섀뉴얼 추측

수학, 특히 초월수론에서 **섀뉴얼 추측**()은 유리수 \mathbb{Q}의 특정 체의 확대의 초월 차수에 대한 추측으로, 현재 알려지지 않은 수많은 수들의 초월성을 확립하는 데 기여할 것이다. 이 추측은 스티븐 섀뉴얼에 의해 제기되었고 1966년 서지 랭에 의해 발표되었다.

## 서술
섀뉴얼 추측은 다음과 같이 서술될 수 있다.

## 결과
섀뉴얼 추측이 증명된다면 초월수론의 알려진 대부분의 결과를 일반화하고 수많은 수들의 초월성을 확립할 것이다. 섀뉴얼 추측의 특수한 경우는 다음과 같다.

### 린데만-바이어슈트라스 정리

섀뉴얼 추측을 n=1에 대해서만 고려하면, 0이 아닌 복소수 z에 대해 z와 e^z 중 적어도 하나는 초월수여야 한다는 것을 알 수 있다. 이는 페르디난트 폰 린데만에 의해 1882년에 증명되었다.

만약 z_1,...,z_n이 모두 대수적이고 \mathbb Q 상에서 선형 독립이라고 가정하면, e^{z_1},...,e^{z_n}은 \mathbb Q 상에서 초월적이고 대수적으로 독립적이라는 결과가 나온다. 이 더 일반적인 결과에 대한 첫 번째 증명은 1885년 카를 바이어슈트라스에 의해 제시되었다.

이른바 린데만-바이어슈트라스 정리는 와 의 초월성을 함의한다. 또한 0 또는 1이 아닌 대수적 수 \alpha에 대해 e^\alpha와 \ln(\alpha) 모두 초월수라는 것을 알 수 있다. 이는 더 나아가 0이 아닌 대수적 값에서의 삼각 함수의 초월성을 제공한다.

### 베이커 정리

또 다른 특수한 경우는 앨런 베이커에 의해 1966년에 증명되었다: 만약 복소수 \lambda_1,...,\lambda_n이 유리수 \mathbb Q 상에서 선형 독립이며 e^{\lambda_1},...,e^{\lambda_n}이 대수적이라면, \lambda_1,...,\lambda_n은 대수적 수 \mathbb \overline{Q} 상에서도 선형 독립이다.

섀뉴얼 추측은 이 결과를 강화하여 \lambda_1,...,\lambda_n이 \mathbb Q 상에서 (그리고 동등하게 \mathbb \overline{Q} 상에서) 대수적으로 독립적이라는 것을 의미할 것이다.

### 겔폰트-슈나이더 정리

1934년에 알렉산드르 겔폰드와 테오도어 슈나이더는 \alpha와 \beta가 \alpha\notin\{0,1\}이고 \beta\notin \mathbb Q인 두 대수적 복소수라면 \alpha^\beta는 초월수라는 것을 증명했다.

이는 힐베르트 상수 2^\sqrt{2} 및 겔폰트 상수 e^\pi와 같은 수들의 초월성을 확립한다.

겔폰트-슈나이더 정리는 섀뉴얼 추측에서 n=3과 z_1=\beta, z_2=\ln\alpha, z_3=\beta \ln\alpha를 설정함으로써 도출된다. 또한 위에 언급된 베이커 정리의 강화된 버전에서도 도출될 것이다.

### 네 지수 추측

현재 증명되지 않은 네 지수 추측 또한 섀뉴얼 추측에서 도출될 것이다: 만약 z_1,z_2와 w_1,w_2가 복소수 두 쌍이며, 각 쌍이 유리수 상에서 선형 독립이라면, 다음 네 수 중 적어도 하나는 초월수이다.

e^{z_1w_1}, e^{z_1w_2}, e^{z_2w_1}, e^{z_2w_2}.

네 지수 추측은 모든 비합리수 t에 대해 2^t와 3^t 중 적어도 하나는 초월수임을 의미한다. 또한 만약 t가 양의 실수이고 2^t와 3^t 모두 정수라면, t 자신은 정수여야 함을 의미한다. 관련 여섯 지수 정리는 증명되었다.

### 기타 결과
섀뉴얼 추측이 증명된다면 , , 대수적 수 및 초등함수의 많은 비자명한 조합들이 초월수임을 확립할 것이다.

e+\pi, e\pi, e^{\pi^2}, e^e, \pi^e, \pi^\sqrt{2}, \pi^\pi, \pi^{\pi^\pi}, \, \log\pi, \,  \log\log2, \, \sin e, ...

