르메트르-톨먼 계량

**르메트르-톨먼 계량**(Lemaître-Tolman metric)은 **르메트르-톨먼-본디 계량**(Lemaître-Tolman-Bondi metric) 또는 **톨먼 계량**이라고도 하는데, 물리학에서 아인슈타인 장 방정식의 엄밀해에 기초하는 로런츠 계량의 하나이다.
이 해에 의해서 균질하지 않은 등방성 팽창 또는 수축하는 우주가 설명되므로, 우주론에서 우주 팽창을 모델링하기 위해 표준 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량의 대안으로 사용되기도 한다. 또한 우주의 가속 팽창을 설명하기 위해 물질의 프랙탈 분포를 갖는 우주를 모델링하는 데에도 사용되었다.

이 해는 1933년 조르주 르메트르와 1934년 리처드 톨먼에 의해 최초로 구해졌는데, 그 후 1947년 헤르만 본디에 의해 연구되었다.

## 상세

g_{00}=1 그리고 g_{0\alpha}=0인 동기된 기준계에서 시간 좌표 x^0=t (G=c=1 로 설정됨) 역시 고유 시간 \tau=\sqrt{g_{00}} x^0 이고, 모든 지점의 시계는 동기화 될 수 있다. 압력이 0인 먼지와 같은 매체의 경우, 먼지 입자는 측지선을 따라 자유롭게 이동하므로 동기된 프레임은 4가지 속도의 구성 요소  u^i=dx^i/ds 가 u^0=1,\,u^\alpha=0 로 되는 공변 프레임이기도 하다.

장 방정식의 해는 아래와 같이,

: ds^2 = d\tau^2 - e^{\lambda(\tau,R)} dR^2 - r^2(\tau,R) (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)

인데, 여기서 r 은 반경이  r 인 구의 표면적이  4\pi r^2 이 된다는 의미에서 '반경' 또는 '광도 거리'이며, R 은 라그랑지안 좌표로 해석되며  1+f>0 그리고 F>0 인 조건 하에서

:e^\lambda = \frac{r'^2}{1+f(R)}, \quad \left(\frac{\partial r}{\partial \tau}\right)^2 = f(R) + \frac{F(R)}{r}, \quad 4\pi r^2\rho = \frac{F'(R)}{2r'}

이 된다. 여기서 f(R) 및  F(R) 은 임의의 함수이고 \rho 는 물질의 밀도이다.

또한 F'>0 그리고 r'>0 를 가정하면 이러한 운동 중에 물질 입자가 교차하는 경우가 제외된다. 입자 각각에는 R, 함수 r(\tau,R)가 주어지고, 그 시간 미분에 의하여 그 운동 법칙과 방사 방향의 속도가 주어진다. 위에서 설명한 해의 흥미로운 특징으로는  f(R) 및 F(R) 이 R의 함수로 도시되면,  R\in [0,R_0] 범위에서 도시된 이러한 함수의 형태가 R>R_0 에서 도시되는 함수의 모양과 무관하다는 점이다 . 이러한 예측은 뉴턴의 이론과 명확히 유사하다.

여기서 R=R_0 인 구의 내부 총 질량은

: m = 4\pi \int_0^{r(\tau,R_0)} \rho r^2 dr=4\pi \int_0^{R_0} \rho r' r^2 dR= \frac{F(R_0)}{2}

이 되는데, 이 식은  슈바르츠실트 반경이  r_s=2m=F(R_0) 로 주어진다는 것을 의미한다.

함수 r(\tau,R) 은 적분에 의하여 구할 수도 있는데, 매개변수  \eta 를 가지는 매개변수 형식으로는 아래의 세 가지의 해,

: f > 0:~~~~~~~~ r = \frac{F}{2f}(\cosh\eta-1), \quad \tau_0 -\tau = \frac{F}{2f^{3/2}}(\sinh\eta-\eta),
: f 
: f = 0:~~~~~~~~ r = \left(\frac{9F}{4}\right)^{1/3}(\tau_0-\tau)^{2/3}


가 가능한데, 여기서 \tau_0(R) 가 또 다른 임의의 함수로 등장한다. 그러나 우리는 중심 대칭의 물질 분포가 최대 두 가지 함수, 즉 밀도 분포와 물질의 지름방향 속도로 설명될 수 있다는 것을 알고 있는데, 이는 세 가지 함수 f,F,\tau_0 중에서 단 2개만이 독립이라는 것을 의미한다. 사실 라그랑지 좌표 R 을 특별히 선택하지 않았고 여전히 임의의 변환을 적용할 수 있으므로, 두개의 함수만이 임의적이라는 것을 알 수 있다. 먼지와 같은 매체의 경우에는  r=r(\tau) 그리고 독립적인 R이 되는 또다른 해가 있지만, 이러한 해는 유한한 물체의 붕괴에 해당하지는 않는다.
### 슈바르츠실트 해
F=r_s= const. 이면, \rho=0 가 되고, 따라서 해는 중앙에 점 질량이 있는 빈 공간에 해당한다. 추가로 f=0 그리고 \tau_0=R로 한정하면, 이 해는 르메트르 좌표로 표현된 슈바르츠실트 해로 환원된다.

### 중력붕괴
중력 붕괴는  \tau 가 \tau_0'>0이면서 \tau_0(R) 에 도달하면 발생한다. \tau=\tau_0(R) 일 때는 라그랑주 좌표 R로 표시되는 물질의 중심점 도달에 해당한다.  \tau\rightarrow \tau_0(R) 가 되면 세 가지의 모든 경우에서 그 점근적 거동은 아래와 같이

r \approx \left(\frac{9F}{4}\right)^{1/3}(\tau_0-\tau)^{2/3}, \quad e^{\lambda/2} \approx \left(\frac{2F}{3}\right)^{1/3} \frac{\tau_0'}{\sqrt{1+f}} (\tau_0-\tau)^{-1/3}, \quad 4\pi \rho \approx \frac{F'}{3F\tau_0'(\tau_0-\tau)}

로 주어지며, 여기서 처음 두 관계식은 공변계에서 모든 지름방향의 거리가 무한대에 가까워지는 경향이 있고 접선 거리가  \tau-\tau_0처럼 0에 접근한다는 것을 나타낸다. 반면에 세 번째 관계식은 물질 밀도가  1/(\tau_0-\tau)와 같이 증가함을 보여준다. \tau_0(R)= 상수이어서 모든 물질 입자의 붕괴 시간이 동일한 특별한 경우에는, 그 점근적 거동은 상이하여,

: r \approx \left(\frac{9F}{3}\right)^{1/3}(\tau_0-\tau)^{2/3}, \quad e^{\lambda/2} \approx \left(\frac{2}{3}\right)^{1/3} \frac{F'}{2F^{2/3}\sqrt{1+f}} (\tau_0-\tau)^{2/3}, \quad 4\pi \rho \approx \frac{2}{3(\tau_0-\tau)^2}

로 된다.

여기서 접선 거리와 지름 거리 모두  (\tau_0-\tau)^{2/3}와 같이 0이 되는데, 반면에 물질 밀도는  1/(\tau_0-\tau)^2 와 같이 증가하게 된다.

## 같이 보기
* 르메트르 좌표
* 일반 상대성 이론의 수학 입문
* 스트레스-에너지 텐서
* 계량 텐서(일반 상대성 이론)
* 상대론적 각운동량
* 불균일 우주론

## 각주

분류:일반 상대성 이론의 엄밀해
분류:중력
분류:일반 상대성이론
분류:시공간
분류:물리우주론