고전적 한계

**고전적 한계**() 또는 **대응 한계**()는 물리 이론의 매개변수가 특정한 값일 때 고전역학에 근사하거나 고전역학을 "회복"하는 능력을 말한다. 고전적 한계는 비고전적인 행동을 예측하는 물리 이론에서 사용된다.

## 양자 이론
닐스 보어는 양자 이론에 대응원리라고 불리는 휴리스틱 가설을 도입했다. 이는 본질적으로 시스템의 작용에 의해 정규화된 플랑크 상수의 값이 매우 작아짐에 따라 양자 시스템의 고전적 한계에 일종의 연속성 논리가 적용되어야 함을 명시한다. 종종 이는 "반고전적" 기법(예: WKB 근사)을 통해 접근된다.

보다 엄밀하게는, 고전적 한계와 관련된 수학적 연산은 군 수축(group contraction)으로, 관련 작용이 환산 플랑크 상수 보다 훨씬 큰 물리 시스템을 근사하며, 이에 따라 "변형 매개변수" /는 실질적으로 0으로 간주될 수 있다(참조: Weyl quantization). 따라서 일반적으로 양자 교환자(또는 Moyal bracket)는 군 수축 내에서 푸아송 괄호로 환원된다.

양자역학에서는 베르너 하이젠베르크의 불확정성 원리로 인해 전자가 결코 정지해 있을 수 없으며, 항상 0이 아닌 운동 에너지를 가져야 하는데, 이는 고전역학에서는 발견되지 않는 결과이다. 예를 들어, 야구공처럼 전자에 비해 매우 큰 물체를 고려할 때, 불확정성 원리는 야구공이 실제로는 0의 운동 에너지를 가질 수 없다고 예측하지만, 운동 에너지의 불확정성이 너무 작아서 야구공이 사실상 정지해 있는 것처럼 보이고, 따라서 고전역학을 따르는 것처럼 보인다. 일반적으로 양자역학에서 (전자의 크기와 에너지 수준에 비해) 큰 에너지와 큰 물체를 고려하면 그 결과는 고전역학을 따르는 것처럼 나타날 것이다. 관련된 전형적인 점유수는 엄청나게 크다. &nbsp;=&nbsp;2&nbsp;Hz, &nbsp;=&nbsp;10&nbsp;g, 최대 진폭 0&nbsp;=&nbsp;10&nbsp;cm인 거시적 조화 진동자는 &nbsp;=&nbsp;을 가지므로, &nbsp;≃&nbsp;1030이 된다. 추가적으로 결맞는 상태를 참조하라. 그러나 고전적 한계가 혼돈 계에 어떻게 적용되는지는 덜 명확하며, 이 분야는 양자 혼돈으로 알려져 있다.

양자역학 내지 고전역학은 대개 완전히 다른 형식론으로 다뤄진다. 양자 이론은 힐베르트 공간을 사용하고, 고전역학은 위상 공간에서의 표현을 사용한다. 이 둘을 다양한 방식으로 공통의 수학적 틀로 가져올 수 있다. 본질적으로 통계적인 양자역학의 위상 공간 공식화에서는 양자역학 및 고전 통계역학 사이의 논리적 연결이 이루어지며, 이를 통해 양자화 시 리우빌 정리의 위반을 포함하여 두 역학 사이의 자연스러운 비교가 가능해진다.

1933년의 중요한 논문에서 폴 디랙은 고전역학이 어떻게 양자역학의 창발적 현상인지를 설명했다. 극값이 아닌 거시적 작용 &nbsp;»&nbsp;를 갖는 경로들 사이의 상쇄간섭은 그가 도입한 경로 적분에서 진폭 기여를 소멸시키고 극대/극소 작용 class을 남기게 되며, 따라서 고전적 작용 경로가 지배적인 기여를 하게 된다. 이 관찰은 1942년 리처드 파인만의 박사 학위 논문에서 더욱 정교해졌다. (추가적으로 양자 결어긋남을 참조)

