일반 상대성이론의 대안

**일반 상대성이론의 대안**()은 알베르트 아인슈타인의 일반 상대성이론과 경쟁하여 중력 현상을 기술하려는 물리학 이론이다. 이상적인 중력 이론을 구축하려는 시도는 여러 가지가 있었다. 이러한 시도는 범위에 따라 크게 네 가지 범주로 나눌 수 있다.

# 양자역학이나 힘의 통합을 포함하지 않는 고전 중력 이론.
# 양자역학의 원리를 사용하여 양자 중력을 유도하는 이론.
# 중력과 다른 힘을 동시에 설명하려는 이론; 이것들은 고전적 통일장 이론으로 알려져 있다.
# 중력을 양자역학적 용어로 설명하고 힘을 통합하려는 이론; 이것들은 모든 것의 이론이라고 불린다.
이러한 일반 상대성이론의 대안들 중 널리 받아들여진 것은 없다.

일반 상대성이론은 다양한 질량 및 크기 스케일에서 많은 검증을 견뎌냈다. 천문 관측을 해석하는 데 적용될 때, 일반 상대성이론에 기반한 우주론적 모형은 우주에 두 가지 구성 요소를 도입한다. 암흑물질과 암흑 에너지로, 그 본질은 현재 물리학의 미해결 문제이다. 표준 우주론 모형의 많은 성공적이고 정밀한 예측은 천체물리학자들이 이 모형과 일반 상대성이론이 미래 발전의 기초가 될 것이라고 결론 내리게 했다. 그러나 암흑 물질은 입자물리학의 표준 모형에 의해 뒷받침되지 않으며, 암흑 에너지에 대한 물리적 모형은 우주론적 데이터와 일치하지 않고, 일부 우주론적 관측은 모순된다. 이러한 문제들은 대안적인 중력 이론의 연구로 이어졌다.

## 이 문서의 표기법

c\;는 빛의 속력이고, G\;는 중력 상수이다. "기하학적 변수"는 사용되지 않는다.

라틴 지수는 1부터 3까지, 그리스 지수는 0부터 3까지이다. 아인슈타인 표기법이 사용된다.

\eta_{\mu\nu}\;는 민코프스키 계량이다. g_{\mu\nu}\;는 텐서이며, 일반적으로 계량 텐서이다. 이들은 부호수 (−,+,+,+)를 갖는다.

편미분은 \partial_\mu \varphi\; 또는 \varphi_{,\mu}\;로 표기된다. 공변미분은 \nabla_\mu \varphi\; 또는 \varphi_{;\mu}\;로 표기된다.

## 일반 상대성이론

대안들과 비교하기 위해 일반 상대성이론의 공식은 다음과 같다.

:\delta \int ds = 0 \,

:{ds}^2 = g_{\mu \nu} \, dx^\mu \, dx^\nu \,

:R_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} \left( T_{\mu \nu} - \frac {1}{2} g_{\mu \nu}T \right) \,

이는 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:T^{\mu\nu} = {c^4 \over 8 \pi G} \left( R^{\mu \nu}-\frac {1}{2} g^{\mu \nu} R \right) \,.

일반 상대성이론의 아인슈타인-힐베르트 작용은 다음과 같다.

:S = {c^4 \over 16 \pi G} \int R \sqrt{-g} \ d^4 x + S_m \,

여기서 G \,는 뉴턴의 중력 상수이고, R = R_{\mu}^{~\mu} \,는 공간의 리치 곡률이며, g = \det ( g_{\mu \nu} ) \,이고 S_m \,은 질량에 의한 작용이다.

일반 상대성이론은 텐서 이론이다. 모든 방정식은 텐서를 포함한다. 반면 노르드스트룀의 이론은 중력장이 스칼라이기 때문에 스칼라 이론이다. 제안된 다른 대안으로는 일반 상대성이론의 텐서 외에 스칼라장을 포함하는 스칼라-텐서 이론이 있다. 벡터장을 포함하는 다른 변형도 최근에 개발되었다.

## 이론 분류
중력 이론은 느슨하게 여러 범주로 분류될 수 있다. 여기에 설명된 대부분의 이론은 다음을 갖는다.
* '작용'(작용 개념에 기반한 변분 원리인 최소 작용 원리 참조)
* 라그랑주 밀도
* 계량

몇몇 이론이 마흐의 원리에 의존하고(예: 화이트헤드), 많은 이론이 스쳐 지나가듯이 언급하기 때문에(예: 아인슈타인-그로스만, 브랜스-디키) 마흐의 원리에 대해 추가로 언급하는 것이 적절하다. 마흐의 원리는 뉴턴과 아인슈타인 사이의 중간 단계로 생각될 수 있다. 다음은 그 설명이다.
* 뉴턴: 절대 공간과 시간.
* 마흐: 기준 프레임은 우주 물질의 분포에서 비롯된다.
* 아인슈타인: 기준 프레임이 없다.
이것은 마흐가 원래 진술한 방식과 정확히 일치하지 않는다. 다른 변형은 마흐의 원리를 참조하라.

### 작용에 기반한 분류
이론이 중력에 대한 라그랑주 밀도 L\,을 갖는다면, 작용 S\,의 중력 부분은 그것의 적분이다.
:S = \int L \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4x .

이 방정식에서는 데카르트 좌표를 사용할 때 공간 무한대에서 g = -1\,을 갖는 것이 일반적이지만 필수적이지는 않다. 예를 들어, 아인슈타인-힐베르트 작용은 L\,\propto\, R 을 사용하는데, 여기서 R은 공간의 곡률을 측정하는 스칼라 곡률이다.

이 문서에 설명된 거의 모든 이론은 작용을 가지고 있다. 이는 에너지, 운동량, 각운동량의 필요한 보존 법칙이 자동으로 통합되도록 보장하는 가장 효율적인 알려진 방법이다. 비록 이러한 보존 법칙이 위반되는 작용을 구성하는 것은 쉽지만 말이다. 정준 방법은 필요한 보존 법칙을 갖는 시스템을 구성하는 또 다른 방법을 제공하지만, 이 접근 방식은 구현하기에 더 번거롭다. MOND의 원래 1983년 버전은 작용을 가지고 있지 않았다.

### 라그랑주 밀도에 기반한 분류

몇몇 이론은 작용을 가지고 있지만 라그랑주 밀도는 없다. 좋은 예는 화이트헤드인데, 거기서 작용은 비국소적이라고 불린다.

### 계량성에 기반한 분류
중력 이론은 두 가지 조건이 성립하는 수학적 표현을 가질 수 있는 경우에만 "계량 이론"이다.
조건 1: 계량 부호수 (−, +, +, +)를 갖는 대칭 계량 텐서 g_{\mu\nu}\,가 존재하며, 이는 특수 상대성이론 및 일반 상대성이론의 일반적인 방식으로 고유 길이 및 고유 시간 측정을 제어한다.

:{d\tau}^2 = - g_{\mu \nu} \, dx^\mu \, dx^\nu \,

여기서 지수 \mu와 \nu에 대한 합산이 있다.
조건 2: 중력의 영향을 받는 응력을 받는 물질과 장은 다음 방정식에 따라 반응한다.

:0 = \nabla_\nu T^{\mu \nu} = {T^{\mu \nu}}_{,\nu} + \Gamma^{\mu}_{\sigma \nu} T^{\sigma \nu} + \Gamma^{\nu}_{\sigma \nu} T^{\mu \sigma} \,

여기서 T^{\mu \nu} \,는 모든 물질 및 비중력장에 대한 에너지-운동량 텐서이며, \nabla_{\nu}는 계량에 대한 공변미분이고 \Gamma^{\alpha}_{\sigma \nu} \,는 크리스토펠 기호이다. 에너지-운동량 텐서는 또한 에너지 조건을 만족해야 한다.

계량 이론에는 (가장 간단한 것부터 가장 복잡한 것까지) 다음이 포함된다.
* 스칼라장 이론 (등각 평탄 이론 & 등각 평탄 공간 단면을 갖는 층상 이론 포함)
** 베르그만
** 콜먼
** 아인슈타인 (1912)
** 아인슈타인-포커 이론
** 리–라이트만–니
** 리틀우드
** 니
** 노르드스트룀 중력 이론 (개발된 최초의 계량 중력 이론)
** 페이지-투퍼
** 파파페트루
** 로젠 (1971)
** 휘트로-머독
** 일마즈 중력 이론 (이론에서 사건의 지평선을 제거하려는 시도)
* 준선형 이론 (선형 고정 게이지 포함)
** 볼리니-잠비아기-티옴노
** 데서-로랑
** 화이트헤드 중력 이론 (뒤처진 퍼텐셜만 사용하려는 의도)
* 텐서 이론
** 아인슈타인의 일반 상대성이론
** 4차 중력 (리만 곡률 텐서의 2차 수축에 라그랑주가 의존하도록 허용)
** f(R) 중력 (리치 스칼라의 더 높은 거듭제곱에 라그랑주가 의존하도록 허용)
** 가우스-보네 중력
** 러브록 중력 이론 (리만 곡률 텐서의 더 높은 차수 수축에 라그랑주가 의존하도록 허용)
** 무한 미분 중력
* 스칼라-텐서 이론
** TeVeS by 베켄슈타인
** 베르그만-웨고너
** 브랜스-딕 이론 (일반 상대성이론의 가장 잘 알려진 대안, 마흐의 원리 적용에 더 적합하도록 의도)
** 요르단
** 노르트베트
** 시리
** 카멜레온 입자
** 프레슈론
* 벡터-텐서 이론
** 헬링스–노르트베트
** 윌–노르트베트
* 다른 계량 이론
(아래 현대 이론 섹션 참조)

비계량 이론에는 다음이 포함된다.
* 벨린판테-스위하르트
* 아인슈타인-카르탕 이론 (스핀-궤도 각운동량 교환을 처리하기 위함)
* 쿠스타안헤이모 (1967)
* 텔레패러렐리즘
* 게이지 이론 중력

## 1917년부터 1980년대까지의 이론

17세기에 출판되었을 때 아이작 뉴턴의 중력 이론은 가장 정확한 중력 이론이었다. 그 이후로 여러 대안이 제안되었다. 1915년 일반 상대성이론이 공식화되기 전의 이론들은 중력 이론의 역사에서 논의된다.

