방정식 xy = yx

[섬네일| 의 그래프. 선과 곡선은 ( ''[자연로그의 밑|e*, *e* )에서 교점을 갖는다.]]
일반적으로 [[거듭제곱|지수]]는 [[교환법칙]]이 성립하지 않는다. 그러나 [[방정식]] <math>x^y = y^x</math>은 <math>x=2,\ y=4</math>와 같은 근을 가진다.

== 역사 ==
이 방정식은 [[다니엘 베르누이]]가 [[크리스티안 골트바흐|골트바흐]]에게 1728년 6월 29일에 보낸 편지에 언급되어 있다. 그 편지에 따르면 <math>x\ne y</math>인 경우 [[유리수]] 범위에서 <math>(\tfrac{27}{8}, \tfrac{9}{4})</math>, <math>(\tfrac{9}{4}, \tfrac{27}{8})</math>를 비롯한 무수히 많은 해가 있음에도 자연수 범위에서는 <math>(2, 4)</math>와 <math>(4, 2)</math>뿐이라고 한다. 골트바흐의 답장(1729년 1월 31일)에는 <math>y=vx</math>로 치환해서 일반해를 구하는 방법이 언급되어 있다. 이후 [[레온하르트 오일러|오일러]]도 비슷한 풀이법을 발견했다.

J. van Hengel은 <math>r, n</math>이 모두 [[정수|양의 정수]]이면서 <math>r \geq 3</math>이면 <math>r^{r+n} > (r+n)^r</math>이므로 자연수 해를 찾는다면 <math>x = 1</math>, <math>x = 2</math>를 고려하는 것으로도 충분하다고 짚었다.

이 방정식은 여러 출판물에서 논의되었는데, 1960년에 이 방정식은 [[윌리엄 로웰 퍼트넘 수학경시대회]]의 질문 중 하나였으며 Alvin Hausner는 결과를 [[대수적 수체]]로 확장했다.

== 양수 해 ==

:*주요 출처:*

[[실수|양]]의 실수 범위에서 자명근 집합은 <math>x = y</math>이다. 비자명근은 [[람베르트 W 함수|람베르트 *W* 함수를]] 사용하여 양함수꼴로 표현할 수 있다. 아이디어는 방정식을 <math>ae^b = c</math> 꼴로 변형하고 <math>a</math>와 <math>b</math>를 일치시키도록 양변에 같은 값을 곱하거나 지수를 취하고, 람베르트 *W* 함수의 정의를 적용하여 <math>a'e^{a'} = c' \Rightarrow a' = W(c')</math>와 같이 쓰는 것이다.

: <math>\begin{align}
y^x &= x^y = \exp\left(y\ln x\right) & \\
y^x \exp\left(-y\ln x\right) &= 1 & \left(\exp\left(-y\ln x\right) \mbox{을 곱함} \right) \\
y\exp\left(-y\frac{\ln x}{x}\right) &= 1 & \left(\frac{1}{x} \mbox{ 제곱} \right) \\
-y\frac{\ln x}{x}\exp\left(-y\frac{\ln x}{x}\right) &= \frac{-\ln x}{x} & \left(\frac{-\ln x}{x} \mbox{을} \mbox{ 곱함} \right)
\end{align}</math>

: <math>\Rightarrow -y\frac{\ln x}{x} = W\left(\frac{-\ln x}{x}\right)</math>
: <math>\Rightarrow y = \frac{-x}{\ln x}\cdot W\left(\frac{-\ln x}{x}\right) = \exp\left(-W\left(\frac{-\ln x}{x}\right)\right)</math>

마지막 줄에서 [[람베르트 W 함수]]의 성질 <math>\frac{W(x)}{x} = \exp(-W(x))</math>을 사용했다.

