텐서 축약

다중선형대수학에서 **텐서 축약**()은 벡터 공간과 그 쌍대 공간의 정준 쌍에서 발생하는 텐서에 대한 연산이다. 성분으로는, 식에서 서로 묶인 한 쌍의 더미 인덱스에 아인슈타인 합 규약을 적용하여 발생하는 텐서의 스칼라 성분들의 곱의 합으로 표현된다. 단일 혼합 텐서의 축약은 텐서의 문자 인덱스 쌍(하나는 아래 첨자, 다른 하나는 위 첨자)이 서로 같게 설정되고 합산될 때 발생한다. 아인슈타인 표기법에서는 이 합산이 표기법에 내장되어 있다. 그 결과는 차수가 2만큼 줄어든 또 다른 텐서이다.

텐서 축약은 대각합의 일반화로 볼 수 있다.

## 추상적 공식화
V를 체 k에 대한 벡터 공간이라고 하자. 축약 연산의 핵심이자 가장 간단한 경우는 V와 그 쌍대 벡터 공간 V∗의 정준 쌍이다. 이 쌍은 이 두 공간의 텐서곱에서 체 k로의 선형 변환이다.

:  C : V \otimes V^* \rightarrow k 

다음 쌍선형 형식에 해당한다.

:  \langle v, f \rangle = f(v) 

여기서 f는 V∗에 있고 v는 V에 있다. 사상 C는 유형  텐서에 대한 축약 연산을 정의하며, 이는 V \otimes V^* 의 원소이다. 결과는 스칼라 (k의 원소)라는 점에 유의한다. 유한 차원에서 V \otimes V^* 와 V에서 V로의 선형 변환 공간 사이의 자연 동형을 사용하면 대각합의 기저 없는 정의를 얻는다.

일반적으로 유형 의 텐서 ( 및 일 때)는 다음 벡터 공간의 원소이다.

: V \otimes \cdots \otimes V \otimes V^{*} \otimes \cdots \otimes V^{*}

(여기서 m개의 V 인자와 n개의 V∗ 인자가 있다). k번째 V 인자와 l번째 V∗ 인자에 정준 쌍을 적용하고 다른 모든 인자에는 항등원을 사용하여 유형 의 텐서를 생성하는 선형 변환인 (k, l) 축약 연산을 정의한다. 의 경우에 비유하여 일반적인 축약 연산을 때때로 대각합이라고 부른다.

## 인덱스 표기법의 축약
텐서 지표 표기법에서 벡터와 쌍대 벡터의 기본 축약은 다음과 같이 표기된다.

:  \tilde f (\vec v) = f_\gamma v^\gamma, 

이는 명시적인 좌표 합산에 대한 약어이다.

:  f_\gamma v^\gamma = f_1 v^1 + f_2 v^2 + \cdots + f_n v^n 

(여기서 는 특정 기저에서 의 성분이고 는 해당하는 쌍대 기저에서 의 성분이다).

일반적인 혼합 다이애딕 텐서는 f \otimes v 형태의 분해 가능한 텐서들의 선형 결합이므로, 다이애딕 경우에 대한 명시적 공식은 다음과 같다.

:  \mathbf{T} = T_{j}^i \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}^j 

가 혼합 다이애딕 텐서라고 하자. 그러면 그 축약은 다음과 같다.

:  T_{j}^i  \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}^j = T_{j}^i  \delta_i {}^j
= T_{j}^j= T_{1}^1 + \cdots + T_{n}^n .

일반적인 축약은 하나의 공변 인덱스와 하나의 반변 인덱스에 같은 문자를 붙여서 표기하며, 아인슈타인 합 규약에 의해 해당 인덱스에 대한 합산이 암시된다. 결과로 얻는 축약된 텐서는 원래 텐서의 나머지 인덱스를 상속한다. 예를 들어, (2,2)형 텐서 T를 두 번째 및 세 번째 인덱스에 대해 축약하여 (1,1)형의 새로운 텐서 U를 생성하는 것은 다음과 같이 쓰인다.

:  T^{ab} {}_{bc} = \sum_{b}{T^{ab}{}_{bc}} = T^{a1} {}_{1c} + T^{a2} {}_{2c} + \cdots + T^{an} {}_{nc} = U^a {}_c .

이와 대조적으로,

:  \mathbf{T} = \mathbf{e}^i \otimes \mathbf{e}^j 

가 비혼합 다이애딕 텐서라고 하자. 이 텐서는 축약되지 않는다. 만약 그 기저 벡터들이 점찍혀 있다면, 결과는 반변 계량 텐서가 된다.

:  g^{ij} = \mathbf{e}^i \cdot \mathbf{e}^j ,

그 계수는 2이다.

## 계량 축약

이전 예에서처럼, 공변 인덱스이거나 반변 인덱스인 한 쌍의 인덱스에 대한 축약은 일반적으로 불가능하다. 그러나 내적 (일명 계량) g가 존재하면 이러한 축약이 가능하다. 필요한 경우 계량을 사용하여 인덱스 중 하나를 올리거나 내린 다음 일반적인 축약 연산을 사용한다. 이 결합된 연산을 계량 축약이라고 한다.