이 섹션에는 일반 상대성이론이 발표된 후부터 "암흑물질" 가설로 이어진 은하 회전 관측 이전에 발표된 일반 상대성이론의 대안들이 포함된다. 여기에서 고려되는 것들은 (윌 랑 참조):

이 이론들은 특별히 명시되지 않는 한 우주상수나 추가된 스칼라 또는 벡터 퍼텐셜 없이 제시된다. 그 이유는 이들 중 하나 또는 둘 모두의 필요성이 초신성 우주론 프로젝트와 하이-Z 초신성 탐사팀의 초신성 관측 이전에 인식되지 않았기 때문이다. 이론에 우주상수나 퀸테선스를 추가하는 방법은 현대 이론에서 논의된다 (아인슈타인-힐베르트 작용도 참조).

### 스칼라장 이론

노르드스트룀의 스칼라장 이론은 이미 논의되었다. 리틀우드, 베르그만, 일마즈, 휘트로와 머독 및 페이지와 투퍼의 이론은 페이지와 투퍼가 제시한 일반 공식에 따른다.

노르드스트룀을 제외한 이 모든 것을 논의한 페이지와 투퍼에 따르면, 일반 스칼라장 이론은 최소 작용 원리에서 나온다.

:\delta\int f \left(\tfrac{\varphi}{c^2} \right) \, ds=0

여기서 스칼라장은 다음과 같다.

:\varphi = \frac{GM} r

그리고 c는 \varphi에 의존할 수도 있고 의존하지 않을 수도 있다.

노르드스트룀에서,

: f(\varphi/c^2)=\exp(-\varphi/c^2), \qquad c=c_\infty

리틀우드와 베르그만에서,

: f\left( \frac \varphi {c^2} \right) = \exp\left(-\frac{\varphi}{c^2} - \frac{(c/\varphi^2)^2} 2 \right) \qquad c=c_\infty\,

휘트로와 머독에서,

: f\left(\frac \varphi {c^2} \right) = 1, \qquad c^2=c_\infty^2-2\varphi\,

휘트로와 머독에서,

: f\left( \frac \varphi {c^2} \right)=\exp\left(-\frac \varphi {c^2} \right), \qquad c^2=c_\infty^2-2\varphi\,

페이지와 투퍼에서,

: f\left( \frac \varphi {c^2} \right) = \frac \varphi {c^2} + \alpha\left( \frac \varphi {c^2} \right)^2, \qquad \frac{c_\infty^2}{c^2} = 1+ 4 \left( \frac \varphi {c_\infty^2} \right) + (15+2\alpha) \left( \frac \varphi {c_\infty^2} \right)^2

페이지와 투퍼는 \alpha=-7/2일 때 일마즈의 이론과 2차까지 일치한다.

c가 일정할 때 중력에 의한 빛의 휘어짐은 0이 되어야 한다. c의 가변성과 빛의 휘어짐이 모두 실험과 상충된다는 점을 고려하면, 성공적인 스칼라 중력 이론의 전망은 매우 희박해 보인다. 게다가, 스칼라 이론의 매개변수가 빛의 휘어짐이 정확하도록 조정되면 중력 적색편이는 틀릴 가능성이 높다.

니는 일부 이론을 요약하고 두 가지 더 만들었다. 첫 번째 이론에서는 미리 존재하는 특수 상대성 시공간과 보편적 시간 좌표가 물질 및 비중력장과 상호작용하여 스칼라장을 생성한다. 이 스칼라장은 나머지 모든 것과 함께 작용하여 계량을 생성한다.

작용은 다음과 같다.

: S={1\over 16\pi G}\int d^4 x \sqrt{-g}L_\varphi+S_m

: L_\varphi=\varphi R-2g^{\mu\nu} \, \partial_\mu\varphi \, \partial_\nu\varphi

미스너 외는 \varphi R 항 없이 이 식을 제공한다. S_m은 물질 작용이다.

: \Box\varphi=4\pi T^{\mu\nu} \left [\eta_{\mu\nu}e^{-2\varphi}+ \left (e^{2\varphi}+e^{-2\varphi} \right ) \, \partial_\mu t \, \partial_\nu t \right ]

t는 보편적 시간 좌표이다. 이 이론은 자체 일관적이고 완전하다. 그러나 태양계가 우주를 통과하는 운동은 실험과 심각한 불일치를 초래한다.

니의 두 번째 이론에는 두 가지 임의 함수 f(\varphi)와 k(\varphi)가 있으며, 이는 계량과 다음과 같이 관련되어 있다.

: ds^2=e^{-2f(\varphi)}dt^2-e^{2f(\varphi)} \left [dx^2+dy^2+dz^2 \right ]

: \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\varphi=4\pi\rho^*k(\varphi)

니는 로젠이 두 개의 스칼라장 \varphi와 \psi를 가지고 있으며, 이들은 계량과 다음과 같이 관련되어 있다고 인용한다.

: ds^2=\varphi^2 \, dt^2-\psi^2 \left [dx^2+dy^2+dz^2 \right ]

파파페트루에서 라그랑주 함수의 중력 부분은 다음과 같다.

:L_\varphi=e^\varphi \left(\tfrac{1}{2} e^{-\varphi} \, \partial_\alpha \varphi \, \partial_\alpha\varphi + \tfrac{3}{2} e^{\varphi} \, \partial_0\varphi \, \partial_0\varphi \right )

파파페트루에는 두 번째 스칼라장 \chi가 있다. 이제 라그랑주 함수의 중력 부분은 다음과 같다.

: L_\varphi=e^{\frac{1}{2}(3\varphi+\chi)} \left (-\tfrac{1}{2} e^{-\varphi} \, \partial_\alpha \varphi \, \partial_\alpha\varphi -e^{-\varphi} \, \partial_\alpha\varphi \, \partial_\chi\varphi + \tfrac{3}{2} e^{-\chi} \, \partial_0 \varphi \, \partial_0\varphi \right )\,

### 이중 계량 이론

이중 계량 이론은 일반적인 텐서 계량과 민코프스키 계량(또는 상수 곡률의 계량)을 모두 포함하며, 다른 스칼라 또는 벡터 필드를 포함할 수 있다.

로젠 (1975)은 이중 계량 이론을 개발했다. 작용은 다음과 같다.

: S={1\over 64\pi G} \int d^4 x \, \sqrt{-\eta}\eta^{\mu\nu}g^{\alpha\beta}g^{\gamma\delta} (g_{\alpha\gamma |\mu} g_{\alpha\delta |\nu} -\textstyle\frac{1}{2}g_{\alpha\beta |\mu}g_{\gamma\delta |\nu})+S_m

: \Box_\eta g_{\mu\nu}-g^{\alpha\beta}\eta^{\gamma\delta}g_{\mu\alpha |\gamma}g_{\nu\beta |\delta}=-16\pi G\sqrt{g/\eta}(T_{\mu\nu}-\textstyle\frac{1}{2}g_{\mu\nu} T)\,

라이트만–리는 벨린판테와 스위하르트의 비계량 이론에 기반한 계량 이론을 개발했다. 그 결과는 BSLL 이론으로 알려져 있다. 텐서장 B_{\mu\nu}\,, B=B_{\mu\nu}\eta^{\mu\nu}\,, 그리고 두 상수 a\,와 f\,가 주어지면 작용은 다음과 같다.

: S={1\over 16\pi G}\int d^4 x\sqrt{-\eta}(aB^{\mu\nu|\alpha}B_{\mu\nu|\alpha} + fB_{,\alpha} B^{,\alpha}) + S_m

그리고 에너지-운동량 텐서는 다음에서 나온다.

: a\Box_\eta B^{\mu\nu}+f\eta^{\mu\nu}\Box_\eta B=-4\pi G\sqrt{g/\eta} \, T^{\alpha\beta} \left( \frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial B_\mu\nu} \right)

라스탈에서, 계량은 민코프스키 계량과 벡터장의 대수 함수이다. 작용은 다음과 같다.

