볼테라 적분 방정식

수학에서 **볼테라 적분 방정식**()은 특수한 종류의 적분 방정식이다. 이들은 제1종과 제2종으로 나뉜다.

제1종 선형 볼테라 방정식은 다음과 같다.

: f(t) = \int_a^t K(t,s)\,x(s)\,ds

여기서  f(t) 는 주어진 함수이고  x(t) 는 결정되어야 한다. 제2종 선형 볼테라 방정식은 다음과 같다.

: x(t) = f(t) + \int_a^t K(t,s)x(s)\,ds. 

연산자 이론과 프레드홀름 이론에서 해당 연산자들은 볼테라 연산자라고 불린다. 이러한 방정식을 푸는 유용한 방법인 아도미안 분해 방법는 조지 아도미안에 의해 개발되었다.

선형 볼테라 적분 방정식은 다음의 경우에 합성곱 방정식이다.

: x(t) = f(t) + \int_{t_0}^t K(t-s)x(s)\,ds. 

적분 안의 함수  K 는 핵이라고 불린다. 이러한 방정식은 라플라스 변환 기법을 사용하여 분석하고 풀 수 있다.

0인 K(t,s) = (t^2-s^2)^{-\alpha} 형태의 약하게 특이한 핵의 경우, 제1종 볼테라 적분 방정식은 편리하게 고전적인 아벨 적분 방정식으로 변환될 수 있다.

볼테라 적분 방정식은 비토 볼테라에 의해 소개되었고, 그 후 트라이안 랄레스쿠가 에밀 피카르의 지도 아래 쓴 1908년 논문 "Sur les équations de Volterra"에서 연구되었다. 1911년 랄레스쿠는 적분 방정식에 대한 최초의 책을 썼다.

볼테라 적분 방정식은 인구통계학에서 로트카의 적분 방정식으로, 점탄성 재료의 연구에서, 보험계리학에서 갱신 방정식을 통해, 그리고 유체역학에서 유한 크기 경계 근처의 유동 거동을 설명하는 데 적용된다.

## 제1종 볼테라 방정식을 제2종으로 변환
제1종 선형 볼테라 방정식은 K(t,t) \neq 0이라고 가정하면 항상 제2종 선형 볼테라 방정식으로 환원될 수 있다. 제1종 볼테라 방정식을 미분하면 다음과 같다.
{df\over{dt}} = \int_{a}^{t}{\partial K\over{\partial t}}x(s)ds + K(t,t)x(t)
K(t,t)로 나누면 다음과 같다.
x(t) = {1\over{K(t,t)}}{df\over{dt}} - \int_{a}^{t}{1\over{K(t,t)}}{\partial K\over{\partial t}}x(s)ds
\widetilde{f}(t) = {1\over{K(t,t)}}{df\over{dt}} 및 \widetilde{K}(t,s) = -{1\over{K(t,t)}}{\partial K\over{\partial t}}를 정의하면 제1종 방정식이 제2종 선형 볼테라 방정식으로의 변환이 완료된다.

## 사다리꼴 공식을 이용한 수치 해법
제2종 선형 볼테라 방정식의 수치 해를 계산하는 표준적인 방법은 사다리꼴 공식인데, 이는 등간격 부분 구간 \Delta x에 대해 다음과 같이 주어진다.
\int_{a}^{b}f(x)dx \approx {\Delta x\over{2}}\left[f(x_{0}) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_{i}) + f(x_{n}) \right ]
부분 구간의 간격이 같다고 가정하면, 볼테라 방정식의 적분 부분은 다음과 같이 근사할 수 있다.
\int_{a}^{t}K(t,s)x(s)ds \approx {\Delta s\over{2}}\left[K(t,s_{0})x(s_{0}) + 2K(t,s_{1})x(s_{1}) + \cdots + 2K(t,s_{n-1})x(s_{n-1}) + K(t,s_{n})x(s_{n}) \right ]
x_{i} = x(s_{i}), f_{i} = f(t_{i}), 그리고 K_{ij} = K(t_{i},s_{j})로 정의하면, 다음과 같은 선형 방정식 시스템을 얻는다.
\begin{aligned}
x_{0} &= f_{0} \\
x_{1} &= f_{1} + {\Delta s\over{2}}\left(K_{10}x_{0} + K_{11}x_{1} \right ) \\
x_{2} &= f_{2} + {\Delta s\over{2}}\left(K_{20}x_{0} + 2K_{21}x_{1} + K_{22}x_{2} \right ) \\
&\vdots \\
x_{n} &= f_{n} + {\Delta s\over{2}}\left(K_{n0}x_{0} + 2K_{n1}x_{1} + \cdots + 2K_{n,n-1}x_{n-1} + K_{nn}x_{n} \right )
\end{aligned}
이는 행렬 방정식:
x = f + Mx \implies x = (I-M)^{-1}f
와 동일하다. 잘 동작하는 핵에 대해 사다리꼴 공식은 잘 작동하는 경향이 있다.

## 응용: 파산 이론
볼테라 적분 방정식이 나타나는 한 분야는 보험계리학의 지급불능 위험에 대한 연구인 파산 이론이다. 목표는 초기 잉여금 u와 파산 시간 \tau(u)인 파산 확률 \psi(u) = \mathbb{P}[\tau(u) 를 정량화하는 것이다. 파산 이론의 고전적 모델에서 순현금 포지션 X_{t}는 초기 잉여금, c율로 얻은 보험료 수입, 그리고 나가는 청구액 \xi의 함수이다.
X_{t} = u + ct - \sum_{i=1}^{N_{t}}\xi_{i}, \quad t \geq 0 
여기서 N_{t}는 강도 \lambda를 가진 청구 수에 대한 푸아송 과정이다. 이러한 상황에서 파산 확률은 다음과 같은 볼테라 적분 방정식으로 표현될 수 있다.
\psi(u) = {\lambda\over{c}}\int_{u}^{\infty}S(x)dx + {\lambda\over{c}}\int_{0}^{u}\psi(u-x)S(x)dx 
여기서 S(\cdot)는 청구 분포의 생존 함수이다.

## 확률 볼테라 방정식
과정 X_t가 확률 볼테라 방정식의 해라고 말할 수 있다.
만약 다음과 같으면:

X_t = X_0 + \int_0^t K(t-s)b(x_s)ds + \int_0^t K(t-s) \sigma(X_s)dW_s


여기서 X_t가 일반적인 조건을 가진 확률 공간의 여과에 적합하다고 가정한다. 이 프레임워크를 사용하는 한 모델은 예를 들어 러프 베르곰 모델이다.

## 같이 보기
* 프레드홀름 적분 방정식
* 적분 방정식
* 적분미분방정식

## 각주


## 더 읽어보기
*Traian Lalescu, Introduction à la théorie des équations intégrales. Avec une préface de É. Picard, 파리 (프랑스): A. Hermann et Fils, 1912. VII + 152 pp.
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* Integral Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations
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## 외부 링크
* IntEQ: a Python package for numerically solving Volterra integral equations

분류:함수해석학