상관 색온도

[섬네일|upright=1.2|파란색 선으로 그려진 [빈 변위 법칙|최대 방출 파장 및 복사 외출도 대 흑체 온도의 로그-로그 그래프. 빨간색 화살표는 5780 K 흑체가 501 nm의 최대 파장과 63.3 MW/m2의 복사 외출도를 가짐을 보여준다.]]

**상관 색온도**(, **CCT**, Tcp)는 "동일한 명도 및 지정된 보기 조건에서 지각되는 색이 주어진 자극과 가장 유사한 플랑크 방사체의 온도"를 의미한다. SI 단위는 켈빈 (K)이다.

## 동기
흑체 방사체는 광원의 백색도를 판단하는 기준이 된다. 흑체는 그 온도에 따라 특성이 결정되며 특정한 색조의 빛을 방출하는데, 이를 색온도라고 한다. 실제로 특정 형광등이나 고휘도 방전 램프와 같이 플랑크 방사체에 근접한 광원은 해당 광원과 색이 가장 유사한 플랑크 방사체의 온도인 CCT를 기준으로 평가된다. 플랑크 분포를 따르지 않는 광원의 경우, 이를 흑체와 일치시키는 것은 간단하지 않다. 따라서 객관적인 색 공간의 틀 내에서 "가능한 한 정확하게" 일차원 색온도 척도 위에 이러한 광원을 표현하기 위해 CCT의 개념이 확장되었다.

## 배경
[섬네일|upright|저드의 (r,g) 도표. 동심원은 일정한 [채도의 궤적을 나타낸다.]]

섬네일|저드의 맥스웰 삼각형. 회색은 플랑크 궤적이다. 삼선형 좌표에서 데카르트 좌표로 변환하면 다음 도표가 된다.

섬네일|저드의 균등 색도 공간(UCS)으로, 플랑크 궤적과 궤적에 수직인 1000 K에서 10000 K까지의 등온선이 표시되어 있다. 저드는 이 공간에서 등온선을 계산한 후, 문서 상단의 도표에 묘사된 것처럼 (x,y) 색도 공간으로 다시 변환했다.

[섬네일|CIE 1960 UCS 내의 플랑크 궤적 근접 촬영으로, [마이레드 단위의 등온선이 표시되어 있다. 역온도 척도를 사용할 때 등온선의 간격이 균일하다는 점에 주목하고 아래의 유사한 그림과 비교하라. 궤적 위에서 등온선의 균일한 간격은 마이레드 척도가 온도 척도보다 지각적 색 차이를 측정하는 데 더 나은 척도임을 시사한다.]]

다른 광원을 판단하는 척도로서 플랑크 방사체를 사용하는 개념은 새로운 것이 아니다. 1923년, 어윈 G. 프리스트는 "색의 품질과 관련하여 광원의 등급을 매기는 것... 색의 품질의 지표로서의 광원의 온도"에 대해 저술하며 오늘날 우리가 이해하는 CCT를 본질적으로 설명했고, "겉보기 색온도"라는 용어까지 사용하며 다음의 세 가지 사례를 예리하게 인식했다.
* "에너지의 분광 분포가 플랑크 공식에 의해 주어진 것과 동일한 것."
* "에너지의 분광 분포가 플랑크 공식에 의해 주어진 것과 동일하지는 않지만, 유발된 색의 품질이 주어진 색온도에서 플랑크 방사체의 에너지에 의해 유발되는 것과 동일한 형태를 띠는 것."
* "에너지의 분광 분포로 인해 색이 플랑크 형태의 분광 분포 자극과 대략적으로만 일치할 수 있는 것."

1931년에는 몇 가지 중요한 발전이 있었다. 연대순으로 나열하면 다음과 같다.

# 레이먼드 데이비스는 "상관 색온도"(그의 용어)에 관한 논문을 발표했다. r-g 도표 상의 플랑크 궤적을 언급하며, 그는 삼선형 좌표를 사용하여 "주요 성분 온도"(RGB CCTs)의 평균으로 CCT를 정의했다.
# CIE는 XYZ 색 공간을 발표했다.
# 딘 B. 저드는 색 자극과 관련된 "최소 인지 차이"의 성질에 관한 논문을 발표했다. 경험적 수단을 통해 그는 "색 간의 식별 단계 ... Empfindung"(독일어로 감각)이라 명명한 감각의 차이인 ΔE가 색도 도표상의 색 간 거리와 비례한다는 것을 알아냈다. 옆에 묘사된 (r,g) 색도 도표를 참조하여 그는 다음과 같이 가설을 세웠다.

