비결합 대수

**비결합 대수**() 또는 **분배 대수**는 이항 곱셈 연산에 대해 결합법칙이 성립하도록 가정하지 않는 체에 대한 대수이다. 즉, 대수 구조 A는 *<math>k</math>*에 대한 벡터 공간이고 *<math>k</math>-*쌍선형 이진 곱셈 연산 A\times A\rightarrow A가 결합되어 있으면 체 *<math>k</math>*에 대한 비결합 대수이다. 예를 들면 리 대수, 요르단 대수, 팔원수 및 벡터곱 연산이 주어진 3차원 유클리드 공간이 있다. 곱셈이 결합적이라고 가정하지 않으므로 괄호를 사용하여 곱셈의 순서를 표시해야 한다. 예를 들어, 표현 (ab)(cd), (a(bc))d, a(b(cd))는 모두 다를 수 있다.

이러한 비결합성의 사용은 결합성이 가정되지 않음을 의미하지만 결합성이 허용되지 않는다는 의미는 아니다. 즉, "비결합"은 "반드시 결합일 필요는 없음"을 의미하며, "비가환"은 비가환 환에 대해 "반드시 교환일 필요는 없음"을 함의한다.

대수의 모든 *<math>x</math>*에 대해 *<math>ex=x=xe</math>*인 항등원 *e*를 갖는 경우 대수는 단원을 갖는다고 한다. 예를 들어 팔원수는 단원을 갖지만 리 대수는 언제나 단원을 갖지 않는다.

*<math>A</math>*의 비결합 대수 구조*는* k 벡터 공간으로서 A의 전체 대수의 부분 대수인 다른 결합 대수와 연관시킴으로써 연구될 수 있다. 그러한 두 가지는 **[[미분 대수]]**와 **(결합) 포락 대수**이며 후자는 어떤 의미에서 " *<math>A</math>를* 포함하는 가장 작은 결합 대수"이다.

보다 일반적으로, 일부 저자는 가환 환 *<math>R</math>*에 대한 비결합 대수의 개념을 고려한다. R -쌍선형 이진 곱셈 연산을 갖춘 *<math>R</math>*-''모듈''  어떤 구조가 결합성을 제외한 모든 환 공리(예: *<math>R</math>-* 대수)를 따른다면 당연히 \mathbb{Z} -대수, 따라서 일부 저자는 비결합성을 참조한다. \mathbb{Z} **-비결합 환으**로서의 대수 .

## 항등식을 만족시키는 대수
두 개의 이진 연산이 있고 다른 제한이 없는 환과 같은 구조는 연구하기에 너무 일반적이고 광범위하다. 이러한 이유로 가장 잘 알려진 종류의 비결합 대수는 곱셈을 다소 단순화하는 항등식 또는 성질을 충족한다. 여기에는 다음이 포함된다.

### 일반적인 성질
,  및 를 체 k에 대한 대수 의 임의 원소라 하자. 양의(0이 아닌) 정수에 대한 거듭제곱을  및   (오른쪽 거듭제곱) 또는    ( 왼쪽 거듭제곱)로 정의하자. (저자에 따라 다름.)

* Unital : 인 원소 가 존재하므로  ; 이 경우 라고 정의할 수 있다.
* 결합법칙 :  .
* 교환법칙 :  .
* 반교환법칙 :   .
* 야코비 항등식 :    또는 저자에 따라  .
* 요르단 항등식 :    또는  저자에 따라 다름.
* 교대 법칙 :     (왼쪽 교대) 및  (오른쪽 교대).
* 유연성 :    .
*  결합된  번째 거듭제곱: 모든 정수 에 대해  이므로 이다.
** 3차 결합:  .
** 네제곱 결합:  (아래의 네제곱 교환 과 비교).
* 거듭제곱 결합 :       임의의 원소에 의해 생성된 부분 대수는 결합 **'이다.
*  인  번째 거듭제곱 교환법칙:  모든 정수 에 대해  .
** 3제곱 교환:  .
** 4제곱 교환:  (위의 ''4제곱 결합'' 과 비교).
* 거듭제곱 교환법칙: 모든 원소에 의해 생성된 부분 대수는 교환적이다. 즉, 모든 에 대해 '' 번째 거듭제곱 교환적이다'' .
* 멱영원 of index  : 모든  원소의 곱은 모든 결합에서 사라지지만 일부  원소에 대해서는 사라지지 않다.  그리고  원소가 존재하므로  .
* 인덱스 의 Nil : ''멱연산''이고 이고  이 되도록 원소  가 존재한다.

