양자 구속 슈타르크 효과

**양자 구속 슈타르크 효과**(, **QCSE**)는 양자 우물(QW)의 빛 흡수 스펙트럼 또는 방출 스펙트럼에 대한 외부 전기장의 효과를 설명한다. 외부 전기장이 없을 경우, 양자 우물 내의 전자와 양공은 양자 상태 중 특정 이산적인 에너지 서브밴드 집합 내에서만 상태를 점유할 수 있다. 오직 이산적인 주파수 집합의 빛만이 시스템에 의해 흡수되거나 방출될 수 있다. 외부 전기장이 가해지면, 전자 상태는 더 낮은 에너지로 이동하고, 양공 상태는 더 높은 에너지로 이동한다. 이것은 허용되는 빛 흡수 또는 방출 주파수를 감소시킨다. 또한, 외부 전기장은 전자와 양공을 우물의 반대편으로 이동시켜 겹침 적분(overlap integral)을 감소시키고, 이는 다시 시스템의 재결합 효율(즉, 형광 양자 수율)을 감소시킨다.전자와 양공 사이의 공간 분리는 양자 우물 주변의 전위 장벽에 의해 제한되며, 이는 엑시톤이 전기장의 영향하에서도 시스템 내에 존재할 수 있음을 의미한다. 양자 구속 슈타르크 효과는 광통신 신호를 빠르게 켜고 끌 수 있게 하는 QCSE 광 변조기에 사용된다.

양자 객체(예: 우물, 점 또는 디스크)가 일반적으로 재료의 띠틈보다 높은 에너지로 빛을 방출하고 흡수하더라도, QCSE는 에너지를 띠틈보다 낮은 값으로 이동시킬 수 있다. 이것은 최근 나노와이어에 내장된 양자 디스크 연구에서 입증되었다.

## 이론적 설명
흡수선 이동은 편향되지 않은 양자 우물과 편향된 양자 우물의 에너지 준위를 비교하여 계산할 수 있다. 편향되지 않은 시스템의 에너지 준위를 찾는 것은 대칭성 때문에 더 간단한 작업이다. 외부 전기장이 작으면 편향되지 않은 시스템에 대한 섭동으로 취급할 수 있으며 섭동 이론을 사용하여 대략적인 효과를 찾을 수 있다.

### 편향되지 않은 시스템
양자 우물의 전위는 다음과 같이 쓸 수 있다.
:
 V(z) =
 \begin{cases}
 0; & |z| ,
여기서 L은 우물의 폭이고 V_0는 전위 장벽의 높이이다. 우물 내의 속박 상태는 이산적인 에너지 E_n 집합에 놓여 있으며, 관련 파동 함수는 엔벨로프 함수 근사를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
:\psi(\mathbf{r})=\phi_{n}(z)\frac{1}{\sqrt{A}}e^{i(k_{x}\cdot{x}+k_{y}\cdot{y})}u(\mathbf{r}).
이 표현에서 A는 양자화 방향에 수직인 시스템의 단면적이며, u(\mathbf{r})는 벌크 반도체에서 에너지 띠 가장자리에 대한 주기적인 블로흐 함수이고 \phi_n(z)는 시스템에 대한 천천히 변하는 엔벨로프 함수이다.

섬네일|480px|왼쪽: 전기장이 없는 양자 우물(<math>\vec{F} = 0</math>)에서 n=1 및 n=3 준위에 해당하는 파동 함수. 오른쪽: 인가된 전기장 <math>\vec{F} \ne 0</math>의 섭동 효과는 파동 함수를 수정하고 n=1 전이의 에너지 <math>E</math>를 감소시킨다.

양자 우물이 매우 깊으면, V_0 \to \infty인 상자 속 입자 모델로 근사할 수 있다. 이 단순화된 모델에서, 속박 상태 파동 함수에 대한 해석적 표현은 다음 형식을 갖는다.
:
\phi_n(z) = \sqrt{\frac{2}{L}} \times
 \begin{cases}
\cos \left(\frac{n\pi z}{L}\right) & n \, \text{odd} \\
\sin \left(\frac{n\pi z}{L}\right) & n \, \text{even}
 \end{cases}.

속박 상태의 에너지는 다음과 같다.
:
E_n = \frac{\hbar^2n^2\pi^2}{2m^*L^2},

여기서 m^*는 주어진 반도체에서 전자의 유효 질량이다.

### 편향된 시스템
전기장이 z 방향으로 편향된다고 가정하면,
:\mathbf{F}=F\mathbf{z},
섭동 해밀토니안 항은 다음과 같다.
:H'=eFz.
에너지 준위에 대한 1차 보정은 대칭성 때문에 0이다.
:E_n^{(1)} = \langle n^{(0)} | eFz | n^{(0)} \rangle =0.
2차 보정은, 예를 들어 n=1일 때, 다음과 같다.
:E_1^{(2)} = \sum_{k \ne 1} \frac{|\langle k^{(0)}|eFz|1^{(0)} \rangle|^2} {E_1^{(0)} - E_k^{(0)}} \approx \frac{|\langle 2^{(0)}|eFz|1^{(0)} \rangle|^2} {E_1^{(0)} - E_2^{(0)}} = -24\left(\frac{2}{3\pi}\right)^{6}\frac{e^{2}F^{2}m_e^{*}L^{4}}{\hbar^{2} }

전자에 대해, 여기서 k가 짝수이고 > 2인 속박 상태로 인한 섭동 항을 무시하는 추가적인 근사가 도입되었다. 이에 비해 홀수 k 상태의 섭동 항은 대칭성 때문에 0이다.

