케플러 문제

고전역학에서 **케플러 문제**()는 두 물체 사이의 거리에 대한 역제곱 법칙에 따라 세기가 변하는 중심력을 통해 두 물체가 상호작용하는 이체 문제의 특수한 경우이다. 이 힘은 인력일 수도 있고 척력일 수도 있다. 이 문제의 목적은 두 물체의 질량, 위치, 속도가 주어졌을 때 시간에 따른 두 물체의 위치나 속도를 구하는 것이다. 고전역학을 사용하면 그 해는 6개의 궤도 요소를 사용하는 케플러 궤도로 표현될 수 있다.

케플러 문제는 요하네스 케플러의 이름을 따서 명명되었다. 그는 케플러의 행성운동법칙(고전역학의 일부이며 행성의 궤도 문제를 해결함)을 제안했으며, 해당 법칙을 따르는 궤도를 생성하는 힘의 유형을 조사했다(케플러 역문제라고 함).

방사형 궤도에 특화된 케플러 문제에 대한 논의는 방사형 궤적을 참조하라. 일반 상대성이론은 특히 강한 중력장에서 이체 문제에 대해 더 정확한 해를 제공한다.

## 응용
케플러 문제의 기초가 되는 역제곱 법칙은 가장 중요한 중심력 법칙이다. 뉴턴 중력이 역제곱 법칙을 따르기 때문에 케플러 문제는 천체역학에서 중요하다. 행성 주위를 도는 위성, 태양 주위를 도는 행성, 또는 서로의 주위를 도는 두 개의 쌍성이 그 예이다. 케플러 문제는 또한 정전기학의 쿨롱 법칙 역시 역제곱 법칙을 따르기 때문에 두 전하 입자의 운동에서도 중요하다.

케플러 문제와 단순 조화 진동자 문제는 고전역학에서 가장 근본적인 두 가지 문제이다. 이 두 문제는 가능한 모든 초기 조건 세트에 대해 닫힌 궤도를 갖는, 즉 동일한 속도로 시작점으로 돌아오는 유일한 두 문제이다(베르트랑의 정리).

케플러 문제는 또한 라플라스-룽게-렌츠 벡터를 보존하며, 이는 이후 다른 상호작용을 포함하도록 일반화되었다. 케플러 문제의 해결을 통해 과학자들은 행성 운동이 고전역학 및 뉴턴의 중력 법칙에 의해 완전히 설명될 수 있음을 보여줄 수 있었다. 행성 운동에 대한 과학적 설명은 계몽시대를 여는 데 중요한 역할을 했다.

케플러 문제는 또한 뤼드베리 원자의 고도로 들뜬 에너지 준위에서 전자 상태의 중첩에 의해 형성된 파동묶음으로도 구현된다. 이 문제의 가적분성은 원자 자이로스코프 설계에 사용되었다.

## 역사
케플러 문제는 튀코 브라헤의 천문 관측 기록을 분석하여 힘들게 도출한 요하네스 케플러의 경험적 결과에서 시작된다. 데이터를 원형 궤도에 맞추려는 약 70번의 시도 끝에 케플러는 타원 궤도라는 아이디어를 떠올렸다. 그는 결국 자신의 결과를 행성 운동의 세 가지 법칙의 형태로 요약했다.

현재 케플러 문제라고 불리는 것은 아이작 뉴턴에 의해 그의 저서 《프린키피아》의 주요 부분으로 처음 논의되었다. 그의 "정리 I"은 그의 세 가지 공리 또는 뉴턴 운동 법칙 중 처음 두 개에서 시작하여 케플러의 행성 운동 제2법칙을 도출한다. 다음으로 뉴턴은 케플러의 제2법칙이 성립한다면 관련된 힘은 반드시 두 물체 사이의 선을 따라야 함을 보여주는 "정리 II"를 증명한다. 즉, 뉴턴은 오늘날 "역 케플러 문제"라고 불릴 수 있는 것, 즉 궤도 특성에 따라 힘이 거리의 역제곱에 의존해야 함을 증명한다.

## 수학적 정의
두 물체 사이의 중심력 **F**는 두 물체 사이의 거리 r의 역제곱에 따라 그 세기가 달라진다.

:
\mathbf{F} = \frac{k}{r^{2}} \mathbf{\hat{r}}


여기서 k는 상수이고 \mathbf{\hat{r}}은 두 물체를 잇는 선상의 단위 벡터를 나타낸다. 이 힘은 인력(k  0)일 수도 있다. 이에 대응하는 스칼라 퍼텐셜은 다음과 같다.

