슈바르츠실트 좌표

로렌츠 다양체 이론에서 구형 대칭 시공간은 일련의 내포된 둥근 구들을 허용한다. 이러한 시공간에서 특히 중요한 종류의 좌표 도표는 **슈바르츠실트 도표**()이며, 이는 이러한 내포된 둥근 구에 맞춰진 정적 및 구형 대칭 시공간 상의 일종의 극 구면좌표계 도표이다. 슈바르츠실트 도표의 결정적인 특징은 반경 좌표가 각 구의 겉넓이 및 가우스 곡률 측면에서 자연스러운 기하학적 해석을 갖는다는 것이다. 그러나 반경 거리와 각도는 정확하게 표현되지 않는다.

이러한 도표는 일반 상대성이론과 같은 계량 중력 이론에서 많은 응용 분야를 갖는다. 그것들은 대부분 정적 구형 대칭 시공간에서 사용된다. 일반 상대성이론의 경우, 버코프의 정리에 따르면 아인슈타인 방정식의 모든 고립된 구형 대칭 진공 또는 전기진공 해는 정적이지만, 이는 이상 유체의 경우에는 확실히 사실이 아니다. 슈바르츠실트 진공 해의 외부 영역이 구형 대칭 블랙홀의 사건의 지평선 안쪽으로 확장될 때, 지평선 안쪽은 정적이지 않고 (공간꼴) 내포된 구들의 집합은 지평선 안쪽으로 확장될 수 없으므로, 이 해에 대한 슈바르츠실트 도표는 지평선에서 필연적으로 무너진다.

## 정의
계량 텐서 g를 지정하는 것은 모든 로렌츠 다양체 정의의 일부이다. 이 텐서를 정의하는 가장 간단한 방법은 호환되는 국소 좌표 도표에서 정의하고 도표 영역의 겹침에서 동일한 텐서가 정의되는지 확인하는 것이다. 이 글에서는 단일 도표 영역에서 계량 텐서만 정의하려고 한다.

슈바르츠실트 도표(정적 구형 대칭 시공간에서)에서 선 요소는 다음과 같은 형태를 취한다.
:g  = -a(r)^2 \, dt^2 + b(r)^2 \, dr^2 + r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2 \right) = -a(r)^2 \, dt^2 + b(r)^2 \, dr^2 + r^2 g_\Omega 
:-\infty 
여기서 \Omega = (\theta, \phi)는 표준 구면좌표이고 g_\Omega는 단위 2-구의 표준 계량이다. 이 표현에 대한 자세한 유도는 슈바르츠실트 해 유도를 참조하라.

문맥에 따라, a와 b를 반경 좌표의 미정 함수로 간주하는 것이 적절할 수 있다 (예를 들어, 아인슈타인 방정식의 정확한 정적 구형 대칭 해를 유도할 때). 또는 특정 함수 (일부 매개변수에 따라 달라질 수 있음)를 대입하여 특정 로렌츠 시공간에 대한 슈바르츠실트 좌표 도표를 얻을 수 있다.

만약 이것이 에너지-운동량 텐서를 허용하여 결과 모델이 아인슈타인 방정식을 만족한다면 (예를 들어, 적절한 에너지 조건과 합리적인 이상 유체에서 예상되는 다른 속성을 따르는 정적 구형 대칭 이상 유체에 대해), 물질 및 운동량 밀도와 같은 물리량을 나타내는 적절한 텐서 필드를 사용하여 우리는 더 큰 시공간의 일부를 갖게 된다. 이 부분은 아인슈타인 방정식의 국소 해로 간주될 수 있다.

