직교 다항식

수학에서, **직교 다항식열**(orthogonal polynomial sequence)은 수열 내의 임의의 서로 다른 두 다항식이 어떤 내적에 대해 서로 직교하는 다항식들의 다항식족이다.

가장 널리 사용되는 직교 다항식은 에르미트 다항식, 라게르 다항식, 야코비 다항식으로 구성된 고전 직교 다항식이다. 게겐바우어 다항식은 야코비 다항식의 가장 중요한 부류를 형성하며, 체비쇼프 다항식과 르장드르 다항식을 특수한 경우로 포함한다. 이들은 종종 로드리게스 공식으로 주어진다.

직교 다항식 분야는 19세기 후반 파프누티 체비쇼프의 연분수 연구에서 발전하여 안드레이 마르코프와 토마스 요아너스 스틸티어스에 의해 추구되었다. 이들은 수치해석학 (구적법칙), 확률론, 표현론 (수학) (리 군, 양자군 및 관련 대상), 조합론, 대수적 조합론, 수리물리학 (무작위 행렬 이론, 적분가능계 등), 수론과 같은 다양한 분야에서 나타난다. 직교 다항식에 대해 연구한 수학자로는 가보르 세괴, 세르게이 나타노비치 베른슈타인, 나움 아키에제르, 아서 에르델리, 야코프 게로니무스, 볼프강 한, 시오도어 세이오 치하라, 무라드 이스마일, 왈리드 알-살람, 리처드 애스키, 레후엘 로바토 등이 있다.

## 실수 측도에 대한 1변수 경우의 정의

실수 상에서 임의의 비감소 함수 가 주어지면, 함수 f에 대한 르베그-스틸티어스 적분
\int f(x) \, d\alpha(x)
를 정의할 수 있다. 이 적분이 모든 다항식 f에 대해 유한하면, 다항식 f와 g의 쌍에 대한 내적을 다음과 같이 정의할 수 있다.
\langle f, g \rangle = \int f(x) g(x) \, d\alpha(x).

이 연산은 모든 다항식의 벡터 공간에서 양의 준정부호 내적이며, 함수 α가 무한히 많은 성장점을 가지면 양의 정부호 내적이다. 이것은 일반적인 방식으로 직교의 개념을 유도하며, 즉 두 다항식의 내적이 0이면 직교한다.

그러면 직교 다항식열 은 다음 관계에 의해 정의된다.
 \deg P_n = n~, \quad \langle P_m, \, P_n \rangle = 0 \quad \text{for} \quad m \neq n~.

다시 말해, 이 수열은 단항식 1, x, x2, …로 이루어진 수열로부터 이 내적에 대한 그람-슈미트 과정을 통해 얻어진다.

일반적으로 이 수열은 정규직교이어야 하며, 즉
 \langle P_n, P_n \rangle = 1 , 
이지만, 때때로 다른 정규화가 사용되기도 한다.

### 절대 연속 경우

때때로 다음과 같은 경우가 있다.
 d\alpha(x) = W(x) \, dx
여기서
W : [x_1, x_2] \to \R
는 실수선 위의 어떤 구간 에서 지지(support)를 가지는 음이 아닌 함수이다(여기서  및 가 허용된다). 이러한 를 **가중 함수**라고 한다. 그러면 내적은 다음으로 주어진다.
\langle f, g \rangle = \int_{x_1}^{x_2} f(x) g(x) W(x) \, dx.
그러나 측도 가 함수 가 불연속인 0이 아닌 측도를 가진 점을 갖는 직교 다항식의 많은 예가 있으므로, 위에서 설명한 가중 함수 로는 주어질 수 없다.

## 직교 다항식의 예시

가장 일반적으로 사용되는 직교 다항식은 실수 구간에서 지지되는 측도에 대해 직교한다. 여기에는 다음이 포함된다.
* 고전 직교 다항식 (야코비 다항식, 라게르 다항식, 에르미트 다항식, 그리고 그 특수한 경우인 게겐바우어 다항식, 체비쇼프 다항식, 르장드르 다항식).
* 야코비 다항식을 일반화하는 윌슨 다항식. 이들은 마이스너-폴라첵 다항식, 연속 한 다항식, 연속 이중 한 다항식 및 애스키 스킴으로 설명되는 고전 다항식과 같은 많은 직교 다항식을 특수한 경우로 포함한다.
* 애스키-윌슨 다항식은 윌슨 다항식에 추가 매개변수 q를 도입한다.

