양자역학에서의 측정

양자물리학에서 **측정**()은 수치적 결과를 얻기 위해 물리계를 시험하거나 조작하는 것이다. 양자 이론의 근본적인 특징은 예측이 확률적이라는 것이다. 확률을 찾는 절차는 양자 시스템을 수학적으로 설명하는 양자 상태와 그 시스템에 수행될 측정의 수학적 표현을 결합하는 것을 포함한다. 이 계산 공식은 보른 규칙으로 알려져 있다. 예를 들어, 전자와 같은 양자 입자는 공간의 각 지점에 확률 진폭이라는 복소수를 연결하는 양자 상태로 설명될 수 있다. 이 진폭에 보른 규칙을 적용하면 전자를 찾는 실험이 수행될 때 전자가 한 영역 또는 다른 영역에서 발견될 확률을 얻을 수 있다. 이것이 이론이 할 수 있는 최선이다; 전자가 어디에서 발견될지는 확실히 말할 수 없다. 동일한 양자 상태는 전자의 위치 대신 운동량을 측정하는 실험이 수행될 경우 전자가 어떻게 움직일지에 대한 예측을 하는 데도 사용될 수 있다. 불확정성 원리는 양자 상태가 무엇이든 간에 전자의 위치에 대한 예측 범위와 운동량에 대한 예측 범위가 모두 좁을 수 없음을 암시한다. 일부 양자 상태는 위치 측정 결과에 대한 거의 확실한 예측을 의미하지만, 운동량 측정 결과는 매우 예측 불가능하며 그 반대도 마찬가지이다. 또한, 자연이 벨 부등식으로 알려진 통계적 조건을 위반한다는 사실은 양자 측정 결과의 예측 불가능성이 양자 시스템 내의 "국소적 숨은 변수"에 대한 무지로 인해 설명될 수 없음을 나타낸다.

양자 시스템을 측정하는 것은 일반적으로 그 시스템을 설명하는 양자 상태를 변화시킨다. 이것은 양자역학의 핵심 특징이며, 수학적으로 복잡하고 개념적으로 미묘하다. 어떤 측정 결과가 발생할 수 있는지, 그리고 양자 상태가 어떻게 변할 수 있는지에 대한 예측을 위한 수학적 도구는 20세기 동안 개발되었으며 선형대수학과 함수해석학을 사용한다. 양자 물리학은 경험적인 성공을 거두었으며 광범위한 적용 가능성을 가지고 있음을 입증했다. 그러나 더욱 철학적 수준에서는 측정 개념의 의미에 대한 논쟁이 계속되고 있다.

## 수학적 형식론
### "관측량"으로서의 자기 수반 작용소

양자역학에서 각 물리 시스템은 힐베르트 공간과 연관되며, 그 각 요소는 물리 시스템의 가능한 상태를 나타낸다. 존 폰 노이만이 성문화한 접근 방식은 물리 시스템에 대한 측정을 해당 힐베르트 공간의 "관측량"이라고 불리는 자기 수반 작용소로 표현한다. 이러한 관측량은 고전 물리학에서 익숙한 측정 가능한 양, 즉 위치, 운동량, 에너지, 각운동량 등의 역할을 한다. 힐베르트 공간의 차원은 연속적인 자유도를 가진 양자 물리학을 정의하는 데 사용되는 선 위의 제곱 적분 가능 함수 공간의 경우처럼 무한할 수 있다. 또는 스핀 자유도의 경우처럼 힐베르트 공간은 유한 차원일 수 있다. 이론의 많은 처리는 관련된 수학이 다소 덜 까다롭기 때문에 유한 차원 경우에 초점을 맞춘다. 실제로 양자역학에 대한 입문 물리 교과서는 유계 및 무계 작용소 간의 구별과 같은 연속 값 관측량 및 무한 차원 힐베르트 공간에서 발생하는 수학적 기술적인 문제; 수렴 문제(수열의 극한이 힐베르트 공간 요소의 극한에도 속하는지 여부), 칸토어 집합과 같은 고유 값 집합에 대한 이국적인 가능성 등을 종종 간과한다. 이러한 문제는 스펙트럼 이론을 사용하여 만족스럽게 해결될 수 있다. 본 문서는 가능한 한 이러한 문제를 피할 것이다.

