약한 측정

양자역학 (및 양자 컴퓨팅 및 정보)에서 **약한 측정**(Weak measurement)은 평균적으로 시스템에 대한 정보를 거의 얻지 못하지만 상태를 거의 방해하지 않는 양자 측정의 한 유형이다. 부시의 정리에 따르면 모든 양자 시스템은 측정에 의해 필연적으로 방해받지만, 방해의 양은 측정 강도라는 매개변수에 의해 설명된다.

약한 측정은 POVM으로 알려진 연산자에 의해 기술되는 더 일반적인 형태의 양자 측정의 하위 집합이며, 측정의 강도가 낮은 경우이다. 문헌에서 약한 측정은 또한 불명확한(unsharp), 모호한(fuzzy), 무딘(dull), 시끄러운(noisy), 근사적인(approximate), 그리고 온화한(gentle) 측정으로도 알려져 있다. 또한 약한 측정은 약한 값이라는 구별되지만 관련된 개념과 종종 혼동된다.

약한 측정의 가장 일반적인 방법은 양자 시스템을 보조 큐비트에 결합하고 보조 큐비트를 투영적으로 측정하는 것(이것은 관심 양자 시스템에 대한 약한 측정으로 이어진다), 큰 얽힌 시스템의 작은 부분을 측정하는 것, 그리고 원자 물리학의 경우 위상차 영상을 이용하는 것이다.

## 역사
약한 측정은 양자 시스템의 약한 연속 측정의 맥락에서 처음으로 고려되었다. (즉, 양자 필터링 및 양자 궤적). 연속 양자 측정의 물리학은 다음과 같다. 예를 들어 장 또는 전류와 같은 보조 장치를 사용하여 양자 시스템을 탐색한다고 가정해 보자. 시스템과 탐침 간의 상호작용은 두 시스템을 상관시킨다. 일반적으로 상호작용은 시스템과 보조 장치를 약하게만 상관시킨다(구체적으로, 상호작용 유니타리 연산자는 섭동 이론에서 1차 또는 2차까지만 확장하면 된다). 보조 장치를 측정하고 양자 측정 이론을 사용하여 측정 결과에 따라 시스템의 상태를 결정할 수 있다. 강한 측정을 얻기 위해서는 많은 보조 장치를 결합하고 측정해야 한다. 보조 장치가 연속체로 존재할 때 측정 과정은 시간적으로 연속적이 된다. 이 과정은 다음 인물에 의해 처음으로 기술되었다: 미하일 멘스키; 뱌체슬라프 벨라프킨; 알베르토 바르키엘리, L. 란츠, G. M. 프로스페리; 바르키엘리; 칼턴 케이브스; 케이브스와 제럴드 J. 밀번. 이후 하워드 카마이클과 하워드 M. 와이즈먼도 이 분야에 중요한 공헌을 했다.

약한 측정의 개념은 종종 야키르 아하로노프, 데이비드 앨버트 및 레브 바이드만에게 잘못 귀속된다. 그들의 논문에서 그들은 약한 측정의 한 예시(그리고 아마도 "약한 측정"이라는 문구를 만들어냈다)를 고려하고 이를 사용하여 그들이 처음 정의한 약한 값의 정의를 설명한다.

## 예시: 약한 슈테른-게를라흐 자석의 한계

슈테른-게를라흐 실험은 전자의 스핀 각운동량의 양자화를 보여주는 전형적인 예시이다. 이 실험은 강한 자기장 기울기를 포함하며, 이는 자기장을 통과하는 전자에 스핀 의존적인 힘을 가하여 장치에서 두 개의 순수 스핀 전자 빔을 생성한다.

이 장치의 자석이 방해석 결정 조각과 같이 매우 약한 기울기를 생성했다고 가정해 보자.

## 이론: 보조 장치 결합

약한 측정에 대한 보편적으로 받아들여지는 정의는 없다. 한 가지 접근 방식은 크라우스 연산자 중 일부 또는 전부가 항등 연산자에 가까운 일반화된 측정이라고 선언하는 것이다. 아래에서 다루는 접근 방식은 두 시스템을 약하게 상호작용한 다음 그 중 하나를 측정하는 것이다. 이 접근 방식을 자세히 설명한 후 예시를 통해 설명할 것이다.

### 약한 상호작용 및 보조 장치 결합 측정

양자 상태 |\psi\rangle에서 시작하는 시스템과 상태 |\phi\rangle에서 시작하는 보조 장치를 고려해 보자. 결합된 초기 상태는 |\Psi\rangle = |\psi\rangle \otimes |\phi\rangle이다.

