퀴리-바이스 법칙

자기에서, **퀴리-바이스 법칙**()은 퀴리 온도 이상의 상자성 영역에 있는 강자성체의 자기 감수율을 설명한다.
: 
\chi = \frac{C}{T - T_{\rm C}}

여기서 는 물질 특유의 퀴리 상수, 는 절대 온도, 는 퀴리 온도이며, 둘 다 켈빈으로 측정된다. 이 법칙은 에서 감수율에 특이점이 있음을 예측한다. 이 온도 아래에서 강자성체는 자발 자화를 갖는다. 이 법칙은 1907년 피에르 바이스가 피에르 퀴리의 이름을 딴 퀴리 법칙을 확장하여 개발했다.

## 배경

외부 자기장이 없는 상태에서도 존재하는 자기 모멘트를 자발 자화라고 한다. 철, 니켈, 자철석과 같이 이러한 특성을 가진 물질을 강자성체라고 한다. 그러나 이러한 물질이 가열되면 특정 온도에서 자발 자화를 잃고 상자성체가 된다. 물질이 강자성체인 임계 온도를 퀴리 온도라고 하며 물질마다 다르다.

퀴리-바이스 법칙은 물질의 자기 감수율, \chi가 퀴리 온도 근처에서 어떻게 변하는지 설명한다. 자기 감수율은 물질의 자기화와 인가된 자기장의 비율이다.

## 한계
많은 물질에서 퀴리-바이스 법칙은 평균장 근사에 기반을 두고 있기 때문에 퀴리점 바로 근처의 감수율을 설명하는 데 실패한다. 대신 다음과 같은 형태의 임계 거동이 있다.
: 
\chi \propto \frac{1}{(T - T_{\rm C})^\gamma}

임계 지수를 사용한다. 그러나 의 온도에서는 퀴리-바이스 법칙의 표현이 여전히 유효하지만, 실제 퀴리 온도보다 약간 높은 온도로 가 대체된다. 일부 저자들은 를 실제 퀴리점 온도와 구별하기 위해 **바이스 상수**라고 부른다.

## 자기 감수율에 대한 고전적 접근 방식 및 보어-판 레이우엔 정리
보어-판 레이우엔 정리에 따르면, 통계 역학과 고전 역학이 일관되게 적용될 때, 자기화의 열 평균은 항상 0이다. 양자 역학 없이는 자기 현상을 설명할 수 없다. 즉, 물질이 원자로 구성되어 있다는 점을 고려하지 않고는 설명할 수 없다는 의미이다. 다음은 단순한 원자 모형을 사용하여 이를 설명하는 몇 가지 반고전적 접근 방식을 나열한 것으로, 완벽하게 정확하지는 않지만 이해하고 관련시키기 쉽다.

자유 원자의 자기 모멘트는 전자의 궤도 각운동량과 스핀, 그리고 핵에 의해 발생한다. 원자의 껍질이 완전히 채워져 있으면 외부 자기장이 없는 상태에서는 순 자기 쌍극자 모멘트를 갖지 않는다. 이러한 자기장이 존재할 때, 전자의 궤적(고전적 개념)을 왜곡하여 인가된 자기장에 렌츠의 법칙에 따라 반대할 수 있다. 즉, 외부 자기장에 의해 유도된 순 자기 쌍극자는 반대 방향이며, 이러한 물질은 자기장에 의해 반발된다. 이러한 물질을 반자성 물질이라고 한다.

때로는 외부 자기장이 없는 상태에서도 원자가 순 자기 쌍극자 모멘트를 갖는 경우가 있다. 개별 전자와 핵이 전체 각운동량에 기여하는 정도가 서로 상쇄되지 않는다. 이는 원자의 껍질이 완전히 채워져 있지 않을 때 발생한다(훈트 규칙). 그러나 이러한 원자들의 집합은 이러한 쌍극자가 정렬되지 않아 순 자기 모멘트를 갖지 않을 수 있다. 외부 자기장은 이를 어느 정도 정렬시켜 단위 부피당 순 자기 모멘트를 발달시키는 역할을 할 수 있다. 이러한 정렬은 열적 교란이 쌍극자의 방향을 흐트러뜨리는 경향이 있으므로 온도에 따라 달라진다. 이러한 물질을 상자성 물질이라고 한다.

