음향 공진

**음향 공진**(acoustic resonance)은 음향 시스템이 자체 공명 진동수 중 하나(자체 공명 진동수)와 일치하는 주파수의 음파를 증폭하는 현상이다.

"음향 공진"이라는 용어는 기계적 공명을 인간의 가청 주파수 범위로 좁히는 데 사용되지만, 음향학은 물질 내의 진동파에 관한 일반적인 용어로 정의되므로, 음향 공진은 인간의 가청 범위를 벗어나는 주파수에서도 발생할 수 있다.

음향적으로 공명하는 물체는 일반적으로 하나 이상의 공명 주파수를 가지며, 특히 가장 강한 공명의 고조파에서 그렇다. 물체는 이러한 주파수에서는 쉽게 진동하고 다른 주파수에서는 약하게 진동한다. 물체는 충격이나 광대역 노이즈 자극과 같은 복잡한 여기에서 공명 주파수를 "선택"한다. 사실상, 물체는 공명 주파수 외의 모든 주파수를 필터링하는 것이다.

음향 공진은 대부분의 음향 악기가 공명기를 사용하므로 악기 제작자에게 중요한 고려 사항이다. 예를 들어 바이올린의 현과 몸체, 플루트의 관 길이, 드럼 막의 모양 등이 있다. 음향 공진은 청각에도 중요하다. 예를 들어, 속귀의 달팽이관 내 바닥막이라고 불리는 단단한 구조 요소의 공명은 막 위의 털 세포가 소리를 감지하도록 한다. (포유류의 경우 바닥막은 길이를 따라 점진적으로 변화하는 공명을 가져서 고주파는 한쪽 끝에, 저주파는 다른 쪽 끝에 집중된다.)

기계적 공명과 마찬가지로 음향 공진은 진동체의 치명적인 파괴를 초래할 수 있다. 이에 대한 고전적인 예는 유리의 정확한 공명 주파수에서 소리를 이용하여 와인잔을 깨는 것이다.

## 진동하는 현

섬네일|upright=1.4|기본 주파수 110Hz인 베이스 기타 A음의 현 공명.
현악기에서 류트, 하프, 기타, 피아노, 바이올린 등과 같이 장력이 가해진 현은 현의 질량, 길이, 장력과 직접적으로 관련된 공명 주파수를 갖는다. 현에서 첫 번째 공명을 일으킬 파장은 현 길이의 두 배와 같다. 더 높은 공명은 기본 주파수의 정수 배 파장에 해당한다. 해당 주파수는 현을 따라 이동하는 파동의 속도 v와 다음 방정식으로 관련된다.

:f = {nv \over 2L}

여기서 L은 현의 길이(양 끝이 고정된 현의 경우)이고 n = 1, 2, 3...(고조파는 양 끝이 열린 파이프에서 발생). 현이나 와이어를 통한 파동의 속도는 장력 T와 단위 길이당 질량 ρ와 관련된다.

:v = \sqrt {T \over \rho}

따라서 주파수는 다음 방정식으로 현의 속성과 관련된다.

:f = {n\sqrt {T \over \rho} \over 2 L} = {n\sqrt {T \over m / L} \over 2 L}

여기서 T는 장력, ρ는 단위 길이당 질량, m은 총 질량이다.

장력이 높고 길이가 짧을수록 공명 주파수가 증가한다. 현이 임펄스 함수(손가락으로 튕기거나 망치로 치는 것)로 여기되면 현은 임펄스에 존재하는 모든 주파수(임펄스 함수는 이론적으로 '모든' 주파수를 포함한다)에서 진동한다. 공명 주파수가 아닌 주파수는 빠르게 걸러지며(감쇠됨), 남는 것은 우리가 음악적 음표로 듣는 고조파 진동이다.

### 악기에서의 현 공명

현 공명은 현악기에서 발생한다. 다른 현이 소리 날 때 현 또는 현의 일부가 기본 주파수 또는 배음 주파수로 공명할 수 있다. 예를 들어, 440Hz의 A현은 1320Hz(A의 3번째 배음이자 E의 4번째 배음)라는 배음을 공유하기 때문에 330Hz의 E현이 공명하게 만든다.

