사교좌표

**사교좌표**(skew coordinates)는 직교좌표계에서처럼 직교 좌표가 아닌 곡선 좌표계를 일컫는다.

사교좌표는 측량 텐서가 비대각 성분(off-diagonal components)을 갖기 때문에 직교 좌표에 비해 다루기 더 복잡한 경향이 있으며, 이는 텐서 대수 및 텐서 미적분학 공식에서 많은 단순화를 방해한다. 측량 텐서의 0이 아닌 비대각 성분은 좌표의 기저 벡터가 직교하지 않는 직접적인 결과이다. 정의에 따르면:

:g_{i j} = \mathbf e_i \cdot \mathbf e_j

여기서 g_{i j}는 측량 텐서이고 \mathbf e_i는 (공변) 기저 벡터이다.

이러한 좌표계는 문제의 기하학이 사교좌표계에 잘 맞는 경우 유용할 수 있다. 예를 들어, 평행사변형에서 라플라스 방정식을 푸는 것은 적절하게 사교좌표를 사용할 때 가장 쉽다.

## 하나의 빗축을 가진 데카르트 좌표

섬네일|right|x축이 z축 쪽으로 구부러진 좌표계

사교좌표계의 가장 간단한 3D 사례는 데카르트 좌표계 중 한 축(예: x축)이 나머지 두 축 중 하나에 직교하면서 특정 각도 \phi만큼 구부러진 경우이다. 이 예시에서는 데카르트 좌표계의 x축이 y축에 직교한 채로 z축 방향으로 \phi만큼 구부러져 있다.

### 대수와 유용한 양

\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3를 각각 x, y, z 축을 따른 단위 벡터라고 하자. 이들은 공변 기저를 나타내며, 이들의 스칼라곱을 계산하면 측량 텐서가 얻어진다.

:
[g_{ij}] =
\begin{pmatrix}
1&0&\sin(\phi)\\
0&1&0\\
\sin(\phi)&0&1
\end{pmatrix}
,\qquad
[g^{ij}] = \frac{1}{\cos^2(\phi)}
\begin{pmatrix}
1&0&-\sin(\phi)\\
0&\cos^2(\phi)&0\\
-\sin(\phi)&0&1
\end{pmatrix}


여기서

:\quad g_{13} = \cos\left(\frac \pi 2 - \phi\right) = \sin(\phi)

그리고

:\sqrt{g} = \mathbf e_1 \cdot (\mathbf e_2 \times \mathbf e_3) = \cos(\phi)

이들은 나중에 유용하게 쓰일 양들이다.

반변 기저는 다음으로 주어진다.

:\mathbf e^1 = \frac{\mathbf e_2 \times \mathbf e_3}{\sqrt{g}} = \frac{\mathbf e_2 \times \mathbf e_3}{\cos(\phi)}

:\mathbf e^2 = \frac{\mathbf e_3 \times \mathbf e_1}{\sqrt{g}} = \mathbf e_2

:\mathbf e^3 = \frac{\mathbf e_1 \times \mathbf e_2}{\sqrt{g}} = \frac{\mathbf e_1 \times \mathbf e_2}{\cos(\phi)}

반변 기저는 사용하기에 그리 편리한 것은 아니지만, 정의에 나타나므로 고려해야 한다. 우리는 공변 기저에 대한 양을 작성하는 것을 선호할 것이다.

기저 벡터는 모두 상수이므로, 벡터 덧셈과 뺄셈은 단순히 익숙한 성분별 덧셈과 뺄셈이 된다. 이제,

:\mathbf a = \sum_i a^i \mathbf e_i \quad \mbox{and} \quad \mathbf b = \sum_i b^i \mathbf e_i

여기서 합은 지수(이 경우 i = 1, 2, 3)의 모든 값에 대한 합을 나타낸다. 이들 벡터의 반변 및 공변 성분은 다음 관계를 갖는다.

:a^i = \sum_j a_j g^{ij}

따라서 명시적으로,

:a^1 = \frac{a_1 - \sin(\phi) a_3}{\cos^2(\phi)},

:a^2 = a_2,

:a^3 = \frac{-\sin(\phi) a_1 + a_3}{\cos^2(\phi)}.