특히 z_1=1과 z_2=i\pi를 설정하기만 하면 와 가 대수적으로 독립적이라는 결론이 도출될 것이다.

오일러 항등식은 e^{i\pi}+1=0이라고 명시한다. 만약 섀뉴얼 추측이 사실이라면, 이는 지수 환과 관련된 어떤 정확한 의미에서, 복소수 상에서 , , 그리고  사이의 유일한 비자명한 관계이다.

## 관련 추측 및 결과
**역 섀뉴얼 추측**()은 다음과 같이 서술한다.

섀뉴얼의 형식적 멱급수에 대한 버전도 섀뉴얼에 의해 1971년에 제임스 액스에 의해 증명되었다. 이는 다음과 같이 진술한다:

겉으로는 수론의 문제로 보이지만, 섀뉴얼 추측은 모형 이론에서도 함의를 갖는다. 예를 들어, 앙구스 매킨타이어와 알렉스 윌키는 섀뉴얼 추측이 참일 경우 지수화된 실수 체, \mathbb{R}exp의 이론이 결정가능하다는 것을 증명했다. 사실, 이 결과를 증명하기 위해 그들은 추측의 실수 버전만을 필요로 했는데, 이는 다음과 같다:

이는 타르스키의 지수 함수 문제에 대한 긍정적인 해결책이 될 것이다.

통일 실수 섀뉴얼 추측이라는 관련 추측은 본질적으로 같은 것을 말하지만, 정수 mi에 대한 경계를 설정한다. 이 통일 실수 버전의 추측은 표준 실수 버전과 동등하다. 매킨타이어와 윌키는 섀뉴얼 추측의 한 결과인 약한 섀뉴얼 추측이 \mathbb{R}exp의 결정가능성과 동등하다는 것을 보여주었다. 이 추측은 지수 다항식 시스템의 비특이 해의 노름에 대한 계산 가능한 상한이 존재한다고 명시한다; 이는 실수에 대한 섀뉴얼 추측의 결과이다.

섀뉴얼 추측은 모티브 이론의 추측적 결과의 결과일 것이라는 것도 알려져 있다. 이 설정에서 그로텐디크 주기 추측은 아벨 다양체 A의 경우, 그 주기 행렬의 초월 차수가 관련 맘포드-테이트 군의 차원과 같다고 명시하며, 피에르 들리뉴의 연구를 통해 차원이 초월 차수의 상한이라는 것이 알려져 있다. 베르톨린은 일반화된 주기 추측이 섀뉴얼 추측을 포함하는 방법을 보여주었다.

## 질버의 의사-지수화
섀뉴얼 추측의 증명은 아직 멀었지만, 2000년 미셸 발트슈미트가 검토한 바와 같이, 모형 이론과의 연결은 이 추측에 대한 연구의 급증을 불러일으켰다.

2004년에 보리스 질버는 대수적으로 닫히고 표수 0인 지수 체 Kexp를 체계적으로 구성했으며, 이러한 체 중 하나가 각 비가산 집합의 크기에 대해 존재한다. 그는 이 체들을 공리화하고, 후루쇼프스키 구성과 사하론 셸라흐의 무한 논리에서의 범주성 작업에서 영감을 받은 기술을 사용하여 이 "의사-지수화" 이론이 각 비가산 집합의 크기마다 유일한 모델을 갖는다는 것을 증명했다. 섀뉴얼 추측은 이 공리화의 일부이며, 따라서 연속체의 집합의 크기를 갖는 유일한 모델이 실제로 복소 지수 체와 동형이라는 자연스러운 추측은 섀뉴얼 추측을 함의한다. 실제로 질버는 이 추측이 섀뉴얼 추측과 지수-대수적 닫힘 추측이 모두 성립할 때만 성립한다는 것을 보여주었다. 이 구성은 섀뉴얼 추측에 대한 반례를 포함하는 모델도 제공할 수 있으므로, 이 방법은 섀뉴얼 추측을 증명할 수 없다.

## 같이 보기
* 네 지수 추측
* 대수적 독립 집합
* 수학의 미해결 문제 목록
* 존재론적 닫힘 추측
* 질버-핑크 추측
* 프리 지오메트리

## 각주

## 출처
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## 외부 링크
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