오일러-매클로린 공식

수학에서 **오일러-매클로린 공식**(Euler–Maclaurin formula)은 어떤 적분 값과 이와 밀접하게 관련된 합 사이의 차이에 대한 공식이다. 이 공식은 유한 합으로 적분을 근사화하거나 반대로 적분과 미적분학 방법을 사용하여 유한 합이나 무한 급수를 평가하는 데 사용할 수 있다. 예를 들어, 이 공식으로부터 다수의 점근적 확장식이 파생되고, 거듭제곱의 합에 대한 파울하버(Johann Faulhaber)의 공식은 이로부터 곧바로 유도된다.

이 공식은 1735년경 레온하르트 오일러와 콜린 매클로린에 의해 독립적으로 발견되었다. 오일러는 천천히 수렴하는 무한급수를 계산하는 데 이 식이 필요했고 매클로린은 적분을 계산하는 데 이 식을 사용했다. 나중에 다르부(Darboux)의 공식으로 일반화되었다.

## 공식
만일  과  이 자연수 이고  가 구간  에서 실수  에 대한 실수 또는 복소수 값 연속 함수 인 경우에 적분식I = \int_m^n f(x)\,dx는 아래의 합계로 근사할 수 있고, 그 역도 가능하다.S = f(m + 1) + \cdots + f(n - 1) + f(n)( 사각형 방법 참조).
오일러-매클로린 공식은 구간의 끝점, 즉  및  에서 평가된 더 높은 도함수  값을 이용하여 합과 적분 값의 차이에 대한 식을 제공한다.

구체적으로, 양의 정수  와  구간에서  번 연속적으로 미분 할 수 있는 함수  에 대해 우리는 다음 식,S - I = \sum_{k=1}^p {\frac{B_k}{k!} \left(f^{(k - 1)}(n) - f^{(k - 1)}(m)\right)} + R_p,을 갖는데, 여기서  는 번째 베르누이 수 (with 이고,  는 차이값으로 , , , 및 에 의돈하고 적당한  에 대하여 작은 값이다.

이 공식은 종종 짝수의 하첨자만을 취하면서 기술하는데, 이는  을 제외하고 홀수 베르누이 수가 0이기 때문이다.  이 경우에 식은,\sum_{i=m}^n f(i) =
  \int^n_m f(x)\,dx + \frac{f(n) + f(m)}{2} +
  \sum_{k=1}^{\left\lfloor \frac{p}{2}\right\rfloor} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right) + R_p,
가 되고, 달리 표현하면,\sum_{i=m+1}^n f(i) =
  \int^n_m f(x)\,dx + \frac{f(n) - f(m)}{2} +
  \sum_{k=1}^{\left\lfloor \frac{p}{2}\right\rfloor} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right) + R_p
가 된다.

### 나머지 항
일반적으로 적분값이 합산값과 정확하게 같지 않기 때문에 나머지 항이 발생한다. 이 공식은  대해 연속적인 구간  에 대하여 부분적분을 반복적으로 적용하여 유도할 수 있다. 이러한 적분의 경계 항은 공식의 주요 항으로 유도되고 잔류 적분은 나머지 항을 형성한다.

나머지 항은 주기화된 베르누이 함수  로 정확하게 표현된다. 베르누이 다항식은  에 의해 재귀적으로 정의될 수 있고,  인 경우 아래와 같이 된다.\begin{align}
  B_k'(x) &= kB_{k - 1}(x), \\
  \int_0^1 B_k(x)\,dx &= 0.
\end{align}주기화된 베르누이 함수는 다음 식,P_k(x) = B_k\bigl(x - \lfloor x\rfloor\bigr)으로 정의되는데, 여기서  는 x보다 작거나 같은 가장 큰 정수를 나타내므로  는 항상 구간  에 있다.

