각도 분해 광전자 분광법

[alt=|섬네일|upright=1.2|구리의 [밀러 지수|(111) 표면에 국소화된 2차원 전자 상태의 ARPES 스펙트럼. 에너지는 p2/2m의 자유 전자와 같은 운동량 의존성을 가지며, 여기서 이다. 색상 척도는 운동 에너지 및 방출 각도 채널당 전자 수를 나타낸다. 21.22&nbsp;eV 광자를 사용할 때, 페르미 준위는 16.64&nbsp;eV에서 이미징된다.]]

**각도 분해 광전자 분광법**(, **ARPES**)은 보통 결정성 고체와 같은 물질 내 전자의 허용된 에너지와 운동량을 조사하기 위해 응집물질물리학에서 사용되는 실험 기법이다. 이는 충분한 에너지를 가진 입사 광자가 물질의 표면에서 전자를 방출시키는 광전 효과에 기반한다. 방출된 광전자의 운동 에너지와 방출 각도 분포를 직접 측정함으로써, 이 기법은 띠구조와 페르미 표면을 매핑할 수 있다. ARPES는 1차원 또는 2차원 물질 연구에 가장 적합하다. 물리학자들은 고온 초전도체, 그래핀, 위상 물질, 양자 우물 상태 및 전하 밀도 파를 나타내는 물질을 조사하는 데 ARPES를 사용해 왔다.

ARPES 시스템은 좁은 광자 빔을 전달하는 단색 광원, 물질 샘플을 배치하는 데 사용되는 조절기에 연결된 샘플 홀더, 그리고 전자 분광계로 구성된다. 장비는 샘플을 보호하고 방출된 전자의 산란을 방지하는 초고진공(UHV) 환경 내에 수용된다. 운동 에너지와 방출 각도에 따라 두 수직 방향으로 분산된 후, 전자는 디텍터로 향하고 계수되어 ARPES 스펙트럼(한 운동량 방향을 따른 띠구조의 단면)을 제공한다. 일부 ARPES 장비는 전자의 일부를 추출하여 스핀의 편광을 측정할 수도 있다.

## 원리
결정성 고체의 전자는 양자역학에 의해 금지된 다른 상태를 제외하고 특정 에너지와 운동량의 상태만 점유할 수 있다. 이들은 고체의 띠구조라고 알려진 연속적인 상태를 형성한다. 띠구조는 물질이 절연체, 반도체 또는 금속인지, 어떻게 전기를 전도하고 어느 방향으로 가장 잘 전도하는지, 또는 자기장에서 어떻게 행동하는지를 결정한다.

각도 분해 광전자 분광법은 띠구조를 결정하고 전자가 물질의 다른 구성 요소와 상호작용하는 산란 과정과 상호작용을 이해하는 데 도움을 준다. 이는 광자에 의해 튀어나온 전자가 초기 에너지 및 운동량 상태에서, 에너지가 초기 에너지보다 광자의 에너지만큼 높고 고체 내 전자의 결합 에너지보다 높은 상태로 전이되는 것을 관찰함으로써 수행된다. 이 과정에서 전자의 운동량은 물질 표면에 수직인 성분을 제외하고는 거의 그대로 유지된다. 따라서 띠구조는 전자가 물질 내에 결합된 에너지에서, 결정 결합으로부터 자유로워져 물질 외부에서 감지될 수 있게 하는 에너지로 변환된다.

해방된 전자의 운동 에너지를 측정함으로써 그 속도와 절대 운동량을 계산할 수 있다. 표면 법선에 대한 방출 각도를 측정함으로써, ARPES는 광전자 방출 과정에서 보존되는 운동량의 두 평면 내 성분을 결정할 수도 있다. 많은 경우 필요한 경우 세 번째 성분도 재구성할 수 있다.

