수슬린 수

일반위상수학에서 **수슬린 수**()는 위상 공간의 서로소 열린집합들의 집합족의 크기의 상한이다. 이 글에서는 수슬린 수를 비롯한 위상수학의 다양한 기수 값 불변량을 다룬다.

## 정의
### 무게

위상 공간 X의 **무게**() w(X)는 X의 기저의 최소 크기이다. **[[제2 가산 공간]]**은 w(X)\le\aleph_0인 위상 공간이다.

무게의 개념의 몇 가지 변형은 다음과 같다.

#### 유사 무게
위상 공간 X의 **유사 기저**() 또는 **ψ-기저**()는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 \mathcal B\subseteq\operatorname{Open}(X)이다.
* 임의의 x\in X에 대하여, \{x\}=\bigcap_{x\in B\in\mathcal B}B
위상 공간이 유사 기저를 가질 필요충분조건은 T<sub>1</sub> 공간인 것이다.

T<sub>1</sub> 공간 X의 **유사 무게**() 또는 **ψ-무게**() \psi w(X)는 그 유사 기저의 최소 크기이다.

#### π-무게
위상 공간 X의 **π-기저**()는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 \mathcal B\subseteq\operatorname{Open}(X)이다.
* \operatorname{Open}(X)\setminus\{\varnothing\}의 공시작 집합이다. 즉, \varnothing\not\in\mathcal B이며, 임의의 열린집합 U\subseteq X에 대하여, 만약 U\ne\varnothing라면, B\subseteq U인 B\in\mathcal B가 존재한다.
위상 공간 X의 **π-무게**() \pi(X)는 그 π-기저의 최소 크기이다.

#### 망 무게
위상 공간 X의 **망**()은 다음 조건을 만족시키는 집합족 \mathcal N\subseteq\mathcal P(X)이다.
* 임의의 열린집합 U\subseteq X에 대하여, U=\bigcup\mathcal S인 \mathcal S\subseteq\mathcal N이 존재한다.
따라서, 기저는 열린집합들로 이루어진 망이다.

위상 공간 X의 **망 무게**() nw(X)는 그 망의 최소 크기이다.

### 밀도

위상 공간 X의 **밀도**() d(X)는 X의 조밀 집합의 최소 크기이다. **[[분해 가능 공간]]**은 d(X)\le\aleph_0인 위상 공간이다.

#### 유전적 밀도
위상 공간 X의 **유전적 밀도**() d^*(X) 또는 **너비**() z(X)의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다.
* d^*(X)는 X의 부분 집합의 밀도의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 \aleph_0을 취한다).
*:d^*(X)=\max\left\{\aleph_0,\sup_{Y\subset X}d(Y)\right\}
* z(X)는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 Y\subseteq X의 크기의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 \aleph_0을 취한다).
** 모든 상집합이 열린집합이 되는 Y 위의 정렬 전순서가 존재한다.
즉,
:d^*(X)=z(X)
이다. 유한한 값을 허용할 경우 두 정의는 더 이상 동치가 아니다.

d^*(X)\ge z(X)의 증명. Y\subseteq X가 부분 집합이며, \le가 Y 위의 정렬 전순서이며, Y의 모든 상집합이 Y의 열린집합이라고 하자. |Y|\le d^*(X)를 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해서, 임의의 무한 기수 \kappa에 대하여, \kappa^+\le d^*(X)임을 보이면 충분하다. \alpha가 (Y,\le)의 순서형이라고 하자. \kappa^+\le|Y|\le\alpha이므로, 순서형이 \kappa^+인 부분 집합
:Z\subseteq Y
가 존재한다. 임의의 상집합 S\subseteq Z는 S의 Y에서의 상폐포와 Y의 교집합이므로, Z의 열린집합이다. \kappa^+=|Z|는 무한 기수의 따름 기수이므로, 정칙 기수이다. 따라서, 만약 D\subseteq S가 조밀 집합이라면, D는 S의 공종 집합이며, |D|\ge\kappa^+이다. 즉,
:\kappa^+=d(Z)\le d^*(X)
이다.

