무한소 변형 이론

연속체 역학에서 **무한소 변형 이론**()은 고체의 변형을 설명하는 수학적 접근 방식이다. 이 이론에서는 재료 입자의 변위가 몸체의 관련 차원보다 훨씬 작다고(실제로 무한소로 작다고) 가정한다. 따라서 공간의 각 지점에서 몸체의 기하학적 형태와 재료의 구성적 특성(예: 밀도 및 뻣뻣함)은 변형에 의해 변하지 않는다고 가정할 수 있다.

이러한 가정으로 인해 연속체 역학 방정식은 상당히 단순해진다. 이 접근 방식을 **작은 변형 이론**(), **작은 변위 이론**() 또는 **작은 변위 기울기 이론**()이라고도 한다. 이는 반대 가정을 하는 유한 변형 이론과 대조된다.

무한소 변형 이론은 콘크리트 및 강철과 같이 비교적 단단한 탄성 재료로 만들어진 구조물의 응력 해석을 위해 토목 및 기계 공학에서 일반적으로 채택된다. 이러한 구조물 설계의 일반적인 목표는 일반적인 하중 하에서 변형을 최소화하는 것이기 때문이다. 그러나 이 근사는 막대, 판 및 껍질과 같이 상당한 회전에 취약하여 결과의 신뢰성을 떨어뜨릴 수 있는 얇고 유연한 몸체의 경우 주의가 필요하다.

## 무한소 변형 텐서
연속체의 무한소 변형의 경우, 변위 기울기 텐서(2차 텐서)가 1에 비해 작을 때, 즉 \|\nabla \mathbf u\| \ll 1 일 때,
유한 변형 이론에서 사용되는 유한 변형 텐서, 예를 들어 라그랑주 유한 변형 텐서 \mathbf E와 오일러 유한 변형 텐서 \mathbf e 중 하나를 기하학적으로 선형화할 수 있다. 이러한 선형화에서는 유한 변형 텐서의 비선형 또는 2차 항은 무시된다. 따라서 다음과 같다.

\mathbf E = \frac{1}{2} \left(\nabla_{\mathbf X}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T\nabla_{\mathbf X}\mathbf u\right)\approx \frac{1}{2}\left(\nabla_{\mathbf X}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T\right)
또는
E_{KL}= \frac{1}{2} \left(\frac{\partial U_K}{\partial X_L} +\frac{\partial U_L}{\partial X_K}+ \frac{\partial U_M}{\partial X_K} \frac{\partial U_M}{\partial X_L}\right)\approx \frac{1}{2}\left(\frac{\partial U_K}{\partial X_L}+\frac{\partial U_L}{\partial X_K}\right)
그리고
\mathbf e =\frac{1}{2} \left(\nabla_{\mathbf x}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf x}\mathbf u)^T - \nabla_{\mathbf x}\mathbf u(\nabla_{\mathbf x}\mathbf u)^T\right)\approx \frac{1}{2}\left(\nabla_{\mathbf x}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf x}\mathbf u)^T\right)
또는
e_{rs}=\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_r}{\partial x_s} +\frac{\partial u_s}{\partial x_r} -\frac{\partial u_k}{\partial x_r} \frac{\partial u_k}{\partial x_s}\right)\approx \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_r}{\partial x_s} +\frac{\partial u_s}{\partial x_r}\right)

이 선형화는 연속체의 주어진 재료 점의 재료 및 공간 좌표에 거의 차이가 없으므로 라그랑주 설명과 오일러 설명이 대략적으로 동일하다는 것을 의미한다. 따라서 재료 변위 기울기 텐서 구성 요소와 공간 변위 기울기 텐서 구성 요소는 대략적으로 같다. 따라서 다음과 같다.
\mathbf E \approx \mathbf e \approx \boldsymbol \varepsilon = \frac{1}{2}\left((\nabla\mathbf u)^T + \nabla\mathbf u\right) 
또는
 E_{KL}\approx e_{rs}\approx\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)
여기서 \varepsilon_{ij}는 코시 변형 텐서, 선형 변형 텐서 또는 작은 변형 텐서라고도 불리는 무한소 변형 텐서 \boldsymbol \varepsilon의 구성 요소이다.

