고전적 중심력 문제

고전역학에서 **중심력 문제**()는 하나의 중심 퍼텐셜 장 안에서 입자의 운동을 결정하는 문제이다. 중심력은 공간의 고정된 점인 중심에서 입자를 향하거나 그 반대 방향으로 작용하는 힘(음수일 수 있음)으로, 그 크기는 오직 중심에서 물체까지의 거리에만 의존한다. 몇 가지 중요한 경우에 대해 이 문제는 삼각 함수와 같이 잘 알려진 함수를 사용하여 해석적으로 풀 수 있다.

이 문제의 해법은 많은 자연 발생적인 힘이 중심력이기 때문에 고전역학에서 중요하다. 대표적인 예로 만유인력의 법칙과 쿨롱 법칙에 의해 설명되는 중력과 전자기력이 있다. 또한 고전 물리학의 더 복잡한 문제(예를 들어, 두 물체를 잇는 선을 따라 힘이 작용하는 이체 문제)가 중심력 문제로 환원될 수 있기 때문에 중요하다. 마지막으로, 중심력 문제의 해는 태양계 행성의 운동을 계산할 때처럼 실제 운동에 대한 좋은 초기 근사치가 된다.

## 기초
중심력 문제의 핵심은 중심력 **F**의 영향을 받아 움직이는 입자의 위치 **r**을 시간 t의 함수나 중심점 및 임의의 축에 대한 각도 φ의 함수로 푸는 것이다.

### 중심력의 정의
섬네일|right|alt=A long arrows runs from the lower left to the upper right. At the lower left, the arrow begins with a black point labeled "O"; at the upper right, the arrow ends at a solid red circle labeled "P". Above this arrow is a shorter, thicker arrow labeled "F sub att" that points from the center of P towards O.|위치 '''P'''(빨간색)에 있는 물체에 작용하는 인력인 중심력. 정의에 따라 중심력은 고정된 점 '''O'''를 향하거나(인력인 경우), 그 반대 방향(척력인 경우)을 향해야 한다.

보존적인 중심력 **F**는 두 가지 정의 특성을 갖는다. 첫째, 입자를 공간의 고정된 점인 힘의 중심(종종 **O**로 표시됨)으로 직접 끌어당기거나 중심에서 멀어지게 해야 한다. 즉, 중심력은 **O**와 입자의 현재 위치를 잇는 선을 따라 작용해야 한다. 둘째, 보존적인 중심력은 오직 **O**와 움직이는 입자 사이의 거리 r에만 의존하며, 시간이나 다른 위치 기술자에 명시적으로 의존하지 않는다.

이 이중 정의는 다음과 같이 수학적으로 표현될 수 있다. 힘의 중심 **O**를 좌표계의 원점으로 선택할 수 있다. **O**에서 입자의 현재 위치를 잇는 벡터 **r**은 위치 벡터로 알려져 있다. 따라서 중심력은 다음과 같은 수학적 형태를 가져야 한다.
\mathbf{F} = F(r)\hat{\mathbf{r}}
여기서 r은 벡터의 크기 |**r**|(힘의 중심까지의 거리)이고 **r̂** = **r**/r은 그에 해당하는 단위 벡터이다. 뉴턴의 운동 제2법칙에 따르면, 중심력 **F**는 입자의 질량 m에 비례하는 평행한 가속도 **a**를 발생시킨다.
\mathbf{F} = F(r) \hat{\mathbf{r}} = m\mathbf{a} = m \ddot{\mathbf{r}}

인력의 경우 F(r)은 음수인데, 이는 중심까지의 거리 r을 줄이는 방향으로 작용하기 때문이다. 반대로 척력의 경우 F(r)은 양수이다.

### 위치 에너지

중심력이 보존력인 경우, 중심력의 크기 F(r)은 항상 시간에 무관한 위치 에너지 함수 U(r)의 미분으로 표현될 수 있다.
F(r) = -\frac{dU}{dr}

따라서 입자의 총 에너지(그의 운동 에너지와 위치 에너지 U의 합)는 일정하며, 이를 에너지가 보존된다고 한다. 이를 증명하려면 힘에 의해 수행된 일 W가 두 지점 사이의 경로가 아니라 초기 및 최종 위치에만 의존한다는 것을 보여주는 것으로 충분하다.

\begin{align}
W = \int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}
&= \int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2} F(r) \hat{\mathbf{r}} \cdot d\mathbf{r} \\[1ex]
&= \int_{r_1}^{r_2} F dr = U(r_1) - U(r_2)
\end{align}

마찬가지로, 힘의 장 **F**의 회전이 0임을 보여주는 것으로도 충분하다. 구면좌표계에서의 회전 공식을 사용하면,
\nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{r \sin \theta} \left( \frac{\partial F}{\partial \varphi} \right) \hat{\boldsymbol\theta} - \frac{1}{r} \left( \frac{\partial F}{\partial \theta} \right) \hat{\boldsymbol\varphi} = 0
중심력의 경우 편미분이 0이기 때문인데, 이는 크기 F가 각도 구면좌표 θ와 φ에 의존하지 않기 때문이다.

스칼라 퍼텐셜 V(r)은 원점까지의 거리 r에만 의존하므로 구형 대칭을 가진다. 이런 점에서 중심력 문제는 일반 상대성이론의 슈바르츠실트 측지선 및 양자역학의 중심 퍼텐셜 속 입자를 다루는 것과 유사하다.

### 일차원 문제
입자의 초기 속도 **v**가 위치 벡터 **r**과 일직선상에 있다면, 운동은 영원히 **r**에 의해 정의된 선 위에 머무른다. 이는 힘(그리고 뉴턴의 제2법칙에 의한 가속도 **a**) 또한 **r**과 일직선상에 있기 때문이다. 이 운동을 결정하려면 다음 방정식을 푸는 것으로 충분하다.
m \ddot{r} = F(r)

한 가지 풀이 방법은 총 에너지 보존을 사용하는 것이다.
\left|\dot{r}\right| = \left| \frac{dr}{dt}\right| = \sqrt{\frac{2}{m}} \sqrt{E_{\text{tot}} - U(r)}

역수를 취하고 적분하면 다음을 얻는다.
|t - t_{0}| = {\sqrt{\frac{m}{2}}} \int \frac{\sqrt{E_{\text{tot}} - U(r)}}

문서의 나머지 부분에서는 입자의 초기 속도 **v**가 위치 벡터 **r**과 일직선상에 있지 않다고 가정한다. 즉, 각운동량 벡터 **L** = **r** × m **v**가 0이 아니라고 가정한다.

