평균장 이론

물리학과 확률론에서 **평균장 이론**(, **MFT**) 또는 **자기 일관성 장 이론**()은 원래 모델을 자유도 (통계량의 최종 계산에서 자유롭게 변할 수 있는 값의 수)에 대해 평균화하여 근사하는 더 간단한 모델을 연구함으로써 고차원 추계학 모델의 동작을 연구한다. 이러한 모델은 서로 상호작용하는 많은 개별 구성 요소를 고려한다.

MFT의 주요 아이디어는 모든 기본 상호작용을 평균 또는 유효 상호작용으로 대체하는 것이다. 이는 때때로 분자장이라고도 불린다. 이것은 다체 문제를 효과적인 일체 문제로 줄인다. MFT 문제를 쉽게 해결할 수 있다는 것은 더 낮은 계산 비용으로 시스템 동작에 대한 통찰력을 얻을 수 있다는 것을 의미한다.

MFT는 이후 통계적 추론, 그래픽 모델, 신경과학, 인공지능, 전염병 모델, 대기행렬이론, 컴퓨터 네트워크 성능 및 게임 이론을 포함한 물리학 외부의 광범위한 분야에 적용되었다. 이는 양자 반응 평형의 경우와 같다.

## 기원
이 아이디어는 피에르 퀴리와 피에르 바이스의 상전이를 설명하는 연구에서 물리학(통계역학)에 처음 등장했다. MFT는 브래그-윌리엄스 근사, 베테 격자 모델, 란다우 이론, 자기 감수율에 대한 퀴리-바이스 법칙, 플로리-허긴스 용액 이론, 그리고 슈첸스-플리어 이론에 사용되었다.

많은(때로는 무한한) 자유도를 가진 다체계는 일부 간단한 경우(예: 특정 가우스 랜덤 필드 이론, 1D 이징 모형)를 제외하고는 일반적으로 정확하게 풀거나 닫힌 해석적 형태로 계산하기 어렵다. 종종 시스템의 분배 함수를 계산하는 것과 같은 것을 어렵게 만드는 조합론적 문제가 발생한다. MFT는 원래 문제를 해결 가능하게 만들고 계산에 개방되도록 하는 근사 방법이며, 어떤 경우에는 MFT가 매우 정확한 근사를 제공할 수 있다.

장 이론에서 해밀턴은 장의 평균 주위의 요동 크기에 따라 확장될 수 있다. 이 맥락에서 MFT는 해밀턴의 요동의 "영차" 확장으로 볼 수 있다. 물리적으로 이것은 MFT 시스템에 요동이 없다는 것을 의미하지만, 이것은 모든 상호작용을 "평균장"으로 대체하는 아이디어와 일치한다.

종종 MFT는 고차 요동을 연구하는 편리한 시작점을 제공한다. 예를 들어, 분배 함수를 계산할 때, 해밀턴의 상호작용 항의 조합론을 연구하는 것은 때때로 섭동 이론 결과 또는 평균장 근사를 수정하는 파인만 도형을 생성할 수 있다.

## 유효성
일반적으로 차원은 특정 문제에 대해 평균장 접근 방식이 작동할지 여부를 결정하는 데 적극적인 역할을 한다. MFT가 유효한 임계 차원이 있고 그 아래에서는 유효하지 않은 경우가 있다.

경험적으로 많은 상호작용은 MFT에서 하나의 유효 상호작용으로 대체된다. 따라서 원래 시스템에서 필드나 입자가 많은 무작위 상호작용을 나타내면 서로 상쇄되는 경향이 있으므로 평균 유효 상호작용과 MFT가 더 정확할 것이다. 이는 고차원의 경우, 해밀턴이 장거리 힘을 포함할 때, 또는 입자가 확장될 때(예: 중합체) 참이다. 긴즈버그 기준은 열적 요동이 MFT를 열악한 근사로 만드는 방식에 대한 공식적인 표현이며, 종종 관심 시스템의 공간 차원 수에 따라 달라진다.

