합성곱 정리

수학에서 **합성곱 정리**()는 적절한 조건 하에 두 함수(또는 신호)의 합성곱에 대한 푸리에 변환이 각 함수의 푸리에 변환의 곱과 같다는 정리이다. 더 일반적으로, 한 영역(예: 시간 영역)에서의 합성곱은 다른 영역(예: 주파수 영역)에서의 점별 곱셈과 같다. 합성곱 정리의 다른 버전들은 다양한 푸리에 관련 변환에 적용될 수 있다.

## 연속 변수의 함수
푸리에 변환 U와 V를 갖는 두 함수 u(x)와 v(x)를 고려하자:

:\begin{align}
U(f) &\triangleq \mathcal{F}\{u\}(f) = \int_{-\infty}^{\infty}u(x) e^{-i 2 \pi f x} \, dx, \quad f \in \mathbb{R}\\
V(f) &\triangleq \mathcal{F}\{v\}(f) = \int_{-\infty}^{\infty}v(x) e^{-i 2 \pi f x} \, dx, \quad f \in \mathbb{R}
\end{align}

여기서 \mathcal{F}는 **푸리에 변환 [[연산자]]**를 나타낸다. 변환은 다른 방식으로 정규화될 수도 있으며, 이 경우 아래의 합성곱 정리에서 상수 스케일링 인자(일반적으로 2\pi 또는 \sqrt{2\pi})가 나타날 것이다. u와 v의 합성곱은 다음과 같이 정의된다:

:r(x) = \{u*v\}(x) \triangleq \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) v(x-\tau)\, d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} u(x-\tau) v(\tau)\, d\tau.

이 문맥에서 별표는 일반적인 곱셈이 아닌 합성곱을 의미한다. 때때로 텐서곱 기호 \otimes가 대신 사용되기도 한다.

**합성곱 정리**는 다음과 같다**:**

역 푸리에 변환 \mathcal{F}^{-1}을 적용하면 다음과 같은 따름정리가 도출된다**:**

이 정리는 일반적으로 다차원 함수에도 적용된다.

푸리에 변환 U, V를 갖는 L<sup>p</sup>-공간 L^1(\mathbb{R}^n)의 함수 u, v를 고려하자**:**

:
\begin{align}
U(f) &\triangleq \mathcal{F}\{u\}(f) = \int_{\mathbb{R}^n} u(x) e^{-i 2 \pi f \cdot x} \, dx, \quad f \in \mathbb{R}^n\\
V(f) &\triangleq \mathcal{F}\{v\}(f) = \int_{\mathbb{R}^n} v(x) e^{-i 2 \pi f \cdot x} \, dx,
\end{align}


여기서 f\cdot x는 **<math>\mathbb{R}^n</math>**의 내적을 나타낸다: &nbsp; f\cdot x = \sum_{j=1}^{n} {f}_j x_j, &nbsp; 그리고 &nbsp; dx = \prod_{j=1}^{n} d x_j.

u와 v의 합성곱은 다음과 같이 정의된다**:**

:r(x) \triangleq \int_{\mathbb{R}^n} u(\tau) v(x-\tau)\, d\tau.

또한**:**

:\iint |u(\tau)v(x-\tau)|\,dx\,d\tau=\int \left( |u(\tau)| \int |v(x-\tau)|\,dx \right) \,d\tau = \int |u(\tau)|\,\|v\|_1\,d\tau=\|u\|_1 \|v\|_1.

