실수 좌표 공간

[thumb|right|[데카르트 좌표계는 평면의 점을 실수 쌍으로 식별한다.]]

수학에서 **실수 좌표 공간**() 또는 **실수 좌표 ''n''-공간**()은 차원 의 모든 실수 튜플의 집합이다. 이는 좌표 벡터라고도 불리는 개의 실수 시퀀스 전체를 의미한다. 특수한 경우로는 실직선 , 실수 좌표 평면 , 그리고 실수 좌표 3차원 공간 이 있다. 성분별 덧셈과 스칼라배를 사용하면, 이는 실수 벡터 공간이다.

실수 벡터 공간의 원소에 대한 모든 기저에 대한 좌표는 벡터 공간과 같은 차원의 실수 좌표 공간을 형성한다. 마찬가지로, 차원 의 유클리드 공간 (유클리드 선, ; 유클리드 평면, ; 유클리드 3차원 공간, )의 점들의 데카르트 좌표는 차원 의 실수 좌표 공간을 형성한다.

벡터, 점 및 좌표 벡터 사이의 이러한 일대일 대응은 좌표 공간과 좌표 벡터의 이름을 설명한다. 이를 통해 실수 좌표 공간을 연구하는 데 기하학적 용어와 방법을 사용할 수 있으며, 반대로 미적분학 방법을 기하학에 사용할 수 있다. 이러한 기하학적 접근 방식은 17세기에 르네 데카르트가 도입했다. 이는 유클리드 공간에서 점의 위치를 파악하고 이들을 계산하는 데 널리 사용된다.

## 정의 및 구조
임의의 자연수 에 대해, 집합 은 실수()의 모든 -튜플로 구성된다. 이를 "-차원 실수 공간" 또는 "실수 -공간"이라고 부른다.

따라서 의 원소는 -튜플이며 다음과 같이 쓰인다.
(x_1, x_2, \ldots, x_n)
여기서 각 는 실수이다. 따라서 다변수 미적분학에서 다변수 함수의 정의역과 실수 벡터값 함수의 공역은 어떤 에 대해 의 부분집합이다.

실수 -공간은 다음과 같은 몇 가지 추가 속성을 갖는다.
* 성분별 덧셈과 스칼라배를 사용하면, 이는 실수 벡터 공간이다. 모든 -차원 실수 벡터 공간은 이와 동형이다.
* 스칼라곱(성분별 곱의 합)을 사용하면, 내적 공간이다. 모든 -차원 실수 내적 공간은 이와 동형이다.
* 모든 내적 공간과 마찬가지로, 위상 공간 (수학)이자 위상 벡터 공간이다.
* 유클리드 공간이자 실수 아핀 공간이며, 모든 유클리드 또는 아핀 공간은 이와 동형이다.
* 해석 다양체이며, 모든 다양체의 원형으로 간주될 수 있다. 왜냐하면 다양체는 정의상 각 점 근처에서 의 열린집합과 동형이기 때문이다.
* 대수다양체이며, 모든 실수 대수다양체는 의 부분집합이다.

의 이러한 속성과 구조는 통계학, 확률론 및 물리학의 여러 부분과 같은 거의 모든 수학 분야 및 응용 분야에서 이를 근본적으로 중요하게 만든다.

## 다변수 함수의 정의역

개의 실수 변수 함수 는 의 함수(즉, 을 정의역으로 갖는 함수)로 간주될 수 있다. 여러 변수를 개별적으로 고려하는 대신 실수 -공간을 사용하면 표기를 단순화하고 합리적인 정의를 제안할 수 있다. 에 대해 다음과 같은 형태의 함수의 합성을 고려해보자.
 F(t) = f(g_1(t),g_2(t)),
여기서 함수 과 는 연속 함수이다. 만약
*가 연속이라면 (에 의해)
*가 연속이라면 (에 의해)
는 반드시 연속인 것은 아니다. 연속성은 더 강한 조건이다. 의 자연 위상(아래에서 설명)에서의 의 연속성은 다변수 연속성이라고도 불리며, 합성 함수 의 연속성을 위한 충분 조건이다.

