언더샘플링

thumb|right|255px|그림 1: 위쪽 두 그래프는 특정 비율로 표본화할 때 동일한 결과를 생성하는 두 가지 다른 함수의 푸리에 변환을 나타낸다. 기저대역 함수는 나이퀴스트율보다 빠르게 표본화되고, 대역통과 함수는 언더샘플링되어 효과적으로 기저대역으로 변환된다. 아래쪽 그래프는 샘플링 과정의 에일리어스에 의해 동일한 스펙트럼 결과가 어떻게 생성되는지를 나타낸다.
thumb|right|255px|대역폭 1인 대역의 샘플링 속도(y축) 대 상위 에지 주파수(x축) 플롯; 회색 영역은 대역 내의 두 주파수가 동일한 주파수로 에일리어싱되지 않는다는 의미에서 "허용되는" 조합이다. 더 어두운 회색 영역은 이 섹션의 방정식에서 n의 최댓값을 갖는 언더샘플링에 해당한다.

신호 처리에서 **언더샘플링**(undersampling) 또는 **대역통과 샘플링**(bandpass sampling)은 대역통과 필터링된 신호를 샘플링 속도가 나이퀴스트율(상위 차단 주파수의 두 배)보다 낮지만 신호를 재구성할 수 있는 기술이다.

대역통과 신호를 언더샘플링할 때, 샘플은 고주파 신호의 저주파 에일리어스 샘플과 구별할 수 없다. 이러한 샘플링은 대역통과 샘플링, 고조파 샘플링, IF 샘플링 및 직접 IF-디지털 변환으로도 알려져 있다.

## 설명

실수 값 함수의 푸리에 변환은 0 Hz 축을 중심으로 대칭이다. 샘플링 후에는 푸리에 변환의 주기적 합산(이산시간 푸리에 변환)만 사용할 수 있다. 원래 변환의 개별 주파수 이동된 복사본을 에일리어스라고 한다. 인접한 에일리어스 간의 주파수 오프셋은 샘플링 속도인 fs로 표시된다. 에일리어스가 상호 배타적일 때(스펙트럼적으로), 원래 변환과 원래 연속 함수, 또는 필요하다면 주파수 이동된 버전은 샘플에서 복구될 수 있다. 그림 1의 첫 번째와 세 번째 그래프는 에일리어스를 완전히 분리하는 속도로 샘플링되기 전과 후의 기저 대역 스펙트럼을 나타낸다.

그림 1의 두 번째 그래프는 대역 (A, A+B)를 차지하는 대역통과 함수의 주파수 프로파일(음영 처리된 파란색)과 그 미러 이미지(음영 처리된 베이지색)를 나타낸다. 비파괴 샘플링 속도에 대한 조건은 두 대역의 에일리어스가 fs의 모든 정수배로 이동될 때 겹치지 않는다는 것이다. 네 번째 그래프는 기저대역 함수와 동일한 속도로 샘플링한 스펙트럼 결과를 나타낸다. 이 속도는 A의 정수 부분배이고 기저대역 나이퀴스트 기준: fs > 2B를 만족하는 가장 낮은 속도를 찾아 선택되었다. 결과적으로, 대역통과 함수는 효과적으로 기저대역으로 변환되었다. 겹침을 피하는 다른 모든 속도는 fL과 fH로 각각 A와 A+B를 대체하는 다음의 더 일반적인 기준에 의해 주어진다**:**
:\frac{2 f_H}{n} \le f_s \le \frac{2 f_L}{n - 1}, 다음을 만족하는 임의의 정수 n에 대해:  1 \le n \le \left\lfloor \frac{f_H}{f_H-f_L} \right\rfloor

조건을 만족하는 가장 높은 n은 가능한 가장 낮은 샘플링 속도를 가져온다.

이러한 중요한 신호에는 라디오의 중간 주파수(IF), 무선 주파수(RF) 신호 및 필터 뱅크의 개별 채널이 포함된다.

n > 1인 경우, 이 조건은 때때로 언더샘플링, 대역통과 샘플링 또는 나이퀴스트율(2fH)보다 낮은 샘플링 속도를 사용하는 것으로 언급된다. 주어진 샘플링 주파수의 경우, 신호의 스펙트럼 대역에 대한 제약 조건에 대한 더 간단한 공식은 아래와 같다.

thumb|right|255px|FM 라디오 대역(88–108 MHz)과 44 MHz (n = 5) 샘플링 시 기저대역 에일리어스 스펙트럼. FM 라디오 대역에 매우 밀착된 위신호 제거 필터가 필요하며, 87.9와 같은 인접 확장 채널에 방송국이 들어설 공간이 없어 에일리어싱이 발생할 수 있다.
thumb|right|255px|FM 라디오 대역(88–108 MHz)과 56 MHz (n = 4) 샘플링 시 기저대역 에일리어스 스펙트럼. 대역통과 위신호 제거 필터 전환 대역을 위한 충분한 공간을 보여준다. 이 경우 기저대역 이미지는 주파수 역전(짝수 n)된다.

:**예시:** FM 라디오를 통해 언더샘플링 개념을 설명한다.

