위치 연산자

양자역학에서 **위치 연산자**()는 아원자 입자의 위치 관측가능량에 해당하는 연산자이다.

위치 연산자를 충분히 넓은 영역(예: 완화 분포 공간)에서 고려할 때, 그 고유값은 입자의 가능한 위치 벡터이다.

1차원에서 기호  | x \rangle가 고유값 x에 해당하는 위치 연산자의 유니터리 고유 벡터를 나타낸다면,  |x \rangle 는 입자가 위치 x에서 확실히 발견된다는 입자의 상태를 나타낸다.

따라서 위치 연산자를 기호 X로 나타내면, 모든 실제 위치 x에 대해  X| x\rangle = x |x\rangle,로 쓸 수 있다.

위치 x를 가진 유니터리 상태의 한 가지 가능한 실현은 위치 x를 중심으로 하는 디랙 델타 (함수) 분포이며, 종종 \delta_x로 표기된다.

양자역학에서 모든 디랙 분포의 정렬된 (연속적인) 패밀리, 즉 패밀리
\delta = (\delta_x)_{x \in \R},
는 (유니터리) 위치 기저라고 불리는데, 이는 완화 분포 공간에서 위치 연산자 X의 (유니터리) 고유 기저이기 때문이다.

모든 실수점 x에 대해 X(\delta_x) = x \delta_x,를 만족하는 완화 분포 공간에 오직 하나의 선형 연속 자기사상 X가 존재한다는 것은 중요하다. 위의 유일한 자기사상은 반드시
X(\psi) = \mathrm x \psi,
로 정의될 수 있음을 증명할 수 있으며, 여기서 \mathrm x는 모든 완화 분포 \psi에 대해 실수직선에서 복소평면으로 정의되는 위치 선의 좌표 함수를 나타낸다.
\mathrm x : \Reals \to \Complex : x \mapsto x .

## 서론
어떤 시간 순간의 입자의 양자 상태를 제곱 적분 가능한 파동 함수  \psi 로 나타낸다고 가정하자. 일단 1차원 공간(즉, 입자가 직선에 "갇혀 있다")이라고 가정하자. 만약 파동 함수가 정규화되어 있다면, 제곱 절댓값
 |\psi|^2 = \psi^* \psi ,
는 어떤 시간에 실수직선상의 위치  x 에서 입자를 찾을 확률 밀도를 나타낸다. 즉, 만약
 \|\psi\|^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} |\psi|^2 d \mathrm x = 1,
라면, 위치 범위 [a,b]에서 입자를 찾을 확률은
 \pi_X (\psi)([a,b]) =\int_a^b |\psi|^2 d \mathrm x .

따라서 입자의 위치  X  측정에 대한 기댓값은
\langle X \rangle_{\psi} = \int_\R \mathrm x |\psi|^2 d \mathrm x = \int_\R \psi^* (\mathrm x \psi) \, d \mathrm x= \langle \psi | X(\psi) \rangle,
여기서  \mathrm x 는 좌표 함수
 \mathrm x : \Reals \to \Complex : x \mapsto x ,
이며, 이는 단순히 위치 선을 복소평면으로 표준적으로 매장한 것이다.

엄밀히 말하면, 관측가능한 위치  X =\hat{\mathrm x}는 점별적으로 다음과 같이 정의될 수 있다.
\left(\hat{\mathrm x} \psi\right) (x) = x\psi(x) ,
모든 파동 함수 \psi 와 모든 실수직선상의 점  x 에 대해. 동치류 \psi \in L^2의 경우 정의는 직접적으로 다음과 같다.
\hat{\mathrm x} \psi = \mathrm x \psi , \quad \forall \psi \in L^2.
즉, 위치 연산자  X 는 임의의 파동 함수  \psi 에 좌표 함수  \mathrm x 를 곱한다.

### 3차원
3차원으로의 일반화는 간단하다.

시공간 파동 함수는 이제  \psi(\mathbf{r}, t) 이고, 상태  \psi 에서의 위치 연산자  \hat \mathbf{r} 의 기댓값은
 \left\langle \hat \mathbf{r} \right\rangle _\psi = \int \mathbf{r} |\psi|^2 d^3 \mathbf{r} 
여기서 적분은 전체 공간에 걸쳐 이루어진다. 위치 연산자는
\mathbf{\hat{r}}\psi = \mathbf{r}\psi.

## 기본 속성
직선에 갇힌 입자의 경우에 대한 위 정의에서, 주의 깊은 독자는 위치 연산자의 정의역과 공역에 대한 명확한 사양이 없음을 알 수 있다. 문헌에서는 이 문제를 해결하기 위한 세 가지 주요 방향이 다소 명시적으로 발견된다.

