매개변수 방정식

[섬네일|right|[나비 곡선 (초월곡선)|나비 곡선은 와 의 매개변수 방정식으로 정의될 수 있다.]]
수학에서 **매개변수 방정식**()은 점의 좌표와 같은 여러 양을 매개변수라고 하는 하나 또는 여러 변수의 함수로 표현한다.

하나의 매개변수가 있는 경우, 매개변수 방정식은 움직이는 점의 궤적을 표현하는 데 흔히 사용되며, 이 경우 매개변수는 종종 시간이지만 필수는 아니며, 점은 **매개변수 곡선**()이라고 하는 곡선을 그린다. 두 개의 매개변수가 있는 경우, 점은 **매개변수 곡면**()이라고 하는 곡면을 그린다. 모든 경우에 이 방정식들은 총체적으로 **매개변수 표현**()이라 불리며, 또는 **매개변수 시스템**()이라 불린다. 또는 객체의 **매개변수화**(, 또는 parametrization, parametrisation이라고도 표기)라 불린다.

예를 들어,
\begin{align}
  x &= \cos t \\
  y &= \sin t
\end{align}
라는 방정식은 단위원의 매개변수 표현을 형성하며, 여기서 는 매개변수이다. 즉, 는 이 두 방정식이 그 점을 생성하는  값이 있을 때 단위원 위에 있다. 때로는 개별 스칼라 출력 변수에 대한 매개변수 방정식을 벡터의 단일 매개변수 방정식으로 결합하기도 한다.

(x, y)=(\cos t, \sin t).

매개변수 표현은 일반적으로 유일하지 않으므로 (아래 "2차원 예제" 섹션 참조) 동일한 양을 여러 다른 매개변수화로 표현할 수 있다.

곡선과 곡면 외에도 매개변수 방정식은 더 높은 차원의 다양체와 대수적 다양체를 기술할 수 있으며, 이때 매개변수의 수는 다양체 또는 다양체의 차원과 같고, 방정식의 수는 다양체 또는 다양체가 고려되는 공간의 차원과 같다 (곡선의 경우 차원은 1이고 하나의 매개변수가 사용되며, 곡면의 경우 차원은 2이고 두 개의 매개변수가 사용되는 식이다).

매개변수 방정식은 운동학에서 흔히 사용되며, 여기서 물체의 궤적은 시간을 매개변수로 하는 방정식으로 표현된다. 이러한 응용 때문에 단일 매개변수는 종종 로 표기되지만, 매개변수는 다른 물리량(예: 기하학적 변수)을 나타내거나 편의상 임의로 선택될 수도 있다. 매개변수화는 유일하지 않다. 하나 이상의 매개변수 방정식 집합이 동일한 곡선을 지정할 수 있다.

## 음함수화
매개변수 방정식 집합을 단일 음함수 방정식으로 변환하는 것은 동시 방정식 x=f(t),\ y=g(t)에서 변수 를 제거하는 것을 포함한다. 이 과정을 ***'라고 한다. 이 방정식 중 하나를 에 대해 풀 수 있다면, 얻은 표현을 다른 방정식에 대입하여 와 만 포함하는 방정식을 얻을 수 있다. <math>y=g(t)</math>를 풀어 <math>t=g^{-1}(y)</math>를 얻고 이를 <math>x=f(t)</math>에 사용하면 명시적 방정식 <math> x=f(g^{-1}(y))</math>를 얻는 반면, 더 복잡한 경우에는 <math>h(x,y)=0</math> 형태의 음함수 방정식을 얻게 된다.

매개변수화가 [[유리 함수]]로 주어질 경우
<math display="block">x=\frac{p(t)}{r(t)},\qquad y=\frac{q(t)}{r(t)},</math>

여기서 , , 은 서로소인 다항식 집합일 때, [[종결식]] 계산을 통해 음함수화할 수 있다. 보다 정확히 말하면, 음함수 방정식은 에 대한 <math>x \times r(t) -p(t)</math>와 <math>y\times r(t)-q(t)</math>의 [[종결식]]이다.

더 높은 차원(두 개 이상의 좌표 또는 하나 이상의 매개변수)에서 유리 매개변수 방정식의 음함수화는 [[그뢰브너 기저]] 계산으로 수행할 수 있다. 를 참조하라.

반지름이 인 원의 예를 들면, 매개변수 방정식
<math display="block">\begin{align}
  x &= a \cos(t) \\
  y &= a \sin(t)
\end{align}</math>

는 [[피타고라스 삼각 항등식]]을 통해 와 로 음함수화될 수 있다.
<math display="block">\begin{align}
\frac{x}{a} &= \cos(t) \\
\frac{y}{a} &= \sin(t) \\
\end{align}</math>
이고
<math display="block">\cos(t)^2 + \sin(t)^2 = 1</math>
이므로,
<math display="block">\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{a}\right)^2 = 1</math>
을 얻고, 따라서
<math display="block">x^2+y^2=a^2</math>

는 원점을 중심으로 하는 원의 표준 방정식이다.

