원넓이

기하학에서 반지름 인 원으로 둘러싸인 넓이는 이다. 여기서 그리스 문자 는 모든 원의 원둘레와 지름의 상수 비율을 나타내며, 대략 3.14159와 같다.

아르키메데스로부터 시작된 이 공식을 유도하는 한 가지 방법은 원을 변의 수가 증가하는 정다각형 수열의 극한으로 보는 것이다. 정다각형의 넓이는 둘레의 절반에 중심에서 변까지의 거리를 곱한 것이며, 이 수열이 원에 가까워지기 때문에 넓이가 원둘레의 절반에 반지름을 곱한 것, 즉 이라는 해당 공식은 원에 대해서도 성립한다.

## 용어
비공식적인 맥락에서는 종종 원의 넓이로 불리지만, 엄밀히 말하면 원판이라는 용어는 원의 내부 영역을 지칭하며, 원 (기하학)은 곡선이며 그 자체로는 넓이를 포함하지 않는 경계만을 위해 사용된다. 따라서 원판의 넓이는 원에 의해 둘러싸인 넓이에 대한 더 정확한 표현이다.

## 역사
현대 수학은 적분법 또는 그보다 더 정교한 실해석학의 방법을 사용하여 넓이를 구할 수 있다. 그러나 원판의 넓이는 고대 그리스인들에 의해 연구되었다. 기원전 5세기 에우독소스는 원판의 넓이가 반지름의 제곱에 비례한다는 것을 발견했다. 아르키메데스는 그의 책 《원 측정》에서 유클리드 기하학의 도구를 사용하여 원 안의 넓이가 밑변의 길이가 원둘레와 같고 높이가 원의 반지름과 같은 직각삼각형의 넓이와 같음을 보였다. 원둘레는 2r이고, 삼각형의 넓이는 밑변의 절반에 높이를 곱한 것이므로, 원판의 넓이는 &thinsp;r2이다. 아르키메데스 이전에 키오스의 히포크라테스는 히포크라테스의 초승달의 구적법의 일환으로 원판의 넓이가 지름의 제곱에 비례한다는 것을 처음으로 보였지만, 비례 상수는 밝히지 않았다.

## 역사적 논증
다양한 수학적 엄밀성으로 A=\pi r^2 공식을 확립하기 위해 역사적으로 다양한 논증이 제시되었다. 이들 중 가장 유명한 것은 아르키메데스의 소진법으로, 극한이라는 수학적 개념의 초기 사용 중 하나이며, 실수 시스템의 표준 해석적 처리의 일부로 남아 있는 아르키메데스 성질의 기원이기도 하다. 아르키메데스의 원래 증명은 현대적 기준으로는 엄밀하지 않다. 이는 원호의 길이와 현 및 접선 길이를 비교하고, 넓이에 대한 유사한 진술을 기하학적으로 명확하다고 가정하기 때문이다.

### 다각형 사용
정다각형의 넓이는 둘레의 절반에 변심거리를 곱한 것이다. 정다각형의 변의 수가 증가함에 따라 다각형은 원에 가까워지고 변심거리는 반지름에 가까워진다. 이는 원판의 넓이가 경계 원의 원둘레의 절반에 반지름을 곱한 것임을 시사한다.

### 아르키메데스의 증명
아르키메데스의 《원 측정》(기원전 260년경) 논증에 따라, 원으로 둘러싸인 넓이를 밑변의 길이가 원둘레와 같고 높이가 원의 반지름과 같은 직각삼각형과 비교한다. 원의 넓이가 삼각형의 넓이와 같지 않다면, 그것은 더 크거나 작아야 한다. 우리는 각각을 모순으로 제거하여 같음만이 유일한 가능성으로 남겨둔다. 우리는 정다각형을 같은 방식으로 사용한다.