: S={1\over 16\pi G}\int d^4 x \, \sqrt{-g} F(N)K^{\mu;\nu}K_{\mu;\nu}+S_m

여기서

: F(N)=- \frac N {2+N}  이고 N=g^{\mu\nu} K_\mu K_\nu\;이다.

### 준선형 이론
화이트헤드에서, 물리적 계량 g\;는 싱에 의해 민코프스키 계량 \eta\;와 물질 변수로부터 대수적으로 구성되므로, 스칼라장조차 가지고 있지 않다. 구성은 다음과 같다.

: g_{\mu\nu}(x^\alpha) = \eta_{\mu\nu}-2\int_{\Sigma^-}{y_\mu^- y_\nu^-\over(w^-)^3} \left[ \sqrt{-g}\rho u^\alpha \, d\Sigma_\alpha \right]^-

여기서 위 첨자 (−)는 필드 점 x^\alpha\;의 과거 \eta\; 빛 원뿔을 따라 평가된 양을 나타내며,

: 
\begin{align}
(y^\mu)^-& =x^\mu-(x^\mu)^-, \qquad (y^\mu)^-(y_\mu)^-=0,\\[5pt]
w^- & =(y^\mu)^-(u_\mu)^-, \qquad (u_\mu) = \frac{dx^\mu}{d\sigma}, \\[5pt]
d\sigma^2 & =\eta_{\mu\nu} \, dx^\mu \, dx^\nu
\end{align}


그럼에도 불구하고, "길이 수축" 가설을 사용한 계량 구성(비계량 이론에서 비롯된)은 비판받는다.

데서와 로랑과 볼리니-잠비아기-티옴노는 선형 고정 게이지 이론이다. 양자장 이론에서 접근하여, 민코프스키 시공간과 스핀-2 텐서장 (즉, 중력자) h_{\mu\nu}\;의 게이지 불변 작용을 결합하여 다음을 정의한다.

: g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}\;

작용은 다음과 같다.

: S={1\over 16\pi G} \int d^4 x\sqrt{-\eta} \left[2h_{|\nu}^{\mu\nu}h_{\mu\lambda}^{|\lambda} -2h_{|\nu}^{\mu\nu}h_{\lambda|\mu}^{\lambda}+h_{\nu|\mu}^\nu h_\lambda^{\lambda|\mu} -h^{\mu\nu|\lambda}h_{\mu\nu|\lambda} \right] + S_m\;

이 부분 게이지 불변성과 관련된 비안키 항등식은 틀렸다. 선형 고정 게이지 이론은 h_{\mu\nu}\;에 결합하는 보조 중력장을 도입하여 중력 작용의 게이지 불변성을 깨뜨림으로써 이를 해결하려고 한다.

우주상수는 1923년 G. 템플이 제안했듯이 민코프스키 배경을 더시터르 또는 반더시터르 시공간으로 변경하여 준선형 이론에 도입할 수 있다. 템플의 이러한 방법에 대한 제안은 1955년 C. B. 레이너에 의해 비판받았다.

### 텐서 이론
아인슈타인의 일반 상대성이론은 하나의 대칭 텐서장(계량 텐서)만을 기반으로 할 수 있는 가장 간단하고 그럴듯한 중력 이론이다. 다른 이론으로는 스타로빈스키(R+R^2) 중력, 가우스-보네 중력, f(R) 중력, 그리고 러브록 중력 이론이 있다.

#### 스타로빈스키

알렉세이 스타로빈스키가 제안한 스타로빈스키 중력은 다음과 같은 라그랑주를 갖는다.
:\mathcal{L}= \sqrt{-g}\left[R+\frac{R^2}{6M^2}\right]

그리고 스타로빈스키 급팽창의 형태로 급팽창을 설명하는 데 사용되었다. 여기서 M은 상수이다.

#### 가우스-보네
가우스-보네 중력은 다음과 같은 작용을 갖는다.
:
\mathcal{L} =\sqrt{-g}\left[R+ R^2 - 4R^{\mu\nu}R_{\mu\nu} + R^{\mu\nu\rho\sigma}R_{\mu\nu\rho\sigma} \right].

여기서 추가 항들의 계수는 작용이 4차원 시공간에서 일반 상대성이론으로 축소되고 추가 항들이 더 많은 차원이 도입될 때만 비자명하도록 선택된다.

#### 스텔레의 4차 미분 중력
가우스-보네 중력의 일반화인 스텔레의 4차 미분 중력은 다음과 같은 작용을 갖는다.
:
\mathcal{L} =\sqrt{-g}\left[ R +f_1 R^2 + f_2 R^{\mu\nu}R_{\mu\nu} + f_3 R^{\mu\nu\rho\sigma}R_{\mu\nu\rho\sigma} \right].


#### f(R)
f(R) 중력은 다음과 같은 작용을 갖는다.
:
\mathcal{L}= \sqrt{-g} f(R)

그리고 리치 스칼라의 다른 함수에 의해 정의되는 이론들의 한 가족이다. 스타로빈스키 중력은 사실 f(R) 이론이다.

#### 무한 미분 중력
무한 미분 중력은 곡률에서 2차이며, 비틀림이 없고 패리티 불변인 공변 중력 이론이다.
:
\mathcal{L} =\sqrt{-g} \left[ M_p^2 R + Rf_1\left( \frac \Box {M_s^2}\right)R + R^{\mu\nu}f_2 \left( \frac \Box {M_s^2} \right) R_{\mu\nu} + R^{\mu\nu\rho\sigma} f_3\left( \frac \Box {M_s^2}\right) R_{\mu\nu\rho\sigma} \right].

그리고
:
2f_1 \left( \frac \Box {M_s^2} \right) + f_2 \left( \frac \Box {M_s^2} \right) + 2f_3 \left( \frac \Box {M_s^2} \right) = 0,

중력자 전파기에서 민코프스키 배경 주변에 질량 없는 스핀-2 및 스핀-0 구성 요소만 전파되도록 보장하기 위함이다. 이 작용은 스케일  M_s를 넘어서는 비국소적이 되며, 비국소 스케일  M_s 아래의 에너지에 대해 적외선에서 일반 상대성이론으로 복구된다. 자외선 영역에서, 비국소 스케일 M_s^{-1} 미만의 거리 및 시간 스케일에서는 중력 상호작용이 점 특이점을 해결할 만큼 충분히 약화되며, 이는 슈바르츠실트 특이점이 무한 미분 중력 이론에서 잠재적으로 해결될 수 있음을 의미한다.

#### 러브록
러브록 중력은 다음과 같은 작용을 갖는다.
:
\mathcal{L}=\sqrt{-g}\ (\alpha _{0}+\alpha _{1}R+\alpha _{2}\left(
R^{2}+R_{\alpha \beta \mu \nu }R^{\alpha \beta \mu \nu }-4R_{\mu \nu }R^{\mu
\nu }\right) +\alpha _{3}\mathcal{O}(R^{3})),

그리고 일반 상대성이론의 일반화로 생각될 수 있다.

### 스칼라-텐서 이론

이들은 모두 적어도 하나의 자유 매개변수를 포함하며, 자유 매개변수가 없는 일반 상대성이론과는 대조적이다.

일반적으로 스칼라-텐서 중력 이론으로 간주되지는 않지만, 칼루차-클레인 이론의 5x5 계량은 4x4 계량과 단일 스칼라로 축소된다. 따라서 5번째 요소를 전자기장 대신 스칼라 중력장으로 취급하면 칼루차-클레인 이론은 스칼라-텐서 중력 이론의 선구자로 간주될 수 있다. 이는 티리에 의해 인식되었다.

스칼라-텐서 이론에는 티리, 요르단, 브랜스와 디키, 베르그만, 노르트벨트 (1970), 웨고너, 베켄슈타인 및 바커가 포함된다.

작용 S\;는 라그랑주 L_\varphi\;의 적분에 기반한다.

: S={1\over 16\pi G}\int d^4 x\sqrt{-g}L_\varphi+S_m\;

: L_\varphi=\varphi R-{\omega(\varphi)\over\varphi} g^{\mu\nu} \, \partial_\mu\varphi \, \partial_\nu\varphi + 2\varphi \lambda(\varphi)\;

: S_m=\int d^4 x \, \sqrt{g} \, G_N L_m\;

: T^{\mu\nu}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {2\over\sqrt{g}}{\delta S_m\over\delta g_{\mu\nu}}

여기서 \omega(\varphi)\;는 각기 다른 스칼라-텐서 이론에 대한 다른 무차원 함수이다. 함수 \lambda(\varphi)\;는 일반 상대성이론의 우주상수와 동일한 역할을 한다. G_N\;은 현재 G\;의 값을 고정하는 무차원 정규화 상수이다. 스칼라에 대한 임의의 퍼텐셜을 추가할 수 있다.

완전한 버전은 베르그만과 웨고너에 남아 있다. 특별한 경우는 다음과 같다.

노르트베트, \lambda=0\;

당시 \lambda가 0이라고 생각되었으므로, 이는 중요한 차이로 간주되지 않았을 것이다. 현대 작업에서 우주상수의 역할은 우주상수에서 논의된다.

브랜스-디키, \omega\;는 상수이다.

