혼합 (수학)

[섬네일|275px|처음에는 분리되어 있던 빨간색과 파란색 점들에 [제빵사 사상을 반복적으로 적용한 모습. 제빵사 사상은 혼합 성질을 가지며, 여러 번의 반복 후에 빨간색과 파란색 점들이 완전히 혼합되는 것을 볼 수 있다.]]

수학에서 **혼합**()은 물리학에서 유래한 추상적인 개념으로, 물감 섞기, 음료 섞기, 산업적 혼합 등 일상 세계에서 일어나는 가역적이지 않은 열역학 과정인 혼합을 설명하려는 시도이다.

이 개념은 확률 과정과 측도 보존 역학계를 연구하는 에르고딕 이론에서 등장한다. 강한 혼합(strong mixing), 약한 혼합(weak mixing), 위상 혼합(topological mixing) 등 여러 가지 정의가 존재하며, 마지막의 위상 혼합은 측도가 정의될 필요가 없다. 혼합의 여러 정의 중 일부는 계층적 질서로 배열될 수 있는데, 예를 들어 강한 혼합은 약한 혼합을 함의한다. 나아가 약한 혼합(따라서 강한 혼합도 포함)은 에르고딕성을 함의한다. 즉, 약하게 혼합되는 모든 계는 에르고딕적이다(따라서 혼합은 에르고딕성보다 "더 강한" 조건이라고 말한다).

## 비공식적 설명
혼합의 수학적 정의는 물감, 음료, 요리 재료를 섞는 것, 산업 공정의 혼합, 연기로 가득 찬 방 안의 연기 등 일상적인 혼합 과정을 포착하는 것을 목표로 한다. 수학적 엄밀함을 제공하기 위해, 이러한 설명은 로 표기되는 측도 보존 역학계의 정의에서 시작한다.

집합 X는 채워질 전체 공간으로 이해된다(예: 혼합 그릇, 연기가 가득 찬 방 등). 측도 \mu는 공간 X와 그 부분 공간들의 자연스러운 부피를 정의하는 것으로 이해된다. 부분 공간들의 모임은 로 나타내며, 임의의 주어진 부분집합 A\subset X의 크기는 로, 이 크기가 곧 부피이다. 소박하게는 \mathcal{A}를 의 멱집합으로 상상할 수 있겠으나, 공간의 모든 부분집합이 부피를 갖는 것은 아니기 때문에(유명한 바나흐-타르스키 역설) 이 방법은 잘 작동하지 않는다. 따라서 관례적으로 \mathcal{A}는 가측 부분집합, 즉 부피를 갖는 부분집합들로 구성된다. 이는 항상 보렐 집합(교집합, 합집합, 여집합을 취하여 구성할 수 있는 부분집합들의 모임)으로 간주되며, 이들은 항상 측정 가능하다.

계의 시간 진화는 사상 T:X\to X에 의해 설명된다. 어떤 부분집합 A\subset X가 주어졌을 때, 그 사상 T(A)는 일반적으로 A가 변형된 버전이 된다. 즉, 짓눌리거나 늘어나고, 접히거나 조각으로 잘린다. 수학적 예로는 빵 만들기에 영감을 받은 제빵사 사상과 말편자 사상이 있다. 집합 T(A)는 A와 동일한 부피를 가져야 한다. 짓누르거나 늘리는 것은 공간의 부피를 바꾸지 않고 그 분포만을 바꾼다. 이러한 계를 "측도 보존"(면적 보존, 부피 보존) 계라고 한다.

집합의 부피와 사상 아래에서의 크기 보존 필요성을 조화시키려 할 때 형식적인 어려움이 발생한다. 이 문제는 일반적으로 함수 정의역의 여러 서로 다른 점들이 치역의 동일한 점으로 사상될 수 있기 때문에 발생한다. 즉, 인 x\ne y가 존재할 수 있다. 더 나쁜 것은 단일 점 x\in X는 크기가 없다는 것이다. 이러한 어려움은 역사상 을 사용함으로써 피할 수 있다. 역사상은 임의의 부분집합 A\subset X를 그것을 만들기 위해 조립되었던 부분들로 사상한다. 이 부분들은 이다. 이는 사물이 어디에서 왔는지 "추적을 놓치지" 않는 중요한 속성을 갖는다. 더 강력하게는, 모든 (측도 보존) 사상 \mathcal{A}\to\mathcal{A}가 어떤 사상 의 역사상이라는 중요한 속성을 갖는다. 부피 보존 사상의 적절한 정의는 \mu(A)=\mu(T^{-1}(A))를 만족하는 사상인데, 왜냐하면 T^{-1}(A)가 A가 유래한 모든 조각 부분들을 설명하기 때문이다.

