로런츠 스칼라

물리학의 상대론적 이론에서, **로런츠 스칼라**()는 임의의 로런츠 변환 하에서 그 값이 불변인 스칼라 표현식이다. 로런츠 스칼라는 예를 들어 벡터의 스칼라 곱이나 텐서의 축약(contraction)을 통해 생성될 수 있다. 축약되는 양들의 성분은 로런츠 변환에 따라 달라질 수 있지만, 로런츠 스칼라는 변하지 않고 유지된다.

시공간에서의 단순한 로런츠 스칼라는 시공간에 고정된 두 사건 사이의 시공간 거리(두 사건의 차이의 "길이")이다. 사건들의 "위치" 4원벡터는 서로 다른 관성계 사이에서 변하지만, 그들 사이의 시공간 거리는 해당 로런츠 변환 하에서 불변으로 남는다. 로런츠 스칼라의 다른 예로는 4원속도의 "길이"(아래 참조)나, 일반 상대성이론에서 리만 곡률 텐서의 축약인 시공간 한 점에서의 리치 곡률 등이 있다.

## 특수 상대성이론에서의 단순 스칼라
### 위치 벡터의 길이
frame|left|서로 다른 속도를 가진 두 입자의 세계선
특수 상대성이론에서 4차원 시공간 내 입자의 위치는 다음과 같이 주어진다.
x^\mu = (ct, \mathbf{x})
여기서 \mathbf{x} = \mathbf{v} t는 기준 사건에 대한 입자의 3차원 공간에서의 위치이며, \mathbf{v}는 3차원 공간에서의 속도,  c 는 빛의 속력이다.

벡터의 "길이"는 로런츠 스칼라이며 다음과 같이 주어진다.
x_{\mu} x^{\mu} = \eta_{\mu \nu} x^{\mu} x^{\nu} = (ct)^2 - \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  (c\tau)^2 ,
여기서 \tau는 입자의 정지계에 있는 시계로 측정한 고유 시간이며, 민코프스키 계량은 다음과 같이 주어진다.
\eta^{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
  1 &  0 &  0 &  0 \\
  0 & -1 &  0 &  0 \\
  0 &  0 & -1 &  0 \\
  0 &  0 &  0 & -1
\end{pmatrix}.
이것은 시간꼴(time-like) 계량이다.

종종 민코프스키 계량은 전체 부호가 반전된 형태로 주어지기도 한다.
\eta^{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
  -1 & 0 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & 0 & 0 \\
   0 & 0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
이것은 공간꼴(space-like) 계량이다.

이 민코프스키 계량에서 공간꼴 간격  s 는 다음과 같이 정의된다.
 x_{\mu} x^{\mu} = \eta_{\mu \nu} x^{\mu} x^{\nu} = \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} - (ct)^2 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  s^2.

이 문서의 나머지 부분에서는 공간꼴 민코프스키 계량을 사용한다.

### 속도 벡터의 길이
frame|left|두 가지 다른 속도를 가진 입자의 시공간 내 속도 벡터. 상대성 이론에서 가속은 시공간에서의 회전과 동등하다.

시공간에서의 속도는 다음과 같이 정의된다.
v^{\mu} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  {dx^{\mu} \over d\tau} = \left( c {dt \over d\tau}, {dt \over d\tau}{d\mathbf{x} \over dt} \right) = \left( \gamma c,  \gamma { \mathbf{v} } \right) = \gamma \left( c, { \mathbf{v} } \right),
여기서
\gamma \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  { 1 \over {\sqrt {1 - { {\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} \over c^2} } } } 
이다.

4원속도의 크기는 로런츠 스칼라이다.
v_\mu v^\mu = -c^2\,.

따라서 는 로런츠 스칼라이다.

### 가속도와 속도의 내적
4원가속도는 다음과 같이 주어진다.
a^{\mu} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  {dv^{\mu} \over d\tau}.

4원가속도는 항상 4원속도에 수직이다.
0 = {1 \over 2} {d \over d\tau} \left( v_\mu v^\mu \right) = {d v_\mu \over d\tau} v^\mu = a_\mu v^\mu.

그러므로 시공간에서의 가속도를 단순히 4원속도의 회전으로 간주할 수 있다. 가속도와 속도의 내적은 로런츠 스칼라이며 그 값은 0이다. 이러한 회전은 단순히 에너지 보존의 표현이다.
{d E \over d\tau} = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}
여기서  E 는 입자의 에너지이고  \mathbf{F} 는 입자에 작용하는 3원력이다.

## 4원운동량으로부터 에너지, 정지 질량, 3원운동량 및 3원속도 구하기
입자의 4원운동량은 다음과 같다.
p^\mu = m v^\mu = \left( \gamma m c, \gamma m \mathbf{v} \right) = \left( \gamma m c, \mathbf{p} \right) = \left( \frac E c , \mathbf{p} \right)
여기서  m 은 입자의 정지 질량,  \mathbf{p} 는 3차원 공간에서의 운동량, 그리고 E = \gamma m c^2 은 입자의 에너지이다.

### 입자의 에너지
4원속도  u 와 3원속도  \mathbf{u}_2 를 가진 두 번째 입자를 고려하자. 두 번째 입자의 정지계에서  u 와  p 의 내적은 첫 번째 입자의 에너지에 비례한다.
p_\mu u^\mu = - E_1 
여기서 하첨자 1은 첫 번째 입자를 나타낸다.

이 관계가 두 번째 입자의 정지계에서 성립하므로, 임의의 참조계에서도 성립한다. 두 번째 입자의 계에서 측정한 첫 번째 입자의 에너지인  E_1 은 로런츠 스칼라이다. 그러므로 임의의 관성 참조계에서 다음이 성립한다.
E_1 = \gamma_1 \gamma_2 m_1 c^2 - \gamma_2 \mathbf{p}_1 \cdot \mathbf{u}_2
여기서 E_1은 여전히 두 번째 입자의 계에서 본 첫 번째 입자의 에너지이다.

### 입자의 정지 질량
입자의 정지계에서 운동량의 내적은 다음과 같다.
p_\mu p^\mu = -(mc)^2 \,.

따라서 정지 질량()은 로런츠 스칼라이다. 이 관계는 내적이 계산되는 계와 관계없이 참으로 유지된다. 많은 경우 정지 질량은 상대론적 질량( \gamma m_0 )과의 혼동을 피하기 위해  m_0 로 표기된다.

### 입자의 3원운동량
다음과 같음을 주목하라.
\left( \frac{p_{\mu} u^\mu}{c} \right)^2 + p_{\mu} p^{\mu} = {E_1^2 \over c^2} - (mc)^2 = \left( \gamma_1^2 - 1 \right) (mc)^2 = \gamma_1^2 {\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_1} m^2 = \mathbf{p}_1 \cdot \mathbf{p}_1.

두 번째 입자의 계에서 측정한 입자의 3원운동량 크기의 제곱은 로런츠 스칼라이다.

### 입자의 3원속도 측정
두 번째 입자의 계에서의 3원속도는 두 로런츠 스칼라로부터 구성될 수 있다.
v_1^2 = \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_1 = \frac { \mathbf{p}_1 \cdot \mathbf{p}_1 } { E_1^2 } c^4.

## 더 복잡한 스칼라
스칼라는 텐서와 벡터로부터, 텐서의 축약(예: F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})이나 텐서와 벡터의 축약 조합(예: g_{\mu\nu}x^{\mu}x^{\nu})을 통해서도 구성될 수 있다.

## 각주
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## 외부 링크
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분류:민코프스키 시공간
분류:상대성이론
분류:물리학 개념
분류:헨드릭 로런츠