기본점

기하광학에서 **기본점**(cardinal point)은 회전대칭의 초점 광학계의 광축에 위치한 세 쌍의 점들로 구성된다. 이들은 초점, **주점**, **결절점**이며, 각각 두 개씩 존재한다. 이상적인 시스템의 경우, 영상 크기, 위치 및 방향과 같은 기본 영상 속성은 기본점의 위치에 의해 완전히 결정된다. 광학계 양쪽의 매질이 공기 또는 진공인 간단한 경우, 두 초점과 주점 또는 결절점 중 하나인 네 개의 기본점만으로 충분하다. 실제로 달성된 유일한 이상적인 시스템은 평면 거울이지만, 기본점은 실제 광학계의 동작을 하는 데 널리 사용된다. 기본점은 여러 구성 요소를 가진 광학계를 분석적으로 단순화하여 간단한 계산으로 시스템의 영상 특성을 대략적으로 결정할 수 있는 방법을 제공한다.

## 설명
섬네일|250px|right|공기 중 두꺼운 렌즈의 기본점. '''F''', ''''''는 전면 및 후면 초점; '''P''', ''''''는 전면 및 후면 주점; '''V''', ''''''는 전면 및 후면 표면 정점.
기본점은 광학계의 광축에 놓인다. 각 점은 광학계가 그 점을 통과하는 광선에 미치는 영향에 의해 정의되며, 근축 근사법 내에서 정의된다. 근축 근사법은 광선이 광축에 대해 얕은 각도로 이동하여   및  조리개 효과는 무시된다. 즉, 시스템의 조리개 스톱을 통과하지 않는 광선은 아래 논의에서 고려되지 않는다.

### 초점과 초점면

광학계의 전면 초점은 정의상 그 점을 통과하는 모든 광선이 광축에 평행하게 시스템에서 나가는 특성을 가진다. 시스템의 후면(또는 뒷면) 초점은 반대의 특성을 가진다. 즉, 광축에 평행하게 시스템에 들어오는 광선은 후면 초점을 통과하도록 초점을 맞춘다.

left|섬네일|같은 각도로 물체에서 나가는 광선은 후면 초점면에서 교차한다.
전면 및 후면(또는 뒷면) **초점면**은 광축에 수직하며 전면 및 후면 초점을 통과하는 평면으로 정의된다. 광학계에서 무한히 멀리 떨어진 물체는 후면 초점면에서 영상을 형성한다. 유한한 거리에 있는 물체의 경우 영상은 다른 위치에 형성되지만, 서로 평행하게 물체에서 나가는 광선은 후면 초점면에서 교차한다.

right|섬네일|후면 초점면의 조리개를 이용한 각도 필터링.
렌즈의 후면 초점면에 있는 조리개 또는 "스톱"은 각도에 따라 광선을 필터링하는 데 사용될 수 있다. 왜냐하면 광축을 중심으로 한 조리개는 광축에서 충분히 작은 각도로 물체에서 방출된 광선만 통과시키기 때문이다. 후면 초점면에 충분히 작은 조리개를 사용하면 렌즈가 대물 공간 텔레센트릭이 된다.

마찬가지로, 렌즈의 전면 초점면(또는 전체 렌즈 내의 렌즈 그룹)에 조리개를 놓으면 렌즈의 출력 측면에서 허용되는 각도 범위를 필터링할 수 있으며, 충분히 작은 조리개는 렌즈를 영상 공간 텔레센트릭으로 만든다. 이는 전하결합소자 센서를 가진 디지털 일안 반사식 카메라에 중요하다. 이러한 센서의 픽셀은 각도로 입사하는 광선보다 똑바로 입사하는 광선에 더 민감하다. 검출기에서 입사 각도를 제어하지 않는 렌즈는 영상에서 픽셀 비네팅을 발생시킨다.

### 주평면과 주점
섬네일|두꺼운 렌즈의 주평면. 주점 H와 , 전면 및 후면 초점 F와 F가 표시되어 있다.
[right|섬네일|upright=1.2|다양한 렌즈 모양과 각 렌즈의 주평면 위치. 렌즈 표면의 [곡률반경은  및 로 표시된다.]]렌즈의 두 주평면은 렌즈에서 나오는 광선이 렌즈 전면에서 볼 때 전면 주평면을 가로지르는 것처럼 보였던 광축으로부터의 같은 거리에서 후면 주평면을 가로지르는 것처럼 보이는 특성을 가지고 있다. 이는 렌즈가 모든 굴절이 주평면에서 일어나는 것처럼 취급될 수 있고, 광선은 평면 사이에서 광축에 평행하게 이동하는 것처럼 취급될 수 있음을 의미한다. (주평면 사이의 선형 배율은 +1이다.) 주평면은 광학계의 특성을 정의하는 데 중요하며, 시스템의 배율은 물체에서 전면 주평면까지의 거리와 후면 주평면에서 물체의 영상까지의 거리에 의해 결정된다. 주점은 주평면이 광축과 교차하는 지점이다.

