고전 전자기학의 공변 형식

**[[고전 전자기학]]의 [[벡터의 공변성 및 반변성|공변 형식]]**(Covariant formulation of classical electromagnetism)은 특수 상대성이론의 형식론에서 직교 관성 좌표계를 사용하여 로런츠 변환에 대해 명백히 불변하는 형태로 고전 전자기학의 법칙(특히, 맥스웰 방정식 및 로런츠 힘)을 작성하는 방법을 의미한다. 이러한 표현들은 고전 전자기학의 법칙이 모든 관성 좌표계에서 동일한 형태를 취함을 쉽게 증명할 수 있게 하며, 또한 장과 힘을 한 기준계에서 다른 기준계로 변환하는 방법을 제공한다. 그러나 이는 휘어진 시공간에서 맥스웰 방정식 또는 비직교 좌표계만큼 일반적이지는 않다.

## 공변 개체

### 예비 사차원 벡터

다음 종류의 로런츠 텐서가 이 문서에서 물체나 입자를 설명하는 데 사용될 수 있다:
* 사차원 변위: x^\alpha = (ct, \mathbf{x}) = (ct, x, y, z) \,.
* 사차원 속도: u^\alpha = \gamma(c,\mathbf{u}) , 여기서 γ(**u**)는 3차원 속도 **u**에서의 로런츠 인자이다.
* 사차원 운동량: p^\alpha = ( E/c, \mathbf{p}) = m_0 u^{\alpha}  여기서 \mathbf{p}는 3차원 운동량, E는 총 에너지, m_0는 정지 질량이다.
* 사차원 기울기: \partial^{\nu} = \frac{\partial}{\partial x_{\nu}} = \left( \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, - \mathbf{\nabla} \right) \,,
* 달랑베르시안 연산자는  {\partial}^2 로 표기된다: \partial^2 = \frac{1}{c^2} {\partial^2 \over \partial t^2} - \nabla^2.

다음 텐서 분석의 부호는 계량 텐서에 사용된 부호 규약에 따라 달라진다. 여기서 사용된 규약은 이며, 이는 민코프스키 계량 텐서에 해당한다:
\eta^{\mu \nu}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

### 전자기장 텐서

전자기장 텐서는 전기장과 자기장을 공변 반대칭 텐서로 결합한 것으로, 그 원소는 **B**-장량이다.
F_{\alpha \beta} = \begin{pmatrix}
0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\
-E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
-E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
-E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{pmatrix}
그리고 그 지표를 올린 결과는
F^{\mu \nu} \mathrel{\stackrel{\mathrm{def}}{=}} \eta^{\mu \alpha} \, F_{\alpha \beta} \, \eta^{\beta \nu} = \begin{pmatrix}
0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\
E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
E_y/c  & B_z & 0 & -B_x \\
E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{pmatrix} \,,
여기서 **E**는 전기장, **B**는 자기장, c는 빛의 속력이다.

### 사차원 전류

사차원 전류는 전하 밀도 ρ와 전류 밀도 **j**를 결합한 반변 사차원 벡터이다:
J^{\alpha} = ( c \rho, \mathbf{j} ) \,.

### 사차원 퍼텐셜

전자기 사차원 퍼텐셜은 전위 (또한 스칼라 퍼텐셜이라고도 불린다) ϕ와 자기 벡터 퍼텐셜 (또는 벡터 퍼텐셜) **A**를 포함하는 공변 사차원 벡터로 다음과 같다:
A^{\alpha} = \left(\phi/c, \mathbf{A} \right)\,.

전자기 퍼텐셜의 미분은
F_{\alpha \beta} = \partial_{\alpha} A_{\beta} - \partial_{\beta} A_{\alpha} \,.

휘어진 시공간으로 일반화하는 미분 형식의 언어에서, 이들은 각각 1-형식 A = A_{\alpha} dx^{\alpha}와 2-형식 F = dA = \frac{1}{2} F_{\alpha \beta} dx^{\alpha} \wedge dx^{\beta}의 성분이다. 여기서 d는 외미분이고 \wedge는 쐐기곱이다.

