얼랑 (단위)

**얼랑**(erlang, 기호 **E**)은 텔레포니에서 전화 회선이나 전화 교환 장비와 같은 서비스 제공 요소에 대한 제공 부하 또는 운반 부하의 척도로 사용되는 무차원 단위이다. 단일 코드 회선은 1시간에 60분 동안 사용될 수 있다. 해당 용량의 완전한 활용, 즉 60분간의 트래픽은 1얼랑을 구성한다.

얼랑으로 운반되는 트래픽은 주어진 기간(종종 1시간) 동안 측정된 동시 통화의 평균 수인 반면, 제공되는 트래픽은 모든 통화 시도가 성공했을 때 운반될 트래픽이다. 실제로 얼마나 많은 제공 트래픽이 운반되는지는 모든 서버가 사용 중일 때 응답 없는 통화에 어떤 일이 발생하는지에 따라 달라진다.

국제 전신 전화 자문 위원회(CCITT)는 아그너 크라루프 얼랑을 기리기 위해 1946년에 국제 전화 트래픽 단위를 얼랑으로 명명했다. 얼랑의 효율적인 전화 회선 사용 분석에서 그는 전화량 공학 및 대기행렬이론의 기초적인 결과가 된 두 가지 중요한 경우, 얼랑 B와 얼랑 C에 대한 공식을 도출했다. 그의 결과는 오늘날에도 사용되고 있으며, 서비스 품질과 사용 가능한 서버의 수를 연결한다. 두 공식은 모두 제공되는 부하를 주요 입력(얼랑 단위) 중 하나로 사용하며, 이는 종종 통화 도착률에 평균 통화 길이를 곱한 값으로 표현된다.

얼랑 B 공식의 특징적인 가정은 대기열이 없다는 것이다. 따라서 모든 서비스 요소가 이미 사용 중인 경우 새로 도착하는 통화는 차단되어 손실된다. 이 공식은 이러한 일이 발생할 확률을 제공한다. 반대로, 얼랑 C 공식은 무제한 대기열의 가능성을 제공하며 모든 서버가 사용 중일 때 새로운 통화가 대기열에서 기다려야 할 확률을 제공한다. 얼랑의 공식은 매우 광범위하게 적용되지만, 혼잡이 특히 심하여 실패한 트래픽이 반복적으로 재시도하는 경우에는 실패할 수 있다. 대기열을 사용할 수 없을 때 재시도를 설명하는 한 가지 방법은 확장 얼랑 B 방법이다.

## 전화 회선의 트래픽 측정

운반 트래픽을 나타내는 데 사용될 때, "얼랑" 뒤에 오는 값(43.5와 같은 비정수일 수 있음)은 회선(또는 기타 서비스 제공 요소)에 의해 운반되는 동시 통화의 평균 수를 나타내며, 이 평균은 합리적인 기간 동안 계산된다. 평균이 계산되는 기간은 종종 1시간이지만, 수요의 단기 급증이 있고 이러한 급증을 가리지 않는 트래픽 측정이 필요한 경우에는 더 짧은 기간(예: 15분)이 사용될 수 있다.
운반 트래픽 1얼랑은 단일 리소스가 지속적으로 사용되거나, 두 채널이 각각 시간의 50% 동안 사용되는 것 등을 의미한다. 예를 들어, 한 사무실에 두 명의 전화 교환원이 항상 바쁘다면 이는 2얼랑(2 E)의 트래픽을 나타내거나, 관심 기간(예: 1시간) 동안 지속적으로 점유된 무선 채널은 1얼랑의 부하를 가진다고 말할 수 있다.

제공되는 트래픽을 설명하는 데 사용될 때, "얼랑" 뒤에 오는 값은 무제한 회선이 있었을 경우(즉, 모든 회선이 사용 중일 때 이루어진 통화 시도가 거부되지 않았을 경우) 운반되었을 동시 통화의 평균 수를 나타낸다. 제공되는 트래픽과 운반되는 트래픽 간의 관계는 시스템 설계 및 사용자 행동에 따라 달라진다. 세 가지 일반적인 모델은 (a) 통화 시도가 거부된 발신자가 떠나고 다시 오지 않는 경우, (b) 통화 시도가 거부된 발신자가 비교적 짧은 시간 내에 다시 시도하는 경우, (c) 시스템이 사용자가 회선이 사용 가능해질 때까지 대기열에서 기다릴 수 있도록 허용하는 경우이다.

