저우 군

대수기하학에서 임의의 체에 대수 버라이어티의 **저우 군**은 위상 공간의 코호몰로지와 비슷한 대수-기하학적 유사체이다. 저우 군의 원소는 단순 또는 세포 코호몰로지 군이 부분 복합체에서 형성되는 방식과 유사한 방식으로 부분 버라이어티들(소위 대수적 순환)로 형성된다. 버라이어티가 매끄러울 때 저우 군은 코호몰로지 군( 푸앵카레 쌍대성 비교)으로 해석될 수 있으며 교차곱이라는 곱셈을 갖는다. 저우 군은 대수 버라이어티에 대한 풍부한 정보를 전달하고, 일반적으로 계산하기가 어렵다. 1958년 클로드 슈발레가 저우웨이량의 이름을 따서 명명했다.

## 유리적 동치성과 저우 군
다음 내용을 위해 체 k에 대한 **버라이어티**를 유한 유형 k- integral 스킴으로 정의한다. 임의의 유한 유형 k-스킴 X에 대해, X 위의 **대수적 순환**은 X의 부분 버라이어티의 정수 계수 유한 선형 결합을 의미한다.(여기와 아래에서는, 달리 명언급지 않는 한  부분 버라이어티들이 X 안에서 닫혀 있는 것으로 이해된다.  자연수 i에 대해, X 위의 i -차원 순환(또는 i - **순환**)들이 이루는 군 Z_i(X)은 X의 i 차원 부분 버라이어티들의 집합에서 생성된 자유 아벨 군이다.

임의의 i+1차원 버라이어티 W와 W 위에서 정의된 영함수가 아닌 임의의 유리 함수 f에 대해, f는 i -순환

: (f) = \sum_Z \operatorname{ord}_Z (f) Z   

이다. 여기서 합은 W의 모든 i  -차원 부분 버라이어티 Z에 걸쳐 있고, 정수 \operatorname{ord}_Z(f)는 Z 위에서 f의 소멸 차수를 나타낸다.(따라서,  f가 Z 위에서 극점을 가지면 \operatorname{ord}_Z(f)가 음수이다.) W가 특이 버라이어티인 경우 소멸 차수의 정의에 약간의 주의가 필요하다.

유한 유형 k-스킴 X에 대해, **유리적으로 0과 동치**인 i-순환들의 군은, X의 모든 (i+1)-차원 부분 버라이어티 W에 대한 순환 (f)와 W 위의 0이 아닌 모든 유리 함수 f에 의해 생성된 Z_i(X)의 부분 군이다. X위의 i -차원 순환들의 **저우 군** CH_i(X)은, Z_i(X)을 유리적으로 0과 동치인 순환의 부분 군으로 나눈 몫군이다. 가끔 저우 군에서 부분 버라이어티 Z의 동치류를 [Z]로 쓰는 사람도 있다.  두 개의 부분 버라이어티 Z, W의 경우 Z와 W가 **유리적으로 동치**임을 [Z] = [W]라고 쓴다.

예를 들어, X은 n차원 버라이어티일 때. 저우 군 CH_{n-1}(X)은 X의 제수 유군이다 . X가 k 위에서 매끄러울 때  (또는 더 일반적으로,  locally Noetherian normal factorial scheme ), 이는 X 위의 선다발들의 피카르 군과 동형이다.

### 유리적 동치성의 예

#### 사영 공간에 대한 유리적 동치성
초곡면에 의해 정의된 유리적으로 동치적인 순환은 모두 동일한 벡터 다발의 영점들로 구성될 수 있기 때문에 사영 공간에서 구성하기 쉽다. 예를 들어, 두 개의 d차 동차 다항식 f,g \in H^0(\mathbb{P}^n, \mathcal O(d))이 주어졌을 때,  sf + tg의 영점 궤적으로 정의된 초곡면 족을 구성할 수 있다. 대략적으로 이것은 다음과 같이 구성될 수 있다.

: 
X = \text{Proj}\left( \frac{\mathbb{C}[s,t][x_0,\ldots,x_n]}{(sf + tg)}\right) \hookrightarrow \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^n


사영 \pi_1: X \to \mathbb{P}^1을 사용하여 점 [s_0:t_0]에서 올이  s_0 f + t_0 g로 정의되는 사영 초곡면임을 알 수 있다. sf + tx_0^d는 유리적인 동치성을 확립하는 데 사용될 수 있기 때문에, 이는 모든 d차 초곡면의 순환류가 d[\mathbb{P}^{n-1}]과 유리적으로 동치인 것을 보여주는 데 사용될 수 있다. x_0^d=0의 궤적이 \mathbb{P}^{n-1}임과  중복도 d인 버라이어티를 가짐에 주목하라. 이는 순환류의 계수이다.

