스텝 응답

[섬네일|300px|2차 시스템의 일반적인 스텝 응답으로, [오버슈트 (신호)|오버슈트에 이어 링잉이 발생하고, 이 모든 것이 정착 시간 내에 가라앉는 것을 보여준다.]]
주어진 초기 상태에 있는 시스템의 **스텝 응답**(step response)은 제어 입력이 단위 계단 함수일 때 출력의 시간 진화로 구성된다. 전자공학 및 제어이론에서 스텝 응답은 입력이 매우 짧은 시간 내에 0에서 1로 변할 때 일반적인 시스템 출력의 시간 동작이다. 이 개념은 진화 매개변수를 사용하여 동역학계의 추상적인 수학적 개념으로 확장될 수 있다.

실용적인 관점에서, 시스템이 갑작스러운 입력에 어떻게 반응하는지 아는 것은 중요하며, 이는 장기적인 정상 상태로부터 크고 잠재적으로 빠른 편차가 구성 요소 자체와 이 구성 요소에 의존하는 전체 시스템의 다른 부분에 극단적인 영향을 미칠 수 있기 때문이다. 또한, 구성 요소의 출력이 최종 상태 근처로 안정화될 때까지 전체 시스템은 작동할 수 없어 전체 시스템 응답을 지연시킨다. 공식적으로, 동역학계의 스텝 응답을 아는 것은 그러한 시스템의 안정성과 하나의 정상 상태에서 시작하여 다른 정상 상태에 도달하는 능력에 대한 정보를 제공한다.

## 형식적인 수학적 설명
이 섹션은 동역학계 \mathfrak{S}의 추상적인 수학적 개념을 사용하여 스텝 응답에 대한 형식적인 수학적 정의를 제공한다. 다음 설명에 필요한 모든 표기법과 가정은 여기에 나열되어 있다.
* t\in T는 시스템의 진화 매개변수이며, 간단히 "시간"이라고 부른다.
*\boldsymbol{x}|_t\in M는 시간 t에서의 시스템 상태이며, 간단히 "출력"이라고 부른다.
*\Phi:T \times M \to M는 동역학계 진화 함수이다.
*\Phi(0,\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}_0 \in M는 동역학계 초기 상태이다.
* H(t)는 단위 계단 함수이다.

### 비선형 동역학계
일반적인 동역학계의 경우, 스텝 응답은 다음과 같이 정의된다.

: \boldsymbol{x}|_t = \Phi_{\{H(t)\}} \left(t,{\boldsymbol{x}_0} \right). 

이는 제어 입력(또는 소스 항, 또는 강제 입력)이 헤비사이드 함수일 때의 진화 함수이다. 이 표기법은 H(t)를 아래첨자로 표시하여 이 개념을 강조한다.

### 선형 동역학계
선형 시불변 (LTI) 블랙박스의 경우, 표기 편의를 위해 \mathfrak{S} \equiv S라고 하면, 스텝 응답은 단위 계단 함수 제어와 시스템 자체의 임펄스 응답 h(t)의 합성곱을 통해 얻을 수 있다.

:a(t) = (h*H)(t) = \int_{-\infty }^{+\infty} h(\tau) H(t - \tau)\,d\tau = \int_{-\infty}^t h(\tau)\,d\tau.

이는 LTI 시스템의 경우 후자를 단순히 적분하는 것과 동일하다. 반대로, LTI 시스템의 경우 스텝 응답의 미분은 임펄스 응답을 생성한다.

:h(t) = \frac{d}{dt}\,a(t).

그러나 이러한 간단한 관계는 비선형 또는 시변 시스템에는 해당되지 않는다.

## 시간 영역 대 주파수 영역
주파수 응답 대신, 시스템 성능은 응답의 시간 의존성을 설명하는 매개변수로 지정될 수 있다. 스텝 응답은 시간 동작과 관련된 다음 양으로 설명될 수 있다.

* 오버슈트
* 상승 시간
* 정착 시간
* 링잉

선형 동적 시스템의 경우, 이러한 특성으로부터 시스템에 대해 많은 것을 추론할 수 있다. 아래에서 간단한 2극 증폭기의 스텝 응답이 제시되고, 이러한 용어 중 일부가 설명된다.