## 공기 기둥의 공명

공기 기둥의 공명은 튜브의 길이, 모양, 그리고 닫힌 끝 또는 열린 끝의 여부와 관련이 있다. 많은 악기는 원뿔형 또는 원통형 튜브와 유사하다( 보어 참조). 한쪽 끝이 닫히고 다른 쪽 끝이 열린 파이프를 막힌 파이프 또는 닫힌 파이프라고 하는 반면, 열린 파이프는 양쪽 끝이 열려 있다. 현대 오케스트라 플루트는 열린 원통형 파이프처럼 동작하고, 클라리넷은 닫힌 원통형 파이프처럼 동작하며, 색소폰, 오보에, 바순은 닫힌 원뿔형 파이프처럼 동작한다.
대부분의 현대 리코더 악기(금관악기)는 일부 편차가 있는 닫힌 원뿔형 파이프와 음향적으로 유사하다( 페달 톤 및 가성 참조).
현과 마찬가지로 이상적인 원통형 또는 원뿔형 파이프의 진동하는 공기 기둥도 고조파에서 공명하지만 약간의 차이가 있다.

### 원통

모든 원통은 여러 주파수에서 공명하여 여러 음높이를 생성한다. 가장 낮은 주파수는 기본 주파수 또는 첫 번째 고조파라고 불린다. 악기로 사용되는 원통은 일반적으로 플루트처럼 양쪽 끝이 열려 있거나 일부 오르간 파이프처럼 한쪽 끝이 열려 있다. 그러나 양쪽 끝이 닫힌 원통도 루벤스 튜브에서처럼 음파를 생성하거나 시각화하는 데 사용될 수 있다.

원통의 공명 특성은 공기 중 음파의 동작을 고려함으로써 이해할 수 있다. 소리는 종파 압축파로 이동하며, 공기 분자를 진행 방향을 따라 앞뒤로 움직이게 한다. 튜브 내에서는 정상파가 형성되며, 그 파장은 튜브의 길이에 따라 달라진다. 튜브의 닫힌 끝에서는 공기 분자가 많이 움직일 수 없으므로 튜브의 이 끝은 정상파의 변위 마디이다. 튜브의 열린 끝에서는 공기 분자가 자유롭게 움직여 변위 배음을 생성한다. 변위 마디는 압력 배음이고 그 반대도 마찬가지이다.

#### 양쪽 끝이 닫힌 경우

아래 표는 양쪽 끝이 닫힌 원통형 내부의 변위파를 보여준다. 닫힌 끝 근처의 공기 분자는 움직일 수 없는 반면, 파이프 중앙 근처의 분자는 자유롭게 움직인다. 첫 번째 고조파에서 닫힌 튜브는 정확히 절반의 정상파(마디-배음-마디)를 포함한다. 이 설정에서 압력파를 고려하면 두 닫힌 끝은 압력 변화 Δp에 대한 배음이다. 따라서 양쪽 끝에서 압력 변화 Δp는 최대 진폭을 가져야 한다(또는 Sturm–Liouville 공식 형태로 을 만족해야 한다). 이는 압력파에 대한 방정식  \Delta p(x,t) = p_\text{max}\cos \left({2\pi x \over \lambda} \right) \cos(\omega t)를 제공한다.  및 에서 경계 조건 에 대한 직관은 닫힌 끝의 압력이 옆 지점의 압력을 따를 것이라는 점이다. 에서 경계 조건 을 적용하면 정상파의 파장이 다음과 같이 주어진다.

:  \lambda = \frac{2L}{n}; n=1,2,3,... 

그리고 공명 주파수는 다음과 같다.

:  f = \frac{v}{\lambda} = \frac{nv}{2L}. 

