구모브스키-미라 사상

섬네일|380px|구모브스키-미라 사상의 이상한 끌개의 예. 미라는 이 끌개를 '신화의 새'(Mythic Bird)로 명명했다.
**구모브스키-미라 사상**()은 이고르 구모브스키(Igor Gumowski)와 크리스찬 미라(Christian Mira)에 의해서 발표된 비선형계 2차원 이산역학계이다. 입자 가속기와 저장링(Storage ring)의 불안정성의 연구에서 나왔다. 위상평면상에 다양한 형태의 이상한 끌개가 나타나는 것으로 알려져 있다.

## 사상
이산역학계란 *n* 을 정수의 시간으로 보고, *n* 번째 상태 *x<sub>n</sub>* 이 그 이전인 *n*&minus;1 번째 상태 *x**n*&minus;1 에 의해 하나로 결정되는 법칙이 주어지는 계이다. 2차원의 계란 *x* 와 *y* 의 순서쌍 (*x*, *y*) = ***x*** 를 하나의 상태로 보는 계이다. ***x'''<sub>n</sub>'' 과 ***x***<sub>''n''+1</sub> 의 관계를 정한 함수를 동역학계에서는 단순히 [[사상 (수학)|사상]]이라고도 한다. 구모브스키-미라 사상으로 소개된 사상은 제각각이나, 다음의 두 형태의 사상 ''f''<sub>1</sub> 과 ''f''<sub>2</sub> 가 구모브스키와 미라에 의해 발표된 것이다.
:<math>
f_1 = 
\begin{cases}
x_{n+1}=y_n + g(x_{n})\\
y_{n+1}= -x_n + g(x_{n+1})
\end{cases}
</math>
:<math>
f_2 = 
\begin{cases}
x_{n+1} = y_n + \alpha y_n(1-\sigma y_{n}^2) + g(x_{n})\\
y_{n+1} = -x_n + g(x_{n+1})
\end{cases}
</math>
''&alpha;'' 와 ''&sigma;'' 는 매개변수(정수 계수)이다. 사상 ''f''<sub>1</sub> 의 [[야코비 행렬]]은 1 로 [[보존력|보존계]]에 상당한다. ''f''<sub>2</sub> 에서는 ''&alpha;y<sub>n</sub>''(1 &minus; ''&sigma;y<sub>n</sub>'') 이라는 항이 추가되고, 이것이 감소를 발휘하며, ''f''<sub>2</sub> 는 [[흩어지기|산일계]]에 상당한다. ''&alpha;'' 가 작으면 보존계에 가까운 준보준계라고 할 수 있다.

''g''(''x'')는 구모브스키와 미라가 '유계비선형성'(bounded nonlinerity)이라고 부른 항으로, 다음의 두 가지 형태로 주어진다.
:<math>g_1(x)= \mu x + \frac{2(1-\mu)x^2}{1+x^2}</math>
:<math>g_2(x)= \mu x + (1-\mu)x^2 \exp(\frac{1-x^2}{4})</math>
''&mu;'' 는 매개변수로, 구모브스키와 미라는 &minus;1 &le; ''&mu;'' &le; 1 의 범위로 할당했다.
''&mu;'' 의 값이 1 보다 작아질 정도로 사상의 비선형성이 강해진다.

특히 ''f''<sub>2</sub> 와 ''g''<sub>1</sub> 이 합쳐진

:<math>
\begin{cases}
x_{n+1} = y_n + \alpha y_n(1-\sigma y_{n}^2) + \mu x_{n} + \dfrac{2(1-\mu)x_{n}^2}{1+x_{n}^2} \\
y_{n+1} = -x_n + \mu x_{n+1} + \dfrac{2(1-\mu)x_{n+1}^2}{1+x_{n+1}^2}
\end{cases} </math>

라는 형태의 사상이 '구모브스키-미라 사상'으로 소개되는 경우가 많다.

구모브스키는 [[1960년대]]부터 [[1970년대]]에 걸쳐 [[제네바]]의 [[유럽 입자 물리 연구소]]에서 [[입자 가속기]]와 저장링의 불안정성을 연구했다. 입자 가속기 혹은 저장링 내에서의 입자의 가로 방향 운동을 표현하기 위한 모델로 구모브스키와 미라는 보존계의 사상 ''f''<sub>1</sub> 및 비선형 항 ''g''<sub>1</sub> 과 ''g''<sub>2</sub> 를 도입했다. 준보존계 ''f''<sub>2</sub> 와 함께 구모브스키와 미라의 [[1980년]] 저서에서 이들의 사상과 그 계산 결과가 기록됐다.