LTI 시스템에서 오버슈트나 링잉을 생성하지 않는 가장 가파른 슬루율을 갖는 함수는 가우스 함수이다. 이는 푸리에 변환이 동일한 형태를 갖는 유일한 함수이기 때문이다.

## 피드백 증폭기
섬네일|그림 1: 이상적인 음성 피드백 모델; 개루프 이득은 A<sub>OL</sub>이고 피드백 계수는 β이다.

이 섹션에서는 그림 1에 표시된 간단한 음성 피드백 증폭기의 스텝 응답을 설명한다. 피드백 증폭기는 이득 AOL을 갖는 주 **개루프** 증폭기와 **피드백 계수** β에 의해 제어되는 피드백 루프로 구성된다. 이 피드백 증폭기는 주 증폭기의 응답을 제어하는 시간 상수와 사용된 피드백 양에 따라 스텝 응답이 어떻게 달라지는지 결정하기 위해 분석된다.

음성 피드백 증폭기는 다음 이득을 갖는다 (음성 피드백 증폭기 참조).

:A_{FB} = \frac {A_{OL}} {1+ \beta A_{OL}}, 

여기서 AOL = **개루프** 이득, AFB = **폐루프** 이득 (음성 피드백이 있을 때의 이득) 및 β = **피드백 계수**이다.

### 하나의 지배적인 극점
많은 경우, 순방향 증폭기는 하나의 지배적인 극점(시정수 τ)으로 충분히 잘 모델링될 수 있으며, 즉 다음과 같은 개루프 이득을 갖는다.

:A_{OL} = \frac {A_0} {1+j \omega \tau}, 

여기서 영주파수 이득 A0 및 각주파수 ω = 2πf이다. 이 순방향 증폭기는 단위 스텝 응답

:S_{OL}(t) = A_0(1 -   e^{-t / \tau}),

을 가지며, 0에서 새로운 평형 값 A0로의 지수적 접근이다.

단일 극점 증폭기의 전달 함수는 폐루프 이득으로 이어진다.

:A_{FB} = \frac {A_0} {1+ \beta A_0} \; \cdot \; \  \frac {1} {1+j \omega \frac { \tau } {1 + \beta A_0} }.  

이 폐루프 이득은 개루프 이득과 동일한 형태인 단일 극점 필터이다. 그 스텝 응답은 동일한 형태인 새로운 평형 값으로의 지수적 감쇠이다. 그러나 폐루프 스텝 함수의 시간 상수는 τ / (1 + β A0)이므로, 순방향 증폭기의 응답보다 1 + β A0배 빠르다.

:S_{FB}(t) =  \frac {A_0} {1+ \beta A_0} \left(1 -   e^{-t (1 + \beta A_0)/ \tau}\right),

피드백 계수 β가 증가함에 따라 스텝 응답은 빨라지지만, 원래의 단일 지배 극점 가정이 더 이상 정확하지 않을 때까지이다. 두 번째 극점이 있으면 폐루프 시정수가 두 번째 극점의 시정수에 접근할 때 두 극점 분석이 필요하다.

### 두 극점 증폭기
개루프 이득이 두 극점(두 시간 상수, τ1, τ2)을 갖는 경우, 스텝 응답은 좀 더 복잡하다. 개루프 이득은 다음으로 주어진다.

:A_{OL} = \frac {A_0} {(1+j \omega \tau_1) (1 + j \omega \tau_2)}, 

여기서 영주파수 이득 A0 및 각주파수 ω = 2πf이다.

#### 분석
두 극점 증폭기의 전달 함수는 폐루프 이득으로 이어진다.

:A_{FB} = \frac {A_0} {1+ \beta A_0} \; \cdot \; \  \frac {1} {1+j \omega \frac { \tau_1 + \tau_2 } {1 + \beta A_0} + (j \omega )^2 \frac { \tau_1 \tau_2} {1 + \beta A_0} }.  

thumbnail|250px|그림 2: 2극 피드백 증폭기의 켤레 극점 위치; Re(s)는 실수축이고 Im(s)는 허수축이다.

