편극 항등식

섬네일|편극 항등식 <math>2\|x\|^2 + 2\|y\|^2 = \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2</math>에 관련된 벡터.
선형대수학은 수학의 한 분야로, **편극 항등식** 또는 **극화 항등식**(polarization identity)은 노름 공간의 노름으로 두 벡터의 내적을 표현하는 여러 공식 중 하나이다.
만약 어떤 노름이 내적으로부터 유도된 것이라면, 편극 항등식을 사용하여 이 내적을 노름만을 사용하여 표현할 수 있다. 편극 항등식은 노름이 기껏해야 하나의 내적으로부터 유도될 수 있음을 보여주지만, 어떤 내적으로부터도 유도되지 않는 노름도 존재한다.

모든 내적 공간에 연관된 노름은 평행사변형 법칙을 만족한다: \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2.
사실, 존 폰 노이만이 관찰한 바와 같이, 평행사변형 법칙은 내적으로부터 유도되는 노름을 특징짓는다.
노름 공간 (H, \|\cdot\|)이 주어졌을 때, \|\cdot\|에 대해 평행사변형 법칙이 성립하는 것은 모든 x \in H에 대해 \|x\|^2 = \langle x,\ x\rangle가 되는 내적 \langle \cdot, \cdot \rangle가 H에 존재하는 것과 동치이며, 이 경우 이 내적은 편극 항등식을 통해 노름에 의해 고유하게 결정된다.

## 편극 항등식

벡터 공간의 모든 내적은 다음 방정식으로 노름을 유도한다.
\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}.
편극 항등식은 이 관계를 역전시켜 노름으로부터 내적을 복원한다.
모든 내적은 다음을 만족한다.
\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 + 2\operatorname{Re}\langle x, y \rangle \qquad \text{ for all vectors } x, y.

\operatorname{Re}\langle x, y \rangle에 대해 풀면 다음 공식이 나온다. \operatorname{Re}\langle x, y \rangle = \frac{1}{2} \left(\|x+y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2\right). 내적이 실수인 경우 \operatorname{Re}\langle x, y \rangle = \langle x, y \rangle이며, 이 공식은 실수 내적에 대한 편극 항등식이 된다.

### 실수 벡터 공간

벡터 공간이 실수 위에 정의된 경우 편극 항등식은 다음과 같다.
\begin{alignat}{4}
\langle x, y \rangle
&= \frac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2\right) \\[3pt]
&= \frac{1}{2} \left(\|x+y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2\right) \\[3pt]
&= \frac{1}{2} \left(\|x\|^2 + \|y\|^2 - \|x-y\|^2\right). \\[3pt]
\end{alignat}

이러한 다양한 형태는 모두 평행사변형 법칙에 의해 동등하다.
2\|x\|^2 + 2\|y\|^2 = \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2.

이것은 또한 평행사변형 법칙이 충족되지 않으므로 L^p 클래스가 일 때마다 힐베르트 공간이 아님을 의미한다. 반례를 위해, 일반 도메인 \Omega\subset\mathbb{R}^n의 서로소인 두 부분집합 A,B에 대해 x=1_A와 y=1_B를 고려하고 평행사변형 법칙 하에서 두 집합의 측도를 계산한다.

### 복소 벡터 공간

복소수 위의 벡터 공간의 경우, 위 공식들은 복소 내적의 허수부를 설명하지 않으므로 정확하지 않다.
그러나 유사한 표현은 실수부와 허수부를 모두 유지한다.
내적의 복소수 부분은 첫 번째 인수 또는 두 번째 인수에 대해 반선형인지에 따라 달라진다.
물리학에서 흔히 사용되는 표기법인 \langle x | y \rangle,는  인수에 대해 반선형이라고 가정하고, 수학에서 흔히 사용되는 \langle x,\, y \rangle,는  인수에 대해 반선형이라고 가정한다.
이들은 다음 공식으로 연결된다.
\langle x,\, y \rangle = \langle y \,|\, x \rangle \quad \text{ for all } x, y \in H.

