전자기파 방정식

**전자기파 방정식**()은 진공이나 매질을 통해 전파되는 전자기파를 설명하는 2차 편미분 방정식이다. 이는 파동 방정식의 3차원 형태이다. 전기장  또는 자기장 로 표현되는 이 방정식의 동차 형태는 다음과 같다.

\begin{align}
\left(v_{\mathrm{ph}}^2\nabla^2 - \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{E} &= \mathbf{0} \\
\left(v_{\mathrm{ph}}^2\nabla^2 - \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{B} &= \mathbf{0}
\end{align}

여기서

 v_{\mathrm{ph}} = \frac{1}{\sqrt {\mu\varepsilon}} 

는 투자율  및 유전율 을 가진 매질에서의 빛의 속력(즉, 위상속도)이며, 은 라플라스 연산자이다. 진공에서 는 근본적인 물리 상수이다. 전자기파 방정식은 맥스웰 방정식으로부터 유도된다. 대부분의 오래된 문헌에서 는 자기 선속 밀도 또는 자기 유도라고 불린다. 다음 방정식

\begin{align}
\nabla \cdot \mathbf{E}  &= 0\\
\nabla \cdot \mathbf{B}  &= 0
\end{align}

은 모든 전자기파가 횡파여야 함을 의미하며, 여기서 전기장 와 자기장 는 모두 파동의 전파 방향에 수직이다.

## 전자기파 방정식의 기원
[섬네일|맥스웰이 [피터 거스리 테이트|피터 테이트에게 보낸 엽서]]

제임스 클러크 맥스웰은 A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field(1865)이라는 논문에서, 1861년 논문 On Physical Lines of Force의 제3부에서 수정했던 앙페르 회로 법칙을 활용했다. Electromagnetic Theory of Light라는 제목의 1864년 논문 제6부에서, 맥스웰은 변위 전류를 다른 전자기 방정식들과 결합하여 빛의 속력과 같은 속력을 가진 파동 방정식을 얻었다. 그는 다음과 같이 언급했다.

맥스웰의 전자기파 방정식 유도는 현대 물리학 교육에서 수정된 앙페르 회로 법칙과 패러데이 전자기 유도 법칙을 결합하는 훨씬 덜 번거로운 방법으로 대체되었다.

현대적 방법을 사용하여 진공에서의 전자기파 방정식을 얻기 위해, 우리는 현대의 '헤비사이드' 형태의 맥스웰 방정식에서 시작한다. 전하와 전류가 없는 진공 상태에서 이 방정식들은 다음과 같다.

\begin{align}
 \nabla \cdot \mathbf{E}  & = 0 \\
 \nabla \times \mathbf{E} & = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\\
 \nabla \cdot \mathbf{B}  & = 0 \\
 \nabla \times \mathbf{B} & = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{ \partial \mathbf{E}} {\partial t}\\
\end{align}

이들은 전하와 전류가 모두 0인 경우에 특화된 일반적인 맥스웰 방정식이다. 회전(curl) 방정식에 회전을 취하면 다음과 같다.

\begin{align}
\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf{E} \right) &= \nabla \times \left(-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) = -\frac{\partial}{\partial t} \left(\nabla \times \mathbf{B} \right) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \\
\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf{B} \right) &= \nabla \times \left(\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) =\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}  \left(\nabla \times \mathbf{E} \right) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}
\end{align}

우리는 다음의 벡터 항등식을 사용할 수 있다.

\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf{V} \right) = \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf{V} \right) - \nabla^2 \mathbf{V}

여기서 는 공간의 임의의 벡터 함수이다. 그리고

\nabla^2 \mathbf{V} = \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf{V} \right)

여기서 는 발산 연산자 에 의해 연산될 때 벡터를 산출하는 다이애딕이다.

\begin{align}
\nabla \cdot \mathbf{E}  &= 0\\
\nabla \cdot \mathbf{B}  &= 0
\end{align}

이므로, 항등식 오른쪽의 첫 번째 항은 사라지고 다음과 같은 파동 방정식을 얻는다.

\begin{align}
\frac{1}{c_0^2} \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{E} &= \mathbf{0}\\
\frac{1}{c_0^2} \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{B} &= \mathbf{0}
\end{align}

여기서

c_0 = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} = 2.99792458 \times 10^8\;\textrm{m/s}

는 진공에서의 빛의 속력이다.

