구각 정리

고전역학에서 **구각 정리**()는 구 대칭인 물체의 내부 또는 외부에 있는 물체에 적용할 수 있는 중력적 단순화를 제공한다. 이 정리는 특히 천문학에 응용된다.

아이작 뉴턴은 구각 정리를 증명하였으며 다음과 같이 기술했다.
# 구 대칭인 물체는 외부 물체에 대해 그 물체의 모든 질량이 중심의 한 질점에 집중된 것처럼 중력적 영향을 미친다.
# 만약 물체가 구 대칭인 구각(즉, 속이 빈 공)이라면, 구각 내부의 물체가 어디에 위치하든 구각이 그 물체에 가하는 알짜 중력은 0이다.

그 따름정리로, 밀도가 일정한 고체 구 내부에서 물체에 작용하는 중력은 중심으로부터의 거리에 선형적으로 비례하며, 대칭에 의해 질량 중심에서는 0이 된다. 이는 다음과 같이 이해할 수 있다. 이러한 구 내부의 한 점을 구 중심에서 거리 r만큼 떨어진 곳에 잡는다. 그러면 구각 정리 (2)에 의해 반지름이 r보다 큰 모든 구각들의 영향은 무시할 수 있다. 반면 해당 점은 반지름이 r인 나머지 구의 외부에 있는 것으로 간주될 수 있으며, 정리 (1)에 의해 이 구의 모든 질량은 중심에 집중된 것으로 볼 수 있다. 남은 질량 m은 (부피에 기반하므로) r^3에 비례한다. 반지름 r 위치의 물체에 가해지는 중력은 m/r^2(역제곱 법칙)에 비례하므로, 전체적인 중력 효과는  즉 에 선형적이다.

이러한 결과는 뉴턴의 행성 운동 분석에 중요했다. 이 결과들은 즉각적으로 자명해 보이지는 않지만, 미적분학으로 증명될 수 있다. (중력에 대한 가우스의 법칙은 이 정리를 서술하는 대안적인 방법을 제공한다.)

중력 외에도 구각 정리는 정적인 구 대칭 전하 밀도에 의해 생성된 전기장을 설명하거나, 역제곱 법칙을 따르는 다른 현상들을 설명하는 데 사용될 수 있다. 아래의 유도 과정은 중력에 초점을 맞추고 있지만, 그 결과는 정전기력으로 쉽게 일반화될 수 있다.

## 고체 구 외부의 중력장 유도
뉴턴의 구각 정리 (1)을 증명하는 데는 세 단계가 있다. 먼저 질량 고리(ring)에 의한 중력장 방정식을 유도한다. 무수히 많은 무한히 얇은 고리들을 배치하여 원판(disc)을 만들고, 고리에 관한 방정식을 사용하여 원판에 의한 중력장을 구한다. 마지막으로 무수히 많은 무한히 얇은 원판들을 배치하여 구를 만들고, 원판에 관한 방정식을 사용하여 구에 의한 중력장을 구한다.

