크러스컬-세케레시 좌표계

[섬네일|right|upright=1.2|2GM=1일 때의 크러스컬-세케레시 도표. 사분면은 블랙홀 내부(II), 화이트홀 내부(IV), 그리고 두 외부 영역(I, III)이다. 이 네 영역을 구분하는 점선 45° 선은 [사건의 지평선이다. 도표의 상단과 하단을 경계 짓는 더 어두운 쌍곡선은 물리적 특이점이다. 더 옅은 쌍곡선은 슈바르츠실트 r 좌표의 등치선을 나타내고, 원점을 통과하는 직선은 슈바르츠실트 t 좌표의 등치선을 나타낸다.]]
일반 상대성이론에서 마틴 크러스컬과 세케레시 죄르지의 이름을 딴 **크러스컬-세케레시 좌표**(Kruskal–Szekeres coordinates)는 블랙홀의 슈바르츠실트 기하학을 위한 좌표계이다. 이 좌표는 최대로 확장된 슈바르츠실트 해의 전체 다양체를 덮으며 물리적 특이점 외부의 모든 곳에서 잘 정의된다는 장점이 있다. 지평선에는 좌표 특이점이 없다.

크러스컬-세케레시 좌표는 구형 물체 주변의 시공간에도 적용되지만, 이 경우 물체의 반지름 내부의 시공간에 대한 설명을 제공하지 않는다. 별이 블랙홀로 붕괴하는 영역의 시공간은 크러스컬-세케레시 좌표(또는 슈바르츠실트 좌표)로 근사된다. 별의 표면은 슈바르츠실트 좌표에서 사건의 지평선 밖에 머무르지만, 크러스컬-세케레시 좌표에서는 이를 넘어선다. (우리가 관측하는 어떤 "블랙홀"에서도 우리는 그 물질이 아직 붕괴를 마치지 않은 시점에 블랙홀을 보므로, 아직 실제 블랙홀이 아니다.) 마찬가지로, 블랙홀로 떨어지는 물체는 슈바르츠실트 좌표에서 사건의 지평선 밖에 머무르지만, 크러스컬-세케레시 좌표에서는 이를 넘어선다.

## 정의
섬네일|right|upright=1.2|크러스컬-세케레시 도표. 애니메이션의 각 프레임은 슈바르츠실트 방사형 좌표가 일정한 표면(그리고 각 연속 프레임에서 특이점까지 더 작은 값으로)으로 파란색 쌍곡선을 보여준다.
블랙홀 기하학에서 크러스컬-세케레시 좌표는 슈바르츠실트 좌표 (t,r,\theta,\phi)에서 t와 r을 새로운 시간 좌표 T와 새로운 공간 좌표 X로 대체하여 정의된다.
: T = \left(\frac{r}{2GM} - 1\right)^{1/2}e^{r/4GM}\sinh\left(\frac{t}{4GM}\right)
: X = \left(\frac{r}{2GM} - 1\right)^{1/2}e^{r/4GM}\cosh\left(\frac{t}{4GM}\right)
사건의 지평선 외부 영역 r>2GM 에 대해:
: T = \left(1 - \frac{r}{2GM}\right)^{1/2}e^{r/4GM}\cosh\left(\frac{t}{4GM}\right)
: X = \left(1 - \frac{r}{2GM}\right)^{1/2}e^{r/4GM}\sinh\left(\frac{t}{4GM}\right)
내부 영역 0에 대해 정의된다. 여기서 GM은 중력 상수와 슈바르츠실트 질량 매개변수를 곱한 값이며, 이 문서는 <math>c</math> = 1인 자연단위계를 사용한다.

결과적으로 외부 영역, 사건의 지평선 및 내부 영역의 합집합에서 슈바르츠실트 방사형 좌표 r (슈바르츠실트 반지름 r_\text{s} = 2GM와 혼동하지 말 것)는 크러스컬-세케레시 좌표로 방정식의 (유일한) 해로 결정된다.
: T^2 - X^2 = \left(1-\frac{r}{2GM}\right)e^{r/2GM} \ , T^2 - X^2 
람베르트 W 함수를 사용하여 해는 다음과 같이 작성된다.
: r = 2GM \left(1 + W_0\left( \frac{X^2 - T^2}{e} \right)\right).
또한 블랙홀 외부 영역 T^2 - X^2  0에서는 즉시 다음을 알 수 있다.
: t = 4GM \mathop{\mathrm{artanh}}(T/X)
블랙홀 내부 영역 0  0에서는
: t = 4GM \mathop{\mathrm{artanh}}(X/T)

이러한 새로운 좌표에서 슈바르츠실트 블랙홀 다양체의 계량은 다음과 같이 주어진다.
: g = \frac{32G^3M^3}{r}e^{-r/2GM}(-dT^2 + dX^2) + r^2 g_\Omega,
(− + + +) 계량 부호수 규칙을 사용하여 작성되었으며, 계량의 각 성분(2구의 리만 계량)은 다음과 같다.
: g_\Omega\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2.