이 표기법에서 나머지 항  는 다음과 같다.R_p = (-1)^{p+1}\int_m^n f^{(p)}(x) \frac{P_p(x)}{p!}\,dx. 이 식은  일 때 다음 식,\bigl|B_k(x)\bigr| \le \frac{2 \cdot k!}{(2\pi)^k}\zeta(k),으로 표기될 수 있는데, 여기서  는 리만 제타 함수를 나타낸다. 이 부등식을 증명하는 한 가지 방법은 다항식  에 대한 푸리에 급수를 얻는 것이다. 한계값은   가 0일 때 짝수  에 대하여 달성된다.  항은 홀수  에 대해 생략될 수 있지만 이 경우 증명은 더 복잡하다(레머 참조). 이 부등식을 사용하여 나머지 항의 크기는 다음과 같이 추정할 수 있다.\left|R_p\right| \leq \frac{2 \zeta(p)}{(2\pi)^p}\int_m^n \left|f^{(p)}(x)\right|\,dx.

### 저 차수 사례
 부터  까지의 베르누이 수는,  이다. 따라서, 오일러-매클로린 공식의 저 차수 값은 아래와 같이 된다.\begin{align}
\sum_{i=m}^n f(i) - \int_m^n f(x)\,dx &= \frac{f(m)+f(n)}{2} + \int_m^n f'(x)P_1(x)\,dx \\
&=\frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} - \int_m^n f*(x)\frac{P_2(x)}{2!}\,dx \\
&=\frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} + \int_m^n f*'(x)\frac{P_3(x)}{3!}\,dx \\
&=\frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} - \frac{1}{30}\frac{f**(n) - f**(m)}{4!}-\int_m^n f^{(4)}(x) \frac{P_4(x)}{4!}\, dx \\
&=\frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} - \frac{1}{30}\frac{f**(n) - f**(m)}{4!} + \int_m^n f^{(5)}(x)\frac{P_5(x)}{5!}\,dx \\
&=\frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} - \frac{1}{30}\frac{f**(n) - f**(m)}{4!} + \frac{1}{42}\frac{f^{(5)}(n) - f^{(5)}(m)}{6!} - \int_m^n f^{(6)}(x)\frac{P_6(x)}{6!}\,dx \\
&=\frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} - \frac{1}{30}\frac{f**(n) - f**(m)}{4!} + \frac{1}{42}\frac{f^{(5)}(n) - f^{(5)}(m)}{6!} + \int_m^n f^{(7)}(x)\frac{P_7(x)}{7!}\,dx.
\end{align}

## 응용

### 바젤 문제
Basel 문제는 아래 합을 결정하는 것이다. 1 + \frac14 + \frac19 + \frac1{16} + \frac1{25} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}. 오일러는 1735년에 오일러-매클로린 공식의 겨우 몇개의 항을 계산하여 소수점 이하 20자리까지 계산하였다. 아마도 오일러는 이로써 이 값이 과 같을 것으로 확신하였고, 같은 해에 이를 증명하였다.

### 다항식을 포함하는 합계
만일  가 다항식이고  가 충분히 크면 나머지 항이 사라진다. 예를 들어  이면  를 선택하여 단순화 후 다음을 얻을 수 있다.\sum_{i=0}^n i^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2.

### 적분의 근사
이식에 의하면 정적분을 근사하는 수단이 제공된다.  이제  를 적분 구간의 끝점이라고 한다. 근사에서 사용하는 점의 숫자인  으로 고정하고, 이에 따른 스텝의 크기를  으로 표기한다.   으로 고정하면,  및 이 된다.  그렇다면 아래식으로 된다.
\begin{align}
I & = \int_a^b f(x)\,dx \\
&\sim h\left(\frac{f(x_1)}{2} + f(x_2) + \cdots + f(x_{N-1}) + \frac{f(x_N)}{2}\right) + \frac{h^2}{12}\bigl[f'(x_1) - f'(x_N)\bigr] - \frac{h^4}{720}\bigl[f**(x_1) - f**(x_N)\bigr] + \cdots
\end{align}
이것은 수정 항을 포함하여 사다리꼴 공식을 확장하는 것으로 볼 수 있다. 이 점근적 확장은 일반적으로 수렴하지 않는다. 즉   와  에 따라 일부  가 있으므로 과거 순서  가 빠르게 증가한다. 따라서 나머지 항은 일반적으로 세심한 주의가 필요하다.

