위너-호프 방법

**위너-호프 방법**()은 응용수학에서 널리 사용되는 수학적 기법이다. 이 방법은 원래 노버트 위너와 에버하르트 호프에 의해 적분 방정식 시스템을 푸는 방법으로 개발되었지만, 동일한 경계에서 혼합된 경계 조건을 가진 2차원 편미분 방정식을 푸는 데 더 널리 사용되고 있다. 일반적으로 이 방법은 변환된 함수의 복소해석학적 속성을 활용하여 작동한다. 일반적으로 표준 푸리에 변환이 사용되지만, 멜린 변환과 같은 다른 변환을 사용하는 예도 있다.

일반적으로 지배 방정식과 경계 조건이 변환되고, 이 변환들은 한 쌍의 복소 함수(일반적으로 '+' 및 '−' 첨자로 표시됨)를 정의하는 데 사용된다. 이 함수들은 각각 복소평면의 위쪽 및 아래쪽 절반에서 해석 함수이며, 이 영역에서 다항식보다 빠르게 성장하지 않는다. 이 두 함수는 또한 복소평면의 일부 영역, 일반적으로 실직선을 포함하는 얇은 띠에서 일치할 것이다. 해석적 연속은 이 두 함수가 전체 복소평면에서 하나의 함수 해석을 정의함을 보장하며, 리우빌 정리는 이 함수가 알려지지 않은 다항식임을 의미하며, 이는 종종 0이거나 상수이다. 경계의 가장자리와 모서리에서의 조건 분석을 통해 이 다항식의 차수를 결정할 수 있다.

## 위너-호프 분해
위너-호프 방법에서 나타나는 기본 방정식은 다음과 같은 형태를 가진다.
:A(\alpha)\Xi_+(\alpha) + B(\alpha)\Psi_-(\alpha) + C(\alpha) =0, 
여기서 A, B, C는 알려진 정칙 함수이고, 함수 \Xi_+(\alpha), \Psi_-(\alpha)는 미지수이며, 이 방정식은 복소평면 \alpha 평면의 띠 \tau_- 에서 성립한다. \Xi_+(\alpha), \Psi_-(\alpha)를 찾는 것을 **위너-호프 문제**라고 한다.

많은 위너-호프 문제에서 핵심 단계는 임의의 함수 \Phi를 위에서 설명한 원하는 속성을 가진 두 함수 \Phi_{\pm}로 분해하는 것이다. 일반적으로 이는 다음과 같이 작성하여 수행할 수 있다.

: \Phi_+(\alpha) = \frac{1}{2\pi i} \int_{C_1} \Phi(z) \frac{dz}{z-\alpha}

그리고

: \Phi_-(\alpha) = - \frac{1}{2\pi i} \int_{C_2} \Phi(z) \frac{dz}{z-\alpha},

여기서 C_1과 C_2 윤곽선은 실선에 평행하지만, 각각 점 z=\alpha 위와 아래를 통과한다.

유사하게, 임의의 스칼라 함수는 먼저 로그를 취한 다음 합 분해를 수행하여 +/− 함수의 곱, 즉 K(\alpha) = K_+(\alpha)K_-(\alpha)로 분해될 수 있다. 행렬 함수의 곱 분해(탄성파와 같은 결합된 다중 모드 시스템에서 발생)는 로그가 잘 정의되지 않고 어떤 분해도 비가환적일 것으로 예상될 수 있으므로 훨씬 더 문제가 된다. 교환 가능한 분해의 작은 하위 클래스는 크랍코프에 의해 얻어졌으며, 다양한 근사 방법도 개발되었다.

## 예시
다음 선형 편미분 방정식을 고려하자.
:\boldsymbol{L}_{xy}f(x,y)=0,
여기서 \boldsymbol{L}_{xy}는 와 에 대한 미분을 포함하는 선형 연산자이며, 주어진 함수 에 대해 &nbsp;=&nbsp;0에서의 혼합 조건이 적용된다.
:f=g(x)\text{ for }x\leq 0, \quad f_y=0\text{ when }x>0
그리고 무한대에서 감소한다. 즉, \boldsymbol{x}\rightarrow \infty일 때 &nbsp;→&nbsp;0이다.