베켄슈타인 가변 질량 이론
우주론적 해에서 얻은 매개변수 r\;과 q\;로부터,
\varphi=[1-qf(\varphi)]f(\varphi)^{-r}\;는 함수 f\;를 결정한 다음,

: \omega(\varphi)=-\textstyle\frac{3}{2}-\textstyle\frac{1}{4}f(\varphi)[(1-6q) qf(\varphi)-1] [r+(1-r) qf(\varphi)]^{-2}\;

바커 상수 G 이론

: \omega(\varphi)= \frac{4-3\varphi}{2\varphi-2} 

\omega(\varphi)\;의 조정을 통해 스칼라-텐서 이론은 현재 시대에 \omega\rightarrow\infty\;의 극한에서 일반 상대성이론으로 수렴할 수 있다. 그러나 초기 우주에서는 일반 상대성이론과 상당한 차이가 있을 수 있다.

일반 상대성이론이 실험에 의해 확인되는 한, 일반 스칼라-텐서 이론(브랜스-딕 이론 포함)은 완전히 배제될 수 없지만, 실험이 일반 상대성이론을 더 정확하게 확인함에 따라 예측이 일반 상대성이론의 예측과 더 밀접하게 일치하도록 매개변수를 미세 조정해야 한다.

위의 예시는 호르네스키 이론의 특정 사례이다. 이는 4차원 공간에서 2차 운동 방정식을 유도하는 계량 텐서와 스칼라장에서 구성된 가장 일반적인 라그랑주이다. 호르네스키 이론을 넘어서는 (고차 운동 방정식을 갖는) 실행 가능한 이론이 존재함이 밝혀졌다.

### 벡터-텐서 이론
시작하기 전에 윌(2001)은 "1970년대와 1980년대에 개발된 많은 대안 계량 이론들은 '허수아비' 이론으로 간주될 수 있었는데, 이러한 이론이 존재한다는 것을 증명하거나 특정 특성을 설명하기 위해 고안되었다. 이들 중 몇몇만이 예를 들어 장 이론이나 입자 물리학의 관점에서 잘 동기 부여된 이론으로 간주될 수 있었다. 윌, 노르트베트, 헬링스가 연구한 벡터-텐서 이론이 그 예이다."라고 말했다.

헬링스와 노르트베트와 윌과 노르트베트는 모두 벡터-텐서 이론이다. 계량 텐서 외에 시간꼴 벡터장 K_\mu가 있다. 중력 작용은 다음과 같다.

:S=\frac{1}{16\pi G}\int d^4 x\sqrt{-g}\left [R+\omega K_\mu K^\mu R+\eta K^\mu K^\nu R_{\mu\nu}-\epsilon F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\tau K_{\mu;\nu} K^{\mu;\nu} \right ]+S_m

여기서 \omega, \eta, \epsilon, \tau는 상수이고,

:F_{\mu\nu}=K_{\nu;\mu}-K_{\mu;\nu}. (T^{\mu\nu}와 K_\mu에 대한 장 방정식은 윌 참조.)

윌과 노르트베트는 특별한 경우로 다음과 같다.

:\omega=\eta=\epsilon=0; \quad \tau=1

헬링스와 노르트베트는 특별한 경우로 다음과 같다.

: \tau=0; \quad\epsilon=1; \quad \eta=-2\omega

이러한 벡터-텐서 이론은 준보존적이며, 이는 운동량과 각운동량 보존 법칙을 만족하지만 선호 프레임 효과를 가질 수 있음을 의미한다. \omega=\eta=\epsilon=\tau=0일 때 일반 상대성이론으로 환원되므로, 일반 상대성이론이 실험에 의해 확인되는 한 일반 벡터-텐서 이론은 결코 배제될 수 없다.

### 다른 계량 이론
다른 계량 이론들이 제안되었다. 베켄슈타인의 이론은 현대 이론에서 논의된다.

### 비계량 이론

카르탕 이론은 비계량 이론이라는 점과 매우 오래되었다는 점 때문에 특히 흥미롭다. 카르탕 이론의 지위는 불확실하다. 윌은 모든 비계량 이론이 아인슈타인의 등가원리에 의해 배제된다고 주장한다. 윌은 2001년 판에서 아인슈타인의 등가원리에 대해 비계량 이론을 테스트하기 위한 실험적 기준을 설명하며 이를 완화한다. 미스너 외는 카르탕 이론이 그 날짜까지 모든 실험 테스트를 통과한 유일한 비계량 이론이라고 주장하며, 투리셰프는 카르탕 이론을 그 날짜까지 모든 실험 테스트를 통과한 소수의 이론 중 하나로 나열한다. 다음은 트라우트만이 재정의한 카르탕 이론의 간략한 스케치이다.

카르탕은 아인슈타인의 중력 이론의 간단한 일반화를 제안했다. 그는 계량 텐서와 계량과 호환되지만 반드시 대칭적이지는 않은 선형 "접속"을 갖는 시공간 모형을 제안했다. 접속의 비틀림 텐서는 고유 각운동량 밀도와 관련되어 있다. 카르탕과는 독립적으로, 유사한 아이디어는 시아마와 키블에 의해 1958년부터 1966년까지 제시되었으며, 1976년 헤흘 외의 검토로 절정을 이루었다.

원래 설명은 미분 형식으로 되어 있지만, 이 문서에서는 더 익숙한 텐서 언어로 대체된다(정확성 손실의 위험을 감수하고). 일반 상대성이론과 마찬가지로, 라그랑주 함수는 질량 없는 부분과 질량 부분으로 구성된다. 질량 없는 부분의 라그랑주 함수는 다음과 같다.

:
\begin{align}
L & ={1\over 32\pi G}\Omega_\nu^\mu g^{\nu\xi}x^\eta x^\zeta \varepsilon_{\xi\mu\eta\zeta} \\[5pt]
\Omega_\nu^\mu & =d \omega^\mu_\nu + \omega^\eta_\xi \\[5pt]
\nabla x^\mu & =-\omega^\mu_\nu x^\nu
\end{align}


\omega^\mu_\nu\;는 선형 접속이다. \varepsilon_{\xi\mu\eta\zeta}\;는 \varepsilon_{0123}=\sqrt{-g}\;를 갖는 완전 반대칭 유사 텐서(레비치비타 기호)이고, g^{\nu\xi}\,는 평소와 같이 계량 텐서이다. 선형 접속이 계량이라고 가정함으로써, 비계량 이론에 내재된 불필요한 자유도를 제거할 수 있다. 에너지-운동량 텐서는 다음으로부터 계산된다.

:T^{\mu\nu}={1\over 16\pi G} (g^{\mu\nu}\eta^\xi_\eta-g^{\xi\mu}\eta^\nu_\eta-g^{\xi\nu} \eta^\mu_\eta) \Omega^\eta_\xi\;

공간 곡률은 리만 곡률이 아니지만, 리만 시공간에서는 라그랑주 함수가 일반 상대성이론의 라그랑주 함수로 환원된다.

벨린판테와 스위하르트의 비계량 이론의 일부 방정식은 이미 이중 계량 이론 섹션에서 논의되었다.

뚜렷하게 비계량적인 이론은 게이지 이론 중력에 의해 제시되는데, 이는 장 방정식에서 계량을 평탄한 시공간에서의 한 쌍의 게이지장으로 대체한다. 한편, 이 이론은 아인슈타인-카르탕 이론(또는 스핀이 사라지는 극한에서는 일반 상대성이론)과 실질적으로 동일하며, 주로 전역 해의 성질에서만 차이가 나기 때문에 매우 보수적이다. 다른 한편, 미분 기하학을 기하적 대수학으로 대체하기 때문에 급진적이다.

## 현대 이론 1980년대부터 현재까지
이 섹션에는 "암흑 물질" 가설로 이어진 은하 회전 관측 이후에 발표된 일반 상대성이론의 대안들이 포함된다. 이 이론들의 신뢰할 만한 비교 목록은 알려져 있지 않다. 여기에서 고려되는 이론들로는 베켄슈타인, 모팻, 모팻, 모팻 등이 있다. 이 이론들은 우주상수 또는 추가된 스칼라 또는 벡터 퍼텐셜과 함께 제시된다.

### 동기
일반 상대성이론에 대한 최근의 대안들의 동기는 거의 전적으로 우주론적이며, "급팽창", "암흑 물질" 및 "암흑 에너지"와 같은 개념과 관련되거나 이를 대체한다. 기본적인 아이디어는 중력이 현재 시대에는 일반 상대성이론과 일치하지만 초기 우주에서는 상당히 달랐을 수 있다는 것이다.

1980년대에는 물리학계에서 당시의 빅뱅 시나리오에 내재된 몇 가지 문제, 즉 지평선 문제와 쿼크가 처음 형성되던 초기에는 우주에 쿼크 하나를 담을 공간조차 충분하지 않았다는 관측을 서서히 깨닫기 시작했다. 이러한 어려움을 극복하기 위해 급팽창 이론이 개발되었다. 또 다른 대안은 초기 우주에서 빛의 속도가 더 높았던 일반 상대성이론의 대안을 구축하는 것이었다. 은하들의 예상치 못한 회전 곡선 발견은 모두를 놀라게 했다. 우리가 인지하는 것보다 우주에 더 많은 질량이 있을 수 있을까, 아니면 중력 이론 자체가 틀린 것일까? 현재 합의는 사라진 질량이 "차가운 암흑 물질"이라는 것이지만, 이러한 합의는 일반 상대성이론의 대안을 시도한 후에야 도달했으며, 일부 물리학자들은 여전히 대안적인 중력 모델이 해답을 가지고 있을 수 있다고 믿는다.

