안정 분포

확률론에서 확률 분포는, 이 분포를 따르는 두 독립 확률 변수의 선형 결합이 위치 매개변수와 스케일 매개변수를 제외하고는 같은 분포를 가지면 **안정**()하다고 한다. 확률 변수는 그 분포가 안정적이면 **안정적**이라고 한다. 안정 분포군은 이를 처음 연구한 수학자 폴 피에르 레비의 이름을 따서 때때로 **레비 알파-안정 분포**()라고도 불린다.

이 군을 정의하는 네 가지 매개변수 중 대부분의 관심은 안정성 매개변수 \alpha에 집중되어 있다 (패널 참조). 안정 분포는 0 를 가지며, 상한은 정규 분포에 해당하고 \alpha=1은 코시 분포에 해당한다. 이 분포들은 \alpha 일 때 분산이 정의되지 않고, \alpha \leq 1일 때 평균값이 정의되지 않는다.

안정 확률 분포의 중요성은 그것들이 독립적이고 동일하게 분포된(iid) 확률 변수들의 적절하게 정규화된 합에 대한 "끌개"이기 때문이다. 정규 분포는 안정 분포의 한 군을 정의한다. 고전적인 중심 극한 정리에 따르면, 각 변수가 유한 분산을 가지는 일련의 확률 변수들의 적절하게 정규화된 합은 변수의 수가 증가함에 따라 정규 분포에 수렴한다. 유한 분산 가정이 없으면 극한은 정규 분포가 아닌 안정 분포가 될 수 있다. 망델브로는 그러한 분포를 빌프레도 파레토의 이름을 따서 "안정 파레토 분포"라고 불렀다. 특히 그는 1 로 양의 방향으로 최대의 왜곡을 보이는 분포를 "파레토-레비 분포"라고 불렀는데, 이는 주식 및 상품 가격을 정규 분포보다 더 잘 설명한다고 보았다.

## 정의
퇴화 분포가 아닌 분포는 다음 속성을 만족할 경우 안정 분포이다.

정규 분포, 코시 분포 및 레비 분포는 모두 위 속성을 가지므로, 이들은 안정 분포의 특별한 경우이다.

이러한 분포들은 위치 및 스케일 매개변수 μ와 c, 그리고 대략적으로 비대칭도와 집중도를 나타내는 두 가지 형태 매개변수 \beta와 \alpha에 의해 매개화되는 4매개변수 연속 확률 분포 군을 형성한다 (그림 참조).

밀도 함수 f를 가진 확률 분포의 특성 함수 \varphi는 f의 푸리에 변환이다. 밀도 함수는 특성 함수의 역 푸리에 변환이다.
 \varphi(t) = \int_{- \infty}^\infty f(x)e^{ ixt}\,dx. 

일반 안정 분포의 확률 밀도 함수는 해석적으로 쓸 수 없지만, 일반 특성 함수는 해석적으로 표현할 수 있다. 확률 변수 X는 그 특성 함수가 다음과 같이 쓸 수 있을 때 안정적이라고 불린다.
 \varphi(t; \alpha, \beta, c, \mu) =  \exp \left ( i t \mu - |c t|^\alpha \left ( 1 - i \beta \sgn(t) \Phi \right ) \right ) 
여기서 는 의 부호함수이며
 \Phi = \begin{cases}
\tan \left (\frac{\pi \alpha}{2} \right) & \alpha \neq 1 \\
- \frac{2}{\pi}\log|t| & \alpha = 1
\end{cases} 
μ ∈ **R**는 이동 매개변수이고, \beta \in [-1,1]는 왜곡 매개변수라 불리며 비대칭도를 측정한다. 이 맥락에서 일반적인 비대칭도는 잘 정의되지 않음에 유의하라. 왜냐하면 \alpha 인 경우 분포는 2차 또는 그 이상의 모멘트를 허용하지 않으며, 일반적인 비대칭도 정의는 3차 중심 모멘트이기 때문이다.

이것이 안정 분포를 제공하는 이유는 두 독립 확률 변수의 합에 대한 특성 함수가 해당 두 특성 함수의 곱과 같기 때문이다. 안정 분포에서 두 확률 변수를 더하면 \alpha와 \beta는 같은 값을 갖지만, μ와 c는 다른 값을 가질 수 있는 결과를 얻는다.

모든 함수가 합법적인 확률 분포의 특성 함수는 아니지만(누적 분포 함수가 실수이고 감소하지 않고 0에서 1로 가는 분포), 매개변수가 범위 내에 있는 한 위에서 주어진 특성 함수는 합법적이다. 어떤 값 t에서의 특성 함수의 값은 -t에서의 값의 켤레 복소수이며, 이는 확률 분포 함수가 실수가 되도록 해야 한다.

가장 간단한 경우 \beta = 0일 때, 특성 함수는 단지 스트레치 지수 함수이다. 이 분포는 μ에 대해 대칭이며 (레비) **대칭 알파-안정 분포**라고 불리며 종종 SαS로 축약된다.

