강한 정규 그래프

섬네일| 매개변수 srg(13,6,2,3)를 갖는 강한 정규 그래프인 차수 13의 페일리 그래프 .
그래프 이론에서 **강한 정규 그래프**는 정규 그래프 중 각 꼭지점 쌍의 공통 이웃의 개수에 대해 추가적인 조건을 가지는 그래프이다. *G* = (*V*, *E*)를 정점 *v*개를 가지는 *k-*정규 그래프라고 할 때, 어떤 정수 λ, μ가 존재하여 다음 조건을 만족할 경우 *G*를 **강한 정규 그래프**라고 한다.

* 모든 인접한 꼭짓점 쌍은 λ개의 공통 이웃을 갖는다.
* 모든 인접하지 않은 꼭짓점 쌍은 μ개의 공통 이웃을 갖는다.

이 조건을 만족하는 그래프를 srg(*v*, *k*, λ, μ)으로 쓰기도 한다. 강한 정규 그래프는 1963년 라지 찬드라 보스에 의해 도입되었다.

일부 저자는 동일한 크기 완전 그래프들의 서로소 합집합 또는 그 여 그래프와 같이 정의를 자명하게 충족시키는 그래프를 제외하기도 한다.

의 여 그래프는 으로, 강한 정규 그래프이다.

μ가 0이 아닌 강한 정규 그래프는 직경이 2인 거리 정규 그래프이다. 인 강한 정규 그래프는 국소적 선형 그래프이다.

## 성질

### 매개변수 간의 관계
srg(*v*, *k*, λ, μ)의 4개 매개변수는 독립적이지 않고, 다음 관계를 따라야 한다.

: (v - k - 1)\mu = k(k - \lambda - 1)

위의 관계는 다음과 같은 조합론적 논증을 통해 도출할 수 있다.

# 그래프의 꼭짓점이 3개의 깊이에 있다고 상상하자. 깊이 0에 있는 정점 하나를 뿌리로 선택한다. 이 정점의 *k개의* 이웃은 깊이 1에 있고, 다른 모든 정점은 깊이 2에 있다.
# 깊이 1인 꼭짓점은 뿌리에 직접 연결되므로 뿌리와 공통되는 다른 이웃 λ개가 있어야 하고, 이러한 공통 이웃은 깊이 1에 있어야 한다. 각 꼭짓점의 차수가 *k* 이므로 깊이 2 꼭짓점에 연결하기 위한 깊이 1 꼭짓점에 남아 있는 변은 k - \lambda - 1개이므로, 깊이 1과 깊이 2 사이에는 변 k (k - \lambda - 1)개가 존재한다.
# 깊이 2 꼭짓점은 뿌리에 직접 연결되지 않으므로 뿌리와 μ개의 공통 이웃이 있어야 하고, 이러한 공통 이웃은 모두 깊이 1에 있어야 한다. 깊이 2에는 꼭짓점이 (v - k - 1)개 있고, 각각은 깊이 1 꼭짓점 μ 개와 연결되므로 깊이 1과 깊이 2 사이에는 변 (v - k - 1)\mu개가 존재한다.
# 깊이 1과 깊이 2 사이에 있는 변 개수에 대한 두 식을 등호로 연결하여 (v - k - 1)\mu = k(k - \lambda - 1)를 얻는다.

### 인접행렬
*I*를 단위행렬, *J*를 요소가 모두 1인 *v* × *v* 행렬이라고 하자. 강한 정규 그래프의 인접행렬 *A*는 두 방정식을 만족한다.

: AJ = JA = kJ,

이는 정규 그래프 조건을 간단하게 다시 기술한 것이다. 이것은 *k* 가 all-one 고유 벡터를 갖는 인접 행렬의 고유값임을 보여준다. 두 번째는 강한 정규성을 나타내는 이차방정식

: A^2 = kI + \lambda{A} + \mu(J - I - A)

이다. 좌변의 *ij* 번째 요소는 *i*에서 *j* 까지의 길이 2인 경로의 수이다. 우변의 첫 번째 항은 *i*에서 자기 자신으로의 경로 수, 즉 자신의 각 이웃에 대해 *i*에서 이웃으로 갔다가 다시 *i*로 돌아오는 경로 *k*개이다. 두 번째 항은 *i* 와 *j* 가 직접 연결된 경우 길이 2인 경로의 수를 나타낸다. 세 번째 항은 *i* 와 *j* 가 연결되지 않은 경우 길이 2인 경로의 수이다. 세 가지 경우가 상호 배타적이고 집합적으로 완전하므로 위와 같은 등식이 성립한다.

반대로, 인접 행렬이 위의 두 조건을 모두 만족하고 완전 그래프 또는 빈 그래프가 아닌 그래프는 강한 정규 그래프이다.

