Hom 함자

수학에서, 특히 범주론에서 hom 집합 (즉, 대상 사이의 사상들의 집합)은 집합 범주에 대한 중요한 함자를 생성한다. 이러한 함자는 ***<math>\textbf{hom}</math>*** **함자**라고 하며 범주론 및 여러 수학 분야에 수많은 응용이 있다.

## 공식적인 정의
***<math>C</math>***를 국소적으로 작은 범주(즉, hom-classes가 고유 모임이 아니고 집합인 범주)라고 가정한다.

***<math>C</math>***의 모든 대상 ***<math>A</math>***와 ***<math>B</math>***에 대해 다음과 같이 집합 범주에 두 개의 함자를 정의한다.

함자 \text{Hom}(-, B) 은 대상 **<math>B</math>**의 점 함자라고도 한다.

***<math>\text{Hom}</math>***의 첫 번째 인수를 고정하면 자연스럽게 공변 함수가 발생하고 두 번째 인수를 고정하면 자연스럽게 반공변 함수가 생성된다.

한 쌍의 함자 \text{Hom}(A, -),\text{Hom}(-, B)는 자연스러운 방식으로 관련된다. 임의의 한 쌍의 사상 ***<math>f:B'\rightarrow B</math>***와 ***<math>h:A'\rightarrow A</math>***에 대해 도식
가운데|320x320픽셀
은 가환이다. 두 경로 모두 ***<math>g:A\rightarrow B</math>***를 ***<math>f\circ g\circ h:A'\rightarrow B'</math>***로 보낸다.

위 도식의 가환성은  \text{Hom}(-, -)이 첫째 항에 대해 반변하고 둘째 항에 대해 공변하는 ***<math>C\times C</math>***에서 **<math>\textbf{Set}</math>**로 가는 쌍함자임을 함의 한다. 동등하게, \text{Hom}(-, -)를

: \text{Hom}(-, -):C^{\text{op}}\rightarrow \textbf{Set}

인 쌍함자라고 말할 수 있다. 여기서 ***<math>C^{\text{op}}</math>***는 ***<math>C</math>***의 반대 범주이다. 정의역을 형성하는 범주를 강조하기 위해 \text{Hom}(-, -)에  \text{Hom}_C(-, -) 표기법이 사용되는 경우가 있다.

## 요네다 보조정리
위의 가환 도식을 참조하면, 모든 사상

: ***<math>h:A'\rightarrow A</math>***

은 자연 변환

: \text{Hom}(h, -):\text{Hom}(A, -)\rightarrow \text{Hom}(A', -)

을 가져온다. 그리고 모든 사상

: ***<math>f:B'\rightarrow B</math>***

은 자연 변환

: \text{Hom}(-, f):\text{Hom}(-, B)\rightarrow \text{Hom}(-, B')

을 가져온다. 요네다 보조정리는 ***<math>\text{Hom}</math>*** 함자 사이의 *모든* 자연스러운 변환이 이 형식임을 의미한다. 즉, ***<math>\text{Hom}</math>*** 함자는 함자 범주 \textbf{Set}^{C^{\text{op}}}(사용되는 ***<math>\text{Hom}</math>*** 함자에 따라 공변 또는 반변)에 범주 ***<math>C</math>***를 완전하고 충실하게 매장하도록 한다.

## 내부 Hom 함자
일부 범주에는 ***<math>\text{Hom}</math>*** 함자처럼 동작하는 함자가 있을 수 있지만 **<math>\textbf{Set}</math>**이 아니라 범주 ***<math>C</math>*** 자체의 값을 사용한다. 이러한 함자는 **내부 ''<math>\text{Hom}</math>'' 함자**라고 하며 종종 다음과 같이 작성된다.

: \left[-\ -\right] : C^\text{op} \times C \to C

곱과 같은 특성을 강조하거나

: \mathop\Rightarrow : C^\text{op} \times C \to C

그것의 함자적 특성을 강조하기 위해, 또는 때로는 단순히 소문자로:

: \operatorname{hom}(-, -) : C^\text{op} \times C \to C . 예를 보려면 관계 범주를 참조.