d^*(X)\le z(X)의 증명. 임의의 Y\subseteq X에 대하여, d(Y)\le z(X)임을 보이면 충분하다. 초한 귀납법에 따라, 다음과 같은 초한 점렬 (y_\alpha)_{\alpha을 만들 수 있다.
:y_\alpha\in Y\setminus\operatorname{cl}\{y_\beta\colon\beta
이제,
:Z=\{y_\alpha\colon\alpha
라고 하자. Z 위에 그 원소의 첨수에 따른 순서를 부여하면, 순서형이 d(Y)인 정렬 전순서 집합을 이룬다. 또한, 임의의 상집합 S\subseteq Z에 대하여, 그 최소 원소가 \min S=y_\alpha라고 하면,
:S=\{y_\beta\colon\alpha\le\beta
이므로, S\subseteq Z는 열린집합이다. 따라서,
:d(Y)=|S|\le z(X)
이다.

### 수슬린 수

위상 공간 X이 주어졌을 때, 공집합이 아닌 열린집합들의 부분 순서 집합 \operatorname{Open}(X)\setminus\{\varnothing\}의 강하향 반사슬들은 정확히 X의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들로 이루어진 집합족들이다.

위상 공간 X의 **수슬린 수**() 또는 **세포도**() c(X)는 \operatorname{Open}(X)\setminus\{\varnothing\}의 강하향 반사슬의 크기의 상한이다.

#### 유전적 수슬린 수
위상 공간 X의 **유전적 수슬린 수**() c^*(X) 또는 **퍼짐**() s(X)의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이는 서로 동치이다.
* c^*(X)는 X의 부분 집합의 수슬린 수의 상한이다.
*:c^*(X)=\sup_{Y\subseteq X}c(Y)
* s(X)는 X의 이산 집합의 크기의 상한이다.
즉,
:c^*(X)=s(X)
이다.

c^*(X)\le s(X)의 증명. X의 부분 집합 Y\subseteq X 및 Y의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족 \mathcal U\subseteq\operatorname{Open}(Y)가 주어졌을 때, 임의의 U\in\mathcal U에 대하여
:x_U\in U
를 고르면,
:D=\{x_U\colon U\in\mathcal U\}\subseteq Y\subseteq X
는 X의 부분 집합이며, 또한 이산 공간이다.

c^*(X)\ge s(X)의 증명. X의 이산 집합 D\subseteq X가 주어졌을 때,
:\mathcal U=\{\{x\}\colon x\in D\}\subseteq\operatorname{Open}(D)
는 D의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족이다.

### 린델뢰프 수

위상 공간 X의 임의의 열린 덮개 \mathcal U에 대하여, L(\mathcal U)가 그 부분 덮개의 최소 크기라고 하자.

위상 공간 X의 **린델뢰프 수**() L(X)는 다음과 같다.
:L(X)=\sup_{\mathcal U}L(\mathcal U)
**[[린델뢰프 공간]]**은 L(X)\le\aleph_0인 위상 공간이다.

#### 유전적 린델뢰프 수
위상 공간 X의 **유전적 린델뢰프 수**() L^*(X) 또는 **높이**() h(X)의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다.
* L^*(X)는 X의 부분 집합의 린델뢰프 수의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 \aleph_0을 취한다).
*:L^*(X)=\max\left\{\aleph_0,\sup_{Y\subseteq X}L(Y)\right\}
* h(X)는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 Y\subseteq X의 크기의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 \aleph_0을 취한다).
** 모든 하집합이 열린집합이 되는 Y 위의 정렬 전순서가 존재한다.
즉,
:L^*(X)=h(X)
이다. 유한한 상한을 허용할 경우 이는 더 이상 성립하지 않는다. (반례로 시에르핀스키 공간이 있다.)