\begin{align}
\varepsilon_{ij} &= \frac{1}{2}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)  \\
&=
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \\
\end{bmatrix} \\
&=
\begin{bmatrix}
  \frac{\partial u_1}{\partial x_1} & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_1}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_1}\right) & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_1}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_1}\right) \\
   \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_2}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_2}\right) & \frac{\partial u_2}{\partial x_2} & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_2}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_2}\right) \\
   \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_3}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_3}\right) & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_3}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_3}\right) & \frac{\partial u_3}{\partial x_3} \\
  \end{bmatrix}
\end{align} 
또는 다른 표기법을 사용하여:
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\
   \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\
   \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} \\
  \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
  \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x}\right) & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_x}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial x}\right) \\
   \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_y}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial y}\right) & \frac{\partial u_y}{\partial y} & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_y}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial y}\right) \\
   \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_z}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial z}\right) & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_z}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial z}\right) & \frac{\partial u_z}{\partial z} \\
  \end{bmatrix} 

또한, 변형 기울기는 \boldsymbol{F} = \boldsymbol{\nabla}\mathbf{u} + \boldsymbol{I}로 표현될 수 있는데, 여기서 \boldsymbol{I}는 2차 항등 텐서이므로, 다음과 같다.
\boldsymbol\varepsilon = \frac{1}{2} \left(\boldsymbol{F}^T+\boldsymbol{F}\right)-\boldsymbol{I}

또한 라그랑주 및 오일러 유한 변형 텐서의 일반식으로부터 다음을 얻는다.
 \begin{align}
\mathbf E_{(m)}& =\frac{1}{2m} (\mathbf U^{2m}-\boldsymbol{I}) = \frac{1}{2m} [(\boldsymbol{F}^T\boldsymbol{F})^m - \boldsymbol{I}] \approx \frac{1}{2m} [\{\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u}+(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u})^T + \boldsymbol{I}\}^m - \boldsymbol{I}]\approx \boldsymbol{\varepsilon}\\
\mathbf e_{(m)}& = \frac{1}{2m} (\mathbf V^{2m}-\boldsymbol{I})= \frac{1}{2m} [(\boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T)^m - \boldsymbol{I}]\approx \boldsymbol{\varepsilon}
\end{align} 

### 기하학적 유도
class=skin-invert-image|400px|right|섬네일|그림 1. 무한소 재료 요소의 2차원 기하학적 변형.
변형 전 가로 dx, 세로 dy인 무한소 직사각형 재료 요소의 2차원 변형을 고려해 보자(그림 1). 변형 후 이 요소는 마름모꼴이 된다. 그림 1의 기하학적 형태에서 다음을 얻는다.

\begin{align}
\overline {ab} &= \sqrt{\left(dx+\frac{\partial u_x}{\partial x}dx \right)^2 + \left( \frac{\partial u_y}{\partial x}dx \right)^2} \\
&= dx\sqrt{1+2\frac{\partial u_x}{\partial x}+\left(\frac{\partial u_x}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_y}{\partial x}\right)^2} \\
\end{align}

변위 기울기가 매우 작을 때, 즉 \|\nabla \mathbf u\| \ll 1 일 때, 다음을 얻는다.
\overline {ab} \approx dx + \frac{\partial u_x}{\partial x} dx

직사각형 요소의 x 방향 정상 변형률은 다음과 같이 정의된다.
\varepsilon_x = \frac{\overline {ab}-\overline {AB}}{\overline {AB}}
그리고 \overline {AB}= dx임을 알면, 다음을 얻는다.
\varepsilon_x = \frac{\partial u_x}{\partial x}

마찬가지로,  및 의 정상 변형률은 다음과 같다.
\varepsilon_y = \frac{\partial u_y}{\partial y} \quad , \qquad  \varepsilon_z = \frac{\partial u_z}{\partial z}

이 경우 원래 직교하는 두 재료선인 \overline {AC}와 \overline {AB} 사이의 각도 변화인 공학 전단 변형률은 다음과 같이 정의된다.
\gamma_{xy}= \alpha + \beta

그림 1의 기하학적 형태에서 다음을 얻는다.
\tan \alpha = \frac{\dfrac{\partial u_y}{\partial x}dx}{dx + \dfrac{\partial u_x}{\partial x} dx} = \frac{\dfrac{\partial u_y}{\partial x}}{1+\dfrac{\partial u_x}{\partial x}} \quad , \qquad \tan \beta=\frac{\dfrac{\partial u_x}{\partial y} dy}{dy+\dfrac{\partial u_y}{\partial y} dy}=\frac{\dfrac{\partial u_x}{\partial y}}{1+\dfrac{\partial u_y}{\partial y}}

작은 회전에 대해, 즉 \alpha와 \beta가 \ll 1일 때 다음을 얻는다.
\tan \alpha \approx \alpha \quad , \qquad \tan \beta \approx \beta
그리고, 다시 작은 변위 기울기에 대해 다음을 얻는다.
\alpha=\frac{\partial u_y}{\partial x} \quad , \qquad \beta=\frac{\partial u_x}{\partial y}
따라서
\gamma_{xy}= \alpha + \beta = \frac{\partial u_y}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial y}
x와 y를, u_x와 u_y를 서로 바꾸면 \gamma_{xy} = \gamma_{yx}임을 보일 수 있다.

