특성 임피던스

[섬네일|upright=1.4|두 개의 검은색 전선으로 그려진 [전송선로. 선을 따라 거리 에 각각의 전선을 통해 흐르는 전류 페이저 와 전선 사이의 전압 차이 페이저 가 있다 (아래 전압 빼기 위 전압). 만약 이 선의 **특성 임피던스**라면, 오른쪽으로 이동하는 파동의 경우 이고, 왼쪽으로 이동하는 파동의 경우 이다.]]
[섬네일|upright=1.35|특성 임피던스 를 가진 [전송선로로 소스가 부하에 연결된 회로의 개략도]]

균일한 전송선로의 **특성 임피던스**() 또는 **서지 임피던스**(, 일반적으로 으로 표기)는 다른 방향으로의 반사가 없는 상태에서 선을 따라 한 방향으로 진행하는 파동의 전압과 전류의 진폭 비율이다. 동등하게, 이는 길이가 무한할 때 전송선로의 입력 임피던스로 정의될 수 있다. 특성 임피던스는 전송선로의 기하학적 구조와 재료에 의해 결정되며, 균일한 선의 경우 길이에 의존하지 않는다. 특성 임피던스의 SI 단위는 옴이다.

손실 없는 전송선로의 특성 임피던스는 순수 실수이며, 리액턴스 성분이 없다 (아래 참조). 이러한 선의 한쪽 끝에서 소스가 공급하는 에너지는 선 자체에서 소산되지 않고 선을 통해 전송된다. 유한한 길이의 전송선로(손실이 있거나 없거나)가 한쪽 끝에 특성 임피던스와 동일한 임피던스로 종단되면, 소스에는 무한히 긴 전송선로처럼 보이며 반사를 일으키지 않는다.

## 전송선로 모델
주어진 각진동수 에서 무한 전송선로의 특성 임피던스 는 선을 따라 진행하는 동일한 주파수의 순수한 사인파의 전압과 전류의 비율이다. 이 관계는 파동이 선의 끝에 도달하기 전까지 유한한 전송선로에서도 마찬가지이다. 일반적으로 파동은 선을 따라 반대 방향으로 반사된다. 반사된 파동이 소스에 도달하면 다시 반사되어 전송된 파동에 더해지며 입력에서의 전압과 전류의 비율을 변경하여 전압-전류 비율이 특성 임피던스와 더 이상 같지 않게 된다. 반사된 에너지를 포함하는 이 새로운 비율을 해당 전송선로와 부하의 입력 임피던스라고 한다.

무한 선의 입력 임피던스는 전송된 파동이 끝에서 절대 반사되지 않으므로 특성 임피던스와 같다. 동등하게: . 이는 특성 임피던스로 종단된 선에서는 반사가 없기 때문이다.
[섬네일|[전신 방정식|헤비사이드 모델의 무한소 전송선로 세그먼트 개략도]]

아래에서 유도된 전신 방정식을 기반으로 한 전송선로 모델을 적용하면, 전송선로의 특성 임피던스에 대한 일반적인 표현은 다음과 같다.
Z_0 = \sqrt{ \frac{R + j\omega L}{G + j\omega C}\, }
여기서

이 표현은 가 0으로 갈 때 DC까지 확장된다.

유한한 전송선로의 에너지 서지는 반사가 돌아오기 전까지 의 임피던스를 보게 된다; 따라서 서지 임피던스는 특성 임피던스의 다른 이름이다. 무한 선이 가정되었지만, 모든 양이 단위 길이당이므로 모든 단위의 "길이당" 부분이 상쇄되어 특성 임피던스는 전송선로의 길이에 독립적이다.

선상의 전압 및 전류 페이저는 특성 임피던스에 의해 다음과 같이 관련된다.
 Z_\text{0} = \frac{V_{(+)}}{I_{(+)}} =-\frac{V_{(-)}}{I_{(-)}}
여기서 아래첨자 (+)와 (−)는 각각 전진하는 파동 (+)과 후진하는 파동 (−)에 대한 별개의 상수를 나타낸다. 가장 오른쪽 표현에 음수 부호가 있는 것은 후진하는 파동의 전류 방향이 전진하는 파동의 전류 방향과 반대이기 때문이다.

