지수 사상의 미분

[220px|섬네일|right|1899년, [앙리 푸앵카레가 리 대수적 관점에서 군 곱셈을 조사한 결과 보편 포락 대수의 정식화로 이어졌다.]]
리 군 이론에서, 지수 사상은 리 군 의 리 대수 에서 로 가는 사상이다. 가 행렬 리 군인 경우, 지수 사상은 행렬 지수 함수로 환원된다. 로 표기되는 지수 사상은 해석 함수이며, 이에 따라 라는 미분을 가진다. 여기서 는 리 대수 내의  경로이며, 밀접하게 관련된 미분 가 존재한다.

에 대한 공식은 프리드리히 슈어 (1891)에 의해 처음 증명되었다. 이후 앙리 푸앵카레 (1899)가 리 대수적 용어를 사용하여 리 군의 곱셈을 표현하는 문제와 관련하여 이를 구체화했다. 이 공식은 때때로 **뒤아멜의 공식**()으로도 알려져 있다.

이 공식은 순수 수학과 응용 수학 모두에서 중요하다. 이는 베이커-캠벨-하우스도르프 공식과 같은 정리의 증명에 등장하며, 물리학에서도 빈번하게 사용된다. 예를 들어 양자장론, 섭동 이론의 마그누스 전개, 그리고 격자 게이지 이론 등이 있다.

이하에서 와 는 별도의 구분이 명시되지 않는 한 지수 사상을 나타내는 데 혼용되어 사용된다. 계산 스타일의 표기법은 방정식의 가독성을 위해 선호된다. 반면,  스타일은 인라인 수식에서 더 편리할 때가 있으며, 실제적인 구분이 필요한 드문 경우에 필수적이다.

## 공식
지수 사상의 미분은 다음과 같이 주어진다.
}{\mathrm{ad}_{X}}\frac{dX(t)}{dt}.  &nbsp;   &nbsp;   &nbsp;   &nbsp;   &nbsp;   &nbsp;   &nbsp;    
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}}
; 설명
 = \sum_{k = 0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k + 1)!}(\mathrm{ad}_X)^k. |}}
이는 행렬 지수화에서와 같이 선형 자기사상(linear endomorphism)의 지수 사상 멱급수로부터 유도된다.
| 가 행렬 리 군인 경우, 모든 지수 표기법은 멱급수 전개로 주어진다.
| 가 행렬 리 군이 아닐 때도 는 여전히 멱급수 ()로 주어지지만, 공식의 다른 두  (현재 리 이론의 지수 사상)는 해석적 다양체로 간주되는 리 군  위에서 정의된 왼쪽 불변 벡터장 의 시간-1 흐름을 나타낸다. 이는 여전히 행렬의 경우와 정확히 동일한 공식으로 귀결된다. 리 군의 원소 에 의한 대수 원소 의 왼쪽 곱셈은 왼쪽 이동의 미분 을 적용하는 것으로 해석된다.
| 이 공식은 가  또는  상의 행렬 공간에서의 사상으로 간주되는 경우에도 적용된다. 행렬 지수 함수를 참조하라.  또는 일 때 이 개념들은 정확히 일치한다.
}}

에서 의 **미분** 를 계산하기 위해 다음의 표준적인 방법이 사용된다.
: d\exp_XY = \left .\frac{d}{dt}e^{Z(t)}\right|_{t = 0}, Z(0) = X, Z'(0) = Y
를 대입하면 결과는 다음과 같다.
}{\mathrm{ad}_{X}}Y|}}

이는 로부터 즉시 도출된다. 특히, 는 항등 사상인데, 이는  (가 벡터 공간이므로)이고 이기 때문이다.

## 증명
아래의 증명은 행렬 리 군을 가정한다. 이는 리 대수에서 행렬 리 군으로의 지수 사상이 일반적인 멱급수, 즉 행렬 지수 함수에 의해 주어진다는 것을 의미한다. 각 의 발생을 올바르게 해석한다면 증명의 결론은 일반적인 경우에도 여전히 유효하다. 아래의 일반적인 경우에 대한 주석을 참조하라.

