뉴턴의 회전 궤도 정리

[thumb|right|250px|그림 1: 인력 F(r)은 파란색 행성이 청록색 원 위를 움직이게 한다. 초록색 행성은 3배 더 빠르게 움직이므로 더 강한 [구심력이 필요하며, 이는 인력인 역세제곱력을 추가함으로써 공급된다. 빨간색 행성은 정지해 있으며, 힘 F(r)은 척력인 역세제곱력에 의해 균형을 이룬다. 이 애니메이션의 GIF 버전은 여기에 있다.]]
[thumb|right|250px|그림 2: 초록색과 파란색 행성의 반지름 r은 같지만, 그들의 [각속도는 k배만큼 차이가 난다. 이러한 궤도의 예는 그림 1 및 3~5에 나타나 있다.]]

고전역학에서 **뉴턴의 회전 궤도 정리**()는 입자의 반지름 방향 운동에 영향을 주지 않으면서 입자의 각속도를 k배로 곱하는 데 필요한 중심력의 유형을 식별한다(그림 1 및 2). 아이작 뉴턴은 달과 행성에서 관찰되는 궤도의 전반적인 회전(장축단 세차 운동, 그림 3)을 이해하기 위해 이 정리를 적용했다. "반지름 방향 운동"은 힘의 중심을 향하거나 멀어지는 운동을 의미하며, 각운동은 반지름 방향 운동에 수직이다.

아이작 뉴턴은 1687년에 처음 출판된 그의 저서 프린키피아(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica) 제1권의 명제 43~45에서 이 정리를 도출했다. 명제 43에서 그는 추가된 힘이 입자와 공간의 고정된 점(중심) 사이의 거리 r에만 의존하는 중심력이어야 함을 보여주었다. 명제 44에서 그는 힘의 공식을 유도하여 그것이 r의 역세제곱으로 변하는 역세제곱력임을 보여주었다. 명제 45에서 뉴턴은 입자가 거의 원형 궤도로 움직인다고 가정함으로써 이 정리를 임의의 중심력으로 확장했다.

천체물리학자 수브라마니안 찬드라세카르가 1995년 뉴턴의 프린키피아에 대한 해설서에서 언급했듯이, 이 정리는 3세기 이상 거의 알려지지 않았고 발전되지 않은 채로 남아 있었다. 1997년부터 도널드 린든벨과 동료들에 의해 이 정리가 연구되었다. 이 정리의 첫 번째 정확한 확장은 2000년 마호메드(Mahomed)와 보다(Vawda)의 작업과 함께 이루어졌다.

## 역사적 배경
[thumb|left|300px|지구에서 본 [화성의 역행 운동]]
[thumb|left|300px|그림 3: 태양을 공전하는 행성들은 시간이 지남에 따라 점차 회전하는 타원형 궤도를 따른다([장축단 세차 운동). 이 타원의 궤도 이심률은 시각화를 위해 과장되었다. 태양계의 대부분의 궤도는 훨씬 작은 이심률을 가지고 있어 거의 원형에 가깝다. 이 애니메이션의 GIF 버전은 여기에 있다.]]

천체의 운동은 수천 년 동안 체계적으로 연구되어 왔다. 별들은 항상 서로에 대해 동일한 상대적 위치를 유지하며 균일하게 회전하는 것으로 관찰되었다. 그러나 다른 천체들은 고정된 별들을 배경으로 배회하는 것이 관찰되었는데, 이러한 천체들 중 대부분은 "떠돌이"를 뜻하는 그리스어 "πλανήτοι"(planētoi)를 따서 행성이라고 불렸다. 행성들은 일반적으로 하늘을 가로지르는 경로(황도)를 따라 같은 방향으로 움직이지만, 개별 행성들은 때때로 방향을 잠시 바꾸어 역행 운동을 보이기도 한다.

이러한 전진 및 후진 운동을 설명하기 위해 페르게의 아폴로니오스()는 주전원과 대원(deferents and epicycles) 개념을 개발했다. 이에 따르면 행성들은 회전하는 원 위에 실려 있으며, 그 원들 자체가 다른 회전하는 원들 위에 실려 있는 식이다. 이 접근 방식은 현대의 푸리에 변환에 대응하기 때문에, 신중하게 선택된 충분한 수의 주전원을 사용하면 어떤 궤도도 설명할 수 있다. 대략 350년 후, 클라우디오스 프톨레마이오스는 그의 저서 알마게스트를 출판하여 당시 최고의 천문 관측 결과에 맞게 이 시스템을 발전시켰다. 주전원을 설명하기 위해 프톨레마이오스는 행성들이 동심원의 회전하는 구체에 갇혀 있다는 아리스토텔레스의 천동설적 우주론을 채택했다. 이 우주 모델은 거의 1500년 동안 권위를 유지했다.

행성 운동에 대한 현대적 이해는 16세기에 천문학자 튀코 브라헤와 물리학자 요하네스 케플러의 공동 노력에서 비롯되었다. 튀코는 행성 운동의 극도로 정확한 측정을 수행한 공로를 인정받으며, 케플러는 이를 바탕으로 자신의 케플러의 행성운동법칙을 도출할 수 있었다. 이 법칙들에 따르면 행성들은 (지구가 아닌) 태양 주위를 (주전원이 아닌) 타원 궤도로 움직인다. 케플러의 제2법칙과 제3법칙은 구체적인 정량적 예측을 제공한다. 행성들은 같은 시간에 같은 면적을 휩쓸며 지나가고, 그들의 공전 주기의 제곱은 긴반지름의 세제곱에 비례한다. 이후 행성 궤도에 대한 관측 결과, 타원의 장축(이른바 장축단 선)이 시간에 따라 점차 회전한다는 것이 밝혀졌으며, 이 회전을 장축단 세차 운동이라고 한다. 궤도의 장축단(apses)은 공전하는 천체가 끌어당기는 중심에 가장 가깝거나 가장 멀리 있는 점이다. 태양을 공전하는 행성의 경우 장축단은 근일점(가장 가까움)과 원일점(가장 멂)에 해당한다.

