양측 라플라스 변환

수학에서 **양측 라플라스 변환**() 또는 **이중 라플라스 변환**()은 확률의 모멘트 생성 함수와 동등한 적분 변환이다. 양측 라플라스 변환은 푸리에 변환, 멜린 변환, Z변환 및 일반적인 일측 라플라스 변환과 밀접한 관련이 있다. 만약 f(t)가 모든 실수에 대해 정의된 실수 변수 t의 실숫값 또는 복솟값 함수라면, 양측 라플라스 변환은 다음 적분으로 정의된다.
:\mathcal{B}\{f\}(s) = F(s) = \int_{-\infty}^\infty e^{-st} f(t)\, dt.

이 적분은 일반적으로 이상 적분으로 이해되며, 다음 두 적분이
:\int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt,\quad \int_{-\infty}^0  e^{-st} f(t)\, dt

모두 존재할 때에만 수렴한다. 양측 변환에 대해 일반적으로 통용되는 표기법은 없는 것으로 보이나, 여기서 사용된 \mathcal{B}는 "bilateral"을 의미한다. 일부 저자들이 사용하는 양측 변환은 다음과 같다.
:\mathcal{T}\{f\}(s) = s\mathcal{B}\{f\}(s) = sF(s) = s \int_{-\infty}^\infty  e^{-st} f(t)\, dt.

순수 수학에서 독립 변수 t는 임의의 변수가 될 수 있으며, 라플라스 변환은 미분 연산자가 함수를 어떻게 변형하는지 연구하는 데 사용된다.

과학 및 공학 응용 분야에서 변수 t는 종종 시간(초 단위)을 나타내며, 함수 f(t)는 시간에 따라 변하는 신호나 파형을 나타내는 경우가 많다. 이러한 경우 신호는 수학적 연산자처럼 작동하는 필터에 의해 변환되지만, 한 가지 제한 사항이 있다. 필터는 인과적(causal)이어야 하며, 이는 주어진 시간 t에서의 출력이 나중 시간 t'에 발생하는 입력에 의존할 수 없음을 의미한다. 인구 생태학에서 변수 t는 종종 분산 커널의 공간적 변위를 나타낸다.

시간 함수를 다룰 때 f(t)는 신호의 **시간 영역**(time domain) 표현이라 부르고, F(s)는 **s-영역**(또는 라플라스 영역) 표현이라 부른다. 이때 역변환은 모든 주파수에 걸쳐 취해진 주파수 성분의 합으로서 신호의 합성을 나타내며, 순변환은 신호를 주파수 성분으로 분석하는 것을 나타낸다.

## 푸리에 변환과의 관계
푸리에 변환은 양측 라플라스 변환의 관점에서 정의될 수 있다.

:\mathcal{F}\{f(t)\} = F(s = i\omega) = F(\omega).

푸리에 변환의 정의는 다양할 수 있으며, 특히 다음과 같은 정의가
:\mathcal{F}\{f(t)\} = F(s = i\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathcal{B}\{f(t)\}(s)
자주 사용된다는 점에 유의하라. 푸리에 변환의 관점에서 양측 라플라스 변환을 다음과 같이 얻을 수도 있다.
:\mathcal{B}\{f(t)\}(s) = \mathcal{F}\{f(t)\}(-is).

푸리에 변환은 보통 실수 값에 대해 존재하도록 정의되지만, 위의 정의는 푸리에 변환이 수렴하기로 되어 있는 실수 축을 포함하지 않을 수도 있는 띠 영역 a 에서의 상을 정의한다.

이것이 제어 이론과 신호 처리에서 라플라스 변환이 가치를 유지하는 이유이다. 도메인 내에서 푸리에 변환 적분이 수렴한다는 것은 그것으로 설명되는 선형 시불변 시스템이 안정적이거나 임계 상태에 있음을 의미할 뿐이다. 반면 라플라스 변환은 지수적으로 조절하는 항이 포함되어 있기 때문에, 기껏해야 지수적으로 성장하는 모든 임펄스 응답에 대해 어딘가에서 수렴하게 된다. 지수함수보다 빠르게 성장하는 선형 피드백 네트워크는 없으므로 선형 시불변 시스템의 라플라스 변환 기반 분석 및 해법은 푸리에 변환이 아닌 라플라스 변환의 맥락에서 가장 일반적인 형태를 취한다.

동시에 오늘날 라플라스 변환 이론은 더 일반적인 적분 변환 또는 심지어 일반적인 조화해석학의 범위에 속한다. 그러한 틀과 명칭 체계 내에서 라플라스 변환은 뒤늦게 보아 더 일반적일 뿐이지, 단순히 푸리에 분석의 또 다른 형태일 뿐이다.

## 다른 적분 변환과의 관계
u가 단위 계단 함수(인수가 0보다 작으면 0, 0이면 1/2, 0보다 크면 1)인 경우, 라플라스 변환 \mathcal{L}은 양측 라플라스 변환의 관점에서 다음과 같이 정의될 수 있다.
:\mathcal{L}\{f\} = \mathcal{B}\{f u\}.

반면에 다음과 같은 관계도 성립한다.
:\mathcal{B}\{f\} = \mathcal{L}\{f\} + \mathcal{L}\{f\circ m\}\circ m,
여기서 m:\mathbb{R}\to\mathbb{R}은 -1을 곱하는 함수(m(x) = -x)이므로, 라플라스 변환의 어느 버전이든 다른 버전을 통해 정의될 수 있다.

