유한 변형 이론

연속체 역학에서 **유한 변형 이론**(finite strain theory)은 변형 및 회전이 무한소 변형 이론에 내재된 가정을 무효화할 만큼 충분히 큰 경우를 다룬다. 이 경우 연속체의 변형 전 형상과 변형 후 형상은 상당히 다르므로 둘을 명확하게 구분해야 한다. 이것은 일반적으로 탄성체, 소성 변형 재료 및 기타 유체와 생물학적 연조직의 경우이다.

## 변위장

## 변형 구배 텐서
upright=1.4|섬네일|그림 2. 연속체 물체의 변형.

**변형 구배 텐서**는 기준 형상과 현재 형상 모두와 관련된 양이며, 한 점 주변의 움직임을 국소적으로 표현한다.
두 가지 유형의 변형 구배 텐서가 정의될 수 있다.

**재료 변형 구배 텐서** \mathbf F(\mathbf X,t) = F_{jK} \mathbf e_j\otimes\mathbf I_K는 연속체의 운동을 설명하는 매끄럽고 가역적인 매핑 함수 \chi(\mathbf X,t)\,\!의 기울기를 나타내는 2차 텐서이다.
특히, 매핑 함수 \chi(\mathbf X,t)\,\!의 연속성은 변형 중에 균열이나 빈 공간이 열리거나 닫히지 않는다는 것을 의미한다.
재료 변형 구배 텐서는 위치 벡터 \mathbf X\,\!를 가진 재료 점에서의 국부 변형, 즉 인접 점에서의 변형을 기준 형상에서 현재 또는 변형된 형상으로 그 점으로부터 방출되는 재료 선 요소를 변환(선형 변환)하여 특징짓는다.
따라서 다음과 같다.
 \begin{align}
    d\mathbf{x} &= \frac {\partial \mathbf{x}} {\partial \mathbf {X}}\,d\mathbf{X}
                  \qquad &\text{or}& \qquad
    dx_j =\frac{\partial x_j}{\partial X_K}\,dX_K \\
                &= \nabla \chi(\mathbf X,t) \,d\mathbf{X}
                  \qquad &\text{or}& \qquad
    dx_j =F_{jK}\,dX_K \,. \\
    & = \mathbf F(\mathbf X,t) \,d\mathbf{X}
\end{align}

\chi(\mathbf X,t)\,\!가 매끄러운 역함수를 가진다고 가정하면, \mathbf F는 역함수 \mathbf H = \mathbf F^{-1} = \frac {\partial \mathbf{X}} {\partial \mathbf {x}}\,\!를 가지며, 이것이 **공간 변형 구배 텐서**이다.
\mathbf F가 가역적이라는 것은 \text{det}\mathbf F \neq 0과 동등하며, 이는 재료가 무한히 압축될 수 없다는 개념에 해당한다.

### 상대 변위 벡터
변형 전 형상(그림 2)에서 위치 벡터 \mathbf X = X_I \mathbf I_I를 가진 입자 또는 재료점 P를 고려한다. 물체가 변위된 후, 새로운 형상에서 p로 표시된 입자의 새로운 위치는 벡터 위치 \mathbf{x} = x_i \mathbf e_i\,\!로 주어진다. 변형 전 및 변형 후 형상의 좌표계는 편의상 겹쳐 놓을 수 있다.

이제 P\,\!에 인접한 재료 점 Q 를 고려하며, 위치 벡터는 \mathbf{X}+ \Delta \mathbf{X} = (X_I+\Delta X_I) \mathbf I_I\,\!이다. 변형된 형상에서 이 입자는 위치 벡터 \mathbf{x}+ \Delta \mathbf{x}\,\!로 주어진 새로운 위치 q를 가진다. 변형 전 및 변형 후 형상에서 입자 P와 Q를 연결하는 선분 \Delta X와 \Delta \mathbf x가 매우 작다고 가정하면, 이들을 d\mathbf X와 d\mathbf x\,\!로 표현할 수 있다. 따라서 그림 2에서 다음과 같다.

\begin{align}
\mathbf{x} &= \mathbf{X} +\mathbf{u}(\mathbf{X}),
\\
\mathbf{x}+ d\mathbf{x} &= \mathbf{X}+d\mathbf{X}+\mathbf{u}(\mathbf{X}+d\mathbf{X}),
\\
\text{and}\text{ therefore}&
\\
d\mathbf{x} &= \mathbf{X}-\mathbf{x}+d\mathbf{X}+ \mathbf{u}(\mathbf{X}+d\mathbf{X}) \\
 &= d\mathbf{X}+\mathbf{u}(\mathbf{X}+d\mathbf{X})- \mathbf{u}(\mathbf{X}) \\
 &= d\mathbf{X}+d\mathbf{u} \\
\end{align},

여기서 \mathbf {du}는 **상대 변위 벡터**이며, 변형된 형상에서 Q의 P에 대한 상대 변위를 나타낸다.

#### 테일러 근사
무한소 요소 d\mathbf X\,\!에 대해 변위장의 연속성을 가정하면, 점 P\,\! 주변에서 테일러 급수 전개를 사용하여 고차항을 무시하고 이웃 입자 Q의 상대 변위 벡터 성분을 근사할 수 있다.
\begin{align}
\mathbf{u}(\mathbf{X}+d\mathbf{X}) &= \mathbf{u}(\mathbf{X})+d\mathbf{u} \quad & \text{or} & \quad u_i^* = u_i+du_i \\
&\approx \mathbf{u}(\mathbf{X})+\nabla_{\mathbf X}\mathbf u\cdot d\mathbf X \quad & \text{or} & \quad u_i^* \approx u_i + \frac{\partial u_i}{\partial X_J}dX_J \,.
\end{align}
따라서 이전 방정식 d\mathbf x = d\mathbf{X} + d\mathbf{u}는 다음과 같이 쓸 수 있다.
\begin{align}
d\mathbf x&=d\mathbf X+d\mathbf u \\
&=d\mathbf X+\nabla_{\mathbf X}\mathbf u\cdot d\mathbf X\\
&=\left(\mathbf I + \nabla_{\mathbf X}\mathbf u\right)d\mathbf X\\
&=\mathbf F d\mathbf X
\end{align}

### 변형 구배의 시간 미분
물체의 시간 의존적 변형을 포함하는 계산은 종종 변형 구배의 시간 미분을 계산해야 한다. 이러한 미분의 기하학적으로 일관된 정의는 미분기하학에 대한 탐구를 필요로 하지만 이 글에서는 이러한 문제를 피한다.