## 벡터 공간
좌표 공간 은 체 실수에 선형성 구조를 추가하여 -차원 벡터 공간을 형성하며, 종종 여전히 으로 표기된다. 벡터 공간으로서 의 연산은 일반적으로 다음과 같이 정의된다.
\mathbf x + \mathbf y = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n + y_n)
\alpha \mathbf x = (\alpha x_1, \alpha x_2, \ldots, \alpha x_n).
영 벡터는 다음과 같이 주어진다.
\mathbf 0 = (0, 0, \ldots, 0)
그리고 벡터 의 덧셈 역원은 다음과 같이 주어진다.
-\mathbf x = (-x_1, -x_2, \ldots, -x_n).

이 구조는 모든 -차원 실수 벡터 공간이 벡터 공간 과 동형이기 때문에 중요하다.

### 행렬 표기

표준 행렬 표기법에서 의 각 원소는 일반적으로 열 벡터로 쓰인다.
\mathbf x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}
그리고 때로는 행 벡터로 쓰이기도 한다.
\mathbf x = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}.

좌표 공간 은 일반적인 행렬 덧셈과 스칼라배 연산을 사용하여 모든  열 벡터 또는 모든  행 벡터의 공간으로 해석될 수 있다.

에서 으로의 선형 변환은  행렬로 쓰일 수 있으며, 이 행렬은 의 원소에 왼쪽 곱셈( 의 원소가 열 벡터일 때)을 통해 작용하고, 의 원소에 오른쪽 곱셈(행 벡터일 때)을 통해 작용한다. 행렬 곱셈의 특별한 경우인 왼쪽 곱셈 공식은 다음과 같다.
(A{\mathbf x})_k = \sum_{l=1}^n A_{kl} x_l

모든 선형 변환은 연속 함수이다(아래 참조). 또한, 행렬은 행렬의 계수가 과 같을 때에만 에서 으로의 열린 사상을 정의한다.

### 표준 기저

좌표 공간 은 표준 기저를 갖는다.
\begin{align}
\mathbf e_1 & = (1, 0, \ldots, 0) \\
\mathbf e_2 & = (0, 1, \ldots, 0) \\
& {}\;\;  \vdots \\
\mathbf e_n & = (0, 0, \ldots, 1)
\end{align}

이것이 기저임을 보려면, 의 임의의 벡터는 다음 형태로 유일하게 쓰여질 수 있다는 점에 주목하라.
\mathbf x = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i.

## 기하학적 성질 및 활용

### 방향
실수가 다른 많은 체와 달리 순서체를 구성한다는 사실은 에 방향 구조를 제공한다. 에서 자기 자신으로 가는 모든 전계수 선형 사상은 행렬의 행렬식의 부호에 따라 공간의 방향을 보존하거나 반전시킨다. 좌표를 순열시키면 (또는 다른 말로, 기저의 원소를 순열시키면), 결과 방향은 순열의 패리티에 따라 달라진다.

 또는 그 영역의 미분동형사상은 영 야코비 행렬을 피하는 특성 때문에 방향 보존 및 방향 반전으로 분류된다. 이는 미분 형식 이론에 중요한 결과를 가져오며, 그 응용에는 전자기학이 포함된다.

이 구조의 또 다른 발현은 에서의 점대칭이 의 짝수 여부에 따라 다른 속성을 갖는다는 것이다. 짝수 의 경우 방향을 보존하지만, 홀수 의 경우 방향이 반전된다(부정 회전 참조).

### 아핀 공간

아핀 공간으로 이해되는 은 동일한 공간이며, 여기서 벡터 공간으로서의 은 작용을 통해 평행 이동에 의해 작용한다. 반대로, 벡터는 "두 점 사이의 차이"로 이해되어야 하며, 일반적으로 두 점을 연결하는 방향성 선분으로 설명된다. 이 구분은 아핀 -공간에서 원점이 어디로 가야 하는지에 대한 표준 형식 선택이 없다는 것을 의미한다. 왜냐하면 어디로든 평행 이동될 수 있기 때문이다.

