디랙 막

양자역학에서 **디랙 막**()은 1962년 폴 디랙이 도입한 전하를 띤 막의 모델이다. 디랙의 원래 동기는 뮤온의 질량을 전자에 해당하는 바닥 상태의 흥분 상태로 설명하는 것이었다. 끈 이론의 탄생을 거의 10년 앞서 예측하며, 그는 오늘날 막에 대한 일종의 난부-고토 작용이라 불리는 것을 최초로 도입했다.

디랙 막 모델에서 막에 작용하는 척력인 전자기력은 양의 장력에서 비롯되는 인력과 평형을 이룬다. 구형 막의 경우, 고전적인 운동 방정식은 반지름 0.75 r_e에서 평형이 이루어짐을 시사하는데, 여기서  r_e 는 고전전자반지름이다. 구대칭 막의 해밀토니안에 대해 보어-좀머펠트 양자화 조건을 사용하면, 디랙은 첫 번째 흥분 상태에 해당하는 질량의 근사치가 53 m_e임을 발견했다. 여기서 m_e는 전자의 질량이며, 이는 관측된 뮤온 질량의 약 4분의 1 수준이다.

## 작용 원리
디랙은 막에 대한 작용 원리를 공식화하기 위해 비표준적인 방식을 선택했다. \mathbb{R}^3  내의 닫힌 막은 공간을 내부와 외부로 자연스럽게 분리하기 때문에, 시공간에는 특별한 곡선 좌표계 x^{\mu} 와 다음과 같은 함수 f(x) 가 존재한다.

* f(x)=0 은 막을 정의한다.
* f(x)>0 , f(x)는 막의 외부 또는 내부 영역을 설명한다.

x^1=f(x) 를 선택하고 다음과 같은 게이지 \sigma^0=x^0=:\tau , \sigma^1=x^2 , \sigma^2=x^3 를 정한다.
여기서 \sigma^{\alpha}  (\alpha=0,1,2 )는 막 세계부피(world-volume)의 내부 매개변수화이며, 디랙이 제안한 막 작용은 다음과 같다.

: S=S_{EM} +S_{\text{membrane}} 
: S_{EM}=-\frac{1}{16\pi}\int_{x^1>0} J g^{\mu\rho}g^{\nu\sigma}F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}d^4x, \ \ \ \ S_{\text{membrane}}= - \frac{\omega}{4\pi}\int_{x^1=0} M dx^0dx^2dx^3 
여기서 유도 계량과 인자 J, M은 다음과 같이 주어진다.
: g_{\mu\nu}=\partial_{\mu}y^{\Lambda}\partial_{\nu}y_{\Lambda},\ \ \ \Lambda=0,1,2,3 
:J=\sqrt{-\det g_{\mu\nu}}.\ \ \ M=J\sqrt{-g^{11}} 

위 식에서 y^{\Lambda}는 직선 직교 좌표이다. 사용된 시공간 부호는 (+,-,-,-)이다. S_{EM}은 곡선 좌표계에서 전자기장에 대한 통상적인 작용인 반면, S_{\text{membrane}}은 막의 세계부피에 대한 적분으로, 즉 나중에 끈 이론에서 사용된 것과 정확히 같은 유형의 작용이다.

## 운동 방정식
A_{\mu}와 y^\Lambda 에 대한 변분으로부터 3가지 운동 방정식이 도출된다.
* x_1>0에 대한 A_{\mu}의 변분 - 이는원이 없는 맥스웰 방정식으로 이어진다.
* x_1>0에 대한 y^{\Lambda}의 변분 - 이는 맥스웰 방정식의 결과물을 제공한다.
* x_1=0에 대한 y^{\Lambda}의 변분

: \frac{1}{2}F_{\alpha 1}F^{\alpha 1} = \omega J^{-1}(M g^{1\mu}/g^{11})_{,\mu} 

마지막 방정식은 기하학적 해석을 갖는다. 우변은 막의 곡률에 비례한다. 구대칭 사례의 경우 다음을 얻는다.

