파셴의 법칙

[thumb|right|첫 번째 [타운센드 방전|타운센드 계수를 보간하는 매개변수 A, B의 함수로서 항복 전압에 대한 식을 사용하여 얻은 헬륨, 네온, 아르곤, 수소 및 질소의 파셴 곡선.]]
**파셴의 법칙**(Paschen's law)은 기체 내 두 전극 사이의 항복 전압(방전이나 아크 방전을 시작하는 데 필요한 전압)을 압력과 간격 길이의 함수로 나타내는 방정식이다. 1889년 이를 경험적으로 발견한 프리드리히 파셴의 이름을 따서 명명되었다.

파셴은 기체 압력과 간격 거리를 변화시키면서 평행한 금속판 사이의 다양한 기체의 항복 전압을 연구했다.
* 간격 길이를 일정하게 유지했을 때, 간격을 가로질러 아크를 발생시키는 데 필요한 전압은 압력이 낮아짐에 따라 감소하다가 점차 증가하여 원래 값을 초과했다.
* 압력을 일정하게 유지했을 때, 아크를 발생시키는 데 필요한 전압은 간격 크기가 줄어듦에 따라 감소했으나 특정 지점까지만 그러했다. 간격이 더 줄어들자 아크 발생에 필요한 전압이 상승하기 시작하여 다시 원래 값을 초과했다.

주어진 기체에 대해 전압은 압력과 간격 길이의 곱만의 함수이다. 그가 발견한 전압 대 압력-간격 길이 곱의 그래프(오른쪽)를 **파셴 곡선**()이라고 한다. 그는 이 곡선에 들어맞는 방정식을 찾아냈고, 이를 현재 파셴의 법칙이라고 부른다.

더 높은 압력과 간격 길이에서 항복 전압은 압력과 간격 길이의 곱에 대략 비례하며, 파셴의 법칙이라는 용어는 때때로 이 단순한 관계를 지칭하는 데 사용되기도 한다. 그러나 이것은 곡선의 제한된 범위에서만 대략적으로 사실이다.

## 파셴 곡선
초기 진공 실험가들은 상당히 놀라운 현상을 발견했다. 아크는 전극 사이의 최소 거리가 아닌 길고 불규칙한 경로에서 발생했다. 예를 들어, 1대기압 압력의 공기에서 최소 항복 전압을 위한 거리는 약 7.5&nbsp;μm이다. 이 거리를 아크로 연결하는 데 필요한 전압은 327&nbsp;V이며, 이는 이보다 넓거나 좁은 간격에서 아크를 점화하기에는 불충분하다. 3.5&nbsp;μm 간격의 경우 필요한 전압은 533&nbsp;V로 거의 두 배에 달한다. 만약 500&nbsp;V를 가한다면 2.85&nbsp;μm 거리에서는 아크를 발생시키기에 충분하지 않지만, 7.5&nbsp;μm 거리에서는 아크가 발생할 것이다.

파셴은 항복 전압이 다음과 같은 방정식으로 설명된다는 것을 발견했다.

: V_\text{B} = \frac{Bpd}{\ln(Apd) - \ln\left[\ln\left(1 + \frac{1}{\gamma_\text{se}}\right)\right]}

여기서 V_\text{B}는 볼트 단위의 항복 전압, p는 파스칼 단위의 압력, d는 미터 단위의 간격 거리, \gamma_\text{se}는 이차 전자 방출 계수(입사하는 양이온당 생성되는 이차 전자의 수), A는 특정 E/p(전기장/압력)에서 기체의 포화 이온화이며, B는 들뜸 및 이온화 에너지와 관련이 있다.

상수 A와 B는 첫 번째 타운센드 계수 \alpha=Ap e^{-Bp/E}를 보간한다. 이들은 실험적으로 결정되며 주어진 기체에 대해 제한된 E/p 범위 내에서 대략적으로 일정함이 밝혀졌다. 예를 들어, E/p가 450 ~ 7500&nbsp;V/(kPa·cm) 범위인 공기의 경우, A&nbsp;= 112.50 (kPa·cm)−1이고 B = 2737.50 V/(kPa·cm)이다.

이 방정식의 그래프가 파셴 곡선이다. 이를 pd에 대해 미분하고 미분값을 0으로 설정하면 최소 전압을 찾을 수 있다. 이는 다음과 같다.