=== 성질들 사이의 관계 ===
모든 [[환의 표수|표수]]의 <math>k</math>에 대해:

* ''결합은'' ''교대을'' 함의한다.
* ''왼쪽 교대'', ''오른쪽 교대'' 및 ''유연성'' 세 가지 성질 중 두 가지 성질은 세 번째 성질을 함의한다.
** 따라서 ''교대는'' ''유연성을'' 함의한다.
* ''교대는'' ''요르단 항등식을'' 함의한다.  
* ''교환성는'' ''유연성을'' 함의한다.
* ''반가환성은'' ''유연성을'' 함의한다.
* ''교대는'' ''거듭제곱 결합성을'' 함의한다.
* ''유연성은'' ''세 번째 거듭제곱 결합성을'' 함의한다.
* ''이차 결합'' 및 ''이차 가환성은'' 항상 참이다.
* ''세제곱 결합성''과 세''제곱 교환성''은 동일하다.
* '' 제곱 결합은'' '' 제곱 가환성을'' 함의한다.
* ''인덱스 2의 Nil은'' ''반가환성을'' 함의한다.
* ''인덱스 2의 Nil은'' ''요르단 항등식을'' 함의한다.
* ''인덱스 3의 멱영원는'' ''야코비 항등식을'' 함의한다.
* ''인덱스 의 멱영원는''  인 ''인덱스 의 nil을'' 함의한다.
* ''인덱스 ''의 ''Unital'' 과 nil은 호환되지 않다.

<math>k\neq\text{GF}(2)</math> 또는  인 경우:

* ''요르단 항등식'' 와 ''교환성은'' 함께 ''거듭제곱 결합성을'' 함의한다.   

<math>\text{char}(k)\neq2</math> 인 경우:

* ''오른쪽 교대성은'' ''거듭제곱 결합성을'' 함의한다.    
** 마찬가지로 ''왼쪽 교대는'' ''거듭제곱 결합성을'' 함의한다.
* ''Unit'' 과 ''요르단의 항등원은'' 함께 ''유연성을'' 함의한다.
* ''요르단 항등식과'' ''유연성이'' 함께 어우러져 ''거듭제곱 결합성을'' 암시한다.
* ''교환'' 및 ''반 교환성은'' 함께 인덱스 ''2의 멱영원을'' 함의한다.
* ''반가환성은'' ''인덱스 2의 nil을'' 함의한다.
* ''단위'' 와 ''반가환은'' 양립할 수 없다.

<math>\text{char}(k)\neq3</math> 인 경우:

* ''Unital''과 ''야코비 항등식''은 호환되지 않다.

<math>\text{char}(k)\notin\{2,3,5\}</math>인 경우:

* 교환성 및 <math>x^4=x^2x^2</math> (네 거듭제곱 ''결합을'' 정의하는 두 항등식 중 하나)은 함께 거듭제곱 결합성을 함의한다. 

<math>\text{char}(k)=0</math> 인 경우:

* 세 번째 거듭제곱 결합과  ( 네 번째 거듭제곱 결합성을 정의하는 두 개의 항등식들 중 하나)는 거듭제곱 결합성을 함의한다. 

<math>\text{char}(k)=2</math> 인 경우:

* ''가환성과'' ''반가환성은'' 동일하다.

=== 결합자 ===
''<math>A</math>''의 **결합자**는

: <math>[x,y,z]=(xy)z-x(yz)</math>.

로 주어진 ''<math>k</math>''-다중 선형 사상<math>[\cdot,\cdot,\cdot] : A \times A \times A \to A</math>이다. 그것은 비 결합성의 정도를 측정한다. <math>A</math>가 만족할 수 있는 몇 가지 가능한 항등원을 편리하게 표현하는 데 사용할 수 있다.

<math>x,y,z</math>가 대수의 임의 원소라 하자.

* 결합: <math>[x,y,z]=0</math>.
* 교대: <math>[x,x,y]=0</math> (왼쪽 교대) 및 <math>[y,x,x]=0</math> (오른쪽 교대).
** 이는 괄호의 임의의 두 항을 치환하면 부호가 바뀜을 뜻한다: <math>[x,y,z]=-[x,z,y]=-[z,y,x]=-[y,x,z]</math> . 그 반대는  인 경우에만 성립한다.
* 유연성: <math>[x,y,x]=0</math>.
** 이는 양 끝항을 치환하면 부호가 변경됨을 함의한다: <math>[x,y,z]=[z,y,x]</math>; 그 반대는  인 경우에만 성립한다.
* 요르단 항등식:  저자에 따라 <math>[x^2,y,x]=0</math> 또는 <math>[x,y,x^2]=0</math> .
* 거듭제곱 결합: <math>[x,x,x]=0</math> .

**핵**은 다른 모든 원소와 결합하는 원소 집합이다.  즉,

: <math>[n,A,A]=[A,n,A]=[A,A,n]=\{0\}</math>

인 <math>n\in A</math>. 핵은 ''<math>A</math>''의 결합 부분 환이다.