1990년대에 초신성 조사는 암흑 에너지에 기인하는 것으로 보통 여겨지는 우주의 가속 팽창을 발견했다. 이는 아인슈타인의 우주상수의 급격한 재도입으로 이어졌고, 퀸테선스는 우주상수의 대안으로 등장했다. 적어도 하나의 새로운 일반 상대성이론의 대안은 초신성 조사 결과를 완전히 다른 방식으로 설명하려고 시도했다. 중력파 사건 GW170817을 통한 중력 속도 측정은 가속 팽창을 설명하기 위한 많은 대안 중력 이론을 배제했다.

일반 상대성이론에 대한 최근의 관심을 불러일으킨 또 다른 관측은 파이어니어 변칙이다. 이 변칙은 일반 상대성이론의 대안으로 설명될 수 있음이 빠르게 발견되었다. 현재는 불균일한 열 복사에 의한 것으로 여겨진다.

### 우주상수와 퀸테선스

우주상수 \Lambda\;는 아인슈타인이 1917년에 제안한 매우 오래된 아이디어이다. \Lambda=0\;인 프리드만 우주 모형의 성공으로 그것이 0이라는 일반적인 인식이 확산되었지만, 초신성 데이터가 우주의 팽창이 가속되고 있음을 나타냈을 때 0이 아닌 값의 사용이 다시 돌아왔다.

뉴턴 중력에서 우주상수를 추가하면 뉴턴-푸아송 방정식이 다음으로 바뀐다.

: \nabla^2\varphi=4\pi\rho\ G;

다음으로

: \nabla^2\varphi + \frac{1}{2}\Lambda c^2 = 4\pi\rho\ G;

일반 상대성이론에서 아인슈타인-힐베르트 작용은

: S={1\over 16\pi G}\int R\sqrt{-g} \, d^4x \, +S_m\;

다음으로 바뀐다.

: S={1\over 16\pi G}\int (R-2\Lambda)\sqrt{-g}\,d^4x \, +S_m\;

이는 장 방정식을 다음에서

: T^{\mu\nu}={1\over 8\pi G} \left(R^{\mu\nu}-\frac {1}{2} g^{\mu\nu} R \right)\;

다음으로 바꾼다.

: T^{\mu\nu}={1\over 8\pi G}\left(R^{\mu\nu}-\frac {1}{2} g^{\mu\nu} R + g^{\mu\nu} \Lambda \right)\;

대안적인 중력 이론에서 우주상수는 동일한 방식으로 작용에 추가될 수 있다.

더 일반적으로는 스칼라 퍼텐셜 \lambda(\varphi)\;를 스칼라-텐서 이론에 추가할 수 있다. 이는 스칼라장 \varphi\;를 포함하는 모든 일반 상대성이론의 대안에서 작용의 중력 부분에 대한 라그랑주 함수 내부에 \lambda(\varphi)\; 항을 추가함으로써 가능하다. 즉,

: S={1\over 16\pi G}\int d^4x \, \sqrt{-g} \, L_\varphi+S_m\;

\lambda(\varphi)\;는 상수가 아닌 스칼라장의 임의 함수이므로, 초기 우주에서는 큰 가속도를 주고 현재 시대에는 작은 가속도를 주도록 설정할 수 있다. 이것을 퀸테선스라고 한다.

라스탈과 벡터-텐서 이론을 포함하여 벡터장을 사용하는 일반 상대성이론의 대안에서도 유사한 방법을 사용할 수 있다. 중력 작용의 라그랑주 함수에 K^\mu K^\nu g_{\mu\nu}\;에 비례하는 항이 추가된다.

### 파른스의 이론
2018년 12월, 옥스퍼드 대학교의 천체물리학자 제이미 파른스는 알베르트 아인슈타인이 이전에 제시한 중력적으로 반발하는 음의 질량 개념과 관련된 암흑 유체 이론을 제안했다. 이 이론은 우주에 있는 상당량의 미지의 암흑 물질과 암흑 에너지를 더 잘 이해하는 데 도움이 될 수 있다.

이 이론은 음의 질량 개념에 의존하며, 음의 질량 입자에 대해서만 물질 생성을 허용하기 위해 프레드 호일의 생성 텐서를 재도입한다. 이런 방식으로 음의 질량 입자들은 은하계를 둘러싸고 압력을 가하여 암흑 물질과 유사하게 작용한다. 이러한 가설적 입자들은 서로를 밀어내기 때문에 우주를 팽창시켜 암흑 에너지와 유사하게 작용한다. 물질 생성은 이국적인 음의 질량 입자의 밀도가 시간에 따라 일정하게 유지되도록 허용하므로 우주상수처럼 보인다. 아인슈타인의 장 방정식은 다음과 같이 수정된다.
: R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} \left( T_{\mu \nu}^{+} + T_{\mu \nu}^{-} + C_{\mu \nu} \right)

파른스의 이론은 기존 ΛCDM 모형에 대한 더 간단한 대안이다. 암흑 에너지와 암흑 물질(두 가지 가설)이 단일 음의 질량 유체(한 가지 가설)를 사용하여 해결되기 때문이다. 이 이론은 현재 건설 중인 평방킬로미터 간섭계 전파 망원경을 사용하여 직접 테스트할 수 있어야 한다.

### 상대론적 MOND

밀그롬의 원래 MOND 이론은 1983년에 "암흑 물질"의 대안으로 개발되었다. 뉴턴의 만유인력 법칙으로부터의 이탈은 거리 스케일이 아닌 가속도 스케일에 의해 결정된다. MOND는 은하의 중입자 질량이 평탄 회전 속도의 네제곱에 비례한다는 툴리-피셔 관측을 성공적으로 예측했다. 파마이와 맥거가 검토했듯이 MOND의 상대론적 버전은 많이 존재한다. 이러한 이론들이 실제로 약한 장 극한에서 비상대론적 MOND로 환원되는 한, 그들은 은하단의 올바른 중력 퍼텐셜을 재현하지 못하는 명백한 실패를 물려받는다.

MOND의 장 방정식 AQUAL의 상대론적 버전인 RAQUAL은 세 부분으로 된 작용을 갖는다.

: S=S_g+S_s+S_m

: S_g={c^4 \over 16 \pi G}\int e^{-2\phi^2} \left[ R(\tilde g_{\mu\nu}) + \dfrac{6}{c^4}\phi_{,\alpha}\phi_{,}^{\alpha} \right] \sqrt{-g}\,d^4x

: S_{\phi}=\dfrac{-a_0^2\beta(1+\beta)^2}{8 \pi G}\int e^{-4\phi^2} f \left[ \dfrac{e^{-2\phi^2}\phi_{,\mu}\phi_{,}^{\mu}}{a_0^2(1+\beta^2)} \right] \sqrt{-g}\,d^4x 

표준 질량 작용과 함께. 여기서 f는 올바른 극한에서 뉴턴과 MOND 행동을 제공하도록 선택된 임의 함수이다. 강한 장 극한에서 이것은 \beta=2\omega +3인 브랜스-디키 스칼라-텐서 이론이 된다. 이 이론은 스칼라장의 파동이 빛보다 빠르게 전파될 수 있도록 허용했기 때문에 곧 거부되었다. 1988년까지 두 번째 스칼라장(PCC)이 이 초기 스칼라-텐서 버전의 문제를 해결했지만, 수성의 근일점 세차 운동 및 은하와 은하단에 의한 중력 렌즈 현상과 충돌한다. 1997년까지 MOND는 층상 상대론적 이론[샌더스]에 성공적으로 통합되었지만, 이것은 선호 프레임 이론이기 때문에 자체적인 문제가 있다. 이러한 문제에도 불구하고 f(\chi)\approx\chi^\frac{3}{2}을 따르는 약한 장 극한과 같은 RAQUAL의 핵심 개념은 "확장 중력"이라는 이름으로 채택되었다. 야코브 베켄슈타인은 2004년에 MOND의 상대론적 일반화인 TeVeS를 개발했지만, 이 또한 자체적인 문제들을 가지고 있었다(아래 참조). 스코르디스와 즐로슈니크가 2021년에 시도한 것은 우주 마이크로파 배경 관측과 호환된다고 주장되었지만, 매우 인위적인 것으로 보인다.

#### TeVeS

베켄슈타인은 2004년에 MOND를 재현하려고 시도한 텐서-벡터-스칼라 모델(TeVeS)을 도입했다. 이 모델은 두 개의 스칼라장 \varphi와 \sigma\; 및 벡터장 U_\alpha를 포함한다. 작용은 중력, 스칼라, 벡터 및 질량에 대한 부분으로 나뉜다.

: S=S_g+S_s+S_v+S_m

중력 부분은 일반 상대성이론과 동일하다.

