외측도

측도론에서 **외측도**(外測度, )는 집합의 덮개를 통해 부피를 근사하는 함수이다.

## 정의
집합 X 위의 **(추상적) 외측도**((抽象的)外測度, )는 다음 세 조건을 만족시키는 함수
:\mu^*\colon\mathcal P(X)\to[0,\infty]
이다.
* \mu^*(\varnothing)=0
* 임의의 S\subseteq T\subseteq X에 대하여, \mu^*(S)\le\mu^*(T)
* (가산 준가법성) 임의의 가산 집합 \mathcal S\subseteq\mathcal P(X) (|\mathcal S|\le\aleph_0)에 대하여, \textstyle\mu^*\left(\bigcup\mathcal S\right)\le\sum\mu^*(\mathcal S)

집합 X 위의 외측도 \mu^*에 대한 **카라테오도리 가측 집합**(Καραθεοδωρή可測集合, )은 다음 조건을 만족시키는 집합 S\subseteq X이다.
* 임의의 T\subseteq X에 대하여, \mu^*(T)=\mu^*(S\cap T)+\mu^*(T\setminus S)
카라테오도리 가측 집합의 집합은 \mathcal M(\mu^*)로 표기한다.

## 성질
집합 X 위의 외측도 \mu^*에 대하여, \mathcal M(\mu^*)는 \mathcal P(X)의 부분 시그마 대수를 이루며, \mu^*|_{\mathcal M(\mu^*)}는 (X,\mathcal M(\mu^*)) 위의 측도를 이루며, 또한 완비 측도를 이룬다. 즉, (X,\mathcal M(\mu^*),\mu^*|_{\mathcal M(\mu^*)})는 완비 측도 공간이다.

### 거리 외측도
거리 공간 (X,d_X) 속 두 집합 S,T\subseteq X 사이의 **거리**는 다음과 같다.
:d_X(S,T)=\inf_d_X(s,t)

거리 공간 (X,d_X) 위의 외측도 \mu^*에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 \mu^*를 **거리 외측도**(距離外測度, )라고 한다.
* 임의의 S,T\subseteq X에 대하여, 만약 d_X(S,T)>0이라면, \mu^*(S\cup T)=\mu^*(S)+\mu^*(T)
* \mathcal B(X)\subseteq\mathcal M(\mu^*). 즉, 모든 보렐 집합은 \mu^*-카라테오도리 가측 집합이다. (이에 따라 (X,\mathcal B(X),\mu^*|_{\mathcal B(X)})는 측도 공간을 이루지만, 이는 완비 측도 공간일 필요가 없다.)
* 모든 열린집합은 \mu^*-카라테오도리 가측 집합이다.

거리 공간 (X,d_X) 위의 거리 외측도 \mu^*가 주어졌을 때, 모든 상반연속 함수와 하반연속 함수 (X,\mathcal M(\mu^*))\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))는 가측 함수이다.

### 카라테오도리 확장 정리

집합 X 속의 **[[집합 반환]]**은 다음 세 조건을 만족시키는 집합족 \mathcal S\subseteq\mathcal P(X)이다.
* \varnothing\in\mathcal S
* (이항 교집합에 대한 닫힘) 임의의 S,T\in\mathcal S에 대하여, S\cap T\in\mathcal S
* 임의의 S,T\in\mathcal S에 대하여, \textstyle S\setminus T=\bigcup\mathcal F인 유한 개의 서로소 집합들의 족 \mathcal F\subseteq\mathcal S (|\mathcal F|)이 존재한다.

집합 X 속의 집합 반환 \mathcal S 위에 정의된, 음이 아닌 확장된 실수 값의 함수
:\mu\colon\mathcal S\to[0,\infty]
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 \mu를 \mathcal S 위의 **준측도**(準測度, )라고 한다.
* (가산 가법성) 임의의 가산 서로소 집합 \mathcal T\subseteq\mathcal S (|\mathcal T|\le\aleph_0)에 대하여, 만약 \textstyle\bigcup\mathcal T\in\mathcal S이라면, \textstyle\mu\left(\bigcup\mathcal T\right)=\sum\mu(\mathcal T). (특히, \mathcal T=\varnothing을 생각하면 \mu(\varnothing)=0을 얻는다.)
* 다음 두 조건을 만족시킨다.
** (유한 가법성) 임의의 유한 서로소 집합 \mathcal T\subseteq\mathcal S (|\mathcal T|)에 대하여, 만약 \textstyle\bigcup\mathcal T\in\mathcal S이라면, \textstyle\mu\left(\bigcup\mathcal T\right)=\sum\mu(\mathcal T). (특히, \mathcal T=\varnothing을 생각하면 \mu(\varnothing)=0을 얻는다.)
** (가산 준가법성) 임의의 가산 집합 \mathcal T\subseteq\mathcal S (|\mathcal T|\le\aleph_0)에 대하여, 만약 \textstyle\bigcup\mathcal T\in\mathcal S이라면, \textstyle\mu\left(\bigcup\mathcal T\right)\le\sum\mu(\mathcal T)