### 투영 측정

폰 노이만 관측량의 고유 벡터는 힐베르트 공간의 정규 직교 기저를 형성하며, 해당 측정의 각 가능한 결과는 기저를 구성하는 벡터 중 하나에 해당한다. 밀도 연산자는 힐베르트 공간에서 대각합이 1과 같은 양의 준정부호 연산자이다. 정의될 수 있는 각 측정에 대해, 해당 측정 결과에 대한 확률 분포는 밀도 연산자로부터 계산될 수 있다. 그렇게 하는 절차는 다음과 같이 명시하는 보른 규칙이다.
:P(x_i) = \operatorname{tr}(\Pi_i \rho),
여기서 \rho는 밀도 연산자이고, \Pi_i는 측정 결과 x_i에 해당하는 기저 벡터에 대한 사영작용소이다. 보른 규칙 확률로 가중된 폰 노이만 관측량의 고유값의 평균은 해당 관측량의 기대값이다. 관측량 A에 대해 양자 상태 \rho가 주어졌을 때의 기대값은 다음과 같다.
: \langle A \rangle = \operatorname{tr} (A\rho).

랭크-1 투영인 밀도 연산자는 순수 양자 상태로 알려져 있으며, 순수하지 않은 모든 양자 상태는 혼합 상태로 지정된다. 순수 상태는 파동 함수라고도 한다. 양자 시스템에 순수 상태를 할당하는 것은 해당 시스템에 대한 특정 측정 결과에 대한 확실성을 의미한다 (즉, 특정 결과 x에 대해 P(x) = 1). 어떤 혼합 상태도 순수 상태의 볼록 조합으로 작성될 수 있지만, 고유한 방식은 아니다. 양자 시스템의 상태 공간은 시스템에 할당될 수 있는 순수 및 혼합 상태의 모든 집합이다.

보른 규칙은 힐베르트 공간의 각 단위 벡터에 확률을 연결하는데, 정규 직교 기저를 구성하는 단위 벡터의 어떤 집합에 대해서도 이 확률의 합은 1이 된다. 또한, 단위 벡터에 연결된 확률은 밀도 연산자와 단위 벡터의 함수이며, 그 벡터가 내장될 기저의 선택과 같은 추가 정보의 함수가 아니다. 글리슨 정리는 그 역을 확립한다: 이러한 조건을 만족하는 단위 벡터(또는 이에 해당하는 투영 연산자)에 대한 모든 확률 할당은 특정 밀도 연산자에 보른 규칙을 적용하는 형태를 취한다.

### 일반화된 측정 (POVM)

함수해석학 및 양자 측정 이론에서, 양수-연산자-값 측도(POVM)는 힐베르트 공간에서 양수 준정부호 연산자를 값으로 가지는 측도이다. POVM은 투영 값 측도 (PVM)의 일반화이며, 따라서 POVM으로 설명되는 양자 측정은 PVM으로 설명되는 양자 측정의 일반화이다. 대략적인 비유로, POVM은 PVM에 대해 혼합 상태가 순수 상태에 대한 것과 같다. 혼합 상태는 더 큰 시스템의 하위 시스템의 상태를 지정하는 데 필요하며 (참조: 슈뢰딩거-HJW 정리), 이와 유사하게 POVM은 더 큰 시스템에서 수행된 투영 측정이 하위 시스템에 미치는 영향을 설명하는 데 필요하다. POVM은 양자역학에서 가장 일반적인 종류의 측정이며, 양자장론에서도 사용될 수 있다. 양자 정보 분야에서 광범위하게 사용된다.

가장 간단한 경우, 유한 차원 힐베르트 공간에 작용하는 유한 개의 요소를 가진 POVM은 힐베르트 공간  \mathcal{H} 에서 양의 준정부호 행렬 \{F_i\} 의 집합으로, 단위 행렬로 합산된다.

:\sum_{i=1}^n F_i = \operatorname{I}.

