네트워크 합성 필터

신호 처리에서 **네트워크 합성 필터**()는 네트워크 합성 방법으로 설계된 필터이다. 이 방법은 버터워스 필터, 체비쇼프 필터, 타원 필터를 포함하여 여러 중요한 필터 부류를 만들어냈다. 원래는 수동 선형 아날로그 필터 설계에 적용될 목적이었으나, 그 결과는 능동 필터 및 디지털 필터 구현에도 적용될 수 있다. 이 방법의 핵심은 원하는 전달 함수를 나타내는 주어진 유리 함수로부터 필터의 소자 값을 얻는 것이다.

## 방법 설명
이 방법은 네트워크 분석의 역문제로 볼 수 있다. 네트워크 분석은 네트워크에서 시작하여 다양한 전기 회로 정리를 적용해 네트워크의 응답을 예측한다. 반면 네트워크 합성은 원하는 응답에서 시작하여 그 응답을 출력하거나 근사하는 네트워크를 생성하는 방법이다.

네트워크 합성은 원래 이전에는 파동 필터(wave filters)로 불렸으나 현재는 보통 그냥 필터라고 불리는 종류의 필터를 만들기 위해 고안되었다. 즉, 특정 진동수의 파동은 통과시키고 다른 진동수의 파동은 차단하는 목적의 필터이다. 네트워크 합성은 복소 주파수 s의 함수인 필터의 전달 함수 H(s)에 대한 사양에서 시작한다. 이것은 필터의 입력 임피던스(구동점 임피던스) 식을 생성하는 데 사용되며, 이후 단순 연분수 또는 부분 분수 전개를 통해 필요한 필터 소자 값을 도출한다. 필터의 디지털 구현에서 H(s)는 직접 구현될 수 있다.

이 방법의 장점은 이전에 사용되었던 필터 설계 방법론인 영상 파라미터법과 비교할 때 가장 잘 이해된다. 영상 파라미터법은 동일한 섹션이 무한히 연결된 사슬(사다리꼴 토폴로지) 내에서 개별 필터 섹션의 특성을 고려한다. 이 방법으로 생성된 필터는 이론적인 종단 임피던스인 영상 임피던스가 일반적으로 실제 종단 임피던스와 일치하지 않기 때문에 부정확함이 발생한다. 네트워크 합성 필터의 경우, 종단 임피던스가 처음부터 설계에 포함된다. 또한 영상 파라미터법은 설계자의 숙련도를 어느 정도 요구한다. 설계자는 먼저 얼마나 많은 섹션과 어떤 유형을 사용할지 결정해야 하며, 계산 후에 필터의 전달 함수를 얻게 된다. 이것이 요구 사항과 맞지 않을 수 있으며 여러 번의 반복 과정이 필요할 수 있다. 반면 네트워크 합성법은 요구되는 함수에서 시작하여 해당 필터를 구축하는 데 필요한 섹션들을 결과물로 생성한다.

일반적으로 네트워크 합성 필터의 섹션들은 동일한 토폴로지(보통 가장 단순한 사다리꼴 형태)를 갖지만, 각 섹션마다 서로 다른 소자 값이 사용된다. 대조적으로 영상 필터의 구조는 무한 사슬 접근 방식의 결과로 각 섹션마다 동일한 값을 갖지만, 다양한 바람직한 특성을 얻기 위해 섹션마다 토폴로지를 변경할 수 있다. 두 방법 모두 저역 통과 원형 필터를 사용한 다음, 주파수 변환과 임피던스 스케일링을 거쳐 최종적으로 원하는 필터에 도달한다.

## 주요 필터 부류

필터의 부류(class)는 필터가 수학적으로 유도된 다항식의 부류를 의미한다. 필터의 차수(order)는 필터의 사다리꼴 구현에 존재하는 필터 소자의 개수이다. 일반적으로 필터의 차수가 높을수록 통과 대역과 차단 대역 사이의 차단 전이가 더 가파르다. 필터는 종종 발견자나 발명가보다는 기초가 된 수학자나 수학의 이름을 따서 명명된다.