## 유도
### 전신 방정식을 사용하여

섬네일|특성 임피던스 유도를 위해 전송선로의 한 단면을 고려한다. 왼쪽의 전압은 이고 오른쪽의 전압은 이다. 이 그림은 두 가지 유도 방법에 모두 사용된다.
전압과 전류의 시간 및 공간 의존성을 설명하는 미분 방정식은 선형이므로, 해의 선형 결합 역시 해가 된다. 이는 시간 의존성을 로 고려할 수 있음을 의미한다. 이렇게 하면 시간 의존성을 제외할 수 있으며, 위치(공간)에만 의존하는 페이저에 대한 상미분 방정식이 남는다. 또한, 매개변수는 주파수 의존성을 가지도록 일반화될 수 있다.

정상 상태 문제를 고려하여 전압과 전류를 다음과 같이 쓸 수 있다.
\begin{align}
v(x,t) &= V(x) e^{j \omega t}\\[.5ex]
i(x,t) &= I(x) e^{j \omega t}
\end{align}

루프에서 와 의 양의 방향을 시계 방향으로 취한다. 전신 방정식에 대입하고 시간 의존성 e^{j \omega t}을 제외하면 다음과 같이 된다.
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} &= -\left( R + j \omega L \right) I = -Z I,\\[.5ex]
\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}x} &= -\left( G + j \omega C \right) V = -Y V,
\end{align}
여기서 임피던스 와 어드미턴스 이다. 이 두 1계 미분 방정식을 유도하고 대입하면 두 개의 비연결 2계 미분 방정식이 나온다.
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}^2 V}{\mathrm{d}x^2} &= k^2 V,\\[.5ex]
\frac{\mathrm{d}^2 I}{\mathrm{d}x^2} &= k^2 I,
\end{align}
여기서  이고, 는 전파 상수라고 불린다.

이러한 유형의 방정식의 해는 다음과 같이 쓸 수 있다.
\begin{align}
V(x) &= A e^{-k x} + B e^{k x}\\[.5ex]
I(x) &= A_{1} e^{-k x} + B_{1} e^{k x}
\end{align}
여기서 , , , 은 적분 상수이다. 이 상수들을 1차 시스템에 대입하면 다음과 같다.
\begin{align}
A_1 &= \hphantom{-}A \frac{k}{R+ j \omega L}\\[.5ex]
B_1 &= -B \frac{k}{R + j \omega L}
\end{align}
여기서

\frac{A}{A_1} = -\frac{B}{B_1} = \frac{R + j \omega L}{k} = \sqrt{\frac{R+ j\omega L}{G + j \omega C}} = \sqrt{\frac{Z}{Y}} = Z_{0}.

위 방정식에서 정의된 상수 가 임피던스(전압 대 전류 비율)의 차원을 가지며, 선의 기본 상수와 작동 주파수의 함수임을 알 수 있다. 이를 전송선로의 라고 한다.

전신 방정식의 일반 해는 이제 다음과 같이 쓸 수 있다.
\begin{align}
v(x,t) &= V(x) e^{j \omega t} = A e^{-\alpha x}e^{j(\omega t - \beta x)} +  B e^{\alpha x}e^{j(\omega t + \beta x)} \\[.5ex]
i(x,t) &= I(x) e^{j \omega t} = \frac{A}{Z_0} e^{-\alpha x}e^{j(\omega t - \beta x)} -  \frac{B}{Z_0} e^{\alpha x}e^{j(\omega t + \beta x)}
\end{align}
전압과 전류의 해는 모두  및  방향으로 진행하는 두 개의 전파의 중첩으로 볼 수 있다.