이제 계의 시간 진화 연구에 관심이 있다. 만약 집합 A\in\mathcal{A}가 긴 시간 동안 결과적으로 X의 모든 곳을 방문한다면(즉, 큰 n에 대해 \cup_{k=1}^n T^k(A)가 X 전체에 접근한다면), 그 계를 에르고딕 계라고 한다. 모든 집합 A가 이런 식으로 행동한다면 그 계는 보존계이며, 일부 부분집합 A가 멀리 가버려 다시는 돌아오지 않는 흩어지기 계와 대조된다. 예를 들어 산 아래로 흐르는 물은 한 번 내려가면 다시 올라오지 않는다. 그러나 이 강 끝에 형성된 호수는 잘 혼합될 수 있다. 에르고딕 분해 정리에 따르면 모든 에르고딕 계는 보존적인 부분과 흩어지는 부분의 두 부분으로 나뉠 수 있다.

혼합은 에르고딕성보다 더 강한 진술이다. 혼합은 단지 어떤 집합 A와  사이에서만이 아니라, 임의의 두 집합  사이에서 이 에르고딕적 속성이 유지될 것을 요구한다. 즉, 임의의 두 집합 에 대해, 모든 A, B와 에 대해 T^n(A)\cap B\ne\varnothing이 성립하는 정수 N이 존재할 때, 그 계를 (위상적으로) 혼합된다고 한다. 여기서 \cap은 교집합을 나타내고 \varnothing은 공집합이다.

위의 위상 혼합 정의는 혼합에 대한 비공식적인 아이디어를 제공하기에 충분할 것이다(아래에 주어지는 공식 정의와 동등하다). 그러나 여기서는 A와 의 부피에 대해 언급하지 않았으며, 실제로 부피를 명시적으로 사용하는 또 다른 정의가 존재한다. 사실 여러 개가 있는데, 강한 혼합과 약한 혼합이 있으며 이들은 동등하지 않지만 강한 혼합 계는 항상 약하게 혼합된다. 측도 기반 정의는 위상 혼합의 정의와 호환되지 않는다. 한쪽에는 해당되지만 다른 쪽에는 해당되지 않는 계들이 존재한다. 일반적인 상황은 여전히 불분명하다. 예를 들어 세 집합 이 주어졌을 때 3-혼합(3-mixing)을 정의할 수 있다. 2020년 기준으로 2-혼합이 3-혼합을 함의하는지는 알려져 있지 않다. (에르고딕성을 "1-혼합"으로 생각한다면, 1-혼합이 2-혼합을 함의하지 않는다는 것은 명확하다. 에르고딕하지만 혼합되지는 않는 계들이 존재하기 때문이다.)

강한 혼합의 개념은 한 쌍의 집합 부피와 관련하여 만들어진다. 예를 들어, 옥수수 시럽이나 샴푸 같은 끈적끈적한 액체가 담긴 컵에 유색 염료 집합 A를 섞는 경우를 생각해보자. 실제 경험에 따르면 끈적한 유체를 섞는 것은 매우 어려울 수 있다. 용기 어딘가에는 염료가 섞여 들어가기 어려운 구석이 있기 마련이다. 그 접근하기 어려운 구석을 집합 B로 정하자. 그렇다면 혼합의 문제는, 충분히 긴 시간이 흐른 뒤에 A가 B에 침투할 수 있을 뿐만 아니라 다른 곳에서와 같은 비율로 B를 채울 수 있느냐는 것이다.

강한 혼합의 정의는 다음 요건으로 표현된다.
:\lim_{n\to\infty} \mu\left( T^{-n} A \cap B\right) = \mu(A)\mu(B).
시간 매개변수 n은 시간상에서 A와 B를 분리하는 역할을 하여, 테스트 부피 B를 고정한 상태에서 A를 혼합하게 한다. 곱 $\mu(A)\mu(B)$는 약간 더 미묘하다. 부피 B가 전체 부피의 10%이고, 염료 A의 부피 또한 전체의 10%라고 가정하자. 만약 A가 균일하게 분포되어 있다면, 그것은 B의 10%를 차지하게 될 것이고, B 자체는 전체의 10%이므로 결과적으로 혼합 후에 B 안에 있는 A의 부분은 전체 부피의 1%가 된다. 즉, \mu\left(\mbox{after-mixing}(A) \cap B\right) = \mu(A)\mu(B). 이 부피의 곱은 확률론의 베이즈 정리와 매우 유사한데, 이는 우연이 아니라 측도론과 확률론이 본질적으로 같은 이론(다른 표기법을 사용하더라도 동일한 공리인 콜모고로프 공리를 공유함)이라는 사실의 결과이다.

