퀴리 법칙

많은 상자성 물질의 경우, 충분히 높은 온도와 작은 자기장에서 물질의 자기화는 인가된 자기장에 정비례한다. 그러나 물질이 가열되면 이 비례 관계는 감소한다. 자기장의 고정된 값에 대해 자기 감수율은 온도에 반비례한다. 즉,
: M = \chi H, \quad \chi = \frac{C}{T},
여기서
: \chi>0는 (부피) 자기 감수율,
: M은 결과적인 자기화의 크기(A/m),
: H는 인가된 자기장의 크기(A/m),
: T는 절대 온도(K),
: C는 재료 고유의 **퀴리 상수**(K)이다.

피에르 퀴리는 실험 데이터를 통해 이 관계를 발견했으며, 이는 현재 **퀴리 법칙**()으로 알려져 있다. 이는 높은 온도와 약한 자기장에서만 성립한다. 아래의 유도에서 볼 수 있듯이, 자기화는 낮은 온도와 강한 자기장의 반대 극한에서 포화된다. 퀴리 상수가 0이면 랑주뱅 반자성 또는 반 믈렉 상자성과 같은 다른 자기 효과가 지배적이다.

## 양자 역학을 이용한 유도
[섬네일|right|300px|[역온도의 함수로서 상자성체의 자기화]]

상자성체의 수학적 모델은 서로 상호작용하지 않는 입자에 초점을 맞춘다. 각 입자는 \vec{\mu}로 주어지는 자기 모멘트를 갖는다. 자기장 내에서 자기 모멘트의 에너지는 다음과 같이 주어진다.

: E = -\boldsymbol{\mu} \cdot \mathbf{B},

여기서 \mathbf{B} = \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M})은 테슬라(T)로 측정되는 자기장 밀도이다.

### 2상태 (스핀-1/2) 입자
계산을 단순화하기 위해 2상태 입자를 사용한다. 이 입자는 자기 모멘트를 자기장과 정렬시키거나 반대 방향으로 정렬시킬 수 있다. 따라서 자기 모멘트의 가능한 값은 \mu와 -\mu뿐이다. 그렇다면 이러한 입자는 자기장과 정렬될 때 -\mu B의 에너지와 자기장에 반대 방향으로 정렬될 때 +\mu B의 두 가지 가능한 에너지 값만 갖는다.

자기 모멘트가 자기장에 정렬되는 정도는 분배 함수에서 계산할 수 있다. 단일 입자의 경우 다음과 같다.
: Z_1 = \sum_{n=0,1} e^{-E_n \beta} = e^{\mu B\beta} + e^{-\mu B\beta} = 2 \cosh(\mu B\beta).
상호작용하지 않는 N개의 입자 집합에 대한 분배 함수는 다음과 같다.
:  Z = Z_1^N,
따라서 자유 에너지는 다음과 같다.
:  G = -\frac{1}{\beta} \log Z = - N k_{\rm B} T \log Z_1.
자기화는 인가된 자기장에 대한 자유 에너지의 음의 미분이며, 따라서 단위 부피당 자기화는 다음과 같다.
: M = n \mu \tanh\frac{\mu B}{k_{\rm B}T},
여기서 n은 자기 모멘트의 개수밀도이다. 위의 공식은 랑주뱅 상자성 방정식으로 알려져 있다.
피에르 퀴리는 그의 실험에서 사용된 비교적 높은 온도와 낮은 자기장에 적용되는 이 법칙의 근사치를 발견했다. 온도가 증가하고 자기장이 감소함에 따라 쌍곡선 탄젠트의 인수가 감소한다. **퀴리 영역**에서,
: \frac{\mu B}{k_{\rm B}T} \ll 1.
또한, |x| \ll 1이면
: \tanh x \approx x,
따라서 자기화는 작고 B \approx \mu_0 H로 쓸 수 있으며, 따라서

: M \approx \frac{\mu_0 \mu^2 n}{k_{\rm B}} \frac{H}{T}.

이 영역에서, 다음과 같이 주어진 자기 감수율은

: \chi = \frac{\partial M}{\partial H} \approx \frac{M}{H}

다음과 같다.
: \chi(T \to \infty) = \frac{C}{T},

퀴리 상수는 C = \mu_0 n\mu^2/k_{\rm B}로, 켈빈(K) 단위이다.

