연산 미적분학

**연산 미적분학**() 또는 **연산 해석학**()은 해석학의 문제, 특히 미분방정식을 대수적 문제, 보통 다항 방정식을 푸는 문제로 변환하여 해결하는 기법이다.

## 역사
미분과 적분이라는 미적분학의 과정을 연산자로 나타내려는 생각은 고트프리트 빌헬름 라이프니츠까지 거슬러 올라가는 긴 역사를 가지고 있다. 수학자 루이 프랑수아 앙투안 아르보가스트는 이러한 기호들을 적용 대상인 함수와 독립적으로 다룬 최초의 인물 중 한 명이었다.

이러한 접근 방식은 편리한 표기법을 개발한 프랑수아 조제프 세르부아에 의해 더욱 발전되었다. 세르부아 이후 찰스 제임스 하그리브, 조지 불, 바우닌, 카마이클, 더킨, 그레이브스, 머피, 윌리엄 스포티스우드, 실베스터를 포함한 영국과 아일랜드 수학자 학파가 그 뒤를 이었다.

상미분 및 편미분 방정식에 대한 연산자 방법의 적용을 설명하는 논문은 1855년 로버트 벨 카마이클에 의해, 그리고 1859년 조지 불에 의해 저술되었다.

이 기법은 1893년 물리학자 올리버 헤비사이드가 전보에 관한 연구와 관련하여 완전히 발전시켰다.
:직관과 회로 연구 뒤에 숨겨진 물리학에 대한 풍부한 지식에 크게 힘입어, [헤비사이드]는 현재 자신의 이름으로 불리는 연산 미적분학을 발전시켰다.
당시 헤비사이드의 방법은 엄밀하지 않았으며, 그의 연구는 수학자들에 의해 더 이상 발전되지 않았다. 연산 미적분학은 1910년 이후 에른스트 율리우스 베르그, 존 렌쇼 카슨, 버니바 부시의 영향 아래 선형 회로의 과도 현상 계산을 위한 전기공학 문제에 처음으로 적용되었다.

헤비사이드의 연산 방법이 수학적으로 엄밀하게 정당화된 것은 연산 미적분학을 라플라스 변환 방법과 연결시킨 토머스 존 이안손 브롬위치의 연구 이후였다(자세한 설명은 제프리스, 카슬로 또는 맥라클란의 저서를 참조하라). 헤비사이드의 연산 방법을 정당화하는 다른 방법들은 1920년대 중반에 (카슨이 한 것처럼) 적분 방정식 기법을 사용하거나 ( 노버트 위너가 한 것처럼) 푸리에 변환을 사용하여 도입되었다.

연산 미적분학에 대한 다른 접근 방식은 1930년대 폴란드 수학자 얀 미쿠신스키에 의해 대수적 추론을 사용하여 개발되었다.

노버트 위너는 1926년 연산 미적분학의 실존적 지위에 대한 평론에서 연산자 이론의 토대를 마련했다.
:헤비사이드의 훌륭한 연구는 순수하게 휴리스틱하며, 수학적 엄밀함을 가장하는 것조차 결여되어 있다. 그의 연산자는 불연속적일 수 있고 확실히 해석적일 필요가 없는 전기 전압과 전류에 적용된다. 예를 들어, 그가 자신의 연산자를 시험해 보는 데 즐겨 사용하는 대상은 원점의 왼쪽에서는 사라지고 오른쪽에서는 1이 되는 함수이다. 이것은 핀케를레(Pincherle) 방법의 모든 직접적인 적용을 배제한다…
:비록 헤비사이드의 전개가 순수 수학적인 연산자 이론의 현재 상태에 의해 정당화되지는 않았지만, 그 타당성에 대한 이른바 실험적 증거는 많이 존재하며 전기공학자들에게 매우 가치가 있다. 그러나 모호하거나 모순된 결과로 이어지는 경우도 있다.

## 원리
연산 미적분학의 핵심 요소는 미분을 함수에 작용하는 연산자 로 간주하는 것이다. 그러면 선형 미분방정식은 미지의 함수에 작용하는 연산자 의 "함수" 가 기지의 함수와 같다는 형태로 재구성될 수 있다. 여기서 는 연산자 를 받아 또 다른 연산자 를 반환하는 것을 정의한다.

해는 의 역연산자를 기지의 함수에 작용시킴으로써 얻어진다. 연산 미적분학은 일반적으로 두 개의 기호, 즉 연산자 와 **[[단위 계단 함수]]** 로 대표된다. 연산자의 사용은 물리적이라기보다 수학적일 수 있으며, 단위 함수는 수학적이라기보다 물리적이다. 헤비사이드 미적분학에서 연산자 는 처음에 시간 미분 을 나타내기 위한 것이다. 나아가, 이 연산자가 이 적분 연산을 나타내도록 하는 역관계를 갖기를 원한다.

전기 회로 이론에서 사람들은 충격에 대한 전기 회로의 응답을 결정하려고 한다. 선형성 덕분에,  (일 때)이고  (일 때)인 단위 계단 함수 를 고려하는 것으로 충분하다.

연산 미적분학의 가장 간단한 적용 예는 를 푸는 것인데, 이는 다음을 제공한다.
y = \operatorname{p}^{-1} H = \int_0^t H(u) \, \mathrm{d}u = t\,H(t).

이 예에서 \operatorname{p}^{-1}이 적분을 나타낸다는 것을 알 수 있다. 또한 번 반복된 적분은 \operatorname{p}^{-n}으로 표현되므로 다음과 같다.
\operatorname{p}^{-n} H(t) = \frac{t^n}{n!} H(t).

를 변수인 것처럼 계속 취급하면,
\frac{\operatorname{p}}{\operatorname{p} - a} H(t) = \frac{1}{1 - \frac{a}{\operatorname{p}}}\,H(t),
이며, 이는 등비급수 전개를 사용하여 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

 \frac{1}{1 - \frac{a}{\operatorname{p}}} H(t) = \sum_{n=0}^\infty a^n \operatorname{p}^{-n} H(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n t^n}{n!} H(t) = e^{at} H(t).


부분 분수 분해를 사용하면 연산자 에 대한 임의의 분수를 정의하고 에 대한 그 작용을 계산할 수 있다.

더욱이, 함수 가 다음과 같은 형태의 급수 전개를 갖는다면,
\frac{1}{F(\operatorname{p})} = \sum_{n=0}^\infty a_n \operatorname{p}^{-n},
다음을 찾는 것은 간단하다.
\frac{1}{F(\operatorname{p})} H(t) = \sum_{n=0}^\infty a_n \frac{t^n}{n!} H(t).

이 규칙을 적용하면, 임의의 선형 미분방정식을 푸는 것은 순수하게 대수적인 문제로 축소된다.

헤비사이드는 더 나아가 의 유리수 거듭제곱을 정의하여 연산 미적분학와 분수계 미적분학 사이의 연결을 확립했다.

테일러 전개를 사용하면 라그랑주-불 이동 공식을 확인할 수도 있다: . 따라서 연산 미적분학은 유한 차분 방정식과 신호 지연이 있는 전기공학 문제에도 적용 가능하다.

## 같이 보기
* 유한 차분법
* 음계산법

## 각주

## 외부 링크

### 헤비사이드 생전
*  — Some historical references on the precursor work up to Carmichael].

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### 헤비사이드 사후
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## 외부 링크
* IV Lindell HEAVISIDE OPERATIONAL RULES APPLICABLE TO ELECTROMAGNETIC PROBLEMS
* Ron Doerfler Heaviside's Calculus
* Jack Crenshaw essay showing use of operators More On the Rosetta Stone

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