시간 척도 미적분학

수학에서 **시간 척도 미적분학**(Time-scale calculus)은 차분 방정식 이론과 미분방정식 이론을 통합하고, 적분 및 미분학과 유한 차분 미적분학을 통합하여 하이브리드 시스템을 연구하기 위한 형식을 제공한다. 이는 이산 및 연속 데이터를 동시에 모델링해야 하는 모든 분야에 응용된다. 이 이론은 새로운 미분 정의를 제공하는데, 실수에 정의된 함수를 미분할 경우 표준 미분과 동일하지만, 정수에 정의된 함수를 사용할 경우 전진 차분 연산자와 동일하다.

## 역사

시간 척도 미적분학은 1988년 독일 수학자 슈테판 힐거에 의해 소개되었다. 그러나 이와 유사한 아이디어는 이전에 사용되었으며, 적분과 합을 통합하는 리만-스틸티어스 적분의 도입까지 거슬러 올라간다.

## 동적 방정식
미분방정식에 관한 많은 결과는 차분방정식에 해당하는 결과로 쉽게 이어지지만, 다른 결과들은 연속적인 결과와는 완전히 다른 것처럼 보인다. 시간 척도 상의 동적 방정식 연구는 이러한 불일치를 밝혀내고, 결과를 두 번 증명하는 것을 피하는 데 도움을 준다. 즉, 한 번은 미분방정식에 대해, 또 한 번은 차분방정식에 대해 증명하는 것을 피한다. 일반적인 아이디어는 미지의 함수의 도메인이 시간 척도(시간 집합이라고도 함)인 동적 방정식에 대해 결과를 증명하는 것이다. 시간 척도는 실수의 임의의 닫힌 부분 집합일 수 있다. 이러한 방식으로 결과는 실수 집합이나 정수 집합뿐만 아니라 칸토어 집합과 같은 더 일반적인 시간 척도에도 적용된다.

시간 척도 상의 미적분학의 세 가지 가장 인기 있는 예는 미분학, 차분 미적분학, 양자 미적분학이다. 시간 척도 상의 동적 방정식은 개체군 동역학과 같은 응용 분야에 대한 잠재력을 가지고 있다. 예를 들어, 계절 동안 지속적으로 진화하고, 겨울에는 알이 부화하거나 휴면하는 동안 사라지고, 새 계절에 부화하여 겹치지 않는 개체군을 형성하는 곤충 개체군을 모델링할 수 있다.

## 형식적 정의
**시간 척도**(또는 **측정 사슬**)는 실직선 \mathbb{R}의 닫힌 부분 집합이다. 일반적인 시간 척도에 대한 일반적인 표기는 \mathbb{T}이다.

가장 흔하게 접하는 시간 척도의 두 가지 예는 실수 \mathbb{R}와 이산 시간 척도 h\mathbb{Z}이다.

시간 척도 내의 단일 점은 다음과 같이 정의된다.
:t:t\in\mathbb{T}

### 시간 척도에 대한 연산
섬네일|upright=2.0|이산 시간 척도에서의 전방 점프, 후방 점프, 그리고 입상도 연산자
전방 점프 및 후방 점프 연산자는 주어진 점 t의 오른쪽 및 왼쪽에 있는 시간 척도에서 가장 가까운 점을 나타낸다. 형식적으로:

:\sigma(t) = \inf\{s \in \mathbb{T} : s>t\} (전진 이동/점프 연산자)
:\rho(t) = \sup\{s \in \mathbb{T} : s (후진 이동/점프 연산자)

입상도 \mu는 한 점에서 오른쪽으로 가장 가까운 점까지의 거리이며 다음과 같이 주어진다.
:\mu(t) = \sigma(t) -t.

오른쪽 조밀한 t의 경우 \sigma(t)=t이고 \mu(t)=0이다.
왼쪽 조밀한 t의 경우 \rho(t)=t.

### 점의 분류
섬네일|upright=2.0|다양한 분류를 가진 시간 척도 상의 여러 점
임의의 t\in\mathbb{T}에 대해 t는 다음이다.
* \rho(t) =t이면 왼쪽 조밀
* \sigma(t) =t이면 오른쪽 조밀
* \rho(t)이면 왼쪽 산재
* \sigma(t) > t이면 오른쪽 산재
* 왼쪽 조밀하고 오른쪽 조밀하면 조밀
* 왼쪽 산재하고 오른쪽 산재하면 고립

오른쪽 그림에 설명된 대로:
* 점 t_1은 조밀하다.
* 점 t_2는 왼쪽 조밀하고 오른쪽 산재한다.
* 점 t_3은 고립되어 있다.
* 점 t_4는 왼쪽 산재하고 오른쪽 조밀하다.

