POVM

함수해석학 및 양자정보과학에서 **양의 연산자 값 측도**(, **POVM**)는 힐베르트 공간에서 양의 준정부호 연산자를 값으로 하는 측도이다. POVM은 사영값 측도(PVM)의 일반화이며, 그에 따라 POVM으로 설명되는 양자 측정은 PVM(사영 측정이라고 함)으로 설명되는 양자 측정의 일반화이다.

대략적인 비유로, POVM은 PVM에 대해 혼합 상태가 순수 상태에 대해 가지는 관계와 같다. 혼합 상태는 더 큰 시스템의 하위 시스템 상태를 지정하는 데 필요하며(양자 상태의 정화 참조), 이와 유사하게 POVM은 더 큰 시스템에서 수행된 사영 측정의 하위 시스템에 대한 효과를 설명하는 데 필요하다.

POVM은 양자역학에서 가장 일반적인 유형의 측정이며 양자장론에서도 사용될 수 있다. 이들은 양자 정보 분야에서 광범위하게 사용된다.

## 정의
 \mathcal{H} 를 힐베르트 공간이라고 하고 (X, M)을 M이 X에 대한 보렐 시그마 대수인 가측 공간이라고 하자. POVM은 M에 정의된 함수 F로, 그 값은  \mathcal{H} 에서 양의 유계 자기 수반 작용소이며, 모든 \psi \in \mathcal{H}에 대해 다음이 성립한다.
: E \mapsto \langle F(E) \psi \mid \psi \rangle, 
는 시그마 대수 M에 대한 음이 아닌 가산 가법 측도이며 F(X) = \operatorname{I}_{\mathcal{H}} 는 항등 연산자이다.

양자역학에서 POVM의 핵심 속성은 결과 공간에 대한 확률 측도를 결정한다는 것이다. 따라서 \langle F(E) \psi \mid \psi \rangle는 양자 상태 | \psi \rangle를 측정할 때 사건 E가 발생할 확률로 해석될 수 있다.

가장 간단한 경우, X가 유한 집합이고 M이 X의 멱집합이며  \mathcal{H} 가 유한 차원일 때, POVM은 양의 준정부호 에르미트 행렬 \{F_i\} 의 집합과 동일하며, 이들은 합쳐서 단위 행렬이 된다.

:\sum_{i=1}^n F_i = \operatorname{I}.

POVM은 사영값 측도와는 다르다. 사영값 측도의 경우 F의 값은 직교 사영이어야 한다.

이산적인 경우, POVM 요소 F_i는 측정 결과 i와 연관되며, 양자 상태 \rho에서 양자 측정을 수행할 때 이를 얻을 확률은 다음과 같이 주어진다.

:\text{Prob}(i) = \operatorname{tr}(\rho F_i) ,

여기서 \operatorname{tr}은 대각합 연산자이다. 측정되는 양자 상태가 순수 상태 |\psi\rangle일 때, 이 공식은 다음과 같이 축소된다.

:\text{Prob}(i) = \operatorname{tr}(|\psi\rangle\langle\psi| F_i) = \langle\psi|F_i|\psi\rangle.

POVM의 이산적인 경우는 PVM의 가장 간단한 경우를 일반화한다. PVM은 직교 사영 \{\Pi_i\}의 집합으로, 단위 행렬로 합산된다.

:\sum_{i=1}^N \Pi_i = \operatorname{I}, \quad \Pi_i \Pi_j = \delta_{i j} \Pi_i.

PVM에 대한 확률 공식은 POVM에 대한 것과 동일하다. 중요한 차이점은 POVM의 요소가 반드시 직교하는 것은 아니라는 점이다. 결과적으로 POVM의 요소 수 n은 POVM이 작용하는 힐베르트 공간의 차원보다 클 수 있다. 반면에 PVM의 요소 수 N은 힐베르트 공간의 차원보다 많아야 한다.

## 나이마르크 확장 정리

:참고: 이 이름은 "노이마르크 정리"로도 표기될 수 있다.

나이마르크 확장 정리는 POVM이 더 큰 공간에 작용하는 PVM으로부터 어떻게 얻어지는지를 보여준다. 이 결과는 양자역학에서 POVM 측정을 물리적으로 구현하는 방법을 제공하므로 매우 중요하다.

유한 차원 힐베르트 공간에 작용하는 유한 개수의 요소가 있는 POVM의 가장 간단한 경우, 나이마르크 정리는 차원 d_A의 힐베르트 공간 \mathcal{H}_A에 작용하는 POVM \{F_i\}_{i=1}^n이 있다면, 차원 d_{A'}의 힐베르트 공간 \mathcal{H}_{A'}에 작용하는 PVM \{\Pi_i\}_{i=1}^n과 등거리변환 V : \mathcal{H}_A \to \mathcal{H}_{A'}이 존재하여 모든 i에 대해 다음이 성립함을 말한다.
: F_i = V^\dagger \Pi_i V. 

계수 1 POVM, 즉 F_i = |f_i\rangle\langle f_i| (일부 비정규화 벡터 |f_i\rangle에 대해)의 특정 경우에, 이 등거리변환은 다음과 같이 구성될 수 있다.
: V = \sum_{i=1}^n |i\rangle_{A'}\langle f_i|_{A}
그리고 PVM은 단순히 \Pi_i = |i\rangle\langle i|_{A'} 로 주어진다. 여기서 d_{A'} = n이다.

일반적인 경우, 등거리변환과 PVM은 \mathcal{H}_{A'} = \mathcal{H}_{A}\otimes \mathcal{H}_{B}, \Pi_i = \operatorname{I}_A \otimes |i\rangle\langle i|_B 및
: V = \sum_{i=1}^n \sqrt{F_i}_A \otimes |\text{result ψ}\rangle + \sqrt |\text{result ?}\rangle,
마찬가지로 상태 |\varphi\rangle는 다음으로 만든다.
:U_\text{UQSD}|\varphi\rangle = \sqrt{1-|\lang\varphi|\psi\rang|}|\text{result φ}\rangle + e^{-i\arg(\lang\varphi|\psi\rang)}\sqrt|\text{result ?}\rangle.
그 후 사영 측정은 POVM과 동일한 확률로 원하는 결과를 제공한다.

이 POVM은 광자의 비직교 편광 상태를 실험적으로 구별하는 데 사용되었다. POVM을 사영 측정으로 구현하는 방식은 여기서 설명된 방식과 약간 달랐다.

## 같이 보기
* SIC-POVM
* 양자 측정
* 양자역학의 수학 공식화
* 밀도 행렬
* 양자 연산
* 사영값 측도
* 벡터 측도

## 각주

*POVM
**K. Kraus, States, Effects, and Operations, Lecture Notes in Physics 190, Springer (1983).
** A.S. Holevo, Probabilistic and statistical aspects of quantum theory, North-Holland Publ. Cy., Amsterdam (1982).

## 외부 링크
* Interactive demonstration about quantum state discrimination

분류:양자 정보 이론
분류:양자 측정