SU(2)의 표현론

리 군의 표현론 연구에서 특수 유니터리 군 \mathrm{SU}(2)의 표현에 대한 연구는 반단순 리 군의 표현 연구에 기본이다. 콤팩트 군이자 비가환 군인 리 군의 첫 번째 사례이다. 첫 번째 조건은 표현론이 이산적이라는 것을 의미한다. 표현은 기본적 기약 표현 모음의 직합이다(페터-바일 정리에 의해 지배됨). 두 번째는 1보다 큰 차원에서 기약 표현이 있음을 의미한다.

\mathrm{SU}(2)는 <math>\mathrm{SO}(3)</math>의 보편 덮개 군이므로 그 표현론은 전사 준동형사상에 따라 후자의 표현론을 포함한다. 이는 이론물리학에서 비상대론적 스핀을 설명하기 위한 \mathrm{SU}(2)의 중요성에 기초한다. 다른 물리적, 역사적 맥락은 아래 참조.

아래에 표시된 것처럼 \mathrm{SU}(2)의 m + 1차원 기약 표현은 음이 아닌 정수 m으로 아래첨자를 붙인다. 물리학 문헌에서 표현은 l = m/2으로 아래첨자를 붙인다. 여기서 l는 정수이거나 반정수이고 2l + 1 차원이다.

## 리 대수 표현
군의 표현은 \mathrm{SU}(2)의 리 대수 \mathfrak{su}(2)의 표현을 고려하여 찾는다. 군 \mathrm{SU}(2)는 단일 연결되어 있으므로 해당 리 대수의 모든 표현은 군 표현으로 통합될 수 있다. 우리는 아래 군 수준에서 표현의 명시적인 구성을 제공할 것이다.

### 실수 리 대수와 복소화된 리 대수
실수 리 대수 \mathfrak{su}(2)에서 다음과 같은 기저가 있다.

u_1 = \begin{bmatrix}
    0 & i\\
    i & 0
  \end{bmatrix} ,\qquad
  u_2 = \begin{bmatrix}
    0 & -1\\
    1 &  ~~0
  \end{bmatrix} ,\qquad
  u_3 = \begin{bmatrix}
    i &  ~~0\\
    0 & -i
  \end{bmatrix}~,


(이 기저 행렬들은 u_1 = +i\ \sigma_1 \;, \, u_2 = -i\ \sigma_2 \;,  u_3 = +i\ \sigma_3과 같이 파울리 행렬과 관련된다. )

이 행렬들은 사원수를 표현한다.

:  u_1\,u_1 = -I\,, ~~\quad u_2\,u_2 = -I \,, ~~\quad u_3\,u_3 = -I\, ,
:  u_1\,u_2 = +u_3\,, \quad u_2\,u_3 = +u_1\,, \quad u_3\,u_1 = +u_2\, ,
:  u_2\,u_1 = -u_3\,, \quad u_3\,u_2 = -u_1\,, \quad u_1\,u_3 = -u_2 ~.
:

여기서 는 일반적인 2×2 단위 행렬이다. ~~I = \begin{bmatrix}
 1 & 0\\
 0 & 1
\end{bmatrix} ~.

결과적으로, 행렬의 교환자는 다음을 충족한다.

: [u_1, u_2] = 2 u_3\, ,\quad [u_2, u_3] = 2 u_1\, ,\quad [u_3, u_1] = 2 u_2 ~.
:

그런 다음 복소화된 리 대수로 전달하는 것이 편리하다.

: \mathrm{su}(2) + i\,\mathrm{su}(2) = \mathrm{sl}(2;\mathbb C) ~.

(대각합 0인 반 자기 수반 행렬과 대각합 0인 자기 수반 행렬은 모든 행렬에 대각합 0을 제공한다.) \mathbb C 위에서 표현을 다루는 한, 실수에서 복소화된 리 대수 \mathfrak{su}(2)로 가는 것은 적절하다. 복소화로 넘어가는 이유는 실수 리 대수에는 존재하지 않는 유형의 좋은 기저를 구성할 수 있게 해주기 때문이다.