L^*(X)\ge h(X)의 증명. Y\subseteq X가 부분 집합이며, \le가 Y 위의 정렬 전순서이며, Y의 모든 하집합이 Y의 열린집합이라고 하자. |Y|\le L^*(X)를 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해서, 임의의 무한 기수 \kappa에 대하여 \kappa^+\le L^*(X)임을 보이면 충분하다. \alpha가 (Y,\le)의 순서형이라고 하자. \kappa^+\le|Y|\le\alpha이므로, 순서형이 \kappa^+인 부분 집합
:Z\subseteq Y
가 존재한다. Z의 모든 하집합 역시 Z의 열린집합임을 쉽게 알 수 있다. \kappa^+=|Z|는 무한 기수의 따름 기수이므로, 정칙 기수이다. 따라서, Z의 열린 덮개
:\mathcal U=\{\mathop\downarrow z\setminus\mathop\uparrow z\colon z\in Z\}
의 모든 부분 덮개의 크기는 \kappa^+이다. 즉,
:\kappa^+=L(\mathcal U)\le L(Z)\le L^*(X)
이다.

L^*(X)\le h(X)의 증명. 임의의 부분 집합 Y\subseteq X 및 무한 기수 \kappa에 대하여, \kappa^+\le h(X)임을 보이면 충분하다. L(\mathcal U)>\kappa인 Y의 열린 덮개 \mathcal U를 고르자. 초한 귀납법에 따라, 다음과 같은 초한 점렬 (y_\alpha)_{\alpha 및 (U_\alpha)_{\alpha을 만들 수 있다.
:y_\alpha\in Y\setminus\bigcup_{\beta
이제,
:Z=\{y_\alpha\colon\alpha
라고 하자. Z는 자연스럽게 순서형이 \kappa^+인 정렬 전순서 집합을 이룬다. 또한, Z의 임의의 하집합
:S=\bigcup_{y_\alpha\in S}\{y_\beta\colon\beta\le\alpha\}=\bigcup_{y_\alpha\in S}\left(Z\cap\bigcup_{\beta\le\alpha}U_\beta\right)=Z\cap\bigcup_{y_\alpha\in S}\bigcup_{\beta\le\alpha}U_\beta
은 Z의 열린집합이다. 따라서,
:\kappa^+=|Z|\le h(X)
이다.

### 지표

위상 공간 X의 부분 집합 S\subseteq X의 **국소 지표**() \chi(S,X)는 S의 국소 기저의 최소 크기이다.

위상 공간 X의 **지표**() \chi(X)는 모든 점의 국소 지표의 상한이다.
:\chi(X)=\sup_{x\in X}\chi(x,X)
**[[제1 가산 공간]]**은 \chi(X)\le\aleph_0인 위상 공간이다.

마찬가지로, 다음과 같은 개념들을 정의할 수 있다.

#### 유사 지표
위상 공간 X의 부분 집합 S\subseteq X의 **국소 유사 기저**() 또는 **국소 ψ-기저**()는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 \mathcal B\subseteq\operatorname{Open}(X)이다.
:S=\bigcap\mathcal B

위상 공간 X의 부분 집합 S\subseteq X의 **국소 유사 지표**() 또는 **국소 ψ-지표**() \psi(S,X)는 S의 국소 유사 기저의 최소 크기이다.

T<sub>1</sub> 공간 X의 **유사 지표**() 또는 **ψ-지표**() \psi(X)는 모든 점의 국소 유사 지표의 상한이다.
:\psi(X)=\sup_{x\in X}\psi(x,X)

#### π-지표
위상 공간 X의 점 x\in X의 **국소 π-기저**()는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 \mathcal B\subseteq\operatorname{Open}(X)이다.
* \varnothing\not\in\mathcal B이며, x의 임의의 근방 U\ni x에 대하여, B\subseteq U인 B\in\mathcal B가 존재한다.

