로런츠 변환 유도

맥스웰 방정식부터 아인슈타인의 특수 상대성이론의 공준에 이르기까지 다양한 물리적 원리를 사용하고, 초등대수학 및 쌍곡선 함수에서 선형대수학 및 군론에 이르기까지 다양한 수학적 도구를 사용하여 로런츠 변환을 유도하는 방법은 여러 가지가 있다.

이 문서는 특수 상대성이론의 맥락에서 따라하기 쉬운 방법 몇 가지를 제시한다. 표준 구성에서 로런츠 부스트의 가장 간단한 경우, 즉 서로 빛의 속력보다 작은 일정한 (균일한) 상대 속도로 움직이는 두 개의 관성 기준틀에 대해 데카르트 좌표계를 사용하여 x축과 x'축이 공선점이 되도록 한다.

## 로런츠 변환

현대물리학의 근본 분야인 일반 상대성이론과 그 광범위한 하위 집합인 특수 상대성이론, 그리고 상대론적 양자역학과 상대론적 양자장론에서 로런츠 변환은 물리량을 포함하는 모든 사차원 벡터와 텐서가 한 기준틀에서 다른 기준틀로 변환되는 변환 규칙이다.

이러한 사차원 벡터의 주요 예는 사차원 위치와 입자의 사차원 운동량이며, 장의 경우 전자기장 텐서와 에너지-운동량 텐서가 있다. 이러한 객체들이 로런츠 변환에 따라 변환된다는 사실은 수학적으로 이들을 벡터 및 텐서로 정의하는 것이다. 정의는 텐서를 참조하라.

어떤 기준틀에서 사차원 벡터 또는 텐서의 성분들이 주어졌을 때, "변환 규칙"을 통해 원래 기준틀에 대해 부스트되거나 가속된 다른 기준틀에서 동일한 사차원 벡터 또는 텐서의 변경된 성분들을 결정할 수 있다. "부스트"는 평행 이동과 혼동되어서는 안 되며, 오히려 기준틀 사이의 상대 속도로 특징지어진다. 변환 규칙 자체는 기준틀의 상대 운동에 따라 달라진다. 두 관성 기준틀의 가장 간단한 경우, 기준틀 사이의 상대 속도가 변환 규칙에 포함된다. 회전 기준틀 또는 일반적인 비관성 기준틀의 경우, 상대 속도(크기와 방향), 회전축 및 회전 각도를 포함하여 더 많은 매개변수가 필요하다.

## 역사적 배경

일반적인 처리(예: 알베르트 아인슈타인의 원본 작업)는 빛의 속력 불변성에 기반을 둔다. 그러나 이것이 반드시 출발점일 필요는 없다. 실제로 (예를 들어, 란다우와 립시츠의 이론 물리학 강좌 2권에 설명되어 있듯이), 실제로 중요한 것은 상호작용의 국소성의 원리이다. 한 입자가 다른 입자에 미치는 영향이 즉시 전달될 수 없다고 가정한다. 따라서 불변해야 하는 이론적인 최대 정보 전달 속도가 존재하며, 이 속도는 진공에서의 빛의 속력과 일치하는 것으로 밝혀졌다. 뉴턴 자신도 원격 작용의 아이디어를 철학적으로 "불합리"하다고 불렀으며, 중력은 특정 법칙에 따라 어떤 매개체에 의해 전달되어야 한다고 주장했다.

1887년 마이컬슨과 몰리는 마이컬슨-몰리 실험에서 간섭계와 반은 거울을 사용하여 에테르 흐름을 감지할 만큼 정확한 실험을 설계했다. 거울 시스템은 빛을 간섭계로 다시 반사했다. 만약 에테르 흐름이 있었다면, 그것은 위상 변화와 검출될 간섭의 변화를 일으켰을 것이다. 그러나 위상 변화는 전혀 발견되지 않았다. 마이컬슨-몰리 실험의 부정적인 결과는 에테르(또는 그 흐름)의 개념을 약화시켰다. 파동 활동이 전파될 수 있는 탐지 가능한 매질 없이 빛이 파동처럼 행동하는 이유에 대한 혼란이 뒤따랐다.

1964년 논문에서, 에릭 크리스토퍼 지만(Erik Christopher Zeeman)은 인과성 보존 속성, 즉 빛의 속력 불변성보다 수학적으로 약한 조건이 좌표 변환이 로런츠 변환임을 보장하기에 충분하다는 것을 보여주었다. 노먼 골드스타인(Norman Goldstein)의 논문은 인과성 대신 관성(시간꼴 선의 보존)을 사용하여 유사한 결과를 보여준다.

## 물리적 원리
아인슈타인은 두 가지 기본 공준에 기반하여 특수 상대성이론을 세웠다. 첫째, 모든 물리 법칙은 상대적인 운동 상태에 관계없이 모든 관성 기준틀에서 동일하다. 둘째, 자유 공간에서의 빛의 속력은 각 기준틀의 상대 속도에 관계없이 모든 관성 기준틀에서 동일하다. 로런츠 변환은 근본적으로 이 두 번째 공준의 직접적인 결과이다.

### 두 번째 공준
특수 상대성이론의 두 번째 공준인 기준틀에 독립적인 빛의 속력 불변성을 가정하고, 서로 일정한 속도로 움직이는, 즉 관성계들로 이루어진 기준계들을 고려한다. 각 기준계는 점, 즉 시공간 사건에 레이블을 지정하는 자체적인 데카르트 좌표계를 갖는다. 빛의 속력 불변성을 수학적 형태로 표현하기 위해, 각 기준틀에서 기록될 시공간의 두 사건을 고정한다. 첫 번째 사건은 빛 신호의 방출이고, 두 번째 사건은 그것이 흡수되는 것이라고 하자.

집합 내에서 임의의 기준틀을 선택한다. 이 좌표계에서 첫 번째 사건에는 x_1, y_1, z_1, ct_1 좌표가, 두 번째 사건에는 x_2, y_2, z_2, ct_2 좌표가 할당될 것이다. 방출과 흡수 사이의 공간 거리는 \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}이지만, 이것은 신호가 이동한 거리 c(t_2-t_1)와도 같다. 따라서 다음 방정식을 설정할 수 있다.

c^2(t_2 - t_1)^2 - (x_2 - x_1)^2 - (y_2 - y_1)^2 - (z_2 - z_1)^2 = 0.

다른 모든 좌표계는 자체 좌표로 동일한 방정식을 기록할 것이다. 이것은 빛의 속력 불변성의 즉각적인 수학적 결과이다. 왼쪽의 양은 시공간 간격이라고 불린다. 빛 신호로 분리된 사건의 경우, 이 간격은 모든 기준틀에서 동일하며(0), 따라서 불변량이라고 불린다.

### 간격의 불변성
로런츠 변환이 자연에 의해 실현되는 물리적 의미를 가지려면, 간격이 빛 신호로 분리된 사건뿐만 아니라 모든 두 사건에 대해 불변량이라는 것이 중요하다. 이를 확립하기 위해, 무한소 간격을 고려한다.

ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2,

이는 시스템 K에서 기록된다. K'는 동일한 두 무한소 분리된 사건에 간격 ds'^2를 할당하는 다른 시스템이라고 하자. 만약 ds^2 = 0이면, 간격은 다른 시스템에서도 0이 될 것이므로(두 번째 공준), ds^2와 ds'^2는 같은 차수의 무한소이므로 서로 비례해야 한다.
ds^2 = a ds'^2.

a는 무엇에 의존할 수 있는가? 이는 시공간에서 두 사건의 위치에 의존할 수 없는데, 이는 가정된 시공간의 균질성을 위반하기 때문이다. K와 K' 사이의 상대 속도 V'에 의존할 수는 있지만, 방향에는 의존할 수 없고 속도에만 의존해야 하는데, 후자는 공간의 등방성을 위반하기 때문이다.

이제 시스템 K_1과 K_2를 가져온다.
ds^2 = a(V_1)ds_1^2, \quad ds^2 = a(V_2)ds_2^2, \quad ds_1^2 = a(V_{12})ds_2^2.
이로부터 다음이 성립한다.
\frac{a(V_2)}{a(V_1)} = a(V_{12}).

이제, 우변에서 V_{12}가 V_1과 V_2 모두에 의존하고, 벡터 \textbf{V}_1과 \textbf{V}_2 사이의 각도에도 의존한다는 것을 관찰한다. 그러나 좌변은 이 각도에 의존하지 않는다는 것도 관찰한다. 따라서 이 방정식이 참이 되기 위한 유일한 방법은 함수 a(V)가 상수여야 한다는 것이다. 더 나아가, 동일한 방정식에 의해 이 상수는 1이다. 따라서,
ds^2 = ds'^2
모든 시스템 K'에 대해. 이것은 모든 무한소 간격에 대해 성립하므로, 모든 간격에 대해 성립한다.

로런츠 변환의 대부분의 유도 과정은 (모두는 아닐지라도) 이를 당연하게 여긴다. 이러한 유도 과정에서는 빛의 속력 불변성(빛과 같은 분리된 사건의 불변성)만을 사용한다. 이 결과는 로런츠 변환이 올바른 변환임을 보장한다.

#### ds<sup>2</sup>와 ds′<sup>2</sup>의 비례 관계에 대한 엄밀한 진술과 증명

**정리:**
 n,p\geq 1은 정수이고,  d:= n+p이며,  V는 실수 위에 정의된 벡터 공간으로 차원이  d라고 하자.  h는  V 위의 부정 내적이며 부호수 유형은  (n,p)라고 하자.  g는  V 위의 대칭 쌍선형 형식이며,  h의 관련 이차 형식의 영집합이  g의 영집합에 포함된다고 하자 (즉, 모든 v \in V에 대해 h(v,v) = 0이면 g(v,v)=0이라고 가정하자). 그러면 C\in\Reals 인 상수 C가 존재하여 g = Ch 를 만족한다. 또한,  n\neq p이고  g도 부호수 유형이  (n,p)라고 가정하면,  C>0이다.

(e_{\alpha}\pm e_{\beta})를 고려하자. 그러면 방정식의 우변이 x에 의존하지 않으므로, g_{\alpha\beta}=-g_{\alpha\beta}이고 따라서 g_{\alpha\beta}=0임을 알 수 있다. 거의 동일한 논증으로 i,j\in\{n+1,\dots, n+p\}가 서로 다른 지수이면 g_{ij}=0임을 추론할 수 있다.

마지막으로, x가 e_1,\dots, e_n\in\Reals^n을 거쳐가고, y가 e_1,\dots, e_p\in\Reals^p를 거쳐가도록 연속적으로 두면 다음을 알 수 있다.
 -g_{11}=\dots = -g_{nn}=g_{n+1,n+1}=\dots = g_{n+p,n+p},
즉, g는 행렬 표현 [g]=-g_{11}\cdot
\begin{pmatrix}
-I_n& 0\\
0 & I_p
\end{pmatrix}
를 가지며, 이는 g=-g_{11}\cdot h라고 말하는 것과 동등하다. 따라서 정리에서 주장하는 비례 상수는 C=-g_{11}이다. 마지막으로, g,h 모두 부호수 유형이 (n,p)이고 n\neq p라고 가정하면 C := -g_{11}>0이다 (우리는 C = 0일 수 없는데, 이는 g = 0을 의미하며, 부호수 유형이 (n,p)라는 것은 비영 쌍선형 형식임을 의미하므로 불가능하다. 또한,  C이면, g는 n개의 양수 대각선 항목과 p개의 음수 대각선 항목을 갖는다는 것을 의미한다. 즉, (p,n)\neq (n,p)인 부호수를 가지므로, n\neq p라고 가정했으므로 이 또한 불가능하다. 이것은 C > 0만이 유일한 옵션으로 남긴다). 이것으로 정리의 증명을 마친다.

}}

## 표준 구성

섬네일|right|300px|각 관찰자가 자신의 관성 기준틀(표준 구성)에서 측정한 사건의 시공간 좌표가 말풍선에 표시된다.<br />위: 기준틀 '''F'''′는 기준틀 '''F'''의 x축을 따라 속도 v로 움직인다.<br />아래: 기준틀 '''F'''는 기준틀 '''F'''′의 x′-축을 따라 속도 −v로 움직인다.

불변 간격은 시공간의 비음정치 거리 함수로 볼 수 있다. 찾고 있는 변환은 이 거리를 불변으로 유지해야 한다. 기준틀의 좌표계가 직교 좌표계라는 점 때문에, 유클리드 경우와 마찬가지로 가능한 변환은 평행 이동과 회전으로 구성되며, 여기서 '회전'이라는 용어에 약간 더 넓은 의미가 허용되어야 한다고 결론 내린다.

간격은 평행 이동에 대해 매우 자명하게 불변이다. 회전의 경우, 네 개의 좌표가 있다. 따라서 여섯 개의 회전 평면이 있다. 이 중 세 개는 공간 평면에서의 회전이다. 간격은 일반적인 회전에 대해서도 불변이다.

나머지 세 좌표 평면에서 간격을 불변으로 유지하는 "회전"을 찾는 것이 남아있다. 또는, 움직이는 기준틀에 해당하는 좌표와 일치하도록 좌표를 할당하는 방법을 찾는 것이다.

일반적인 문제는 다음을 만족하는 변환을 찾는 것이다.
\begin{align}
& c^2(t_2 - t_1)^2 - (x_2 - x_1)^2 - (y_2 - y_1)^2 - (z_2 - z_1)^2 \\
={}& c^2(t_2' - t_1')^2 - (x_2' - x_1')^2 - (y_2' - y_1')^2 - (z_2' - z_1')^2.
\end{align}

일반적인 문제를 해결하기 위해, 평행 이동과 일반적인 회전의 간격 불변성에 대한 지식을 사용하여, 일반성을 잃지 않고, 기준틀 와 가 좌표축이 모두 에서 만나고, 축과 축이 영구적으로 정렬되며, 시스템 가 양의 을 따라 속도 를 갖도록 정렬되었다고 가정할 수 있다. 이를 표준 구성이라고 부른다. 이는 일반적인 문제를 다음을 만족하는 변환을 찾는 것으로 줄인다.

c^2(t_2 - t_1)^2 - (x_2 - x_1)^2 = c^2(t_2' - t_1')^2 - (x_2' - x_1')^2.