복소화 된 리 대수는 다음과 같은 세 가지 원소 X, Y, H로 구성된다.

: 
 H = \frac{1}{i}u_3, \qquad
 X = \frac{1}{2i}\left(u_1 - iu_2\right), \qquad
 Y = \frac{1}{2i}(u_1 + iu_2) ~;


또는 명시적으로,

: 
 H = \begin{bmatrix}
  1 & ~~0\\
  0 & -1
 \end{bmatrix}, \qquad
 X = \begin{bmatrix}
  0 & 1\\
  0 & 0
 \end{bmatrix}, \qquad
 Y = \begin{bmatrix}
  0 & 0\\
  1 & 0
 \end{bmatrix}
~.

군의 곱셈표의 자명하지 않거나 동일하지 않은 부분은 다음과 같다.

:  H \, X ~=~~~~X ,\qquad H \, Y ~=  -Y ,\qquad X \, Y ~=~ \tfrac{1}{2}\left(I + H \right),
:  X \, H ~=  -X ,\qquad Y \, H ~=~~~~Y ,\qquad Y \, X ~=~ \tfrac{1}{2}\left(I - H \right),
:  H \, H ~=~~~I~ ,\qquad X \, X ~=~~~~O ,\qquad Y \, Y ~=~ ~O ~~;

여기서 는 2×2 영행렬이다. 따라서 이들의 교환자는 다음과 같다.

: [H, X] = 2\,X \,, \qquad [H, Y] = -2\,Y \,, \qquad [X, Y] = H ~.

원소 H, X, Y는 인수 2와 함께 각각 각운동량 연산자 J_z, J_+, J_-로 식별될 수 있다. 인수 2는 수학과 물리학에서 관례가 서로 달라서 들어갔다. 앞으로 결과에서는 두 가지 관례 모두에 대하여 적을 것이다.

### 가중치와 표현의 구조
이 설정에서 H의 고유값은 표현의 **가중치**라고 한다. 다음 기본 결과가 분석의 핵심 단계이다. v가 H의 고유값 \alpha에 대한 고유벡터라고 하자. 즉, \; H \, v = \alpha\, v ~. 그러면

: \begin{align}
 H \, (X \, v) ~=~ (\, X \, H + [H,X] \,)\, v ~&=~ (\alpha + 2)\, X \, v \; ,\\[3pt]
 H \, (Y \, v) ~=~ (\, Y \, H +\, [H,Y] \,)\, v ~&=~ (\alpha - 2)\, Y \, v ~.
\end{align}

다시 말해서, \, X\, v \,는 영벡터이거나 \, H \,의 고유값 \, \alpha + 2 \,에 대한 고유벡터이다. 그리고 \, Y \, v \,는 0이거나 \, H \,의 고유값 \alpha - 2에 대한 고유벡터이다. 따라서 연산자 \, X \,는 **상승 연산자** 역할을 하며 가중치를 2만큼 증가시킨다. \, Y \,는 **하강 연산자** 역할을 한다.

이제 \, V \,를 복소화된 리 대수의 기약 유한차원 표현이라고 하자. 그러면 \, H \,의 고유값 집합은 유한 집합이다. 따라서, \, \lambda + 2 \,는 더 이상 고유값이 아닌 마지막 고유값 \; \lambda \in \mathbb{C} \;이 있어야 한다. \, v_0 \,가 \, H \,의 그 고유값 \lambda에 대한 고유벡터라 하자.

: H \, v_0 = \lambda \, v_0 \; ,

그러면

: X \, v_0 = 0 \; ,

이 성립하거나, 그렇지 않으면 위의 항등식이 \, X \, v_0 \,가 고유값 \lambda + 2을 갖는 고유벡터임을 말한다.