계량을 이 형태로 표현하면 일정한 \Omega = \Omega(\theta, \phi)를 갖는 방사형 널 측지선이 T = \pm X  선 중 하나와 평행하다는 것이 명확하게 나타난다. 슈바르츠실트 좌표에서 슈바르츠실트 반지름 r_\text{s} = 2GM은 사건의 지평선  r = r_\text{s} = 2GM의 방사형 좌표이다. 크러스컬-세케레시 좌표에서 사건의 지평선은 T^2 - X^2 = 0 으로 주어진다. 계량은 사건의 지평선에서 완벽하게 잘 정의되고 특이점이 없다는 점에 유의해야 한다. 곡률 특이점은 T^2 - X^2 = 1에 위치한다.

## 최대로 확장된 슈바르츠실트 해
r&nbsp;>&nbsp;2GM 및 -\infty에 대해 정의된 슈바르츠실트 좌표와 크러스컬-세케레시 좌표 사이의 변환은 최소한 T^2 - X^2 = 1에서 발생하는 첫 번째 특이점까지 해석 함수로 확장될 수 있다. 따라서 위의 계량은 이 영역 전체에서 아인슈타인 방정식의 해이다. 허용되는 값은 다음과 같다.
: -\infty 
: -\infty 
이 확장은 해가 모든 곳에서 해석적이라고 가정한다는 점에 유의해야 한다.

최대로 확장된 해에는 실제로 r = 0에 두 개의 특이점이 있는데, 하나는 양의 T에 대한 것이고 다른 하나는 음의 T에 대한 것이다. 음의 T 특이점은 시간을 역행시킨 블랙홀이며, 때때로 "화이트홀"이라고 불린다. 입자는 화이트홀에서 탈출할 수 있지만 결코 돌아갈 수 없다.

최대로 확장된 슈바르츠실트 기하학은 각각 적절한 슈바르츠실트 좌표 집합으로 덮일 수 있는 4개의 영역으로 나눌 수 있다. 반면 크러스컬-세케레시 좌표는 전체 시공간 다양체를 덮는다. 네 영역은 사건의 지평선으로 분리된다.

슈바르츠실트 좌표와 크러스컬-세케레시 좌표 사이의 위에 주어진 변환은 (제곱근을 양수로 취하면) 영역 I과 II에만 적용된다. 다른 두 영역에서도 유사한 변환을 작성할 수 있다.

슈바르츠실트 시간 좌표 t는 다음과 같이 주어진다.
: \tanh\left(\frac{t}{4GM}\right) =
\begin{cases}T/X & \text{(I 및 III에서)} \\
X/T & \text{(II 및 IV에서)}\end{cases}

각 영역에서 t는 -\infty에서 +\infty까지이며, 무한대는 사건의 지평선에 위치한다.

