위상 공간 공식화

**위상 공간 공식화**()는 위상 공간에서 운동량과 위치 변수를 대등한 위치에 두는 양자역학의 공식화이다. 위상 공간 공식화의 두 가지 주요 특징은 양자 상태를 (파동 함수, 상태 벡터 또는 밀도 행렬 대신) 준확률분포로 기술하며, 연산자의 곱셈이 별 곱(star product)으로 대체된다는 점이다.

이 이론은 1946년 힐브란트 J. 흐루네볼트의 박사 학위 논문에서 완전히 개발되었으며, 호세 엔리케 모얄에 의해 독립적으로 개발되었다. 두 사람 모두 헤르만 바일과 유진 위그너의 초기 아이디어를 바탕으로 삼았다.

위상 공간 공식화와 대조적으로, 슈뢰딩거 묘사는 위치 또는 운동량 표현을 사용한다(위치 및 운동량 공간 참조).

위상 공간 공식화의 주요 장점은 연산자 형식주의를 피함으로써 양자역학을 해밀턴 역학과 최대한 유사하게 보이게 하여, 양자화를 "힐베르트 공간의 '짐'으로부터 '해방'"시킨다는 것이다. 이 공식화는 본질적으로 통계적이며 양자역학과 고전 통계역학 사이의 논리적 연결을 제공하여 두 역학 간의 자연스러운 비교를 가능하게 한다(고전적 한계 참조). 위상 공간에서의 양자역학은 특정 양자광학 응용 분야나 양자 결어긋남 연구 및 일련의 특수 기술 문제에서 선호되지만, 그 외의 실제 상황에서는 이 형식주의가 덜 일반적으로 사용된다.

위상 공간 양자역학 개발의 근간이 되는 개념적 아이디어는 콘세비치의 변형 양자화(콘세비치 양자화 공식 참조) 및 비가환 기하학과 같은 수학적 분과로 이어졌다.

## 위상 공간 분포

양자 상태의 위상 공간 분포 는 준확률분포이다. 위상 공간 공식화에서 위상 공간 분포는 파동 함수나 밀도 행렬에 대한 언급 없이 양자 시스템의 근본적이고 원초적인 기술로 취급될 수 있다.

분포를 표현하는 방법은 여러 가지가 있으며 모두 서로 연관되어 있다. 가장 주목할 만한 것은 가장 먼저 발견된 위그너 표현 이다. 문헌에서 많이 쓰이는 다른 표현으로는 글라우버-수다르샨 P, 후시미 Q, 커크우드-리하체크, 메타, 리비에, 보른-요르단 표현 등이 있다. 이러한 대안적 표현들은 해밀토니언이 특정 형태(예: 글라우버-수다르샨 P-표현의 경우 표준 순서)를 취할 때 가장 유용하다. 위그너 표현이 가장 일반적이므로, 이 문서에서는 별도로 명시하지 않는 한 이를 주로 사용한다.

위상 공간 분포는 2n차원 위상 공간의 확률 밀도와 유사한 성질을 가진다. 예를 들어, 일반적으로 복소수 값을 갖는 파동 함수와 달리 실수 값을 갖는다. 위치 구간 내에 있을 확률은 위그너 함수를 모든 운동량에 대해 적분하고 해당 위치 구간에 대해 적분함으로써 구할 수 있다.

:\operatorname P [a \leq X \leq b] = \int_a^b  \int_{-\infty}^{\infty} W(x, p)\, dp\,dx.

만약 가 관측가능량을 나타내는 연산자라면, 위그너 변환을 통해 위상 공간의 로 대응될 수 있다. 반대로, 이 연산자는 바일 변환을 통해 복구될 수 있다.

위상 공간 분포에 대한 관측가능량의 기댓값은 다음과 같다.

:\langle \hat{A} \rangle = \int A(x, p) W(x, p) \, dp \, dx.

