2차원 창 설계

**창 설계**()는 인덱스가 제한된 수열의 에너지를 유한한 주파수 구간에 최대로 집중시키는 과정이다. 이는 N차원으로 확장될 수 있으며, N차원 창은 분리 가능하거나 분리 불가능한 N차원 통과대역에서 제한된 지지 영역과 최대 에너지 집중도를 갖는다. N차원 창 설계, 특히 2차원 창 설계는 다차원 신호의 스펙트럼 추정, 원형 대칭 및 사분면 대칭 비재귀적 2D 필터 설계, 최적 합성곱 함수 설계, 데이터 의존적 처리 아티팩트 효과를 줄이기 위한 영상 개선, 광학 아포다이제이션 및 안테나 배열 설계 등 다양한 분야에서 응용된다.

## 2차원 창
다차원 신호 처리의 다양한 응용으로 인해, 위에서 언급한 응용들을 용이하게 하기 위한 다양한 2차원 창 설계 방법론은 매우 중요하다.

푸리에 변환이 **<math>W(w_1,w_2)</math>**인 2차원 창 함수(또는 **창 배열**) **<math>w(n_1,n_2)</math>**를 고려하자. **<math>i(n_1,n_2)</math>**와 **<math>I(w_1,w_2)</math>**를 이상적인 필터의 임펄스 응답 및 주파수 응답이라 하고, **<math>h(n_1,n_2)</math>**와 **<math>H(w_1,w_2)</math>**를 이상적인 필터에 근사하는 필터의 임펄스 응답 및 주파수 응답이라 하면, I(w_1,w_2)를 h(n_1,n_2)로 근사할 수 있다. i(n_1,n_2)는 무한한 범위를 가지므로 아래와 같이 창 함수를 곱하여 유한 임펄스 응답으로 근사할 수 있다.

: h(n_1,n_2) = i(n_1,n_2)w(n_1,n_2)

푸리에 영역에서는 다음과 같다.

: H(w_1,w_2) = \frac{1}{(2\pi)^2}[I(w_1,w_2)**W(w_1,w_2)]&nbsp;

문제는 H(w_1,w_2)가 I(w_1,w_2)에 가깝고, I(w_1,w_2)의 불연속점 주변 영역에서 H(w_1,w_2)가 창 처리로 인한 과도한 리플을 포함하지 않도록 적절한 모양의 창 함수를 선택하는 것이다.

## 1차원 함수로부터의 2차원 창 함수
1차원 창을 프로토타입으로 사용하여 2차원 창을 생성하는 네 가지 접근 방식이 있다.

**접근 방식 I**

2차원 창을 유도하는 방법 중 하나는 두 1차원 창의 외적으로부터 유도하는 것이다. 즉, **<math>w(n_1,n_2) = w_1(n_1)w_2(n_2).</math>** 이 접근 방식에서는 분리 가능성(separability) 특성이 활용된다. 형성된 창은 정사각형의 지지 영역을 가지며 두 변수에 대해 분리 가능하다. 이 접근 방식을 이해하기 위해, 창 함수가 다음과 같이 주어지는 1차원 카이저 윈도를 고려하자.

: 
w[n] =

\left\{
\begin{matrix}

\frac{I_0\left(\pi \alpha \sqrt{1 - \left(\frac{2n}{N-1}-1\right)^2}\right)} {I_0(\pi \alpha)},
 & 0 \leq n \leq N-1 \\ \\

0 & \text{otherwise} \\

\end{matrix}
\right.

그러면 이에 해당하는 2차원 함수는 다음과 같이 주어진다.
:
w(n_1,n_2) = \left\{ \begin{matrix}
 \frac{I_0\left(\alpha \sqrt{1-\left(\frac{n_1}{a}\right)^2}\right)I_0\left(\alpha \sqrt{1-(\frac{n_2}{a})^2}\right)}{I_0^2(\alpha)},
 & |n_1| \leqslant a, |n_2| \leqslant a \\
 0
 & \text{otherwise} \\
\end{matrix} \right.


