볼록 해석학

섬네일|오른쪽|3차원 볼록 다면체. 볼록 해석학은 유클리드 공간의 볼록 부분집합 연구뿐만 아니라 추상 공간의 볼록 함수 연구도 포함한다.
**볼록 해석학**(convex analysis)은 수학의 한 분야로, 볼록 함수와 볼록 집합의 속성을 연구하는 학문이며, 종종 최적화 이론의 하위 영역인 볼록 최소화에 응용된다.

## 볼록 집합

일부 벡터 공간 X의 부분집합 C \subseteq X는 다음 동등한 조건 중 하나를 만족하면 ***'이다.
#만약 <math>0 \leq r \leq 1</math>이 실수이고 <math>x, y \in C</math>이면 <math>r x + (1 - r) y \in C.</math>
#만약 <math>0 < r < 1</math>이 실수이고 <math>x \neq y</math>인 <math>x, y \in C</math>이면 <math>r x + (1 - r) y \in C.</math>
[[파일:ConvexFunction.svg|섬네일|300px|오른쪽|구간 위에서의 볼록 함수.]]


전체적으로, <math>f : X \to [-\infty, \infty]</math>는 벡터 공간의 볼록 부분집합인 [[정의역]] <math>\operatorname{domain} f = X</math>를 가지는 [[확장된 실수]] <math>[-\infty, \infty] = \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}</math>의 값을 가지는 사상이다.
사상 <math>f : X \to [-\infty, \infty]</math>는 다음이 성립하면 ***'이다.

이는 0 인 임의의 실수와 x \neq y인 임의의 x, y \in X에 대해 성립한다. 만약 정의 부등식 ()이 엄격한 부등식으로 대체되어도 f에 대해 이가 여전히 참이면

f는 ***'하다고 한다.

볼록 함수는 볼록 집합과 관련이 있다. 특히, 함수 <math>f</math>는 그 [[후그래프 (수학)|***']]가
[오른쪽|섬네일|300px|함수 (검은색)는 그 [함수의 그래프|그래프 위의 영역 (초록색)인 후그래프가 볼록 집합인 경우에만 볼록이다.]]
[오른쪽|300px|섬네일|[다항식#변수의 개수|이변수 볼록 함수 x^2 + x y + y^2의 그래프.]]

볼록 집합인 경우에만 볼록이다. 확장된 실수값 함수의 후그래프는 실해석학에서 실수값 함수의 그래프가 하는 역할과 유사한 역할을 볼록 해석학에서 한다. 특히, 확장된 실수값 함수의 후그래프는 추측을 공식화하거나 증명하는 데 도움이 될 수 있는 기하학적 직관을 제공한다.

함수 f : X \to [-\infty, \infty]의 정의역은 \operatorname{domain} f로 표시되는 반면, 그 ***'은 집합이다.


함수 <math>f : X \to [-\infty, \infty]</math>는 <math>\operatorname{dom} f \neq \varnothing</math>이고 모든 <math>x \in \operatorname{domain} f</math>에 대해 <math>f(x) > -\infty</math>인 경우 ***'하다고 한다. 다르게 말하면, 이는 f의 정의역에 f(x) \in \mathbb{R}인 x가 존재하고, f가 결코 -\infty와 같지 않음을 의미한다. 즉, 함수가 **유효**하다는 것은 정의역이 비어 있지 않고, -\infty 값을 취하지 않으며, +\infty와 항등적으로 같지 않다는 것이다. 만약 f : \mathbb{R}^n \to [-\infty, \infty]가 유효 볼록 함수라면, b \in \mathbb{R}^n인 어떤 벡터와 r \in \mathbb{R}인 어떤 실수가 존재하여
:f(x) \geq x \cdot b - r 모든 x에 대해

여기서 x \cdot b는 이들 벡터의 스칼라곱을 나타낸다.

