쌍곡선함수 적분표

아래 목록은 쌍곡선 함수의 부정적분이다.

아래의 적분식들에서 상수 *a*는 0이 아니며, *C*는 적분상수이다.

## 쌍곡사인만 포함하는 함수의 적분
\int\sinh ax\,dx = \frac{1}{a}\cosh ax+C

\int\sinh^2 ax\,dx = \frac{1}{4a}\sinh 2ax - \frac{x}{2}+C

\int\sinh^n ax\,dx = \frac{1}{an}(\sinh^{n-1} ax)(\cosh ax) - \frac{n-1}{n}\int\sinh^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}

: 또한: \int\sinh^n ax\,dx = \frac{1}{a(n+1)}(\sinh^{n+1} ax)(\cosh ax) - \frac{n+2}{n+1}\int\sinh^{n+2}ax\,dx \qquad\mbox{(for }n

\int\frac{dx}{\sinh ax} = \frac{1}{a} \ln\left|\tanh\frac{ax}{2}\right|+C

: 또한: \int\frac{dx}{\sinh ax} = \frac{1}{a} \ln\left|\frac{\cosh ax - 1}{\sinh ax}\right|+C

: \int\frac{dx}{\sinh ax} = \frac{1}{a} \ln\left|\frac{\sinh ax}{\cosh ax + 1}\right|+C

: \int\frac{dx}{\sinh ax} = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{\cosh ax - 1}{\cosh ax + 1}\right|+C

\int\frac{dx}{\sinh^n ax} = -\frac{\cosh ax}{a(n-1)\sinh^{n-1} ax}-\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\sinh^{n-2} ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}

\int x\sinh ax\,dx = \frac{1}{a} x\cosh ax - \frac{1}{a^2}\sinh ax+C

\int (\sinh ax)(\sinh bx)\,dx = \frac{1}{a^2-b^2} \big(a(\sinh bx)(\cosh ax) - b(\cosh bx)(\sinh ax)\big)+C \qquad\mbox{(for }a^2\neq b^2\mbox{)}

## 쌍곡코사인만 포함하는 함수의 적분
\int\cosh ax\,dx = \frac{1}{a}\sinh ax+C

\int\cosh^2 ax\,dx = \frac{1}{4a}\sinh 2ax + \frac{x}{2}+C

\int\cosh^n ax\,dx = \frac{1}{an}(\sinh ax)(\cosh^{n-1} ax) + \frac{n-1}{n}\int\cosh^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}

: 또한: \int\cosh^n ax\,dx = -\frac{1}{a(n+1)}(\sinh ax)(\cosh^{n+1} ax) + \frac{n+2}{n+1}\int\cosh^{n+2}ax\,dx \qquad\mbox{(for }n

\int\frac{dx}{\cosh ax} = \frac{2}{a} \arctan e^{ax}+C

: 또한: \int\frac{dx}{\cosh ax} = \frac{1}{a} \arctan (\sinh ax)+C

\int\frac{dx}{\cosh^n ax} = \frac{\sinh ax}{a(n-1)\cosh^{n-1} ax}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\cosh^{n-2} ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}

\int x\cosh ax\,dx = \frac{1}{a} x\sinh ax - \frac{1}{a^2}\cosh ax+C

\int x^2 \cosh ax\,dx = -\frac{2x \cosh ax}{a^2} + \left(\frac{x^2}{a}+\frac{2}{a^3}\right) \sinh ax+C

\int (\cosh ax)(\cosh bx)\,dx = \frac{1}{a^2-b^2} \big(a(\sinh ax)(\cosh bx) - b(\sinh bx)(\cosh ax)\big)+C \qquad\mbox{(for }a^2\neq b^2\mbox{)}

\int \frac{dx}{1+\cosh(ax)} = \frac{2}{a} \frac{1}{1+e^{-ax}}+C

이는 로지스틱 함수의 \frac{2}{a}배이다.

## 기타 적분

### 쌍곡탄젠트, 쌍곡코탄젠트, 쌍곡시컨트, 쌍곡코시컨트 함수의 적분
\int \tanh x \, dx = \ln \cosh x + C

\int\tanh^2 ax\,dx = x - \frac{\tanh ax}{a}+C

\int \tanh^n ax\,dx = -\frac{1}{a(n-1)}\tanh^{n-1} ax+\int\tanh^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}

\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C, \text{ for } x \neq 0 

\int \coth^n ax\,dx = -\frac{1}{a(n-1)}\coth^{n-1} ax+\int\coth^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}

\int \operatorname{sech}\,x \, dx = \arctan\,(\sinh x) + C

\int \operatorname{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C = \ln\left|\coth{x}-\operatorname{csch}{x}\right|+C, \text{ for } x \neq 0 

### 쌍곡사인과 쌍곡코사인을 포함하는 함수의 적분
\int (\cosh ax)(\sinh bx)\,dx = \frac{1}{a^2-b^2} \big(a(\sinh ax)(\sinh bx) - b(\cosh ax)(\cosh bx)\big)+C \qquad\mbox{(for }a^2\neq b^2\mbox{)}

\int\frac{\cosh^n ax}{\sinh^m ax} dx = \frac{\cosh^{n-1} ax}{a(n-m)\sinh^{m-1} ax} + \frac{n-1}{n-m}\int\frac{\cosh^{n-2} ax}{\sinh^m ax} dx \qquad\mbox{(for }m\neq n\mbox{)}

: 또한: \int\frac{\cosh^n ax}{\sinh^m ax} dx = -\frac{\cosh^{n+1} ax}{a(m-1)\sinh^{m-1} ax} + \frac{n-m+2}{m-1}\int\frac{\cosh^n ax}{\sinh^{m-2} ax} dx \qquad\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)}

: \int\frac{\cosh^n ax}{\sinh^m ax} dx = -\frac{\cosh^{n-1} ax}{a(m-1)\sinh^{m-1} ax} + \frac{n-1}{m-1}\int\frac{\cosh^{n-2} ax}{\sinh^{m-2} ax} dx \qquad\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)}

: \int\frac{\sinh^m ax}{\cosh^n ax} dx = \frac{\sinh^{m-1} ax}{a(m-n)\cosh^{n-1} ax} + \frac{m-1}{n-m}\int\frac{\sinh^{m-2} ax}{\cosh^n ax} dx \qquad\mbox{(for }m\neq n\mbox{)}

: \int\frac{\sinh^m ax}{\cosh^n ax} dx = \frac{\sinh^{m+1} ax}{a(n-1)\cosh^{n-1} ax} + \frac{m-n+2}{n-1}\int\frac{\sinh^m ax}{\cosh^{n-2} ax} dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}

: \int\frac{\sinh^m ax}{\cosh^n ax} dx = -\frac{\sinh^{m-1} ax}{a(n-1)\cosh^{n-1} ax} + \frac{m-1}{n-1}\int\frac{\sinh^{m -2} ax}{\cosh^{n-2} ax} dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}

### 쌍곡선함수와 삼각함수를 포함하는 함수의 적분
\int \sinh (ax+b)\sin (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+C

\int \sinh (ax+b)\cos (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)+C

\int \cosh (ax+b)\sin (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+C

\int \cosh (ax+b)\cos (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)+C

## 같이 보기
* 쌍곡선 함수
* 적분표

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