비홀로노믹 시스템

물리학과 수학에서 **비홀로노믹 시스템**()은 해당 상태에 도달하기 위해 거쳐 온 경로에 따라 달라지는 물리계이다. 이러한 시스템은 차동 제약 조건 및 비선형 제약 조건의 적용을 받는 매개변수 집합으로 기술되며, 시스템이 매개변수 공간 내 경로(매개변수 값이 연속적으로 변동함)를 따라 발전하지만 결국 경로 시작 시의 원래 매개변수 값 집합으로 돌아왔을 때, 시스템 자체는 원래 상태로 돌아오지 않을 수 있다. 비홀로노믹 역학은 뉴턴 역학의 자율적인 분야이다.

## 세부 사항
더 정확히 말하면 무제약 시스템이라고도 불리는 비홀로노믹 시스템은 지배적인 매개변수의 연속적인 폐회로가 존재하여, 시스템이 어떤 주어진 상태에서 다른 어떤 상태로 변환될 수 있는 시스템이다. 시스템의 최종 상태가 매개변수 공간을 통한 궤적의 중간 값에 따라 달라지기 때문에, 예를 들어 중력의 역제곱 법칙과 같이 보존적인 퍼텐셜 함수로 시스템을 나타낼 수 없다. 후자는 홀로노믹 시스템의 예시이다. 시스템의 경로 적분은 시스템의 초기 및 최종 상태(퍼텐셜 내의 위치)에만 의존하며, 이러한 상태 간의 전환 궤적과는 완전히 독립적이다. 따라서 이 시스템은 적분 가능하다고 말하며, 비홀로노믹 시스템은 적분 불가능하다고 말한다. 비홀로노믹 시스템에서 경로 적분이 계산될 때, 그 값은 허용 가능한 값 범위 내의 편차를 나타내며, 이 편차는 고려 중인 특정 경로에 의해 생성된 무제약(anholonomy)이라고 한다. 이 용어는 1894년 하인리히 루돌프 헤르츠에 의해 도입되었다.

무제약 시스템의 일반적인 특징은 암묵적으로 의존하는 매개변수이다. 암묵적 의존성이 제거될 수 있다면, 예를 들어 공간의 차원을 높여 최소한 하나의 추가 매개변수를 추가함으로써, 시스템은 진정한 비홀로노믹이 아니라 단순히 낮은 차원 공간에 의해 불완전하게 모델링된 것이다. 반대로, 시스템이 본질적으로 독립적인 좌표(매개변수)로 표현될 수 없다면, 그것은 진정한 무제약 시스템이다. 일부 저자들은 시스템의 소위 내부 및 외부 상태를 구별함으로써 이 점을 강조하지만, 사실 "내부" 또는 "외부" 프로세스를 대표하든 모든 매개변수는 시스템을 특성화하는 데 필요하므로, 이 구별은 사실 인위적이다. 그러나 보존 원리를 따르는 물리계와 따르지 않는 물리계 사이에는 매우 실제적이고 화해할 수 없는 차이가 있다. 구체에서의 평행 운송의 경우, 그 구별은 분명하다. 리만 다양체는 유클리드 공간의 그것과는 근본적으로 다른 거리를 갖는다. 구체에서의 평행 운송의 경우, 암묵적인 의존성은 비유클리드 거리에 본질적이다. 구체의 표면은 2차원 공간이다. 차원을 높임으로써 우리는 거리의 본질을 더 명확하게 볼 수 있지만, 그것은 여전히 리만 거리에 의해 의존성으로 돌이킬 수 없이 얽힌 매개변수를 가진 근본적으로 2차원 공간이다.