이산 직교 다항식은 일부 이산 측도에 대해 직교한다. 때때로 측도가 유한 지지(finite support)를 가지는 경우, 직교 다항식족은 무한 수열이 아니라 유한하다. 라카 다항식은 이산 직교 다항식의 예이며, 그 특수한 경우로 한 다항식과 이중 한 다항식을 포함하며, 이들은 다시 마이스너 다항식, 크라프추크 다항식, 샤를리에 다항식을 특수한 경우로 포함한다.

마이스너는 모든 직교 셰퍼 수열을 분류했다. 에르미트, 라게르, 샤를리에, 마이스너, 마이스너-폴라첵만이 존재한다. 어떤 의미에서 크라프추크도 이 목록에 있어야 하지만, 이들은 유한 수열이다. 이 여섯 가지 계열은 NEF-QVF에 해당하며 특정 레비 과정에 대한 마팅게일 다항식이다.

체로 걸러진 직교 다항식 (sieved orthogonal polynomials), 예를 들어 체로 걸러진 초구형 다항식, 체로 걸러진 야코비 다항식, 체로 걸러진 폴라첵 다항식은 수정된 점화식을 갖는다.

또한 복소평면의 어떤 곡선에 대한 직교 다항식을 고려할 수도 있다. (실수 구간 외에) 가장 중요한 경우는 곡선이 단위 원일 때로, 단위 원상의 직교 다항식을 제공하며, 예를 들어 로저스-세괴 다항식 등이 있다.

삼각형이나 원판과 같은 평면 영역에서 직교하는 몇몇 직교 다항식 계열이 있다. 이들은 때때로 야코비 다항식으로 표현될 수 있다. 예를 들어, 제르니케 다항식은 단위 원판에서 직교한다.

다양한 차수의 에르미트 다항식 간의 직교성은 일반화 주파수 분할 다중화(GFDM) 구조에 적용된다. 시간-주파수 격자의 각 그리드에 하나 이상의 심볼을 실을 수 있다.

## 속성

실수선 상의 음이 아닌 측도로 정의된 1변수 직교 다항식은 다음과 같은 속성을 갖는다.

### 모멘트와의 관계

직교 다항식 Pn은 모멘트 (수학)
: m_n = \int x^n \, d\alpha(x) 
로 다음과 같이 표현될 수 있다.

: P_n(x) = c_n \, \det \begin{bmatrix}
m_0 & m_1 &  m_2 &\cdots & m_n \\
m_1 & m_2 &  m_3 &\cdots & m_{n+1} \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots& \vdots \\
m_{n-1} &m_n& m_{n+1} &\cdots &m_{2n-1}\\
1 & x & x^2 & \cdots & x^n
\end{bmatrix}~,

여기서 상수 cn은 임의적이다 (Pn의 정규화에 따라 달라진다).

이것은 단항식에 그람-슈미트 과정을 직접 적용하고, 각 다항식이 이전 다항식에 대해 직교하도록 강제함으로써 얻어진다. 예를 들어, P_0에 대한 직교성은 P_1이 다음 형태를 가져야 함을 규정한다.
P_1(x) = c_1 \left(x- \frac{\langle P_0, x\rangle P_0}{\langle P_0,P_0\rangle} \right)
= c_1 ( x - m_1),
이는 이전에 주어진 행렬식 표현과 일치함을 알 수 있다.

### 점화식

다항식 Pn은 다음과 같은 점화식을 만족한다.
: P_n(x) = (A_n x + B_n) P_{n-1}(x) + C_n P_{n-2}(x)
여기서 An은 0이 아니다. 역도 참이다. 파바르의 정리를 참조하라.

