전송선로

섬네일|손실이 없는 2선식 전송선을 따라 오른쪽으로 이동하는 파동의 개략도. 검은 점은 전자를 나타내고, 화살표는 전기장을 나타낸다.
**전송선로**(Transmission line)는 전기공학에서 전자기파를 전도하기 위해 설계된 특수한 케이블이나 기타 구조물이다. 이 용어는 전송파동을 고려해야 할 만큼 충분히 전도체가 길 때 해당된다. 짧은 파장은 매우 짧은 거리에서 파장 현상이 발생할 수 있음을 의미하므로 특히 무선주파수 공항에 적용된다. 그러나 전송선로이론은 역사적으로 길이가 매우 긴 전신, 특히 해저 전신 케이블에서의 현상을 설명하기 위해 개발되었다.

## 개요
일반적인 전기 케이블은 초당 100~120회 방향이 바뀌는 교류(AC) 송전이나 오디오 신호를 전달하는 데 충분하다. 그러나 약 30&nbsp;kHz 이상의 무선주파수 범위의 전류를 전달하는 데는 일반적으로 사용되지 않는데, 그 이유는 에너지가 케이블에서 전파로 방사되어 전력 손실을 일으키는 경향이 있기 때문이다. 또한 무선주파수 전류는 커넥터나 연결부와 같은 케이블의 불연속 지점에서 반사되어 소스 쪽으로 되돌아오는 경향이 있다. 이러한 반사는 병목 현상으로 작용하여 신호 전력이 목적지에 도달하는 것을 방해한다. 전송선로는 반사와 전력 손실을 최소화하면서 전자기 신호를 전달하기 위해 특수한 구조와 임피던스 매칭을 사용한다. 대부분의 전송선로의 구별되는 특징은 길이를 따라 균일한 단면 치수를 가짐으로써, 반사를 방지하기 위해 특성 임피던스라고 불리는 균일한 임피던스를 갖는다는 점이다. 전송선로의 종류에는 평행선(사다리 선, 연선), 동축 케이블, 그리고 마이크로스트립이나 스트립라인과 같은 평면 전송선로가 있다. 주어진 케이블이나 매질을 통과하는 전자기파의 진동수가 높을수록 파동의 파장은 짧아진다. 전송되는 진동수의 파장이 충분히 짧아져서 케이블의 길이가 파장의 상당 부분을 차지하게 될 때 전송선로가 필요해진다.

마이크로파 이상의 진동수에서는 전송선로에서의 전력 손실이 과도해지므로 대신 도파관을 사용하며, 이는 전자기파를 가두고 안내하는 "파이프" 역할을 한다. 일부 문헌에서는 도파관을 전송선로의 일종으로 정의하기도 하지만, 이 문서에서는 이를 포함하지 않는다.

## 역사
전기 전송선로의 거동에 대한 수학적 분석은 제임스 클러크 맥스웰, 켈빈 남작, 그리고 올리버 헤비사이드의 연구에서 비롯되었다. 1855년 켈빈 남작은 해저 케이블 내 전류의 확산 모델을 공식화했다. 이 모델은 1858년 대서양 횡단 해저 전신 케이블의 열악한 성능을 정확하게 예측했다. 1885년 헤비사이드는 케이블 내 전파 분석과 현대적 형태의 전신 방정식을 설명하는 최초의 논문들을 발표했다.

## 사단자 모델

right

[섬네일|right|310px|전송선로에 대한 [전기 기호|회로도 기호의 변형들]]

분석을 위해 전기 전송선로는 다음과 같이 사단자 회로망(quadripole이라고도 함)으로 모델링할 수 있다.

가장 단순한 경우, 회로망은 선형이라고 가정하며(즉, 반사가 없을 때 각 포트에 걸리는 복소수 전압이 포트로 흘러 들어가는 복소 전류에 비례함), 두 포트는 서로 교환 가능하다고 가정한다. 전송선로가 길이를 따라 균일하다면, 그 거동은 특성 임피던스(기호 Z_0)와 전파 지연(기호 )이라는 두 가지 매개변수에 의해 주로 설명된다. Z_0는 선로의 임의의 지점에서 주어진 파동의 복소 전압과 동일한 파동의 복소 전류의 비율이다. Z_0의 전형적인 값은 동축 케이블의 경우 , 연선의 경우 약 , 무선 전송에 사용되는 일반적인 비연선 쌍의 경우 약 이다. 전파 지연은 전송선로의 길이에 비례하며, 길이를 빛의 속력으로 나눈 값보다 결코 작을 수 없다. 현대 통신 전송선로의 전형적인 지연 시간은 에서  사이이다.

전송선로를 통해 전력을 보낼 때는 가능한 한 많은 전력이 부하에 흡수되고 소스 쪽으로 반사되는 전력은 최소화되는 것이 바람직하다. 이는 부하 임피던스를 와 같게 만듦으로써 보장할 수 있으며, 이 경우 전송선로가 매칭되었다고 한다.

[섬네일|right|310px|두 개의 검은색 와이어로 그려진 전송선로. 선로 안으로  거리에서 각 와이어를 통해 흐르는 전류 가 있고, 와이어 사이에 전압 차이 가 있다. 전류와 전압이 단일 파동(반사 없음)에서 온 것이라면, 이며, 여기서 는 선로의 [특성 임피던스이다.]]