: pd = \frac{e \cdot \ln\left(1+\frac{1}_{se}}\right)}{A}

또한 pd&nbsp;= 7.5×10−6&nbsp;m·atm에서 최소 항복 전압의 발생을 예측한다. 이는 표준 대기압의 공기 속 7.5&nbsp;μm 거리에서 327&nbsp;V이다.

기체의 조성은 최소 아크 전압과 그것이 발생하는 거리를 모두 결정한다. 아르곤의 경우 최소 아크 전압은 더 큰 12&nbsp;μm에서 137&nbsp;V이다. 이산화 황의 경우 최소 아크 전압은 4.4&nbsp;μm에서 457&nbsp;V이다.

### 긴 간격
표준 상태(STP)의 공기에서 1미터 간격을 아크로 연결하는 데 필요한 전압은 약 3.4&nbsp;MV이다. 따라서 이 간격에 대한 전기장의 세기는 3.4&nbsp;MV/m이다.

최소 전압 간격을 가로지르는 데 필요한 전기장은 1미터 간격을 아크로 연결하는 데 필요한 것보다 훨씬 크다. 큰 간격(또는 큰 pd)에서 파셴의 법칙은 실패하는 것으로 알려져 있다. 큰 간격에 대해서는 보통 미크 기준(Meek Criteria)이 사용된다. 이는 긴 거리에서 발생할 수 있는 간격 내 전하 축적으로 인한 전기장의 불균일성과 스트리머 형성을 고려한다. 7.5&nbsp;μm 간격의 경우 아크 전압은 327&nbsp;V이며, 이는 43&nbsp;MV/m에 해당한다. 이는 1.5미터 간격에 대한 전기장 강도보다 약 14배 더 크다. 이 현상은 실험적으로 잘 검증되었으며 파셴 최소값(Paschen minimum)이라고 불린다.

이 방정식은 1대기압의 공기 중 약 10&nbsp;μm 미만의 간격에서는 정확도가 떨어지며 약 2.7 μm 간격에서 무한한 아크 전압을 잘못 예측한다. 항복 전압은 음극 표면에서의 전계 전자 방출이 중요해지는 매우 작은 전극 간격의 경우에도 파셴 곡선 예측과 다를 수 있다.

## 물리적 메커니즘
기체 내 분자의 평균 자유 거리는 다른 분자와 충돌하기 전까지의 평균 거리이다. 이는 온도가 일정할 때 기체의 압력에 반비례한다. 표준 상태의 공기에서 분자의 평균 자유 거리는 약 96&nbsp;nm이다. 전자는 훨씬 작기 때문에 분자와 충돌하기 전까지의 평균 거리는 약 5.6배 더 긴 약 0.5&nbsp;μm이다. 이는 최소 아크 전압을 위한 전극 사이 간격 7.5&nbsp;μm의 상당한 부분이다. 전자가 43&nbsp;MV/m의 전기장 내에 있다면, 전기장 방향으로 0.5&nbsp;μm 이동하는 동안 가속되어 21.5&nbsp;전자볼트의 에너지를 얻게 된다. 질소 분자에서 전자를 떼어내는 데 필요한 첫 번째 이온화 에너지는 약 15.6&nbsp;eV이다. 가속된 전자는 질소 분자를 이온화하기에 충분한 에너지를 얻게 된다. 이렇게 방출된 전자는 다시 가속되어 또 다른 충돌을 일으킨다. 그 후 연쇄반응이 전자 사태 항복으로 이어지고, 방출된 전자들의 폭포 현상으로 인해 아크가 발생한다.

고압 기체에서는 전극 사이의 전자 경로에서 더 많은 충돌이 발생한다. 압력-간격 곱 pd가 높을 때, 전자는 음극에서 양극으로 이동하면서 수많은 기체 분자와 충돌한다. 각 충돌은 전자의 방향을 무작위화하므로, 전자가 항상 전기장에 의해 가속되는 것은 아니며 때로는 음극 쪽으로 되돌아가 전기장에 의해 감속되기도 한다.

충돌은 전자의 에너지를 감소시키고 전자가 분자를 이온화하는 것을 더 어렵게 만든다. 더 많은 충돌 횟수로 인한 에너지 손실은 전자가 많은 기체 분자를 이온화하기에 충분한 에너지를 축적하기 위해 더 높은 전압을 요구하며, 이는 전자 사태 항복을 일으키는 데 필요하다.