표준 구성은 아래 대부분의 예에서 사용된다. 더 간단한 문제의 선형 해

(ct)^2 - x^2 = (ct')^2 - x'^2

는 좌표 차이가 동일하게 변환되므로 더 일반적인 문제를 해결한다. 문헌에서는 이 더 간단한 문제가 고려될 때 선형성이 종종 가정되거나 어떤 식으로든 논의된다. 만약 더 간단한 문제의 해가 선형이 아니라면, 제곱을 전개할 때 나타나는 교차항 때문에 원래 문제를 해결하지 못한다.

## 해
언급했듯이, 일반적인 문제는 시공간에서의 평행 이동에 의해 해결된다. 이들은 제시된 더 간단한 문제의 해로 나타나지 않지만, 부스트는 나타난다(때로는 받음각에 따라 회전도). 빛과 같은 분리된 사건에 대한 간격의 불변성만을 주장한다면 더 많은 해가 존재한다. 이들은 비선형 등각("각도 보존") 변환이다. 다음이 성립한다.

물리학의 일부 방정식은 등각 불변이지만(예: 소스가 없는 공간에서의 맥스웰 방정식), 전부는 아니다. 현재 시공간에서의 등각 변환의 관련성은 알려져 있지 않지만, 2차원에서의 등각군은 등각 장론과 통계역학에서 매우 중요하다. 따라서 특수 상대성이론의 공준에 의해 푸앵카레 군이 특별히 선택된다. 갈릴레이 상대성이론의 갈릴레이 군과 구별되는 것은 (빛의 속력보다 빠른 속도를 허용할 수 있는 단순한 벡터 합과는 다른 속도 덧셈 공식을 갖는) 로런츠 부스트의 존재 때문이다. 공간 회전, 공간 및 시간 반전, 평행 이동은 두 군 모두에 존재하며 두 이론 모두에서 동일한 결과를 갖는다(운동량, 에너지, 각운동량 보존 법칙). 모든 받아들여진 이론이 반전에 대한 대칭을 존중하는 것은 아니다.

## 시공간의 기하학 이용
### 란다우 & 립시츠의 해
이 세 가지 쌍곡선 함수 공식 (H1–H3)은 아래에서 참조된다:
#\cosh^2\Psi - \sinh^2 \Psi = 1,
#\sinh \Psi= \frac{\tanh\Psi}{\sqrt{1-\tanh^2\Psi}},
#\cosh\Psi = \frac{1}{\sqrt{1-\tanh^2\Psi}},
에서 으로의 부스트에 대해, 프라임 좌표가 움직이는 시스템을 참조하는 문제는 더 간단한 방정식의 선형 해를 찾는 것으로 해결된다.

(ct)^2 - x^2 = (ct')^2 - x'^2.

가장 일반적인 해는 (H1)을 사용하여 직접 대입하여 확인할 수 있듯이 다음과 같다.

물리적 설정에서 의 역할을 찾기 위해 의 원점, 즉 의 진행을 기록한다. 방정식은 다음과 같이 된다 (먼저 을 사용하여).

x = ct'\sinh \Psi, \quad ct =  ct'\cosh \Psi.

이제 나눈다:

\frac{x}{ct} = \tanh \Psi = \frac{v}{c} \Rightarrow \quad \sinh \Psi= \frac{\frac{v}{c}}{\sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}}}, \quad \cosh\Psi = \frac{1}{\sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}}},

여기서 첫 번째 단계에서 가 사용되었고, 두 번째 단계에서 (H2)와 (H3)이 사용되었다. 이를 ()에 다시 대입하면 다음을 얻는다.

x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, \quad t= \frac{t'+\frac{v}{c^2}x'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},

또는, 일반적인 약어를 사용하여,

이 계산은 쌍곡선 회전 섹션에서 더 자세히 반복된다.

### 쌍곡선 회전

로런츠 변환은 특수 상대성이론의 공준과 쌍곡선 항등식을 간단히 적용하여 유도할 수도 있다.

;상대론 공준

원점에 중심을 둔 빛 펄스의 구형 파면 방정식을 시작으로:

(ct)^2 - (x^2+y^2+z^2) = (ct')^2 - (x'^2+y'^2+z'^2) =0

특수 상대성이론의 공준 때문에 두 기준틀에서 동일한 형태를 취한다. 다음으로, 위에 있는 표준 구성에서 각 기준틀의 x축을 따라 상대 운동을 고려하면 y = y′, z = z′이므로 다음으로 단순화된다.

(ct)^2 - x^2 = (ct')^2 - x'^2 

;선형성

이제 변환이 다음 선형 형식을 취한다고 가정하자:

 \begin{align}
x' & = Ax + Bct \\
ct' & = Cx + Dct
\end{align}

여기서 A, B, C, D를 찾아야 한다. 만약 이들이 비선형적이라면, 한 기준틀에서는 속도가 일정하더라도 다른 기준틀에서는 겉보기힘(따라서 가속도)이 발생할 것이므로 모든 관찰자에게 동일한 형태를 취하지 않을 것이며, 이는 관성 기준틀 변환과 일치하지 않는다.

이전 결과에 대입하면:

(ct)^2 - x^2 = [(Cx)^2 + (Dct)^2 + 2CDcxt] - [(Ax)^2 + (Bct)^2 + 2ABcxt] 

그리고 , , 의 계수들을 비교하면:

 \begin{align}
 - 1 = C^2 - A^2 & \Rightarrow & A^2 - C^2 = 1 \\
c^2 = (Dc)^2 - (Bc)^2 & \Rightarrow & D^2 - B^2 = 1 \\
2CDc - 2ABc = 0 & \Rightarrow & AB = CD
\end{align}

;쌍곡선 회전:

이 방정식들은 쌍곡선 항등식 \cosh^2\phi-\sinh^2\phi=1 .을 시사한다.

신속도 매개변수 를 쌍곡선각으로 도입하면 일관된 식별이 가능하다.

A = D = \cosh\phi\,,\quad C = B = -\sinh\phi 

여기서 제곱근 이후의 부호는 와 가 각각 와 가 증가할 때 증가하도록 선택된다. 쌍곡선 변환은 다음을 위해 해결되었다.

\begin{align}
x' & = x \cosh\phi  - ct \sinh\phi  \\
ct' & = -x \sinh\phi  + ct \cosh\phi
\end{align}

만약 부호가 다르게 선택되었다면 위치와 시간 좌표는  및 로 대체되어야 하여 와 가 감소하지 않고 증가하도록 해야 한다.

가 상대 속도와 어떻게 관련되는지 찾기 위해, 표준 구성에서 프라임 기준틀의 원점 은 프라임 없는 기준틀에서 로 측정된다(또는 그와 동등하고 반대 방향으로; 프라임 없는 기준틀의 원점은 이고 프라임 기준틀에서는 이다):

 0 = vt \cosh\phi  - ct \sinh\phi \, \Rightarrow \, \tanh\phi = \frac{v}{c} = \beta

그리고 쌍곡선 항등식 \sinh \Psi= \frac{\tanh\Psi}{\sqrt{1-\tanh^2\Psi}},\, \cosh\Psi = \frac{1}{\sqrt{1-\tanh^2\Psi}}는 , , 그리고  사이의 관계를 이끌어낸다.

 \cosh\phi = \gamma,\,\quad \sinh\phi=\beta\gamma \,. 

### 인과성과 사건의 순서로부터
1960년대와 1970년대에 알렉산드로프(A. D. Alexandrov)의 연구로 절정에 달한 일련의 결과들은 로런츠 변환이 빛의 속도 불변성보다 훨씬 더 근본적이고 정성적인 시공간 특성으로부터 유도될 수 있음을 보여주었다.