광학계를 둘러싼 매질의 굴절률이 1인 경우(예: 공기 또는 진공), 각 주평면에서 해당 초점까지의 거리는 시스템의 초점거리이다. 더 일반적인 경우, 초점까지의 거리는 초점 거리에 매질의 굴절률을 곱한 값이다.

굴절률 인 매질에 둘러싸인 단일 렌즈의 경우, 각 렌즈 정점에 대한 주점 와 의 위치는 다음 공식으로 주어진다. \begin{aligned}
H &= - \frac{f(n - 1)d}{r_2 n} \\
H' &= - \frac{f(n - 1)d}{r_1 n} ,\end{aligned} 여기서 는 렌즈의 초점 거리, 는 두께,  및 는 표면의 곡률반경이다. 양수 부호는 해당 정점의 오른쪽으로의 거리를 나타내고, 음수 부호는 왼쪽으로의 거리를 나타낸다.

공기 중의 얇은 렌즈의 경우, 주평면은 모두 렌즈의 위치에 놓인다. 광축과 교차하는 지점은 때때로 오해의 소지가 있는 **광학 중심**이라고 불린다. 실제 렌즈의 경우 주평면은 반드시 렌즈의 중심을 통과하지 않으며 렌즈 외부에 있을 수도 있다.

### 결절점

섬네일|180px|right|'''N''', '''''' 두꺼운 렌즈의 전면 및 후면 결절점.
렌즈의 전면 및 후면 결절점은 그 중 하나를 향하는 광선이 렌즈에 의해 굴절되어 광축에 대해 동일한 각도로 다른 점으로부터 온 것처럼 보이는 특성을 가진다. (결절점 사이의 각 배율은 +1이다.) 따라서 결절점은 횡방향 거리에 대해 주평면이 하는 일을 각도에 대해 수행한다. 광학계 양쪽의 매질이 동일한 경우(예: 공기 또는 진공), 전면 및 후면 결절점은 각각 전면 및 후면 주점과 일치한다.

가우스의 1841년 원본 논문은 초점을 통과하는 주요 광선만을 논의했다. 동료인 요한 베네딕트 리스팅은 1845년에 인간의 눈을 평가하기 위해 결절점을 처음으로 기술했으며, 이때 영상은 유체 속에 있었다. 기본점은 이미 1864년(돈더스)에 단일 다이어그램에 모두 포함되어 있었으며, 물체는 공기 중에 있고 영상은 다른 매질에 있었다.

섬네일|400px|각 측면에 다른 매질이 있는 광학 시스템의 기본점 다이어그램. '''F'''는 초점, '''P'''는 주점, '''NP'''는 결절점, '''efl'''은 유효 초점 거리를 나타낸다. 주 광선은 보라색으로 표시되어 있다.
결절점은 각도 편차 없이 렌즈 중심을 통과하는 광선을 특징짓는다. 주평면에 조리개 스톱이 있는 공기 중 렌즈의 경우, 이 광선은 주광선이 될 것이다. 이 경우 결절점과 주점이 일치하기 때문이다. 이는 "가우스 광학"이라고 불리는 것에 그 자체로 가치 있는 추가 사항이며, 만약 영상이 유체 속에 있다면, 그 동일한 광선은 오른쪽 다이어그램에서처럼 새로운 매질로 굴절될 것이다. 결절점을 통과하는 광선은 평행한 입사 및 출사 부분을 가진다(파란색). 한쪽은 공기이고 다른 쪽은 유체인 렌즈의 후면 결절점을 찾는 간단한 방법은 후면 초점 거리 를 영상 매질 굴절률로 나누는 것으로, 이는 렌즈의 유효 초점 거리 (EFL)를 제공한다. EFL은 후면 결절점에서 후면 초점까지의 거리이다.