대조적으로, X-Y 플로터를 **홀로노믹** 시스템의 예로 들 수 있다. 이 시스템에서는 플로터 펜의 어떤 주어진 위치에 대해서도 시스템 기계 부품의 상태가 단일 고정 구성을 갖는다. 펜이 위치 0,0에서 3,3으로 이동할 때, 메커니즘의 기어는 이동이 먼저 x축으로 3단위 증가한 다음 y축으로 3단위 증가하든, y축 위치를 먼저 증가시키든, 또는 최종 위치가 3,3이 되는 다른 일련의 위치 변경 작업을 수행하든 관계없이 동일한 최종 위치를 갖는다. 기계의 최종 상태가 플로터 펜이 새 위치로 이동하기 위해 거친 경로에 관계없이 동일하기 때문에, 최종 결과는 경로에 의존하지 않는다고 말할 수 있다. 만약 우리가 터틀 플로터를 대체한다면, 펜을 0,0에서 3,3으로 이동시키는 과정은 두 위치 사이를 이동하는 데 거친 경로에 따라 로봇 메커니즘의 기어가 다른 위치에서 멈출 수 있다. 이러한 시스템이 홀로노믹인 이유에 대한 수학적 설명은 이와 매우 유사한 갠트리 크레인 예시를 참조하라.

## 역사
N. M. 페러스는 1871년에 비홀로노믹 구속 조건으로 운동 방정식을 확장할 것을 처음 제안했다. 그는 일반화된 속도 측면에서 데카르트 속도에 대한 표현을 도입했다. 1877년에 E. 라우스는 라그랑주 승수를 사용하여 방정식을 작성했다. 그의 책의 3판에서 그는 강체의 선형 비홀로노믹 구속 조건에 대해 현재 승수가 있는 제2종 라그랑주 방정식이라고 불리는 형식을 도입했다. 홀로노믹 및 비홀로노믹 시스템이라는 용어는 1894년에 하인리히 루돌프 헤르츠가 도입했다.
1897년에 S. A. 차플리긴은 라그랑주 승수 없이 운동 방정식을 구성하는 것을 처음 제안했다. 특정 선형 구속 조건 하에서 그는 운동 방정식의 좌변에 라그랑주 연산자 유형의 추가 항 그룹을 도입했다. 나머지 추가 항은 시스템의 비홀로노믹 특성을 나타내며 주어진 구속 조건이 적분 가능할 때 0이 된다. 1901년에 P. V. 보로네츠는 차플리긴의 작업을 비순환 홀로노믹 좌표 및 비정상 구속 조건의 경우로 일반화했다.

## 제약 조건
주어진 기준 프레임에 대해 i\in\{1,\ldots,N\}에 대한 위치 \mathbf r_i를 가진 N개 입자의 시스템을 고려한다. 고전 역학에서
f(\mathbf r_1, \mathbf r_2, \mathbf r_3, \ldots, t)=0, 
으로 표현될 수 없는 모든 제약 조건은 비-홀로노믹 구속 조건이다. 즉, 비홀로노믹 제약 조건은 적분 불가능하고 파피안 제약 형식으로 나타난다.
\sum_{i=1}^n a_{s,i} \, dq_i + a_{s,t} \, dt = 0~~~~(s = 1, 2, \ldots, k)
*n은 좌표의 수이다.
*k는 제약 방정식의 수이다.
*q_i는 좌표이다.
*a_{s,i}는 계수이다.

위 형식이 비홀로노믹이 되려면 좌변이 전미분이 아니어야 하고, 적분인자를 통해 전미분으로 변환될 수 없어야 한다.

가상 변위에 대해서만, 제약 조건의 미분 형식은 다음과 같다.
\sum_{i=1}^n a_{s,i} \delta q_i = 0~~~~(s = 1, 2, \ldots, k).

모든 비홀로노믹 제약 조건이 이 형식을 취할 필요는 없으며, 실제로는 더 높은 도함수나 부등식을 포함할 수도 있다. 부등식 제약 조건의 고전적인 예시는 구체 표면에 놓여 있다가 떨어질 수 있는 입자이다.
r^2-a^2\geq0.
*r은 입자와 구체 중심 사이의 거리이다.
*a는 구체의 반경이다.

