일반 상대성이론의 이체 문제

**일반 상대성이론의 이체 문제**(, 또는 **상대론적 이체 문제**())는 일반 상대성이론의 장 방정식에 의해 기술되는 두 물체의 운동과 중력장의 결정이다. 케플러 문제를 해결하는 것은 중력에 의한 빛의 휘어짐과 태양 주위를 공전하는 행성의 운동을 계산하는 데 필수적이다. 이 해는 또한 쌍성이 서로 주위를 도는 운동을 설명하고, 중력파를 통한 점진적인 에너지 손실을 추정하는 데 사용된다.

일반 상대성이론은 굽은 시공간으로 중력장을 설명한다. 이 곡률을 지배하는 장 방정식은 비선형계이므로 닫힌 형태로 해결하기 어렵다. 케플러 문제의 정확한 해는 발견되지 않았지만, 근사 해인 슈바르츠실트 해는 존재한다. 이 해는 한 물체의 질량 M이 다른 물체의 질량 m보다 압도적으로 클 때 적용된다. 이 경우, 더 큰 질량은 정지해 있고 중력장에 유일하게 기여하는 것으로 간주될 수 있다. 이는 별을 통과하는 광자와 태양 주위를 공전하는 행성에 대한 좋은 근사치이다. 그러면 가벼운 물체(아래에서는 "입자"라고 부름)의 운동은 슈바르츠실트 해에서 결정될 수 있다. 이 운동은 굽은 시공간에서의 측지선("두 점 사이의 최단 경로")이다. 이러한 측지선 해는 수성의 이상 세차 운동을 설명하는데, 이는 일반 상대성이론을 지지하는 핵심 증거 중 하나이다. 또한 중력장에서의 빛의 휘어짐을 설명하는데, 이는 일반 상대성이론의 또 다른 유명한 증거 예측이다.

쌍성과 같이 두 질량 모두 중력장에 기여하는 것으로 간주되는 경우, 케플러 문제는 근사적으로만 해결할 수 있다. 개발된 가장 초기 근사 방법은 포스트 뉴턴 확장이었는데, 이는 초기 해를 점진적으로 수정하는 반복적인 방법이다. 최근에는 수학적 공식 대신 컴퓨터를 사용하여 아인슈타인 장 방정식을 해결하는 것이 가능해졌다. 두 물체가 서로 주위를 공전할 때 중력파를 방출하며, 이는 PSR B1913+16 쌍성 펄서에서 볼 수 있듯이 점진적인 에너지와 각운동량 손실을 유발한다.

쌍성 블랙홀의 경우, 이체 문제의 수치적 해는 세 그룹이 획기적인 기술을 고안한 2005년에 40년 간의 연구 끝에 달성되었다.

 

## 역사적 배경
### 고전 케플러 문제

[섬네일|right|Figure 1. 훨씬 더 큰 질량 M 주위를 공전하는 더 작은 질량 m의 전형적인 타원형 경로. 더 큰 질량도 타원 궤도를 따라 움직이지만, M이 m보다 훨씬 크기 때문에 보이지 않는다. 직경의 끝은 가장 가깝고 가장 먼 거리의 지점인 [장축단|근점과 원점을 나타낸다.]]

케플러 문제는 덴마크 천문학자 튀코 브라헤의 조수로 일했던 요하네스 케플러의 이름을 따서 명명되었다. 브라헤는 태양계 행성들의 움직임을 매우 정확하게 측정했다. 이 측정들을 통해 케플러는 행성 운동에 대한 최초의 현대적 설명인 케플러의 법칙을 공식화할 수 있었다.
# 모든 행성의 궤도는 두 초점 중 하나에 태양을 두는 타원이다.
# 행성과 태양을 잇는 직선은 같은 시간 간격 동안 같은 넓이를 쓸고 지나간다.
# 행성의 공전 주기의 제곱은 궤도의 긴반지름의 세제곱에 비례한다.
케플러는 1609년에 첫 두 법칙을, 1619년에 세 번째 법칙을 발표했다. 이 법칙들은 클라우디오스 프톨레마이오스와 코페르니쿠스의 것과 같은 초기 태양계 모델들을 대체했다. 케플러의 법칙은 이체 문제의 제한된 경우에만 적용된다. 볼테르와 에밀리 드 브르퇴유 뒤 샤틀레 후작부인은 이 법칙들을 "케플러의 법칙"이라고 부른 최초의 인물이었다.

거의 한 세기 후, 아이작 뉴턴은 그의 세 가지 운동 법칙을 공식화했다. 특히, 뉴턴의 제2법칙은 질량 m에 작용하는 힘 F가 방정식 로 주어지는 가속도 a를 생성한다고 명시한다. 뉴턴은 그 다음 질문을 던졌다: 케플러가 본 타원 궤도를 생성하는 힘은 무엇이어야 하는가? 그의 대답은 그의 만유인력 법칙에서 나왔는데, 이 법칙은 질량 M과 다른 질량 m 사이의 힘이 공식
F = G \frac{M m}{r^2},
로 주어진다고 명시한다. 여기서 r은 질량들 사이의 거리이고 G는 중력 상수이다. 이 힘의 법칙과 그의 운동 방정식을 고려할 때, 뉴턴은 서로를 끌어당기는 두 점 질량이 각각 완벽한 타원 궤도를 따른다는 것을 보여줄 수 있었다. 이 타원들의 크기 비율은 m/M이며, 더 큰 질량은 더 작은 타원 위에서 움직인다. 만약 M이 m보다 훨씬 크다면, 더 큰 질량은 더 가벼운 질량 m의 타원 궤도의 초점에 정지해 있는 것처럼 보일 것이다. 이 모델은 태양계에 대략적으로 적용될 수 있다. 태양의 질량이 행성들의 질량보다 훨씬 크기 때문에, 각 행성에 작용하는 힘은 주로 태양에 의한 것이다. 행성들 간의 중력은 첫 번째 근사치에서 무시될 수 있다.