### 볼록성
[thumb|n-단체([#Rn에서의 다포체|아래 참조)는 모든 다포체에 매핑되는 표준 볼록 집합이며, 표준  아핀 초평면(표준 아핀 공간)과 표준  직사분면(표준 원뿔)의 교집합이다.]]

과 같은 실수 벡터 공간에서 벡터의 모든 비음 선형 결합을 포함하는 볼록 원뿔을 정의할 수 있다. 아핀 공간에서 대응하는 개념은 볼록 집합으로, 볼록 조합(합이 1인 비음 선형 결합)만 허용한다.

보편대수학의 언어로, 벡터 공간은 유한 벡터 합에 해당하는 계수의 유한 시퀀스로 구성된 유한 차원 벡터 공간 에 대한 대수이고, 아핀 공간은 이 공간(합이 1인 유한 시퀀스)의 보편 아핀 초평면에 대한 대수이며, 원뿔은 보편 직사분면(비음수의 유한 시퀀스)에 대한 대수이고, 볼록 집합은 보편 단체(합이 1인 비음수의 유한 시퀀스)에 대한 대수이다. 이는 "좌표에 대한 (가능한) 제한이 있는 합"의 관점에서 공리들을 기하학화한다.

볼록 해석학의 또 다른 개념은 에서 실수로 가는 볼록 함수로, 점의 볼록 조합에서 함수 값과 해당 점에서 동일한 계수를 가진 값의 합 사이의 부등식을 통해 정의된다.

### 유클리드 공간

스칼라곱
\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n
는 벡터 공간 에 노름 를 정의한다. 모든 벡터가 유클리드 노름을 갖는다면, 임의의 두 점 쌍에 대해 거리
d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}
가 정의되어, 아핀 구조 외에 에 거리 공간 구조를 제공한다.

벡터 공간 구조와 마찬가지로, 스칼라곱과 유클리드 거리는 특별한 설명 없이 에 존재한다고 일반적으로 가정된다. 그러나 실수 -공간과 유클리드 -공간은 엄밀히 말하면 별개의 객체이다. 모든 유클리드 -공간은 위에서 보여진 형태의 스칼라곱과 유클리드 거리를 갖는 좌표계를 가지며, 이를 데카르트 좌표계라고 부른다. 그러나 유클리드 공간에는 많은 데카르트 좌표계가 존재한다.

반대로, 유클리드 거리에 대한 위 공식은 에 대한 표준 유클리드 구조를 정의하지만, 유일한 가능한 구조는 아니다. 사실, 모든 양의 정부호 이차 형식 는 자체적인 "거리" 를 정의하지만, 이는 유클리드 거리와 크게 다르지 않다. 왜냐하면
\exist C_1 > 0,\ \exist C_2 > 0,\ \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n:
 C_1 d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \le \sqrt{q(\mathbf{x} - \mathbf{y})} \le
 C_2 d(\mathbf{x}, \mathbf{y}). 
이러한 거리 함수의 변경은 완비 거리 공간이라는 속성과 같은 일부 속성을 보존한다.
이는 또한 의 모든 전계수 선형 변환 또는 그 아핀 변환이 거리를 고정된  이상으로 확대하지 않고, 고정된 유한 수 배보다 작게 만들지 않는다는 것을 의미한다.

위에서 언급된 거리 함수의 등가성은 가 로 대체될 때에도 유효하며, 여기서 은 차수 1의 임의의 볼록 양의 동차함수, 즉 벡터 노름이다(민코프스키 거리의 유용한 예시 참조). 의 어떤 "자연적인" 거리도 유클리드 거리와 특별히 다르지 않다는 사실 때문에, 은 전문적인 수학 연구에서도 유클리드 -공간과 항상 구별되지 않는다.

### 대수기하학과 미분기하학에서
다양체의 정의가 모델 공간이 이어야 한다고 요구하지는 않지만, 이 선택은 미분기하학에서 가장 일반적이며 거의 유일한 선택이다.

다른 한편으로, 휘트니 매장 정리는 모든 실수 미분 가능 -차원 다양체가 에 매장될 수 있다고 말한다.