내부 Hom 함자가 있는 범주를 닫힌 범주라고 한다. 하나는 그것을 가지고

: \operatorname{Hom}(I, \operatorname{hom}(-, -)) \simeq \operatorname{Hom}(-, -)

여기서 ***<math>I</math>***는 닫힌 범주의 단위 대상이다. 닫힌 모노이드 범주의 경우 이는 커링 개념으로 확장된다.

: \operatorname{Hom}(X, Y \Rightarrow Z) \simeq \operatorname{Hom}(X\otimes Y, Z)

여기서 \otimes는 모노이드 범주를 정의 하는 **내부 곱 함자**인 쌍함자이다. 그 동형 사상은 *<math>X</math>*와 *<math>Z</math>*모두에서 자연스럽다. 즉, 닫힌 모노이드 범주에서 내부 ***<math>\text{Hom}</math>*** 함자는 내부 곱 함자에 대한 인접 함자이다. 대상 Y \Rightarrow Z은 **내부 ''<math>\textbf{Hom}</math>***이라고 한다.  <math>\otimes</math>가 [[데카르트 닫힌 범주|데카르트 곱]] <math>\times</math>일 때, 대상 <math>Y \Rightarrow Z</math>는 지수 대상라고 하며 종종 기호로 <math>Z^Y</math>과 같이 나타낸다.

내부 ***<math>\text{Hom}</math>***는 함께 연결될 때 범주의 내부 언어라고 하는 언어를 형성한다. 이들 중 가장 유명한 것은 [[데카르트 닫힌 범주|데카르트 폐쇄 범주]]의 내부 언어인 단순 유형 람다 미적분과 폐쇄 대칭 단일 범주의 내부 언어인 선형 계이다.

== 성질 ==
함자

: <math>\text{Hom}(-, A):C^{\text{op}}\rightarrow \textbf{Set}</math>

가 준층임을 유의하라; 마찬가지로 <math>\text{Hom}(A, -)</math>은 여준층이다.

함자 <math>F:C\rightarrow \textbf{Set}</math>에서 일부 ***<math>A</math>***에 대해 [[자연 변환|자연스럽게]] <math>\text{Hom}(A, -)</math>과 동형인 *'집합**을 표현 가능한 [[표현 가능 함자|함자]](또는 표현 가능한 여준층)라고 한다. 마찬가지로 <math>\text{Hom}(-, A)</math>에 해당하는 반공변 함수자는 여표현가능이라고 할 수 있다.

<math>\text{Hom}(-, -):C^{\text{op}}\times C\rightarrow \textbf{Set}</math>은 pro함자이며, 구체적으로는 항등 pro함자 <math>\operatorname{id}_C \colon C \nrightarrow C</math>이다.

내부 ***<math>\text{hom}</math>*** 함자는 [[극한 (범주론)|극한]]을 보존한다. <math>\operatorname{hom}(X, -) \colon C \to C</math>는 극한을 극한으로 보내는 반면 <math>\operatorname{hom}(-, X) \colon C^\text{op} \to C</math>는 <math>C^\text{op}</math>안의 극한, 즉, <math>C</math> 안의 [[극한 (범주론)|여극한]]을 극한으로 보낸다. 어떤 의미에서 이것은 극한 또는 여극한의 정의로 볼 수 있다.

== 기타 성질 ==
***<math>\textbf A</math>***가 [[아벨 범주]]이고 ***<math>A</math>***가 ***<math>\textbf A</math>***의 대상인 경우 ***<math>\text{Hom}_{\textbf A}(A,-)</math>***는 ***<math>\textbf A</math>***에서 [[아벨 군]]의 범주 ***<math>\textbf {Ab}</math>***까지의 공변 [[완전 함자|왼쪽 완전]] 함수이다. ***<math>A</math>***가 [[사영 가군|사영]]인 경우에만 완전하다.

***<math>R</math>***을 [[환 (수학)|환]]이라고 하고 ***<math>M</math>***을 왼쪽 ***<math>R</math>*'''-가군이라고 하자. 함자 \text{Hom}_{\textbf{R}}(M, -):\textbf{Mod}\text{-}R\rightarrow \textbf{Ab}는 텐서 곱 함자 \otimes_R M: \textbf{Ab}\rightarrow \textbf{Mod}\text{-}R에 인접한다.

## 같이 보기
* Ext 함자
* 함자 범주
* 표현 가능 함자

## 메모


## 참조

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## 외부 링크
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분류:함자