정준 양자 중력

물리학에서 **정준 양자 중력**()은 일반 상대론의 정준 형식화(또는 **정준 중력**())를 양자화하려는 시도이다. 이것은 알베르트 아인슈타인의 일반 상대성이론의 해밀턴 형식화이다. 이 기본 이론은 브라이스 디윗이 1967년의 기념비적인 논문에서 개략적으로 설명했으며, 폴 디랙이 고안한 구속된 해밀턴 시스템에 대한 소위 정준 양자화 기술을 사용하여 피터 G. 베르그만의 이전 작업을 기반으로 한다. 디랙의 접근 방식은 고정된 게이지 선택에서 해밀턴 기술을 사용하여 게이지 대칭을 포함하는 시스템의 양자화를 허용한다. 디윗과 디랙의 작업을 부분적으로 기반으로 하는 새로운 접근 방식에는 하틀-호킹 상태, 레제 미적분, 휠러-디윗 방정식 및 루프 양자중력이 포함된다.

## 정준 양자화

일반 고전 역학의 해밀턴 형식화에서 푸아송 괄호는 중요한 개념이다. "정준 좌표계"는 정준 푸아송 괄호 관계를 만족하는 정준 위치 및 운동량 변수로 구성된다.
\{ q_i , p_j \} = \delta_{ij}
여기서 푸아송 괄호는 다음과 같이 주어진다.
\{f,g\} = \sum_{i=1}^N \left(
\frac{\partial f}{\partial q_i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i}\right).
임의의 위상 공간 함수 f (q_i , p_j) 및 g (q_i , p_j)에 대해. 푸아송 괄호를 사용하여 해밀턴 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
\dot{q}_i = \{ q_i , H \},
\dot{p}_i = \{ p_i , H \}.

이러한 방정식은 해밀턴 H에 의해 생성되는 위상 공간에서의 "흐름" 또는 궤도를 설명한다. 임의의 위상 공간 함수 F (q,p)가 주어지면 다음이 성립한다.
{d \over dt} F (q_i,p_i) = \{ F , H \}.

정준 양자화에서 위상 공간 변수는 힐베르트 공간의 양자 연산자로 승격되고 위상 공간 변수 사이의 푸아송 괄호는 정준 교환 관계로 대체된다.
[\hat{q} , \hat{p}] = i \hbar.

소위 위치 표현에서 이 교환 관계는 다음과 같은 선택에 의해 실현된다.
\hat{q} \psi (q) = q \psi (q) 및 \hat{p} \psi (q) = -i \hbar {d \over d q} \psi (q)

역학은 슈뢰딩거 방정식에 의해 기술된다.
i \hbar {\partial \over \partial t} \psi = \hat{H} \psi
여기서 \hat{H}는 q \mapsto q 및 p \mapsto -i \hbar {d \over d q} 대체로 해밀턴 H (q,p)에서 형성된 연산자이다.

## 구속이 있는 정준 양자화

정준 고전 일반 상대론은 완전히 구속된 이론의 한 예이다. 구속된 이론에는 여러 종류의 위상 공간이 있다. 구속 함수가 정의되는 제한 없는(운동학적이라고도 함) 위상 공간과 구속이 이미 해결된 축소된 위상 공간이다. 정준 양자화에서 일반적으로 위상 공간은 적절한 힐베르트 공간으로 대체되고 위상 공간 변수는 양자 연산자로 승격된다.

디랙의 양자화 접근 방식에서는 제한 없는 위상 공간이 소위 운동학적 힐베르트 공간으로 대체되고 구속 함수는 운동학적 힐베르트 공간에 구현된 구속 연산자로 대체된다. 그런 다음 해를 찾는다. 이러한 양자 구속 방정식은 적어도 일반적으로 사용되는 디랙 접근 방식에서 정준 양자 일반 상대론의 핵심 방정식이다.

