겔판드 표현

함수해석학에서 **겔판드 표현**(이즈라일 겔판드의 이름을 따서 명명됨)은 다음 두 가지 중 하나다.

* 가환 바나흐 대수를 연속 함수의 대수로 표현하는 방법;
* 가환 C*-대수학의 경우 이 표현은 등장 동형사상이라는 사실이다.

전자의 경우 겔판드 표현을 적분 가능한 함수의 푸리에 변환의 광범위한 일반화로 볼 수 있다. 후자의 경우 겔판드-나이마크 표현 정리는 정규 연산자에 대한 스펙트럼 이론을 만드는 한 가지 방법이며, 정규 행렬을 대각화하는 개념을 일반화한다.

## 역사적 언급
겔판드의 원래 응용 중 하나(역사적으로 바나흐 대수 연구의 많은 동기를 부여한 응용)는 군 대수 L^1({\mathbf R})와 \ell^1({\mathbf Z}) 각각의 대수에서 변환이 조밀 부분 공간을 생성하는 원소들을 특성화 함으로써 유명한 노베르트 위너의 보조정리를 더욱 짧고 개념적으로 증명을 하는데 있다.

## 모델 대수학
임의의 국소 콤팩트 하우스도르프 위상 공간 *<math>X</math>*에 대해, *<math>X</math>*에서 정의된 무한대에서 영인 연속 복소 함수들의 공간 C_0(X)는 가환 C^*-대수이다:

* 복소수들에 대한 대수 구조는 덧셈과 곱셈의 점별 연산을 고려하여 얻는다.
* 인볼루션은 점별 복소 켤레이다.
* 노름은 함수에 대한 고른 노름이다.

*<math>X</math>*가 국소 콤팩트 하우스도르프인 것의 중요성은 이것이 *<math>X</math>*를 완비 정규 공간으로 바꾼다는 것이다. 그러한 공간에서 *<math>X</math>*의 모든 닫힌 부분 집합은 *<math>X</math>*에서 정의된 연속 복소 함수 족의 공통 영 집합이므로 C_0(X)에서 *<math>X</math>*의 위상를 복원할 수 있다.

C_0(X)는 *<math>X</math>*가 콤팩트인 경우에만 단위 대수이며, 이 경우 C_0(X)는 *<math>X</math>*에서 정의된 모든 연속 복소 함수들의 대수인 C(X)와 같다.

## 가환 바나흐 대수학의 겔판드 표현
 A 가 복소수 체  \mathbb{C} 에 대해 정의된 가환 바나흐 대수라 하자. *<math> 0 </math>*이 아닌 대수 준동형사상 (곱셈적 선형 범함수)  \Phi \colon A \to \mathbb{C} 는  A 의 특성이라고 한다;  A 의 모든 특성들의 집합은  \Phi_A 로 표시된다.

 A 위의 모든 특성이 표시될 수 있다.  자동으로 연속이므로  \Phi_A 는  A 에서 정의된 연속 선형 범함수 공간  A^* 의 부분 집합이다; 게다가  약한-* 상대 위상을 부여했을 때,  \Phi_A 는 국소 콤팩트 및 하우스도르프로 밝혀졌다. (이것은 바나흐–엘러오글루 정리에 따라 그렇다.) 공간  \Phi_A 가 콤팩트함은(방금 정의된 위상에서) 대수  A 가 항등원을 가짐과 동치이다.

주어진  a \in A 에 대해, 함수 \widehat{a}(\phi)=\phi(a)를 \widehat{a}:\Phi_A\to{\mathbb C}로 정의한다.  \Phi_A 의 정의와 이 위의 위상은 \widehat{a}가 연속이며 무한대에서 *<math> 0 </math>*임을 보장한다. 사상 a\mapsto \widehat{a}는  A 에서  C_0(\Phi_A)로 가는 노름 감소 단위 보존 대수 동형 사상을 정의한다. 이 준동형사상은 *<math> A </math>*의 겔판드 표현이다*. *그리고 \widehat{a}는 원소 a의 겔판드 변환이다. 일반적으로 표현은 단사도 전사도 아니다.

