절단점

섬네일|숫자 8 모양의 도형의 목 부분은 차수 2의 절단점이다.
일반위상수학에서 **절단점**(切斷點, )은 연결 공간을 연결되지 않은 둘 이상의 부분들로 분리하는 점이다.

## 정의
연결 공간 X의 점 x\in X의 **절단점 차수**(切斷點次數, )는 X\setminus\{x\}의 연결 성분들의 수이다. 연결 공간 X의 점 x\in X의 절단점 차수가 2 이상이라면 (다시 말해, X\setminus\{x\}가 비연결 공간이라면), x를 X의 **절단점**이라고 한다. **절단점 공간**(切斷點空間, )은 모든 점이 절단점인 연결 공간이다.

연결 공간 X가 다음 조건을 만족시키면, **연결 순서 위상 공간**(連結順序位相空間, ) 또는 **COTS**라고 한다.
* 임의의 세 원소 부분집합 S\subseteq X에 대하여, S\setminus\{s\}의 두 원소가 X\setminus\{s\}의 서로 다른 두 연결 성분에 속하게 되는 s\in S가 존재한다.

위상 공간 X에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 두 점 x,y\in X가 존재한다면, X를 **끝점 공간**(-連結空間, )이라고 한다.
* 임의의 z\in X\setminus\{x,y\}에 대하여, x\in U\not\ni y인 X\setminus\{z\}의 열린닫힌집합 U\subseteq X\setminus\{z\}가 존재한다.

## 성질
연결 공간의 모든 절단점은 한원소 집합으로서 열린집합이거나 닫힌집합이다. 즉, 고립점이거나 ‘닫힌 점’이다.

연결 공간 X의 절단점 x\in X가 주어졌다고 하자. 그렇다면 X\setminus\{x\}의 열린닫힌집합 \varnothing\subsetneq A\subsetneq X\setminus\{x\}가 존재하며, 이에 대하여
:A=U\setminus\{x\}=F\setminus\{x\}
인 X의 열린집합 U 및 닫힌집합 F가 존재한다. X가 연결 공간이므로 U\ne F일 수밖에 없다. 따라서 \{x\}=U\setminus F이거나 \{x\}=F\setminus U이다. 만약 \{x\}=U\setminus F가 참이라면 \{x\}는 열린집합이다. 만약 \{x\}=F\setminus U가 참이라면 \{x\}는 닫힌집합이다.

크기 2 이상의 절단점 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.
* 무한 집합이다. 이는 아래 두 성질의 공통적인 특수한 경우이다.
* 무한한 수의 닫힌 점을 갖는다.
* 콤팩트 공간이 아니다. 보다 일반적으로, 크기 2 이상의 콤팩트 연결 공간은 적어도 두 개의 비절단점을 갖는다.

크기 2 이상의 절단점 공간 X가 주어졌다고 하자. 서로 다른 닫힌 점 x_1,x_2,x_3,\dotsc\in X를 구성하면 족하다. 수학적 귀납법을 사용하여, n-1개의 열린집합 U_1,\dotsc,U_{n-1}\subseteq X 및 n-1개의 열린집합 V_1,\dotsc,V_{n-1}\subseteq X 및 서로 다른 n-1개의 닫힌 점 x_1,\dotsc,x_{n-1}\in X가 주어졌으며, 또한
:\forall i\in\{1,\dotsc,n-1\}\colon X\setminus\{x_i\}=U_i\cup V_i
:\forall i\in\{1,\dotsc,n-1\}\colon U_i\cap V_i=\varnothing\ne U_i,V_i
:\forall i\in\{2,\dotsc,n-1\}\colon x_i\in U_{i-1}
:U_1\supseteq U_2\supseteq\dotsb\supseteq U_{n-1}
이라고 하자. 그렇다면, 다음 명제들을 차례로 증명하면 족하다.