## 예시
### 굴러가는 바퀴
바퀴(때때로 외발자전거 또는 굴러가는 동전으로 시각화됨)는 비홀로노믹 시스템이다.

#### 일반적인 설명
특정 장소(땅 위에) 주차된 자전거 바퀴를 생각해보자. 처음에는 공기 주입구가 바퀴의 특정 위치에 있다. 자전거를 타고 돌아다니다가 정확히 같은 장소에 다시 주차하면, 공기 주입구는 거의 확실히 이전과 같은 위치에 있지 않을 것이다. 그 새로운 위치는 거친 경로에 따라 달라진다. 만약 바퀴가 홀로노믹이었다면, 바퀴가 항상 지구의 같은 위치로 다시 굴러왔을 때 공기 주입구는 항상 같은 위치에 놓였을 것이다. 그러나 분명히 그렇지 않으므로, 이 시스템은 비홀로노믹이다.

#### 수학적 설명

섬네일|upright=2|전동 외발자전거를 타는 사람. 외발자전거의 구성 공간과 바퀴의 반경 <math>r</math>이 표시되어 있다. 빨간색과 파란색 선은 지면에 있다.
제약 방정식 시스템으로 바퀴를 수학적으로 모델링하고, 그 시스템이 비홀로노믹임을 증명하는 것이 가능하다.

먼저, 우리는 구성 공간을 정의한다. 바퀴는 세 가지 방식으로 상태를 변경할 수 있다: 축 주위의 다른 회전, 다른 조향 각도, 다른 위치. 우리는 \phi를 축 주위의 회전, \theta를 x축에 대한 조향 각도, x와 y를 공간 위치로 정의할 수 있다. 따라서 구성 공간은 다음과 같다.
 \mathbf{u}=\begin{bmatrix}x & y & \theta & \phi \end{bmatrix}^\mathrm{T} 

이제 이 변수들을 서로 연관시켜야 한다. 바퀴가 회전을 변경함에 따라 위치를 변경한다는 것을 알 수 있다. 회전 및 위치의 변화는 속도가 존재해야 함을 의미하며, 적절한 항의 간단한 시간 미분을 취하여 각속도와 조향 각도를 선형 속도와 연관시키려고 한다.
\begin{pmatrix}\dot{x}\\ \dot{y}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}r\dot{\phi} \cos\theta \\ r\dot{\phi}\sin\theta \end{pmatrix}
x 방향의 속도는 각속도에 반경을 곱하고 조향 각도의 코사인 값을 곱한 것과 같고, y 속도도 비슷하다. 이제 우리는 방정식이 홀로노믹인지 테스트할 수 있도록 파피안 형식으로 변환하기 위한 몇 가지 대수적 조작을 수행한다. 먼저 다음에서 시작한다.
\begin{pmatrix}\dot{x}-r\dot{\phi}\cos\theta \\ \dot{y}-r\dot{\phi}\sin\theta\end{pmatrix} = \mathbf{0}

그 다음, 변수를 계수(위에서 파생된 방정식의 왼쪽)로부터 분리해 보자. 우리는 또한 모든 항에 \text{d}t를 곱하면 미분만 남게 된다는 것을 깨닫는다(방정식의 오른쪽).
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -r\cos\theta \\ 0 & 1 & 0 & -r\sin\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\phi} \end{pmatrix} = \mathbf{0} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -r\cos\theta \\ 0 & 1 & 0 & -r\sin\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{d}x \\ \text{d}y \\ \text{d}\theta \\ \text{d}\phi \end{pmatrix}
이제 방정식의 오른쪽은 파피안 형식이다.
 \sum_{s=1}^n A_{rs}du_s = 0;\; r = 1, 2 

이제 홀로노믹 구속 조건에 대한 범용 테스트를 사용한다. 만약 이 시스템이 홀로노믹이라면, 최대 8가지 테스트를 해야 할 수도 있다. 그러나 우리는 수학적 직관을 사용하여 첫 번째 테스트에서 시스템이 비홀로노믹임을 증명하려고 최선을 다할 수 있다. 테스트 방정식은 다음과 같다.
A_\gamma\left(\frac{\partial A_\beta}{\partial u_\alpha}-\frac{\partial A_\alpha}{\partial u_\beta}\right)+A_\beta \left(\frac{\partial A_\alpha}{\partial u_\gamma}-\frac{\partial A_\gamma}{\partial u_\alpha}\right)+A_\alpha\left(\frac{\partial A_\gamma}{\partial u_\beta}-\frac{\partial A_\beta}{\partial u_\gamma}\right)=0

