고전적 확률 밀도

**고전적 확률 밀도**()는 고전역학적 계에서 위치 에너지의 영향을 받는 입자를 특정 위치 근처에서 발견할 확률을 나타내는 확률 밀도 함수이다. 이러한 확률 밀도는 대응원리에 대한 통찰을 얻고, 연구 중인 양자 계와 고전적 한계 사이의 연결 고리를 만드는 데 유용하다.

## 수학적 배경
진폭이 이고 처음에 정지해 있는 조화 진동자의 예를 생각해보자. 이 계가 빛이 차단된 컨테이너 안에 들어 있고, 내부에서 일어나는 일을 스냅샷으로만 찍을 수 있는 카메라로만 관찰할 수 있다고 가정하자. 각 스냅샷은 궤적을 따라 임의의 가능한 위치 에서 진동자를 포착할 특정한 확률을 가진다. 고전적 확률 밀도는 어떤 위치가 더 가능성이 높고 낮은지, 계의 평균 위치 등을 요약하여 보여준다. 이 함수를 유도하기 위해, 진동자가 발견될 확률이 가장 높은 위치는 진동자가 가장 많은 시간을 보내는 위치라는 사실을 고려한다. 실제로 특정  값에 있을 확률은 해당  값의 근처에서 보낸 시간에 비례한다. 만약 진동자가 주어진  값의 인접 구간 에서 미소 시간 를 보낸다면, 그 근처에 있을 확률 는 다음과 같다.

:P(x)\, dx \propto dt.

진동자에 작용하는 힘은 보존력이고 운동이 유한한 영역에서 일어나므로, 운동은 주기 를 가지는 주기적 운동이 된다. 진동자가 가능한 최소  값과 최대  값 사이의 임의의 위치에 있을 확률의 합은 1이어야 하므로, 다음과 같은 규격화 상수를 사용한다.

:\int_{x_{\rm min}}^{x_{\rm max}} P(x)\, dx = 1 = N \int_{t_i}^{t_f} dt

여기서 은 규격화 상수이다. 진동하는 질량이 이 위치 범위를 주기의 절반 동안 통과하므로(전체 주기는 에서 로 갔다가 다시 로 돌아오는 것임), 에 대한 적분은 와 같으며, 이에 따라 은 가 된다.

연쇄 법칙을 사용하면, 임을 이용하여 를 질량이 머무는 지점의 높이에 관한 항으로 나타낼 수 있으며, 확률 밀도는 다음과 같이 된다.

:P(x)\,dx = \frac{2}{T}\, \frac{dx}{dx/dt} = \frac{2}{T}\, \frac{dx}{v(x)},

여기서 는 위치의 함수로서 진동자의 속력이다. (속력은 스칼라이므로 는 두 반주기 동안 동일함에 유의하라.) 이제 를 얻기 위해  함수를 제공하기만 하면 된다. 보존력의 영향을 받는 계의 경우, 이는 속력과 에너지를 연관시킴으로써 수행된다. 운동 에너지 는 이고 총 에너지 이므로(여기서 는 계의 위치 에너지), 속력은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:v(x) = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2}{m}[E-U(x)]}.

이것을  식에 대입하면 다음과 같다.

:P(x) = \frac{1}{T} \sqrt{\frac{2m}{E-U(x)}}.

처음 예시는 조화 진동자였지만, 지금까지의 모든 수학적 과정은 보존력의 영향을 받는 입자에 대해 완전히 일반적이다. 이 공식은 해당 위치 에너지 함수를 대입함으로써 모든 1차원 물리 계로 일반화될 수 있다. 일단 대입이 완료되면, 허용된 임의의 에너지 에 대해 를 즉시 얻을 수 있다.

## 예시
### 조화 진동자
섬네일|300px|right|양자 조화 진동자의  상태의 확률 밀도 함수. 실선 그래프는 양자역학적 확률 밀도를 나타내고, 점선은 고전적 확률 밀도를 나타낸다. 수직 파선은 계의 고전적 회귀점을 나타낸다.

