공명 상호작용

비선형계에서 **공명 상호작용**()은 보통 진폭이 작지만 항상 그런 것은 아닌 셋 이상의 파동 사이의 상호작용을 말한다. 공명 상호작용은 파수 벡터와 분산 관계를 결합하는 단순한 기준 집합이 충족될 때 발생한다. 기준의 단순함 덕분에 이 기법은 여러 분야에서 널리 사용된다. 가장 두드러지고 잘 발달된 형태는 중량파 연구에서 나타나지만, 천체물리학과 생물학에서 공학 및 의학에 이르기까지 수많은 응용 분야를 찾을 수 있다. 편미분 방정식에 대한 이론적 연구는 혼돈 이론에 대한 통찰을 제공하며, 수론과의 기묘한 연결 고리도 존재한다. 공명 상호작용을 통해 파동은 (탄성적으로) 산란, 확산되거나 불안정해질 수 있다. 확산 과정은 대부분의 비선형계가 결국 열평형화되는 원인이 되며, 불안정성은 고차원 혼돈 및 난류에 대한 통찰을 제공한다.

## 논의
기본적인 개념은 여러 일반 모드의 에너지와 운동량의 총합이 0이 될 때, 이들이 연구 대상 시스템의 비선형성을 통해 서로 혼합될 수 있다는 것이다. 에너지와 운동량의 합이 0이 되지 않는 모드들은 상호작용할 수 없는데, 이는 에너지/운동량 보존 법칙 위배를 의미하기 때문이다. 파동의 운동량은 파수 벡터 k로 주어지는 것으로 이해되며, 에너지는 시스템의 분산 관계를 따르는 \omega로 이해된다.

예를 들어, 연속체 내의 세 파동에 대해 공명 조건은 관습적으로 k_1\pm k_2 \pm k_3=0 및 \omega_1\pm\omega_2 \pm \omega_3=0을 만족해야 하는 것으로 쓰이며, 마이너스 부호는 파동 간에 에너지가 어떻게 재분배되는지에 따라 결정된다. 격자 모형에 대한 컴퓨터 시뮬레이션이나 (비선형) 고체물리학 시스템과 같은 이산 매질의 파동에서 파수 벡터는 양자화되며, 이때의 일반 모드를 포논이라 부를 수 있다. 브릴루앙 영역은 파수 벡터의 상한을 정의하며, 파동들의 합이 브릴루앙 벡터의 정수배가 될 때 상호작용할 수 있다(엄클랩 산란).

삼파 시스템은 파동에서 공명 상호작용의 가장 단순한 형태를 제공하지만, 모든 시스템에 삼파 상호작용이 있는 것은 아니다. 예를 들어, 연속체 시스템인 심수파(deep-water wave) 방정식에는 삼파 상호작용이 없다. 이산 매질 시스템인 페르미-파스타-울람-칭구 문제에도 삼파 상호작용은 존재하지 않는다. 여기에는 사파 상호작용이 있지만, 이는 시스템을 열평형화하기에 충분하지 않으며 육파 상호작용이 필요하다. 그 결과, 최종적인 열평형화 시간은 결합 상수의 역 8제곱에 비례하게 되어(약한 결합의 경우 매우 긴 시간임이 명백함), "정상적인" 시간 척도에서는 유명한 FPUT 재귀 현상이 지배하게 된다.

## 해밀토니언 공식화
많은 경우 연구 대상 시스템은 해밀토니언 형식으로 용이하게 표현될 수 있다. 이것이 가능할 때, 일반화된 비선형 푸리에 변환의 형태를 갖는 일련의 조작을 적용할 수 있다. 이러한 조작은 역산란법과 밀접하게 관련되어 있다.

심수파의 처리에서 특히 단순한 예를 찾을 수 있다. 이러한 경우 시스템은 정준좌표 p,q로 공식화된 해밀토니언으로 표현될 수 있다. 표기상의 혼란을 피하기 위해 이 두 변수를 \psi,\phi로 쓰기로 한다. 이들은 해밀턴 방정식을 만족하는 공액 변수를 의미한다. 이들은 구성 공간 좌표 \vec{x},t의 함수, 즉 공간과 시간의 함수로 이해되어야 한다. 푸리에 변환을 취하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

:\hat \psi(\vec k) = \int e^{-i\vec k\cdot \vec x}\; \psi(\vec x) \;dx

그리고 \hat \phi(\vec k)에 대해서도 마찬가지이다. 여기서 \vec k는 파수 벡터이다. "온 쉘(on shell)"일 때, 이는 분산 관계에 의해 각진동수 \omega와 연관된다. 사다리 연산자는 정준 방식으로 다음과 같이 유도된다.