어떤 내적의 실수부는 (어떤 인수가 반선형이든, 실수든 복소수든 상관없이) 대칭 쌍선형 사상이며, 모든 x, y \in H에 대해 항상 다음과 같다.
\begin{alignat}{4}
R(x, y)
:&= \operatorname{Re} \langle x \mid y \rangle = \operatorname{Re} \langle x, y \rangle \\
&= \frac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2\right) \\
&= \frac{1}{2} \left(\|x+y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2\right) \\[3pt]
&= \frac{1}{2} \left(\|x\|^2 + \|y\|^2 - \|x-y\|^2\right). \\[3pt]
\end{alignat}

이는 항상 대칭 사상으로, 다음을 의미한다.
R(x, y) = R(y, x) \quad \text{ for all } x, y \in H,
또한 다음을 만족한다.
R(ix, y) = - R(x, iy) \quad \text{ for all } x, y \in H,
이는 i 인수를 다른 인수로 옮기려면 음수 부호를 도입해야 한다는 의미이다. 이러한 속성은 내적의 속성에서 직접 증명하거나 편극 항등식을 사용하여 노름의 속성에서 증명할 수 있다.

R(x, y) := \frac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2\right).로 정의하자.
그러면 R(y, x)=\frac{1}{4} \left(\|y+x\|^2 - \|y-x\|^2\right)=\frac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2\right)=R(x, y)이며,

이는 임을 증명한다.

또한,

R(ix, y)=\frac{1}{4} \left(\|ix+y\|^2 - \|ix-y\|^2\right)

=\frac{1}{4} \left(\|x+(1/i)y\|^2 - \|x-(1/i)y\|^2\right)

=\frac{1}{4} \left(\|x-iy\|^2 - \|x+iy\|^2\right)

=-\frac{1}{4} \left( \|x+iy\|^2 - \|x-iy\|^2\right)

=-R(x, iy),

이는 R(ix, y) = - R(x, iy)임을 증명한다.
\blacksquare

복소 내적의 허수부는 실수부와 달리 어떤 인수가 반선형인지에 따라 달라진다.

**첫 번째 인수에 대해 반선형**

 인수에 대해 반선형인 내적 \langle x \,|\, y \rangle,에 대한 편극 항등식은 다음과 같다.
:\begin{alignat}{4}
\langle x \,|\, y \rangle
&= \frac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 - i\|x + iy\|^2 + i\|x - iy\|^2\right) \\
&= \frac{1}{4} \sum_{k=0}^3 i^k\|x+(-i)^ky\|^2 \\
&= R(x, y) - i R(x, iy) \\
&= R(x, y) + i R(ix, y) \\
\end{alignat}
여기서 x, y \in H.
끝에서 두 번째 등식은 선형 범함수 \varphi를 그 실수부로 표현하는 공식과 유사하다: \varphi(y) = \operatorname{Re} \varphi(y) - i (\operatorname{Re} \varphi)(i y).

**두 번째 인수에 대해 반선형**

 인수에 대해 반선형인 내적 \langle x, \ y \rangle,에 대한 편극 항등식은 \langle x \,|\, y \rangle의 관계로부터 유도된다.
\langle x, \ y \rangle := \langle y \,|\, x \rangle = \overline{\langle x \,|\, y \rangle} \quad \text{ for all } x, y \in H.
따라서 모든 x, y \in H,에 대해
: \begin{alignat}{4}
\langle x,\, y \rangle
&= \frac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 + i\|x + iy\|^2 - i\|x - iy\|^2\right) \\
&= R(x, y) + i R(x, iy) \\
&= R(x, y) - i R(ix, y). \\
\end{alignat}

이 표현은 대칭적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.
\langle x, y \rangle = \frac{1}{4} \sum_{k=0}^3 i^k \left\|x + i^k y\right\|^2.

