슈바르츠실트 측지선

일반 상대성이론에서 **슈바르츠실트 측지선**()은 중앙에 고정된 질량 M의 중력장 내에서 시험입자의 운동, 즉 슈바르츠실트 계량에서의 운동을 기술한다. 슈바르츠실트 측지선은 아인슈타인의 일반 상대성이론의 검증에 결정적인 역할을 했다. 예를 들어, 태양계 행성의 이상 세차 운동과 중력에 의한 빛의 편향을 정확하게 예측한다.

슈바르츠실트 측지선은 중력장에 거의 기여하지 않는 매우 작은 질량 입자의 운동에만 해당된다. 그러나 m이 중심 질량 M보다 훨씬 작으면(예: 별 주위를 공전하는 행성), 많은 천체 물리학 시나리오에서 매우 정확하다. 슈바르츠실트 측지선은 또한 슈바르츠실트 질량 M이 두 개별 질량 m_1과 m_2의 합과 같다고 설정하면 임의 질량의 두 물체의 상대 운동에 대한 좋은 근사치이다. 이는 일반 상대성이론에서 쌍성의 운동을 예측하는 데 중요하다.

## 역사적 맥락
슈바르츠실트 계량은 아인슈타인의 일반 상대성이론이 발표된 지 약 한 달 후인 1915년에 이 해를 발견한 카를 슈바르츠실트를 기리기 위해 명명되었다. 이는 자명한 평면 공간 해 외에 아인슈타인 방정식의 첫 번째 엄밀 해였다.

1931년 하기와라 유스케는 슈바르츠실트 계량에서 시험입자의 궤적이 타원함수로 표현될 수 있음을 보여주는 논문을 발표했다.

1949년 사뮤일 카플란은 슈바르츠실트 계량에서 원형 궤도가 안정적이기 위한 최소 반경이 있음을 보여주었다.

## 슈바르츠실트 계량

아인슈타인 방정식의 엄밀 해는 질량 M의 비전하, 비회전, 구형 대칭 물체의 외부 중력장에 해당하는 슈바르츠실트 계량이다. 슈바르츠실트 해는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:
ds^2=c^2 {d \tau}^{2} =
\left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) c^{2} dt^{2} - \frac{dr^{2}}{1 - \frac{r_\text{s}}{r}} - r^{2} (d\theta^{2} + \sin^{2} \theta \, d\varphi^{2})


여기서
: \tau는 작은 양의 질량을 가진 시험입자의 경우 고유 시간(입자와 함께 움직이는 시계가 측정한 시간)으로 초 단위이다.
: c는 빛의 속력으로 초당 미터 단위이다.
: t는 r > r_\text{s}인 경우 시간 좌표(무한대에서 정지한 시계가 측정한 시간)로 초 단위이다.
: r은 r > r_\text{s}인 경우 반지름 좌표(별을 중심으로 하는 원의 둘레를 2\pi로 나눈 값)로 미터 단위이다.
: \theta는 여위도(북쪽으로부터의 각도)로 라디안 단위이다.
: \varphi는 경도로 라디안 단위이다.
: r_\text{s}는 질량 M과 관련된 무거운 물체의 슈바르츠실트 반지름(미터 단위)이다.
:: 
r_\text{s} = \frac{2GM}{c^{2}},

: 여기서 G는 중력 상수이다. 고전적인 뉴턴의 중력 이론은 비율 \frac{r_\text{s}}{r}이 0으로 가는 극한에서 복원된다. 이 극한에서 계량은 특수 상대성이론에 의해 정의된 것으로 되돌아간다.

실제로 이 비율은 거의 항상 매우 작다. 예를 들어, 지구의 슈바르츠실트 반지름 r_\text{s}는 약 9mm ( 인치)이다. 지구 표면에서 뉴턴 중력에 대한 보정은 10억 분의 1에 불과하다. 태양의 슈바르츠실트 반지름은 훨씬 커서 약 2953미터이지만, 표면에서 비율 \frac{r_\text{s}}{r}은 약 4백만 분의 1이다. 백색왜성은 훨씬 밀도가 높지만, 여기서도 표면에서의 비율은 약 250백만 분의 1이다. 이 비율은 중성자별(약 50%) 및 블랙홀과 같은 초고밀도 물체에 가까워질 때만 커진다.

## 시험입자의 궤도
[섬네일|330x330px|뉴턴(왼쪽) 및 슈바르츠실트(오른쪽) 시공간에서 시험 입자의 궤도 비교; 오른쪽의 [근점 세차 운동에 주목하라.]]
대칭을 이용하여 하나의 변수를 고려에서 제외함으로써 문제를 단순화할 수 있다. 슈바르츠실트 계량은 \theta = \frac{\pi}{2}에 대해 대칭이므로, 이 평면에서 움직이기 시작하는 모든 측지선은 무한정 그 평면에 머물러 있을 것이다(이 평면은 전체 측지적이다). 따라서 입자의 궤도가 그 평면에 있도록 좌표계를 정하고, \theta 좌표를 \frac{\pi}{2}로 고정하여 (이 평면의) 계량이 다음과 같이 단순화되도록 한다.

:
c^2 d \tau^{2} =
\left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) c^{2} dt^{2} - \frac{dr^{2}}{1 - \frac{r_\text{s}}{r}} - r^{2} d\varphi^{2}.


두 운동 상수(고유 시간 \tau에 따라 변하지 않는 값)를 식별할 수 있다(아래 에서 유도 참조). 하나는 총 에너지 E이다.
:
\left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} = \frac{E}{m c^{2}}.

다른 하나는 비각운동량이다.
:
h = \frac{L}{\mu} = r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau},

여기서 L은 두 물체의 총 각운동량이고, \mu는 환산 질량이다. M \gg m일 때, 환산 질량은 대략 m과 같다. 때때로 m = \mu로 가정한다. 수성의 경우 이러한 단순화는 상대론적 효과의 두 배가 넘는 오차를 발생시킨다. 측지선을 논할 때, m은 가상으로 간주될 수 있으며, 중요한 것은 상수 \frac{E}{m}와 h이다. 모든 가능한 측지선을 다루려면 \frac{E}{m}이 무한대(광자의 궤적을 제공)이거나 허수(타키온 측지선의 경우)인 경우를 고려해야 한다. 광자 사례의 경우, 두 상수의 비율, 즉 \frac{mh}{E}에 해당하는 숫자를 지정해야 하며, 이는 0이거나 0이 아닌 실수일 수 있다.

이 상수들을 슈바르츠실트 계량의 정의에 대입하면

:
c^{2} = \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) c^{2} \left( \frac{dt}{d\tau} \right)^{2} -
\frac{1}{1 - \frac{r_\text{s}}{r}} \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} -
r^{2} \left( \frac{d\varphi}{d\tau} \right)^{2},


고유 시간 \tau의 함수로서 반지름에 대한 운동 방정식이 얻어진다.

:
\left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} = \frac{E^{2}}{m^{2}c^{2}} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( c^{2} + \frac{h^{2}}{r^{2}} \right).


이에 대한 형식적 해는 다음과 같다.

:
\tau = \int \frac{dr}{\pm\sqrt{\frac{E^{2}}{m^{2}c^{2}} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( c^{2} + \frac{h^{2}}{r^{2}} \right)}}.