마찬가지로 y-z 및 x-z 평면에 대해 다음을 얻는다.
\gamma_{yz} = \gamma_{zy} = \frac{\partial u_y}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial y} \quad , \qquad \gamma_{zx} = \gamma_{xz} = \frac{\partial u_z}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial z}

무한소 변형 텐서의 텐서 전단 변형률 성분은 공학 변형률 정의인 를 사용하여 다음과 같이 표현될 수 있음을 알 수 있다.
 \begin{bmatrix}
\varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\
\varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\
\varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\varepsilon_{xx} & \gamma_{xy}/2 & \gamma_{xz}/2 \\
\gamma_{yx}/2 & \varepsilon_{yy} & \gamma_{yz}/2 \\
\gamma_{zx}/2 & \gamma_{zy}/2 & \varepsilon_{zz} \\
\end{bmatrix}

### 물리적 해석
유한 변형 텐서로부터 다음을 얻는다.
d\mathbf{x}^2 - d\mathbf{X}^2 = d\mathbf X \cdot 2\mathbf E \cdot d\mathbf X \quad\text{or}\quad (dx)^2 - (dX)^2 = 2E_{KL}\,dX_K\,dX_L

그러면 무한소 변형에 대해 다음을 얻는다.
d\mathbf{x}^2 - d\mathbf{X}^2 = d\mathbf X \cdot 2\mathbf{\boldsymbol \varepsilon} \cdot d\mathbf X \quad\text{or}\quad (dx)^2 - (dX)^2 = 2\varepsilon_{KL}\,dX_K\,dX_L

(dX)^2로 나누면 다음을 얻는다.
\frac{dx-dX}{dX}\frac{dx+dX}{dX}=2\varepsilon_{ij}\frac{dX_i}{dX}\frac{dX_j}{dX}

작은 변형에 대해 dx \approx dX라고 가정하면, 좌변의 두 번째 항은 \frac{dx+dX}{dX} \approx 2가 된다.

그러면 다음을 얻는다.
\frac{dx-dX}{dX} = \varepsilon_{ij}N_iN_j = \mathbf N \cdot \boldsymbol \varepsilon \cdot \mathbf N
여기서 N_i=\frac{dX_i}{dX}는 d\mathbf X 방향의 단위 벡터이고, 좌변은 \mathbf N 방향의 법선 변형률 e_{(\mathbf N)}이다. X_1 방향의 \mathbf N, 즉 \mathbf N = \mathbf I_1의 특정 경우에 대해 다음을 얻는다.
e_{(\mathbf I_1)}=\mathbf I_1 \cdot \boldsymbol \varepsilon \cdot \mathbf I_1 = \varepsilon_{11}.

마찬가지로, \mathbf N=\mathbf I_2 및 \mathbf N=\mathbf I_3에 대해 각각 법선 변형률 \varepsilon_{22} 및 \varepsilon_{33}를 찾을 수 있다. 따라서 무한소 변형 텐서의 대각 요소는 좌표 방향의 법선 변형률이다.

### 변형 변환 규칙
정규 직교 기저 (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3)를 선택하면, 이 기저 벡터에 대한 구성 요소로 텐서를 다음과 같이 쓸 수 있다.
 \boldsymbol{\varepsilon} = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \varepsilon_{ij} \mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j 
행렬 형태로,
\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}} = \begin{bmatrix}
  \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
  \varepsilon_{12} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
  \varepsilon_{13} & \varepsilon_{23} & \varepsilon_{33}
\end{bmatrix} 
우리는 다른 정규 직교 좌표계 (\hat{\mathbf{e}}_1,\hat{\mathbf{e}}_2,\hat{\mathbf{e}}_3)를 사용하도록 쉽게 선택할 수 있다. 이 경우 텐서의 구성 요소는 다음과 같이 다르다.

