스톤-바이어슈트라스 정리

수학적 해석학에서 **바이어슈트라스 근사 정리**(Weierstrass approximation theorem)는 닫힌 구간 에서 정의된 모든 연속 함수는 다항식 함수에 의해 원하는 만큼 가깝게 균등하게 근사될 수 있다고 명시한다. 다항식은 가장 단순한 함수 중 하나이며, 컴퓨터가 다항식을 직접 평가할 수 있기 때문에 이 정리는 특히 다항식 보간법에서 실용적이고 이론적인 중요성을 갖는다. 이 결과의 원래 버전은 카를 바이어슈트라스가 1885년 바이어슈트라스 변환을 사용하여 확립했다.

마셜 하비 스톤은 이 정리를 상당히 일반화하고 증명을 단순화했다. 그의 결과는 **스톤-바이어슈트라스 정리**(Stone–Weierstrass theorem)로 알려져 있다. 스톤-바이어슈트라스 정리는 바이어슈트라스 근사 정리를 두 가지 방향으로 일반화한다. 실수 구간  대신 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 를 고려하고, 다항 함수들의 대수 대신 X 상의 다양한 다른 연속 함수족이 충분하다는 것을 보여준다. 이는 아래에 자세히 설명되어 있다. 스톤-바이어슈트라스 정리는 콤팩트 하우스도르프 공간 상의 연속 함수 대수 연구에 중요한 결과이다.

또한, 스톤-바이어슈트라스 정리를 비콤팩트 티호노프 공간으로 일반화한 버전이 있다. 즉, 티호노프 공간 상의 모든 연속 함수는 스톤-바이어슈트라스 정리에 나타나고 아래에 설명된 유형의 대수에 의해 콤팩트 집합 상에서 균등하게 근사된다.

바이어슈트라스의 원래 정리의 또 다른 일반화는 메르게리안의 정리로, 복소평면의 특정 부분집합에 정의된 함수로 일반화한다.

## 바이어슈트라스 근사 정리
바이어슈트라스가 처음 발견한 근사 정리의 진술은 다음과 같다.

베른슈타인 다항식을 사용한 이 정리의 구성적 증명은 해당 페이지에 설명되어 있다.

### 근사 오차
미분 가능한 함수에 대해 잭슨 부등식은 주어진 차수의 다항식에 의한 근사의 오차를 제한한다. 만약 f가 연속적인 k차 도함수를 가진다면, 모든 n\in\mathbb N에 대해 차수가 최대 n인 다항식 p_n이 존재하여 \lVert f-p_n\rVert \leq \frac\pi 2\frac 1{(n+1)^k} \lVert f^{(k)}\rVert가 성립한다.

그러나 f가 단순히 연속인 경우, 근사의 수렴은 다음과 같은 의미에서 임의로 느릴 수 있다. 0으로 감소하는 양의 실수 수열 (a_n)_{n\in\mathbb N}에 대해 차수가 최대 n인 모든 다항식 p에 대해 \lVert f-p\rVert > a_n인 함수 f가 존재한다.

### 응용
바이어슈트라스 근사 정리의 결과로, 공간 가 분해 가능하다는 것을 보일 수 있다. 다항 함수는 조밀하며, 각 다항 함수는 유리수 계수를 가진 다항식에 의해 균등하게 근사될 수 있다. 유리 계수를 가진 다항식은 가산 개만 존재한다. 가 거리화 가능하고 분해 가능하므로, 의 농도는 최대 이다. (참고: 이 농도 결과는 실수 상의 연속 함수가 유리수 제한에 의해 유일하게 결정된다는 사실에서도 도출된다.)

## 스톤-바이어슈트라스 정리, 실수 버전
 상의 연속 실함수 집합 는 최고값 노름 과 함께 바나흐 대수이다 (즉, 결합 대수이자 가 모든 에 대해 성립하는 바나흐 공간이다). 모든 다항 함수의 집합은 의 부분대수를 형성하며 (즉, 함수 곱셈에 대해 닫힌 의 벡터 부분 공간이다), 바이어슈트라스 근사 정리의 내용은 이 부분대수가 에서 조밀하다는 것이다.