원점에 있는 질량 M인 질점에 의해 x축 상의 (x,y) = (-p,0) 지점 P에 형성되는 중력장 E는 다음과 같다. E_\text{point} = \frac{GM}{p^2}
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이 질량이 y축을 따라 위쪽  지점으로 이동했다고 가정하자. P와 질점 사이의 거리는 이전보다 더 길어진다. 이는 밑변이 p이고 높이가 R인 직각삼각형의 빗변이 되며, 그 길이는 이다. 따라서 들어 올려진 점의 중력장은 다음과 같다.
E_\text{elevated point} = \frac{GM}{p^2+R^2}
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점 P에 있는 입자를 x축 방향으로 끌어당기는 중력장의 크기는 중력장에 \cos(\theta)를 곱한 값이다. 여기서 \theta는 x축과 인접한 각도이다. 이 경우 }}이다. 따라서 x축 방향 중력장의 크기 E_x는 다음과 같다.
E_x = \frac{GM\cos{\theta}}{p^2+R^2}
\cos(\theta)를 대입하면 다음을 얻는다.
E_x = \frac{GMp}{\left(p^2+R^2\right)^{3/2}}
이 질량이 원점을 중심으로 하고 점 P를 마주하며 반지름이 인 고리에 고르게 분포되어 있다고 가정하자. 모든 질량이 x축에 대해 동일한 각도에 위치하고, 고리 위의 점들과의 거리가 이전과 같으므로, 고리에 의해 점 P에 형성되는 x축 방향 중력장은 y축 위로 R만큼 떨어진 지점에 위치한 질점의 경우와 같다.
E_\text{ring} = \frac{GMp}{\left(p^2+R^2\right)^{3/2}}
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원판에 의해 점 P에 형성되는 중력장을 구하기 위해, 각각 반지름  폭  질량 dM을 가지고 를 마주보는 무수히 많은 얇은 고리들을 겹쳐서 원판을 구성할 수 있다. 임의의 한 고리의 질량 dM은 원판의 질량에 고리의 면적 2\pi y\,dy와 원판의 전체 면적 의 비율을 곱한 것이다. 즉, 이다. 따라서 중력장의 미소 변화량 E는 다음과 같다.
dE = \frac{Gp\,dM}{(p^2+y^2)^{3/2}}
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dM을 대입하고 양변을 적분하면 원판의 중력장을 얻는다.
E = \int \frac{GMp\cdot \frac{2y\, dy}{R^2}}{(p^2+y^2)^{3/2}}
이 고리들 각각의 중력장 기여도를 합산하면 원판에 의한 중력장 식이 산출된다. 이는 위 식을 y=0부터 까지 적분하는 것과 같으며, 결과는 다음과 같다.
E_\text{disc} = \frac{2GM}{R^2} \left( 1-\frac{p}{\sqrt{p^2+R^2}}\right)
원점에 중심을 둔 구에 의해 점 P에 형성되는 중력장을 구하기 위해, 각각 반지름  폭  질량 dM을 가지고 를 마주보는 무수히 많은 얇은 원판들을 합칠 수 있다.

이 원판들의 반지름 R은 (일정한 반지름 a를 가진) 구의 단면 높이를 따르며, 이는 반원의 방정식인 과 같다. x는 -a에서 까지 변한다.

임의의 원판 질량 dM은 구의 질량 M에 무한히 얇은 원판의 부피와 (일정한 반지름 \right)\, dx
단순화하면,
\int dE = \int_{-a}^a \frac{3GM}{2a^3} \left(1 - \frac{p + x}{\sqrt{p^2 + a^2 + 2px}}\right) dx
각 얇은 원판의 중력장을 x=-a에서 x=+a까지 에 대해 적분하고 주의 깊게 대수학적으로 계산하면 뉴턴의 구각 정리가 산출된다.
E = \frac{GM}{p^2}
여기서 p는 구형 질량의 중심과 임의의 점  사이의 거리이다. 구형 질량의 중력장은 모든 질량을 구 중심의 점입자로 취급하여 계산할 수 있다.

## 구각 외부
속이 비고 구 대칭인 물체는 무수히 많은 동심원의 무한히 얇은 구각들로 모델링될 수 있다. 이러한 구각들 중 하나가 질점으로 취급될 수 있다면, 구각들의 체계(즉, 구 전체) 또한 질점으로 취급될 수 있다. 그러한 구각 하나를 고려해 보자(도표는 단면을 보여준다).

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(참고: 도표의 d\theta는 호의 길이가 아니라 미소 각도를 의미한다. 호의 길이는 이다.)

뉴턴의 만유인력의 법칙을 적용하면, 음영 처리된 띠 부분의 질량 요소들에 의한 힘의 합은 다음과 같다.
:dF = \frac{Gm}{s^2} dM.
그러나 힘의 벡터적 성질과 원형 띠의 대칭성으로 인해 부분적인 상쇄가 발생하므로, 을 향하는 방향으로 남은 성분은 다음과 같이 주어진다.
:dF_r = \frac{Gm}{s^2} \cos(\varphi) \, dM
따라서 에 작용하는 전체 힘은 단순히 모든 띠가 가하는 힘의 합이다. 각 띠의 폭을 줄이고 띠의 수를 늘림으로써 이 합은 적분식으로 변한다.

