3차 교차점

전기 통신에서 **3차 교차점**(, **IP<sub>3</sub>** 또는 **TOI**)은 약한 비선형계 및 장치(예: 수신기, 선형 증폭기 및 믹서)에 대한 측정값인 일반적인 3차 상호변조 왜곡(IMD3)과 관련된 특정 성능 지수이다. 이는 테일러 급수 전개를 통해 도출된 낮은 차수의 다항식을 사용하여 장치 비선형성을 모델링할 수 있다는 아이디어에 기반한다. 3차 교차점은 2차 항을 사용하는 2차 교차점과 달리 3차 비선형 항으로 인한 비선형 곱을 선형적으로 증폭된 신호와 연관시킨다.

교차점은 순전히 수학적인 개념이며 실제 발생하는 물리적 전력 수준에 해당하지 않는다. 많은 경우 장치의 손상 임계값을 훨씬 초과한다.

## 정의
교차점에는 두 가지 다른 정의가 사용된다.

* 고조파 기반: 장치는 단일 입력 톤을 사용하여 테스트된다. n차 비선형성으로 인한 비선형 곱은 입력 톤 주파수의 n배에서 나타난다.
* 상호변조 곱 기반: 장치에 f_1 및 f_2의 두 사인 톤이 공급된다. 이 사인파의 합을 세제곱하면 (2f_2-f_1) 및 (2f_1-f_2)를 포함한 다양한 주파수에서 사인파가 생성된다. f_1과 f_2가 크지만 서로 매우 가까우면 (2f_2-f_1)과 (2f_1-f_2)도 f_1과 f_2에 매우 가까워진다. 이 투톤 방식은 광대역 장치에 국한되지 않는다는 장점이 있으며 무선 수신기에 일반적으로 사용된다.

교차점은 입력 전력과 출력 전력을 모두 로그 눈금(예: 데시벨)으로 플로팅하여 그래픽으로 얻는다. 두 개의 곡선이 그려지는데, 하나는 입력 톤 주파수에서 선형적으로 증폭된 신호에 대한 곡선이고 다른 하나는 비선형 곱에 대한 곡선이다.
로그 눈금에서 함수 xn은 기울기가 n인 직선으로 변환된다. 따라서 선형적으로 증폭된 신호는 기울기가 1인 직선을 나타낸다. 3차 비선형 곱은 입력 전력이 1dB 증가할 때 전력이 3dB 증가한다.

두 곡선은 기울기가 1과 n(3차 교차점의 경우 3)인 직선으로 확장된다. 곡선이 교차하는 지점이 교차점이다. 입력 또는 출력 전력 축에서 읽을 수 있으며, 각각 입력(IIP3) 또는 출력(OIP3) 교차점으로 이어진다.

입력 및 출력 교차점은 장치의 소신호 이득만큼 차이가 난다.

frame|link=File:Two_carrier_3rd_order_intermod_measurement.png#/media/File:Two_carrier_3rd_order_intermod_measurement.png|3차 상호변조 곱(D3 및 D4)은 증폭기의 비선형 동작의 결과이다. 증폭기로 들어가는 입력 전력 레벨은 각 연속 프레임에서 1dB씩 증가한다. 두 반송파(M1 및 M2)의 출력 전력은 각 프레임에서 약 1dB씩 증가하는 반면, 3차 상호변조 곱(D3 및 D4)은 각 프레임에서 3dB씩 증가한다. 더 높은 차수의 상호변조 곱(5차, 7차, 9차)은 증폭기가 포화 상태를 지나 구동될 때 매우 높은 입력 전력 레벨에서 가시화된다. 포화 근처에서는 추가적인 1dB의 입력 전력이 증폭된 반송파로 들어가는 출력 전력을 비례적으로 줄이고 원치 않는 상호변조 곱으로 들어가는 출력 전력을 비례적으로 늘린다. 포화 상태 및 그 이상에서는 추가 입력 전력이 출력 전력 감소를 초래하며, 이 추가 입력 전력의 대부분은 열로 소산되고 두 반송파에 대한 비선형 상호변조 곱의 레벨을 증가시킨다.

