기하군론

[섬네일|두 생성자로 이루어진 [자유군의 케일리 그래프. 이는 칸토어 집합을 그로모프 경계로 가지는 쌍곡군이다. 케일리 그래프와 마찬가지로 쌍곡군과 그 경계는 기하군론의 중요한 주제이다.]]

**기하군론**(geometric group theory)은 수학의 한 분야로, 유한생성군의 대수적 속성과 이 군들이 비자명하게 작용할 수 있는 공간의 위상적 및 기하학적 속성 간의 연관성을 탐구하여 그러한 군을 연구하는 데 전념한다. (즉, 문제의 군들이 어떤 공간의 기하학적 대칭이나 연속 변환으로 구현될 때).

기하군론의 또 다른 중요한 아이디어는 유한생성군 자체를 기하학적 객체로 간주하는 것이다. 이는 일반적으로 군의 케일리 그래프를 연구함으로써 이루어지는데, 케일리 그래프는 그래프 구조 외에도 소위 단어 거리에 의해 부여된 거리 공간의 구조를 갖는다.

기하군론은 독자적인 분야로서 비교적 새로운 학문이며, 1980년대 후반에서 1990년대 초반에 명확하게 식별 가능한 수학의 한 분야가 되었다. 기하군론은 저차원 위상수학, 쌍곡기하학, 대수적 위상수학, 계산 군론 및 미분기하학과 밀접하게 상호작용한다. 또한 복잡도 이론, 수리논리학, 리 군 및 그 이산 부분군 연구, 동역학계, 확률론, K이론 및 기타 수학 분야와도 상당한 연관성이 있다.

피에르 드 라 하르프는 그의 저서 "Topics in Geometric Group Theory" 서문에서 다음과 같이 썼다. "나의 개인적인 신념 중 하나는 대칭과 군에 대한 매혹이 삶의 한계를 극복하는 한 가지 방법이라는 것이다. 우리는 우리가 볼 수 있는 것 이상을 인식하게 해주는 대칭을 인식하는 것을 좋아한다. 이러한 의미에서 기하군론의 연구는 문화의 일부이며, 조르주 드 람이 수학을 가르치고, 스테판 말라르메의 시를 낭송하거나, 친구에게 인사하는 등 여러 경우에 실천했던 몇 가지를 떠올리게 한다."

## 역사

기하군론은 주로 군 표시를 분석하여 이산 군의 속성을 연구했던 조합 군론에서 발전했다. 군 표시는 군을 자유군의 몫군으로 설명한다. 이 분야는 1880년대 초반 펠릭스 클라인의 제자인 발터 폰 딕에 의해 처음으로 체계적으로 연구되었으며, 초기 형태는 1856년 윌리엄 로언 해밀턴의 20면체 계산에서 발견되는데, 그는 십이면체의 모서리 그래프를 통해 20면체 대칭군을 연구했다. 현재 조합 군론은 대부분 기하군론에 포함되어 있다. 또한 "기하군론"이라는 용어는 종종 전통적인 조합 군론의 범위를 벗어나는 확률론적, 측도론적, 산술적, 해석적 및 기타 접근 방식을 사용하여 이산 군을 연구하는 것을 포함하게 되었다.

20세기 전반에 걸쳐 막스 덴, 야코프 닐센, 쿠르트 라이데마이스터와 오토 슈라이어, 존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드, 에흐베르튀스 판 캄펀 등의 선구적인 연구는 이산 군 연구에 일부 위상학적 및 기하학적 아이디어를 도입했다. 기하군론의 다른 선구자로는 작은 소거 이론과 배스-세르 이론이 있다. 작은 소거 이론은 1960년대 마르틴 그린들링거에 의해 도입되었으며 로저 린든과 폴 슈프에 의해 더욱 발전되었다. 이 이론은 조합론적 곡률 조건을 통해 유한 군 표시에 해당하는 판 캄펀 다이어그램을 연구하고, 이러한 분석을 통해 군의 대수적 및 알고리즘적 속성을 도출한다. 1977년 세르의 저서에서 소개된 배스-세르 이론은 단체 나무에 대한 군 작용을 연구하여 군에 대한 구조적 대수 정보를 도출한다.
기하군론의 외부 선구자로는 리 군의 격자 연구, 특히 모스토우 경직성 정리, 클라인 부분군 연구, 그리고 1970년대와 1980년대 초반 윌리엄 서스턴의 기하화 프로그램에 의해 촉발된 저차원 위상수학 및 쌍곡 기하학의 발전이 있다.

