센서 배열

**센서 배열**()은 일반적으로 특정 기하학적 패턴으로 배치되어 전자기 또는 음향 신호를 수집하고 처리하는 센서 그룹이다. 단일 센서 대신 센서 배열을 사용하는 이점은 배열이 관측에 새로운 차원을 추가하여 더 많은 매개변수를 추정하고 추정 성능을 향상시키는 데 도움이 된다는 사실에 있다.

예를 들어, 빔포밍에 사용되는 무선 안테나 요소의 배열은 신호 방향의 안테나 이득을 증가시키면서 다른 방향의 이득을 감소시켜, 즉 신호를 일관되게 증폭하여 신호 대 잡음비(**SNR**)를 증가시킬 수 있다. 센서 배열 응용의 또 다른 예는 입사 전자기파의 도래각을 추정하는 것이다. 관련 처리 방법을 **배열 신호 처리**()라고 한다. 세 번째 예로는 복잡한 혼합물이나 감지 환경에서 지문 감지를 위해 여러 화학 센서를 활용하는 화학 센서 배열이 있다. 배열 신호 처리의 응용 예로는 레이더/소나, 무선 통신, 지진학, 기계 상태 모니터링, 천문 관측, 결함 진단 등이 있다.

배열 신호 처리를 사용하여 노이즈에 의해 방해받고 센서 배열이 수집한 데이터에 숨겨진 입사 신호의 시간적 및 공간적 속성(또는 매개변수)을 추정하고 밝힐 수 있다. 이를 매개변수 추정이라고 한다.

frame|그림 1: 선형 배열 및 입사각

## 평면파, 시간 영역 빔포밍
그림 1은 6개 요소의 균일 선형 배열(ULA)을 보여준다. 이 예에서는 센서 배열이 신호원의 원거리장에 있다고 가정하여 평면파로 취급할 수 있다.

매개변수 추정은 소스에서 배열의 각 안테나까지의 거리가 다르다는 사실을 이용하며, 이는 각 안테나의 입력 데이터가 서로 위상 이동된 복사본이 될 것임을 의미한다. 식 (1)은 배열에서 첫 번째 안테나를 기준으로 각 안테나에 도달하는 데 걸리는 추가 시간을 계산한 것으로, 여기서 c는 파동의 속도이다.

:\Delta t_i = \frac{(i-1)d \cos \theta}{c}, i = 1, 2, ..., M \ \ (1) 

각 센서는 다른 지연과 관련된다. 지연은 작지만 사소하지 않다. 주파수 영역에서는 센서가 수신한 신호 간의 위상 변화로 표시된다. 지연은 입사각 및 센서 배열의 기하학적 구조와 밀접한 관련이 있다. 배열의 기하학적 구조가 주어지면 지연 또는 위상차를 사용하여 입사각을 추정할 수 있다. 식 (1)은 배열 신호 처리의 수학적 기초이다. 단순히 센서가 수신한 신호를 합산하고 평균값을 계산하면 다음 결과가 나온다.

:y = \frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M} \boldsymbol x_i (t-\Delta t_i) \ \ (2)  .

수신된 신호는 위상이 다르므로 이 평균값은 원래 소스에 비해 향상된 신호를 제공하지 않는다. 경험적으로, 각 수신 신호의 지연을 찾아 합산하기 전에 제거할 수 있다면 평균값은

:y = \frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M} \boldsymbol x_i (t) \ \ (3) 

향상된 신호를 생성할 것이다. 신호가 건설적으로 추가되도록 센서 배열의 각 채널에 대해 잘 선택된 지연 세트를 사용하여 신호를 시간 이동하는 과정을 **[[빔포밍]]**이라고 한다. 위에서 설명한 지연 및 합산 접근 방식 외에도 다양한 성능 지표를 개선하는 여러 스펙트럼 기반(비모수) 접근 방식과 모수적 접근 방식이 존재한다. 이러한 빔포밍 알고리즘은 다음과 같이 간략하게 설명된다.

## 배열 설계
센서 배열은 선형, 원형, 평면형, 원통형 및 구형 배열을 포함하여 다양한 기하학적 설계를 가지고 있다. 임의의 배열 구성을 가진 센서 배열도 있으며, 이는 매개변수 추정을 위해 더 복잡한 신호 처리 기술을 필요로 한다. 균일 선형 배열(ULA)에서는 입사 신호 \omega\tau의 위상이 격자파를 피하기 위해 \pm\pi로 제한되어야 한다. 이는 입사각 \theta가 [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] 범위에 있을 때 센서 간격이 파장의 절반보다 작아야 함을 의미한다(d \leq \lambda/2). 그러나 주 빔의 폭, 즉 배열의 해상도 또는 지향성은 배열의 길이가 파장과 비교하여 결정된다. 적절한 방향성 해상도를 가지려면 배열의 길이가 무선 파장의 몇 배보다 커야 한다.

