얼리 효과

[섬네일|right|300px|그림 1. 위: 낮은 컬렉터-베이스 역방향 바이어스에서의 NPN 베이스 폭; 아래: 큰 컬렉터-베이스 역방향 바이어스에서의 더 좁은 NPN 베이스 폭. 해싱된 영역은 [결핍 영역|공핍 영역이다.]]
[섬네일|right|300px|2. [접합형 트랜지스터의 출력 특성 플롯에서 보이는 얼리 전압 (VA).]]

**얼리 효과**()는 발견자인 제임스 M. 얼리의 이름을 따서 명명되었으며, 인가되는 베이스-컬렉터 전압의 변화로 인해 접합형 트랜지스터(BJT)의 베이스 유효 폭이 변하는 현상이다. 예를 들어, 컬렉터-베이스 접합에 더 큰 역방향 바이어스가 가해지면 컬렉터-베이스 공핍 폭이 증가하여 베이스의 전하 운반자 부분의 폭이 감소한다.

## 설명
그림 1에서 중성(즉, 활성) 베이스는 녹색이고, 공핍된 베이스 영역은 옅은 녹색으로 해싱되어 있다. 중성 이미터 및 컬렉터 영역은 진한 파란색이고, 공핍된 영역은 옅은 파란색으로 해싱되어 있다. 컬렉터-베이스 역방향 바이어스가 증가하면 그림 1의 아래쪽 패널은 베이스의 공핍 영역이 넓어지고 이에 따라 중성 베이스 영역이 좁아지는 것을 보여준다.

컬렉터 공핍 영역도 역방향 바이어스 하에서 증가하는데, 베이스보다 컬렉터가 덜 고농도로 도핑되어 있기 때문에 베이스보다 더 많이 증가한다. 이 두 폭을 지배하는 원리는 전하 중성이다. 컬렉터의 폭이 좁아지는 것은 컬렉터가 베이스보다 훨씬 길기 때문에 큰 영향을 미치지 않는다. 이미터-베이스 접합은 이미터-베이스 전압이 동일하기 때문에 변하지 않는다.

베이스 폭 감소는 전류에 영향을 미치는 두 가지 결과를 가져온다:
* "더 작은" 베이스 영역 내에서 재결합할 가능성이 줄어든다.
* 베이스를 가로지르는 전하 기울기가 증가하고, 결과적으로 컬렉터-베이스 접합을 가로질러 주입되는 소수 운반자의 전류가 증가하며, 이 순 전류를 I_\text{CB0}라고 한다.

이 두 요인 모두 컬렉터 전압이 증가함에 따라 트랜지스터의 컬렉터 또는 "출력" 전류를 증가시키지만, 두 번째 요인만 얼리 효과라고 한다. 이 증가된 전류는 그림 2에 표시되어 있다. 큰 전압에서 특성 곡선에 접선을 그으면 전압 축에서 **얼리 전압**이라고 불리는 전압에 도달하도록 역으로 외삽되며, 종종 VA 기호로 표시된다.

## 대신호 모델
순방향 활성 영역에서 얼리 효과는 컬렉터 전류(I_\mathrm{C})와 순방향 공통 이미터 전류 이득(\beta_\mathrm{F})을 다음과 같은 방정식으로 수정한다:
: \begin{align}
      I_\mathrm{C} &=     I_\mathrm{S} e^{\frac{V_\mathrm{BE}}{V_\mathrm{T}}} \left(1 + \frac{V_\mathrm{CE}}{V_\mathrm{A}}\right)  \\
  \beta_\mathrm{F} &= \beta_\mathrm{F0} \left(1 + \frac{V_\mathrm{CE}}{V_\mathrm{A}}\right)
\end{align}
여기서
* V_\mathrm{CE}는 컬렉터–이미터 전압
* V_\mathrm{BE}는 베이스–이미터 전압
* I_\mathrm{S}는 역 포화 전류
* V_\mathrm{T}는 열 전압 \mathrm{kT/q}로, 약 26 mV이다. 열 전압: 반도체 물리학에서의 역할 참조
* V_\mathrm{A}는 **얼리 전압**(일반적으로 ; 더 작은 소자에서는 더 낮음)
* \beta_\mathrm{F0}는 영 바이어스에서의 순방향 공통-이미터 전류 이득이다.

일부 모델은 컬렉터 전류 보정 계수를 컬렉터-이미터 전압 VCE 대신 컬렉터-베이스 전압 VCB에 기반을 둔다(베이스-폭 변조에 설명된 대로). VCB를 사용하는 것이 물리적으로 더 타당할 수 있는데, 이는 효과의 물리적 기원인 VCB에 따라 컬렉터-베이스 공핍층이 넓어지는 것과 일치한다. SPICE에 사용되는 것과 같은 컴퓨터 모델은 컬렉터-베이스 전압 VCB를 사용한다.

