양자 퍼텐셜

**양자 퍼텐셜**() 또는 **양자 퍼텐셜성**()은 1952년 데이비드 봄에 의해 도입된 양자역학의 드 브로이-봄 정식화의 핵심 개념이다.

처음에는 양자역학적 퍼텐셜이라는 이름으로 제시되었고, 이후 양자 퍼텐셜로 불리게 되었으며, 나중에 봄과 배질 하일리에 의해 양자 입자에 작용하는 **정보 퍼텐셜**()로서의 해석으로 정교화되었다. 이는 양자 위치 에너지, 봄 퍼텐셜, 양자 봄 퍼텐셜 또는 봄 양자 퍼텐셜이라고도 불린다.

드 브로이-봄 이론의 틀 안에서 양자 퍼텐셜은 양자 입자의 움직임을 안내하도록 작용하는 슈뢰딩거 방정식 내부의 항이다. 봄이 도입한 양자 퍼텐셜 접근 방식은 루이 드 브로이가 제시한 아이디어를 물리적으로 덜 근본적인 방식으로 설명한다. 드 브로이는 1925년에 시공간에 정의된 상대론적 파동 함수가 파동장에서 진동하는 피크로 표현되는 양자 입자를 안내하는 파일럿 파동을 나타낸다고 가설을 세웠으나, 비선형 파동 방정식으로부터 입자에 대한 안내 방정식을 유도할 수 없었기 때문에 나중에 자신의 접근 방식을 포기했다. 1952년 봄의 획기적인 논문들은 양자 퍼텐셜을 도입하고 파일럿 파동 이론에 대해 제기되었던 반대 의견들에 대한 답변을 포함했다.

봄 양자 퍼텐셜은 다른 접근 방식의 결과들과 밀접하게 연관되어 있으며, 특히 1927년 에르빈 마델룽의 작업과 1935년 카를 프리드리히 폰 바이츠제커의 작업에 관련되어 있다.

1952년 봄이 도입한 양자 이론의 해석을 바탕으로, 데이비드 봄과 배질 하일리는 1975년에 양자 퍼텐셜의 개념이 어떻게 "전 우주의 깨지지 않는 전체성"이라는 관념으로 이어지는지를 제시하며, 양자 물리학에 의해 도입된 근본적인 새로운 특성이 비국소성이라고 제안했다.

## 슈뢰딩거 방정식과의 관계

슈뢰딩거 방정식
:
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left( - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 +V \right)\psi \quad

은 실수 값을 가지는 함수 R과 S를 사용하여 파동 함수의 극형식 \psi = R \exp(i S / \hbar)로 다시 쓰여진다. 여기서 R은 파동 함수 \psi의 진폭(절댓값)이고, S/\hbar는 그 위상이다. 이로부터 두 개의 방정식이 도출된다. 슈뢰딩거 방정식의 허수부와 실수부로부터 각각 연속 방정식과 양자 해밀턴-야코비 방정식이 뒤따른다.

### 연속 방정식
극형식의 슈뢰딩거 방정식의 허수부는 다음을 산출한다.
:
\frac{\partial R}{\partial t} = -\frac{1}{2m} \left[ R \nabla^2 S  + 2 \nabla R \cdot \nabla S \right],

이는 \rho = R^2라고 할 때, 확률 밀도 \rho와 속도장  v = \frac{1}{m}\nabla S 에 대한 연속 방정식 
\partial \rho / \partial t + \nabla \cdot( \rho v) =0으로 해석될 수 있다.

### 양자 해밀턴-야코비 방정식
극형식의 슈뢰딩거 방정식의 실수부는 수정된 해밀턴-야코비 방정식을 산출한다.

이는 양자 해밀턴-야코비 방정식이라고도 불린다. 이것은 고전적인 해밀턴-야코비 방정식과 다음 항에 의해서만 차이가 난다.

양자 퍼텐셜이라 불리는 이 항 Q는 따라서 파동 함수 진폭의 곡률에 의존한다.