\mathbf{F}의 시간 미분은 다음과 같다.
 \dot{\mathbf{F}} = \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left[\frac{\partial \mathbf{x}(\mathbf{X}, t)}{\partial \mathbf{X}}\right] = \frac{\partial}{\partial \mathbf{X}}\left[\frac{\partial \mathbf{x}(\mathbf{X}, t)}{\partial t}\right] = \frac{\partial}{\partial \mathbf{X}}\left[\mathbf{V}(\mathbf{X}, t)\right] 
여기서 \mathbf{V}는 (재료) 속도이다. 오른쪽 항의 미분은 **재료 속도 구배**를 나타낸다. 미분의 연쇄 법칙을 적용하여 이를 공간 구배로 변환하는 것이 일반적이다. 즉,

  \dot{\mathbf{F}} =
  \frac{\partial}{\partial \mathbf{X}}\left[\mathbf{V}(\mathbf{X}, t)\right] =
  \frac{\partial}{\partial \mathbf{X}}\left[\mathbf{v}(\mathbf{x}(\mathbf{X}, t),t)\right] =
  \left.\frac{\partial}{\partial \mathbf{x}}\left[\mathbf{v}(\mathbf{x},t)\right]\right|_{\mathbf{x} = \mathbf{x}(\mathbf{X}, t)} \cdot
    \frac{\partial \mathbf{x}(\mathbf{X}, t)}{\partial \mathbf{X}}
   = \boldsymbol{l}\cdot\mathbf{F}
 
여기서 \boldsymbol{l} = (\nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{v})^T는 **공간 속도 구배**이고, \mathbf{v}(\mathbf{x},t) = \mathbf{V}(\mathbf{X},t)는 \mathbf{x} = \mathbf{x}(\mathbf{X}, t)에서의 공간 (오일러) 속도이다. 공간 속도 구배가 시간에 따라 일정하면, 위 방정식은 정확하게 풀 수 있으며 다음과 같다.
 \mathbf{F} = e^{\boldsymbol{l}\, t} 
t = 0에서 \mathbf{F} = \mathbf{1}이라고 가정한다. 위 지수를 계산하는 여러 방법이 있다.

연속체 역학에서 자주 사용되는 관련 양은 각각 다음과 같이 정의되는 **변형률 텐서**와 **스핀 텐서**이다.

  \boldsymbol{d} = \tfrac{1}{2} \left(\boldsymbol{l} + \boldsymbol{l}^T\right) \,,~~
  \boldsymbol{w} = \tfrac{1}{2} \left(\boldsymbol{l} - \boldsymbol{l}^T\right) \,.
 
변형률 텐서는 선 요소의 늘어나는 속도를 제공하고, 스핀 텐서는 운동의 회전 또는 소용돌이도 속도를 나타낸다.

유한 변형률을 포함하는 분석에서는 변형 구배의 역함수의 재료 시간 미분이 종종 필요하다 (기준 형상을 고정). 이 미분은 다음과 같다.
 \frac{\partial}{\partial t} \left(\mathbf{F}^{-1}\right) = - \mathbf{F}^{-1} \cdot \dot{\mathbf{F}} \cdot \mathbf{F}^{-1} \,. 
위 관계는 \mathbf{F}^{-1} \cdot d\mathbf{x} = d\mathbf{X}의 재료 시간 미분을 취하고 \dot{\mathbf{X}} = 0임을 확인하여 검증할 수 있다.

### 변형 구배 텐서의 극분해
upright=1.4|섬네일|그림 3. 변형 구배의 극분해 표현

변형 구배 \mathbf{F}는 모든 가역적인 2차 텐서와 마찬가지로 극분해 정리를 사용하여 두 개의 2차 텐서(Truesdell과 Noll, 1965)의 곱으로 분해될 수 있다. 즉, 직교 텐서와 양정치 대칭 텐서로, 다음과 같다.  \mathbf{F} = \mathbf{R} \mathbf{U} = \mathbf{V} \mathbf{R} 여기서 텐서 \mathbf{R}은 고유 직교 텐서이며, 즉 \mathbf R^{-1} = \mathbf R^T 및 \det \mathbf R = +1\,\!이고 회전을 나타낸다. 텐서 \mathbf{U}는 우측 신장 텐서이며, \mathbf{V}는 좌측 신장 텐서이다. 우측 및 좌측이라는 용어는 각각 회전 텐서 \mathbf{R}\,\!의 오른쪽에 있고 왼쪽에 있음을 의미한다. \mathbf{U}와 \mathbf{V}는 모두 양정치이며, 즉 모든 0이 아닌 \mathbf x \in \R^3에 대해 \mathbf x \cdot \mathbf U \cdot \mathbf x > 0  및 \mathbf x\cdot\mathbf V \cdot \mathbf x > 0 이고, 2차의 대칭 텐서이며, 즉 \mathbf U = \mathbf U^T 및 \mathbf V = \mathbf V^T\,\!이다.

