다변량 안정 분포

**다변량 안정 분포**()는 단변량 안정 분포의 다변량 일반화인 다변량 확률 분포이다. 다변량 안정 분포는 안정 분포 주변 분포 간의 선형 관계를 정의한다. 단변량의 경우와 마찬가지로, 이 분포는 특성 함수를 사용하여 정의된다.

다변량 안정 분포는 다변량 정규분포의 확장으로 생각할 수도 있다. 이 분포는 0  \mathbb{S} 를 \mathbb R^d의 유클리드 단위 구, 즉 \mathbb{S} = \{u \in \mathbb R^d\colon|u| = 1\}이라고 하자. 확률 벡터  X 는 다변량 안정 분포—X \sim S(\alpha, \Lambda, \delta)로 표기됨—를 가지며, X의 결합 특성 함수는 다음과 같다.

: \operatorname{E} \exp(i u^T X) = \exp \left\{-\int \limits_{\mathbb S}\left\{|u^Ts|^\alpha + i \nu (u^Ts, \alpha) \right\} \, \Lambda(ds) + i u^T\delta\right\},

여기서 0  y\in\mathbb R에 대해
:\nu(y,\alpha) =\begin{cases} -\operatorname{sign}(y) \tan(\pi \alpha / 2)|y|^\alpha & \alpha \ne 1, \\
(2/\pi)y \ln |y| & \alpha=1. \end{cases}

이것은 본질적으로 펠트하임(Feldheim)의 결과이며, 어떤 안정 확률 벡터도 스펙트럼 측정 \Lambda (구 \mathbb S에 대한 유한 측정)와 이동 벡터 \delta \in \mathbb R^d로 특징화될 수 있다는 것이다.

## 사영을 이용한 매개변수화
안정 확률 벡터를 설명하는 또 다른 방법은 사영을 이용하는 것이다. 어떤 벡터  u 에 대해서도 사영 u^TX는 어떤 왜도 \beta(u), 척도 \gamma(u), 그리고 어떤 이동 \delta(u)를 가진 단변량 \alpha-안정이다. X \sim S(\alpha,\beta,\gamma,\delta) 표기는 X가
u^TX \sim s(\alpha,\beta(u),\gamma(u),\delta(u))
모든 u \in \mathbb R^d에 대해 안정일 경우 사용된다. 이를 사영 매개변수화라고 한다.

스펙트럼 측정은 사영 매개변수 함수를 다음과 같이 결정한다:

: \gamma(u) =
\Bigl( \int_{\mathbb{S}} |u^Ts|^\alpha \, \Lambda(ds) \Bigr)^{1/\alpha}


: 
\beta(u) = \gamma(u)^{-\alpha} \int_{\mathbb{S}}|u^Ts|^\alpha \operatorname{sign}(u^Ts) \, \Lambda(ds)


: \delta(u)=\begin{cases}u^T \delta & \alpha \ne 1\\u^T \delta -\int_{\mathbb{S}}\frac{\pi}{2} u^Ts \ln|u^Ts| \, \Lambda(ds)&\alpha=1\end{cases}

## 특수한 경우
다변량 특성 함수가 더 간단한 형태를 취하는 특수한 경우가 있다. 안정 주변 분포의 특성 함수를 다음과 같이 정의한다.

: \omega(y|\alpha,\beta) =
\begin{cases}|y|^\alpha\left[1-i \beta(\tan  \frac{\pi\alpha}{2})\operatorname{sign}(y)\right]& \alpha \ne 1\\
|y|\left[1+i \beta \tfrac{2}{\pi} \operatorname{sign}(y)\ln |y|\right] & \alpha = 1\end{cases}


### 등방성 다변량 안정 분포
여기서 특성 함수는
E \exp(i u^T X)=\exp\{-\gamma_0^\alpha|u|^\alpha+i u^T \delta)\}이다.
스펙트럼 측정은 구의 균일 분포의 스칼라 배수이며, 이는 방사형/등방성 대칭으로 이어진다.
가우스의 경우 \alpha=2일 때는 독립적인 성분과 일치하지만, \alpha일 때는 그렇지 않다. 등방성은 타원성의 특수한 경우이다(다음 단락 참조)—그냥 \Sigma를 단위 행렬의 배수로 취하면 된다.

