곱 적분

**곱 적분**()은 미적분학의 일반적인 합 기반 적분에 대한 곱 기반 대응물이다. 곱 적분은 1887년 수학자 비토 볼테라가 선형 미분 방정식 시스템을 해결하기 위해 개발했다.

## 비공식적 개요
함수 f:[a,b]\to\mathbb{R}의 고전적인 리만 적분은 다음 관계로 정의될 수 있다.

:\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\Delta x\to 0}\sum f(x_i)\,\Delta x,

여기서 극한은 구간 [a,b]의 모든 구간의 분할에 대해 취해지며, 이들의 노름은 0에 접근한다. 곱 적분은 비슷하지만 합의 극한 대신 곱의 극한을 취한다. 이는 "이산수학적" 곱의 "연속" 버전으로 생각될 수 있다. 다음과 같이 정의된다.

:\prod_a^b \big(1 + f(x)\,dx\big) = \lim_{\Delta x \to 0} \prod \big(1 + f(x_i)\,\Delta x\big).

f:[a,b]\to\R의 경우, 곱 적분은 르베그 적분의 경우, 즉 고전 미적분학으로 정확히 환원된다. 따라서 흥미로운 경우는 A가 유한 차원 행렬장과 같은 가환대수학이거나 A가 비가환대수인 함수 f:[a,b]\to A에 대해 발생한다. 이 두 경우, 가환 경우와 비가환 경우에 대한 이론은 공통점이 거의 없다. 비가환 경우는 훨씬 더 복잡하다. 적분을 잘 정의하기 위해서는 적절한 경로 정렬이 필요하다.

### 가환 경우
가환 경우의 경우, 문헌에는 Type-I, Type-II 또는 기하학적, Type-III 또는 이중기하학적이라고 불리는 세 가지 명확한 정의가 일반적이다. 이러한 적분은 역학(카플란-마이어 생존분석) 및 확률적 개체군 역학에서 사용되었다. 기하학적 적분은 기하학적 미분과 함께 이미지 분석 및 성장/감쇠 현상(예: 경제성장, 박테리아 성장, 방사성 붕괴) 연구에 유용하다. 이중기하학적 적분은 이중기하학적 미분과 함께 프랙탈의 일부 응용 프로그램, 및 경제학의 함수의 탄력성 이론에서 유용하다.

### 비가환 경우
비가환 경우는 일반적으로 양자역학과 양자장론에서 발생한다. 피적분 함수는 일반적으로 일부 비가환대수에 속하는 연산자이다. 이 경우, 적분할 때 경로 정렬을 설정하는 데 주의해야 한다. 일반적인 결과는 정렬된 지수이다. 마그누스 전개는 볼테라 적분을 계산하는 한 가지 기술을 제공한다. 예로는 다이슨 전개, 연산자 곱 전개 및 게이지 장에 대한 곱 적분인 윌슨 선에서 발생하는 적분이 있다. 윌슨 고리는 윌슨 선의 트레이스이다. 곱 적분은 제어이론에서도 발생하며, 선형계에서 마스터 방정식 유형으로 작성된 상태 전이를 설명하는 페아노-베이커 급수로 나타난다.

## 일반(비가환) 경우
볼테라 곱 적분은 행렬값 함수 또는 바나흐 대수의 값을 갖는 함수에 적용될 때 가장 유용하다. 비가환 필드에 속하는 스칼라, 행렬 및 연산자, 즉 교환하지 않는 수학적 개체에 적용될 때, 볼테라 적분은 두 가지 정의로 나뉜다.

