얽힘 스펙트럼

1935년, 에르빈 슈뢰딩거는 양자역학의 해석에 관한 논쟁 과정에서 반직관적인 양자 현상을 설명하기 위해 「양자 얽힘」이라는 용어를 처음 제안했다. 이는 두 입자가 아무리 멀리 떨어져 있어도 그들의 양자 상태가 긴밀하게 연결되어 있어, 마치 서로의 정보가 깊이 얽혀 있는 듯한 현상을 말한다. 즉, 한 입자를 측정하는 순간, 두 입자 사이의 거리에 상관없이 다른 입자의 상태 또한 즉시 영향을 받게 된다. 이러한 일상적인 경험을 초월하는 상관성은 양자역학의 가장 놀라운 특징 중 하나로 꼽힌다.

연구가 진전됨에 따라, 과학자들은 양자 얽힘이 단지 두 입자 사이에서만 존재하는 것이 아님을 발견했다. 고체 내의 전자나 자성 물질 속의 스핀과 같은 양자 다체 계에서 양자 얽힘은 더욱 핵심적인 역할을 수행한다. 이러한 계는 수많은 입자로 구성되어 있어 단일 입자에 대한 직관으로는 그 거동을 이해하기 어려운데, 양자 얽힘은 입자들 사이의 심층적인 상관관계를 규명하는 새로운 관점을 제공한다.

이러한 상관관계를 보다 정밀하게 분석하기 위해, 2008년 리(Li)와 덩컨 홀데인은 **얽힘 스펙트럼**이라는 개념을 제안했다. 이는 얽힘 구조에 대한 분광학적 분석으로 볼 수 있다. 마치 스펙트럼이 빛을 성분별로 분해하듯이, **얽힘 스펙트럼**은 양자 계 내부의 **얽힘 구조**를 다양한 에너지 준위 성분으로 분해하여 보여준다. 전통적인 얽힘 엔트로피가 얽힘의 총량만을 제공하는 것에 비해, **얽힘 스펙트럼**은 훨씬 더 상세한 정보를 제공함으로써 연구자들이 양자 다체 계의 내부 구조를 심도 있게 이해할 수 있도록 한다.

## 수학적 정의
**얽힘 스펙트럼**(entanglement spectrum)의 수학적 정의는 다음과 같다.
:\xi_i=-\ln\omega_i-\ln Z
여기서 \omega_i는 축소 밀도 행렬의 i번째 고유값이며, Z는 모든 고유값의 합이 \sum_i\omega_i=1이어야 한다는 조건에서 유래한 상수이다. 아래에서는 양자역학의 수학적 도구(예: 브라-켓 표기법)에 어느 정도 익숙한 독자를 위해 위 식의 수학적 정의를 상세히 소개한다.

양자 얽힘을 논의할 때, 흔히 양자 계를 A와 B 두 하위 계(subsystem)로 나누고, A와 B 사이의 양자 상관관계를 탐구한다. 전체 계의 규격화된 파동함수를 다음과 같이 쓸 수 있다고 가정하자.
:|\psi\rangle=\sum_{i\in A}\sum_{k\in B}\phi_{ik}|i\rangle |k\rangle
비록 전체 계의 밀도 행렬 \rho=|\psi\rangle\langle\psi|은 순수 상태이지만, 하위 계 B의 자유도에 대해 **부분 대각합**(partial trace)을 취한 후 얻어지는 **축소 밀도 행렬** \rho_A=\mathrm{tr}_B\rho는 혼합 상태일 수 있다. 즉, \rho_A^2\neq\rho_A이다.
여기서 **부분 대각합** 「\mathrm{tr}_B」는 하위 계 B의 자유도에 대해서만 대각합(trace)을 취하는 연산을 의미하며, 그 결과는 여전히 행렬이고 행렬의 크기는 하위 계 A의 자유도 크기가 된다. **축소 밀도 행렬**의 행렬 성분은 다음과 같다.
:[\rho_A]_{ij}=\sum_k\phi_{ik}^*\phi_{jk}
**축소 밀도 행렬**이 에르미트 행렬 [\rho_A]_{ji}^*=[\rho_A]_{ij}임을 알 수 있으므로, \rho_A의 고유값은 반드시 실수이다. \rho_A가 혼합 상태일 수 있다는 것은, 전체 계가 |\psi\rangle 상태일 때 측정이 하위 계 A에서만 이루어진다면 여러 가지 다른 결과가 나올 수 있음을 의미한다. 이러한 서로 다른 결과에 대응하는 확률이 바로 \rho_A의 고유값 \omega_i이며, 이는 고유값 방정식 \rho_A|\omega_i\rangle=\omega_i|\omega_i\rangle을 만족한다. 전체 계의 파동함수가 규격화되어 있으므로(\langle\psi|\psi\rangle=1), 모든 고유값의 합 또한 규격화됨을 유도할 수 있다.
:\sum_i\omega_i=1
\omega_i는 **확률**의 의미도 갖는다. A에만 작용하는 물리량 O_A의 기댓값은, 하위 계가 각 고유상태에 있을 때의 기댓값 \langle\omega_i|O_A|\omega_i\rangle과 하위 계가 그 고유상태에 있을 확률 \omega_i를 곱한 뒤 합한 것과 같다.
:\langle O_A\rangle=\mathrm{tr}(\rho_AO_A)=\sum_i\omega_i\langle\omega_i|O_A|\omega_i\rangle
A와 B 사이의 얽힘 정도는 \omega_i의 분포로부터 관찰할 수 있다. 예를 들어, 모든 고유상태의 확률이 같다면(\omega_1=\omega_2=\cdots), A와 B는 최대 얽힘 상태이다. 반대로, 오직 하나의 고유값만 1이고(\omega_1=1) 나머지 고유값은 모두 0이라면(\omega_2=\omega_3=\cdots=0), 하위 계 A를 측정했을 때 오직 한 가지 가능성만 얻게 되므로 A와 B 사이에는 얽힘이 없다. 「얽힘 엔트로피」는 바로 이러한 성질을 잘 나타낼 수 있지만, 얽힘 엔트로피는 고유값의 분포를 하나의 수치로 압축하는 반면, **얽힘 스펙트럼**은 \rho_A의 고유값 분포를 직접 관찰한다. 그러나 **얽힘 스펙트럼**의 정의는 단순한 확률 분포와 **에너지 스펙트럼** 사이에 더 정교한 연관성과 의미를 부여한다.

