베켄슈타인 경계

[섬네일|베켄슈타인 경계에 따르면, [블랙홀의 엔트로피는 블랙홀의 사건의 지평선을 덮는 데 필요한 플랑크 면적의 수에 비례한다.]]
물리학에서 **베켄슈타인 경계**(Bekenstein bound, 야코브 베켄슈타인의 이름을 따서 명명됨)는 유한한 에너지를 갖는 주어진 유한한 공간 영역 내에 포함될 수 있는 열역학적 엔트로피 S 또는 섀넌 엔트로피 H의 상한선이다. 이는 양자 수준까지 주어진 물리계를 완벽하게 설명하는 데 필요한 최대 정보량과 동등하다. 이는 공간 영역과 에너지가 유한하다면 물리계의 정보, 또는 그 계를 완벽하게 설명하는 데 필요한 정보가 유한해야 한다는 것을 의미한다.

## 방정식
이 경계의 일반적인 형태는 1981년 야코브 베켄슈타인이 다음 부등식으로 처음 발견했다.
S \leq \frac{2 \pi k R E}{\hbar c},
여기서 S는 엔트로피, k는 볼츠만 상수, R은 주어진 계를 둘러쌀 수 있는 구의 반지름, E는 모든 정지 질량을 포함한 총 질량-에너지, ħ는 환산 플랑크 상수, c는 빛의 속력이다. 중력이 때때로 이 경계를 적용하는 데 중요한 역할을 하지만(예: 블랙홀), 경계에 대한 표현식에는 중력 상수 G가 포함되어 있지 않으므로 이 경계는 휘어진 시공간의 양자장론에도 적용되어야 한다.

3차원 블랙홀의 베켄슈타인-호킹 경계 엔트로피는 이 경계를 정확히 포화시킨다. 슈바르츠실트 반지름은 다음과 같이 주어진다.
r_{\rm s} = \frac{2 G M}{c^2},
여기서 M은 항성 크기 물체의 질량이다.
따라서 블랙홀 사건의 지평선의 2차원 면적은
A = 4 \pi r_{\rm s}^2 = {16 \pi G^2 M^2}/{c^4},
플랑크 길이를 사용하면
l_{\rm P}^2 = \hbar G/c^3,
베켄슈타인-호킹 엔트로피는
S = \frac{kA}{4 \ l_{\rm P}^2} = \frac{4 \pi k G M^2}{\hbar c}.

이 경계에 대한 한 가지 해석은 엔트로피에 대한 작은 바른틀 공식을 사용한다.
S = k \log \Omega,
여기서 \Omega는 계에 접근 가능한 에너지 고유상태의 수이다. 이는 계를 설명하는 힐베르트 공간의 차원이 다음과 같다고 말하는 것과 동등하다.
\dim \mathcal{H} = \exp \left(\frac{2\pi R E}{\hbar c}\right).

이 경계는 블랙홀 열역학, 홀로그래피 원리 및 양자 중력의 공변 엔트로피 경계와 밀접하게 관련되어 있으며, 후자의 강한 형태에 대한 추측으로부터 유도될 수 있다.

## 기원
베켄슈타인은 블랙홀과 관련된 경험적 논증으로부터 이 경계를 유도했다. 만약 이 경계를 위반하는, 즉 너무 많은 엔트로피를 가진 계가 존재한다면, 베켄슈타인은 그 계를 블랙홀에 떨어뜨려 열역학 제2법칙을 위반하는 것이 가능할 것이라고 주장했다. 1995년 테드 제이콥슨은 베켄슈타인 경계와 열역학 법칙이 참이라고 가정하면 아인슈타인 방정식 (즉, 일반 상대성이론)을 유도할 수 있음을 입증했다. 그러나 열역학 법칙과 일반 상대성이론이 상호 일관성을 유지하기 위해 어떤 형태의 경계가 존재해야 한다는 것을 보여주는 여러 논증이 고안되었지만, 경계의 정확한 공식화는 2008년 호라시오 카시니의 연구까지 논쟁의 대상이었다.

다음은 K라는 상수에 대해 S \leq K{kRE}/{\hbar c}를 보여주는 경험적 유도이다. K = 2\pi임을 보이려면 더 기술적인 분석이 필요하다.

질량 M인 블랙홀이 있다고 가정하면, 블랙홀의 슈바르츠실트 반지름은 R_\text{bh} \sim {GM}/{c^2}이고, 블랙홀의 베켄슈타인-호킹 엔트로피는 \sim \frac{kc^3 R_\text{bh}^2}{\hbar G} \sim {kGM^2}/{\hbar c}이다.

