가우스 원 문제

thumb|원점에 중심을 둔 반지름 5인 원의 넓이는 25로 약 78.54이지만, 그 안에는 81개의 정수 점이 포함되어 있다. 따라서 격자점을 세어 넓이를 추정할 때 발생하는 오차는 약 2.46이다. 반지름이 약간 더 작은 원의 경우 넓이는 거의 비슷하지만 포함된 점은 69개뿐이며, 약 9.54라는 더 큰 오차가 발생한다. 가우스 원 문제는 원의 반지름의 함수로서 이 오차의 범위를 보다 일반적으로 제한하는 것과 관련이 있다.
수학에서 **가우스 원 문제**()는 원점에 중심을 두고 반지름이 r인 원 내부에 얼마나 많은 정수 격자 점이 있는지 결정하는 문제이다. 이 점의 수는 원의 넓이로 근사되므로, 실제 문제는 점의 수가 넓이와 어떻게 다른지를 설명하는 오차항을 정확하게 제한하는 것이다. 솔루션에 대한 첫 번째 진전은 카를 프리드리히 가우스에 의해 이루어졌으며, 그의 이름을 따서 명명되었다.

## 문제
원점에 중심을 두고 반지름이 r\ge 0인 \mathbb{R}^2 평면상의 원을 고려하자. 가우스 원 문제는 이 원 내부에서 m과 n이 모두 정수인 (m,n) 형태의 점이 몇 개인지를 묻는다. 데카르트 좌표계에서 이 원의 방정식은 x^2+y^2= r^2로 주어지므로, 이 질문은 다음을 만족하는 정수 쌍 m과 n이 몇 개인지 묻는 것과 같다.
:m^2+n^2\leq r^2.

주어진 r에 대한 답을 N(r)이라고 할 때, 다음 목록은 0에서 12 사이의 정수 r에 대한 N(r)의 처음 몇 개의 값과 그 뒤를 이어 가장 가까운 정수로 반올림한  \pi r^2  값의 목록을 보여준다.
:1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 
:0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 

## 해의 경계와 추측
N(r)은 반지름이 r인 원 내부의 넓이인 \pi r^2과 대략 같다. 이는 평균적으로 각 단위정사각형이 하나의 격자 점을 포함하기 때문이다. 따라서 원 안의 실제 격자 점의 수는 원의 넓이인 \pi r^2과 거의 같다. 그러므로 다음과 같이 기대할 수 있다.
:N(r)=\pi r^2 +E(r)\,
여기서 E(r)은 절댓값이 상대적으로 작은 어떤 오차항이다. 따라서 \mid E(r)\mid에 대한 정확한 상한선을 찾는 것이 이 문제의 형식이 되었다. r이 반드시 정수일 필요는 없다는 점에 유의하라. N(4)=49  다음에는 N(\sqrt{17})=57 ,N(\sqrt{18})=61, N(\sqrt{20})=69, N(5)=81 이 온다. 이러한 지점에서  E(r)은 8, 4, 8, 12만큼 증가한 후, 다음 증가할 때까지 ( 2 \pi r 의 비율로) 감소한다.

가우스는 다음과 같음을 증명했다.
:| E(r) |\leq 2\sqrt{2}\pi r.
하디와 독립적으로 란다우는 소문자 o 표기법을 사용하여 다음을 보여줌으로써 하한선을 찾았다.
:| E(r) |\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),
정확한 경계는 다음과 같을 것으로 추측된다.
:| E(r) |=O\left(r^{1/2+\varepsilon}\right).

E(r)\le Cr^t라고 쓸 때, t에 대한 현재의 경계는 다음과 같다.
:\frac{1}{2}
하한선은 1915년 하디와 란다우에 의해, 상한선은 2000년 마틴 헉슬리에 의해 증명되었다.