#### 크지 않다
섬네일|right|정사각형과 팔각형이 내접된 원, 넓이 차이 표시
원이 둘러싸는 넓이 C가 삼각형의 넓이 T&nbsp;= cr/2보다 크다고 가정하자. 초과량을 E라고 하자. 원 안에 정사각형을 내접시켜 네 모서리가 원 위에 놓이도록 한다. 정사각형과 원 사이에는 네 개의 조각이 있다. 이 간격의 총 넓이 G4가 E보다 크다면, 각 호를 절반으로 나눈다. 이렇게 하면 내접된 정사각형이 내접된 팔각형이 되고, 더 작은 총 간격 G8을 가진 여덟 개의 조각이 생긴다. 총 간격 넓이 Gn이 E보다 작아질 때까지 분할을 계속한다. 이제 내접된 다각형의 넓이 Pn&nbsp;= C&nbsp;−&nbsp;Gn은 삼각형의 넓이보다 커야 한다.
:\begin{align}
 E &{}= C - T \\
   &{}> G_n \\
 P_n &{}= C - G_n \\
     &{}> C - E \\
 P_n &{}> T
\end{align}
그러나 이는 다음과 같이 모순을 강요한다. 중심에서 다각형 변의 중간점으로 수직선을 그리면 그 길이 h는 원 반지름보다 작다. 또한 다각형의 각 변의 길이를 s라고 하자. 그러면 변들의 합은 ns인데, 이는 원둘레보다 작다. 다각형 넓이는 높이 h와 밑변 s를 가진 n개의 동일한 삼각형으로 구성되므로 nhs/2와 같다. 그러나 h&nbsp;&lt;&nbsp;r이고 ns&nbsp;&lt;&nbsp;c이므로 다각형 넓이는 삼각형 넓이 cr/2보다 작아야 하며, 이는 모순이다. 그러므로 C가 T보다 클 수 있다는 우리의 가정은 틀려야 한다.

#### 작지 않다
섬네일|right|정사각형과 팔각형이 외접된 원, 넓이 차이 표시
원이 둘러싸는 넓이가 삼각형의 넓이 T보다 작다고 가정하자. 부족량을 D라고 하자. 각 변의 중간점이 원 위에 놓이도록 정사각형을 외접시킨다. 정사각형과 원 사이의 총 넓이 간격 G4가 D보다 크다면, 원 접선으로 모서리를 잘라 외접된 팔각형을 만들고, 간격 넓이가 D보다 작아질 때까지 자르기를 계속한다. 다각형의 넓이 Pn은 T보다 작아야 한다.
:\begin{align}
 D &{}= T - C \\
   &{}> G_n \\
 P_n &{}= C + G_n \\
     &{}
이 또한 모순을 강요한다. 왜냐하면, 각 다각형 변의 중간점에 대한 수직선은 길이 r인 반지름이기 때문이다. 그리고 총 변의 길이가 원둘레보다 크기 때문에, 다각형은 총 넓이가 T보다 큰 n개의 동일한 삼각형으로 구성된다. 다시 모순이 발생하므로 C가 T보다 작을 수 있다는 우리의 가정 또한 틀려야 한다.

그러므로 원이 둘러싸는 넓이는 삼각형의 넓이와 정확히 같아야 한다. 이것으로 증명이 완료된다.

### 재배열 증명
섬네일|right|재배열을 통한 원 넓이
사토 모슌 , 니콜라우스 쿠자누스, 그리고 레오나르도 다 빈치 에 따라, 우리는 내접된 정다각형을 다른 방식으로 사용할 수 있다. 육각형을 내접시킨다고 가정해보자. 육각형을 중심에서부터 잘라 여섯 개의 삼각형으로 나눈다. 마주보는 두 삼각형은 두 개의 공통 지름에 접하며, 한 지름을 따라 밀어 반지름 방향의 변들이 인접하도록 한다. 이제 이들은 평행사변형을 형성하는데, 육각형 변이 두 개의 마주보는 변을 이루고, 그 중 하나는 밑변 s이다. 두 반지름 방향 변은 기울어진 변을 형성하고, 높이 h는 변심거리와 같다 (아르키메데스 증명과 같이). 사실, 모든 삼각형을 연속적인 쌍으로 서로 옆에 놓음으로써 하나의 큰 평행사변형으로 조립할 수도 있다. 변의 수를 여덟 개 등으로 늘려도 마찬가지이다. 2n개의 변을 가진 다각형의 경우, 평행사변형은 길이 ns의 밑변과 높이 h를 가질 것이다. 변의 수가 증가함에 따라 평행사변형 밑변의 길이는 원둘레의 절반에 가까워지고, 높이는 원 반지름에 가까워진다. 극한에서 평행사변형은 폭 r, 높이 r인 직사각형이 된다.

