BIBO 안정성

신호 처리, 특히 제어이론에서 **유계 입력, 유계 출력**(bounded-input, bounded-output, **BIBO**) **안정성**은 입력을 받는 신호 및 제어 시스템에 대한 안정성의 한 형태이다. 시스템이 BIBO 안정적이라면, 시스템에 대한 모든 유계 입력에 대해 출력 또한 유계가 된다.

신호의 크기가 B를 넘지 않게 하는 유한한 값 B > 0가 존재한다면 그 신호는 유계이며, 즉 다음과 같다.
: 이산 시간 신호의 경우: \exists B \forall n(\ |y[n]| \leq B) \quad n \in \mathbb{Z}
: 연속 시간 신호의 경우: \exists B \forall t(\ |y(t)| \leq B) \quad t \in \mathbb{R}

## 선형 시불변 시스템의 시간 영역 조건
### 연속 시간 필요충분조건
연속 시간 선형 시불변 (LTI) 시스템에서 BIBO 안정성을 위한 조건은 임펄스 응답  h(t)가 절대 적분 가능해야 한다는 것이다. 즉, 그 L<sup>1</sup> 노름이 존재해야 한다.

:  \int_{-\infty}^\infty \left|h(t)\right|\,\mathord{\operatorname{d}}t = \| h \|_1 \in \mathbb{R}

### 이산 시간 충분조건
이산 시간 LTI 시스템에서 BIBO 안정성을 위한 조건은 임펄스 응답이 절대 합산 가능해야 한다는 것이다. 즉, 그 \ell^1 노름이 존재해야 한다.

:\ \sum_{n=-\infty}^\infty |h[n]| = \| h \|_1 \in \mathbb{R}

#### 충분성 증명
임펄스 응답 \ h[n]을 갖는 이산 시간 LTI 시스템이 주어졌을 때, 입력 \ x[n]과 출력 \ y[n]의 관계는 다음과 같다.

:\ y[n] = h[n] * x[n]

여기서 *는 합성곱을 나타낸다. 합성곱의 정의에 따라 다음과 같이 이어진다.

:\ y[n] = \sum_{k=-\infty}^\infty h[k] x[n-k]

\| x \|_{\infty}를 \ |x[n]|의 최댓값, 즉 <math>L_{\infty}</math>-노름이라고 하자.

:\left|y[n]\right| = \left|\sum_{k=-\infty}^\infty h[n-k] x[k]\right|

::\le \sum_{k=-\infty}^\infty \left|h[n-k]\right| \left|x[k]\right| (삼각 부등식에 의해)

: 
\begin{align}
& \le \sum_{k=-\infty}^\infty \left|h[n-k]\right| \| x \|_\infty \\
& = \| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^\infty \left|h[n-k]\right| \\
& = \| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^\infty \left|h[k]\right|
\end{align}


만약 h[n]이 절대 합산 가능하다면, \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[k]\right|} = \| h \|_1  \in \mathbb{R} 이며 다음과 같다.

:\| x \|_\infty \sum_{k=-\infty}^\infty \left|h[k]\right| = \| x \|_\infty \| h \|_1

따라서 h[n]이 절대 합산 가능하고 \left|x[n]\right|이 유계라면, \| x \|_{\infty} \| h \|_1 \in \mathbb{R}이므로 \left|y[n]\right| 또한 유계가 된다.

연속 시간의 경우에 대한 증명도 동일한 논리를 따른다.

## 선형 시불변 시스템의 주파수 영역 조건
### 연속 시간 신호

유리 함수이자 연속 시간 시스템에서 안정성을 위한 조건은 라플라스 변환의 수렴 영역(ROC)이 허수축을 포함해야 한다는 것이다. 시스템이 인과적일 때, ROC는 "가장 큰 극점", 즉 시스템의 모든 극점 중 실수부가 가장 큰 극점의 실수부를 종좌표로 하는 수직선의 오른쪽 열린 영역이다. ROC를 정의하는 가장 큰 극점의 실수부를 수렴 좌표라고 한다. 따라서 BIBO 안정성을 위해서는 시스템의 모든 극점이 s-평면의 엄격한 좌반평면에 있어야 한다.

이 안정성 조건은 위의 시간 영역 조건으로부터 다음과 같이 유도될 수 있다.

:
\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty \left|h(t)\right| \, dt
& = \int_{-\infty}^\infty \left|h(t)\right| \left| e^{-j \omega t }\right| \, dt \\
& = \int_{-\infty}^\infty \left|h(t) (1 \cdot e)^{-j \omega t} \right| \, dt \\
& = \int_{-\infty}^\infty \left|h(t) (e^{\sigma + j \omega})^{- t} \right| \, dt \\
& = \int_{-\infty}^\infty \left|h(t) e^{-s t} \right| \, dt
\end{align}


여기서 s = \sigma + j \omega 이고 \operatorname{Re}(s) = \sigma = 0이다.

그러므로 수렴 영역은 반드시 허수축을 포함해야 한다.

### 이산 시간 신호

유리 함수이자 이산 시간 시스템에서 안정성을 위한 조건은 Z변환의 수렴 영역(ROC)이 단위원을 포함해야 한다는 것이다. 시스템이 인과적일 때, ROC는 크기가 가장 큰 극점의 크기를 반지름으로 하는 원 외부의 열린 영역이다. 따라서 BIBO 안정성을 위해서는 시스템의 모든 극점이 z-평면의 단위원 내부에 있어야 한다.

이 안정성 조건은 연속 시간 유도와 유사한 방식으로 유도될 수 있다.

:
\begin{align}
\sum_{n = -\infty}^\infty \left|h[n]\right|
& = \sum_{n = -\infty}^\infty \left|h[n]\right| \left| e^{-j \omega n} \right| \\
& = \sum_{n = -\infty}^\infty \left|h[n] (1 \cdot e)^{-j \omega n} \right| \\
& =\sum_{n = -\infty}^\infty \left|h[n] (r e^{j \omega})^{-n} \right| \\
& = \sum_{n = -\infty}^\infty \left|h[n] z^{- n} \right|
\end{align}


여기서 z = r e^{j \omega} 이고 r = |z| = 1이다.

그러므로 수렴 영역은 반드시 단위원을 포함해야 한다.

## 같이 보기
* LTI 시스템 이론
* 유한 임펄스 응답 (FIR) 필터
* 무한 임펄스 응답 (IIR) 필터
* 나이퀴스트 선도
* 루스-후르비츠 안정성 판별법
* 보드 선도
* 위상 여유
* 근궤적법
* 입력 상태 안정성

## 추가 읽기

* Gordon E. Carlson Signal and Linear Systems Analysis with Matlab second edition, Wiley, 1998, 
* John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications third edition, Prentice Hall, 1996, 
* D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer Signals & Systems Continuous and Discrete fourth edition, Prentice Hall, 1998, 
* Proof of the necessary conditions for BIBO stability.
* Christophe Basso Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577
* 

## 각주

분류:디지털 신호 처리
분류:신호 처리
분류:안정성 이론