슈바르츠 삼각형

[thumb|[헤르만 아만두스 슈바르츠(1890년)]]
기하학에서 헤르만 아만두스 슈바르츠의 이름을 딴 **슈바르츠 삼각형**()은 그 변을 반사시켜서 구를 (겹칠 수도 있게) 타일링하는 데 사용할 수 있는(구면 테셀레이션) 구면 삼각형이다. 이들은 에서 분류되었다.

이들은 더 일반적으로 구, 유클리드 평면 또는 쌍곡 평면의 테셀레이션으로 정의될 수 있다. 구 위의 각 슈바르츠 삼각형은 유한군을 정의하는 반면, 유클리드 또는 쌍곡 평면 위의 슈바르츠 삼각형은 무한군을 정의한다.

슈바르츠 삼각형은 세 개의 유리수 로 표현되며, 각각은 꼭짓점의 각도를 나타낸다. 값 는 꼭짓점의 각도가 반원의 임을 의미한다. "2"는 직각삼각형을 의미한다. 이들이 정수일 때 이 삼각형은 **뫼비우스 삼각형**(Möbius triangle)이라고 불리며, 겹치지 않는 타일링에 대응하고 그 대칭군은 삼각군이라고 불린다. 구에는 세 개의 뫼비우스 삼각형과 하나의 1-매개변수 가족이 있으며, 평면에는 세 개의 뫼비우스 삼각형이 있고, 쌍곡 공간에는 뫼비우스 삼각형의 3-매개변수 가족이 있으며 예외적 객체는 없다.

## 해 공간
꼭짓점 각도가 , , 인 기본 영역 삼각형 은 이 정수들의 역수 합의 값에 따라 서로 다른 공간에 존재할 수 있다.


\frac 1 p + \frac 1 q + \frac 1 r \quad
\begin{cases}
  > 1 &\implies \text{구} \\[2pt]
  = 1 &\implies \text{유클리드 평면} \\[2pt]
  

이것은 단순히 유클리드 공간에서는 삼각형의 내각 합이 인 반면, 구 위에서는 보다 큰 각도로 합산되고, 쌍곡 공간에서는 그보다 작은 각도로 합산된다는 것을 말하는 방식이다.

## 그래픽 표현
**슈바르츠 삼각형**은 그래픽적으로 삼각형 그래프로 표현된다. 각 노드는 슈바르츠 삼각형의 변(거울)을 나타낸다. 각 변은 반사 차수에 해당하는 유리수 값인 π/꼭짓점 각도로 레이블이 지정된다.

차수가 2인 변은 이 다이어그램에서 무시할 수 있는 수직 거울을 나타낸다. 콕서터-딩킨 도표는 차수 2의 변이 숨겨진 이 삼각형 그래프를 나타낸다.

사이클 그래프의 경우 (*p* *q* *r*), (직각삼각형)의 경우 (*p* *q* 2) = [*p*,*q*] 그리고 (*p* 2 2) = [*p*]&times;[]와 같이 콕서터 군을 사용하면 더 간단한 표기법을 쓸 수 있다.

## 슈바르츠 삼각형의 목록
### 구를 위한 뫼비우스 삼각형

정수를 갖는 슈바르츠 삼각형(또는 **뫼비우스 삼각형**)은 하나의 1-매개변수 가족과 세 개의 예외적인 경우를 포함한다:

# [*p*,2] 또는 (*p* 2 2) - 이면체 대칭, 
# [3,3] 또는 (3 3 2) - 사면체 대칭, 
# [4,3] 또는 (4 3 2) - 정팔면체 대칭, 
# [5,3] 또는 (5 3 2) - 정이십면체 대칭, 

### 밀도에 따른 구 슈바르츠 삼각형
밀도별로 분류된 슈바르츠 삼각형 (*p* *q* *r*):

### 유클리드 평면을 위한 삼각형

밀도 1:

# (3 3 3) – 60-60-60 (정삼각형), 
# (4 4 2) – 45-45-90 (이등변 직각), 
# (6 3 2) – 30-60-90, 

밀도 2:

# (6 6 3/2) - 120-30-30 삼각형

밀도 ∞:

# (4 4/3 ∞)
# (3 3/2 ∞)
# (6 6/5 ∞)

### 쌍곡 평면을 위한 삼각형

밀도 1:

* (2 3 7), (2 3 8), (2 3 9) ... (2 3 ∞)
* (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7) ... (2 4 ∞)
* (2 5 5), (2 5 6), (2 5 7) ... (2 5 ∞)
* (2 6 6), (2 6 7), (2 6 8) ... (2 6 ∞)
* (3 3 4), (3 3 5), (3 3 6) ... (3 3 ∞)
* (3 4 4), (3 4 5), (3 4 6) ... (3 4 ∞)
* (3 5 5), (3 5 6), (3 5 7) ... (3 5 ∞)
* (3 6 6), (3 6 7), (3 6 8) ... (3 6 ∞)
* ...
* (∞ ∞ ∞)

밀도 2:

* (3/2 7 7), (3/2 8 8), (3/2 9 9) ... (3/2 ∞ ∞)
* (5/2 4 4), (5/2 5 5), (5/2 6 6) ... (5/2 ∞ ∞)
* (7/2 3 3), (7/2 4 4), (7/2 5 5) ... (7/2 ∞ ∞)
* (9/2 3 3), (9/2 4 4), (9/2 5 5) ... (9/2 ∞ ∞)
* ...

밀도 3:

* (2 7/2 7), (2 9/2 9), (2 11/2 11) ...

밀도 4:

* (7/3 3 7), (8/3 3 8), (3 10/3 10), (3 11/3 11) ...

밀도 6:

* (7/4 7 7), (9/4 9 9), (11/4 11 11) ...
* (7/2 7/2 7/2), (9/2 9/2 9/2), ...

밀도 10:

* (3 7/2 7)

(2 3 7) 슈바르츠 삼각형은 가장 작은 쌍곡 슈바르츠 삼각형이며, 따라서 특별한 관심의 대상이다. 이것의 삼각군(더 정확하게는 방향 보존 등거리 사상의 지수 2 본 다이크 군)은 (2,3,7) 삼각군으로, 모든 허위츠 군(리만 곡면의 등거리 사상 중 최대군)의 보편군이다. 모든 허위츠 군은 (2,3,7) 삼각군의 몫군이며, 모든 허위츠 곡면은 (2,3,7) 슈바르츠 삼각형으로 타일링된다. 가장 작은 허위츠 군은 차수가 168인 단순군으로, 두 번째로 작은 비가환 단순군이자 PSL(2,7)과 동형이며, 관련된 허위츠 곡면(속 3)은 클라인 4차 곡선이다.

(2 3 8) 삼각형은 속 2의 고도로 대칭적인(그러나 허위츠는 아닌) 곡면인 볼자 곡면을 타일링한다.

위에서 나열된 하나의 비정수 각도를 갖는 삼각형은 앤서니 W. 냅에 의해 처음 분류되었다. 여러 비정수 각도를 갖는 삼각형의 목록은 다음에서 제공된다.