파셴 최소값의 왼쪽 부분에서는 pd 곱이 작다. 전자 평균 자유 거리는 전극 사이의 간격에 비해 길어질 수 있다. 이 경우 전자는 많은 에너지를 얻을 수 있지만, 이온화 충돌 횟수는 적어진다. 따라서 전자 사태를 시작하기에 충분한 기체 분자의 이온화를 보장하기 위해 더 큰 전압이 필요하다.

## 유도
### 기초
항복 전압을 계산하기 위해 균일한 전기장을 가정한다. 이는 평행판 축전기 설정의 경우이다. 전극은 거리 d만큼 떨어져 있다. 음극은 x = 0 지점에 위치한다.

충돌 이온화를 얻으려면 전자 에너지 E_e가 판 사이 기체 원자의 이온화 에너지 E_\text{I}보다 커야 한다. 경로 길이 x당 \alpha 번의 이온화가 발생한다. \alpha는 타운센드에 의해 도입된 첫 번째 타운센드 계수로 알려져 있다. 전자 전류 \Gamma_e의 증가는 가정된 설정에 대해 다음과 같이 설명될 수 있다.

(즉, 양극에서의 자유 전자 수는 충돌 이온화에 의해 증폭된 음극에서의 자유 전자 수와 같다. d 또는 \alpha가 클수록 더 많은 자유 전자가 생성된다.)

생성된 전자의 수는 다음과 같다.

동일한 원자의 중복 이온화 가능성을 무시하면, 생성된 이온의 수는 생성된 전자의 수와 같다.

\Gamma_i는 이온 전류이다. 방전을 지속시키려면 음극 표면에서 자유 전자가 생성되어야 한다. 이는 음극을 타격하는 이온이 충돌 시 이차 전자를 방출하기 때문에 가능하다. (매우 높은 인가 전압에서는 전계 전자 방출도 발생할 수 있다.) 전계 방출이 없으면 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 \gamma는 이온당 생성되는 평균 이차 전자 수이다. 이는 두 번째 타운센드 계수로도 알려져 있다. \Gamma_i(d) = 0이라고 가정하면, ()를 ()에 대입하고 변환하여 타운센드 계수 사이의 관계를 얻을 수 있다.

### 충돌 이온화
\alpha의 양은 얼마인가? 이온화 횟수는 전자가 기체 분자와 충돌할 확률에 달려 있다. 이 확률 P는 전자가 비행할 수 있는 전체 면적 A에 대한 전자와 이온 사이의 충돌 단면적 \sigma의 관계이다.

방정식의 두 번째 부분에서 표현된 바와 같이, 확률을 전자가 이동한 경로 x와 평균 자유 거리 \lambda(다른 충돌이 발생하는 거리)의 관계로 표현할 수도 있다.

200px|thumb|right|단면적 <math>\sigma</math>의 시각화: 입자 b의 중심이 파란색 원 안으로 들어가면 입자 a와 충돌이 발생한다. 따라서 원의 면적이 단면적이며 반지름 <math>r</math>은 입자들 반지름의 합이다.

N은 전자가 충돌할 수 있는 분자의 수이다. 이는 이상기체 상태 방정식을 사용하여 계산할 수 있다.

:(p: 압력, V: 부피, k_B: 볼츠만 상수, T: 온도)

인접한 스케치는 \sigma = \pi (r_a + r_b)^2임을 보여준다. 전자의 반지름은 이온의 반지름 r_I에 비해 무시할 수 있으므로 \sigma = \pi r_I^2로 단순화된다. 이 관계를 사용하고 ()을 ()에 대입한 후 \lambda에 대해 변환하면 다음을 얻는다.

=\frac{1}{L\cdot p} |}}

여기서 인자 L은 가독성을 위해 도입되었다.

경로 x의 모든 지점에서 아직 충돌하지 않은 전자의 전류 변화는 다음과 같이 표현될 수 있다.

이 미분방정식은 쉽게 풀 수 있다.

\lambda > x일 확률(지점 x에서 아직 충돌이 없었을 확률)은 다음과 같다.

정의에 따르면 \alpha는 경로 길이당 이온화 횟수이며, 따라서 이온의 평균 자유 거리 내에서 충돌이 없을 확률과 전자의 평균 자유 거리의 관계이다.

{\lambda_{e}}\right) = \frac{1}{\lambda_e}\exp\left(-\frac{E_{I}}{E_{e}}\right)|}}

여기서 하전 입자가 충돌 사이에 얻을 수 있는 에너지 E가 전기장 세기 \mathcal{E}와 전하 Q에 달려 있음이 고려되었다.