따라서 푸비니 정리에 의해 r\in L^1(\mathbb{R}^n)이 성립하므로, 그 푸리에 변환 R은 다음 적분식으로 정의된다**:**

:
\begin{align}
R(f) \triangleq \mathcal{F}\{r\}(f) &= \int_{\mathbb{R}^n} r(x) e^{-i 2 \pi f \cdot x}\, dx\\
&= \int_{\mathbb{R}^n} \left(\int_{\mathbb{R}^n} u(\tau) v(x-\tau)\, d\tau\right)\, e^{-i 2 \pi f \cdot x}\, dx.
\end{align}


|u(\tau)v(x-\tau)e^{-i 2\pi f \cdot x}|=|u(\tau)v(x-\tau)|임을 주목하라.&nbsp; 따라서 위의 논증에 의해 푸비니 정리를 다시 적용(즉, 적분 순서 변경)할 수 있다**:**

:
\begin{align}
R(f) &= \int_{\mathbb{R}^n} u(\tau)
\underbrace{\left(\int_{\mathbb{R}^n} v(x-\tau)\ e^{-i 2 \pi f \cdot x}\,dx\right)}_{V(f)\ e^{-i 2 \pi f \cdot \tau}}\,d\tau\\
&=\underbrace{\left(\int_{\mathbb{R}^n} u(\tau)\ e^{-i 2\pi f \cdot \tau}\,d\tau\right)}_{U(f)}\ V(f).
\end{align}


이 정리는 라플라스 변환, 양측 라플라스 변환에도 성립하며, 적절히 수정될 경우 멜린 변환 및 하틀리 변환에 대해서도 성립한다(멜린 반전 정리 참조). 또한 국소 컴팩트 아벨 군 위에서 정의된 추상 조화 분석의 푸리에 변환으로 확장될 수 있다.

### 주기적 합성곱 (푸리에 급수 계수)

주기적 합으로 표현될 수 있는 P-주기 함수 u_{_P}와 v_{_P}를 고려하자:

:u_{_P}(x)\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^{\infty} u(x-mP) &nbsp; 및 &nbsp; v_{_P}(x)\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^{\infty} v(x-mP).

실제로는 성분 u와 v의 0이 아닌 부분이 종종 지속 시간 P로 제한되지만, 정리에서 이를 요구하지는 않는다.

푸리에 급수 계수는 다음과 같다:

:\begin{align}
   U[k] &\triangleq \mathcal{F}\{u_{_P}\}[k] = \frac{1}{P} \int_P u_{_P}(x) e^{-i 2\pi k x/P} \, dx, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad \quad \scriptstyle \text{길이 } P \text{인 임의의 구간에 대한 적분}\\
   V[k] &\triangleq \mathcal{F}\{v_{_P}\}[k] = \frac{1}{P} \int_P v_{_P}(x) e^{-i 2\pi k x/P} \, dx, \quad k \in \mathbb{Z}
 \end{align}

여기서 \mathcal{F}는 **푸리에 급수 적분**을 나타낸다.

* 곱 u_{_P}(x)\cdot v_{_P}(x) 또한 P-주기적이며, 그 푸리에 급수 계수는 U와 V 수열의 이산 합성곱에 의해 주어진다:

:\mathcal{F}\{u_{_P}\cdot v_{_P}\}[k] = \{U*V\}[k].

* 합성곱:

:\begin{align}
\{u_{_P} * v\}(x)\ &\triangleq \int_{-\infty}^{\infty} u_{_P}(x-\tau)\cdot v(\tau)\ d\tau\\
&\equiv \int_P u_{_P}(x-\tau)\cdot v_{_P}(\tau)\ d\tau; \quad \quad \scriptstyle \text{길이 } P \text{인 임의의 구간에 대한 적분}
\end{align}

또한 P-주기적이며, 이를 **[[주기적 합성곱]]**이라 한다.