여기서:
*  r = \sqrt{n_1^2+n_2^2}
* N은 1차원 수열의 길이이다.
* I0는 제1종 0차 변형 베셀 함수이다.
* α는 창의 모양을 결정하는 임의의 비음수 실수이다. 주파수 영역에서 이는 주엽 너비와 부엽 레벨 사이의 절충안을 결정하며, 이는 창 설계의 핵심적인 결정 사항이다.
w(n_1,n_2)의 푸리에 변환은 w_1(n_1)과 w_2(n_2)의 푸리에 변환의 외적이다. 따라서 W(w_1,w_2) = W_1(w_1)W_2(w_2)이다.

**접근 방식 II**

1차원 창 설계를 2차원 설계로 확장하는 또 다른 방법은 원형으로 회전된 1차원 연속 창 함수를 샘플링하는 것이다. 함수가 반지름의 함수로 작성될 수 있고 \theta와 무관할 때, 즉 f(r,\theta) = f(r)일 때 이를 원형 대칭이라 한다.

w(n)이 우수한 1차원 우대칭 창을 나타낸다면, 그에 상응하는 2차원 창 함수는 다음과 같다.

: w(n_1,n_2) = w\left(\sqrt{n_1^2+n_2^2}\right) \text{ for } \left|\sqrt{n_1^2+n_2^2}\right| \leqslant a 

(여기서 a는 상수이다) 그리고

: w(n_1,n_2) = 0 \text{ for } \left| \sqrt{n_1^2+n_2^2} \right| > a 

직교 좌표계에서 창 함수의 푸리에 변환을 극좌표계로 변환하면 푸리에-베셀 변환식이 나오는데, 이를 한켈 변환이라고 한다. 따라서 한켈 변환은 2차원 창 함수의 푸리에 변환을 계산하는 데 사용된다.

이 접근 방식을 사용하여 1차원 창 함수로부터 2차원 창을 찾으면, 그들의 푸리에 변환은 다음과 같은 관계를 갖는다.

: \frac{1}{2\pi}H(w_1,w_2)**W(w_1,w_2) =H(w)*W(w) 

여기서:

: 
H(w) =

\left\{
\begin{matrix}

1,
 & w\geq0 \\

0, & w 는 1차원 계단 함수이고

: H(w_1,w_2) =

\left\{
\begin{matrix}

1,
 & w_1\geq0 \text{ and all } w_2\\

0, & w_1 는 2차원 계단 함수이다.부엽이 구성하는 주엽의 비율을 계산하기 위해, 부엽 아래의 면적을 사용하는 1차원과 달리 부엽 아래의 부피를 계산한다.이 접근 방식을 이해하기 위해 1차원 카이저 윈도를 고려하면, 이에 상응하는 2차원 함수는 다음과 같이 유도될 수 있다.

: 
w(n_1,n_2)=\left\{ \begin{matrix}
 \frac{I_0\left(\alpha \sqrt{1-\frac{\sqrt{n_1^2+n_2^2}}{a^2}}\right)}{I_0(\alpha)},
 & |r| \leqslant a \\
 0
 & \text{otherwise}
\end{matrix} \right.


이것은 2차원 창을 설계하는 데 가장 널리 사용되는 접근 방식이다.

위의 두 가지 접근 방식에서 얻은 창 공식을 사용한 창 처리에 의한 2차원 필터 설계는 동일한 필터 차수를 결과로 낸다. 이는 두 번째 접근 방식의 장점이 되는데, 원형 지지 영역이 첫 번째 접근 방식에서 얻은 정사각형 지지 영역보다 0이 아닌 샘플 수가 적어 2차원 필터의 계수 수가 줄어들고 결과적으로 계산량이 절감되기 때문이다. 그러나 이 접근 방식의 단점은 회전 방법에 의해 1차원 창의 주파수 특성이 2차원 사례에서 잘 보존되지 않는다는 점이다. 또한 2차원 창의 주엽 너비와 부엽 레벨이 1차원 프로토타입만큼 잘 조절되거나 예측 가능하지 않다는 것이 밝혀졌다. 2차원 창을 설계할 때 회전을 위해 고려해야 할 두 가지 특징이 있다. 첫째, 1차원 창은 정수 n에 대해서만 정의되지만 \sqrt{n_1^2+n_2^2} 값은 일반적으로 정수가 아니다. 이를 극복하기 위해 보간법을 사용하여 임의의 w\left(\sqrt{n_1^2+n_2^2}\right)에 대한 w(n_1,n_2) 값을 정의할 수 있다. 둘째, 2차원 FFT가 2차원 창에 적용 가능해야 한다.