A_\alpha, A_\beta, 또는 A_\gamma 중 하나라도 0이면, 테스트 방정식의 해당 부분은 해결하기에 사소하고 0과 같을 것이라는 것을 알 수 있다. 따라서 첫 번째 테스트 방정식이 가능한 한 많은 비영항을 갖도록 하여 합이 0이 되지 않을 가능성을 최대화하는 것이 종종 가장 좋은 방법이다. 따라서 우리는 다음을 선택한다.
:A_\alpha=1
:A_\beta=0
:A_\gamma =-r \cos \theta 
:u_\alpha=dx
:u_\beta=d\theta
:u_\gamma=d\phi

테스트 방정식에 대입하면 다음과 같다.
-r \cos \theta \left(\frac{\partial}{\partial x}(0)-\frac{\partial}{\partial \theta}(1)\right) + 0 \left(\frac{\partial}{\partial \phi}(1)-\frac{\partial}{\partial x}(-r \cos \theta)\right) + 1\left(\frac{\partial}{\partial \theta}(-r \cos \theta) - \frac{\partial}{\partial \phi}(0)\right) = 0

간단히 하면 다음과 같다.
r\sin\theta=0

이 시스템은 위에서 설명한 대로 비홀로노믹이라는 것을 쉽게 알 수 있는데, \sin\theta가 항상 0과 같지는 않기 때문이다.

##### 추가 결론
시스템이 비홀로노믹이라는 증명은 완료되었지만, 테스트 방정식은 시스템이 추가로 제약될 경우 홀로노믹이 될 수 있는지에 대한 통찰력을 제공했다. 많은 경우 테스트 방정식은 시스템을 근본적으로 변경하지 않고는 홀로노믹으로 제약될 수 없음을 의미하는 -1=0과 같은 결과를 반환하지만, 우리의 결과에서는 r\sin\theta가 두 가지 방식으로 0이 될 수 있음을 알 수 있다.
* 바퀴의 반경인 r이 0이 될 수 있다. 이는 실제로 시스템이 모든 자유도를 잃게 되므로 도움이 되지 않는다.
* \theta를 0으로 설정하여 \sin\theta가 0이 될 수 있다. 이는 바퀴가 회전할 수 없고 항상 직선으로만 움직여야 한다면 홀로노믹 시스템이 될 것임을 의미한다.
그러나 우리가 아직 고려하지 않은 한 가지는, 시스템에 대한 모든 이러한 수정을 찾기 위해 모든 8개의 테스트 방정식(각 제약 방정식에서 4개)을 수행하고 모든 실패를 수집하여 시스템을 홀로노믹하게 만들기 위한 모든 요구 사항을 가능한 경우 수집해야 한다는 것이다. 이 시스템에서는 7개의 추가 테스트 방정식 중에서 추가적인 경우가 나타난다.
-r\cos\theta=0
그러나 이것은 큰 어려움을 초래하지 않는다. 방정식을 더하고 r로 나누면 다음이 된다.
\sin\theta -\cos\theta=0
간단한 대수 조작을 거치면 다음과 같다.
\tan\theta=1

이는 \theta = \frac{\pi}{4}+n\pi;\;n\in\mathbb{Z}\; ( \theta = \arctan(1)에서)이라는 해를 갖는다.

위의 일반적인 설명으로 돌아가 "새로운 위치는 거친 경로에 따라 달라진다. 만약 바퀴가 홀로노믹이었다면, 바퀴가 항상 지구의 같은 위치로 다시 굴러왔을 때 공기 주입구는 항상 같은 위치에 놓였을 것이다. 그러나 분명히 그렇지 않으므로, 이 시스템은 비홀로노믹이다"라고 언급된 부분을 참조하자. 그러나 만약 바퀴가 완벽한 직선으로만 굴러갔다가 다시 돌아온다면, 공기 주입구는 같은 위치에 놓일 것이라는 것을 쉽게 시각화할 수 있다. 사실, 주어진 각도 \pi/4에 평행하게 움직이는 것은 좌표계의 방향 자체가 임의적이므로 실제 세계에서는 실제로 필요하지 않다. 바퀴가 주어진 기준에 대해 어떤 고정된 각도로 직선으로만 움직인다면 시스템은 홀로노믹이 될 수 있다. 따라서 우리는 원래 시스템이 비홀로노믹임을 증명했을 뿐만 아니라, 시스템에 추가하여 홀로노믹하게 만들 수 있는 제약을 찾을 수도 있었다.