세 번째 트래픽 측정은 특정 시점에 발생하는 정확한 통화 수를 의미하는 특정 얼랑 수로 표현되는 순간 트래픽이다. 이 경우 이 숫자는 음수가 아닌 정수이다. 이동식 펜 기록 장치와 같은 트래픽 수준 기록 장치는 순간 트래픽을 그린다.

## 얼랑의 분석

아그너 크라루프 얼랑이 도입한 개념과 수학은 텔레포니를 넘어 광범위하게 적용될 수 있다. 이는 사용자가 사전 예약 없이 서비스 제공 요소 그룹 중 하나로부터 독점적인 서비스를 받기 위해 불규칙하게 도착하는 모든 곳에 적용된다. 예를 들어, 서비스 제공 요소가 티켓 판매 창구, 비행기의 화장실, 모텔 객실인 경우이다. (얼랑의 모델은 서비스 제공 요소가 여러 동시 사용자 간에 공유되거나 다른 양의 서비스가 다른 사용자에 의해 소비되는 경우, 예를 들어 데이터 트래픽을 운반하는 회선에는 적용되지 않는다.)

얼랑의 트래픽 이론의 목표는 낭비적인 과잉 공급 없이 사용자를 만족시키기 위해 정확히 몇 개의 서비스 제공 요소를 제공해야 하는지 결정하는 것이다. 이를 위해 서비스 등급(GoS) 또는 QoS(QoS)에 대한 목표가 설정된다. 예를 들어, 대기열이 없는 시스템에서 GoS는 모든 회선이 사용 중이어서 100통의 통화 중 1통만 차단(즉, 거부)되는 것이 아니며(GoS 0.01), 이는 얼랑 B 공식을 사용할 때 목표 통화 차단 확률 Pb가 된다.

사용자 행동 및 시스템 운영의 다양한 모델을 기반으로 얼랑 B, 얼랑 C 및 관련 잉셋 공식을 포함한 여러 결과 공식이 있다. 이들은 각각 생멸 과정으로 알려진 연속 시간 마르코프 과정의 특수한 경우를 통해 파생될 수 있다. 최근의 확장 얼랑 B 방법은 얼랑의 결과를 바탕으로 추가적인 트래픽 솔루션을 제공한다.

## 제공 트래픽 계산

제공 트래픽(얼랑 단위)은 통화 도착률 λ와 평균 통화 유지 시간(평균 통화 시간) h와 다음과 같이 관련된다.
:  E = \lambda h 
단, h와 λ는 동일한 시간 단위(초당 통화 수와 초, 또는 분당 통화 수와 분)로 표현되어야 한다.

트래픽의 실제 측정은 일반적으로 며칠 또는 몇 주 동안 지속적인 관찰을 기반으로 하며, 이 기간 동안 순간 트래픽은 정기적인 짧은 간격(예: 몇 초마다)으로 기록된다. 이 측정값은 단일 결과, 가장 일반적으로 혼잡 시간 트래픽(얼랑 단위)을 계산하는 데 사용된다. 이는 하루 중 주어진 한 시간 동안의 동시 통화의 평균 수이며, 이 기간은 가장 높은 결과를 제공하도록 선택된다. (이 결과는 시간 일관 혼잡 시간 트래픽이라고 한다). 다른 방법은 각 날짜에 대해 혼잡 시간 트래픽 값을 별도로 계산하고(이는 매일 약간 다른 시간에 해당할 수 있음) 이 값들의 평균을 취하는 것이다. 이는 일반적으로 시간 일관 혼잡 시간 값보다 약간 더 높은 값을 제공한다.

