창 함수

[섬네일|대중적인 창 함수인 [싱크함수|한 함수. 대부분의 대중적인 창 함수들은 이와 유사한 종 모양의 곡선을 띤다.]]

신호 처리와 통계학에서 **창 함수**(window function, **아포다이제이션 함수**(apodization function) 또는 **테이퍼링 함수**(tapering function)라고도 함)는 선택된 특정 구간 밖의 값이 0인 수학적 함수이다. 일반적으로 창 함수는 구간의 중간을 중심으로 대칭이며, 중간에서 최댓값에 도달하고 가장자리로 갈수록 가늘어진다. 수학적으로 다른 함수나 파형/데이터 시퀀스에 창 함수를 "곱하면", 그 결과물 또한 해당 구간 밖에서 0의 값을 갖는다. 남는 것은 두 함수가 겹치는 부분, 즉 "창을 통해 보는 것"과 같은 부분뿐이다. 실제 적용 시에는 창 안의 데이터 세그먼트를 먼저 분리한 후, 그 데이터에만 창 함수 값을 곱한다. 따라서 세그먼트화 자체가 아니라, 가장자리를 가늘게 만드는 테이퍼링이 창 함수의 주요 목적이다.

긴 함수의 세그먼트를 검토하는 이유에는 과도 현상의 감지 및 주파수 스펙트럼의 시간 평균화 등이 포함된다. 세그먼트의 지속 시간은 시간 및 주파수 분해능과 같은 요구 사항에 따라 각 응용 분야에서 결정된다. 그러나 이 방법은 스펙트럼 누설이라는 효과에 의해 신호의 주파수 함량을 변화시킨다. 창 함수를 사용하면 특정 응용 분야의 필요에 따라 누설을 스펙트럼상에서 다양한 방식으로 분산시킬 수 있다. 이 문서에서는 많은 선택지를 상세히 다루지만, 실제로는 차이가 매우 미미하여 무시할 수 있는 경우도 많다.

전형적인 응용 분야에서 사용되는 창 함수는 음수가 아니며 매끄러운 "종 모양"의 곡선이다. 사각형, 삼각형 및 기타 함수들도 사용될 수 있다. 창 함수의 더 일반적인 정의는 창과 그 인수의 곱이 제곱 적분 가능하고, 더 구체적으로 함수가 0을 향해 충분히 빠르게 수렴한다면 반드시 구간 밖에서 0일 필요는 없다.

## 응용 분야
창 함수는 스펙트럼 분석/수정/재합성, 유한 임펄스 응답 필터 설계, 다중 스케일 및 다차원 데이터 세트의 병합, 빔포밍 및 안테나 설계 등에 사용된다.

[섬네일|400px|그림 2: 사인파에 창을 적용하면 스펙트럼 누설이 발생한다. 창 내에 정수 개(파란색) 또는 비정수 개(빨간색)의 주기가 포함되어 있는지 여부와 관계없이 동일한 양의 누설이 발생한다(첫 번째 및 두 번째 행). 사인파가 샘플링되고 창이 적용되면, 그 [이산시간 푸리에 변환(DTFT) 또한 동일한 누설 패턴을 나타낸다(세 번째 및 네 번째 행). 그러나 DTFT가 특정 간격으로 드문드문 샘플링될 때, 관점에 따라 (1) 누설을 피하거나 (2) 누설이 없는 것처럼 착시를 일으킬 수 있다. 파란색 DTFT의 경우, 해당 샘플들은 이산 푸리에 변환(DFT)의 출력이다. 빨간색 DTFT는 0 교차점의 간격은 동일하지만, DFT 샘플이 그 사이로 떨어지면서 누설이 드러나게 된다.]]

### 스펙트럼 분석

함수 의 푸리에 변환은 주파수 ±ω를 제외하고는 0이다. 그러나 많은 다른 함수와 파형은 편리한 닫힌 형태의 변환을 갖지 않는다. 또는 특정 시간 동안의 스펙트럼 내용에만 관심이 있을 수도 있다.

어느 경우든 푸리에 변환(또는 유사한 변환)을 파형의 하나 이상의 유한한 구간에 적용할 수 있다. 일반적으로 변환은 파형과 창 함수의 곱에 적용된다. 사각형을 포함한 모든 창은 이 방법으로 계산된 스펙트럼 추정치에 영향을 미친다.

### 필터 설계

창은 때때로 디지털 필터 설계에 사용되는데, 특히 싱크함수와 같은 무한한 지속 시간을 갖는 "이상적인" 임펄스 응답을 유한 임펄스 응답(FIR) 필터 설계로 변환하는 데 사용된다. 이를 창 설계법이라고 한다.

### 통계학 및 곡선 맞춤

창 함수는 통계 분석 분야에서 분석 중인 데이터 세트를 주어진 지점 근처의 범위로 제한하기 위해 때때로 사용되며, 맞춤되는 곡선의 부분에서 더 멀리 떨어진 지점의 영향을 감소시키는 가중치 계수를 사용한다. 베이즈 분석 및 곡선 맞춤 분야에서 이는 종종 커널이라고 불린다.

