소진법

**소진법**(method of exhaustion, )은 도형의 넓이를 구하는 방법으로, 도형 안에 다각형 수열을 (하나씩) 내접시켜 그 넓이가 포함된 도형의 넓이로 수렴하도록 하는 방법이다. 만약 이 수열이 올바르게 구성된다면, n번째 다각형과 포함된 도형 사이의 넓이 차이는 n이 커짐에 따라 임의로 작아질 것이다. 이 차이가 임의로 작아짐에 따라, 도형 넓이의 가능한 값들은 수열의 구성원들에 의해 연속적으로 설정되는 하한 넓이들에 의해 체계적으로 "소진"된다.

소진법은 일반적으로 귀류법의 한 형태인 Reductio ad absurdum을 필요로 했다. 이는 먼저 한 영역의 넓이를 두 번째 영역의 넓이와 비교하여 해당 영역의 넓이를 찾아내는 것으로, 두 번째 영역은 "소진"되어 실제 넓이에 임의로 가까워지게 된다. 증명은 실제 넓이가 두 번째 영역보다 크다고 가정하여 그 주장이 틀렸음을 증명하고, 두 번째 영역보다 작다고 가정하여 그 주장 또한 틀렸음을 증명하는 과정을 포함한다.

## 역사
섬네일|150px|right|생뱅상 그레고리
이 아이디어는 기원전 5세기 후반에 안티폰에게서 시작되었지만, 그가 이 아이디어를 얼마나 잘 이해했는지는 완전히 명확하지 않다. 이 이론은 몇십 년 후 에우독소스에 의해 엄밀해졌고, 그는 이를 사용하여 넓이와 부피를 계산했다. 이후 3세기 AD에 유휘에 의해 중국의 산학에서 다시 발명되어 원의 넓이를 찾는 데 사용되었다. 이 용어의 첫 사용은 1647년 생뱅상 그레고리의 Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum에서였다.

소진법은 미적분학 방법의 전신으로 여겨진다. 17세기부터 19세기에 걸쳐 해석기하학과 엄밀한 적분학이 발전하면서 소진법은 더 이상 문제를 해결하는 데 명시적으로 사용되지 않게 되었다. 중요한 대안적 접근법은 카발리에리의 원리였으며, 이는 또한 불가분량의 방법이라고 불렸고 결국 로베르발, 에반젤리스타 토리첼리, 존 월리스, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 등의 무한소 미적분학으로 발전했다.

### 에우클레이데스
에우클레이데스는 그의 에우클레이데스의 원론 제12권에서 다음 6가지 명제를 증명하기 위해 소진법을 사용했다.

**명제 2**: 원의 넓이는 지름의 제곱에 비례한다.

**명제 5**: 높이가 같은 두 사면체의 부피는 그 삼각형 밑면의 넓이에 비례한다.

**명제 10**: 원뿔의 부피는 같은 밑면과 높이를 가진 해당 원기둥 부피의 3분의 1이다.

**명제 11**: 높이가 같은 원뿔 (또는 원기둥)의 부피는 밑면의 넓이에 비례한다.

**명제 12:** 다른 원뿔 (또는 원기둥)과 닮은 원뿔 (또는 원기둥)의 부피는 밑면 지름의 비율의 세제곱에 비례한다.

**명제 18**: 구의 부피는 지름의 세제곱에 비례한다.

### 아르키메데스

섬네일|right|300px|아르키메데스는 원 안의 넓이를 계산하기 위해 소진법을 사용했다.

아르키메데스는 소진법을 사용하여 원 안에 변의 수가 증가하고 그에 따라 넓이도 증가하는 다각형 수열을 채워넣음으로써 원 안의 넓이를 계산했다. 이 다각형의 넓이를 원 반지름의 제곱으로 나눈 몫은 다각형 변의 수가 커질수록 π에 임의로 가까워질 수 있으며, 이는 반지름이 인 원 안의 넓이가 임을 증명한다. 여기서 는 원주와 지름의 비율()로 정의된다.

