파울리 방정식

양자역학에서 **파울리 방정식**() 또는 **슈뢰딩거-파울리 방정식**()은 스핀-1/2 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 공식으로, 입자의 스핀과 외부 전자기장의 상호작용을 고려한다. 이는 상대론적이 아닌 디랙 방정식의 한계이며, 입자가 빛의 속력보다 훨씬 느린 속도로 움직여 상대론적 효과를 무시할 수 있는 경우에 사용할 수 있다. 이 방정식은 1927년 볼프강 파울리에 의해 정립되었다. 선형화된 형태로는 레비-르블롱 방정식으로 알려져 있다.

## 방정식
질량 m과 전하 q를 가진 입자가 자기 벡터 퍼텐셜 \mathbf{A}와 전위 \phi로 기술되는 전자기장에 있을 때, 파울리 방정식은 다음과 같다.

 - q \mathbf{A}))^2 + q \phi \right] |\psi\rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle  
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여기서 \boldsymbol{\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)는 편의를 위해 벡터로 묶인 파울리 연산자이며, \mathbf{\hat{p}} = -i\hbar \nabla는 위치 표현에서 운동량 연산자이다. 시스템의 상태 |\psi\rangle (브라-켓 표기법으로 표기됨)는 두 성분 스피너 파동 함수 또는 열 벡터 (기저 선택 후)로 간주할 수 있다.
: |\psi\rangle = \psi_+ |\mathord\uparrow\rangle + \psi_-|\mathord\downarrow\rangle \,\stackrel{\cdot}{=}\, \begin{bmatrix}
\psi_+ \\
\psi_-
\end{bmatrix}.

해밀토니언 연산자는 파울리 연산자 때문에 2 × 2 행렬이다.

:\hat{H} = \frac{1}{2m} \left[\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{\hat{p}} - q \mathbf{A}) \right]^2 + q \phi

이를 슈뢰딩거 방정식에 대입하면 파울리 방정식이 나온다. 이 해밀토니언은 전자기장과 상호작용하는 전하를 띤 입자에 대한 고전적인 해밀토니언과 유사하다. 이 고전적인 경우에 대한 자세한 내용은 로런츠 힘을 참조하라. 전자기장이 없는 자유 입자의 운동 에너지 항은 단순히 \frac{\mathbf{p}^2}{2m}이며, 여기서 \mathbf{p}는 운동량이지만, 전자기장이 있는 경우에는 최소 결합 \mathbf{\Pi} = \mathbf{p} - q\mathbf{A}를 포함하며, 여기서 \mathbf{\Pi}는 운동량이고 \mathbf{p}는 정준 운동량이다.

파울리 연산자는 파울리 벡터 항등식을 사용하여 운동 에너지 항에서 제거할 수 있다:

:(\boldsymbol{\sigma}\cdot \mathbf{a})(\boldsymbol{\sigma}\cdot \mathbf{b}) =  \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + i\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\right)

벡터와 달리 미분 연산자 \mathbf{\hat{p}} - q\mathbf{A} = -i \hbar \nabla - q \mathbf{A}는 자신과의 외적이 0이 아님을 유의하라. 이는 스칼라 함수 \psi에 적용된 외적을 고려하면 알 수 있다:

:
\begin{align}
\left[\left(\mathbf{\hat{p}} - q\mathbf{A}\right) \times \left(\mathbf{\hat{p}} - q\mathbf{A}\right)\right]\psi &= -q \left[\mathbf{\hat{p}} \times \left(\mathbf{A}\psi\right) + \mathbf{A} \times \left(\mathbf{\hat{p}}\psi\right)\right]\\
&= i q \hbar \left[\nabla \times \left(\mathbf{A}\psi\right) + \mathbf{A} \times \left(\nabla\psi\right)\right]\\
&= i q \hbar \left[\psi\left(\nabla \times \mathbf{A}\right) - \mathbf{A} \times \left(\nabla\psi\right) + \mathbf{A} \times \left(\nabla\psi\right)\right] = i q \hbar \mathbf{B} \psi
\end{align}


여기서 \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}는 자기장이다.

완전한 파울리 방정식의 경우, 다음을 얻는다

 - q \mathbf{A}\right)^2 - q \hbar \boldsymbol{\sigma}\cdot \mathbf{B}\right] + q \phi\right]|\psi\rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle
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|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}이 방정식은 균일한 자기장을 갖는 란다우 양자화 또는 이상적인 쿨롱형 비균일 자기장의 맥락에서 알려진 몇 가지 해석적 결과만 있다.

### 약한 자기장
자기장이 상수이고 균일한 경우, 대칭 게이지 \mathbf{\hat{A}}=\frac{1}{2}\mathbf{B}\times\mathbf{\hat{r}}를 사용하여 (\mathbf{\hat{p}}-q\mathbf{A})^2를 확장할 수 있다. 여기서 \mathbf{r}은 위치 연산자이고 A는 이제 연산자이다. 우리는 다음을 얻는다.

:(\mathbf \hat{p}-q \mathbf \hat{A})^2 = |\mathbf{\hat{p}}|^{2} - q(\mathbf{\hat{r}}\times\mathbf \hat{p})\cdot \mathbf{B} +\frac{1}{4}q^2\left(|\mathbf{B}|^2|\mathbf{\hat{r}}|^2-|\mathbf{B}\cdot\mathbf{\hat{r}}|^2\right) \approx \mathbf{\hat{p}}^{2} - q\mathbf \hat{L}\cdot\mathbf B\,, 

여기서 \mathbf{\hat{L}}은 입자의 각운동량 연산자이며 자기장 제곱 B^2의 항은 무시했다. 따라서 다음을 얻는다.
|^2 - q (\mathbf{\hat{L}}+2\mathbf{\hat{S}})\cdot\mathbf{B}\right] + q \phi\right]|\psi\rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle
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여기서 \mathbf{S}=\hbar\boldsymbol{\sigma}/2는 입자의 스핀이다. 스핀 앞에 있는 계수 2는 디랙 G-상수로 알려져 있다. \mathbf{B} 항은 -\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B} 형태이며, 이는 제이만 효과와 같이 자기 모멘트 \boldsymbol{\mu}와 자기장 사이의 일반적인 상호작용이다.