## 슈바르츠 삼각형에 의한 테셀레이션
이 섹션에서는 초등적인 방법을 사용하여 슈바르츠 삼각형에 의한 쌍곡 상반 평면의 테셀레이션을 논의한다. "첨점"(각도가 0이거나 꼭짓점이 실수축 위에 있는 경우)이 없는 삼각형의 경우 의 초등적인 접근 방식을 따를 것이다. 하나 또는 두 개의 첨점이 있는 삼각형의 경우, 의 접근 방식을 단순화한 의 초등적인 논증을 사용할 것이다: 각도 하나가 0이고 다른 하나가 직각인 슈바르츠 삼각형의 경우, 그 삼각형의 반사군의 방향 보존 부분군은 헤케 군이다. 모든 각도가 0이어서 모든 꼭짓점이 실수축 위에 있는 이상삼각형의 경우, 테셀레이션의 존재는 와 에 기술된 파레이 수열과 연관시켜 확립될 것이다. 이 경우 테셀레이션은 리만 구 위에서 접하는 세 원과 관련된 것으로 간주될 수 있으며, 이는 세 개의 분리된 중첩되지 않은 원과 그 반사군, 즉 "쇼트키 군"과 관련된 구성의 한계 사례로 에 자세히 설명되어 있다. 대안적으로—이상삼각형을 각도가 0, /2, /3인 6개의 삼각형으로 나누어—이상삼각형에 의한 테셀레이션은 하나 또는 두 개의 첨점이 있는 삼각형에 의한 테셀레이션으로 이해될 수 있다.

### 첨점이 없는 삼각형
thumb|upright|각도가 /4, /4, /5인 삼각형에 의한 테셀레이션
thumb|upright|각도가 /3, /5, /7인 삼각형에 의한 테셀레이션
thumb|upright|각도가 /4인 정삼각형에 의한 테셀레이션
쌍곡삼각형 Δ가 1보다 큰 정수 *a*, *b*, *c*에 대해 /*a*, /*b*, /*c*의 각도를 갖는다고 가정하자. Δ의 쌍곡 면적은  − /*a* − /*b* − /*c*이므로 다음과 같다.

:\frac1a + \frac1b + \frac1c 

테셀레이션의 구성은 먼저 *a*, *b*, *c*가 2보다 큰 경우에 대해 수행될 것이다.

원래 삼각형 Δ는 3개의 꼭짓점을 가진 볼록 다각형 *P*1을 제공한다. 세 꼭짓점 각각에서 삼각형은 꼭짓점에서 뻗어나오는 변을 통해 연속적으로 반사되어 삼각형의 2m개 사본을 생성할 수 있으며, 여기서 꼭짓점의 각도는 /*m*이다. 삼각형들은 변을 제외하고는 겹치지 않으며, 그 중 절반은 방향이 반전되고 점의 인근을 타일링하도록 서로 맞물린다. 이 새로운 삼각형들과 원래 삼각형의 합집합은 연결된 모양 *P*2를 형성한다. 이것은 변이나 꼭짓점에서만 교차하는 삼각형들로 구성되며, 모든 각도가 보다 작거나 같은 볼록 다각형을 형성하고 각 면은 반사된 삼각형의 변이 된다. Δ의 한 각도가 /3인 경우 *P*2의 한 꼭짓점은 의 내각을 갖게 되지만, 이는 P2의 볼록성에 영향을 미치지 않는다. 의 각도가 발생하는 이 퇴화된 경우에도 두 공선형 변은 구성을 위해 여전히 별개로 간주된다.

*P*2의 구성은 일부 삼각형이나 타일이 두 번 추가된다는 점에 주목하면 더 명확하게 이해될 수 있는데, 원래 삼각형과 한 변을 공유하는 세 개가 그것이다. 나머지는 꼭짓점만 공유한다. 타일링을 수행하는 더 체계적인 방법은 먼저 각 변에 타일을 추가하고(해당 변에서의 삼각형의 반사) 각 꼭짓점의 간격을 메우는 것이다. 결과적으로 총 3 + (2*a* − 3) + (2*b* − 3) + (2*c* − 3) = 2(*a* + *b* + *c*) − 6개의 새로운 삼각형이 생긴다. 새로운 꼭짓점은 두 가지 유형이다. 원래 삼각형의 변에 부착된 삼각형의 꼭짓점인 것들은 Δ의 2개 꼭짓점에 연결된다. 이들 각각은 해당 꼭짓점에서 교차하는 세 개의 새로운 삼각형 안에 놓인다. 나머지는 Δ의 고유한 꼭짓점에 연결되며 공통 변을 가진 두 개의 새로운 삼각형에 속한다. 따라서 3 + (2a − 4) + (2b − 4) + (2c − 4) = 2(a + b + c) − 9개의 새로운 꼭짓점이 있다. 구성에 의해 겹침은 없다. *P*2가 볼록하다는 것을 보려면 새로운 꼭짓점에서 만나는 변들 사이의 각도가 보다 작거나 같음을 보이면 충분하다. 그러나 새로운 꼭짓점은 해당 꼭짓점에서 만나는 2개 또는 3개의 새로운 삼각형에 놓여 있으므로 해당 꼭짓점의 각도는 요구되는 대로 2/3 또는 보다 크지 않다.

이 과정은 *P*2의 각 변에 먼저 타일을 추가하고 *P*2의 각 꼭짓점 주위에 타일을 메워서 *P*3를 얻기 위해 반복될 수 있다. 그런 다음 *P*3에서 *P*4를 얻는 식으로 과정을 반복하여 *P**n*-1에서 *P**n*을 연속적으로 생성할 수 있다. 이들이 모두 겹치지 않는 타일을 가진 볼록 다각형임을 귀납적으로 확인할 수 있다. 실제로 과정의 첫 번째 단계에서와 같이 *P**n*-1에서 *P**n*을 만드는 데는 두 종류의 타일이 있는데, *P**n*-1의 변에 부착된 것과 단일 꼭짓점에 부착된 것이다. 마찬가지로 두 종류의 꼭짓점이 있는데, 두 개의 새 타일이 만나는 곳과 세 개의 타일이 만나는 곳이다. 따라서 타일이 겹치지 않는 한, 이전 논증은 꼭짓점에서의 각도가 보다 크지 않으므로 Pn이 볼록 다각형임을 보여준다.

따라서 *P**n*-1에서 *P**n*을 구성할 때 다음 사항을 검증해야 한다.

(a)를 증명하기 위해, 볼록성에 의해 다각형 *P**n* − 1은 그 경계를 정의하는 완전한 원호들에 의해 정의된 볼록 반공간들의 교집합임을 주목하자. 따라서 *P**n* - 1의 주어진 꼭짓점에는 두 개의 부채꼴을 정의하는 두 개의 원호가 있다: 하나는 *P**n* - 1의 내부를 포함하고, 다른 하나는 주어진 꼭짓점 주위에 추가된 새로운 삼각형들의 내부를 포함한다. 이는 뫼비우스 변환을 사용하여 상반 평면을 단위 원판으로, 꼭짓점을 원점으로 매핑함으로써 시각화할 수 있다. 다각형의 내부와 각 새로운 삼각형은 단위 원판의 서로 다른 부채꼴에 놓인다. 따라서 (a)가 증명된다.

(c)와 (b)를 증명하기 전에, 뫼비우스 변환을 적용하여 상반 평면을 단위 원판으로, Δ 내부의 고정된 점을 원점으로 매핑할 수 있다.

