연속 원순서 집합

순서론에서 **연속 원순서 집합**(連續原順序集合, )은 모든 원소가 그 원소를 ‘제한적으로 근사’하는 원소들로도 충분히 잘 근사되는 원순서 집합이다. 연속 완비 격자는 흔히 **연속 격자**(連續格子, )로 불린다.

## 정의
원순서 집합 (P,\lesssim)의 두 원소 a,b\in P에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 임의의 상향 집합 D\subseteq P에 대하여, 만약 b\lesssim\bigvee D라면, a\lesssim d인 d\in D가 존재한다.
* 임의의 순서 아이디얼 I\subseteq P에 대하여, 만약 b\lesssim\bigvee I라면, a\in I이다.
이 경우, **<math>a</math>가 <math>b</math>를 근사한다**() 또는 **<math>a</math>가 <math>b</math>보다 훨씬 아래**()라고 하며, 이를
:a\ll b
로 적는다.

근사 관계 \ll는 추이적 관계이며, P가 부분 순서 집합인 경우 반대칭 관계이지만, 원순서가 아닐 수 있다. \ll가 원순서인 것은 (P,\lesssim)의 오름 사슬 조건과 동치이다.

원순서 집합 (P,\lesssim)의 임의의 원소 a\in L에 대하여,
:\mathop\Uparrow a=\{b\in L\colon a\ll b\}
:\mathop\Downarrow a=\{b\in L\colon b\ll a\}
라고 하자. 이는 각각 P의 상집합과 하집합을 이룬다. 만약 P가 이음 반격자라면, \mathop\Downarrow a는 상향 집합이다. 그러나 P가 만남 반격자이더라도 \mathop\Uparrow a는 하향 집합이 아닐 수 있다.

원순서 집합 (P,\lesssim)가 다음 조건을 만족시키면, **연속 원순서 집합**이라고 한다.
* 임의의 a\in P에 대하여, \mathop\Downarrow a는 상향 집합이며, a=\bigvee\mathop\Downarrow a이다.

## 성질
### 순서론적 성질
연속 원순서 집합 (P,\lesssim)의 두 원소 a,b\in P에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* a\ll b
* 임의의 상향 집합 D\subseteq P에 대하여, 만약 b\lesssim\bigvee D라면, a\ll d인 d\in D가 존재한다.

둘째 조건은 첫째 조건을 자명하게 함의한다. 이제, a\ll b이며, D\subseteq P가 상향 집합이며, b\lesssim\bigvee D라고 하자.
:I=\bigcup_{d\in D}\mathop\Downarrow d
를 생각하자. P가 연속 원순서 집합이므로, I는 순서 아이디얼들의 상향 집합의 합집합이다. 따라서 I 역시 순서 아이디얼이다. 또한,
:\bigvee I\gtrsim\bigvee_{d\in D}\bigvee\mathop\Downarrow d=\bigvee D\gtrsim b
이다. 따라서, a\in I이다. 즉, a\ll d인 d\in D가 존재한다.

이를 사용하여, 연속 원순서 집합 (P,\lesssim)의 근사 관계 \ll가 다음과 같은 보간 성질을 만족시킴을 보일 수 있다.
:\forall a,b\in P\colon a\ll b\implies(\exist c\in P\colon a\ll c\ll b)

위 명제에서, D=\mathop\Downarrow b를 취한다.

### dcpo
dcpo (P,\le)의 두 원소 a,b\in P에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* a\ll b이며, a\ne b
* 임의의 상향 집합 D\subseteq P에 대하여, 만약 b\lesssim\bigvee D라면, a\ll d이며 a\ne d인 d\in D가 존재한다.
따라서, 만약 P가 연속 dcpo라면, 다음과 같은 더 강한 보간 성질이 성립한다.
:\forall a,b\in P\colon a\ll b\land a\ne b\implies(\exist c\in P\colon a\ll c\ll b\land a\ne c)

dcpo (P,\le)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 연속 원순서 집합이다.
* 순서 아이디얼의 상한 함수 \bigvee\colon\operatorname{Ideal}(P)\to P는 (작은 얇은 범주 사이의 함자로서) 왼쪽 수반 함자를 갖는다. 여기서 \operatorname{Ideal}(P)는 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합이다.
구체적으로, 연속 dcpo (P,\le)에 대하여, \bigvee\colon\operatorname{Ideal}(P)\to P의 왼쪽 수반 함자는
:\mathord\Downarrow\colon P\to\operatorname{Ideal}(P)
:\mathord\Downarrow\dashv\mathord\bigvee
이다.

임의의 연속 dcpo (P,\le)가 주어졌다고 하자. 다음 두 명제를 보이면 족하다.
* 임의의 a\in P에 대하여, a\le\bigvee\mathop\Downarrow a
* 임의의 순서 아이디얼 I\in\operatorname{Ideal}(P)에 대하여, \mathop\Downarrow\bigvee I\subseteq I
이 두 명제는 연속 원순서 집합의 정의에 따라 자명하다.