=== 중심 ===
<math>A</math>의 **중심**은 <math>A</math>의 모든 원소들과 교환되고 결합 법칙이 성립하는 원소들의 집합이다. 즉,

: <math> C(A) = \{ n \in A \ | \ nr=rn \, \forall r \in A \, \} </math>

와 핵의 교집합. ''<math>C(A)</math>''의 원소에 대해 집합들 <math>([n,A,A], [A,n,A], [A,A,n])</math> 중 두 개가 <math>\{0\}</math>이면 충분하다는 것이 밝혀졌다. 세 번째도 0으로 설정된다.

== 예 ==
* [[벡터곱]]에 의해 주어진 곱셈을 갖는 [[유클리드 공간]] ''<math>\R^3</math>''은 반가환적(anti교환성)이고 결합적이지 않은 대수의 예이다. [[벡터곱]]은 야코비 항등식도 만족한다.
* [[리 대수]]는 반교환성과 야코비 항등식을 만족하는 대수이다.
* 미분 가능 다양체(''<math>k</math>''가 ''<math>\R</math>'' 또는 [[복소수]] ***<math>\C</math>***인 경우) 또는 [[대수다양체|대수 다형체]] (일반적인 ''<math>k</math>''의 경우)에서 [[벡터장]]의 대수;
* [[요르단 대수]]는 교환법칙과 요르단 항등식을 만족시키는 대수이다. 
* 모든 결합 대수는 교환자를 리 괄호로 사용하여 리 대수를 형성한다. 사실 모든 리 대수는 이런 식으로 구성될 수 있거나 그렇게 구성된 리 대수의 부분 대수이다.
* 2 이외의 [[환의 표수|표수]]를 가진 체에 대한 모든 결합 대수는 새로운 곱셈 ''<math>x*y=(xy+yx)/2</math>'' 를 정의하여 요르단 대수를 생성한다. 리 대수 사례와 달리 모든 요르단 대수를 이런 방식으로 구성할 수 있는 것은 아니다. 할 수 있는 경우를 특별하다고 한다.
* [[교대 대수]]는 교대 법칙을 만족하는 대수이다. 교대 대수의 가장 중요한 예는 [[팔원수]] (실수에 대한 대수)와 다른 체에 대한 팔원수의 일반화이다. 모든 결합 대수는 교대적이다. 유일한 유한 차원 실수 교대인 동형사상까지, 나눗셈 대수(아래 참조)는 실수, 복소수, 사원수 및 팔원수이다.
* 거듭제곱-결합 대수는 거듭제곱-결합 항등식을 만족시키는 대수이다. 예에는 모든 결합 대수, 모든 교대 대수, GF(2) 이외의 체에 대한 요르단 대수(이전 섹션 참조) 및 [[십육원수]]가 포함된다.
* [[특수 상대성이론|특수 상대성 이론]]을 위해 [[민코프스키 공간]]을 채택하기 전에 실험적 대수였던 ***<math>\R</math>***에 대한 쌍곡선 사원수 대수.

더 많은 대수 종류:

* [[등급 대수]]. 여기에는 [[텐서 대수]], [[대칭 대수]] 및 주어진 [[벡터 공간]]에 대한 [[외대수]]와 같은 [[다중선형대수학|다중 선형 대수]]에 관심이 있는 대부분의 대수가 포함된다. 등급 대수는 여과된 환 대수로 일반화될 수 있다.
* 곱셈의 역수가 존재하는 나눗셈 대수. 실수 분야에 대한 유한 차원 교대 나눗셈 대수이 분류되었다. [[실수]] (차원 1), [[복소수]] (차원 2), [[사원수]] (차원 4) 및 [[팔원수]] (차원 8)이다. 사원수과 팔원수은 가환적이지 않다. 이러한 대수들 중 팔원수을 제외하고는 모두 결합적이다.
* 이차 대수는 기저 체의 어떤 원소 ***<math>r,x</math>***와 대수의 unit ***<math>e</math>***에 대해 ***<math>xx=re+sx</math>***가 성립하는 대수다. 예를 들면 모든 유한 차원 교대 대수와 2x2 실행렬 대수가 포함된다. 영인자가 없는 이차 실 교대 대수는 실수, 복소수, 사원수 및 팔원수 중 하나와 동형이다.
* 다음으로 시작하는 [[케일리-딕슨 구성|케일리-딕슨 대수]](여기서 ***<math>k</math>***는 ''<math>\R</math>''):
** ***<math>\C</math>*** (가환 및 결합 대수);
** [[사원수]] ***<math>\H</math>*** (결합 대수);
** [[팔원수]] ([[교대 대수]]);
** [[십육원수]] 및 케일리-딕슨 대수( 전력 결합 대수 )의 무한 열.
* 초복소수 대수는 모두 유한 차원 단위 ''<math>\R</math>''-대수이므로 케일리-딕슨 대수 등을 포함한다.
* 푸아송 대수는 [[기하학적 양자화]]에서 고려된다. 그들은 두 개의 곱셈을 수행하여 서로 다른 방식으로 가환 대수와 리 대수로 바꾼다.
* 유전 대수는 수학적 유전학에서 사용되는 비결합 대수이다.

