22/7가 π를 초과한다는 증명

섬네일|이것은 완벽한 22/7 원이 아닌데, 22/7이 파이를 완벽하게 나타내지 못하기 때문이다.

유리수 가  (파이)보다 크다는 수학적 증명은 고대로부터 전해져 왔다. 이러한 증명 중 하나는 비교적 최근에 개발되었지만 미적분학의 기본적인 기술만을 필요로 하며, 그 수학적 우아성과 디오판토스 근사 이론과의 연관성 때문에 현대 수학에서 주목을 받았다. 스티븐 루카스는 이 증명을 "를 근사하는 것과 관련된 더 아름다운 결과 중 하나"라고 부른다.
줄리안 해빌은 의 연분수 근사에 대한 논의를 이 결과로 마무리하며, 이 맥락에서 "언급하지 않을 수 없는" 것으로 묘사한다.

이 증명의 주된 목적은 독자들에게  가 실제로 보다 크다는 것을 납득시키는 것이 아니다.  값을 계산하는 체계적인 방법은 존재한다. 만약 가 약 3.14159라는 것을 안다면, &nbsp;\begin{align}
  \frac{22}{7} & = 3. \overline{142\,857}, \\
  \pi\,        & = 3.141 \,592\,65\ldots
  \end{align}

이 근사는 고대부터 알려져 있었다. 아르키메데스는 기원전 3세기에 이 과대평가라는 최초의 알려진 증명을 저술했지만, 그가 이 근사를 처음 사용한 사람은 아닐 수도 있다. 그의 증명은 이 96개의 변을 가진 정다각형의 둘레와 이를 외접하는 원의 지름의 비율보다 크다는 것을 보여줌으로써 진행된다.

## 증명
영국의 전기 기술자 도널드 퍼시 달젤(Donald Percy Dalzell, 1898–1988)이 1944년에 처음 고안한 증명은 매우 간결하게 표현될 수 있다.

: 0 

따라서 &nbsp;>&nbsp;이다.

이 적분의 계산은 1968년 퍼트넘 대회의 첫 문제였다.
이것은 대부분의 퍼트넘 대회 문제보다 쉽지만, 이 대회는 종종 매우 친숙한 것을 가리키는 것처럼 보이는 난해한 문제들을 특징으로 한다. 이 적분은 인도 공과대학교 입학 시험에서도 사용되었다.

## 적분 계산의 세부 사항
적분이 양수인 것은 피적분 함수가 비음수라는 사실에서 따른다. 분모는 양수이고 분자는 음이 아닌 수들의 곱이다. 또한 피적분 함수가 적분 범위 내의 적어도 한 지점, 예를 들어 에서 엄격하게 양수임을 쉽게 확인할 수 있다. 피적분 함수는 그 지점에서 연속이고 다른 곳에서는 음이 아니므로, 0에서 1까지의 적분은 엄격하게 양수여야 한다.

적분이 실제로 원하는 양과 같다는 것을 보이는 것이 남았다.

: 
\begin{align}
0 & 

( 다항식 장제법을 참조하라.)

## 빠른 상한과 하한
에서는 분모에  대신 1을 대입하면 적분의 하한을 얻고, 분모에  대신 0을 대입하면 상한을 얻을 수 있다고 지적했다.

:\frac{1}{1260} = \int_0^1\frac{x^4 \left(1-x\right)^4}{2}\,dx 

따라서 다음을 얻는다.
:\frac{22}{7} - \frac{1}{630} 

그러므로 소수 전개에서 3.1412 0

:\frac{355}{113}= 3.141\,592\,92\ldots,

여기서 소수점 이하 첫 여섯 자리 숫자는 의 것과 일치한다. 분모에  대신 1을 대입하면 하한을 얻는다.

:\int_0^1\frac{x^8\left(1-x\right)^8\left(25+816x^2\right)}{6328}\,dx =\frac{911}{5\,261\,111\,856} = 0.000\,000\,173\ldots,

분모에  대신 0을 대입하면 이 값의 두 배가 상한이 되므로,

:\frac{355}{113}-\frac{911}{2\,630\,555\,928}

소수 전개로 보면, 이것은 를 의미하며, 하한과 상한의 굵은 숫자는 의 숫자이다.

## 확장
위의 아이디어는 에 대한 더 나은 근사를 얻기 위해 일반화될 수 있다. 또한  및  (두 참고문헌 모두 계산은 제공되지 않음)를 참조하라. 명시적인 계산을 위해서는 모든 정수 에 대해 다음을 고려하라.

:
\frac1{2^{2n-1}}\int_0^1 x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx


여기서 중간 적분은 다음으로 평가된다.

:\begin{align}
\frac1{2^{2n-2}} & \int_0^1\frac{x^{4n}(1-x)^{4n}}{1+x^2}\,dx\\[6pt]
= {} & \sum_{j=0}^{2n-1}\frac{(-1)^j}{2^{2n-j-2}(8n-j-1)\binom{8n-j-2}{4n+j}}
+(-1)^n\left(\pi-4\sum_{j=0}^{3n-1}\frac{(-1)^j}{2j+1}\right)
\end{align}

를 포함한다. 마지막 합은 라이프니츠의  공식에도 나타난다. 보정 항과 오차 한계는 다음과 같이 주어진다.

