양자역학의 대칭성

**양자역학의 대칭성**()은 양자역학, 상대론적 양자역학 및 양자장론의 맥락에서 일부 변환 아래에서도 변하지 않는 시공간과 입자의 특징을 설명하며, 표준 모형의 수학적 공식화와 응집물질물리학에 응용된다. 일반적으로 물리학의 대칭, 불변성, 그리고 보존 법칙은 물리 이론과 모델을 공식화하는 데 근본적으로 중요한 제약 조건이다. 실제로 대칭은 문제를 해결하고 일어날 수 있는 일을 예측하는 강력한 방법이다. 보존 법칙이 항상 문제에 대한 답을 직접적으로 주는 것은 아니지만, 올바른 제약 조건을 형성하고 수많은 문제를 해결하기 위한 첫 단계를 구성한다. 응용 측면에서 대칭을 이해하면 기대할 수 있는 고유 상태에 대한 통찰력을 얻을 수도 있다. 예를 들어, 교환되지 않는 대칭 연산자의 존재로부터 축퇴 상태의 존재를 추론할 수 있거나, 비축퇴 상태가 대칭 연산자의 고유 벡터이기도 하다는 점을 알 수 있다.

이 문서는 연속 대칭의 고전적 형태와 그 양자 연산자 사이의 연결을 개략적으로 설명하고, 이를 리 군 및 로런츠 군과 푸앵카레 군의 상대론적 변환과 관련시킨다.

## 표기법
이 문서에서 사용되는 표기법 관례는 다음과 같다. 굵은 글씨는 벡터, 사차원 벡터, 행렬, 그리고 벡터적 연산자를 나타내며, 양자 상태는 브라-켓 표기법을 사용한다. 넓은 햇(wide hat)은 연산자용이고, 좁은 햇(narrow hat)은 단위 벡터(텐서 지표 표기법의 성분 포함)용이다. 별도의 언급이 없는 한 반복되는 텐서 지표에 대한 합의 규칙이 사용된다. 민코프스키 계량 부호수는 (+−−−)이다.

## 비상대론적 양자역학에서 파동 함수의 대칭 변환
### 연속 대칭
일반적으로 연속 대칭과 보존 법칙 사이의 대응 관계는 뇌터 정리에 의해 주어진다.

기초적인 양자 연산자의 형태, 예를 들어 시간의 편미분으로서의 에너지 연산자와 공간의 기울기로서의 운동량 연산자는 초기 상태를 고려한 후 그 매개변수 중 하나를 약간 변경할 때 명확해진다. 이는 변위(길이), 지속 시간(시간), 각도(회전)에 대해 수행될 수 있다. 또한 길이와 각도를 이와 같이 변화시켜 특정 물리량의 불변성을 확인함으로써 이러한 물리량의 보존을 설명할 수 있다.

다음에서는 다음과 같은 형태의 단일 입자 파동 함수에 대한 변환만 고려한다.

 \widehat{\Omega}\psi(\mathbf{r},t) = \psi(\mathbf{r}',t') 

여기서  \widehat{\Omega} 는 유니터리 작용소를 나타낸다. 상태의 노름(어느 지점에서 어떤 스핀을 가진 입자를 찾을 총 확률을 나타냄)은 이러한 변환 하에서 불변해야 하므로 공간, 시간, 스핀의 변환을 나타내는 연산자에는 일반적으로 유니터리성이 요구된다. 유니터리 연산자의 역행렬은 그 에르미트 수반  \widehat{\Omega}^{-1} = \widehat{\Omega}^\dagger 이다. 이 결과는 다입자 파동 함수로 확장될 수 있다. 표준적인 디랙 표기법으로 쓰면, 양자 상태 벡터에 대한 변환은 다음과 같다.

 \widehat{\Omega}\left|\mathbf{r}(t)\right\rangle = \left|\mathbf{r}'(t')\right\rangle 

이제  \widehat{\Omega} 의 작용은 를 로 바꾸므로, 역연산자  \widehat{\Omega}^{-1} = \widehat{\Omega}^\dagger 는 를 다시 로 바꾼다. 따라서  \widehat{\Omega}  하에서 불변인 연산자  \widehat{A} 는 다음을 만족한다.

 \widehat{A}\psi = \widehat{\Omega}^\dagger\widehat{A}\widehat{\Omega}\psi \quad \Rightarrow \quad \widehat{\Omega}\widehat{A}\psi = \widehat{A}\widehat{\Omega}\psi. 

부수적으로, 임의의 상태 ψ에 대하여

 [\widehat{\Omega},\widehat{A}]\psi = 0 

이다 (즉,  \widehat{\Omega} 와  \widehat{A} 는 가환한다). 관측 가능량을 나타내는 양자 연산자는 고유값이 실수가 되도록 에르미트 연산자여야 한다. 즉 연산자는 그 에르미트 수반과 같다 ( \widehat{A} = \widehat{A}^\dagger ).