하지만 주의할 점이 있다. 외형상의 유사성에도 불구하고 는 진정한 결합분포가 아니다. 왜냐하면 그 아래의 영역들이 확률론의 제3공리에서 요구하는 상호 배타적인 상태를 나타내지 않기 때문이다. 더욱이, 확률의 제1공리를 위반하여 순수 상태에 대해서도 일반적으로 음의 값을 가질 수 있으며, 유일한 예외는 (압축된) 결맞는 상태뿐이다.

이러한 음의 값의 영역은 "작음"이 증명될 수 있다. 이 영역들은 수 보다 큰 콤팩트 영역으로 확장될 수 없으므로 고전적 한계에서 사라진다. 이들은 불확정성 원리에 의해 보호되는데, 불확정성 원리는 보다 작은 위상 공간 영역 내에서의 정밀한 국소화를 허용하지 않으며, 따라서 이러한 "음의 확률"을 덜 역설적으로 만든다. 만약 방정식의 좌변이 연산자에 대한 힐베르트 공간의 기댓값으로 해석된다면, 양자광학의 맥락에서 이 방정식은 광학 등가 정리로 알려져 있다. (위그너 함수의 성질과 해석에 대한 자세한 내용은 위그너 함수 문서를 참조)

위상 공간 양자역학에 대한 대안적인 접근법은 일반적으로 세갈-바그만 변환을 통해 위상 공간에서 (단순한 준확률 밀도가 아닌) 파동 함수를 정의하고자 한다. 불확정성 원리와 호환되기 위해 위상 공간 파동 함수는 임의의 함수가 될 수 없으며, 그렇지 않으면 위상 공간의 임의의 작은 영역으로 국소화될 수 있다. 대신, 세갈-바그만 변환은 x + ip의 정칙 함수이다. 위상 공간 파동 함수와 연관된 준확률 밀도가 존재하는데, 이는 위치 파동 함수의 후시미 표현이다.

## 별 곱

표준 연산자 곱셈을 대체하는 위상 공간 공식화의 근본적인 비가환 이항 연산자는 기호 ★로 표시되는 별 곱이다. 위상 공간 분포의 각 표현에는 서로 다른 특성 별 곱이 있다. 구체적인 설명을 위해 여기서는 위그너-바일 표현과 관련된 별 곱으로 논의를 한정한다.

표기상의 편의를 위해 왼쪽 및 오른쪽 미분의 개념을 도입한다. 함수 쌍 f와 g에 대해 왼쪽 및 오른쪽 미분은 다음과 같이 정의된다.
: 
\begin{align}
 f \overset{_\gets}\partial_x g & = \left(\frac{\partial f}{\partial x} \right) g, \\
 f \vec\partial_x g & = f \left( \frac{\partial g}{\partial x}\right).
\end{align}


별 곱의 미분적 정의는 다음과 같다.
: f \star g = f \, \exp{\left(\frac{i \hbar}{2} \left(\overset{_\gets}\partial_x
\vec\partial_p - \overset{_\gets}\partial_p \vec\partial_x \right) \right)} g,
여기서 지수 함수의 인수는 멱급수로 해석될 수 있다. 추가적인 미분 관계를 통해 이를 f와 g의 인수의 변화로 다음과 같이 쓸 수 있다.

: \begin{align}
 (f \star g)(x, p) &= f\left(x + \tfrac{i \hbar}{2} \vec\partial_p, p - \tfrac{i \hbar}{2} \vec\partial_x\right) \cdot g(x, p) \\
 &= f(x, p) \cdot g\left(x - \tfrac{i \hbar}{2} \overset{_\gets}\partial_p, p + \tfrac{i \hbar}{2} \overset{_\gets}\partial_x\right) \\
 &= f\left(x + \tfrac{i \hbar}{2} \vec\partial_p, p\right) \cdot g\left(x - \tfrac{i \hbar}{2} \overset{_\gets}\partial_p, p\right) \\
 &= f\left(x, p - \tfrac{i \hbar}{2} \vec\partial_x\right) \cdot g\left(x, p + \tfrac{i \hbar}{2} \overset{_\gets}\partial_x\right).
\end{align}

