이계 도함수의 대칭성

수학에서 **이계 도함수의 대칭성**(symmetry of second derivatives) 또는 **혼합 편도함수의 등식**(equality of mixed partials)은 다변수 함수의 편미분 순서를 바꾸어도
:f\left(x_1,\, x_2,\, \ldots,\, x_n\right)
일부 연속성 조건이 충족되면 결과가 변경되지 않는다는 사실이다(아래 참조). 즉, 이계 편도함수는 다음 항등식을 만족한다.
:\frac {\partial}{\partial x_i} \left( \frac{\partial f}{\partial x_j} \right) \ = \  
       \frac {\partial}{\partial x_j} \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \right).

다른 말로 하면, 헤세 행렬로 알려진 이계 편도함수 행렬은 대칭행렬이다.

대칭성이 성립하기 위한 충분 조건은 **슈바르츠 정리**(클레로 정리 또는 영 정리라고도 함)에 의해 주어진다.

편미분 방정식의 맥락에서는 **슈바르츠 [[미분 계의 적분 가능성 조건|적분 가능성]] 조건**이라고 부른다.

## 대칭성의 형식적 표현
기호로 대칭성은 다음과 같이 표현될 수 있다.

:\frac {\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) \ = \  
       \frac {\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)

\qquad\text{or}\qquad

\frac {\partial^2\! f} {\partial x\,\partial y} \ =\ \frac{\partial^2\! f} {\partial y\,\partial x}.



다른 표기법은 다음과 같다.

:\partial_x\partial_y f = \partial_y\partial_x f \qquad\text{or}\qquad f_{yx} = f_{xy}.

에 대한 편도함수를 취하는 미분 연산자 의 합성으로 표현하면 다음과 같다.

:D_i \circ D_j = D_j \circ D_i.

이 관계로부터 로 생성되는 환의 상수 계수 미분 연산자가 가환이라는 결론이 나온다. 그러나 이것은 충분히 미분 가능한 함수의 정의역에 대한 연산자로서만 사실이다. 단항식에 적용되는 대칭성을 확인하는 것은 쉽다. 따라서 에서 다항식을 정의역으로 취할 수 있다. 실제로 매끄러운 함수는 또 다른 유효한 정의역이다.

## 역사
특정 조건에서 혼합 편도함수의 등식에 대한 결과는 오랜 역사를 가지고 있다. 실패한 제안된 증명 목록은 1740년에 발표된 오일러의 증명으로 시작되었지만, 이미 1721년에 베르누이는 형식적인 정당화 없이 이 결과를 암묵적으로 가정했다. 클레로 또한 1740년에 제안된 증명을 발표했으며, 18세기 말까지 다른 시도는 없었다. 그 이후 70년 동안 여러 불완전한 증명이 제안되었다. 라그랑주의 증명(1797)은 코시에 의해 개선되었지만(1823), 편도함수 \tfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}와 \tfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}의 존재와 연속성을 가정했다. P. 블랑셰(1841), 뒤아멜(1856), 스튀름(1857), 슐뢰밀히(1862), 베르트랑(1864)도 다른 시도를 했다. 마침내 1867년 린델뢰프는 이전의 모든 결함 있는 증명을 체계적으로 분석하여 혼합 도함수가 같지 않은 특정 반례를 제시할 수 있었다.

그로부터 6년 후, 슈바르츠는 최초의 엄밀한 증명을 성공적으로 제시했다. 디니는 나중에 슈바르츠의 조건보다 더 일반적인 조건을 찾아 기여했다. 결국 1883년 조르당에 의해 대부분의 교과서에서 여전히 발견되는 깨끗하고 더 일반적인 버전이 발견되었다. 이전 증명의 작은 변형은 로랑(1885), 페아노(1889 및 1893), J. 에드워즈(1892), P. 하그(1893), J. K. 휘트모어(1898), 비반티(1899), 피어폰트(1905)에 의해 발표되었다. 1907-1909년에 E. W. 홉슨과 W. H. 영이 슈바르츠와 디니의 조건보다 더 약한 조건으로 증명을 찾아 추가적인 진전이 있었다. 1918년 카라테오도리는 르베그 적분을 기반으로 하는 다른 증명을 제시했다.
## 슈바르츠 정리

수학적 해석에서 **슈바르츠 정리** (또는 **혼합 편도함수의 등식에 대한 클레로 정리**)는 알렉시 클로드 클레로와 헤르만 아만두스 슈바르츠의 이름을 따서 명명되었으며, 집합 \Omega \subset \mathbb{R}^n에서 정의된 함수 f \colon \Omega \to \mathbb{R}에 대해 \mathbf{p}\in \mathbb{R}^n이 \mathbf{p}의 근방이 \Omega에 포함되고 f가 \mathbf{p}의 그 근방에서 연속 이계 편미분을 가지면, \{1, 2 \ldots,\, n\}의 모든 와 에 대해 다음이 성립한다.

