운동량 연산자

양자역학에서 **운동량 연산자**()는 운동량과 관련된 연산자이다. 운동량 연산자는 위치 표현에서 미분 연산자의 한 예이다. 하나의 공간 차원에서 하나의 입자의 경우 정의는 다음과 같다.

\hat{p} = - i \hbar \frac{\partial}{\partial x} 

여기서 는 환산 플랑크 상수, 는 허수 단위, 는 공간 좌표이며, 파동 함수도 시간의 함수이므로 전미분() 대신 편미분(\partial/\partial x로 표시)이 사용된다. "모자"는 연산자를 나타낸다. 미분 가능한 파동 함수에 대한 연산자의 "적용"은 다음과 같다.

 \hat{p}\psi = - i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial x} 

운동량 표현으로 표현된 운동량 고유 상태로 구성된 힐베르트 공간의 기저에서 연산자의 작용은 단순히 를 곱하는 것이며, 즉 그것은 곱셈 연산자이다. 위치 연산자가 위치 표현에서 곱셈 연산자인 것과 같다. 위의 정의는 정준 운동량이며, 이는 게이지 불변이 아니며 전자기장의 전하를 띤 입자에 대한 측정 가능한 물리량이 아니다. 이 경우, 정준 운동량은 운동량과 같지 않다.

1920년대 양자역학이 개발될 당시, 운동량 연산자는 닐스 보어, 아르놀트 조머펠트, 에르빈 슈뢰딩거, 유진 위그너를 포함한 많은 이론 물리학자들에 의해 발견되었다. 그 존재와 형태는 때때로 양자역학의 기초적인 가정 중 하나로 여겨진다.

## 드 브로이 평면파에서 유래
운동량과 에너지 연산자는 다음과 같이 구성될 수 있다.

### 1차원
1차원에서 시작하여 단일 자유 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 평면파 해를 사용한다.

 \psi(x, t) = e^{\frac{i}{\hbar}(px - Et)},

여기서 는 -방향의 운동량으로 해석되고 는 입자 에너지이다. 공간에 대한 1차 편미분은 다음과 같다.

 \frac{\partial \psi(x, t)}{\partial x} = \frac{ip}{\hbar} e^{\frac{i}{\hbar}(px - Et)} = \frac{ip}{\hbar} \psi.

이것은 다음 연산자 등가성을 시사한다.

 \hat{p} = -i\hbar \frac{\partial }{\partial x}

따라서 입자의 운동량과 입자가 평면파 상태에 있을 때 측정되는 값은 위 연산자의 (일반화된) 고유값이다.

편미분은 선형 연산자이므로 운동량 연산자도 선형이며, 모든 파동 함수는 다른 상태들의 양자 중첩으로 표현될 수 있으므로, 이 운동량 연산자가 전체 중첩된 파동에 작용할 때, 각 평면파 성분에 대한 운동량 고유값을 산출한다. 이 새로운 성분들은 중첩되어 새로운 상태를 형성하며, 일반적으로 이전 파동 함수의 배수가 아니다.

### 3차원
3차원에서의 유도는 동일하지만, 하나의 편미분 대신 델 연산자가 사용된다. 3차원에서 슈뢰딩거 방정식의 평면파 해는 다음과 같다.

 \psi = e^{\frac{i}{\hbar}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}-E t)}

그리고 기울기는 다음과 같다.

 \begin{align}
\nabla \psi &= \mathbf{e}_x\frac{\partial \psi}{\partial x} + \mathbf{e}_y\frac{\partial \psi}{\partial y} + \mathbf{e}_z\frac{\partial \psi}{\partial z} \\
& = \frac{i}{\hbar} \left ( p_x\mathbf{e}_x + p_y\mathbf{e}_y+ p_z\mathbf{e}_z \right)\psi \\
& = \frac{i}{\hbar} \mathbf{p}\psi
\end{align}

여기서 , , 및 는 세 공간 차원에 대한 단위 벡터이므로,

 \mathbf{\hat{p}} = -i \hbar \nabla

이 운동량 연산자는 공간 변수에 대해 편미분이 취해졌기 때문에 위치 공간에 있다.