기하군론이 독자적인 수학 분야로 부상한 시기는 보통 1980년대 후반에서 1990년대 초반으로 거슬러 올라간다. 이는 유한생성군이 큰 규모에서 음의 곡률을 갖는다는 아이디어를 포착하는 쌍곡군 (단어-쌍곡군, 그로모프-쌍곡군 또는 음의 곡률 군으로도 알려짐) 개념을 도입한 미하일 그로모프의 1987년 논문 "Hyperbolic groups"에 의해 촉발되었으며, 그 후 준등거리사상까지의 이산 군 이해에 대한 그로모프의 프로그램을 제시한 그의 후속 논문 "Asymptotic Invariants of Infinite Groups"에 의해 더욱 촉진되었다. 그로모프의 연구는 이산 군 연구에 혁신적인 영향을 미쳤고 그 직후 "기하군론"이라는 용어가 등장하기 시작했다 (예: 참조).

## 현대적 주제 및 발전

1990년대와 2000년대 기하군론의 주목할 만한 주제 및 발전은 다음과 같다.

* 군의 준등거리 속성 연구를 위한 그로모프의 프로그램.
:이 분야에서 특히 영향력 있는 광범위한 주제는 유한생성군을 대규모 기하학에 따라 분류하는 그로모프의 프로그램이다. 공식적으로 이것은 단어 거리를 갖는 유한생성군을 준등거리사상까지 분류하는 것을 의미한다. 이 프로그램에는 다음이 포함된다.
:# 준등거리사상 불변 속성 연구. 유한생성군의 그러한 속성 예시로는 다음이 있다. 유한생성군의 성장률; 유한제시군의 아이소페리메트릭 함수 또는 데흔 함수; 군의 끝 개수; 군의 쌍곡성; 쌍곡군의 그로모프 경계의 위상동형사상 유형; 유한생성군의 극한원뿔 (예: 참조); 유한생성군의 종순성; 사실상 아벨 군 (즉, 유한 지표의 아벨 부분군을 가짐); 사실상 멱영군; 사실상 자유군; 유한 제시 가능성; 단어 문제가 가해군인 유한 제시 가능군; 등.
:# 준등거리사상 불변량을 사용하여 군에 대한 대수적 결과를 증명하는 정리. 예를 들어: 그로모프 다항식 성장 정리; 스탈링 끝 정리; 모스토우 경직성 정리.
:# 준등거리 경직성 정리. 이 정리에서는 주어진 군 또는 거리 공간과 준등거리인 모든 군을 대수적으로 분류한다. 이 방향은 리처드 슈워츠의 랭크 1 격자의 준등거리 경직성에 대한 연구와 벤슨 파브 및 리 모셔의 바움슬라그-솔리터 군의 준등거리 경직성에 대한 연구에 의해 시작되었다.
* 단어-쌍곡군 및 상대적으로 쌍곡군 이론. 여기서 특히 중요한 발전은 1990년대 즈릴 셀라의 연구로, 단어-쌍곡군의 동형 문제를 해결했다. 상대적으로 쌍곡군이라는 개념은 1987년 그로모프에 의해 처음 도입되었고 1990년대 파브와 브라이언 보우디치에 의해 정제되었다. 상대적으로 쌍곡군 연구는 2000년대에 두드러지게 부상했다.
* 수리논리학과의 상호작용 및 자유군의 1차 이론 연구. 특히 셀라의 연구와 올가 카를람포비치와 알렉세이 미야스니코프의 연구 덕분에 유명한 타르스키 추측에 대한 중요한 진전이 있었다. 극한군 연구와 비가환 대수 기하학의 언어 및 기계장치 도입이 중요해졌다.
* 컴퓨터 과학, 복잡도 이론, 형식 언어 이론과의 상호작용. 이 주제는 유한생성군의 곱셈 연산에 특정 기하학적 및 언어 이론적 조건을 부여하는 개념인 자동 군 이론의 발전으로 예시된다.
* 유한제시군의 등주 부등식, 데흔 함수 및 그 일반화 연구. 여기에는 특히 장-카미유 비르제, 알렉산드르 올샤스키, 엘리야후 립스 및 마크 사피르의 연구가 포함되는데, 유한제시군의 가능한 데흔 함수를 본질적으로 특징짓는 결과와 분수 데흔 함수를 갖는 군의 명시적 구성을 제공하는 결과가 포함된다.
* 3차원 다양체에 대한 원환 또는 JSJ-분해 이론은 피터 크로폴러에 의해 처음으로 군론적 설정으로 가져와졌다. 이 개념은 많은 저자들에 의해 유한 제시군과 유한 생성군 모두에 대해 개발되었다.
* 기하학적 분석과의 연결, 이산 군과 관련된 C*-대수 연구, 자유 확률론. 이 주제는 특히 노비코프 추측과 바움-콘느 추측에 대한 상당한 진전과 위상적 종순성, 점근 차원, 힐베르트 공간으로의 균일한 임베딩 가능성, 급속 감쇠 속성 등 관련 군론적 개념의 개발 및 연구로 대표된다 (예: 참조).
* 거리 공간에서의 준등각 해석 이론과의 상호작용, 특히 2-구에 위상동형사상적인 그로모프 경계를 갖는 쌍곡군의 특성화에 대한 캐논 추측과 관련하여.
* 유한 세분 규칙, 또한 캐논 추측과 관련하여.
* 다양한 콤팩트 공간 및 군 콤팩트화에 대한 이산 군의 작용을 연구하는 맥락에서 위상동역학과의 상호작용, 특히 수렴군 방법
* <math>\mathbb R</math>-나무에 대한 군 작용 이론 (특히 립스 머신) 및 그 응용 개발.
* 알렉산드로프 기하학의 아이디어에 의해 동기 부여된 CAT(0) 공간 및 CAT(0) 정육면체 복합체에 대한 군 작용 연구.
* 저차원 위상수학 및 쌍곡기하학과의 상호작용, 특히 3차원 다양체 군 (예: 참조), 표면의 사상류군, 꼬임군 및 클라인 부분군 연구.
* "무작위" 군론적 객체 (군, 군 원소, 부분군 등)의 대수적 속성을 연구하기 위한 확률론적 방법 도입. 여기에서 특히 중요한 발전은 그로모프의 연구로, 확률론적 방법을 사용하여 힐베르트 공간에 균일하게 임베딩될 수 없는 유한생성군의 존재를 증명했다. 다른 주목할 만한 발전으로는 군론적 및 기타 수학적 알고리즘의 일반적 경우 복잡도 개념 및 일반군에 대한 대수적 경직성 결과 도입 및 연구가 포함된다.
* 무한 뿌리 나무의 자기동형군으로서 자동장치군 및 반복 단위원군 연구. 특히 그리고르추크 군의 중간 성장군 및 그 일반화가 이 맥락에서 나타난다.
* 측도 공간에 대한 군 작용의 측도론적 속성 연구, 특히 측도 동치 및 궤도 동치 개념의 도입 및 발전, 그리고 모스토우 경직성의 측도론적 일반화.
* 이산 군의 유니터리 표현 및 카즈단 속성 (T) 연구
* Out(Fn) (자유군의 외부자기동형군) 및 자유군의 개별 자기동형사상 연구. 쿨러-포그트만 외부 공간 및 자유군 자기동형사상에 대한 기차 궤적 이론의 도입 및 연구는 여기서 특히 중요한 역할을 했다.
* 배스-세르 이론의 발전, 특히 다양한 접근 가능성 결과 및 나무 격자 이론. 군 복합체 이론과 같은 배스-세르 이론의 일반화.
* 군에 대한 무작위 행보 및 관련 경계 이론, 특히 푸아송 경계 개념 연구 (예: 참조). 종순군 연구 및 종순성 상태가 아직 알려지지 않은 군 연구.
* 유한 군론과의 상호작용, 특히 부분군 성장 연구의 진전.
* 선형군 (예: SL(n, \mathbb R)) 및 기타 리 군의 부분군 및 격자를 기하학적 방법 (예: 건물), 대수기하학적 도구 (예: 대수군 및 표현 다양체), 해석적 방법 (예: 힐베르트 공간에 대한 유니터리 표현) 및 산술적 방법을 통해 연구.
* 군 코호몰로지, 대수적 및 위상학적 방법을 사용하며, 특히 대수적 위상수학과의 상호작용과 조합론적 맥락에서 모스 이론적 아이디어 사용; 대규모 또는 거친 (예:) 동형 및 코호몰로지 방법.
* 번사이드 문제, 콕서터 군 및 아르틴 군 연구 등 전통적인 조합 군론 주제에 대한 진전 (현재 이 질문들을 연구하는 데 사용되는 방법은 종종 기하학적 및 위상학적이다).

