상승 시간

일렉트로닉스에서 전압 또는 전류의 계단 함수를 설명할 때, **상승 시간**()은 신호가 지정된 낮은 값에서 지정된 높은 값으로 변경하는 데 걸리는 시간이다. 이 값들은 주어진 기준 값에 대한 비율 또는 동등하게 백분율로 표현될 수 있다. 아날로그 회로 및 디지털 회로에서 이러한 백분율은 일반적으로 출력 계단 높이의 10% 및 90%(또는 동등하게  및 )이다. 하지만 다른 값들도 일반적으로 사용된다. 제어 이론 응용 분야에서, 에 따르면, 상승 시간은 "응답이 최종 값의 에서 로 상승하는 데 필요한 시간"으로 정의되며, 부족 감쇠 2차 시스템의 경우 0%에서 100%, 임계 감쇠의 경우 5%에서 95%, 과감쇠의 경우 10%에서 90% 상승 시간이 일반적이다.

마찬가지로, **하강 시간**(**펄스 감쇠 시간**(pulse decay time))  t_f은 펄스의 진폭이 지정된 값(일반적으로 오버슈트 또는 언더슈트를 제외한 피크 값의 90%)에서 다른 지정된 값(일반적으로 오버슈트 또는 언더슈트를 제외한 최대 값의 10%)으로 감소(하강)하는 데 걸리는 시간이다. 하강 시간 제한을 지정할 때 언더슈트 및 진동(또한 링잉 및 헌팅으로 알려짐)에 대한 제한이 때때로 추가적으로 명시된다.

에 따르면, "상승 시간"이라는 용어는 양의 또는 음의 계단 응답 모두에 적용되며, 표시된 음의 편차는 일반적으로 **하강 시간**이라고 불리더라도 그렇다.

## 개요
상승 시간은 고속 일렉트로닉스에서 기본적으로 중요한 아날로그 매개변수인데, 이는 빠른 입력 신호에 회로가 반응하는 능력을 측정하기 때문이다. 회로, 발생기, 데이터 측정 및 전송 장비의 상승 시간을 줄이기 위한 많은 노력이 있어왔다. 이러한 감소는 더 빠른 전자 장치에 대한 연구와 부유 회로 매개변수(주로 전기 용량 및 유도계수) 감소 기술에서 비롯되는 경향이 있다. 고속 일렉트로닉스 영역 밖의 응용 분야에서는 (현대 기술에 비해) 긴 상승 시간이 때때로 바람직하다. 예를 들어, 조명의 디밍은 더 긴 상승 시간으로 인해 전구 수명이 길어지거나, 아날로그 스위치를 통한 디지털 신호의 아날로그 신호 제어에서는 더 긴 상승 시간이 낮은 용량성 피드스루를 의미하며, 이는 제어되는 아날로그 신호 라인에 대한 잡음 커플링을 줄이는 결과를 낳는다.

### 상승 시간에 영향을 미치는 요인
주어진 시스템 출력의 상승 시간은 입력 신호의 상승 시간과 시스템의 특성 모두에 따라 달라진다.

예를 들어, 저항 회로의 상승 시간 값은 주로 부유 전기 용량 및 유도계수 때문이다. 모든 전기 회로는 전기저항뿐만 아니라 전기 용량 및 유도계수도 가지고 있기 때문에, 정상 상태에 도달할 때까지 부하에서 전압 및 전류의 지연이 분명하다. 순수 RC 회로에서 출력 상승 시간(10%에서 90%)은 대략 와 같다.

### 대체 정의
Federal Standard 1037C (1997, p. R-22) 및 에 의해 주어진 약간 일반화된 정의 외에 다른 상승 시간 정의가 때때로 사용된다. 이러한 대체 정의는 고려되는 기준 수준뿐만 아니라 표준과도 다르다. 예를 들어, 계단 함수 응답의 50% 지점을 통과하는 접선이 그어진 절편 지점에 그래픽으로 해당하는 시간 간격이 때때로 사용된다. 에 의해 소개된 또 다른 정의는 통계학 및 확률론의 개념을 사용한다. 계단 응답 를 고려하여, 그는 지연 시간 를 그 미분 의 첫 번째 모멘트로 재정의한다. 즉,

:t_D = \frac{\int_0^{+\infty}t V^\prime(t)\mathrm{d}t}{\int_0^{+\infty} V^\prime(t)\mathrm{d}t}.

마지막으로, 그는 두 번째 모멘트를 사용하여 상승 시간 을 정의한다.