양자역학에서 POVM 요소 F_i는 측정 결과 i와 연관되며, 양자 상태 \rho에서 측정할 때 이를 얻을 확률은 다음과 같다.

:\text{Prob}(i) = \operatorname{tr}(\rho F_i) ,

여기서 \operatorname{tr}은 대각합 연산자이다. 측정되는 양자 상태가 순수 상태 |\psi\rangle인 경우 이 공식은 다음과 같이 줄어든다.

:\text{Prob}(i) = \operatorname{tr}(|\psi\rangle\langle\psi| F_i) = \langle\psi|F_i|\psi\rangle.

### 측정으로 인한 상태 변화

양자 시스템에 대한 측정은 일반적으로 해당 시스템의 양자 상태 변화를 가져온다. POVM을 작성하는 것은 이러한 상태 변화 과정을 설명하는 데 필요한 완전한 정보를 제공하지 않는다. 이를 해결하기 위해 각 POVM 요소를 곱으로 분해하여 추가 정보를 지정한다.
:E_i =  A^\dagger_{i} A_{i}.
카를 크라우스의 이름을 딴 크라우스 연산자 A_{i}는 상태 변화 과정에 대한 명세를 제공한다. 이들은 반드시 자기 수반적이지는 않지만, A^\dagger_{i} A_{i} 곱은 자기 수반적이다. 측정을 수행했을 때 결과 E_i가 얻어지면, 초기 상태 \rho는 다음과 같이 업데이트 된다.
:\rho \to \rho' =  \frac{A_{i} \rho A^\dagger_{i}}{\mathrm{Prob}(i)} =  \frac{A_{i} \rho A^\dagger_{i}}{\operatorname{tr} (\rho E_i)}.
중요한 특별한 경우는 게르하르트 뤼더스의 이름을 딴 뤼더스 규칙이다. POVM 자체가 PVM인 경우, 크라우스 연산자는 폰 노이만 관측량의 고유 공간에 대한 투영기로 간주될 수 있다.
:\rho \to \rho'  = \frac{\Pi_i \rho \Pi_i}{\operatorname{tr} (\rho \Pi_i)}.
초기 상태 \rho가 순수하고, 투영기 \Pi_i의 랭크가 1인 경우, 이들은 각각 벡터 |\psi\rangle와 |i\rangle에 대한 투영기로 작성될 수 있다. 공식은 다음과 같이 단순화된다.
:\rho = |\psi\rangle\langle\psi| \to \rho' = \frac{|\langle i |\psi \rangle|^2} = |i\rangle\langle i|.
뤼더스 규칙은 역사적으로 "파동 패킷의 환원" 또는 "파동 함수 붕괴"로 알려져 있다. 순수 상태 |i\rangle는 |i\rangle를 고유 벡터로 갖는 폰 노이만 관측량에 대해 확률-1 예측을 의미한다. 양자 이론 입문서에서는 양자 측정을 빠르게 연속적으로 반복하면 두 번 모두 동일한 결과가 나타난다고 종종 표현한다. 이것은 과도한 단순화인데, 양자 측정의 물리적 구현은 광자 흡수와 같은 과정을 포함할 수 있기 때문이다. 측정 후에는 광자가 다시 측정될 수 있도록 존재하지 않는다.

정규화를 제외하고 모든 가능한 측정 후 POVM 상태를 합산하여 선형적이고 대각합을 보존하는 완전 양수 사상을 정의할 수 있다.
:\rho \to \sum_i A_i \rho A^\dagger_i.
이는 양자 채널의 한 예이며, 측정이 수행되었지만 그 측정 결과가 손실된 경우 양자 상태가 어떻게 변하는지 표현하는 것으로 해석될 수 있다.