반대로, (P,\le)가 dcpo이며, f\colon P\to\operatorname{Ideal}(P)가 \bigvee\colon\operatorname{Ideal}(P)\to P의 왼쪽 수반 함자이며, a\in P라고 하자. 그렇다면, f(a)는
:a\le\bigvee f(a)
인 최소의 P의 순서 아이디얼이다. 근사 순서 \ll의 정의에 따라,
:f(a)=\mathop\Downarrow a
이다. 따라서, P는 연속 원순서 집합이다.

### 완비 격자
완비 격자 L의 두 원소 a,b\in L에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* a\ll b
* 임의의 부분 집합 A\subseteq P에 대하여, 만약 b\le\bigvee A라면, a\le\bigvee F인 유한 부분 집합 F\subseteq A가 존재한다.

완비 격자 L에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* 연속 원순서 집합이다.
* 순서 아이디얼의 상한 함수 \bigvee\colon\operatorname{Ideal}(L)\to L은 임의의 부분 집합의 하한을 보존한다. 여기서 \operatorname{Ideal}(L)은 순서 아이디얼들의 완비 격자이다.
* 임의의 상향 집합들의 집합 \mathcal D\subseteq\mathcal P(L)에 대하여, \bigwedge_{D\in\mathcal D}\bigvee D=\bigvee_{f\in\prod\mathcal D}\bigwedge_{D\in\mathcal D}f(D)
* 두 원소 격자 \{0,1\}의 (유한 또는 무한 개) 직접곱 위의 스콧 연속 멱등 함수 r\colon\{0,1\}^\kappa\to\{0,1\}^\kappa의 상 r(\{0,1\}^\kappa)과 동형이다.

연속 완비 격자 L이 주어졌다고 하자. \mathcal I\subseteq\operatorname{Ideal}(L)이 임의의 순서 아이디얼들의 집합이라고 하자.
:\bigvee\bigwedge\mathcal I=\bigwedge_{I\in\mathcal I}\bigvee I
를 보이면 족하다. \le은 자명하다. \mathord\Downarrow\dashv\mathord\bigvee이므로, 반대 방향의 부등식은
:\bigwedge\mathcal I\supseteq\mathop\Downarrow\bigwedge_{I\in\mathcal I}\bigvee I
를 보이면 족하다. 이는 임의의 I\in\mathcal I에 대하여
:I\supseteq\mathop\Downarrow\bigvee I\supseteq\mathop\Downarrow\bigwedge_{J\in\mathcal I}\bigvee J
이므로 참이다.

반대로, L이 완비 격자이며, \bigvee\colon\operatorname{Ideal}(L)\to L이 임의의 하한을 보존한다고 하자. \bigvee\colon\operatorname{Ideal}(L)\to L의 왼쪽 수반 함자 f\colon L\to\operatorname{Ideal}(L)를 찾으면 족하다. 다음과 같은 함수를 생각하자.
:f\colon a\mapsto\bigwedge\left\{I\in\operatorname{Ideal}(L)\colon a\le\bigvee I\right\}
이는 자명하게 순서 보존 함수이다. 따라서, 다음 두 부등식을 보이면 족하다.
* 임의의 I\in\operatorname{Ideal}(L)에 대하여, f\left(\bigvee I\right)\subseteq I
** 이는 I\in\left\{J\in\operatorname{Ideal}(L)\colon\bigvee I\le\bigvee J\right\}이므로 참이다.
* 임의의 a\in L에 대하여, a\le\bigvee f(a)
** \bigvee\colon\operatorname{Ideal}(L)\to L이 하한을 보존하므로, \bigvee f(a)=\bigwedge_{I\in\mathcal I}^{a\le\bigvee I}\bigvee I\ge a이다.

연속 완비 격자 L이 주어졌다고 하자. \mathcal D\subseteq\mathcal P(L)가 임의의 L의 상향 집합들의 집합이라고 하자. \bigwedge_{D\in\mathcal D}\bigvee D\ge\bigvee_{f\in\prod\mathcal D}\bigwedge_{D\in\mathcal D}f(D)
은 자명하다. 따라서, 임의의 a\ll\bigwedge_{D\in\mathcal D}\bigvee D에 대하여, a\le\bigvee_{f\in\prod\mathcal D}\bigwedge_{D\in\mathcal D}f(D)임을 보이면 족하다. 임의의 D\in\mathcal D에 대하여, a\ll\bigvee D이므로, a\le g(D)인 g(D)\in D가 존재한다. 따라서,
:a\le\bigwedge_{D\in\mathcal D}g(D)\le\bigvee_{f\in\prod\mathcal D}\bigwedge_{D\in\mathcal D}f(D)
이다.