유사한 계산은 전자 유효 질량 m_e^*을 양공 유효 질량 m_h^*로 대체함으로써 양공에 적용할 수 있다. 총 유효 질량 m_{tot}^* = m_e^* + m_h^*을 도입하면, QCSE에 의해 유도된 첫 번째 광학 전이의 에너지 이동은 다음과 같이 근사될 수 있다.
:\Delta E \approx -24\left(\frac{2}{3\pi}\right)^{6}\frac{e^{2}F^{2}m_{tot}^{*}L^{4}}{\hbar^{2} }.

:
:위 방정식에서 논의된 구속된 에너지 준위의 하향 이동은 프란츠-켈디시 효과라고 한다.
지금까지의 근사는 상당히 조잡하지만, 에너지 이동은 예측대로 인가된 전기장에 대해 제곱 법칙 의존성을 실험적으로 보여준다.

### 흡수 계수
섬네일|320px|Ge/Si<math>_{0.18}</math>Ge<math>_{0.82}</math> 양자 우물에서 양자 구속 슈타르크 효과의 실험적 시연.
섬네일|320px|Ge/Si<math>_{0.18}</math>Ge<math>_{0.82}</math> 양자 우물의 흡수 계수 수치 시뮬레이션
광학 전이의 낮은 에너지로의 적색편이 외에도, DC 전기장은 흡수 계수의 크기를 감소시키는데, 이는 가전자대와 전도대 파동 함수를 연결하는 겹침 적분을 감소시키기 때문이다. 지금까지의 근사와 z 방향으로 인가된 전기장이 없음을 고려하면, n_{valence}=n_{conduction} 전이에 대한 겹침 적분은 다음과 같다.
:\lang \phi_{c,n} | \phi_{v,n} \rang = 1.
이 적분이 양자 구속 슈타르크 효과에 의해 어떻게 수정되는지 계산하기 위해 우리는 다시 시간 독립 섭동 이론을 사용한다.
파동 함수에 대한 1차 보정은 다음과 같다.
:\phi_n^' = \sum_{k \ne n} \frac{\lang \phi_n | H' | \phi_k \rang}{E_n - E_k} | \phi_k \rang.
다시 n = 1 에너지 준위를 살펴보고 n = 2 준위로부터의 섭동만 고려한다 (참고로 n = 3으로부터의 섭동은 대칭성 때문에 = 0이다). 우리는 다음을 얻는다.
:\phi_{c,1} = \phi_{c,1}^0 + \phi_{c,1}^' = \frac{1}{A} \left( \cos \left( \frac{\pi z}{L} \right) - \left( \frac{2}{3\pi} \right)^4 \frac{2 m_e^* e F L^3}{\hbar^2} \sin \left( \frac{\pi z}{L} \right) \right) 
:\phi_{v,1} = \phi_{v,1}^0 + \phi_{v,1}^' = \frac{1}{A} \left( \cos \left( \frac{\pi z}{L} \right) + \left( \frac{2}{3\pi} \right)^4 \frac{2 m_h^* e F L^3}{\hbar^2} \sin \left( \frac{\pi z}{L} \right) \right) 
각각 전도대와 가전자대에 대해, 여기서 A는 정규화 상수로 도입되었다. 인가된 전기장 \vec{F} \cdot \hat{z} \ne 0에 대해 다음을 얻는다.
:\lang \phi_{c,1} | \phi_{v,1} \rang .
따라서 전이 확률이 위의 겹침 적분에 의존한다고 말하는 페르미 황금률에 따라 광학 전이 강도는 약해진다.

### 엑시톤
2차 섭동 이론으로 설명되는 양자 구속 슈타르크 효과는 극히 간단하고 직관적이다. 그러나 QCSE를 정확하게 묘사하려면 엑시톤의 역할을 고려해야 한다. 엑시톤은 전자-양공 쌍의 속박 상태로 구성된 준입자이며, 벌크 물질에서의 결합 에너지는 수소형 원자의 결합 에너지와 같이 모델링할 수 있다.
:E_{X,n} = \frac{\mu}{m_e\varepsilon_r^2}\frac{R_H}{n^2}
여기서 R_H는 뤼드베리 상수이고, \mu는 전자-양공 쌍의 환산 질량이며, \varepsilon_r는 상대 유전율이다.
엑시톤 결합 에너지는 광자 흡수 과정의 에너지 균형에 포함되어야 한다.
:h\nu > E_g - E_{X}.
따라서 엑시톤 생성은 광학 띠틈을 낮은 에너지로 적색편이시킨다.
벌크 반도체에 전기장을 가하면 프란츠-켈디시 효과로 인해 흡수 스펙트럼에서 추가적인 적색편이가 관찰된다. 엑시톤을 구성하는 전자와 양공은 반대 전하를 가지므로 외부 전기장의 영향으로 분리될 것이다. 필드가 충분히 강하면
:-e \vec{F} \cdot \vec{r_{X}} > |E_{X}|
그러면 엑시톤은 벌크 물질에 존재하지 않게 된다. 이는 변조 목적을 위한 프란츠-켈디시 효과의 적용 가능성을 어느 정도 제한하는데, 인가된 전기장에 의해 유도된 적색편이가 엑시톤 생성의 부재로 인한 높은 에너지로의 이동에 의해 상쇄되기 때문이다.