증명의 개요는 매개변수화된 식
:\Gamma(s, t) = e^{-sX(t)}\frac{\partial}{\partial t} e^{sX(t)}
을 에 대해 미분하는 기법을 사용하여 에 대한 1계 미분방정식을 얻고, 이를 에 대한 직접 적분으로 풀어내는 것이다. 해는 가 된다.

**보조정리**

를 리 군의 리 대수에 대한 딸림 작용이라고 하자. 이 작용은 에 대해 로 주어진다. 와  사이의 유용한 관계는 다음과 같다.

**증명**

곱 규칙을 두 번 사용하면 다음을 얻는다.
:\frac{\partial\Gamma}{\partial s} = e^{-sX}(-X)\frac{\partial}{\partial t}e^{sX(t)} + e^{-sX}\frac{\partial}{\partial t}\left[X(t)e^{sX(t)}\right] = e^{-sX}\frac{dX}{dt}e^{sX}.
그런 다음 위에서 언급한 에 의해 다음을 관찰할 수 있다.
:\frac{\partial\Gamma}{\partial s} = \mathrm{Ad}_{e^{-sX}}X' = e^{-\mathrm{ad}_{sX}}X',
적분하면 다음과 같다.
:\Gamma(1, t) = e^{-X(t)}\frac{\partial}{\partial t}e^{X(t)} = \int_0^1 \frac{\partial\Gamma}{\partial s}ds = \int_0^1 e^{-\mathrm{ad}_{sX}}X'ds.
지수를 전개하기 위해 형식적 멱급수를 사용하고 항별로 적분한 뒤 최종적으로 ()를 적용하면,
:\Gamma(1, t) = \int_0^1 \sum_{k = 0}^\infty \frac{(-1)^ks^k}{k!} (\mathrm{ad}_X)^k\frac{dX}{dt}ds = \sum_{k = 0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k + 1)!}(\mathrm{ad}_X)^k \frac{dX}{dt} = \frac{1-e^{-\mathrm{ad}_X}}{\mathrm{ad}_X}\frac{dX}{dt},
이며 결과가 도출된다. 여기에 제시된 증명은 본질적으로 에 제시된 것과 같다. 보다 대수적인 접근 방식의 증명은 에서 찾을 수 있다.

### 일반적인 경우에 대한 주석
일반적인 경우의 공식은 다음과 같이 주어진다.
:\frac{d}{dt}\exp(C(t)) = \exp(C)\phi(-\mathrm{ad}(C))C~ ',
여기서
:\phi(z) = \frac{e^z - 1}{z} = 1 + \frac{1}{2!}z + \frac{1}{3!}z^2 + \cdots,
이며 이는 형식적으로 다음과 같이 환원된다.
:\frac{d}{dt}\exp(C(t)) = \exp(C)\frac{1 - e^{-\mathrm{ad}_{C}}}{\mathrm{ad}_{C}}\frac{dC(t)}{dt}.
여기서  표기법은 리 대수의 지수 사상을 위해 사용되었으며, 분수에서의 계산 스타일 표기법은 일반적인 형식적 급수 전개를 나타낸다. 일반적인 경우에 대한 더 많은 정보와 두 가지 전체 증명은 자유롭게 이용 가능한  문헌을 참조하라.

### 직접적인 형식적 논증
답이 존재한다고 가정할 때, 답이 무엇이어야 하는지를 즉시 알 수 있는 방법은 다음과 같다. 존재성은 각 경우에 대해 별도로 증명되어야 한다. 지수의 표준 극한 정의를 직접 미분하고 미분과 극한의 순서를 교환함으로써,
:\begin{align}
  \frac{d}{dt}e^{X(t)}
    &= \lim_{N \to \infty}\frac{d}{dt}\left(1 + \frac{X(t)}{N}\right)^N\\
    &= \lim_{N \to \infty}\sum_{k=1}^N\left(1 + \frac{X(t)}{N}\right)^{N-k}\frac{1}{N}\frac{dX(t)}{dt}\left(1 + \frac{X(t)}{N}\right)^{k-1}~,
\end{align}
를 얻는다. 여기서 각 인수의 위치는 와 의 비가환성 때문에 결정된다.

