세타 진공

양자장론에서 **세타 진공**()은 양-밀스 이론의 반고전적 진공 상태로, 상태가 무한한 수의 위상적으로 구별되는 진공 상태의 중첩으로 작성될 때 발생하는 **진공 각도** *θ*()로 지정되는 비-아벨 양-밀스 이론의 진공 상태이다. 진공의 동역학적 효과는 *θ*항의 존재를 통해 라그랑주 형식론에서 포착되며, 양자 색역학에서는 강한 CP 문제로 알려진 미세 조정 문제로 이어진다. 이 개념은 1976년 커티스 캘런, 로저 대셴, 데이비드 그로스와 독립적으로 로만 야키프와 클라우디오 레비에 의해 발견되었다.

## 양-밀스 진공
### 위상적 진공
비아벨 양-밀스 이론의 반고전적 진공 구조는 종종 유클리드 시공간에서 시간 게이지 A_0 = 0와 같이 고정된 게이지로 조사된다. 이 이론의 고전적 바닥 상태는 순수 게이지 구성 A_i = i\Omega \nabla_i \Omega^{-1}에 해당하는 장세기 텐서가 소멸되며, 시공간의 각 지점에서 \Omega(x)는 비아벨 게이지 군 G에 속하는 일부 게이지 변환이다. 작용이 유한함을 보장하기 위해, \Omega(x)는 |\boldsymbol x|\rightarrow \infty일 때 고정된 값 \Omega_\infty에 접근한다. 공간 무한대의 모든 점이 이제 하나의 새로운 점처럼 동작하므로, 공간 다양체 \mathbb R^3는 3차원 구 S^3 = \mathbb R^3 \cup \{\infty\}처럼 동작하여 게이지 장에 대한 모든 순수 게이지 선택은 사상 \Omega(x): S^3 \rightarrow G에 의해 설명된다.

모든 바닥 상태 구성이 매끄러운 게이지 변환을 통해 다른 모든 바닥 상태 구성으로 변환될 수 있다면 이론은 단일 진공 상태를 가지지만, 위상적으로 구별되는 구성이 있다면 여러 진공 상태를 가진다. 이는 매끄럽게 연결되지 않은 두 개의 다른 구성이 있을 경우, 하나를 다른 하나로 변환하려면 0이 아닌 장세기 텐서를 가진 구성을 통과해야 하며, 이는 0이 아닌 에너지를 가질 것이기 때문이다. 이는 두 진공 상태 사이에 에너지 장벽이 존재하여 서로 구별됨을 의미한다.

두 게이지 구성이 서로 매끄럽게 변형될 수 있는지에 대한 문제는 사상 \Omega(x): S^3 \rightarrow G의 호모토피 군에 의해 형식적으로 설명된다. 예를 들어, 게이지 군 G=\text{SU}(2)는 S^3의 기저 다양체를 가지므로 사상은 \Omega(x):S^3 \rightarrow S^3이며, 이의 호모토피 군은 \pi_3(\text{SU}(2)) = \mathbb Z이다. 이는 모든 사상에 감김 수라고 불리는 정수(또는 폰트랴긴 지표)가 연관되어 있음을 의미하며, 이는 공간 S^3이 그룹 S^3로 얼마나 많이 매핑되는지를 대략적으로 설명하며, 방향이 뒤집혀 음수 감김이 발생한다. 동일한 감김 수를 가진 사상만이 서로 매끄럽게 변형될 수 있으며 동일한 호모토피 클래스에 속한다고 말한다. 감김 수를 보존하는 게이지 변환은 작은 게이지 변환이라고 불리며, 감김 수를 변경하는 게이지 변환은 큰 게이지 변환이라고 불린다.

다른 비아벨 게이지 군 G의 경우, 그 중 하나인 \text{SU}(2) 부분군에 초점을 맞추는 것으로 충분하며, 이는 \pi_3(G) = \mathbb Z를 보장한다. 이는 보트 정리의 결과로, S^3에서 G로의 모든 사상은 G의 \text{SU}(2) 부분군으로의 사상으로 연속적으로 변형될 수 있기 때문이다. 이는 아벨 게이지 군과 대조되는데, 아벨 게이지 군의 경우 모든 사상 S^3\rightarrow \text{U}(1)은 상수 사상으로 변형될 수 있으므로 단일 연결된 진공 상태가 존재한다. 게이지 장 구성 A^i에 대해, 시간 게이지에서 다음과 같이 주어지는 부피 적분으로부터 항상 감김 수를 계산할 수 있다.

:
n = \frac{ig^3}{24\pi^2}\int d^3 r \ \text{Tr}(\epsilon_{ijk}A^iA^jA^k),


여기서 g는 결합 상수이다. 감김 수 |n\rangle가 다른 진공 상태의 다양한 클래스를 위상 진공이라고 한다.

### 세타 진공
위상 진공은 큰 게이지 변환의 고유 상태가 아니므로 게이지 불변이 아니기 때문에 양-밀스 이론의 진공 상태 후보가 아니다. 대신, 감김 수 m을 가진 큰 게이지 변환 \Omega_{m}으로 상태 |n\rangle에 작용하면 다른 위상 진공 \Omega_m|n\rangle = |n+m\rangle으로 매핑된다. 진정한 진공은 작고 큰 게이지 변환 모두의 고유 상태여야 한다. 블로흐 정리에 따라 주기적 포텐셜에서 고유 상태가 취하는 형태와 유사하게, 진공 상태는 위상 진공의 코히런트 합이다.