구속이 있는 이론에는 구속이 고전적 수준에서 해결되고 축소된 위상 공간의 위상 공간 변수가 양자 연산자로 승격되는 축소된 위상 공간 양자화도 있다. 그러나 이 접근 방식은 고전장 방정식에 대한 일반적인 해를 찾는 것과 동등해 보였기 때문에 일반 상대론에서는 불가능하다고 여겨졌다. 그러나 카를로 로벨리가 도입한 아이디어를 기반으로 비앙카 디트리히가 일반 상대론의 관측량을 계산하기 위한 체계적인 근사 체계를 (처음으로) 개발한 비교적 최근의 발전으로 토마스 티만(Thomas Thiemann)은 중력의 축소된 위상 공간 양자화를 위한 실행 가능한 체계를 개발했다. 그러나 `클록 변수'가 디랙 양자화의 경우와 달리 축소된 위상 공간 양자화에서는 고전적이어야 하므로 디랙 양자화와 완전히 동등하지는 않다.

흔한 오해는 좌표 변환이 일반 상대론의 게이지 대칭이라는 것이다. 실제로는 진정한 게이지 대칭은 수학자가 정의한 미분동형사상이다(참고: 홀 논증) - 이는 훨씬 더 근본적이다. 일반 상대론의 1종 구속은 공간 미분동형사상 구속과 해밀턴 구속(휠러-디윗 방정식으로도 알려짐)이며 각각 이론의 공간적 및 시간적 미분동형사상 불변성을 각인한다. 이러한 구속을 고전적으로 부과하는 것은 기본적으로 초기 데이터에 대한 허용 조건이며, 또한 푸아송 괄호를 통해 '진화' 방정식(실제로는 게이지 변환)을 생성한다. 중요한 것은 구속 간의 푸아송 괄호 대수가 고전 이론을 완전히 결정한다는 것이다. 이는 양자 중력의 실행 가능한 이론이 되기 위해 정준 양자 중력의 준고전적 극한에서 어떤 식으로든 재현되어야 하는 것이다.

디랙의 접근 방식에서, 파동 함수에 부과된 1종 양자 구속은 게이지 변환을 생성하는 것으로 밝혀졌다. 따라서 고전 이론에서 구속 C_I = 0을 해결하는(초기 데이터에 대한 허용 조건을 해결하는 것과 동등) 두 단계 과정과 게이지 궤적을 찾는('진화' 방정식을 해결하는) 과정은 양자 이론에서 한 단계 과정으로 대체된다. 즉, 양자 방정식 \hat{C}_I \Psi = 0의 해 \Psi를 찾는 것이다. 이는 양자 수준에서 구속을 분명히 해결하고, \hat{C}_I가 게이지 변환의 양자 생성자이므로 게이지 불변 상태를 동시에 찾기 때문이다. 고전적 수준에서 허용 조건과 진화 방정식을 해결하는 것은 아인슈타인의 모든 장 방정식을 해결하는 것과 동등하며, 이는 정준 양자 중력에 대한 디랙 접근 방식에서 양자 구속 방정식의 핵심 역할을 강조한다.

## 정준 양자화, 미분동형사상 불변성 및 명백한 유한성

미분동형사상은 동일한 좌표계에 머무르면서 계량(중력장)과 물질장을 맨다발 다양체 위로 동시에 '끌어당기는' 것으로 생각할 수 있으며, 따라서 단순한 좌표 변환 하에서의 불변성보다 훨씬 더 근본적이다. 이 대칭은 일반 상대론의 법칙이 사전에 주어진 시공간 기하학에 의존할 수 없다는 미묘한 요구 사항에서 발생한다.

이 미분동형사상 불변성은 중요한 의미를 갖는다. 정준 양자 중력은 명백히 유한할 것인데, 맨다발 다양체 위로 계량 함수를 '끌어당기는' 능력은 추상적으로 정의된 좌표점들 사이의 작고 큰 '거리'가 게이지 등가임을 의미하기 때문이다! 리 스몰린(Lee Smolin)은 더 엄밀한 주장을 제공했다.

"배경 독립 연산자는 항상 유한해야 한다. 이는 정규화 절차에서 규제 스케일과 배경 계량이 항상 함께 도입되기 때문이다. 이는 규제 매개변수가 참조하는 스케일이 규제된 연산자의 구성에서 도입된 배경 계량 또는 좌표 차트 측면에서 설명되어야 하기 때문에 필요하다. 이 때문에 규제된 연산자의 차단 또는 규제 매개변수에 대한 의존성은 배경 계량에 대한 의존성과 관련된다. 규제 매개변수가 0으로 가는 극한을 취하면 사라지지 않는 항만 분리된다. 이 항들이 규제 매개변수에 대한 의존성(항이 발산하는 경우)을 가지면 배경 계량에 대한 의존성도 가져야 한다. 반대로, 규제자가 제거되는 극한에서 사라지지 않는 항들이 배경 계량에 대한 의존성이 없으면 유한해야 한다."