## 장치
[alt=|섬네일|upright=1.5|ARPES 실험의 전형적인 [연구실 설정(축척 아님): 자외선 광원으로서의 헬륨 방전 램프, 진공 조절기에 부착되는 샘플 홀더, 그리고 반구형 전자 에너지 분석기.]]각도 분해 광전자 방출을 위한 전형적인 장치는 광원, 조절기에 부착된 샘플 홀더, 그리고 전자 분광계로 구성된다. 이들은 모두 샘플 표면을 흡착물로부터 보호하고 분석기로 가는 도중 전자의 산란을 제거하기 위해 필요한 초고진공 시스템의 일부이다.

광원은 샘플에 몇 meV의 에너지 확산을 가진 약 1012 광자/s의 단색, 보통 편광, 집중된 고강도 빔을 전달한다. 광원은 소형 희가스 방전 UV 램프 및 무선 주파수 플라스마 소스(10–40&nbsp;eV)에서, 자외선 레이저(5–11&nbsp;eV), 전자기 스펙트럼의 다양한 부분에 최적화된 싱크로트론 삽입 장치(자외선 10&nbsp;eV에서 1000&nbsp;eV 엑스선까지)에 이르기까지 다양하다.

각도 분해 광전자 분광법을 위한 초고진공 챔버의 창을 통해 본 모습. 전자 빔 가열 장치가 통합된 결정 홀더가 상단의 xyz+theta 조절기에 부착되어 있고, 하단의 저온 냉각기에 은 편조선으로 연결되어 있다. 오른쪽에는 전자 분석기의 렌즈와 UV 소스 모세관이 보인다.|alt=|left|frameless|upright=0.85
샘플 홀더는 전자적 특성을 조사할 결정성 물질의 샘플을 수용한다. 이는 샘플의 진공 삽입, 깨끗한 표면을 노출시키기 위한 절단, 그리고 정밀한 위치 조정을 용이하게 한다. 홀더는 세 축을 따라 평행 이동하고 샘플의 극각, 방위각 및 기울기 각도를 조정할 수 있는 조절기의 연장선으로 작동한다. 홀더에는 정밀한 온도 측정 및 제어를 위한 센서 또는 열전대가 있다. 1 켈빈까지의 냉각은 저온 액화 가스, 저온냉동기, 그리고 희석냉동기에 의해 제공된다. 홀더에 부착된 저항 가열기는 수백 °C까지 가열할 수 있는 반면, 초소형 후면 전자 빔 충격 장치는 샘플 온도를 2000&nbsp;°C까지 높일 수 있다. 일부 홀더에는 광빔 집중 및 교정을 위한 부착물이 있을 수도 있다.

[alt=|섬네일|upright=1.5|각도 분산 평면에서 본 ARPES 분광계 정전 렌즈의 [전자 광학|전자 궤적. 이 장치는 결정의 같은 각도에서 방출되지만 샘플의 두 별개 지점에서 유래한 전자를 동일한 검출 채널에 집중시키는 어느 정도의 초점을 보여준다. 여기서 시뮬레이션된 분리 거리는 0.5 mm이다.]]
전자 분광계는 샘플을 빠져나올 때의 운동 에너지와 방출 각도에 따라 전자를 두 공간 방향으로 분산시킨다. 즉, 서로 다른 에너지와 방출 각도를 검출기의 서로 다른 위치로 매핑한다. 가장 흔히 사용되는 유형인 반구형 전자 에너지 분석기에서 전자는 먼저 정전 렌즈를 통과한다. 렌즈는 렌즈 입구에서 약 40&nbsp;mm 떨어진 곳에 좁은 초점을 가지고 있다. 이는 전자 구름의 각도 확산을 더욱 강화하고, 조정된 에너지를 가진 전자를 에너지 분산부의 좁은 입구 슬릿으로 전달한다.

alt=|left|섬네일|upright=0.85|ARPES용 각도 및 에너지 분해 전자 분광계(개략도)