#### 곡선 위의 순환의 유리적 동치성
매끄러운 사영 곡선 C의 두 개의 서로 다른 선다발 L, L' \in\operatorname{Pic}(C)을 취하는 경우, 두 선다발의 일반 단면에서 사라지는 궤적은 CH(C) 안에서 비동치 순환류를 정의한다. 이는 매끄러운 버라이어티의 경우 \operatorname{Div}(C) \cong \operatorname{Pic}(C)이기 때문이다. 따라서 s \in H^0(C, L)의 제수 류 그리고 s' \in H^0(C, L')는 동치가 아닌 류를 정의한다.

## 저우 환
k-스킴 X가 매끄러울 때, 저우 군은 단지 등급 아벨 군이 아니라 더 나아가 환을 형성한다. 즉, X가 k 위에서 매끄러울 때, CH^i(X)를 X 위의 여차원 i의 순환들의 저우 군이라 하자. (여기서 X는 n차원 버라이어티이다 , 이것은 단지 CH^i(X) = CH_{n-i}(X)을 의미한다.) 그러면 군 CH^*(X)에 곱셈

: CH^i(X) \times CH^j(X) \rightarrow CH^{i+j}(X).

을 추가하면 가환 등급 환을 형성한다. 이 곱셈은 대수적 순환의 교차로부터 발생한다. 예를 들어, Y와 Z가 X의 각각 여차원 i, j 인 매끄러운 부분 버라이어티이고  Y, Z가 횡단적으로 교차하면,CH^{i+j}(X)에서 곱 [Y][Z]이 교차 Y\cap Z의 여차원 i+j인 기약 성분들의 합이다.

보다 일반적으로 다양한 경우에 교차 이론은 저우 환에서 곱 [Y][Z]을 나타내는 명시적인 순환을 구성한다. 예를 들어, Y와 Z가 서로 여차원인(즉, 두 대상의 차원의 합이 X의 차원과 같다.) 부분 버라이어티이면, 교차의 차원이 0인 경우 [Y][Z]는 교차수라고 불리는 계수를 갖는 교차점들의 합과 같다. 매끄러운 k-스킴 X의 임의의 부분 버라이어티 Y와 Z의 경우, 교차 Y\cap Z의 차원에 대한 가정 없이 윌리엄 풀턴과 Robert MacPherson의 교차 이론은 Y\cap Z의 저우 군의 표준 요소를 구성한다. X의 저우 군의 상은 곱 [Y][Z]과 같다.

## 예

### 사영 공간
임의의 체 k 위에서 사영 공간 \mathbb P^n의 저우 환은 환

: CH^*(\mathbb P^n) \cong \mathbf Z[H]/(H^{n + 1}) 

이다. 여기서 H는 초평면(특이 선형 함수의 영점 궤적)의 동치류이다. 게다가, 사영 공간에서 d차이고 여차원 a인 임의의 부분 버라이어티 Y들은 dH^a와 유리적으로 동일하다. \mathbb P^n 안에서 여차원 a의  및 차수 b인 임의의 두 부분 버라이어티 Y, Z에 대해서 저우 환 안에서 곱은 다음과 같다.

: [Y] \cdot [Z] = a\, b\, H^n

여기서 H^n는 \mathbb P^n 안의 k-유리점의 동치류이다. 예를 들어, Y와 Z가 가로로 교차하면 Y\cap Z는 ab차 영 순환이다. 기본 체 k가 대수적으로 닫힌인 경우, 이는 정확히  ab 가지의 교차점이 있음을 의미한다; 이것은 열거 기하학의 고전적인 결과인 베주의 정리의 한 버전이다.

### 사영 다발 공식
랭크 r인 벡터 다발 E \to X이 주어지면  매끄러운 적절한 스킴 X을 통해 연관된 사영 다발 \mathbb{P}(E)의 저우 환은 X의 저우 환과 E의 천 특성류를 사용하여 계산할 수 있다.\zeta = c_1(\mathcal O_{\mathbb{P}(E)}(1))이고 E의 천 특성류를 c_1,\ldots, c_r라 하면, 환 동형사상

: 
CH^\bullet(\mathbb{P}(E)) \cong \frac{CH^\bullet(X)[\zeta]}{\zeta^r + c_1\zeta^{r-1} + c_2\zeta^{r-2} + \cdots + c_r}


이 존재한다.