단위 구간을 개의 섹션  (합 지수가 정수이므로 )으로 나누고  → ∞, , 로 보내면 다음과 같다.
:\begin{align}
  \frac{d}{dt}e^{X(t)} &= \int_{0}^1e^{(1-s)X}X'e^{sX}ds = e^X \int_{0}^1 \mathrm{Ad}_{e^{-sX}} X' ds \\
                       &= e^X \int_{0}^1 e^{-\mathrm{ad}_{sX}} dsX' = e^X \frac{1-e^{-\mathrm{ad}_X}}{\mathrm{ad}_X}\frac{dX}{dt}~.
\end{align}

## 응용
### 지수 사상의 국소적 거동
역함수 정리는 지수 사상의 미분과 함께 의 국소적 거동에 대한 정보를 제공한다. 벡터 공간 사이의 임의의  사상 는 (여기서는 먼저 행렬 리 군을 고려함) 정의역의 점  주변의 열린집합에서 가 가역적이라면 가  일대일 대응이 되도록 하는  역함수를 가진다. ()으로부터 이것은 정확히 다음이 성립할 때 발생함을 알 수 있다.

:\frac{1 - e^{\mathrm{ad_X}}}{\mathrm{ad}_X}

가 가역적일 때이다. 이는 다시 이 연산자의 고윳값이 모두 0이 아닐 때 발생한다. 의 고윳값은 다음과 같이 의 고윳값과 관련이 있다. 만약 가 행렬 에 대해 가 수렴하는 멱급수로 표현된 복소변수의 해석 함수라면, 의 고윳값은 가 된다. 여기서 는 의 고윳값이다.  및 인 현재 사례에서, 의 고윳값은 다음과 같다.
:\frac{1 - e^{-\lambda_{ij}}}{\lambda_{ij}},
여기서 는 의 고윳값이다. 으로 두면 가 가역적일 조건은 정확히 다음과 같음을 알 수 있다.
:\lambda_{ij} \ne k2\pi i, k = \pm1, \pm2, \ldots.

의 고윳값은 다시 의 고윳값과 관련이 있다. 의 고윳값을 라고 하자. 가 하삼각행렬이 되도록 기저 벡터 공간 의 순서 기저 를 고정한다. 그러면
:Xe_i = \lambda_ie_i + \cdots,
이며, 나머지 항들은 인 의 배수들이다. 를 행렬 공간에 대한 대응하는 기저, 즉 라고 하자. 이면 이 되도록 이 기저의 순서를 정한다. 의 작용이 다음과 같이 주어짐을 확인할 수 있다.
:\mathrm{ad}_XE_{ij} = (\lambda_i - \lambda_j)E_{ij} + \cdots \equiv \lambda_{ij}E_{ij} + \cdots,
나머지 항들은 의 배수들이다. 이는 가 대각선에 고윳값 를 갖는 하삼각행렬임을 의미한다. 결론은 의 고윳값이 다음을 만족할 때 가 가역적이며, 따라서 는  주변의 국소적 해석적 일대일 대응이라는 것이다.
:\lambda_i - \lambda_j \ne k2\pi i, \quad k = \pm1, \pm2, \ldots, \quad 1 \le i, j \le n = \dim V.

특히 행렬 리 군의 경우, 가 가역적이므로 역함수 정리에 의해 는 행렬 공간의  근방에서 해석적 일대일 대응임이 도출된다. 나아가 는  내부의  근방에서  근방으로의 해석적 일대일 대응이다. 역함수 정리의 다양체 버전을 사용하여 일반적인 리 군에 대해서도 동일한 결론이 유지된다.

또한 음함수 정리로부터 가 충분히 작을 때  자체가 가역적임을 알 수 있다.

### 베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 유도

만약 가 다음과 같이 정의된다면
:e^{Z(t)} = e^{X} e^{tY},
에 대한 표현인 베이커-캠벨-하우스도르프 공식은 위의 공식으로부터 유도될 수 있다.
:\exp(-Z(t))\frac{d}{dt}\exp(Z(t)) = \frac{1 - e^{-\mathrm{ad}_{Z}}}{\mathrm{ad}_{Z}}Z'(t).

