고자이 메커니즘

천체역학에서 **고자이 메커니즘**(Kozai mechanism)은 특정 조건에서 멀리 떨어진 세 번째 천체의 섭동을 받는 연성계의 궤도에 영향을 미치는 동역학적 현상이다. 효과, 진동, 주기 또는 공명으로 지칭될 수 있다. 이 효과는 궤도의 근점 편각이 일정한 값 주위를 진동하게 하는데, 이는 다시 궤도 이심률과 궤도 경사 사이의 주기적인 교환을 초래한다. 이 과정은 궤도 주기보다 훨씬 긴 시간 척도에서 발생한다. 이는 초기에는 거의 원형인 궤도를 임의로 높은 이심률로 만들 수 있으며, 초기에는 중간 정도의 경사를 가진 궤도를 순행 운동과 역행 운동 사이에서 뒤집을 수 있다.

이 효과는 행성의 불규칙 위성, 해왕성 바깥 천체, 외계 행성, 다중성계의 궤도를 형성하는 중요한 요인으로 밝혀졌다. 이는 가설적으로 블랙홀 합체를 촉진한다. 1961년 미하일 리도프는 행성의 인공위성과 자연 위성의 궤도를 분석하면서 이를 기술했다. 1962년 고자이 요시히데는 목성의 섭동을 받는 소행성의 궤도에 적용하여 이 동일한 결과를 발표했다. 고자이와 리도프의 논문 인용은 21세기에 급격히 증가했다. , 이 메커니즘은 가장 많이 연구되는 천체물리학적 현상 중 하나이다. 2019년 이토 타카시와 오츠카 카츠히토는 스웨덴의 천문학자 에드바르트 위고 폰 차이펠 또한 1909년에 이 메커니즘을 연구했으며, 그의 이름이 때때로 추가되고 있다고 지적했다.

## 배경
### 해밀턴 역학

해밀턴 역학에서 물리적 시스템은 위상 공간의 정준좌표에 대한 해밀토니언이라는 함수 \mathcal{H}로 지정된다. 정준좌표는 시스템 내 N개 물체(N = 3는 폰 차이펠-고자이-리도프 효과의 경우)에 대해 배치 공간의 일반화 좌표 x_k와 이들의 켤레 운동량 p_k로 구성된다. 주어진 시스템을 기술하는 데 필요한 (x_k, p_k) 쌍의 수는 자유도의 수이다.

좌표 쌍은 일반적으로 특정 문제를 푸는 데 관련된 계산을 단순화하는 방식으로 선택된다. 한 세트의 정준좌표는 정준변환에 의해 다른 세트로 변경될 수 있다. 시스템의 운동 방정식은 해밀턴의 정준 방정식을 통해 해밀토니언으로부터 얻어지며, 이는 좌표의 시간 미분을 켤레 운동량에 대한 해밀토니언의 편미분과 관련시킨다.

### 삼체 문제

세 천체가 상호 중력 인력 하에 작용하는 시스템의 역학은 혼돈적이다. 즉, 장기간에 걸친 그 거동은 초기 조건의 미세한 변화에도 엄청나게 민감하다. 이는 해당 조건의 불확실성, 이를 결정하는 과정, 그리고 컴퓨터 연산에서 반올림으로 인해 손실되는 것을 방지하는 데 있어 계산이 빠르게 악화될 수 있음을 의미한다. 실질적인 결과는 삼체 문제가 특수한 경우를 제외하고는 무한한 시간 동안 해석적으로 해결될 수 없다는 것이다. 대신, 사용 가능한 정밀도에 의해 제한된 예측 시간에 대해 수치해석이 사용된다.

리도프-고자이 메커니즘은 계층적 삼체계의 특징이다. 즉, "섭동체"라고 불리는 하나의 천체가 다른 두 천체로부터 멀리 떨어져 있는 시스템이며, 이 두 천체는 **내부 이중성**을 구성한다고 한다. 섭동체와 내부 이중성의 질량 중심은 **외부 이중성**을 구성한다. 이러한 시스템은 섭동 이론 방법을 사용하여 계층적 삼체 시스템의 해밀토니언을 내부 이중성과 외부 이중성의 고립된 진화에 대한 두 항의 합으로, 그리고 두 궤도를 결합하는 세 번째 항으로 작성하여 연구되는 경우가 많다.

: \mathcal{H} = \mathcal{H}_{\rm in} + \mathcal{H}_{\rm out} + \mathcal{H}_{\rm pert}.

이후 결합 항은 매개변수 \alpha의 차수로 전개되는데, 이 매개변수는 내부 이중성과 외부 이중성의 반장축의 비율로 정의되므로 계층적 시스템에서는 작은 값이다. 섭동 계열이 빠르게 수렴하므로, 계층적 삼체 시스템의 질적 거동은 전개의 초기 항들, 즉 사극자(\propto\alpha^2), 팔극자(\propto\alpha^3), 그리고 육십사극자(\propto\alpha^4) 차수 항들에 의해 결정된다.

