고체 고조파

물리학과 수학에서 **고체 고조파**()는 (매끄러운) 함수 \mathbb{R}^3 \to \mathbb{C}로 가정된 구면 좌표계에서의 라플라스 방정식의 해이다. 여기에는 원점에서 잘 정의되는 정규 고체 고조파(regular solid harmonics) R^m_\ell(\mathbf{r})와 원점에서 특이점을 갖는 비정규 고체 고조파(irregular solid harmonics) I^m_{\ell}(\mathbf{r})의 두 종류가 있다. 두 함수 세트는 퍼텐셜 이론에서 중요한 역할을 하며, 구면 조화 함수를 적절히 조정하여 얻을 수 있다.

R^m_{\ell}(\mathbf{r}) \equiv \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}}\; r^\ell Y^m_{\ell}(\theta,\varphi)


I^m_{\ell}(\mathbf{r}) \equiv \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}} \; \frac{ Y^m_{\ell}(\theta,\varphi)}{r^{\ell+1}}


## 유도 및 구면 조화 함수와의 관계
3차원 벡터 의 구면 좌표를 , , 로 도입하고, \Phi가 (매끄러운) 함수 \mathbb{R}^3 \to \mathbb{C}라고 가정하면, 라플라스 방정식을 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.
 \nabla^2\Phi(\mathbf{r}) =  \left(\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2}r - \frac{\hat L^2}{r^2}\right)\Phi(\mathbf{r}) = 0 , \qquad \mathbf{r} \ne \mathbf{0},

여기서 은  각운동량 연산자의 제곱이다.
 \mathbf{\hat L} = -i\, (\mathbf{r} \times \mathbf{\nabla}) .


구면 조화 함수 가 의 고유함수라는 것은 잘 알려져 있다.

\hat L^2 Y^m_{\ell}\equiv \left[ \hat L_x^2 + \hat L_y^2 + \hat L_z^2\right] Y^m_{\ell} = \ell (\ell+1) Y^m_{\ell}.


를 라플라스 방정식에 대입하고 구면 조화 함수를 나누면 다음과 같은 지름 방향 방정식과 그 일반해를 얻는다.


\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}r F(r) = \frac{\ell(\ell+1)}{r^2} F(r)
\Longrightarrow F(r) = A r^\ell + B r^{-\ell-1}.


전체 라플라스 방정식의 특수 해는 **정규 고체 고조파**()이다.

R^m_{\ell}(\mathbf{r}) \equiv \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}}\; r^\ell Y^m_{\ell}(\theta,\varphi),

그리고 **비정규 고체 고조파**()는 다음과 같다.

I^m_{\ell}(\mathbf{r}) \equiv \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}} \; \frac{ Y^m_{\ell}(\theta,\varphi)}{r^{\ell+1}} .

정규 고체 고조파는 조화 동차 다항식, 즉 라플라스 방정식의 해가 되는 동차 다항식에 대응한다.

### 라카의 규격화
줄리오 라카(Giulio Racah)의 규격화(슈미트의 반규격화라고도 함)는 두 함수 모두에 적용된다.

\int_{0}^{\pi}\sin\theta\, d\theta \int_0^{2\pi} d\varphi\; R^m_{\ell}(\mathbf{r})^*\; R^m_{\ell}(\mathbf{r})
=  \frac{4\pi}{2\ell+1} r^{2\ell}

(비정규 고체 고조파에 대해서도 유사함) 이는 단위 규격화 대신 사용된다. 많은 응용 분야에서 라카 규격화 인자가 유도 과정 내내 변하지 않고 나타나기 때문에 편리하다.

## 덧셈 정리
정규 고체 고조파의 평행 이동은 유한 전개를 제공한다.
 R^m_\ell(\mathbf{r}+\mathbf{a}) = \sum_{\lambda=0}^\ell\binom{2\ell}{2\lambda}^{1/2} \sum_{\mu=-\lambda}^\lambda R^\mu_{\lambda}(\mathbf{r}) R^{m-\mu}_{\ell-\lambda}(\mathbf{a})\;
\langle \lambda, \mu; \ell-\lambda, m-\mu| \ell m \rangle,

여기서 클렙슈-고르단 계수는 다음과 같이 주어진다.

\langle \lambda, \mu; \ell-\lambda, m-\mu| \ell m \rangle
= \binom{\ell+m}{\lambda+\mu}^{1/2} \binom{\ell-m}{\lambda-\mu}^{1/2} \binom{2\ell}{2\lambda}^{-1/2}.