이 분해는 변형 전 형상에서의 선 요소 d\mathbf X가 변형된 형상에서의 d\mathbf x로 변형되는 것, 즉 d\mathbf x = \mathbf F \,d\mathbf X\,\!가 먼저 요소에 \mathbf U\,\!를 적용하여 늘리고, 즉 d\mathbf x' = \mathbf U \,d\mathbf X\,\!, 그 다음 회전 \mathbf R\,\!을 적용하여, 즉 d\mathbf x = \mathbf R \,d\mathbf x'\,\!를 얻거나, 또는 이와 동등하게, 먼저 강체 회전 \mathbf R을 적용하고, 즉 d\mathbf x' = \mathbf R \, d\mathbf X\,\!, 그 다음 늘리기 \mathbf V\,\!를 적용하여, 즉 d\mathbf x = \mathbf V \, d\mathbf x'를 얻을 수 있음을 의미한다 (그림 3 참조).

\mathbf R의 직교성으로 인해
\mathbf V = \mathbf R \cdot \mathbf U \cdot \mathbf R^T
이므로 \mathbf U와 \mathbf V는 동일한 고유값 또는 주 신장률을 가지지만, 각각 다른 고유 벡터 또는 주 방향 \mathbf{N}_i와 \mathbf{n}_i\,\!를 가진다. 주 방향들은 다음과 같이 관련된다.
\mathbf{n}_i = \mathbf{R} \mathbf{N}_i. 

\mathbf F가 양의 행렬식을 가진 가역 행렬이므로 고유한 이 극분해는 특이값 분해의 한 결과이다.

### 표면 및 부피 요소의 변환
변형된 형상에서 면적에 대해 정의된 양을 기준 형상에서의 면적에 대한 양으로 변환하고, 그 반대로 변환하기 위해 다음과 같이 표현되는 **낸슨 관계**를 사용한다.  da~\mathbf{n} = J~dA ~\mathbf{F}^{-T} \cdot \mathbf{N}  여기서 da는 변형된 형상에서의 영역 면적이고, dA는 기준 형상에서의 동일한 면적이며, \mathbf{n}은 현재 형상에서의 면적 요소에 대한 외부 법선이고 \mathbf{N}은 기준 형상에서의 외부 법선이다. \mathbf{F}는 변형 구배이며, J = \det\mathbf{F}\,\!이다.

부피 요소의 변환에 대한 해당 공식은 다음과 같다.  dv = J~dV 

## 기본 변형률 텐서

변형률 텐서는 IUPAC에 의해 다음과 같이 정의된다.
"변형 구배 텐서가 회전 텐서 다음에 또는 그 이전에 대칭 텐서로 인수분해될 때 생성되는 대칭 텐서".

순수 회전은 변형 가능한 물체에 어떤 변형률도 유발해서는 안 되므로, 연속체 역학에서는 회전과 무관한 변형 측정값을 사용하는 것이 종종 편리하다. 회전 후 역회전이 아무런 변화도 일으키지 않으므로(\mathbf{R}\mathbf{R}^T=\mathbf{R}^T\mathbf{R}=\mathbf{I}\,\!) 변형 구배 텐서 \mathbf{F}에 그 전치 행렬을 곱함으로써 회전을 제외할 수 있다.

역학에서는 여러 회전 무관 변형 구배 텐서(또는 줄여서 "변형 텐서")가 사용된다. 고체역학에서 가장 많이 사용되는 것들은 우측 및 좌측 코시-그린 변형 텐서이다.

### 코시 변형률 텐서 (우측 코시-그린 변형 텐서)
1839년, 조지 그린은 우측 코시-그린 변형 텐서 또는 그린 변형 텐서(IUPAC은 이 텐서를 **코시 변형률 텐서**라고 부를 것을 권장한다)로 알려진 변형 텐서를 도입했으며, 다음과 같이 정의된다.

\mathbf C=\mathbf F^T\mathbf F=\mathbf U^2 \qquad \text{or} \qquad C_{IJ}=F_{kI}~F_{kJ} = \frac {\partial x_k} {\partial X_I} \frac {\partial x_k} {\partial X_J}.

물리적으로, 코시-그린 텐서는 변형으로 인한 거리의 국부적인 변화의 제곱을 제공한다. 즉, d\mathbf x^2=d\mathbf X\cdot\mathbf C \cdot d\mathbf X

\mathbf{C}의 불변량은 변형 에너지 밀도 함수의 표현식에서 자주 사용된다. 가장 일반적으로 사용되는 불변량은 다음과 같다.

  \begin{align}
     I_1^C & := \text{tr}(\mathbf{C}) = C_{II} = \lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 \\
     I_2^C & := \tfrac{1}{2}\left[(\text{tr}~\mathbf{C})^2 - \text{tr}(\mathbf{C}^2) \right]
       = \tfrac{1}{2}\left[(C_{JJ})^2 - C_{IK}C_{KI}\right] = \lambda_1^2\lambda_2^2 + \lambda_2^2\lambda_3^2 + \lambda_3^2\lambda_1^2 \\
     I_3^C & := \det(\mathbf{C}) = J^2 = \lambda_1^2\lambda_2^2\lambda_3^2.
  \end{align}

여기서 J:=\det\mathbf{F}는 변형 구배 \mathbf{F}의 행렬식이며 \lambda_i는 우측 (기준) 신장 텐서의 고유 벡터 방향을 따라 초기 정렬된 단위 섬유에 대한 신장률이다 (이들은 일반적으로 좌표계의 세 축과 정렬되지 않는다).

### 핑거 변형률 텐서
IUPAC은 우측 코시-그린 변형 텐서(해당 문서에서는 코시 변형률 텐서라고 함)의 역함수, 즉 \mathbf C^{-1}를 **핑거 변형률 텐서**라고 부를 것을 권장한다. 그러나 이 명칭은 응용 역학에서 보편적으로 받아들여지지 않는다.