이제 에너지 E, 엔트로피 S, 변 길이 R인 상자를 가져온다. 이 상자를 블랙홀에 던져 넣으면 블랙홀의 질량은 M+{E}/{c^2}로 증가하고, 엔트로피는 {kGME}/{\hbar c^3}만큼 증가한다. 엔트로피는 감소하지 않으므로 {kGME}/{\hbar c^3}\gtrsim S이다.

상자가 블랙홀 안에 들어가려면 R \lesssim {GM}/{c^2}이어야 한다. 만약 두 값이 비슷하다면 R \sim {GM}/{c^2}이고, 그러면 BH 경계를 도출할 수 있다: S \lesssim {kRE}/{\hbar c}.

## 양자장론에서의 증명

양자장론의 틀에서 베켄슈타인 경계에 대한 증명은 2008년 카시니에 의해 주어졌다. 증명의 결정적인 통찰 중 하나는 경계의 양변에 나타나는 양들의 적절한 해석을 찾는 것이었다.

양자장론에서 엔트로피와 에너지 밀도의 순진한 정의는 자외선 발산으로 인해 어려움을 겪는다. 베켄슈타인 경계의 경우, 들뜬 상태에서 계산된 양과 진공 상태에서 계산된 동일한 양 사이의 차이를 취함으로써 자외선 발산을 피할 수 있다. 예를 들어, 공간 영역 V가 주어졌을 때, 카시니는 베켄슈타인 경계의 좌변의 엔트로피를 다음과 같이 정의한다.
S_V = S(\rho_V) - S(\rho^0_V) = - \mathrm{tr}(\rho_V \log \rho_V) + \mathrm{tr}(\rho_V^0 \log \rho_V^0)
여기서 S(\rho_V)는 들뜬 상태 \rho에서 V와 관련된 환원 밀도 행렬 \rho_V의 폰 노이만 엔트로피이고, S(\rho^0_V)는 진공 상태 \rho^0에 대한 해당 폰 노이만 엔트로피이다.

베켄슈타인 경계의 우변에서 어려운 점은 R이 계의 특징적 길이 척도이고 E가 특징적 에너지인 양 2\pi R E에 대한 엄밀한 해석을 제공하는 것이다. 이 곱은 로런츠 부스트의 생성자와 같은 단위를 가지며, 이 상황에서 부스트의 자연스러운 아날로그는 진공 상태 K=-\log \rho_V^0의 모듈러 해밀턴이다. 카시니는 베켄슈타인 경계의 우변을 들뜬 상태와 진공 상태에서 모듈러 해밀턴의 기댓값 차이로 정의한다.
 K_V = \mathrm{tr}(K \rho_V) - \mathrm{tr}(K \rho^0_V) .

이러한 정의를 사용하면 경계는 다음과 같다.
 S_V \leq K_V ,
이는 다음과 같이 재배열될 수 있다.
\mathrm{tr}(\rho_V \log \rho_V) - \mathrm{tr}(\rho_V \log \rho_V^0) \geq 0 .

이는 단순히 양자 상대 엔트로피의 양수성 진술이며, 이는 베켄슈타인 경계를 증명한다.

그러나 모듈러 해밀턴은 등각 장론에서, 그리고 V가 구 (기하학)일 때만 가중된 에너지 형태로 해석될 수 있다.

이 구성은 국소화된 에너지 밀도가 진공보다 낮은, 즉 음의 국소화된 에너지를 갖는 카시미르 효과를 이해할 수 있게 한다. 진공의 국소화된 엔트로피는 0이 아니므로, 진공보다 낮은 국소화된 엔트로피를 가진 상태에서는 카시미르 효과가 가능하다. 호킹 복사는 국소화된 음의 에너지를 블랙홀에 쏟아부어 설명할 수 있다.

## 같이 보기

* 마르골루스-레비틴 정리
* 란다우어의 원리
* 브레머만 경계
* 콜모고로프 복잡도
* 블랙홀 너머
* 디지털 물리학
* 계산의 경계
* 찬드라세카르 경계

## 각주

## 외부 링크
* 야코브 D. 베켄슈타인, "베켄슈타인-호킹 엔트로피", 스콜라피디아, Vol. 3, No. 10 (2008), p.&nbsp;7375, .
* 라카 물리학 연구소의 야코브 D. 베켄슈타인 웹사이트, 베켄슈타인 경계에 대한 여러 기사가 포함되어 있다.
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