스톤은 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 에서 시작하여 최고값 노름으로 유도된 위상과 함께  상의 실수 값 연속 함수 대수 를 고려한다. 그는 조밀한 의 부분대수를 찾고자 한다. 부분대수가 만족해야 할 결정적인 속성은 점을 분리한다는 것이다. 에 정의된 함수 집합 는 의 서로 다른 두 점 와 에 대해 인 함수 가 에 존재하면 점을 분리한다고 말한다. 이제 다음과 같이 진술할 수 있다.

이는 의 다항식이 상수를 포함하고 점을 분리하는 의 부분대수를 형성하기 때문에 바이어슈트라스의 원래 진술을 함축한다.

### 국소 콤팩트 버전
스톤-바이어슈트라스 정리의 버전은 가 단순히 국소 콤팩트일 때도 성립한다. 를 무한대에서 소멸하는  상의 실수 값 연속 함수 공간이라고 하자. 즉, 연속 함수 는 모든 에 대해 에서 인 콤팩트 집합 가 존재하면 에 속한다. 다시 말해, 는 최고값 노름을 가진 바나흐 대수이다. 의 부분대수 는 의 모든 원소가 한 점에서 동시에 소멸하지 않으면 **어디에서도 소멸하지 않는다**고 말한다. 즉, 의 모든 에 대해 인 의 어떤 가 존재한다. 이 정리는 다음과 같이 일반화된다.

이 버전은 가 콤팩트인 경우 이전 버전을 분명히 함축한다. 이 경우 이기 때문이다. 국소 콤팩트성 가정을 완화하는 스톤-바이어슈트라스 정리의 더 일반적인 버전도 있다.

### 응용
스톤-바이어슈트라스 정리는 바이어슈트라스의 결과를 넘어서는 다음 두 진술을 증명하는 데 사용될 수 있다.
*  집합에 정의된 연속 실수 값 함수 와 이 있다면, 모든 의 와 의 에 대해 인 두 변수 다항 함수 가 존재한다.
* 와 가 두 개의 콤팩트 하우스도르프 공간이고 가 연속 함수라면, 모든 에 대해 과  상의 연속 함수  및  상의 연속 함수 이 존재하여 가 성립한다.

## 스톤-바이어슈트라스 정리, 복소수 버전
조금 더 일반적인 것은 다음 정리이다. 여기서는 콤팩트 공간 X 상의 복소수 값 연속 함수 대수 C(X, \Complex)를 다시 균등 수렴 위상과 함께 고려한다. 이것은 점별 복소 켤레에 의해 주어진 *-연산을 가진 가환 C* 대수이다.

S에 의해 생성된 복소 단위 대합 대수는 S의 원소들로부터 상수 함수 을 추가하고, 더하고, 곱하고, 켤레를 취하고, 복소 스칼라를 곱하는 과정을 유한 번 반복하여 얻을 수 있는 모든 함수들로 구성된다.

이 정리는 실수 버전을 함축한다. 복소수 값 함수의 망이 주어진 함수로 균등하게 근사되면, f_n\to f일 때 해당 함수의 실수 부분이 그 함수의 실수 부분으로 균등하게 근사되고, \operatorname{Re}f_n\to\operatorname{Re}f이며, 실수 부분집합의 경우 S\subset C(X,\Reals)\subset C(X,\Complex), 생성된 복소 단위 (자가 수반) 대수의 실수 부분을 취하는 것은 생성된 실수 단위 대수와 일치하기 때문이다.

실수 경우와 마찬가지로, 이 정리의 유사한 버전이 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에 대해서도 성립한다.

다음은 이 복소수 버전의 응용이다.
* 푸리에 급수: 함수 의 선형 결합 집합은 에서 조밀하다. 여기서 구간 의 끝점을 식별하여 원을 얻는다. 이의 중요한 결과는 이  상의 제곱적분가능 함수 공간인 의 정규 직교 기저라는 것이다.

## 스톤-바이어슈트라스 정리, 쿼터니언 버전
에 따라, 콤팩트 공간  상의 쿼터니언 값 연속 함수 대수 를 다시 균등 수렴 위상과 함께 고려한다.

쿼터니언 를 q = a + ib + jc + kd 형태로 쓸 때
*그 스칼라 부분 는 실수 \frac{q - iqi - jqj - kqk}{4}이다.
마찬가지로
*의 스칼라 부분 는 실수 \frac{-qi - iq + jqk - kqj}{4}이다.
*의 스칼라 부분 는 실수 \frac{-qj - iqk - jq + kqi}{4}이다.
*의 스칼라 부분 는 실수 \frac{-qk + iqj - jqk - kq}{4}이다.