### 사각형 창 응용
#### 과도 현상 분석

임펄스, 충격 응답, 사인 버스트, 칩 버스트 또는 노이즈 버스트와 같이 에너지 대 시간 분포가 극도로 불균일한 모드 분석에서 과도 신호를 분석할 때는 사각형 창이 가장 적합할 수 있다. 예를 들어, 대부분의 에너지가 기록의 시작 부분에 위치할 때 사각형이 아닌 창은 대부분의 에너지를 감쇠시켜 신호 대 잡음비를 저하시킨다.

#### 고조파 분석
특정 악기 음표의 고조파 함량이나 특정 주파수에서 증폭기의 고조파 왜곡을 측정하고자 할 수 있다. 다시 **그림 2**를 참고하면, 이산 푸리에 변환(DFT)에 의해 샘플링된 고조파 관련 주파수의 이산 집합에서는 누설이 없음을 관찰할 수 있다. (스펙트럼의 영점은 실제로는 0 교차점이며, 이러한 로그 스케일에서는 표시될 수 없다.) 이 속성은 사각형 창만의 고유한 특성이며, 위에서 설명한 대로 신호 주파수에 맞게 적절하게 구성되어야 한다.

## 중첩 창
변환할 데이터 세트의 길이가 원하는 주파수 분해능을 제공하는 데 필요한 것보다 길 때, 이를 더 작은 세트로 세분화하고 개별적으로 창을 적용하는 것이 일반적인 관행이다. 창의 가장자리에서의 "손실"을 완화하기 위해 개별 세트들이 시간상에서 중첩될 수 있다. 전력 스펙트럼 분석의 웰치 방법과 수정 이산 코사인 변환을 참조하라.

## 2차원 창

2차원 창은 이미지 푸리에 변환에서 원치 않는 고주파를 줄이기 위해 이미지 처리에서 흔히 사용된다. 이는 두 가지 형태 중 하나의 1차원 창으로부터 구성될 수 있다. 분리 가능한 형태인 W(m,n)=w(m)w(n)은 계산이 매우 간단하다. 반지름 r=\sqrt{(m-M/2)^2+(n-N/2)^2}을 포함하는 반지름 형태인 W(m,n)=w(r)은 등방성을 가지며 좌표축의 방향에 의존하지 않는다. 오직 가우스 함수만이 분리 가능하면서 동시에 등방성을 가진다. 다른 모든 창 함수의 분리 가능한 형태는 좌표축의 선택에 의존하는 모서리를 갖는다. 2차원 창 함수의 등방성/비등방성은 해당 함수의 2차원 푸리에 변환에 의해서도 공유된다. 분리 가능한 형태와 반지름 형태의 차이는 사각형 대 원형 구멍에서의 회절 결과와 유사하며, 이는 각각 두 싱크함수의 곱 대 에어리 함수의 관점에서 시각화될 수 있다.

## 창 함수의 예시
표기법**:**

* w_0(x)는 제로 위상 함수(x=0에 대해 대칭)이며, x \in [-N/2, N/2]에서 연속이다. 여기서 N은 양의 정수(짝수 또는 홀수)이다.
* 시퀀스 \{w[n] = w_0(n-N/2),\quad 0\le n \le N\}은 대칭이며 길이는 N+1이다.
* \{w[n],\quad 0\le n \le N-1\}은 DFT 대칭이며 길이는 N이다.

* 각 스펙트럼 도표에 표시된 파라미터 **B**는 해당 함수의 잡음 등가 대역폭 지표이며, 단위는 DFT 빈(bin)이다.

그림 2의 DFT와 같은 이산시간 푸리에 변환(DTFT)의 희소 샘플링은 주파수가 정수 DFT 빈인 사인파로부터 DFT 빈으로의 누설만을 보여준다. 보이지 않는 사이드 로브는 다른 주파수의 사인파에서 예상되는 누설을 드러낸다. 따라서 창 함수를 선택할 때 DTFT를 더 밀도 있게 샘플링하고(이 섹션 전반에 걸쳐 수행함), 사이드 로브를 수용 가능한 수준으로 억제하는 창을 선택하는 것이 일반적으로 중요하다.

### 사각형 창
섬네일|480px|오른쪽|사각형 창

사각형 창(때때로 **[[구형함수|박스카]]** 또는 균일 창, **[[Dirichlet kernel|디리클레]] 창**으로 알려져 있으며 일부 프로그램에서는 오해의 소지가 있는 "창 없음"으로 불리기도 함)은 가장 단순한 창으로, 데이터 시퀀스의 연속적인 N개 값을 제외한 모든 값을 0으로 대체하여 파형을 갑자기 켜고 끄는 것과 같다.

:w[n] = 1.

다른 창들은 이러한 갑작스러운 변화를 완화하여 스캘러핑 손실을 줄이고 동적 범위를 개선하도록 설계되었다(에서 설명).

사각형 창은 1차 B-스플라인 창이자 0차 사인 거듭제곱 창이다.

사각형 창은 논의된 다른 문제들을 대가로 이산시간 푸리에 변환의 최소 평균 제곱 오차 추정치를 제공한다.

### B-스플라인 창
B-스플라인 창은 사각형 창의 k-접힘 컨볼루션으로 얻을 수 있다. 여기에는 사각형 창 자체(k = 1), (k = 2) 및 (k = 4)이 포함된다. 대안적인 정의는 이산시간 창을 컨볼루션하는 대신 적절한 정규화된 B-스플라인 기저 함수를 샘플링한다. k차 B-스플라인 기저 함수는 구형함수의 k-접힘 자기 컨볼루션에 의해 얻어지는 k-1차 조각별 다항식 함수이다.

