프란츠-켈디시 효과

**프란츠-켈디시 효과**(Franz–Keldysh effect)는 반도체에 전기장을 가할 때 광학적 흡수가 변하는 현상이다. 이 효과는 독일의 물리학자 발터 프란츠와 러시아의 물리학자 레오니트 켈디시의 이름을 따서 명명되었다.

카를 W. 뵈어(Karl W. Böer)는 고전장 영역 발견 과정에서 전기장에 따른 광학적 흡수 에지의 이동을 처음 관찰했으며 이를 프란츠 효과라고 명명했다. 몇 달 후 켈디시의 논문 영문 번역본이 나오자 그는 이를 프란츠-켈디시 효과로 수정했다.

원래 개념으로 볼 때, 프란츠-켈디시 효과는 파동 함수가 밴드갭으로 "누출"되는 결과이다. 전기장이 가해지면 전자와 양공 파동 함수는 평면파가 아니라 에어리 함수가 된다. 에어리 함수는 고전적으로 금지된 밴드갭으로 확장되는 "꼬리"를 포함한다. 페르미 황금률에 따르면, 자유 전자와 양공의 파동 함수가 더 많이 겹칠수록 광학적 흡수는 더 강해진다. 에어리 꼬리는 전자와 양공이 약간 다른 전위(전기장을 따라 약간 다른 물리적 위치)에 있더라도 약간 겹친다. 이제 흡수 스펙트럼은 밴드갭 아래 에너지에서 꼬리를 포함하고 그 위에서는 일부 진동을 포함한다. 그러나 이 설명은 밴드갭 근처의 광학적 특성을 지배할 수 있는 엑시톤의 효과를 생략한다.

프란츠-켈디시 효과는 양자 우물을 필요로 하는 양자 구속 슈타르크 효과와 달리 균일한 벌크 반도체에서 발생한다. 둘 다 전기흡수 변조기에 사용된다. 프란츠-켈디시 효과는 일반적으로 수백 볼트를 필요로 하여 기존 전자 장치와의 유용성을 제한하지만, 광학 캐리어를 유도하기 위해 도파관 형상을 사용하는 상용 프란츠-켈디시 효과 전기흡수 변조기에는 해당되지 않는다.

## 변조 분광학에 미치는 영향
흡수 계수는 유전 상수 (특히 복소수 부분 \kappa2)와 관련이 있다. 맥스웰 방정식으로부터 다음과 같은 관계를 쉽게 찾을 수 있다.

:\alpha = \frac{2\omega k_0} {c}=.

n0와 k0는 재료의 굴절률의 실수부와 복소수부이다.
여기서는 완전 결정에서 입사광에 의해 유도되는 원자가띠에서 전도띠로의 전자의 직접 전이를 고려하고, 전자-광자, 전자-양공, 외부장과 같은 상호작용이 있을 때 각 해밀토니안에 대한 흡수 계수의 변화를 고려한다. 이러한 접근 방식은 다음으로부터 따른다. 우리는 프란츠-켈디시 효과 및 3차 미분 변조 분광학의 이론적 배경에 첫 번째 목적을 둔다.

### 전자기장 내 하나의 전자 해밀토니안
:H = {1 \over 2m} (\mathbf{p}+e\mathbf{A})^2 + V(\mathbf{r})
여기서 **A**는 벡터 퍼텐셜이고 V(**r**)은 주기적 퍼텐셜이다.

:\mathbf A = {1 \over 2}  A_0 \mathbf e [e^{\mathrm i(\mathbf k_p \cdot \mathbf r - \omega t)}+e^{-\mathrm i(\mathbf k_p \cdot \mathbf r - \omega t)}]
(**k**p와 **e**는 전자기장의 파수 벡터와 단위 벡터이다.)

A^2 항을 무시하고 쿨롱 게이지 \nabla\cdot \mathbf A=0에서 \mathbf{A}\cdot \mathbf{p}  = \mathbf{p} \cdot \mathbf A 관계를 사용하면,

:H \sim {p^2 \over 2m} + V(\mathbf r) + {e \over m} \mathbf A \cdot \mathbf p

그런 다음 블로흐 함수 |jk\rangle = e^{\mathrm i\mathbf k \cdot \mathbf r} u_{jk}(\mathbf r) (j = v, c는 각각 원자가띠, 전도띠를 의미)를 사용하면,

전이 확률은 다음과 같이 얻어진다.

