그랜저 인과성

360px|thumbnail|시계열 X가 시계열 Y의 그랜저 원인일 때, X의 패턴은 일정 시간 지연 후 Y에서 대략적으로 반복된다(두 가지 예는 화살표로 표시됨). 따라서 X의 과거 값은 Y의 미래 값을 예측하는 데 사용될 수 있다.

**그랜저 인과성 검정**(Granger causality test)은 1969년에 처음 제안된 한 시계열이 다른 시계열을 예측하는 데 유용한지 여부를 결정하기 위한 통계적 가설 검정이다. 일반적으로 회귀 분석은 "단순한" 상관 분석을 반영하지만, 클라이브 그레인저는 다른 시계열의 이전 값을 사용하여 시계열의 미래 값을 예측하는 능력을 측정함으로써 경제학에서의 인과관계를 검정할 수 있다고 주장했다. "진정한 인과관계" 문제는 깊이 철학적이며, 한 사건이 다른 사건에 선행하는 것이 인과관계의 증명으로 사용될 수 있다는 이 뒤에 따라서 이 때문에 오류 때문에 계량경제학자들은 그랜저 검정이 "예측적 인과관계"만을 발견한다고 주장한다. "인과관계"라는 용어 자체를 사용하는 것은 오해의 소지가 있는데, 그랜저 인과관계는 "선행"으로 더 잘 설명되거나, 그랜저 자신이 1977년에 나중에 주장했듯이 "시간적으로 관련되어 있다"고 설명된다. X가 Y를 유발하는지 여부를 검정하기보다는 그랜저 인과성 검정은 X가 Y를 예측하는지 여부를 검정한다.

시계열 X가 Y의 그랜저 원인이라고 말하는 것은, 일반적으로 X의 지연 값 (Y의 지연 값도 포함)에 대한 일련의 T-검정 및 F-테스트를 통해, 이 X 값들이 Y의 미래 값에 대해 통계적으로 유의미한 정보를 제공한다는 것을 보여줄 수 있을 때이다.

그랜저는 또한 경제학 이외의 분야에서 "그랜저 인과성" 검정을 사용한 일부 연구가 "우스꽝스러운" 결론에 도달했다고 강조했다. 그는 노벨 강연에서 "물론 많은 우스꽝스러운 논문들이 나왔다"고 말했다. 그러나 계산상의 단순성 때문에 시계열 인과성 분석에서 여전히 인기 있는 방법으로 남아 있다. 그랜저 인과성의 원래 정의는 교락하는 잠재적 효과를 설명하지 못하며, 즉각적이고 비선형적인 인과 관계를 포착하지 못한다. 이러한 문제를 해결하기 위한 여러 확장이 제안되었다.

## 직관

시간이 지남에 따라 진화하는 변수 X가 다른 진화 변수 Y를 그랜저 원인한다고 말하는 것은, Y 자체의 과거 값과 X의 과거 값을 기반으로 한 Y 값의 예측이 Y 자체의 과거 값만을 기반으로 한 Y 예측보다 더 나을 때이다.

## 기본 원리

그랜저는 두 가지 원리에 기반하여 인과 관계를 정의했다:
# 원인은 결과보다 먼저 발생한다.
# 원인은 결과의 미래 값에 대한 고유한 정보를 가지고 있다.
인과관계에 대한 이 두 가지 가정을 바탕으로 그랜저는 X가 Y에 미치는 인과 효과를 식별하기 위해 다음 가설을 검정할 것을 제안했다.
:
\mathbb{P}[Y(t+1) \in A\mid \mathcal{I}(t)] \neq \mathbb{P}[Y(t+1) \in A\mid \mathcal{I}_{-X}(t)],

여기서 \mathbb{P}는 확률을 나타내고, A는 임의의 비어 있지 않은 집합이며, \mathcal{I}(t)와 \mathcal{I}_{-X}(t)는 각각 시간 t 기준으로 전체 우주에서 이용 가능한 정보와 X가 제외된 수정된 우주에서 이용 가능한 정보를 나타낸다. 위 가설이 받아들여지면, X가 Y의 그랜저 원인이라고 말한다.

