반공명

결합 진동자의 물리학에서 **반공명**()은 공명에 비유하여 특정 진동수에서 진동자의 진폭이 뚜렷한 최소값을 보이며, 그 진동의 위상에 크고 급격한 변화를 수반하는 현상이다. 이러한 진동수는 물리계의 **반공명 진동수**()로 알려져 있으며, 이 진동수에서 진동 진폭은 거의 0으로 떨어질 수 있다. 반공명은 상쇄 간섭, 예를 들어 외부 구동력과 다른 진동자와의 상호 작용에 의해 발생한다.

반공명은 기계적, 음향적, 전자기적, 양자 시스템을 포함한 모든 유형의 결합 진동자 시스템에서 발생할 수 있다. 이는 복잡한 결합 시스템의 특성화에 중요한 응용 분야를 가진다.

반공명이라는 용어는 유사한 효과를 가진 단일 진동자의 한 형태의 공명에 대해 전기공학에서 사용된다.

## 전기공학에서의 반공명

전기공학에서 반공명은 반응저항이 사라지지만 전기 회로의 저항 온저항은 그럼에도 불구하고 매우 높아서 무한대에 가까워지는 조건이다.

병렬로 연결된 축전기와 유도자로 구성된 전기 회로에서 반공명은 교류 선로 전압과 결과 전류가 위상이 같을 때 발생한다. 이러한 조건에서 반공명 시 병렬 회로의 높은 온저항으로 인해 선로 전류는 매우 작다. 분기 전류는 크기가 거의 같고 위상이 반대이다.

## 결합 진동자에서의 반공명
섬네일|right|250px|진동수의 함수로서 두 결합 조화 진동자의 정상 상태 진폭 및 위상.

반공명이 발생하는 가장 간단한 시스템은 결합된 조화 진동자 시스템으로, 예를 들어 진자 또는 RLC 회로이다.

강도 로 결합된 두 개의 조화 진동자를 고려하고, 한 진동자는 진동하는 외부 힘 에 의해 구동된다. 이 상황은 결합된 상미분 방정식으로 설명된다.
:\begin{align}
\ddot{x}_1 + 2\gamma_1 \dot{x}_1 - 2g \omega_1 x_2 + \omega_1^2 x_1 &= 2F\cos\omega t \\
\ddot{x}_2 + 2\gamma_2 \dot{x}_2 - 2g \omega_2 x_1 + \omega_2^2 x_2 &= 0
\end{align}
여기서 는 두 진동자의 공명 진동수를 나타내고, 는 감쇠비를 나타낸다. 변수를 복소수 매개변수로 변경하면:
:\begin{align}
\alpha_1 &= \omega_1 x_1 + i\frac{p_1}{m_1}\\
\alpha_2 &= \omega_2 x_2 + i\frac{p_2}{m_1}
\end{align}
이것을 1차 방정식으로 쓸 수 있다.
:\begin{align}
\dot{\alpha}_1 &= i\omega_1 \alpha_1 - \gamma_1(\alpha_1 - \alpha_1^*) - ig\tfrac{\omega_1}{\omega_2}(\alpha_2 + \alpha_2^*) + iF(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}) \\
\dot{\alpha}_2 &= i\omega_2 \alpha_2 - \gamma_2(\alpha_2 - \alpha_2^*) - ig\tfrac{\omega_2}{\omega_1}(\alpha_1 + \alpha_1^*)
\end{align}
구동 진동수에서 회전하는 프레임으로 변환하면
:\alpha_i \rightarrow \alpha_i e^{-i\omega t}
다음과 같이 된다.
:\begin{align}
\dot{\alpha}_1 &= i\Delta_1 \alpha_1 - \gamma_1(\alpha_1 - \alpha_1^* e^{2i\omega t}) - ig\tfrac{\omega_1}{\omega_2}(\alpha_2 + \alpha_2^* e^{2i\omega t}) + iF(1+e^{2i\omega t}) \\
\dot{\alpha}_2 &= i\Delta_2 \alpha_2 - \gamma_2(\alpha_2 - \alpha_2^* e^{2i\omega t}) - ig\tfrac{\omega_2}{\omega_1}(\alpha_1 + \alpha_1^* e^{2i\omega t})
\end{align}
여기서 구동 진동수와 진동자의 공명 진동수 사이의 어긋남 을 도입했다. 마지막으로, 우리가 관심 있는 시간 스케일에서 0으로 평균화되는 빠른 역회전 항인 에 비례하는 항을 무시하는 회전파 근사를 사용한다(이 근사는 를 가정하는데, 이는 공명 주변의 작은 진동수 범위에서는 타당하다). 따라서 다음을 얻는다.
:\begin{align}
\dot{\alpha}_1 &= i (\Delta_1 + i\gamma_1) \alpha_1 - ig\tfrac{\omega_1}{\omega_2}\alpha_2 + iF \\
\dot{\alpha}_2 &= i (\Delta_2 + i\gamma_2) \alpha_2 - ig\tfrac{\omega_2}{\omega_1}\alpha_1
\end{align}
감쇠, 구동 또는 결합이 없으면 이 방정식의 해는 다음과 같다.
:\alpha_i(t) = \alpha_i(0) e^{i\Delta t}
이는 각진동수 로 복소수  평면에서 회전을 나타낸다.