\mathbf{f}=\mathbf C^{-1}=\mathbf F^{-1}\mathbf F^{-T} \qquad \text{or} \qquad f_{IJ}=\frac {\partial X_I} {\partial x_k} \frac {\partial X_J} {\partial x_k}

### 그린 변형률 텐서 (좌측 코시-그린 변형 텐서)
우측 코시-그린 변형 텐서 공식에서 곱셈 순서를 바꾸면 좌측 코시-그린 변형 텐서가 되며, 다음과 같이 정의된다.
\mathbf B = \mathbf F\mathbf F^T = \mathbf V^2 \qquad \text{or} \qquad B_{ij} = \frac {\partial x_i} {\partial X_K} \frac {\partial x_j} {\partial X_K}

좌측 코시-그린 변형 텐서는 종종 요제프 핑거 (1894)의 이름을 따서 핑거 변형 텐서라고 불린다.

IUPAC은 이 텐서를 **그린 변형률 텐서**라고 부를 것을 권장한다.

\mathbf{B}의 불변량 또한 변형 에너지 밀도 함수의 표현식에서 사용된다. 일반적인 불변량은 다음과 같이 정의된다.

  \begin{align}
  I_1 & := \text{tr}(\mathbf{B}) = B_{ii} = \lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2\\
  I_2 & := \tfrac{1}{2}\left[(\text{tr}~\mathbf{B})^2 - \text{tr}(\mathbf{B}^2)\right]
        = \tfrac{1}{2}\left(B_{ii}^2 - B_{jk}B_{kj}\right) = \lambda_1^2\lambda_2^2 + \lambda_2^2\lambda_3^2 + \lambda_3^2\lambda_1^2 \\
  I_3 & := \det\mathbf{B} = J^2 = \lambda_1^2\lambda_2^2\lambda_3^2
  \end{align}
 
여기서 J:=\det\mathbf{F}는 변형 구배의 행렬식이다.

압축성 재료의 경우, 약간 다른 불변량 집합이 사용된다.
 (\bar{I}_1 := J^{-2/3} I_1 ~;~~ \bar{I}_2 := J^{-4/3} I_2 ~;~~ J\neq 1) ~. 

### 피올라 변형률 텐서 (코시 변형 텐서)
앞서 1828년,오귀스탱 루이 코시는 좌측 코시-그린 변형 텐서 \mathbf B^{-1}\,\!의 역으로 정의되는 변형 텐서를 도입했다. 이 텐서는 또한 IUPAC에 의해 **피올라 변형률 텐서**로, 유변학 및 유체동역학 문헌에서는 **핑거 텐서**로 불렸다.

\mathbf{c}=\mathbf B^{-1}=\mathbf F^{-T}\mathbf F^{-1} \qquad \text{or} \qquad c_{ij}=\frac {\partial X_K} {\partial x_i} \frac {\partial X_K} {\partial x_j}

### 스펙트럼 표현
세 개의 구별되는 주 신장률 \lambda_i \,\!가 있다면, \mathbf{C}와 \mathbf{B}의 스펙트럼 분해는 다음과 같다.

 \mathbf{C} = \sum_{i=1}^3 \lambda_i^2 \mathbf{N}_i \otimes \mathbf{N}_i \qquad \text{and} \qquad \mathbf{B} = \sum_{i=1}^3 \lambda_i^2 \mathbf{n}_i \otimes \mathbf{n}_i

또한,

 \mathbf U = \sum_{i=1}^3 \lambda_i \mathbf N_i \otimes \mathbf N_i ~;~~
        \mathbf V = \sum_{i=1}^3 \lambda_i \mathbf n_i \otimes \mathbf n_i 
 \mathbf R = \sum_{i=1}^3 \mathbf n_i \otimes \mathbf N_i ~;~~
        \mathbf F = \sum_{i=1}^3 \lambda_i \mathbf n_i \otimes \mathbf N_i 

다음 사항에 유의하자.

  \mathbf{V} = \mathbf{R}~\mathbf{U}~\mathbf{R}^T =
   \sum_{i=1}^3 \lambda_i~\mathbf{R}~(\mathbf{N}_i\otimes\mathbf{N}_i)~\mathbf{R}^T =
   \sum_{i=1}^3 \lambda_i~(\mathbf{R}~\mathbf{N}_i)\otimes(\mathbf{R}~\mathbf{N}_i)

그러므로 스펙트럼 분해의 고유성은 또한  \mathbf{n}_i = \mathbf{R}~\mathbf{N}_i \,\!를 의미한다. 좌측 신장(\mathbf{V}\,\!)은 공간 신장 텐서라고도 불리며, 우측 신장(\mathbf{U}\,\!)은 재료 신장 텐서라고 불린다.

\mathbf{F}가 \mathbf{N}_i에 작용하는 효과는 벡터를 \lambda_i만큼 늘리고 새로운 방향 \mathbf{n}_i\,\!로 회전시키는 것이다. 즉,
 \mathbf{F}~\mathbf{N}_i = \lambda_i~(\mathbf{R}~\mathbf{N}_i) = \lambda_i~\mathbf{n}_i 
유사하게,

  \mathbf{F}^{-T}~\mathbf{N}_i = \cfrac{1}{\lambda_i}~\mathbf{n}_i ~;~~
  \mathbf{F}^T~\mathbf{n}_i = \lambda_i~\mathbf{N}_i ~;~~
  \mathbf{F}^{-1}~\mathbf{n}_i = \cfrac{1}{\lambda_i}~\mathbf{N}_i ~.


