소인수 알고리즘

**소인수 FFT 알고리즘(Prime-factor FFT algorithm)**이라고도 칭하며, 발견자의 이름을 사용해 **Good–Thomas algorithm**(1958/1963)으로도 불리는 **소인수 알고리즘(Prime-factor Algorithm, PFA)**은 중국인의 나머지 정리(Chinese Reminder Theorem, CRT)를 활용한 고속 푸리에 변환(FFT) 알고리즘이다. 이 알고리즘은 크기 *N* = *N*1*N*2인 신호를 2차원 이산 푸리에 변환(DFT) *N* = *N*1* X N*2 로 재표현(re-expression)한다. 다만, 여기서 *N*1과 *N*2는 서로소(relatively prime), 즉 gcd(*N*1, *N*2)=1이어야 한다.

이 알고리즘의 장점은
# 회전자(twiddle factor)에 의한 곱셈 연산(multiplication)이 불필요하다. 따라서, 처리 속도가 빠르다.
# 변환의 in-place, in-order version을 구현하는 것이 가능하다. 즉, 변환된 값들은 메모리에서 입력값들을 바꾼다. 그리고 입력값들이 시간순서일때 출력은 주파수 순서이다.
단점은
# 앞서 언급한 것처럼 *N*1과 *N*2는 '서로 소'이어야한다.
# 중국인의 나머지 정리(CRT)를 사용하기때문에 더 복잡한 색인 재지정(re-indexing)을 수행해야한다.

소인수 알고리즘은 쿨리-튜키 알고리즘의 일반적 형태인 혼합기수(mixed-radix)알고리즘과 결합하여 사용할 수 있어서, 위에서 언급한 특별한 경우만이 아닌 임의의 크기 N 에도 적용할 수 있다. 데이터 크기 N=1000인 경우에 처리 예를 다음 그림에서 보여준다.
대체글=Combination of FFT algorithms using Good-Thomas algorithm and mixed-radix Cooley-Tukey algorithm.|섬네일|318x318픽셀|Good-Thomas 알고리즘과 혼합기수 Cooley-Tukey 알고리즘을 이용한 데이터 수 N=1000의 FFT 처리 방식.

## 알고리즘

신호의 길이가 *N* 일 때 이산 푸리에 변환(DFT)은

:f_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2\pi i}{N} nk } = \sum_{n=0}^{N-1} x_n W_N^{ nk }
\qquad
k = 0,\dots,N-2,N-1  \qquad \qquad \qquad (1) 

신호의 길이가 *N* = *r s*인 경우를 생각해 봅니다. *r* 과 *s*는 서로소인 두 정수이다(위에서 언급한 *N*1*, N*2에 해당).
입력과 출력을 재색인화(re-indexing)하고 이를 DFT 공식에 대입하여 크기가 *r* X *s*인 2차원 DFT로 변환해 보자.
이와같이 일차원 DFT를 다차원으로 변환하는 것을 다중차원 사상(multi-dimensional mapping) 이라고 한다.

### 색인 재지정(re-indexing)
정수론의 이론을 이용하여 (식 1) DFT의 입력 쪽 색인 *n*과 출력 쪽 색인 *k*를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

1) 굿스 매핑(Good's mapping)
:n = (n_1, n_0) \equiv s n_0+r n_1 (\bmod N)   \qquad(0 \leq n_0 \leq r -1, \quad 0 \leq n_1 \leq s -1) \qquad \qquad \qquad (2)

최대공약수 표현 정리에 의하면 각 n에 대해 위 식을 만족하는 정수 *n*1과 *n*2가 있고, 합동이론에 따라 위의 식을 만족하고 위의 범위에 속하는 정수 *n*1과 *n*2가 유일하다는 것을 쉽게 알 수 있다. 이를 루리타니안 매핑(Ruritanian mapping) 또는 굿스 매핑(Good's mapping)이라 한다.

2) CRT 매핑(CRT mapping)
:k \equiv k_0 (\bmod r)  \qquad(0 \leq k_0 \leq r -1)
:k \equiv k_1 (\bmod s)  \qquad(0 \leq k_1 \leq s -1) \qquad \qquad \qquad (3)

중국인의 나머지 정리(CRT)에 따르면 모든 쌍 (k1, k2)에 대해  (식 3)의 두 방정식을 만족하는 *0* 과 *N-1* 사이에 고유한 k가 존재한다. 이를 CRT 매핑이라고 하며, 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

:k = (k_1, k_0) \equiv [s s^{-1} (\bmod r)  k_0 +  r r^{-1} (\bmod s) k_1] \bmod N  \qquad \qquad \qquad (4)

*n*과 *k*를 위와 같이 (식 3)과 (식 4)로 나타낼 수 있는 이유는*r* 과 *s* 가 '서로 소'이기 때문이다. 위의 전개와는 반대로 입력 *n*을 CRT 매핑하고 출력 *k*를 Good's 매핑 할 수도 있다.

