중력에 대한 가우스의 법칙

물리학에서 **중력에 대한 가우스의 법칙**() 또는 **중력에 대한 가우스의 선속 정리**()는 만유인력의 법칙과 등가인 물리학 법칙이다. 이 법칙의 이름은 카를 프리드리히 가우스에서 따왔다. 이 법칙은 임의의 닫힌 곡면을 통과하는 중력장의 선속(면적분)이 그 곡면 내부의 질량에 비례한다는 내용을 담고 있다. 중력에 대한 가우스의 법칙은 종종 뉴턴의 법칙보다 다루기에 더 편리하다.

중력에 대한 가우스의 법칙은 수학적으로 맥스웰 방정식 중 하나인 정전기학의 가우스 법칙과 유사하다. 중력에 대한 가우스의 법칙이 뉴턴의 법칙과 가지는 수학적 관계는 정전기학의 가우스 법칙이 쿨롱 법칙과 가지는 관계와 같다. 이는 뉴턴의 법칙과 쿨롱 법칙 모두 3차원 공간에서 역제곱 법칙 상호작용을 기술하기 때문이다.

## 법칙의 정성적 서술

중력장 **g**(중력 가속도라고도 함)는 벡터장, 즉 공간(및 시간)의 각 지점에 대응하는 벡터이다. 이는 입자가 받는 중력이 그 지점에서의 중력장과 입자의 질량을 곱한 것과 같도록 정의된다.

중력 선속은 자기 선속이 자기장의 면적분인 것과 유사하게, 닫힌 곡면 위에서 중력장을 면적분한 것이다.

중력에 대한 가우스의 법칙은 다음과 같다.

:*임의의 [[닫힌 곡면]]을 통과하는 중력 선속은 그 안에 포함된 [[질량]]에 비례한다.*

## 적분 형태
중력에 대한 가우스 법칙의 적분 형태는 다음과 같다.

여기서
* (\oint_{\partial V}로도 표기)는 닫힌 곡면에서의 면적분을 나타낸다.
*∂V는 임의의 닫힌 곡면(임의의 부피 V의 경계)이다.
*d**A**는 벡터로, 그 크기는 곡면 ∂V의 무한소 조각의 넓이이며 방향은 바깥쪽을 향하는 법선 벡터(자세한 내용은 면적분 참조)이다.
***g**는 중력장이다.
*G는 보편 중력 상수이다.
*M은 곡면 ∂V 내부에 포함된 총 질량이다.

이 방정식의 좌변은 중력장의 선속이라 불린다. 법칙에 따르면 이 값은 항상 음수(또는 0)이며 결코 양수가 될 수 없음에 유의하라. 이는 선속이 양수 또는 음수가 될 수 있는 전기에 대한 가우스 법칙과 대조된다. 이러한 차이는 전하가 양수 또는 음수일 수 있는 반면, 질량은 오직 양수만 존재하기 때문에 발생한다.

## 미분 형태
중력에 대한 가우스 법칙의 미분 형태는 다음과 같다.

여기서 \nabla\cdot는 발산을 나타내고, G는 보편 중력 상수, ρ는 각 지점에서의 질량 밀도이다.

### 적분 형태와의 관계
중력에 대한 가우스 법칙의 두 형태는 수학적으로 등가이다. 발산 정리에 따르면 다음과 같다.
\oint_{\partial V}\mathbf{g}\cdot d \mathbf{A} = \int_V\nabla\cdot\mathbf{g}\,dV
여기서 V는 단순 폐곡면 ∂V로 둘러싸인 닫힌 영역이며, dV는 부피 V의 무한소 조각이다(체적 적분 참조). 중력장 **g**는 V의 근방에서 정의된 연속 미분 가능한 벡터장이어야 한다.

또한 다음과 같은 관계가 있으므로
M = \int_{V}\rho\ dV
가우스 법칙의 적분 형태에 발산 정리를 적용하면 다음과 같이 된다.
\int_V\nabla\cdot\mathbf{g}\ dV = -4 \pi G\int_{V}\rho\ dV
이를 다시 쓰면 다음과 같다.
\int_V(\nabla\cdot\mathbf{g})\ dV = \int_{V} (-4 \pi G\rho)\ dV.
이 식은 모든 가능한 부피 V에 대해 동시에 성립해야 하므로, 피적분 함수가 서로 같아야만 한다. 따라서 다음 식을 얻는다.
\nabla\cdot\mathbf{g} = -4\pi G \rho,
이것이 중력에 대한 가우스 법칙의 미분 형태이다.