일반적인 전송선로의 경우, 낮은 손실 저항 과 작은 절연 누설 컨덕턴스 를 가진 전선으로 신중하게 제작되며, 고주파수에서 사용될 때 유도성 리액턴스 와 용량성 어드미턴스 는 모두 커진다. 이러한 경우, 위상 상수와 특성 임피던스는 일반적으로 실수에 매우 가깝다.
\begin{align}
\beta & \approx \omega \sqrt{L C} \\[.5ex]
Z_{0} & \approx \sqrt{\frac{L}{C}}
\end{align}
제조업체는 넓은 주파수 범위에서 이 조건을 매우 가깝게 근사하도록 상용 케이블을 만든다.

### 무한 사다리 네트워크의 극한 경우로
#### 직관

직렬 임피던스 와 션트 어드미턴스 로 구성된 무한 사다리 네트워크를 고려해 보자. 입력 임피던스를 라고 하자. 만약 새로운 임피던스 와 어드미턴스  쌍이 네트워크 앞에 추가되더라도, 네트워크가 무한하기 때문에 입력 임피던스 는 변하지 않는다. 따라서, 이 네트워크는 하나의 직렬 임피던스 와 두 개의 병렬 임피던스  및 를 가진 유한 네트워크로 축소될 수 있다. 이의 입력 임피던스는 다음 표현식으로 주어진다.
Z_\mathrm{IT} = Z + \left( \frac{\ 1\ }{ Y } \parallel Z_\mathrm{IT} \right)\ 
이는 또한 반복 임피던스로 알려져 있다. 그 해는 다음과 같다.
Z_\mathrm{ IT } = {Z \over 2} \pm \sqrt { {Z^2 \over 4} + {Z \over Y} }\ 

전송선로의 경우, 이는 일정한 비율로 무한소 임피던스와 어드미턴스를 가진 무한 사다리 네트워크의 극한 경우로 볼 수 있다. 양의 근을 취하면 이 방정식은 다음과 같이 단순화된다.
\ Z_\mathrm{IT} = \sqrt{ \frac{\ Z\ }{ Y }\ }\ 

#### 유도
이 통찰력을 이용하여, 여러 책에 유사한 유도들이 많이 존재하며 손실이 없는 선과 손실이 있는 선 모두에 적용 가능하다.

여기서는 팀 힐리(Tim Healy)가 게시한 접근 방식을 따른다. 선은 미분 직렬 요소()와 션트 요소()를 가진 미분 세그먼트의 시리즈로 모델링된다(문서 시작 부분의 그림 참조). 특성 임피던스는 반무한 길이 선의 입력 전압 대 입력 전류의 비율로 정의된다. 이 임피던스를 라고 부른다. 즉, 선의 왼쪽을 보는 임피던스는 이다. 그러나 물론, 선을 따라 한 미분 길이 를 내려가도 선의 임피던스는 여전히 이다. 따라서 가장 왼쪽에서 선을 보는 임피던스는 와 에 병렬로 연결된 와 같으며, 이 모든 것은 와 에 직렬로 연결되어 있다고 말할 수 있다. 따라서,
\begin{align}
 &Z_0 = (R + j\omega L)\operatorname{d}\!x + \frac{ 1 }{(G + j\omega C)\operatorname{d}\!x + \frac{1}{Z_0}} \\
 &Z_0 = (R + j\omega L)\operatorname{d}\!x + \frac{Z_0}{Z_0(G + j\omega C)\operatorname{d}\!x + 1} \\
 &Z_0 + Z_0^2(G + j\omega C)\operatorname{d}\!x = (R + j\omega L)\operatorname{d}\!x + Z_0(G + j\omega C)\operatorname{d}\!x \,(R + j\omega L)\operatorname{d}\!x + Z_0
\end{align} 

추가된  항은 상쇄되어 다음이 남는다.
Z_0^2(G + j\omega C)\operatorname{d}\!x = (R + j\omega L)\operatorname{d}\!x + Z_0(G + j\omega C) (R + j\omega L) (\mathop{}\!\operatorname{d}\!x)^2 

1차  항이 가장 높은 차수로 남아있다. 공통 인수 를 나누고, 인수 로 나누면 다음을 얻는다.
Z_0^2 = \frac{(R + j\omega L)}{(G + j\omega C)} + Z_0(R + j\omega L)\operatorname{d}\!x.

