플랑크 궤적

right|300px|thumb|CIE 1931 색도도 내 플랑크 궤적

물리학과 색채 과학에서 **플랑크 궤적**() 또는 **흑체 궤적**()은 백열 흑체의 색상이 특정 색도 공간에서 흑체의 온도가 변함에 따라 나타내는 경로 또는 궤적이다. 낮은 온도에서는 깊은 빨강에서 시작하여 주황, 노랑빛, 하양을 거쳐 매우 높은 온도에서는 최종적으로 푸르스름한 하양이 된다.

색 공간은 3차원 공간이다. 즉, 색상은 세 개의 숫자(예: CIE 좌표 X, Y, Z 또는 색상, 채도, 휘도와 같은 다른 값) 집합으로 지정되며, 이는 특정 동질적인 시각적 자극의 인지된 속성을 나타낸다. 색도(chromaticity)는 밝기를 무시하고 2차원 공간으로 투영된 색상이다. 예를 들어, 표준 CIE XYZ 색 공간은 x와 y로 알려진 두 개의 색도 좌표로 지정된 해당 색도 공간으로 직접 투영되어 그림에 표시된 익숙한 색도도를 생성한다. 흑체 온도가 변함에 따라 흑체의 색상이 나타내는 경로인 플랑크 궤적은 종종 이 표준 색도 공간에 표시된다.

## XYZ 색 공간의 플랑크 궤적
[thumb|right|흑체 스펙트럼을 XYZ 좌표에 매핑하는 데 사용되는 [CIE 1931 색 공간#CIE 표준 관찰자|CIE 1931 표준 색도 관찰자 함수]]

CIE XYZ 색 공간에서 색상을 정의하는 세 좌표는 X, Y, Z로 주어진다.
: X_T = \int_\lambda X(\lambda)M(\lambda,T)\,d\lambda
: Y_T = \int_\lambda Y(\lambda)M(\lambda,T)\,d\lambda
: Z_T = \int_\lambda Z(\lambda)M(\lambda,T)\,d\lambda
여기서 M(λ,T)는 관찰되는 빛의 스펙트럼 복사 방출량, X(λ), Y(λ), Z(λ)는 오른쪽 다이어그램에 표시된 CIE 표준 색도 관찰자의 색 일치 함수이며, λ는 파장이다. 플랑크 궤적은 플랑크 법칙으로 주어지는 흑체 스펙트럼 복사 방출량을 위 방정식에 대입하여 결정된다.
: M(\lambda,T) =\frac{c_{1}}{\lambda^5}\frac{1}{\exp\left(\frac{c_2}{{\lambda}T}\right)-1}
여기서:
: c1 = 2\pi{hc^2}는 첫 번째 복사 상수
: c2 = \frac{hc}{k}는 두 번째 복사 상수
이고
: M은 흑체 스펙트럼 복사 방출량(단위 면적당 단위 파장당 전력: 제곱미터당 와트(W/m3))
: T는 흑체의 온도
: h는 플랑크 상수
: c는 빛의 속력
: k는 볼츠만 상수

이렇게 하면 CIE XYZ 색 공간의 플랑크 궤적이 얻어진다. 이 좌표가 온도를 나타내는 TT, YT, ZT라면, CIE 색도 좌표는 다음과 같다.
: x_T = \frac{X_T}{X_T+Y_T+Z_T}
: y_T = \frac{Y_T}{X_T+Y_T+Z_T}

플랑크 법칙의 위 공식에서 c1("일반" 첫 번째 복사 상수) 대신 c1L = 2hc2(스펙트럼 복사휘도에 대한 첫 번째 복사 상수)를 사용해도 무방하며, 이 경우 공식은 흑체의 스펙트럼 복사 방출량 M(λ,T) 대신 스펙트럼 방사휘도 L(λ,T)를 제공한다. 그러나 이 변경은 XT, YT, ZT의 절대값에만 영향을 미치고, 서로에 대한 상대값에는 영향을 미치지 않는다. XT, YT, ZT는 일반적으로 YT = 1 (또는 YT = 100)로 정규화되고 xT 및 yT를 계산할 때 정규화되므로 XT, YT, ZT의 절대값은 중요하지 않다. 실용적인 이유로 c1은 단순히 1로 대체될 수 있다.

### 근사
xy 공간의 플랑크 궤적은 위 색도도에서 곡선으로 묘사된다. 위 공식을 사용하여 CIE xy 좌표를 정확하게 계산할 수 있지만, 근사치를 사용하는 것이 더 빠르다. 마이레드 척도는 온도 자체보다 궤적을 따라 더 균일하게 변하므로, 이러한 근사치가 역온도의 함수가 되는 경우가 많다. 김 등은 큐빅 스플라인을 사용한다.
: x_\text{c}=\begin{cases}
-0.2661239 \frac{10^9}{T^3} - 0.2343589 \frac{10^6}{T^2} + 0.8776956 \frac{10^3}{T} + 0.179910 & 1667\,\text{K} \leq T \leq 4000\,\text{K} \\
-3.0258469 \frac{10^9}{T^3} + 2.1070379 \frac{10^6}{T^2} + 0.2226347 \frac{10^3}{T} + 0.240390 & 4000\,\text{K} \leq T \leq 25000\,\text{K}
\end{cases}
: y_\text{c}=\begin{cases}
-1.1063814 x_\text{c}^3 - 1.34811020 x_\text{c}^2 + 2.18555832 x_\text{c} - 0.20219683 & 1667\,\text{K} \leq T \leq 2222\,\text{K} \\
-0.9549476 x_\text{c}^3 - 1.37418593 x_\text{c}^2 + 2.09137015 x_\text{c} - 0.16748867 & 2222\,\text{K} \leq T \leq 4000\,\text{K} \\
+3.0817580 x_\text{c}^3 - 5.87338670 x_\text{c}^2 + 3.75112997 x_\text{c} - 0.37001483 & 4000\,\text{K} \leq T \leq 25000\,\text{K}
\end{cases}
thumb|김 등의 플랑크 궤적 근사치 (빨강색). 노치(notch)는 세 개의 스플라인(파랑색)을 구분한다.

