고속 칼만 필터

**고속 칼만 필터**(, **FKF**)는 안티 랑에(Antti Lange, 1941년생)가 고안한 것으로, 측지학의 헬메르트-볼프 블로킹(HWB) 방법을 칼만 필터링(KF)의 안전 필수 실시간 응용 분야(예: 센티미터 수준 정확도의 GNSS 내비게이션 및 대기 단층 촬영을 포함한 지구 위성 이미지)로 확장한 것이다.

## 동기
칼만 필터는 실시간 이미징을 포함한 광범위한 시스템에 내결함성을 구축하는 데 중요한 필터링 기술이다. 일반 칼만 필터는 선형 시스템을 위한 최적 필터링 알고리즘이다. 그러나 칼만 필터의 관측 가능성 및 제어 가능성 조건이 연속적으로 충족되지 않으면 최적 칼만 필터는 안정적이지 않다(즉, 신뢰할 수 없다). 이러한 조건은 어떤 대규모 시스템에서도 유지하기가 매우 어렵다. 이는 최적 칼만 필터조차도 잘못된 솔루션으로 발산하기 시작할 수 있음을 의미한다. 다행히 최적 칼만 필터의 안정성은 오류 분산을 신뢰할 수 있게 추정할 수 있다면(예: Minque를 통해) 이를 모니터링하여 제어할 수 있다. 그러나 이들의 정확한 계산은 최적 칼만 필터링 자체보다 훨씬 더 까다롭다. FKF 계산 방법은 종종 이러한 면에서도 필요한 속도 향상을 제공한다.

### 최적 보정
보정 매개변수는 칼만 필터가 좁은 데이터 창(즉, 너무 적은 측정)을 계속해서 사용할 경우 심각한 관측 가능성 문제를 일으킬 수 있는 상태 매개변수의 일반적인 예이다. 궤도 위성 탑재 관측 기기는 지상에서 간접적으로 보정되는 최적 칼만 필터링의 한 예이다. 너무 작은 데이터 샘플이 한 번에 어떤 종류의 칼만 필터에 의해 처리될 경우 거의 또는 전혀 관측할 수 없는 다른 상태 매개변수도 존재할 수 있다.

### 역문제
일반 칼만 재귀의 역문제 계산 부하는 동시에 처리되는 측정값 수의 대략 세제곱에 비례한다. 이 숫자는 각 스칼라 측정을 독립적으로 처리하고(필요한 경우) 이러한 측정값을 탈상관화하기 위해 간단한 사전 필터링 알고리즘을 수행함으로써 항상 1로 설정할 수 있다. 그러나 어떤 크고 복잡한 시스템의 경우 이 사전 필터링에 HWB 계산이 필요할 수 있다. 너무 좁은 입력 데이터 창을 계속 사용하면 보정 매개변수의 관측 가능성이 약화되고, 장기적으로 이는 안전 필수 애플리케이션에서 완전히 용납할 수 없는 심각한 제어 가능성 문제로 이어질 수 있다.

많은 측정이 동시에 처리되더라도 일부 측정이 일부 상태 또는 보정 매개변수와 독립적인 것으로 밝혀지기 때문에 선형화된 방정식 시스템이 희소해지는 것은 드문 일이 아니다.
위성 측지학 문제에서, HWB(및 FKF) 방법의 계산 부하는 전체 상태 및 보정 매개변수 수의 제곱에만 대략 비례하며 수십억 개의 측정값에는 비례하지 않는다.

### 신뢰할 수 있는 해
신뢰할 수 있는 운용 칼만 필터링은 실시간으로 데이터를 지속적으로 융합해야 한다. 그 최적성은 모든 측정값과 추정된 상태 및 보정 매개변수 간의 정확한 분산 및 공분산을 사용하는 것에 본질적으로 의존한다. 이 큰 오류 공분산 행렬은 해당 정규 방정식 시스템으로부터 행렬 반전을 통해 얻어진다. 그 계수 행렬은 일반적으로 희소하며, 추정된 모든 매개변수의 정확한 해는 HWB(및 FKF) 방법을 사용하여 계산할 수 있다. 최적해는 다른 희소 행렬 기술을 사용하는 가우스 소거법 또는 변분법을 기반으로 하는 일부 반복 방법을 통해서도 얻을 수 있다.

