스위치드 커패시터

**스위치드 커패시터**(Switched capacitor, **SC**)는 전자 스위치가 열리고 닫힐 때 축전기에 전하를 넣고 빼서 함수를 구현하는 전자 회로이다. 일반적으로 스위치를 제어하기 위해 겹치지 않는 클럭 신호가 사용되므로 모든 스위치가 동시에 닫히지 않는다. 이러한 요소로 구현된 전자 필터는 스위치드-커패시터 필터라고 불리며, 이는 저항기의 정밀한 값에 의존하지 않고 커패시턴스 비율과 스위칭 주파수에만 의존한다. 이로 인해 정확하게 지정된 저항기와 축전기를 구성하는 것이 경제적이지 않은 집적 회로 내에서 사용하기에 훨씬 더 적합하지만, 정확한 클럭과 정확한 상대적인 커패시턴스 비율은 경제적이다.

SC 회로는 일반적으로 금속-산화물-반도체 (MOS) 기술을 사용하여 MOS 축전기 및 MOSFET 스위치와 함께 구현되며, CMOS 공정을 사용하여 일반적으로 제조된다. MOS SC 회로의 일반적인 응용 분야에는 혼합 신호 집적 회로, 디지털-아날로그 변환회로 (DAC) 칩, 아날로그-디지털 변환회로 (ADC) 칩, 펄스 부호 변조 (PCM) 코덱 필터 및 PCM 디지털 전화통신이 포함된다.

## 스위치드 커패시터를 이용한 병렬 저항 시뮬레이션
right|섬네일|스위치드 커패시터 저항기
가장 간단한 스위치드 커패시터(SC) 회로는 하나의 축전기 C_S와 두 개의 스위치 **S** 및 **S**로 구성되며, 이 스위치들은 스위칭 주파수 f로 축전기를 교대로 **in** 또는 **out**에 연결한다.

옴의 법칙에 따르면 전압, 전류 및 저항 사이의 관계는 다음과 같이 표현할 수 있다.
:R = {V \over I} .\ 
다음 등가 저항 계산은 각 스위칭 주기 동안 이 스위치드 커패시터 회로가 **in**에서 **out**으로 일정량의 전하를 전달하여 R_{\text{equivalent}} = 1 / (C_S f). 와 유사한 선형 전류-전압 관계에 따라 작동하는 방식을 보여준다.

### 등가 저항 계산
정의에 따라 플레이트 사이에 전압 V가 있는 모든 축전기 C의 전하 q는 다음과 같다.
:q = CV.\ 

따라서 **S**이 닫히고 **S**가 열릴 때, 축전기 C_S에 저장된 전하는 다음과 같다.
:q_{\text{in}} = C_S V_{\text{in}} 

V_{\text{in}} 이 이상적인 전압원이라고 가정한다.

**S**가 닫힐 때 (**S**은 열려 있음 - 동시에 둘 다 닫히지 않음), 그 전하의 일부는 축전기 밖으로 전달된다. 출력에 어떤 부하가 연결되어 있는지 알지 못하면 정확히 얼마만큼의 전하가 전달되는지는 결정할 수 없다. 그러나 정의에 따르면 축전기 C_S에 남아있는 전하는 미지의 변수 V_{\text{out}} 로 표현될 수 있다.

:q_{\text{out}} = C_S V_{\text{out}}.\ 

따라서 하나의 스위칭 주기 동안 **in**에서 **out**으로 전달되는 전하는 다음과 같다.
:q_{\text{in-out}} = q_{\text{in}}-q_{\text{out}} = C_S(V_{\text{in}}-V_{\text{out}}) .\ 

이 전하는 f의 속도로 전달된다. 따라서 **in**에서 **out**으로 흐르는 평균 전류 (단위 시간당 전하 전달 속도)는 다음과 같다.
:I_{\text{in-out}} = q_{\text{in-out}} f = C_S(V_{\text{in}}-V_{\text{out}})f .\ 
**in**에서 **out**으로의 전압 차이는 다음과 같이 쓸 수 있다.
:V_{\text{in-out}} = V_{\text{in}} - V_{\text{out}} .\ 