대략 80년 후(1687년) 프린키피아의 출판과 함께 아이작 뉴턴은 뉴턴 운동 법칙과 그의 만유인력의 법칙에 기초하여 케플러의 세 가지 법칙을 모두 설명하는 물리 이론을 제공했다. 특히 뉴턴은 두 물체 사이의 중력이 그들 사이의 거리 r의 역제곱으로 변하는 중심력 F(r)이라고 제안했다. 뉴턴은 자신의 운동 법칙으로부터 이러한 힘을 받는 입자의 궤도는 항상 원뿔 곡선이며, 무한대로 나가지 않는다면 구체적으로 타원임을 보여주었다. 그러나 이 결론은 두 물체만 존재할 때(이체 문제)만 유효하다. 상호 중력 하에 작용하는 세 개 이상의 물체의 운동(다체 문제)은 뉴턴 이후 수세기 동안 미해결 상태로 남아 있었지만, 몇 가지 특수한 사례에 대한 해는 발견되었다. 뉴턴은 태양의 중력이 지배적이기 때문에 태양 주위 행성의 궤도가 대체로 타원형이라고 제안했다. 근사적으로 다른 행성들의 존재는 무시될 수 있다. 마찬가지로, 지구 주위 달의 타원 궤도는 지구의 중력에 의해 지배되었으며, 근사적으로 태양과 태양계의 다른 천체들의 중력은 무시될 수 있었다. 그러나 뉴턴은 행성과 달 궤도의 점진적인 장축단 세차 운동이 이러한 무시된 상호작용의 영향 때문이라고 언급했다. 특히 그는 달 궤도의 세차 운동이 태양과의 중력 상호작용에 의한 섭동 효과 때문이라고 밝혔다.

뉴턴의 회전 궤도 정리는 장축단 세차 운동을 정량적으로 이해하려는 그의 첫 번째 시도였다. 이 정리에 따르면, 특정한 유형의 중심력인 역세제곱력을 추가하면 회전하는 궤도를 생성할 수 있다. 각속도는 k배가 되지만 반지름 방향 운동은 변하지 않는다. 그러나 이 정리는 관련이 없을 수도 있는 특정 유형의 힘에 국한된다. (다른 행성들의 영향과 같은) 여러 섭동적인 역제곱 상호작용이 정확히 역세제곱력이 될 가능성은 낮아 보이기 때문이다. 자신의 정리를 다른 유형의 힘에도 적용할 수 있도록 하기 위해, 뉴턴은 태양계의 대부분의 궤도에서 실제로 그러하듯이 낮은 이심률의 타원 궤도, 즉 거의 원형인 궤도의 한계에서 임의의 중심력 F(r)에 대한 역세제곱 퍼텐셜의 최선의 근사를 찾았다. 이 근사를 찾기 위해 뉴턴은 테일러 전개의 선구자로 볼 수 있는 무한 급수를 개발했다. 이 근사를 통해 뉴턴은 임의의 중심력에 대한 세차 운동 속도를 추정할 수 있었다. 뉴턴은 이 근사를 적용하여 달 궤도의 장축단 세차 운동을 일으키는 힘의 모델을 테스트했다. 그러나 달 운동의 문제는 매우 복잡하며, 뉴턴은 달의 장축단 세차 운동에 대한 정확한 중력 모델을 출판하지 못했다. 1747년 알렉시 클로드 클레로에 의한 더 정확한 모델 이후, 19세기 후반에 조지 윌리엄 힐(Hill), 브라운(Brown), 그리고 샤를외젠 들로네(Delaunay)에 의해 달 운동의 분석 모델이 개발되었다.

그러나 뉴턴의 정리는 단순히 장축단 세차 운동을 설명하는 것보다 더 일반적이다. 이는 만유인력의 법칙이나 쿨롱 법칙과 같은 역제곱력뿐만 아니라, 모든 중심력 F(r)에 역세제곱력을 추가했을 때의 효과를 설명한다. 뉴턴의 정리는 고려 대상에서 역세제곱력을 제거함으로써 고전역학의 궤도 문제를 단순화한다. 반지름 방향 운동 r(t)와 각운동 θ1(t)는 역세제곱력 없이 계산할 수 있으며, 그 후에 입자의 각속도를 곱하여 그 효과를 계산할 수 있다.


\omega_2 = \frac{d\theta_2}{dt} = k \frac{d\theta_1}{dt} = k \omega_1.


## 수학적 진술
[thumb|right|250px|그림 4: 세 행성 모두 동일한 반지름 방향 운동(청록색 원)을 공유하지만 각속도는 다르다. 파란색 행성은 [역제곱 법칙|역제곱력만을 느끼며 타원 위를 움직인다(k&nbsp;=&nbsp;1). 초록색 행성은 파란색 행성보다 각 방향으로 3배 빠르게 움직이며(k&nbsp;=&nbsp;3), 파란색 행성이 한 번 궤도를 돌 때 세 번 궤도를 돈다. 빨간색 행성은 각운동이 없는 순수한 반지름 방향 운동을 보여준다(k&nbsp;=&nbsp;0). 초록색과 파란색 행성이 따르는 경로는 에 나타나 있다. 이 애니메이션의 GIF 버전은 여기에 있다.]]