그러나 후자의 방법들은 모든 오류 분산 및 공분산의 큰 행렬을 단지 근사적으로만 해결할 수 있으며 데이터 융합은 엄격하게 최적의 방식으로 수행되지 않을 것이다. 결과적으로 칼만 필터링의 장기 안정성은 칼만 필터의 관측 가능성 및 제어 가능성 조건이 영구적으로 만족되더라도 불확실해진다.

## 설명
고속 칼만 필터는 희소 행렬을 가진 시스템에만 적용된다. HWB는 희소 선형 방정식을 해결하기 위한 역전 방법이기 때문이다(Wolf, 1978).

역전될 희소 계수 행렬은 종종 테두리가 있는 블록 또는 밴드 대각선(BBD) 구조를 가질 수 있다. 만약 밴드 대각선이라면 일반화된 정준 상관 분석 (gCCA)과 같은 수단을 통해 블록 대각선 형태로 변환될 수 있다.

따라서 이러한 큰 행렬은 다음의 분석적 역행렬 공식을 사용하여 블록 방식으로 가장 효과적으로 역전될 수 있다.
:\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1} \\ -(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & (D-CA^{-1}B)^{-1} \end{bmatrix}
여기서 프로베니우스의 공식이다.
: A =  쉽게 역전될 수 있는 큰 블록 또는 밴드 대각선(BD) 행렬, 그리고,
: (D-CA^{-1}B) =  A의 슈어 보완이라고 불리는 훨씬 작은 행렬이다.

이것이 FKF 방법이며, 일반 칼만 재귀가 할 수 있는 것보다 훨씬 더 많은 상태 및 보정 매개변수를 계산적으로 추정할 수 있게 해준다. 이들의 운용 정확도 또한 C. R. Rao의 최소-노름 이차 비편향 추정(MINQUE) 이론으로부터 신뢰할 수 있게 추정될 수 있으며, 이 최적 고속 칼만 필터링의 안정성을 제어하는 데 사용된다.

## 응용
FKF 방법은 위성 측지학의 매우 높은 정확도를 가상 기준국(VRS) 실시간 운동학(RTK) 측량, 모바일 위치 결정 및 초고신뢰 내비게이션으로 확장한다. 첫 번째 중요한 응용 분야는 기상학, 지구물리학, 천문학 등에서 전지구 관측 시스템의 실시간 최적 보정이 될 것이다.

예를 들어, 이제 수치 기상 예측(NWP) 시스템은 신뢰 구간을 사용하여 관측을 예측할 수 있으며, 이에 따라 운용 품질 관리가 향상될 수 있다. 관측 예측의 불확실성이 갑자기 증가하는 것은 중요한 관측이 누락되었거나(관측 가능성 문제) 예측할 수 없는 날씨 변화가 발생하고 있음을 나타낸다(제어 가능성 문제). 위성에서의 원격탐사 및 이미징은 부분적으로 예측된 정보에 기반한다. 이러한 예측과 위성 이미지 간의 피드백 안정성을 제어하려면 빠르고 견고한 센서 융합 기술이 필요하며, 이는 FKF가 충족한다.

FKF의 계산적 이점은 실시간으로 소량의 데이터만 사용하는 응용 분야에서는 미미하다. 따라서 개인 기기 및 기계-대-기계 장치가 FKF를 최대한 활용하기 전에 개선된 내장형 보정 및 데이터 통신 인프라를 먼저 개발하고 대중에게 도입해야 한다.

## 각주

## 외부 링크
* BBD - software
* FKF - formulas
* HWB - formulas
* The error covariance matrix of FKF - formulas
* There are other Fast Kalman Algorithms designed for special signal processing purposes, see e.g. Stabilizing the Fast Kalman Algorithms on IEEE Xplore
*  Kalman filter recipes for real-time image processing

분류:선형 필터
분류:신호 추정