:\begin{align}\frac1{2^{2n-1}}\int_0^1 x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx
&=\frac{1}{2^{2n-1}(8n+1)\binom{8n}{4n}}\\[6pt]
&\sim\frac{\sqrt{\pi n}}{2^{10n-2}(8n+1)},
\end{align}

여기서 중심이항계수의 근사(물결표는 양변의 몫이 큰 에 대해 1로 수렴한다는 것을 의미함)는 스털링 근사에서 따르며, 적분들이 로 빠르게 수렴함을 보여준다.

이러한 적분들의 계산: 모든 정수  및 에 대해 다음이 성립한다.

:\begin{align}
x^k(1-x)^\ell&=(1-2x+x^2)x^k(1-x)^{\ell-2}\\[6pt]
&=(1+x^2)\,x^k(1-x)^{\ell-2}-2x^{k+1}(1-x)^{\ell-2}.
\end{align}

이 공식을 번 재귀적으로 적용하면 다음을 얻는다.

:x^{4n}(1-x)^{4n}
=\left(1+x^2\right)\sum_{j=0}^{2n-1}(-2)^jx^{4n+j}(1-x)^{4n-2(j+1)}+(-2)^{2n}x^{6n}.

또한,

:\begin{align}
x^{6n}-(-1)^{3n}
&=\sum_{j=1}^{3n}(-1)^{3n-j}x^{2j}-\sum_{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j}\\[6pt]
&=\sum_{j=0}^{3n-1}\left((-1)^{3n-(j+1)} x^{2(j+1)}-(-1)^{3n-j}x^{2j}\right)\\[6pt]
&=-(1+x^2)\sum_{j=0}^{3n-1} (-1)^{3n-j}x^{2j},
\end{align}

첫 번째 등식은 에 대한 항들이 상쇄되기 때문에 성립하고, 두 번째 등식은 첫 번째 합에서 지수 이동 에서 비롯된다.

이 두 결과를 적용하면 다음을 얻는다.

:\begin{align}\frac{x^{4n}(1-x)^{4n}}{2^{2n-2}(1+x^2)}
=\sum_{j=0}^{2n-1} & \frac{(-1)^j}{2^{2n-j-2}}x^{4n+j}(1-x)^{4n-2j-2}\\[6pt]
& {} -4\sum_{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j}+(-1)^{3n}\frac4{1+x^2}.\qquad(1)
\end{align}

정수 에 대해, 부분 적분을 번 사용하여 다음을 얻는다.

:\begin{align}
\int_0^1x^k(1-x)^\ell\,dx
&=\frac \ell{k+1}\int_0^1x^{k+1}(1-x)^{\ell-1}\,dx\\[6pt]
&\,\,\,\vdots\\[6pt]
&=\frac \ell{k+1} \frac{\ell-1}{k+2}\cdots\frac1{k+\ell}\int_0^1x^{k+\ell}\,dx\\[6pt]
&=\frac{1}{(k+\ell+1)\binom{k+\ell}{k}}.\qquad(2)
\end{align}

으로 설정하면 다음을 얻는다.

:\int_0^1 x^{4n} (1-x)^{4n}\,dx = \frac{1}{(8n+1)\binom{8n}{4n}}.

방정식 (1)을 0부터 1까지 방정식 (2)와 를 사용하여 적분하면 를 포함하는 주장된 방정식을 얻는다.

에 대한 결과는 위에 주어져 있다. 에 대해서는 다음을 얻는다.

:\frac14\int_0^1\frac{x^8(1-x)^8}{1+x^2}\,dx=\pi -\frac{47\,171}{15\,015}

그리고

:\frac18\int_0^1 x^8(1-x)^8\,dx=\frac1{1\,750\,320},

따라서 이며, 하한과 상한의 굵은 숫자는 의 숫자이다. 비슷하게 에 대해서는,

:\frac1{16}\int_0^1\frac{x^{12}\left(1-x\right)^{12}}{1+x^2}\,dx= \frac{431\,302\,721}{137\,287\,920}-\pi

보정 항과 오차 한계는 다음과 같다.

:\frac1{32}\int_0^1 x^{12} (1-x)^{12}\,dx=\frac1{2\,163\,324\,800},

따라서 이다. 에 대한 다음 단계는 다음과 같다.

:\frac1{64}\int_0^1\frac{x^{16} (1-x)^{16}}{1+x^2}\,dx= \pi-\frac{741\,269\,838\,109}{235\,953\,517\,800}

와 함께

:\frac1{128}\int_0^1 x^{16} (1-x)^{16}\,dx=\frac1{2\,538\,963\,567\,360},

이는 를 제공한다.

## 같이 보기
* 의 근사
* 원주율 계산 연표
* 린데만-바이어슈트라스 정리 (가 초월수라는 증명)
* 원주율 관련 목록
* 의 무리성 증명

## 내용주

## 각주

## 외부 링크
* 1968년 퍼트넘 대회의 문제들, 이 증명은 질문 A1로 등재되어 있다.

분류:원주율