:w_{cv} = {2 \pi \over \hbar} |\langle ck'| {e \over m} \mathbf A \cdot \mathbf p |vk\rangle|^2\delta[E_c (k') - E_v (k) - \hbar \omega]
:= {\pi e^2 \over 2 \hbar m^2}A_0 ^2 |\langle ck'|\exp(\mathrm i\mathbf k_p \cdot \mathbf r)\mathbf e \cdot \mathbf p |vk\rangle |^2 \delta[E_c (k') - E_v (k) - \hbar \omega]
:\mathbf e \cdot \mathbf p_{cv} = {1 \over V} \int_v e^{\mathrm i(\mathbf k_p +\mathbf k- \mathbf k') \cdot \mathbf r} {u^*}_{ck'}(\mathbf r)\mathbf e \cdot (\mathbf p+ \hbar \mathbf k)u_{vk} (\mathbf r) d^3r

단위 시간 및 단위 부피당 전자기파의 전력 소산은 다음 방정식을 유발한다.

\hbar \omega w_{cv} = {1 \over 2} \omega \kappa_2 \epsilon_0 {E_0}^2

전기장과 벡터 포텐셜 사이의 관계 \mathbf{E} = -로부터 E_0 = \omega A_0로 놓을 수 있다.

그리고 마침내 유전 상수의 허수 부분과 흡수 계수를 얻을 수 있다.
\kappa = \sum_{k,k'} |\mathbf e \cdot \mathbf p_{cv}|^2 \delta[E_c (k') - E_v (k) - \hbar \omega]\delta_{kk'} 

### 2체(전자-양공) 전자기장 해밀토니안
원자가띠(파수 벡터 k)의 전자가 광자 흡수에 의해 전도띠(띠의 파수 벡터는 k'=k_e)로 여기되고, 원자가띠에는 양공(양공의 파수 벡터는 k_h=-k)이 남는다. 이 경우, 전자-양공 상호작용(V(r_e -r_h))을 포함한다.

직접 전이를 고려하면, |k_e|, |k_h|는 거의 동일하다. 그러나 광자 흡수로 인한 운동량의 미세한 차이를 무시하지 않고, 속박 상태인 전자-양공 쌍이 매우 약하며, 유효 질량 근사가 처리에 유효하다고 가정한다. 그러면 다음 절차를 만들 수 있다: 전자와 양공의 파동 함수와 파수 벡터

 \Psi_{ij} (r_e, r_h) = \psi_{ik_e}(r_e) \psi_{jk_h} (r_h) (i, j는 밴드 인덱스이고, re, rh, ke, kh는 각각 전자와 양공의 좌표와 파수 벡터이다)

그리고 질량 중심 운동량 **Q**를 다음과 같이 취할 수 있다.
Q = k_e + k_h.
그리고 해밀토니안을 정의한다.
H=H_e + H_h +V(r_e -r_h)

그 다음, 전자와 양공의 블로흐 함수는 위상 항 A^{n,Q}_{cv}로 구성될 수 있다.
\Psi^{n,Q}(r_e,r_h) = \sum_{c,k_e,v,k_h}A^{n,Q}_{cv}(k_e,k_h) \psi_{ck_e}(r_e) \psi_{vk_h} (r_h)

V가 적분 거리에서 천천히 변한다면, 해당 항은 다음과 같이 처리될 수 있다.

여기서 우리는 전도대와 원자가띠가 스칼라 질량을 가진 포물선형이며, 원자가띠의 최상단에서 \Epsilon_v(0) =0이라고 가정한다. 즉,
\Epsilon_c(k_e) = +\Epsilon_G, \Epsilon_v(k_h)= (\Epsilon_G는 에너지 갭이다)

이제 Eq.()에 들어가는 A^{n,Q}_{cv}(k_e,k_h)의 푸리에 변환은 엑시톤에 대한 유효 질량 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

[(-{\hbar^2 \over 2M}\nabla^2)+(-{\hbar^2 \over 2\mu} \nabla^2-{e^2 \over 4\pi\epsilon r})]\Phi^{n,k}(r,R) = [\Epsilon-\Epsilon_G] \cdot \Phi^{n,Q}(r,R)

r=r_e-r_h, R=, {1 \over \mu} = {1\over m_e}+{1 \over m_h}, M= m_e + m_h 

그러면 방정식의 해는 다음과 같이 주어진다.

\Psi^{n,Q} (r,R) = \Psi_Q(R)\psi_n(r)
\Psi^{n,Q} (r,R) = {1 \over \sqrt {V}}\exp(iQ \cdot R) \phi_n(r)

\phi_n(r)은 엑시톤의 엔벨로프 함수라고 불린다. 엑시톤의 바닥 상태는 수소 원자와 유사하게 주어진다.