## 예시

다음 예시들은 기하군론에서 자주 연구된다.

* 종순군
* 자유 번사이드 군
* 무한 순환군 **[[정수|Z]]**
* 자유군
* 자유곱
* 외부자기동형군 Out(F<sub>n</sub>) (외부 공간을 통해)
* 쌍곡군
* 사상류군 (표면의 자기동형사상)
* 대칭군
* 꼬임군
* 일반적인 아르틴 군
* 톰프슨 군 F
* CAT(0) 군
* 산술군
* 자동 군
* 푹스군, 클라인 부분군, 및 대칭 공간에 적절히 불연속적으로 작용하는 기타 군, 특히 반단순 리 군의 격자.
* 평면의 결정군
* 바움슬라그-솔리터 군
* 군 그래프의 기본군
* 그리고르추크 군

## 같이 보기
* 탁구 정리, 군을 자유곱으로 나타내는 유용한 방법
* 종순군
* 닐센 변환
* 타이체 변환

## 각주

### 서적 및 단행본

이 텍스트들은 기하군론 및 관련 주제를 다룬다.

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## 외부 링크
* 존 맥캐먼드(Jon McCammond)의 기하군론 페이지
* 기하군론이란 무엇인가? 데니얼 와이즈(Daniel Wise)
* 조합론 및 기하군론의 미해결 문제
* arxiv.org의 기하군론 테마


분류:군론