포인팅의 정리

전자기학에서, **포인팅의 정리**()는 영국의 물리학자 존 헨리 포인팅이 유도한 전자기장의 에너지 보존 법칙을 나타낸 정리이다. 이 정리는 주어진 부피 내에서 저장된 에너지의 변화율은 해당 부피 내의 전하 분포에 대해 가해진 일의 양에서 부피 외부로 빠져나가는 에너지의 변화율을 뺀 것과 같다는 것을 명시한다. 이 정리는 엄밀하게는 분산 매질이 아닌 매질에서 성립하지만, 분산이 있는 경우로 확장될 수 있다.
이 정리는 고전역학의 일-에너지 정리와 유사하며, 수학적으로는 연속 방정식과 비슷한 형태를 띤다.

## 정의
포인팅의 정리는 공간의 한 영역에서 단위 부피당 에너지 전달률이 해당 영역의 전하 분포에 가해진 일의 비율과 해당 영역을 빠져나가는 에너지 플럭스의 합과 같다는 것을 의미한다.

수학적으로는 다음과 같다.

여기서:
* -\frac{\partial u}{\partial t}는 부피 내 에너지 밀도의 시간 변화율이다.
* ∇ ⋅ **S**는 부피 밖으로 나가는 에너지 흐름이며, 포인팅 벡터 **S**의 발산으로 주어진다.
* **J** ⋅ **E**는 전하에 일을 가하는 장의 일률 밀도이다 (**J**는 전하의 운동에 대응하는 전류 밀도, **E**는 전기장, ⋅은 스칼라곱이다).

### 적분 형태
발산 정리를 사용하면 포인팅의 정리를 적분 형태로도 쓸 수 있다.

여기서
* **S**는 포인팅 벡터에 의해 주어지는 에너지 흐름이다.
* u는 에너지 밀도이다.
* \partial V \!는 부피의 경계이다. 부피의 모양은 임의적이지만 고정되어 있다.

### 연속 방정식과의 유사성
전기공학 분야에서 이 정리는 에너지 밀도 항 u를 확장하여 다음과 같이 쓰이기도 한다. 이 형태는 연속 방정식과 닮아 있다.
: 
\nabla\cdot\mathbf{S} +
\epsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} +
\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = 0
,
여기서
* ε0는 진공의 유전율이며 μ0는 진공의 투자율이다.
* \epsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}는 전기장의 형성을 유도하는 무효 전력의 밀도이다.
* \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}는 자기장의 형성을 유도하는 무효 전력의 밀도이다.
* \mathbf{J}\cdot\mathbf{E}는 전하 운반체에 작용하는 로런츠 힘에 의해 소모되는 전력 밀도이다.

## 유도
전자기장이 미소 전하
 dq=\rho d^3x 
에 가하는 일의 비율은 로런츠 힘 법칙에 의해 다음과 같이 주어진다.
dP=d\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}= (\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})dq\cdot\mathbf{v} = \mathbf{E}\cdot \rho\mathbf{v}d^3x+0=\mathbf{E}\cdot\mathbf{J}d^3x (벡터곱의 정의에 따라 **v**와 **B**의 벡터곱은 **v**에 수직이므로 스칼라곱  (\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot \mathbf{v}=0 이 된다).
여기서 ρ는 체적 전하 밀도이고 는 전하 dq의 속도가 **v**인 지점과 시간에서의 전류 밀도이다.
부피 V 내의 전체 전하에 가해지는 일의 비율은 체적 적분이 된다.
P=\int_V dP = \int_V \mathbf{J} \cdot \mathbf{E} ~\mathrm d^{3}x

앙페르 회로 법칙에 의해:
\mathbf{J} = \nabla \times \mathbf{H} - \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}
(여기서는 자기장과 전기장의 **H** 및 **D** 형태가 사용되었다. 동일한 유도 과정에서 **B**와 **E** 형태를 사용할 수도 있다.)

이를 일의 비율 식에 대입하면 다음과 같다.
\int_V \mathbf{J} \cdot \mathbf{E} ~\mathrm d^{3}x = \int_V \left [ \mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{H}) - \mathbf{E} \cdot \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right ] ~ \mathrm d^{3}x

벡터 항등식 \nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{H}) =\ (\nabla {\times} \mathbf{E}) \cdot \mathbf{H} \,-\, \mathbf{E} \cdot (\nabla {\times} \mathbf{H})를 사용하면:
 \int_V \mathbf{J} \cdot \mathbf{E} ~ \mathrm d^{3}x = - \int_V \left [ \nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{H}) - \mathbf{H} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) + \mathbf{E} \cdot \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right ] ~ \mathrm d^{3}x