[thumb|250px|right|그림 5: 초록색 행성은 파란색 행성보다 각 방향으로 3분의 1배 빠르게 움직이며(k&nbsp;=&nbsp;1/3), 파란색 행성이 세 번 궤도를 돌 때 한 번 궤도를 완료한다. 초록색과 파란색 행성이 따르는 경로는 에 나타나 있다. 이 애니메이션의 [GIF 버전은 여기에 있다.]]

입자와 고정된 중심 사이의 거리 r에만 크기가 의존하는 임의의 중심력 F1(r) 하에서 움직이는 입자를 고려하자. 중심력 하에서 입자의 운동은 항상 평면 위에 있으므로, 입자의 위치는 힘의 중심에 대한 반지름과 각도인 극좌표계 (r,&nbsp;θ1)로 설명할 수 있다(그림 1). 이 두 좌표 r(t)와 θ1(t)는 입자가 움직임에 따라 시간 t에 따라 변한다.

질량 m이 같고 반지름 방향 운동 r(t)도 같지만, 각속도가 첫 번째 입자보다 k배 빠른 두 번째 입자를 상상해 보자. 즉, 두 입자의 방위각은 θ2(t) = k&nbsp;θ1(t)라는 식으로 연관된다. 뉴턴은 두 번째 입자의 운동이 첫 번째 입자에 작용하는 힘 F1(r)이 무엇이든 그 힘에 역세제곱 중심력을 더함으로써 생성될 수 있음을 보여주었다.


F_2(r) - F_1(r) = \frac{L_1^2}{mr^3} \left( 1 - k^2 \right)


여기서 L1은 첫 번째 입자의 각운동량의 크기로, 중심력에 대해 운동 상수(보존량)이다.

k2이 1보다 크면 F2&nbsp;−&nbsp;F1은 음수이다. 따라서 추가된 역세제곱력은 그림 1~4 및 9의 초록색 행성에서 관찰되는 것과 같은 인력이다. 반대로 k2이 1보다 작으면 F2−F1은 양수이다. 추가된 역세제곱력은 그림 5와 10의 초록색 행성, 그리고 그림 4와 5의 빨간색 행성에서 관찰되는 것과 같은 척력이다.

### 입자 경로의 변화
이러한 역세제곱력의 추가는 입자가 따르는 경로 또한 변화시킨다. 입자의 경로는 r(t) 및 θ1(t)와 같은 반지름 및 각도 운동의 시간 의존성을 무시하고, 대신 반지름과 각도 변수를 서로 연결한다. 이를 위해 각도 변수는 제한되지 않으며 입자가 중심점 주위를 여러 번 회전함에 따라 무한히 증가할 수 있다. 예를 들어 입자가 중심점 주위를 두 번 회전하여 시작 위치로 돌아오면 최종 각도는 초기 각도와 같지 않고 만큼 증가한 상태이다. 형식적으로 각도 변수는 각속도의 적분으로 정의된다.


\theta_1 \equiv \int \omega_1(t)\, dt.


두 번째 입자의 각도 θ2에 대해서도 비슷한 정의가 성립한다.

첫 번째 입자의 경로가 의 형태로 설명된다면, 이므로 두 번째 입자의 경로는 함수 에 의해 주어진다. 예를 들어 첫 번째 입자의 경로가 타원이라고 하자.


\frac{1}{r} = A + B \cos \theta_1


여기서 A와 B는 상수이다. 그러면 두 번째 입자의 경로는 다음과 같이 주어진다.


\frac{1}{r} = A + B \cos \left( \frac{\theta_2}{k} \right).


## 궤도 세차 운동
k가 1에 가깝지만 같지 않다면, 두 번째 궤도는 첫 번째 궤도와 닮았지만 힘의 중심 주위를 서서히 회전한다. 이것을 궤도 세차 운동이라고 한다(그림 3). k가 1보다 크면 궤도는 궤도와 같은 방향으로 세차 운동을 하고(그림 3), k가 1보다 작으면 궤도는 반대 방향으로 세차 운동을 한다.

그림 3의 궤도가 균일하게, 즉 일정한 각속도로 회전하는 것처럼 보일 수 있지만, 이는 원형 궤도일 때만 참이다. 궤도가 각속도 Ω로 회전한다면, 두 번째 입자의 각속도는 첫 번째 입자의 각속도보다 Ω만큼 빠르거나 느리다. 즉, 각속도는  식을 만족할 것이다. 그러나 뉴턴의 회전 궤도 정리는 각속도가 곱셈으로 연관된다고 명시한다: , 여기서 k는 상수이다. 이 두 식을 결합하면 세차 운동의 각속도가 과 같음을 알 수 있다. 따라서 Ω는 ω1이 일정할 때만 일정하다. 각운동량 보존 법칙에 따라 ω1은 반지름 r에 따라 변한다.


\omega_1 = \frac{L_1}{m r^2};


여기서 m과 L1은 각각 첫 번째 입자의 질량과 각운동량이며, 둘 다 일정하다. 따라서 ω1은 반지름 r이 일정할 때, 즉 궤도가 원일 때만 일정하다. 그러나 그 경우 궤도는 세차 운동을 하더라도 모양이 변하지 않는다.

## 예시: 코츠의 나선
[thumb|right|그림 6: 직선으로 움직이는 파란색 입자의 경우, 주어진 중심으로부터의 반지름 r은  식에 따라 각도에 따라 변하며, 여기서 b는 최단 접근 거리([입사 파라미터, 빨간색으로 표시됨)이다.]]