A. D. 알렉산드로프의 크로노기하학 (1950-1976): 1949년에 시작되어 20년에 걸쳐 완전히 개발된 A. D. 알렉산드로프는 이 분야에서 가장 일반적인 결과를 확립했다. 그가 "크로노기하학"(시간의 기하학)이라고 명명한 그의 접근 방식은 사건의 인과 순서에서 시작한다. 그는 "후속" 관계를 보존하는 모든 변환(즉, 사건 A가 사건 B에 영향을 미칠 수 있다면, 변환된 사건 f(A)도 f(B)에 영향을 미칠 수 있다)의 집합을 고려했다. 알렉산드로프의 획기적인 공헌은 민코프스키 공간(또는 심지어 그 영역) 자체로의 모든 일대일 매핑이 인과 순서를 보존하는 경우—또는 더 강력하게, 광원추의 가족을 보존하는 경우—확장과 결합된 로런츠 변환이어야 함을 증명한 것이다. 그의 작업은 등각 변환(반전을 포함)을 유일한 국소 인과 자동사로 분류했다는 점에서 특히 주목할 만하다.

E. C. 지만(Zeeman)의 인과성 (1964): 1964년 논문에서 에릭 크리스토퍼 지만은 이와 관련된, 그러나 덜 일반적인 결과를 독립적으로 보여주었다. 그는 민코프스키 공간의 모든 자동사(자신으로의 일대일 매핑)가 인과 관계를 보존하는 경우—수학적으로 빛의 속도 불변성보다 약한 조건—반드시 로런츠 군의 요소이며, 평행 이동 및 확장과 결합된다는 것을 입증했다. 지만의 정리는 매우 영향력이 있었지만, 매핑이 전체 공간에 정의된다고 가정하는 반면, 알렉산드로프의 후속 작업은 결과를 영역의 국소 매핑으로 확장했다.

이러한 정리들의 종합적인 결론은 심오하다. 시공간의 인과 구조, 즉 어떤 사건이 다른 사건에 영향을 미칠 수 있는지에 의해 단순히 정의되는 인과 구조만으로도 그 기하학이 민코프스키적이고 그 대칭이 로런츠 변환이라는 것이 고유하게 결정된다. 이는 특수 상대성이론의 논리적 구조에서 인과성의 원리를 빛의 속도 불변성보다 더 근본적인 공리로 자리매김한다.

## 물리적 원리에서

이 문제는 일반적으로 위에서 설명한 표준 구성과 같이 y 및 z 좌표가 개입하지 않도록 x축을 따라 속도를 사용하여 2차원으로 제한된다.

### 시간 팽창과 길이 수축
변환 방정식은 시간 팽창과 길이 수축으로부터 유도될 수 있으며, 이는 다시 첫 번째 원리로부터 유도될 수 있다. 와 가 각각 기준틀 와 의 공간 원점을 나타내고, 어떤 사건 이 있다고 할 때, 두 기준틀에서의 위치 벡터(여기서는 방향을 가진 선분 ,  및 으로 축소됨) 사이의 관계는 다음과 같이 주어진다:

기준틀 에서 사건 M에 대한 좌표 와 기준틀 에서 좌표 를 사용하면, 기준틀 에서 선분들은 ,  및 이다 (는 기준틀 에서 측정된 이므로):
x = vt + x'/\gamma.
마찬가지로, 기준틀 에서 선분들은  (는 기준틀 에서 측정된 이므로),  및 이다:
x / \gamma = vt' + x'.
첫 번째 방정식을 재배열하면 다음과 같다.
x' = \gamma(x - vt),
이것이 로런츠 변환의 공간 부분이다. 두 번째 관계는 다음을 제공한다.
x = \gamma(x' + vt'),
이것은 공간 부분의 역변환이다. 두 공간 부분 방정식에서 를 제거하면

t' = \gamma t + \frac{ \left( 1 - { \gamma^2} \right)x}{ \gamma v}.

만약 \gamma^2=\frac{1}{1-v^2/c^2}이면, 다음과 같이 단순화된다.

t' = \gamma(t-vx/c^2),
이것이 변환의 시간 부분이며, 이의 역변환은 를 유사하게 제거하여 찾을 수 있다.
t = \gamma(t' + vx'/c^2).

### 빛의 구형 파면
다음은 아인슈타인의 방식과 유사하다.
갈릴레이 군과 마찬가지로 로런츠 변환은 기준틀의 상대 속도가 벡터로서 일정하기 때문에 선형이다. 그렇지 않으면 관성력이 나타날 것이다. 이들을 관성 또는 갈릴레이 기준틀이라고 부른다. 상대성이론에 따르면 어떤 갈릴레이 기준틀도 특권화되지 않는다. 또 다른 조건은 빛의 속력이 기준틀과 무관해야 하며, 실제로는 광원의 속도와 무관해야 한다는 것이다.

두 관성 기준틀 O와 O′를 고려하자. O는 정지해 있고 O′는 O에 대해 양의 x방향으로 속도 v로 움직인다고 가정한다. O와 O′의 원점은 처음에 서로 일치한다. 빛 신호가 공통 원점에서 방출되어 구형 파면으로 이동한다. 구형 파면 위의 한 점 P를 고려하자. 이 점은 O와 O′의 원점에서 각각 r과 r′ 거리에 있다. 특수 상대론의 두 번째 공준에 따르면 빛의 속력은 두 기준틀에서 동일하므로, 점 P에 대해 다음이 성립한다.
\begin{align}
r &= ct \\
r' &= ct'.
\end{align}

기준틀 O에서 구의 방정식은 다음과 같이 주어진다.
x^2 + y^2 + z^2 = r^2.
구형 파면에 대해서는 다음과 같다.
x^2 + y^2 + z^2 = (ct)^2.
마찬가지로, 기준틀 O′에서 구의 방정식은 다음과 같이 주어진다.
x'^2 + y'^2 + z'^2 = r'^2,
따라서 구형 파면은 다음을 만족한다.
x'^2 + y'^2 + z'^2 = (ct')^2.

원점 O′는 x축을 따라 움직이고 있다. 따라서,
\begin{align}
y' &= y \\
z' &= z.
\end{align}

는 와 에 선형적으로 비례해야 한다. 따라서 변환은 다음 형태를 갖는다.
x' = \gamma x + \sigma t. 
O′의 원점 와 는 다음과 같이 주어진다.
\begin{align}
x' &= 0 \\
x &= vt,
\end{align}
따라서 모든 에 대해,
0 = \gamma vt + \sigma t 
그리고 따라서
\sigma = -\gamma v.
이것은 변환을 다음으로 단순화한다.
x' = \gamma \left( x - v t \right)
여기서 는 결정되어야 한다. 이 시점에서 는 반드시 상수는 아니지만, 일 때 1로 줄어들어야 한다.

역변환은 의 부호가 반대라는 점을 제외하고는 동일하다.
x = \gamma \left( x' + v t' \right).

위의 두 방정식은 와  사이의 관계를 다음과 같이 제공한다.
x = \gamma \left[ \gamma \left( x - v t \right) + v t' \right]
또는
t' = \gamma t + \frac{ \left( 1 - { \gamma^2} \right)x}{ \gamma v}.