이 식의 좌변은 Y와 같음을 쉽게 알 수 있다. 따라서,
:Y = \frac{1 - e^{-\mathrm{ad}_{Z}}}{\mathrm{ad}_{Z}}Z'(t),
이며, 결과적으로 형식적으로는 다음과 같다.
:
  Z'(t) = \frac{\mathrm{ad}_{Z}}{1 - e^{-\mathrm{ad}_{Z}}} Y \equiv \psi\left(e^{\mathrm{ad}_{Z}}\right)Y, \quad
  \psi(w) = \frac{w\log w}{w - 1} = 1 + \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{m + 1}}{m(m + 1)}(w - 1)^m, \|w\| 

그러나 에 의해 주어진 와  사이의 관계를 사용하면 다음을 더 쉽게 알 수 있다.
: e^{\mathrm{ad}_{Z}} = e^{\mathrm{ad}_{X}} e^{t\mathrm{ad}_{Y}} 
따라서
:Z'(t) = \psi\left(e^{\mathrm{ad}_{X}} e^{t\mathrm{ad}_{Y}}\right)Y.
이것을 0에서 1까지 t에 대한 적분 형식으로 바꾸면 다음과 같다.
:Z(1) = \log(\exp X\exp Y) = X + \left( \int^1_0 \psi \left(e^{\operatorname{ad}_X} ~ e^{t \,\text{ad}_Y}\right) \, dt \right) \, Y, 
이것은 에 대한 적분 공식으로, 의 간단한 급수 전개 덕분에 명시적인 딘킨의 급수 공식보다 실제로 더 다루기 쉽다. 이 식은 와 그것들의  또는 에 대한 중첩된 교환자들로 구성되어 있음에 주목하라. 이러한 방식의 교과서적 증명은  및 에서 찾을 수 있다.

### 딘킨의 급수 공식 유도
[220px|섬네일|right|2003년 자택에서의 [예브게니 딘킨. 1947년 딘킨은 명시적인 BCH 급수 공식을 증명했다. 푸앵카레, 베이커, 캠벨 및 하우스도르프는 주로 브래킷 급수의 존재성에 관심을 가졌으며, 이는 리 대응의 핵심 결과들을 증명하는 등 많은 응용 분야에서 충분했다.]]

언급된 딘킨의 공식은 매개변수 확장
:e^{Z(t)} = e^{tX} e^{tY},
으로부터 유사하게 유도될 수 있으며, 여기서
:e^{-Z(t)} \frac{de^{Z(t)}}{dt} = e^{-t \, \mathrm{ad}_{Y}}X + Y ~,
이므로 위의 일반 공식을 사용하면 다음을 얻는다.
:Z' = \frac{\mathrm{ad}_{Z}}{1 - e^{-\mathrm{ad}_{Z}}} ~ \left(e^{-t \, \mathrm{ad}_{Y}}X + Y\right) = \frac{\mathrm{ad}_{Z}}{e^{\mathrm{ad}_{Z}} - 1} ~ \left(X + e^{t \, \mathrm{ad}_{X}}Y\right) .

그러나 다음이 성립하므로,
:\begin{align}
 \mathrm{ad_Z}
  &= \log\left(\exp\left(\mathrm{ad}_Z\right)\right) = \log\left(1 + \left(\exp\left(\mathrm{ad}_Z\right) - 1\right)\right) \\
  &= \sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} (\exp(\mathrm{ad}_Z) - 1)^n ~, \quad \|\mathrm{ad}_Z\| 
마지막 단계는 메르카토르 급수 전개에 의한 것이며, 다음과 같이 도출된다.
{n} \left(e^{\mathrm{ad}_Z} - 1\right)^{n-1} ~ \left(X + e^{t \, \mathrm{ad}_{X}}Y\right)~,|}}
따라서 적분하면 다음과 같다.
:Z(1) = \int^1 _0 dt ~\frac{dZ(t)}{dt} = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \int^1 _0 dt ~\left(e^{t \, \mathrm{ad}_{X}} e^{t\mathrm{ad}_{Y}} - 1\right)^{n-1} ~ \left(X + e^{t \, \mathrm{ad}_{X}}Y\right) .