:\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty u_{_P}(x - \tau) \cdot v(\tau)\,d\tau
  &= \sum_{k=-\infty}^\infty \left[\int_{x_o+kP}^{x_o+(k+1)P} u_{_P}(x - \tau) \cdot v(\tau)\ d\tau\right] \quad x_0 \text{는 임의의 매개변수}\\
  &=\sum_{k=-\infty}^\infty \left[\int_{x_o}^{x_o+P} \underbrace{u_{_P}(x - \tau-kP)}_{u_{_P}(x - \tau), \text{ 주기에 의해}} \cdot v(\tau + kP)\ d\tau\right] \quad \tau \rightarrow \tau+kP \text{로 치환}\\
  &=\int_{x_o}^{x_o+P} u_{_P}(x - \tau) \cdot \underbrace{\left[\sum_{k=-\infty}^\infty v(\tau + kP)\right]}_{\triangleq \ v_{_P}(\tau)}\ d\tau
\end{align}

해당하는 합성곱 정리는 다음과 같다**:**

:\begin{align}
\mathcal{F}\{u_{_P} * v\}[k] &\triangleq \frac{1}{P} \int_P \left(\int_P u_{_P}(\tau)\cdot v_{_P}(x-\tau)\ d\tau\right) e^{-i 2\pi k x/P} \, dx\\
&= \int_P u_{_P}(\tau)\left(\frac{1}{P}\int_P v_{_P}(x-\tau)\ e^{-i 2\pi k x/P} dx\right) \, d\tau\\
&= \int_P u_{_P}(\tau)\ e^{-i 2\pi k \tau/P}
\underbrace{\left(\frac{1}{P}\int_P v_{_P}(x-\tau)\ e^{-i 2\pi k (x-\tau)/P} dx\right)}_{V[k], \quad \text{주기성 때문}} \, d\tau\\
&=\underbrace{\left(\int_P\ u_{_P}(\tau)\ e^{-i 2\pi k \tau/P} d\tau\right)}_{P\cdot U[k]}\ V[k].
\end{align}

## 이산 변수의 함수 (수열)

식 1과 유사한 유도를 통해, 두 연속 함수의 표본과 같은 수열에 대해서도 유사한 정리가 존재한다. 여기서 \mathcal{F}는 **[[이산시간 푸리에 변환]]**(DTFT) 연산자를 나타낸다. 변환 U와 V를 갖는 두 수열 u[n]과 v[n]을 고려하자:

:\begin{align}
U(f) &\triangleq \mathcal{F}\{u\}(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} u[n]\cdot e^{-i 2\pi f n}\;, \quad f \in \mathbb{R}, \\
V(f) &\triangleq \mathcal{F}\{v\}(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} v[n]\cdot e^{-i 2\pi f n}\;, \quad f \in \mathbb{R}.
\end{align}

u와 v의 합성곱은 다음과 같이 정의된다**:**

:r[n] \triangleq (u * v)[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty u[m]\cdot v[n - m] = \sum_{m=-\infty}^\infty u[n-m]\cdot v[m].

이산 수열에 대한 **합성곱 정리**는 다음과 같다**:**

### 주기적 합성곱
위에서 정의된 U(f)와 V(f)는 주기가 1인 주기 함수이다. N-주기 수열 u_{_N}과 v_{_N}을 고려하자**:**

:u_{_N}[n]\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^{\infty} u[n-mN] &nbsp; 및 &nbsp; v_{_N}[n]\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^{\infty} v[n-mN], \quad n \in \mathbb{Z}.

이러한 함수들은 U와 V를 1/N 간격으로 샘플링하고 N개의 표본에 대해 역 **[[이산 푸리에 변환]]**(DFT)을 수행한 결과로 나타난다. 이산 합성곱**:**

:\{u_{_N} * v\}[n]\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^{\infty} u_{_N}[m]\cdot v[n-m] \equiv \sum_{m=0}^{N-1} u_{_N}[m]\cdot v_{_N}[n-m]

또한 N-주기적이며, 이를 **[[주기적 합성곱]]**이라 한다. \mathcal{F} 연산자를 N-길이 DFT로 재정의하면, 해당하는 정리는 다음과 같다:

그러므로**:**

적절한 조건 하에서, 이 N-길이 수열은 왜곡이 없는 u*v 합성곱의 세그먼트를 포함할 수 있다. 그러나 u(n) 또는 v(n) 수열의 0이 아닌 부분이 N과 같거나 길면 약간의 왜곡이 불가피하다. 이는 V(k/N) 수열이 무한히 긴 이산 힐베르트 변환 임펄스 응답의 DTFT를 직접 샘플링하여 얻어지는 경우이다.