**두 가지 경우 요약**

따라서 R(x, y) + i I(x, y)가 그 정의역의 점 (x, y) \in H \times H에서의 어떤 내적 값의 실수부와 허수부를 나타낸다면, 그 허수부는 다음과 같다.
I(x, y) ~=~
\begin{cases}
~R({\color{red}i} x, y)  & \qquad \text{ 만약 } {\color{red}1} \text{ 번째 인수가 반선형일 경우 } \\
~R(x, {\color{blue}i} y) & \qquad \text{ 만약 } {\color{blue}2} \text{ 번째 인수가 반선형일 경우 } \\
\end{cases}
여기서 스칼라 i는 항상 내적이 반선형인 동일한 인수에 위치한다.

를 사용하면 허수부에 대한 위 공식은 다음과 같이 된다.
I(x, y) ~=~
\begin{cases}
-R(x, {\color{black}i} y) & \qquad \text{ 만약 } {\color{black}1} \text{ 번째 인수가 반선형일 경우 } \\
-R({\color{black}i} x, y) & \qquad \text{ 만약 } {\color{black}2} \text{ 번째 인수가 반선형일 경우 } \\
\end{cases}

## 내적 재구성

노름 공간 (H, \|\cdot\|)에서, 평행사변형 법칙
\|x+y\|^2 ~+~ \|x-y\|^2 ~=~ 2\|x\|^2+2\|y\|^2
이 성립하면, 모든 x \in H에 대해 \|x\|^2 = \langle x,\ x\rangle인 고유한 내적 \langle \cdot,\ \cdot\rangle이 H에 존재한다.

주어진 노름 \|\cdot\|을 유도하는 내적이 존재하기 위한 또 다른 필요충분조건은 노름이 프톨레마이오스 부등식을 만족하는 것인데, 이는 다음과 같다.
\|x - y\| \, \|z\| ~+~ \|y - z\| \, \|x\| ~\geq~ \|x - z\| \, \|y\| \qquad \text{ for all vectors } x, y, z.

## 응용 및 결과

H가 복소 힐베르트 공간인 경우, \langle x \mid y \rangle가 실수인 것은 그 허수부가 인 경우에만 해당하며, 이는 인 경우에만 발생한다.
유사하게, \langle x \mid y \rangle가 (순수) 허수인 것은 인 경우에만 해당한다.
예를 들어, \|x+ix\| = |1+i| \|x\| = \sqrt{2} \|x\| = |1-i| \|x\| = \|x-ix\|로부터 \langle x | x \rangle가 실수이고 \langle x | ix \rangle가 순수 허수임을 결론 내릴 수 있다.

### 등거리변환

A : H \to Z가 두 힐베르트 공간 사이의 선형 등거리변환이라면 (즉, 모든 h \in H에 대해 \|A h\| = \|h\|라면)
\langle A h, A k \rangle_Z = \langle h, k \rangle_H \quad \text{ for all } h, k \in H;
즉, 선형 등거리변환은 내적을 보존한다.

만약 A : H \to Z가 대신 반선형 등거리변환이라면
\langle A h, A k \rangle_Z = \overline{\langle h, k \rangle_H} = \langle k, h \rangle_H \quad \text{ for all } h, k \in H.

### 코사인 법칙과의 관계

편극 항등식의 두 번째 형식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
\|\textbf{u}-\textbf{v}\|^2 = \|\textbf{u}\|^2 + \|\textbf{v}\|^2 - 2(\textbf{u} \cdot \textbf{v}).

이것은 본질적으로 , , 그리고  벡터로 형성된 삼각형에 대한 코사인 법칙의 벡터 형식이다.
특히,
\textbf{u}\cdot\textbf{v} = \|\textbf{u}\|\,\|\textbf{v}\| \cos\theta,
여기서 \theta는 벡터 \textbf{u}와  사이의 각도이다.

u와 v가 비슷할 경우 심각한 상쇄로 인해 이 방정식은 수치적으로 불안정하므로 수치 계산에는 피해야 한다.

