쌍선형 변환 (신호 처리)

섬네일|쌍선형 변환이 z-평면을 s-평면으로 어떻게 사상하는지. 선형 제어 시스템의 극점에 대한 불안정한 영역은 음영 처리되어 있다.

**쌍선형 변환**(bilinear transform, 아널드 터스틴의 이름을 따서 **터스틴 방법**)은 디지털 신호 처리 및 이산 시간 제어이론에서 연속 시간 시스템 표현을 이산 시간으로 변환하고 그 반대로 변환하는 데 사용된다.

쌍선형 변환은 등각 사상(즉, 뫼비우스 변환)의 특수한 경우로, 선형, 시불변 (LTI) 필터의 전달 함수  H_a(s) 를 연속 함수 시간 영역(종종 아날로그 필터라고 불림)에서 이산 신호 시간 영역(종종 디지털 필터라고 불리지만, 스위치드 커패시터로 구성된 이산 시간 필터인 아날로그 필터도 있음)의 선형, 시프트 불변 필터의 전달 함수 H_d(z)로 변환하는 데 자주 사용된다. 이 변환은 s-평면의  j \omega  축,  \mathrm{Re}[s]=0  상의 위치를 z-평면의 단위원,  |z| = 1 로 사상한다. 다른 쌍선형 변환은 모든 이산 시간 선형 시스템의 주파수 응답을 왜곡하는 데 사용될 수 있으며(예를 들어 인간 청각 시스템의 비선형 주파수 해상도를 근사화하기 위해), 시스템의 단위 지연  \left( z^{-1} \right) 를 1차 올패스 필터로 대체하여 이산 영역에서 구현할 수 있다.

이 변환은 안정성을 보존하며, 연속 시간 필터의 주파수 응답,  H_a(j \omega_a) 의 모든 지점을 이산 시간 필터의 주파수 응답,  H_d(e^{j \omega_d T}) 의 해당 지점으로 사상한다. 이는 아래 주파수 왜곡 섹션에서 보여지는 바와 같이 다소 다른 주파수로 사상된다. 이는 아날로그 필터의 주파수 응답에서 볼 수 있는 모든 특징에 대해, 디지털 필터의 주파수 응답에서 동일한 이득 및 위상 편이를 갖는 해당 특징이 있지만, 다소 다른 주파수에서 나타날 수 있음을 의미한다. 주파수 변화는 낮은 주파수에서는 거의 눈에 띄지 않지만, 나이퀴스트 진동수에 가까운 주파수에서는 상당히 뚜렷하다.

## 이산 시간 근사
쌍선형 변환은 z-평면을 s-평면으로 정확히 사상하는 자연 로그 함수의 1차 파데 근사이다. 이산 시간 신호에 라플라스 변환을 수행하면(이산 시간 시퀀스의 각 요소가 해당하는 지연된 단위 임펄스에 연결됨), 다음의 치환으로 이산 시간 시퀀스의 Z변환과 정확히 같아진다.

:
\begin{align}
z &= e^{sT}   \\
  &= \frac{e^{sT/2}}{e^{-sT/2}} \\
  &\approx \frac{1 + s T / 2}{1 - s T / 2}
\end{align}


여기서  T 는 쌍선형 변환 유도에 사용된 사다리꼴 공식의 수치적분 단계 크기, 즉 샘플링 주기이다. 위의 쌍선형 근사를  s 에 대해 풀거나  s = (1/T) \ln(z) 에 대한 유사한 근사를 수행할 수 있다.

이 사상의 역변환(및 그 1차 쌍선형 근사)은 다음과 같다.

:
\begin{align}
s &= \frac{1}{T} \ln(z)  \\
  &= \frac{2}{T} \left[\frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^3  + \frac{1}{5} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^5  + \frac{1}{7} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^7 + \cdots \right] \\
  &\approx  \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} \\
  &=  \frac{2}{T} \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}
\end{align}


쌍선형 변환은 기본적으로 이 1차 근사를 사용하여 연속 시간 전달 함수  H_a(s) 에 대입한다.

:s \leftarrow \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1}.

즉,

:H_d(z) = H_a(s) \bigg|_{s = \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1}}= H_a \left( \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1} \right). \ 

## 안정성 및 최소 위상 속성 보존
연속 시간 인과 필터는 전달 함수의 극점이 복소수 s-평면의 왼쪽 절반에 떨어지면 안정하다. 이산 시간 인과 필터는 전달 함수의 극점이 복소 z-평면의 단위원 내부에 떨어지면 안정하다. 쌍선형 변환은 복소 s-평면의 왼쪽 절반을 z-평면의 단위원 내부로 사상한다. 따라서 연속 시간 영역에서 설계된 안정적인 필터는 그 안정성을 보존하는 이산 시간 영역의 필터로 변환된다.