### 근점 세차 운동

[섬네일|right|upright=1.5|다른 힘이 없을 때, 뉴턴 중력의 영향을 받아 다른 물체 주위를 공전하는 입자는 영원히 같은 완벽한 [타원을 따른다. 다른 힘(예: 다른 행성의 중력)의 존재는 이 타원을 점진적으로 회전시킨다. 이 회전 속도(궤도 세차 운동이라고 함)는 매우 정확하게 측정될 수 있다. 또한 다른 힘의 크기와 방향을 알면 속도를 예측할 수 있다. 그러나 뉴턴 중력의 예측은 수성의 관측에서 1859년에 발견된 것과 같이 관측과 일치하지 않는다.]]

만약 두 물체 사이의 퍼텐셜 에너지가 뉴턴의 중력 법칙의 1/r 퍼텐셜과 정확히 같지 않고 약간만 다르다면, 궤도의 타원은 (다른 가능한 효과들 중에서) 점진적으로 회전한다. 이러한 근점 세차 운동은 태양 주위를 공전하는 모든 행성에서 관측되는데, 주로 태양의 편평도(완전히 구형이 아님)와 다른 행성들 간의 인력 때문이다. 근점은 궤도의 가장 가깝고 먼 두 지점(각각 근일점과 원일점)이다. 근점 세차 운동은 근점들을 잇는 선의 회전에 해당한다. 또한 근점선을 따라 향하는 라플라스-룽게-렌츠 벡터의 회전에도 해당한다.

뉴턴의 중력 법칙은 모든 행성의 운동을 매우 정확하게 예측했기 때문에 곧 받아들여졌다. 이 계산들은 처음에 18세기 후반 피에르시몽 드 라플라스 후작에 의해 수행되었고, 19세기 후반 펠릭스 티세랑에 의해 정제되었다. 반대로, 뉴턴의 중력 법칙이 행성들의 근점 세차 운동을 정확하게 예측하지 못했다면, 중력 이론으로서 폐기되었을 것이다. 이러한 이상 세차 운동은 19세기 후반에 관측되었다.

### 수성의 이상 세차 운동

[right|섬네일|150px|수성의 근일점 세차 운동은 수성의 궤도가 태양의 [중력장으로 더 깊이 들어가는 시기에 기여한다. 이 중력장은 다른 행성들보다 수성에서 훨씬 더 강하다.]]

1859년, 위르뱅 르베리에는 수성의 궤도 세차 운동이 예상과 약간 다르다는 것을 발견했다. 궤도의 타원이 전통적인 뉴턴 중력 이론이 예측한 것보다 약간 더 빠르게 회전(세차 운동)하고 있었는데, 다른 행성들의 모든 효과를 고려한 후에도 그러했다. 그 효과는 작았지만(세기당 대략 43 초의 회전), 측정 오차(세기당 대략 0.1 초)를 훨씬 상회했다. 르베리에는 자신의 발견의 중요성을 즉시 깨닫고 천문학자들과 물리학자들에게 그것을 설명해달라고 도전했다. 행성간 먼지, 관측되지 않은 태양의 편평도, 감지되지 않은 수성의 위성, 또는 불칸이라는 새로운 행성과 같은 여러 고전적 설명들이 제안되었다. 이러한 설명들이 기각된 후, 일부 물리학자들은 뉴턴의 역제곱 중력 법칙이 틀렸다는 더욱 급진적인 가설로 나아가게 되었다. 예를 들어, 일부 물리학자들은 2와 약간 다른 지수를 가진 멱법칙을 제안했다.

다른 사람들은 뉴턴의 법칙에 속도 의존적인 퍼텐셜을 보완해야 한다고 주장했다. 그러나 이는 뉴턴의 천체 역학과 충돌한다는 것을 의미했다. 그의 천체 역학 논문에서 라플라스는 중력의 영향이 즉시 작용하지 않는다면, 행성 자체의 운동이 정확히 운동량을 보존하지 않을 것이라고 보여주었다(그 결과 운동량의 일부는 중력 상호작용의 매개체에 귀속되어야 할 것이다. 이는 전자기 상호작용의 매개체에 운동량을 귀속시키는 것과 유사하다). 뉴턴적 관점에서 보면, 만약 중력의 영향이 유한한 속도로 전파된다면, 행성은 항상 태양이 얼마 전 있었던 지점으로 끌려가고, 태양의 순간적인 위치로는 끌려가지 않을 것이다. 고전적인 기초를 가정하면, 라플라스는 만약 중력이 빛의 속도 정도의 속도로 전파된다면 태양계는 불안정할 것이고, 오랫동안 존재할 수 없을 것이라고 보여주었다. 태양계가 충분히 오래되었다는 관측을 통해 그는 중력의 속력에 대한 하한선을 정할 수 있었고, 이는 빛의 속도보다 여러 배 빠른 것으로 밝혀졌다.