## 정식 접근 방식(해밀턴)
평균장 이론의 형식적 기초는 보고리우보프 부등식이다. 이 부등식은 해밀턴을 가진 시스템의 자유 에너지가 다음과 같은 상한을 가진다고 말한다.

: \mathcal{H} = \mathcal{H}_0 + \Delta \mathcal{H}

다음과 같은 상한을 가진다.

: F \leq F_0 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \langle \mathcal{H} \rangle_0 - T S_0,

여기서 S_0는 엔트로피이고, F와 F_0는 헬름홀츠 자유 에너지이다. 평균은 해밀턴 \mathcal{H}_0를 가진 참조 시스템의 평형 앙상블에 대해 취해진다. 참조 해밀턴이 비상호작용 시스템이고 따라서 다음과 같이 쓸 수 있는 특별한 경우

: \mathcal{H}_0 = \sum_{i=1}^N h_i(\xi_i),

여기서 \xi_i는 우리 통계 시스템의 개별 구성 요소(원자, 스핀 등)의 자유도이며, 부등식의 오른쪽을 최소화하여 상한을 날카롭게 하는 것을 고려할 수 있다. 최소화하는 참조 시스템은 비상관 자유도를 사용하여 실제 시스템에 대한 "최상의" 근사치이며 **평균장 근사**로 알려져 있다.

대상 해밀턴이 쌍별 상호작용만을 포함하는 가장 일반적인 경우, 즉,

: \mathcal{H} = \sum_{(i,j) \in \mathcal{P}} V_{i,j}(\xi_i, \xi_j),

여기서 \mathcal{P}는 상호작용하는 쌍의 집합이며, 최소화 절차를 형식적으로 수행할 수 있다. \operatorname{Tr}_i f(\xi_i)를 단일 구성 요소의 자유도에 대한 관측 가능량 f의 일반화된 합(이산 변수의 경우 합, 연속 변수의 경우 적분)으로 정의한다. 근사 자유 에너지는 다음과 같이 주어진다.
:\begin{align}
 F_0 &= \operatorname{Tr}_{1,2,\ldots,N} \mathcal{H}(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_N) P^{(N)}_0(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_N) \\
     &+ kT \,\operatorname{Tr}_{1,2,\ldots,N} P^{(N)}_0(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_N) \log P^{(N)}_0(\xi_1, \xi_2, \ldots,\xi_N),
\end{align}

여기서 P^{(N)}_0(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_N)는 참조 시스템이 변수 (\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_N)로 지정된 상태에 있을 확률이다. 이 확률은 정규화된 볼츠만 인자로 주어진다.
: \begin{align}
  P^{(N)}_0(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_N)
    &= \frac{1}{Z^{(N)}_0} e^{-\beta \mathcal{H}_0(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_N)} \\
    &= \prod_{i=1}^N \frac{1}{Z_0} e^{-\beta h_i(\xi_i)} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \prod_{i=1}^N P^{(i)}_0(\xi_i),
\end{align}

여기서 Z_0는 분배 함수이다. 따라서
:\begin{align}
  F_0 &= \sum_{(i,j) \in \mathcal{P}} \operatorname{Tr}_{i,j} V_{i,j}(\xi_i, \xi_j) P^{(i)}_0(\xi_i) P^{(j)}_0(\xi_j) \\
      &+ kT \sum_{i=1}^N \operatorname{Tr}_i P^{(i)}_0(\xi_i) \log P^{(i)}_0(\xi_i).
\end{align}

최소화하기 위해, 우리는 적절한 정규화를 보장하기 위해 라그랑주 승수법을 사용하여 단일 자유도 확률 P^{(i)}_0에 대해 미분을 취한다. 최종 결과는 다음과 같은 자체 일관성 방정식 세트이다.
: P^{(i)}_0(\xi_i) = \frac{1}{Z_0} e^{-\beta h_i^{MF}(\xi_i)},\quad i = 1, 2, \ldots, N,

여기서 평균장은 다음과 같이 주어진다.
: h_i^\text{MF}(\xi_i) = \sum_{\{j \mid (i,j) \in \mathcal{P}\}} \operatorname{Tr}_j V_{i,j}(\xi_i, \xi_j) P^{(j)}_0(\xi_j).