:
  \frac{\partial^2}{\partial x_i\, \partial x_j}f(\mathbf{p}) =
  \frac{\partial^2}{\partial x_j\, \partial x_i}f(\mathbf{p}).


이 함수의 편도함수는 해당 지점에서 교환된다.

이계 편도함수가 점 \mathbf{p}에서만 미분 가능해야 하는 이 정리의 버전이 존재한다.

이 정리(일반적으로 n = 2, i = 1, j = 2인 경우)를 증명하는 한 가지 쉬운 방법은 f의 기울기에 그린 정리를 적용하는 것이다.

평면의 열린 부분집합에 대한 함수의 초등 증명은 다음과 같다(간단한 환원을 통해 슈바르츠 정리의 일반적인 경우는 쉽게 평면의 경우로 환원된다). 점 (a,b)를 포함하는 열린 직사각형 \Omega에서 미분 가능 함수 f(x,y)가 있다고 하자. 그리고 df가 \Omega 위에서 연속인 \partial_x \partial _y f와 \partial_y\partial_x f를 가진다고 가정하자.

:\begin{align}
  u\left(h,\, k\right) &= f\left(a + h,\, b + k\right) - f\left(a + h,\, b\right), \\
  v\left(h,\, k\right) &= f\left(a + h,\, b + k\right) - f\left(a,\, b + k\right), \\
  w\left(h,\, k\right) &= f\left(a + h,\, b + k\right) - f\left(a + h,\, b\right) - f\left(a,\, b + k\right) + f\left(a,\, b\right).
\end{align}

이 함수들은 \left|h\right|,\, \left|k\right| 에 대해 정의된다. 여기서 \varepsilon > 0 이고 \left[a - \varepsilon,\, a + \varepsilon\right] \times \left[b - \varepsilon,\, b + \varepsilon\right]는 \Omega에 포함된다.

평균값 정리에 의해, 고정된 와 가 0이 아닐 때, \theta, \theta',  \phi, \phi'는 열린 구간  (0,1)에서 다음을 만족한다.

:\begin{align}
     w\left(h,\, k\right)
  &= u\left(h,\, k\right) - u\left(0,\, k\right) = h\, \partial_x u\left(\theta h,\, k\right) \\
  &= h\,\left[\partial_x f\left(a + \theta h,\, b + k\right) - \partial_x f\left(a + \theta h,\, b\right)\right] \\
  &= hk \, \partial_y \partial_x f\left(a + \theta h,\, b + \theta^\prime k\right) \\

     w\left(h,\, k\right)
  &= v\left(h,\, k\right) - v\left(h,\, 0\right) = k\,\partial_y v\left(h,\, \phi k\right) \\
  &= k\left[\partial_y f\left(a + h,\, b + \phi k\right) - \partial_y f\left(a,\, b + \phi k\right)\right] \\
  &= hk\, \partial_x\partial_y f \left(a + \phi^\prime h,\, b + \phi k\right).
\end{align}

h,\,k \neq 0이므로, 아래 첫 번째 등식은 hk로 나눌 수 있다.

:\begin{align}
  hk\,\partial_y\partial_x f\left(a + \theta h,\, b + \theta^\prime k\right) &=
    hk \, \partial_x\partial_y f\left(a + \phi^\prime h,\, b + \phi k\right), \\
 \partial_y\partial_x f\left(a + \theta h,\, b + \theta^\prime k\right) &=
    \partial_x\partial_y f\left(a + \phi^\prime h,\, b + \phi k\right).
\end{align}

마지막 등식에서 h,\,k를 0으로 보내면 \partial_y\partial_x f와 \partial_x\partial_y f에 대한 연속성 가정에 따라 다음이 성립한다.

:
  \frac{\partial^2}{\partial x\partial y}f\left(a,\, b\right) =
  \frac{\partial^2}{\partial y\partial x}f\left(a,\, b\right).


이 설명은 버킬, 아포스톨, 루딘 등 많은 교과서에서 찾아볼 수 있는 간단한 고전적인 방법이다.