오일러-매클로린 공식은 수치 직교에서 상세한 오차 분석에도 사용된다. 이 식은 완만한 주기 함수에 대한 사다리꼴 규칙의 우수한 성능을 설명하고 특정한 외삽 방법에 사용된다. Clenshaw-Curtis 구적법 은 (특정한 경우 오일러-매클로린 공식은 이산 코사인 변환의 형태를 취한다는 점에서) 본질적으로 오일러-매클로린 접근법이 매우 정확하게 되는 주기 함수의 적분 항으로 임의의 적분을 캐스팅하기 위하여 변수를 변경한 것이다. 이 기법은 주기화 변환으로 알려져 있다.

### 합의 점근적 확장
합과 급수의 점근 전개를 계산하는 경우에 일반적으로 오일러-맥클로린 공식의 가장 유용한 형식은 다음과 같다.\sum_{n=a}^b f(n) \sim \int_a^b f(x)\,dx + \frac{f(b) + f(a)}{2} + \sum_{k=1}^\infty \,\frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(b) - f^{(2k - 1)}(a)\right),여기서  와  는 정수이다. 이 확장은 극한  또는  또는 둘 모두를 취한 후에도 종종 유효하다. 많은 경우에 우변의 적분은, 비록 좌변의 합은 할 수 없지만, 기본 함수의 항의 닫힌 형식 으로 평가할 수 있다. 그러면 점근적 급수의 모든 항은 기본 함수로 표현될 수 있다.

예를 들어,\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(z + k)^2} \sim \underbrace{\int_0^\infty\frac{1}{(z + k)^2}\,dk}_{= \dfrac{1}{z}} + \frac{1}{2z^2} + \sum_{t = 1}^\infty \frac{B_{2t}}{z^{2t + 1}}
와 같이 될 수 있다.

여기서 좌변은 , 즉 다음과 같이 정의된 1차 폴리감마 함수,

: \psi^{(1)}(z) = \frac{d^2}{dz^2}\log \Gamma(z)
와 같다.

감마 함수  는   가 양의 정수일 때. 그 결과  에 대한 점근적 확장이 발생한다. 반대로 이 확장은 스털링의 계승 함수 근사에 대한 정확한 오차 추정치의 도출 중 하나를 위한 시작점 역할을 한다.

#### 예
만일  가 1보다 큰 정수이면 아래 식이 된다.\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^s} \approx \frac 1{s-1}+\frac 12-\frac 1{(s-1)n^{s-1}}+\frac 1{2n^s}+\sum_{i=1}\frac{B_{2i}}{(2i)!}\left[\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!}-\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}\right].상수를 리만 제타 함수의 값으로 수집하면 아래의 점근 전개를 작성할 수 있다.\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^s} \sim\zeta(s)-\frac 1{(s-1)n^{s-1}}+\frac 1{2n^s}-\sum_{i=1}\frac{B_{2i}}{(2i)!}\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}.여기서  가 2인 경우 이는 다음과 같이 단순화된다.\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \sim\zeta(2)-\frac 1n+\frac 1{2n^2}-\sum_{i=1}\frac{B_{2i}}{n^{2i+1}},즉,\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \sim \frac{\pi^2}{6} -\frac{1}{n} +\frac{1}{2n^2} -\frac{1}{6n^3}+\frac{1}{30n^5}-\frac{1}{42n^7} + \cdots.여기서  일 때 해당 기술은 고조파 수에 대해 점근적 확장을 제공한다.\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \sim \gamma + \log n + \frac{1}{2n} - \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2kn^{2k}},여기서  는 오일러-마스케로니 상수이다.

## 증명

### 수학적 귀납법에 의한 유도
우리는 Apostol에서 주어진 주장을 요약한다.

위에서  에 대한 베르누이 다항식  및 주기적 베르누이 함수  가 소개되었다.

처음 몇 개의 Bernoulli 다항식은 다음과 같다.\begin{align}
 B_0(x) &= 1, \\
 B_1(x) &= x - \tfrac{1}{2}, \\
 B_2(x) &= x^2 - x + \tfrac{1}{6}, \\
 B_3(x) &= x^3 - \tfrac{3}{2}x^2 + \tfrac{1}{2}x, \\
 B_4(x) &= x^4 - 2x^3 + x^2 - \tfrac{1}{30}, \\
     &\,\,\,\vdots
\end{align} 값은 베르누이 수 이다. 특히  경우B_n = B_n(1) = B_n(0),되고, 그리고  인 경우,B_1 = B_1(1) = -B_1(0).이 됨을 유의하라.