이 시점에서 BCH 공식의 정성적 진술, 즉 가 에 의해 생성된 리 대수에 속하며 반복된 브래킷들의 급수로 표현 가능하다는 것 이 분명해진다. 각 에 대해, 그에 대한 각 분할의 항들이 적분  내부에 정리된다. 결과적으로 딘킨의 공식은 다음과 같다.
{k} \sum_{s \in S_{k}} \frac{1}{i_1 + j_1 + \cdots + i_k + j_k}\frac{[X^{(i_1)}Y^{(j_1)}\cdots X^{(i_k)}Y^{(j_k)}]}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!}, \quad i_r,j_r \ge 0,\quad i_r + j_r > 0,\quad 1 \le r \le k.
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|bgcolor=#F9FFF7
}}
상세한 급수 전개가 포함된 유사한 증명은 를 참조하라.

### 조합론적 세부 사항
()의 합 지수를 로 바꾸고 다음을 멱급수로 전개한다.
{k + 1}\left\{\left(e^{\mathrm{ad}_{tX}}e^{\mathrm{ad}_{tY}} - 1\right)^kX + \left(e^{\mathrm{ad}_{tX}}e^{\mathrm{ad}_{tY}} - 1\right)^ke^{\mathrm{ad}_{tX}}Y\right\}|}}
급수 전개를 간단히 다루기 위해, 먼저 를 고려하자. -급수와 -급수는 각각 다음과 같이 주어진다.
:\log(A) = \sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k}{(A - I)}^k,\quad \text{및}\quad e^X = \sum_{k = 0}^\infty \frac{X^k}{k!}
이들을 결합하면 다음을 얻는다.
{k}{\left(e^Xe^Y - I\right)}^k =
\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k}\left({\sum_{i = 0}^\infty \frac{X^i}{i!}\sum_{j = 0}^\infty \frac{Y^j}{j!} - I}\right)^k =
\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} \left(\sum_{i,j \ge 0, i + j > 1}^\infty \frac{X^iY^j}{i!j!} \right)^k.|}}
이는 다음과 같이 된다.
{k} \sum_{s \in S_k} \frac{X^{i_1}Y^{j_1}\cdots X^{i_k}Y^{j_k}}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!}, \quad i_r, j_r \ge 0, \quad i_r + j_r > 0, \quad 1 \le r \le k,&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 
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|bgcolor=#F9FFF7
}}
여기서 는 의 조건을 따르는 길이 인 모든 수열 의 집합이다.

이제 ()의 좌변에서 을 로 대체한다. 그러면 식 는 다음을 제공한다.
:\begin{align}
  \frac{dZ}{dt} = \sum_{k = 0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{k + 1} \sum_{s \in S_k, i_{k+1} \ge 0} &t^{i_1 + j_1 + \cdots + i_k + j_k}\frac^{i_1}{\mathrm{ad}_{Y}}^{j_1}\cdots {\mathrm{ad}_{X}}^{i_k}{\mathrm{ad}_{Y}}^{j_k}}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!}X \\
  {}+{} &t^{i_1 + j_1 + \cdots + i_k + j_k + i_{k + 1}}\frac^{i_1}{\mathrm{ad}_{Y}}^{j_1}\cdots {\mathrm{ad}_{X}}^{i_k}{\mathrm{ad}_{Y}}^{j_k}X^{i_{k+1}}}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!i_{k+1}!}Y, \quad i_r,j_r \ge 0, \quad i_r + j_r > 0,\quad 1 \le r \le k,
\end{align}
또는 표기법을 바꾸면( 명시적인 베이커-캠벨-하우스도르프 공식 참조),
:\begin{align}
  \frac{dZ}{dt} = \sum_{k = 0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{k + 1} \sum_{s \in S_k, i_{k+1} \ge 0}
        &t^{i_1 + j_1 + \cdots + i_k + j_k}\frac{\left[X^{(i_1)}Y^{(j_1)}\cdots X^{(i_k)}Y^{(j_k)}X\right]}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!}\\
  {}+{} &t^{i_1 + j_1 + \cdots + i_k + j_k + i_{k+1}}\frac{\left[X^{(i_1)}Y^{(j_1)}\cdots X^{(i_k)}Y^{(j_k)}X^{(i_{k+1})}Y\right]}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!i_{k+1}!}, \quad i_r,j_r \ge 0, \quad i_r + j_r > 0, \quad 1 \le r \le k
\end{align}.