호킹 복사의 양자 과정이 유니터리라는 요구사항에 따라 헤라르뒤스 엇호프트는 영역 I과 III, 그리고 II와 IV가 평행 우주가 아니라 뿌리에 대한 가지를 선택하는 데서 오는 수학적 인공물이며 다음과 같은 동치 관계가 부과되어야 한다고 제안했다.
: (T, X, \Omega) \sim (-T, -X, -\Omega)
여기서 -\Omega는 2구면의 대척점이다. 영역 III과 IV를 구면 좌표를 가지지만 r을 계산하기 위해 음수 제곱근을 선택한 것으로 생각한다면, 우리는 공간의 동일한 점을 나타내기 위해 구면의 반대점을 상응하게 사용한다. 예를 들어:
: (t^\text{(I)}, r^\text{(I)}, \Omega^\text{(I)}) = (t, r, \Omega)  \sim (t^\text{(III)}, r^\text{(III)}, \Omega^\text{(III)}) = (t, -r, -\Omega).
이는 r^\text{(I)}\Omega^\text{(I)} = r^\text{(III)}\Omega^\text{(III)} = r\Omega를 의미한다.
이는 계량을 보존하는 군 \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}에 의한 자유 군 작용이므로, 잘 정의된 로렌츠 다양체를 제공한다(특이점을 제외한 모든 곳에서). 이는 좌표선 T = -X ,\ T > 0, X 에 해당하는 내부 영역 II의 극한  t^\text{(II)} = -\infty를 T = -X,\  T  0에 해당하는 외부 영역 I의 극한 t^\text{(I)} = -\infty와 동일시한다. 이 동일시는 각 쌍  (T,X) \sim (-T, -X) \ne (0,0)이 구에 해당하지만, 점  (T,X) = (0,0) (슈바르츠실트 그림에서 사건의 지평선 r=2GM에 해당)은 구가 아니라 실사영평면 \mathbf{RP}^2 = S^2/\pm에 해당하며, 기저 다양체의 위상은 더 이상 \mathbb{R}^4 - \mathrm{line} = \mathbb{R}^2 \times S^2가 아니다. 이 다양체는 더 이상 단일 연결 공간이 아니다. 왜냐하면 시공간의 한 지점에서 다시 자기 자신으로 돌아가는 루프(초광속 부분을 포함)는 반대 크러스컬-세케레시 좌표에서는 널 루프로 축소될 수 없기 때문이다.

## 크러스컬-세케레시 도표의 질적 특징

크러스컬-세케레시 좌표는 슈바르츠실트 시공간에 대한 직관을 형성하는 데 도움이 되는 여러 유용한 특징을 가지고 있다. 이 중 가장 중요한 것은 모든 방사형 광선형 측지선(방사형으로 움직이는 광선의 세계선)이 크러스컬-세케레시 도표에 그려질 때 45도 각도의 직선처럼 보인다는 사실이다(이는 위에서 주어진 계량 방정식에서 도출될 수 있으며, dX = \plusmn dT\,이면 고유 시간 ds = 0임을 보장한다). 광속보다 느린 물체의 모든 시간형 세계선은 모든 지점에서 45도보다 수직 시간축(T 좌표)에 더 가까운 기울기를 가질 것이다. 따라서 크러스컬-세케레시 도표에 그려진 광추는 특수 상대성이론의 민코프스키 도표의 광추와 동일하게 보일 것이다.

블랙홀과 화이트홀 내부 영역을 경계 짓는 사건의 지평선 또한 45도 각도의 직선 쌍인데, 이는 방사형 방향으로(블랙홀의 경우 외부로, 화이트홀의 경우 내부로 향하는) 지평선에서 방출된 광선이 영원히 지평선에 머무를 것이라는 사실을 반영한다. 따라서 두 블랙홀 지평선은 도표 중앙(T=X=0)의 사건의 미래 광추 경계와 일치하고, 두 화이트홀 지평선은 이 동일한 사건의 과거 광추 경계와 일치한다. 블랙홀 내부 영역 내의 모든 사건은 이 영역 내에 남아 있는 미래 광추를 가질 것이며(사건의 미래 광추 내의 모든 세계선은 결국 두 블랙홀 지평선으로 경계 지어진 쌍곡선으로 나타나는 블랙홀 특이점에 도달할 것이다), 화이트홀 내부 영역 내의 모든 사건은 이 영역 내에 남아 있는 과거 광추를 가질 것이다(이 과거 광추 내의 모든 세계선은 두 화이트홀 지평선으로 경계 지어진 쌍곡선인 화이트홀 특이점에서 시작되었음에 틀림없다). 지평선이 바깥쪽으로 확장되는 원뿔처럼 보이지만, r로 주어진 이 표면의 면적은 16\pi M^2으로 상수라는 점에 유의해야 한다. 즉, 주의하지 않으면 이러한 좌표는 기만적일 수 있다.