#### 히르체부르흐 곡면
예를 들어, 히르체부르흐 곡면의 저우 환은 사영 다발 공식을 사용하여 쉽게 계산할 수 있다. \mathbb{P}^1 위에 F_a = \mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(a))과 같이 구성되어 있음을 기억하라. 그러면 이 벡터 다발의 유일하고 자명하지 않은 천 특성류는 c_1 = aH과 같다. 이는 저우 환이 다음과 동형임을 의미한다.

: 
CH^\bullet(F_a) \cong \frac{CH^\bullet(\mathbb{P}^1)[\zeta]}{(\zeta^2 + aH\zeta)} \cong \frac{\mathbf Z[H,\zeta]}{(H^2, \zeta^2+aH\zeta)}


### 주목할만한 사항들
다른 대수 버라이어티의 경우 저우 군이 더 풍부한 성질을 가질 수 있다. 예를 들어, 체 k위의 타원 곡선 X를 고려하자. 그러면 X 위의 저우 군의 영 순환들은 완전열

:  0 \rightarrow X(k) \rightarrow CH_0(X) \rightarrow \mathbf{Z} \rightarrow 0 

에 들어맞는다. 따라서 타원 곡선 X의 저우 군은 X의 k- 유리점들이 이루는 군 X(k)과 밀접한 관련이 있다.  여기서 k는 수체이다. X(k)는 X의 모델-베유 군이라고 불린다. 정수론의 가장 깊은 문제 중 일부는 이 군을 이해하려는 시도이다. 여기서 k는 복소수이며, 타원 곡선의 예는 저우 군이 셀 수 없는 아벨 군일 수 있음을 보여준다.

## 함자성
k-스킴들의 적절한 사상 f: X\to Y에 대해서는, 각 정수 i에 대해 **밂 준동형사상** f_*: CH_i(X)\to CH_i(Y)이 있다. 예를 들어, 적절한 k-스킴 X에 대해서, 이는 준동형 사상 CH_0(X)\to \mathbf Z을 제공한다. 이는 X 안의 닫힌 점의 k-차수를 나타낸다. (X 안의 닫힌 점은 k의 유한 확대 체 E의 경우 \operatorname{Spec}(E) 형식을 가지고 있다. 또 이의 차수는 E의 k-차수를 뜻한다.)

 r차원 올(비어 있을 수도 있음)을 가진 k-스킴의 평탄 사상 f: X\to Y에 대해 준동형사상 f^*: CH_i(Y)\to CH_{i+r}(X)이 존재한다.

저우 군의 주요 계산 도구는 다음과 같은 **국소화 열**이다. k-스킴 X과 X의 닫힌 부분 스킴 Z에 대해, 다음 완전열이 있다:

: CH_i(Z) \rightarrow CH_i(X) \rightarrow CH_i(X-Z) \rightarrow 0,

여기서 첫 번째 준동형사상은 적절한 사상 Z\to X와 관련된 밂이다. 두 번째 준동형사상은 평탄 사상 X - Z \to X에 대한 당김이다. 국소화 열은 **고차 저우 군**으로도 알려진 저우 군, (보렐-무어) 모티브 코호몰로지 군의 일반화를 사용하여 왼쪽으로 확장될 수 있다.

매끄러운 k-스킴의 임의의 사상 f: X\to Y에 대해 당김 준동형사상 f^*: CH^i(Y)\to CH^i(X)이 존재한다. 이는 환 준동형사상 CH^*(Y)\to CH^*(X)이다.

### 평탄 당김의 예
부풀리기를 사용하여 예제가 아닌 항목을 구성할 수 있다. 예를 들어 \mathbb{A}^2의 원점 부풀리기를 취한다면  그러면 원점 위의 올은 \mathbb{P}^1과 동형이다.

#### 곡선의 분기된 덮개
곡선의 분기된 덮개

: f: \operatorname{Spec}\left( \frac{\mathbb{C}[x,y]}{(f(x) - g(x,y))} \right) \to \mathbb{A}^1_x

를 고려하자. 이 사상은 f(\alpha) = 0일 때마다 분기되기 때문에  인수분해

: g(\alpha,y) = (y - a_1)^{e_1}\cdots(y-a_k)^{e_k}

를 얻는다. 여기서 어떤 하나의 i에 대해  e_i>1 . 이는 점\{\alpha_1,\ldots,\alpha_k \} = f^{-1}(\alpha)이 각각 중복도 e_1,\ldots,e_k를 가지고 있음을 함의한다. 점 \alpha의 평탄 당김은 그렇다면

: f^*[\alpha] = e_1[\alpha] + \cdots + e_k[\alpha_k]

이다.