O′ 기준틀의 구형 파면 방정식
x'^2 + y'^2 + z'^2 = (ct')^2,
에 , ,  및 를 x, y, z, t에 대한 표현으로 대체하면:
 {\gamma^2} \left( x - v t \right)^2 + y^2 + z^2 = c^2 \left[ \gamma t + \frac{ \left( 1 - { \gamma^2} \right)x}{ \gamma v} \right]^2
그리고 따라서,
 \gamma^2 x^2 + \gamma^2 v^2 t^2 - 2 \gamma^2 v t x + y^2 + z^2 = c^2 {\gamma^2} t^2 + \frac{ \left( 1 - {\gamma^2} \right)^2 c^2 x^2}{ {\gamma^2} v^2} + 2 \frac{ \left( 1 - {\gamma^2} \right) t x c^2}{ v}
이는 다음을 의미한다.
 \left[ {\gamma^2} - \frac{ \left( 1 - {\gamma^2} \right)^2 c^2}{ {\gamma^2} v^2} \right] x^2 - 2 {\gamma^2} v t x + y^2 + z^2 = \left( c^2 {\gamma^2} - v^2 {\gamma^2} \right) t^2 + 2 \frac{ \left[ 1 - {\gamma^2} \right] t x c^2}{ v}
또는
 \left[ {\gamma^2} - \frac{ \left( 1 - {\gamma^2} \right)^2 c^2}{ {\gamma^2} v^2} \right] x^2 - \left[ 2 {\gamma^2} v + 2 \frac{ \left( 1 - {\gamma^2} \right) c^2}{ v}\right] t x + y^2 + z^2 = \left[ c^2 {\gamma^2} - v^2 {\gamma^2} \right] t^2 

위 방정식의  계수를 기준틀 O에 대한 구형 파면 방정식의  계수와 비교하면 다음을 얻는다.
c^2 {\gamma^2} - v^2 {\gamma^2} = c^2
γ에 대한 등가 표현은 x2 계수를 일치시키거나  계수를 0으로 설정하여 얻을 수 있다. 재배열하면:
{\gamma^2} = \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}
또는, x 및 x' 축과 시간 축이 같은 방향을 가리키도록 양의 근을 선택하면,
{\gamma} = \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}
이는 로런츠 인자라고 불린다. 이것은 위 표현으로부터 로런츠 변환을 생성한다. 그것은 다음과 같이 주어진다.
\begin{align}
x' &= \gamma \left( x - v t \right)\\
t' &= \gamma \left( t - \frac{vx}{c^2} \right) \\
y' &= y \\
z' &= z
\end{align}

로런츠 변환은 구형 파동의 형태를 불변으로 유지하는 유일한 변환이 아니다. 공형기하학의 맥락에서 \lambda\left(\delta x^2 + \delta y^2 + \delta z^2 - c^2\delta t^2\right) 표현을 불변으로 유지하는 더 넓은 집합의 구형 파동 변환이 있다. 그러나 스케일 변경 공형 변환은 역학을 포함한 모든 자연 법칙을 대칭적으로 설명하는 데 사용될 수 없으며, 로런츠 변환(\lambda = 1을 의미하는 유일한 변환)은 모든 자연 법칙의 대칭을 나타내고 v \ll c일 때 갈릴레이 변환으로 축소된다.

### 갈릴레이 및 아인슈타인의 상대론

#### 갈릴레이 기준틀
고전 운동학에서 R 기준틀에서의 총 변위 x는 R′ 기준틀에서의 상대 변위 x′와 두 원점 사이의 거리 x − x′의 합이다. 만약 v가 R에 대한 R′의 상대 속도라면, 변환은 다음과 같다: , 또는 . 이 관계는 상수 에 대해 선형이며, 이는 R과 R′가 갈릴레이 기준틀일 때이다.

아인슈타인의 상대론에서 갈릴레이 상대론과의 주요 차이점은 공간과 시간 좌표가 얽혀 있고, 다른 관성 기준틀에서 t&nbsp;≠&nbsp;t′라는 점이다.

공간이 균질하다고 가정되므로, 변환은 선형이어야 한다. 가장 일반적인 선형 관계는 네 개의 상수 계수 A, B, γ, b로 얻어진다.
x'=\gamma x + b t 
t'=A x + B t. 
이 선형 변환은 γ = B = 1, b = −v, A = 0일 때 갈릴레이 군이 된다.

R′ 기준틀에서 정지해 있는 물체(위치 x′ = 0)는 R 기준틀에서 일정한 속도 v로 움직인다. 따라서 변환은 x = vt일 때 x′ = 0을 산출해야 한다. 따라서 b = −γv이고 첫 번째 방정식은 다음과 같이 작성된다.
x'=\gamma \left(x - v t\right) .

#### 상대성 원리 사용
상대성 원리에 따르면, 특권화된 갈릴레이 기준틀은 없다. 따라서 R′ 기준틀에서 R 기준틀로의 위치에 대한 역변환은 원래 변환과 같은 형태를 가져야 하지만 속도의 방향이 반대여야 한다. 즉, v를 -v로 대체해야 한다.
x=\gamma\left(x' - (-v)t'\right),
그리고 따라서
x=\gamma\left(x' + vt'\right) .

#### 첫 번째 방정식의 상수 결정
빛의 속력은 모든 기준틀에서 동일하므로, 빛 신호의 경우 변환은 t′&nbsp;=&nbsp;x′/c일 때 t&nbsp;=&nbsp;x/c를 보장해야 한다.

위 방정식에 t와 t′를 대입하면 다음이 나온다.
x'= \gamma\left(1 - v/c\right) x , 
x= \gamma\left(1 + v/c\right) x'. 
이 두 방정식을 곱하면,
xx' = \gamma^2 \left(1 - v^2/c^2\right) xx'. 
t = t′ = 0 이후의 어느 시점에서도 xx′는 0이 아니므로, 방정식의 양변을 xx′로 나누면
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, 
이것을 "로런츠 인자"라고 부른다.

변환 방정식이 와 x′&nbsp;=&nbsp;ct′ 형태의 빛 신호 방정식을 만족하도록 요구될 때, x와 x′ 값을 대입하면 동일한 기술로 로런츠 인자에 대한 동일한 표현을 얻을 수 있다.

#### 두 번째 방정식의 상수 결정
시간에 대한 변환 방정식은 빛 신호의 특수 사례를 고려하여 쉽게 얻을 수 있다. 다시  및 를 만족하며, 이전에 얻은 공간 좌표 방정식에 항별로 대입한다.
x'=\gamma (x - v t), \,
다음과 같이 된다.
ct'=\gamma \left(ct - \frac{v}{c} x\right), 
따라서
t'=\gamma \left(t - \frac{v}{c^2} x\right), 
이것을
t'=A x + B t, \,
와 일치시키면 변환 계수 A와 B는 다음과 같이 결정된다.
A= -\gamma v/c^2,\,
B=\gamma. \,
따라서 A와 B는 프라임 좌표계에서 빛의 속력 불변성을 유지하는 데 필요한 유일한 상수 계수이다.