섬네일|310px|평형 전송선로에서의 차동 가우시안 펄스

전송선로에 공급된 전력 중 일부는 저항 때문에 손실된다. 이 효과를 오옴 손실 또는 저항 손실이라고 한다(이미 오옴 가열 참조). 고주파에서는 유전 손실이라고 불리는 또 다른 효과가 중요해지며, 저항에 의한 손실에 더해진다. 유전 손실은 전송선로 내부의 절연 재료가 교번 전기장으로부터 에너지를 흡수하여 열로 변환할 때 발생한다(이미 유전 가열 참조). 전송선로는 직렬로 연결된 저항  및 유도계수 와 병렬로 연결된 전기 용량  및 컨덕턴스 로 모델링된다. 저항과 컨덕턴스는 전송선로의 손실에 기여한다.

전송선로의 총 전력 손실은 종종 미터당 데시벨(dB/m)로 지정되며, 항상 신호의 진동수에 따라 달라진다. 제조업체는 종종 여러 진동수 범위에서의 dB/m 손실을 보여주는 차트를 제공한다. 의 손실은 대략 전력이 절반으로 줄어드는 것에 해당한다.

전파 지연은 종종 미터당 나노초 단위로 지정된다. 전파 지연은 보통 신호의 진동수에 따라 달라지지만, 전송선로는 일반적으로 전파 지연이 거의 일정한 진동수 범위에서 운용된다.

## 전신 방정식

**전신 방정식**(telegrapher's equations 또는 telegraph equations)은 거리와 시간에 따른 전기 전송선로 상의 전압(V)과 전류(I)를 설명하는 한 쌍의 선형 미분 방정식이다. 이 방정식은 전송선로 모델을 만든 올리버 헤비사이드에 의해 개발되었으며, 맥스웰 방정식을 기반으로 한다.

섬네일|right|250px|전송선로 기본 소자의 회로도 표현
전송선로 모델은 분포 정수 모델의 한 예이다. 이는 전송선로를 무한히 짧은 세그먼트를 나타내는 사단자 기본 소자들의 무한 연속으로 나타낸다.

* 도체의 분포 저항 R은 직렬 저항으로 표현된다(단위 길이당 옴 단위).
* 분포 유도계수 L(와이어 주변의 자기장, 자기 유도 등으로 인함)은 직렬 유도자로 표현된다(단위 길이당 헨리 단위).
* 두 도체 사이의 전기 용량 C는 병렬 축전기로 표현된다(단위 길이당 패럿 단위).
* 두 도체를 분리하는 유전체 재료의 컨덕턴스 G는 신호선과 귀환선 사이의 병렬 저항으로 표현된다(단위 길이당 지멘스 단위).

모델은 그림에 표시된 소자들의 무한 연속으로 구성되며, 소자의 값들은 단위 길이당으로 지정되므로 소자의 그림은 오해를 불러일으킬 수 있다. R, L, C, G 역시 진동수의 함수일 수 있다. 값이 길이에 대한 미분임을 강조하기 위해 R', L', C', G' 기호를 사용한다. 이 양들은 이들로부터 유도된 2차 선로 상수(전파 상수, 감쇠 상수, 위상 상수)와 구별하기 위해 1차 선로 상수로도 알려져 있다.

선로 전압 V(x)와 전류 I(x)는 주파수 영역에서 다음과 같이 표현될 수 있다.

:\frac{\partial V(x)}{\partial x} = -(R + j\,\omega\,L)\,I(x)

:\frac{\partial I(x)}{\partial x} = -(G + j\,\omega\,C)\,V(x) ~\,.

::(미분방정식, 각진동수 ω 및 허수 단위  참조)

### 무손실 선로의 특수 경우
소자 R과 G가 무시할 수 있을 정도로 작을 때 전송선로는 무손실 구조로 간주된다. 이 가상적인 경우, 모델은 L과 C 소자에만 의존하며 분석이 크게 단순화된다. 무손실 전송선로에 대한 2차 정상 상태 전신 방정식은 다음과 같다.

:\frac{\partial^2 V(x)}{\partial x^2}+ \omega^2 L\,C\,V(x) = 0

:\frac{\partial^2 I(x)}{\partial x^2} + \omega^2 L\,C\,I(x) = 0 ~\,.

이것들은 순방향과 역방향으로 동일한 전파 속도를 갖는 평면파를 해로 갖는 파동 방정식이다. 이것의 물리적 의미는 전자기파가 전송선로를 따라 전파되며, 일반적으로 원래 신호와 간섭하는 반사 성분이 존재한다는 것이다. 이 방정식들은 전송선로 이론의 기초가 된다.

### 손실이 있는 선로의 일반적인 경우
일반적인 경우에는 손실 항인 R과 G가 모두 포함되며, 전신 방정식의 완전한 형태는 다음과 같다.

:\frac{\partial^2 V(x)}{\partial x^2} = \gamma^2 V(x)\,

:\frac{\partial^2 I(x)}{\partial x^2} = \gamma^2 I(x)\,

여기서 \gamma는 (복소수) 전파 상수이다. 이 방정식들은 전송선로 이론의 기초이다. 이들 또한 파동 방정식이며, 특수한 경우와 유사한 해를 갖지만 지수 함수적 감쇄 계수가 있는 사인과 코사인의 혼합 형태이다.

1차 매개변수 R, L, G, C에 대한 전파 상수 \gamma를 구하면 다음과 같다.

:\gamma = \sqrt{(R + j\,\omega\,L)(G + j\,\omega\,C)\,}

특성 임피던스는 다음과 같이 표현될 수 있다.