### 등속 원운동
초기 반지름 r과 속도 v가 구심력에 대한 방정식을 만족한다면, 모든 중심력은 등속 원운동을 만들어낼 수 있다.
\frac{mv^{2}}{r} = F(r)

초기 순간에 이 방정식이 만족된다면, 이후의 모든 시간에도 만족될 것이다. 입자는 속도 v로 반지름 r의 원을 그리며 영원히 움직일 것이다.

### 고전적 이체 문제와의 관계
섬네일|left|alt=|두 물체의 위치 '''x'''<sub>1</sub>과 '''x'''<sub>2</sub>는 그들의 상대적인 거리 '''r'''과 질량 중심의 위치 '''R'''<sub>cm</sub>으로 표현될 수 있다.

중심력 문제는 단일 입자가 고정된 점 **O**(힘의 중심)로부터 끌리거나 밀려나는 이상적인 상황("일체 문제")을 다룬다. 그러나 물리적인 힘은 일반적으로 두 물체 사이에 작용하며, 뉴턴의 제3법칙에 따라 첫 번째 물체가 두 번째 물체에 힘을 가하면 두 번째 물체도 첫 번째 물체에 크기가 같고 방향이 반대인 힘을 가한다. 따라서 두 물체 사이에 힘이 존재하면 두 물체 모두 가속되며, 완벽하게 고정된 힘의 중심은 존재하지 않는다. 하지만 한 물체가 다른 물체보다 압도적으로 질량이 크다면, 다른 물체에 대한 상대적인 가속도는 무시될 수 있으며, 더 질량이 큰 물체의 중심은 대략 고정된 것으로 취급될 수 있다. 예를 들어 태양은 수성보다 압도적으로 무거우므로 태양은 고정된 힘의 중심으로 근사될 수 있고, 문제는 태양에 의해 가해지는 힘에 반응하는 수성의 운동으로 단순화된다. 그러나 실제로는 태양도 수성에 의해 가해지는 힘에 반응하여 (비록 아주 미미하지만) 움직인다.

섬네일|right|alt=|모든 고전적 이체 문제는 등가의 일체 문제로 변환될 수 있다. 등가인 단일 물체의 질량 μ는 원래 두 물체의 환산 질량과 같고, 그 위치 '''r'''은 두 물체의 위치 차이와 같다.

하지만 이러한 근사는 불필요하다. 뉴턴의 운동 법칙은 모든 고전적인 이체 문제를 그에 대응하는 정확한 일체 문제로 변환할 수 있게 해준다. 이를 보여주기 위해 **x**1과 **x**2를 두 입자의 위치라 하고, **r** = **x**1 − **x**2를 그들의 상대 위치라고 하자. 그러면 뉴턴의 제2법칙에 의해,

\begin{align}
\ddot{\mathbf{r}} = \ddot{\mathbf{x}}_1 - \ddot{\mathbf{x}}_2
&= \left( \frac{\mathbf{F}_{21}}{m_1} - \frac{\mathbf{F}_{12}}{m_2} \right) \\[1ex]
&=
\left(\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right)\mathbf{F}_{21}
\end{align}


마지막 방정식은 뉴턴의 제3법칙에서 유도된다. 두 번째 물체가 첫 번째 물체에 가하는 힘(**F**21)은 첫 번째 물체가 두 번째 물체에 가하는 힘(**F**12)과 크기가 같고 방향이 반대이다. 따라서 **r**에 대한 운동 방정식은 다음과 같은 형태로 쓰일 수 있다.
\mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}
여기서 \mu는 **[[환산 질량]]**이다.
\mu = \frac{1}{\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}} = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}

특수한 경우로, 중심력에 의해 상호작용하는 두 물체의 문제는 한 물체의 중심력 문제로 환원될 수 있다.

## 질적 성질
### 평면 운동
섬네일|right|alt=The image shows a yellow disc with three vectors. The vector L is perpendicular to the disk, the vector r goes from the center of the disk to a point on its periphery, and the vector v is tangential to the disk, starting from the point where r meets the periphery.|평면 운동의 삽화. 각운동량 벡터 '''L'''은 일정하다. 따라서 위치 벡터 '''r'''과 속도 벡터 '''v'''는 '''L'''에 수직인 노란색 평면 위에 있어야 한다.

중심력 **F**를 받는 입자의 운동은 항상 초기 위치와 속도에 의해 정의된 평면 안에 머무른다. 이는 대칭성을 통해 알 수 있다. 위치 **r**, 속도 **v**, 힘 **F**가 모두 같은 평면에 있으므로 그 평면에 수직인 가속도는 절대 발생하지 않는데, 이는 평면 "위"와 "아래" 사이의 대칭성을 깨뜨리기 때문이다.

이를 수학적으로 증명하기 위해서는 입자의 각운동량이 일정함을 보여주는 것으로 충분하다. 이 각운동량 **L**은 다음 방정식으로 정의된다.
\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times m \mathbf{v}
여기서 m은 입자의 질량이고 **p**는 그 운동량이다. 이 방정식에서 기호 ×는 곱셈이 아니라 벡터곱을 나타낸다. 따라서 각운동량 벡터 **L**은 입자의 위치 벡터 **r**과 속도 벡터 **v**에 의해 정의되는 평면에 항상 수직이다.

