로그 미분법

미분학에서 **로그 미분법**(logarithmic differentiation) 또는 **로그를 취하는 미분법**(differentiation by taking logarithms)은 함수 의 로그 미분을 사용하여 함수를 미분하는 데 사용되는 방법이다.
(\ln f)' = \frac{f'}{f} \quad \implies \quad  f' = f \cdot (\ln f)'.

이 기법은 함수 자체보다는 함수의 로그를 미분하는 것이 더 쉬운 경우에 자주 사용된다. 이는 대개 관심 함수가 여러 부분의 곱으로 구성되어 로그 변환을 통해 개별 부분의 합으로 바뀌는 경우에 발생한다(이것은 미분하기 훨씬 쉽다). 변수 또는 함수의 거듭제곱으로 나타나는 함수에도 유용하게 적용될 수 있다. 로그 미분법은 연쇄 법칙과 로그의 속성(특히 자연로그, 또는 e를 밑으로 하는 로그)에 의존하여 곱을 합으로, 나눗셈을 뺄셈으로 변환한다. 이 원리는 거의 모든 미분 가능 함수의 미분에 부분적으로라도 구현될 수 있으며, 이 함수들이 0이 아니라는 조건이 따른다.

## 개요

이 방법은 로그의 속성이 복잡한 함수를 빠르게 단순화하여 미분할 수 있는 경로를 제공하기 때문에 사용된다. 이 속성들은 양변에 자연로그를 취한 후 예비 미분 전에 조작될 수 있다. 가장 일반적으로 사용되는 로그 법칙은 다음과 같다.
\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b), \qquad
\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b), \qquad
\ln(a^n) = n\ln(a).

### 고계 도함수
파아 디 브루노 공식을 사용하면 n차 로그 도함수는 다음과 같다.
\frac{d^n}{dx^n} \ln f(x)
= \sum_{m_1+2m_2+\cdots+nm_n=n} \frac{n!}{m_1!\,m_2!\,\cdots\,m_n!} \cdot
\frac{(-1)^{m_1+\cdots+m_n-1} (m_1 +\cdots + m_n-1)!}{f(x)^{m_1+\cdots+m_n}} \cdot
\prod_{j=1}^n \left(\frac{f^{(j)}(x)}{j!}\right)^{m_j}.
이를 사용하면 처음 네 가지 도함수는 다음과 같다.
\begin{align}
 \frac{d^2}{dx^2} \ln f(x) &= \frac{f(x)}{f(x)} - \left(\frac{f'(x)}{f(x)} \right)^2 \\[1ex]
 \frac{d^3}{dx^3} \ln f(x) &= \frac{f^{(3)}(x)}{f(x)} - 3 \frac{f'(x) f(x)}{f(x)^2} + 2 \left(\frac{f'(x)}{f(x)} \right)^3 \\[1ex]
 \frac{d^4}{dx^4} \ln f(x) &= \frac{f^{(4)}(x)}{f(x)} - 4 \frac{f'(x) f^{(3)}(x)}{f(x)^2} - 3 \left(\frac{f(x)}{f(x)}\right)^2 + 12 \frac{f'(x)^2 f(x)}{f(x)^3} - 6 \left(\frac{f'(x)}{f(x)} \right)^4
\end{align}

## 응용

### 곱

두 함수의 곱에 자연로그를 적용하여
f(x) = g(x) h(x)
곱을 합으로 변환한다.
\ln(f(x))=\ln(g(x)h(x)) = \ln(g(x)) + \ln(h(x)). 
연쇄 법칙과 합 규칙을 적용하여 미분하면 다음과 같다.
\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{g'(x)}{g(x)} + \frac{h'(x)}{h(x)},
그리고 재배열하면 다음과 같다.
f'(x) = f(x)\times \left\{\frac{g'(x)}{g(x)} + \frac{h'(x)}{h(x)}\right\} =
g(x) h(x) \times \left\{\frac{g'(x)}{g(x)} + \frac{h'(x)}{h(x)}\right\} = g'(x) h(x) + g(x) h'(x),
이는 미분의 곱 규칙이다.

### 몫

두 함수의 몫에 자연로그를 적용하여
f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}
나눗셈을 뺄셈으로 변환한다.
\ln(f(x)) = \ln\left(\frac{g(x)}{h(x)}\right) = \ln(g(x)) - \ln(h(x))
연쇄 법칙과 합 규칙을 적용하여 미분하면 다음과 같다.
\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{g'(x)}{g(x)} - \frac{h'(x)}{h(x)},
그리고 재배열하면 다음과 같다.
f'(x) = f(x) \times \left\{\frac{g'(x)}{g(x)} - \frac{h'(x)}{h(x)}\right\} =
\frac{g(x)}{h(x)} \times \left\{\frac{g'(x)}{g(x)} - \frac{h'(x)}{h(x)}\right\} = \frac{g'(x) h(x) - g(x) h'(x)}{h(x)^2},

이는 미분의 몫 규칙이다.

### 함수 지수
다음 형태의 함수에 대해
f(x) = g(x)^{h(x)}
자연로그는 지수 연산을 곱으로 변환한다.
\ln(f(x)) = \ln\left(g(x)^{h(x)}\right) = h(x) \ln(g(x))
연쇄 법칙과 곱 규칙을 적용하여 미분하면 다음과 같다.
\frac{f'(x)}{f(x)} = h'(x) \ln(g(x)) + h(x) \frac{g'(x)}{g(x)},
그리고 재배열하면 다음과 같다.
f'(x) = f(x)\times \left\{h'(x) \ln(g(x)) + h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}\right\} =
g(x)^{h(x)} \times \left\{h'(x) \ln(g(x)) + h(x) \frac{g'(x)}{g(x)}\right\}.
동일한 결과는 f를 exp로 다시 쓰고 연쇄 법칙을 적용하여 얻을 수 있다.

#### 일반적인 경우
대문자 파이 표기법을 사용하여 다음과 같이 나타내자.
f(x) = \prod_i (f_i(x))^{\alpha_i(x)}
이는 함수 지수를 가진 함수의 유한 곱이다.

자연로그를 적용하면 ( 대문자 시그마 표기법으로) 다음과 같다.
\ln (f(x)) = \sum_i\alpha_i(x) \cdot \ln(f_i(x)),
미분 후에는 다음과 같다.
\frac{f'(x)}{f(x)} = \sum_i \left[\alpha_i'(x)\cdot \ln(f_i(x)) + \alpha_i(x) \cdot \frac{f_i'(x)}{f_i(x)}\right].
원래 함수의 도함수를 얻기 위해 재배열하면 다음과 같다.
f'(x) = \overbrace{\prod_i (f_i(x))^{\alpha_i(x)}}^{f(x)} \times\overbrace{\sum_i\left\{\alpha_i'(x)\cdot \ln(f_i(x))+\alpha_i(x)\cdot \frac{f_i'(x)}{f_i(x)}\right\}}^{[\ln (f(x))]'}.

## 같이 보기
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## 내용주

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