위상 공간 X의 점 x\in X의 **국소 π-지표**() \pi\chi(x,X)는 x의 국소 π-기저의 최소 크기이다.

위상 공간 X의 **π-지표**()는 \pi\chi(X)는 모든 점의 국소 π-지표의 상한이다.
:\pi\chi(X)=\sup_{x\in X}\pi\chi(x,X)

### 밀착도

위상 공간 X의 부분 집합 S\subseteq X 및 그 폐포의 점 x\in\operatorname{cl}S에 대하여, t(x,S,X)가 x\in\operatorname{cl}T인 T\subseteq S의 최소 크기라고 하자.

위상 공간 X의 점 x\in X의 **국소 밀착도**()는 다음과 같다.
:t(x,X)=\sup_{x\in\operatorname{cl}S\subseteq X}t(x,S,X)

위상 공간 X의 **밀착도**()는 t(X)는 모든 점의 국소 밀착도의 상한이다.
:t(X)=\sup_{x\in X}t(x,X)

**[[가산 생성 공간]]**은 t(X)\le\aleph_0인 위상 공간이다.

## 성질
위상 공간 X이 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
* (ㄱ) c(X)\le d(X)\le\pi(X)\le w(X)\le\left|\operatorname{Open}(X)\right|\le\min\{2^,2^{nw(X)}\}
* (ㄴ) \max\{d(X),L(X)\}\le nw(X)\le\min\{|X|,w(X)\}
* (ㄷ) \max\{t(x,X),\pi\chi(x,X)\}\le\chi(x,X)\qquad(x\in X)
* (ㄹ) \max\{t(X),\pi\chi(X)\}\le\chi(X)\le w(X)\le|X|\chi(X)
* (ㅁ) \pi\chi(X)\le\pi(X)\le d(X)\pi\chi(X)
* (ㅂ) t(X)\le|X|
* (ㅅ) \left|\operatorname{RegOpen}(X)\right|\le\min\{\pi(X)^{c(X)},2^{d(X)}\}

c(X)\le d(X)의 증명. \mathcal U\subseteq\operatorname{Open}(X)가 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족이라고 하자. D\subseteq X가 조밀 집합이라고 하자. |\mathcal U|\le|D|임을 보이면 족하다. 조밀성에 따라, 임의의 U\in\mathcal U에 대하여
:x_U\in U\cap D
를 고를 수 있다. \mathcal U가 서로소이므로, U\mapsto x_U는 \mathcal U\to D 단사 함수이다. 따라서 |\mathcal U|\le|D|이다.

d(X)\le\pi(X)의 증명. \mathcal B가 X의 π-기저라고 하자. |D|\le|\mathcal B|인 조밀 집합 D\subseteq X를 찾으면 족하다. 임의의 B\in\mathcal B에 대하여 x_B\in B를 고르자. 그렇다면,
:D=\{x_B\colon B\in\mathcal B\}\subseteq X
는 조밀 집합이며, |D|\le|B|이다.

\pi(X)\le w(X)의 증명. 모든 기저는 π-기저이므로 자명하다.

w(X)\le\left|\operatorname{Open}(X)\right|의 증명. \operatorname{Open}(X)는 X의 기저를 이루므로 자명하다.

\left|\operatorname{Open}(X)\right|\le 2^의 증명. \operatorname{Open}(X)\le\mathcal P(X)이므로 자명하다.

\left|\operatorname{Open}(X)\right|\le 2^{nw(X)}의 증명. \mathcal N이 X의 망이라고 하자. \left|\operatorname{Open}(X)\right|\le 2^임을 보이면 족하다. 이는
:\mathcal P(\mathcal N)\to\operatorname{Open}(X)
:\mathcal S\mapsto\bigcup\mathcal S
가 전사 함수이므로 자명하다.