그러나 시스템이 홀로노믹이 되기 위해 \theta = \arctan(1)의 제약에는 수학적으로 특별한 점이 있다. 왜냐하면 데카르트 격자에서 \theta = \arctan(y/x)이기 때문이다. 두 방정식을 결합하고 \theta를 제거하면, 실제로 y = x임을 알 수 있으며, 따라서 이 두 좌표 중 하나는 완전히 중복된다. 조향 각도가 상수라는 것을 이미 알고 있으므로, 이는 여기의 홀로노믹 시스템은  \mathbf{u}=\begin{bmatrix} x & \phi \end{bmatrix}^\mathrm{T} 의 구성 공간만 가져야 한다는 것을 의미한다. 여기에서 논의된 바와 같이 파피안 제약 조건으로 모델링할 수 있는 시스템은 구성 공간이 두 개 이하의 변수로 구성될 경우 홀로노믹이어야 한다. 원래 시스템을 수정하여 두 개의 자유도만 갖도록 제한하고 따라서 두 개의 변수만으로 기술되도록 한다면(이 예제에서 이미 사실임을 알고 있음), 그것이 홀로노믹임을 보장한다.

### 구르는 구체
이 예시는 위에서 다룬 '굴러가는 바퀴' 문제의 확장이다.

3차원 직교 데카르트 좌표계를 고려해보자. 예를 들어, 원점에 표시된 점과 연필 선으로 그려진 x, y축이 있는 평평한 테이블 상판을 생각할 수 있다. 단위 반지름의 구체, 예를 들어 탁구공을 가져와 파란색으로 한 점 B를 표시한다. 이 점에 해당하는 구체의 지름이 있고, 구체의 중심 C에 위치한 이 지름에 수직인 평면은 점 B와 관련된 대원(적도)을 정의한다. 이 적도 위에서 다른 점 R을 선택하고 빨간색으로 표시한다. 구체를 z&nbsp;=&nbsp;0 평면에 놓는데, 점 B가 원점과 일치하고, C는 x&nbsp;=&nbsp;0, y&nbsp;=&nbsp;0, z&nbsp;=&nbsp;1에 위치하며, R은 x&nbsp;=&nbsp;1, y&nbsp;=&nbsp;0, z&nbsp;=&nbsp;1에 위치하도록 한다. 즉, R은 양의 x축 방향으로 확장된다. 이것이 구체의 초기 또는 기준 방향이다.

이제 구체는 z&nbsp;=&nbsp;0 평면에서 어떤 연속적인 폐쇄 경로를 따라 굴러갈 수 있다. 반드시 단순 연결 경로일 필요는 없으며, 미끄러지거나 뒤틀리지 않도록 굴러가서 C가 x&nbsp;=&nbsp;0, y&nbsp;=&nbsp;0, z&nbsp;=&nbsp;1로 돌아오도록 한다. 일반적으로 점 B는 더 이상 원점과 일치하지 않고, 점 R은 더 이상 양의 x축을 따라 확장되지 않는다. 사실, 적절한 경로를 선택함으로써 구체는 초기 방향에서 C가 x&nbsp;=&nbsp;0, y&nbsp;=&nbsp;0, z&nbsp;=&nbsp;1에 위치하는 구체의 가능한 모든 방향으로 재정향될 수 있다. 따라서 이 시스템은 비홀로노믹이다. 무제약(anholonomy)은 구체를 나타내는 점에 적용될 때 점 B와 R을 새로운 위치로 이동시키는 이중으로 유일한 사원수 (q와 -q)로 나타낼 수 있다.