여기서 이 해를 람베르트 *W'' 함수의 두 분지를 사용해서 구간별로 나누면

: \begin{align}
W_0\left(\frac{-\ln x}{x}\right) &= -\ln x \quad& (&0 

* 0  :

: \Rightarrow \frac{-\ln x}{x} \ge 0
: \begin{align}\Rightarrow y &= \exp\left(-W_0\left(\frac{-\ln x}{x}\right)\right) \\
 &= \exp\left(-(-\ln x)\right) \\
 &= x \end{align}

* 1  :

: \Rightarrow \frac{-1}{e} 
: \Rightarrow y = \begin{cases}
\exp\left(-W_0\left(\frac{-\ln x}{x}\right)\right) = x \\
\exp\left(-W_{-1}\left(\frac{-\ln x}{x}\right)\right)
\end{cases}

* x = e :

: \Rightarrow \frac{-\ln x}{x} = \frac{-1}{e}
: \Rightarrow y = \begin{cases}
\exp\left(-W_0\left(\frac{-\ln x}{x}\right)\right) = x \\
\exp\left(-W_{-1}\left(\frac{-\ln x}{x}\right)\right) = x
\end{cases}

* x > e :

: \Rightarrow \frac{-1}{e} 
: \Rightarrow y = \begin{cases}
\exp\left(-W_0\left(\frac{-\ln x}{x}\right)\right) \\
\exp\left(-W_{-1}\left(\frac{-\ln x}{x}\right)\right) = x
\end{cases}

따라서 비자명근은 다음과 같다.

### 매개변수 형태
비자명근은 y = vx로 치환함으로써 보다 쉽게 구할 수 있다. 치환한 다음 양변을 \tfrac{1}{x} 제곱하고 x로 나누면, 다음을 얻는다.

: (vx)^x = x^{vx} = (x^v)^x.

: v = x^{v-1}.

따라서 자명하지 않은 양수 해의 매개변수꼴은 다음과 같다.따라서 1이 아닌 양수 v에 대하여 모든 근은 이 해를 바탕으로 도함수는 다음과 같다.

이 해를 바탕으로 도함수는 다음과 같다. y=x인 순서쌍 (x,y)에 대하여 \dfrac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=1이고, 그 외의 경우는 매개변수로 표현한 함수의 미분법에 따라 \frac{\mathrm d y}{\mathrm d x} = v^2\left(\frac{v-1-\ln v}{v-1-v\ln v}\right). (단, v는 1이  양수)

:

## 다른 실근
x, y 중 적어도 하나가 음수인 해도 존재한다. 위의 매개변수화로부터 얻을 수 있으며 예를 들어, x=\frac{1}{\sqrt[3]{-2}}, y=\frac{-2}{\sqrt[3]{-2}} (여기서 세제곱근은 실수값)가 있다. 유사하게 x^x가 실수일 때 자명근 y=x (x)도 존재한다. (예를 들어 x=y=-1)

## 유사한 그래프
### 방정식
방정식 \sqrt[x]y = \sqrt[y]x의 그래프는 1/e에서 만나는 선과 곡선으로 이루어져 있다. 또한 곡선은 (0, 1)과 (1, 0)에서 무한대로 발산하지 않는다.

곡선 부분은 다음과 같이 양함수 형태로 표현된다.

y=\begin{cases}
e^{W_0(\ln(x^x))} \quad& (0

이 방정식은 y^y=x^x와 동치인데, 양변을 xy제곱하면 해당 방정식과 같기 때문이다. 이와 유사하게 방정식 \sqrt[y]{y}=\sqrt[x]{x} 는 방정식 x^y = y^x와 동치이다.

### 방정식
방정식 \log_x(y) = \log_y(x)의 그래프는 (1,&nbsp;1)에서 서로 만나는 곡선 y=\dfrac{1}{x}과 y=x로 이루어져 있다.

## 각주

## 외부 링크
* 
* 
* 
* OEIS sequence A073084 (Decimal expansion of −x, where x is the negative solution to the equation 2^x = x^2)

분류:유희 수학
분류:디오판토스 방정식