정의에서 T^n A 대신 T^{-n} A를 사용하는 이유는 다소 미묘하지만, 측도 보존 사상의 개념을 정의하기 위해 T^{-1} A를 사용한 것과 같은 이유에서 기인한다. 구석 B에 염료가 얼마나 섞였는지 확인할 때, 그 염료가 어디에서 "왔는지"(아마도 과거 어느 시점에 위에서 부어졌을 것이다)를 확인하고자 한다. 그것이 "왔을" 수 있는 모든 장소가 결과적으로 B에 섞이게 됨을 확실히 해야 한다.

## 역학계에서의 혼합
(X, \mathcal{A}, \mu, T)를 측도 보존 역학계라 하고, T를 시간 진화 또는 이동 연산자라고 하자. 임의의 A,B \in \mathcal{A}에 대해 다음이 성립하면 이 계는 **강한 혼합**(strong mixing)이라고 한다.
: \lim_{n\to\infty} \mu \left  (A \cap T^{-n}B \right ) = \mu(A)\mu(B).

이산 정수 n 대신 연속 변수로 매개변수화된 이동의 경우에도 동일한 정의가 적용되며, T^{-n}은 연속 시간 매개변수 g를 갖는 T_g로 대체된다.

다음이 성립하는 역학계를 **약한 혼합**(weak mixing)이라고 한다.
: \lim_{n\to\infty} \frac 1 n \sum_{k=0}^{n-1} \left  |\mu(A \cap T^{-k}B) - \mu(A)\mu(B) \right | = 0.

즉, T는 일반적인 의미에서 \mu (A \cap T^{-n}B) - \mu(A)\mu(B) \to 0일 때 강한 혼합이며, 체사로 평균 의미에서
:  \left |\mu(A \cap T^{-n} B) - \mu(A)\mu(B) \right | \to 0
일 때 약한 혼합이며, 체사로 평균 의미에서 \mu \left (A \cap T^{-n}B \right ) \to \mu(A)\mu(B)일 때 에르고딕이다. 따라서 강한 혼합은 약한 혼합을 함의하고, 약한 혼합은 에르고딕성을 함의한다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 약하게 혼합되지 않는 에르고딕 역학계가 존재하며, 강하게 혼합되지 않는 약한 혼합 역학계가 존재한다. 역사적으로 샤콘 계(Chacon system)는 약하게 혼합되지만 강하게 혼합되지는 않는 계의 첫 번째 예시였다.

**정리.** 약한 혼합은 에르고딕성을 함의한다.

**증명.** 사상의 작용이 두 성분 로 분해된다면, 이 된다. 따라서 약한 혼합은 을 함의하므로, A, B 중 하나는 측도가 0이고 다른 하나는 전체 측도를 갖는다.

### 피복 가족
단위 구간(끝점 포함 여부와 상관없이)과 같은 위상 공간이 주어졌을 때, 열린집합들을 취한 뒤 이들의 합집합, 여집합 등을 무한히 반복하여 모든 보렐 집합을 얻음으로써 측도를 구성할 수 있다. 다음으로 보렐 집합 위에 측도 \mu 를 정의한 뒤, 측도가 0인 모든 부분집합("무시할 수 있는 집합")을 추가한다. 이것이 르베그 측도와 르베그 가측 집합을 얻는 방법이다.

에르고딕 이론의 대부분의 응용에서 기저 공간은 거의 모든 곳에서 어떤 \mathbb{R}^n의 열린 부분집합과 위상 동형이므로 르베그 측도 공간이다. 강한 혼합을 검증하는 일은 더 작은 가측 집합들의 집합만 확인하면 되는 경우 단순화될 수 있다.

피복 가족(covering family) \mathcal C는 임의의 열린집합이 그 안의 집합들의 서로소인 합집합이 되는 가측 집합들의 집합이다. 이를 위상수학의 기저와 비교하면, 기저는 서로소가 아닌 합집합도 허용하므로 제약이 더 적다.

* **정리:** 르베그 측도 공간에 대해, T가 측도 보존이고 피복 가족 내의 모든 A, B에 대해 \lim_n \mu(T^{-n}(A)\cap B) = \mu(A)\mu (B)이면, T는 강한 혼합이다.