(c)의 증명은 귀납법으로 진행된다. 다각형 *P**n* - 1의 꼭짓점과 원점을 잇는 반지름은 해당 꼭짓점에서 다각형의 각 변과 2/3 미만의 각도를 이룬다. *P**n* - 1의 정확히 두 삼각형이 꼭짓점에서 만나는 경우, 각 삼각형은 해당 꼭짓점에서 /3 이하의 각도를 갖기 때문이다. *P**n* - 1의 세 삼각형이 꼭짓점(C라고 하자)에서 만날 때 이것이 참인지 확인하기 위해, 중간 삼각형이 *P**n* - 2의 한 변 *AB* 위에 밑변을 두고 있다고 가정하자. 귀납법에 의해 반지름 *OA*와 *OB*는 변 *AB*와 2/3 이하의 각도를 이룬다. 이 경우 반지름 *OA*와 *OB* 사이의 부채꼴 영역에서 변 *AB* 바깥쪽 영역은 세 개의 볼록 영역의 교집합으로서 볼록하다. 귀납법에 의해 *A*와 *B*에서의 각도는 /3 이상이다. 따라서 *A*와 *B*에서 *C*로 가는 측지선은 영역 내부에서 시작된다. 볼록성에 의해 삼각형 *ABC*는 전적으로 영역 내부에 놓인다. 사각형 *OACB*는 모든 각도가  미만이므로(OAB가 측지 삼각형이기 때문) 볼록하다. 따라서 반지름 *OC*는 *C* 근처의 삼각형 *ABC*의 각도 내부에 놓인다. 따라서 *OC*와 *C*에서 만나는 *P**n* − 1의 두 변 사이의 각도는 주장된 대로 /3 + /3 = 2/3 이하이다.

(b)를 증명하기 위해 *P**n*의 새로운 삼각형들이 어떻게 교차하는지 확인해야 한다.

먼저 Pn-1의 변들에 추가된 타일들을 고려하자. (c)와 유사한 표기법을 사용하여 AB를 타일의 밑변이라 하고 C를 세 번째 꼭짓점이라 하자. 그러면 반지름 OA와 OB는 변 AB와 2/3 이하의 각도를 이루고 (c)의 증명에서의 추론이 적용되어 삼각형 ABC가 반지름 OA와 OB에 의해 정의된 부채꼴 내에 놓임을 증명한다. 이것은 Pn-1의 각 변에 대해 참이다. 서로 다른 변들에 의해 정의된 부채꼴의 내부가 서로소이므로, 이 유형의 새로운 삼각형들은 주장된 대로만 교차한다.

다음으로 *P**n* − 1의 각 꼭짓점에 대해 추가된 타일들을 고려하자. 꼭짓점을 *A*라 하면, *A*에서 만나는 *P**n* − 1의 두 변 *AB*1과 *AB*2가 있다. *C*1과 *C*2를 이 변들에 추가된 타일들의 추가 꼭짓점이라고 하자. 이제 A에 추가된 추가 타일들은 반지름 *OB*1과 *OB*2에 의해 정의된 부채꼴 내에 놓인다. 꼭짓점 *C*2 O, *C*1 그리고 추가 타일들의 꼭짓점들로 이루어진 다각형은 모든 내각이  미만이므로 볼록하다. 따라서 그것은 반지름 *OC*1과 *OC*2에 의해 정의된 부채꼴 내에 전적으로 포함된다. 이 부채꼴들의 내부가 모두 서로소이므로, 이는 추가된 타일들이 어떻게 교차하는지에 대한 모든 주장을 함축한다.
thumb|upright|각도가 /2, /3, /7인 삼각형에 의한 테셀레이션
thumb|upright|각도가 /2, /4, /5인 삼각형에 의한 테셀레이션

마지막으로 삼각형들의 합집합으로 형성된 타일링이 상반 평면 전체를 덮는다는 것을 증명해야 한다. 타일링에 의해 덮인 임의의 점 *z*는 다각형 *P**n*에 놓여 있고 따라서 다각형 *P**n* + 1에도 놓여 있다. 따라서 그것은 원래 삼각형 Δ의 사본뿐만 아니라 *P**n* + 1에 전적으로 포함된 *P*2의 사본에도 놓여 있다. Δ와 *P*2 외부 사이의 쌍곡 거리는 *r* > 0이다. 따라서 *z*와 타일링에 의해 덮이지 않은 점들 사이의 쌍곡 거리는 적어도 *r*이다. 이것이 타일링의 모든 점에 적용되므로, 타일링에 의해 덮인 집합은 닫혀 있다. 반면, 타일링은 다각형 *P**n*의 내부의 합집합과 일치하므로 열려 있다. 연결성에 의해 테셀레이션은 상반 평면 전체를 덮어야 한다.

Δ의 한 각도가 직각인 경우를 어떻게 처리할지 보려면 다음 부등식에 주목하자.

:\frac1a + \frac1b + \frac1c .

이는 각도 중 하나가 직각인 경우, 예를 들어 *a* = 2이면 *b*와 *c*가 모두 2보다 크고 그 중 하나(*b*라고 하자)는 3보다 커야 함을 의미한다. 이 경우 삼각형을 변 AB에 대해 반사하면 각도가 /*c*, /*c*, 2/*b*인 이등변 쌍곡삼각형이 된다. 만약 2/b ≤ /3이면(즉, *b*가 5보다 크면), 이 배가된 삼각형의 모든 각도는 /3 이하이다. 그 경우 위에서 증가하는 볼록 다각형을 통한 테셀레이션 구성은, 각도가 2/*b*인 꼭짓점 주위에 꼭짓점 인근을 타일링하기 위해 2*b*개가 아닌 *b*개의 삼각형 사본만 필요하다는 점을 제외하고는 이 경우에 단어 그대로 적응된다. 이것은 배가된 삼각형이 이등변이기 때문에 가능하다. 배가된 삼각형에 대한 테셀레이션은 모든 큰 삼각형을 반으로 자름으로써 원래 삼각형에 대한 테셀레이션을 제공한다.

*b*가 4 또는 5인 경우를 처리하는 것이 남았다. *b* = 4이면 *c* ≥ 5이다. 이 경우 *c* ≥ 6이면 *b*와 *c*를 바꿀 수 있고 위의 논증이 적용되어 *b* = 4 및 *c* = 5인 경우만 남는다. *b* = 5이면 *c* ≥ 4이다. *c* ≥ 6인 경우는 *b*와 *c*를 바꿈으로써 처리할 수 있으므로, 유일한 추가 사례는 *b* = 5 및 *c* = 5이다. 이 마지막 이등변 삼각형은 첫 번째 예외적 삼각형의 배가된 버전이므로, 각도가 /2, /4, /5이고 쌍곡 면적이 /20인 삼각형 Δ1만 고려하면 된다(아래 참조). 는 다른 두 각도가 /4 이하인 모든 직각삼각형에 대해 작동하는 일반적인 방법으로 이 사례를 처리한다. *P*2, *P*3, ...를 구성하는 이전 방법은 꼭짓점에서 3/2의 각도가 발생할 때마다 여분의 삼각형을 추가함으로써 수정된다. 동일한 추론이 겹침이 없고 타일링이 쌍곡 상반 평면을 덮음을 증명하는 데 적용된다.

반면, 주어진 구성은 산술 삼각군을 발생시킨다. 이들은 에서 처음 연구되었으며 방대한 문헌을 낳았다. 1977년 다케우치 기사오는 산술 삼각군의 완전한 분류(유한개만 존재함)를 얻었고 그 중 두 군이 공통 측도가 되는 시점을 결정했다. 특정 예는 Bring's curve와 관련이 있으며, 산술 이론은 Δ1에 대한 삼각군이 각도가 /4, /4, /5인 삼각형 Δ2에 대한 삼각군을 지수 6의 비정규 부분군으로 포함함을 시사한다.