뉴턴의 정리의 가장 간단한 예시는 초기 힘이 없을 때, 즉 F1(r) = 0일 때 발생한다. 이 경우 첫 번째 입자는 정지해 있거나 직선으로 이동한다. 만약 원점을 지나지 않는 직선으로 이동한다면(그림 6의 노란색 선), 그러한 선에 대한 방정식은 극좌표 (r, θ1)로 다음과 같이 쓸 수 있다.


\frac{1}{r} = \frac{1}{b} \cos\ (\theta_1 - \theta_0)


여기서 θ0는 거리가 최소화되는 각도이다(그림 6). 거리 r은 (θ1 – 일 때) 무한대에서 시작하여 θ1 – 가 되어 거리가 최소값에 도달할 때까지 점차 감소한 다음, θ1 – 에서 다시 무한대로 점차 증가한다. 최소 거리 b는 고정된 중심에서 운동 직선에 내린 수선의 길이로 정의되는 입사 파라미터이다. 역세제곱 중심력이 추가될 때도 동일한 반지름 방향 운동이 가능하다.

thumb|left|150px|그림 7: k가 2/3(빨간색), 1.0(검은색), 1.5(초록색), 3.0(청록색), 6.0(파란색)인 경우에 해당하는 에피스파이럴(Epispirals). k가 1보다 작으면 역세제곱력은 척력인 반면, k가 1보다 크면 인력이다.

역세제곱 중심력 F2(r)은 다음과 같은 형태를 갖는다.


F_2(r) = \frac{\mu}{r^3}


여기서 분자 μ는 양수(척력) 또는 음수(인력)일 수 있다. 이러한 역세제곱력이 도입되면, 뉴턴의 정리는 그에 해당하는 해가 코츠의 나선(Cotes's spirals)이라고 불리는 모양을 가진다고 말한다. 이들은 다음과 같은 방정식으로 정의되는 곡선이다.


\frac{1}{r} = \frac{1}{b} \cos \left(\frac{\theta_2 - \theta_0}{k} \right)


여기서 상수 k는 다음과 같다.


k^2 = 1 - \frac{m \mu}{L_1^2}


방정식의 우변이 양의 실수일 때, 해는 에피스파이럴(epispiral)에 해당한다. 인수 (θ2 – θ0)/k가 ±90°가 될 때 코사인은 0이 되고 반지름은 무한대로 간다. 따라서 k가 1보다 작으면 허용된 각도의 범위가 작아지고 힘은 척력이다(그림 7의 오른쪽 빨간색 곡선). 반면 k가 1보다 크면 허용된 각도의 범위가 증가하여 인력에 해당한다(그림 7의 왼쪽 초록색, 청록색, 파란색 곡선). 입자의 궤도는 중심 주위를 여러 번 감을 수도 있다. 매개변수 k의 가능한 값은 0에서 무한대까지이며, 이는 음의 무한대에서 양의 상한선 L12/m까지의 μ 값에 해당한다. 따라서 모든 인력 역세제곱력(음의 μ)에 대해 해당하는 에피스파이럴 궤도가 존재하며, 그림 7에 예시된 것처럼 일부 척력(μ 12/m)에 대해서도 존재한다. 더 강한 척력은 더 빠른 선형 운동에 해당한다.

[thumb|left|150px|그림 8: λ가 1.0(초록색), 3.0(청록색), 6.0(파란색)인 경우에 해당하는 [Poinsot's spirals|푸앵소의 나선(cosh 나선).]]

다른 해 유형 중 하나는 쌍곡코사인으로 주어진다.


\frac{1}{r} = \frac{1}{b} \cosh \left(\frac{\theta_0 - \theta_2}{\lambda} \right)


여기서 상수 λ는 다음을 만족한다.


\lambda^2 = \frac{m \mu}{L_1^2} - 1


이러한 형태의 코츠 나선은 두 가지 푸앵소 나선 중 하나에 해당한다(그림 8). λ의 가능한 값은 0에서 무한대까지이며, 이는 양수 L12/m보다 큰 μ 값에 해당한다. 따라서 푸앵소 나선 운동은 척력 역세제곱 중심력에 대해서만 발생하며, 주어진 μ에 대해 L이 너무 크지 않은 경우에 적용된다.

k 또는 λ가 0으로 가는 한계를 취하면 코츠 나선의 세 번째 형태인 소위 역나선 또는 쌍곡선 나선을 해로 얻는다.


\frac{1}{r} = A \theta_2 + \varepsilon


여기서 A와 ε는 임의의 상수이다. 이러한 곡선은 척력 μ의 세기가 각운동량-질량 항과 정확히 균형을 이룰 때 나타난다.


\mu = \frac{L_1^2}{m}


## 닫힌 궤도와 역세제곱 중심력
thumb|170px|right|그림 9: (파란색), 2(자주색), 3(초록색)인 조화 궤도. 파란색과 초록색 궤도의 애니메이션은 그림 4에 나와 있다.

두 가지 유형의 중심력, 즉 훅의 법칙과 같이 거리에 따라 선형적으로 증가하는 힘 F = Cr과 만유인력의 법칙 및 쿨롱 법칙과 같이 거리의 인 역제곱력은 매우 독특한 성질을 가지고 있다. 이러한 유형의 힘 하에서 움직이는 입자는 무한대로 나갈 만큼 충분한 에너지가 없다면 항상 초기 속도로 시작 위치에 돌아온다. 즉, 속박된 입자의 경로는 항상 닫혀 있으며 초기 위치나 속도에 상관없이 그 운동은 무한히 반복된다. 베르트랑의 정리에서 보여주듯이, 이 성질은 다른 유형의 힘에는 해당되지 않는다. 일반적으로 입자는 같은 속도로 시작 지점에 돌아오지 않는다.