패러데이 법칙에 의해:
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}
이므로 다음과 같다.
 \int_V \mathbf{J} \cdot \mathbf{E} ~ \mathrm d^{3}x = - \int_V \left [ \nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{H})  + \mathbf{E} \cdot \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} + \mathbf{H} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\right ] ~ \mathrm d^{3}x

유도를 계속하기 위해 다음 가정이 필요하다.
* 전하가 분산 매질이 아닌 매질에서 운동하고 있다.
* 시간이 변하는 장에 대해서도 총 전자기 에너지 밀도는 다음과 같이 주어진다. u = \frac{1}{2} (\mathbf{E} \cdot \mathbf{D} + \mathbf{B} \cdot \mathbf{H})

다음과 같음을 보일 수 있다.
\frac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E} \cdot \mathbf{D}) = 2 \mathbf{E} \cdot \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{D} 및 \frac{\partial}{\partial t}(\mathbf{H} \cdot \mathbf{B}) = 2 \mathbf{H} \cdot \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}
따라서:
\frac{\partial u}{\partial t} = \mathbf{E} \cdot \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} + \mathbf{H} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} 

다시 일의 비율 식을 정리하면,
 \int_V \mathbf{J} \cdot \mathbf{E} ~ \mathrm d^{3}x = - \int_V \left [ \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{H})\right ] ~ \mathrm d^{3}x

부피가 임의적이므로 이를 다음과 같은 미분 형태로 나타낼 수 있다.
-\frac{\partial u}{\partial t} = \nabla\cdot\mathbf{S}+\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}
여기서 \mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H}는 포인팅 벡터이다.

## 거시적 매질에서의 포인팅 벡터
거시적 매질에서 전자기 효과는 공간적으로 평균화된(거시적) 장으로 설명된다. 거시적 매질에서의 포인팅 벡터는 미시적 이론과 자기일관성을 갖도록 정의될 수 있으며, 공간적으로 평균화된 미시적 포인팅 벡터가 거시적 형식주의에 의해 정확하게 예측되도록 한다. 이 결과는 손실이 적은 극한에서 엄밀하게 유효하며 거시적 전자기학에서 포인팅 벡터 형태를 명확하게 식별할 수 있게 해준다.

## 대안적 형태
포인팅의 정리의 대안적인 버전을 유도하는 것도 가능하다. 위의 플럭스 벡터  대신 동일한 유도 방식을 따르되 , 민코프스키 형태의 , 또는 를 선택할 수 있다. 각 선택은 나름의 방식으로 전파 매질의 반응을 나타낸다. 예를 들어 위의  형태는 전류에 의해서만 반응이 일어나는 특성을 가지는 반면,  형태는 오직 (가상의) 자기 홀극 전류만을 사용한다. 나머지 두 형태(아브라함과 민코프스키)는 매질의 분극 및 자화 반응을 나타내기 위해 전기 및 자기 전류의 상보적인 조합을 사용한다.

## 수정
이 정리의 유도는 방정식이 모델링하는 재료가 선형성, 등방성, 균질하며 진동수에 무관한 일련의 전기 감수율 특성으로 설명될 수 있다는 가정에 의존한다. 또한 재료에 흡수가 없다는 가정도 필요하다. 변화를 고려하기 위한 포인팅 정리의 수정안에는 재료에서의 비오옴성 흡수율 항이 포함되며, 이는 드루드 모형에 기반한 단순화된 근사로 계산될 수 있다.
\frac{\partial}{\partial t} \mathcal{U} + \nabla \cdot \mathbf{S} + \mathbf{E} \cdot \mathbf{J}_\text{free} + \mathcal{R}_{\dashv\int} = 0

## 복소 포인팅 벡터 정리
이 형태의 정리는 공간을 전파하는 고조파 장을 자주 고려해야 하는 안테나 이론에서 유용하다. 이 경우 페이저 표기법을 사용하여 E(t) = E e^{j\omega t} 및 H(t) = H e^{j\omega t}라고 하면, 다음과 같은 수학적 항등식이 성립한다.
: {1\over 2} \int_{\partial \Omega} E\times H^* \cdot d{\mathbf a} = {j\omega \over 2}\int_\Omega (\varepsilon E E^* - \mu H H^*) dv  - {1\over 2} \int_\Omega EJ^* dv,
여기서 J는 전류 밀도이다.

자유 공간에서 \varepsilon과 \mu는 실수이므로, 위 공식의 실수부를 취하면 \partial \Omega를 통해 흐르는 평균 복사 전력이 전하에 가해진 일과 같다는 사실을 나타낸다.

## 각주

## 외부 링크
* Eric W. Weisstein "Poynting Theorem" From ScienceWorld – A Wolfram Web Resource.

분류:동전기학
분류:물리학 정리
분류:회로 정리