   \boldsymbol{\varepsilon} = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \hat{\varepsilon}_{ij} \hat{\mathbf{e}}_i\otimes\hat{\mathbf{e}}_j \quad \implies \quad \underline{\underline{\hat{\boldsymbol{\varepsilon}}}} = \begin{bmatrix}
     \hat{\varepsilon}_{11} & \hat{\varepsilon}_{12} & \hat{\varepsilon}_{13} \\
     \hat{\varepsilon}_{12} & \hat{\varepsilon}_{22} & \hat{\varepsilon}_{23} \\
     \hat{\varepsilon}_{13} & \hat{\varepsilon}_{23} & \hat{\varepsilon}_{33}
\end{bmatrix}

두 좌표계의 변형 구성 요소는 다음으로 관련된다.
 \hat{\varepsilon}_{ij} = \ell_{ip}~\ell_{jq}~\varepsilon_{pq} 
여기서 반복되는 인덱스에 대해 아인슈타인 합 규약이 사용되었고, \ell_{ij} = \hat{\mathbf{e}}_i\cdot{\mathbf{e}}_j이다. 행렬 형태로

   \underline{\underline{\hat{\boldsymbol{\varepsilon}}}} = \underline{\underline{\mathbf{L}}} ~\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}}~ \underline{\underline{\mathbf{L}}}^T
 
또는

\begin{bmatrix}
  \hat{\varepsilon}_{11} & \hat{\varepsilon}_{12} & \hat{\varepsilon}_{13} \\
  \hat{\varepsilon}_{21} & \hat{\varepsilon}_{22} & \hat{\varepsilon}_{23} \\
  \hat{\varepsilon}_{31} & \hat{\varepsilon}_{32} & \hat{\varepsilon}_{33}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
  \ell_{11} & \ell_{12} & \ell_{13} \\
  \ell_{21} & \ell_{22} & \ell_{23} \\
  \ell_{31} & \ell_{32} & \ell_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
  \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
  \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
  \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\ell_{11} & \ell_{12} & \ell_{13} \\
\ell_{21} & \ell_{22} & \ell_{23} \\
\ell_{31} & \ell_{32} & \ell_{33}
\end{bmatrix}^T 

### 변형 불변량
변형 텐서에 대한 특정 연산은 변형 구성 요소를 나타내는 데 사용되는 정규 직교 좌표계와 관계없이 동일한 결과를 제공한다. 이러한 연산의 결과는 **변형 불변량**()이라고 한다. 가장 일반적으로 사용되는 변형 불변량은 다음과 같다.
 \begin{align}
   I_1 & = \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon}) \\
   I_2 & = \tfrac{1}{2}\{[\mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})]^2 - \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon}^2)\} \\
   I_3 & = \det(\boldsymbol{\varepsilon})
\end{align} 
구성 요소 측면에서
 \begin{align}
   I_1 & = \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33} \\
   I_2 & = \varepsilon_{11}\varepsilon_{22} + \varepsilon_{22}\varepsilon_{33} + \varepsilon_{33}\varepsilon_{11} - \varepsilon_{12}^2 - \varepsilon_{23}^2 - \varepsilon_{31}^2 \\
   I_3 & = \varepsilon_{11}(\varepsilon_{22}\varepsilon_{33} - \varepsilon_{23}^2) - \varepsilon_{12}(\varepsilon_{21}\varepsilon_{33}-\varepsilon_{23}\varepsilon_{31}) + \varepsilon_{13}(\varepsilon_{21}\varepsilon_{32}-\varepsilon_{22}\varepsilon_{31})
\end{align} 

### 주 변형률
좌표계 (\mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2,\mathbf{n}_3)에서 변형 텐서의 구성 요소가 다음과 같음을 보일 수 있다.

   \underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{1} & 0 & 0 \\
     0 & \varepsilon_{2} & 0 \\
     0 & 0 & \varepsilon_{3} \end{bmatrix} \quad \implies \quad \boldsymbol{\varepsilon} = \varepsilon_{1} \mathbf{n}_1\otimes\mathbf{n}_1 + \varepsilon_{2} \mathbf{n}_2\otimes\mathbf{n}_2 + \varepsilon_{3} \mathbf{n}_3\otimes\mathbf{n}_3
 
(\mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2,\mathbf{n}_3) 좌표계에서 변형 텐서의 구성 요소를 **주 변형률**()이라고 하며, 방향 \mathbf{n}_i를 주 변형 방향이라고 한다. 이 좌표계에는 전단 변형률 구성 요소가 없으므로 주 변형률은 요소 체적의 최대 및 최소 신장을 나타낸다.

임의의 정규 직교 좌표계에서 변형 텐서의 구성 요소가 주어졌을 때, 다음 방정식계를 풀어 고유값 분해를 사용하여 주 변형률을 찾을 수 있다.
 (\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}} - \varepsilon_i~\underline{\underline{\mathbf{I}}})~\mathbf{n}_i = \underline{\mathbf{0}} 
이 방정식계는 변형 텐서가 전단 구성 요소가 없는 순수 신장이 되는 벡터 \mathbf{n}_i를 찾는 것과 동등하다.