V_{n-1}\cup\{x_{n-1}\}은 연결 공간. 귀류법을 사용하여, 열린닫힌집합 \varnothing\subsetneq V\subsetneq V_{n-1}\cup\{x_{n-1}\}이 주어졌다고 하자. 편의상 x_{n-1}\not\in V라고 하자. (만약 x_{n-1}\in V라면 V를 그 여집합 (V_{n-1}\cup\{x_{n-1}\})\setminus V로 대체한다.) V가 V_{n-1}의 열린집합이며, V_{n-1}는 X의 열린집합이므로, V는 X의 열린집합이다. 마찬가지로, V가 V_{n-1}\cup\{x_{n-1}\}의 닫힌집합이며, V_{n-1}\cup\{x_{n-1}\}=X\setminus U_{n-1}가 X의 닫힌집합이므로, V는 X의 닫힌집합이다. 이는 X의 연결성과 모순이다.

닫힌 점 x_n\in U_{n-1}이 존재. 귀류법을 사용하여, U_{n-1} 속에 닫힌 점이 없다고 하자. 임의의 x\in U_{n-1}에 대하여, \{x\}가 닫힌집합이 아니며, U_{n-1}\cup\{x_{n-1}\}이 닫힌집합이며, U_{n-1}은 고립점들로 이루어지므로, x_{n-1}\in\operatorname{cl}\{x\}이다. 따라서 \{x,x_{n-1}\}은 연결 공간이다. V_{n-1}\cup\{x_{n-1}\} 역시 연결 공간이므로, x'\in U_{n-1}에 대하여,
:X\setminus\{x'\}=V_{n-1}\cup\{x_{n-1}\}\cup\bigcup_{x'\ne x\in U_{n-1}}\{x,x_{n-1}\}
은 연결 공간이다. 즉, x'은 절단점이 아니며, 이는 모순이다.

X\setminus\{x_n\}=U_n\cup V_n이며 U_n\cap V_n=\varnothing\ne U_n,V_n이며 x_{n-1}\in V_n인 X의 열린집합 U_n,V_n가 존재. 이는 x_n이 닫힌 절단점이며, x_{n-1}\ne x_n이기 때문이다. 만약 x_{n-1}\in U_n이라면 U_n과 V_n을 교환한다.

U_n\subseteq U_{n-1}. U_n\cup\{x_n\}이 연결 공간이며, U_n\cup\{x_n\}\subseteq X\setminus\{x_{n-1}\}이므로, U_n\cup\{x_n\}\subseteq U_{n-1}이거나 U_n\cup\{x_n\}\subseteq V_{n-1}인데, x_n\in U_{n-1}이다. 따라서 U_n\cup\{x_n\}\subseteq U_{n-1}이다.

x_n\not\in\{x_1,\dotsc,x_{n-1}\}. 임의의 i\in\{1,\dotsc,n-1\}에 대하여, x_i\not\in U_i이므로 x_i\not\in U_{n-1}이며, 또한 x_n\in U_{n-1}이다. 따라서 x_n\ne x_i이다.

1개 이하의 비절단점을 갖는, 크기 2 이상의 연결 공간 X가 콤팩트 공간이 아님을 보이면 족하다. X의 절단점의 집합은 X 전체이거나, 어떤 한 비절단점의 여집합이므로, 연결 공간이다. 따라서, 닫힌 절단점 x_0\in X가 존재한다. A,B\subseteq X가 열린집합이며, 또한 X\setminus\{x_0\}=U\cup V이며 U\cap V=\varnothing이며 U,V\ne\varnothing이라고 하자. 그렇다면, U와 V 가운데 적어도 한 집합은 절단점으로 이루어진다. 편의상 U의 모든 점이 절단점이라고 하자. 이제,
:\mathcal S=\{W\in\operatorname{Open}(X)\colon V\subseteq W\land|{\operatorname{cl}W\setminus W}|=1\land\operatorname{cl}W\ne X\}
라고 하고, \mathcal S 위에 다음 부분 순서를 주자.
:W\le W'\iff W=W'\lor\operatorname{cl}W\subseteq W'
그렇다면, 다음 명제들을 차례로 보이는 것으로 족하다.