#### 삼각형 창
섬네일|480px|오른쪽|삼각형 창 (L = N + 1 인 경우)

삼각형 창은 다음과 같이 주어진다.

:w[n] = 1 - \left|\frac{n - \frac{N}{2}}{\frac{L}{2}}\right|,\quad 0\le n \le N,

여기서 L은 N, N + 1, 또는 N + 2가 될 수 있다. 첫 번째 것은 **[[바틀렛]] 창** 또는 **[[페예르 리포트|페예르]] 창**으로도 알려져 있다. 세 가지 정의 모두 N이 클 때 수렴한다.

삼각형 창은 2차 B-스플라인 창이다. L = N 형태는 두 개의 N/2 너비 사각형 창의 컨볼루션으로 볼 수 있다. 결과물의 푸리에 변환은 절반 너비 사각형 창 변환의 제곱값이다.

#### 파젠 창
섬네일|480px|오른쪽|파젠 창

로 정의할 때, **데 라 발레 푸생 창**으로도 알려진 파젠 창은 다음과 같이 주어지는 4차 B-스플라인 창이다.

:
w_0(n) \triangleq \left\{ \begin{array}{ll}
 1 - 6 \left(\frac{n}{L/2}\right)^2 \left(1 - \frac{L/2}\right),
 & 0 \le |n| \le \frac{L}{4} \\
 2 \left(1 - \frac{L/2}\right)^3
 & \frac{L}{4} 
:w[n] = \ w_0\left(n-\tfrac{N}{2}\right),\ 0 \le n \le N

섬네일|480px|오른쪽|웰치 창

### 기타 다항식 창
#### 웰치 창
웰치 창은 단일 포물선 섹션으로 구성된다.

:w[n]=1 - \left(\frac{n-\frac{N}{2}}{\frac{N}{2}}\right)^2,\quad 0\le n \le N.
또는 베타 분포에서와 같이 두 인자로 쓸 수도 있다.
:w[n]= \left(1 + \frac{n-\frac{N}{2}}{\frac{N}{2}}\right) \left(1 - \frac{n-\frac{N}{2}}{\frac{N}{2}}\right),\quad 0\le n \le N.

정의하는 이차 다항식은 창의 범위를 벗어난 샘플에서 0의 값에 도달한다.

웰치 창은 사인 창과 상당히 유사하며, 사인 거듭제곱 창이 유용한 매개변수화된 가족인 것처럼 웰치 거듭제곱 창 가족 또한 유사하게 유용하다. 웰치 또는 포물선 창의 거듭제곱은 대칭적인 베타 분포이기도 하며, 초월 함수인 대부분의 창과 달리 (거듭제곱이 유리수인 경우) 순수하게 대수적인 함수이다. 웰치 다항식의 두 인자에 서로 다른 지수를 사용하면 결과는 일반적인 베타 분포가 되며, 이는 비대칭 창 함수를 만드는 데 유용하다.

### 레이즈드 코사인 창
상수에 의해 오프셋된 코사인 함수 형태의 창으로, 대중적인 해밍 및 한 창과 같은 것들을 때때로 레이즈드 코사인 창(raised-cosine windows)이라고 부른다. 한 창은 특히 끝부분이 매끄럽게 0으로 가는 레이즈드 코사인 분포와 유사하다.

레이즈드 코사인 창은 다음과 같은 형태를 갖는다.
:w[n] = a_0 - (1-a_0) \cdot \cos\left( \tfrac{2 \pi n}{N} \right),\quad 0\le n \le N,
또는 대안적인 제로 위상 버전은 다음과 같다.
:
\begin{align}
w_0(n)\ &= w\left[ n+\tfrac{N}{2}\right]\\
&= a_0 + (1-a_0)\cdot \cos \left ( \tfrac{2\pi n}{N} \right),\quad -\tfrac{N}{2} \le  n \le \tfrac{N}{2}.
\end{align}


#### 한 창

섬네일|480px|오른쪽|한 창

a_0 = 0.5; \quad a_1 = -0.5 로 설정하면 **한 창**(Hann window)이 생성된다.
:w[n] = \sum^{L-1}_{l=0}A_l\cos\left(\frac{2\pi ln}{N}\right) = 0.5 - 0.5\cos\left(\frac{2\pi n}{N}\right)
이 창의 이름은 율리우스 폰 한의 이름을 따서 명명되었으며, 때때로 "한(Hann)을 하다"라는 동사에서 유래된 해닝(Hanning)이라고도 불린다. 또한 레이즈드 코사인 분포와의 유사성 때문에 **레이즈드 코사인**으로도 알려져 있다.

이 함수는 코사인-합 및 사인 거듭제곱 가족 모두의 구성원이다. 해밍 창과 달리 한 창의 끝점은 딱 0에 닿는다. 결과적인 사이드 로브는 옥타브당 약 18dB로 감소한다.

