위상장 모델

**위상장 모델**(phase-field model)은 계면 문제를 해결하기 위한 수학적 모델이다. 주로 응고 역학에 적용되어 왔지만, 점성 손가락화와 같은 다른 상황에도 적용되었다. 파괴 역학, 수소취성화, 및 소포 (세포) 역학에 적용되었다.

이 방법은 보조 필드(위상장)의 진화를 위한 편미분 방정식을 통해 계면의 경계 조건을 대체하며, 이 보조 필드는 질서 매개변수의 역할을 한다. 이 위상장은 각 상에서 두 가지 뚜렷한 값(예: +1 및 &minus;1)을 가지며, 계면 주변 영역에서 두 값 사이의 부드러운 변화가 있어 유한한 너비를 가진 확산 상태를 이룬다. 계면의 이산 위치는 위상장이 특정 값(예: 0)을 취하는 모든 점들의 집합으로 정의될 수 있다.

위상장 모델은 일반적으로 무한소 계면 너비(소위 날카로운 계면 한계)에서 올바른 계면 역학이 복원되는 방식으로 구성된다. 이 접근법은 전체 시스템에 대한 편미분 방정식 세트를 통합하여 문제를 해결할 수 있게 해주므로, 계면에서의 경계 조건을 명시적으로 처리하는 것을 피할 수 있다.

위상장 모델은 픽스(Fix)와 랭거(Langer)에 의해 처음 소개되었으며, 응고 및 다른 분야에서 점차 관심이 커지고 있다. 랭거는 케인-힐리어드 방정식과 앨런-케인 방정식을 결합하여 결빙 문제를 해결할 수 있음을 보여주는 손글씨 노트를 가지고 있었다. 조지 픽스(George Fix)는 프로그래밍 문제에 대해 연구했다. 당시 랭거는 이 방법이 계면 두께가 일반적인 미세 구조의 크기에 비해 너무 작기 때문에 실용적인 용도가 없다고 생각하여 출판하지 않았다.

## 위상장 모델의 방정식

위상장 모델은 일반적으로 주어진 계면 역학을 재현하기 위해 구성된다. 예를 들어, 응고 문제에서 전면 역학은 물질의 농도 또는 온도를 위한 확산 방정식과 계면에서의 일부 경계 조건(국소 평형 조건 및 보존 법칙)에 의해 주어진다. 이는 날카로운 계면 모델을 구성한다.
280px|right|섬네일|두 상 미세 구조와 도메인 전체의 선에 걸쳐 있는 질서 매개변수 <math> \varphi </math> 프로필이 표시되어 있다. 한 상에서 다른 상으로 질서 매개변수의 점진적인 변화는 계면의 확산적 특성을 보여준다.

위상장 모델의 여러 공식은 질서 매개변수(위상장)와 확산 필드에 의존하는 열역학적 자유 에너지 함수(변분 공식)를 기반으로 한다. 그런 다음 모델의 방정식은 통계물리학의 일반적인 관계를 사용하여 얻어진다. 이러한 함수는 물리적 고려 사항에서 구성되지만, 계면 너비와 관련된 매개변수 또는 매개변수 조합을 포함한다. 그런 다음 모델의 매개변수는 이 너비가 0으로 가는 모델의 한계를 연구하여 선택되며, 이 한계를 의도된 날카로운 계면 모델과 동일시할 수 있는 방식으로 선택된다.

다른 공식은 열역학적 함수(비변분 공식)를 참조하지 않고 상장 방정식을 직접 작성하는 것으로 시작한다. 이 경우 유일한 참조는 날카로운 계면 모델인데, 이는 위상장 모델의 작은 계면 너비 한계를 수행할 때 복원되어야 한다는 의미이다.

상장 방정식은 원칙적으로 계면 너비가 문제에서 가장 작은 길이 스케일에 비해 작을 때 계면 역학을 재현한다. 응고에서 이 스케일은 모세관 길이 d_o로, 미시적 스케일이다. 계산적 관점에서 이러한 작은 스케일을 해결하는 편미분 방정식의 통합은 엄청나게 어렵다. 그러나 카르마(Karma)와 라펠(Rappel)은 얇은 계면 한계를 도입하여 이 조건을 완화하고 위상장 모델을 사용한 실용적인 정량 시뮬레이션의 길을 열었다.
컴퓨터 성능의 향상과 위상장 모델링의 이론적 진보로 위상장 모델은 계면 문제의 수치 시뮬레이션을 위한 유용한 도구가 되었다.