### 다른 출현
에서 고려되는 다른 구조로는 유사 유클리드 공간, 심플렉틱 구조(짝수 ), 접촉 구조(홀수 )가 있다. 이러한 모든 구조는 좌표가 없는 방식으로 정의될 수 있지만, 좌표에서는 표준(및 합리적으로 단순한) 형태를 허용한다.

은 또한 의 실수 벡터 부분 공간이며 복소 공액에 대해 불변이다. 복소화도 참조하라.

### Rn에서의 다포체

 공간에는 임의의 에 대해 단순한 표현을 갖는 세 가지 종류의 다포체가 있으며, 이는 실수 -공간의 모든 아핀 좌표계를 시각화하는 데 사용될 수 있다. 초입방체의 꼭짓점은  좌표를 가지며, 여기서 각 는 일반적으로 0 또는 1의 두 값 중 하나를 취한다. 그러나 0과 1 대신 임의의 두 수를 선택할 수 있는데, 예를 들어 −1과 1이 있다. -초입방체는 실수선 위의 개의 동일한 구간(예: 단위 구간 )의 데카르트 곱으로 생각될 수 있다. -차원 부분집합으로서는 개의 부등식 시스템으로 설명될 수 있다.
의 경우:
\begin{matrix}
0 \le x_1 \le 1 \\
\vdots \\
0 \le x_n \le 1
\end{matrix}
의 경우:
\begin{matrix}
|x_1| \le 1 \\
\vdots \\
|x_n| \le 1
\end{matrix}

정축체의 각 꼭짓점은 어떤 에 대해  좌표가 ±1이고 다른 모든 좌표는 0이다(부호를 제외하고는 번째 표준 기저 벡터와 같다). 이는 초입방체의 쌍대 다포체이다. -차원 부분집합으로서는 절댓값 연산을 사용하는 단일 부등식으로 설명될 수 있다.
\sum_{k=1}^n |x_k| \le 1\,,
그러나 이는 개의 선형 부등식 시스템으로도 표현될 수 있다.

좌표를 간단히 나열할 수 있는 세 번째 다포체는 표준 단체 (수학)로, 꼭짓점은 개의 표준 기저 벡터와 원점 이다. -차원 부분집합으로서는 개의 선형 부등식 시스템으로 설명된다.
\begin{matrix}
0 \le x_1 \\
\vdots \\
0 \le x_n \\
\sum\limits_{k=1}^n x_k \le 1
\end{matrix}
모든 "≤"를 "\mathbf{R}에 X2 + 1 = 0의 근을 추가하여 체의 확대 \mathbf{C}로 발전했다. 근 i는 P에 시계 반대 방향으로 4분 회전으로 작용한다. 이 근은 군 \{i, -1, -i, +1\} \equiv \mathbf{Z}/4\mathbf{Z}를 생성한다. (x,y)가 x + y i로 쓰여질 때, 그것은 복소수이다.

작용소가 j로 표현된 \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}에 의한 또 다른 군의 작용은 평면 (x,y) ↦ (y,x)를 뒤집는 대합을 위해 y=x 선을 사용하는데, 이는 좌표의 교환이다. 이 경우 P의 점들은 x + y j로 쓰여지고 분할복소수라고 불린다. 이 수들은 성분별 덧셈과 jj=+1에 따른 곱셈으로 환을 형성하지만, 체는 아니다.

P에 대한 또 다른 환 구조는 멱영원 e를 사용하여 (x,y)를 x + y e로 쓴다. P에 대한 e의 작용은 평면을 선으로 축소시킨다. 이는 x-좌표로의 사영으로 분해된 다음, 결과를 y-축으로 4분 회전시키는 것으로 볼 수 있다. e (x + y e) = x e (e2 = 0이므로). x + y e는 이원수 (수학)이다. 이원수는 환을 형성하지만, e는 곱셈 역원이 없으므로 군을 생성하지 않아 작용은 군 작용이 아니다.