집합 X 속의 집합족 \mathcal S\subseteq\mathcal P(X)에 대하여, \sigma(\mathcal S)가 \mathcal S로 생성된 최소의 시그마 대수라고 하자.

다음이 주어졌다고 하자.
* 집합 X
* 집합 반환 \mathcal S\subseteq\mathcal P(X)
* 준측도 \mu\colon\mathcal S\to[0,\infty]
이제, 다음과 같은 함수를 정의하자.
:\mu^*\colon\mathcal P(X)\to[0,\infty]
:\mu^*\colon A\mapsto\inf\left\{\sum\mu(\mathcal T)\colon\mathcal T\subseteq\mathcal S,\;|\mathcal T|\le\aleph_0,\;A\subseteq\bigcup\mathcal T\right\}
**[[카라테오도리 확장 정리]]**에 따르면, 다음 조건들이 성립한다.
* \mu^*는 X 위의 외측도이다.
* \sigma(\mathcal S)\subseteq\mathcal M(\mu^*)
* \mu^*|_{\mathcal S}=\mu
* 만약 \textstyle X=\bigcup\mathcal T이며 \infty\not\in\mu(\mathcal T)인 가산 집합 \mathcal T\subseteq\mathcal S (|\mathcal T|\le\aleph_0)이 존재한다면, \mu^*|_{\sigma(\mathcal S)}는 (\mu^*|_{\sigma(\mathcal S)})|_{\mathcal S}=\mu를 만족시키는 유일한 \sigma(\mathcal S) 위의 측도이다.
그러나 \sigma(\mathcal S)보다 큰 시그마 대수 위에서 \mu의 확장은 일반적으로 유일하지 않다.

## 예
### 1차원 르베그-스틸티어스 외측도

실수선 \mathbb R 위에서, 구간들의 족
:\mathcal S_1=\{(a,b]\}_{-\infty\le a\le b
은 집합 반환을 이루며, \mathbb R\in\mathcal S이다. 또한, \sigma(\mathcal S)=\mathcal B(\mathbb R)이다.

임의의 증가 함수 F\colon\mathbb R\to\mathbb R에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.
:\mu_F\colon\mathcal S_1\to[0,\infty]
:\mu_F\colon(a,b]\mapsto F(b^+)-F(a^+)
:\mu_F\colon(a,\infty)\mapsto F(\infty)-F(a^+)
그렇다면, \mu_F는 \mathcal S_1 위의 준측도를 이룬다. 이 경우 (\mathbb R,\mathcal M(\mu_F^*),\mu_F^*|_{\mathcal M(\mu_F^*)}) (또는 (\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R),\mu_F^*|_{\mathcal B(\mathbb R)}))를 **[[르베그-스틸티어스 측도]]** 공간이라고 한다.