타키온 측지선의 경우 제곱근이 허수가 된다는 점에 유의하라.

\frac{dt}{d\tau}와 E 사이의 관계식을 이용하여 다음을 쓸 수도 있다.

:
t = \int \frac{dr}{\pm c\left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right)\sqrt{1 - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( c^{2} + \frac{h^{2}}{r^{2}}\right)\frac{m^2 c^2}{E^2}}}.


점근적으로 적분값이 r - r_\text{s}에 반비례하므로, r, \theta, \varphi, t 참조 프레임에서 r이 r_\text{s}에 접근하면 결코 도달하지 않고 지수적으로 접근한다는 것을 보여준다. 그러나 \tau의 함수로서 r은 r_\text{s}에 도달한다.

위의 해는 적분값이 유한할 때 유효하지만, 전체 해는 두 개 또는 무한 개의 조각으로 구성될 수 있으며, 각 조각은 적분으로 설명되지만 제곱근에 대한 부호가 번갈아 나타난다.

E = mc^2 및 h = 0일 때, t와 \tau에 대해 명시적으로 풀 수 있다.

:\begin{align}
     t &= \text{constant} \pm \frac{r_\text{s}}c\left(\frac{2}{3}\left(\frac r{r_\text{s}}\right)^\frac{3}{2} + 2\sqrt{\frac r{r_\text{s}}} + \ln\frac{\left|\sqrt{\frac{r}{r_\text{s}}} - 1\right|}{\sqrt{\frac{r}{r_\text{s}}} + 1}\right) \\
  \tau &= \text{constant}\pm\frac{2}{3}\frac{r_\text{s}}c\left(\frac r{r_\text{s}}\right)^\frac{3}{2}
\end{align}

그리고 각운동량이 0인 광자 측지선(m = 0)의 경우

:\begin{align}
     t &= \text{constant} \pm \frac{1}{c}\left(r + r_\text{s}\ln\left|\frac{r}{r_\text{s}} - 1\right|\right) \\
  \tau &= \text{constant}.
\end{align}

(광자 사례에서 고유 시간은 자명하지만, 아핀 매개변수 \lambda를 정의할 수 있으며, 측지선 방정식의 해는 r = c_1\lambda + c_2이다.)

다른 가해 사례는 E = 0이고 t와 \varphi가 상수인 경우이다. r 인 영역에서 이는 고유 시간에 대해 다음을 제공한다.

:\tau=\text{constant}\pm\frac{r_\text{s}}c\left(\arcsin\sqrt{\frac r{r_\text{s}}}-\sqrt{\frac r{r_\text{s}}\left(1-\frac r{r_\text{s}}\right)}\right).

이는 \frac{E^2}{m^2}이 작고 양수인 해에 가깝다. r_\text{s} 바깥에서 E = 0 해는 타키온적이며 "고유 시간"은 공간과 유사하다.

:\tau=\text{constant}\pm i\frac{r_\text{s}}c\left(\ln\left(\sqrt{\frac r{r_\text{s}}}+\sqrt{\frac r{r_\text{s}}-1}\right)+\sqrt{\frac r{r_\text{s}}\left(\frac r{r_\text{s}}-1\right)}\right).

이는 \frac{E^2}{m^2}이 작고 음수인 다른 타키온 해에 가깝다. r_\text{s} 바깥의 상수 t 타키온 측지선은 r_\text{s} 안의 상수 t 측지선에 의해 계속되지 않고 "평행 외부 영역"(크러스컬-세케레시 좌표계 참조)으로 계속된다. 다른 타키온 해는 블랙홀로 진입하여 평행 외부 영역으로 다시 나올 수 있다. 사건의 지평선(r_\text{s}) 안의 상수 t 해는 화이트홀의 상수 t 해에 의해 계속된다.

각운동량이 0이 아닐 때, h의 정의를 사용하여 고유 시간에 대한 의존성을 각도 \varphi에 대한 의존성으로 바꿀 수 있다.
:
\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} =
\left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} \left( \frac{d\tau}{d\varphi} \right)^{2} =
\left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} \left( \frac{ r^{2}}{h} \right)^{2},

이는 궤도에 대한 방정식을 산출한다.
:
\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = \frac{r^{4}}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( \frac{r^{4}}{a^{2}} + r^{2} \right)

여기서 간결성을 위해 두 길이 척도 a와 b는 다음과 같이 정의되었다.
:\begin{align}
  a &= \frac{h}{c}, \\
  b &= \frac{cL}{E} = \frac{hmc}E.
\end{align}

타키온의 경우 a는 허수가 되고 b는 실수 또는 무한대가 된다는 점에 유의하라.

동일한 방정식은 라그랑주적 접근 또는 해밀턴-야코비 방정식을 사용하여 유도할 수도 있다(아래  참조). 궤도 방정식의 해는 다음과 같다.

:
\varphi = \int \frac{dr}{\pm r^{2} \sqrt{\frac{1}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{r^{2}} \right)}}.


이것은 바이어슈트라스 타원 함수 \wp로 표현될 수 있다.

## 국소 속도 및 지연 속도
고전 역학과 달리, 슈바르츠실트 좌표계에서 \frac와 일치하므로 왼쪽 인자는 오른쪽 인자와 같다.

질량 m을 가진 시험 입자의 두 상수 각운동량 L과 총 에너지 E는 v의 항으로 다음과 같다.

: L = m\ v_{\perp}\ r\ \gamma

그리고

: E = m c^2 \ \sqrt{1 - \frac{r_\text{s}}{r}}\ \gamma

여기서

: E = E_{\rm rest} + E_{\rm kin} + E_{\rm pot}

그리고

: E_{\rm rest} = m c^2\ ,\ \ E_{\rm kin} = (\gamma - 1)mc^2\ ,\ \ E_{\rm pot} = \left(\sqrt{1 - \frac{r_\text{s}}{r}} - 1\right)\ \gamma\ m c^2

질량이 있는 시험 입자의 경우 \gamma는 로런츠 인자 \gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}이고 \tau는 고유 시간이다. 반면 광자와 같은 질량이 없는 입자의 경우 \gamma는 1로 설정되고 \tau는 아핀 매개변수 역할을 한다. 입자가 질량이 없으면 E_{\rm rest}는 E_{\rm kin}으로, m c^2는 h f로 대체된다. 여기서 h는 플랑크 상수이고 f는 국소적으로 관찰되는 주파수이다.

## 타원 함수를 이용한 정확한 해
궤도의 기본 방정식은 역반경 u = \frac{1}{r}로 표현하면 더 쉽게 풀 수 있다.

:
\left( \frac{du}{d\varphi} \right)^{2} = \frac{1}{b^{2}} - \left( 1 - u r_\text{s} \right) \left( \frac{1}{a^{2}} + u^{2} \right)


이 방정식의 우변은 삼차 함수이며, 여기서는 u_1, u_2, u_3로 표기되는 세 개의 함수의 근을 가진다.

:
\left( \frac{du}{d\varphi} \right)^{2} = r_\text{s}  \left( u - u_{1} \right)  \left( u - u_{2} \right)  \left( u - u_{3} \right)


세 근의 합은 u^2 항의 계수와 같다(비에트 정리 참조).

