비티 수열

수학에서 **비티 수열**(Beatty sequence) 또는 **동차 비티 수열**(homogeneous Beatty sequence)은 1보다 큰 무리수의 양의 배수의 바닥 함수를 취하여 얻어지는 정수의 수열이다. 비티 수열은 1926년에 이 수열에 대해 저술한 새뮤얼 비티의 이름을 따서 명명되었다.

레일리 경의 이름을 딴 **레일리 정리**는 비티 수열에 속하지 않는 양의 정수로 구성된 비티 수열의 여집합이 다른 무리수에 의해 생성되는 비티 수열 자체임을 명시한다.

비티 수열은 슈투름 단어를 생성하는 데도 사용될 수 있다.

## 정의
1보다 큰 모든 무리수 r은 다음 비티 수열을 생성한다.
\mathcal{B}_r = \bigl\{ \lfloor r \rfloor, \lfloor 2r \rfloor, \lfloor 3r \rfloor,\ldots \bigr\}
두 무리수 r과 s = r/(r-1)은 자연스럽게 1/r + 1/s = 1 방정식을 만족한다.
이들이 생성하는 두 비티 수열 \mathcal{B}_r과 \mathcal{B}_s는 상호 보완적인 비티 수열 쌍을 이룬다. 여기서 "상호 보완적"이란 모든 양의 정수가 이 두 수열 중 정확히 하나에 속한다는 의미이다.

## 예시
r이 황금비 r=(1+\sqrt5)/2\approx 1.618일 때, r의 정수 배수 수열은 대략 다음과 같은 값을 갖는다.

이 숫자들을 정수로 내림하면 다음 수열 ( \lfloor nr \rfloor)이 얻어지며, 이는 하위 위토프 수열로 알려져 있다.

이 경우, 상호 보완적인 비티 수열은 다음으로부터 생성된다.
s=\frac{r}{r-1}=\frac{(1+\sqrt5)/2}{(-1+\sqrt5)/2}=\frac{3+\sqrt5}{2}\approx 2.618.
그 정수 배수는 대략 다음과 같은 값을 갖는다.

이 값들을 정수로 내림하면 ( \lfloor ns \rfloor) 상위 위토프 수열이 생성된다.

모든 양의 정수는 이 두 수열 중 정확히 하나에 속한다. 이 수열들은 위토프의 게임에 대한 최적 전략을 정의하며, 위토프 배열의 정의에 사용된다.

또 다른 예로, 제곱근 2에 대해 r=\sqrt2\approx 1.414 이고 s=\sqrt2/(\sqrt2-1)=2+\sqrt2\approx 3.414이다. 이 경우 수열은 다음과 같다.

r=\pi\approx 3.142 및 s=\pi/(\pi-1)\approx 1.467 의 경우 수열은 다음과 같다.

첫 번째 수열의 어떤 숫자도 두 번째 수열에는 없고 그 반대도 마찬가지다.

## 역사

비티 수열은 1926년 새뮤얼 비티가 The American Mathematical Monthly에 제기한 문제에서 이름을 얻었다. 하지만 그보다 훨씬 이전인 1894년, 레일리 경이 그의 저서 "소리의 이론" 2판에서 이러한 수열을 간략하게 언급했다.

## 레일리 정리
**레일리 정리**(또는 **비티 정리**)는 무리수 r > 1 \,,이 주어지면, 양의 정수 집합을 분할하는 s > 1이 존재하여 비티 수열 \mathcal{B}_r과 \mathcal{B}_s가 모든 양의 정수가 두 수열 중 정확히 하나에 속하게 됨을 명시한다.

### 첫 번째 증명
r > 1 \,,이 주어졌을 때, s = r/(r-1)라고 하자. 우리는 모든 양의 정수가 두 수열 \mathcal{B}_r과 \mathcal{B}_s 중 하나에만 속함을 보여야 한다. 우리는 양의 정수 j와 k에 대해 모든 분수 j/r과 k/s가 비내림차순으로 함께 나열될 때 차지하는 순서 위치를 고려하여 이를 수행할 것이다.

두 숫자 중 어떤 두 개도 같은 위치를 차지할 수 없음을 (단일 숫자로서) 확인하기 위해, 어떤 j와 k에 대해 j/r = k/s라고 가정하자. 그러면 r/s = j/k는 유리수가 되지만, r/s = r(1 - 1/r) = r - 1,은 유리수가 아니다. 따라서 어떤 두 숫자도 같은 위치를 차지하지 않는다.

어떤 j/r에 대해, i/r \le j/r인 양의 정수 i가 j개 있고, k/s \le j/r인 양의 정수 k가  \lfloor js/r \rfloor개 있으므로, 목록에서 j/r의 위치는 j + \lfloor js/r \rfloor이다. 1/r + 1/s = 1 방정식은 다음을 의미한다.
j + \lfloor js/r \rfloor = j + \lfloor j(s - 1) \rfloor = \lfloor js \rfloor.

