헤비사이드 조건

올리버 헤비사이드의 이름을 딴 **헤비사이드 조건**()을 만족하는 전송선로와 특정 기타 조건들은 신호를 분산과 왜곡 없이 전송할 수 있다. 헤비사이드 조건의 중요성은 전신 신호의 분산 없는 전송 가능성을 보여주었다는 데 있다. 어떤 경우에는 케이블에 유도성 로딩 코일을 추가함으로써 전송선로의 성능을 개선할 수 있다.

## 조건
right|섬네일|upright=2|헤비사이드의 전송선로 모델

전송선로는 그림에 표시된 것과 같이 분포 정수 모델의 기본 선로 상수로 표현될 수 있다. 기본 상수는 단위 길이당 케이블의 전기적 특성이며 다음과 같다. 전기 용량 C(미터당 패럿), 유도계수 L(미터당 헨리), 직렬 전기저항 R(미터당 옴), 그리고 병렬 전도율 G(미터당 지멘스)이다.

헤비사이드 조건은 다음과 같을 때 만족된다.
:\frac{G}{C} = \frac{R}{L}.

직렬 저항과 병렬 전도율은 선로에서 손실을 발생시킨다. 이상적인 전송선로의 경우 \scriptstyle R=G=0이다. 이상적인 선로는 당연하게 헤비사이드 조건을 충족한다.

## 배경
전송선로의 신호는 선로 상수와 그에 따른 전송 함수가 완벽하게 선형이라 하더라도 왜곡될 수 있다. 여기에는 두 가지 메커니즘이 있다. 첫째, 선로의 감쇠가 주파수에 따라 달라질 수 있으며, 이는 선로를 통해 전송되는 펄스의 모양을 변화시킨다. 둘째, 대개 더 문제가 되는 것인데, 왜곡은 전송된 신호 주파수 성분의 위상속도에 대한 주파수 의존성으로 인해 발생한다. 신호의 서로 다른 주파수 성분이 서로 다른 속도로 전송되면 신호가 공간과 시간 속에서 "번지게" 되며, 이러한 형태의 왜곡을 분산이라 한다.

신호의 속도가 주파수와 무관하다면 그 전송선로는 분산이 없는 것이다. 수학적으로는  \frac {d} {d \omega} v  = 0 이다.

전송선로가 분산이 없고 감쇠 계수가 주파수와 무관하다면 왜곡이 없는 것이다. 수학적으로는  \frac {d} {d \omega} \alpha  = 0 이다.

전신 펄스의 분산이 충분히 심하면 인접한 펄스와 겹치게 되어, 오늘날 부호 간 간섭이라 불리는 현상을 일으킨다. 부호 간 간섭을 방지하기 위해 대서양 횡단 전신 케이블의 전송 속도를  보에 해당하는 수준으로 낮추어야 했다. 이는 매우 느린 데이터 전송 속도로, 모스 부호를 그렇게 천천히 조작하는 데 큰 어려움을 겪었던 숙련된 통신사들에게도 예외적으로 느린 속도였다. 음성 회로(전화)의 경우 대개 분산보다 주파수 응답 왜곡이 더 중요하지만 디지털 신호는 분산 왜곡에 매우 취약하다. 비디오나 팩시밀리와 같은 모든 종류의 아날로그 이미지 전송의 경우 두 종류의 왜곡을 모두 완화해야 한다.

왼손잡이용(left-handed) 전송선로 메타 물질에서의 분산 없는 전파를 위한 유사한 헤비사이드 조건은 도출될 수 없는데, 이는 리액턴스 소자와 저항 소자의 어떤 조합도 일정한 군속도를 생성할 수 없기 때문이다.

## 유도
전송선로의 전송 함수는 올바르게 종단되었을 때(즉, 반사가 없을 때) 입력 및 출력 전압의 관점에서 다음과 같이 정의된다.

:\frac{V_\mathrm{out}}{V_\mathrm{in}} = e^{- \gamma x}

여기서 x는 송신기로부터의 거리(미터)를 나타내며,

:  \gamma = \alpha + j \beta = \sqrt{(R + j \omega L)(G + j \omega C)} .