==궤도, 끌개==
[[파일:Attractor and orbit of GM map.png|섬네일|330px|이상한 끌개(검은색으로 찍힌 점)과 그곳으로 흡인되는 하나의 궤도(빨간색으로 찍힌 점과 보조 화살표)의 모습. 궤도는 회전하면서 이상한 끌개의 영역으로 수렴한다.]]
적당한 초기값 ***x***<sub>0</sub> = (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>) 을 할당하고, 사상을 반복해 적용하는 것으로 이산역학계는 (***x***<sub>0</sub>, ***x***<sub>1</sub>, ***x***<sub>2</sub>,...)라는 [[궤도]]를 만든다. 궤도는 위상 평면(x-y 평면)상에서 열거된다. 구모브스키-미라 사상은 어느 매개변수 범위에서 [[끌개|이상한 끌개]]를 가지고 있다. 주변의 궤도를 흡인하는 [[부분공간 위상|부분공간]]이 있고, 그 부분공간 위에서 궤도는 비주기로 [[나비 효과|초기값에 예민한]] 점의 배열로 된다. 한편, 그 부분공간 자체는 변하지 않고, 일정 형상을 유지한다. 이러한 부분공간을 이상한 끌개라고 한다.

구모브스키-미라 사상은 다종다양한 형상의 이상한 끌개가 나타나는 것으로 알려져 있다. 구모브스키-미라 사상은 미적인 창작에서도 이용됐다. 특히 ''f''<sub>2</sub> 와 ''g''<sub>1</sub> 로 이루어지는 사상의 새의 날개와 같은 끌개는 유명하고, 매개변수 (''&alpha;'', ''&sigma;'', ''&mu;'') 가 (0.008, 0.05, &minus;0.496) 일 때에는 3장의 날개가, (0.009, 0.05, &minus;0.801) 일 때에는 5장의 날개가 그려진다. 미라는 이를 '신화의 새'(mythic bird)라고 이름을 붙였다.

매개변수의 값에 다라서는 이상한 끌개 이외의 끌개도 나타나고, 안정적인 [[주기점]]의 끌개도 나타난다. 매개변수의 값에 따라 해의 움직임이 정성적으로 변화하는 것을 역학계에서는 [[분기 (동역학계)|분기]]라고 부른다. 구모브스키-미라 사상은 ''&mu;'' 에 대해 예민하게 반응해 분기하는 경향을 가진다. 아래에 산일계의 구모브스키-미라 사상(''f''<sub>2</sub>)의 궤도(끌개)와 보존계의 구모브스키-미라 사상(''f''<sub>1</sub>)의 궤도의 예시를 보인다.
<gallery caption="이산계의 구모브스키-미라 사상의 끌개" mode="nolines" widths="280" heights="280">
파일:GM map phase space plot 1.png|''f''<sub>2</sub>-''g''<sub>1</sub>, ''α'' = 0.008, ''σ'' = 0.05, ''μ'' = −0.496
파일:GM map phase space plot 2.png|''f''<sub>2</sub>-''g''<sub>1</sub>, ''α'' = 0.009, ''σ'' = 0.05, ''μ'' = −0.801
파일:GM map phase space plot 3.png|''f''<sub>2</sub>-''g''<sub>1</sub>, ''α'' = 0.005, ''σ'' = 0.05, ''μ'' = −0.5<br />(3개의 주기점)
파일:GM map phase space plot 4.png|''f''<sub>2</sub>-''g''<sub>2</sub>, ''α'' = 0.0083, ''σ'' = 0.1, ''μ'' = −0.38
파일:GM map phase space plot 5.png|''f''<sub>2</sub>-''g''<sub>2</sub>, ''α'' = 0.01, ''σ'' = 0.1, ''μ'' = 0.8
파일:GM map phase space plot 6.png|''f''<sub>2</sub>-''g''<sub>2</sub>, ''α'' = 0.07, ''σ'' = 0.0075, ''μ'' = −0.43<br />(25개의 주기점)
</gallery>
<gallery caption="보존계의 구모브스키-미라 사상의 궤도" mode="nolines" widths="280" heights="280">
파일:GM map phase space plot 7.png|''f''<sub>1</sub>-''g''<sub>1</sub>, ''μ'' = 0.39, ''x''<sub>0</sub> = 1, ''y''<sub>0</sub> = 1
파일:GM map phase space plot 8.png|''f''<sub>1</sub>-''g''<sub>1</sub>, ''μ'' = 0.365, ''x''<sub>0</sub> = 1, ''y''<sub>0</sub> = 1
파일:GM map phase space plot 9.png|''f''<sub>1</sub>-''g''<sub>1</sub>, ''μ'' = 0.34, ''x''<sub>0</sub> = 1, ''y''<sub>0</sub> = 1
</gallery>

==특수한 과도적 움직임==
끌개가 존재하는 경우, 궤도는 충분한 시간 경과 후에 끌개로 안정된다. 초기값에서 끌개로 끌려가기까지의 궤도를 '과도 상태' 등이라고 한다. 구모브스키-미라 사상의 움직임의 하나로서, 과도 상태의 궤도가 [[로지스틱 사상]]의 분기도와 같은 궤도를 취하는 경우가 있다. 로지스틱 사상은