이제 벡터들 v_0, v_1, \ldots의 "사슬"을

: v_k = Y^k \, v_0

로 정의하자.

간단한 귀납법에 의해 모든 k = 1, 2, \ldots ~.에 대해

: X \, v_k = k\,(\lambda - (k - 1))\,v_{k-1}

임을 보일 수 있다. 이제 \, v_k \,가 영벡터가 아니면, H의 고유값 \lambda - 2k에 대한 고유벡터이다. 다시 말하지만, \, H \,는 고유벡터를 유한개 가지므로 \, v_\ell \,는 어떤 \, \ell \,에 대해 0이어야 한다.(그러면 모든 \, k > \ell \,에 대해v_k = 0 ).

v_m가 사슬의  0이 아닌 마지막 벡터라 하자. 즉,\; v_m \neq 0 \;이고 \; v_{m+1} = 0 ~. 그럼 당연히 \; X \, v_{m+1} = 0 \;이고, 위의 항등식에 의해 k = m + 1 \;,

: \; 0 = X \, v_{m+1} = (m + 1)\,(\lambda - m)\,v_m ~.

\, m + 1 \,은 적어도 1이고 \, v_m \neq 0이므로, \, \lambda \, *음이 아닌 정수* \, m *와 같아야 한다.*

따라서 \, Y \,가

:  Y \, v_m = 0, \quad Y \, v_k = v_{k+1} \quad (k 

로 작용하는 \, m + 1 \,개 벡터들, v_0, v_1, \ldots, v_m 의 사슬을 얻는다.

그리고 \, X \,는

:  X \, v_0 = 0, \quad X \, v_k = k \, (m - (k - 1)) \, v_{k-1} \quad (k \ge 1)
:

로 작용한다.

그리고 \, H \,는

: H \, v_k = (m - 2k) \, v_k ~. .

로 작용한다.(\lambda를 위의 공식에서 현재 알려진 값 \, m \,으로 바꿈)

벡터 \, v_k \,는 각각 H의 서로 다른 고유값에 대한 고유벡터이므로, 선형 독립이어야 한다. 게다가, \; v_0, \ldots, v_m \;로 생성된 집합은 복소화된 리 대수의 작용 하에서는 분명히 불변이다. V가 기약이라고 가정했으므로, 이 생성된 집합은 V와 같아야 한다.  그리하여 기약 표현이 어떤 모습이어야 하는지에 대한 완전한 설명을 얻게 된다. 즉, 공간의 기저이자 리 대수의 생성자들이 어떻게 작용하는지에 대한 완전한 설명이다. 반대로 임의의 \; m \geq 0 \;인 경우에는  위의 공식을 사용하고 교환 관계가 유지되는지 확인함으로써 표현을 구성할 수 있다. 그러면 이 표현은 기약으로 나타낼 수 있다.

**결론**: 음이 아닌 정수 m  각각에 대해 최대 가중치 m을 갖는 유일한 기약 표현이 있다. 각각의 기약 표현은 이들 중 하나와 동일하다. 최대 가중치\, m \,인 표현은 \, m + 1 \,차원이고 중복도 1인 가중치들 m, m - 2, \ldots, -(m - 2), -m을 갖는다.

### 카시미르 원소
이제 (2차) 카시미르 원소 C를 소개한다.

: C = -\left(u_1^2 + u_2^2 + u_3^2\right)

C를 보편 포락 대수의 원소 또는 각 기약 표현의 연산자로 볼 수 있다. \, C \,를 가장 높은 가중치 \, m \,를 갖는 표현에 대한 연산자로서 보면, \, C \,는 각 u_i와 교환한다는 것을 쉽게 계산할 수 있다. 따라서 슈어 보조 정리에 따르면, \, C \,는 각 m에 대한 항등식의 스칼라 배 c_m로 작용한다. C를 기저 \,\{ H, X, Y \} \,를 통해 쓸 수 있다:

: C = (X + Y)^2 - (-X + Y)^2 + H^2 \; ,

이는 다음과 같이 줄일 수 있다.