:

## 현대적 증명
상수 &pi;에는 다양한 동등한 정의가 있다. 미적분학 이전 기하학의 전통적인 정의는 원의 원둘레와 지름의 비율이다.
:\pi=\frac{C}{D}.
그러나 원의 원둘레는 원시적인 해석적 개념이 아니기 때문에, 이 정의는 현대의 엄밀한 취급에는 적합하지 않다. 표준적인 현대적 정의는 가 코사인 함수의 최소 양의 근의 두 배와 같거나, 동등하게 사인 (또는 코사인) 함수의 반주기와 같다는 것이다. 코사인 함수는 멱급수 또는 특정 미분방정식의 해로 정의될 수 있다. 이는 의 정의에서 원에 대한 모든 언급을 피하므로, 와 원의 원둘레 및 넓이의 관계에 대한 진술은 실제로 정의가 아니라 "넓이" 및 "원둘레"와 같은 개념의 해석적 정의에서 파생되는 정리이다.

원의 원둘레가 다음 적분을 통해 길이 재기 가능한 곡선으로 측정된다는 데 동의하면 해석적 정의는 동등한 것으로 보인다.
:C = 2\int_{-R}^R \frac{R\,dx}{\sqrt{R^2-x^2}} = 2R\int_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.
오른쪽에 나타나는 적분은 사인 함수의 반주기인 와 같은 값을 갖는 아벨 적분이다. 따라서 C=2\pi R=\pi D는 정리로서 참으로 보인다.

이어지는 몇 가지 논증은 A=\pi r^2 공식을 재현하기 위해 초등 미적분학의 개념만을 사용하지만, 많은 경우 이를 실제 증명으로 간주하려면 삼각 함수와 기본 상수 를 기하학과의 관계와 완전히 독립적인 방식으로 개발할 수 있다는 사실에 암묵적으로 의존한다. 우리는 이들 각 증명을 모든 삼각법과 완전히 독립적으로 만드는 방법을 적절히 표시했지만, 어떤 경우에는 초등 미적분학에서 제공하는 것보다 더 정교한 수학적 아이디어가 필요하다.

### 양파 증명
섬네일|right|고리 적분을 통한 원판의 넓이
미적분학을 사용하여 원판을 양파의 껍질처럼 얇은 동심원으로 분할하여 넓이를 점진적으로 합산할 수 있다. 이것은 2차원에서 원통셸 방법이다. 반지름 t인 "양파"의 무한히 얇은 고리의 경우, 누적된 넓이는 2t dt이다. 이는 고리의 원둘레 길이와 무한소 너비(이 고리는 너비=2t, 높이=dt인 직사각형으로 근사할 수 있다)를 곱한 것이다. 이것은 반지름 r인 원판에 대한 기본적인 적분을 제공한다.
:\begin{align}
 \mathrm{Area}(r) &{}= \int_0^{r} 2 \pi t \, dt \\
                  &{}= 2\pi \left[\frac{t^2}{2} \right]_{0}^{r}\\
                  &{}= \pi r^2.
\end{align} 

이는 극좌표에서의 다변수 치환 규칙에 의해 엄밀하게 정당화된다. 즉, 넓이는 원판 자체에 대한 상수 함수 1의 중적분에 의해 주어진다. D가 원판을 나타내면, 중적분은 극좌표계에서 다음과 같이 계산될 수 있다.
:\begin{align}
 \mathrm{Area}(r) &{}= \iint_D 1\ d(x, y)\\
 &{} = \iint_D t\ dt\ d\theta\\
 &{} = \int_0^r \int_0^{2\pi}  t\ d\theta\ dt\\
 &{} = \int_0^r \left[ t\theta \right]_{0}^{2\pi} dt\\
 &{}= \int_0^{r} 2 \pi t \, dt \\
 \end{align}
이는 위에서 얻은 것과 동일한 결과이다.

