루스-후르비츠 안정성 판별법

제어 시스템 이론에서 **루스-후르비츠 안정성 판별법**()은 선형 시불변 시스템(LTI)인 동역학계 또는 제어 시스템의 안정성에 대한 필요 충분 조건을 따지는 수학적 검사이다. 안정적인 시스템이란 출력 신호가 유계인 시스템을 말하며, 시간이 지남에 따라 위치, 속도 또는 에너지가 무한대로 증가하지 않는다. 루스 판별법은 영국의 수학자 에드워드 존 루스가 1876년에 제안한 효율적인 재귀 알고리즘으로, 선형계의 특성 다항식의 모든 근이 음의 실수부를 갖는지 여부를 결정한다. 독일의 수학자 아돌프 후르비츠는 1895년에 독자적으로 다항식의 계수를 후르비츠 행렬이라 불리는 정사각 행렬로 배열하고, 다항식이 안정적일 필요충분조건은 주소행렬식들의 수열이 모두 양수인 것임을 보였다. 두 절차는 동일하며, 루스 판별법은 후르비츠 행렬식(\Delta_i)을 직접 계산하는 것보다 더 효율적인 계산 방법을 제공한다. 루스-후르비츠 판별법을 만족하는 다항식을 후르비츠 다항식이라고 한다.

이 판별법의 중요성은 음의 실수부를 갖는 선형계 특성 방정식의 근 **p**가 시스템의 안정적인(유계인) 해 **e<sup>pt</sup>**를 나타낸다는 점에 있다. 따라서 이 판별법은 시스템을 직접 풀지 않고도 선형계의 운동 방정식이 안정적인 해만을 갖는지 확인하는 방법을 제공한다. 이산 시스템의 경우, 대응하는 안정성 검사는 슈어-콘(Schur–Cohn) 판별법, 주리 판별법, 비스트리츠(Bistritz) 판별법으로 처리할 수 있다. 컴퓨터의 등장으로 다항식을 수치적으로 풀어 근의 근사치를 직접 구하는 대안이 생기면서 이 판별법의 사용 빈도는 낮아졌다.

루스 판별법은 코시 지수를 평가할 때 유클리드 호제법과 스투름의 정리를 사용하여 유도될 수 있다. 후르비츠는 자신의 조건을 다르게 유도했다.

## 유클리드 호제법의 사용
이 판별법은 루스-후르비츠 정리와 관련이 있다. 해당 정리의 서술로부터 p-q=w(+\infty)-w(-\infty)를 얻을 수 있으며, 여기서:
* p는 다항식 f(z)의 근 중 음의 실수부를 갖는 것의 개수이다.
* q는 다항식 f(z)의 근 중 양의 실수부를 갖는 것의 개수이다. (정리에 따르면 f는 허수축 위에 근이 없어야 한다.)
* w(x)는 실수 y에 대하여 f(iy)=P_0(y)+iP_1(y)일 때, P_0(y)와 P_1(y)로부터 (연속적인 유클리드 나눗셈에 의해) 얻은 일반화된 스투름 체인의 부호 변화 횟수이다.
대수학의 기본 정리에 의해 n차 다항식은 복소평면에서 n개의 근을 가져야 한다 (즉, 허수축 위에 근이 없는 ƒ에 대해 p&nbsp;+&nbsp;q&nbsp;=&nbsp;n). 따라서 ƒ가 (후르비츠) 안정 다항식일 필요충분조건은 p&nbsp;−&nbsp;q&nbsp;=&nbsp;n이다 (아래에 증명이 제시되어 있다). 루스-후르비츠 정리를 사용하면 p와 q에 대한 조건을 일반화된 스투름 체인에 대한 조건으로 대체할 수 있으며, 이는 다시 ƒ의 계수에 대한 조건이 된다.

## 행렬의 사용
*f*(*z*)를 복소 다항식이라 하자. 과정은 다음과 같다.
# 실수 y에 대하여 f(iy)=P_0(y)+iP_1(y)를 만족하는 다항식 P_0(y)와 P_1(y)를 계산한다.
# P_0(y)와 P_1(y)에 연관된 실베스터 행렬을 계산한다.
# 홀수 번째 행과 그다음 행이 동일한 수의 선행 제로(leading zeros)를 갖도록 각 행을 재배열한다.
# 해당 행렬의 각 주소행렬식을 계산한다.
# 소행렬식 중 하나라도 음수(또는 0)이면 다항식 *f*는 안정적이지 않다.

### 예시
f(z) = az^2 + bz + c라 하자 (단순화를 위해 실수 계수를 취함). 여기서  c\neq 0이다(0에 근이 생기는 것을 방지하여 루스-후르비츠 정리를 사용할 수 있도록 함). 먼저 실수 다항식 P_0(y)와 P_1(y)를 계산해야 한다.
f(iy) = -ay^2 + iby + c = P_0(y) + iP_1(y) = -ay^2 + c + i(by).
다음으로, 일반화된 스투름 체인을 얻기 위해 이 다항식들을 나눈다.
\begin{align}
  P_0(y) &= \left( \tfrac{-a}{b} y \right)P_1(y)+c, &&\implies P_2(y) = -c, \\[4pt]
  P_1(y) &= \left( \tfrac{-b}{c} y \right)P_2(y), &&\implies P_3(y) = 0,
\end{align} 그리고 유클리드 나눗셈이 멈춘다.