### 고윳값
그래프의 인접 행렬에는 정확히 3개의 고윳값이 있다.

* *k*, 중복도 1
* \frac{1}{2}\left[(\lambda - \mu) + \sqrt{(\lambda - \mu)^2 + 4(k - \mu)}\,\right], 중복도\frac{1}{2}\left[(v - 1) - \frac{2k + (v - 1)(\lambda - \mu)}{\sqrt{(\lambda - \mu)^2 + 4(k - \mu)}}\right]
* \frac{1}{2}\left[(\lambda - \mu) - \sqrt{(\lambda - \mu)^2 + 4(k-\mu)}\,\right], 중복도\frac{1}{2}\left[(v - 1) + \frac{2k + (v - 1)(\lambda - \mu)}{\sqrt{(\lambda - \mu)^2 + 4(k - \mu)}}\right]

중복도는 정수여야 하므로 위 표현은 *크레인 조건* 과 관련된 *v*, *k*, *μ* 및 *λ* 값에 대한 추가 제약을 준다.

2k + (v - 1)(\lambda - \mu) \ne 0인 강한 정규 그래프는 중복도가 같지 않은 정수 고유값을 가진다.

2k + (v - 1)(\lambda - \mu) = 0인 강한 정규 그래프는 대칭 회의 행렬과의 연결 때문에 회의 그래프라고 한다. 매개변수는 다음으로 감소한다.

: \operatorname{srg}\left(v, \frac{1}{2}(v - 1), \frac{1}{4}(v - 5), \frac{1}{4}(v - 1)\right).

반대로, 3개의 고유값만을 가지는 연결된 정규 그래프는 강한 정규 그래프이다.

## 예

* 길이 5인 순환 그래프는 srg(5, 2, 0, 1)이다.
* 페테르센 그래프는 srg(10, 3, 0, 1)이다.
* Clebsch 그래프는 srg(16, 5, 0, 2)이다.
* Shrikhande 그래프는 거리 전이 그래프가 아닌 srg(16, 6, 2, 2)이다.
* *n* × *n* 룩 그래프, 즉 균형 잡힌 완전 이분 그래프 *K**n*, *n* 의 선 그래프는 srg(*n*2, 2 *n* - 2, *n* - 2, 2)이다. 일 때, 매개변수는 Shrikhande 그래프의 매개변수와 같지만 두 그래프는 동형이 아니다.
* 완전 그래프 *K<sub>n</sub>*의 선 그래프는 \operatorname{srg}\left(\binom{n}{2}, 2(n - 2), n - 2, 4\right)이다.
* Chang 그래프는 srg(28, 12, 6, 4)로 매개변수가 *K*8의 선 그래프와 같지만 이 4개의 그래프는 동형이 아니다.
* 일반화된 사변형 GQ(2, 4)의 선 그래프는 srg(27, 10, 1, 5)이다. 사실 모든 일반화된 차수(s, t)의 사각형은 다음과 같은 방식으로 강한 정규 그래프를 제공한다. 즉, srg((s + 1)(st + 1), s(t + 1), s − 1, t + 1).
* Schläfli 그래프는 srg(27, 16, 10, 8)이다.
* 호프만-싱글턴 그래프는 srg(50, 7, 0, 1)이다.
* Sims-Gewirtz 그래프는 (56, 10, 0, 2)이다.
* M<sub>22</sub> 그래프는 srg(77, 16, 0, 4)이다.
* Brouwer-Haemers 그래프는 srg(81, 20, 1, 6)이다.
* 히그먼-심스 그래프는 srg(100, 22, 0, 6)이다.
* 국소 매클로플린 그래프는 srg(162, 56, 10, 24)이다.
* Cameron 그래프는 srg(231, 30, 9, 3)이다.
* Berlekamp-van Lint-Seidel 그래프는 srg(243, 22, 1, 2)이다.
* 매클로플린 그래프는 srg(275, 112, 30, 56)이다.
* 차수 *q* 의 페일리 그래프는 srg(*q*, (*q* - 1)/2, (*q* - 5)/4, (*q* - 1)/4)이다.  가장 작은 페일리 그래프(인 경우)는 5-순환 그래프이다.
* 자기 보완 호 전이 그래프는 강한 정규 그래프이다.

강한 정규 그래프와 그 여 그래프가 모두 연결되어 있는 경우 **원시적**이라고 한다. 위에서 제시된 모든 그래프는 원시적이다. 원시적이지 않은 강한 정규 그래프는  또는  의 매개변수를 가진다.

콘웨이의 99-그래프 문제는 srg(99, 14, 1, 2)의 구성을 묻는 문제이다. 이러한 매개변수가 있는 그래프가 존재하는지 여부는 알려져 있지 않으며 존 호턴 콘웨이는 이 문제에 대한 해결책으로 1000달러의 상금을 제안하였다.

## 같이 보기
* 부분 기하학
* 자이델 인접 행렬
* 2 그래프

## 각주

## 참고 문헌

* AE Brouwer, AM Cohen 및 A. Neumaier(1989), *Distance Regular Graphs*. 베를린, 뉴욕: Springer-Verlag.ISBN&nbsp; ,
* Chris Godsil 및 Gordon Royle(2004), *Algebraic Graph Theory*. 뉴욕: Springer-Verlag.ISBN&nbsp;

## 외부 링크

* Eric W. Weisstein, Mathworld 기사, 다양한 예.
* Gordon Royle, 더 큰 그래프족 목록.
* Andries E. Brouwer, 강한 정규 그래프의 매개변수.
* Brendan McKay, 일부 그래프 모음.
* Ted Spence, 최대 64개의 정점에 대한 강한 정규 그래프.

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