#### 예시
; 비압축성 재료의 단축 인장
: 이것은 표본이 1방향으로 \mathbf{\alpha=\alpha_1}\,\!의 신장률로 늘려지는 경우이다. 부피가 일정하게 유지되면, 다른 두 방향의 수축은 \mathbf{\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 =1} 또는 \mathbf{\alpha_2=\alpha_3=\alpha^{-0.5}}\,\!가 된다. 그러면: \mathbf{F}=\begin{bmatrix}
\alpha & 0 & 0 \\
0 & \alpha^{-0.5} & 0 \\
0 & 0 & \alpha^{-0.5}
\end{bmatrix} \mathbf{B} = \mathbf{C} = \begin{bmatrix}
\alpha^2 & 0 & 0 \\
0 & \alpha^{-1} & 0 \\
0 & 0 & \alpha^{-1}
\end{bmatrix}
; 단순 전단
:\mathbf{F}=\begin{bmatrix}
1 & \gamma & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \mathbf{B} = \begin{bmatrix}
1+\gamma^2 & \gamma & 0 \\
\gamma & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \mathbf{C} = \begin{bmatrix}
1 & \gamma & 0 \\
\gamma & 1+\gamma^2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
; 강체 회전
:\mathbf{F} = \begin{bmatrix}
\cos \theta & \sin \theta & 0 \\
- \sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \mathbf{B} = \mathbf{C} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} = \mathbf{1}

### 신장 미분
우측 코시-그린 변형 텐서에 대한 신장의 미분은 많은 고체, 특히 초탄성 재료의 응력-변형률 관계를 유도하는 데 사용된다. 이 미분은 다음과 같다.

  \cfrac{\partial\lambda_i}{\partial\mathbf{C}} =
       \cfrac{1}{2\lambda_i}~\mathbf{N}_i\otimes\mathbf{N}_i =
       \cfrac{1}{2\lambda_i}~\mathbf{R}^T~(\mathbf{n}_i\otimes\mathbf{n}_i)~\mathbf{R} ~;~~ i=1,2,3
 
그리고 다음 관찰에서 비롯된다.

   \mathbf{C}:(\mathbf{N}_i\otimes\mathbf{N}_i) = \lambda_i^2 ~;~~~~\cfrac{\partial\mathbf{C}}{\partial\mathbf{C}} = \mathsf{I}^{(s)} ~;~~~~ \mathsf{I}^{(s)}:(\mathbf{N}_i\otimes\mathbf{N}_i)=\mathbf{N}_i\otimes\mathbf{N}_i.
 

### 변형 텐서의 물리적 해석
\mathbf{X} = X^i~\boldsymbol{E}_i를 변형 전 물체에 정의된 직교 좌표계라고 하고, \mathbf{x} = x^i~\boldsymbol{E}_i를 변형된 물체에 정의된 다른 시스템이라고 하자. 변형 전 물체 내의 곡선 \mathbf{X}(s)가 s \in [0,1]를 사용하여 매개변수화되었다고 하자. 변형된 물체 내의 그 이미지는 \mathbf{x}(\mathbf{X}(s))이다.

곡선의 변형 전 길이는 다음과 같다.

l_X
= \int_0^1 \left| \cfrac{d \mathbf{X}}{d s} \right|~ds
= \int_0^1 \sqrt{ \cfrac{d \mathbf{X}}{d s}\cdot\cfrac{d \mathbf{X}}{d s}}~ds
= \int_0^1 \sqrt{ \cfrac{d \mathbf{X}}{d s}\cdot\boldsymbol{I} \cdot\cfrac{d \mathbf{X}}{d s} }~ds

변형 후 길이는 다음과 같다.

\begin{align}
l_x & = \int_0^1 \left| \cfrac{d \mathbf{x}}{d s} \right|~ds
      = \int_0^1 \sqrt{\cfrac{d \mathbf{x}}{d s}\cdot\cfrac{d \mathbf{x}}{d s}}~ds
      = \int_0^1 \sqrt{
        \left(\cfrac{d \mathbf{x}}{d \mathbf{X}}\cdot\cfrac{d \mathbf{X}}{d s}\right)
        \cdot
        \left(\cfrac{d \mathbf{x}}{d \mathbf{X}}\cdot\cfrac{d \mathbf{X}}{d s}\right)}~ds
\\
      & = \int_0^1 \sqrt{\cfrac{d \mathbf{X}}{d s}\cdot\left[
                        \left(\cfrac{d \mathbf{x}}{d \mathbf{X}}\right)^T\cdot \cfrac{d \mathbf{x}}{d \mathbf{X}}\right]
\cdot\cfrac{d \mathbf{X}}{d s} }~ds
  \end{align}

우측 코시-그린 변형 텐서는 다음과 같이 정의된다는 점에 유의한다.

   \boldsymbol{C} := \boldsymbol{F}^T\cdot\boldsymbol{F} = \left(\cfrac{d \mathbf{x}}{d \mathbf{X}}\right)^T\cdot \cfrac{d \mathbf{x}}{d \mathbf{X}}

따라서,

   l_x = \int_0^1 \sqrt{ \cfrac{d \mathbf{X}}{d s}\cdot\boldsymbol{C} \cdot\cfrac{d \mathbf{X}}{d s} }~ds

이는 길이 변화가 \boldsymbol{C}에 의해 특징지어진다는 것을 나타낸다.

## 유한 변형률 텐서
변형률의 개념은 주어진 변위가 강체 변위와 국소적으로 얼마나 다른지를 평가하는 데 사용된다. 큰 변형에 대한 이러한 변형률 중 하나는 **라그랑주 유한 변형률 텐서**이며, 그린-라그랑주 변형률 텐서 또는 그린-생브낭 변형률 텐서라고도 불리며 다음과 같이 정의된다.

\mathbf E=\frac{1}{2}(\mathbf C - \mathbf I)\qquad \text{or} \qquad E_{KL}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial x_j}{\partial X_K}\frac{\partial x_j}{\partial X_L}-\delta_{KL}\right)

또는 변위 구배 텐서의 함수로
\mathbf E =\frac{1}{2}\left[ (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T + \nabla_{\mathbf X}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T \cdot\nabla_{\mathbf X}\mathbf u\right]
또는
E_{KL}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_K}{\partial X_L}+\frac{\partial u_L}{\partial X_K}+\frac{\partial u_M}{\partial X_K}\frac{\partial u_M}{\partial X_L}\right)

그린-라그랑주 변형률 텐서는 \mathbf C가 \mathbf I\,\!와 얼마나 다른지를 측정한다.