### 항복 전압
평행판 축전기의 경우 \mathcal{E} = \frac{U}{d}이며, 여기서 U는 인가된 전압이다. 단일 이온화를 가정했으므로 Q는 기본 전하 e이다. 이제 ()과 ()을 ()에 대입하면 다음을 얻는다.

{eU}\right)|}}

이를 (5)에 대입하고 U에 대해 변환하면 파셴이 처음 조사했던 항복 전압 U_{\mathrm{breakdown}}에 대한 파셴의 법칙을 얻는다. 이 공식은 타운센드에 의해 처음 유도되었다.

=\frac{L\cdot p\cdot d\cdot E_{I}}{e\left(\ln(L\cdot p\cdot d)-\ln\left(\ln\left(1+\gamma^{-1}\right)\right)\right)}\qquad\qquad(15)|}}
:단, L = \frac{\pi r_{I}^{2}}{k_{B}T}

### 플라스마 점화
타운센드의 정의(타운센드 방전)에서 플라스마 점화는 외부의 자유 전자원과 독립적인 자가 유지 방전이다. 이는 음극의 전자가 거리 d만큼 떨어진 양극에 도달하여 경로 중에 적어도 하나의 원자를 이온화할 수 있음을 의미한다. 따라서 \alpha의 정의에 따라 이 관계가 충족되어야 한다.

() 대신 \alpha d = 1을 사용하면 항복 전압에 대해 다음을 얻는다.

 = \frac{L\cdot p\cdot d\cdot E_{I}}{e\cdot \ln(L\cdot p\cdot d)} = \frac{d\cdot E_{I}}{e\cdot \lambda_e\,\ln\left(\frac{d}{\lambda_e}\right)}|}}

## 결론 및 유효성
파셴의 법칙은 다음을 전제로 한다.
* 충돌 이온화를 유발하기 위해 가속될 수 있는 자유 전자가 이미 음극에 존재한다(\Gamma_e(x=0) \ne 0). 이러한 소위 씨앗 전자는 자연 방사능이나 우주선에 의한 이온화로 생성될 수 있다.
* 추가적인 자유 전자의 생성은 충돌 이온화에 의해서만 달성된다. 따라서 외부 전자원이 있는 경우 파셴의 법칙은 유효하지 않다. 예를 들어 광전 효과를 통해 이차 전자를 생성하는 광원이 있는 경우가 이에 해당하며, 실험 시 고려되어야 한다.
* 각 이온화된 원자는 단 하나의 자유 전자만을 생성한다. 그러나 실제로는 항상 다중 이온화가 발생한다.
* 음극 표면의 자유 전자는 충돌하는 이온에 의해 생성된다. 문제는 이로 인해 생성되는 전자의 수가 음극의 재료, 표면(표면 거칠기, 불순물) 및 환경 조건(온도, 습도 등)에 크게 좌우된다는 점이다. 따라서 인자 \gamma를 실험적으로 재현 가능하게 결정하는 것은 거의 불가능하다.
* 전기장은 균일하다.

## 기체별 효과
기체마다 분자와 전자의 평균 자유 거리가 다르다. 이는 분자마다 이온화 단면적, 즉 유효 직경이 다르기 때문이다. 헬륨이나 아르곤과 같은 비활성 기체는 단원자 분자이므로 이온화하기 더 어렵고 유효 직경이 작은 경향이 있다. 이로 인해 이들의 평균 자유 거리는 더 길어진다.

분자마다 이온화 전위가 다를 뿐만 아니라, 전자가 궤도에서 튕겨 나간 후 다시 포획되는 속도도 다르다. 이 세 가지 효과 모두 자유 전자의 기하급수적 성장을 일으키는 데 필요한 충돌 횟수를 변화시킨다. 이러한 자유 전자들은 아크를 발생시키는 데 필수적이다.

## 같이 보기
* 절연 내력

## 각주

## 외부 링크
* Electrical breakdown limits for MEMS 
* High Voltage Experimenter's Handbook 
* Paschen's law calculator
* Breakdown Voltage vs. PressureIn the internet archive 16.04.2023
* Electrical Breakdown of Low Pressure Gases
* Electrical Discharges
* Pressure Dependence of Plasma Structure in Microwave Gas Breakdown at 110GHz

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