에너지 분산은 각도 분산 방향에 수직인 방향, 즉 약 25&nbsp;mm 길이에 ⪆0.1&nbsp;mm 너비의 슬릿 절단면에 수직인 방향으로 소위 통과 에너지 주변의 좁은 에너지 범위에 대해 수행된다. 원통형 렌즈 축 주변에서 이전에 달성된 각도 분산은 슬릿을 따라서만 보존되며, 렌즈 모드와 원하는 각 분해능에 따라 보통 ±3°, ±7° 또는 ±15°가 되도록 설정된다. 에너지 분석기의 반구는 일정한 전압으로 유지되어 중앙 궤적은 설정된 통과 에너지와 동일한 운동 에너지를 가진 전자가 따라가도록 하며, 에너지가 더 높거나 낮은 전자는 분석기의 다른 쪽 끝에 있는 외부 또는 내부 반구에 더 가깝게 도달한다. 여기에 보통 형광 스크린과 짝을 이룬 40&nbsp;mm 마이크로채널 플레이트 디텍터 형태의 전자 검출기가 장착된다. 전자 검출 이벤트는 외부 카메라를 사용하여 기록되며 수십만 개의 별도 각도 대 운동 에너지 채널로 계수된다. 일부 장비에는 전자의 스핀 극성을 측정할 수 있도록 검출기 한쪽에 전자 추출 튜브가 추가로 장착되어 있다.

현대적인 분석기는 0.1°까지 낮은 전자 방출 각도를 분해할 수 있다. 에너지 분해능은 통과 에너지와 슬릿 너비에 따라 달라지므로, 운영자는 초고분해능 및 저강도(1&nbsp;eV 통과 에너지에서 h에 대해 에너지 h\nu를 가진 광자로 구성된 주파수 nu의 빛은 고체의 점유된 전자 상태에서 점유되지 않은 상태로의 전자 전이를 자극하는 데 사용된다. 광자의 에너지가 전자의 결합 에너지 E_\text{B}보다 크면, 전자는 결국 산란되지 않고 고체를 떠나 표면 법선에 대한 각도 \vartheta에서 운동 에너지
: E_\text{k}=h\nu-E_\text{B}
로 관찰되며, 둘 다 연구된 물질의 특징이다.

ARPES에 의해 E_\text{k} 및 
\vartheta의 함수로 측정된 전자 방출 강도 맵은 결합 에너지 E_\text{B}와 전자의 결정 운동량 및 군속도와 관련된 블로흐 파동 벡터 \mathbf{k}의 관점에서 표현된 고체 내 전자의 고유한 분포를 나타낸다. 광전자 방출 과정에서 블로흐 파동 벡터는 측정된 전자의 운동량 \mathbf{p}와 연결되며, 운동량의 크기 |\mathbf{p}| 는 다음 식에 의해 주어진다.
: |\mathbf{p}|=\sqrt{2 m_\text{e} E_\text{k}}.

전자가 표면 장벽을 가로지르면서 표면 일함수로 인해 에너지의 일부를 잃을 때, 표면에 평행한 \mathbf{p}의 성분인 \mathbf{p}_{\Vert}만이 보존된다. 따라서 ARPES로부터 \mathbf{k}_{\Vert} = \tfrac{1}{\hbar}\mathbf{p}_{\Vert} 만이 확실히 알려지며 그 크기는 다음과 같이 주어진다.
: |\mathbf{
k}_{\Vert}| = \tfrac{1}{\hbar}|\mathbf{p_{\Vert}}|=\tfrac{1}{\hbar}\sqrt{2 m_\text{e} E_\text{k}} \sin\vartheta.
여기서 \hbar는 환산 플랑크 상수이다.