낮은 온도 또는 높은 자기장 영역에서 M은 n\mu의 최댓값으로 수렴하며, 이는 모든 입자가 자기장과 완전히 정렬됨을 의미한다. 이 계산은 페르미 표면 내부에 깊이 박힌 전자들을 설명하지 않으며, 파울리 배타 원리에 의해 스핀을 뒤집는 것이 금지되어 있으므로 낮은 온도에서 문제의 양자 통계를 설명하지 않는다. 페르미-디랙 분포를 사용하면 낮은 온도에서 M이 자기장에 선형적으로 의존하며, 자기 감수율이 상수로 포화됨을 알 수 있다.

### 일반적인 경우
입자가 임의의 스핀(어떤 수의 스핀 상태)을 가질 때, 공식은 약간 더 복잡하다. 낮은 자기장 또는 높은 온도에서 스핀은 퀴리 법칙을 따르며,
: C = \frac{\mu_0 \mu_\text{B}^2}{3 k_{\rm B}} n g^2 J(J + 1),
여기서 J는 총 각운동량 양자수이고, g는 g-인자(\mu = g J \mu_\text{B}는 자기 모멘트)이다. 자기 모멘트 \mu를 가진 2단계 시스템의 경우 공식은 다음과 같이 축소된다.
C = \frac{1}{k_{\rm B}}n \mu_0 \mu^2,
위에서와 같이, 가우스단위계에서의 해당 표현은 다음과 같다.
C = \frac{\mu_{\rm B}^2}{3 k_{\rm B}}n g^2 J(J+1),
C = \frac{1}{k_{\rm B}}n\mu^2.

이 더 일반적인 공식과 그 유도(높은 자기장, 낮은 온도 포함)에 대해서는 브릴루앙 함수 문서를 참조하라.

스핀이 무한대에 가까워지면 자기화 공식은 다음 섹션에서 유도된 고전적인 값에 근접한다.

## 고전 통계 역학을 이용한 유도
대안적인 접근 방식은 상자성체가 고전적인, 자유롭게 회전하는 자기 모멘트라고 가정할 때 적용된다. 이 경우, 그들의 위치는 구면 좌표계의 각도에 의해 결정되며, 그들 중 하나의 에너지는 다음과 같다.

:E = - \mu B\cos\theta, 

여기서 \theta는 자기 모멘트와 자기장 사이의 각도이다 (자기장은 z 좌표를 가리킨다고 가정한다). 해당하는 분배 함수는 다음과 같다.

:Z = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin\theta \exp( \mu B\beta \cos\theta).

\phi 각도에 의존성이 없음을 알 수 있으며, y=\cos\theta로 변수를 변경하여 다음을 얻을 수 있다.

:Z = 2\pi \int_{-1}^ 1 d y \exp( \mu B\beta y) =
2\pi{\exp( \mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }=
{4\pi\sinh( \mu B\beta ) \over \mu B\beta .}


이제, 자기화의 z 성분의 기대값(나머지 두 성분은 0으로 판명된다 ( \phi에 대한 적분 때문에), 예상대로)은 다음과 같이 주어진다.

:\left\langle\mu_z \right\rangle = {1 \over Z} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin\theta \exp( \mu B\beta \cos\theta) \left[\mu\cos\theta\right] .

계산을 단순화하기 위해, 이를 Z의 미분으로 쓸 수 있음을 알 수 있다.

:\left\langle\mu_z\right\rangle = {1 \over Z \beta} \frac{\partial Z}{\partial B} = {1 \over \beta} \frac{\partial \ln Z}{\partial B}
(이 접근 방식은 위 모델에도 사용할 수 있지만, 계산이 너무 간단하여 그다지 유용하지 않다.)

유도를 수행하면 다음을 얻는다.

:M=n\left\langle\mu_z\right\rangle = n\mu L(\mu B\beta), 

여기서 L은 랑주뱅 함수이다.

: L(x)= \coth x -{1 \over x}.

이 함수는 작은 x에 대해 특이해 보이지만, 두 특이 항이 서로 상쇄되므로 그렇지 않다. 사실, 작은 인수에 대한 행동은 L(x) \approx x/3이므로, 퀴리 한계도 적용되지만 이 경우 퀴리 상수는 3배 작다. 유사하게, 함수는 인수의 큰 값에 대해 1로 포화되며, 반대 극한도 마찬가지로 회복된다.

## 역사
피에르 퀴리는 1895년에 산소의 자기 감수율이 온도에 반비례한다는 것을 관찰했다. 폴 랑주뱅은 10년 후 이 관계에 대한 고전적 유도를 제시했다.

## 같이 보기
* 퀴리-바이스 법칙

## 각주

## 외부 링크
* Curie's law 메리엄-웹스터

분류:전자기학