위의 유도에서 사용된 예시를 시작으로, 조화 진동자는 다음과 같은 위치 에너지 함수를 가진다.

:U(x) = \frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} m\omega^2 x^2,

여기서 는 진동자의 용수철 상수이고 는 진동자의 고유 각진동수이다. 진동자의 총 에너지는 회귀점 에서 를 평가하여 주어진다. 이것을  식에 대입하면 다음과 같다.

:P(x) = \frac{1}{\pi}\frac{1}{\sqrt{A^2-x^2}}.

이 함수는 회귀점에서 두 개의 수직 점근선을 가지는데, 이는 회귀점이 진동자가 정지하는 지점이므로 해당  값 근처에서 발견될 가능성이 가장 높다는 물리적 의미와 일치한다. 확률 밀도 함수가 무한대로 발산하더라도 확률을 나타내는 것은 곡선 자체가 아니라 곡선 아래의 면적이므로 확률은 여전히 유한함에 유의하라.

### 튀어오르는 공
섬네일|right|300px|에 대한 양자(빨간색) 및 고전적(검은색) 튀어오르는 공의 확률 밀도 함수. 여기서 회귀점은 (이 섹션에서 로 지칭함)으로 표시되어 있다.

에너지 손실이 없는 튀어오르는 공의 경우, 위치 에너지와 총 에너지는 다음과 같다.

:U(z) = mgz,
:E = mgh,

여기서 는 공이 도달하는 최대 높이이다. 이를 에 대입하면 다음을 얻는다.

:P(z) = \frac{1}{2\sqrt{h}}\frac{1}{\sqrt{h-z}},

여기서 앞의 계수를 단순화하기 위해 T = \sqrt{8h/g} 관계가 사용되었다. 이 함수의 정의역은 z \in [0,h]이므로(공은 인 바닥 아래로 떨어지지 않음), 조화 진동자의 경우처럼 분포가 대칭적이지 않다. 여기서도 회귀점 에서 수직 점근선이 존재한다.

## 운동량 공간 분포
위치 공간에서의 확률 분포를 살펴보는 것 외에도, 운동량을 기반으로 계를 특성화하는 것도 도움이 된다. 위와 유사한 논의를 거치면 결과는 다음과 같다.

:P(p) = \frac{2}{T}\frac{1},

여기서 는 위치의 함수로서 입자에 작용하는 힘이다. 실제로는 변수 변환을 통해 이 함수를 운동량 에 관한 항으로 나타내야 한다.

### 조화 진동자
위의 조화 진동자 예시를 들면, 위치 에너지와 힘은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:U(x) = \frac{1}{2}kx^2,
:|F(x)| = |-kx| = \sqrt{2kU(x)} = \sqrt{\frac{k}{m}(2mE - p^2)}.

를 계의 최대 운동량으로 정의하면, 다음과 같이 단순화된다.

:P(p) = \frac{1}{\pi} \frac{1}{\sqrt{p_0^2 - p^2}}.

이것이 위치 공간 확률 분포와 동일한 함수 형태를 가짐에 유의하라. 이는 조화 진동자 문제의 특수한 경우이며 운동 방정식에서 와  사이의 대칭성으로 인해 발생한다.

### 튀어오르는 공
튀어오르는 공의 예시는 더 간단한데, 이 경우 힘이 일정하기 때문이다.

:F(x) = mg,

결과적으로 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

:P(p) = \frac{1}{m\sqrt{8gh}} = \frac{1}{2p_0} \text{ for } |p| 

여기서 는 공의 최대 운동량이다. 이 계에서는 모든 운동량이 동일하게 발생할 수 있다.

## 같이 보기

* 확률 밀도 함수
* 대응원리
* 고전적 한계
* 파동 함수

## 각주

분류:이론물리학
분류:고전역학
분류:물리학 개념