### 체적 변형률
**체적 변형률**()은 팽창 또는 압축으로 인해 발생하는 부피의 상대적 변화이며, 텐서의 첫 번째 변형 불변량 또는 트레이스이다.
\delta=\frac{\Delta V}{V_0} = I_1 = \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33}
실제로 모서리 길이가 a인 정육면체를 고려하면, 변형 후에는 각도의 변화가 부피를 바꾸지 않는 준정육면체가 되고, 그 치수는 a \cdot (1 + \varepsilon_{11}) \times a \cdot (1 + \varepsilon_{22}) \times a \cdot (1 + \varepsilon_{33})이며 V0 = a3이므로
\frac{\Delta V}{V_0} = \frac{\left ( 1 + \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{22} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{33}+ \varepsilon_{22} \cdot \varepsilon_{33} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{22} \cdot \varepsilon_{33} \right ) \cdot a^3 - a^3}{a^3}
우리가 작은 변형을 고려하므로,
1 \gg \varepsilon_{ii} \gg \varepsilon_{ii} \cdot \varepsilon_{jj} \gg \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{22} \cdot \varepsilon_{33} 
따라서 공식은 다음과 같다.

class=skin-invert-image|400px|<small>실제 부피 변화 (위)와 근사치 (아래): 녹색 그림은 추정된 부피를 나타내고 주황색 그림은 무시된 부피를 나타낸다.</small>

순수 전단의 경우 부피 변화가 없음을 알 수 있다.

### 변형률 편향 텐서
무한소 변형률 텐서 \varepsilon_{ij}는 코시 응력 텐서와 유사하게 다른 두 텐서의 합으로 표현될 수 있다.
# **평균 변형률 텐서**() 또는 **체적 변형률 텐서**() 또는 **구형 변형률 텐서** \varepsilon_M\delta_{ij}()는 팽창 또는 체적 변화와 관련이 있다.
# **변형률 편향 텐서**()라고 불리는 편향 구성 요소 \varepsilon'_{ij}는 왜곡과 관련이 있다.

\varepsilon_{ij}= \varepsilon'_{ij} + \varepsilon_M\delta_{ij}
여기서 \varepsilon_M은 다음으로 주어지는 평균 변형률이다.
\varepsilon_M = \frac{\varepsilon_{kk}}{3} = \frac{\varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33}}{3} = \tfrac{1}{3}I^e_1

편향 변형률 텐서는 무한소 변형률 텐서에서 평균 변형률 텐서를 빼서 얻을 수 있다.
\begin{align}
\ \varepsilon'_{ij} &= \varepsilon_{ij} - \frac{\varepsilon_{kk}}{3}\delta_{ij} \\
\begin{bmatrix}
   \varepsilon'_{11} & \varepsilon'_{12} & \varepsilon'_{13} \\
   \varepsilon'_{21} & \varepsilon'_{22} & \varepsilon'_{23} \\
   \varepsilon'_{31} & \varepsilon'_{32} & \varepsilon'_{33} \\
  \end{bmatrix}
&=\begin{bmatrix}
   \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
   \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
   \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \\
  \end{bmatrix}
- \begin{bmatrix}
   \varepsilon_M & 0 & 0 \\
   0 & \varepsilon_M & 0 \\
   0 & 0 & \varepsilon_M \\
  \end{bmatrix} \\
&=\begin{bmatrix}
   \varepsilon_{11}-\varepsilon_M & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
   \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22}-\varepsilon_M & \varepsilon_{23} \\
   \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}-\varepsilon_M \\
  \end{bmatrix} \\
\end{align}

### 팔면체 변형률
(\mathbf{n}_1, \mathbf{n}_2, \mathbf{n}_3)를 세 주 변형률의 방향이라고 하자. **팔면체 평면**()은 세 주 방향과 같은 각도를 이루는 법선을 가진 평면이다. 팔면체 평면에서의 공학 전단 변형률을 **팔면체 전단 변형률**()이라고 하며 다음으로 주어진다.
 \gamma_{\mathrm{oct}} = \tfrac{2}{3}\sqrt{(\varepsilon_1-\varepsilon_2)^2 + (\varepsilon_2-\varepsilon_3)^2 + (\varepsilon_3-\varepsilon_1)^2} 
여기서 \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3는 주 변형률이다.

