사영 공간의 대수 기하학

**[[사영 공간]]**의 개념은 대수기하학에서 중심적인 역할을 한다. 이 문서는 추상 대수기하학의 관점에서 개념을 정의하고 사영 공간의 몇 가지 기본 응용을 설명하는 것을 목표로 한다.

## 동차 다항식 이데알
*<math>\mathbb k</math>*를 대수적으로 닫힌 체 라고 하고 *<math>V</math>*를 *<math>\mathbb k</math>* 위의 유한차원 선형 공간이라고 하자. 쌍대 선형 공간 *<math>V^*</math>*의 대칭 대수는 *<math>V</math>* 위의 다항식 환이라고 하며 *<math>\mathbb k[V]</math>*로 표시된다. 다항식의 차수에 따라 자연스럽게 등급 대수이다.

사영 영점 정리는 특정 차수의 모든 다항식을 포함하지 않는 동차 이데알 *<math>I</math>*(무관한 이데알이라고 함)에 대해 *<math>I</math>*(또는 *Nullstelle* )의 모든 다항식의 공통 영점 집합이 자명하지 않다고 말한다(즉, 공통 영점 집합은 단일 원소 {0}보다 더 많은 것을 포함하며, 더 정확하게는 해당 집합에서 영인 다항식의 이데알은 이데알 *<math>I</math>*의 근기와 일치한다.

이 마지막 주장은 다음 공식으로 가장 잘 요약된다. : 연관 이데알 *<math>I</math>*에 대해,

:  \mathcal I (\mathcal V(I)) = \sqrt I .

특히, *<math>\mathbb k[V]</math>*의 최대 동차 연관 이데알은 *<math>V</math>*의 원점을 통과하는 선과 일대일이다.

## 사영 스킴의 구성
*<math>V</math>를* 체 *<math>\mathbb k</math>* 위의 유한 차원 선형 공간이라고 하자. 사영 스펙트럼 *<math>\text{Proj}(\mathbb k[V])</math>*에 의해 정의된 *<math>\mathbb k</math>*에 대한 스킴을 *<math>V</math>*의 **사영화**라고 한다. *<math>\mathbb k</math>*에 대한 **사영 ''n-''공간**은 선형 공간 \mathbb A_\mathbb k^{n+1}의 사영화이다.

층은 주 열린 집합 D(P)의 열린 집합들의 기저 위에서 단면

: \Gamma (D(P), \mathcal O_{\mathbb P (V)})

이 *<math>P</math>*에서 국소화하여 얻은 환의 0차 구성 성분인 환  (\mathbb k[V]_P)_0이 되도록 설정하여 정의된다. 여기서 *<math>P</math>는* 동차 다항식이다. 따라서 그 원소는 동차 분자와 분자와 동일한 차수를 갖는 *<math>P</math>*의 거듭제곱을 분모로 하는 유리 함수이다.

이러한 상황은 영점 없는 선형 형식 φ에서 가장 명확하다. 열린 집합 D(\varphi)에 대한 구조 층의 제한은 표준적으로 아핀 스킴 \text{Spec}(\mathbb k[\ker\varphi])로 식별된다. D(\varphi)가 *<math>X</math>*의 열린 덮개를 형성하기 때문에 사영 스킴은 동형 아핀 스킴의 사영화를 통한 이어붙이기에 의해 얻어지는 것으로 생각할 수 있다.

이 스킴의 전역 단면들의 환은 체이고, 이는 스킴이 아핀이 아님을 의미함에 유의하라. 임의의 두 개의 열린 집합은 자병하지 않게 교차한다. *즉*, 이 스킴은 기약이다. 체 ***<math>\mathbb k</math>***가 대수적으로 닫힌 체인 경우, \mathbb P(V) 는 사실 추상 다형체이며 완비이다.

## 약수 및 비틀림 층
사실 Proj 함자는 단순한 스킴 이데알을 제공한다. 이 과정에서 구조 층 위에 등급 가군의 층이 정의된다. 이 등급 층의 동차 성분은 세르 비틀림 층 \mathcal O (i)으로 표시된다. 이 층은 모두 정말로 선다발이다. 까르띠에 약수 와 선다발의 대응에 의해, 제 1 비틀림 층 \mathcal O(1)은 초평면 약수와 동일하다.

다항식 환은 유일 소인수분해 정역이기 때문에 높이 1인 모든 소 이데알은 주 이데알이다. 이는 모든 베유 약수가 초평면 약수의 어떤 거듭제곱과 선형적으로 동등함을 보여준다. 이러한 고려는 사영 공간의 피카르 군이 랭크 1인 자유군 \mathrm{Pic}\ \mathbf P^n_\mathbb k = \mathbb Z임을 증명한다. 그리고 이 동형 사상은 약수의 차수에 의해 주어진다.