:
u_{1} + u_{2} + u_{3} = \frac{1}{r_\text{s}}


실수 계수를 갖는 3차 다항식은 세 개의 실근을 갖거나, 하나의 실근과 두 개의 켤레 복소수 근을 가질 수 있다. 세 근이 모두 실수인 경우, 근은 u_1 가 되도록 표기된다. 대신 실근이 하나만 있는 경우, 그 근은 u_3로 표기되며; 켤레 복소수 근은 u_1과 u_2로 표기된다. 데카르트 부호 법칙을 사용하면 음수 근은 최대 하나일 수 있다. u_1은 b 일 경우에만 음수이다. 아래에서 논의하는 바와 같이, 근은 가능한 궤도의 유형을 결정하는 데 유용하다.

이러한 근의 라벨링이 주어지면, 기본 궤도 방정식의 해는 다음과 같다.

:
u = u_{1} + \left( u_{2} - u_{1} \right) \, \mathrm{sn}^{2}\left( \frac{1}{2} \varphi \sqrt{r_\text{s} \left( u_{3} - u_{1} \right)} + \delta \right)


여기서 \mathrm{sn}은  함수(야코비 타원 함수 중 하나)를 나타내고, \delta는 초기 위치를 반영하는 적분 상수이다. 이 타원 함수의 타원 모듈러스 k는 다음 공식으로 주어진다.

:
k = \sqrt{\frac{u_{2} - u_{1}}{u_{3} - u_{1}}}


### 뉴턴 한계
행성 궤도에 대한 뉴턴 해를 복원하려면 슈바르츠실트 반지름 r_\text{s}가 0으로 가는 극한을 취한다. 이 경우 세 번째 근 u_3는 대략 \frac{1}{r_\text{s}}가 되며, u_1 또는 u_2보다 훨씬 커진다. 따라서 모듈러스 k는 0으로 수렴한다. 이 극한에서 \mathrm{sn}은 삼각 사인 함수가 된다.

:
u = u_{1} + \left( u_{2} - u_{1} \right) \, \sin^{2}\left( \frac{1}{2} \varphi + \delta \right)


행성 운동에 대한 뉴턴의 해와 일치하게, 이 공식은 궤도 이심률 e의 초점 원추 곡선을 기술한다.

:
e = \frac{u_{2} - u_{1}}{u_{2} + u_{1}}


u_1이 양의 실수이면 궤도는 타원이며, u_1과 u_2는 각각 가장 먼 접근 거리와 가장 가까운 접근 거리를 나타낸다. u_1이 0이거나 음의 실수이면 궤도는 각각 포물선 또는 쌍곡선이다. 이 후자 두 경우에 u_2는 가장 가까운 접근 거리를 나타낸다. 궤도가 무한대(u = 0)로 가기 때문에 가장 먼 접근 거리는 없다.

### 근과 가능한 궤도의 개요
근은 궤도의 점을 나타내며, 그 점에서 미분값이 0이 된다. 즉, \frac{du}{d\phi} = 0이다. 그러한 변곡점에서 u는 2계 미분값에 따라 최대값, 최소값 또는 변곡점에 도달한다. 2계 미분값은 다음 공식으로 주어진다.

:
\frac{d^{2}u}{d\varphi^{2}} = \frac{r_\text{s}}{2} \left[  \left( u - u_{2} \right)  \left( u - u_{3} \right)   +  \left( u - u_{1} \right)  \left( u - u_{3} \right)   +  \left( u - u_{1} \right)  \left( u - u_{2} \right)  \right]


세 개의 근이 모두 서로 다른 실수인 경우, 2계 미분값은 각각 u1, u2, u3에서 양수, 음수, 양수이다. 따라서 u 대 φ의 그래프는 u1과 u2 사이를 진동하거나, u3에서 무한대(r이 0으로 가는 것에 해당)로 멀어질 수 있다. u1이 음수이면 "진동"의 일부만 실제로 발생한다. 이는 입자가 무한대에서 와서 중심 질량에 가까워진 다음 다시 무한대로 멀어지는 고전 해의 쌍곡선 궤도와 유사하다.

입자가 각운동량에 적절한 양의 에너지를 가지고 있다면 u2와 u3는 합쳐질 것이다. 이 경우 세 가지 해가 있다. 궤도는 r = \frac{1}{u_2} = \frac{1}{u_3}로 나선형으로 진입하며, (점근적으로) φ, \tau 또는 t에 대해 감소하는 지수 함수로 그 반경에 접근한다. 또는 그 반경에서 원형 궤도를 가질 수도 있다. 또는 그 반경에서 중심점으로 나선형으로 내려가는 궤도를 가질 수도 있다. 문제의 반경은 내부 반경이라고 불리며 rs의 \frac{3}{2}배와 3배 사이이다. 원형 궤도는 u_2가 u_1과 같을 때도 발생하며, 이를 외부 반경이라고 한다. 이러한 다른 유형의 궤도는 아래에서 논의된다.

입자가 충분한 에너지와 충분히 낮은 각운동량으로 중심 질량에 접근하면 u_1만 실수가 된다. 이는 입자가 블랙홀로 떨어지는 것에 해당한다. 궤도는 유한한 φ의 변화와 함께 나선형으로 진입한다.

## 궤도의 세차 운동
함수 sn과 그 제곱 sn2은 각각 4K와 2K의 주기를 가지며, 여기서 K는 다음 방정식으로 정의된다.

:
K = \int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{\left( 1 - y^2 \right) \left( 1 - k^2 y^2 \right)}}


따라서 u의 한 주기(또는 이와 동등하게 r의 한 주기)에 대한 φ의 변화는 다음과 같다.

:
\Delta\varphi = \frac{4K}{\sqrt{r_\text{s} \left(u_3 - u_1\right)}}


고전적 한계에서 u3는 \frac{1}{r_\text{s}}에 접근하며, u_1 또는 u_2보다 훨씬 크다. 따라서 k^2는 대략 다음과 같다.
:
k^2 = \frac{u_2 - u_1}{u_3 - u_1} \approx r_\text{s} \left(u_2 - u_1\right) \ll 1


같은 이유로 Δφ의 분모는 대략 다음과 같다.

:
  \frac{1}{\sqrt{r_\text{s} \left(u_3 - u_1\right)}} =
  \frac{1}{\sqrt{1 - r_\text{s} \left(2u_1 + u_2\right)}} \approx
  1 + \frac{1}{2} r_\text{s} \left(2u_1 + u_2\right)


모듈러스 k가 0에 가까우므로, 주기 K는 k의 거듭제곱으로 전개될 수 있다. 최저차 항까지의 전개는 다음을 산출한다.

:
  K \approx \int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} \left( 1 + \frac{1}{2} k^2 y^2 \right) =
  \frac{\pi}{2} \left( 1 + \frac{k^2}{4} \right)


이러한 근사값을 Δφ 공식에 대입하면 반경 방향 진동당 각도 진행에 대한 공식이 나온다.