:
V(r) = \frac{k}{r}


## 케플러 문제의 해
중심 퍼텐셜 V(r)에서 움직이는 질량 m인 입자의 반지름 r에 대한 운동 방정식은 오일러-라그랑주 방정식에 의해 다음과 같이 주어진다.

:
m\frac{d^2 r}{dt^2} - mr \omega^2 =
m\frac{d^2 r}{dt^2} - \frac{L^2}{mr^3} = -\frac{dV}{dr}

\omega \equiv \frac{d\theta}{dt}이며 각운동량 L = mr^{2}\omega는 보존된다. 예를 들어, 좌변의 첫 번째 항은 원형 궤도의 경우 0이며, 가해진 내부 힘 \frac{dV}{dr}은 예상대로 구심력 요구량 mr \omega^{2}과 같다.

L이 0이 아니라면 각운동량의 정의를 통해 독립 변수를 t에서 \theta로 바꿀 수 있다.

:
\frac{d}{dt} = \frac{L}{mr^{2}} \frac{d}{d\theta}


이를 통해 시간에 독립적인 새로운 운동 방정식을 얻는다.

:
\frac{L}{r^2} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{L}{mr^2} \frac{dr}{d\theta} \right)- \frac{L^2}{mr^3} = -\frac{dV}{dr}


첫 번째 항을 전개하면 다음과 같다.

: \frac{L}{r^2} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{L}{mr^2} \frac{dr}{d\theta} \right) = -\frac{2L^2}{mr^5} \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2 + \frac{L^2}{mr^4} \frac{d^2 r}{d\theta^2}


이 방정식은 u \equiv \frac{1}{r}로 변수를 변환하고 양변에 \frac{mr^2}{L^2}을 곱하면 준선형(quasilinear)이 된다.

:
\frac{du}{d\theta} = \frac{-1}{r^2} \frac{dr}{d\theta}


:
\frac{d^2 u}{d\theta^2} = \frac{2}{r^3} \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2 - \frac{1}{r^2} \frac{d^2 r}{d\theta^2} 

대입 및 재정렬 후,

:
\frac{d^2 u}{d\theta^2} + u = -\frac{m}{L^2}  \frac{d}{du} V\left(\frac 1 u\right)


중력 또는 정전기 퍼텐셜과 같은 역제곱 힘 법칙의 경우, 스칼라 퍼텐셜은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:
V(\mathbf{r}) = \frac{k}{r} = ku


궤도 u(\theta)는 일반 방정식으로부터 유도될 수 있다.

:
\frac{d^2 u}{d\theta^2} + u = -\frac{m}{L^2}  \frac{d}{du} V\left( \frac 1 u\right) = -\frac{km}{L^2}


이 방정식의 해는 상수 -\frac{km}{L^2}에 단순한 사인 곡선이 더해진 형태이다.

:
u \equiv \frac{1}{r} = -\frac{km}{L^2} \left[ 1 + e \cos(\theta - \theta_0) \right]


여기서 e(궤도 이심률)와 \theta_{0}(위상 오프셋)는 적분 상수이다.

이것은 한 초점이 원점에 있는 원뿔 곡선의 일반 공식이다. e=0은 원, e은 타원, e=1은 포물선, e>1은 쌍곡선에 해당한다. 이심률 e는 총 에너지 E와 관련이 있다. (라플라스-룽게-렌츠 벡터 참조)

:
e = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{k^2 m}}


이 공식들을 비교해 보면 E은 타원(닫힌 궤도인 모든 해는 타원임), E=0은 포물선, E>0은 쌍곡선에 해당함을 알 수 있다. 특히, 완전히 원형인 궤도의 경우 E=-\frac{k^2 m}{2L^2}이다 (중심력이 구심력 요구량과 정확히 일치하며, 이는 주어진 원형 반지름에 필요한 각속도를 결정한다).

척력(k > 0)의 경우 e > 1만 적용된다.

## 같이 보기

* 작용-각도 좌표
* 베르트랑의 정리
* 비네 방정식
* 해밀턴-야코비 방정식
* 라플라스-룽게-렌츠 벡터
* 케플러 궤도
* 일반 상대성이론에서의 케플러 문제
* 케플러 방정식
* 케플러의 행성운동법칙

## 각주

분류:고전역학
분류:요하네스 케플러