## 동차 파동 방정식의 공변 형식
[right|frame|횡방향 운동에서의 시간 지연. 모든 [관성계에서 빛의 속력이 일정해야 한다는 요구 조건은 특수 상대성이론으로 이어진다.]]
이러한 상대론적 방정식은 반변 형식으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

\Box A^{\mu} = 0

여기서 전자기 퍼텐셜은

A^{\mu}= \left (\frac{\phi}{c}, \mathbf{A} \right)

이며 로렌츠 게이지 조건은 다음과 같다.

\partial_{\mu} A^{\mu} = 0,

그리고 여기서

\Box = \nabla^2 - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}

는 달랑베르 연산자이다.

## 휘어진 시공간에서의 동차 파동 방정식

전자기파 방정식은 두 가지 방식으로 수정되는데, 미분은 공변미분으로 대체되고 곡률에 의존하는 새로운 항이 나타난다.

 -{A^{\alpha ; \beta}}_{; \beta} + {R^{\alpha}}_{\beta} A^{\beta} = 0 

여기서  {R^\alpha}_\beta 는 리치 곡률 텐서이고 세미콜론은 공변미분을 나타낸다.

휘어진 시공간에서 로렌츠 게이지 조건의 일반화는 다음과 같이 가정된다.

 {A^\mu}_{; \mu} = 0. 

## 비동차 전자기파 방정식

국소적으로 시간에 따라 변하는 전하와 전류 밀도는 진공에서 전자기파의 원천으로 작용할 수 있다. 맥스웰 방정식은 원천(source)이 있는 파동 방정식의 형태로 쓰일 수 있다. 파동 방정식에 원천을 추가하면 편미분 방정식은 비동차가 된다.

## 동차 전자기파 방정식의 해

전자기파 방정식의 일반해는 다음과 같은 형태의 파동들의 선형 중첩이다.

\begin{align}
\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) &= g(\phi(\mathbf{r}, t)) = g(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}) \\
\mathbf{B}(\mathbf{r}, t) &= g(\phi(\mathbf{r}, t)) = g(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r})
\end{align}

여기서 는 무차원 인자 의 거의  적절한 함수이며, 는 각진동수(초당 라디안), 는 파수 벡터(미터당 라디안)이다.

함수 는 단색 사인파일 수 있고 흔히 그러하지만, 반드시 사인파 형태이거나 주기적일 필요는 없다. 실제로 는 무한한 주기를 가질 수 없는데, 왜냐하면 모든 실제 전자기파는 항상 시간과 공간에서 유한한 범위를 가져야 하기 때문이다. 그 결과, 푸리에 분해 이론에 따라 실제 파동은 무한한 사인파 진동수 집합의 중첩으로 구성되어야 한다.

또한 유효한 해가 되기 위해서 파수 벡터와 각진동수는 독립적이지 않으며, 반드시 분산 관계를 따라야 한다.

 k = | \mathbf{k} | = { \omega \over c } =  { 2 \pi \over \lambda } 

여기서 는 파수이고 는 파장이다. 변수 는 전자기파가 진공에 있을 때만 이 방정식에서 사용될 수 있다.

### 단색, 사인파 정상 상태
파동 방정식에 대한 가장 간단한 해의 집합은 분리 가능한 형태의 단일 진동수 사인파 파형을 가정함으로써 도출된다.

\mathbf{E} (\mathbf{r}, t) = \Re \left \{ \mathbf{E}(\mathbf{r}) e^{i \omega t} \right \}

여기서
*는 허수 단위이고,
*는 각진동수(초당 라디안),
*는 진동수(헤르츠),
* e^{i \omega t} = \cos(\omega t) + i \sin(\omega t)는 오일러 공식이다.

### 평면파 해

단위 법선 벡터로 정의되는 평면을 고려하자.

 \mathbf{n} = { \mathbf{k} \over k }. 

그러면 파동 방정식의 평면 진행파 해는 다음과 같다.

\begin{align}
\mathbf{E}(\mathbf{r}) &= \mathbf{E}_0 e^{ -i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} } \\
\mathbf{B}(\mathbf{r}) &= \mathbf{B}_0 e^{ -i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} }
\end{align}

여기서 는 위치 벡터(미터)이다.

이 해들은 법선 벡터  방향으로 이동하는 평면파를 나타낸다.  방향을 의 방향으로,  방향을 의 방향으로 정의하면, 자기장은  방향에 있으며 다음과 같은 관계에 의해 전기장과 연관된다.

c^2{\partial B \over \partial z} = {\partial E \over \partial t}.

전기장과 자기장의 발산이 0이기 때문에, 전파 방향으로는 장이 존재하지 않는다.