### 전자기 에너지-운동량 텐서

전자기 에너지-운동량 텐서는 운동량 사차원 벡터의 플럭스 밀도로 해석될 수 있으며, 전체 에너지-운동량 텐서에 대한 전자기장의 기여분인 반변 대칭 텐서이다:
T^{\alpha\beta} = \begin{pmatrix}
\varepsilon_{0} E^2/2 + B^2/2\mu_0 & S_x/c & S_y/c & S_z/c \\
S_x/c & -\sigma_{xx} & -\sigma_{xy} & -\sigma_{xz} \\
S_y/c & -\sigma_{yx} & -\sigma_{yy} & -\sigma_{yz} \\
S_z/c & -\sigma_{zx} & -\sigma_{zy} & -\sigma_{zz}
\end{pmatrix}\,,
여기서  \varepsilon_0 는 진공의 유전율, μ0는 진공의 투자율, 포인팅 벡터는
\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_{0}} \mathbf{E} \times \mathbf{B} 
그리고 맥스웰 변형력 텐서는 다음과 같다:
\sigma_{ij} = \varepsilon_0 E_i E_j + \frac{1}{\mu_0} B_i B_j - \left(\frac 1 2 \varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2\right) \delta_{ij} \,.

전자기장 텐서 F는 다음 방정식으로 전자기 에너지-운동량 텐서 T를 구성한다:
T^{\alpha\beta} = \frac{1}{\mu_{0}} \left( \eta^{\alpha \nu}F_{\nu \gamma}F^{\beta \gamma} - \frac{1}{4} \eta^{\alpha\beta}F_{\gamma \nu}F^{\gamma \nu}\right)
여기서 η는 민코프스키 계량 텐서 (부호 를 가진다)이다. 다음 사실을 사용한다:
\varepsilon_{0} \mu_{0} c^2 = 1\,,
이는 맥스웰 방정식에 의해 예측된다.

공변 및 반변 지표를 포함하지 않으므로 더 간단할 수 있는 전자기 에너지-운동량 텐서에 대한 다른 공변 표현은 다음과 같다:
T = - \frac{1}{\mu_{0}} ( F*\eta*F' - \frac{1}{4} trace(F*\eta*F'*\eta))
여기서 F'는 전치 전자기 텐서 또는 등가적으로 -F이며, 별표는 행렬 곱셈을 나타낸다.

## 진공에서의 맥스웰 방정식

진공에서 (또는 거시적 물질 설명을 포함하지 않는 미시적 방정식의 경우), 맥스웰 방정식은 두 개의 텐서 방정식으로 작성될 수 있다.

두 개의 비동차 맥스웰 방정식인 가우스 법칙과 앙페르 회로 법칙 (맥스웰의 보정 포함)은 ( 계량으로) 다음으로 결합된다:

동차 방정식 &ndash; 패러데이 전자기 유도 법칙과 가우스 자기 법칙은 \partial^{\sigma} F^{\mu \nu} + \partial^{\mu} F^{\nu \sigma} + \partial^{\nu} F^{\sigma \mu} = 0을 형성하며, 이는 레비치비타 이중성을 사용하여 다음과 같이 작성될 수 있다:

여기서 Fαβ는 전자기장 텐서, Jα는 사차원 전류, εαβγδ는 레비치비타 기호, 지표는 아인슈타인 표기법에 따라 동작한다.

이러한 각 텐서 방정식은 β의 각 값에 대해 네 개의 스칼라 방정식에 해당한다.

반대칭 텐서 표기와 부분 미분을 위한 쉼표 표기 ((리치 미적분학 참조))를 사용하면 두 번째 방정식은 더 간결하게 다음과 같이 작성될 수 있다:
 F_{[\alpha \beta, \gamma]} = 0 .

소스가 없는 경우, 맥스웰 방정식은 다음으로 축소된다:

  \partial^{\nu} \partial_\nu F^{\alpha\beta} \mathrel{\stackrel{\text{def}}{=}}
  \partial^2 F^{\alpha\beta} \mathrel{\stackrel{\text{def}}{=}}
  {1 \over c^2 }{\partial^2 F^{\alpha\beta} \over {\partial t}^2} - \nabla^2 F^{\alpha\beta} =
  0 \,,

이는 장 세기 텐서의 전자기파 방정식이다.

### 로렌츠 게이지에서의 맥스웰 방정식

로렌츠 게이지 조건은 로런츠 불변 게이지 조건이다. (이는 쿨롱 게이지와 같은 다른 게이지 조건과 대비될 수 있으며, 한 관성 기준계에서 유효하더라도 일반적으로 다른 기준계에서는 유효하지 않다.) 이는 사차원 퍼텐셜의 관점에서 다음과 같이 표현된다:
\partial_{\alpha} A^{\alpha} = \partial^{\alpha} A_{\alpha} = 0 \,.

로렌츠 게이지에서 미시적 맥스웰 방정식은 다음과 같이 작성될 수 있다:
{\partial}^2 A^{\sigma} = \mu_{0} \, J^{\sigma}\,.

