바이어슈트라스 변환

수학에서 카를 바이어슈트라스의 이름을 따서 명명된 함수 f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}의 **바이어슈트라스 변환**()은 x를 중심으로 하는 가우스 함수로 가중된 f의 값을 평균하여 얻은 f(x)의 "평활화된" 버전이다.

섬네일|right|400px|함수 <math>f(x)</math> (검은색)와 다섯 가지 <math>t</math> 매개변수에 대한 일반화된 바이어슈트라스 변환 그래프. 표준 바이어슈트라스 변환 <math>F(x)</math>는 <math>t=1</math> (녹색)인 경우에 해당한다

특히, 다음으로 정의되는 함수 F이다.
:F(x)=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(y) \; e^{-\frac{(x-y)^2}{4}} \; dy = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x-y) \; e^{-\frac{y^2}{4}} \; dy~,
이는 f와 가우스 함수의 합성곱이다.
:\frac{1}{\sqrt{4\pi}} e^{-x^2/4}~.
계수 \frac{1}{\sqrt{4\pi}}는 가우스 함수가 총 적분값이 1이 되도록 선택되며, 결과적으로 상수 함수는 바이어슈트라스 변환에 의해 변경되지 않는다.

F(x) 대신 W[f](x)로도 쓴다. 정의 적분이 수렴하지 않을 때 F(x)가 모든 실수 x에 대해 존재할 필요는 없다는 점에 유의해야 한다.

바이어슈트라스 변환은 열 방정식 (또는 등가적으로 상수 확산 계수를 갖는 확산 방정식)과 밀접한 관련이 있다. 만약 함수 f가 상수 열전도도가 1인 무한히 긴 막대의 각 지점에서의 초기 온도를 나타낸다면, t=1 시간 단위 후의 막대의 온도 분포는 함수 F로 주어진다. 1과 다른 t 값을 사용함으로써 우리는 f의 **일반화된 바이어슈트라스 변환**()을 정의할 수 있다.

일반화된 바이어슈트라스 변환은 주어진 적분 가능한 함수 f를 해석 함수로 임의로 잘 근사하는 수단을 제공한다.

## 이름
바이어슈트라스는 바이어슈트라스 근사 정리의 원래 증명에서 이 변환을 사용했다. 이 변환은 카를 프리드리히 가우스의 이름을 따서 **가우스 변환**() 또는 **가우스-바이어슈트라스 변환**()이라고도 불리며, 이를 광범위하게 연구한 에이나르 카를 힐레의 이름을 따서 **힐레 변환**()이라고도 불린다. 아래에 언급된 일반화 W_t는 신호 처리에서는 가우스 필터로, 영상 처리 ( \mathbb{R}^2에서 구현될 때)에서는 가우시안 블러로 알려져 있다.

## 일부 중요 함수의 변환
### 상수 함수
모든 상수 함수는 자체 바이어슈트라스 변환이다.

### 다항식
어떤 다항식의 바이어슈트라스 변환은 같은 차수의 다항식이며, 실제로 같은 최고차 항 계수를 가진다 (점근적 성장은 변하지 않는다). 실제로 H_n이 n차 (물리학자의) 에르미트 다항식을 나타낸다면, H_n(x/2)의 바이어슈트라스 변환은 단순히 x^n이다. 이는 에르미트 다항식의 생성함수가 바이어슈트라스 변환의 정의에 사용되는 가우스 핵과 밀접하게 관련되어 있다는 사실을 활용하여 증명할 수 있다.

### 지수, 사인, 코사인
지수 함수 x \mapsto \exp(ax) (여기서 a는 임의의 상수)의 바이어슈트라스 변환은 x \mapsto \exp(a^2)\exp(ax)이다. 따라서 함수 \exp(ax)는 고유값 \exp(a^2)을 갖는 바이어슈트라스 변환의 고유함수이다.

a = bi (여기서 b는 임의의 실수 상수이고 i는 허수 단위)인 x \mapsto \exp(ax)의 바이어슈트라스 변환을 사용하고 오일러 항등식을 적용하면, 함수 \cos(bx)의 바이어슈트라스 변환은 \exp(-b^2)\cos(bx)이고 함수 \sin(bx)의 바이어슈트라스 변환은  \exp(-b^2) \sin(bx)임을 알 수 있다.

