헨스톡-쿠르츠바일 적분

수학에서 **헨스톡-쿠르츠바일 적분**(Henstock–Kurzweil integral)은 함수의 적분에 대한 여러 비등가적인 정의 중 하나이다. 이는 리만 적분의 일반화이며, 어떤 상황에서는 르베그 적분보다 더 일반적이다. 특히,  \R^n 의 부분 집합 위에서 함수가 르베그 적분 가능하려면 함수와 그 절댓값이 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능해야 한다.

이 적분은 아르노 당주아(1912)에 의해 처음 정의되었다. 당주아는 다음과 같은 함수를 적분할 수 있는 정의에 관심을 가졌다.

f(x) = \frac{1}{x}\sin\left(\frac{1}{x^3}\right).

이 함수는 0에서 특이점을 가지며 르베그 적분 가능하지 않다. 그러나 구간 [-\varepsilon, \delta]를 제외하고 적분을 계산한 다음 \varepsilon, \delta \rightarrow 0으로 보내는 것이 자연스러워 보인다.

일반적인 이론을 만들려고 시도하면서 당주아는 가능한 특이점 유형에 대한 초한 귀납법을 사용하여 정의를 상당히 복잡하게 만들었다. 다른 정의는 니콜라이 루진(절대 연속 측도 개념의 변형을 사용)과 연속 상위 함수 및 하위 함수에 관심이 있던 오스카 페롱에 의해 제시되었다. 페롱 적분과 당주아 적분이 실제로 동일하다는 것을 이해하는 데 시간이 걸렸다.

이후 1957년, 체코의 수학자 야로슬라프 쿠르츠바일은 이 적분에 대한 새로운 정의를 발견했는데, 이는 리만의 원래 정의와 우아하게 유사하며 쿠르츠바일은 이를 **게이지 적분**이라고 명명했다. 1961년 랄프 헨스톡은 페롱 적분에 대한 워드의 확장에 대한 자신의 연구를 인용하며 독립적으로 유사한 적분을 도입하여 이론을 확장했다. 이 두 가지 중요한 기여로 인해 현재는 일반적으로 **헨스톡-쿠르츠바일 적분**으로 알려져 있다. 쿠르츠바일 정의의 단순성 때문에 일부 교육자들은 이 적분이 초급 미적분학 과정에서 리만 적분을 대체해야 한다고 주장했다.

## 정의
에 따르면, [a, b]의 태그된 분할 \mathcal{P}가 주어졌을 때, 즉,
a = u_0 
각 부분 구간의 태그가 점으로 정의되면
t_i \in [u_{i-1}, u_i],
함수 f \colon [a, b] \to \mathbb{R}에 대한 리만 합은 다음과 같이 정의된다.
\sum_P f = \sum_{i = 1}^n f(t_i) \Delta u_i.
여기서 \Delta u_i := u_i - u_{i-1}이다. 이는 각 부분 구간의 길이 에 그 부분 구간의 태그에서 평가된 함수 를 곱한 것들의 합이다.

양의 함수가 주어졌을 때
\delta \colon [a, b] \to (0, \infty),
이를 게이지라고 부르며, 태그된 분할 P가 \delta-미세하다고 하는 것은 다음을 만족할 때이다.
(\forall i \in \{1, \dots, n\}) \ (\ [u_{i-1}, u_i] \subset [t_i-\delta(t_i), t_i + \delta (t_i)]).

이제 수 를 의 헨스톡-쿠르츠바일 적분이라고 정의하는 것은 모든 에 대해 게이지 \delta가 존재하여 가 \delta-미세할 때마다 다음을 만족하는 경우이다.
 \left \vert I - \sum_P f \right \vert 

만약 그러한 가 존재한다면, 는 [a, b]에서 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능하다고 말한다.

Cousin's theorem은 모든 게이지 \delta에 대해 그러한 \delta-미세 분할 P가 존재한다고 명시하므로, 이 조건은 무의미하게 만족될 수 없다. 리만 적분은 상수 게이지만 허용하는 특수한 경우로 간주될 수 있다.

## 성질

f: [a, b] \to \mathbb{R}가 임의의 함수라고 하자.

a 가 주어졌을 때, f가 [a, b]에서 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능할 필요충분조건은 [a, c]와 [c, b] 모두에서 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능하다는 것이다. 이 경우 ,
\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx.