마지막으로, **in**에서 **out**으로의 전류-전압 관계는 옴의 법칙과 동일한 형태로 표현될 수 있으며, 이 스위치드 커패시터 회로가 다음과 같은 등가 저항을 가진 저항기를 시뮬레이션한다는 것을 보여준다.
:R_{\text{equivalent}} = {V_{\text{in-out}} \over I_{\text{in-out}}} = {(V_{\text{in}} - V_{\text{out}}) \over C_S(V_{\text{in}}-V_{\text{out}})f} = {1 \over {C_S f}}.\ 
:
이 회로는 **in**과 **out**이 병렬로 연결되어 있고 직접 연결되지 않았기 때문에 병렬 저항 시뮬레이션이라고 불린다. 다른 유형의 SC 시뮬레이션 저항기 회로는 이중 선형 저항기 시뮬레이션, 직렬 저항기 시뮬레이션, 직렬-병렬 저항기 시뮬레이션 및 기생-불감 저항기 시뮬레이션이 있다.

### 실제 저항기와의 차이점
전하는 연속적으로가 아니라 개별적인 펄스 형태로 'in'에서 'out'으로 전달된다. 이 전달은 스위칭 주파수가 입력 신호의 대역 제한보다 충분히 높을 때(≥100배) 저항기의 등가 연속 전하 전달을 근사한다.

여기서 저항이 0인 이상적인 스위치를 사용하여 모델링된 SC 회로는 일반 저항기의 옴 저항 발열 에너지 손실을 겪지 않으므로 이상적으로는 무손실 저항기라고 불릴 수 있다. 그러나 실제 스위치는 채널 또는 p-n 접합에 약간의 작은 저항을 가지고 있으므로 여전히 전력이 소산된다. 축전기도 이상적이지 않으며 전력을 소산한다.

전기 스위치 내부의 저항은 일반적으로 일반 저항기를 사용하는 회로의 저항보다 훨씬 작기 때문에 SC 회로는 훨씬 낮은 열잡음을 가질 수 있다. 그러나 스위칭 주파수의 고조파는 고주파 잡음으로 나타날 수 있으며 로우패스 필터로 감쇠해야 할 수도 있다.

SC 시뮬레이션 저항기는 또한 스위칭 주파수를 변경하여 등가 저항을 조정할 수 있다는 장점이 있다(즉, 프로그래밍 가능한 저항). 해상도는 스위칭 주기 해상도에 의해 제한된다. 따라서 마이크로컨트롤러의 구성 가능한 클럭 출력 신호를 사용하여 스위치의 진동을 제어함으로써 온라인 또는 런타임 조정을 수행할 수 있다.

### 응용 분야

SC 시뮬레이션 저항기는 집적 회로에서 실제 저항기를 대체하여 사용된다. 이는 넓은 범위의 값을 신뢰성 있게 제작하기 쉽고 실리콘 면적을 훨씬 적게 차지할 수 있기 때문이다.

이 동일한 회로는 이산 시간 시스템(예: ADC)에서 표본 및 유지 회로로 사용될 수 있다. 적절한 클럭 위상 동안 축전기는 스위치 **S<sub>1</sub>**을 통해 아날로그 전압을 샘플링하고, 두 번째 위상에서는 이 유지된 샘플링 값을 스위치 **S<sub>2</sub>**를 통해 전자 회로에 제공하여 처리한다.

#### 필터
저항기와 축전기로 구성된 전자 필터는 저항기를 등가 스위치드-커패시터 시뮬레이션 저항기로 대체할 수 있어 필터를 실제 저항기에 의존하지 않고 스위치와 축전기만을 사용하여 제조할 수 있다.

## 기생-민감 적분기
right|400px|섬네일|간단한 스위치드-커패시터 기생-민감 적분기
스위치드-커패시터 시뮬레이션 저항기는 연산 증폭기 적분기의 입력 저항기를 대체하여 정확한 전압 이득 및 적분을 제공할 수 있다.

이러한 회로 중 가장 초기의 하나는 체코 공학자 베드리치 호스티카(Bedrich Hosticka)가 개발한 기생-민감 적분기이다.

### 분석
스위칭 주기 T = 1 / f라고 하자. 축전기에서,
:\text{charge} = \text{capacitance} \times \text{voltage}

그럼 **S<sub>1</sub>**이 열리고 **S<sub>2</sub>**가 닫힐 때 (동시에 둘 다 닫히지 않음), 다음을 얻는다.