:
\delta\varphi = \Delta\varphi - 2\pi \approx \frac{3}{2} \pi r_\text{s} \left( u_1 + u_2 \right)


타원 궤도의 경우 u_1과 u_2는 각각 가장 긴 거리와 가장 짧은 거리의 역수를 나타낸다. 이들은 타원의 긴반지름 A와 궤도 이심률 e로 표현될 수 있다.
:\begin{align}
  r_\text{max} &= \frac{1}{u_{1}} = A(1 + e) \\
  r_\text{min} &= \frac{1}{u_{2}} = A(1 - e)
\end{align}
이는 다음을 제공한다.
:
u_1 + u_2 = \frac{2}{A\left( 1 - e^2 \right)}


r_\text{s}의 정의를 대입하면 최종 방정식이 얻어진다.
:
\delta\varphi \approx \frac{6\pi GM}{c^2 A\left( 1 - e^2 \right)}


## 중력에 의한 빛의 휘어짐

left|섬네일|220x220px|밀집된 물체에 의한 중력 렌즈 현상 다이어그램
입자 질량 m이 0으로 가는 극한(또는 빛이 중심 질량을 향해 직접 향하는 경우, 길이 스케일 a가 무한대로 가는 경우)에서 궤도 방정식은 다음과 같다.

:
\varphi = \int \frac{dr}{r^{2} \sqrt{\frac{1}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{1}{r^{2}}}}


\frac{r_\text{s}}{r}의 거듭제곱으로 전개하면, 이 공식의 선행 항은 무한대에서 들어와 무한대로 다시 나가는 광자에 대한 대략적인 각 편향 δφ를 제공한다.

:
\delta \varphi \approx \frac{2r_\text{s}}{b} = \frac{4GM}{c^{2}b}.


여기서 b는 충격 매개변수이며, 가장 가까운 접근 거리 r_3보다 약간 크다.

b = r_3\sqrt{\frac{r_3}{r_3 - r_\text{s}}}

이 공식은 근사치이지만, \frac{r_\text{s}}{r} 비율의 작음 때문에 대부분의 중력렌즈 측정에 정확하다. 태양 표면을 스치는 빛의 경우, 대략적인 각 편향은 약 1.75 각초로, 원의 약 백만 분의 1이다.

더 일반적으로, 반경 좌표 r\in [ r_{s},\infty ) 를 가진 광자의 측지선은 다음 방정식을 적용하여 계산할 수 있다.
[섬네일|충격 매개변수 <math>b>b_{crit}=\frac{3\sqrt{3}}{2}r_s</math>를 가진 블랙홀의 [사건의 지평선에 위치한 광원에서 방출되어 다시 돌아오는 광자의 측지선.]]
:{\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)}^{2} = \frac{r^4}{b^2} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( \frac{r^4}{a^2} + r^2 \right)

이는 u={1\over r}를 사용하면 다음을 제공한다.
:
{\left ( {du \over d\varphi} \right )^2}=r_s\ u^3-u^2+\frac{1}{b^2}
이 방정식은 다음과 같이 유도될 수 있다.
:
2\ \frac{du}{d\varphi}\frac{d^2u}{d\varphi^2}=3\ r_su^2\frac{du}{d\varphi}-2\ u\frac{du}{d\varphi}
이는 다음으로 이어진다.
:
{d^2u\over d\varphi^2}=\frac{3}{2}\ r_s\ u^2-\ u
섬네일|블랙홀의 사건의 지평선에 위치한 광원에서 방출되어 충격 매개변수 <math>b=b_{crit}=\frac{3\sqrt{3}}{2} r_s</math>로 불안정한 궤도 <math>r_{crit} ={3\over 2}r_s</math>로 이동하는 광자의 측지선. 만약 <math>b<b_{crit}</math>이면 광자는 무한대로 방출된다.
이 2계 미분 방정식은 4차 룽게-쿠타 방법으로 다음과 같이 수치적으로 적분할 수 있으며, 단계 크기 \Delta\varphi를 고려하고 다음을 사용한다.
:
k_1={d^2u\over d\varphi^2}(u),
:
k_2={d^2u\over d\varphi^2}\left(u+\frac{\Delta\varphi}{2}{du\over d\varphi}\right),
:
k_3={d^2u\over d\varphi^2}\left(u+\frac{\Delta\varphi}{2}{du\over d\varphi}+\frac{\Delta\varphi^2}{4}k_{1}\right) 그리고
:
k_4={d^2u\over d\varphi^2}\left(u+\Delta\varphi{du\over d\varphi}+\frac{\Delta\varphi^2}{2}k_2\right).
다음 단계의 값 {du\over d\varphi}(\varphi+\Delta\varphi)은 다음과 같다.
:
{du\over d\varphi}(\varphi)+\frac{\Delta\varphi}{6}(k_1+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})
그리고 다음 단계의 값 u(\varphi+ \Delta\varphi)은 다음과 같다.
:
u(\varphi)+\Delta\varphi{du\over d\varphi}(\varphi)+\frac{\Delta\varphi^2}{6}(k_{1}+k_{2}+k_{3})
단계 \Delta\varphi는 r = {1 \over u}에 필요한 정확도에 따라 일정하거나 적응적으로 선택할 수 있다.

## 뉴턴 물리학과의 관계
### 유효 반경 위치 에너지
위에서 유도된 입자의 운동 방정식

:
  \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} =
  \frac{E^2}{m^2 c^2} - c^{2} + \frac{ r_\text{s} c^2}{r} -
    \frac{L^2}{ m\mu r^2 } + \frac{ r_\text{s} L^2 }{ m \mu r^3 }


슈바르츠실트 반지름 rs의 정의를 사용하여 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:
  \frac{1}{2} m \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} =
  \left[ \frac{E^2}{2 m c^2} - \frac{1}{2} m c^2 \right] +
    \frac{GMm}{r} - \frac{ L^2 }{ 2 \mu r^2 } + \frac{ G(M+m) L^2 }{c^2 \mu r^3},


이는 1차원 유효 퍼텐셜 내에서 움직이는 입자와 동등하다.

:
V(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{ L^2 }{ 2 \mu r^2 } - \frac{ G(M + m) L^2 }{ c^2 \mu r^3 }


처음 두 항은 잘 알려진 고전적 에너지이다. 첫 번째는 인력적인 뉴턴 중력 퍼텐셜 에너지이고 두 번째는 반발적인 "원심" 퍼텐셜 에너지에 해당한다. 그러나 세 번째 항은 일반 상대성이론에만 있는 인력적인 에너지이다. 아래와 다른 곳에서 보여지는 바와 같이, 이 역-3승 에너지는 타원 궤도가 회전당 각도 δφ만큼 점진적으로 세차 운동하게 만든다.
:
\delta \varphi \approx \frac{ 6\pi G(M+m) }{ c^2 A \left( 1 - e^{2} \right)}

여기서 A는 긴반지름이고 e는 이심률이다.

세 번째 항은 인력적이며 작은 r 값에서 지배적이며, 입자가 r = 0으로 불가피하게 끌려 들어가는 임계 내부 반경 rinner를 제공한다. 이 내부 반경은 입자의 단위 질량당 각운동량 또는 이와 동등하게 위에 정의된 a 길이 스케일의 함수이다.

### 원형 궤도와 그 안정성
섬네일|350px|right|다양한 각운동량에 대한 유효 반경 퍼텐셜. 작은 반경에서 에너지는 급격히 떨어지며, 입자가 불가피하게 <math display="inline">r = 0</math>으로 끌려들어 가게 된다. 그러나 정규화된 각운동량 <math display="inline">\frac{a}{r_\text{s}} = \frac{L}{mcr_\text{s}}</math>이 3의 제곱근과 같으면, 녹색 원으로 강조된 반경에서 준안정 원형 궤도가 가능하다. 더 높은 각운동량에서는 상당한 원심 장벽(주황색 곡선)과 불안정한 내부 반경(빨간색으로 강조)이 존재한다.