**왼쪽 곱 적분**은 다음과 같다.
:P(A,D)=\prod_{i=m}^{1}(\mathbb{1}+A(\xi_i)\Delta t_i) = (\mathbb{1}+A(\xi_m)\Delta t_m) \cdots (\mathbb{1}+A(\xi_1)\Delta t_1)
이러한 왼쪽 곱(즉, 왼쪽에서 적용되는 일반 곱) 표기법으로
:\prod_a^b (\mathbb{1}+A(t)dt)=\lim_{\max \Delta t_i \to 0} P(A,D)

**오른쪽 곱 적분**
:P(A,D)^*=\prod_{i=1}^{m}(\mathbb{1}+A(\xi_i)\Delta t_i) = (\mathbb{1}+A(\xi_1)\Delta t_1) \cdots (\mathbb{1}+A(\xi_m)\Delta t_m)
이러한 오른쪽 곱(즉, 오른쪽에서 적용되는) 표기법으로
:(\mathbb{1}+A(t)dt) \prod_a^b =\lim_{\max \Delta t_i \to 0} P(A,D)^*

여기서 \mathbb{1}은 항등 행렬이고 D는 리만 의미에서 구간 [a,b]의 분할, 즉 극한은 분할에서 최대 구간에 대한 것이다. 이 경우 시간 순서가 정의에서 어떻게 명확해지는지 주목하라.

마그누스 전개는 곱 적분을 계산하는 기술을 제공한다. 이는 베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 연속 시간 버전을 정의한다.

곱 적분은 1-매개변수 연속군을 정의하는 일련의 속성을 만족한다. 이들은 응용 프로그램을 보여주는 두 기사, 즉 다이슨 급수와 페아노-베이커 급수에 명시되어 있다.

## 가환 경우
가환 경우는 훨씬 간단하며, 결과적으로 다양한 표기법과 정의가 나타났다. 문헌에는 세 가지 고유한 스타일이 인기가 있다. 이 하위 섹션은 비토 볼테라 등이 선호하는 적분 \textstyle \int (일반적으로 곱셈 기호 또는 문자 P로 수정됨) 대신 곱 적분을 위해 곱셈 \textstyle \prod 표기법을 채택한다. 분야에 질서를 부여하기 위해 유형의 임의 분류가 채택되었다.

적분될 함수가 실수값을 가질 때, 이론은 정확히 르베그 적분 이론으로 환원된다.

### Type I: 볼테라 적분
Type I 곱 적분은 비토 볼테라의 원래 정의에 해당한다. 스칼라 함수 f:[a,b] \to \mathbb{R}에 대해 다음 관계가 존재한다.

:\prod_a^b \big(1 + f(x)\,dx\big) = \exp\left(\int_a^b f(x) \,dx\right),

### Type II: 기하학적 적분
:\prod_a^b f(x)^{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \prod{f(x_i)^{\Delta x}} = \exp\left(\int_a^b \ln f(x) \,dx\right),
이를 **기하학적 적분**이라고 한다. 로그는 f가 실수 또는 복소수 값을 취하거나 f가 교환하는 트레이스-클래스 연산자의 가환 필드 값을 취할 때 잘 정의된다. 이 곱 적분의 정의는 이산수학적 곱 범함수 \textstyle \prod_{i=a}^b (여기서 i, a, b \in \mathbb{Z})의 연속 아날로그이며, (정규/표준/가법) 적분 \textstyle \int_a^b dx (여기서 x \in [a,b])의 곱셈 아날로그이다.

:

이는 확률론에서 매우 유용한데, 여기서 로그 가능도(즉, 독립 확률 변수들의 곱 적분의 로그)는 이들(무한히 많은) 확률 변수들의 로그의 적분과 같다.

:\ln \prod_a^b p(x)^{dx} = \int_a^b \ln p(x) \,dx.

### Type III: 이중기하학적 적분
:\prod_a^b f(x)^{d(\ln x)} = \exp\left(\int_{\ln(a)}^{\ln(b)} \ln f(e^x) \,dx\right),
Type III 곱 적분은 **이중기하학적 적분**이라고 불린다.

