파일럿 파동 이론

thumbnail|upright=1.2|쿠더(Couder)의 논란이 된 실험들. 이 실험들은 파일럿 파동 모델을 "실체화"했다고 주장한다.
이론물리학에서 **파일럿 파동 이론**() 또는 **봄 역학**()은 1927년 루이 드 브로이가 제시한 숨은 변수 이론의 첫 번째 사례이다. 더 현대적인 버전인 드 브로이-봄 이론은 양자역학을 결정론적 이론으로 해석하며, 본질적으로 비국소성을 띰으로써 파동 함수 붕괴나 슈뢰딩거의 고양이 역설과 같은 문제들을 피한다.

드 브로이-봄 파일럿 파동 이론은 (비상대론적) 양자역학의 여러 해석 중 하나이다.

## 역사
파일럿 파동 이론에 대한 루이 드 브로이의 초기 결과는 파동이 정지해 있는 원자 궤도와 관련하여 그의 학위 논문(1924)에서 발표되었다. 상대론적 파동 방정식의 관점에서 이러한 유도 파동의 동역학에 대한 일반적인 공식을 개발하려는 초기 시도는 1926년 에르빈 슈뢰딩거가 그의 비상대론적 파동 방정식을 개발할 때까지 성공하지 못했다. 그는 또한 이 방정식이 배위 공간에서의 파동을 설명하므로 입자 모델을 포기해야 한다고 제안했다. 그 직후, 막스 보른은 슈뢰딩거 파동 방정식의 파동 함수가 입자를 발견할 확률 밀도를 나타낸다고 제안했다. 이러한 결과에 따라 드 브로이는 그의 파일럿 파동 이론을 위한 동역학 방정식을 개발했다. 처음에 드 브로이는 양자 객체가 입자와 같은 거동을 일으키는 구형 특이 영역을 가진 실제 공간의 물리적 파동(u-파동)으로 구성된다는 이중 해(double solution) 접근 방식을 제안했다. 이 초기 형태의 이론에서는 양자 입자의 존재를 가정할 필요가 없었다. 그는 나중에 입자가 파일럿 파동과 동행한다는 이론으로 이를 정식화했다.

드 브로이는 1927년 솔베이 회의에서 파일럿 파동 이론을 발표했다. 그러나 볼프강 파울리는 이 이론이 비탄성 산란의 경우를 제대로 다루지 못한다고 회의에서 이의를 제기했다. 드 브로이는 이 반론에 대한 답을 찾지 못했고, 파일럿 파동 접근 방식을 포기했다. 몇 년 후의 데이비드 봄과 달리 드 브로이는 다입자 사례를 포함하도록 이론을 완성하지 못했다. 다입자 사례는 비탄성 산란에서의 에너지 소산이 숨은 변수 이론의 아직 알려지지 않은 메커니즘에 의해 주변 장 구조로 분산될 수 있음을 수학적으로 보여준다.

1932년, 존 폰 노이만은 모든 숨은 변수 이론이 불가능하다는 것을 증명한다고 주장하는 내용이 담긴 책을 출판했다. 이 결과는 3년 후 그레테 헤르만에 의해 결함이 있음이 발견되었으나, 여러 가지 이유로 물리학계에서는 50년 넘게 이를 주목하지 못했다.

1952년, 당시의 정통적인 해석에 만족하지 못한 데이비드 봄은 드 브로이의 파일럿 파동 이론을 재발견했다. 봄은 파일럿 파동 이론을 오늘날 드 브로이-봄 이론이라고 불리는 것으로 발전시켰다. 드 브로이-봄 이론 자체도 존 스튜어트 벨이 이를 지지하고 반론에 맞서지 않았다면 대부분의 물리학자들에게 주목받지 못했을 것이다. 1987년, 존 벨은 그레테 헤르만의 작업을 재발견했고, 이로써 파울리와 폰 노이만의 반론이 단지 파일럿 파동 이론이 국소성을 갖지 않는다는 것을 보여주었을 뿐임을 물리학계에 입증했다.