렌즈의 굴절력은  또는 와 같다. 평행광의 경우, 광학 시스템의 두 번째 결절점에 렌즈를 공기 중에 놓아 유체 속 영상이 있는 원래 렌즈 시스템과 동일한 근축 특성을 제공할 수 있다. 예를 들어, 전체 눈의 굴절력은 약 60 디옵터이다. 마찬가지로, 안내렌즈처럼 완전히 유체 속에서 사용되는 렌즈는 굴절력에 대해 동일한 정의를 가지며, 평균값은 약 21 디옵터이다.

#### 결절점과 눈
섬네일|눈 분석에서의 결절점 사용
눈 자체에는 결절점의 두 번째 특별한 사용법이 있는데, 이는 근축 논의로 인해 가려지는 경향이 있다. 각막과 망막은 대부분의 영상 시스템과 달리 곡률이 매우 크며, 눈의 광학 설계는 입력 광선에 평행한 "방향선"을 사용하여 배율을 찾거나 망막 위치를 스케일링할 수 있는 특성을 가지고 있다. 이 선은 대략 두 번째 결절점을 통과하지만, 실제 근축 광선이라기보다는 동공 중심을 통과하는 광선 다발에 의해 형성된 영상을 식별한다. 이 용어는 1836년 알프레트 빌헬름 폴크만에게서 유래되었지만, 대부분의 논의는 근축 광선의 특성이 매우 큰 각도까지 확장된다는 것을 잘못 암시하며, 이를 눈 설계의 독특한 특성으로 인식하지 못한다. 이 스케일링 특성은 잘 알려져 있고, 매우 유용하며, 매우 간단하다. 눈의 단면에서 렌즈의 후극을 중심으로 자로 그린 각도는 전체 반구 이상에 걸쳐 망막을 대략적으로 스케일링할 수 있다. 이 근사치의 한계가 명확해진 것은 2000년대에 들어서인데, 일부 안내렌즈(IOL) 환자들이 먼 주변부에서 어두운 그림자를 보는 이유(음성 이상광학 현상, 이는 아마도 IOL이 자연 렌즈보다 훨씬 작기 때문일 것이다)를 탐구하면서 밝혀졌다.

#### 광학 중심
섬네일|구형 렌즈의 광학 중심 O를 찾는 방법을 보여주는 다이어그램. N과 N'은 렌즈의 결절점이다.
구형 렌즈의 광학 중심은 광선이 그 점을 통과하면 렌즈를 떠난 후의 광선 경로가 렌즈에 들어가기 전의 경로와 평행하게 되는 점이다.

오른쪽 그림에서 점 A와 B는 곡률반경 R1과 R2의 평행선이 렌즈 표면과 만나는 지점이다. 결과적으로, A와 B에서 표면에 접하는 점선들도 평행하다. 두 삼각형 OBC2와 OAC1은 유사하므로 (즉, 각도가 같으므로), \frac{\overline{R_2}}{\overline{O C_2}} = \frac{\overline{R_1}}{\overline{O C_1}}
\rightarrow
\frac{\overline{R_2}}{\overline{R_1}} = \frac{\overline{O C_2}}{\overline{O C_1}}이다. A와 B의 어떤 선택에서든 곡률반경 \overline{R_1}와 \overline{R_2}는 동일하고 곡률 중심 위치 C_1와 C_2도 동일하다. 결과적으로 광축 상에서 비율 \frac{\overline{O C_2}}{\overline{O C_1}}로 정의되는 광학 중심 O의 위치는 주어진 렌즈에 대해 고정된다.

#### 사진술
결절점은 사진술에서 널리 오해되고 있으며, 흔히 광선이 "결절점"에서 "교차"하고, 렌즈의 홍채 조리개가 그곳에 위치하며, 시차 (천문학) 오류를 피하기 위해 파노라마 사진을 위한 올바른 회전 지점이라고 주장된다. 이러한 주장은 일반적으로 카메라 렌즈의 광학에 대한 혼동과 시스템의 결절점과 다른 기본점 사이의 혼동에서 비롯된다. 파노라마 사진을 위해 카메라를 회전시키는 지점으로 더 나은 선택은 시스템의 입사동공 중심임을 보여줄 수 있다. 반면에, 고정된 필름 위치를 가진 스윙 렌즈 카메라는 필름에 영상을 안정화시키기 위해 후면 결절점을 중심으로 렌즈를 회전시킨다.

### 표면 정점
광학에서 **표면 정점**은 각 광학 표면이 광축과 교차하는 지점이다. 이들은 주로 광학 요소 위치에 대한 물리적으로 측정 가능한 매개변수이기 때문에 중요하며, 시스템을 설명하기 위해 광학계의 기본점 위치가 표면 정점에 대해 알려져야 한다.