:\hat \phi(\vec k) = \sqrt {2f(\omega)} \;\;\left(a_{k} + a^*_{-k}\right)
:\hat \psi(\vec k) = -i\sqrt {\frac{2}{f(\omega)}} \;\;\left(a_{k} - a^*_{-k}\right)

여기서 2f(\omega)는 각진동수의 어떤 함수이다. a,a^*는 선형화된 시스템의 일반 모드에 해당한다. 해밀토니언(에너지)은 이제 이러한 상승 및 하강 연산자(때때로 "작용 밀도 변수"라고 함)를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

:H = H_0(a,a^*) + \epsilon H_1(a,a^*)

여기서 첫 번째 항 H_0(a,a^*)은 a,a^*에 대한 이차항이며 선형화된 이론을 나타내고, 비선형성은 삼차 이상의 항인 H_1(a,a^*)에 포착된다.

위의 내용을 시작점으로 하여 시스템은 "자유" 모드와 "구속" 모드로 분해된다. 구속 모드는 독자적인 동역학을 갖지 않는다. 예를 들어, 솔리톤 해의 고조파는 기본 모드에 묶여 있으며 상호작용할 수 없다. 이는 이들이 분산 관계를 따르지 않고 공명 상호작용이 없다는 사실로 확인할 수 있다. 이 경우 비상호작용 항들을 제거하여 자유 모드들만 남기려는 목적으로 정준변환이 적용된다. 즉, a\to a^\prime=a+\mathcal{O}(\epsilon) 및 a^*에 대해서도 동일하게 다시 쓰고, 시스템을 이러한 새로운 "자유"(또는 적어도 더 자유로운) 모드들로 재구성한다. 적절히 수행되면 H_1에는 공명 상호작용하는 항들만 남게 된다. 만약 H_1이 삼차라면 이들은 삼파 항이 되고, 사차라면 사파 항이 되는 식이다. 정준변환은 하위 차수의 공명 상호작용을 손상시키지 않는 한 고차 항을 얻기 위해 반복될 수 있으며, 근사 공명이 있을 때 발생하는 작은 분모 문제(small divisor problem)를 능숙하게 피해야 한다. 항들 자체는 혼합의 비율이나 속도를 나타내며, 때때로 **전달 계수**(transfer coefficients) 또는 **전달 행렬**(transfer matrix)이라고 불린다. 결론적으로 산란 항에 의해 보정된 일반 모드의 시간 변화에 대한 방정식을 얻게 된다. 여러 모드 중 하나를 a_1이라고 하면, 시간 변화는 다음과 같은 일반적인 형태를 갖는다.

:\frac{\partial a_1}{\partial t} + i\omega_1 = -i\int dk_2\cdots dk_n \;T_{1\cdots n} \;a^\pm_2\cdots a^\pm_n \; \delta_{1\pm 2 \pm \cdots \pm n}

여기서 T_{1\cdots n}은 n개 파동 상호작용에 대한 전달 계수이며, delta_{1\pm 2 \pm \cdots\pm n}=\delta(k_1 \pm k_2 \pm \cdots \pm n)은 공명 상호작용에 의해 함축된 에너지/운동량 보존의 개념을 포착한다. 여기서 a^\pm_k는 상황에 따라 a 또는 a^*이다. 심수파의 경우 위의 식을 블라디미르 E. 자카로프의 이름을 따서 **자카로프 방정식**(Zakharov equation)이라고 부른다.

## 역사
공명 상호작용은 19세기 앙리 푸앵카레가 행성 운동의 삼체 문제를 설명하는 섭동 급수 분석에서 처음으로 고려하고 기술하였다. 섭동 급수의 1차 항들은 행렬의 형태를 띠는 것으로 이해될 수 있으며, 행렬의 고유값은 섭동 해의 기본 모드에 해당한다. 푸앵카레는 많은 경우 고유값들의 정수 선형 결합이 0이 되는 것을 관찰했는데, 이것이 원래의 공명 상호작용이다. 공명이 발생할 때 모드 간의 에너지 전달은 시스템을 안정적인 위상 고정 상태로 유지할 수 있다. 그러나 2차로 넘어가는 것은 여러 면에서 도전적이다. 하나는 퇴화된 해는 대각화하기 어렵다는 점이다(퇴화된 공간에 대해 고유한 벡터 기저가 없음). 두 번째 문제는 섭동 급수의 2차 이상의 항에서 분모에 차이(difference)가 나타난다는 점인데, 작은 차이는 유명한 작은 분모 문제로 이어진다. 이는 혼돈 현상에 대응하는 것으로 해석될 수 있다. 대략적으로 요약하면, 정확한 공명은 산란과 혼합으로 이어지고, 근사 공명은 혼돈 현상으로 이어진다.

