 크기는 아인슈타인의 사중극자 공식에 의해 설명될 수 있다.

복사 시스템의 가장 간단하고 중요한 예는 원 궤도를 돌며 서로 공전하는 질량이 같은 두 점질량 쌍이며, 이는 이쌍성 블랙홀의 특수한 경우에 대한 근사치이다. 쌍극자 모멘트가 일정하므로 편의상 좌표 원점을 두 점 바로 사이에 둘 수 있다. 그러면 쌍극자 모멘트는 0이 되며, 점들이 중심에서 반대 방향으로 단위 거리만큼 떨어져 있도록 좌표를 조정하면 시스템의 사중극자 모멘트는 다음과 같이 간단해진다.
Q_{ij} = M\left(3x_i x_j - |\mathbf{x}|^2 \delta_{ij}\right) 

여기서 **M**은 각 점의 질량이고, x_i는 한 점의 (단위) 위치 벡터 성분이며, \displaystyle \delta_{ij}는 크로네커 델타이다. 공전함에 따라 이 **x**-벡터는 회전하며, 이는 1차 및 2차 시간 미분값이 0이 아님을 의미한다(이는 좌표계 선택과 관계없이 참이다). 따라서 시스템은 중력파를 방출한다. 이런 방식으로 소실되는 에너지는 비슷한 질량의 다른 중성자별과 공전하는 펄사인 헐스-테일러 이중성의 주기 변화를 통해 처음 관찰되었다.

전하와 전류 다중극이 전자기장에 기여하는 것과 마찬가지로, 일반 상대성이론에서 질량과 질량-전류 다중극은 중력장에 기여하여 소위 중력자기 효과를 일으킨다. 변화하는 질량-전류 다중극 또한 중력 복사를 방출할 수 있다. 그러나 전류 다중극의 기여는 일반적으로 질량 사중극자의 기여보다 훨씬 작다.

## 일반화: 고차 다중극
극단적인 일반화("점 팔중극자")는 다음과 같다. 모서리 길이가 a인 평행육면체(예: 정육면체)의 여덟 모서리에 배치된 교차하는 여덟 개의 점전하. 이 배열의 "팔중극자 모멘트"는 "팔중극자 극한" \lim_{a\to 0} {a^3 \cdot Q} \to \text{const. } 에서 0이 아닌 3차 대각 텐서에 대응한다. 더 높은 차수의 다중극(예: 2^{\ell}차)은 점 단극자가 아닌 더 낮은 차수(예: 2^{\ell-1}차)의 점 쌍극자(사중극자, 팔중극자 등)를 쌍극자(사중극자, 팔중극자 등) 형태로 배열함으로써 얻을 수 있다.

## 같이 보기

* 다중극 전개
* 고체 고조파
* 축 다중극 모멘트
* 원통 다중극 모멘트
* 구면 다중극 모멘트
* 라플라스 전개
* 르장드르 다항식
* 사중극자 이온 트랩
* 사중극자 질량 분석기
* 다극 교환 상호작용
* 스타 쿼드 케이블
* 자기 렌즈
* 사중극자 공식

## 각주

## 외부 링크
* Multipole expansion

분류:전자기학
분류:중력
분류:모멘트 (물리학)