 A 에 항등원이 있는 경우에  \Phi_A 와  A  안의 극대 이데알들의 집합 사이에 전단사가 있고(이것은 겔판드-마주르 정리에 의존한다). 결과적으로 겔판드 표현  A \to C_0 (\Phi_A) 의 핵은  A 의 제이콥슨 라디칼과 동일시될 수 있다. 따라서 겔판드 표현은  A 가 (제이콥슨) 반단순인 경우에만 단사이다.

### 예
 A=L^1(\mathbb{R}) 인 경우에,  \mathbb{R} 의 군 대수, 그러면  \Phi_A 는  \mathbb{R} 과 위상동형이고  f \in L^1(\mathbb{R}) 의 겔판드 변환은 푸리에 변환 \tilde{f}이다.

 A=L^1(\mathbb{R}_+) , L^1 -실 반직선의 컨볼루션 대수인 경우에,  \Phi_A 는  \{ z \in \mathbb{C} ~\colon~ \operatorname{Re}(z) \geq 0\} 와 위상동형이고  f \in L^1(\mathbb{R}_+) 의 원소의 겔판드 변환은 라플라스 변환 {\mathcal L}f이다.

## C*-대수의 경우
동기 부여로, 특별한 경우 A=C_0(X)를 고려하자. 주어진 *<math>x\in X</math>*에 대해, \varphi_x \in A^*를 *<math> x </math>*에서 점별 계산이라 하자. 즉, \varphi_x(f) = f(x). 그러면, \varphi_x는 *<math> A </math>*의 특성이며 *<math> A </math>*의 모든 특성이 이 형식임을 보일 수 있다. 더 정확한 분석은 \Phi_A를 *<math>X</math>*와 함께 집합 뿐만 아니라 위상 공간으로 식별할 수 있음을 보여준다. 겔판드 표현은 다음 동형사상이다:

: C_0(X)\to C_0(\Phi_A).\ 

### 가환 C*-대수학의 스펙트럼
*<math> \hat{A} </math>*로 표시되는 가환 C^*-대수 *<math> A </math>*의 **스펙트럼** 또는 **겔판드 공간**은  A 에서 복소수 공간으로 가는 *<math> 0 </math>*이 아닌 **-* 동형사상들의 집합으로 구성된다. 스펙트럼의 원소를 *<math> A </math>*의 **특성**이라고 한다.(*<math> A </math>*에서 복소수 공간으로 가는 모든 대수 준동형사상은 자동으로 *-동형이므로 '특성'이라는 용어의 정의는 위의 것과 일치한다. )

특히, 가환적 C^*-대수학의 스펙트럼은 국지적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간이다: 유니탈 경우, 즉 C^*-대수가 곱셈 단위 원소 *<math> 1 </math>*을 갖는 경우, 모든 문자 *<math> f </math>*는 유니탈이어야 한다. 즉, *<math> f(1) </math>*은 복소수 *<math> 1 </math>*이다. 이것은 제로 동형을 제외한다. 그래서 *<math> \hat{A} </math>*는 약한-* 수렴에서 닫히고 스펙트럼은 실제로 콤팩트다. 단위가 아닌 경우에, *<math> \hat{A} </math>*의 *약한* -*닫음은 *<math> \hat{A}\cup\{0\} </math>*이며, 여기서 *<math> 0 </math>*은 제로 준동형이고 콤팩트 하우스도르프 공간에서 한 점을 제거하면 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 생성된다.

스펙트럼은 과중한 단어임을 주의하라. 또한 이는 단위가 *<math> 1 </math>*인 대수의 원소 *<math> x </math>*의 스펙트럼 \sigma(x), 즉 *<math> x </math>*에 대해 *<math> x-r_1 </math>*이  A 에서 가역이 아닌 복소수 *<math> r </math>*의 집합도 나타낸다. 단위 C^*-대수학의 경우 두 개념은 다음과 같은 방식으로 연결된다. 스펙트럼 반지름 공식과 함께 이것은 *<math> \hat{A} </math>*가 *<math>A^*</math>*의 단위 공의 부분 집합이며, 약한-* 상대 위상이 주어질 수 있음을 보여준다. 이것이 점별 수렴의 위상이다.  A  스펙트럼의 원소의 그물 *[[그물 (수학)|<math> \{f_k\}_k </math>]]*는 *<math> A </math>의* *각* *<math> x </math>*에 대해 복소수 그물 *[[그물 (수학)|<math> \{f_k(x)\}_k </math>]]*가 *<math> f(x) </math>*로 수렴하는 경우에만 *<math> f </math>*로 수렴한다.