### 리 군 이론 개요
다음은 양자 이론과 관련된 리 군론의 핵심 사항들이다. 예시는 문서 전반에 걸쳐 제공된다. 행렬 군을 사용한 대안적인 접근 방식은 브라이언 홀의 저서를 참조하라.

를 국소적으로 유한한 수 개의 실수 연속적으로 변하는 매개변수 으로 매개변수화되는 리 군이라고 하자. 더 수학적인 언어로 표현하면, 는 군 연산이 매끄러운 매끄러운 다양체이자 군임을 의미한다.
* 군의 차원 은 군이 가진 매개변수의 수이다.
* 의 군 원소 는 매개변수의 함수이다: g = G(\xi_1, \xi_2, \dots ) 모든 매개변수를 0으로 설정하면 군의 항등원이 반환된다: I = G(0, 0,\dots ) 군 원소는 종종 벡터에 작용하는 행렬이나 함수에 작용하는 변환이다.
* 군의 생성자는 매개변수를 0으로 설정했을 때의 결과값에 대한 군 원소의 매개변수에 대한 편미분이다: X_j = \left. \frac{\partial g}{\partial \xi_j} \right|_{\xi_j = 0}  다양체 언어로 표현하면, 생성자는 항등원에서 G에 대한 접공간의 원소이다. 생성자는 무한소 군 원소 또는 G의 리 대수 원소로도 알려져 있다. (아래의 교환자 논의 참조.)  이론 물리학에서 생성자의 한 가지 측면은 생성자 자체가 대칭에 대응하는 연산자로서 행렬이나 미분 연산자로 작성될 수 있다는 것이다. 양자 이론에서 군의 유니터리 표현의 경우 생성자는 라는 인자가 필요하다: X_j = i \left. \frac{\partial g}{\partial \xi_j} \right|_{\xi_j = 0}  군의 생성자는 벡터 공간을 형성하며, 이는 생성자의 선형 결합 또한 생성자를 형성함을 의미한다.
* 생성자(행렬이든 미분 연산자든)는 교환 관계를 만족한다: \left[X_a,X_b\right] = i f_{abc} X_c 여기서 는 군의 (기저 의존적인) 구조 상수이다. 이는 벡터 공간 속성과 함께 군의 모든 생성자 집합을 리 대수로 만든다. 괄호의 반대칭성으로 인해 군의 구조 상수는 처음 두 지표에 대해 반대칭이다.
* 군의 표현은 군 (또는 그 리 대수)가 벡터 공간에 작용할 수 있는 방식을 설명한다. (예를 들어, 벡터 공간은 를 대칭군으로 갖는 해밀토니언에 대한 고유 벡터 공간일 수 있다.) 표현은 대문자 를 사용하여 나타낸다. 그런 다음 를 미분하여 리 대수의 표현을 얻을 수 있으며, 종종 이 역시 로 표기된다. 이 두 표현은 다음과 같이 관련된다: D[g(\xi_j)] \equiv D(\xi_j) = e^{ i \xi_j D(X_j)} 반복되는 지표 에 대한 아인슈타인 표기법은 사용하지 않는다. 표현은 군 원소를 받아들이고 합성 규칙을 보존하는 선형 연산자이다:  D(\xi_a)D(\xi_b) = D(\xi_a \xi_b). 
다른 표현의 직합으로 분해될 수 없는 표현을 기약 표현이라고 한다. 기약표현을 과 같이 괄호 안의 위첨자 숫자로 표시하거나, 숫자가 두 개 이상인 경우 과 같이 쓰는 것이 관례이다.

양자 이론에서는 스칼라 곱셈에 의해 다른 두 벡터가 동일한 물리적 상태를 나타내는 추가적인 미묘함이 발생한다. 여기서 적절한 표현 개념은 스칼라까지만 합성 법칙을 만족하는 사영 표현이다. 양자 역학적 스핀의 맥락에서 이러한 표현을 스피너 표현이라고 한다.

### 평행 이동, 시간 진화 및 회전의 생성자로서의 운동량과 에너지
공간 평행 이동 연산자 \widehat{T}(\Delta \mathbf{r})는 파동 함수에 작용하여 공간 좌표를 무한소 변위 만큼 이동시킨다. \widehat{T}의 명시적 표현은 에 대한 의 테일러 전개를 통해 신속하게 결정할 수 있으며, (1차 항만 유지하고 2차 이상의 항은 무시함) 공간 미분을 운동량 연산자 \widehat{\mathbf{p}}로 대체한다. 마찬가지로 시간 매개변수에 작용하는 시간 평행 이동 연산자의 경우, 의 테일러 전개는 에 대한 것이며 시간 미분은 에너지 연산자 \widehat{E}로 대체된다.

지수 함수는 오일러에 의한 극한의 정의에 의해 발생하며, 물리적 및 수학적으로 다음과 같이 이해될 수 있다. 순 평행 이동은 많은 작은 평행 이동으로 구성될 수 있으므로, 유한한 증분에 대한 평행 이동 연산자를 얻으려면 을 으로, 를 으로 대체한다. 여기서 은 양의 0이 아닌 정수이다. 그런 다음 이 증가함에 따라 방향은 변경되지 않은 채  및 의 크기가 훨씬 더 작아진다. 무한소 연산자를 파동 함수에 번 작용시키고 이 무한대로 가는 극한을 취하면 유한 연산자가 생성된다.

공간 및 시간 평행 이동은 가환하며, 이는 연산자와 생성자가 가환함을 의미한다.

시간에 의존하지 않는 해밀토니언의 경우 에너지는 시간에 따라 보존되고 양자 상태는 정상 상태이다. 즉, 해밀토니언의 고유 상태는 에너지 고유값 이다.

\widehat{U}(t) = \exp\left( - \frac{i \Delta t E}{\hbar}\right) 

그리고 모든 정상 상태는 다음과 같은 형태를 갖는다.

\psi(\mathbf{r}, t + t_0) = \widehat{U}(t - t_0) \psi(\mathbf{r},t_0) 

여기서 는 초기 시간으로, 초기 시간을 설정할 때 연속성의 손실이 없으므로 대개 0으로 설정된다.

다른 표기법으로는 \widehat{U}(t - t_0) \equiv U(t, t_0)가 있다.

### 회전의 생성자로서의 각운동량
#### 궤도 각운동량
회전 연산자 \widehat{R}은 파동 함수에 작용하여 입자의 공간 좌표를 일정 각도 만큼 회전시킨다.

{\widehat{R}}(\Delta\theta,\hat{\mathbf{a}})\psi(\mathbf{r},t) = \psi(\mathbf{r}',t)

여기서 은 다음과 같이 주어지는 각도 증분 를 통해 단위 벡터 \hat{\mathbf{a}} = (a_1, a_2, a_3)로 정의된 축을 중심으로 회전된 좌표이다.