이 두 시스템은 해밀토니언 H = A \otimes B를 통해 상호작용하며, 이는 시간 진화 U(t) = \exp[-ixtH]  ( \hbar = 1 단위)를 생성한다. 여기서 x는 "상호작용 강도"이며 역시간 단위를 가진다. 고정된 상호작용 시간 t = \Delta t와 \lambda = x \Delta t가 작아서 \lambda^3 \approx 0이라고 가정한다.

\lambda에 대한 U의 급수 전개는 다음과 같다.

:
\begin{align}
 U &= I \otimes I - i\lambda H - \frac 1 2 \lambda^2 H^2 + O(\lambda^3) \\
  &\approx I \otimes I - i\lambda A \otimes B - \frac 1 2 \lambda^2 A^2 \otimes B^2.
\end{align}


유니타리를 섭동 이론의 낮은 차수까지만 확장하면 되므로 이를 약한 상호작용이라고 부른다. 또한 \lambda와 \lambda^2가 작기 때문에 유니타리가 주로 항등 연산자라는 사실은 상호작용 후의 상태가 초기 상태와 근본적으로 다르지 않음을 의미한다. 상호작용 후 시스템의 결합된 상태는 다음과 같다.

:
|\Psi'\rangle = \left(I \otimes I - i\lambda A \otimes B - \frac 1 2 \lambda^2 A^2 \otimes B^2\right) |\Psi\rangle.


이제 시스템에 대해 알아내기 위해 보조 장치에 측정을 수행한다. 이를 보조 장치 결합 측정이라고 한다. 우리는 (보조 장치 시스템에서) |q\rangle 기저에서 측정을 고려할 것이며, \sum_q |q\rangle \langle q| = I이다. 두 시스템에 대한 측정의 작용은 결합 상태 |\Psi'\rangle에 대한 투영 연산자 \Pi_q = I \otimes |q\rangle \langle q|의 작용으로 기술된다. 양자 측정 이론에 따르면 측정 후의 조건부 상태는 다음과 같다.

:
\begin{align}
 |\Psi_q\rangle &= \frac{\Pi_q |\Psi'\rangle}{\sqrt{\langle\Psi'| \Pi_q |\Psi'\rangle}} \\
  &= \frac{I \langle q|\phi\rangle - i\lambda A \langle q| B |\phi\rangle - \frac 1 2 \lambda^2 A^2 \langle q| B^2 |\phi\rangle}{\mathcal N} |\psi\rangle \otimes |q\rangle,
\end{align}


여기서 \mathcal N = \sqrt{\langle\Psi'| \Pi_q |\Psi'\rangle}는 파동함수의 정규화 상수이다. 보조 장치 시스템 상태가 측정 결과를 기록한다는 점에 유의한다. M_q := I \langle q|\phi\rangle - i\lambda A \langle q| B |\phi\rangle - \frac 1 2 \lambda^2 A^2 \langle q| B^2 |\phi\rangle는 시스템 힐베르트 공간의 연산자이며 크라우스 연산자라고 불린다.

크라우스 연산자에 대한 결합 시스템의 측정 후 상태는 다음과 같다.

:
|\Psi_q\rangle = \frac{M_q |\psi\rangle}{\sqrt{\langle \psi|M_q^\dagger M_q|\psi\rangle}} \otimes |q\rangle.


E_q = M_q^\dagger M_q 는 POVM의 요소이며 \sum_q E_q = I를 만족해야 하므로 해당 확률의 합은 1이 된다: \sum_q \Pr(q|\psi) = \sum_q \langle\psi| E_q |\psi\rangle = 1. 보조 장치 시스템이 주 시스템과 더 이상 상관관계가 없으므로 단순히 측정 결과를 기록하는 것이며, 우리는 그것을 추적할 수 있다. 그렇게 하면 주 시스템만의 조건부 상태를 얻을 수 있다.

:
|\psi_q\rangle = \frac{M_q |\psi\rangle}{\sqrt{\langle \psi|M_q^\dagger M_q|\psi\rangle}},


우리는 여전히 이것을 측정 결과 q로 표시한다. 실제로 이러한 고려 사항을 통해 양자 궤적을 도출할 수 있다.