#### 해밍 창
섬네일|480px|오른쪽|해밍 창, a<sub>0</sub> = 0.53836 및 a<sub>1</sub> = 0.46164. 원래 해밍 창은 a<sub>0</sub> = 0.54 및 a<sub>1</sub> = 0.46이다.

a_0을 약 0.54, 더 정확하게는 25/46으로 설정하면 리처드 해밍이 제안한 **해밍 창**이 생성된다. 이 선택은 5π/(N − 1) 주파수에 0 교차점을 배치하여 한 창의 첫 번째 사이드 로브를 상쇄하며, 한 창의 약 5분의 1 높이로 만든다.
해밍 창은 펄스 성형에 사용될 때 종종 **해밍 블립**(Hamming blip)이라고 불린다.

계수를 소수점 둘째 자리까지 근사화하면 사이드 로브 수준이 상당히 낮아져 거의 등리플(equiripple) 상태가 된다. 등리플의 관점에서 계수의 최적값은 a0 = 0.53836 및 a1 = 0.46164이다.

### 코사인-합 창
해당 가족은 레이즈드 코사인 창을 일반화한 것으로, 일반화된 코사인 창으로도 알려져 있다.

아래 예시를 포함한 대부분의 경우, 모든 계수 ak ≥ 0이다. 이 창들은 2K + 1개의 0이 아닌 N-포인트 DFT 계수만을 갖는다.

#### 블랙먼 창
섬네일|480px|오른쪽|블랙먼 창;

블랙먼 창은 다음과 같이 정의된다.
:w[n] = a_0 -  a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N} \right) + a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N} \right),

:a_0=\frac{1-\alpha}{2};\quad a_1=\frac{1}{2};\quad a_2=\frac{\alpha}{2}.

일반적인 관례에 따라 수식어가 없는 블랙먼 창이라는 용어는 블랙먼의 "그다지 진지하지 않은 제안"인  (a0 = 0.42, a1 = 0.5, a2 = 0.08)을 지칭하며, 이는 a0 = 7938/18608 ≈ 0.42659, a1 = 9240/18608 ≈ 0.49656, a2 = 1430/18608 ≈ 0.076849인 **정확한 블랙먼**(exact Blackman)과 매우 유사하다. 이러한 정확한 값들은 세 번째와 네 번째 사이드 로브에 0을 배치하지만, 가장자리에서 불연속성과 6dB/oct의 감쇠를 초래한다. 절단된 계수들은 사이드 로브를 잘 무효화하지는 못하지만 개선된 18dB/oct의 감쇠를 갖는다.

#### 너톨 창, 연속인 1계 도함수
섬네일|480px|오른쪽|너톨 창, 연속인 1계 도함수

너톨 창의 연속 형태인 w_0(x)와 그 첫 번째 미분은 한 함수처럼 어디서나 연속이다. 즉, 블랙먼-너톨, 블랙먼-해리스 및 해밍 창과 달리 함수는 에서 0이 된다. 블랙먼 창() 또한 가장자리에서 연속인 도함수를 갖는 연속 함수이지만, "정확한 블랙먼 창"은 그렇지 않다.

:w[n]=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N} \right)+ a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N} \right)- a_3 \cos \left ( \frac{6 \pi n}{N} \right)

:a_0=0.355768;\quad a_1=0.487396;\quad a_2=0.144232;\quad a_3=0.012604.

#### 블랙먼-너톨 창
섬네일|480px|오른쪽|블랙먼-너톨 창

:w[n]=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N} \right)+ a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N} \right)- a_3 \cos \left ( \frac{6 \pi n}{N} \right)

:a_0=0.3635819; \quad a_1=0.4891775; \quad a_2=0.1365995; \quad a_3=0.0106411.

#### 블랙먼-해리스 창
섬네일|480px|오른쪽|블랙먼-해리스 창

더 많은 이동된 코사인 함수를 추가하여 생성된 해밍 가족의 일반화로, 사이드 로브 수준을 최소화하기 위한 것이다.

:w[n]=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N} \right)+ a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N} \right)

:a_0=0.4243801;\quad a_1=0.4973406;\quad a_2=0.0782793.

#### 플랫 톱 창
섬네일|480px|오른쪽|플랫 톱 창

플랫 톱 창(Flat top window)은 주파수 영역에서 최소한의 스캘러핑 손실을 갖는 부분적으로 음수 값을 갖는 창이다. 이 속성은 사인파 주파수 성분의 진폭 측정에 바람직하다. 그러나 넓은 대역폭으로 인해 높은 잡음 대역폭과 더 넓은 주파수 선택을 초래하며, 이는 응용 분야에 따라 단점이 될 수 있다.

플랫 톱 창은 저역 통과 필터 설계 방법을 사용하여 설계되거나, 일반적인 코사인-합 변형일 수 있다.

:
\begin{align}
w[n] = a_0 &{}- a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N} \right)+ a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N} \right)\\
           &{}- a_3 \cos \left ( \frac{6 \pi n}{N} \right)+a_4 \cos \left ( \frac{8 \pi n}{N} \right).
\end{align}


Matlab 변형은 다음과 같은 계수를 갖는다.
:a_0=0.21557895;\quad a_1=0.41663158;\quad a_2=0.277263158;\quad a_3=0.083578947;\quad a_4=0.006947368.

메인 로브 근처의 더 높은 값을 대가로 사이드 로브가 롤오프되는 다른 변형들도 사용 가능하다.