:::K ΔE = |c1 − c2| = max(|r1 − r2|, |g1 − g2|).

이러한 발전은 상관 색온도와 색도 차이를 추정하는 데 더 적합한 새로운 색도 공간 개발의 토대를 마련했다. 색차와 색온도의 개념을 연결하면서, 프리스트는 인간의 눈이 "역" 온도의 일정한 차이에 민감하다는 관찰을 했다.

프리스트는 "여러 광원의 색도를 일련의 순서로 배열하기 위한 척도로 온도 척도를 사용하자"고 제안했다. 이후 몇 년 동안 저드는 세 편의 중요한 논문을 더 발표했다.

첫 번째는 색온도 변화에 대한 민감도에 관한 논문으로 프리스트, 데이비스, 저드의 연구 결과를 검증했다.

두 번째는 색 공간의 성배가 된 원칙인 지각적 균등성(색도 거리는 지각적 차이와 비례해야 함)을 지침으로 하는 새로운 색도 공간을 제안했다. 저드는 투영 변환을 통해 CCT를 찾기에 더 적합한 "균등 색도 공간"(UCS)을 찾아냈다. 저드는 옆에 묘사된 맥스웰의 색 삼각형에서 자극의 색도와 가장 가까운 플랑크 궤적 상의 점을 찾음으로써 "가장 가까운 색온도"를 결정했다. 그가 X,Y,Z 삼자극값을 R,G,B 좌표로 변환하기 위해 사용한 변환행렬은 다음과 같다.

:\begin{bmatrix} R \\ G \\ B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3.1956 & 2.4478 & -0.1434 \\ -2.5455 & 7.0492 & 0.9963 \\ 0.0000 & 0.0000 & 1.0000 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix}.

이로부터 다음의 색도를 찾을 수 있다:

:u=\frac{0.4661x+0.1593y}{y-0.15735x+0.2424}, \quad v=\frac{0.6581y}{y-0.15735x+0.2424}.

세 번째는 CIE 1931 x,y 색도 도표 상에서 등온 색도의 궤적을 묘사했다. 등온점들이 그의 UCS 도표 상에서 법선을 형성했기 때문에, xy 평면으로 다시 변환했을 때 그것들은 여전히 직선이었지만 더 이상 궤적에 수직은 아니었다.

## 계산
섬네일|250px|맥아담의 "균등 색도 척도" 도표. 저드의 UCS를 단순화한 것이다.
균등 색도 공간 상에서 플랑크 궤적에 가장 가까운 점을 결정한다는 저드의 아이디어는 현재에도 통용된다. 1937년, 맥아담은 특정 기하학적 단순화 고려 사항을 기반으로 "수정된 균등 색도 척도 도표"를 제안했다.

:u = \frac{4x}{-2x+12y+3}, \quad v = \frac{6y}{-2x+12y+3}.

이 (u,v) 색도 공간은 CIE 1960 색 공간이 되었으며, (맥아담이 이 목적으로 고안한 것은 아니지만) 여전히 CCT를 계산하는 데 사용된다. u'v'와 같은 다른 색도 공간을 사용하면 비표준 결과가 나오지만, 그럼에도 불구하고 지각적으로 의미가 있을 수 있다.

[550px|섬네일|center|[CIE 1960 색 공간|CIE 1960 UCS의 근접 촬영. 등온선은 플랑크 궤적에 수직이며, CIE가 상관 색온도가 의미 있다고 간주하는 궤적으로부터의 최대 거리인 &Delta;uv = &plusmn; 0.05를 나타내도록 그려져 있다.]]

궤적으로부터의 거리(즉, 흑체로부터의 이탈 정도)는 전통적으로 &Delta;uv 단위로 표시된다. 궤적 위의 점은 양수(+)이다. 이러한 거리의 개념은 진화하여 CIELAB ΔE*가 되었으며, 오늘날에도 계속 사용되고 있다.

