카피차-디랙 효과

**카피차-디랙 효과**(Kapitsa–Dirac effect)는 정상파 형태의 빛에 의한 물질의 회절로 구성된 양자역학적 효과이다. 이는 주기적인 격자에 의한 빛의 회절과 완벽하게 유사하지만, 물질과 빛의 역할이 뒤바뀐 것이다.

이 효과는 1933년 폴 디랙과 표트르 카피차에 의해 빛의 정상파에 의한 전자 회절로 처음 예측되었다. 이 효과는 1924년 루이 드 브로이 가설에서 언급된 물질의 파동-입자 이중성에 기반한다. 빛의 정상파에 의한 물질파 회절은 중성 원자 빔을 사용하여 처음 관찰되었다. 이후, 원래 제안된 카피차-디랙 효과는 2001년에 관찰되었다.

## 개요

1924년, 프랑스 물리학자 루이 드 브로이는 물질이 다음과 같이 파동과 같은 특성을 나타낸다고 가정했다.
:\lambda = \frac h p,
여기서 h는 플랑크 상수이고, p는 입자의 운동량이며, λ는 물질파의 파장이다.
여기서 물질 입자들 사이에 간섭 효과가 발생한다는 결론이 나온다. 이는 카피차-디랙 효과의 기초를 형성한다. 즉, 빛의 정상파에 의한 물질파의 회절이다.

일관된 빛의 빔은 주기적인 회절격자를 통과하면 여러 개의 피크로 회절된다. 물질파 이중성으로 인해, 물질도 주기적인 회절격자에 의해 회절될 수 있다. 이러한 회절격자는 물리적 물질로 만들어질 수 있지만, 빛-물질 상호작용으로 인해 역전파하는 한 쌍의 빛 빔에 의해 형성된 빛의 정상파로도 생성될 수 있다. 여기서 빛의 정상파는 물질파를 회절시키는 공간적으로 주기적인 격자를 형성하며, 이제 이를 설명할 것이다.

원래 아이디어는 두 개의 역전파하는 빛 빔의 중첩에 의해 형성된 정상파에 의해 전자 빔이 회절될 수 있다고 제안한다. 회절은 빛-물질 상호작용에 의해 발생한다. 이 경우, 각 전자는 한 빔에서 광자를 흡수하고, 다른 빔으로 반대 방향으로 이동하는 광자를 다시 방출한다. 이는 전자에 의한 유도된 콤프턴 산란을 설명하는데, 여기서 재방출은 두 번째 빛 빔의 존재에 의해 유도되기 때문이다. 유도된 콤프턴 산란의 특성으로 인해, 재방출된 광자는 흡수된 광자와 동일한 주파수와 반대 방향을 가져야 한다. 결과적으로, 전자에 전달되는 운동량의 크기는 2\hbar k여야 하며, 여기서 k는 정상파 패턴을 형성하는 빛의 파동벡터이다.

원래 제안은 전자에 초점을 맞췄지만, 위 분석은 빛과 상호작용하는 다른 유형의 물질파로 일반화될 수 있다. 예를 들어, 차가운 중성 원자도 카피차-디랙 효과를 경험할 수 있다. 실제로, 카피차-디랙 효과의 첫 관찰 중 하나는 차가운 나트륨 원자빔을 사용하는 것이었다. 오늘날, 카피차-디랙 효과는 빛의 정상파에 의해 형성되는 광학 격자의 깊이를 교정하는 표준 도구이다.

### 회절의 다른 체제

전자기파든 물질파든 주기적인 격자에서의 회절은 크게 두 가지 체제로 나눌 수 있다. 바로 브래그 체제와 라만-나트 체제이다. 브래그 체제에서는 본질적으로 하나의 회절 피크만 생성된다. 라만-나트 체제에서는 여러 회절 피크를 관찰할 수 있다.

물질 격자에서의 빛 회절이라는 익숙한 예로 돌아가는 것이 도움이 된다. 이 경우, 두꺼운 격자에서는 브래그 체제가, 얇은 격자에서는 라만-나트 체제가 얻어진다. 동일한 용어를 카피차-디랙 효과에도 적용할 수 있다. 여기서 격자의 "두께" 개념은 물질파가 빛장 안에 머무는 시간으로 전환될 수 있다.

여기서 라만-나트 체제의 예를 제시한다. 여기서 물질은 입자의 소위 반동 주파수에 비해 짧은 시간 동안 정상파에 머문다. 이 근사는 상호작용 시간이 입자의 반동 주파수의 역수보다 작을 때 유효하다. 즉, \tau\ll 1/\omega_\text{rec}이며, 여기서 \omega_\text{rec} = \frac{\hbar k^2}{2m}이다.