\mathcal S는 극대 사슬 \mathcal C\ne\varnothing를 가짐. X가 연결 공간이므로 V는 닫힌집합이 아니며, U가 열린집합이므로 V\cup\{x_0\}은 닫힌집합이다. 따라서 \operatorname{cl}V=V\cup\{x_0\}이며, V\in\mathcal S이다. 하우스도르프 극대 원리에 따라 극대 사슬 \varnothing\ne\mathcal C\subseteq\mathcal S가 존재한다.

\mathcal S는 극대 원소를 갖지 않음. 임의의 W\in\mathcal S가 주어졌다고 하고, \operatorname{cl}W\setminus W=\{y_W\}라고 하자. 그렇다면, 닫힌 점 z_W\in X\setminus\operatorname{cl}W가 존재한다고 단언한다. X\setminus\operatorname{cl}W의 모든 점이 닫힌 점이 아니라고 가정하자. 임의의 y\in X\setminus\operatorname{cl}W에 대하여, \{y\}은 닫힌집합이 아니며 (X\setminus\operatorname{cl}W)\cup\{y_W\}=X\setminus W는 닫힌집합이며 X\setminus\operatorname{cl}W의 모든 점은 고립점이므로, \operatorname{cl}\{y_W\}=\{y_W,y\}이며, 따라서 \{y_W,y\}는 연결 공간이다. 임의의 \varnothing\subsetneq A\subsetneq\operatorname{cl}W에 대하여, A는 X의 열린닫힌집합이 아니며, W와 \operatorname{cl}W는 각각 X의 열린집합과 닫힌집합이므로, A와 X\setminus A 가운데 W에 속하는 한 집합은 \operatorname{cl}W의 열린닫힌집합이 아니다. 즉, \operatorname{cl}W는 연결 공간이다. 따라서, 임의의 y'\in X\setminus\operatorname{cl}W를 취했을 때,
:X\setminus\{y'\}=\operatorname{cl}W\cup\bigcup_{y'\ne y\in X\setminus\operatorname{cl}W}\{y_W,y\}
는 연결 공간이다. 즉, y'은 절단점이다. 이는 y'\in U인 것과 모순이다. 이제, z_W가 닫힌 절단점이므로, W',W*</math>이 <math>X</math>의 [[열린집합]]이며, <math>X\setminus\{z_W\}=W'\cup W*이며 W'\cap W*=\varnothing\ne W',W*이라고 하자. \operatorname{cl}W\subseteq X\setminus\{z_W\}가 연결 공간이므로, \operatorname{cl}W\subseteq W'이거나 \operatorname{cl}W\subseteq W*</math>이다. 편의상 전자가 참이라고 하자. 그렇다면, <math>V\subseteq W'</math>이며 <math>\operatorname{cl}W'=W'\cup\{z_W\}</math>이므로, <math>W'\in\mathcal S</math>이다. 즉, <math>W<W'</math>이며, <math>W</math>는 [[극대 원소]]가 아니다.

<math>\bigcup\mathcal C</math>는 [[콤팩트 공간]]이 아님. [[열린 덮개]] <math>\mathcal C</math>가 유한 부분 덮개를 갖지 않음을 보이면 족하다. <math>\mathcal C</math>가 [[극대 원소]]를 갖지 않음을 보이면 족하다. [[귀류법]]을 사용하여, <math>W\in\mathcal C</math>가 <math>\mathcal C</math>의 [[극대 원소]]라고 하자. 그렇다면, <math>W<W'</math>인 <math>W'\in\mathcal S</math>가 존재한다. 그렇다면 <math>\mathcal C\cup\{W'\}</math>은 새로운 [[사슬 (순서론)|사슬]]이며, <math>\mathcal C</math>는 그 [[진부분집합]]이다. 이는 <math>\mathcal C</math>의 극대성과 모순이다.

