콤 필터

섬네일|right|400px|피드포워드 콤 필터 구조

신호 처리에서 **콤 필터**(comb filter)는 신호의 지연된 버전을 자신에게 추가하여 상쇄 간섭 및 보강 간섭을 일으키는 필터이다. 콤 필터의 주파수 응답은 주기적으로 간격을 둔 피크(때로는 이빨이라고도 함) 사이에 주기적으로 간격을 둔 노치(notch)의 시리즈로 구성되어 빗 모양을 띤다.

콤 필터는 피드포워드와 피드백의 두 가지 형태로 존재하며, 이는 신호가 입력에 추가되기 전에 지연되는 방향을 나타낸다.

콤 필터는 이산 시간 또는 연속 시간 형태로 구현될 수 있으며 이들은 매우 유사하다.

## 응용
섬네일|고급 PAL 콤 필터-II (APCF-II, 모토로라 MC141627FT)
콤 필터는 다양한 신호 처리 응용 분야에 사용되며 다음을 포함한다:

* 계단식 적분기-빗 (CIC) 필터는 이산 시간 시스템의 샘플 레이트를 변경하는 보간법 및 데시메이션 작업 중 위신호 제거에 일반적으로 사용된다.
* PAL 및 NTSC 아날로그 텔레비전 디코더의 하드웨어(및 가끔 소프트웨어)로 구현된 2D 및 3D 콤 필터는 점 기어감과 같은 아티팩트를 줄인다.
* 오디오 신호 처리에는 지연, 플랜징, 물리 모델링 합성 및 디지털 도파관 합성이 포함된다. 지연이 몇 밀리초로 설정되면 콤 필터는 원통형 공동 또는 카플러스-스트롱 현 합성에서 음향 정상파의 효과를 모델링할 수 있다.
* 천문학에서 아스트로-빗은 기존 분광기의 정밀도를 거의 백 배 증가시킬 것을 약속한다.

음향학에서 콤 필터링은 원치 않는 인공물로 발생할 수 있다. 예를 들어, 청취자로부터 다른 거리에 있는 두 스피커가 동일한 신호를 재생하면 오디오에 콤 필터링 효과가 생긴다. 모든 밀폐된 공간에서 청취자는 직접음과 반사음의 혼합을 듣는다. 반사음은 직접음에 비해 더 길고 지연된 경로를 취하며, 두 음이 청취자에게서 섞이는 곳에서 콤 필터가 생성된다. 마찬가지로, 콤 필터링은 여러 마이크의 모노 믹싱으로 인해 발생할 수 있으며, 이 때문에 인접한 마이크는 소스에서 마이크까지의 거리의 최소 세 배만큼 떨어져 있어야 한다는 3:1 경험칙이 있다.

## 이산 시간 구현
### 피드포워드 형태
섬네일|right|400px|이산 시간에서의 피드포워드 콤 필터 구조

피드포워드 콤 필터의 일반적인 구조는 다음 차분 방정식으로 설명된다.
:y[n] = x[n] + \alpha x[n-K] 

여기서 K는 지연 길이(샘플 단위)이고, 는 지연된 신호에 적용되는 스케일링 계수이다. 방정식 양변의 Z 변환을 취하면 다음과 같다:
:Y(z) = \left(1 + \alpha z^{-K}\right) X(z) 

전달 함수는 다음과 같이 정의된다:
:H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = 1 + \alpha z^{-K} = \frac{z^K + \alpha}{z^K} 

#### 주파수 응답
섬네일|이산 시간에서 의 다양한 양수 값과 에 대한 피드포워드 크기 응답
섬네일|이산 시간에서 의 다양한 음수 값과 에 대한 피드포워드 크기 응답

-영역으로 표현된 이산 시간 시스템의 주파수 응답은 z = e^{j\omega},로 치환하여 얻어진다. 여기서 j 는 허수 단위이고 \omega 는 각진동수이다. 따라서 피드포워드 콤 필터의 경우:
:H\left(e^{j \omega}\right) = 1 + \alpha e^{-j \omega K} 