## 소신호 모델
얼리 효과는 소신호 모델 회로 모델(하이브리드-파이 모델 등)에서 다음과 같이 정의된 저항으로 설명할 수 있다.
: r_\text{O} = \frac{V_\text{A} + V_\text{CE}}{I_\text{C}} \approx \frac{V_\text{A}}{I_\text{C}}
이 저항은 트랜지스터의 컬렉터-이미터 접합과 병렬로 연결된다. 따라서 이 저항은 간단한 전류 미러 또는 능동 부하 공통 이미터 증폭기의 유한 출력 저항을 설명할 수 있다.

SPICE에서 사용되는 모델과 위에서 논의된 V_{CB}를 사용하여 저항은 다음과 같이 된다:
: r_\text{O} = \frac{V_\text{A} + V_\text{CB}}{I_\text{C}}
이는 교과서 결과와 거의 일치한다. 어떤 공식에서도 r_O는 실제 관찰되는 바와 같이 DC 역방향 바이어스 V_{CB}에 따라 달라진다.

MOSFET에서 출력 저항은 Shichman–Hodges 모델(매우 오래된 기술에 정확함)에서 다음과 같이 주어진다.
: r_\text{O} = \frac{1 + \lambda V_\text{DS}}{\lambda I_\text{D}} = \frac{1}{I_\text{D}}\left(\frac{1}{\lambda} + V_\text{DS}\right)
여기서 V_\text{DS} = 드레인-소스 전압, I_\text{D} = 드레인 전류, \lambda = 채널 길이 변조 파라미터로, 일반적으로 채널 길이 L에 반비례한다고 가정한다.
바이폴라 결과와의 유사성 때문에 "얼리 효과"라는 용어는 MOSFET에도 자주 적용된다.

### 전류-전압 특성

이 식들은 PNP 트랜지스터에 대해 유도되었다. NPN 트랜지스터의 경우 아래의 모든 식에서 n을 p로, p를 n으로 바꾸어야 한다.
BJT의 이상적인 전류-전압 특성을 유도할 때 다음 가정이 포함된다.
* 낮은 수준 주입
* 각 영역에서 갑작스러운 접합부를 가진 균일한 도핑
* 1차원 전류
* 공간 전하 영역에서 무시할 수 있는 재결합-생성
* 공간 전하 영역 외부에서 무시할 수 있는 전기장.

전하 운반자 주입에 의해 유도되는 소수 확산 전류를 특성화하는 것이 중요하다.

pn 접합 다이오드와 관련하여 핵심 관계는 확산 방정식이다.
: \frac{d^2 \Delta p_{\text{B}} (x)}{dx^2} = \frac{\Delta p_{\text{B}} (x)}{L_{\text{B}}^2}

이 방정식의 해는 아래와 같으며, 두 가지 경계 조건이 C_1과 C_2를 풀고 찾는 데 사용된다.
: \Delta p_{\text{B}} (x) = C_1 e^{\frac{x}{L_{\text{B}}}} + C_2 e^{-\frac{x}{L_{\text{B}}}}

다음 방정식은 각각 이미터 및 컬렉터 영역에 적용되며, 원점 0, 0', 및 0는 베이스, 컬렉터, 이미터에 적용된다.
: \begin{align}
  \Delta n_{\text{B}} (x) &= A_1 e^{\frac{x}{L_{\text{B}}}} + A_2 e^{-\frac{x}{L_{\text{B}}}} \\
  \Delta n_{\text{c}} (x')  &= B_1 e^{\frac{x' }{L_{\text{B}}}} + B_2 e^{-\frac{x' }{L_{\text{B}}}}
\end{align}

이미터의 경계 조건은 다음과 같다.
: \Delta n_{\text{E}} (0) = n_{\text{E}O} \left(e^{\frac{1}{kT} q V_{\text{EB}}} - 1\right)

상수 A_1과 B_1의 값은 x \rightarrow 0 및 x' \rightarrow 0일 때 이미터 및 컬렉터 영역의 다음 조건 때문에 0이다.
: \begin{align}
  \Delta n_{\text{E}} (x) &\rightarrow 0 \\
  \Delta n_{\text{c}} (x' ) &\rightarrow 0
\end{align}