## 로런츠 힘

### 하전 입자
[200px|섬네일|움직이는 (순간 속도 '''v''') [하전 입자 (전하 q)에 작용하는 로런츠 힘 **f**. '''E'''장과 '''B'''장은 공간과 시간에서 변한다.]]

전자기장 (EM)은 전하를 띤 물질의 움직임에 영향을 미친다: 로런츠 힘 때문이다. 이러한 방식으로 EM장은 감지될 수 있다 ((입자물리학의 응용과 오로라와 같은 자연 현상에서)). 상대론적 형태로, 로런츠 힘은 다음과 같이 장 세기 텐서를 사용한다.

좌표 시간 t의 관점에서 표현하면 다음과 같다:
 { d p_{\alpha} \over { d t } } =  q \, F_{\alpha \beta} \, \frac{d x^\beta}{d t} ,
여기서 pα는 사차원 운동량, q는 전하, xβ는 위치이다.

기준계에 독립적인 형태로 표현하면, 사차원 힘은 다음과 같다:
 \frac{d p_{\alpha}}{d \tau} \, = q \, F_{\alpha \beta} \, u^\beta ,
여기서 uβ는 사차원 속도, τ는 입자의 고유 시간이며, 이는 에 의해 좌표 시간과 관련된다.

### 연속 전하
[200px|섬네일|움직이는 연속 [전하 분포 (전하 밀도 ρ)에 작용하는 공간 부피당 로런츠 힘 **f**.]]

전자기학으로 인한 힘의 밀도 (그 공간 부분은 로런츠 힘이다)는 다음과 같이 주어진다:
f_{\alpha} = F_{\alpha\beta}J^{\beta} .
그리고 전자기 에너지-운동량 텐서와 다음과 같이 관련된다:
f^{\alpha} = - {T^{\alpha\beta}}_{,\beta} \equiv  - \frac{\partial T^{\alpha\beta}}{\partial x^\beta}.

## 보존 법칙

### 전하
연속 방정식:

  {J^\beta}_{,\beta} \mathrel\overset{\text{def}}{\mathop{=}}
  \partial_\beta J^\beta =
  \partial_\beta \partial_\alpha F^{\alpha \beta}/\mu_0 =
  0.

은 전하량 보존 법칙을 표현한다.

### 전자기 에너지-운동량

맥스웰 방정식을 사용하면 (위에 정의된) 에너지-운동량 텐서가 다음 미분 방정식을 만족하며, 이는 전자기장 텐서와 전류 사차원 벡터와 관련된다는 것을 알 수 있다:
{T^{\alpha\beta}}_{,\beta} + F^{\alpha\beta} J_\beta = 0
또는
\eta_{\alpha \nu} { T^{\nu \beta } }_{,\beta} + F_{\alpha \beta} J^\beta = 0,
이는 전자기 상호작용에 의한 선형 운동량 및 에너지 보존을 표현한다.

## 물질에서의 공변 개체

### 자유 및 속박 사차원 전류

여기서 주어진 전자기 방정식들을 풀기 위해서는 전류 Jν를 계산하는 방법에 대한 정보를 추가해야 한다. 종종 전류를 두 부분, 즉 자유 전류와 속박 전류로 분리하는 것이 편리하며, 이들은 서로 다른 방정식으로 모델링된다;
J^{\nu} = {J^{\nu}}_{\text{free}} + {J^{\nu}}_{\text{bound}} \,,
여기서
\begin{align}
     {J^{\nu}}_{\text{free}} = \begin{pmatrix} c\rho_{\text{free}}, & \mathbf{J}_{\text{free}} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} c \nabla \cdot \mathbf{D}, & - \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + \nabla\times\mathbf{H}\end{pmatrix} \,, \\
  {J^{\nu}}_{\text{bound}} = \begin{pmatrix} c\rho_{\text{bound}}, & \mathbf{J}_{\text{bound}} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} - c \nabla \cdot \mathbf{P}, & \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t} + \nabla\times\mathbf{M} \end{pmatrix} \,.
\end{align}

맥스웰의 거시적 방정식이 사용되었으며, 전기 변위 **D**와 자화 강도 **H**의 정의도 추가되었다:
\begin{align}
  \mathbf{D} &= \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}, \\
  \mathbf{H} &= \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} - \mathbf{M} \,.
\end{align}
여기서 **M**은 자기화이고 **P**는 전기 편극이다.

### 자화-편극 텐서

속박 전류는 **P**와 **M** 장에서 파생되며, 이는 반대칭 반변 자화-편극 텐서를 형성한다

\mathcal{M}^{\mu \nu} = \begin{pmatrix}
      0  & P_x c & P_y c & P_z c \\
 - P_x c &    0 & -M_z   &  M_y \\
 - P_y c &  M_z &    0   & -M_x \\
 - P_z c & -M_y &  M_x   &    0
\end{pmatrix},
이는 속박 전류를 결정한다
{J^\nu}_\text{bound} = \partial_\mu \mathcal{M}^{\mu \nu} \,.