가 나뉘어 나간 인수들에 비해, 여전히 남은 인수 를 포함하는 마지막 항은 다른 유한한 항들에 비해 무한소이므로, 이를 생략할 수 있다. 이는 다음으로 이어진다.
Z_0 = \pm \sqrt{\frac{R + j\omega L}{G + j\omega C}}\;.

제곱근에 적용된 부호 를 반전시키면 전류 흐름 방향이 반전된다.

## 손실 없는 선
손실 없는 선의 분석은 전송선로 모델링에 사용되는 수학을 단순화하여 실제 전송선로에 대한 정확한 근사치를 제공한다. 손실 없는 선은 선 저항과 유전 손실이 없는 전송선로로 정의된다. 이는 도체가 완벽한 도체처럼 작동하고 유전체가 완벽한 유전체처럼 작동함을 의미한다. 손실 없는 선의 경우 과 는 모두 0이므로, 위에서 유도된 특성 임피던스 방정식은 다음과 같이 단순화된다.
Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}\,}\,.

특히, 는 더 이상 주파수에 의존하지 않는다. 위 표현은 허수 항 가 상쇄되었으므로 완전히 실수이며, 이는 가 순수하게 저항성임을 의미한다. 로 종단된 손실 없는 선의 경우, 선을 가로지르는 전류 손실이 없으므로 전압은 선을 따라 동일하게 유지된다. 손실 없는 선 모델은 저손실 전송선로 및 고주파수 전송선로와 같은 많은 실용적인 경우에 유용한 근사치이다. 이 두 경우 모두 과 는 각각 과 보다 훨씬 작으므로 무시할 수 있다.

긴 선 전송 방정식의 해는 전압과 전류의 입사 및 반사 부분을 포함한다.
\begin{align}
V &= \frac{V_r + I_r Z_c}{2} e^{\gamma x} + \frac{V_r - I_r Z_c}{2} e^{-\gamma x} \\[1ex]
I &= \frac{V_r/Z_c + I_r}{2} e^{\gamma x} - \frac{V_r/Z_c - I_r}{2} e^{-\gamma x}
\end{align}
선이 특성 임피던스로 종단될 때, 이 방정식의 반사 부분은 0으로 줄어들고 전송선로를 따라가는 전압과 전류의 해는 전적으로 입사파가 된다. 파동의 반사가 없으면, 선에 의해 공급되는 부하는 효과적으로 선과 융합되어 무한 선처럼 보이게 한다. 손실 없는 선에서는 이는 전송선로를 따라 전압과 전류가 모든 곳에서 동일하게 유지됨을 의미한다. 그 크기는 선의 길이를 따라 일정하게 유지되며 위상각만 회전된다.

## 서지 임피던스 부하
전력 전송에서 전송선로의 특성 임피던스는 **서지 임피던스 부하** (**SIL**) 또는 자연 부하의 관점에서 표현되며, 이는 무효 전력이 생성되지도 흡수되지도 않는 전력 부하이다.
\mathrm{SIL}  = \frac^2}{Z_0}
여기서 은 실효값 (RMS) 선간 전압 (단위: 볼트)이다.

SIL보다 낮게 부하되면 부하 전압이 시스템 전압보다 커진다. SIL보다 높으면 부하 전압이 낮아진다. 페란티 효과는 매우 가볍게 부하된 (또는 개방된) 전송선로의 원격 끝에서 전압 이득을 설명한다. 지하 케이블은 일반적으로 매우 낮은 특성 임피던스를 가지므로, 일반적으로 케이블의 열 한계를 초과하는 SIL을 초래한다.

## 실제 예시

동축 케이블 (코액스)의 특성 임피던스는 일반적으로 RF 및 마이크로파 응용 분야에서 로 선택된다. 비디오 응용 분야용 코액스는 낮은 손실 때문에 보통 이다 .

## 같이 보기
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* 특성 어드미턴스 – 특성 임피던스의 수학적 역수
* 반복 임피던스 – 특성 임피던스는 이것의 극한 경우이다.
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## 각주

### 출처

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## 외부 링크

분류:전기
분류:물리량
분류:전송선로