디지털 제어

**디지털 제어** 또는 **디지털 컨트롤**(digital control)은 제어이론의 한 분야로, 컴퓨터를 디지털 시스템 컨트롤러로 사용하는 것이다.
요구 사항에 따라 디지털 제어 시스템은 마이크로컨트롤러, ASIC, 표준 데스크톱 컴퓨터의 형태를 취할 수 있다.
디지털 컴퓨터는 이산 시스템이므로 라플라스 변환은 Z변환으로 대체된다. 디지털 컴퓨터는 유한한 정밀도를 가지므로(양자화 참조), 계수, 아날로그-디지털 변환, 디지털-아날로그 변환 등의 오류가 원치 않거나 계획되지 않은 효과를 생성하지 않도록 특별한 주의가 필요하다.

1940년대 초 최초의 디지털 컴퓨터가 만들어진 이후 디지털 컴퓨터의 가격은 상당히 하락하여 제어 시스템의 핵심 요소가 되었다. 이는 소프트웨어를 통해 쉽게 구성하고 재구성할 수 있고, 추가 비용 없이 메모리 또는 저장 공간의 한계까지 확장할 수 있으며, 프로그램 매개변수가 시간에 따라 변경될 수 있고(적응 제어 참조), 디지털 컴퓨터는 축전기, 유도자 등보다 환경 조건에 훨씬 덜 영향을 받기 때문이다.

## 디지털 컨트롤러 구현
디지털 컨트롤러는 일반적으로 피드백 시스템에서 플랜트와 종속적으로 연결된다. 나머지 시스템은 디지털이거나 아날로그일 수 있다.

일반적으로 디지털 컨트롤러는 다음을 요구한다.
*아날로그 입력을 기계가 읽을 수 있는(디지털) 형식으로 변환하기 위한 아날로그-디지털 변환
*디지털 출력을 플랜트에 입력할 수 있는(아날로그) 형식으로 변환하기 위한 디지털-아날로그 변환
*출력을 입력과 연결하는 프로그램

### 출력 프로그램
*디지털 컨트롤러의 출력은 현재 및 과거 입력 샘플, 그리고 과거 출력 샘플의 함수이다. 이는 레지스터에 관련 입력 및 출력 값을 저장함으로써 구현될 수 있다. 그런 다음 이러한 저장된 값의 가중 합으로 출력을 형성할 수 있다.

프로그램은 다양한 형태를 취하고 많은 기능을 수행할 수 있다.
* 로우패스 필터링을 위한 디지털 필터
* 상태 관측기 역할을 하는 시스템의 상태 공간 모델
* 원격 측정법 시스템

### 안정성
컨트롤러가 아날로그 컨트롤러로 구현될 때는 안정할 수 있지만, 큰 샘플링 간격으로 인해 디지털 컨트롤러로 구현될 때는 불안정할 수 있다. 샘플링 중에 앨리어싱은 차단 매개변수를 수정한다. 따라서 샘플 속도는 보상된 시스템의 과도 응답 및 안정성을 특성화하며, 불안정성을 유발하지 않도록 컨트롤러 입력의 값을 충분히 자주 업데이트해야 한다.

주파수를 z 연산자에 대입할 때, 일반적인 안정성 기준은 이산 제어 시스템에도 여전히 적용된다. 나이퀴스트 기준은 z-도메인 전달 함수뿐만 아니라 복소 값 함수에도 일반적으로 적용된다. 보드 안정성 기준도 유사하게 적용된다.
유리 기준은 특성 다항식에 대한 이산 시스템의 안정성을 결정한다.

### s-영역에서의 디지털 컨트롤러 설계
디지털 컨트롤러는 s-영역(연속)에서도 설계될 수 있다. 터스틴 변환은 연속 보상기를 해당 디지털 보상기로 변환할 수 있다. 샘플링 간격이 감소함에 따라 디지털 보상기는 해당 아날로그 컨트롤러의 출력에 접근하는 출력을 달성할 것이다.

 s = \frac{2(z-1)}{T(z+1)} 

#### 터스틴 변환 추론
터스틴은 지수 함수  \begin{align} z &= e^{sT} \end{align} 의 파데<sub>(1,1)</sub> 근사이다.

: 
\begin{align}
z &= e^{sT}   \\
  &= \frac{e^{sT/2}}{e^{-sT/2}} \\
  &\approx \frac{1 + s T / 2}{1 - s T / 2}
\end{align}


