보른 근사

일반적으로 산란 이론 특히 양자역학에서 **보른 근사**()는 산란체의 각 지점에서 전체 장 대신 입사장을 구동장으로 취하는 것이다. 보른 근사는 양자 이론 개발 초기인 1926년에 이 근사를 제안한 막스 보른의 이름을 따서 명명되었다.

이것은 확장된 물체에 의한 산란에 적용되는 섭동 이론 방법이다. 산란된 장이 산란체에 대한 입사장에 비해 작을 경우 정확하다.

예를 들어, 가벼운 스티로폼 기둥에 의한 전파의 산란은 플라스틱의 각 부분이 기둥이 없을 때 해당 지점에 존재했을 동일한 전기장에 의해 분극된다고 가정하고, 그 분극 분포에 대한 방사선 적분으로 산란을 계산하여 근사화할 수 있다.

## 근사 산란 진폭
포텐셜 로부터의 산란에 대한 슈뢰딩거 파동 방정식에 기반한 물리 모델에서 시작하여 산란 진폭, 는 완전한 산란 파동 함수 \psi를 알아야 한다.
f(\mathbf{k}_f,\mathbf{k}_i) = -\frac{\mu}{2\pi\hbar^2}\int \psi_f^* V(\mathbf{r}) \psi_i d^3r
보른 근사에서 초기 및 최종 파동 함수는 평면파로 근사화된다.
f(\mathbf{k}_f,\mathbf{k}_i) = -\frac{\mu}{2\pi\hbar^2}\int e^{-i\mathbf{k}_f\cdot\mathbf{r}} V(\mathbf{r}) e^{i\mathbf{k}_i\cdot\mathbf{r}} d^3r
이것은 수학적으로 산란 포텐셜의 푸리에 변환에 해당하며 \mathbf{r}에서 \mathbf{q}=\mathbf{k}_f - \mathbf{k}_i로 변환된다.
f(\mathbf{k}_f,\mathbf{k}_i) = -\frac{\mu}{2\pi\hbar^2}\int  V(\mathbf{r}) e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}} d^3r
구대칭 포텐셜의 경우 각도 적분이 수행될 수 있으며 산란 진폭은 입력 및 출력 방향 사이의 극각 \theta에만 의존한다.
f(\theta) = -\frac{2\mu}{\hbar^2q}\int_0^\infty r \sin(qr)  V(r) dr 
여기서 q=2k \sin (\theta/2)이고 k=|\mathbf{k}_f - \mathbf{k}_i|이다.

## 리프먼-슈윙거 방정식의 경우
운동량 **p**와 외향(+) 또는 내향(&minus;) 경계 조건을 갖는 산란 상태 \vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{(\pm)}}\rangle에 대한 리프먼-슈윙거 방정식은 다음과 같다.

:\vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{(\pm)}}\rangle = \vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{\circ}}\rangle + G^\circ(E_p \pm i\epsilon) V \vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{(\pm)}}\rangle,

여기서 G^\circ는 자유 입자 그린 함수이고, \epsilon은 양의 무한소 양이며, V는 상호작용 포텐셜이다. \vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{\circ}}\rangle는 때때로 입사장이라고 불리는 해당 자유 산란 해이다. 우변의 인자 \vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{(\pm)}}\rangle는 때때로 구동장이라고 불린다.

보른 근사는 다음과 같이 설정한다.
\vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{(\pm)}}\rangle \approx \vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{\circ}}\rangle
보른 근사 내에서 위 방정식은 다음과 같이 표현된다.

:\vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{(\pm)}}\rangle = \vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{\circ}}\rangle + G^\circ(E_p \pm i\epsilon) V \vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{\circ}}\rangle,

우변이 더 이상 알 수 없는 상태 \vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{(\pm)}}\rangle에 의존하지 않으므로 해결하기가 훨씬 쉽다.

얻어진 해는 보른 급수로 알려진 섭동 급수의 시작점이다.