그러나 뉴턴의 정리는 선형 또는 역제곱력 하에서 움직이는 입자에 역세제곱력을 가했을 때 k가 유리수라면 그 궤도가 닫힌 상태로 유지될 수 있음을 보여준다. (어떤 수가 m/n의 분수로 쓰일 수 있다면 그 수를 "유리수"라고 하며, 여기서 m과 n은 정수이다.) 이러한 경우 역세제곱력의 추가는 원래 입자가 n번 회전하는 것과 같은 시간에 두 번째 입자가 중심 주위를 m번 회전하게 만든다. 닫힌 궤도를 생성하는 이 방법은 베르트랑의 정리를 위반하지 않는데, 추가된 역세제곱력이 입자의 초기 속도에 의존하기 때문이다.

thumb|right|170px|그림 10: (파란색), 1/2(자주색), 1/3(초록색)인 하부 조화 궤도. 파란색과 초록색 궤도의 애니메이션은 그림 5에 나와 있다.

조화 및 하부 조화 궤도는 이러한 닫힌 궤도의 특수한 유형이다.  공식에서 인 경우, 즉 k가 정수이면 닫힌 궤적을 조화 궤도라고 한다. 예를 들어 이면(그림 1 및 4의 초록색 행성, 그림 9의 초록색 궤도), 결과 궤도는 원래 궤도의 세 번째 조화 궤도이다. 반대로 인 경우, 즉 k가 정수의 역원이면 닫힌 궤적을 하부 조화 궤도라고 한다. 예를 들어 이면(그림 5의 초록색 행성, 그림 10의 초록색 궤도), 결과 궤도는 원래 궤도의 세 번째 하부 조화 궤도라고 불린다. 이러한 궤도가 자연계에서 발생할 가능성은 낮지만 뉴턴의 정리를 설명하는 데 유용하다.

## 거의 원형인 궤도의 한계
프린키피아의 명제 45에서 뉴턴은 자신의 회전 궤도 정리를 적용하여 행성의 운동을 지배하는 힘의 법칙을 찾는 방법을 개발한다. 요하네스 케플러는 대부분의 행성과 달의 궤도가 타원인 것처럼 보인다는 점을 언급했으며, 그 타원의 장축은 천문학적 측정을 통해 정확하게 결정될 수 있다. 장축은 중심점에서 최소 거리와 최대 거리의 위치를 연결하는 선, 즉 두 장축단(apses)을 연결하는 선으로 정의된다. 예를 들어, 수성의 장축은 연속적인 근일점과 원일점 위치를 지나는 선으로 정의된다. 시간이 지나면서 대부분의 공전 천체의 장축은 다른 천체로부터의 중력 섭동, 중심 천체의 편평도, 일반 상대론적 효과 및 기타 효과로 인해 한 바퀴 돌 때마다 대개 몇 도 이내로 서서히 회전한다. 뉴턴의 방법은 이 장축단 세차 운동을 행성에 작용하는 힘의 유형을 파악하는 민감한 탐침으로 사용한다.

뉴턴의 정리는 역세제곱 중심력을 추가했을 때의 효과만을 설명한다. 그러나 뉴턴은 태양계의 8개 행성 궤도 중 7개에서 그러하듯이 궤도 이심률이 낮은(ε&nbsp;≤&nbsp;0.1) 타원과 같이 거의 원형인 궤도에 주의를 집중함으로써 자신의 정리를 임의의 중심력 F(r)로 확장한다. 뉴턴은 이 정리를 이심률 ε이 약 0.21인 수성에도 적용했으며, 궤도 이심률이 약 0.97인 핼리 혜성에도 관련이 있을 수 있다고 제안했다.

이 방법의 외삽에 대한 질적인 정당화는 발루리(Valluri), 윌슨(Wilson) 및 하퍼(Harper)에 의해 제안되었다. 그들의 논리에 따르면, 뉴턴은 장축단 세차 각도 α(중심에서 연속적인 최소 및 최대 거리 벡터 사이의 각도)를 궤도 이심률 ε의 매끄러운 연속 함수로 간주했다. 역제곱력의 경우 α는 180°이다. 즉, 최소 거리와 최대 거리 위치로의 벡터가 같은 선상에 놓인다. 만약 ε이 작을 때(준원 궤도) α가 처음부터 180°가 아니라면, 일반적으로 α는 고립된 ε 값에 대해서만 180°가 될 것이다. 무작위로 선택된 ε 값이 α = 180°를 줄 가능성은 매우 낮다. 따라서 관찰된 행성 궤도의 느린 장축단 회전은 중력이 역제곱 법칙임을 시사한다.

### 정량적 공식
방정식을 단순화하기 위해 뉴턴은 새로운 함수 C(r)을 사용하여 F(r)을 쓴다.


F(r) = \frac{C(r)}{R r^3}


여기서 R은 거의 원형인 궤도의 평균 반지름이다. 뉴턴은 거리 r의 멱급수로 C(r)을 전개하는데, 이는 현재 테일러 전개로 알려진 급수의 초기 등장 사례 중 하나이다. 결과로 나온 역세제곱력 항을 회전 궤도에 대한 역세제곱력과 같게 놓음으로써, 뉴턴은 거의 원형인 궤도에 대한 등가의 각도 배율 인자 k를 도출한다.


\frac{1}{k^2} = \left( \frac{R}{C} \right) \left. \frac{dC}{dr} \right|_{r=R}


즉, 거의 원형인 타원 궤도에 임의의 중심력 F(r)을 적용하면 반지름 방향 운동에 큰 영향을 주지 않으면서 각운동을 k배만큼 가속할 수 있다. 타원 궤도가 고정되어 있다면, 입자는 장축의 한쪽 끝에서 다른 쪽 끝(두 개의 장축단)으로 이동할 때 힘의 중심 주위를 180° 회전한다. 따라서 일반적인 중심력에 대한 해당 장축단 각도 α는 일반 법칙 을 사용하여 k×180°와 같다.