위의 유도는 기초적이지만, 이 접근 방식은 더 개념적인 관점에서 볼 수도 있어 결과가 더욱 분명해진다. 실제로 차분 연산자 \Delta^t_x,\,\,\Delta^t_y는 교환 가능하고 \Delta^t_x f,\,\,\Delta^t_y f는 t가 0으로 갈 때 \partial_x f,\,\, \partial_y f로 수렴하며, 2차 연산자에 대해서도 유사한 설명이 있다. 여기서 평면의 벡터 z와 방향 벡터 \tbinom{1}{0} 또는 \tbinom{0}{1}인 u에 대해 차분 연산자는 다음과 같이 정의된다.

:\Delta^t_u f(z)= {f(z+tu) - f(z)\over t}.

열린 구간 I에서 (a,b) \subset I인 C^1 함수 f에 대한 미적분학의 기본 정리에 의해

:\int_a^b f^\prime (x) \, dx = f(b) - f(a).

따라서

:|f(b) - f(a)| \le (b-a)\, \sup_{c\in (a,b)} |f^\prime(c)|.

이것은 평균값 정리의 일반화된 버전이다. 실수 값 함수의 극대 또는 극소에 대한 초등 논의는 f가 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분 가능하면 (a,b)에 다음을 만족하는 점 c가 존재한다는 것을 의미한다.

: {f(b) - f(a) \over b - a} = f^\prime(c).

유한 차원 유클리드 공간 V를 갖는 벡터 값 함수에서는 위 등식의 아날로그가 존재하지 않으며, 실제로 실패한다. 그러나  \inf f^\prime \le f^\prime(c) \le \sup f^\prime이므로 위 부등식은 유용한 대체물이다. 또한 V의 이중 공간을 이중 노름과 짝지으면 다음 부등식이 나온다.

:\|f(b) - f(a)\| \le (b-a)\, \sup_{c\in (a,b)} \|f^\prime(c)\|.

이러한 평균값 정리의 버전은 루딘, 회르만데르 등에서 논의된다.

평면의 열린집합에서 C^2 함수 f에 대해 D_1 = \partial_x 및  D_2 = \partial_y를 정의한다. 또한  t \ne 0에 대해 다음을 설정한다.

:\Delta_1^t f(x,y) = [f(x+t,y)-f(x,y)]/t,\,\,\,\,\,\,\Delta^t_2f(x,y)=[f(x,y+t) -f(x,y)]/t.

그러면 열린집합의 (x_0,y_0)에 대해 일반화된 평균값 정리를 두 번 적용할 수 있다.

: \left|\Delta_1^t\Delta_2^t f(x_0,y_0) - D_1 D_2f(x_0,y_0)\right|\le \sup_{0\le s \le 1} \left|\Delta_1^t D_2 f(x_0,y_0 + ts)  -D_1D_2 f(x_0,y_0)\right|\le \sup_{0\le r,s\le 1} \left|D_1D_2f(x_0+tr,y_0+ts) - D_1D_2f(x_0,y_0)\right|.

따라서 \Delta_1^t\Delta_2^t f(x_0,y_0)는 t가 0으로 갈 때 D_1 D_2f(x_0,y_0)로 수렴한다. 같은 논증은 \Delta_2^t\Delta_1^t f(x_0,y_0)가 D_2 D_1f(x_0,y_0)로 수렴한다는 것을 보여준다. 따라서 차분 연산자는 교환하므로, 주장된 대로 편미분 연산자 D_1과 D_2도 교환한다.

**비고.** 고전적인 평균값 정리의 두 가지 응용에 의해,

:\Delta_1^t\Delta_2^t f(x_0,y_0)= D_1 D_2 f(x_0+t\theta,y_0 +t\theta^\prime)

(0,1)에 있는 일부 \theta와 \theta^\prime에 대해. 따라서 첫 번째 초등 증명은 차분 연산자를 사용하여 재해석될 수 있다. 반대로, 두 번째 증명에서 일반화된 평균값 정리 대신 고전적인 평균값 정리를 사용할 수 있다.

## 반복 적분을 이용한 클레로 정리 증명
콤팩트 직사각형 에서 연속 함수 의 반복 리만 적분 속성은 쉽게 확립된다. 의 균등 연속성은 함수 g(x)=\int_c^d F(x,y)\, dy와 h(y)=\int_a^b F(x,y)\, dx가 연속임을 즉시 의미한다. 다음이 성립한다.

:\int_a^b \int_c^d F(x,y) \, dy\, dx = \int_c^d \int_a^b F(x,y) \, dx \, dy;

더욱이, 가 양수이면 반복 적분도 양수임이 즉시 분명하다. 위의 등식은 측도론을 포함하지 않는 푸비니 정리의 간단한 경우이다. 는 직사각형을 더 작은 직사각형으로 세분하는 것에 해당하는 리만 근사 합을 사용하여 이를 직접적으로 증명한다.

