방사형 궤적

항공우주공학 및 천체역학에서 **방사형 궤적**()은 각운동량이 0인 케플러 궤도를 말한다. 방사형 궤적상에 있는 두 물체는 직선을 따라 서로에게 직접 다가가거나 멀어진다.

## 분류
방사형 궤적(궤도)에는 세 가지 유형이 있다.

* 방사형 타원 궤적(Radial elliptic trajectory): 두 물체가 서로 닿았다가 멀어지고 다시 닿을 때까지의 퇴화된 타원의 일부분에 해당하는 궤도이다. 두 물체의 상대 속도는 탈출 속도보다 작다. 이는 단반경 = 0이고 이심률 = 1인 타원 궤도이다. 이심률이 1임에도 불구하고 이것은 포물선 궤도가 아니다. 만약 두 물체의 반발 계수가 1(완전 탄성)이라면 이 궤도는 주기적이다. 반발 계수가 1보다 작으면(비탄성) 이 궤도는 비주기적이다.
* 방사형 포물선 궤적(Radial parabolic trajectory): 두 물체의 상대 속도가 항상 탈출 속도와 같은 비주기적 궤도이다. 물체가 서로 멀어지는 경우와 서로 다가가는 경우의 두 가지 사례가 있다.
* 방사형 쌍곡선 궤적(Radial hyperbolic trajectory): 두 물체의 상대 속도가 항상 탈출 속도를 초과하는 비주기적 궤도이다. 물체가 서로 멀어지는 경우와 서로 다가가는 경우의 두 가지 사례가 있다. 이는 단반경 = 0이고 이심률 = 1인 쌍곡선 궤도이다. 이심률이 1이지만 포물선 궤도는 아니다.

궤도 이심률에 의해 분류되는 일반적인 궤도와 달리, 방사형 궤도는 전체 운동 에너지와 위치 에너지의 일정한 합을 환산 질량으로 나눈 값인 고유 궤도 에너지에 의해 분류된다.
 \varepsilon = \frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{x} 
여기서 는 질량 중심 사이의 거리, 는 상대 속도, 그리고 \mu = G \left(m_1 + m_2\right)는 표준 중력 변수이다.

또 다른 상수는 다음과 같이 주어진다.
 w = \frac{1}{x} - \frac{v^2}{2\mu} = \frac{-\varepsilon}{\mu} 

* 타원 궤적의 경우 w는 양수이다. 이는 원점 거리(최대 거리)의 역수이다.
* 포물선 궤적의 경우 w는 0이다.
* 쌍곡선 궤적의 경우 w는 음수이다. 이는  \textstyle \frac{-v_\infty^2}{2\mu} 이며, 여기서  \textstyle v_\infty 는 무한대 거리에서의 속도이다.

## 거리의 함수로서의 시간
임의의 시간에서의 거리와 속도, 그리고 총 질량이 주어지면 다른 시간에서의 위치를 결정할 수 있다.

첫 번째 단계는 상수 를 결정하는 것이다. 의 부호를 사용하여 궤도 유형을 결정한다.
 w = \frac{1}{x_0} - \frac{v_0^2}{2\mu} 
여기서  x_0 와  v_0 는 임의의 시간에서의 거리와 상대 속도이다.

### 포물선 궤적
 t(x) = \sqrt{ \frac{2x^3}{9\mu} }
여기서 는 두 질량이 점질량이라고 가정했을 때 일치하게 되는 시점으로부터의 시간 또는 그 시점까지의 시간이며, 는 거리이다.

이 식은 방사형 포물선 궤적에만 적용되며, 일반적인 포물선 궤적에 대해서는 바커의 방정식을 참조하라.

### 타원 궤적

 t(x, w) = \frac{ \arcsin\left( \sqrt{w\,x} \right) - \sqrt{w\,x\ (1 - w\,x)} }{ \sqrt{2\mu\, w^3} } 
여기서 는 두 질량이 점질량일 때 일치하게 되는 시점으로부터의 시간 또는 그 시점까지의 시간이며, 는 거리이다.

이것은 방사형 케플러 방정식이다.

### 쌍곡선 궤적
 t( x, w ) =  \frac{ \sqrt{ (|w|x)^2 + |w|x} - \ln\left(\sqrt{|w|x} + \sqrt{1 + |w|x}\right) }{ \sqrt{2\mu \, |w|^3} }
여기서 t는 두 질량이 점질량일 때 일치하게 되는 시점으로부터의 시간 또는 그 시점까지의 시간이며, x는 거리이다.

