분해 (대수학)

수학, 더 구체적으로 호몰로지 대수학에서 **분해** (또는 **왼쪽 분해**, 쌍대으로 **공분해** 또는 **오른쪽 분해**)는 가군 (또는 더 일반적으로 아벨 범주의 대상)의 완전열이다. 이 범주의 특정 가군이나 대상의 구조를 특징짓는 불변성을 정의한다. 일반적으로 화살표가 오른쪽을 향할 때 열는 (왼쪽) 분해의 경우 왼쪽으로, 오른쪽 분해의 경우 오른쪽으로 무한하다고 가정된다. 그러나 **유한 분해**는 열에서 유한한 수의 대상만이 영이 아닌 분해이다. 이는 일반적으로 가장 왼쪽 대상(분해의 경우) 또는 가장 오른쪽 대상(공동 분해의 경우)가 영 대상인 유한하고 완전열로 표현된다.

일반적으로 열의 대상은 어떤 성질 *P* (예: 자유)를 갖도록 제한된다. 따라서 *P 분해를* 말한다. 특히 모든 가군에는 **자유 분해**, **사영 분해** 및 **평면 분해**가 있으며, 이는 각각 자유 가군, 사영 가군 또는 평면 가군으로 구성된 왼쪽 분해이다. 마찬가지로 모든 가군에는 단사 가군으로 구성된 올바른 분해인 **단사** **분해**가 있다.

## 가군의 분해

### 정의
환 R 위에 가군 *<math>M</math>이* 주어지면 *<math>M</math>*의 **왼쪽 분해** (또는 간단히 **분해**)는 *<math>R</math>*-가군의 완전열

: \cdots\overset{d_{n+1}}{\longrightarrow}E_n\overset{d_n}{\longrightarrow}\cdots\overset{d_3}{\longrightarrow}E_2\overset{d_2}{\longrightarrow}E_1\overset{d_1}{\longrightarrow}E_0\overset{\varepsilon}{\longrightarrow}M\longrightarrow0.

이다. 준동형사상 *<math>d_i</math>*들은 경계 사상이라고 한다. 사상 *<math>\varepsilon</math>을* **증강 사상** 이라고 한다. 간결하게 하기 위해 위의 분해 방법은 다음과 같이 작성할 수 있다.

: E_\bullet\overset{\varepsilon}{\longrightarrow}M\longrightarrow0.

이의 쌍대 개념은 **올바른 분해** (또는 **공분해** 또는 간단히 **분해** )에 대한 개념이다. 구체적으로, 환 *<math>R</math>* 위에 가군 *<math>M</math>이* 있는 경우 올바른 분해는 *<math>R</math>*-가군의 완전열

: 0\longrightarrow M\overset{\varepsilon}{\longrightarrow}C^0\overset{d^0}{\longrightarrow}C^1\overset{d^1}{\longrightarrow}C^2\overset{d^2}{\longrightarrow}\cdots\overset{d^{n-1}}{\longrightarrow}C^n\overset{d^n}{\longrightarrow}\cdots,

이다. 여기서 각 *<math>C^i</math>*는 *<math>R</math>*-가군이다(분해의 쌍대 특성을 나타내기 위해 분해와 대상 사이의 사상에 위 첨자를 사용하는 것이 일반적이다). 간결하게 하기 위해 위의 분해 방법은 다음과 같이 작성할 수 있다.

: 0\longrightarrow M\overset{\varepsilon}{\longrightarrow}C^\bullet.

(공)분해는 관련된 가군 중 오직 유한한 수의 가군들이 0이 아닌 경우 **유한** 하다고 한다. 유한 분해의 **길이**는 유한 분해에서 0이 아닌 가군을 표시하는 최대 첨자 *n*이다.

### 자유 분해, 투사 분해, 단사 분해, 평면 분해
많은 상황에서 주어진 가군 *<math>M</math>*을 분해하는 조건이 가군 *<math>E_i</math>*들에 부과된다. 예를 들어, 가군 *<math>M</math>*의 *자유 분해는* 모든 가군 *<math>E_i</math>*가 자유 *<math>R</math>*-가군인 왼쪽 분해이다. 마찬가지로, *사영* 및 *평면* 분해는 모든 *<math>E_i</math>*가 각각 사영 및 평면 *<math>R</math>*-가군인 왼쪽 분해이다. 단사 분해는 *<math>C^i</math>*가 모두 단사 가군 인 *올바른* 분해이다.

모든 *<math>R</math>*-가군에는 자유 왼쪽 분해가 있다. 게다가 모든 가군은 사영 및 평면 분해도 허용한다. 증명 아이디어는 *<math>E_0</math>*을 *<math>M</math>*의 원소에 의해 생성된 자유 *<math>R</math>*-가군으로 정의하고, *<math>E_1</math>*을 자연 사상 *<math>E_0\rightarrow M</math>* 등의 핵 원소에 의해 생성된 자유 *<math>R</math>*-가군으로 정의하는 것이다. 쌍대로, 모든 *<math>R</math>* 가군에는 단사 분해가 있다. 사영 분해(더 일반적으로는 평면 분해)를 사용하여 Tor 함자를 계산할 수 있다.

