비선형 다차원 신호 처리

신호 처리에서 **비선형 다차원 신호 처리**(, **NMSP**)는 비선형 다차원 신호 및 시스템을 사용하는 모든 신호 처리를 다룬다. 비선형 다차원 신호 처리는 신호 처리(다차원 신호 처리)의 하위 집합이다. 비선형 다차원 시스템은 영상 처리, 통신 트래픽, 통신, 수문학, 지질학 및 경제학 등 광범위한 분야에서 사용될 수 있다. 비선형계는 푸리에 변환 및 웨이블릿 분석을 사용하는 선형계처럼 취급될 수 없다. 비선형 시스템은 혼돈 행동, 극한 주기 궤도, 정상 상태, 분기, 다안정성 등을 갖는다. 비선형 시스템은 선형 시스템의 임펄스 응답과 같은 정형화된 표현을 갖지 않는다. 하지만 이러한 방법의 사용이 신호를 자연스럽게 다차원으로 확장함에 따라, 다항식 적분을 사용하는 볼테라 및 위너 급수와 같이 비선형 시스템을 특성화하려는 일부 노력이 존재한다. 또 다른 예로는 비선형 다차원 시스템에 대해 푸리에 변환 대신 힐베르트 변환을 사용하는 경험적 모드 분해 방법이 있다. 이 방법은 경험적 방법이며 데이터 세트에 직접 적용할 수 있다. 다차원 비선형 필터(MDNF) 또한 NMSP의 중요한 부분으로, MDNF는 주로 실제 데이터의 노이즈를 필터링하는 데 사용된다. 컬러 이미지 처리에는 비선형 유형의 하이브리드 필터가 사용되며, 자기 공명 영상 복원에는 비선형 에지 보존 필터가 사용된다. 이러한 필터는 시간 및 공간 정보를 모두 사용하며 최대 가능도 추정치를 공간 평활화 알고리즘과 결합한다.

## 비선형 분석기
선형 주파수 응답 함수(FRF)는 볼테라 급수에 의한 고차 전달 함수 및 임펄스 응답 함수의 평가를 통해 비선형 시스템으로 확장될 수 있다. 시계열 y(t)가 있고, 이를 다양한 차수의 성분으로 분해한다고 가정하자.

y(t)=y_0+y_1(t)+y_2(t)+\cdots+y_n(t).

각 성분은 다음과 같이 정의된다.

y_n(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^{+\infty}h_n(\tau_1,\tau_2,\cdots,\tau_n)\displaystyle\prod_{i=1}^{n}x(t-\tau_i)d\tau_i ,

n=1인 경우, y_1(t)은 선형 합성곱이다. h_n(\tau_1,\tau_2,\cdots,\tau_n)은 n차 일반화 임펄스 응답이다.

y_n(t)의 1차원 푸리에 변환은 다음과 같다.

Y_{(n)}(\omega)=\int_{-\infin}^{+\infin}[\int_{-\infin}^{+\infin}\cdots\int_{-\infin}^{+\infin}h_n(\tau_1,\cdots,\tau_n)\prod_{i=1}^{n}x(t-\tau_i)d\tau_i]\exp(-j\omega t)dt.

마틴 셰첸(Martin Schetzen)은 n차원 푸리에 변환의 적용을 허용하기 위해 n번째 출력 성분을 n개의 시간 변수 y_n(t_1,\cdots,t_n)로 정의할 것을 제안했다.

Y_n(\omega_1,\cdots,\omega_n)=\int_{-\infin}^{+\infin}\cdots\int_{-\infin}^{+\infin}[\int_{-\infin}^{+\infin}\cdots\int_{-\infin}^{+\infin}h_n(\tau_1,\cdots,\tau_n)x(t-\tau_1)\cdots x(t-\tau_n)d\tau_1\cdots d\tau_n]\times\exp(-j\omega_1t_1\cdots-j\omega_nt_n)dt_1\cdots dt_n.

Y_{(n)}(\omega) 및 Y_n(\omega_1,\cdots,\omega_n)의 역푸리에 변환을 취하고 t_1=t_2=\cdots=t_n=t로 일치시키면 다음 방정식을 얻는다.

Y_{(n)}(\omega)=\int_{-\infin}^{+\infin}\cdots\int_{-\infin}^{+\infin}Y_n(\omega-\omega_2-\cdots-\omega_n,\omega_2,\cdots,\omega_n)d\omega_2d\omega_3\cdots d\omega_n.

### 전달 함수
h_n(\tau_1,\tau_2,\cdots,\tau_n)에 n차원 푸리에 변환을 적용하여 전달 함수를 얻는다.

H_n(\omega_1,\cdots,\omega_n)=\int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^{+\infty}h_n(\tau_1,\cdots,\tau_n)\exp(-j\omega_1\tau_1-\cdots-j\omega_n\tau_n)d\tau_1\cdots d\tau_n

## 다차원 비선형 필터
### 비선형 유형 하이브리드 필터
비선형 필터의 한 예로 다차원 신호 처리를 위한 일반화된 방향 거리 유리 하이브리드 필터(GDDRHF)가 있다. 이 필터는 두 단계 유형의 하이브리드 필터이다: 1) 형상 모델과 관련하여 세 개의 출력 벡터를 생성하기 위한 L_p 노름 기준 및 각거리 기준 단계; 2) 최종 출력 벡터를 생성하기 위해 위의 세 출력 벡터에 대해 벡터 유리 연산을 수행하는 단계. GDDRHF의 출력 벡터 \underline{y}(\textbf{x}_i)는 입력 함수 세트 \{\underline{y}_1,\underline{y}_2,\underline{y}_3\}를 형성하는 세 개의 입력 하위 함수를 고려한 벡터 유리 함수의 결과이다.