또한 기본적으로 푸리에 변환을 통해 별 곱을 합성곱 적분 형태로 정의하는 것도 가능하다.
: (f \star g)(x, p) = \frac{1}{\pi^2 \hbar^2} \, \int f(x + x', p + p') \, g(x + x, p + p) \, \exp{\left(\tfrac{2i}{\hbar}(x'p - xp')\right)} \, dx' dp' dx dp.
(따라서 예를 들어 가우스 함수들은 다음과 같이 쌍곡선 함수적으로 합성된다.
: 
 \exp\big({-a}(x^2 + p^2)\big) \star \exp\big({-b}(x^2 + p^2)\big) =
 \frac{1}{1 + \hbar^2 ab} \exp\left(-\frac{a + b}{1 + \hbar^2 ab} (x^2 + p^2)\right),

또는
: 
 \delta (x) \star \delta(p) = \frac{2}{h} \exp\left(2i\frac{xp}{\hbar}\right),

등등.)

에너지 고유 상태 분포는 별고유상태(stargenstates), ★-고유상태, 별고유함수 또는 ★-고유함수로 알려져 있으며, 관련 에너지는 별고유값 또는 ★-고유값으로 알려져 있다. 이들은 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식과 유사하게 다음과 같은 ★-고유값 방정식에 의해 풀이된다.
: H \star W = E \cdot W,
여기서 는 해밀토니언으로, 평범한 위상 공간 함수이며 대부분의 경우 고전적 해밀토니언과 동일하다.

## 시간 변화
위상 공간 분포의 시간 변화는 리우빌 정리의 양자적 수정에 의해 주어진다. 이 공식은 양자 리우빌 방정식의 밀도 행렬 버전에 위그너 변환을 적용한 결과인 폰 노이만 방정식에서 도출된다.

연관된 별 곱을 갖는 위상 공간 분포의 임의의 표현에서 이는 다음과 같다.

: \frac{\partial f}{\partial t} = - \frac{1}{i \hbar} \left(f \star H - H \star f \right),

특히 위그너 함수에 대해서는 다음과 같다.
: 
 \frac{\partial W}{\partial t} = -\{\{W, H\}\} = -\frac{2}{\hbar} W  \sin \left(\frac{\hbar}{2} (\overset{_\gets}\partial_x
\vec\partial_p - \overset{_\gets}\partial_p \vec\partial_x)\right) H =
 -\{W, H\} + O(\hbar^2),

여기서 는 양자 교환자의 위그너 변환인 모얄 괄호이며, 는 고전적인 푸아송 괄호이다.

이는 대응원리에 대한 간결한 예시를 제공한다. 이 방정식은 ħ → 0 한계에서 고전적 리우빌 방정식으로 명백히 환원된다. 그러나 흐름의 양자적 확장에서는 위상 공간의 점 밀도가 보존되지 않으며, 확률 유체는 "확산적"이고 압축 가능한 것처럼 보인다.
따라서 여기서 양자 궤적의 개념은 미묘한 문제이다. 양자 위상 흐름의 비국소성을 이해하려면 아래의 모스 퍼텐셜 영상을 보라.

참고: 불확정성 원리가 국소화에 부여하는 제한 때문에, 닐스 보어는 미시적 척도에서 그러한 궤적의 물리적 존재를 강력히 부인했다. 형식적인 위상 공간 궤적을 통해 위그너 함수의 시간 변화 문제는 경로 적분 방법과 양자 특성 곡선 방법을 사용하여 엄밀하게 풀 수 있지만, 두 경우 모두 실제적인 장애물이 많다.

## 예시
### 조화 진동자

섬네일|280px|수 상태 a) n&nbsp;=&nbsp;0, b) n&nbsp;=&nbsp;1, c) n&nbsp;=&nbsp;19에 대한 위그너 함수. x와 p에 대한 주변 분포는 각각 p와 x에 대해 적분함으로써 복구된다.
위그너-바일 표현에서 1차원 양자 조화 진동자의 해밀토니언은 다음과 같다.
: H = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 + \frac{p^2}{2m}.