\mathbf{r}' = \widehat{R}(\Delta\theta,\hat{\mathbf{a}})\mathbf{r}\,.

여기서 \widehat{R}(\Delta\theta,\hat{\mathbf{a}})는 축과 각도에 의존하는 회전변환행렬이다. 군론 언어로 회전 행렬은 군 원소이며, 각도와 축 \Delta \theta \hat{\mathbf{a}} = \Delta\theta(a_1, a_2, a_3)은 3차원 특수 직교 군인 SO(3)의 매개변수이다. 표준 데카르트 좌표계 기저 벡터 \hat{\mathbf{e}}_x, \hat{\mathbf{e}}_y, \hat{\mathbf{e}}_z를 중심으로 각도 만큼 회전하는 회전 행렬과 그에 대응하는 회전 생성자 는 다음과 같다.

더 일반적으로 \hat{\mathbf{a}}로 정의된 축 주위의 회전에 대해 회전 행렬 원소는 다음과 같다.

[\widehat{R}(\theta, \hat{\mathbf{a}})]_{ij} = (\delta_{ij} - a_i a_j) \cos\theta - \varepsilon_{ijk} a_k \sin\theta  + a_i a_j 

여기서 는 크로네커 델타이고, 는 레비치비타 기호이다.

공간 및 시간 평행 이동에 비해 회전 연산자를 결정하는 방법은 명확하지 않다. 특수한 경우(, , 또는 축에 대한 회전)를 고려한 다음 일반적인 결과를 추론하거나, 일반적인 회전 행렬을 직접 사용하고  및 와 함께 텐서 지표 표기법을 사용할 수 있다. 작은 에 해당하는 무한소 회전 연산자를 유도하기 위해 소각 근사  및 을 사용한 다음,  또는 에 대해 테일러 전개하고 1차 항을 유지한 다음 각운동량 연산자 성분으로 대체한다.

각운동량의 -성분은 스칼라곱 \hat{\mathbf{a}}\cdot\widehat{\mathbf{L}}을 사용하여 \hat{\mathbf{a}}로 정의된 축을 따른 성분으로 대체될 수 있다.

마찬가지로 유한 회전은 많은 작은 회전으로 구성될 수 있으며, 를 으로 바꾸고 이 무한대로 가는 극한을 취하면 유한 회전에 대한 회전 연산자가 생성된다.

동일한 축에 대한 회전은 가환한다. 예를 들어, 축 에 대한 각도  및 를 통한 회전은 다음과 같이 쓸 수 있다.

R(\theta_1 + \theta_2 , \mathbf{e}_i) = R(\theta_1 \mathbf{e}_i)R(\theta_2 \mathbf{e}_i)\,,\quad [R(\theta_1 \mathbf{e}_i),R(\theta_2 \mathbf{e}_i)]=0\,.

그러나 서로 다른 축에 대한 회전은 가환하지 않는다. 일반적인 교환 규칙은 다음과 같이 요약된다.

 [ L_i , L_j ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} L_k. 

이런 의미에서 궤도 각운동량은 회전의 상식적인 특성을 갖는다. 위의 각 교환자는 일상적인 물체를 잡고 두 가지 가능한 순서로 서로 다른 두 축을 중심으로 동일한 각도만큼 회전시켜 보면 쉽게 입증할 수 있다. 최종 구성이 서로 다르기 때문이다.

양자 역학에는 수학적으로 궤도 사례와 유사하게 보이지만 다른 특성을 가진 또 다른 형태의 회전이 있는데, 다음에 설명한다.

#### 스핀 각운동량
앞서 언급한 모든 양은 고전적인 정의를 가지고 있다. 스핀은 고전적 유사물 없이 양자 역학에서 입자가 소유하는 양이며 각운동량 단위를 갖는다. 스핀 벡터 연산자는  \widehat{\mathbf{S}} = (\widehat{S_x}, \widehat{S_y}, \widehat{S_z}) 로 나타낸다. 그 성분의 고유값은 기저 방향 중 하나에 투영된 스핀 측정의 가능한 결과(\hbar 단위)이다.

공간의 축 \hat{\mathbf{a}}에 대한 각도 만큼의 회전이 공간의 한 지점에서 다성분 파동 함수(스피너)에 작용하는 것은 다음과 같이 표현된다.

) = \exp\left( - \frac{i}{\hbar}\theta \hat{\mathbf{a}} \cdot \widehat{\mathbf{S}}\right) 
|cellpadding= 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}

그러나 z-투영 양자수 이 양의 정수 또는 음의 정수(0 포함) 값만 가질 수 있는 궤도 각운동량과 달리, z-투영 스핀 양자수 s는 모든 양의 반정수 및 음의 반정수 값을 가질 수 있다. 각 스핀 양자수에 대한 회전 행렬이 존재한다.

주어진 z-투영 스핀 양자수 s에 대한 지수 함수를 계산하면 (2s + 1)차원 스핀 행렬이 생성된다. 이는 공간의 고정된 지점에서 스핀 행렬에 따라 회전된 좌표계로 변환되는 2s + 1 성분의 열 벡터로서 스피너를 정의하는 데 사용될 수 있다.

s = 1/2인 가장 단순하고 사소하지 않은 경우, 스핀 연산자는 다음과 같이 주어진다.

 \widehat{\mathbf{S}} = \frac{\hbar}{2} \boldsymbol{\sigma} 

여기서 표준 표현의 파울리 행렬은 다음과 같다.


