마팅게일 (베팅 시스템)

**마팅게일**(martingale)은 18세기 프랑스에서 유래하여 유행했던 베팅 전략의 일종이다. 이 전략 중 가장 단순한 형태는 동전 던지기에서 앞면이 나오면 판돈을 얻고 뒷면이 나오면 잃는 게임을 위해 설계되었다. 이 전략은 도박사가 매번 패배할 때마다 베팅 금액을 두 배로 늘려, 첫 번째 승리가 이전의 모든 손실을 만회하고 원래 판돈과 동일한 이익을 얻도록 한다. 따라서 이 전략은 상트페테르부르크의 역설과 유사성을 띤다.

도박사는 거의 확실하게 결국 동전 던지기에서 앞면을 뽑게 되므로, 도박사에게 무한한 재산이 있고 단일 베팅에서 벌어들일 수 있는 금액에 제한이 없다면 마팅게일 베팅 전략은 반드시 돈을 벌게 해준다. 하지만 무한한 재산을 가진 도박사는 없으며, 베팅의 기하급수적 성장은 마팅게일을 사용하는 운 나쁜 도박사를 파산시켜 파멸적인 손실을 초래할 수 있다. 도박사가 보통은 적은 순수익을 얻어 건전한 전략처럼 보임에도 불구하고, 도박사의 기댓값은 0으로 유지된다. 이는 도박사가 파멸적인 손실을 입을 아주 낮은 확률이 예상되는 이득과 정확히 균형을 이루기 때문이다. 카지노에서는 하우스 에지로 인해 기댓값이 음수(-)가 된다. 게다가 연속적인 패배가 발생할 가능성이 일반적인 직관보다 높기 때문에, 마팅게일 전략은 도박사를 빠르게 파산시킬 수 있다.

마팅게일 전략은 룰렛에서도 적용되어 왔는데, 이는 빨간색이나 검은색 중 하나가 나올 확률이 50%에 가깝기 때문이다.

## 직관적 분석

모든 마팅게일 방식의 베팅 시스템이 실패하는 근본적인 이유는 과거 베팅 결과에 대한 그 어떤 정보도 미래 베팅의 결과를 우연보다 더 정확하게 예측하는 데 사용될 수 없기 때문이다. 수학적 용어로 이는 각 베팅의 승패 결과가 독립항등분포를 따르는 확률 변수라는 가계에 해당하며, 이 가정은 많은 현실적인 상황에서 유효하다. 이 가정에 따르면 일련의 베팅에 대한 기댓값은 해당 시리즈에서 발생할 수 있는 모든 베팅에 대해, 잠재적 베팅의 기댓값에 플레이어가 그 베팅을 할 확률을 곱한 값들의 합과 같다. 대부분의 카지노 게임에서 개별 베팅의 기댓값은 음수이므로, 많은 음수의 합 또한 항상 음수가 된다.

마팅게일 전략은 중단 시간에 제한이 없더라도, 수익이나 베팅 금액에 제한이 있는 한(실제 상황에서는 항상 그러함) 실패한다. 재산, 베팅 금액, 시간에 제한이 없는 경우에만 마팅게일이 승리 전략이 될 수 있다고 주장할 수 있다.

## 수학적 분석
베팅 크기나 개인의 자금(bankroll) 또는 신용 한도에 제한이 있을 때 장기적으로 승리하는 것이 불가능함은 선택적 중단 정리(optional stopping theorem)에 의해 증명된다.

그러나 이러한 제한이 없다면, 동전 던지기 횟수가 무한대에 가까워짐에 따라 적어도 한 번은 앞면이 나올 확률이 1에 수렴하므로 마팅게일 베팅 전략은 도박사에게 확실히 돈을 벌게 해준다.

## 단일 라운드에 대한 수학적 분석
한 라운드를 연속된 패배 후 승리가 따르거나 도박사가 파산할 때까지의 과정으로 정의하자. 승리 후 도박사는 시스템을 "재설정"하고 새로운 라운드를 시작하는 것으로 간주한다. 따라서 연속적인 마팅게일 베팅은 독립적인 라운드들의 배열로 나눌 수 있다. 다음은 한 라운드의 기댓값 분석이다.

패배 확률을 q라고 하자(예: 미국식 더블 제로 룰렛에서 검은색 또는 빨간색에 베팅할 때 확률은 20/38이다). 초기 베팅 금액을 B라고 하자. 도박사가 감당할 수 있는 최대 패배 횟수를 n이라고 하자.

도박사가 n번의 베팅 모두에서 패배할 확률은 qn이다. 모든 베팅에서 졌을 때 총 손실액은 다음과 같다.

:\sum_{i=1}^n B \cdot 2^{i-1} = B(2^{n} - 1)

도박사가 n번 모두 패배하지 않을 확률은 1&nbsp;−&nbsp;qn이다. 그 외의 모든 경우 도박사는 초기 베팅 금액(B)만큼을 얻는다. 따라서 라운드당 예상 이익은 다음과 같다.

:(1-q^n) \cdot B - q^n \cdot B (2^n - 1) = B (1 - (2q)^n)

q&nbsp;>&nbsp;1/2일 때마다, 모든 n&nbsp;>&nbsp;0에 대해 1&nbsp;−&nbsp;(2q)n&nbsp;k단위를 베팅하게 된다.