### 변분 공식

위상장 모델은 시스템의 열역학적 자유 에너지에 대한 명시적 표현이 있다면 물리적 인수를 통해 구성할 수 있다. 응고 문제의 간단한 예는 다음과 같다.

: F[e,\varphi]=\int d{\mathbf r} \left[ K|{\mathbf\nabla}\varphi|^2 + h_0f(\varphi) + e_0u(\varphi)^2 \right]

여기서 \varphi는 위상장이고, u(\varphi)=e/e_0 + h(\varphi)/2이며, e는 단위 부피당 국소 엔탈피이고, h는 \varphi의 특정 다항식 함수이며, e_0={L^2}/{T_M c_p} (여기서 L은 잠열이고, T_M은 녹는점이며, c_{p}는 비열이다)이다. \nabla\varphi 항은 계면 에너지에 해당한다. 함수 f(\varphi)는 일반적으로 각 상의 벌크의 자유 에너지 밀도를 나타내는 이중 우물 전위로 취해지며, 이들은 f(\varphi) 함수의 두 최소값에 해당한다. 상수 K와 h_{0}는 각각 단위 길이당 에너지와 단위 부피당 에너지의 차원을 가진다. 계면 너비는 W=\sqrt{K/h_0}로 주어진다.
위상장 모델은 다음 변분 관계에서 얻을 수 있다.

: 
\partial_t \varphi = -\frac{1}{\tau} \left(\frac{\delta F}{\delta \varphi} \right) + \eta({\mathbf r},t)


: 
\partial_t e = De_0\nabla^2 \left( \frac{\delta F}{\delta e} \right) - {\mathbf{\nabla}} \cdot{\mathbf q}_e(\mathbf r,t).


여기서 D는 변수 e에 대한 확산 계수이고, \eta와 \mathbf q_e는 열 요동을 설명하는 확률론적 항(그리고 그 통계적 특성은 요동-소산 정리로부터 얻을 수 있다)이다. 첫 번째 방정식은 위상장의 진화에 대한 방정식을 제공하는 반면, 두 번째 방정식은 확산 방정식으로, 일반적으로 온도 또는 농도(합금의 경우)에 대해 다시 작성된다. 이러한 방정식은 공간을 l로, 시간을 l^2/D로 스케일링하면 다음과 같다.

: 
\alpha \varepsilon^2\partial_t \varphi = \varepsilon^2\nabla^2\varphi- f'(\varphi) - \frac{e_0}{h_0} h'(\varphi)u+\tilde \eta({\mathbf r},t)


: 
\partial_t u = \nabla^2 u+\frac{1}{2}h'(\varphi) \partial_t \varphi - \mathbf \nabla\cdot \mathbf q_u(\mathbf r,t)


여기서 \varepsilon=W/l은 무차원 계면 너비이고, \alpha={D\tau}/{W^2h_0}이며, \tilde\eta({\mathbf r},t), \mathbf q_u(\mathbf r,t)는 무차원화된 노이즈이다.

### 대체 에너지 밀도 함수

자유 에너지 함수 f(\varphi)의 선택은 계면의 물리적 행동에 상당한 영향을 미칠 수 있으므로 신중하게 선택해야 한다. 이중 우물 함수는 임계점 근처의 반데르발스 상태 방정식의 근사치를 나타내며, 위상장 모델이 계면 추적 목적으로만 사용될 때 구현의 단순성 때문에 역사적으로 사용되어 왔다. 그러나 이는 흔히 관찰되는 자발적인 방울 수축 현상을 초래했는데, 임계점 근처의 상태 방정식에 의해 예측되는 높은 상 혼합성으로 인해 상 간의 상당한 상호 침투가 허용되고 결국 특정 임계값보다 작은 반지름을 가진 방울이 완전히 사라질 수 있다. 시뮬레이션 기간 동안 인지되는 연속성 손실을 최소화하려면 이동도 매개변수에 대한 제한이 필요하며, 이는 대류로 인한 계면 번짐, 자유 에너지 최소화로 인한 계면 재구성(즉, 이동도 기반 확산) 및 상 상호 침투(또한 이동도에 따라 달라짐) 사이의 미묘한 균형을 초래한다. 계면 추적 응용 프로그램을 위한 대체 에너지 밀도 함수에 대한 최근 검토에서는 자발적인 방울 수축 현상 및 이동도 제한을 피하는 수정된 형태의 이중 장애 함수를 제안했으며, 이중 우물 함수 및 부피 유체 방법 날카로운 계면 기술을 사용한 여러 벤치마크 시뮬레이션에 대한 비교 결과가 제공된다. 제안된 구현은 이중 우물 함수보다 계산 복잡성이 약간 더 클 뿐이며, 시뮬레이션된 현상의 기간/특성이 상 연속성 문제(즉, 작은 방울, 확장된 시뮬레이션, 다중 계면 등)를 야기하는 위상장 모델의 계면 추적 응용 프로그램에 유용할 수 있다.

