감김 수

오른쪽|섬네일|250x250픽셀| 이 곡선은 점 ''p'' 주위를 두 번 감는다.

수학에서 평면에 주어진 점과 같은 평면에 있는 닫힌 곡선의 **감김 수**() 또는 **감김 지수**()는 곡선이 점 주위에서 시계 반대 방향으로 감는 총 횟수를 나타내는 정수다. 즉, 곡선이 주어진 점 주위를 몇 번 회전하였는지를 나타낸다. 김김 수는 곡선이 점을 감는 방향에 따라 다르다. 시계 반대 방향으로 감는 경우를 양수를 부여하고, 시계 방향으로 점 주위를 감는 경우 음수를 부여한다.

감김 수는 대수적 위상수학의 기본적 대상이며 벡터 미적분학, 복소해석학, 기하학적 위상수학, 미분기하학뿐만 아니라, 수리물리학, 이론물리학(예: 끈 이론)에서도 중요한 역할을 한다.

## 직관적인 설명
오른쪽|섬네일|300x300픽셀| 빨간색 곡선을 따라 이동하는 물체는 원점에 있는 사람을 중심으로 시계 반대 방향으로 두 번 회전한다.
평면에 방향이 주어진 닫힌 곡선이 있다고 가정하자. 곡선을 한 점 A가 이동하는 자취라고 생각하자. 그러면, 곡선의 감김 수는 점이 원점을 중심으로 시계 반대 방향으로 회전하는 총 수와 같다.

총 회전 수를 계산할 때 시계 반대 방향은 양수로, 시계 방향은 음수로 계산한다. 예를 들어 점 A가 처음에 시계 반대 방향으로 원점을 네 번 돌고 그 다음 시계 방향으로 원점을 한 번 돌면 곡선이 점을 감은 횟수는 세 번이다.

이 방식에 따르면, 원점 주위를 전혀 이동하지 않는 곡선은 감김 횟수가 0인 반면, 원점 주위를 시계 방향으로 이동하는 곡선은 음의 감김 횟수를 갖는다. 따라서 곡선의 감김 수는 정수가 될 수 있다. 다음 그림은 &#x2212;2와 3 사이의 감김 수가 있는 곡선을 보여준다.

## 정의
\gamma:[0,1] \to \Complex \setminus \{a\}를 한 점 a를 뺀 평면 위에 있는 닫힌 곡선이라 하자. \gamma가 a 주위를 감는 수는

: \text{wind}(\gamma,a) = s(1) - s(0)

이다. 여기서 (\rho,s)는 극좌표로 표현된 곡선, 즉, 다음 덮개 사상을 통해 들어올려진 곡선이다.

: p:\Reals_{>0} \times \Reals \to \Complex \setminus \{a\}: (\rho_0,s_0) \mapsto a+\rho_0 e^{i2\pi s_0}.

감김 수는 들어 올려진 경로의 존재성과 유일성(덮개 공간의 시작점 지정)과 모든 올이 p 형식이다 \rho_0 \times (s_0 + \Z) (따라서 위의 표현은 시작점의 선택에 의존하지 않는다). 곡선이 닫혀 있기 때문에 정수이다.

## 다른 정의들
감김 수는 종종 수학의 다양한 부분에서 다른 방식들으로 정의된다. 아래의 모든 정의는 위에 주어진 정의와 동일하다.

### 알렉산더의 감김 수 셈법
1865년 아우구스트 페르디난트 뫼비우스는 감김 수를 정의하기 위한 간단한 조합 규칙을 제안했으며 1928년 제임스 워델 알렉산더가 다시 독립적으로 제안했다. 모든 곡선은 평면을 여러 연결 성분들로 분할하며, 그 중 하나는 유계가 아니다. 같은 연결 성분에 있는 두 점 주위의 곡선의 감김 수는 동일하다. 유계가 아닌 연결 성분 안의 임의의 점에 대한 감김 수는 0이다. 마지막으로, 인접한 두 연결 성분의 감김 수는 정확히 1만큼 다르다. 더 큰 감김 수를 가진 연결 성분이 곡선의 왼쪽에 나타난다.

### 미분기하학
미분기하학에서 매개변수 방정식은 일반적으로 미분 가능(또는 적어도 부분적으로 미분 가능)하다고 가정한다. 이 경우 극좌표 *<math>\theta</math>*는 다음 방정식에 의해 데카르트 좌표 *<math>x,y</math>*와 관련된다.