### 예시 크라우스 연산자
바르키엘리, 란츠, 프로스페리; 및 케이브스와 밀번이 제시한 가우스 크라우스 연산자의 정식 예시를 사용할 것이다. H = x \otimes p를 취하고, 두 시스템의 위치와 운동량은 일반적인 정준 교환 관계 [x,  p] = i를 가진다. 보조 장치의 초기 파동 함수가 가우스 분포를 가진다고 가정한다.

:
|\Phi\rangle = \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{1/4}} \int dq' \exp[-q'^2/(4\sigma^2)] |q'\rangle.


보조 장치의 위치 파동 함수는 다음과 같다.

:
\Phi(q) = \langle q|\Phi\rangle = \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{1/4}} \exp[-q^2/(4\sigma^2)].


크라우스 연산자는 (위의 설명과 비교하여 \lambda = 1로 설정) 다음과 같다.

:
\begin{align}
 M(q) &= \langle q| \exp[-ix \otimes p] |\Phi\rangle \\
  &= \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{1/4}} \exp[-(q - x)^2/(4\sigma^2)],
\end{align}


해당 POVM 요소는 다음과 같다.

:
\begin{align}
 E(q) &= M_q^\dagger M_q \\
  &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp[-(q - x)^2/(2\sigma^2)],
\end{align}


이는 \int dq\, E(q) = I를 만족한다. 문헌에서 종종 다른 표현이 나타난다. 위치 연산자의 스펙트럼 표현 x = \int x'dx' |x'\rangle \langle x'|를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

:
\begin{align}
 M(q) &= \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{1/4}} \int dx' \exp[-(q - x')^2/(4\sigma^2)] |x'\rangle \langle x'|, \\
 E(q) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int dx' \exp[-(q - x')^2/(2\sigma^2)] |x'\rangle \langle x'|.
\end{align}


\lim_{\sigma \to 0} E(q) = |x = q\rangle \langle x = q| 임을 주목한다. 즉, 특정 한계에서 이 연산자들은 위치의 강한 측정으로 제한된다; \sigma의 다른 값에 대해서는 측정을 유한 강도(finite-strength)라고 부르고; \sigma \to \infty일 때는 측정을 약하다(weak)고 말한다.

## 이론: 위상차 영상
위상차 영상은 원자 물리학에서 차갑고 밀도 높은 희석 기체 원자, 가장 일반적으로 보스-아인슈타인 응축에 사용되는 영상 방법이다. 이는 원자를 렌즈로 사용하고 원자에 의해 위상 이동된 빛과 원자를 통과하지 않는 빛 사이의 간섭을 측정한다.

측정 강도는 영상 빛의 주파수 편이(detuning)와 빛과 원자 사이의 상호작용 시간에 의해 결정된다.

## 정보 이득-교란 트레이드오프
위에서 언급했듯이 부시의 정리는 공짜 점심이 없음을 방지한다. 즉, 교란 없이는 정보 이득이 있을 수 없다. 그러나 정보 이득과 교란 사이의 트레이드오프는 C. A. 푹스와 애셔 페레스; 푹스; 푹스와 K. A. 제이콥스; 그리고 K. 바나셰크를 포함한 많은 저자들에 의해 특성화되었다.

최근 정보 이득-교란 트레이드오프 관계는 "온화한 측정 보조 정리(gentle-measurement lemma)"라는 맥락에서 검토되었다.

## 응용
초기부터 약한 측정의 주요 용도는 양자 시스템의 피드백 제어 또는 적응형 측정에 있을 것이라는 점이 분명했다. 실제로 이것이 벨라프킨의 많은 연구를 촉발시켰고, 케이브스와 밀번은 명시적인 예를 제시했다. 적응형 약한 측정의 초기 적용은 돌리나르 수신기였으며, 이는 실험적으로 구현되었다. 약한 측정의 또 다른 흥미로운 적용은 약한 측정 이후 (약한 측정 결과에 따라 조건부일 수 있는) 유니타리를 사용하여 다른 일반화된 측정을 합성하는 것이다. 와이즈먼과 밀번의 책은 많은 현대적 발전에 대한 좋은 참고 자료이다.

## 더 읽어보기
* Quantum Measurement Theory and Practice, Andrew Jordan (케임브리지 Press 2024) 
* 브런의 논문
* 제이콥스와 스텍의 논문
* Quantum Measurement Theory and its Applications, K. Jacobs (케임브리지 Press, 2014) 
* Quantum Measurement and Control, H. M. Wiseman and G. J. Milburn (케임브리지 Press, 2009)
* 타미르와 코헨의 논문

## 각주

분류:양자정보과학
분류:양자 측정