**접근 방식 III**

또 다른 접근 방식은 푸리에 공간에서 1차원 창의 주파수 응답을 회전시킨 후 역 푸리에 변환을 수행하여 2차원 창을 얻는 것이다. 접근 방식 II에서는 공간 영역 신호가 회전되는 반면, 이 접근 방식에서는 1차원 창이 다른 영역(예: 주파수 신호)에서 회전된다.

따라서 2차원 창 함수의 푸리에 변환은 다음과 같이 주어진다.

: W_2(w_1,w_2) = W_1\left(\sqrt{(w_1^2+w_2^2)}\right).

2차원 창 함수 w_2(n_1,n_2)는 W_2(w_1,w_2)의 역 푸리에 변환을 계산하여 얻을 수 있다.

유형 보존 회전을 보여주는 또 다른 방법은 관계식 W_1(w_1) = W_2(w_1,w_2)\ at\ w_2 = 0 이 만족될 때이다. 이는 (w_1,w_2)의 방향이 임의일 때 2차원 창의 주파수 응답의 단면이 1차원 창의 그것과 같음을 의미한다. 공간 영역에서 이 관계는 w_1(n) = \int_{-\infty}^\infty \!w_2(n_1,n_2)\,dn_2로 주어진다. 이는 주파수 응답 W_2(w_1,w_2)의 단면이 2차원 창 w_2(n_1,n_2)의 일방향 적분의 푸리에 변환과 같음을 의미한다.

이 접근 방식의 장점은 1차원 창 응답 W_1(w_1)의 개별 특징이 얻어진 2차원 창 응답 W_2(w_1,w_2)에서 잘 보존된다는 것이다. 또한 이산 시스템에서 원형 대칭이 상당히 개선된다. 단점은 2차원 역 푸리에 변환이 필요하여 계산 효율성이 떨어지며, 따라서 실제로는 덜 유용하다는 점이다.

**접근 방식 IV**

1차원 창에 맥클렐런(McClellan) 변환을 적용하여 2차원 창을 설계하는 새로운 방법이 제안되었다. 결과로 나오는 2차원 창의 각 계수는 정수 또는 2의 거듭제곱 가중치를 가진 해당 1차원 창 계수들의 선형 조합이다.

짝수 길이의 경우를 고려하면, 길이가 N인 1차원 창의 주파수 응답은 다음과 같이 쓸 수 있다.

: W_1(w) = \sum_{n=1}^{N/2} w(n) \cos[(n-0.5)w].

맥클렐런 변환을 고려하자:

: \cos(w) = 0.5\cos(w_1) + 0.5\cos(w_2) + 0.5\cos(w_1) \cos(w_2)-0.5

이는 다음과 동등하다.

: \cos(0.5w)=\cos(0.5w_1)\cos(0.5w_2) \text{ for } 0\leq\ w\leq\pi,0\leq\ w_1\leq\pi,0\leq\ w_2\leq\pi.

위 식을 대입하면, 이에 해당하는 2차원 창의 주파수 응답을 얻는다.

: W_2(w_1,w_2) = \sum_{n_1=1}^{N/2}\sum_{n_2=1}^{N/2}w_2(n_1,n_2) \cos[(n_1-0.5)w_1]\cos[(n_2-0.5)w_2]. 

위 방정식으로부터 2차원 창의 계수를 얻을 수 있다.

이 접근 방식을 설명하기 위해 쳉(Tseng) 창을 고려하자. 2N 가중치를 가진 1차원 쳉 창은 다음과 같이 쓸 수 있다.

: W(w)= \exp(-jw/2) \sum_{n=1}^N2w_n \cos\left(\left(n-\frac{1}{2}\right)w\right).