이들은 2차 선로 상수이며, α는 미터당 네퍼 단위의 감쇠 상수이고, β는 미터당 라디안 단위의 위상 상수이다. 왜곡이 없으려면 α가 각주파수 ω와 무관해야 하며, β는 ω에 비례해야 한다. 주파수에 비례해야 한다는 이 요구 사항은 속도 v와 위상 상수 β 사이의 관계가 다음과 같이 주어지기 때문이다.

:v = \frac{\omega}{\beta}

그리고 위상 속도 v가 모든 주파수에서 일정해야 한다는 요구 사항 때문이다.

기본 선로 상수와 2차 선로 상수 사이의 관계는 다음과 같이 주어진다.

:\gamma^2 = (\alpha +j \beta)^2 = (R+j \omega L)(G + j \omega C) = \omega^2 LC (j+\frac R {\omega L} )(j+\frac G {\omega C} )  

헤비사이드 조건이 유지되면 제곱근 함수는 다음과 같이 명시적으로 계산될 수 있다.
:\gamma =  \omega \sqrt { LC }(\frac R {\omega L} +j) =   \frac R {Z_0} +j\omega \sqrt { LC }
여기서
: Z_0 = \sqrt{ \frac L C}이다.

따라서
: \alpha = \frac R {Z_0} = R \sqrt{ \frac C L} = R  \sqrt{ \frac {LG/R} L} = \sqrt{RG}.
: \beta = \omega \sqrt { LC } .
: v = \frac 1 {\sqrt { LC }} .
곱 LC가 주파수와 무관하면 속도는 주파수와 무관하다. 곱 RG가 주파수와 무관하면 감쇠는 주파수와 무관하다.

### 특성 임피던스
손실이 있는 전송선로의 특성 임피던스는 다음과 같이 주어진다.
:Z_0=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}
일반적으로, 임의의 유한한 이산 전기 소자 네트워크를 사용하여 모든 주파수에서 이 전송선로를 임피던스 매칭하는 것은 불가능하다. 그러한 네트워크는 jω의 유리 함수이지만, 특성 임피던스에 대한 표현식은 제곱근 항으로 인해 일반적으로 복소수이기 때문이다. 그러나 헤비사이드 조건을 만족하는 선로의 경우, 분수에서 주파수 의존 항을 상쇄하는 공통 인수가 존재하여 다음이 남는다.
:Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}},
이것은 실수이며, L/C가 주파수와 무관하다면 주파수와 무관하다. 따라서 선로는 양쪽 끝에서 저항기만으로 임피던스 매칭이 가능하다. \scriptstyle Z_0 = \sqrt{L/C}에 대한 이 식은 동일한 L과 C를 가진 손실 없는 선로(\scriptstyle R = 0,\  G = 0)의 식과 동일하지만, (R과 G로 인한) 감쇠는 당연히 여전히 존재한다.

## 실제 사용
섬네일|upright=2|로딩된 케이블의 예시
실제 선로는 G가 매우 낮아 대개 헤비사이드 조건에 전혀 근접하지 않는다. 일반적인 상황은 다음과 같다.

:\frac{G}{C} \ll \frac{R}{L} (수 차수 차이가 남).