P에서 (0,0)을 제외하면 [x : y]는 사영 좌표가 되며, 이는 실수 사영선을 나타내는 1차원 공간이다. 원점이 제외되었으므로 x/y와 y/x 중 적어도 하나는 존재한다. 그러면 [x : y] = [x/y : 1] 또는 [x : y] = [1 : y/x]이다. 사영선 **P**1(**R**)은 두 개의 좌표 차트, [z : 1] → z 또는 [1 : z] → z로 덮이는 위상 다양체이며, 이는 아틀라스를 형성한다. 두 차트에 모두 덮이는 점의 경우, 전이 함수는 점의 열린 근방에서 곱셈 역함수이며, 이는 다양체에서 필요한 위상동형사상을 제공한다. 실수 사영선의 한 응용은 케일리-클라인 기하학에서 찾을 수 있다.

### n = 3
[thumb|left|의 [정육면체 (초입방체)와 팔면체 (정축체). 좌표는 표시되지 않았다.]]

### n = 4
thumb|right

는 각 가 0 또는 1 중 하나인 16개의 점 이 정팔포체 (그림)의 꼭짓점이라는 사실을 사용하여 상상할 수 있다(위 참조).

의 첫 번째 주요 사용은 시공간 모델이다. 세 개의 공간 좌표와 하나의 시간 좌표이다. 이는 일반적으로 상대성이론과 관련되어 있지만, 갈릴레오 이후로 4차원이 그러한 모델에 사용되었다. 그러나 이론의 선택은 다른 구조로 이어진다. 갈릴레오 상대론에서는  좌표가 특권화되지만, 아인슈타인의 상대론에서는 그렇지 않다. 특수 상대론은 민코프스키 공간에서 설정된다. 일반 상대론은 대부분의 실용적인 목적을 위해 곡선 계량을 가진 로 생각될 수 있는 곡선 공간을 사용한다. 이러한 구조 중 어느 것도 에 (양의 정부호) 거리를 제공하지 않는다.

유클리드 도 수학자들의 관심을 끈다. 예를 들어, 4차원 실수 대수인 사원수와의 관계 때문이다. 자세한 내용은 4차원 유클리드 공간에서의 회전을 참조하라.

미분기하학에서 는 이 비표준 미분 구조를 허용하는 유일한 경우이다. 별난 4차원 유클리드 다양체를 참조하라.

## 상의 노름
벡터 공간 에는 많은 노름을 정의할 수 있다. 몇 가지 일반적인 예는 다음과 같다.

* p-노름은 모든 \mathbf{x} \in \mathbf{R}^n에 대해 \|\mathbf{x}\|_p := \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n|x_i|^p}로 정의된다. 여기서 p는 양의 정수이다. p = 2인 경우는 매우 중요하다. 왜냐하면 정확히 유클리드 노름이기 때문이다.
* \infty-노름 또는 최대 노름은 모든 \mathbf{x} \in \mathbf{R}^n에 대해 \|\mathbf{x}\|_\infty:=\max \{x_1,\dots,x_n\}로 정의된다. 이는 모든 p-노름의 극한이다. \|\mathbf{x}\|_\infty = \lim_{p \to \infty} \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n|x_i|^p}.

정말 놀랍고 유용한 결과는 에 정의된 모든 노름이 동등하다는 것이다. 이는 에 대한 임의의 두 노름 \|\cdot\|과 \|\cdot\|'에 대해 항상 양의 실수 \alpha,\beta > 0를 찾을 수 있다는 것을 의미한다.
\alpha \cdot \|\mathbf{x}\| \leq \|\mathbf{x}\|' \leq \beta\cdot\|\mathbf{x}\| 모든 \mathbf{x} \in \R^n에 대해.

이는 에 대한 모든 노름 집합에 대한 동치 관계를 정의한다. 이 결과로 의 벡터 시퀀스가 \|\cdot\|에 대해 수렴하는지 여부가 \|\cdot\|'에 대해 수렴하는지 여부와 동일하다는 것을 확인할 수 있다.

다음은 이 결과의 증명이 어떻게 생겼는지에 대한 스케치이다.

동치 관계 때문에 의 모든 노름이 유클리드 노름 \|\cdot\|_2와 동등하다는 것을 보이는 것으로 충분하다. 에 대한 임의의 노름을 \|\cdot\|이라고 하자. 증명은 두 단계로 나뉜다.