## 센서 배열의 종류
### 안테나 배열
* 안테나 배열 (전자기), 원하는 방사 패턴을 달성하기 위해 일반적으로 단일 안테나를 형성하는, 전류 간의 의도적인 관계를 가진 안테나 요소의 기하학적 배치
* 방향성 배열, 방향성을 위해 최적화된 안테나 배열
* 위상배열, 요소에 적용되는 위상 변화(및 진폭)가 전자적으로 수정되어 움직이는 부품 없이 안테나 시스템의 방향성 패턴을 조종하는 데 사용되는 안테나 배열
* 스마트 안테나, 셀룰러 전화 기지국에서 수행되는 것처럼 수신기까지의 수신 및 전송을 최적화하기 위해 신호 프로세서가 위상 변화를 실시간으로 계산하는 위상배열
* 디지털 안테나 배열, FFT를 사용하여 다채널 디지털 빔포밍을 수행하는 스마트 안테나이다.
* 간섭계 배열의 전파 망원경 또는 광학 망원경은 간섭계 상관을 통해 고해상도를 달성하는 데 사용된다.
* 왓슨-와트 / 애드콕 안테나 배열, 두 개의 애드콕 안테나 쌍을 사용하여 입사 신호에 대한 진폭 비교를 수행하는 왓슨-와트 기술을 사용한다.

### 음향 배열
* 마이크로폰 배열은 음향 측정 및 빔포밍에 사용된다.
* 라우드스피커 배열은 음향 측정 및 빔포밍에 사용된다.

### 기타 배열
* 수진기 배열은 반사파 지진학에 사용된다.
* 소나 배열은 수중 이미징에 사용되는 수중 청음기 배열이다.
* 디지털 카메라용 이미지 센서

## 지연 및 합산 빔포밍
추가적인 이동 시간으로 인해 발생한 지연과 동일하고 반대되는 시간 지연을 각 마이크에서 기록된 신호에 추가하면 서로 완벽하게 위상이 일치하는 신호가 생성된다. 이러한 위상 일치 신호를 합산하면 배열의 안테나 수만큼 SNR을 증폭시키는 건설적인 간섭이 발생한다. 이를 지연 및 합산 빔포밍이라고 한다. 도래각(DOA) 추정을 위해 모든 가능한 방향에 대한 시간 지연을 반복적으로 테스트할 수 있다. 추측이 잘못되면 신호가 파괴적으로 간섭되어 출력 신호가 감소하지만, 올바른 추측은 위에서 설명한 신호 증폭을 초래할 것이다.

문제는 입사각이 추정되기 전에 추가적인 이동 시간으로 인해 발생한 지연과 '동일하고' 반대되는 시간 지연을 어떻게 알 수 있는가 하는 점이다. 불가능하다. 해결책은 충분히 높은 해상도로 일련의 각도 \hat{\theta} \in [0, \pi]를 시도하고 식 (3)을 사용하여 배열의 결과 평균 출력 신호를 계산하는 것이다. 평균 출력을 최대화하는 시도 각도가 지연 및 합산 빔포머가 제공하는 DOA의 추정치이다. 입력 신호에 반대되는 지연을 추가하는 것은 센서 배열을 물리적으로 회전하는 것과 동일하다. 따라서 이를 **빔 조향**이라고도 한다.

## 스펙트럼 기반 빔포밍
지연 및 합산 빔포밍은 시간 영역 접근 방식이다. 구현하기는 간단하지만 도래각(DOA)을 잘 추정하지 못할 수 있다. 이에 대한 해결책은 주파수 영역 접근 방식이다. 푸리에 변환은 신호를 시간 영역에서 주파수 영역으로 변환한다. 이것은 인접 센서 사이의 시간 지연을 위상 이동으로 변환한다. 따라서 임의의 시간 t에서 배열 출력 벡터는  \boldsymbol x(t) = x_1(t)\begin{bmatrix} 1 & e^{-j\omega\Delta t} & \cdots & e^{-j\omega(M-1)\Delta t} \end{bmatrix}^T  로 나타낼 수 있으며, 여기서 x_1(t)는 첫 번째 센서가 수신한 신호를 나타낸다. 주파수 영역 빔포밍 알고리즘은  \boldsymbol R=E\{ \boldsymbol x(t) \boldsymbol x^T(t)\}로 표현되는 공간 공분산 행렬을 사용한다. 이 M by M 행렬은 입사 신호의 공간 및 스펙트럼 정보를 전달한다. 영평균 가우시안 백색 잡음을 가정할 때 공간 공분산 행렬의 기본 모델은 다음과 같다.