### 상장 방정식의 날카로운 계면 한계

위상장 모델은 날카로운 계면 모델로 표현되는 주어진 계면 역학을 의도적으로 재현하도록 구성될 수 있다. 이러한 경우 제안된 상장 방정식 세트의 날카로운 계면 한계(즉, 계면 너비가 0으로 갈 때의 한계)를 수행해야 한다. 이 한계는 일반적으로 계면 너비 \varepsilon의 거듭제곱으로 모델 필드의 점근 확장을 통해 취해진다. 이러한 확장은 계면 영역(내부 확장)과 벌크(외부 확장) 모두에서 수행된 다음, 차수별로 점근적으로 일치시킨다. 그 결과 확산 필드에 대한 편미분 방정식과 계면에서의 일련의 경계 조건을 얻을 수 있으며, 이는 날카로운 계면 모델에 해당해야 하며, 이와의 비교를 통해 위상장 모델의 매개변수 값을 얻을 수 있다.

초기 위상장 모델에서는 이러한 확장이 \varepsilon의 낮은 차수까지만 수행되었지만, 최근 모델은 원치 않는 의사 효과를 제거하거나 모델에 새로운 물리학을 포함하기 위해 고차 점근(얇은 계면 한계)을 사용한다. 예를 들어, 이 기술은 운동 효과를 제거하고, 상에서 확산도가 같지 않은 경우를 처리하고, 점성 손가락화 및 이중상 나비에-스토크스 흐름을 모델링하고, 모델에 요동을 포함하는 등에 활용되었다.

## 다중 위상장 모델
280px|right|섬네일|다중 질서 매개변수는 다결정 재료 미세 구조를 설명한다.
다중 위상장 모델에서는 미세 구조가 질서 매개변수 세트로 설명되며, 각 매개변수는 특정 상 또는 결정학적 방향과 관련이 있다. 이 모델은 여러 결정립이 진화하는 고체상 변태(예: 결정립 성장, 재결정화 또는 철 합금의 오스테나이트에서 페라이트로의 1차 변태)에 주로 사용된다. 미세 구조 내의 여러 결정립을 설명할 수 있을 뿐만 아니라, 다중 위상장 모델은 특히 기술 합금 등급에서 발생하는 여러 열역학적 상을 고려할 수 있게 한다.

## 그래프 기반 위상장 모델

연속체 위상장 모델의 많은 결과는 그래프에 대한 미적분을 유한 가중 그래프에서의 미적분으로 대체하면 그래프에 대한 이산적 유사성을 가진다.

## 파괴 역학에서의 위상장 모델링
고체에서의 파괴는 종종 이산 또는 확산 균열 표현을 사용하여 유한 요소 맥락에서 수치적으로 분석된다. 유한 요소 표현을 사용하는 접근법은 종종 요소 내 수준에 내장된 강한 불연속성을 사용하며, 균열 경로를 결정하기 위해 응력, 변형 에너지 밀도 또는 에너지 해방률과 같은 추가 기준이나 가상 균열 폐쇄 기술 및 재메시와 같은 특수 처리가 필요하다. 대조적으로, 확산 균열 표현을 사용하는 접근법은 연속체 손상 모델 및 상장 파괴 이론과 같이 변위장의 연속성을 유지한다. 후자는 그리피스(Griffith) 원리를 변분 형식으로 재구성한 것으로 거슬러 올라가며, 기울기 강화 손상 유형 모델과 유사성을 가진다. 아마도 파괴에 대한 상장 접근법의 가장 매력적인 특징은 균열 시작 및 균열 경로가 탄성 및 파괴 에너지를 결합하는 최소화 문제에서 자동으로 얻어진다는 것이다. 많은 상황에서 균열 핵생성은 탄성 해법과 관련된 임계점 가지를 따라가다가 불안정성을 잃을 때까지 적절하게 설명될 수 있다. 특히, 파괴의 위상장 모델은 탄성 변형 에너지 밀도가 공간적으로 일정할 때도 핵생성을 허용할 수 있다.
이 접근법의 한계는 핵생성이 응력이 아닌 변형 에너지 밀도에 기반한다는 것이다. 핵생성 구동력을 도입하는 대안적인 관점은 이 문제를 해결하고자 한다.