라플라스의 중력 속도 추정치는 상대성 원리를 존중하는 장 이론에서는 정확하지 않다. 전기장과 자기장이 결합하기 때문에, 일정한 속도로 움직이는 점 전하의 인력은 예측된 순간적인 위치를 향하며, 보이는 것처럼 차지하는 위치를 향하지 않는다. 이러한 문제를 피하기 위해 1870년에서 1900년 사이에 많은 과학자들이 안정적인 궤도를 생성하고 수성 궤도의 근일점 이동을 설명하기 위해 빌헬름 에두아르트 베버, 카를 프리드리히 가우스, 베른하르트 리만의 전자기 법칙을 사용했다. 1890년, 모리스 레비는 베버와 리만의 법칙을 결합하여 성공적으로 이를 수행했으며, 그의 이론에서 중력의 속력은 빛의 속력과 같았다. 그리고 또 다른 시도에서 파울 게르버 (1898)는 근일점 이동에 대한 정확한 공식을 심지어 유도하는 데 성공했다 (이는 나중에 아인슈타인이 사용한 공식과 동일했다). 그러나 베버 등의 기본 법칙이 틀렸기 때문에 (예를 들어, 베버의 법칙은 맥스웰의 이론에 의해 대체되었다), 이 가설들은 거부되었다. 이미 맥스웰의 이론을 사용했던 헨드릭 로런츠 (1900)의 또 다른 시도는 너무 낮은 근일점 이동을 만들어냈다.

### 아인슈타인의 일반 상대성이론

[섬네일|right|[아서 스탠리 에딩턴|에딩턴의 1919년 태양 중력에 의한 별빛 굴절 측정은 전 세계적으로 일반 상대성이론의 수용으로 이어졌다.]]

1904~1905년경, 헨드릭 로런츠, 앙리 푸앵카레, 그리고 마지막으로 알베르트 아인슈타인의 특수 상대성이론 연구는 빛의 속력보다 빠른 어떠한 효과의 전파 가능성을 배제했다. 따라서 뉴턴의 중력 법칙은 상대성 원리와 양립하면서도 상대론적 효과가 무시할 수 있는 상황에서는 뉴턴적 극한을 얻는 다른 법칙으로 대체되어야 했다. 이러한 시도는 앙리 푸앵카레 (1905), 헤르만 민코프스키 (1907), 아르놀트 조머펠트 (1910)에 의해 이루어졌다. 1907년 아인슈타인은 이를 달성하기 위해 특수 상대성이론의 후속 이론이 필요하다는 결론에 도달했다. 1907년부터 1915년까지 아인슈타인은 등가원리를 핵심 개념으로 삼아 새로운 이론을 개발했다. 이 원리에 따르면, 균일한 중력장은 그 안에 있는 모든 것에 균등하게 작용하므로, 자유 낙하하는 관찰자에 의해 감지될 수 없다. 반대로, 모든 국부적인 중력 효과는 선형적으로 가속하는 기준틀에서 재현될 수 있으며, 그 반대도 마찬가지이다. 따라서 중력은 가속 기준틀에 의해 발생하는 원심력이나 코리올리 효과와 같은 겉보기힘처럼 작용한다. 모든 겉보기힘은 관성 질량에 비례하며, 중력도 마찬가지이다. 중력과 특수 상대성이론의 화해를 이루고 등가원리를 통합하기 위해 무언가가 희생되어야 했다. 그것은 우리 공간이 유클리드 기하학의 법칙을 따르며, 예를 들어 피타고라스 정리가 실험적으로 참이라는 오래된 고전적 가정이었다. 아인슈타인은 화해에 필요한 공간과 시간의 곡률을 허용하기 위해 보다 일반적인 기하학인 준 리만 기하학을 사용했다. 8년간의 연구(1907-1915) 끝에 그는 자연에서 관찰되는 물리 법칙, 특히 중력을 재현하기 위해 시공간이 어떻게 정확하게 곡률을 가져야 하는지를 발견하는 데 성공했다. 중력은 시공간의 곡률이 물리적으로 실재하는 것으로 간주된다는 점에서 겉보기힘인 원심력 및 코리올리 힘과 구별되는 반면, 겉보기힘은 힘으로 간주되지 않는다. 그의 장 방정식의 첫 번째 해들은 수성의 이상 세차 운동을 설명하고, 그의 이론이 발표된 후 확인된 특이한 빛의 굴절을 예측했다. 이 해들은 아래에서 설명된다.