이 방법을 역으로 사용하여 미분 형태에서 적분 형태를 유도하는 것도 가능하다.

두 형태가 등가이기는 하지만, 특정 계산에서는 상황에 따라 어느 한 쪽이 더 편리할 수 있다.

## 뉴턴의 법칙과의 관계
### 뉴턴의 법칙에서 가우스의 법칙 유도하기
중력에 대한 가우스 법칙은 질점에 의한 중력장이 다음과 같다는 만유인력의 법칙으로부터 유도될 수 있다.
\mathbf{g}(\mathbf{r}) = -\frac{GM}{r^2} \mathbf{e_r}
여기서
***e<sub>r</sub>**은 반지름 방향의 단위 벡터이다.
*r은 반지름 |**r**|이다.
*M은 원점에 위치한 질점으로 가정한 입자의 질량이다.

벡터 미적분학을 이용한 증명은 아래 상자에 나타나 있다. 이는 쿨롱 법칙에서 시작하는 (정전기학의) 가우스 법칙 증명과 수학적으로 동일하다.

{|\mathbf{r}|^3}\right) = 4\pi \delta(\mathbf{r})
(여기서 δ(**r**)은 디랙 델타 함수)를 사용하면 결과는 다음과 같다.
\nabla\cdot\mathbf{g}(\mathbf{r}) = -4\pi G\int \rho(\mathbf{s})\ \delta(\mathbf{r}-\mathbf{s})\ d^3\mathbf{s}.
디랙 델타 함수의 "선별 성질"(sifting property)을 이용하면 다음과 같이 된다.
\nabla\cdot\mathbf{g}(\mathbf{r}) = -4\pi G \rho(\mathbf{r})
이것이 원하던 중력에 대한 가우스 법칙의 미분 형태이다.
}}

### 가우스의 법칙과 비회전성으로부터 뉴턴의 법칙 유도하기
가우스 법칙만으로는 뉴턴의 법칙을 수학적으로 증명하는 것이 불가능한데, 가우스 법칙은 **g**의 발산만을 규정할 뿐 **g**의 회전에 대한 정보는 포함하지 않기 때문이다(헬름홀츠 정리 참조). 가우스 법칙 외에도 중력은 보존력이므로 **g**가 비회전적이라는 가정이 사용된다.
:\nabla \times \mathbf{g} = 0
이것들만으로도 충분하지 않다. 뉴턴의 법칙을 증명하려면 질량에서 무한히 멀어지면 장이 0이 된다는 가정과 같은 **g**에 대한 경계 조건도 필요하다.

이러한 가정들로부터 뉴턴의 법칙을 증명하는 과정은 다음과 같다.

{r^2}
이것이 뉴턴의 법칙이다.
}}

## 푸아송 방정식과 중력 퍼텐셜
위에서 언급한 바와 같이 중력장은 회전이 0이므로(등가적으로 중력은 보존력이므로), 중력 퍼텐셜이라 불리는 스칼라 퍼텐셜의 기울기로 나타낼 수 있다.
\mathbf{g}=-\nabla\phi.
그러면 중력에 대한 가우스 법칙의 미분 형태는 푸아송 방정식이 된다.
\nabla^2\phi = 4\pi G\rho.
이는 중력 퍼텐셜과 중력장을 계산하는 또 다른 수단을 제공한다. 푸아송 방정식을 통해 **g**를 계산하는 것은 가우스 법칙에서 직접 **g**를 계산하는 것과 수학적으로 등가이지만, 상황에 따라 어느 한 쪽의 계산이 더 쉬울 수 있다.

구형 대칭 시스템에서 중력 퍼텐셜은 단 하나의 변수(즉, r=|\mathbf{r}|)에 대한 함수가 되며, 푸아송 방정식은 다음과 같이 된다(Del in cylindrical and spherical coordinates 참조).
\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\, \frac{\partial \phi}{\partial r}\right) = 4\pi G \rho(r)
이때 중력장은 다음과 같다.
\mathbf{g}(\mathbf{r}) = -\mathbf{e_r}\frac{\partial \phi}{\partial r}.