사실, 아래에서 언급했듯이 토마스 티만은 루프 양자중력(정준 양자 중력의 잘 발달된 버전)이 모든 형태의 물질이 존재하더라도 명백히 유한하다는 것을 명시적으로 증명했다! 따라서 재규격화 및 무한대 제거가 필요 없다. 그러나 다른 연구에서 토마스 티만은 양자화 모호성을 해결하는 방법으로 재규격화의 필요성을 인정했다.

섭동 양자 중력에서(비재규격화 논증이 시작된 곳), 모든 섭동 방식과 마찬가지로, 거대 스케일에서 시공간이 평평한 공간으로 잘 근사될 것이라는 합리적인 가정을 한다. 이 근사적으로 평평한 배경 위에서 중력자를 산란시키면 그 산란 진폭이 뉴턴 상수의 재정의로 흡수될 수 없는 발산을 가진다는 것을 발견한다. 정준 양자 중력 이론가들은 이 주장을 받아들이지 않는다. 그러나 그들은 섭동 처리에서 비재규격화 가능하다고 발견된 항들이 어떻게 되는지 이해하는 데 사용될 수 있는 중력자 산란 진폭에 대한 대안적인 계산을 아직 제공하지 않았다. 오랫동안 기대되어 온 것은 정준 양자 중력과 같은 양자 기하학 이론에서 면적 및 부피와 같은 기하학적 양이 양자 관측량이 되어 0이 아닌 이산 값을 취하며, 물질 기여에서 오는 무한대를 포함하여 이론에서 무한대를 제거하는 자연적인 규제자를 제공한다는 것이다. 이러한 기하학적 관측량의 '양자화'는 사실 루프 양자 중력(LQG)에서 실현된다.

## 계량 변수에서의 정준 양자화

양자화는 계량 텐서를 다음과 같이 분해하는 것에 기반한다.
g_{\mu\nu} dx^\mu \, dx^\nu = (-\,N^2+\beta_k\beta^k)dt^2+2\beta_k \, dx^k \, dt+\gamma_{ij} \, dx^i \, dx^j
여기서 반복되는 지수에 대한 합은 내포되어 있으며, 지수 0은 시간 \tau=x^0을 나타내고, 그리스 지수는 모든 값 0, . . ., 3을 포괄하며, 라틴 지수는 공간 값 1, . . ., 3을 포괄한다. 함수 N은 **[[시간 간격 함수]]**라고 불리며, 함수 \beta_k는 **이동 함수**라고 불린다. 공간 지수는 공간 계량 \gamma_{ij}와 그 역 \gamma^{ij}를 사용하여 위아래로 올리거나 내린다. \gamma_{ij}\gamma^{jk}=\delta_i{}^k 및 \beta^i=\gamma^{ij}\beta_j, \gamma=\det\gamma_{ij}이며, 여기서 \delta는 크로네커 델타이다. 이 분해 하에서 아인슈타인-힐베르트 라그랑지안은 전미분까지 포함하여 다음과 같이 된다.
L=\int d^3x\,N\gamma^{1/2}(K_{ij}K^{ij}-K^2+{}^{(3)}R)
여기서 {}^{(3)}R은 리만 계량 \gamma_{ij}에 대해 계산된 공간 스칼라 곡률이고, K_{ij}는 외재적 곡률이다.
K_{ij} = -\frac{1}{2} (\mathcal{L}_{n}\gamma)_{ij} = \frac{1}{2} N^{-1} \left(\nabla_j\beta_i+\nabla_i\beta_j-\frac{\partial\gamma_{ij}}{\partial t}\right),
여기서 \mathcal{L}은 리 미분을 나타내고, n은 상수 t 표면에 대한 단위 법선이며, \nabla_i는 계량 \gamma_{ij}에 대한 공변미분을 나타낸다.  \gamma_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} + n_{\mu}n_{\nu} 임을 유의하라. 드윗은 라그랑지안이 "외재적 곡률이 운동 에너지 역할을 하고, 내재적 곡률의 음수가 퍼텐셜 에너지 역할을 하는 고전적인 '운동 에너지 빼기 퍼텐셜 에너지' 형태를 갖는다"고 썼다. 이 라그랑지안 형태는 공간 좌표의 재정의 하에서 명백히 불변하지만, 일반 공변성을 불투명하게 만든다.

