업샘플링

디지털 신호 처리에서 **업샘플링**(upsampling)은 리샘플링 과정과 관련된 용어이다. 다중 속도 디지털 신호 처리 시스템에서 업샘플링은 확장과 동의어이거나 확장 및 필터링(보간)의 전체 과정을 설명할 수 있다. 신호 또는 다른 연속 함수의 샘플 시퀀스에 업샘플링을 수행하면 더 높은 속도(또는 사진의 경우 밀도)로 신호를 샘플링하여 얻었을 시퀀스의 근사치를 생성한다. 예를 들어, 44,100 샘플/초의 콤팩트 디스크 오디오를 5/4 인자로 업샘플링하면 결과 샘플 속도는 55,125가 된다.

섬네일|350px|그림 1: L=4, n=9, j=3인 경우 하나의 스칼라곱(초록색)으로 하나의 출력 샘플을 나타낸 그림. 각 입력 샘플 쌍 사이에 세 개의 개념적인 "삽입된 영"이 묘사되어 있다. 이들을 계산에서 제외하는 것이 다중 속도 필터와 단일 속도 필터를 구별한다.
## 정수 인자로 업샘플링

정수 인자 L에 의한 속도 증가는 2단계 과정으로 설명될 수 있으며, 더 효율적인 동등한 구현이 가능하다**:**
#확장**:** 원래 샘플 x[n]을 L-1개의 0으로 구분하여 시퀀스 x_L[n]을 생성한다.&nbsp; 이 연산에 대한 표기법은**:**&nbsp; x_L[n] = x[n]_{\uparrow L}이다.
#보간**:** 0을 대체하는 저역 통과 필터를 사용하여 불연속성을 부드럽게 만든다.

이 응용에서 필터는 **보간 필터**라고 불리며, 그 설계는 아래에서 논의된다. 보간 필터가 FIR 유형일 때, 0은 스칼라곱 계산에 아무런 기여도 하지 않으므로 효율성을 향상시킬 수 있다. 데이터 스트림과 계산에서 0을 생략하는 것은 쉬운 일이다. 각 출력 샘플에 대해 다중 속도 보간 FIR 필터가 수행하는 계산은 스칼라곱이다**:**

여기서 h 시퀀스는 보간 필터의 임펄스 응답이며, K는 h[j+kL]이 0이 아닌 가장 큰 k 값이다.

보간 필터 출력 시퀀스는 컨볼루션으로 정의된다**:**
:y[m] = \sum_{r=-\infty}^\infty x_L[m-r]\cdot h[r]
x_L[m-r]이 0이 아닐 수 있는 유일한 항은 m-r이 L의 정수 배수인 경우이다.&nbsp; 따라서**:**
m-r = \bigl\lfloor\tfrac{m}{L}\bigr\rfloor L - kL&nbsp; 정수 k,&nbsp; 에 대해 컨볼루션은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다**:**
:
\begin{align}
y[m] &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} x_L\left[\bigl\lfloor\tfrac{m}{L}\bigr\rfloor L - kL\right]\cdot h\Bigl[\overbrace{m - \bigl\lfloor\tfrac{m}{L}\bigr\rfloor L + kL}^{r}\Bigr]\\
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty} x\left[\bigl\lfloor\tfrac{m}{L}\bigr\rfloor - k\right]\cdot h\left[m - \bigl\lfloor\tfrac{m}{L}\bigr\rfloor L + kL\right]\quad
\stackrel{m\ \triangleq\ j + nL}{\longrightarrow}\quad y[j+nL] = \sum_{k=0}^K x[n-k]\cdot h[j+kL],\ \ j = 0,1,\ldots,L-1
\end{align}


L=2,&nbsp;인 경우 함수 h는 하프 밴드 필터로 설계될 수 있으며, 여기서 계수의 거의 절반이 0이므로 스칼라곱에 포함될 필요가 없다. L 간격으로 취해진 임펄스 응답 계수는 부분 시퀀스를 형성하며, 이러한 부분 시퀀스(**위상**이라고 함)는 L개이다. 임펄스 응답의 L개 위상 각각은 x 데이터 스트림의 동일한 순차 값을 필터링하고 L개의 순차 출력 값 중 하나를 생성한다. 일부 다중 프로세서 아키텍처에서는 이러한 스칼라곱이 동시에 수행되는데, 이 경우 **폴리페이즈** 필터라고 불린다.

