지수 사상 (리만 기하학)

[오른쪽|섬네일| 북극에서 본 지구의 지수 사상은 지도 제작에서 극 [정거 방위 도법에 해당한다.]]
리만 기하학에서 **지수 사상**()은 리만 다양체 (또는 준 리만 다양체) M의 접공간 T_pM의 부분 집합에서 *<math>M</math>* 자체로 가는 사상이다. (준) 리만 계량은 표준 아핀 접속을 결정하고 (준) 리만 다양체의 지수 사상은 이 접속의 지수 사상에 의해 제공된다.

## 정의
*<math>M</math>*이 미분 다양체이고 *<math>p</math>*는 *<math>M</math>*의 점이라 하자. *<math>M</math>*에 대한 아핀 접속을 통해 점 *<math>p</math>*를 지나는 직선의 개념을 정의할 수 있다.

v\in T_pM를 에서 다양체에 대한 접벡터라고 하자. 그러면 *<math>\gamma_v(0)=p</math>*, *<math>\gamma'_v(0)=v</math>*인 측지선 *<math>\gamma_v:[0,1] \rightarrow M</math>*은 유일하다. 해당 **지수 사상**은 *<math>\exp_p(v):=\gamma_v(1)</math>*로 정의된다. 일반적으로 지수 사상은 *국소적으로만 정의된다*. 이는 국소적 상미분방정식의 존재정리와 고유성에 의존하기 때문이다. 접다발의 모든 점에서 지수 사상이 잘 정의된 경우 아핀 접속을 완비라고 한다.

## 성질
직관적으로 말하면, 지수 사상은 다양체에 대한 주어진 접벡터를 갖고 해당 점에서 시작하여 단위 구간을 측지선을 따라 사상한다. 또한 측지선을 호의 길이로 재매개화할 수 있으므로 동등하게 *<math>\exp_p(v)=\beta(|v|)</math>*를 정의할 수 있다. 여기서 *<math>\beta</math>*는 *<math>v</math>*방향으로 가는 호 길이로 매개변수화된 측지선이다. 접벡터 *<math>v</math>를* 변경하면 *<math>\exp_p</math>*를 적용할 때 기준점 *<math>p</math>*에서 어느 정도 거리 내에 있는 *<math>M</math>*의 다른 점을 얻을 수 있다. 이것은 다양체에 대한 접공간이 다양체의 "선형화"임을 구체적으로 말해준다.

호프-리노우 정리는 다양체가 거리 공간으로서 완비일 경우에만 전체 접공간에서 지수 사상을 정의하는 것이 가능하다고 주장한다(이 특성을 가진 지수 사상을 갖는 다양체에 대해 **측지 완비**라는 일반적인 단어를 정당화한다. 특히 콤팩트 다양체는 측지 완비다. 그러나 *<math>\exp_p</math>*  전체 접공간에서 정의되더라도 일반적으로 전역 미분동형사상이 아니다. 그러나 접공간의 원점에서의 미분은 항등 사상이므로 역함수 정리에 의해 지수 사상이 매장되는 T_pM의 원점 근처를 찾을 수 있다(즉, 지수 사상은 로컬 미분동형사상). *<math>\exp_p</math>*를 통해 미분동형적으로 사상될 수 있는 T_pM의 원점에 대한 가장 큰 공의 반경을 *<math>p</math>*에서 *<math>M</math>*의 **[[분사 반경|단사 반경]]**이라고 한다. 지수 사상의 절단 궤적은 대략적으로 말하면 지수 사상이 유일한 최소값을 가지지 못하는 모든 점의 집합이다.

*지수* 사상의 *중요한* 성질은 다음과 같은 가우스 보조정리이다: 이중 접공간 T_v(T_pM)과 *<math>v</math>*에 직교하는 *<math>w</math>는* *지수* 사상을 통해 앞으로 갈 때 *<math>v</math>*에 직교한 성질을 유지한다. 이는 특히 T_pM의 원점에 대한 작은 공의 경계 구가 해당 벡터에 의해 결정된 *<math>M</math>*의 측지선과 직교한다는 것을 의미한다(즉, 측지선은 *방사형*임). 이것은 리만 다양체에서 측지선 법선 좌표 의 정의에 동기를 부여한다.

곡률의 정의는 다소 추상적이라 할 수 있지만, 지수 사상은 리만이 원래 구상한 곡률을 보다 구체적으로 구현하는 데에도 유용하다. 단면 곡률은 직관적으로 고려 중인 점 *<math>p</math>*을 지나는 어떤 곡면의 가우스 곡률로 정의 된다. 단면 곡률은 T_pM의 2차원 부분 공간 *<math>W</math>*을 *<math>\exp_p</math>*로 보낸 상 *<math>\exp_p(W)</math>*으로 정의되는 *<math>p</math>를 지나는* 곡면의 가우스 곡률로 정확하게 정의할 수 있다.

## 리 이론의 지수 사상과의 관계
**쌍불변 계량**(왼쪽 및 오른쪽 변환 모두에서 준 리만 계량 불변)이 있는 리 군의 경우 준 리만 구조의 지수 사상은 리 군의 지수 사상과 동일하다. 일반적으로 리 군에는 쌍불변 계량이 없지만 모든 연결 반 단순 리 군에는 있다. 쌍불변 *리만* 계량의 존재성은 준 리만 계량의 존재성보다 강력하며, 리 대수가 콤팩트 리 군의 리 대수임을 의미한다. 반대로 모든 콤팩트 (또는 아벨) 리 군에는 이러한 리만 계량이 있다.

"정직한" 지수 사상을 제공하는 예를 보자. 일반적인 곱셈에서 리 군인 양의 실수의 곱셈군 *<math>\R^+</math>*를 고려하자. 여기서 각 접공간은 ***<math>\R</math>***이다. 점 ***<math>y</math>***에서 ***<math>\R</math>***의 각 사본에 수정된 내적을 도입한다.\langle u,v\rangle_y = \frac{uv}{y^2} 이는 두 실수를 일반적인 실수처럼 곱하지만, 계량을 왼쪽 불변으로 만들기 위해 ***<math>y^2</math>***로 나누어 준다.

점 *<math>1\in \R^+</math>*을 잡고 *<math>x\in T_1\R^+</math>*를 1에서 접공간의 원소로 보자. 1에서 나오는 일반적인 직선, 즉 *<math>y(t)=1+xt</math>*는 호 길이 재매개화를 하면 측지선과 동일한 곡선을 지난다. 이를 위해 수정된 계량 |\cdot|_y에 의해 유도된 호의 길이로 다시 매개변수화한다:s(t) = \int_0^t |x|_{y(\tau)} d\tau = \int_0^t \frac{1 + \tau x} d\tau = |x| \int_0^t \frac{d\tau}{1 + \tau x} = \frac{x} \ln|1 + tx| 여기서 역함수 ***<math>t(s)</math>***를 얻어서y(s) = e^{sx/|x|} 를 구한다. 이제 호 길이 재매개화된 곡선의 성질을 사용하여\exp_1(x) = y(|x|_1) = y(|x|) 를 얻고 이는 예상대로 지수 함수 ***<math>e^x</math>***가 된다.

이에 의해 정의된 리만 거리 함수는 단순히\operatorname{dist}(a, b) = \left|\ln\left(\frac b a\right)\right|. 

## 같이 보기
* 단면곡률
* 가우스 곡률

## 각주

## 참고 문헌
* . See Chapter 1, Sections 2 and 3.
* . See Chapter 3.
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분류:리만 기하학
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