삼원도

[섬네일|right|[메테인, 산소 기체, 불활성 질소 기체의 혼합물 중 어떤 것이 연소될지 보여주는 삼원 가연성 다이어그램 ]]

**삼원도**() 또는 **삼원 그래프**(ternary graph), **삼각형 그래프**(triangle plot), **단순 그래프**(simplex plot) 또는 **깁스 삼각형**(Gibbs triangle)은 세 변수가 상수로 합산되는 중심좌표계 그래프이다. 이 그래프는 세 변수의 비율을 정삼각형 내의 위치로 시각적으로 나타낸다. 물리화학, 암석학, 광물학, 금속공학 및 기타 물리 과학에서 세 가지 종으로 구성된 시스템의 조성을 보여주는 데 사용된다. 삼원도는 3차원 경우의 조성 데이터를 분석하는 도구이다.

집단유전학에서는 유전자형 빈도의 삼각형 그래프를 드 피네티 다이어그램이라고 한다. 게임 이론과 볼록 최적화에서는 종종 단순 그래프라고 불린다.

삼원도에서 세 변수 , , 의 값은 어떤 상수 로 합산되어야 한다. 일반적으로 이 상수는 1.0 또는 100%로 표시된다. 그래프로 그려지는 모든 물질에 대해 이므로, 어떤 한 변수는 다른 변수들과 독립적이지 않으며, 그래프에서 샘플의 점을 찾기 위해서는 두 변수만 알아도 된다. 예를 들어, 는 와 같아야 한다. 세 가지 숫자 값은 독립적으로 변할 수 없으므로(즉, 자유도가 두 개뿐이므로), 세 변수의 모든 조합을 단 두 차원으로 그래프화할 수 있다.

화학 조성을 묘사하기 위해 삼원도를 사용하는 장점은 세 변수를 2차원 그래프에 편리하게 나타낼 수 있다는 것이다. 삼원도는 또한 다른 상이 존재하는 조성 영역을 그래프에 윤곽을 그려 상평형 그림을 만드는 데 사용될 수도 있다.

삼원도상의 한 점의 값은 (상수까지) 해당 삼선형 좌표 또는 중심좌표계와 일치한다.

## 삼원도 값 읽기
도표 상의 점의 값을 결정하는 데 사용될 수 있는 세 가지 등가 방법이 있다:

# **평행선** 또는 **격자 방법**. 첫 번째 방법은 삼각형 변과 평행한 선으로 구성된 도표 격자를 사용하는 것이다. 삼각형 변에 평행한 선은 해당 변의 반대편 꼭짓점에 위치한 구성 요소에서 일정한 점의 궤적이다. 각 구성 요소는 삼각형의 한 모서리에서는 100%이고, 반대편 변에서는 0%이며, 이 모서리에서 거리가 증가함에 따라(반대편 변에 수직으로) 선형적으로 감소한다. 0선과 모서리 사이에 일정한 간격으로 평행선을 그림으로써 쉽게 추정할 수 있는 미세한 구획을 설정할 수 있다.
# **수직선** 또는 **고도 방법**. 격자선이 없는 다이어그램의 경우, 값을 결정하는 가장 쉬운 방법은 관심 지점에서 세 변 각각까지의 최단 (즉, 수직) 거리를 결정하는 것이다. 비비아니 정리에 따라, 거리 (또는 거리 대 삼각형 높이의 비율)는 각 구성 요소의 값을 제공한다.
# **모서리 선** 또는 **교차점 방법**. 세 번째 방법은 수직선이나 평행선을 그릴 필요가 없다. 각 모서리에서 관심 지점을 통과하여 삼각형의 반대편 변으로 직선을 긋는다. 이 선들의 길이와 점과 해당 변 사이의 세그먼트의 길이를 개별적으로 측정한다. 측정된 선들의 비율은 구성 요소 값을 100%의 분수 형태로 제공한다.
평행선(격자선)을 따라 이동하면 두 값의 합이 보존되고, 수직선을 따라 이동하면 두 값이 같은 양만큼 증가(또는 감소)하며, 각각 세 번째 값의 감소(증가)의 절반이 된다. 모서리를 통과하는 선을 따라 이동하면 다른 두 값의 비율이 보존된다.

파일:HowToCalculatePercentCompositions Altitude Method.svg|그림 1. 고도 방법
파일:HowToCalculate%Compositions Intersection Method.gif|그림 2. 교차점 방법
파일:Ternary.example.1.svg|그림 3. 점이 없는 삼원도 예시.
파일:Ternary plot example, constant lines horizontal.svg|그림 4. 첫 번째 축을 따른 증분을 보여주는 삼원도 예시.
파일:Ternary plot example, constant lines parallel to the right.svg|그림 5. 두 번째 축을 따른 증분을 보여주는 삼원도 예시.
파일:Ternary plot example, constant lines parallel to the left.svg|그림 6. 세 번째 축을 따른 증분을 보여주는 삼원도 예시.
파일:Blank ternary plot.svg|그림 7. 빈 삼원도
파일:Ternary plot.svg|그림 8. 세 축이 어떻게 작동하는지 보여주는 표시.
파일:Triangle Plot - Major grid lines.svg|주요 격자선이 있는 무표시 삼각형 도표
파일:Triangle Plot - Major and minor grid lines.svg|주요 및 보조 격자선이 있는 무표시 삼각형 도표


## 데카르트 좌표에서 도출
:none|섬네일|700px|데카르트 좌표에서 삼원도 도출
그림 (1)은 축이 각각 , , 인 3차원 데카르트 공간에서 점 의 경사 투영을 보여준다.

 (양의 상수)인 경우, 는 , , 를 포함하는 평면으로 제한된다. 만약 , , 가 각각 음수가 될 수 없다면, 는 (2)에서처럼 , , 에 의해 경계 지어진 삼각형으로 제한된다.