### 가우스 함수
함수 x \mapsto \exp(ax^2)의 바이어슈트라스 변환은

F(x) = \begin{cases}
  \dfrac{1}{\sqrt{1-4a}} \exp\left(\dfrac{ax^2}{1-4a}\right) & \text{if } a 
특히 a가 음수로 선택된 경우를 주목할 만하다. 만약 a 이면 \exp(ax^2)는 가우스 함수이고 그 바이어슈트라스 변환 또한 가우스 함수이지만, "더 넓은" 가우스 함수이다.

## 일반적인 속성
바이어슈트라스 변환은 각 함수 f에 새로운 함수 F를 할당한다. 이 할당은 선형이다. 또한, 변환은 병진 불변성을 가지는데, 이는 함수 f(x+a)의 변환이 F(x+a)라는 것을 의미한다. 이 두 가지 사실은 일반적으로 합성곱을 통해 정의되는 모든 적분 변환에 대해 더 일반적으로 참이다.

만약 변환 F(x)가 실수 x=a와 x=b에 대해 존재한다면, 그 사이의 모든 실수 값에 대해서도 존재하며 그곳에서 해석 함수를 형성한다. 또한, F(x)는 a \le \Re(x)\le b를 만족하는 x의 모든 복소수 값에 대해 존재하며 복소평면의 해당 띠 위에서 정칙 함수를 형성한다. 이것은 위에서 언급된 F의 "평활도"에 대한 형식적인 진술이다.

만약 f가 전체 실수 축에 대해 적분 가능하면 (즉, f \in L^1(\R)), 그 바이어슈트라스 변환 F도 그러하며, 추가적으로 모든 x에 대해 f(x)\ge 0이면 모든 x에 대해 F(x)\ge 0이고 f와 F의 적분은 같다. 이것은 총 열 에너지가 열 방정식에 의해 보존되거나, 총 확산 물질의 양이 확산 방정식에 의해 보존된다는 물리적 사실을 나타낸다.

위의 내용을 사용하여 1 \le p \le +\infty와 f \in L^p(\R)에 대해 F \in L^p(\R)이고 ||F||_p \le ||f||_p임을 보일 수 있다. 결과적으로 바이어슈트라스 변환은 유계 작용소 W : L^p(\R)\to L^p(\R)를 생성한다.

만약 f가 충분히 매끄러우면, f의 k차 미분의 바이어슈트라스 변환은 f의 바이어슈트라스 변환의 k차 미분과 같다.

바이어슈트라스 변환 W와 양측 라플라스 변환 L을 연결하는 공식이 있다. 만약 다음과 같이 정의한다면

:g(x)=e^{-\frac{x^2}{4}} f(x)

그러면

:W[f](x)=\frac{1}{\sqrt{4\pi}} e^{-x^2/4} L[g]\left(-\frac{x}{2}\right).

### 로우패스 필터

위에서 \cos(bx)의 바이어슈트라스 변환이 e^{-b^2}\cos(bx)이고, \sin(bx)에 대해서도 유사하다는 것을 보았다. 신호 처리의 관점에서 볼 때, 이는 신호 f가 주파수 b를 포함하면 (즉, \sin(bx)와 \cos(bx)의 조합인 항을 포함하면), 변환된 신호 F도 같은 주파수를 포함하지만, 진폭은 e^{-b^2} 인수가 곱해진다는 것을 시사한다. 이로 인해 높은 주파수가 낮은 주파수보다 더 많이 감소하며, 따라서 바이어슈트라스 변환은 로우패스 필터 역할을 한다. 이는 연속 푸리에 변환으로도 다음과 같이 보일 수 있다. 푸리에 변환은 신호를 주파수 관점에서 분석하고, 합성곱을 곱셈으로 변환하며, 가우스 함수를 가우스 함수로 변환한다. 바이어슈트라스 변환은 가우스 함수와의 합성곱이므로, 푸리에 변환된 신호를 가우스 함수와 곱한 다음 역 푸리에 변환을 적용하는 것이다. 주파수 공간에서 가우스 함수와의 이 곱셈은 높은 주파수를 흐리게 하는데, 이는 바이어슈트라스 변환의 "평활화" 속성을 설명하는 또 다른 방법이다.

