추이 측도

측도론과 확률론에서 **추이 측도**(推移測度, )는 첫 번째 변수에 대하여 가측 함수이며 두 번째 변수에 대하여 측도인 이변수 함수이다. 추이 측도를 통해 곱 가측 공간 위에 측도를 유도할 수 있다.

## 정의
두 가측 공간 (X,\mathcal F)와 (Y,\mathcal G) 사이의 **추이 측도**는 다음 두 조건을 만족시키는 함수
:\mu\colon X\times\mathcal G\to[0,\infty]
이다.
* 임의의 x\in X에 대하여, B\mapsto\mu(x,B)는 (Y,\mathcal G) 위의 측도이다.
* 임의의 B\in\mathcal G에 대하여, x\mapsto\mu(x,B)는 (X,\mathcal F)\to([0,\infty],\mathcal B([0,\infty])) 가측 함수이다.
만약 임의의 x\in X에 대하여 B\mapsto\mu(x,B)가 확률 측도라면, \mu를 **확률 추이 측도**(確率推移測度, )이라고 한다.

### 시그마 유한 추이 측도
두 가측 공간 (X,\mathcal F)와 (Y,\mathcal G) 사이의 추이 측도 \mu에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가측 집합들의 족 \mathcal B\subset\mathcal G가 존재한다면, \mu를 **시그마 유한 추이 측도**(-有限推移測度, )라고 한다.
:|\mathcal B|\le\aleph_0
:Y=\bigcup\mathcal B
:\mu(x,B)

두 가측 공간 (X,\mathcal F)와 (Y,\mathcal G) 사이의 추이 측도 \mu에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가측 집합들의 족 \mathcal A\subset\mathcal G 및 \mathcal B\subset\mathcal G가 존재한다면, \mu를 **균등 시그마 유한 추이 측도**(均等-有限推移測度, )라고 한다.
:|\mathcal A|,|\mathcal B|\le\aleph_0
:X=\bigcup\mathcal A
:Y=\bigcup\mathcal B
:\sup_{x\in A}\mu(x,B)

## 성질
### 유한 차원 곱공간 위의 측도

다음이 주어졌다고 하자.
* 유한 개의 가측 공간 (X_i,\mathcal F_i)_{i=1,\dots,n}
* 각 i=1,\dots,n에 대하여, \textstyle(\prod_{j=1}^{i-1}X_j,\prod_{j=1}^{i-1}\mathcal F_j)와 (X_i,\mathcal F_i) 사이의 시그마 유한 추이 측도 \mu_i. (특히, \mu_1은 (X_1,\mathcal F_1) 위의 시그마 유한 측도이다.)
그렇다면, 곱 가측 공간 \textstyle(\prod_{i=1}^nX_i,\prod_{i=1}^n\mathcal F_i) 위에 다음과 같은 시그마 유한 측도를 부여할 수 있다.
:\mu\colon S\mapsto\int_{X_1}\int_{X_2}\cdots\int_{X_n}1_S(x_1,\dots,x_n)\mu_n(x_1,\dots,x_{n-1},\mathrm dx_n)\cdots\mu_2(x_1,\mathrm dx_2)\mu_1(\mathrm dx_1)\qquad\forall S\in\prod_{i=1}^n\mathcal F_i
이는 다음 조건을 만족시키는 유일한 측도이다.
:\mu\left(\prod_{i=1}^nA_i\right)=\int_{A_1}\int_{A_2}\cdots\int_{A_n}\mu_n(x_1,\dots,x_{n-1},\mathrm dx_n)\cdots\mu_2(x_1,\mathrm dx_2)\mu_1(\mathrm dx_1)\qquad\forall A_1\in\mathcal F_1,\dots,A_n\in\mathcal F_n
또한, 임의의 적분 가능 가측 함수 \textstyle f\colon\prod_{i=1}^nX_i\to\mathbb(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))에 대하여, 다음이 성립한다.
:\int_{\prod_{i=1}^nX_i}f\mathrm d\mu=\int_{X_1}\int_{X_2}\cdots\int_{X_n}f(x_1,\dots,x_n)\mu_n(x_1,\dots,x_{n-1},\mathrm dx_n)\cdots\mu_2(x_1,\mathrm dx_2)\mu_1(\mathrm dx_1)

### 가산 차원 곱공간 위의 확률 측도
다음이 주어졌다고 하자.
* 가산 무한 개의 가측 공간 (X_i,\mathcal F_i)_{i=1,2,\dots}
* 각 i=1,2,\dots에 대하여, \textstyle(\prod_{j=1}^{i-1}X_j,\prod_{j=1}^{i-1}\mathcal F_j)와 (X_i,\mathcal F_i) 사이의 확률 추이 측도 P_i. (특히, P_1은 (X_1,\mathcal F_1) 위의 확률 측도이다.)
그렇다면, **이오네스쿠툴체아 정리**(-定理, )에 따르면 곱 가측 공간 \textstyle(\prod_{i=1}^\infty X_i,\prod_{i=1}^\infty\mathcal F_i) 위에 다음 조건을 만족시키는 유일한 확률 측도 P가 존재한다.
:P\left(\prod_{i=1}^nA_i\times\prod_{i=n+1}^\infty X_i\right)=\int_{A_1}\int_{A_2}\cdots\int_{A_n}P_n(x_1,\dots,x_{n-1},\mathrm dx_n)\cdots P_2(x_1,\mathrm dx_2)P_1(\mathrm dx_1)\qquad\forall n=1,2,\dots,\;A_1\in\mathcal F_1,\dots,A_n\in\mathcal F_n

### 범주론적 성질
3개의 가측 공간 (X,\mathcal F), (Y,\mathcal G), (Z,\mathcal H) 및 X\times\mathcal G 위의 확률 추이 측도 \mu 및 Y\times\mathcal H 위의 확률 추이 측도 \nu가 주어졌을 때, X\times\mathcal H 위에 다음과 같은 확률 추이 측도를 정의할 수 있다.
:\nu\circ\mu\colon(x,C)\mapsto\int_Y\nu(y,C)\mu(x,\mathrm dy)
확률 추이 측도의 합성은 결합 법칙을 만족시키며, 이에 따라 가측 공간과 확률 추이 측도는 범주를 이룬다.

## 예
두 가측 공간 (X,\mathcal F), (Y,\mathcal G) 및 (Y,\mathcal G) 위의 측도 \mu가 주어졌을 때, 함수
:(x,B)\mapsto\mu(B)
는 (X,\mathcal F)와 (Y,\mathcal G) 사이의 추이 측도를 이룬다. 만약 \mu가 시그마 유한 측도 · 확률 측도라면, 이는 각각 (균등) 시그마 유한 추이 측도 · 확률 추이 측도를 이룬다.

유한 이산 가측 공간 (\Omega,\mathcal P(\Omega))이 주어졌고, 행렬 p\colon\Omega\times\Omega\to[0,1]가
:\sum_{y\in\Omega}p(x,y)=1\qquad\forall x\in\Omega
를 만족시킬 때, 함수
:(x,B)\mapsto\sum_{y\in B}p(x,y)
는 (\Omega,\mathcal P(\Omega)) 위의 확률 추이 측도를 이룬다. 이 경우 확률 추이 측도의 합성은 행렬의 곱셈에 대응한다.

## 역사
이오네스쿠툴체아 정리는 카시우스 토크빌 이오네스쿠툴체아()가 증명하였다.

## 참고 문헌

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분류:측도론
분류:확률 과정