오베르트 효과

우주항행학에서 **동력 플라이바이**(powered flyby) 또는 **오베르트 기동**(Oberth maneuver)은 우주선이 중력 퍼텐셜 우물에 진입한 다음 떨어지는 동안 엔진을 사용하여 추가로 가속하여 추가 속도를 얻는 기동이다. 결과적으로 이 기동은 중력 퍼텐셜 우물 밖에서 동일한 충격량을 가하는 것보다 운동 에너지를 얻는 더 효율적인 방법이다. 효율성 증가는 **오베르트 효과**(Oberth effect)로 설명되는데, 이는 더 높은 속도(어떤 기준 프레임에 상대적으로)에서 반응 엔진을 사용하는 것이 낮은 속도에서 사용하는 것보다 기계적 에너지의 더 큰 변화를 발생시키기 때문이다. 실제적인 측면에서, 이는 우주선이 연료를 연소시키는 가장 에너지 효율적인 방법은 궤도 근점에서 궤도 속도(따라서 운동 에너지)가 가장 클 때이다. 일부 경우, 오베르트 효과의 효율성을 활용하기 위해 중력 퍼텐셜 우물 안으로 우주선의 속도를 늦추는 데 연료를 사용하는 것이 가치가 있다. 이 기동과 효과는 1927년에 처음 기술한 트란실바니아 작센인 물리학자이자 현대 로켓의 창시자인 헤르만 오베르트의 이름을 따서 명명되었다.

차량이 근점 근처에 짧은 시간만 머무르기 때문에, 오베르트 기동이 가장 효과적이려면 차량은 가능한 한 짧은 시간 내에 가능한 한 많은 충격량을 생성할 수 있어야 한다. 결과적으로 오베르트 기동은 액체 로켓과 같은 고추력 로켓 엔진에 훨씬 더 유용하며, 속도를 얻는 데 오랜 시간이 걸리는 이온 엔진과 같은 저추력 반응 엔진에는 덜 유용하다. 저추력 로켓은 긴 이탈 연소를 근점 근처에서 여러 짧은 연소로 분할하여 오베르트 효과를 사용할 수 있다. 오베르트 효과는 다단 로켓의 동작을 이해하는 데에도 사용될 수 있다. 상단은 탑재된 추진제의 총 화학 에너지보다 훨씬 더 많은 사용 가능한 운동 에너지를 생성할 수 있다.

관련된 에너지 측면에서, 오베르트 효과는 높은 속도에서 더 효과적인데, 높은 속도에서는 추진제가 화학 퍼텐셜 에너지 외에 상당한 운동 에너지를 가지고 있기 때문이다. 높은 속도에서 차량은 추진제의 운동 에너지의 더 큰 변화(감소)를 활용하여(후방으로 배출되어 속도가 감소하고 따라서 운동 에너지가 감소함) 차량의 운동 에너지를 더 크게 증가시킬 수 있다.

## 일과 운동 에너지 측면에서의 설명
운동 에너지는 mv2/2와 같으므로, 이 속도 변화는 낮은 속도에서보다 높은 속도에서 운동 에너지의 더 큰 증가를 가져온다. 예를 들어, 2kg 로켓을 고려하면:
* 1m/s에서 로켓은 12 = 1J의 운동 에너지로 시작한다. 1m/s를 추가하면 운동 에너지가 22 = 4J로 증가하여 3J의 이득을 얻는다.
* 10m/s에서 로켓은 102 = 100J의 운동 에너지로 시작한다. 1m/s를 추가하면 운동 에너지가 112 = 121J로 증가하여 21J의 이득을 얻는다.

운동 에너지의 이러한 더 큰 변화는 추진제가 더 낮은 속도로 연소될 때보다 로켓을 중력 퍼텐셜 우물 안에서 더 높이 나르도록 할 수 있다.