: \boldsymbol R = \boldsymbol V \boldsymbol S \boldsymbol V^H + \sigma^2 \boldsymbol I \ \ (4) 

여기서 \sigma^2 는 백색 잡음의 분산이고,   \boldsymbol I  는 항등 행렬이며,  \boldsymbol V  는 배열 매니폴드 벡터  \boldsymbol V = \begin{bmatrix} \boldsymbol v_1 & \cdots & \boldsymbol v_k \end{bmatrix}^T  이며,  \boldsymbol v_i = \begin{bmatrix} 1 & e^{-j\omega\Delta t_i} & \cdots & e^{-j\omega(M-1)\Delta t_i} \end{bmatrix}^T  이다. 이 모델은 주파수 영역 빔포밍 알고리즘에서 매우 중요하다.

몇 가지 스펙트럼 기반 빔포밍 접근 방식은 다음과 같다.

### 기존 (바틀렛) 빔포머
바틀렛 빔포머는 기존 스펙트럼 분석(스펙트로그램)을 센서 배열로 자연스럽게 확장한 것이다. 스펙트럼 파워는 다음과 같이 표현된다.

: \hat{P}_{Bartlett}(\theta)=\boldsymbol v^H \boldsymbol R \boldsymbol v \ \ (5) .

이 파워를 최대화하는 각도는 입사각의 추정치이다.

### MVDR (카폰) 빔포머
최소 분산 무왜곡 응답(MVDR) 빔포머는 카폰 빔포밍 알고리즘으로도 알려져 있으며, 파워는 다음과 같다.

: \hat{P}_{Capon}(\theta)=\frac{1}{\boldsymbol v^H \boldsymbol R^{-1} \boldsymbol v} \ \ (6) .

MVDR/카폰 빔포머는 기존(바틀렛) 방식보다 더 나은 해상도를 달성할 수 있지만, 이 알고리즘은 완전 랭크 행렬 역산으로 인해 더 높은 복잡성을 가진다. GPU 컴퓨팅의 기술 발전은 이러한 격차를 좁히고 실시간 카폰 빔포밍을 가능하게 하기 시작했다.

### MUSIC 빔포머
MUSIC(다중 신호 분류) 빔포밍 알고리즘은 신호 부분과 잡음 부분 모두에 대해 식 (4)에 주어진 대로 공분산 행렬을 분해하는 것으로 시작한다. 고유 분해는 다음과 같이 표현된다.

: \boldsymbol R = \boldsymbol U_s \boldsymbol \Lambda_s \boldsymbol U_s^H + \boldsymbol U_n \boldsymbol \Lambda_n \boldsymbol U_n^H \ \ (7) .

MUSIC은 카폰 알고리즘의 분모에서 공간 공분산 행렬의 잡음 부분 공간을 사용한다.

: \hat{P}_{MUSIC}(\theta)=\frac{1}{\boldsymbol v^H \boldsymbol U_n \boldsymbol U_n^H\boldsymbol v} \ \ (8) .

따라서 MUSIC 빔포머는 부분 공간 빔포머라고도 알려져 있다. 카폰 빔포머에 비해 훨씬 더 나은 DOA 추정치를 제공한다.

### SAMV 빔포머
SAMV 빔포밍 알고리즘은 공분산 행렬의 시간 불변 통계적 특성을 명시적으로 활용하는 희소 신호 재구성 기반 알고리즘이다. 초해상도를 달성하며 고도로 상관된 신호에 강하다.

## 매개변수 빔포머
스펙트럼 기반 빔포머의 주요 장점 중 하나는 계산 복잡성이 낮다는 것이지만, 신호가 상관되거나 일관성이 있다면 정확한 DOA 추정치를 제공하지 못할 수 있다. 대안적인 접근 방식은 매개변수 빔포머이며, **[[최대 우도|최대 우도(ML)]]** 빔포머로도 알려져 있다. 공학에서 일반적으로 사용되는 최대 우도 방법의 한 예는 최소제곱법이다. 최소 제곱 접근 방식에서는 이차 벌칙 함수가 사용된다. 이차 벌칙 함수(또는 목적 함수)의 최소값(또는 최소 제곱 오차)을 얻으려면 그 미분(선형임)을 취하고, 이를 0으로 놓고 선형 방정식 시스템을 푼다.

ML 빔포머에서는 공간 공분산 행렬과 신호 모델에 이차 벌칙 함수가 사용된다. ML 빔포머 벌칙 함수의 한 예는 다음과 같다.