### 기본 결과
가환 경우의 경우, 다음 결과는 Type II 곱 적분(기하학적 적분)에 대해 성립한다.

: \prod_a^b c^{dx} = c^{b-a}, 

: \prod_a^b x^{dx} = \frac{b^b}{a^a} {\rm e}^{a-b}, 

: \prod_0^b x^{dx} = b^b {\rm e}^{-b}, 

: \prod_a^b \left(f(x)^k\right)^{dx} = \left(\prod_a^b f(x)^{dx}\right)^k, 

: \prod_a^b \left(c^{f(x)}\right)^{dx} = c^{\int_a^b f(x) \,dx}, 

기하학적 적분(위의 Type II)은 **기하학적 미적분학**에서 중심적인 역할을 한다. 이는 곱셈적 미적분학이다. 기하학적 적분의 역수, 즉 f^*(x)로 표기되는 **기하학적 미분**은 다음 관계를 사용하여 정의된다.

: f^*(x)=\exp\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)
따라서 다음을 결론 내릴 수 있다.
;기본 정리

: \prod_a^b f^*(x)^{dx} = \prod_a^b \exp\left(\frac{f'(x)}{f(x)} \,dx\right) = \frac{f(b)}{f(a)},

;곱 규칙

: (fg)^* = f^* g^*.

;몫 규칙

: (f/g)^* = f^*/g^*.

;큰 수의 법칙

: \sqrt[n]{X_1 X_2 \cdots X_n} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \prod_x X^{dF(x)},

여기서 **X**는 확률 분포 F(x)를 갖는 확률 변수이다.

표준 큰 수의 법칙과 비교하라.

: \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \int X \,dF(x).

## 가환 경우: 르베그 유형 곱 적분
피적분 함수가 실수 값을 가질 때, 단순 함수를 사용하여 곱 적분을 쉽게 다룰 수 있다. 르베그 버전의 (고전) 적분의 경우와 마찬가지로, 단순 함수의 곱 적분으로 근사하여 곱 적분을 계산할 수 있다. Type II 기하학적 적분은 정확히 고전 르베그 적분의 경우로 환원된다.

### Type I: 볼테라 적분
단순 함수는 계단 함수를 일반화하므로, 여기서는 계단 함수인 단순 함수의 특수한 경우만 고려할 것이다. 이는 르베그 정의를 리만 정의와 비교하기 쉽게 할 것이다.

태그가 지정된 분할을 갖는 계단 함수 f: [a,b] \to \mathbb{R}가 주어졌을 때

: a = x_0 

Type I 곱 적분의 "리만 정의"의 한 근사는 다음과 같다.

: \prod_{k=1}^n \left[ \big(1 + f(t_k)\big) \cdot (x_k - x_{k-1}) \right].

(Type I) 곱 적분은 1931년 루트비히 슐레징거의 논문에서 대략적으로 이러한 곱의 극한으로 정의되었다.

Type I 곱 적분의 "리만 정의"의 또 다른 근사는 다음과 같이 정의된다.

: \prod_{k=1}^n \exp\big(f(t_k) \cdot (x_k - x_{k-1})\big).

f가 상수 함수일 때, 첫 번째 유형의 근사의 극한은 두 번째 유형의 근사와 같다. 일반적으로 계단 함수의 경우, 두 번째 유형의 근사값은 분할이 계단 함수를 정의하는 분할의 세분인 한 분할에 의존하지 않는 반면, 첫 번째 유형의 근사값은 분할이 계단 함수를 정의하는 분할의 세분인 경우에도 분할의 세밀함에 의존한다는 점을 주목하라.

어떤 곱 적분 가능 함수 f에 대해서든, 첫 번째 유형의 근사의 극한은 두 번째 유형의 근사의 극한과 같음이 밝혀졌다. 계단 함수의 경우, 두 번째 유형의 근사값은 "충분히 세밀한" 분할에 대해 분할의 세밀함에 의존하지 않으므로, 계단 함수의 "르베그 (Type I) 곱 적분"을 다음과 같이 정의하는 것이 합리적이다.