: \mathcal{H}_{\rm pert} = \mathcal{H}_{\rm quad} + \mathcal{H}_{\rm oct} + \mathcal{H}_{\rm hex} + O(\alpha^5).

많은 시스템에서, 섭동 전개의 가장 낮은 차수인 사극자 차수에서 이미 만족스러운 설명이 발견된다. 팔극자 항은 특정 영역에서 지배적이 되며 리도프-고자이 진동 진폭의 장기적 변화를 담당한다.

#### 영년 근사
리도프-고자이 메커니즘은 영년 효과이며, 즉 내부 및 외부 이중성의 궤도 주기에 비해 훨씬 긴 시간 척도에서 발생한다. 문제를 단순화하고 계산적으로 더 다루기 쉽게 만들기 위해 계층적 삼체 해밀토니언은 영년화될 수 있으며, 즉 두 궤도의 빠르게 변하는 평균 이심률에 대해 평균화된다. 이 과정을 통해 문제는 두 개의 상호 작용하는 질량 있는 와이어 루프 문제로 환원된다.

## 메커니즘 개요

### 시험입자 한계
폰 차이펠-리도프-고자이 메커니즘에 대한 가장 간단한 설명은 내부 이중성 구성 요소 중 하나인 보조체가 시험입자라고 가정한다. 시험입자란 다른 두 천체(주성체와 멀리 떨어진 섭동체)에 비해 질량이 무시할 수 있는 이상적인 점 질량 객체이다. 이러한 가정은 예를 들어, 달에 의해 섭동되는 지구 저궤도의 인공위성이나 목성에 의해 섭동되는 단주기 혜성의 경우에 유효하다.

[섬네일|200px|right|케플러 [궤도 요소.]]
이러한 근사치 하에서 보조체의 궤도 평균 운동 방정식은 보존량을 갖는다. 즉, 주성체/섭동체 궤도의 각운동량과 평행한 보조체의 궤도 각운동량 성분이다. 이 보존량은 외부 이중성의 평면에 대한 보조체의 궤도 이심률 \mathsf{e}와 궤도 경사 \mathsf{i}로 표현될 수 있다.

: L_\mathrm{z} = \sqrt{ 1-e^2 \;}\, \cos i = \mathrm{constant}

\mathsf{L}의 보존은 궤도 이심률이 경사로 "교환"될 수 있음을 의미한다. 따라서 거의 원형이고 고경사 궤도는 매우 이심적일 수 있다. 긴반지름을 일정하게 유지하면서 이심률을 증가시키면 근점에서의 객체 간 거리가 감소하므로, 이 메커니즘은 혜성(목성에 의해 섭동되는)이 태양 스쳐 지나가는 혜성이 되도록 할 수 있다.

리도프-고자이 진동은 \mathsf{L}가 특정 값보다 낮을 경우 나타난다. \mathsf{L}의 임계값에서 "고정점" 궤도가 나타나며, 일정한 경사도는 다음과 같다.

:i_\mathrm{crit} = \arccos \left( \sqrt{\frac{3}{5}\,}\, \right) \approx 39.2^\mathsf{o}

이 임계값보다 작은 \mathsf{L} 값에 대해, 동일한 \mathsf{L}를 가지지만 \mathsf{e} 또는 \mathsf{i}에서 다른 양의 변화를 갖는 궤도 해의 1-매개변수족이 존재한다. 놀랍게도, \mathsf{i}에서 가능한 변화의 정도는 관련된 질량과 무관하며, 질량은 진동의 시간 척도만 설정한다.

#### 시간척도
고자이 진동과 관련된 기본 시간 척도는 다음과 같다.
:
T_\mathrm{ Kozai} = 2 \pi\,\frac{\,\sqrt{G\,M\;}\,}{G\,m_2}\,\frac{\,a_2^3\,}{a^{3/2}}\left( 1 - e_2^2 \right)^{3/2} = \frac{M}{m_2} \frac{\,P_2^2\,}{P}\,\left( 1 - e_2^2\right )^{3/2}

여기서 \mathsf{a}는 긴반지름을 나타내고, \mathsf{P}는 궤도 주기를, \mathsf{e}는 이심률을, \mathsf{m}는 질량을 나타낸다. 첨자 "2"가 붙은 변수는 외부(섭동체) 궤도를 나타내고, 첨자가 없는 변수는 내부 궤도를 나타낸다. \mathsf{M}은 주성체의 질량이다. 예를 들어, 달의 주기 27.3일, 이심률 0.055, GPS 위성의 주기 반(항성)일의 경우 고자이 시간 척도는 4년이 조금 넘는다. 정지 궤도의 경우 2배 짧다.

