마슈케의 정리

섬네일| right | 하인리히 마슈케의 초상 사진 (1906년 이전)
수학에서 하인리히 마슈케의 이름을 딴 **마슈케의 정리**(Maschke's theorem)는 유한군의 표현을 기약표현으로 분해하는 것에 관한 군 표현 이론의 정리이다. 마슈케의 정리는 유한군 G의 표현을 실제로 계산하지 않고도 일반적인 결론을 내릴 수 있게 한다. 이 정리가 적용될 때, 모든 표현은 기약 부분(구성 요소)의 직합이므로, 모든 표현을 분류하는 작업을 기약표현을 분류하는 더 관리하기 쉬운 작업으로 줄인다. 더욱이, 조르당-횔더 정리에 따르면, 기약 부분 표현의 직합으로의 분해는 유일하지 않을 수 있지만, 기약 부분들은 잘 정의된 중복도를 가진다. 특히, 표수 0인 체 위의 유한군 표현은 지표에 의해 동형 사상까지 결정된다.

## 공식화

마슈케의 정리는 일반적인 (유한 차원) 표현이 직합 연산을 사용하여 기약 부분 표현으로부터 구성되는 시점이 언제인가 하는 질문에 답한다. 이 질문(및 그 답)은 군 표현 이론에 대한 다른 관점에 따라 다르게 공식화된다.

### 군론적

마슈케의 정리는 일반적으로 다음 결과의 따름정리로 공식화된다:

그러면 따름정리는 다음과 같다:

군 G의 복소수 값 클래스 함수의 벡터 공간은 슈어 직교 관계 문서에 설명된 자연스러운 G-불변 내적 구조를 가진다. 마슈케의 정리는 원래 \Complex 위에서의 표현의 경우에 대해 이 내적 아래에서 W의 직교 여공간으로 U를 구성함으로써 증명되었다.

### 모듈론적
유한군 표현에 대한 접근 방식 중 하나는 가군론을 통해서이다. 군 G의 표현은 군환 K[G] 위의 모듈로 대체된다 (정확히 말하면, K[G]\text{-Mod}와 \operatorname{Rep}_{G} (G의 표현의 범주) 사이에 범주의 동형 사상이 존재한다). 기약 표현은 단순 가군에 해당한다. 모듈론 언어로, 마슈케의 정리는 "임의의 모듈이 반단순인가?"라고 묻는다. 이 맥락에서, 정리는 다음과 같이 재구성될 수 있다:

이 결과의 중요성은 잘 발달된 반단순환 이론, 특히 웨더번-아르틴 정리에 의해 주어진 분류에서 비롯된다. K가 복소수 체인 경우, 이는 대수 K[G]가 각 기약 표현에 대해 여러 개의 복소수 행렬 대수 사본의 곱임을 보여준다. 만약 체 K가 표수 0이지만 대수적으로 닫혀 있지 않다면, 예를 들어 K가 실수 또는 유리수 체인 경우, 다소 더 복잡한 명제가 성립한다: 군환 K[G]는 K 위의 나눗셈환 위에서 정의된 행렬 대수의 곱이다. 합산되는 항들은 K 위에서 정의된 G의 기약 표현에 해당한다.

### 범주론적

반단순 범주의 언어로 재구성된 마슈케의 정리는 다음과 같이 서술된다.

## 증명
### 군론적
W의 여공간인 V의 부분 공간을 U라 하자. p_0 : V \to W를 사영 함수, 즉 모든 u \in U, w \in W에 대해 p_0(w + u) = w라 하자.

p(x) = \frac{1}{\#G} \sum_{g \in G} g \cdot p_0 \cdot g^{-1} (x)로 정의하자. 여기서 g \cdot p_0 \cdot g^{-1}는 W와 V에 대한 G의 표현인 \rho_W{g} \cdot p_0 \cdot \rho_V{g^{-1}}의 약어이다. 그러면 \ker p는 표현 \rho_V 아래에서 G에 의해 보존된다: 모든 w' \in \ker p, h \in G에 대해,
\begin{align}
p(hw') &= h \cdot h^{-1} \frac{1}{\#G} \sum_{g \in G} g \cdot p_0 \cdot g^{-1} (hw') \\
&= h \cdot \frac{1}{\#G} \sum_{g \in G} (h^{-1} \cdot g) \cdot p_0 \cdot (g^{-1} h) w' \\
&= h \cdot \frac{1}{\#G} \sum_{g \in G} g \cdot p_0 \cdot g^{-1} w' \\
&= h \cdot p(w') \\
&= 0
\end{align}

따라서 w' \in \ker p이면 hw' \in \ker p가 된다. 따라서 \ker p에 대한 \rho_V의 제한도 표현이다.

p의 정의에 의해, 모든 w \in W에 대해 p(w) = w이므로 W \cap \ker\ p = \{0\}이고, 모든 v \in V에 대해 p(p(v)) = p(v)이다. 따라서 p(v-p(v)) = 0이고 v - p(v) \in \ker p이다. 그러므로 V = W \oplus \ker p이다.