<math>\bigcup\mathcal C=X</math>. [[귀류법]]을 사용하여, <math>X\setminus\bigcup\mathcal C</math>가 [[공집합]]이 아니라고 하자. <math>X\setminus\bigcup\mathcal C\subseteq U</math>이므로, <math>X\setminus\bigcup\mathcal C</math>의 모든 점은 절단점이며, 따라서 [[고립점]]이거나 닫힌 점이다. <math>X\setminus\bigcup\mathcal C</math>는 [[닫힌집합]]이므로, [[열린집합]]일 수 없으며, 따라서 닫힌 절단점 <math>x_1\in X\setminus\bigcup\mathcal C</math>가 존재한다. <math>G,H</math>가 <math>X</math>의 [[열린집합]]이며, <math>X\setminus\{x_1\}=G\cup H</math>이며, <math>G\cap H=\varnothing\ne G,H</math>라고 하자. 임의의 <math>W\in\mathcal C</math>는 <math>\mathcal C</math>의 [[극대 원소]]가 아니므로, <math>\operatorname{cl}W\subseteq W'</math>인 <math>W'\in\mathcal C</math>가 존재한다. 따라서,
:<math>\bigcup\mathcal C=\bigcup_{W\in\mathcal C}\operatorname{cl}W</math>
이다. 각 <math>\operatorname{cl}W</math>는 [[연결 공간]]이며, <math>V\subseteq\operatorname{cl}W</math>이므로, <math>\bigcup\mathcal C</math>는 [[연결 공간]]이다. 따라서, <math>\bigcup\mathcal C\subseteq G</math>이거나 <math>\bigcup\mathcal C\subseteq H</math>이다. 편의상 전자가 참이라고 하면, <math>V\subseteq G</math>이며 <math>\operatorname{cl}G=G\cup\{x_1\}</math>이므로, <math>G\in\mathcal S</math>이다. <math>\mathcal C</math>가 [[극대 원소]]를 갖지 않으므로, <math>G\not\in\mathcal C</math>이다. 이는 <math>\mathcal C</math>의 극대성과 모순이다.


== 예 ==
[[유클리드 평면]] <math>\mathbb R^2</math> 속의 <math>n</math>개의 [[직선]]이 절단점 공간일 [[필요충분조건]]은, [[공점선]]이거나, <math>n-1</math>개의 직선이 [[평행]]하며 남은 한 직선과 교차하는 것이다.

=== 실수 ===
[[실수선]] <math>\mathbb R</math>는 절단점 공간이며, 모든 점의 절단점 차수는 2이다. 반대로, 다음 결과들이 성립한다.
* 모든 점의 절단점 차수가 2인 [[연결 공간|연결]] [[국소 연결]] [[분해 가능]] [[거리화 가능 공간]]은 <math>\mathbb R</math>와 [[위상동형]]이다.
* 모든 점의 절단점 차수가 2이며, 모든 점의 [[여집합]]의 두 [[연결 성분]]들의 집합이 [[부분기저]]를 이루는 [[분해 가능]] [[하우스도르프 공간]]은 <math>\mathbb R</math>와 [[위상동형]]이다.

2차원 이상의 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> (<math>n\ge 2</math>)은 [[연결 공간]]이지만, 절단점을 갖지 않는다.

=== 기약 절단점 공간 ===
[[정수]] 집합 <math>\mathbb Z</math> 위에 다음과 같은 위상을 부여한 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 *'칼림스키 직선**(-直線, )이라고 한다.
* 모든 [[홀수]]는 [[고립점]]이다.
* 모든 [[짝수]] <math>n</math>은 최소 [[열린 근방]] <math>\{n-1,n,n+1\}</math>을 갖는다.
즉, 칼림스키 직선의 위상은 다음과 같은 [[기저 (위상수학)|기저]]로 생성된다.
:<math>\mathcal B=\{\{2i+1\}\colon i\in\mathbb Z\}\cup\{\{2i-1,2i,2i+1\}\colon i\in\mathbb Z\}</math>
**기약 절단점 공간'''(旣約切斷點空間, )은 모든 진부분집합이 절단점 공간이 아닌 절단점 공간이다. 칼림스키 직선은 기약 절단점 공간이며, 반대로 기약 절단점 공간은 칼림스키 직선과 위상동형이다. 즉, 칼림스키 직선은 위상동형 아래 유일한 기약 절단점 공간이다.