* **증명:** 혼합 방정식을 피복 가족의 모든 A, B에서 서로소 합집합을 통해 모든 열린집합으로 확장하고, 여집합을 취해 모든 닫힌집합으로 확장하며, 르베그 측도의 정칙성을 사용하여 임의의 집합을 열린집합과 닫힌집합으로 근사함으로써 모든 가측 집합으로 확장한다. 따라서 모든 가측 에 대해 \lim_n \mu(T^{-n}(A)\cap B) = \mu(A)\mu (B)가 성립한다.

### L<sup>2</sup> 공식화
측도 보존 역학계의 에르고딕성, 약한 혼합 및 강한 혼합 특성은 관측 가능량의 평균으로도 특성화될 수 있다. 폰 노이만 에르고딕 정리에 의해, 역학계 (X, \mathcal{A}, \mu, T)의 에르고딕성은 임의의 함수 f \in L^2 (X, \mu)에 대해 수열 (f \circ T^n)_{n \ge 0}이 강하게 그리고 체사로 의미에서 로 수렴한다는 속성과 동등하다. 즉,
:  \lim_{N \to \infty} \left \| {1 \over N} \sum_{n=0}^{N-1} f \circ T^n - \int_X f \, d \mu \right \|_{L^2 (X, \mu)}= 0.

역학계 (X, \mathcal{A}, \mu, T)가 약하게 혼합된다는 것은 임의의 함수 f와 g \in L^2 (X, \mu)에 대해 다음이 성립함을 의미한다.
:  \lim_{N \to \infty} {1 \over N} \sum_{n=0}^{N-1} \left  | \int_X f \circ T^n \cdot g \, d \mu- \int_X f \, d \mu \cdot \int_X g \, d \mu \right |= 0.

역학계 (X, \mathcal{A}, \mu, T)가 강하게 혼합된다는 것은 임의의 함수 에 대해 수열 (f \circ T^n)_{n \ge 0}이 로 약하게 수렴한다는 것을 의미한다. 즉, 임의의 함수 g \in L^2 (X, \mu)에 대해 다음이 성립한다.
:  \lim_{n \to \infty} \int_X f \circ T^n \cdot g \, d \mu = \int_X f \, d \mu \cdot \int_X g \, d \mu.

계가 측도 보존이라고 가정되므로, 이 마지막 줄은 공분산 과 동등하며, 이는 n이 커짐에 따라 확률 변수 f \circ T^n과 g가 직교하게 됨을 뜻한다. 사실 이것이 임의의 함수 에 대해 작동하므로, 비공식적으로 혼합을 n이 커짐에 따라 확률 변수 f \circ T^n과 g가 독립이 되는 성질로 볼 수 있다.

### 역학계의 곱
두 측도 역학계 (X, \mu, T)와 (Y, \nu, S)가 주어지면, (T \times S) (x,y) = (T(x), S(y))로 정의하여 카테시안 곱 위에 역학계 (X \times Y, \mu \otimes \nu, T \times S)를 구성할 수 있다. 그러면 약한 혼합에 대한 다음과 같은 특성화를 얻는다.

: **명제.** 역학계 (X, \mu, T)가 약하게 혼합되는 것과 임의의 에르고딕 역학계 에 대해 계 (X \times Y, \mu \otimes \nu, T \times S)가 에르고딕한 것은 동치이다.

: **명제.** 역학계 (X, \mu, T)가 약하게 혼합되는 것과 (X^2, \mu \otimes \mu, T \times T)가 에르고딕한 것은 동치이다. 이 경우 (X^2, \mu \otimes \mu, T \times T) 또한 약하게 혼합된다.

### 일반화

위에서 제시된 정의는 더 높은 차원의 혼합과 구별하기 위해 때때로 **강한 2-혼합**이라고 불린다. **강한 3-혼합 계**는 모든 가측 집합 A, B, C에 대해 다음이 성립하는 계로 정의될 수 있다.
: \lim_{m,n\to\infty} \mu (A \cap T^{-m}B \cap T^{-m-n}C) = \mu(A)\mu(B)\mu(C)
마찬가지로 **강한 k-혼합**을 정의할 수 있다. 모든 k = 2, 3, 4, ...에 대해 **강한 k-혼합**인 계를 **모든 차수의 혼합**(mixing of all orders)이라고 부른다.

강한 2-혼합이 강한 3-혼합을 함의하는지는 알려져 있지 않다. 강한 m-혼합은 에르고딕성을 함의하는 것으로 알려져 있다.