#### 라이프-빈센트 창

라이프-빈센트(Rife–Vincent) 창은 관습적으로 단위 피크값 대신 단위 평균값으로 스케일링된다. 에 적용된 아래의 계수 값들은 그 관습을 반영한다.

Class I, Order 1 (K = 1): a_0=1;\quad a_1=1 기능적으로 한 창 및 사인 거듭제곱()과 동일하다.

Class I, Order 2 (K = 2): a_0=1;\quad a_1=\tfrac{4}{3};\quad a_2=\tfrac{1}{3} 기능적으로 사인 거듭제곱()과 동일하다.

Class I은 고차 사이드 로브 진폭을 최소화하여 정의된다. K=4까지의 차수에 대한 계수들이 표로 정리되어 있다.

Class II는 주어진 최대 사이드 로브에 대해 메인 로브 너비를 최소화한다.

Class III은 절충안으로, 차수 K = 2가 과 유사하다.

### 사인 창
섬네일|480px|오른쪽|사인 창

:w[n] = \sin\left(\frac{\pi n}{N}\right) = \cos\left(\frac{\pi n}{N} - \frac{\pi}{2}\right),\quad 0\le n \le N.

대응하는 w_0(n)\, 함수는 π/2 위상 오프셋이 없는 코사인이다. 그래서 사인 창은 때때로 코사인 창으로도 불린다. 이것은 사인 함수의 절반 주기를 나타내므로, 반사인(half-sine) 창 또는 반코사인(half-cosine) 창으로도 다양하게 알려져 있다.

사인 창의 자기상관은 보먼(Bohman) 창으로 알려진 함수를 생성한다.

#### 사인/코사인 거듭제곱 창
섬네일|440px|사인 거듭제곱 창 함수(왼쪽)와 dB 단위의 스펙트럼(오른쪽), 거듭제곱 0, 0.25, 0.5, 1, 2, 4에 대해

이 창 함수들은 다음과 같은 형태를 갖는다.

:w[n] = \sin^\alpha\left(\frac{\pi n}{N}\right) = \cos^\alpha\left(\frac{\pi n}{N} - \frac{\pi}{2}\right),\quad 0\le n \le N.

사각형 창(), 사인 창(), 그리고 한 창()이 이 가족의 구성원이다.

가 짝수인 정수 값인 경우, 이 함수들은 코사인-합 형태로도 표현될 수 있다.

: w[n]=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N} \right)+ a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N} \right)- a_3 \cos \left ( \frac{6 \pi n}{N} \right)+ a_4 \cos \left ( \frac{8 \pi n}{N} \right)- ...
: \begin{array}{l|llll}
\hline
\alpha & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\
\hline
 0 & 1 \\
 2 & 0.5 & 0.5 \\
 4 & 0.375 & 0.5 & 0.125 \\
 6 & 0.3125 & 0.46875 & 0.1875 & 0.03125 \\
 8 & 0.2734375 & 0.4375 & 0.21875 & 0.0625 & 7.8125\times10^{-3} \\
\hline
\end{array}

### 조절 가능한 창

#### 가우스 창
섬네일|480px|오른쪽|가우스 창, σ = 0.4
가우스 함수의 푸리에 변환 또한 가우스 함수이다. 가우스 함수의 지지 집합은 무한대로 확장되므로, 창의 끝에서 절단되거나 다른 끝이 0인 창으로 창을 씌워야 한다.

가우스 함수의 로그는 포물선을 생성하므로, 이는 주파수 추정에서 거의 정확한 이차 보간을 위해 사용될 수 있다.

:w[n]=\exp\left(-\frac{1}{2} \left ( \frac{n-N/2}{\sigma N/2} \right)^{2}\right),\quad 0\le n \le N.
:\sigma \le \;0.5\,

가우스 함수의 표준 편차는 σ · N/2 샘플링 주기이다.

섬네일|480px|오른쪽|제한된 가우스 창, σ<sub>t</sub> = 0.1

#### 제한된 가우스 창
제한된 가우스(confined Gaussian) 창은 주어진 시간 너비 에 대해 가능한 가장 작은 제곱 평균 제곱근 주파수 너비 를 제공한다. 이러한 창은 RMS 시간-주파수 대역폭 곱을 최적화한다. 이들은 매개변수 의존 행렬의 최소 고유 벡터로 계산된다. 제한된 가우스 창 가족은 각각 큰 와 작은 의 한계 사례에서 과 을 포함한다.

섬네일|480px|오른쪽|근사 제한 가우스 창,

#### 근사 제한 가우스 창

로 정의할 때, 시간 너비 의 제한된 가우스 창은 다음과 같이 잘 근사된다.

:w[n] = G(n) - \frac{G(-\tfrac{1}{2})[G(n + L) + G(n - L)]}{G(-\tfrac{1}{2} + L) + G(-\tfrac{1}{2} - L)}

여기서 G는 가우스 함수이다.

::G(x) = \exp\left(- \left(\cfrac{x - \frac{N}{2}}{2 L \sigma_t}\right)^2\right)

근사 창의 표준 편차는 일 때 에 점근적으로 동일하다(즉, 큰  값에 대해).