\max\{d(X),L(X)\}\le nw(X)\le\min\{|X|,w(X)\}
d(X)\le nw(X)의 증명. \mathcal N이 X의 망이라고 하자. |D|\le|\mathcal N|인 조밀 집합 D\subseteq X를 찾으면 족하다. 임의의 N\in\mathcal N에 대하여 x_N\in\mathcal N을 고르자. 그렇다면,
:D=\{x_N\colon N\in\mathcal N\}\subseteq X
는 조밀 집합이며, |D|\le|\mathcal N|이다.

L(X)\le nw(X)의 증명. \mathcal N이 X의 망이라고 하자. \mathcal U가 X의 열린 덮개라고 하자. |\mathcal V|\le|\mathcal N|인 부분 덮개 \mathcal V\subseteq\mathcal U를 찾으면 족하다.
:\mathcal S=\{N\in\mathcal N\colon\exist U\in\mathcal U\colon N\subseteq U\}
라고 하자. 임의의 N\in\mathcal S에 대하여
:N\subseteq U_N
인 U_N\in\mathcal U를 고르자. 그렇다면,
:\mathcal V=\{U_N\colon N\in\mathcal N\}
은 \mathcal U의 부분 덮개이며, |\mathcal V|\le|\mathcal N|이다.

nw(X)\le|X|의 증명. \{\{x\}\colon x\in X\}가 X의 망이므로 자명하다.

nw(X)\le w(X)의 증명. 모든 기저는 망을 이루므로 자명하다.

t(x,X)\le\chi(x,X)의 증명. \mathcal B가 x의 국소 기저라고 하자. S\subseteq X이며 x\in\operatorname{cl}S라고 하자.
:x\in\operatorname{cl}T
:|T|\le|\mathcal B|
인 T\subseteq S를 찾으면 족하다. 임의의 B\in\mathcal B에 대하여, x_B\in B\cap S를 고르자. 그렇다면,
:T=\{x_B\colon B\in\mathcal B\}\subseteq S
는 위 조건들을 만족시킨다.

\pi\chi(x,X)\le\chi(x,X)의 증명. x의 임의의 국소 기저 \mathcal B에 대하여,
:\{\operatorname{int}B\colon B\in\mathcal B\}
는 열린 근방들로 이루어진 국소 기저이며, 특히 x의 국소 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

\max\{t(X),\pi\chi(X)\}\le\chi(X)의 증명. (ㄷ)에 의하여 자명하다.

\chi(X)\le w(X)의 증명. X의 임의의 기저 \mathcal B 및 임의의 x\in X에 대하여,
:\{B\in\mathcal B\colon x\in B\}
는 x의 국소 기저이므로 자명하다.

w(X)\le|X|\chi(X)의 증명. 모든 x\in X에 대하여 국소 기저 \mathcal B_x가 주어졌을 때,
:\mathcal B=\left\{\operatorname{int}B\colon B\in\bigcup_{x\in X}\mathcal B_x\right\}
는 X의 기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

\pi\chi(X)\le\pi(X)의 증명. 모든 π-기저는 모든 점의 국소 π-기저이므로 자명하다.

\pi(X)\le d(X)\pi\chi(X)의 증명. 모든 점 x\in X에 대하여 국소 π-기저 \mathcal B_x가 주어졌고, 임의의 조밀 집합 D\subseteq X가 주어졌을 때,
:\mathcal B=\bigcup_{x\in D}\mathcal B_x
는 X의 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

임의의 S\subseteq X에 대하여 |S|\le|X|이므로 자명하다.

