E8 격자

수학에서 **E 격자**는 \mathbb{R}^8의 유일한 양의 정부호 짝 유니모듈러 격자이다. 이름은 E 근계의 근 격자라는 사실에서 지어졌다.

E 격자의 노름은 8개의 변수에서 양의 정부호 짝 유니모듈러 이차 형식이며, 역으로 이러한 이차 형식은 계수 8의 양의 정부호 짝 유니모듈러 격자를 구성하는 데 사용할 수 있다. 이러한 이차 형식의 존재는 1867년에 헨리 존 스티븐 스미스에 의해 처음으로 제시되었으며, 이 이차 형식의 첫 번째 명시적 구성은 1873년에 과 에 의해 주어졌다. E 격자는 1900년경 격자 자체의 기하학을 최초로 연구한 의 이름을 따서 **고셋 격자**라고도 한다.

## 격자점
**E 격자**는 **<math>\mathbb{R}^8</math>**를 생성하는 이산 부분군이다. E8 격자는 다음과 같은 점 집합 Γ ⊂ **R**에 의해 명시적으로 구성될 수 있다.

* 모든 좌표가 정수이거나 모든 좌표가 반정수이다. 정수와 반정수의 혼합은 허용되지 않는다.
* 8개 좌표의 합은 짝수이다.

기호로 쓰면 다음과 같다.

: \Gamma_8 = \left\{(x_i) \in \mathbb Z^8 \cup (\mathbb Z + \tfrac{1}{2})^8 : {\textstyle\sum_i} x_i \equiv 0\;(\mbox{mod }2)\right\}.

E 격자의 다른 구성은 다음과 같은 점 집합 Γ&#x2032; ⊂ **R**에 의한 것이다.

* 모든 좌표가 정수이고 좌표의 합이 짝수이다.
* 또는, 모든 좌표가 반정수이고 좌표의 합은 홀수이다.

기호로 쓰면 다음과 같다.

: \Gamma_8' = \left\{(x_i) \in \mathbb Z^8 \cup (\mathbb Z + \tfrac{1}{2})^8 : {{\textstyle\sum_i} x_i} \equiv 2x_1 \equiv 2x_2 \equiv 2x_3 \equiv 2x_4 \equiv 2x_5 \equiv 2x_6 \equiv 2x_7 \equiv 2x_8\;(\mbox{mod }2)\right\}.\Gamma_8' = \left\{(x_i) \in \mathbb Z^8 : {{\textstyle\sum_i} x_i} \equiv 0(\mbox{mod }2)\right\}
\cup \left\{(x_i) \in (\mathbb Z + \tfrac{1}{2})^8 : {{\textstyle\sum_i} x_i} \equiv 1(\mbox{mod }2)\right\}.

격자 Γ 및 Γ&#x2032; 은 동형이며 홀수 개의 임의의 반정수 좌표의 부호를 바꾸어 하나에서 다른 것으로 사상할 수 있다. 격자 Γ 은 E에 대한 **짝 좌표계**라고 하고, 격자 Γ&#x2032;은 **홀 좌표계**라고 한다. 달리 지정하지 않는 한 짝 좌표계를 사용한다.

## 성질
E 격자 Γ 은 다음과 같은 성질을 가진 **<math>\mathbb{R}^8</math>**의 유일한 격자이다.

* 정수 격자이다. 즉, 모든 격자점 쌍의 스칼라 곱이 정수이다.
* 유니모듈러 격자이다. 즉, 행렬식 ±1인 8 &#xD7; 8 행렬의 열에 의해 생성될 수 있다. 동치 조건으로, Γ 은 *자기 쌍대적*이다. 즉, 쌍대 격자와 같다.
* 이는 짝 격자이다. 즉, 모든 격자점의 노름이 짝수임을 의미한다.

짝 유니모듈러 격자는 8로 나누어 떨어지는 차원에서만 발생할 수 있다. 16차원에는 Γ ⊕ Γ 과, Γ 과 유사한 방식으로 구성된 Γ의 두 가지 격자가 있다. 차원 24에는 Niemeier 격자라고 하는 격자가 24개 있다. 이들 중 가장 중요한 것은 리치 격자이다.

다음 (상삼각)행렬의 열은 Γ의 기저이다.

: \left[\begin{smallmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1/2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1/2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1/2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1/2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1/2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2
\end{smallmatrix}\right]

Γ 은 이러한 벡터의 정수 생성이다. 모든 가능한 기저는 이 행렬에 GL(8, **Z**) 원소의 오른쪽 곱셈을 하여 얻어진다.

Γ에서 0이 아닌 가장 짧은 벡터의 길이는 √2이다. 이러한 벡터는 240개 존재한다.

* 모두 반정수 (±1/2만 가능):
** 모두 양수 또는 모두 음수: 2가지
** 양수 4개, 음수 4개: (8*7*6*5)/(4*3*2*1)=70가지
** 양수 2개와 음수 6개, 또는 양수 6개와 음수 2개: 2*(8*7)/(2*1) = 56가지
* 모든 정수 (0, ±1만 가능):
** ±1 2개, 0 6개: 4*(8*7)/(2*1)=112가지

이들은 유형 E의 근계를 형성한다. 격자 Γ 은 E 근 격자와 동일하며, 이는 240개의 근의 정수 생성임을 의미한다. 8개의 단순근을 선택하면 Γ의 기저가 된다.