## 텐서장에 대한 응용
축약은 종종 공간(예: 유클리드 공간, 다양체, 스킴)에 대한 텐서장에 적용된다. 축약은 순전히 대수적인 연산이므로 텐서장에 점별로 적용될 수 있다. 예를 들어 T가 유클리드 공간의 (1,1) 텐서장인 경우, 어떤 좌표에서도 한 점 x에서의 축약(스칼라장) U는 다음과 같이 주어진다.

: U(x) = \sum_{i} T^{i}_{i}(x)

여기서 x의 역할은 복잡하지 않으므로 종종 생략되며, 텐서장에 대한 표기법은 순전히 대수적인 텐서에 대한 표기법과 동일해진다.

리만 다양체 위에서는 계량(내적들의 장)이 사용 가능하며, 계량 및 비계량 축약은 이론에 매우 중요하다. 예를 들어, 리치 곡률 텐서는 리만 곡률 텐서의 비계량 축약이며, 스칼라 곡률은 리치 텐서의 유일한 계량 축약이다.

다양체의 적절한 함수 환에 대한 가군 또는 구조층에 대한 가군 층의 맥락에서도 텐서장의 축약을 볼 수 있다. 이 글의 끝에 있는 논의를 참조하라.

### 텐서 발산
텐서장의 축약의 응용으로, V를 리만 다양체 (예: 유클리드 공간) 위의 벡터장이라고 하자.  V^\alpha {}_{\beta}를 V의 공변미분이라고 하자 (일부 좌표 선택에서). 유클리드 공간의 카르테시안 좌표의 경우, 다음과 같이 쓸 수 있다.

:  V^\alpha {}_{\beta} = {\partial V^\alpha \over \partial x^\beta}. 

그러면 인덱스 β를 α로 변경하면 인덱스 쌍이 서로 묶이게 되어 미분 자체가 축약되어 다음 합을 얻는다.

:  V^\alpha {}_{\alpha} = V^0 {}_{0} + \cdots + V^n {}_{n}, 

이는 발산 div V이다. 그러면

:  \operatorname{div} V = V^\alpha {}_{\alpha} = 0 

은 V에 대한 연속 방정식이다.

일반적으로, 다음과 같이 고계 텐서장에 대한 다양한 발산 연산을 정의할 수 있다. T가 적어도 하나의 반변 인덱스를 갖는 텐서장인 경우, 공변미분을 취하고 선택된 반변 인덱스와 미분에 해당하는 새로운 공변 인덱스를 축약하면 T보다 계수가 하나 낮은 새로운 텐서가 생성된다.

## 한 쌍의 텐서의 축약
핵심 축약 연산(벡터와 쌍대 벡터)을 약간 다른 방식으로 일반화할 수 있는데, T와 U라는 한 쌍의 텐서를 고려하는 것이다. 텐서곱 T \otimes U는 새로운 텐서이며, 적어도 하나의 공변 인덱스와 하나의 반변 인덱스를 갖는 경우 축약될 수 있다. T가 벡터이고 U가 쌍대 벡터인 경우는 이 글에서 처음 소개된 핵심 연산과 정확히 같다.

텐서 인덱스 표기법에서 두 텐서를 서로 축약하려면, 동일한 항의 인자로 나란히 놓는다. 이는 텐서곱을 구현하여 복합 텐서를 생성한다. 이 복합 텐서에서 두 인덱스를 축약하는 것은 두 텐서의 원하는 축약을 구현한다.

예를 들어, 행렬은 첫 번째 인덱스가 반변이고 두 번째 인덱스가 공변인 (1,1) 유형의 텐서로 나타낼 수 있다.  \Lambda^\alpha {}_\beta 를 한 행렬의 성분이라고 하고,  \Mu^\beta {}_\gamma 를 두 번째 행렬의 성분이라고 하자. 그러면 이들의 곱은 다음과 같은 축약으로 주어진다. 이는 한 쌍의 텐서의 축약의 예시이다.

:  \Lambda^\alpha {}_\beta \Mu^\beta {}_\gamma = \Nu^\alpha {}_\gamma .

또한, 미분 형식과 벡터의 내부곱은 두 텐서를 서로 축약하는 특별한 경우이다.

## 더 일반적인 대수적 맥락
R을 가환환이라고 하고 M을 R에 대한 유한 자유 가군이라고 하자. 그러면 축약은 체에 대한 벡터 공간의 경우와 정확히 동일한 방식으로 M의 전체 (혼합) 텐서 대수에서 작동한다. (핵심은 정준 쌍이 이 경우에도 완전하다는 사실이다.)

더 일반적으로, OX를 위상 공간 X에 대한 가환환 층이라고 하자. 예를 들어, OX는 복소다양체, 해석 공간, 또는 스킴의 구조층일 수 있다. M을 유한 계수의 OX에 대한 국소 자유 가군 층이라고 하자. 그러면 M의 쌍대는 여전히 잘 동작하며 이 맥락에서 축약 연산은 의미가 있다.

## 같이 보기
* 텐서곱
* 부분 추적
* 내부곱
* 인덱스 올리기 및 내리기
* 음악 동형
* 리치 미적분학

## 내용주

## 각주
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분류:텐서