: \prod_a^b \big(1 + f(x) \,dx\big) \overset{def}{=} \prod_{k=1}^n \exp\big(f(s_k) \cdot (y_k - y_{k-1})\big),

여기서 y_0 는 계단 함수 f에 해당하는 태그가 지정된 분할이다. (대조적으로, 해당 양은 첫 번째 유형의 근사를 사용하여 모호하게 정의되지 않을 것이다.)

이것은 임의의 측도 공간으로 쉽게 일반화된다. X가 측도 \mu를 갖는 측도 공간이고, f(x) = \sum_{k=1}^n a_k I_{A_k}(x)인 곱 적분 가능 단순 함수(즉, 일부 서로소 가측 집합 A_1, A_2, \dots, A_n \subseteq X에 대한 지시 함수의 원뿔 조합)에 대해, 그 Type I 곱 적분은 다음과 같이 정의된다.

: \prod_X \big(1 + f(x) \,d\mu(x)\big) \overset{def}{=} \prod_{k=1}^n \exp\big(a_k \mu(A_k)\big),

a_k는 A_k의 임의의 지점에서 f의 값이므로. 특수한 경우 X = \mathbb{R}, \mu 가 르베그 측도, 그리고 모든 가측 집합 A_k가 구간일 때, 이것이 해당 특수한 경우에 주어진 정의와 같음을 확인할 수 있다. (고전) 르베그 적분 이론과 유사하게, 임의의 곱 적분 가능 함수 f의 Type I 곱 적분은 곱 적분 가능 단순 함수의 볼테라 곱 적분의 증가하는 수열의 극한으로 작성될 수 있다.

위 정의의 양변에 로그를 취하면, 어떤 곱 적분 가능 단순 함수 f에 대해 다음을 얻는다.

: \ln \left(\prod_X \big(1 + f(x) \,d\mu(x)\big) \right) = \ln \left( \prod_{k=1}^n \exp\big(a_k \mu(A_k)\big) \right) = \sum_{k=1}^n a_k \mu(A_k) = \int_X f(x) \,d\mu(x) \iff
: \prod_X \big(1 + f(x) \,d\mu(x)\big) = \exp \left( \int_X f(x) \,d\mu(x) \right),

여기서 단순 함수에 대한 적분의 정의를 사용했다. 또한, \exp와 같은 연속 함수는 극한과 교환될 수 있고, 곱 적분 가능 함수 f의 곱 적분은 단순 함수의 곱 적분의 극한과 같으므로, 다음 관계가

: \prod_X \big(1 + f(x) \,d\mu(x)\big) = \exp \left( \int_X f(x) \,d\mu(x) \right)

어떤 곱 적분 가능 f에 대해서도 일반적으로 성립한다. 이는 위에서 언급된 속성을 분명히 일반화한다.

Type I 적분은 집합 함수로서 곱셈적이며, 이는 위 속성을 사용하여 보여줄 수 있다. 더 구체적으로, 곱 적분 가능 함수 f가 주어졌을 때, 모든 가측 집합 B \subseteq X 에 대해 정의하여 집합 함수 {\cal V}_f를 정의할 수 있다.

: {\cal V}_f(B) \overset{def}{=} \prod_B \big(1 + f(x) \,d\mu(x)\big) \overset{def}{=} \prod_X \big(1 + (f \cdot I_B)(x) \,d\mu(x)\big),

여기서 I_B(x)는 B의 지시 함수를 나타낸다. 그러면 임의의 두 서로소 가측 집합 B_1, B_2에 대해 다음이 성립한다.