선로가 헤비사이드 조건을 만족하게 하려면 네 가지 기본 상수 중 하나를 조정해야 하며, 문제는 어떤 것을 조정하느냐이다. G를 증가시킬 수 있지만, G를 증가시키면 손실이 증가하므로 이는 매우 바람직하지 않다. R을 감소시키는 것은 손실을 줄이는 올바른 방향이지만, 이는 대개 만족스러운 해결책이 아니다. R을 큰 폭으로 감소시켜야 하며 이를 위해서는 도체의 단면적을 획기적으로 늘려야 한다. 이는 케이블을 훨씬 부피가 크게 만들 뿐만 아니라 구리(또는 다른 금속)의 사용량을 크게 늘려 비용과 무게를 증가시킨다. 정전 용량을 감소시키는 것은 유전율이 더 낮은 다른 유전체를 사용해야 하므로 어렵다. 초기 대서양 횡단 케이블에 사용된 구타페르카 절연체는 유전 상수가 약 3이므로 C는 최대 3배 이하로만 감소될 수 있다. 결국 남은 것은 L을 증가시키는 것이며, 이것이 대개 채택되는 해결책이다.

L은 자기 투자율이 높은 금속으로 케이블을 로딩(loading)함으로써 증가시킨다. 또한 규칙적인 간격으로 이산 로딩 코일을 추가하여 기존 구조의 케이블을 로딩할 수도 있다. 이것은 연속적인 로딩과는 다른데, 로딩 코일을 사용하면 특정 차단 주파수까지만 왜곡 없는 전송이 가능하고 그 이상에서는 감쇠가 급격히 증가한다는 차이가 있다.

케이블 로딩은 더 이상 일반적인 관행이 아니다. 대신, 장거리 전송을 위해 펄스의 원하는 모양과 지속 시간을 유지하고자 긴 선로에 일정한 간격으로 디지털 중계기를 배치한다.

### 주파수 의존 선로 파라미터
섬네일|일반적인 전송선로 파라미터 비율|left|350px

선로 파라미터가 주파수에 의존하는 경우 추가적인 고려 사항이 있다. 선로 파라미터의 일부 또는 전부가 주파수에 의존할 때 헤비사이드 조건을 달성하는 것은 더 어렵다. 일반적으로 R(표피 효과로 인해)과 G(유전 손실로 인해)는 주파수의 강한 함수이다. L을 증가시키기 위해 자성 재료를 추가하면 L 또한 주파수에 의존하게 된다.

왼쪽의 차트는 비자성 재료로 만들어진 일반적인 전송선로에 대해 비율  \tfrac {R_{\omega}} {\omega L_{\omega}} ({\color{blue}\text{파란색} }) \text{ 및 } \tfrac {G_{\omega}} {\omega C_{\omega}}  ({\color{red}\text{빨간색} })을 플롯한 것이다. 헤비사이드 조건은 파란색 곡선이 빨간색 곡선과 닿거나 교차하는 지점에서 만족된다.

파란색 곡선의 굴곡(knee)은  R_{\omega} = \omega L_{\omega} 인 주파수에서 발생한다.

전형적인 저품질, 중품질, 고품질 유전체를 나타내는 세 개의 빨간색 곡선이 있다. 펄프 절연(20세기 초 전화선에 사용됨), 구타페르카, 그리고 현대의 발포 플라스틱이 각각 저품질, 중품질, 고품질 유전체의 예이다. 각 곡선의 굴곡은  G_{\omega} = \omega C_{\omega} 인 주파수에서 발생한다. 이 주파수의 역수는 유전체의 유전 완화 시간으로 알려져 있다. 이 주파수 위에서 G/(ωC)의 값은 유전 재료의 손실 탄젠트와 같다. 그림에서는 곡선이 평평하게 묘사되어 있지만, 손실 탄젠트는 어느 정도 주파수 의존성을 보인다. 모든 주파수에서 G/(ωC)의 값은 전적으로 유전체의 특성에 의해 결정되며 전송선로의 단면과는 무관하다.

## 같이 보기
* 맥스웰 방정식
* 전신 방정식

## 각주

## 참고 문헌
* Nahin, Paul J, Oliver Heaviside: The Life, Work, and Times of an Electrical Genius of the Victorian Age, JHU Press, 2002 . See especially pp. 231-232.
* Schroeder, Manfred Robert, Fractals, Chaos, Power Laws, Courier Corporation, 2012 .

분류:전송선로