== 성질 ==
비결합 대수에 대해 항상 사실이 아닌 환론 또는 결합 대수에서 친숙할 수 있는 몇 가지 성질이 있다. 결합적인 사례와 달리 (양쪽) 곱셈 역원이 있는 원소는 영인자 일 수도 있다. 예를 들어, [[십육원수]]의 모든 0이 아닌 원소는 양쪽 역원을 갖지만 일부는 0 약수이기도 하다.

== 자유 비결합 대수 ==
체 ''<math>k</math>'' 위의 집합 ''<math>X</math>''에 대한 **자유 비결합 대수**는 모든 비결합 단항식, 괄호를 유지하는 ''<math>X</math>''원소의 유한 형식 곱으로 구성된 기저를 갖는 대수로 정의된다. 단항식 ''<math>u,v</math>''의 곱은 ''<math>(u)(v)</math>''이다. 빈 곱을 단항식으로 취하면 대수는 unital이다. 

쿠로쉬는 자유 비결합 대수의 모든 부분 대수가 자유 대수임을 증명했다. 

== 관련 대수 ==
체 ''<math>k</math>'' 위의 대수 ''<math>A</math>''는 특히 ''<math>k</math>''-선형 공간이므로 <math>A</math>의 ''<math>k</math>''-선형 공간 자기사상들의 결합 대수 ''<math>\text{End}_k(A)</math>''를 고려할 수 있다. 우리는 ''<math>\text{End}_k(A)</math>''의 두 부분 대수, **미분 대수** 및 **(결합적) 포락 대수*'를 *A*의 대수 구조에 연관시킬 수 있다.

=== 미분 대수 ===

*A*에 주어진 미분은 다음 성질이 있는 사상 *D*이다:

: <math>D(x \cdot y) = D(x) \cdot y + x \cdot D(y) \ . </math>

이는 두 함수의 곱의 미분 법칙에 해당한다. *A*에 대한 미분은 *\text{End}_k(A)*에서 부분 공간 *\text{Der}_k(A)*를 형성한다. 두 미분의 교환자는 다시 미분이므로 [[리 대수|리 괄호]]는 *\text{Der}_k(A)*에 [[리 대수]]의 구조를 제공한다.

=== 외피 대수 ===
대수 <math>A</math>의 각 원소 *a*에 연결된 선형 사상 *L*과 *R* 이 있다. 

: <math>L(a) : x \mapsto ax ; \ \ R(a) : x \mapsto xa \ . </math>

<math>A</math>의 *결합 포락 대수* 또는 *곱셈 대수는* 왼쪽 및 오른쪽 선형 사상에 의해 생성된 결합 대수이다.   <math>A</math>의 *중심은* 자기사상 대수 *\text{End}_k(A)*에서 둘러싸는 대수의 중심자이다. 중심이 항등식의 *K-* 스칼라 배수로 구성된 경우 대수는 *중심*이다. 

비결합 대수에 의해 충족되는 가능한 항등식 중 일부는 선형 사상으로 편리하게 표현될 수 있다. 

* 교환: 각 <math>L(a)</math>는 해당 <math>R(a)</math>과 같다.
* 결합: 임의의 *L은* 임의의 *R*과 교환한다.
* 유연성: 모든 <math>L(a)</math>은 해당 <math>R(a)</math>로 교환한다.
* 요르단: 모든 <math>L(a)</math>는 <math>R(a^2)</math>로 교환한다.
* 교대: 모든 <math>L(a)^2=L(a^2)</math>과, 오른쪽도 비슷하게.

*이차 표현* *Q는'' 다음과 같이 정의된다. 

: Q(a) : x \mapsto 2a \cdot (a \cdot x) - (a \cdot a) \cdot x \ 

: Q(a) = 2 L^2(a) - L(a^2) \ . 

보편 포락 대수에 대한 문서는 포락 대수들의 정식 구성과 그에 대한 PBW 유형 정리를 설명한다. 리 대수의 경우, 그러한 포락 대수는 일반적으로 비결합 대수에는 적용되지 않는 보편적인 성질을 가진다. 가장 잘 알려진 예는 아마도 요르단 대수를 위한 포락 대수의 표준 구성으로 둘러싸여 있지 않은 예외적인 요르단 대수인 알베르트 대수 일 것이다.

## 같이 보기
* 대수 목록
* 비결합 대수를 발생시키는 가환 비결합 마그마

## 각주

; 내용주


## 참고 문헌
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분류:비결합대수