위그너-바일 변환

양자역학에서 **위그너-바일 변환**() 또는 **바일-위그너 변환**(, 헤르만 바일과 유진 위그너의 이름을 따서 명명됨)은 양자 상공간 공식화의 함수와 슈뢰딩거 묘사에서의 힐베르트 공간 연산자 사이의 가역 사상이다.

흔히 상공간의 함수에서 연산자로 가는 사상을 **바일 변환**() 또는 **바일 양자화**()라고 부르며, 반대로 연산자에서 상공간의 함수로 가는 역사상을 **위그너 변환**()이라고 한다. 이 사상은 원래 1927년 헤르만 바일이 대칭화된 고전 상공간 함수를 연산자로 대응시키려는 시도에서 고안되었으며, 이 절차는 바일 양자화로 알려져 있다. 오늘날 바일 양자화는 일관된 양자화에 필요한 모든 속성을 만족하지 않으며, 따라서 때때로 비물리적인 결과를 낳는다는 것이 이해되고 있다. 반면, 아래에 기술된 몇 가지 훌륭한 속성들은 고전 상공간의 함수를 연산자로 매핑하는 단일하고 일관된 절차를 찾는다면 바일 양자화가 최선의 선택임을 시사한다. 즉, 그러한 사상들의 일종의 정규 좌표 역할을 한다. (그로네볼드의 정리는 우리가 원하는 모든 이상적인 속성을 가진 사상은 존재할 수 없음을 단언한다)

그럼에도 불구하고, 바일-위그너 변환은 상공간 표현과 연산자 표현 사이의 잘 정의된 적분 변환이며, 양자역학의 작동 방식에 대한 통찰을 제공한다. 가장 중요하게는, 위그너 준확률 분포는 양자 밀도 행렬의 위그너 변환이며, 반대로 밀도 행렬은 위그너 함수의 바일 변환이다.

일관된 양자화 체계를 찾고자 했던 바일의 원래 의도와는 대조적으로, 이 사상은 단지 양자역학 내에서의 표현 변경에 불과하다. 이것이 반드시 "고전적" 양과 "양자적" 양을 연결할 필요는 없다. 예를 들어, 상공간 함수는 각운동량과 관련된 일부 친숙한 사례에서와 같이 수정 플랑크 상수 ħ에 명시적으로 의존할 수 있다. 이 가역적인 표현 변경을 통해 1940년대 힐브란드 J. 그로네볼드와 호세 엔리케 모얄이 인식한 바와 같이 상공간에서 양자역학을 표현할 수 있게 된다.

더 일반적으로 바일 양자화는 상공간이 심플렉틱 다양체이거나 푸아송 다양체인 경우에 대해 연구된다. 관련 구조로는 푸아송-리 군 및 카츠-무디 대수 등이 있다.

## 일반적인 관측가능량의 바일 양자화 정의
다음은 가장 단순한 2차원 유클리드 상공간에서의 바일 변환을 설명한다. 상공간의 좌표를 라 하고, 를 상공간 어디에서나 정의된 함수라고 하자. 이하에서는 슈뢰딩거 표현에서의 일반적인 위치 및 운동량 연산자와 같이 정준 교환 관계를 만족하는 연산자 P와 Q를 고정한다. 지수화된 연산자 e^{iaQ}와 e^{ibP}가 바일 관계의 기약표현을 구성한다고 가정하여, (정준 교환 관계의 유일성을 보장하는) 스톤-폰 노이만 정리가 성립하도록 한다.

### 기본 공식
함수 의 **바일 변환**(또는 **바일 양자화**)은 힐베르트 공간에서의 다음 연산자로 주어진다.

여기서 ħ는 수정 플랑크 상수이다.

위 공식에서 와  적분을 먼저 수행하는 것이 유익한데, 이는 함수 의 일반적인 푸리에 변환 \tilde{f}를 계산하는 효과를 내면서 연산자 e^{i(aQ+bP)}를 남긴다. 이 경우 바일 변환은 다음과 같이 쓸 수 있다.
:\Phi [f] = \frac{1}{(2\pi)^2}\iint\tilde{f}(a,b)e^{iaQ+ibP}\,da\,db.

따라서 우리는 바일 사상을 다음과 같이 생각할 수 있다: 함수 f(p,q)의 일반적인 푸리에 변환을 취한 다음, 푸리에 역변환 공식을 적용할 때 원래의 고전적 변수 와  대신 양자 연산자 P와 Q를 대입하여 "의 양자 버전"을 얻는 것이다.

덜 대칭적이지만 응용에 편리한 형태는 다음과 같다.
:  \Phi [f]= \frac{2}{(2\pi \hbar)^{3/2}}\iint \!\!\!\iint\!\! dq\, dp\, d\tilde{x} \, d\tilde{p}  \ e^{ \frac{i}{\hbar} (\tilde {x} \tilde {p}  -2(\tilde{p}-p)(\tilde{x}-q))}~ f(q,p) ~ |\tilde{x}\rangle\langle \tilde{p}|.

### 위치 표현에서
바일 사상은 또한 이 연산자의 적분 커널 행렬 원소로 표현될 수 있다.
:   \langle x| \Phi [f] |y \rangle = \int_{-\infty}^\infty {\text{d}p\over h} ~e^{ip(x-y)/\hbar}~ f\left({x+y\over2},p\right) .  

### 역사상
위 바일 사상의 역사상은 유진 위그너가 도입한 **위그너 사상**() 또는 **위그너 변환**()으로, 연산자 를 원래의 상공간 커널 함수 로 되돌린다.

예를 들어, 조화 진동자 열 분포 연산자  \exp (-\beta (P^2+Q^2)/2) 의 위그너 사상은 다음과 같다.
:  \exp_\star \left (-\beta (p^2+q^2)/2  \right )=
\left ( \cosh\left(\frac{ \beta \hbar}{2}\right)\right ) ^{-1}
\exp\left ( \frac{-2}{\hbar} \tanh\left(\frac{\beta\hbar}{2}\right)  (p^2+q^2)/2\right )  .