3차원 파동 벡터의 불완전한 결정과 탄성 광전자 방출 과정의 뚜렷한 표면 민감도 때문에, ARPES는 2차원 물질, 초박막 및 나노와이어와 같은 정렬된 저차원 시스템의 띠구조를 완전하게 특성화하는 데 가장 적합하다. 3차원 물질에 사용될 때, 파동 벡터의 수직 성분 k_{\perp}은 보통 에너지가 -V_0인 바닥을 가진 포물선형의 자유 전자와 같은 최종 상태를 가정하여 근사화된다. 이는 다음을 제공한다.
:k_{\perp}=\tfrac{1}{\hbar}\sqrt{2m_\text{e}(E_\text{k} \cos^2\!\vartheta+V_0)}.
내부 전위 V_0는 선험적으로 알려지지 않은 파라미터이다. d-전자 시스템의 경우, 실험에 따르면 임이 시사된다. 일반적으로 내부 전위는 일련의 광자 에너지 의존 실험, 특히 광전자 방출 띠 매핑 실험을 통해 추정된다.

## 페르미 표면 매핑

운동량과 에너지 채널의 혼합을 방지하기 위해 슬릿을 사용하는 전자 분석기는 한 방향을 따라 각도 맵만 촬영할 수 있다. 에너지와 2차원 운동량 공간에 걸친 맵을 촬영하려면, 슬릿이 인접한 방출 각도에서 전자를 수신하도록 샘플을 적절한 방향으로 회전시키거나, 샘플을 고정한 상태에서 정전 렌즈 내부에서 전자 구름을 조종한다. 슬릿 너비는 각도 스캔의 단계 크기를 결정한다. 예를 들어, 렌즈 축 주위에 분산된 ±15° 구름이 30&nbsp;mm 길이에 1&nbsp;mm 너비의 슬릿에 제공될 때, 슬릿의 각 밀리미터는 양방향으로 1° 부분을 수신한다. 그러나 검출기에서 다른 방향은 전자의 운동 에너지로 해석되어 방출 각도 정보가 손실된다. 이 평균화는 슬릿에 수직인 방향의 스캔의 최대 각도 분해능을 결정한다. 1&nbsp;mm 슬릿의 경우 1°보다 거친 단계는 데이터 누락을 초래하고, 더 미세한 단계는 겹침을 초래한다. 현대적인 분석기는 0.05&nbsp;mm만큼 좁은 슬릿을 가지고 있다. 에너지–각도–각도 맵은 보통 에너지–kx–ky 맵을 제공하기 위해 추가로 처리되며, 띠구조에서 등에너지 표면을 표시하고, 가장 중요하게는 페르미 준위 근처에서 절단될 때 페르미 표면 맵을 표시하도록 슬라이싱된다.

## 방출 각도에서 운동량으로의 변환

ARPES 분광계는 슬릿을 따라 조각 α에서 각도 분산을 측정한다. 현대적인 분석기는 이러한 각도를 기준틀에서 동시에 기록하며, 일반적으로 ±15° 범위 내에 있다. 2차원 운동량 공간에 걸쳐 띠구조를 매핑하기 위해 표면의 광점을 고정한 상태에서 샘플을 회전시킨다. 가장 일반적인 선택은 슬릿과 평행한 축을 중심으로 극각 θ를 변경하고 기울기 τ 또는 방위각 φ를 조정하여 브릴루앙 영역의 특정 영역에서 방출되는 전자에 도달할 수 있도록 하는 것이다.

전자의 운동량 성분은 분석기의 기준틀에서 측정된 양으로 다음과 같이 표현될 수 있다.
: \mathbf{P}=[0,P\sin\alpha,P\cos\alpha], 여기서 P=\sqrt{2 m_\text{e} E_\text{k}}.