극한 \hbar \to 0에서 함수 S는 (고전적) 해밀턴-야코비 방정식의 해가 된다. 그러므로 함수 S는 해밀턴-야코비 함수, 또는 양자 물리학으로 확장된 작용이라고도 불린다.

## 특성
[섬네일|양자 퍼텐셜의 영향 하에 있는 봄 궤적. [이중 슬릿 실험을 통과하는 전자를 예로 든 것이다.]]
하일리는 양자 입자의 양자 퍼텐셜에 관한 몇 가지 측면을 강조했다.
* 그것은 파동 함수의 극분해하에 슈뢰딩거 방정식의 실수부로부터 수학적으로 유도되며, 해밀토니안이나 다른 외부 원천으로부터 유도되지 않고, 기본이 되는 기초적인 장을 포함하는 자기조직화 과정에 관여한다고 말할 수 있다.
* R에 상수를 곱해도 변하지 않는데, 이 항이 분모에도 존재하여 Q가 \psi의 크기 및 장의 강도와 무관하기 때문이다. 따라서 양자 퍼텐셜은 비국소성을 위한 전제 조건을 충족한다. 즉, 거리가 멀어짐에 따라 감소할 필요가 없다.
* 그것은 입자가 처한 전체 실험 장치에 대한 정보를 전달한다.

1979년에 하일리와 그의 동료인 필리피디스(Philippidis) 및 듀드니(Dewdney)는 양자 퍼텐셜의 영향 하에 움직이는 각 입자에 대해 발생하는 봄 궤적의 관점에서 이중 슬릿 실험에 대한 완전한 계산을 제시하였으며, 잘 알려진 간섭 패턴이라는 결과를 낳았다.

섬네일|아로노프-봄 효과를 관찰할 수 있는 이중 슬릿 실험의 도식: 전자가 두 슬릿을 통과하여 관찰 스크린에서 간섭하고, 원통형 솔레노이드에 자기장 '''B'''가 켜지면 간섭 패턴이 이동한다.

또한 아로노프-봄 효과에서 자기장이 존재할 때 발생하는 간섭 패턴의 이동도 양자 퍼텐셜에서 발생하는 것으로 설명될 수 있다.

### 측정 과정과의 관계
양자 이론의 코펜하겐 해석에서의 파동 함수 붕괴는 양자 퍼텐셜 접근 방식에서, 측정 후에 "실제 측정 결과에 대응하지 않는 다차원 파동 함수의 모든 패킷은 입자에 아무런 영향을 미치지 않는다"는 것을 입증함으로써 설명된다. 봄과 하일리는 다음과 같이 지적했다.

측정은 "관찰 대상 시스템과 관찰 장치가 상호 참여를 거쳐 궤적들이 상관된 방식으로 행동하게 되고, 서로 겹치지 않는 다른 세트들(우리는 이를 '채널'이라 부른다)로 상관되고 분리되는 참여적 변형을 포함한다."

### n-입자 시스템의 양자 퍼텐셜
다입자 양자 시스템의 슈뢰딩거 파동 함수는 일반적인 3차원 공간에서 표현될 수 없다. 대신 입자당 3개의 차원을 갖는 배위 공간에서 표현된다. 따라서 배위 공간의 단일 점은 전체 n-입자 시스템의 구성을 전체로서 나타낸다.

질량 m인 동일 입자들의 2-입자 파동 함수 \psi(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},\,t)는 다음과 같은 양자 퍼텐셜을 갖는다.

: Q(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},\,t) = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{(\nabla_1^2 + \nabla_2^2) R(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},\,t)}{R(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},\,t)} 

여기서 \nabla_1^2과 \nabla_2^2는 각각 입자 1과 입자 2를 가리킨다. 이 표현식은 n개 입자에 대해 다음과 같이 곧바로 일반화된다.