### 재표현(re-expression)
위의 두 식 (식 2)와 (식 4)를  (식 1)에 대입하면 식의 회전자(twiddle factor)는 다음 (식 5)와 같은 형태를 가지게 된다.

: W_{rs}^{ [s n_0+r n_1]\bmod N [s s^{-1} (\bmod r)  k_0 +  r r^{-1} (\bmod s) k_1] \bmod N }
회전자 자체가 *mod N* 의 성질을 가지고 있으므로 지수(exponent)에 나타나는 *mod N* 은 생략할 수 있다. 즉,
:= W_{rs}^{[s n_0+r n_1][s s^{-1} (\bmod r) k_0 + r r^{-1}(\bmod s) k_1]}
:= W_{rs}^{ s n_0 s s^{-1} (\bmod r) k_0 + s n_0 r r^{-1} (\bmod s) k_1 + r n_1 s s^{-1} (\bmod r) k_0 + r n_1 r r^{-1} (\bmod s) k_1 } 
어떤 임의의 수 m에 대해  W_{rs}^{mrs} = 1  이므로 윗 식 지수항의 두번째, 세번째 항은 생략 할 수 있다.
:= W_{rs}^{ s n_0 s s^{-1} (\bmod r) k_0 + r n_1 r r^{-1} (\bmod s) k_1}  
:= W_r^{ n_0 s s^{-1} (\bmod r) k_0} W_s^{ n_1 r r^{-1} (\bmod s) k_1}  
r과 s는 '서로 소'이므로 각각의 역수  r^{-1}, s^{-1}  이 존재하며  ss^{-1} \equiv 1 \bmod r , \quad rr^{-1} \equiv 1 \bmod s  이기 때문에, 윗식의   W_r^{s s^{-1} \bmod r } = W_r^{1}, \quad W_s^{ rr^{-1} \bmod s } =W_s^{1}이다. 따라서,
:= W_r^{n_0 k_0} W_s^{ n_1 k_1}   \qquad\qquad(5)   

(식 2),(식 4), (식 5)로부터 (식 1)의 이산 푸리에 변환(DFT)은 최종적으로 다음과 같이 2차원으로 재표현된다.
:f(k_1, k_0)=\sum_{n_1=0}^{s-1} \sum_{n_0=0}^{r-1} x(n_1,n_0)W_r^{n_0 k_0} W_s^{ n_1 k_1}\qquad\qquad(6)

고속 푸리에 변환 위키 페이지에서 볼 수 있는 혼합 기수(mixed-radix) FFT의 다음(식 20)의 회전자 W_{N_1N_2}^{k_1n_2}가 위의 (식 6)에서는 생략된 것을 확인할 수 있다.
:H(k_1, k_2)=\sum_{n_1=0}^{N_1-1}W_{N_1N_2}^{k_1n_2}\Biggl[ \sum_{n_2=0}^{N_2-1} h(n_1,n_2) W_{N_2}^{k_2n_2}\Biggr] W_{N_1}^{k_1n_1}
:=\sum_{n_1=0}^{N_1-1}W_{N_1N_2}^{k_1n_2} h^'(n_1,n_2) W_{N_1}^{k_1n_1}\qquad\qquad(20)

## 예제

*r=3, s=4* 인 신호의   소인수 FFT 를 적용해보자. 이 경우 (식 2)는
:n = (n_1, n_0) \equiv  4 n_0+3 n_1 (\bmod 12)   \qquad(0 \leq n_0 \leq 2, \quad 0 \leq n_1 \leq 3) \qquad\qquad(7)

이며, (식 4)에서  r r^{-1} (\bmod s) = 3 3^{-1} (\bmod 4) = 9, \qquad s s^{-1} (\bmod r)  =4 4^{-1}(\bmod 3 )= 4  가 성립하므로 *k* 는
:k = (k_1, k_0) \equiv  4  k_0 +  9 k_1 (\bmod 12)  \qquad(0 \leq k_0 \leq 2, \quad 0 \leq k_1 \leq 3) \qquad\qquad(8)

이 된다. (식 6)은

: f(k_1, k_0)=\sum_{n_1=0}^{3}\sum_{n_0=0}^{2} x(n_1,n_0)W_3^{n_0 k_0} W_4^{ n_1 k_1} 

그럼  (n_1, n_0)이 변함에 따라 x(n)=x(n_1, n_0) 이 어떻게 2차원 도표로 변하는 지,  (k_1, k_0)에 따라 f(k)=f(k_1, k_0)    는 어떻게 되는 지를 표로 만들어 보자.

계산 예:  (식 7)에서  n_1=1,  n_0=2  이면  n=11 이다. 즉,  x(11)=x(1,2) .

계산 예:  (식 8)에서  k_1=3,  k_0=1  이면  k=7 이다. 즉,  k(7)=k(3,1) .

분류:물리학
분류:이산수학
분류:디지털 신호 처리
분류:푸리에 해석학
분류:고속 푸리에 변환
분류:FFT