이러한 성분은 회전변환행렬 R_\textrm{axis}(\textrm{angle})을 사용하여 샘플의 기준틀에서의 적절한 운동량 성분 \mathbf{p}로 변환될 수 있다. 샘플이 y축을 중심으로 θ만큼 회전할 때, \mathbf{P}는 거기서 R_y(\vartheta)\,\mathbf{P} 성분을 가진다. 샘플이 x축을 중심으로 τ만큼 기울어지면, 이는 \mathbf{p}=R_x(\tau)R_y(\vartheta)\,\mathbf{P}가 되며, 이 매핑 기하학에서 ARPES에 의해 결정된 전자의 결정 운동량 성분은 다음과 같다.
: k_x = \tfrac{1}{\hbar}p_x=\tfrac{1}{\hbar}\sqrt{2 m_\text{e} E_\text{k}}\,\cos\alpha\sin\vartheta 
: k_y = \tfrac{1}{\hbar}p_y = \tfrac{1}{\hbar}\sqrt{2 m_\text{e} E_\text{k}}\,
(\pm\sin\alpha\cos\tau+\cos\alpha\sin\tau\cos\vartheta) 
:: k_y가 \sin(\alpha+\tau) 또는 \sin(\alpha-\tau)에 비례하는지에 따라 
:: \vartheta=0에서 부호를 선택한다.

샘플의 고대칭 축이 알려져 있고 정렬해야 하는 경우, z축을 중심으로 회전하여 방위각 φ에 의한 보정을 적용할 수 있으며, 이때 \mathbf{p}=R_z(\varphi)R_x(\tau)R_y(\vartheta)\,\mathbf{P}이거나 변환된 맵 를 2차원 운동량 평면의 원점을 중심으로 회전시킨다.

## 광전자 방출 강도 관계 이론
광전자 방출 이론은 N-전자 시스템의 상태 |i\rangle와 |f\rangle 사이의 직접적인 광학 전이 이론이다. 빛의 여기는 결정 내 전자의 양자역학적 해밀토니언의 운동 부분에서 최소 치환 \mathbf{p} \mapsto \mathbf{p}+e\mathbf{A}을 통해 자기 벡터 퍼텐셜 \mathbf{A}로 도입된다. 해밀토니언의 섭동 부분은 다음과 같이 도출된다.
: H' = \frac{e}{2m} (\mathbf{A}\cdot\mathbf{p} + \mathbf{p}\cdot\mathbf{A}) + \frac{e^2}{2m} |\mathbf{A}|^2.

이 치료에서 전자의 스핀과 전자기장의 결합은 무시된다. 스칼라 퍼텐셜 \phi는 바일 게이지 \phi=0을 부과하거나 \phi가 소스에서 멀리 떨어져 무시할 정도로 작아지는 쿨롱 게이지 \nabla\cdot\mathbf{A}=0에서 작업함으로써 0으로 설정된다. 어느 쪽이든, 교환자 \left[\mathbf{A},\mathbf{p}\right]=i\hbar\,\nabla\cdot\mathbf{A}는 0으로 간주된다. 특히 바일 게이지에서 \nabla\cdot\mathbf{A}\approx0인 이유는 자외선의 \mathbf{A} 주기가 전자의 파동 함수 주기보다 약 2크기 정도 더 크기 때문이다. 두 게이지 모두에서 표면의 전자가 들어오는 섭동에 반응할 시간이 거의 없었고 두 퍼텐셜에 아무것도 추가하지 않았다고 가정한다. 대부분의 실제적인 용도에서 이차항인 |A|^2를 무시하는 것이 안전하다. 따라서,
: H' = \frac{e}{m} \mathbf{A}\cdot\mathbf{p}.

전이 확률은 시간에 의존하는 섭동 이론에서 계산되며 페르미 황금률에 의해 다음과 같이 주어진다.
: \Gamma_{i \to f} = \frac{2\pi}{\hbar} |\langle f|H'|i \rangle|^2 \delta(E_f-E_i-h\nu)\propto |\langle f|\mathbf{A} \cdot \mathbf{p}|i\rangle|^2 \, \delta(E_f-E_i-h\nu),

위의 델타 분포는 에너지 h\nu를 가진 광자가 흡수될 때 에너지가 보존된다(E_f=E_i+h\nu)는 것을 말하는 방식이다.

전자기파의 전기장을 \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E_0}\sin(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)로 쓰면(여기서 \omega=2\pi\nu), 벡터 퍼텐셜은 그 편광을 상속받아 \mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\tfrac{1}{\omega}\mathbf{E_0}\cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)와 같아진다. 전이 확률은 전기장의 관점에서 다음과 같이 주어진다.
: \Gamma_{i \to f} \propto |\langle f|\tfrac{1}{\nu}\mathbf{E_0} \cdot \mathbf{p}|i\rangle|^2 \, \delta(E_f-E_i-h\nu).