삼각형 Δ1과 Δ2를 배가하면, 이는 각도가 /2, /5, /5이고 쌍곡 면적이 /10인 6개의 삼각형 Δ3와 각도가 /5, /5, /10이고 쌍곡 면적이 3/5인 삼각형 Δ4 사이에 관계가 있어야 함을 의미한다. 은 산술 이론을 언급하지 않고 완전히 초등적인 기하학적 수단을 통해 그러한 관계를 직접 확립했다: 실제로 아래의 다섯 번째 그림에 예시된 바와 같이, Δ4 유형 삼각형의 한 변을 가로질러 반사하여 얻은 사각형은 Δ3 유형의 12개 삼각형으로 타일링될 수 있다. Δ4 유형의 삼각형에 의한 테셀레이션은 이 섹션의 주요 방법으로 처리될 수 있다; 따라서 이는 Δ3 및 Δ1 유형의 삼각형에 의한 테셀레이션의 존재를 증명한다.

### 하나 또는 두 개의 첨점이 있는 삼각형
하나 또는 두 개의 첨점이 있는 슈바르츠 삼각형의 경우 타일링 과정이 더 단순해진다; 그러나 이들이 쌍곡 상반 평면을 소진한다는 것을 증명하기 위해 헤케로 거슬러 올라가는 다른 방법을 사용하는 것이 더 쉽다.

하나의 첨점과 1보다 큰 정수 a, b에 대해 /a, /b의 0이 아닌 각도를 갖는 경우, 타일링은 원점에 각도 /a를 갖는 꼭짓점이 있는 단위 원판에서 구상될 수 있다. 타일링은 연속적인 반사를 통해 원점에 삼각형의 2a − 1개 사본을 추가함으로써 시작된다. 결과적으로 2a개의 첨점이 있고 그 사이마다 각도가 /b인 2a개의 꼭짓점을 가진 다각형 P1이 생성된다. 따라서 이 다각형은 볼록하다. P1의 각 비이상적 꼭짓점에 대해, 해당 꼭짓점을 가진 고유한 삼각형을 해당 꼭짓점 주위에서 유사하게 반사시켜 2b − 1개의 새로운 삼각형, 2b − 1개의 새로운 이상점 및 /a의 각도를 가진 2b − 1개의 새로운 꼭짓점을 추가할 수 있다. 결과 다각형 P2는 2a(2b − 1)개의 첨점과 각도가 /a인 동일한 수의 꼭짓점으로 구성되므로 볼록하다. 이 과정은 P3, P4 등을 얻기 위해 이와 같이 계속될 수 있다. 다각형 Pn은 n이 짝수일 때 0과 /a 사이를, n이 홀수일 때 0과 /b 사이를 교대로 오가는 각도를 갖는 꼭짓점들을 갖게 될 것이다. 구성에 의해 삼각형들은 변이나 꼭짓점에서만 겹치므로 테셀레이션을 형성한다.

삼각형이 두 개의 첨점과 하나의 0이 아닌 각도 /a를 갖는 경우는, 이 삼각형이 하나의 첨점과 /a 및 /b(단, b = 2)의 0이 아닌 각도를 갖는 삼각형의 두 배임을 관찰함으로써 하나의 첨점 사례로 축소될 수 있다. 타일링은 이전과 같이 진행된다.

이들이 테셀레이션을 제공한다는 것을 증명하기 위해 상반 평면에서 작업하는 것이 더 편리하다. 두 개의 첨점이 있는 경우는 하나의 첨점과 /a 및 /2의 0이 아닌 각도를 가진 삼각형을 배가하여 얻어지므로 두 경우를 동시에 처리할 수 있다. 따라서 1보다 큰 정수 a, b에 대해 각도가 0, /a, /b인 상반 평면의 측지 삼각형을 고려하자. 그러한 삼각형의 내부는 단위 원판 |z| ≤ 1 외부와 단위 원 위의 점 u와 v를 지나는 허수축에 평행한 두 직선 사이의 상반 평면 영역 X로 실현될 수 있다. Γ를 삼각형의 변에서의 세 반사에 의해 생성된 삼각군이라고 하자.

삼각형의 연속적인 반사가 상반 평면을 덮는다는 것을 증명하기 위해, 상반 평면의 임의의 z에 대해 g(z)가 에 놓이게 하는 Γ의 원소 g가 존재함을 보이면 충분하다. 이는 헤케 군 이론에서 단순화된 의 논증을 따른다. λ = Re a 및 μ = Re b라 하여, 일반성을 잃지 않고 λ R_1(z) = \frac1\overline{z},\ R_2(z) = -\overline{z} + \lambda,\ R_3(z)= -\overline{z} + \mu.

따라서 T = R3∘R2는 μ − λ만큼의 평행 이동이다. 상반 평면의 임의의 z1에 대해, T에 의해 생성된 Γ의 부분군 Γ1에 w1 = g1(z1)이 λ ≤ Re w1 ≤ μ를 만족하게 하는 원소 g1이 존재하며, 즉 이 띠(strip)는 평행 이동 군 Γ1에 대한 기본 영역이다. 만약 |w1| ≥ 1이면 w1은 X에 놓이고 결과가 증명된다. 그렇지 않으면 z2 = R1(w1)이라 하고 w2 = g2(z2)가 λ ≤ Re w2 ≤ μ를 만족하게 하는 g2 ∈ Γ1을 찾는다. 만약 |w2| ≥ 1이면 결과가 증명된다. 이와 같이 계속하면, 어떤 wn이 |wn| ≥ 1을 만족하여 결과가 증명되거나, 모든 n에 대해 |wn| n+1이 Γ1에 있고 |wn| 
\operatorname{Im} g_{n+1}(z_{n+1})
= \operatorname{Im} z_{n+1}
= \operatorname{Im} \frac{w_n}{|w_n|{}^2}
= \frac{\operatorname{Im} w_n}{|w_n|{}^2}.


특히

:\operatorname{Im} w_{n+1} \ge \operatorname{Im} w_n

그리고

:\frac{\operatorname{Im} w_{n+1}}{\operatorname{Im} w_n} = |w_n|^{-2} \ge 1.

따라서 위의 부등식으로부터 점 (wn)은 콤팩트 집합 |z| ≤ 1, λ ≤ Re z ≤ μ 및 Im z ≥ Im w1에 놓인다. |wn|은 1로 수렴해야 한다; 만약 그렇지 않다면, 무한히 많은 m에 대해 |wm| ≤ r인 r n이 무한대로 발산함을 의미하여 모순이 되기 때문이다.

w를 wn의 극한점이라 하면 |w| = 1이다. 따라서 w는 u와 v 사이의 단위 원호 위에 놓인다. 만약 w ≠ u, v이면 충분히 큰 n에 대해 R1 wn은 X에 놓이게 되어 가정에 어긋난다. 따라서 w = u 또는 v이다. 그러므로 충분히 큰 n에 대해 wn은 u 또는 v에 가깝게 놓이고, 따라서 이 삼각형의 꼭짓점 u 또는 v 주위의 반사 중 하나에 놓여야 한다. 왜냐하면 이들이 u와 v의 인근을 채우기 때문이다. 따라서 wn이 에 놓이게 하는 Γ의 원소 g가 존재한다. 구성에 의해 wn은 z1의 Γ-궤도에 있으므로, 요구되는 대로 이 궤도에 에 놓이는 점이 존재한다.