일반적으로 각운동량 **L**의 변화율은 알짜 돌림힘 **r** × **F**와 같다.
\begin{align}
\frac{d\mathbf{L}}{dt} &= \dot{\mathbf{r}} \times m\mathbf{v} + \mathbf{r} \times m\dot{\mathbf{v}} \\
&= \mathbf{v} \times m\mathbf{v} + \mathbf{r} \times \mathbf{F} \\[1ex]
&= \mathbf{r} \times \mathbf{F} \ ,
\end{align}

첫 번째 항 m **v** × **v**는 항상 0인데, 이는 방향이 같거나 반대인 두 벡터의 벡터곱은 항상 0이기 때문이다. 그러나 **F**가 중심력일 때, 나머지 항 **r** × **F** 또한 0이 되는데, 이는 벡터 **r**과 **F**가 방향이 같거나 반대이기 때문이다. 따라서 각운동량 벡터 **L**은 일정하다. 그러면,
\mathbf{r} \cdot \mathbf{L} = \mathbf{r} \cdot (\mathbf{r} \times \mathbf{p}) = \mathbf{p} \cdot (\mathbf{r} \times \mathbf{r}) = 0 

결과적으로 입자의 위치 **r**(따라서 속도 **v**)은 항상 **L**에 수직인 평면 위에 있게 된다.

### 극좌표계
섬네일|left|alt=Two perpendicular lines (Cartesian coordinate axes) are labeled x (horizontal) and y (vertical). They intersect at the lower left in a point labeled O (the origin). An arrow labeled r runs form the origin to the upper right, ending in a point P. The angle between the x-axis and the vector r is labeled with the Greek letter φ. A vertical line is dropped from P to the x-axis, and the horizontal and vertical segments are labeled "r cosine phi" and "r sine phi", respectively.|평면 위의 한 점 '''P'''의 위치 벡터 '''r'''은 중심(원점 '''O''')에서의 거리 r과 방위각 φ로 지정될 수 있다. 벡터의 x 및 y 데카르트 성분은 각각 r cos φ와 r sin φ이다.

운동이 평면적이고 힘이 반지름 방향이므로 극좌표계로 전환하는 것이 관례이다. 이 좌표계에서 위치 벡터 **r**은 반지름 거리 r과 방위각 φ의 항으로 표현된다.

\mathbf{r} = (x, \ y ) = (r\cos \varphi ,\ \sin \varphi)

시간에 대해 1계 미분을 취하면 입자의 속도 벡터 **v**를 얻는다.
\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \dot{r} (\cos \varphi ,\ \sin \varphi) + r \dot{\varphi} (-\sin \varphi, \cos \varphi)

마찬가지로 입자의 위치 **r**에 대한 2계 미분은 가속도 **a**와 같다.
\mathbf{a} = \ddot{r} (\cos \varphi ,\ \sin \varphi) + 2 \dot{r} \dot{\varphi} (-\sin \varphi ,\ \cos \varphi) + r \ddot{\varphi} (-\sin \varphi, \cos \varphi)  - r \dot{\varphi}^{2}  (\cos \varphi, \sin \varphi)

속도 **v**와 가속도 **a**는 반지름 방향 및 방위각 단위 벡터로 표현될 수 있다. 반지름 방향 단위 벡터는 위에서 설명한 대로 위치 벡터 **r**을 그 크기 r로 나누어 얻는다.
\mathbf{\hat{r}} = (\cos \varphi ,\ \sin \varphi)

방위각 단위 벡터는 다음과 같이 주어진다.
\hat{\boldsymbol\varphi} = (-\sin \varphi ,\ \cos \varphi)

따라서 속도는 다음과 같이 쓸 수 있다.
\mathbf{v} = v_{r} \mathbf{\hat{r}} + v_{\varphi} \hat{\boldsymbol\varphi} = \dot{r} \mathbf{\hat{r}} + r\dot{\varphi} \hat{\boldsymbol\varphi}
반면 가속도는 다음과 같다.
\begin{align}
\mathbf{a} &= a_r \mathbf{\hat{r}} + a_\varphi \hat{\boldsymbol\varphi} \\[1ex]
&= \left(\ddot{r} - r \dot{\varphi}^2\right) \mathbf{\hat{r}} + \left(2 \dot{r} \dot{\varphi} + r \ddot{\varphi} \right) \hat{\boldsymbol\varphi}
\end{align}

### 비각운동량
섬네일|right|alt=|비각운동량 h는 속력 v에 위치 벡터 '''r'''의 속도 벡터 '''v'''에 수직인 성분 r<sub>⊥</sub>를 곱한 것과 같다. 또한 h는 반지름 거리 r에 속도의 방위각 성분 v<sub>φ</sub>를 곱한 것과도 같다. 이 두 공식은 모두 rv cos β와 같다.

뉴턴의 운동 제2법칙에 의해 **F** = m**a**이고 **F**가 중심력이므로, 가속도 **a**의 반지름 성분만이 0이 아닐 수 있다. 각 성분 aφ는 반드시 0이어야 한다.
a_{\varphi} = 2 \dot{r} \dot{\varphi} + r \ddot{\varphi}  = 0

따라서,
\begin{align}
\frac{d}{dt} \left( r^2 \dot{\varphi} \right) &= r \left(2 \dot{r} \dot{\varphi} + r \ddot{\varphi}\right) \\
&= r a_{\varphi} = 0
\end{align}

괄호 안의 이 식은 보통 h로 표시된다.
\begin{align}
h = r^2 \dot{\varphi} &= r v_{\varphi}
= \left| \mathbf{r} \times \mathbf{v} \right| \\[1ex]
&= v r_{\perp} = \frac{L}{m}
\end{align}

이는 속력 v에 속도에 수직인 반지름 벡터의 성분인 r⊥를 곱한 것과 같다. h는 각운동량의 크기 L을 입자의 질량 m으로 나눈 것과 같으므로 비각운동량의 크기이다.

간결함을 위해 각속도는 때때로 ω로 쓰인다.
\omega = \dot{\varphi} = \frac{d\varphi}{dt}

그러나 ω가 일정하다고 가정해서는 안 된다. h가 일정하므로 ω는 다음 공식에 따라 반지름 r에 따라 변한다.
\omega = \frac{h}{r^{2}}

h가 일정하고 r2이 양수이므로, 각도 φ는 모든 중심력 문제에서 지속적으로 증가(h가 양수)하거나 지속적으로 감소(h가 음수)하며 단조롭게 변한다.