* 모든 \mathbf{x} \in \mathbf{R}^n에 대해 \|\mathbf{x}\| \leq \beta \cdot \|\mathbf{x}\|_2를 만족하는 \beta > 0가 존재함을 보인다. 이 단계에서는 모든 \mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbf{R}^n가 표준 기저의 선형 결합으로 표현될 수 있다는 사실을 사용한다. \mathbf{x} = \sum_{i=1}^n e_i \cdot x_i. 그런 다음 코시-슈바르츠 부등식을 사용하여
\|\mathbf{x}\| = \left\|\sum_{i=1}^n e_i \cdot x_i \right\|\leq \sum_{i=1}^n \|e_i\| \cdot |x_i|
\leq \sqrt{\sum_{i=1}^n \|e_i\|^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2} = \beta \cdot \|\mathbf{x}\|_2,
여기서 \beta := \sqrt{\sum_{i=1}^n \|e_i\|^2}.
* 이제 모든 \mathbf{x} \in \mathbf{R}^n에 대해 \alpha\cdot\|\mathbf{x}\|_2 \leq \|\mathbf{x}\|를 만족하는 \alpha > 0를 찾아야 한다. 그러한 \alpha가 없다고 가정하자. 그러면 모든 k \in \mathbf{N}에 대해 \|\mathbf{x}_k\|_2 > k \cdot \|\mathbf{x}_k\|를 만족하는 \mathbf{x}_k \in \mathbf{R}^n가 존재한다. 두 번째 시퀀스 (\tilde{\mathbf{x}}_k)_{k \in \mathbf{N}}를 \tilde{\mathbf{x}}_k := \frac{\mathbf{x}_k}{\|\mathbf{x}_k\|_2}로 정의한다. 이 시퀀스는 \|\tilde{\mathbf{x}}_k\|_2 = 1이므로 유계이다. 따라서 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 에서 극한 \mathbf{a} \in를 갖는 수렴 부분 시퀀스 (\tilde{\mathbf{x}}_{k_j})_{j\in\mathbf{N}}가 존재한다. 이제 \|\mathbf{a}\|_2 = 1이지만 \mathbf{a} = \mathbf{0}임을 보일 것이다. 이는 모순이다.
\|\mathbf{a}\| \leq \left\|\mathbf{a} - \tilde{\mathbf{x}}_{k_j}\right\| + \left\|\tilde{\mathbf{x}}_{k_j}\right\| \leq \beta \cdot \left\|\mathbf{a} - \tilde{\mathbf{x}}_{k_j}\right\|_2 + \frac{\|\mathbf{x}_{k_j}\|}{\|\mathbf{x}_{k_j}\|_2} \ \overset{j \to \infty}{\longrightarrow} \ 0,
왜냐하면 \|\mathbf{a}-\tilde{\mathbf{x}}_{k_j}\| \to 0이고 0 \leq \frac{\|\mathbf{x}_{k_j}\|}{\|\mathbf{x}_{k_j}\|_2} 이므로 \frac{\|\mathbf{x}_{k_j}\|}{\|\mathbf{x}_{k_j}\|_2} \to 0이다. 이는 \|\mathbf{a}\| = 0을 의미하므로 \mathbf{a}= \mathbf{0}이다. 다른 한편으로 \|\mathbf{a}\|_2 = 1인데, 왜냐하면 \|\mathbf{a}\|_2 = \left\| \lim_{j \to \infty}\tilde{\mathbf{x}}_{k_j} \right\|_2 = \lim_{j \to \infty} \left\| \tilde{\mathbf{x}}_{k_j} \right\|_2 = 1이기 때문이다. 이는 절대로 참이 될 수 없으므로 가정이 거짓이었고, 그러한 \alpha > 0가 존재한다.

## 같이 보기
* 지수 대상, 위첨자 표기법에 대한 이론적 설명
* 기하 공간
* 실수 사영 공간

## 참고 문헌
*
*

분류:해석학 (수학)
분류:실수
분류:위상 벡터 공간
분류:다변수 미적분학
분류:해석기하학