### 이상삼각형
모든 꼭짓점이 단위 원 위에 있고 모든 각도가 0인 이상삼각형에 대한 테셀레이션은 하나의 첨점과 두 개의 0이 아닌 각도 /3 및 /2를 가진 삼각형에 대한 테셀레이션의 특수한 경우로 간주될 수 있다. 실제로 이상삼각형은 더 작은 삼각형을 각도 /3인 꼭짓점 주위에서 반사하여 얻은 6개의 단일 첨점 삼각형 사본으로 만들어진다.

thumb|upright=0.8|D는 A와 B에 대한 C의 조화 켤레이다
thumb|한 변에서의 이상삼각형의 반사
그러나 타일링의 각 단계는 원 또는 실수축 위의 새로운 첨점 위치에 의해 고유하게 결정된다; 그리고 이 점들은 ,  및 을 따라 파레이 수열의 관점에서 직접 이해될 수 있다. 이것은 테셀레이션을 생성하는 기본 단계인 한 변에서의 이상삼각형의 반사에서 시작한다. 반사는 사영 기하학의 반전 과정과 복비의 관점에서 정의될 수 있는 조화 켤레를 취하는 것에 대응한다. 실제로 p, q, r, s가 리만 구의 서로 다른 점들이라면, p, q, s를 각각 0, ∞, 1로 보내는 고유한 복소 뫼비우스 변환 g가 존재한다. 복비 (p, q; r, s)는 g(r)로 정의되며 다음 공식에 의해 주어진다.

:(p, q; r, s) = \frac{(p-r)(q-s)}{(p-s)(q-r)}.

정의에 따라 이것은 뫼비우스 변환 하에서 불변이다. 만약 a, b가 실수축 위에 있다면, a와 b에 대한 c의 조화 켤레는 (a, b; c, d) = −1을 만족하는 고유한 실수 d로 정의된다. 예를 들어 a = 1이고 b = −1이면 r의 켤레는 1/r이다. 일반적으로 뫼비우스 불변성을 사용하여 a, b, c에 대한 d의 명시적 공식을 얻을 수 있다. 실제로 끝점이 a와 b인 원의 중심 t = (a + b)/2를 0으로 평행 이동하면, d − t는 a − t와 b − t에 대한 c − t의 조화 켤레이다. 원의 반지름은 ρ = (b − a)/2이므로 (d − t)/ρ는 1과 −1에 대한 (c − t)/ρ의 조화 켤레이다. 따라서

:\frac{d-t}\rho = \frac\rho{c-t}

이므로 다음과 같다:

:d = \frac{\rho^2}{r-t} + t = \frac{(c-a)b + (c-b)a}{(c-a) + (c-b)}.

이제 기약 분수 형태의 유리수에 의해 그러한 이상삼각형의 매개변수화가 주어짐을 보일 것이다.

:a = \frac{p_1}{q_1},\ b = \frac{p_1 + p_2}{q_1 + q_2},\ c = \frac{p_2}{q_2}

여기서 a와 c는 "이웃 조건" p2q1 − q2p1 = 1을 만족한다.

중간 항 b는 외부 항들의 파레이 합 또는 가비의 리(mediant)라고 불리며 다음과 같이 쓴다.

:b = a \oplus c.

반사된 삼각형의 공식은 다음을 제공한다.

:d = \frac{p_1 + 2p_2}{q_1 + 2q_2} = a \oplus b.

마찬가지로 두 번째 반원에서의 반사된 삼각형은 새로운 꼭짓점 b ⊕ c를 제공한다. a와 b가 이웃 조건을 만족하고 b와 c도 만족함이 즉시 확인된다.

이제 이 절차는 꼭짓점이 0, 1, ∞인 기본 삼각형 Δ를 연속적으로 반사하여 얻은 삼각형들을 추적하는 데 사용될 수 있다. Re z = 0 및 1인 직선에서의 반사를 적용하여 평행한 띠에 동일한 그림이 재현되므로, 0 ≤ Re z ≤ 1인 띠만 고려하면 충분하다. 꼭짓점이 0, 1, ∞인 이상삼각형은 밑변이 [0,1]인 반원에서 꼭짓점이 a = 0, b = 1/2, c = 1인 삼각형으로 반사된다. 따라서 a = 0/1과 c = 1/1은 이웃이고 b = a ⊕ c이다. 반원은 밑변이 [a,b]와 [b,c]인 두 개의 더 작은 반원으로 나뉜다. 이들 구간 각각은 동일한 과정에 의해 두 구간으로 나뉘어 4개의 구간이 된다. 이와 같이 계속하면 8, 16, 32개 등의 구간으로 세분화된다. n번째 단계에는 2n + 1개의 끝점을 가진 2n개의 인접한 구간이 있다. 위의 구성은 연속적인 끝점들이 이웃 조건을 만족하여 반사로 인한 새로운 끝점들이 파레이 합 공식에 의해 주어짐을 보여준다.

타일링이 전체 쌍곡 평면을 덮는다는 것을 증명하기 위해, [0,1]의 모든 유리수가 결국 끝점으로 나타난다는 것을 보이면 충분한다. 이를 확인하는 방법은 여러 가지가 있다. 가장 초등적인 방법 중 하나는 에서 n번째 단계에 나타나는 새로운 유리수 끝점들을 체계화하는 스턴-브로콧 나무 이론을 전개하며 설명되어 있다. 그들은 모든 유리수가 나타난다는 직접적인 증명을 제시한다. 실제로 {0/1, 1/1}에서 시작하여, n번째 수준의 모든 연속적인 항 ,  사이에 가비의 리 를 추가하여 n+1 수준에서 새로운 끝점들이 도입된다. 와 가 서로소인 [0,1] 사이의 유리수를 라 하자. 어떤 수준에서 가 연속적인 항  사이에 끼어 있다고 가정하자. 이 부등식들은  및 을 강제하며, 따라서 이므로 다음과 같다:

:a + b = (r+s)(ap-bq) + (p+q)(br -as) \ge p+q+r+s.

이것은 분자와 분모의 합에 상한을 둔다. 반면 가비의 리 를 도입할 수 있으며, 이것이 와 같으면 유리수 가 이 수준에서 나타나고; 그렇지 않으면 가비의 리는 분자와 분모의 합이 엄격히 더 큰 를 포함하는 새로운 구간을 제공한다. 따라서 이 과정은 최대  단계 후에 종료되어야 하며, 이로써 가 나타남을 증명한다.

두 번째 접근 방식은 모듈러 군 G = SL(2,**Z**)에 의존한다. 유클리드 호제법은 이 군이 다음 행렬들에 의해 생성됨을 의미한다.

:S=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix},\,\,\, T=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1  \end{pmatrix}.

실제로 H를 S와 T에 의해 생성된 G의 부분군이라 하자.

:g=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end {pmatrix}

를 SL(2,**Z**)의 원소라 하자. 따라서 ad − cb = 1이므로 a와 c는 서로소이다. 다음과 같이 놓자.

:v=\begin{pmatrix}a\\ c\end{pmatrix},\,\,\, u= \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}.

필요하다면 S를 적용하여 |a| > |c|라고 가정할 수 있다(서로소 성질에 의해 같을 수는 없다). a = mc + r (0 ≤ r ≤ |c|)이라 쓰자. 그러면 다음과 같다.

:T^{-m}\begin{pmatrix} a\\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\\ c\end{pmatrix}.

이 과정은 항목 중 하나가 0이 될 때까지 계속될 수 있으며, 그 경우 나머지 하나는 반드시 ±1이다. 필요하다면 S의 거듭제곱을 적용하여 v = h u인 H의 원소 h가 존재함을 알 수 있다. 따라서 다음과 같다.

:h^{-1}g=\begin{pmatrix}1 & p\\ 0 & q\end{pmatrix}

p, q는 정수이다. 명백히 p = 1이므로 h−1g = Tq이다. 따라서 g = h Tq는 요구되는 대로 H에 속한다.