#### 양쪽 끝이 열림

양쪽 끝이 열린 원통형 관에서, 끝 부분 근처의 공기 분자는 관 안팎으로 자유롭게 움직인다. 이 움직임은 정상파에서 변위 배를 생성한다. 마디는 원통 내부, 끝에서 떨어진 곳에 형성되는 경향이 있다. 첫 번째 고조파에서 열린 관은 정확히 정상파의 절반(배-마디-배)을 포함한다. 따라서 열린 원통의 고조파는 닫힌/닫힌 원통의 고조파와 동일한 방식으로 계산된다.

양쪽 끝이 열린 파이프의 물리학은 Physics Classroom에 설명되어 있다. 이 참조의 다이어그램은 위에서 보여준 것과 유사한 변위파를 보여준다. 이는 본 문서 끝 부분에 나타난 압력파와는 확연한 대조를 이룬다.

열린 관을 과도 송풍하면, 관의 기본 주파수 또는 음보다 한 옥타브 높은 음을 얻을 수 있다. 예를 들어, 열린 관의 기본음이 C1이라면, 과도 송풍을 하면 C1보다 한 옥타브 높은 C2를 얻을 수 있다.

열린 원통형 관은 다음 근사 주파수에서 공명한다:

:f = {nv \over 2L}

여기서 n은 공명 마디를 나타내는 양의 정수(1, 2, 3...), L은 관의 길이, v는 공기 중 음속 (에서 약 )이다. 이 방정식은 개방된 끝을 압력 마디로 취급하여 압력 변화 Δp가 0이어야 하는 압력파의 경계 조건에서 파생된다.

말단 보정을 고려한 더 정확한 방정식은 다음과 같다:

:f = {nv \over 2(L+0.6r)}

여기서 r은 공명관의 반지름이다. 이 방정식은 음파가 열린 끝에서 반사되는 정확한 지점이 관의 끝 단면에 완벽하게 위치하는 것이 아니라 관 바깥쪽으로 약간 떨어진 거리에 있다는 사실을 보정한다.

반사율은 1보다 약간 작다. 열린 끝은 미소한 음향 임피던스처럼 동작하지 않고, 오히려 관의 직경, 파장, 그리고 관의 개구부 주변에 존재할 수 있는 반사판의 유형에 따라 달라지는 복사 임피던스라고 불리는 유한한 값을 가진다.

따라서 n이 1일 때:

:f = {v \over 2(L+0.6r)} 
: {f(2(L+0.6r))} = v 
: {f\lambda} = v 
: \lambda = {2(L+0.6r)}

여기서 v는 음속, L은 공명관의 길이, r은 관의 반지름, f는 공명음 주파수, λ는 공명 파장이다.

#### 한쪽 끝이 닫힘

오르간에 사용될 때 한쪽 끝이 닫힌 관을 "막힌 파이프"라고 부른다. 이러한 원통은 기본 주파수를 가지지만, 과도 송풍을 통해 다른 더 높은 주파수 또는 음을 생성할 수 있다. 이 과도 송풍된 음역은 다양한 원뿔형 테이퍼를 사용하여 조율할 수 있다. 닫힌 관은 길이의 두 배인 열린 관과 동일한 기본 주파수에서 공명하며, 파장은 길이의 네 배와 같다. 닫힌 관에서는 변위 마디, 즉 진동이 없는 지점이 항상 닫힌 끝에 나타나고, 관이 공명하는 경우 열린 끝 근처의 Φ 지점(길이 × 0.618)에 변위 배, 즉 가장 큰 진동 지점을 갖게 된다.

원통형 닫힌 관을 과도 송풍하면, 관의 기본음보다 약 12도 높은 음, 즉 기본음의 옥타브보다 5도 높은 음을 얻을 수 있다. 예를 들어, 닫힌 파이프의 기본음이 C1이라면, 파이프를 과도 송풍하면 C1보다 12도 높은 G2를 얻을 수 있다. 다른 방법으로 우리는 G2가 C1의 옥타브인 C2보다 5도 높다고 말할 수 있다. 이 원통의 테이퍼를 줄어드는 원뿔 모양으로 조정하면 두 번째 고조파 또는 과도 송풍된 음을 옥타브 위치 또는 8도에 가깝게 조율할 수 있다. Φ 지점, 즉 공유된 "파동/마디" 위치에 작은 "스피커 구멍"을 열면 기본 주파수가 상쇄되고 관이 기본음보다 12도 높은 곳에서 공명하게 된다. 이 기술은 리코더에서 등쪽 엄지 구멍을 꼬집어 열 때 사용된다. 이 작은 구멍을 발음구에 더 가깝게 위로 움직이면 "메아리 구멍"(돌메치 리코더 개조)이 되어 열었을 때 기본음보다 정확히 반음 높은 소리를 낸다. 참고: 정확한 반음 주파수에 맞추기 위해 약간의 크기 또는 직경 조정이 필요하다.