위 식에서 \Phi[f]를 임의의 연산자로 바꾸면, 결과 함수 는 수정 플랑크 상수 에 의존할 수 있으며, 아래의 별 곱(star product)을 통해 적절히 구성된다면 양자역학적 과정을 잘 설명할 수 있다.
결과적으로 위그너 사상의 바일 사상은 그로네볼드 공식에 의해 요약된다.
: \Phi [f] = h \iint  \,da\,db   ~e^{iaQ+ibP}   \operatorname{Tr} ( e^{-iaQ-ibP} \Phi).

### 다항식 관측가능량의 바일 양자화
위의 공식들은 매우 일반적인 상공간 관측가능량의 바일 양자화에 대한 좋은 이해를 제공하지만, q와 p에 대한 다항식과 같은 단순한 관측가능량을 계산하기에는 그다지 편리하지 않다. 나중 섹션에서 보겠지만, 그러한 다항식들에 대해 바일 양자화는 교환 불가능한 연산자 Q와 P의 완전 대칭 순서화를 나타낸다.
예를 들어, 양자 각운동량 제곱 연산자 **L**2의 위그너 사상은 단순히 고전적 각운동량 제곱일 뿐만 아니라, 영이 아닌 보어 궤도 기저 상태 각운동량을 설명하는 오프셋 항 를 추가로 포함한다.

## 속성
### 다항식의 바일 양자화
q와 p의 다항식 함수에 대한 바일 양자화의 작용은 다음의 대칭 공식에 의해 완전히 결정된다.
: (aq+bp)^n\longmapsto (aQ+bP)^n
모든 복소수 a와 b에 대해 성립한다. 이 공식으로부터 q^k p^l 형태의 함수에 대한 바일 양자화가 k개의 Q 인자와 l개의 P 인자의 가능한 모든 순서화의 평균을 제공한다는 것을 보이는 것은 어렵지 않다.
\prod_{j=1}^N \xi_{k_j} ~~ \longmapsto ~~
\frac{1}{N!} \sum_{\sigma \in S_N} \prod_{j=1}^N \Xi_{k_{\sigma(j)}}

여기서 \xi_j = q_j, \xi_{n + j} = p_j이고, S_N은 N개 원소의 순열 집합이다.

예를 들어, 다음이 성립한다.
: 6 p^2 q^2 ~~ \longmapsto ~~ P^2 Q^2 + Q^2  P^2 + PQPQ+PQ^2P+QPQP+QP^2Q.

이 결과는 개념적으로는 자연스럽지만, k와 l이 클 때는 계산에 편리하지 않다. 그런 경우 대신 **맥코이의 공식**(McCoy's formula)을 사용할 수 있다.
:   p^m q^n ~~ \longmapsto ~~ {1 \over 2^n}
\sum_{r=0}^{n} {n \choose r}
Q^r  P^m  Q^{n-r}={1 \over 2^m}\sum_{s=0}^{m} {m \choose s} P^s Q^{n}P^{m-s}.
이 식은 p^2 q^2의 경우 위의 완전 대칭식과 겉보기에 다른 답을 주는 것처럼 보인다. 그러나 정준 교환 관계를 통해 동일한 연산자에 대해 하나 이상의 표현이 가능하므로 모순은 없다. (독자는 교환 관계를 사용하여 p^2q^2에 대한 완전 대칭 공식을 연산자 P^2Q^2, QP^2Q, Q^2P^2로 다시 쓰고, m=n=2인 맥코이 공식의 첫 번째 식을 확인해보는 것이 유익할 것이다.)

모든 양자화 체계 중에서 바일 양자화는 고전 측의 푸아송 괄호를 양자 측의 교환자로 매핑하는 것에 가장 근접한 것으로 널리 생각된다. (그로네볼드의 정리에 비추어 볼 때 정확한 대응은 불가능하다.) 예를 들어, 모얄은 다음을 보였다.
: **정리**: 만약 f(q,p)가 차수가 최대 2인 다항식이고 g(q,p)가 임의의 다항식이라면, \Phi(\{f,g\})=\frac{1}{i\hbar}[\Phi(f),\Phi(g)]가 성립한다.

### 일반 함수의 바일 양자화
* 만약 가 실수 값 함수라면, 그 바일 사상 이미지 는 자기 수반 연산자이다.
* 만약 가 슈바르츠 공간의 원소라면, 는 대각합 클래스(trace-class)이다.
* 더 일반적으로, 는 조밀하게 정의된 비유계 연산자이다.
* 사상 는 슈바르츠 공간(제곱 적분 가능 함수의 부분 공간으로서)에서 일대일 대응이다.

## 같이 보기

* 정준 교환 관계
* 변형 양자화
* 하이젠베르크 군
* 모얄 괄호
* 바일 대수
* 함자
* 유사 미분 연산자
* 위그너 준확률 분포
* 스톤-폰 노이만 정리
* 양자역학의 상공간 공식화
* 콘세비치 양자화 공식
* 가보르-위그너 변환
* 조화 진동자 표현

## 각주

* 

## 더 읽어보기
*  (이 기사의 섹션 I에서 IV는 위그너-바일 변환, 위그너 준확률 분포, 양자역학의 상공간 공식화 및 양자 조화 진동자의 예에 대한 개요를 제공한다.)
* 
* Terence Tao's 2012 notes on Weyl ordering

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분류:수리물리학
분류:물리학 개념