그는 또한 내접 및 외접하는 96변 정다각형의 둘레와 원의 둘레를 비교하여  (범위 )의 경계를 제시했다.

그가 소진법으로 얻은 다른 결과는 다음과 같다:
* 선과 포물선의 교차점에 의해 둘러싸인 넓이는 같은 밑변과 높이를 가진 삼각형 넓이의 4/3배이다 (포물선 구적법).
* 타원의 넓이는 장축과 단축을 변으로 하는 직사각형에 비례한다.
* 구의 부피는 같은 반지름의 밑면과 이 반지름과 같은 높이를 가진 원뿔 부피의 4배이다.
* 지름과 같은 높이를 가진 원기둥의 부피는 같은 지름을 가진 구 부피의 3/2배이다.
* 하나의 아르키메데스 와선 회전과 선에 의해 둘러싸인 넓이는 선분 길이와 같은 반지름을 가진 원 넓이의 1/3배이다.
* 소진법의 사용은 또한 무한 기하급수의 성공적인 평가 (최초로)로 이어졌다.

### 기타
갈릴레오 갈릴레이는 소진법을 사용하여 절단된 원뿔의 질량 중심을 찾았다.

현대 미적분학의 발전 직전에 크리스토퍼 렌은 소진법을 사용하여 사이클로이드의 정확한 호의 길이를 발견했다.

## 예시 1: 아르키메데스 나선의 넓이는 그를 둘러싼 원의 3분의 1이다
섬네일|아르키메데스 나선 <math display="inline">r=\theta</math> 한 바퀴의 넓이는 그를 둘러싼 원 넓이의 3분의 1이다.
아르키메데스는 r = \theta로 주어지는 나선 S의 한 바퀴 넓이를 계산하여 a(S) = \frac{1}{3}\pi r^2를 찾았는데, 이는 이를 둘러싼 원의 넓이 a(C)의 3분의 1이다.

증명의 개요를 위해, a(S) = \frac{1}{3}a(C)를 보여주고자 한다고 가정하자. 귀류법으로, a(S) 라고 가정하자. 구간 [0, 2\pi]를 n개의 동일한 조각 \theta=\frac{2\pi}{n}으로 나누고, 각 하위 구간에 대해 나선을 둘러싸는 가장 작고 가장 큰 원형 부채꼴을 찾는다. 두 번째 이미지를 참조하여 명확히 한다. P를 나선 내부에 있는 부채꼴들의 집합으로, Q를 외부에 있는 부채꼴들의 집합으로 두자. 그러면 a(P)는 나선 넓이의 과소추정치이고, a(Q)는 과대추정치이다. 아르키메데스는 n이 충분히 클 때, 임의의 0에 대해 a(Q)-a(P)임을 보일 수 있었다.

섬네일|<math display="inline">n=8</math>일 때, 이미지는 P (파란색)와 Q (빨간색)를 보여준다. 짙은 회색 영역은 <math display="inline">a(P)</math>이고, 짙은 회색과 밝은 회색 영역을 합친 것이 <math display="inline">a(Q)</math>를 나타낸다.

이제 \epsilon := \frac{1}{3}a(C)-a(S)라고 정의하자. 그러면 가정에 의해 \frac{1}{3}a(C)-a(S)>a(Q)-a(P)이고, 따라서 나선이 P를 둘러싸므로 \frac{1}{3}a(C)>a(Q)+a(S)-a(P)>a(Q)이다. 그러나 Q의 넓이는 명시적으로 계산할 수 있는데, 이는 n개의 외부 원형 부채꼴 넓이의 합과 같으며, 각각의 넓이는 \frac{\theta}{2} r_i^{2}, (i\in\{1,\dots,n\})이다. 즉,

\begin{align}a(Q)&=\frac{\theta}{2} r_1^{2}+\frac{\theta}{2} r_2^{2}+...+\frac{\theta}{2} r_n^{2}\\
&=\frac{\theta}{2}\left(\theta^2+(2\theta)^2+...+(n\theta)^2\right) \\
&=\frac{\theta^{3}}{12}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)
\end{align}

아르키메데스도 발견했던 제곱의 합 공식을 사용한다.