## 역변환
가우스 함수의 라플라스 변환과 밀접하게 관련되어 있으며 허버드-스트라토노비치 변환의 실수 아날로그인 다음 공식은 비교적 쉽게 설정할 수 있다:

:e^{u^2}=\frac{1}{\sqrt{4\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-uy} e^{-y^2/4}\;dy.

이제 u를 형식 미분 연산자 D&nbsp;=&nbsp;d/dx로 대체하고 라그랑주 시프트 연산자를 활용한다.
:e^{-yD}f(x)=f(x-y),
(테일러 급수 공식과 지수 함수 정의의 결과)를 사용하여 다음을 얻는다.
:
\begin{align}
e^{D^2}f(x) & = \frac{1}{\sqrt{4\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-yD}f(x) e^{-y^2/4}\;dy \\
& =\frac{1}{\sqrt{4\pi}} \int_{-\infty}^\infty f(x-y) e^{-y^2/4}\;dy=W[f](x)
\end{align}

따라서 바이어슈트라스 변환 W에 대한 다음 형식적인 표현을 얻는다.

여기서 오른쪽의 연산자는 함수 f(x)에 다음과 같이 작용하는 것으로 이해된다.
:e^{D^2} f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{D^{2k}f(x)}{k!}~.

위의 형식적인 유도는 수렴에 대한 세부 사항을 생략했으며, 따라서 공식 W = e^{D^2}는 보편적으로 유효하지 않다. 잘 정의된 바이어슈트라스 변환을 갖지만 e^{D^2}(f)가 의미 있게 정의될 수 없는 여러 함수 f가 있다.

그럼에도 불구하고 이 규칙은 여전히 매우 유용하며, 예를 들어 위에서 언급한 다항식, 지수 및 삼각 함수의 바이어슈트라스 변환을 유도하는 데 사용될 수 있다.

따라서 바이어슈트라스 변환의 형식적인 역변환은 다음과 같이 주어진다.
:W^{-1}=e^{-D^2}  ~. 
다시 말하지만, 이 공식은 보편적으로 유효하지는 않지만 지침으로 사용될 수 있다. 오른쪽 항 연산자가 올바르게 정의되면 특정 함수 클래스에 대해 정확하다는 것을 보일 수 있다.

대신, 바이어슈트라스 변환을 약간 다른 방식으로 역변환할 수도 있다. 해석 함수
:F(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n  ~,
에 W^{-1}를 적용하면 다음을 얻는다.
:f(x)=W^{-1}[F(x)]=\sum_{n=0}^\infty a_n W^{-1}[x^n]=\sum_{n=0}^\infty a_n H_n(x/2)
이는 (물리학자의) 에르미트 다항식 H_n의 기본적인 속성을 다시 사용한 것이다.

다시 말하지만, f(x)에 대한 이 공식은 최종 급수가 수렴하는지 확인하지 않았기 때문에 기껏해야 형식적이다. 그러나 예를 들어 f \in L^2(\R)인 경우, x=0에서의 F의 모든 미분을 알면 계수 a_n을 얻기에 충분하며, 이를 통해 f를 에르미트 다항식 급수로 재구성할 수 있다.

바이어슈트라스 변환을 역변환하는 세 번째 방법은 위에서 언급한 라플라스 변환과의 연결과 라플라스 변환에 대한 잘 알려진 역변환 공식을 활용한다. 그 결과는 아래에 분포에 대해 기술되어 있다.