## 응용
공명 상호작용은 많은 분야에서 폭넓게 활용되어 왔다. 아래는 이 개념이 적용된 다양한 영역의 선별된 목록이다.

* 깊은 바다에서는 표면 중량파들 사이에 삼파 상호작용이 존재하지 않는데, 분산 관계의 형태가 이를 금지하기 때문이다. 그러나 사파 상호작용은 존재하며, 이는 비스듬히 움직이는 파동들의 실험적으로 관찰된 상호작용을 매우 잘 설명한다(즉, 자유 매개변수나 조정 없이 설명됨). 심수파에 대한 해밀토니언 형식은 1968년 자카로프에 의해 제시되었다.
* 거대파는 비정상적으로 크고 예상치 못한 해양 표면 파동으로, 솔리톤이 연관되어 있으며 구체적으로는 세 솔리톤 간의 공명 상호작용이 그 원인으로 지목된다.
* 행성 파동으로도 알려진 로스비 파동은 제트 기류와 수온약층을 따라 이동하는 해양 파동을 모두 설명한다. 로스비 파동의 삼파 공명 상호작용이 존재하며, 따라서 흔히 그렇게 연구된다.
* 로스비 파동의 공명 상호작용은 일반적으로 수론의 주제로 여겨지는 디오판토스 방정식과 관련이 있는 것으로 관찰되었다. 다양한 유형의 공명 파동 상호작용(로스비 파동 포함)의 맥락에서 나타나는 디오판토스 방정식을 풀기 위한 구성적 방법은 1990년 카르타쇼바(Kartashova)에 의해 처음 제시되었으며 다음에서 찾을 수 있다.

* 여름철 얕은 연안 해역에서 저주파 음파가 비정상적인 방식으로 전파되는 것이 관찰되었다. 이러한 변칙성은 시간에 따라 달라지며, 비등방성을 띠고 비정상적으로 큰 감쇠를 보일 수 있다. 음파와 솔리톤 내부파 사이의 공명 상호작용이 이러한 변칙성의 원인으로 제안되었다.
* 천체물리학에서 블랙홀 주변의 상대론적으로 회전하는 강착원반 내의 워핑(warping)과 진동 사이의 비선형 공명 상호작용이 저질량 X선 쌍성에서 관찰되는 킬로헤르츠 준주기 진동의 기원으로 제안되었다. 결합을 제공하는 비선형성은 일반 상대성이론에 기인한다. 뉴턴 중력 하의 강착원반(예: 토성의 고리)에는 이러한 특정한 종류의 공명 상호작용이 없다(물론 다른 많은 종류의 공명은 나타난다).
* 우주선의 대기권 진입 중, 우주선의 높은 속도는 공기를 가열하여 붉게 달아오른 플라스마를 형성한다. 이 플라스마는 전파가 통과할 수 없어 무선 통신 두절(blackout)을 일으킨다. 우주선과 플라스마를 기계적으로(음향적으로) 결합하는 공명 상호작용이 전파에 구멍을 뚫거나 터널을 만드는 수단으로 연구되어 왔으며, 이를 통해 중요한 비행 단계에서 무선 통신을 재구축하려 한다.
* 공명 상호작용은 전자현미경의 높은 공간 해상도와 레이저의 높은 시간 해상도를 결합하여 시공간 모두에서 정밀한 현미경 관찰을 가능하게 하는 방법으로 제안되었다. 공명 상호작용은 물질 표면의 자유 전자와 결합 전자 사이에서 일어난다.
* 하전 입자는 전자기파와의 공명 상호작용에 의해 가속될 수 있다. 클라인-고든 방정식으로 설명되는 스칼라 입자(중성 원자)는 중력파(예: 블랙홀 병합에서 방출되는 파동)에 의해 가속될 수 있다.
* 거대 분자 생체 활성의 물리적 기초인 분자 인식(단백질-단백질 및 단백질-DNA 상호작용)은 잘 이해되지 않고 있다. 이러한 상호작용이 전자기적(분명히 "화학적"임)이라는 것은 알려져 있지만, 그 외의 부분은 제대로 파악되지 않았다(단순히 "수소 결합"만은 아님). 정보 스펙트럼 방법(Informational Spectrum Method, ISM)은 이러한 분자 결합을 공명 상호작용의 관점에서 설명한다. 단백질이 주어지면 다양한 아미노산의 원자가 전자들은 비국소화되어 단백질 내에서 어느 정도 자유롭게 움직인다. 이들의 행동은 각 아미노산이나 뉴클레오타이드에 대해 하나씩 대응되는 전자-이온 유사퍼텐셜(EIIP)을 통해 비교적 간단한 방식으로 모델링할 수 있다. 모델링 결과는 스펙트럼을 제공하며, 이는 실험적으로 확인되어 수치 결과를 검증할 수 있다. 또한, 이 모델은 공명 상호작용을 유도할 수 있는 필요한 분산 관계를 제공한다. 공명 상호작용은 교차 스펙트럼을 계산하여 얻는다. 공명 상호작용은 상태를 혼합하고 따라서 엔트로피를 변화시키므로, 분자 인식은 엔트로피 힘을 통해 진행될 수 있다.
* 고주파 전자기장과 암세포 사이의 공명 상호작용은 암 치료의 한 방법으로 제안되었다.

## 같이 보기
* 삼파 방정식
* 역산란법
* 산란 행렬
* 궤도 공명
* 비선형 공명
* 조석 공명
* 아놀드의 혀

## 각주


분류:비선형계