### 유도

노름과 스칼라곱 사이의 기본적인 관계는 다음 방정식으로 주어진다.
\|\textbf{v}\|^2 = \textbf{v} \cdot \textbf{v}.

그러면
\begin{align}
\|\textbf{u} + \textbf{v}\|^2
&= (\textbf{u} + \textbf{v}) \cdot (\textbf{u} + \textbf{v}) \\[3pt]
&= (\textbf{u} \cdot \textbf{u}) + (\textbf{u} \cdot \textbf{v}) + (\textbf{v} \cdot \textbf{u}) + (\textbf{v} \cdot \textbf{v}) \\[3pt]
&= \|\textbf{u}\|^2 + \|\textbf{v}\|^2 + 2(\textbf{u} \cdot \textbf{v}),
\end{align}
그리고 비슷하게
\|\textbf{u} - \textbf{v}\|^2 = \|\textbf{u}\|^2 + \|\textbf{v}\|^2 - 2(\textbf{u} \cdot \textbf{v}).

편극 항등식의 형식 (1)과 (2)는 이 방정식들을 에 대해 풀면 얻어지고, 형식 (3)은 이 두 방정식을 빼면 얻어진다.
(이 두 방정식을 더하면 평행사변형 법칙이 나온다.)

## 일반화

### 조르단-폰 노이만 정리
앞서 언급된 표준 조르단–폰 노이만 정리는, 만약 어떤 노름이 평행사변형 법칙을 만족하면, 편극 항등식으로 정의되는 내적에 의해 유도될 수 있다는 것이다. 이 정리에는 여러 변형이 있다.

다양한 직교의 의미를 정의하자.

* 등변: \|x+y \| =\|x-y \|
* 로버츠': 모든 스칼라 t에 대해 \left\|x+ty\right\|=\left\|x-ty\right\|.
* 피타고라스: \left\|x+y\right\|^2=\|x\|^2+\left\|y\right\|^2
* 비르크호프-제임스: 모든 스칼라 t에 대해 \|x\| \leq \|x + ty \|.

V를 실수 또는 복소수 위의 벡터 공간이라고 하자. \|\cdot\|을 V 위의 노름이라고 하자. 우리는 노름이 내적에 의해 유도되는 조건을 고려한다. 다음 진술에서 스칼라가 나타날 때마다, V가 복소수 위라고 하더라도 스칼라가 단순히 실수로 제한될 수 있다.

* (폰 노이만-조르단 조건) 노름은 평행사변형 항등식을 만족한다.
* (약화된 폰 노이만-조르단 조건) 모든 단위 벡터 x,y에 대해 \|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 4이다. 즉, 노름은 단위 벡터에 대해 평행사변형 항등식을 만족한다.
* 임의의 x, y \in V에 대해, x, y로부터 등거리인 점들의 집합은 평탄하다. 즉, 아핀 부분 공간이다.
* 등변 또는 로버츠 의미의 직교성은 한 변수에 대해 가산적이거나 동차적이다.
* V의 모든 2차원 부분 공간 W \subset V에 대해, x \in W인 모든 x에 대해, x에 대해 로버츠 의미로 직교하는 y \in W가 존재한다.
* 등변 직교성은 피타고라스 직교성을 함축한다.
* 피타고라스 직교성은 등변 직교성을 함축한다.
* 만약 x, y가 피타고라스 직교하면, x, -y도 그렇다.
* 비르크호프-제임스 직교성은 대칭적이다.
* 만약 \|x\|=\|y\|이고 t, s가 실수라면, \|t x+s y\|=\|s x+t y\|이다.

실수 벡터 공간의 경우 다음 조건도 있다.

* 단위 구의 모든 2차원 단면은 타원이다. 즉, 일부 단위 벡터 x, y에 대해 \{x \cos\theta + y \sin\theta : \theta \in [0, 2\pi]\}로 매개변수화할 수 있다.