유효 퍼텐셜 V는 길이 a = \frac{h}{c}를 사용하여 다시 쓸 수 있다.

:
V(r) = \frac{ \mu c^{2}}{2} \left[ - \frac{r_\text{s}}{r} + \frac{a^{2}}{r^{2}} - \frac{r_\text{s} a^{2}}{r^{3}} \right]


유효 힘이 0일 때 원형 궤도가 가능하다.

:
F = -\frac{dV}{dr} = -\frac{ \mu c^{2}}{2r^{4}} \left[ r_\text{s} r^{2} - 2a^{2} r + 3r_\text{s} a^{2} \right] = 0


즉, 두 인력(뉴턴 중력(첫 번째 항)과 일반 상대성이론에만 있는 인력(세 번째 항))이 반발적인 원심력(두 번째 항)과 정확히 균형을 이룰 때 발생한다. 이 균형이 발생할 수 있는 두 개의 반지름이 있으며, 여기서는 rinner와 router로 표기한다.

:\begin{align}
  r_\text{outer} &= \frac{a^{2}}{r_\text{s}} \left( 1 + \sqrt{1 - \frac{3r_\text{s}^{2}}{a^{2}}} \right) \\[3pt]
  r_\text{inner} &= \frac{a^{2}}{r_\text{s}} \left( 1 - \sqrt{1 - \frac{3r_\text{s}^{2}}{a^{2}}} \right) = \frac{3a^{2}}{r_\text{outer}}
\end{align}

이는 이차 공식을 사용하여 얻어진다. 내부 반지름 rinner는 불안정하다. 왜냐하면 r이 작아질 때 인력적인 세 번째 힘이 다른 두 힘보다 훨씬 빠르게 강해지기 때문이다. 만약 입자가 rinner(세 힘이 균형을 이루는 곳)에서 약간 안쪽으로 미끄러지면, 세 번째 힘이 다른 두 힘을 지배하여 입자를 불가피하게 r = 0으로 끌어당긴다. 그러나 외부 반지름에서는 원형 궤도가 안정적이다. 세 번째 항은 덜 중요하며 시스템은 비상대론적인 케플러 문제와 더 유사하게 행동한다.

a가 r_\text{s}보다 훨씬 클 때(고전적인 경우), 이 공식은 대략적으로 다음과 같다.

:\begin{align}
  r_\text{outer} &\approx \frac{2a^{2}}{r_\text{s}} \\[3pt]
  r_\text{inner} &\approx \frac{3}{2} r_\text{s}
\end{align}

[섬네일|left|320px|안정 및 불안정 반경이 정규화된 각운동량 <math display="inline">\frac{a}{r_\text{s}} = \frac{L}{mcr_\text{s}}</math>에 대해 각각 파란색과 빨간색으로 표시되어 있다. 이 곡선들은 정규화된 각운동량이 3의 제곱근과 같을 때 단일 원형 궤도(녹색 원)에서 만난다. 비교를 위해 [구심 가속도와 뉴턴의 중력 법칙에서 예측되는 고전적 반경은 검은색으로 표시되어 있다.]]

a와 rs의 정의를 router에 대입하면 질량 M의 물체 주위를 공전하는 질량 m 입자에 대한 고전적 공식이 나온다.

:
r_{\mathrm{outer}}^{3} = \frac{G(M+m)}{\omega_{\varphi}^{2}}


여기서 ωφ는 입자의 궤도 각속도이다. 이 공식은 비상대론적 역학에서 원심력을 뉴턴 중력과 같다고 놓음으로써 얻어진다.

:
\frac{GMm}{r^{2}} = \mu \omega_{\varphi}^{2} r


여기서 \mu는 환산 질량이다.

우리의 표기법에서 고전적인 궤도 각속도는 다음과 같다.

:
\omega_{\varphi}^{2} \approx \frac{GM}{r_{\mathrm{outer}}^{3}} = \left( \frac{r_\text{s} c^{2}}{2r_{\mathrm{outer}}^{3}} \right) = \left( \frac{r_\text{s} c^{2}}{2} \right) \left( \frac{r_\text{s}^{3}}{8a^{6}}\right) = \frac{c^{2} r_\text{s}^{4}}{16 a^{6}}


다른 극단적인 경우, a2이 위에서 3rs2에 접근할 때, 두 반지름은 단일 값으로 수렴한다.

:
r_{\mathrm{outer}} \approx r_{\mathrm{inner}} \approx 3 r_\text{s}


위의 이차 방정식 해는 router가 항상 3rs보다 크고, rinner는 &nbsp;rs와 3rs 사이에 있음을 보장한다. &nbsp;rs보다 작은 원형 궤도는 불가능하다. 질량이 없는 입자의 경우, a는 무한대로 가며, 이는 rinner = rs에 광자 원형 궤도가 있음을 의미한다. 이 반지름의 구는 때때로 광자구로 알려져 있다.

### 타원 궤도의 세차 운동
[섬네일|right|비상대론적인 [케플러 문제에서는 입자가 동일한 완벽한 타원 궤도(빨간색 궤도)를 영원히 따른다. 일반 상대성이론은 특히 작은 반경에서 뉴턴 중력보다 입자를 약간 더 강하게 끌어당기는 세 번째 힘을 도입한다. 이 세 번째 힘은 입자의 타원 궤도가 회전 방향으로 세차 운동하도록 만든다(청록색 궤도). 이 효과는 수성, 금성 및 지구에서 측정되었다. 궤도 내의 노란색 점은 태양과 같은 인력의 중심을 나타낸다.]]

궤도 세차 운동율은 이 반경 유효 퍼텐셜 V를 사용하여 유도할 수 있다. 반경 router의 원형 궤도에서 작은 반경 편차는 각주파수와 함께 안정적으로 진동한다.

:
\omega_{r}^{2} = \frac{1}{m} \left[ \frac{d^{2}V}{dr^{2}} \right]_{r=r_{\mathrm{outer}}}


이는 다음과 같다.

:
\omega_{r}^{2} = \left( \frac{c^{2} r_\text{s}}{2 r_{\mathrm{outer}}^{4}} \right) \left( r_{\mathrm{outer}} - r_{\mathrm{inner}}\right) =
\omega_{\varphi}^{2} \sqrt{1 - \frac{3r_\text{s}^{2}}{a^{2}}}


양변에 제곱근을 취하고 테일러 급수 전개를 수행하면 다음이 얻어진다.

:
\omega_{r} = \omega_{\varphi} \left[ 1 - \frac{3r_\text{s}^{2}}{4a^{2}} + \mathcal{O}\left( \frac{r_\text{s}^{4}}{a^{4}} \right) \right]


한 바퀴의 주기 T를 곱하면 회전당 궤도의 세차 운동이 주어진다.

:
  \delta \varphi = T \left( \omega_{\varphi} - \omega_{r} \right) \approx 2\pi \left( \frac{3r_\text{s}^{2}}{4a^{2}} \right) =
  \frac{3\pi m^{2} c^{2}}{2L^{2}} r_\text{s}^{2}


여기서 ωφT = 2п와 길이 스케일 a의 정의를 사용했다. 슈바르츠실트 반지름 rs의 정의를 대입하면 다음이 주어진다.