전자기파 (일반적으로 빛)의 정상파에 입사하는 일관된 입자 빔은 다음 방정식에 따라 회절된다.
: n\lambda = 2d\sin\Theta,
여기서 n은 정수이고, λ는 입사 입자의 드 브로이 파장이며, d는 격자 간격이고, θ는 입사각이다.

## 라만-나트 체제에서의 회절 패턴

여기서는 라만-나트 체제에서 카피차-디랙 효과의 회절 패턴을 분석한다.
빛의 정상파에서 상호작용하는 물질파의 경우, 빛-물질 상호작용의 효과는 퍼텐셜 에너지로 매개변수화될 수 있다.

U(z,t)= U_0 f(t) \sin^2(kz),

여기서  U_0 는 퍼텐셜 에너지의 세기이고, f(t)는 적용된 정상파의 펄스 모양을 나타낸다. 예를 들어, 광학 격자에 갇힌 극저온 원자의 경우, AC 슈타르크 효과로 인해 U_0 = \frac{\hbar \omega^2_\text{R}}{\delta} 이다.

이전에 설명했듯이, 라만-나트 체제는 지속 시간이 짧을 때 도달한다. 이 경우, 운동 에너지는 무시될 수 있으며 결과적인 슈뢰딩거 방정식은 크게 단순화된다. 주어진 초기 상태 \left|\psi_0\right\rangle에 대해, 라만-나트 체제 내에서의 시간 진화는 다음과 같다.

\left|\psi\right\rangle = \left|\psi_0\right\rangle e^{-\frac{i}{\hbar} \int dt'U(z,t')} = \left|\psi_0\right\rangle e^{-\frac{i}{2\delta}\omega^2_\text{R}\tau} e^{\frac{i}{2\delta}\omega^2_\text{R}\tau\cos(2kz)},
여기서 \tau=\int dt'f^2(t')이고 적분은 상호작용의 지속 시간에 걸쳐 이루어진다. 야코비-앙거 전개를 일종의 베셀 함수에 적용하면, e^{i\alpha\cos(\beta)} = \sum^\infty_{n=-\infty}i^n J_n(\alpha)e^{in\beta}가 되며, 위 파동 함수는 다음과 같이 된다.

: 
\begin{align}
\left|\psi\right\rangle & = \left|\psi_0\right\rangle e^{-\frac i {2\delta} \omega^2_\text{R}\tau} \sum^\infty_{n=-\infty}i^nJ_n \left( \frac{\omega^2_\text{R}}{2\delta}\tau\right) e^{i2nkz} \\
& = e^{-\frac i {2\delta}\omega^2_\text{R}\tau} \sum^\infty_{n=-\infty} i^n J_n\left( \frac{\omega^2_\text{R}}{2\delta}\tau\right) \left|g,2n\hbar k\right\rangle
\end{align}


두 번째 줄에서 |\psi_0\rangle 는 |g,0\rangle 로 취해졌다. 이제 2n\hbar k 운동량 상태가 P_n = J^2_n(\theta)  확률로 채워지는 것을 볼 수 있으며, 여기서 n = 0,\pm 1, \pm 2, \ldots 이고 펄스 면적(상호작용의 지속 시간 및 진폭) \theta = \frac{\omega^2_\text{R}}{2\delta}\tau = \omega^{(2)}_\text{R}\tau이다.
따라서 회절된 입자의 횡방향 RMS 운동량은 펄스 면적에 선형적으로 비례한다.
p_\text{rms} = \sum^\infty_{n=-\infty} (n\hbar k)^2 P_n = \sqrt{2}\theta\hbar k.

## 구현

1960년 레이저의 발명으로 코히어런트한 빛의 생산이 가능해졌고, 이에 따라 효과를 실험적으로 관찰하는 데 필요한 빛의 정상파를 구성할 수 있게 되었다.
나트륨 원자의 카피차-디랙 산란은 1985년 매사추세츠 공과대학교 D. E. 프리차드 그룹에 의해 거의 공진하는 정상파 레이저 장에 의해 실험적으로 시연되었다. 반동 미만 횡방향 운동량을 가진 초음속 원자빔이 거의 공진하는 정상파를 통과했고, 최대 10ħk의 회절이 관찰되었다.
강력한 광학 정상파에 의한 전자의 산란은 1988년 뉴저지 AT&T 벨 연구소의 M. 바슈칸스키 그룹에 의해 실험적으로 구현되었다.

카피차-디랙 효과는 광학 격자의 깊이를 교정하는 데 일상적으로 사용된다.

## 각주

분류:양자역학
분류:회절
분류:폴 디랙