:
Q(\mathbf{r_1},...,\mathbf{r_n},\,t) = -\frac{\hbar^2}{2 R(\mathbf{r_1},...,\mathbf{r_n},\,t) } \sum_{i=1}^{n} \frac{\nabla_i^2}{m_i} R(\mathbf{r_1},...,\mathbf{r_n},\,t)


두 개 이상의 입자에 대한 파동 함수가 분리 가능한 경우, 시스템의 총 양자 퍼텐셜은 두 입자의 양자 퍼텐셜의 합이 된다. 시스템과 그 환경 사이의 상호작용이 인수분해를 파괴한다는 점을 고려할 때 정확한 분리 가능성은 극히 비물리적이지만, 거의 분리된 지지집합을 갖는 여러 파동 함수의 중첩인 파동 함수는 대략적으로 인수분해될 것이다.

### 분리 가능한 양자 시스템에 대한 유도
파동 함수가 분리 가능하다는 것은 \psi가 \psi(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},\,t) = \psi_A(\mathbf{r_1},\,t) \psi_B(\mathbf{r_2},\,t) 의 형태로 인수분해됨을 의미한다. 그러면 R도 인수분해되고 시스템의 총 양자 퍼텐셜은 두 입자의 양자 퍼텐셜의 합이 된다.
:
Q(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},\,t) = - \frac{\hbar^2}{2m} (\frac{\nabla_1^2 R_A(\mathbf{r_1},\,t)}{R_A(\mathbf{r_1},\,t)} + \frac{\nabla_2^2 R_B(\mathbf{r_2},\,t)}{R_B(\mathbf{r_2},\,t)}) = Q_A(\mathbf{r_1},\,t) + Q_B(\mathbf{r_2},\,t)

파동 함수가 분리 가능한 경우, 즉 \psi가 \psi(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},\,t) = \psi_A(\mathbf{r_1},\,t) \psi_B(\mathbf{r_2},\,t)  형태로 인수분해되는 경우, 두 단일 입자 시스템은 독립적으로 행동한다. 더 일반적으로, 분리 가능한 파동 함수를 갖는 n-입자 시스템의 양자 퍼텐셜은 n개 양자 퍼텐셜의 합이며, 시스템을 n개의 독립적인 단일 입자 시스템으로 분리한다.

## 확률 밀도 측면에서의 정식화

### 확률 밀도 함수 측면에서의 양자 퍼텐셜
봄과 그 이후의 다른 물리학자들은 R을 확률 밀도 함수에 연결하는 보른 규칙

:\rho = R^2 \quad

이 파일럿 파동 정식화에서 기본 법칙을 나타내는 것이 아니라, 슈뢰딩거 방정식에 따른 시간 발전 과정 중에 양자 평형에 도달할 때 적용되는 정리(양자 평형 가설이라고 함)로 이해될 수 있다는 증거를 제공하고자 노력해 왔다. 보른 규칙과 연쇄 법칙 및 곱 규칙의 간단한 적용을 통해
:\nabla^2 \sqrt \rho = \nabla \nabla \rho^{1/2} = \nabla \left(\frac{1}{2} \rho^{-1/2} \nabla \rho\right) = \frac{1}{2} \left[ \left(\nabla \rho^{-1/2}\right) \nabla \rho + \rho^{-1/2} \nabla^2 \rho \right]

확률 밀도 함수로 표현된 양자 퍼텐셜은 다음과 같다.

: Q = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\nabla^2 \sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}} = - \frac{\hbar^2}{4m} \left[ \frac{\nabla^2 \rho}{\rho} - \frac{1}{2} \frac{(\nabla \rho)^2}{\rho^2} \right]

### 양자력
확률 분포로 표현된 양자력 F_Q = - \nabla Q은 다음과 같다.
:F_Q = \frac{\hbar^2}{4m} \left[ \frac{\nabla (\nabla^2\rho)}{\rho} - \frac{ \nabla (\nabla \rho \cdot \nabla \rho) }{ 2\rho^2 } - \left( \frac{\nabla^2 \rho}{\rho} - \frac{ \nabla \rho \cdot \nabla \rho }{ \rho^2 } \right) \frac{\nabla\rho}{\rho} \right]

### 투영의 결과로서 배위 공간 및 운동량 공간에서의 정식화
M. R. 브라운(Brown)과 배질 하일리는 배위 공간(x-공간) 정식화의 대안으로 양자 퍼텐셜이 운동량 공간(p-공간) 측면에서도 정식화될 수 있음을 보여주었다.