\alpha 이고 \beta = 1일 때, 분포는 [μ, ∞)에서 지지된다.

매개변수 c > 0은 분포의 폭을 측정하는 스케일 인자이고, \alpha는 분포의 지수 또는 인덱스이며 분포의 점근적 거동을 지정한다.

### 매개변수화
안정 분포의 매개변수화는 고유하지 않다. 놀란은 문헌에 나타난 11가지 매개변수화를 표로 만들고 변환 공식을 제시한다. 가장 일반적으로 사용되는 두 가지 매개변수화는 위에서 설명한 것(놀란의 "1")과 바로 아래에 설명된 것(놀란의 "0")이다.

위의 매개변수화는 이론적 작업에 사용하기 가장 쉽지만, \alpha =1에서 매개변수에 대해 확률 밀도가 연속적이지 않다. 수치적 작업에 더 적합한 연속적 매개변수화는 다음과 같다.
 \varphi(t; \alpha, \beta, \gamma, \delta) = \exp \left (i t \delta - |\gamma t|^\alpha \left (1 - i \beta \sgn(t) \Phi \right ) \right ) 
여기서:
 \Phi = \begin{cases}
\left ( 1 - |\gamma t|^{1 - \alpha} \right ) \tan \left (\tfrac{\pi \alpha}{2} \right )  & \alpha \neq 1 \\[1ex]
- \frac{2}{\pi} \log|\gamma t| & \alpha = 1
\end{cases} 

\alpha와 \beta의 범위는 이전과 같고, γ (c와 같이)는 양수여야 하며, δ (μ와 같이)는 실수여야 한다.

어느 매개변수화에서든 확률 변수의 선형 변환을 통해 밀도가 인 확률 변수를 얻을 수 있다. 첫 번째 매개변수화에서는 새로운 변수를 다음과 같이 정의하여 수행된다.
 y = \begin{cases}
\frac{x - \mu}\gamma & \alpha \neq 1 \\[1ex]
\frac{x - \mu}\gamma - \beta\frac 2\pi\ln\gamma  & \alpha = 1
\end{cases} 

두 번째 매개변수화의 경우 단순히 다음을 사용한다.
 y = \frac{x-\delta}\gamma 
\alpha와 무관하게. 첫 번째 매개변수화에서 평균이 존재한다면 (즉, \alpha > 1일 때) μ와 같고, 두 번째 매개변수화에서 평균이 존재한다면  \delta - \beta \gamma \tan \left (\tfrac{\pi\alpha}{2} \right)와 같다.

### 분포
따라서 안정 분포는 위의 네 가지 매개변수로 지정된다. 비퇴화 안정 분포는 매끄러운 (무한히 미분 가능한) 밀도 함수를 갖는다는 것을 보일 수 있다. X의 밀도를  f(x; \alpha, \beta, c, \mu) 라고 하고 Y가 X의 독립적인 사본들의 합이라면:
 Y = \sum_{i = 1}^N k_i (X_i - \mu)
Y는  \tfrac{1}{s} f(y / s; \alpha, \beta, c, 0) 의 밀도를 가지며, 여기서
 s = \left(\sum_{i = 1}^N |k_i|^\alpha \right )^{\frac{1}{\alpha}} 

\alpha 일 때 점근적 거동은 다음과 같이 설명된다.
 f(x) \sim \frac{1}\right) \left [\tfrac{1}{2} - S{\left (\tfrac{1}{\sqrt{2\pi|x|}}\right )}\right ] + \cos\left(\tfrac{1}{4|x|} \right) \left [\tfrac{1}{2} - C{\left (\tfrac{1}{\sqrt{2\pi|x|}}\right )}\right ]\right )
* K_v(x)를 제2종 변형 베셀 함수라고 하면: f{\left (x;\tfrac{1}{3},1,1,0\right )} = \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3^{\frac{7}{4}}\pi} \frac{1}{\sqrt{x^3}} K_{\frac{1}{3}}{\left (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3^{\frac{9}{4}}} \frac{1}{\sqrt{x}} \right )}
* {}_mF_n를 초기하함수라고 하면: 
\begin{align}
f{\left(x; \tfrac{4}{3}, 0, 1, 0\right)}
 &= \frac{3^{\frac{5}{4}}}{2^{\frac{5}{2}} \pi^{\frac{1}{2}}} \frac{\Gamma{\left (\tfrac{7}{12} \right )} \, \Gamma{\left(\tfrac{11}{12} \right )}}{\Gamma{\left( \tfrac{6}{12} \right)} \, \Gamma{\left (\tfrac{8}{12} \right )}} \; {}_2F_2{\left ( \tfrac{7}{12}, \tfrac{11}{12}; \tfrac{6}{12}, \tfrac{8}{12}; \tfrac{3^3 x^4}{4^4} \right)} \\[2pt]
 & \quad - \frac{3^{\frac{11}{4}} x^3}{2^{\frac{13}{2}} \pi^{\frac{1}{2}}} \frac{\Gamma{\left(\tfrac{13}{12} \right)} \, \Gamma{\left (\tfrac{17}{12} \right )}}{\Gamma{\left (\tfrac{18}{12} \right )} \, \Gamma{\left (\tfrac{15}{12} \right )}} \; {}_2F_2 {\left( \tfrac{13}{12}, \tfrac{17}{12}; \tfrac{18}{12}, \tfrac{15}{12}; \tfrac{3^3 x^4}{4^4} \right)}
\end{align}