이 접근 방식을 구현함으로써, 2차원 맥클렐런 변환된 쳉 창의 주파수 응답은 다음과 같이 주어진다.

: W(w_1,w_2)= \exp(-j(w_1+w_2)/2) \sum_{n_1=1}^N \sum_{n_2=1}^N 4w(n_1,n_2)\cos\left(\left(n_1-\frac{1}{2}\right)w_1\right) \cos\left(\left(n_2-\frac{1}{2}\right)w_2\right)

여기서 w(n_1,n_2)는 2차원 쳉 창 계수이다.

이 창은 AM 신호 검출을 위한 안테나 배열 설계에 응용된다.

장점으로는 단순하고 효율적인 설계, 2차원 창의 거의 원형 대칭인 주파수 응답, 1차원 창 프로토타입 특징의 보존 등이 있다. 그러나 이 접근 방식이 FIR 필터 설계에 사용될 때, 설계된 2차원 필터가 원래 맥클렐런이 제안한 것만큼 좋지 않다는 것이 관찰되었다.

## 2차원 창 함수
위의 접근 방식들을 사용하여 몇 가지 1차원 창에 대한 2차원 창 함수를 나타내면 아래와 같다. 한켈 변환을 사용하여 창 함수의 주파수 응답을 찾을 때, 이를 닫힌 형식(closed form)으로 표현하기는 어렵다. 직사각형 창과 바틀렛 창을 제외하고 다른 창 함수들은 원래의 적분 형태로 표현된다. 2차원 창 함수는 **지지 영역**이 **<math>|r| < a</math>**인 w(r)로 표현되며, 여기서 창은 원점에서 1로 설정되고 |r| > a에 대해 w(r) = 0이다. 한켈 변환을 사용하면 창 함수의 주파수 응답은 다음과 같이 주어진다.

: W(f) = \int_0^\infty \!r w(r) J_0(fr)\,dr.&nbsp;

여기서 J_0는 베셀 함수 항등식이다.

### 직사각형 창
섬네일|그림 1: 2차원 원형 대칭 창 표면 플롯
섬네일|그림 2: 2차원 원형 대칭 창 등고선 플롯
원형 대칭 직사각형 창의 2차원 버전은 다음과 같다.

:
w(r) = \left\{ \begin{array}{ll}
 1,
 & |r| \leqslant a \\
 0,
 & |r| > a \\
\end{array} \right.


창은 높이가 1이고 밑면이 2a인 원기둥 모양이다. 이 창의 수직 단면은 1차원 직사각형 창이다.위에서 정의된 창 함수를 대입하여 한켈 변환을 사용한 창의 주파수 응답은 아래와 같다.

: W(f) = \int_0^\infty \!r J_0(fr)\,dr

### 바틀렛 창
바틀렛 창의 2차원 수학적 표현은 다음과 같다.

:
w(r) = \left\{ \begin{array}{cl}
 1 -\frac{a},
 & |r| \leqslant a \\
 0,
 & |r| > a
 \end{array} \right.


창은 높이가 1이고 밑면이 반지름 2a인 원인 원뿔 모양이다. 이 창의 수직 단면은 1차원 삼각형 창이다.한켈 변환을 사용한 창의 푸리에 변환은 아래와 같다.

: W(f) = \int_0^\infty \!r\left(1 -\frac{a}\right) J_0(fr)\,dr

### 카이저 윈도
2차원 카이저 윈도는 다음과 같이 표현된다.
:
w(r) = \left\{ \begin{array}{cl}
 \frac{I_0\left(\alpha \sqrt{1-(\frac{r}{a})^2}\right)}{I_0(\alpha)},
 & |r| \leqslant a \\[4pt]
 0,
 & \text{otherwise}
\end{array} \right.


2차원 창의 단면은 1차원 카이저 윈도 함수의 응답을 준다. 한켈 변환을 사용한 창의 푸리에 변환은 아래와 같다.

: W(f) = \int_0^\infty \!r \left(\tfrac{I_0\left(\alpha \sqrt{1-((\frac{r}{a})^2}\right)}{I_0(\alpha)}\right) J_0(fr) \, dr 

## 각주


분류:응용수학