\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\,,\quad
\sigma_2 = \sigma_y =
\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}
\,,\quad
\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}


#### 전체 각운동량
전체 각운동량 연산자는 궤도와 스핀의 합이다.

 \widehat{\mathbf{J}} = \widehat{\mathbf{L}} + \widehat{\mathbf{S}} 

이는 다입자 시스템, 특히 핵 물리학과 다전자 원자 및 분자의 양자 화학에서 중요한 양이다.

우리는 유사한 회전 행렬을 갖는다.

 \widehat{J}(\theta,\hat{\mathbf{a}}) = \exp\left( - \frac{i}{\hbar}\theta \hat{\mathbf{a}} \cdot \widehat{\mathbf{J}}\right) 

### 양자 조화 진동자에서 보존되는 양
n차원 양자 조화 진동자의 역학적 대칭군은 특수 유니터리 군 SU(n)이다. 예를 들어, SU(2)와 SU(3)에 대응하는 리 대수의 무한소 생성자의 수는 각각 3개와 8개이다. 이것은 이러한 시스템에서 (해밀토니언 이외의) 정확히 3개와 8개의 독립적으로 보존되는 양으로 이어진다.

2차원 양자 조화 진동자는 해밀토니언과 각운동량이라는 예상된 보존량을 갖지만, 에너지 준위 차이와 또 다른 형태의 각운동량이라는 추가적인 숨겨진 보존량을 갖는다.

## 상대론적 양자역학에서의 로런츠 군
다음은 로런츠 군의 개요이며, 시공간에서의 부스트와 회전을 다룬다. 이 섹션 전반에 걸쳐 토미 올손 (2011) 및 E. 에이버스 (2004)를 참조하라.

로런츠 변환은 3차원 단위 벡터 \hat{\mathbf{n}} = (n_1, n_2, n_3) 방향으로의 부스트를 위한 신속도 와 축을 정의하는 3차원 단위 벡터 \hat{\mathbf{a}} = (a_1, a_2, a_3)에 대한 회전각 로 매개변수화할 수 있다. 따라서 \varphi\hat{\mathbf{n}} = \varphi(n_1, n_2, n_3) 및 \theta\hat{\mathbf{a}} = \theta(a_1, a_2, a_3)는 로런츠 군의 6개 매개변수(회전용 3개, 부스트용 3개)이다. 로런츠 군은 6차원이다.

### 시공간에서의 순수 회전
위에서 고려한 회전 행렬과 회전 생성자는 순수 회전 로런츠 변환을 나타내는 4차원 행렬의 공간형 부분을 형성한다. 로런츠 군 원소 중 3개 \widehat{R}_x, \widehat{R}_y, \widehat{R}_z 와 순수 회전 생성자 는 다음과 같다.

회전 행렬은 임의의 사차원 벡터 에 작용하여 다음에 따라 공간과 유사한 성분을 회전시킨다.

\mathbf{A}' = \widehat{R}(\Delta\theta,\hat{\mathbf{n}})\mathbf{A}

시간형 좌표는 변경되지 않은 채로 둔다. 행렬식에서 는 열 벡터로 처리된다.

### 시공간에서의 순수 부스트
표준 데카르트 좌표계 기저 벡터 \hat{\mathbf{e}}_x, \hat{\mathbf{e}}_y, \hat{\mathbf{e}}_z에 의해 주어진 x, y, 또는 z 방향으로 속도 를 갖는 부스트가 부스트 변환 행렬이다. 이러한 행렬  \widehat{B}_x, \widehat{B}_y, \widehat{B}_z와 대응하는 생성자 는 로런츠 군의 나머지 3개 군 원소 및 생성자이다.

부스트 행렬은 임의의 사차원 벡터 **A** = (A0, A1, A2, A3)에 작용하여 다음에 따라 시간형 및 공간형 성분을 혼합한다.

\mathbf{A}' = \widehat{B}(\varphi,\hat{\mathbf{n}}) \mathbf{A}

"부스트"라는 용어는 두 프레임 사이의 상대 속도를 나타내며, 아래 아래에서 설명하는 것처럼 평행 이동의 생성자로서의 운동량과 혼동되어서는 안 된다.

### 부스트와 회전의 결합
회전의 곱은 다른 회전(부분군의 빈번한 예시)을 제공하는 반면, 부스트와 부스트의 곱 또는 회전과 부스트의 곱은 순수 부스트나 순수 회전으로 표현될 수 없다. 일반적으로 임의의 로런츠 변환은 순수 회전과 순수 부스트의 곱으로 표현될 수 있다. 더 자세한 배경 지식은 B.R. 더니 (2011) 및 H.L. 버크 외 및 그 안의 참고 문헌을 참조하라.

부스트 및 회전 생성자에는 각각  및 로 표시되는 표현이 있으며, 이 문맥에서 대문자 는 군 표현을 나타낸다.

로런츠 군의 경우, 생성자  및 의 표현  및 는 다음 교환 법칙을 충족한다.

모든 교환자에서 부스트 엔터티는 회전 엔터티와 혼합되지만, 회전 단독으로는 단순히 다른 회전을 생성한다. 생성자를 지수화하면 부스트 및 회전 연산자가 생성되며, 이들은 일반적인 로런츠 변환으로 결합되어 시공간 좌표가 하나의 정지 프레임에서 다른 부스트 및 회전 프레임으로 변환된다. 마찬가지로 생성자 표현을 지수화하면 부스트 및 회전 연산자의 표현이 생성되며, 이에 따라 입자의 스피너 장이 변환된다.

문헌에서 부스트 생성자 와 회전 생성자 는 때때로 로런츠 변환을 위한 하나의 생성자 으로 결합된다. 이는 다음과 같은 항목을 가진 반대칭 4차원 행렬이다.

M^{0a} = -M^{a0} = K_a \,,\quad M^{ab} = \varepsilon_{abc} J_c \,.

이에 대응하여 부스트 및 회전 매개변수는 다음과 같은 항목을 가진 다른 반대칭 4차원 행렬 로 수집된다.