### 면적 속도 일정 법칙
섬네일|left|alt=|면적 A가  r<sub>⊥</sub>vt와 같으므로, 면적 속도 dA/dt(입자에 의해 휩쓸고 지나가는 면적의 비율)는  r<sub>⊥</sub>v = h와 같다.

h의 크기는 중심에 대해 입자가 면적을 휩쓸고 지나가는 비율인 면적 속도의 두 배와도 같다. 따라서 면적 속도는 모든 유형의 중심력 하에 움직이는 입자에 대해 일정하며, 이것이 케플러의 제2법칙이다. 반대로, 보존력 **F** 하에서의 운동이 평면적이고 반지름 **r**과 속도 **v**의 모든 초기 조건에 대해 일정한 면적 속도를 갖는다면, 방위각 가속도 aφ는 항상 0이다. 따라서 뉴턴의 제2법칙 **F** = m**a**에 의해 그 힘은 중심력이다.

면적 속도의 불변성은 등속 원운동과 직선 운동으로 설명할 수 있다. 등속 원운동에서 입자는 반지름 r인 원의 둘레를 일정한 속력 v로 움직인다. 각속도 ω = v/r가 일정하므로 시간 Δt 동안 휩쓸고 지나간 면적은 ω r2Δt와 같다. 따라서 같은 시간 Δt 동안 같은 면적을 휩쓸고 지나간다. 등속 직선 운동(즉, 뉴턴의 운동 제1법칙에 의해 힘이 없는 상태에서의 운동)에서 입자는 직선을 따라 일정한 속력 v로 움직인다. 시간 Δt 동안 입자는 vΔtr⊥만큼의 면적을 휩쓸고 지나간다. 입자가 선을 따라 움직여도 거리 r⊥는 변하지 않는다. 이것은 중심 **O**에서 직선까지의 최단 거리(충돌 매개변수)를 나타낸다. 속력 v 또한 변하지 않으므로 면적 속도 vr⊥는 운동의 상수이며, 입자는 같은 시간 동안 같은 면적을 휩쓸고 지나간다.

섬네일|right|alt=|부채꼴의 면적 A는  r<sup>2</sup>φ =  r<sup>2</sup>ωt =  r v<sub>φ</sub>t와 같다. 따라서 면적 속도 dA/dt는  r v<sub>φ</sub> =  h와 같다. 등속 원운동의 경우 r과 v<sub>φ</sub>가 일정하므로 dA/dt 또한 일정하다.

### 등가의 평행 힘의 장
변수 변환을 통해 모든 중심력 문제는 등가의 평행 힘 문제로 변환될 수 있다. 일반적인 x, y 데카르트 좌표 대신 두 개의 새로운 위치 변수 ξ = x/y와 η = 1/y를 정의하고, 새로운 시간 좌표 τ를 다음과 같이 정의한다.
\tau = \int \frac{dt}{y^{2}}

ξ와 η에 대한 대응하는 운동 방정식은 다음과 같이 주어진다.
\begin{align}
\frac{d\xi}{d\tau} &= \frac{d}{dt} \left( \frac{x}{y} \right) \frac{dt}{d\tau} \\[1ex]
&= \left( \frac{\dot{x} y - \dot{y} x}{y^2} \right) y^{2} = - h \\[2ex]
\frac{d\eta}{d\tau} &= \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{y} \right) \frac{dt}{d\tau} \\[1ex]
&= - \frac{\dot{y}}{y^{2}} y^{2} = -\dot{y}
\end{align}

ξ의 변화율이 일정하므로 그 2계 미분은 0이다.
\frac{d^{2}\xi}{d\tau^{2}} = 0

이것이 ξ 방향의 가속도이고 뉴턴의 제2법칙에 의해 F=ma이므로, ξ 방향의 힘은 0이다. 따라서 힘은 오직 η 방향으로만 작용하며, 이는 평행 힘 문제의 기준이 된다. 명시적으로 η 방향의 가속도는 다음과 같다.
\begin{align}
\frac{d^2\eta}{d\tau^2} &= \frac{dt}{d\tau} \frac{d}{dt} \left( \frac{d\eta}{d\tau} \right) \\[1ex]
&= - y^2 \ddot{y}
= -\frac{y^3}{mr} F(r)
\end{align}
y 방향의 가속도가 다음과 같기 때문이다.
\ddot{y} = \frac{1}{m} F_{y} = \frac{1}{m} F(r) \, \frac{y}{r}

여기서 Fy는 중심력의 y 성분을 나타내고, y/r은 y축과 반지름 벡터 **r** 사이의 각도의 코사인과 같다.

## 일반적인 해법
### 비네 방정식

중심력 **F**는 반지름 방향으로만 작용하므로 가속도의 반지름 성분만이 0이 아니다. 뉴턴의 운동 제2법칙에 의해 **F**의 크기는 입자의 질량 m에 반지름 방향 가속도의 크기를 곱한 것과 같다.
F(r) = m \ddot{r} - m r \omega^2 = m\frac{d^2 r}{dt^2} - \frac{m h^2}{r^3}

이 방정식은 적분 인자 \dot{r} = \frac{dr}{dt}를 가진다.
\begin{align}
F(r) \, dr
&= F(r) \dot{r} \, dt \\[1ex]
&= m \left(\dot{r} \ddot{r} - \frac{h^2}{r^3} \dot{r} \right) \, dt \\[1ex]
&= \frac m2 \, d{\left(\dot{r}^2 + h^2r^{-2}\right)}
\end{align}

적분하면 다음을 얻는다.
\int^{r} F(r) \, dr = \frac{m}{2} \left[\left(\frac{dr}{dt}\right)^2 + \left(\frac hr\right)^2\right]

h가 0이 아니면 독립 변수를 t에서 ϕ로 바꿀 수 있다.
\frac{d}{dt} = \omega \frac{d}{d\varphi} = \frac{h}{r^{2}} \frac{d}{d\varphi}
그러면 새로운 운동 방정식은 다음과 같다.
\int^{r} F(r) \, dr = \frac{m h^2}2 \left[\left(-\frac1{r^2} \frac{dr}{d\varphi}\right)^2 + \left(\frac{1}{r}\right)^2\right]

반지름의 역수 u = 1/r로 변수를 변환하면 다음을 얻는다.