반대로, L이 완비 격자이며, 또한 임의의 상향 집합들의 집합 \mathcal D\subseteq\mathcal P(L)에 대하여, \bigwedge_{D\in\mathcal D}\bigvee D=\bigvee_{f\in\prod\mathcal D}\bigwedge_{D\in\mathcal D}f(D)라고 하자. 임의의 a\in L에 대하여, 자명하게 \bigvee\mathop\Downarrow a\le a이다. 따라서 \bigvee\mathop\Downarrow a\ge a임을 보이면 족하다. \mathcal D를 다음 두 조건을 만족시키는 부분 집합 D\subseteq L들의 집합으로 취하자.
* D는 상향 집합이다.
* a\le\bigvee D
그렇다면, \mathcal D의 정의에 따라, 임의의 f\in\prod\mathcal D에 대하여,
:\bigwedge_{D\in\mathcal D}f(D)\ll a
이다. 따라서,
:a\le\bigwedge_{D\in\mathcal D}\bigvee D=\bigvee_{f\in\prod\mathcal D}\bigwedge f(D)\le\bigvee\mathop\Downarrow a
이다.

연속 완비 격자에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 분배 격자이다.
* 완비 헤이팅 대수이다.

모든 완비 헤이팅 대수는 자명하게 분배 격자이다. 반대로, L이 연속 완비 격자이자, 분배 격자라고 하자. 임의의 원소 a\in L 및 부분 집합 S\subseteq L에 대하여,
:a\wedge\bigvee S=\bigvee_{s\in S}a\wedge s
임을 보이면 족하다. 연속 완비 격자의 세 번째 조건에서,
:\mathcal D=\left\{\{a\},\left\{\bigvee S'\colon S'\subseteq S,\;|S'|
을 취하자. (두 번째 집합이 상향 집합임은 쉽게 보일 수 있다.) 그렇다면, L이 연속 완비 격자이자 분배 격자이므로, 다음이 성립한다.
:a\wedge\bigvee S=a\wedge\bigvee_{S'\subseteq S}^{|S'|

모든 연속 완비 분배 격자는 국소 콤팩트 공간의 열린집합 격자와 순서 동형이다.

### 연산에 대한 닫힘
유한 개의 연속 dcpo들의 직접곱은 연속 dcpo이며, 그 위의 근사 관계는 성분별 근사 관계와 동치이다. 유한 또는 무한 개의 최소 원소를 갖는 연속 dcpo (P_i,\le)_{i\in I}들의 직접곱 \textstyle\prod_{i\in I}P_i
는 연속 dcpo이며, 직접곱의 두 원소 \textstyle a,b\in\prod_{i\in I}P_i에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* a\ll b
* 임의의 i\in I에 대하여 a_i\ll b_i이며, \{i\in I\colon a_i\ne\bot\}는 유한 집합이다.

연속 dcpo의 스콧 닫힌집합은 연속 dcpo이며, 그 위의 근사 관계는 원래 근사 관계를 제한한 것이다.

### 범주론적 성질
연속 완비 격자와 스콧 연속 함수의 범주는 데카르트 닫힌 범주를 이룬다.

## 예
모든 유한 원순서 집합은 연속 원순서 집합이다. 보다 일반적으로, 오름 사슬 조건을 만족시키는 모든 원순서 집합은 연속 원순서 집합이다.

### 폐구간
실수 폐구간 [0,1]\subseteq\mathbb R은 표준적인 순서에 의하여 완비 격자를 이룬다. 또한, 임의의 x,y\in[0,1]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* x\ll y
* x=0이거나, x
따라서, 항상
:\bigvee\mathop\Downarrow x=\bigvee([0,x)\cup\{0\})=x
이며, [0,1]은 연속 완비 격자를 이룬다.

보다 일반적으로, 전순서 완비 격자 L의 임의의 두 원소 a,b\in L에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* a\ll b
* 다음 세 조건 가운데 정확히 하나가 성립한다.
** a=b=\bot
** a
** a=b>\bot이며, a=b는 L의 어떤 도약 (c,a)의 두 번째 성분이다.
따라서, 모든 전순서 완비 격자는 연속 완비 격자이다.

### 멱집합
임의의 집합 X에 대하여, 멱집합 (\mathcal P(X),\subseteq)는 완비 격자를 이룬다. 이 경우 A\ll B는 A가 B의 유한 부분 집합인 것과 동치이다. 모든 집합은 그 유한 부분 집합들의 합집합이므로, (\mathcal P(X),\subseteq)는 연속 완비 격자를 이룬다.

