양자 논리 게이트 목록

게이트 기반 양자 컴퓨팅에서 다양한 양자 논리 게이트 세트는 양자 연산을 표현하는 데 일반적으로 사용된다. 다음 표는 몇 가지 유니터리 양자 논리 게이트와 그 일반적인 이름, 표현 방식 및 일부 속성을 나열한다. 이러한 게이트 중 일부의 제어 또는 켤레 전치(에르미트 수반) 버전은 나열되지 않을 수 있다.

## 항등 게이트 및 전역 위상

항등 게이트는 항등 연산 I|\psi\rangle=|\psi\rangle이며, 대부분의 경우 회로도에 표시되지 않지만 수학적 결과를 설명할 때 유용하다. 이는 "대기 주기"로 NOP로 설명되었다.

전역 위상 게이트는 전체 큐비트 양자 상태에 전역 위상 e^{i\varphi}를 도입한다. 양자 상태는 위상까지 고유하게 정의된다. 보른 규칙 때문에 위상 인자는 측정 결과에 영향을 미치지 않는다. |e^{i\varphi}|=1 for any \varphi. e^{i\delta}|\psi\rangle \otimes |\phi\rangle = e^{i\delta}(|\psi\rangle \otimes |\phi\rangle)이므로, 전역 위상 게이트가 양자 레지스터의 단일 큐비트에 적용될 때 전체 레지스터의 전역 위상이 변경된다. 또한, \mathrm{Ph}(0)=I.

이러한 게이트는 임의의 수의 큐비트 또는 큐디트로 확장될 수 있다.

## 클리포드 큐비트 게이트
이 표에는 큐비트에 일반적으로 사용되는 클리포드 게이트가 포함되어 있다.

고차원 클리포드 게이트를 포함한 다른 클리포드 게이트는 여기에 포함되지 않았지만, 정의상 H,S 및 \mathrm{CNOT}를 사용하여 생성될 수 있다.

클리포드 게이트 A가 파울리 군에 속하지 않으면, \sqrt{A} 또는 제어-A는 클리포드 게이트에 속하지 않는다는 점에 유의하라.

클리포드 세트는 범용 양자 게이트 세트가 아니다.

## 비 클리포드 큐비트 게이트

### 상대 위상 게이트

위상 이동은 기저 상태 P(\varphi)|0\rangle = |0\rangle 및 P(\varphi)|1\rangle= e^{i\varphi}|1\rangle를 매핑하는 단일 큐비트 게이트의 계열이다. 이 게이트를 적용한 후 |0\rangle 또는 |1\rangle을 측정할 확률은 변하지 않지만, 양자 상태의 위상을 수정한다. 이는 블로흐 구면에서 수평 원(위도선)을 그리거나, z축을 따라 \varphi 라디안으로 회전하는 것과 동일하다. 일반적인 예는 \varphi = \frac{\pi}{4} (역사적으로 \pi /8 게이트로 알려진)인 T 게이트, 즉 위상 게이트이다. 일부 클리포드 게이트는 위상 이동 게이트의 특수 사례이다. P(0)=I,\;P(\pi)=Z;P(\pi/2)=S.

위상 이동 게이트의 인수는 U(1)에 있으며, 이 게이트는 지정된 기저 상태(예: P(\varphi)는 )를 따라 U(1)에서 위상 회전을 수행한다. 2준위 양자 시스템(즉, 큐비트)의 두 기저 상태의 일반적인 위상에 대한 회전으로 P(\varphi)를 확장하는 것은 직렬 회로로 수행할 수 있다. P(\beta) \cdot X \cdot P(\alpha) \cdot X = \begin{bmatrix} e^{i\alpha} & 0 \\ 0 & e^{i\beta} \end{bmatrix}. \alpha = -\beta일 때 이 게이트는 회전 연산자 R_z(2\beta) 게이트이며, \alpha =\beta이면 전역 위상이다.

T 게이트의 역사적 이름인 \pi /8 게이트는 R_z(\pi/4) \operatorname{Ph}\left(\frac{\pi}{8}\right) = P(\pi/4)라는 항등식에서 유래하며, 여기서 R_z(\pi/4) = \begin{bmatrix} e^{-i\pi/8} & 0 \\ 0 & e^{i\pi/8} \end{bmatrix} 이다.