:\begin{align}
S_s &= -\frac{1}{2}\int \left [\sigma^2 h^{\alpha\beta}\varphi_{,\alpha}\varphi_{,\beta} + \frac12G \ell_0^{-2}\sigma^4F(kG\sigma^2)\right ]\sqrt{-g}\,d^4x \\[5pt]
S_v &= -\frac{K}{32\pi G}\int \left [g^{\alpha\beta}g^{\mu\nu}U_{[\alpha,\mu]}U_{[\beta,\nu]} -\frac{2\lambda}{K} \left (g^{\mu\nu} U_\mu U_\nu+1 \right ) \right ]\sqrt{-g}\,d^4x \\[5pt]
S_m &= \int L \left (\tilde g_{\mu\nu},f^\alpha,f^\alpha_{|\mu},\ldots \right)\sqrt{-g}\,d^4x
\end{align}

여기서

:h^{\alpha\beta} = g^{\alpha\beta}-U^\alpha U^\beta
:\tilde g^{\alpha\beta}=e^{2\varphi}g^{\alpha\beta}+2U^\alpha U^\beta\sinh(2\varphi)

k, K는 상수이고, 지수 U_{[\alpha,\mu]}의 대괄호는 반대칭화를 나타내며, \lambda는 라그랑주 승수(다른 곳에서 계산됨)이고, L은 평탄 시공간에서 계량 \tilde g^{\alpha\beta}로 변환된 라그랑주 함수이다. G가 관측된 중력 상수 G_{Newton}와 같을 필요는 없다는 점에 유의한다. F는 임의 함수이며,

:F(\mu)=\frac{3}{4}{\mu^2(\mu-2)^2\over 1-\mu}

는 올바른 점근적 행동을 갖는 예시로 주어지며, \mu=1일 때 정의되지 않음에 유의한다.

이 이론의 매개변수화된 후-뉴턴 매개변수는 다음에서 계산된다. 이는 모든 매개변수가 일반 상대성이론과 동일하며, 다음을 제외하고는 다음과 같다.

:\begin{align}
\alpha_1 &= \frac{4G}{K} \left ((2K-1) e^{-4\varphi_0} - e^{4\varphi_0} + 8 \right ) - 8 \\[5pt]
\alpha_2 &= \frac{6 G}{2 - K} - \frac{2 G (K + 4) e^{4 \varphi_0}}{(2 - K)^2} - 1
\end{align}

둘 다 기하학적 단위로 표현되며 c = G_{Newtonian} = 1이다. 따라서

: G^{-1} = \frac{2}{2-K} + \frac{k}{4\pi}.

TeVeS는 우주 마이크로파 배경의 비등방성 데이터, 압축된 물체의 수명, 그리고 렌즈 현상과 물질 과밀도 퍼텐셜 사이의 관계에 대한 데이터에 직면했을 때 문제가 발생한다. TeVeS는 또한 LIGO에 따른 중력파의 속도와 일치하지 않는 것으로 보인다.

### 모팻의 이론
J. W. 모팻은 비대칭 중력 이론을 개발했다. 이것은 계량 이론이 아니다. 처음에는 블랙홀 지평을 포함하지 않는다고 주장되었지만, 부르코와 오리는 비대칭 중력 이론이 블랙홀을 포함할 수 있음을 발견했다. 나중에 모팻은 이 이론이 "암흑 물질"을 언급하지 않고도 은하의 회전 곡선을 설명하는 데 적용되었다고 주장했다. 다무르, 데서, 매카시는 비대칭 중력 이론이 받아들일 수 없는 점근적 행동을 보인다고 비판했다.

수학은 어렵지 않지만 서로 얽혀 있어서 다음은 간략한 스케치일 뿐이다. 비대칭 텐서 g_{\mu\nu}\;에서 시작하여 라그랑주 밀도는 다음과 같이 나뉜다.

: L=L_R+L_M\;

여기서 L_M\;은 일반 상대성이론의 물질과 동일하다.

: L_R = \sqrt{-g} \left[R(W)-2\lambda-\frac14\mu^2g^{\mu\nu}g_{[\mu\nu]}\right] - \frac16g^{\mu\nu}W_\mu W_\nu\;

여기서 R(W)\;는 일반 상대성이론의 리치 곡률과 유사하지만 같지 않은 곡률 항이며, \lambda\;와 \mu^2\;는 우주상수이고, g_{[\nu\mu]}\;는 g_{\nu\mu}\;의 반대칭 부분이다.
W_\mu\;는 접속이며, 재귀적으로 정의되어 설명하기 다소 어렵다. 그러나 W_\mu\approx-2g^{,\nu}_{[\mu\nu]}\;

하우간과 카우프만은 은하에서 방출되는 빛의 편광 측정을 사용하여 비대칭 중력 이론의 일부 매개변수 크기에 대한 엄격한 제약을 부과했다. 또한 휴즈-드레버 실험을 사용하여 나머지 자유도를 제약했다. 그들의 제약은 이전 추정치보다 8자리 더 엄격하다.

모팻의 계량-비대칭-텐서 중력 (MSTG) 이론은 암흑 물질이나 MOND 없이 은하의 회전 곡선을 예측할 수 있으며, 암흑 물질 없이도 은하단의 중력 렌즈 현상을 설명할 수 있다고 주장한다. 이 이론은 G\;가 변하며, 빅뱅 후 약 백만 년 후에 최종 상수 값으로 증가한다.

이 이론은 비대칭 텐서 A_{\mu\nu}\; 장과 소스 전류 J_\mu\; 벡터를 포함하는 것으로 보인다. 작용은 다음과 같이 나뉜다.

: S=S_G+S_F+S_{FM}+S_M\;

중력 항과 질량 항 모두 우주상수를 갖는 일반 상대성이론의 항과 일치한다. 비대칭장 작용과 비대칭장 물질 결합은 다음과 같다.

: S_F=\int d^4x\,\sqrt{-g} \left( \frac1{12}F_{\mu\nu\rho}F^{\mu\nu\rho} - \frac14\mu^2 A_{\mu\nu}A^{\mu\nu} \right)\;

: S_{FM}=\int d^4x\,\epsilon^{\alpha\beta\mu\nu}A_{\alpha\beta}\partial_\mu J_\nu\;

여기서

: F_{\mu\nu\rho}=\partial_\mu A_{\nu\rho}+\partial_\rho A_{\mu\nu}

그리고 \epsilon^{\alpha\beta\mu\nu}\;는 레비치비타 기호이다. 비대칭장 결합은 파울리 결합이며, 모든 소스 전류에 대해 게이지 불변이다. 소스 전류는 중입자와 렙톤 수와 관련된 물질 페르미온장처럼 보인다.

#### 스칼라-텐서-벡터 중력

모팻의 스칼라-텐서-벡터 중력은 텐서, 벡터 및 세 개의 스칼라장을 포함한다. 그러나 방정식은 상당히 간단하다. 작용은 중력, 벡터장 K_\mu, 스칼라장 G, \omega, \mu 및 질량에 대한 항으로 나뉜다. S_G는 G가 적분 내부에 이동했다는 점을 제외하고는 표준 중력 항이다.

: S_K=-\int d^4x\,\sqrt{-g}\omega \left( \frac14 B_{\mu\nu} B^{\mu\nu} + V(K) \right), \qquad \text{where } \quad B_{\mu\nu}=\partial_\mu K_\nu-\partial_\nu K_\mu.

: S_S = -\int d^4x\,\sqrt{-g} \frac{1}{G^3} \left( \frac12g^{\mu\nu}\,\nabla_\mu G\,\nabla_\nu G -V(G) \right) + \frac{1}{G} \left( \frac{1}{2} g^{\mu\nu}\,\nabla_\mu\omega\,\nabla_\nu\omega -V(\omega) \right) +{1\over\mu^2G} \left( \frac12g^{\mu\nu}\,\nabla_\mu\mu\,\nabla_\nu\mu - V(\mu) \right).

벡터장의 퍼텐셜 함수는 다음과 같이 선택된다.

: V(K) = -\frac12\mu^2\varphi^\mu\varphi_\mu - \frac14g \left (\varphi^\mu \varphi_\mu \right )^2

여기서 g는 결합 상수이다. 스칼라 퍼텐셜에 대해 가정한 함수는 명시되지 않았다.

### 무한 미분 중력

수정된 전파기에서 고스트를 제거하고 점근적 자유를 얻기 위해 비스와스, 마줌다르, 시겔 (2005)은 끈에서 영감을 받은 무한 개의 고차 미분 항을 고려했다.
:S = \int \mathrm{d}^4x  \sqrt{-g} \left(\frac{R}{2} + R F (\Box) R \right)
여기서  F (\Box)는 달랑베르 연산자의 정함수의 지수이다. 이는 원점 근처의 블랙홀 특이점을 피하면서, 먼 거리에서 일반 상대성이론 퍼텐셜의 1/r 감소를 복구한다. 로우스터와 마찌텔리 (1997)는 이 이론에 대한 중력 충격파를 나타내는 정확한 해를 발견했다.