## 볼록 켤레

확장된 실수값을 가지는 함수 f : X \to [-\infty, \infty](반드시 볼록일 필요는 없음)의 ***'는 <math>X</math>의 [[쌍대 공간|(연속) 쌍대 공간]] <math>X^*</math>에서 <math>[-\infty, \infty]</math>로 가는 함수 <math>f^* : X^* \to [-\infty, \infty]</math>이며,

:<math>f^*\left(x^*\right) = \sup_{z \in X} \left\{ \left\langle x^*, z \right\rangle - f(z) \right\}</math>

여기서 괄호 <math>\left\langle \cdot, \cdot \right\rangle</math>는 [[쌍대 시스템|정준 쌍대성]] <math>\left\langle x^*, z \right\rangle := x^*(z)</math>를 나타낸다.
만약 <math>\operatorname{Func}(X; Y)</math>가 <math>X</math> 위의 <math>Y</math>-값 함수의 집합을 나타낸다면, <math>f \mapsto f^*</math>로 정의되는 사상 <math>\operatorname{Func}(X; [-\infty, \infty]) \to \operatorname{Func}\left( X^*; [-\infty, \infty] \right)</math>는 ***'이라고 불린다.

### 준미분 집합과 펜첼-영 부등식

만약 f : X \to [-\infty, \infty]이고 x \in X이면 ***'은

:<math>
\begin{alignat}{4}
\partial f(x)
:&= \left\{ x^* \in X^* ~:~ f(z) \geq f(x) + \left\langle x^*, z - x \right\rangle \text{ for all } z \in X \right\} && (\text{“} z \in X \text{''} \text{ can be replaced with: } \text{“} z \in X \text{ such that } z \neq x \text{''}) \\
&= \left\{ x^* \in X^* ~:~ \left\langle x^*, x \right\rangle - f(x) \geq \left\langle x^*, z \right\rangle - f(z) \text{ for all } z \in X \right\} && \\
&= \left\{ x^* \in X^* ~:~ \left\langle x^*, x \right\rangle - f(x) \geq \sup_{z \in X} \left\langle x^*, z \right\rangle - f(z) \right\} && \text{ The right hand side is } f^*\left( x^* \right) \\
&= \left\{ x^* \in X^* ~:~ \left\langle x^*, x \right\rangle - f(x) = f^*\left( x^* \right) \right\} && \text{ Taking } z := x \text{ in the } \sup{} \text{ gives the inequality } \leq. \\
\end{alignat}
</math>

예를 들어, <math>f = \| \cdot \|</math>가 <math>X</math>의 노름인 중요한 특수 경우에, <math>0 \neq x \in X</math>이면 이 정의는 다음으로 축소된다는 것을 보일 수 있다.

:<math>\partial f (x) = \left\{ x^* \in X^* ~:~ \left\langle x^*, x \right\rangle = \| x \| \text{ and } \left\| x^* \right\| = 1 \right\}</math> 그리고 <math>\partial f(0) = \left\{ x^* \in X^* ~:~ \left\| x^* \right\| \leq 1 \right\}.</math>

모든 <math>x \in X</math>와 <math>x^* \in X^*</math>에 대해, <math>f(x) + f^*\left(x^*\right) \geq \left\langle x^*, x \right\rangle,</math> 이는 이라고 불린다. 이 부등식은 <math>x^* \in \partial f(x)</math>인 경우에만 등식 (즉, <math>f(x) + f^*\left(x^*\right) = \left\langle x^*, x \right\rangle</math>)이 된다. 이런 방식으로 준미분 집합 <math>\partial f (x)</math>는 볼록 켤레 <math>f^*\left( x^* \right)</math>와 직접적으로 관련되어 있다.