## 킬링 벡터장
슈바르츠실트 도표에 대해 킬링 벡터장의 리 대수는 시간꼴 비회전 킬링 벡터장에 의해 생성된다.
: \partial_t 
그리고 세 개의 공간꼴 킬링 벡터장
: \partial_\phi
:\sin\phi \, \partial_\theta + \cot\theta \, \cos\phi\, \partial_\phi
:\cos\phi \, \partial_\theta - \cot\theta \, \sin\phi\, \partial_\phi
여기서 \vec{X} = \partial_t가 비회전적이라는 것은 해당 시간꼴 합류의 회전도 텐서가 사라진다는 것을 의미한다. 따라서 이 킬링 벡터장은 초곡면 직교이다. 우리 시공간이 비회전 시간꼴 킬링 벡터장을 허용한다는 사실은 사실 정적 시공간의 정의적 특징이다. 한 가지 직접적인 결과는 일정한 시간 좌표 표면 t=t_0이 (등거리) 공간 초단면족을 형성한다는 것이다. (예를 들어 커 진공의 외부 영역에 대한 보이어–린드퀴스트 도표에서는 시간꼴 좌표 벡터가 초곡면 직교가 아니므로 이것은 사실이 아니다.)

마지막 두 필드는 \phi\mapsto\phi+\pi/2 좌표 변환 하에서 서로 회전임을 주목하라. 킬링 벡터장에 대한 글은 세 개의 공간꼴 필드에 대한 자세한 유도 및 논의를 제공한다.

## 정적 내포 구족
슈바르츠실트 도표에서 표면 t=t_0, \, r=r_0은 둥근 구로 나타나며(극 구형 방식으로 자취를 그릴 때), 그 형태에서 우리는 이러한 표면 중 어느 하나로 제한된 슈바르츠실트 계량이 양의 정부호이며 다음과 같이 주어짐을 알 수 있다.
: g|_{t = t_0, r = r_0} = r_0^2 g_{\Omega} = r_0^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2 \right), \; 0 
여기서 g_\Omega는 단위 반지름 2-구의 표준 리만 계량이다. 즉, 이 내포된 좌표 구들은 실제로 다음과 같은 기하학적 구들을 나타낸다.
#겉넓이  A = 4 \pi r_0^2
#가우스 곡률 K = 1/r_0^2
특히, 이들은 기하학적 둥근 구이다. 더욱이, 각 좌표 \Omega = (\theta,\phi)는 정확히 일반적인 극 구형 각 좌표이다. \theta는 때때로 여위도로 불리고 \phi는 보통 경도로 불린다. 이것이 본질적으로 슈바르츠실트 도표의 결정적인 기하학적 특징이다.

위에서 주어진 네 개의 킬링 장들은 우리 로렌츠 다양체의 추상적인 벡터장으로 간주될 때, 정적 구형 대칭 시공간의 대칭성을 가장 잘 표현하며, 우리 도표에서 취하는 특정 삼각 함수 형태는 슈바르츠실트 도표라는 용어의 의미를 가장 잘 표현한다는 것을 덧붙이는 것이 도움이 될 것이다. 특히, 세 개의 공간 킬링 벡터장은 E3 상의 구형 대칭 도표에서 세 개의 비병진 킬링 벡터장과 정확히 같은 형태를 가지며, 즉 원점 또는 구형 대칭에 대한 임의의 유클리드 회전 개념을 보여준다.

그러나 다음을 잘 주목하라: 일반적으로, 슈바르츠실트 반경 좌표는 반경 거리를 정확하게 나타내지 않는다. 즉, \partial_r의 적분 곡선으로 발생하는 공간꼴 측지선 합류를 따라 취한 거리를 정확하게 나타내지 않는다. 오히려, 우리 내포 구들 사이의 적절한 '공간 거리' 개념을 찾기 위해, 우리는 원점으로부터의 일부 좌표선을 따라 b(r) dr을 적분해야 한다.
: \Delta \rho = \int_{r_1}^{r_2} b(r) dr 

마찬가지로, 우리는 각 구를 이상화된 관찰자들의 구형 구름의 자취로 간주할 수 있는데, 이들은 (일반적으로) 그들의 위치를 유지하기 위해 로켓 엔진을 사용하여 바깥쪽으로 반경 방향으로 가속해야 한다. 이들은 정적 관찰자이며, r=r_0, \theta=\theta_0, \phi=\phi_0 형태의 세계선을 가지며, 이는 물론 슈바르츠실트 도표에서 수직 좌표선의 형태를 갖는다.

