다윈 라그랑지언

**다윈 라그랑지언**(, 박물학자 찰스 다윈의 손자인 찰스 갤턴 다윈의 이름을 따서 명명됨)은 진공 상태에서 두 대전 입자 사이의 상호작용을  차수까지 기술하며, 여기서 c는 빛의 속력이다. 이는 양자역학의 출현 이전에 도출되었으며, 원자 내 전자의 고전적 전자기 상호작용에 대한 보다 상세한 조사의 결과이다. 보어 모형으로부터 전자는 빛의 속도에 가까운 속도로 움직여야 한다는 것이 알려졌다.

두 상호작용 입자에 대한 완전한 라그랑지언은 다음과 같다.
 L = L_\text{f} + L_\text{int}, 
여기서 자유 입자 부분은 다음과 같다.
 L_\text{f} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{8c^2} m_1 v_1^4 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 + \frac{1}{8c^2} m_2 v_2^4, 
상호작용은 다음으로 기술된다.
 L_\text{int} = L_\text{C} + L_\text{D}, 
여기서 가우스단위계에서의 쿨롱 상호작용은 다음과 같다.
L_\text{C} = -\frac{q_1 q_2}{r}, 
반면 다윈 상호작용은 다음과 같다.
 L_\text{D} = \frac{q_1 q_2}{r} \frac{1}{2c^2} \mathbf v_1 \cdot \left[\mathbf 1 + \hat\mathbf{r} \hat\mathbf{r}\right] \cdot \mathbf v_2. 
여기서  및 는 각각 입자 1과 2의 전하이고,  및 는 입자의 질량이며,  및 는 입자의 속도이고, 는 빛의 속력이며, 은 두 입자 사이의 벡터이고, \hat\mathbf r은  방향의 단위 벡터이다.

첫 번째 부분은 두 상대론적 입자의 자유 라그랑지언을 v에 대한 2차항까지 테일러 급수로 전개한 것이다. 다윈 상호작용 항은 한 입자가 다른 입자에 의해 생성된 자기장에 반응하기 때문에 발생한다. 의 고차항이 유지된다면, 장의 자유도를 고려해야 하며, 상호작용은 더 이상 입자들 사이에서 즉각적으로 일어난다고 볼 수 없다. 이 경우 지연 효과를 고려해야 한다.

## 진공에서의 유도
전하 q를 가진 입자가 전자기장과 상호작용하는 상대론적 라그랑지언은 다음과 같다.
 L_\text{int} = -q\Phi + \frac{q}{c} \mathbf u \cdot \mathbf A, 
여기서 는 입자의 상대론적 속도이다. 우변의 첫 번째 항은 쿨롱 상호작용을 생성한다. 두 번째 항은 다윈 상호작용을 생성한다.

쿨롱 게이지에서 벡터 퍼텐셜은 다음으로 기술된다.
 \nabla^2 \mathbf A - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} = -\frac{4\pi}{c} \mathbf J_t
여기서 횡방향 전류 는 두 번째 입자에 의해 생성된 솔레노이드 전류이다. 횡방향 전류의 발산 (벡터)은 0이다.

두 번째 입자에 의해 생성된 전류는 다음과 같다.
 \mathbf J = q_2 \mathbf v_2 \delta{\left( \mathbf r - \mathbf r_2 \right)},
이는 푸리에 변환을 가진다.
 \mathbf J\left( \mathbf k \right) \equiv \int d^3r \exp\left( -i\mathbf k \cdot \mathbf r \right) \mathbf J\left( \mathbf r \right) = q_2 \mathbf v_2 \exp\left( -i\mathbf k \cdot \mathbf r_2 \right).

전류의 횡방향 성분은 다음과 같다.
\mathbf J_t ( \mathbf k) = q_2 \left[ \mathbf 1 - \hat\mathbf{k} \hat\mathbf{k} \right] \cdot \mathbf v_2 e^{-i\mathbf k \cdot \mathbf r_2}.

다음은 쉽게 확인할 수 있다.
\mathbf k \cdot \mathbf J_t ( \mathbf k) = 0,
이는 횡방향 전류의 발산이 0일 경우에 해당한다. 우리는 \mathbf J_t ( \mathbf k ) 가 푸리에 변환된 전류 중 에 수직인 성분임을 알 수 있다.

벡터 퍼텐셜 방정식으로부터 벡터 퍼텐셜의 푸리에 변환은 다음과 같다.