:t_r^2 = \frac{\int_0^{+\infty}(t -t_D)^2 V^\prime(t)\mathrm{d}t}{\int_0^{+\infty} V^\prime(t)\mathrm{d}t} \quad
\Longleftrightarrow \quad t_r =\sqrt{\frac{\int_0^{+\infty}(t -t_D)^2 V^\prime(t)\mathrm{d}t}{\int_0^{+\infty} V^\prime(t)\mathrm{d}t}}

## 모델 시스템의 상승 시간
### 표기법
분석에 필요한 모든 표기법과 가정은 여기에 나열되어 있다.

*에 따라, 우리는 를 백분율 낮은 값으로, 를 상승 시간을 추정하려는 신호의 기준 값에 대한 백분율 높은 값으로 정의한다.
*은 분석 중인 시스템의 출력이 정상 상태 값의 에 도달하는 시간이며, 는 에 도달하는 시간으로, 둘 다 초 단위로 측정된다.
*은 분석된 시스템의 상승 시간으로, 초 단위로 측정된다. 정의에 따르면, t_r = t_2 - t_1.
*은 분석된 시스템의 하한 차단 주파수(-3dB 지점)로, 헤르츠 단위로 측정된다.
*은 분석된 시스템의 상한 차단 주파수(-3dB 지점)로, 헤르츠 단위로 측정된다.
*는 시간 영역에서 분석된 시스템의 임펄스 응답이다.
*는 주파수 영역에서 분석된 시스템의 주파수 응답이다.
* 대역폭은 BW = f_{H} - f_{L}로 정의되며, 하한 차단 주파수 이 일반적으로 상한 차단 주파수 보다 수십 배 낮으므로, BW\cong f_H이다.
*여기에 분석된 모든 시스템은 까지 확장되는 주파수 응답(저역 통과 시스템)을 가지므로, f_L=0\,\Longleftrightarrow\,f_H=BW이다.
*간단하게 하기 위해, "상승 시간 계산의 간단한 예" 섹션에서 분석된 모든 시스템은 단위 이득 전기 회로이며, 모든 신호는 전압으로 간주된다. 입력은  볼트의 계단 함수이며, 이는 다음을 의미한다. \frac{V(t_1)}{V_0}=\frac{x\%}{100} \qquad \frac{V(t_2)}{V_0}=\frac{y\%}{100}
*는 감쇠비이며, 은 주어진 2차 시스템의 고유 주파수이다.

### 상승 시간 계산의 간단한 예
이 섹션의 목적은 몇 가지 간단한 시스템에 대한 계단 응답의 상승 시간을 계산하는 것이다.

#### 가우스 응답 시스템
다음 주파수 응답으로 특징지어지는 시스템은 가우스 응답을 가진다고 한다.

:|H(\omega)|=e^{-\frac{\omega^2}{\sigma^2}} 

여기서 는 상수이며, 다음 관계에 의해 높은 차단 주파수와 관련된다.

:f_H = \frac{\sigma}{2\pi} \sqrt{\frac{3}{20}\ln 10} \cong 0.0935 \sigma.

이러한 종류의 주파수 응답은 인과 필터에 의해 실현 불가능하지만, 그 유용성은 1차 저역 통과 필터의 직렬 연결 동작이 점근적으로 무한에 가까워질수록 이 시스템의 동작에 더 가깝게 접근한다는 사실에 있다. 해당 임펄스 응답은 표시된 주파수 응답의 역 푸리에 변환을 사용하여 계산할 수 있다.

:\mathcal{F}^{-1}\{H\}(t)=h(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} {e^{-\frac{\omega^2}{\sigma^2}}e^{i\omega t}} d\omega=\frac{\sigma}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{1}{4}\sigma^2t^2}

계단 응답의 정의를 직접 적용하면,

:V(t) = V_0{H*h}(t) = \frac{V_0}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\frac{\sigma t}{2}}e^{-\tau^2}d\tau = \frac{V_0}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{2}\right)\right] \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{V(t)}{V_0} = \frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{2}\right)\right].

시스템의 10%에서 90% 상승 시간을 결정하려면 다음 두 방정식을 시간에 대해 풀어야 한다.

:\frac{V(t_1)}{V_0} = 0.1 = \frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t_1}{2}\right)\right]
\qquad \frac{V(t_2)}{V_0} = 0.9= \frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t_2}{2}\right)\right],

오차 함수의 알려진 속성을 사용하여  값이 발견된다. 이므로,

:t_r=\frac{4}{\sigma}{\operatorname{erf}^{-1}(0.8)}\cong\frac{0.3394}{f_H},

그리고 마지막으로

:t_r\cong\frac{0.34}{BW}\quad\Longleftrightarrow\quad BW\cdot t_r\cong 0.34.

#### 단일 단계 저역 통과 RC 네트워크
단순한 단일 단계 저역 통과 RC 회로의 경우, 10%에서 90%까지의 상승 시간은 네트워크 시간 상수 에 비례한다.

:t_r\cong 2.197\tau

비례 상수는  진폭의 단위 계단 함수 입력 신호에 대한 네트워크의 계단 응답에 대한 지식으로부터 도출될 수 있다.

