선형 필터

**선형 필터**()는 선형성이라는 제약 조건 하에 시변 입력 신호를 처리하여 출력 신호를 생성한다. 대부분의 경우 이러한 선형 필터는 시불변성(또는 시행렬 불변성)을 가지며, 이 경우 LTI("선형 시불변") 시스템 이론을 사용하여 정확하게 분석할 수 있다. 이를 통해 주파수 영역에서의 전달 함수와 시간 영역에서의 임펄스 응답을 밝혀낼 수 있다. 시간 영역에서 이러한 선형 신호 처리 필터를 실시간으로 구현하는 것은 필연적으로 인과성을 따르며, 이는 전달 함수에 대한 추가적인 제약이 된다. 선형 부품(저항기, 커패시터, 인덕터 및 선형 증폭기)으로만 구성된 아날로그 전자 회로는 반드시 이 범주에 속하며, 선형 요소만을 포함하는 유사한 기계 시스템이나 디지털 신호 처리 시스템도 마찬가지이다. 선형 시불변 필터는 서로 다른 주파수의 사인파에 대한 응답(주파수 응답)에 의해 완전히 특징지어질 수 있기 때문에 때때로 주파수 필터라고도 불린다.

선형 시불변 필터의 비실시간 구현은 인과적일 필요가 없다. 영상 처리에서와 같이 1차원 이상의 필터도 사용된다. 선형 필터링의 일반적인 개념은 통계학, 데이터 분석 및 기계공학과 같은 다른 분야 및 기술로도 확장된다.

## 임펄스 응답 및 전달 함수
선형 시불변(LTI) 필터는 임펄스 응답 *h*에 의해 고유하게 지정될 수 있으며, 모든 필터의 출력은 수학적으로 입력과 해당 임펄스 응답의 합성곱으로 표현된다. 필터의 전달 함수 H(\omega)에 의해 제공되는 주파수 응답은 필터의 또 다른 특징이다. 일반적인 필터 설계 목표는 특정 주파수 응답, 즉 전달 함수의 크기 |H(\omega)|를 실현하는 것이다. 전달 함수의 위상의 중요성은 응용 분야에 따라 달라지는데, 주파수 영역에서 원하는 (진폭) 응답을 얻는 과정에서 파형의 모양이 어느 정도 왜곡될 수 있기 때문이다. 주파수 응답은 예를 들어 입력 신호에서 원치 않는 주파수 성분을 제거하거나 증폭기를 특정 주파수 대역 내의 신호로 제한하도록 맞춤화될 수 있다.

선형 시불변 인과 필터의 임펄스 응답 *h*는 시간 0에서 단일 임펄스로 구성된 입력을 받았을 때 필터가 생성할 출력을 지정한다. 연속 시간 필터에서 "임펄스"는 디랙 델타 함수를 의미하며, 이산 시간 필터에서는 크로네커 델타 함수가 적용된다. 임펄스 응답은 이러한 모든 필터의 응답을 완전히 특징짓는데, 모든 가능한 입력 신호가 가중치가 부여된 델타 함수의 (잠재적으로 무한한) 조합으로 표현될 수 있기 때문이다. 각 델타 함수의 도착에 따라 시간 이동된 임펄스 응답에 각 델타 함수의 진폭을 곱하고, 이 응답들을 함께 합산하면(모든 선형 시스템에 적용 가능한 중첩 원리에 따라) 출력 파형이 생성된다.

수학적으로 이것은 시변 입력 신호 *x(t)*와 다음과 같이 정의된 필터의 임펄스 응답 *h*의 합성곱으로 설명된다.

:y(t) =  \int_{0}^{T} x(t-\tau)\, h(\tau)\, d\tau 또는
:y_k =  \sum_{i=0}^{N} x_{k-i}\, h_i .