: C = 4YX + H^2 + 2H ~.

가장 높은 가중치 \, m \,을 가진 표현에서 \, C \,의 고유값은  \, C \,를 가장 높은 가중치 벡터에 적용하여 계산할 수 있다. 이는 X에 의해 소멸된다.  따라서

: c_m = m^2 + 2m = m(m + 2) ~.

물리학 문헌에서 카시미르 원소는 \; C' = \frac{1}{4}과 같이 정규화된다. \; \ell = \frac{1}{2}\,m로 첨자를 붙이면 \, C' \,의 고유값 \, d_\ell \,는 다음과 같이 계산된다.

:  d_\ell = \frac{1}{4}\,(2\ell)\,(2\ell + 2) = \ell \,(\ell + 1) ~.

## 군 표현

### 다항식에 대한 조치
\mathrm{SU}(2)는 단일 연결이기 때문에 일반적인 결과는 \mathrm{SU}(2) 자체의 (복소화된) 리 대수의 모든 표현이 \mathrm{SU}(2) 자체의 표현을 발생시킨다는 것을 보여준다. 그러나 군 수준에서 표현을 명시적으로 구현하는 것이 바람직하다. 군 표현은 두 개의 복소수 변수의 다항식 공간에서 실현될 수 있다. 음이 아닌 각 정수 m에 대해, V_m를 복소 이변수 m차 동차 다항식 p의 공간이라 하자. 그러면 V_m의 차원은 m + 1이다. 다음과 같이 각각 V_m에 대한 \mathrm{SU}(2)의 자연스러운 작용이 있다:

: [U \cdot p](z) = p\left(U^{-1}z\right),\quad z\in\mathbb C^2,\, U\in\mathrm{SU}(2) .

관련된 리 대수 표현은 단순히 이전 절에서 설명한 것이다. (다항식 공간에 대한 리 대수의 작용에 대한 명시적인 공식은 여기 참조.)

### 특성
표현 \Pi: G \rightarrow \operatorname{GL}(V)의 특성은 함수 \Chi: G \rightarrow \mathbb{C}

: \Chi(g) = \operatorname{trace}(\Pi(g))

이다.

특성은 콤팩트 군 표현에서 중요한 역할을 한다. 특성은 클래스 함수, 즉 켤레 불변인 것으로 쉽게 볼 수 있다.

\mathrm{SU}(2)의 경우 특성이 클래스 함수라는 사실은 문자가 극대 원환면 T의 값에 의해 결정됨을 의미한다.  원소는 스펙트럼 정리에 따라 직교 대각선화 가능하므로 \mathrm{SU}(2)의 대각 행렬로 구성된다. 가장 높은 가중치 m를 갖는 기약 표현은 가중치 m, m - 2, \ldots, -(m - 2), -m를 갖기 때문에, 연관된 특성이

: \Chi\left(\begin{pmatrix}
 e^{i\theta} & 0\\
 0 & e^{-i\theta}
\end{pmatrix}\right) = e^{im\theta} + e^{i(m-2)\theta} + \cdots + e^{-i(m-2)\theta} + e^{-im\theta}.

을  만족함을 쉽게 알 수 있다. 이 표현식은 다음과 같이 단순화할 수 있는 유한 기하 급수이다.

: \Chi\left(\begin{pmatrix}
 e^{i\theta} & 0\\
 0 & e^{-i\theta}
\end{pmatrix}\right) = \frac{\sin((m + 1)\theta)}{\sin(\theta)}.

이 마지막 표현은 \mathrm{SU}(2)에 대한 바일 지표 공식의 설명일 뿐이다.