삼각법의 특별한 좌표에 의존하지 않는 동등하고 엄밀한 정당화는 코넓이 공식을 사용한다. 함수 \rho:\mathbb R^2\to\mathbb R를 \rho(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}로 정의한다. ρ는 거의 어디서나 기울기가 단위 벡터 |\nabla\rho|=1인 립시츠 함수이다. D를 \mathbb R^2에서 \rho인 원판이라고 하자. \mathcal L^2(D)=\pi임을 보일 것인데, 여기서 \mathcal L^2는 \mathbb R^2의 2차원 르베그 측도이다. 우리는 원 \rho=r의 1차원 하우스도르프 측도가 반지름 r인 원의 원둘레인 2\pi r이라고 가정할 것이다. (이것은 원둘레의 정의로 볼 수 있다.) 그러면 코넓이 공식에 의해,
:\begin{align}
\mathcal L^2(D) &= \iint_D |\nabla \rho|\,d\mathcal{L}^2\\
&= \int_{\mathbb R} \mathcal H^1(\rho^{-1}(r)\cap D)\,dr\\
&= \int_0^1\mathcal H^1(\rho^{-1}(r))\,dr \\
&= \int_0^1 2\pi r\, dr= \pi.
\end{align}

### 삼각형 증명
섬네일|right|삼각형을 형성하도록 펼쳐진 원
섬네일|원과 삼각형은 넓이가 같다.

위에서 설명한 양파 증명과 유사하게, 원판의 넓이 공식을 얻기 위해 미적분학을 다른 방식으로 활용할 수 있다. 동심원을 직선 띠로 펼친다고 생각해보자. 이렇게 하면 높이가 r이고 밑변이 2r (양파의 바깥쪽 조각)인 직각삼각형이 형성된다.

이 삼각형의 넓이를 찾으면 원판의 넓이를 얻을 수 있다.
:\begin{align}
\text{넓이} &{}= \frac{1}{2} \cdot \text{밑변} \cdot \text{높이} \\[6pt]
      &{}= \frac{1}{2} \cdot 2 \pi r \cdot r \\[6pt]
      &{}= \pi r^2
\end{align}

이 삼각형의 대변 각과 인접 각은 각각 9.0430611...도, 80.956939...도이며, 라디안으로는 0.1578311... , 1.4129651...이다.

명시적으로, 우리는 원을 무한히 많은 삼각형으로 나누는데, 각 삼각형은 원의 반지름과 같은 높이와 무한히 작은 밑변을 가진다. 이들 각 삼각형의 넓이는 1/2\cdot r \cdot du와 같다. 이들 삼각형의 넓이를 모두 합하면 (적분하면) 원의 넓이 공식을 얻을 수 있다.
:\begin{align}
 \mathrm{Area}(r) &{}= \int_0^{2\pi r}  \frac{1}{2} r \, du \\[6pt]
                  &{}= \left[ \frac{1}{2} r u \right]_{0}^{2 \pi r}\\[6pt]
                  &{}= \pi r^2.
\end{align} 

이 또한 원판에 대한 상수 함수 1의 중적분을 통해 정당화될 수 있으며, 위의 반복 적분에서 적분 순서 변경을 뒤집고 변수 변환을 사용하여 다음을 얻는다.
:\begin{align}
 \mathrm{Area}(r) &{}= \iint_D 1\ d(x, y)\\
 &{} = \iint_D t\ dt\ d\theta\\
 &{} = \int_0^{2\pi} \int_0^r  t\ dt\ d\theta\\
 &{} = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}r^2\ d\theta\\
 \end{align}
u = r\theta,\ du = r\ d\theta로 치환하면 적분은 다음과 같이 변환된다.
:\int_0^{2\pi r} \frac{1}{2} \frac{r^2}{r} du = \int_0^{2\pi r} \frac{1}{2} r\ du 
이는 위의 결과와 동일하다.

삼각형 증명은 삼각법과 상수 에 대한 모든 언급을 피하는 방식으로 플럭스-발산 형태의 그린 정리의 적용으로 재구성될 수 있다(즉, 발산 정리의 2차원 버전). 평면에서 벡터장 \mathbf r = x\mathbf i + y\mathbf j를 고려한다. 따라서 **r**의 발산 (벡터)은 2와 같고, 그러므로 원판 D의 넓이는 다음과 같다.
:A = \frac 1 2 \iint_D \operatorname{div}\mathbf r\, dA.
그린 정리에 의해, 이것은 D를 경계 짓는 원을 가로지르는 **r**의 바깥쪽 플럭스와 같다.
:A = \frac 1 2 \oint_{\partial D} \mathbf r\cdot\mathbf n\, ds
여기서 **n**은 단위 법선 벡터이고 ds는 호 길이 측도이다. 원점을 중심으로 하는 반지름 R인 원의 경우 |\mathbf r|=R이고 \mathbf n=\mathbf r/R이므로 위의 등식은 다음과 같다.
:A = \frac 1 2\oint_{\partial D} \mathbf r\cdot\frac{\mathbf r}{R}\, ds = \frac{R}{2}\oint_{\partial D} \,ds.