## 방법

정상 과정인 시계열의 경우, 두 개 이상의 변수 수준 값을 사용하여 검정이 수행된다. 변수가 비정상 과정인 경우, 첫 번째 (또는 더 높은) 차분을 사용하여 검정을 수행한다. 포함할 시차의 수는 일반적으로 아카이케 정보 기준 또는 베이시안 정보 기준과 같은 정보 기준을 사용하여 선택한다. 변수 중 하나의 특정 지연 값은 (1) t-검정에 따라 유의미하고, (2) 해당 값과 변수의 다른 지연 값들이 F-검정 (귀무가설은 x의 값들이 공동으로 설명력을 추가하지 않는다는 것)에 따라 모델에 설명력을 공동으로 추가하는 경우 회귀에 유지된다. 그런 다음 그랜저 인과성이 없다는 귀무 가설은 설명 변수의 어떤 지연 값도 회귀에 유지되지 않는 경우에만 기각되지 않는다.

실제로는 두 변수 중 어느 것도 다른 변수의 그랜저 원인이 아니거나, 두 변수 각각이 다른 변수의 그랜저 원인인 것으로 밝혀질 수 있다.

### 수학적 진술

y와 x가 정상 시계열이라고 하자. x가 y의 그랜저 원인이 아니라는 귀무 가설을 검정하기 위해, 먼저 y의 단변량 자기회귀모형에 포함할 y의 적절한 지연 값을 찾는다.

:y_t = a_0 + a_1y_{t-1} + a_2y_{t-2} + \cdots + a_my_{t-m} + \text{error}_t.

다음으로, 자기회귀에 x의 지연 값을 포함하여 확장한다.

:y_t = a_0 + a_1y_{t-1} + a_2y_{t-2} + \cdots + a_my_{t-m} + b_p x_{t-p} + \cdots + b_qx_{t-q} + \text{error}_t.

이 회귀에서 t-통계량에 따라 개별적으로 유의미한 x의 모든 지연 값은, F-검정 (귀무 가설은 x 값들이 공동으로 설명력을 추가하지 않는다는 것)에 따라 회귀에 설명력을 공동으로 추가하는 경우에만 유지된다. 위 확장 회귀의 표기법에서 p는 x의 지연 값이 유의미한 가장 짧은 지연 길이이고, q는 가장 긴 지연 길이이다.

x가 y의 그랜저 원인이 아니라는 귀무 가설은 x의 어떤 지연 값도 회귀에 유지되지 않는 경우에만 기각되지 않는다.

### 다변량 분석
다변량 그랜저 인과성 분석은 일반적으로 벡터자기회귀모형 (VAR)을 시계열에 맞춰 수행된다. 특히, t=1, \ldots, T에 대해 X(t) \in \mathbb{R}^{d\times 1}가 d차원 다변량 시계열이라고 하자. 그랜저 인과성은 L 시간 지연을 갖는 VAR 모델을 다음과 같이 맞춰 수행된다.
:
X(t) = \sum_{\tau=1}^L A_{\tau}X(t-\tau) + \varepsilon(t),

여기서 \varepsilon(t)는 백색 가우시안 랜덤 벡터이고, A_\tau는 각 \tau에 대한 행렬이다. 시계열 X_i는 \tau = 1, \ldots, L에 대해 A_{\tau}(j, i)의 요소 중 적어도 하나가 0보다 유의미하게 크면 (절대값으로) 다른 시계열 X_j의 그랜저 원인이라고 한다.

### 비모수 검정
위의 선형 방법은 평균에서의 그랜저 인과성을 검정하는 데 적합하다. 그러나 이들은 분산과 같은 고차 모멘트에서의 그랜저 인과성을 감지할 수 없다. 그랜저 인과성에 대한 비모수 검정은 이 문제를 해결하기 위해 고안되었다. 이러한 검정에서의 그랜저 인과성 정의는 일반적이며 선형 자기회귀 모형과 같은 모델링 가정을 포함하지 않는다. 그랜저 인과성에 대한 비모수 검정은 고차 모멘트 및 비선형성을 포함하는 더 나은 모수 모델을 구축하기 위한 진단 도구로 사용될 수 있다.

