겔판트-나이마르크-세갈 구성

수학의 한 분야인 함수해석학에서, <math>C^*</math>-대수 A가 주어졌을 때 **겔판트-나이마르크-세갈 구성**(, GNS 구성)은 A의 순환 *-표현과 A 위의 특정 선형 범함수(상태라고 불림) 사이의 대응 관계를 확립한다. 이 대응은 상태로부터 *-표현을 명시적으로 구성함으로써 보여진다. 이 명칭은 이즈라일 겔판트, 마르크 나이마르크, 그리고 어빙 세갈의 이름을 따서 명명되었다.

## 상태와 표현
힐베르트 공간 H 위에서 <math>C^*</math>-대수 A의 **<math>*</math>-표현**이란 다음과 같은 A에서 H 위의 유계 작용소 대수로 가는 사상 \pi이다.
* \pi는 A의 대합을 작용소의 대합으로 옮기는 환 준동형사상이다.
* \pi는 비퇴화이다. 즉, x가 A 전체를 훑고 \xi가 H 전체를 훑을 때 벡터 \pi (x) \xi들의 공간이 조밀하다. A가 항등원을 가지는 경우, 비퇴화는 \pi가 단위를 보존함(즉, \pi가 A의 항등원을 H 위의 항등 작용소로 사상함)을 의미한다.

C^*-대수 A 위의 상태는 노름이 1인 양의 선형 범함수 f이다. 만약 A가 승법 항등원을 가진다면, 이 조건은 f(1) = 1과 동치이다.

힐베르트 공간 H 위에서 C^*-대수 A의 표현 \pi에 대하여, 만약 벡터들의 집합
:\{\pi(x)\xi:x\in A\}
가 H에서 노름 조밀하다면 원소 \xi를 **순환 벡터**(cyclic vector)라고 부르며, 이 경우 \pi를 **순환 표현**이라고 한다. 기약표현의 모든 0이 아닌 벡터는 순환 벡터이다. 그러나 일반적인 순환 표현에서 0이 아닌 벡터가 순환 벡터가 되지 못할 수도 있다.

### GNS 구성
\pi를 힐베르트 공간 H 위에서 C^*-대수 A의 *-표현이라 하고, \xi를 \pi에 대한 단위 노름 순환 벡터라고 하자. 그러면
 a \mapsto \langle \pi(a) \xi, \xi\rangle 
는 A의 상태이다.

반대로, A의 모든 상태는 아래와 같이 적절한 정준 표현(canonical representation) 하에서 벡터 상태로 간주될 수 있다.

위 정리의 증명에서 A의 상태로부터 *-표현을 생성하는 데 사용된 방법을 **GNS 구성**이라고 한다.
C^*-대수 A의 상태에 대해, 대응하는 GNS 표현은 아래 정리에서 보듯이 조건 \rho(a) = \langle \pi(a) \xi, \xi \rangle에 의해 본질적으로 유일하게 결정된다.

### GNS 구성의 의의
GNS 구성은 C^*-대수를 작용소들의 대수로 특징짓는 겔판트-나이마르크 정리 증명의 핵심이다. C^*-대수는 충분히 많은 순수 상태(아래 참조)를 가지고 있어서 대응하는 기약 GNS 표현들의 직합이 충실하다.

모든 상태에 대응하는 GNS 표현들의 직합을 A의 **[[보편 표현 (C*-대수)|보편 표현]]**이라고 한다. A의 보편 표현은 모든 순환 표현을 포함한다. 모든 *-표현은 순환 표현들의 직합이므로, A의 모든 *-표현은 보편 표현의 복사본들의 어떤 합의 직합 성분이 된다.

만약 \Phi가 C^*-대수 A의 보편 표현이라면, 약작용소 위상에서 \Phi(A)의 폐포를 A의 **[[포괄 폰 노이만 대수]]**라고 한다. 이는 이중 쌍대 A^{**}와 식별될 수 있다.

## 기약성
또한 기약 *-표현과 상태들의 볼록 집합의 극점 사이의 관계도 중요하다. H 위의 표현 \pi가 기약이라는 것은 H 자체와 자명한 부분 공간 \{0\} 이외에 모든 작용소 \pi(x)에 대해 불변인 H의 닫힌 부분 공간이 존재하지 않음을 의미한다.