:F_r = \int dF_r

G와 m은 상수이므로 적분 밖으로 뺄 수 있다.

:F_r = Gm \int \frac{\cos(\varphi)}{s^2} \, dM. 

이 적분을 계산하기 위해 먼저 dM을 d\theta에 관한 함수로 표현해야 한다.

구각의 전체 표면적은 다음과 같고
:4\pi R^2 
\theta와 \theta+d\theta 사이의 얇은 조각의 표면적은 다음과 같다.
:2\pi R\sin(\theta) R \,d\theta = 2\pi R^2\sin(\theta) \,d\theta
구각의 질량이 이라면, 다음을 얻는다.

:dM = \frac {2\pi R^2\sin(\theta) }{4\pi R^2} M\,d\theta = \frac{1}{2} M\sin(\theta) \,d\theta

따라서

:F_r = \frac{GMm}{2} \int \frac{\sin(\theta) \cos(\varphi)} {s^2}\,d\theta 

코사인 법칙에 의해,

:\cos(\varphi) = \frac{r^2 + s^2 - R^2}{2rs}

그리고

:\cos(\theta) = \frac{r^2 + R^2 - s^2}{2rR}.

이 두 관계식은 적분에 나타나는 세 매개변수  \varphi, s를 서로 연결한다. \theta가 0에서 \pi 라디안으로 증가함에 따라 \varphi는 초기값 0에서 최대값까지 변한 후 최종적으로 에서 다시 0으로 돌아온다. 동시에 s는 \theta가 0에서 \pi 라디안으로 증가함에 따라 초기값 r-R에서 최종값 r+R까지 증가한다. 이는 다음 애니메이션에 묘사되어 있다.

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(참고: 에서 보았을 때, 음영 처리된 파란색 띠는 d\theta가 사라짐에 따라 안쪽과 바깥쪽 반지름이 R \sin(\theta)로 수렴하는 얇은 고리(원환)로 보인다.)

피적분 함수에 대한 부정적분을 찾기 위해,  대신 s를 독립 적분 변수로 만들어야 한다.

위의 "코사인 법칙" 식 중 두 번째 식을 음함수 미분하면 다음을 얻는다.

:-\sin(\theta) \,d\theta = \frac{-2s}{2rR} \, ds

따라서

:\sin(\theta) \,d\theta = \frac{s}{rR} \, ds.

결과적으로 다음과 같다.

:F_r = \frac{GMm}{2} \frac{1}{rR} \int \frac{s\cos(\varphi)} {s^2}\,ds = \frac{GMm}{2rR} \int \frac{\cos(\varphi)} s \,ds 

여기서 새로운 적분 변수 s는 r-R에서 까지 증가한다.

첫 번째 "코사인 법칙" 식을 사용하여 \cos(\varphi)에 대한 식을 대입하면 마침내 다음을 얻는다.

:F_r = \frac{GMm}{4r^2 R} \int \left( 1 + \frac{r^2 - R^2}{s^2} \right)\ ds\ .

피적분 함수에 대한 부정적분은 다음과 같으며

:s - \frac{r^2 - R^2}{s}\ ,

이 부정적분에 적분 변수 s에 대한 경계값 r-R과 r+R을 대입하면 다음을 얻는다.
:F_r = \frac{GMm}{r^2},
이는 중력이 동일한 질량을 가진 구각 중심의 질점이 가하는 힘과 같음을 의미한다.

### 구각에서 고체 구로의 확장
이 구각에 대한 결과를 사용하여 앞서 다룬 고체 구의 결과를 다시 유도할 수 있다. 질량이 인 무한히 얇은 구각을 적분함으로써, 고체 공 외부의 물체에 가하는 전체 중력 기여도를 얻을 수 있다.

:F_\text{total} = \int dF_r = \frac{Gm}{r^2} \int dM.

균일한 밀도 하에서 반지름 x와  사이의 dM은 에 대한 함수로 다음과 같이 표현될 수 있다.