변형된 형상에 참조된 (즉, 오일러 설명) **오일러 유한 변형률 텐서** 또는 오일러-알만시 유한 변형률 텐서는 다음과 같이 정의된다.

\mathbf e=\frac{1}{2}(\mathbf I - \mathbf c)=\frac{1}{2}(\mathbf I - \mathbf B ^{-1})
\qquad \text{or} \qquad
e_{rs} = \frac{1}{2} \left(\delta_{rs} - \frac{\partial X_M}{\partial x_r} \frac{\partial X_M}{\partial x_s}\right)

또는 변위 구배의 함수로 다음과 같다.
e_{ij} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} - \frac{\partial u_k}{\partial x_i} \frac{\partial u_k}{\partial x_j}\right)

 {\partial \mathbf {x}}d\mathbf{x}=\mathbf F^{-1} \, d\mathbf{x}=\mathbf{H} \,d\mathbf{x} \qquad \text{or} \qquad dX_M=\frac{\partial X_M}{\partial x_n}\, dx_n
여기서 \frac{\partial X_M}{\partial x_n}는 공간 변형 구배 텐서 \mathbf{H}\,\!의 성분이다. 따라서 다음과 같다.

\begin{align}
d\mathbf{X}^2 &= d\mathbf X \cdot d\mathbf X \\
&= \mathbf F^{-1} \cdot d\mathbf x \cdot \mathbf F^{-1} \cdot d\mathbf x \\
&= d\mathbf x \cdot \mathbf F^{-T}\mathbf F^{-1} \cdot d\mathbf x \\
&= d\mathbf x\cdot\mathbf c\cdot d\mathbf x
\end{align}
\qquad \text{or} \qquad
\begin{align}
(dX)^2&=dX_M\,dX_M \\
&= \frac{\partial X_M}{\partial x_r}\frac{\partial X_M}{\partial x_s}\,dx_r\,dx_s \\
&= c_{rs}\,dx_r\,dx_s \\
\end{align}
여기서 2차 텐서 c_{rs}는 코시 변형 텐서 \mathbf c=\mathbf F^{-T}\mathbf F^{-1}\,\!라고 불린다. 그러면 다음과 같다.

\begin{align}
d\mathbf{x}^2 - d\mathbf{X}^2 &= d\mathbf x\cdot d\mathbf x-d\mathbf x\cdot\mathbf c\cdot d\mathbf x \\
&=d\mathbf x\cdot (\mathbf I - \mathbf c)\cdot d\mathbf x \\
&= d\mathbf x \cdot 2\mathbf e \cdot d\mathbf x \\
\end{align}
또는
\begin{align}
(dx)^2 - (dX)^2 &= dx_j\,dx_j-\frac{\partial X_M}{\partial x_r}\frac{\partial X_M}{\partial x_s}\,dx_r\,dx_s \\
&= \left(\delta_{rs} - \frac{\partial X_M}{\partial x_r}\frac{\partial X_M}{\partial x_s} \right)\,dx_r\,dx_s \\
&=2e_{rs}\,dx_r\,dx_s
\end{align}

여기서 e_{rs}\,\!는 오일러-알만시 유한 변형률 텐서라고 불리는 2차 텐서의 성분이다.
\mathbf e=\frac{1}{2}(\mathbf I - \mathbf c)
\qquad \text{or} \qquad
e_{rs}=\frac{1}{2}\left(\delta_{rs} - \frac{\partial X_M}{\partial x_r}\frac{\partial X_M}{\partial x_s} \right)

라그랑주 및 오일러 유한 변형률 텐서 모두 변위 구배 텐서로 편리하게 표현될 수 있다. 라그랑주 변형률 텐서의 경우, 먼저 변위 벡터 \mathbf u(\mathbf X, t)를 재료 좌표 X_M에 대해 미분하여 재료 변위 구배 텐서 \nabla_{\mathbf X}\mathbf u를 얻는다.

\begin{align}
\mathbf u(\mathbf X,t) &= \mathbf x(\mathbf X,t) - \mathbf X \\
\nabla_{\mathbf X}\mathbf u &= \mathbf F - \mathbf I \\
\mathbf F &= \nabla_{\mathbf X}\mathbf u + \mathbf I \\
\end{align}
\qquad \text{or} \qquad
\begin{align}
u_i& = x_i-\delta_{iJ}X_J \\
\delta_{iJ}U_J &= x_i-\delta_{iJ}X_J \\
x_i&=\delta_{iJ}\left(U_J+X_J\right) \\
\frac{\partial x_i}{\partial X_K}&=\delta_{iJ}\left(\frac{\partial U_J}{\partial X_K}+\delta_{JK}\right) \\
&=\frac{\partial u_i}{\partial X_K}+\delta_{iK}
\end{align}


이 방정식을 라그랑주 유한 변형률 텐서의 표현식에 대입하면 다음과 같다.
\begin{align}
\mathbf E &= \frac{1}{2}\left(\mathbf F^T\mathbf F-\mathbf I\right) \\
&=\frac{1}{2}\left[ \left\{ (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T+\mathbf I\right\}\left( \nabla_{\mathbf X}\mathbf u+\mathbf I\right)-\mathbf I\right] \\
&=\frac{1}{2}\left[ (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T + \nabla_{\mathbf X}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T \cdot\nabla_{\mathbf X}\mathbf u\right] \\
\end{align}
또는
\begin{align}
E_{KL}&=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial x_j}{\partial X_K} \frac{\partial x_j}{\partial X_L} - \delta_{KL}\right) \\
&=\frac{1}{2} \left[\delta_{jM}\left(\frac{\partial U_M}{\partial X_K}+\delta_{MK}\right)\delta_{jN}\left(\frac{\partial U_N}{\partial X_L}+\delta_{NL}\right)-\delta_{KL}\right] \\
&=\frac{1}{2}\left[\delta_{MN}\left(\frac{\partial U_M}{\partial X_K}+\delta_{MK}\right)\left(\frac{\partial U_N}{\partial X_L}+\delta_{NL}\right)-\delta_{KL}\right] \\
&=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial U_M}{\partial X_K}+\delta_{MK}\right)\left(\frac{\partial U_M}{\partial X_L}+\delta_{ML}\right)-\delta_{KL}\right] \\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial U_K}{\partial X_L} +\frac{\partial U_L}{\partial X_K} +\frac{\partial U_M}{\partial X_K} \frac{\partial U_M}{\partial X_L}\right)
\end{align}

