그린버거-혼-차일링거 상태

물리학의 양자 정보 이론 분야에서 **그린버거-혼-차일링거 상태**(, **GHZ state**)는 최소 세 개의 하위 시스템(입자 상태, 큐비트, 또는 큐디트)을 포함하는 얽힌 양자 상태이다. 이 상태를 처음 기술한 세 저자의 이름을 따서 명명된 GHZ 상태는 모든 고전적인 국소적 숨은 변수 이론의 예측과 직접적으로 모순되는 실험 결과를 예측한다. 이 상태는 양자 컴퓨팅에 응용된다.

## 역사
4입자 버전은 1989년 대니얼 그린버거, 마이클 혼, 안톤 차일링거에 의해 처음 연구되었으며, 이들은 이것이 국소적 숨은 변수 이론과 일치하지 않는 놀라운 비고전적 상관관계로 이어질 것이라고 예측했다. 이듬해 애브너 시모니가 합류하여 데이비드 머민의 제안을 바탕으로 3입자 버전을 발표했다. GHZ 상관관계의 첫 번째 실험실 관찰은 안톤 차일링거 그룹에 의해 이루어졌으며, 그는 이 공로로 2022년 노벨 물리학상을 공동 수상했다.

## 정의
GHZ 상태는 3개 큐비트에 대한 얽힌 양자 상태이며 다음과 같이 쓸 수 있다.
|\mathrm{GHZ}\rangle = \frac{|000\rangle + |111\rangle}{\sqrt{2}}
여기서 큐비트의  또는  값은 임의의 두 가지 물리적 상태에 대응한다. 예를 들어, 두 상태는 특정 물리적 축을 따른 스핀 다운 및 스핀 업에 해당할 수 있다. 물리학 응용에서 이 상태는 다음과 같이 표기되기도 한다.
|\mathrm{GHZ}\rangle = \frac{|1,1,1\rangle + |{-1},{-1},{-1}\rangle}{\sqrt{2}}
여기서 상태의 번호는 스핀 고유값을 나타낸다.

GHZ 상태의 또 다른 예는 얽힌 상태에 있는 세 개의 광자이다. 이 광자들은 어떤 좌표계에 대해 모두 수평으로 편광된 상태(HHH) 또는 모두 수직으로 편광된 상태(VVV)의 양자 중첩에 있다. GHZ 상태는 브라-켓 표기법으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

:|\mathrm{GHZ}\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\mathrm{HHH}\rangle+|\mathrm{VVV}\rangle).

측정이 이루어지기 전에는 광자의 편광이 결정되지 않는다. 만약 좌표계의 축과 정렬된 2채널 편광자를 사용하여 광자 중 하나를 측정하면, 각 방향이 50%의 확률로 관찰된다. 그러나 상태에 대한 세 가지 측정 결과는 모두 동일한 결과를 제공한다. 즉, 세 가지 편광이 모두 동일한 축을 따라 관찰된다.

### 일반화
일반화된 GHZ 상태는 개 하위 시스템의 얽힌 양자 상태이다. 각 시스템의 차원이 인 경우, 즉 국소적 힐베르트 공간이 \mathbb{C}^d와 동형인 경우, 부 시스템의 전체 힐베르트 공간은 \mathcal{H}_{\rm tot}=(\mathbb{C}^d)^{\otimes M}이다. 이 GHZ 상태는 부 큐딧 GHZ 상태라고도 불린다.
텐서곱으로 표현된 공식은 다음과 같다.

:|\mathrm{GHZ}\rangle=\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{i=0}^{d-1}|i\rangle\otimes\cdots\otimes|i\rangle=\frac{1}{\sqrt{d}}(|0\rangle\otimes\cdots\otimes|0\rangle+\cdots+|d-1\rangle\otimes\cdots\otimes|d-1\rangle).

각 하위 시스템이 2차원인 경우, 즉 개 큐비트 모음의 경우 다음과 같이 읽힌다.

:|\mathrm{GHZ}\rangle = \frac{|0\rangle^{\otimes M} + |1\rangle^{\otimes M}}{\sqrt{2}}.

## GHZ 실험
GHZ 실험은 GHZ 상태를 통해 양자 비국소성을 입증한다. GHZ 실험에서는 먼저 GHZ 상태를 준비하고, 세 개의 큐비트를 공간적으로 분리한다. 그런 다음 세 개의 큐비트 각각에 대해 X 기저 또는 Y 기저에서 파울리 측정을 적용하여 +1 또는 -1의 세 가지 결과를 얻는다. 결과들을 서로 곱하여 파괴적인 다중 큐비트 파울리 측정 P_1P_2P_3을 구현한다. 여기서 P_i \in \{X_i, Y_i\}이다.