### 벡터 다발의 분류
체 *<math>\mathbb k</math>* 위의 사영 공간 \mathbb{P}^n_{\mathbb k} 위의 가역 층 또는 선다발은 **정확히** 꼬임 층 \mathcal{O}(m),\ m \in \mathbb{Z}이다. 그래서 \mathbb{P}^n_{\mathbb k}의 피카르 군은 \mathbb{Z}와 동형이다. 동형 사상은 첫 번째 천 특성류에 의해 제공된다.

선다발 \mathcal O(k)의 열린 집합 U \subseteq \mathbb P (V)에서 국소 단면의 공간은 *<math>U</math>*와 연관된 *<math>V</math>*의 원뿔에 대한 동차 차수 *<math>k</math>*인 정규 함수의 공간이다. 특히 전역 단면들의 공간

:  \Gamma (\mathbb P, \mathcal O (m))

*는 m* \mathbb k*의 상수이며, *m > 0* 인 경우 차수 *m*의 동차 다항식으로 구성된다. (따라서 차원은 <math display="inline">\binom{m + n}{m} = \binom{m + n}{n}</math> ).

[[Birkhoff-Grothendieck 정리|버코프-그로텐디크 정리]]에 따르면 사영 직선에서 모든 벡터 다발은 유일한 방식으로 선다발의 직합으로 분해된다.

=== 중요한 선다발 ===
예를 들어 [[특이점 (대수기하학)|매끄러운 점]]을 [[부풀리기|부풀리는]] [[뛰어난 제수|예외적인 약수]]로 나타나는 [[보편 가역층|보편 다발]]은 층 <math>\mathcal O (-1)</math>이다. [[표준 선다발|표준 다발]]

: <math>\mathcal K(\mathbb{P}^n_\mathbb k)</math>는 <math>\mathcal O(-(n+1))</math> .

이 사실은 사영 공간에 대한 근본적인 기하학적 진술인 오일러 수열에서 유도된다.

[[표준 선다발]]의 음성은 사영 공간을 [[파노 다양체|파노 다형체]]의 주요 예시로 만든다. 지표는 <math>\mathrm {Ind} (\mathbb P^n) = n+1</math>과 같이 주어진다. 그리고 고바야시-Ochiai의 정리에 의해 사영 공간은 성질에 의해 파노 다형체 사이에서 *특징*지어진다.

: <math>\mathrm {Ind} (X) = \dim X +1.</math>

== 사영 스킴에 대한 사상 ==
아핀 공간이 사영 공간에 매장될 수 있는 것처럼 모든 아핀 다형체도 사영 공간에 매장될 수 있다.

*'전역적으로 생성된 선다발**의 전역 단면이 모두 영은 아닌 유한 계의 모든 선택은 사영 공간에 대한 [[Morphism (algebraic geometry)|사상]]을 정의한다. 기저가 그러한 사상에 의해 사영 공간에 매장될 수 있는 선다발을 [[풍부한 가역층|아주 풍부하다]]고 한다.

사영 공간 <math>\mathbb P^n_{\mathbb k}</math>의 대칭 군은 사영된 선형 자기동형사상 군 <math>\mathrm {PGL}_{n+1}(\mathbf k)</math>이다. 이 군의 작용을 법으''로'' 사영 공간에 대한 사상 <math>j : X \to \mathbf P^n</math>의 선택은 실제로 ''<math>X</math>''의 **선다발**에서 약수의 ''n'' 차원 선형계를 **전역적으로 생성하는*' 선택과 *동일*하다. 사영 변환을 법으*로* *X*의 사영 매장의 선택은 마찬가지로 *X*에서 [[풍부한 가역층|아주 풍부한 선다발]]을 선택하는 것과 같다.

사영 공간에 대한 사상 <math>j : X \to \mathbf P^n</math>는 전역적으로 생성된 선다발을 <math>j^* \mathcal O (1)</math>과 같이 정의한다. 그리고 선형계를

: <math>j^* (\Gamma (\mathbf P^n, \mathcal O(1))) \subset \Gamma (X, j^*\mathcal O(1) ).</math>

로 정의한다. 사상 <math>j</math>의 범위가 초평면 약수에 포함되지 않은 경우 당김은 단사이고 약수의 선형계이다.

: <math>j^* (\Gamma (\mathbf P^n, \mathcal O(1)))</math>는 *n'' 차원 선형계이다.

### 예: 베로네즈 매장
베로네즈 매장은 N=\binom{n+d}{d} -1에 대해, 매장 \mathbb P^n \to \mathbb P^N이다.

매끄러운 사영 초곡면 (매끄러운 약수)의 코호몰로지 군 계산에 베로네즈 매장을 적용하려면 MathOverflow 의 답변 참조

## 사영 공간의 곡선
파노 다형체로서, 사영 공간은 선직 다형체이다. 사영 평면에서 곡선의 교차 이론은 베주 정리를 산출한다.

## 같이 보기
### 일반적인 대수 기하학
* 스킴(수학)
* 사영 다형체
* Proj 구성

### 일반적인 사영 기하학
* 사영 공간
* 사영기하학
* 동차다항식

## 각주

## 참조
* 
* Exercise sheet  (in French) on projective spaces, on the page of Yves Laszlo.

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