정적인 위그너 함수에 대한 ★-고유값 방정식은 다음과 같다.
: \begin{align}
 H \star W &= \left(\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 + \frac{p^2}{2m}\right) \star W \\
 &= \left(\frac{1}{2} m \omega^2 \left(x + \frac{i \hbar}{2} \vec\partial_p\right)^2 + \frac{1}{2m}\left(p - \frac{i \hbar}{2} \vec\partial_x \right)^2\right) W \\
 &= \left(\frac{1}{2} m \omega^2 \left(x^2 - \frac{\hbar^2}{4} \vec\partial_p^2\right) + \frac{1}{2m}\left(p^2 - \frac{\hbar^2}{4} \vec\partial_x^2 \right) \right) W \\
 &\quad{} + \frac{i \hbar}{2} \left(m \omega^2 x \vec\partial_p - \frac{p}{m} \vec\partial_x\right) W \\
 &= E \cdot W.
\end{align}

먼저 ★-고유값 방정식의 허수부를 고려하면,
: \frac{\hbar}{2} \left(m \omega^2 x \vec\partial_p - \frac{p}{m} \vec\partial_x\right) \cdot W = 0
이는 ★-고유상태를 단일 인수의 함수로 쓸 수 있음을 의미한다.
: W(x, p) = F\left(\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 + \frac{p^2}{2m}\right) \equiv F(u).

이러한 변수 변환을 통해 ★-고유값 방정식의 실수부를 변형된 라게르 방정식(에르미트 방정식이 아님!)의 형태로 쓸 수 있으며, 그 해는 라게르 다항식을 포함한다.
: F_n(u) = \frac{(-1)^n}{\pi \hbar} L_n\left(4\frac{u}{\hbar \omega}\right) e^{-2u/\hbar \omega},
이 해는 흐루네볼트에 의해 도입되었으며, 관련 ★-고유값은 다음과 같다.
: E_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2}\right).

조화 진동자의 경우 임의의 위그너 분포의 시간 변화는 간단하다. 초기 는 위에서 주어진 진동자 해밀토니언에 의해 구동되는 진화 방정식에 따라 위상 공간에서 단순히 강체 회전하며 진화한다.
: 
 W(x, p; t) = W\left(
  x \cos \omega t - \frac{p}{m \omega} \sin \omega t, \,
  p \cos \omega t +  m \omega x \sin \omega t; \,
  0\right).
섬네일|서로 다른 들뜸 수준에서 조화 진동자의 위그너 함수. <math>(q, p)</math>는 위그너 함수가 해당 반지름 내에서 진동하고 그 밖에서는 급격히 감쇠함을 보여주기 위해 <math>\sqrt{n+1}</math>로 재조정되었다.
일반적으로 에너지 를 가진 "험프"(또는 결맞는 상태)는 거시적 양을 나타낼 수 있으며, 위상 공간에서 균일하게 회전하는 고전적인 물체, 즉 평범한 기계적 진동자처럼 보일 수 있다(애니메이션 그림 참조). 이러한 물체들의 모든 위상(t = 0에서의 시작 위치)에 대해 적분하면 연속적인 "울타리"가 생성되어 위의 정적인 ★-고유상태 와 유사한 시간에 무관한 구성을 얻게 되는데, 이는 큰 작용량을 가진 시스템에 대한 고전적 한계를 직관적으로 시각화한 것이다.

고유함수는 또한 회전 대칭(따라서 시간 불변)인 순수 상태라는 특징이 있다. 즉, W \star W = (2\pi \hbar)^{-1} W를 만족하는 W(x,p) = f(\sqrt{x^2 + p^2}) 형태의 함수들이다.