### 버터워스 필터

버터워스 필터는 '최평탄'(maximally flat) 응답으로 설명되며, 이는 주파수 영역에서의 응답이 동일한 차수의 어떤 필터 부류보다도 가장 매끄러운 곡선을 가짐을 의미한다.

버터워스 부류의 필터는 1930년 영국의 엔지니어 스티븐 버터워스(Stephen Butterworth)의 논문에서 처음 기술되었으며 그의 이름을 따서 명명되었다. 필터 응답은 역시 버터워스에 의한 버터워스 다항식에 의해 설명된다.

### 체비쇼프 필터

체비쇼프 필터는 버터워스보다 더 가파른 차단 전이를 갖지만, 그 대가로 통과 대역의 주파수 응답에 리플이 발생한다. 통과 대역에서 허용되는 최대 감쇠량과 차단 응답의 가파름 사이에는 절충안이 존재한다. 이것은 때때로 제1종 체비쇼프라고 불리며, 제2종은 통과 대역에는 리플이 없고 차단 대역에 리플이 있는 필터이다. 이 필터는 전달 함수 유도에 체비쇼프 다항식이 사용된 파프누티 체비쇼프의 이름을 따서 명명되었다.

### 카우어 필터

카우어 필터는 통과 대역과 차단 대역에서 동일한 최대 리플을 갖는다. 카우어 필터는 다른 어떤 네트워크 합성 필터 부류보다 통과 대역에서 차단 대역으로의 전이가 가장 빠르다. 카우어 필터라는 용어는 타원 필터와 혼용되어 사용될 수 있지만, 일반적인 경우의 타원 필터는 통과 대역과 차단 대역의 리플이 일정하지 않을 수 있다. 통과 대역 리플이 0인 극한에서의 타원 필터는 제2종 체비쇼프 필터와 동일하다. 차단 대역 리플이 0인 극한에서의 타원 필터는 제1종 체비쇼프 필터와 동일하다. 두 대역 모두 리플이 0인 극한에서의 타원 필터는 버터워스 필터와 동일하다. 이 필터는 빌헬름 카우어(Wilhelm Cauer)의 이름을 따서 명명되었으며 전달 함수는 유리 타원 함수를 기반으로 한다. 카우어 유형 필터는 일반화된 연분수를 사용한다.

### 베셀 필터

베셀 필터는 통과 대역에서 최평탄 지연 시간(군지연)을 갖는다. 이는 필터에 선형 위상 응답을 부여하여 파형을 최소한의 왜곡으로 통과시키는 결과를 낳는다. 주파수에 따른 감쇠 응답으로 인해 주파수 영역에서의 왜곡이 최소화되는 버터워스 필터와 대조적으로, 베셀 필터는 주파수에 따른 위상 응답 덕분에 시간 영역에서의 왜곡이 최소화된다. 베셀 필터는 프리드리히 베셀의 이름을 따서 명명되었으며 전달 함수는 베셀 다항식을 기반으로 한다.

## 구동점 임피던스
섬네일|오른쪽|350px|사다리꼴(카우어) 토폴로지로 구현된 로우패스 필터

구동점 임피던스는 라플라스 변환(s-영역) 또는 푸리에 변환(jω-영역)과 같은 표기법을 사용하여 주파수 영역에서 필터의 입력 임피던스를 수학적으로 표현한 것이다. 이를 일단자 회로망으로 취급하여, 식을 연분수 또는 부분 분수 전개를 사용하여 확장한다. 결과적인 전개식은 전기 소자들의 네트워크(보통 사다리꼴 네트워크)로 변환된다. 이렇게 실현된 네트워크의 끝에서 출력을 취하면, 원하는 전달 함수를 가진 사단자 회로망 필터로 변환된다.