방정식을 풀 때, 유한한 밀도의 경우 ∂ϕ/∂r은 경계(밀도의 불연속점)에서 연속이어야 하며, 에서 0이어야 함을 고려해야 한다.

## 응용
가우스 법칙은 뉴턴의 법칙을 직접 적용하기 어려운(불가능하지는 않은) 특정 사례에서 중력장을 쉽게 유도하는 데 사용될 수 있다. 이러한 유도가 어떻게 이루어지는지에 대한 자세한 내용은 가우스 곡면 문서를 참조하라. 세 가지 응용 사례는 다음과 같다.

### 부게 판

무한하고 평평한 판(부게 판)에 대해 ("가우스 알약통"을 사용하여) 판 외부의 중력장은 판에 수직이고 판을 향하며, 그 크기는 판까지의 거리와 무관하게 단위 면적당 질량의 2πG배임을 결론지을 수 있다(중력 이상 참조).

더 일반적으로, 밀도가 하나의 데카르트 좌표 z에만 의존하는 질량 분포의 경우, 임의의 z에서의 중력은 이 z값의 양쪽에 있는 단위 면적당 질량 차이의 2πG배이다.

특히 단위 면적당 질량이 동일한 두 개의 평행한 무한 판이 나란히 놓인 경우, 그 사이에는 중력장이 생성되지 않는다.

### 원통 대칭 질량 분포
무한히 길고 (z 방향으로) 균일한 원통 대칭 질량 분포의 경우, (원통형 가우스 곡면을 사용하여) 중심에서 거리 r인 지점의 장의 세기는 안쪽 방향이며, 더 작은 거리에 있는 단위 길이당 총 질량의 2G/r배임을 결론지을 수 있다. 이는 더 먼 거리에 있는 질량과는 무관하다.

예를 들어, 무한하고 균일한 중공 원통(hollow cylinder) 내부의 중력장은 0이다.

### 구 대칭 질량 분포

구 대칭 질량 분포의 경우, (구형 가우스 곡면을 사용하여) 중심에서 거리 r인 지점의 장의 세기는 안쪽 방향이며, 그 크기는 오직 r보다 작은 거리에 있는 총 질량에 의한 G/r2배임을 결론지을 수 있다. r보다 먼 거리에 있는 모든 질량은 결과에 영향을 주지 않는다.

예를 들어, 속이 빈 구(중공구)는 내부에서 어떠한 알짜 중력도 생성하지 않는다. 내부의 중력장은 마치 그 구가 없는 것과 같다(즉, 결과적인 장은 그 구를 제외한 내부 및 외부의 모든 질량에 의한 장이다).

비록 이것이 가우스 법칙으로부터 한두 줄의 대수학으로 도출되지만, 아이작 뉴턴은 자신의 중력 법칙을 사용하여 직접 이를 유도하는 데 수 페이지의 번거로운 미적분학을 사용했다. 이 직접적인 유도는 구각 정리 문서를 참조하라.

## 라그랑지언으로부터의 유도

뉴턴 중력에 대한 라그랑지언 밀도는 다음과 같다.
\mathcal{L}(\mathbf{x},t) = - \rho(\mathbf{x},t) \phi(\mathbf{x},t) - {1 \over 8 \pi G} (\nabla \phi(\mathbf{x},t))^2 
이 라그랑지언에 해밀턴의 원리를 적용하면 중력에 대한 가우스 법칙을 얻는다.
4 \pi G \rho (\mathbf{x},t) = \nabla^2 \phi(\mathbf{x},t). 
자세한 내용은 라그랑지언 문서를 참조하라.

## 같이 보기

* 카를 프리드리히 가우스
* 발산 정리
* 전기에 대한 가우스 법칙
* 가우스 자기 법칙
* 벡터 미적분학
* 적분
* 선속
* 가우스 곡면

## 각주

## 더 읽어보기
* "중력에 대한 가우스의 법칙"이라는 용어의 사용에 대해서는 예를 들어 다음을 참조하라. 

분류:벡터 미적분학
분류:중력 이론
분류:카를 프리드리히 가우스