\left|\operatorname{RegOpen}(X)\right|\le\pi(X)^{c(X)}의 증명. X의 임의의 π-기저 \mathcal B\subseteq X가 주어졌다고 하자. \mathcal B의 크기 c(X) 이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 단사 함수
:\operatorname{RegClsd}(X)\to\mathcal P_{\le c(X)}(\mathcal B)
를 찾으면 족하다. 임의의 정칙 닫힌집합 F\subseteq X에 대하여,
:\mathcal U_F\subseteq\mathcal B
가 U\subseteq\operatorname{int}F인 \mathcal B 속의 서로소 열린집합 U\in\mathcal B들로 구성된 집합족 가운데 극대 원소인 하나라고 하자. (이는 초른 보조정리에 따라 존재하며, 선택 공리에 따라 극대 원소들 가운데 하나를 고를 수 있다.) 이제, 함수
:F\mapsto\mathcal U_F
를 생각하자. 자명하게 |\mathcal U_F|\le c(X)이다. 만약 \mathcal U_E=\mathcal U_F라면,
:E=\operatorname{cl}\bigcup\mathcal U_E=\operatorname{cl}\bigcup\mathcal U_F=F
이다. 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.

\left|\operatorname{RegOpen}(X)\right|\le 2^{d(X)}의 증명. 임의의 조밀 집합 D\subseteq X가 주어졌다고 하자. 단사 함수
:\operatorname{RegClsd}(X)\to\mathcal P(D)
를 찾으면 족하다. 함수
:F\mapsto F\cap D
를 생각하자. 만약 E\cap D=F\cap D라면,
:E=\operatorname{cl}U
:F=\operatorname{cl}V
인 열린집합 U,V\subseteq X를 골랐을 때,
:E=\operatorname{cl}U=\operatorname{cl}(\operatorname{cl}U\cap D)=\operatorname{cl}(E\cap D)=\operatorname{cl}(F\cap D)=\operatorname{cl}(\operatorname{cl}V\cap D)=\operatorname{cl}V=F
이다. 따라서 이 함수는 단사 함수이다.

콜모고로프 공간 X에서, 다음이 성립한다.
* (ㄱ) |X|\le 2^{w(X)}

X의 임의의 기저 \mathcal B가 주어졌다고 하자. 단사 함수
:X\to\mathcal P(\mathcal B)
를 찾으면 족하다. 콜모고로프 조건에 따라, 함수
:x\mapsto\{B\in\mathcal B\colon x\in B\}
는 단사 함수이다.

T<sub>1</sub> 공간 X에서, 다음이 성립한다.
* (ㄱ) \psi w(X)\le\min\{|X|,w(X)\}\le|X|\le\left|\operatorname{Open}(X)\right|
* (ㄴ) \psi(x,X)\le\chi(x,X)\qquad(x\in X)
* (ㄷ) \psi(X)\le\min\{\chi(X),\psi w(X)\}
* (ㄹ) |X|\le\min\{2^{\psi w(X)},nw(X)^{\psi(X)}\}
* (ㅁ) nw(X)\le\psi w(X)^{L(X)}

\psi w(X)\le|X|의 증명. T1 조건에 따라 \{X\setminus\{x\}\colon x\in X\}가 X의 유사 기저이므로 자명하다.

\psi w(X)\le w(X)의 증명. T1 조건에 따라 모든 기저는 유사 기저이므로 자명하다.

|X|\le\left|\operatorname{Open}(X)\right|의 증명. T1 조건에 따라 모든 X\setminus\{x\}은 X의 열린집합이므로 자명하다.

T1 조건에 따라 x의 모든 국소 기저는 국소 유사 기저이므로 자명하다.

\psi(X)\le\chi(X)의 증명. (ㄴ)에 의하여 자명하다.