시간 경과 함수와 이동 함수는 게이지 변환에 의해 제거될 수 있으므로 물리적 자유도를 나타내지 않는다. 이는 해밀턴 형식론으로 이동할 때 그들의 켤레 운동량인 \pi와 \pi^i가 각각 항등적으로 사라지는 (질량껍질) 사실에 의해 나타난다. 디랙은 이를 1차 구속이라고 불렀다. 동시 게이지라고 불리는 인기 있는 게이지 선택은 N=1과 \beta_i=0이지만, 원칙적으로 좌표의 임의 함수로 선택할 수 있다. 이 경우, 해밀턴은 다음 형태를 취한다.
H = \int d^3x \mathcal{H},
여기서
\mathcal{H} = \frac{1}{2} \gamma^{-1/2} (\gamma_{ik}\gamma_{jl} + \gamma_{il}\gamma_{jk} - \gamma_{ij} \gamma_{kl}) \pi^{ij}\pi^{kl}-\gamma^{1/2} {}^{(3)}R
이며 \pi^{ij}는 \gamma_{ij}에 대한 켤레 운동량이다. 아인슈타인 방정식은 해밀턴과 푸아송 괄호를 취함으로써 복구될 수 있다. 디랙이 2차 구속이라고 부르는 추가적인 질량껍질 구속은 푸아송 괄호 대수의 일관성에서 발생한다. 이것들은 \mathcal{H} = 0과 \nabla_j\pi^{ij} = 0이다. 이것이 정준 양자 중력 접근 방식에서 양자화되는 이론이다.

시간 진화를 기술하는 6개의 아인슈타인 방정식(실제로는 게이지 변환)은 3-계량과 그 켤레 운동량을 공간 미분동형사상 및 해밀턴 구속의 선형 조합과 푸아송 괄호를 계산하여 얻을 수 있음을 보일 수 있다. 구속의 소멸은 물리적 위상 공간을 제공하며, 이는 나머지 4개의 아인슈타인 방정식이다. 즉, 다음을 갖는다.

공간 미분동형사상 구속
C_a (x) = 0
x의 값마다 무한히 많이 존재하며, 소위 이동 함수 \vec{N} (x)에 의해 펴져서 동등한 일련의 펴진 공간 미분동형사상 구속을 제공할 수 있다.
C (\vec{N}) = \int d^3 x \, C_a (x) N^a (x).

이것들은 이동 함수 N^a (x)에 의해 정의된 궤도를 따라 공간 미분동형사상을 생성한다.

해밀턴 구속
H (x) = 0
무한히 많이 존재하며, 소위 시간 경과 함수 N (x)에 의해 펴져서 동등한 일련의 펴진 해밀턴 구속을 제공할 수 있다.
H (N) = \int d^3 x \, H (x) N (x).

위에서 언급했듯이, (펴진) 구속 간의 푸아송 괄호 구조는 고전 이론을 완전히 결정하기 때문에 중요하며, 모든 양자 중력 이론의 준고전적 극한에서 재현되어야 한다.

## 휠러-디윗 방정식

휠러-디윗 방정식(때로는 해밀턴 구속, 때로는 아인슈타인-슈뢰딩거 방정식으로 불림)은 양자 수준에서 역학을 인코딩하기 때문에 상당히 중요하다. 이는 슈뢰딩거 방정식과 유사하지만, 시간 좌표 t가 비물리적이기 때문에 물리적 파동 함수는 t에 의존할 수 없으며 따라서 슈뢰딩거 방정식은 구속으로 축소된다.

: \hat{H} \Psi = 0.

계량 변수를 사용하면 고전적 표현을 잘 정의된 양자 연산자로 승격하려 할 때 극복할 수 없을 것 같은 수학적 어려움이 발생하여, 이 접근 방식으로는 수십 년 동안 진전이 없었다. 이 문제는 아쉬테카르-바르베로 변수와 루프 표현의 도입으로 해결되었으며, 이 잘 정의된 연산자는 토마스 티만에 의해 처음 공식화되었다.

이러한 발전 이전에는 휠러-디윗 방정식은 양자 우주론과 같은 대칭 축소 모델에서만 공식화되었다.