첫 번째 나눗셈에서 가 0이 아니라고 가정해야 했음에 유의하라. 이 경우 일반화된 스투름 체인은 다음과 같다.
\Bigl( P_0(y), P_1(y), P_2(y) \Bigr) = (c-ay^2, by ,-c).
y=+\infty를 대입하면, (c-ay^2)의 부호는 의 반대 부호이고 의 부호는 의 부호이다. (y=-\infty)를 대입하면, 체인의 첫 번째 원소의 부호는 다시 의 반대 부호이고 의 부호는 의 반대 부호이다. 마지막으로, 는 항상 의 반대 부호를 갖는다.

이제 가 후르비츠 안정적이라고 가정하자. 이는 w(+\infty)-w(-\infty)=2 (의 차수)임을 의미한다. 함수 의 성질에 의해, 이는 w(+\infty)=2이고 w(-\infty)=0인 것과 같다. 따라서  및 는 모두 같은 부호여야 한다. 이로써 2차 다항식에 대한 안정성의 필요 조건을 찾았다.

### 2차, 3차, 4차 다항식에 대한 루스-후르비츠 판별법
2차 다항식의 경우

  P(s) = a_2s^2 + a_1s + a_0 = 0,

모든 계수가 양수여야 한다:
  a_i > 0 \quad \text{for} \quad i = 0, 1, 2. 

3차 다항식의 경우

  P(s) = a_3s^3 + a_2s^2 + a_1s + a_0 = 0, 
모든 계수가 양수여야 하며:
  a_i > 0 \quad \text{for} \quad i = 0, 1, 2, 3
또한 다음 조건이 필요하다:

   a_2a_1 - a_3a_0 > 0.


4차 다항식의 경우

  P(s) = a_4s^4 + a_3s^3 + a_2s^2 + a_1s + a_0 = 0,

모든 계수가 양수여야 하며:
  a_i > 0 \quad \text{for}  \quad i = 0, 1, 2, 3, 4 
또한 다음 조건들이 필요하다:
\begin{align}
   a_2a_1 - a_3a_0 & > 0\\
  a_3a_2a_1 - a_4a_1^2 - a_3^2a_0 & > 0.
\end{align}

일반적으로 루스 안정성 판별법은 다항식의 모든 근이 개좌반평면(open left half-plane)에 있을 필요충분조건은 루스 배열의 첫 번째 열의 모든 원소가 같은 부호를 갖는 것이라고 명시한다.

모든 계수가 양수(또는 모두 음수)인 것은 모든 근이 개좌반평면에 위치하기 위한 필요 조건이다. 그렇기 때문에 여기서는  a_n 을 양수인 1로 고정한다. 이를 가정하면 4차 다항식에서  a_3a_2 > a_1을 제거할 수 있으며, 5차 및 6차에 대한 조건도 단순화할 수 있다. 5차의 경우 \Delta_2>0, \Delta_4>0만 확인하면 되고, 6차의 경우 \Delta_3>0, \Delta_5>0만 확인하면 되며, 이는 리에나르-시파르 판별법에서 더욱 최적화된다. 실제로 일부 계수가 양수인 것은 주소행렬식이 양수인 것과 독립적이지 않은데, 예를 들어 3차 다항식에서 a_2 > 0 검사는 생략될 수 있다.

### 고차 예시
고차 특성 다항식의 근을 구하기 어려울 때 안정성을 판단하기 위해 도표법을 사용할 수 있다. 모든 계수가 같은 부호인 차 다항식
D(s) = a_ns^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_1s + a_0
에 대하여, 표는 개의 행을 가지며 다음과 같은 구조를 갖는다.

\begin{matrix}
  a_n     & a_{n-2} & a_{n-4} & \dots \\
  a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & \dots \\
  b_1     & b_2     & b_3     & \dots \\
  c_1     & c_2     & c_3     & \dots \\
  \vdots  & \vdots  & \vdots  & \ddots
\end{matrix}

여기서 원소 b_i와 c_i는 다음과 같이 계산할 수 있다.
\begin{align}
  b_i &= \frac{a_{n-1} \times a_{n-2i} - a_n \times a_{n-(2i+1)}}{a_{n-1}} \\[4pt]
  c_i &= \frac{b_1 \times a_{n-(2i+1)} - a_{n-1} \times b_{i+1}}{b_1}
\end{align}
완성되었을 때, 첫 번째 열에서 부호가 변하는 횟수는 실수부가 영이 아닌 양수인 근의 개수가 된다.

\begin{matrix}
  0.75 & 1.5 & \ 0 \  & \ 0 \ \\
  -3   & 6   & 0 & 0 \\
  3    & 0   & 0 & 0 \\
  6    & 0   & 0 & 0
\end{matrix}

첫 번째 열에서 두 번의 부호 변화(, 그리고 )가 있으므로, 실수부가 양수인 근이 두 개 존재하며 시스템은 불안정하다.