바나흐-마주르 회전 문제: 임의의 두 단위 벡터 x, y에 대해 T(x) = y 또는 T(y) = x인 선형 전사 등거리변환 T가 존재하는 분해 가능 바나흐 공간 V가 힐베르트 공간에 등거리 동형인가?

이 문제의 일반적인 경우는 열린 문제이다. 공간이 가분 유한 차원일 때 답은 '예'이다. 즉, 실수 또는 복소수 위의 유한 차원 노름 벡터 공간이 주어졌을 때, 단위 구의 어떤 점이든 선형 등거리변환에 의해 다른 어떤 점으로 매핑(회전)될 수 있다면, 그 노름은 내적에 의해 유도된다.

### 대칭 쌍선형 형식

편극 항등식은 내적에만 국한되지 않는다.
B가 벡터 공간에 대한 어떤 대칭 쌍선형 형식이고, Q가 다음으로 정의되는 이차 형식이라면
Q(v) = B(v, v),
그러면
\begin{align}
2 B(u, v) &= Q(u + v) - Q(u) - Q(v), \\
2 B(u, v) &= Q(u)     + Q(v) - Q(u - v), \\
4 B(u, v) &= Q(u + v)        - Q(u - v).
\end{align}

이른바 대칭화 사상은 후자의 공식을 일반화하며, Q를 Q(v) = B(v, \ldots, v)로 정의되는 차수 k의 동차다항식으로 대체하는데, 여기서 B는 대칭 k-선형 사상이다.

위 공식은 체의 표수가 2인 경우에도 적용되지만, 이 경우 좌변은 모두 0이 된다.
결과적으로, 표수 2에서는 이차 형식으로 대칭 쌍선형 형식을 나타내는 공식이 없으며, 이들은 사실 서로 다른 개념이다. 이 사실은 L-이론에서 중요한 결과를 가져온다. 간결함을 위해 이 맥락에서 "대칭 쌍선형 형식"은 종종 "대칭 형식"으로 지칭된다.

이러한 공식들은 가환환 위의 가군에 대한 쌍선형 형식에도 적용되지만, 역시 2가 환에서 가역적인 경우에만 B(u, v)를 풀 수 있으며, 그렇지 않으면 이들은 서로 다른 개념이다. 예를 들어, 정수 위에서는 정수 이차 형식과 정수  형식을 구별하는데, 후자는 더 좁은 개념이다.

더 일반적으로, 환의 대합이 있거나 2가 가역적이지 않은 경우에는 <math>\varepsilon</math>-이차 형식과 <math>\varepsilon</math>-대칭 형식을 구별한다. 대칭 형식은 이차 형식을 정의하며, 이차 형식에서 대칭 형식으로의 편극 항등식(2의 인자 없이)은 "대칭화 사상"이라고 불리며, 일반적으로 동형 사상은 아니다. 이는 역사적으로 미묘한 구별이었다. 정수 위에서는 1950년대까지 "2의 제거"(정수  형식)와 "2의 포함"(정수  형식) 사이의 관계가 이해되지 않았다. 정수 이차 형식에 대한 논의를 참조하라. 그리고 수술 이론의 대수화에서, 미셴코는 원래 올바른  L-군(월과 라니키와 같이) 대신  L-군을 사용했다. L-이론에 대한 논의를 참조하라.

### 고차 동차 다항식

마지막으로, 이러한 모든 맥락에서 이 항등식은 임의의 차수의 동차다항식 (즉, 대수적 형식)으로 확장될 수 있으며, 이는 대수적 형식의 편극화에 대한 문서에서 더 자세히 설명되어 있는 편극화 공식으로 알려져 있다.

## 같이 보기

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## 내용주와 각주

분류:추상대수학
분류:선형대수학
분류:함수해석학
분류:노름
분류:벡터