쇼클리 다이오드 방정식

[thumb|25°C, 50°C, 두 가지 [이상 계수에서의 다이오드 법칙 전류-전압 특성 곡선. 아래 플롯에 사용된 로그 눈금은 방정식의 지수 관계를 표현하는 데 유용하다.]]
**쇼클리 다이오드 방정식**() 또는 **다이오드 법칙**()은 벨 연구소의 트랜지스터 공동 발명가인 윌리엄 쇼클리의 이름을 따서 명명되었으며, 보통의 정전류 순방향 바이어스 또는 역방향 바이어스에서 반도체 다이오드의 지수 전류-전압 (I-V) 관계를 모델링한다.

: I_\text{D} = I_\text{S} \left( e^\frac{V_\text{D}}{n V_\text{T}} - 1 \right),

여기서
: I_\text{D}는 다이오드 전류,
: I_\text{S}는 역방향 포화 전류 (또는 스케일 전류),
: V_\text{D}는 다이오드 양단의 전압,
: V_\text{T}는 열전압,
: n은 이상 계수로, 품질 계수, 방출 계수 또는 재료 상수라고도 불린다.

이상 계수 n이 1과 같을 때 이 방정식은 **쇼클리 이상 다이오드 방정식**()이라고 불리며, 따라서 n은 때때로 생략된다. 이상 계수는 일반적으로 제조 공정 및 반도체 재료에 따라 1에서 2까지 (어떤 경우에는 더 높을 수도 있음) 다양하다. 이상 계수는 실제 트랜지스터에서 관찰되는 불완전한 PN 접합을 설명하기 위해 추가되었으며, 주로 전하 운반자가 결핍 영역을 가로지를 때 발생하는 운반자 재결합 때문이다.

열전압 V_\text{T}는 다음과 같이 정의된다.

: V_\text{T} = \frac{kT}{q},

여기서

: k는 볼츠만 상수,
: T는 PN 접합의 절대 온도,
: q는 기본 전하 (전자의 전하의 크기)이다.
예를 들어, 에서는 약 25.852mV이다.

역방향 포화 전류 I_\text{S}는 주어진 장치에 대해 상수가 아니며, 온도에 따라 변한다. 일반적으로 V_\text{T}보다 더 크게 변하며, 따라서 T가 증가함에 따라 V_\text{D}는 일반적으로 감소한다.

역방향 바이어스 하에서 다이오드 방정식의 지수 항은 0에 가깝기 때문에 전류는 다소 일정한 -I_\text{S} 역방향 전류 값에 가깝다 (실리콘 다이오드의 경우 대략 피코암페어 또는 게르마늄 다이오드의 경우 마이크로암페어이지만, 이는 분명히 크기의 함수이다).

보통의 순방향 바이어스 전압의 경우, 열전압이 비교적 매우 작기 때문에 지수 항은 1보다 훨씬 커진다. 이때 다이오드 방정식의 -1은 무시할 수 있으므로 순방향 다이오드 전류는 다음과 같이 근사된다.

: I_\text{S} e^\frac{V_\text{D}}{n V_\text{T}}.

회로 문제에서 다이오드 방정식의 사용은 다이오드 모델링 문서에 설명되어 있다.

## 한계
내부 저항은 높은 순방향 바이어스에서 실제 다이오드의 I-V 곡선이 "평탄해지는" 현상을 유발한다. 쇼클리 방정식은 이를 모델링하지 않지만, 직렬 저항을 추가하면 가능하다.

역방향 항복 영역 (특히 제너 다이오드에 관심 있는)은 쇼클리 방정식으로 모델링되지 않는다.

쇼클리 방정식은 노이즈 (예: 내부 저항으로 인한 열잡음 또는 푸아송 잡음)를 모델링하지 않는다.

쇼클리 방정식은 정전류 (정상 상태) 관계이므로, 내부 접합 및 확산 정전 용량과 역회복 시간의 영향을 포함하는 다이오드의 과도 응답을 설명하지 않는다.

## 유도
쇼클리는 1949년에 출판된 긴 논문에서 PN 접합 양단의 전압에 대한 방정식을 유도한다. 나중에 그는 추가 가정을 통해 전압의 함수로 전류에 대한 해당 방정식을 제시하는데, 이것이 우리가 쇼클리 이상 다이오드 방정식이라고 부르는 방정식이다. 그는 이것을 "최대 정류를 제공하는 이론적 정류 공식"이라고 부르며, 칼 바그너의 Physikalische Zeitschrift **32**, pp.&nbsp;641–645 (1931) 논문을 각주로 참조한다.