완전성을 위해, 각 위상의 가능한, 그러나 가능성은 낮은 구현은 h 배열의 복사본에서 다른 위상의 계수를 0으로 대체하고 x_L[n]&nbsp; 시퀀스를 원래 입력 속도보다 L배 빠르게 처리하는 것이다. 그러면 L개의 출력 중 L-1개가 0이 된다. 원하는 y 시퀀스는 위상들의 합이며, 각 합의 L-1개 항은 동일하게 0이다.&nbsp; 위상의 유용한 출력 사이에 L-1개의 0을 계산하고 이를 합에 추가하는 것은 효과적으로 다운샘플링이다. 이는 전혀 계산하지 않는 것과 동일한 결과이다. 이러한 동등성은 두 번째 노블 항등식으로 알려져 있다. 이는 때때로 폴리페이즈 방법의 유도에 사용된다.

## 보간 필터 설계
[섬네일|400px|그림 2: 첫 번째 그래프의 첫 번째 삼각형은 연속 함수 x(t)의 푸리에 변환 X(f)를 나타낸다. 첫 번째 그래프 전체는 연속 함수 x(t)를 1/T의 낮은 속도로 샘플링하여 형성된 시퀀스 x[n]의 이산시간 푸리에 변환을 나타낸다. 두 번째 그래프는 원래 샘플 사이에 0 값을 가진 샘플을 삽입하여 구현된 더 높은 데이터 속도에서 저역 통과 필터의 적용을 나타낸다. 세 번째 그래프는 필터 출력의 DTFT이다. 하단 표는 필터 설계 도구에서 사용되는 다양한 주파수 단위의 최대 필터 대역폭을 나타낸다.](https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Spectral_views_of_zero-fill_and_interpolation_by_lowpass_filtering.pdf)

x[n] 시퀀스와 동일한 간격 T에서 샘플링된 함수 x(t)의 푸리에 변환을 X(f)라고 하자. 그러면 x[n] 시퀀스의 이산시간 푸리에 변환 (DTFT)은 X(f)의 푸리에 급수 표현이다:
 = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} X\Bigl(f - \frac{k}{T}\Bigr). &nbsp; &nbsp;
| }} }}

T가 초 단위이고 f가 헤르츠 (Hz) 단위일 때. L배 더 빠르게 샘플링(간격 T/L에서)하면 주기성은 L배 증가한다:

이는 또한 보간의 원하는 **결과**이다. 이 두 분포의 예는 그림 2의 첫 번째 및 세 번째 그래프에 묘사되어 있다.&nbsp;

추가 샘플이 0으로 삽입되면 샘플 간격이 T/L로 줄어든다. 푸리에 급수의 0 값 항을 생략하면 다음과 같이 쓸 수 있다:

:\sum_{n=0, \pm L, \pm 2L,..., \pm \infty}{} x(nT/L)\ e^{-i 2\pi f nT/L}
\quad \stackrel{m\ \triangleq\ n/L}{\longrightarrow}
\sum_{m=0, \pm 1, \pm 2,..., \pm \infty}{} x(mT)\ e^{-i 2\pi f mT},

이는 L 값에 관계없이 와 동일하다. 이러한 동등성은 그림 2의 두 번째 그래프에 묘사되어 있다. 유일한 차이점은 사용 가능한 디지털 대역폭이 L/T로 확장되어 새로운 대역폭 내에서 주기적 스펙트럼 이미지의 수가 증가한다는 것이다. 일부 저자는 이를 새로운 주파수 성분으로 설명한다.&nbsp; 두 번째 그래프는 또한 저역 통과 필터와 L=3을 묘사하고 있으며, 결과적으로 원하는 스펙트럼 분포(세 번째 그래프)를 보여준다. 필터의 대역폭은 원래 x[n] 시퀀스의 나이퀴스트 진동수이다.&nbsp; Hz 단위에서 그 값은 \tfrac{0.5}{T},&nbsp; 이지만 필터 설계 응용 프로그램은 일반적으로 정규화된 단위를 요구한다. (그림 2, 표 참조)

## 분수 인자로 업샘플링

L/M을 업샘플링 인자라고 하자. 여기서 L&nbsp;>&nbsp;M이다.

#L 인자로 업샘플링
#M 인자로 다운샘플링

업샘플링은 데이터 속도를 증가시킨 후 저역 통과 필터가 필요하며, 다운샘플링은 데시메이션 전에 저역 통과 필터가 필요하다. 따라서 두 작업은 두 차단 주파수 중 낮은 주파수를 갖는 단일 필터로 수행될 수 있다. L&nbsp;>&nbsp;M인 경우, 보간 필터 차단 주파수인 &nbsp;\tfrac{0.5}{L} 중간 샘플당 사이클은 더 낮은 주파수이다.

## 같이 보기

* 다운샘플링
* 다중 속도 디지털 신호 처리
* 하프 밴드 필터
* 오버샘플링
* 샘플 풍부도
* 표본화
* 신호 (정보 이론)
* 데이터 컨버전
* 보간법
* 푸아송 합 공식

## 내용주

## 페이지 인용

## 각주

## 추가 자료
*  (대역 제한 보간 기술 논의)
* 

분류:디지털 신호 처리
분류:신호 처리