:dM = \frac{4 \pi x^2 dx}{\frac{4}{3} \pi R^3} M = \frac{3Mx^2 dx}{R^3}

따라서 전체 중력은 다음과 같다.

:F_\text{total} = \frac{3GMm}{r^2 R^3} \int_0^R x^2 \, dx = \frac{GMm}{r^2}

앞서 발견한 바와 같이, 이는 외부 물체에 대한 고체 구형 공의 중력이 동일한 질량을 가진 공 중심의 질점의 중력으로 단순화될 수 있음을 시사한다.

## 구각 내부
구각 내부의 점에 대해서는, θ가 0일 때 ϕ는  라디안 값을 가지고 s는  값을 가진다는 점이 다르다. θ가 0에서  라디안으로 증가함에 따라, ϕ는 초기값  라디안에서 0으로 감소하고 s는 초기값 에서 까지 증가한다.

이는 다음 그림에서 확인할 수 있다.
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부정적분에 이러한 경계값들을 대입하면

:s - \frac{r^2 - R^2}{s}

이 경우 다음을 얻는다.

:F_r = 0 , 

이는 측정 지점 바깥쪽의 구각 질량 요소들로부터 질점에 작용하는 알짜 중력이 서로 상쇄됨을 의미한다.

**일반화:** 만약 라면, 구각 내부에서 발생하는 힘은 다음과 같다.

:F(r) = \frac{GMm}{4r^2 R} \int_{R-r}^{R+r} \left( \frac{1}{s^{p-2}} + \frac{r^2 - R^2}{s^p} \right) \, ds

위 식은 오직 p=2인 경우에만 F(r)이 항상 0이 된다.

구각 외부(즉, r>R 또는 r )의 경우:

:F(r) = \frac{GMm}{4r^2 R} \int_{r-R}^{r+R} \left( \frac{1}{s^{p-2}} + \frac{r^2 - R^2}{s^p} \right) \, ds

## 가우스 법칙을 이용한 유도
구각 정리는 다음을 기술하는 중력에 대한 가우스 법칙의 즉각적인 결과이다.

:\int_S {\mathbf g}\cdot \,d{\mathbf {S}} = -4 \pi GM

여기서 M은 반지름이 r인 구 내부의 구 대칭 질량 분포의 질량이며,

:\int_S {\mathbf g}\cdot \,d{\mathbf {S}} = \int_S {\mathbf g}\cdot {\hat\mathbf{n}}\,dS
는 총 질량이 M인 임의의 폐곡면에 대한 중력장 \mathbf{g}의 면적분이다. 여기서 단위 벡터 \hat\mathbf{n}은 표면에서 바깥쪽으로 향하는 법선 벡터이다.

질점, 구각 또는 균질한 구와 같은 구 대칭 질량 분포의 중력장은 또한 구 대칭이어야 한다. 만약 \hat\mathbf{n}이 대칭점에서 다른 점으로 향하는 단위 벡터라면, 그 점에서의 중력장은 다음과 같아야 한다.

: \mathbf g = g(r) \hat\mathbf{n}

여기서 g(r)은 대칭점까지의 거리 r에만 의존한다.

폐곡면을 대칭점에 중심을 둔 반지름 r인 구로 선택하면, 표면 위의 한 점에서의 외향 법선 은 정확히 질량 분포의 대칭점에서 멀어지는 방향을 가리킨다.

따라서 다음을 얻는다.

: \mathbf {g} = g(r)\hat\mathbf{n}

그리고

:\int_S \mathbf g \cdot \,d{\mathbf S} = g(r) \int_S \,dS = g(r) 4\pi r^2 

구의 면적은 4r2이기 때문이다.

가우스 법칙으로부터 다음이 도출된다.
: g(r) 4\pi r^2 = -4 \pi GM ,

또는,
: g(r) = -\frac {GM}{r^2}.