마찬가지로, 연속 시간 필터는 전달 함수의 영점이 복소 s-평면의 왼쪽 절반에 떨어지면 최소 위상이다. 이산 시간 필터는 전달 함수의 영점이 복소 z-평면의 단위원 내부에 떨어지면 최소 위상이다. 그러면 동일한 사상 속성은 최소 위상인 연속 시간 필터가 그 최소 위상 속성을 보존하는 이산 시간 필터로 변환됨을 보장한다.

## 일반 LTI 시스템의 변환
일반적인 LTI 시스템은 다음 전달 함수를 갖는다.

    H_a(s) = \frac{b_0 + b_1s + b_2s^2 + \cdots + b_Qs^Q}{a_0 + a_1s + a_2s^2 + \cdots + a_Ps^P}

전달 함수 의 차수는 와  중 더 큰 값이다(실제로는 시스템이 안정하려면 전달 함수가 고유해야 하므로 대부분 이다). 쌍선형 변환을 적용하면

    s = K\frac{z - 1}{z + 1}

여기서 는 주파수 왜곡을 사용하는 경우  또는 다른 값으로 정의되며, 다음과 같다.

    H_d(z) = \frac{b_0 + b_1\left(K\frac{z - 1}{z + 1}\right) + b_2\left(K\frac{z - 1}{z + 1}\right)^2 + \cdots + b_Q\left(K\frac{z - 1}{z + 1}\right)^Q}
                  {a_0 + a_1\left(K\frac{z - 1}{z + 1}\right) + a_2\left(K\frac{z - 1}{z + 1}\right)^2 + \cdots + b_P\left(K\frac{z - 1}{z + 1}\right)^P}

분자와 분모에 의 가장 큰 거듭제곱인 을 곱하면 다음과 같다.

   H_d(z) = \frac{b_0(z+1)^N + b_1K(z-1)(z+1)^{N-1} + b_2K^2(z-1)^2(z+1)^{N-2} + \cdots + b_QK^Q(z-1)^Q(z+1)^{N-Q}}
                 {a_0(z+1)^N + a_1K(z-1)(z+1)^{N-1} + a_2K^2(z-1)^2(z+1)^{N-2} + \cdots + a_PK^P(z-1)^P(z+1)^{N-P}}

변환 후에 분자와 분모의 차수가 모두 임을 알 수 있다.

연속 시간 전달 함수의 극점-영점 형태를 고려해보자.

    H_a(s) = \frac{(s - \xi_1)(s - \xi_2) \cdots (s - \xi_Q)}{(s - p_1)(s - p_2) \cdots (s - p_P)}

분자와 분모 다항식의 근인 와 는 시스템의 영점 및 극점이다. 쌍선형 변환은 일대일 대응이므로, 이들은 다음을 사용하여 z-영역으로 변환될 수 있다.

    z = \frac{K + s}{K - s}

이를 통해 이산화된 전달 함수의 일부 영점과 극점 와 를 얻을 수 있다.

    \begin{aligned}
        \xi'_i &= \frac{K + \xi_i}{K - \xi_i} \quad 1 \leq i \leq Q \\
          p'_i &= \frac{K + p_i}{K - p_i}     \quad 1 \leq i \leq P
    \end{aligned}

위에 설명된 바와 같이, 분자와 분모의 차수는 이제 모두 이다. 즉, 영점과 극점의 수가 동일하다. 의 곱셈은 추가 영점 또는 극점이 다음과 같음을 의미한다.

    \begin{aligned}
        \xi'_i &= -1 \quad Q 
영점과 극점의 전체 집합이 주어지면, z-영역 전달 함수는 다음과 같다.

    H_d(z) = \frac{(z - \xi'_1)(z - \xi'_2) \cdots (z - \xi'_N)}
                  {(z - p'_1)(z - p'_2) \cdots (z - p'_N)}


## 예시
예를 들어 간단한 저역통과 RC 필터를 보자. 이 연속 시간 필터의 전달 함수는 다음과 같다.

:\begin{align}
H_a(s) &= \frac{1/sC}{R+1/sC} \\
&= \frac{1}{1 + RC s}.
\end{align}

이 필터를 디지털 필터로 구현하려면 위 공식을 s에 대입하여 쌍선형 변환을 적용할 수 있다. 몇 가지 재작업을 거쳐 다음 필터 표현을 얻는다.

:

분모의 계수는 실시간 디지털 필터 구현에 사용되는 '피드백' 계수이며, 분자의 계수는 '피드포워드' 계수이다.

## 일반 1차 연속 시간 필터 변환
쌍선형 변환 과정을 통해 생성된 연속 시간 아날로그 필터의 계수와 유사한 이산 시간 디지털 필터의 계수를 연관시키는 것이 가능하다. 주어진 전달 함수를 갖는 일반 1차 연속 시간 필터를 변환하려면

:H_a(s) = \frac{b_0 s + b_1}{a_0 s + a_1} = \frac{b_0 + b_1 s^{-1}}{a_0 + a_1 s^{-1}}

쌍선형 변환을 사용하려면(주파수 사전을 워프하지 않고) 다음을 대입해야 한다.