칼림스키 직선 \mathbb Z는 연결 공간. 짝수 n\in\mathbb Z에 대하여, \{n-1,n,n+1\}은 n의 최소 근방이므로, \{n-1,n\}과 \{n,n+1\}은 연결 공간이다. 수학적 귀납법에 따라, 1\le n\in\mathbb Z에 대하여,
:\{-n,-n+1,-n+2,\dotsc,n\}=\{-n,-n+1\}\cup\{-n+1,-n+2\}\cup\dotsb\cup\{n-1,n\}
은 연결 공간이며, 따라서 칼림스키 직선
:\mathbb Z=\bigcup_{1\le n\in\mathbb Z}\{-n,-n+1,-n+2,\dotsc,n\}
은 연결 공간이다.

모든 n\in\mathbb Z는 절단점. 이는 \{k\in\mathbb Z\colon k과 \{k\in\mathbb Z\colon k>n\}이 모두 \mathbb Z\setminus\{n\}의 열린집합이기 때문이다.

모든 진부분집합 A\subsetneq\mathbb Z는 연결 공간이 아니거나, 비절단점을 가짐. 칼림스키 직선 \mathbb Z의 연결 진부분공간은 다음 세 가지 꼴 가운데 하나이다 (m,n\in\mathbb Z).
* \{k\in\mathbb Z\colon k\le n\}
* \{k\in\mathbb Z\colon k\ge n\}
* \{k\in\mathbb Z\colon m\le k\le n\}
A가 연결 공간이라고 하자. 즉, A는 어떤 m,n\in\mathbb Z에 대하여 위 세 집합 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, A\setminus\{n\} 역시 위 세 가지 꼴 가운데 하나이며, 따라서 연결 공간이다. 즉, n은 A의 비절단점이다.

기약 절단점 공간 X가 주어졌다고 하자. 기약성에 따라, 칼림스키 직선 \mathbb Z에서 X로 가는 매장 i\mapsto x_i를 구성하면 족하다. 우선, 모든 점 x\in X의 절단점 차수는 2라고 단언한다. \varnothing\subsetneq A\subsetneq X\setminus\{x\}가 X\setminus\{x\}의 열린닫힌집합이라고 하자. A와 X\setminus A가 연결 공간임을 보이면 족하다. 전자만을 증명한다. 귀류법을 사용하여, A가 연결 공간이 아니라고 하자. 그렇다면, x는 A\cup\{x\}의 절단점이다. 임의의 y\in A에 대하여,
:X\setminus\{y\}=((A\cup\{x\})\setminus\{y\})\cup((X\setminus A)\cup\{x\})
는 연결 공간이 아니며, x\in((A\cup\{x\})\setminus\{y\})\cap((X\setminus A)\cup\{x\})이므로, (A\cup\{x\})\setminus\{y\}와 (X\setminus A)\cup\{x\} 가운데 하나 이상은 연결 공간이 아니다. 그런데 (X\setminus A)\cup\{x\}가 연결 공간임은 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 (A\cup\{x\})\setminus\{y\}는 연결 공간이 아니며, y 역시 A\cup\{x\}의 절단점이다. 즉, A\cup\{x\}는 절단점 공간이다. 이는 기약 절단점 공간 조건과 모순이다.