닫힌 관은 다음 근사 공명 주파수를 갖는다:

:f = {nv \over 4L}

여기서 "n"은 홀수(1, 3, 5...)이다. 이 유형의 관은 홀수 고조파만 생성하며, 기본 주파수는 열린 원통의 절반(즉, 주파수의 절반)보다 한 옥타브 낮다. 이 방정식은 압력파의 경계 조건에서 파생되며, 닫힌 끝을 압력 배로 취급하여 압력 변화 Δp가 최대 진폭을 가져야 하거나 슈투름-리우빌 공식 형태로 을 만족해야 한다. 에서 이라는 이 경계 조건에 대한 직관은 닫힌 끝의 압력이 그 옆 지점의 압력을 따른다는 것이다.

말단 보정을 고려한 더 정확한 방정식은 다음과 같다:

:f = {nv \over 4(L+0.3d)}.

다시, n이 1일 때:

:f = {v \over 4(L+0.3d)} 
: {f(4(L+0.3d))} = v 
: {f\lambda} = v 
: \lambda = {4(L+0.3d)}

여기서 v는 음속, L은 공명관의 길이, d는 관의 직경, f는 공명음 주파수, λ는 공명 파장이다.

#### 압력파

아래 두 다이어그램은 파이프의 닫힌 끝에 배가 있는 원통형 관의 압력파에 대한 첫 세 가지 공명을 보여준다. 다이어그램 1에서 관은 양쪽 끝이 열려 있다. 다이어그램 2에서 관은 한쪽 끝이 닫혀 있다. 가로축은 압력이다. 이 경우 파이프의 열린 끝은 압력 마디이고 닫힌 끝은 압력 배임을 주목하라.


파일:OpenCylinderResonance.svg|1
파일:ClosedCylinderResonance.svg|2


### 원뿔
양쪽 끝이 열려 있는 원뿔형 관, 즉 원뿔의 절두체 모양의 관은 동일한 길이의 열린 원통형 파이프의 공명 주파수와 거의 동일한 공명 주파수를 가질 것이다.

닫힌 원뿔형 관(한쪽 끝이 닫힌 완전한 원뿔 또는 절두체)의 공명 주파수는 더 복잡한 조건을 만족한다:

:kL = n\pi - \tan^{-1} kx

여기서 파수 k는 다음과 같다:

:k = 2\pi f/v

그리고 x는 절두체의 작은 끝에서 꼭지점까지의 거리이다. x가 작을 때, 즉 원뿔이 거의 완전할 때, 이 식은 다음과 같이 된다:

:k(L+x) \approx n\pi

이는 길이가 L&nbsp;+&nbsp;x와 같은 열린 원통의 공명 주파수와 거의 동일한 공명 주파수로 이어진다. 다시 말해, 완전한 원뿔형 파이프는 길이가 같은 열린 원통형 파이프와 거의 유사하게 동작하며, 1차적으로 완전한 원뿔이 그 원뿔의 닫힌 절두체로 대체되어도 동작은 변하지 않는다.