:
\delta \varphi \approx \frac{3\pi m^{2} c^{2}}{2L^{2}} \left( \frac{4G^{2} M^{2}}{c^{4}} \right) = \frac{6\pi G^{2} M^{2} m^{2}}{c^{2} L^{2}}


이것은 공식으로 관련된 타원 궤도의 반축 A와 이심률 e를 사용하여 단순화될 수 있다.

:
\frac{ h^2 }{ G(M+m) } = A \left( 1 - e^2 \right)


세차 각도를 제공하기 위해

:
\delta \varphi \approx \frac{6\pi G(M+m)}{c^2 A \left( 1 - e^{2} \right)}


## 궤도 방정식의 수학적 유도
### 크리스토펠 기호
슈바르츠실트 계량에 대한 0이 아닌 크리스토펠 기호는 다음과 같다.

: \begin{align}
                 \Gamma^t_{rt} = -\Gamma^r_{rr} &=  \frac{r_\text{s}}{2r(r - r_\text{s})} \\[3pt]
                                  \Gamma^r_{tt} &=  \frac{r_\text{s}(r - r_\text{s})}{2r^3} \\[3pt]
                            \Gamma^r_{\phi\phi} &=  (r_\text{s} - r)\sin^2(\theta) \\[3pt]
                        \Gamma^r_{\theta\theta} &=  r_\text{s} - r \\[3pt]
  \Gamma^\theta_{r\theta} = \Gamma^\phi_{r\phi} &=  \frac{1}{r} \\[3pt]
                       \Gamma^\theta_{\phi\phi} &= -\sin(\theta)\cos(\theta) \\[3pt]
                       \Gamma^\phi_{\theta\phi} &=  \cot(\theta)
\end{align}

### 측지선 방정식
아인슈타인의 일반 상대성이론에 따르면 무시할 수 있는 질량의 입자는 시공간에서 측지선을 따라 이동한다. 중력원으로부터 멀리 떨어진 평평한 시공간에서는 이러한 측지선이 직선에 해당하지만 시공간이 휘어질 때는 직선에서 벗어날 수 있다. 측지선에 대한 방정식은 다음과 같다.

:
\frac{d^2x^{\lambda}}{d q^2} + \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{d q} \frac{dx^{\nu}}{dq} = 0


여기서 Γ는 크리스토펠 기호를 나타내고 변수 q는 입자의 시공간 경로, 즉 세계선을 매개변수화한다. 크리스토펠 기호는 계량 텐서 g_{\mu\nu} 또는 그것이 위치에 따라 어떻게 변하는지에만 의존한다. 변수 q는 시간꼴 궤도(질량이 있는 입자가 이동하는 궤도)의 고유 시간 \tau의 상수 배수이며, 일반적으로 그것과 같다고 간주된다. 빛꼴(또는 널) 궤도(광자와 같은 질량이 없는 입자가 이동하는 궤도)의 경우 고유 시간은 0이며, 엄밀히 말하면 변수 q로 사용할 수 없다. 그럼에도 불구하고 빛꼴 궤도는 질량이 있는 궤도의 초상대론적 극한, 즉 입자 질량 m이 0으로 갈 때 총 에너지를 고정시킨 극한으로 유도될 수 있다.

그러므로 입자의 운동을 풀려면 측지선 방정식을 푸는 것이 가장 직접적인 방법이며, 이는 아인슈타인과 다른 사람들이 채택한 접근 방식이다. 슈바르츠실트 계량은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:
c^{2}d\tau^{2} = w(r) c^2 dt^{2} - v(r) dr^{2} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2} \theta d\phi^{2}
\,

여기서 두 함수 w(r) = 1 - \frac{r_\text{s}}{r}와 그 역수 v(r)= \frac{1}{w(r)}는 간결성을 위해 정의되었다. 이 계량으로부터 크리스토펠 기호 \Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}를 계산할 수 있으며, 그 결과는 측지선 방정식에 대입된다.

:\begin{align}
  0 &= \frac{d^{2}\theta}{dq^{2}} + \frac{2}{r} \frac{d\theta}{dq} \frac{dr}{dq} - \sin \theta \cos \theta \left( \frac{d\phi}{dq} \right)^{2} \\[3pt]
  0 &= \frac{d^{2}\phi}{dq^{2}} + \frac{2}{r} \frac{d\phi}{dq} \frac{dr}{dq} + 2 \cot \theta \frac{d\phi}{dq} \frac{d\theta}{dq} \\[3pt]
  0 &= \frac{d^{2}t}{dq^{2}} + \frac{1}{w} \frac{dw}{dr} \frac{dt}{dq} \frac{dr}{dq} \\[3pt]
  0 &= \frac{d^{2}r}{dq^{2}} - \frac{1}{v} \frac{dv}{dr} \left( \frac{dr}{dq} \right)^{2} - \frac{r}{v} \left( \frac{d\theta}{dq} \right)^{2} - \frac{r\sin^{2}\theta}{v} \left( \frac{d\phi}{dq} \right)^{2} + \frac{c^{2}}{2v} \frac{dw}{dr} \left( \frac{dt}{dq} \right)^{2}
\end{align}

이 네 방정식 중 첫 번째 방정식에 대입하여 \theta = \frac{\pi}{2}가 유효한 해임을 확인할 수 있다. 대칭에 의해 궤도는 평면적이어야 하며, 우리는 적도 평면이 궤도 평면이 되도록 좌표계를 자유롭게 배치할 수 있다. 이 \theta 해는 두 번째 및 네 번째 방정식을 단순화한다.

두 번째와 세 번째 방정식을 풀려면 각각 \frac{d\phi}{dq}와 \frac{dt}{dq}로 나누면 충분하다.

:\begin{align}
  0 &= \frac{d}{dq} \left[ \ln \frac{d\phi}{dq} + \ln r^{2} \right] \\[3pt]
  0 &= \frac{d}{dq} \left[ \ln \frac{dt}{dq} + \ln w \right],
\end{align}

이는 두 운동 상수를 산출한다.

### 라그랑주 접근 방식
시험 입자는 고정된 계량에서 측지선을 따르므로, 이 입자의 궤도는 변분법, 즉 라그랑주적 접근 방식을 사용하여 결정될 수 있다. 시공간의 측지선은 (경계점 이벤트를 고정한 상태에서) 좌표의 작은 국소적 변화가 전체 길이 s에 중요한 변화를 주지 않는 곡선으로 정의된다. 이것은 변분법을 사용하여 수학적으로 표현될 수 있다.

:
  0 = \delta s = \delta \int ds =
  \delta \int \sqrt{g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{d\tau} \frac{dx^{\nu}}{d\tau}} d\tau =
  \delta \int \sqrt{2T} d\tau


여기서 τ는 고유 시간이고 s = cτ는 시공간의 호의 길이며 T는 다음과 같이 정의된다.

