소수 모듈러 형식

수학에서 모듈러 형식은 복소해석학 및 정수론에서 중요한 상반평면에 있는 특정 복소 해석 함수이다. 소수 p를 법으로 환산하면 복소 모듈러 형식의 고전 이론과 모듈러 형식의 *<math>p</math>*-진 이론에 대한 비슷한 이론이 있다.

## 법 2로 모듈러 형식 축소
### 법 2로 줄이기 위한 조건
모듈러 형식은 해석 함수이므로 푸리에 급수 표현을 갖는다. 모듈러 형식도 모듈러 군의 군 작용에 대한 함수 방정식을 만족하므로 이 푸리에 급수는 항 q=e^{2 \pi i z}으로 표현될 수 있다. 그래서 만약 f가 모듈러 형식이면 f(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} c(n)q^n이 성립하는 계수들 \{c(n)\}이 있다. 모듈러 형식들 가운데 q-급수의 계수가 모두 정수인 경우만 모은 모듈러 형식 공간의 부분 공간을 고려하자. 그러면 모든 계수를 법 2로 줄이는 것이 가능하며, 이는 법 2로 축소한 모듈러 형식을 제공한다.

### 법 2 모듈러 형식의 기저
모듈러 형식은 G_4, G_6로 생성된다. 그러면 G_4, G_6를 q-급수의 계수가 모두 정수인 E_4, E_6로 정규화할 수 있다. 이것은 법 2로 축소될 수 있는 모듈러 형식들의 생성원이다. 밀러 기저에는 몇 가지 흥미로운 성질이 있다. 일단 법 2를 줄이면, E_4와 E_6는 그냥 1이다. 즉, 자명한 축소이다. 자명하지 않은 축소를 얻기 위해 수학자들은 모듈러 판별식 \Delta을 사용한다. \Delta는 E_4와 E_6 이전에 "선험적인" 생성원으로 도입되었다. 따라서 모듈러 형식은 E_4, E_6, \Delta의 다항식으로 여겨진다. (일반적으로 \mathbb{C} 위에서이지만, 축소를 위해 정수 \mathbb{Z}를 통해 볼 수 있다.) 일단 법 2로 축소하면  \mathbb{F}_2위에서 \Delta의 다항식이 된다.

### 법 2 모듈러 판별식
모듈러 판별식은 무한 곱

: 
\Delta(q) = q \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{24} = \sum_{n=1}^\infty \tau(n)q^n.


으로 정의된다. 이 무한곱의 q-급수 형태에서 계수는 일반적으로 라마누잔 타우 함수 \tau에 해당한다. 콜베르그와 장-피에르 세르의 결과는  \Delta(q) \equiv \sum_{m=0}^{\infty} q^{(2m+1)^2} \bmod 2 임을 보여준다. 즉, 2를 법으로 \Delta의 q-급수는 q 홀수 제곱의 거듭제곱에.

## 법 2 헤케 연산자
헤케 연산자는 일반적으로 모듈러 형식에서 작동하는 가장 중요한 연산자로 여겨진다. 따라서 이를 법 2로 줄이려는 시도는 정당하다.

모듈러 형식 f의 헤케 연산자들은 다음과 같이 정의된다: n \in \N에 대해 T_nf(z) = n^{2k-1}\sum_{a \geq 1,\, ad=n,\, 0 \leq b  .

헤케 연산자는 다음과 같이 q-급수 위에서 정의할 수 있다: f(z) = \sum_{n \in \Z} c(n)q^n이면, T_nf(z) = \sum_{m \in \Z} \gamma(m)q^m, 여기서

\gamma(z) = \sum_{a | (n,m),\, a \geq 1} a^{2k-1} c\left( \frac{mn}{a^2} \right).