: \begin{align}
 {\cal V}_f(B_1 \sqcup B_2) &= \prod_{B_1 \sqcup B_2} \big(1 + f(x) \,d\mu(x)\big) \\
 &= \exp\left( \int_{B_1 \sqcup B_2} f(x) \,d\mu(x) \right) \\
 &= \exp\left( \int_{B_1} f(x) \,d\mu(x) + \int_{B_2} f(x) \,d\mu(x) \right) \\
 &= \exp\left( \int_{B_1} f(x) \,d\mu(x) \right) \exp\left( \int_{B_2} f(x) \,d\mu(x) \right) \\
 &= \prod_{B_1} (1 + f(x)d \mu(x)) \prod_{ B_2} (1 + f(x) \,d\mu(x)) \\
 &= {\cal V}_f(B_1 ) {\cal V}_f(B_2).
\end{align}

이 속성은 시그마-가법 집합 함수인 측도와 대조될 수 있다.

그러나 Type I 적분은 범함수로서 곱셈적이 아니다. 두 개의 곱 적분 가능 함수 f , g와 가측 집합 A가 주어졌을 때, 일반적으로 다음이 성립한다.

: \prod_A \big(1 + (fg)(x) \,d\mu(x)\big) \neq \prod_A \big(1 + f(x) \,d\mu(x)\big) \prod_A \big(1 + g(x) \,d\mu(x)\big).

### Type II: 기하학적 적분
X가 측도 \mu를 갖는 측도 공간일 때, 임의의 곱 적분 가능 단순 함수 f(x) = \sum_{k=1}^n a_k I_{A_k}(x) (즉, 서로소 가측 집합 A_1, A_2, \dots, A_n \subseteq X에 대한 지시 함수의 원뿔 조합)에 대해, 그 Type II 곱 적분은 다음과 같이 정의된다.

: \prod_X f(x)^{d\mu(x)} \overset{def}{=} \prod_{k=1}^n a_k^{\mu(A_k)}.

이것은 위에서 주어진 정의를 일반화하는 것으로 볼 수 있다.

양변에 로그를 취하면, 임의의 곱 적분 가능 단순 함수 f에 대해 다음을 알 수 있다.

: \ln \left( \prod_X f(x)^{d\mu(x)} \right) = \sum_{k=1}^n \ln(a_k) \mu(A_k) = \int_X \ln f(x) \,d\mu (x) \iff \prod_X f(x)^{d\mu(x)} = \exp\left( \int_X \ln f(x) \,d\mu (x) \right),

여기서 단순 함수에 대한 르베그 적분의 정의가 사용되었다. 이 관찰은 위에서 Type II 적분에 대해 이미 한 관찰과 유사하며, "Type II 기하학적 적분의 르베그 이론"을 (고전) 적분의 르베그 이론으로 완전히 환원할 수 있게 한다. 다시 말해, \exp 및 \ln와 같은 연속 함수는 극한과 교환될 수 있고, 임의의 곱 적분 가능 함수 f의 곱 적분은 단순 함수의 곱 적분의 증가하는 수열의 극한과 같으므로, 다음 관계가

: \prod_X f(x)^{d\mu(x)} = \exp\left( \int_X \ln f(x) \,d\mu(x) \right)

임의의 곱 적분 가능 f에 대해서도 일반적으로 성립한다. 이는 위에 언급된 기하학적 적분의 속성을 일반화한다.

## 같이 보기
* 하르 측도
* 피카드 반복
* 대체 미적분학의 미분 및 적분 목록
* 부정곱
* 로그 미분
* 정렬된 지수
* 프랙탈 미분

## 각주

## 외부 링크
* Non-Newtonian calculus website
* Richard Gill, ''Product Integration''
* Richard Gill, ''Product Integral Symbol''
* David Manura, ''Product Calculus''
* Tyler Neylon, ''Easy bounds for n!''
* An Introduction to Multigral (Product) and Dx-less Calculus
* Notes On the Lax equation
* Antonín Slavík, ''An introduction to product integration''
* Antonín Slavík, ''Henstock&ndash;Kurzweil and McShane product integration''

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