클라인-니시나 공식

thumb|자주 접하는 에너지 범위에 대한 산란각 단면적의 클라인-니시나 분포.

입자물리학에서 **클라인-니시나 공식**(Klein–Nishina formula)은 양자 전기역학의 최저 차수에서 계산된, 단일 자유 전자로부터 산란된 광자의 미분 단면적(즉, "가능성" 및 각 분포)을 제공한다. 이 공식은 1928년 오스카르 클레인과 니시나 요시오에 의해 처음 유도되었으며, 디랙 방정식의 최초 성공적인 적용 중 하나를 구성한다. 이 공식은 저에너지 광자(예: 가시광선)의 톰슨 산란과 고에너지 광자(예: 엑스선 및 감마선)의 콤프턴 산란을 모두 설명하며, 총 단면적과 예상 편향각이 광자 에너지 증가에 따라 감소함을 보여준다.

양자장론에서는 이 공식이 **클라인-니시나-탐 공식**으로 알려져 있으며, 이고리 탐의 이름이 추가되었다. 그는 장의 양자화를 통해 이 공식을 유도했다.

## 공식
입사하는 비편광 광자의 에너지 E_\gamma에 대한 미분 단면적은 다음과 같다.

:  \frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{1}{2} r_e^2 \left(\frac{\lambda}{\lambda'}\right)^{2} \left[\frac{\lambda}{\lambda'} + \frac{\lambda'}{\lambda} - \sin^2(\theta)\right] 

여기서

* r_e는 고전전자반지름 (~2.82 펨토미터, r_e^2는 약 7.94 × 10−30 m2 또는 79.4 mb)
* \lambda/\lambda'는 입사 및 산란 광자의 파장 비율
* \theta는 산란각 (편향되지 않은 광자의 경우 0).

각도에 의존하는 광자 파장 (또는 에너지, 또는 주파수) 비율은 다음과 같다.
: 
\frac{\lambda}{\lambda'} = \frac{E_{\gamma'}}{E_\gamma} = \frac{\omega'}{\omega} = \frac{1}{1 + \epsilon(1-\cos\theta)}


이는 상대론적 에너지 및 운동량 보존(콤프턴 산란 참조)에 의해 요구된다. 무차원량 \epsilon = E_\gamma/m_e c^2는 전자의 정지 에너지(~511 전자볼트)로 입사 광자의 에너지를 나타내며, 
\epsilon = \lambda_c/\lambda
로도 표현될 수 있는데, 여기서 \lambda_c = h/m_e c는 전자의 콤프턴 파장 (~2.42 pm)이다. 산란 비율 
\lambda'/\lambda
는 편향각에 따라 
1
(전방 산란, 에너지 전달 없음)에서 
1+2\epsilon
(180도 후방 산란, 최대 에너지 전달)까지 단조 증가한다.

일부 경우에는 고전전자반지름을 콤프턴 파장으로 표현하는 것이 편리하다: r_e=\alpha \bar\lambda_c = \alpha \lambda_c/2\pi, 여기서 \alpha는 미세구조 상수 (~1/137)이고 \bar\lambda_c=\hbar/m_e c는 전자의 환산 콤프턴 파장 (~0.386 pm)이므로, 단면적의 상수는 다음과 같이 주어진다:
: 
\frac{1}{2}r_e^2 = \frac{1}{2}\alpha^2\bar\lambda_c^2 = \frac{\alpha^2\lambda_c^2}{8\pi^2} = \frac{\alpha^2\hbar^2}{2m_e^2c^2}


## 편광된 광자
입사하는 광자가 편광되어 있으면 산란된 광자는 방위각에 대해 더 이상 등방성이 아니다. 정지 상태의 자유 전자에 의해 산란된 선형 편광 광자의 경우 미분 단면적은 대신 다음으로 주어진다.
:  \frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{1}{2} r_e^2 \left(\frac{\lambda}{\lambda'}\right)^{2} \left[\frac{\lambda}{\lambda'} + \frac{\lambda'}{\lambda} - 2 \sin^2(\theta) \cos^2 (\phi)\right] 
여기서 \phi는 방위 산란각이다. 비편광 미분 단면적은 \cos^2 (\phi)에 대해 평균을 취하여 얻을 수 있음에 유의하라.