팔면체 평면에서의 법선 변형률은 다음으로 주어진다.
 \varepsilon_{\mathrm{oct}} = \tfrac{1}{3}(\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3) 

### 등가 변형률
**등가 변형률**() 또는 폰 미제스 등가 변형률이라고 불리는 스칼라량은 고체의 변형 상태를 설명하는 데 자주 사용된다. 등가 변형률에 대한 여러 정의가 문헌에서 발견될 수 있다. 소성에 대한 문헌에서 일반적으로 사용되는 정의는 다음과 같다.

   \varepsilon_{\mathrm{eq}} = \sqrt{\tfrac{2}{3} \boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{dev}}:\boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{dev}}}  = \sqrt{\tfrac{2}{3}\varepsilon_{ij}^{\mathrm{dev}}\varepsilon_{ij}^{\mathrm{dev}}}
  ~;~~ \boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{dev}} = \boldsymbol{\varepsilon} - \tfrac{1}{3}\mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})~\boldsymbol{I}
 
이 양은 다음과 같이 정의되는 등가 응력의 일 역학 켤레이다.
 \sigma_{\mathrm{eq}} = \sqrt{\tfrac{3}{2} \boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{dev}}:\boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{dev}}} 

## 호환성 방정식

주어진 변형률 성분 \varepsilon_{ij}에 대해 변형률 텐서 방정식 u_{i,j}+u_{j,i}= 2 \varepsilon_{ij}는 세 개의 변위 성분 u_i를 결정하기 위한 여섯 개의 미분 방정식 시스템을 나타내어 과결정 시스템이 된다. 따라서 임의의 변형률 성분 선택에 대해 일반적으로 해가 존재하지 않는다. 그러므로 호환성 방정식이라는 몇 가지 제약 조건이 변형률 성분에 부과된다. 세 개의 호환성 방정식이 추가되면 독립 방정식의 수가 세 개로 줄어들어 미지 변위 성분의 수와 일치하게 된다. 변형률 텐서에 대한 이러한 제약 조건은 생브낭에 의해 발견되었으며, "생브낭 호환성 방정식"이라고 불린다.

호환성 함수는 단일값 연속 변위 함수 u_i를 보장하는 역할을 한다. 탄성 매체를 변형되지 않은 상태의 무한소 정육면체 집합으로 시각화하면, 매체가 변형된 후 임의의 변형 텐서는 왜곡된 정육면체가 겹치지 않고 여전히 서로 맞도록 하는 상황을 만들지 않을 수 있다.

색인 표기법으로 호환성 방정식은 다음과 같이 표현된다.
\varepsilon_{ij,km}+\varepsilon_{km,ij}-\varepsilon_{ik,jm}-\varepsilon_{jm,ik}=0

공학 표기법으로,
* \frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \epsilon_y}{\partial x^2} = 2 \frac{\partial^2 \epsilon_{xy}}{\partial x \partial y}
* \frac{\partial^2 \epsilon_y}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \epsilon_z}{\partial y^2} = 2 \frac{\partial^2 \epsilon_{yz}}{\partial y \partial z}
* \frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \epsilon_z}{\partial x^2} = 2 \frac{\partial^2 \epsilon_{zx}}{\partial z \partial x}
* \frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial x} \left ( -\frac{\partial \epsilon_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \epsilon_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \epsilon_{xy}}{\partial z}\right)
* \frac{\partial^2 \epsilon_y}{\partial z \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left ( \frac{\partial \epsilon_{yz}}{\partial x} - \frac{\partial \epsilon_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \epsilon_{xy}}{\partial z}\right)
* \frac{\partial^2 \epsilon_z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial z} \left ( \frac{\partial \epsilon_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \epsilon_{zx}}{\partial y} - \frac{\partial \epsilon_{xy}}{\partial z}\right)

## 특수한 경우
### 평면 변형률
class=skin-invert-image|500px|right|섬네일|연속체에서의 평면 변형률 상태.
실제 공학 부품에서 응력(및 변형률)은 3차원 텐서이지만, 긴 금속 빌렛과 같은 프리즘형 구조물에서는 구조물의 길이가 다른 두 차원보다 훨씬 크다. 길이와 관련된 변형률, 즉 법선 변형률 \varepsilon_{33} 및 전단 변형률 \varepsilon_{13}와 \varepsilon_{23}(길이가 3방향인 경우)은 인접한 재료에 의해 구속되며 단면 변형률에 비해 작다. 따라서 평면 변형률은 허용 가능한 근사치이다. 평면 변형률에 대한 변형 텐서는 다음과 같이 작성된다.
\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}} = \begin{bmatrix}
\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & 0 \\
\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & 0 \\
     0      &     0       & 0
\end{bmatrix}
여기서 이중 밑줄은 2차 텐서를 나타낸다. 이 변형 상태를 평면 변형률이라고 한다. 해당 응력 텐서는 다음과 같다.
\underline{\underline{\boldsymbol{\sigma}}} = \begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & 0 \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & 0 \\
     0      &     0       & \sigma_{33}
\end{bmatrix}
여기서 0이 아닌 \sigma_{33}은 제약 조건 \epsilon_{33} = 0을 유지하는 데 필요하다. 이 응력 항은 분석에서 일시적으로 제거되어 평면 내 항만 남겨둘 수 있으며, 3차원 문제를 훨씬 간단한 2차원 문제로 효과적으로 줄일 수 있다.