전자가 N개 전자의 시스템에서 즉각적으로 제거된다고 가정하는 급격한 근사에서, 시스템의 최종 상태와 초기 상태는 광전자의 단일 입자 상태 |k_i\rangle, |k_f\rangle와 나머지 개 전자 시스템을 나타내는 상태들의 적절하게 반대칭화된 곱으로 간주된다.

에너지 E_f=E_{k}와 운동량 \mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}를 가진 전자의 광전자 방출 전류는 다음의 곱으로 표현된다.
* |\langle k_f|\mathbf{E_0} \cdot \mathbf{p}|k_i\rangle|^2 = M_{fi}, 광학 전이에 대한 **쌍극자 선택 규칙**으로 알려져 있다.
* A(\mathbf{k},E), 응집물질물리학의 다체 이론에서 알려진 1-전자 제거 **스펙트럼 함수**이다.
관찰되는 에너지와 운동량으로 이어지는 모든 허용된 초기 및 최종 상태에 대해 합산된다. 여기서 E는 페르미 준위 EF에 대해 측정되고, Ek는 진공에 대해 측정되므로 E_\text{k} = E+h\nu-W 이며, 여기서 일함수 W 는 두 기준 레벨 사이의 에너지 차이이다. 일함수는 물질, 표면 방향 및 표면 상태에 따라 달라진다. 허용된 초기 상태는 점유된 상태뿐이므로, 광전자 방출 신호는 EF 부근에서 온도 의존적인 시그모이드 모양의 강도 감소 형태로 페르미-디랙 통계 함수 f(E)=\frac{1}{1+e^{(E-E_\text{F})/k_\text{B}T}}를 반영할 것이다. 2차원 1-밴드 전자 시스템의 경우 강도 관계는 다음과 같이 더욱 감소한다.
: I(E_\text{k},\mathbf{k_{\Vert}})=I_M(\mathbf{k_{\Vert}},\mathbf{E_0},\nu)\, f(E)\, A(\mathbf{k_{\Vert}},E) .

### 선택 규칙
결정의 전자 상태는 블로흐 정리에 따라 비국소화된 전자에 대한 에너지 고윳값인 관련 에너지 밴드 분산 E(k)를 가진 에너지 밴드로 구성된다. 파동 함수의 블로흐 분해에서 평면파 인자 \exp(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r})로부터, 다른 입자가 관여하지 않을 때 허용된 유일한 전이는 결정 운동량이 역격자 벡터 \mathbf{G}만큼 차이가 나는 상태들 사이, 즉 축소 영역 도식에서 하나 위에 다른 하나가 있는 상태들 사이에서만 일어난다(따라서 직접 광학 전이라는 이름이 붙었다).

또 다른 선택 규칙 세트는 \mathbf{A}(또는 \mathbf{E_0})에 포함된 광자 편광과 초기 및 최종 1-전자 블로흐 상태 |k_i\rangle 및 |k_f\rangle의 대칭이 고려될 때 M_{fi}(또는 I_M)로부터 나온다. 이들은 역공간의 특정 부분에서 광전자 방출 신호를 억제하거나 초기 및 최종 상태의 특정 원자 궤도 기원에 대해 알려줄 수 있다.