상당한 수준의 차단을 수반하는 과부하 시스템에서 기존 혼잡 시간 운반 트래픽 Ec가 측정되는 경우, 혼잡 시간 제공 트래픽 Eo(얼랑 공식에 사용될 트래픽 값)를 추정할 때 차단된 통화를 고려해야 한다. 제공 트래픽은 로 추정할 수 있다. 이 목적으로 시스템에 차단된 통화와 성공한 통화를 계산하는 수단이 포함된 경우, Pb는 차단된 통화의 비율에서 직접 추정할 수 있다. 그렇지 않은 경우, Pb는 얼랑 공식에서 Eo 대신 Ec를 사용하여 추정할 수 있으며, 결과적으로 얻은 Pb 추정치는 에 사용되어 Eo의 첫 번째 추정치를 제공할 수 있다.

과부하 시스템에서 Eo를 추정하는 또 다른 방법은 혼잡 시간 통화 도착률 λ(성공한 통화 및 차단된 통화 계산)와 평균 통화 유지 시간(성공한 통화의 경우) h를 측정하고, 그런 다음 공식 를 사용하여 Eo를 추정하는 것이다.

처리해야 할 트래픽이 완전히 새로운 트래픽인 상황에서는 예상 사용자 행동을 모델링하는 것이 유일한 선택이다. 예를 들어, 활성 사용자 수 N, 예상 사용 수준 U(사용자당 하루 통화/거래 수), 혼잡 시간 집중 계수 C(일일 활동 중 혼잡 시간 내에 발생하는 비율), 평균 유지 시간/서비스 시간 h(분 단위로 표현)를 추정할 수 있다. 혼잡 시간 제공 트래픽의 예측은 이 될 것이다. (60으로 나누는 것은 혼잡 시간 통화/거래 도착률을 분당 값으로 변환하여 h가 표현되는 단위와 일치시킨다.)

## 얼랑 B 공식
얼랑 손실 공식으로도 알려진 얼랑 B 공식(또는 하이픈이 있는 얼랑-B)은 때때로 M/M/c/c 큐라고도 불리는 동일한 병렬 리소스 그룹(전화선, 회선, 트래픽 채널 또는 동등한 것)에 대한 통화 손실 확률을 설명하는 차단 확률 공식이다. 예를 들어, 전화 네트워크의 링크를 차원화하는 데 사용된다. 이 공식은 아그너 크라루프 얼랑에 의해 파생되었으며, 대기 시스템(다수의 서버가 있지만 수신 통화가 자유 서버를 기다릴 대기열 공간이 없는 특수한 경우에 해당하지만)에서 확률을 설명하므로 전화 네트워크에 국한되지 않는다. 따라서 이 공식은 손실 판매가 있는 특정 재고 시스템에서도 사용된다.

이 공식은 회선이 바빠서 실패한 통화가 대기열에 들어가거나 다시 시도되지 않고 영원히 사라지는 경우에 적용된다. 통화 시도는 푸아송 과정을 따른다고 가정하므로 통화 도착 순간은 독립적이다. 또한 메시지 길이(유지 시간)는 지수 분포(마르코프 시스템)를 따른다고 가정하지만, 이 공식은 일반적인 유지 시간 분포에서도 적용되는 것으로 밝혀졌다.

얼랑 B 공식은 N개의 서버(예: 전화선)에 트래픽을 공동으로 제공하는 무한한 수의 소스(예: 전화 가입자)를 가정한다. 새로운 통화가 도착하는 빈도를 나타내는 λ(생성률, 트래픽 강도 등)는 일정하며, 활성 소스의 수에 따라 달라지지 않는다. 소스의 총 수는 무한하다고 가정한다.
얼랑 B 공식은 버퍼 없는 손실 시스템의 차단 확률을 계산한다. 여기서 즉시 처리되지 않는 요청은 중단되어 요청이 대기열에 들어가지 않는다. 차단은 모든 사용 가능한 서버가 현재 바쁜 시간에 새로운 요청이 도착할 때 발생한다. 이 공식은 또한 차단된 트래픽이 지워지고 다시 돌아오지 않는다고 가정한다.