## 역과 일반화

구각 정리의 역이 성립하는지, 즉 정리의 결과가 만유인력의 법칙을 함축하는지, 혹은 이 정리가 성립하는 더 일반적인 힘의 법칙이 있는지 묻는 것은 자연스럽다. 구각 외부의 힘이 중심에 있는 동일한 질점의 힘과 같다는 조건만 요구한다면, 힘의 법칙에는 한 가지 추가적인 자유도가 존재한다. 구르자댠 정리(Gurzadyan theorem)에 의해 주어지는 가장 일반적인 힘은 다음과 같다.

: F(r) = -\frac{G M m}{r^2} + \frac{\Lambda m c^2 r}{3} 

여기서 G와 \Lambda는 임의의 값을 가질 수 있는 상수이다. 첫 번째 항은 익숙한 만유인력의 법칙이고, 두 번째 항은 일반 상대성이론의 우주상수 항과 유사한 추가적인 힘이다. 그러나 구각 내부의 알짜 힘이 0이 되는 유일한 퍼텐셜은 역제곱 퍼텐셜뿐이다.

유카와 퍼텐셜로 설명되는 힘
: U(r) = -\frac{G M m}{r} e^{-\lambda r}
은 구각 외부의 힘 또한 동일한 범위 1/\lambda를 가지고 구각 중심에 위치한 유카와 퍼텐셜이 된다는 성질을 갖지만, \lambda > 0인 경우 그에 해당하는 등가 질점의 질량은 구각의 질량과 같지 않다. 반지름 R과 질량 M을 가진 구각의 경우, 등가 질량은 다음과 같다.
:M_\text{eff} = M \frac{\sinh \lambda r}{\lambda r}.

타원면 구각의 경우, 구각 정리의 두 부분은 서로 다른 종류의 구각들로 일반화된다. 두 개의 동심원이고 닮음이며 정렬된 타원면으로 둘러싸인 구각(homoeoid)은 내부의 점에 중력을 가하지 않는다. 한편, 두 개의 동심원이고 공초점(confocal)인 타원면으로 둘러싸인 구각(focaloid)은 두 개의 동심원이고 공초점인 focaloid 외부에서의 중력이 같다는 성질을 가진다.

## 뉴턴의 증명

### 서론

정리(Proposition) 70과 71은 표면 질량 밀도가 일정한, 무한히 얇은 표면을 가진 속 빈 구가 입자에 가하는 힘을 다룬다. 구 표면의 미소 면적에서 입자에 가해지는 힘은 면적의 질량에 비례하고 입자까지의 거리의 제곱에 반비례한다. 첫 번째 정리는 입자가 구 내부에 있는 경우를, 두 번째 정리는 외부에 있는 경우를 다룬다. 기하학적 구성에서 무한소와 극한 과정을 사용하는 방식은 단순하고 우아하며 적분이 필요하지 않다. 이는 프린키피아의 많은 정리들을 증명한 뉴턴 방법을 잘 보여준다.

정리 70의 증명은 사소하다. 아래에서는 뉴턴이 제공한 것보다 약간 더 자세히 다룬다.

정리 71의 증명은 역사적으로 더 중요하다. 이는 밀도가 중심으로부터의 거리만의 함수인 경우, 고체 구가 외부 입자에 가하는 중력이 중심으로부터의 거리의 제곱에 반비례한다는 증명의 첫 부분을 형성한다.

다음 내용은 뉴턴의 증명을 완전히 충실하게 따르되, 더 명확하게 전달하기 위해 아주 미세한 수정을 가했다.

### 속 빈 구 내부의 점에 작용하는 힘

Attraction interior sphere

그림 2는 중심 S와 구 내부의 임의의 점 P를 지나는 속 빈 구의 단면이다. P를 통과하고 각도 KPL이 매우 작도록 두 직선 IL과 HK를 긋는다. JM은 P를 통과하고 그 각도를 이등분하는 선이다. 원주각 정리에 의해 삼각형 IPH와 KPL은 닮음이다. 직선 KH와 IL을 JM 축을 중심으로 회전시켜 구와 두 개의 닫힌 곡선에서 교차하는 두 개의 원뿔을 만든다. 그림 1에서 구는 PE 선을 따라 멀리서 본 모습이며, 두 곡선이 모두 보이도록 투명하다고 가정한다.