#### 일반화된 정규 창
가우스 창의 더 일반화된 버전은 일반화된 정규 창이다. 위의 가우스 창의 표기법을 유지하면서 이 창을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:w[n,p]=\exp\left(-\left ( \frac{n-N/2}{\sigma N/2} \right)^{p}\right)

모든 짝수 p에 대해, p=2에서 이는 가우스 창이며, p가 \infty에 가까워짐에 따라 사각형 창에 근사한다. 이 창의 푸리에 변환은 일반적인 p에 대해 닫힌 형태로 존재하지 않는다. 그러나 매끄럽고 조절 가능한 대역폭이라는 다른 이점을 보여준다. 처럼 이 창은 (가우스 창으로는 제어할 수 없는) 시계열의 진폭 감쇠를 제어하기 위한 "플랫 톱"을 자연스럽게 제공한다. 본질적으로 이는 스펙트럼 누설, 주파수 분해능 및 진폭 감쇠 측면에서 가우스 창과 사각형 창 사이의 훌륭한(제어 가능한) 절충안을 제공한다.
이 창(또는 함수)의 시공간 표현에 관한 연구는을 참조하라.

#### 튜키 창
섬네일|480px|오른쪽|튜키 창,

코사인 테이퍼드 창으로도 알려진 튜키(Tukey) 창은 사각형 창(너비 )과 컨볼루션된 너비 (개 관측치 범위)의 코사인 로브로 간주될 수 있다.
:
\left .
\begin{array}{lll}
w[n] = \frac{1}{2} \left[1-\cos \left(\frac{2\pi n}{\alpha N} \right) \right],\quad & 0 \le n 
에서는 사각형이 되고, 에서는 한 창이 된다.

#### 플랑크 테이퍼 창
섬네일|480px|플랑크 테이퍼 창, ε = 0.25

소위 "플랑크 테이퍼"(Planck-taper) 창은 다양체의 단위 분할 이론에서 널리 사용되어 온 범프 함수이다. 이는 어디서나 매끄러운 함수(C^\infty 함수)이지만, 조밀한 영역 밖에서는 정확히 0이고, 그 영역 내의 한 구간에서는 정확히 1이며, 그 한계 사이에서 매끄럽고 단조롭게 변한다. 신호 처리에서 창 함수로의 사용은 플랑크 분포에서 영감을 받아 중력파천문학 맥락에서 처음 제안되었다. 이는 조각마다 정의된 함수로 정의된다.

:
\left .
\begin{array}{lll}
w[0] =  0, \\
w[n] =  \left(1 + \exp\left(\frac{\varepsilon N}{n} - \frac{\varepsilon N}{\varepsilon N - n}\right)\right)^{-1},\quad & 1 \le n 

테이퍼링의 양은 매개변수 ε에 의해 제어되며, 값이 작을수록 더 날카로운 전환을 제공한다.

#### DPSS 또는 슬레피언 창

DPSS(이산 회전 타원체 시퀀스) 또는 슬레피언 함수, 테이퍼 또는 창은 메인 로브의 에너지 집중을 최대화하며, 스펙트럼의 잡음을 평균화하고 창 가장자리에서의 정보 손실을 줄이는 multitaper 스펙트럼 분석에 사용된다.

메인 로브는 매개변수 α에 의해 주어진 주파수 빈에서 끝난다.

아래의 카이저 창은 DPSS 창에 대한 간단한 근사치로 만들어졌다.

#### 카이저 창

카이저(Kaiser) 또는 카이저-베셀(Kaiser–Bessel) 창은 제임스 카이저에 의해 발견된, 베셀 함수를 사용한 DPSS 창의 간단한 근사치이다.

:w[n]=\frac{I_0\left(\pi\alpha \sqrt{1-\left(\frac{2 n}{N}-1\right)^2}\right)}{I_0(\pi\alpha)},\quad 0\le n \le N  
:
w_0(n) = \frac{I_0\left(\pi\alpha \sqrt{1-\left(\frac{2 n}{N}\right)^2}\right)}{I_0(\pi\alpha)},\quad -N/2 \le n \le N/2

여기서 I_0은 제1종 0차 변형 베셀 함수이다. 가변 매개변수 \alpha는 메인 로브 너비와 스펙트럼 누설 패턴의 사이드 로브 수준 사이의 절충안을 결정한다. 영점 사이의 메인 로브 너비는 DFT 빈 단위로 2\sqrt{1 + \alpha^2}로 주어지며, \alpha의 전형적인 값은 3이다.

#### 돌프-체비쇼프 창
섬네일|480px|오른쪽|돌프-체비쇼프 창, α = 5

주어진 메인 로브 너비에 대해 사이드 로브의 체비쇼프 노름을 최소화한다.

제로 위상 돌프-체비쇼프 창 함수 w_0[n]은 일반적으로 실수 값을 갖는 이산 푸리에 변환 W_0[k]에 관해 정의된다.

:
W_0(k) = \frac{T_{N}  \big(\beta \cos\left(\frac{\pi k}{N+1}\right)\big)}{T_{N}  (\beta)}
  = \frac{T_N    \big(\beta \cos\left(\frac{\pi k}{N+1}\right)\big)}{10^\alpha},\ 0 \le k \le N.


Tn(x)는 x에서 평가된 n차 제1종 체비쇼프 다항식이며, 다음과 같이 계산될 수 있다.