### 예시
[섬네일|right|명확한 양자 상태 구별을 위한 상태 (파란색) 및 최적 POVM (빨간색)의 [블로흐 구면 표현
|\psi\rangle=|0\rangle와 |\varphi\rangle=(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt2 상태에서. 블로흐 구면에서 직교 상태는 반평행임을 주목하라.]]
유한 차원 힐베르트 공간의 전형적인 예는 2차원 힐베르트 공간을 갖는 양자 시스템인 큐비트이다. 큐비트의 순수 상태는 두 개의 직교 기저 상태 |0 \rangle 와 |1 \rangle 의 선형 결합으로 복소 계수를 사용하여 작성될 수 있다.
: | \psi \rangle = \alpha |0 \rangle + \beta |1 \rangle  
(|0\rangle, |1\rangle) 기저에서 측정은 | \alpha |^2 확률로 |0 \rangle  결과를 산출하고 | \beta |^2 확률로 |1 \rangle  결과를 산출하므로, 정규화에 의해 다음이 성립한다.
: | \alpha |^2 + | \beta |^2 = 1.

큐비트의 임의 상태는 2 \times 2 자기 수반 행렬의 기저를 제공하는 파울리 행렬의 선형 결합으로 작성될 수 있다.

:\rho = \tfrac{1}{2}\left(I + r_x \sigma_x + r_y \sigma_y + r_z \sigma_z\right),
여기서 실수 (r_x, r_y, r_z)는 단위구 내의 한 점의 좌표이며 다음이 성립한다.
:
  \sigma_x =
    \begin{pmatrix}
      0&1\\
      1&0
    \end{pmatrix}, \quad
  \sigma_y =
    \begin{pmatrix}
      0&-i\\
      i&0
    \end{pmatrix}, \quad
  \sigma_z =
    \begin{pmatrix}
      1&0\\
      0&-1
    \end{pmatrix} .
POVM 요소도 마찬가지로 표현될 수 있지만, POVM 요소의 대각합은 1로 고정되지 않는다. 파울리 행렬은 힐베르트-슈미트 내적에 대해 대각합이 0이고 서로 직교하며, 따라서 상태 \rho의 좌표 (r_x, r_y, r_z)는 파울리 행렬로 정의된 세 가지 폰 노이만 측정의 기대값이다. 이러한 측정이 큐비트에 적용되면, 뤼더스 규칙에 따라 상태는 측정 결과에 해당하는 해당 파울리 행렬의 고유 벡터로 업데이트된다. \sigma_z의 고유 벡터는 기저 상태 |0\rangle와 |1\rangle이며, \sigma_z의 측정은 종종 "계산 기저"에서의 측정이라고 불린다. 계산 기저에서 측정 후, \sigma_x 또는 \sigma_y 측정 결과는 최대 불확실성을 갖는다.

한 쌍의 큐비트는 함께 4차원 힐베르트 공간을 형성하는 시스템이다. 이 시스템에 대한 중요한 폰 노이만 측정 중 하나는 네 가지 최대로 얽힌 상태의 집합인 벨 기저에 의해 정의되는 측정이다.
:\begin{align}
|\Phi^+\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |0\rangle_B + |1\rangle_A \otimes |1\rangle_B) \\
|\Phi^-\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |0\rangle_B - |1\rangle_A \otimes |1\rangle_B) \\
|\Psi^+\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |1\rangle_B + |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B) \\
|\Psi^-\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |1\rangle_B - |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B)
\end{align}

[섬네일|1D 조화 진동자의 [에너지 고유상태 |n\rangle가 주어졌을 때 위치 측정 결과에 대한 확률 밀도 P_n(x)]]연속적인 자유도에 적용된 양자역학의 일반적이고 유용한 예는 양자 조화 진동자이다. 이 시스템은 해밀토니언에 의해 정의된다.
:{H} = \frac\right)^2,
한 상태가 다른 상태의 성공적인 준비를 식별하기 위한 테스트를 통과할 확률을 표현한다. 트레이스 거리는 푸크스-판 데르 흐라프 부등식을 통해 충실도에 대한 경계를 제공한다.
:1 - \sqrt{F(\rho,\sigma)} \leq \frac{1}{2}||\rho-\sigma|| \leq \sqrt{1 - F(\rho,\sigma)}.