:s \leftarrow K \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}

여기서

:K \triangleq \frac{2}{T} .

그러나 아래에 설명된 주파수 왜곡 보상이 쌍선형 변환에 사용되어 아날로그 및 디지털 필터 이득과 위상이 주파수 \omega_0에서 일치한다면,

:K \triangleq \frac{\omega_0}{\tan\left(\frac{\omega_0 T}{2}\right)} .

이것은 원래 연속 시간 필터의 계수 항으로 표현된 계수를 갖는 이산 시간 디지털 필터를 다음과 같이 생성한다.
:H_d(z)=\frac{(b_0 K + b_1) + (-b_0 K + b_1)z^{-1}}{(a_0 K + a_1) + (-a_0 K + a_1)z^{-1}}

일반적으로 분모의 상수 항은 해당 차분 방정식을 유도하기 전에 1로 정규화되어야 한다. 그 결과는 다음과 같다.

:H_d(z)=\frac{\frac{b_0 K + b_1}{a_0 K + a_1} + \frac{-b_0 K + b_1}{a_0 K + a_1}z^{-1}}{1 + \frac{-a_0 K + a_1}{a_0 K + a_1}z^{-1}}. 

차분 방정식(직접형 I 사용)은 다음과 같다.

:
y[n] = \frac{b_0 K + b_1}{a_0 K + a_1} \cdot x[n] + \frac{-b_0 K + b_1}{a_0 K + a_1} \cdot x[n-1] - \frac{-a_0 K + a_1}{a_0 K + a_1} \cdot y[n-1] \ .


## 일반 2차 바이쿼드 변환
주어진 전달 함수를 갖는 일반 2차 필터에 대해서도 유사한 과정을 사용할 수 있다.

:H_a(s) = \frac{b_0 s^2 + b_1 s + b_2}{a_0 s^2 + a_1 s + a_2} = \frac{b_0 + b_1 s^{-1} + b_2 s^{-2}}{a_0 + a_1 s^{-1} + a_2 s^{-2}} \ . 

그 결과, 원래 연속 시간 필터의 계수를 사용하여 표현된 계수를 갖는 이산 시간 디지털 바이쿼드 필터가 생성된다.
:H_d(z)=\frac{(b_0 K^2 + b_1 K + b_2) + (2b_2 - 2b_0 K^2)z^{-1} + (b_0 K^2 - b_1 K + b_2)z^{-2}}{(a_0 K^2 + a_1 K + a_2) + (2a_2 - 2a_0 K^2)z^{-1} + (a_0 K^2 - a_1 K + a_2)z^{-2}}

다시 말하지만, 해당 차분 방정식을 유도하기 전에 분모의 상수 항은 일반적으로 1로 정규화된다. 그 결과는 다음과 같다.

:H_d(z)=\frac{\frac{b_0 K^2 + b_1 K + b_2}{a_0 K^2 + a_1 K + a_2} + \frac{2b_2 - 2b_0 K^2}{a_0 K^2 + a_1 K + a_2}z^{-1} + \frac{b_0 K^2 - b_1 K + b_2}{a_0 K^2 + a_1 K + a_2}z^{-2}}{1 + \frac{2a_2 - 2a_0 K^2}{a_0 K^2 + a_1 K + a_2}z^{-1} + \frac{a_0 K^2 - a_1 K + a_2}{a_0 K^2 + a_1 K + a_2}z^{-2}}. 

차분 방정식(직접형 I 사용)은 다음과 같다.

:
y[n] = \frac{b_0 K^2 + b_1 K + b_2}{a_0 K^2 + a_1 K + a_2} \cdot x[n] + \frac{2b_2 - 2b_0 K^2}{a_0 K^2 + a_1 K + a_2} \cdot x[n-1] + \frac{b_0 K^2 - b_1 K + b_2}{a_0 K^2 + a_1 K + a_2} \cdot x[n-2] - \frac{2a_2 - 2a_0 K^2}{a_0 K^2 + a_1 K + a_2} \cdot y[n-1] - \frac{a_0 K^2 - a_1 K + a_2}{a_0 K^2 + a_1 K + a_2} \cdot y[n-2] \ .