데이비드 봄의 접근 방식에 발맞추어, 배질 하일리와 수학자 모리스 드 고송은 양자 퍼텐셜이 기저 구조, 더 구체적으로는 비가환 대수 구조를 일반 공간(x-공간)과 같은 부분 공간으로 투영한 결과로 보일 수 있음을 보여주었다. 대수적 관점에서 양자 퍼텐셜은 함축된 질서와 명시된 질서 사이의 관계에서 발생하는 것으로 볼 수 있다. 만약 양자 정식화의 비가환 구조를 설명하기 위해 비가환 대수가 사용된다면, 기저 공간을 정의하는 것은 불가능하지만 대신 "그림자 공간(shadow spaces)"(동형 공간)을 구성할 수 있으며 그렇게 함으로써 양자 퍼텐셜이 나타나게 된다. 양자 퍼텐셜 접근 방식은 그림자 공간을 구축하는 방법으로 볼 수 있다. 따라서 양자 퍼텐셜은 기저 공간을 x-공간으로 투영함으로써 발생하는 왜곡으로 귀결되며, 이는 메르카토르 도법이 지리 지도에서 필연적으로 왜곡을 일으키는 것과 유사한 방식이다. x-표현 사이에는 완전한 대칭이 존재하며, 배위 공간에서 나타나는 양자 퍼텐셜은 운동량 p-표현의 분산에서 발생하는 것으로 볼 수 있다.

이 접근 방식은 확장된 위상 공간에 적용되었으며, 더핀-켐머-페티오 대수(Duffin–Kemmer–Petiau algebra) 접근 방식 측면에서도 적용되었다.

## 다른 양들 및 이론들과의 관계

### 피셔 정보와의 관계
양자 퍼텐셜 Q = - \hbar^2 \nabla^2 \sqrt{\rho} / (2m \sqrt{\rho})의 평균값이 관측 가능량  \hat{x} 에 대한 확률 밀도의 피셔 정보에 비례한다는 것을 보여줄 수 있다.

: \mathcal{I} = \int \rho \cdot (\nabla \ln \rho)^2 \, d^3x = - \int \rho \nabla^2 (\ln \rho) \, d^3x.

피셔 정보에 대한 이 정의를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

: \langle Q \rangle = \int \psi^* Q \psi \, d^3x = \int \rho Q \, d^3x = \frac{\hbar^2}{8m} \mathcal{I}.

### 스핀과 관련된 내부 운동의 에너지로서의 양자 퍼텐셜
지오반니 살레시(Giovanni Salesi), 에라스모 레카미(Erasmo Recami)와 동료들은 1998년에 쾨니히의 정리(König's theorem)에 따라 양자 퍼텐셜이 질량 중심틀에서 관찰되는 스핀-1/2 입자의 스핀과 관련된 내부 운동("치터베베궁")의 운동 에너지와 동일시될 수 있음을 보여주었다. 보다 구체적으로, 그들은 세차 운동이 없고 외부 장이 없는 상태에서 일정한 스핀을 갖는 회전하는 비상대론적 입자의 내부 치터베베궁 속도가 다음과 같은 제곱값을 갖는다는 것을 보여주었다.

:\mathbf V^2 = \frac{(\nabla \rho \land \mathbf s)^2} {(m \rho)^2} = \frac{(\nabla \rho)^2 \mathbf s^2 - (\nabla \rho \cdot \mathbf s)^2}{(m \rho)^2}

여기서 두 번째 항은 무시할 수 있는 크기임이 밝혀졌다. 그런 다음 | \mathbf s | = \hbar/2이면 다음과 같이 귀결된다.

:| \mathbf V | = \frac{\hbar}{2} \frac{\nabla \rho}{m \rho}

살레시는 2009년에 이 작업에 대한 자세한 내용을 발표했다.