\omega_{0a} = - \omega_{a0} = \varphi n_a \,,\quad \omega_{ab} = \theta \varepsilon_{abc} a_c \,,

그러면 일반적인 로런츠 변환은 다음과 같다.

\Lambda(\varphi,\hat{\mathbf{n}}, \theta,\hat{\mathbf{a}}) = \exp\left(-\frac{i}{2}\omega_{\alpha\beta}M^{\alpha\beta}\right) = \exp \left[-\frac{i}{2}\left(\varphi \hat{\mathbf{n}} \cdot \mathbf{K} + \theta \hat{\mathbf{a}} \cdot \mathbf{J}\right)\right]

반복되는 행렬 지표 α와 β에 대해 아인슈타인 표기법으로 합산한다. Λ 행렬은 임의의 사차원 벡터 **A** = (A0, A1, A2, A3)에 작용하여 다음에 따라 시간형 및 공간형 성분을 혼합한다.

\mathbf{A}' = \Lambda(\varphi,\hat{\mathbf{n}}, \theta,\hat{\mathbf{a}}) \mathbf{A} 

### 상대론적 양자역학에서 스피너 파동 함수의 변환
상대론적 양자역학에서 파동 함수는 더 이상 단일 성분 스칼라 장이 아니라, 입자의 스핀이 s일 때 2(2s + 1) 성분 스피너 장이다. 시공간에서 이러한 함수의 변환은 다음과 같다.

민코프스키 공간에서 고유 순차 로런츠 변환  하에서 모든 단일 입자 양자 상태 는 국소적으로 로런츠 군의 일부 표현  하에서 변환된다:

\psi_\sigma(\mathbf{r}, t) \rightarrow D(\Lambda) \psi_\sigma(\Lambda^{-1}(\mathbf{r}, t)) 

여기서 는 유한 차원 표현, 즉  차원 정사각행렬이며, 는 의 개 허용된 값을 가진 성분을 포함하는 열 벡터로 간주된다.

\psi(\mathbf{r},t) = \begin{bmatrix} \psi_{\sigma=s}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{\sigma=s - 1}(\mathbf{r},t) \\ \vdots \\ \psi_{\sigma=-s + 1}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{\sigma=-s}(\mathbf{r},t) \end{bmatrix}\quad\rightleftharpoons\quad {\psi(\mathbf{r},t)}^\dagger = \begin{bmatrix} {\psi_{\sigma=s}(\mathbf{r},t)}^\star & {\psi_{\sigma=s - 1}(\mathbf{r},t)}^\star & \cdots & {\psi_{\sigma=-s + 1}(\mathbf{r},t)}^\star & {\psi_{\sigma=-s}(\mathbf{r},t)}^\star \end{bmatrix}

### 실수 기약 표현과 스핀
 및 의 기약표현, 줄여서 "기약표현(irreps)"은 로런츠 군의 스핀 표현을 구축하는 데 사용될 수 있다. 다음과 같이 새로운 연산자를 정의하면

\mathbf{A} = \frac{\mathbf{J} + i \mathbf{K}}{2}\,,\quad \mathbf{B} = \frac{\mathbf{J} - i \mathbf{K}}{2} \, ,

와 는 단순히 서로의 켤레 복소수이며, 대칭적으로 형성된 교환자를 만족한다.

\left[A_i ,A_j\right] = \varepsilon_{ijk}A_k\,,\quad \left[B_i ,B_j\right] = \varepsilon_{ijk}B_k\,,\quad \left[A_i ,B_j\right] = 0\,,

이들은 본질적으로 궤도 및 스핀 각운동량 연산자가 만족하는 교환자와 같다. 따라서 와 는 각 성분이 서로 가환하므로 서로 독립적으로 각운동량과 유사한 연산자 대수(동일한 사다리 연산자, z-투영 등)를 형성한다. 스핀 양자수의 비유를 통해 양의 정수 또는 반정수 와 이에 대응하는 값 세트  및 를 도입할 수 있다. 위의 교환 관계를 만족하는 행렬은 스핀 a와 b에 대한 행렬과 같으며, 크로네커 델타 값에 각운동량 행렬 원소를 곱하여 얻은 성분을 갖는다.

\left(A_x\right)_{m'n',mn} = \delta_{n'n} \left(J_x^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_x\right)_{m'n',mn} = \delta_{m'm} \left(J_x^{(n)}\right)_{n'n}
\left(A_y\right)_{m'n',mn} = \delta_{n'n} \left(J_y^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_y\right)_{m'n',mn} = \delta_{m'm} \left(J_y^{(n)}\right)_{n'n}
\left(A_z\right)_{m'n',mn} = \delta_{n'n} \left(J_z^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_z\right)_{m'n',mn} = \delta_{m'm} \left(J_z^{(n)}\right)_{n'n}

여기서 각 경우에 행 번호 m&prime;n&prime;과 열 번호 mn은 쉼표로 구분되며, 차례로 다음과 같다.

\left(J_z^{(m)}\right)_{m'm} = m\delta_{m'm} \,\quad \left(J_x^{(m)} \pm i J_y^{(m)}\right)_{m'm} = m\delta_{a',a\pm 1}\sqrt{(a \mp m)(a \pm m + 1)}

**J**(n)에 대해서도 유사하다. 3개의 **J**(m) 행렬은 각각  정사각행렬이고, 3개의 **J**(n)은 각각  정사각행렬이다. 정수 또는 반정수 m과 n은 저자들이 사용하는 동등한 표기법 에 의해 모든 기약 표현을 나열하며, 이들은 각각  정사각행렬이다.