### 다체 효과
[left|섬네일|upright=1.1|전자 도핑된 [그래핀의 재규격화된 π 밴드의 ARPES 스펙트럼; p-편광된 40&nbsp;eV 빛, . 점선은 베어 밴드(bare band)이다. −0.2&nbsp;eV에서의 킹크(kink)는 그래핀의 포논으로 인한 것이다.|alt=]]

ARPES에서 직접 측정되는 1-전자 스펙트럼 함수는 한 전자가 즉각적으로 제거된 N개 전자 시스템의 상태가 개 입자 시스템의 바닥 상태 중 하나일 확률을 매핑한다.
: A(\mathbf{k},E) = \sum_{m} \left |\,  \left \langle \begin{matrix} {\scriptstyle(N-1)\,\mathrm{eigenstate}} \\ {\scriptstyle m} \end{matrix} \,\,|\,\, \begin{matrix} {\scriptstyle(N)\,\mathrm{eigenstate}} \\ {\scriptstyle\mathrm{with\,} \mathbf{k} \mathrm{\,removed}} \end{matrix} \right\rangle \, \right |^2 \, \delta(E-E^{N-1}_m+E^{N})
.

만약 전자가 서로 독립적이라면, 상태 |k_i\rangle가 제거된 N-전자 상태는 정확히 개 입자 시스템의 고유 상태가 될 것이고, 스펙트럼 함수는 제거된 입자의 에너지와 운동량에서 무한히 날카로운 델타 함수가 될 것이다. 이는 에너지-운동량 공간에서 독립 입자의 E_o(\mathbf{k}) 분산을 추적할 것이다. 전자 상관관계가 증가하는 경우, 스펙트럼 함수는 넓어지고 기본 다체 시스템의 상호작용을 반영하는 더 풍부한 특징을 개발하기 시작한다. 이들은 관습적으로 준입자 자체 에너지라고 불리는 단일 입자 에너지 분산에 대한 복소 보정에 의해 설명된다.
: \Sigma(\mathbf{k}, E) = \Sigma'(\mathbf{k}, E) + i \Sigma(\mathbf{k}, E).

이 함수는 상호작용으로 인한 전자 분산의 재규격화와 여기로 인해 생성된 정공의 수명에 대한 완전한 정보를 포함한다. 두 가지 모두 몇 가지 합리적인 가정하에 고해상도 ARPES 스펙트럼의 분석으로부터 실험적으로 결정될 수 있다. 즉, 스펙트럼의 M_{fi} 부분이 운동량 공간의 고대칭 방향을 따라 거의 일정하며, 유일한 가변 부분은 스펙트럼 함수에서 나온다고 가정할 수 있다. \Sigma의 두 성분이 보통 E에만 의존한다고 가정할 때, \Sigma의 관점에서 다음과 같이 읽힌다.
: 
A(\mathbf{k}, E) = -\frac{1}{\pi} \frac{\Sigma(E)}{\left[E-E_{o}(\mathbf{k})-\Sigma'(E)\right]^2+\left[\Sigma(E)\right]^2}


[섬네일|upright=1.4|스펙트럼 함수의 등관성 에너지 컷은 대략 [로런츠 분포이며, 그 반치폭은 자체 에너지의 허수 부분에 의해 결정되는 반면, 베어 밴드로부터의 편차는 실수 부분에 의해 주어진다.|alt=]]

이 함수는 운동량 공간에서 선택된 방향을 따른 스캔으로서 ARPES로부터 알려져 있으며 A(k,E) 형태의 2차원 맵이다. 일정한 에너지 E_m에서 절단하면, 다음과 같이 \Sigma'(E_m)에 의해 주어진 재규격화된 피크 위치 k_m과 \Sigma(E_m)에 의해 결정된 반치폭 w를 가진 k의 로런츠와 유사한 곡선이 얻어진다.
# \Sigma'(E_m) = E_m-E_{o}(k_m)

# \Sigma(E_m) = \frac{1}{2} \left[E_{o}(k_m+{\textstyle \frac{1}{2}}w) - E_{o}(k_m-{\textstyle \frac{1}{2}}w) \right]

분석에서 남은 유일한 미지수는 베어 밴드(bare band) E_{o}(k)이다. 베어 밴드는 이전 두 식에서 얻은 복소 함수 \Sigma(E)의 두 성분 사이에 크라머스-크로니히 관계를 적용함으로써 자기 일관성 있는 방식으로 찾을 수 있다. 알고리즘은 다음과 같다. 가설 풀이 베어 밴드로 시작하여, 식 (2)로 \Sigma(E)를 계산하고, 크라머스-크로니히 관계를 사용하여 이를 \Sigma'(E)로 변환한 다음, 이 함수를 사용하여 식 (1)로 이산 지점 k_m 세트에서 베어 밴드 분산을 계산하고, 이를 적절한 곡선에 맞추어 알고리즘에 새로운 가설 풀이 베어 밴드로 입력한다. 수렴은 보통 몇 번의 빠른 반복으로 달성된다.