멜린 변환은 양측 라플라스 변환의 관점에서 다음과 같이 정의될 수 있다.
:\mathcal{M}\{f\} = \mathcal{B}\{f \circ {\exp} \circ m\},
여기서 m은 위와 같으며, 역으로 멜린 변환으로부터 다음과 같이 양측 변환을 얻을 수 있다.
:\mathcal{B}\{f\} = \mathcal{M}\{f\circ m \circ \log \}.

연속 확률 밀도 함수 f(x)의 모멘트 생성 함수는 \mathcal{B}\{f\}(-s)로 표현될 수 있다.

## 성질
다음 성질들은  및 에서 찾아볼 수 있다.

양측 라플라스 변환의 대부분의 성질은 일측 라플라스 변환의 성질과 매우 유사하지만, 몇 가지 중요한 차이점이 있다.

### 파르스발 정리 및 플랑슈렐 정리
f_1(t)과 f_2(t)를 수렴 띠 \alpha_{1,2}에서 양측 라플라스 변환 F_1(s)과 F_2(s)를 갖는 함수라 하자.
\max(-\beta_1,\alpha_2)인 c\in\mathbb{R}에 대해
파르스발 정리가 성립한다.
:
\int_{-\infty}^{\infty} \overline{f_1(t)}\,f_2(t)\,dt = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \overline{F_1(-\overline{s})}\,F_2(s)\,ds

이 정리는 교차상관 형태의 합성곱 정리에 역 라플라스 변환을 적용하여 증명된다.

f(t)를 수렴 띠 \alpha에서 양측 라플라스 변환 F(s)를 갖는 함수라 하자.
 \alpha인 c\in\mathbb{R}에 대해
플랑슈렐 정리가 성립한다.
:
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2c\,t} \, |f(t)|^2  \,dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |F(c+ir)|^2 \, dr


### 유일성
양측 라플라스 변환  \mathcal{T} \{f\}, \mathcal{T} \{g\} 가 존재하는 임의의 두 함수  f,g 에 대해, 만약 모든  s\in\mathbb R  값에서  \mathcal{T}\{f\}(s) = \mathcal{T}\{g\}(s) 라면,  f=g 는 거의 어디서나 성립한다.

## 수렴 영역
양측 변환의 수렴 요건은 일측 변환보다 더 까다롭다. 수렴 영역은 보통 더 작아진다.

만약 f가 국소 적분 가능 함수(또는 더 일반적으로 국소적으로 유계 변동 함수인 보렐 측도)라면, f의 라플라스 변환 F(s)는 다음 극한이
: \lim_{R\to\infty}\int_0^R f(t)e^{-st}\, dt
존재할 때 수렴한다. 라플라스 변환은 다음 적분이
: \int_0^\infty \left|f(t)e^{-st}\right|\, dt
(적절한 르베그 적분으로서) 존재할 때 절대 수렴한다. 라플라스 변환은 보통 조건부 수렴으로 이해되는데, 이는 후자 대신 전자의 의미에서 수렴함을 뜻한다.

F(s)가 절대 수렴하는 값들의 집합은 Re(s) > a 또는 Re(s) ≥ a 형태이며, 여기서 a는 확장된 실수 상수 −∞ ≤ a ≤ ∞이다. (이는 지배 수렴 정리로부터 도출된다.) 상수 a는 절대 수렴의 절편(abscissa)으로 알려져 있으며, f(t)의 성장 거동에 따라 달라진다. 이와 유사하게, 양측 변환은 a 0에서 (조건부로) 수렴한다면, Re(s) > Re(s0)인 모든 s에 대해 자동으로 수렴한다. 따라서 수렴 영역은 Re(s) > a 형태의 반평면이며, 경계선 Re(s) = a의 일부 점을 포함할 수도 있다. 수렴 영역 Re(s) > Re(s0)에서 f의 라플라스 변환은 부분 적분을 통해 다음 적분으로 표현될 수 있다.
:F(s) = (s-s_0)\int_0^\infty e^{-(s-s_0)t}\beta(t)\, dt,\quad \beta(u) = \int_0^u e^{-s_0t}f(t)\, dt.

즉, 수렴 영역에서 F(s)는 다른 어떤 함수의 절대 수렴하는 라플라스 변환으로 효과적으로 표현될 수 있다. 특히, 그것은 해석적이다.

f의 감쇠 특성과 수렴 영역 내 라플라스 변환의 특성 사이의 관계에 관한 여러 페일리-위너 정리들이 존재한다.

공학 응용 분야에서 선형 시불변(LTI) 시스템에 대응하는 함수는 모든 유계 입력이 유계 출력을 생성할 때 안정적이다.

## 인과관계
양측 변환은 인과관계를 존중하지 않는다. 일반적인 함수에 적용할 때는 의미가 있지만, 시간 함수(신호)를 다룰 때는 일측 변환이 선호된다.

## 주요 양측 라플라스 변환 표
양측 라플라스 변환의 흥미로운 사례들은 대응하는 푸리에 변환 또는 일측 라플라스 변환으로부터 유도될 수 있다( 참조):

 
|  \frac{2}{1-s^2} 
|  -1 
|
|-
|
|  e^{-a|t|} 
|  \frac{2a}{a^2-s^2} 
|  -\Re a 
|  \Re a > 0 
|-
|
|  \frac{1}{\cosh t} 
|  \frac{\pi}{\cos(\pi s/2)}  
|  -1 
|
|-
|
|  \frac{1}{1+e^{-t}} 
|  \frac{\pi}{\sin(\pi s)}  
|  0 
|
|}

## 같이 보기
* 인과적 필터
* 비인과적 시스템
* 인과적 시스템
* 싱크 필터: 이상적인 싱크 필터(일명 직사각형 필터)는 비인과적이며 무한한 지연을 갖는다.

## 각주

* 
* Van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd ed., 1987.
* .
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분류:적분 변환