## 파일럿 파동 이론
### 원리

파일럿 파동 이론은 숨은 변수 이론이다. 따라서:
* 이론은 실재성을 갖는다(즉, 그 개념들이 관찰자와 독립적으로 존재한다).
* 이론은 결정론적이다.

입자의 위치가 숨은 변수로 간주된다. 관찰자는 이러한 변수의 정확한 값을 알지 못한다. 어떤 측정이든 변수를 교란시키기 때문에 정확히 알 수 없다. 반면, 관찰자는 자신의 원자들의 파동 함수가 아니라 원자들의 위치에 의해 정의된다. 따라서 우리가 주변에서 보는 것 또한 파동 함수가 아니라 주변 사물들의 위치이다.

입자 집단에는 슈뢰딩거 방정식에 따라 진화하는 관련 물질파가 있다. 각 입자는 파동 함수에 의해 유도되는 결정론적 궤적을 따른다. 집합적으로 입자의 밀도는 파동 함수의 크기에 부합한다. 파동 함수는 입자에 의해 영향을 받지 않으며 빈 파동 함수로서 존재할 수도 있다.

이 이론은 양자역학의 비상대론적 공식에 내재된 비국소성을 조명하고 이를 사용하여 벨 부등식을 만족시킨다. 이러한 비국소적 효과는 초광속 통신을 방지하는 무통신 정리(no-communication theorem)와 호환될 수 있음을 보여줄 수 있으며, 따라서 경험적으로 상대성 이론과 호환된다.

## 거시적 유사체
쿠더(Couder), 포르(Fort) 등은 진동하는 유체 조 위에서의 거시적 기름 방울이 파일럿 파동의 유사 모델로 사용될 수 있다고 주장했다. 국소화된 액체 방울은 주변에 주기적인 파동장을 생성한다. 그들은 액체 방울과 그 자체의 파동장 사이의 공명 상호작용이 양자 입자와 유사한 거동을 보인다고 제안했다. 이중슬릿 실험에서의 간섭, 예측 불가능한 터널링(실질적으로 숨겨진 장 상태에 복잡하게 의존함), 궤도 양자화(입자가 자신이 생성한 장 섭동과 '공명을 찾아야' 하며, 한 궤도 후에 내부 위상이 초기 상태로 돌아와야 함), 그리고 제이만 효과 등이 그 예이다. 이러한 실험을 재현하려는 시도에서 일부 측면이 의문스러운 것으로 나타났고 양자역학과의 관련성에 대한 해석도 도전을 받았으나, 이 개념에 대한 연구는 일부 성과를 거두며 계속되고 있다.

## 수학적 토대
전자에 대한 드 브로이-봄 파일럿 파동을 도출하기 위해, 양자 라그랑지언은 다음과 같다.

:L(t)={\frac{1}{2}}mv^2-(V+Q),

여기서 V는 퍼텐셜 에너지, v는 속도, Q는 양자 힘(파동 함수에 의해 밀려나는 입자)과 관련된 퍼텐셜이다. 이 라그랑지언을 정확히 하나의 경로(전자가 실제로 따르는 경로)를 따라 적분한다. 이는 봄 전파 인자에 대한 다음 공식으로 이어진다.

:K^Q(X_1, t_1; X_0, t_0) = \frac{1}{J(t)^ {\frac{1}{2}} } \exp\left[\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t_1}L(t)\,dt\right].

이 전파 인자를 통해 양자 퍼텐셜 Q의 영향 아래 시간에 따른 전자의 궤적을 정확하게 추적할 수 있다.

### 슈뢰딩거 방정식의 유도
파일럿 파동 이론은 라그랑주 역학이나 해밀턴 역학보다는 해밀턴-야코비 동역학에 기초한다. 해밀턴-야코비 방정식을 사용하면 다음과 같다.

: H\left(\,\vec{x}\,, \;\vec{\nabla}_{\!x}\, S\,, \;t \,\right) + {\partial S \over \partial t}\left(\,\vec{x},\, t\,\right) = 0

여기서 슈뢰딩거 방정식을 도출하는 것이 가능하다.