## 일 측면에서의 설명
로켓 엔진에 의해 생성되는 추력은 주변 대기에 대한 로켓의 속도와는 무관하다. 정지 발사에서와 같이 고정된 물체에 작용하는 로켓은 유용한 일을 하지 않는다. 로켓의 화학 에너지는 점진적으로 배기가스의 운동 에너지와 열로 변환된다. 그러나 로켓이 움직일 때, 그 추력은 움직인 거리에 걸쳐 작용한다. 힘에 변위를 곱한 것이 기계적 일의 정의이다. 연소 동안 로켓과 페이로드의 속도가 빠를수록 변위와 수행된 일이 커지고, 로켓과 페이로드의 운동 에너지 증가가 커진다. 로켓의 속도가 증가함에 따라 사용 가능한 운동 에너지 중 점차 더 많은 부분이 로켓과 페이로드로 가고, 더 적은 부분이 배기가스로 간다.

이는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 로켓에 가해진 기계적 일 은 엔진 추력의 힘 과 연소 동안 이동한 변위 의 스칼라곱으로 정의된다.
: W = \vec{F} \cdot \vec{s}.

연소가 순행 방향으로 이루어지면,  일은 운동 에너지의 변화를 초래한다.
: \Delta E_k = F \cdot s.

시간에 대해 미분하면 다음과 같다.
: \frac{\mathrm{d}E_k}{\mathrm{d}t} = F \cdot \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t},
또는
: \frac{\mathrm{d}E_k}{\mathrm{d}t} = F \cdot v,
여기서 v는 속도이다. 이를 비에너지 로 표현하기 위해 순간 질량 m으로 나누면 다음과 같다.
: \frac{\mathrm{d}e_k}{\mathrm{d}t} = \frac F m \cdot v = a \cdot v,
여기서 a는 가속도 벡터이다.

이를 통해 로켓의 각 부분의 비에너지 증가율은 속도에 비례하며, 이를 통해 방정식은 로켓의 비에너지 전체 증가를 계산하기 위해 (수치적으로 또는 다른 방식으로) 적분될 수 있음을 알 수 있다.

## 충격적 연소
연소 지속 시간이 짧으면 위 에너지 방정식을 적분할 필요가 없는 경우가 많다. 근점 근처 또는 다른 곳에서 화학 로켓 엔진의 짧은 연소는 일반적으로 충격적 연소로 수학적으로 모델링된다. 여기서 엔진의 힘은 연소 동안 차량의 에너지를 변경할 수 있는 다른 어떤 힘보다 지배적이다.

예를 들어, 차량이 어떤 궤도(폐쇄 또는 탈출 궤도)에서든 근점을 향해 떨어질 때 중심체에 대한 속도는 증가한다. 근점에서 엔진을 짧게 연소하는("충격적 연소") 순행은 다른 어떤 시간과 동일한 증분만큼 속도를 증가시킨다(<math>\Delta v</math>). 그러나 차량의 운동 에너지는 속도의 제곱에 비례하므로, 이 속도 증가는 차량의 운동 에너지에 비선형적인 영향을 미치며, 다른 어떤 시간에 연소가 이루어졌을 때보다 더 높은 에너지 상태로 만든다.

### 포물선 궤도에 대한 오베르트 계산
포물선 궤도의 근점에서 Δv의 충격적 연소가 수행되면, 연소 전 근점에서의 속도는 탈출 속도 (Vesc)와 같고, 연소 후 비운동 에너지는 다음과 같다.
: \begin{align}
 e_k &= \tfrac{1}{2} V^2 \\
     &= \tfrac{1}{2} (V_\text{esc} + \Delta v )^2 \\
     &= \tfrac{1}{2} V_\text{esc} ^ 2 + \Delta v V_\text{esc} + \tfrac{1}{2} \Delta v^2,
\end{align}
여기서 V = V_\text{esc} + \Delta v이다.

차량이 중력장을 떠날 때, 비운동 에너지의 손실은 다음과 같다.
: \tfrac{1}{2} V_\text{esc}^2,
따라서 차량은 다음 에너지를 유지한다.
: \Delta v V_\text{esc} + \tfrac{1}{2} \Delta v^2,
이는 중력장 밖에서의 연소 (\tfrac{1}{2} \Delta v^2)로 인한 에너지보다 다음만큼 더 크다.
:  \Delta v V_\text{esc}.