### 산란 진폭
좌표 공간에서 질량 m을 가진 입자에 대한 바깥으로 나가는 자유 그린 함수를 사용하면 다음과 같다.
:
G^{(+)}(\mathbf r, \mathbf r')=-\frac{2m}{\hbar^2}\frac{e^{+ik|\mathbf r-\mathbf r'|}}{4\pi|\mathbf r-\mathbf r'|}

위의 리프먼-슈윙거 방정식에 대한 보른 근사로부터 산란 진폭의 보른 근사를 추출할 수 있다.
:f_B(\theta)=-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int d^3r e^{-i\mathbf q \cdot \mathbf r}V(\mathbf r) \;,
여기서 \theta는 입사 파동 벡터 \mathbf k와 산란 파동 벡터 \mathbf k' 사이의 각도이고, \mathbf q=\mathbf k'-\mathbf k는 전달된 운동량이다. 보른 산란 진폭은 포텐셜의 푸리에 변환에 비례한다.

중심 대칭 포텐셜 V=V(r)에서 산란 진폭은 다음과 같다.
:f_B(\theta)=-\frac{2m}{\hbar^2}\int_0^\infty r V(r) \frac{\sin qr}{q}dr
여기서 q=|\mathbf q|=2k\sin(\theta/2)이다. 중심 대칭 장에 대한 보른 근사에서 산란 진폭 및 그에 따른 단면적 \sigma는 운동량 p=k/\hbar와 산란 진폭 \theta에만 p\sin(\theta/2)의 조합을 통해서만 의존한다.

## 응용
보른 근사는 여러 다른 물리적 맥락에서 사용된다.

중성자 산란에서 1차 보른 근사는 중성자 가이드 내에서의 내부 전반사 또는 입사각이 작은 소각 산란과 같은 중성자 광학 현상을 제외하고는 거의 항상 적절하다. 1차 보른 근사를 사용하여 산란 포텐셜 V(\mathbf r)에 대한 산란 진폭이 산란 포텐셜의 푸리에 변환과 동일하다는 것이 밝혀졌다. 이 개념을 사용하여 단층 그래핀에서 푸리에 광학의 전자적 아날로그가 이론적으로 연구되었다. 보른 근사는 또한 이층 그래핀의 전도도를 계산하고 선형탄성 매질에서 장파 길이 파동의 전파를 근사화하는 데 사용되었다.

동일한 아이디어가 지구를 통한 지진파의 움직임을 연구하는 데도 적용되었다.

## 왜곡파 보른 근사
보른 근사는 입사파 \vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{\circ}}\rangle가 평면파일 때 가장 간단하다. 즉, 산란체는 자유 공간 또는 균일 매질에 대한 섭동으로 취급된다.

**왜곡파 보른 근사**(**DWBA**)에서 입사파는 문제 V=V^1 + V^2의 일부 V^1에 대한 해 \vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{1}}^{(\pm)}\rangle이며, 이 부분은 분석적 또는 수치적 방법으로 처리된다. 관심 있는 상호작용 V는 다른 방법으로 해결할 수 있는 시스템 V^1에 대한 섭동 V^2로 취급된다. 핵 반응의 경우 수치 광학 모델 파동이 사용된다. 전하를 띤 입자에 의한 전하를 띤 입자의 산란의 경우 쿨롱 산란에 대한 분석 해가 사용된다. 이것은 비보른 예비 방정식을 제공한다.

:\vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{1}}^{(\pm)}\rangle = \vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{\circ}}\rangle + G^\circ(E_p \pm i0) V^{1} \vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{1}}^{(\pm)}\rangle

그리고 보른 근사는 다음과 같다.

:\vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{(\pm)}}\rangle = \vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{1}}^{(\pm)}\rangle + G^1(E_p \pm i0) V^{2} \vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{1}}^{(\pm)}\rangle.

다른 응용 분야로는 제동 복사 및 광전 효과가 있다. 전하를 띤 입자에 의한 직접 핵 반응의 경우 이 절차는 두 번 사용된다. 보른 근사를 사용하지 않는 유사한 방법도 있다. 응집 물질 연구에서는 DWBA가 입사각이 작은 소각 산란을 분석하는 데 사용된다.

## 같이 보기
* 보른 급수
* 리프먼-슈윙거 방정식
* 다이슨 급수
* 전자기 모델링
* 레일리-간스 근사

## 각주

* 
* 
* Wu and Ohmura, Quantum Theory of Scattering, Prentice Hall, 1962

분류:산란 이론
분류:섭동 이론
분류:1926년 도입