: d\theta = \frac{1}{r^2} \left( x\,dy - y\,dx \right)\quad\text{where }r^2 = x^2 + y^2.

이는 *<math>\theta</math>*에 대한 다음 정의를 미분하여 찾을 수 있다.

:  \theta(t)=\arctan\bigg(\frac{y(t)}{x(t)}\bigg)

미적분학의 기본정리에 의해 *<math>\theta</math>*의 전체 변화는 *<math>d\theta</math>*의 적분과 같다. 따라서 미분 가능한 곡선의 감김 수를 선적분으로 표현할 수 있다.

: \text{wind}(\gamma,0) = \frac{1}{2\pi} \oint_{\gamma} \,\left(\frac{x}{r^2}\,dy - \frac{y}{r^2}\,dx\right).

제 1형식 d\theta(원점의 여집합에서 정의됨)는 닫힌 형식이지만 완전 형식은 아니며 구멍이 뚫린 평면의 첫 번째 드람 코호몰로지 군을 생성한다. 특히, *<math>\omega</math>*가 원점의 여집합에 정의된 닫힌 제 1미분형식인 경우 폐곡선을 따라 *<math>\omega</math>*를 적분하면 감김 수의 배수가 된다.

### 복소해석학
감김 수는 복소해석학에서 아주 중요한 역할을 한다(유수 정리 설명 참조). 복소해석학의 맥락에서 폐곡선 \gamma의 감김 수를 복소평면에서 복소 좌표 z=x+yi로 표현 할 수 있다. 구체적으로,  z=re^{i\theta}라고 쓰면,

: dz = e^{i\theta} dr + ire^{i\theta} d\theta

따라서,

: \frac{dz}{z} = \frac{dr}{r} + i\,d\theta = d[ \ln r ] + i\,d\theta.

\gamma가 폐곡선이고 총 변화량은 \ln (r) 0이므로  \frac{dz}{z}를 적분한 값은 i에 \theta의 총 변화량을 곱한 값과 같다. 따라서, 원점에 대한 폐곡선 \gamma의 감김 수는

: \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{dz}{z} \, .

일반적으로, \gamma가 t\in[\alpha,\beta]에 의해 매개변수화된 닫힌 곡선이라 하자. z_0에 대한 \gamma 의 감김 수 또는 z_0 대한 \gamma의 지표는 복소수z_0\notin \gamma([\alpha, \beta])에 대해 다음과 같이 정의된다:

: \mathrm{Ind}_\gamma(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{d\zeta}{\zeta - z_0} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\alpha}^{\beta} \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t) - z_0} dt.

이것은 유명한 코시 적분 공식의 특별한 경우이다.

복소 평면에서 감김 수의 기본 성질들 중 일부는 다음 정리에 의해 제공된다.

**정리.** *<math>\gamma:[\alpha,\beta]\to\mathbb{C}</math>가 닫힌 곡선이고 <math>\Omega</math>가 . <math>\gamma</math>의 여집합이라고 하자. 즉, <math>\Omega:=\mathbb{C}\setminus\gamma([\alpha,\beta])</math>.* *그러면 <math>z</math>의 지수는 <math>\gamma</math>에 대하여,*\mathrm{Ind}_\gamma:\Omega\to \mathbb{C},\ \ z\mapsto \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma \frac{d\zeta}{\zeta-z},\mathrm{Ind}_\gamma:\Omega\to \mathbb{C},\ \ z\mapsto \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma \frac{d\zeta}{\zeta-z}는 (i) 정수 값, 즉, 모든 z\in\Omega에 대해 \mathrm{Ind}_\gamma(z)\in\mathbb{Z}; (ii) \Omega의 각 연결 성분에 대해 상수; (iii) z가 유계가 아닌 \Omega의 연결 성분에 있으면 0.

즉각적인 결과로서 이 정리는 점 z에 대한 원형 곡선 \gamma의 감김 수를 제공한다. 예상대로 감김 횟수는 시계 반대 방향으로 z 주위를 도는 고리 \gamma들의 수를 세는 것이다:

**따름정리.** *<math>\gamma</math>가 <math>\gamma(t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi, \ \ n\in\mathbb{Z}</math>로 정의된 곡선이라 하자. 그러면,* \mathrm{Ind}_\gamma(z) = \begin{cases} n, & |z-a| r. \end{cases}