비정규 고체 고조파에 대한 유사한 전개는 무한 급수를 생성한다.
 I^m_\ell(\mathbf{r}+\mathbf{a}) = \sum_{\lambda=0}^\infty\binom{2\ell+2\lambda+1}{2\lambda}^{1/2} \sum_{\mu=-\lambda}^\lambda R^\mu_{\lambda}(\mathbf{r}) I^{m-\mu}_{\ell+\lambda}(\mathbf{a})\;
\langle \lambda, \mu; \ell+\lambda, m-\mu| \ell m \rangle

단,  |r| \le |a|\,이다. 괄호 안의 양은 다시 클렙슈-고르단 계수이다.

\langle \lambda, \mu; \ell+\lambda, m-\mu| \ell m \rangle
= (-1)^{\lambda+\mu}\binom{\ell+\lambda-m+\mu}{\lambda+\mu}^{1/2} \binom{\ell+\lambda+m-\mu}{\lambda-\mu}^{1/2}
\binom{2\ell+2\lambda+1}{2\lambda}^{-1/2}.


덧셈 정리는 여러 저자에 의해 다양한 방식으로 증명되었다.

## 복소수 형태
정규 고체 고조파는 라플라스 방정식 \Delta R=0의 동차 다항식 해이다. 부정원 z를 분리하고 R = \sum_a p_a(x,y) z^a로 쓰면, 라플라스 방정식은 다음과 같은 재귀 공식과 동치임을 쉽게 알 수 있다.
p_{a+2} = \frac{-\left(\partial_x^2 + \partial_y^2\right) p_a}{\left(a+2\right) \left(a+1\right)}
따라서 차수가  \ell인 다항식 p_0(x,y)와 차수가 \ell-1인 p_1(x,y)를 임의로 선택하면 방정식의 해를 얻을 수 있다. 차수가 k인 (두 변수) 동차 다항식 공간의 한 가지 특정 기저는 \left\{(x^2+y^2)^m(x\pm iy)^{k-2m} \mid 0\leq m\leq k/2\right\}이다. 이것은 회전군 SO(2)의 (규격화 전까지는 유일한) 고유벡터 기저임에 유의하라. 평면을 \alpha\in[0,2\pi]만큼 회전시키는 \rho_\alpha는 기저 벡터 (x^2+y^2)^m (x+iy)^{k-2m}에 대해 e^{\pm i(k-2m)\alpha}를 곱하는 것으로 작용한다.

\ell차 기저와 \ell-1차 기저를 재귀 공식과 결합하면, SO(2)에 대한 고유벡터로 구성된 차수 \ell의 (이번에는 세 변수) 조화 동차 다항식 공간의 기저를 얻는다(라플라스 연산자는 회전에 불변이므로 재귀 공식은 SO(2) 작용과 호환된다). 이것들이 복소 고체 고조파이다:
\begin{align}
R_\ell^{\pm\ell} &= (x \pm iy)^\ell z^0 \\
R_\ell^{\pm(\ell-1)} &= (x \pm iy)^{\ell-1} z^1 \\
R_\ell^{\pm(\ell-2)} &= (x^2+y^2)(x \pm iy)^{\ell-2} z^0 + \frac{-(\partial_x^2+\partial_y^2)\left( (x^2+y^2)(x \pm iy)^{\ell-2} \right)}{1\cdot 2} z^2 \\
R_\ell^{\pm(\ell-3)} &= (x^2+y^2)(x \pm iy)^{\ell-3} z^1 + \frac{-(\partial_x^2+\partial_y^2)\left( (x^2+y^2)(x \pm iy)^{\ell-3} \right)}{2\cdot 3} z^3 \\
R_\ell^{\pm(\ell-4)} &= (x^2+y^2)^2(x \pm iy)^{\ell-4} z^0 + \frac{-(\partial_x^2+\partial_y^2)\left( (x^2+y^2)^2(x \pm iy)^{\ell-4} \right)}{1\cdot 2} z^2 + \frac{ (\partial_x^2+\partial_y^2)^2 \left( (x^2+y^2)^2(x \pm iy)^{\ell-4}\right)}{1\cdot 2 \cdot 3\cdot 4}z^4 \\
R_\ell^{\pm(\ell-5)} &= (x^2+y^2)^2(x \pm iy)^{\ell-5} z^1 + \frac{-(\partial_x^2+\partial_y^2)\left( (x^2+y^2)^2(x \pm iy)^{\ell-5} \right)}{2\cdot 3} z^3 + \frac{ (\partial_x^2+\partial_y^2)^2 \left( (x^2+y^2)^2(x \pm iy)^{\ell-5}\right)}{2 \cdot 3\cdot 4\cdot 5}z^5 \\
&\;\,\vdots
\end{align}
그리고 일반식은 다음과 같다.
R_\ell^{\pm m} = \begin{cases}
\sum_k (\partial_x^2+\partial_y^2)^k \left( (x^2+y^2)^{(\ell-m)/2} (x\pm iy)^m \right) \frac{(-1)^k z^{2k}}{ (2k)! } & \ell-m \text{ 이 짝수일 때} \\
\sum_k (\partial_x^2+\partial_y^2)^k \left( (x^2+y^2)^{(\ell-1-m)/2} (x\pm iy)^m \right) \frac{(-1)^k z^{2k+1}}{ (2k+1)! } & \ell-m \text{ 이 홀수일 때}
\end{cases}
단, 0\leq m\leq \ell이다.