:T_n(x) =\begin{cases}
\cos\!\big(n \cos^{-1}(x) \big) & \text{if }-1 \le x \le 1 \\
\cosh\!\big(n \cosh^{-1}(x) \big) & \text{if }x \ge 1 \\
(-1)^n \cosh\!\big(n \cosh^{-1}(-x) \big) & \text{if }x \le -1,
\end{cases}

그리고

:\beta = \cosh\!\big(\tfrac{1}{N} \cosh^{-1}(10^\alpha)\big)

는 T_N(\beta) = 10^\alpha의 유일한 양의 실수해이며, 여기서 매개변수 α는 사이드 로브의 체비쇼프 노름을 −20α 데시벨로 설정한다.

창 함수는 역 이산 푸리에 변환(DFT)을 통해 W0(k)로부터 계산될 수 있다.

:w_0(n) = \frac{1}{N+1} \sum_{k=0}^N W_0(k) \cdot e^{i 2 \pi k n / (N+1)},\ -N/2 \le n \le N/2.

지연된 버전의 창은 다음과 같이 얻을 수 있다.

:w[n] = w_0\left(n-\frac{N}{2}\right),\quad 0 \le n \le N,

이는 N의 짝수 값에 대해 다음과 같이 계산되어야 한다.

:\begin{align}
w_0\left(n-\frac{N}{2}\right)
= \frac{1}{N+1} \sum_{k=0}^{N} W_0(k) \cdot e^{\frac{i 2 \pi k (n-N/2)}{N+1}}
= \frac{1}{N+1} \sum_{k=0}^{N} \left[ \left(-e^{\frac{i\pi}{N+1}}\right)^k \cdot W_0(k)\right] e^{\frac{i 2 \pi k n}{N+1}},
\end{align}

이는 \left(-e^{\frac{i\pi}{N+1}}\right)^k\cdot W_0(k)의 역 DFT이다.

변형:
*등리플 조건으로 인해 시간 영역 창은 가장자리에서 불연속성을 갖는다. 등리플이 가장자리에서 떨어지도록 하여 이를 방지하는 근사치는 테일러(Taylor) 창이다.
*역 DFT 정의에 대한 대안도 사용 가능하다. http://practicalcryptography.com/miscellaneous/machine-learning/implementing-dolph-chebyshev-window/.

#### 초구면 창
섬네일|480px|오른쪽|초구면 창의 μ 매개변수는 푸리에 변환의 사이드 로브 진폭이 주파수에 따라 감소하는지, 일정한지, 아니면 (여기에 표시된 것처럼) 증가하는지를 결정한다.

초구면(Ultraspherical) 창은 1984년 Roy Streit에 의해 소개되었으며 안테나 배열 설계, 비재귀 필터 설계, 및 스펙트럼 분석에 응용된다.

다른 조절 가능한 창과 마찬가지로 초구면 창은 푸리에 변환 메인 로브 너비와 상대적 사이드 로브 진폭을 제어하는 데 사용할 수 있는 매개변수를 갖는다. 다른 창들과 달리, 사이드 로브 진폭이 감소(또는 증가)하는 속도를 설정하는 데 사용할 수 있는 추가 매개변수가 있다.

창은 시간 영역에서 다음과 같이 표현될 수 있다.

:
w[n] = \frac{1}{N+1} \left[ C^\mu_N(x_0)+\sum_{k=1}^{\frac{N}{2}}  C^\mu_N \left(x_0 \cos\frac{k\pi}{N+1}\right)\cos\frac{2n\pi k}{N+1} \right]


여기서 C^{\mu}_{N}은 N차 초구면 다항식이며, x_0와 \mu는 사이드 로브 패턴을 제어한다.

특정 \mu 값은 다른 잘 알려진 창들을 생성한다. \mu=0과 \mu=1은 각각 돌프-체비쇼프 창과 사라마키 창을 생성한다. 다양한 매개변수화를 갖는 초구면 창의 예시는 여기를 참조하라.

#### 지수 또는 푸아송 창
섬네일|480px|지수 창, τ = N/2
섬네일|480px|지수 창, τ = (N/2)/(60/8.69)

푸아송(Poisson) 창, 또는 더 일반적으로 지수 창은 창의 중심을 향해 지수적으로 증가하고 후반부에서 지수적으로 감소한다. 지수 함수는 절대 0에 도달하지 않으므로 창의 한계값은 0이 아니다 (이는 지수 함수와 사각형 창의 곱으로 볼 수 있다). 이는 다음과 같이 정의된다.

:w[n]=e^{-\left|n-\frac{N}{2}\right|\frac{1}{\tau}},

여기서 τ는 함수의 시간 상수이다. 지수 함수는 시간 상수당 e ≃ 2.71828 또는 약 8.69dB씩 감쇠한다.
이는 창 길이의 절반에 대해 목표 감쇠가 D dB인 경우 시간 상수 τ가 다음과 같이 주어짐을 의미한다.

:\tau = \frac{N}{2}\frac{8.69}{D}.