### 열린집합 격자
위상 공간 X의 열린집합들은 포함 관계에 의하여 완비 헤이팅 대수 \operatorname{Open}(X)를 이룬다. 임의의 두 열린집합 U,V\in\operatorname{Open}(X)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* U\ll V
* 임의의 열린 V-덮개는 유한 부분 U-덮개를 갖는다.
* U\subseteq V이며, U를 원소로 갖는 X 위의 임의의 극대 필터는 V 속의 점으로 수렴한다.

\operatorname{Open}(X)가 완비 격자이므로 첫째 조건과 둘째 조건은 서로 동치이다. 이제, U\ll V이며, \mathcal F가 X위의 극대 필터이며, U\in\mathcal F라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 x\in V가 \mathcal F의 극한이 아니라고 가정하자. 즉, W_x\not\in\mathcal F인 x의 근방 W_x가 존재한다. \mathcal F가 극대 필터이므로, W_x\cap F_x=\varnothing인 F_x\in\mathcal F가 존재한다. 그렇다면, \{W_x\colon x\in V\}는 V-덮개이므로, 유한 부분 U-덮개 \{W_x\colon x\in S\}을 갖는다. 따라서,
:\varnothing=\bigcup_{x\in S}W_x\cap\bigcap_{x\in S}F_x\in\mathcal F
이며, 이는 모순이다.

이제, U\subseteq V이며, U를 원소로 갖는 X 위의 임의의 극대 필터는 V 속의 점으로 수렴한다고 하자. \mathcal D\subseteq\operatorname{Open}(X)가 열린집합들의 상향 집합이며, V\subseteq\bigcup\mathcal D라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 D\in\mathcal D에 대하여, U\not\subseteq D라고 하자. 그렇다면, \{U\setminus D\colon D\in\mathcal D\}는 하향 집합을 이룬다. 이를 포함하는 최소의 필터
:\mathcal F_0=\mathop\uparrow\{U\setminus D\colon D\in\mathcal D\}
를 생각하자. \mathcal F_0\subseteq\mathcal F인 X 위의 극대 필터 \mathcal F를 취하자. D_0\in\mathcal D를 고정하자. 그렇다면, 임의의 F\in\mathcal F에 대하여,
:F\cap U\supseteq F\cap U\setminus D_0\ne\varnothing
이다. 따라서 U\in\mathcal F이며, \mathcal F는 어떤 x\in V로 수렴한다. x\in D인 D\in\mathcal D를 취하자. 그렇다면, D\in\mathcal F이므로,
:\varnothing=D\cap U\setminus D\in\mathcal F
이다. 이는 모순이다.

만약 X가 국소 콤팩트 공간(즉, 모든 점이 콤팩트 국소 기저를 갖는 위상 공간)이라면, 추가로 다음 조건이 동치이다.
* U\subseteq C\subseteq V인 콤팩트 집합 C가 존재한다.
따라서, 임의의 국소 콤팩트 공간 X의 열린집합 격자 \operatorname{Open}(X)는 연속 완비 격자를 이룬다. 보다 일반적으로, 위상 공간 X에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 X를 **핵콤팩트 공간**()이라고 한다.
* \operatorname{Open}(X)는 연속 완비 격자이다.
* X의 차분화는 국소 콤팩트 공간이다.
* 위상 공간의 범주 \operatorname{Top}에서, 임의의 위상 공간 Y에 대하여, 지수 대상 Y^X가 존재한다.
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:국소 콤팩트 공간 (모든 점이 콤팩트 국소 기저를 갖는 공간) ⇒ 핵콤팩트 공간 ⇒ 쇼케 공간 ⇒ 베르 공간

### 반례
다음과 같은 부분 순서 집합 \{\bot,\top,a_1,a_2,a_3,\dotsc,b\}을 생각하자.
:\bot
:\bot
이는 완비 격자를 이룬다.
:\{\bot,a_1,a_2,a_3,\dotsc\}
가 상향 집합이므로, b\not\ll b임을 알 수 있다. 따라서
:\bigvee\mathop\Downarrow b=\bigvee\{\bot\}=\bot\ne b
이며, 이 완비 격자는 연속 완비 격자가 아니다.

모든 원자 없는 완비 불 대수는 연속 완비 격자가 아니다. 원자 없는 완비 불 대수 B의 두 원소 a,b\in B에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* a\ll b
* a=\bot

### 합동 관계 격자
환 R의 아이디얼들은 포함 관계에 의하여 완비 격자 \operatorname{Ideal}(R)를 이룬다. 임의의 두 아이디얼 I,J\in\operatorname{Ideal}(R)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* I\ll J
* I\subseteq K\subseteq J인 유한 생성 아이디얼 K\subseteq R가 존재한다.
모든 아이디얼은 그 유한 생성 부분 아이디얼들의 합집합이므로, \operatorname{Ideal}(R)는 연속 완비 격자를 이룬다.

## 참고 문헌

## 외부 링크
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분류:순서론