이를 스핀 인 입자에 적용하면 다음과 같다.
* 왼손잡이  성분 스피너는 실수 기약표현  하에서 변환된다.
* 오른손잡이  성분 스피너는 실수 기약표현  하에서 변환된다.
* 로 상징되는 직합(더 간단한 행렬 개념은 행렬의 직합 참조)을 취하면 2(2s + 1) 성분 스피너가 변환되는 표현을 얻는다. 여기서 인 이다. 이들 또한 실수 기약표현이지만, 위에서 보여준 것처럼 켤레 복소수로 나뉜다.

이 경우 는 ,  또는 전체 로런츠 변환  중 어느 하나를 지칭한다.

### 상대론적 파동 방정식
디랙 방정식과 바일 방정식의 맥락에서 바일 방정식을 만족하는 바일 스피너는 로런츠 군의 가장 단순한 기약 스핀 표현 하에서 변환된다. 이 경우 스핀 양자수가 허용되는 가장 작은 0이 아닌 숫자인 1/2이기 때문이다. 2성분 왼손잡이 바일 스피너는  하에서 변환되고, 2성분 오른손잡이 바일 스피너는  하에서 변환된다. 디랙 방정식을 만족하는 디랙 스피너는 바일 스피너에 대한 기약표현의 직합인 표현  하에서 변환된다.

## 상대론적 양자역학 및 양자장론에서의 푸앵카레 군
공간 평행 이동, 시간 평행 이동, 회전, 그리고 로런츠 부스트를 모두 합치면 푸앵카레 군이 된다. 군 원소는 (로런츠 군에서와 같이) 3개의 회전 행렬과 3개의 부스트 행렬, 그리고 시공간에서 시간 평행 이동 1개와 공간 평행 이동 3개이다. 각각에 대한 생성자가 존재한다. 따라서 푸앵카레 군은 10차원이다.

특수 상대성이론에서 공간과 시간은 사차원 위치 벡터 로 모을 수 있으며, 병행하여 에너지와 운동량도 사차원 운동량 벡터 로 결합될 수 있다. 상대론적 양자역학을 염두에 두고 시간 지속 시간과 공간 변위 매개변수(시간 1개, 공간 3개로 총 4개)는 시공간 변위 로 결합되고, 에너지 및 운동량 연산자는 사차원 운동량에 삽입되어 사차원 운동량 연산자를 얻는다.

\widehat{\mathbf{P}} = \left(\frac{\widehat{E}}{c},-\widehat{\mathbf{p}}\right)  = i\hbar\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\nabla\right) \,, 

이들은 시공간 평행 이동의 생성자(시간 1개, 공간 3개로 총 4개)이다.

\widehat{X}(\Delta \mathbf{X}) = \exp\left(-\frac{i}{\hbar}\Delta\mathbf{X}\cdot\widehat{\mathbf{P}}\right) = \exp\left[-\frac{i}{\hbar}\left(\Delta t\widehat{E} + \Delta \mathbf{r} \cdot\widehat{\mathbf{p}}\right)\right] \,. 

시공간 평행 이동의 생성자인 사차원 운동량 **P**의 성분과 로런츠 변환의 생성자인 각운동량 **M** 사이에는 푸앵카레 대수를 정의하는 교환 관계가 존재한다.

* [P_\mu, P_\nu] = 0\,
* \frac{ 1 }{ i }[M_{\mu\nu}, P_\rho] = \eta_{\mu\rho} P_\nu - \eta_{\nu\rho} P_\mu\,
* \frac{ 1 }{ i }[M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}] = \eta_{\mu\rho} M_{\nu\sigma} - \eta_{\mu\sigma} M_{\nu\rho} - \eta_{\nu\rho} M_{\mu\sigma} + \eta_{\nu\sigma} M_{\mu\rho}\,

여기서 η는 민코프스키 계량 텐서이다. (교환 관계에서 사차원 운동량 연산자의 햇 표시는 생략하는 것이 일반적이다.) 이 방정식들은 오늘날 알려진 공간과 시간의 근본적인 속성에 대한 표현이다. 이들은 교환자가 푸아송 괄호로 대체되는 고전적 대응물을 갖는다.

상대론적 양자역학에서 스핀을 설명하기 위해 파울리-루반스키 벡터

W_{\mu}=\frac{1}{2}\varepsilon_{\mu \nu \rho \sigma} J^{\nu \rho} P^\sigma 

는 카시미르 연산자로서 전체 각운동량에 대한 일정한 스핀 기여분이며, **P**와 **W** 사이, 그리고 **M**과 **W** 사이에는 교환 관계가 존재한다.

\left[P^{\mu},W^{\nu}\right]=0 \,, 
\left[J^{\mu \nu},W^{\rho}\right]=i \left( \eta^{\rho \nu} W^{\mu} - \eta^{\rho \mu} W^{\nu}\right) \,, 
\left[W_{\mu},W_{\nu}\right]=-i \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} W^{\rho}  P^{\sigma} \,. 

**W**로부터 구성된 불변량인 카시미르 불변량의 사례는 로런츠 군의 기약표현을 분류하는 데 사용될 수 있다.

## 양자장론 및 입자 물리학에서의 대칭성
### 양자장론에서의 유니터리 군
군론은 대칭성을 수학적으로 분석하는 추상적인 방법이다. 유니터리 연산자는 양자 이론에서 가장 중요하므로 유니터리 군은 입자 물리학에서 중요하다. N차원 유니터리 정사각행렬의 군은 U(N)으로 표시된다. 유니터리 연산자는 내적을 보존하므로 확률도 보존되며, 따라서 시스템의 양자 역학은 유니터리 변환 하에서 불변이다.  \widehat{U} 를 유니터리 연산자라고 하면 역연산자는 에르미트 수반  \widehat{U}^{-1} = \widehat{U}^\dagger 이며, 해밀토니언과 가환한다.

\left[\widehat{U}, \widehat{H} \right]=0 

그러면 연산자  \widehat{U}에 대응하는 관측 가능량은 보존되고, 해밀토니언은 변환  \widehat{U} 하에서 불변이다.