마찬가지로, 오일러-알만시 유한 변형률 텐서는 다음과 같이 표현될 수 있다.

e_{ij} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} +\frac{\partial u_j}{\partial x_i} - \frac{\partial u_k}{\partial x_i} \frac{\partial u_k}{\partial x_j}\right)
}}

### 세스-힐 일반화된 변형률 텐서군
인도 공과대학교 카라그푸르의 B. R. 세스는 그린과 알만시 변형률 텐서가 보다 일반적인 변형률 측정의 특수한 경우임을 처음으로 보였다. 이 아이디어는 1968년 로드니 힐에 의해 더 확장되었다. 세스-힐 변형률 측정값 (도일-에릭센 텐서라고도 함)은 다음과 같이 표현될 수 있다.

\mathbf E_{(m)}=\frac{1}{2m}(\mathbf U^{2m}- \mathbf I) = \frac{1}{2m}\left[\mathbf{C}^{m} - \mathbf{I}\right]

m의 다른 값에 대해 다음을 얻는다.
* 그린-라그랑주 변형률 텐서 \mathbf E_{(1)} = \frac{1}{2} (\mathbf U^{2}- \mathbf I) = \frac{1}{2} (\mathbf{C}-\mathbf{I})
* 비오 변형률 텐서  \mathbf E_{(1/2)} = (\mathbf U - \mathbf I) = \mathbf{C}^{1/2}-\mathbf{I}
* 대수 변형률, 자연 변형률, 실제 변형률, 또는 헨키 변형률 \mathbf E_{(0)} = \ln \mathbf U = \frac{1}{2}\,\ln\mathbf{C}
* 알만시 변형률 \mathbf{E}_{(-1)} = \frac{1}{2}\left[\mathbf{I}-\mathbf{U}^{-2}\right]
이러한 텐서의 2차 근사는 다음과 같다.

  \mathbf{E}_{(m)} = \boldsymbol{\varepsilon} + {\tfrac 1 2}(\nabla\mathbf{u})^T\cdot\nabla\mathbf{u} - (1 - m) \boldsymbol{\varepsilon}^T\cdot\boldsymbol{\varepsilon}

여기서 \boldsymbol{\varepsilon}는 무한소 변형률 텐서이다.

\mathbf{E} 텐서에 대한 다른 많은 정의가 허용될 수 있으며, 다음 조건들을 모두 만족해야 한다.
* \mathbf{E}는 모든 강체 운동에 대해 사라진다.
* \mathbf{E}의 변위 구배 텐서 \nabla\mathbf{u}에 대한 의존성은 연속적이고, 연속적으로 미분 가능하며, 단조롭다.
* 또한 \mathbf{E}는 |\nabla\mathbf{u}| \to 0일 때 무한소 변형률 텐서 \boldsymbol{\varepsilon}로 환원되는 것이 바람직하다.

한 예는 다음 텐서 집합이다.

  \mathbf{E}^{(n)} = \left({\mathbf U}^n - {\mathbf U}^{-n}\right)/2n
 
이들은 세스-힐 클래스에 속하지 않지만, m=0에서 어떤 n 값에 대해서도 세스-힐 측정값과 동일한 2차 근사를 가진다.

### 유한 변형률 텐서의 물리적 해석
라그랑주 유한 변형률 텐서의 대각선 성분 E_{KL}은 법선 변형률과 관련된다. 예를 들어,

E_{11}=e_{(\mathbf I_1)}+\frac{1}{2} e_{(\mathbf I_1)}^2

여기서 e_{(\mathbf I_1)}는 \mathbf I_1\,\! 방향의 법선 변형률 또는 공학적 변형률이다.

라그랑주 유한 변형률 텐서의 비대각선 성분 E_{KL}은 전단 변형률과 관련된다. 예를 들어,

E_{12}=\frac{1}{2}\sqrt{2E_{11}+1}\sqrt{2E_{22}+1}\sin\phi_{12}

여기서 \phi_{12}는 원래 \mathbf I_1 및 \mathbf I_2\,\! 방향으로 각각 수직이었던 두 선 요소 사이의 각도 변화이다.

특정 상황, 즉 작은 변위와 작은 변위율에서 라그랑주 유한 변형률 텐서의 성분은 무한소 변형률 텐서의 성분으로 근사될 수 있다.

 = \frac{dX}{dx}

신장률의 제곱은 다음과 같이 정의된다.
\Lambda_{(\mathbf N)}^2=\left (\frac{dx}{dX}\right )^2

다음 사실을 알면,
(dx)^2=C_{KL}dX_KdX_L
다음과 같다.
\Lambda_{(\mathbf N)}^2 = C_{KL} N_K N_L
여기서 N_K와 N_L은 단위 벡터이다.