0이 아닌 지속 시간이 N보다 작거나 같은 u와 v 수열의 경우, 최종적인 단순화는 다음과 같다:

이 형태는 컴퓨터를 통해 수치적 합성곱을 효율적으로 구현하는 데 자주 사용된다.

부분적인 역으로, 합성곱을 곱으로 바꾸는 모든 선형 변환은 (계수의 순열을 제외하고) DFT임이 증명되었다.

시간 영역에서의 유도는 다음과 같이 진행된다**:**

:
\begin{align}
\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle \{u_{_N} * v\}[k] &\triangleq \sum_{n=0}^{N-1} \left(\sum_{m=0}^{N-1} u_{_N}[m]\cdot v_{_N}[n-m]\right) e^{-i 2\pi kn/N}\\
&= \sum_{m=0}^{N-1} u_{_N}[m] \left(\sum_{n=0}^{N-1} v_{_N}[n-m]\cdot e^{-i 2\pi kn/N}\right)\\
&= \sum_{m=0}^{N-1} u_{_N}[m]\cdot e^{-i 2\pi km/N}
\underbrace{
\left(\sum_{n=0}^{N-1} v_{_N}[n-m]\cdot e^{-i 2\pi k(n-m)/N}\right)}_{\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{v_{_N}\}[k]\quad \scriptstyle \text{주기성 때문}}\\
&= \underbrace{
\left(\sum_{m=0}^{N-1} u_{_N}[m]\cdot e^{-i 2\pi km/N}\right)}_{\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{u_{_N}\}[k]}
\left(\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{v_{_N}\}[k]\right).
\end{align}


주파수 영역에서의 유도는 DTFT에서 주기적 데이터를 다루는 내용으로부터 따르며, 이는 DTFT가 다음과 같이 작성될 수 있음을 나타낸다**:**

:
\mathcal{F}\{u_{_N} * v\}(f) = \frac{1}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left(\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle \{u_{_N} * v\}[k]\right)\cdot \delta\left(f-k/N\right). \quad \scriptstyle \mathsf{(Eq.5a)}


:
\mathcal{F}\{u_{_N}\}(f) = \frac{1}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left(\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{u_{_N}\}[k]\right)\cdot \delta\left(f-k/N\right).


따라서 V(f)와의 곱은 이산 주파수 함수로 축소된다**:**

:
\begin{align}
\mathcal{F}\{u_{_N} * v\}(f) &= G_{_N}(f) V(f) \\
&= \frac{1}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left(\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{u_{_N}\}[k]\right)\cdot V(f)\cdot \delta\left(f-k/N\right)\\
&= \frac{1}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left(\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{u_{_N}\}[k]\right)\cdot V(k/N)\cdot \delta\left(f-k/N\right)\\
&= \frac{1}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left(\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{u_{_N}\}[k]\right)\cdot \left(\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{v_{_N}\}[k]\right) \cdot \delta\left(f-k/N\right), \quad \scriptstyle \mathsf{(Eq.5b)}
\end{align}


여기서 V(k/N)과 \left(\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{v_{_N}\}[k]\right)의 동등성은 DTFT의 샘플링으로부터 따른다. 그러므로 (5a)와 (5b)의 동등성은 다음을 요구한다:

:\scriptstyle{\rm DFT}
\displaystyle {\{u_{_N} * v\}[k]}
 = \left(\scriptstyle{\rm DFT}
\displaystyle\{u_{_N}\}[k]\right)\cdot \left(\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{v_{_N}\}[k]\right).