등방성 상수 자기장에 있는 전하 -e의 전자에서, 전체 각운동량 \mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}와 위그너-에카르트 정리를 사용하여 방정식을 더 줄일 수 있다. 따라서 다음을 얻는다.
: \left[\frac{|\mathbf{p}|^2}{2m} + \mu_{\rm B} g_J m_j|\mathbf{B}| - e \phi\right]|\psi\rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle
여기서 \mu_{\rm B}=\frac{e\hbar }{2m}는 보어 마그네톤이고 m_j는 \mathbf{J}와 관련된 자기양자수이다. g_J 항은 랑데 지 인자로 알려져 있으며, 여기서는 다음과 같이 주어진다.
:g_J = \frac{3}{2}+\frac{\frac{3}{4}-\ell(\ell+1)}{2j(j+1)},
여기서 \ell은 L^2와 관련된 궤도 양자수이고 j는 J^2와 관련된 전체 궤도 양자수이다.

## 디랙 방정식으로부터의 유도
파울리 방정식은 스핀-1/2 입자의 상대론적 양자 운동 방정식인 디랙 방정식의 비상대론적 한계에서 추론할 수 있다.

### 유도
디랙 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
i \hbar\, \partial_t \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2\end{pmatrix} = c \, \begin{pmatrix} \boldsymbol{ \sigma}\cdot \boldsymbol \Pi \,\psi_2 \\ \boldsymbol{\sigma}\cdot \boldsymbol \Pi \,\psi_1\end{pmatrix} + q\, \phi \, \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2\end{pmatrix} + mc^2\, \begin{pmatrix} \psi_1 \\ -\psi_2\end{pmatrix} ,


여기서 \partial_t=\frac{\partial}{\partial t}이고 \psi_1,\psi_2는 두 성분 스피너이며, 디랙 스피너를 형성한다.

다음 가정을 사용하면,
\begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix} = e^{- i \tfrac{mc^2t}{\hbar}} \begin{pmatrix} \psi \\ \chi \end{pmatrix} ,
두 개의 새로운 스피너 \psi,\chi를 사용하면 방정식은 다음과 같이 된다.

 i \hbar \partial_t \begin{pmatrix} \psi \\ \chi\end{pmatrix} = c \, \begin{pmatrix} \boldsymbol{ \sigma}\cdot \boldsymbol \Pi \,\chi\\ \boldsymbol{\sigma}\cdot \boldsymbol \Pi \,\psi\end{pmatrix} +q\, \phi \, \begin{pmatrix} \psi\\ \chi \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0  \\ -2\,mc^2\, \chi \end{pmatrix} .


비상대론적 한계에서 \partial_t \chi와 운동 및 정전기 에너지는 정지 에너지 mc^2에 비해 작으며, 이는 레비-르블롱 방정식으로 이어진다. 따라서\chi \approx \frac{\boldsymbol \sigma \cdot \boldsymbol{\Pi}\,\psi}{2\,mc}\,.

디랙 방정식의 상위 성분에 삽입하면 파울리 방정식(일반형)을 얻는다.
i \hbar\, \partial_t \, \psi=  \left[\frac{(\boldsymbol \sigma \cdot \boldsymbol \Pi)^2}{2\,m}
+q\, \phi\right] \psi.

### 폴디-워슈이젠 변환으로부터
파울리 방정식의 엄밀한 유도는 외부 장에서의 디랙 방정식과 \mathcal{O}(1/mc) 차수까지의 항을 고려한 폴디-워슈이젠 변환을 수행함으로써 얻어진다. 마찬가지로, 파울리 방정식에 대한 고차 보정은 대신 \mathcal{O}(1/(mc)^2) 차수까지 확장할 때 스핀-궤도 및 다윈 상호작용 항을 발생시킨다.

## 파울리 결합
파울리 방정식은 g-인자 g=2를 제공하는 최소 결합을 요구하여 유도된다. 대부분의 기본 입자는 2와 다른 비정상적인 g-인자를 갖는다. 상대론적 양자장론 영역에서는 비정상적인 인자를 추가하기 위해 때때로 파울리 결합이라고 불리는 비최소 결합을 정의한다.

:\gamma^{\mu}p_\mu\to \gamma^{\mu}p_\mu-q\gamma^{\mu}A_\mu +a\sigma_{\mu\nu}F^{\mu\nu}

여기서 p_\mu는 사차원 운동량 연산자, A_\mu는 전자기 퍼텐셜, a는 이상자기쌍극자모멘트에 비례하고, F^{\mu\nu}=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}는 전자기장 텐서이며, \sigma_{\mu\nu}=\frac{i}{2}[\gamma_{\mu},\gamma_{\nu}]는 로렌츠 스핀 행렬이자 디랙 행렬 \gamma^{\mu}의 교환자이다. 비상대론적 양자역학의 맥락에서, 슈뢰딩거 방정식을 사용하는 대신, 파울리 결합은 임의의 g-인자에 대한 파울리 방정식(또는 제이만 에너지 가정)을 사용하는 것과 동일하다.

## 같이 보기
* 반고전론
* 원자 분자 광 물리학
* 군 축약
* 고든 분해

## 내용주

## 각주

### 서적
* 
* 
* 

분류:양자역학