마찬가지로, 목록에서 k/s의 위치는 \lfloor kr \rfloor이다.

결론: 모든 양의 정수(즉, 목록의 모든 위치)는 \lfloor nr \rfloor 또는 \lfloor ns \rfloor의 형태이지만, 둘 다는 아니다. 역 진술도 참이다: p와 q가 모든 양의 정수가 위 목록에 정확히 한 번 나타나도록 하는 두 실수라면, p와 q는 무리수이고 그 역수의 합은 1이다.

### 두 번째 증명
: 정리와 반대로, j&nbsp;>&thinsp;0과 k, m과 같은 정수가 있다고 가정하자.
j = \left\lfloor {k \cdot r} \right\rfloor = \left\lfloor {m \cdot s} \right\rfloor \,.
이는 다음 부등식과 동등하다.
j \le k \cdot r 

0이 아닌 j에 대해, r과 s의 무리성은 등식과 양립할 수 없으므로,
j 
이는 다음으로 이어진다.
{j \over r} 

이들을 모두 더하고 가설을 사용하면 다음을 얻는다.
j 
이는 불가능하다 (두 인접한 정수 사이에 정수가 있을 수 없다). 따라서 가설은 거짓이어야 한다.

: 정리와 반대로, j&nbsp;>&nbsp;0과 k, m과 같은 정수가 있다고 가정하자.
k \cdot r 

j&nbsp;+&thinsp;1이 0이 아니고 r과 s는 무리수이므로, 등식은 제외할 수 있으므로,
k \cdot r 

그러면 다음을 얻는다.
k 

해당하는 부등식을 더하면 다음을 얻는다.
k + m 
k + m 

이 또한 불가능하다. 따라서 가설은 거짓이다.

## 특성
숫자 m이 비티 수열 \mathcal{B}_r에 속하는 것은 다음 조건이 성립할 때만이다.
 1 - \frac{1}{r} 
여기서 [x]_1는 x의 소수 부분을 나타낸다. 즉, [x]_1 = x - \lfloor x \rfloor이다.

증명:
 m \in B_r 
\Leftrightarrow \exists n, m = \lfloor nr \rfloor
\Leftrightarrow m 
\Leftrightarrow \frac{m}{r} 
\Leftrightarrow n - \frac{1}{r} 
\Leftrightarrow 1 - \frac{1}{r} 

더 나아가, m = \left\lfloor \left( \left\lfloor \frac{m}{r} \right\rfloor + 1 \right) r \right\rfloor이다.

증명:
m = \left\lfloor \left( \left\lfloor \frac{m}{r} \right\rfloor + 1 \right) r \right\rfloor 
\Leftrightarrow m 
\Leftrightarrow \frac{m}{r} 
\Leftrightarrow \left\lfloor \frac{m}{r} \right\rfloor + 1 - \frac{1}{r} 
\Leftrightarrow 1 - \frac{1}{r} 

### 슈투름 수열과의 관계
무리수 r과 관련된 비티 수열의 첫 번째 차분
\lfloor (n+1)r\rfloor-\lfloor nr\rfloor
는 알파벳 \{\lfloor r\rfloor,\lfloor r\rfloor+1\}에 대한 특성 슈투름 단어이다.

## 일반화

약간 수정하면 레일리 정리는 양의 실수(반드시 무리수일 필요는 없음)와 음의 정수로도 일반화될 수 있다. 양의 실수 r과 s가 1/r + 1/s = 1을 만족하면, 수열 ( \lfloor mr \rfloor)_{m \in \mathbb{Z}}과 ( \lceil ns \rceil -1)_{n \in \mathbb{Z}}은 정수의 분할을 이룬다. 예를 들어, 피아노 건반의 흰색 건반과 검은색 건반은 r = 12/7과 s = 12/5에 대한 그러한 수열로 분포된다.

람베크–모저 정리는 레일리 정리를 일반화하며 정수 함수와 그 역함수로부터 정의된 더 일반적인 수열 쌍이 정수를 분할하는 동일한 특성을 가짐을 보여준다.

우스펜스키 정리는 \alpha_1,\ldots,\alpha_n이 (\lfloor k\alpha_i\rfloor)_{k,i\ge1}에 모든 양의 정수가 정확히 한 번씩 포함되는 양의 실수라면 n\le2임을 명시한다. 즉, 세 개 이상의 비티 수열에 대한 레일리 정리와 동등한 것은 없다.

## 각주

## 더 읽을거리
* 
*  많은 참고 자료를 포함한다.

## 외부 링크
* 
* 알렉산더 보고몰니, 비티 수열, Cut-the-knot

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분류:수론 정리