A_1 = B_1 = 0이므로, \Delta n_{\text{E}} (0) 및 \Delta n_{\text{c}} (0')의 값은 각각 A_2 및 B_2이다.
: \begin{align}
  \Delta n_{\text{E}} (x) &= n_{\text{E}0} \left(e^{\frac{q V_{\text{EB}}}{kT}} - 1\right) e^{-\frac{x}{L_{\text{E}}}} \\
  \Delta n_{\text{C}} (x' ) &= n_{\text{C}0} \left(e^{\frac{q V_{\text{CB}}}{kT}} - 1\right) e^{-\frac{x' }{L_{\text{C}}}}
\end{align}

I_{\text{E}n}과 I_{\text{C}n}의 식을 평가할 수 있다.
: \begin{align}
  I_{\text{E}n} &= \left. -q A D_{\text{E}} \frac{d \Delta_{\text{E}} (x)}{dx} \right|_{x=0} \\
  I_{\text{C}n} &=        -q A \frac{D_{\text{C}}}{L_{\text{C}}} n_{\text{C}0} \left(e^{\frac{q V_{\text{CB}}}{kT}} - 1\right)
\end{align}

무시할 수 있는 재결합이 발생하기 때문에 \Delta p_{\text{B}} (x)의 2차 미분은 0이다. 따라서 과잉 정공 밀도와 x 사이에는 선형 관계가 존재한다.
: \Delta p_{\text{B}} (x) = D_1 x + D_2

다음은 \Delta p_{\text{B}}의 경계 조건이다.
: \begin{align}
  \Delta p_{\text{B}}(0) &= D_2 \\
  \Delta p_{\text{B}}(W) &= D_1 W + \Delta p_{\text{B}}(0)
\end{align}
여기서 W''는 베이스 폭이다. 위 선형 관계에 대입한다.
: \Delta p_\text{B}(x) = -\frac{1}{W}\left[\Delta p_\text{B}(0) - \Delta p_\text{B}(W)\right]x + \Delta p_\text{B}(0)

이 결과를 사용하여 I_{\text{E}p}의 값을 유도한다.
: \begin{align}
  I_{\text{E}p} (0) &= \left.-q A D_{\text{B}} \frac{d \Delta p_\text{B}}{dx}\right|_{x=0} \\
  I_{\text{E}p} (0) &= \frac{q A D_\text{B}}{W} \left[\Delta p_\text{B}(0) - \Delta p_\text{B}(W)\right]
\end{align}

I_{\text{E}p}, I_{\text{E}n}, \Delta p_{\text{B}}(0), 및 \Delta p_{\text{B}}(W)의 식을 사용하여 이미터 전류의 식을 개발한다.
: \begin{align}
  \Delta p_{\text{B}}(W) &= p_{\text{B}0} e^{\frac{q V_\text{CB}}{kT}} \\
  \Delta p_{\text{B}}(0) &= p_{\text{B}0} e^{\frac{q V_\text{EB}}{kT}} \\
            I_{\text{E}} &= qA \left[ \left(\frac{D_\text{E} n_{\text{E}0}}{L_\text{E}} + \frac{D_\text{B} p_{\text{B}0}}{W}\right)
                                        \left(e^{\frac{q V_\text{EB}}{kT}} - 1 \right) -
                                      \frac{D_{\text{B}}}{W} p_{\text{B}0}\left( e^{\frac{q V_{\text{CB}}}{k T}} - 1 \right)
                              \right]
\end{align}

마찬가지로 컬렉터 전류의 식도 유도된다.
: \begin{align}
  I_{\text{C}p}(W) &= I_{\text{E}p}(0) \\
      I_{\text{C}} &= I_{\text{C}p}(W) + I_{\text{C}n}(0') \\
      I_{\text{C}} &= q A \left[ \frac{D_\text{B}}{W} p_{\text{B}0}\left(e^{\frac{q V_\text{EB}}{kT}} - 1\right) -
                                 \left(\frac{D_\text{C} n_{\text{C}0}}{L_\text{C}} + \frac{D_\text{B} p_{\text{B}0}}{W}\right)
                                   \left(e^{\frac{q V_\text{CB}}{kT}} - 1\right)
                         \right]
\end{align}

베이스 전류의 식은 이전 결과들로 구해진다.
: \begin{align}
  I_{\text{B}} &= I_{\text{E}} - I_{\text{C}} \\
  I_{\text{B}} &= q A \left[ \frac{D_\text{E}}{L_\text{E}} n_{\text{E}0}\left(e^{\frac{q V_\text{EB}}{kT}} - 1\right) + \frac{D_\text{C}}{L_\text{C}} n_{\text{C}0}\left(e^{\frac{q V_\text{CB}}{kT}} - 1\right) \right]
\end{align}

## 각주

## 같이 보기
* 소신호 모델

분류:트랜지스터