가군 *<math>M</math>*의 사영 분해는 사슬 호모토피를 기준으로 유일하다. 즉, *<math>M</math>*의 주어진 두 사영 분해들 *<math>P_0\rightarrow M</math>*과 *<math>P_1 \rightarrow M </math>* 사이에 사슬 호모토피가 존재한다.

분해은 호몰로지 차원을 정의하는 데 사용된다. 가군 *<math>M</math>*의 유한 사영 분해의 최소 길이를 *[[사영 가군|사영 차원]]*이라고 하며 *<math>\text{pd}(M)</math>*으로 표시한다. 예를 들어, 가군은 사영 가군인 경우에만 사영 차원이 0이다. *<math>M</math>이* 유한한 사영 분해를 허용하지 않으면 사영 차원은 무한이다. 예를 들어, 가환 국소환 *<math>R</math>*의 경우 사영 차원은 *<math>R</math>이* 정칙적이고 이 경우 *<math>R</math>*의 크룰 차원과 일치하는 경우에만 유한하다. 유사하게, 단사 차원 *<math>\text{id}(M)</math>* 및 평면 차원 *<math>\text{fd}(M)</math>*도 가군에 대해 정의된다.

단사 및 사영 차원은 *<math>R</math>*의 오른쪽 대역 차원이라고 불리는 *<math>R</math>*에 대한 호몰로지 차원을 정의하기 위해 오른쪽 *<math>R</math>*-가군의 범주에서 사용된다. 마찬가지로 평면 차원은 약한 대역 차원을 정의하는 데 사용된다. 이러한 차원의 행동은 환의 특성을 반영한다. 예를 들어, 환은 반단순 환인 경우에만 올바른 대역 차원 0을 가지며 환은 절대평탄환 경우에만 약한 대역 차원 0을 갖는다.

*<math>M</math>을* 등급 대수에 대한 등급 가군 로 가정한다. 이는 양의 원소에 의해 체에 걸쳐 생성된다. 그러면 *<math>M</math>은* *<math>d_i</math>*와  *<math>\varepsilon</math>*가 등급 선형 사상이 되는 방식으로 자유 가군 *<math>E_i</math>*가 등급화될 수 있는 자유 분해를 갖는다. 이러한 등급 자유 분해 중 **최소 자유 분해**는 각 *<math>E_i</math>*의 기저 원소 수가 최소인 분해이다. 각 *<math>E_i</math>*의 기저 원소 수와 그 차수는 등급 가군의 모든 최소 자유 분해에 대해 동일하다.

*<math>I</math>가* 체 위의 다항식 환에서 동차 이데알이면, *<math>I</math>*로 정의된 사영 대수 집합의 Castelnuovo-Mumford 규칙성은 *<math>I</math>*의 최소 자유 분해에서 *<math>E_i</math>*의 기저 원소의 차수가 모두 *<math>r-i</math>* 보다 작은 최소 정수 *<math>r</math>*이다.

### 예
자유 분해의 전형적인 예는 국소환의 정칙렬 또는 체 위에서 유한 생성된 등급 대수에서 동차 정칙렬의 코쥘 복합체로 제공된다.

*<math>X</math>*를 비구면 공간이라고 하자. 즉, 그 보편 덮개 *<math>E</math>*는 축약 가능하다. 그러면 *<math>E</math>*의 모든 특이 (또는 단체) 사슬 복합체는 환 ***<math>\Z</math>***에 대한 가군 ***<math>\Z</math>***의 자유 분해일 뿐만 아니라 군환 ***<math>\Z[\pi_1(X)]</math>***에 대한 가군 ***<math>\Z</math>***의 자유 분해이다.

## 아벨 범주의 분해
아벨 범주 *<math>A</math>*에서 대상 *<math>M</math>*의 분해 정의는 위와 동일하지만 *<math>E_i</math>*와 *<math>C^i</math>*는 *<math>A</math>*의 대상이고 관련된 모든 사상은 *<math>A</math>*의 사상이다.

사영 및 단사 가군의 유사한 개념은 사영 및 단사 대상이며, 따라서 사영 및 단사 분해이다. 그러나 그러한 분해는 일반 아벨 범주 *<math>A</math>*에 존재할 필요가 없다. *<math>A</math>*의 모든 대상가 투사(각각 단사) 분해를 갖는 경우 *<math>A</math>는* 충분한 사영 (각각 충분한 단사)를 가지고 있다고 한다. 설령 존재하더라도 그러한 결의안은 실행하기 어려운 경우가 많다. 예를 들어 위에서 지적한 것처럼 모든 *<math>R</math>*-가군에는 단사 분해가 있지만 이 분해는 함자적이지 않다. 즉, 단사 분해와 함께 준동형사상 *<math>M\rightarrow M'</math>*이 제공된다.