## 일반 상대성이론, 특수 상대성이론 및 기하학
정상적인 유클리드 기하학에서 삼각형은 피타고라스 정리를 따른다. 피타고라스 정리는 공간의 두 점 사이의 제곱 거리 ds2가 수직 성분들의 제곱의 합과 같다고 말한다.
ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 
여기서 dx, dy, dz는 데카르트 좌표계의 두 점의 x, y, z 좌표 사이의 무한소 차이를 나타낸다. 이제 이것이 완전히 사실이 아닌 세상을 상상해 보자. 거리가 대신 다음으로 주어지는 세상이다.
ds^2 = F(x, y, z) \,dx^2 + G(x, y, z) \,dy^2 + H(x, y, z)\,dz^2 
여기서 F, G, H는 위치의 임의 함수이다. 이런 세상을 상상하는 것은 어렵지 않다. 우리는 그런 세상에 살고 있다. 지구 표면은 곡면이기 때문에 지구의 완벽하게 정확한 평면 지도를 만드는 것은 불가능하다. 비데카르트 좌표계는 이를 잘 보여준다. 예를 들어, 구면 좌표 (r, θ, φ)에서 유클리드 거리는 다음과 같이 쓸 수 있다.
ds^2 = dr^2 + r^2 \, d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \, d\varphi^2 

또 다른 예시는 길이를 측정하는 데 사용되는 자가 신뢰할 수 없고, 위치와 심지어 방향에 따라 길이가 변하는 세상일 것이다. 가장 일반적인 경우, 거리 ds를 계산할 때 교차항을 고려해야 한다.
ds^2 = g_{xx} \,dx^2 + g_{xy} \, dx \, dy + g_{xz} \, dx \, dz + \cdots + g_{zy} \, dz \, dy + g_{zz} \, dz^2 
여기서 9개의 함수 gxx, gxy, ..., gzz는 리만 기하학에서 공간의 기하학을 정의하는 계량 텐서를 구성한다. 위 구면 좌표 예시에서는 교차항이 없다. 유일한 0이 아닌 계량 텐서 성분은 grr = 1, gθθ = r2 및 gφφ = r2 sin2 θ이다.

알베르트 아인슈타인은 특수 상대성이론에서 두 공간 점 사이의 거리 ds는 일정하지 않고 관찰자의 운동에 따라 달라진다는 것을 보여주었다. 그러나 시공간의 두 점 사이의 분리 측정값("고유 시간"이라고 불리며 기호 dτ로 표시됨)은 불변이다. 즉, 관찰자의 운동에 의존하지 않는다.
c^2 \, d\tau^2 = c^2 \, dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 
구면 좌표로 쓰면 다음과 같다.
c^2 \, d\tau^2 = c^2 \, dt^2 - dr^2 - r^2 \, d\theta^2 - r^2 \sin^2 \theta \, d\varphi^2 

이 공식은 피타고라스 정리의 자연스러운 확장이며, 마찬가지로 시공간에 곡률이 없을 때만 성립한다. 그러나 일반 상대성이론에서는 공간과 시간이 곡률을 가질 수 있으므로, 이 거리 공식은 더 일반적인 형태로 수정되어야 한다.
c^2 \, d\tau^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu \, dx^\nu 
마치 지구 표면의 거리를 측정하는 공식을 일반화한 것과 같다. 계량 gμν의 정확한 형태는 아인슈타인 방정식에 의해 기술되는 중력 질량, 운동량 및 에너지에 따라 달라진다. 아인슈타인은 자연에서 관찰되는 알려진 물리 법칙과 일치하도록 이러한 장 방정식을 개발했다. 그러나 이 방정식들은 나중에 확인된, 이전에 본 적 없는 현상(예: 중력에 의한 빛의 굴절)을 예측했다.

### 측지선 방정식

아인슈타인의 일반 상대성이론에 따르면, 무시할 수 있는 질량의 입자는 시공간에서 측지선을 따라 움직인다. 중력원으로부터 멀리 떨어진 곡선이 없는 시공간에서 이 측지선들은 직선에 해당하지만, 시공간이 곡선일 때는 직선에서 벗어날 수 있다. 측지선 방정식은 다음과 같다.
\frac{d^2x^\mu}{d q^2} + \Gamma^\mu_{\nu\lambda} \frac{dx^\nu}{d q} \frac{dx^\lambda}{dq} = 0
여기서 Γ는 크리스토펠 기호를 나타내고, 변수 q는 입자의 시공간을 통한 경로, 즉 소위 세계선을 매개변수화한다. 크리스토펠 기호는 계량 텐서 gμν, 또는 오히려 그것이 위치에 따라 어떻게 변하는지에만 의존한다. 변수 q는 시간꼴 궤도(질량 있는 입자가 이동함)의 고유 시간 τ의 상수 배수이며, 일반적으로 τ와 같다고 간주된다. 빛꼴(또는 널) 궤도(광자와 같은 질량 없는 입자가 이동함)의 경우 고유 시간은 0이며, 엄밀히 말하면 변수 q로 사용할 수 없다. 그럼에도 불구하고 빛꼴 궤도는 시간꼴 궤도의 초상대론적 극한으로 도출될 수 있다. 즉, 입자 질량 m이 0으로 가면서 총 에너지가 고정될 때의 극한이다.

## 슈바르츠실트 해

아인슈타인 방정식의 정확한 해 중 하나는 슈바르츠실트 계량이며, 이는 정지해 있고 전하를 띠지 않으며 회전하지 않는 질량 M의 구형 대칭 물체의 외부 중력장에 해당한다. 이는 슈바르츠실트 반지름으로 알려진 길이 척도 rs로 특징지어지며, 다음 공식으로 정의된다.

r_\text{s} = \frac{2GM}{c^2}

여기서 G는 중력 상수이다. 고전 뉴턴 중력 이론은 rs/r 비율이 0으로 가는 극한에서 복원된다. 이 극한에서 계량은 특수 상대성이론에 의해 정의된 것으로 돌아간다.