어떤 방향 \mathbf N에서의 법선 변형률 또는 공학적 변형률 e_{\mathbf N}은 신장률의 함수로 표현될 수 있다.

e_{(\mathbf N)}=\frac{dx-dX}{dX}=\Lambda_{(\mathbf N)}-1

따라서 재료점 P의 \mathbf I_1 방향에서의 법선 변형률은 신장률의 함수로 다음과 같이 표현될 수 있다.

\begin{align}
e_{(\mathbf I_1)}=\frac{dx_1-dX_1}{dX_1}&=\Lambda_{(\mathbf I_1)}-1\\
&=\sqrt {C_{11}} -1=\sqrt{\delta_{11}+2E_{11}}-1\\
&=\sqrt{1+2E_{11}}-1
\end{align}

E_{11}에 대해 풀면 다음과 같다.

 \begin{align}
2E_{11}&= \frac{(dx_1)^2 - (dX_1)^2}{(dX_1)^2} \\
E_{11}&= \left(\frac{dx_1-dX_1}{dX_1}\right)+ \frac {1}{2} \left(\frac{dx_1-dX_1}{dX_1}\right)^2 \\
&=e_{(\mathbf I_1)}+\frac{1}{2}e_{(\mathbf I_1)}^2
\end{align}

원래 수직이었고 각각 주 방향 \mathbf I_1 및 \mathbf I_2\,\!로 향한 두 선 요소 d\mathbf X_1 및 d\mathbf X_2 사이의 전단 변형률 또는 각도 변화도 신장률의 함수로 표현될 수 있다. 변형된 선 d\mathbf x_1과 d\mathbf x_2 사이의 스칼라곱에서 다음을 얻는다.

\begin{align}
d\mathbf x_1 \cdot d\mathbf x_2 &=dx_1 dx_2 \cos\theta_{12} \\
\mathbf F \cdot d\mathbf X_1\cdot \mathbf F\cdot d\mathbf X_2&= \sqrt {d\mathbf X_1 \cdot \mathbf F^T\cdot\mathbf F \cdot d\mathbf X_1}\cdot \sqrt {d\mathbf X_2 \cdot \mathbf F^T\cdot\mathbf F \cdot d\mathbf X_2} \cos\theta_{12} \\
\frac{d\mathbf X_1\cdot \mathbf F^T\cdot\mathbf F\cdot d\mathbf X_2}{dX_1 dX_2} &=\frac{\sqrt {d\mathbf X_1 \cdot \mathbf F^T\cdot\mathbf F \cdot d\mathbf X_1}\cdot \sqrt {d\mathbf X_2 \cdot \mathbf F^T\cdot\mathbf F \cdot d\mathbf X_2}}{dX_1 dX_2} \cos\theta_{12}\\
\mathbf I_1 \cdot \mathbf C \cdot \mathbf I_2&= \Lambda_{\mathbf I_1}\Lambda_{\mathbf I_2}\cos\theta_{12}
\end{align}

여기서 \theta_{12}는 변형된 형상에서 선 d\mathbf x_1과 d\mathbf x_2 사이의 각도이다. \phi_{12}를 원래 수직이었던 두 선 요소 사이의 전단 변형률 또는 각도 감소로 정의하면 다음과 같다.

\phi_{12}=\frac{\pi}{2}-\theta_{12}
따라서,
\cos\theta_{12}=\sin\phi_{12}
그러면
\mathbf I_1 \cdot \mathbf C \cdot \mathbf I_2= \Lambda_{\mathbf I_1} \Lambda_{\mathbf I_2}\sin\phi_{12}

또는

\begin{align}
C_{12}&=\sqrt{C_{11}}\sqrt{C_{22}}\sin\phi_{12}\\
2E_{12}+\delta_{12}&=\sqrt{2E_{11}+1}\sqrt{2E_{22}+1}\sin\phi_{12}\\
E_{12}&=\frac{1}{2}\sqrt{2E_{11}+1}\sqrt{2E_{22}+1}\sin\phi_{12}
\end{align}
}}

## 적합성 조건

연속체 역학에서 적합성 문제는 물체에 허용되는 단일 값 연속 필드를 결정하는 것을 포함한다. 이러한 허용 조건은 변형 후 물체에 비물리적인 간극이나 겹침이 발생하지 않도록 한다. 대부분의 이러한 조건은 단일 연결된 물체에 적용된다. 다중 연결된 물체의 내부 경계에는 추가 조건이 필요하다.

### 변형 구배의 적합성
단일 연결된 물체에 대한 적합한 \boldsymbol{F} 필드의 존재를 위한 필요충분조건은 다음과 같다.
 \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{F} = \boldsymbol{0} 

### 우측 코시-그린 변형 텐서의 적합성
단일 연결된 물체에 대한 적합한 \boldsymbol{C} 필드의 존재를 위한 필요충분조건은 다음과 같다.

  R^\gamma_{\alpha\beta\rho} :=
   \frac{\partial }{\partial X^\rho}[\,_{(X)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}] -
   \frac{\partial }{\partial X^\beta}[\,_{(X)}\Gamma^\gamma_{\alpha\rho}] +
  \,_{(X)}\Gamma^\gamma_{\mu\rho}\,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\beta} -
  \,_{(X)}\Gamma^\gamma_{\mu\beta}\,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\rho} = 0

이들이 리만-크리스토펠 곡률 텐서의 혼합 성분임을 보일 수 있다. 따라서 \boldsymbol{C}-적합성을 위한 필요 조건은 변형의 리만-크리스토펠 곡률이 0이어야 한다는 것이다.

### 좌측 코시-그린 변형 텐서의 적합성
3차원 좌측 코시-그린 변형 텐서에 대한 일반적인 충분 조건은 아미트 아차랴가 유도했다. 2차원 \boldsymbol{B} 필드에 대한 적합성 조건은 재닛 블루메가 발견했다.

## 같이 보기
* 무한소 변형 이론
* 곡선좌표계
* 피올라-키르히호프 응력 텐서, 유한 변형에 대한 응력 텐서.
* 응력 측정
* 변형률 분할

## 각주

## 더 읽어보기
*
*
*
*
*
*
*
*
*

## 외부 링크
* iMechanica의 Amit Acharya 교수 호환성 노트

분류:연속체역학
분류:텐서
분류:비뉴턴 유체
분류:고체역학
분류:탄성