이 공식은 리소스 그룹에 도착하는 새로운 통화가 모든 리소스(서버, 회선, 회로)가 사용 중이어서 거부될 확률 Pb인 GoS(서비스 등급)를 제공한다. 여기서 E는 m개의 동일한 병렬 리소스(서버, 통신 채널, 트래픽 레인)에 제공되는 총 트래픽(얼랑 단위)이다.

: P_\text{b} = B(E,m) = \frac{\frac{E^m}{m!}} { \sum_{i=0}^m \frac{E^i}{i!}} 
여기서:
* Pb는 차단 확률
* m은 서버, 전화선 등과 같은 동일한 병렬 리소스의 수
* E = λh는 정규화된 유입 부하(얼랑 단위로 표시된 제공 트래픽)이다.

얼랑은 평균 도착률 λ에 평균 통화 유지 시간 h를 곱하여 계산되는 무차원 부하 단위이다. 리틀의 법칙이 차원적으로 합리적이기 위해서는 이 단위가 무차원이어야 한다.

이것은 얼랑 B 공식 표의 계산을 단순화하는 데 사용되는 형태로 다음과 같이 재귀적으로 표현될 수 있다.

: B(E,0) = 1. \,
: B(E,j) = \frac{E B(E,j - 1)}{E B(E,j - 1) + j} \ \forall{j} = 1,2,\ldots,m. 

일반적으로 B(E, m) 대신 역수 1/B(E, m)가 수치 안정성을 보장하기 위해 수치 계산에서 계산된다.

: \frac{1}{B(E,0)} = 1
: \frac{1}{B(E,j)} = 1 + \frac{j}{E}\frac{1}{B(E,j - 1)} \ \forall{j} = 1,2,\ldots,m. 

재귀 형식은 반복적인 대입을 통해 비재귀 형식에서 도출될 수 있다.


```vbnet
Function ErlangB (E As Double, m As Integer) As Double
    Dim InvB As Double
    Dim j As Integer

    InvB = 1.0
    For j = 1 To m
        InvB = 1.0 + InvB * j / E
    Next j
    ErlangB = 1.0 / InvB
End Function
```


또는 Python 버전:


```python
def erlang_b(E: float, m: int) -> float:
    """Calculate the probability of call losses."""
    inv_b = 1.0
    for j in range(1, m + 1):
        inv_b = 1.0 + inv_b * j / E
    return 1.0 / inv_b
```


얼랑 B 공식은 m에 대해 감소하고 볼록 함수이다.
이것은 통화 도착이 푸아송 과정으로 모델링될 수 있어야 하지만, 항상 잘 일치하지는 않지만, 유한한 평균을 가진 통화 유지 시간의 모든 통계 분포에 유효하다.
트래픽을 버퍼링하지 않는 트래픽 전송 시스템에 적용된다.
얼랑 B가 여전히 적용 가능한 일반 구식 전화 서비스(POTS)에 비해 더 현대적인 예로는 광 버스트 스위칭(OBS)과 광 패킷 스위칭(OPS)에 대한 몇 가지 현재 접근 방식이 있다.
얼랑 B는 분 단위의 유지 시간을 가진 전화 네트워크를 위한 트렁크 사이징 도구로 개발되었지만, 수학 방정식이기 때문에 모든 시간 규모에 적용된다.

## 확장 얼랑 B

확장 얼랑 B는 차단된 발신자의 일부가 다시 시도하여 초기 기준 수준에서 제공되는 트래픽이 증가하는 것을 허용함으로써 고전적인 얼랑-B 가정과 다르다. 이는 공식이라기보다는 반복문 계산이며, 재시도 횟수를 정의하는 재호출 계수 R_\text{f}라는 추가 매개변수를 추가한다.

이 과정의 단계는 다음과 같다. 이는 반복 k=0에서 알려진 초기 기준 트래픽 수준 E_{0}으로 시작하며, 이 값은 이전에 계산된 제공 트래픽 E_{k}에서 발생하는 재호출을 설명하기 위해 연속적으로 조정되어 새로운 제공 트래픽 값 E_{k+1}의 시퀀스를 계산한다.