### 크리스토펠-다르부 공식

### 영점

측도 d&alpha;가 구간 [a,&nbsp;b]에서 지지되면, Pn의 모든 영점은 [a,&nbsp;b]에 있다. 더욱이, 영점들은 다음과 같은 교차 속성을 갖는다. m&nbsp;&lt;&nbsp;n이면, Pm의 임의의 두 영점 사이에 Pn의 영점이 하나 존재한다. 영점에 대한 정전기적 해석도 가능하다.

### 조합론적 해석

1980년대부터 X. G. Viennot, J. Labelle, Y.-N. Yeh, D. Foata 등의 연구를 통해 모든 고전 직교 다항식에 대한 조합론적 해석이 발견되었다.

## 다른 유형의 직교 다항식
### 다변수 직교 다항식
맥도널드 다항식은 아핀 루트 시스템의 선택에 따라 달라지는 여러 변수의 직교 다항식이다. 이들은 잭 다항식, 홀-리틀우드 다항식, 헤크만-옵담 다항식, 콘빈더 다항식을 포함한 다른 많은 다변수 직교 다항식 계열을 특수한 경우로 포함한다. 애스키-윌슨 다항식은 랭크 1의 특정 비축약 루트 시스템에 대한 맥도널드 다항식의 특수한 경우이다.
### 다중 직교 다항식

다중 직교 다항식은 유한 측도족에 대해 직교하는 일변수 다항식이다.
### 소볼레프 직교 다항식

이들은 소볼레프 공간 내적, 즉 미분을 포함하는 내적에 대한 직교 다항식이다. 미분을 포함하는 것은 다항식에 큰 영향을 미치며, 일반적으로 고전 직교 다항식의 일부 좋은 특성을 더 이상 공유하지 않는다.
### 행렬을 포함하는 직교 다항식
행렬을 포함하는 직교 다항식은 계수가 행렬이거나 부정확한 값이 행렬이다.

두 가지 일반적인 예가 있다. 계수 \{a_i\}가 행렬이거나 x가 행렬인 경우이다.
* 변형 1: P(x)=A_nx^n+A_{n-1}x^{n-1}+\cdots + A_1x +A_0, 여기서 \{A_{i}\}는 p\times p 행렬이다.
* 변형 2: P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots + a_1X +a_0I_p 여기서 X는 p\times p-행렬이고 I_p는 단위 행렬이다.

### 양자 다항식
양자 다항식 또는 q-다항식은 직교 다항식의 큐-아날로그이다.

### 비대칭 직교 다항식

직교 다항식은 다항식에 대한 대칭 쌍선형 형식 B의 벡터 기저 집합 P_0, P_1, P_2, \dots으로 정의될 수 있다. 직교 다항식의 기저에서, 쌍선형 형식은 B(P_i, P_j) = B(P_i, P_i) \delta_{ij}로 대각화된다. 마찬가지로, 다항식에 대한 비퇴화 교대 쌍선형 형식이 주어지면, 쌍선형 형식이 B(P_i, Q_j) = B(P_i, Q_i) \delta_{ij}로 비대칭 대각화되도록 하는 벡터 기저 집합 쌍 P_0, P_1, P_2, \dots와 Q_0, Q_1, Q_2, \dots를 찾을 수 있다.

## 같이 보기

* 아펠 수열
* 초기하 직교 다항식의 애스키 스킴
* 파바르의 정리
* 이항형의 다항식열
* 쌍직교 다항식
* 일반화 푸리에 급수
* 의사 야코비 다항식
** 로마노프스키 다항식
* 2차 측도
* 셰퍼 수열
* 스튀름-리우빌 이론
* 음계산법
* 플랑슈렐-로타흐 점근법

## 각주

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* C. Chan, A. Mironov, A. Morozov, A. Sleptsov, .
* Herbert Stahl and Vilmos Totik: General Orthogonal Polynomials, Cambridge Univ. Press, ISBN 978-0-521-41534-7 (1992).
* G. Sansone: Orthogonal Functions, (Revised English Edition), Dover, ISBN 978-0-486-77730-0 (1991).