### 보편적 형태 (모든 궤적)
방사형 케플러 방정식은 다음과 같이 "보편적"(모든 궤적에 적용 가능)으로 만들어질 수 있다.
 t(x, w) = \lim_{u \to w} \frac{ \arcsin\left(\sqrt{u\, x}\right) - \sqrt{u\,x\ (1 - u\,x)} }{ \sqrt{2\mu\, u^3} } 
또는 거듭제곱 급수로 전개하면 다음과 같다.
 t( x, w ) = \frac{1}{\sqrt{2\mu}} \left. \left(\frac{2}{3} x^\frac{3}{2} + \frac{1}{5} w x^\frac{5}{2} + \frac{3}{28} w^2 x^\frac{7}{2} + \frac{5}{72} w^3 x^\frac{9}{2} + \frac{35}{704} w^4 x^\frac{11}{2} \cdots \right) \right|_{-1 

## 방사형 케플러 문제 (시간의 함수로서의 거리)
특정 시간의 두 물체 사이 거리와 속도가 주어졌을 때, 다른 시간에서의 거리를 찾는 문제를 케플러 문제라고 한다. 이 절에서는 방사형 궤도에 대한 케플러 문제를 해결한다.

첫 번째 단계는 상수  w 를 결정하는 것이다.  w 의 부호를 사용하여 궤도 유형을 결정한다.
 w = \frac{1}{x_0} - \frac{v_0^2}{2\mu} 
여기서  x_0 와  v_0 는 임의의 시간에서의 거리와 속도이다.

### 포물선 궤적

 x(t) = \left( \frac{9}{2} \mu t^2 \right)^\frac{1}{3} 

### 보편적 형태 (모든 궤적)
두 가지 중간 물리량이 사용된다. 와, 물체가 포물선 궤적에 있을 때 시간 에서 가질 거리 이다.
 w = \frac{1}{x_0} - \frac{v_0^2}{2\mu} \quad \text{및} \quad p = \left( \frac{9}{2} \mu t^2 \right)^{1/3} 

여기서 는 시간,  x_0 는 초기 위치,  v_0 는 초기 속도, 그리고 \mu = G \left(m_1 + m_2\right)이다.

역 방사형 케플러 방정식은 방사형 케플러 문제의 해답이다.
x(t) =
  \sum_{n=1}^\infty \left(
    \lim_{r \to 0} \left[
      \frac{w^{n-1} p^n}{n!}
      \frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}r^{n-1}} \left(
        r^n \left[
          \frac{3}{2} \left( \arcsin\left[\sqrt{r}\right] - \sqrt{r - r^2} \right)
        \right]^{-\frac{2}{3}n}
      \right)
    \right]
  \right)


이를 계산하면 다음과 같다.
x(t) =  p - \frac{1}{5} w p^2 - \frac{3}{175} w^2 p^3 - \frac{23}{7875} w^3 p^4 - \frac{1894}{3031875} w^4 p^5 - \frac{3293}{21896875} w^5 p^6 - \frac{2418092}{62077640625}w^6 p^7 \cdots

거듭제곱 급수는 항별로 쉽게 미분할 수 있다. 반복 미분을 통해 속도, 가속도, 저크(jerk), 스냅(snap) 등의 공식을 얻을 수 있다.

## 방사형 샤프트 내부의 궤도
균질한 구형 천체 내부의 방사형 샤프트 안에서의 궤도는 단순 조화 운동이 될 것이다. 왜냐하면 그러한 천체 내부의 중력은 중심까지의 거리에 비례하기 때문이다. 만약 작은 물체가 큰 천체의 표면에서 진입하거나 나가는 경우, 궤도는 위에서 논의된 궤도 중 하나로 변하거나 그로부터 변하게 된다. 예를 들어, 샤프트가 표면에서 표면까지 뚫려 있다면 단순 조화 운동의 두 주기 부분과 두 개의 서로 다른(그러나 대칭적인) 방사형 타원 궤도의 부분으로 구성된 폐쇄 궤도가 가능하다.

## 같이 보기
* 케플러 방정식
* 케플러 문제
* 궤도 목록

## 각주
* Cowell, Peter (1993), Solving Kepler's Equation Over Three Centuries, William Bell.

## 외부 링크
* Kepler's Equation at Mathworld http://mathworld.wolfram.com/KeplersEquation.html

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분류:요하네스 케플러