:Z_0 = \sqrt{\frac{R + j\,\omega\,L}{G + j\,\omega\,C}\,} ~\,.

V(x)와 I(x)의 해는 다음과 같다.

:V(x) = V_{(+)} e^{-\gamma\,x} + V_{(-)} e^{+\gamma\,x} \,

:I(x) = \frac{1}{Z_0}\,\left( V_{(+)} e^{-\gamma\,x} - V_{(-)} e^{+\gamma\,x} \right) ~\,. 

상수 V_{(\pm)}는 경계 조건으로부터 결정되어야 한다. x = 0에서 시작하여 양의 x&nbsp;방향으로 이동하는 전압 펄스 V_{\mathrm{in}}(t) \,의 경우, 위치 x에서의 전송 펄스 V_{\mathrm{out}}(x,t) \,는 V_{\mathrm{in}}(t) \,의 푸리에 변환 \tilde{V}(\omega)를 계산하고, 각 주파수 성분을 e^{-\operatorname{Re}(\gamma)\,x} \,만큼 감쇄시키고, 위상을 -\operatorname{Im}(\gamma)\,x\,만큼 전진시킨 후, 푸리에 역변환을 취하여 얻을 수 있다. \gamma의 실수부와 허수부는 다음과 같이 계산할 수 있다.

:\operatorname{Re}(\gamma) = \alpha = (a^2 + b^2)^{1/4} \cos(\psi ) \,

:\operatorname{Im}(\gamma) = \beta = (a^2 + b^2)^{1/4} \sin(\psi) \,

여기서

:a ~ \equiv ~ R\, G\, - \omega^2 L\,C\ ~ = ~ \omega^2 L\,C\,\left[ \left( \frac{R}{\omega L} \right) \left( \frac{G}{\omega C} \right) - 1 \right] 

:b ~ \equiv ~ \omega\,C\,R + \omega\,L\,G ~ = ~ \omega^2 L\,C\,\left( \frac{R}{\omega\,L} + \frac{G}{\omega\,C} \right) 

이며(이 우측 식들은 L, C, \omega 중 어느 것도 0이 아닐 때 성립),

:\psi ~ \equiv ~ \tfrac{1}{2}\operatorname{atan2}(b,a)\,

이때 atan2는 두 인수가 모두 0일 때 임의의 값 0을 갖는, 모든 곳에서 정의된 형태의 이변수 아크탄젠트 함수이다.

대안적으로, 복소 제곱근을 대수적으로 계산하여 다음과 같이 구할 수 있다.

: \alpha = \frac{\pm b}{\sqrt{2 \left( - a + \sqrt{a^2 + b^2} \right)~}},
및
: \beta = \pm { \sqrt{\tfrac{1}{2}\left( - a + \sqrt{a^2 + b^2} \right)~} },

여기서 플러스 또는 마이너스 부호는 전도성 매질을 통과하는 파동의 운동 방향과 반대로 선택된다. (는 대개 음수인데, G와 R이 각각 \omega C와 \omega L보다 훨씬 작기 때문이다. 따라서 는 대개 양수이다. 는 항상 양수이다.)

### 특수한 저손실 경우
손실이 작고 주파수가 높을 때, 일반 방정식은 단순화될 수 있다. 만약 \tfrac{R}{\omega\,L} \ll 1  이고 \tfrac{G}{\omega\,C} \ll 1 이면

:\operatorname{Re}(\gamma) = \alpha \approx \tfrac{1}{2}\sqrt{L\,C\,}\,\left( \frac{R}{L} + \frac{G}{C} \right) \,

:\operatorname{Im}(\gamma) = \beta \approx \omega\,\sqrt{L\,C\,} ~.\,

- \omega\,\delta만큼의 위상 전진은 \delta만큼의 시간 지연과 동일하므로, V_{out}(t)는 단순히 다음과 같이 계산될 수 있다.

:V_{\mathrm{out}}(x,t) \approx V_{\mathrm{in}}(t - \sqrt{L\,C\,}\,x)\,e^{- \tfrac{1}{2}\sqrt{L\,C\,}\,\left( \frac{R}{L} + \frac{G}{C} \right)\,x }. \,

### 헤비사이드 조건

헤비사이드 조건은  \frac {G}{C} = \frac {R}{L} 이다.

R, G, L, C가 주파수에 의존하지 않는 상수이고 헤비사이드 조건이 충족되면, 파동은 위상 왜곡 없이 전송선로를 따라 이동한다.

## 전송선로의 입력 임피던스
[섬네일|350px|길이 <math>\ell</math>의 무손실 전송선로를 통해 부하를 바라볼 때, <math>\ell</math>이 증가함에 따라 임피던스는 이 [스미스 차트|임피던스 스미스 차트 상의 파란색 원을 따라 변한다. (이 임피던스는 반사 전압을 입사 전압으로 나눈 반사 계수로 특징지어진다.) 차트 중앙에 위치한 파란색 원은 때때로 SWR 원(일정한 정재파비의 약자)이라고 불린다.]]

전송선로의 특성 임피던스 Z_0는 단일 전압파의 진폭과 그 전류파의 진폭의 비율이다. 대부분의 전송선로에는 반사파도 존재하므로, 특성 임피던스는 일반적으로 선로에서 측정되는 임피던스가 아니다.

부하 임피던스 Z_\mathrm{L}로부터 주어진 거리 \ell에서 측정된 임피던스는 다음과 같이 표현될 수 있다.