:<math>x_{n+1} = a x_n(1-x_n)</math>

라는 형태로 주어지는 1차원 사상이다. [[분기 다이어그램]](혹은 궤도 다이어그램)은 매개변수와 끌개의 상성을 그리는 것으로, 로지스틱 사상의 분기 다이어그램은 가로축에 매개변수 ''a'' 를 취하고, 세로축에 충분한 시간 경과 후의 궤도의 값을 찍어 그린다. 위상 평면상의 [[궤도]]란 x-y 평면 위에 ***x***<sub>0</sub>, ***x***<sub>1</sub>, ***x**'2,... 라는 점의 배열을 그리는 것으로, 분기 다이어그램과는 다른 것이다.

그러나, 구모브스키-미라 사상
:
\begin{cases}
x_{n+1} = y_n + \alpha y_n(1-\sigma y_{n}^2) + \mu x_{n} + \dfrac{2(1-\mu)x_{n}^2}{1+x_{n}^2} \\
y_{n+1} = -x_n + \mu x_{n+1} + \dfrac{2(1-\mu)x_{n+1}^2}{1+x_{n+1}^2}
\end{cases} 
의 매개변수를 *&alpha;* = 0.008, *&sigma;* = 0.05 로 하고, 더욱이 *&mu;* 의 값을 1 보다 살짝 큰 값으로 했을 때, 그 궤도를 x-y 평면 위에 찍으면 최종적으로 안정적인 세 주기점으로 흡인되나, 그곳까지의 과도 상태의 궤도가 로지스틱 사상의 분기 다이어그램과 매우 비슷한 형태로 된다.

[460px|center|섬네일|구모브스키-미라 사상에서의 [위상 공간 (물리학)|위상 평면상의 궤도이다. 매개변수는 *α* = 0.008, *σ* = 0.05, *μ* = 1.00004 를 사용했다. 궤도는 원점 근방부터 시작했고, 그림의 맨 오른쪽 이후에서는 최종적으로 궤도는 세 주기점으로 수렴한다.]]
[460px|center|섬네일|[로지스틱 사상의 분기 다이어그램. 가로축의 매개변수 *a* 가 1 부터 4 까지를 나타내고 있다.]]

위와 같은 것이 일어나는 기제로서, 다음과 같은 설명이 주어진다. *x**n*+1 대 *x<sub>n</sub>*, *x**n*+1 대 *y<sub>n</sub>*, *y**n*+1 대 *x<sub>n</sub>*, *y**n*+1 대 *y<sub>n</sub>* 의 관계를 문제로 된 영역애서 각각 수치적으로 조사한다. 위와 같은 매개변수에 있어서는 *x**n*+1 의 값에 대해 *y<sub>n</sub>* 의 변화는 거의 영향을 미치지 않는다. 한편, *x**n*+1 과 *x<sub>n</sub>* 은 양의 기울기를 지니는 선형 관계에 있다. 또 *y**n*+1 과 *x<sub>n</sub>* 도 양의 기울기를 지니는 선형 관계에 있다. 그리고 *y**n*+1 에 대해 *y<sub>n</sub>* 은 위로 볼록한 그래프로 되고, 단봉형의 함수로 된다. 로지스틱 사상도 단봉형의 함수의 형태를 하고 있고, 문제로 된 영역에서 구모브스키-미라 사상의 *y**n*+1 과 *y**n* 의 관계도 같은 형태이다. 또 로지스틱 사상에서는 매개변수 *a* 의 값이 증가함에 따라 단봉의 최대치가 서서히 커진다. 문제로 된 영역의 구모브스키-미라 사상에서도 *x<sub>n</sub>* 의 값이 증가함에 따라 *y**n*+1 대 *y**n* 의 단봉 그래프의 최대치가 서서히 커진다. 따라서 문제의 매개변수로 위상 평면상에 궤도를 그리면 *x<sub>n</sub>* 을 조금씩 증가시키면서 yn 의 단봉 함수에 지배된 *y*n+1 의 종국적 움직임을 자동적으로 그리게 된다. 이는 매개변수 *a* 를 조금씩 증가시키면서 *x<sub>n</sub>* 의 단봉 함수에서 주어지는 *x**n*+1 의 종국적 움직임을 그리는 로지스틱 사상 분기 다이어그램의 그리는 방식과 결과적으로 동일하다.

위와 같은 로지스틱 사상의 분기 다이어그램과 비슷한 형태를 지니는 구모브스키-미라 사상의 과도적 움직임은 혼돈 이론의 일반용 서적의 발간 과정에서 출판사 담당 편집자가 발견했다.

## 각주

## 외부 링크
*

분류:혼돈 이론