증폭기의 시간 의존성은 변수를 s = jω로 전환하면 쉽게 알 수 있으며, 이 때 이득은 다음과 같다.

: A_{FB} = \frac {A_0} { \tau_1 \tau_2 } \; \cdot \; \frac {1} {s^2 +s \left( \frac {1} {\tau_1} + \frac {1} {\tau_2} \right) + \frac {1+ \beta A_0} {\tau_1 \tau_2}} 

이 표현식의 극점(즉, 분모의 영점)은 다음과 같다.

:2s = - \left( \frac {1} {\tau_1} + \frac {1} {\tau_2} \right)
 \pm \sqrt { \left( \frac {1} {\tau_1} - \frac {1} {\tau_2} \right) ^2 -\frac {4 \beta A_0 } {\tau_1 \tau_2 } },

이는 βA0의 값이 충분히 클 때 제곱근이 음수의 제곱근이 되어 허수가 되고, 극점 위치가 복소 켤레 수인 s+ 또는 s−가 됨을 보여준다. 그림 2 참조:

: s_{\pm} = -\rho \pm j \mu, 

여기서

: \rho = \frac {1}{2} \left( \frac {1} {\tau_1} + \frac {1} {\tau_2} \right ), 

그리고
: \mu = \frac {1} {2} \sqrt { \frac {4 \beta A_0} { \tau_1 \tau_2} - \left( \frac {1} {\tau_1} - \frac {1} {\tau_2} \right)^2 }. 
극좌표를 사용하여 근까지의 반경 크기를 |s|로 나타내면 (그림 2):

: | s | = |s_{ \pm } | =  \sqrt{ \rho^2 +\mu^2}, 

그리고 각 좌표 φ는 다음과 같다.

:  \cos \phi = \frac { \rho} { | s | } , \sin \phi = \frac { \mu} { | s | }.
라플라스 변환 표는 이러한 시스템의 시간 응답이 다음 두 함수의 조합으로 구성됨을 보여준다.

: e^{- \rho t} \sin ( \mu t) \quad\text{and} \quad  e^{- \rho t} \cos ( \mu t), 

즉, 해는 시간적으로 감쇠하는 진동이다. 특히, 시스템의 단위 스텝 응답은 다음과 같다.
:S(t) = \left(\frac {A_0} {1+ \beta A_0}\right)\left(1 -   e^{- \rho t} \  \frac {  \sin \left( \mu t + \phi \right)}{ \sin \phi}\right)\ , 

이는 다음과 같이 단순화된다.

:S(t) = 1 -   e^{- \rho t} \  \frac {  \sin \left( \mu t + \phi \right)}{ \sin \phi}

A0이 무한대로 향하고 피드백 계수 β가 1일 때.

응답의 감쇠는 ρ에 의해 결정되며, 이는 개루프 증폭기의 시간 상수에 의해 결정된다. 대조적으로, 진동 주파수는 μ에 의해 결정되며, 이는 βA0을 통한 피드백 매개변수에 의해 결정된다. ρ는 시간 상수의 역수의 합이므로, ρ가 두 개 중 짧은 시간에 의해 지배된다는 점은 흥미롭다.

#### 결과
thumbnail|350px|그림 3: 선형 2극 피드백 증폭기의 스텝 응답; 시간은 1/ρ 단위, 즉 A<sub>OL</sub>의 시간 상수 단위로 표시된다. μ(β에 의해 제어됨)의 세 가지 값에 대해 곡선이 그려져 있다.
그림 3은 매개변수 μ의 세 가지 값에 대한 단위 스텝 입력에 대한 시간 응답을 보여준다. 진동 주파수는 μ에 따라 증가하지만, 진동은 지수 함수 [ 1 − exp(−ρt) ]와 [ 1 + exp(−ρt) ]에 의해 설정된 두 점근선 사이에 포함된다. 이 점근선은 ρ에 의해 결정되며, 따라서 개루프 증폭기의 시간 상수에 의해 결정되며 피드백과는 무관하다.