세 변수(, ,  – 마지막은 근점 편각)의 진동 주기는 동일하지만, 궤도가 고정점 궤도에서 얼마나 "멀리" 떨어져 있는지에 따라 달라지며, 칭동하는 궤도와 진동하는 궤도를 분리하는 분리선 궤도의 경우 매우 길어진다.

## 천체 물리학적 영향

### 태양계
폰 차이펠-리도프-고자이 메커니즘은 근점 편각 ()이 90° 또는 270° 주위를 칭동하게 하는데, 이는 천체가 적도면에서 가장 멀리 떨어져 있을 때 근점이 발생한다는 의미이다. 이 효과는 명왕성이 해왕성과의 근접 조우로부터 역학적으로 보호되는 이유의 일부이다.

리도프-고자이 메커니즘은 시스템 내에서 가능한 궤도에 제한을 가한다. 예를 들어:
; 규칙 위성의 경우: 행성의 위성 궤도가 행성 궤도에 대해 높은 경사도를 가지면, 위성 궤도의 이심률이 증가하여 가장 가까운 접근 시점에서 위성은 조석력에 의해 파괴된다.
; 불규칙 위성의 경우: 증가하는 이심률은 규칙 위성, 행성과의 충돌을 초래하거나, 또는 증가하는 원점 거리가 위성을 힐 권 밖으로 밀어낼 수 있다. 최근 힐-안정성 반경은 위성 경사도의 함수로 발견되었으며, 불규칙 위성 경사도의 비균일 분포도 설명한다.

이 메커니즘은 해왕성 궤도 훨씬 너머에서 태양을 공전하는 가상의 행성인 제9행성을 찾는 데 활용되었다.

목성의 카르포와 에우포리에, 토성의 키비우크와 이지라크, 천왕성의 마가렛, 해왕성의 사오와 네소를 포함한 여러 위성이 해당 행성과의 리도프-고자이 공명 상태에 있는 것으로 밝혀졌다.

일부 자료는 소련 우주 탐사선 루나 3호를 리도프-고자이 진동을 겪은 최초의 인공위성 사례로 지목한다. 1959년 높은 경사도의 편심 지심 궤도로 발사된 이 탐사선은 달의 뒷면을 촬영한 최초의 임무였다. 11바퀴를 돈 후 지구 대기권에서 불타버렸다. 그러나 Gkolias 외 (2016)에 따르면, 리도프-고자이 진동이 지구의 편평도 효과에 의해 저지되었을 것이므로, 탐사선 궤도의 쇠퇴를 유도한 것은 다른 메커니즘이어야 한다고 한다.

### 외계 행성
폰 차이펠-리도프-고자이 메커니즘은 조석 마찰과 결합하여, 항성을 꽉 조이는 궤도에서 항성을 공전하는 거대 기체 행성 외계 행성인 뜨거운 목성을 생성할 수 있다. HD 80606/80607 시스템에서 HD 80606 b 행성의 높은 이심률은 고자이 메커니즘 때문일 가능성이 높다. KELT-19 Ab는 행성의 궤도 축과 항성 자전 축 사이의 원시적 불일치로 인해 궤도가 뒤집힌 고자이 메커니즘의 증거를 가질 가능성이 있다.

### 블랙홀
이 메커니즘은 밀집된 성단에서 중심 블랙홀의 성장에 영향을 미치는 것으로 생각된다. 또한 특정 종류의 쌍성 블랙홀의 진화를 유도하며 블랙홀 합체를 가능하게 하는 데 중요한 역할을 할 수 있다.

## 역사와 발전

이 효과는 1909년 스웨덴 천문학자 위고 폰 차이펠이 《Astronomische Nachrichten》에 발표한 주기 혜성의 운동에 관한 연구에서 처음 기술되었다. 1961년, 소련 우주 과학자 미하일 리도프는 행성의 인공위성과 자연 위성 궤도를 분석하는 동안 이 효과를 발견했다. 원래 러시아어로 출판된 이 결과는 1962년 영어로 번역되었다.

리도프는 1961년 11월 20~25일 모스크바에서 열린 이론 천문학 일반 및 응용 문제 회의에서 인공위성 궤도에 대한 자신의 연구를 처음 발표했다. 그의 논문은 1961년 러시아어 저널에 처음 게재되었다. 일본 천문학자 고자이 요시히데는 1961년 회의 참가자 중 한 명이었다. 고자이는 1962년 널리 읽히는 영어 저널에 동일한 결과를 발표했으며, 목성에 의해 섭동되는 소행성의 궤도를 분석하는 데 이 결과를 사용했다. 리도프가 가장 먼저 발표했으므로, 많은 저자들이 리도프-고자이 메커니즘이라는 용어를 사용한다. 그러나 다른 이들은 이를 고자이-리도프 또는 단순히 고자이 메커니즘이라고 부르기도 한다.

## 각주

분류:궤도 공명