양자 통계역학에서 정준 앙상블의 혼합 상태 밀도 행렬은 \rho=e^{-\beta H}/Z로 고려된다. 여기서 \beta=1/k_BT는 온도의 역수, k_B 는 볼츠만 상수, Z=\mathrm{tr}(e^{-\beta H}) 는 분배 함수, H 는 계의 해밀토니언이다. **축소 밀도 행렬** \rho_A가 혼합 상태이므로, 이를 열역학적 평형 상태와 유사하게 간주하여 온도가 \beta=1인 열적 상태\rho_A=e^{-H_E}/Z로 정의할 수 있다. 여기서 Z=\mathrm{tr}(e^{-\beta H_E})는 \mathrm{tr}\rho_A=1을 보장하기 위한 것이다. 이렇게 하여 가상의 해밀토니언 H_E를 정의하는데, 이 H_E는 하위 계 A에만 작용하는 연산자로 **얽힘 해밀토니언**이라 부른다. H_E 의 고유값 \xi_i는 **얽힘 에너지**(entanglement energy)라 부르며, H_E|\omega_i\rangle=\xi_i|\omega_i\rangle을 만족한다. 따라서 **얽힘 에너지**와 \omega_i의 관계는 \omega_i=e^{-\xi_i}/Z 또는 다음과 같다.
:\xi_i=-\ln\omega_i-\ln Z

**얽힘 스펙트럼**은 모든 **얽힘 에너지**의 집합 \{\xi_i\}이다.

위 식에서 -\ln Z는 문헌에서 종종 생략되기도 하는데, 이는 전체 **얽힘 스펙트럼**을 상수만큼 평행 이동시키는 역할만 하기 때문이다. 만약 상대적인 **얽힘 에너지 차이** \Delta\xi_i=\xi_i-\xi_0에만 관심이 있다면 이 상수는 자연스럽게 소거된다. 얽힘 엔트로피와 **얽힘 에너지**의 정의에 따르면, **얽힘 엔트로피**는 **얽힘 에너지**의 기댓값에 상수 \ln Z를 더한 것으로 볼 수 있다.

**얽힘 스펙트럼**의 정의는 전체 계의 해밀토니언을 논하지 않고도 가능하며, 설령 전체 계의 해밀토니언 H가 하위 계들의 합과 상호작용으로 쓰여진다 해도(H=H_A+H_B+H_{AB}), 일반적으로 **얽힘 해밀토니언** H_E는 하위 계 A의 해밀토니언 H_A에 비례하지 않는다(H_E\neq\beta H_A).

## 리-홀데인 추측
2008년 리와덩컨 홀데인은 처음으로 얽힘 스펙트럼의 개념을 제안하고, 분수 양자 홀 계에서 얽힘 스펙트럼을 계산하여 이것이 위상 계의 가장자리 상태를 모사할 수 있음을 발견했다. 이는 나중에 다른 위상 계에서도 성공적으로 검증되어 광범위하게**리-홀데인 추측**이라고 불리게 되었다. 그 내용은 위상 계 바닥상태의 얽힘 스펙트럼이 계의 가장자리 에너지 상태와 일대일 대응 관계를 보인다는 것이다.

2차원 위상 계의 가장자리는 등각 장론으로 기술되는 에너지 갭이 없는 1차원 계이므로, 얽힘 스펙트럼에서도 등각 장론의 상태 계수 관계, 예를 들어 자연수 분할 수열 {1,1,2,3,5,7,...}이 나타날 수 있다. 다시 말해, 얽힘 스펙트럼에서 명확한 상태 계수 관계를 발견하는 것은 벌크 계가 **위상 질서**를 가지고 있음을 의미하며, 따라서 얽힘 스펙트럼은 위상 계를 식별하는 "지문"이 될 것으로 기대된다.

## 참조

분류:양자역학
분류:양자정보과학
분류:통계역학