### 예시
뉴턴은 세 가지 예시로 자신의 공식을 설명한다. 처음 두 예시에서 중심력은 멱법칙 이므로, C(r)은 rn에 비례한다. 위의 공식은 각운동이  배만큼 곱해지므로 장축단 각도 α는 180°/이 됨을 나타낸다.

이러한 각도 배율은 장축단 세차 운동, 즉 타원 장축의 점진적인 회전에서 볼 수 있다(그림 3). 위에서 언급했듯이 궤도 전체는 평균 각속도 Ω=(k−1)ω로 회전하며, 여기서 ω는 정지된 타원 주위 입자의 평균 각속도이다. 만약 입자가 한 장축단에서 다른 장축단으로 이동하는 데 시간 T가 걸린다면, 이는 같은 시간 동안 장축이 β&nbsp;=&nbsp;ΩT&nbsp;=&nbsp;(k&nbsp;−&nbsp;1)ωT&nbsp;=&nbsp;(k&nbsp;−&nbsp;1)×180°의 각도만큼 회전함을 의미한다. n이 1인 만유인력의 법칙과 같은 역제곱 법칙의 경우, 각도 배율이 없고(k&nbsp;=&nbsp;1), 장축단 각도 α는 180°이며, 타원 궤도는 정지해 있다(Ω&nbsp;=&nbsp;β&nbsp;=&nbsp;0).

마지막 예시로 뉴턴은 두 멱법칙의 합을 고려한다.


C(r) \propto a r^m + b r^n


이는 각속도를 다음 인자만큼 곱한다.


k = \sqrt{\frac{a + b}{am + bn}}


뉴턴은 이 두 공식(멱법칙과 두 멱법칙의 합)을 모두 적용하여 달 궤도의 장축단 세차 운동을 조사한다.

## 달 궤도의 세차 운동
thumb|350px|right|달의 운동은 행성의 운동보다 더 복잡하며, 주로 지구와 태양의 경합하는 중력 인력 때문이다.

달의 운동은 정확하게 측정될 수 있으며 행성의 운동보다 눈에 띄게 복잡하다. 고대 그리스 천문학자인 히파르코스와 클라우디오스 프톨레마이오스는 궤도 이심률의 작은 진동과 황도면에 대한 궤도 경사와 같은 달 궤도의 여러 주기적인 변화를 언급했다. 이러한 진동은 일반적으로 한 달에 한 번 또는 두 번의 시간 척도로 발생한다. 달의 장축단 선은 약 8.85년의 주기로 서서히 세차 운동을 하는 반면, 교점 선은 그 시간의 대략 두 배인 18.6년 만에 한 바퀴를 돈다. 이것은 약 18년 주기의 일식/월식 주기인 소위 사로스 주기를 설명한다. 그러나 두 선 모두 다시 월 단위의 시간 척도에서 작은 변동을 겪는다.

1673년 제러마이아 호록스는 달이 세차 운동을 하는 타원 궤도를 따른다고 가정한 상당히 정확한 달 운동 모델을 발표했다. 달의 운동을 예측하는 충분히 정확하고 간단한 방법은 배의 경도를 결정하는 항해 문제를 해결했을 것이다. 뉴턴 시대의 목표는 달의 위치를 2분(각분) 이내로 예측하는 것이었는데, 이는 지표면 경도에서 1°의 오차에 해당한다. 호록스의 모델은 10각분 이내의 오차로 달의 위치를 예측했다. 참고로 달의 지름은 약 30각분이다.

뉴턴은 달의 장축단 세차 운동을 설명하기 위해 자신의 회전 궤도 정리를 두 가지 방식으로 사용했다. 첫째, 그는 관찰된 달의 장축단 세차 운동이 중력의 힘의 법칙을 역제곱 법칙에서 지수가 (약 2.0165)인 멱법칙으로 변경함으로써 설명될 수 있음을 보여주었다.


F(r) = - \frac{GMm}{r^{2 + 4/243}}


1894년 아사프 홀은 1859년 위르뱅 르베리에에 의해 관찰되었던 수성의 변칙적인 궤도 세차 운동을 설명하기 위해 역제곱 법칙의 지수를 약간 수정하는 이 접근 방식을 채택했다. 아이러니하게도 홀의 이론은 달에 대한 정밀한 천문 관측에 의해 배제되었다. 현재 수용되는 이 세차 운동에 대한 설명은 일반 상대성이론을 포함하며, 이는 (제1차 근사에서) 거리의 역네제곱으로 변하는 역네제곱력을 추가한다.

달의 세차 운동을 설명하기 위한 두 번째 접근 방식으로, 뉴턴은 달의 운동에 대한 태양의 섭동 영향이 대략 다음과 같은 추가적인 선형 힘과 동등할 수 있다고 제안했다.


F(r) = \frac{A}{r^2} + B r


첫 번째 항은 달과 지구 사이의 중력 인력에 해당하며, 여기서 r은 달과 지구 사이의 거리이다. 뉴턴이 추론한 두 번째 항은 지구-달 시스템에 대한 태양 중력의 평균 섭동력을 나타낼 수 있다. 이러한 힘의 법칙은 지구가 균일한 밀도의 구형 먼지 구름에 둘러싸여 있는 경우에도 발생할 수 있다. 거의 원형인 궤도에 대한 k 공식과 A 및 B의 추정치를 사용하여, 뉴턴은 이 힘의 법칙이 달의 세차 운동을 설명할 수 없음을 보여주었다. 예측된 장축단 각도 α는 관찰된 α(≈&nbsp;181.525°)가 아니라 (≈&nbsp;180.76°)였기 때문이다. 한 번 회전할 때마다 장축은 관찰된 3.0°의 대략 절반인 1.5°만큼 회전할 것이었다.