구동점 임피던스에 대한 모든 가능한 수학적 함수가 실제 전기 부품을 사용하여 실현될 수 있는 것은 아니다. 빌헬름 카우어(R. M. 포스터의 연구를 이어받음)는 어떤 수학적 함수가 실현 가능한지, 그리고 어떤 필터 토폴로지에서 가능한지에 대한 초기 연구의 많은 부분을 수행했다. 필터 설계에서 도처에 쓰이는 사다리꼴 토폴로지는 카우어의 이름을 따서 명명되었다.

가장 단순한 경우를 제외하고 실현 가능한 모든 임피던스를 표현하는 데 사용할 수 있는 여러 표준형(canonical forms) 구동점 임피던스가 있다. 가장 잘 알려진 것들은 다음과 같다;
* 카우어의 제1 형식 구동점 임피던스는 병렬 커패시터와 직렬 인덕터의 사다리꼴로 구성되며 로우패스 필터에 가장 유용하다.
* 카우어의 제2 형식 구동점 임피던스는 직렬 커패시터와 병렬 인덕터의 사다리꼴로 구성되며 하이패스 필터에 가장 유용하다.
* 포스터의 제1 형식 구동점 임피던스는 병렬로 연결된 LC 공진기(직렬 LC 회로)로 구성되며 대역 필터에 가장 유용하다.
* 포스터의 제2 형식 구동점 임피던스는 직렬로 연결된 LC 반공진기(병렬 LC 회로)로 구성되며 대역 저지 필터에 가장 유용하다.
주어진 유리 함수를 전달 함수로 하는 실현 가능한 필터에 대한 추가적인 이론적 연구는 1931년 오토 브루네(Otto Brune)와 1949년 리처드 더핀(Richard Duffin) 및 라울 보트에 의해 이루어졌다. 이 연구는 2010년 존 H. 허버드(John H. Hubbard)에 의해 요약되었다. 전달 함수가 양실수 함수(positive-real function, 전달 함수 하에서 불변인 양의 실수 집합)로 지정되면, 해당 전달 함수를 갖는 수동 소자(저항기, 인덕터, 커패시터) 네트워크를 설계할 수 있다.

## 원형 필터

원형 필터는 필터 설계 과정을 덜 노동 집약적으로 만들기 위해 사용된다. 원형은 일반적으로 단위 공칭 임피던스와 단위 차단 주파수를 갖는 로우패스 필터로 설계되지만, 다른 방식도 가능하다. 관련 수학 함수 및 다항식으로부터의 전체 설계 계산은 단 한 번만 수행된다. 실제로 필요한 필터는 원형 필터를 스케일링하고 변환하는 과정을 통해 얻는다.

원형 소자의 값은 표로 발표되는데, 그 중 첫 번째는 시드니 달링턴(Sidney Darlington)에 의한 것이다. 현대의 컴퓨팅 파워와 디지털 영역에서 필터 전달 함수를 직접 구현하는 관행으로 인해 이러한 관행은 대체로 구식이 되었다.

각 부류의 각 필터 차수마다 서로 다른 원형이 필요하다. 감쇠 리플이 있는 부류의 경우, 각 리플 값마다 서로 다른 원형이 필요하다. 동일한 원형을 사용하여 원형과 다른 대역 형태를 가진 필터를 생성할 수 있다. 예를 들어 저역 통과, 고역 통과, 대역 통과 및 대역 저지 필터 모두 동일한 원형에서 생성될 수 있다.

## 같이 보기
* 선형 필터

## 내용주

## 각주
* Matthaei, Young, Jones, Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures, McGraw-Hill 1964.
* E. Cauer, W. Mathis, and R. Pauli, "Life and Work of Wilhelm Cauer (1900–1945)", Proceedings of the Fourteenth International Symposium of Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS2000), Perpignan, June, 2000. Retrieved online  19 September 2008.

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