양자 역학의 예측은 군의 작용 하에서 불변해야 하므로 물리학자들은 군을 나타내기 위한 유니터리 변환을 찾는다.

각 U(N)의 중요한 부분군은 행렬식이 1인(또는 "단모듈러") 유니터리 행렬들로, 이를 특수 유니터리 군이라 하며 SU(N)으로 표시한다.

#### U(1)
가장 단순한 유니터리 군은 U(1)이며, 이는 단순히 절댓값이 1인 복소수이다. 이 1차원 행렬 항목은 다음과 같은 형태이다.

U=e^{-i\theta}

여기서 θ는 군의 매개변수이며, 1차원 행렬은 행렬 곱셈 하에서 항상 가환하므로 이 군은 아벨 군이다. 복소 스칼라 장에 대한 양자장론의 라그랑지언은 종종 U(1) 변환 하에서 불변이다. 예를 들어 전자기 상호작용에서 바리온 수 및 3개의 렙톤 수와 같이 U(1) 대칭과 관련된 양자수 a가 있는 경우 다음과 같다.

U=e^{-ia\theta}

#### U(2) 및 SU(2)
U(2) 원소의 일반적인 형태는 두 개의 복소수 a와 b로 매개변수화된다.

U = \begin{pmatrix}
a & b \\
-b^\star & a^\star \\
\end{pmatrix}

SU(2)의 경우 행렬식은 1로 제한된다.

 \det(U) = aa^\star + bb^\star = ^2 + ^2 = 1 

군론 언어로 파울리 행렬은 SU(2)로 표시되는 2차원 특수 유니터리 군의 생성자이다. 이들의 교환 관계는 인자 2를 제외하면 궤도 각운동량의 교환 관계와 같다.

 [ \sigma_a , \sigma_b ] = 2i \hbar \varepsilon_{abc} \sigma_c 

SU(2)의 군 원소는 다음과 같이 쓸 수 있다.

U(\theta,\hat{\mathbf{e}}_j) = e^{i \theta \sigma_j /2}

여기서 σj는 파울리 행렬이고 군 매개변수는 축을 중심으로 회전한 각도이다.

2차원 등방성 양자 조화 진동자는 대칭군 SU(2)를 갖는 반면, 유리적 비등방성 진동자의 대칭 대수는 u(2)의 비선형 확장이다.

#### U(3) 및 SU(3)
8개의 겔만 행렬 (행렬 및 구조 상수는 해당 문서 참조)은 양자 색역학에서 중요하다. 이들은 원래 핵 물리학에서 여전히 실질적으로 중요한 맛깔 SU(3) 이론에서 생겨났다. 이들은 SU(3) 군의 생성자이므로 SU(3)의 원소는 SU(2)의 원소와 유사하게 다음과 같이 쓸 수 있다.

U(\theta,\hat{\mathbf{e}}_j) = \exp\left(-\frac{i}{2} \sum_{n=1}^8 \theta_n \lambda_n \right) 

여기서 은 8개의 독립적인 매개변수이다.  행렬은 다음 교환자를 만족한다.

\left[\lambda_a, \lambda_b \right] = 2i f_{abc}\lambda_c

여기서 지표 , , 는 1, 2, 3, ..., 8의 값을 갖는다. 구조 상수 fabc는 SU(2)의 구조 상수와 유사하게 모든 지표에 대해 완전 반대칭이다. 표준 색전하 기저(빨간색 r, 녹색 g, 파란색 b)에서

|r\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\,,\quad |g\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\,,\quad |b\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

색 상태는  및  행렬의 고유 상태이며, 다른 행렬들은 색 상태를 서로 섞는다.

8개의 글루온 상태(8차원 열 벡터)는  및  행렬에 대해 자체 리 대수 에 작용하는 8차원 표현인 의 딸림표현의 동시 고유 상태이다. 표현의 텐서곱(표준 표현과 그 쌍대)을 형성하고 적절한 몫을 취함으로써 양성자와 중성자 및 기타 강입자는 색 SU(3)의 다양한 표현의 고유 상태가 된다. SU(3)의 표현은 "최고 가중치 정리"로 설명될 수 있다.

### 물질과 반물질
상대론적 양자역학에서 상대론적 파동 방정식은 자연의 놀라운 대칭성을 예측한다. 즉, 모든 입자에는 대응하는 반입자가 존재한다는 것이다. 이는 상대론적 파동 방정식의 해인 스피너 장에 수학적으로 포함되어 있다.

전하 켤레 변환은 입자와 반입자를 서로 바꾼다. 이 연산에 의해 변하지 않는 물리 법칙과 상호작용은 C 대칭을 갖는다.

### 이산 시공간 대칭
* 반전성은 공간 좌표의 방향을 왼손잡이에서 오른손잡이로 거울 반사한다. 비공식적으로 공간은 거울 이미지로 "반사"된다. 이 연산에 의해 변하지 않는 물리 법칙과 상호작용은 P 대칭을 갖는다.
* 시간 역전 대칭은 시간 좌표를 뒤집으며, 이는 미래에서 과거로 흐르는 시간과 같다. 공간에는 없는 시간의 독특한 속성은 시간이 단방향이라는 점이다. 시간상 앞으로 이동하는 입자는 과거로 이동하는 반입자와 동일하다. 이 연산에 의해 변하지 않는 물리 법칙과 상호작용은 T 대칭을 갖는다.

### C, P, T 대칭
* 분자의 반전성
* CPT 정리
* CP 위반
* PT 대칭
* 로런츠 위반

### 게이지 이론

양자 전기역학에서 국소 대칭군은 U(1)이며 아벨 군이다. 양자 색역학에서 국소 대칭군은 SU(3)이며 비아벨 군이다.