### 일반 상대성이론 자체-상호작용 (GRSI)
일반 상대성이론 자체-상호작용 또는 **GRSI 모형**은 암흑 물질, 암흑 에너지 없이 천체물리학 및 우주론적 관측을 설명하려는 시도로, 양자 색역학의 자체-상호작용 항과 유사하게 일반 상대성이론에서 중력 효과를 계산할 때 자체-상호작용 항을 추가한다.
또한 이 모형은 툴리-피셔 관계를 설명하며,
현재 ΛCDM 모형 내에서 이해하기 어려운 관측인 반경 방향 가속도 관계를 설명한다.

이 모형은 2003년부터 일련의 논문으로 제안되었다. 핵심은 일반 상대성이론 내에서 중력장이 서로 결합하기 때문에 이는 거대한 물체들 사이의 중력 상호작용을 효과적으로 증가시킬 수 있다는 것이다. 이 추가적인 중력 강도는 암흑 물질의 필요성을 피하게 한다. 이러한 장 결합은 일반 상대성이론의 비선형 행동의 기원이다. 이는 입자 언어로 중력자들이 (비록 질량 없는 입자이지만) 서로 에너지-운동량을 운반하기 때문에 상호작용하는 것으로 이해될 수 있다.

이 모형의 자연스러운 함의는 암흑 에너지에 의존하지 않고 우주의 가속 팽창을 설명한다는 것이다. 은하 내의 증가된 결합 에너지는 에너지 절약에 의해 해당 은하 외부에서 중력 인력이 약화되는 것을 요구한다. 이는 암흑 에너지의 반발을 모방한다.

GRSI 모형은 유사한 현상이 발생하는 강한 핵력에서 영감을 받았다. 정적이거나 거의 정적인 쿼크에서 방출되는 글루온 사이의 상호작용은 쿼크-쿼크 상호작용을 극적으로 강화하여, 한편으로는 쿼크 가둠(암흑 물질을 설명하기 위한 더 강한 중력의 필요성과 유사)을 유발하고, 다른 한편으로는 하드론 외부에서 강한 핵력의 억제(대규모에서 중력 인력을 상쇄하는 암흑 에너지의 반발과 유사)를 유발한다. 두 가지 다른 유사한 현상은 은하 역학의 툴리-피셔 관계로, 이는 강한 핵력에서 나타나는 레게 궤적과 유사하다. 두 경우 모두 이러한 관측을 설명하는 현상론적 공식은 유사하지만, 수치적 인자는 다르다.

이러한 유사성은 이론적 관점에서 예상된다: 일반 상대성이론과 강한 상호작용 라그랑주는 동일한 형태를 갖는다. GRSI 모형의 유효성은 중력장의 결합이 충분히 커서 하드론에서 발생하는 동일한 효과가 매우 거대한 시스템에서도 발생하는지에 달려 있다. 이 결합은 효과적으로 \sqrt{GM/L}로 주어지는데, 여기서 G는 중력 상수이고, M은 시스템의 질량이며, L은 시스템의 특성 길이이다. GRSI 지지자들은 격자 계산, 배경장 모형, 또는 이전 단락에서 언급된 은하 또는 하드론 역학의 우연한 현상학을 기반으로 \sqrt{GM/L}이 은하와 같은 거대한 시스템에 대해 실제로 충분히 크다고 주장한다.

#### 모형에서 연구된 주제 목록
암흑 물질 및 암흑 에너지를 필요로 하는 것으로 보이는 주요 관측들은 이 모형 내에서 설명될 수 있다. 즉,

* 은하의 평탄 회전 곡선. 그러나 이러한 결과는 이의가 제기되었다.
* 우주 마이크로파 배경 비등방성.
* 먼 초신성의 어두운 광도와 그것이 우주의 가속 팽창에 미치는 영향.
* 우주의 대규모 구조 형성.
* 물질 파워 스펙트럼.
* 총알 은하단을 포함한 은하단의 내부 역학.

또한, 이 모형은 현재 ΛCDM 모형 내에서 이해하기 어려운 관측들을 설명한다.

* 툴리-피셔 관계.
* 반경 방향 가속도 관계.
* 허블 장력.
* 우주적 우연의 일치, 즉 현재 암흑 에너지의 가상적인 반발이 우주 전체 역학에서 중력 작용을 거의 정확히 상쇄한다는 사실.

마지막으로, 이 모형은 타원 은하의 사라진 질량(즉, 암흑 물질의 암흑 질량)의 양이 은하의 타원도와 상관관계가 있다는 예측을 했다. 이는 테스트되어 검증되었다.

## 일반 상대성이론의 대안 검증

일반 상대성이론의 대안이 받아들여지려면 다양한 검증을 통과해야 한다. 이러한 검증에 대한 자세한 내용은 미스너 외 39장, 윌 표 2.1, 그리고 니를 참조하라. 대부분의 이러한 검증은 다음 하위 섹션과 같이 분류될 수 있다.

### 자체 일관성
비계량 이론 간의 자체 일관성에는 타키온, 고스트 극 및 고차 극을 허용하는 이론, 그리고 무한대에서의 행동에 문제가 있는 이론을 제거하는 것이 포함된다. 계량 이론 중 자체 일관성은 이 검증에 실패하는 몇 가지 이론을 설명함으로써 가장 잘 설명된다. 고전적인 예는 피어츠와 파울리의 스핀-2 장 이론이다. 장 방정식은 중력체가 직선으로 움직인다는 것을 의미하는 반면, 운동 방정식은 중력이 중력체를 직선 운동에서 벗어나게 한다고 주장한다. 일마즈(1971)는 계량을 구성하는 데 사용되는 텐서 중력장을 포함하는데, 텐서장에 대한 계량의 함수적 의존성이 잘 정의되지 않았기 때문에 수학적으로 일관성이 없다.

### 완전성
완전하기 위해서는 중력 이론이 관심 있는 모든 실험의 결과를 분석할 수 있어야 한다. 따라서 전자기학과 다른 모든 물리학과 잘 맞아야 한다. 예를 들어, 행성의 움직임이나 원자 시계의 행동을 기본 원리에서 예측할 수 없는 이론은 불완전하다.

많은 초기 이론은 불완전하다. 이론에서 사용되는 밀도 \rho가 에너지-운동량 텐서 T로부터 \rho=T_{\mu\nu}u^\mu u^\nu로 계산되어야 하는지 또는 \rho=T_{\mu\nu}\delta^{\mu \nu}로 계산되어야 하는지 불분명하기 때문이다. 여기서 u는 사차원 속도이고, \delta는 크로네커 델타이다. 티리(1948)와 요르단의 이론은 요르단의 매개변수 \eta\;가 -1로 설정되지 않는 한 불완전하다. 이 경우 그들은 브랜스-디키 이론과 일치하므로 추가 고려할 가치가 있다. 밀른은 중력 적색편이 예측을 하지 않기 때문에 불완전하다. 휘트로와 머독, 쿠스타안헤이모와 쿠스타안헤이모 및 누오티오의 이론은 불완전하거나 일관성이 없다. 맥스웰 방정식의 통합은 평탄한 배경 시공간에 부과된다고 가정하지 않는 한 불완전하며, 그렇게 되면 일관성이 없다. 빛의 파동 버전(맥스웰 이론)을 사용할 때는 중력 적색편이를 0으로 예측하고, 입자 버전(광자)을 사용할 때는 0이 아닌 적색편이를 예측하기 때문이다. 또 다른 더 명확한 예는 맥스웰 방정식을 가진 뉴턴 중력이다. 광자로서의 빛은 중력장에 의해 휘어지지만(일반 상대성이론의 절반), 파동으로서의 빛은 휘어지지 않는다.

### 고전적 검증

중력 이론이 상대론적 효과를 처리하는 능력을 검증하는 세 가지 "고전적" 테스트(1910년대 또는 그 이전부터)가 있다. 그것들은 중력적색편이, 중력렌즈 (일반적으로 태양 주위에서 테스트됨), 그리고 행성의 비정상적인 근일점 이동이다. 각 이론은 이 분야에서 관측된 결과를 재현해야 하며, 이는 현재까지 항상 일반 상대성이론의 예측과 일치해왔다. 1964년 어윈 I. 샤피로는 샤피로 지연이라는 네 번째 테스트를 발견했다. 이 또한 일반적으로 "고전적" 테스트로 간주된다.

### 뉴턴 역학과 특수 상대성이론과의 일치
뉴턴 실험과의 불일치의 한 예로, 버코프 이론은 상대론적 효과를 상당히 신뢰성 있게 예측하지만, 음파가 빛의 속도로 이동한다고 요구한다. 이는 질량 충돌을 처리하는 것을 단순화하기 위해 만든 가정의 결과였다.