### 위상수학
위상수학에서 감김 수는 브라우어르 차수의 다른 이름이다.

위의 한 점을 중심으로 하는 곡선의 예는 간단한 위상수학적 의미를 갖는다. 평면에서 한 점의 여집합은 원과 동등한 호모토피이므로 원에서 그 자체로의 사상이 실제로 고려해야 할 전부이다. 그러한 각각의 사상은 표준 사상 S^1 \to S^1 : s \mapsto s^n들 중 하나로 연속적으로 변형될 수 있음을 보여줄 수 있다(호모토픽하다). 여기서 원의 곱셈은 복소 평면에서 단위 원 상의 복소수 e^{i\theta}들의 곱으로 정의된다. 원에서 위상 공간으로 가는 사상의 호모토피 동치류 집합은 군을 형성하며, 이를 첫 번째 호모토피 군 또는 해당 공간의 기본군이라고 한다. 원의 기본군은 정수 군 \mathbb Z이다. 일반적 곡선의 감김 수는 이의 호모토피 동치류일 뿐이다.

3차원 구면에서 그 자체로의 사상은 감김 수 또는 때때로 폰트랴긴 지수라고도 하는 정수로 분류된다.

## 회전 수
섬네일|200x200픽셀| 이 곡선의 전곡률은 6 이고 ''회전 횟수''는 3이지만 회전 ''횟수''는  에 대해서만 2이다.
또한 곡선의 접벡터와 관련하여 곡선의 감김 수를 고려할 수 있다. 이는 곡선의 접벡터가 만드는 곡선의 원점에 대한 감김 수이다. 이 경우 이 문서의 시작 부분에 설명된 예에서는 작은 고리가 계산되기 때문에 감김 번호가 3이다.

이것은 몰입된 곡선에 대해서만 정의되며(즉, 도함수가 사라지지 않는 미분 가능한 경로에 대해) 접선 가우스 사상의 차수이다.

이것을 **선회수**, **회전수**, **회전 지수** 또는 **곡선의 지수**라고 하며, 전곡률을 로 나눈 값으로 계산할 수 있다.

### 다각형
다각형에서 **회전 수**는 다각형 밀도라고 한다. 볼록 다각형 및 보다 일반적으로 단순한 다각형 (자기 교차하지 않음)의 경우 조르당 곡선 정리에 따라 밀도는 1이다. 대조적으로 정칙 별 모양 다각형 {*p*/*q*}의 경우 밀도는 *q*이다.

### 3차원 공간 안에서 일반적 곡선
각도에는 일치하는 치수가 필요하므로 3차원 공간 안에 있는 일반적 곡선에 대해 회전 수를 정의할 수 없다. 그러나 국소적으로 볼록하고 닫힌 곡선의 경우 **접선 회전 기호**를 (-1)^d로 정의할 수 있다. 여기서 d는 탄젠트 표시의 입체 사영의 회전 수이다. 그것의 두 값은 국소적으로 볼록한 곡선의 두 비퇴화 호모토피 동치류에 해당한다.

## 감김 수와 하이젠베르크 강자성체 방정식
감김 수는 (2+1) 차원 연속 하이젠베르크 강자성체 방정식과 이 방정식의 적분가능한 확장: 이시모리 방정식 등 마지막 방정식의 해는 감김 수 또는 위상 전하 (위상 불변량 및 위상 양자 수)로 분류된다.

## 응용
섬네일| 단 선데이의 감김 수 알고리듬 시각화. 감김 수가 0이면 점이 다각형 외부에 있음을 의미한다. 다른 값은 점이 다각형 내부에 있음을 나타낸다.

### 다각형의 점
다각형에 대한 점의 감김 수는 다각형 안의 점 문제를 해결하는 데 사용할 수 있다. 즉, 점이 다각형 내부에 있는지 여부를 결정하는 데 사용할 수 있다.

일반적으로 레이 캐스팅 알고리듬 은 감김 수 알고리즘과 달리 삼각 함수가 필요하지 않기 때문에 PIP 문제에 대한 더 나은 대안이다. 그럼에도 불구하고 감김 수 알고리듬은 삼각 함수와 관련된 계산이 필요하지 않도록 속도를 높일 수 있다. 단순하지 않은 다각형도 고려해야 하는 경우 선데이 알고리듬이라고도 하는 알고리듬의 속도 향상 버전을 권장한다.

## 같이 보기
* 편각 원리
* 연환수
* Nonzero Winding Rule
* 밀도 (다포체)
* 슐레플리 기호
* 위상수학적 양자 수
* 윌슨 고리

## 각주

분류:미분기하학
분류:복소해석학
분류:대수적 위상수학