그 다음, 유전 함수는 다음과 같다.

 |e \cdot p_{cv}|^2\sum_{\lambda} |\phi_\lambda(0)|^2 \delta(\Epsilon_G + \Epsilon_\lambda - \hbar\omega)|}}

자세한 계산은 다음을 참조한다.

### 프란츠-켈디시 효과
프란츠-켈디시 효과는 원자가띠의 전자가 밴드갭보다 낮은 에너지를 가진 광자를 흡수하여 전도띠로 여기될 수 있음을 의미한다. 이제 우리는 외부장이 결정에 가해졌을 때 전자 양공 쌍의 상대 운동에 대한 유효 질량 방정식을 고려하고 있다. 그러나 우리는 전자-양공 쌍의 상호 퍼텐셜을 해밀토니안에 포함시키지 않을 것이다.

쿨롱 상호작용을 무시하면, 유효 질량 방정식은 다음과 같다.

\left[-{\hbar^2 \over 2\mu} \nabla^2 - eE \cdot r \right] \psi(r) = \epsilon \psi(r).

그리고 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다.

\left[-{\hbar^2 \over 2\mu}{d^2 \over {dr_i^2}}-eE_ir_i-\epsilon_i \right]\psi(r_i) = 0(여기서 \mu_i는 환산 유효 질량 텐서의 주축 방향 값이다)

변수 변환을 사용하면:

\hbar\theta_i = \left( \right)^{1/3}, \xi_i= 

그러면 해는 다음과 같다.

\psi(\xi_x,\xi_y,\xi_z)=C_x C_y C_z Ai(-\xi_x)Ai(-\xi_y)Ai(-\xi_z)

여기서 C_i = \over{\hbar\theta}}

예를 들어, E_y=E_z=0, E_x인 경우 해는 다음과 같이 주어진다.

\psi(x,y,z)=C \cdot Ai \left(  \right)

이 표현식을 Eq.()에 대입하고, λ에 대한 합을 \int_{-\infty}^{\infty}d\epsilon_xd\epsilon_yd\epsilon_z로 변경하면 유전 상수를 얻을 수 있다.

d\epsilon_x d\epsilon_y에 대한 적분은 2D 밴드에 대한 결합 상태 밀도로 주어진다. (결합 상태 밀도는 전자와 양공의 상태 밀도가 동시에 있다는 의미이다.)

{\kappa(\omega, E)} = |e \cdot p_{cv}|^2 \int_{-\infty}^{\infty}{J^{2D}}_{cv}(\hbar\omega - \epsilon_G - \epsilon_x) \cdot \left|Ai\left(-\right)^2 \right|d\epsilon_x.

여기서 J^{2D}_{cv}(\hbar\omega) = {(\mu_y\mu_z)^{1/2} \over \pi\hbar^2}, \hbar\omega > \epsilon_G. 

=0, \hbar\omega 

이제 \eta = 를 대입한다.

그리고 \eta, 즉 \hbar\omega 인 경우를 이 한계에서 에어리 함수의 점근해를 사용하여 고려한다.

최종적으로, \kappa _2(\omega, E_x) = {1/2}\kappa_2(\omega) \exp\left[-{4 \over 3}\left(\right)\right]

따라서 밴드갭 아래의 광자 에너지에 대한 유전 함수가 존재한다! 이 결과는 입사 광자에 대한 흡수가 발생함을 나타낸다.

## 같이 보기
* 양자 구속 슈타르크 효과

## 각주

### 일반 참고 문헌
* W. Franz, Einfluß eines elektrischen Feldes auf eine optische Absorptionskante, Z. Naturforschung **13a** (1958) 484–489.
* L. V. Keldysh, Behaviour of Non-Metallic Crystals in Strong Electric Fields, J. Exptl. Theoret. Phys. (USSR) **33** (1957) 994–1003, translation: Soviet Physics JETP **6** (1958) 763–770.
* L. V. Keldysh, Ionization in the Field of a Strong Electromagnetic Wave, J. Exptl. Theoret. Phys. (USSR) **47** (1964) 1945–1957, translation: Soviet Physics JETP **20** (1965) 1307–1314.
* 
* J. I. Pankove, Optical Processes in Semiconductors, 도버 출판사 Inc. New York (1971).
* H. Haug and S. W. Koch, "Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors", World Scientific (1994).
* C. Kittel, "고체물리학의 이해", Wiley (1996).

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