전체 원 \partial D에 대한 ds의 적분은 단순히 호 길이, 즉 원둘레와 같으므로, 이는 원으로 둘러싸인 넓이 A가 원의 원둘레의 R/2배와 같음을 보여준다.

삼각형을 사용하는 또 다른 증명은 원으로 둘러싸인 넓이를 무한히 많은 삼각형(즉, 각 삼각형은 원의 중심에서 의 각도를 가짐)으로 구성된 것으로 간주하며, 각 삼각형의 넓이는 와 같다 (삼각형 넓이 공식에서 파생: ). 작은 각도 근사로 인해 임을 주목하라. 삼각형들의 넓이를 합함으로써 원의 넓이 공식을 찾을 수 있다.
\begin{align}
 \mathrm{Area}&{}= \int_0^{2\pi}  \frac{1}{2} r^2 \, d \theta \\
                  &{}= \left[ \frac{1}{2} r^2 \theta \right]_{0}^{2 \pi}\\
                  &{}= \pi r^2.
\end{align} 

### 반원 증명

반지름 r인 반원의 넓이는 적분 \int_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}\,dx로 계산할 수 있다.

frame|반지름 r인 반원

삼각 치환을 통해 x=r \sin\theta 를 대입하면 dx=r\cos \theta\, d\theta.가 된다.
\begin{align}\int_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}\,dx
&=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{r^2\left(1-\sin ^2 \theta\right)} \cdot r \cos \theta\, d \theta \\[5pt]
&=2r^2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 \theta\, d \theta \\[5pt]
&=\frac{\pi r^2}{2}.
\end{align}

마지막 단계는 삼각함수 항등식 \cos(\theta)=\sin(\pi/2-\theta)가 치환 적분을 사용하여 \cos^2\theta와 \sin^2\theta가 구간 [0,\pi/2]에서 동일한 적분 값을 가짐을 의미하기 때문이다. 그러나 다른 한편으로, \cos^2\theta+\sin^2\theta=1이므로, 두 적분의 합은 해당 구간의 길이인 \pi/2이다. 결과적으로, \cos^2 \theta의 적분은 해당 구간 길이의 절반인 \pi/4와 같다.

따라서 반지름 r인 원의 넓이, 즉 반원 넓이의 두 배는 2 \cdot \frac{\pi r^2}{2} = \pi r^2와 같다.

이 특정 증명은 삼각 치환에 포함된 사인 및 코사인 함수가 원과 관련하여 정의된 것으로 간주된다면 질문의 전제를 가정하는 것처럼 보일 수 있다. 그러나 앞서 언급했듯이, 사인, 코사인, 그리고 를 삼각법과 완전히 독립적인 방식으로 정의하는 것이 가능하며, 이 경우 증명은 변수 변환 공식과 푸비니 정리에 의해 유효하며, 사인과 코사인의 기본 속성(원과의 관계에 대한 어떤 가정도 없이 증명될 수 있음)을 가정한다.

## 등주부등식
원은 최대 넓이를 둘러싸는 최소 둘레의 닫힌 곡선이다. 이는 등주부등식으로 알려져 있으며, 유클리드 평면에서 조르당 곡선 정리에 따라 길이 재기 가능한 조르당 곡선이 둘레 C와 넓이 A를 둘러싸면 다음이 성립한다.
:4\pi A\le C^2.
더욱이, 이 부등식에서 등호는 곡선이 원일 때만 성립하며, 이 경우 A=\pi r^2 및 C=2\pi r이다.

## 빠른 근사
아르키메데스가 넓이를 수치적으로 근사하는 데 사용한 계산은 고된 작업이었고, 그는 96변 다각형에서 멈췄다. 더 빠른 방법은 빌레브로트 스넬 (Cyclometricus, 1621)의 아이디어를 사용하며, 크리스티안 하위헌스 (De Circuli Magnitudine Inventa, 1654)에 의해 더욱 발전되었다. 이는 에 기술되어 있다.