또한 (5b)의 역 DTFT를 다음과 같이 확인할 수 있다**:**

:
\begin{align}
(u_{_N} * v)[n] & = \int_{0}^{1} \left(\frac{1}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{u_{_N}\}[k]\cdot \scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{v_{_N}\}[k]\cdot \delta\left(f-k/N\right)\right)\cdot e^{i 2 \pi f n} df \\
& = \frac{1}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{u_{_N}\}[k]\cdot \scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{v_{_N}\}[k]\cdot \underbrace{\left(\int_{0}^{1} \delta\left(f-k/N\right)\cdot e^{i 2 \pi f n} df\right)}_{\text{0, for} \ k\ \notin\ [0,\ N)} \\
& = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \bigg(\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{u_{_N}\}[k]\cdot \scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{v_{_N}\}[k]\bigg)\cdot e^{i 2 \pi \frac{n}{N} k}\\
&=\ \scriptstyle{\rm DFT}^{-1} \displaystyle \bigg( \scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle \{u_{_N}\}\cdot \scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle \{v_{_N}\} \bigg).
\end{align}


## 역 푸리에 변환에 대한 합성곱 정리
역 푸리에 변환에 대해서도 합성곱 정리가 존재한다:

여기서 "\cdot"은 아다마르 곱을 나타내고, "*"는 두 행렬 사이의 합성곱을 나타낸다.

:\begin{align}
&\mathcal{F}\{u*v\} = \mathcal{F}\{u\} \cdot \mathcal{F}\{v\}\\
&\mathcal{F}\{u \cdot v\}= \mathcal{F}\{u\}*\mathcal{F}\{v\}
\end{align}

따라서 다음과 같다:

:\begin{align}
&u*v= \mathcal{F}^{-1}\left\{\mathcal{F}\{u\}\cdot\mathcal{F}\{v\}\right\}\\
&u \cdot v= \mathcal{F}^{-1}\left\{\mathcal{F}\{u\}*\mathcal{F}\{v\}\right\}
\end{align}

## 완화된 분포에 대한 합성곱 정리

합성곱 정리는 완화된 분포(tempered distribution)로 확장된다. 여기서 v는 임의의 완화된 분포이다:

:\begin{align}
&\mathcal{F}\{u*v\} = \mathcal{F}\{u\} \cdot \mathcal{F}\{v\}\\
&\mathcal{F}\{\alpha \cdot v\}= \mathcal{F}\{\alpha\}*\mathcal{F}\{v\}.
\end{align}

그러나 합성곱과 곱셈의 존재를 보장하기 위해 u = F\{\alpha\}는 -\infty와 +\infty를 향해 "급격히 감소"해야 한다. 동등하게, 만약 \alpha = F^{-1}\{u\}가 매끄럽고 "천천히 증가하는" 일반 함수라면 곱셈과 합성곱의 존재가 보장된다.

특히 디랙 델타와 같이 컴팩트 지지(compactly supported)를 갖는 모든 완화된 분포는 "급격히 감소"한다. 동등하게, 상수 함수 1과 같은 대역 제한 함수는 매끄럽고 "천천히 증가하는" 일반 함수이다. 예를 들어, v\equiv\operatorname{\text{Ш}}가 디랙 빗(Dirac comb)인 경우 두 식 모두 푸아송 합 공식을 산출하며, 더 나아가 u\equiv\delta가 디랙 델타인 경우 \alpha \equiv 1은 상수 1이 되어 이 식들은 디랙 빗 항등식을 산출한다.

## 같이 보기
* 확률 변수의 모멘트 생성 함수

## 내용주

## 각주

## 더 읽어보기
*
*
*

## 외부 링크
신호 처리에서 합성곱 정리의 활용에 대한 시각적 표현은 다음을 참조.

* 존스 홉킨스 대학교의 자바 기반 시뮬레이션: http://www.jhu.edu/signals/convolve/index.html

분류:푸리에 해석학 정리