모턴의 정리

**모턴의 정리**(Morton's theorem)는 앤디 모턴(Andy Morton)이 유즈넷 포커 뉴스그룹에서 명확히 설명한 포커 원리이다. 이 정리는 멀티웨이 팟에서, 상대방이 올바른 결정을 내림으로써 플레이어의 기댓값이 극대화될 수 있다고 명시한다.

모턴의 정리의 가장 일반적인 적용 사례는 한 플레이어가 가장 좋은 패를 가졌으나, 두 명 이상의 상대방이 드로 상황일 때 발생한다. 이 경우, 가장 좋은 패를 가진 플레이어는 상대방이 베팅에 폴드할 때 장기적으로 더 많은 돈을 벌 수 있다. 비록 그 상대방이 올바르게 폴드한 것이며, 그 베팅에 콜하는 것이 개인적인 실수가 되더라도 마찬가지이다. 이러한 상황 유형은 때때로 암묵적 담합(implicit collusion)이라고 불린다.

모턴의 정리는 플레이어가 상대방이 자신의 기댓값을 최소화하는 결정을 내리기를 원한다는 포커의 근본 정리와 대조를 이룬다. 두 정리는 상대방이 한 명 이상 존재하는지에 따라 차이가 있다. 근본 정리는 헤즈업(상대방이 한 명인 경우) 상황에서는 항상 적용되지만, 멀티웨이 팟에서는 항상 적용되는 것은 아니다.

멀티웨이 상황에서 모턴의 정리의 적용 범위는 논쟁의 대상이다. 모턴은 자신의 정리가 멀티웨이 팟에서 일반적으로 적용 가능하므로, 헤즈업 상황을 제외하면 근본 정리가 적용되는 경우는 드물다는 견해를 밝혔다.

## 예시
다음 예시는 모턴의 공로로 인정받으며, 그는 유즈넷 뉴스그룹인 rec.gambling.poker에 이 사례의 초안을 처음 게시했다.

리밋 텍사스 홀덤에서 아놀드(Arnold)라는 플레이어가 **<span style="color:blue;">A♦</span><span style="color:green;">K♣</span>**를 들고 있고 플롭이 **K♠<span style="color:red;">9♥3♥</span>**이라고 가정해 보자. 아놀드는 가장 좋은 키커를 가진 톱 페어(top pair)를 맞춘 상태다. 플롭에서의 베팅이 완료되었을 때, 아놀드에게는 브렌다(Brenda)와 찰스(Charles)라는 두 명의 상대방이 남아 있다. 아놀드는 브렌다가 넛 플러시 드로(예를 들어 **<span style="color:red;">A♥J♥</span>**를 들고 9개의 아웃 보유)를 가졌음을 확신하며, 찰스는 무작위 키커를 가진 세컨드 페어(second pair)(예를 들어 **<span style="color:green;">Q♣9♣</span>**를 들고 4개의 아웃 보유, **<span style="color:red;">Q♥</span>**는 아님)를 가졌다고 믿는다. 나머지 덱의 카드는 아놀드의 승리로 이어진다. 턴 카드는 의미 없는 카드(예를 들어 **<span style="color:blue;">6♦</span>**)가 나왔고, 이 시점의 팟 크기는 빅 벳(big bets) 단위로 표현된 P이다.

아놀드가 턴에서 베팅할 때, 플러시 드로를 가진 브렌다는 확실히 콜을 할 것이며 그렇게 하는 데 필요한 올바른 팟 오즈를 거의 확실히 확보하고 있다. 브렌다가 콜을 하면, 찰스는 콜을 할지 폴드를 할지 결정해야 한다. 그가 어떤 행동을 선택해야 할지 알아내기 위해, 각 경우에 대한 그의 기댓값을 계산한다. 이는 남은 42장의 카드 중 그에게 베스트 핸드를 만들어 줄 카드의 수와 현재 팟의 크기에 달려 있다. (여기서는 근본 정리와 관련된 논의에서와 같이, 각 플레이어가 상대방의 카드에 대한 완비 정보를 가지고 있다고 가정한다.)

:\operatorname{E}\left[\mbox{ 찰스 }|\mbox{ 폴드 시 }\right] = 0

:\operatorname{E}\left[\mbox{ 찰스 }|\mbox{ 콜 시 }\right] = \frac{4}{42} \cdot (P+2) - \frac{38}{42} \cdot 1

찰스는 폴드함으로써 아무것도 얻거나 잃지 않는다. 콜을 할 때 그는 4/42의 확률로 팟을 이기고, 나머지 시간에는 1 빅 벳을 잃는다. 이 두 기댓값을 같게 설정하고 P에 대해 풀면 그가 콜과 폴드 중 어느 쪽을 택해도 무관한 팟 크기를 결정할 수 있다:

:\operatorname{E}\left[\mbox{ 찰스 }|\mbox{ 폴드 시 }\right] = \operatorname{E}\left[\mbox{ 찰스 }|\mbox{ 콜 시 }\right]
:\Rightarrow P = 7.5 \mbox{ 빅 벳 }

팟이 이보다 크면 찰스는 계속 진행해야 하며, 그렇지 않으면 폴드하는 것이 그에게 최선이다.