\begin{align}
f{\left(x; \tfrac{3}{2}, 0, 1, 0\right)}
 &= \frac{\Gamma{\left(\tfrac{5}{3} \right)}}{\pi} {}_2F_3 {\left( \tfrac{5}{12}, \tfrac{11}{12}; \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{5}{6}; - \tfrac{2^2 x^6}{3^6} \right)} \\[2pt]
 & \quad - \frac{x^2}{3 \pi} \, {}_3F_4 {\left( \tfrac{3}{4}, 1, \tfrac{5}{4}; \tfrac{2}{3}, \tfrac{5}{6}, \tfrac{7}{6}, \tfrac{4}{3}; - \tfrac{2^2 x^6}{3^6} \right)} \\[2pt]
 & \quad + \frac{7 x^4 \Gamma{\left(\tfrac{4}{3} \right)}}{3^4 \pi ^ 2} {}_2F_3{\left ( \tfrac{13}{12}, \tfrac{19}{12}; \tfrac{7}{6}, \tfrac{3}{2}, \tfrac{5}{3}; -\tfrac{2^2 x^6}{3^6} \right)}
\end{align}
 후자는 홀츠마크 분포이다.
* W_{k,\mu}(z)를 휘태커 함수라고 하면: \begin{align}
f\left (x;\tfrac{2}{3},0,1,0\right ) &= \frac{\sqrt{3}}{6\sqrt{\pi}|x|} \exp\left (\tfrac{2}{27}x^{-2}\right ) W_{-\frac{1}{2},\frac{1}{6}}\left (\tfrac{4}{27}x^{-2}\right ) \\[8pt]
f\left (x;\tfrac{2}{3},1,1,0\right ) &= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\pi}|x|} \exp\left (-\tfrac{16}{27}x^{-2}\right ) W_{\frac{1}{2},\frac{1}{6}} \left (\tfrac{32}{27}x^{-2}\right ) \\[8pt]
f\left (x;\tfrac{3}{2},1,1,0\right ) &= \begin{cases} \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\pi}|x|} \exp\left (\frac{1}{27}x^3\right ) W_{\frac{1}{2},\frac{1}{6}}\left (- \frac{2}{27}x^3\right ) & x

## 같이 보기
* 레비 비행
* 레비 확률 과정
* 기타 "멱법칙" 분포
** 파레토 분포
** 제타 분포
** 지프 분포
** 지프-망델브로 분포
* 꼬리가 긴 분포와 변동성 군집을 이용한 금융 모델
* 다변량 안정 분포
* 이산 안정 분포

## 외부 링크
* Windows용 STABLE 프로그램은 John Nolan의 안정 웹페이지에서 구할 수 있다: http://www.robustanalysis.com/public/stable.html. 이 프로그램은 일반 안정 분포에 대한 밀도(pdf), 누적 분포 함수(cdf) 및 분위수를 계산하고, 안정 매개변수의 최대 우도 추정 및 데이터 세트 적합성을 평가하기 위한 일부 탐색적 데이터 분석 기술을 수행한다.
* C로 작성된 GNU 사이언티픽 라이브러리에는 가우시안 및 코시 분포 외에 왜곡 매개변수가 있는 레비 알파-안정 분포의 구현을 포함하는 randist 패키지가 있다.
* libstable은 안정 분포 pdf, cdf, 난수, 분위수 및 피팅 함수 (벤치마크 복제 패키지 및 R 패키지 포함)를 위한 C 구현이다.
* Diethelm Wuertz, Martin Maechler 및 Rmetrics 핵심 팀 구성원이 만든 R 패키지 'stabledist'. 안정 밀도, 확률, 분위수 및 난수를 계산한다.
* Python 구현은 SciPy 패키지의 scipy.stats.levy_stable에 있다.
* Julia는 StableDistributions.jl 패키지를 제공하며, 이는 안정 분포의 생성, 피팅, 확률 밀도, 누적 분포 함수, 특성 및 모멘트 생성 함수, 분위수 및 관련 함수, 합성곱 및 아핀 변환 방법을 포함한다. 이 패키지는 John P. Nolan에 의해 개선된 현대화된 알고리즘을 사용한다.

## 각주

분류:멱법칙
분류:연속분포