()의 두 번째 항에서 가장 오른쪽 에 대한 합 지수는 로 표기되지만, 수열 의 원소는 아니다. 이제 을 사용하여 를 적분하면,
:\begin{align}
  Z = \sum_{k = 0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{k + 1} \sum_{s \in S_k, i_{k+1} \ge 0} &\frac{1}{i_1 + j_1 + \cdots + i_k + j_k + 1}\frac{\left[X^{(i_1)}Y^{(j_1)}\cdots X^{(i_k)}Y^{(j_k)}X\right]}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!}\\
   {}+{} &\frac{1}{i_1 + j_1 + \cdots + i_k + j_k + i_{k+1} + 1}\frac{\left[X^{(i_1)}Y^{(j_1)}\cdots X^{(i_k)}Y^{(j_k)}X^{(i_{k+1})}Y\right]}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!i_{k+1}!}, \quad i_r,j_r \ge 0,\quad i_r + j_r > 0,\quad 1 \le r \le k
\end{align}.

이를 다음과 같이 쓴다.
:\begin{align}
  Z = \sum_{k = 0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{k + 1} \sum_{s \in S_k, i_{k+1} \ge 0}
        &\frac{1}{i_1 + j_1 + \cdots + i_k + j_k + (i_{k + 1} = 1) + (j_{k+1} = 0)}\frac{\left[X^{(i_1)}Y^{(j_1)}\cdots X^{(i_k)}Y^{(j_k)}X^{(i_{k + 1} = 1)}Y^{(j_{k+1} = 0)}\right]}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!(i_{k+1} = 1)!(j_{k+1} = 0)!}\\
  {}+{} &\frac{1}{i_1 + j_1 + \cdots + i_k + j_k + i_{k+1} + (j_{k+1} = 1)}\frac{\left[X^{(i_1)}Y^{(j_1)}\cdots X^{(i_k)}Y^{(j_k)}X^{(i_{k+1})}Y^{(j_{k+1} = 1)}\right]}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!i_{k+1}!(j_{k+1} = 1)!}, \\\\
  & (i_r,j_r \ge 0,\quad i_r + j_r > 0,\quad 1 \le r \le k).
\end{align}
이는 모든 에 대해 이라는 간단한 관찰을 사용하여 다음과 같이 정리된다.

여기서 i_r,j_r \ge 0,\quad i_r + j_r > 0,\quad 1 \le r \le k + 1이다. 즉, ()에서 앞의 항은 이 0 또는 1이 아닌 이상 사라지며, 이는 이전 방정식의 첫 번째 및 두 번째 항에 해당한다. 인 경우 은 1이어야 하며, 그렇지 않으면 같은 이유로 항이 사라진다(은 허용되지 않음). 마지막으로 지수를 로 옮기면,
{k} \sum_{s \in S_{k}} \frac{1}{i_1 + j_1 + \cdots + i_k + j_k}\frac{\left[X^{(i_1)}Y^{(j_1)}\cdots X^{(i_k)}Y^{(j_k)}\right]}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!},~ i_r,j_r \ge 0,~ i_r + j_r > 0,~ 1 \le r \le k.
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|border colour = #0073CF
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}}
이것이 딘킨의 공식이다. (99)와의 놀라운 유사성은 우연이 아니다. 이는 공식의 독창적이고 차별화된 유도를 뒷받침하는 **딘킨-슈페히트-웨버 사상**(Dynkin–Specht–Wever map)을 반영한다. 즉, 만약
:X^{i_1}Y^{j_1} \cdots X^{i_k}Y^{j_k}
가 브래킷 급수로 표현 가능하다면, 필연적으로 다음과 같다.

관찰 와 정리 ()를 결합하면 명시적인 BCH 공식에 대한 간결한 증명이 완성된다.

## 같이 보기
* 행렬 로그

## 내용주

## 각주

## 참고 문헌
* ;  translation from        Google books.
*
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*
*
* Veltman, M, 't Hooft, G & de Wit, B (2007). "Lie Groups in Physics", online lectures.
*

## 외부 링크
* 
* 

분류:행렬론
분류:리 군
분류:거듭제곱
분류:수리물리학