\underline{y}(\textbf{x}_i)=\underline{y}_2(\textbf{x}_i)+\frac{\sum_{j=1}^{3}\beta_j\underline{y}_j(\textbf{x}_i)}{h+kD[\underline{y}_1(\textbf{x}_i),\underline{y}_3(\textbf{x}_i)]},

여기서 D[\cdot]는 에지 감지 항으로서 중요한 역할을 하며, \beta=[\beta_1,\beta_2,\beta_3]는 입력 하위 함수의 상수 벡터 계수를 특징짓는다. h와 k는 양의 상수이다. 매개변수 k는 비선형 효과의 양을 제어하는 데 사용된다.

### 다차원 비선형 에지 보존 필터
이러한 종류의 다차원 필터는 MRI 영상 처리에 사용되어 왔다. 이 필터는 MRI 신호 모델을 사용하여 각 픽셀 회색조 레벨로부터 대략적인 최대 가능도 또는 최소 제곱 추정치를 구현한다. 또한 부분 부피 및 에지 정보를 보존하기 위해 유클리드 거리 판별기를 사용하는 절단 평균 공간 평활화 알고리즘을 사용하며, 이는 프레임 내 정보를 사용하는 것에 해당한다.

## 다차원 앙상블 경험적 모드 분해 방법
이미지 및 밀도가 변하는 고체를 포함한 다차원 데이터에 다차원 앙상블 경험적 모드 분해 방법이 적용되었다. 이 분해는 관련된 모든 차원의 데이터 슬라이스에 앙상블 경험적 모드 분해(EEMD)를 적용하는 것을 기반으로 한다. 해당 고유 모드 함수의 최종 재구성은 비교 가능한 최소 스케일 조합 원리를 기반으로 한다.

EEMD를 사용하는 2차원 신호 f(m,n)의 경우, 신호는 먼저 y-방향으로 분해되어 g_j(m,n)을 얻고, g_j(m,n)의 각 행은 EEMD를 사용하여 분해된다.

f(x,y)가 다음과 같이 샘플링되었다고 하자. f(m,n)=\left(\begin{array}{cccc}
f_{1,1} & f_{2,1} & \cdots & f_{M,1}\\
f_{1,2} & f_{2,2} & \cdots & f_{M,2}\\
\cdots  & \cdots & \cdots & \cdots\\
f_{1,n} & f_{2,N} & \cdots & f_{M,N}
\end{array}
\right),

f(m,n)의 m번째 열에 대한 EEMD 분해는 다음과 같다.

f(m,\sim)=\sum_{j=1}^{J}C_j(m,\sim)=\sum_{j=1}^{J}\left(\begin{array}{c}
c_{m,1,j}\\
c_{m,2,j}\\
\cdots\\
c_{m,N,j}\\
\end{array}\right),

모든 열이 분해된 후 j번째 행렬을 얻는다.

g_j(m,n)=\left(\begin{array}{cccc}
c_{1,1,j} & c_{2,1,j} & \cdots & c_{M,1,j}\\
c_{1,2,j} & c_{2,2,j} & \cdots & c_{M,2,j}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
c_{1,N,j} & c_{2,N,j} & \cdots & c_{M,N,j}\\
\end{array}\right).

이것이 원본 데이터 f(m,n)의 j번째 성분이다.

EEMD를 사용한 g_j(m,n)의 n번째 행 분해는 다음과 같다.

g_j(\sim,n)=\sum_{k=1}^{K}D_{j,k}(\sim,n)=\sum_{k=1}^{K}\left(\begin{array}{cccc}
d_{1,n,j,k}&
d_{2,n,j,k}&
\cdots&
d_{M,n,j,k}\\
\end{array}\right),

성분을 다음과 같이 재배열한다.

h_{j,k}(m,n)=\left(\begin{array}{cccc}
d_{1,1,j,k} & d_{2,1,j,k} & \cdots & d_{M,1,j,k}\\
d_{1,2,j,k} & d_{2,2,j,k} & \cdots & d_{M,2,j,k}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
d_{1,N,j,k} & d_{2,1,N,k} & \cdots & d_{M,N,j,k}\\
\end{array}\right),

따라서 f(m,n)=\sum_{k=1}^{K}\sum_{j=1}^{J}h_{j,k}(m,n). n차원 함수를 이용한 다차원 분해에 대해서도 위와 동일한 방법을 사용할 수 있다.
섬네일|이 사진은 인터넷에서 다운로드되었으며 사용된 코드는 우자오화(Zhaohua Wu) 등의 것이다. 사진 C1, C2, C3, C4, C5에 대한 MDEEMD는 분해 후의 5개 모드 성분이다.

## 각주

분류:신호 처리
분류:웨이블릿