[thumb|[가시광선 스펙트럼을 통한 플랑크 궤적의 색상 근사치를 보여주는 애니메이션]]

플랑크 궤적은 CCT 및 CRI를 계산하는 데 사용되는 CIE 1960 색 공간에서도 다음 표현식을 사용하여 근사할 수 있다.
: \bar{u}(T)=\frac{0.860117757+1.54118254 \times 10^{-4}T + 1.28641212 \times 10^{-7} T^2}{1+8.42420235 \times 10^{-4}T + 7.08145163 \times 10^{-7}T^2}
: \bar{v}(T)=\frac{0.317398726+4.22806245 \times 10^{-5}T + 4.20481691 \times 10^{-8} T^2}{1-2.89741816 \times 10^{-5}T+1.61456053 \times 10^{-7}T^2}

이 근사치는 1000\,K 범위에서 \left| u-\bar{u} \right|  및 \left|v-\bar{v}\right| 내에서 정확하다. 또는 더 넓은 온도 범위가 필요한 경우 위에서 추정된 색도 (x, y) 좌표를 사용하여 해당 (u, v)를 도출할 수 있다.

플랑크 궤적 위 또는 근처의 색도 좌표 (x, y)에서 상관 색온도로의 역 계산은 에서 논의된다.

## 상관 색온도

상관 색온도를 결정하는 수학적 절차는 광원의 백색점에서 플랑크 궤적에 가장 가까운 점을 찾는 것을 포함한다. 1959년 브뤼셀에서 열린 CIE 회의 이후, 플랑크 궤적은 MacAdam의 (u,v) 다이어그램으로도 알려진 CIE 1960 색 공간을 사용하여 계산되었다. 오늘날 CIE 1960 색 공간은 다른 용도로는 폐지되었다.

개념에 내재된 지각적 부정확성으로 인해, 낮은 CCT에서는 2 K 이내, 높은 CCT에서는 10 K 이내로 계산하는 것으로 충분하여 인지 불가능성의 한계에 도달한다.

[600px|thumb|center|[CIE 1960 색 공간|CIE 1960 UCS의 확대도. 등온선은 플랑크 궤적에 수직이며, CIE가 상관 색온도가 의미 있다고 간주하는 궤적에서 최대 거리인 \Delta_{uv}=\pm 0.05를 나타내기 위해 그려진다.]]

### 국제 온도 눈금
플랑크 궤적은 표준 색도 관찰자를 사용하여 플랑크 복사체의 색도 값을 결정함으로써 도출된다. 플랑크 복사체의 상대 스펙트럼 전력 분포(SPD)는 플랑크 법칙을 따르며, 두 번째 복사 상수 c_2=hc/k에 따라 달라진다. 측정 기술이 향상됨에 따라 국제 도량형 총회는 이 상수에 대한 추정치를 국제 온도 눈금(및 잠시 동안 국제 실제 온도 눈금)으로 수정했다. 이러한 연속적인 개정은 플랑크 궤적을 변화시켰고, 결과적으로 상관 색온도 눈금도 변화시켰다. CIE는 표준 광원의 발행을 중단하기 전에 흑체 및 색온도에 대한 참조를 하는 대신 SPD의 형태를 명시적으로 지정함으로써 이 문제를 해결했다. 그럼에도 불구하고, 이전 텍스트에서 수행된 계산을 확인할 수 있도록 이전 개정 사항을 아는 것이 유용하다.
* c_2 =  (ITS-27). 참고: 광원 A, B, C (1931)의 표준화 기간 동안 적용되었으나, CIE는 미국 국립 표준국이 권장하는 값인 1.435 × 10−2을 사용했다.
* c_2 =  (IPTS-48). 광원 D 시리즈 (1967년 공식화)에 적용되었다.
* c_2 =  (ITS-68), (ITS-90). 최근 논문에서 자주 사용된다.
* c_2 =  (CODATA 2010)
* c_2 =  (CODATA 2014)
* c_2 =  (CODATA 2018). 2020년 현재 값이다. 2019년 SI 기본 단위 개정으로 볼츠만 상수는 정확한 값으로 고정되었다. 플랑크 상수와 빛의 속력은 이미 정확한 값으로 고정되었으므로, 이는 c2도 이제 정확한 값임을 의미한다. ...는 반복 분수를 나타내지 않으며, 이 정확한 값의 처음 열 자리만 표시된다는 것을 의미한다.

## 같이 보기
* 자외선 파탄

## 각주

## 외부 링크
* Numerical table of color temperature and the corresponding xy and sRGB coordinates for both the 1931 and 1964 CMFs, by Mitchell Charity.

분류:색 공간