:
  2T = c^{2} = \left( \frac{ds}{d\tau} \right)^{2} =
  g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{d\tau} \frac{dx^{\nu}}{d\tau} =
  \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) c^{2} \left( \frac{dt}{d\tau} \right)^{2} -
    \frac{1}{1 - \frac{r_\text{s}}{r}} \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} -
    r^{2} \left( \frac{d\varphi}{d\tau} \right)^{2}


이는 운동 에너지와의 유사성을 가진다. 고유 시간에 대한 미분을 간결하게 점으로 표시하면

:
\dot{x}^{\mu} = \frac{dx^{\mu}}{d\tau}


T는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:
  2T = c^{2} =
    \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) c^{2} \left( \dot{t} \right)^{2} -
    \frac{1}{1 - \frac{r_\text{s}}{r}} \left( \dot{r} \right)^{2} -
    r^{2} \left( \dot{\varphi} \right)^{2}


상수 계수(예: c 또는 2의 제곱근)는 변분 문제의 해에 영향을 미치지 않는다. 따라서 적분 내에서 변분을 취하면 해밀턴의 원리가 얻어진다.

:
  0 = \delta \int \sqrt{2T} d\tau =
  \int \frac{\delta T}{\sqrt{2T}} d\tau =
  \frac{1}{c} \delta \int T d\tau.


변분 문제의 해는 라그랑주 방정식으로 주어진다.

:
  \frac{d}{d\tau} \left(\frac{\partial T}{\partial \dot{x}^{\sigma}} \right) =
  \frac{\partial T}{\partial x^{\sigma}}.


이 방정식들을 t와 φ에 적용하면 두 운동 상수가 나타난다.

:\begin{align}
                             \frac{d}{d\tau} \left[ r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau} \right] &= 0, \\
  \frac{d}{d\tau} \left[ \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \right] &= 0,
\end{align}

이는 두 상수 길이 척도 a와 b로 표현될 수 있다.

:\begin{align}
                             r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau} &= ac, \\
  \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} &= \frac{a}{b}.
\end{align}

위에서 보여진 바와 같이, 이 방정식들을 슈바르츠실트 계량의 정의에 대입하면 궤도 방정식이 얻어진다.

### 해밀턴 접근법
라그랑주 해는 동등한 해밀턴 형식으로 재구성될 수 있다. 이 경우 해밀턴 H는 다음과 같이 주어진다.

:
2 H = c^{2} = \frac{p_{t}^{2}}{c^{2} \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right)} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) p_{r}^{2} - \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}} - \frac{p_{\varphi}^{2}}{r^{2}\sin^{2} \theta}


다시 한 번, 대칭에 의해 궤도는 \theta = \frac{\pi}{2}로 제한될 수 있다. t와 \varphi는 해밀턴에 나타나지 않으므로, 그들의 켤레 운동량은 상수이다. 이들은 빛의 속도 c와 두 상수 길이 스케일 a와 b로 표현될 수 있다.

:\begin{align}
  p_{\varphi} &= -ac \\
   p_{\theta} &= 0 \\
        p_{t} &= \frac{ac^{2}}{b}
\end{align}

고유 시간에 대한 미분은 다음과 같이 주어진다.

:\begin{align}
        \frac{dr}{d\tau} &= \frac{\partial H}{\partial p_{r}} = - \left(1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) p_{r} \\
  \frac{d\varphi}{d\tau} &= \frac{\partial H}{\partial p_{\varphi}} = \frac{-p_{\varphi}}{r^{2}}  = \frac{ac}{r^{2}} \\
        \frac{dt}{d\tau} &= \frac{\partial H}{\partial p_{t}} = \frac{p_{t}}{c^{2} \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right)} = \frac{a}{b \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right)}
\end{align}

첫 번째 방정식을 두 번째 방정식으로 나누면 궤도 방정식이 얻어진다.

:
\frac{dr}{d\varphi} = - \frac{r^{2}}{ac} \left(1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) p_{r}


반경 운동량 pr은 해밀턴 H = \frac{c^{2}}{2}의 상수를 사용하여 r의 항으로 표현될 수 있다. 이는 기본 궤도 방정식을 산출한다.

:
\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = \frac{r^{4}}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( \frac{r^{4}}{a^{2}} + r^{2} \right)


### 해밀턴-야코비 접근법
섬네일|right|중력장 내에서의 파동의 휘어짐. 중력 때문에 아래쪽에서 시간이 위쪽보다 느리게 흐르므로 파면(검은색으로 표시)이 점차 아래로 휘어진다. 녹색 화살표는 겉보기 "중력 인력"의 방향을 나타낸다.

궤도 방정식은 해밀턴-야코비 방정식에서 유도할 수 있다. 이 접근 방식의 장점은 입자의 운동을 파동의 전파와 동일시하고, 페르마의 원리를 통해 일반 상대성이론에서 중력에 의한 빛의 편향을 쉽게 유도할 수 있다는 것이다. 기본 아이디어는 중력으로 인한 시간 지연 때문에 중력 질량에 가까운 파면 부분이 멀리 있는 부분보다 느리게 움직여 파면의 전파 방향을 휘게 한다는 것이다.

일반 공변을 사용하여 단위 질량 단일 입자에 대한 해밀턴-야코비 방정식은 임의 좌표계에서 다음과 같이 표현될 수 있다.

:
g^{\mu\nu} \frac{\partial S}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial S}{\partial x^{\nu}} = c^{2}.


이것은 일반화된 운동량 대신 작용의 편미분을 사용하는 위 해밀턴 형식화와 동등하다. 슈바르츠실트 계량 gμν을 사용하면 이 방정식은 다음과 같다.

:
\frac{1}{c^{2} \left(1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right)} \left( \frac{\partial S}{\partial t} \right)^{2} -
\left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( \frac{\partial S}{\partial r} \right)^{2} -
\frac{1}{r^{2}} \left( \frac{\partial S}{\partial \varphi} \right)^{2} = c^{2}


여기서 우리는 다시 구형 좌표계를 궤도 평면과 정렬한다. 시간 t와 방위각 φ는 순환 좌표이므로, 해밀턴의 주요 함수 S에 대한 해는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:
S = -p_{t} t + p_{\varphi} \varphi + S_{r}(r) \,


여기서 p_t와 p_{\varphi}는 상수 일반화된 운동량이다. 해밀턴-야코비 방정식은 방경 부분 S_r(r)에 대한 적분 해를 제공한다.

:
S_{r}(r) = \int^{r} \frac{dr}{1 - \frac{r_\text{s}}{r}} \sqrt{\frac{p_{t}^{2}}{c^{2}} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( c^{2} + \frac{p_{\varphi}^{2}}{r^{2}} \right)}.


해밀턴 주요 함수 S를 보존된 운동량 pφ에 대해 미분하면

:
\frac{\partial S}{\partial p_{\varphi}} = \varphi + \frac{\partial S_{r}}{\partial p_{\varphi}} = \mathrm{constant}


이는 다음과 같다.

:
\varphi - \int^{r} \frac{p_{\varphi} dr}{r^{2}\sqrt{\frac{p_{t}^{2}}{c^{2}} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( c^{2} + \frac{p_{\varphi}^{2}}{r^{2}} \right)}} = \mathrm{constant}


φ와 r의 무한소 변화를 취하면 기본 궤도 방정식이 얻어진다.

:
\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = \frac{r^{4}}{b^{2}} -  \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( \frac{r^{4}}{a^{2}} + r^{2} \right).


여기서 보존된 길이 스케일 a와 b는 다음 방정식에 의해 보존된 운동량으로 정의된다.