최종 값 주위의 진동 현상을 **[[링잉]]**이라고 한다. **[[오버슈트 (신호)|오버슈트]]**는 최종 값 위로 최대 스윙이며, μ에 따라 분명히 증가한다. 마찬가지로 **언더슈트**는 최종 값 아래로 최소 스윙이며, 역시 μ에 따라 증가한다. **[[정착 시간]]**은 최종 값으로부터의 편차가 지정된 수준, 예를 들어 최종 값의 10% 미만으로 가라앉는 데 걸리는 시간이다.

정착 시간의 μ 의존성은 명확하지 않으며, 2극 시스템의 근사는 정착 시간의 피드백 의존성에 대한 실제 결론을 내릴 만큼 정확하지 않을 수 있다. 그러나 점근선 [ 1 − exp(−ρt) ]와 [ 1 + exp (−ρt) ]는 정착 시간에 분명히 영향을 미치며, 이들은 개루프 증폭기의 시간 상수에 의해, 특히 두 시간 상수 중 짧은 시간에 의해 제어된다. 이는 정착 시간 사양이 개루프 증폭기의 적절한 설계로 충족되어야 함을 시사한다.

이 분석에서 얻은 두 가지 주요 결론은 다음과 같다.
#피드백은 주어진 개루프 증폭기와 주어진 개루프 시간 상수 τ1 및 τ2에 대해 최종 값 주위의 진동 진폭을 제어한다.
#개루프 증폭기는 정착 시간을 결정한다. 그림 3의 시간 척도를 설정하며, 개루프 증폭기가 빠를수록 이 시간 척도도 빨라진다.

여담으로, 이 선형 2극 모델에서 실제 편차가 발생하는 두 가지 주요 합병증이 있다는 점에 주목할 수 있다. 첫째, 실제 증폭기는 2개 이상의 극점과 영점을 가지며, 둘째, 실제 증폭기는 비선형이므로 스텝 응답이 신호 진폭에 따라 변한다.
thumbnail|300px|그림 4: α의 세 가지 값에 대한 스텝 응답. 상단: α = 4; 중앙: α = 2; 하단: α = 0.5. α가 감소함에 따라 극점 분리가 감소하고 오버슈트가 증가한다.

#### 오버슈트 제어
적절한 매개변수 선택으로 오버슈트를 제어하는 방법에 대해 다음으로 논의한다.

위의 방정식을 사용하여 스텝 응답을 미분하고 그 최대값을 찾음으로써 오버슈트 양을 찾을 수 있다. 최대 스텝 응답 Smax의 결과는 다음과 같다.

:S_\max= 1 + \exp \left( - \pi \frac { \rho }{ \mu } \right). 

스텝 응답의 최종 값은 1이므로, 지수 항이 실제 오버슈트 그 자체이다. μ = 0일 때 오버슈트가 0인 것은 분명하며, 이 조건은 다음과 같다.

: \frac {4 \beta A_0} { \tau_1 \tau_2} = \left( \frac {1} {\tau_1} - \frac {1} {\tau_2} \right)^2. 

이 2차 방정식은 x = (τ1 / τ2)1/2로 설정하여 시간 상수 비에 대해 풀면 다음과 같은 결과가 나온다.

:x = \sqrt{ \beta A_0 } + \sqrt { \beta A_0 +1 }. 

β A0 ≫ 1이므로 제곱근 안의 1은 생략할 수 있으며 결과는 다음과 같다.

: \frac { \tau_1} { \tau_2} = 4 \beta A_0. 

즉, 첫 번째 시간 상수는 두 번째 시간 상수보다 훨씬 커야 한다. 오버슈트를 허용하지 않는 설계보다 더 모험적인 설계를 위해 위 관계에 인자 α를 도입할 수 있다.

: \frac { \tau_1} { \tau_2} = \alpha \beta A_0, 

그리고 α를 허용 가능한 오버슈트 양으로 설정한다.