양자역학은 측정 가능한 네 가지 다중 큐비트 파울리 연산자가 ±1의 기댓값을 가질 것으로 예측한다(이는 {±1}이 가능한 측정 결과의 집합이기도 하므로, 이들 다중 큐비트 파울리 연산자가 결정론적인 값을 가짐을 의미한다).
:\langle\mathrm{GHZ}|Y_1Y_2X_3|\mathrm{GHZ}\rangle = \langle\mathrm{GHZ}|Y_1X_2Y_3|\mathrm{GHZ}\rangle = \langle\mathrm{GHZ}|X_1Y_2Y_3|\mathrm{GHZ}\rangle = -1,
:\langle\mathrm{GHZ}|X_1X_2X_3|\mathrm{GHZ}\rangle = +1,
이것은 양자역학에서 일관성이 있는데, 왜냐하면 이 모든 다중 큐비트 파울리 연산자들은 서로 교환 가능하며, X와 Y 사이의 반교환성(anticommutativity) 때문에
:Y_1Y_2X_3 \cdot Y_1X_2Y_3 \cdot X_1Y_2Y_3 \cdot X_1X_2X_3 = -1
이 성립하기 때문이다.

### 광자 구현
GHZ 실험은 광자 편광 큐비트를 사용하여 수행되었으며, 이에 대해 기저 상태는 주어진 좌표계에서 수평 및 수직 편광으로 선택될 수 있다.
:|0\rangle \equiv |\mathrm{H}\rangle, \qquad |1\rangle \equiv |\mathrm{V}\rangle.

|\mathrm{H}\rangle와 |\mathrm{V}\rangle에 대해 적절히 선택된 위상 인자를 사용하면, 파울리 X 및 Y 측정 모두 2채널 편광자로 구현할 수 있다.
* 좌표계의 축에서 45° 회전된 선형 편광자는 다음 고유 상태를 구별하는 파울리 X 측정을 구현한다.
:|{+X}\rangle \equiv |+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\mathrm{H}\rangle + |\mathrm{V}\rangle), \qquad |{-X}\rangle \equiv |-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\mathrm{H}\rangle - |\mathrm{V}\rangle).
* 원편광자는 다음 고유 상태를 구별하는 파울리 Y 측정을 구현한다.
:|{+Y}\rangle \equiv |R\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\mathrm{H}\rangle + i|\mathrm{V}\rangle), \qquad |{-Y}\rangle \equiv |L\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\mathrm{H}\rangle - i|\mathrm{V}\rangle).

예를 들어, Y_1Y_2X_3 측정을 구현하려면 광자 1과 2에는 원편광자를, 광자 3에는 45° 선형 편광자를 적용한다. 양자역학은 결과의 곱(각각 ±1로 기록됨)이 -1이 되어야 한다고 예측한다. 광자 편광 측면에서 {RL+, LR+, RR−, LL−}의 네 가지 결과 조합만 가능하다.

실험 오차 범위 내에서 광자 실험의 결과는 양자역학의 예측과 일치한다. 또한 오차율이 충분히 낮아(각 측정 구성에 대해 약 15%), 결과가 통계적으로 국소 실재론과 충돌한다.

## 얽힘 특성
### 쌍별 얽힘
GHZ 상태의 중요한 특성은 세 개의 큐비트 중 하나에 대해 부분 트레이스(partial trace)를 취하면 다음과 같다는 것이다.
:\operatorname{Tr}_3\left[\left(\frac{\sqrt{2}}\right) \right] = \frac{(|00\rangle \langle 00| + |11\rangle \langle 11|)}{2},
이는 얽히지 않은 혼합 상태이다. 이것은 특정한 2입자(큐비트) 상관관계를 가지지만, 이는 고전적인 성격의 것이다. 이는 또한 세 번째 큐비트를 파울리  기저에서 측정하면 얽히지 않은 순수 상태인 처음 두 큐비트에 곱 상태 |00\rangle 또는 |11\rangle이 남는다는 사실로도 입증된다.

그러나 세 번째 큐비트를 파울리  또는  기저에서 측정하면 처음 두 큐비트가 최대 얽힘 상태인 벨 상태로 남을 수 있다. 세 번째 큐비트를 파울리  기저로 표현한 3-큐비트 GHZ 상태는 다음과 같다.
:\begin{align}
|\mathrm{GHZ}\rangle & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|000\rangle + |111\rangle\right)\\
& = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|00\rangle \otimes \frac{|+\rangle + |-\rangle}{\sqrt{2}} + |11\rangle \otimes \frac{|+\rangle - |-\rangle}{\sqrt{2}}\right)\\
& = \frac{1}{2}\left(|00\rangle + |11\rangle \right) \otimes |+\rangle +
\frac{1}{2}\left(|00\rangle - |11\rangle\right) \otimes |-\rangle\\
& = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\Phi^+\rangle \otimes |+\rangle +
|\Phi^-\rangle \otimes |-\rangle\right).
\end{align}

세 번째 큐비트의  기저 측정 결과가 |+\rangle이면 |\Phi^+\rangle =(|00\rangle + |11\rangle)/\sqrt{2}가 선택되고, 마찬가지로 |-\rangle 결과가 나오면 |\Phi^-\rangle=(|00\rangle - |11\rangle)/\sqrt{2}가 선택된다. 어느 경우든 최대 얽힘 벨 상태이다.

