본질적 하한과 본질적 상한

수학에서 **본질적 하한**(essential infimum)과 **본질적 상한**(essential supremum)의 개념은 상한과 하한의 개념과 관련이 있지만, 측도론 및 함수해석학에 적용되어 종종 집합의 모든 요소에 대해 유효하지는 않지만 거의 어디서나, 즉 측도 영 집합을 제외하고는 유효한 진술을 다룬다.

정확한 정의가 즉시 간단하지는 않지만, 직관적으로 함수의 본질적 상한은 측도 영 집합의 점에서의 함수의 동작을 무시하면서 모든 곳에서 함수 값보다 크거나 같은 가장 작은 값이다. 예를 들어, x = 0에서 f(0) = 1이고 다른 모든 곳에서 0인 함수 f(x)를 생각하면, 함수의 상한은 1이다. 그러나 이 함수의 본질적 상한은 0인데, 르베그 측도 하에서 f가 특이한 단일 점에서의 함수의 동작을 무시할 수 있기 때문이다. 본질적 하한은 유사한 방식으로 정의된다.

## 정의

측도론적 질문에서 종종 그렇듯이, 본질적 상한과 하한의 정의는 함수 f가 점 x에서 무엇을 하는지(즉, f의 상)를 묻는 것으로 시작하지 않고, 대신 f가 특정 값 y와 같은 점 x의 집합(즉, y의 f에 대한 원상)을 묻는 것으로 시작한다.

f : X \to \Reals를 집합 X에 정의된 실수 값 함수라고 하자. 함수 f의 상한은 다음 속성으로 특징지어진다: 모든 x \in X에 대해 f(x) \leq \sup f \leq \infty이고, 만약 어떤 a \in \Reals \cup \{+\infty\}에 대해 모든 x \in X에 대해 f(x) \leq a이면 \sup f \leq a이다.
더 구체적으로, 실수 a는 모든 x \in X에 대해 f(x) \leq a이면 f의 상계라고 불린다. 즉, 집합
f^{-1}(a, \infty) = \{x \in X : f(x) > a\}
가 공집합이면 그렇다.
U_f = \{a \in \Reals : f^{-1}(a, \infty) = \varnothing\}\,
를 f의 상계 집합이라고 하고, 공집합의 하한을 \inf \varnothing = +\infty로 정의한다. 그러면 f의 상한은
\sup f = \inf U_f.
정의에 따라, 상계 집합 U_f가 공집합이면 \sup f = + \infty이다.

이제 추가로 (X, \Sigma, \mu)가 측도 공간이라고 가정하고, 간단히 하기 위해 함수 f가 가측 함수라고 가정하자. 상한과 유사하게, 함수의 본질적 상한은 다음 속성으로 특징지어진다: \mu-거의 모든 x \in X에 대해 f(x) \leq \operatorname{ess} \sup f \leq \infty이고, 만약 어떤 a \in \Reals \cup \{+\infty\}에 대해 \mu-거의 모든 x \in X에 대해 f(x) \leq a이면 \operatorname{ess} \sup f \leq a이다. 더 구체적으로, a는 가측 집합 f^{-1}(a, \infty)가 \mu-측도 영 집합인 경우 f의 라고 불린다. 즉, X의 \mu-거의 모든 x에 대해 f(x) \leq a이면 그렇다.
U^{\operatorname{ess}}_f = \{a \in \Reals : \mu(f^{-1}(a, \infty)) = 0\}
를 본질적 상계 집합이라고 하자. 그러면 ***'은 유사하게 다음과 같이 정의된다.
<math display=block>\operatorname{ess} \sup f = \inf U^{\mathrm{ess}}_f</math>
<math>U^{\operatorname{ess}}_f \neq \varnothing</math>인 경우에, 그렇지 않으면 <math>\operatorname{ess}\sup f = +\infty</math>이다.

정확히 같은 방식으로 ***'은 의 상한으로 정의된다. 즉,
\operatorname{ess} \inf f = \sup \{b \in \Reals : \mu(\{x: f(x) 
본질적 하계 집합이 공집합이 아닌 경우에, 그렇지 않으면 -\infty이다. 다시 다음 대안적인 표현식이 있다.
\operatorname{ess} \inf f = \sup\{a \in \Reals : f(x) \geq a \text{ for almost all } x \in X\}
(집합이 공집합인 경우 -\infty이다).