이러한 관찰자 중 한 명의 세계선에서 두 사건 사이의 고유 시간 간격을 계산하기 위해, 우리는 해당 좌표선을 따라 a(r) dt를 적분해야 한다.
: \Delta \tau =  \int_{t_1}^{t_2} a(r) dt 

## 좌표 특이점
위의 좌표 범위를 다시 살펴보면, t=t_0, \, r=r_0, \, \theta = 0에서의 좌표 특이점은 우리 정적 내포 구들 중 하나의 북극 위치를 나타내는 반면, t=t_0, \, r=r_0, \, \theta = \pi는 남극 위치를 나타낸다. E3의 일반적인 극 구형 도표와 마찬가지로, 위상학적 이유로 전체 구에서 연속적인 좌표를 얻을 수 없다. 우리는 자오선 \phi=0으로 작용할 일부 경선(대원)을 선택하고 이를 도표에서 잘라내야 한다. 결과적으로 우리는 축 r=0과 그 축에서 확장되는 반평면을 포함하여 각 공간 초단면 t=t_0에서 닫힌 반평면을 잘라낸다.

위에서 \partial_\phi가 킬링 벡터장이라고 말했을 때 우리는 \phi를 주기적 좌표로 생각하고, 실제로 세 공간꼴 킬링 벡터를 둥근 구에 작용하는 것으로 생각한다는, 따분하지만 중요한 수식어를 생략했다.

물론 r_1 > 0 또는 r_2 일 수 있으며, 이 경우 우리는 도표의 영역에서 어떤 공 바깥 영역 또는 어떤 공 안쪽 영역을 제외해야 한다. 이것은 f 또는 g가 슈바르츠실트 반경 좌표 r의 어떤 값에서 폭발할 때 발생한다.

## 정적 초단면 시각화
슈바르츠실트 반경 좌표의 중요성을 더 잘 이해하려면 공간 초단면 중 하나인 t=t_0(물론 모두 서로 등거리이다)를 평평한 유클리드 공간에 삽입하는 것이 도움이 될 수 있다. 4차원 유클리드 공간을 시각화하기 어렵다고 생각하는 사람들은 구형 대칭을 이용하여 하나의 좌표를 억제할 수 있다는 점을 반길 것이다. 이는 t=0, \theta=\pi/2로 설정함으로써 편리하게 달성할 수 있다. 이제 우리는 국소 반경 좌표 도표를 가진 2차원 리만 다양체를 갖게 된다.
:g|_{t = 0, \theta = \pi/2} = b(r)^2 dr^2 + r^2 d\phi^2, \;\; r_1 
이 표면(또는 환형 고리)을 E<sup>3</sup>에 삽입하기 위해, E3에서 다음과 같은 틀 필드를 채택한다.
#매개변수화된 표면에서 정의되며, 삽입 공간으로부터 원하는 계량을 상속받는다.
#우리 반경 도표에 맞춰져 있다.
#미정 함수 f(r)을 특징으로 한다.
즉, 매개변수화된 표면을 고려한다.
: (z,r,\phi) \rightarrow (f(r), \, r \cos \phi, \, r \sin \phi ) 
이 표면의 좌표 벡터 필드는 다음과 같다.
: \partial_r = (f^\prime(r), \, \cos \phi, \, \sin \phi), \; \; \partial_\phi = (0, -r \sin \phi, r \cos \phi)
E3의 유클리드 계량을 우리 매개변수화된 표면에 제한할 때 상속되는 유도 계량은 다음과 같다.
: d\rho^2 = \left( 1 + f^\prime(r)^2 \right) \, dr^2 + r^2 \, d\phi^2, \; r_1 
이것을 우리 초단면의 계량과 동일시하려면, 우리는 분명히 다음과 같이 f(r)을 선택해야 한다.
: f^\prime(r) = \sqrt{1-b(r)^2}
다소 우스꽝스러운 예를 들자면, b(r) = f(r) = \sin(r)일 수 있다.