에 대한 푸리에 변환을 수행하면 다음 상미분 방정식이 된다.
: \boldsymbol{L}_y \widehat{f}(k,y)-P(k,y)\widehat{f}(k,y)=0,
여기서 \boldsymbol{L}_{y}는  미분만을 포함하는 선형 연산자이고, 는 와 의 알려진 함수이며,
:  \widehat{f}(k,y)=\int_{-\infty}^\infty f(x,y)e^{-ikx} \, \textrm{d}x. 

무한대에서 필요한 감쇠를 만족하는 이 상미분 방정식의 특정 해가 로 표시된다면, 일반 해는 다음과 같이 작성될 수 있다.
:  \widehat{f}(k,y)=C(k)F(k,y), 
여기서 는 =0에서의 경계 조건에 의해 결정될 미지 함수이다.

핵심 아이디어는 \widehat{f}를 각각 복소평면의 하반부와 상반부에서 해석적인 두 개의 분리된 함수 \widehat{f}_{+}와 \widehat{f}_{-}로 분리하는 것이다.
:  \widehat{f}_{+}(k,y)=\int_0^\infty f(x,y)e^{-ikx}\,\textrm{d}x, 
:  \widehat{f}_{-}(k,y)=\int_{-\infty}^0 f(x,y)e^{-ikx}\,\textrm{d}x. 

경계 조건은 다음과 같이 주어진다.
:  \widehat{g\,}(k)+\widehat{f}_{+}(k,0) = \widehat{f}_{-}(k,0)+\widehat{f}_{+}(k,0) = \widehat{f}(k,0) = C(k)F(k,0) 
그리고 y에 대해 미분하면,
:  \widehat{f}'_{-}(k,0) = \widehat{f}'_{-}(k,0)+\widehat{f}'_{+}(k,0) = \widehat{f}'(k,0) = C(k)F'(k,0). 

C(k)를 소거하면 다음이 나온다.
:  \widehat{g\,}(k)+\widehat{f}_{+}(k,0) = \widehat{f}'_{-}(k,0)/K(k), 
여기서
:  K(k)=\frac{F'(k,0)}{F(k,0)}. 

이제 K(k)는 각각 상반부와 하반부 평면에서 해석적인 함수 K^{-}와 K^{+}의 곱으로 분해될 수 있다.

정확히 말하면,  K(k)=K^{+}(k)K^{-}(k),  여기서
:  \log K^{-} = \frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^\infty \frac{\log(K(z))}{z-k} \,\textrm{d}z, \quad \operatorname{Im}k>0, 
:  \log K^{+} = -\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^\infty \frac{\log(K(z))}{z-k} \,\textrm{d}z, \quad \operatorname{Im}k
(이는 때때로 k\rightarrow\infty일 때 K가 1로 수렴하도록 K를 스케일링하는 것을 포함한다.) 또한 K^{+}\widehat{g\,}를 각각 하반부와 상반부 평면에서 해석적인 두 함수 G^{+}와 G^{-}의 합으로 분해한다. 즉,
:  K^{+}(k)\widehat{g\,}(k)=G^{+}(k)+G^{-}(k). 

이것은  K(k). 를 인수분해하는 것과 같은 방식으로 수행할 수 있다.
결과적으로,
:  G^{+}(k) + K_{+}(k)\widehat{f}_{+}(k,0) = \widehat{f}'_{-}(k,0)/K_{-}(k) - G^{-}(k). 

이제 위 방정식의 좌변은 하반부 평면에서 해석적이고, 우변은 상반부 평면에서 해석적이므로, 해석적 연속은 각각의 반평면에서 좌변 또는 우변과 일치하는 전체 함수의 존재를 보장한다. 더 나아가, 위 방정식의 양변의 함수가 큰 에서 감소하는 것으로 나타날 수 있으므로, 리우빌 정리를 적용하면 이 전체 함수가 항등적으로 0임을 알 수 있다. 따라서
: \widehat{f}_{+}(k,0) = -\frac{G^{+}(k)}{K^{+}(k)}, 
그리고
:  C(k) = \frac{K^{+}(k)\widehat{g\,}(k)-G^{+}(k)}{K^{+}(k)F(k,0)}. 

## 같이 보기
* 위너 필터
* 리만-힐베르트 문제

## 내용주

## 각주
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분류:편미분 방정식