## 한계
이름에서 알 수 있듯이, 그랜저 인과성은 반드시 진정한 인과성은 아니다. 만약 X와 Y 둘 다 다른 지연을 가진 공통의 세 번째 과정에 의해 움직인다면, 그랜저 인과성의 대립 가설을 기각하지 못할 수도 있다. 그러나 변수 중 하나를 조작해도 다른 변수는 변하지 않을 것이다. 사실, 그랜저 인과성 검정은 변수 쌍을 다루도록 설계되었으며, 실제 관계가 세 개 이상의 변수를 포함할 때 오해의 소지가 있는 결과를 초래할 수 있다. 하지만, 인과성에 대한 확률적 관점을 고려할 때, 특히 라이헨바흐의 확률적 인과성에 대한 "차단(screening off)" 개념을 고려할 때, 그랜저 인과성은 그러한 의미에서 진정한 인과성으로 간주될 수 있다고 주장되어 왔다.
오해의 소지가 있는 검정 결과의 다른 가능한 원인은 다음과 같다: (1) 충분히 자주 또는 너무 자주 샘플링하지 않는 경우, (2) 비선형 인과 관계, (3) 시계열 비정상성 및 비선형성, (4) 합리적 기대의 존재. 더 많은 변수를 포함하는 유사한 검정은 벡터자기회귀모형을 사용하여 적용될 수 있다.

그랜저 인과성 검정의 유효성은 학술 문헌에서 의문을 제기받아왔는데, "어떤 가능한 인과성 정의의 가장 기본적인 요구 사항조차 그랜저 인과성 검정에 의해 충족되지 않는다... 인과성 정의는 과거로부터 미래를 예측하는 것을 언급해야 한다... 우리는 그랜저가 미래로부터 과거를 '예측'하는 것도 허용한다는 것을 발견한다"고 주장하는 논문에서였다.

## 확장
오차항이 정규 분포를 따른다는 가정에서 벗어나는 것에 민감하지 않은 그랜저 인과성 방법이 개발되었다. 이 방법은 많은 금융 변수가 비정규 분포를 따르기 때문에 금융 경제학에서 특히 유용하다. 최근에는 양의 변화와 음의 변화의 인과적 영향을 분리하기 위해 문헌에서 비대칭 인과성 검정이 제안되었다. 그랜저 (비)인과성 검정의 패널 데이터에 대한 확장도 가능하다. GARCH (일반화 자기회귀 조건부 이분산성) 유형의 정수 값 시계열 모델을 기반으로 한 수정된 그랜저 인과성 검정은 여러 분야에서 사용 가능하다.

### 시변 그랜저 인과성
그랜저 인과성을 동적이고 시변적인 특성을 포함하도록 확장하면 시계열 데이터에서 인과 관계가 시간에 따라 어떻게 진화하는지에 대한 더 미묘한 이해를 가능하게 한다. 이 방법론은 전통적인 그랜저 인과성 검정의 한계를 극복하고 다른 기간에 걸쳐 인과 관계의 변화를 이해하기 위해 Forward Expanding (FE), Rolling (RO), Recursive Evolving (RE) 창과 같은 재귀적 기술을 사용한다. 이 방법론의 핵심 측면은 Stata의 'tvgc' 명령어이다. 이더리움의 거래 수수료 및 경제 하위 시스템과 관련된 데이터와 같은 실증적 적용은 시간 경과에 따른 경제 관계의 동적 특성을 강조한다.

## 신경과학에서
신경 기능에 대한 오랜 믿음은 뇌의 다른 영역이 특정 작업에 특화되어 있다는 것이었다. 즉, 특정 영역에 국소적인 구조적 연결성이 그 부분의 기능을 어떻게든 지시한다는 것이다. 여러 해 동안 수행된 연구를 모아, 뇌의 정보 흐름을 설명하기 위한 다른 네트워크 중심적 접근 방식으로 전환이 있어 왔다. 기능 설명은 뇌의 다른 수준과 다른 위치에 존재하는 네트워크 개념을 포함하기 시작했다. 이러한 네트워크의 동작은 시간이 지남에 따라 진화하는 비결정론적 과정으로 설명될 수 있다. 즉, 동일한 입력 자극이 주어졌을 때 네트워크에서 동일한 출력을 얻을 수 없을 수도 있다는 것이다. 이러한 네트워크의 역학은 확률에 의해 지배되므로, 뇌의 다른 영역 간의 이러한 종류의 역학을 포착할 수 있도록 확률 과정으로 취급한다.