이는 두 개의 반경 방향으로 분리된 점 사이의 실제 거리가 그들의 반경 좌표 차이보다 큰 표면에 대해 유효하다. 만약 실제 거리가 더 작다면, 우리 리만 다양체를 대신 E1,2의 공간꼴 표면으로 삽입해야 한다. 예를 들어, b(r) = f(r) = \sinh(r)일 수 있다. 때때로 양의 가우스 곡률 또는 음의 가우스 곡률 영역에 대해 두 개 이상의 국소 환형 고리 삽입이 필요할 수 있다. 일반적으로, 우리는 어떤 평면 공간(리만 텐서가 사라지는)에서도 전역적인 삽입을 얻을 것으로 기대해서는 안 된다.

요점은 슈바르츠실트 도표의 결정적인 특징인 반경 좌표의 기하학적 해석이 이러한 종류의 공간 초단면의 구형 대칭 삽입을 (원칙적으로) 수행하는 데 필요한 것과 정확히 일치한다는 것이다.

## 계량 가설 풀이
위에 주어진 선 요소는 f, g를 슈바르츠실트 반경 좌표 r의 미정 함수로 간주하여 일반 상대성이론(또는 기타 계량 중력 이론)에서 정적 구형 대칭 해를 유도하는 데 가설 풀이로 자주 사용된다.

예시로, 카르탕의 외 미적분 방법을 사용하여 접속 및 곡률을 계산하는 방법을 보여준다. 먼저 선 요소에서 코프레임 필드를 읽는다.
: \sigma^0 = -a(r) \, dt
: \sigma^1 = b(r) \, dr
: \sigma^2 = r d\theta\,
: \sigma^3 = r \sin\theta \, d\phi
여기서 a \, b는 아직 미정인 r의 매끄러운 함수로 간주한다. (우리 시공간이 이러한 특정 삼각 함수 형태를 갖는 프레임을 허용한다는 사실은 정적, 구형 대칭 로렌츠 다양체에서 슈바르츠실트 도표 개념의 또 다른 등가 표현이다.)

둘째, 이 코기저 1형식의 외미분을 계산한다.
: d\sigma^0 = -a'(r) \, dr \wedge dt = \frac{a'(r)}{b(r)} \, dt \wedge \sigma^1
: d\sigma^1 = 0\,
: d\sigma^2 = dr \wedge d\theta
: d\sigma^3 = \sin\theta \, dr \wedge d\phi + r \, \cos\theta \, d\theta \wedge d\phi = -\left( \frac{\sin\theta\, d\phi}{b(r)} \wedge \sigma^1 +  \cos\theta \, d\phi \wedge \sigma^2\right)
카르탕의 첫 번째 구조 방정식(또는 그 완전성 조건)과 비교하여,
: d\sigma^\hat{m} = -{\omega^\hat{m}}_\hat{n} \, \wedge \sigma^\hat{n} 
접속 1형식에 대한 표현을 추측한다. (모자는 지표가 좌표 1형식 dt, \, dr, \, d\theta, d\phi가 아니라 우리 코기저 1형식을 참조한다는 것을 상기시키는 표기 장치이다.)

{\omega^\hat{m}}_\hat{n}에서 어떤 지표 쌍이 대칭(시공간)이고 어떤 쌍이 반대칭(공간-공간)인지 기억한다면, 6개의 접속 1형식이 다음과 같음을 확인할 수 있다.
:{\omega^0}_1 = \frac{a'}{b}(r)\, dt
:{\omega^0}_2 = 0
:{\omega^0}_3 = 0
:{\omega^1}_2 = -\frac{d\theta}{b(r)}
:{\omega^1}_3 = -\frac{\sin\theta \, d\phi}{b(r)}
:{\omega^2}_3 = -\cos\theta \, d\phi
(이 예시에서는 6개 중 4개만 0이 아니다.)
이 1형식들을 1형식의 행렬로 묶거나, 더 좋게는 SO(1,3)-값 1형식으로 묶을 수 있다.
결과 1형식 행렬이 SO(4)-값 1형식처럼 완전히 반대칭이 아닐 것임에 유의하라. 대신 로렌츠 수반에서 발생하는 전치 개념을 사용해야 한다.