=== 이중 켤레 ===

함수 <math>f : X \to [-\infty, \infty]</math>의 ***'는 일반적으로 f^{**} : X \to [-\infty, \infty]로 표기되며, 켤레 함수의 켤레이다. 즉, 모든 x \in X에 대해 f^{**}(x) := \sup_{z^* \in X^*} \left\{ \left\langle x, z^* \right\rangle - f^*\left( z^* \right) \right\}이다. 이중 켤레는 강한 또는 약한 쌍대성이 언제 성립하는지 (섭동 함수를 통해) 보여주는 데 유용하다.

모든 x \in X에 대해 부등식 f^{**}(x) \leq f(x)는 에서 비롯된다. 유효 함수의 경우, 펜첼-모로 정리에 따라 f가 볼록이고 하반연속일 필요충분조건으로 f = f^{**}가 성립한다.

## 볼록 최소화

***' (***') ***'는 볼록 함수 <math>f : X \to [-\infty, \infty]</math>와 볼록 부분집합 <math>M \subseteq X</math>가 주어졌을 때 다음 형태의 문제를 찾는 것이다.

: <math>\inf_{x \in M} f(x)</math>를 찾아라.

=== 쌍대 문제 ===


최적화 이론에서 는 최적화 문제를 원시 문제 또는 쌍대 문제라는 두 가지 관점에서 볼 수 있다고 말한다.

일반적으로 두 [[쌍대 짝]] [[국소 볼록 공간|분리된 국소 볼록 공간]] <math>\left(X, X^*\right)</math>와 <math>\left(Y, Y^*\right)</math>가 주어졌다고 하자. 그러면 함수 <math>f : X \to [-\infty, \infty]</math>가 주어졌을 때, 원시 문제를 <math>x</math>를 찾아 다음을 만족하는 문제로 정의할 수 있다.

:<math>\inf_{x \in X} f(x).</math>

제약 조건이 있다면, 이는 <math>f = f + I_{\mathrm{constraints}}</math>로 설정하여 함수 <math>f</math>에 포함시킬 수 있으며, 여기서 <math>I</math>는 [[지시 함수 (볼록 해석학)|지시 함수]]이다. 그리고 <math>F(x, 0) = f(x)</math>가 되는 [[섭동 함수]] <math>F : X \times Y \to [-\infty, \infty]</math>를 정의한다.

선택된 섭동 함수에 대한 ***'는 다음으로 주어진다.

:\sup_{y^* \in Y^*} -F^*\left(0, y^*\right)

여기서 F^*는 F의 두 변수에 대한 볼록 켤레이다.

쌍대성 간격은 다음 부등식의 우변과 좌변의 차이이다.

:\sup_{y^* \in Y^*} -F^*\left(0, y^*\right) \le \inf_{x \in X} F(x, 0).

이 원리는 약한 쌍대성과 동일하다. 만약 두 변이 서로 같다면, 이 문제는 강한 쌍대성을 만족한다고 한다.

강한 쌍대성이 성립하기 위한 많은 조건들이 있다. 예를 들면:
* F = F^{**} 여기서 F는 원시 문제와 쌍대 문제를 연결하는 섭동 함수이고 F^{**}는 F의 이중 켤레이다.
* 원시 문제가 선형 최적화 문제이다.
* 볼록 최적화 문제에 대한 슬레이터 조건.

#### 라그랑주 쌍대성
부등식 제약 조건이 있는 볼록 최소화 문제의 경우,

:::\min {}_{x} f(x) 제약 조건 g_i(x) \leq 0 (i = 1, \ldots, m).

라그랑주 쌍대 문제는 다음과 같다.

:::\sup {}_{u} \inf {}_{x} L(x, u) 제약 조건 u_i(x) \geq 0 (i = 1, \ldots, m).

여기서 목적 함수 L(x, u)는 다음과 같이 정의되는 라그랑주 쌍대 함수이다.

:L(x, u) = f(x) + \sum_{j=1}^m u_j g_j(x)

## 같이 보기

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## 내용주

## 각주

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## 외부 링크
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분류:볼록기하학