위치를 확실히 알 수 없는 고전 입자를 고려하자. 우리는 이를 통계적으로 다루어야 하므로 확률 밀도 \rho (\vec{x},t)만 알 수 있다. 확률은 보존되어야 한다. 즉, 각 t에 대해 \int\rho\,\mathrm{d}^3\vec{x} = 1이다. 따라서 다음의 연속 방정식을 만족해야 한다.

:\frac{\, \partial \rho \,}{ \partial t } = - \vec{\nabla} \cdot (\rho \,\vec{v} ) \qquad\qquad (1)

여기서 \,\vec{v}(\vec{x},t)\,는 입자의 속도이다.

고전역학의 해밀턴-야코비 정식화에서 속도는 \; \vec{v}(\vec{x},t) = \frac{1}{\,m\,} \, \vec{\nabla}_{\!x} S(\vec{x},\,t) \;로 주어지며, 여기서 \, S(\vec{x},t) \,는 해밀턴-야코비 방정식의 해이다.

:- \frac{\partial S}{\partial t} = \frac{\;\left|\,\nabla S\,\right|^2\,}{2m} + \tilde{V} \qquad\qquad (2)

복소 함수 \; \psi = \sqrt{\rho\,} \, e^\frac{\,i\,S\,}{\hbar} \;를 도입함으로써 \,(1)\,과 \,(2)\,를 하나의 복소 방정식으로 결합할 수 있으며, 그러면 두 방정식은 다음과 동등하다.

:i\, \hbar\, \frac{\text{d} \psi}{\text{d} t} = \left( - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 +\tilde{V} - Q \right)\psi \quad
여기서
: \; Q = - \frac{\;\hbar^2\,}{\,2m\,} \frac{\nabla^2 \sqrt{\rho\,}}{\sqrt{\rho\,}}~.

통상적인 퍼텐셜에 여분의 양자 퍼텐셜 Q가 더해진 \;\tilde{V} = V + Q \;에서 시작하면 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식을 얻는다. 양자 퍼텐셜은 양자 힘의 퍼텐셜이며, 이는 (근사적으로) 파동 함수 진폭의 곡률에 비례한다.

이 퍼텐셜은 슈뢰딩거 방정식의 고전적 유사체인 마델룽 방정식(Madelung equations)에 나타나는 것과 동일하다.

### 단일 입자에 대한 수학적 정식화
드 브로이의 물질파는 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식으로 설명된다.

: i\, \hbar\, \frac{\,\partial \psi\,}{\partial t} = \left( - \frac{\hbar^2}{\,2m\,} \nabla^2 + V \right)\psi \quad

복소 파동 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\psi = \sqrt{\rho\,} \; \exp \left( \frac{i \, S}{\hbar} \right) ~

이를 슈뢰딩거 방정식에 대입하면 실수 변수에 대한 두 개의 새로운 방정식을 도출할 수 있다. 첫 번째는 확률 밀도 <math>\,\rho\,</math>에 대한 연속 방정식이다.

:\frac{\, \partial \rho \,}{\, \partial t \,} + \vec{\nabla} \cdot \left( \rho\, \vec{v} \right) = 0 ~ ,

여기서 속도장은 "유도 방정식(guidance equation)"에 의해 결정된다.

:\vec{v}\left(\,\vec{r},\,t\,\right) = \frac{1}{\,m\,} \, \vec{\nabla} S\left(\, \vec{r},\, t \,\right) ~ .

파일럿 파동 이론에 따르면, 점입자와 물질파는 둘 다 실재하며 구별되는 물리적 실체이다(물리적 입자나 파동 실체를 가정하지 않고 관찰된 파동-입자 이중성만을 가정하는 표준 양자역학과 대조됨). 파일럿 파동은 유도 방정식에 기술된 대로 점입자의 운동을 유도한다.