첫 번째 형태는 예를 들어 기계 및 아날로그 전자 시스템을 설명하는 연속 시간 형태이다. 두 번째 방정식은 소프트웨어로 구현된 디지털 필터, 즉 소위 디지털 신호 처리에서 사용되는 이산 시간 버전이다. 임펄스 응답 *h*는 모든 선형 시불변(또는 이산 시간의 경우 시행렬 불변) 필터를 완전히 특징짓는다. 입력 *x*는 (잠재적으로 무한한) 지속 시간 *T*(또는 *N* 샘플링 주기)를 갖는 임펄스 응답 h와 "컨벌루션"되었다고 한다.

필터 설계는 기술이나 시스템의 원하는 복잡성에 의해 규정된 특정 실제 제약 내에서 구현될 수 있는 가능한 전달 함수를 찾은 다음, 선택한 기술을 사용하여 해당 전달 함수를 실현하는 실제 설계로 구성된다. 필터의 복잡성은 필터의 차수에 따라 지정될 수 있다.

여기서 고려하는 시간 영역 필터 중에는 원하는 주파수 응답을 근사화할 수 있는 두 가지 일반적인 필터 전달 함수 부류가 있다. 기계 및 아날로그 전자 시스템의 특징인 무한 임펄스 응답(IIR) 필터와 컴퓨터와 같은 이산 시간 시스템에 의해 구현될 수 있는(이후 디지털 신호 처리라고 함) 유한 임펄스 응답(FIR) 필터의 설계에는 매우 다른 수학적 처리가 적용된다.

### 구현 문제
전형적인 아날로그 필터는 IIR 필터이며, 고전적 필터 이론은 동일한 소수의 리액티브 부품을 사용하여 합성할 수 있는 저차 유리 함수에 의해 제공되는 전달 함수의 결정에 중점을 둔다. 반면에 디지털 컴퓨터를 사용하면 FIR 및 IIR 필터 모두 소프트웨어로 간단히 구현할 수 있다.

디지털 IIR 필터는 일반적으로 FIR 필터보다 적은 컴퓨팅 전력을 사용하여 원하는 필터 응답을 근사화할 수 있지만, 디지털 프로세서의 전력이 증가함에 따라 이러한 장점은 더 이상 필요하지 않은 경우가 많다. 충분한 컴퓨팅 전력을 사용할 수 있을 때 FIR 필터의 설계 및 특성화의 용이함은 필터 설계자(프로그래머)가 FIR 필터를 선호하게 만든다. FIR 필터의 또 다른 장점은 임펄스 응답을 대칭으로 만들 수 있다는 것인데, 이는 (유한 지연을 고려하지 않을 때) 모든 주파수에서 제로 위상을 갖는 주파수 영역에서의 응답을 의미하며, 이는 어떠한 IIR 필터로도 절대 불가능하다.

## 주파수 응답
필터의 주파수 응답 또는 전달 함수 |H(\omega)|는 임펄스 응답을 알거나 라플라스 변환을 사용한 분석을 통해 직접 얻을 수 있으며, 이산 시간 시스템에서는 Z변환을 통해 얻을 수 있다. 주파수 응답에는 주파수의 함수로서의 위상도 포함되지만, 많은 경우 위상 응답은 거의 또는 전혀 관심 대상이 아니다. FIR 필터는 제로 위상을 갖도록 만들 수 있지만, IIR 필터의 경우 일반적으로 불가능하다. 대부분의 IIR 전달 함수에는 주파수 응답의 크기는 같지만 위상이 다른 관련 전달 함수가 존재한다. 대부분의 경우 소위 최소 위상 전달 함수가 선호된다.

시간 영역의 필터는 대부분 지정된 주파수 응답을 따르도록 요구된다. 그런 다음 수학적 절차를 통해 (일부 제약 내에서) 실현될 수 있고 일부 기준 내에서 원하는 응답을 근사화하는 필터 전달 함수를 찾는다. 일반적인 필터 응답 사양은 다음과 같이 설명된다.