: 0 \rightarrow M \rightarrow I_*, \ \ 0 \rightarrow M' \rightarrow I'_*,

일반적으로 I_*와 I'_* 사이의 사상을 얻는 함자적인 방법은 없다.

### 일반적으로 사영적 분해가 없는 아벨 범주
사영적 분해가 없는 아벨 범주의 예 중 하나는 스킴 X 위의 연접층의 범주 \text{Coh}(X)과 같다. 예를 들어, X = \mathbb{P}^n_S이 사영 공간이면, X 위의 연접층 \mathcal{M}은 완전열로 프레젠테이션이 제공된다.

: \bigoplus_{i,j=0} \mathcal{O}_X(s_{i,j}) \to \bigoplus_{i=0} \mathcal{O}_X(s_i) \to \mathcal{M} \to 0.

s > 0일 때 H^n(\mathbb{P}^n_S,\mathcal{O}_X(s)) \neq 0이므로 처음 두 항은 일반적으로 사영이 아니다. 그러나 두 항 모두 국소적으로 자유롭고 국소적으로 평평하다. 두 종류의 층은 특정 계산을 위해 사용될 수 있으며 일부 유도 함자를 계산하기 위한 사영 분해를 대체한다.

## 비순환적 분해
많은 경우에 우리는 분해에 나타나는 대상에 실제로 관심이 있는 것이 아니라 주어진 함자에 대한 분해의 행동에 관심이 있다. 따라서 많은 상황에서 **비순환 분해**의 개념이 사용된다. 두 개의 아벨 범주 사이에 왼쪽 완전 함자 *<math>F:A\rightarrow B</math>*가 주어지면 *<math>A</math>*의 대상 *<math>M</math>*의 분해

: 0 \rightarrow M \rightarrow E_0 \rightarrow E_1 \rightarrow E_2 \rightarrow \cdots

는 유도 함자 *<math>R_iF(E_n)</math>*가 모든 *i* 에 대해 사라지면 *<math>F</math>*-비순환이라고 한다.&nbsp;>&nbsp;0과 *n*&nbsp;≥&nbsp;0. 쌍대적으로 왼쪽 분해는 유도 함자가 분해의 대상에서 사라지는 경우 오른쪽 완전 함자에 대해 비순환적이다.

예를 들어 R-가군 *<math>M</math>*이 주어지면 텐서 곱 \otimes_R M은 다음과 같다. 완전 함자 *<math>\bold{\text{Mod}} (R) \rightarrow \bold{\text{Mod}} (R)</math>*이다. 모든 평면 분해는 이 함자와 관련하여 비순환적이다. *평탄한 분해는* *<math>M</math>* 마다 텐서 곱에 대해 비순환적이다. 마찬가지로, 모든 함자 *<math>\bold{\text{Hom}} (\cdot,M) </math>*은 사영 분해이고 함자 *<math>\bold{\text{Hom}} (M, \cdot) </math>*은 단사 분해이다.

모든 단사(사영) 분해는 왼쪽 완전(각각 오른쪽 완전) 함자에 대해 *<math>F</math>* -비순환이다.

비순환 분해의 중요성은 왼쪽 완전 함자의 유도 함자 *<math>R_iF</math>*(마찬가지로 오른쪽 완전 함자의 유도함자 *<math>L_iF</math>*)가 *<math>F</math>-*비순환 분해의 호몰로지성에서 얻을 수 있다는 사실에 있다. 대상 *<math>M</math>*의 분해 E_* 에 대해

: R_i F(M) = H_i F(E_*).

여기서 오른쪽은 복합체 F(E_*)의 *i* 번째 호몰로지 대상이다.

이 상황은 많은 상황에 적용된다. 예를 들어, 미분 다양체 *<math>M</math>* 위의 상수층 R는 매끄러운 미분 형식 층 \mathcal C^*(M)에 의해 분해될 수 있다:

: 0 \rightarrow R \subset \mathcal C^0(M) \stackrel d \rightarrow \mathcal C^1(M) \stackrel d \rightarrow \cdots \stackrel d \rightarrow \mathcal C^{\dim M}(M) \rightarrow 0.

층 \mathcal C^*(M)들은 대역 단면 함자 \Gamma: \mathcal F \mapsto \mathcal F(M)와 관련하여 비순환적인 것으로 알려진 세밀 층이다. 따라서 대역 단면 함자 &#x393;의 인 층 코호몰로지는 \mathrm H^i(M, \mathbf R) = \mathrm H^i( \mathcal C^*(M)).과 같이 계산된다.

마찬가지로 고데먼트 분해는 대역 단면 함자와 관련하여 비순환적이다.

## 같이 보기

* 표준 분해
* 힐베르트-버크 정리
* 힐베르트 시지지 정리
* 행렬 인수분해(대수학)

## 각주

## 참고문헌

* 
* 
* 
* Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, , Zbl 0848.13001
* Weibel, Charles A. (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. . MR 1269324. OCLC 36131259.

분류:가군론
분류:호몰로지 대수학