:V(t) = V_0 \left(1-e^{-\frac{t}{\tau}} \right)

시간에 대해 풀면

:\frac{V(t)}{V_0}=\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{V(t)}{V_0}-1=-e^{-\frac{t}{\tau}} \quad \Longleftrightarrow \quad 1-\frac{V(t)}{V_0}=e^{-\frac{t}{\tau}},

그리고 마지막으로,

:\ln\left(1-\frac{V(t)}{V_0}\right)=-\frac{t}{\tau} \quad \Longleftrightarrow \quad t = -\tau \; \ln\left(1-\frac{V(t)}{V_0}\right)

 및 는 다음과 같으므로

:\frac{V(t_1)}{V_0}=0.1 \qquad \frac{V(t_2)}{V_0}=0.9,

이 방정식들을 풀면  및 에 대한 해석적 표현을 찾을 수 있다.

: t_1 = -\tau\;\ln\left(1-0.1\right) = -\tau \; \ln\left(0.9\right) = -\tau\;\ln\left(\frac{9}{10}\right) = \tau\;\ln\left(\frac{10}{9}\right) = \tau({\ln 10}-{\ln 9})

:t_2=\tau\ln{10}

따라서 상승 시간은 시간 상수에 비례한다.

:t_r = t_2-t_1 = \tau\cdot\ln 9\cong\tau\cdot 2.197

이제, 다음을 주목하면

:\tau = RC = \frac{1}{2\pi f_H},

그러면

:t_r=\frac{2\ln3}{2\pi f_H}=\frac{\ln3}{\pi f_H}\cong\frac{0.349}{f_H},

그리고 고주파 차단 주파수는 대역폭과 같으므로,

:t_r\cong\frac{0.35}{BW}\quad\Longleftrightarrow\quad BW\cdot t_r\cong 0.35.

마지막으로, 20%에서 80% 상승 시간을 고려하는 경우, 은 다음과 같이 된다는 점을 참고하라.

:t_r = \tau\cdot\ln\frac{8}{2}=(2\ln2)\tau
\cong 1.386\tau\quad\Longleftrightarrow\quad t_r=\frac{\ln2}{\pi BW}\cong\frac{0.22}{BW}

#### 단일 단계 저역 통과 LR 네트워크

단순한 단일 단계 저역 통과 RL 네트워크의 경우에도 10%에서 90%까지의 상승 시간은 네트워크 시간 상수 에 비례한다. 이 주장의 형식적인 증명은 이전 섹션에 표시된 대로 정확히 진행된다. 상승 시간에 대한 최종 표현식의 유일한 차이점은 두 가지 다른 회로의 시간 상수 에 대한 표현식의 차이로 인해 발생하며, 이 경우 다음 결과로 이어진다.

:t_r=\tau\cdot\ln 9 = \frac{L}{R}\cdot\ln 9\cong \frac{L}{R} \cdot 2.197

### 감쇠 2차 시스템의 상승 시간
에 따르면, 제어 이론에서 사용되는 부족 감쇠 시스템의 경우 상승 시간은 일반적으로 파형이 최종 값의 0%에서 100%까지 도달하는 시간으로 정의된다. 이에 따라 부족 감쇠 2차 시스템의 0%에서 100%까지의 상승 시간은 다음과 같은 형태를 가진다.
: t_r \cdot\omega_0= \frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}\left [ \pi - \tan^{-1}\left ( {\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}} \right) \right ]

2차 시스템의 정규화된 상승 시간에 대한 이차 근삿값은 계단 응답, 영점 없음:
: t_r \cdot\omega_0= 2.230\zeta^2-0.078\zeta+1.12
여기서 는 감쇠비이고 는 네트워크의 고유 주파수이다.

### 연속 연결된 블록의 상승 시간
개의 비상호작용 블록으로 구성된 시스템을 고려해보자. 각 블록은 상승 시간  ()을 가지며, 계단 응답에 오버슈트가 없다. 또한 첫 번째 블록의 입력 신호는  값을 가진 상승 시간을 가진다고 가정한다. 그러면 그 출력 신호의 상승 시간 는 다음과 같다.

:t_{r_O} = \sqrt{t_{r_S}^2+t_{r_1}^2+\dots+t_{r_n}^2}

에 따르면, 이 결과는 중심 극한 정리의 결과이며 에 의해 증명되었다. 그러나 문제에 대한 상세한 분석은 에 제시되어 있으며, 그는 또한 를 이전 공식을 다소 엄격한 근거로 처음 증명한 사람으로 인정한다.

## 같이 보기
* 주파수 응답
* 임펄스 응답
* 계단 응답
* 정착 시간

## 내용주

## 각주

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분류:제어이론
분류:제어공학
분류:계산수학