## 실제 고려 사항
교차점의 개념은 약하게 비선형적인 시스템을 가정하는데, 이는 고차 비선형 항이 무시할 수 있을 정도로 작다는 것을 의미한다.
실제로는 입력 전력 범위의 상단에서 약하게 비선형적인 가정이 적용되지 않을 수 있으며, 이는 측정 중이든 증폭기 사용 중이든 마찬가지이다. 결과적으로 측정되거나 시뮬레이션된 데이터는 이상적인 기울기 n에서 벗어난다.
기본 정의에 따른 교차점은 가능한 가장 작은 전력 레벨(기기 또는 장치 노이즈에 의해 낮은 전력 레벨로 제한될 수 있음)에서 측정된 데이터를 통해 기울기 1과 n의 직선을 그려서 결정해야 한다.
직선의 기울기를 변경하거나 너무 높은 전력 레벨에서 측정된 지점에 맞추어 교차점을 도출하는 것은 흔한 실수이다. 특정 상황에서는 그러한 측정이 유용할 수 있지만, 정의에 따른 교차점은 아니다. 그 값은 문서화해야 하는 측정 조건에 따라 달라지는 반면, 정의에 따른 IP는 대부분 모호하지 않다. 비록 피시험 장치의 물리적 특성에 따라 주파수 및 톤 간격에 대한 의존성이 일부 있지만 말이다.

3차 교차점의 유용한 응용 중 하나는 비선형 곱을 추정하는 경험 법칙 측정값이다. 선형성에 대해 시스템이나 장치를 비교할 때 더 높은 교차점이 더 좋다. 기울기가 3과 1인 두 직선 사이의 간격이 기울기 2로 닫히는 것을 볼 수 있다.

예를 들어, 입력 기준 3차 교차점이 10dBm인 장치가 -5dBm의 테스트 신호로 구동된다고 가정하자. 이 전력은 교차점보다 15dB 낮으므로 비선형 곱은 장치 출력에서 테스트 신호 전력보다 약 2×15dB 낮게 나타난다(즉, 출력 기준 3차 교차점보다 3×15dB 낮게 나타난다).

많은 선형 무선 주파수 증폭기에 적용되는 경험 법칙은 1dB 압축점이 3차 교차점보다 약 10dB 낮게 떨어진다는 것이다.

## 이론
증폭기 전달 함수|right|섬네일|300px

3차 교차점(TOI)은 장치 전달 함수 O(다이어그램 참조)의 속성이다.
이 전달 함수는 출력 신호 전압 레벨을 입력 신호 전압 레벨과 관련시킨다. 우리는 소신호 형태가 홀수 항만 포함하는 멱급수로 표현될 수 있는 "선형" 장치를 가정하며, 전달 함수를 입력 신호 전압의 홀함수, 즉 O(−s) = −O(s)로 만든다. 실제 장치를 통과하는 신호가 변조된 정현파 전압 파형(예: RF 증폭기)인 경우, 장치 비선형성은 개별 정현파 신호 구성 요소에 미치는 영향의 관점에서 표현될 수 있다. 예를 들어, 입력 전압 신호가 사인파라고 하자.

:s(t) = V \cos(\omega t),

그리고 장치 전달 함수가 다음과 같은 형태의 출력을 생성한다.

:O(s) = G s - D_3 s^3 + \ldots,

여기서 G는 증폭기 이득이고 D3는 3차 왜곡이다. 첫 번째 방정식을 두 번째 방정식에 대입하고 삼각 함수 항등식을 사용하면

:\cos^3(x) = \frac{3}{4}\cos(x) + \frac{1}{4}\cos(3x),

장치 출력 전압 파형을 다음과 같이 얻는다.

:O(s(t)) = \left(G V - \frac{3}{4} D_3 V^3\right) \cos(\omega t) - \frac{1}{4} D_3 V^3 \cos(3 \omega t).