[0,1]의 모든 유리수가 발생함을 증명하기 위해, G가 Δ를 테셀레이션의 삼각형들로 옮긴다는 것을 보이면 충분한다. 이것은 먼저 S와 T가 Δ를 그러한 삼각형으로 옮긴다는 점에 주목하여 확인된다: 실제로 뫼비우스 변환으로서 S(z) = −1/z 및 T(z) = z + 1이므로, 이들은 Δ의 두 변에서의 반사를 제공한다. 그러나 S와 T는 Δ의 변에서의 반사들을 SΔ와 TΔ의 변에서의 반사들로 켤레시키며, 이들은 Γ에 속한다. 따라서 G는 Γ를 정규화한다. 테셀레이션의 삼각형들은 정확히 Γ의 g에 대해 gΔ 형태인 것들이므로, S와 T 및 G의 모든 원소는 테셀레이션의 삼각형들을 치환한다. 모든 유리수는 G의 g에 대해 g(0) 형태이므로, [0,1]의 모든 유리수는 테셀레이션 삼각형의 꼭짓점이다.

이상삼각형에 대한 반사군과 테셀레이션은 리만 구 위의 세 개의 분리된 중첩되지 않은 원에 대한 쇼트키 군의 한계 사례로 간주될 수도 있다. 이 군 역시 세 원에서의 쌍곡 반사에 의해 생성된다. 두 경우 모두 세 원은 그들을 직교하게 자르는 공통 원을 갖는다. 뫼비우스 변환을 사용하면 그것이 단위 원 또는 상반 평면의 실수축이라고 가정할 수 있다.

### 지겔의 접근 방식
이 하위 섹션에서는 카를 루트비히 지겔의 삼각형 테셀레이션 정리에 대한 접근 방식을 개략적으로 설명한다. 지겔의 덜 초등적인 접근 방식은 볼록성을 사용하는 대신 리만 곡면, 피복 공간 및 피복에 대한 모노드로미 정리의 버전에 의존한다. 이것은 더 일반적인 푸앵카레 다각형 정리를 증명하도록 일반화되었다. (내각이 2/n인 정 n-각형에 의한 타일링의 특수한 경우는 각도가 /n, /n 및 /2인 슈바르츠 삼각형에 의한 테셀레이션의 즉각적인 결과임을 주목하라.)

Γ를 자유곱 **Z**2 ∗ **Z**2 ∗ **Z**2라고 하자. Δ = ABC가 a, b, c ≥ 2인 /a, /b 및 /c 각도를 가진 슈바르츠 삼각형이라면, Γ에서 Δ의 변에서의 반사에 의해 생성된 군으로 가는 자연스러운 사상이 존재한다. Γ의 원소는 인접한 두 생성자가 같지 않은 세 생성자의 곱으로 설명된다. 꼭짓점 A, B, C에서 그 꼭짓점에서 만나는 변들의 반사 곱은 2/a, 2/b 및 2/c의 각도만큼의 회전을 정의한다; gA, gB 및 gC를 Γ = **Z**2 ∗ **Z**2 ∗ **Z**2의 대응하는 생성자 곱이라고 하자. Γ0를 짝수 개의 생성자의 곱으로 구성된 Γ의 지수 2 정규 부분군이라 하고, Γ1을 (gA)a, (gB)b 및 (gC)c에 의해 생성된 Γ의 정규 부분군이라 하자. 이들은 Δ에 항등적으로 작용한다.  = Γ/Γ1 및 0 = Γ0/Γ1이라 하자.

의 원소로 인덱싱된 의 사본들의 변 식별을 통한 분리 합집합은 자연스러운 리만 곡면 Σ 구조를 갖는다. 삼각형의 내부 점에서는 명백한 차트(chart)가 있다. 변의 내부 점에서의 차트는 삼각형을 변 너머로 반사하여 얻어진다. 내각이 /n인 삼각형의 꼭짓점에서의 차트는 해당 꼭짓점 주위에서 연속적으로 반사하여 얻은 삼각형의 2n개 사본에서 얻어진다. 군 는 Σ의 피복 변환(deck transformation)으로 작용하며, 0의 원소는 정칙 사상으로, 0에 속하지 않는 원소는 반정칙 사상으로 작용한다.

Σ에서 쌍곡 평면으로 가는 자연스러운 사상 P가 존재한다. 의 레이블 g를 가진 삼각형의 내부는 g(Δ)로 옮겨지고, 변은 변으로, 꼭짓점은 꼭짓점으로 옮겨진다. 또한 변의 내부 점의 인근이 이미지의 인근으로 옮겨짐을 쉽게 확인할 수 있다; 꼭짓점의 경우도 마찬가지다. 따라서 P는 국소적으로 위상 동형 사상이며 열린 집합을 열린 집합으로 보낸다. 이미지 P(Σ), 즉 평행 이동 g()들의 합집합은 상반 평면의 열린 부분 집합이다. 반면, 이 집합은 닫혀 있기도 하다. 실제로 어떤 점이 에 충분히 가깝다면 그것은 의 평행 이동 안에 있어야 한다. 실제로 각 꼭짓점의 인근은 의 반사들로 채워져 있으며, 만약 한 점이 이 세 인근 밖에 있지만 여전히 에 가깝다면 그것은 변에서의 의 세 반사 중 하나에 놓여야 한다. 따라서 z가 로부터 δ 미만의 거리에 있으면 z는 의 -평행 이동에 놓이게 되는 δ > 0이 존재한다. 쌍곡 거리는 -불변이므로, z가 Γ()로부터 δ 미만의 거리에 있으면 실제로는 Γ()에 놓이게 되며, 따라서 이 합집합은 닫혀 있다. 연결성에 의해 P(Σ)는 상반 평면 전체임이 도출된다.

반면 P는 국소 위상 동형이므로 피복 사상이다. 상반 평면은 단일 연결이므로 P는 일대일 사상이고 따라서 Δ의 평행 이동들은 상반 평면을 테셀레이션한다. 이는 리만 곡면의 피복에 대한 모노드로미 정리의 다음 버전의 결과이다: 만약 Q가 리만 곡면 Σ1과 Σ2 사이의 피복 사상이라면, Σ2의 임의의 경로는 Σ1의 경로로 들어올려질 수 있고, 끝점이 같은 임의의 두 호모토픽 경로는 끝점이 같은 호모토픽 경로로 들어올려진다; 즉각적인 따름정리는 Σ2가 단일 연결이면 Q는 위상 동형 사상이어야 한다는 것이다. 이를 적용하기 위해 Σ1 = Σ, Σ2를 상반 평면이라 하고 Q = P라 하자. 모노드로미 정리의 따름정리에 의해 P는 일대일이어야 한다.

또한 g(Δ) = Δ일 필요충분조건은 g가 Γ1에 속하는 것임이 도출되므로, 0에서 뫼비우스 군으로의 준동형 사상은 충실하다.

### 쌍곡 반사군

슈바르츠 삼각형의 테셀레이션은 자크 티츠에 의해 대수적으로, 그리고 에르네스트 빈베르크에 의해 기하학적으로 개발된 쌍곡 반사군 이론을 따라 무한 콕서터 군 이론의 일반화로 볼 수 있다. 로바쳅스키 평면 또는 쌍곡 평면의 경우, 아이디어는 앙리 푸앵카레와 발터 본 다이크의 19세기 연구에서 유래한다. 그러나 조셉 레너가 수학 리뷰에서 지적했듯이, 슈바르츠 삼각형의 반사가 테셀레이션을 생성한다는 엄밀한 증명은 종종 불완전했으며, 그의 1964년 저서 "Discontinuous Groups and Automorphic Functions"가 한 예이다. 카라테오도리의 1950년 교과서 (1954년 영어 번역)에서의 초등적인 처리와 모노드로미 원리를 사용한 지겔의 1954년 설명은 엄밀한 증명이다. 콕서터 군을 사용한 접근 방식은 쌍곡 반사군 분류의 일반적인 틀 내에서 여기서 요약될 것이다.