 \mathbf A \left( \mathbf k \right)
 = \frac{4\pi}{c} \frac{q_2}{k^2} \left[ \mathbf 1 - \hat\mathbf{k} \hat\mathbf{k} \right] \cdot \mathbf v_2 e^{-i\mathbf k \cdot \mathbf r_2}
여기서 우리는 의 가장 낮은 차수 항만 유지했다.

벡터 퍼텐셜의 역 푸리에 변환은 다음과 같다.
\mathbf A \left( \mathbf r \right)
=\int \frac{ d^3 k}{\left ( 2 \pi \right ) ^3 } \; \mathbf A ( \mathbf k ) \;  e^{i \mathbf k \cdot \mathbf r_1}
= \frac{q_2}{2c} \frac{1}{r} \left[\mathbf 1 + \hat\mathbf{r} \hat\mathbf{r}\right] \cdot \mathbf v_2
여기서
\mathbf r = \mathbf r_1 - \mathbf r_2 
( 참조).

라그랑지언의 다윈 상호작용 항은 다음과 같다.
L_\text{D} =
\frac{q_1 q_2}{r} \frac{1}{2c^2} \mathbf v_1 \cdot
\left[\mathbf 1 + \hat\mathbf r \hat\mathbf r\right]
\cdot \mathbf v_2 
여기서 우리는 의 가장 낮은 차수 항만 다시 유지했다.

## 라그랑주 운동 방정식
입자 중 하나에 대한 운동 방정식은 다음과 같다.
 \frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \mathbf v_1} L\left( \mathbf r_1 , \mathbf v_1 \right) = \nabla_1 L\left( \mathbf r_1 , \mathbf v_1 \right) 
 \frac{d \mathbf p_1}{dt} = \nabla_1 L\left( \mathbf r_1 , \mathbf v_1 \right) 
여기서 은 입자의 운동량이다.

### 자유 입자
두 입자 간의 상호작용을 무시한 자유 입자의 운동 방정식은 다음과 같다.
\frac{d}{dt} \left[ \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{v_1^2}{c^2} \right)m_1 \mathbf v_1 \right] = 0
 \mathbf p_1 = \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{v_1^2}{c^2} \right)m_1 \mathbf v_1 

### 상호작용하는 입자
상호작용하는 입자의 경우 운동 방정식은 다음과 같다.
 \frac{d}{dt} \left[ \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{v_1^2}{c^2} \right)m_1 \mathbf v_1 + \frac{q_1}{c} \mathbf A\left( \mathbf r_1 \right) \right] =
- \nabla \frac{q_1 q_2}{r}
+ \nabla \left[ \frac{q_1 q_2}{r} \frac{1}{2c^2}
\mathbf v_1 \cdot
\left[\mathbf 1 + \hat\mathbf r \hat\mathbf r\right]
\cdot \mathbf v_2 \right] 
 \frac{d \mathbf p_1}{dt}
= \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{\mathbf r}
+ \frac{q_1 q_2}{r^2} \frac{1}{2c^2}
\left\{ \mathbf v_1 \left( { \hat\mathbf{r} \cdot \mathbf v_2} \right)
+ \mathbf v_2 \left( { \hat\mathbf{r} \cdot \mathbf v_1}\right)
- \hat\mathbf{r} \left[ \mathbf v_1 \cdot \left( \mathbf 1 +3 \hat\mathbf{r} \hat\mathbf{r}\right)\cdot \mathbf v_2\right]
 \right\} 
 \mathbf p_1 =
\left( 1 + \frac{1}{2} \frac{v_1^2}{c^2} \right)m_1\mathbf v_1
+ \frac{q_1}{c} \mathbf A\left( \mathbf r_1 \right)
\mathbf A \left( \mathbf r_1 \right) = \frac{q_2}{2c} \frac{1}{r}
\left[\mathbf 1 + \hat\mathbf r \hat\mathbf r\right]
\cdot \mathbf v_2 
\mathbf r = \mathbf r_1 - \mathbf r_2

## 진공에서 두 입자에 대한 해밀토니안
진공에서 두 입자에 대한 다윈 해밀토니안은 르장드르 변환으로 라그랑지언과 관련된다.
 H = \mathbf p_1 \cdot \mathbf v_1 + \mathbf p_2 \cdot \mathbf v_2 - L.

해밀토니안은 다음과 같다.
 H\left( \mathbf r_1 , \mathbf p_1 ,\mathbf r_2 , \mathbf p_2 \right)=
\left( 1 - \frac{1}{4} \frac{p_1^2}{m_1^2 c^2} \right) \frac{p_1^2}{2 m_1}
\; + \; \left( 1 - \frac{1}{4} \frac{p_2^2}{m_2^2 c^2} \right) \frac{p_2^2}{2 m_2}
\; + \; \frac{q_1 q_2}{r}
\; - \; \frac{q_1 q_2}{r} \frac{1}{2m_1 m_2 c^2}
\mathbf p_1\cdot
\left[\mathbf 1 + \mathbf{\hat r} \mathbf{\hat r}\right]
\cdot\mathbf p_2 .