실제로, 콤팩트 군의 표현론에 대한 바일의 원래 분석에 따라 리 대수 표현을 전혀 사용하지 않고도 군 관점에서 표현을 완전히 분류할 수 있다. 이 접근 방식에서 바일 지표 공식은 페터-바일 정리와 함께 분류에서 필수적인 역할을 한다. 이 이야기의 \mathrm{SU}(2) 사례는 여기에 설명되어 있다.

### SO(3) 표현과의 관계
표현의 모든 가중치가 짝수(만약 m 짝수) 또는 모든 가중치가 홀수(m이 홀수인 경우)이다. 물리적 측면에서 이러한 구별은 중요하다. 짝수 가중치 표현은 회전 군 SO(3)의 일반적인 표현에 해당한다. 대조적으로, 홀수 가중치를 갖는 표현은 사영 표현이라고도 알려진 SO(3)의 이중 값(스피너) 표현에 해당한다.

물리학의 관례에서는 m이 짝수임은 l이 정수임을 뜻하고 m이 홀수임은  l 반정수임에 해당한다. 이 두 가지 경우는 각각 정수 스핀과 반정수 스핀으로 설명된다. 홀수 양의 값 m을 갖는 표현은 \mathrm{SU}(2)를 충실하게 표현하는 반면, 음수가 아닌 m \mathrm{SU}(2)의 표현은 충실하지 않다.

## 또 다른 접근법
Borel–Weil–Bott 정리의 예를 참조.

## 가장 중요한 기약 표현과 그 응용
\mathrm{SU}(2)의 표현은 유클리드 3공간의 회전 군을 이중으로 덮기 때문에 비상대론적 스핀을 설명한다. 상대론적 스핀은 회전 군의 상대론적 버전인 SO <sup>+</sup> (1;3)을 유사한 방식으로 다루는 \mathrm{SU}(2)의 초군인 SL2(**C**)의 표현론으로 설명된다. \mathrm{SU}(2) 대칭은 또한 아이소스핀 과 약한 아이소스핀 (총칭하여 *아이소스핀 )*의 개념을 지원한다.

m = 1 (즉, 물리학 관례에서 l = 1/2) 표현은 \mathrm{SU}(2)의 기본 표현인 **2** 표현이다. \mathrm{SU}(2)의 원소가 복소수  행렬로 작성되면 이는 단순히 열 2-벡터 의 곱셈이다. 물리학에서는 스핀-½로 알려져 있으며, 역사적으로는 사원수의 곱셈(보다 정확하게는 단위 쿼터니언의 곱셈)으로 알려져 있다. 이 표현은 회전 군 SO(3)의 이중 값 사영 표현으로 볼 수도 있다.

m = 2 (즉, l = 1 )표현은 **3** 표현, 딸림표현이다. SO(3)의 표준 표현인 3차원 회전을 설명하므로 실수 만으로도 충분하다. 물리학자들은 벡터 중간자와 같은 거대한 스핀-1 입자를 설명하기 위해 이를 사용하지만, 스핀 상태를 물리적 3-공간의 기하학에 고정시키기 때문에 스핀 이론에 대한 중요성은 훨씬 더 높다. 이 표현은 윌리엄 로언 해밀턴이 \mathrm{SU}(2)의 원소에 대한 그의 용어인 versors를 도입했을 때 **2**와 동시에 나타났다. 해밀턴의 작업이 리 군의 등장보다 앞서기 때문에 표준 군론 용어를 사용하지 않는다.

m = 3 (즉 l = 3/2 ) 표현은 델타 중입자 Δ와 같은 특정 중입자에 대한 입자 물리학에서 사용된다.

## 같이 보기
* 회전 연산자(벡터 공간)
* 회전 연산자(양자역학)
* SO(3)의 표현론
* SO(3)와 SU(2)의 연결
* SL(2, R)의 표현론
* 약-전기 상호작용
* 회전 군 SO(3) § 리 대수에 대한 참고 사항

## 각주

* 
* Gerard 't Hooft (2007), ''Lie groups in Physics'', Chapter 5 "Ladder operators"
* 

분류:3차원 회전