### 연속성
시간 척도의 연속성은 조밀성과 동등하게 재정의된다. 시간 척도는 점 t에서 오른쪽 조밀하면 점 t에서 오른쪽 연속이라고 말한다. 유사하게, 시간 척도는 점 t에서 왼쪽 조밀하면 점 t에서 왼쪽 연속이라고 말한다.

## 미분
함수를 다음과 같이 정의한다.
:f: \mathbb{T} \to \R,

(여기서 **R**은 어떤 바나흐 공간이 될 수 있지만, 단순화를 위해 실직선으로 설정된다).

정의: 델타 미분(힐거 미분이라고도 함) f^{\Delta}(t)는 다음 경우에만 존재한다.

모든 \varepsilon > 0에 대해 t의 근방 U가 존재하여 다음을 만족한다.
:\left|f(\sigma(t))-f(s)- f^{\Delta}(t)(\sigma(t)-s)\right| \le \varepsilon\left|\sigma(t)-s\right|
U 내의 모든 s에 대해.

\mathbb{T} =\mathbb{R}로 가정하자. 그러면 \sigma(t) = t, \mu(t) = 0, f^{\Delta} = f'는 표준 미적분학에서 사용되는 미분이다. 만약 \mathbb{T} = \mathbb{Z}(정수)이면, \sigma(t) = t + 1, \mu(t)=1, f^{\Delta} = \Delta f는 차분 방정식에서 사용되는 전진 차분 연산자이다.

## 적분

델타 적분은 델타 미분에 대한 원함수로 정의된다. 만약 F(t)가 연속 미분 f(t)=F^\Delta(t)를 갖는다면 다음과 같이 설정한다.

:\int_r^s f(t) \Delta(t) = F(s) - F(r).

## 라플라스 변환 및 Z변환

시간 척도 상의 함수에 대한 라플라스 변환을 정의할 수 있으며, 이는 임의의 시간 척도에 대해 동일한 변환표를 사용한다. 이 변환은 시간 척도 상의 동적 방정식을 해결하는 데 사용될 수 있다. 만약 시간 척도가 음이 아닌 정수이면 이 변환은 수정된 Z변환과 동일하다.
\mathcal{Z}'\{x[z]\} = \frac{\mathcal{Z}\{x[z+1]\}}{z+1}

## 편미분

편미분 방정식과 편차분 방정식은 시간 척도 상의 편동적 방정식으로 통합된다.

## 다중 적분

시간 척도 상의 다중 적분은 Bohner(2005)에서 다루어진다.

## 시간 척도 상의 확률 동적 방정식

확률미분방정식과 확률차분 방정식은 시간 척도 상의 확률 동적 방정식으로 일반화될 수 있다.

## 시간 척도 상의 측도론

모든 시간 척도에는 다음을 통해 정의된 자연적인 측도가 관련되어 있다.

:\mu^\Delta(A) = \lambda(\rho^{-1}(A)),

여기서 \lambda는 르베그 측도를 나타내고 \rho는 \mathbb{R}에 정의된 후진 시프트 연산자이다. 델타 적분은 이 측도에 대한 일반적인 르베그-스틸티어스 적분으로 판명된다.

:\int_r^s f(t) \Delta t = \int_{[r,s)} f(t) d\mu^\Delta(t)

그리고 델타 미분은 이 측도에 대한 라돈-니코딤 미분으로 판명된다.

:f^\Delta(t) = \frac{df}{d\mu^\Delta}(t).

## 시간 척도 상의 분포

디랙 델타 함수와 크로네커 델타는 시간 척도 상에서 힐거 델타로 통합된다.

: \delta_{a}^{\mathbb{H}}(t) = \begin{cases}
\dfrac{1}{\mu(a)}, & t = a \\
0, & t \neq a
\end{cases}

## 시간 척도 상의 분수계 미적분학

시간 척도 상의 분수계 미적분학은 Bastos, Mozyrska, Torres에 의해 다루어진다.

## 같이 보기

* 프랙탈 분석 (칸토어 집합 상의 동적 방정식의 경우)
* 다중 척도 해석
* 평균 방법
* 크릴로프-보고류보프 평균화 방법

## 각주

## 더 읽어보기
*
* 시간 척도 상의 동적 방정식 Journal of Computational and Applied Mathematics 특별호 (2002)
* 동적 방정식 및 응용 Advances in Difference Equations 특별호 (2006)
* 시간 척도 상의 동적 방정식: 질적 분석 및 응용 Nonlinear Dynamics And Systems Theory 특별호 (2009)

## 외부 링크
* 베일러 대학교 시간 척도 그룹
* Timescalewiki.org

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분류:동역학계
분류:점화식