쿨롱 충돌

**쿨롱 충돌**()은 두 대전 입자가 자체 전기장을 통해 상호 작용하는 탄성 충돌이다. 모든 역제곱 법칙과 마찬가지로, 충돌하는 입자들의 궤적은 쌍곡선 형태의 케플러 궤도가 된다. 이러한 유형의 충돌은 플라스마에서 흔하며, 입자의 일반적인 운동 에너지가 충돌하는 입자의 초기 궤적에서 크게 벗어나게 하기에는 너무 커서, 대신 많은 충돌의 누적 효과를 고려한다. 쿨롱 충돌의 중요성은 1936년 레프 란다우에 의해 처음 지적되었으며, 그는 또한 란다우 운동 방정식으로 알려진 해당 운동 방정식을 유도했다.

## 플라스마에 대한 단순화된 수학적 처리
플라스마에서 쿨롱 충돌은 큰 편향을 거의 일으키지 않는다. 그러나 많은 작은 각도 충돌의 누적 효과는 발생하는 소수의 큰 각도 충돌 효과보다 종종 크므로, 작은 편향 한계에서 충돌 역학을 고려하는 것이 유익하다.

우리는 전하 -e와 질량 m_\text{e}를 가진 전자가, 전하 +Ze와 훨씬 더 큰 질량을 가진 정지 이온을 속도 v로 거리 b에서 통과하는 상황을 고려할 수 있다. 가장 가까운 접근 시 수직 힘은 Ze^2/(4\pi\varepsilon_0 b^2)이고, 접촉 시간은 약 b/v이다. 이 표현들의 곱을 질량으로 나눈 값이 수직 속도 변화이다.
\Delta m_\text{e} v_\perp \approx \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0} \, \frac{1}{vb}

편향 각도는 1/v^2에 비례한다는 점에 유의한다. 빠른 입자는 "미끄러워" 많은 수송 과정을 지배한다. 속도가 일치하는 상호 작용의 효율성은 또한 핵융합 생성물이 이온(바람직한)보다는 전자를 가열하는 경향이 있는 이유이다. 전기장이 존재하면 더 빠른 전자가 더 적은 항력을 느끼고 "폭주" 과정에서 더욱 빨라진다.

밀도 n을 가진 이온 장을 통과할 때, 전자는 다양한 충돌 매개변수(이온까지의 거리)와 방향으로 동시에 많은 접촉을 갖게 된다. 누적 효과는 수직 운동량의 확산으로 설명될 수 있다. 해당 확산 상수는 개별 운동량 변화의 제곱을 통합하여 찾는다. 충돌 매개변수가 b와 (b + \mathrm{d}b) 사이인 충돌률은 nv (2\pi b \mathrm{d}b)이므로, 확산 상수는 다음과 같이 주어진다.

D_{v\perp} =
\int \left(\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2 \, \frac{1}{v^2b^2} \, nv (2\pi b\, \mathrm db) =
\left(\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2 \, \frac{2\pi n}{v} \, \int \frac{\mathrm db}{b}


적분은 작은 충돌 매개변수와 큰 충돌 매개변수 모두에서 명백히 발산한다. 작은 충돌 매개변수에서의 발산은 여기서 사용된 가정 하에서 최종 수직 운동량이 초기 운동량보다 높은 값을 가질 수 없으므로 분명히 비물리적이다. \Delta m_\text{e} v_\perp에 대한 위 추정치를 mv와 같다고 놓으면, 충돌 매개변수에 대한 하한 절단은 약 다음과 같음을 알 수 있다.
b_0 = \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0} \, \frac{1}{m_\text{e} v^2}

\pi b_0^2를 큰 각도 충돌에 대한 단면적 추정치로 사용할 수도 있다. 일부 조건에서는 양자역학으로 인해 더 엄격한 하한이 있는데, 즉 전자의 드 브로이 파장 h/m_\text{e} v이며, 여기서 h는 플랑크 상수이다.