## 응용
평균장 이론은 상전이와 같은 현상을 연구하기 위해 여러 물리 시스템에 적용될 수 있다.

### 이징 모형
#### 형식적 유도
위에 제시된 보고리우보프 부등식은 2차원 이징 격자의 평균장 모델 역학을 찾는 데 사용될 수 있다. 결과적으로 얻어지는 근사 자유 에너지로부터 자화 함수를 계산할 수 있다. 첫 번째 단계는 실제 해밀턴의 더 다루기 쉬운 근사를 선택하는 것이다. 비상호작용 또는 유효장 해밀턴을 사용하면,

: -m \sum_i s_i ,

변분 자유 에너지는 다음과 같다.

: F_V = F_0 + \left \langle \left( -J \sum s_i s_j - h \sum s_i \right) - \left(-m\sum s_i\right) \right \rangle_0. 

보고리우보프 부등식에 따라, 이 양을 단순화하고 변분 자유 에너지를 최소화하는 자화 함수를 계산하면 실제 자화에 대한 최상의 근사를 얻을 수 있다. 최소화하는 값은 다음과 같다.
: m = J\sum\langle s_j \rangle_0 + h, 
이는 스핀의 앙상블 평균이다. 이는 다음으로 단순화된다.
: m = \text{tanh}(zJ\beta m) + h. 

모든 스핀이 느끼는 유효장을 평균 스핀 값과 동일시하면 변분 접근 방식이 요동 억제와 관련된다. 자화 함수의 물리적 해석은 개별 스핀에 대한 평균 값의 장이다.

#### 비상호작용 스핀 근사
d차원 격자의 이징 모형을 고려하자. 해밀턴은 다음과 같이 주어진다.
: H = -J \sum_{\langle i, j \rangle} s_i s_j - h \sum_i s_i,
여기서 \sum_{\langle i, j \rangle}는 최근접 이웃 \langle i, j \rangle 쌍에 대한 합을 나타내고, s_i, s_j = \pm 1는 이웃 이징 스핀이다.

평균값 m_i \equiv \langle s_i \rangle로부터의 요동을 도입하여 스핀 변수를 변환하자. 해밀턴을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
: H = -J \sum_{\langle i, j \rangle} (m_i + \delta s_i) (m_j + \delta s_j) - h \sum_i s_i,

여기서 \delta s_i \equiv s_i - m_i로 정의한다. 이것은 스핀의 요동이다.

오른쪽을 전개하면 스핀의 평균값에만 의존하고 스핀 구성과는 독립적인 항이 하나 얻어진다. 이는 시스템의 통계적 특성에 영향을 미치지 않는 자명한 항이다. 다음 항은 스핀의 평균값과 요동값의 곱을 포함하는 항이다. 마지막으로, 마지막 항은 두 요동값의 곱을 포함한다.

평균장 근사는 이 2차 요동 항을 무시하는 것으로 구성된다.
: H \approx H^\text{MF} \equiv -J \sum_{\langle i, j \rangle} (m_i m_j + m_i \delta s_j + m_j \delta s_i) - h \sum_i s_i.

이러한 요동은 낮은 차원에서 증가하므로 MFT는 높은 차원에서 더 나은 근사가 된다.

다시 말하지만, 합산은 다시 전개될 수 있다. 또한, 이징 사슬은 병진 불변이므로 각 스핀의 평균값은 위치에 독립적일 것으로 예상한다. 이는 다음을 산출한다.