### 자유 입자 각운동량
입자가 처음에 위치와 운동량의 기댓값이 모두 위상 공간의 원점에 중심을 둔 최소 불확정성 가우스 상태에 있다고 가정하자. 자유롭게 전파되는 그러한 상태에 대한 위그너 함수는 다음과 같다.
:W(\mathbf{x},\mathbf{p};t)=\frac{1}{(\pi \hbar)^3} \exp{\left( -\alpha^2 r^2 - \frac{p^2}{\alpha^2 \hbar^2}\left(1+\left(\frac{t}{\tau}\right)^2\right) + \frac{2t}{\hbar \tau} \mathbf{x} \cdot \mathbf{p}\right)} ~,
여기서 α는 가우스 상태의 초기 너비를 설명하는 매개변수이고, 이다.

처음에는 위치와 운동량이 서로 상관되어 있지 않다. 따라서 3차원에서 위치와 운동량 벡터가 평행할 확률보다 서로 수직일 확률이 두 배 더 높을 것으로 예상된다.

그러나 상태가 진화함에 따라 위치와 운동량은 점점 더 상관관계를 갖게 된다. 왜냐하면 위치상 원점에서 더 멀리 떨어진 분포 부분에 도달하려면 더 큰 운동량이 필요하기 때문이다. 점근적으로는 다음과 같다.
:W \longrightarrow \frac{1}{(\pi\hbar)^3}\exp\left[-\alpha^2\left(\mathbf{x}-\frac{\mathbf{p}t}{m}\right)^2\right]\,.

(이 상대적인 "압축"은 좌표 공간에서 자유 확률파동의 퍼짐을 반영한다.)

실제로, 입자의 운동 에너지는 점근적으로 반지름 방향으로만 나타나게 됨을 보일 수 있다. 이는 방향 독립성을 규정하는 바닥 상태의 비제로 각운동량이라는 표준 양자역학적 개념과 일치한다.
:K_\text{rad}=\frac{\alpha^2 \hbar^2}{2m}\left(\frac{3}{2} - \frac{1}{1+(t/\tau)^2}\right)
:K_\text{ang}=\frac{\alpha^2 \hbar^2}{2m}\frac{1}{1+(t/\tau)^2}~.

### 모스 퍼텐셜
모스 퍼텐셜은 이원자 분자의 진동 구조를 근사화하는 데 사용된다.

[400px|center|섬네일|[원자 단위계(a.u.)에서 모스 퍼텐셜 U(x) = 20(1 − e−0.16x)2의 위그너 함수 시간 변화. 실선은 해밀턴 역학 해밀토니언 H(x, p) = p2/2 + U(x)의 레벨집합을 나타낸다.]]

### 터널 효과
터널 효과는 양자 입자가 장벽을 넘을 만큼 충분한 에너지가 없음에도 불구하고 장벽을 통과하는 전형적인 양자 효과이다. 이 효과는 고전역학에는 존재하지 않는다.

[400px|center|섬네일|[원자 단위계(a.u.)에서 퍼텐셜 장벽 U(x) = 8e−0.25x2을 통과하는 터널 효과에 대한 위그너 함수. 실선은 해밀턴 역학 해밀토니언 H(x, p) = p2/2 + U(x)의 레벨집합을 나타낸다.]]

### 4차 퍼텐셜

[400px|center|섬네일|[원자 단위계(a.u.)에서 퍼텐셜 U(x) = 0.1x4에 대한 위그너 함수 시간 변화. 실선은 해밀턴 역학 해밀토니언 H(x, p) = p2/2 + U(x)의 레벨집합을 나타낸다.]]

### 슈뢰딩거의 고양이 상태
[400px|center|섬네일|[#조화 진동자|조화 진동자 해밀토니언을 통해 진화하는 두 간섭 결맞는 상태의 위그너 함수. 대응하는 운동량 및 좌표 투영이 위상 공간 도표의 오른쪽과 아래에 그려져 있다.]]

## 각주


분류:해밀턴 역학
분류:초기 양자역학
분류:심플렉틱 기하학