이제, 닫힌 점 x_0\in X을 취하자. A_0와 B_0이 X\setminus\{x_0\}의 두 연결 성분이라고 하자. 수학적 귀납법을 사용하여,
:x_{-n+1},x_{-n+2},\dotsc,x_{n-1}\subseteq X
가 주어졌으며, 또한 각 -n+1에 대하여, \{x_{i-1},x_i\}가 연결 공간이라고 하자. 또한, 각 X\setminus\{x_i\}의 두 연결 성분이 A_i와 B_i라고 하고, -n+1\le i인 경우 x_0\in B_i이며, 0인 경우 x_0\in A_i라고 하자. 그렇다면, \{x_{-n},x_{-n+1}\}과 \{x_{n-1},x_n\}이 연결 공간인 x_{-n}\in A_{-n+1} 및 x_n\in B_{n-1}이 존재한다고 단언한다. 후자를 증명한다. \{x_{n-1}\}의 극한점 x_n\in B_{n-1}을 찾으면 족하다. 만약 x_{n-1}이 닫힌 점이라면, B_{n-1}이 연결 공간이며, X가 기약 절단점 공간이므로, B_{n-1}은 비절단점 x_n\in B_{n-1}을 갖는다. 즉, B_{n-1}\setminus\{x_n\}은 연결 공간이다. B_{n-1}은 열린집합이므로, 닫힌집합이 아니며, B_{n-1}\cup\{x_{n-1}\}은 닫힌집합이므로, x_{n-1}은 B_{n-1}의 극한점이다. 하지만 X\setminus\{x_n\}=(B_{n-1}\setminus\{x_n\})\cup(A_{n-1}\cup\{x_{n-1}\})이 연결 공간이 아니므로, x_{n-1}은 B_{n-1}\setminus\{x_n\}의 극한점일 수 없다. 따라서, x_{n-1}은 \{x_n\}의 극한점이다. 만약 x_{n-1}이 고립점이라면, B_{n-1}은 닫힌집합이므로, 열린집합이 아니며, B_{n-1}\cup\{x_{n-1}\}은 열린집합이므로, x_n\in B_{n-1}\setminus\operatorname{int}B_{n-1}은 \{x_{n-1}\}의 극한점이다. 수학적 귀납법의 마지막으로, A_{-n}과 B_{-n}이 X\setminus\{x_{-n}\}의 두 연결 성분이며, A_n과 B_n이 X\setminus\{x_n\}의 두 연결 성분이며, x_0\in B_{-n}이며 x_0\in A_n이라고 정의한다.

이제, 수학적 귀납법에 따라 구성된 부분집합
:\{\dotsc,x_{-2},x_{-1},x_0,x_1,x_2,\dotsc\}\subseteq X
및 각 X\setminus\{x_n\}의 두 연결 성분 A_n과 B_n을 생각하자. 정의에 따라 n인 경우 x_0\in B_n이며, n>0인 경우 x_0\in A_n이다. 이제, 다음 명제들을 차례로 증명하면 족하다.

x_i\in A_n\iff i, x_i\in B_n\iff i>n. 편의상 n>0이라고 하자. 그렇다면,
:\{x_i\colon i
:\{x_i\colon i>n\}=\bigcup_{k>n}(\{x_{n+1},x_{n+2}\}\cup\{x_{n+2},x_{n+3}\}\cup\dotsb\cup\{x_k,x_{k+1}\})
은 둘 다 연결 공간이며, x_0\in A_n이며 x_{n+1}\in B_n이므로, \{x_i\colon i이며 \{x_i\colon i>n\}\subseteq B_n이다.

각 x_n은 n이 짝수인 경우 닫힌 점, n이 홀수인 경우 고립점. 정의에 따라 x_0은 닫힌 점이다. 만약 \{x_n\}이 닫힌집합이라면, \{x_{n-1},x_n\}와 \{x_n,x_{n+1}\}이 연결 공간이므로, \{x_{n-1}\}과 \{x_{n+1}\}은 닫힌집합이 아니며, 따라서 열린집합이다. 마찬가지로, 만약 \{x_n\}이 열린집합이라면, \{x_{n-1}\}과 \{x_{n+1}\}은 닫힌집합이다.