### 반평면 변형률

반평면 변형률은 물체에서 발생할 수 있는 또 다른 특수한 변형 상태이며, 예를 들어 나선 전위 근처 영역에서 발생할 수 있다. 반평면 변형률에 대한 변형 텐서는 다음과 같이 주어진다.
\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & \varepsilon_{13} \\
0 & 0 & \varepsilon_{23}\\
\varepsilon_{13} & \varepsilon_{23} & 0
\end{bmatrix}

## 무한소 회전 텐서와의 관계

무한소 변형 텐서는 다음으로 정의된다.
 \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2} [\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u} + (\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u})^T]
따라서 변위 기울기는 다음과 같이 표현될 수 있다.
 \boldsymbol{\nabla}\mathbf{u} = \boldsymbol{\varepsilon} + \boldsymbol{W}
여기서
 \boldsymbol{W} := \frac{1}{2} [\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u} - (\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u})^T]
양 \boldsymbol{W}는 **무한소 회전 텐서** 또는 **무한소 각변위 텐서**(무한소 회전 행렬과 관련 있음)이다. 이 텐서는 비대칭이다. 무한소 변형에 대해 \boldsymbol{W}의 스칼라 성분은 |W_{ij}| \ll 1 조건을 만족한다. 변위 기울기는 변형 텐서와 회전 텐서 가 무한소일 때만 작다는 점에 유의한다.

### 축 벡터
비대칭 2차 텐서는 세 개의 독립적인 스칼라 성분을 가진다. 이 세 성분은 다음과 같이 **축 벡터** \mathbf{w}를 정의하는 데 사용된다.
 W_{ij} = -\epsilon_{ijk}~w_k ~;~~ w_i = -\tfrac{1}{2}~\epsilon_{ijk}~W_{jk} 
여기서 \epsilon_{ijk}는 순열 기호이다. 행렬 형태로
 \underline{\underline{\boldsymbol{W}}} = \begin{bmatrix} 0 & -w_3 & w_2 \\ w_3 & 0 & -w_1 \\ -w_2 & w_1 & 0\end{bmatrix} ~;~~ \underline{\mathbf{w}} = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{bmatrix} 
축 벡터는 **무한소 회전 벡터**라고도 불린다. 회전 벡터는 변위 기울기와 다음 관계로 관련된다.
 \mathbf{w} = \tfrac{1}{2}~ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{u} 
색인 표기법으로
 w_i = \tfrac{1}{2}~\epsilon_{ijk}~u_{k,j} 
만약 \lVert\boldsymbol{W}\rVert \ll 1 이고 \boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{0}이라면, 재료는 벡터 \mathbf{w} 주위로 크기 |\mathbf{w}|의 근사 강체 회전을 겪는다.

### 변형 텐서와 회전 벡터 사이의 관계
연속적인 단일값 변위장 \mathbf{u}와 해당 무한소 변형 텐서 \boldsymbol{\varepsilon}가 주어졌을 때 (참조: 텐서 미분 (연속체 역학)) 다음을 얻는다.
\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\varepsilon} = e_{ijk}~\varepsilon_{lj,i}~\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_l
 = \tfrac{1}{2}~e_{ijk}~[u_{l,ji} + u_{j,li}]~\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_l 
미분 순서가 결과를 변경하지 않으므로 u_{l,ji} = u_{l,ij}이다. 따라서
 e_{ijk} u_{l,ji} = (e_{12k}+e_{21k}) u_{l,12} + (e_{13k}+e_{31k}) u_{l,13} + (e_{23k} + e_{32k}) u_{l,32} = 0 
또한
 \tfrac{1}{2}~e_{ijk}~u_{j,li} = \left(\tfrac{1}{2}~e_{ijk}~u_{j,i}\right)_{,l} = \left(\tfrac{1}{2} ~ e_{kij}~u_{j,i}\right)_{,l} = w_{k,l} 
따라서
 \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\varepsilon} = w_{k,l}~\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_l = \boldsymbol{\nabla}\mathbf{w} 

### 회전 텐서와 회전 벡터 사이의 관계
텐서의 회전에 관한 중요한 항등식으로부터 우리는 연속적인 단일값 변위장 \mathbf{u}에 대해 다음을 알고 있다.
 \boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u}) = \boldsymbol{0}. 
\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u} = \boldsymbol{\varepsilon} + \boldsymbol{W}이므로 다음을 얻는다.
 \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{W} = -\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\varepsilon} = - \boldsymbol{\nabla} \mathbf{w}. 