를 기호라 하고 를 (가능하다면 인) 정수라 하자. 단,

{1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} 

를 모두 대합이며 다음을 만족하는 생성자 를 가진 표시를 가진 군으로 정의하자.
\begin{align}
  (st)^a &= 1, \\[2pt]
  (tr)^b &= 1, \\[2pt]
  (rs)^c &= 1.
\end{align}
정수 중 하나가 무한대이면 해당 곱은 무한 차수를 갖는다. 생성자 는 단순 반사라고 불린다.

다음을 설정하자.
\begin{align}
A &= \begin{cases}
  \cos\frac{\pi}{a} &\text{if } a \geq 2 \text{ is finite,} \\[2pt]
  \cosh x,\ x > 0 &\text{otherwise.}
\end{cases} \\[8pt]
  B &= \begin{cases}
  \cos\frac{\pi}{b} &\text{if } b \geq 2 \text{ is finite,} \\[2pt]
  \cosh y,\ y > 0 &\text{otherwise.}
\end{cases} \\[8pt]
  C &= \begin{cases}
  \cos\frac{\pi}{c} &\text{if } c \geq 2 \text{ is finite,} \\[2pt]
  \cosh z,\ y > 0 &\text{otherwise.}
\end{cases}
\end{align}
를 대칭 쌍선형 형식 를 가진 3차원 실수 벡터 공간 의 기저라고 하자. 단,
\begin{align}
  \Lambda(\mathbf{e}_s, \mathbf{e}_t) &= -A, \\[2pt]
  \Lambda(\mathbf{e}_t, \mathbf{e}_r) &= -B, \\[2pt]
  \Lambda(\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_s) &= -C ,
\end{align}
이며 세 개의 대각선 항목은 1이다. 대칭 쌍선형 형식 는 부호수 을 가지며 비퇴화이다. 다음과 같이 정의하자.
\begin{align}
  \rho(\mathbf{v}) &= \mathbf{v} - 2 \Lambda(\mathbf{v},\mathbf{e}_r) \mathbf{e}_r \\[2pt]
  \sigma(\mathbf{v}) &= \mathbf{v} - 2 \Lambda(\mathbf{v},\mathbf{e}_s) \mathbf{e}_s \\[2pt]
  \tau(\mathbf{v}) &= \mathbf{v} - 2 \Lambda(\mathbf{v},\mathbf{e}_t) \mathbf{e}_t
\end{align}

**정리 (기하학적 표현).** 연산자 는  위의 대합이며, 각각 단순 고윳값 -1을 갖는 고유 벡터 를 갖는다. 연산자들의 곱은 위의 표시(presentation)에 대응하는 차수를 갖는다(따라서 는 차수 를 가짐 등). 연산자 는 를 보존하는  위의 의 표현을 유도한다.

기저에 대한 쌍선형 형식 는 다음 행렬을 갖는다.

M = \begin{pmatrix}
 1 & -C  & -B\\
 -C & 1 & -A\\
 -B & -A & 1\\
\end{pmatrix},

따라서 행렬식은 다음과 같다.
\det(M) = 1 -  A^2 - B^2 - C^2 - 2ABC.
만약 라면, 행렬의 고윳값은 1,\ 1 \pm \sqrt{A^2 + B^2}.이다. 조건 \tfrac{1}{a} + \tfrac{1}{b} 은 즉시 A^2 + B^2 > 1을 강제하므로, 는 반드시 부호수 을 가져야 한다. 따라서 일반적으로 이다. 명백히 모두 3인 경우는 불가능하다. 그러나 그때 행렬의 행렬식은 음수이고 대각합(trace)은 양수이다. 결과적으로 두 고윳값은 양수이고 하나는 음수이다. 즉, 는 부호수 을 갖는다. 명백히 는 주어진 -1 고유 벡터와 함께 를 보존하는 대합이다.

와 같은 곱의 차수를 확인하기 위해 다음 사항을 주목하면 충분하다:

# 반사 와 는 유한 또는 무한 정이면체군을 생성한다.
# 와 의 2차원 선형 범위 는 와  하에서 불변이며, 의 제한은 양의 정부호이다.
# 의 직교 보공간 는 에서 음의 정부호이며, 와 는 에 항등적으로 작용한다.

(1)은 가 인 정규 부분군을 생성하는 경우이므로 분명하다. (2)의 경우, 는 정의에 따라 불변이며 0 이므로 행렬은 양의 정부호이다. 가 부호수 을 가지므로, 의 0이 아닌 벡터 는 을 만족해야 한다. 정의상 는 에서 고윳값 1과 -1을 가지므로, 는 에 의해 고정되어야 한다. 마찬가지로 는 에 의해 고정되어야 하므로 (3)이 증명된다. 마지막으로 (1)에서

\begin{alignat}{5}
  \sigma(\mathbf{e}_s) &= -{\mathbf e}_s, &\quad   \tau(\mathbf{e}_s) &= 2 \cos(\tfrac{\pi}{a}) \, \mathbf{e}_s + \mathbf{e}_t, \\[2pt]
  \sigma(\mathbf{e}_t) &= 2 \cos(\tfrac{\pi}{a}) \, \mathbf{e}_s + \mathbf{e}_t, &\quad \tau(\mathbf{e}_t) &= -{\mathbf e}_t,
\end{alignat}

이므로, 만약 가 유한하면 의 고윳값은 -1, , (여기서 \varsigma = e^{\frac{2\pi i}{a}})이고; 가 무한하면 고윳값은 -1, , (여기서 X = e^{2x})이다. 또한 간단한 귀납적 논증은 \theta = \tfrac{\pi}{a}일 때 다음과 같음을 보여준다.

\begin{align}
  (\sigma\tau)^m({\mathbf e}_s) &= \left[ \frac{\sin(2m+1)\theta}{\sin\theta} \right] {\mathbf e}_s + \left[ \frac{\sin 2m\theta}{\sin\theta} \right]{\mathbf e}_t, \\[4pt]
  \tau(\sigma\tau)^m({\mathbf e}_s) &= \left[ \frac{\sin(2m+1)\theta}{\sin\theta} \right]{\mathbf e}_s + \left[ \frac{\sin(2m+2)\theta}{\sin\theta} \right] {\mathbf e}_t,
\end{align}

그리고 이면

\begin{align}
  (\sigma\tau)^m({\mathbf e}_s) &= \left[ \frac{\sinh(2m+1)x}{\sinh x} \right] {\mathbf e}_s + \left[ \frac{\sinh 2mx}{\sinh x} \right] {\mathbf e}_t, \\[4pt]
  \lim_{x \to 0} \ (\sigma\tau)^m(\mathbf{e}_s) &= (2m+1)\mathbf{e}_s + 2m\mathbf{e}_t; \\[12pt]

  \tau(\sigma\tau)^m({\mathbf e}_s) &= \left[ \frac{\sinh(2m+1)x}{\sinh x} \right] {\mathbf e}_s + \left[ \frac{\sinh (2m+2)x}{\sinh x} \right] {\mathbf e}_t, \\[4pt]
  \lim_{x \to 0} \, \tau(\sigma\tau)^m(\mathbf{e}_s) &= (2m+1)\mathbf{e}_s + (2m+2)\mathbf{e}_t.
\end{align}

를 와 에 의해 생성된 의 이면체 부분군이라 하고, 와 에 대해서도 유사하게 정의하자. 마찬가지로 을 2개 군 }에 의해 주어진 의 순환 부분군으로 정의하고, 와 에 대해서도 유사하게 정의하자. 기하학적 표현의 속성으로부터, 이 6개 군은 모두  위에 충실하게 작용한다. 특히 는 와 에 의해 생성된 군과 동일시될 수 있다; 위에서와 같이 이는 2차원 기약 부분 공간 와 항등 작용을 갖는 1차원 부분 공간 의 직합으로 명시적으로 분해된다. 따라서 다음과 같은 고유한 벡터가 존재한다.
\mathbf w = \mathbf{e}_r + \lambda\mathbf{e}_s + \mu\mathbf{e}_t
이것은 에 속하며  및 를 만족한다. 명시적으로는 다음과 같다.
\lambda = \frac{C + AB}{1 - A^2}, \quad \mu = \frac{B + AC}{1 - A^2}.