여기서 C는 적분 상수이고 함수 G(u)는 다음과 같이 정의된다.
G(u) = - \frac{2}{mh^2} \int^{\frac{1}{u}} F(r) \, dr 

이 방정식은 ϕ에 대해 미분하면 준선형이 된다.
\frac{d^2 u}{d\varphi^2} + u = -\frac{1}{mh^2 u^2}  F(1/u)

이것을 **비네 방정식**이라 한다. 을 적분하면 ϕ에 대한 해를 얻는다.
\varphi = \varphi_{0} + \int^{\frac1r} \frac{du}{\sqrt{C - u^{2} - G(u)}}
여기서 ϕ0는 또 다른 적분 상수이다. 이 최종 적분이 알려진 함수들로 풀릴 수 있을 때 중심력 문제를 "가적분적"이라고 한다.

### 입자의 궤도
힘을 위치 에너지에서 얻는다고 할 때, 뉴턴의 운동 제2법칙과 입자 속도의 스칼라곱을 취하면
 m \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F} = - \boldsymbol{\nabla} U(\mathbf{r}) \qquad \left/ \; \cdot \dot{\mathbf{r}}\right.
다음과 같다.

\begin{align}
m \dot{\mathbf{r}} \cdot \ddot{\mathbf{r}} = \frac{1}{2}m\frac{d}{dt} \left( \dot{\mathbf{r}} \cdot \dot{\mathbf{r}} \right)
&= -\dot{\mathbf{r}} \cdot \boldsymbol{\nabla} U(\mathbf{r}) \\[1ex]
&= - \sum_{i=1}^{3} \dot{x}_i \frac{\partial U}{\partial x_i}
 = - \frac{dU}{dt}
\end{align} 
여기서 합산은 공간 데카르트 지표 i=1,2,3에 대해 이루어지며, \frac{d}{dt}\left(\dot{\mathbf{r}} \cdot \dot{\mathbf{r}}\right) = \ddot{\mathbf{r}} \cdot \dot{\mathbf{r}}+ \dot{\mathbf{r}} \cdot \ddot{\mathbf{r}} = 2 \dot{\mathbf{r}} \cdot \ddot{\mathbf{r}}라는 사실과 연쇄 법칙 \frac{d}{dt}U(x,y,z) = \sum_i \frac{\partial U}{\partial x_i} \frac{dx_i}{dt} 을 사용하였다.
정리하면,
 \frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}m \dot{\mathbf{r}}^2 + U(\mathbf{r}) \right)= 0
좌변의 괄호 안의 항은 상수이며, 이를 총 기계적 에너지 E_{\mathrm{tot}}로 표시한다. 분명히 이것은 운동 에너지와 위치 에너지의 합이다.

더욱이 퍼텐셜이 중심 퍼텐셜 U(x,y,z)=U(r)이면 힘은 반지름 방향을 따른다. 이 경우 뉴턴의 운동 제2법칙과 입자의 위치 벡터 \mathbf{r}의 외적은 평행한 두 벡터의 외적이 0이므로 반드시 사라진다.
 \begin{align}
\mathbf{r}\times m\ddot{\mathbf{r}} &= \frac{d}{dt}\left( \mathbf{r} \times m\dot\mathbf{r} \right) - \left( \dot{\mathbf{r}} \times m\dot\mathbf{r}\right) \\[1ex]
&= \mathbf{r}\times \mathbf{F} = 0
\end{align} 
하지만 \dot{\mathbf{r}} \times m\dot\mathbf{r} = 0 (평행 벡터의 외적)이므로,
 \frac{d}{dt}\left( \mathbf{r} \times m\dot\mathbf{r} \right) = 0 
좌변의 괄호 안의 항은 상수이며, 이를 각운동량 \mathbf{L}로 표시한다.
특히 극좌표에서 L = mr v_{\varphi} = mr^2 \dot{\varphi}  또는
\dot{\varphi}  = \frac{L}{mr^2} 
나아가 \dot{\mathbf{r}}^{2} = v_r^2+v_{\varphi}^2 = \dot{r}^{2} + (r\dot{\varphi})^{2} 이므로 에너지 방정식은 각운동량을 사용하여 다음과 같이 단순화될 수 있다.
\begin{align}
E_{\mathrm{tot}} &= \frac{1}{2} m \dot{r}^2 + \frac{1}{2} m r^2 \dot{\varphi}^2 + U(r) \\[1ex]
&= \frac{1}{2} m \dot{r}^{2} + \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} + U(r) \\[1ex]
&= \frac{1}{2} m \dot{r}^{2} + U_{\mathrm{eff}}(r)
\end{align}
이는 각운동량이 유효 위치 에너지에 기여함을 나타낸다.
U_{\mathrm{eff}}(r) = U(r) + \frac{L^{2}}{2 m r^{2}}
이 방정식을 \dot{r}에 대해 풀면
\dot{r} = \frac{dr}{dt} = \sqrt{\frac{2}{m}} \sqrt{E_{\mathrm{tot}} - U_{\mathrm{eff}}(r)}
이것은 다음과 같이 방위각 \varphi에 대한 r의 미분으로 변환될 수 있다.
\frac{dr}{d\varphi} = \frac{dr/dt}{d\varphi/dt} = \frac{\dot r}{\dot \varphi}= \frac{mr^2}{L} \sqrt{\frac{2}{m}} \sqrt{E_{\mathrm{tot}} - U_{\mathrm{eff}}(r)} 
이것은 변수 분리형 1계 미분 방정식이다. 적분하면 다음 공식을 얻는다.
\varphi = \varphi_{0} + \frac{L}{\sqrt{2m}} \int^{r} \frac{dr}{r^{2} \sqrt{E_{\mathrm{tot}} - U_{\mathrm{eff}}(r)}}

적분 변수를 반지름의 역수로 바꾸면 다음 적분을 얻는다.
\varphi = \varphi_{0} + \int ^{u} \frac{du}{\sqrt{\frac{2m}{L^{2}} E_{\mathrm{tot}} - \frac{2m}{L^{2}} U(1/u) - u^{2}}}
이는 위의 상수 C = 2mEtot/L2와 G(u) = 2mU(1/u)/L2를 총 에너지 Etot와 위치 에너지 U(r)의 항으로 표현한 것이다.

### 회전점과 닫힌 궤도

r의 변화율은 유효 위치 에너지가 총 에너지와 같을 때마다 0이 된다.
E_{\mathrm{tot}} = U(r) + \frac{L^2}{2 m r^2}

이 방정식이 만족되는 점들을 회전점(turning points)이라고 한다. 회전점 양쪽의 궤도는 대칭적이다. 즉, 회전점에서 φ = 0이 되도록 방위각을 정의하면 궤도는 반대 방향으로 동일하다, r(φ) = r(−φ).