전자기 상호작용은 전하가 없는 광자에 의해 매개된다. 전자기장 텐서는 게이지 대칭을 갖는 전자기 퍼텐셜 장을 갖는다.

강한(색) 상호작용은 8개의 색전하를 가질 수 있는 글루온에 의해 매개된다. 8개의 글루온 장 세기 텐서와 이에 대응하는 글루온 사차원 퍼텐셜 장이 존재하며, 각각 게이지 대칭을 갖는다.

### 강한(색) 상호작용
#### 색전하
스핀 연산자와 유사하게 겔만 행렬 로 표현되는 색전하 연산자가 있다.

\hat{F}_j = \frac{1}{2}\lambda_j 

색전하는 보존되는 전하이기 때문에 모든 색전하 연산자는 해밀토니언과 가환해야 한다.

\left[\hat{F}_j,\hat{H}\right] = 0 

#### 아이소스핀
아이소스핀은 강한 상호작용에서 보존된다.

### 약한 상호작용 및 전자기 상호작용
#### 쌍대 변환
자기 홀극은 이론적으로 구현될 수 있지만, 현재의 관측과 이론은 그 존재 여부와 일치한다. 전기 및 자기 전하는 쌍대 변환에 의해 효과적으로 "서로 회전"될 수 있다.

#### 전기·약 대칭
* 전기·약 대칭
* 전기·약 대칭 깨짐

### 초대칭

리 초대수는 (적절한) 기저 원소가 교환 관계를 갖거나 반교환 관계를 갖는 대수이다. 모든 페르미온 입자에게는 보손 대응물이 있고 그 반대도 마찬가지라는 취지의 대칭성이 제안되었다. 이러한 대칭성은 대칭성을 제외한 추가 가정(끈의 존재 등)이 없다는 점에서 이론적인 매력이 있다. 또한 초대칭을 가정하면 여러 가지 의혹스러운 문제를 해결할 수 있다. 리 초대수로 표현되는 이러한 대칭성은 실험적으로 확인되지 않았다. 만약 존재한다면, 지금은 깨진 대칭이라고 믿어진다. 그러나 암흑물질은 질량을 가진 스핀 3/2 입자인 중력미자로 구성되어 있으며, 그 초대칭 파트너는 중력자라고 추측되어 왔다.

## 교환 대칭

교환 대칭의 개념은 양자통계역학의 근본적인 공리에서 파생되었는데, 이 공리는 두 개의 구별 불가능한 입자를 교환한 후에도 관측 가능한 어떠한 물리량도 변해서는 안 된다는 것을 명시한다. 이는 구별 불가능한 입자 시스템에 대해 모든 관측 가능량이 \left| \psi \right|^2에 비례하기 때문에, 파동 함수 \psi는 그러한 교환 시 그대로 유지되거나 부호가 바뀌어야 함을 의미한다. 더 일반적으로, n개의 동일한 입자 시스템에 대해 파동 함수 \psi는 유한 대칭군 **S<sub>''n''</sub>**의 기약표현으로 변환되어야 한다. 스핀-통계 정리에 따르면 페르미온 상태는 **S<sub>''n''</sub>**의 반대칭 기약표현으로, 보손 상태는 대칭 기약표현으로 변환된다는 사실이 밝혀졌다.

두 동일한 입자의 교환은 수학적으로 각 입자를 180도 회전시키는 것(따라서 한 입자의 프레임을 360도 회전시키는 것)과 동일하기 때문에, 파동 함수의 대칭적 성질은 회전 연산자가 적용된 후 입자의 스핀에 따라 달라진다. 정수 스핀 입자는 360도 회전 시 파동 함수의 부호가 변하지 않으므로 전체 시스템 파동 함수의 부호도 변하지 않는다. 반정수 스핀 입자는 360도 회전 시 파동 함수의 부호가 바뀐다(스핀-통계 정리 참조).

교환 시 파동 함수의 부호가 바뀌지 않는 입자를 보손 또는 대칭 파동 함수를 가진 입자라고 한다. 시스템 파동 함수의 부호가 바뀌는 입자를 페르미온 또는 반대칭 파동 함수를 가진 입자라고 한다.

따라서 페르미온은 보손(보스-아인슈타인 통계를 따름)과는 다른 통계(페르미-디랙 통계)를 따른다. 페르미-디랙 통계의 결과 중 하나는 페르미온에 대한 파울리 배타 원리로, 두 개의 동일한 페르미온은 동일한 양자 상태를 공유할 수 없다(즉, 동일한 상태에 있는 두 동일한 페르미온의 파동 함수는 0이다). 이는 결과적으로 페르미온에 대한 축퇴압을 유발하는데, 이는 페르미온이 더 작은 부피로 압축되는 것에 대한 강한 저항이다. 이 저항은 일반적인 원자 물질(원자에는 페르미온인 전자가 포함되어 있기 때문)의 "강성" 또는 "경성"을 발생시킨다.

## 같이 보기

* 카시미르 연산자
* 파울리-루반스키 벡터
* 사영 표현
* 재규격화군
* 리 군의 표현
* 로런츠 군의 표현론
* 푸앵카레 군의 표현론
* 스핀-통계 정리
* 대칭군 (군론)
* 일반 상대성이론의 대칭성

## 내용주

## 각주

## 참고 자료

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## 외부 링크
**The molecular symmetry group*https://physics.uwo.ca/~mhoude2/courses/astro9701/Hamiltonian_symmetry.pdf @ The University of Western Ontario
* (2010) ''Irreducible Tensor Operators and the Wigner-Eckart Theorem'' 
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* ''Lie groups'' 
* 
* ''Continuous Groups, Lie Groups, and Lie Algebras'' 
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분류:이론물리학
분류:양자장론
분류:특수 상대성이론
분류:파울리 배타 원리
분류:군론