### 예시
원의 비유리 회전과 더 일반적으로 토러스에서의 비가약 평행이동은 르베그 측도에 대해 에르고딕하지만 강하게든 약하게든 혼합되지 않는다.

카오스적이라고 간주되는 많은 사상들은 적절히 선택된 불변 측도에 대해 강한 혼합 성질을 갖는다. 여기에는 이진 사상, 아르놀트의 고양이 사상, 말편자 사상, 콜모고로프 자동 동형, 그리고 아노소프 흐름(음의 곡률을 갖는 콤팩트 다양체의 단위 접다발에서의 지오데식 흐름)이 포함된다.

이진 사상은 "이진법에서의 왼쪽 시프트"이다. 일반적으로 임의의 n \in \{2, 3, \dots\}에 대해 "진법에서의 왼쪽 시프트" 사상 T(x) = nx \bmod 1은 피복 가족  위에서 강한 혼합이므로,  위에서 강한 혼합이며, 따라서  위에서 강한 혼합이다.

마찬가지로 임의의 유한 또는 가산 알파벳 에 대해 이산 확률 분포를 부여한 다음, 각 "동전 던지기"가 에서 결과를 취하는 "동전 던지기" 공간의 확률 분포를 고려할 수 있다. 한쪽으로 무한한 공간 \Sigma^\N이나 양쪽으로 무한한 공간 를 구성할 수 있다. 두 경우 모두 **시프트 사상**(왼쪽으로 한 글자 이동)은 실린더 집합의 피복 가족 위에서 강한 혼합이므로 강하게 혼합된다. 제빵사 사상은 시프트 사상과 동형이므로 강한 혼합이다.

## 위상 혼합
측도에 의존하지 않고 계의 위상수학만을 사용하여 혼합의 형태를 정의할 수 있다. 연속 사상 f:X\to X가 모든 비어 있지 않은 열린집합 쌍 A,B\subset X에 대해 다음을 만족하는 정수 n이 존재할 때 **위상 추이적**(topologically transitive)이라고 한다.
: f^n(A) \cap B \ne \varnothing
여기서 f^n은 f의 n번 반복이다. 연산자 이론에서 위상 추이적인 유계 선형 연산자(위상 벡터 공간 위의 연속 선형 사상)는 보통 초순환 연산자(hypercyclic operator)라고 불린다. 관련된 아이디어는 배회 집합으로 표현된다.

**보조 정리:** 만약 X가 고립점이 없는 완비 거리 공간이라면, f가 위상 추이적인 것과 초순환점 x\in X(즉, 궤도 \{f^n(x): n\in \mathbb{N}\}가 X에서 조밀한 점 x)가 존재하는 것은 동치이다.

열린집합 A와 가 주어졌을 때, 모든 에 대해 다음이 성립하는 정수 N이 존재한다면 그 계를 **위상 혼합**(topologically mixing)이라고 한다.
: f^n(A) \cap B \neq \varnothing.

연속 시간 계의 경우, f^n은 연속 매개변수 g를 갖는 흐름 로 대체되며, 모든 에 대해 비어 있지 않은 교집합이 유지되어야 한다.

**약한 위상 혼합**은 이동 연산자의 상수가 아닌 연속 고유 함수가 없는 것을 말한다.

위상 혼합은 약한 혼합이나 강한 혼합을 함의하지 않으며, 그 역도 성립하지 않는다. 약하게 혼합되지만 위상적으로 혼합되지는 않는 계의 예가 있으며, 위상적으로 혼합되지만 강하게 혼합되지는 않는 계의 예도 있다.

## 확률 과정에서의 혼합
(X_t)_{-\infty 를 확률 공간  위의 확률 과정이라고 하자. 이 과정이 사상되는 수열 공간에는 곱위상을 부여할 수 있다. 이 위상의 열린집합들을 기둥 집합이라고 부른다. 이 기둥 집합들은 σ-대수인 보렐 시그마 대수를 생성하며, 이는 해당 위상을 포함하는 가장 작은 σ-대수이다.

**강한 혼합 계수**라고 불리는 함수 \alpha를 다음과 같이 정의하자.
: \alpha(s) = \sup \left\{|\mathbb{P}(A \cap B) - \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)| : -\infty 
모든 에 대하여. 기호 X_a^b (-\infty \le a \le b \le \infty )는 σ-대수의 부분 σ-대수를 나타낸다. 이는 시간 a와 b 사이에서 지정된 기둥 집합들의 집합, 즉 에 의해 생성된 σ-대수이다.