만약 반지름 r이 rmin과 rmax 사이에 한정되도록 두 개의 회전점이 있다면, 운동은 그 반지름들을 가진 고리(annulus) 모양 영역 안에 갇힌다. 반지름이 한 회전점에서 다른 회전점으로 변할 때 방위각 φ의 변화는 다음과 같다.
\Delta \varphi = \frac{L}{\sqrt{2m}} \int_{r_\min}^{r_\max} \frac{dr}{r^2 \sqrt{E - U(r) - \frac{L^2}{2 m r^2}}}

Δφ가 2π의 유리수 비율, 즉 다음과 같다면 궤도는 닫히게 된다.
\Delta \varphi = 2\pi \frac{m}{n}
여기서 m과 n은 정수이다. 그 경우 방위각 φ가 정확히 n번 회전하는 동안 반지름은 정확히 m번 진동한다. 그러나 일반적으로 Δφ/2π는 그러한 유리수가 아닐 것이며, 따라서 궤도는 닫히지 않을 것이다. 이 경우 입자는 결국 고리 영역 안의 모든 점에 임의로 가깝게 통과하게 된다. 두 가지 유형의 중심력은 항상 닫힌 궤도를 생성한다. F(r) = αr (선형 힘)과 F(r) = α/r2 (역제곱 법칙)이다. 베르트랑에 의해 밝혀졌듯이, 이 두 중심력만이 닫힌 궤도를 보장하는 유일한 힘이다.

일반적으로 각운동량 L이 0이 아니면, 유효 위치 에너지가 r이 0으로 가는 극한에서 음의 무한대로 가지 않는 한, L2/2mr2 항은 입자가 원점으로 떨어지는 것을 방지한다. 따라서 회전점이 하나만 있는 경우 궤도는 일반적으로 무한대로 나아가며, 회전점은 최소 반지름 지점에 해당한다.

## 구체적인 해법
### 케플러 문제
[섬네일|right|alt=An animation showing a small particle moving on a red ellipse; a large blue mass is located at one focus of the ellipse.|고전 물리학에서 중력은 중심력이다. 이 중심력 문제를 풀면 구속된 입자가 [케플러의 행성운동법칙|케플러의 제2법칙에서 설명한 대로 같은 시간 동안 같은 면적을 휩쓸며 타원 궤도를 따라가는 것을 보여준다.]]

고전물리학에서 중력이나 정전기학과 같은 많은 중요한 힘은 역제곱 법칙을 따른다. 이러한 역제곱 중심력의 일반적인 수학적 형태는 다음과 같다.
F = \frac{\alpha}{r^2} = \alpha u^{2}
상수 \alpha에 대해 인력이면 음수이고 척력이면 양수이다.

고전적 중심력 문제의 이 특수한 사례를 **케플러 문제**라고 한다. 역제곱 힘에 대해 위에서 유도된 비네 방정식은 선형이다.
\frac{d^{2}u}{d\varphi^{2}} + u = -\frac{\alpha}{mh^{2}}.

이 방정식의 해는 다음과 같다.
u(\varphi) = -\frac{\alpha}{mh^{2}} \left[ 1 + e \cos \left( \varphi - \varphi_{0}\right) \right] 
이는 궤도가 이심률 e를 가진 원뿔 곡선임을 보여준다. 여기서 φ0는 초기 각도이고 힘의 중심은 원뿔 곡선의 초점에 있다. 사인의 반각 공식을 사용하면 이 해를 다음과 같이 쓸 수도 있다.
u(\varphi) = u_{1} + (u_2 - u_1) \sin^{2} \left( \frac{\varphi - \varphi_0}{2} \right) 

섬네일|left|alt=Blue ellipse with the two foci indicated as black points. Four line segments go out from the left focus to the ellipse, forming two shaded pseudo-triangles with two straight sides and the third side made from the curved segment of the intervening ellipse.|모든 중심력과 마찬가지로, 케플러 문제의 입자는 두 개의 파란색 타원 부채꼴로 예시된 것처럼 같은 시간 동안 같은 면적을 휩쓸고 지나간다. 힘의 중심은 타원 궤도의 초점 중 하나에 위치한다.

여기서 u1과 u2는 상수이고 u2가 u1보다 크다. 해의 두 버전은 다음 방정식들에 의해 연관된다.
u_1 + u_2 = -\frac{2\alpha}{m h^2}
그리고
e = \frac{u_2 - u_1}{u_2 + u_1}

sin2 함수는 항상 0보다 크므로, u2는 u의 최대 가능 값이며 최소 반지름 거리의 역수, 즉 근일점(근점) 거리에 해당한다. 반지름 거리 r은 음수가 될 수 없으므로 그 역수 u 또한 음수가 될 수 없다. 따라서 u2는 양수여야 한다. u1 또한 양수라면, 그것은 u의 최소 가능 값이며 최대 반지름 거리인 원일점(원점)에 해당한다. 만약 u1이 0이거나 음수라면 u의 최소 가능 값은 0이며(궤도가 무한대로 나감), 이 경우 u를 양수로 만드는 φ 값만이 유효하다.

인력(α 1이 각각 양수, 음수, 0인지에 따라 궤도는 타원, 쌍곡선, 포물선이 된다. 이는 이심률 e가 1보다 작거나, 1보다 크거나, 1인 경우에 대응한다. 척력(α > 0)의 경우, 정의상 u2가 양수이고 그들의 합이 음수이므로 u1은 반드시 음수여야 한다. 따라서 궤도는 쌍곡선이다. 당연히 힘이 존재하지 않는다면(α=0), 궤도는 직선이다.

### 정확한 해가 있는 중심력

u(φ)에 대한 비네 방정식은 거의 모든 중심력 F(1/u)에 대해 수치적으로 풀 수 있다. 그러나 알려진 함수의 항으로 u에 대한 공식을 산출하는 힘은 극소수이다. 위에서 유도된 것처럼 φ에 대한 해는 u에 대한 적분으로 표현될 수 있다.
\varphi = \varphi_0 + \frac{L}{\sqrt{2m}} \int ^{u} \frac{du}{\sqrt{E_{\mathrm{tot}} - U(1/u) - \frac{L^2 u^2}{2m}}}

이 적분이 알려진 함수들로 풀릴 수 있을 때 중심력 문제를 "가적분적"이라고 한다.