### 아르키메데스의 배가법
원이 주어졌을 때, 내접하는 정n각형의 둘레를 un이라 하고, 외접하는 정n각형의 둘레를 Un이라 하자. 그러면 un과 Un은 n이 증가할수록 점점 더 정밀해지는 원둘레의 하한과 상한이 되며, 그 평균 (un + Un)/2는 원둘레에 대한 특히 좋은 근사치이다. 큰 n에 대해 un과 Un을 계산하기 위해 아르키메데스는 다음 배가 공식을 유도했다.

:u_{2n} = \sqrt{U_{2n} u_n} &nbsp;&nbsp;(기하 평균), 및

:U_{2n} = \frac{2 U_n u_n}{ U_n + u_n} &nbsp;&nbsp; (조화 평균).

육각형에서 시작하여 아르키메데스는 n을 네 번 두 배로 늘려 96각형을 얻었고, 이를 통해 원둘레에 대한 좋은 근사치를 얻었다.

현대 표기법으로 그의 계산(및 더 나아가)을 다음과 같이 재현할 수 있다.
단위 원의 경우, 내접 육각형은 u6&nbsp;= 6을 가지며, 외접 육각형은 U6&nbsp;= 4을 가진다.
7번 두 배로 늘리면 다음이 생성된다.

:

(여기서 는 단위 원의 원둘레인 2에 근접하므로, 는 에 근접한다.)

표의 마지막 항목에는 최적 유리수 근사 중 하나인 355⁄113이 있다.
즉, 분모가 113까지인 유리수 중 더 나은 근사치는 없다.
숫자 355⁄113은 중국 수학자 조충지에게 귀속되는 의 훌륭한 근사치이기도 하다. 그는 이를 밀률이라 불렀다. 이 근사치는 분모가 16,604보다 작은 다른 어떤 유리수보다 낫다.

### 스넬-하위헌스 개선
스넬은 아르키메데스보다 더 엄밀한 상한을 제안했고(하위헌스가 증명했다):
: n \frac{3 \sin \frac{\pi}{n}}{2+\cos\frac{\pi}{n}} 
n = 48일 때 이는 아르키메데스의 n = 768 방법보다 더 좋은 근사치(약 3.14159292)를 제공한다.

### 아르키메데스의 배가 공식 유도
섬네일|right|유사한 삼각형이 있는 원: 외접 변, 내접 변 및 보각, 내접 분할 변 및 보각
내접하는 정n각형의 한 변의 길이를 sn이라 하고, 원과 점 A, B에서 접한다고 하자. A에 마주보는 원 위의 점을 A'라 하면 A'A는 지름이 되고, A'AB는 지름에 내접하는 삼각형이 된다. 탈레스의 정리에 의해 이 삼각형은 B에서 직각을 갖는 직각삼각형이다. A'B의 길이를 cn이라 하자. 이는 sn의 보각이라 불린다. 따라서 cn2+sn2&nbsp;= (2r)2이다. C가 A부터 B까지의 호를 이등분하고, C'가 원 위의 C에 마주보는 점이라고 하자. 그러면 CA의 길이는 s2n, C'A의 길이는 c2n이며, C'CA 자체는 지름 C'C에 대한 직각삼각형이다. C가 A부터 B까지의 호를 이등분하므로 C'C는 A부터 B까지의 현을 수직으로 이등분하며, 그 점을 P라고 하자. 따라서 삼각형 C'AP는 직각삼각형이며, C'에서 각을 공유하므로 C'CA와 닮음이다. 따라서 세 개의 대응변은 같은 비례를 이룬다. 특히, C'A&nbsp;:&nbsp;C'C&nbsp;= C'P&nbsp;:&nbsp;C'A 및 AP&nbsp;:&nbsp;C'A&nbsp;= CA&nbsp;:&nbsp;C'C가 성립한다. 원의 중심 O는 A'A를 이등분하므로, 삼각형 OAP는 A'AB와 닮음이며, OP는 A'B 길이의 절반이다. 변의 길이에 관해 이는 다음을 제공한다.
:\begin{align}
 c_{2n}^2 &{}= \left( r + \frac{1}{2} c_n \right) 2r \\
 c_{2n} &{}= \frac{s_n}{s_{2n}} .
\end{align}
첫 번째 방정식에서 C'P는 C'O+OP이며, 길이는 r&nbsp;+&nbsp;cn이고, C'C는 지름 2r이다. 단위 원의 경우 우리는 뤼돌프 판 쾰런의 유명한 배가 방정식을 얻는다.
: c_{2n} = \sqrt{2+c_n} . 
이제 정n각형을 외접시키고, 변 A"B"가 AB와 평행하도록 하면, OAB와 OA"B"는 닮은 삼각형이며, A"B"&nbsp;:&nbsp;AB&nbsp;= OC&nbsp;:&nbsp;OP이다. 외접하는 변을 Sn이라 하면, Sn&nbsp;:&nbsp;sn&nbsp;= 1&nbsp;:&nbsp;1⁄2cn이다. (우리는 다시 OP가 A'B 길이의 절반임을 사용했다.) 따라서 다음을 얻는다.
: c_n = 2\frac{s_n}{S_n} . 
내접 둘레를 un&nbsp;= nsn, 외접 둘레를 Un&nbsp;= nSn이라 하자. 그러면 방정식을 결합하여 다음을 얻는다.
: c_{2n} = \frac{s_n}{s_{2n}} = 2 \frac{s_{2n}}{S_{2n}} , 
그래서
: u_{2n}^2 = u_n U_{2n} . 
이는 기하 평균 방정식을 제공한다.