이 문제는 전자와 양공이 양자 우물에 갇혀 있기 때문에 QCSE에서는 발생하지 않는다. 양자 우물 깊이가 엑시톤의 보어 반지름에 필적하는 한, 인가된 전기장의 크기에 관계없이 강한 엑시톤 효과가 존재할 것이다. 더욱이 양자 우물은 2차원 시스템처럼 행동하여 벌크 물질에 비해 엑시톤 효과를 강력하게 향상시킨다. 실제로 2차원 시스템에서 쿨롱 전위에 대한 슈뢰딩거 방정식을 풀면 엑시톤 결합 에너지는 다음과 같이 산출된다.
:E_{X,n} = \frac{\mu}{m_e\varepsilon_r^2}\frac{R_H}{n^2-1/2}
이는 1s 해의 경우 3차원 경우보다 4배 높다.

## 광학 변조
섬네일|외부 인가 전압에 따른 GaAs/AlGaAs 양자 우물의 흡수 스펙트럼 변화를 보여주는 애니메이션 이미지

양자 구속 슈타르크 효과의 가장 유망한 응용 분야는 실리콘 포토닉스 및 광 인터커넥트의 스케일 다운에 큰 관심이 있는 근 적외선 스펙트럼 범위에서 광학 변조를 수행하는 능력에 있다.
QCSE 기반 전기 흡수 변조기는 PIN 다이오드 구조로 구성되며, 여기서 진성 반도체 영역은 다중 양자 우물을 포함하고 반송파 신호의 도파관 역할을 한다. PIN 다이오드에 외부 역방향 바이어스를 인가하여 양자 우물에 수직으로 전기장을 유도할 수 있으며, 이는 QCSE를 유발한다. 이 메커니즘은 편향되지 않은 시스템의 띠틈 아래 및 QCSE 유도 적색편이 도달 범위 내의 파장을 변조하는 데 사용될 수 있다.

처음에는 GaAs/Al<sub>x</sub>Ga<sub>1-x</sub>As 양자 우물에서 시연되었지만, QCSE는 Ge/SiGe에서 시연된 후 관심을 끌기 시작했다. III/V 반도체와 달리 Ge/SiGe 양자 우물 스택은 두 물질 사이에 완충층이 있는 경우 실리콘 기판 위에 에피택시 성장될 수 있다. 이는 Ge/SiGe QCSE를 CMOS 기술 및 실리콘 포토닉스 시스템과 통합할 수 있게 하는 결정적인 장점이다.

저마늄은 간접 띠틈 반도체로, 띠틈은 0.66 eV이다. 그러나 <math>\Gamma</math>점에서도 전도대에서 상대적인 최소값을 가지며, 직접 띠틈은 0.8 eV로 1550 nm의 파장에 해당한다. 따라서 Ge/SiGe 양자 우물에서의 QCSE는 1.55 \mu m에서 빛을 변조하는 데 사용될 수 있으며, 이는 1.55 \mu m가 광섬유의 투명 창이자 통신에 가장 광범위하게 사용되는 파장이므로 실리콘 포토닉스 응용 분야에 매우 중요하다.
양자 우물 깊이, 이축 변형 및 우물 내 실리콘 함량과 같은 재료 매개변수를 미세 조정함으로써 Ge/SiGe 양자 우물 시스템의 광학 띠틈을 1310 nm에서 변조하도록 맞출 수도 있으며, 이는 광섬유의 투명 창에도 해당한다.
Ge/SiGe 양자 우물을 사용한 QCSE에 의한 전기 광학 변조는 최대 23 GHz까지 시연되었으며, 비트당 에너지는 108 fJ에 불과했다. 그리고 SiGe 도파관에 도파관 구성으로 통합되었다.

## 같이 보기
* 프란츠-켈디시 효과

## 각주

## 일반 출처
* Mark Fox, Optical properties of solids, Oxford, New York, 2001.
* Hartmut Haug, Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors, World Scientific, 2004.
* https://web.archive.org/web/20100728030241/http://www.rle.mit.edu/sclaser/6.973%20lecture%20notes/Lecture%2013c.pdf
* Shun Lien Chuang, Physics of Photonics Devices, Wiley, 2009.

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