## 집단 [[세포 (생물학)|세포]] 이동에서의 위상장 모델
[섬네일|[https://github.com/siavashmonfared/celadro_three_dimensional Celadro-3D] 소프트웨어를 사용한 3D 집단 세포 상호작용 시뮬레이션 예시. 이 소프트웨어는 다상장 접근법을 기반으로 한다.](https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:3d_cell_collective.gif)
생물학적 세포 그룹은 아데노신 삼인산 소비로 인해 복잡한 방식으로 자체 추진할 수 있다. 응집력 또는 여러 화학주성 물질과 같은 세포 간 상호작용은 조정된 방식으로 움직임을 생성할 수 있으며, 이 현상을 "집단 세포 이동"이라고 한다. 이러한 현상에 대한 이론적 모델은 위상장 모델이며, 각 세포 종에 대한 위상장과 화학주성 인자 농도와 같은 추가 필드 변수를 통합한다. 이러한 모델은 암, 세포 압출, 상처 치유, 형태형성 및 세포 외피 현상과 같은 현상에 사용될 수 있다.

## 소프트웨어
* PACE3D – 3D 결정 진화를 위한 병렬 알고리즘은 다상 다성분 변환, 대규모 결정립 구조 및 유체 흐름, 탄성, 소성 및 자기 상호작용과의 결합을 포함하는 병렬 상장 시뮬레이션 패키지이다. 이는 카를스루에 응용과학대학 및 카를스루에 공과대학교에서 개발되었다.
* The Mesoscale Microstructure Simulation Project (MMSP)는 그리드 기반 미세 구조 시뮬레이션을 위한 C++ 클래스 모음이다.
* The MICRostructure Evolution Simulation Software (MICRESS)는 열역학 및 운동학 데이터베이스와 결합된 다성분, 다상장 시뮬레이션 패키지이다. 이는 ACCESS e.V .에서 개발 및 유지 관리한다.
* MOOSE는 아이다호 국립 연구소에서 개발된 상장 시뮬레이션을 지원하는 대규모 병렬 오픈 소스 C++ 다중물리 유한 요소 프레임워크이다.
* PhasePot은 상장 및 몬테카를로 포츠 모델의 조합을 사용하는 Windows 기반 미세 구조 시뮬레이션 도구이다.
* OpenPhase는 다위상장 모델을 기반으로 1차 상 변태를 겪는 시스템에서 미세 구조 형성을 시뮬레이션하기 위한 오픈 소스 소프트웨어이다.
* mef90/vDef는에서 개발된 이론을 기반으로 하는 오픈 소스 변분 상장 파괴 시뮬레이터이다.
* MicroSim은 이산화, 모델 및 실행할 수 있는 고성능 컴퓨팅 하드웨어(CPU/GPU)에 유연성을 제공하는 상장 코드들로 구성된 소프트웨어 스택이다.
* PRISMS-PF는 상장 및 미세 구조 진화와 관련된 기타 시뮬레이션을 수행하기 위한 대규모 병렬 유한 요소 코드이다. 이는 deal.II 유한 요소 라이브러리를 기반으로 하며 미시간 대학교의 PRISMS Center에서 개발 및 유지 관리한다.
* Celadro-3D는 Celadro의 3차원 확장판으로, 다위상장 모델링을 활용하여 살아있는 세포와 같은 활성 액체 방울의 집단 역학을 포착하고, 활성 물질에 대한 물리 기반 모델을 통합할 수 있는 유연한 플랫폼을 제공한다.

## 각주

## 더 읽어보기
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* 위상장 모델에 대한 검토.
*프로바타스(Provatas), 니콜라스(Nikolas); 엘더(Elder), 켄(Ken) (2010). Phase-Field Methods in Materials Science and Engineering. 독일 바인하임: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. . 
*슈타인바흐(Steinbach), I.: "Quantum-Phase-Field Concept of Matter: Emergent Gravity in the Dynamic Universe", Zeitschrift für Naturforschung A 72 1 (2017) 
*슈미츠(Schmitz), G.J.: "A Combined Entropy/Phase-Field Approach to Gravity", Entropy **2017**, 19(4) 151; 
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분류:재료과학
분류:수학적 모델링