==매개변수 평면 곡선==


===포물선===

[[포물선]]에 대한 가장 간단한 방정식인
<math display="block">y = x^2</math>

는 자유 매개변수 를 사용하여 다음과 같이 (자명하게) 매개변수화될 수 있다.
<math display="block">x = t, y = t^2 \quad \mathrm{for} -\infty < t < \infty.</math>

===명시적 방정식===
더 일반적으로, 명시적 방정식으로 주어진 모든 곡선
<math display="block">y = f(x)</math>

은 자유 매개변수 를 사용하여 다음과 같이 (자명하게) 매개변수화될 수 있다.
<math display="block">x = t, y = f(t) \quad \mathrm{for} -\infty < t < \infty.</math>

===원===

더 정교한 예는 다음과 같다. 일반 (데카르트) 방정식
<math display="block"> x^2 + y^2 = 1.</math>
으로 기술되는 단위를 고려해보자.

이 방정식은 다음과 같이 매개변수화될 수 있다.
<math display="block">(x,y)=(\cos(t),\; \sin(t))\quad\mathrm{for}\ 0\leq t < 2\pi.</math>

데카르트 방정식으로는 한 점이 원 위에 있는지 여부를 확인하기가 더 쉽다. 매개변수 버전으로는 그래프 상의 점을 얻기가 더 쉽다.

어떤 맥락에서는, 존재한다면 [[유리 함수]](즉 두 [[다항식]]의 분수)만을 포함하는 매개변수 방정식이 선호된다. 원의 경우, 이러한 는 다음과 같다.
<math display="block">\begin{align}
  x &= \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \\
  y &= \frac{2t}{1 + t^2}\,.
\end{align}</math>

이 한 쌍의 매개변수 방정식으로, 점 은 의 [[실수]] 값으로 표현되지 않고, 가 [[무한]]대로 갈 때의 와 의 [[극한]]으로 표현된다.

===타원===

반축이 와 이고 표준 위치(원점 중심, 장축이 -축을 따라 있음)에 있는 [[타원]]은 매개변수적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.
<math display="block">\begin{align}
  x &= a\,\cos t \\
  y &= b\,\sin t\,.
\end{align}</math>

[[일반 위치]]에 있는 타원은 다음과 같이 표현될 수 있다.
<math display="block">\begin{alignat}{4}
  x ={}&& X_\mathrm{c} &+ a\,\cos t\,\cos \varphi {}&&- b\,\sin t\,\sin\varphi \\
  y ={}&& Y_\mathrm{c} &+ a\,\cos t\,\sin \varphi {}&&+ b\,\sin t\,\cos\varphi
\end{alignat}</math>

매개변수 가 에서 까지 변할 때. 여기서 는 타원의 중심이고, 는 -축과 타원의 장축 사이의 각도이다.

두 매개변수화는 [[반각 공식]]을 사용하고 <math display="inline">\tan\frac{t}{2} = u\,</math>로 설정함으로써 [[유리 함수|유리적]]으로 만들 수 있다.

=== 리사주 곡선 ===
[[파일:Lissajous curve 3by2.svg|thumbnail|이고 인 리사주 곡선.]]
[[리사주 곡선]]은 [[타원]]과 유사하지만, 와  [[사인파]]는 위상이 다르다. 표준 위치에서 리사주 곡선은 다음으로 주어진다.
<math display="block">\begin{align}
  x &=  a\,\cos(k_xt) \\
  y &=  b\,\sin(k_yt)
\end{align}</math>
여기서 와 는 도형의 엽수(loves)를 나타내는 상수이다.

===쌍곡선===
동서로 열리는 [[쌍곡선]]은 매개변수적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.

<math display="block">\begin{align}
  x &= a\sec t + h \\
  y &= b\tan t + k\,,
\end{align}</math>

또는 [[유리 함수|유리적으로]]

<math display="block">\begin{align}
  x &= a\frac{1 + t^2}{1 - t^2} + h \\
  y &= b\frac{2t}{1 - t^2}  + k\,.
\end{align}</math>

남북으로 열리는 쌍곡선은 매개변수적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.

<math display="block">\begin{align}
  x &= b\tan t + h \\
  y &= a\sec t + k\,,
\end{align}</math>

또는 유리적으로

<math display="block">\begin{align}
  x &= b\frac{2t}{1 - t^2} + h \\
  y &= a\frac{1 + t^2}{1 - t^2} + k\,.
\end{align}</math>

이 모든 공식에서 는 쌍곡선의 중심 좌표이고, 는 반장축의 길이이며, 는 반단축의 길이이다. 이 공식의 유리 형식에서 점 과 는 각각 의 실수 값으로 표현되지 않고, 가 무한대로 갈 때의 와 의 극한이다.