## 예시

실수선 위에서 르베그 측도와 그에 상응하는 -대수 \Sigma를 고려하자. 함수 f를 다음 공식으로 정의한다.
f(x) = \begin{cases}
5, & \text{if } x=1 \\
-4, & \text{if } x = -1 \\
2, & \text{otherwise.}
\end{cases}

이 함수의 상한(가장 큰 값)은 5이고, 하한(가장 작은 값)은 −4이다. 그러나 함수는 각각 \{1\}과 \{-1\} 집합에서만 이 값을 취하는데, 이들은 측도 영 집합이다. 다른 모든 곳에서 함수는 2의 값을 취한다. 따라서 이 함수의 본질적 상한과 본질적 하한은 모두 2이다.

다른 예로 다음 함수를 고려하자.
f(x) = \begin{cases}
x^3, & \text{if } x \in \Q \\
\arctan x, & \text{if } x \in \Reals \smallsetminus \Q \\
\end{cases}
여기서 \Q는 유리수를 나타낸다. 이 함수는 위아래로 무한하므로, 상한과 하한은 각각 \infty와 -\infty이다. 그러나 르베그 측도의 관점에서 유리수의 집합은 측도 영 집합이다. 따라서 실제로 중요한 것은 이 집합의 여집합에서 일어나는 일인데, 함수는 \arctan x로 주어진다. 따라서 본질적 상한은 \pi / 2이고 본질적 하한은 -\pi / 2이다.

반면에 모든 실수 x에 대해 정의된 함수 f(x) = x^3을 고려하자. 이 함수의 본질적 상한은 +\infty이고, 본질적 하한은 -\infty이다.

마지막으로 다음 함수를 고려하자.
f(x) = \begin{cases}
1/x, & \text{if } x \neq 0 \\
0,   & \text{if } x = 0. \\
\end{cases}
그러면 모든 a \in \Reals에 대해 \mu(\{x \in \Reals : 1/x > a\}) \geq \tfrac{1}이므로 U_f^{\operatorname{ess}} = \varnothing이고 \operatorname{ess} \sup f = +\infty이다.

## 속성

만약 \mu(X) > 0이면
\inf f ~\leq~ \operatorname{ess} \inf f ~\leq~ \operatorname{ess}\sup f ~\leq~ \sup f.
그렇지 않고 X의 측도가 0이면
+\infty ~=~ \operatorname{ess}\inf f ~\geq~ \operatorname{ess}\sup f ~=~ -\infty.

만약 f와 g가 가측 함수이면
:
  \operatorname{ess\,sup} (f + g)
  \le  \operatorname{ess\,sup} f + \operatorname{ess\,sup} g

그리고
:
  \operatorname{ess\,inf} (f + g)
  \ge  \operatorname{ess\,inf} f + \operatorname{ess\,inf} g.


만약 f와 g가 가측 함수이고 거의 모든 곳에서 f \le g이면
:
  \operatorname{ess\,sup} f
  \le  \operatorname{ess\,sup} g

그리고
:
  \operatorname{ess\,inf} f
  \le  \operatorname{ess\,inf} g.


만약 두 함수 f와 g의 본질적 상한이 모두 음이 아니면
\operatorname{ess}\sup (f g) ~\leq~ (\operatorname{ess}\sup f) \, (\operatorname{ess}\sup g).

함수의 본질적 상한은 본질적 하계의 하한일 뿐만 아니라 그들의 최소값이다. 유사한 결과가 본질적 하한에도 적용된다.

측도 공간 (S, \Sigma, \mu)가 주어졌을 때, 거의 모든 곳에서 유계인 모든 가측 함수로 구성된 공간 <math>\mathcal{L}^\infty(S, \mu)</math>은 반노름 공간이며, 그 반노름은 다음과 같다.
\|f\|_\infty = \inf \{C \in \Reals_{\geq 0} : |f(x)| \leq C \text{ for almost every } x\}
= \begin{cases}
\operatorname{ess}\sup |f| & \text{ if } 0 
\mu(S) \neq 0일 때 함수의 절댓값의 본질적 상한이다.

## 같이 보기
* 본질적 치역
* 

## 내용주

## 각주

분류:측도론
분류:적분학