## 일반화

가우스 핵 \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{-\frac{x^2}{4t}}, \quad t > 0, 대신 \frac{1}{\sqrt{4\pi}} e^{-\frac{x^2}{4}},와 합성곱을 사용하여 연산자 , 즉 일반화된 바이어슈트라스 변환을 정의할 수 있다.

t 값이 작으면, W_t[f]는 f에 매우 가깝지만 매끄럽다. t가 클수록 이 연산자는 f를 더 많이 평균화하고 변화시킨다. 물리적으로 W_t는 t 시간 단위 동안 열 (또는 확산) 방정식을 따르는 것에 해당하며, 이는 가산적이다.
W_s \circ W_t = W_{s+t},
이는 " t 시간 단위 동안 확산한 다음 s 시간 단위 동안 확산하는 것은 s+t 시간 단위 동안 확산하는 것과 같다"는 의미이다. W_0를 항등 연산자 (즉, 디랙 델타 함수와의 합성곱)로 설정하여 t=0까지 확장할 수 있으며, 이들은 1-매개변수 반군을 형성한다.

일반화된 바이어슈트라스 변환에 사용되는 핵 \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{-\frac{x^2}{4t}},는 때때로 **가우스-바이어슈트라스 핵**()이라고 불리며, \R에서의 확산 방정식 (\partial_t -D^2) (e^{tD^2} f(x))=0,에 대한 그린 함수이다.
W_t는 W로부터 계산될 수 있다. 함수 f(x)가 주어졌을 때, 새로운 함수 f_t(x) := f(x\sqrt{t}),를 정의하면, W_t[f](x) = W[f_t](x\sqrt{t}),이는 치환법의 결과이다.

바이어슈트라스 변환은 특정 종류의 분포 또는 "일반화된 함수"에 대해서도 정의될 수 있다. 예를 들어, 디랙 델타 함수의 바이어슈트라스 변환은 가우스 함수 \frac{1}{\sqrt{4\pi}} e^{-x^2/4}.이다.
이러한 맥락에서 엄밀한 역변환 공식이 증명될 수 있다. 예를 들어,
f(x)=\lim_{r\to\infty}\frac{1}{i\sqrt{4\pi}} \int_{x_0-ir}^{x_0+ir} F(z)e^{\frac{(x-z)^2}{4}}\;dz,
여기서 x_0는 F(x_0)가 존재하는 임의의 고정된 실수이고, 적분은 실수부가 x_0인 복소평면의 수직선 위에서 확장되며, 극한은 분포의 의미에서 취해진다.

더 나아가, 바이어슈트라스 변환은 \R^n에서 정의된 실수값 (또는 복소수값) 함수 (또는 분포)에 대해서도 정의될 수 있다. 위와 동일한 합성곱 공식을 사용하지만, 적분은 \R^n 전체에 걸쳐 확장되는 것으로 해석하고 표현 (x-y)^2은 벡터 x-y의 유클리드 길이의 제곱으로 해석한다. 적분 앞의 계수는 가우스 함수가 총 적분 값이 1이 되도록 조정해야 한다.

보다 일반적으로, 바이어슈트라스 변환은 모든 리만 다양체에서 정의될 수 있다. 거기서 열 방정식은 (다양체의 라플라스-벨트라미 연산자를 사용하여) 공식화될 수 있으며, 바이어슈트라스 변환 W[f]는 초기 "온도 분포" f에서 시작하여 한 시간 단위 동안 열 방정식의 해를 따름으로써 주어진다.

## 관련 변환
가우스 함수 대신 핵 \frac{1}{(1+x^2)\pi}와의 합성곱을 고려하면, 바이어슈트라스 변환과 유사한 방식으로 주어진 함수를 평활화하고 평균화하는 푸아송 변환을 얻는다.

## 같이 보기
* 가우시안 블러
* 가우스 필터
* 후시미 표현
* 열 방정식#기본해

## 내용주

## 각주

분류:적분 변환
분류:수리물리학