에너지 연산자

양자역학에서, **에너지 연산자**()는 시간 변화 대칭의 결과로서 시스템의 파동 함수에 작용하여 에너지를 정의하는 연산자이다.

## 정의
에너지 연산자는 다음과 같이 주어진다:
\hat{E} = i\hbar\frac{\partial}{\partial t} 

이 연산자는 시스템의 다양한 배위에 대한 확률 진폭인 파동 함수 \Psi\left(\mathbf{r}, t\right) 에 작용한다.

## 응용
에너지 연산자는 시스템의 전체 에너지에 대응한다. 슈뢰딩거 방정식은 양자 시스템의 느리게 변하는(비상대론적) 파동 함수의 공간 및 시간 의존성을 설명한다. 구속된 시스템에 대한 슈뢰딩거 방정식의 해는 이산적이며(각각 하나의 에너지 준위로 특징지어지는 허용된 상태들의 집합), 이는 양자 개념으로 이어진다.

### 슈뢰딩거 방정식
슈뢰딩거 방정식에 에너지 연산자를 사용하면 다음과 같다:
i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},\,t) = \hat H \Psi(\mathbf{r},t)
여기서 다음을 얻는다:
 \hat{E}\Psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H} \Psi(\mathbf{r}, t) 

여기서 i는 허수 단위, ħ는 환산 플랑크 상수이며, \hat H는 다음과 같이 표현되는 해밀토니언 연산자이다:

 \hat{H} =- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(x). 

이 방정식으로부터  \langle E \rangle = \langle\hat{H}\rangle 라는 등식을 세울 수 있으며, 여기서  \langle E \rangle 는 에너지의 기댓값이다.

#### 성질
에너지의 기댓값은 항상 시스템의 최소 퍼텐셜보다 크거나 같음을 보일 수 있다.

운동 에너지의 기댓값을 계산해 보면 다음과 같다:

\begin{align}
KE &= -\frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^{+\infty} \psi^* \left(\frac{d^2\psi}{dx^2}\right) \, dx
\\ &=-\frac{\hbar^2}{2m} \left( {\left[ \psi'(x) \psi^*(x) \right]_{-\infty}^{+\infty}} - \int_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{d\psi}{dx}  \right)\left(\frac{d\psi}{dx}  \right)^* \, dx \right)
\\ &= \frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^{+\infty} \left|\frac{d\psi}{dx}  \right|^2 \, dx  \geq 0
\end{align}

따라서 운동 에너지의 기댓값은 항상 비음수이다. 이 결과는 선형성 조건을 이용하여 전체 에너지의 기댓값을 계산하는 데 사용될 수 있으며, 규격화된 파동 함수에 대해 다음과 같이 주어진다:

E = KE + \langle V(x) \rangle = KE + \int_{-\infty}^{+\infty} V(x) |\psi(x)|^2 \, dx \geq  V_{\text{min}}(x) \int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(x)|^2 \, dx  \geq V_{\text{min}}(x)     

이로써 증명이 완료된다. 마찬가지로 이 조건은 더 높은 차원으로 일반화될 수 있다.

#### 상수 에너지
정의에 따라, 일정한 에너지를 가진 입자의 파동 함수에 대한 부분적인 해를 구성할 수 있다. 파동 함수가 변수 분리 가능하다고 가정하면, 시간 의존성은 e^{-iEt/\hbar}로 나타낼 수 있으며 여기서 E는 상수 에너지이다. 전체 식은 다음과 같다:
\Psi(\mathbf{r}, t) = \psi(\mathbf{r}) e^{-iEt/\hbar}
여기서 \psi(\mathbf{r})은 위치에 의존하는 파동 함수의 부분 해이다. 에너지 연산자를 적용하면 다음과 같다:
\hat{E} \Psi(\mathbf{r}, t) = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{r}) e^{-iEt/\hbar} = i \hbar \left(\frac{-iE}{\hbar}\right) \psi(\mathbf{r}) e^{-iEt/\hbar} = E \psi(\mathbf{r}) e^{-iEt/\hbar} = E \Psi(\mathbf{r}, t). 
이것은 **[[정상 상태]]**로도 알려져 있으며, 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 분석하는 데 사용될 수 있다.
 E \Psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r}, t) 
여기서 E는 에너지의 고윳값이다.

### 클라인-고든 방정식
상대론적 질량-에너지 관계식:
E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 
여기서 E = 총 에너지, p = 입자의 총 3차원 운동량, m = 불변 질량, c = 빛의 속력이다. 이 식으로부터 유사하게 클라인-고든 방정식을 도출할 수 있다.
\begin{align}
& \hat{E}^2 = c^2\hat{p}^2 + (mc^2)^2 \\
& \hat{E}^2\Psi = c^2\hat{p}^2\Psi + (mc^2)^2\Psi \\
\end{align}
여기서 \hat{p}는 운동량 연산자이다. 즉 다음과 같다:
\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} =  c^2\nabla^2\Psi - \left(\frac{mc^2}{\hbar}\right)^2\Psi 

## 유도
에너지 연산자는 자유 입자 파동 함수(슈뢰딩거 방정식의 평면파 해)를 사용하여 쉽게 유도할 수 있다. 1차원에서 시작하면 파동 함수는 다음과 같다.
 \Psi = e^{i(kx-\omega t)} 

의 시간 미분은 다음과 같다.
 \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -i \omega e^{i(kx-\omega t)} = - i \omega \Psi .

드브로이 관계식에 의해
 E=\hbar \omega ,
다음과 같이 나타낼 수 있다.
 \frac{\partial \Psi}{\partial t} = - i \frac{E}{\hbar} \Psi .

방정식을 재정리하면 다음과 같다.
 E\Psi = i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} ,
여기서 에너지 인자 E는 스칼라 값으로, 입자가 가진 에너지이자 측정되는 값이다. 편미분은 선형 연산자이므로 이 식은 에너지에 대한 연산자가 된다.
 \hat{E} = i\hbar\frac{\partial }{\partial t} .

따라서 스칼라 E는 연산자의 고윳값이고,  \hat{E} 는 연산자라는 결론을 내릴 수 있다. 이 결과들을 요약하면 다음과 같다.
 \hat{E}\Psi = i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\Psi = E\Psi 

파수 벡터 \mathbf{k} 방향으로 3차원 공간을 여행하는 평면파에 대해,
 \Psi = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)},
시간과 시간 미분을 포함하는 항에 변화가 없으므로 유도 과정은 동일하다. 이 연산자는 선형 연산자이므로 평면파의 어떠한 선형 결합에 대해서도 유효하며, 따라서 파동 함수나 연산자의 성질에 영향을 주지 않고 모든 파동 함수에 작용할 수 있다. 그러므로 이는 모든 파동 함수에 대해 참이어야 한다. 이 결과는 위의 클라인-고든 방정식과 같은 상대론적 양자역학에서도 성립함이 밝혀졌다.

## 같이 보기
* 시간 변화 대칭
* 플랑크 상수
* 슈뢰딩거 방정식
* 운동량 연산자
* 해밀토니언 (양자역학)
* 에너지 보존 법칙
* 복소수
* 정상 상태

## 각주

분류:편미분 방정식
분류:에너지