임의의 단일 큐비트 위상 이동 게이트 P(\varphi)는 마이크로파 제어 펄스의 타이밍을 통해 트랜스몬 양자 프로세서에서 기본적으로 사용할 수 있다. 이는 프레임 변화로 설명될 수 있다.

모든 단일 큐비트 게이트와 마찬가지로 위상 이동 게이트의 제어 버전을 구축할 수 있다. 계산 기저에 대해 2-큐비트 제어 위상 이동 게이트는 다음과 같다. 상태 |11\rangle에 작용하는 경우에만 위상을 \varphi만큼 이동시킨다.

:  |a,b\rangle \mapsto \begin{cases}
e^{i\varphi}|a,b\rangle & \mbox{for }a=b=1 \\
|a,b\rangle & \mbox{otherwise.}
\end{cases}

제어-Z(또는 CZ) 게이트는 \varphi = \pi인 특수 경우이다.

제어-S 게이트는 \varphi = \pi/2일 때 제어-P(\varphi)의 경우이며 일반적으로 사용되는 게이트이다.

### 회전 연산자 게이트

회전 연산자 게이트 R_x(\theta),R_y(\theta) 및 R_z(\theta)는 SO(3)의 세 데카르트 축에 대한 회전 행렬의 아날로그이며, 블로흐 구면 투영의 x, y 또는 z축을 따라 회전한다.

파울리 행렬은 회전의 생성자와 관련되어 있으므로, 이러한 회전 연산자는 인수에 파울리 행렬이 있는 행렬 지수 함수로 작성될 수 있다. SU(2)의 모든 2 \times 2 유니터리 행렬은 세 개 이하의 회전 게이트의 곱(즉, 직렬 회로)으로 작성될 수 있다. 큐비트 및 스피너와 같은 2준위 시스템의 경우 이러한 회전은 의 주기를 갖는다.  (360도) 회전은 다른 위상을 가진 동일한 상태 벡터를 반환한다.

또한 모든  b \in \{x, y, z\}에 대해 R_{b}(-\theta)=R_{b}(\theta)^{\dagger} 및 R_{b}(0)=I가 성립한다.

회전 행렬은 다음 방식으로 파울리 행렬과 관련된다. R_x(\pi)=-iX, R_y(\pi)=-iY, R_z(\pi)=-iZ.

파울리 벡터에 대한 회전의 수반 작용을 계산할 수 있으며, 이는 로드리게스 회전 공식을 적용하기 위해  각도의 두 배만큼 효과적으로 회전하는 것이다.

: 
R_n(-a)\vec{\sigma}R_n(a)=e^{i \frac{a}{2}\left(\hat{n} \cdot \vec{\sigma}\right)} ~ \vec{\sigma}~  e^{-i \frac{a}{2}\left(\hat{n} \cdot \vec{\sigma}\right)} = \vec{\sigma}  \cos (a) + \hat{n} \times \vec{\sigma} ~\sin (a)+ \hat{n} ~ \hat{n} \cdot \vec{\sigma} ~ (1 - \cos (a))~ .


위 공식에 임의의 단위 벡터를 내적하면 수반 회전 게이트 사이에 끼워 넣을 때 모든 단일 큐비트 게이트의 표현이 생성된다. 예를 들어, R_y(-\pi/2)XR_y(\pi/2)=\hat{x}\cdot (\hat{y}\times \vec{\sigma})=Z임을 보일 수 있다. 또한, 반교환 관계를 사용하면 R_y(-\pi/2)XR_y(\pi/2)=XR_y(+\pi/2)R_y(\pi/2)=X(-iY)=Z이다.

회전 연산자는 흥미로운 항등식을 가지고 있다. 예를 들어, R_y(\pi/2)Z = H 및 X R_y(\pi/2) = H이다. 또한, 반교환 관계를 사용하면 ZR_y(-\pi/2) = H 및 R_y(-\pi/2)X = H이다.