(3)에서는 축이 회전되어 등축 보기를 제공한다. 삼각형은 정면에서 볼 때 정삼각형으로 나타난다.

(4)에서는 에서 선 , , 까지의 거리를 각각 , , 로 나타낸다.

벡터 형식으로 된 임의의 선  (는 단위 벡터)과 점 에 대해, 에서 까지의 수직 거리는
:\left\| (\mathbf{s}-\mathbf{p}) - \bigl((\mathbf{s}-\mathbf{p}) \cdot  \mathbf{\hat n}\bigr)\mathbf{\hat n} \right\| \,.

이 경우, 점 는 다음과 같다.
:\mathbf{p} = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} \,.

선 는 다음과 같다.
:\mathbf{s} = \begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix} \quad\text{and}\quad
\mathbf{\hat{n}} = \frac{\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\0\\K\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\0\\K\end{pmatrix}\right\|} = \frac{\begin{pmatrix}0\\K\\-K\end{pmatrix}}{\sqrt{0^2+K^2+{(-K)}^2}} = \begin{pmatrix}0\\\frac{1}{\sqrt 2}\\-\frac{1}{\sqrt 2}\end{pmatrix} \,.

수직 거리 공식을 사용하면,

:\begin{align}
a' & = \left\| \begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix} - \left( \begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\\frac{1}{\sqrt 2}\\-\frac{1}{\sqrt 2}\end{pmatrix} \right) \begin{pmatrix}0\\\frac{1}{\sqrt 2}\\-\frac{1}{\sqrt 2}\end{pmatrix} \right\| \\[10px]
& = \left\| \begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix} - \left( 0 + \frac{K-b}{\sqrt{2}} + \frac{c}{\sqrt{2}} \right) \begin{pmatrix}0\\\frac{1}{\sqrt 2}\\-\frac{1}{\sqrt 2}\end{pmatrix} \right\| \\[10px]
& = \left\| \begin{pmatrix}-a\\K-b-\frac{K-b+c}{2}\\-c+\frac{K-b+c}{2}\end{pmatrix} \right\| = \left\| \begin{pmatrix}-a\\\frac{K-b-c}{2}\\\frac{K-b-c}{2}\end{pmatrix} \right\| \\[10px]
& = \sqrt = a\sqrt{\frac{3}{2}} \,.

선  및 에 대한 유사한 계산은 다음을 제공한다.

:b' = b\sqrt{\frac{3}{2}} \quad\text{and}\quad c' = c\sqrt{\frac{3}{2}} \,.

이는 해당 선으로부터의 점의 거리가 원래 값 , , 에 선형적으로 비례함을 보여준다.

## 삼원도 그리기
섬네일|upright|기울기 -1의 선을 추가하여 데카르트 격자에서 유사하게 그릴 수 있다. c축의 스케일은 a축과 b축의 <math display=inline>\frac{1}{\sqrt{2}}</math>이다. 십자 표시는  지점을 나타낸다.
데카르트 좌표는 삼각형에 점을 그리는 데 유용하다. 가 에 위치하고 가 에 위치하는 정삼각형 삼원도를 고려해 보자. 그러면 는 (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})이고, 삼중 는 다음과 같다.
:\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{2b+c}{a+b+c},\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{c}{a+b+c}\right) \,.

## 예시
[lang=en|섬네일|250px|[미국 농무부의 채색된 토양 질감 삼각형 다이어그램]]
이 예는 가상의 세 가지 토양 샘플에 대해 어떻게 작동하는지 보여준다.

:

### 점 그리기

파일:SoilTexture USDA.svg|lang=aa|샘플 1 그리기 (1단계):50% 점토 선 찾기
파일:SoilTexture USDA.svg|lang=ba|샘플 1 그리기 (2단계):20% 실트 선 찾기
파일:SoilTexture USDA.svg|lang=ca|샘플 1 그리기 (3단계):처음 두 개에 의존하여, 교차점은 30% 모래 선에 있다.
파일:SoilTexture USDA.svg|lang=da|모든 샘플 그리기
파일:Ternary triangle plot of soil types sand clay and silt.svg|Mathematica로 프로그래밍된 모래, 점토, 실트 토양 유형의 삼원 삼각형 그래프


## 주목할 만한 삼원도 목록
* 색도도
* 드 피네티 다이어그램
* 달리츠 플롯
* 가연성 다이어그램
* 젠센 양이온 플롯
* 파이퍼 다이어그램, 수화학에서 사용
* 초고철질 암석에 대한 UIGS 분류 다이어그램
* 입자 크기별 USDA 토양 질감 다이어그램

## 같이 보기
* 겉보기 몰 부피
* 비비아니 정리
* 중심좌표계
* 조성 데이터
* 정보 그래픽 소프트웨어 목록
** 지구과학 그래픽 소프트웨어
** IGOR Pro
** 오리진
** R에는 Comprehensive R Archive Network (CRAN)에서 유지 관리되는 전용 패키지 ternary가 있다.
** 시그마플롯
* 프로젝트 트라이앵글
* 트릴레마

## 각주

## 외부 링크

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