1) C_s가 방금 충전되었기 때문에:
: Q_s(t) = C_s \cdot V_s(t)\, 

2) 피드백 캡 C_{fb}이 그만큼의 전하로 갑자기 충전되었기 때문에 (입력 사이의 가상 단락을 찾는 연산 증폭기에 의해):
: Q_{fb}(t) = Q_s(t-T) + Q_{fb}(t-T)\, 

이제 2)를 C_{fb}로 나누면:
: V_{fb}(t) = \frac {Q_s(t-T)}{C_{fb}} + V_{fb}(t-T)\, 

그리고 1)을 삽입하면:
: V_{fb}(t) = \frac {C_s}{C_{fb}} \cdot V_s(t-T) + V_{fb}(t-T)\, 

이 마지막 방정식은 C_{fb}에서 일어나는 일을 나타낸다. 즉, C_s에서 "펌핑"되는 전하에 따라 매 사이클마다 전압이 증가(또는 감소)한다(연산 증폭기에 의해).

그러나 T가 매우 짧다면 이 사실을 정식화하는 더 우아한 방법이 있다. dt\leftarrow T 및 dV_{fb}\leftarrow V_{fb}(t)-V_{fb}(t-dt)를 도입하고 마지막 방정식을 dt로 나누어 다시 작성하자.
: \frac {dV_{fb}(t)}{dt} = f \frac {C_s}{C_{fb}} \cdot V_s(t)\, 

따라서 연산 증폭기 출력 전압은 다음 형식을 취한다.
: V_{\text{out}}(t) = -V_{fb}(t) = - \frac{1}{\frac{1}{fC_s}C_{fb}} \int V_s(t)dt \, 

이는 저항이 등가 저항이 다음과 같은 SC 시뮬레이션 저항기로 대체된 연산 증폭기 반전 적분기와 동일한 공식이다.
:R_{\text{equivalent}} = {1 \over {C_s f}}.\ 
이 스위치드 커패시터 회로는 기생 용량에 의해 그 동작이 크게 영향을 받기 때문에 "기생-민감"이라고 불리며, 기생 용량을 제어할 수 없을 때 오류를 유발한다. "기생-불감" 회로는 이를 극복하려고 한다.

## 기생-불감 적분기

### 이산 시간 시스템에서의 사용
지연 기생 불감 적분기는 이차 필터, 안티앨리어싱 구조 및 델타-시그마 데이터 변환기와 같은 이산 시간 전자 회로에서 널리 사용된다. 이 회로는 다음 z-영역 함수를 구현한다.
: H(z) = \frac{1}{z-1}

## 곱셈 디지털-아날로그 변환기
right|frame|1.5비트 곱셈 디지털-아날로그 변환기
스위치드 커패시터 회로의 유용한 특성 중 하나는 많은 회로 작업을 동시에 수행하는 데 사용될 수 있다는 점이다. 이는 비이산 시간 구성 요소(즉, 아날로그 전자 장치)로는 어렵다. 곱셈 디지털-아날로그 변환기(MDAC)는 아날로그 입력을 받아 디지털 값 d를 더하고 커패시터 비율에 따라 특정 계수를 곱할 수 있는 예시이다. MDAC의 출력은 다음과 같다.
: V_{Out} = \frac {V_{i} \cdot (C_{1}+C_{2}) - (d-1) \cdot V_{r} \cdot C_{2} + V_{os} \cdot (C_{1}+C_{2}+C_{p})} {C_{1} + \frac {(C_{1} + C_{2} + C_{p})} {A} } 

MDAC는 최신 파이프라인 아날로그-디지털 변환회로 및 기타 정밀 아날로그 전자 장치의 일반적인 구성 요소이며, 벨 연구소의 스티븐 루이스(Stephen Lewis) 등이 위와 같은 형태로 처음 만들었다.

## 스위치드 커패시터 회로 분석
스위치드 커패시터 회로는 이 문서에서와 같이 전하 보존 방정식을 작성하고 컴퓨터 대수 도구로 풀어 분석한다. 수동 분석 및 회로에 대한 더 많은 통찰력을 얻기 위해, 스위치드 커패시터 및 연속 시간 회로와 매우 유사한 방법으로 신호 흐름 그래프 분석을 수행할 수도 있다.

## 같이 보기
* 에일리어싱
* 전하 펌프
* 표본화 정리
* 스위치 모드 파워 서플라이
* 사이리스터-스위치드 커패시터 (TSC)

## 각주

*Mingliang Liu, Demystifying Switched-Capacitor Circuits, 

분류:축전기
분류:MOSFET