원뿔이 교차하는 구의 표면은 평평한 것으로 간주할 수 있으며, 이다.

원뿔과 평면의 교선은 타원이므로, 이 경우 교선은 IH와 KL을 장축으로 하는 두 개의 타원을 형성하며, 여기서 이다.

비슷한 논리로 단축들 또한 동일한 비율을 갖는다. 이는 구를 위에서 보면 명확하다. 따라서 두 타원은 닮음이며, 그 면적은 장축의 제곱의 비와 같다. 표면의 모든 부분의 질량은 그 부분의 면적에 비례하므로, 두 타원 면적의 질량비는 이다.

두 타원 면적 중 하나로부터 JM 방향으로 P에 가해지는 인력의 크기는 면적의 질량에 비례하고 P로부터의 거리의 제곱에 반비례하므로, P와 구 사이의 거리와는 무관해진다. 따라서 두 미소 타원 면적이 P에 가하는 힘은 크기가 같고 방향이 반대이므로 JM 방향의 알짜 힘은 없다.

P의 위치와 JM의 방향이 모두 임의적이므로, 속 빈 구 내부의 어떤 입자도 구의 질량으로부터 알짜 힘을 받지 않는다는 결론이 도출된다.

참고: 뉴턴은 단순히 호 IH와 KL을 '최소로 작다'고 설명했으며, 직선 IL과 HK에 의해 그려지는 면적은 반드시 타원형일 필요는 없으나 항상 닮음일 것이다.

### 속 빈 구 외부의 점에 작용하는 힘

Attraction exterior sphere

그림 1은 중심 S와 구 외부의 임의의 점 P를 지나는 속 빈 구의 단면이다. PT는 P를 지나는 원의 접선이다. HI는 표면 위의 작은 호로, PH는 PT보다 작다. PI를 연장하여 구와 만나는 점을 L이라 하고, IL을 이등분하는 점 F로 직선 SF를 긋는다. PH를 연장하여 구와 만나는 점을 K라 하고, HK를 이등분하는 점 E로 직선 SE를 긋고, SF를 연장하여 HK와 만나는 점을 D라 한다. P와 중심 S를 잇는 선 PS에 수직인 선 IQ를 내린다. 구의 반지름을 a, 거리 PS를 D라고 하자.

호 IH가 그림의 평면 밖으로 수직하게 미소 거리 ζ만큼 연장되었다고 하자. 생성된 도형의 면적은 이며, 질량은 이 곱에 비례한다.

이 질량에 의해 P에 있는 입자에 가해지는 힘은  \propto \frac{IH\cdot \zeta}{PI^2} 이며 직선 PI를 따라 작용한다.

이 힘의 중심을 향하는 성분은  \propto \frac{IH\cdot PQ\cdot \zeta}{PI^3} 이다.

이제 호 HI를 선 PS에 대해 완전히 회전시켜 폭 HI와 반지름 IQ를 가진 고리를 만들면, 고리의 길이는 2·IQ이고 면적은 2·IQ·IH이다. 이 고리에 의해 P의 입자에 PS 방향으로 가해지는 힘의 성분은 이 된다.

PS에 수직인 힘의 성분들은 고리의 질량이 PS에 대해 대칭적으로 분포되어 있으므로 상쇄된다. 따라서 PS 방향의 성분이 호 HI를 PS에 대해 회전시켜 형성된 고리에 의해 P에 가해지는 전체 힘이 된다.

닮은 삼각형들로부터:   그리고 이다.

HI가 충분히 작아 직선으로 간주할 수 있다면,  \angle SIH 는 직각이고, 이므로 이다.

따라서 고리에 의해 P에 작용하는 힘은 이다.

이제 그림 2에서 다른 입자가 구 외부의 점 p, 즉 중심에서 다른 거리 d만큼 떨어진 곳에 있고 대응하는 점들이 소문자로 표시되어 있다고 가정하자. 쉬운 비교를 위해 그림 1의 P에 대한 구성도 그림 2에 표시하였다. 이전과 마찬가지로 ph는 pt보다 작다.