아놀드가 찰스의 행동 중 어느 쪽을 선호할지 알아내기 위해, 아놀드의 기댓값도 같은 방식으로 계산한다:

:\operatorname{E}\left[\mbox{ 아놀드 }|\mbox{ 찰스 폴드 시 }\right] = \frac{42-9}{42} \cdot (P+2) = \frac{33}{42} \cdot (P+2)

:\operatorname{E}\left[\mbox{ 아놀드 }|\mbox{ 찰스 콜 시 }\right] = \frac{42-9-4}{42} \cdot (P+3) = \frac{29}{42} \cdot (P+3)

아놀드의 기댓값은 각 경우의 팟 크기(즉, 찰스가 콜을 고려할 때 얻는 팟 오즈)에 따라 달라진다. 이 두 값을 같게 설정하면 아놀드가 찰스의 콜이나 폴드 여부에 무관해지는 팟 크기 P를 계산할 수 있다:

:\operatorname{E}\left[\mbox{ 아놀드 }|\mbox{ 찰스 콜 시 }\right] = \operatorname{E}\left[\mbox{ 아놀드 }|\mbox{ 찰스 폴드 시 }\right]
:\Rightarrow P = 5.25 \mbox{ 빅 벳 }

팟이 이보다 작을 때 아놀드는 찰스가 추격(chasing)할 때 이득을 보지만, 팟이 이보다 클 때 아놀드의 기댓값은 찰스가 추격하는 대신 폴드할 때 더 높다.

따라서 다음과 같은 팟 크기 범위가 존재한다:

(a) 찰스가 폴드하는 것이 올바르고,
(b) 아놀드는 찰스가 (잘못하여) 추격할 때보다 (올바르게) 폴드할 때 더 많은 돈을 번다.

이는 아래 도표에서 시각적으로 확인할 수 있다.

                               |
                 찰스 폴드 권장 | 찰스 콜 권장
                               |
                               v
                      |
      찰스 콜 선호     | 찰스 폴드 선호
                      |
                      v
 +---+---+---+---+---+---+---+---+---> 팟 크기 P (빅 벳 단위)
 0   1   2   3   4   5   6   7   8
                      XXXXXXXXXX
                          ^
                    "역설적 영역"

X로 표시된 팟 크기 범위는 아놀드가 찰스(C)가 올바르게 폴드하기를 원하는 구간이다. 왜냐하면 찰스가 잘못된 콜을 할 때 아놀드의 기댓값이 손실되기 때문이다.

## 분석

본질적으로 위 예시에서 찰스가 "역설적 영역"에서 콜을 할 때, 그는 자신의 약한 드로에 대해 너무 높은 대가를 치르고 있는 것이지만, 아놀드는 더 이상 그 높은 대가의 유일한 수혜자가 아니다. 브렌다가 자신의 플러시 드로를 맞히는 경우 브렌다가 찰스의 돈을 가져가게 되기 때문이다. 아놀드가 찰스와 헤즈업 상황인 경우와 비교하면, 아놀드는 여전히 전체 팟을 잃을 위험을 안고 있지만, 찰스의 무모한 콜로부터 오는 보상을 더 이상 100% 챙기지 못하게 된다.

플레이어가 적어도 일부 상대방이 올바르게 폴드하기를 원하는 이러한 중간 팟 크기 영역의 존재는, 플레이어가 자신이 가장 좋은 패를 가졌다고 생각할 때 가능한 한 필드를 좁히는(thinning the field) 표준 포커 전략의 이유를 설명해 준다. 잘못된 드로를 가진 상대방이라도 그들이 베팅에 콜을 하면 플레이어에게 비용이 발생할 수 있는데, 이는 그 콜의 일부가 그들을 상대로 드로를 노리는 다른 상대방의 스택으로 들어가기 때문이다.

아놀드가 찰스의 콜로 인해 기댓값을 잃고 있기 때문에, 다른 모든 상대방(즉, 브렌다와 찰스)의 합계는 찰스의 콜로부터 이득을 얻고 있어야 한다. 다시 말해, 브렌다와 찰스가 게임이 끝난 후 주차장에서 만나 수익을 나눈다면, 그들은 아놀드에 대항해 담합을 한 셈이 된다. 이를 때때로 암묵적 담합이라고 부른다. 이는 가끔 스쿨링(schooling)이라 불리는 개념과 대조되어야 한다. 스쿨링은 가장 좋은 패를 가진 플레이어를 상대로 많은 상대방이 올바르게 콜을 할 때 발생하며, 암묵적 담합은 가장 좋은 패를 가진 플레이어를 상대로 한 상대방이 잘못된 콜을 할 때 발생한다.

모턴의 정리의 결론 중 하나는 루즈(loose)한 홀덤 게임에서 수티드(suited) 핸드의 가치가 올라간다는 것인데, 이는 그러한 핸드가 암묵적 담합의 혜택을 받는 정확한 유형의 핸드이기 때문이다.

## 같이 보기
* 포커 전략

## 내용주

분류:포커