부분집합 \{x_i\colon i\in\mathbb Z\}은 기저
:\mathcal B'=\{\{x_{2i+1}\}\colon i\in\mathbb Z\}\cup\{\{x_{2i-1},x_{2i},x_{2i+1}\}\colon i\in\mathbb Z\}
를 가짐. 홀수 n에 대하여, x_n이 고립점임은 이미 증명하였다. 짝수 n에 대하여, x_n은 \{x_{n-1}\}과 \{x_{n+1}\}의 극한점임을 증명하였으므로, x_n의 모든 열린 근방은 x_{n-1}과 x_{n+1}을 원소로 포함한다. 반대로, A_n과 B_n이 열린집합이므로,
:\{x_{n-1},x_n,x_{n+1}\}=\{x_i\colon i\in\mathbb Z\}\cap A_n\cap B_n
은 열린집합이다. 따라서, \{x_{n-1},x_n,x_{n+1}\}은 x_n의 최소 열린 근방이다.

### 모든 점의 차수가 3인 절단점 공간
모든 점의 차수가 3인 절단점 공간이 존재한다. 그러나, 모든 점의 차수가 3 이상인 절단점 공간은 분해 가능 거리화 가능 공간일 수 없으며, 특히 유클리드 공간에 매장될 수 없다. 구체적으로, 모든 점의 차수가 3인 절단점 공간 X는 다음과 같이 구성할 수 있다. 우선, 다음과 같은 집합 M\subseteq\mathbb R^2을 만들자.
* 수평 개구간 (0,1)\times\{0\}에서 시작한다.
* 각 이진 유리점 ((2m-1)/2^n,0)\in(0,1)\times\{0\} 위에 수직 개구간 \{(2m-1)/2^n\}\times(0,1/2^n)을 덧붙인다.
* 덧붙여진 수직 개구간의 이진 유리점 ((2m-1)/2^n,(2i-1)/2^j)의 오른쪽에 수평 개구간 ((2m-1)/2^n,(2m-1)/2^n+1/2^j)\times\{(2i-1)/2^j\}를 덧붙인다.
* 위와 같은 과정을 계속 반복한다. 새로운 구간은 마지막 세 단계에서 추가한 구간들의 합집합과 위에서 설명한 처음 세 단계에서 추가한 구간들의 합집합이 닮음이도록 시계 방향으로 돌며 추가한다.
그렇다면, M의 모든 이진 유리점의 절단점 차수는 3이며, 그 밖의 점들의 절단점 차수는 2이다. 이들의 집합을 각각 \operatorname{ct}_3(M)과 \operatorname{ct}_2(M)=M\setminus\operatorname{ct}_3(M)이라고 하자. 이제,
:X=\operatorname{ct}_2(M)^*\times M=M\cup\operatorname{ct}_2(M)\times M\cup\operatorname{ct}_2(M)\times\operatorname{ct}_2(M)\times M\cup\dotsb
라고 하자 ((-)^*는 클레이니 스타). 또한, x=(x_1,\dotsc,x_n)\in X 및 \epsilon>0에 대하여, 다음 집합을 정의하자.
:R(x,\epsilon)=
 \begin{cases}
  \{(x_1,\dotsc,x_{n-1})\}\times(\operatorname{ball}_{\mathbb R^2}(x_n,\epsilon)\cap\operatorname{ct}_3(M)) & x_n\in\operatorname{ct}_3(M) \\
  \{x\}\cup\{(x_1,\dotsc,x_{n-1})\}\times(\operatorname{ball}_{\mathbb R^2}(x_n,\epsilon)\cap\operatorname{ct}_3(M))\cup\{x\}\times(\operatorname{ball}_{\mathbb R^2}(0,\epsilon)\cap\operatorname{ct}_3(M)) & x_n\in\operatorname{ct}_2(M)
 \end{cases}

그렇다면,
:\{R(x,\epsilon)\colon x\in X\land\epsilon>0\}
은 X 위의 기저를 이루며, 이 기저로 생성되는 위상을 부여한 위상 공간 X은 다음 성질들을 만족시킨다.
* 하우스도르프 공간이다.
* 연결 공간이다.
* 모든 점의 절단점 차수는 3이다.

## 참고 문헌

분류:일반위상수학