이 해는 파동 방정식의 선형 편광 해이다. 또한 장이 법선 벡터 주위를 회전하는 원편광 해도 존재한다.

### 스펙트럼 분해
진공에서 맥스웰 방정식의 선형성 때문에, 해들은 사인파들의 중첩으로 분해될 수 있다. 이것은 미분 방정식의 풀이를 위한 푸리에 변환 방법의 기초가 된다. 전자기파 방정식의 사인파 해는 다음과 같은 형태를 취한다.

\begin{align}
\mathbf{E} (\mathbf{r}, t) &= \mathbf{E}_0 \cos(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0) \\
\mathbf{B} (\mathbf{r}, t) &= \mathbf{B}_0 \cos(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0)
\end{align}

여기서
*는 시간(초),
*는 각진동수(초당 라디안),
*는 파수 벡터(미터당 라디안),
*  \phi_0 는 위상(라디안)이다.
파수 벡터는 각진동수와 다음과 같은 관계가 있다.

 k = | \mathbf{k} | = { \omega \over c } =  { 2 \pi \over \lambda } 

여기서 는 파수이고 는 파장이다.

전자기 스펙트럼은 파장의 함수로서 장의 크기(또는 에너지)를 나타낸 그래프이다.

### 다중극 전개
시간에 따라 e^{-i \omega t}로 변하는 단색장을 가정하고, 맥스웰 방정식을 사용하여 를 제거하면 전자기파 방정식은 에 대한 헬름홀츠 방정식으로 환원된다.

 (\nabla^2 + k^2)\mathbf{E} = 0,\, \mathbf{B} = -\frac{i}{k} \nabla \times \mathbf{E},

여기서 는 위와 같다. 대안적으로, 를 제거하고 에 대해 정리하면 다음을 얻는다.

 (\nabla^2 + k^2)\mathbf{B} = 0,\, \mathbf{E} = -\frac{i}{k} \nabla \times \mathbf{B}.

진동수 를 가진 일반적인 전자기장은 이 두 방정식의 해의 합으로 쓸 수 있다. 헬름홀츠 방정식의 3차원 해는 구면 조화 함수와 이에 비례하는 구면 베셀 함수의 전개로 표현될 수 있다. 그러나 이 전개를  또는 의 각 벡터 성분에 적용하면 일반적으로 발산이 0이 아닌 해(가 아님)가 나오므로 계수에 추가적인 제약이 필요하다.

다중극 전개는 나 가 아니라,  또는 를 구면 조화 함수로 전개함으로써 이 어려움을 피한다. 이 전개들은 여전히 와 에 대한 원래의 헬름홀츠 방정식을 해결하는데, 발산이 0인 장 에 대해 이기 때문이다. 일반적인 전자기장에 대한 결과식은 다음과 같다.

\begin{align}
\mathbf{E} &= e^{-i \omega t} \sum_{l,m} \sqrt{l(l+1)} \left[ a_E(l,m) \mathbf{E}_{l,m}^{(E)} + a_M(l,m) \mathbf{E}_{l,m}^{(M)} \right] \\
\mathbf{B} &= e^{-i \omega t} \sum_{l,m} \sqrt{l(l+1)} \left[ a_E(l,m) \mathbf{B}_{l,m}^{(E)} + a_M(l,m) \mathbf{B}_{l,m}^{(M)} \right]\,,
\end{align}

여기서 \mathbf{E}_{l,m}^{(E)}와 \mathbf{B}_{l,m}^{(E)}는 (l, m) 차수의 전기 다중극장이고, \mathbf{E}_{l,m}^{(M)}와 \mathbf{B}_{l,m}^{(M)}는 그에 대응하는 자기 다중극장이며, 와 은 전개의 계수이다. 다중극장은 다음과 같이 주어진다.

\begin{align}
\mathbf{B}_{l,m}^{(E)} &= \sqrt{l(l+1)} \left[B_l^{(1)} h_l^{(1)}(kr) + B_l^{(2)} h_l^{(2)}(kr)\right] \mathbf{\Phi}_{l,m} \\
\mathbf{E}_{l,m}^{(E)} &= \frac{i}{k} \nabla \times \mathbf{B}_{l,m}^{(E)} \\
\mathbf{E}_{l,m}^{(M)} &= \sqrt{l(l+1)} \left[E_l^{(1)} h_l^{(1)}(kr) + E_l^{(2)} h_l^{(2)}(kr)\right] \mathbf{\Phi}_{l,m} \\
\mathbf{B}_{l,m}^{(M)} &= -\frac{i}{k} \nabla \times \mathbf{E}_{l,m}^{(M)}\,,
\end{align}

여기서 는 구면 한켈 함수이고, 와 는 경계 조건에 의해 결정되며,

\mathbf{\Phi}_{l,m} = \frac{1}{\sqrt{l(l+1)}}(\mathbf{r} \times \nabla) Y_{l,m}

는 다음과 같이 정규화된 벡터 구면 조화 함수이다.