1999년에 살바토레 에스포지토(Salvatore Esposito)는 그들의 결과를 스핀-1/2 입자에서 임의의 스핀을 가진 입자로 일반화하여, 양자 퍼텐셜을 내부 운동에 대한 운동 에너지로 해석하는 것을 확인했다. 에스포지토는 (\hbar=1 표기법을 사용하여) 양자 퍼텐셜이 다음과 같이 쓰일 수 있음을 보여주었다.

:Q = - \frac{1}{2} m \mathbf v_S^2 - \frac{1}{2} \nabla \cdot \mathbf v_S

그리고 양자역학의 인과적 해석이 입자 속도의 관점에서 다음과 같이 재정식화될 수 있음을 보여주었다.

:\mathbf v = \mathbf v_B + \mathbf v_S \times \mathbf s

여기서 "표류 속도(drift velocity)"는 다음과 같고

:\mathbf v_B = \frac {\nabla S}{m}

"상대 속도"는 \mathbf v_S \times \mathbf s이며, 이때

:\mathbf v_S = \frac {\nabla R^2}{2m R^2}

이고 \mathbf s는 입자의 스핀 방향을 나타낸다. 이 정식화에서 에스포지토에 따르면, 시스템의 초기 운동 조건이 정확하게 결정될 수 없다는 이유로 양자역학은 필연적으로 확률론적 용어로 해석되어야 한다. 에스포지토는 "슈뢰딩거 방정식에 존재하는 양자 효과는 입자와 관련된 독특한 공간 방향의 존재로 인한 것이며, 공간의 등방성을 가정할 때 이는 입자 자체의 스핀과 동일시될 수 있다"고 설명했다. 에스포지토는 이를 물질 입자에서 게이지 보손으로, 특히 광자로 일반화했는데, 그는 광자를 \psi = (\mathbf E - i \mathbf B) / \sqrt 2로 모델링하고 확률 함수를 \psi^* \cdot \psi = (\mathbf E^2 + \mathbf B^2)/2로 설정하면 양자 퍼텐셜 접근 방식에서 이해될 수 있음을 보여주었다.

제임스 R. 보건(James R. Bogan)은 2002년에 확률 보존의 단순한 요구 하에 스핀을 나타내는 게이지 변환에서 발생하는, 고전 역학의 해밀턴-야코비 방정식에서 양자역학의 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식으로의 상호 변환 유도를 발표했다. 이 스핀 의존 변환은 양자 퍼텐셜의 함수이다.

## 클리퍼드 대수 측면에서의 재해석
하일리와 R. E. 캘러핸(Callaghan)은 시공간 대수에 대한 데이비드 헤스테네스의 작업을 포함한 최근의 발전을 고려하여 클리퍼드 대수의 틀 안에서 봄 모델의 역할과 양자 퍼텐셜의 개념을 재해석했다. 그들은 클리퍼드 대수 C\ell_{i,j}의 중첩된 계층 구조 내에서, 각 클리퍼드 대수에 대해 최소 왼쪽 이상의 원소 \Phi_L(\mathbf r, t)과 그것의 클리퍼드 켤레를 나타내는 오른쪽 이상의 원소 \Phi_R(\mathbf r, t) = \tilde{\Phi}_L(\mathbf r, t)가 어떻게 구성될 수 있는지, 그리고 그로부터 표준 밀도 행렬과 동형이지만 특정 표현과는 독립적인 클리퍼드 대수의 원소인 클리퍼드 밀도 원소(CDE) \rho_c(\mathbf r, t) = \Phi_L(\mathbf r, t) \tilde{\Phi}_L(\mathbf r, t)를 보여주었다. 이를 바탕으로 시스템의 속성을 나타내는 이선형 불변량을 형성할 수 있다. 하일리와 캘러핸은 첫 번째 종류의 이선형 불변량(각각은 {\rm Tr} B \rho_c로 형성될 수 있는 대수 원소 B의 기댓값을 나타냄)과, 도함수로 구성되어 운동량과 에너지를 나타내는 두 번째 종류의 이선형 불변량을 구별한다. 이러한 용어들을 사용하여 그들은 파동 함수의 관점에서 특정 표현에 의존하거나 외부 힐베르트 공간에 대한 참조를 요구하지 않고 양자역학의 결과들을 재구성한다. 이전 결과들과 일치하게, 스핀을 가진 비상대론적 입자(파울리 입자)의 양자 퍼텐셜은 추가적인 스핀 의존 항을 갖는 것으로 나타나며, 스핀을 가진 상대론적 입자(디랙 입자)의 운동량은 선형 운동과 회전 부분으로 구성되는 것으로 나타난다. 시간 발전을 지배하는 두 개의 역학 방정식은 보존 방정식으로 재해석된다. 그중 하나는 에너지 보존 법칙을 나타내고, 다른 하나는 확률 및 스핀의 보존을 나타낸다. 양자 퍼텐셜은 총 에너지의 보존을 보장하는 내부 에너지의 역할을 한다.