실제로 이 비율은 거의 항상 극히 작다. 예를 들어, 지구의 슈바르츠실트 반지름 rs는 대략 9 mm이다. 지구 표면에서 뉴턴 중력에 대한 보정은 10억 분의 1에 불과하다. 태양의 슈바르츠실트 반지름은 훨씬 커서 대략 2953 미터이지만, 표면에서 rs/r 비율은 대략 백만 분의 4이다. 백색왜성은 훨씬 밀도가 높지만, 여기서도 표면에서의 비율은 대략 백만 분의 250이다. 이 비율은 중성자별과 같은 초밀집 천체(비율이 대략 50%)와 블랙홀 근처에서만 커진다.

### 중심 질량 주위의 궤도
alt=|섬네일|upright=1.5|뉴턴(왼쪽) 및 슈바르츠실트(오른쪽) 시공간에서 시험 입자의 궤도 비교. 고해상도 애니메이션 그래픽을 보려면 클릭하십시오.
무한소 질량 m의 시험 입자가 중심 질량 M 주위를 도는 궤도는 운동 방정식

\left( \frac{\ \operatorname{d} r\ }{\ \operatorname{d}\tau\ } \right)^2 = \frac{\ E^2 }{\ m^2 c^2 } - \left( 1 - \frac{\ r_\mathsf{s} }{\ r\ } \right) \left( c^2 + \frac{\ h^2 }{\ r^2 } \right) ~.

으로 주어진다. 여기서 \ h\ 는 비각운동량이며, \ h = r \times v = \frac{\ L\ }{ \mu }\ 이고 \ \mu\ 는 환산 질량이다. 이것은 궤도에 대한 방정식으로 변환될 수 있다.

\left( \frac{\ \operatorname{d} r\ }{\ \operatorname{d}\varphi\ } \right)^2 = \frac{\ r^4}{\ \tilde{b}^2 } - \left( 1 - \frac{\ r_\mathsf{s} }{\ r\ } \right) \left( \frac{\ r^4 }{\ \tilde{a}^2 } + r^2 \right)\ ,

여기서 간결함을 위해 두 개의 길이 스케일 \ \tilde{a} \equiv \frac{\ h\ }{ c }\ 와 \ \tilde{b} \equiv \frac{\ L\ c\ }{ E }\ 가 도입되었다. 이들은 운동의 상수이며 시험 입자의 초기 조건(위치 및 속도)에 따라 달라진다. 따라서 궤도 방정식의 해는 다음과 같다.

\varphi = \int \frac{ 1 }{\ r^2 } \left[\frac{ 1 }{\ \tilde{b}^2} - \left(1 - \frac{r_\mathrm{s}}{r}\right) \left(\frac{1}{\ \tilde{a}^2 } + \frac{ 1 }{\ r^2} \right)\right]^{-1/2}\ \operatorname{d} r ~.


### 유효 반지름 퍼텐셜 에너지
위에서 유도된 입자의 운동 방정식은

\left[ \frac{\ \operatorname{d} r\ }{\ \operatorname{d} \tau\ } \right]^2 =~ \frac{\; E^2\ }{\;m^2 c^2\ }\; -\; c^2 + \frac{\; r_\mathsf{s} c^2\ }{ r } - \frac{\; h^2\ }{\; r^2\ } + \frac{\; r_\mathsf{s} h^2\ }{\; r^3\ }

슈바르츠실트 반지름 s의 정의를 사용하여 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

\frac{1}{2}\ m \left[ \frac{\ \operatorname{d} r\ }{\ \operatorname{d} \tau\ } \right]^2 =~ \frac{1}{2}\!\left[\ \frac{E^2}{\; m c^2\ } -  m c^2\ \right]\; +\; \frac{\ GMm\ }{ r }\; -\; \frac{\ L^2 }{\; 2 \mu r^2\ }\; +\; \frac{\ G(M+m) L^2\ }{\; c^2 \mu r^3\ }

이는 1차원 유효 포텐셜 내에서 움직이는 입자와 동일하다.

V(r)\; =\ -\frac{\ GMm\ }{ r }\; +\; \frac{\ L^2 }{\; 2 \mu r^2\ }\; -\; \frac{\; G(M+m) L^2\ }{\; c^2 \mu r^3\ } ~.

처음 두 항은 잘 알려진 고전적 에너지이다. 첫 번째 항은 인력적인 뉴턴 중력 퍼텐셜 에너지이고 두 번째 항은 척력적인 "원심" 퍼텐셜 에너지에 해당한다. 그러나 세 번째 항은 일반 상대성이론에만 있는 인력적인 에너지이다. 아래와 다른 곳에서 보여지듯이, 이 역입방 에너지는 타원 궤도가 회전당 작은 각도 만큼 점진적으로 세차 운동하도록 유발한다.

\operatorname{\delta}\!\omega ~\approx~ \frac{\ 6 \pi\ G\ (M + m)\ }{\ c^2 a \left( 1 - e^2 \right)\ }\ ,

여기서 는 궤도의 긴반지름이고 는 이심률이다. 여기서 는 구면 좌표 의 -좌표의 변화가 아니지만 거의 비슷하다. 그것은 고전적인 닫힌 궤도의 근점 편각의 변화이다.

세 번째 항은 인력적이며 작은  값에서 지배적이므로, 입자가 으로 필연적으로 안쪽으로 끌려들어가는 임계 내부 반지름 를 제공한다. 이 내부 반지름은 단위 질량당 입자의 각운동량 또는 위에서 정의된  길이 스케일의 함수이다.