* 로우패스 필터는 낮은 주파수는 통과시키고 높은 주파수는 차단한다.
* 하이패스 필터는 높은 주파수를 통과시킨다.
* 대역 필터는 특정 주파수 대역(범위)을 통과시킨다.
* 대역 저지 필터는 지정된 대역 밖의 높고 낮은 주파수를 통과시킨다.
* 노치 필터는 특정 주파수에서 무응답(null response)을 가진다. 이 기능은 위 응답 중 하나와 결합될 수 있다.
* 전역 통과 필터는 모든 주파수를 동일하게 잘 통과시키지만, 주파수 간의 군지연과 위상지연 및 위상 관계를 변경한다.
* 등화 필터(Equalization filter)는 어떤 주파수를 완전히 통과시키거나 차단하도록 설계되지 않고, 대신 주파수의 함수로서 진폭 응답을 점진적으로 변화시키도록 설계된다. 프리엠퍼시스 필터, 이퀄라이저 또는 음조 조절 장치로 사용되는 필터가 좋은 예이다.

### FIR 전달 함수
FIR 필터로 주파수 응답 요구 사항을 충족하는 것은 비교적 간단한 절차를 사용한다. 가장 기본적인 형태에서는 원하는 주파수 응답 자체를 \Delta f의 해상도로 샘플링하고 시간 영역으로 푸리에 변환할 수 있다. 이를 통해 사용된 샘플링 주파수에서 주파수 응답과 일치하는 제로 위상 FIR 필터를 구현하는 필터 계수 *h<sub>i</sub>*를 얻는다. 원하는 응답에 더 잘 맞추려면 \Delta f를 줄여야 한다. 그러나 필터의 임펄스 응답 지속 시간과 각 출력 값에 대해 합산해야 하는 항의 수(위의 이산 시간 합성곱에 따름)는 N=1/(\Delta f \, T)로 주어지며, 여기서 *T*는 이산 시간 시스템의 샘플링 주기이다(N-1은 FIR 필터의 차수라고도 함). 따라서 디지털 필터의 복잡성과 관련된 컴퓨팅 시간은 \Delta f에 반비례하여 증가하며, 원하는 동작을 더 잘 근사화하는 필터 기능에 더 높은 비용을 부과한다. 같은 이유로 임계 응답이 낮은 주파수(샘플링 주파수 *1/T*와 비교했을 때)에 있는 필터 기능은 더 높은 차수의 계산 집약적인 FIR 필터를 필요로 한다. 따라서 이러한 경우 IIR 필터가 훨씬 더 효율적일 수 있다.

다른 곳에서 독자는 실용적인 FIR 필터 설계를 위한 설계 방법의 추가 논의를 찾을 수 있다.

### IIR 전달 함수
전형적인 아날로그 필터는 IIR 필터이기 때문에 연속 시간 시스템에서 위의 다양한 원하는 필터 응답을 구현하는 가능한 전달 함수 범위를 연구해 온 오랜 역사가 있다. 변환을 사용하면 이러한 연속 시간 주파수 응답을 디지털 IIR 필터에서 사용하기 위해 이산 시간에서 구현되는 응답으로 변환할 수 있다. 이러한 필터의 복잡성은 주파수 응답을 설명하는 유리 함수의 차수를 나타내는 차수 N에 의해 제공된다. 차수 N은 아날로그 필터에서 특히 중요한데, N차 전자 필터는 구현을 위해 N개의 리액티브 소자(커패시터 및 인덕터)가 필요하기 때문이다. 예를 들어 연산 증폭기를 사용하는 바이쿼드 단을 사용하여 필터를 구현하는 경우 N/2 단이 필요하다. 디지털 구현에서 샘플당 수행되는 계산 횟수는 N에 비례한다. 따라서 수학적 문제는 이제 설명할 것처럼 더 작은 N을 사용하여 원하는 응답에 대해 (어떤 의미에서) 최상의 근사치를 얻는 것이다.