큰 충돌 매개변수에서는 이온의 전하가 전자가 이온 근처에 모이는 경향과 다른 이온이 이를 피하는 경향에 의해 가려진다. 따라서 충돌 매개변수의 상한 절단은 대략 디바이 길이와 같아야 한다.
 \lambda_\text{D} = \sqrt{\frac{\varepsilon_0 kT_\text{e}}{n_\text{e} e^2}}

## 쿨롱 로그
따라서 1/b의 적분은 상한과 하한 절단 비율의 로그를 산출한다. 이 숫자는 **쿨롱 로그**로 알려져 있으며 \ln \Lambda 또는 \lambda로 표시된다. 이는 작은 각도 충돌이 큰 각도 충돌보다 더 효과적인 정도를 나타내는 계수이다. 쿨롱 로그는 1936년 레프 란다우와 1943년 수브라마니안 찬드라세카르에 의해 독립적으로 도입되었다. 많은 관련 플라스마에서 이 값은 5에서 15 사이이다. (편리한 공식은 NRL 플라스마 공식집 34페이지와 35페이지를 참조). 충돌 매개변수 적분의 한계는 날카롭지 않으며, 단위 오차 범위 내에서 불확실하여 이론적 불확실성이 1/\lambda 오차 범위에 이른다. 이러한 이유로 단순히 편리한 선택인 \lambda = 10을 사용하는 것이 종종 정당화된다. 여기서의 분석은 스케일링과 크기 순서를 제공한다.

## 모든 충돌 매개변수를 고려한 플라스마의 수학적 처리
몇 가지 간단한 사실을 고려하여 모든 충돌 매개변수를 고려하는 N체 처리를 수행할 수 있다. 주요 두 가지 사실은 다음과 같다. (i) 위의 수직 속도 변화는 완전한 러더퍼드 편향의 1/b에서 최저 차수 근사이다. 따라서 위의 섭동 이론은 이 완전한 편향을 사용하여 수행할 수도 있다. 이는 이 완전한 편향을 사용해야 하는 가장 작은 충돌 매개변수까지 계산을 정확하게 만든다. (ii) 큰 충돌 매개변수에 대한 디바이 가림 효과는 디바이 가림 쿨롱 전위(가림 효과 디바이 길이)를 사용하여 수용할 수 있다. 이는 큰 충돌 매개변수에서의 위의 발산을 상쇄한다. 위의 쿨롱 로그는 단위 오차 범위의 상수로 수정되는 것으로 밝혀졌다.

## 역사
1950년대에 비자화 플라스마에서의 충돌로 인한 수송은 캘리포니아 대학교 버클리의 방사선 연구소 두 그룹에 의해 동시에 연구되었다. 그들은 각자의 논문에서 서로의 결과를 인용했다. 첫 번째 참고 문헌은 전기장 진폭의 섭동 이론을 사용하여 상호 작용의 평균장 부분을 다룬다. 동일한 근사 내에서, 발레스쿠-레나르드 방정식(Balescu–Lenard equation)을 사용하여 충돌 수송 계수의 더 우아한 유도가 제공되었다 (Balescu, R. 1997 Statistical Dynamics: Matter Out of Equilibrium. London: Imperial College Press. 8.4절과 Hazeltine, R. D. and Waelbroeck, F. L. 2004 The Framework of Plasma Physics. Boulder: Westview Press 7.3절 및 7.4절 참조). 두 번째 참고 문헌은 이체 충돌의 러더퍼드 그림을 사용한다. 첫 번째 참고 문헌의 계산은 입자 간 거리보다 훨씬 큰 충돌 매개변수에 대해 정확한 반면, 두 번째 참고 문헌의 계산은 반대 경우에 적용된다. 두 계산 모두 각각 단일 임의 절단(ad hoc cutoff)을 도입하여 전체 충돌 매개변수 범위로 확장되며, 위에서 단순화된 수학적 처리에서처럼 두 개가 아니라 단일 절단을 도입하지만, 수송 계수는 로그적으로만 이에 의존한다. 두 결과는 일치하며 확산 상수에 대한 위의 표현을 산출한다.

## 같이 보기
* 러더퍼드 산란

## 각주

## 외부 링크
* Effects of Ionization [ApJ paper] by Gordon Emslie
* NRL Plasma Formulary 2013 ed. 

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