추론하자면, 처음 두 큐비트의 측정 통계는 양자 비국소성을 나타낼 것이다. 그러나 이 상관관계의 정확한 특성은 세 번째 큐비트의 측정 결과에 따라 달라지므로, 후자의 측정 결과를 알 수 없을 때는 나타나지 않는다. 예를 들어,  기저에서 |\Phi^+\rangle의 두 큐비트를 모두 측정하면 항상 동일한 결과가 나오지만, |\Phi^-\rangle에 대한 동일한 측정은 항상 반대의 결과를 낸다. 따라서 세 번째 큐비트의 측정 결과를 모를 때, 처음 두 큐비트의  측정 결과는 상관관계가 없는 것처럼 보인다. 두 양자 시스템의 얽힘이 세 번째 시스템의 측정에 의존하는 이 현상을 크렌과 차일링거는 "얽힌 얽힘"(entangled entanglement)이라고 불렀다.

처음 두 큐비트 사이의 상관관계는 세 번째 큐비트의 측정 결과에 따라 국소적인 양자 게이트를 적용함으로써 확정될 수도 있다. 예를 들어 결과가 |-\rangle일 때, 처음 두 큐비트 중 하나에  게이트를 적용하여 |\Phi^-\rangle를 |\Phi^+\rangle로 변환할 수 있다. 따라서 3-큐비트 GHZ 상태는 국소 연산 및 고전 통신(LOCC)을 통해 2-큐비트 벨 상태로 변환될 수 있다.

### 다부간 얽힘
서로 변환할 수 없는 다양한 유형의 다부간 얽힘이 존재하기 때문에 다부간 얽힘의 표준 척도는 없다. 그럼에도 불구하고 많은 척도에서 GHZ 상태를 최대 얽힘 상태로 정의한다.

N개 부분의 순수 상태 |\psi\rangle가 비어 있지 않은 두 개의 분리된 부분 집합 A와 B(단, A \cup B = \{1,\dots,N\})로 분할되어 |\psi\rangle = |\phi\rangle_A \otimes |\gamma\rangle_B가 될 수 있다면, 즉 |\psi\rangle가 분할 A|B에 대해 곱 상태라면 이를 이분할 가능(biseparable)하다고 한다. GHZ 상태는 이분할 불가능하며, 국소 양자 연산(LOCC)에 의해 서로 (확률적으로도) 변환될 수 없는 두 가지 이분할 불가능 3-큐비트 상태 클래스 중 하나의 대표이다. 다른 하나는 W 상태 |\mathrm{W}\rangle = (|001\rangle + |010\rangle + |100\rangle)/\sqrt{3}이다. 따라서 |\mathrm{GHZ}\rangle와 |\mathrm{W}\rangle는 세 개 이상의 입자에 대해 매우 다른 종류의 얽힘을 나타낸다.

W 상태는 어떤 의미에서 GHZ 상태보다 "덜 얽혀" 있지만, 큐비트 손실에 대해 얽힘이 더 견고하다. 즉, 3-큐비트 W 상태는 큐비트 중 하나를 버려도 이분 얽힘 상태로 남아 있다. 한 큐비트를  기저에서 측정하면 나머지 두 큐비트 사이의 얽힘은 1/3 확률로 손실되지만, 2/3 확률로 최대 얽힘으로 승격된다. 대조적으로 3-큐비트 GHZ 상태의 경우 큐비트 하나를 버리면 분리 가능한 혼합 상태가 되고, 큐비트에 대한  측정은 항상 순수 곱 상태를 남긴다. GHZ 상태와 W 상태 모두 3개 이상의 큐비트를 가진 시스템으로 일반화될 수 있으며 둘 다 고유의 특성을 유지한다. -큐비트 GHZ 상태는 큐비트 하나만 잃어도 얽힘이 풀리는 반면, -큐비트 W 상태는 큐비트가 두 개만 남더라도 약간의 얽힘을 유지한다.

## 가능한 응용
GHZ 상태는 양자 암호 및 양자 통신의 여러 제안된 프로토콜, 예를 들어 비밀 공유(secret sharing)나 양자 비잔틴 합의(quantum Byzantine agreement)에서 사용된다. 많은 수의 큐비트에 대한 GHZ 상태는 다른 큐비트 중첩 상태에 비해 계측(metrology) 성능을 향상시키는 것으로 이론화되어 있다.

## 같이 보기
* 벨 부등식
* 국소적 숨은 변수 이론
* NOON 상태
* 양자 의사 텔레파시
* 딕 상태

## 각주


## 외부 링크
* Demonstration of the GHZ state on Quantum Flytrap

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