클레로 정리를 증명하기 위해, 열린집합 에서 미분 가능 함수 가 주어지고, 혼합 이계 편도함수 와 가 존재하고 연속이라고 가정하자. 미적분학의 기본 정리를 두 번 사용하면,

:\int_c^d \int_a^b f_{yx}(x,y) \, dx \, dy = \int_c^d f_y(b,y) - f_y(a,y) \, dy  = f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).

마찬가지로,

:\int_a^b \int_c^d f_{xy}(x,y) \, dy \, dx = \int_a^b f_x(x,d) - f_x(x,c) \, dx = f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).

따라서 두 반복 적분은 같다. 다른 한편으로, 가 연속이므로, 두 번째 반복 적분은 먼저 에 대해 적분한 다음 에 대해 적분하여 수행할 수 있다. 그러나 이 경우 에서 의 반복 적분은 사라져야 한다. 그러나 연속 함수 의 반복 적분이 모든 직사각형에 대해 사라지면 는 항등적으로 0이어야 한다. 그렇지 않으면  또는 가 어떤 점에서 엄격하게 양수이고 따라서 연속성에 의해 직사각형 위에서도 양수여야 하는데, 이는 불가능하다. 따라서 는 항등적으로 0이어야 하므로, 어디에서나 가 성립한다.

## 이계 미분 가능성의 충분 조건
두 번째 편도함수의 연속성(이것은 후자에 의해 암시된다)보다 대칭성을 보장하기에 충분한 약한 조건은 모든 편도함수 자체가 미분 가능하다는 것이다. 치환된 혼합 편도함수의 존재가 주장되는 정리의 또 다른 강화는 1890년 마테시스에 대한 짧은 노트에서 페아노가 제공했다.

: 만약 f:E \to \mathbb{R}이 열린집합 E \subset \R^2에 정의되고, \partial_1 f(x,\, y)와  \partial_{2,1}f(x,\, y)가 E의 모든 곳에서 존재하며, \partial_{2,1}f가 \left(x_0,\, y_0\right) \in E에서 연속이고, \partial_{2}f(x,\, y_0)가 x = x_0의 근방에서 존재한다면, \partial_{1,2}f는 \left(x_0,\, y_0\right)에서 존재하고 \partial_{1,2}f\left(x_0,\, y_0\right) = \partial_{2,1}f\left(x_0,\, y_0\right)이다.

## 분포 이론 공식화

분포론 (일반화된 함수)은 대칭성과 관련된 해석적 문제를 해결한다. 적분 가능 함수의 도함수는 항상 분포로 정의될 수 있으며, 혼합 편도함수의 대칭성은 항상 분포의 등식으로 성립한다. 분포의 미분을 정의하기 위해 형식적인 부분 적분을 사용하면 대칭성 문제는 시험 함수로 돌아간다. 시험 함수는 매끄럽고 이 대칭성을 확실히 만족한다. 더 자세히 말하면 (여기서 f는 시험 함수에 대한 연산자로 작성된 분포이고 φ는 시험 함수),
: \left(D_1 D_2 f\right)[\phi] = -\left(D_2f\right)\left[D_1\phi\right] = f\left[D_2 D_1\phi\right] = f\left[D_1 D_2\phi\right] = -\left(D_1 f\right)\left[D_2\phi\right] = \left(D_2 D_1 f\right)[\phi].

함수의 푸리에 변환을 정의하는 또 다른 접근 방식은 이러한 변환에서 편미분이 훨씬 더 분명하게 교환하는 곱셈 연산자가 된다는 점에 주목하는 것이다.

## 연속성 요구 사항
클레로 정리가 만족되지 않으면(이계 편도함수가 연속이 아님) 함수가 미분 가능한 편도함수를 갖지 못하여 대칭성이 깨질 수 있다.

섬네일|right|방정식 ()에 표시된 함수 f(x,&thinsp;y)는 원점에서 대칭적인 이계 도함수를 가지지 않는다.
비대칭의 예는 (페아노에 의한) 다음 함수이다.

이것은 극좌표 형식 f(r \cos(\theta), r\sin(\theta)) = \frac{r^2 \sin(4\theta)}{4}로 시각화될 수 있다. 이 함수는 모든 곳에서 연속이지만, 에서의 도함수는 대수적으로 계산할 수 없다. 오히려 차분 몫의 극한을 보면 f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0임을 알 수 있다. 따라서 그래프 z = f(x, y)는 에서 수평 접평면을 가지며, 편도함수 f_x, f_y는 존재하고 모든 곳에서 연속이다. 그러나 이계 편도함수는 에서 연속이 아니며 대칭성이 실패한다. 사실, x축을 따라 y-도함수는 f_y(x,0) = x이므로 다음과 같다.
:
  f_{yx}(0,0) =
  \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{f_y(\varepsilon,0) - f_y(0,0)}{\varepsilon} =
  1.


