클레인-크라머르스 방정식

물리학과 수학에서 **[[오스카르 클레인|클레인]]–[[헨드릭 안토니 크라머르스|크라머르스]] 방정식**() 또는 때로는 **크라머르스–[[수브라마니안 찬드라세카르|찬드라세카르]] 방정식**()은 브라운 운동 입자의 위상 공간 에서 확률 밀도 함수 를 설명하는 편미분 방정식이다. 이것은 포커르-플랑크 방정식의 특수한 경우이다.

하나의 공간 차원에서 는 스칼라 , , 의 세 독립 변수의 함수이다. 이 경우 클레인-크라머르스 방정식은 다음과 같다.

\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{p}{m} \frac{\partial f}{\partial x} = \xi \frac{\partial}{\partial p} \left( p \, f \right) + \frac{\partial}{\partial p} \left( \frac{dV}{dx} \, f \right) + m\xi k_{\mathrm{B}} T \, \frac{\partial^2 f}{\partial p^2}

여기서 는 외부 포텐셜, 은 입자 질량, 는 마찰(항력) 계수, 는 온도, 는 볼츠만 상수이다.  공간 차원에서의 방정식은 다음과 같다.

\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{m} \mathbf{p} \cdot \nabla_{\mathbf{r}} f = \xi \nabla_{\mathbf{p}} \cdot \left( \mathbf{p} \, f \right) + \nabla_{\mathbf{p}} \cdot \left( \nabla V(\mathbf{r}) \, f \right) + m \xi k_{\mathrm{B}} T \, \nabla_{\mathbf{p}}^2 f

여기서 \nabla_{\mathbf{r}} 및 \nabla_{\mathbf{p}}는  및 에 대한 경사 연산자이며, \nabla_{\mathbf{p}}^2는 에 대한 라플라시안이다.

**분수 클레인-크라머르스 방정식**()은 분수계 미적분학을 통해 이상 확산을 통합하는 일반화이다.

## 물리적 근거
클레인-크라머르스 방정식의 물리적 모델은 과소 감쇠 브라운 입자이다. 과대 감쇠 브라운 운동인 표준 브라운 운동과 달리, 과소 감쇠 브라운 운동은 마찰을 유한하게 취하며, 이 경우 운동량은 독립적인 자유도가 된다.

수학적으로, 입자의 상태는 위치 과 운동량 로 기술되며, 이는 랑주뱅 방정식에 따라 시간에 따라 진화한다.

\begin{align}
\dot{\mathbf{r}} &= \frac{\mathbf{p}}{m}  \\
\dot{\mathbf{p}} &= -\xi \, \mathbf{p} - \nabla V(\mathbf{r}) + \sqrt{2 m \xi k_{\mathrm{B}} T} \boldsymbol{\eta}(t), \qquad \langle \boldsymbol{\eta}^{\mathrm{T}}(t) \boldsymbol{\eta}(t') \rangle = \mathbf{I} \delta(t-t')
\end{align}

여기서 \boldsymbol{\eta}(t)는 온도 의 배경 매질에서 의 열적 요동을 모델링하는 -차원 가우스 백색 잡음이다. 이 방정식은 뉴턴의 운동 제2법칙과 유사하지만, 잡음 항 \boldsymbol{\eta}(t) 때문에 결정론적이 아닌 추계학적("무작위")이다.

동역학은 또한 확률 밀도 함수 로 설명될 수 있으며, 이는 시간 에 입자가 위치 에 있고 운동량 를 가질 확률을 나타낸다. 랑주뱅 방정식에서 나오는 추계학적 궤적들을 평균함으로써, 가 클레인-크라머르스 방정식을 따른다는 것을 보일 수 있다.

## 자유 공간에서의 해
-차원 자유 공간 문제는 힘을 0으로 설정하고, 무한대에서 0으로 감소하는 \mathbb{R}^{\mathrm{d}}에서의 해, 즉 일 때 인 해를 고려한다.

점원 초기 조건인 1D 자유 공간 문제, 의 경우, 와 에 대한 이변량 가우스 분포인 해는 수브라마니안 찬드라세카르가 1943년에 풀었다 (그는 또한 퍼텐셜이 존재하는 문제들을 풀기 위한 일반적인 방법론을 고안했다):

\begin{align}
f(x,p,t) =
      \frac{1}{2 \pi  \sigma_X \sigma_P \sqrt{1-\beta^2}}
      \exp\left(
        -\frac{1}{2(1-\beta^2)}\left[
          \frac{(x-\mu_X)^2}{\sigma_X^2} +
          \frac{(p-\mu_P)^2}{\sigma_P^2} -
          \frac{2\beta(x-\mu_X)(p-\mu_P)}{\sigma_X \sigma_P}
        \right]
      \right),
\end{align}

여기서

\begin{align}
&\sigma^2_X = \frac{k_{\mathrm{B}} T}{m \xi^2} \left[1 + 2 \xi t -  \left(2 - e^{-\xi t}\right)^2 \right]; \qquad  \sigma^2_P = m k_{\mathrm{B}} T \left(1 - e^{-2 \xi t} \right) \\[1ex]
&\beta = \frac{k_\text{B} T}{\xi \sigma_X \sigma_P} \left(1 - e^{-\xi t}\right)^2 \\[1ex]
&\mu_X = x' + (m \xi)^{-1} \left(1 - e^{-\xi t} \right) p' ; \qquad \mu_P = p' e^{-\xi t}.
\end{align}