그림 4는 이 절차를 보여준다. 상단 패널(α = 4)과 하단 패널(α&nbsp;=&nbsp;0.5)을 비교하면 α 값이 낮을수록 응답 속도가 증가하지만 오버슈트도 증가함을 알 수 있다. α&nbsp;=&nbsp;2(중앙 패널)는 최대 평탄 설계로, 보드 이득 대 주파수 플롯에서 피킹이 나타나지 않는다. 이 설계에는 다중 극점(또는 영점), 비선형성(신호 진폭 의존성), 제조 변동과 같은 비이상적인 현실에 대처하기 위한 경험칙 안전 여유가 내장되어 있으며, 이러한 요인 중 어느 것도 과도한 오버슈트를 유발할 수 있다. 극점 분리 조정(즉, α 설정)은 주파수 보상의 주제이며, 그러한 한 가지 방법은 극점 분할이다.

#### 정착 시간 제어
그림 3의 스텝 응답에서 링잉의 진폭은 감쇠 인자 exp(−ρt)에 의해 제어된다. 즉, 최종 값으로부터 허용 가능한 스텝 응답 편차 Δ를 지정하면 다음과 같다.

: S(t)  \le 1 + \Delta, 

이 조건은 β AOL 값에 관계없이 시간이 정착 시간 tS보다 길면 만족된다.

: \Delta = e^{- \rho t_S }\text{ or }t_S = \frac { \ln \frac{1}{\Delta} } { \rho } = \tau_2 \frac {2 \ln \frac{1} { \Delta}  } { 1 + \frac { \tau_2 } { \tau_1} } \approx 2 \tau_2 \ln \frac{1} { \Delta}, 

여기서 τ1&nbsp;≫&nbsp;τ2는 오버슈트 제어 조건 때문에 적용 가능하며, 이는 τ1&nbsp;=&nbsp;αβAOL τ2를 만든다. 종종 정착 시간 조건은 정착 기간이 단위 이득 대역폭에 반비례한다고 언급되는데, 이는 1/(2π&nbsp;τ2)가 일반적인 지배 극점 보상 증폭기의 경우 이 대역폭에 가깝기 때문이다. 그러나 이 결과는 이 경험칙보다 더 정확하다. 이 공식의 예로, 인 경우 정착 시간 조건은 tS&nbsp;=&nbsp;8&nbsp;τ2이다.

일반적으로, 오버슈트 제어는 시간 상수 비를 설정하고, 정착 시간 tS는 τ2를 설정한다.

#### 스텝 응답을 이용한 시스템 식별: 두 개의 실제 극점을 가진 시스템
섬네일|340x340px|<math>x(t)=1</math>인 시스템의 스텝 응답. 중요한 점 <math>k</math>, <math>t_{25}</math> 및 <math>t_{75}</math>를 측정한다.
이 방법은 스텝 응답의 중요한 지점을 사용한다. 측정된 신호에 접선을 추측할 필요가 없다. 방정식은 수치 시뮬레이션을 사용하여 파생되었으며, 일부 중요한 비율과 비선형 방정식의 피팅 매개변수를 결정한다. 참조.

단계는 다음과 같다.

* 입력 스텝 신호 x(t)를 사용하여 시스템의 스텝 응답 y(t)를 측정한다.
* 스텝 응답이 정상 상태 출력 값의 25%와 75%에 도달하는 시간 범위 t_{25}와 t_{75}를 결정한다.
* k=\lim_{t\to\infty} \dfrac{y(t)}{x(t)}를 사용하여 시스템 정상 상태 이득 k=A_0를 결정한다.
* 다음을 계산한다. r=\dfrac{t_{25}}{t_{75}} P=-18.56075\,r+\dfrac{0.57311}{r-0.20747}+4.16423 X=14.2797\,r^3-9.3891\,r^2+0.25437\,r+1.32148
* 두 가지 시정수 \tau_2=T_2=\dfrac{t_{75}-t_{25}}{X\,(1+1/P)} \tau_1=T_1=\dfrac{T_2}{P}를 결정한다.
* 라플라스 영역에서 식별된 시스템의 전달 함수를 계산한다. G(s) = \dfrac{k}{(1+s\,T_1)\cdot(1+s\,T_2)}