### 로버트슨의 방법
고성능 개인용 컴퓨터가 출현하기 전에는 순람표와 차트를 이용한 보간법으로 상관 색온도를 추정하는 것이 일반적이었다. 가장 유명한 방법은 로버트슨의 방법으로, 그는 등온선의 마이레드 값을 선형 보간법으로 계산하기 위해 마이레드 척도의 비교적 균일한 간격을 활용하여 CCT Tc를 계산했다.

300px|섬네일|CIE 1960 UCS에서 색도 좌표 <math>\scriptstyle (u_T, v_T)</math>에 해당하는 CCT T<sub>c</sub>의 계산.

:\frac{1}{T_c} = \frac{1}{T_i} + \frac{\theta_1}{\theta_1+\theta_2} \left( \frac{1}{T_{i+1}} - \frac{1}{T_i} \right),

여기서 T_i와 T_{i+1}은 순람표 등온선의 색온도이고 i는 T_i 가 되도록 선택된다. (또한, 테스트 색도는 d_i/d_{i+1} 을 만족하는 유일한 두 인접한 선 사이에 위치한다.)

등온선이 충분히 촘촘하면 \theta_1/\theta_2 \approx \sin \theta_1/\sin \theta_2라고 가정할 수 있으며, 이는 다음과 같이 이어진다.

:\frac{1}{T_c} = \frac{1}{T_i} + \frac{d_i}{d_i-d_{i+1}} \left( \frac{1}{T_{i+1}} - \frac{1}{T_i} \right).

테스트 포인트에서 i번째 등온선까지의 거리는 다음과 같이 주어진다.

:d_i = \frac{ (v_T-v_i)-m_i (u_T-u_i) }{\sqrt {1+m_i^2}},

여기서 (u_i, v_i)는 플랑크 궤적 상의 i번째 등온선의 색도 좌표이고 mi는 등온선의 기울기이다. 등온선은 궤적에 수직이므로, (u_i, v_i)에서 궤적의 기울기가 li일 때 m_i = -1/l_i가 성립한다.

## 주의 사항
어떤 색도 좌표에 대해서도 CCT를 계산할 수 있지만, 그 결과는 광원이 어느 정도 플랑크 방사체에 근접할 때만 의미가 있다. CIE는 "테스트 광원의 색도가 플랑크 방사체로부터 &Delta;uv = 5&times;10−2 이상 차이가 나는 경우 상관 색온도의 개념을 사용해서는 안 된다"고 권고한다.
&Delta;uv가 특정 값을 넘어가면, 색도 좌표가 궤적 상의 두 점과 같은 거리에 있게 되어 CCT에 모호함이 발생할 수 있다.

## 근사치
주광을 포함하는 범위와 같이 좁은 범위의 색온도를 고려할 때, 색도 좌표로 CCT를 계산하기 위해 플랑크 궤적을 근사화할 수 있다. 켈리가 등온선들이 (x = 0.325, y = 0.154) 근처의 보라색 영역에서 교차한다는 점을 관찰한 이후, 맥캐미는 다음의 삼차 근사식을 제안했다.

:CCT(x, y) = 449 n^3 + 3525 n^2 + 6823.3 n + 5520.33,

여기서 는 역 기울기 선이고, 는 켈리가 언급한 교차점에 매우 가까운 "진앙"이다. 2856 K(광원 A)에서 6504 K(D65) 범위의 색온도에 대한 최대 절대 오차는 2 K 미만이다.

지수 항을 사용한 에르난데스-안드레의 1999년 제안은 고색온도를 위한 두 번째 진앙을 추가함으로써 적용 범위를 상당히 확장했다.

: CCT(x, y) = A_0 + A_1 \exp(-n/t_1) + A_2 \exp(-n/t_2) + A_3 \exp(-n/t_3)

여기서 은 이전과 같으며 다른 상수들은 아래와 같이 정의된다.

저자는 고온 파라미터가 필요한지 여부를 결정하기 위해 저온 방정식을 사용할 것을 권장한다.

오노(2013)는 순람표, "포물선" 탐색, "삼각형" 탐색을 기반으로 하는 정확한 결합 방법을 제안한다. 이 논문은 광원 평가를 위해 &Delta;uv 값을 함께 반환하는 것의 중요성을 강조한다. 하나의 고정된 표를 사용하지 않기 때문에 모든 관찰자 색 일치 함수에 적용할 수 있다.

색온도에서 해당 색도 좌표로의 역계산은 플랑크 궤적 § 근사에서 다룬다.

## 각주

분류:조명
분류:색