탄성 에너지

**탄성 에너지**(彈性-, Elastic energy)는 재료나 물리계 내에 저장된 역학적 위치 에너지로, 일을 통해 탄성 변형을 겪을 때 발생한다. 탄성 에너지는 물체가 일시적으로 압축되거나, 늘어나거나, 일반적으로 변형될 때 발생한다. 탄성론은 주로 고체 및 재료의 역학을 위한 형식론에 대해 연구한다. 탄성 위치 에너지 방정식은 역학적 평형 위치 계산에 사용된다. 이 에너지는 물체가 탄성에 의해 원래 형태로 돌아갈 때 (재형성) 운동 에너지 및 음향 에너지와 같은 다른 형태의 에너지로 전환될 수 있는 위치 에너지이다.

 U = \frac 1 2 k\, \Delta x^2

탄성의 본질은 가역과정이다. 탄성 재료에 가해지는 힘은 재료로 에너지를 전달하며, 이 에너지를 주변으로 방출하면 원래 형태로 회복될 수 있다. 그러나 모든 재료는 파괴되거나 내부 구조를 비가역적으로 변경하지 않고 견딜 수 있는 변형 정도에 한계가 있다. 따라서 고체 재료의 특성은 일반적으로 변형률 측면에서 탄성 한계를 지정한다. 탄성 한계를 넘어서면 재료는 가해진 역학적 일로부터 모든 에너지를 탄성 에너지 형태로 저장하지 않는다.

물질 내부 또는 물질의 탄성 에너지는 구성의 정적 에너지이다. 이는 주로 원자핵 사이의 원자간 거리를 변경하여 저장되는 에너지에 해당한다. 열에너지는 물질 내 운동 에너지의 무작위 분포로, 평형 구성에 대한 물질의 통계적 변동을 일으킨다. 그러나 일부 상호 작용이 있다. 예를 들어 일부 고체 물체의 경우 비틀림, 굽힘 및 기타 변형은 열에너지를 생성하여 재료의 온도를 상승시킬 수 있다. 고체의 열에너지는 종종 포논이라고 불리는 내부 탄성파에 전달된다. 고립된 물체의 크기에서 큰 탄성파는 일반적으로 거시적인 진동을 일으킨다. 탄성은 주로 고체나 재료의 역학과 관련이 있지만, 고전 열역학에 대한 초기 문헌에서도 위 서론에서 제공된 광범위한 정의와 호환되는 방식으로 "유체의 탄성"을 정의하고 사용한다.

고체는 때로는 복잡한 거동을 보이는 복잡한 결정성 재료를 포함한다. 이와 대조적으로 압축성 유체, 특히 기체의 거동은 무시할 수 있는 복잡성으로 탄성 에너지의 본질을 보여준다. 간단한 열역학 공식인  dU = -P\,dV \ , 여기서 dU는 회복 가능한 내부 에너지 U의 미세 변화이고, P는 관심 있는 재료 샘플에 가해지는 균일한 압력(단위 면적당 힘)이며, dV는 내부 에너지 변화에 해당하는 미세 부피 변화이다. 마이너스 부호는 dV가 양의 인가 압력에 의한 압축 하에서 음수이며 내부 에너지도 증가하기 때문에 나타난다. 반대로, 시스템이 하는 일은 부피가 증가하는 양의 dV에 해당하는 내부 에너지 변화의 음수이다. 시스템은 주변에 일을 할 때 저장된 내부 에너지를 잃는다. 압력은 응력이고 체적 변화는 재료 내 점들의 상대적 간격을 변경하는 것에 해당한다. 앞선 공식의 응력-변형률-내부 에너지 관계는 복잡한 결정 구조를 가진 고체 재료의 탄성 에너지 공식에서 반복된다.

## 기계적 탄성 위치 에너지
기계적 구성 요소는 시스템에 힘이 가해질 때 변형되면 **탄성 위치 에너지**를 저장한다. 에너지는 외부 힘이 물체를 변위시키거나 변형시킬 때 일을 통해 물체로 전달된다. 전달된 에너지의 양은 힘과 물체의 변위의 스칼라곱이다. 시스템에 힘이 가해지면 내부적으로 구성 요소에 분산된다. 전달된 에너지의 일부는 얻은 속도의 운동 에너지로 저장될 수 있지만, 구성 요소 물체의 변형은 저장된 탄성 에너지를 초래한다.

전형적인 탄성 부품은 코일 스프링이다. 스프링의 선형 탄성 성능은 비례 상수(스프링 상수라고 함)로 매개변수화된다. 이 상수는 일반적으로 k로 표시되며(훅의 법칙 참조) 코일이 만들어진 기하학적 구조, 단면적, 변형되지 않은 길이 및 재료의 특성에 따라 달라진다. 특정 변형 범위 내에서 k는 일정하게 유지되며, 해당 변위에서 스프링에 의해 생성되는 복원력의 크기에 대한 변위의 음의 비율로 정의된다.

 k = - \frac{F_r}{L - L_o}

변형된 길이 L은 변형되지 않은 길이 Lo보다 크거나 작을 수 있으므로 k를 양수로 유지하려면 Fr은 L>Lo일 때 음수이고 Lo일 때 양수인 복원력의 벡터 성분으로 주어져야 한다. 변위를  L - L_o = x ,로 줄이면 훅의 법칙은 일반적인 형태  F_r = - k \, x.로 쓸 수 있다.