만약 힘이 거듭제곱 법칙을 따른다면, 즉 F(r) = αrn이라면, n이 1, −2, −3이면 u는 원함수로 표현될 수 있고, n이 −7, −5, −4, 0, 3, 5, -3/2, -5/2, −1/3, −5/3, −7/3이면 타원함수로 표현될 수 있다. 마찬가지로, 거듭제곱 법칙의 단 6가지 선형 조합만이 원함수 및 타원함수의 항으로 해를 제공한다.
F(r) = Ar^{-3} + Br + Cr^{3} + Dr^{5}
F(r) = Ar^{-3} + Br + Cr^{-5} + Dr^{-7}
F(r) = Ar^{-3} + Br^{-2} + Cr + D
F(r) = Ar^{-3} + Br^{-2} + Cr^{-4} + Dr^{-5}
F(r) = Ar^{-3} + Br^{-2} + Cr^{-3/2} + Dr^{-5/2}
F(r) = Ar^{-3} + Br^{-1/3} + Cr^{-5/3} + Dr^{-7/3}

다음의 첫 두 가지 힘 유형의 특수한 사례는 항상 원함수를 결과로 낸다.
F(r) = Ar^{-3} + Br
F(r) = Ar^{-3} + Br^{-2}

특수한 사례 F(r) = Ar^{-5} 는 뉴턴에 의해 프린키피아의 제1권 정리 7의 따름정리 1에서 인력점을 통과하는 원형 궤도에 의해 암시되는 힘으로 언급되었다.

### 회전 궤도
[섬네일|right|alt=|뉴턴의 회전 궤도 정리의 삽화. 초록색 행성은 파란색 행성이 세 번 궤도를 돌 때마다 한 번의 (차조화) 궤도를 완료한다(k=1/3). 이 애니메이션의 [GIF 버전은 여기에서 찾을 수 있다.]]

모든 위의 힘 법칙에는 r−3 항이 나타나는데, 이는 역세제곱 힘의 추가가 알려진 함수들로 문제를 푸는 가능성에 영향을 주지 않음을 나타낸다. 아이작 뉴턴은 초기 조건을 조정하면 그러한 힘의 추가가 입자의 반지름 방향 운동에는 영향을 주지 않고, 각운동에 일정한 계수 k를 곱한다는 것을 보여주었다. 뉴턴 정리의 확장은 2000년 마호메드와 바우다에 의해 발견되었다.

입자가 임의의 중심력 F1(r) 하에 움직이고 있다고 가정하고, 시간 t의 함수로서 반지름 r과 방위각 φ를 r(t)와 φ1(t)로 표기하자. 이제 같은 반지름 방향 운동 r(t)를 공유하지만 각속도가 첫 번째 입자보다 k배 빠른 동일 질량 m의 두 번째 입자를 고려하자. 즉, 두 입자의 방위각은 φ2(t) = k φ1(t)라는 관계를 가진다. 뉴턴은 두 번째 입자에 작용하는 힘이 첫 번째 입자에 작용하는 힘 F1(r)에 역세제곱 중심력을 더한 것과 같음을 보여주었다.
F_{2}(r) = F_{1}(r) + \frac{L_{1}^{2}}{mr^{3}} \left( 1 - k^{2} \right)
여기서 L1은 첫 번째 입자의 각운동량 크기이다.

k2이 1보다 크면 F2−F1은 음수이므로 추가된 역세제곱 힘은 인력이다. 반대로 k2이 1보다 작으면 F2−F1은 양수이며 추가된 역세제곱 힘은 척력이다. k가 3과 같은 정수라면 두 번째 입자의 궤도는 첫 번째 입자 궤도의 조화파(harmonic)라고 하며, 반대로 k가 과 같은 정수의 역수라면 두 번째 궤도는 첫 번째 궤도의 차조화파(subharmonic)라고 한다.

## 역사적 발전
섬네일|left|alt=|그림 10: 움직이는 입자에 작용하는 힘이 중심력인 경우에만 같은 시간 동안 같은 면적을 휩쓸고 지나간다는 뉴턴의 기하학적 증명. 여기서 삼각형 OAB는 삼각형 OBC 및 OBK와 면적이 같다.

### 뉴턴의 유도
고전적 중심력 문제는 아이작 뉴턴에 의해 그의 저서 자연철학의 수학적 원리에서 기하학적으로 해결되었으며, 여기서 뉴턴은 자신의 운동 법칙을 소개했다. 뉴턴은 기하학적 방법을 적용할 수 있도록 연속적인 운동을 이산적인 운동으로 변환하기 위해 도약적분에 해당하는 방법을 사용했다. 이 접근법에서 입자의 위치는 일정한 간격의 시간 지점에서만 고려된다. 삽화를 위해 그림 10의 입자는 시간 t = 0일 때 점 **A**에, t = Δt일 때 점 **B**에, t = 2Δt일 때 점 **C**에 위치하며, 모든 n이 정수인 시간 t = nΔt에 대해서도 마찬가지이다. 속도는 이 시간 지점들 사이에서 일정하다고 가정한다. 따라서 벡터 **r**AB = **r**B − **r**A는 Δt 곱하기 속도 벡터 **v**AB(빨간 선)와 같고, **r**BC = **r**C − **r**B는 **v**BCΔt(파란 선)와 같다. 점들 사이에서 속도가 일정하므로 힘은 각 새로운 위치에서 순식간에 작용한다고 가정한다. 예를 들어 점 **B**에서 작용하는 힘은 속도를 **v**AB에서 **v**BC로 즉시 변화시킨다. 차이 벡터 Δ**r** = **r**BC − **r**AB는 Δ**v**Δt(초록 선)와 같으며, 여기서 Δ**v** = **v**BC − **v**AB는 점 **B**에서의 힘으로 인한 속도의 변화이다. 가속도 **a**가 Δ**v**와 평행하고 **F** = m**a**이므로, 힘 **F**는 반드시 Δ**v** 및 Δ**r**과 평행해야 한다. 만약 **F**가 중심력이라면, 그것은 중심 **O**에서 점 **B**까지의 벡터 **r**B(초록색 점선)와 평행해야 한다. 이 경우 Δ**r** 또한 **r**B와 평행하다.