## 상대론적 및 장론적 확장

### 양자 퍼텐셜과 상대성
봄과 하일리는 능동적 정보의 전달이 빛의 속도보다 빠를 수 있다고 허용된다면 양자 이론의 비국소성이 순수하게 국소적인 이론의 한계 사례로 이해될 수 있으며, 이 한계 사례가 양자 이론과 상대성 이론 모두에 대한 근사치를 산출한다는 것을 입증했다.

양자 퍼텐셜 접근 방식은 하일리와 동료들에 의해 민코프스키 공간 시공간에서의 양자장론으로 확장되었으며 굽은 시공간으로도 확장되었다.

카를로 카스트로(Carlo Castro)와 호르헤 마헤차(Jorge Mahecha)는 연속 방정식과 결합된 해밀턴-야코비 방정식으로부터 슈뢰딩거 방정식을 유도하고, 앙상블 밀도 측면에서 상대론적 봄 양자 퍼텐셜의 특성이 공간의 바일(Weyl) 속성에 의해 설명될 수 있음을 보여주었다. 리만 평탄 공간에서 봄 퍼텐셜은 바일 곡률과 동일함이 밝혀졌다. 카스트로와 마헤차에 따르면, 상대론적 사례에서 양자 퍼텐셜(달랑베르 연산자&nbsp;\scriptstyle\Box를 사용하고 \hbar=1 표기법으로)은 다음과 같은 형태를 취한다.
:Q = - \frac {1}{2m} \frac {\quad \Box \sqrt \rho}{\sqrt \rho}
그리고 상대론적 양자 퍼텐셜에 의해 가해지는 양자력은 바일 게이지 퍼텐셜과 그 도함수에 의존하는 것으로 나타났다. 또한 평탄한 시공간에서 봄의 퍼텐셜과 바일 곡률 사이의 관계는 복소수 운동량을 도입한 후 피셔 정보와 바일 기하학 사이의 유사한 관계에 대응한다.

반면, 디에고 L. 라포포트(Diego L. Rapoport)는 상대론적 양자 퍼텐셜을 메트릭 스칼라 곡률(리만 곡률)과 연관시킨다.

질량과 전하를 가진 입자에 대한 클라인-고든 방정식과 관련하여 피터 R. 홀랜드(Peter R. Holland)는 1993년 자신의 저서에서 \Box R/R에 비례하는 "양자 퍼텐셜과 유사한 항"에 대해 언급했다. 그러나 그는 비상대론적 슈뢰딩거 양자역학에서 할 수 있는 것처럼 클라인-고든 이론에 궤적의 관점에서 단일 입자 해석을 부여하는 것은 수용할 수 없는 불일치를 초래할 것이라고 강조했다. 예를 들어, 클라인-고든 방정식이나 디랙 방정식의 해인 파동 함수 \psi(\mathbf{x},t)는 양자역학의 통상적인 공리에 따라 시간 t에 주어진 부피 d^3 x에서 입자가 발견될 확률 진폭으로 해석될 수 없으며, 인과적 해석에서도 마찬가지로 그 시간에 그 부피에 입자가 있을 확률로 해석될 수 없다. 홀랜드는 특히 뉴턴-위그너 국소화 접근 방식을 사용하여 배위 공간 양자장론의 해석을 가능하게 할 에르미트 위치 연산자를 결정하기 위한 노력이 이루어졌지만, 상대론적 측정 이론의 관점에서 위치의 경험적 결정 가능성이나 궤적 해석과의 연결은 아직 확립되지 않았다고 지적했다. 그러나 홀랜드에 따르면 이것이 상대론적 양자역학의 고려에서 궤적 개념이 폐기되어야 함을 의미하지는 않는다.