이 두 결과는 바나흐-앨러오글루 정리로부터 즉각 도출된다.

단위원이 있는 가환적인 경우, 어떤 콤팩트 공간 X 위의 연속 함수들의 C^*-대수 C(X)에 대해, 리스-마르코프-카쿠타니 표현 정리는 노름이 \leq 1인 양의 범함수들이 정확히 총 질량이 \leq 1인 X 위의 보렐 양의 측도임을 말해준다. 크레인-밀만 정리에 의해 극대 상태(extremal states)는 디락 점질량 측도들이다.

반면에, C(X)의 표현이 기약인 것은 그것이 1차원인 것과 동치이다. 따라서 측도 \mu에 대응하는 C(X)의 GNS 표현이 기약인 것은 \mu가 극대 상태인 것과 동치이다. 이는 사실 일반적인 C^*-대수에 대해서도 참이다.

이 결과를 증명하기 위해 먼저 표현이 기약인 것은 \pi(A)의 교환자(\pi(A)'로 표기)가 항등 작용소의 스칼라배로만 구성되는 것과 동치임을 주목한다.

f에 의해 지배되는 A 위의 임의의 양의 선형 범함수 g는 작용소 순서에서 0 \leq T \leq 1을 만족하는 \pi(A)' 내의 어떤 양의 작용소 T_g에 대하여
 g(x^*x) = \langle \pi(x) \xi,  \pi(x) T_g \, \xi \rangle 
의 형태를 띤다. 이는 라돈-니코딤 정리의 한 버전이다.

그러한 g에 대해 f를 양의 선형 범함수들의 합 f = g + g'로 쓸 수 있다. 따라서 \pi는 \pi_g \oplus \pi_{g'}의 부분 표현과 유니터리 동치이다. 이는 \pi가 기약인 것이 그러한 모든 \pi_g가 \pi와 유니터리 동치인 것, 즉 g가 f의 스칼라배인 것과 동치임을 보여주며, 이로써 정리가 증명된다.

극대 상태는 보통 순수 상태라고 불린다. 상태가 순수 상태인 것은 상태들의 볼록 집합에서 극점인 것과 동치이다.

C^*-대수에 대한 위의 정리들은 근사 항등원을 가진 <math>B^*</math>-대수의 문맥에서도 더 일반적으로 유효하다.

## 일반화
완전 양 사상을 특징짓는 스타인스프링 분해 정리는 GNS 구성의 중요한 일반화이다.

## 역사
겔판트-나이마르크 정리에 관한 겔판트와 나이마르크의 논문은 1943년에 발표되었다. 세갈은 이 작업에 내재된 구성을 인식하고 이를 더 정교한 형태로 제시했다.

1947년 논문에서 세갈은 힐베르트 공간 위의 작용소 대수로 설명될 수 있는 모든 물리계에 대해 C^*-대수의 기약 표현을 고려하는 것으로 충분함을 보여주었다. 양자론에서 이는 C^*-대수가 관측 가능량들에 의해 생성됨을 의미한다. 세갈이 지적했듯이, 이것은 이전에 존 폰 노이만에 의해 비상대론적 슈뢰딩거-하이젠베르크 이론의 특정 사례에 대해서만 보여진 바 있었다.

## 같이 보기
* 순환 및 분리 벡터
* KSGNS 구성

## 각주

* William Arveson, An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, 1981
* Kadison, Richard, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. .
* Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier-Villars, 1969.영어 번역: 
* Thomas Timmermann, An invitation to quantum groups and duality: from Hopf algebras to multiplicative unitaries and beyond, European Mathematical Society, 2008,  – Appendix 12.1, section: GNS construction (p. 371)
* Stefan Waldmann: On the representation theory of deformation quantization, In: Deformation Quantization: Proceedings of the Meeting of Theoretical Physicists and Mathematicians, Strasbourg, May 31-June 2, 2001 (Studies in Generative Grammar) , Gruyter, 2002, , p.&nbsp;107–134 – section 4. The GNS construction (p. 113)
*
* Shoichiro Sakai, C*-Algebras and W*-Algebras, Springer-Verlag 1971. 

### 내부 참조

분류:함수해석학