:Z_\mathrm{in}\left(\ell\right)=\frac{V(\ell)}{I(\ell)} = Z_0 \frac{1 + \mathit{\Gamma}_\mathrm{L} e^{-2 \gamma \ell}}{1 - \mathit{\Gamma}_\mathrm{L} e^{-2 \gamma \ell}},

여기서 \gamma는 전파 상수이고 \mathit{\Gamma}_\mathrm{L} = \frac{\,Z_\mathrm{L} - Z_0\,}{Z_\mathrm{L} + Z_0}는 전송선로의 부하단에서 측정된 전압 반사 계수이다. 대안적으로, 위의 공식은 부하 전압 반사 계수 대신 부하 임피던스에 대한 입력 임피던스를 표현하도록 재정렬할 수 있다.

:Z_\mathrm{in}(\ell) = Z_0\,\frac{Z_\mathrm{L} + Z_0 \tanh\left(\gamma \ell\right)}{Z_0 + Z_\mathrm{L}\,\tanh\left(\gamma \ell \right)}.

### 무손실 전송선로의 입력 임피던스
무손실 전송선로의 경우, 전파 상수는 순수 허수 \gamma = j\,\beta이므로 위의 공식들은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
:
Z_\mathrm{in}(\ell) = Z_0 \frac{Z_\mathrm{L} + j\,Z_0\,\tan(\beta \ell)}{Z_0 + j\,Z_\mathrm{L}\tan(\beta \ell)}


여기서 \beta = \frac{\,2 \pi\,}{\lambda}는 파수이다.

\beta를 계산할 때, 전송선로 내부의 파장은 일반적으로 자유 공간에서의 파장과 다르다. 따라서 이러한 계산을 수행할 때는 전송선로를 구성하는 재료의 속도 계수를 고려해야 한다.

### 무손실 전송선로의 특수 경우
#### 반 파장
\beta\,\ell= n\,\pi(여기서 n은 정수, 즉 선로의 길이가 반 파장의 배수임을 의미)인 특수한 경우, 식은 부하 임피던스로 단순화되어 다음과 같이 된다.
:Z_\mathrm{in} = Z_\mathrm{L} \,

모든 n에 대해 성립한다. 이는 n=0인 경우를 포함하며, 전송선로의 길이가 파장에 비해 무시할 수 있을 정도로 짧음을 의미한다. 이것의 물리적 의미는 어느 경우든 전송선로를 무시할 수 있다(즉, 전선으로 취급할 수 있다)는 것이다.

#### 4분의 1 파장

선로의 길이가 4분의 1 파장이거나 4분의 1 파장의 홀수배인 경우, 입력 임피던스는 다음과 같이 된다.
:
Z_\mathrm{in}=\frac{Z_0^2}{Z_\mathrm{L}} ~\,.


#### 정합 부하
또 다른 특수한 경우는 부하 임피던스가 선로의 특성 임피던스와 같을 때(즉, 선로가 정합되었을 때)이며, 이 경우 임피던스는 선로의 특성 임피던스로 단순화되어 다음과 같이 된다.
:Z_\mathrm{in}=Z_\mathrm{L}=Z_0 \,
모든 \ell과 모든 \lambda에 대해 성립한다.

#### 단락
[섬네일|right|300px|개방 회로 부하(위)와 단락 회로 부하(아래)가 있는 전송선로의 [정상파. 검은 점은 전자를 나타내고 화살표는 전기장을 나타낸다.]]

부하가 단락된 경우(즉, Z_\mathrm{L} = 0), 입력 임피던스는 순수 허수이며 위치와 파장(주파수)의 주기 함수이다.

:Z_\mathrm{in}(\ell) = j\,Z_0\,\tan(\beta \ell). \,

#### 개방

부하가 개방된 경우(즉, Z_\mathrm{L} = \infty), 입력 임피던스는 다시 한 번 허수이며 주기적이다.

:Z_\mathrm{in}(\ell) = -j\,Z_0 \cot(\beta \ell). \,

## 행렬 매개변수
더 큰 시스템에 내장된 전송선로의 시뮬레이션은 일반적으로 시뮬레이션을 지원하는 데 필요한 전체 전송선로 모델을 포함하는 전송 매개변수(ABCD 행렬), 어드미턴스 매개변수(Y 행렬), 임피던스 매개변수(Z 행렬) 및 산란 매개변수(S 행렬)를 활용한다.

### 전송 매개변수
전송선로는 주로 ABCD 매개변수 또는 전송 매개변수를 사용하여 정의된다. 무손실 전송선로의 ABCD 매개변수는 다음과 같이 정의될 수 있다.

\begin{bmatrix}
A & B\\
C & D
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}\cos\beta l
 & jZ_0\sin{\beta l}\\
j\frac{1}{Z_0}\sin\beta l & \cos\beta l
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\beta l
 & jZ_0\sin{\beta l}\\
jY_0\sin\beta l & \cos\beta l
\end{bmatrix}.

A=D이므로 전송선로는 대칭 네트워크이다. 또한 가역성 조건 AD-BC=1을 만족한다. 손실이 있는 전송선로의 경우 ABCD 행렬은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\begin{bmatrix}
A & B\\
C & D
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}\cosh\gamma l
 & Z_0\sinh{\gamma l}\\
\frac{1}{Z_0}\sinh\gamma l & \cosh\gamma l
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cosh\gamma l
 & Z_0\sinh{\gamma l}\\
Y_0\sinh\gamma l & \cosh\gamma l
\end{bmatrix}.