### 닫힌 직사각형 상자
직사각형 상자 내의 음파에는 스피커 인클로저 및 건물과 같은 예시가 포함된다. 직사각형 건물에는 룸 모드로 설명되는 공명이 있다. 직사각형 상자의 경우 공명 주파수는 다음과 같다.
:f = {v \over 2} \sqrt{\left({\ell \over L_x}\right)^2 + \left({m \over L_y}\right)^2 + \left({n \over L_z}\right)^2}

여기서 v는 음속, Lx, Ly, Lz는 상자의 치수이다. \ell, m, n은 모두 0이 될 수 없는 음이 아닌 정수이다.
작은 확성기 상자가 밀폐되어 있고, 주파수가 충분히 낮으며, 압축이 충분히 높다면, 상자 내부의 음압(데시벨 수준)은 상자 내부의 어느 곳에서나 동일할 것이며, 이는 수압과 같다.

## 공기 구 (환기됨)의 공명

면적 A와 길이 L을 가진 목이 있는 소리 구멍을 가진 정적 부피 V0의 강성 공동의 공명 주파수는 헬름홀츠 공명 공식으로 주어진다.

:f = \frac{v}{2\pi}\sqrt{\frac{A}{V_0 L_{eq}}}
여기서 L_{eq}는 말단 보정을 적용한 목의 등가 길이이다.
:L_{eq}= L+0.75d&nbsp; 플랜지가 없는 목의 경우
:L_{eq}= L+0.85d&nbsp; 플랜지가 있는 목의 경우
right|150px

구형 공동의 경우 공명 주파수 공식은 다음과 같다.
:f = \frac{vd}{\pi}\sqrt{\frac{3}{8L_{eq}D^3} }
여기서
::D = 구의 직경
::d = 소리 구멍의 직경
right|150px

소리 구멍만 있는 구의 경우 L=0이고 구의 표면이 플랜지 역할을 하므로
:f = \frac{vd}{\pi}\sqrt{\frac{3}{8(0.85d)D^3} }
20&nbsp;°C의 건조한 공기에서, d와 D가 미터 단위이고 f가 헤르츠 단위일 때, 이 식은 다음과 같이 된다.
:f = 72.6\sqrt{\frac{d}{D^3}}

## 공명을 이용한 소리로 유리 깨기
섬네일|공명을 이용하여 소리로 유리 깨기
이것은 공명의 고전적인 시연이다. 유리는 자연적인 공명을 가지고 있으며, 이는 유리가 쉽게 진동할 주파수이다. 따라서 유리는 해당 주파수의 음파에 의해 움직여져야 한다. 유리를 진동시키는 음파의 힘이 충분히 크면, 진동의 크기가 너무 커져서 유리가 깨진다. 과학 시연을 위해 안정적으로 수행하려면 연습과 유리 및 확성기의 신중한 선택이 필요하다.

## 음악 작곡에서

여러 작곡가들이 공명을 작품의 주제로 삼기 시작했다. 알빈 루시에는 그의 많은 작품에서 음향 악기와 사인파 발생기를 사용하여 크고 작은 물체의 공명을 탐구했다. 제임스 테니의 Koan: Having Never Written A Note For Percussion에서는 탐탐 또는 다른 타악기에서 크레센도 및 데크레센도 형태로 부풀어 오르는 복잡한 비고조파적 부분음이 방의 공명과 상호작용한다. 폴린 올리베로스와 스튜어트 뎀스터는 워싱턴주 포트 워든에 있는  규모의 물탱크와 같이 잔향이 45초에 이르는 큰 잔향 공간에서 정기적으로 공연한다. 말 뫼 음악원 작곡 교수이자 작곡가인 켄트 올로프손의 "Terpsichord, 타악기와 사전 녹음된 소리를 위한 곡은 [음향 악기에서 발생하는] 공명이 사전 녹음된 전자 음향과 음향적 다리를 형성하고, 이는 다시 공명을 연장하며 새로운 음향 제스처로 재구성한다."

## 같이 보기
* 화성
* 음악 이론
* 공명
* 잔향
* 정상파
* 공명현상#공명 문자열
* 반사 위상 변화

## 각주

* Nederveen, Cornelis Johannes, Acoustical aspects of woodwind instruments. Amsterdam, Frits Knuf, 1969.
* Rossing, Thomas D., and Fletcher, Neville H., Principles of Vibration and Sound. New York, Springer-Verlag, 1995.

## 외부 링크
* 정상파 애플릿

분류:악기
분류:음향학