어느 서보 시스템 예시의 특성 방정식은 다음과 같다:

b_0s^4 + b_1s^3 + b_2s^2 + b_3s + b_4 = 0

이에 대한 표는 다음과 같다:

\begin{matrix}
  b_ 0 & b_2 & \quad b_4 \quad & \quad 0 \quad \\[4pt]
  b_1 & b_3 & 0 & 0 \\[4pt]
  \frac{b_1b_2 - b_0b_3}{b_1} & \frac{b_1b_4-b_ 0 \times 0}{b_1} = b_4 & 0 & 0 \\
  \frac{(b_1b_2 - b_0b_3)b_3 - b_1^2b_4}{b_1b_2 - b_0b_3} & 0 & 0 & 0 \\[4pt]
  b_4 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}

안정성을 위해, b_0 > 0일 때 루스 배열의 첫 번째 열에 있는 모든 원소는 양수여야 한다. 따라서 주어진 시스템의 안정성을 위해 만족해야 하는 조건은 다음과 같다:

\begin{align}
  0 &

만약
(b_1b_2 - b_0b_3)b_3 - b_1^2b_4 \geq 0
이면
b_1b_2 - b_0b_3 > 0
이 만족됨을 알 수 있다.

또 다른 예시는 다음과 같다:

s^4+6s^3+11s^2+6s+200=0


표는 다음과 같다.

\begin{matrix}
  1 & 11 & 200 & 0 \\
  1 & 1 & 0 & 0 \\
  1 & 20 & 0 & 0 \\
  -19 & 0 & 0 & 0 \\
  20 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}

부호 변화가 두 번 있다. 시스템은 우반평면 극점이 두 개, 좌반평면 극점이 두 개 있으므로 불안정하다. 루스 표에서 0으로만 이루어진 행이 나타나지 않았으므로 시스템은 jω 극점을 가질 수 없다.

다음 사례의 경우
s^4 + s^3 + 3s^2 + 3s + 3 = 0
첫 번째 열에 0이 나타나 이후의 계산 단계가 막히게 된다.

\begin{matrix}
  1 & 3 & 3 \\
  1 & 3 & 0 \\
  0 & 3 & 0
\end{matrix}

여기서 0을 \varepsilon > 0 으로 바꾸면 다음과 같은 표를 얻는다.

\begin{matrix}
  1 & 3 & \quad 3 \quad \\
  1 & 3 & 0 \\
  \varepsilon & 3 & 0 \\
  3 - \frac{3}{\varepsilon} & 0 & 0 \\
  3 & 0 & 0
\end{matrix}

\varepsilon \rightarrow +0으로 보내면 부호 변화가 두 번 발생한다.
시스템은 우반평면 극점이 두 개, 좌반평면 극점이 두 개 있으므로 불안정하다.

때로는 허수축 상에 극점이 존재하여 임계 안정성의 상황을 만든다. 그 경우 루스 배열의 한 행 전체가 0이 되어 부호 변화를 찾기 위한 다항식의 추가 풀이가 불가능해진다. 이때는 다른 접근 방식이 사용된다. 0을 포함하는 행 바로 위의 다항식 행을 "보조 다항식"이라고 한다.

s^6 + 2s^5 + 8s^4 + 12s^3 + 20s^2 + 16s + 16 = 0
표는 다음과 같다.

\begin{matrix}
  1 & 8  & 20 & 16 \\
  2 & 12 & 16 & 0 \\
  2 & 12 & 16 & 0 \\
  0 & 0  &  0 & 0
\end{matrix}

이 경우 보조 다항식은 A(s) = 2s^4 + 12s^2 + 16\,이며 이는 다시 0과 같다. 다음 단계는 위 방정식을 미분하여 다항식 B(s) = 8s^3 + 24s^1을 얻는 것이다. 이제 0을 포함했던 행의 계수는 "8"과 "24"가 된다. 이 값들을 사용하여 루스 배열 과정을 진행하면 허수축 상의 두 점을 얻게 된다. 허수축 상의 이 두 점이 임계 안정성의 주요 원인이다.

## 같이 보기

* 제어공학
* 루스 배열의 유도
* 나이퀴스트 안정성 기준
* 루스-후르비츠 정리
* 근궤적
* 전달 함수
* 리에나르-시파르 판별법 (더 적은 계산이 필요한 변형)
* 카리토노프의 정리 (구간 내에서 유계인 미지의 계수에 대한 변형)
* 주리 안정성 판별법 (이산 시간 LTI 시스템에 대한 유사 판별법)
* 비스트리츠 안정성 판별법 (이산 시간 LTI 시스템에 대한 유사 판별법)

## 각주

* 펠릭스 간트마허 (J.L. Brenner 번역) (1959). Applications of the Theory of Matrices, pp 177–80, New York: Interscience.
* 
* 
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* 
* Stephen Barnett (1983). Polynomials and Linear Control Systems, New York: Marcel Dekker, Inc.

## 외부 링크
* A MATLAB script implementing the Routh-Hurwitz test
* Online implementation of the Routh-Hurwitz Criterion

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