## 정의 (위치 공간)

전하가 없고 스핀이 없는 단일 입자의 경우, 운동량 연산자는 위치 기저에서 다음과 같이 작성될 수 있다.

\mathbf{\hat{p}}=-i\hbar\nabla

여기서 는 기울기 연산자, 는 환산 플랑크 상수, 그리고 는 허수 단위이다.

하나의 공간 차원에서 이것은 다음과 같이 된다.

\hat{p}=\hat{p}_x=-i\hbar{\partial \over \partial x}.

이것은 정준 운동량의 표현이다. 전자기장 내의 전하 를 가진 입자의 경우, 게이지 변환 동안 위치 공간 파동 함수는 국소적인 U(1) 군 변환을 겪게 되고,  \hat{p}\psi = - i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial x} 는 그 값이 변한다. 따라서 정준 운동량은 게이지 불변이 아니며, 따라서 측정 가능한 물리량이 아니다.

게이지 불변 물리량인 운동량은 정준 운동량, 스칼라 퍼텐셜&nbsp; 및 벡터 퍼텐셜&nbsp;로 표현될 수 있다.

\mathbf{\hat{P}} = -i\hbar\nabla - q\mathbf{A} 

위 표현을 최소 결합이라고 한다. 전기적으로 중성인 입자의 경우, 정준 운동량은 운동량과 같다.

## 속성

### 에르미트성
운동량 연산자는 대칭 (즉, 에르미트)이며, 양자 상태 공간의 조밀한 부분 공간에서 작용하는 비유계 작용소로 설명될 수 있다. 연산자가 (정규화 가능한) 양자 상태에 작용하는 경우, 연산자는 자기 수반이다. 물리학에서 '에르미트'라는 용어는 대칭 연산자와 자기 수반 연산자 둘 다를 의미하는 경우가 많다.

(반무한 구간 에서의 양자 상태와 같은 특정 인공적인 상황에서는 운동량 연산자를 에르미트화할 방법이 없다. 이는 반무한 구간이 병진 대칭성을 가질 수 없다는 사실과 밀접한 관련이 있다. 더 정확히 말하면, 유니터리 변환 연산자를 가지지 않는다. 아래 아래를 참조.)

### 정준 교환 관계

위치 또는 운동량 기저에서 임의의 상태에 교환자를 적용하면 다음을 쉽게 보일 수 있다.

 \left [ \hat{x}, \hat{p} \right ] = \hat{x} \hat{p} - \hat{p} \hat{x} = i \hbar  \mathbb{I}, 

여기서  \mathbb{I}는 단위 연산자이다.
하이젠베르크의 불확정성 원리는 단일 가관측량 시스템의 운동량과 위치가 동시에 얼마나 정확하게 알려질 수 있는지에 대한 한계를 정의한다. 양자역학에서 위치와 운동량은 켤레 변수이다.

### 푸리에 변환
다음 논의는 브라-켓 표기법을 사용한다.

 \psi(x)=\langle x|\psi\rangle =\int\!\!dp~ \langle x|p\rangle \langle p|\psi\rangle = \int\!\!dp~ {e^{ixp/\hbar} \tilde \psi (p) \over \sqrt{2\pi\hbar}},

따라서 물결표는 좌표 공간에서 운동량 공간으로 변환할 때 푸리에 변환을 나타낸다. 그러면 다음이 성립한다.

  \hat{p}=   \int\!\!dp~      |  p    \rangle p \langle p|=   -i\hbar      \int\!\!dx~ |  x \rangle  \frac{ d}{d x} \langle x| ~,  

즉, 좌표 공간에서 작용하는 운동량은 공간 주파수에 해당한다.