모듈러 형식이 q-급수를 사용하여 축소되었기 때문에, q-급수 정의를 채택하는 것은 의미가 있다. 이 합은 소수 헤케 연산자(즉, m이 소수일 때)이 많이 단순화 하기 때문에(더하는 항이 2개뿐이다.), 이는 법 2로 축소에 하기 아주 좋다. 더하는 항이 3개 이상인 경우 법 2로 많은 상쇄가 발생하며 과정의 유의미성이 의심될 수 있다. 따라서 법 2 헤케 연산자는 일반적으로 소수에 대해서만 정의한다.

q-표현 f(q) = \sum_{n \in \N} c(n)q^n을 가진 법 2 모듈러 형식 f에 대해, f 위의 헤케 연산자 T_p는 \overline{T_p}|f(q) = \sum_{n \in \N} \gamma(n)q^n로 정의된다. 여기서

: 
\gamma(n) = \begin{cases}
 c(np)    & \text{ if } p \nmid n \\
 c(np)+c(n/p) & \text{ if } p \mid n
\end{cases} \quad \text{ and } p \text{ an odd prime}.


법 2 헤케 연산자는 영인자를 가지고 있다는 흥미로운 성질에 유의하는 것이 중요하다. 영인자의 위수를 찾는 것은 장-피에르 세르와 장-루이 니콜라가 2012년에 발표한 논문에서 해결한 문제이다.

## 법 2 헤케 대수
헤케 대수는 법 2로 축소될 수도 있다. 그것은 \mathbb{F}_2 위에서 법 2 헤케 연산자에 의해 생성된 대수로 정의된다.에서 세르와 니콜라의 표기법에 따라 \mathcal{F} = \left\langle \Delta^k \mid k \text{ odd} \right\rangle, 즉 \mathcal{F} = \left\langle \Delta, \Delta^3, \Delta^5, \Delta^7, \Delta^9, \dots \right\rangle.  \dim(\mathcal{F}(n)) = n이도록 \mathcal{F}(n) = \left\langle \Delta, \Delta^3, \Delta^5, \dots, \Delta^{2n-1} \right\rangle로 쓰면서, 주어진 \mathbb{F}_2 그리고 T_p애 대해 A(n)를 \text{End}\left(\mathcal{F}(n)\right)의 \mathbb{F}_2-부분 대수로 정의한다.

즉, 만약 \mathfrak{m}(n) = \{T_{p_1} \cdot T_{p_2} \cdots T_{p_k} \mid p_1, p_2, \dots, p_k \in \mathbb{P}, k\geq 1\}이 \mathcal{F}의 부분 선형 공간이면, A(n) = \mathbb{F}_2 \oplus \mathfrak{m}(n).

마지막으로 헤케 대수 A를 다음과 같이 정의한다: \mathcal{F}(n) \subset \mathcal{F}(n+1)이므로, A(n)의 원소를 얻기 위해 A(n+1)의 원소를 \mathcal{F}로 제한할 수 있다. 사상 \phi_n: A(n+1) \to A(n)을  \mathcal{F}(n)에 대한 제한으로 생각할 때, \phi_n는 준동형사상이다. A(1)이 항등원 또는 0이므로 A(1) \cong \mathbb{F}_2이다. 따라서 사슬\dots \to A(n+1) \to A(n) \to A(n-1) \to \dots \to A(2) \to A(1) \cong \mathbb{F}_2 을 얻는다. 그런 다음 헤케 대수 A를 n \to \infty일 때 A(n)위의 사영 극한으로 정의하자. 명시적으로 이것은A = \varprojlim_{n \in \N} A(n) = \left\lbrace T_{p_1} \cdot T_{p_2} \cdots T_{p_k} | p_1, p_2, \dots, p_k \in \mathbb{P}, k\geq 0 \right\rbrace을 의미한다.

헤케 대수 A의 주요 성질은 이 대수가 T_3와 T_5의 급수로 생성된다는 것이다. 즉, 
A = \mathbb{F}_2\left[ T_p \mid p \in \mathbb{P} \right]
 = \mathbb{F}_2 \left[\left[ T_3, T_5 \right]\right]
.

따라서 임의의 소수 p \in \mathbb{P}에 대해, T_p = \sum_{i+j \geq 1} a_{ij}(p) T_3^iT_5^j이 성립하는 계수 a_{ij}(p) \in \mathbb{F}_2를 찾을 수 있다.

## 각주

분류:대수적 수론
분류:모듈러 형식