오일러 공식을 사용하면 주파수 응답은 다음과 같이 주어진다.
:H\left(e^{j \omega}\right) = \bigl[1 + \alpha \cos(\omega K)\bigr] - j \alpha \sin(\omega K) 

종종 위상을 무시하는 크기 응답에 관심이 있다. 이것은 다음과 같이 정의된다:
:\left| H\left(e^{j \omega}\right) \right| = \sqrt{\text{Re}\left\{H\left(e^{j \omega}\right)\right\}^2 + \text{Im}\left\{H\left(e^{j \omega}\right)\right\}^2}


피드포워드 콤 필터의 경우 다음과 같다:
:\begin{align}
\left| H(e^{j \omega}) \right| &= \sqrt{(1 + \alpha \cos(\omega K) )^2 + (\alpha \sin(\omega K))^2} \\
&= \sqrt{(1 + \alpha^2) + 2 \alpha \cos(\omega K)}
\end{align} 

(1 + \alpha^2)  항은 상수인 반면, 2 \alpha \cos( \omega K)  항은 주기적으로 변한다. 따라서 콤 필터의 크기 응답은 주기적이다.

그래프는 \alpha .의 다양한 값에 대한 주기적 크기 응답을 보여준다. 몇 가지 중요한 속성은 다음과 같다.
* 응답은 주기적으로 극소점으로 떨어지고(때로는 노치라고도 함), 주기적으로 극대점으로 상승한다(때로는 피크 또는 이빨이라고도 함).
* \alpha,의 양수 값에 대해 첫 번째 최소값은 지연 주기의 절반에서 발생하며 그 이후에는 지연 주파수의 짝수 배수에서 반복된다:
::\begin{align}
f &= \frac{1}{2 K}, \frac{3}{2 K}, \frac{5}{2 K} \cdots \\
\omega &= \frac{\pi}{K}, \frac{3\pi}{K}, \frac{5\pi}{K} \cdots \,

\end{align}
* 최대값과 최소값의 수준은 항상 1로부터 등거리에 있다.
* \alpha = \pm 1 , 일 때 최소값은 진폭이 0이다. 이 경우 최소값은 때때로 null이라고도 한다.
* \alpha 의 양수 값에 대한 최대값은 \alpha의 음수 값에 대한 최소값과 일치하며 그 반대도 마찬가지이다.

#### 임펄스 응답
피드포워드 콤 필터는 가장 간단한 유한 임펄스 응답 필터 중 하나이다. 그 응답은 단순히 초기 임펄스가 지연된 후 두 번째 임펄스와 함께 나타난다.

#### 극점-영점 해석
피드포워드 콤 필터의 -영역 전달 함수를 다시 살펴보면 다음과 같다:
:H(z) = \frac{z^K + \alpha}{z^K} 

일 때마다 분모는 0과 같다. 이는 복소평면에서 원 주위에 등간격으로 배치된 개의 해를 가지며, 이들이 전달 함수의 영점이다. 분모는 일 때 0이 되며, 에 개의 극점을 준다. 이는 그림과 같은 극점-영점 플롯으로 이어진다.

### 피드백 형태
섬네일|right|400px|이산 시간에서의 피드백 콤 필터 구조

마찬가지로, 피드백 콤 필터의 일반적인 구조는 다음 차분 방정식으로 설명된다:
:y[n] = x[n] + \alpha y[n-K] 

이 방정식은 y의 모든 항이 좌변에 오도록 재배열할 수 있으며, 그 다음  변환을 취한다:
:\left(1 - \alpha z^{-K}\right) Y(z) = X(z) 

따라서 전달 함수는 다음과 같다:
:H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1}{1 - \alpha z^{-K}} = \frac{z^K}{z^K - \alpha} 

#### 주파수 응답
섬네일|right|400px|이산 시간에서 의 다양한 양수 값과 에 대한 피드백 크기 응답
섬네일|right|400px|이산 시간에서 의 다양한 음수 값과 에 대한 피드백 크기 응답

피드백 콤 필터의 -영역 표현식에 z = e^{j\omega}를 대입하면:
:H\left(e^{j \omega}\right) = \frac{1}{1 - \alpha e^{-j \omega K}} \, , 

크기 응답은 다음과 같다:
:\left| H\left(e^{j \omega}\right) \right| = \frac{1}{\sqrt{\left(1 + \alpha^2\right) - 2 \alpha \cos(\omega K)}} \, . 