일정한 슈바르츠실트 좌표 곡선이 크러스컬-세케레시 도표에 그려질 때 어떻게 보이는지 고려하는 것이 유익할 수 있다. 슈바르츠실트 좌표에서 일정한 r-좌표 곡선은 항상 45도에서 한 쌍의 사건의 지평선으로 경계 지어진 쌍곡선처럼 보이는 반면, 슈바르츠실트 좌표에서 일정한 t-좌표선은 항상 도표의 중심을 통과하는 다양한 각도의 직선처럼 보인다. 외부 영역 I과 경계 짓는 블랙홀 사건의 지평선은 슈바르츠실트 t-좌표 +\infty와 일치하고, 이 영역과 경계 짓는 화이트홀 사건의 지평선은 슈바르츠실트 t-좌표 -\infty와 일치한다. 이는 슈바르츠실트 좌표에서 낙하하는 입자가 지평선에 도달하는 데 무한한 좌표 시간을 필요로 한다는 사실을 반영한다(즉, 슈바르츠실트 t-좌표가 무한대에 접근함에 따라 입자의 지평선으로부터의 거리는 0에 접근한다). 그리고 지평선에서 멀어지는 입자는 무한한 좌표 시간 전에 지평선을 통과했음에 틀림없다. 이것은 슈바르츠실트 좌표가 정의되는 방식의 단순한 인공물이다. 자유 낙하하는 입자는 외부 관찰자와 사건의 지평선 사이를 통과하는 데 유한한 고유 시간(자신의 시계로 측정한 시간)만 필요하며, 입자의 세계선이 크러스컬-세케레시 도표에 그려지면 크러스컬-세케레시 좌표에서도 유한한 좌표 시간만 필요하다.

슈바르츠실트 좌표계는 크러스컬-세케레시 도표의 영역 I과 II와 같은 단일 외부 영역과 단일 내부 영역만 덮을 수 있다. 반면 크러스컬-세케레시 좌표계는 슈바르츠실트 좌표로 덮이는 영역을 포함하는 "최대로 확장된" 시공간을 덮을 수 있다. 여기서 "최대로 확장된"은 시공간에 "가장자리"가 없어야 한다는 아이디어를 나타낸다. 즉, 모든 측지선 경로는 중력 특이점에 부딪히지 않는 한 어느 방향으로든 임의로 확장될 수 있다. 기술적으로 이는 최대로 확장된 시공간이 "측지선적으로 완전하다"(즉, 모든 측지선은 '아핀 매개변수'의 임의로 큰 양수 또는 음수 값으로 확장될 수 있으며, 시간형 측지선의 경우 고유 시간일 수도 있다), 또는 측지선이 불완전한 경우 특이점에서 끝나기 때문이라는 것을 의미한다. 이 요구사항을 충족하기 위해, 입자가 외부(영역 I)에서 사건의 지평선을 통해 떨어질 때 들어가는 블랙홀 내부 영역(영역 II) 외에, 외부 관찰자가 사건의 지평선에서 상승하는 것을 보는 입자의 궤적을 확장할 수 있는 별도의 화이트홀 내부 영역(영역 IV)과 두 내부 영역에서 일부 가능한 입자 궤적을 확장할 수 있는 별도의 외부 영역(영역 III)이 있어야 한다는 것이 밝혀졌다. 외부 슈바르츠실트 해를 최대로 확장된 시공간으로 확장하는 여러 가능한 방법이 실제로 존재하지만, 크러스컬-세케레시 확장은 모든 최대로 확장된 측지선이 완전하거나 곡률 스칼라가 유한한 아핀 시간 내에 발산하는 최대, 해석적, 단일 연결 진공 해라는 점에서 독특하다.

## 광추 변형
문헌에서 크러스컬-세케레시 좌표는 때때로 광추 변형으로도 나타난다.
: U = T - X
: V = T + X,
이 경우 계량은 다음과 같이 주어진다.
: ds^{2} = -\frac{32G^3M^3}{r}e^{-r/2GM}(dU dV) + r^2 d\Omega^2,
그리고 r은 방정식에 의해 암시적으로 정의된다.
: UV = \left(1-\frac{r}{2GM}\right)e^{r/2GM}.

이 광추 좌표는 방사형으로 나가는 널 측지선이 U = \text{상수}로 주어지고, 방사형으로 들어오는 널 측지선이 V = \text{상수}로 주어진다는 유용한 특징을 가지고 있다. 또한 (미래 및 과거) 사건의 지평선은 방정식 UV = 0으로 주어지고, 곡률 특이점은 방정식 UV = 1로 주어진다.

광추 좌표는 에딩턴-핀켈슈타인 좌표에서 밀접하게 파생된다.

## 같이 보기

* 슈바르츠실트 좌표
* 르메트르 좌표
* 에딩턴-핀켈슈타인 좌표
* 등방성 좌표
* 굴스트란트-판르베 좌표

## 각주

### 출처

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분류:로런츠 다양체