함수  은 간격 에서 베르누리 다항식과 일치하고 주기 1로 주기적이다. 또한  인 경우를 제외하고는 연속적이다. 따라서, P_n(0) = P_n(1) = B_n \quad \text{for }n \neq 1. 를 정수로 두고 아래 적분, \int_k^{k + 1} f(x)\,dx = \int_k^{k + 1} u\,dv,여기서\begin{align}
  u &= f(x), \\
 du &= f'(x)\,dx, \\
 dv &= P_0(x)\,dx & \text{since }P_0(x) &= 1, \\
  v &= P_1(x).
\end{align}인 적분을 고려하자.

이 식은 부분 적분에 의하면 아래 식이 된다.\begin{align}
 \int_k^{k + 1} f(x)\,dx &= \bigl[uv\bigr]_k^{k + 1} - \int_k^{k + 1} v\,du \\
             &= \bigl[f(x)P_1(x)\bigr]_k^{k + 1} - \int_k^{k+1} f'(x)P_1(x)\,dx \\
             &= B_1(1)f(k+1)-B_1(0)f(k) - \int_k^{k+1} f'(x)P_1(x)\,dx.
\end{align}, , 를 이용하고, 위 식을  부터 까지 더하면, 위식은 아래와 같이 된다.\begin{align}
\int_0^n f(x)\, dx &= \int_0^1 f(x)\,dx + \cdots + \int_{n-1}^n f(x)\,dx \\
&= \frac{f(0)}{2}+ f(1) + \dotsb + f(n-1) + \frac{f(n)}{2} - \int_0^n f'(x) P_1(x)\,dx.
\end{align}양변에  을 더하고 항을 정리하면, 위 식은 아래와 같이 된다. \sum_{k=1}^n f(k) = \int_0^n f(x)\,dx + \frac{f(n) - f(0)}{2} + \int_0^n f'(x) P_1(x)\,dx.이것은 합산 공식에서   경우이다. 유도를 계속하기 위해 오차 항에 부분적분을 아래와 같이 적용한다.\int_k^{k+1} f'(x)P_1(x)\,dx = \int_k^{k + 1} u\,dv,여기서, \begin{align}
  u &= f'(x), \\
 du &= f*(x)\,dx, \\
 dv &= P_1(x)\,dx, \\
  v &= \tfrac{1}{2}P_2(x).
\end{align}</math>이다.
부분적분의 결과는 <math display="block">\begin{align}
 \bigl[uv\bigr]_k^{k + 1} - \int_k^{k + 1} v\,du &= \left[\frac{f'(x)P_2(x)}{2} \right]_k^{k+1} - \frac{1}{2}\int_k^{k+1} f*(x)P_2(x)\,dx \\
         &= \frac{B_2}{2}(f'(k + 1) - f'(k)) - \frac{1}{2}\int_k^{k + 1} f*(x)P_2(x)\,dx.
\end{align}</math>이다.
 에서  까지 합산하고 이를 하위 오차 항으로 대체하면 공식에서  경우가 된다.<math display="block">\sum_{k=1}^n f(k) = \int_0^n f(x)\,dx + \frac{f(n) + f(0)}{2} + \frac{B_2}{2}\bigl(f'(n) - f'(0)\bigr) - \frac{1}{2}\int_0^n f*(x)P_2(x)\,dx.이러한 절차는 반복적으로 수행될 수 있다. 이러한 방식으로 수학적 귀납법에 의해 공식화 될 수 있는 오일러-맥클로린 합산 공식의 증명을 얻는다. 여기서 귀납법의 각 단계는 부분적분과 주기적인 베르누이 함수에 대한 항등식에 의존한다.

## 같이 보기

* Cesàro 합계
* 오일러 합계
* 가우스-크론로드 직교 공식
* Darboux의 공식
* 오일러–부울 합계

## 각주

## 추가 자료

* 
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* 
* 

## 외부 링크
* 

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분류:총합법
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분류:수치적분
분류:힐베르트 공간
분류:점근 해석