# 위치 연산자는 매장  \mathrm x 에 의한 곱이 공간  L^2 에 속하는 동치류  \psi 로 구성된  L^2 의 부분 공간  D_X 에서 정의된다. 이 경우 위치 연산자  X : D_X \subset L^2 \to L^2 : \psi \mapsto \mathrm x \psi 는 연속적이지 않으며( L^2 의 표준 스칼라 곱에 의해 유도된 토폴로지에 대해 무한), 고유 벡터가 없고, 고유값이 없으며, 결과적으로 점 스펙트럼이 비어 있다.
# 위치 연산자는 슈바르츠 공간  \mathcal S (즉, 모든 도함수가 빠르게 감소하는 실수직선에서 정의된 모든 매끄러운 복소 함수의 핵 공간)에서 정의된다. 이 경우 위치 연산자  X : \mathcal S \subset L^2  \to \mathcal S \subset L^2  : \psi \mapsto \mathrm x \psi 는 연속적이며( \mathcal S 의 표준 토폴로지에 대해), 단사이며, 고유 벡터가 없고, 고유값이 없으며, 결과적으로 점 스펙트럼이 비어 있다. 이는  L^2 의 스칼라 곱에 대해 (완전히) 자기 수반적이다. 즉,  \langle X (\psi)|\phi\rangle = \langle \psi|X(\phi)\rangle, \quad \forall \psi,\phi \in \mathcal S.
# 위치 연산자는  \mathcal S 의 쌍대 공간  \mathcal S^\times (즉, 완화 분포의 핵 공간)에서 정의된다. L^2는  \mathcal S^\times의 부분 공간이므로, 완화 분포와 매장  \mathrm x 의 곱은 항상  \mathcal S^\times 에 속한다. 이 경우 위치 연산자  X : \mathcal S^\times \to \mathcal S^\times : \psi \mapsto \mathrm x \psi 는 연속적이며( \mathcal S^\times 의 표준 토폴로지에 대해), 전사적이며, 완전한 일반화된 고유 벡터 및 실제 일반화된 고유값 패밀리를 갖는다. 이는 전치 연산자  {}^tX : \mathcal S \to \mathcal S : \phi \mapsto \mathrm x \phi , 가 자기 수반적이라는 의미에서  L^2 의 스칼라 곱에 대해 자기 수반적이다. 즉,  \left\langle\left. \,{}^tX (\phi)\right|\psi \right\rangle = \left\langle \phi| \,{}^tX(\psi)\right\rangle, \quad \forall \psi,\phi \in \mathcal S. 

마지막 경우는 양자역학 문헌에서 가장 널리 채택되는 선택이지만, 명시적으로 강조된 적은 없다. 이는 고유벡터의 가능한 부재를 리그드 힐베르트 공간으로 힐베르트 공간을 확장하여 다룬다.
\mathcal S \subset L^2 \subset \mathcal S^\times,
이를 통해 고유 벡터와 고유 값에 대한 수학적으로 엄밀한 개념을 제공한다.

## 고유 상태
(완화 분포 공간에서) 위치 연산자의 고유 함수는 위치 공간에서 표현될 때 디랙 델타 함수이다.

**비형식적 증명.** 위치 연산자의 가능한 고유 벡터가 반드시 디랙 델타 분포여야 함을 보이기 위해,  \psi 가 고유값  x_0 를 갖는 위치 연산자의 고유 상태라고 가정하자. 우리는 고유값 방정식을 위치 좌표로 나타낸다.
 \hat{\mathrm x}\psi(x) = \mathrm x \psi(x) = x_0 \psi(x) 
여기서  \hat{\mathrm x} 는 위치 표현에서 단순히 파동 함수에 함수  \mathrm x 를 곱한다는 점을 상기하자. 함수  \mathrm x 는 변수이고  x_0 는 상수이므로,  \psi 는 점  x_0 을 제외한 모든 곳에서 0이어야 한다. 분명히, 어떤 연속 함수도 이러한 속성을 만족하지 않으며, 파동 함수를 그 점에서 복소수로 단순히 정의할 수 없다. 왜냐하면 그 L^2-노름이 0이고 1이 아닐 것이기 때문이다. 이것은 점  x_0 에 집중되어 있고 적분이 0이 아닌 "함수적 객체"의 필요성을 시사한다:  x_0 에 중심을 둔 디랙 델타의 어떤 배수.
방정식
 \mathrm x \psi = x_0 \psi 
의 정규화된 해는
 \psi(x) = \delta(x - x_0), 또는 더 정확히는 \psi = \delta _{x_0},
로,
 \mathrm x \delta_{x_0} = x_0 \delta_{x_0} .
실제로, 어떤 함수와 한 점에 중심을 둔 디랙 분포의 곱은 그 점에서의 함수의 값에 디랙 분포 자체를 곱한 것임을 상기하면, 즉시
 \mathrm x \delta_{x_0} = \mathrm x (x_0) \delta_{x_0} =x_0 \delta_{x_0} .
이러한 디랙 상태는 물리적으로 실현 불가능하고, 엄밀히 말하면 함수가 아니지만,  x_0 에 중심을 둔 디랙 분포는 위치가 정확히 알려진 "이상적인 상태"로 생각할 수 있다 (위치 측정은 항상 고유값  x_0 를 반환한다). 따라서 불확정성 원리에 따라, 이러한 상태의 운동량에 대해서는 아무것도 알려지지 않는다.