### 원형 궤도와 그 안정성
섬네일|upright=1.5|right|다양한 각운동량에 대한 유효 반지름 퍼텐셜. 작은 반지름에서는 에너지가 급격히 감소하여 입자가 r = 0으로 필연적으로 안쪽으로 끌려들어간다. 그러나 정규화된 각운동량 이 3의 제곱근과 같을 때, 녹색 원으로 강조된 반지름에서 준안정 원형 궤도가 가능하다. 더 높은 각운동량에서는 상당한 원심력 장벽(주황색 곡선)과 빨간색으로 강조된 불안정한 내부 반지름이 존재한다.

유효 퍼텐셜 은 길이 \ A \equiv \frac{\ h\ }{ c }\ :으로 다시 쓸 수 있다.

V(r) = \frac{mc^2}{2} \left[ - \frac{\; r_\mathsf{s}\ }{ r } + \frac{\; A^2\ }{\ r^2 } - \frac{\; A^2 r_\mathsf{s}\ }{\ r^3 } \right] ~.


유효 힘이 0일 때 원형 궤도가 가능하다.

F\ =\ -\ \frac{\ \operatorname{d} V\ }{ \operatorname{d} r }\ =\ -\ \frac{\; mc^2\ }{\; 2r^4\ } \left[\ r_\mathsf{s} r^2 - 2A^2 r + 3 A^2 r_\mathsf{s}\ \right]\ =\ 0\ ;

즉, 두 가지 인력 – 뉴턴 중력(첫 번째 항)과 일반 상대성이론에만 있는 인력(세 번째 항) –이 척력적인 원심력(두 번째 항)과 정확히 균형을 이룰 때이다. 이러한 균형이 발생할 수 있는 두 개의 반지름이 있으며, 여기서는 inner와 outer로 표기한다.
\begin{align}
  r_{\mathsf{outer}} &= \frac{\ A^2 }{\; r_\mathsf{s}\ } \left(\ 1 + \sqrt{ 1 - \frac{\; 3 {r_\mathsf{s}}^2\ }{\ A^2 }\ } \ \right)\ ,\\
  r_{\mathsf{inner}} &= \frac{\ A^2 }{\; r_\mathsf{s}\ } \left(\ 1 - \sqrt{ 1 - \frac{\; 3 {r_\mathsf{s}}^2\ }{\ A^2 }\ } \ \right) = \frac{\; 3\ A^2\ }{\ r_{\mathsf{outer} }}\ ,
\end{align}
이는 이차 공식을 사용하여 얻어진다. 내부 반지름 inner는 불안정하다. 왜냐하면 이 작아질수록 인력적인 세 번째 힘이 다른 두 힘보다 훨씬 빠르게 강해지기 때문이다. 만약 입자가 inner(세 힘이 모두 균형을 이루는 곳)에서 약간 안쪽으로 미끄러지면, 세 번째 힘이 다른 두 힘을 지배하고 입자를 으로 필연적으로 안쪽으로 끌어들인다. 그러나 외부 반지름에서는 원형 궤도가 안정적이다. 세 번째 항은 덜 중요하며 시스템은 비상대론적인 케플러 문제처럼 행동한다.

가 s보다 훨씬 클 때(고전적인 경우), 이 공식은 대략적으로 다음과 같다.
\begin{align}
  r_{\mathsf{outer}}\ &\approx\ \frac{\; 2A^2\ }{\ r_\mathsf{s} }\ ,\\
  r_{\mathsf{inner}}\ &\approx\ \frac{\ 3\ }{ 2 }\ r_\mathsf{s} ~.
\end{align}

[섬네일|upright=1.5|안정 및 불안정 반지름은 정규화된 각운동량 에 대해 각각 파란색과 빨간색으로 그려져 있다. 이 곡선들은 정규화된 각운동량이 3의 제곱근과 같을 때 하나의 원형 궤도(녹색 원)에서 만난다. 비교를 위해 [구심 가속도와 뉴턴의 중력 법칙에서 예측된 고전 반지름은 검은색으로 그려져 있다.]]

와 s의 정의를 outer에 대입하면 질량  입자가 질량  물체를 공전하는 고전적 공식이 나온다.

다음 방정식
 r_{\mathsf{outer}}^3 = \frac{\ G\left( M + m \right)\ }{~ \Omega_\varphi^2\ }
여기서 는 입자의 궤도 각속도이며, 비상대론 역학에서 원심력을 뉴턴 중력에 같게 설정하여 얻어진다.
 \frac{\ G\ M\ m\ }{\ r^2} = \mu\ \Omega_\varphi^2\ r 
여기서 \ \mu\ 는 환산 질량이다.

우리의 표기법에서 고전 궤도 각속도는 다음과 같다.