### 어드미턴스 매개변수
어드미턴스(Y) 매개변수는 전송선로의 한쪽 포트(V1)에 고정 전압을 가하고 다른 쪽 끝을 접단(shorted to ground)한 후 각 포트로 흐르는 결과 전류(I1, I2)를 측정하고, 각 포트의 어드미턴스를 I/V 비율로 계산하여 정의할 수 있다. 어드미턴스 매개변수 Y11은 I1/V1이고, 어드미턴스 매개변수 Y12는 I2/V1이다. 전송선로는 전기적으로 수동적이고 대칭적인 장치이므로 Y12 = Y21이고 Y11 = Y22이다.

무손실 및 손실 전송선로에 대한 Y 매개변수 행렬은 각각 다음과 같다.

Y_{\text{Lossless}}=\begin{bmatrix}
\frac{-jcot(\beta l)}{Z_o} & \frac{jcsc(\beta l)}{Z_o} \\
\frac{jcsc(\beta l)}{Z_o}  & \frac{-jcot(\beta l)}{Z_o}
\end{bmatrix}
\text{    }
Y_{\text{Lossy}}=\begin{bmatrix}
\frac{coth(\gamma l)}{Z_o} & \frac{-csch(\gamma l)}{Z_o} \\
\frac{-csch(\gamma l)}{Z_o} & \frac{coth(\gamma l)}{Z_o}
\end{bmatrix}

### 임피던스 매개변수
임피던스(Z) 매개변수는 한쪽 포트(I1)에 고정 전류를 가하고 다른 쪽 포트를 개방한 상태에서 각 포트에 나타나는 결과 전압(V1, V2)을 측정하고, 임피던스 매개변수 Z11을 V1/I1로, Z12를 V2/I1로 계산하여 정의할 수 있다. 전송선로는 전기적으로 수동적이고 대칭적인 장치이므로 V12 = V21이고 V11 = V22이다.

Y 및 Z 행렬 정의에서 Y = Z^{-1} 및 Z = Y^{-1}이다. Z 매개변수가 정의되지 않은 이상적인 집중 2포트 소자(저항기, 축전기, 유도자 등)와 달리, 전송선로는 접지에 대한 내부 경로가 있어 Z 매개변수의 정의가 가능하다.

무손실 및 손실 전송선로에 대한 Z 매개변수 행렬은 각각 다음과 같다.

Z_{\text{Lossless}}=\begin{bmatrix}
-jZ_ocot(\beta l) & -jZ_ocsc(\beta l) \\
-jZ_ocsc(\beta l) & -jZ_ocot(\beta l)
\end{bmatrix}
\text{     }
Z_{\text{Lossy}}=\begin{bmatrix}
Z_ocoth(\gamma l) & Z_ocsch(\gamma l) \\
Z_ocsch(\gamma l)  & Z_ocoth(\gamma l)
\end{bmatrix}

### 산란 매개변수
산란(S) 행렬 매개변수는 각 종단에서 정합된 부하를 가진 전송선로의 전기적 거동을 모델링한다.

표준 쌍곡선-원형 복소 변환을 사용한 무손실 및 손실 전송선로의 S 매개변수 행렬은 각각 다음과 같다.

S_{\text{Lossless}}=\begin{bmatrix}
\frac{(Z_o^2-Z_p^2)sin(\beta l)}{(Z_o^2+Z_p^2)sin(\beta l)-j2Z_oZ_pcos(\beta l)}
&
\frac{2Z_oZ_p}{j(Z_o^2+Z_p^2)sin(\beta l)+2Z_oZ_pcos(\beta l)}
\\
\frac{2Z_oZ_p}{j(Z_o^2+Z_p^2)sin(\beta l)+2Z_oZ_pcos(\beta l)}
&
\frac{(Z_o^2-Z_p^2)sin(\beta l)}{(Z_o^2+Z_p^2)sin(\beta l)-j2Z_oZ_pcos(\beta l)}
\end{bmatrix}
\text{    }
S_{\text{Lossy}}=\begin{bmatrix}
\frac{(Z_o^2-Z_p^2)sinh(\gamma l)}{(Z_o^2+Z_p^2)sinh(\gamma l)+2Z_oZ_pcosh(\gamma l)}
&
\frac{2Z_oZ_p}{(Z_o^2+Z_p^2)sinh(\gamma l)+2Z_oZ_pcosh(\gamma l)}
\\
\frac{2Z_oZ_p}{(Z_o^2+Z_p^2)sinh(\gamma l)+2Z_oZ_pcosh(\gamma l)}
&
\frac{(Z_o^2-Z_p^2)sinh(\gamma l)}{(Z_o^2+Z_p^2)sinh(\gamma l)+2Z_oZ_pcosh(\gamma l)}
\end{bmatrix}

### 변수 정의
위의 모든 행렬 매개변수에서 다음 변수 정의가 적용된다.

Z_o = 특성 임피던스

Zp = 포트 임피던스 또는 종단 임피던스

\gamma = \alpha + j\beta = 단위 길이당 전파 상수

\alpha = 단위 길이당 네퍼 단위의 감쇠 상수

\beta = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{V} = 단위 길이당 라디안 단위의 파수 또는 위상 상수

\omega = 초당 라디안 단위의 진동수

V=\frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{V_C}{\sqrt{E_{re}}} = 전파 속도