구면 좌표계 x = r\cos(\theta)\sin(\varphi), y = r\sin(\theta)\sin(\varphi), z = r\cos(\varphi)를 대입하고 x^2+y^2=r^2 \sin(\varphi)^2 = r^2(1-\cos(\varphi)^2)를 사용하면, 구면 조화 함수와의 일반적인 관계인 R_\ell^m = r^\ell e^{im\phi} P_\ell^m(\cos(\vartheta))를 찾을 수 있다. 여기서 다항식 P_\ell^m은 (규격화 전까지) 연관 르장드르 다항식이며, 따라서 R_\ell^m = r^\ell Y_\ell^m(\theta,\varphi)가 된다(역시 특정 규격화 선택에 따라 달라진다).

## 실수 형태

의 고체 고조파를 간단히 선형 결합함으로써 이 함수들을 실수 함수, 즉 \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}인 함수로 변환할 수 있다. 데카르트 좌표로 표현된 실수 정규 고체 고조파는 x, y, z에 대한 \ell차 실수값 동차 다항식이다. 이러한 다항식의 명시적 형태는 매우 중요하다. 예를 들어, 구형 원자 궤도와 실수 다중극 모멘트의 형태로 나타난다. 실수 정규 고조파의 명시적인 데카르트 표현은 다음과 같이 유도된다.

### 선형 결합

이전 정의에 따라 다음과 같이 쓴다.

R_\ell^m(r,\theta,\varphi) = (-1)^{(m+|m|)/2}\; r^\ell \;\Theta_{\ell}^ (\cos\theta)
 e^{im\varphi}, \qquad -\ell \le m \le \ell,

이때

\Theta_{\ell}^m (\cos\theta) \equiv \left[\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2} \,\sin^m\theta\, \frac{d^m P_\ell(\cos\theta)}{d\cos^m\theta}, \qquad m\ge 0,

여기서  P_\ell(\cos\theta)는 차 르장드르 다항식이다. 에 의존하는 위상은 콘던-쇼틀리 위상으로 알려져 있다.

다음 식은 실수 정규 고체 고조파를 정의한다.

\begin{pmatrix}
C_\ell^{m} \\
S_\ell^{m}
\end{pmatrix}
\equiv \sqrt{2} \; r^\ell \; \Theta^{m}_\ell
\begin{pmatrix}
\cos m\varphi\\ \sin m\varphi
\end{pmatrix}
=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
(-1)^m  & \quad 1 \\
-(-1)^m i & \quad i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
R_\ell^{m} \\
R_\ell^{-m}
\end{pmatrix},
\qquad m > 0.

그리고 인 경우:
C_\ell^0 \equiv R_\ell^0 .
변환이 유니터리 행렬에 의해 이루어지므로 실수 및 복소 고체 고조파의 규격화는 동일하다.

### z-의존 부분

라고 쓰면, 르장드르 다항식의 차 도함수는 에 대한 다음과 같은 전개식으로 쓸 수 있다.

\frac{d^m P_\ell(u)}{du^m} =
\sum_{k=0}^{\left \lfloor (\ell-m)/2\right \rfloor} \gamma^{(m)}_{\ell k}\; u^{\ell-2k-m}

이때

\gamma^{(m)}_{\ell k} = (-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \frac{(\ell-2k)!}{(\ell-2k-m)!}.

이므로, 이 도함수에 의 적절한 거듭제곱을 곱한 것은 에 대한 단순한 다항식이 된다.