전역 위상과 위상 이동은 Z-회전 연산자로 서로 변환될 수 있다. R_z(\gamma) \operatorname{Ph}\left(\frac{\gamma}{2}\right) = P(\gamma).

\sqrt{X} 게이트는 블로흐 구면에서 x축에 대한  회전을 나타낸다. \sqrt{X}=e^{i\pi/4}R_x(\pi/2).

겔만 행렬을 사용하여 SU(3)에도 유사한 회전 연산자 게이트가 존재한다. 이들은 큐트리트와 함께 사용되는 회전 연산자이다.

### 2큐비트 상호작용 게이트

큐비트-큐비트 이징 결합 또는 하이젠베르크 상호작용 게이트 Rxx, Ryy 및 Rzz는 2-큐비트 게이트로, 예를 들어 멜머-소렌센 게이트 절차를 사용하여 일부 이온 트랩 양자 컴퓨터에 기본적으로 구현된다.

이러한 게이트는 사인파 형태로도 표현될 수 있으며, 예를 들어 R_{xx}(\phi) = \exp\left(-i \frac{\phi}{2} X\otimes X\right)= \cos\left(\frac{\phi}{2}\right)I\otimes I-i \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)X\otimes X
와 같다.

CNOT 게이트는 회전 연산자 게이트와 정확히 하나의 2-큐비트 상호작용 게이트의 곱으로 더 분해될 수 있다. 예를 들어,

:  \mbox{CNOT} =e^{-i\frac{\pi}{4}}R_{y_1}(-\pi/2)R_{x_1}(-\pi/2)R_{x_2}(-\pi/2)R_{xx}(\pi/2)R_{y_1}(\pi/2). 

SWAP 게이트는 다른 게이트, 예를 들어 2큐비트 상호작용 게이트를 사용하여 구성될 수 있다. \text{SWAP} = e^{i\frac{\pi}{4}}R_{xx}(\pi/2)R_{yy}(\pi/2)R_{zz}(\pi/2).

초전도 회로에서는 하이젠베르크 상호작용에서 비롯된 게이트 패밀리를 때때로 fSim 게이트 세트라고 부른다. 이들은 플럭스 조절 가능한 결합을 가진 플럭스 조절 가능한 큐비트를 사용하여 또는 고정 주파수 큐비트에서 마이크로파 구동을 사용하여 고정 결합으로 구현될 수 있다.

### 비 클리포드 스왑 게이트

 게이트는 2큐비트 스왑(클리포드 게이트 참조)의 절반을 수행한다. 이 게이트는 모든 다중 큐비트 게이트가  및 단일 큐비트 게이트만으로 구성될 수 있도록 범용적이다. 벨 상태를 곱셈 상태에서 생성하려면 를 여러 번 적용해야 한다.  게이트는 교환 상호작용을 활용하는 시스템에서 자연스럽게 발생한다.

이징형 상호작용을 가진 시스템의 경우, 허수 스왑 또는 iSWAP을 도입하는 것이 때로는 더 자연스럽다. i\mbox{SWAP}=R_{xx}(-\pi/2)R_{yy}(-\pi/2)이고 \sqrt{i\mbox{SWAP}}=R_{xx}(-\pi/4)R_{yy}(-\pi/4)이며, 더 일반적으로는 0을 제외한 모든 실수 n에 대해 \sqrt[n]{i\mbox{SWAP}}=R_{xx}(-\pi/2n)R_{yy}(-\pi/2n)임을 유의하라.

SWAPα는 스핀트로닉스 양자 컴퓨터에서 자연스럽게 발생한다.

프레드킨 게이트 (CSWAP 또는 CS 게이트라고도 함)는 에드워드 프레드킨의 이름을 따서 명명된 3비트 게이트로, 제어 스왑을 수행한다. 이 게이트는 고전적인 계산에 대해 범용적이다. 이 게이트는 0과 1의 개수가 항상 보존된다는 유용한 속성을 가지고 있으며, 이는 당구공 컴퓨터 모델에서 입력된 공의 수와 동일한 수의 공이 출력된다는 것을 의미한다.

### 기타 명명된 게이트

## 내용주

## 각주


분류:양자 컴퓨팅