:\begin{align}
  \frac{\partial S}{\partial \varphi} = p_{\varphi} &= -ac \\
              \frac{\partial S}{\partial t} = p_{t} &= \frac{ac^{2}}{b}
\end{align}

### 해밀턴의 원리
중력에만 영향을 받는 입자의 작용 적분은 다음과 같다.

:
S = \int{ - m c^2 d\tau} = - m c \int{ c \frac{d\tau}{dq} dq} = - m c \int{ \sqrt{-g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{dq} \frac{dx^{\nu}}{dq} } dq}


여기서 \tau는 고유 시간이고 q는 입자의 세계선에 대한 임의의 매끄러운 매개변수화이다. 여기에 변분법을 적용하면 다시 측지선에 대한 방정식이 얻어진다. 계산을 단순화하기 위해 먼저 적분되는 함수의 제곱을 변분한다. 이 경우의 계량과 좌표에 대해 그리고 입자가 적도 평면 \theta = \frac{\pi}{2}에서 움직인다고 가정하면, 그 제곱은 다음과 같다.

:
\left(c \frac{d\tau}{dq}\right)^2 = - g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{dq} \frac{dx^{\nu}}{dq} =
\left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) c^{2} \left( \frac{dt}{dq} \right)^{2} -
\frac{1}{1 - \frac{r_\text{s}}{r}} \left( \frac{dr}{dq} \right)^{2} -
r^{2} \left( \frac{d\varphi}{dq} \right)^{2}
\,.

이것을 변분하면 다음과 같다.

:
\delta \left(c \frac{d\tau}{dq}\right)^2 = 2 c^{2} \frac{d\tau}{dq} \delta \frac{d\tau}{dq} =
\delta \left[ \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) c^{2} \left( \frac{dt}{dq} \right)^{2} -
\frac{1}{1 - \frac{r_\text{s}}{r}} \left( \frac{dr}{dq} \right)^{2} -
r^{2} \left( \frac{d\varphi}{dq} \right)^{2} \right]
\,.

#### 경도에서의 운동
경도 \varphi에 대해서만 변분하면 다음을 얻는다.

:
2 c^{2} \frac{d\tau}{dq} \delta \frac{d\tau}{dq} =
- 2 r^{2} \frac{d\varphi}{dq} \delta \frac{d\varphi}{dq}
\,.

2 c \frac{d\tau}{dq}로 나누면 적분되는 함수 자체의 변분이 얻어진다.

:
c \, \delta \frac{d\tau}{dq} = - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \delta \frac{d\varphi}{dq}
= - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \frac{d \delta \varphi}{dq}
\,.

따라서

:
0 = \delta \int { c \frac{d\tau}{dq} dq } = \int { c \delta \frac{d\tau}{dq} dq } =
\int { - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \frac{d \delta \varphi}{dq} dq }
\,.

부분 적분하면 다음과 같다.

:
0 = - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \delta \varphi
- \int { \frac{d}{dq} \left[ - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \right] \delta \varphi dq }
\,.

경도의 변분은 경계점에서 0이라고 가정하므로 첫 번째 항은 사라진다. 나머지 인자가 모든 곳에서 0이 아니면 특정한 \delta \varphi 선택에 의해 적분이 0이 아닐 수 있다. 따라서 운동 방정식은 다음과 같다.

:
\frac{d}{dq} \left[ - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \right] = 0
\,.

#### 시간에서의 운동
시간 t에 대해서만 변분하면 다음을 얻는다.

:
2 c^{2} \frac{d\tau}{dq} \delta \frac{d\tau}{dq} =
2 \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) c^{2} \frac{dt}{dq} \delta \frac{dt}{dq}
\,.

2 c \frac{d\tau}{dq}로 나누면 적분되는 함수 자체의 변분이 얻어진다.

:
c \delta \frac{d\tau}{dq} =
c \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \delta \frac{dt}{dq}
= c \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \frac{d \delta t}{dq}
\,.

따라서

:
0 = \delta \int { c \frac{d\tau}{dq} dq }
= \int { c \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \frac{d \delta t}{dq} dq }
\,.

부분 적분하면 다음과 같다.

:
0 = c \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \delta t
- \int { \frac{d}{dq} \left[ c \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \right] \delta t dq }
\,.

따라서 운동 방정식은 다음과 같다.

:
\frac{d}{dq} \left[ c \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \right] = 0
\,.

#### 보존된 운동량
이 운동 방정식들을 적분하여 적분 상수를 구하면

:\begin{align}
  L = p_{\phi} &= m r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau}\,, \\
   E = - p_{t} &= m c^2 \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau}\,.
\end{align}

광자와 같이 측지선을 따라 고유 시간이 0인 다른 질량 없는 입자의 경우에도 참인 하나의 방정식을 형성하기 위해 운동 상수 L(각운동량)과 E(에너지)에 대한 이 두 방정식을 결합할 수 있다.

:
\frac{d\varphi}{dt} = \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \frac{L \, c^2}{E \, r^2}
\,.

#### 반경 운동
대입하면,

:
\frac{d\varphi}{d\tau} = \frac{L}{m \, r^2}
\,

그리고

:
\frac{dt}{d\tau} = \frac{E}{\left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) m \, c^2}
\,

계량 방정식(그리고 \theta = \frac{\pi}{2} 사용)에 대입하면

:
c^{2} = \frac{1}{1 - \frac{r_\text{s}}{r}} \, \frac{E^2}{m^2 c^2} -
\frac{1}{1 - \frac{r_\text{s}}{r}} \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} -
\frac{1}{r^{2}} \, \frac{L^2}{m^2}
\,,

여기서 다음을 유도할 수 있다.

:
{\left( \frac{dr}{d\tau} \right)}^{2} = \frac{E^2}{m^2 c^2} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( c^{2} + \frac{L^2}{m^2 r^2} \right)
\,,

이것은 r에 대한 운동 방정식이다. r의 \varphi에 대한 의존성은 이것을 다음으로 나누면 찾을 수 있다.
:{\left( \frac{d\varphi}{d\tau} \right)}^2 = \frac{L^2}{m^2 r^4}

다음을 얻는다.

:
{\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)}^{2} = \frac{E^2 r^4}{L^2 c^2} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( \frac{m^2 c^{2} r^4}{L^2} + r^2 \right)
\,

이는 질량이 없는 입자에 대해서도 참이다. 길이 스케일이 다음과 같이 정의되면

:
a = \frac{L}{m \, c}


그리고

:
b = \frac{L \, c}{E}
\,,

그러면 r의 \varphi에 대한 의존성은 다음으로 단순화된다.

:{\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)}^{2} = \frac{r^4}{b^2} - \left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} \right) \left( \frac{r^4}{a^2} + r^2 \right)
\,.

## 같이 보기
* 고전적 중심력 문제
* 일반 상대성이론의 프레임 필드
* 케플러 문제
* 일반 상대성이론의 이체 문제

## 내용주


## 각주


## 참고 문헌
* Schwarzschild, K. (1916). Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einstein'schen Theorie. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften **1**, 189–196.
** scan of the original paper
** text of the original paper, in Wikisource
** translation by Antoci and Loinger
** a commentary on the paper, giving a simpler derivation
* Schwarzschild, K. (1916). Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften **1**, 424-?.
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*  (See 중력 (책).)
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## 외부 링크
* Excerpt from *Reflections on Relativity* by Kevin Brown.

분류:일반 상대성 이론의 엄밀해