스프링에 흡수되어 저장된 에너지는 훅의 법칙을 사용하여 가해진 힘의 척도로 복원력을 계산함으로써 도출될 수 있다. 이는 대부분의 상황에서 충분히 정확한 가정인, 주어진 순간에 가해진 힘의 크기를 필요로 한다.

각 미소 변위 dx에 대해 가해진 힘은 단순히 kx이고, 이들의 곱은 스프링으로의 미소 에너지 전달 dU이다. 따라서 0 변위에서 최종 길이 L까지 스프링에 가해진 총 탄성 에너지는 적분  U = \int_0^{L-L_o} k \, x \, dx = \tfrac{1}{2} k (L-L_o)^2 이다.

영률 Y(탄성 계수 λ와 동일), 단면적 A0, 초기 길이 l0를 가진 재료가 길이 \Delta l만큼 늘어났을 때:
U_e = \int \frac{Y A_0 \Delta l} {l_0} \, d\left(\Delta l\right) = \frac {Y A_0 {\Delta l}^2} {2 l_0} 여기서 Ue는 탄성 위치 에너지이다.

단위 부피당 탄성 위치 에너지는 다음과 같다.
\frac{U_e} {A_0 l_0} = \frac {Y {\Delta l}^2} {2 l_0^2} = \frac {1} {2} Y {\varepsilon}^2
여기서 \varepsilon = \frac {\Delta l} {l_0}는 재료의 변형률이다.

일반적인 경우, 탄성 에너지는 변형률 텐서 성분 εij의 함수로서 단위 부피당 자유 에너지 f에 의해 주어진다.
 f(\varepsilon_{ij}) = \frac{1}{2} \lambda \varepsilon_{ii}^2 + \mu \varepsilon_{ij}^2 
여기서 λ와 μ는 라메 탄성 계수이고 아인슈타인 합 규약을 사용한다. 응력 텐서 성분과 변형률 텐서 성분 사이의 열역학적 연결을 주목하면,
 \sigma_{ij} = \left ( \frac{\partial f}{\partial \varepsilon_{ij}} \right)_T , 
아래 첨자 T는 온도가 일정하게 유지됨을 나타내며, 훅의 법칙이 유효한 경우 탄성 에너지 밀도를 다음과 같이 쓸 수 있음을 알 수 있다.
 f = \frac{1}{2} \varepsilon_{ij} \sigma_{ij}. 

## 연속체
덩어리진 물질은 늘이기, 전단, 굽힘, 비틀림 등 다양한 방식으로 변형될 수 있다. 각 변형 종류는 변형된 재료의 탄성 에너지에 기여한다. 직교좌표계에서 변형률에 의한 단위 부피당 탄성 에너지는 다음과 같은 기여의 합이다.
U = \frac{1}{2} C_{ijkl} \varepsilon_{ij} \varepsilon_{kl},
여기서 C_{ijkl}은 기계 시스템의 탄성 계수의 일반화인 4차 텐서인 탄성 텐서 또는 강성 텐서라고 불리며, \varepsilon_{ij}는 변형률 텐서이다(아인슈타인 합산 규약은 반복되는 인덱스에 대한 합산을 의미한다).  C_{ijkl}의 값은 재료의 결정 구조에 따라 달라진다. 일반적인 경우, \sigma와 \varepsilon의 대칭성 때문에 탄성 텐서는 21개의 독립적인 탄성 계수로 구성된다. 이 숫자는 재료의 대칭성에 의해 더 줄어들 수 있다: 사방정계 결정의 경우 9개, 육방정계 구조의 경우 5개, 입방정계 대칭의 경우 3개이다. 마지막으로, 등방성 재료의 경우 독립적인 매개변수는 두 개뿐이며, C_{ijkl} = \lambda \delta_{ij} \delta_{kl} + \mu \left( \delta_{ik} \delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \right)는 라메 상수이고, \delta_{ij}는 크로네커 델타이다.

변형률 텐서 자체는 전체 회전에 대한 불변성을 초래하는 어떤 방식으로든 왜곡을 반영하도록 정의될 수 있지만, 탄성 텐서가 일반적으로 표현되는 가장 일반적인 정의는 모든 비선형 항이 억제된 변위 기울기의 대칭 부분으로 변형률을 정의한다.
\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \partial_i u_j + \partial_j u_i \right)
여기서 u_i는 i 방향의 한 점에서의 변위이고 \partial_j는 j 방향의 편미분이다. 다음을 주목하라.
 \varepsilon_{jj} = \partial_j u_j
여기서 합산은 의도되지 않는다. 완전 아인슈타인 표기법은 위쪽 및 아래쪽 인덱스 쌍을 합산하지만, 탄성 및 변형률 텐서 구성 요소의 값은 일반적으로 모든 인덱스가 아래쪽으로 표시된다. 따라서 일부 상황에서는 반복되는 인덱스가 해당 인덱스(j의 경우) 값에 대한 합계를 의미하는 것이 아니라 단순히 텐서의 단일 구성 요소를 의미할 수 있음에 유의하라.

## 같이 보기
* 시계장치
* 엘라스토모세관현상
* 고무 탄성

## 각주

## 참고 문헌
* 

분류:고전역학
분류:에너지의 유형