## 구 채우기 및 입맞춤 수
E 격자는 8차원 구 채우기 문제와 입맞춤 수 문제에 대한 최적해이다.

구 채우기 문제는 **<math>\mathbb{R}^n</math>**에서 같은 반지름을 가진, 속이 찬 *n*차원 구를 두 구가 겹치지 않도록 채우는 방법 중 가장 조밀한 것에 대한 문제이다. 격자 채우기(lattice packing)는 모든 구를 격자점의 중심에 배치하는 특수한 유형의 구 채우기이다. 반경이 1/인 구를 **E** 격자점에 배치하면 밀도 \frac{\pi^4}{2^4 4!} \cong 0.25367인 **<math>\mathbb{R}^8</math>**의 격자 채우기를 얻는다.

Hans Frederick Blichfeldt는 1935년 논문을 통해 이는 8차원의 격자 채우기에 의해 달성될 수 있는 최대 밀도임을 증명하였다. 또한 E 격자는 등각투영 및 스칼라배 변형을 고려하지 않는다면 이 밀도를 가진 유일한 격자이다. 마리나 뱌조우스카는 2016년에 이 밀도가 실제로 불규칙한 채우기 사이에서도 최적임을 증명하였다.

입맞춤 수 문제는 같은 반지름의 중심 구에 닿을 수 있는 고정된 반지름의 구의 최대 수를 묻는 문제이다. 위에서 언급한 E 격자 채우기에서 주어진 구는 이웃한 240개의 구와 접촉하는데, 0이 아닌 최소 노름인 2를 노름으로 갖는 격자점이 240개 있기 때문이다. 이는 1979년에 8차원에서 가능한 최대 수라는 것이 밝혀졌다.

구 채우기 문제와 입맞춤 수 문제는 매우 어렵고 최적해는 1, 2, 3, 8 및 24차원에서만 알려져 있다. (입맞춤 수 문제의 경우 4차원에서도 알려져 있다.) 8차원과 24차원에서 해가 알려져 있다는 사실은 부분적으로 E 격자와, 이와 유사한 24차원 격자인 리치 격자의 특수한 성질에서 비롯된다.

## 세타 함수
어떤 (양의 정부호) 격자 Λ를 다음과 같이 주어진 세타 함수와 연관시킬 수 있다.

: \Theta_\Lambda(\tau) = \sum_{x\in\Lambda}e^{i\pi\tau\|x\|^2}\qquad\mathrm{Im}\,\tau > 0.

격자의 세타 함수는 상반평면 위의 정칙 함수이다. 게다가, 계수 *n*의 짝 유니모듈러 격자의 세타 함수는 실제로 가중치 *n*/2의 모듈러 형식이다. 정수 격자의 세타 함수는 종종 q = e^{i\pi\tau}에 대한 멱급수로 작성되고, 이때 *q*의 계수는 노름 *n*인 격자점의 개수이다.

정규화해서 같은 형식을 같다고 간주하면 가중치 4와 레벨 1을 갖는 모듈러 형식은 아이젠슈타인 급수 *G*(τ)가 유일하다. E 격자에 대한 세타 함수는 *G*(τ)에 비례해야 한다. 정규화는 노름 0인 벡터가 유일하다는 점을 사용하여 수정할 수 있고, 이를 통해

: \Theta_{\Gamma_8}(\tau) = 1 + 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{2n}

를 얻는다. 여기서 σ(*n*)은 약수 함수이다. 따라서 노름 2*n*의 E 격자 벡터의 수는 *n*의 약수의 세제곱의 합의 240배이다. 이 급수의 처음 몇 가지 항은 이다.

: \Theta_{\Gamma_8}(\tau) = 1 + 240\,q^2 + 2160\,q^4 + 6720\,q^6 + 17520\,q^8 + 30240\, q^{10} + 60480\,q^{12} + O(q^{14}).

E 세타 함수는 다음과 같이 야코비 세타 함수로 작성할 수 있다.

: \Theta_{\Gamma_8}(\tau) = \frac{1}{2}\left(\theta_2(q)^8 + \theta_3(q)^8 + \theta_4(q)^8\right)

: 
\theta_2(q) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{(n+\frac{1}{2})^2}\qquad
\theta_3(q) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2}\qquad
\theta_4(q) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n q^{n^2}.


## 응용
1982년 마이클 프리드먼은 교차 형식이 E8 격자로 주어지는 E 다양체라고 하는 4차원 다양체를 구성하였다. 이는 매끄러움 구조와 삼각화가 존재하지 않는 다양체의 예이다.

끈 이론에서 잡종 끈은 26차원 보손 끈과 10차원 초끈의 독특한 하이브리드이다. 이론이 올바르게 작동하려면 16개의 일치하지 않는 차원이 순위 16의 짝 유니모듈러 격자에서 압축되어야 한다. 이러한 격자는 Γ⊕Γ 와 Γ 두 가지가 있다. 이는 E&#xD7;E 잡종 끈과 SO(32) 잡종 끈으로 알려진 두 가지 버전의 잡종 끈으로 이어진다.

## 같이 보기
* 리치 격자
* E (수학)
* 반정규 E-폴리토프

## 각주

* 
*  Chapter 9 contains a discussion of the integral octonions and the E lattice.

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