### 모듈론적
V를 K[G]-부분 모듈이라고 하자. V가 직합 인자임을 증명할 것이다. K[G]에서 V로 가는 K-선형 사영을 π라고 하자. 다음 맵을 고려해보자.
 \begin{cases}
\varphi:K[G]\to V \\
\varphi:x \mapsto \frac{1}{\#G}\sum_{s \in G} s\cdot \pi(s^{-1} \cdot x)
\end{cases}

그러면 φ는 다시 사영이다: 분명히 K-선형이고, K[G]를 V로 매핑하며, V에 대한 항등을 유도한다 (따라서 K[G]를 V 위로 매핑한다). 게다가 다음이 성립한다.

\begin{align}
\varphi(t\cdot x) &= \frac{1}{\#G}\sum_{s \in G} s\cdot \pi(s^{-1}\cdot t\cdot x)\\
&= \frac{1}{\#G}\sum_{u \in G} t\cdot u\cdot \pi(u^{-1}\cdot x)\\
&= t\cdot\varphi(x),
\end{align}

따라서 φ는 사실 K[G]-선형이다. 분할 완전열에 의해 K[G]=V \oplus \ker \varphi이다. 이것은 모든 부분 모듈이 직합 인자임을 증명하며, 즉 K[G]가 반단순임을 증명한다.

## 역 명제
위의 증명은 #G가 K에서 가역이라는 사실에 의존한다. 이는 마슈케의 정리의 역도 성립하는지 묻게 만들 수 있다: K의 표수가 G의 차수를 나눈다면, K[G]가 반단순이 아니라는 결론이 나오는가? 답은 '예'이다.

**증명.** x = \sum\lambda_g g\in K[G]에 대해 \epsilon(x) = \sum\lambda_g로 정의한다. I=\ker\epsilon이라 하자. 그러면 I는 K[G]-부분 모듈이다. K[G]의 모든 비자명 부분 모듈 V에 대해 I \cap V \neq 0임을 증명할 것이다. V가 주어지고, v=\sum\mu_gg가 V의 어떤 비영 원소라고 하자. 만약 \epsilon(v)=0이면, 주장은 즉각적이다. 그렇지 않으면, s = \sum 1 g라 하자. 그러면 \epsilon(s) = \#G \cdot 1 = 0이므로 s \in I이고
sv = \left(\sum1g\right)\!\left(\sum\mu_gg\right) = \sum\epsilon(v)g = \epsilon(v)s

이므로 sv는 I와 V 모두의 비영 원소이다. 이것은 모든 V에 대해 V가 I의 직접 보완이 아님을 증명하므로, K[G]는 반단순이 아니다.

## 비예시
이 정리는 G가 무한군이거나 체 K의 표수가 #G를 나누는 경우에는 적용될 수 없다. 예를 들어,

* 무한군 \mathbb{Z}와 \rho(n) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}로 정의된 표현 \rho: \mathbb{Z} \to \mathrm{GL}_2(\Complex)를 고려해보자. \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}로 생성된 \Complex^2의 1차원 부분 공간을 W = \Complex \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}라 하자. 그러면 W에 대한 \rho의 제한은 \mathbb{Z} 의 자명 부분 표현이다. 그러나 W, U 모두 \mathbb{Z}의 부분 표현이고 \Complex^2 = W \oplus U를 만족하는 U는 없다. 이러한 U는 1차원이어야 하지만, \rho에 의해 보존되는 모든 1차원 부분 공간은 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}의 고유벡터에 의해 생성되어야 하며, 유일한 고유벡터는 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}이다.
* 소수 p, 군 \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, 체 K = \mathbb{F}_p, 그리고 \rho(n) = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}로 정의된 표현 \rho: \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \to \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)를 고려해보자. 간단한 계산을 통해 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}에 대한 고유벡터는 여기에서 단 하나뿐이므로, 동일한 논리에 따라 \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}의 1차원 부분 표현은 유일하며, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}는 두 개의 1차원 부분 표현의 직합으로 분해될 수 없다.

## 내용주


## 각주
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분류:군론 정리
분류:표현론 정리