과거에는 뉴런과 주변 앙상블의 발화 활동으로부터 정보 흐름의 어떤 척도를 얻는 다양한 방법이 탐구되었지만, 이들은 도출할 수 있는 결론의 종류에 한계가 있으며 정보의 방향 흐름, 그 효과 크기, 그리고 시간이 지남에 따라 어떻게 변할 수 있는지에 대한 통찰력을 거의 제공하지 못한다. 최근 그랜저 인과성은 이러한 문제 중 일부를 해결하기 위해 적용되었다. 간단히 말해, 뉴런의 미래를 가장 잘 예측하는 방법을 전체 앙상블을 사용하거나 특정 대상 뉴런을 제외한 전체 앙상블을 사용하여 조사한다. 대상 뉴런을 제외함으로써 예측이 더 나빠진다면, 현재 뉴런과 "g-인과" 관계를 가진다고 말한다.

### 점 과정 모델에 대한 확장

이전의 그랜저 인과성 방법은 연속 값 데이터에만 작동할 수 있었기 때문에 신경 스파이크 트레인 기록 분석에는 데이터의 확률적 속성을 궁극적으로 변경하고, 그로부터 도출할 수 있는 결론의 유효성을 간접적으로 변경하는 변환이 필요했다. 그러나 2011년에는 신경 스파이크 트레인을 포함한 모든 양상에 직접 작동할 수 있는 새로운 범용 그랜저 인과성 프레임워크가 제안되었다.

신경 스파이크 트레인 데이터는 점 과정으로 모델링할 수 있다. 시간 점 과정은 연속 시간에 발생하는 이진 이벤트의 확률적 시계열이다. 각 시점에서 두 가지 값만 취할 수 있으며, 이벤트가 실제로 발생했는지 여부를 나타낸다. 이러한 이진 값 정보 표현은 신경 세포 집단의 활동에 적합하다. 왜냐하면 단일 뉴런의 활동 전위는 전형적인 파형을 가지기 때문이다. 이런 방식으로, 뉴런에서 출력되는 실제 정보를 전달하는 것은 "스파이크"의 발생과 연속적인 스파이크 사이의 시간이다. 이 접근 방식을 사용하면 신경망의 정보 흐름을 관찰 기간 동안 각 뉴런의 스파이크 시간으로만 추상화할 수 있다. 점 과정은 스파이크 자체의 타이밍, 스파이크 사이의 대기 시간, 카운팅 프로세스를 사용하거나, 각 창에서 하나의 이벤트만 발생할 가능성이 있도록 시간이 충분히 이산화된 경우(즉, 하나의 시간 빈에 하나의 이벤트만 포함될 수 있음) 이진과 매우 유사한 1과 0의 집합으로 표현될 수 있다.

가장 단순한 신경 발화 모델 중 하나는 포아송 과정이다. 그러나 이는 메모리리스라는 한계가 있다. 현재 발화 확률을 계산할 때 어떤 발화 이력도 고려하지 않는다. 그러나 뉴런은 상대적 및 절대적 불응기를 통해 근본적인 (생물물리학적) 이력 의존성을 나타낸다. 이를 해결하기 위해, 뉴런 발화 확률을 자체 이력에 조건부로 나타내기 위해 조건부 강도 함수가 사용된다. 조건부 강도 함수는 즉각적인 발화 확률을 표현하며 점 과정에 대한 완전한 확률 모델을 암묵적으로 정의한다. 이는 단위 시간당 확률을 정의한다. 따라서 이 단위 시간이 하나의 스파이크만 해당 시간 창에서 발생할 수 있도록 충분히 작게 취해지면, 조건부 강도 함수는 특정 뉴런이 특정 시간에 발화할 확률을 완전히 지정한다.

## 컴퓨팅에서
그랜저 인과성을 측정하기 위한 소프트웨어 패키지가 파이썬 및 R로 개발되었다.
* 파이썬 패키지 https://www.statsmodels.org/dev/generated/statsmodels.tsa.stattools.grangercausalitytests.html
* R 패키지 https://rdrr.io/cran/lmtest/man/grangertest.html

## 같이 보기
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## 각주

## 추가 자료
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* 클라인버그, S. 및 흐립삭, G. (2011) "생의학 정보학을 위한 인과 추론 검토"  J. Biomed Informatics

분류:시계열 통계 검정