해부학에서 눈의 렌즈 표면 정점은 렌즈의 전방 및 후방 **극**이라고 불린다.

## 광학계를 수학적 변환으로 모델링
기하광학에서 광학계에 들어가는 각 광선에 대해, 하나의 유일한 영상 광선이 시스템에서 나간다. 수학적으로 광학계는 모든 물체 광선을 영상 광선으로 매핑하는 변환을 수행한다. 물체 광선과 그에 관련된 영상 광선은 서로 이라고 말한다. 이 용어는 해당 물체 및 영상 점과 평면 쌍에도 적용된다. 물체 및 영상 광선, 점 및 평면은 두 개의 구별된 광학 공간, 즉 과 에 있는 것으로 간주된다. 추가적인 중간 광학 공간도 사용될 수 있다.

### 회전 대칭 광학계; 광축, 축점 및 자오면
광학계는 특정 축을 중심으로 어떤 회전에도 영상 속성이 변하지 않으면 회전 대칭이다. 이 (고유한) 회전 대칭 축이 시스템의 광축이다. 광학계는 평면 거울을 사용하여 접을 수 있다. 시스템은 펼쳤을 때 회전 대칭을 가지면 여전히 회전 대칭으로 간주된다. 광축 상의 어떤 점(어떤 공간에서든)은 이다.

회전 대칭은 광학계의 분석을 크게 단순화한다. 그렇지 않으면 3차원으로 분석해야 한다. 회전 대칭은 광축을 포함하는 단일 횡평면에 국한된 광선만 고려하여 시스템을 분석할 수 있도록 한다. 이러한 평면을 이라고 한다. 이는 시스템의 단면이다.

### 이상적인 회전 대칭 광학 영상 시스템
 회전 대칭 광학 영상 시스템은 세 가지 기준을 충족해야 한다.

#  물체 점에서 "발생"하는 모든 광선은 하나의 유일한 영상 점으로 수렴한다. 즉, 영상화는 무수차이다.
# 광축에 수직인 물체 평면은 축에 수직인 영상 평면에 짝이다.
# 축에 수직인 평면에 국한된 물체의 영상은 물체와 기하학적으로 유사하다.

일부 광학계에서는 한두 물체 점에 대해 무수차 영상화가 이루어지지만, 이상적인 시스템이 되려면  물체 점에 대해 무수차 영상화가 이루어져야 한다. 이상적인 시스템에서 모든 물체 점은 다른 영상 점에 매핑된다.

수학에서의 광선과 달리, 광학 광선은 양방향으로 무한히 확장된다. 광선은 적용되는 광학계 부분에 있을 때 이며, 그 외의 다른 곳에 있을 때는 이다. 예를 들어, 물체 광선은 광학계의 물체 측면에서 실제이며, 영상 광선은 시스템의 영상 측면에서 실제이다. 무수차 영상화에서 물체 공간의 특정 점을 교차하는 물체 광선은 영상 공간의 짝점을 교차하는 영상 광선과 짝이어야 한다. 결과적으로 물체 광선 상의 모든 점은 짝 영상 광선 상의 어떤 점과 짝이다.

기하학적 유사성은 영상이 물체의 축척 모형임을 의미한다. 영상의 방향에는 제한이 없으며, 영상은 물체에 대해 반전되거나 다른 방식으로 회전될 수 있다.

### 초점 및 비초점 시스템, 초점
 시스템은 초점, 주점 또는 결절점이 없다. 이러한 시스템에서는 광축에 평행한 물체 광선이 광축에 평행한 영상 광선과 짝이다. 광축에 평행한 물체 광선이 광축과 교차하는 영상 광선과 짝이면 시스템은 이다. 영상 광선이 광축과 교차하는 지점은 영상 공간의 초점 이다. 초점 시스템은 또한 F를 통과하는 모든 광선이 광축에 평행한 영상 광선과 짝인 축 물체 점 F를 가진다. F는 시스템의 물체 공간 초점이다.

### 변환

물체 공간과 영상 공간 사이의 변환은 시스템의 기본점에 의해 완전히 정의되며, 이 점들을 사용하여 물체 상의 모든 점을 그 짝 영상 점에 매핑할 수 있다.

## 같이 보기
* 필름면
* 핀홀 카메라 모델
* 곡률반경
* 버전스 (광학)

## 내용주 및 각주


분류:기하광학
분류:기하학적 중심