# 발신자가 첫 번째 시도에서 차단될 확률 P_\text{b} = B(E_k,m)을 위와 같이 얼랑 B에 대해 계산한다.
# 차단된 통화의 예상 수 B_\text{e} = E_k P_\text{b}를 계산한다.
# 고정된 재호출 계수 R_\text{f}를 가정하여 재호출 수 R를 계산한다. R = B_\text{e} R_\text{f}
# 새로운 제공 트래픽 E_{k+1}=E_{0}+R를 계산한다. 여기서 E_{0}는 초기(기준) 트래픽 수준이다.
# 1단계로 돌아가서 E_{k} 대신 E_{k+1}을 대입하고, E의 안정적인 값이 얻어질 때까지 반복한다.

E의 만족스러운 값이 발견되면 차단 확률 P_\text{b}와 재호출 계수를 사용하여 발신자의 모든 시도가 손실될 확률을 계산할 수 있다. 이는 첫 번째 통화뿐만 아니라 후속 재시도도 포함된다.

## 얼랑 C 공식

얼랑 C 공식은 도착하는 고객이 대기열에 들어가야 할 확률(즉시 서비스받는 것과 반대)을 표현한다. 얼랑 B 공식과 마찬가지로 얼랑 C는 m개의 서버에 얼랑 E의 트래픽을 공동으로 제공하는 무한한 수의 소스를 가정한다. 그러나 소스에서 요청이 도착할 때 모든 서버가 바쁘면 요청은 대기열에 들어간다. 이 방식으로 무제한의 요청이 동시에 대기열에 보관될 수 있다. 이 공식은 차단된 통화가 처리될 때까지 시스템에 남아 있다고 가정하고 제공되는 트래픽의 대기열 발생 확률을 계산한다. 이 공식은 지정된 대기열 발생 희망 확률에 대해 콜 센터를 운영하는 데 필요한 상담원 또는 고객 서비스 담당자의 수를 결정하는 데 사용된다. 그러나 얼랑 C 공식은 발신자가 대기열에 있는 동안 절대 전화를 끊지 않는다고 가정하므로, 이 공식은 원하는 서비스 수준을 유지하는 데 실제로 필요한 것보다 더 많은 상담원이 사용되어야 한다고 예측한다.
: P_\text{w} =  \over \left ( \sum\limits_{i=0}^{m-1} \frac{E^i}{i!} \right ) + \frac{E^m}{m!} \frac{m}{m - E}} 
여기서:
* E는 얼랑 단위로 제공되는 총 트래픽
* m은 서버 수
* P_\text{w}는 고객이 서비스를 기다려야 할 확률이다.

통화 도착은 푸아송 과정으로 모델링될 수 있으며 통화 유지 시간은 지수 분포로 설명된다고 가정하므로, 얼랑 C 공식은 M/M/c 큐 모델의 가정에서 따른다.

## 얼랑 공식의 한계 <span id="Limitations"></span>

얼랑이 얼랑-B 및 얼랑-C 트래픽 방정식을 개발했을 때, 그들은 일련의 가정에 따라 개발되었다. 이러한 가정은 대부분의 조건에서 정확하지만, 극심한 트래픽 혼잡 시에는 재진입 트래픽으로 인해 얼랑 방정식이 필요한 회선의 정확한 수를 예측하지 못한다. 이를 고손실 시스템이라고 하는데, 혼잡이 피크 시간대에 더 큰 혼잡을 유발한다. 이러한 경우, 먼저 많은 추가 회선을 사용할 수 있도록 하여 고손실을 완화해야 한다. 이러한 조치가 취해지면 혼잡은 합리적인 수준으로 돌아가고, 얼랑 방정식을 사용하여 실제로 필요한 회선의 정확한 수를 결정할 수 있다.

이러한 고손실 시스템이 발생하는 경우의 예는 TV 광고가 특정 시간에 전화번호를 알리는 경우이다. 이 경우 많은 사람들이 제공된 번호로 동시에 전화할 것이다. 서비스 제공자가 이러한 갑작스러운 전력 최대 수요에 대비하지 못했다면 극심한 트래픽 혼잡이 발생하고 얼랑 방정식을 사용할 수 없다.

## 같이 보기

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## 각주

## 더 읽어보기

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