셋째, 접속 1형식의 외미분을 계산하고 카르탕의 두 번째 구조 방정식
:{\Omega^\hat{m}}_\hat{n} = d{\omega^\hat{m}}_\hat{n} - {\omega^\hat{m}}_\hat{\ell} \wedge {\omega^\hat{\ell}}_\hat{n}
을 사용하여 곡률 2형식을 계산한다. 넷째, 다음 공식을 사용하여
:{\Omega^\hat{m}}_\hat{n} = {R^\hat{m}}_{\hat{n}|\hat{\imath}\hat{\jmath}|} \, \sigma^\hat{\imath} \wedge \sigma^\hat{\jmath} 
여기서 바흐 막대는 (i,j)의 증가하는 6개 쌍에 대해서만 합해야 함을 나타내며, 우리 코프레임과 그 쌍대 프레임 필드에 대한 리만 텐서의 선형 독립 성분을 읽을 수 있다. 우리는 다음을 얻는다.
:{R^0}_{101} = \frac{-a \, b + a' \, b'}{a \, b^3}(r) 
:{R^0}_{202} = \frac{1}{r}\frac{-a'}{a \, b^2}(r) = {R^0}_{303} 
:{R^1}_{212} = \frac{1}{r}\frac{b'}{b^3}(r) = {R^1}_{313} 
:{R^2}_{323} = \frac{1}{r^2}\frac{b^2 - 1}{b^2}(r) 

다섯째, 지수를 내리고 성분 R_{\hat{m}\hat{n}\hat{i}\hat{j}}를 행렬로 정리할 수 있다.
:\left[ \begin{matrix}R_{0101} & R_{0102} & R_{0103} & R_{0123} & R_{0131} & R_{0112} \\ R_{0201} & R_{0202} & R_{0203} & R_{0223} & R_{0231} & R_{0212} \\ R_{0301} & R_{0302} & R_{0303} & R_{0323} & R_{0331} & R_{0312} \\ R_{2301} & R_{2302} & R_{2303} & R_{2323} & R_{2331} & R_{2312} \\ R_{3101} & R_{3102} & R_{3103} & R_{3123} & R_{3131} & R_{3112} \\ R_{1201} & R_{1202} & R_{1203} & R_{1223} & R_{1231} & R_{1212} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} E & B \\ B^T & L \end{matrix} \right]
여기서 E, L은 대칭이고 (일반적으로 6개의 선형 독립 성분), B는 무적이다 (일반적으로 8개의 선형 독립 성분). 이는 (각 사건에서) 6차원 2형식 벡터 공간에 대한 선형 연산자를 나타내는 것으로 생각된다. 이로부터 시간꼴 단위 벡터장 \vec{X} = \vec{e}_0 = \frac{1}{a(r)} \, \partial_t에 대한 벨 분해를 읽을 수 있다. 전자기중력 텐서는 다음과 같다.
:E[\vec{X}]_{11} = \frac{a \, b - a' \, b'}{a \, b^3}(r), \; E[\vec{X}]_{22} = E[\vec{X}]_{33} = \frac{1}{r}\frac{a'}{a \, b^2}(r)
자기중력 텐서는 항등적으로 사라지며, 지형중력 텐서는 ( \vec{X}가 비회전이라는 사실을 사용하여) 공간 초단면의 3차원 리만 텐서를 결정할 수 있는데, 이는 다음과 같다.
:L[\vec{X}]_{11} = \frac{1}{r^2}\frac{1-b^2}{b^2}(r), \; L[\vec{X}]_{22} = L[\vec{X}]_{33} = \frac{1}{r}\frac{-b'}{b^3}(r)

이것은 모든 로렌츠 다양체에 대해 유효하지만, 일반 상대성이론에서 전자기중력 텐서는 우리 프레임에 해당하는 관찰자들이 측정한 작은 물체에 대한 조석 응력을 제어하고, 자기중력 텐서는 우리 프레임에 해당하는 관찰자들이 측정한 회전하는 물체에 대한 스핀-스핀 힘을 제어한다.