또한 다음을 유추할 수 있다.
: 2 \frac{s_{2n}}{S_{2n}} \frac{s_n}{s_{2n}} = 2 + 2 \frac{s_n}{S_n} , 
또는
: \frac{2}{U_{2n}} = \frac{1}{u_n} + \frac{1}{U_n} . 
이는 조화 평균 방정식을 제공한다.

## 다트 근사법
섬네일|right|단위 원 넓이 몬테카를로 적분. 900개 샘플을 통한 추정치는 4×&nbsp;= 3.15111...이다.
넓이를 찾는 더 효율적인 방법을 사용할 수 없을 때, "다트 던지기"에 의존할 수 있다. 이 몬테카를로 방법은 원이 놓여 있는 정사각형 표면에 무작위 샘플을 균일하게 뿌리면 원을 맞히는 샘플의 비율이 원 넓이 대 정사각형 넓이 비율에 근사한다는 사실을 이용한다. 이는 원판(또는 어떤 모양)의 넓이를 계산하는 최후의 수단으로 간주되어야 한다. 유용한 정확도를 얻으려면 엄청난 수의 샘플이 필요하기 때문이다. 10−n의 정확도를 갖는 추정에는 약 100n개의 무작위 샘플이 필요하다 .

## 유한 재배열
우리는 원판을 무한히 많은 조각으로 나누어 이 조각들을 직사각형으로 재조립할 수 있음을 보았다. 상대적으로 최근에 에 의해 발견된 놀라운 사실은 원판을 크지만 유한한 수의 조각으로 해부한 다음, 그 조각들을 같은 넓이의 정사각형으로 재조립할 수 있다는 것이다. 이것을 타르스키의 원 정방형 문제라고 한다. 라츠코비치 증명의 특성은 그러한 분할(실제로 많은 분할)의 존재를 증명하지만, 특정 분할을 제시하지는 않는다.

## 비유클리드 원
원은 비유클리드 기하학, 특히 쌍곡 및 타원 평면에서 정의될 수 있다.

예를 들어, 단위구 S^2(1)은 2차원 타원 평면의 모델이다. 이는 측지선 길이를 측정함으로써 발생하는 내재된 거리를 가진다. 측지선 원은 측지선 좌표계의 평행선이다.

더 정확하게는, 정점에 놓이는 점 \mathbf z\in S^2(1)을 고정하자. 그 정점에 관련된 측지 극좌표계 (\varphi,\theta)가 있는데, 0\le\varphi\le\pi, 0\le\theta이며, **z**는 점 \varphi=0이다. 이 좌표계에서 **z**에서 좌표가 (\varphi,\theta)인 S^2(1)의 다른 점 \mathbf x까지의 측지선 거리는 **x**에서의 \varphi 값이다. 구면 원은 정점 **z**에서 측지선 거리 R에 있는 점들의 집합이다. 동등하게, \mathbb R^3로의 고정된 임베딩을 사용하여, **z**를 중심으로 하는 반지름 R\le\pi의 구면 원은 S^2(1)에서 \mathbf x\cdot\mathbf z = \cos R를 만족하는 **x**의 집합이다.