:
|\theta\rangle = \sum_n e^{in\theta}|n\rangle.


각도 변수 \theta \in [0,2\pi)로 인덱싱된 이 상태 집합은 θ-진공으로 알려져 있다. 이들은 이제 \Omega_m|\theta\rangle = e^{-i\theta m}|\theta\rangle이므로 두 가지 유형의 게이지 변환의 고유 상태이다. 순수 양-밀스 이론에서는 각 \theta 값이 다른 바닥 상태를 제공하며, 그 위에 들뜬 상태가 구축되어 다른 물리학적 현상을 초래한다. 다시 말해, 게이지 불변 연산자의 기대값은 두 개의 다른 θ-진공 사이에서 \langle \theta|\mathcal O |\theta' \rangle = 0 (\theta \neq \theta'인 경우)이므로 힐베르트 공간은 초선택 섹터로 분해된다.

양-밀스 이론은 운동 방정식에 대한 유한 작용 해를 순간자라고 부른다. 이들은 다른 위상 진공 사이의 터널링을 담당하며, 감김 수 \nu를 가진 순간자는 위상 진공 |n_-\rangle에서 |n_+\rangle = |n_-+\nu\rangle로의 터널링을 담당한다. \nu=\pm 1을 가진 순간자는 BPST 순간자로 알려져 있다. 터널링이 없으면 다른 θ-진공들은 축퇴되겠지만, 순간자는 축퇴를 해제하여 다양한 θ-진공들을 서로 물리적으로 구별되게 만든다. 다양한 진공의 바닥 상태 에너지는 E(\theta) \propto \cos \theta 형태로 분할되며, 비례 상수는 순간자 터널링의 강도에 따라 달라진다.

θ-진공의 복잡한 구조는 경로 적분 형식론에서 진공-진공 전이를 고려함으로써 양-밀스 라그랑지언에 직접 통합될 수 있다.

:
\lim_{T \rightarrow \infty}\langle \theta|e^{-iHT}|\theta\rangle = \int \mathcal D A e^{iS+ i\int d^4 x \mathcal L_\theta}.


여기서 H는 해밀토니언이고, S는 양-밀스 작용이며, \mathcal L_\theta는 θ-항이라고 불리는 새로운 CP 위반 기여로 라그랑지언에 추가된다.

:
\mathcal L_\theta =\theta \frac{g^2}{32 \pi^2}\text{Tr}[F^{\mu \nu}\tilde F_{\mu \nu}],


여기서 \tilde F^{\mu \nu} = \tfrac{1}{2}\epsilon^{\mu \nu \rho \sigma}F_{\rho \sigma}는 이중 장세기 텐서이며, 트레이스는 군 생성자에 대한 것이다. 이 항은 \mathcal L_\theta = \partial_\mu K^\mu 형태로 쓸 수 있는 전미분이다. 라그랑지언에 추가될 수 있는 다른 전미분들과 달리, 이 항은 비섭동 물리학에서 물리적 결과를 초래하는데, K^\mu가 게이지 불변이 아니기 때문이다. 양자 색역학에서 이 항의 존재는 중성자 전기 쌍극자 모멘트를 발생시키므로 강한 CP 문제를 야기하지만, 아직 관측되지 않았기 때문에 \theta를 매우 작게 미세 조정해야 한다.

## 페르미온으로 인한 수정
이론에 질량이 없는 페르미온이 존재한다면, 페르미온이 위상 진공 사이의 순간자 터널링을 억제하기 때문에 진공 각도는 관측 불가능해진다. 이는 단일 질량 없는 페르미온 \psi(x)를 포함하는 양-밀스 이론을 고려하여 알 수 있다. 경로 적분 형식론에서 순간자에 의한 두 위상 진공 사이의 터널링은 다음 형태를 취한다.

:
\begin{align}
\langle n|n+\nu\rangle & \sim \int \mathcal D A \mathcal D \psi \mathcal D \bar \psi \exp\bigg(-\int d^4 x \frac{1}{2g^2}\text{tr} F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}+i\bar \psi {D\!\!\!/} \psi\bigg) \\
& \sim \int \mathcal D A \det (i{D\!\!\!/}) \exp\bigg(-\int d^4x \frac{1}{2g^2}\text{tr} F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}\bigg).
\end{align}


이는 페르미온 장을 적분한 후 얻은 페르미온 행렬식에 의해 순수 양-밀스 결과와 다르다. 질량이 없는 페르미온을 가진 디랙 연산자는 어떤 순간자 구성에서도 적어도 하나의 0 고유값을 가지기 때문에 행렬식은 0이 된다. 순간자가 더 이상 위상 진공 사이의 터널링에 기여하지 않지만, 대신 축 방향 전하 위반에 역할을 하여 손지기 응축을 발생시킨다. 만약 이론에 매우 가벼운 페르미온이 있다면 θ-항은 여전히 존재하지만, 그 효과는 페르미온 질량에 비례해야 하므로 크게 억제된다.

## 같이 보기
* 순간자
* 강한 CP 문제

## 각주

분류:게이지 이론
분류:양자색역학