각도  fiS = FIS 와 그보다 약간 큰 각도 를 만들어 폭 ih와 반지름 iq를 가진 고리를 생성하면, 거리 PS가 I에서 이루는 각도와 pS가 i에서 이루는 각도는 같다. H와 h에 대해서도 각각 마찬가지다.

이 고리에 의해 p에 작용하는 전체 힘은 다음과 같다.

: \propto \frac{ih\cdot iq\cdot pq}{pi^3} = \frac{a\cdot df\cdot fS}{if\cdot d^2} 

분명히   그리고 이다.

뉴턴은 각도 DPF와 dpf가 '함께 소멸함'에 따라 극한에서 DF와 df를 같다고 볼 수 있다고 주장한다. 각도 DPF와 dpf가 같지는 않다는 점에 유의하라. 극한에서 DS와 dS가 같아지더라도, 이것이 DF와 df가 모두 0에 접근할 때 DF와 df의 비율이 1이 됨을 의미하지는 않는다. 유한한 경우 DF는 D에 의존하고 df는 d에 의존하므로 둘은 같지 않다.

극한에서 DF와 df의 비율이 결정적이므로 더 상세한 분석이 필요하다. 닮은 직각삼각형들로부터  \frac {DF}{PF} = \frac{ED}{ES}이고 이며, 이는 을 제공한다. DF에 대한 이차 방정식을 풀면, ES가 FS에 접근하는 극한에서 더 작은 근은 이다. 더 간단하게는, DF가 0에 접근함에 따라 극한에서  DF^2  항은 무시될 수 있고,  2\cdot FS\cdot DF + FS^2 - ES^2 = 0 은 동일한 결과로 이어진다. 분명히 df도 동일한 극한을 가지므로 뉴턴의 주장은 정당화된다.

PS를 축으로 회전시킨 고리 HI의 힘과 pS를 축으로 회전시킨 고리 hi의 힘을 비교하면, 이 두 힘의 비율은 과 같다.

호 AT와 Bt를 대응하는 미소 고리들로 나눔으로써, 호 AT를 PS 축으로 회전시킨 힘과 Bt를 pS 축으로 회전시킨 힘의 비율이 동일한 비율을 가짐이 도출되며, 마찬가지로 회전된 호 TB와 tA에 의한 힘의 비율도 동일한 비율을 갖는다.

따라서 속 빈 구의 중심으로부터 임의의 거리 D만큼 떨어진 입자에 작용하는 힘은 에 반비례하며, 이는 명제를 증명한다.

## 일반 상대성이론에서의 구각 정리
일반 상대성이론(GR)에도 구각 정리와 유사한 정리가 존재한다.

구 대칭은 중심 질량이 중력 붕괴를 겪고 있더라도 메트릭이 시간에 독립적인 슈바르츠칠트 기하학을 가짐을 함축한다(Misner et al. 1973; 버코프의 정리 참조). 따라서 메트릭은 다음과 같은 형태를 갖는다.
:ds^2 = - (1-2M/r)\, dt^2 + (1-2M/r)^{-1} \, dr^2 + r^2 \, d\Omega^2
(여기서는 인 기하학 단위계를 사용한다). r>R>0(여기서 R은 어떤 질량 구각의 반지름)인 경우, 질량은 원점에서 델타 함수로 작용한다. 인 경우, 외부에 질량 구각들이 존재할 수 있으나 메트릭이 원점에서 비특이적이려면 메트릭의 M은 0이어야 한다. 이는 메트릭을 평탄한 민코프스키 공간으로 환원시키며, 따라서 외부 구각들은 중력 효과를 미치지 않는다.

이 결과는 블랙홀로 이어지는 중력붕괴와 그것이 사건의 지평선 내부 및 외부의 빛과 입자의 운동에 미치는 영향을 설명해 준다(Hartle 2003, 12장).

## 같이 보기

* 샬의 정리 (중력)
* 높이척도

## 각주

분류:정전기학
분류:퍼텐셜 이론
분류:수학 정리
분류:물리학 정리
분류:중력