## 일반화
아이작 뉴턴은 1687년 그의 저서 프린키피아 제1권의 명제 43~45로 자신의 정리를 처음 발표했다. 그러나 천체물리학자 수브라마니안 찬드라세카르가 1995년 뉴턴의 프린키피아 해설서에서 언급했듯이, 이 정리는 3세기 이상 거의 알려지지 않았고 발전되지 않은 채로 남아 있었다.

뉴턴 정리의 첫 번째 일반화는 2000년 마호메드와 보다에 의해 발견되었다. 뉴턴이 했던 것처럼, 그들은 두 번째 입자의 각운동이 첫 번째 입자의 각운동보다 k배 빠르다고 가정했다: . 그러나 뉴턴과 대조적으로 마호메드와 보다는 두 입자의 반지름 방향 운동이 동일할 것을 요구하지 않았다(). 대신, 그들은 반지름의 역수가 선형 방정식으로 연관될 것을 요구했다.


\frac{1}{r_2(t)} = \frac{a}{r_1(t)} + b


이 변수 변환은 입자의 경로를 변화시킨다. 첫 번째 입자의 경로가 로 쓰인다면, 두 번째 입자의 경로는 다음과 같이 쓰일 수 있다.


\frac{a r_2}{1 - b r_2} = g{\left( \frac{\theta_2}{k} \right)}


첫 번째 입자의 운동이 중심력 F1(r)에 의해 생성된다면, 마호메드와 보다는 두 번째 입자의 운동이 다음과 같은 힘에 의해 생성될 수 있음을 보여주었다.


F_2(r_2) = \frac{a^3}{\left( 1 - b r_2 \right)^2} F_1{\left( \frac{a r_2}{1 - b r_2} \right)} +
\frac{L^2}{mr^3} \left( 1 - k^2 \right) - \frac{bL^2}{mr^2}


이 방정식에 따르면, 두 번째 힘 F2(r)은 첫 번째 힘의 척도를 조정하고 인수를 변경할 뿐만 아니라, 역제곱 및 역세제곱 중심력을 추가함으로써 얻어진다.

비교를 위해, 뉴턴의 회전 궤도 정리는  및 인 경우에 해당하며, 따라서 이다. 이 경우 원래 힘의 척도는 조정되지 않고 인수도 변경되지 않으며, 역세제곱력은 추가되지만 역제곱 항은 추가되지 않는다. 또한 두 번째 입자의 경로는 로, 위에서 주어진 공식과 일치한다.

## 도출

### 뉴턴의 도출
뉴턴의 도출은 그의 프린키피아 제9절, 구체적으로 명제 43~45에서 찾을 수 있다. 이러한 명제들에 대한 그의 도출은 주로 기하학에 기초한다.

; 명제 43; 문제 30

[thumb|right|250px|뉴턴의 도출을 설명하는 도식. 파란색 행성은 점선 타원 궤도를 따르는 반면, 초록색 행성은 실선 타원 궤도를 따른다. 두 타원은 점 '''C'''에서 공통 [초점 (기하학)|초점을 공유한다. 각도 UCP와 VCQ는 모두 θ1과 같으며, 검은색 호는 과 같은 각도 UCQ를 나타낸다. 실선 타원은 점선 타원에 대해 (k&minus;1)&nbsp;θ1 각도만큼 회전했다. 세 행성(빨강, 파랑, 초록) 모두 힘의 중심 **C**에서 같은 거리 r에 있다.]]

: 정지해 있는 곡선에서 움직이는 다른 물체와 같은 방식으로, 중심 주위를 회전하는 곡선에서 물체가 움직이게 하는 것이 요구된다.

뉴턴의 명제 43 도출은 프린키피아 앞부분에서 도출된 그의 명제 2에 의존한다. 명제 2는 점질량(입자)에 작용하는 알짜힘이 중심력인지 여부에 대한 기하학적 테스트를 제공한다. 뉴턴은 힘이 중심적일 필요충분조건이 입자가 중심에서 측정했을 때 같은 시간에 같은 면적을 휩쓸며 지나가는 것임을 보여주었다.

뉴턴의 도출은 임의의 중심력 F1(r) 하에서 움직이는 입자에서 시작한다. 이 힘 하에서의 입자 운동은 시간의 함수로서 중심으로부터의 반지름 r(t)와 각도 θ1(t)로 설명된다. 무한소 시간 dt 동안 입자는 면적이 다음과 같은 근사적인 직각 삼각형을 휩쓸고 지나간다.


dA_1 = \frac{1}{2} r^2 d\theta_1


입자에 작용하는 힘이 중심력이라고 가정되므로, 뉴턴의 명제 2에 의해 입자는 같은 시간에 같은 각도를 휩쓸고 지나간다. 다른 방식으로 표현하면, 면적을 휩쓰는 속도는 일정하다.


\frac{dA_1}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \frac{d\theta_1}{dt} = \mathrm{constant}


이 일정한 면적 속도는 다음과 같이 계산될 수 있다. 인력 중심에서 가장 가깝고 가장 먼 거리의 위치인 근일점과 원일점(장축단)에서 속도와 반지름 벡터는 수직이다. 따라서 입자의 질량 m당 각운동량 L1(h1로 표기)은 면적을 휩쓰는 속도와 다음과 같이 연관될 수 있다.


\begin{align}
h_1 &= \frac{L_1}{m} = r v_1 \\[1ex]
&= r^2 \frac{d\theta_1}{dt}
= 2 \frac{dA_1}{dt}
\end{align}


이제 반지름은 동일하지만 각도 변화가 상수 인자 k만큼 곱해진 두 번째 입자를 고려하자.