===하이퍼사이클로이드===
[[하이포트로코이드|하이퍼사이클로이드]]는 반지름이 인 원이 반지름이 인 고정된 원의 내부를 따라 구를 때, 내부 원의 중심으로부터 거리 에 있는 점이 그리는 곡선이다.
<gallery>
파일:2-circles hypotrochoid.gif|<div class="center">인 하이포트로코이드</div>
파일:HypotrochoidOutThreeFive.gif|<div class="center">, , 인 하이퍼사이클로이드</div>
</gallery>
하이퍼사이클로이드에 대한 매개변수 방정식은 다음과 같다.

<math display="block">\begin{align}
  x (\theta) &= (R - r)\cos\theta + d\cos\left({R - r \over r}\theta\right) \\
  y (\theta) &= (R - r)\sin\theta - d\sin\left({R - r \over r}\theta\right)\,.
\end{align}</math>

몇 가지 예:
<gallery>
파일: Param1a 6 4 1 a2.jpg|<div class="center">  </div>
파일: Param1a 7 4 1 a4.jpg|<div class="center">  </div>
파일: Param1a 8 3 2 a3.jpg|<div class="center">  </div>
파일: Param1a 7 4 2 a4.jpg|<div class="center">  </div>
파일: Param1a 15 14 1 a14.jpg|<div class="center">  </div>
</gallery>

==매개변수 공간 곡선==

[[파일:Animated_Parametric_Function.webm|섬네일|440x440px|애니메이션 매개변수 나선]]

===나선===
[[파일:Parametric Helix.png|섬네일|300px|right|매개변수 나선]]

매개변수 방정식은 더 높은 차원의 공간에서 [[곡선]]을 설명하는 데 편리하다. 예를 들어:

<math display="block">\begin{align}
  x &= a \cos(t) \\
  y &= a \sin(t) \\
  z &= bt\,
\end{align}</math>

는 반지름이 이고 한 바퀴 돌 때마다  단위씩 올라가는 3차원 곡선인 [[나선]]을 나타낸다. 이 방정식들은 [[평면 (수학)|평면]]에서 원에 대한 방정식과 동일하다.
위와 같은 표현은 흔히 다음과 같이 쓰인다.

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{r}(t) &= (x(t), y(t), z(t)) \\
  &= (a \cos(t), a \sin(t), b t)\,,
\end{align}</math>

여기서 은 3차원 벡터이다.

===매개변수 곡면===

큰 반지름 과 작은 반지름 을 가진 [[원환면]]은 매개변수적으로 다음과 같이 정의될 수 있다.

<math display="block">\begin{align}
x &= \cos(t)\left(R + r \cos(u)\right), \\
y &= \sin(t)\left(R + r \cos(u)\right), \\
z &= r \sin(u)\,.
\end{align}</math>

여기서 두 매개변수 와 는 모두 에서 까지 변한다.

<gallery>
파일:Torus.png|, 
</gallery>

가 에서 까지 변할 때, 곡면 위의 점은 원환면의 구멍을 통과하는 짧은 원을 따라 움직인다. 가 에서 까지 변할 때, 곡면 위의 점은 원환면의 구멍 주위를 도는 긴 원을 따라 움직인다.

===직선===


점 <math>\left( x_0, y_0, z_0 \right)</math>를 지나고 벡터 <math> a \hat\mathbf{i} + b \hat\mathbf{j} + c \hat\mathbf{k}</math>에 평행한 직선의 매개변수 방정식은 다음과 같다.

<math display="block">\begin{align}
x & = x_0 +a t \\
y & = y_0 +b t \\
z & = z_0 +c t
\end{align}</math>

==응용==

===운동학===
[[운동학]]에서 물체의 공간 경로(trajectory)는 일반적으로 매개변수 곡선으로 설명되며, 각 공간 좌표는 독립적인 매개변수(보통 시간)에 명시적으로 의존한다. 이런 방식으로 사용될 때, 물체의 좌표에 대한 매개변수 방정식 집합은 총체적으로 위치에 대한 [[벡터 함수]]를 구성한다. 이러한 매개변수 곡선은 항별로 [[적분]]되고 [[미분]]될 수 있다. 따라서 입자의 위치가 매개변수적으로 다음과 같이 기술된다면
<math display="block">\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))\,,</math>

그러면 그것의 [[속도]]는 다음과 같이 찾을 수 있다.
<math display="block">\begin{align}
\mathbf{v}(t) &= \mathbf{r}'(t) \\
              &= (x'(t), y'(t), z'(t))\,,
\end{align}</math>

그리고 그것의 [[가속도]]는 다음과 같다.
<math display="block">\begin{align}
\mathbf{a}(t) &= \mathbf{v}'(t) = \mathbf{r}(t) \\
              &= (x(t), y(t), z(t))\,.
\end{align}</math>

===컴퓨터 지원 설계===
매개변수 방정식의 또 다른 중요한 사용은 [[컴퓨터 지원 설계]] (CAD) 분야에 있다. 예를 들어, 다음 세 가지 표현을 고려해 보자. 이들은 모두 [[평면 곡선]]을 설명하는 데 일반적으로 사용된다.