아래는 특정 기준에 따라 최적화된, 원하는 응답을 근사화하는 여러 표준 필터 기능의 주파수 응답이다. 이들은 모두 정규화된 단위로 차단 주파수 0.5로 설계된 5차 로우패스 필터이다. 버터워스 필터, 체비쇼프 필터, 역 체비쇼프 필터 및 타원 필터에 대한 주파수 응답이 표시되어 있다.

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이미지에서 알 수 있듯이 타원 필터는 다른 필터보다 가파르지만, 통과 대역과 저지 대역 모두에서 리플이 발생하는 희생을 치른다. 버터워스 필터는 전이가 가장 좋지 않지만 통과 대역이나 저지 대역에서 리플을 피하면서 더 고른 응답을 가진다. 베셀 필터(표시되지 않음)는 주파수 영역에서 훨씬 더 나쁜 전이를 가지지만 파형의 위상 충실도를 가장 잘 유지한다. 응용 분야마다 다른 설계 요구 사항을 강조하므로, 이러한(및 다른) 최적화 중에서 다른 선택을 하거나 더 높은 차수의 필터가 필요하게 된다.

섬네일|300px|right|살렌-키 토폴로지로 구현된 로우패스 필터

## 구현 예시
2차 능동 R-C 필터를 구현하는 대중적인 회로는 여기에 회로도가 표시된 살렌-키(Sallen-Key) 설계이다. 이 토폴로지는 로우패스, 대역 필터 및 하이패스 필터를 생성하도록 조정될 수 있다.

섬네일|300px|right|차수 ''N''의 이산 시간 FIR 필터. 윗부분은 ''N''-샘플 지연선이며, 각 지연 단계는 ''z''<sup>−1</sup>로 표시된다.

N차 FIR 필터는 입력 신호가 N개의 지연 단계를 거치는 컴퓨터 프로그램이나 특수 하드웨어를 사용하여 이산 시간 시스템에서 구현될 수 있다. 필터의 출력은 첨부된 신호 흐름도에 묘사된 것처럼 해당 지연된 신호들의 가중치 합으로 형성된다. 필터의 응답은 *b<sub>0</sub>*, *b<sub>1</sub>*, .... *b<sub>N</sub>*으로 표시된 가중치 계수에 따라 달라진다. 예를 들어 모든 계수가 1과 같다면, 소위 박스카 함수가 되어 N+1의 저주파 이득과 싱크함수에 의해 주어지는 주파수 응답을 갖는 로우패스 필터를 구현하게 된다. 주파수 응답에 대한 더 우수한 모양은 더 정교한 설계 절차에서 파생된 계수를 사용하여 얻을 수 있다.

## 필터 설계의 수학

LTI 시스템 이론은 모든 유형의 선형 시불변(LTI) 필터를 설명한다. LTI 필터는 주파수 응답과 위상 응답에 의해 완전히 설명될 수 있으며, 이를 지정하면 임펄스 응답이 고유하게 정의되고 그 반대도 마찬가지이다. 수학적 관점에서 연속 시간 IIR LTI 필터는 선형 미분방정식으로 설명될 수 있으며, 그 임펄스 응답은 방정식의 그린 함수로 간주될 수 있다. 연속 시간 LTI 필터는 임펄스 응답의 라플라스 변환으로도 설명될 수 있는데, 이를 통해 복소평면에서 라플라스 변환의 극점과 영점 패턴을 고려하여 필터의 모든 특성을 분석할 수 있다. 마찬가지로 이산 시간 LTI 필터는 임펄스 응답의 Z변환을 통해 분석될 수 있다.