## 비카르테시안 좌표에서의 변형률 텐서
### 원통 좌표계에서의 변형률 텐서
원통 좌표계 (r, \theta, z)에서 변위 벡터는 다음과 같이 쓸 수 있다.
 \mathbf{u} = u_r~\mathbf{e}_r + u_\theta~\mathbf{e}_\theta + u_z~\mathbf{e}_z 
원통 좌표계에서 변형률 텐서의 성분은 다음과 같이 주어진다.
\begin{align}
    \varepsilon_{rr} & = \cfrac{\partial u_r}{\partial r} \\
    \varepsilon_{\theta\theta} & = \cfrac{1}{r}\left(\cfrac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + u_r\right) \\
    \varepsilon_{zz} & = \cfrac{\partial u_z}{\partial z} \\
    \varepsilon_{r\theta} & = \cfrac{1}{2} \left(\cfrac{1}{r}\cfrac{\partial u_r}{\partial \theta} + \cfrac{\partial u_\theta}{\partial r} - \cfrac{u_\theta}{r}\right) \\
    \varepsilon_{\theta z} & = \cfrac{1}{2} \left(\cfrac{\partial u_\theta}{\partial z} + \cfrac{1}{r} \cfrac{\partial u_z}{\partial \theta}\right) \\
    \varepsilon_{zr} & = \cfrac{1}{2} \left(\cfrac{\partial u_r}{\partial z} + \cfrac{\partial u_z}{\partial r}\right)
\end{align}

### 구형 좌표계에서의 변형률 텐서
[class=skin-invert-image|섬네일|240px|right|물리학에서 흔히 사용되는 구형 좌표계 (r, &theta;, &phi;): 반경 거리 r, 극각 &theta; ([세타), 방위각 &phi; (파이). 종종 r 대신 &rho; (로)가 사용된다.]]
구형 좌표계 (r, \theta, \phi)에서 변위 벡터는 다음과 같이 쓸 수 있다.

   \mathbf{u} = u_r~\mathbf{e}_r + u_\theta~\mathbf{e}_\theta + u_\phi~\mathbf{e}_\phi
 
구형 좌표계에서 변형률 텐서의 성분은 다음과 같이 주어진다.
\begin{align}
    \varepsilon_{rr} & = \cfrac{\partial u_r}{\partial r} \\
    \varepsilon_{\theta\theta} & = \cfrac{1}{r}\left(\cfrac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + u_r\right) \\
    \varepsilon_{\phi\phi} & = \cfrac{1}{r\sin\theta}\left(\cfrac{\partial u_\phi}{\partial \phi} + u_r\sin\theta + u_\theta\cos\theta\right)\\
    \varepsilon_{r\theta} & = \cfrac{1}{2}\left(\cfrac{1}{r}\cfrac{\partial u_r}{\partial \theta} + \cfrac{\partial u_\theta}{\partial r}- \cfrac{u_\theta}{r}\right) \\
    \varepsilon_{\theta \phi} & = \cfrac{1}{2r}\left(\cfrac{1}{\sin\theta}\cfrac{\partial u_\theta}{\partial \phi} + \cfrac{\partial u_\phi}{\partial \theta} - u_\phi\cot\theta\right) \\
    \varepsilon_{\phi r} & = \cfrac{1}{2}\left(\cfrac{1}{r\sin\theta}\cfrac{\partial u_r}{\partial \phi} + \cfrac{\partial u_\phi}{\partial r} - \cfrac{u_\phi}{r}\right)
\end{align} 

## 같이 보기
* 변형 (역학)
* 호환성 (역학)
* 응력 텐서
* 변형률 게이지
* 탄성 텐서
* 변형력-변형 곡선
* 훅의 법칙
* 푸아송 비
* 유한 변형 이론
* 변형률 속도
* 평면 응력
* 디지털 이미지 상관법

## 각주

분류:재료과학
분류:역학
분류:고체역학
분류:탄성
분류:물리량