일반 양자역학과 파일럿 파동 이론은 동일한 편미분 방정식에 기초한다. 주요 차이점은 일반 양자역학에서는 슈뢰딩거 방정식이 입자 위치의 확률 밀도가 \; \rho = |\psi|^2 ~ 로 주어진다는 보른 가설에 의해 실재와 연결되는 반면, 파일럿 파동 이론은 유도 방정식을 근본 법칙으로 간주하고 보른 규칙을 유도된 개념으로 본다는 것이다.

두 번째 방정식은 작용 에 대한 수정된 해밀턴-야코비 방정식이다.

:- \frac{\partial S}{\partial t} = \frac{\;\left| \, \vec{\nabla} S \,\right|^2\,}{\,2m\,} + V + Q ~ ,

여기서 는 다음과 같이 정의되는 양자 퍼텐셜이다.

: Q = - \frac{\hbar^2}{\,2m\,} \frac{\nabla^2 \sqrt{\rho \,} }{\sqrt{ \rho \,} } ~.

만약 를 무시하기로 하면, 이 방정식은 고전적 점입자의 해밀턴-야코비 방정식으로 축소된다. 따라서 양자 퍼텐셜은 양자역학의 모든 신비로운 효과를 책임진다.

또한 수정된 해밀턴-야코비 방정식을 유도 방정식과 결합하여 준뉴턴(quasi-Newtonian) 운동 방정식을 도출할 수 있다.

:m \, \frac{d}{dt} \, \vec{v} = - \vec{\nabla}( V + Q ) ~ ,

여기서 유체역학적 시간 도함수는 다음과 같이 정의된다.

:\frac{d}{dt} = \frac{ \partial }{\, \partial t \,} + \vec{v} \cdot \vec{\nabla} ~ .

### 다입자에 대한 수학적 정식화
다체 파동 함수  \psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \cdots, t) 에 대한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 주어진다.

: i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} =\left( -\frac{\hbar^2}{2} \sum_{i=1}^{N} \frac{\nabla_i^2}{m_i} + V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots\mathbf{r}_N) \right) \psi 

복소 파동 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:\psi = \sqrt{\rho\,} \; \exp \left( \frac{i \, S}{\hbar} \right) 

파일럿 파동은 입자들의 운동을 유도한다. j번째 입자에 대한 유도 방정식은 다음과 같다.

: \vec{v}_j = \frac{\nabla_j S}{m_j}\; .

j번째 입자의 속도는 다른 입자들의 위치에 명시적으로 의존한다. 이는 이 이론이 비국소적임을 의미한다.

### 상대성 이론
스핀을 포함하는 상대론적 사례로의 확장은 1990년대 이후로 개발되었다.

### 빈 파동 함수
루시앙 하디와 존 스튜어트 벨은 양자역학의 드 브로이-봄 그림에서 공간과 시간 속으로 전파되지만 에너지나 운동량을 전달하지 않으며 입자와 결합되지 않은 파동 함수로 표현되는 **빈 파동**(empty waves)이 존재할 수 있음을 강조했다. 알베르트 아인슈타인은 이와 동일한 개념을 유령 파동(또는 "Gespensterfelder", 유령 장)이라고 불렀다. 빈 파동 함수 개념은 논란의 여지가 있다. 반면 양자역학의 다세계 해석은 빈 파동 함수를 요구하지 않는다.

## 같이 보기
* 유체역학적 양자 유사체
* 양자 퍼텐셜

## 내용주

## 각주

## 외부 링크
* "Pilot waves, Bohmian metaphysics, and the foundations of quantum mechanics" , lecture course on pilot wave theory by Mike Towler, Cambridge University (2009).
* 
* Klaus von Bloh's Bohmian mechanics demonstrations in: Wolfram Demonstrations Project

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