\lambda = 길이 단위의 파장

L = 단위 길이당 유도계수

C = 단위 길이당 전기 용량

E_{re} = 유효 유전 상수

V_C = 299,792,458 m/s = 진공에서의 빛의 속력

## 결합 전송선로
두 개의 마이크로스트립 선로가 근접해 있는 경우와 같이 전송선로들이 서로 전기적으로 상호작용할 수 있을 만큼 가까이 배치될 수 있다. 이러한 전송선로를 결합 전송선로(coupled transmission lines)라고 한다. 결합 전송선로는 우모드(even mode) 및 기모드(odd mode) 분석으로 특징지어진다. 우모드는 두 도체에 진폭과 위상이 같은 신호를 가하는 것이 특징이다. 기모드는 크기가 같고 위상이 반대인 신호를 가하는 것이 특징이다. 우모드와 기모드는 각각 고유의 특성 임피던스(Zoe, Zoo)와 위상 상수(\beta_e\text{, }\beta_o)를 갖는다. 손실이 있는 결합 전송선로는 고유의 우모드 및 기모드 감쇄 상수(\alpha_e\text{, }\alpha_o)를 가지며, 이는 다시 우모드 및 기모드 전파 상수(\gamma_e\text{, }\gamma_o)로 이어진다.

### 결합 행렬 매개변수
결합 전송선로는 입력 포트 1, 2와 출력 포트 3, 4를 사용하여 앞선 단락에서 정의된 우모드 및 기모드 전송선로 매개변수를 사용하여 모델링할 수 있다.

\begin{align}
Y  &=
\begin{bmatrix}
y11 & y12 & y13 & y14 \\
y21 & y22 & y23 & y24 \\
y31 & y32 & y33 & y34 \\
y41 & y42 & y43 & y44 \\
\end{bmatrix}\\
Z &= [Y]^{-1} \\
&\\
\text{여기서:}& \\
\text{무손실 결합 선로의 경우:}& \\
y11 &= y22 = y33 = y44 = \frac{-j}{2} \bigg(\frac{cot(\beta_e l)}{Z_{oe}}+\frac{cot(\beta_o l)}{Z_{oo}}\bigg) \\
y12 &= y22 = y34 = y43 = \frac{-j}{2} \bigg(\frac{cot(\beta_e l)}{Z_{oe}}-\frac{cot(\beta_o l)}{Z_{oo}}\bigg) \\
y13 &= y31 = y24 = y42 = \frac{j}{2} \bigg(\frac{csc(\beta_e l)}{Z_{oe}}+\frac{csc(\beta_o l)}{Z_{oo}}\bigg) \\
y14 &= y41 = y23 = y32 = \frac{j}{2} \bigg(\frac{csc(\beta_e l)}{Z_{oe}}-\frac{csc(\beta_o l)}{Z_{oo}}\bigg) \\
\text{손실 결합 선로의 경우:}& \\
y11 &= y22 = y33 = y44 = \frac{1}{2} \bigg(\frac{coth(\gamma_e l)}{Z_{oe}}+\frac{coth(\gamma_o l)}{Z_{oo}}\bigg) \\
y12 &= y22 = y34 = y43 = \frac{1}{2} \bigg(\frac{coth(\gamma_e l)}{Z_{oe}}-\frac{coth(\gamma_o l)}{Z_{oo}}\bigg) \\
y13 &= y31 = y24 = y42 = \frac{-1}{2} \bigg(\frac{csch(\gamma_e l)}{Z_{oe}}+\frac{csch(\gamma_o l)}{Z_{oo}}\bigg) \\
y14 &= y41 = y23 = y32 = \frac{-1}{2} \bigg(\frac{csch(\gamma_e l)}{Z_{oe}}-\frac{csch(\gamma_o l)}{Z_{oo}}\bigg) \\
\end{align}..

## 실제 유형

### 동축 케이블

동축 선로는 사실상 모든 전자기파를 케이블 내부 영역으로 가둔다. 따라서 동축 선로는 부정적인 효과 없이 구부러지거나 뒤틀릴 수 있으며(한계 내에서), 원치 않는 전류를 유도하지 않고 전도성 지지대에 묶을 수 있다.
수 기가헤르츠까지의 무선주파수 응용 분야에서 파동은 횡전계 및 자계 모드(TEM)로만 전파되며, 이는 전기장과 자기장이 모두 전파 방향에 수직임을 의미한다(전기장은 방사형이고 자기장은 원주형임). 그러나 (유전체 내의) 파장이 케이블의 둘레보다 현저히 짧은 주파수에서는 다른 횡모드가 전파될 수 있다. 이러한 모드들은 횡전계(TE) 및 횡자계(TM) 도파관 모드의 두 그룹으로 분류된다. 하나 이상의 모드가 존재할 수 있을 때, 케이블 기하학의 굽힘 및 기타 불규칙성은 한 모드에서 다른 모드로 전력이 전달되게 할 수 있다.

동축 케이블의 가장 흔한 용도는 텔레비전 및 수 메가헤르츠의 대역폭을 가진 기타 신호용이다. 20세기 중반에는 장거리 전화 연결을 담당했다.

### 평면 선로

평면 전송선로는 평평한 리본 모양의 전기 전도체 또는 유전체 스트립을 가진 전송선로이다. 평면형은 구성 요소의 제조 방법과 잘 어울리기 때문에 마이크로파 주파수에서 작동하는 인쇄 회로 및 집적 회로의 구성 요소를 상호 연결하는 데 사용된다. 여러 형태의 평면 전송선로가 존재한다.

