단단한 해석 공간

수학에서 **단단한 해석 공간**()은 비아르키메데스 체에 대한 복소 해석 공간과 비슷하다. 이러한 공간은 1962년 존 테이트에 의해 곱셈 군을 사용하여 잘못된 축소로 *p진* 타원 곡선을 균일화하는 작업의 결과로 도입되었다. ''p''진 해석 다양체의 고전적 이론과 대조적으로, 단단한 해석 공간은 해석적 연속과 연결성에 대한 의미 있는 개념을 허용한다.

## 정의
기본 단단한 해석적 대상은 n차원 단위 다중 원판이며, 그 함수의 환은 테이트 대수이다. T_n, 완전한 비아르키메데스 체 *<math>k</math>*에서 계수가 0에 접근하는 n변수의 거듭제곱 급수로 구성된다. 테이트 대수는 가우스 노름(계수들의 상한) 하에서 *<math>n</math>* 변수 다항식 환를 완성한 것이며, 다중 원판은 대수기하학에서 아핀 ''n'' 공간의 역할과 비슷하다. 다중원판의 점은 테이트 대수에서 극대 이데알로 정의되며, *<math>k</math>가* 대수적으로 닫혀있으면 이는 k^n의 점에 해당한다. 그 좌표는 최대 1의 크기를 갖는다.

아피노이드 대수는 이데알에 의해 테이트 대수의 몫과 동형인 *<math>k</math>*- 바나흐 대수이다. 그러면 아피노이드는 이 이데알의 원소가 사라지는 단위 다중원판의 부분 집합이다. 즉, 문제의 이데알을 포함하는 최대 이데알의 집합이다. 아피노이드에 대한 위상은 *아피노이드 부분 도메인* (아피노이드 대수의 사상과 관련된 보편 성질을 충족)및 *허용 가능한 열린 집합* (아피노이드 부분 도메인에 의한 덮개에 대한 유한 조건을 충족)의 개념을 사용하여 미묘하다. 실제로, 아피노이드에서 허용되는 열린 부분은 일반적으로 위상 공간의 구조를 부여하지 않지만 그로텐디크 위상 (*G-* 위상이라고 함)을 형성하며 이를 통해 층과 공간의 이어붙이기에 대한 좋은 개념을 정의할 수 있다.

*<math>k</math>*에 대한 단단한 해석 공간은 쌍 (X, \mathcal{O}_X)이다.  아피노이드와 동형인 열린 부분 공간으로 덮혀 있는 *<math>k</math>*- 대수 층으로 *G-*위상화된 국소 환 달린 공간을 설명한다. 이는 유클리드 공간과 동형인 열린 부분 집합으로 다양체를 다룰 수 있다는 개념이나 스킴이 아핀 스킴으로 덮인다는 개념과 유사하다. *<math>k</math>*에 대한 스킴은 함자적으로 해석화 될 수 있다. 복소 variety를 복소 해석 공간으로 볼 수 있는 것과 마찬가지로 유사한 형식적 GAGA 정리가 있다. 해석 함자는 유한 극한을 존중한다.

## 기타 공식화
1970년경, Michel Raynaud는 특정 단단한 해석 공간을 형식 모형, 즉 *<math>k</math>*의 값매김 환 R에 대한 형식 스킴의 일반적인 올로 해석했다. 특히, 그는 *<math>k</math>*에 대한 준콤팩트 준분리 단단한 공간의 범주가 허용 가능한 형식적 부풀림과 관련하여 R에 대한 준콤팩트 허용 가능한 형식 스킴 범주의 국소화와 동일하다는 것을 보여주었다. 여기서, 국소 환이 *<math>R</math>-* 평탄인 위상적으로 유한 표현된 *<math>R</math>* 대수의 형식 스펙트럼으로 처리할 수 있는 경우 형식 스킴이 허용된다.

형식 모형은 유일성 문제로 어려움을 겪는다. 확대를 통해 동일한 단단한 공간을 설명하는 하나 이데알의 형식 스킴이 허용되기 때문이다. 후버는 모든 폭발에 대해 한계를 두어 이 문제를 해결하기 위해 *adic 공간* 이론을 고안했다. 이러한 공간은 준콤팩트하고 준분리되어 있으며 단단한 공간에서 함자적이지만 훌륭한 위상학적 특성이 많이 부족하다.

Vladimir Berkovich는 가환 단위 ''C*'' 대수에 대한 겔판트 스펙트럼 개념의 일반화를 사용하여 1980년대 후반에 단단한 해석 공간 이론의 대부분을 재구성했다. 바나흐 *<math>k</math>*-대수 *<math>A</math>*의 베르코비치 스펙트럼은 *<math>k</math>*에 대해 주어진 노름에 대해 경계가 있는 *<math>A</math>*에 대한 곱셈 준노름 집합이며, *<math>A</math>*의 원소에 대한 이러한 준노름을 평가하여 유도된 위상을 갖는다. 위상이 실수 직선으로부터 당김이기 때문에 Berkovich 스펙트럼은 콤팩트성, 경로 연결성 및 거리화 가능성과 같은 많은 좋은 특성을 갖다. 많은 환론 성질이 스펙트럼의 위상에 반영된다. 예를 들어 *<math>A</math>*가 데데킨트 정역인 경우 해당 스펙트럼은 수축 가능하다. 그러나 아주 기본적인 공간조차도 다루기 힘든 경향이 있다 &#x2013; **<math>\C_p</math>**에 대한 사영직선은 **<math>\mathrm{PGL}_2(F)</math>**에 대한 아핀 Bruhat-Tits 건물의 귀납 극한을 콤팩트화 한 것이다. *F는* **<math>\Q_p</math>**의 유한 확대에 따라 달라지기 때문에 적절하게 거친 위상이 제공된다.

## 같이 보기
* 단단한 코호몰로지

## 참고 문헌
* *Non-Archimedean analysis* by S. Bosch, U. Güntzer, R. Remmert 
* Brian Conrad Several approaches to non-archimedean geometry lecture notes from the Arizona Winter School
* *Rigid Analytic Geometry and Its Applications* (Progress in Mathematics) by Jean Fresnel, Marius van der Put 
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* Éléments de Géométrie Rigide. Volume I. Construction et étude géométrique des espaces rigides (Progress in Mathematics 286) by Ahmed Abbes, 
* Michel Raynaud, *[http://archive.numdam.org/ARCHIVE/MSMF/MSMF_1974__39-40_/MSMF_1974__39-40__319_0/MSMF_1974__39-40__319_0.pdf Géométrie analytique rigide d’après Tate, Kiehl,. . .]* Table ronde d’analyse non archimidienne, Bull. Soc. Math. Fr. Mém. 39/40 (1974), 319-327.

## 외부 환크

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분류:대수적 수론