\theta_2(t) = k \theta_1(t)\,\!


두 번째 입자의 면적 속도는 첫 번째 입자의 면적 속도에 동일한 인자 k를 곱한 것과 같다.


\begin{align}
h_2 &= 2 \frac{dA_2}{dt}
= r^2 \frac{d\theta_2}{dt} \\[1ex]
&= k r^2 \frac{d\theta_1}{dt}
= 2 k \frac{dA_1}{dt} = k h_1
\end{align}


k가 상수이므로 두 번째 입자도 같은 시간에 같은 면적을 휩쓸고 지나간다. 따라서 명제 2에 의해 두 번째 입자도 중심력 F2(r)의 작용을 받는다. 이것이 명제 43의 결론이다.

; 명제 44

: 두 물체가 동일하게 움직이게 할 수 있는 힘들의 차이는, 하나는 고정된 궤도에서, 다른 하나는 동일하게 회전하는 궤도에서 움직일 때, 그들의 공통 고도의 세제곱에 역비례하여 변한다.

원래의 중심력 F1(r)로부터 F2(r)의 크기를 찾기 위해, 뉴턴은 기하학 및 구심 가속도의 정의를 사용하여 그들의 차이 를 계산했다. 그의 프린키피아 명제 44에서 그는 그 차이가 반지름의 역세제곱에 비례함을 보여주었으며, 구체적으로 뉴턴이 두 개의 일정한 면적 속도 h1 및 h2를 사용하여 쓴 위에서 주어진 공식에 의한다.


F_2(r) - F_1(r) = m \frac{h_1^2 - h_2^2}{r^3}


; 명제 45; 문제 31

: 원에 매우 가깝게 접근하는 궤도에서 장축단의 운동을 찾는 것.

이 명제에서 뉴턴은 거의 원형인 궤도의 한계에서 자신의 회전 궤도 정리의 결과를 도출한다. 이 근사는 일반적으로 행성 궤도와 지구 주위 달의 궤도에 유효하다. 또한 이 근사를 통해 뉴턴은 역제곱 및 역세제곱력 법칙뿐만 아니라 매우 다양한 중심력 법칙을 고려할 수 있다.

### 현대적 도출
뉴턴 정리의 현대적 도출은 휘태커(1937)와 수브라마니안 찬드라세카르(1995)에 의해 발표되었다. 가정에 의해, 두 번째 각속도는 첫 번째보다 k배 빠르다.


\omega_2 = \frac{d\theta_2}{dt} = k \frac{d\theta_1}{dt} = k \omega_1


두 반지름이 시간에 따라 동일한 동작 r(t)를 보이므로, 보존되는 각운동량은 동일한 인자 k로 연관된다.


L_2 = m r^2 \omega_2 = m r^2 k \omega_1 = k L_1 \,\!


중심 퍼텐셜 V(r)에서 움직이는 질량 m인 입자의 반지름 r에 대한 운동 방정식은 오일러-라그랑주 방정식에 의해 다음과 같이 주어진다.


m\frac{d^2 r}{dt^2} - mr \omega^2 =
m\frac{d^2 r}{dt^2} - \frac{L^2}{mr^3} = F(r)


두 궤도에 일반 공식을 적용하면 다음과 같은 방정식을 얻는다.


\begin{align}
m\frac{d^2 r}{dt^2} &= F_1(r) + \frac{L_1^2}{mr^3} \\[1ex]
&= F_2(r) + \frac{L_2^2}{mr^3}
= F_2(r) + \frac{k^2 L_1^2}{mr^3}
\end{align}


이는 다음과 같은 형태로 재배열될 수 있다.


F_2(r) = F_1(r) + \frac{L_1^2}{mr^3} \left( 1 - k^2 \right)


두 반지름 방향 힘을 연결하는 이 방정식은 질적으로 다음과 같이 이해될 수 있다. 각속도의 차이(또는 등가적으로 각운동량의 차이)는 필요한 구심력의 차이를 유발하며, 이를 상쇄하기 위해 반지름 방향 힘은 역세제곱력에 의해 변경되어야 한다.

뉴턴의 정리는 중심력에 대해 정의되는 위치 에너지로도 등가적으로 표현될 수 있다.

 F(r) = -\frac{dV}{dr} 

반지름 방향 힘 방정식은 두 위치 에너지로 쓰일 수 있다.


- \frac{dV_2}{dr} = - \frac{dV_1}{dr} + \frac{L_1^2}{mr^3} \left( 1 - k^2 \right)


거리 r에 대해 적분하면, 뉴턴의 정리는 각속도의 k배 변화가 주어진 임의의 위치 에너지 V1(r)에 역제곱 위치 에너지를 더한 결과임을 명시한다.


V_2(r) = V_1(r) + \frac{L_1^2}{2mr^2} \left( 1 - k^2 \right)


## 같이 보기
* 케플러 문제
* 라플라스-룽게-렌츠 벡터
* 일반 상대성이론의 이체 문제
* 타원에 관한 뉴턴의 정리

## 각주

## 참고 문헌
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## 더 읽어보기
* (séance du lundi 20 Octobre 1873)
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* Alternative translation of earlier (2nd) edition of Newton's Principia.
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## 외부 링크
* Three-body problem discussed by Alain Chenciner at Scholarpedia

분류:고전역학
분류:아이작 뉴턴
분류:1687년 과학
분류:물리학 개념