:L_{ML}(\theta)=\|\hat{\boldsymbol R}- \boldsymbol R\|_F^2 = \|\hat{\boldsymbol R}-( \boldsymbol V \boldsymbol S \boldsymbol V^H + \sigma^2 \boldsymbol I )\|_F^2 \ \ (9)  ,

여기서 \| \cdot \|_F 는 프로베니우스 노름이다. 식 (4)에서 볼 수 있듯이 식 (9)의 벌칙 함수는 신호 모델을 표본 공분산 행렬에 가능한 한 정확하게 근사함으로써 최소화된다. 다시 말해, 최대 우도 빔포머는 행렬  \boldsymbol V 의 독립 변수인 DOA \theta를 찾아 식 (9)의 벌칙 함수를 최소화하는 것이다. 실제로 벌칙 함수는 신호 및 잡음 모델에 따라 다르게 보일 수 있다. 이러한 이유로 최대 우도 빔포머에는 크게 두 가지 범주가 있다: 결정론적 ML 빔포머와 추계학적 ML 빔포머로, 각각 결정론적 모델과 추계학적 모델에 해당한다.

이전 벌칙 방정식을 변경하는 또 다른 아이디어는 벌칙 함수의 미분을 통해 최소화를 단순화하는 것을 고려하는 것이다. 최적화 알고리즘을 단순화하기 위해 일부 ML 빔포머에서는 로그 연산과 관측치의 확률 밀도 함수가 사용될 수 있다.

최적화 문제는 벌칙 함수의 미분에서 0으로 등치시킨 후의 근을 찾음으로써 해결된다. 방정식이 비선형이기 때문에 일반적으로 뉴턴-랩슨 방법과 같은 수치 탐색 접근 방식이 사용된다. 뉴턴-랩슨 방법은 다음과 같은 반복을 사용하는 반복적 근 탐색 방법이다.

: x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \ \ (10).

탐색은 초기 추측 x_0에서 시작한다. 빔포밍 벌칙 함수를 최소화하기 위해 뉴턴-랩슨 탐색 방법이 사용되면 결과 빔포머를 뉴턴 ML 빔포머라고 한다. 몇 가지 잘 알려진 ML 빔포머는 표현의 복잡성으로 인해 추가 세부 정보 없이 아래에 설명되어 있다.

;결정론적 최대 우도 빔포머
:결정론적 최대 우도 빔포머(**DML**)에서 잡음은 정상 가우시안 백색 랜덤 프로세스로 모델링되는 반면 신호 파형은 결정론적(그러나 임의적)이며 알려지지 않은 것으로 모델링된다.

;추계학적 최대 우도 빔포머
:추계학적 최대 우도 빔포머(**SML**)에서 잡음은 정상 가우시안 백색 랜덤 프로세스(DML과 동일)로 모델링되는 반면 신호 파형은 가우시안 랜덤 프로세스로 모델링된다.

;방향 추정 방법
:방향 추정 방법(**MODE**)은 부분 공간 최대 우도 빔포머이며, **MUSIC**과 마찬가지로 부분 공간 스펙트럼 기반 빔포머이다. 부분 공간 ML 빔포밍은 표본 공분산 행렬의 고유 분해를 통해 얻어진다.

## 각주

## 추가 자료
*
* H. Krim and M. Viberg, “Two decades of array signal processing research”, IEEE Transactions on Signal Processing Magazine, July 1996
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* S. U. Pillai, “Array Signal Processing”, New York: Springer-Verlag, 1989
* P. Stoica and R. Moses, “Introduction to Spectral Analysis", Prentice-Hall, Englewood Cliffs, USA, 1997. available for download.
* J. Li and P. Stoica, “Robust Adaptive Beamforming", John Wiley, 2006.
* J. Cadzow, “Multiple Source Location—The Signal Subspace Approach”, IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Vol. 38, No. 7, July 1990
* G. Bienvenu and L. Kopp, “Optimality of high resolution array processing using the eigensystem approach”, IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Process, Vol. ASSP-31, pp.&nbsp;1234–1248, October 1983
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* B. Ottersten, M. Verberg, P. Stoica, and A. Nehorai, “Exact and large sample maximum likelihood techniques for parameter estimation and detection in array processing”, Radar Array Processing, Springer-Verlag, Berlin, pp.&nbsp;99–151, 1993
* M. Viberg, B. Ottersten, and T. Kailath, “Detection and estimation in sensor arrays using weighted subspace fitting”, IEEE Transactions on Signal Processing, vol. SP-39, pp 2346–2449, November 1991
*
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* R. O. Schmidt, “New mathematical tools in direction finding and spectral analysis”, Proceedings of SPIE 27th Annual Symposium, San Diego, California, August 1983

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