### 타원형 다변량 안정 분포
타원형 다변량 안정 분포는 다변량 안정 분포의 특수한 대칭 경우이다.
X는 &alpha;-안정이며 타원형인 경우에만 결합 특성 함수를 가진다.
E \exp(i u^T X)=\exp\{-(u^T\Sigma u)^{\alpha/2}+i u^T \delta)\}
이는 어떤 이동 벡터 \delta \in \mathbb{R}^d (존재할 경우 평균과 같음)와 어떤 양의 준정부호 행렬 \Sigma (상관 관계의 일반적인 정의는 무의미하지만 상관 행렬과 비슷함)에 대해 성립한다.
다변량 정규분포의 특성 함수와의 관계에 주목하라: E \exp(i u^T X)=\exp\{-(u^T\Sigma u)+i u^T \delta)\}, 이는 &alpha; = 2일 때 얻어진다.

### 독립 성분
주변 분포는 X_j \sim S(\alpha, \beta_j, \gamma_j, \delta_j)일 때 독립이다.
특성 함수는 다음과 같다.
: E \exp(i u^T X) = \exp\left\{-\sum_{j=1}^m \omega(u_j|\alpha,\beta_j)\gamma_j^\alpha +i u^T \delta\right\}.
&alpha; = 2일 때 이 함수는 다시 다변량 정규분포로 축소된다는 점을 관찰하라. &alpha; s_j \in \mathbb{S} 에서 질량 \lambda_j를 가진 이산이라면, j=1,\ldots,m,
특성 함수는 다음과 같다.
: E \exp(i u^T X)= \exp\left\{-\sum_{j=1}^m \omega(u^Ts_j|\alpha,1)\lambda_j^\alpha +i u^T \delta\right\}.

## 선형 속성
X \sim S(\alpha, \beta(\cdot), \gamma(\cdot), \delta(\cdot))
가 d차원 \alpha-안정이고, A가 m × d 행렬이며, b \in \mathbb{R}^m,이라면
AX + b는 척도 함수 \gamma \circ A^T, 왜도 함수 \beta \circ A^T, 위치 함수 \delta \circ A^T + b^T를 가진 m차원 \alpha-안정이다.

## 독립 성분 모델에서의 추론
빅슨(Bickson)과 게스트린(Guestrin)은 독립 성분 모델을 포함하는 선형 모델(또는 동등하게 인자 분석 모델)에서 닫힌 형태로 추론을 계산하는 방법을 보여주었다.

더 구체적으로, X_i \sim S(\alpha, \beta_{x_i}, \gamma_{x_i}, \delta_{x_i}) (i=1,\ldots,n)는 안정 분포에서 추출된 미관측 단변량의 i.i.d. 패밀리라고 하자. 크기 n \times n의 알려진 선형 관계 행렬 A가 주어졌을 때, 관측값 Y_i = \sum_{i=1}^n A_{ij}X_j는 숨겨진 요인 X_i의 컨볼루션으로 분포된다고 가정되며, 따라서 Y_i = S(\alpha, \beta_{y_i}, \gamma_{y_i}, \delta_{y_i})이다. 추론 작업은 선형 관계 행렬 A와 관측값 Y_i가 주어졌을 때 가장 가능성이 높은 X_i를 계산하는 것이다. 이 작업은 O(n^3)에서 닫힌 형태로 계산될 수 있다.

이 구성의 응용 프로그램은 안정적이고 비가우스 잡음이 있는 다중 사용자 감지이다.

## 같이 보기
* 다변량 코시 분포
* 다변량 정규분포

## 외부 링크
* Mark Veillette's stable distribution matlab package http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/37514
* The plots in this page where plotted using Danny Bickson's inference in linear-stable model Matlab package: https://www.cs.cmu.edu/~bickson/stable

## 내용주

분류:연속분포