일부 물질에서는 원자(순 자기 쌍극자 모멘트를 가진)가 열적 교란이 충분히 낮을 때 외부 자기장이 없는 상태에서도 서로 상호작용하여 스스로 정렬할 수 있다. 정렬은 평행(강자성) 또는 반평행일 수 있다. 반평행의 경우, 쌍극자 모멘트가 서로 상쇄되거나 상쇄되지 않을 수 있다(반강자성, 준강자성).

## 자기 감수율에 대한 밀도 행렬 접근법
각 원자가 두 상태 시스템으로 근사될 수 있는 매우 간단한 상황을 가정한다. 열 에너지는 매우 낮아서 원자는 바닥 상태에 있다. 이 바닥 상태에서 원자는 순 궤도 각운동량을 갖지 않고, 홀전자 하나만 스핀 1/2을 갖는다고 가정한다. 외부 자기장이 존재할 때, 바닥 상태는 인가된 자기장에 비례하는 에너지 차이를 갖는 두 상태로 분할된다. 홀전자의 스핀은 높은 에너지 상태에서는 자기장에 평행하고 낮은 에너지 상태에서는 반평행하다.

밀도 행렬,  \rho 는 혼합 상태, 즉 여러 양자 상태(여기서는 여러 유사한 2상태 원자)의 통계적 앙상블에 있는 양자 시스템을 설명하는 행렬이다. 이는 순수 상태에 있는 양자 시스템을 설명하는 단일 상태 벡터와 대조된다. 앙상블에 대한 측정  A 의 기댓값은  \langle A \rangle = \operatorname{Tr} (A \rho) 이다. 완전한 상태 집합  |i\rangle 로 표현하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
: 
\rho = \sum_{ij}
\rho_{ij} |i\rangle \langle j| .


폰 노이만 방정식은 밀도 행렬이 시간에 따라 어떻게 진화하는지 알려준다.
: 
i \hbar \frac d {dt} \rho (t) = [H, \rho(t)]


평형 상태에서는  [H, \rho] = 0 이고, 허용되는 밀도 행렬은  f(H) 이다.
바른틀 앙상블은  \rho = \exp(-H/T)/Z 이며, 여기서  Z =\operatorname{Tr} \exp(-H/T) 이다.

2상태 시스템의 경우 다음과 같이 쓸 수 있다.
 H = -\gamma \hbar B \sigma_3 .
여기서  \gamma 는 자기회전비율이다.
따라서  Z = 2 \cosh(\gamma \hbar B/(2T)) 이고,
: 
\rho(B,T) = \frac 1 {2 \cosh(\gamma \hbar B/(2T))}
\begin{pmatrix}
\exp (-\gamma \hbar B/(2T)) & 0 \\
0 & \exp (\gamma \hbar B/(2T))
\end{pmatrix}.

여기서부터
: 
\langle J_x \rangle =
\langle J_y \rangle = 0,
\langle J_z \rangle = - \frac \hbar 2 \tanh (\gamma \hbar B/(2T)).


## 섭동 이론을 이용한 상자성 및 반자성 설명
z 방향을 따라 균일한 외부 자기장  B 가 존재할 때, 원자의 해밀토니안은 다음과 같이 변한다.
: 
\Delta H = \alpha J_z B + \beta B^2 \sum_i (x_i^2 + y_i^2 ),

여기서  \alpha, \beta 는 우리가 어떤 원자를 보는지와는 무관하지만 전자의 질량과 전하에 따라 달라지는 양의 실수이다.  i 는 원자의 개별 전자에 해당한다.

이 상황에 2차 섭동 이론을 적용한다. 이는 현재 달성 가능한 최고 자기장 세기에서도  \Delta H 에 의한 에너지 준위의 변화가 원자 여기 에너지에 비해 상당히 작다는 사실로 정당화된다. 원래 해밀토니안의 퇴화는 퇴화된 부분 공간에서  \Delta H 를 대각화하는 기저를 선택함으로써 다뤄진다.  |n\rangle 을 원자 상태(정확히는 원자 내 전자의 상태)에 대한 그러한 기저라고 하자.  |n \rangle 에서 에너지 변화를  \Delta E_n 이라고 하자. 그러면 다음과 같다.
: 
\Delta E_n = \langle n | \Delta H | n \rangle + \sum_{m, E_m \neq E_n}
\frac
{| \langle n | \Delta H | m \rangle |^2}
{E_n - E_m}
.