## 정확한 형식
N(r)의 값은 여러 급수로 주어질 수 있다. 바닥 함수를 포함하는 합의 관점에서 다음과 같이 표현할 수 있다.
:N(r)=1+4\sum_{i=0}^\infty \left(\left\lfloor\frac{r^2}{4i+1}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{r^2}{4i+3}\right\rfloor\right).

이는 야코비 삼중곱에서 거의 즉각적으로 도출되는 야코비 두 제곱 정리의 결과이다.

제곱수 합 함수 r_2(n)를 숫자 n을 두 제곱수의 합으로 쓰는 방법의 수로 정의하면 훨씬 더 간단한 합이 나타난다. 그러면 다음과 같다.

:N(r)=\sum_{n=0}^{r^2} r_2(n).

가장 최근의 진전은 하디가 처음 발견한 다음 항등식에 기초한다.
: N(x)-\frac {r_2(x^2)}2 = \pi x^2 + x \sum_{n=1}^\infty \frac {r_2(n)}{\sqrt {n}}  J_1(2 \pi x \sqrt n), 
여기서 J_1은 1차 제1종 베셀 함수를 나타낸다.

## 일반화
원래 문제는 원 내부의 정수 격자 점을 묻지만, 쌍곡선이나 다른 원뿔 곡선을 고려하지 않을 이유가 없다. 실제로 디리클레 약수 문제는 원이 직각 쌍곡선으로 대체된 동등한 문제이다. 마찬가지로 질문을 2차원에서 더 높은 차원으로 확장하여 초구 또는 다른 객체 내의 정수 점을 물을 수 있다. 이러한 문제에 대한 방대한 문헌이 존재한다. 기하학을 무시하고 문제를 단순히 디오판토스 부등식의 대수적 문제로만 간주한다면, 문제에 나타나는 지수를 제곱에서 세제곱 또는 그 이상으로 높일 수 있다.

도트 플래니미터(dot planimeter)는 동일한 원리에 기초하여 도형의 넓이를 추정하는 물리적 장치이다. 투명한 시트에 인쇄된 점들의 정사각형 격자로 구성되며, 도형의 넓이는 도형 내 점의 수와 격자 사각형의 넓이의 곱으로 추정할 수 있다.

### 원시 원 문제
또 다른 일반화는 다음 부등식에 대한 서로소 정수 해 m,n의 개수를 계산하는 것이다.
:m^2+n^2\leq r^2.\,
이 문제는 원래 원 문제에 대한 원시 해를 찾는 것과 관련이 있으므로 **원시 원 문제**(primitive circle problem)로 알려져 있다. 이는 원점에 서서 에우클레이데스의 과수원을 바라볼 때 거리 r 이내에 보이는 나무가 몇 그루인지에 대한 질문으로 직관적으로 이해할 수 있다. 이러한 해의 개수를 V(r)라고 할 때, 작은 정수 값 r에 대한 V(r) 값은 다음과 같다.
:0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192 … .
일반적인 가우스 원 문제와 동일한 아이디어와 두 정수가 서로소일 확률이 6/\pi^2이라는 사실을 사용하면, 다음과 같음을 비교적 간단히 보일 수 있다.
:V(r)=\frac{6}{\pi}r^2+O(r^{1+\varepsilon}).
일반적인 원 문제와 마찬가지로 원시 원 문제에서 까다로운 부분은 오차항의 지수를 줄이는 것이다. 현재 리만 가설을 가정할 경우 가장 잘 알려진 지수는 221/304+\varepsilon이다. 리만 가설을 가정하지 않을 때 현재 알려진 최상의 상한은 다음과 같다.
:V(r)=\frac{6}{\pi}r^2+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log\log r^2)^{-1/5}))
여기서 c는 양의 상수이다. 특히, 리만 가설을 가정하지 않고서는 어떤 \varepsilon>0에 대해서도 r^{1-\varepsilon} 형태의 오차항 경계는 현재 알려진 바가 없다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:원 (기하학)
분류:수론적 함수
분류:격자점
분류:수론의 미해결 문제