정상 상태 해는  \dot{\alpha}_1 = \dot{\alpha}_2 = 0 으로 설정하여 찾을 수 있으며, 이는 다음을 제공한다.
:\begin{align}
\alpha_{1,ss} &= \frac{-F(\Delta_2 + i\gamma_2)}{(\Delta_1 + i\gamma_1)(\Delta_2 + i\gamma_2)-g^2} \\
\alpha_{2,ss} &= \frac{\omega_2}{\omega_1}\dfrac{-Fg}{(\Delta_1+ i\gamma_1)(\Delta_2 + i\gamma_2)-g^2}
\end{align}
구동 진동수의 함수로서 이러한 정상 상태 해를 조사하면, 두 진동자 모두 두 일반 모드 진동수에서 공명(진폭 피크와 양의 위상 변화를 수반)을 나타내는 것이 분명하다. 또한, 구동 진동자는 일반 모드 사이에 진폭의 뚜렷한 감소를 나타내며, 이는 음의 위상 변화를 수반한다. 이것이 반공명이다. 구동되지 않은 진동자의 주파수 스펙트럼에는 반공명이 없다는 점에 유의해야 한다. 진폭이 일반 모드 사이에 최소값을 가지지만, 뚜렷한 감소나 음의 위상 변화는 없다.

## 상쇄 간섭으로서의 해석
섬네일|right|250px|두 결합 진자의 반공명 정상 상태로의 시간 진화를 보여주는 애니메이션. 빨간색 화살표는 왼쪽 진자에 작용하는 구동력을 나타낸다.

반공명에서 진동 진폭의 감소는 진동자에 작용하는 힘의 상쇄 간섭 또는 소거로 볼 수 있다.

위의 예에서, 반공명 진동수에서 진동자 1에 작용하는 외부 구동력 는 진동자 2와의 결합을 통해 작용하는 힘을 상쇄하여 진동자 1이 거의 정지 상태를 유지하게 한다.

## 복잡한 결합 시스템
[섬네일|right|300px|여러 자유도를 가진 [동역학계의 주파수 응답 함수 예시로, 진폭과 위상 모두에서 뚜렷한 공명-반공명 행동을 보여준다.]]

많은 결합 구성 요소로 구성된 모든 선형 동적 시스템의 주파수 응답 함수(FRF)는 일반적으로 구동될 때 독특한 공명-반공명 동작을 나타낸다.

경험칙으로, 구동되는 구성 요소와 측정되는 구성 요소 사이의 거리가 증가할수록 FRF의 반공명 수가 감소한다고 말할 수 있다. 예를 들어, 위에서 언급한 두 진동자 상황에서 구동되지 않은 진동자의 FRF는 반공명을 나타내지 않았다. 공명과 반공명은 구동되는 구성 요소 자체의 FRF에서만 지속적으로 교대한다.

## 응용 분야
반공명 이론의 중요한 결과는 여기점에서 고정된 시스템의 공명으로 해석될 수 있다는 것이다. 이는 위 진자 애니메이션에서 볼 수 있다. 정상 상태 반공명 상황은 왼쪽 진자가 고정되어 진동할 수 없는 경우와 같다. 이 결과의 중요한 귀결은 시스템의 반공명이 구동되는 진동자의 특성과 무관하다는 것이다. 즉, 구동되는 진동자의 공명 진동수 또는 감쇠 계수가 변경되더라도 변하지 않는다.

이 결과는 구성 요소로 쉽게 분리할 수 없는 복잡한 결합 시스템을 특성화하는 데 반공명을 유용하게 만든다. 시스템의 공명 진동수는 모든 구성 요소와 그 결합의 특성에 따라 달라지며, 어떤 구성 요소가 구동되는지와는 무관하다. 반면에 반공명은 구동되는 구성 요소를 제외한 모든 것에 따라 달라지므로, 구동되는 구성 요소가 전체 시스템에 미치는 영향에 대한 정보를 제공한다. 각 구성 요소를 차례로 구동함으로써, 구성 요소들 사이의 결합에도 불구하고 모든 개별 하위 시스템에 대한 정보를 얻을 수 있다. 이 기술은 기계공학, 구조 해석, 및 통합 양자 회로 설계에 응용된다.

전기공학에서 반공명은 파동 트랩에 사용되며, 이는 때때로 무선 수신기의 안테나와 직렬로 삽입되어 간섭하는 방송국의 진동수에서 교류의 흐름을 차단하고 다른 진동수는 통과시킨다.

나노기계 시스템에서, 낮은 진동수(<1 kHz)로 고유 진동수가 변조되는 구동 비선형 모드의 측파대 스펙트럼은 전력 스펙트럼에서 눈에 띄는 반공명 선 모양을 나타내며, 이는 진동 상태를 통해 제어할 수 있다. 반공명 진동수는 비선형 시스템의 열적 변동 및 압착 매개변수를 특성화하는 데 활용될 수 있다.

## 같이 보기
* 공명
* 진동자
* 공명 (교류 회로)
* 동조 질량 감쇠기
* 파노 공명

## 각주

분류:진동