우리의 경우  B^3  이상의 고차항은 무시할 수 있다. 그러면 다음과 같다.
: 
\Delta E_n = \alpha B \langle n | J_z | n \rangle
+
\alpha^2 B^2 \sum_{m, E_m \neq E_n}
\frac
{| \langle n | J_z | m \rangle |^2}
{E_n - E_m}
+
\beta
B^2 \sum_i \langle n | x_i^2 + y_i^2 | n \rangle
.


반자성 물질의 경우, 바닥 상태에서 각운동량이 없으므로 처음 두 항은 없다. 상자성 물질의 경우 세 항 모두 기여한다.

## 해밀토니안에 스핀-스핀 상호작용 추가: 이징 모형
지금까지 우리는 원자들이 서로 상호작용하지 않는다고 가정했다. 이것은 반자성 및 상자성 물질의 경우 합리적인 가정일지라도, 열적 교란이 허용하는 범위 내에서 원자의 스핀이 서로 정렬하려고 하는 강자성의 경우에는 이 가정이 실패한다. 이 경우 우리는 원자 앙상블의 해밀토니안을 고려해야 한다. 이러한 해밀토니안은 개별 원자에 대해 위에서 설명한 모든 항과 원자 쌍 사이의 상호작용에 해당하는 항을 포함한다. 이징 모형은 이러한 쌍별 상호작용에 대한 가장 간단한 근사 중 하나이다.
: 
H_{\text{pairs}} =
- \frac 1 2
\sum_{R,R'}
S(R) \cdot S(R') J (R - R')


여기서 한 쌍의 두 원자는  R, R' 에 있다. 이들의 상호작용  J 는 이들의 거리 벡터  R - R' 에 의해 결정된다. 계산을 단순화하기 위해 상호작용은 이웃하는 원자들 사이에서만 발생하고  J 는 상수라고 가정하는 경우가 많다. 이러한 상호작용의 효과는 종종 평균장, 그리고 우리의 경우 바이스장으로 근사된다.

## 바이스장에 의한 퀴리 법칙의 수정

퀴리-바이스 법칙은 퀴리 법칙의 수정된 버전으로, 상자성 물질의 경우 SI 단위로 다음과 같이 쓸 수 있다. \chi \ll 1 이라고 가정하면:
\chi = \frac{M}{H} \approx \frac{M \mu_0}{B} =\frac{C}{T} .

여기서 μ0는 자유 공간의 투자율이다. M은 자기화(단위 부피당 자기 모멘트), 는 자기장, C는 물질 특유의 퀴리 상수이다.
C = \frac{\mu_0 \mu_{\rm B}^2}{3 k_{\rm B}}N g^2 J(J+1),
여기서 는 볼츠만 상수, 은 단위 부피당 자기 원자(또는 분자)의 수, 는 랑데 지 인자, 는 보어 마그네톤, 는 각운동량 양자수이다.

퀴리-바이스 법칙의 경우 총 자기장은 이며, 여기서 는 바이스 분자장 상수이므로 다음과 같다.
\chi =\frac{M \mu_0}{B} \rightarrow \frac{M \mu_0}{B+\lambda M} =\frac{C}{T}
이는 다음과 같이 재배열할 수 있다.
\chi = \frac{C}{T - \frac{C \lambda }{\mu_0}}
이는 퀴리-바이스 법칙이다.
\chi = \frac{C}{T - T_{\rm C}}
여기서 퀴리 온도는 다음과 같다.
T_{\rm C} = \frac{C \lambda }{\mu_0}

## 같이 보기
* 퀴리 법칙
* 상자성
* 피에르 퀴리
* 피에르-에른스트 바이스
* 교환 상호작용

## 내용주

## 각주
* 
* 
* 
* 

## 외부 링크
* Magnetism: Models and Mechanisms in E. Pavarini, E. Koch, and U. Schollwöck: Emergent Phenomena in Correlated Matter, Jülich 2013, 

분류:화학물리학