### 양자 회로

[150px|섬네일|측정의 회로 표현. 왼쪽의 단일 선은 큐비트를 나타내고, 오른쪽의 두 선은 고전적 [비트 (단위)|비트를 나타낸다.]]
양자 회로는 계산이 양자 게이트 시퀀스와 측정으로 이어지는 양자 컴퓨팅을 위한 모델이다. 게이트는 n-비트 레지스터의 양자역학적 아날로그에 대한 가역 변환이다. 이 유사한 구조는 n-큐비트 레지스터라고 불린다. 회로도에 양식화된 포인터 다이얼로 그려진 측정은 계산 단계가 실행된 후 양자 컴퓨터에서 결과가 어디서 어떻게 얻어지는지 나타낸다. 일반성을 잃지 않고, 표준 회로 모델을 사용할 수 있으며, 여기서는 게이트 집합이 단일 큐비트 유니타리 변환과 큐비트 쌍에 대한 제어-NOT 게이트이며, 모든 측정은 계산 기저에서 이루어진다.

### 측정 기반 양자 컴퓨팅

측정 기반 양자 컴퓨팅(MBQC)은 질문에 대한 답이 비공식적으로 말하면 컴퓨터 역할을 하는 물리 시스템을 측정하는 행위에서 생성되는 양자 컴퓨팅 모델이다.

### 양자 단층 촬영

양자 상태 단층 촬영은 양자 측정 결과를 나타내는 데이터 세트가 주어졌을 때, 해당 측정 결과와 일치하는 양자 상태를 계산하는 과정이다. 이는 단층 촬영과 유사하여 명명되었는데, CT 스캔에서와 같이 슬라이스를 통해 3차원 이미지를 재구성하는 것을 의미한다. 양자 상태의 단층 촬영은 양자 채널의 단층 촬영 및 심지어 측정의 단층 촬영으로도 확장될 수 있다.

### 양자 계측학

양자 계측학은 양자 물리학을 이용하여 일반적으로 고전 물리학에서 의미를 가졌던 양들을 측정하는 데 도움을 주는 분야로, 예를 들어 양자 효과를 활용하여 길이를 측정하는 정밀도를 높이는 것이다. 유명한 예로는 LIGO 실험에 압착 광을 도입하여 중력파에 대한 감도를 높인 것이다.

## 실험실 구현
양자 측정의 수학이 적용될 수 있는 물리적 절차의 범위는 매우 넓다. 이 주제의 초기에는 실험실 절차에 스펙트럼 선 기록, 사진 필름의 어두워짐, 섬광 관찰, 안개 상자의 트랙 찾기, 가이거 계수기에서 나는 딸깍 소리 듣기 등이 포함되었다. 이 시대의 언어는 추상적인 측정 결과를 "검출기 딸깍 소리"로 묘사하는 것과 같이 지속된다.

이중슬릿 실험은 양자 간섭의 전형적인 예시로, 일반적으로 전자나 광자를 사용하여 설명된다. 광자 행동의 파동적 측면과 입자적 측면이 모두 중요한 영역에서 수행된 최초의 간섭 실험은 1909년 G. I. Taylor의 실험이었다. 테일러는 장치를 통과하는 빛을 감쇠시키기 위해 훈제 유리 스크린을 사용했는데, 현대적인 용어로 말하면 한 번에 한 광자만 간섭계 슬릿을 비추도록 했다. 그는 사진 건판에 간섭 패턴을 기록했는데, 가장 희미한 빛의 경우 노출 시간이 약 3개월이 필요했다. 1974년 이탈리아 물리학자 피에르 지오르지오 메를리, 잔 프랑코 미시롤리, 줄리오 포치는 단일 전자를 사용하여 브라운관으로 이중슬릿 실험을 구현했다. 25년 후, 빈 대학교 팀은 버키볼을 이용한 간섭 실험을 수행했는데, 간섭계를 통과한 버키볼은 레이저에 의해 이온화되고, 이온은 다시 전자의 방출을 유도했으며, 이 방출은 전자증배관에 의해 증폭되고 감지되었다.