\int \mathbf{\Phi}^*_{l,m} \cdot \mathbf{\Phi}_{l', m'} d\Omega = \delta_{l,l'} \delta_{m, m'}.

전자기장의 다중극 전개는 안테나 방사 패턴이나 핵의 감마 붕괴와 같이 구형 대칭을 포함하는 여러 문제에 응용된다. 이러한 응용에서 흔히 원거리장에서 방사되는 에너지에 관심을 둔다. 이 영역에서 와  장은 점근적으로 다음과 같이 접근한다.

\begin{align}
\mathbf{B} & \approx \frac{e^{i (kr-\omega t)}}{kr} \sum_{l,m} (-i)^{l+1} \left[a_E(l,m) \mathbf{\Phi}_{l,m} + a_M(l,m) \mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{\Phi}_{l,m} \right] \\
\mathbf{E} & \approx \mathbf{B} \times \mathbf{\hat{r}}.
\end{align}

시간 평균 방사 전력의 각분포는 다음과 같이 주어진다.

\frac{dP}{d\Omega} \approx \frac{1}{2k^2} \left| \sum_{l,m} (-i)^{l+1} \left[ a_E(l,m) \mathbf{\Phi}_{l,m} \times \mathbf{\hat{r}} + a_M(l,m) \mathbf{\Phi}_{l,m} \right] \right|^2.

## 같이 보기
### 이론 및 실험

* 맥스웰 방정식
* 파동 방정식
* 편미분 방정식
* 수치 전자기학
* 전자기파
* 전하량 보존 법칙
* 빛

* 전자기 스펙트럼
* 광학
* 특수 상대성이론
* 일반 상대성이론
* 비동차 전자기파 방정식
* 광자 편광
* 라모 전력 공식

### 현상 및 응용

* 무지개
* 우주 마이크로파 배경
* 레이저
* 레이저 핵융합
* 사진술
* 엑스선
* 엑스선결정학
* 레이더

* 전파
* 광 컴퓨터
* 마이크로파
* 홀로그래피
* 현미경
* 망원경
* 중력렌즈
* 흑체 방사

### 전기기

* 앙드레마리 앙페르
* 알베르트 아인슈타인
* 마이클 패러데이
* 하인리히 루돌프 헤르츠
* 올리버 헤비사이드
* 제임스 클러크 맥스웰
* 헨드릭 로런츠

## 내용주


## 더 읽어보기
### 전자기학
#### 학술지 기사
* Maxwell, James Clerk, "[//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/A_Dynamical_Theory_of_the_Electromagnetic_Field.pdf A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field]", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, 459-512 (1865). ※이 기사는 1864년 12월 8일 맥스웰이 왕립 학회에서 행한 발표와 함께 제출되었다.

#### 학부 수준 교재
* 
* 
* Edward M. Purcell, Electricity and Magnetism (McGraw-Hill, New York, 1985). .
* Hermann A. Haus and James R. Melcher, Electromagnetic Fields and Energy (Prentice-Hall, 1989) .
* Banesh Hoffmann, Relativity and Its Roots (Freeman, New York, 1983). .
* David H. Staelin, Ann W. Morgenthaler, and Jin Au Kong, Electromagnetic Waves (Prentice-Hall, 1994) .
* Charles F. Stevens, The Six Core Theories of Modern Physics, (MIT Press, 1995) .
* Markus Zahn, Electromagnetic Field Theory: a problem solving approach, (John Wiley & Sons, 1979) 

#### 대학원 수준 교재
* 
* Landau, L. D.,  The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics: Volume 2),  (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987). .
* 
* Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; . (미분 형식을 사용한 맥스웰 방정식의 처리를 제공한다.)

### 벡터 해석학
* P. C. Matthews Vector Calculus, Springer 1998, 
* H. M. Schey, Div Grad Curl and all that:  An informal text on vector calculus, 4th edition (W. W. Norton & Company, 2005) .

분류:전자기학
분류:동전기학
분류:전자기파
분류:수리물리학
분류:물리학 방정식