반변 성분으로 표현된 스칼라곱은 다음과 같다.

:\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum_i a^i b_i = a^1 b^1 + a^2 b^2 + a^3 b^3 + \sin(\phi) (a^1 b^3 + a^3 b^1)

그리고 공변 성분으로 표현하면

:\mathbf a \cdot \mathbf b = \frac{1}{\cos^2(\phi)} [ a_1 b_1 + a_2 b_2\cos^2(\phi) + a_3 b_3 - \sin(\phi) (a_1 b_3 + a_3 b_1) ].

### 미적분

정의에 따르면, 스칼라 함수 f의 기울기는

:\nabla f = \sum_i \mathbf e^i \frac{\partial f}{\partial q^i} = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf e^1 + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf e^2 + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf e^3

여기서 q_i는 x, y, z 좌표를 색인한 것이다. 이를 반변 기저로 표현된 벡터로 인식하여 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:\nabla f =
\frac{\frac{\partial f}{\partial x} - \sin(\phi) \frac{\partial f}{\partial z}}{\cos(\phi)^2} \mathbf e_1 +
\frac{\partial f}{\partial y} \mathbf e_2 +
\frac{-\sin(\phi) \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial z}}{\cos(\phi)^2} \mathbf e_3.

벡터 \mathbf a의 발산은

:\nabla \cdot \mathbf a = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_i \frac{\partial}{\partial q^i}\left(\sqrt{g} a^i\right) = \frac{\partial a^1}{\partial x} + \frac{\partial a^2}{\partial y} + \frac{\partial a^3}{\partial z}.

그리고 텐서 \mathbf A의 발산은

:\nabla \cdot \mathbf A = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i, j} \frac{\partial}{\partial q^i}\left(\sqrt{g} a^{ij} \mathbf e_j\right) =
\sum_{i, j} \mathbf e_j \frac{\partial a^{ij}}{\partial q^i}.

f의 라플라시안은

:\nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f =
\frac{1}{\cos(\phi)^2}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} - 2 \sin(\phi) \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z}\right) + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}

그리고 공변 기저가 정규직교적이고 상수이므로, 벡터 라플라시안은 공변 기저로 표현된 벡터의 성분별 라플라시안과 동일하다.

스칼라곱과 기울기 모두 (데카르트 좌표계와 비교할 때) 추가 항을 포함하여 다소 복잡하지만, 스칼라곱과 기울기를 결합하는 이류 연산자는 매우 단순하게 나타난다.

:(\mathbf a \cdot \nabla) = \biggl(\sum_i a^i e_i\biggr) \cdot \biggl(\sum_i \frac{\partial}{\partial q^i} \mathbf e^i\biggr) = \biggl(\sum_i a^i \frac{\partial}{\partial q^i}\biggr)


이는 스칼라 함수와 벡터 함수 모두에 적용될 수 있으며, 공변 기저로 표현될 때 성분별로 적용된다.

마지막으로, 벡터의 회전은

:\nabla \times \mathbf a = \sum_{i, j, k} \mathbf e_k \epsilon^{ijk} \frac{\partial a_j}{\partial q^i} = 
::\frac{1}{\cos(\phi)}\left(
\left(\sin(\phi) \frac{\partial a^1}{\partial y} + \frac{\partial a^3}{\partial y} - \frac{\partial a^2}{\partial z}\right) \mathbf e_1 +
\left(\frac{\partial a^1}{\partial z} + \sin(\phi) \left(\frac{\partial a^3}{\partial z} - \frac{\partial a^1}{\partial x}\right) - \frac{\partial a^3}{\partial x}\right) \mathbf e_2 +
\left(\frac{\partial a^2}{\partial x} - \frac{\partial a^1}{\partial y} - \sin(\phi) \frac{\partial a^3}{\partial y}\right) \mathbf e_3
\right).

## 같이 보기
* 아핀 좌표계

## 각주

분류:좌표계