: H^\text{MF} = -J \sum_{\langle i, j \rangle} \big(m^2 + 2m(s_i - m)\big) - h \sum_i s_i.

이웃 스핀에 대한 합산은 \sum_{\langle i, j \rangle} = \frac{1}{2} \sum_i \sum_{j \in nn(i)}로 다시 쓸 수 있다. 여기서 nn(i)는 "i의 최근접 이웃"을 의미하고, 1/2 계수는 각 결합이 두 스핀에 참여하므로 중복 계산을 피한다. 단순화하면 최종 표현이 나온다.

: H^\text{MF} = \frac{J m^2 N z}{2} - \underbrace{(h + m J z)}_{h^\text{eff.}} \sum_i s_i,

여기서 z는 배위수이다. 이 시점에서 이징 해밀턴은 외부장 h와 이웃 스핀에 의해 유도된 평균장 h^\text{eff.} = h + J z m의 합인 유효 평균장으로 1체 해밀턴의 합으로 분리되었다. 이 평균장은 최근접 이웃의 수와 시스템의 차원에 직접 의존한다는 점에 유의할 가치가 있다(예를 들어, d차원 초입방 격자의 경우 z = 2 d).

이 해밀턴을 분배 함수에 대입하고 유효 1D 문제를 풀면 다음을 얻는다.

:  Z = e^{-\frac{\beta J m^2 Nz}{2}} \left[2 \cosh\left(\frac{h + m J z}{k_\text{B} T}\right)\right]^N,

여기서 N은 격자점의 수이다. 이것은 시스템의 분배 함수에 대한 닫힌 정확한 표현이다. 우리는 시스템의 자유 에너지를 얻고 임계 지수를 계산할 수 있다. 특히, h^\text{eff.}의 함수로 자화 m을 얻을 수 있다.

따라서 m과 h^\text{eff.} 사이에 두 개의 방정식이 있으며, 이를 통해 온도의 함수로 m을 결정할 수 있다. 이는 다음 관찰로 이어진다.
* 특정 값 T_\text{c}보다 높은 온도에서는 유일한 해는 m = 0이다. 시스템은 상자성이다.
* T 에서는 두 개의 0이 아닌 해가 있다: m = \pm m_0. 시스템은 강자성이다.

T_\text{c}는 다음 관계식으로 주어진다. T_\text{c} = \frac{J z}{k_B}.

이는 MFT가 강자성 상전이를 설명할 수 있음을 보여준다.

### 다른 시스템에 대한 적용
마찬가지로 MFT는 다음 경우와 같이 다른 유형의 해밀턴에도 적용될 수 있다.
* 금속–초전도체 전이를 연구하기 위해. 이 경우, 자화의 아날로그는 초전도 갭 \Delta이다.
* 디렉터 필드의 라플라시안이 0이 아닐 때 나타나는 액정의 분자장.
* 단백질 구조 예측에서 고정된 단백질 골격이 주어졌을 때 최적의 아미노산 곁사슬 패킹을 결정하기 위해(참조: 자기 일관성 평균장 (생물학)).
* 복합 재료의 탄성 특성을 결정하기 위해.

평균장 이론과 같은 변분 최소화는 통계적 추론에도 사용될 수 있다.

## 시간 의존 평균장으로의 확장

평균장 이론에서 단일 위치 문제에 나타나는 평균장은 시간 독립적인 스칼라 또는 벡터량이다. 그러나 항상 그런 것은 아니다. 동적 평균 장 이론(DMFT)이라는 평균장 이론의 변형에서는 평균장이 시간 의존적인 양이 된다. 예를 들어, DMFT는 하버드 모형에 적용되어 금속-모트 절연체 전이를 연구할 수 있다.

## 같이 보기
* 동적 평균 장 이론
* 평균장 게임 이론

## 각주

분류:통계역학
분류:물리학 개념