점 **B**에서 아무런 힘이 작용하지 않는다면 속도는 변하지 않고 입자는 시간 t = 2Δt에 점 **K**에 도착한다. 삼각형 OAB와 OBK는 밑변(rAB)과 높이(r⊥)가 같으므로 면적이 같다. Δ**r**이 **r**B와 평행하다면 삼각형 OBK와 OBC 또한 밑변(rB)을 공유하고 높이가 변하지 않으므로 면적이 같다. 이 경우 삼각형 OAB와 OBC의 면적은 같고, 입자는 같은 시간에 같은 면적을 휩쓸고 지나간다. 반대로 그러한 모든 삼각형의 면적이 같다면 Δ**r**은 **r**B와 평행해야 하며, 이로부터 **F**가 중심력임이 도출된다. 따라서 입자가 같은 시간에 같은 면적을 휩쓸고 지나가는 것은 **F**가 중심력인 경우에만 성립한다.

## 운동 방정식의 대안적 유도
### 라그랑주 역학
반지름 방향 힘의 공식은 라그랑주 역학을 사용하여 얻을 수도 있다. 극좌표에서 위치 에너지 장 U(r) 내에 있는 단일 입자의 라그랑지언 L은 다음과 같이 주어진다.
L = \frac{1}{2} m \dot{r}^{2} + \frac{1}{2} m r^{2} \dot{\varphi}^{2} - U(r)  

그러면 라그랑주 운동 방정식
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} \right) = \frac{\partial L}{\partial r}
은 다음과 같은 형태를 취한다.
m\ddot{r} = m r \dot{\varphi}^{2} - \frac{dU}{dr} = \frac{m h^{2}}{r^{3}} + F(r)
반지름 방향 힘의 크기 F(r)은 반지름 방향의 위치 에너지 U(r)의 음의 미분과 같기 때문이다.

### 해밀턴 역학
반지름 방향 힘 공식은 해밀턴 역학을 사용하여 유도될 수도 있다. 극좌표에서 해밀토니언은 다음과 같이 쓰일 수 있다.
H = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_{\varphi}^2}{2mr^2} + U(r) 

방위각 φ가 해밀토니언에 나타나지 않으므로 그 켤레 운동량 pφ는 운동의 상수이다. 이 켤레 운동량은 φ에 대한 해밀턴 운동 방정식에서 알 수 있듯이 각운동량의 크기 L이다.
\dot{\varphi} = \frac{\partial H}{\partial p_{\varphi}} = \frac{p_{\varphi}}{mr^2} = \frac{L}{mr^2} 

r에 대한 대응하는 운동 방정식은 다음과 같다.
\dot{r} = \frac{\partial H}{\partial p_r} = \frac{p_r}{m}

시간에 대해 r의 2계 미분을 취하고 pr에 대한 해밀턴 운동 방정식을 사용하면 반지름 방향 힘 방정식을 얻는다.
\begin{align}
\ddot{r} = \frac{dot{p}_r}{m}
&= -\frac{1}{m} \left( \frac{\partial H}{\partial r} \right) \\[1ex]
&= \frac{p_{\varphi}^2}{m^2 r^3} - \frac{1}{m} \frac{dU}{dr} \\[1ex]
&= \frac{L^2}{m^2 r^3} + \frac{1}{m} F(r)
\end{align}

### 해밀턴-야코비 방정식
궤도 방정식은 해밀턴-야코비 방정식으로부터 직접 유도될 수 있다. 반지름 거리 r과 방위각 φ를 좌표로 채택하면 중심력 문제에 대한 해밀턴-야코비 방정식은 다음과 같이 쓰일 수 있다.
\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + \frac{1}{2m r^{2}} \left( \frac{dS_{\varphi}}{d\varphi} \right)^{2} + U(r) = E_{\mathrm{tot}}
여기서 S = Sφ(φ) + Sr(r) − Etott는 해밀턴의 주함수이고, Etot와 t는 각각 총 에너지와 시간을 나타낸다. 이 방정식은 φ 방정식에서 시작하여 상미분 방정식을 연속적으로 적분함으로써 풀 수 있다.
\frac{dS_{\varphi}}{d\varphi} = p_{\varphi} = L
여기서 pφ는 각운동량 크기 L과 같은 운동 상수이다. 따라서 Sφ(φ) = Lφ이고 해밀턴-야코비 방정식은 다음과 같이 된다.
\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + \frac{L^{2}}{2m r^{2}} + U(r) = E_{\mathrm{tot}}

Sr에 대해 이 방정식을 적분하면 다음을 얻는다.
S_{r} (r) = \sqrt{2m} \int dr \sqrt{E_{\mathrm{tot}} - U(r) -  \frac{L^2}{2 m r^2}}

L에 대해 S의 미분을 취하면 위에서 유도된 궤도 방정식을 얻는다.
\begin{align}
\varphi_0 &= \frac{\partial S}{\partial L}
= \frac{\partial S_{\varphi}}{\partial L} + \frac{\partial S_r}{\partial L} \\[2ex]
&= \varphi - \frac{L}{\sqrt{2m}} \int^{r} \frac{dr}{r^2 \sqrt{E_{\mathrm{tot}} - U(r) - \frac{L^2}{2m r^2}}}
\end{align}

## 같이 보기
* 슈바르츠실트 측지선: 일반 상대성이론에서의 대응물
* 중심 퍼텐셜 속 입자: 양자역학에서의 대응물
* 수소형 원자: 양자역학에서의 케플러 문제
* 역제곱 퍼텐셜

## 내용주


## 각주

## 참고 문헌
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## 외부 링크
* Two-body Central Force Problems by D. E. Gary of the New Jersey Institute of Technology
* Motion in a Central-Force Field  by A. Brizard of Saint Michael's College
* Motion under the Influence of a Central Force by G. W. Collins, II of Case Western Reserve University
* Video lecture by W. H. G. Lewin of the Massachusetts Institute of Technology

분류:고전역학