자명하게 \mu_F는 \mu_F(\varnothing)=0과 유한 가법성을 만족시킨다. 따라서 가산 준가법성을 보이면 된다. 임의의 가산 집합 \mathcal S\subseteq\Sigma_0 (|\mathcal S|\le\aleph_0)
이 주어졌고, \textstyle\bigcup\mathcal S\in\Sigma_0이라고 하자. 편의상 \mathcal S의 모든 원소가 유계 구간이며,
:\bigcup\mathcal S=(\widetilde a,\infty)
:\widetilde a\in\mathbb R
:F(\infty)
라고 가정하자. (다른 경우의 증명은 유사하므로 생략할 수 있다.) 임의의 [a,b]\subseteq(\widetilde a,\infty) 및 \epsilon>0에 대하여,
:\sum_{(c,d]\in\mathcal S}\epsilon_{(c,d]}=\epsilon
인 \epsilon_{(c,d]}>0을 취하자. 그렇다면 x\mapsto F(x^+)가 우연속 함수임에 따라
:F({e_{(c,d]}}^+)
인 e_{(c,d]}>d가 존재한다. \{(c,e_{(c,d]})\}_{(c,d]\in\mathcal S}는 [a,b]의 열린 덮개를 이루며, 하이네-보렐 정리에 의하여 이는 유한 부분 덮개
:\{(c,e_{(c,d]})\}_{(c,d]\in\mathcal F}
:\mathcal F\subseteq\mathcal S
:|\mathcal F|
를 갖는다. 따라서
:\begin{align}
\mu_F((a,b])
& = F(b^+)-F(a^+) \\
& \le \sum_{(c,d]\in\mathcal F}(F({e_{(c,d]}}^+)-F(c^+)) \\
& \le \sum_{(c,d]\in\mathcal S}(F({e_{(c,d]}}^+)-F(c^+)) \\
& \le \sum_{(c,d]\in\mathcal S}(F(d^+)-F(c^+))+\epsilon \\
& = \sum_{(c,d]\in\mathcal S}\mu_F((c,d])+\epsilon
\end{align}
이다. 여기서 첫 번째 부등호는
:\sup\{e_{(c_n,d_n]}\colon
n\in\mathbb Z^+,\;
(c_1,d_1],\dots,(c_n,d_n]\in\mathcal F,\;
a\in(c_1,e_{(c_1,d_1]}),\;
e_{(c_i,d_i]}\in(c_{i+1},e_{(c_{i+1},d_{i+1}]})\forall i\in\{1,\dots,n-1\}
\}>b
때문이다. 여기에 \epsilon\to 0을 취하면
:\mu_F((a,b]) \le \sum_{(c,d]\in\mathcal S}\mu_F((c,d])
를 얻으며, 다시 a\to \widetilde a 및 b\to\infty를 취하면 x\mapsto F(x^+)의 우연속성에 따라
:\mu_F((\widetilde a,\infty)) \le \sum_{(c,d]\in\mathcal S}\mu_F((c,d])
를 얻는다.

### ''n''차원 르베그-스틸티어스 외측도

임의의 a_1,b_1\in\mathbb R에 대하여, 선형 연산자
:\Delta_{n,a_1,b_1}\colon{\mathbb R}^{\mathbb R^n}\to{\mathbb R}^{\mathbb R^{n-1}}
:\Delta_{n,a_1,b_1}\colon F\mapsto F(b_1,\cdot)-F(a_1,\cdot)
를 정의하자.

또한, 임의의 a,b\in\mathbb R^n에 대하여,
:\Delta_{a,b}=\Delta_{1,a_n,b_n}\circ\Delta_{2,a_{n-1},b_{n-1}}\circ\cdots\circ\Delta_{n,a_1,b_1}\colon{\mathbb R}^{\mathbb R^n}\to\mathbb R
라고 하자.

함수
:F\colon\mathbb R^n\to\mathbb R
:\Delta_{a,b}F\ge 0\qquad(a_i\le b_i)
가 주어졌을 때, 집합 반환
:\mathcal S_n=\left\{\prod_{i=1}^nS_i\colon S_i\in\mathcal S_1\right\}
:\mathbb R^n\in\mathcal S_n
:\sigma(\mathcal S_n)=\mathcal B(\mathbb R^n)
위에 준측도
:\mu_F\colon\prod_{i=1}^n(a_i,b_i]\mapsto\lim_{\delta_i,\epsilon_i\to 0^+}\Delta_{a+\delta,b+\epsilon}F
를 유도할 수 있으며, 카라테오도리 확장 정리에 따라 르베그-스틸티어스 측도 공간 (\mathbb R^n,\mathcal M(\mu_F^*),\mu_F^*|_{\mathcal M(\mu_F^*)})을 구성할 수 있다.

### 르베그 외측도

함수
:F\colon\mathbb R\to\mathbb R
:F\colon x\mapsto x
또는
:F\colon\mathbb R^n\to\mathbb R
:F\colon x\mapsto x_1x_2\cdots x_n
에 대한 르베그-스틸티어스 외측도를 **[[르베그 외측도]]**라고 하며, 이에 대응하는 측도를 **[[르베그 측도]]**라고 한다.

### 하우스도르프 외측도

하우스도르프 외측도는 거리 외측도이다.

## 각주

## 외부 링크
* 
* 

분류:측도론