헨스톡-쿠르츠바일 적분은 선형이다. 적분 가능한 함수 f와 g 그리고 실수 \alpha와 \beta가 주어졌을 때, \alpha f + \beta g는 적분 가능하다 . 예를 들어,
\int_a^b \left(\alpha f(x) + \beta g(x)\right) dx = \alpha \int_a^bf(x)\,dx + \beta \int_a^b g(x)\,dx.

만약 f가 리만 또는 르베그 적분 가능하면, 헨스톡-쿠르츠바일 적분도 가능하며, 이 세 가지 공식 모두에서 동일한 결과를 얻는다. 중요한 Hake's theorem 은 다음을 명시한다.
\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{c\to b^-} \int_a^c f(x)\,dx

이 방정식의 어느 한 쪽이 존재할 때마다, 그리고 아래쪽 적분 경계에 대해서도 대칭적으로 마찬가지이다. 이는 f가 "이상 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능"하면, 적절히 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능하다는 것을 의미한다. 특히, 다음과 같은 유형의 이상 리만 또는 르베그 적분은
\int_0^1 \frac{\sin(1/x)}x\,dx

또한 적절한 헨스톡-쿠르츠바일 적분이다. 유한 경계를 가진 "이상 헨스톡-쿠르츠바일 적분"을 연구하는 것은 의미가 없을 것이다. 그러나 무한 경계를 가진 이상 헨스톡-쿠르츠바일 적분을 고려하는 것은 의미가 있다.
\int_a^{\infty} f(x)\,dx := \lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx.

많은 유형의 함수에 대해 헨스톡-쿠르츠바일 적분은 르베그 적분보다 더 일반적이지 않다. 예를 들어, 가 유계이고 콤팩트 지지 집합을 가지면 다음은 동등하다.
*는 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능,
*는 르베그 적분 가능,
*는 르베그 가측이다.
일반적으로 모든 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능한 함수는 가측이며, f가 르베그 적분 가능할 필요충분조건은 f와 | f | 모두 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능하다는 것이다. 이는 헨스톡-쿠르츠바일 적분이 "비절대 수렴 르베그 적분"으로 생각될 수 있음을 의미한다. 또한 헨스톡-쿠르츠바일 적분이 단조 수렴 정리 (함수가 음이 아닐 필요 없음) 및 지배 수렴 정리 (지배 조건이 일부 적분 가능한 g, h에 대해 로 완화됨)의 적절한 버전을 만족함을 의미한다.

만약 F가 모든 곳에서 (또는 가산 개의 예외를 제외하고) 미분 가능하면, 도함수 F'는 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능하며, 그 부정 헨스톡-쿠르츠바일 적분은 F이다. (참고로 F'는 르베그 적분 가능할 필요는 없다.) 즉, 우리는 미적분학의 제2 기본 정리의 더 간단하고 만족스러운 버전을 얻는다. 각 미분 가능한 함수는 상수를 제외하고 그 도함수의 적분이다.
F(x)-F(a) = \int_a^x F'(t) \,dt.

역으로, 르베그 미분가능성 정리는 헨스톡-쿠르츠바일 적분에도 계속 적용된다. 만약 f가 [a, b]에서 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능하고,

F(x) = \int_a^x f(t)\,dt,

이면 F'(x) = f(x)는 [a, b]에서 거의 어디서나 성립한다 (특히 F는 거의 어디서나 미분 가능하다).

모든 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능한 함수들의 함수 공간은 종종 알렉시에비츠 노름으로 부여되며, 이에 대해 배럴 공간이지만 불완비이다.

## 유용성
게이지 적분은 리만 적분과 비교했을 때 증가된 유용성을 가진다. 즉, 가산 집합의 점 C = \{c_i: i \in \N\}을 제외하고는 상수 값 c를 가지는 임의의 함수 f: [a, b] \mapsto \mathbb{R}에 대한 게이지 적분을 계산할 수 있다. 예를 들어, 구간별 정의 함수를 고려하자.
f(t) = \begin{cases}
  0, & \text{if } t \in [0,1] \text{ and rational,}\\
  1, & \text{if } t \in [0,1] \text{ and irrational}
\end{cases}
이는 구간 [0,1]에서 디리클레 함수의 1에서 뺀 값과 같다.

이 함수는 \delta-미세 태그된 분할의 매핑 특성으로 인해 f(x)의 변화하는 값을 캡슐화할 만큼 구간 [u_{i-1}, u_i]를 충분히 작게 만들 수 없으므로 리만 적분을 사용하여 적분하는 것은 불가능하다.