### 아인슈타인의 대중적인 유도
그의 대중적인 책에서 아인슈타인은 다음과 같이 주장함으로써 로런츠 변환을 유도했다. 즉, 두 개의 0이 아닌 결합 상수 와 가 존재하여

\begin{cases}
x' - ct' = \lambda \left( x - ct \right) \\
x' + ct' = \mu \left( x + ct \right) \,
\end{cases}

각각 양의 x축과 음의 x축을 따라 이동하는 빛에 해당한다.
빛에 대해 는 일 때만 성립한다. 두 방정식을 더하고 빼서 다음과 같이 정의한다.

\begin{cases}
\gamma = \left( \lambda + \mu \right) /2 \\
b = \left( \lambda - \mu \right) /2 ,\,
\end{cases}

다음이 나온다.

\begin{cases}
x' = \gamma x - bct \\
ct' = \gamma ct - bx . \,
\end{cases}

에 해당하는 을 대입하고 상대 속도가 임을 주목하면 다음을 얻는다.

\begin{cases}
x' = \gamma \left( x - vt \right) \\
t' = \gamma \left( t - \frac{v}{c^2} x \right) \,
\end{cases}

상수 는 표준 구성에 따라 를 요구함으로써 평가될 수 있다.

## 군론 이용
### 군 공준으로부터
다음은 군 공준과 공간의 등방성을 기반으로 한 고전적인 유도 과정이다(예: https://arxiv.org/abs/gr-qc/0107091 및 그에 대한 참고 문헌 참조).

;군으로서의 좌표 변환
관성 기준틀 사이의 좌표 변환은 그룹 연산이 변환의 합성(하나의 변환을 다른 변환 후에 수행)인 군(고유 로런츠 군이라고 함)을 형성한다. 실제로 네 가지 군 공리 모두가 만족된다.
# 폐포: 두 변환의 합성은 변환이다. 관성 기준틀 K에서 관성 기준틀 K′로의 변환(K → K′로 표시)과 K′에서 관성 기준틀 K′′로의 변환([K′ → K′′])의 합성을 고려하면, 관성 기준틀 K에서 관성 기준틀 K′′로 직접 가는 변환 [K → K′] [K′ → K′′]이 존재한다.
# 결합법칙: 변환 ([K → K′] [K′ → K′′]) [K′′ → K′′′]과 [K → K′] ([K′ → K′′] [K′′ → K′′′])은 동일하다.
# 항등원: 항등원, 즉 변환 K → K가 존재한다.
# 역원: 임의의 변환 K → K′에 대해 역변환 K′ → K가 존재한다.

;군 공리에 일치하는 변환 행렬
두 관성 기준틀 K와 K′를 고려하자. K′는 K에 대해 속도 로 움직인다. 회전과 평행 이동을 통해 x축과 x′축을 상대 속도 벡터와 일치시키고, 사건 과 이 일치하도록 선택할 수 있다. 속도 부스트가 (및 ) 축을 따라 이루어지므로 수직 좌표에는 아무런 변화가 없으므로 생략해도 된다. 이제 우리가 찾고 있는 변환은 두 관성 기준틀을 연결하므로 (t, x)의 선형 운동을  좌표의 선형 운동으로 변환해야 한다. 따라서 선형 변환이어야 한다. 선형 변환의 일반적인 형태는 다음과 같다.

\begin{bmatrix}
t' \\ x'
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\gamma & \delta \\
\beta & \alpha
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
t \\ x
\end{bmatrix},

여기서 , , , 는 상대 속도 의 아직 알려지지 않은 함수이다.

이제 기준틀 K′의 원점의 운동을 고려하자. K′ 기준틀에서는 좌표가 이고, K 기준틀에서는 좌표가 이다. 이 두 점은 다음 변환으로 연결된다.

\begin{bmatrix}
t' \\ 0
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\gamma & \delta \\
\beta & \alpha
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
t \\ vt
\end{bmatrix},

여기서 우리는 다음을 얻는다.
\beta = -v\alpha \,.
마찬가지로 기준틀 K의 원점의 운동을 고려하면,

\begin{bmatrix}
t' \\ -vt'
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\gamma & \delta \\
\beta & \alpha
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
t \\ 0
\end{bmatrix},

여기서 우리는 다음을 얻는다.
\beta=-v\gamma \,.
이 두 식을 결합하면 가 되고 변환 행렬은 다음과 같이 단순화된다.

\begin{bmatrix}
t' \\ x'
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\gamma & \delta \\
-v\gamma & \gamma
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
t \\ x
\end{bmatrix}.


이제 군 공리의 역원을 고려하자. K′ 좌표계에서 K 좌표계로 가는 두 가지 방법이 있다. 첫 번째는 변환 행렬의 역을 K′ 좌표에 적용하는 것이다.


\begin{bmatrix}
t \\ x
\end{bmatrix} =
\frac{1}{\gamma^2+v\delta\gamma}
\begin{bmatrix}
\gamma & -\delta \\
v\gamma & \gamma
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
t' \\ x'
\end{bmatrix}.


두 번째는 K′ 좌표계가 K 좌표계에 대해 속도 v로 움직인다는 점을 고려하여, K 좌표계는 K′ 좌표계에 대해 속도 −v로 움직여야 한다는 것이다. 변환 행렬에서 v를 −v로 바꾸면 다음과 같다.


\begin{bmatrix}
t \\ x
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\gamma(-v) & \delta(-v) \\
v\gamma(-v) & \gamma(-v)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
t' \\ x'
\end{bmatrix},


이제 함수 는 의 방향에 의존할 수 없는데, 이는 상대론적 수축과 시간 팽창을 정의하는 인자이기 때문이다. 이 두 가지(우리의 등방성 세계에서는) 의 방향에 의존할 수 없다. 따라서 이고, 두 행렬을 비교하면 다음을 얻는다.
 \gamma^2 + v\delta\gamma = 1. 

폐포 군 공리에 따르면 두 좌표 변환의 합성도 좌표 변환이어야 하므로, 두 행렬의 곱도 동일한 형태의 행렬이어야 한다. K에서 K′로, 그리고 K′에서 K′′로 변환하면 K에서 K′′로 가는 다음 변환 행렬을 얻는다.


\begin{align}
\begin{bmatrix}
t \\ x
\end{bmatrix} & =
\begin{bmatrix}
\gamma(v') & \delta(v') \\
-v'\gamma(v') & \gamma(v')
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
\gamma(v) & \delta(v) \\
-v\gamma(v) & \gamma(v)
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
t \\ x
\end{bmatrix}\\

& = \begin{bmatrix}
\gamma(v')\gamma(v)-v\delta(v')\gamma(v) & \gamma(v')\delta(v)+\delta(v')\gamma(v) \\
-(v'+v)\gamma(v')\gamma(v) & -v'\gamma(v')\delta(v)+\gamma(v')\gamma(v)
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
t\\x
\end{bmatrix}.
\end{align}


원본 변환 행렬에서 주 대각선 요소는 모두 와 같으므로, 위의 결합 변환 행렬이 원래 변환 행렬과 같은 형태를 가지려면 주 대각선 요소도 같아야 한다. 이 요소들을 같다고 놓고 재배열하면 다음과 같다.

\begin{align}
\gamma(v')\gamma(v)-v\delta(v')\gamma(v) &= -v'\gamma(v')\delta(v)+\gamma(v')\gamma(v) \\
v\delta(v')\gamma(v) &= v'\gamma(v')\delta(v) \\
\frac{\delta(v)}{v\gamma(v)} &= \frac{\delta(v')}{v'\gamma(v')}.
\end{align}

분모는 0이 아닌 에 대해 0이 아닐 것이다. 왜냐하면 는 항상 0이 아니기 때문이다.