#### 마이크로스트립
[섬네일|right|고전력, 저주파 응용 분야에 사용되는 케이지 라인이라고 불리는 전송선로의 한 유형. 대형 동축 케이블과 유사하게 작동한다. 이 예는 225&nbsp;kHz의 주파수와 1200&nbsp;kW의 전력으로 작동하는 [폴란드의 장파 라디오 송신용 안테나 급전선이다.]]

마이크로스트립 회로는 접지면과 평행한 얇고 평평한 도체를 사용한다. 마이크로스트립은 인쇄 회로 기판(PCB) 또는 세라믹 기판의 한쪽에 구리 스트립을 두고 다른 쪽은 연속적인 접지면으로 만들어질 수 있다. 스트립의 너비, 절연층(PCB 또는 세라믹)의 두께 및 절연층의 비유전율이 특성 임피던스를 결정한다. 동축 케이블이 폐쇄된 구조인 반면 마이크로스트립은 개방된 구조이다.

#### 스트립라인

스트립라인 회로는 두 개의 평행한 접지면 사이에 끼워진 평평한 금속 스트립을 사용한다. 기판의 절연 재료는 유전체를 형성한다. 스트립의 너비, 기판의 두께 및 기판의 비유전율이 전송선로인 스트립의 특성 임피던스를 결정한다.

#### 코플래너 도파관

코플래너 도파관은 중앙 스트립과 두 개의 인접한 외부 도체로 구성되며, 세 가지 모두 동일한 절연 기판 위에 증착되어 동일한 평면에 위치한다("코플래너"). 중앙 도체의 너비, 내부와 외부 도체 사이의 거리, 그리고 기판의 비유전율이 코플래너 전송선로의 특성 임피던스를 결정한다.

### 평형 선로

평형 선로는 동일한 유형의 두 도체로 구성된 전송선로이며, 접지 및 다른 회로에 대해 동일한 임피던스를 갖는다. 평형 선로에는 많은 형식이 있으며, 가장 일반적인 것은 연선, 스타 쿼드 및 트윈 리드이다.

#### 연선

연선(Twisted pair)은 지상 전화 통신에 흔히 사용된다. 이러한 케이블에서는 두 개에서 수천 개에 이르는 많은 쌍이 하나의 케이블로 그룹화된다. 이 형식은 건물 내부의 데이터 네트워크 분배에도 사용되지만, 전송선로 매개변수가 엄격하게 제어되기 때문에 케이블 비용이 더 비싸다.

#### 스타 쿼드

스타 쿼드(Star quad)는 네 개의 도체가 케이블 축을 중심으로 함께 꼬여 있는 4심 케이블이다. 4선식 전화 및 기타 통신 응용 분야와 같이 두 개의 회로를 구성하는 데 때때로 사용된다. 이 구성에서 각 쌍은 인접하지 않은 두 개의 도체를 사용한다. 다른 경우에는 오디오 응용 분야 및 2선식 전화와 같은 단일 밸런스트 라인에 사용된다. 이 구성에서는 인접하지 않은 두 도체가 케이블의 양단에서 함께 종단되고, 나머지 두 도체도 함께 종단된다.

두 회로에 사용될 때, 별도의 두 연선이 있는 케이블에 비해 누화(crosstalk)가 감소한다.

단일 밸런스트 라인에 사용될 때, 케이블에 유입된 자기 간섭은 사실상 완벽한 공통 모드 신호로 도달하며, 이는 결합 변압기에 의해 쉽게 제거된다.

꼬임, 평형 신호 및 4중극자 패턴의 결합된 이점은 뛰어난 노이즈 내성을 제공하며, 특히 전력 케이블과 매우 가깝게 설치된 경우에도 마이크로폰 케이블과 같은 낮은 신호 레벨 응용 분야에 유리하다. 단점은 스타 쿼드가 두 도체를 결합하기 때문에 일반적으로 유사한 2심 연선 차폐 오디오 케이블의 두 배에 달하는 전기 용량을 갖는다는 것이다. 높은 전기 용량은 거리가 멀어짐에 따라 왜곡을 증가시키고 고주파 손실을 더 크게 만든다.

#### 트윈 리드

트윈 리드는 연속된 절연체에 의해 일정 간격으로 유지되는 한 쌍의 도체로 구성된다. 도체 사이의 거리를 일정하게 유지함으로써 기하학적 구조가 고정되고 선로 특성이 신뢰성 있게 유지된다. 트윈 리드의 특성 임피던스는 일반적으로 동축 케이블보다 높기 때문에 전류 감소로 인한 저항 손실이 낮아 동축 케이블보다 손실이 적다. 그러나 간섭에 더 취약하다.

#### 레헤르 선

레헤르 선은 공진 회로를 만들기 위해 UHF에서 사용될 수 있는 평행 도체의 한 형태이다. 이는 (HF/VHF에서 사용되는) 집중 소자와 (UHF/SHF에서 사용되는) 공진 공동 사이의 간극을 메워주는 편리하고 실용적인 형식이다.

### 단선 선로
불평형 선로는 과거에 전신 전송에 많이 사용되었으나, 현재 이러한 통신 방식은 사용되지 않는다. 케이블은 많은 코어가 동일한 케이블에 묶여 있다는 점에서 연선과 유사하지만 회로당 하나의 도체만 제공되며 꼬임은 없다. 동일한 경로의 모든 회로는 귀환 전류를 위해 공통 경로(대지 귀환)를 사용한다. 많은 장소에서 사용되는 송전용 단선 대지 귀환 버전이 있다.

