집합족적 정규 공간

일반위상수학에서 **집합족적 정규 공간**()은 정규 공간보다 강한 분리공리를 만족시키는 위상 공간이다. 집합족적 정규 하우스도르프 공간은 파라콤팩트 하우스도르프 공간과 정규 하우스도르프 공간 사이에 있다.

## 정의
위상 공간 X의 부분 집합들의 집합족 \{S_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 **이산 집합족**()이라고 한다.
* 임의의 x\in X에 대하여, \{i\in I\colon N\cap S_i\ne\varnothing\}이 공집합이거나 한원소 집합인 근방 N\ni x이 존재한다.
* \{\operatorname{cl}S_i\}_{i\in I}는 서로소 집합족이며, 임의의 J\subseteq I에 대하여 \textstyle\bigcup_{j\in J}\operatorname{cl}S_j는 닫힌집합이다.

위상 공간 X의 부분 집합들의 집합족 \{S_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 **분리 집합족**() 또는 **거의 이산 집합족**()이라고 한다.
* 임의의 i\in I에 대하여, \textstyle S_i\cap\operatorname{cl}\bigcup_{j\in I\setminus\{i\}}S_j=\varnothing이다.
* \{S_i\}_{i\in I}는 \textstyle\bigcup_{i\in I}S_i의 이산 집합족이다.

모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이자 분리 집합족이다. 모든 분리 집합족은 (자명하게) 서로소 집합족이다.

위상 공간 X에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 X를 **집합족적 정규 공간**이라고 한다.
* 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 \{F_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)에 대하여, \forall i\in I\colon F_i\subseteq U_i인 열린집합들의 서로소 집합족 \{U_i\}_{i\in I}이 존재한다.
* 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 \{F_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)에 대하여, \forall i\in I\colon F_i\subseteq U_i인 열린집합들의 이산 집합족 \{U_i\}_{i\in I}이 존재한다.
* 임의의 이산 집합족 \{F_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)에 대하여, \forall i\in I\colon F_i\subseteq U_i인 열린집합들의 서로소 집합족 \{U_i\}_{i\in I}이 존재한다.
* 임의의 이산 집합족 \{F_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)에 대하여, \forall i\in I\colon F_i\subseteq U_i인 열린집합들의 이산 집합족 \{U_i\}_{i\in I}이 존재한다.

만약 \{A_i\}_{i\in I}가 이산 집합족이라면, \{\operatorname{cl}A_i\}_{i\in I} 역시 이산 집합족이다. 따라서, 첫 번째와 세 번째 조건 및 두 번째와 네 번째 조건은 서로 동치이다. 두 번째 조건은 자명하게 첫 번째 조건을 함의한다. 이제, 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 \{F_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)에 대하여, \forall i\in I\colon F_i\subseteq U_i인 열린집합들의 서로소 집합족 \{U_i\}_{i\in I}이 존재한다고 가정하자. 그렇다면, X는 자명하게 정규 공간이다. 또한, \{F_i\}_{i\in I}는 닫힌집합들의 국소 유한 집합족이므로, 그 합집합 역시 닫힌집합이다. 따라서,
:\bigcup_{i\in I}F_i\subseteq V\subseteq\operatorname{cl}V\subseteq\bigcup_{i\in I}U_i
인 열린집합 V\subseteq X가 존재한다. 그렇다면 임의의 i\in I에 대하여, U_i\cap V는 열린집합이며, F_i\subseteq U_i\cap V이다. 이제, \{U_i\cap V\}_{i\in I}가 이산 집합족임을 보이면 족하다. 즉, 임의의 x\in X에 대하여, N\cap U_i\cap V\ne\varnothing인 i\in I가 하나 이하인 근방 N\ni x를 찾아야 한다. 만약 x\not\in\operatorname{cl}V라면,
:N=X\setminus\operatorname{cl}V
를 고른다. 만약 x\in\operatorname{cl}V라면, N을
:x\in U_i
인 유일한 U_i로 잡을 수 있다.

위상 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 X를 **완비 집합족적 정규 공간**() 또는 **유전 집합족적 정규 공간**()이라고 한다.
* X의 모든 부분 집합은 집합족적 정규 공간이다.
* X의 모든 열린집합은 집합족적 정규 공간이다.
* 임의의 분리 집합족 \{S_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)에 대하여, \forall i\in I\colon S_i\subseteq U_i인 열린집합들의 서로소 집합족 \{U_i\}_{i\in I}이 존재한다.

첫 번째 조건은 자명하게 두 번째 조건을 함의한다. 임의의 X의 임의의 부분 집합 Y\subseteq X의 이산 집합족은 X의 분리 집합족이므로, 세 번째 조건은 첫 번째 조건을 함의한다. 따라서, 두 번째 조건이 세 번째 조건을 함의함을 보이면 충분하다. 임의의 분리 집합족 \{S_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:V_i=X\setminus\operatorname{cl}\bigcup_{j\in I\setminus\{i\}}S_j
는 열린집합이며, S_i\subseteq V_i이다. 따라서,
:V=\bigcup_{i\in I}V_i
는 열린집합이며, 모든 S_i를 포함한다. 가정에 따라, V는 집합족적 정규 공간이다. 또한, V의 임의의 원소는 어떤 V_i를 열린 근방으로 하며, V_i와 만나는 S_j는 j=i뿐이다. 따라서, \{S_i\}_{i\in I}는 V의 이산 집합족이며, \forall i\in I\colon S_i\subseteq U_i인 V의 열린집합들의 서로소 집합족 \{U_i\}_{i\in I}가 존재한다. V는 열린집합이므로, U_i는 X의 열린집합이다.

## 성질
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:
모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 집합족적 정규 공간이다. 반대로, 모든 메타콤팩트 집합족적 정규 하우스도르프 공간은 파라콤팩트 공간이다 (**마이클-나가미 정리**, ).

위상 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 거리화 가능 공간이다.
* 무어 공간이며, 집합족적 정규 공간이다.

## 예
순서 위상을 가한 전순서 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이며, 특히 완비 집합족적 정규 공간이다. 하지만 순서 위상을 준 최소의 비가산 순서수 \omega_1은 완전 정규 공간이 아니다.

집합족적 정규 공간이 아닌 완전 정규 하우스도르프 공간이 존재한다.

## 참고 문헌

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## 외부 링크
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분류:위상 공간의 성질