\Pi^m_\ell(z)\equiv
r^{\ell-m} \frac{d^m P_\ell(u)}{du^m} =
\sum_{k=0}^{\left \lfloor (\ell-m)/2\right \rfloor} \gamma^{(m)}_{\ell k}\; r^{2k}\; z^{\ell-2k-m}.


### (x,y)-의존 부분
다음으로 와 임을 상기하며 고려해 본다.

r^m \sin^m\theta \cos m\varphi = \frac{1}{2} \left[  (r \sin\theta e^{i\varphi})^m
+ (r \sin\theta e^{-i\varphi})^m \right] =
\frac{1}{2} \left[  (x+iy)^m + (x-iy)^m \right]

마찬가지로

r^m \sin^m\theta \sin m\varphi = \frac{1}{2i} \left[  (r \sin\theta e^{i\varphi})^m
- (r \sin\theta e^{-i\varphi})^m \right] =
\frac{1}{2i} \left[  (x+iy)^m - (x-iy)^m \right].

나아가

A_m(x,y) \equiv
\frac{1}{2} \left[  (x+iy)^m + (x-iy)^m \right]= \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \cos (m-p) \frac{\pi}{2}

그리고

B_m(x,y) \equiv
\frac{1}{2i} \left[  (x+iy)^m - (x-iy)^m \right]= \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \sin (m-p) \frac{\pi}{2}.


### 전체 형태


C^m_\ell(x,y,z) = \left[\frac{(2-\delta_{m0}) (\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2} \Pi^m_{\ell}(z)\;A_m(x,y),\qquad m=0,1, \ldots,\ell


S^m_\ell(x,y,z) = \left[\frac{2 (\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2} \Pi^m_{\ell}(z)\;B_m(x,y)
,\qquad m=1,2,\ldots,\ell.


### 낮은 차수 함수의 목록
까지의 낮은 차수 함수들을 명시적으로 나열한다. 여기서 \bar{\Pi}^m_\ell(z) \equiv \left[\tfrac{(2-\delta_{m0}) (\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2} \Pi^m_{\ell}(z) 이다.


 \begin{align}
 \bar{\Pi}^0_0 & = 1   &
      \bar{\Pi}^1_3 & = \frac{1}{4}\sqrt{6}(5z^2-r^2)  &
            \bar{\Pi}^4_4 & = \frac{1}{8}\sqrt{35}  \\
 \bar{\Pi}^0_1 & = z   &
      \bar{\Pi}^2_3 & = \frac{1}{2}\sqrt{15}\; z    &
            \bar{\Pi}^0_5 & = \frac{1}{8}z(63z^4-70z^2r^2+15r^4) \\
 \bar{\Pi}^1_1 & = 1   &
      \bar{\Pi}^3_3 & = \frac{1}{4}\sqrt{10}        &
            \bar{\Pi}^1_5 & = \frac{1}{8}\sqrt{15} (21z^4-14z^2r^2+r^4) \\
 \bar{\Pi}^0_2 & = \frac{1}{2}(3z^2-r^2) &
      \bar{\Pi}^0_4 & = \frac{1}{8}(35 z^4-30 r^2 z^2 +3r^4 ) &
            \bar{\Pi}^2_5 & = \frac{1}{4}\sqrt{105}(3z^2-r^2)z \\
 \bar{\Pi}^1_2 & = \sqrt{3}z &
      \bar{\Pi}^1_4 & = \frac{\sqrt{10}}{4} z(7z^2-3r^2) &
            \bar{\Pi}^3_5 & = \frac{1}{16}\sqrt{70} (9z^2-r^2) \\
 \bar{\Pi}^2_2 & = \frac{1}{2}\sqrt{3}  &
      \bar{\Pi}^2_4 & = \frac{1}{4}\sqrt{5}(7z^2-r^2)  &
            \bar{\Pi}^4_5 & = \frac{3}{8}\sqrt{35} z  \\
 \bar{\Pi}^0_3 & = \frac{1}{2} z(5z^2-3r^2) &
      \bar{\Pi}^3_4 & = \frac{1}{4}\sqrt{70}\;z  &
            \bar{\Pi}^5_5 & = \frac{3}{16}\sqrt{14} \\
 \end{align}


가장 낮은 차수의 A_m(x,y)\, 및  B_m(x,y)\, 함수들은 다음과 같다.

## 각주

* 
* 

분류:편미분 방정식
분류:원자물리학
분류:푸리에 해석학
분류:특수 초기하함수
분류:회전대칭성