## 한계

### 저에너지
저에너지 광자의 경우 파장 변화는 무시할 수 있으며 (\lambda/\lambda'\approx 1), 클라인-니시나 공식은 고전적인 톰슨 표현으로 축소된다.
:  \frac{d\sigma}{d\Omega} \approx \frac{1}{2} r_e^2  \left(1 + \cos^2(\theta)\right) \qquad (\epsilon \ll 1) 
이는 산란각에 대해 대칭적이며, 즉 광자는 전방과 후방으로 산란될 가능성이 동일하다. 에너지가 증가하면 이 대칭성은 깨지고 광자는 전방 방향으로 산란될 가능성이 더 높아진다.

### 고에너지
고에너지 광자의 경우 작은 각도 산란과 큰 각도 산란을 구별하는 것이 유용하다. \epsilon(1-\cos\theta) \gg 1인 큰 각도의 경우, 산란 비율 \lambda'/\lambda이 크고
:  \frac{d\sigma}{d\Omega} \approx \frac{1}{2} r_e^2 \frac{\lambda}{\lambda'} \approx \frac{1}{2} r_e^2 \frac{1}{1+\epsilon(1-\cos\theta)} \qquad (\epsilon \gg 1, \theta \gg \epsilon^{-1/2}) 
이는 (큰 각도) 미분 단면적이 광자 에너지에 반비례함을 보여준다.

미분 단면적은 전방 방향에서 일정한 최고값을 가진다.
:  \left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{\theta=0} = r_e^2 
이는 \epsilon에 독립적이다. 큰 각도 분석에서 이 최고값은 약 \theta_c \approx \epsilon^{-1/2}까지만 확장될 수 있음을 알 수 있다. 따라서 전방 최고값은 약 \pi\theta_c^2의 작은 입체각에 한정되며, 총 작은 각도 단면적은 \epsilon^{-1}에 따라 감소한다고 결론 내릴 수 있다.

## 총 단면적
미분 단면적을 적분하여 총 단면적을 구할 수 있다.

: \sigma = 2 \pi r_e^2 \Biggl[ \frac{1 + \epsilon}{\epsilon^3} \Biggl( \frac{2\epsilon (1 + \epsilon)}{1 + 2\epsilon} - \ln{(1 + 2\epsilon)} \Biggr) + \frac{\ln{(1 + 2\epsilon)}}{2\epsilon} - \frac{1 + 3\epsilon}{(1  +2\epsilon)^2} \Biggr]

저에너지 한계에서는 에너지 의존성이 없으며, 우리는 톰슨 단면적 (~66.5 fm2)을 회복한다.
:  \sigma \approx \frac{8}{3} \pi r_e^2 \qquad (E_\gamma \ll m_e c^2) 

## 역사
클라인-니시나 공식은 1928년 오스카르 클레인과 니시나 요시오에 의해 유도되었으며, 양자 전기역학 연구에서 얻어진 최초의 결과 중 하나였다. 상대론적 및 양자 역학적 효과를 고려함으로써 표적 전자로부터의 복사 산란에 대한 정확한 방정식을 개발할 수 있었다. 이 유도 이전에 전자의 단면적은 영국의 물리학자이자 전자의 발견자인 J.J. 톰슨에 의해 고전적으로 유도되었다. 그러나 산란 실험은 톰슨 단면적에 의해 예측된 결과와 상당한 편차를 보였다. 추가 산란 실험은 클라인-니시나 공식의 예측과 완벽하게 일치했다.

1930년, 이바르 발레르와 이고리 탐은 콤프턴 산란의 장 양자화에 대한 연구를 독립적으로 발표하고 클라인-니시나 공식을 재현했다.

## 같이 보기
* 싱크로트론 방사
* 니시나 요시오
* 오스카르 클레인

## 각주

## 추가 자료
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분류:산란
분류:양자 전기역학