A가 분리 가능한 C^*-대수인 경우 약한-* 위상은 제한된 부분 집합에서 가측이다. 따라서 분리 가능한 가환 C^*-대수 A의 스펙트럼은 거리 공간으로 볼 수 있다. 따라서 위상은 수열의 수렴을 통해 특성화할 수 있다.

동등하게, \sigma(x)는 \gamma(x)의 치역이며, 여기서 \gamma는 겔판드 표현이다.

### 가환 겔판드-나이마크 정리
*<math>A</math>*를 가환 C^*-대수라고 하고 *<math>X</math>*를 A의 스펙트럼이라고 한다.

: \gamma:A \to C_0(X)

가 위에서 정의된 겔판드 표현이라 하자.

**정리**. 겔판드 사상 \gamma는 A에서 C_0(X)로의 등장 *-동형사상이다.

아래의 아르베슨을 참조.

가환 C^*-대수학의 스펙트럼은 또한 헐-커널 위상를 사용하여 *<math> A </math>*의 모든 극대 이데알 *<math> m </math>*의 집합으로 볼 수 있다. (일반적인 가환 바나흐 대수 예시에 대해서는 이전 설명 참조) 이러한 *<math> m </math>*에 대해 몫 대수 *<math> A/m </math>*은 *<math> 1 </math>*차원(겔판드-마주르 정리에 의해)이므로 *<math> A </math>의* 모든 *<math> a </math>*는 *<math>Y</math>*에 대한 복소 함수를 발생시킨다.

단위원이 있는 C^*-대수의 경우, 스펙트럼 사상은 단위 및 단위 보존 연속 *-동형사상을 갖는 가환 C^*-대수 범주에서 콤팩트 하우스도르프 공간 및 연속 사상 범주로 반변 함자를 발생시킨다. 이 함자는 이 두 범주 사이의 반변 동치의 절반이다(각 콤팩트 하우스도르프 공간 *<math>X</math>*에 C^*-대수 C_0(X)를 할당하는 함자가 인접함). 특히, 콤팩트 하우스도르프 공간 *<math>X</math>*와 *<math>Y</math>*가 주어지면 *<math>X</math>*가 *<math>Y</math>*와 동형인 경우에만 C(X)는 C(Y)와 동형이다(C^*-대수).

'완전한' 겔판드–나이마크 정리는 겔판드 표현과 상당히 유사하지는 않지만 연산자의 대수학으로서 *<math> A </math>*의 구체적인 표현을 제공하는 임의의(추상적) 비가환 C^* 대수 *<math> A </math>*에 대한 결과이다.

## 응용
가장 중요한 응용 중 하나는 C^*-대수 *<math> A </math>의* 정규 원소에 대한 연속 *함수 미적분*의 존재이다. 원소  x 는  x 가 인접 원소  x^* 와 교환하는 경우에만 정규이다. 가환 C^*-대수 C^*(x)에 적용된 겔판드 동형사상에 의해 이것은 국소 콤팩트 공간에서 연속 함수의 대수에 대해 *-동형이다. 이 관찰은 거의 즉시 다음으로 이어진다.

**정리**. *<math> A </math>*를 항등원을 갖는 C^*-대수라고 하고  x 를 *<math> A </math>*의 정규 원소로 두자. 그러면, 스펙트럼 \sigma(x)에서 *<math> A </math>*로의 연속 함수의 대수로부터 다음과 같은 *-사상 f\rightarrow f(x)가 존재한다.

* *<math> 1 </math>*을 *<math> A </math>*의 곱셈 항등식에 사상한다.
* 스펙트럼의 항등 함수를  x 에 사상한다.

이를 통해 힐베르트 공간의 유계 정규 연산자에 연속 함수를 적용할 수 있다.

## 참조

* 
* 
* 
* 

분류:연산자 이론
분류:함수해석학