#### 버라이어티의 평탄 족
평탄 버라이어티들의 족

: X \to S

과 부분 버라이어티 S' \subset S을 고려하자. 그런 다음 데카르트 정사각형을 사용하여

: 
\begin{matrix}
S'\times_{S} X & \to & X \\
\downarrow & & \downarrow \\
S' & \to & S
\end{matrix}


여기서 S'\times_{S} X의 상이 X의 부분 버라이어티이다. 그러므로

: f^*[S'] = [S'\times_S X].

## 순환 사상
저우 군에서 더 계산이 잘되는 이론에 이르기까지 몇 가지 준동형사상(**순환 사상**으로 알려짐)이 있다.

첫째, 복소수 스킴 *<math>X</math>*의 경우 저우 군에서 보렐–무어 호몰로지에 대한 준동형사상이 있다.

: \mathit{CH}_i(X) \rightarrow H_{2i}^{BM}(X,\mathbf{Z}).

*<math>X</math>*의 *i* 차원 부분버라이어티가 실수 차원 2*i를* 갖기 때문에 인수 2가 나타난다. *<math>X</math>가* 복소수에 대해 매끄러우면 이 순환 사상은 준동형 사상

: \mathit{CH}^j(X) \rightarrow H^{2j}(X,\mathbf{Z})

으로서 푸앵카레 쌍대성을 사용하여 다시 작성될 수 있다. 이 경우( X는 **C**에 대해 매끄러움), 이러한 준동형사상은 저우 환에서 코호몰로지 환으로 가는 환 준동형 사상을 형성한다. 직관적으로 이는 저우 환와 코호몰로지 환이 순환의 교차점을 설명하기 때문이다.

매끄러운 복소 사영 버라이어티를 위해 더 풍부한 이론인 들리뉴 코호몰로지를 통해 저우 환에서 일반적인 코호몰로지 인자로 가는 순환 사상을 작성한다. 이는 0과 호몰로지 동치인 순환들에서 intermediate Jacobian로 가는 Abel-Jacobi 사상을 통합한다. 지수열이 *<math>\text{CH}^1(X)</math>*가 들리뉴 코호몰로지와 동형으로 사상되지만 *j* > 1인 *<math>\text{CH}^j(X)</math>*에 대해서는 실패함을 보여준다.

임의의 체 *k*에 대한 스킴 *<math>X</math>*의 경우 저우 군에서 (보렐–무어) 에탈 코호몰로지로 가는 유사한 순환 사상이 있다. *<math>X</math>* *매끄러울 떄*, 이 동형은 저우 환에서 에탈 코호몰로지까지의 환 동형으로 식별될 수 있다.

## K-이론과의 관계
체 위의 매끄러운 스킴 *<math>X</math>*의 (대수적) 벡터 다발 *E는* *<math>\text{CH}^i(X)</math>*에 천 특성류 *c**i*( *E* )를 가지며 위상에서와 동일한 형식 속성을 갖는다. 천 특성류는 벡터 다발과 저우 군의 긴밀한 연결을 제공한다. 즉, *K*0(*X*)를 *<math>X</math>*에 있는 벡터 다발의 그로텐디크 군이라고 가정한다. 그로텐디크-리만-로흐 정리의 일부로 그로텐디크는 천 특성이 다음 동형사상을 제공한다는 것을 보여주었다.

: K_0(X)\otimes_{\mathbf{Z}}\mathbf{Q} \cong \prod_i \mathit{CH}^i(X)\otimes_{\mathbf{Z}}\mathbf{Q}.

이 동형은 대수 순환에 대한 다른 적절한 동치 관계와 비교하여 유리적 동치의 중요성을 보여준다.

## 관련 추측들
대수기학과 정수론의 가장 깊은 추측 중 일부는 저우 군을 이해하려는 시도이다. 예를 들어:

* 모델–베유 정리는 제수 유 군 *CH* *n* -1 ( *X* )가 수체에 걸쳐 차원 *n*의 다양한 *X*에 대해 유한하게 생성된다는 것을 의미한다. 수체에 걸쳐 모든 버라이어티에 대해 모든 저우 군이 유한하게 생성되는지 여부는 미해결 문제이다. L-함수의 특수 값에 대한 블로흐–가토 추측은 이러한 군이 유한하게 생성된다고 예측한다. 더욱이, 모듈로 코호몰로지 동치성 순환 군의 순위 및 코호몰로지 0과 동치한 순환 군의 순위는 특정 정수 지점에서 주어진 버라이어티의 L-함수가 사라지는 순서와 동일해야 한다. 이러한 순위의 유한성은 또한 대수 K-이론의 베이스 추측을 따른다.
* 매끄러운 복소 사영 버라이어티 *<math>X</math>*에 대해 호지 추측은 저우 군에서 단일 코호몰로지로 가는 순환 사상의 상(유리수 **Q**로 텐서됨 )를 예측한다. 유한 생성된 체(예: 유한 체 또는 수 체)에 대한 매끄러운 사영 버라이어티을 위해 테이트 추측은 저우 군에서 l-진 코호몰로지로 가는 순환 사상의 상( **Q***l*로 텐서링됨)를 예측한다.
* 모든 체에서 매끄러운 사영 버라이어티 *<math>X</math>*에 대해 블로흐–베일린슨 추측은 강력한 속성을 가진 *<math>X</math>*의 저우 군(유리수로 텐서링됨)에 대한 필터링을 예측한다. 이 추측은 *<math>X</math>*의 단일 또는 에탈레 코호몰로지와 *<math>X</math>*의 저우 군 사이의 긴밀한 연결을 암시한다.