 \langle  x | \hat{p} | \psi \rangle = - i \hbar \frac{d}{dx} \psi ( x ) .

유사한 결과가 운동량 기저에서 위치 연산자에도 적용된다.

 \langle  p | \hat{x} | \psi \rangle =  i \hbar \frac{d}{dp} \psi ( p ), 

이는 추가적인 유용한 관계들을 이끌어낸다.

 \langle p | \hat{x} | p' \rangle = i \hbar \frac{d}{dp} \delta (p - p') ,

 \langle x | \hat{p} | x' \rangle = -i \hbar \frac{d}{dx} \delta (x - x') ,

여기서 는 디랙 델타 함수를 의미한다.

## 무한소 변환으로부터의 유도

변환 연산자는 로 표시되며, 여기서 는 변환의 길이를 나타낸다. 다음 항등식을 만족한다.

 T(\varepsilon) | \psi \rangle =  \int dx T(\varepsilon) | x \rangle \langle x | \psi \rangle 

이는 다음이 된다.

\int dx | x + \varepsilon \rangle \langle x |\psi \rangle = \int dx | x \rangle \langle x - \varepsilon | \psi \rangle = \int dx | x \rangle  \psi(x - \varepsilon) 

함수 \psi가 해석적이라고 가정하면 (미분 가능한 어떤 복소평면 영역에서), 에 대한 테일러 급수로 확장할 수 있다.

\psi(x-\varepsilon) = \psi(x) - \varepsilon \frac{d \psi}{dx} 

따라서 의 무한소 값에 대해 다음과 같다.

 T(\varepsilon) = 1 - \varepsilon {d \over dx}  = 1 - {i \over \hbar} \varepsilon \left ( - i \hbar { d \over dx} \right )

고전역학에서 알려진 바와 같이, 운동량은 변환의 생성자이므로, 변환 연산자와 운동량 연산자 사이의 관계는 다음과 같다.

 T(\varepsilon) =  1 - \frac{i}{\hbar} \varepsilon \hat{p}

따라서

 \hat{p} = - i \hbar \frac{d}{dx}. 

## 4차원 운동량 연산자
위의 3차원 운동량 연산자와 에너지 연산자를 4차원 운동량 ( 계량 부호수를 가진 1-형식)에 삽입하면:

P_\mu = \left(\frac{E}{c},-\mathbf{p}\right)

**4차원 운동량 연산자**를 얻는다.

\hat{P}_\mu = \left(\frac{1}{c}\hat{E},-\mathbf{\hat{p}}\right) = i\hbar\left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \nabla\right) = i\hbar\partial_\mu 

여기서 는 4-기울기이며, 는 3차원 운동량 연산자 앞에 가 된다. 이 연산자는 디랙 방정식 및 기타 상대론적 파동 방정식과 같은 상대론적 양자장론에서 나타나는데, 에너지와 운동량이 위의 4차원 운동량 벡터로 결합되고, 운동량과 에너지 연산자가 공간 및 시간 미분에 해당하며, 로런츠 공변성을 위해 1차 편미분이어야 하기 때문이다.

4차원 운동량의 디랙 연산자와 디랙 슬래시는 디랙 행렬과 수축하여 주어진다.

 \gamma^\mu\hat{P}_\mu = i\hbar \gamma^\mu\partial_\mu = \hat{P} = i\hbar\partial \!\!\!/

만약 부호수가 였다면, 연산자는 다음이 되었을 것이다.

\hat{P}_\mu = \left(-\frac{1}{c}\hat{E},\mathbf{\hat{p}}\right) = -i\hbar\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\nabla\right) = -i\hbar\partial_\mu

대신에.

## 같이 보기
* 전자기장의 수학적 설명
* 양자역학의 변환 연산자
* 상대론적 파동 방정식
* 파울리-루반스키 벡터

## 각주

분류:연산자 이론