우리 코프레임 필드의 쌍대 프레임 필드는 다음과 같다.
: \vec{e}_0 = \frac{1}{a(r)} \, \partial_t 
: \vec{e}_1 = \frac{1}{b(r)} \, \partial_r 
: \vec{e}_2 = \frac{1}{r} \, \partial_\theta 
: \vec{e}_3 = \frac{1}{r \sin\theta} \, \partial_\phi 
여기서 \frac{1}{b(r)} 인수가 세 개의 정규 직교 공간꼴 벡터 필드 중 첫 번째에만 곱해진다는 사실은 슈바르츠실트 도표가 공간적으로 등방성이지 않다는 것을 의미한다 (국소적으로 평탄한 시공간의 자명한 경우는 제외). 오히려, 빛 원뿔은 (반경 방향으로 납작해지거나) (반경 방향으로 길어진) 형태로 나타난다. 이것은 물론 슈바르츠실트 도표가 각 내포된 둥근 구 내의 거리를 올바르게 나타내지만, 반경 좌표는 반경 고유 거리를 충실하게 나타내지 않는다는 것을 말하는 또 다른 방법이다.

## 슈바르츠실트 도표를 허용하는 몇 가지 정확한 해
이러한 방식으로 얻을 수 있는 정확한 해의 몇 가지 예는 다음과 같다.

* 슈바르츠실트 진공의 외부 영역,
*동일하게, 이전 예시를 특수한 경우로 포함하는 라이스너–노르드스트룀 전기진공의 경우,
*동일하게, 이전 예시를 특수한 경우로 포함하는 라이스너–노르드스트룀–데 시터르 전람다진공의 경우,
*자니스-뉴먼-위나쿠르 해 (질량이 없는 최소 결합 스칼라 필드를 가진 정적 구형 대칭 물체의 외부를 모델링한다),
* 정적 구형 대칭 이상 유체 해인 내부 영역을 압력이 사라지는 구형 자취를 가로질러 외부 영역에 맞춤으로써 얻은 항성 모델. 이 외부 영역은 슈바르츠실트 진공 영역의 일부와 국소적으로 등거리이다.

## 일반화
비정적이지만 구형 대칭인 시공간을 고려하는 것은 자연스러운 일이며, 시공간 계량이 다음 형태를 취하는 일반화된 슈바르츠실트 도표를 사용한다.
:g = -a(t,r)^2 \, dt^2 + b(t,r)^2 \, dr^2 + r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2 \right), 
:-\infty 

다른 방향으로 일반화하여, 둥근 2-구에 다른 좌표계를 사용하여 예를 들어 때때로 유용한 스테레오그래픽 슈바르츠실트 도표를 얻을 수 있다.
:g = -a(r)^2 \, dt^2 + b(r)^2 \, dr^2 + \frac{dx^2 + dy^2}{(1+x^2+y^2)^2}, \; -\infty 

## 같이 보기
* 정적 시공간
* 구형 대칭 시공간
* 정적 구형 대칭 이상 유체
* 등방성 좌표: 정적 구형 대칭 시공간에 대한 또 다른 인기 있는 도표
* 가우스 극좌표: 정적 구형 대칭 시공간에 대한 덜 일반적인 대체 도표
* 굴스트란드-팡르베 좌표: 정적 블랙홀의 사건 지평선 내부에서 유효한 간단한 도표
* 일반 상대론의 틀 필드: 틀 필드 및 코프레임 필드에 대한 추가 정보
* 리만 텐서의 벨 분해
* 합류 (일반 상대론): 위에서 언급한 \vec{X}와 같은 합류에 대한 추가 정보
* 크러스컬-세케레시 좌표계: 최대 확장된 슈바르츠실트 해의 전체 시공간 다양체를 덮고 물리적 특이점 외부의 모든 곳에서 잘 작동하는 도표
* 에딩턴–핀켈슈타인 좌표: 정적 구형 대칭 시공간에 대한 대체 도표
* 르메트르 좌표: 사건 지평선에서 규칙적인 가장 초기의 도표

## 내용주

분류:로런츠 다양체