: 예를 들어, *<math>X</math>를* 매끄러운 복소 사영 곡면으로 가정한다. *<math>X</math>*의 영 순환 저우 군은 동형성 정도에 따라 정수에 사상된다. *K를* 커널로 둔다. 기하 종수 *h* 0 ( *X*, Ω 2 )이 0이 아닌 경우 멈포드는 *K* 가 "무한 차원"임을 보여주었다( *<math>X</math>*에 대한 유한 차원 영순환 계열의 상가 아님). 블로흐-벨린슨 추측은 만족스러운 역, **즉 영 순환에 대한 블로흐의 추측을** 의미한다. 기하학적 종수가 0인 매끄러운 복소 사영 곡면 *<math>X</math>*의 경우 *K는* 유한 차원이어야 한다. 보다 정확하게는 알바니즈 버라이어티 *<math>X</math>*의 복합점 군에 동형으로 사상되어야 한다.

## 저우 군에서 비롯된 개념들

### 쌍변 이론
풀톤과 MacPherson은 "연산자 저우 환"과 보다 일반적으로 스킴의 모든 사상과 관련된 쌍변 이론을 정의하여 저우 환을 특이 버라이어티로 확장했다. 쌍변 이론은 사상에 군과 환을 각각 할당하는 공변 및 반공변 함자 쌍이다. 이는 공간에 환, 즉 코호몰로지 환을 할당하는 반공변 함수인 코호몰로지 이론을 일반화한다. "쌍변(bivariant)"이라는 이름은 이론이 공변 및 반공변함자를 모두 포함한다는 사실을 의미한다.

이것은 어떤 의미에서 저우 환이 특이 버라이어티로 확장된 가장 기본적인 것이다. 모티브 코호몰로지와 같은 다른 이론은 작동 중인 저우 환에 사상된다.

### 기타
산술 저우 군은 아라켈로프 이론 정보를 인코딩하는 구성 요소, 즉 연관된 복소 다양체의 미분 형식과 함께 **Q**에 대한 버라이어티의 저우 군을 융합한 것이다.

체에 대한 유한 유형 스킴의 저우 군 이론은 대수 공간의 이론으로 쉽게 확장된다. 이 확장의 주요 장점은 후자 범주에서 몫을 형성하는 것이 더 쉽고 따라서 대수 공간의 등변 저우 군을 고려하는 것이 더 자연스럽다는 것이다. 훨씬 더 강력한 확장은 스택의 저우 군 확장으로, 이는 일부 특수한 경우에만 구성되었으며 특히 가상 기본류를 이해하는 데 필요한다.

## 역사
제수의 유리적 동치(선형 동치라고도 함)는 19세기에 다양한 사상로 연구되었으며, 이는 정수론의 이데알 유군과 대수 곡선 이론의 야코비 버라이어티로 이어졌다. 더 높은 여차원 순환의 경우, 1930년대에 프란체스코 세베리가 유리적인 동치성을 도입했다. 1956년에 저우 웨이량은 저우의 이동 보조정리를 사용하여 매끄러운 준사영 버라이어티에 대한  유리적 동치성을 법으로 순환에서 교차곱이 잘 정의되어 있다는 영향력 있는 증명을 제시했다. 1970년대부터 풀턴과 MacPherson은 가능한 한 특이 버라이어티을 사용하여 저우 군에 대한 현재 표준 기반을 제공했다. 그들의 이론에 따르면 매끄러운 버라이어티의 교차곱은 일반 원뿔로의 변형을 통해 구성된다.

## 같이 보기

* 교차 이론
* 그로텐디크-리만-로흐 정리
* 호지 추측
* 모티브(대수기하학)

## 참고문헌

### 인용


### 서론

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### 고급

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분류:대수기하학