## 기댓값의 시간 진화

고전역학과 양자역학을 비교하는 한 가지 간단한 방법은 위치 기댓값과 운동량 기댓값의 시간 진화를 고려하는 것인데, 이는 고전역학에서의 일반적인 위치 및 운동량의 시간 진화와 비교될 수 있다. 양자 기댓값은 에렌페스트 정리를 만족한다. 퍼텐셜 V 안에서 움직이는 1차원 양자 입자에 대해 에렌페스트 정리는 다음과 같다.
:m\frac{d}{dt}\langle x\rangle = \langle p\rangle;\quad \frac{d}{dt}\langle p\rangle =  -\left\langle V'(X)\right\rangle .
비록 이 방정식들 중 첫 번째는 고전역학과 일치하지만, 두 번째는 그렇지 않다. 만약 쌍 (\langle X\rangle,\langle P\rangle)이 뉴턴의 제2법칙을 만족한다면, 두 번째 방정식의 우변은 다음과 같아야 한다.
:\frac{d}{dt}\langle p\rangle =-V'\left(\left\langle X\right\rangle\right).
그러나 대부분의 경우,
:\left\langle V'(X)\right\rangle\neq V'(\left\langle X\right\rangle)이다.
예를 들어 퍼텐셜 V가 3차식이라면 V'은 2차식이며, 이 경우 우리는 \langle X^2\rangle과 \langle X\rangle^2 사이의 구분에 대해 이야기하게 되는데, 이 둘은 (\Delta X)^2만큼 차이가 난다.

예외는 고전적 운동 방정식이 선형인 경우, 즉 V가 2차식이고 V'이 선형일 때 발생한다. 그 특별한 경우에 V'\left(\left\langle X\right\rangle\right)와 \left\langle V'(X)\right\rangle는 일치한다. 특히 자유 입자나 양자 조화 진동자의 경우, 위치 기댓값과 운동량 기댓값은 뉴턴 방정식의 해를 정확히 따른다.

일반적인 시스템의 경우, 우리가 기대할 수 있는 최선은 위치 및 운동량 기댓값이 고전적 궤적을 대략적으로 따르는 것이다. 만약 파동 함수가 한 점 x_0 주위에 고도로 집중되어 있다면, 두 값 모두 대략 V'(x_0)와 같아지므로 V'\left(\left\langle X\right\rangle\right)와 \left\langle V'(X)\right\rangle는 거의 같아질 것이다. 이 경우 위치 및 운동량 기댓값은 적어도 파동 함수가 위치상에서 고도로 국소화되어 있는 동안에는 고전적 궤적에 매우 가깝게 유지될 것이다.

이제 초기 상태가 위치상에서 매우 국소화되어 있다면, 운동량상에서는 매우 퍼지게 될 것이며, 따라서 파동 함수가 빠르게 퍼지고 고전적 궤적과의 연결이 끊어질 것으로 예상된다. 그러나 플랑크 상수가 작을 때는 위치와 운동량 모두에서 잘 국소화된 상태를 갖는 것이 가능하다. 운동량의 작은 불확정성은 입자가 오랫동안 위치상에서 잘 국소화되어 있도록 보장하며, 따라서 위치 및 운동량 기댓값이 오랫동안 고전적 궤적을 밀접하게 추적할 수 있게 한다.

## 상대성 이론 및 기타 변형
물리학에서 나타나는 다른 친숙한 변형들은 다음과 같다:

* 고전적인 뉴턴 역학에서 상대론적 역학(특수 상대성이론)으로의 변형 (변형 매개변수 ). 고전적 한계는 작은 속도를 포함하므로 이고, 시스템은 뉴턴 역학을 따르는 것처럼 보인다.
* 유사하게 뉴턴 중력에서 일반 상대성이론으로의 변형 (변형 매개변수 슈바르츠실트 반지름/특성 차원). 물체의 질량에 플랑크 길이의 제곱을 곱한 값이 물체의 크기 및 다루는 문제의 크기보다 훨씬 작을 때, 물체는 다시 한번 고전역학(평탄한 공간)을 따르는 것처럼 보임을 알 수 있다. Newtonian limit을 참조하라.
* 파동 광학 또한 변형 매개변수 에 대한 광선 광학의 변형으로 간주될 수 있다.
* 마찬가지로, 열역학은 변형 매개변수 에 대해 통계역학으로 변형된다.

## 같이 보기
* 고전적 확률 밀도
* 에렌페스트 정리
* 마델룽 방정식
* 프레넬 적분
* 양자역학의 수학 공식화
* 양자 혼돈
* 양자 결어긋남
* 양자 한계
* 반고전론
* 위그너-바일 변환
* WKB 근사

## 각주

* 

분류:양자역학
분류:과학철학
분류:창발
분류:상대성이론
분류:물리학 개념