이런 방식으로 얻은 자체 에너지로부터 전자-전자 상관관계의 강도와 모양, 전자-포논(더 일반적으로는 전자-보손) 상호작용, 활성 포논 에너지, 그리고 준입자 수명을 판단할 수 있다.

디바이 포논과의 상호작용으로 인해 페르미 준위 근처에서 밴드가 평탄해지는 단순한 경우, 밴드 질량은 만큼 향상되며 전자-포논 결합 인자 λ는 온도에 따른 피크 너비의 선형 의존성으로부터 결정될 수 있다.

구리 산화물 초전도체와 같이 강하게 상관된 시스템의 경우, 안타깝게도 자체 에너지 지식은 스펙트럼의 특정 특징으로 이어지는 물리적 과정을 포괄적으로 이해하는 데 불충분하다. 사실 구리 산화물 초전도체의 경우 서로 다른 이론적 처리가 종종 스펙트럼의 특정 특징의 기원에 대해 매우 다른 설명을 제시한다. 전형적인 예는 구리 산화물에서의 유사갭(pseudogap), 즉 페르미 준위에서 스펙트럼 가중치의 운동량 선택적 억제이며, 이는 여러 저자에 의해 스핀, 전하 또는 (d-파) 페어링 변동과 관련이 있다고 주장되어 왔다. 작동 중인 근본적인 물리적 메커니즘에 대한 이러한 모호함은 오제 전자 분광학 및 출현 퍼텐셜 분광학과 같은 2-입자 상관 함수를 고려함으로써 극복될 수 있는데, 이는 시스템의 집단 모드를 설명할 수 있고 특정 바닥 상태 속성과도 관련될 수 있기 때문이다.

## 용도
ARPES는 많은 금속과 반도체의 점유된 띠구조, 표면의 투영된 밴드 갭에서 나타나는 상태, 감소된 차원을 가진 시스템에서 발생하는 양자 우물 상태, 그래핀과 같은 한 원자 두께의 물질, 단층 전이금속 칼코젠화합물, 그리고 다양한 종류의 위상절연체를 매핑하는 데 사용되어 왔다. 또한 고온 초전도체 및 전하 밀도 파를 나타내는 물질과 같이 고도로 상관된 물질에서 기본 띠구조, 갭 및 준입자 동역학을 매핑하는 데 사용되었다.

페르미 준위 바로 위의 속박 상태에 있는 전자 동역학을 연구해야 할 때는 펌프-프로브 설정(2PPE)의 2-광자 여기가 사용된다. 여기서 충분히 낮은 에너지를 가진 첫 번째 광자는 아직 광전자 방출에 필요한 에너지 미만인(즉, 페르미 준위와 진공 준위 사이) 비점유 밴드로 전자를 여기시키는 데 사용된다. 두 번째 광자는 이러한 전자를 고체 밖으로 차내어 ARPES로 측정할 수 있게 하는 데 사용된다. 일반적으로 저에너지 펄스 레이저의 고조파 생성과 광경로 변경을 통한 펄스 간 지연을 사용하여 두 번째 광자의 타이밍을 정밀하게 맞춤으로써, 전자 수명을 피코초 미만의 척도에서 결정할 수 있다.

## 같이 보기
* 준입자 간섭 이미징

## 내용주

## 각주

## 외부 링크
* Introduction to ARPES at Diamond Light Source i05 beamline

분류:방출분광학