\gamma^2 + v \delta \gamma = 1.

만약 이면, 이 유도 과정의 끝에서 다른  값에 대해 얻는 행렬에서 을 대입하는 것과 일치하는 항등 행렬을 얻게 되며, 따라서 최종 행렬은 모든 음이 아닌 에 대해 유효하다.

0이 아닌 에 대해 이 함수 조합은 보편 상수여야 하며, 모든 관성 기준틀에서 동일해야 한다. 이 상수를 로 정의하자. 여기서 는 의 차원을 갖는다. 다음을 풀면
1 = \gamma^2 + v\delta\gamma = \gamma^2 (1 + \kappa v^2)
마침내 다음을 얻는다.
\gamma = 1/\sqrt{1 + \kappa v^2}
따라서 군 공리에 일치하는 변환 행렬은 다음과 같이 주어진다.


\begin{bmatrix}
t' \\ x'
\end{bmatrix} =
\frac{1}{\sqrt{1 + \kappa v^2}}
\begin{bmatrix}
1 & \kappa v \\
-v & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
t \\ x
\end{bmatrix}.


만약 이면, 시간 좌표를 공간 좌표로, 공간 좌표를 시간 좌표로 변환하는 변환이 있을 것이다(인 경우). 우리는 시간이 양의 방향으로만 흐를 수 있다는 물리적 이유로 이것을 배제한다. 따라서 두 가지 유형의 변환 행렬이 군 공리에 일치한다.

;갈릴레이 변환
만약 이면, 우리는 갈릴레이 변환을 가진 갈릴레이-뉴턴 역학을 얻는다.

\begin{bmatrix}
t' \\ x'
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
-v & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
t \\ x
\end{bmatrix}\;,

여기서 시간은 절대적이며, 이고, 두 관성 기준틀의 상대 속도 는 제한되지 않는다.

;로런츠 변환
만약 이면, c = 1/\sqrt{-\kappa}로 설정하고 이것이 불변 속력, 즉 진공에서의 빛의 속력이 된다. 이로 인해 가 되고, 따라서 로런츠 변환을 가진 특수 상대성이론을 얻는다.

\begin{bmatrix}
t' \\ x'
\end{bmatrix} =
\frac{1}{\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}}
\begin{bmatrix}
1 & {- v \over c^2} \\
-v & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
t \\ x
\end{bmatrix}\;,

여기서 빛의 속력은 관성 기준틀 사이의 가능한 최고 상대 속도를 결정하는 유한한 보편 상수이다.

만약 이면 갈릴레이 변환은 로런츠 변환의 좋은 근사치이다.

두 가지 가능성, 즉  또는  중 어느 것이 우리의 세계에서 실현되는지에 대한 질문에는 실험만이 답할 수 있다. 올레 뢰머가 처음 수행한 빛의 속력을 측정하는 실험은 빛의 속력이 유한하다는 것을 보여주었고, 마이컬슨-몰리 실험은 빛의 속력이 절대 속력이라는 것을 보여주었으며, 따라서 임을 보여주었다.

### 생성자로부터의 부스트
신속도 를 사용하여 로런츠 변환을 매개변수화하면,  방향의 부스트는 다음과 같다.

\begin{bmatrix} c t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cosh\phi & -\sinh\phi & 0 & 0\\ -\sinh\phi & \cosh\phi & 0 & 0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\,t \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix} , 

마찬가지로 -방향의 부스트는

\begin{bmatrix} c t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cosh\phi & 0 & -\sinh\phi & 0\\ 0&1&0&0\\ -\sinh\phi &0& \cosh\phi &0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\,t \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix} , 

그리고 -방향은

\begin{bmatrix} c t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cosh\phi &0&0&-\sinh\phi\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ -\sinh\phi&0&0&\cosh\phi\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\,t \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix} \,. 

여기서 는 데카르트 기저 벡터, 즉 표시된 방향을 따라 서로 수직인 단위 벡터들의 집합이다. 한 기준틀이 다른 기준틀에 대해 속도 로 부스트되면, 상대 운동 방향으로 단위 벡터 를 도입하는 것이 편리하다. 일반적인 부스트는

\begin{bmatrix} c\,t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cosh\phi & -n_x\sinh\phi & -n_y\sinh\phi & -n_z\sinh\phi\\ -n_x\sinh\phi & 1+(\cosh\phi-1)n_x^2&(\cosh\phi-1)n_x n_y&(\cosh\phi-1)n_x n_z\\ -n_y\sinh\phi & (\cosh\phi-1)n_y n_x&1+(\cosh\phi-1)n_y^2&(\cosh\phi-1)n_y n_z\\ -n_z\sinh\phi & (\cosh\phi-1)n_z n_x&(\cosh\phi-1)n_z n_y&1+(\cosh\phi-1)n_z^2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\,t \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix}\,. 

행렬이 신속도뿐만 아니라 상대 운동의 방향에도 세 가지 숫자(방향에 대해 두 개, 신속도에 대해 하나)로 의존한다는 점에 유의하라.

각 부스트 행렬을 다음과 같이 다른 형태로 표현할 수 있다. 먼저  방향의 부스트를 고려한다.  주변에서 부스트 행렬의 테일러 급수는 다음과 같다.

B(\mathbf{e}_x,\phi)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\phi^n}{n!}\left.\frac{\partial^nB(\mathbf{e}_x,\phi)}{\partial\phi^n}\right|_{\phi=0}

여기서 행렬의 에 대한 미분은 각 행렬 항목을 개별적으로 미분하여 주어지고, 표기법 는 미분 평가 후 를 0으로 설정한다는 것을 나타낸다. 1차항까지 전개하면 무한소 변환이 나온다.

B(\mathbf{e}_x,\phi)=I+\phi\left.\frac{\partial B}{\partial\phi}\right|_{\phi=0} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}-\phi
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} 

이는 가 작을 때 (따라서  및 고차 항이 무시할 수 있을 때) 유효하며, 부스트 없음(첫 번째 항 는 4×4 항등 행렬)에 이은 작은 부스트로 해석될 수 있다. 행렬

 K_x=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}

는  방향 부스트의 생성자이므로, 무한소 부스트는

B(\mathbf{e}_x,\phi)=I-\phi K_x 

이제 는 작으므로, 양의 정수 으로 나누면 더 작은 신속도 증분 을 얻고, 이들 무한소 부스트 개는 신속도 를 가진 원래 무한소 부스트를 줄 것이다.

B(\mathbf{e}_x,\phi)=\left(I-\frac{\phi K_x}{N}\right)^N 

무한히 작은 단계가 무한히 많아지는 극한에서, 우리는 유한 부스트 변환을 얻는다.

B(\mathbf{e}_x,\phi)=\lim_{N\to\infty}\left(I-\frac{\phi K_x}{N}\right)^{N}=e^{-\phi K_x}

이것은 레온하르트 오일러의 지수 함수의 극한 정의이며, 이제 임의의 에 대해 참이다.

 및  방향의 부스트에 대해 동일한 과정을 반복하면 다른 생성자를 얻는다.

K_y=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\,,\quad K_z=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}

그리고 부스트는 다음과 같다.

