준위상 정합

**준위상 정합**()은 비선형 광학에서 펌프 주파수에서 신호 및 유휴 주파수로의 양의 순 에너지 흐름을 비선형 매체에 주기적인 구조를 생성하여 허용하는 기술이다. 운동량은 위상 정합에 필요한 대로 주기적인 구조의 파동 벡터에 해당하는 추가 운동량 기여를 통해 보존된다. 결과적으로, 원칙적으로 에너지 보존을 만족하는 모든 3파 혼합 과정은 위상 정합이 가능하다. 예를 들어, 관련된 모든 광학 주파수는 동일 선상에 있을 수 있고, 동일한 편광을 가질 수 있으며, 임의의 방향으로 매체를 통과할 수 있다. 이를 통해 비선형 상호 작용에서 재료의 가장 큰 비선형 계수를 사용할 수 있다.

준위상 정합은 관련된 모든 주파수가 서로 위상 고정되어 있지 않더라도 펌프 주파수에서 신호 및 유휴 주파수로의 양의 에너지 흐름을 보장한다. 두 광파 사이의 위상이 180도 미만인 한 에너지는 항상 펌프에서 신호로 흐른다. 180도를 넘어서면 에너지는 신호에서 펌프 주파수로 되돌아간다. 결맞음 길이는 펌프의 위상과 유휴 및 신호 주파수의 합이 서로 180도인 매체의 길이이다. 각 결맞음 길이에서 결정 축이 뒤집히므로 에너지가 펌프에서 신호 및 유휴 주파수로 계속 양의 방향으로 흐를 수 있다.

준위상 정합 결정 생성을 위해 가장 일반적으로 사용되는 기술은 주기적 분극이었다. 이를 위한 인기 있는 재료는 나이오브산 리튬이다. 최근에는 균일한 선형 광학 특성을 가지지만 공간적으로 변화하는 유효 비선형 편광률을 가진 비선형 메타표면을 사용하여 국부 비선형성에 대한 연속적인 위상 제어가 달성되었다. 광학장은 나노구조 내부에 강하게 제한되거나 나노구조를 둘러싸므로, 비선형 상호 작용은 10nm에서 100nm에 이르는 초소형 영역에서 실현될 수 있으며, 더 많은 주파수를 생성하기 위해 모든 방향으로 산란될 수 있다. 따라서 나노스케일 차원에서 완화된 위상 정합을 달성할 수 있다.

## 수학적 설명
비선형 광학에서 새로운 주파수의 생성은 일반적으로 단색의 고강도 펌프 주파수에 대한 결정의 비선형 편광 응답의 결과이다. 결정 축이 뒤집히면 편광파는 180° 시프트되어 신호 및 유휴 빔으로의 양의 에너지 흐름을 보장한다. 주파수 \omega_1과 \omega_2의 파동이 혼합되어 \omega_3=\omega_1+\omega_2를 생성하는 합 주파수 생성의 경우, 편광 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다.

:
P_3 = 4 d A_1 A_2 e^{i(k_1+k_2)z},


여기서 d는 비선형 감수율 계수이고, i는 허수 단위를 나타내며, A는 복소수 진폭이고, k=\omega/c는 파수이다. 이 주파수 영역 벡터 표현에서 비선형(이방성) 결정 축이 뒤집히면 d 계수의 부호가 뒤집힌다.

:
P_3 = -4d A_1 A_2 e^{i(k_1+k_2)z} = 4d A_1 A_2 e^{i((k_1+k_2)z} e^{i\pi}.


## 신호 진폭의 전개
일정한 펌프 진폭(비고갈 펌프 근사)을 가정하여 이차 고조파 생성의 경우에서 비선형적으로 생성된 신호 진폭을 계산해 보자. 여기서 \omega_1의 강한 펌프가 \omega_2=2\omega_1에서 주파수 배가된 신호를 생성한다.

신호 파장은 결정에 존재하는 도메인 수에 대한 합으로 표현될 수 있다. 일반적으로 신호 진폭의 공간적 변화율은 다음과 같다.


\frac{\partial A_2}{\partial z}=A_1^2 \chi e^{i \Delta k z},


여기서 A_2는 생성된 주파수 진폭이고 A_1은 펌프 주파수 진폭이며 \Delta k는 두 광파 사이의 위상 불일치이다. \chi는 결정의 비선형 감수율을 나타낸다.

주기적으로 분극된 결정의 경우 결정 축은 매번 180도 뒤집혀 \chi의 부호를 변경한다. n^{th} 도메인에서 \chi는 다음과 같이 표현될 수 있다.


\chi=\chi_0 (-1)^n


여기서 n은 분극된 도메인의 인덱스이다. 총 신호 진폭 A_2는 합으로 표현될 수 있다.


A_2=A_1^2 \chi_0 \sum^{N-1}_{n=0} (-1)^n \int^{\Lambda (n+1)}_{\Lambda n} e^{i \Delta k z} \partial z


여기서 \Lambda는 결정 내 폴 사이의 간격이다. 위 방정식은 다음과 같이 적분된다.


A_2=-\frac{i A_1^2 \chi_0}{\Delta k} \sum^{N-1}_{n=0} (-1)^n (e^{i \Delta k \Lambda (n+1)}-e^{i \Delta k \Lambda n})


그리고 다음과 같이 간소화된다.