흐르보예 니콜리치(Hrvoje Nikolić)는 양자 퍼텐셜의 표현식으로 Q = - (1/2m) \, \Box R/R을 유도했으며, 다입자 파동 함수의 봄 해석에 대한 로렌츠 공변 정식화를 제안했다. 그는 또한 |\psi|^2이 더 이상 공간에서의 확률 밀도가 아니라 시공간에서의 확률 밀도인 일반화된 상대론적 불변 확률론적 양자 이론 해석을 개발했다.

### 양자장론에서의 양자 퍼텐셜
장 좌표의 공간 표현에서 시작하여, 상대론적 양자 이론의 슈뢰딩거 묘사에 대한 인과적 해석이 구축되었다. 실수 값을 갖는 범함수 R \left[ \psi(\mathbf{x},t) \right], S \left[ \psi(\mathbf{x},t) \right]를 사용한 중성, 스핀 0, 질량 없는 장에 대한 슈뢰딩거 묘사 \Psi \left[ \psi(\mathbf{x},t) \right] = R \left[ \psi(\mathbf{x},t) \right] e^{S \left[ \psi(\mathbf{x},t) \right]}는 다음과 같이 유도될 수 있음을 보여줄 수 있다.
:Q \left[ \psi(\mathbf{x},t) \right] = - (1/2R) \int d^3 x \, \delta^2 R / \delta \psi^2 
이것은 봄과 그의 동료들에 의해 **초양자 퍼텐셜**(superquantum potential)이라 불렸다.

배질 하일리는 봄 모델의 에너지-운동량 관계가 양자장론의 에너지-운동량 텐서로부터 직접 얻어질 수 있으며, 양자 퍼텐셜은 국소적 에너지-운동량 보존을 위해 요구되는 에너지 항임을 보여주었다. 그는 또한 쌍생성 임계값보다 높거나 같은 에너지를 가진 입자의 경우, 봄의 모델이 쌍생성 및 쌍소멸 과정을 설명하는 다입자 이론을 구성한다고 암시했다.

## 양자 퍼텐셜의 해석 및 명명
1952년 논문에서 양자역학의 대안적 해석을 제시하며 봄은 이미 "양자역학적" 퍼텐셜에 대해 언급했다.

봄과 배질 하일리는 또한 양자 퍼텐셜이 과정의 형태에 영향을 미치고 환경에 의해 스스로 형성된다는 점을 감안하여 이를 정보 퍼텐셜이라고 불렀다. 봄은 "배나 비행기(자동 파일럿이 장착된)는 자기 활동적인 시스템, 즉 자체 에너지를 가지고 있다. 그러나 그 활동의 형태는 레이더 파동에 의해 전달되는 환경에 관한 정보 내용에 의해 결정된다. 이것은 파동의 강도와는 무관하다. 우리는 마찬가지로 양자 퍼텐셜이 능동적 정보를 포함하고 있는 것으로 간주할 수 있다. 그것은 모든 곳에서 잠재적으로 능동적이지만, 입자가 있는 곳과 시간에만 실제로 능동적이다."라고 기술했다(원문의 이탤릭체).

하일리는 양자 퍼텐셜을 내부 에너지로 지칭하며 "양자 과정에서만 역할을 수행하는 에너지의 새로운 특성"이라고 불렀다. 그는 양자 퍼텐셜이 잘 알려진 운동 에너지와 (고전적) 위치 에너지 이외의 추가적인 에너지 항이며, 에너지 보존의 요구 사항에 비추어 필연적으로 발생하는 비국소적 에너지 항이라고 설명했다. 그는 양자 퍼텐셜 개념에 대한 물리계의 많은 저항이 에너지는 국소적이어야 한다는 과학자들의 기대 때문이었을 것이라고 덧붙였다.