[thumb|순방향 바이어스 하에서 PN 접합의 준 페르미 준위의 [밴드 다이어그램.]]
전압에 대한 방정식을 유도하기 위해 쇼클리는 총 전압 강하를 세 부분으로 나눌 수 있다고 주장한다.
* p 단자의 인가 전압 준위에서 도핑이 중성인 지점 (우리는 이를 접합이라고 부를 수 있음)의 값까지 정공의 준 페르미 준위의 강하,
* 접합에서 정공의 준 페르미 준위와 접합에서 전자의 준 페르미 준위의 차이,
* 접합에서 n 단자까지 전자의 준 페르미 준위의 강하.
그는 이들 중 첫 번째와 세 번째는 저항에 전류를 곱한 값으로 표현될 수 있음을 보여준다: I_\text{D} R_1. 두 번째, 즉 접합에서의 준 페르미 준위의 차이에 대해서는, 이 차이로부터 다이오드를 통해 흐르는 전류를 추정할 수 있다고 말한다. 그는 p 단자에서는 전류가 모두 정공이고 n 단자에서는 모두 전자이며, 이 두 가지의 합이 일정한 총 전류라고 지적한다. 따라서 총 전류는 다이오드의 한쪽에서 다른 쪽으로의 정공 전류 감소와 같다. 이 감소는 전자-정공 쌍의 생성보다 전자-정공 쌍의 재결합 초과로 인해 발생한다. 재결합 속도는 평형 상태일 때, 즉 두 준 페르미 준위가 같을 때 생성 속도와 같다. 준 페르미 준위가 같지 않을 때 재결합 속도는 생성 속도의 e^{(\phi_\text{p} - \phi_\text{n}) / V_\text{T}} 배가 된다. 우리는 초과 재결합 (또는 정공 전류의 감소)의 대부분이 n 재료로 1 정공 확산 길이 L_\text{p}만큼, p 재료로 1 전자 확산 길이 L_\text{n}만큼 들어가는 층에서 발생하며, 이 층에서 준 페르미 준위의 차이가 V_\text{J}로 일정하다고 가정한다. 그러면 총 전류, 즉 정공 전류의 감소는 다음과 같음을 알 수 있다.
: I_\text{D} = I_\text{S} \left(e^\frac{V_\text{J}}{V_\text{T}} - 1\right),

여기서
:I_\text{S} = g q(L_\text{p} + L_\text{n}),

그리고 g는 생성 속도이다. I_\text{D}에 대한 V_\text{J}를 풀 수 있다.
: V_\text{J} = V_\text{T} \ln\left(1 + \frac{I_\text{D}}{I_\text{S}}\right),

그리고 총 전압 강하는 다음과 같다.
: V = I_\text{D} R_1 + V_\text{T} \ln\left(1 + \frac{I_\text{D}}{I_\text{S}}\right).

R_1이 작다고 가정하면 V = V_\text{J}와 쇼클리 이상 다이오드 방정식을 얻는다.

높은 역방향 바이어스에서 흐르는 작은 전류는 층에서 발생하는 전자-정공 쌍의 열 생성 결과이다. 전자는 n 단자로 흐르고 정공은 p 단자로 흐른다. 층의 전자와 정공 농도는 매우 작아서 그곳에서의 재결합은 무시할 수 있다.

1950년에 쇼클리와 동료들은 이상 방정식과 매우 유사하게 작동하는 게르마늄 다이오드를 설명하는 짧은 논문을 발표했다.

1954년에 빌 팬과 W. 반 루스브루크 (역시 벨 전화 연구소 소속)는 쇼클리의 방정식이 특정 게르마늄 접합에 적용 가능하지만, 많은 규소 접합의 경우 전류 (상당한 순방향 바이어스 하에서)가 e^{V_\text{J}/AV_\text{T}}에 비례하며, 의 값이 2 또는 3만큼 높다고 보고했다. 이것이 위의 이상 계수 n이다.

파인만은 파인만의 물리학 강의 I.46에서 브라운 래칫을 사용하여 유도를 제시했다.

## 광전 에너지 변환
1981년에 알렉시스 드 보스(Alexis de Vos)와 헤르만 파웰스(Herman Pauwels)는 특정 가정 하에 접합의 양자역학에 대한 보다 신중한 분석이 다음과 같은 전류 대 전압 특성을 제공한다는 것을 보여주었다.
: I_\text{D}(V) = -qA[F_i - 2F_o(V)],

여기서 는 접합의 단면적이고, 는 단위 면적당, 단위 시간당, 밴드갭 에너지 이상의 에너지를 가진 입사 광자 수이며, 는 다음으로 주어지는 외부 광자이다.

: F_o(V) = \int_{\nu_g}^\infty \frac{1}{\exp\left(\frac{h\nu - qV}{kT_c}\right) - 1} \frac{2\pi\nu^2}{c^2} \,d\nu.

외부 플럭스에 곱해지는 2라는 인자는 광자가 양쪽에서 방출되지만 입사 플럭스는 한쪽에서만 온다고 가정했기 때문에 필요하다.
이 분석은 조명 하의 광전지에 대해 수행되었지만, 조명이 단순히 배경 열복사일 때도 이 입사 플럭스에도 2라는 인자가 사용된다면 적용 가능하다. 이 분석은 일반적으로 이상적인 다이오드에 대해 더 엄격한 표현을 제공하지만, 셀이 이러한 광자 플럭스를 생성할 만큼 충분히 두껍다고 가정한다. 조명이 단순히 배경 열복사일 때, 특성은 다음과 같다.

: I_\text{D}(V) = 2q[F_o(V) - F_o(0)].

쇼클리 법칙과는 대조적으로, 전압이 밴드갭 전압 로 갈수록 전류는 무한대로 간다. 물론 이것은 무한한 재결합량을 제공하기 위해 무한한 두께가 필요할 것이다.

이 방정식은 최근 2D 재료 기반 쇼트키 다이오드에 대한 최신 모델을 사용하여 수정된 전류 I_\text{S}에서 새로운 온도 스케일링을 설명하기 위해 최근에 수정되었다.

## 각주

분류:전기공학
분류:다이오드