### 하이브리드 창
창 함수는 다른 창들의 곱셈 또는 덧셈 조합으로 구성된다.

섬네일|480px|오른쪽|바틀렛-한 창

#### 바틀렛-한 창
:w[n]=a_0 - a_1 \left |\frac{n}{N}-\frac{1}{2} \right| - a_2 \cos \left (\frac{2 \pi n}{N}\right )

:a_0=0.62;\quad a_1=0.48;\quad a_2=0.38\,

#### 플랑크-베셀 창
섬네일|480px|오른쪽|플랑크-베셀 창, ε = 0.1, α = 4.45

변형 베셀 함수에 관해 정의되는 카이저 창이 곱해진 플랑크 테이퍼 창이다. 이 하이브리드 창 함수는 플랑크 테이퍼 창의 좋은 점근적 감쇠를 활용하면서도 피크 사이드 로브 수준을 줄이기 위해 도입되었다. 플랑크 테이퍼의 ε와 카이저 창의 α라는 두 개의 튜닝 가능한 매개변수를 가지고 있어 주어진 신호의 요구 사항에 맞게 조정할 수 있다.

#### 한-푸아송 창
섬네일|480px|한-푸아송 창, α = 2
한 창에 푸아송 창을 곱한 것이다. \alpha \geqslant 2인 경우 푸리에 변환이 국소 최솟값 없이 메인 로브에서 계속 멀어지기 때문에 사이드 로브가 없다. 따라서 뉴턴 방법과 같은 힐 클라이밍 알고리즘에서 사용될 수 있다. 한-푸아송 창은 다음과 같이 정의된다.

:w[n]=\frac{1}{2}\left(1-\cos\left(\frac{2 \pi n}{N}\right)\right)e^\frac{-\alpha\left|N - 2n\right|}{N}\,

여기서 α는 지수의 기울기를 제어하는 매개변수이다.

### 기타 창
섬네일|480px|GAP 창 (GAP 최적화 너톨 창)

#### 일반화된 적응형 다항식 (GAP) 창
GAP 창은 K차의 대칭 다항식 확장을 기반으로 하는 조절 가능한 창 함수의 가족이다. 이는 어디서나 연속적인 도함수를 갖는 연속 함수이다. 적절한 확장 계수 및 확장 차수 세트를 사용하면 GAP 창은 알려진 모든 창 함수를 모방하여 그 스펙트럼 특성을 정확하게 재현할 수 있다.

:w_0[n] = a_{0} + \sum_{k=1}^{K} a_{2k}\left(\frac{n}{\sigma}\right)^{2k}, \quad  -\frac{N}{2} \le n \le \frac{N}{2},

여기서 \sigma는 \{n\} 시퀀스의 표준 편차이다.

또한, 알려진 특정 창 함수를 모방하는 확장 계수 a_{2k} 세트에서 시작하여, 메인 로브 너비, 사이드 로브 감쇠 및 사이드 로브 감쇠율과 같은 하나 이상의 스펙트럼 특성을 개선하는 새로운 계수 세트를 얻기 위해 최소화 절차를 통해 GAP 창을 최적화할 수 있다. 따라서 특정 응용 분야에 따라 설계된 스펙트럼 특성을 갖는 GAP 창 함수를 개발할 수 있다.

섬네일|480px|오른쪽|싱크 또는 란초스 창

#### 란초스 창
w[n] = \operatorname{sinc}\left(\frac{2n}{N} - 1\right)

* 란초스 리샘플링에 사용됨
* 란초스 창의 경우, \operatorname{sinc}(x)는 \sin(\pi x)/\pi x로 정의됨
* w_0(n) = \operatorname{sinc}\left(\frac{2n}{N}\right)\,이 정규화된 싱크함수의 메인 로브이기 때문에 싱크 창으로도 알려져 있음

### 비대칭 창 함수
위의 관례에 따른 w_0(x) 형태는 x = 0을 중심으로 대칭이다. 그러나 감마 분포를 사용하는 FIR 구현의 감마톤 필터나 감마 분포에 대한 유계 지지 근사인 베타 분포와 같이 비대칭인 창 함수들이 존재한다. 이러한 비대칭성은 큰 창 크기를 사용할 때 지연을 줄이거나 감쇠하는 펄스의 초기 과도 현상을 강조하기 위해 사용된다.

비대칭인 것을 포함하여 콤팩트 지지를 갖는 모든 유계 함수는 창 함수로 용이하게 사용될 수 있다. 또한 아래 공식과 같이 시간 좌표를 변환하여 대칭 창을 비대칭 창으로 변환하는 방법도 있다.

:
x \leftarrow N\left( \frac{x}{N}+\frac{1}{2} \right)^\alpha-\frac{N}{2}\,,


여기서 \alpha > 1일 때는 창이 초기 샘플에 더 높은 가중치를 부여하고, 반대로 \alpha 일 때는 나중 샘플에 더 높은 가중치를 부여한다.

## 같이 보기
* 아포다이제이션
* 스펙트럼 누설
* 웰치 방법
* 무게 함수
* 창 설계법

## 내용주

## 페이지 인용

## 각주

## 더 읽어보기
* 
* 
* 
* 
* 

## 외부 링크
* 
* LabView 도움말, 스무딩 필터의 특성(Characteristics of Smoothing Filters), http://zone.ni.com/reference/en-XX/help/371361B-01/lvanlsconcepts/char_smoothing_windows/
* 코사인-합 창 함수의 생성 및 속성, http://electronicsart.weebly.com/fftwindows.html
* 온라인 대화형 FFT, 창, 해상도 및 누설 시뮬레이션 | RITEC | 라이브러리 및 도구

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