## 일반 응용 분야

### 신호 전달
전기 전송선로는 전력 손실을 최소화하면서 고주파 신호를 장거리 또는 단거리로 전송하는 데 널리 사용된다. 한 가지 친숙한 예는 TV나 라디오 안테나에서 수신기까지 연결된 다운 리드이다.

### 전송선로 회로

임피던스 매칭 회로, 필터, 전력 분배기 및 방향성 결합기를 포함하여 전송선로로 매우 다양한 회로를 구성할 수 있다.

#### 계단식 전송선로

섬네일|right|350px|세 개의 세그먼트로 구성된 계단식 전송선로의 간단한 예
계단식 전송선로는 넓은 범위의 임피던스 매칭을 위해 사용된다. 이는 각각의 개별 소자의 특성 임피던스가 Z_\mathrm{0,i}인 여러 전송선로 세그먼트가 직렬로 연결된 것으로 간주할 수 있다. 입력 임피던스는 다음과 같은 연쇄 관계를 연속적으로 적용하여 얻을 수 있다.

:Z_\mathrm{i+1} = Z_\mathrm{0,i}\,\frac{\,Z_\mathrm{i} + j\,Z_\mathrm{0,i}\,\tan(\beta_\mathrm{i} \ell_\mathrm{i})\,}{Z_\mathrm{0,i} + j\,Z_\mathrm{i}\,\tan(\beta_\mathrm{i} \ell_\mathrm{i})}\,

여기서 \beta_\mathrm{i}는 \mathrm{i}번째 전송선로 세그먼트의 파수이고 \ell_\mathrm{i}는 이 세그먼트의 길이이며, Z_\mathrm{i}는 \mathrm{i}번째 세그먼트에 로드되는 전단 임피던스이다.

섬네일|특성 임피던스 <math>Z_\mathrm{0,i}</math>가 입력 케이블의 임피던스 <math>Z_0</math>보다 작은 전송선로를 따른 임피던스 변환 원. 결과적으로 임피던스 곡선은 <math>-x</math> 축 쪽으로 치우쳐 있다. 반대로 <math>Z_\mathrm{0,i} > Z_0</math>이면 임피던스 곡선은 <math>+x</math> 축 쪽으로 치우쳐야 한다.
각 전송선로 세그먼트의 특성 임피던스 Z_\mathrm{0,i}는 종종 네 번째 입력 케이블의 임피던스 Z_0(위 도표의 왼쪽 편에 Z_0라고 표시된 화살표로만 표시됨)와 다르기 때문에, 임피던스 변환 원은 일반적으로 Z_0에 대해 정규화되어 표현되는 스미스 차트의 x 축을 따라 중심에서 벗어나게 된다.

#### 집중 상수 소자의 근사
높은 주파수에서는 유도자와 축전기를 포함한 실제 집중 상수 소자의 반응성 기생 효과가 유용성을 제한한다. 따라서 고주파에서는 리처드 변환을 사용하여 유도자와 축전기의 전기적 특성을 전송선로로 근사한 다음, 집중 소자 대신 전송선로를 대체하는 것이 때때로 유용하다.

숙련된 설계자를 위해 전송선로를 이용한 더 정확한 형태의 다중 모드 고주파 유도자 모델링이 존재한다.

### 스터브 필터

단락되거나 개방된 전송선로가 A 지점에서 B 지점으로 신호를 전달하는 선로와 병렬로 연결되면 필터 역할을 한다. 스터브를 만드는 방법은 조잡한 주파수 측정을 위해 레헤르 선을 사용하는 방법과 유사하지만 '거꾸로 작업하는 것'이다. RSGB(Radio Society of Great Britain)의 무선 통신 핸드북에서 권장하는 한 가지 방법은 안테나로부터 신호를 전달하는 급전선과 병렬로 연결된 개방 회로 길이의 전송선로를 취하는 것이다. 전송선로의 자유단을 자름으로써 수신기에서 관찰되는 신호 강도의 최소점을 찾을 수 있다. 이 단계에서 스터브 필터는 이 주파수와 홀수 고조파를 거부하지만, 스터브의 자유단이 단락되면 스터브는 짝수 고조파를 거부하는 필터가 된다.

여러 개의 스터브를 사용하여 광대역 필터를 구현할 수 있다. 그러나 이것은 다소 구식 기술이다. 평행선 공진기와 같은 다른 방법으로 훨씬 더 소형인 필터를 만들 수 있다.

### 펄스 생성
전송선로는 펄스 발생기로 사용된다. 전송선로를 충전한 다음 저항성 부하로 방전함으로써, 전압은 절반이지만 선로의 전기적 길이의 두 배에 해당하는 길이를 가진 직사각형 펄스를 얻을 수 있다. Blumlein 전송선로는 이러한 제한을 극복한 관련 펄스 형성 장치이다. 이것들은 때때로 레이더 송신기 및 기타 장치의 펄스 전력 소스로 사용된다.

## 소리
음파 전파 이론은 수학적으로 전자기파의 이론과 매우 유사하므로, 전송선로 이론의 기술은 음파를 전도하는 구조를 구축하는 데에도 사용되며, 이를 음향 전송선로라고 한다.

## 같이 보기
* 종파 (물리학)

## 각주

## 외부 링크
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분류:통신공학