어떤 회전에서든 승리하면 도박사는 그때까지 베팅한 총액보다 1단위 많은 수익을 얻게 된다. 일단 승리하면 도박사는 다시 1단위 베팅으로 시스템을 재시작한다.

처음 6번의 회전에서 모두 패배하면 도박사는 총 63단위를 잃게 된다. 이로써 자금이 바닥나고 마팅게일을 계속할 수 없게 된다.

이 예시에서 전체 자금을 잃고 마팅게일을 계속할 수 없게 될 확률은 6번 연속 패배할 확률과 같다: (10/19)6 =&nbsp;2.1256%. 승리할 확률은 1에서 6번 연속 패배할 확률을 뺀 것과 같다: 1&nbsp;−&nbsp;(10/19)6&nbsp;=&nbsp;97.8744%.

예상 수익금은 (1 × 0.978744) = 0.978744이다.
예상 손실액은 (63 × 0.021256) = 1.339118이다.
따라서 이 베팅 시스템을 한 번 적용할 때마다의 전체 기댓값은 (0.978744&nbsp;−&nbsp;1.339118) = −0.360374이다.

## 대안적 수학적 분석
앞선 분석은 기댓값을 계산했지만, 우리는 다른 질문을 던질 수 있다. 마팅게일 전략을 사용하여 카지노 게임을 하면서 자금을 두 배로 불릴 만큼 충분히 오랫동안 연패를 피할 수 있는 확률은 얼마나 될까?

이전과 마찬가지로, 이는 우리가 빨강/검정 또는 홀/짝에 베팅한다고 가정할 때 룰렛에서 6번 연속으로 패배할 가능성에 달려 있다. 많은 도박사들은 6번 연속으로 질 확률이 희박하다고 믿으며, 전략을 끈기 있게 고수하면 천천히 자금을 불릴 수 있을 것이라고 생각한다.

실제로 6연패가 발생할 확률은 많은 사람들이 직관적으로 믿는 것보다 훨씬 높다. 심리학적 연구에 따르면, 사람들은 6번 게임을 해서 6번 모두 질 확률이 낮다는 것을 알기 때문에, 더 긴 게임 과정 중에도 그 확률이 매우 낮을 것이라고 잘못 가정한다. 사실, 싱글 제로 휠에서 6번 게임을 해 6번 연속 질 확률은 1.8%로 비교적 낮지만, 200번의 게임을 하는 동안 어느 시점에서든 6번 연속으로 질 확률(즉, 6연패 구간을 만날 확률)은 약 84%에 달한다. 도박사가 원래 베팅액의 약 1,000배까지 베팅을 견딜 수 있다 하더라도, 200번의 게임 중 10연패가 발생할 확률은 약 11%이다. 마팅게일 전략을 사용할 때 10연패는 원래 베팅액의 1,023배 손실을 의미하므로, 이러한 연패는 도박사를 파산시킬 가능성이 크다.

이러한 직관에 어긋나는 위험한 확률 때문에 "안전한" 장기 마팅게일 베팅을 위해 필요한 자금 규모는 비현실적으로 높아진다. 5,000번의 게임을 하는 동안 긴 연패를 견디지 못할 확률을 10% 미만으로 유지하려면, 베터는 15번의 패배까지 베팅을 두 배로 늘릴 수 있는 자금이 있어야 한다. 이는 베터가 원래 베팅 규모의 65,500배 이상의 자금을 가지고 있어야 함을 의미한다(15번의 패배를 위한 2^15-1과 연패를 끊는 16번째 승리 베팅을 위한 2^15). 따라서 10단위 베팅을 하는 플레이어는 자금으로 655,000단위 이상을 가지고 있어야 한다(그럼에도 5,000번의 게임 동안 전 재산을 잃을 확률이 약 5.5% 존재한다).

사람들에게 200번의 동전 던지기를 나타내는 데이터를 만들어 보라고 하면, 대개 5번 이상의 연속된 결과(연속체)를 넣지 않는데, 이는 그러한 연속이 매우 드물다고 믿기 때문이다. 이러한 직관적 믿음은 때때로 대표성 휴리스틱이라 불린다.

## 안티 마팅게일
전형적인 마팅게일 베팅 방식에서 도박사는 결국 승리하여 이전의 모든 손실을 회복하기를 바라며 패배할 때마다 베팅액을 늘린다. '역 마팅게일'(reverse martingale)로도 알려진 안티 마팅게일 접근법은 대신 승리 후에 베팅액을 늘리고, 패배 후에는 베팅액을 줄인다. 이는 도박사가 연승이나 소위 "좋은 흐름"의 혜택을 받는 동시에, "운이 없을" 때나 연패 중에는 손실을 줄일 수 있다는 인식에 기반한다. 그러나 실제로 안티 마팅게일 시스템 또한 이익을 창출하는 데 실패한다.

## 같이 보기

* 더블 오어 너싱
* 몰입의 에스컬레이션
* 상트페테르부르크의 역설
* 매몰 비용 오류

## 각주

분류:도박 용어
분류:룰렛