**이면체군의 표현에 관한 비고.** 유한 차원 실수 내적 공간에서 두 직교 대합 와 는 2차원 또는 1차원 불변 공간의 직교 직합으로 분해될 수 있다는 것은 잘 알려져 있다; 예를 들어, 양의 자기 수반 연산자 가  및  모두와 가환이라는 헐모시 팔 등의 관찰로부터 이를 추론할 수 있다. 그러나 쌍선형 형식 가 더 이상 양의 정부호 내적이 아닌 위의 경우에는 다른 특별한 추론이 제공되어야 한다.

**정리 (티츠).** 콕서터 군의 기하학적 표현은 충실하다.

이 결과는 1960년대 초 자크 티츠에 의해 처음 증명되었고 수많은 연습 문제와 함께 에 처음 출판되었다. 텍스트에서 기본 방은 귀납적 논증에 의해 도입되었다; 5장 4절의 연습 문제 8번은 비나이 데오다르에 의해 양의 어근과 음의 어근 이론으로 확장되어 티츠의 원래 논증을 단축시켰다.

를 실수 비음수 계수를 가지며 모두가 0은 아닌 합 의 볼록 원뿔이라고 하자. 군 의 에 대해,  즉 **[[군의 표시|단어 길이]]**를 를 단순 반사의 순서 있는 합성으로 쓰는 데 필요한 로부터의 최소 반사 갯수로 정의하자. **양의 어근**을 에 놓이는 벡터  또는 (단, 는 의 원소)로 정의하자.

정의로부터 다음을 확인하는 것은 통상적인 절차이다.
*단순 반사 에 대해 이고, 이면 을 만족하는 단순 반사 가 항상 존재한다.
*의 와 에 대해 이다.

**명제.** 만약 가 에 속하고 단순 반사 에 대해 이면, 는 에 놓이며, 따라서 부호에 따라 양의 어근 또는 음의 어근이다.

를 로 대체하면, 양의 부호만 고려하면 된다. 주장은 에 대한 귀납법으로 증명될 것이며, 인 경우는 자명하다.
이라고 가정하자. 이면, 일반성을 잃지 않고 의 최소 표현이 로 끝난다고 가정할 수 있다. 와 가 이면체군 를 생성하므로, 는 로 쓰여질 수 있다. 여기서  또는 이고 는 최소 표현이 로 끝나지만  또는 로는 절대 끝나지 않는다. 이것은  및 임을 의미한다. 이므로, 귀납 가설은 가 모두 에 놓임을 보여준다. 따라서 가 둘 다 0은 아닌 에 대해  형태임을 보이면 충분하다. 그러나 그것은 이미 위의 공식들에서 확인되었다.

**따름정리 (티츠 정리의 증명).** 기하학적 표현은 충실하다.

가 를 고정하면 임을 보이면 충분하다. 인 최소 표현을 고려하면,  조건은 세 단순 반사 에 의해 동시에 만족될 수 없음이 명백하다.

티츠 정리의 결과로서 생성자들(왼쪽)이 조건들(오른쪽)을 만족함에 주목하라.
\begin{alignat}{5}
  (g &= st) \ \ \text{ s.t. } & g^a = 1,\\[4pt]
  (h &= tr) \ \ \text{ s.t. } & h^b = 1,\\[4pt]
  (k &= rs) \ \ \text{ s.t. } & k^c = 1, \\[4pt]
  && ghk = 1.
\end{alignat}
이것은 의 방향 보존 지수 2 정규 부분군 의 표시를 제공한다. 표시는 측지 삼각형의 두 변을 반사하여 측지 평행사변형을 형성하여 얻은 기본 영역에 대응한다(푸앵카레 다각형 정리의 특수한 경우).

**추가 결과.** 어근은 양의 어근과 음의 어근의 서로소 합집합이다. 단순 반사 는  이외의 모든 양의 어근을 치환한다. 의 에 대해, 는 에 의해 음수가 된 양의 어근의 개수이다.

**기본 영역과 티츠 원뿔.**

를 를 보존하는 의 3차원 폐쇄 리군이라고 하자. 가 부호수 인 3차원 로런츠 또는 민코프스키 공간과 동일시될 수 있으므로, 군 는 로런츠 군 과 동형이며 따라서 \mathrm{SL}_\pm(2,\R) \setminus \{\pm \,I\,\}이다. 를 의 양의 어근 벡터로 선택하면, 의 안정자(stabilizer)는 와 동형인 의 극대 콤팩트 부분군 이다. 동차 공간 는 상수 음의 곡률을 가진 대칭 공간으로, 2차원 쌍곡면 또는 로바쳅스키 평면 \mathfrak{H}^2과 동일시될 수 있다. 이산군 는  위에서 불연속적으로 작용한다: 몫 공간 는 가 모두 유한하면 콤팩트하고, 그렇지 않으면 유한 면적을 갖는다. 티츠 기본 방에 관한 결과는 대응하는 슈바르츠 삼각형의 관점에서 자연스러운 해석을 가지며, 이는 쌍곡 반사군 를 통한 측지 삼각형 테셀레이션의 속성으로 직접 번역된다. 콕서터 군에서 테셀레이션으로의 이행은 티츠에 의한  5장 4절의 연습 문제와 에서 처음 발견될 수 있다; 현재 대칭 공간의 관점에서 직접 표현되지 않은 다른 수많은 동등한 처리가 가능하다.

### 매스킷, 드 람 및 비어던의 접근 방식
는 쌍곡 공간에서의 푸앵카레 다각형 정리에 대한 일반적인 증명을 제시했다; 유사한 증명이 에서도 주어졌다. 쌍곡 평면과 슈바르츠 삼각형에 특화하여, 이는  및 에 설명된 대로 슈바르츠 삼각형 테셀레이션의 존재를 확립하기 위한 현대적 접근 방식으로 사용될 수 있다. 스위스 수학자 와 하이플리거는 기하군론을 출발점으로 삼아 입문적 설명을 제공했다.

## 같이 보기
* 슈바르츠 삼각형에 의한 고른 다면체 목록
* 위토프 기호
* 위토프 구성
* 고른 다면체
* 비볼록 고른 다면체
* 밀도 (다포체)
* 구르사 사면체
* 정규 쌍곡 테셀레이션
* 쌍곡 평면의 고른 테셀레이션

## 내용주

## 각주

*, Table 3: Schwarz's Triangles
*  (콕서터가 이를 저널 페이지 헤더에 사용된 짧은 제목인 "Zur Theorie der hypergeometrischen Reihe"로 참조했음에 유의하라).
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*  Masson에서 1981년에 로 재판됨.
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*  이 원고는 Bourbaki의 Lie 군 및 Lie 대수학 4장을 준비하는 데 사용된 콕서터 군 이론의 기초 텍스트였으며, 2001년에 처음 출판되었다.
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## 외부 링크
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분류:다면체
분류:구면삼각법