B(\mathbf{e}_y,\phi)=e^{-\phi K_y}\,,\quad B(\mathbf{e}_z,\phi)=e^{-\phi K_z}\,.

어떤 방향에 대해서든 무한소 변환은 (작은 와 1차항까지의 전개)

B(\mathbf{n},\phi)=I+\phi\left.\frac{\partial B}{\partial\phi}\right|_{\phi=0} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}-\phi\begin{bmatrix}0 & n_x & n_y & n_z\\
n_x & 0 & 0 & 0\\
n_y & 0 & 0 & 0\\
n_z & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} 

여기서

 \begin{bmatrix}0 & n_x & n_y & n_z\\
n_x & 0 & 0 & 0\\
n_y & 0 & 0 & 0\\
n_z & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} = n_x K_x + n_y K_y + n_z K_z = \mathbf{n}\cdot\mathbf{K} 

는 방향 으로의 부스트 생성자이다. 이것은 전체 부스트 생성자, 즉 행렬의 벡터 를 부스트 의 방향으로 투영한 것이다. 무한소 부스트는

B(\mathbf{n},\phi)=I-\phi(\mathbf{n}\cdot\mathbf{K})

그러면 무한히 작은 단계의 무한한 수의 극한에서, 우리는 유한 부스트 변환을 얻는다.

B(\mathbf{n},\phi)=\lim_{N\to\infty}\left(I-\frac{\phi(\mathbf{n}\cdot\mathbf{K})}{N}\right)^{N}=e^{-\phi(\mathbf{n}\cdot\mathbf{K})}

이것은 이제 임의의 에 대해 참이다. 의 행렬 지수를 그 멱급수로 전개하면

e^{-\phi\mathbf{n}\cdot\mathbf{K}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(-\phi \mathbf{n}\cdot\mathbf{K})^n 

이제 생성자의 거듭제곱이 필요하다. 제곱은

(\mathbf{n}\cdot\mathbf{K})^2=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\
0 & n_x^2 & n_x n_y & n_x n_z\\
0 & n_y n_x & n_y^2 & n_y n_z\\
0 & n_z n_x & n_z n_y & n_z^2
\end{bmatrix}

그러나 세제곱 은 로 돌아가며, 항상 0제곱은 4×4 항등 행렬, 이다. 일반적으로 홀수 제곱 은

(\mathbf{n}\cdot\mathbf{K})^n = (\mathbf{n}\cdot\mathbf{K}) 

짝수 제곱 은

(\mathbf{n}\cdot\mathbf{K})^n = (\mathbf{n}\cdot\mathbf{K})^2 

따라서 부스트 행렬의 명시적 형태는 생성자와 그 제곱에만 의존한다. 멱급수를 홀수 멱급수와 짝수 멱급수로 나누고, 생성자의 홀수 및 짝수 제곱을 사용하며,  및 의  주변 테일러 급수를 사용하면 부스트 행렬의 더 간결하지만 상세한 형태를 얻는다.

\begin{align}
e^{-\phi\mathbf{n}\cdot\mathbf{K}}& = -\sum_{n=1,3,5\ldots}^{\infty}\frac{1}{n!}\phi^n(\mathbf{n}\cdot\mathbf{K})^n+\sum_{n=0,2,4\ldots}^{\infty} \frac{1}{n!}\phi^n(\mathbf{n}\cdot\mathbf{K})^n\\
& = - \left[\phi+\frac{\phi^3}{3!}+\frac{\phi^5}{5!} +\cdots \right] (\mathbf{n}\cdot\mathbf{K}) + I +\left[ -1 + 1 + \frac{1}{2!} \phi^2+\frac{1}{4!}\phi^4 +\frac{1}{6!}\phi^6 +\cdots\right](\mathbf{n}\cdot\mathbf{K})^2 \\
& = - \sinh\phi(\mathbf{n}\cdot\mathbf{K}) + I +(-1+\cosh\phi)(\mathbf{n}\cdot\mathbf{K})^2
\end{align} 

여기서 은 짝수 멱급수에 도입되어 의 테일러 급수를 완성한다. 부스트는 로드리게스 회전 공식과 유사하다.

B(\mathbf{n},\phi) = e^{-\phi\mathbf{n}\cdot\mathbf{K}} = I -\sinh\phi(\mathbf{n}\cdot\mathbf{K})+(\cosh\phi-1)(\mathbf{n}\cdot\mathbf{K})^2 \,. 

지수에서 신속도를 음수화하면 역변환 행렬을 얻는다.

B(\mathbf{n},-\phi) = e^{\phi\mathbf{n}\cdot\mathbf{K}} = I +\sinh\phi(\mathbf{n}\cdot\mathbf{K})+(\cosh\phi-1)(\mathbf{n}\cdot\mathbf{K})^2 \,. 

양자역학, 상대론적 양자역학 및 양자장론에서는 부스트 생성자에 대해 다른 규칙이 사용된다. 모든 부스트 생성자는 허수 단위  인자를 곱한다.

## 실험으로부터

하워드 퍼시 로버트슨 등은 로런츠 변환이 실험적으로도 유도될 수 있음을 보였다. 이를 위해서는 실험적으로 검증 가능한 매개변수를 포함하는 좌표 변환을 작성해야 한다. 예를 들어, 빛의 속력이 일정하고, 등방성이며, 광원의 속도와 무관한 단일 "특권적인" 관성 기준틀 X, Y, Z, T가 있다고 가정하자. 또한 아인슈타인 동기화와 느린 시계 운반에 의한 동기화가 이 기준틀에서 동등하다고 가정한다. 그런 다음 상대 운동 중인 다른 기준틀 x, y, z, t를 가정하자. 이 기준틀에서는 시계와 막대가 특권적인 기준틀과 동일한 내부 구성을 갖는다. 그러나 다음 관계는 정의되지 않은 상태로 둔다.

* a(v) 시간 측정의 차이,
* b(v) 측정된 종방향 길이의 차이,
* d(v) 측정된 횡방향 길이의 차이,
* \varepsilon(v) 움직이는 기준틀에서의 시계 동기화 절차에 의존함,

그러면 이 기준틀들 사이의 변환 공식(선형이라고 가정됨)은 다음과 같이 주어진다.

\begin{align}
t & =a(v)T+\varepsilon(v) x\\
x & =b(v)(X-vT)\\
y & =d(v)Y\\
z & =d(v)Z
\end{align}

\varepsilon (v)는 동기화 관습에 따라 달라지며 실험적으로 결정되지 않는다. 이는 두 기준틀에서 아인슈타인 동기화를 사용하여 -v/c^{2} 값을 얻는다. b(v)와 d(v) 사이의 비율은 마이컬슨-몰리 실험에 의해 결정되고, a(v)와 b(v) 사이의 비율은 케네디-쏜다이크 실험에 의해 결정되며, a(v) 단독은 아이브스-스틸웰 실험에 의해 결정된다. 이러한 방식으로, 이들은 1/a(v)=b(v)=\gamma와 d(v)=1로 매우 정밀하게 결정되었고, 이는 위 변환을 로런츠 변환으로 변환시킨다.

## 같이 보기

* 로런츠 군
* 뇌터 정리
* 푸앵카레 군
* 고유 시간
* 상대론적 계량
* 스피너

## 내용주

## 각주
* 
* 
* 

분류:일반 상대성이론
분류:특수 상대성이론