각 표현은 CAD 응용 분야에 따라 장점과 단점이 있다.

명시적 표현은 매우 복잡하거나 심지어 존재하지 않을 수도 있다. 또한, [[기하 변환]], 특히 [[회전 (기하학)|회전]]에서 잘 동작하지 않는다. 반면에, 매개변수 방정식과 음함수 방정식은 명시적 표현에서 쉽게 유도될 수 있으므로, 간단한 명시적 표현이 존재할 경우 다른 두 표현의 장점을 모두 갖는다.

음함수 표현은 곡선 위의 점을 생성하기 어렵게 만들고, 심지어 실제 점이 있는지 결정하는 것도 어렵게 만들 수 있다. 반면에, 주어진 점이 곡선 위에 있는지 또는 닫힌 곡선 내부에 있는지 외부에 있는지 결정하는 데에는 잘 적합하다.

이러한 결정은 매개변수 표현으로는 어려울 수 있지만, 매개변수 표현은 곡선 위의 점을 생성하고 이를 그리는 데 가장 적합하다.

===정수 기하학===
[[정수 삼각형]]의 수많은 문제는 매개변수 방정식을 사용하여 해결할 수 있다. 그러한 고전적인 해결책은 [[에우클레이데스]]의 [[직각삼각형]] 매개변수화로서, 변의 길이 와 빗변 가 [[서로소 정수]]이다. 와 가 둘 다 짝수는 아니므로(그렇지 않으면 와 는 서로소가 아닐 것이므로), 이들을 교환하여 가 짝수가 되도록 할 수 있으며, 그 매개변수화는 다음과 같다.

<math display="block">\begin{align}
a &= 2mn \\
b &= m^2 - n^2 \\
c &= m^2 + n^2\,,
\end{align}</math>

여기서 매개변수 과 은 모두 홀수가 아닌 양의 [[서로소 정수]]이다.

와 를 임의의 양의 정수로 곱하면 세 변의 길이가 정수인 모든 직각삼각형의 매개변수화를 얻을 수 있다.

== 과소결정 연립방정식 ==
개의 미지수가 있는 [[연립 일차 방정식]]의 [[연립 일차 방정식|개 방정식]] 시스템은 두 개 이상의 해를 가질 때 [[과소결정 연립방정식|과소결정]]된다. 이는 시스템의 [[행렬 (수학)|행렬]]과 그것의 [[첨가 행렬]]이 동일한 [[계수 (선형대수학)|계수]] 을 가지고 일 때 발생한다. 이 경우, 개의 미지수를 매개변수로 선택하고 모든 미지수를 선택된 미지수들의 [[선형 결합]]으로 표현하는 매개변수 방정식으로 모든 해를 나타낼 수 있다. 즉, 미지수가 <math>x_1, \ldots, x_n</math>이라면, 해를 표현하기 위해 이들을 재정렬할 수 있다.

<math display="block">
\begin{align}
x_1 &= \beta_1+\sum_{j=r+1}^n \alpha_{1,j}x_j\\
\vdots\\
x_r &= \beta_r+\sum_{j=r+1}^n \alpha_{r,j}x_j\\
x_{r+1} &= x_{r+1}\\
\vdots\\
x_n &= x_n.
\end{align}
</math>

이러한 매개변수 방정식을 시스템 해의 ***'이라고 한다.

해의 매개변수 형식을 계산하는 표준 방법은 가우스 소거법을 사용하여 첨가 행렬의 기약 행 사다리꼴을 계산하는 것이다. 그러면 매개변수로 사용할 수 있는 미지수는 어떤 주요 항목(즉, 행 또는 행렬에서 가장 왼쪽의 0이 아닌 항목)도 포함하지 않는 열에 해당하는 것이며, 매개변수 형식은 쉽게 유도될 수 있다.

## 같이 보기
* 곡선
* 매개변수 추정
* 위치 벡터
* 벡터 함수
* 호 길이로의 매개변수화
* 매개변수 미분

## 내용주


## 외부 링크
* Web application to draw parametric curves on the plane

분류:방정식
분류:다변수 미적분학