### 푸코의 진자
비홀로노믹 시스템의 추가적인 예시는 푸코의 진자이다. 국부 좌표계에서 진자는 경로 시작 시 지리적 북쪽을 기준으로 특정 방향을 가진 수직 평면에서 흔들리고 있다. 시스템의 암묵적인 궤적은 진자가 위치한 지구상의 위도선이다. 진자는 지구 프레임에서 정지해 있지만, 태양을 기준으로 하고 지구의 공전 속도와 동기화되어 회전하는 프레임에서 움직이고 있으므로, 진자 평면의 유일한 겉보기 움직임은 지구의 자전으로 인한 것이다. 후자의 프레임은 관성 참조 프레임으로 간주되지만, 이 또한 더 미묘한 방식으로 비관성적이다. 지구 프레임은 원심력과 코리올리 힘의 겉보기 존재로 인해 비관성적임이 잘 알려져 있다.

위도선을 따른 움직임은 시간의 흐름에 따라 매개변수화되며, 푸코의 진자 진동 평면은 시간이 지남에 따라 국부 수직축 주위로 회전하는 것처럼 보인다. 초기 방향에 대한 이 평면의 시간 t에서의 회전 각도는 시스템의 무제약(anholonomy)이다. 완전한 위도 순환에 의해 유도된 무제약은 해당 위도 원이 이루는 입체각에 비례한다. 경로는 위도 원에 국한될 필요는 없다. 예를 들어, 진자는 비행기에 장착될 수도 있다. 무제약은 여전히 경로가 이루는 입체각에 비례하며, 이는 이제 상당히 불규칙할 수 있다. 푸코의 진자는 평행 운송의 물리적 예시이다.

### 광섬유 내의 선형 편광
예를 들어, 3미터 길이의 광섬유를 완전히 직선으로 놓는다. 한쪽 끝에 수직 편광 빔을 도입하면, 다른 쪽 끝에서 여전히 수직 방향으로 편광된 빛이 나온다. 섬유 상단을 수직 편광의 방향과 일치하도록 줄무늬로 표시한다.

이제 섬유를 직경 10센티미터의 원통 주위에 단단히 감는다. 이제 섬유의 경로는 원과 마찬가지로 일정한 곡률을 갖는 나선을 설명한다. 나선은 또한 일정한 비틀림이라는 흥미로운 속성을 갖는다. 결과적으로 섬유의 중심선이 나선을 따라 진행함에 따라 섬유가 섬유 축 주위로 점진적으로 회전한다. 마찬가지로 줄무늬도 나선의 축 주위로 뒤틀린다.

선형 편광된 빛이 한쪽 끝에 다시 도입되면, 편광의 방향이 줄무늬와 일치하도록 정렬되더라도, 일반적으로 줄무늬와 정렬되지 않고 섬유의 길이, 나선의 피치 및 반지름에 따라 달라지는 고정된 각도로 선형 편광된 빛으로 나타날 것이다. 이 시스템 또한 비홀로노믹이다. 왜냐하면 섬유를 두 번째 나선으로 쉽게 감고 끝을 정렬하여 빛을 원래 지점으로 되돌릴 수 있기 때문이다. 따라서 무제약(anholonomy)은 섬유의 각 회로마다 편광 각도의 편차로 나타난다. 매개변수를 적절히 조정함으로써 가능한 모든 각도 상태를 생성할 수 있다는 것은 분명하다.

### 로봇공학
로봇공학에서 비홀로노믹은 특히 모션 플래닝 및 모바일 로봇을 위한 피드백 선형화 범위 내에서 특별히 연구되었다.

## 같이 보기
* 홀로노믹 구속 조건
* 자전거 및 오토바이 역학
* 떨어지는 고양이 문제
* 고랴체프-차플리긴 팽이
* 평행 주차 문제
* 파피안 제약
* 우드와디아-칼라바 방정식
* 리 군 적분기

## 각주

분류:미분기하학
분류:대수적 위상수학
분류:미분위상수학
분류:동역학계