현대 양자 광학 실험에서는 단일 광자 검출기를 사용할 수 있다. 예를 들어, 2018년 "BIG Bell test"에서는 여러 실험실 설정에서 단일광자 검출소자를 사용했다. 다른 실험실 설정에서는 초전도 큐비트를 사용했다. 초전도 큐비트에 대한 측정을 수행하는 표준 방법은 큐비트를 공진기와 결합하여 공진기의 특성 주파수가 큐비트의 상태에 따라 이동하고, 프로브 신호에 대한 공진기의 반응을 관찰하여 이 이동을 감지하는 것이다.

## 양자역학의 해석

[섬네일|[닐스 보어와 알베르트 아인슈타인이 레이던의 파울 에렌페스트 자택(1925년 12월)에서 찍은 사진으로, 양자역학이 현실의 본질에 대해 무엇을 의미하는지에 대한 오랜 기간의 우호적인 논쟁을 벌였다.]]
과학자들 사이에 양자 물리학이 실제로 성공적인 이론이라는 합의에도 불구하고, 더 철학적인 수준에서는 이견이 지속된다. 양자 기초로 알려진 분야의 많은 논쟁은 양자역학에서 측정의 역할에 관한 것이다. 반복되는 질문에는 확률 이론 해석 중 어떤 것이 보른 규칙으로 계산된 확률에 가장 적합한지, 그리고 양자 측정 결과의 명백한 무작위성이 근본적인 것인지, 아니면 더 깊은 결정론적 과정의 결과인지 등이 포함된다. 이러한 질문에 대한 답을 제시하는 세계관을 양자역학의 "해석"이라고 부른다; 물리학자 N. 데이비드 머민이 한때 농담으로 말했듯이, "새로운 해석은 매년 나타난다. 사라지는 해석은 결코 없다."

양자 기초 내의 주요 관심사는 "양자 측정 문제"이지만, 이 문제가 어떻게 한정되는지, 그리고 하나의 질문으로 간주되어야 하는지 아니면 여러 개의 별개의 문제로 간주되어야 하는지는 논쟁의 여지가 있는 주제이다. 주요 관심사는 겉보기에는 별개의 시간 진화 유형 간의 명백한 불일치이다. 폰 노이만은 양자역학에 "근본적으로 다른 두 가지 유형"의 양자 상태 변화가 포함되어 있다고 선언했다. 첫째는 측정 과정을 포함하는 변화이고, 둘째는 측정이 없는 유니타리 시간 진화이다. 전자는 확률적이고 불연속적이며, 후자는 결정론적이고 연속적이라고 폰 노이만은 썼다. 이 이분법은 이후 많은 논쟁의 분위기를 형성했다. 일부 양자역학 해석은 두 가지 다른 유형의 시간 진화에 의존하는 것을 불쾌하게 여기고, 언제 어느 것을 호출해야 할지에 대한 모호성을 양자 이론이 역사적으로 제시된 방식의 결함으로 간주한다. 이러한 해석을 지지하기 위해 그 지지자들은 "측정"을 부차적인 개념으로 간주하고 측정 과정의 겉보기 확률적 효과를 더 근본적인 결정론적 동역학에 대한 근사치로 추론하는 방법을 개발하려고 노력했다. 그러나 이 프로그램을 구현하는 올바른 방법, 특히 보른 규칙을 사용하여 확률을 계산하는 방법을 정당화하는 방법에 대해서는 지지자들 사이에 합의가 이루어지지 않았다. 다른 해석들은 양자 상태를 양자 시스템에 대한 통계적 정보로 간주하여, 양자 상태의 급격하고 불연속적인 변화가 문제가 되지 않고, 단지 이용 가능한 정보의 업데이트를 반영한다고 주장한다. 이 사고방식에 대해 벨은 "누구의 정보? 무엇에 대한 정보?"라고 물었다. 이 질문에 대한 답은 정보 지향적 해석의 지지자들마다 다르다.

## 같이 보기

* 아인슈타인의 사고 실험
* 홀레보 정리
* 양자 오류 정정
* 양자 한계
* 양자 논리
* 양자 제논 효과
* 슈뢰딩거의 고양이
* SIC-POVM

## 내용주

## 각주

## 더 읽어보기

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* 

분류:물리철학
분류:양자 측정