## 아쉬테카르-바르베로 변수 및 LQG에서의 정준 양자화

정준 양자 중력의 많은 기술적 문제는 구속을 중심으로 전개된다. 정준 일반 상대론은 원래 계량 변수로 공식화되었지만, 정준 변수에 대한 고도로 비선형적인 의존성 때문에 구속을 양자 연산자로 승격시키는 데 극복할 수 없는 수학적 어려움이 있는 것처럼 보였다. 아쉬테카르의 새로운 변수 도입으로 방정식이 훨씬 단순해졌다. 아쉬테카르 변수는 게이지 이론의 변수와 더 유사한 새로운 켤레 변수 쌍을 사용하여 정준 일반 상대론을 기술한다. 그렇게 함으로써 공간 미분동형사상 및 해밀턴 구속 외에 추가 구속인 가우스 게이지 구속을 도입했다.

루프 표현은 루프 관점에서 게이지 이론의 양자 해밀턴 표현이다. 양-밀스 이론의 맥락에서 루프 표현의 목적은 가우스 게이지 대칭에 의해 도입된 중복성을 피하여 가우스 게이지 불변 상태 공간에서 직접 작업할 수 있도록 하는 것이다. 이 표현의 사용은 아쉬테카르-바르베로 표현에서 자연스럽게 발생했는데, 이는 정확한 비섭동적 설명을 제공하고 공간 미분동형사상 구속이 이 표현 내에서 쉽게 처리될 수 있기 때문이다.

루프 표현 내에서 티만은 모든 형태의 물질이 존재하는 경우에 잘 정의된 정준 이론을 제공하고, 그것이 명백히 유한하다는 것을 명시적으로 증명했다! 따라서 재규격화가 필요 없다. 그러나 LQG 접근 방식은 플랑크 스케일에서의 물리학을 설명하는 데 적합하므로 친숙한 저에너지 물리학과 연결하고 올바른 준고전적 극한을 설정하는 데 어려움이 있다.

## 시간의 문제
일반 상대론의 모든 정준 이론은 시간의 문제를 다루어야 한다. 양자 중력에서 시간의 문제는 일반 상대론과 양자 역학 사이의 개념적 갈등이다. 정준 일반 상대론에서 시간은 일반 공변성의 결과로 단지 또 다른 좌표일 뿐이다. 양자장론, 특히 해밀턴 형식론에서 형식화는 3차원의 공간과 1차원의 시간으로 나뉜다. 대략적으로 말하면, 시간의 문제는 일반 상대론에는 시간이 없다는 것이다. 이는 일반 상대론에서 해밀턴은 사라져야 하는 구속이기 때문이다. 그러나 모든 정준 이론에서 해밀턴은 시간 변환을 생성한다. 따라서 우리는 일반 상대론에서 "아무것도 움직이지 않는다"("시간이 없다")는 결론에 도달한다. "시간이 없기" 때문에 주어진 순간의 양자 역학 측정에 대한 일반적인 해석은 무너진다. 이 시간의 문제는 형식론의 모든 해석적 문제에 대한 광범위한 명칭이다.

제임스 W. 요크의 기하동역학의 등각 분해에 대한 정준 형식론은 일반 상대성이론의 "요크 시간"으로 이어지며, 찰스 왕 (이론물리학자)에 의해 개발되었다. 이 연구는 그 후 그와 그의 공동 연구자들에 의해 확장되어 광범위한 척도 불변 딜라톤 중력-물질 이론에 적합한 시간 식별 및 양자화 접근 방식으로 발전되었다.

## 양자 우주론의 문제
양자 우주론의 문제는 정준 양자 중력의 구속을 해결하는 물리적 상태가 전 우주의 양자 상태를 나타내므로 외부 관찰자를 배제한다는 점이지만, 외부 관찰자는 대부분의 양자 역학 해석에서 중요한 요소이다.

## 같이 보기

* ADM 형식
* 아쉬테카르 변수
* 정준 양자화
* 정준좌표
* 미분동형사상
* 홀 논증
* 레제 미적분
* 루프 양자중력은 이 이론족 중 하나이다.
* 루프 양자 우주론 (LQC)은 루프 양자 중력의 유한한, 대칭 축소 모델이다.
* 시간의 문제

## 내용주
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## 각주

## 출처
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분류:양자중력
분류:물리우주론
분류:표준 모형 이후의 물리학