차량이 중력 퍼텐셜 우물을 떠났을 때, 다음 속도로 이동한다.
: V = \Delta v \sqrt{1 + \frac{2 V_\text{esc}}{\Delta v}}.

추가된 충격량 Δv가 탈출 속도에 비해 작은 경우, 1은 무시할 수 있으며, 충격적 연소의 유효 Δv는 단순히 다음 요인에 의해 곱해지는 것으로 볼 수 있다.
: \sqrt{\frac{2 V_\text{esc}}{\Delta v}}
그러면 다음과 같이 된다.
: V ≈ \sqrt{\Delta v}} .

유사한 효과는 폐쇄 궤도와 쌍곡선 궤도에서도 발생한다.

### 포물선 예시

차량이 Δv만큼 속도를 변경하는 연소 시작 시 속도 v로 이동하는 경우, 새로운 궤도로 인한 고유 궤도 에너지 (SOE)의 변화는 다음과 같다.
: v \,\Delta v + \tfrac{1}{2}(\Delta v)^2.

우주선이 다시 행성에서 멀리 떨어져 있을 때, 중력 퍼텐셜 에너지가 0에 가까워지므로 SOE는 전적으로 운동 에너지이다. 따라서 연소 시 v가 클수록 최종 운동 에너지가 커지고 최종 속도가 높아진다.

이 효과는 중심체에 가까울수록, 또는 더 일반적으로, 연소가 발생하는 중력장 퍼텐셜이 깊을수록 더욱 두드러진다. 왜냐하면 그곳에서 속도가 더 빠르기 때문이다.

따라서 우주선이 목성을 포물선 비행하며 근점 속도가 50km/s이고 5km/s의 연소를 수행하는 경우, 먼 거리에서의 최종 속도 변화는 22.9km/s로 나타나며, 연소가 4.58배로 증가한다.

## 역설

로켓이 에너지를 공짜로 얻는 것처럼 보일 수 있으며, 이는 에너지 보존 법칙을 위반하는 것처럼 보인다. 그러나 로켓의 운동 에너지 증가는 배기가스의 운동 에너지의 상대적인 감소(배기가스의 운동 에너지는 여전히 증가할 수 있지만 그만큼 많이 증가하지는 않는다)로 상쇄된다. 엔진의 속도가 0으로 고정된 정지 발사 상황과 비교해 보라. 이는 운동 에너지가 전혀 증가하지 않으며, 연료에 의해 방출되는 모든 화학 에너지가 배기가스의 운동 에너지(및 열)로 변환된다는 것을 의미한다.

매우 빠른 속도에서는 로켓에 전달되는 기계적 동력이 추진제 연소로 방출되는 총 동력을 초과할 수 있으며, 이 역시 에너지 보존 법칙을 위반하는 것처럼 보일 수 있다. 그러나 빠르게 움직이는 로켓의 추진제는 화학적으로뿐만 아니라 자체 운동 에너지로도 에너지를 운반하며, 몇 킬로미터/초 이상의 속도에서는 화학 성분을 초과한다. 이 추진제가 연소될 때, 이 운동 에너지의 일부는 연소로 방출되는 화학 에너지와 함께 로켓으로 전달된다.

따라서 오베르트 효과는 로켓 비행 초기에 천천히 움직일 때 극히 낮은 효율성을 부분적으로 보완할 수 있다. 로켓이 비행 초기에 하는 대부분의 일은 아직 연소되지 않은 추진제의 운동 에너지에 "투자"되며, 그 중 일부는 나중에 연소될 때 방출될 것이다.

## 같이 보기

* 이중 타원 전이
* 스윙바이
* 추진 효율

## 각주

## 외부 링크
* 오베르트 효과
* 효과에 대한 설명 by 제프리 랜디스.

* 로켓 추진, 고전 상대론, 그리고 오베르트 효과

* 궤도 내 오베르트 효과 애니메이션 (MP4) (위에서 인용된 블랑코와 뭉간 논문 발췌).

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