: \frac{e^2}{2\rho^4} =\omega\frac{d}{dt} \frac{\dot{\rho}}{\sqrt{1-\dot{\rho}^2}}+ \frac{2\omega}{\rho\sqrt{1-\dot{\rho}^2}} 

따라서 평형 조건 \dot{\rho}=0은 a^3=e^2/4\omega를 의미하며, 여기서 a는 평형을 이룬 막의 반지름이다. 반지름 \rho를 가진 구형 막의 총 에너지는 다음과 같다.
: E(\rho)=e^2/2\rho + \beta \rho^2 
그리고 이는 \beta=\omega일 때 평형 상태에서 최소가 되므로, E(a)=3e^2/4a 이다. 한편, 평형 상태에서의 총 에너지는 m_e (c=1 단위계)여야 하므로 a=0.75r_e를 얻는다.

## 해밀토니안 공식화
구대칭 사례에서 평형 상태 주변의 작은 진동은 \sqrt{6}/a의 주파수를 의미한다. 따라서 양자 이론으로 넘어가면, 하나의 양자 에너지는 h\nu = \sqrt{6}\hbar/a = 448m_e가 된다. 이는 뮤온 질량보다 훨씬 크지만, 주파수가 결코 작지 않으므로 이 근사가 제대로 작동하지 않을 수 있다. 더 나은 양자 이론을 얻으려면 시스템의 해밀토니안을 구하고 해당 슈뢰딩거 방정식을 풀어야 한다.

해밀토니안 공식화를 위해 디랙은 일반화된 운동량을 도입한다.

* x^1>0에 대해: B^{\mu}와 w_R - 각각 A_{\mu}와 y^R에 켤레인 운동량 (R=1,2,3, 좌표 선택 x^0=y^0)
* x^1=0에 대해: W_R - y^R에 켤레인 운동량

그 후 다음과 같은 제약 조건을 주목한다.

* 맥스웰 장에 대해
*: B^0=0, \ \ \ {B^r}_{,r}=0, \ \ \ w_R {y^r}_{,s} - B^r F_{rs}=0 
* 막 운동량에 대해
*: W_R {y^R}_{,2} = W_R {y^R}_{,3} =0, \ \ \  16\pi^2 W_RW_R = \omega^2 M^2c^{00}(c^{00}-1) 
:여기서 c^{ab}는 g_{ab}의 역행렬이다 (a,b=0,2,3).

이러한 제약 조건들은 디랙 괄호 방법을 사용하여 해밀토니안을 계산할 때 포함되어야 한다.
이 계산의 결과는 다음과 같은 형태의 해밀토니안이다.
: H=H_{EM}+H_s 
: H_s= \frac{1}{4\pi} \int \sqrt{16\pi^2 W_RW_R +\omega^2(g_{22}g_{33}-g_{23}^2)}dx^2dx^3 
여기서 H_{EM}은 곡선 좌표계에서 쓰여진 전자기장의 해밀토니안이다.

## 양자화
구대칭 운동에 대한 해밀토니안은 다음과 같다.
: H = \sqrt{\eta^2+ \omega^2\rho^4} + e^2/2\rho, \ \ \ \{ \rho, \eta\}=1 

그러나 미분 연산자의 제곱근으로 인해 직접적인 양자화는 명확하지 않다. 더 나아가기 위해 디랙은 보어-좀머펠트 방법을 고려한다.
: 2\pi \hbar n = 2 \int_{\rho_{min}}^{\rho_{max}} \eta d\rho 
그리고 n=1일 때 E_1 \approx 53m_e임을 발견한다.

## 같이 보기
* 막

## 각주

* P. A. M. Dirac, An Extensible Model of the Electron, Proc. Roy. Soc. A268, (1962) 57–67.

분류:양자 모형
분류:전자