반대로 y축을 따라 x-도함수는 f_x(0,y) = -y이므로 f_{xy}(0,0) = -1이다. 즉, 혼합 편도함수가 존재함에도 불구하고 에서 f_{yx} \ne f_{xy}이고, 다른 모든 점에서는 대칭성이 성립한다.

위의 함수를 극좌표로 나타내면 다음과 같다.
:f(r,\, \theta) = \frac{r^2 \sin{4\theta}}{4},

이는 원점을 포함하는 임의로 작은 루프를 한 번 돌 때 함수가 네 번 진동함을 보여준다. 따라서 직관적으로, (0,&thinsp;0)에서의 함수의 국소적 행동은 이차 형식으로 설명될 수 없으며, 따라서 헤세 행렬은 대칭적이지 않다.

일반적으로 극한 연산의 교환은 반드시 교환할 필요는 없다.  근처의 두 변수와 다음 식에 대한 두 가지 극한 과정이 주어졌을 때
:f(h,\, k) - f(h,\, 0) - f(0,\, k) + f(0,\, 0)

이는 h → 0을 먼저 하고 k → 0을 먼저 하는 것에 해당한다. 1차 항을 보면 어떤 것을 먼저 적용하는지가 중요할 수 있다. 이는 이계 도함수가 비대칭적인 병적인 예시의 구성으로 이어진다. 이런 종류의 예시는 함수의 점별 값이 중요한 실해석학 이론에 속한다. 분포로 볼 때 이계 편도함수의 값은 르베그 측도가 0인 한 임의의 점 집합에서 변경될 수 있다. 예시에서 헤세 행렬은 을 제외한 모든 곳에서 대칭이므로, 슈바르츠 분포로 본 헤세 행렬이 대칭이라는 사실과 모순되지 않는다.

## 리 이론에서
1차 미분 연산자 Di를 유클리드 공간의 무한소 연산자로 간주한다. 즉, Di는 xi축에 평행한 평행 이동의 1-매개변수군을 생성한다. 이 군들은 서로 교환하므로 무한소 생성자도 교환한다. 리 괄호

: [Di, Dj] = 0

는 이 속성을 반영한다. 다시 말해, 한 좌표에 대한 다른 좌표의 리 미분은 0이다.

## 미분 형식에 대한 적용
클레로-슈바르츠 정리는 모든 C^\infty (또는 적어도 두 번 미분 가능한) 미분 형식 \omega\in\Omega^k(M)에 대해 두 번째 외미분이 소멸한다는 것을 증명하는 데 필요한 핵심 사실이다: d^2\omega := d(d\omega) = 0. 이는 모든 미분 가능한 완전 미분 형식 (즉, 어떤 형식 \omega에 대해 \alpha = d\omega인 형식 \alpha)이 닫힌 형식임을 의미한다 (즉, d\alpha = 0), 왜냐하면 d\alpha = d(d\omega) = 0이기 때문이다.

18세기 중반, 미분 형식 이론은 평면에서의 1차 형식, 즉 A\,dx + B\,dy의 가장 간단한 경우에서 처음 연구되었다. 여기서 A와 B는 평면에서의 함수이다. 1차 형식과 함수의 미분에 대한 연구는 클레로의 1739년과 1740년 논문에서 시작되었다. 그 단계에서 그의 연구는 상미분 방정식을 해결하는 방법으로 해석되었다. 클레로는 형식적으로 열린 직사각형에서 1차 형식 \omega = A \, dx + B \, dy가 닫힌 형식, 즉 d\omega=0이라는 것을 보였다. 이는 \omega가 디스크에서 어떤 함수 f에 대해 df의 형태를 가질 때만 성립한다. f에 대한 해는 코시의 적분 공식으로 쓸 수 있다.

:f(x,y)=\int_{x_0}^x A(x,y)\, dx + \int_{y_0} ^y B(x,y)\, dy;

반면  \omega= df인 경우, 닫힌 속성  d\omega=0은 항등식 \partial_x\partial_y f = \partial_y\partial_x f이다. (현대 언어로는 이것이 푸앵카레 보조정리의 한 버전이다.)

## 내용주

## 각주
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* (reprinted 1978)
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## 더 읽어보기
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분류:대칭
분류:다변수 미적분학
분류:해석학 정리