다시 말하지만, 그래프가 보여주듯이 응답은 주기적이다. 피드백 콤 필터는 피드포워드 형태와 몇 가지 공통 속성을 가진다:
* 응답은 주기적으로 국부 최소값으로 떨어지고 국부 최대값으로 상승한다.
* \alpha의 양수 값에 대한 최대값은 \alpha,의 음수 값에 대한 최소값과 일치하며 그 반대도 마찬가지이다.
* \alpha,의 양수 값에 대해 첫 번째 최대값은 0에서 발생하며 그 이후에는 지연 주파수의 짝수 배수에서 반복된다:
::\begin{align}
f &= 0, \frac{1}{K}, \frac{2}{K}, \frac{3}{K} \cdots \\
\omega &= 0, \frac{2\pi}{K}, \frac{4\pi}{K}, \frac{6\pi}{K} \cdots
\end{align}

그러나 크기 응답에 분모에 항이 있기 때문에 몇 가지 중요한 차이점도 있다:
* 최대값과 최소값의 수준은 더 이상 1에서 등거리에 있지 않다. 최대값은 의 진폭을 가진다.
* 필터는 가 1보다 엄격히 작을 때만 안정하다. 그래프에서 볼 수 있듯이, 가 증가함에 따라 최대값의 진폭이 점점 더 빠르게 상승한다.

#### 임펄스 응답
피드백 콤 필터는 무한 임펄스 응답 필터의 간단한 유형이다. 안정하면 응답은 시간이 지남에 따라 진폭이 감소하는 반복적인 일련의 임펄스로 구성된다.

#### 극점-영점 해석
피드백 콤 필터의 -영역 전달 함수를 다시 살펴보면 다음과 같다:
:H(z) = \frac{z^K}{z^K - \alpha} 

이번에는 일 때 분자가 0이 되며, 에 개의 영점을 준다. 분모는 일 때마다 0과 같다. 이는 복소평면에서 원 주위에 등간격으로 배치된 개의 해를 가지며, 이들이 전달 함수의 극점이다. 이는 아래 그림과 같은 극점-영점 플롯으로 이어진다.

## 연속 시간 구현
콤 필터는 라플라스 영역에서 복소수 주파수 영역 매개변수 s = \sigma + j \omega의 함수로 표현될 수 있는 연속 시간으로도 구현될 수 있으며, 이는 z 영역과 유사하다. 아날로그 회로는 지연 요소에 대해 특정 형태의 아날로그 지연선을 사용한다. 연속 시간 구현은 각 이산 시간 구현의 모든 속성을 공유한다.

### 피드포워드 형태
피드포워드 형태는 다음 방정식으로 설명될 수 있다:

:y(t) = x(t) + \alpha x(t - \tau) 

여기서 는 지연 시간(초 단위)이다. 이는 다음 전달 함수를 가진다:

:H(s) = 1 + \alpha e^{-s \tau} 

피드포워드 형태는 jω 축(푸리에 영역에 해당)을 따라 등간격으로 배치된 무한한 수의 영점으로 구성된다.

### 피드백 형태
피드백 형태는 다음 방정식을 가진다:

:y(t) = x(t) + \alpha y(t - \tau) 

그리고 다음 전달 함수를 가진다:

:H(s) = \frac{1}{1 - \alpha e^{-s \tau}} 

피드백 형태는 jω 축을 따라 등간격으로 배치된 무한한 수의 극점으로 구성된다.

## 같이 보기
* 디랙 콤
* 파브리-페로 간섭계

## 각주

## 외부 링크
*

분류:신호 처리
분류:필터 이론