### 아인슈타인 등가원리

아인슈타인의 등가원리는 세 가지 구성요소를 가진다. 첫 번째는 자유 낙하의 유일성으로, 약한 등가원리로도 알려져 있다. 이는 관성 질량과 중력 질량이 같을 때 만족된다. η는 약한 등가원리의 최대 허용 위반을 테스트하는 데 사용되는 매개변수이다. 약한 등가원리의 첫 번째 테스트는 1900년 이전에 외트뵈시에 의해 수행되었으며 η를 5 미만으로 제한했다. 현대 테스트는 이를 5 미만으로 줄였다. 두 번째는 로렌츠 불변성이다. 중력 효과가 없을 때 빛의 속도는 일정하다. 이에 대한 테스트 매개변수는 δ이다. 로렌츠 불변성의 첫 번째 테스트는 1890년 이전에 미켈슨과 몰리에 의해 수행되었으며 δ를 5 미만으로 제한했다. 현대 테스트는 이를 1 미만으로 줄였다. 세 번째는 국소 위치 불변성으로, 공간적 및 시간적 불변성을 포함한다. 모든 국소 비중력 실험의 결과는 수행되는 위치와 시간에 독립적이다. 공간 국소 위치 불변성은 중력 적색편이 측정을 사용하여 테스트된다. 이에 대한 테스트 매개변수는 α이다. 1960년 파운드와 레브카가 발견한 상한은 α를 0.1 미만으로 제한했다. 현대 테스트는 이를 1 미만으로 줄였다.

시프의 추측은 약한 등가원리를 구현하는 모든 완전하고 자체 일관적인 중력 이론이 아인슈타인의 등가원리를 반드시 구현한다는 것이다. 이는 이론이 완전한 에너지 보존을 가질 경우 사실일 가능성이 높다. 계량 이론은 아인슈타인 등가원리를 만족한다. 비계량 이론 중 이를 만족하는 것은 극히 드물다. 예를 들어, 벨린판테와 스위하르트의 비계량 이론은 아인슈타인 등가원리를 테스트하기 위한 THεμ 형식론에 의해 배제된다. 게이지 이론 중력은 주목할 만한 예외인데, 강한 등가원리는 본질적으로 게이지 공변 미분의 최소 결합이다.

### 매개변수화된 후-뉴턴 형식론

자세한 내용은 일반 상대성이론의 검증, 미스너 외 및 윌을 참조하라.

대안 중력 모델을 평가하기 위한 표준화된, 즉 임시방편적인 테스트 세트를 개발하는 작업은 1922년 에딩턴과 함께 시작되었고, 노르트베트와 윌 및 윌과 노르트베트에서 표준화된 매개변수화된 후-뉴턴 숫자로 이어졌다. 각 매개변수는 이론이 뉴턴 중력에서 얼마나 벗어나는지 다른 측면을 측정한다. 여기서는 뉴턴 이론으로부터의 편차에 대해 이야기하고 있으므로, 이들은 약한 장 효과만을 측정한다. 강한 중력장의 효과는 나중에 검토된다.

이 열 가지는 다음과 같다. \gamma, \beta,\eta,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\zeta_1,\zeta_2,\zeta_3,\zeta_4.

*\gamma는 공간 곡률의 척도로, 뉴턴 중력에서는 0이고 일반 상대성이론에서는 1이다.
*\beta는 중력장의 추가에 대한 비선형성의 척도로, 일반 상대성이론에서는 1이다.
*\eta는 선호 위치 효과를 확인한다.
*\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3는 "선호 프레임 효과"의 범위와 본질을 측정한다. 이 세 가지 중 적어도 하나가 0이 아닌 중력 이론을 선호 프레임 이론이라고 한다.
*\zeta_1,\zeta_2,\zeta_3,\zeta_4,\alpha_3는 전역 보존 법칙의 붕괴 범위와 본질을 측정한다. 중력 이론은 이 다섯 가지가 모두 0일 때만 에너지-운동량에 대한 4개의 보존 법칙과 각운동량에 대한 6개의 보존 법칙을 갖는다.

### 강한 중력과 중력파

매개변수화된 후-뉴턴 형식론은 약한 장 효과만 측정한다. 강한 중력 효과는 백색 왜성, 중성자별, 블랙홀과 같은 밀집 천체에서 볼 수 있다. 백색 왜성의 안정성, 펄서의 스핀 감소율, 쌍성 펄서의 궤도, 블랙홀 지평의 존재와 같은 실험적 테스트는 일반 상대성이론의 대안을 검증하는 데 사용될 수 있다. 일반 상대성이론은 중력파가 빛의 속도로 이동한다고 예측한다. 많은 일반 상대성이론의 대안은 중력파가 빛보다 빠르게 이동하여 인과율을 위반할 수 있다고 말한다. GW170817 중성자별 병합의 다중 메시지 감지 이후, 빛과 중력파가 1/1015의 오차로 동일한 속도로 이동하는 것으로 측정되었으며, 이로 인해 많은 수정된 중력 이론이 배제되었다.

### 우주론적 검증
유용한 우주론적 규모의 검증은 이제 막 시작되고 있다. 제한된 천문학적 데이터와 이론의 복잡성을 고려할 때, 비교는 복잡한 매개변수를 포함한다. 예를 들어, 레예스 외는 70,205개의 발광적외선은하를 은하 속도 추정치와 중력렌즈에서 추정된 중력 퍼텐셜을 포함하는 교차 상관관계를 사용하여 분석했지만, 결과는 여전히 잠정적이다.

암흑 물질을 대체하는 것을 목표로 하는 이론의 경우, 은하 회전 곡선, 툴리-피셔 관계, 왜소 은하의 더 빠른 속도 분산, 은하단으로 인한 중력렌즈 현상과 같은 관측이 제약 조건으로 작용한다. 급팽창을 대체하는 것을 목표로 하는 이론의 경우, 우주 마이크로파 배경 복사 스펙트럼의 잔물결 크기가 가장 엄격한 테스트이다. 암흑 에너지를 통합하거나 대체하는 것을 목표로 하는 이론의 경우, 초신성 밝기 결과와 우주의 나이를 테스트로 사용할 수 있다. 또 다른 테스트는 우주의 평탄도이다. 일반 상대성이론에서는 중입자 물질, 암흑 물질 및 암흑 에너지의 조합이 합쳐져 우주를 정확히 평탄하게 만든다.

## 이론 검증 결과

### 다양한 이론에 대한 매개변수화된 후-뉴턴 매개변수
(자세한 내용은 윌 및 니를 참조하라. 미스너 외는 니의 표기법에서 윌의 표기법으로 매개변수를 번역하기 위한 표를 제공한다.)

일반 상대성이론은 현재 100년이 넘었으며, 그동안 더욱 정확해진 관측 결과와 일치하지 않는 다른 중력 이론들이 계속해서 실패했다. 하나의 예시적인 예는 매개변수화된 후-뉴턴 형식론이다. 다음 표는 많은 이론에 대한 매개변수화된 후-뉴턴 값을 나열한다. 셀의 값이 열 머리글과 일치하면 전체 공식이 너무 복잡하여 여기에 포함할 수 없다.

† 이론이 불완전하며, \zeta_{ 4}는 두 값 중 하나를 가질 수 있다. 0에 가장 가까운 값이 나열되어 있다.

모든 실험 결과는 현재까지 일반 상대성이론과 일치하므로, 매개변수화된 후-뉴턴 분석은 표에 있는 모든 스칼라장 이론을 즉시 배제한다. 화이트헤드, 데서-로랑, 볼리니-잠비아기-티옴노에 대한 매개변수화된 후-뉴턴 매개변수의 전체 목록은 제공되지 않지만, 이 세 가지 경우 모두 \beta=\xi이며, 이는 일반 상대성이론 및 실험 결과와 강력하게 충돌한다. 특히, 이 이론들은 지구 조석에 대해 잘못된 진폭을 예측한다. 화이트헤드 이론의 작은 수정은 이 문제를 피한다. 그러나 이 수정은 노르트베트 효과를 예측하며, 이는 실험적으로 제한되었다.

### 다른 테스트에 실패한 이론
니, 리 라이트만 니의 층상 이론은 모두 수성의 근일점 세차 운동을 설명하지 못하기 때문에 불발탄이다. 라이트만과 리, 로젠, 라스탈의 이중 계량 이론은 모두 강한 중력장과 관련된 테스트 중 일부에 실패한다. 스칼라-텐서 이론은 일반 상대성이론을 특수한 경우로 포함하지만, 실험 오차 범위 내에서 일반 상대성이론과 동일할 때만 일반 상대성이론의 매개변수화된 후-뉴턴 값과 일치한다. 실험 테스트가 점점 더 정확해짐에 따라 스칼라-텐서 이론이 일반 상대성이론에서 벗어나는 정도는 0으로 줄어들고 있다. 벡터-텐서 이론도 마찬가지로, 벡터-텐서 이론이 일반 상대성이론에서 벗어나는 정도는 0으로 줄어들고 있다. 게다가, 벡터-텐서 이론은 준보존적이다. 그들은 \alpha_2에 대해 0이 아닌 값을 가지며, 이는 지구의 조석에 측정 가능한 영향을 미칠 수 있다. 벨린판테와 스위하르트와 같은 비계량 이론은 일반적으로 아인슈타인의 등가원리에 대한 실험 테스트와 일치하지 않는다. 그리고 이는 일반 상대성이론의 유효한 대안으로서 카르탕을 제외하고는 아무것도 남지 않는다는 것을 의미했다. 이것이 현대 대안의 개발을 촉진한 우주론적 발견 이전의 상황이었다.

## 각주

## 외부 링크
* Carroll, Sean. Video lecture discussion on the possibilities and constraints to revision of the General Theory of Relativity. 

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분류:중력 이론