:미국에서 FM 라디오는 fL = 88 MHz에서 fH = 108 MHz의 주파수 대역에서 작동한다. 대역폭은 다음과 같이 주어진다.

:: W = f_H - f_L = 108 \ \mathrm{MHz} - 88 \ \mathrm{MHz} = 20 \ \mathrm{MHz}

:샘플링 조건은 다음을 만족한다.
::1 \le n \le \lfloor 5.4 \rfloor = \left\lfloor { 108 \ \mathrm{MHz} \over 20 \ \mathrm{MHz} } \right\rfloor

:따라서 n은 1, 2, 3, 4, 또는 5가 될 수 있다.

:n = 5 값은 가장 낮은 샘플링 주파수 간격 43.2\ \mathrm{MHz}를 제공하며, 이는 언더샘플링 시나리오이다. 이 경우, 신호 스펙트럼은 샘플링 속도의 2배에서 2.5배 사이(86.4–88 MHz보다 높지만 108–110 MHz보다 낮음)에 맞는다.

:n 값이 더 낮아도 유용한 샘플링 속도를 얻을 수 있다. 예를 들어, n = 4를 사용하면 FM 대역 스펙트럼이 샘플링 속도의 1.5배에서 2.0배 사이에 쉽게 들어맞으며, 샘플링 속도는 56 MHz 근처이다(나이퀴스트 주파수의 배수는 28, 56, 84, 112 등). 오른쪽 그림들을 참조하라.

:실제 신호를 언더샘플링할 때, 샘플링 회로는 관심 있는 가장 높은 신호 주파수를 포착할 수 있을 만큼 충분히 빨라야 한다. 이론적으로 각 샘플은 무한히 짧은 간격 동안 취해져야 하지만, 이는 실제로 불가능하다. 대신, 신호의 샘플링은 가장 높은 주파수를 가진 신호의 순간 값을 나타낼 수 있을 만큼 충분히 짧은 간격으로 이루어져야 한다. 이는 위 FM 라디오 예시에서 샘플링 회로가 43.2 MHz가 아닌 108 MHz 주파수의 신호를 포착할 수 있어야 함을 의미한다. 따라서 샘플링 주파수는 43.2 MHz보다 약간만 더 클 수 있지만, 시스템의 입력 대역폭은 최소 108 MHz여야 한다. 마찬가지로, 샘플링 타이밍의 정확성, 즉 샘플러의 개구 불확실성, 종종 아날로그-디지털 변환기는 샘플링되는 주파수 108 MHz에 적합해야 하며, 더 낮은 샘플링 속도가 아니다.

:만약 표본화 정리가 가장 높은 주파수의 두 배를 요구하는 것으로 해석된다면, 필요한 샘플링 속도는 나이퀴스트율인 216 MHz보다 커야 한다고 가정될 것이다. 이는 샘플링 속도에 대한 마지막 조건을 만족하지만, 심하게 오버샘플링된 것이다.

:대역이 n > 1로 샘플링되는 경우, 위신호 제거 필터로 저역통과 필터 대신 대역통과 필터가 필요하다는 점에 유의하라.

우리가 보았듯이, 가역 샘플링을 위한 일반적인 기저대역 조건은 X(f)가 다음 간격 외부에서는 0이라는 것이다**:**
&nbsp; \scriptstyle \left(-\frac12f_\mathrm{s},\frac12f_\mathrm{s}\right),

그리고 재구성 보간 함수 또는 저역통과 필터 임펄스 응답은 &nbsp;\scriptstyle \operatorname{sinc} \left(t/T\right)이다.

언더샘플링을 수용하기 위해, 대역통과 조건은 X(f)가 열린 양수 및 음수 주파수 대역의 합집합 외부에서는 0이라는 것이다.
::
    \left(-\frac{n}2f_\mathrm{s},-\frac{n-1}2f_\mathrm{s}\right)
    \cup\left(\frac{n-1}2f_\mathrm{s},\frac{n}2f_\mathrm{s}\right)
   어떤 양의 정수 n\,에 대해.
:: 여기에는 n = 1인 경우의 정상적인 기저대역 조건이 포함된다(단, 간격이 0 주파수에서 만나는 곳은 닫힐 수 있다).

해당 보간 함수는 저역통과 임펄스 응답의 이 차이에 의해 주어진 대역통과 필터이다**:**

::n\operatorname{sinc} \left(\frac{nt}T\right) - (n-1)\operatorname{sinc} \left( \frac{(n-1)t}T \right) .

반면에, 샘플링된 IF 또는 RF 신호의 경우 재구성이 일반적으로 목표가 아니다. 오히려 샘플 시퀀스는 기저대역 근처로 주파수 이동된 신호의 일반적인 샘플로 처리될 수 있으며, n이 짝수일 때 스펙트럼 미러링을 인식하면서 디지털 복조가 진행될 수 있다.

여러 대역을 가진 신호의 경우 언더샘플링의 추가적인 일반화가 가능하며, 다차원 영역(공간 또는 시공간)의 신호에 대해서도 이고르 클루바네크에 의해 자세히 연구되었다.

## 같이 보기
* 드리즐 (화상 처리)
* 무아레

## 각주

분류:신호 처리