\Omega_\varphi^2\ \approx~ \frac{ GM }{\; r_{\mathsf{outer}}^3\ } = \left( \frac{\; r_\mathsf{s} c^2\ }{\; 2r_{\mathsf{outer}}^3\ } \right) = \left( \frac{r_\mathsf{s} c^2}{2} \right) \left( \frac{\; r_\mathsf{s}^3\ }{\; 8A^6\ }\right) = \frac{\; c^2 {r_\mathsf{s}}^4\ }{\; 16 A^6\ }


다른 극한에서, \ A^2\ 이 위에서 s2에 접근할 때, 두 반지름은 하나의 값으로 수렴한다.
 r_{\mathsf{outer}}\ \approx~ r_{\mathsf{inner}} \approx 3\ r_\mathsf{s}\ 
위의 이차 해는 outer가 항상 보다 크고 inner는 와  사이에 있음을 보장한다. 보다 작은 원형 궤도는 불가능하다. 질량 없는 입자의 경우 \ A\ 는 무한대로 가며, 이는 에서 광자의 원형 궤도가 있음을 의미한다. 이 반지름의 구는 때때로 광자구로 알려져 있다.

### 타원 궤도의 세차 운동
[섬네일|right|비상대론적 [케플러 문제에서 입자는 같은 완벽한 타원 궤도(빨간색 궤도)를 영원히 따른다. 일반 상대성이론은 특히 작은 반지름에서 뉴턴 중력보다 입자를 약간 더 강하게 끌어당기는 세 번째 힘을 도입한다. 이 세 번째 힘은 입자의 타원 궤도가 회전 방향으로 세차 운동하도록 유발한다(청록색 궤도). 이 효과는 수성, 금성 및 지구에서 측정되었다. 궤도 안의 노란색 점은 태양과 같은 인력의 중심을 나타낸다.]]

궤도 세차 운동률은 비뉴턴 원심력을 포함하는 이 반지름 유효 퍼텐셜 을 사용하여 유도될 수 있다. 반지름 outer의 원형 궤도에서 작은 반지름 편차는 각주파수
\Omega_r^2 = \frac{1}{m} \Biggl[ \frac{\ \operatorname{d}^2 V\ }{\ \operatorname{d}r^{\ 2} } \Biggr]_{r=r_{\mathsf{outer}}}
로 안정적으로 진동한다.

\Omega_r^2 ~=~ \left( \frac{ c^2 r_\mathsf{s} }{\ 2\ r_{\mathsf{outer}}^4 } \right)\!\Bigl(\ r_{\mathsf{outer}} - r_{\mathsf{inner}} \Bigr) ~=~ \Omega_\varphi^2\ \sqrt{\ 1 - \frac{\ 3\ r_\mathsf{s}^2 }{\ a^2 } ~}


양변의 제곱근을 취하고 이항 정리를 사용하여 전개하면 다음 공식이 나온다.
 \Omega_r ~=~ \Omega_\varphi \left( 1 - \frac{\ 3\ r_\mathsf{s}^2 }{\ 4\ a^2 } + \cdots \right)
한 바퀴의 주기 를 곱하면 한 바퀴당 궤도의 세차 운동이 주어진다.

\operatorname{\delta}\!\varphi ~=~ T\ (\Omega_\varphi - \Omega_r) ~\approx~
  2\ \pi \left( \frac{\ 3\ r_\mathsf{s}^2 }{\ 4\ a^2} \right) ~=~
  \frac{\ 3\ \pi\ m^2 c^2 }{\ 2\ L^2 }\ r_\mathsf{s}^2

여기서 우리는  (원형 궤도에 대해 정확함)와 에 의해 설정된 길이 척도의 정의를 사용했다. 슈바르츠실트 반지름 s의 정의를 대입하면

\operatorname{\delta}\!\varphi ~\approx~
  \frac{\ 3\ \pi\ m^2 c^2\ }{\ 2\ L^2 } \left( \frac{\ 4\ G^2 M^2 }{\ c^4 } \right) ~=~
  \frac{\ 6\ \pi\ G^2 M^2 m^2 }{\ c^2 L^2 }


이는 타원 궤도의 긴반지름 , 이심률 , 그리고 비각운동량 를 사용하여 단순화될 수 있으며, 이들은 다음 공식으로 관련되어 있다.

 \frac{\ h^2 }{\ G\ (M + m)\ } = a \left(\ 1 - e^2 \right)

세차 각도를 제공한다.

\operatorname{\delta}\!\varphi ~\approx~ \frac{ 6\ \pi\ G\ (M + m)\ }{\ c^2 a \left(\ 1 - e^2\right)\ } ~.


닫힌 고전 궤도는 일반적으로 타원이므로,  값은 타원의 반반경 \ \ell\ 이다.

따라서, 단위 완전 회전당 각 근점 세차 운동의 최종 공식은 다음과 같다.
 \operatorname{\delta}\!\varphi ~\approx~ \frac{\ 6\ \pi\ G\ (M + m)\ }{\ \ell\ c^2\ } ~.

## 슈바르츠실트 해를 넘어서
섬네일|right|upright=1.65|다양한 근사 계획과 그 유효 영역을 가진 밀집 쌍성계의 매개변수 공간 다이어그램.

### 포스트 뉴턴 확장

슈바르츠실트 해에서는 더 큰 질량 M이 정지해 있고 그것만이 중력장(즉, 시공간의 기하학)을 결정하며, 따라서 더 작은 질량 m이 그 고정된 시공간을 통해 측지선 경로를 따른다고 가정한다. 이는 광자와 수성 궤도에 대한 합리적인 근사치이다. 수성은 태양보다 약 6백만 배 가볍다. 그러나 질량이 비슷한 크기일 수 있는 쌍성에는 부적합하다.