그리고 그 역은

: 
\begin{align}
s &= \frac{1}{T} \ln(z)  \\
  &= \frac{2}{T} \left[\frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^3  + \frac{1}{5} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^5  + \frac{1}{7} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^7 + \cdots \right] \\
  &\approx  \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} \\
  &=  \frac{2}{T} \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}
\end{align}


디지털 제어 이론은 아날로그 시스템의 아날로그(시간 및 진폭에서 연속) 역학을 제어할 컴퓨터 시스템(마이크로컨트롤러, 마이크로프로세서)에 구현될 이산 시간, (또는) 양자화된 진폭 (또는) (이진) 코딩된 형태의 전략을 설계하는 기술이다. 이러한 고려 사항에서 고전적인 디지털 제어의 많은 오류가 식별되고 해결되었으며 새로운 방법이 제안되었다.

*마르셀로 트레디닉과 마르셀로 소우자 및 그들의 새로운 유형의 아날로그-디지털 매핑
*야마모토 유타카와 그의 "리프팅 함수 공간 모델"
*알렉산더 세세킨과 그의 충격 시스템에 대한 연구
*M.U. 아흐메토프와 그의 충격 및 펄스 제어에 대한 연구

### z-영역에서의 디지털 컨트롤러 설계
디지털 컨트롤러는 z-영역(이산)에서도 설계될 수 있다. 펄스 전달 함수 (PTF)  G(z) 는 적절한 ADC 및 DAC와 인터페이스될 때, 그리고 지정된 샘플 시간  T 에 대해 연속 공정  G(s) 의 디지털 관점을 나타내며 다음과 같이 얻어진다.

 G(z) =\frac{B(z)}{A(z)} = \frac{(z-1)}{z}Z\biggl(\frac{G(s)}{s}\Biggr) 

여기서  Z() 는 선택된 샘플 시간  T 에 대한 z-변환을 나타낸다. 주어진 사양을 달성하기 위해 디지털 컨트롤러  D(z) 를 직접 설계하는 여러 가지 방법이 있다. 단위 음성 피드백 제어하의 0형 시스템의 경우, 마이클 쇼트와 동료들은 주어진 (일계수) 폐루프 분모 다항식  P(z) 에 대한 컨트롤러를 합성하고 PTF 분자  B(z) 의 (스케일링된) 영점을 보존하는 비교적 간단하지만 효과적인 방법으로 다음 설계 방정식을 사용하는 것을 보여주었다.

 D(z) =\frac{k_p A(z)}{P(z) - k_p B(z)} 

여기서 스칼라 항  k_p = P(1)/B(1) 는 컨트롤러  D(z) 가 적분 동작을 나타내고 폐루프에서 단위 정상 상태 이득이 달성되도록 보장한다. 기준 입력  R(z) 의 z-변환에서 공정 출력  Y(z) 의 z-변환으로의 결과 폐루프 이산 전달 함수는 다음과 같이 주어진다.

 \frac{Y(z)}{R(z)} =\frac{k_p B(z)}{P(z)} 

공정 시간 지연은 공정 PTF 분자  B(z) 에서 선행 계수가 0으로 나타나기 때문에, 위의 합성 방법은 연속 플랜트에 그러한 지연이 존재하는 경우 본질적으로 예측 컨트롤러를 생성한다.

## 같이 보기
* 샘플링된 데이터 시스템
* 적응 제어
* 아날로그 제어
* 제어이론
* 디지털
* 피드백, 음성 되먹임, 양성 되먹임
* 라플라스 변환
* 실시간 제어
* Z변환

## 각주

*FRANKLIN, G.F.; POWELL, J.D., Emami-Naeini, A., Digital Control of Dynamical Systems, 3rd Ed (1998). Ellis-Kagle Press, Half Moon Bay, CA 
*KATZ, P. Digital control using microprocessors. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 293p. 1981.
*OGATA, K. Discrete-time control systems. Englewood Cliffs: Prentice-Hall,984p. 1987.
*PHILLIPS, C.L.; NAGLE, H. T. Digital control system analysis and design. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall International. 1995.
*M. Sami Fadali, Antonio Visioli, (2009) "Digital Control Engineering", Academic Press, .
*JURY, E.I. Sampled-data control systems. New-York: John Wiley. 1958.

분류:제어이론