따라서 부등식으로 돌아가면 다음과 같다.

\frac{\theta^{3}}{12}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right) 

원의 반지름이 2\pi였으므로, 원의 넓이는 a(C)=4 \pi^{3}이다. 이를 위의 부등식에 \theta = \frac{2\pi}{n}와 함께 대입하면 다음과 같다.

\frac{8 \pi^3}{12 n^3}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right) 

이는 다음과 같이 더 줄어든다.

\left(n+1\right)\left(2n+1\right) 

그러나 이는 모든 양의 n에 대해 거짓인데, 왼쪽 항의 첫 번째 항은 n보다 크고 두 번째 항은 2n보다 크므로 그 곱은 2n^2보다 크기 때문에 모순에 도달했기 때문이다.

a(S) > \frac{1}{3}a(C)라는 증명은 전적으로 동일하다. 나선 넓이가 원 넓이의 3분의 1보다 작지도 크지도 않으므로, 아르키메데스는 그 둘이 같다고 결론지었다.

## 예시 2: 원들은 지름의 제곱에 비례한다

\frac{a(C_1)}{a(C_2)}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2이라는 이 진술은 에우독소스에게 귀속되지만, 그의 설명은 남아 있지 않다. 이는 에우클레이데스 원론 제12권 명제 2에서 재현된다.
섬네일|원 <math display="inline">C_1, C_2</math>와 내접 다각형 <math display="inline">P_1, P_2</math>. <math display="inline">P_1, P_2</math>는 변의 수가 같음에 유의하라.
증명의 개요를 위해, 귀류법으로 \frac{a(C_1)}{a(C_2)}>\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\iff a(C_1)>\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2a(C_2)라고 가정하자.
P_1, P_2를 각각 C_1, C_2에 내접하는 n변 정다각형이라고 하자.
\epsilon:= a(C_1)-\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2a(C_2)로 정의하자. 그러면 에우클레이데스 원론 제10권 명제 1에 의해, n > N일 때마다 a(C_1)-a(P_1)이 되는 N을 찾을 수 있다. 따라서 \epsilon의 정의를 사용하여 a(C_1)-a(P_1)를 얻는다.

그러나 두 정볼록다각형(원이 아닌)에 대해서는 \frac{a(P_1)}{a(P_2)}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2임을 쉽게 보일 수 있다. 단, n이 고정되어야 한다.
이것을 이전 진술에 대입하면 다음과 같다.

\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2a(C_2)

그러나 P_2 \subset C_2이므로 이는 모순이다. 다음 단계는 \frac{a(C_1)}{a(C_2)}>\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 또한 거짓임을 증명하는 것이다. 그러나 C_1, C_2의 표시는 완전히 임의적이었으므로, 재표시함으로써 이 경우도 추가 증명 없이 따른다. 따라서 우리는 \frac{a(C_1)}{a(C_2)}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2임을 알 수 있다.

## 분석
리만 합과 소진법을 사용하여 넓이를 계산하는 것은 두 방법 모두 일련의 다각형을 사용하여 해당 넓이를 근사하는 방식으로 시작한다는 점에서 유사하다. 그러나 리만 합에서는 근사 다각형 넓이의 극한을 n \to \infty로 간주한다. 반대로 소진법에서는 극한을 피하고 대신 이중 귀류법을 사용한다. 따라서 소진법은 무한에 대한 엄밀한 처리가 필요 없이 복잡한 넓이를 계산할 수 있게 한다.

## 같이 보기
* 기계적 정리의 방법
* 포물선 구적법
* 사다리꼴 공식
* 피타고라스 정리

## 각주

분류:유클리드 기하학
분류:수학사
분류:부피
분류:적분학
분류:그리스 수학
분류:기원전 5세기 그리스