\psi(X)\le\psi w(X)의 증명. X의 임의의 유사 기저 \mathcal B 및 임의의 x\in X에 대하여,
:\{B\in\mathcal B\colon x\in B\}
는 x의 국소 유사 기저이므로 자명하다.

|X|\le 2^{\psi w(X)}의 증명. X의 임의의 유사 기저 \mathcal B가 주어졌다고 하자. 단사 함수
:X\to\mathcal P(\mathcal B)
를 찾으면 족하다. 함수
:x\mapsto\mathcal\{B\in\mathcal B\colon x\in B\}
를 생각하자. 만약 \{B\in\mathcal B\colon x\in B\}=\{B\in\mathcal B\colon y\in B\}라면,
:\{x\}=\bigcap_{x\in B\in\mathcal B}B=\bigcap_{y\in B\in\mathcal B}B=\{y\}
이다. 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.

|X|\le nw(X)^{\psi(X)}의 증명. X의 임의의 망 \mathcal N이 주어졌다고 하자. \mathcal N의 크기 \psi(X) 이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 단사 함수
:X\mapsto\mathcal P_{\le\psi(X)}(\mathcal N)
를 찾으면 족하다. 임의의 x\in X에 대하여, |\mathcal B_x|\le\psi(X)인 x의 국소 유사 기저 \mathcal B_x를 고르자. 임의의 x\in X 및 B\in\mathcal B_p에 대하여, x\in N_{x,B}\subseteq B인 N_{x,B}\in\mathcal N을 고르자. 이제, 함수
:x\mapsto\mathcal S_x=\{N_{x,B}\colon B\in\mathcal B\}\subseteq\mathcal N
생각하자. (|\mathcal S_x|\le|\mathcal B_x|\le\psi(X)이므로 \mathcal S_x\in\mathcal P_{\le\psi(X)}(\mathcal N)이다.) 만약 \mathcal S_x=\mathcal S_y라면,
:\{x\}=\bigcap\mathcal B_x=\bigcap\mathcal S_x=\bigcap\mathcal S_y=\bigcap\mathcal B_y=\{y\}
이다. 따라서 이 함수는 단사 함수이다.

X의 임의의 유사 기저 \mathcal B에 대하여,
:\mathcal N=\left\{X\setminus\bigcup\mathcal S\colon\mathcal S\subseteq\mathcal B,\;|\mathcal S|\le L(X)\right\}
는 X의 망을 이루며,
:|\mathcal N|\le|\mathcal B|^{L(X)}
이다.

하우스도르프 공간 X에서, 다음이 성립한다.
* (ㄱ) |X|\le\min\{2^{2^{d(X)}},d(X)^{\chi(X)}\}
* (ㄴ) \psi w(X)\le\min\{\left|\operatorname{RegOpen}(X)\right|,nw(X)\}

|X|\le 2^{2^{d(X)}}의 증명. 임의의 조밀 집합 D\subseteq X가 주어졌다고 하자. 단사 함수
:X\to\mathcal P(\mathcal P(D))
를 찾으면 족하다. 함수
:x\mapsto\{U\cap D\colon x\in U\in\operatorname{Open}(X)\}
를 생각하자. 만약
:\{U\cap D\colon x\in U\in\operatorname{Open}(X)\}=\{U\cap D\colon y\in U\in\operatorname{Open}(X)\}
라면, 하우스도르프 조건에 따라
:\{x\}=\bigcap_{x\in U\in\operatorname{Open}(X)}\operatorname{cl}U=\bigcap_{x\in U\in\operatorname{Open}(X)}\operatorname{cl}(U\cap D)=\bigcap_{y\in U\in\operatorname{Open}(X)}\operatorname{cl}(U\cap D)=\bigcap_{x\in U\in\operatorname{Open}(X)}\operatorname{cl}U=\{y\}
이다. (두 번째 등식은 조밀성에 따라 \operatorname{cl}U=\operatorname{cl}(U\cap D)이기 때문이다.) 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.