컴퓨터 필터 합성 도구가 출현하기 전에는 보드 선도 및 나이퀴스트 선도와 같은 그래픽 도구가 설계 도구로 널리 사용되었다. 오늘날에도 이들은 필터 동작을 이해하는 데 매우 귀중한 도구이다. 참고 문헌에는 다양한 필터 유형 및 차수에 대한 주파수 응답, 위상 응답, 군지연 및 임펄스 응답에 대한 방대한 도표가 수록되어 있었다. 또한 이러한 필터를 RLC 사다리꼴 회로로 구현하는 방법을 보여주는 값 테이블도 포함되어 있었는데, 이는 수동 소자에 비해 증폭 소자가 비싸던 시절에 매우 유용했다. 이러한 사다리꼴 회로는 부품 변동에 대한 민감도를 최소화하도록 설계될 수도 있는데, 이는 컴퓨터 도구 없이는 평가하기 어려운 속성이다.

시스템 응답의 일부 기능을 최적화하기 위해 다양한 아날로그 필터 설계가 개발되었다. 실제 필터의 경우, 부품 수와 비용뿐만 아니라 필터 응답 특성을 포함할 수 있는 다양한 설계 기준 간의 최상의 절충안을 제공할 수 있는 맞춤형 설계가 때때로 바람직하다.

이러한 설명은 필터의 수학적 속성(즉, 주파수 및 위상 응답)을 나타낸다. 이들은 아날로그 회로(예를 들어 능동 필터의 일종인 살렌 키 필터 토폴로지 사용) 또는 디지털 신호 처리 시스템의 알고리즘으로 구현될 수 있다.

디지털 필터는 설계 제약이 허용하는 경우 아날로그 필터보다 합성하고 사용하기에 훨씬 더 유연하다. 특히 부품 허용 오차를 고려할 필요가 없으며 매우 높은 Q 수준을 얻을 수 있다.

FIR 디지털 필터는 원하는 임펄스 응답과 입력 신호의 직접적인 합성곱에 의해 구현될 수 있다. 임의의 펄스 모양에 대해 정합 필터를 제공하도록 쉽게 설계될 수 있다.

IIR 디지털 필터는 동적 범위 문제, 양자화 잡음 및 불안정성을 포함한 문제로 인해 설계하기가 더 어려운 경우가 많다. 일반적으로 디지털 IIR 필터는 일련의 디지털 바이쿼드 필터로 설계된다.

모든 로우패스 2차 연속 시간 필터는 다음과 같은 전달 함수를 갖는다.

: H(s)=\frac{K \omega^{2}_{0}}{s^{2}+\frac{\omega_{0}}{Q}s+\omega^{2}_{0}}.

모든 대역 필터 2차 연속 시간 필터는 다음과 같은 전달 함수를 갖는다.

: H(s)=\frac{K \frac{\omega_{0}}{Q}s}{s^{2}+\frac{\omega_{0}}{Q}s+\omega^{2}_{0}}.

여기서
* *K*는 이득(로우패스 DC 이득 또는 대역 필터 중간 대역 이득)이다. (수동 필터의 경우 K는 1임)
* *Q*는 Q 인자이다.
* \omega_{0}는 중심 주파수이다.
* s=\sigma+j\omega는 복소 주파수이다.

## 같이 보기
* 필터 설계
* 라플라스 변환
* 그린 함수
* 원형 필터
* Z변환
* 시스템 이론
** LTI 시스템 이론
* 비선형 필터
* 위너 필터
* 가보르 필터
* 리프로그 필터

## 각주

## 참고 자료

* 
* National Semiconductor AN-779 application note describing analog filter theory
* Lattice AN6017 application note comparing and contrasting filters (in order of damping coefficient, from lower to higher values): Gaussian, Bessel, linear phase, Butterworth, Chebyshev, Legendre, elliptic. (with graphs).
* USING THE ANALOG DEVICES ACTIVE FILTER DESIGN TOOL: a similar application note from Analog Devices with extensive graphs, active RC filter topologies, and tables for practical design.
* "Design and Analysis of Analog Filters: A Signal Processing Perspective" by L. D. Paarmann

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