## 운동량 공간
일반적으로 양자역학에서 운동량 공간에서의 표현이란 표준 유니터리 운동량 기저에 대한 상태와 관측량의 표현을 의미한다.

\eta = \left(\left[
(2\pi\hbar)^{-\frac{1}{2}} e^{(\iota/\hbar) (\mathrm x|p)}\right]\right)
_{p \in \R}.


운동량 공간에서 1차원 위치 연산자는 다음 미분 연산자로 표현된다.
 \left(\hat{\mathrm x}\right)_P = i\hbar\frac{d}{d \mathrm p} = i\frac{d}{d \mathrm k}, 

여기서:
* 운동량 기저에서의 위치 연산자 표현은 모든 파동 함수 (완화 분포) \psi에 대해  \left(\hat{\mathrm x}\right)_P (\psi)_P = \left(\hat{\mathrm x}\psi\right)_P 로 자연스럽게 정의된다.
* \mathrm p는 운동량 선상의 좌표 함수를 나타내며, 파동 벡터 함수 \mathrm k는 \mathrm k = \mathrm p / \hbar 로 정의된다.

## L<sup>2</sup>('''R''', '''C''')에서의 형식주의
1차원 공간에서 움직이는 스핀 없는 입자의 경우를 고려하자. 그러한 입자의 상태 공간은 실직선 위의 복소값, 제곱 적분 가능 함수의 힐베르트 공간인  L^2(\Reals,\Complex) 를 포함한다.

위치 연산자는 다음과 같이 자기 수반 작용소로 정의된다.
Q : D_Q \to L^2(\Reals, \Complex) : \psi \mapsto \mathrm q \psi,
정의역은 다음과 같다.
D_Q = \left\{ \psi \in L^2(\R) \mid \mathrm q \psi \in L^2(\R) \right\},
좌표 함수  \mathrm q : \Reals \to \Complex 는 각 점  x \in \R 를 자신에게 보낸다.
Q (\psi)(x) = x \psi (x) = \mathrm q(x) \psi (x),
각 점별로 정의된  \psi \in D_Q  및  x \in \R 에 대해.

정의에서 즉시 알 수 있듯이, 스펙트럼은 전체 실수직선으로 구성되며, Q는 엄격하게 연속 스펙트럼을 갖는다. 즉, 이산적인 고유값 집합이 없다.

3차원 경우는 유사하게 정의된다. 다음 논의에서는 1차원 가정을 유지한다.

## L<sup>2</sup>('''R''', '''C''')에서의 측정 이론
모든 양자역학적 관측가능량과 마찬가지로, 위치 측정을 논의하기 위해서는 위치 연산자의 스펙트럼 분해를 계산해야 한다.
X : D_X \to L^2(\Reals, \Complex) : \psi \mapsto \mathrm x \psi 
이는 다음과 같다.
X = \int_\R \lambda \, d \mu_X(\lambda) = \int_\R \mathrm x \, \mu_X = \mu_X (\mathrm x),
여기서 \mu_X는 위치 연산자의 스펙트럼 측도라고 불린다.

\chi _B를 \mathbb{R}의 보렐 집합 B에 대한 지시 함수라고 하자. 그러면 스펙트럼 측도는 다음과 같이 주어진다.
 \psi \mapsto \mu_X(B)(\psi) = \chi_B \psi , 즉, B의 지시 함수를 곱한 것이다.

따라서 계가 상태 \psi로 준비되어 있다면, 입자의 측정된 위치가 보렐 집합 B에 속할 확률은 다음과 같다.
 \|\mu_X(B)(\psi)\|^2 = \|\chi_B \psi\|^2 = \int_B |\psi|^2\ \mu =\pi_X(\psi)(B),
여기서 \mu는 실수직선상의 르베그 측도이다.

부분 집합 B 내에서 입자를 감지하기 위한 측정 후, 파동 함수는 붕괴하여 다음 중 하나가 된다.
 \frac{\mu_X(B) \psi}{\|\mu_X(B) \psi \|} = \frac{\chi_B \psi}{\| \chi_B \psi \|}
또는
 \frac{(1 - \chi_B)\psi}{\|(1 - \chi_B)\psi\|},
여기서 \| \cdot \|는 L^2(\Reals, \Complex)에서의 힐베르트 공간 노름이다.

## 같이 보기
* 위치 및 운동량 공간
* 운동량 연산자
* 병진 연산자 (양자역학)

## 내용주

## 각주
* 

분류:연산자 이론