하일리는 봄에게 양자 퍼텐셜이 "양자 정식화의 기저에 무엇이 있을 수 있는지에 대한 통찰력을 얻는 핵심 요소"였다고 강조했다. 봄은 이 접근 방식에 대한 깊은 분석을 통해 이 이론이 기계적일 수 없음을 확신했다. 오히려 그것은 앨프리드 노스 화이트헤드의 의미에서 유기적이다. 즉, 개별 입자와 그들의 관계의 성질을 결정하는 것은 전체이지, 그 반대가 아니라는 것이다."

피터 R. 홀랜드는 그의 포괄적인 교과서에서 이를 양자 퍼텐셜 에너지라고 부르기도 한다. 양자 퍼텐셜은 봄의 이름과 관련하여 봄 퍼텐셜, 양자 봄 퍼텐셜 또는 봄 양자 퍼텐셜이라고도 불린다.

## 응용
양자 퍼텐셜 접근 방식은 슈뢰딩거 방정식을 명시적으로 풀 필요 없이 양자 효과를 모델링하는 데 사용될 수 있으며, 유체역학적 및 표류 확산 방정식을 사용하는 몬테카를로 시뮬레이션과 같은 시뮬레이션에 통합될 수 있다. 이는 궤적의 "유체역학적" 계산 형태로 수행된다. 각 "유체 요소"에서의 밀도에서 시작하여 각 "유체 요소"의 가속도는 V와 Q의 기울기로부터 계산되며, 결과로 나타나는 속도장의 발산이 밀도의 변화를 결정한다.

봄 궤적과 양자 퍼텐셜을 사용하는 접근 방식은 정확하게 풀 수 없는 양자 시스템의 속성을 계산하는 데 사용되며, 이는 종종 반고전적 접근 방식을 사용하여 근사화된다. 평균장 이론 접근 방식에서 고전적 운동을 위한 퍼텐셜이 파동 함수에 대한 평균에서 비롯되는 반면, 이 접근 방식은 파동 함수에 대한 적분 계산을 요구하지 않는다.

양자력에 대한 표현은 베이즈 통계학 분석 및 기댓값-최대화 방법과 함께 고전적 힘과 양자력의 영향 하에 발생하는 궤적 앙상블을 계산하는 데 사용되어 왔다.

## 더 읽어보기
### 기본 논문
*  (full text)
*  (full text)
* D. Bohm, B. J. Hiley, P. N. Kaloyerou: An ontological basis for the quantum theory, Physics Reports (Review section of Physics Letters), volume 144, number 6, pp.&nbsp;321–375, 1987 (full text ), therein: D. Bohm, B. J. Hiley: I. Non-relativistic particle systems, pp.&nbsp;321–348, and D. Bohm, B. J. Hiley, P. N. Kaloyerou: II. A causal interpretation of quantum fields, pp.&nbsp;349–375

### 최근 논문
* 
* 
* 

### 개요
* Davide Fiscaletti: *About the Different Approaches to Bohm's Quantum Potential in Non-Relativistic Quantum Mechanics*, Quantum Matter, Volume 3, Number 3, June 2014, pp.&nbsp;177–199(23), .
* Ignazio Licata, Davide Fiscaletti (with a foreword by B.J. Hiley): *Quantum potential: Physics, Geometry and Algebra*, AMC, Springer, 2013,  (print) /  (online)
* Peter R. Holland: *The Quantum Theory of Motion: An Account of the De Broglie-Bohm Causal Interpretation of Quantum Mechanics*, Cambridge University Press, Cambridge (first published June 25, 1993),  hardback,  paperback, transferred to digital printing 2004
* David Bohm, Basil Hiley: *The Undivided Universe: An Ontological Interpretation of Quantum Theory*, Routledge, 1993, 
* David Bohm, F. David Peat: *[[과학, 질서 그리고 창조성|Science, Order and Creativity]]*, 1987, Routledge, 2nd ed. 2000 (transferred to digital printing 2008, Routledge), 

## 각주

분류:물리량
분류:양자역학 퍼텐셜