그러면 다음과 같이 진술할 수 있다.

## 스톤-바이어슈트라스 정리, C* 대수 버전
콤팩트 하우스도르프 공간 X 상의 복소수 값 연속 함수 공간, 즉 C(X, \Complex)는 단위 가환 C* 대수 \mathfrak{A}의 전형적인 예시이다. 공간 X는 약*-위상을 가진 \mathfrak{A} 상의 순수 상태 공간으로 볼 수 있다. 위 단서를 따라, 아직 해결되지 않은 스톤-바이어슈트라스 정리의 비가환 확장 버전은 다음과 같다.

1960년에 제임스 글림은 위 추측의 약한 버전을 증명했다.

는 크레인-밀만 정리와 한-바나흐 정리를 본질적으로 사용하여 비숍 정리의 짧은 증명을 제시한다. 이는 의 과정이다. 도 참조하라.

## 격자 버전
가 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 스톤의 정리의 원래 증명은 에서의 격자 개념을 사용했다. 의 부분집합 은 임의의 두 원소 에 대해 함수 도 에 속하면 격자라고 불린다. 스톤-바이어슈트라스 정리의 격자 버전은 다음과 같다.

위의 스톤-바이어슈트라스 버전은 격자 속성이 절댓값 을 사용하여 공식화될 수 있고, 이는 다시 의 다항식으로 근사될 수 있다는 것을 깨달으면 이 버전으로부터 증명될 수 있다. 정리의 변형은 max에 대해 닫힌 의 선형 부분 공간에 적용된다.

더 정확한 정보는 다음과 같다.

:가 적어도 두 개의 점을 가진 콤팩트 하우스도르프 공간이고 이 의 격자라고 가정하자. 함수 는 의 폐포에 속할 필요충분조건은 의 서로 다른 두 점 x와 y 쌍 각각에 대해 그리고 각 에 대해  및 인 어떤 이 존재한다는 것이다.

## 비숍 정리
스톤-바이어슈트라스 정리의 또 다른 일반화는 에렛 비숍에 의한 것이다. 비숍 정리는 다음과 같다.

는 크레인-밀만 정리와 한-바나흐 정리를 본질적으로 사용하여 비숍 정리의 짧은 증명을 제시한다. 이는 의 과정이다. 도 참조하라.

## 나흐빈 정리
나흐빈 정리는 매끄러운 다양체 상의 복소수 값 매끄러운 함수 대수에 대한 스톤-바이어슈트라스 정리의 유사한 버전을 제공한다. 나흐빈 정리는 다음과 같다.

## 편집 역사
1885년에는 "실변수의 임의 함수에 분석적 표현을 부여할 가능성에 관하여(On the possibility of giving an analytic representation to an arbitrary function of real variable)"라는 제목의 영어 버전 논문으로도 출판되었다. 수학자 야밀렛 퀸타나(Yamilet Quintana)에 따르면, 바이어슈트라스는 "어떤 해석 함수라도 멱급수로 표현될 수 있다고 의심했다."

## 같이 보기
* 뮌츠-새스 정리
* 베른슈타인 다항식
* 룽게 현상은 가 일부 미세하게 간격이 벌어진 에 대해 성립하는 다항식 를 찾는 것이 를 균등하게 근사하는 다항식을 찾는 데 좋지 않은 방법임을 보여준다. 예를 들어 , 160쪽, 식 (51) 이하에서 설명된 더 나은 접근 방식은 와 적절하게 선택된 다항 커널족의 합성곱을 취하여 를 균등하게 근사하는 다항식 를 구성하는 것이다.
* 메르게리안의 정리, 복소 함수에 대한 다항 근사에 관한 것.

## 내용주

## 각주
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* 얀 브링크하이스 & 블라디미르 티호미로프 (2005) Optimization: Insights and Applications, 프린스턴 대학교 출판부  .
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### 역사적 저작
바이어슈트라스의 역사적 출판물 (독일어)은 베를린 브란덴부르크 과학 아카데미의 디지털 온라인 아카이브에서 자유롭게 이용할 수 있다.

* K. Weierstrass (1885). Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1885 (II).  Erste Mitteilung (part 1) pp. 633–639, Zweite Mitteilung (part 2) pp. 789–805.

## 외부 링크
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분류:연속 함수
분류:1937년 과학
분류:1885년 과학
분류:해석학 정리