두 개의 비교 가능한 질량의 경우에 대한 계량은 닫힌 형태로 해결할 수 없으므로 포스트 뉴턴 근사 또는 수치적 근사와 같은 근사 기술에 의존해야 한다. 참고로, 낮은 차원에서의 한 가지 특정 예외를 언급한다(자세한 내용은 R = T 모델 참조). (1+1)차원, 즉 하나의 공간 차원과 하나의 시간 차원으로 구성된 공간에서, 같은 질량의 두 물체에 대한 계량은 람베르트 W 함수로 해석적으로 해결할 수 있다. 그러나 두 물체 사이의 중력 에너지는 전파에 삼차원이 필요한 중력자가 아닌 딜라톤을 통해 교환된다.

포스트 뉴턴 확장은 주어진 문제에 대해 점점 더 정확한 해를 제공하는 계산 방법이다. 이 방법은 반복적이다. 입자 운동에 대한 초기 해가 중력장을 계산하는 데 사용된다. 이 파생된 장으로부터 새로운 입자 운동을 계산할 수 있고, 이로부터 장에 대한 훨씬 더 정확한 추정치를 계산할 수 있으며, 이런 식으로 계속된다. 이 접근법은 입자 궤도에 대한 뉴턴 해가 종종 초기 해로 사용되기 때문에 "포스트 뉴턴"이라고 불린다.

이론은 두 부분으로 나눌 수 있다. 첫째, 뉴턴 퍼텐셜에 대한 GR 보정을 포착하는 이체 유효 포텐셜을 찾는다. 둘째, 결과적인 운동 방정식을 풀어야 한다.

### 현대 계산 접근 방식

아인슈타인 방정식은 정교한 수치 방법을 사용하여 컴퓨터로도 풀 수 있다. 충분한 컴퓨터 성능이 주어진다면, 이러한 해는 포스트 뉴턴 해보다 더 정확할 수 있다. 그러나 이러한 계산은 방정식이 일반적으로 4차원 공간에서 풀려야 하기 때문에 까다롭다. 그럼에도 불구하고 1990년대 후반부터 두 블랙홀의 병합과 같은 어려운 문제(일반 상대성이론의 케플러 문제의 매우 어려운 버전)를 푸는 것이 가능해졌다.

### 중력파 복사

들어오는 중력파 복사가 없다면, 일반 상대성이론에 따르면 서로를 공전하는 두 물체는 중력파를 방출하여 궤도가 점진적으로 에너지를 잃게 된다.

케플러 문제의 두 물체로부터의 중력파 복사로 인한 에너지 및 각운동량 손실을 설명하는 공식이 계산되었다. (완전한 궤도에 대해 평균된) 에너지 손실률은 다음으로 주어진다.

-\left\langle \frac{dE}{dt} \right\rangle =
\frac{32G^4 m_1^2 m_2^2(m_1 + m_2)}{5c^5 a^5 \left(1 - e^2\right)^{7/2}} \left( 1 + \frac{73}{24} e^2 + \frac{37}{96} e^4 \right)

여기서 e는 궤도 이심률이고 a는 반장축은 타원 궤도의 반장축이다. 방정식 왼쪽의 각괄호는 단일 궤도에 대한 평균을 나타낸다. 마찬가지로, 각운동량 손실의 평균률은 다음과 같다.

-\left\langle \frac{dL_z}{dt} \right\rangle = \frac{32G^{7/2} m_1^2 m_2^2 \sqrt{m_1 + m_2}}{5c^5 a^{7/2} \left(1 - e^2\right)^2}
\left( 1 + \frac{7}{8} e^2 \right)


주기 감소율은 다음으로 주어진다.

-\left\langle \frac{dP_b}{dt} \right\rangle =
\frac{192 \pi G^{5/3} m_1 m_2 (m_1 + m_2)^{-1/3}}{5c^5 \left(1 - e^2\right)^{7/2}}
\left( 1 + \frac{73}{24} e^2 + \frac{37}{96} e^4 \right) \left(\frac{P_b}{2 \pi}\right)^{-{5/3}}

여기서 Pb는 궤도 주기이다.

에너지와 각운동량 손실은 이심률이 1에 가까워질수록, 즉 궤도의 타원이 점점 더 길어질수록 크게 증가한다. 복사 손실은 또한 궤도의 크기 a가 감소함에 따라 크게 증가한다.

파일:PSR B1913+16 periastron shift graph.svg|쌍성 펄서 PSR B1913+16의 근점 이동 시간의 실험적으로 관측된 변화(빨간 점)는 일반 상대성이론이 예측한 궤도 주기 감소로 인한 변화(파란 곡선)와 거의 정확히 일치한다.
파일:Wavy2.gif|두 중성자별이 서로 주위를 빠르게 회전하면서 중력 복사를 방출하여 점진적으로 에너지를 잃는다. 에너지를 잃으면서 서로 더 빠르게, 더 가깝게 공전한다.


## 같이 보기
* 비네 방정식
* 질량 중심 (상대론적)
* 중력 이체 문제
* 케플러 문제
* 뉴턴 회전 궤도 정리
* 슈바르츠실트 측지선

## 내용주

## 각주

## 참고 문헌

* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  (See 중력 (책).)
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*
* 
* 

## 외부 링크
* Animation showing relativistic precession of stars around the Milky Way supermassive black hole
* Excerpt from *Reflections on Relativity* by Kevin Brown.

분류:일반 상대성 이론의 엄밀해