이 해밀토니안은 두 입자 사이의 상호작용 에너지를 제공한다. 최근 입자 속도로 표현될 때 마지막 항에서 단순히 \mathbf{p} = m\mathbf{v} 를 설정하고 부호를 반전시켜야 한다고 주장되었다.

### 운동 방정식
해밀턴 운동 방정식은 다음과 같다.
 \mathbf v_1 = \frac{\partial H}{\partial \mathbf p_1} 
그리고
 \frac{d \mathbf p_1}{dt} = -\nabla_1 H ,
이는 다음을 산출한다.
 \mathbf v_1 =
\left( 1- \frac{1}{2} \frac{p_1^2}{m_1^2 c^2} \right) \frac{\mathbf p_1}{m_1}
- \frac{q_1 q_2}{2m_1m_2 c^2} \frac{1}{r}
\left[\mathbf 1 + \hat\mathbf r \hat\mathbf r\right]
\cdot \mathbf p_2
그리고
 \frac{d \mathbf p_1}{dt} = \frac{q_1 q_2}{r^2}{\hat{\mathbf r}}
\; + \; \frac{q_1 q_2}{r^2} \frac{1}{2m_1 m_2 c^2}
\left\{ \mathbf p_1 \left( { {\hat{\mathbf r}}\cdot \mathbf p_2} \right)
+ \mathbf p_2 \left( { {\hat{\mathbf r}}\cdot \mathbf p_1}\right)
- {\hat{\mathbf r}} \left[ \mathbf p_1 \cdot \left( \mathbf 1 +3 {\hat{\mathbf r}}{\hat{\mathbf r}}\right)\cdot \mathbf p_2\right]
 \right\} 

## 양자 전기역학
다윈 상호작용의 구조는 양자 전기역학에서도 명확하게 나타나며, 섭동 이론의 최저 차수에서 광자 교환에 의해 발생한다. 파동 벡터 인 사차원 운동량 를 가진 광자의 쿨롱 게이지에서의 전파 인자는 두 가지 성분을 가진다.
:  D_{00}(k) = {1\over \mathbf{k}^2} 
는 두 대전 입자 사이의 쿨롱 상호작용을 제공하고, 반면
:   D_{ij}(k) = {1\over \omega^2 - c^2\mathbf{k}^2} \left( \delta_{ij} - {k_i k_j\over \mathbf{k}^2}\right) 
는 횡방향 광자의 교환을 설명한다. 이는 편광 벡터   \mathbf{e}_\lambda 를 가지며 전하  q 와 삼차원 운동량   \mathbf{p} 를 가진 입자와  - q\sqrt{4\pi}\,\mathbf{e}_\lambda\cdot\mathbf{p}/m. 의 세기로 결합한다. 이 게이지에서는  \mathbf{e}_\lambda\cdot\mathbf{k} = 0 이므로 광자가 입자와 결합하기 전후에 입자 운동량을 사용해도 상관없다.

두 입자 사이의 광자 교환에서, 여기 필요한  v^2/c^2  정확도까지 작동하는 전파 인자에서 주파수  \omega 를  c\mathbf{k} 에 비해 무시할 수 있다. 그러면 전파 인자의 두 부분이 함께 유효 해밀토니안을 제공한다.
:  H_{int}(\mathbf{k}) = {4\pi q_1 q_2\over \mathbf{k}^2 } -  {4\pi q_1 q_2\over m_1m_2c^2 \mathbf{k}^2} \mathbf{p}_1\cdot \left( \mathbf 1 - \hat\mathbf{k} \hat\mathbf{k} \right) \cdot \mathbf{p}_2 
는 **k**-공간에서의 상호작용에 대한 것이다. 이는 이제 고전적 결과와 동일하며 이 유도에서 사용된 양자 효과의 흔적은 없다.

디랙 입자와 스핀 이 결합할 때도 유사한 계산을 수행할 수 있으며, 브라이트 방정식의 유도에 사용된다. 이는 동일한 다윈 상호작용을 제공하지만 스핀 자유도를 포함하고 플랑크 상수에 의존하는 추가 항도 제공한다.

## 같이 보기
* 정적 힘과 가상 입자 교환
* 브라이트 방정식
* 휠러-파인만 흡수자 이론

## 각주

분류:물리학 방정식