|X|\le d(X)^{\chi(X)}의 증명. 만약 \chi(X)이라면, X는 이산 공간이며, 이 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, \chi(X)\ge\aleph_0이라고 하자. 임의의 조밀 집합 D\subseteq X가 주어졌다고 하자. 단사 함수
:X\to\mathcal P_{\le\chi(X)}(\mathcal P_{\le\chi(X)}(D))
를 찾으면 족하다. 임의의 x\in X에 대하여, |\mathcal B_x|\le\chi(X)인 국소 기저 \mathcal B_x를 고르자. 임의의 B\in\mathcal B_x에 대하여
:s_{x,B}\in B\cap D
를 고르고,
:S_x=\{s_{x,B}\colon B\in\mathcal B_x\}\subseteq D
:\mathcal A_x=\{B\cap S_x\colon B\in\mathcal B_x\}\subseteq\mathcal P(S_x)\subseteq\mathcal P(D)
라고 하자. 이제, 함수
:x\mapsto\mathcal A_x
를 생각하자. 자명하게
:|S_x|\le\chi (X)
:|\mathcal A_x|\le\chi(X)
이다. 하우스도르프 조건에 따라
:\{x\}=\bigcap_{B\in\mathcal B_x}\operatorname{cl}B\supseteq\bigcap_{B\in\mathcal B_x}\operatorname{cl}(B\cap S_x)\supseteq\{x\}
이다. 따라서, 만약
:\mathcal A_x=\mathcal A_y
라면,
:\{x\}=\bigcap_{B\in\mathcal B_x}\operatorname{cl}(B\cap S_x)=\bigcap_{B\in\mathcal B_y}\operatorname{cl}(B\cap S_y)=\{y\}
이다. 즉, 이 함수는 단사 함수이다.

\psi w(X)\le\left|\operatorname{RegOpen}(X)\right|의 증명. 하우스도르프 공간에서, 정칙 닫힌집합들은 유사 기저를 이룬다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

\psi w(X)\le nw(X)의 증명. 만약 nw(X)라면, X는 유한 이산 공간이며, 이 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, nw(X)\ge\aleph_0이라고 하자. X의 임의의 망 \mathcal N이 주어졌다고 하자. |\mathcal B|\le|\mathcal N|인 유사 기저 \mathcal B를 찾으면 족하다.
:\mathcal S=\{(M,N)\in\mathcal N\times\mathcal N\colon \exists U,V\in\operatorname{Open}(X)\colon M\subseteq U,\;N\subseteq V,\;U\cap V=\varnothing\}
라고 하자. 임의의 (M,N)\in\mathcal S에 대하여,
:M\subseteq U_{(M,N)}
:N\subseteq V_{(M,N)}
:U_{(M,N)}\cap V_{(M,N)}=\varnothing
인 열린집합 U_{(M,N)},V_{(M,N)}\subseteq X를 고르자. 그렇다면, 하우스도르프 조건에 따라,
:\mathcal B=\{U_{(M,N)}\colon(M,N)\in\mathcal S\}
는 유사 기저임을 알 수 있다. 또한, 자명하게
:|\mathcal B|\le|\mathcal N|^2=|\mathcal N|
이다.

정칙 하우스도르프 공간 X에서, 다음이 성립한다.
* w(X)\le\left|\operatorname{RegOpen}(X)\right|

정칙 하우스도르프 공간에서, 정칙 열린집합들은 기저를 이룬다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

콤팩트 T<sub>1</sub> 공간 X에서, 다음이 성립한다.
* (ㄱ) nw(X)\le\psi w(X)

T<sub>1</sub> 공간에 대한 명제 (ㅁ)의 증명과 유사하다.

콤팩트 하우스도르프 공간 X에서, 다음이 성립한다.
* \psi(X)=\chi(X)

위상 공간 X 및 부분 집합 Y\subseteq X가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
* w(Y)\le w(X)
* nw(Y)\le nw(X)
* X가 T<sub>1</sub> 공간일 때, \psi w(Y)\le \psi w(X)
* \chi(Y)\le\chi(X)
* X가 T<sub>1</sub> 공간일 때, \psi(Y)\le\psi(X)
* t(Y)\le t(X)

만약 f\colon X\to Y가 닫힌 연속 전사 함수라면, 다음이 성립한다.
* t(Y)\le t(X)

## 참고 문헌
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## 외부 링크
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분류:일반위상수학