우리는 구면 원 내에 둘러싸인 구면 원판의 넓이도 측정할 수 있는데, 구면의 내재된 표면 넓이 측도를 사용한다. 반지름 R인 원판의 넓이는 다음으로 주어진다.
:A = \int_0^{2\pi} \int_0^R \sin(\varphi) \, d\varphi\,d\theta = 2\pi(1-\cos R).

더 일반적으로, 구 S^2(\rho)의 곡률 반지름이 \rho이면, 반지름 R인 원판의 넓이는 다음으로 주어진다.
:A = 2\pi\rho^2(1-\cos(R/\rho)).
로피탈의 정리의 적용으로, 이것이 평면 극한 \rho\to\infty에서 유클리드 넓이 \pi R^2로 수렴한다는 것을 관찰할 수 있다.

쌍곡선의 경우는 유사하며, (상수 곡률 -1) 쌍곡 평면에서 내재된 반지름 R인 원판의 넓이는 다음으로 주어진다.
:A = 2\pi(1-\cosh R)
여기서 cosh는 쌍곡 코사인이다. 더 일반적으로, 상수 곡률 -k 쌍곡 평면의 경우 답은 다음과 같다.
:A = 2\pi k^{-2}(1-\cosh(kR)).

이러한 항등식은 기하학에서 비교 부등식에 중요하다. 예를 들어, 평평한 공간에서 반지름 R인 원으로 둘러싸인 넓이는 항상 구면 원의 넓이보다 크고 쌍곡선 원의 넓이보다 작다. 단, 세 원 모두 동일한 (내재된) 반지름을 가질 경우이다. 즉,
:2\pi(1-\cos R) 
모든 R>0에 대해. 직관적으로, 구는 그 자체로 구부러지는 경향이 있어 평면의 원보다 작은 넓이의 원을 생성하고, 쌍곡 평면은 공간에 잠겼을 때 추가 넓이를 생성하는 테두리를 발전시키기 때문이다. 일반적으로 고정된 반지름 R의 원의 넓이는 곡률의 엄격한 감소 함수이다.

모든 경우에, k가 곡률(상수, 양수 또는 음수)이면, 넓이 A와 둘레 L을 갖는 도메인에 대한 등주부등식은
:L^2\ge 4\pi A - kA^2
여기서 등호는 원에 대해서만 성립한다.

## 일반화
원판을 늘려 타원을 만들 수 있다. 이 늘림은 평면의 선형 변환이므로, 넓이를 변경하지만 넓이의 비율을 보존하는 왜곡 인자를 가진다. 이 관찰은 단위 원의 넓이로부터 임의의 타원의 넓이를 계산하는 데 사용될 수 있다.

한 변의 길이가 2인 정사각형에 외접하는 단위 원을 고려하자. 변환은 원을 타원의 장축과 단축으로 수평 및 수직 지름을 늘리거나 줄여 타원으로 보낸다. 정사각형은 타원을 외접하는 직사각형으로 보내진다. 원과 정사각형의 넓이 비율은 /4이며, 이는 타원과 직사각형의 비율도 /4임을 의미한다. 타원의 장축과 단축의 길이가 각각 a와 b라고 가정하자. 직사각형의 넓이가 ab이므로, 타원의 넓이는 ab/4이다.

더 높은 차원에서 유사한 측정을 고려할 수도 있다. 예를 들어, 구 안의 부피를 찾고 싶을 수 있다. 표면 넓이 공식이 있을 때, 원판에 사용했던 것과 동일한 종류의 "양파" 접근법을 사용할 수 있다.

## 같이 보기
* 넓이 등가 반지름
* 삼각형의 넓이

## 각주


## 참고 문헌
* (Originally published by 케임브리지 대학교 출판부, 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.)
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* (Originally Grundzüge der Mathematik, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen, 1971.)
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## 외부 링크
* 사이언스 뉴스 타르스키 문제 

분류:넓이
분류:원 (기하학)