출력 파형에는 원래 파형 cos(ωt)와 새로운 고조파 항 cos(3ωt), 즉 3차 항이 포함된다. cos(ωt) 고조파의 계수에는 두 개의 항이 있는데, 하나는 V에 선형적으로 변하고 다른 하나는 V의 세제곱에 비례하여 변한다. 실제로 cos(ωt)의 계수는 전달 함수와 거의 동일한 형태를 가지지만, 세제곱 항에 이라는 계수가 곱해져 있다. 즉, 신호 레벨 V가 증가함에 따라 출력에서 cos(ωt) 항의 레벨은 결국 안정화되며, 이는 전달 함수가 안정화되는 방식과 유사하다. 물론, cos(ωt) 항의 계수가 안정화됨에 따라 고차 고조파의 계수는 (V가 증가함에 따라) 증가할 것이다(전력은 어딘가로 가야 한다).

이제 cos(ωt) 계수 중에서 V에 선형적으로 변하는 부분에만 주의를 기울인 다음, 어떤 입력 전압 레벨 V에서 1차 및 3차 항의 계수가 동일한 크기를 가질지(즉, 크기가 교차하는 지점) 질문하면 다음과 같은 경우에 발생한다는 것을 알 수 있다.

:V^2 = \frac{4 G}{3 D_3},

이것이 3차 교차점(TOI)이다. 따라서 TOI 입력 전력 레벨은 장치 전달 함수에서 이득과 3차 왜곡 항의 비율에 단순히 4/3을 곱한 값이라는 것을 알 수 있다. 3차 항이 이득에 비해 작을수록 장치는 더 선형적이고 TOI는 더 높아진다. 입력 전압 파형의 크기 제곱과 관련된 TOI는 일반적으로 밀리 와트(mW)로 측정되는 전력량이다. TOI는 출력 전력이 이 레벨에 도달하기 전에 포화되므로 항상 작동 전력 레벨을 초과한다.

TOI는 증폭기의 "1dB 압축점"과 밀접하게 관련되어 있으며, 이는 cos(ωt) 항의 전체 계수가 해당 계수의 선형 부분보다 1dB 낮은 지점으로 정의된다. 1dB 압축점을 TOI와 다음과 같이 관련시킬 수 있다. 1dB = 20 log10 1.122이므로, 전압적인 의미에서 1dB 압축점은 다음일 때 발생한다고 말할 수 있다.

:\frac{1}{1.122} \left(G V - \frac{3}{4}D_3 V^3\right) = G V,

또는

:V^2 = 0.10875 \times \frac{4 G}{3 D_3},

또는

:V^2 = 0.10875 \times \mathrm{TOI}.

전력적인 의미(V2는 전력량임)에서 0.10875 계수는 -9.636dB에 해당하므로, 이 근사 분석에 따르면 1dB 압축점은 TOI보다 약 9.6dB 낮게 발생한다.

기억: 데시벨 수치 = 10dB × log10(전력비) = 20dB × log10(전압비).

## 같이 보기
* 상호변조 교차점
* 2차 교차점

## 내용주
* 3차 교차점은 원하는 출력에서 상호변조 왜곡 산출물의 외삽된 수렴점이다(직접 측정할 수 없음).
* 이는 장치(예: 증폭기) 또는 시스템(예: 수신기)이 강한 신호가 있는 상황에서 얼마나 잘 작동하는지를 나타낸다.
* 때로는 증폭기의 동적 범위의 상한을 정의하기 위해 (1dB 압축점과 상호 교환적으로) 사용된다.
* 슈퍼헤테로다인 수신기의 3차 교차점 결정은 첫 번째 중간 주파수 믹서 통과 대역 내에 들어가는 두 개의 테스트 주파수를 사용하여 수행된다. 일반적으로 테스트 주파수는 약 20~30kHz 떨어져 있다.
* 교차점의 개념은 출력 신호가 제한된 공급 전압으로 인해 잘리는 경우와 같이 강하게 비선형적인 시스템에는 의미가 없다.

## 각주

* 

## 추가 자료
* 
*  http://www.matrixtest.com/FILES/mtn109.pdf (9 pages)
* 

분류:증폭 회로