### 전기 변위 텐서

이를 Fμν와 결합하면 **D**와 **H** 장을 다음과 같이 결합하는 반대칭 반변 전자기 변위 텐서를 얻는다:

  \mathcal{D}^{\mu \nu} =
  \begin{pmatrix}
      0 & -D_xc & -D_yc & -D_zc \\
   D_xc &     0 & - H_z &   H_y \\
   D_yc &   H_z &     0 &  -H_x \\
   D_zc &  -H_y & H_x   &     0
  \end{pmatrix}.


세 장 텐서는 다음과 같이 관련된다:
\mathcal{D}^{\mu \nu} = \frac{1}{\mu_{0}} F^{\mu \nu} - \mathcal{M}^{\mu \nu} 
이는 위에 주어진 **D** 및 **H** 장의 정의와 동일하다.

## 물질에서의 맥스웰 방정식

결과적으로 앙페르 회로 법칙,
\mathbf{\nabla} \times \mathbf{H} - \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} = \mathbf{J}_{\text{free}},
그리고 가우스 법칙,
\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{D} = \rho_{\text{free}},
은 하나의 방정식으로 결합된다:
_{\text{free}} = \partial_{\mu} \mathcal{D}^{\mu \nu} 
|cellpadding
|border
|border colour = #0073CF
}}

위에 정의된 속박 전류와 자유 전류는 자동으로 그리고 개별적으로 보존된다
\begin{align}
  \partial_\nu {J^\nu}_\text{bound} &= 0 \, \\
   \partial_\nu {J^\nu}_\text{free} &= 0 \,.
\end{align}

### 구성 방정식

#### 진공

진공에서 장 텐서와 변위 텐서 사이의 구성 관계는 다음과 같다:
\mu_0 \mathcal{D}^{\mu \nu} = \eta^{\mu \alpha} F_{\alpha \beta} \eta^{\beta \nu} \,.

반대칭성은 이 16개의 방정식을 단 6개의 독립적인 방정식으로 축소시킨다. Fμν를 일반적으로 다음과 같이 정의하기 때문에
F^{\mu \nu} = \eta^{\mu \alpha} F_{\alpha \beta} \eta^{\beta \nu} ,
구성 방정식은 진공에서 가우스-앙페르 법칙과 결합하여 다음을 얻을 수 있다:
\partial_\beta F^{\alpha \beta} = \mu_0 J^{\alpha}. 

변위의 관점에서 전자기 에너지-운동량 텐서는 다음과 같다:
T_\alpha{}^\pi = F_{\alpha\beta} \mathcal{D}^{\pi\beta} - \frac{1}{4} \delta_\alpha^\pi F_{\mu\nu} \mathcal{D}^{\mu\nu} ,
여기서 δαπ는 크로네커 델타이다. 위쪽 지표가 η로 낮아지면 대칭이 되고 중력장의 소스 중 일부가 된다.

#### 선형, 비분산성 물질

따라서 전류 Jν를 모델링하는 문제는 두 가지 (바라건대) 더 쉬운 문제로 축소되었다 &mdash; 자유 전류 Jνfree를 모델링하고 자화 및 편극  \mathcal{M}^{\mu\nu}를 모델링하는 것이다. 예를 들어, 저주파에서 가장 간단한 물질의 경우 다음과 같다:
\begin{align}
  \mathbf{J}_\text{free} &= \sigma \mathbf{E} \, \\
              \mathbf{P} &= \varepsilon_0 \chi_e \mathbf{E} \, \\
              \mathbf{M} &= \chi_m \mathbf{H} \,
\end{align}
여기서 물질의 순간 공변 관성 기준계에 있으며, σ는 그 도전율, χe는 그 전기 감수율, χm은 그 자기 감수율이다.

선형 물질 (즉, **E**는 **D**에 비례하고 **B**는 **H**에 비례한다)에 대해 민코프스키가 제안한 \mathcal{D} 텐서와 F 텐서 사이의 구성 관계는 다음과 같다:
\begin{align}
         \mathcal{D}^{\mu\nu}u_\nu &= c^2\varepsilon F^{\mu\nu} u_\nu \\
  {\star\mathcal{D}^{\mu\nu}}u_\nu &= \frac{1}{\mu}{\star F^{\mu\nu}} u_\nu
\end{align}
여기서 u는 물질의 사차원 속도, ε와 μ는 각각 물질의 고유 유전율과 투자율 (즉, 물질의 정지 기준계에서), \star는 호지 쌍대 연산자를 나타낸다.