#### 위상 여유
thumbnail|280px|그림 5: 위상 여유를 찾기 위한 보드 이득 플롯; 스케일은 로그 스케일이므로 레이블된 분리는 곱셈 인자이다. 예를 들어,
다음으로, 극점 비율 τ1/τ2의 선택은 피드백 증폭기의 위상 여유와 관련이 있다. 보드 선도 문서에 설명된 절차를 따른다. 그림 5는 두 극점 증폭기의 두 번째 극점 위치까지의 주파수 범위에 대한 보드 이득 플롯이다. 그림 5의 가정은 주파수 f0&nbsp;dB가 가장 낮은 극점 f1&nbsp;=&nbsp;1/(2πτ1)과 두 번째 극점 f2&nbsp;=&nbsp;1/(2πτ2) 사이에 있다는 것이다. 그림 5에 표시된 바와 같이 이 조건은 α&nbsp;≥&nbsp;1 값에 대해 만족된다.

그림 5를 사용하여 루프 이득 βA0이 다음으로 정의된 단위 이득 또는 0&nbsp;dB 조건을 만족하는 주파수(f0&nbsp;dB로 표시)를 찾는다.

: | \beta A_\text{OL} ( f_\text{0 db} ) | = 1. 

이득 플롯의 하향 경사 부분의 기울기는 (20&nbsp;dB/decade)이다. 즉, 주파수가 10배 증가할 때마다 이득은 동일한 비율로 감소한다.

: f_\text{0 dB} = \beta A_0 f_1. 

위상 여유는 f0&nbsp;dB에서의 위상이 −180°에서 벗어나는 정도이다. 따라서 여유는 다음과 같다.

: \phi_m = 180 ^\circ - \arctan (f_\text{0 dB} /f_1) - \arctan ( f_\text{0 dB} /f_2). 

f0&nbsp;dB / f1 =&nbsp;βA0&nbsp;≫&nbsp;1이므로, f1 항은 90°이다. 이는 위상 여유를 다음과 같이 만든다.

:\begin{align}
\phi_m &= 90 ^\circ - \arctan ( f_\text{0 dB} /f_2) \\
&= 90 ^\circ -  \arctan \frac {\beta A_0 f_1} {\alpha \beta A_0 f_1 }  \\
&= 90 ^\circ - \arctan \frac {1} {\alpha } = \arctan \alpha \,.
\end{align}

특히 α = 1인 경우 φm = 45°이고, α = 2인 경우 φm = 63.4°이다. Sansen은 α = 3, φm = 71.6°를 "시작하기에 좋은 안전 위치"로 권장한다.

τ2를 단축하여 α가 증가하면 정착 시간 tS도 단축된다. τ1을 늘려서 α가 증가하면 정착 시간 tS는 거의 변하지 않는다. 더 일반적으로, 극점 분할 기법이 사용되는 경우와 같이 τ1과 τ2 모두 변경된다.

여담으로, 두 개 이상의 극점을 가진 증폭기의 경우에도 f2를 "등가 2극" 위치라고 하는 피팅 매개변수로 만들어 그림 5의 다이어그램이 보드 플롯에 여전히 맞도록 할 수 있다.

## 같이 보기
* 임펄스 응답
* 오버슈트 (신호)
* 극점 분할
* 상승 시간
* 정착 시간
* 시간 상수

## 각주

## 추가 자료

*로버트 I. 뎀로우, "연산 증폭기의 정착 시간" http://www.analog.com/static/imported-files/application_notes/466359863287538299597392756AN359.pdf
*체즈미 카야바시, "고속에서 고정밀도를 달성하는 정착 시간 측정 기술" http://www.wpi.edu/Pubs/ETD/Available/etd-050505-140358/unrestricted/ckayabasi.pdf
*블라디미르 이고레비치 아르놀드, "상미분 방정식", MIT Press 및 Springer Verlag의 다양한 판, 1장 "기본 개념"

## 외부 링크
* 쿠오 파워포인트 슬라이드; 특히 7장

분류:신호 처리
분류:동역학계
분류:회로 설계
분류:증폭 회로
분류:아날로그 회로