A_2=-i A_1^2 \chi_0 \frac{e^{i \Delta k \Lambda}-1}{\Delta k} \sum^{N-1}_{n=0} (-1)^n e^{i \Delta k \Lambda n}


합은 다음과 같다.


s=\sum^{N-1}_{n=0} (-1)^n e^{i \Delta k \Lambda n}=1-e^{i \Delta k \Lambda}+e^{i 2 \Delta k \Lambda}-e^{i 3 \Delta k \Lambda}+...+(-1)^N e^{i \Delta k \Lambda (N-2)}-(-1)^N e^{i \Delta k \Lambda (N-1)}.


위 방정식의 양변에 e^{i \Delta k \Lambda} 인수를 곱하면 다음이 된다.


s e^{i \Delta k \Lambda}=e^{i \Delta k \Lambda} -e^{i 2 \Delta k \Lambda}+e^{i 3 \Delta k \Lambda}+...+(-1)^N e^{i \Delta k \Lambda (N-1)}-(-1)^N e^{i \Delta k \Lambda N}.


두 방정식을 더하면 다음 관계가 도출된다.


s(1+e^{i \Delta k \Lambda})=1-(-1)^N e^{i \Delta k \Lambda N}.


s에 대해 풀면 다음이 된다.


s=\frac{1-(-1)^N e^{i \Delta k \Lambda N} }{1+e^{i \Delta k \Lambda}},


이는 다음으로 이어진다.


A_2=-i A_1^2 \chi_0 \left( \frac{e^{i \Delta k \Lambda}-1}{\Delta k} \right)\left(\frac{1-(-1)^N e^{i \Delta k \Lambda N}}{e^{i \Delta k \Lambda}+1}\right).


총 SHG 강도는 다음과 같이 표현될 수 있다.


I_2=A_2 A_2^*= \left|A_{1}\right|^{4} \chi_0^2 \Lambda^2 \mbox{sinc}^2(\Delta k \Lambda/2) \left(\frac{1-(-1)^N \cos(\Delta k \Lambda N)}{1+\cos(\Delta k \Lambda)} \right).


\Lambda=\frac{\pi}{\Delta k}인 경우, 위 방정식의 오른쪽 부분은 정의되지 않으므로 \Delta k \Lambda \rightarrow \pi일 때 로피탈의 정리를 적용하여 극한을 취해야 한다.


\lim_{\Delta k \Lambda\to\pi}\frac{1-(-1)^N \cos(\Delta k \Lambda N)}{1+\cos(\Delta k \Lambda)}=N^2


이는 신호 강도로 이어진다.


I_2=\frac{4 \left|A_{1}\right|^{4} \chi_0^2 L^2}{\pi^2}.


m=1,3,5,...에 대해 다른 도메인 너비, 즉 \Lambda=\frac{m \pi}{\Delta k}를 허용하려면 위 방정식은 다음과 같이 된다.


I_2=A_2 A_2^*= \left|A_{1}\right|^{4}\chi_0^2 \Lambda^2 \mbox{sinc}^2(m \Delta k \Lambda/2) \left(\frac{1-(-1)^N \cos(m \Delta k \Lambda N)}{1+\cos(m \Delta k \Lambda)} \right).


\Lambda = \frac{m \pi}{\Delta k}일 때 강도는 다음과 같이 된다.


I_2=\frac{4 \left|A_{1}\right|^{4} \chi_0^2 L^2}{m^2 \pi^2}.


이것은 준위상 정합이 다른 도메인 너비 \Lambda에서 존재하도록 허용한다. 그러나 이 방정식에서 준위상 정합 차수  m 가 증가할수록 효율은  m^2 만큼 감소한다는 것을 알 수 있다. 예를 들어, 3차 준위상 정합의 경우 결정의 1/3만이 신호 주파수 생성에 효과적으로 사용되며, 결과적으로 신호 파장의 진폭은 1차 준위상 정합을 위한 동일 길이 결정의 진폭의 1/3에 불과하다.

## 도메인 폭 계산
도메인 폭은 셀마이어 방정식과 파동 벡터 관계를 사용하여 계산된다. 차이 주파수 생성의 경우, 이 관계는 \Delta k = k_1 - k_2 - k_3가 성립하며, 여기서 k_1, k_2, \mbox{그리고 } k_3는 펌프, 신호, 유휴 파동 벡터이고 k_i = \frac{2 \pi n(\lambda_i)}{\lambda_i}이다. 다른 주파수에 대한 \Delta k를 계산함으로써 \Lambda = \frac{\pi}{\Delta k} 관계로부터 도메인 폭을 계산할 수 있다.

## 직교 준위상 정합
이 방법은 고순도 초얽힘 두 광자 상태의 생성을 가능하게 한다. 직교 준위상 정합(OQPM)에서 얇은 층 결정 구조가 직교 방향을 따른 주기적 분극과 결합된다. 직교 편광 광자의 주기적 하향 변환과 위상 불일치를 보정하는 주기적 분극을 결합함으로써 구조는 종방향 보행(지연)이 발생하기 전에 스스로 보정하고 축적되지 않도록 한다. 초격자의 중첩된 자발 파라메트릭 하향 변환(SPDC) 복사는 고순도 두 광자 얽힘 상태를 생성한다.

## 각주


분류:비선형 광학
분류:이차조화파