위에서 설명한 유형의 적분 값은 c(b-a)와 같다. 여기서 c는 함수의 상수 값이고, a, b는 함수의 끝점이다. 이를 증명하기 위해, \varepsilon > 0가 주어졌다고 가정하고, 태그 z_j와 구간 J_j를 가지는 [0, 1]의 \delta-미세 태그된 분할을 D = \{(z_j, J_j): 1 \leq j \leq n\}라고 하자. 그리고 f(t)를 위에서 설명한 구간별 정의 함수라고 하자. 다음을 고려하자.
\left|\sum f(z_j) l(J_j) - 1(1-0)\right| = \left|\sum [f(z_j)-1] l(J_j)\right|
여기서 l(J_j)는 구간 J_j의 길이를 나타낸다. 모든 구간 J_j의 길이의 연속적인 차이의 합이 구간의 길이 (또는 (1-0))와 같으므로 이 등가성이 확립된다는 점에 유의하자.

게이지 적분의 정의에 따라, 우리는 위의 방정식이 주어진 \varepsilon보다 작다는 것을 보여야 한다. 이는 두 가지 경우로 이어진다.

**경우 1: <math>z_j \notin C</math>** (D의 모든 태그가 무리수인 경우):

태그된 분할 D의 태그 중 유리수가 없는 경우, f(t)의 정의에 따라 f(z_j)는 항상 1이 되므로 f(z_j)-1 = 0이 된다. 이 항이 0이면, 어떤 구간 길이에 대해서도 다음 부등식이 성립한다.
\left|\sum [f(z_j)-1] l(J_j)\right| \leq \varepsilon,

따라서 이 경우, f(t)의 적분은 1이다.

**경우 2: <math>z_k = c_k</math>** (D의 일부 태그가 유리수인 경우):

D의 태그가 유리수이면, 그 점에서 평가된 함수는 0이 되어 문제가 발생한다. D가 \delta-미세하다는 것을 알고 있으므로, 다음 부등식이 성립한다.
\left|\sum [f(z_j)-1] l(J_j)\right| \leq \left|\sum [f(z_j)-1] l(\delta(c_k))\right|
이는 임의의 구간 J_j의 길이가 \delta-미세하다는 정의에 의해 그 커버링보다 짧기 때문이다. 만약 우리가 부등식의 오른쪽에서 게이지 \delta를 구성할 수 있다면, 적분이 존재하기 위한 기준이 충족됨을 보여줄 수 있다.

이를 위해, \gamma_k = \varepsilon / [f(c_k)-c]2^{k+2}라고 하고 우리의 커버링 게이지를 \delta(c_k) = (c_k - \gamma_k, c_k + \gamma_k)라고 설정하면, 다음이 된다.
\left|\sum [f(z_j)-c]l(J_j)\right| 

여기서부터 다음을 얻는다.
\left|\sum [f(z_j)-1] l(J_j)\right| \leq 2\sum \varepsilon / 2^{k+1} = \varepsilon

왜냐하면
2\sum 1 / 2^{k+1} = 1
등비급수이기 때문이다. 이는 이 경우, f(t)의 적분은 1임을 나타낸다.

경우 1과 2는 상호 배타적이므로, 이는 f(t)의 적분이 1이며 위 섹션의 모든 속성이 성립함을 보여준다.

## 맥셰인 적분
선 위의 르베그 적분도 비슷한 방식으로 제시될 수 있다.

위의 헨스톡-쿠르츠바일 적분 정의에서 다음 조건을 삭제하면

t_i \in [u_{i-1}, u_i],

맥셰인 적분의 정의를 얻게 되며, 이는 르베그 적분과 동등하다. 다음 조건은 여전히 적용된다는 점에 유의하자.

\forall i \ \ [u_{i-1}, u_i] \subset [t_i-\delta(t_i), t_i + \delta (t_i)]

그리고 기술적으로 f(t_i)가 정의되려면 t_i \in [a,b]도 요구된다.

## 같이 보기
* 코시 주요값

## 각주
### Footnotes

### General
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* A Modern Integration Theory in 21st Century
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## 외부 링크
다음은 더 많은 학습을 위한 웹상의 추가 자료이다.
* 
* An Introduction to The Gauge Integral
* An Open Suggestion: To replace the Riemann integral with the gauge integral in calculus textbooks Bartle, Henstock, Kurzweil, Schechter, Schwabik, 및 Výborný 서명

분류:수학 용어