이 특수 해는 그린 함수 로도 알려져 있으며, 일반 해, 즉 일반적인 초기 조건 에 대한 해를 구성하는 데 사용될 수 있다:

f(x, p, t) = \iint G(x, x', p, p', t) f(x',p',0) \, dx' dp'

유사하게, 점원 초기 조건인 3D 자유 공간 문제 는 다음과 같은 해를 갖는다.

\begin{align}
f(\mathbf{r}, \mathbf{p}, t) = \frac{1}{\left(2 \pi \sigma_X \sigma_P \sqrt{1 - \beta^2}\right)^3} \exp\left[-\frac{1}{2(1-\beta^2)} \left( \frac{|\mathbf{r} - \boldsymbol{\mu}_X|^2}{\sigma_X^2} +  \frac{|\mathbf{p} - \boldsymbol{\mu}_P|^2}{\sigma_P^2} -  \frac{2 \beta (\mathbf{r} - \boldsymbol{\mu}_X) \cdot (\mathbf{p} - \boldsymbol{\mu}_P)}{\sigma_X \sigma_P} \right) \right]
\end{align}

여기서 \boldsymbol{\mu}_X = \mathbf{r'} + (m \xi)^{-1}(1-e^{-\xi t}) \mathbf{p'}, \boldsymbol{\mu}_P = \mathbf{p'}e^{-\xi t}이며, \sigma_X와 \sigma_P는 1D 해와 같이 정의된다.

### 점근적 행동
특정 조건에서 자유 공간 클레인-크라머르스 방정식의 해는 확산 과정처럼 점근적으로 행동한다. 예를 들어,

\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,p,0) \, dp \, dx 
이면 밀도 \Phi(x,t) \equiv \int_{-\infty}^{\infty} f(x,p,t) \, dp는 다음을 만족한다.

\frac{\Phi(x,t) - \Phi_D(x,t)}{\Phi_D(x,t)} = \mathcal{O}\left(\frac{1}{t} \right) \quad \text{as } t \rightarrow \infty

여기서 \Phi_D(x,t) = (\sqrt{2 \pi t} \sigma_X^2)^{-1/2} \exp \left[-x^2/(2 \sigma_X^2 t) \right]는 확산 방정식의 자유 공간 그린 함수이다.

## 경계 근처에서의 해
클레인-크라머르스 방정식의 1D, 시간에 무관한, 힘이 없는 () 버전은 반무한 또는 유계 영역에서 변수분리법으로 풀 수 있다. 해는 일반적으로 공간적으로 빠르게 변하고 경계 자체에서는 비해석적인 경계층을 형성한다.

잘 설정된 문제는  영역의 절반에만 경계 데이터를 규정한다: 왼쪽 경계에서는 양의 절반 (), 오른쪽 경계에서는 음의 절반 ()이다. 에서 정의된 반무한 문제의 경우 경계 조건은 다음과 같이 주어질 수 있다.

\begin{align}
&f(0, p) =\left\{
\begin{array}{cc}
g(p) & p > 0 \\
\text{unspecified} & p 
일부 함수 에 대해.

점원 경계 조건의 경우, 해는 무한 합과 곱으로 정확한 표현을 갖는다. 여기서 결과는 클레인-크라머르스 방정식의 무차원 버전에 대해 기술된다.

w \frac{\partial f(z,w)}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial w}\left[ w f(z,w) \right] + \frac{\partial^2 f(z,w)}{\partial w^2}

이 표현에서 길이와 시간은 \ell = \sqrt{k_B T/(m \xi^2)} 및 \tau = \xi^{-1} 단위로 측정되며, z \equiv x/\ell 및 w \equiv p/(m \ell \xi)는 모두 무차원이다. 에서의 경계 조건이 이고, 여기서 이면, 해는 다음과 같다.

f(x, w) = \frac{w_0 e^{-w^2/2}}{\sqrt{2 \pi}} \left[w_0 - \zeta\left(\frac{1}{2}\right) - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{G_{-n}(w_0)}{2nQ_n} + \sum_{n=1}^{\infty} S_n(w_0) G_n(w) e^{-\sqrt{n} z} \right]

여기서

\begin{align}
G_{\pm n}(w) &= (-1)^{n} 2^{-n/2} e^{-n} (n!)^{-1/2} e^{\pm \sqrt{n} w} H_n\left(\frac{w}{\sqrt{2}} \mp \sqrt{2 n} \right), \qquad n = 1, 2, 3, \ldots \\[1ex]
S_n(w_0) &= \frac{G_n(w_0)}{2 \sqrt{2}} - \frac{1}{2n Q_n} - \sum_{m=1}^{\infty} \frac{G_{-m}(w_0)}{4 \left(m \sqrt{n} + \sqrt{m} n \right) Q_m Q_n} \\[2ex]
Q_n &= \lim_{N \to \infty} \sqrt{n!(N-1)!} \; e^{2\sqrt{N n}} \left[\prod_{r=0}^{N+n-1} \left(\sqrt{r} + \sqrt{n} \right) \right]^{-1}
\end{align}

이 결과는 위너-호프 방법으로 얻을 수 있다. 그러나 이 표현의 실제 사용은 계열의 느린 수렴, 특히  값이 0에 가까울 때 제한적이다.

## 같이 보기
* 포커르-플랑크 방정식
* 오른슈타인-울렌벡 과정
* 위너 확률 과정
* 선형 수송 이론
* 중성자 수송

## 각주

분류:편미분 방정식