일 때 \alpha(s)\to 0이면 확률 과정 (X_t)_{-\infty 를 **강하게 혼합된다**고 한다. 즉, 강하게 혼합되는 과정은 모든 시간 t와 모든 사건에 대해 균일한 방식으로, 시간 t 이전의 사건과 시간 t+s 이후의 사건이 s \to \infty에 따라 독립이 되는 경향이 있는 과정이다. 더 일상적으로 말하면, 이 과정은 강한 의미에서 자신의 과거 이력을 잊어버린다.

### 마르코프 과정에서의 혼합
(X_t)가 정상 분포 \mathbb{Q}를 갖는 정상 마르코프 과정이라고 가정하고, L^2(\mathbb{Q})를 측도 \mathbb{Q}에 대해 제곱 적분 가능한 보렐 가측 함수들의 공간이라고 하자. 또한
: \mathcal{E}_t \varphi (x) = \mathbb{E}[\varphi (X_t) \mid X_0 = x] 
를 L^2(\mathbb{Q}) 위의 조건부 기댓값 연산자라고 하자. 마지막으로
:  Z = \left \{ \varphi \in L^2(\mathbb{Q}) : \int \varphi \, d\mathbb{Q} = 0 \right \}
를 평균이 0인 제곱 적분 가능 함수들의 공간이라고 하자.

과정 {*x<sub>t</sub>*}의 **ρ-혼합 계수**는 다음과 같다.
: \rho_t = \sup_{\varphi\in Z :\,\|\varphi\|_2=1} \| \mathcal{E}_t\varphi \|_2.

이 계수들이 일 때 0으로 수렴하면 이 과정을 **ρ-혼합**이라고 부르며, 어떤 에 대해 이면 "지수적 감쇄율을 갖는 ρ-혼합"이라고 한다. 정상 마르코프 과정의 경우 계수 ρt는 지수적 비율로 감쇄하거나 항상 1일 수 있다.

과정 의 **α-혼합 계수**는 다음과 같다.
: \alpha_t = \sup_{\varphi \in Z : \|\varphi\|_\infty=1} \| \mathcal{E}_t\varphi \|_1.  

이 계수들이 일 때 0으로 수렴하면 이 과정을 **α-혼합**이라고 부르며, 어떤 에 대해 이면 "지수적 감쇄율을 갖는 α-혼합"이라고 한다. 또한 다음을 만족하는 감소 함수 \xi에 대해 이면 **하지수적 감쇄율을 갖는 α-혼합**이라고 한다.
: \frac{\ln \xi(t)}{t} \to 0
(일 때).

α-혼합 계수는 항상 ρ-혼합 계수보다 작다: . 따라서 과정이 ρ-혼합이면 필연적으로 α-혼합이기도 하다. 그러나 인 경우에도 과정은 하지수적 감쇄율을 갖는 α-혼합일 수 있다.

**β-혼합 계수**는 다음과 같이 주어진다.
: \beta_t = \int \sup_{0 \le \varphi \le 1} \left | \mathcal{E}_t\varphi(x) - \int \varphi \,d\mathbb{Q} \right| \,d\mathbb{Q}.

이 계수들이 일 때 0으로 수렴하면 이 과정을 **β-혼합**이라고 부르며, 어떤 에 대해 이면 **지수적 감쇄율을 갖는 β-혼합**이라고 한다. 또한 다음을 만족하는 감소 함수 \xi에 대해  (일 때)이면 **하지수적 감쇄율을 갖는 β-혼합**이라고 한다.
: \frac{\ln \xi(t)}{t} \to 0
(t \to \infty일 때).

엄밀한 의미의 정상 마르코프 과정이 β-혼합인 것과 그것이 비주기적 재귀 해리스 사슬(Harris chain)인 것은 동치이다. β-혼합 계수는 항상 α-혼합 계수보다 크므로, 과정이 β-혼합이면 α-혼합이기도 하다. β-혼합과 ρ-혼합 사이에는 직접적인 관계가 없으며 어느 쪽도 다른 쪽을 함의하지 않는다.

## 각주

* V. I. Arnold and A. Avez, Ergodic Problems of Classical Mechanics, (1968) W. A. Benjamin, Inc.
* Manfred Einsiedler and Thomas Ward, Ergodic theory with a view towards number theory, (2011) Springer 
* Achim Klenke, Probability Theory, (2006) Springer 
* 

분류:에르고딕 이론