## 주파수 왜곡
연속 시간 필터의 주파수 응답을 결정하기 위해 전달 함수  H_a(s) 는  j \omega  축에 있는 s = j \omega_a 에서 평가된다. 마찬가지로, 이산 시간 필터의 주파수 응답을 결정하기 위해 전달 함수  H_d(z) 는 단위원  |z| = 1 에 있는 z = e^{ j \omega_d T} 에서 평가된다. 쌍선형 변환은 s-평면의  j \omega  축( H_a(s) 의 정의역)을 z-평면의 단위원  |z| = 1 ( H_d(z) 의 정의역)으로 사상하지만,  j \omega  축을 단위원으로 사상하는  z = e^{sT} 와는 **다른** 사상이다. 쌍선형 변환을 사용하여 설계된 이산 시간 필터에 실제 주파수  \omega_d 가 입력될 때, 이  \omega_d 가 연속 시간 필터의 어떤 주파수  \omega_a 로 사상되는지 알고자 한다.

:H_d(z) = H_a \left( \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}\right) 

:

이는 이산 시간 필터 z-평면의 단위원에 있는 모든 점 z = e^{ j \omega_d T}이 연속 시간 필터 s-평면의 j \omega 축에 있는 점 s = j \omega_a로 사상됨을 보여준다. 즉, 쌍선형 변환의 이산 시간-연속 시간 주파수 사상은 다음과 같다.

: \omega_a = \frac{2}{T} \tan \left( \omega_d \frac{T}{2} \right) 

그리고 역 사상은 다음과 같다.

: \omega_d = \frac{2}{T} \arctan \left( \omega_a \frac{T}{2} \right). 

이산 시간 필터는 주파수 \omega_d에서 연속 시간 필터가 주파수  (2/T) \tan(\omega_d T/2) 에서 행동하는 것과 동일하게 행동한다. 구체적으로, 이산 시간 필터가 주파수 \omega_d에서 갖는 이득과 위상 편이는 연속 시간 필터가 주파수 (2/T) \tan(\omega_d T/2)에서 갖는 이득과 위상 편이와 동일하다. 이는 연속 시간 필터의 주파수 응답에서 보이는 모든 특징, 모든 "융기"가 이산 시간 필터에서도 보이지만, 다른 주파수에서 나타난다는 것을 의미한다. 낮은 주파수(\omega_d \ll 2/T 또는 \omega_a \ll 2/T일 때)에서는 특징들이 약간 다른 주파수로 사상되며, \omega_d \approx \omega_a 이다.

전체 연속 주파수 범위는 다음과 같이 볼 수 있다.

:  -\infty 

근본 주파수 간격으로 사상된다.

:  -\frac{\pi}{T} 

연속 시간 필터 주파수  \omega_a = 0 은 이산 시간 필터 주파수  \omega_d = 0 에 해당하며, 연속 시간 필터 주파수  \omega_a = \pm \infty 는 이산 시간 필터 주파수  \omega_d = \pm \pi / T 에 해당한다.

또한  \omega_a 와  \omega_d  사이에 비선형 관계가 있음을 알 수 있다. 쌍선형 변환의 이러한 효과를 **주파수 왜곡**이라고 한다. 연속 시간 필터는 설계자가 제어할 수 있는 모든 주파수 사양(예: 코너 주파수 또는 중심 주파수)에 대해  \omega_a = \frac{2}{T} \tan \left( \omega_d \frac{T}{2} \right) 를 설정하여 이 주파수 왜곡을 보상하도록 설계할 수 있다. 이를 필터 설계의 **사전 왜곡**이라고 한다.

그러나 연속 시간 시스템의 주파수 사양  \omega_0 (일반적으로 공진 주파수 또는 주파수 응답의 가장 중요한 특징의 주파수)을 사전 왜곡함으로써 주파수 왜곡을 보상할 수 있다. 이 사전 왜곡된 사양은 쌍선형 변환에 사용되어 원하는 이산 시간 시스템을 얻을 수 있다. 연속 시간 필터의 근사로 디지털 필터를 설계할 때, 연속 필터 전달 함수에 다음 변환을 대입하면 디지털 필터의 주파수 응답(진폭 및 위상 모두)이 지정된 주파수  \omega_0 에서 연속 필터의 주파수 응답과 일치하도록 만들 수 있으며, DC에서도 일치한다. 이는 위에 제시된 터스틴 변환의 수정된 버전이다.

:s \leftarrow \frac{\omega_0}{\tan\left(\frac{\omega_0 T}{2}\right)} \frac{z - 1}{z + 1}.

그러나 이 변환은  \omega_0 \to 0 일 때 원래 변환이 된다.

:s \leftarrow \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1}

왜곡 현상의 주요 장점은 임펄스 불변에서 관찰되는 것과 같은 주파수 응답 특성의 에일리어싱 왜곡이 없다는 것이다.

## 같이 보기
* 임펄스 불변
* 일치 Z-변환법

## 각주

## 외부 링크
* MIT OpenCourseWare 신호 처리: 연속-이산 필터 설계
* 이산 등가물에 대한 강의 노트
* VA 필터 설계의 예술

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분류:변환 (수학)