## 고전 전자기학을 위한 라그랑지언

### 진공
고전 전자기학의 라그랑지언 밀도는 두 구성 요소로 이루어진다: 장 구성 요소와 소스 구성 요소:
 \mathcal{L} \, = \, \mathcal{L}_\text{field} + \mathcal{L}_\text{int} = - \frac{1}{4 \mu_0} F^{\alpha \beta} F_{\alpha \beta} - A_{\alpha} J^{\alpha} \,.

상호작용 항에서 사차원 전류는 다른 전하를 띤 장의 전기 전류를 그 변수들의 관점에서 표현하는 많은 항들의 약어로 이해되어야 한다; 사차원 전류 자체는 기본 장이 아니다.

전자기 라그랑지언 밀도  \mathcal{L}\mathord\left(A_{\alpha}, \partial_{\beta} A_{\alpha}\right)에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다:
 \partial_{\beta}\left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\beta}A_{\alpha})}\right]  - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\alpha}}=0 \,.

다음 사항에 유의하면
\begin{align}
  F^{\lambda \sigma} &= F_{\mu \nu}\eta^{\mu\lambda}\eta^{\nu\sigma}, \\
         F_{\mu \nu} &= \partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu}\, \\
  {\partial \left(\partial_{\mu} A_{\nu}\right) \over \partial\left(\partial_{\rho} A_{\sigma}\right)}
                     &= \delta_{\mu}^{\rho} \delta_{\nu}^{\sigma}
\end{align}
대괄호 안의 표현은
\begin{align}
  \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\beta A_\alpha)}
    & = - \ \frac{1}{4 \mu_0}\ \frac{\partial \left(F_{\mu \nu}\eta^{\mu\lambda}\eta^{\nu\sigma}F_{\lambda \sigma}\right)}{\partial \left(\partial_\beta A_\alpha\right)} \\
    & = - \ \frac{1}{4 \mu_0}\ \eta^{\mu\lambda}\eta^{\nu\sigma}
\left(F_{\lambda\sigma}\left(\delta^\beta_\mu \delta^\alpha_\nu - \delta^\beta_\nu \delta^\alpha_\mu\right) + F_{\mu\nu}\left(\delta^\beta_\lambda \delta^\alpha_\sigma - \delta^\beta_\sigma \delta^\alpha_\lambda\right)
\right) \\
    & = - \ \frac{F^{\beta\alpha}}{\mu_0}\,.
\end{align}

두 번째 항은
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\alpha}} = - J^{\alpha} \,.

그러므로 전자기장의 운동 방정식은
\frac{\partial F^{\beta\alpha}}{\partial x^{\beta}} = \mu_0 J^{\alpha} \,.
이는 위의 가우스-앙페르 방정식이다.

### 물질

자유 전류와 속박 전류를 분리하여, 라그랑지언 밀도를 작성하는 또 다른 방법은 다음과 같다:
 \mathcal{L} \, = \, - \frac{1}{4 \mu_0} F^{\alpha \beta} F_{\alpha \beta} - A_{\alpha} J^{\alpha}_{\text{free}} + \frac 1 2 F_{\alpha \beta} \mathcal{M}^{\alpha \beta} \,.

라그랑주 방정식을 사용하여  \mathcal{D}^{\mu\nu}의 운동 방정식을 유도할 수 있다.

벡터 표기법의 등가 표현은 다음과 같다:
 \mathcal{L} \, = \, \frac 1 2 \left(\varepsilon_{0} E^2 - \frac{1}{\mu_{0}} B^2\right) - \phi \, \rho_{\text{free}} + \mathbf{A} \cdot \mathbf{J}_{\text{free}} + \mathbf{E} \cdot \mathbf{P} + \mathbf{B} \cdot \mathbf{M} \,.

## 같이 보기

* 공변 고전 장론
* 전자기장 텐서
* 전자기파 방정식
* 임의의 운동을 하는 전하에 대한 리에나르-비헤르트 퍼텐셜
* 움직이는 자석과 도체 문제
* 비동차 전자기파 방정식
* 프로카 작용
* 양자 전기역학
* 상대론적 전자기학
* 슈튀켈베르크 작용
* 휠러-파인만 흡수체 이론

## 내용주

## 각주

## 더 읽어보기
* 파인만 물리학 강의 Vol. II Ch. 25: 상대론적 표기법의 전자기학
* 
* 
* 
* 

분류:전자기학
분류:특수 상대성이론
분류:물리학 개념